球座標系

球座標系（spherical coordinate system）是數學上利用球座標$(r,\ \theta,\ \varphi)$表示一個點$P$在三維空間的位置的三維正交座標系。右圖顯示了球座標的幾何意義：原點與點$P$之間的「徑向距離」（radial distance）$r$，原點到點$P$的連線與正$z$-軸之間的「極角」（polar angle）$\theta$，以及原點到點$P$的連線在$xy$-平面的投影線，與正$x$-軸之間的「方位角」（azimuth angle）$\varphi$。它可以被視為極座標系的三維推廣。球座標的概念，延伸至高維空間，則稱為超球座標。

## 符號約定

在學術界內，關於球座標系的標記有好幾個不同的約定。按照國際標準化組織建立的約定（ISO 31-11），球座標標記為$(r,\ \theta,\ \varphi)$，其中$r$代表徑向距離，$\theta$代表極角，$\varphi$代表方位角，極角也稱為傾斜（inclination）角、法線角或天頂（zenith）角。這種標記通常為物理界的學者所採用，在世界各地有許多使用者，本條目採用的是物理學界標記約定。方位角（azimuth）、高度（altitude或elevation）角和天頂的概念出自關於天球的地平座標系。在極座標系中，角度座標$\theta$常被稱為極角。

在數學界，球座標標記也是$(r,\ \theta,\ \varphi)$，但傾斜角與方位角的標記正好相反：$\theta$代表方位角，$\varphi$代表傾斜角。數學界的標記被認為「提供了對常用的極座標系記號的邏輯擴展，$\theta$仍是在$xy$-平面上的角度而$\varphi$是在這個平面之外的角度」；一些作者將傾斜角列在方位角之前而寫為$(r,\ \varphi,\ \theta)$，還有作者對徑向距離使用$\rho$而寫為$(\rho,\ \varphi,\ \theta)$或$(\rho,\ \theta,\ \varphi)$。

## 定義

假設$P$點在三維空間的位置的三個座標是$(r,\ \theta,\ \varphi)$。那麼，$0\leq r$是從原點到$P$點的距離，$0\leq \theta\leq \pi$是從原點到$P$點的連線與正$z$-軸的夾角，$0\leq\varphi\le 2\pi$是從原點到$P$點的連線在$xy$-平面的投影線，與正$x$-軸的夾角。

這裡，$\theta$代表傾斜角，$\varphi$代表方位角。當$r=0$時，$\theta$與$\varphi$都一起失去意義。當$\theta = 0$或$\theta = \pi$時，$\varphi$失去意義。

如想要用球座標，找出點$P$在空間的地點，可按照以下步驟：

- 從原點往正$z$-軸移動$r$單位。
- 用右手定則，大拇指往$y$-軸指，$x$-軸與$z$-軸朝其他手指的指向旋轉$\varphi$角值。
- 用右手定則，大拇指往$z$-軸指，$x$-軸與$y$-軸朝其他手指的指向旋轉$\theta$角值。

## 座標系變換

三維空間裡，有各種各樣的座標系。球座標系只是其中一種。球座標系與其他座標系的變換需要用到特別的方程式。

### 直角座標系

使用以下等式，可從直角座標變換為球座標：

$r=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。

$\theta=\arccos \left( \frac{z}{r} \right)=\arcsin \left( \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{r} \right)=\arctan \left( \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z} \right)$。

$\varphi = \operatorname{atan2}(y, x)$。

其中 $\operatorname{atan2}(y, x)$ 為雙參數反正切函數，其數學定義為：

$$\varphi = \begin{cases} \arctan\left(\frac{y}{x}\right) & \text{若 } x > 0 \\ \arctan\left(\frac{y}{x}\right) + \pi & \text{若 } x < 0 \text{ 且 } y \ge 0 \\ \arctan\left(\frac{y}{x}\right) - \pi & \text{若 } x < 0 \text{ 且 } y < 0 \\ +\frac{\pi}{2} & \text{若 } x = 0 \text{ 且 } y > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & \text{若 } x = 0 \text{ 且 } y < 0 \\ \text{未定義} & \text{若 } x = 0 \text{ 且 } y = 0 \end{cases}$$

