彎曲時空中的麥克斯韋方程組

物理學中，彎曲時空中的麥克斯韋方程組（Maxwell's equations in curved spacetime）制約著彎曲時空（其間的度規可能不是閔可夫斯基性的）中的電磁場的動力學。它們可以被認為是真空中的麥克斯韋方程組在廣義相對論框架中的擴展，而真空中的麥克斯韋方程組只是一般化的麥克斯韋方程組在局部平直時空中的特殊形式。但由於在廣義相對論中電磁場本身的存在也會引起時空的彎曲，因此真空中的麥克斯韋方程組應被理解為一種出於方便的近似形式。

然而，這種形式的麥克斯韋方程組僅僅對真空情形下的麥克斯韋方程組有用，這也被稱作「微觀」麥克斯韋方程組。對於宏觀上與各向異性的物質相關的麥克斯韋方程組，物質的存在會建立一個參考系從而使方程組不再是協變的。

閱讀本條目需要讀者了解平直時空中電磁理論的四維形式。

電磁場本身要求其幾何描述與坐標選取無關，而麥克斯韋方程組在任何時空中的幾何描述都是一樣的，而不管這個時空是否是平直的。同時，當使用非笛卡爾的局部坐標時平直閔可夫斯基空間中的方程組會做同樣的修改。例如本條目中方程組可以寫成球坐標中的麥克斯韋方程組的形式。基於上述原因，更好的理解方法是將閔可夫斯基空間中的麥克斯韋方程組理解為一種特殊形式，而非將彎曲時空中的麥克斯韋方程組理解為一種相對論化的推廣。

## 摘要

廣義相對論中真空中的電磁理論的方程為

$$F_{\alpha \beta} \, = \, \partial_{\alpha} A_{\beta} \, - \, \partial_{\beta} A_{\alpha} \,$$

$$\mathcal{D}^{\mu\nu} \, = \, \frac{1}{\mu_{0}} \, g^{\mu\alpha} \, F_{\alpha\beta} \, g^{\beta\nu} \, \sqrt{-g} \,$$

$$J^{\mu} \, = \, \partial_\nu \mathcal{D}^{\mu \nu} \,$$

$$f_\mu \, = \, F_{\mu\nu} \, J^\nu \,$$

其中$g^{\alpha\beta}\,$是度規張量$g_{\alpha\beta}\,$的倒數，而$g\,$是度規張量的行列式，$A_{\alpha}\,$是電磁場的四維勢，$F^{\alpha\beta}\,$是電磁場的四維協變張量，$D^{\mu\nu}\,$是位移電流張量，$f_{\mu}\,$是洛倫茲力的密度，$J_{\mu}\,$是四維電流密度。儘管方程組中使用了偏導數，這些方程仍然在任意曲面坐標變換下是協變的。也就是說如果將偏導數換成協變導數，引入的附加項會自動消去從而保持形式不變。

## 電磁四維勢

電磁場的四維勢$A_{\alpha} \,,$是一個協變矢量，它的坐標變換規則為

$$\bar{A}_{\beta} = \frac{\partial x^{\gamma}}{\partial \bar{x}^{\beta}} A_{\gamma} \,.$$

## 電磁場四維張量

電磁場是一個協變的二階反對稱張量，它用電磁勢可以定義為

$$F_{\alpha \beta} \, = \, \partial_{\alpha} A_{\beta} \, - \, \partial_{\beta} A_{\alpha} \,.$$

