角動量算符

在量子力學裏，角動量算符（angular momentum operator）是一種算符，類比於經典的角動量。在原子物理學涉及旋轉對稱性（rotational symmetry）的理論裏，角動量算符佔有中心的角色。角動量，動量，與能量是物體運動的三個基本特性。

## 簡介

角動量促使在旋轉方面的運動得以數量化。在孤立系統裏，如同能量和動量，角動量是守恆的。在量子力學裏，角動量算符的概念是必要的，因為角動量的計算實現於描述量子系統的波函數，而不是經典地實現於一點或一剛體。在量子尺寸世界，分析的對象都是以波函數或量子幅來描述其機率性行為，而不是命定性(deterministic)行為。

## 數學定義

在經典力學裏，角動量 $\mathbf{L}=(L_x,\ L_y,\ L_z)\,\!$ 定義為位置 $\mathbf{r}=(x,\ y,\ z)\,\!$ 與動量 $\mathbf{p}=(p_x,\ p_y,\ p_z)\,\!$ 的叉積：

$\mathbf{L}\ \stackrel{def}{=}\ \mathbf{r}\times\mathbf{p}\,\!$。

在量子力學裏，對應的角動量算符 $\hat{\mathbf{L}}\,\!$ 定義為位置算符 $\hat{\mathbf{r}}\,\!$ 與動量算符 $\hat{\mathbf{p}}\,\!$ 的叉積：

$\hat{\mathbf{L}}\ \stackrel{def}{=}\ \hat{\mathbf{r}}\times\hat{\mathbf{p}}\,\!$。

由於動量算符的形式為

$\hat{\mathbf{p}}= - i\hbar\nabla\,\!$。

角動量算符的形式為

$\hat{\mathbf{L}}= - i\hbar(\hat{\mathbf{r}}\times\nabla) \,\!$。

其中，$\nabla\,\!$ 是梯度算符。

## 角動量是厄米算符

在量子力學裏，每一個可觀察量所對應的算符都是厄米算符。角動量是一個可觀察量，所以，角動量算符應該也是厄米算符。讓我們現在證明這一點，思考角動量算符的 x-分量 $\hat{L}_x\,\!$：

$\hat{L}_x=\hat{y}\hat{p}_z - \hat{z}\hat{p}_y\,\!$。

其伴隨算符 $L_x^{\dagger}\,\!$ 為

$\hat{L}_x^{\dagger}=(\hat{y}\hat{p}_z - \hat{z}\hat{p}_y)^{\dagger}=\hat{p}_z^\dagger\hat{y}^{\dagger} - \hat{p}_y^+\hat{z}^{\dagger}\,\!$。

由於 $\hat{y}\,\!$、$\hat{z}\,\!$、$\hat{p}_y\,\!$、$\hat{p}_z\,\!$，都是厄米算符。

$\hat{L}_x^{\dagger}=\hat{p}_z\hat{y} - \hat{p}_y\hat{z}\,\!$。

由於 $\hat{p}_z\,\!$ 與 $\hat{y}\,\!$ 之間、$\hat{p}_y\,\!$ 與 $\hat{z}\,\!$ 之間分別相互對易，所以。

$\hat{L}_x^{\dagger}=\hat{y}\hat{p}_z - \hat{z}\hat{p}_y=\hat{L}_x\,\!$。

因此，$\hat{L}_x\,\!$ 是一個厄米算符。類似地，$\hat{L}_y\,\!$ 與 $\hat{L}_z\,\!$ 都是厄米算符。總結，角動量算符是厄米算符。

再思考 $\hat{L}^2\,\!$ 算符。

$\hat{L}^2=\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2\,\!$。

其伴隨算符 $(\hat{L}^2)^{\dagger}\,\!$ 為

$(\hat{L}^2)^{\dagger}=(\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2)^{\dagger}=(\hat{L}_x^2)^{\dagger}+(\hat{L}_y^2)^{\dagger}+(\hat{L}_z^2)^{\dagger}\,\!$。

