六進位

六進位是以6為底數的進位制。

## 整數

六進制使用從0到5的六個數字, 將6表示為「10」。通常用於由六個組成的事物，如骰子。

序列的進行如下。

六進位｜0｜1｜2｜3｜4｜5｜10｜11｜12｜13｜14｜15｜20｜21｜22｜23｜24｜25｜30

十進位｜0｜1｜2｜3｜4｜5｜6｜7｜8｜9｜10｜11｜12｜13｜14｜15｜16｜17｜18

六進位｜31｜32｜33｜34｜35｜40｜41｜42｜43｜44｜45｜50｜51｜52｜53｜54｜55｜100

十進位｜19｜20｜21｜22｜23｜24｜25｜26｜27｜28｜29｜30｜31｜32｜33｜34｜35｜36

六進位｜230｜231｜232｜233｜234｜235｜240｜241｜242｜243｜244｜245｜250｜251｜252｜253｜254｜255｜300

十進位｜90｜91｜92｜93｜94｜95｜96｜97｜98｜99｜100｜101｜102｜103｜104｜105｜106｜107｜108

在六進制系統中「5 +1 = 10」，因此「10÷2 = 3」和「10÷3 = 2」。因此，以3的倍數計數並除以3變得非常容易。

### 冪乗

在六進制中，由於2與3的指數相同，因此可以表示為 "10n = 2n×3n"。六與十都是兩個素數的乘積，十的3×n乗（103×n）與六的4×n乗（64×n）彼此接近。

指數（六進制）｜六進制｜十進制

1｜10｜6

2｜100｜36

3｜1000｜216

4｜1 0000｜1296

5｜10 0000｜7776

10｜100 0000｜46 656

11｜1000 0000｜279 936

12｜1 0000 0000｜1 679 616

13｜10 0000 0000｜10 077 696

14｜100 0000 0000｜60 466 176

15｜1000 0000 0000｜362 797 056

20｜1 0000 0000 0000｜2 176 782 336

21｜10 0000 0000 0000｜13 060 694 016

22｜100 0000 0000 0000｜78 364 164 096

23｜1000 0000 0000 0000｜470 184 984 576

24｜1 0000 0000 0000 0000｜2 821 109 907 456

25｜10 0000 0000 0000 0000｜16 926 659 444 736

30｜100 0000 0000 0000 0000｜101 559 956 668 416

指數｜1｜2｜3｜4｜5｜10｜11｜12｜13｜14｜15｜20

2｜2｜4｜12｜24｜52｜144｜332｜1104｜2212｜4424｜13252｜30544

3｜3｜13｜43｜213｜1043｜3213｜14043｜50213｜231043｜1133213｜3444043｜15220213

5｜5｜41｜325｜2521｜22245｜200201｜1401405｜12212241｜105510125｜545151121｜4502320045｜40120440401

### 素數

六進制的測定倍數

- 如果第一位是0，則該數字「可以被2和3整除」的數字，即10（六）的倍數。
- 如果第一位是3，則該數字「不可以被2整除, 但是以被3整除」的數字。
- 如果第一位是2或4，則該數字「可以被2整除, 但是不可被3整除」的數字。
- 如果第一位是1或5，則該數字「不能除以2或3整除」的數字。11（七）之後的素數首先是1或5。

六進位對於研究素數是很有用的，因為所有的素數，除了2和3以外，個位數都是1或5。在六進位中，最初的幾個素數為：

$$2_6,3_6,5_6,11_6,15_6,21_6,25_6,31_6,35_6,45_6,51_6,$$

$$101_6,105_6,111_6,115_6,125_6,\ldots$$

也就是說，對於所有除了2和3以外的素數$p$都有$p\mod 6 = 1$或$p\mod 6 = 5$。另外，除了6以外，所有的完全數在六進位中都以44結尾。

## 分數

十進制Prime factors of the base: 2, 5Prime factors of one below the base: 3Prime factors of one above the base: 11｜六進制Prime factors of the base: 2, 3Prime factors of one below the base: 5Prime factors of one above the base: 11