為證明它的洛倫茲不變性，我們對其進行坐標變換

$$\bar{F}_{\alpha \beta} \, = \, \frac{\partial \bar{A}_{\beta}}{\partial \bar{x}^{\alpha}} \, - \, \frac{\partial \bar{A}_{\alpha}}{\partial \bar{x}^{\beta}} \,$$

$$= \, \frac{\partial}{\partial \bar{x}^{\alpha}} \left( \frac{\partial x^{\gamma}}{\partial \bar{x}^{\beta}} A_{\gamma} \right) \, - \, \frac{\partial}{\partial \bar{x}^{\beta}} \left( \frac{\partial x^{\delta}}{\partial \bar{x}^{\alpha}} A_{\delta} \right) \,$$

$$= \, \frac{\partial^2 x^{\gamma}}{\partial \bar{x}^{\alpha} \, \partial \bar{x}^{\beta}} A_{\gamma} \, + \, \frac{\partial x^{\gamma}}{\partial \bar{x}^{\beta}} \frac{\partial A_{\gamma}}{\partial \bar{x}^{\alpha}} \, - \, \frac{\partial^2 x^{\delta}}{\partial \bar{x}^{\beta} \, \partial \bar{x}^{\alpha}} A_{\delta} \, - \, \frac{\partial x^{\delta}}{\partial \bar{x}^{\alpha}} \frac{\partial A_{\delta}}{\partial \bar{x}^{\beta}} \,$$

$$= \, \frac{\partial x^{\gamma}}{\partial \bar{x}^{\beta}} \frac{\partial x^{\delta}}{\partial \bar{x}^{\alpha}} \frac{\partial A_{\gamma}}{\partial x^{\delta}} \, - \, \frac{\partial x^{\delta}}{\partial \bar{x}^{\alpha}} \frac{\partial x^{\gamma}}{\partial \bar{x}^{\beta}} \frac{\partial A_{\delta}}{\partial x^{\gamma}} \,$$

$$= \, \frac{\partial x^{\delta}}{\partial \bar{x}^{\alpha}} \frac{\partial x^{\gamma}}{\partial \bar{x}^{\beta}} \, \left( \frac{\partial A_{\gamma}}{\partial x^{\delta}} \, - \, \frac{\partial A_{\delta}}{\partial x^{\gamma}} \right) \,$$

$$= \, \frac{\partial x^{\delta}}{\partial \bar{x}^{\alpha}} \frac{\partial x^{\gamma}}{\partial \bar{x}^{\beta}} \, F_{\delta \gamma} \,.$$

這一定義暗示了電磁場張量滿足關係

$$\partial_\lambda F_{\mu \nu} + \partial _\mu F_{\nu \lambda} + \partial_\nu F_{\lambda \mu} = 0 \,$$

這一關係包含了法拉第電磁感應定律和磁場的高斯定理，因此也叫做法拉第-高斯方程。具體而言。

$$\partial_\lambda F_{\mu \nu} + \partial _\mu F_{\nu \lambda} + \partial_\nu F_{\lambda \mu} \,$$

$$= \, \partial_\lambda \partial_\mu A_\nu - \partial_\lambda \partial_\nu A_\mu + \partial_\mu \partial_\nu A_\lambda - \partial_\mu \partial_\lambda A_\nu + \partial_\nu \partial_\lambda A_\mu - \partial_\nu \partial_\mu A_\lambda \, = 0 \,.$$

雖然這個關係包含了64個分量方程，但只有四個是獨立的。藉助電磁場張量的反對稱性，可知只有$\lambda, \mu, \nu\,$等於1,2,3或2,3,0或3,0,1或0,1,2時的方程是彼此獨立的。

法拉第-高斯方程有時也寫作下面的形式

$$F_{[\mu \nu ; \lambda]} \, = \, F_{[\mu \nu , \lambda]} \, = \, \frac{1}{6} \left( \partial_\lambda F_{\mu \nu} + \partial _\mu F_{\nu \lambda} + \partial_\nu F_{\lambda \mu} - \partial_\lambda F_{\nu \mu} - \partial _\mu F_{\lambda \nu} - \partial_\nu F_{\mu \lambda} \right) \,$$

$$= \, \frac{1}{3} \left( \partial_\lambda F_{\mu \nu} + \partial _\mu F_{\nu \lambda} + \partial_\nu F_{\lambda \mu} \right) = 0 \,$$

