比安基分類

數學中，比安基分類（Bianchi classification），以路易吉·比安基命名，將3維實李代數分為11類，其中9個是單獨的組，另兩類具有連續統同構類。（有兩個組有時也包含在無窮族中，從而分為9類。）「比安基分類」也用於其它維數的類似分類。

## 小於3維之分類

- 0維：惟一的李代數是阿貝爾李代數 R0。
- 1維：惟一的李代數是阿貝爾李代數 R1，其外自同構群是非零實數群。
- 2維：有兩個李代數：

(1) 阿貝爾李代數 R2，其外自同構群為 GL2(R)。

(2) 秩為零的 2×2 上三角矩陣組成的可解李代數，其單連通群有平凡的中心外自同構群的階數為2。

## 3維分類

所有3維李代數除了 VIII 型與 IX 型可以構造為 R2 與 R 的半直積，其中 R 通過某個 2×2 矩陣作用在 R2 上。不同類型對應與矩陣 M 的不同類型，具體描述如下。

- I 型：這是阿貝爾么模李代數 R3。其單連通群具有中心 R3，外自同構群 GL3(R)。這是 M 等於 0 的情形。
- II 型：冪零么模：海森伯代數。單連通群有中心 R，外自同構群 GL2(R)。這是 M 冪零但不等於 0 的情形（所有本徵值為零）。
- III 型：可解非么模。這個代數是 R 與 2 維非阿貝爾李代數的直積。（它是 VI 型的極限情形，其中一個本徵值變成零。）單連通群有中心 R，外自同構群為非零實數群。矩陣 M 的本徵值一個為零另一個非零。
- IV 型：可解么模。y,z = 0，x,y = y，x, z = y + z。單連通群有平凡中心，外自同構群為實數與一個2階群的乘積。矩陣 M 有兩個相等非零本徵值，但不是半單的。
- V 型：可解非么模。y,z = 0，x,y = y，x, z = z。（VI 型的一種極限情形，兩個本徵值相等。）單連通群有平凡中心，外自同構群為 GL2(R) 中行列式為 +1 或 −1 的元素。矩陣 M 有兩個相等的本徵值，且是半單的。
- VI 型：可解非么模。一個無窮類。R2 被 R 的半直積，這裡矩陣 M 的兩個本徵值為非零，和也非零的不相等實數。但連通群中心平凡，外自同構群為非零實數與一個二階群的乘積。
- VI0 型：可解么模。這個李代數是 R2 被 R 的半直積，這裡 M 的本徵值非零不等，和為零。它是二維閔可夫斯基空間等距群的李代數。單連通群有平凡中心，外自同構群是正實數與8階二面體群的乘積。
- VII 型：可解非么模。無窮類。R2 被 R 的半直積，這裡矩陣 M 的本徵值非實數非純虛數。單連通群中心平凡，外自同構群為非零實數。
- VII0 型：可解么模。R2 被 R 的半直積，這裡矩陣 M 的本徵值非零純虛數。這是平面等距群的李代數。但連通群具有中心 Z，外自同構群是非零實數與一個2階群的乘積。
- VIII 型：半單么模。李代數 sl2(R) 秩零 2×2 矩陣。單連通群有中心 Z，外自同構群階數為2。
- IX 型：半單么模。正交群 O3(R) 的李代數。單連通群中心階數為2，外自同構群平凡，這是一個自旋群。

3維復李代數的分類是類似的，除了 VIII 型與 IX 型變成同構的，以及 VI 型與 VII 型都成為單獨一類李代數的一部分。

連通3維李群可做如下分類：它們是對應單連通李群由中心的一個離散子群的商群，故可以由上表得出。

這些群都與瑟斯頓幾何化猜想的八幾何有關。更確切地，八幾何中的七種可以實現為單連通群上的一個左不變度量（有時不止一種方式）。瑟斯頓 S2×R 型幾何不能用這種方式實現。

