擬群

在數學中，特別是抽象代數裡，擬群是一種類似於群的代數結構。擬群與群的相像之處是也能夠進行除法運算，但擬群中並沒有群所擁有的結合律。有單位元的擬群稱作么擬群或者圈（loop）。

## 定義

擬群的正規定義有兩種，分別帶有一種和三種二元運算。

### 代數

一個擬群 (Q, *) 是一個集合 Q 與一個二元運算 * 的結合（即一個原群），滿足對 Q 中的任意元素 a 和 b，都存在唯一的 Q 中元素 x 和 y，使得：

- $a * x = b$。
- $y * a = b$。

這兩個唯一的元素被記作：x = a \ b 和 y = b / a。其中「\」和 「/」分別表示被二元運算所定義的「左除法」和「右除法」。擬群的公理化需要用到存在量詞，因此也就需要建立在一階邏輯之上。

### 泛代數

擬群的第二個定義是建立在泛代數的背景中。泛代數希望代數結構為簇，也就是說其公理化過程應該只需要到等式的概念。在這樣的要求下，擬群被定義為：

一個擬群 (Q, *, \, /) 是一種 (2,2,2) 代數，其滿足等式:

- y = x * (x \ y)。
- y = x \ (x * y)。
- y = (y / x) * x。
- y = (y * x) / x。

因此如果 (Q, *) 是依據第一種定義的擬群，那麼 (Q, *, \, /) 則是其在泛代數範疇內對應的概念。

## 圈

一個有單位元的擬群稱為一個么擬群或一個圈。這裡的單位元是指 Q 中元素 e 使得：

- x*e = x = e*x。

可以證明單位元 e 是唯一的，並且這時每一個 Q 中元素都有唯一的一個左逆元和右逆元。

## 例子

- 每個群都是圈，因為 a
- x = b 若且唯若 x = a−1
- b，以及y
- a = b 若且唯若 y = b
- a−1。
- 整數集合 Z 以及其上的減法 (−) 構成擬群（但不構成半群）。
- 所有非零的有理數的集合 Q* （或者所有非零實數構成的 R*）以及其上的除法 (÷) 構成一個擬群。
- 所有特徵不為2的域上的向量空間以及其上的二元運算 x * y = (x + y) / 2 構成了一個冪等的交換的擬群。
- 每個斯坦納三元系統都定義了一個冪等交換的擬群：其運算為將 a * b 對應到包含 a 和 b 的三元數組的第三個元。
- 集合{±1, ±i, ±j, ±k}，其中ii = jj = kk = 1 並且其他運算同於四元群，構成了非結合的8元圈。
- 非零八元數以及其上的乘法構成了一個圈，稱為Moufang圈.
- 一般來說，一個可除代數上的所有非零元構成一個擬群。

## 性質

擬群具有可消去性：如果 ab = ac，那麼 b = c。同樣地，如果 ba = ca，那麼 b = c。

### 左乘與右乘

擬群 Q 的定義說明擬群中的左乘變換和右乘變換：

$$L(x)y = xy\,$$

$$R(x)y = yx\,$$

都是 Q 到自身的雙射。原群 Q 是擬群若且唯若這兩個變換是雙射變換，而且它們的逆變換給出了右除和左除變換：

$$L(x)^{-1}y = x\backslash y\,$$

$$R(x)^{-1}y = y/x\,$$

在這種標記下，擬群寫作：

$$\begin{align} L(x)L(x)^{-1} &= 1\qquad& x(x\backslash y) &= y\\ L(x)^{-1}L(x) &= 1\qquad& x\backslash(xy) &= y\\ R(x)R(x)^{-1} &= 1\qquad& (y/x)x &= y\\ R(x)^{-1}R(x) &= 1\qquad& (yx)/x &= y \end{align}$$

