張量積

在數學中，張量積，記為 $\otimes$，可以應用於不同的上下文中如向量、矩陣、張量、向量空間、代數、拓撲向量空間和模。在各種情況下這個符號的意義是同樣的:最一般的雙線性運算。在某些上下文中也叫做外積。

## 向量空間張量積的定義與構造

兩個向量空間 V 和 W 間的張量積是指一個向量空間，通常記作 V\otimes W，這個新向量空間可確定到至多相差一個同構。

有多種等價的方式來定義向量空間的張量積，其中大多數都是在顯式地定義那個將被稱作張量積 V\otimes W 的向量空間，而對等價性的證明可從該向量空間的基本性質中直接得出。張量積也可以通過泛性質定義，參見下文的 一節。

### 利用基來構造

設 V 和 W 是域 F 上的兩個向量空間，其上分別有基 $B_V$ 和 B_W。一種定義張量積的方式是，把 V 與 W 的張量積 $V \otimes W$ 構造成一個以 $\{u\otimes v|u\in B_V, v\in B_W\}$ 為一組基的向量空間。下面的小節會具體介紹如何構造出這樣的向量空間，實際使用的是自由向量空間的一種通俗表述。

此種張量積定義的一個局限在於，如此定義的張量積依賴於所選擇的基，變更基的選擇將帶來一個不同的張量積空間。不過，用某一組基展開另一組基的做法定義了這兩種張量積空間之間的典範同構。而且這種定義不能推廣到環上的模的張量積。

#### 用基的笛卡爾積生成

具體構造這種向量空間的方法之一是：考慮從兩組基之笛卡爾積 $B_V \times B_W$ 到 F 上的、且只在有限個點處取非零值的函數亦可視為是 $B_V\times B_W$ 中元素以 F 為係數進行的有限線性組合，參見自由模與模的生成集。逐點地定義這些函數的加法與數乘如下：對於任意兩個這樣的函數 $f,g$，以及任意的 $v\in B_V, w\in B_W,s\in F$，$$\begin{aligned} (f+g)(v,w):=&f(v,w)+g(v,w),\\ (sf)(v,w):=&sf(v,w). \end{aligned}$$容易驗證如此定義的運算滿足向量空間公理。於是就定義 $V \otimes W$ 為這些函數所構成的向量空間。

其中，將 $(v,w)$ 映為 1、且將 $B_V \times B_W$ 中其他元素映為 0 的函數記作 v\otimes w。於是集合 $\{v\otimes w\mid v\in B_V, w\in B_W\}$ 直接就構成了 V \otimes W 的一組基，稱為基 $B_V$ 與 B_W 的張量積。

#### 用向量空間的笛卡爾積生成

另一構造方式是，將 $V \otimes W$ 定義為兩個向量空間之笛卡爾積 $V \times W$ 上的、且在 B_V \times B_W 中僅有有限個點上的值非零的雙線性形式所構成的集合。具體來說：給定 $(x,y)\in V \times W$ 與雙線性形式 B : V \times W \to F，可在基 $B_V$ 與 B_W 中展開 $x$ 與 $y$ 為$$x=\sum_{v\in B_V} x_v\, v,\quad y=\sum_{w\in B_W} y_w\, w,$$其中只有有限個 $x_v$、$y_w$ 非零。根據 $B$ 的雙線性可知$$B(x, y) =\sum_{v\in B_V}\sum_{w\in B_W} x_v y_w\, B(v, w)$$由此可見 $B$ 在任一 $(x,y)\in V \times W$ 上的值都完全由它在 B_V \times B_W 上的值完全確定了。而現在要使 $v\otimes w$ 成為這些 $B$ 中的一個，它在 $B_V \times B_W$ 上的定義和之前一樣，所以現在只需將定義線性擴張到整個 $V\times W \to F$ 上：$$(v \otimes w)(x, y) : =\sum_{v'\in B_V}\sum_{w'\in B_W} x_{v'} y_{w'}\, (v \otimes w)(v', w') = x_v \, y_w .$$自此，可將任一雙線性形式 $B$ 表示為一個 $v\otimes w$ 的（可能無窮的）線性組合：$$B = \sum_{v\in B_V}\sum_{w\in B_W} B(v, w)(v \otimes w),$$這看上去就像 $\text{Hom}(V, W; F)$ 作為向量空間的紹德爾基一樣。而為使其正確地成為一個哈默爾基，只需增加一個條件，我們轉而考慮在 B_V \times B_W 中只在有限個元素上非零的 $B$，這些更為特殊的映射構成一個子空間，將這個子空間作為 $V \otimes W$ 即可。