反過來，也可從球座標變換為直角座標：

$x=r \sin\theta \cos\varphi$。

$y=r \sin\theta \sin\varphi$。

$z=r \cos\theta$。

### 圓柱座標系

圓柱座標系是極座標系在三維空間往$z$-軸的延伸。$z$座標用來表示高度。使用以下方程式，可以從圓柱座標$(\rho,\ \varphi,\ z)$變換為球座標：

$r=\sqrt{\rho^2+z^2}$。

$\theta=\arctan\frac{\rho}{z}$。

$\varphi=\varphi$。

反過來，可以從球座標變換為圓柱座標：

$\rho=r\sin\theta$。

$\varphi=\varphi$。

$z=r\cos\theta$。

## 球座標系下的微積分公式

假定$\theta$是從原點到$P$點的連線與正$z$-軸的夾角，球座標系的標度因子分別為：

$h_{r} =1$。

$h_{\theta} =r$。

$h_{\varphi} =r\sin\theta$。

微分公式：

- 線元素是一個從$(r,\theta,\varphi)$到$(r+\mathrm{d}r, \,\theta+\mathrm{d}\theta, \, \varphi+\mathrm{d}\varphi)$的無窮小位移，表示為公式：

$\mathrm{d}\mathbf{r} = \mathrm{d}r\,\boldsymbol{\hat{r}} + r\,\mathrm{d}\theta \,\boldsymbol{\hat{\theta}} + r \sin{\theta} \mathrm{d}\varphi\,\boldsymbol{\hat{\varphi}}$。

其中的$\boldsymbol{\hat{r}},\boldsymbol{\hat{\theta}},\boldsymbol{\hat{\varphi}}$是在$r,\theta,\varphi$的各自的增加的方向上的單位矢量。

- 面積元素1：在球面上，固定半徑，天頂角從$\theta$到$\theta+\mathrm{d}\theta$，方位角從$\varphi$到$\varphi+\mathrm{d}\varphi$變化，公式為：

$\mathrm{d}S_r=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi$。

- 面積元素2：固定天頂角$\theta$，其他兩個變量變化，則公式為：

$\mathrm{d}S_\theta=r\,\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi$。

- 面積元素3：固定方位角$\varphi$，其他兩個變量變化，則公式為：

$\mathrm{d}S_\varphi=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$。

- 體積元素，徑向座標從$r$到$r+\mathrm{d}r$，天頂角從$\theta$到$\theta+\mathrm{d}\theta$，並且方位角從$\varphi$到$\varphi+\mathrm{d}\varphi$的公式為：

$\mathrm{d}V=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi$。

微分算子，如$\nabla f$、$\nabla \cdot \mathbf{F}$、$\nabla \times \mathbf{F}$、$\nabla^2 f$，都可以用$(r,\ \theta,\ \varphi)$座標表示，只要將標度因子代入在正交座標系條目內對應的一般公式，即可得到如下公式：

$\nabla f={\frac{\partial f}{\partial r}}\boldsymbol{\hat{r}} + {\frac{1}{r}}{\frac{\partial f}{\partial \theta}}\boldsymbol{\hat{\theta}} + {\frac{1}{r\sin\theta}}{\frac{\partial f}{\partial \varphi}}\boldsymbol{\hat{\varphi}}$。

$\nabla\cdot \mathbf{A} = \frac{1}{r^2}{\frac{\partial}{\partial r}}\left( r^2 A_r \right) + \frac{1}{r \sin\theta}{\frac{\partial}{\partial\theta}} \left( \sin\theta A_\theta \right) + \frac{1}{r \sin \theta} {\frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}}$。

