基本多邊形

在數學上，每個閉曲面在幾何拓撲的意義下，可以由一個偶數條邊的有向多邊形，把它的邊成對地粘合構造出來，這樣的多邊形稱之為基本多邊形（fundamental polygon）。

這個構造可以表示成一個長為2n的字串，一共n個不同的符號，每個符號出現兩次帶有指數 +1或 -1。指數 -1的符號對應於該邊的定向與基本多邊形的定向相反。

## 例子

球面｜實球射影平面｜克萊因瓶｜環面

上圖中標有相同字母的兩條邊，沿著箭頭方向粘合。

- 球面：$A A^{-1}$或$A B B^{-1} A^{-1};$
- 實射影平面：$A A$或$A B A B;$
- 克萊因瓶：$A B A B^{-1}$或$A A B B;$
- 環面：$A B A^{-1} B^{-1}$或$A B C A^{-1} B^{-1} C^{-1}.$

## 群生成元

對標準對稱形狀，多邊形的邊可以理解為一個群的生成元。然後這個多邊形，寫成群元素形式，成為由這些邊生成的自由群上一個約束，給出有一個約束的群呈示。

因此，例如給定歐幾里得平面$\mathbb{R}^2$，設群元素$A$在這個平面上有作用$A(x,y)=(x+1,y)$而$B(x,y)=(x,y+1)$。則$A,B$生成格$\Gamma=\mathbb{Z}^2$，而環面由商空間給出（一個齊性空間）$T= \mathbb{R}^2 / \mathbb{Z}^2$。更一般地，兩個生成元$A,B$可用來生成一個基本平行四邊形的平行四邊形鑲嵌。

對環面，在兩個字母的自由群上的約束由$A B A^{-1} B^{-1} = 1$給出。這個約束平凡地包含在如上給出的平面上的作用中。另外，平面可用六邊形鋪滿，六邊形的中心形成一個六邊形格。將六邊形的相對等同，又得到了環面。這一回約束是$A B C A^{-1} B^{-1} C^{-1} = 1$，刻劃了六邊形格生成元在平面上的作用。

在實際中，大部分有趣的情形是具有負曲率的曲面，由群$PSL(2,\mathbb{R})$中一個離散格作用在上半平面實現。這樣的格稱為富克斯群。

## 標準基本多邊形

虧格n可定向閉曲面有如下標準基本多邊形：

$$A_1 B_1 A_1^{-1} B_1^{-1}A_2 B_2 A_2^{-1} B_2^{-1}\cdots A_n B_n A_n^{-1} B_n^{-1} = 1.\,$$

（不可定向）虧格n的不可定向閉曲面有如下標準基本多邊形：

$$A_1 A_1 A_2 A_2 \cdots A_n A_n.\,$$

或者，不可定向曲面能由兩種形式給出，虧格n 克萊因瓶與虧格n 實射影平面。虧格2n克萊因瓶由一個4n邊形給出

$$A_1 B_1 A_1^{-1} B_1^{-1}A_2 B_2 A_2^{-1} B_2^{-1} \cdots A_n B_n A_n^{-1} B_n = 1,\,$$

（注意最後的$B_n$沒有上標 -1；與可定向情形比較，這個翻轉是不可定向性的緣故）。虧格2n+1射影平面由一個4n+2邊形給出

$$A_1 B_1 A_1^{-1} B_1^{-1}A_2 B_2 A_2^{-1} B_2^{-1} \cdots A_n B_n A_n^{-1} B_n^{-1} C^2 = 1.\,$$

最後兩類情形窮盡了所有可能的不可定向曲面，這是昂利·龐加萊證明的。

## 緊黎曼曲面的基本多邊形

一個（雙曲）緊黎曼曲面的基本多邊形有許多重要的性質，將曲面與它的富克斯模型聯繫起來。即一個雙曲緊黎曼曲面可以上半平面做為萬有覆疊，從而可以表示為一個商流形H/Γ，這裡 Γ是一個非阿貝爾群同構於曲面的甲板變換群（deck transformation group）。商空間的陪集有標準多邊形做為代表元素。在下面，注意所有黎曼曲面都是可定向的。

### 度量基本多邊形

給定上半平面H中一點$z_0$，以及PSL(2,R)一個離散子群Γ 自由不連續作用在上半平面，則我們可定義度量基本多邊形（metric fundamental polygon）為點集

$$F=\{z \in \mathbb{H} : d(z,z_0) < d(z,gz_0) \;\; \forall g\in \Gamma \}.\,$$

這裡d是上半平面的雙曲度量。度量基本多邊形有時也稱為狄里克雷區域（Dirichlet region）或沃羅諾伊多邊形。

- 這個基本多邊形是一個基本域。
- 這個基本多邊形是凸集，連接這個多邊形的任何兩點的測地線完全包含在多邊形內部。
- F的直徑小於或等於H/Γ的直徑。特別地，F的閉包緊。
- 如果Γ在H中沒有不動點且H/Γ緊，則F的邊數有限。
- 多邊形的每條邊是一個測地線。
- 對多邊形的每條邊s，恰有另外一條邊s' 使得gs=s' 對某個g屬於Γ。從而這個多邊形有偶數條邊。
- 將邊兩兩連接的群元素集合g是Γ的生成元，沒有更小的集合可生成Γ。
- F的閉包在Γ的作用下鋪滿上半平面。即$H=\cup_{g\in\Gamma}\, g\overline{F}$這裡$\overline{F}$是F的閉包。