#### 向量的張量積

在這兩種構造中，兩個向量的張量積都可通過在基上展開來定義。具體來說，如前文一樣地取 $x\in V$ 和 $y \in W$ 的基展開：$$\begin{align} x\otimes y&=\biggl(\sum_{v\in B_V} x_v\, v\biggr) \otimes \biggl(\sum_{w\in B_W} y_w\, w\biggr)\\[5mu] &=\sum_{v\in B_V}\sum_{w\in B_W} x_v y_w\, v\otimes w. \end{align}$$從前面用雙線性給出的 $B(x, y)$ 在基下的展開看來，這個定義是非常直接的。也很容易驗證映射 ${\otimes} : (x,y)\mapsto x\otimes y$ 是 $V\times W$ 到 $V\otimes W$ 的一個滿足張量積泛性質（見下文）的雙線性映射。

若將坐標向量排成矩陣，所得到的就是 $x$ 和 y 之坐標向量的外積。因此，張量積是外積的一種推廣，而前者抽象掉了對坐標向量的依賴。

### 作為一個商空間

一種不依賴於基選取的張量積構造方式如下。

設 V,W 是域 F 上的兩個向量空間，為定義它們的張量積空間，首先需要找一個以笛卡兒積 $V\times W$ 為基的向量空間 L。為此可考慮 $V\times W \to F$ 且僅在有限點處非零的函數的集合，同樣逐點地定義運算使其成為向量空間。其中在 $(v,w)$ 上取值 1 否則取值 0 的函數在下面將簡單記作 $(v,w)$ （雖然略顯濫用符號）。

令 R 為一個由張量積所必須滿足的關係張成的 L 的子空間。具體來說， R 由具有以下形式之一的元素張成：$$\begin{align} (v_1 + v_2, w)&-(v_1, w)-(v_2, w),\\ (v, w_1+w_2)&-(v, w_1)-(v, w_2),\\ (sv,w)&-s(v,w),\\ (v,sw)&-s(v,w), \end{align}$$其中 v, v_1, v_2\in V, $w, w_1, w_2 \in W$, s\in F。

而張量積就定義為商空間 $L/R$，而 $(v,w)$ 在這個商中的像就記作 v\otimes w。根據商空間的定義，張量積自然就滿足以下性質：$$\begin{align} (v_1 + v_2)\otimes w&=(v_1\otimes w)+(v_2\otimes w),\\ v\otimes (w_1+w_2)&=(v\otimes w_1)+(v\otimes w_2),\\ (sv)\otimes w&=s(v\otimes w),\\ v\otimes (sw)&=s(v\otimes w), \end{align}$$因為在被映射到商空間中之前，上式等號兩端的原像（將上式中的張量積換成笛卡爾積）只差一個 R 中元素，所以等號兩端的原像位於同一等價類中，因而被商映射映為同一元素，即張量積相等。

容易證明，如此構造而來的張量積滿足下一節中的泛性質。（一種非常相似的構造可用於定義模的張量積。）

### 泛性質

本節將刻畫張量積所滿足的泛性質。滿足任一泛性質的兩個對象間將由唯一一個同構聯繫。顯然，這種定義方式是非構造性的，而前文的張量積構造都可看作對由泛性質定義的張量積的存在性的證明。

張量積的任何性質都可從泛性質中導出。而在運用張量積的實踐中，我們可以完全忘掉用於證明它存在性所用的構造法。

兩個向量空間之張量積的「泛性質定義」如下：

向量空間 V 與 W 的張量積是一個記作 V\otimes W 的向量空間，其配備了一個雙線性映射 $\varphi : V\times W \to V\otimes W:(v,w)\mapsto v\otimes w$，這個映射須滿足：對任意雙線性映射 h : V\times W\to Z，有一個唯一的線性映射 \tilde h : V\otimes W\to Z 使得 $h=\tilde h \circ \varphi$。也就是說 $h(v, w)= \tilde h(v\otimes w)$ 對任意 $v\in V$ 和 w\in W 成立。換言之，兩向量空間的任意雙線性映射都可實現為它們張量積空間上的線性映射。

