基爾霍夫電路定律

基爾霍夫電路定律（Kirchhoff Circuit Laws）簡稱為基爾霍夫定律，指的是兩條電路學定律，基爾霍夫電流定律與基爾霍夫電壓定律。它們涉及了電荷的守恆及電勢的保守性。1845年，古斯塔夫·基爾霍夫首先提出基爾霍夫電路定律。現在，這定律被廣泛地應用於電機工程學。

從馬克士威方程組可以推導出基爾霍夫電路定律。但是，基爾霍夫並不是依循這條思路發展，而是從格奧爾格·歐姆的工作成果加以推廣得之。

## 基爾霍夫電流定律

基爾霍夫電流定律又稱為基爾霍夫第一定律，表明：

所有進入某節點的電流的總和等於所有離開這節點的電流的總和。

或者，更詳細描述。

假設進入某節點的電流為正值，離開這節點的電流為負值，則所有涉及這節點的電流的代數和等於零。

以方程式表達，對於電路的任意節點。

$\sum_{k=1}^n i_k =0$。

其中，$i_k$ 是第 $k$ 個進入或離開這節點的電流，是流過與這節點相連接的第 $k$ 個支路的電流，可以是實數或複數。

由於累積的電荷（單位為庫侖）是電流（單位為安培）與時間（單位為秒）的乘積，從電荷守恆定律可以推導出這條定律。其實質是穩恆電流的連續性方程，即根據電荷守恆定律，流向節點的電流之和等於流出節點的電流之和。

### 導引

思考電路的某節點，跟這節點相連接有 $n$ 個支路。假設進入這節點的電流為正值，離開這節點的電流為負值，則經過這節點的總電流 $i$ 等於流過支路 $k$ 的電流 $i_k$ 的代數和：

$i=\sum_{k=1}^n i_k$。

將這方程式積分於時間，可以得到累積於這節點的電荷的方程式：

$q=\sum_{k=1}^n q_k$。

其中，$q=\int_0^t i(t') \mathrm{d}t'$ 是累積於這節點的總電荷，$q_k=\int_0^t i_k(t') \mathrm{d}t'$ 是流過支路 $k$ 的電荷，$t$ 是檢驗時間，$t'$ 是積分時間變數。

假設 $q>0$，則正電荷會累積於節點；否則，負電荷會累積於節點。根據電荷守恆定律， $q$ 是個常數，不能夠隨著時間演進而改變。由於這節點是個導體，不能儲存任何電荷。所以，$q=0$、$i=0$，基爾霍夫電流定律成立：

$\sum_{k=1}^n i_k =0$。

### 含時電荷密度

從上述推導可以看到，只有當電荷量為常數時，基爾霍夫電流定律才會成立。通常，這不是個問題，因為靜電力相斥作用，會阻止任何正電荷或負電荷隨時間演進而累積於節點，大多時候，節點的淨電荷是零。

不過，電容器的兩塊導板可能會允許正電荷或負電荷的累積。這是因為電容器的兩塊導板之間的空隙，會阻止分別累積於兩塊導板的異性電荷相遇，從而互相抵消。對於這狀況，流向其中任何一塊導板的電流總和等於電荷累積的速率，而不是零。但是，若將位移電流 $\mathbf{J}_D$ 納入考慮，則基爾霍夫電流定律依然有效。詳盡細節，請參閱條目位移電流。只有當應用基爾霍夫電流定律於電容器內部的導板時，才需要這樣思考。若應用於電路分析（circuit analysis）時，電容器可以視為一個整體元件，淨電荷是零，所以原先的電流定律仍適用。

由更技術性的層面來說，取散度於馬克士威修正的安培定律，然後與高斯定律相結合，即可得到基爾霍夫電流定律：

$\nabla \cdot \mathbf{J} = -\epsilon_0\nabla \cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = -\frac{\partial \rho}{\partial t}$。

其中，$\mathbf{J}$ 是電流密度，$\epsilon_0$ 是電常數，$\mathbf{E}$ 是電場，$\rho$ 是電荷密度。

這是電荷守恆的微分方程式。以積分的形式表述，從封閉表面流出的電流等於在這封閉表面內部的電荷 $Q$ 的流失率：

$\oint_{\mathbb{S}}\mathbf{J}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a} = -\frac{ \mathrm{d} Q}{ \mathrm{d} t}$。