由於 $\hat{L}_x^2\,\!$ 算符、$\hat{L}_y^2\,\!$ 算符、$\hat{L}_z^2\,\!$ 算符，都是厄米算符。

$(\hat{L}^2)^{\dagger}=\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2=\hat{L}^2\,\!$。

所以，$\hat{L}^2\,\!$ 算符是厄米算符。

## 對易關係

兩個算符 $\hat{A}\,\!$ 與 $\hat{B}\,\!$ 的交換算符 $[\hat{A},\ \hat{B}]\,\!$，表示出它們之間的對易關係。

### 角動量算符與自己的對易關係

思考 $\hat{L}_x\,\!$ 與 $\hat{L}_y\,\!$ 的交換算符。

$\begin{align} \left.\right.[\hat{L}_x,\ \hat{L}_y] & = [\hat{y}\hat{p}_z - \hat{z}\hat{p}_y,\ \hat{z}\hat{p}_x - \hat{x}\hat{p}_z] \\ <pre> & =[\hat{y}\hat{p}_z,\ \hat{z}\hat{p}_x] - [\hat{z}\hat{p}_y,\ \hat{z}\hat{p}_x] - [\hat{y}\hat{p}_z,\ \hat{x}\hat{p}_z]+[\hat{z}\hat{p}_y,\ \hat{x}\hat{p}_z] \\ & =i\hbar (\hat{x}\hat{p}_y - \hat{y}\hat{p}_x) \\ & =i\hbar\hat{L}_z \\ \end{align}\,\!$。

由於兩者的對易關係不等於 0， $L_x\,\!$ 與 $L_y\,\!$ 彼此是不相容可觀察量。$\hat{L}_x\,\!$ 與 $\hat{L}_y\,\!$ 絕對不會有共同的基底量子態。一般而言，$\hat{L}_x\,\!$ 的本徵態與 $\hat{L}_y\,\!$ 的本徵態不同。

給予一個量子系統，量子態為 $|\psi\rangle\,\!$。對於可觀察量算符 $\hat{L}_x\,\!$，所有本徵值為 $\ell_{xi}\,\!$ 的本徵態 $|f_i\rangle,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\,\!$，形成了一組基底量子態。量子態 $|\psi\rangle\,\!$ 可以表達為這基底量子態的線性組合：$|\psi\rangle=\sum_i \ |f_i\rangle\langle f_i|\psi\rangle\,\!$。對於可觀察量算符 $\hat{L}_y\,\!$，所有本徵值為 $\ell_{yi}\,\!$ 的本徵態 $|g_i\rangle,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\,\!$，形成了另外一組基底量子態。量子態 $|\psi\rangle\,\!$ 可以表達為這基底量子態的線性組合：$|\psi\rangle=\sum_i \ |g_i\rangle\langle g_i|\psi\rangle\,\!$。

根據哥本哈根詮釋，量子測量可以用量子態塌縮機制來詮釋。假若，我們測量可觀察量 $L_x\,\!$，得到的測量值為其本徵值 $\ell_{xi}\,\!$，則量子態機率地塌縮為本徵態 $|f_i\rangle\,\!$。假若，我們立刻再測量可觀察量 $L_x\,\!$，得到的答案必定是 $\ell_{xi}\,\!$，量子態仍舊處於 $|f_i\rangle\,\!$。可是，假若，我們改為測量可觀察量 $L_y\,\!$，則量子態不會停留於本徵態 $|f_i\rangle\,\!$，而會塌縮為 $\hat{L}_y\,\!$ 的本徵態。假若，得到的測量值為其本徵值 $\ell_{yj}\,\!$，則量子態機率地塌縮為本徵態 $|g_j\rangle\,\!$。

根據不確定性原理。

$\Delta L_x\ \Delta L_y \ge \left|\frac{\langle[\hat{L}_x,\ \hat{L}_y]\rangle}{2i}\right|=\frac{\hbar |\langle \hat{L}_z\rangle|}{2}\,\!$。

$L_x\,\!$ 的不確定性與 $L_y\,\!$ 的不確定性的乘積 $\Delta L_x\ \Delta L_y \,\!$，必定大於或等於 $\frac{\hbar |\langle L_z\rangle|}{2}\,\!$。