### 拉丁方

一個有限擬群的乘法構成的乘法表是一個拉丁方：一個 n × n 的表格，每行每列都是 n 個不同的元素的排列，並且每個元素恰好出現在每一行和每一列各一次。

反之，每個拉丁方都可以以多種方式成為一個擬群的乘法表。

### 逆的性質

對於每個圈，圈中的每個元素都有左逆和右逆：

$$x^{\lambda} = e/x \qquad x^{\lambda}x = e$$

$$x^{\rho} = x\backslash e \qquad xx^{\rho} = e$$

稱一個圈是雙邊可逆的，如果對圈所有的 x，$x^{\lambda} = x^{\rho}$。這時的擬元素一般簡記為 $x^{-1}$。

- 一個圈有 左可逆性質，如果對所有的 $x$ 和 $y$ 都有 $x^{\lambda}(xy) = y$。同樣地，$L(x)^{-1} = L(x^{\lambda})$ 或者 $x\backslash y = x^{\lambda}y$。
- 一個圈有 右可逆性質，如果對所有的 $x$ 和 $y$ 都有 $(yx)x^{\rho} = y$。同樣地，$R(x)^{-1} = R(x^{\rho})$ 或者 $y/x = yx^{\rho}$。
- 一個圈有 反自同構逆性質，如果 $(xy)^{\lambda} = y^{\lambda}x^{\lambda}$ 或者 $(xy)^{\rho} = y^{\rho}x^{\rho}$。
- 一個圈有 弱可逆性質，如果 $(xy)z = e$ 若且唯若 $x(yz) = e$。一個等價的敘述是對所有的 $x$ 和 $y$ 都有 $(xy)^{\lambda}x = y^{\lambda}$ 或者 $x(yx)^{\rho} = y^{\rho}$。

如果一個圈同時具有左可逆和右可逆性質，則稱其有 可逆性質。可逆的圈同時也擁有反自同構逆性質和弱可逆性質。實際上，滿足以上四個性質中任意兩個的圈都是可逆的，而滿足前三個性質之一的圈都是雙邊可逆的。

## 態射

一個擬群或圈同態是兩個擬群（圈）之間的映射：f : Q → P 滿足 f(xy) = f(x)f(y)。擬群同態保持了左右除法以及單位元（如果有的話）。

### 同倫與同痕

設 Q 和 P 為擬群，一個從 Q 到 P 的 擬群同倫 是一個從 Q 到 P 的映射三元組(α, β, γ) 使得對 Q 中所有的 x, y，有

$$\alpha(x)\beta(y) = \gamma(xy)\,$$

三個映射都相同時，就是一個擬群同態。

一個同痕是使得 (α, β, γ) 中所有的三個映射都是雙射的擬群同倫。兩個擬群是同痕的若且唯若它們之間存在同痕映射。

在拉丁方中，三元組 (α, β, γ) 由第 α 和第 β 列的一個置換以及其餘集合上的一個置換 γ 給出。

一個自同痕是從 Q 射到自身的同痕。一個擬群的所有自同痕構成一個群。

每個擬群都與某個圈同痕。如果一個圈與某個群同痕，那麼它與此群同構，因此也為一個群。但是，如果一個擬群與某個群同痕，由於缺乏單位元，擬群本身不一定是群。比如說，實數集合 R 與其上的運算(x+y)/2 構成的擬群同痕於 R 上的加法群，但它本身不是群。

## 參考來源

- Akivis, M. A., and Goldberg, Vladislav V. (2001) "Solution of Belousov's problem," Discussiones Mathematicae. General Algebra and Applications 21: 93–103.
- Bruck, R.H. (1958) A Survey of Binary Systems. Springer-Verlag.
- Chein, O., H. O. Pflugfelder, and J. D. H. Smith, eds. (1990) Quasigroups and Loops: Theory and Applications. Berlin: Heldermann. ISBN 3-88538-008-0.
- Pflugfelder, H.O. (1990) Quasigroups and Loops: Introduction. Berlin: Heldermann. ISBN 3-88538-007-2.
- Smith, J.D.H. (2007) An Introduction to Quasigroups and their Representations. Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-537-8.
- -------- and Anna B. Romanowska (1999) Post-Modern Algebra. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-12738-8.