弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克度規

羅伯遜-沃克度規（Robertson-Walker metric）是H.P.羅伯遜和沃爾克分別於1935年和1936年證明的。由於俄國數學家弗里德曼和比利時物理學家勒梅特也作出了重要的貢獻，因此也稱作弗里德曼-羅伯遜-沃克度規（Friedmann-Robertson-Walker metric，縮寫為FRW度規）或者弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃克度規（Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker metric，縮寫為FLRW度規）。

FLRW度規是基於廣義相對論愛因斯坦場方程精確解的度量，描述了一個均勻、各向同性、膨脹（或收縮）的連通（不必是單連通）的宇宙。度規的一般形式源於均勻和各向同性的幾何特性；愛因斯坦場方程只需推導出宇宙標度因子隨時間的變化。這一模型也被稱為現代宇宙學的「標準模型」，有時也指進一步發展的ΛCDM模型。

## 一般度量

FLRW度量首先假定空間是均勻、各向同性的；還假設度量的空間分量可隨時間變化。滿足這些條件的一般度量是

$$- c^2 \mathrm{d}\tau^2 = - c^2 \mathrm{d}t^2 + {a(t)}^2 \mathrm{d}\mathbf{\Sigma}^2$$

其中$\mathbf{\Sigma}$的範圍是曲率均勻的3維空間，即橢圓空間、歐氏空間或雙曲空間。通常寫作3個空間坐標的函數，也有另幾種約定俗成的寫法，下詳。$\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}$不依賴於時間t –所有的時間依賴都在函數a(t)之中，即所謂「宇宙標度因子」。

### 退化圓周極坐標

退化圓周極坐標中，空間度量的形式為

$$\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}^2 = \frac{\mathrm{d}r^2}{1-k r^2} + r^2 \mathrm{d}\mathbf{\Omega}^2, \quad \text{where } \mathrm{d}\mathbf{\Omega}^2 = \mathrm{d}\theta^2 + \sin^2 \theta \, \mathrm{d}\phi^2.$$

k是表示空間曲率的常數。有兩種常見的單位約定：

- k的量綱可以是，這時r的量綱是長度，a(t)無量綱。k 是a(t) = 1時空間的高斯曲率。r有時被稱為退化圓周，因為它等於以原點為圓心的（r值下的）周長除以2Π（類似於史瓦西坐標的r）。在適當的情況下，a(t)通常被選為在當前宇宙年代為1，於是$\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}$可以測量共動距離。
- 或者，也可以認為k屬於集合−1 ,0, +1（分別表示負曲率、零曲率和正曲率）。則r是無量綱量，a(t)單位為長度。k = ±1時，a(t)是空間的曲率半徑，也可以寫成R(t)。

退化圓周坐標的一個缺點是，在正曲率情形下它只能覆蓋3球的一般，超出這一點的圓周開始減小，從而導致退化。（若是橢圓空間即確定了對點的3球，則這不是問題）

### 超球面坐標

在超球面坐標或曲率歸一坐標中，坐標r與徑向距離成正比；由此可得

$$\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}^2 = \mathrm{d}r^2 + S_k(r)^2 \, \mathrm{d}\mathbf{\Omega}^2$$

其中$\mathrm{d}\mathbf{\Omega}$如前，且

$$S_k(r) = \begin{cases} \sqrt{k}^{\,-1} \sin (r \sqrt{k}), &k > 0 \\ r, &k = 0 \\ \sqrt{|k|}^{\,-1} \sinh (r \sqrt{|k|}), &k < 0. \end{cases}$$

如前所述，有兩種常見的單位約定：

- k的單位可以是，r的單位是長度，a(t)無量綱。k是a(t) = 1時空間的高斯曲率。在適當的情況下，a(t)通常被選為在當前宇宙年代為1，於是$\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}$可以測量共動距離。
- 或者，與之前一樣，可將k看做屬於集合−1 ,0, +1（分別表示負曲率、零曲率和正曲率）。那麼r是無量綱量，a(t)單位為長度。k = ±1時，a(t)是空間的曲率半徑，也可寫作R(t)。注意當k = +1時，r本質上是θ、φ之外的第三個角，可用字母χ 代替r。

S通常是按上述方法分段定義的，是k與r的解析函數。也可以寫成冪級數

$$S_k(r) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n k^n r^{2n+1}}{(2n+1)!} = r - \frac{k r^3}{6} + \frac{k^2 r^5}{120} - \cdots$$

