富比尼–施圖迪度量

在數學中，富比尼–施圖迪度量（Fubini–Study metric）是射影希爾伯特空間上一個凱勒度量。所謂射影希爾伯特空間即賦予了埃爾米特形式的復射影空間 CPn。這個度量最先由圭多·富比尼與愛德華·施圖迪在1904年與1905年描述。

向量空間 Cn+1 上一個埃爾米特形式定義了 GL(n+1,C) 中一個酉子群 U(n+1)。一個富比尼–施圖迪度量在差一個位似（整體縮放）的意義下由這樣一個 U(n+1) 作用下的不變性決定；從而是齊性的。賦予這樣一個富比尼–施圖迪度量後，CPn 是一個對稱空間。度量的特定正規化與(2n+1)-球面上的標準度量有關。在代數幾何中，利用一個正規化使 CPn 成為一個霍奇流形。

## 構造

富比尼–施圖迪度量自然出現於復射影空間的商空間構造。

具體地，可以定義 CPn 由 Cn+1 中復直線組成的空間，即 Cn+1 在將一點與其所有複數倍聯繫在一起的等價關係下的商。這與在乘法群 C* = C \ {0} 的對角群作用下的商相同：

$$\mathbf{CP}^n = \{ \mathbf{Z} = [Z_0,Z_1,\ldots,Z_n] \in {\mathbf C}^{n+1} \} / \{ \mathbf{Z} \sim c\mathbf{Z}, c \in \mathbf{C}^* \}.$$

這個商將 Cn+1 實現為底空間 CPn 上的複線叢（事實上這就是 CPn 上所謂的重言叢）。CPn 中的一點等同於 (n+1)-元組 Z0,...,Zn 模去非零復縮放的一個等價類；這些 Zi 稱為這個點的齊次坐標。

進一步，我們可以分兩步實現這個商：因為乘以一個非零複數 z = R eiθ 可以惟一地想成一個以模長 R 為因子的縮放與沿著原點一個逆時針旋轉角度 $\theta$ 的複合，商 Cn+1→CPn 分成兩塊。

$$\mathbf{C}^{n+1} \stackrel{(a)}\longrightarrow S^{2n+1} \stackrel{(b)}\longrightarrow \mathbf{CP}^n$$

其中第 (a) 步以正實數乘法群 R+ 的縮放 Z ~ RZ，這裡 R ∈R+，作商；步驟 (b) 是關於旋轉 Z ~ eiθZ 的商。

第 (a) 步所得的商是由方程 |Z|2 = |Z0|2 + ... + |Zn|2 = 1 所定義的實超球面 S2n+1。第 (b) 步的商實現為 CPn = S2n+1/S1，這裡 S1 表示旋轉群。這個商由著名的霍普夫纖維化S1 → S2n+1 → CPn實現，纖維屬於 $S^{2n+1}$ 中的大圓。

### 作為度量商

當取一個黎曼流形（或一般的度量空間）的商時，必須小心確認商空間賦有一個良定義的度量。例如，如果群 G 作用在黎曼流形 (X,g)上，則為了是軌道空間 X/G 擁有一個誘導度量，$g$ 沿著 G-軌道必須是常值，這便是說對任何元素 h ∈ G 以及一對向量場 $X,Y$ 必須有 g(Xh,Yh) = g(X,Y)。

Cn+1 上標準埃爾米特度量在標準基下為

$$ds^2 = d\mathbf{Z} \otimes d\overline{\mathbf{Z}} = dZ_0 \otimes d\overline{Z_0} + \cdots + dZ_n \otimes d\overline{Z_n}.\,$$

它的實化是 R2n 上標準歐幾里得度量。這個度量在 C* 的作用下沒有不變性，所以我們不能直接將其推下到商空間 CPn 中。但是，這個度量在旋轉群 S1 = U(1) 的對角作用下是不變的。從而，上面構造中的步驟 (b) 是可能的只要完成步驟 (a)。

富比尼–施圖迪度量是在商CPn = S2n+1/S1 上誘導的度量, 其中 $S^{2n+1}$ 帶著所謂的「圓度量」，是標準歐幾里得度量在單位超球面上的限制。

### 在局部仿射坐標中

對應於 CPn 中具有齊次坐標(Z0,...,Zn) 的一點，只要 Z0 ≠ 0，存在惟一 n 個坐標集合 (z1,…,zn) 使得

$$[Z_0,\dots,Z_n] \sim [1,z_1,\dots,z_n],$$

特別地 zj = Zj/Z0。這個 (z1,…,zn) 組成 CPn 在坐標片 U0 = {Z0 ≠0 } 上的一個仿射坐標系。在任意坐標片 Ui={Zi≠0} 上通過除以 Zi，得到一個仿射坐標系。這 n+1 個坐標片 Ui 蓋住了 CPn，在 Ui 上可以利用仿射坐標系 (z1,…,zn) 給出度量的具體表達式。坐標導數定義了 CPn 全純切叢的一個標架 $\{\partial_1,\ldots,\partial_n\}$，利用它們富比尼–施圖迪度量具有埃爾米特分量

$$h_{ij} = h(\partial_i,\partial_j) = \frac{(1+|\mathbf{z}|^2)\delta_{ij} - \bar{z}_i z_j}{(1+|\mathbf{z}|^2)^2}.$$