其中按照慣例用分號表示協變導數，逗號表示偏導數，方括號表示反對稱形式。電磁場張量的協變導數為

$$F_{\alpha \beta ; \gamma} \, = \, F_{\alpha \beta , \gamma} - {\Gamma^{\mu}}_{\alpha \gamma} F_{\mu \beta} - {\Gamma^{\mu}}_{\beta \gamma} F_{\alpha \mu} \,$$

其中$\Gamma^{\alpha}_{\beta\gamma}\,$是克里斯托費爾符號，兩個下標是對稱的。

## 電磁位移張量

位移電場$\mathbf{D} \,,$和附屬磁場$\mathbf{H} \,,$構成一個反對稱的逆變二階張量。真空中這個張量為

$$\mathcal{D}^{\mu \nu} \, = \, \frac{1}{\mu_{0}} \, g^{\mu \alpha} \, F_{\alpha \beta} \, g^{\beta \nu} \, \sqrt{-g} \,.$$

注意這個方程是電磁理論中唯一有度規（即引力）存在的方程。並且這一方程具有尺度不變性，即將度規乘以一個常數不會改變方程的形式。也就是說，引力只能通過改變全局坐標中的光速來影響相應的電磁場，由於光在引力場中會發生偏折，其效應等同於質量的引力場增加了周圍時空的折射率，從而影響了對應的位移電場和附屬磁場。

更一般地，當物質中的磁化-極化張量不為零時，我們有

$$\mathcal{D}^{\mu \nu} \, = \, \frac{1}{\mu_{0}} \, g^{\mu \alpha} \, F_{\alpha \beta} \, g^{\beta \nu} \, \sqrt{-g} \, - \, \mathcal{M}^{\mu \nu} \,.$$

電磁位移張量的坐標變換規則為

$$\bar{\mathcal{D}}^{\mu \nu} \, = \, \frac{\partial \bar{x}^{\mu}}{\partial x^{\alpha}} \, \frac{\partial \bar{x}^{\nu}}{\partial x^{\beta}} \, \mathcal{D}^{\alpha \beta} \, \det \left[ \frac{\partial x^{\sigma}}{\partial \bar{x}^{\rho}} \right] \,$$

其中使用了雅可比行列式。如果磁化-極化張量存在，它和電磁位移張量具有同樣的變換規則。

## 電流

電磁位移張量的散度被定義為電流，在真空中

$$J^{\mu} \, = \, \partial_{\nu} \mathcal{D}^{\mu \nu} \,.$$

如果磁化-極化張量存在，則上式替換為

$$J^{\mu}_{\text{free}} \, = \, \partial_{\nu} \mathcal{D}^{\mu \nu} \,.$$

這一方程包含了高斯定理和安培環路定理。

無論磁化-極化張量是否存在，電磁位移張量是反對稱的這一事實暗示了電流是一個守恆量：

$$\partial_{\mu} J^{\mu} \, = \, \partial_{\mu} \partial_{\nu} \mathcal{D}^{\mu \nu} = 0 \,$$

這個二階偏導數為零是由於偏導是對易的。

電流的安培-高斯定義並不能決定它的大小，因為電磁四維勢的大小並未確定。相反地，通常的步驟是使電流等於一個用其他場表示的表達式（主要是電荷），然後解得電磁位移、電磁場和電磁勢。

電流是一個逆變的矢量，因而其變換規則是

$$\bar{J}^{\mu} \, = \, \frac{\partial \bar{x}^{\mu}}{\partial x^{\alpha}} \, J^{\alpha} \, \det \left[ \frac{\partial x^{\sigma}}{\partial \bar{x}^{\rho}} \right] \,.$$

