廣義相對論中的克卜勒問題

廣義相對論中的克卜勒問題，是指在廣義相對論的框架下求解存在引力相互作用的兩體動力學問題。在典型情況下以及本文中，其中一個物體的質量$m$和另一個物體的質量$M$相比可忽略，這種近似對應著實際情形中地球繞太陽公轉，以及一個光子在一顆恆星的引力場中的運動等問題。在這些情形下，可以認為大質量$M$的位置在空間中是固定的，並且只有大質量的引力場對周圍時空曲率變化有貢獻。這時的時空曲率可由愛因斯坦場方程的史瓦西解來描述；而小質量$m$（以下簡稱「粒子」）的運動可由史瓦西解的測地線方程來描述。由於假設小質量$m$是點狀的無尺寸粒子，兩者之間的潮汐力可忽略。

從測地線方程可以推出廣義相對論的關鍵性實驗證據，著名的水星近日點的進動，以及光線在太陽引力場中的偏折。對於前者，廣義相對論為觀測到的這一現象提供了漂亮的解釋，而後者則是廣義相對論的著名預言，其正確性被亞瑟·愛丁頓爵士的實驗觀測所證實。

廣義相對論的兩體問題中還涉及了引力輻射造成的軌道衰減，這是一個純粹的相對論效應，沒有對應的經典力學版本。這個問題並不包含在史瓦西解中，請參見引力輻射和引力波天文學。

## 歷史背景-愛因斯坦的直覺

1859年，法國天文學家於爾班·勒威耶發現水星的實際軌道進動與預期的並不十分相符：即使考慮到太陽系中其他行星的影響，實際的進動速度還是要比牛頓的經典理論稍微快一點。這個誤差相當小，大約為每世紀43弧度秒，但這還是要比測量引起的誤差每世紀0.1弧度秒大很多。勒威耶立刻意識到他這一發現的重要性，並向更多的物理學家和天文學家尋求解釋。在當時提出的一些經典解釋包括，行星際塵埃、太陽本身未被觀測到的橢球性、水星未被觀測到的衛星，甚至假想的水內行星「祝融星」等。在這些解釋被一一否決後，有些物理學家提出了更激進的猜想，認為牛頓的引力平方反比律並不嚴格成立。例如某些人提出定律中的指數並不嚴格為2，而某些人如亨德里克·洛倫茲提出牛頓的萬有引力定律應增加與速度有關的引力勢修正項。

1905年，愛因斯坦提出了狹義相對論，這一理論否決了任何超過光速傳播的效應的可能性；不過同時，這也暗示了相對論的基本假設和牛頓天體力學的矛盾。拉普拉斯早先在其研究中證明，如果引力相互作用不是超距的（即傳播是瞬時的），行星的運動將不再嚴格滿足動量守恆定律（類似於電磁相互作用中一部分動量要傳遞給電磁相互作用的媒介子，引力相互作用中也需要攜帶動量的媒介子）。從牛頓力學的觀點來看，如果引力相互作用只能以有限速度傳播，那麼在任意時刻，行星受到的來自太陽的引力將不會指向太陽所在的即時位置，而是在若干時間之前的位置。在經典力學的基礎上，拉普拉斯推導出當引力以光速傳播時太陽系是不穩定的，並只能維持並不太長時間的存在。而對太陽系的實際觀測表明，如果引力的傳播速度確實存在一個上限，根據經典力學這個上限將比光速高出好幾個數量級。

這種矛盾引出了建立一個替代牛頓引力理論的新理論的需求，這個新理論需要滿足狹義相對論的基本假設，並且在相對論效應可忽略時能夠和牛頓的引力理論相容。1907年愛因斯坦確認了建立一個狹義相對論的後繼理論的必要性，這個理論能夠同時包含狹義相對論的基本假設和萬有引力相互作用。在1907年至1915年間，愛因斯坦在等效原理的基礎上逐漸發展了他的新理論。根據等效原理，一個均勻引力場對在其內所有物體的作用都是相同的，因此這個引力場將不能被一個處於自由落體狀態的觀察者觀測到。歸納而言，所有局部的引力效應都可以在一個直線加速的非慣性參考系中體現出來，這個原理反過來也成立，即加速參考系等效於一個局部的引力場。這樣看來，引力和離心力以及科里奧利力等慣性力這樣的「虛擬力」有相類似的效應：慣性力都來源於一個加速的非慣性系，並且和物體的慣性質量成正比，引力亦然（由於慣性質量和引力質量等價）。想要在等效原理的基礎上將萬有引力和狹義相對論的基本假設統一起來，需要犧牲的是經典力學中習以為常的基本假設：我們所處的時空是一個符合歐幾里得幾何的平直時空。愛因斯坦使用的是一種更廣義的幾何學：黎曼幾何，在黎曼幾何描述下的時空可以是彎曲的。經過八年的研究，他成功得到了一個能夠包含引力理論的更具功能的相對論性理論：廣義相對論。廣義相對論要求時空是彎曲的，這種時空的彎曲性是引力的體現，也是一種物理上的實在，這和慣性力不過是假想的「虛力」完全不同。廣義相對論首先成功解釋了水星近日點的進動誤差並預言了光線在太陽引力場中的偏折，這個預言在廣義相對論發表之後得到了實驗證實。

