柯西積分定理

柯西積分定理（或稱柯西－古薩定理），是一個關於複平面上全純函數的路徑積分的重要定理。柯西積分定理說明，如果從一點到另一點有兩個不同的路徑，而函數在兩個路徑之間處處是全純的，則函數的兩個路徑積分是相等的。另一個等價的說法是，單連通閉合區域上的全純函數沿著任何可求長閉合曲線的積分是0.

## 定理

設$\Omega$是複平面$\mathbb{C}$的一個單連通的開子集。$f \; : \; \Omega \; \rightarrow \; \mathbb{C}$是一個$\Omega$上的全純函數。設$\gamma$是$\Omega$內的一個分段可求長的簡單閉曲線（即連續而不自交並且能定義長度的閉合曲線），那麼：

$\oint_\gamma f(z)\,dz = 0.$

### 單連通條件的必要性

$\Omega$是單連通表示$\Omega$中沒有「洞」，例如任何一個開圓盤$D=\{ z: |z-z_{0}| < r\}$都符合條件，這個條件是很重要的，考慮中央有「洞」的圓盤：$D_{h}=\{ z: 0<|z-z_{0}| < 2\}$，在其中取逆時針方向的單位圓路徑：

$$\gamma(t) = e^{it} \quad t \in \left[0,2\pi\right)$$

考慮函數$f \; : \; z \; \mapsto \; 1/z$，它在$D_{h}$中是全純函數，但它的路徑積分：

$$\oint_\gamma \frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} { ie^{it} \over e^{it} }\,dt= \int_0^{2\pi}i\,dt = 2\pi i$$

不等於零。這是因為函數$f$在「洞」中有奇點。如果考慮整個圓盤$D_{s}=\{ z: |z-z_{0}| < 2\}$，就會發現$f$在圓盤中央的點上沒有定義，不是全純函數。

### 等價敘述

柯西積分定理有若干個等價的敘述。例如：

設$\Omega$是複平面$\mathbb{C}$的一個開子集。$f \; : \; \Omega \; \rightarrow \; \mathbb{C}$是一個定義在$\Omega$上的函數。設$\gamma_1 \; : \; [0,1] \; \rightarrow \Omega$與$\gamma_2 \; : \; [0,1] \; \rightarrow \Omega$是$\Omega$內的兩條可求長的簡單曲線，它們的起點和終點都重合：

$$\gamma_1 (0) = \gamma_2 (0), \quad \gamma_1 (1) = \gamma_2 (1),$$

並且函數$f$在$\gamma_1$與$\gamma_2$圍成的閉合區域$D$內是全純函數，那麼函數$f$沿這兩條曲線的路徑積分相同：

$$\int_{\gamma_1} f(z)\,dz = \int_{\gamma_2} f(z)\,dz.$$

### 推廣

除了對分段可求長的簡單閉合曲線成立以外，柯西積分定理對於某些更複雜的曲線也適用。設$\Omega$是複平面$\mathbb{C}$的一個開子集。$f \; : \; \Omega \; \rightarrow \; \mathbb{C}$是定義在$\Omega$上的全純函數。無論$\Omega$內的曲線$\gamma$是自交還是卷繞數多於1（圍著某一點轉了不止一圈），只要$\gamma$能夠通過連續形變收縮為$\Omega$內的一點，就有：

$\oint_\gamma f(z)\,dz = 0.$

## 證明

以下的證明對函數有較為嚴格的要求，但對物理學中的應用來說已經足夠。設$\Omega$是複平面$\mathbb{C}$的一個開子集。$f \; : \; \Omega \; \rightarrow \; \mathbb{C}$是定義在$\Omega$上的全純函數，$\gamma$是$\Omega$內的可求長的簡單閉合曲線。假設$f$的一階偏導數也在$\Omega$上連續，那麼可以根據格林定理作出證明。具體如下：

為了便於表達，將函數$f$寫為實部函數和虛部函數：$f(z) = f(x+yi) = u(x,y) +i\, v(x,y).$ 由於$\displaystyle dz=dx+i\,dy$，積分

$$\oint_\gamma f(z)\,dz = \oint_\gamma (u+iv)(dx+i\,dy) = \oint_\gamma (u\,dx-v\,dy) +i\oint_\gamma (v\,dx+u\,dy)$$

依據格林定理，右端的兩個環路積分都可以變形為$\gamma$圍成的區域$D_\gamma$上的面積分。

$$\oint_\gamma (u\,dx-v\,dy) = \iint_{D_\gamma} \left( -\frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial y} \right )\,dx\,dy \; , \qquad \oint_\gamma (v\,dx+u\,dy) = \iint_{D_\gamma} \left( \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y} \right )\,dx\,dy$$

另一方面，由於$f$是全純函數，所以它的實部函數和虛部函數滿足柯西－黎曼方程：

$${ \partial u \over \partial x } = { \partial v \over \partial y } \; , \qquad { \partial u \over \partial y } = -{ \partial v \over \partial x }$$

所以以上的兩個積分中的被積函數都是0。

$$\iint_{D_\gamma} \left( -\frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial y} \right )\,dx\,dy = \iint_{D_\gamma} \left( \frac{\partial u}{\partial y} -\frac{\partial u}{\partial y} \right )\,dx\,dy =0$$

$$\iint_{D_\gamma} \left( \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y} \right )\,dx\,dy = \iint_{D_\gamma} \left( \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial x} \right ) \, dx \, dy = 0$$

因而積分也是0：

$\oint_\gamma f(z)\,dz =0$

## 推論

該定理的一個直接推論，是在單連通域內全純函數的路徑積分可以用類似於微積分基本定理的方法來計算：設$\Omega$是複平面$\mathbb{C}$的一個開子集。$f \; : \; \Omega \; \rightarrow \; \mathbb{C}$是一個$\Omega$上的全純函數。函數$f$在$\Omega$內的路徑積分，只與積分的起點和終點有關，與中間經歷的路徑無關。假設，起點為a，則可以定義一個函數$F \; : \; \Omega \; \rightarrow \; \mathbb{C}$

$$\forall b \in \Omega , \; \; F(b) = \int_{\gamma_a^b} f(z)\,dz = \int_a^b f(z)\,dz$$

其中的$\gamma_a^b$可以是任何以a為起點，b為終點的分段可求長簡單曲線。函數$F$被稱為$f$的（復）原函數或反導數函數。

柯西積分定理與柯西積分公式是等價的。從柯西積分定理可以推導出柯西積分公式和留數定理。