弦拓撲

弦拓撲是近幾年來興起的一個數學學科，概括地說，它是關於流形的路徑空間（path space）上的拓撲性質及其在微分幾何，同調代數和數學物理等領域的應用的研究。

## 弦拓撲介紹

1999年美國數學家Moira Chas和Dennis Sullivan在網路上( www.arxiv.org )發表了他們的研究論文String topology，即弦拓撲(文獻1)。在這篇論文中，他們證明了一個流形的自由環路空間(free loop space)的同調群有一個Gerstenhaber代數和一個Batalin-Vilkovisky代數(簡稱BV代數)結構，從而得出了關於流形的一類新的拓撲不變量。此後，Sullivan和他的合作者們，陸續發表了幾篇關於流形的環路空間和路徑空間方面的論文，進一步探討了這些空間的拓撲性質。他們的研究很快吸引了許多數學家的興趣，並引起了廣泛的研究，這些研究主要集中在：

- 一個流形的什麼代數性質導致了它的環路空間的這兩個代數結構？
- 這些新的不變量是流形的什麼樣的不變量？比如說，是不是流形的同胚或者同倫不變量？
- 由於迄今為止所有BV代數的例子都來自於弦理論，那麼弦拓撲有沒有一個弦理論的解釋？
- 越來越多的辛幾何特別是辛場論(symplectic field theory)的研究者發現，辛場論和弦拓撲的研究對象有類似之處，那麼這兩者之間到底有什麼關係？
- 弦拓撲研究的是流形的環路空間，那麼它在低維流形的研究中，比如說三維流形和紐結理論，有些什麼樣的應用？

所有這些研究現在被統稱為弦拓撲。

### Gerstenhaber和BV代數的構造

Gerstenhaber代數是60年代美國數學家Gerstenhaber在研究環)和代數的形變理論中發現的一種代數結構，又稱為辮代數。它同時是一個交換的結合代數和一個李括號度數(degree)為一的李代數，並且兩者滿足一定的相容條件。

Chas和Sullivan是怎麼在流形的自由環路空間上發現Gerstenhaber代數的呢？給定一個流形，它的自由環路空間上的一個鏈可以看成一簇環路，這簇環路上面有一個顯然的標記，也就是他們的起點(同時也是終點)。給定兩個這樣的鏈，如果第一簇環路中的某個環路的終點跟第二簇環路中某個環路起點相同，那麼我們就把這兩個環路連接起來形成一個新的環路。這樣我們就得到一簇新的環路，現在稱為Chas-Sullivan環路乘積(loop product)，而且這樣的乘積跟邊緣算子相容，因而可以定義到同調群上。

有了Chas-Sullivan環路乘積，我們自然問：這個乘積是不是交換的？在鏈水平上這顯然不是，但是Chas和Sullivan證明它在同倫的意義下是交換的，也就是說，自由環路空間的同調群在Chas-Sullivan環路乘積下形成一個交換的結合代數。並且，Chas和Sullivan還證明，這個同倫算子形成一個準李代數(pre-Lie algebra),因而它的交換子形成一個李代數；這個李代數和上面的交換結合代數滿足Gerstenhaber代數所必須的相容條件，從而我們在自由環路空間的同調群上得到一個Gerstenhaber代數。

BV代數是60年代俄國物理學家Batalin和Vilkovisky在研究場論的量子化時候發現的，它是一類特殊的Gerstenhaber代數。具體地說，它除了是一個Gerstenhaber代數外，還有一個度數為一的算子，這個算子對於乘積運算不形成一個導子，而它成為導子的偏差，就正好是李括號。回到環路空間上來：對於自由環路空間，我們可以把這些環路進行旋轉，仍然得到一個環路，也就是說自由環路空間允許一個S1作用。Chas和Sullivan證明了，這個S1作用，在同調水平上就是滿足BV代數所需要的度數為一的算子。

