三角矩陣

在線性代數中，三角矩陣（triangular matrix）是方形矩陣的一種，因其非零係數的排列呈三角形狀而得名。三角矩陣分上三角矩陣和下三角矩陣兩種。上三角矩陣的對角線左下方的係數全部為零，下三角矩陣的對角線右上方的係數全部為零。

三角矩陣可以看做是一般方陣的一種簡化情形。比如，由於帶三角矩陣的矩陣方程容易求解，在解多元線性方程組時，總是將其係數矩陣通過初等變換化為三角矩陣來求解；又如三角矩陣的行列式就是其對角線上元素的乘積，很容易計算。有鑑於此，在數值分析等分支中三角矩陣十分重要。一個可逆矩陣A可以通過LU分解變成一個下三角矩陣L與一個上三角矩陣U的乘積。

## 描述

一個如下形狀的矩陣：

$$\mathbf{L}= \begin{bmatrix} l_{1,1} & & \cdots & & 0 \\ l_{2,1} & l_{2,2} & & (0) & \\ l_{3,1} & l_{3,2} & \ddots & &\vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \\ l_{n,1} & l_{n,2} & \ldots & l_{n,n-1} & l_{n,n} \end{bmatrix}$$

被稱為下三角矩陣；同樣的，一個如下形狀的矩陣：

$$\mathbf{U} = \begin{bmatrix} u_{1,1} & u_{1,2} & u_{1,3} & \ldots & u_{1,n} \\ <pre> & u_{2,2} & u_{2,3} & \ldots & u_{2,n} \\ </pre> \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \\ <pre> & (0) & & \ddots & u_{n-1,n}\\ 0 & & \cdots & & u_{n,n} </pre> \end{bmatrix}$$

被稱為上三角矩陣。

上（下）三角矩陣乘以係數後也是上（下）三角矩陣；上（下）三角矩陣間的加減法和乘法運算的結果仍是上（下）三角矩陣；上（下）三角矩陣的逆也仍然是上（下）三角矩陣。這些事實說明：所有上（下）三角矩陣的集合以及相應的運算構成一個方形矩陣集合的一個子代數。然而要注意的是上三角矩陣與下三角矩陣的乘積一般並不是三角矩陣。

## 特殊的三角矩陣

### 嚴格三角矩陣

一個上（下）三角矩陣是嚴格上（下）三角矩陣若且唯若其主對角線上的係數都為零。所有的是嚴格上（下）三角矩陣也形成一個子代數。所有的嚴格三角矩陣都是冪零矩陣。

### 單位三角矩陣

一個上（下）三角矩陣是單位上（下）三角矩陣若且唯若其主對角線上的係數都為1。單位三角矩陣都是么冪矩陣。

### 高斯矩陣

高斯矩陣是是單位三角矩陣中的一種，除了一列的係數以外，其他係數都是零。這類矩陣是高斯消去法中基本操作的矩陣體現，因此也叫做基元矩陣或高斯變換矩陣。一個下三角的高斯矩陣為：

$$\mathbf{L}_{i} = \begin{bmatrix} <pre> 1 & & & \dots & & & & 0 \\ 0 & \ddots & & & & & & \\ 0 & \ddots & 1 & & & & & \\ 0 & \ddots & 0 & 1 & & & & \vdots \\ & & 0 & l_{i+1,i} & 1 & & & \vdots \\ </pre> \vdots & & 0 & l_{i+2,i} & 0 & \ddots & & \\ <pre> & & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 1 & \\ 0 & \dots & 0 & l_{n,i} & 0 & \dots & 0 & 1 \\ </pre> \end{bmatrix}$$

高斯矩陣的逆仍然是高斯矩陣。實際上。

$\mathbf{L}_{i}^{-1} = \begin{bmatrix} <pre> 1 & & & \dots & & & & 0 \\ 0 & \ddots & & & & & & \\ 0 & \ddots & 1 & & & & & \\ 0 & \ddots & 0 & 1 & & & & \vdots \\ & & 0 & -l_{i+1,i} & 1 & & & \vdots \\ </pre> \vdots & & 0 & -l_{i+2,i} & 0 & \ddots & & \\ <pre> & & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 1 & \\ 0 & \dots & 0 & -l_{n,i} & 0 & \dots & 0 & 1 \\ </pre> \end{bmatrix}$。