$L_x\,\!$ 與 $L_z\,\!$ 之間，$L_y\,\!$ 與 $L_z\,\!$ 之間，也有類似的特性。

### 角動量平方算符與角動量算符之間的對易關係

思考 $\hat{L}^2\,\!$ 與 $\hat{L}_z\,\!$ 的交換算符。

$\begin{align}\left.\right.[\hat{L}^2,\ \hat{L}_z] & = [\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2,\ \hat{L}_z] \\ <pre> & = \hat{L}_x\hat{L}_x\hat{L}_z - \hat{L}_z\hat{L}_x\hat{L}_x+\hat{L}_y\hat{L}_y\hat{L}_z - \hat{L}_z\hat{L}_y\hat{L}_y \\ & = \hat{L}_x(\hat{L}_z\hat{L}_x - i\hbar\hat{L}_y) - (\hat{L}_x\hat{L}_z+i\hbar\hat{L}_y)\hat{L}_x+\hat{L}_y(\hat{L}_z\hat{L}_y+i\hbar\hat{L}_x) - (\hat{L}_y\hat{L}_z - i\hbar\hat{L}_x)\hat{L}_y \\ & = 0 \\ \end{align}\,\!$。

$\hat{L}^2 \,\!$ 與 $\hat{L}_z\,\!$ 是對易的，$L^2 \,\!$ 與 $L_z\,\!$ 彼此是相容可觀察量，兩個算符有共同的本徵態。根據不確定性原理，我們可以同時地測量到 $L^2 \,\!$ 與 $L_z\,\!$ 的本徵值。

類似地。

$[\hat{L}^2,\ \hat{L}_x] =0\,\!$。

$[\hat{L}^2,\ \hat{L}_y] =0\,\!$。

$\hat{L}^2\,\!$ 與 $\hat{L}_x\,\!$ 之間、$\hat{L}^2\,\!$ 與 $\hat{L}_y\,\!$ 之間，都分別擁有類似的物理特性。

### 在經典力學裏的對易關係

在經典力學裏，角動量算符也遵守類似的對易關係：

$\{L_i,\ L_j\}=\epsilon_{ijk}L_k\,\!$。

其中，$\{\ ,\ \}\,\!$ 是帕松括號，$\epsilon_{ijk}\,\!$ 是列維-奇維塔符號，$i\,\!$、$j\,\!$、$k\,\!$，代表直角坐標 $(x,\ y,\ z)\,\!$。

## 本徵值與本徵函數

採用球坐標。展開角動量算符的方程式：

$\begin{align}\hat{\mathbf{L}} <pre> & = \frac{\hbar}{i}\hat{\mathbf{r}}\times\nabla \\ & = \frac{\hbar}{i} r\mathbf{e}_r \times \left(\mathbf{e}_r \frac{\partial}{\partial r}+\mathbf{e}_{\theta} \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}+ </pre> \mathbf{e}_{\phi} \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\right) \\ <pre> & = \frac{\hbar}{i}\left( - \mathbf{e}_{\theta}\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \phi} +\mathbf{e}_{\phi}\frac{\partial}{\partial \theta}\right) \\ \end{align} </pre> \,\!$。

其中，$\mathbf{e}_r\,\!$、$\mathbf{e}_\theta\,\!$、$\mathbf{e}_\phi\,\!$，分別為徑向單位向量、天頂角單位向量、與方位角單位向量。

轉換回直角坐標。

$\hat{\mathbf{L}}=\frac{\hbar}{i}\left[ \mathbf{e}_x \left( - \sin \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right) +\mathbf{e}_y\left(\cos \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right) +\mathbf{e}_z\frac{\partial}{\partial \phi}\right] \,\!$。

其中，$\mathbf{e}_x\,\!$、$\mathbf{e}_y\,\!$、$\mathbf{e}_z\,\!$，分別為 x-單位向量、y-單位向量、與 z-單位向量。

所以，$\hat{L}_x\,\!$、$\hat{L}_y\,\!$、$\hat{L}_z\,\!$ 分別是

$\hat{L}_x=\frac{\hbar}{i}\left( - \sin \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\,\!$。