## 幾何基礎-度規

在經典的歐幾里得幾何中，三角形滿足勾股定理（畢達哥拉斯定理），這意味著空間中兩點間的距離平方等於空間中所有完備正交分量平方和：

$$ds^{2} = dx^{2} + dy^{2} + dz^{2}$$

這裡$dx$、$dy$、$dz$表示在笛卡爾坐標系下三個坐標軸$x$、$y$、$z$上各自兩點間的無窮小距離。

現在想像存在一個笛卡爾坐標不適用的世界，其間兩點的距離由下式描述：

$$ds^{2} = F(x, y, z) dx^{2} + G(x, y, z) dy^{2} + H(x, y, z)dz^{2}$$

這裡$F$、$G$、$H$是坐標$x$、$y$、$z$的任意函數。想像一個這樣的世界其實並不困難，我們就生活在這樣一個表面是彎曲的世界上，這也是無法精確描繪出一個平面的世界地圖的原因。想要簡明地描述這個世界的表面幾何不適合採用笛卡爾坐標，比較簡單的做法是球坐標系$(r, \theta, \phi)$，這時的歐幾里得幾何中的距離表示為：

$$ds^{2} = dr^{2} + r^{2} d\theta^{2} + r^{2} \sin^{2} \theta d\phi^{2}$$

進一步的想像可能會比較困難，但我們假設存在一個用來測量長度的尺子不再可靠的世界：尺子的長度會因其位置甚至擺放方向而改變。這是最一般的情況，在計算兩點間距離時需要考慮交叉項的存在：

$$ds^{2} = g_{xx} dx^{2} + g_{xy} dx dy + g_{xz} dx dz + \cdots + g_{zy} dz dy + g_{zz} dz^{2}$$

這裡九個函數$g_{xy}$等構成了空間的度規張量，它定義了黎曼幾何框架下的空間幾何。在球坐標系下交叉項不存在，它只包含有三個非零的張量元素。

在狹義相對論中，愛因斯坦就已經指出空間中兩點的距離並不是恆量，而與觀察者的運動（即慣性參考系）有關。狹義相對論指出在任何慣性系下觀測到的恆量是兩點間的時空間隔，這個間隔被稱作固有時。固有時是一個相對論不變量，它與慣性參考系無關。

$$c^{2} d\tau^{2} = c^{2} dt^{2} - dx^{2} - dy^{2} - dz^{2}$$

在球坐標下這可以寫成

$$c^{2} d\tau^{2} = c^{2} dt^{2} - dr^{2} - r^{2} d\theta^{2} - r^{2} \sin^{2} \theta d\phi^{2}$$

這些公式都可以看作是畢達哥拉斯定理的自然推廣，它們僅在時空曲率為零時成立。但在廣義相對論的框架下，時間和空間都可以是彎曲的，這時的時空間隔需要寫成更一般的形式：

$$c^{2} d\tau^{2} = g_{\mu\nu} dx^{\mu} dx^{\nu}$$

這裡的度規$g$取決於時空中發出引力的質量、動量和能量，描述這一關係的是愛因斯坦的引力場方程。愛因斯坦的引力理論不僅和當時已知的物理定律相容，它還成功預言了很多從未觀測到的物理現象，這些現象至今仍然不斷被實驗觀測所證實。

## 史瓦西幾何

愛因斯坦場方程的解的最簡單形式是史瓦西度規，它對應著一個不帶電荷和角動量的球對稱的質量$M$的引力場，其形式為：

$$c^2 {d \tau}^{2} = \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} dt^{2} - \frac{dr^{2}}{1 - \frac{r_{s}}{r}} - r^{2} d\theta^{2} - r^{2} \sin^{2} \theta d\varphi^{2}$$

其中。

$\tau$是固有時。

$c$是光速。

$t$是時間坐標。

$r$是球面的徑向坐標。

$\theta$是球面的緯度坐標。

$\phi$是球面的經度坐標。

$r_s$是中心質量$M$的史瓦西半徑，其關係為

$$r_{s} = \frac{2GM}{c^{2}}$$

牛頓經典力學下引力的傳播速度無限大，與光速無關：這可以看作是在經典近似下史瓦西半徑趨於零，這時的史瓦西度規還原為狹義相對論的形式。在一般情形下，史瓦西半徑總是非常小的，例如地球的史瓦西半徑只有9毫米，而一顆人造衛星的同步軌道半徑是它的四十億倍，為42164千米。即使是在地球表面，廣義相對論對牛頓引力的修正也只有十億分之一。然而在宇宙中的緻密星體如黑洞和中子星的周圍，廣義相對論的效應就變得非常明顯。

## 測地線方程

根據廣義相對論，質量可忽略的粒子在引力場中沿著測地線運動。在無引力的平直時空中，測地線是直線；但當時空存在彎曲時，測地線由下面的測地線方程描述：

$$\frac{d^2x^{\mu}}{d q^2} + \Gamma^{\mu}_{\nu\lambda} \frac{dx^{\nu}}{d q} \frac{dx^{\lambda}}{dq} = 0$$

這裡$\Gamma$是克里斯托費爾符號而變量$q$是一個將粒子在時空中的軌跡（世界線）參數化的參量。克里斯托費爾符號只和度規對於坐標的一階偏導數有關（即描述了度規如何隨坐標變化）。

