曲線的微分幾何

曲線的微分幾何是幾何學的一個分支，使用微分與積分專門研究平面與歐幾里得空間中的光滑曲線。

從古代開始，許多具體曲線已經用綜合方法深入研究。微分幾何採取另外一種方式：把曲線表示為參數形式，將它們的幾何性質和各種量，比如曲率和弧長，用向量分析表示為導數和積分。分析曲線最重要的工具之一為 Frenet 標架，是一個活動標架，在曲線每一點附近給出「最合適」的坐標系。

曲線的理論比曲面的微分幾何及其高維推廣的範圍要狹窄得多，也簡單得多。因為歐幾里得空間中的正則曲線沒有內蘊幾何。任何正則曲線可以用弧長（「自然參數」）參數化，從曲線上來看不能知道周圍空間的任何資訊，所有曲線都是一樣的。不同空間曲線只是由它們的彎曲和扭曲程度區分。數量上，這由微分幾何不變量曲線的「曲率」和「撓率」來衡量。曲線基本定理斷言這些不變量的資訊完全確定了曲線。

## 定義

設 $n$ 是一個正整數，$r$ 是正整數或 $\infty$，$I$ 是實數非空區間，$t$ 屬於 $I$。一個$C^r$ 類（即 $\gamma$ 為 $r$ 次連續可微）向量值函數

$$\mathbf{\gamma}:I \to {\mathbb R}^n$$

稱為一條 $C^r$ 類參數曲線或曲線 $\gamma$ 的一個 $C^r$ 參數化，$t$ 稱為曲線 $\gamma$ 的參數，$\gamma(I)$ 稱為曲線的像。將參數曲線 $\gamma$ 和它的像 $\gamma(I)$ 區別開來是非常重要的，因為一個給定的${\mathbb R}^n$的子集可以是許多不同的參數曲線的像。

可以想像參數 $t$ 代表時間，而曲線 $\gamma(t)$ 作為空間中一個運動粒子軌跡。

如果 I 是閉區間 a, b，我們稱 γ(a) 為曲線 γ 的起點而 γ(b) 為終點。

如果 $\gamma(a)=\gamma(b)$，我們說 γ 是閉的或是一個環路。進一步，我們稱 γ 是一條閉 Cr-曲線，如果 γ(k)(a) = γ(k)(b) 對所有 k ≤ r。

如果 $\gamma:(a,b)\to \mathbb{R}^n$ 為單射，我們稱為簡單曲線。

如果參數曲線 $\gamma$ 局部可寫成冪級數，我們稱曲線解析或是 $C^\omega$ 類。

記號 -$\gamma$ 表示朝相反的方向運動的曲線。

一條 $C^k$-曲線

$$\gamma:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n$$

稱為 $m$ 階正則若且唯若對任何 $t$ 屬於$I$

$$\lbrace \gamma'(t), \gamma''(t), ...,\gamma^{(m)}(t) \rbrace \mbox {, } m \leq k$$

在 $\mathbb{R}^n$ 中線性無關。

特別地，一條 $C^1$-曲線 $\gamma$ 是正則的如果

$\gamma'(t) \neq 0$ 對任何 $t \in I \,.$

## 重新參數化與等價關係

給定一條曲線的像我們可以定義曲線的許多不同的參數化。微分幾何旨在描述在一定的參數化下不變的性質。所以我們需在所有參數曲線集合上定義一種合適的等價關係。曲線的微分幾何性質（長度，Frenet 標架和廣義曲率）在重新參數化下不變從而滿足等價類性質。這個等價類稱為 Cr 曲線，是曲線的微分幾何研究的中心。

兩個 Cr 參數曲線

$$\mathbf{\gamma_1}:I_1 \to R^n$$

與

$$\mathbf{\gamma_2}:I_2 \to R^n$$

要稱為等價，就要存在一個 Cr 雙射

$$\phi :I_1 \to I_2$$

使得

$$\phi'(t) \neq 0 \qquad (t \in I_1)$$

和

$$\mathbf{\gamma_2}(\phi(t)) = \mathbf{\gamma_1}(t) \qquad (t \in I_1)\,.$$

γ2 稱為 γ1 的重新參數化。這種 γ1 的重新參數化在所有參數 Cr 曲線的集合上定義了一種等價關係，其等價類稱為 Cr 曲線。

對定向 Cr 曲線，我們可以定義一種「加細」的等價關係，要求 φ 滿足 φ'(t) > 0。

等價的 Cr 曲線有相同的像；等價的定向 Cr 曲線有相同的運動方向。

## 長度與自然參數化

C1 曲線 γ : a, b → Rn 的長度 l 可以定義為

$$l = \int_a^b \vert \mathbf{\gamma}'(t) \vert dt.$$

曲線的長度在重參數化下保持不變，從而是曲線的一個微分幾何性質。

對任何正則 Cr （r 至少為 1）曲線 γ: a, b → Rn 我們可以定義一個函數

$$s(t) = \int_{t_0}^t \vert \mathbf{\gamma}'(x) \vert dx.$$

寫成

$$\overline{\mathbf{\gamma}(s)} = \gamma(t(s))$$

這裡 t(s) 是 s(t) 的逆函數，我們得到 γ 的一個新參數化 $\bar \gamma$，稱為自然、弧長或單位速度參數化；參數 s(t) 稱為 γ 的自然參數。