$\nabla \times \mathbf{A} = {\frac{1}{r\sin\theta}}\left({\frac{\partial}{\partial \theta}} \left( A_\varphi\sin\theta \right) - {\frac{\partial A_\theta}{\partial \varphi}}\right) \boldsymbol{\hat{r}} + {\frac{1}{r}}\left({\frac{1}{\sin\theta}}{\frac{\partial A_r}{\partial \varphi}} - {\frac{\partial}{\partial r}} \left( r A_\varphi \right) \right) \boldsymbol{\hat{\theta}} + {\frac{1}{r}}\left({\frac{\partial}{\partial r}} \left( r A_\theta \right) - {\frac{\partial A_r}{\partial \theta}}\right) \boldsymbol{\hat{\varphi}}$。

$\nabla^2 f={\frac{1}{r^2}}{\frac{\partial}{\partial r}}\!\left(r^2 {\frac{\partial f}{\partial r}}\right) \!+\!{\frac{1}{r^2\!\sin\theta}}{\frac{\partial}{\partial \theta}}\!\left(\sin\theta {\frac{\partial f}{\partial \theta}}\right) \!+\!{\frac{1}{r^2\!\sin^2\theta}}{\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}}$。

## 地理座標系

地理座標系是自古以來主要用於地理學的另一種版本的球座標系。地理座標標記為$(\lambda,\ \psi,\ h)$，其中$\lambda$表示方位角並稱為經度，$\psi$表示高度角並稱為地心緯度，$h$表示相對高度。在地理學裡，通常不直接使用表示到地心距離的絕對高度，日常中所用地圖中可能不標示任何高度。

緯度$\psi$的定義域是$-90^\circ \le \psi \le 90^\circ$，以赤道為緯度$0^\circ$，正值往北負值往南。使用以下公式，可從關於天極的天頂角$\theta$變換為地心緯度$\psi$：

$\psi=90^\circ - \theta$，正值可稱北緯，負值去負號可稱南緯。

經度$\lambda$的定義域是$- 180^\circ \le \lambda \le 180^\circ$。設定經過倫敦格林威治天文台的子午線為經度$0^\circ$，正值往東或負值往西。使用以下公式，可從在赤道參考平面上的方位角$\varphi$變換為經度$\lambda$：

$$\lambda = \begin{cases} \varphi & \text{若 } 0^\circ \le \varphi \le 180^\circ \\ \varphi - 360^\circ & \text{若 } 180^\circ < \varphi < 360^\circ \end{cases}$$

東經和西經都有180°經線，二者等同並有關於國際日期變更線。

採用類球面時，一般採用橢球面一點的法線與赤道參考平面交角為高度角並稱為大地緯度，而地心緯度$\psi$和大地緯度$\varphi$的關係為：

$\tan(\psi)=\frac{b^2}{a^2}\tan(\varphi)$。

徑向距離即到地心距離$r$是關於地心緯度$\psi$的函數：

$r(\psi)=\frac{b}{\sqrt{1 - (e\cos\psi)^2}}$。

其中$a$為參考橢球體的半長軸，$b$為半短軸，$e$為偏心率。採用球面時徑向距離$r$是固定值，地心緯度$\psi$和大地緯度$\varphi$一致。

## 應用

正如二維直角座標系專精在平面上，二維球座標系可以很簡易的設定圓球表面上的點的位置。在這裡，我們認定這圓球是個單位圓球；其半徑是1。通常我們可以忽略這圓球的半徑。在解析旋轉矩陣問題上，這方法是非常有用的。

球座標系適用於分析一個對稱於點的系統。舉例而言，一個圓球，其直角座標方程式為$x^2+y^2+z^2=c^2$，可以簡易的用球座標系$r =c$來表示。

用來描述與分析擁有球狀對稱性質的物理問題，最自然的座標系，莫非是球座標系。例如，一個具有質量或電荷的圓球形位勢場。兩種重要的偏微分方程式，拉普拉斯方程與亥姆霍茲方程，在球座標裡，都可以成功的使用分離變數法求得解答。這種方程式在角部分的解答，皆呈球諧函數的形式。

## 參閱

- 天球座標系統
- 歐拉角
- 雅可比矩陣
- 在圓柱和球座標系中的del