多重積分

多重積分（Multiple integral）是定積分的一類，它將定積分擴展到多元函數（多變量的函數），例如求$f(x,y)$或者$f(x,y,z)$類型的多元函數的積分。

## 簡介

正如單變量的正函數的定積分代表函數圖像和x軸之間區域的面積一樣，正的雙變量函數的雙重積分代表函數所定義的曲面和包含函數定義域的平面之間所夾的區域的體積。（注意同樣的體積也可以通過三變量常函數f(x, y, z) = 1在上述曲面和平面之間的區域中的三重積分得到。若有更多變量，則多元函數的多重積分給出超體積。

n元函數f(x1, x2,..., xn)在定義域D上的多重積分通常用嵌套的積分號按照演算的逆序標識（最左邊的積分號最後計算），後面跟著被積函數和正常次序的積分變量（最右邊的變量最後使用）。積分域或者對每個積分變量在每個積分號下標識，或者用一個變量標在最右邊的積分號下：

$$\int \ldots \int_\mathbf{D}\;f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \;\mathrm{d}x_1 \!\ldots\mathrm{d}x_n$$

因為不可能計算多於一個自變量的函數的不定積分，「不定」多重積分是不存在的。因此所有多重積分都是「定」積分。

通常在坐標系中，多重積分都利用嵌套的累次積分計算。而累次積分為了簡便可記為：

$$\int_{\varphi_1}^{\psi_1}\,\mathrm{d}x_1\,\int_{\varphi_2(x_1)}^{\psi_2(x_1)}\,\mathrm{d}x_2\!\dots\int_{\varphi_n(x_1,x_2,\dots,x_{n-1})}^{\psi_n(x_1,x_2,\dots,x_{n-1})}\,f(x_1,x_2,\dots,x_n)\mathrm{d}x_n$$

其中積分域為：

$$D=\left\{(x_1,x_2,\dots,x_n)|\varphi_1\le x_1\le\psi_1,\varphi_2(x_1)\le x_2\le\psi_2(x_1),\dots,\varphi_n(x_1,x_2,\dots,x_{n-1})\le x_n\le\psi_n(x_1,x_2,\dots,x_{n-1})\right\}$$

注意的是，該式一般情況下並不表示多個定積分的積，在實際計算中從最右側積分變量開始積分，其結果會作為外一層積分的被積函數。

## 範例

譬如，邊長為4 × 6 × 5的長方體的體積可以通過兩種方法得到：

- 通過函數f(x, y) = 5在xy平面中的區域D，也就是長方體的底上的雙重積分

$$\iint_\mathrm{D} 5 \ \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y$$

- 或者是常函數1在長方體上的三重積分

$\iiint 1\mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z$ (1可以省略不寫)

## 數學定義

令n為大於1的自然數。考慮所謂的半開n維矩形（下面簡稱矩形）。對於平面，$n=2$。

$T=[a_1, b_1)\times [a_2, b_2)\times\cdots \times [a_n, b_n)\subset \mathbb R^n$。

