共變和反變

在數學裏，反變（contravariant，也稱逆變）和共變（covariant，也稱協變）描述一個向量（或更廣義來說，張量）的坐標，在向量空間的基底／坐標系轉換之下，會如何改變。

反變和共變在張量場的演算中不可或缺，是了解狹義相對論、廣義相對論必需的數學基礎。

## 轉換方式

### 向量：反變轉換

- 標記法說明：向量 $\mathbf{v}\,\!$ 是向量空間 $V\,\!$ 的元素。向量基底 $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, ... , \mathbf{e}_n\,\!$ 構成了向量空間的一個基底，其座標系統為$x^1, x^2, ... , x^n\,\!$。對應這個基底，向量$\mathbf{v}\,\!$的分量為$v^1, v^2, ..., v^n\,\!$，即$\textstyle \mathbf{v}=\sum_i v^i \mathbf{e}_i$。

（註：$v^2\,\!$ 這符號中的上標$2$不代表平方，而是代表第二個坐標，在較基礎的數學上，常寫作 $v_2\,\!$，但是，在張量分析領域，指標寫作上標或下標牽涉到對張量性質的提示，以及愛因斯坦求和約定。）

向量空間$V$有另一個基底$\bar{\mathbf{e}}_1, ... ,\bar{\mathbf{e}}_n\,\!$，其座標系統為$\bar{x}^1, ... ,\bar{x}^n\,\!$。對應這個基底，$\mathbf{v}\,\!$ 有分量 $\bar{v}^1, \bar{v}^2, ..., \bar{v}^n\,\!$，即$\textstyle \mathbf{v}=\sum_i \bar{v}^i \bar{\mathbf{e}}_i$。

對於1...n之間任意整數 $\mu\,\!$，我們知道 $\bar{v}^{\mu} \,\!$ 和 $v^1, v^2, ..., v^n\,\!$ 的關係：

$\bar v^{\mu} = \frac{ \partial \bar{x}^{\mu} }{ \partial x^1} v^1 + \frac{ \partial \bar{x}^{\mu} }{ \partial x^2} v^2 + ... + \frac{ \partial \bar{x}^{\mu} }{ \partial x^n } v^n \,\!$。

使用愛因斯坦求和約定可寫成：

$\bar{v}^{\mu} = \frac{ \partial \bar{x}^{\mu} }{ \partial x^i} v^i \,\!$。

### 余向量：共變轉換

假設對偶空間$V^*$有兩個基底 ${\mathbf{dx}^1, \mathbf{dx}^2, ... , \mathbf{dx}^n}\,\!$跟$\mathbf{d\bar{x}}^1, \mathbf{d\bar{x}}^2, ..., \mathbf{d\bar{x}}^n\,\!$。

假設$\textstyle\boldsymbol{\omega}\in V^*, \boldsymbol{\omega}=\sum_i \mathbf{\eta}_i\mathbf{dx}^i=\sum_j\bar{\mathbf{\eta}}_jd\bar{\mathbf{x}}^j$。

則對於$1$...$n$之間其中一個特定的整數 $\mu\,\!$，我們知道 $\bar{\mathbf{\eta}}_{\mu}\,\!$ 和 $\mathbf{\eta}_1, \mathbf{\eta}_2, ..., \mathbf{\eta}_n\,\!$ 的關係：

$\bar{\mathbf{\eta}}_{\mu} = \frac{ \partial x^1 }{ \partial \bar{x}^{\mu}} \mathbf{\eta}_1 + \frac{ \partial x^2 }{ \partial \bar{x}^{\mu}} \mathbf{\eta}_2 + ... + \frac{ \partial x^n }{ \partial \bar{x}^{\mu}} \mathbf{\eta}_n \,\!$。

或使用愛因斯坦求和約定寫成：

$\bar{\mathbf{\eta}}_{\mu} = \frac{ \partial x^i }{ \partial \bar{x}^{\mu} } \mathbf{\eta}_{i} \,\!$。

## 向量的共變分量和反變分量

在歐幾里得空間 $V\,\!$ 裏，共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用內積運算從向量求得餘向量；對於所有餘向量 $\mathbf{w}\,\!$，通過下述方程式，向量 $\mathbf{v}\,\!$ 和線性泛函 $\alpha(\mathbf{w})\,\!$，唯一地確定了餘向量 $\mathbf{w}\,\!$：

$\alpha(\mathbf{w}) = \mathbf{v}\cdot \mathbf{w}\,\!$。

逆過來，通過上述方程式，線性泛函 $\alpha(\mathbf{w})\,\!$ 和每一個餘向量，唯一地確定了向量 $\mathbf{v}\,\!$。由於這向量與餘向量的相互辨認，我們可以提到向量的共變分量和反變分量；也就是說，它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。

