變分原理

變分原理是物理學的一條基本原理，以變分法來表達。

根據科內利烏斯·蘭佐斯的說法，任何可以用變分原理來表達的物理定律描述一種自伴的表示。這種表示也被說成是埃爾米特的，描述了在埃爾米特變換下的不變量。

菲利克斯·克萊因的愛爾蘭根綱領試圖鑑識這類在一組變換下的不變量。在物理學的諾特定理中，一組變換的龐加萊群（現在廣義相對論中被稱為規範群）定義了在一組依賴於變分原理的變換下的對稱性，即作用原理。

## 實例

- 幾何光學中的費馬原理
- 力學中的最小作用量原理，電磁理論，及量子力學
- 根據史蒂芬·沃爾夫勒姆的說法（參見一種新科學一書 1052頁），愛因斯坦場方程也涉及一個變分原理，作為愛因斯坦-希爾伯特作用量的約束。

## 量子力學中的變分原理

假設你想計算一個哈密頓量為H的體系的基態能量Egs，換句話說，已經知道體系的哈密頓算符H。如果不能解薛丁格方程來找出波函數，可以任意猜測一個歸一化的波函數，比如說φ，結果是根據猜測的波函數得到的哈密頓算符的期望值將會高於實際的基態能量。換言之：

$$E_{ground} \le \left\langle\phi|H|\phi\right\rangle$$

這對於所猜測的任何φ都適用。

### 證明

任一個波函數φ都可以展開為哈密頓算符的實際本徵函數的線性組合（我們假定這些本徵函數是正交歸一的）：

$$\phi = \sum_{n} c_{n}\psi_{n} \,$$

那麼，哈密頓算符的期望值是：

$\left\langle\phi|H|\phi\right\rangle \,$｜$= \left\langle\sum_{n}c_{n}\psi_{n}|H|\sum_{m}c_{m}\psi_{m}\right\rangle \,$

$$= \sum_{n}\sum_{m}\left\langle c_{n}\psi_{n}|E_{m}|c_{m}\psi_{m}\right\rangle \,$$ $$= \sum_{n}\sum_{m}c_{n}^*c_{m}E_{m}\left\langle\psi_{n}|\psi_{m}\right\rangle \,$$ $$= \sum_{n} |c_{n}|^2 E_{n} \,$$

如果把$E_{n}$替換成基態能量$E_{g}$，從求和公式中提出來，那麼等號變成大於等於號。亦即：

$$\left\langle\phi|H|\phi\right\rangle \ge E_{g} \,$$

### 推廣

給定一個描述所研究的體系的哈密頓算符H和任意可歸一化的並帶有適當體系未知波函數參數的函數Ψ，我們定義泛函：

$$\varepsilon\left[\Psi\right] = \frac{\left\langle\Psi|\hat{H}|\Psi\right\rangle}{\left\langle\Psi|\Psi\right\rangle}.$$

那麼變分原理說明：

- $\varepsilon \geq E_0$，式中$E_0$是該哈密頓算符的具有最低能量的本徵態（基態）。
- $\varepsilon = E_0$若且唯若$\Psi$確切地等同於研究體系的基態。

上述變分原理是變分法的基本原理，用於量子力學和量子化學來近似求解體系基態。

### 變分法應用示例

#### 一維簡諧振子

一維簡諧振子的哈密頓算符為$H=-\frac{\hbar ^2}{2\mu}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{1}{2}\mu\omega ^2x^2$，其中$\hbar$為約化普朗克常數，$\mu$為簡諧振子的重量，$\omega$為簡諧振子的頻率。

選取高斯函數作為試探波函數$\psi \left( x \right) =Ae^{-bx^2}$，其中$b$為常數，由波函數的歸一化$\int_{ - \infty}^{\infty} \psi^*(x)\psi(x)\ dx=1$，可得$A=\left( \frac{2b}{\pi} \right) ^{\frac{1}{2}}$。

哈密頓量為$H=T+V$，其中$T$為動能，$V$為勢能。

$$H=T+V=-\frac{\hbar ^2}{2\mu}\left| A \right|^2\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-bx^2}\frac{d^2}{dx^2}\left( e^{-bx^2} \right) dx}+\frac{1}{2}\mu\omega ^2\left| A \right|^2\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-2bx^2}x^2dx=}\frac{\hbar ^2b}{2\mu}+\frac{\mu\omega ^2}{8b}$$

對於任意$b$，$H$必大於$E_g$，求$H$的極小值，可使$H$對$b$求導為$0$，即

$$\frac{dH}{db}=\frac{\hbar ^2}{2\mu}-\frac{\mu\omega ^2}{8b^2}=0\Rightarrow b=\frac{\mu\omega}{2\hbar}$$

此時，$H_{\min}=\frac{1}{2}\hbar \omega$，而一維簡諧振子的能量為$E=\left( n+\frac{1}{2} \right) \hbar \omega$，採用變分法得到了一維簡諧振子的基態能量。

## 延伸閱讀

- Epstein S T 1974 "The Variation Method in Quantum Chemistry". (New York: Academic)
- Lanczos C, The Variational Principles of Mechanics (Dover Publications)
- Nesbet R K 2003 "Variational Principles and Methods In Theoretical Physics and Chemistry". (New York: Cambridge U.P.)
- Adhikari S K 1998 "Variational Principles for the Numerical Solution of Scattering Problems". (New York: Wiley)
- Gray C G, Karl G and Novikov V A 1996 Ann. Phys. 251 1.

## 外部連結和參考資料

- Stephen Wolfram, A New Kind of Science p. 1052
- Gray, C.G., G. Karl, and V. A. Novikov, " Progress in Classical and Quantum Variational Principles". 11 Dec 2003. physics/0312071 Classical Physics.
- Venables, John, " The Variational Principle and some applications". Dept of Physics and Astronomy, Arizona State University, Tempe, Arizona (Graduate Course: Quantum Physics)
- Williamson, Andrew James, " The Variational Principle -- Quantum monte carlo calculations of electronic excitations". Robinson College, Cambridge, Theory of Condensed Matter Group, Cavendish Laboratory. September 1996. (dissertation of Doctor of Philosophy)
- Tokunaga, Kiyohisa, " Variational Principle for Electromagnetic Field". Total Integral for Electromagnetic Canonical Action, Part Two, Relativistic Canonical Theory of Electromagnetics, Chapter VI