將每個區間ai, bi)分成有限個不重疊的子區間，每個都是左閉右開。將子區間記為Ii。則，所有所有如下形式的子矩形的族

$$C=I_1\times I_2\times \cdots\times I_n$$

是T的一個劃分，也即，子矩形C是互不重疊的，而且它們聯集為T。C中的子矩形的直徑按照定義是C中最大的邊長，而T的劃分的直徑定義成劃分中的所有子矩形的最大直徑。

令f : T → R為定義在T上的函數。考慮如上定義的T的劃分

$$T=C_1\cup C_2\cup \cdots \cup C_m$$

其中m是正整數。如下形式的和稱為黎曼和

$$\sum_{k=1}^m f(P_k)\, \operatorname{m}(C_k)$$

其中，對於每個k，點Pk在Ck中，而m(Ck)是笛卡爾積為Ck的區間的邊長之積。

函數f稱為黎曼可積，如果如下極限存在

$$S = \lim_{\delta \to 0} \sum_{k=1}^m f(P_k)\, \operatorname{m}\, (C_k)$$

其中極限取遍所有直徑小於δ的T的劃分。若f黎曼可積，S稱為f在T上的黎曼積分。記為

$\int_T\!f(x)\,\mathrm{d}x$。

定義在任意有界n維集合上的函數的黎曼和可以通過將函數延拓到一個半開半閉矩形上來求出，其取值在原來的定義域之外為0。然後，原來的函數的積分就定義為延展的函數在矩形區域中的積分（如果存在的話）。

下文中n維黎曼積分簡稱多重積分。

### 性質

多重積分具有很多與單變量函數的積分一樣的性質（線性，可加性，單調性，等等）。而且，和單變量情況一樣，可以用多重積分找出函數在給定集合上的積分。具體來講，給定集合D ⊆ Rn和D上的可積函數f，f在定義域上的平均值為

$$\bar{f} = \frac{1}{m(D)} \int_D f(x)\, \mathrm{d}x,$$

其中m（D）是D的測度。

### 特例

T ⊆ R2時，積分

$$\ell = \iint_T f(x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y$$

是f在T上的雙重積分，而若T ⊆ R3，積分

$$\ell = \iiint_T f(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z$$

是f在T上的三重積分。

注意，按常規，雙重積分用兩個積分號，而三重積分有三個；這只是記法上方便，也是為了通過重複積分來計算多重積分（參看本條目後文）。

## 積分方法

多重積分問題的解決在多數情況下依賴於將多重積分轉化為一系列單變量積分，而其中每個單變量積分都是直接可解的。

### 直接檢驗

有時可以直接獲得積分的結果，而無需任何直接計算。

#### 常數

在常函數的情況中，結果很直接：只要將常函數c乘以測度就可以了。如果c = 1，而且是在R2的子集中積分，則乘積就是區域面積，而在R3中，它就是區域的體積。

$D = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ : \ 2 \le x \le 4 \ ; \ 3 \le y \le 6 \}$ and $f(x,y) = 2\,\!$

在D上積分f：

$\int_3^6 \int_2^4 \ 2 \ \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y = \mbox{area}(D) \cdot 2 = (2 \cdot 3) \cdot 2 = 12$。

#### 利用可能的對稱性

如果定義域存在沿著某條軸的對稱性而且函數對於那個變量是奇函數，則積分為0（因為相反的兩部分加起來為0）。

對於Rn中的函數，只要相關變量對於形成對稱的軸是奇變量就可以了。

例一:

給定$f(x,y) = 2 \sin(x)-3y^3+5$以及$T=\left \{ ( x,y) \in \mathbf{R}^2 \ : \ x^2+y^2\le 1 \right \}$為積分區域（半徑為1的圓盤，包含邊界）。

利用線性性質，積分可以分解為三部分：

$$\iint_T (2\sin x - 3y^3 + 5) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \iint_T 2 \sin x \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y - \iint_T 3y^3 \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y + \iint_T 5 \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$$

$2\sin(x)$ 和 $3y^3$ 都是奇函數，而且顯然T對於x和y軸都是對稱的；因此唯一有貢獻的部分是常函數5因為其它兩個都貢獻0.

例二：

考慮函數$f(x,y,z)=x \exp(y^2+z^2)$以及圓心在原點的半徑為2的球

$$T = \left \{ ( x,y, z) \in \mathbf{R}^3 \ : \ x^2+y^2+z^2 \le 4 \right \}.$$

該球顯然是對於三條軸都對稱，但是只要對於x軸積分就可以看出結果是0，因為f對於該變量是奇函數。

### 簡化公式

簡化公式基於簡單積分區域來將多重積分轉化為單變量積分的序列。它們必須從右至左計算，過程中將其它變量暫時視為常數（和偏導數的計算類似）。

#### R2中的常規區域

此種方法適用於滿足下述條件的任何定義域 D:

