群上同調

在同調代數中，群上同調是一套研究群及其表示的代數工具。群上同調源於代數拓撲，在代數數論上也有重要應用；它是現代類域論的基本構件之一。

## 起源

群論中的指導思想之一，是研究群 $G$ 及其表示的關係。群 $G$ 的表示是 $G$-模的特例：一個 $G$-模是一個阿貝爾群 $M$ 配上 $G$ 在 $M$ 上的群作用 $G \to \mathrm{End}(M)$。等價的說法是：$M$ 是群環 $\Z[G]$ 上的模。通常將 $G$ 的作用寫成乘法 $m \mapsto gm$。全體 $G$-模自然地構成一個阿貝爾範疇。

對給定的 $G$-模 $M$，最重要的子群之一是其 $G$-不變子群

$$M^{G} = \lbrace x \in M : \forall g \in G \ gx=x \rbrace.$$

若 $N \subset M$ 是一個 $G$-子模（即：是 $M$ 的子群，且在 $G$ 的作用下不變），則 $M/N$ 上賦有自然的 $G$-模結構，$N^G \subset M^G$，但是未必有 $(M/N)^G = M^G/N^G$。第一個群上同調群 $H^1(G,N)$ 可以設想為兩者間差異的某種量度。一般而言，可以定義一族函子 $H^n(G,-)$，其間關係可以由長正合序列表示。

## 形式建構

以下假設 $G$ 為有限群，全體 $G$-模構成阿貝爾範疇，其間的態射 $\mathrm{Hom}_G(M,N)$ 定義為滿足 $f(gx)=gf(x)$ 的群同態 $f: M \to N$。由於此範疇等價於 $\Z[G]$-模範疇，故有充足的內射對象。

函子 $M \to M^G$ 是從 $G$-模範疇映至阿貝爾群範疇的左正合函子。定義 $H^n(G,M)$ 為其導函子。根據導函子的一般理論，可知：

- $$H^0(G,M)=M^G$$
- 長正合序列：若 $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ 為 $G$-模的短正合序列，則導出相應的長正合序列

$$\cdots \to H^{i-1}(G,M'') \to H^i(G,M') \to H^i(G,M) \to H^i(G,M'') \to H^{i+1}(M') \to H^{i+1}(M) \to \cdots$$

在上述定義中，若固定一個域 $k$，並以 $k[G]$ 代替 $\Z[G]$，得到的上同調群依然同構。

## 標準分解

導出函子的定義來自內射分解，不便於具體計算。然而注意到 $M^G = \mathrm{Hom}_G(\Z,M)$，其中 $\Z$ 被賦予平凡的 $G$ 作用：$gx = x$，故群上同調可以用Ext函子表達為

$$H^i(G,M) = \mathrm{Ext}^i(\Z,M)$$

另一方面，$G$-模範疇中也有充足的射影對象，若取一 $\Z$ 的射影分解 $0 \leftarrow \Z \leftarrow P_\bullet$，則有自然的同構 $\mathrm{Ext}^i(\Z,M) \simeq H^i(\mathrm{Hom}(P_\bullet,M))$。最自然的分解是標準分解

$$L_i := \sum_{(g_0,\ldots,g_i) \in G} \Z (g_0,\ldots,g_i)$$

$$g(g_0, \ldots, g_i) = (gg_0, \ldots, gg_i)$$

$$d(g_0, \ldots, g_i) = \sum_{j=0}^i (g_0, \ldots, \hat{g}_j, \ldots, g_i)$$

而 $L_0 \to \Z$ 由 $g_0 \mapsto 1$ 給出。

定義 $K^i := \mathrm{Hom}_G(L_i, M)$，其元素為形如 $f: G^{i+1} \mapsto M$ 的函數，並滿足 $f(gg_0, \ldots, gg_i) = gf(g_0, \ldots, g_i)$，稱之為齊次上鏈。根據 $G$ 在 $L_i$ 上的作用，這種 $f$ 由它在形如 $(e, g_1, g_1 g_2, \ldots, g_1 \ldots, g_i)$ 的元素上的取值確定。藉此，可將上鏈複形 $K^i$ 描述為

- $K^i$ 的元素為 $G^i \to M$ 之函數。
- $$(df)(g_1, \ldots, g_{i+1}) = g_1 f(g_2, \ldots, g_{i+1}) + \sum_{j=1}^i (-1)^j f(g_1, \ldots, g_j g_{j+1}, \ldots, g_{i+1}) + (-1)^{i+1} f(g_1, \ldots, g_i)$$