變換規則的驗證如下：

$$\bar{J}^{\mu} \, = \, \frac{\partial}{\partial \bar{x}^{\nu}} \left( \bar{\mathcal{D}}^{\mu \nu} \right) \, = \, \frac{\partial}{\partial \bar{x}^{\nu}} \left( \frac{\partial \bar{x}^{\mu}}{\partial x^{\alpha}} \, \frac{\partial \bar{x}^{\nu}}{\partial x^{\beta}} \, \mathcal{D}^{\alpha \beta} \, \det \left[ \frac{\partial x^{\sigma}}{\partial \bar{x}^{\rho}} \right] \right) \,$$

$$= \, \frac{\partial^2 \bar{x}^{\mu}}{\partial \bar{x}^{\nu} \partial x^{\alpha}} \, \frac{\partial \bar{x}^{\nu}}{\partial x^{\beta}} \, \mathcal{D}^{\alpha \beta} \, \det \left[ \frac{\partial x^{\sigma}}{\partial \bar{x}^{\rho}} \right] \, + \, \frac{\partial \bar{x}^{\mu}}{\partial x^{\alpha}} \, \frac{\partial^2 \bar{x}^{\nu}}{\partial \bar{x}^{\nu} \partial x^{\beta}} \, \mathcal{D}^{\alpha \beta} \, \det \left[ \frac{\partial x^{\sigma}}{\partial \bar{x}^{\rho}} \right] \, + \,$$

$$\frac{\partial \bar{x}^{\mu}}{\partial x^{\alpha}} \, \frac{\partial \bar{x}^{\nu}}{\partial x^{\beta}} \, \frac{\partial \mathcal{D}^{\alpha \beta}}{\partial \bar{x}^{\nu}} \, \det \left[ \frac{\partial x^{\sigma}}{\partial \bar{x}^{\rho}} \right] \, + \, \frac{\partial \bar{x}^{\mu}}{\partial x^{\alpha}} \, \frac{\partial \bar{x}^{\nu}}{\partial x^{\beta}} \, \mathcal{D}^{\alpha \beta} \, \frac{\partial}{\partial \bar{x}^{\nu}} \det \left[ \frac{\partial x^{\sigma}}{\partial \bar{x}^{\rho}} \right] \,$$

$$= \, \frac{\partial^2 \bar{x}^{\mu}}{\partial x^{\beta} \partial x^{\alpha}} \, \mathcal{D}^{\alpha \beta} \, \det \left[ \frac{\partial x^{\sigma}}{\partial \bar{x}^{\rho}} \right] \, + \, \frac{\partial \bar{x}^{\mu}}{\partial x^{\alpha}} \, \frac{\partial^2 \bar{x}^{\nu}}{\partial \bar{x}^{\nu} \partial x^{\beta}} \, \mathcal{D}^{\alpha \beta} \, \det \left[ \frac{\partial x^{\sigma}}{\partial \bar{x}^{\rho}} \right] \, + \,$$

$$\frac{\partial \bar{x}^{\mu}}{\partial x^{\alpha}} \, \frac{\partial \mathcal{D}^{\alpha \beta}}{\partial x^{\beta}} \, \det \left[ \frac{\partial x^{\sigma}}{\partial \bar{x}^{\rho}} \right] \, + \, \frac{\partial \bar{x}^{\mu}}{\partial x^{\alpha}} \, \frac{\partial \bar{x}^{\nu}}{\partial x^{\beta}} \, \mathcal{D}^{\alpha \beta} \, \det \left[ \frac{\partial x^{\sigma}}{\partial \bar{x}^{\rho}} \right] \frac{\partial \bar{x}^{\rho}}{\partial x^{\sigma}} \frac{\partial^2 x^{\sigma}}{\partial \bar{x}^{\nu} \partial \bar{x}^{\rho}} \,$$

$$= \, 0 \, + \, \frac{\partial \bar{x}^{\mu}}{\partial x^{\alpha}} \, \frac{\partial^2 \bar{x}^{\nu}}{\partial \bar{x}^{\nu} \partial x^{\beta}} \, \mathcal{D}^{\alpha \beta} \, \det \left[ \frac{\partial x^{\sigma}}{\partial \bar{x}^{\rho}} \right] \, + \,$$