- D 投影到 x軸或 y軸任一軸，形成一個有邊界的範圍, 以 a, b 代表邊界值。
- 通過 a, b 兩點並與$\overline{ab}$ 垂直的直線與 D 相交後的兩個端點，可以用 2 個函數$\alpha$, $\beta$ 定義。

##### x軸

將 D 對 x軸做垂直投影，函數$f: D \longrightarrow \mathbb{R}$是連續函數，並且D可以視為（定義在a,b區間上的）α(x)和β(x)之間的區域。則

$$\iint_D f(x,y)\ \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y = \int_a^b \mathrm{d}x \int_{ \alpha (x)}^{ \beta (x)} f(x,y)\, \mathrm{d}y$$

##### y軸

將 D對y軸做垂直投影，函數$f: D \longrightarrow \mathbb{R}$是連續函數，並且D可以視為（定義在a,b區間上的）α(y)和β(y)之間的區域。則

$$\iint_D f(x,y)\ \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y = \int_a^b \mathrm{d}y \int_{ \alpha (y)}^{ \beta (y)} f(x,y)\, \mathrm{d}x$$

##### 範例

考慮區域：$D = \{ (x,y) \ : \ x \ge 0, y \le 1, y \ge x^2 \}$（參看附圖）。計算

$$\iint_D (x+y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$$

該區域可以沿x或者y軸分解。要採用公式，必須先找到限制D的兩個函數和定義區間。

這個例子中，這兩個函數為：

$\alpha (x) = x^2\,\!$ 和 $\beta (x) = 1\,\!$

而區間為$[a,b] = [0,1]\,\!$（這裡為了直觀起見採用沿x軸分解）。

應用簡化公式，得到：

$$\iint_D (x+y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \int_0^1 \mathrm{d}x \int_{x^2}^1 (x+y) \, \mathrm{d}y = \int_0^1 \mathrm{d}x \ \left[xy \ + \ \frac{y^2}{2} \ \right]^1_{x^2}$$

（首先，第二個積分將x作為常數）。然後就是用積分的基本技術：

$\int_0^1 \left[xy \ + \ \frac{y^2}{2} \ \right]^1_{x^2} \, \mathrm{d}x = \int_0^1 \left(x + \frac{1}{2} - x^3 - \frac{x^4}{2} \right) \mathrm{d}x = \cdots = \frac{13}{20}$。

如果沿著y軸分解，可以計算

$$\int_0^1 \mathrm{d}y \int_0^{\sqrt{y}} (x+y) \, \mathrm{d}x$$

並得到同樣的結果。

#### R3中的分解

這些公式可以推廣到三重積分：

T是一個可以投影到xy平面的體，它夾在α (x,y)和β(x,y)兩個函數之間。那麼：

$$\iiint_T f(x,y,z) \ \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z = \iint_D \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y \int_{\alpha (x,y)}^{\beta (x,y)} f(x,y,z) \, \mathrm{d}z$$

（此定義和其它R3中的分解類似）。

### 變量替換

積分的極限常常不易交換（區域無法分解或者公式很複雜），這時可以採用變量替換來重寫積分，令區域更加簡易，從而可以用更簡單的公式表達。為此，函數必須變換到新坐標系下。

例（1-a）:

函數為$f(x, y) = (x-1)^2 +\sqrt y$;

若採用替換$x' = x-1, \ y'= y \, \!$則$x = x' + 1, \ y=y' \,\!$

可以得到新函數$f_2(x,y) = (x')^2 +\sqrt y$.