$\hat{L}_y=\frac{\hbar}{i}\left(\cos \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\,\!$。

$\hat{L}_z=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial \phi}\,\!$。

角動量平方算符是

$\hat{L}^2=\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2\,\!$。

其中。

$$\begin{align}\hat{L}_x^2 <pre> & = - \hbar^2\left( - \sin \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\left( - \sin \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right) \\ & = - \hbar^2\left(\sin^2\phi\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+\cot\theta\cos^2\phi\frac{\partial}{\partial \theta}+\cot\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \phi} - \csc^2\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right. \\ </pre> \end{align}\,\!$$

$\left.+\cot\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \phi} - \cot^2\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}+\cot^2\theta\cos^2\phi\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right)\,\!$。

$$\begin{align}\hat{L}_y^2 <pre> & = - \hbar^2\left(\cos\phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\left(\cos \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right) \\ & = - \hbar^2\left(\cos^2\phi\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+\cot\theta\sin^2\phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \phi}+\csc^2\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right. \\ </pre> \end{align}\,\!$$

$\left. - \cot\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \phi}+\cot^2\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}+\cot^2\theta\sin^2\phi\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right)\,\!$。

$\hat{L}_z^2= - \hbar^2\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\,\!$。

經過一番繁雜的運算，終於得到想要的方程式

$\hat{L}^2= - \hbar^2\left(\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+\cot\theta\frac{\partial}{\partial \theta}+(1+\cot^2\theta)\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right) = - \hbar^2\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right)\,\!$。

滿足算符 $\hat{L}^2\,\!$ 的本徵函數是球諧函數 $Y_{\ell m}\,\!$：

$\hat{L}^2 Y_{\ell m}= \ell(\ell+1)\hbar^2 Y_{\ell m}\,\!$。

其中，本徵值 $\ell\,\!$ 是正整數。

球諧函數也是滿足算符 $\hat{L}_z\,\!$ 微分方程式的本徵函數：

$\hat{L}_z Y_{\ell m}= m\hbar Y_{\ell m}\,\!$。

其中，本徵值 $m\,\!$ 是整數，$- \ell \le m \le 0\,\!$。

因為這兩個算符的正則對易關係是 0，它們可以有共同的本徵函數。

球諧函數 $Y_{\ell m}\,\!$ 表達為

$Y_{\ell m}(\theta,\ \phi) =(i)^{m+|m|} \sqrt{{(2\ell+1)\over 4\pi}{(\ell - m)!\over (\ell+m)!}} \, P_{\ell m} (\cos{\theta}) \, e^{im\phi}\,\!$。

其中，$i\,\!$ 是虛數單位，$P_{\ell m}(\cos{\theta})\,\!$ 是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為

$P_{\ell m}(x) = (1 - x^2)^{|m|/2}\ \frac{d^{|m|}}{dx^{|m|}}P_\ell(x)\,$。

而 $P_\ell(x)\,\!$ 是 $\ell$ 階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為：

$P_\ell(x) = {1 \over 2^\ell \ell!} {d^\ell \over dx^\ell }(x^2 - 1)^\ell$。

球諧函數滿足正交歸一性：

$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\ Y_{\ell_1 m_1}Y_{\ell_2 m_2}\sin(\theta)d\theta d\phi=\delta_{\ell_1 \ell_2}\delta_{m_1m_2}\,\!$。

這樣，角動量算符的本徵函數，形成一組單範正交基。任意波函數 $\psi(\theta,\,\phi)\,\!$ 都可以表達為這單範正交基的線性組合：

$\psi(\theta,\,\phi)=\sum_{\ell ,m}\ A_{\ell m}Y_{\ell m}(\theta,\,\phi)\,\!$。

其中，$A_{\ell m}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\ Y_{\ell m}^*(\theta,\,\phi)\psi(\theta,\,\phi)\sin(\theta)d\theta d\phi \,\!$。

## 參閱

- 氫原子
- 球對稱位勢
- 拉普拉斯-龍格-冷次向量

## 外部連結

- 聖地牙哥加州大學物理系量子力學視聽教學：角動量加法