$$\frac{\partial \bar{x}^{\mu}}{\partial x^{\alpha}} \, J^{\alpha} \, \det \left[ \frac{\partial x^{\sigma}}{\partial \bar{x}^{\rho}} \right] \, + \, \frac{\partial \bar{x}^{\mu}}{\partial x^{\alpha}} \, \mathcal{D}^{\alpha \beta} \, \det \left[ \frac{\partial x^{\sigma}}{\partial \bar{x}^{\rho}} \right] \frac{\partial \bar{x}^{\rho}}{\partial x^{\sigma}} \frac{\partial^2 x^{\sigma}}{\partial x^{\beta} \partial \bar{x}^{\rho}} \,$$

$$= \, \frac{\partial \bar{x}^{\mu}}{\partial x^{\alpha}} \, J^{\alpha} \, \det \left[ \frac{\partial x^{\sigma}}{\partial \bar{x}^{\rho}} \right] \, + \, \frac{\partial \bar{x}^{\mu}}{\partial x^{\alpha}} \, \mathcal{D}^{\alpha \beta} \, \det \left[ \frac{\partial x^{\sigma}}{\partial \bar{x}^{\rho}} \right] \left( \frac{\partial^2 \bar{x}^{\nu}}{\partial \bar{x}^{\nu} \partial x^{\beta}} \, + \, \frac{\partial \bar{x}^{\rho}}{\partial x^{\sigma}} \frac{\partial^2 x^{\sigma}}{\partial x^{\beta} \partial \bar{x}^{\rho}} \right) \,.$$

下面只需證明

$$\frac{\partial^2 \bar{x}^{\nu}}{\partial \bar{x}^{\nu} \partial x^{\beta}} \, + \, \frac{\partial \bar{x}^{\rho}}{\partial x^{\sigma}} \frac{\partial^2 x^{\sigma}}{\partial x^{\beta} \partial \bar{x}^{\rho}} \, = \, 0 \,$$

這是微分學中一條已知定理的應用：

$$\frac{\partial^2 \bar{x}^{\nu}}{\partial \bar{x}^{\nu} \partial x^{\beta}} \, + \, \frac{\partial \bar{x}^{\rho}}{\partial x^{\sigma}} \frac{\partial^2 x^{\sigma}}{\partial x^{\beta} \partial \bar{x}^{\rho}} \, = \, \frac{\partial x^{\sigma}}{\partial \bar{x}^{\nu}} \frac{\partial^2 \bar{x}^{\nu}}{\partial x^{\sigma} \partial x^{\beta}} \, + \, \frac{\partial \bar{x}^{\nu}}{\partial x^{\sigma}} \frac{\partial^2 x^{\sigma}}{\partial x^{\beta} \partial \bar{x}^{\nu}} \,$$

$$= \, \frac{\partial x^{\sigma}}{\partial \bar{x}^{\nu}} \frac{\partial^2 \bar{x}^{\nu}}{\partial x^{\beta} \partial x^{\sigma}} \, + \, \frac{\partial^2 x^{\sigma}}{\partial x^{\beta} \partial \bar{x}^{\nu}} \frac{\partial \bar{x}^{\nu}}{\partial x^{\sigma}} \, = \, \frac{\partial}{\partial x^{\beta}} \left( \frac{\partial x^{\sigma}}{\partial \bar{x}^{\nu}} \, \frac{\partial \bar{x}^{\nu}}{\partial x^{\sigma}} \right) \,$$

$$= \, \frac{\partial}{\partial x^{\beta}} \left( \, \frac{\partial \bar{x}^{\nu}}{\partial \bar{x}^{\nu}} \right) \, = \, \frac{\partial}{\partial x^{\beta}} \left( \mathbf{4} \right) \, = \, 0 \,.$$