- 對於定義域要進行類似處理，因為原來是採用變換前的變量表達的（本例中的x和y）。
- 微分dx和dy要通過包含被替換的變量對於新變量的偏微分的雅可比行列式來變換。（譬如，極坐標的微分變換）。

常用的變量替換有三種（R2中一種，R3中兩種）；但是，更普遍的變換可以用同樣的原理來發現。

#### 極坐標

在R2中，若定義域有某種圓形對稱性而函數也有某種特徵，則可以採用極坐標變換（參看圖中的例子），也就是說將點P(x,y)從笛卡爾坐標變換到相應的極坐標中。這使得定義域的形狀改變，從而簡化運算。

該變換的基本關係如下：

$f(x,y) \rightarrow f(\rho \ \cos \phi,\rho \ \sin \phi )$。

例（2-a）:

函數為$f(x,y) = x + y\,\!$

應用該變換得到

$f(\rho, \phi) = \rho \cos \phi + \rho \sin \phi = \rho \ (\cos \phi + \sin \phi )$。

例（2-b）:

函數為$f(x,y) = x^2 + y^2\,\!$

這裡有：

$$f(\rho, \phi) = \rho^2 (\cos^2 \phi + \sin^2 \phi) = \rho^2\,\!$$

這裡使用了勾股定理（在簡化操作時很有用）。

定義域的變換是根據x和y通過環厚和角度的幅度來限定ρ, φ的區間。

例（2-c）:

區域為$D = x^2 + y^2 \le 4\,\!$，圓周半徑2；很明顯，這個區域所覆蓋的角度是整個圓周角，所以φ從0變化到2π，而環半徑從0變化到2（內環為0的環形就是圓）。

例（2-d）:

區域為$D = \{ x^2 + y^2 \le 9, \ x^2 + y^2 \ge 4, \ y \ge 0 \}$，這是在正y半平面中的圓環（參看示意圖）；注意φ表示平面角而ρ從2變化到3。因此變換出來的區域為矩形：

$T = \{ 2 \le \rho \le 3, \ 0 \le \phi \le \pi \}$.

該變換的雅可比行列式為：

$$\frac{\partial (x,y)}{\partial (\rho, \phi)} = \begin{vmatrix} \cos \phi & - \rho \sin \phi \\ \sin \phi & \rho \cos \phi \end{vmatrix} = \rho$$

這可以通過將x = ρ cos(φ), y = ρ sin(φ)代入關於ρ的第一行和關於φ的第二行的偏微分中得到，所以微分dx dy變換為ρ dρ dφ.

一旦函數和區域的變換完成後，可以定義極坐標中的變量變換公式：

$\iint_D f(x,y) \ \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y = \iint_T f(\rho \cos \phi, \rho \sin \phi) \rho \, \mathrm{d} \rho\, \mathrm{d} \phi$。

注意φ在0, 2π區間中有效，而ρ測量長度，因此只能取非負值。

此外，應用變量變換公式的前提是，雅可比行列式的值在變換後的積分變量(如此例中的ρ和φ)組成的有界閉區域(如此例中φ和ρ構成的二維域)上恆不為零。但是在極坐標中若且唯若ρ為零時，才有雅可比行列式為零，故可證明該變量變換公式成立。

例 (2-e):

函數為$f(x,y) = x\,\!$區域和例2-d相同。

從前面對D的分析，我們知道ρ的區間為2,3，而φ的為0,π.函數變換為：

$f(x,y) = x \longrightarrow f(\rho,\phi) = \rho \ \cos \phi$。

最後，應用積分公式：

$\iint_D x \, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y = \iint_T \rho \cos \phi \ \rho \, \mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}\phi$。

一旦區間給定，就可以得到

$\int_0^{\pi} \int_2^3 \rho^2 \cos \phi \ \mathrm{d} \rho \ \mathrm{d} \phi = \int_0^{\pi} \cos \phi \ \mathrm{d} \phi \left[ \frac{\rho^3}{3} \right]_2^3 = \left[ \sin \phi \right]_0^{\pi} \ \left(9 - \frac{8}{3} \right) = 0$。