分數｜分母｜Positional representation｜Positional representation｜分母｜分數

1/2｜2｜0.5｜0.3｜2｜1/2

1/3｜3｜0.3333... = 0.3｜0.2｜3｜1/3

1/4｜2｜0.25｜0.13｜2｜1/4

1/5｜5｜0.2｜0.1111... = 0.1｜5｜1/5

1/6｜2, 3｜0.16｜0.1｜2, 3｜1/10

1/7｜7｜0.｜0.05｜11｜1/11

1/8｜2｜0.125｜0.043｜2｜1/12

1/9｜3｜0.1｜0.04｜3｜1/13

1/10｜2, 5｜0.1｜0.03｜2, 5｜1/14

1/11｜11｜0.09｜0.｜15｜1/15

1/12｜2, 3｜0.083｜0.03｜2, 3｜1/20

1/13｜13｜0.｜0.｜21｜1/21

1/14｜2, 7｜0.0｜0.023｜2, 11｜1/22

1/15｜3, 5｜0.06｜0.02｜3, 5｜1/23

1/16｜2｜0.0625｜0.0213｜2｜1/24

1/17｜17｜0.｜0.｜25｜1/25

1/18｜2, 3｜0.05｜0.02｜2, 3｜1/30

1/19｜19｜0.｜0.｜31｜1/31

1/20｜2, 5｜0.05｜0.014｜2, 5｜1/32

1/21｜3, 7｜0.｜0.014｜3, 11｜1/33

1/22｜2, 11｜0.045｜0.0｜2, 15｜1/34

1/23｜23｜0.｜0.｜35｜1/35

1/24｜2, 3｜0.0416｜0.013｜2, 3｜1/40

1/25｜5｜0.04｜0.｜5｜1/41

1/26｜2, 13｜0.0｜0.0｜2, 21｜1/42

1/27｜3｜0.037｜0.012｜3｜1/43

1/28｜2, 7｜0.03｜0.0114｜2, 11｜1/44

1/29｜29｜0.｜0.｜45｜1/45

1/30｜2, 3, 5｜0.03｜0.01｜2, 3, 5｜1/50

1/31｜31｜0.｜0.｜51｜1/51

1/32｜2｜0.03125｜0.01043｜2｜1/52

1/33｜3, 11｜0.03｜0.0｜3, 15｜1/53

1/34｜2, 17｜0.0｜0.0｜2, 25｜1/54

1/35｜5, 7｜0.0｜0.01｜5, 11｜1/55

1/36｜2, 3｜0.027｜0.01｜2, 3｜1/100

因為6是最小的兩個素數2和3的乘積，許多六進位的小數都有簡單的表示法：

十進位｜$\tfrac{1}{2}$｜$\tfrac{1}{3}$｜$\tfrac{1}{4}$｜$\tfrac{1}{5}$｜$\tfrac{1}{6}$｜$\tfrac{1}{7}$｜$\tfrac{1}{8}$｜$\tfrac{1}{9}$｜$\tfrac{1}{10}$｜$\tfrac{1}{11}$｜$\tfrac{1}{12}$｜$\tfrac{1}{14}$｜$\tfrac{1}{15}$｜$\tfrac{1}{16}$｜$\tfrac{1}{18}$｜$\tfrac{1}{20}$

六進位｜$\tfrac{1}{2}$｜$\tfrac{1}{3}$｜$\tfrac{1}{4}$｜$\tfrac{1}{5}$｜$\tfrac{1}{10}$｜$\tfrac{1}{11}$｜$\tfrac{1}{12}$｜$\tfrac{1}{13}$｜$\tfrac{1}{14}$｜$\tfrac{1}{15}$｜$\tfrac{1}{20}$｜$\tfrac{1}{22}$｜$\tfrac{1}{23}$｜$\tfrac{1}{24}$｜$\tfrac{1}{30}$｜$\tfrac{1}{32}$

六進位(小數)｜0.3｜0.2｜0.13｜0.1｜0.1｜0.05｜0.043｜0.04｜0.03｜0.｜0.03｜0.023｜0.02｜0.0213｜0.02｜0.014