或

$$S_k(r) = r \; \mathrm{sinc} \, (r \sqrt{k}) ,$$

其中sinc是未正則化的Sinc函數，$\sqrt{k}$是k的虛根、零根或實根之一。這些定義對所有k都有效。

### 笛卡爾坐標

k = 0時可以簡單寫成

$$\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}^2 = \mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 + \mathrm{d}z^2.$$

這可以擴展到k ≠ 0，方法是定義

$x = r \cos \theta \,$。

$y = r \sin \theta \cos \phi \,$，且

$$z = r \sin \theta \sin \phi \,$$

其中r是上面定義的徑向坐標之一，但這種情況很少見。

## 曲率

### 笛卡爾坐標

在使用笛卡爾坐標的平面$(k=0)$FLRW空間中，里奇張量的剩餘分量為

$$R_{tt} = - 3 \frac{\ddot{a}}{a}, \quad R_{xx}= R_{yy} = R_{zz} = c^{-2} (a \ddot{a} + 2 \dot{a}^2)$$

里奇標量為

$$R = 6 c^{-2} \left(\frac{\ddot{a}(t)}{a(t)} + \frac{\dot{a}^2(t)}{a^2(t)}\right).$$

### 球面坐標

在使用球面坐標（上文稱為「退化圓周極坐標」）的更一般的FLRW空間中，里奇張量的剩餘分量為

$$R_{tt} = - 3 \frac{\ddot{a}}{a},$$

$$R_{rr}=\frac{c^{-2}(a(t)\ddot{a}(t) + 2\dot{a}^2(t)) + 2k}{1 - kr^2}$$

$$R_{\theta\theta} = r^2(c^{-2}(a(t)\ddot{a}(t) + 2\dot{a}^2(t)) + 2k)$$

$$R_{\phi\phi} =r^2(c^{-2}(a(t)\ddot{a}(t) + 2\dot{a}^2(t)) + 2k)\sin^2(\theta)$$

里奇標量為

$$R = 6 \left(\frac{\ddot{a}(t)}{c^2 a(t)} + \frac{\dot{a}^2(t)}{c^2 a^2(t)} + \frac{k}{a^2(t)}\right).$$

## 解

推導度量的一般形式時沒有用到愛因斯坦場方程：是根據均勻與各向同性的幾何特性推導出來的。然而，確定$a(t)$的時間演化確實需要愛因斯坦場方程及計算密度$\rho (t)$的方法，如宇宙學狀態方程。

應力-能量張量同樣賦以均勻與各向同性時，這一度量對愛因斯坦場方程$G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^{4}} T_{\mu\nu}$有一解析解，給出弗里德曼方程：

$$\left(\frac{\dot a}{a}\right)^{2} + \frac{kc^{2}}{a^2} - \frac{\Lambda c^{2}}{3} = \frac{8\pi G}{3}\rho$$

$$2\frac{\ddot a}{a} + \left(\frac{\dot a}{a}\right)^{2} + \frac{kc^{2}}{a^2} - \Lambda c^{2} = -\frac{8\pi G}{c^{2}} p.$$

方程組是標準大爆炸宇宙學模型（包括當前ΛCDM模型）的基礎。由於FLRW模型假定宇宙是均勻的，出現了一種流行的誤解：大爆炸無法解釋宇宙的團塊結構。嚴格的FLRW模型中不存在星系與恆星，因為其密度遠大於宇宙的典型部分。儘管如此，FLRW模型還是用作真實的團塊結構宇宙演化的第一近似，因為它的計算很簡單，計算團塊性的模型則作為推廣。大多數宇宙學家同意，可觀測宇宙可以很好地近似一個類FLRW模型，即除密度原初擾動外都遵循FLRW度規的模型。截至2003年，人們對FLRW模型的各種擴展的理論意義似乎有了很好的理解，目標是使它們與COBE及WMAP的觀測結果相一致。

若時空是多連通的，則每個事件將由多個坐標多元組表示。

### 解釋

上面給出的一對方程等價於下面一對方程：

$${\dot \rho} = - 3 \frac{\dot a}{a}\left(\rho+\frac{p}{c^{2}}\right)$$

$$\frac{\ddot a}{a} = - \frac{4\pi G}{3}\left(\rho + \frac{3p}{c^{2}}\right) + \frac{\Lambda c^{2}}{3}$$