#### 柱極坐標

R3中，在有圓形底面的定義域上的積分可以通過變換到柱極坐標系來完成；函數的變換用如下的關係進行：

$f(x,y,z) \rightarrow f(\rho \cos \phi, \rho \sin \phi, z)$

區域的變換可以從圖形中得到，因為底面的形狀可能不同，而高遵循初始區域的形狀。

例（3-a）:

區域為$D = \{ x^2 + y^2 \le 9, \ x^2 + y^2 \ge 4, \ 0 \le z \le 5 \}$（也即底面為例2-d中的圓環的高度為5的"管道"）；如果採用變換，可以得到區域$T = \{ 2 \le \rho \le 3, \ 0 \le \phi \le \pi, \ 0 \le z \le 5 \}$（這是一個底面為例2-d中的矩形而高為5的長方體）。

因為z分量沒有變化，dx dy dz和在極坐標中一樣變化：變為ρ dρ dφ dz。

最後，變換到柱極坐標的最後公式為：

$\iiint_D f(x,y,z) \, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z = \iiint_T f(\rho \cos \phi, \rho \sin \phi, z) \rho \, \mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}\phi\, \mathrm{d}z$。

這個方法在柱形或者錐形區域的情況較為適用，也適用於容易分辨z區間和變換圓形底面和函數的其它情況。

例（3-b）:

函數為$f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z\,\!$而積分區域為圓柱: $D = \{ x^2 + y^2 \le 9, \ -5 \le z \le 5 \}$.

將D變換到柱極坐標如下：

$T = \{ 0 \le \rho \le 3, \ 0 \le \phi \le 2 \pi, \ -5 \le z \le 5 \}$。

函數變為

$$f(\rho \cos \phi, \rho \sin \phi, z) = \rho^2 + z$$

最有應用積分公式：

$$\iiint_D (x^2 + y^2 +z) \, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z = \iiint_T ( \rho^2 + z) \rho \, \mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}\phi\, \mathrm{d}z;$$

推演一下公式，得到

$\int_{-5}^5 \mathrm{d}z \int_0^{2 \pi} \mathrm{d}\phi \int_0^3 ( \rho^3 + \rho z )\, \mathrm{d}\rho = 2 \pi \int_{-5}^5 \left[ \frac{\rho^4}{4} + \frac{\rho^2 z}{2} \right]_0^3 \, \mathrm{d}z = 2 \pi \int_{-5}^5 \left( \frac{81}{4} + \frac{9}{2} z\right)\, \mathrm{d}z = \cdots = 405 \pi.$

#### 球極坐標

R3中，有些區域有球形對稱性，所以將積分區域的每點用兩個角度和一個距離標識較為合適。因此可以採用變換到球極坐標系；函數變換由如下關係產生：

$f(x,y,z) \longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \phi, \rho \sin \theta \sin \phi, \rho \cos \phi)\,\!$

注意z軸上的點沒有唯一表示，$\theta$可以在0到2π間變化。

這個方法最為適用的區域顯然是球。

例（4-a）:

區域為$D = x^2 + y^2 + z^2 \le 16$（球心在原點半徑為4的球）；應用變換後得到：$T = \{ 0 \le \rho \le 4, \ 0 \le \phi \le \pi, \ 0 \le \theta \le 2 \pi \}$。

坐標變換的雅可比行列式為：

$$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho, \theta, \phi)} = \begin{vmatrix} \cos \theta \sin \phi & - \rho \sin \theta \sin \phi & \rho \cos \theta \cos \phi \\ \sin \theta \sin \phi & \rho \cos \theta \sin \phi & \rho \sin \theta \cos \phi \\ \cos \phi & 0 & - \rho \sin \phi \end{vmatrix} = -\rho^2 \sin \phi$$

因此$\mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z$變換為$\rho^2 \sin \phi \, \mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}\phi$.