$\Gamma^i_{kl}=\frac{1}{2}g^{im} \left(\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^l} + \frac{\partial g_{ml}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{kl}}{\partial x^m} \right)$

對於類時軌跡（速度小於光速的帶質量粒子的運動軌跡）而言，參數$q$一般取作固有時；而對於類光軌跡（呈光速的零質量粒子的運動軌跡），固有時為零，因此嚴格來講不能將固有時用作參數；不過類光可以看作是類時的極端相對論案例，有時從而可以通過取極限的方法，從類時的軌跡導出粒子質量為零時類光的軌跡，並保持總能量不變。

在度規具有對稱性的場合下我們往往可以將問題簡化。例如史瓦西度規是關於平面$\theta = \pi/2$對稱的，任何起始於這一平面上測地線的粒子將保持在這一平面上運動。因此我們總可以認為粒子的軌道保持在這一平面上，即緯度坐標$\theta$恆等於$\pi/2$，這時的史瓦西度規簡化為

$$c^2 d \tau^{2} = \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} dt^{2} - \frac{dr^{2}}{1 - \frac{r_{s}}{r}} - r^{2} d\varphi^{2}.$$

從這個形式可得到兩個運動的守恆量，單位質量的角動量和單位質量的能量（參見下文注釋）

$$r^{2} \frac{d\varphi}{d\tau} = \frac{L}{m},$$

$$\left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} = \frac{E}{mc^{2}}.$$

將這兩個守恆量代入史瓦西度規中得到粒子的運動方程

$$\left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} = \frac{E^{2}}{m^{2}c^{2}} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( c^{2} + \frac{L^{2}}{m^{2} r^{2}} \right).$$

通過角動量$L$的定義，得到如下替換關係可消去式中的固有時

$$\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)^{2} = \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} \left( \frac{d\tau}{d\varphi} \right)^{2} = \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} \left( \frac{m r^{2}}{L} \right)^{2},$$

這樣就得到了粒子的軌道方程

$$\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)^{2} = \frac{r^{4}}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( \frac{r^{4}}{a^{2}} + r^{2} \right)$$

其中的兩個長度參數$a$、$b$的定義為

$$a = \frac{L}{mc},$$

$$b = \frac{cL}{E}.$$

利用最小作用量原理或哈密頓-雅可比方程可得到相同形式的軌道方程（見後文），軌道方程的解為

$$\varphi = \int \frac{dr}{r^{2} \sqrt{\frac{1}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{r^{2}} \right)}}.$$

## 光線在太陽引力場中偏折的近似公式

對於上面的史瓦西度規中的粒子軌道方程，當粒子質量趨於零（或長度參數$a$趨於無窮大）時，軌道方程的解變為如下形式：

$$\varphi = \int \frac{dr}{r^{2} \sqrt{\frac{1}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{1}{r^{2}}}}$$

將此式按$r_s/r$的冪指數展開，得到的領導項給出了一個來自無窮遠處的無質量粒子在史瓦西引力場中的運動角度近似偏移量（其後這個粒子仍然向無窮遠處運動）

$$\delta \varphi \approx \frac{2r_{s}}{b} = \frac{4GM}{c^{2}b}.$$

這裡長度參數$b$可理解為粒子在運動過程中距中心質量的最近距離。儘管這個公式是通過相當的近似得到的，在大多數有關引力透鏡的測量中它都相當精確，這是因為對大多數星體而言$r_s/r$都很小。對於掠過太陽表面的光子，其角偏移量大約只有1.75角秒。

## 和經典力學的關係

從上面得到的史瓦西度規中的粒子運動方程

$$\left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} = \frac{E^{2}}{m^{2}c^{2}} - c^{2} + \frac{r_{s}c^{2}}{r} - \frac{L^{2}}{m^{2} r^{2}} + \frac{r_{s} L^{2}}{m^{2} r^{3}}$$

可通過代入史瓦西半徑的定義得到

$$\frac{1}{2} m \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} = \left[ \frac{E^{2}}{2mc^{2}} - \frac{1}{2} mc^{2} \right] + \frac{GMm}{r} - \frac{L^{2}}{2m r^{2}} + \frac{GM L^{2}}{c^{2} m r^{3}}$$

這個運動方程相當於一個質量為$m$的粒子在一個一維勢阱中運動，其有效勢能為

$$V(r) = -\frac{GMm}{r} + \frac{L^{2}}{2m r^{2}} - \frac{GM L^{2}}{c^{2} m r^{3}}$$

式中前兩項是經典力學的結果：第一項是牛頓重力勢能（負值表示吸引），第二項是具有排斥效應的離心勢能；而第三項僅在廣義相對論中存在，它代表的是一個與距離立方成反比的吸引勢能。從後文或其他文獻中可以看到，這種立方反比勢能造成了粒子運動周期中橢圓軌道的逐漸相對論進動，每個周期內進動的角位移為

$$\delta \varphi \approx \frac{6\pi G M}{c^{2} A \left( 1- e^{2} \right)}$$

其中$A$是橢圓的半長軸，$e$是偏心率。

在$r$很小時，由於是立方反比關係第三項起主導作用，這決定了一個關鍵性的最內穩定圓半徑$r_{\mathrm{inner}}$，如果粒子一旦處於小於這個半徑的範圍內，它最終會不可避免地向內墜入。這個最內半徑是單位質量的角動量的函數，即上面定義的長度參數$a=L/mc$。