基爾霍夫電流定律等價於電流的散度是零的論述。對於不含時電荷密度 $\rho$，這定律成立。對於含時電荷密度，則必需將位移電流納入考慮。

### 應用

以矩陣表達的基爾霍夫電流定律是眾多電路模擬軟體（electronic circuit simulation）的理論基礎，例如，SPICE或NI Multisim。

## 基爾霍夫電壓定律

基爾霍夫電壓定律又稱為基爾霍夫第二定律，表明：

沿著閉合迴路所有元件兩端的電勢差（電壓）的代數和等於零。

或者，換句話說。

沿著閉合迴路的所有電動勢的代數和等於所有電壓降的代數和。

以方程式表達，對於電路的任意閉合迴路。

$\sum_{k=1}^m v_k = 0$。

其中，$m$ 是這閉合迴路的元件數目，$v_k$ 是元件兩端的電壓，可以是實數或複數。

基爾霍夫電壓定律不僅應用於閉合迴路，也可以把它推廣應用於迴路的部分電路。

### 電場與電勢

在靜電學裏，電勢定義為電場的負線積分：

$\phi(\mathbf{r})\stackrel{def}{=} - \int_\mathbb{L} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\ell}\,\!$。

其中，$\phi(\mathbf{r})$ 是電勢，$\mathbf{E}$ 是電場，$\mathbb{L}$ 是從參考位置到位置 $\mathbf{r}$ 的路徑，$\mathrm{d} \boldsymbol{\ell}$ 是這路徑的微小線元素。

那麼，基爾霍夫電壓定律可以等價表達為：

$\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = 0$。

其中，$\mathbb{C}$ 是積分的閉合迴路。

這方程式乃是法拉第電磁感應定律對於一個特殊狀況的簡化版本。假設通過閉合迴路 $\mathbb{C}$ 的磁通量為常數，則這方程式成立。

這方程式指明，電場沿著閉合迴路 $\mathbb{C}$ 的線積分為零。將這線積分切割為幾段支路，就可以分別計算每一段支路的電壓。

### 理論限制

由於含時電流會產生含時磁場，通過閉合迴路 $\mathbb{C}$ 的磁通量是時間的函數，根據法拉第電磁感應定律，會有電動勢 $\mathcal{E}$ 出現於閉合迴路 $\mathbb{C}$。所以，電場沿著閉合迴路 $\mathbb{C}$ 的線積分不等於零。這是因為電流會將能量傳遞給磁場；反之亦然，磁場亦會將能量傳遞給電流。

對於含有電感器的電路，必需將基爾霍夫電壓定律加以修正。由於含時電流的作用，電路的每一個電感器都會產生對應的電動勢 $\mathcal{E}_k$。必需將這電動勢納入基爾霍夫電壓定律，才能求得正確答案。

## 頻域

思考單頻率交流電路的任意節點，應用基爾霍夫電流定律

$\sum_{k=1}^n i_k =\sum_{k=1}^n I_k\cos(\omega t+\theta_k)=\mathrm{Re}\Big\{\sum_{k=1}^n I_k e^{j(\omega t + \theta_k)} \Big\}=\mathrm{Re}\Big\{\left(\sum_{k=1}^n I_k e^{j\theta_k} \right)e^{j\omega t}\Big\}=0$。

其中，$i_k$ 是第 $k$ 個進入或離開這節點的電流，$I_k$ 是其振幅，$\theta_k$ 是其相位，$\omega$ 是角頻率，$t$ 是時間。

對於任意時間，這方程式成立。所以，設定相量 $\mathbb{I}_k=I_k e^{j\theta_k}$，則可以得到頻域的基爾霍夫電流定律，以方程式表達。

$\sum_{k=1}^n\mathbb{I}_k =0$。

頻域的基爾霍夫電流定律表明：

所有進入或離開節點的電流相量的代數和等於零。

這是節點分析的基礎定律。

類似地，對於交流電路的任意閉合迴路，頻域的基爾霍夫電壓定律表明：

沿著閉合迴路所有元件兩端的電壓相量的代數和等於零。

以方程式表達。

$\sum_{k=1}^m \mathbb{V}_k = 0$。

其中，$\mathbb{V}_k$ 是閉合迴路的元件兩端的電壓相量。

這是網目分析（mesh analysis）的基礎定律。

## 外部連結

- 麻省理工學院電機工程系視聽教學：基爾霍夫定律。
- 國立交通大學物理系視聽教學：電子學。
- Kirchhoff's circuit laws on Khan Academy