正交群

數學上，數域F上的n階正交群，記作O(n,F)，是F上的n×n 正交矩陣在矩陣乘法下構成的群。它是一般線性群GL(n,F)的子群，由

$\mathrm{O}(n,F) = \{ Q \in \mathrm{GL}(n,F) \mid Q^T Q = Q Q^T = I \} \;$給出。

這裡QT是Q的轉置。實數域上的經典正交群通常就記為O(n)。

更一般地，F上一個非奇異二次型的正交群是保持二次型不變的矩陣構成的群。嘉當-迪奧多內定理描述了這個正交群的結構。

每個正交矩陣的行列式為1或−1。行列式為1的n×n正交矩陣組成一個O(n,F)的正規子群，稱為特殊正交群SO(n,F)。如果F的特徵為2，那麼1 = −1，從而O(n,F)和SO(n,F)相等；其他情形SO(n,F)在O(n,F)中的指數是2。特徵2且偶數維時，很多作者用另一種定義，定義SO(n,F)為迪克森不變量的核，這樣它在O(n,F)中總有指數2。

O(n,F)和SO(n,F)都是代數群，因為如果一個矩陣是正交的條件，即轉置等於逆矩陣，能夠定義成一些關於矩陣分量的多項式方程。

## 實數域上的正交群

實數域R上的正交群O(n,R)和特殊正交群SO(n,R)在不會引起誤會時經常記為O(n)和SO(n)。他們是n(n-1)/2 維實緊李群。O(n,R)有兩個連通分支，SO(n,R)是單位分支，即包含單位矩陣的連通分支。

實正交群和特殊正交群有如下的解釋：

O(n,R)是歐幾里得群E(n)的子群，E(n)是Rn的等距群；O(n,R)由其中保持原點不動等距組成。它是以原點為中心的球面 (n = 3)、超球面和所有球面對稱的對象的對稱群。

SO(n,R)是E+(n)的子群，E+(n)是「直接」等距，即保持定向的等距；SO(n,R)由其中保持原點不動的等距組成。它是以原點為中心的球面和所有球面對稱對象的旋轉群。

{ I, −I }是O(n,R)的正規子群並是特徵子群；如果n是偶數，對SO(n,R)也對。如果n是奇數，O(n,R)是SO(n,R)和{ I, −I }的直積。k重旋轉循環群Ck對任何正整數k都是O(2,R)和SO(2,R)的正規子群。

取合適的正交基，等距是

$$\begin{bmatrix} \begin{matrix}R_1 & & \\ & \ddots & \\ & & R_k\end{matrix} & 0 \\ 0 & \begin{matrix}\pm 1 & & \\ & \ddots & \\ & & \pm 1\end{matrix} \\ \end{bmatrix}$$

形式。這裡矩陣R1,...,Rk是2×2旋轉矩陣。

圓的對稱群是O(2,R)，也稱為Dih(S1)，這裡S1是模長1複數的乘法群。

SO(2,R) (作為李群)同構於圓S1（圓群）。這個同構將複數exp(φi) = cos(φ) + i sin(φ)映到正交矩陣

$\begin{bmatrix}\cos(\phi)&-\sin(\phi)\\ \sin(\phi)&\cos(\phi)\end{bmatrix}$。

群SO(3,R)，視為3維空間的旋轉，是科學和工程中最重要的群。參見旋轉群和3×3旋轉矩陣利用軸和角的一般公式

在代數拓撲方面，對n > 2，SO(n,R)的基本群是2階循環，而自旋群Spin(n)是其萬有覆疊。對n = 2基本群是無限循環而萬有覆疊對應於實數軸（旋量群Spin(2)是惟一的2重覆疊）

李群O(n,R)和SO(n,R的李代數由斜對稱實n×n矩陣組成，李括號由交換子給出。這個李代數經常記為 o(n,R)或so(n,R)。

### 保持原點的3維同構

保持R3原點不動的同構，組成群O(3,R)，能分成如下幾類：

- SO(3,R):
- 恆同
- 繞一個過原點的軸轉動不等於180°
- 繞一個過原點的軸轉動180°
- 以上與關於原點的點反演（x映到−x）複合，分別為：
- 關於原點的點反演
- 繞一軸旋轉一個不等於180°的角度，與關於過垂直於軸且過原點的平面的反射的複合
- 關於一個過原點的平面的反射