我們偏愛這個參數，因為自然參數 s(t) 以單位速度轉動 γ 的像，所以

$$\vert \overline{\mathbf{\gamma}'(s(t))} \vert = 1 \qquad (t \in I).$$

在實際中常常很難計算出一條曲線的自然參數，但在理論討論中很有用。

給定一條參數化曲線 γ(t) 的自然參數化是在差一個參數移動的意義下是惟一的。

數量

$$E(\gamma) = \frac{1}{2}\int_a^b \vert \mathbf{\gamma}'(t) \vert^2 dt$$

經常稱為曲線的能量或作用量；這個名稱是有理由的，因為測地線方程是這個作用量的歐拉-拉格朗日運動方程。

## Frenet 標架

一個 Frenet 標架是一個移動的參考標架，由描述曲線在每一點 γ(t) 局部性質的n 個正交向量 ei(t) 組成。這是微分幾何處理曲線的主要工具，因為在這個局部參考系中，遠比使用歐幾里得那樣的整體坐標系更容易和自然地描述局部性質（如曲率、撓率）。

給定 Rn 中一條 n 階正則 Cn+1-曲線 γ，曲線的 Frenet 標架是一組正交向量

$$\mathbf{e}_1(t), \ldots, \mathbf{e}_n(t)$$

稱為 Frenet 向量。它們是通過對 γ(t) 的各階導數使用格拉姆-施密特正交化演算法得到的：

$$\mathbf{e}_1(t) = \frac{\mathbf{\gamma}'(t)}{\| \mathbf{\gamma}'(t) \|}$$

$$\mathbf{e}_{j}(t) = \frac{\overline{\mathbf{e}_{j}}(t)}{\|\overline{\mathbf{e}_{j}}(t) \|} \mbox{, } \overline{\mathbf{e}_{j}}(t) = \mathbf{\gamma}^{(j)}(t) - \sum _{i=1}^{j-1} \langle \mathbf{\gamma}^{(j)}(t), \mathbf{e}_i(t) \rangle \, \mathbf{e}_i(t)$$

實值函數 χi(t) 稱為 廣義曲率，定義為

$$\chi_i(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_i'(t), \mathbf{e}_{i+1}(t) \rangle}{\| \mathbf{\gamma}^'(t) \|}$$

Frenet 標架和廣義曲率在重新參數化下是不變的，故它們是曲線的微分幾何性質。

## 特殊 Frenet 向量和廣義曲率

最初三個 Frenet 向量和廣義曲率可以在三維空間中看到。它們有額外的名字以及與名稱相關更多資訊。

### 切向量

如果曲線 γ 表示一個質點的軌跡，那麼質點在給定點 P 的瞬時速度用一個向量表示，稱為曲線在 P 的切向量。

數學表述為，給定一條曲線 γ = γ(t)，對參數 t 的任何值： t = t0。

向量：

$$\gamma'(t_0) = \frac{d}{d\,t}\mathbf{\gamma}(t) , {t=t_0}$$

是點 P = γ(t0) 的切向量。一般說，切向量可以為零向量。

切向量的長度：

$$\|\mathbf{\gamma}'(t_0)\|$$

是在時間 t0 的速率。

第一個 Frenet 向量 e1(t) 是在同一方向的單位切向量，在 γ 的每個正則點有定義：

$$\mathbf{e}_{1}(t) = \frac{ \mathbf{\gamma}'(t) }{ \| \mathbf{\gamma}'(t) \|}.$$

如果 t = s 是自然參數則切向量有單位長，從而公式化簡為：

$$\mathbf{e}_{1}(s) = \mathbf{\gamma}'(s).$$

單位切向量確定了曲線的定向，或隨著參數增長的前進方向。

### 法向量

法向量，有時也稱為曲率向量，表明曲線和一條直線的偏離程度。

法向量定義為

$$\overline{\mathbf{e}_2}(t) = \mathbf{\gamma}''(t) - \langle \mathbf{\gamma}''(t), \mathbf{e}_1(t) \rangle \, \mathbf{e}_1(t).$$