得到最後公式:

$\iiint_D f(x,y,z) \, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z = \iiint_T f(\rho \sin \theta \cos \phi, \rho \sin \theta \sin \phi, \rho \cos \theta) \rho^2 \sin \phi \, \mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}\phi$。

應當在積分區域為球形對稱並且函數很容易通過基本三角公式簡化的時候才使用這個方法。（參看例4-b）；其它情況下，可能使用柱極坐標更為合適（參看例4-c）。

$\iiint_T f(a,b,c) \rho^2 \sin \phi \, \mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}\phi$。

注意從雅可比行列式來的$\rho^2$和$\sin \phi$因子。

注意下面例子中，φ和θ的作用反過來了。

例（4-b）:

D和例4-a相同，而$f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2\,\!$是被積函數。

很容易變換為：

$f(\rho \sin \theta \cos \phi, \rho \sin \theta \sin \phi, \rho \cos \theta) = \rho^2,$。

而從D到T的變換是已知的：

$(0 \le \rho \le 4, \ 0 \le \phi \le 2 \pi, \ 0 \le \theta \le \pi)$。

應用積分公式：

$$\iiint_D (x^2 + y^2 +z^2) \, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z = \iiint_T \rho^2 \ \rho^2 \sin \theta \, \mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}\phi,$$

並展開：

$$\iiint_T \rho^4 \sin \theta \, \mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}\phi = \int_0^{\pi} \sin \theta \,\mathrm{d}\theta \int_0^4 \rho^4 \mathrm{d} \rho \int_0^{2 \pi} \mathrm{d}\phi = 2 \pi \int_0^{\pi} \sin \theta \left[ \frac{\rho^5}{5} \right]_0^4 \, \mathrm{d} \theta$$

$= 2 \pi \left[ \frac{\rho^5}{5} \right]_0^4 \left[- \cos \theta \right]_0^{\pi} = 4 \pi \cdot \frac{1024}{5} = \frac{4096 \pi}{5}$。

例（4-c）:

區域D是球心在原點半徑為3a的球（$D = x^2 + y^2 + z^2 \le 9a^2 \,\!$）而$f(x,y,z) = x^2 + y^2\,\!$是被積函數。

看起來採用球極坐標變換較為合適，但是事實上，限定新區域T的變量很明顯應該是：

$0 \le \rho \le 3a, \ 0 \le \phi \le 2 \pi, \ 0 \le \theta \le \pi$。

但是採用這個變換就有

$f(x,y,z) = x^2 + y^2 \longrightarrow \rho^2 \sin^2 \theta \cos^2 \phi + \rho^2 \sin^2 \theta \sin^2 \phi = \rho^2 \sin^2 \theta$.

應用積分公式得到：

$$\iiint_T \rho^2 \sin^2 \theta \rho^2 \sin \theta \, \mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}\phi = \iiint_T \rho^4 \sin^3 \theta \, \mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}\phi$$

這很難求解。而如果採用柱極坐標，新的T區間為：

$$0 \le \rho \le 3a, \ 0 \le \phi \le 2 \pi, \ - \sqrt{9a^2 - \rho^2} \le z \le \sqrt{9a^2 - \rho^2};$$

z區間可以通過將球切成兩個半球並求解從D的公式來的不等式得到（然後直接變換x2 + y2到ρ2）。新函數就是ρ2.採用積分公式

$\iiint_T \rho^2 \rho \ \mathrm{d} \rho \mathrm{d} \phi \mathrm{d}z$.

