雅可比猜想

2026年已找到 $n > 2$ 的反例，$n = 2$ 的情況仍懸而未決。

$n = 2$ 的雅可比猜想雅可比猜想（Jacobian conjecture）是代數幾何領域中的一個問題，探討多變量多項式映射的可逆性。該猜想由數學家奧特-海因里希·凱勒於1939年提出，其後經施里拉姆·尚卡爾·阿布揚卡爾命名並推廣。猜想斷言：若一個多項式映射的雅可比行列式為非零常數，則該映射必存在多項式反函數。這個問題的表述只需微積分與基礎代數知識即可理解，但背後涉及的數學結構較為複雜。

雅可比猜想多年來吸引眾多數學家研究，史蒂芬·斯梅爾將其列入斯梅爾問題第十六題。歷史上曾有多位學者發表證明，但事後被發現存在錯誤，至少有數篇公開發表的證明已被推翻。單變量的情況早已獲證，而在雙變量情況下也有若干部分成果，例如已知當多項式次數不超過一百時猜想成立。

2026年7月，任職於Anthropic的數學家萊文特·阿爾波格（Levent Alpöge）藉助大型語言模型，在三維複數空間中找出明確反例，推翻了變量數大於二時的雅可比猜想。雙變量的雅可比猜想目前仍未解決。

## 雅可比行列式與猜想敘述

### 雅可比行列式

令 $n > 1$ 為固定的整數，考慮多項式 $F_1, \ldots, F_n$，變量為 $X = (X_1, \ldots, X_n)$，係數在特徵為零的代數閉域 $k$ 中。（可假設 $k$ 為複數域 $\mathbb{C}$。）也就是說 $F_1, \ldots, F_n \in k[X]$。定義函數 $F: k^n \to k^n$ 為：

$$F(X_1, \ldots, X_n) = (F_1(X_1, \ldots, X_n), \ldots, F_n(X_1, \ldots, X_n))$$

函數 $F$ 的雅可比矩陣是由 $F$ 的各個偏導數所組成的 $n \times n$ 矩陣，而該矩陣的行列式則稱為雅可比行列式（Jacobian determinant，有時也簡稱為「雅可比」），記為 $J_F$ 或 $|J|$：

$$J_F = \left | \begin{matrix} \frac{\partial F_1}{\partial X_1} & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial X_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial F_n}{\partial X_1} & \cdots & \frac{\partial F_n}{\partial X_n} \end{matrix} \right |$$

$J_F$ 本身也是變量為 $X$ 的多項式函數。

### 猜想敘述

多變量微積分的反函數定理指出，如在某一點有 $J_F \neq 0$，那麼在該點附近 $F$ 有局部反函數。由於 $k$ 是代數閉域，且 $J_F$ 是多項式，因此 $J_F$ 必定在空間中某些點上為0，除非 $J_F$ 是非零的常數函數。以下是一項基本結果：

若 $F$ 有同為多項式的反函數 $G \colon k^n \to k^n$，則 $J_F$ 必為非零的常數函數。

雅可比猜想即為此命題的逆命題：

令 $k$ 為一特徵為零的代數閉域。若

- $F = (F_1, \dots, F_n) \in k[X] \times k[X] \times \dots \times k[X]$。
- $J_F$ 是非零常數函數（等價於以下條件：對於所有的 $x \in k^n$，$F'(x)$ 皆是可逆的線性變換）。

則 $F$ 必有反函數，且此反函數亦屬於 $k[X]$。當 $n=1$ 時，此猜想不難證明，但對多變量情況則較為困難。

## 歷史

1884年，捷克數學家路德維希·克勞斯提出了二維版本的猜想。一般形式的猜想可追溯至1939年，當時數學家奧特-海因里希·凱勒在探討整數克雷莫納變換時首次提出此問題。凱勒最初考慮的是具有整數係數的多項式映射，並在雙有理（birational）的情況下驗證了該猜想。

1960年代末，數學家奧斯卡·扎里斯基將此問題引介給其他學者，隨後阿布揚卡爾將其命名為雅可比猜想，並向數學界推廣。這個猜想的表述較為直觀，具備微積分基礎的人即可理解，因此吸引代數、分析及複幾何等領域的學者投入研究。1998年，美國數學家史蒂芬·斯梅爾將其列為斯梅爾問題第十六題。

### 有爭議的證明與錯誤嘗試

這個問題看似簡單，但其證明歷史較為曲折，曾出現多篇後來被推翻的證明。在1950年代末至1960年代初，已有數篇被指出存在缺陷的證明。

1955年，凱勒的學生沃爾夫岡·恩格爾（W. Engel）發表了一份針對 $n = 2$ 情況的證明，但前蘇聯數學家阿納托利·維圖什金於1975年指出其論證中存在兩個關鍵問題。