## 洛倫茲力

洛倫茲力的密度是一個協變矢量：

$$f_{\mu} \, = \, F_{\mu \nu} \, J^{\nu} \,.$$

如果在一個測試粒子上的作用力只有引力和電磁力，則有

$$\frac{d p_{\alpha}}{d t} \, = \, \Gamma^{\beta}_{\alpha \gamma} \, p_{\beta} \, \frac{d x^{\gamma}}{d t} \, + \, q \, F_{\alpha \gamma} \, \frac{d x^{\gamma}}{d t} \,$$

其中$p^{\alpha}\,$是粒子的四維動量，$t\,$是將粒子世界線參數化的任意時間坐標。式中第一項含有克里斯托費爾符號，表示引力項，第二項含有電荷，表示電磁力項。

方程具有洛倫茲不變性，對時間坐標變換的驗證方法為將方程乘以$\frac{d t}{d \bar{t}} \,$並使用鏈式法則。

對空間坐標變換，通過對克里斯托費爾符號進行坐標變換

$$\bar{\Gamma}^{\beta}_{\alpha \gamma} \, = \, \frac{\partial \bar{x}^{\beta}}{\partial x^{\epsilon}} \, \frac{\partial x^{\delta}}{\partial \bar{x}^{\alpha}} \, \frac{\partial x^{\zeta}}{\partial \bar{x}^{\gamma}} \, \Gamma^{\epsilon}_{\delta \zeta} \, + \frac{\partial \bar{x}^{\beta}}{\partial x^{\eta}}\, \frac{\partial^2 x^{\eta}}{\partial \bar{x}^{\alpha} \partial \bar{x}^{\gamma}} \,$$

我們得到

$$\frac{d \bar{p}_{\alpha}}{d t} \, - \, \bar{\Gamma}^{\beta}_{\alpha \gamma} \, \bar{p}_{\beta} \, \frac{d \bar{x}^{\gamma}}{d t} \, - \, q \, \bar{F}_{\alpha \gamma} \, \frac{d \bar{x}^{\gamma}}{d t} \,$$

$$= \, \frac{d}{d t} \left( \frac{\partial x^{\delta}}{\partial \bar{x}^{\alpha}} \, p_{\delta} \right) \, - \, \left( \frac{\partial \bar{x}^{\beta}}{\partial x^{\theta}} \, \frac{\partial x^{\delta}}{\partial \bar{x}^{\alpha}} \, \frac{\partial x^{\iota}}{\partial \bar{x}^{\gamma}} \, \Gamma^{\theta}_{\delta \iota} \, + \, \frac{\partial \bar{x}^{\beta}}{\partial x^{\eta}}\, \frac{\partial^2 x^{\eta}}{\partial \bar{x}^{\alpha} \partial \bar{x}^{\gamma}} \right) \, \frac{\partial x^{\epsilon}}{\partial \bar{x}^{\beta}} \, p_{\epsilon} \, \frac{\partial \bar{x}^{\gamma}}{\partial x^{\zeta}} \, \frac{d x^{\zeta}}{d t} \, - \, q \, \frac{\partial x^{\delta}}{\partial \bar{x}^{\alpha}} \, F_{\delta \zeta} \, \frac{d x^{\zeta}}{d t} \,$$

$$= \, \frac{\partial x^{\delta}}{\partial \bar{x}^{\alpha}} \, \left( \frac{d p_{\delta}}{d t} \, - \, \Gamma^{\epsilon}_{\delta \zeta} \, p_{\epsilon} \, \frac{d x^{\zeta}}{d t} \, - \, q \, F_{\delta \zeta} \, \frac{d x^{\zeta}}{d t} \right) \, + \,$$

$$\frac{d}{d t} \left( \frac{\partial x^{\delta}}{\partial \bar{x}^{\alpha}} \right) \, p_{\delta} \, - \, \left( \frac{\partial \bar{x}^{\beta}}{\partial x^{\eta}}\, \frac{\partial^2 x^{\eta}}{\partial \bar{x}^{\alpha} \partial \bar{x}^{\gamma}} \right) \, \frac{\partial x^{\epsilon}}{\partial \bar{x}^{\beta}} \, p_{\epsilon} \, \frac{\partial \bar{x}^{\gamma}}{\partial x^{\zeta}} \, \frac{d x^{\zeta}}{d t} \,$$