特別地指出4階和5階正交群，在更寬泛的意義下6階也是，稱為反射旋轉。類似的參見歐幾里得群。

### 共形群

作為保持距離的同構，正交變換也保角，從而是共形變換，但是不是所有的共形變換都是正交變換。Rn的線性共形映射構成的群記作CO(n)，由正交群和收縮的乘積給出。如果n是奇數，兩個子群不相交，他們是直積：$\operatorname{CO}(2n+1) = \operatorname{O}(2n+1) \times \mathbf{R}$；如果n是偶數，兩個子群的交是$\pm 1$，所以這不是直積，但這是和正收縮子群的直積：$\operatorname{CO}(2n) = \operatorname{O}(2n) \times \mathbf{R}^+ \;$。

我們可以類似地定義CSO(n)，這時總有$\operatorname{CSO}(n) := \operatorname{CO}(n) \cap \operatorname{GL}_+(n) = \operatorname{SO}(n) \times \mathbf{R}^+ \;$。

## 複數域上正交群

複數域C上，O(n,C)和SO(n,C)是C上n(n-1)/2維的李群，這意味著實維數是n(n-1)。O(n,C)有兩個連通分支，SO(n,C)是包含恆同矩陣的分支。當n ≥ 2時，這些群非緊。

和實情形一樣，SO(n,C)不是單連通的，對n > 2 SO(n,C)的基本群是2階循環群，而SO(2,C)的基本群是無窮循環群。

O(n,C)和SO(n,C)的複李代數由斜對稱複n×n矩陣組成，李括號由交換子給出。

## 拓撲

### 低維數

低維實正交群是熟悉的空間：

$$\begin{align} O(1) &= \left\{\pm 1\right\} = S^0\\ SO(1) &= \left\{1\right\} = *\\ SO(2) &= S^1\\ SO(3) &= \mathbf{RP}^3 \end{align}$$

由於三維旋轉在工程中有重要應用，產生了很多SO(3)上的卡。

### 同倫群

正交群的同倫群和球面的同倫群密切相關，從而一般是很難計算的。

但是我們可以計算出穩定正交群的同倫群（也稱為有限正交群），定義為包含序列

$$O(0) \subset O(1)\subset O(2)\subset\cdots\subset O = \bigcup_{k=0}^\infty O(k)$$

正向極限（因為包含都是閉包含，從而是上纖維化，也能理解成並）。

$S^n$是$O(n+1)$的齊性空間，從而有如下纖維叢：

$$O(n) \to O(n+1) \to S^n,$$

可以理解為：正交群$O(n+1)$ 傳遞地作用於單位球面$S^n$上，一點（看作一個單位向量）的穩定子群是其正交補的正交群，這是第一維的正交群。映射$O(n) \to O(n+1)$是自然包含。

從而包含$O(n) \to O(n+1)$是(n-1) -連通的，故同倫群穩定，對$n > k + 1$有$\pi_k(O) = \pi_k(O(n))$，所以穩定空間的同倫群等於非穩定空間的低維同倫群。

通過博特周期性定理，$\Omega^8 O \simeq O$，從而O的同倫群以8為周期，即 $\pi_{k+8} O = \pi_k O$，這樣我們只要計算出最低8個同倫群就算出了所有群。

$$\begin{align} \pi_0 O &= \mathbf Z/2\\ \pi_1 O &= \mathbf Z/2\\ \pi_2 O &= 0\\ \pi_3 O &= \mathbf Z\\ \pi_4 O &= 0\\ \pi_5 O &= 0\\ \pi_6 O &= 0\\ \pi_7 O &= \mathbf Z\\ \end{align}$$

#### 和KO-理論的關係

通過cluching construction，穩定空間O的同倫群和穩定球面上的向量叢等價（同構的意義下），提高一個維數：$\pi_k O = \pi_{k+1} BO$。