## 圓軌道和其穩定性

如果使用長度參數$a$，有效勢能$V$可寫成如下形式：

$$V(r) = \frac{mc^{2}}{2} \left[ - \frac{r_{s}}{r} + \frac{a^{2}}{r^{2}} - \frac{r_{s} a^{2}}{r^{3}} \right]$$

當有效力為零時，得到粒子的圓軌道：

$$F = -\frac{dV}{dr} = -\frac{mc^{2}}{2r^{4}} \left[ r_{s} r^{2} - 2a^{2} r + 3r_{s} a^{2} \right] = 0$$

有效力為零的含義即為吸引力（牛頓引力加廣義相對論的立方反比引力）和排斥力（等效的離心力）恰巧平衡。在兩個半徑上可以滿足這種平衡條件，它們被記為$r_{\mathrm{outer}}$和$r_{\mathrm{inner}}$

$$r_{\mathrm{outer}} = \frac{a^{2}}{r_{s}} \left( 1 + \sqrt{1 - \frac{3r_{s}^{2}}{a^{2}}} \right)$$

$$r_{\mathrm{inner}} = \frac{a^{2}}{r_{s}} \left( 1 - \sqrt{1 - \frac{3r_{s}^{2}}{a^{2}}} \right) = \frac{3a^{2}}{r_{\mathrm{outer}}}$$

其中靠內的半徑$r_{\mathrm{inner}}$對應的圓軌道是不穩定的，這個原因在上面已經提到：由於當$r$很小時，立方反比項增長速度遠大於其他兩項，這個引力將把粒子強烈地吸引到引力場中心處。而靠外的半徑$r_{\mathrm{outer}}$對應的圓軌道是穩定的，這是因為在那附近立方反比項並不顯著，系統基本可近似為一個非相對論的克卜勒系統。

當長度參數$a$遠大於史瓦西半徑$r_s$時（經典極限），這兩個圓軌道半徑公式近似為

$$r_{\mathrm{outer}} \approx \frac{2a^{2}}{r_{s}}$$

$$r_{\mathrm{inner}} \approx \frac{3}{2} r_{s}$$

直接在經典理論下讓慣性離心力等於牛頓萬有引力：

$$m\omega_{\varphi}^{2} r = \frac{GMm}{r^{2}}$$

這裡$\omega_{\varphi}$是粒子的角速度。如果使用廣義相對論中的記法，經典的角速度等於

$$\omega_{\varphi}^{2} \approx \frac{GM}{r_{\mathrm{outer}}^{3}} = \left( \frac{r_{s} c^{2}}{2r_{\mathrm{outer}}^{3}} \right) = \left( \frac{r_{s} c^{2}}{2} \right) \left( \frac{r_{s}^{3}}{8a^{6}}\right) = \frac{c^{2} r_{s}^{4}}{16 a^{6}}$$

在另一種情形下，當$a^2$由上逐漸逼近$3r_s^2$時，這兩個圓軌道半徑重合為一個值：

$$r_{\mathrm{outer}} \approx r_{\mathrm{inner}} \approx 3 r_{s}$$

上面給出的$r_{\mathrm{inner}}$和$r_{\mathrm{outer}}$的二項式解保證了$r_{\mathrm{outer}}$總是大於$3r_s$的，而$r_{\mathrm{inner}}$總是在$3/2r_s$和$3r_s$的範圍內。半徑小於$3/2r_s$的圓軌道是不能存在的。對於無質量的粒子，長度參數$a$為無窮大，例如對於光子可以存在一個$r_{\mathrm{inner}} = 3/2r_s$的圓軌道，這個半徑所構成的球有時被稱作「光子球」（photon sphere）。

## 橢圓軌道進動的推導

從史瓦西幾何中得到的徑向有效勢能$V$可以推出軌道的進動速度。首先，圓軌道$r_{\mathrm{outer}}$的一個微小的半徑變化會造成在$r_{\mathrm{outer}}$上的穩定的諧振動，其振動的角頻率為

$$\omega_{r}^{2} = \frac{1}{m} \left[ \frac{d^{2}V}{dr^{2}} \right]_{r=r_{\mathrm{outer}}}$$

用有效勢能$V$的形式代入並求二階導數。

$$\omega_{r}^{2} = \left( \frac{c^{2} r_{s}}{2 r_{\mathrm{outer}}^{4}} \right) \left( r_{\mathrm{outer}} - r_{\mathrm{inner}} \right) = \omega_{\varphi}^{2} \sqrt{1 - \frac{3r_{s}^{2}}{a^{2}}}$$

兩邊開平方並作二項式展開：

$$\omega_{r} = \omega_{\varphi} \left( 1 - \frac{3r_{s}^{2}}{4a^{2}} + \cdots \right)$$

而後再乘以公轉的周期$T$就得到了在一個周期內的軌道進動的角位移

$$\delta \varphi = T \left(\frac{\omega_{\varphi} - \omega_{r} }{\omega_{\varphi}}\right) \approx 2\pi \left( \frac{3r_{s}^{2}}{4a^{2}} \right) = \frac{3\pi m^{2} c^{2}}{2L^{2}} r_{s}^{2}$$