其中空間曲率指數$k$是第一個方程的積分常數。

設宇宙膨脹是絕熱過程（推導FLRW度規時隱含了這一假設），則第一個方程等價於熱力學第一定律，可以從熱力學的角度推導出來。

第二個方程指出，能量密度和壓力都會導致宇宙膨脹率${\dot a}$下降，即都會使宇宙膨脹減速。這是引力作用的結果，根據廣義相對論，壓力的作用與質能密度類似。另一方面，宇宙學常數會導致宇宙膨脹加速。

### 宇宙學常數

做如下替換，宇宙學常數項便可省略掉：

$$\rho \rightarrow \rho - \frac{\Lambda c^{2}}{8 \pi G}$$

$$p \rightarrow p + \frac{\Lambda c^{4}}{8 \pi G}.$$

於是可以這樣解釋：宇宙學常數產生於一種具有負壓的能量形式，大小等於其（正）能量密度：

$$p = - \rho c^2 \,$$

這是具有暗能量的真空狀態方程。

推廣它的嘗試：

$$p = w \rho c^2 \,$$

若不做進一步修改，推廣將不具有廣義不變性。

事實上，要得到1個導致宇宙加速膨脹的項，只要有1個滿足以下條件的標量場就足夠了：

$$p < - \frac {\rho c^2} {3}. \,$$

這樣的場有時被稱為五元場（quintessence）。

### 牛頓解釋

這是McCrea與Milne提出的，有時會被誤歸為弗里德曼。弗里德曼方程等價於下面這對方程：

$$- a^3 {\dot \rho} = 3 a^2 {\dot a} \rho + \frac{3 a^2 p {\dot a}}{c^2} \,$$

$$\frac{{\dot a}^2}{2} - \frac{G \frac{4 \pi a^3}{3} \rho}{a} = - \frac{k c^2}{2} \,.$$

第一個方程表明，一個給定立方體（瞬時邊長為a）所含質量的減少量，就是因宇宙膨脹而從邊流出的量，再加上壓力對排除物質做功的質量當量。這就是宇宙的一部分包含的質能守恆（熱力學第一定律）。

第二個方程表明，單位質量的例子隨膨脹運動的動能（相對於原點）加其（負）引力勢能（相對於更靠近原點的球體包含的質量）等於一個與宇宙曲率有關的常數。換句話說，處於自由落體狀態的共動粒子的能量（相對於原點）守恆。廣義相對論只是在宇宙空間曲率和粒子能量之間增加了一種聯繫：正總能量意味著負曲率，負總能量意味著正曲率。

宇宙學常數項被假定為暗能量，並因此與密度及壓力項合併。

在普朗克時期，不能忽視量子效應。因此它們可能導致弗里德曼方程的偏離。

## 愛因斯坦宇宙半徑

愛因斯坦宇宙半徑 是靜態宇宙的曲率半徑，是個廢棄已久的靜態模型，本是理想化地代表我們的宇宙。在弗里德曼方程中置

$$\dot{a} = \ddot{a} = 0$$

則該宇宙空間的曲率半徑（愛因斯坦半徑）是

$$R_\text{E}=c/\sqrt {4\pi G\rho} ,$$

其中$c$是光速，$G$是萬有引力常數，$\rho$是宇宙的空間密度。愛因斯坦半徑的數量級在1010（100億）光年不過現代望遠鏡可以探測到不同方向上130億光年以外的遙遠天體。

## 現狀

目前的宇宙學標準模型——ΛCDM模型使用的也是FLRW度規，在其基礎上將WMAP和普朗克衛星等的觀測數據與EGS定理及其推廣的理論結果相結合，天體物理學家現在一致認為，早期宇宙幾乎是均勻、各向同性的（在極大尺度上平均時），因此幾乎是FLRW時空。儘管如此，通過對射電星系和類星體的研究，對宇宙微波背景（CMB）偶極子的純運動學解釋的嘗試在幅度上有分歧。從表面價值來看，這些觀測結果與FLRW度規描述的宇宙不一致；另外，我們還可以說，目前觀測結果能容忍的FLRW宇宙學中，哈勃常數有最大值$H_0 = 71 \pm 1$ km/s/Mpc，可能表明晚期宇宙中的FLRW度規已經崩潰，因此有必要做出FLRW度規以外的解釋。

## 閱讀更多

- North J D: (1965) The Measure of the Universe – a history of modern cosmology, Oxford Univ. Press, Dover reprint 1990,
- . (See Chapter 23 for a particularly clear and concise introduction to the FLRW models.)