連心力

在物理學裏，作用力可以分類為連心力（central force）與非連心力。連心力的方向永遠指向一個固定點；稱此點為力中心點。許多宇宙最基本的力，像萬有引力、靜電力，都是連心力。而勞侖茲力的磁力部分則乃非連心力。連心力以方程式表達為

$\mathbf{F}=F\hat{\mathbf{r}}$。

其中，$\mathbf{F}$是連心力，$\mathbf{r}$是從力中心點到檢驗位置的徑向向量。

連心力可以進一步細分為兩種版本：強版本和弱版本。強版連心力要求連心力跟徑向距離有關：

$\mathbf{F}=F(r)\hat{\mathbf{r}}$。

弱版連心力沒有這嚴厲的條件。在物理學裏，大多數重要的連心力都是強版連心力；簡單擺的繩索作用於擺錘的拉力是一種弱版連心力，這拉力的方向是徑向方向，但對於小角度擺動，拉力的大小可以近似為一個常量，是擺錘感受到的重力大小。

## 角動量恆定

假設一個粒子，感受到連心力$\mathbf{F}$的作用，則施加於此粒子的力矩$\boldsymbol{\tau}$為零：

$\boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}=\mathbf{r}\times F\hat{\mathbf{r}}=0$。

角動量$\mathbf{L}$對於時間$t$的導數是力矩：

$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\boldsymbol{\tau}$。

所以，角動量守恆，是個常數。

## 平面運動

關於此粒子的運動。

$\mathbf{r}\cdot\mathbf{L}=\mathbf{r}\cdot(\mathbf{r}\times(m\mathbf{v}))=0$。

此粒子的位置向量$\mathbf{r}$垂直於恆定的角動量$\mathbf{L}$，所以，此粒子的運動必局限於垂直於角動量的平面。

## 平面速度恆定

採用極坐標系$(r,\theta)$來表示此粒子的平面運動，原點為力中心點。則角動量為

$L=mr^2\dot{\theta}$。

這裏，$m$是粒子的質量、$\dot{\theta}$是角速度。

粒子與力中心點的連線，掃過的平面的平面速度$\frac{dA}{dt}$為

$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}r^2\dot{\theta}=\frac{L}{2m}$。

所以，受連心力作用的粒子與力中心點的連線，掃過的平面，速度恆定。

## 連心勢

假若連心力$\mathbf{F}$是一個函數$V(\mathbf{r})$的負梯度：

$\mathbf{F}= - \nabla V(\mathbf{r})$。

則連心力是保守力：

$\nabla\times\mathbf{F}= - \nabla\times\nabla V=0$。

- 對於任何簡單的閉合迴路，連心力所做的機械功$W$是0：

$W = \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}= 0$。

此函數$V$是一個純量勢，注意到由於$\mathbf{F}=F\hat{\mathbf{r}}$，純量勢$V$只能跟$r$有關：

$\mathbf{F}= - \frac{\partial V}{\partial r}\ \hat{\mathbf{r}}$。

稱$V(r)$為連心勢。連心力也只能跟$r$有關：

$\mathbf{F}=F(r)\hat{\mathbf{r}}$。

這連心力是強版連心力。

## 有效勢能

一個運動於勢能$V(r)$的粒子的拉格朗日量等於動能減去勢能：

$\mathcal{L}(r,\theta) = \frac{m}{2}\left(\dot{r}^2+ r^2\dot{\theta}^2\right) - V(r)$。

其拉格朗日方程式為

$m\ddot{r}-mr\dot{\theta}^2 - F(r)=0$。

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(mr^2\dot{\theta})=0$。

其中，$F(r)= -\ \frac{\partial V(r)}{\partial r}$為連心力。

由於連心勢與角坐標$\theta$無關，因此其共軛動量（角動量）是個運動常數：

$P_{\theta}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta} = m r^2 \dot{\theta}$。

為了善用此運動常數，應用勒讓德變換轉到相空間得到哈密頓量和運動方程式：

$\dot{p}_{r} = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \left[ \frac{P_{\theta}^2}{2 m r^2} + V(r)\right]$。

因此，可得到粒子的徑向運動等同於一個在以下有效勢能中的一維運動：

$V_{\rm Eff}(r) = \frac{P_{\theta}^2}{2m} \frac{1}{r^2} + V(r)$。

星體在$\frac{1}{r^2}$萬有引力下運動的有效勢能是：

$V_{\rm Eff}(r) = \frac{P_{\theta}^2}{2m} \frac{1}{r^2} - \frac{K}{r}$。

因此可以看到，有效勢能所造成的作用力，在短距離因為角動量守恆項目而排斥，在遠距離因為萬有引力項目而吸引。兩者平衡點－即有效勢能最低點－正是圓形軌道半徑。

## 有心運動的軌跡的確定

有心力的運動軌道可以用比內（Binet）公式來計算。在平面極坐標系中，如果令：

$$u = \frac{1}{r}, h = \frac{L_0}{m}$$

其中$L_0$為物體做有心運動時的角動量，則有：

$$-mh^2 u^2(\frac{d^2 u}{d\theta^2}+u) = F(u)$$

解這個微分方程可以得到運動軌跡的半徑與角度的關係：

$$r = \frac{1}{u(\theta)} = r(\theta)$$

### 平方反比類有心力的運動軌跡方程

將大小與到力心位置距離成平方反比的有心力表示為：$F(r) = \frac {k}{r^2}$，將它代入上述的方程，得到：

$$-mh^2 u^2 (\frac {d^2 u}{d \theta ^2} + u) = \frac {k}{r^2}$$

通過移項整理，可以得到一個二階常係數線性非齊次方程：

$$\frac {d^2 u}{d \theta ^2} + mf(u) = 0$$

式子，其中$m$為移項整理後關於$f(u)$這個多項式的外層係數。通過類比彈簧振子簡諧運動方程的求解方法

$\frac {d^2 r}{d t^2} + \frac {kx}{m} = 0$

$r = A \cos (\omega t) \!$

$A$

$\omega = \sqrt{\frac {k}{m}}$

可以類似地解得上述方程的通解：

$$r = \frac {1}{u} = \frac {\frac {mh^2}{k^2}}{1 + \frac {mh^2}{k^2} \cos (\theta-\theta_0)}$$

可以看出，其運動軌跡為圓錐曲線中的一種。

### 任意冪次有心力的情況

物體在有心力作用下的運動情況常常涉及複雜的二階線性非齊次方程，表現為非線性動力學問題。作為特殊情況，當有心力可以表示為反比或者平方反比時，通常可以像以上演算法來簡化微分方程的求解，這也給天文學家分析問題帶來了很大的方便。但是其他冪次的情況則複雜得多。

## 參閱

- 克卜勒問題
- 伯特蘭定理
- 三體問題