義大利數學家貝尼亞米諾·塞格雷曾就此問題發表過三篇論文，均被認為未能成立。1956年的第一篇論文試圖利用同倫不變量，但其中關於幾何次數在非真映射下為同倫不變的論點，其適用性後來受到質疑。第二篇論文依賴於一個關於多項式生成的引理（即所謂的塞格雷切線引理，Segre's lemma of tangents）：I·卡納爾斯（I. Canals）和E·路易斯（E. Lluis）曾嘗試對該引理進行修正，而阿布揚卡爾與莫宗堅雖給出了該引理的另一種證明，卻同時指出塞格雷在證明映射單射性時依賴了一項未經證實的假設。1960年，塞格雷發表了第三篇基於拓撲學視角的論文，但其對映射覆蓋性質的論證同樣被認為不夠完備。

1961年，奧地利數學家沃爾夫岡·格勒布納發表了一個純代數的證明嘗試，但扎里斯基指出其中存在計算錯誤。瑪麗萊娜·皮塔盧加（Marilena Pittaluga）也指出，格勒布納在推導矛盾時，並未使用其映射「非雙有理」的假設，因此其論證的有效性受到質疑。

1966年，數學家伊戈爾·沙法列維奇在研究無窮維代數群時，引入了「仿射克雷莫納群」（affine Cremona group）$GA_n(\mathbf{C})$，即由 $\mathbf{C}^n$ 上所有多項式自同構組成的群。在此框架下，雅可比猜想可以改述為一個群論命題：雅可比行列式為非零常數的多項式映射所構成的集合，恰好與 $GA_n(\mathbf{C})$ 重合。沙法列維奇曾勾勒出支持此命題的論證，但其中關鍵一步——排除該集合中存在非雙有理元素的可能——並未經過嚴格驗證，他本人後來在私人通訊中也承認這一點，相關論證因此未被學界採納。儘管如此，這個群論框架後來成為連接雅可比猜想與克雷莫納變換理論的橋梁。

此外，數學家小田進的一份預印本中也曾提出一個證明，但該證明被認為是基於對其他文獻的錯誤引用。

錯誤的嘗試不僅來自已發表的論文，也曾影響研究者的學術生涯。數學家張益唐在普渡大學攻讀博士時，其導師莫宗堅建議他研究雅可比猜想。張益唐基於莫宗堅早前發表的一項引理展開研究，並在1991年的博士論文中得出了一個較弱的域擴張次數上界。然而，同行評審指出該引理在一般情形下並不成立，導致張益唐的這部分研究未能獲得預期成果。許多文獻詳細記錄了這些證明的歷史。

## 部分成果與研究方法

### 低次數與雙變量的情形

在限制多項式次數的方向上，王穗生（Stuart Sui-Sheng Wang）證明了在任意變量數下，當多項式次數不超過2時猜想成立。

雙變量（$n = 2$）的情況下另有多項部分成果。阿布揚卡爾證明了伽羅瓦擴張的情況；列昂尼德·馬卡爾-利馬諾夫（Leonid Makar-Limanov）證明了對應的曲線在無窮遠處最多只有兩個點；中井（Y. Nakai）與馬場（K. Baba）推廣了威廉·馬格努斯的結果，在多項式次數為質數、4或滿足特定條件時證明了猜想；大衛·賴特證明了當雅可比矩陣可分解為基本矩陣與對角矩陣的乘積時猜想成立。其中最著名的成果之一來自莫宗堅：他詳細分析了相關曲線在無窮遠處的奇點分佈，並輔以電腦計算，證明在雙變量且多項式次數不超過一百的情況下猜想成立。這類「無窮遠奇點分析」成為研究雙變量雅可比猜想的重要技術工具之一。

### 降次化約

另一種影響較大的方法是降次與形式展開。數學家海曼·巴斯、埃德溫·康奈爾（Edwin H. Connell）與大衛·賴特運用K理論與穩定方法，證明可透過增加空間維度來降低多項式次數，並確立了一項定理：若雅可比猜想對所有次數不超過三的多項式映射皆成立，則該猜想對所有多項式映射皆成立。結合王穗生對二次映射的結果，問題的焦點便集中在三次多項式映射上；但學界長期未能證明三次的情況。

### 幾何、拓撲與賦值理論方法

在幾何與拓撲途徑方面，舒利姆·卡利曼提出了一個較弱的版本，稱為弱雅可比猜想：其斷言若雅可比行列式為非零常數，則映射至少在較寬鬆的意義下（例如允許有理函數作為反函數）具有可逆性。這種弱化使問題得以運用複解析與拓撲工具處理。田岩與孫超超在2024年的論文中，利用赫爾維茨公式及奇異曲線的解析方法改進了卡利曼的論證技術，並將弱雅可比猜想的適用範圍推廣至更一般的多項式映射類別。