這裡我們用到了$\omega T = 2\pi$以及長度參數$a$的定義。代入史瓦西半徑$r_s$的定義得到

$$\delta \varphi \approx \frac{3\pi m^{2} c^{2}}{2L^{2}} \left( \frac{4G^{2} M^{2}}{c^{4}} \right) = \frac{6\pi G^{2} M^{2} m^{2}}{c^{2} L^{2}}$$

根據克卜勒第三定律，使用橢圓的半長軸$A$和偏心率$e$可以簡化這個公式，克卜勒第三定律在這裡可以寫為

$$\frac{L^{2}}{GMm^{2}} = A \left( 1 - e^{2} \right)$$

這樣就得到了上面看到的進動角位移公式

$$\delta \varphi \approx \frac{6\pi G M}{c^{2} A \left( 1 - e^{2} \right)}$$

## 使用橢圓函數的圓軌道的解

軌道方程

$$\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)^{2} = \frac{r^{4}}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( \frac{r^{4}}{a^{2}} + r^{2} \right)$$

可以通過引入一個無量綱量來化簡：

$$\zeta = \frac{r_{s}}{4r} - \frac{1}{12}$$

這時軌道方程可表示為

$$\left( \frac{d\zeta}{d\varphi} \right)^{2} = 4 \zeta^{3} - g_{2} \zeta - g_{3},$$

這裡的無量綱係數$g_2$、$g_3$由下式給出

$$\begin{align} g_{2} &= \frac{1}{12} - \frac{r_{s}^{2}}{4 a^{2}},\\ g_{3} &= \frac{1}{216} + \frac{r_{s}^{2}}{24 a^{2}} - \frac{r_{s}^{2}}{16 b^{2}}. \end{align}$$

這個微分方程的解為

$$\varphi - \varphi_{0} = \int \frac{d\zeta}{\sqrt{4\zeta^{3} - g_{2} \zeta - g_{3}}}.$$

其中無量綱量$\zeta = \wp(\varphi - \varphi_{0})$，這裡$\wp$是參數為$g_2$和$g_3$的魏爾施特拉斯橢圓函數，$\varphi_0$是一個積分常數（可以是複數）。

## 可能軌道的定性分析

對於軌道方程

$$\left( \frac{d\zeta}{d\varphi} \right)^{2} = 4 \zeta^{3} - g_{2} \zeta - g_{3},$$

如果右邊三次多項式的判別式$\Delta = g_{2}^{3} - 27 g_{3}^{2}$ 大於零，則三次方程

$$G(\zeta) = 4 \zeta^{3} - g_{2} \zeta - g_{3} = 0$$

有三個實根，$e_1$、$e_2$、$e_3$，將它們按從大到小排列

$$e_{1} > e_{2} > e_{3}.$$

在此情形下，方程的解$\zeta = \wp(\varphi - \varphi_{0})$是一個具有兩個半周期的橢圓函數，其中一個完全是實的：

$$\omega_{1} = \int_{e_{1}}^{\infty} \frac{dz}{\sqrt{4z^{3} - g_{2}z - g_{3}}}$$

而另一個完全是虛的：

$$\omega_{3} = i \int_{-e_{3}}^{\infty} \frac{dz}{\sqrt{4z^{3} - g_{2}z - g_{3}}}$$

剩下的那一個根對應著一個複數的半周期ω2 = -ω1 - ω3。這三個半周期通過方程與對應的三個根$e_i$相聯繫，方程中$i$可以等於1、2、3。因此如果$\varphi_0$被設置為等於其中任何一個半周期，$\zeta$的導數就為零，這對應著一個近星點或遠星點：

$$\frac{d\zeta}{d\phi} = 0 \ \mathrm{when} \ \zeta = \wp(-\omega_{i}) = e_{i}$$

由於

$$\left( \frac{d\zeta}{d\varphi} \right)^{2} = G(\zeta) = 4 \zeta^{3} - g_{2} \zeta - g_{3} = 4 \left( \zeta - e_{1} \right) \left( \zeta - e_{2} \right) \left( \zeta - e_{3} \right),$$

可以看到$\zeta$等於根$e_i$時，導數的值為零。

不同軌道的定性性質取決於$\varphi_0$的選取。$\varphi_0$等於$\omega_2$的解對應著在$\zeta = e_2$和$\zeta = e_3$之間周期性變化的軌道，或者是散射到無窮遠處的軌道（$\zeta = -1/12$）。而$\varphi_0$等於$\omega_1$或任何其他實數對應著衰減至半徑等於零的軌道，這是由於$\zeta$作為一個實數時不能小於$e_1$，結果就不可避免地增長至無窮大。