這裡|z|2 = z12+...+zn2。這樣，富比尼–施圖迪度量在這個標架下的埃爾米特矩陣是

$$\bigl(h_{ij}\bigr) = \frac{1}{(1+|\mathbf{z}|^2)^2} \left[\begin{array}{cccc} 1+|\mathbf{z}|^2 - |z_1|^2 & -\bar{z}_1 z_2 & \cdots & -\bar{z}_1 z_n \\ -\bar{z}_2 z_1 & 1 + |\mathbf{z}|^2 - |z_2|^2 & \cdots & -\bar{z}_2 z_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -\bar{z}_n z_1 & -\bar{z}_n z_2 & \cdots & 1 + |\mathbf{z}|^2 - |z_n|^2 \end{array} \right]$$

注意每個矩陣元素是酉不變的：對角作用 $\mathbf{z} \mapsto e^{i\theta}\mathbf{z}$ 不會改變這個矩陣。

對應地，線元素為

$$\begin{align} ds^2 &= \frac{(1+|\mathbf{z}|^2)|d\mathbf{z}|^2 - (\bar{\mathbf{z}}\cdot d\mathbf{z})(\mathbf{z}\cdot d\bar{\mathbf{z}})}{(1+|\mathbf{z}|^2)^2}\\ &= \frac{(1+z_i\bar{z}^i)dz_jd\bar{z}^j - \bar{z}^j z_idz_jd\bar{z}^i}{(1+z_i\bar{z}^i)^2}. \end{align}$$

在最後的表達式中，使用了愛因斯坦求和約定，拉丁字母指標 i 和 j 從 1 求到 n。

### 在齊次坐標中

在齊次坐標 Z = Z0,...,Zn 中也有相應的表達式。形式上，我們有

$$\begin{align} ds^2 &= \frac{|\mathbf{Z}|^2|d\mathbf{Z}|^2 - (\bar{\mathbf{Z}}\cdot d\mathbf{Z})(\mathbf{Z}\cdot d\bar{\mathbf{Z}})}{|\mathbf{Z}|^4}\\ &=\frac{Z_\alpha\bar{Z}^\alpha dZ_\beta d\bar{Z}^\beta - \bar{Z}^\alpha Z_\alpha dZ_\beta d\bar{Z}^\beta}{(Z_\alpha\bar{Z}^\alpha)^2}\\ &=2 \frac {Z_{[\alpha}dZ_{\beta]} \overline{Z}^{[\alpha}\overline{dZ}^{\beta]}} {\left( Z_\alpha \overline{Z}^\alpha \right)^2}. \end{align}$$

上面所涉及表達式需合適地理解。上面使用了求和約定，希臘字母指標從 0 求到 n，最後一個等式使用了一個張量的反對稱部分的標準記號：

$$Z_{[\alpha}W_{\beta]} = \frac {1}{2} \left( Z_{\alpha} W_{\beta} - Z_{\beta} W_{\alpha} \right).$$

現在，ds2 的這個表達式顯然在重言叢 Cn+1\{0} 的全空間上定義了一個張量。通過沿著 CPn 上重言叢的一個全純截面 σ 拉回為 CPn 上一個張量。還需驗證拉回值與界面的選取無關：這可以直接計算。

差一個整體正規化常數，這個度量的凱勒形式為

$$\omega = i\partial\overline{\partial}\log |\mathbf{Z}|^2.$$

其拉回顯然與全純界面的選取無關。量 log|Z|2 是 CPn 的凱勒數量。

### n = 1 情形

當 n = 1，有由球極投影給出的微分同胚 $S^2\cong \mathbb{CP}^1$。這導致了特殊的霍普夫纖維化 S1→S3→S2。當在 CP1 中的坐標系寫出富比尼–施圖迪度量，它在實切叢上的限制得出 S2 上半徑 1/2 的通常圓度量。

具體地，如果 z = x + iy 是黎曼球面 CP1 上標準仿射坐標卡，且x=rcosθ, y = rsinθ 是 C 上的極坐標，則一個簡單的計算表明

$$ds^2= \frac{dz \; d\overline{z}}{\left(1+|z|^2\right)^2} = \frac{dx^2+dy^2}{ \left(1+r^2\right)^2 } = \frac{1}{4}(d\phi^2 + \sin^2 \phi \,d\theta^2) = \frac{1}{4} ds^2_{us}$$

這裡 $ds^2_{us}$ 是單位 2-球面上的圓度量。其中 φ, θ 是由球極投影 r tan(φ/2) = 1, tanθ = y/x 給出的 S2 「數學家的」球坐標（許多物理學家偏向於將 φ 和 θ互換）。