設$KO = BO \times \mathbf Z = \Omega^{-1} O \times \mathbf Z$（使得$\pi_0$滿足周期性），我們得到：

$$\begin{align} \pi_0 KO &= \mathbf Z\\ \pi_1 KO &= \mathbf Z/2\\ \pi_2 KO &= \mathbf Z/2\\ \pi_3 KO &= 0\\ \pi_4 KO &= \mathbf Z\\ \pi_5 KO &= 0\\ \pi_6 KO &= 0\\ \pi_7 KO &= 0\\ \end{align}$$

#### 同倫群的計算和解釋

##### 低維群

最初的幾個同論群可以用低維群的同論群具體的描述。

- $\pi_0(O) = \pi_0(O(1)) = \mathbf Z/2$保持/反定向（這個類存留到$O(2)$從而穩定）

$SO(3) = \mathbf{RP}^3 = S^3/(\mathbf Z/2)$得出：

- $\pi_1(O) = \pi_1(SO(3)) = \mathbf Z/2$即自旋群
- $\pi_2(O) = \pi_2(SO(3)) = 0$，有到$\pi_2(SO(4))$的滿射，從而後一個群消失。

##### 李群

由李群一般性事實，$\pi_2 G$總消失，$\pi_3 G$是自由阿貝爾群。

##### 向量叢

從向量叢的觀點來看，$\pi_0(KO)$是$S^0$上的向量叢，具有兩個點。從而在每個點上，叢是平凡的，這個叢的非平凡性是兩個點上向量空間的維數之差，所以

$\pi_0(KO) = \mathbf Z$是維數。

##### 環路空間

利用博特周期性中環路空間具體的描述，我們可以將高維同倫群理解為容易分析的低維空間的同倫。利用$\pi_0$、O，以及O/U有兩個分支，$KO = BO \times \mathbf Z$和$KSp = BSp \times \mathbf Z$有$\mathbf Z$個分支，其實是連通的。

#### 同倫群的解釋

一小部分結論：

- $\pi_0(KO) = \mathbf Z$是維數
- $\pi_1(KO) = \mathbf Z/2$是定向
- $\pi_2(KO) = \mathbf Z/2$是自旋
- $\pi_4(KO) = \mathbf Z$是拓撲量子場理論

令$F = \mathbf R, \mathbf C, \mathbf H, \mathbf O$，以及$L_F$為射影線$\mathbf{FP}^1$上的重複線叢，$[L_F]$是其K-理論。注意到$\mathbf{RP}^1 = S^1, \mathbf{CP}^1 = S^2, \mathbf{HP}^1 = S^4, \mathbf{OP}^1 = S^8$，這些得出相應球面上的向量叢，以及：

- $\pi_1(KO)$由$[L_{\mathbf R}]$生成
- $\pi_2(KO)$由$[L_{\mathbf C}]$生成
- $\pi_4(KO)$由$[L_{\mathbf H}]$生成
- $\pi_8(KO)$由$[L_{\mathbf O}]$生成

## 有限群上的正交群

正交群也能定義在有限域$\mathbf{F}_q$上，這里$q$是一個質數$p$的冪。在這樣的域上定義正交群，偶數維時有兩類：$O^+(2n, q)$和$O^-(2n, q)$；奇數維有一類：$O(2n+1, q)$。

如果$V$是正交群$G$作用的向量空間，它可以寫成正交直和：

$V = L_1 \oplus L_2 \oplus \cdots \oplus L_m \oplus W$。

這里$L_i$是雙曲線而$W$不包含奇異向量。如果$W = 0$，那麼$G$是正類型；若$W = <w>$那麼$G$有偶維數；若$W$有維數2，則$G$是負類型。

在n = 1的特例，$O^\epsilon(2, q)$是階為$2(q - \epsilon)$的二面體群。

當特徵大於2時，記O(n,q) = { A ∈ GL(n,q) : A·At=I }。關於這些群的階數我們有以下公式

$|O(2n+1,q)|=2q^n\prod_{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})$。

如果$-1$是$\mathbf{F}_q$中的平方元素

$|O(2n,q)|=2(q^n-1)\prod_{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})$。

如果$-1$不是$\mathbf{F}_q$中的平方元素

$|O(2n,q)|=2(q^n+(-1)^{n+1})\prod_{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})$。