### 准橢圓軌道

在系統能量滿足不等式E2 2 c4的前提下，$\varphi_0$等於$\omega_2$時方程的解$\zeta = \wp(\phi - \phi_{0})$給出了一個實數的$\zeta$值。對於這類解，變量$\zeta$的值被限制在$e_3$和$e_2$之間。如果這兩個根都大於-1/12，$\zeta$將不會等於-1/12，也就不會產生半徑趨於無窮大的散射軌道。因此這類解對應著一個逐漸進動的橢圓軌道，當粒子（或行星）從起始狀態開始演化時，其半徑在最小半徑$r_{min}$和最大半徑$r_{max}$之間振盪，分別為

$$r_{min} = \frac{3r_{s}}{1 + 12e_{2}}$$

$$r_{max} = \frac{3r_{s}}{1 + 12e_{1}}$$

它們分別對應著$\zeta$的兩個極值。魏爾施特拉斯橢圓函數的實數周期為$2\omega_1$，因此當粒子進動了$2\omega_1$的角位移後將回到與先前相同的半徑，橢圓軌道處於進動狀態（注意$2\omega_1$一般來說不等於$2\pi$，但兩者的差值即每個軌道周期內進動的角位移很小）。

### 穩定圓軌道

這是2e2 = 2e3 = −e1的特殊情形，即方程$G(\zeta)$有兩個根相等並且是負值，而第三個根是正值。在這種情況下$\zeta$有兩個相同的實根e = e2 = e4，這個解對應著經典的圓軌道，即上面得到的半徑為$r_{outer}$的軌道，並且我們看到$r_{outer}$一定大於$3r_s$。這樣的圓軌道之所以穩定，是因為對方程參數的一個微擾只會讓這兩個實根略微不等，從而得到准橢圓軌道解。例如對處於穩定圓軌道上粒子的一個微小擾動會將它推到准橢圓軌道上去並逐漸開始進動。

### 非束縛（散射）軌道

軌道半徑趨於無窮大對應著粒子飛向無限遠處，這時$\zeta$等於-1/12。這樣的非束縛軌道對應著兩個實根的值分別落在-1/12兩側，即 e2 ≤ −1/12 ≤ ζ ≤ e3。

### 漸近圓軌道

當-e3 = 2e2 = 2e1，$\zeta$有兩個正的且相同的實根，而第三個根e3是負值。將重根代換為$e = n^2/3$，在$\varphi$等於正負無窮時粒子具有漸近的圓軌道：

$$\zeta = \frac{r_{s}}{4r} - \frac{1}{12} = e - \frac{n^{2}}{\cosh^{2} n\varphi}.$$

可以將這個解代回方程驗證。當$\varphi$等於正負無窮時，粒子漸近地接近這個圓軌道：

$$\frac{r_{s}}{4r} - \frac{1}{12} = e.$$

在這種情形下，粒子的軌道半徑一定處於$2r_s$和$3r_s$之間。

漸近的圓軌道也可以通過用雅可比橢圓函數來表示魏爾施特拉斯橢圓函數得到：

$$\zeta = \wp(\phi - \phi_{0}) = e_{1} + \left(e_{1} - e_{3}\right) \frac{\mathrm{cn}^{2} w}{\mathrm{sn}^{2} w}$$

這裡$w = (\phi - \phi_{0})\sqrt{e_{1} - e_{3}}$，並且橢圓積分的模數為

$$k = \sqrt{\frac{e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}$$

在e2趨於e1的極限下，模數趨於1，而$w$趨於$n(\varphi - \varphi_0)$。這樣選擇$\varphi_0$的值為$ik^{\prime}$（四分之一周期）就可以得到上面的漸近圓軌道。

### 衰減軌道

當$\varphi_0$等於$\omega_1$（或其他實數）時，$\zeta$的實根有性質$\zeta$總不小於e1，這使得軌道方程

$$\left( \frac{d\zeta}{d\varphi} \right)^{2} = 4 \zeta^{3} - g_{2} \zeta - g_{3} = 4 \left( \zeta - e_{1} \right) \left( \zeta - e_{2} \right) \left( \zeta - e_{3} \right)$$

對於所有大於e1的$\zeta$值都是正的，並且$\zeta$可以無限制增長，這對應著粒子軌道逐漸向$r=0$處衰減。

## 對測地線方程解的修正

根據廣義相對論，兩個互相繞轉的質量例如雙星系統會發出引力輻射，由引力輻射攜帶的能量會讓它們的軌道稍微偏離測地線方程所得到的結果。關於這一問題的最著名間接驗證是由拉塞爾·赫爾斯和約瑟夫·泰勒對一個脈衝雙星PSR B1913+16的觀測，兩人因此獲得1993年的諾貝爾物理學獎。系統內的兩顆中子星距離非常接近，且繞轉速度非常之快，測量到的一個周期時長大約僅為465分鐘。兩顆中子星的軌道是高度橢圓的，偏心率達到0.62。按照廣義相對論的預言，這樣短的軌道周期和高度的偏心軌道使得這個雙星系統成為一個非常好的引力波源，通過引力輻射損失的能量使軌道逐漸衰減，軌道周期逐漸變短。通過長達三十年的實驗觀測，即使是在可以達到的最精確的測量下軌道周期的降低和廣義相對論的預言仍符合得相當好。廣義相對論還預言，再過三億年後這兩顆恆星最終會碰撞到一起。