六進制為2和3的同樣的冪，因此很容易將它們分為2和3個除法。2的冪的倒數變為3的冪，而3的冪的倒數變為2的冪。因而對於大多分母是3的冪的分數，六進位的表示形式更簡短。

冪指數｜-1｜-2｜-3｜-4｜-5｜-10｜-11｜-12｜-13｜-14

2｜0.3｜0.13｜0.043｜0.0213｜0.01043｜0.003213｜0.0014043｜0.00050213｜0.000231043｜0.0001133213

3｜0.2｜0.04｜0.012｜0.0024｜0.00052｜0.000144｜0.0000332｜0.00001104｜0.000002212｜0.0000004424

## 指數法

如果拳頭0，因為六種類型從0到5的數目可以在一個手來表示，六進制是方便用手指計數。

在這種方法中，一隻手位於一的位，另一隻手位於六的位, 計數到55（五六五 = 十進制35），100（十進制36）會導致數字溢出。例如，左手「1」和右手「5」表示「六五」即「十一」（六進制15 =十進制11）, 左手「4」和右手「3」表示「四六三」即「二十七」（六進制43 =十進制27）。

可以表示小數和假分數，如果一隻手在"一"的位，另一隻手在"六分之一"的位，則可以計算不超過5.5（5和5/6）的分數。兩位數的小數字的一隻手放在"六分之一"的位，另一隻手放在"三十六分之一"的位。例如，如果指示「44」，則除了「六進制44 = 十進制28」之外，還可以指示「4和2/3」(4和4/6 = 六進制4.4) 和「7/9」（十進制28/36 = 六進制0.44）。

用雙手進行計數的十進制不能在15（十進制11）之後進行計數，並且可以分為2和5，但是不能分為3和4。但是，用雙手計數的六進制最多可以計數55（十進制35），並且可以分為2和3，如果擴展為雙手，則可以分為4和9(六進制13)。

## 三十六進位

在某些場合下，六進位的底數6可能太小，不便於使用。此時，若講底數6擴充至6的平方，也就是36就能緩解此問題，這個進位就是三十六進位。由於36是6的平方，因此在三十六進位中，一個位數等於六進位的兩個位數。並且兩者存在一個一對一的轉換，也就是說六進位和三十六進位之間可以透過以下對照表轉換來完成：

十進位｜0｜1｜2｜3｜4｜5｜6｜7｜8｜9｜10｜11｜12｜13｜14｜15｜16｜17

六進位｜0｜1｜2｜3｜4｜5｜10｜11｜12｜13｜14｜15｜20｜21｜22｜23｜24｜25

三十六進位｜`0`｜`1`｜`2`｜`3`｜`4`｜`5`｜`6`｜`7`｜`8`｜`9`｜`A`｜`B`｜`C`｜`D`｜`E`｜`F`｜`G`｜`H`

十進位｜18｜19｜20｜21｜22｜23｜24｜25｜26｜27｜28｜29｜30｜31｜32｜33｜34｜35

六進位｜30｜31｜32｜33｜34｜35｜40｜41｜42｜43｜44｜45｜50｜51｜52｜53｜54｜55

三十六進位｜`I`｜`J`｜`K`｜`L`｜`M`｜`N`｜`O`｜`P`｜`Q`｜`R`｜`S`｜`T`｜`U`｜`V`｜`W`｜`X`｜`Y`｜`Z`

三十六進位使用0-9和A-Z的符號來表示數。由於約定俗成用於表示數的阿拉伯數字與拉丁字母恰好用完，因此36也是最後一個有約定俗成表示方法的進位底數，底數高於36的進位如三十七進位就會面臨符號不夠用的問題，目前沒有公認的模式來表達底數37或以上的進位，部份文獻會把各個位數以十進制表示，並用冒號（:）分隔。

根據上表，例如三十六進位的數36（這串英文字母組合的意義是維基百科）在六進制中表示為6，可以觀察到，開頭的52對應到W、30對應到I，以此類推。這個數在十進位中是91,730,738,691,298。