其正規形式單位法向量，是 Frenet 向量 e2(t)，定義為

$$\mathbf{e}_2(t) = \frac{\overline{\mathbf{e}_2}(t)} {\| \overline{\mathbf{e}_2}(t) \|}.$$

t 點的切向量和法向量張成 t 點的密切平面。

### 曲率

第一個廣義曲率 χ1(t) 稱為曲率，度量了曲線 γ 偏離密切平面上一條直線的程度。定義為

$$\kappa(t) = \chi_1(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_1'(t), \mathbf{e}_2(t) \rangle}{\| \mathbf{\gamma}^'(t) \|}$$

稱為 γ 在點 t 的曲率。

曲率的倒數

$$\frac{1}{\kappa(t)}$$

稱為曲率半徑。

半徑為 r 的圓周有常曲率

$$\kappa(t) = \frac{1}{r}\,,$$

但一條直線的曲率是 0。

### 次法向量

次法向量是第三個 Frenet 向量 e3(t)。

總是正交於 t 點的單位切向量和單位法向量。其定義為

$$\mathbf{e}_3(t) = \frac{\overline{\mathbf{e}_3}(t)} {\| \overline{\mathbf{e}_3}(t) \|} \quad \overline{\mathbf{e}_3}(t) = \mathbf{\gamma}'''(t) - \langle \mathbf{\gamma}'''(t), \mathbf{e}_1(t) \rangle \, \mathbf{e}_1(t) - \langle \mathbf{\gamma}'''(t), \mathbf{e}_2(t) \rangle \,\mathbf{e}_2(t)$$

在 3 維空間中等式簡化為

$$\mathbf{e}_3(t) = \mathbf{e}_2(t) \times \mathbf{e}_1(t)\,.$$

### 撓率

第二廣義曲率 χ2(t) 稱為撓率，度量了 γ 和一條平面曲線的偏離程度。或者說，如果撓率為 0 則曲線完全在某平面內（任何 t 都在這一個平面內）。

$$\tau(t) = \chi_2(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_2'(t), \mathbf{e}_3(t) \rangle}{\| \mathbf{\gamma}'(t) \|}$$

稱為 γ 在點 t 的撓率。

## 曲線論主要定理

給定 n 個函數

$$\chi_i \in C^{n-i}([a,b]) \mbox{, } 1 \leq i \leq n$$

滿足

$$\chi_i(t) > 0 \mbox{, } 1 \leq i \leq n-1$$

那麼存在惟一的（在差一個歐幾里得群作用的意義下） n 階正則 Cn+1-曲線 γ，具有如下性質

$$\|\gamma'(t)\| = 1 \mbox{ } (t \in [a,b])$$

$$\chi_i(t) = \frac{ \langle \mathbf{e}_i'(t), \mathbf{e}_{i+1}(t) \rangle}{\| \mathbf{\gamma}'(t) \|} \,,$$

這裡集合

$$\mathbf{e}_1(t), \ldots, \mathbf{e}_n(t)$$

是曲面的 Frenet 標架。

再附加起始 t0 ∈ I，起始點 p0 ∈ Rn 以及一個初始正交標架 {e1, ..., en-1} 滿足

$$\mathbf{\gamma}(t_0) = \mathbf{p}_0$$

$$\mathbf{e}_i(t_0) = \mathbf{e}_i \mbox{, } 1 \leq i \leq n-1$$

那麼我們可以排除歐幾里得作用得到惟一的曲線 γ。

## Frenet-Serret 公式

Frenet-Serret 公式是一組一階常微分方程。其解為由廣義曲率函數 χi 所刻畫的曲線的 Frenet 向量組。

### 2-維

$$\begin{bmatrix} <pre> \mathbf{e}_1'(t)\\ \mathbf{e}_2'(t) \\ </pre> \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} <pre> 0 & \kappa(t) \\ -\kappa(t) & 0 \\ </pre> \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{e}_1(t)\\ \mathbf{e}_2(t) \\ \end{bmatrix}$$

### 3-維

$$\begin{bmatrix} <pre> \mathbf{e}_1'(t) \\ \mathbf{e}_2'(t) \\ \mathbf{e}_3'(t) \\ </pre> \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} <pre> 0 & \kappa(t) & 0 \\ -\kappa(t) & 0 & \tau(t) \\ 0 & -\tau(t) & 0 \\ </pre> \end{bmatrix} \begin{bmatrix} <pre> \mathbf{e}_1(t) \\ \mathbf{e}_2(t) \\ \mathbf{e}_3(t) \\ </pre> \end{bmatrix}$$

### n 維一般公式

$$\begin{bmatrix} <pre> \mathbf{e}_1'(t)\\ \vdots \\ \mathbf{e}_n'(t) \\ </pre> \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} <pre> 0 & \chi_1(t) & & 0 \\ -\chi_1(t) & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & 0 & \chi_{n-1}(t) \\ 0 & & -\chi_{n-1}(t) & 0 \\ </pre> \end{bmatrix} \begin{bmatrix} <pre> \mathbf{e}_1(t) \\ \vdots \\ \mathbf{e}_n(t) \\ </pre> \end{bmatrix}$$