在賦值理論方面，亞歷山大·鮑里索夫（Alexander Borisov）研究了無窮遠處的除子賦值（divisorial valuations at infinity）。其研究動機在於：若雙變量雅可比猜想存在反例，該反例將在無窮遠處誘導出特定的除子賦值，因此刻畫這類賦值即可限制潛在反例的可能形態。鮑里索夫引入了 $\bar{K}$ 標籤與行列式標籤（determinant label）兩個不變量，利用加權圖的組合性質證明：在固定這兩個不變量的情況下，對應的賦值在平面自同構下僅形成有限個族。此結果雖未直接解決雅可比猜想，但揭示了無窮遠處除子賦值與平面自同構群之間的聯繫，為從賦值理論角度研究雙變量雅可比猜想提供了新的語言與工具。

### 正特徵的情形

在正特徵域（characteristic $p > 0$）的情況下，雅可比猜想的原始表述並不成立，因為存在如 $F = X - X^p$ 這樣的平凡反例：其導數恆為1，但映射並非單射。然而，科西維·阿賈馬格博（Kossivi Adjamagbo）提出，若能避開幾何次數為 $p$ 的倍數這一特例，仍有望在任意特徵的域上給出雅可比猜想的正確推廣表述。

## 人工智慧協助發現反例

儘管在雙變量情況下有一些進展，但對於三個或更多變量的雅可比猜想，學界長期缺乏支持其成立的證據。2026年7月19日，任職於Anthropic且隸屬哈佛大學研究員學會的數學家萊文特·阿爾波格（Levent Alpöge）在社交平台X上宣布，雅可比猜想在多變量情況下不成立。在芝加哥大學數學家阿基爾·馬修（Akhil Mathew）的提問啟發下，阿爾波格利用Anthropic開發的大型語言模型Claude Fable 5，找到一個位於三維複數空間中的明確反例。

### 反例

雅可比猜想可作如下直觀解釋：設想一張有格線的平面地圖，對其進行多項式映射（拉伸變形），但每個微小區域的面積始終保持固定的放大倍數，不會塌縮為零（即雅可比行列式為非零常數）。猜想認為，既然每個局部都沒有塌陷，則整張地圖應可完美還原，每一個終點都對應唯一的起點——這正是逆映射存在的意義。

阿爾波格提出的反例映射函數 $F : \mathbb{C}^3 \to \mathbb{C}^3$ 定義為：

$$F(x,y,z) := \left( (1+xy)^3 z + y^2 (1+xy) (4+3xy), y + 3 x (1+xy)^2 z + 3 x y^2 (4+3xy), 2 x - 3 x^2 y - x^3 z \right)$$

其雅可比行列式 $J_F \equiv -2$ 恆等於非零常數，符合雅可比猜想的前提條件。然而該函數 $F$ 並非單射：空間中三個不同的點 $A=(0, 0, -\frac{1}{4})$、$B=(1, -\frac{3}{2}, \frac{13}{2})$ 與 $C=(-1, \frac{3}{2}, \frac{13}{2})$，都會映射到同一個結果點 $F(A)=F(B)=F(C)=(-\frac{1}{4}, 0, 0)$。由於不同點映射到同一點，該映射不存在反函數，因此猜想不成立。

透過在反例中添加恆等座標，此反例推翻了變量數 $n > 2$ 時的雅可比猜想，同時也連帶證偽了與其穩定等價的迪克斯米埃猜想以及泊松猜想。雙變量 $n = 2$ 的特殊情況不受此反例影響，截至2026年7月仍是未解問題。

### 迴響

反例公布後，倫敦帝國學院數學家凱文·布扎德利用Lean定理證明器驗證了結果的正確性。學界對此結果的意義有不同評價。哥倫比亞大學教授安德魯·布倫伯格（Andrew Blumberg）指出，人工智慧擅長在龐大的多項式空間中搜索，能找出人類難以手動窮舉的反例，但單一反例未必能像完整理論那樣揭示自然結構的深層原因。另一方面，倫敦瑪麗女王大學的阿比謝克·薩哈（Abhishek Saha）與西湖大學的伊萬·費森科則認為，這標誌著人工智慧在解決高等數學難題上邁出了重要一步。隨後，OpenAI研究員亞倫·盧（Aaron Lou）利用內部模型Codex從頭推導出相同的反例，展示了人工智慧具備可重現的數學創造力；GPT-5.6進一步分析該結果，提出了一項新的修正版猜想，引發代數學界討論。

## 基本資料

- 領域：代數幾何
- 猜想提出者：奧特-海因里希·凱勒
- 猜想提出年：1939年
- 開放問題：2026年已找到 $n > 2$ 的反例，$n = 2$ 的情況仍懸而未決。
- 等價陳述：迪克斯米埃猜想
- 日語原文：$n = 2$ 的雅可比猜想
- 猜想提出者：路德維希·克勞斯
- 猜想提出年：1884年