### 線性無緣

類似上面的泛性質，下面的刻畫也可用於確定一個給定的向量空間和雙線性映射是否形成了一個張量積。

math_statement = 設 $X,Y,Z$ 是復向量空間，而 $T : X \times Y \to Z$ 是一雙線性映射。那麼，$(Z, T)$ 是 X, Y 之張量積的充要條件是：$T$ 的像張成了整個 $Z$ （即）；且 X, Y 是 T-線性無緣的。

X, Y 的T-線性無緣性質是說對於任意正整數 $n$ 和元素 $x_1, \ldots, x_n \in X$, $y_1, \ldots, y_n \in Y$ 滿足 ,

- 若 $x_1, \ldots, x_n$ 線性無關則 $y_i$ 全為 0,
- 若 $y_1, \ldots, y_n$ 線性無關則 $x_i$ 全為 0.

等價地說， X, Y 是 $T$-線性無緣的，若且唯若對於 $X$ 中的任一線性無關序列 $x_1, \ldots, x_m$ 和 Y 中的任一線性序列 $y_1, \ldots, y_n$，都有 $\left\{T\left(x_i, y_j\right) : 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n\right\}$ 線性無關。

#### 例子

作為例子，考慮 X=\C^m 和 Y=\C^n （其中 $m$, $n$ 是正整數），可設 $Z = \Complex^{mn}$ 並定義雙線性映射 $T : \Complex^m \times \Complex^n \to \Complex^{mn}$ 如下$$(x, y) = ((x_1, \ldots, x_m), (y_1, \ldots, y_n)) \mapsto (x_i y_j)_{\stackrel{i=1,\ldots,m}{j=1,\ldots,n}}$$來構成 $X$ 與 Y 的張量積。映射 $T$ 通常記作 $\,\otimes\,$，即 $x \otimes y = T(x, y)$。

作為另一個例子，考慮集 $S$ 上的全體復值函數通過逐點運算定義而來的向量空間 $\Complex^S$。設 $S$, $T$ 為任意的集合，而 $f \in \Complex^S$, g \in \Complex^T，用 $f \otimes g \in \Complex^{S \times T}$ 表示由 (s, t) \mapsto f(s) g(t) 所定義的函數。

設 $X \subseteq \Complex^S$ 和 $Y \subseteq \Complex^T$，那麼它們和 $Z := \operatorname{span} \left\{f \otimes g : f \in X, g \in Y\right\}$ 都是向量空間 $\Complex^{S \times T}$ 的子空間，後者配備 $X \times Y\to Z:(f, g)\mapsto f \otimes g$ 後就形成了 $X$ 和 Y 的張量積。

## 向量空間張量積的性質

零在 $V \otimes W$ 中。

結果的張量積 $V \otimes W$ 自身是向量空間，它可以直接通過向量空間公理來驗證。分別給定 V 和 W 基 $\{v_i\}$ 和 $\{w_i\}$，形如 $v_i \otimes w_j$ 的張量形成 $V \otimes W$ 的基。張量積的維數因此是最初空間維數的積；例如 $\mathbb{R}^m \otimes \mathbb{R}^n$ 有維數 $mn$。

## 兩個張量的張量積

有兩個（或更多）張量積的分量的一般公式。例如，如果 U 和 V 是秩分別為 n 和 m 的兩個協變張量，則它們的張量積的分量給出為

$(V\otimes U)_{i_1i_2\dots i_{m+n}} = V_{i_1i_2i_3\dots i_n}U_{i_{n+1}i_{n+2}\dots i_{n+m}}$。