得到

$\int_0^{2 \pi} \mathrm{d}\phi \int_0^{3a} \rho^3 \mathrm{d}\rho \int_{- \sqrt{9a^2 - \rho^2} }^{\sqrt{9 a^2 - \rho^2} }\, \mathrm{d}z = 2 \pi \int_0^{3a} 2 \rho^3 \sqrt{9 a^2 - \rho^2} \, \mathrm{d}\rho$。

然後應用變換

$$9 a^2 - \rho^2 = t\,\! \longrightarrow \mathrm{d}t = -2 \rho\, \mathrm{d}\rho \longrightarrow \mathrm{d}\rho = \frac{\mathrm{d} t}{- 2 \rho}\,\!$$

(新區間變為$0, 3a \longrightarrow 9 a^2, 0$)。得到

$$- 2 \pi \int_{9 a^2}^{0} \rho^2 \sqrt{t}\, \mathrm{d}t$$

因為$\rho^2 = 9 a^2 - t\,\!$，所以

$$-2 \pi \int_{9 a^2}^0 (9 a^2 - t) \sqrt{t}\, \mathrm{d}t,$$

將積分限反過來，然後分配括號中的項，很容易將積分分解為可以直接積分的兩部分：

$$2 \pi \left[ \int_0^{9 a^2} 9 a^2 \sqrt{t} \, \mathrm{d}t - \int_0^{9 a^2} t \sqrt{t} \, \mathrm{d}t\right] = 2 \pi \left[9 a^2 \frac{2}{3} t^{ \frac{3}{2} } - \frac{2}{5} t^{ \frac{5}{2}} \right]_0^{9 a^2}$$

$$= 2 \cdot 27 \pi a^5 \left ( 6 - \frac{18}{5} \right ) = \frac{648 \pi}{5} a^5.$$

由於採用柱極坐標，很容易就將這個三重積分變換為簡單的單變量積分。

參看柱極和球極坐標下的∇中討論的不同的體積元。

## 數學應用範例-體積計算

利用上面描述的方法，很容易計算一些立體的體積。

- 圓柱：半徑為R的圓形底面作為定義域，將等於高度h的常函數作為積分對象。可以在極坐標中將體積寫作：

體積$= \int_0^{2 \pi } \mathrm{d} \phi \int_0^R h \rho \ \mathrm{d} \rho = h 2 \pi \left[\frac{\rho^2}{2 }\right]_0^R = \pi R^2 h$

驗證：體積=底面積×高 = $\pi R^2 \cdot h$

- 球:可以作為常函數1在球極坐標下的半徑為R的球中積分：

體積$= \int_0^{2 \pi }\, \mathrm{d} \phi \int_0^{ \pi } \sin \theta\, \mathrm{d} \theta \int_0^R \rho^2\, \mathrm{d} \rho = 2 \pi \int_0^{ \pi } \sin \theta \frac{R^3}{3 }\, \mathrm{d} \theta = \frac{2}{3 } \pi R^3 [- \cos \theta]_0^{ \pi } = \frac{4}{3 } \pi R^3$。

- 四面體 (三稜錐或者說3維單純形)：頂點在原點，三條長度為l的邊沿著各個笛卡爾坐標系軸向的四面體的體積可以通過簡化公式計算，因為xy平面和'z'軸互相垂直，x和y垂直，被積函數是常數1。

體積$= \int_0^\ell \mathrm{d}x \int_0^{\ell-x }\, \mathrm{d}y \int_0^{\ell-x-y }\, \mathrm{d}z = \int_0^\ell \mathrm{d}x \int_0^{\ell-x } (\ell - x - y)\, \mathrm{d}y$

$$= \int_0^\ell (\ell^2 - 2\ell x + x^2 - \frac{ (\ell-x)^2 }{2 })\, \mathrm{d}x = \ell^3 - \ell \ell^2 + \frac{\ell^3}{3 } - \left[\frac{\ell^2}{2 } - \ell x + \frac{x^2}{2 }\right]_0^\ell =$$

$$= \frac{\ell^3}{3 } - \frac{\ell^3}{6 } = \frac{\ell^3}{6}$$

驗證：體積 = 底面積×高/3 = $\frac{\ell^2}{2 } \cdot \ell/3 = \frac{\ell^3}{6}$。

## 多重廣義積分

定義域無界或者函數值在靠近定義域邊界時無界的情況下，可以引入二重廣義積分或者三重廣義積分。

## 多重積分和累次積分

富比尼定理斷言若

$$\int_{A\times B} |f(x,y)|\,\mathrm{d}(x,y)<\infty,$$

也即，積分絕對收斂，則多重積分和累次積分給出同樣的結果。

$\int_{A\times B} f(x,y)\,\mathrm{d}(x,y)=\int_A\left(\int_B f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int_B\left(\int_A f(x,y)\,\mathrm{d}x\right)\,\mathrm{d}y$。