## 迪克森不變量

對偶數維正交群，迪克森不變量是從正交群到Z/2Z的同態，是0或1取決於一個元素是偶數個還是奇數個反射的複合。在特徵不等於2的域上迪克森不變量和行列式等價：行列式等於−1的迪克森不變量次冪。

在特徵2的域上，行列式總為1，所以迪克森不變量給出了額外的資訊。在特徵2域上許多作者定義特殊正交群為迪克森不變量為0的元素，而不是行列式為1。

迪克森不變量也能對所有維數的克利福德群和Pin群類似地定義。

## 特徵2域上正交群

特徵2域上的正交群常常有不同的表現。這一節列出一些不同：

- 任何域上的任何正交群都是由反射生成，惟一的例外是兩個元素的域上的維特指標為2的4維向量空間Grove。注意特徵2域上的反射定義稍不同。特徵2域，垂直於一個向量u的反射將v映為v+B(v,u)/Q(u)·u，這里B是一個雙線性形式，Q是和正交矩陣相連的二次形式。而通常的豪斯霍爾德變換是將v映到v-2·B(v,u)/Q(u)·u，當奇特徵和零特徵時與比較兩者不同。
- 特徵2時正交群的中心總是1階，而不是2階。
- 在特徵2的奇維數2n+1時，完全域上的正交群和2n維辛群相同。事實上特徵2時的辛形式時可交換的，而維數為奇數故總有一個1維的核，模去核的商是一個2n維辛空間，正交群作用在它上面。
- 在特徵2的偶維數，正交群是辛群的一個子群，因為此時二次型的辛雙線性形式也是可交換的。

## 旋量模

旋量模是一個從域F上正交群到域F的乘法群模去平方元素

F*/F*2

同態，將關於模長為n向量的反射映到F*/F*2中的n。

旋量模對實數域上的正交群是平凡的，但是其它域上常常不平凡，譬如實數域上不定二次型定義的正交群。

## 伽羅瓦上同調和正交群

代數群的伽羅瓦上同調理論，引入了一些更深入的觀點。它們有解釋的價值，特別是二次型理論的聯繫。

但就目前所發現的現象而言，大部分都是「馬後炮」。第一個觀點是一個域上的二次型或者一個正交群的扭曲形式（張量）可以與伽羅瓦H1等同起來。作為一個代數群，正交群一般不是連通或單連通的；第二個觀點是引入自旋現象，但前一個和判別式相聯繫。

一個旋量模的「spin」名字可以用與自旋群（更準確地pin群）的一個聯繫來解釋。這種方法現在可以馬上用伽羅瓦上同調（引入克利福德代數的術語）來解釋。正交群的自旋群覆疊給出了一個代數群的短正合列：

$$1 \rightarrow \mu_2 \rightarrow Pin_V \rightarrow O_V \rightarrow 1$$

這裡μ2是單位根的代數群；在一個特徵非2的域上，粗略地看，和作用平凡的兩元素群相同。

從H0（就是取值於F中點的群OV(F)）到H1(μ2)的連接同態本質上是spinor模，因為 H1(μ2)同構於域模去平方元素的乘法群。

正交群的H1到自旋群覆疊的核的H2也存在連接同態。因上同調是非阿貝爾的，所以，至少用普通定義，這是我們能走得最遠的。

## 重要子群

物理中，特別是在Kaluza-Klein緊化領域，找出正交群的子群非常重要。主要結論如下：

$$O(n) \supset O(n-1)$$

$$O(2n) \supset SU(n)$$

$$O(2n) \supset USp(n)$$

$$O(7) \supset G_2$$

正交群O(n)也是一些李群的重要子群：

$$SU(n) \supset O(n)$$

$$USp(2n) \supset O(n)$$

$$G_2 \supset O(3)$$

$$F_4 \supset O(9)$$

$$E_6 \supset O(10)$$

$$E_7 \supset O(12)$$

$$E_8 \supset O(16)$$

群O(10)在超弦理論中非常重要，因為它是10維時空的對稱群。

## 外部連結

- John Baez "This Week's Finds in Mathematical Physics" week 105
- John Baez on Octonions