所以兩個張量的張量積的分量是每個張量的分量的普通積。

注意在張量積中，因子 V 消耗前 rank(V) 個指標，而因子 U 再消耗 rank(U) 個指標，所以

$$\mathrm{rank}( V \otimes U )=\mathrm{rank}(V)+\mathrm{rank}(U)$$

### 例子

設 U 是類型 (1,1) 的張量，帶有分量 Uαβ；並設 V 是類型 (1,0) 的張量，帶有分量 Vγ。則

$$U^\alpha {}_\beta V^\gamma = (U \otimes V)^\alpha {}_\beta {}^\gamma$$

而

$V^\mu U^\nu {}_\sigma = (V \otimes U)^{\mu \nu} {}_\sigma$。

張量積繼承它的因子的所有指標。

## 兩個矩陣的克羅內克積

對於矩陣這個運算通常叫做克羅內克積，用來明確結果有特定塊結構在其上，其中第一個矩陣的每個元素被替代為這個元素與第二個矩陣的積。對於矩陣 $U$ 和 $V$:

$U \otimes V <pre> = \begin{bmatrix} u_{11}V & u_{12}V & \cdots \\ u_{21}V & u_{22}V \\ \vdots & & \ddots \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_{11}v_{11} & u_{11}v_{12} & \cdots & u_{12}v_{11} & u_{12}v_{12} & \cdots \\ u_{11}v_{21} & u_{11}v_{22} & & u_{12}v_{21} & u_{12}v_{22} \\ \vdots & & \ddots \\ u_{21}v_{11} & u_{21}v_{12} \\ u_{21}v_{21} & u_{21}v_{22} \\ \vdots \end{bmatrix}$。

## 多重線性映射的張量積

給定多重線性映射 $f(x_1,\dots,x_k)$ 和 $g(x_1,\dots,x_m)$ 它們的張量積是多重線性函數

$$(f \otimes g) (x_1,\dots,x_{k+m})=f(x_1,\dots,x_k)g(x_{k+1},\dots,x_{k+m})$$

## 希爾伯特空間的張量積

兩個希爾伯特空間的張量積是另一個希爾伯特空間，其定義如下。

### 定義

設 $H_1$ 和 $H_2$ 是兩個希爾伯特空間，分別帶有內積 $\langle \cdot,\cdot\rangle_1$ 和 $\langle \cdot,\cdot\rangle_2$。構造 H1 和H2 的張量積$H_1\hat\otimes H_2$如下：

考慮他們的作為線性空間的張量積$H=H_1\otimes H_2$。$H_1$ 和 $H_2$上的內積自然地擴展到$H$上：

由內積的雙線性（Bilinearity），只需定義

$$\langle\phi_1\otimes\phi_2,\psi_1\otimes\psi_2\rangle = \langle\phi_1,\psi_1\rangle_1 \cdot \langle\phi_2,\psi_2\rangle_2$$

其中 $\phi_1,\psi_1 \in H_1$ 和 $\phi_2,\psi_2 \in H_2$ 即可。

現在$H$是一未必完備的內積空間。將$H$完備化，得到希爾伯特空間$H_1\hat\otimes H_2$，這就是 H1 和 H2作為希爾伯特空間的張量積。在希爾伯特空間的範疇中，$H_1\hat\otimes H_2$具有如前所述的泛性質，即它是二者在該範疇內的乘積。

### 性質

如果 H1 和 H2 分別有正交基 {φk} 和 {ψl}，則 {φk ⊗ ψl} 是 H1 ⊗ H2 的正交基。

## 與對偶空間的關係

在泛性質的討論中，替代 X 為 V 和 W 的底層標量域生成空間 $(V \otimes W)^\star$（$V \otimes W$ 的對偶空間，包含在那個空間上的所有線性泛函），它自然的同一於在 $V \times W$ 上所有雙線性函數的空間。換句或說，所有雙線性泛函是在張量積上的泛函，反之亦然。

只要 $V$ 和 $W$ 是有限維的，在 $V^\star \otimes W^\star$ 和 $(V \otimes W)^\star$ 之間有一個自然的同構，而對於任意維的向量空間我們只有一個包含 $V^\star \otimes W^\star\subset (V \otimes W)^\star$。所以線性泛函的張量是雙線性泛函。這給我們一種新看法，把雙線性泛函看做張量積自身。