一個特例是如果$|f(x,y)|$是有界函數而A和B為有界集時。

如果積分不是絕對收斂，必須小心，不要混淆多重積分和累次積分的概念，特別是當它們採用形式上相同的記法的時候。記法

$$\int_0^1\int_0^1 f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$$

在某些情況下表示累次積分而非真正的雙重積分。累次積分中，外圍的積分

$$\int_0^1 \cdots \, \mathrm{d}x$$

是對於如下x的函數關於x的積分

$g(x)=\int_0^1 f(x,y)\,\mathrm{d}y$。

雙重積分卻是定義在xy平面的區域上。若雙重積分存在，則它等於兩個累次積分中的任何一個（或者"$\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$"或者"$\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$"），它也就是通過其中之一來計算的。但是有時這兩個累次積分存在，而雙重積分不存在。這種情況下，有時兩個累次積分不相等，也即。

$\int_0^1\int_0^1 f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x \neq \int_0^1\int_0^1 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$。

這是條件收斂的積分的重排序的一個例子。

如果要強調使用雙重積分而非累次積分時，可以採用如下記法

$$\int_{[0,1]\times[0,1]} f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$$

## 一些實際應用

很普遍地，像單變量一樣，我們通過多重積分可以找到給定集合上的函數的平均值。給定一個集合D ⊆ Rn和一個在D上可積的函數f，f在區域上的平均值是

$$\bar{f} = \frac{1}{m(D)} \int_D f(x)\, \mathrm{d}x,$$

其中m(D)是D的測度。

此外，這些積分在物理中有大量應用。

力學中，轉動慣量可以作為密度乘以剛體和轉軸的距離的平方的體積分（三重積分）計算：

$I_z = \iiint_V \rho r^2\, \mathrm{d}V$。

與三維歐氏空間R3中的質量測度$\mathrm{d}m$表示的質量分布關聯的引力勢：

$$V(\mathbf{x}) = -\int_{\mathbf{R}^3} \frac{G}{|\mathbf{x} - \mathbf{y}|}\,\mathrm{d}m(\mathbf{y}).$$

如果存在一個連續函數 $\rho(\mathbf {x})$ 表示 x 處的密度分布, 那麼 $\mathrm{d}m(\mathbf {x})=\rho(\mathbf {x}) \, \mathrm{d}^3\mathbf {x}$, 其中$\mathrm{d}^3\mathbf {x}$ 是歐幾里得體積元, 那麼引力勢就是

$$V(\mathbf{x}) = -\int_{\mathbf{R}^3} \frac{G}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|}\,\rho(\mathbf{y})\,\mathrm{d}^3\mathbf{y}.$$

在電磁學中，麥克斯韋方程組可以寫作多重積分，用以計算總磁場和電場。下例中，由電荷分布產生的電場通過向量函數的三重積分得到：

$\vec E = \frac {1}{4 \pi \epsilon_0} \iiint \frac {\vec r - \vec r'}{\left \| \vec r - \vec r' \right \|^3} \rho (\vec r')\, \operatorname{d}^3 r'$。

## 參考

- Robert A. Adams - Calculus: A Complete Course (5th Edition) ISBN 0-201-79131-5.

## 外部連結

- Mathematical Assistant on Web 笛卡爾坐標系下和極坐標下的雙重積分的在線計算 （包括求解過程中的中間步驟，由Maxima(軟體)支持)