## 曲率性質

在 n = 1 的特例，富比尼–施圖迪度量具有恆等於 4 的數量曲率，因為它與 2-球面的圓度量等價（半徑 R 球面的數量曲率是 $1/R^2$）。但是，對 n > 1，富比尼–施圖迪度量沒有常曲率。其截面曲率由下列方程給出

$$K(\sigma) = 1 + 3\langle JX,Y \rangle^2$$

這裡 $\{X,Y\} \in T_p \mathbf{CP}^n$ 是 2-維平面 σ 的一個標準正交基，J : TCPn → TCPn 是 CPn 上的復結構，而 $\langle \cdot , \cdot \rangle$ 是富比尼–施圖迪度量。

這個公式的一個推論是任何 2-維平面 $\sigma$ 的截面曲率滿足 $1 \leq K(\sigma) \leq 4$。最大的截面曲率 (4) 在一個全純 2-維平面得到——對這樣的平面有 J(σ) ⊂ σ ——而最小截面曲率 (1) 在 J(σ) 垂直於 σ 的2-維平面 σ 得到。因此，富比尼–施圖迪度量經常稱為有等於 4 的常全純截面曲率。

這使 CPn 成為一個（非嚴格的）四分之一拼擠流形；一個著名的定理指出嚴格四分之一拼擠單連通 n-流形一定同胚於球面。

富比尼–施圖迪度量也是一個愛因斯坦度量，它與里奇張量成比例：存在一個常數 λ 使得對所有 i,j 我們有

$$Ric_{ij} = \lambda g_{ij}.$$

除此以外，這蘊含著，在差一個數量相乘的意義下，富比尼–施圖迪度量在里奇流下不變。這也使CPn 與廣義相對論不可分離，它是真空愛因斯坦方程的一個非平凡解。

## 量子力學

富比尼–施圖迪度量可以用量子力學中廣泛使用的狄拉克符號，或代數幾何中的射影簇記號來定義。為了將兩種語言清楚地等同起來，令

$$\vert \psi \rangle = \sum_{k=0}^n Z_k \vert e_k \rangle = [Z_0:Z_1:\ldots:Z_n]$$

這裡 $\{\vert e_k \rangle\}$ 是希爾伯特空間的一個正交規範基向量集合，$Z_k$ 是複數，而 $Z_\alpha = [Z_0:Z_1:\ldots:Z_n]$ 是射影空間 $\mathbb{C}P^n$ 中一點在齊次坐標中的標準記號。那麼，給定空間中兩點 $\vert \psi \rangle = Z_\alpha$ 與 $\vert \phi \rangle = W_\alpha$。

$$\gamma (\psi, \phi) = \arccos \sqrt \frac {\langle \psi \vert \phi \rangle \; <pre> \langle \phi \vert \psi \rangle } </pre> {\langle \psi \vert \psi \rangle \; \langle \phi \vert \phi \rangle}$$

或等價地，在射影簇記號中。

$$\gamma (\psi, \phi) =\gamma (Z,W) = \arccos \sqrt {\frac {Z_\alpha \overline{W}^\alpha \; W_\beta \overline{Z}^\beta} {Z_\alpha \overline{Z}^\alpha \; W_\beta \overline{W}^\beta}}.$$

這裡 $\overline{Z}^\alpha$ 是 $Z_\alpha$ 的復共軛。分母中出現的 $\langle \psi \vert \psi \rangle$ 提醒了 $\vert \psi \rangle$ 以及類似的 $\vert \phi \rangle$ 不是單位長規範化的；故這裡明確地做了一個規範化。在希爾伯特空間中，此度量可相當平凡地理解為兩個向量之間的角度；故它又稱為量子角（quantum angle）。這個角度是實值的，取值於零到 $\pi/2$。

通過取 $\phi = \psi+\delta\psi$，或等價地 $W_\alpha = Z_\alpha + dZ_\alpha$，馬上可以等到這個度量的無窮小形式

$$ds^2 = \frac{\langle \delta \psi \vert \delta \psi \rangle} {\langle \psi \vert \psi \rangle} - \frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \; \langle \psi \vert \delta \psi \rangle} {{\langle \psi \vert \psi \rangle}^2}.$$

在量子力學中，CP1 叫做布洛赫球面；富比尼–施圖迪度量是量子力學幾何化的自然度量。量子力學的許多獨特的行為，包括量子糾纏和貝里相位（Berry phase）效應，可以歸於富比尼–施圖迪度量的特性。

## 乘積度量

通常的可分性概念適用於富比尼–施圖迪度量。更準確地講，此度量在射影空間的自然乘積塞格雷嵌入中是可分的。這是說如果 $\vert\psi\rangle$ 是一個可分態，從而可以寫成 $\vert\psi\rangle=\vert\psi_A\rangle\otimes\vert\psi_B\rangle$，則度量是子空間上度量之和：

$$ds^2 = {ds_A}^2+{ds_B}^2$$

這裡 ${ds_A}^2$ 和 ${ds_B}^2$ 是在子空間 A 與 B 上各自的度量。