克卜勒問題中因引力輻射導致的能量和角動量的損耗公式已經通過計算得到，在一個完整的軌道周期內取平均下的能量變化率為

$$-\langle \frac{dE}{dt} \rangle = \frac{32G^{4}m_{1}^{2}m_{2}^{2}\left(m_{1} + m_{2}\right)}{5c^{5} a^{5} \left( 1 - e^{2} \right)^{7/2}} \left( 1 + \frac{73}{24} e^{2} + \frac{37}{96} e^{4} \right)$$

這裡e是橢圓軌道的偏心率，a是半長軸。方程左邊的角括號表示是在一個軌道周期內取平均值。類似的，角動量的平均變化率為

$$-\langle \frac{dL_{z}}{dt} \rangle = \frac{32G^{7/2}m_{1}^{2}m_{2}^{2}\sqrt{m_{1} + m_{2}}}{5c^{5} a^{7/2} \left( 1 - e^{2} \right)^{2}} \left( 1 + \frac{7}{8} e^{2} \right)$$

週期減少率$P_{b}$為

$$-\Bigl\langle \frac{dP_{b}}{dt} \Bigr\rangle = \frac{192G^{5/3}m_{1}m_{2}\left(m_{1} + m_{2}\right)^{-1/3}}{5c^{5} \left( 1 - e^{2} \right)^{7/2}} \left( 1 + \frac{73}{24} e^{2} + \frac{37}{96} e^{4} \right) (\frac{P_{b}}{2 \pi})^{-5/3}$$

軌道的偏心率越接近於1，即橢圓軌道形狀越瘦長時，能量和角動量的損耗就越快；而半長軸越短軌道的衰減也越快

## 軌道方程的理論力學推導

### 哈密頓-雅可比方法

克卜勒運動的軌道方程也可以通過哈密頓-雅可比方程推導出。這種方法的好處是它可以將一個粒子的運動等價於一束波的傳播，這就很容易進而通過費馬原理推導出光線在引力場中的偏折公式。這種方法的解釋是，由於引力場的延時效應，一束波的波前靠近中心質量$m$的部分要比遠離中心質量的部分運動得慢，這就導致了波前傳播方向的改變。

使用一般的協變性，一個粒子在任意坐標下的哈密頓-雅可比方程可以表示為

$$g^{\mu\nu} \frac{\partial S}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial S}{\partial x^{\nu}} = m^{2} c^{2}.$$

特別地，在史瓦西度規下

$$\frac{1}{c^{2} \left(1 - \frac{r_{s}}{r} \right)} \left( \frac{\partial S}{\partial t} \right)^{2} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( \frac{\partial S}{\partial r} \right)^{2} - \frac{1}{r^{2}} \left( \frac{\partial S}{\partial \varphi} \right)^{2} = m^{2} c^{2}$$

這裡我們仍然選取了軌道平面位於$\theta = \pi/2$的球坐標系。假設哈密頓主函數$S$是可分離變量的，則其應具有如下形式：

$$S = -Et + L\varphi + S_{r}(r)$$

這裡$E$和$L$分別是粒子的能量和角動量。從哈密頓-雅可比方程可以得到哈密頓主函數徑向分量$S_r(r)$的積分解：

$$S_{r}(r) = \int \frac{L dr}{1 - \frac{r_{s}}{r}} \sqrt{\frac{1}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{r^{2}} \right)}.$$

對這個主函數求偏導數：

$$\frac{\partial S}{\partial L} = \varphi + \frac{\partial S_{r}}{\partial L} = \mathrm{constant}$$

將滿足上面得到的軌道方程

$$\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)^{2} = \frac{r^{4}}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( \frac{r^{4}}{a^{2}} + r^{2} \right).$$

這種方法也可以精緻地推導出軌道的進動率。

在質量趨於零（或$a$趨於無窮大）時，哈密頓主函數簡化作下面的形式：

$$S_{r}(r) = \frac{E}{c} \int dr \sqrt{\frac{r^{2}}{\left( r - r_{s} \right)^{2}} - \frac{b^{2}}{r \left( r - r_{s} \right)}}$$

從這個公式可以導出光線在引力場中的偏振公式。

### 拉格朗日方法

在廣義相對論中，無質量粒子在時空中的運動軌跡是測地線，這是等效原理的要求。從最小作用量原理的觀點來看，測地線長度的變分為零，即：

$$0 = \delta s = \delta \int ds = \delta \int \sqrt{g_{\mu\nu} \frac{dx^{\mu}}{d\tau} \frac{dx^{\nu}}{d\tau} } d\tau = \delta \int \sqrt{2T} d\tau$$

這裡$\tau$是固有時，$s = c\tau$是測地線在時空中的弧長。$T$在這裡的定義是

$$2T = c^{2} = \left( \frac{ds}{d\tau} \right)^{2} = g_{\mu\nu} \frac{dx^{\mu}}{d\tau} \frac{dx^{\nu}}{d\tau} = \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} \left( \frac{dt}{d\tau} \right)^{2} - \frac{1}{1 - \frac{r_{s}}{r}} \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} - r^{2} \left( \frac{d\varphi}{d\tau} \right)^{2}$$

其物理意義類似於經典力學中的動能。如果將時空坐標的四維分量對固有時的導數寫成

$$\dot{x}^{\mu} = \frac{dx^{\mu}}{d\tau}$$

則$T$可以寫成

$$2T = c^{2} = \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} \left( \dot{t} \right)^{2} - \frac{1}{1 - \frac{r_{s}}{r}} \left( \dot{r} \right)^{2} - r^{2} \left( \dot{\varphi} \right)^{2}$$

