第二基本形式

微分幾何中，第二基本形式（second fundamental form）是三維歐幾里得空間中一個光滑曲面的切叢上一個二次形式，通常記作 II。與第一基本形式一起，他們可定義曲面的外部不變量，主曲率。更一般地，若在黎曼流形中或洛倫茲流形中，的一個光滑超曲面上，選取了一個光滑單位法向量場，則可定義這樣一個二形式。

## $\mathbf{R}^3$中曲面

### 引論

$\mathbf{R}^3$中一個參數曲面$S$的第二基本形式由高斯引入。最先假設曲面是兩次連續可微函數的像，$z=f(x,y)$，且平面$z=0$與曲面在原點相切。則$f$以及關於$x$和$y$的偏導數在$(0,0)$皆為零。從而$f$在$(0,0)$處的泰勒展開以二次項開始：

$z=f_{xx}\frac{x^2}{2} + f_{xy}xy + f_{yy}\frac{y^2}{2} +o(n)$。

記 $L=f_{xx}, M=f_{xy}, N=f_{yy}$, 則在$(x,y)$坐標中原點處的第二基本形式是二次型：

$$L dx^2 + 2M dx dy + N dy^2. \,$$

對 參數曲面$S$上一個光滑點$p$，總可以選取坐標系使得坐標的 z-平面與$S$切於$p$，然後可以相同的方式定義第二基本形式。

### 經典記號

一個一般參數曲面的第二基本形式定義如下。設$\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)$ 是$\mathbf{R}^3$中一個正則參數曲面，這裡$\mathbf{r}$是兩個變量的光滑向量值函數。通常記$\mathbf{r}$關於$u$和$v$的偏導數為$\mathbf{r}_u$與$\mathbf{r}_v$。參數化的正則性意味著$\mathbf{r}_u$與$\mathbf{r}_v$對$\mathbf{r}$的定義域中任何$(u,v)$是線性無關的。等價地，叉積$\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v$是曲面的一個非零法向量。參數化這樣就定義了一個單位法向量場$\mathbf{n}(u,v)$：

$$\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v}{|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v|}.$$

第二基本形式通常寫成

$$\mathrm{II} = Ldu^2 + 2Mdudv + Ndv^2, \,$$

在基$\{\mathbf{r}_u,\mathbf{r}_v\}$下的矩陣是

$$\begin{bmatrix} L&M\\ M&N \end{bmatrix}.$$

在參數化 uv-平面上一個給定點處係數$L$, $M$, $N$由$\mathbf{r}$在那個點的二次偏導數到$S$的法線上投影給出，利用點積可計算如下：

$$L = \mathbf{r}_{uu} \cdot \mathbf{n}, \quad M = \mathbf{r}_{uv} \cdot \mathbf{n}, \quad N = \mathbf{r}_{vv} \cdot \mathbf{n}.$$

### 現代記法

一個通常曲面$S$的第二基本形式定義如下：設$\mathbf{r}=\mathbf{r}(u^1, u^2)$是$\mathbf{R}^3$中一個正則參數曲面，這裡$\mathbf{r}$是兩個變量的光滑向量值函數。通常記$\mathbf{r}$關於$u^\alpha$的偏導數為$\mathbf{r}_\alpha$，$\alpha=1,2$。參數化的正則性意味著$\mathbf{r}_1$與$\mathbf{r}_2$在$\mathbf{r}$的定義域上是線性無關的，從而在每一點張成$\mathbf{S}$的切空間。等價地，叉積$\mathbf{r}_1 \times \mathbf{r}_2$是曲面的一個非零法向量。這樣參數化定義了一個單位法向量場$\mathbf{n}$：

$$\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2}{|\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2|}$$

第二基本形式通常寫作

$$\mathrm{II} = b_{\alpha\beta} du^{\alpha} du^{\beta}$$

上式使用了愛因斯坦求和約定。

在參數$(u^1, u^2)$-曲面給定點處係數$b_{\alpha\beta}$由$\mathbf{r}$的二次偏導數到$S$的法線的投影給出，利用點積可寫成：

$$b_{\alpha\beta} = \mathbf{r}_{\alpha\beta} \cdot \mathbf{n}$$

## 黎曼流形中的超曲面

在歐幾里得空間中，第二基本形式由

$$I\!I(v,w) = \langle d\nu(v),w\rangle$$

給出，這裡 $\nu$ 是高斯映射，而 $d\nu$ 是 $\nu$ 的微分視為一個向量值微分形式，括號表示歐幾里得空間的度量張量。

更一般地，在一個黎曼流形上，第二基本形式是描述一個超曲面形算子（記作$S$）的等價方法。

$$\mathrm I\!\mathrm I(v,w)=\langle S(v),w\rangle= -\langle \nabla_v n,w\rangle=\langle n,\nabla_v w\rangle,$$

這裡 $\nabla_v w$ 表示周圍空間的共變導數，$n$超曲面上一個法向量場。如果仿射聯絡是無撓的，則第二基本形式是對稱的。

第二基本形式的符號取決於$n$的方向的選取。（這稱為曲面的余定向，對歐幾里得空間中的曲面，等價於給定曲面的一個定向）。

### 推廣為任意餘維數

第二基本形式可以推廣到任意餘維數。在這種情形下，它是切空間上取值於法叢的一個二次型，可以定義為

$$\mathrm{I}\!\mathrm{I}(v,w)=(\nabla_v w)^\bot,$$

這裡 $(\nabla_v w)^\bot$ 表示共變導數 $\nabla_v w$ 到法叢的正交投影。

在歐幾里得空間中，子流形的曲率張量可以描述為下列公式：

$$\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle.$$

這叫做高斯方程，可以視為高斯絕妙定理的推廣。在一個標準正交基中第二基本形式的本徵值，是曲面的主曲率。一組正交規範本徵向量稱為主方向。

對一般的黎曼流形必須添加周圍空間的曲率；如果$N$是嵌入黎曼流形$(M,g)$中一個流形，則$N$在誘導度量下的曲率張量 $R_N$ 可以用第二基本形式與$M$的曲率張量 $R_M$ 表示出來：

$$\langle R_N(u,v)w,z\rangle = \langle R_M(u,v)w,z\rangle+\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle.$$

## 外部連結

- 關於第二基本形式的幾何的一篇博士論文，作者為 Steven Verpoort: https://lirias.kuleuven.be/bitstream/1979/1779/2/hierrrissiedan!.pdf