給予 $V\,\!$ 的一個基底 $\mathfrak{f}=(X_1,X_2,\dots,X_n)\,\!$，則必存在一個唯一的對偶基底 $\mathfrak{f}^{\sharp}=(Y^1,Y^2,\dots,Y^n)\,\!$，滿足

$Y^i \cdot X_j = \delta^i_j\,\!$。

其中，$\delta^i_j\,\!$ 是克羅內克函數。

以這兩種基底，任意向量 $\mathbf{v}\,\!$ 可以寫為兩種形式

$\begin{align} v &= \sum_i v^i[\mathfrak{f}]X_i = \mathfrak{f}\,\mathbf{v}[\mathfrak{f}]\\ &=\sum_i v_i[\mathfrak{f}]Y^i = \mathfrak{f}^\sharp\,\mathbf{v}[\mathfrak{f}^\sharp] \end{align} \,\!$。

其中，$v^i[\mathfrak{f}]\,\!$ 是向量 $\mathbf{v}\,\!$ 對於基底 $\mathfrak{f}\,\!$ 的反變分量，$v_i[\mathfrak{f}]\,\!$ 是向量 $\mathbf{v}\,\!$ 對於基底 $\mathfrak{f}\,\!$ 的共變分量。

### 歐幾里得空間

在歐幾里得空間Ｒ3裏，使用內積運算，能夠從向量求得餘向量。給予一組可能不是標準正交基的基底，其基底向量為 $\mathbf{e}_1\,\!$、$\mathbf{e}_2\,\!$、$\mathbf{e}_3\,\!$，就可以計算其對偶基底的基底向量：

$\mathbf{e}^1 = \frac{\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3}{\tau} ; \qquad \mathbf{e}^2 = \frac{\mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_1}{\tau}; \qquad \mathbf{e}^3 = \frac{\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2}{\tau}\,\!$。

其中，$\tau=\mathbf{e}_1\cdot(\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3)\,\!$ 是三個基底向量 $\mathbf{e}_1\,\!$、$\mathbf{e}_2\,\!$、$\mathbf{e}_3\,\!$ 所形成的平行六面體的體積。

反過來計算。

$\mathbf{e}_1 = \frac{\mathbf{e}^2 \times \mathbf{e}^3}{\tau'} ; \qquad \mathbf{e}_2 = \frac{\mathbf{e}^3 \times \mathbf{e}^1}{\tau'}; \qquad \mathbf{e}_3 = \frac{\mathbf{e}^1 \times \mathbf{e}^2}{\tau'}\,\!$。

其中，$\tau'=\mathbf{e}^1\cdot(\mathbf{e}^2 \times \mathbf{e}^3)=1/\tau\,\!$ 是三個基底向量 $\mathbf{e}^1\,\!$、$\mathbf{e}^2\,\!$、$\mathbf{e}^3\,\!$ 所形成的平行六面體的體積。

雖然 $\mathbf{e}_i\,\!$ 與 $\mathbf{e}^j\,\!$ 並不相互標準正交，它們相互對偶：

$\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}^j = \delta_i^j\,\!$。

這樣。

$a^1 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^1; \qquad a^2 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^2; \qquad a^3 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^3\,\!$。

類似地。

$a_1 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_1; \qquad a_2 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_2; \qquad a_3 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_3\,\!$。

這樣， $\mathbf{a}\,\!$ 可以表達為

$\mathbf{a} = a_i \mathbf{e}^i = a_1 \mathbf{e}^1 + a_2 \mathbf{e}^2 + a_3 \mathbf{e}^3 \,\!$。

或者。

$\mathbf{a} = a^i \mathbf{e}_i = a^1 \mathbf{e}_1 + a^2 \mathbf{e}_2 + a^3 \mathbf{e}_3\,\!$。

綜合上述關係式。

$\mathbf{a} = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_i) \mathbf{e}^i = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^i) \mathbf{e}_i \,\!$。

$a_i = \mathbf{a}\cdot \mathbf{e}_i = (a^j \mathbf{e}_j)\cdot \mathbf{e}_i = (\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_i) a^j=g_{ji}a^j\,\!$。

其中，$g_{ji}=\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_i\,\!$ 是度規張量。

$a^i = \mathbf{a}\cdot \mathbf{e}^i = (a_j \mathbf{e}^j)\cdot \mathbf{e}^i = (\mathbf{e}^j\cdot\mathbf{e}^i) a_j =g^{ji}a_j\,\!$ ;

其中，$g^{ji}=\mathbf{e}^j\cdot\mathbf{e}^i\,\!$ 是共軛度規張量。

共變坐標的標號是下標，反變坐標的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基，或反變基底向量組成的基底是標準正交基，則共變基底與反變基底相互等價。那麼，就沒有必要分辨共變坐標和反變坐標，所有的標號都可以用下標來標記。

## 在相對論上的應用

根據相對性原理，一條物理定律在不同的系統，都應該有相同的「形式」。

狹義相對論討論的是閔可夫斯基空間，它是一種平直空間。