常數因數的引入對變分問題的結果不會造成影響，因此在積分內取變分仍滿足哈密頓原理：

$$0 = \delta \int \sqrt{2T} d\tau = \int \frac{\delta T}{\sqrt{2T}} d\tau = \frac{1}{c} \delta \int T d\tau.$$

從拉格朗日方程可以得到變分問題的解

$$\frac{d}{d\tau} \left(\frac{\partial T}{\partial \dot{x}^{\sigma}} \right) = \frac{\partial T}{\partial x^{\sigma}}.$$

對變量$t$和$\varphi$應用，可得到兩個守恆量：

$$\frac{d}{d\tau} \left[ r^{2} \frac{d\varphi}{d\tau} \right] = 0,$$

$$\frac{d}{d\tau} \left[ \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \right] = 0,$$

進一步可寫成$L$和$E$的方程：

$$r^{2} \frac{d\varphi}{d\tau} = \frac{L}{m},$$

$$\left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} = \frac{E}{mc^{2}}.$$

這也是上面看到的從史瓦西度規直接得到的結果。

### 哈密頓原理

只受到引力作用的粒子的作用量為

$$S = \int{ - m c^2 d\tau} = - m c \int{ c \frac{d\tau}{dq} dq} = - m c \int{ \sqrt{g_{\mu\nu} \frac{dx^{\mu}}{dq} \frac{dx^{\nu}}{dq} } dq}$$

其中$q$是任意能夠將粒子的世界線可微化的參數，對這個作用量使用變分法就可以得到測地線方程。不過如果我們對被積函數的平方求變分過程會更簡單，根據度規這個平方的形式為

$$\left(c \frac{d\tau}{dq}\right)^2 = g_{\mu\nu} \frac{dx^{\mu}}{dq} \frac{dx^{\nu}}{dq} = \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} \left( \frac{dt}{dq} \right)^{2} - \frac{1}{1 - \frac{r_{s}}{r}} \left( \frac{dr}{dq} \right)^{2} - r^{2} \left( \frac{d\varphi}{dq} \right)^{2}$$

取變分

$$\delta \left(c \frac{d\tau}{dq}\right)^2 = 2 c^{2} \frac{d\tau}{dq} \delta \frac{d\tau}{dq} = \delta \left[ \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} \left( \frac{dt}{dq} \right)^{2} - \frac{1}{1 - \frac{r_{s}}{r}} \left( \frac{dr}{dq} \right)^{2} - r^{2} \left( \frac{d\varphi}{dq} \right)^{2} \right]$$

如果我們只對$\varphi$取變分可得

$$2 c^{2} \frac{d\tau}{dq} \delta \frac{d\tau}{dq} = - 2 r^{2} \frac{d\varphi}{dq} \delta \frac{d\varphi}{dq}$$

兩邊除以$2 c \frac{d\tau}{dq}$就得到了被積函數的變分：

$$c \delta \frac{d\tau}{dq} = - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \delta \frac{d\varphi}{dq} = - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \frac{d \delta \varphi}{dq}$$

代入哈密頓原理的方程

$$0 = \delta \int { c \frac{d\tau}{dq} dq } = \int { c \delta \frac{d\tau}{dq} dq } = \int { - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \frac{d \delta \varphi}{dq} dq }$$

通過分部積分法

$$0 = - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \delta \varphi - \int { \frac{d}{dq} \left[ - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \right] \delta \varphi dq }$$

在端點處緯度的變分為零，因此等式右邊第一項為零；對於第二項，由於$\delta \varphi$可以任意取值，只有當被積函數的另一部分處處為零時才能保證等式右邊為零，因此得到運動方程：

$$\frac{d}{dq} \left[ - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \right] = 0$$

如果我們只對$t$取變分可得

$$2 c^{2} \frac{d\tau}{dq} \delta \frac{d\tau}{dq} = 2 \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} \frac{dt}{dq} \delta \frac{dt}{dq}$$

類似地，兩邊除以$2 c \frac{d\tau}{dq}$得到被積函數的變分：

$$c \delta \frac{d\tau}{dq} = c \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \delta \frac{dt}{dq} = c \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \frac{d \delta t}{dq}$$

根據哈密頓原理

$$0 = \delta \int { c \frac{d\tau}{dq} dq } = \int { c \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \frac{d \delta t}{dq} dq }$$

分部積分

$$0 = c \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \delta t - \int { \frac{d}{dq} \left[ c \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \right] \delta t dq }$$

得到運動方程

$$\frac{d}{dq} \left[ c \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \right] = 0$$

對這兩個方程積分並指定積分常數就可以得到上面關於守恆量的方程

$$r^{2} \frac{d\varphi}{d\tau} = \frac{L}{m},$$

$$\left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} = \frac{E}{mc^{2}}.$$

對於能量和角動量是常數的系統，這兩個方程可以合併為一個並且對光子這樣的無質量粒子同樣成立，此時沿著所描述的測地線的固有時總為零。

$$\frac{r^{2}}{bc} \frac{d\varphi}{dt} = 1 - \frac{r_{s}}{r}$$