### 標準基本多邊形

給定任何度量基本多邊形F，用有限步可以構造另一個基本多邊形，標準基本多邊形（standard fundamental polygon），它具有額外一組值得注意的性質：

- 標準多邊形的頂點都是等價的。「頂點」是說兩條邊相交的點。「等價」意味著每個頂點可以由Γ中某個g變到任何其它一個頂點。
- 邊數可被4整除。
- Γ中一個給定元素g至多將多邊形的一條邊變到另一邊。從而這些邊可以成對標記出來。由於Γ的作用保持定向，如果一條邊為$A$，則這一對中另一個可以標記為相反的方向$A^{-1}$。
- 可以安排標準多邊形的邊，使得相鄰邊取形式$A_1 B_1 A_1^{-1} B_1^{-1}A_2 B_2 A_2^{-1} B_2^{-1}\cdots A_n B_n A_n^{-1} B_n^{-1}$。這就是說邊對可安排成以這樣的方式相間出現。
- 標準多邊形是凸集。
- 邊可以安排成測地線。

上面的構造足夠保證多邊形的每條邊在流形H/Γ中是一個閉（非平凡）環路。就其本身而言，每條邊可以為基本群$\pi_1 (\mathbb{H}/\Gamma)$中一個元素。特別地，基本群$\pi_1 (\mathbb{H}/\Gamma)$有2n個生成元素$A_1, B_1, A_2, B_2, \cdots A_n B_n$，由一個約束定義。

$$A_1 B_1 A_1^{-1} B_1^{-1}A_2 B_2 A_2^{-1} B_2^{-1}\cdots A_n B_n A_n^{-1} B_n^{-1}=1.\,$$

所得流形H/Γ的虧格是n。

### 例子

度量基本多邊形與標準多邊形通常有不同的邊數。比如，環面的標準基本多邊形是一個基本平行四邊形。相比而言，度量基本多邊形有六條邊，是一個六邊形。只需注意到六邊形的邊垂直平分平行四邊形的邊就可以看出來。這就是，取格中一點，然後考慮連接這點與鄰點的直線之集合。每個這樣的線被另一條垂直線平分，被這樣的第二個線集合圍住的最小的空間是一個六邊形。

事實後，上一個構造一般都可行：取一點x，然後對Γ中g，考慮x與gx之間的測地線。平分這些測地線是另一個曲線集合，這些點的軌跡與x和gx距離相等。由第二個線集合圍住的最小區域是度量基本多邊形。

### 面積

標準基本多邊形的面積是$4\pi(n-1)$，這裡n是黎曼曲面的虧格（等價於4n是多邊形的邊數）。由於標準多邊形是H/Γ的一個代表，黎曼曲面的整個面積等於標準多邊形的面積。這個面積公式由高斯-博內定理得出，在某種意義下黎曼-赫爾維茨公式是其推廣。

## 標準多邊形的具體形式

對標準多邊形可以給出具體表達式。一個更有用的形式是使用與這個標準多邊形關聯的群$\Gamma$。對一個虧格n定向曲面，群可由2n格生成元$a_k$給出。這些生成元由下列分式線性變換作用在上半平面給出。

對$0\le k < 2n$：

$$a_k= \left( \begin{matrix} \cos k\alpha & -\sin k\alpha \\ \sin k\alpha & \cos k\alpha \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} e^p & 0 \\ 0 & e^{-p} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \cos k\alpha & \sin k\alpha \\ -\sin k\alpha & \cos k\alpha \end{matrix} \right)$$

參數由

$$\alpha= \frac{\pi}{4n}\left(2n-1\right)$$

和

$$\beta= \frac{\pi}{4n}$$

以及

$$p=\ln \frac{\cos \beta + \sqrt{\cos 2\beta}}{\sin \beta}$$

給出。可以驗證這些生成元服從約束

$$a_0a_1\cdots a_{2n-1} a^{-1}_0a^{-1}_1\cdots a^{-1}_{2n-1}=1,\,$$

這給出整個群呈示。

## 推廣

在高維，基本多變形的想法體現為齊性空間。

## 參考文獻

- Alan F. Beardon, The Geometry of Discrete Groups (1983), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90788-2.
- Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
- Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X.