可以證明，Chas和Sullivan得到的這些不變量在很多情況下並不是平凡的。

## 弦拓撲產生的數學背景

為什麼要研究弦拓撲呢？這個問題要追溯到最近二十多年來整個數學的發展。

最近二十多年來的數學，特別是幾何，拓撲，和代數的發展，非常深刻地受到量子場論和弦理論的影響。在幾何拓撲領域，四維流形的楊-米爾斯理論，Seiberg-Witten理論，辛流形的Gromov-Witten理論，三維流形的陳省身-西蒙斯理論，還有鏡像對稱等等，都與量子場論有著深刻的聯繫。量子場論給數學家的印象，就像一把萬能鑰匙，運用到任何一個領域，都能夠開啟一個新的研究的大門，從而開闢一個廣闊的研究空間。量子場論有力地促動了數學的發展，數學家們也從物理學家那裡獲得了很多靈感和啟發。

上面提到的這些流形的理論都非常複雜，有些有洞見的數學家就提出如下問題：量子場論後面有沒有隱藏著一種結構，而這種結構是所有這些理論所共有的？也就是說，我們能不能夠用量子場論的模型把二十多年來出現的關於流形的這些不變量都統一起來？正如研究量子力學最有力的數學工具是李代數一樣(不嚴格地說，在數學家看來，量子力學實際上就是李代數的表示論)，研究量子場論和弦理論最有力的數學工具是BV代數。事實上，弦理論家Schwarz證明了，一個弦場論量子化後，我們自然而然就得到一個BV代數。數學家Lian和Zuckermann(文獻5)，還有Getzler(文獻4)等人，都得到了相同的結果，即：二維拓撲量子場論組成的範疇典則地等價於BV代數組成的範疇。

Sullivan就是在這樣的背景下研究弦拓撲的。他的想法比較簡單而自然：物理學家考慮的是將若干個弦打到一個靶(target)空間上，然後考慮這些弦隨著時間的變化而產生的相互作用(幾何上，這些弦隨著時間的變化在靶空間上產生一個帶邊界的二維曲面)；在一個拓撲學家看來，時間的因素只是提供這些弦之間作用的先後順序而已，那麼何不暫時不考慮作用的先後順序，先直接給出兩個弦碰到一起產生一個新弦的數學描述呢？有沒有一個簡單的拓撲學描述？Chas和Sullivan給出的這個拓撲學描述就是Chas-Sullivan環路乘積。定義好了這個乘積，下面的工作幾乎是顯然的了。

弦拓撲是我們在數學上，更主要地，是代數上理解量子場論的一個開始，也許它並不能解決上面提出的問題，即用量子場論統一二十多年來數學上出現的關於流形的各種不變量。但是不論如何，它提供了一個新的視角，提出了許多問題，開闢了一個新的研究領域。這也就是弦拓撲吸引許多數學家的原因。

## 弦拓撲的應用

弦拓撲在辛幾何，紐結理論，同倫論，還有數學物理裡面都有重要的應用。比如說，Sullivan證明了量子場論裡面出現的一些代數結構都可以在路徑空間的鏈和同調水平上實現(參考文獻7)；Cieliebak和Latschev用辛場論的方法證明了(未發表)一個流形的自由環路空間的鏈上有一個對李無窮(bi-Lie$_{{\infty}}$)代數，而它跟弦拓撲裡面出現的對李無窮代數(文獻2)是鏈等價的；弦拓撲至少在鏈水平是不是流形的同胚不變量或者同倫不變量這個問題還在研究之中，部分答案可以參考文獻3；弦拓撲在紐結理論中的應用也正在研究之中，這方面的文獻可以參考Ng的文章(文獻6)。

## 部分參考文獻

- M. Chas and D. Sullivan, String topology, arxiv: math-GT/9911159.
- M. Chas and D. Sullivan, Closed string operators in topology leading to Lie bialgebras and higher string algebra, in The legacy of Niels Henrik Abel, 771-784, Springer, Berlin, 2004.
- R. Cohen, J. Klein and D. Sullivan, The homotopy invariance of the string topology loop product and string bracket, arxiv: math.GT/0509667
- E. Getzler, Batalin-Vilkovisky algebras and two-dimensional topological field theories. Comm. Math. Phys. 159(1994), no. 2, 265-285.
- B. Lian and G. Zuckerman, New perspectives on the BRST-algebraic structure of string theory. Comm. Math. Phys. 154 (1993), no. 3, 613-646.
- L. Ng, Conormal bundles, contact homology, and knot invariants, arxiv: math.SG/0412330
- D. Sullivan, Open and closed string field theory interpreted in classical algebraic topology, in Topology, geometry and quantum field theory, 344-357, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 308, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2004.