其中的元素稱為非齊次上鏈。

綜上所述，得到 $H^i(K^\bullet) = H^i(G, M)$。

## 例子

較常用的上同調是 $H^1$ 與 $H^2$。從標準分解可導出以下的描述：

$$H^1(G, M) = \dfrac{\{ f: G \to M | \forall g, g', \; f(gg') = gf(g') + f(g) \}}{\{f: G \to M : \exists m\, \forall g, \; f(g) = gm-m\}}$$

準此要領，亦有

$$H^2(G,M) = \dfrac{\{ f: G^2 \to M | gf(g',g'')-f(gg',g'') + f(g,g'g'') - f(g,g')=0 \}}{\{ f: G^2 \to M : \exists h: G \to M, f(g,g')=gh(g')-h(gg')+h(g) \}}$$

## 群同調

上述理論有一對偶版本：對於任一 $G$-模 $M$，定義 $DM$ 為形如 $gm-m$ 的元素生成之子模。考慮從 $G$-模範疇映至阿貝爾群範疇的函子

$$M \to M_G := M/DM = \Z \otimes_{\Z[G]} M$$

這是一個右正合函子，其導出函子稱為為群同調 $H_n(G,M)$。群同調可以藉Tor函子描述為

$$H_i(G,M) \simeq \mathrm{Tor}^{\Z[G]}_i (\Z, M)$$

對於有限群，群同調與群上同調可在塔特上同調群的理論下得到一貫的描述。

## 非阿貝爾群上同調

將上述定義中的 $G$-模 $M$ 改成一般的群 $A$（未必交換），並帶有 $G$ 的作用 $a \mapsto g(a)$（稱之為 $G$-群）。此時仍然可以定義第零個及第一個群上同調：

$$H^0(G,A) := A^G = \{a \in A | \forall g \in G, \; g(a)=a \}$$

$$H^1(G,A) := \dfrac{\{ a_s : G \to A | \forall s,t \in G, \; a_{st} = a_s s(a_t)\}}{\{ b_s: G \to A | \exists a, b_s = a^{-1} s(a)\}}$$

須留意 $H^0(G,A), H^1(G,A)$ 並不是群，而是帶有一個指定元素的集合（來自 $A$ 的單位元素），以下所謂的正合性，都應該在此意義下理解。

若 $1 \to A \to B \to C \to 1$ 是 $G$-群的短正合序列，則有長正合序列

$$1 \to A^G \to B^G \to C^G \to H^1(G,A) \to H^1(G,B) \to H^1(G,C)$$

若 $A$落在 $B$ 的中心，此序列右端可再加一項 $H^1(G,C) \to H^2(G,A)$。

## 性質

### Res 與 Cor

若 $f: H \to G$ 為群同態，則可將任一 $G$-模透過 $f$ 視為 $H$-模，此運算導出上同調之間的映射

$$H^\bullet(G,M) \to H^\bullet(H, M)$$

此映射與群上同調的長正合序列相容。當 $H$ 是 $G$ 的子群而 $f$ 是包含映射，導出的映射稱為限制映射，記為 Res。

由於我們假設 $G$ 為有限群，必有 $(G:H) < \infty$，此時映射

$$N_{G/H}: M^H \to M^G, \quad N_{G/H}(m) := \sum_{g \in G/H} gm$$

導出一個上限制映射 $\mathrm{Cor}: H^\bullet(H,M) \to H^\bullet(G,M)$。

定理. $\mathrm{Cor} \circ \mathrm{Res} = (G:H) \mathrm{id}$

### 中心擴張

若 $M$ 是平凡的 $G$ 模（即 $\forall g \in G, \; gm=m$），則 $H^2(G,M)$ 中的元素一一對應於 $G$ 對 $M$ 的中心擴張的等價類

$$0 \to M \to E \stackrel{p}{\to} G \to 1$$

中心擴張意謂：$0 \to M \to E \to G \to 1$ 是群擴張，而且 $M$ 落在 $E$ 的中心內。

具體描述方法是：任取一映射 $s: G \to E, p\circ s = \mathrm{id}_G$。$s$ 不一定是群同態，但存在函數 $f: G^2 \to M$ 使得 $s(g)s(g')=f(g,g')s(gg')$。$s$ 及 $f$ 刻劃了 $E$ 的群結構。不難驗證 $f \in K^2$ 滿足 $df=0$，而 $s$ 的選取對應於 $f \mapsto f + dh, h \in K^1$，所以 $f \in H^2(G,A)$ 僅決定於唯一的一個中心擴張。反之，任一 $f \in H^2(G,A)$ 都來自於某個中心擴張，證畢。

### 譜序列

若 $N \subset G$ 是 $G$ 的正規子群，則有下述譜序列

$$H^p(G/N, H^q(N,A)) \implies H^{p+q}(G,A).\,$$

對於射影有限群，此式依然成立。