即是說一個高斯矩陣的逆是將其非對角線上元素加上負號後得到的矩陣。

## 性質

一個同時是上三角矩陣和下三角矩陣的矩陣必然是對角矩陣。單位矩陣是唯一同時為單位上三角矩陣和單位下三角矩陣的矩陣。

分別計算乘積A*A 與 AA*的係數並進行比較後就可以發現：一個同時為三角矩陣和正規矩陣的矩陣也必然是對角矩陣（因為正規矩陣滿足A*A=AA*，其中 A*為A的共軛轉置）。

上三角矩陣的轉置矩陣是下三角矩陣，反之亦然。

三角矩陣的行列式等於其對角線上所有元素之乘積。對於三角矩陣A，其特徵多項式$x I-A$也是三角矩陣。三角矩陣的對角線元素的集合實際上是它的特徵值的集合（其重數為在特徵多項式中的重數）。

### 矩陣的三角化

每個復係數矩陣都與一個三角矩陣相似。實際上，如果矩陣A的特徵值都包含於其係數域中（比如一個代數閉域），那麼A相似於一個三角矩陣。這個性質可以用歸納法證明。一個更進一步的結論是由若爾當標準形定理得出，說明了A實際上相似於一個十分特別的上三角矩陣（若爾當形）。

在復係數的情況下，每個方陣A都有一個舒爾分解，即A酉相似（即在酉矩陣的基變換下）於一個上三角矩陣。

求三角矩陣的逆比求一般矩陣的逆要簡單很多，可以直接逐個元素算出，而不必用高斯消去法。

一般用L來做下三角矩陣的記號，因為英文中的「下」為「Lower」，首字母為L。同樣的，上三角矩陣的記號通常是U(Upper)。

## 三角矩陣代數

上三角性質在許多操作下保持不變：

- 兩個上三角陣之和仍為上三角陣。
- 兩個上三角陣之積仍為上三角陣。
- 上三角陣的逆矩陣仍為上三角陣，如果它存在的話。
- 上三角陣與常量之積仍為上三角陣。

這些性質意味著上三角矩陣構成了關於給定大小的方陣的結合代數的一個子代數。

可逆上（下）三角矩陣的集合構成了一個群。它是一般線性群的一個子群。2×2的上（下）三角矩陣構成的群同構與係數域的加法群。當係數域是複數時，就成為了拋物線型莫比烏斯變換。3×3的上三角矩陣構成了海森堡群。

上三角陣代數在泛函分析中有一個自然的推廣，即無窮維希爾伯特空間上的套代數。

## 向前與向後替換

矩陣方程$\mathbf{L}\mathbf{x} = \mathbf{b}$和$\mathbf{U} \mathbf{x} = \mathbf{b}$有著非常簡潔的解法。對於包含下三角矩陣的方程$\mathbf{L}\mathbf{x} = \mathbf{b}$，可以使用所謂的「向後替換法」，即是在解出了第一個未知數$x_1$後，將它代入下一個方程（向後），解出下一個未知數$x_2$，依此類推，直到解出$x_n$。對於方程$\mathbf{U} \mathbf{x} = \mathbf{b}$，則使用「向前替換法」，即將上面的方法倒過來，從後向前解出未知數。

注意這裡不需要求矩陣的逆，因此複雜度大大下降。

### 向後替換

矩陣方程Lx = b可以清楚地寫成：

$$\begin{matrix} l_{1,1} x_1 & & & & & = & b_1 \\ l_{2,1} x_1 & + & l_{2,2} x_2 & & & = & b_2 \\ <pre> \vdots & & \vdots & \ddots & & & \vdots \\ </pre> l_{m,1} x_1 & + & l_{m,2} x_2 & + \dotsb + & l_{m,m} x_m & = & b_m \\ \end{matrix}$$

首先解第一行：$l_{1,1} x_1 = b_1$，得到$x_1$的值。將其帶入第二行的方程，就可解出$x_2$。已知$x_1$、$x_2$後代入第三行就可求出$x_3$......依此便可解出全部未知數。

將表達式寫出就是

$$x_1 = \frac{b_1}{l_{1,1}},$$

$$x_2 = \frac{b_2 - l_{2,1} x_1}{l_{2,2}},$$

$$\vdots$$

$x_m = \frac{b_m - \sum_{i=1}^{m-1} l_{m,i}x_i}{l_{m,m}}$。

用向前替換法解方程Lx = b道理相同，只不過要從後解起。

### 應用

在金融方面，向後替換法被運用在步步為營法中，用來構造收益曲線。