## 結構常數

每個三維比安基空間有三個基靈向量 $\xi^{(a)}_i$，服從如下性質：

$$\left( \frac{\partial \xi^{(c)}_i}{\partial x^k} - \frac{\partial \xi^{(c)}_k}{\partial x^i} \right) \xi^i_{(a)} \xi^k_{(b)} = C^c_{\ ab}$$

這裡 $C^c_{\ ab}$ 是群的「結構常數」，形成一個常秩3張量，在其兩個下指標反對稱。對任意三維比安基空間，$C^c_{\ ab}$ 由關係

$$C^c_{\ ab} = \varepsilon_{abd}n^{cd} - \delta^c_a a_b + \delta^c_b a_a$$

給出，這裡 $\varepsilon_{abd}$ 是列維-奇維塔符號，$\delta^c_a$ 是克羅內克δ，向量 $a_a = (a,0,0)$ 與對角張量 $n^{cd}$ 在下表中描述，其中 $n^{(i)}$ 給出 $n^{cd}$ 的第 i 個本徵值；參數 a 跑遍所有正實數：

比安基類型｜$a$｜$n^{(1)}$｜$n^{(2)}$｜$n^{(3)}$｜注

I｜0｜0｜0｜0｜描述了歐幾里得空間

II｜0｜1｜0｜0

III｜1｜0｜1｜-1｜包含子情形 VIa 型，當 $a = 1$

IV｜1｜0｜0｜1

V｜1｜0｜0｜0｜超偽球面為特例

VI0｜0｜1｜-1｜0

VIa｜$a$｜0｜1｜-1｜當 $a = 1$，等價於 III 型

VII0｜0｜1｜1｜0｜歐幾里得空間為特例

VIIa｜$a$｜0｜1｜1｜超偽球面為特例

VIII｜0｜1｜1｜-1

IX｜0｜1｜1｜1｜超球面為特例

## 宇宙學應用

在宇宙學中，這個分類應用於 3+1 維齊性時空。弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克度量是各向同性的，它是 I 型 V 型 與 IX 型的一種特例。一個比安基 IX 型宇宙的特例包含卡斯納度量與陶布度量。

## 比安基空間的曲率

比安基空間的里奇張量可以分離為與空間相伴的基向量與一個與坐標無關的張量的乘積。

對一個給定的度量 $ds^2 = \gamma_{ab} \xi^{(a)}_i \xi^{(b)}_k dx^i dx^k$（這裡 $\xi^{(a)}_idx^i$ 是1-形式），里奇張量 $R_{ik}$ 為

$$R_{ik} = R_{(a)(b)} \xi^{(a)}_i \xi^{(b)}_k$$

$$R_{(a)(b)} = \frac{1}{2} \left[ C^{cd}_{\ \ b} \left( C_{cda} + C_{dca} \right) + C^c_{\ cd} \left( C^{\ \ d}_{ab} + C^{\ \ d}_{ba} \right) - \frac{1}{2} C^{\ cd}_b C_{acd} \right]$$

這裡結構常數的指標被 $\gamma_{ab}$ 上升和下降了，不是 $x^i$ 的函數。

## 參考文獻

- L. Bianchi, Sugli spazii a tre dimensioni che ammettono un gruppo continuo di movimenti. (On the spaces of three dimensions that admit a continuous group of movements.) Soc. Ital. Sci. Mem. di Mat. 11, 267 (1898) English translation
- Guido Fubini Sugli spazi a quattro dimensioni che ammettono un gruppo continuo di movimenti, (On the spaces of four dimensions that admit a continuous group of movements.) Ann. Mat. pura appli. (3) 9, 33-90 (1904); reprinted in Opere Scelte, a cura dell'Unione matematica italiana e col contributo del Consiglio nazionale delle ricerche, Roma Edizioni Cremonese, 1957-62
- MacCallum, On the classification of the real four-dimensional Lie algebras, in "On Einstein's path: essays in honor of Engelbert Schucking" edited by A. L. Harvey , Springer ISBN 0-387-98564-6
- Robert T. Jantzen, Bianchi classification of 3-geometries: original papers in translation