$$= \, 0 \, + \, \frac{d}{d t} \left( \frac{\partial x^{\delta}}{\partial \bar{x}^{\alpha}} \right) \, p_{\delta} \, - \, \frac{\partial^2 x^{\epsilon}}{\partial \bar{x}^{\alpha} \partial \bar{x}^{\gamma}} p_{\epsilon} \, \frac{d \bar{x}^{\gamma}}{d t} \, = \, 0 \,$$

## 拉格朗日量

在真空中經典電磁場的拉格朗日量（在密度意義下的單位為焦耳/米3）是一個標量：

$$\mathcal{L} \, = \, - \frac{1}{4 \mu_0} \, F_{\alpha \beta} \, F^{\alpha \beta} \, \sqrt{- g} \, + \, A_{\alpha} \, J^{\alpha} \,$$

其中$F^{\alpha \beta} = g^{\alpha \gamma} F_{\gamma \delta} g^{\delta \beta} \,.$。這裡的四維電流項應理解為各種對電流有貢獻的場的總和。

如果我們將自由電流與束縛電流分離開來，拉格朗日量則變為

$$\mathcal{L} \, = \, - \frac{1}{4 \mu_0} \, F_{\alpha \beta} \, F^{\alpha \beta} \, \sqrt{- g} \, + \,A_{\alpha} \, J^{\alpha}_{\text{free}} \, + \, \frac12 \, F_{\alpha \beta} \, \mathcal{M}^{\alpha \beta} \,.$$

## 電磁應力-能量張量

作為愛因斯坦引力場方程的源，電磁場的應力-能量張量是一個協變的對稱張量

$$T_{\mu \nu} \, = \, - \frac{1}{\mu_0} ( F_{\mu \alpha} g^{\alpha \beta} F_{\beta \nu} \, - \, \frac{1}{4} g_{\mu \nu} \, F_{\sigma \alpha} g^{\alpha \beta} F_{\beta \rho} g^{\rho \sigma} ) \,$$

並且它是無跡的

$$T_{\mu \nu} g^{\mu \nu} \, = \, 0 \,$$

這是由於電磁場的傳播速度在不同參考系下是不變的。

為了表達能量和動量的守恆律，電磁應力-能量張量的最佳表示方法是

$$\mathfrak{T}_{\mu}^{\nu} = T_{\mu \gamma} \, g^{\gamma \nu} \, \sqrt{-g}.$$

對於上式可以證明

$${\mathfrak{T}_{\mu}^{\nu}}_{; \nu} \, + \, f_{\mu} \, = \, 0 \,$$

並可重寫為

$$- {\mathfrak{T}_{\mu}^{\nu}}_{, \nu} \, = \, - \Gamma^{\sigma}_{\mu \nu} \mathfrak{T}_{\sigma}^{\nu} \, + \, f_{\mu} \,$$

這個方程的意義是，電磁場能量的減少相當於電磁場對引力場以及通過洛倫茲力對物質所做的功，類似地，電磁場動量的減少率相當於作用在引力場上的電磁力以及作用在物質上的洛倫茲力。

守恆律的推導過程為

$${\mathfrak{T}_{\mu}^{\nu}}_{; \nu} \, + \, f_{\mu} \, = \, - \frac{1}{\mu_0} ( F_{\mu \alpha ; \nu} g^{\alpha \beta} F_{\beta \gamma} g^{\gamma \nu} \, + \, F_{\mu \alpha} g^{\alpha \beta} F_{\beta \gamma ; \nu} g^{\gamma \nu} \, - \, \frac12 \delta_{\mu}^{\nu} \, F_{\sigma \alpha ; \nu} g^{\alpha \beta} F_{\beta \rho} g^{\rho \sigma} ) \sqrt{- g} \, + \,$$

$$\frac{1}{\mu_{0}} \, F_{\mu \alpha} \, g^{\alpha \beta} \, F_{\beta \gamma ; \nu} \, g^{\gamma \nu} \, \sqrt{-g} \,$$

$$= \, - \frac{1}{\mu_0} ( F_{\mu \alpha ; \nu} F^{\alpha \nu} \, - \, \frac12 F_{\sigma \alpha ; \mu} F^{\alpha \sigma} ) \sqrt{- g} \,$$

$$= \, - \frac{1}{\mu_0} ( (- F_{\nu \mu ; \alpha} - F_{\alpha \nu ; \mu}) F^{\alpha \nu} \, - \, \frac12 F_{\sigma \alpha ; \mu} F^{\alpha \sigma} ) \sqrt{- g} \,$$

$$= \, - \frac{1}{\mu_0} ( F_{\mu \nu ; \alpha} F^{\alpha \nu} - F_{\alpha \nu ; \mu} F^{\alpha \nu} \, + \, \frac12 F_{\sigma \alpha ; \mu} F^{\sigma \alpha} ) \sqrt{- g} \,$$

$$= \, - \frac{1}{\mu_0} ( F_{\mu \alpha ; \nu} F^{\nu \alpha} - \frac12 F_{\alpha \nu ; \mu} F^{\alpha \nu} ) \sqrt{- g} \,$$

$$= \, - \frac{1}{\mu_0} (- F_{\mu \alpha ; \nu} F^{\alpha \nu} \, + \, \frac12 F_{\sigma \alpha ; \mu} F^{\alpha \sigma} ) \sqrt{- g} \,$$

所得的結果是為零的，因為它等於自身的負值（對照推導的第二步）。

## 電磁波方程

從電磁理論的狹義相對論形式可以藉助電磁場張量修改得到非齊次的電磁波方程

$$\Box F_{ab} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ F_{ab;}{}^d{}_d = \, -2 R_{acbd} F^{cd} + R_{ae}F^e{}_b - R_{be}F^e{}_a + J_{a;b} - J_{b;a}$$

其中

$$R_{acbd} \,$$

是黎曼張量的協變形式，而$\Box \,$是達朗貝爾算符在協變導數情形下的推廣。

波方程可以寫成四維勢的形式（參見ref 2, p. 569）

$$\Box A^{a} = {{A^{a; }}^{b}}_{ b} = - \mu_0 J^{ a } + {R^{ a }}_{ b } A^{ b }$$

其中

$${R^{ a }}_{ b } \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ {R^{ s }}_{ a s b }$$

是里奇張量。而這裡假設了洛倫茨規範在彎曲時空中的推廣具有下面的形式

$${A^{ a }}_{ ; a } = 0$$

這個波方程與平直時空中的波方程具有十分類似的形式，除了導數被替換為協變導數，以及在表示源的項中多了一項描述時空曲率的項。這個方程和彎曲時空中的洛倫茲力也有相似之處，這裡的四維勢${A^{ a }} \,$相當於洛倫茲力中的四維坐標。

## 麥克斯韋方程組在動態時空中的非線性

在考慮麥克斯韋方程組本身與背景時空無關時，時空度規在廣義相對論中被認為是受電磁場影響的動態變化的變量，這導致了電磁波方程和麥克斯韋方程組是非線性的。這一點可以從愛因斯坦場方程中的曲率張量依賴於應力-能量張量看出。

$$G_{ab} = \frac{8 \pi G} {c^4} T_{ab}$$

其中

$${G}_{a b} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ {R}_{a b} - {1 \over 2} {R} g_{a b}$$

是愛因斯坦張量，$G\,$是萬有引力常數，$R\,$ （標量曲率）是里奇張量的跡。應力-能量張量來源於粒子的應力和能量，但同時也來源於電磁場，這造就了非線性。