2的算術平方根

2的算術平方根，俗稱「根號2」，記作$\sqrt{2}$，可能是最早被發現的無理數。相傳畢達哥拉斯學派的希帕索斯首先提出了「$\sqrt{2}$不是有理數」的命題：若一個直角三角形的兩個直角邊都是1，那麼它的斜邊長，無法用整數或分數表示。

$\sqrt{2}$其最初65位為

$\sqrt{2}$精確到小數點後二十位的的有理近似值為$\frac{26102926097}{18457556052}$。

## $\sqrt{2}$是無理數的證明

人們發現了許多方法證明$\sqrt{2}$是無理數。以下是反證法的證明

### 常見的證明

- 假設$\sqrt{2}$是有理數，即有整數$a_0$、$b_0$，使得$\frac{a_0}{b_0}=\sqrt{2}$
- 將$\sqrt{2}$重寫成最簡分數$\tfrac{a}{b}$，即$a$和$b$互質，且$\left(\tfrac{a}{b}\right)^2=2$
- 所以$\frac{a^2}{b^2} =2$，即$a^2=2b^2$
- 因為$2b^2$必為偶數，故$a^2$亦是偶數
- 故$a$為偶數（奇數的平方不會是偶數）
- 所以必有一整數$k$，使得$a=2k$
- 將（3）的式子代入（6）：$2b^2=\left(2k\right)^2$
- 化簡得$b^2=2k^2$
- 因為$2k^2$是偶數，所以$b^2$是偶數，$b$亦是偶數
- 所以$a$和$b$都是偶數，跟$\frac{a}{b}$是最簡分數的假設矛盾
- 因為導出矛盾，所以（1）的假設錯誤，$\sqrt{2}$不是有理數，即是無理數

這個證明可推廣至證明任何非完全平方數的正整數$n$，其算術平方根$\sqrt{n}$為無理數。

### 另一個證明

另外一個$\sqrt{2}$是無理數的反證法證明較少為人所知，但證明方法也相當漂亮：

- 假設$\sqrt{2}$是有理數，便可以表示成最簡分數$\frac{m}{n}$，其中$m$, $n$為正整數
- $$\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{1}=\frac{(2-\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{2-1}=\frac{(2-\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$$
- 由於$\sqrt{2}=\frac{m}{n}$，所以$\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=\frac{2-\frac{m}{n}}{\frac{m}{n}-1}=\frac{2n-m}{m-n}$
- 因為$\frac{m-n}{n}=\sqrt{2}-1$
- $$2>\sqrt{2}\Rightarrow1+1>\sqrt{2}\Rightarrow\sqrt{2}-1<1$$
- 所以$m-n<n$
- 故$\frac{2n-m}{m-n}$是比$\frac{m}{n}$更簡的分數，與$\frac{m}{n}$是最簡分數的假設矛盾

從一個直角邊為$n$，斜邊為$m$的等腰直角三角形，可以用尺規作圖作出直角邊為$m-n$，斜邊為$2n-m$的等腰直角三角形。這是古希臘幾何學家的作圖證明方法。

## 性質

2的算術平方根可以表示為以下的級數或無窮乘積：

$$\frac{1}{\sqrt 2} = \prod_{k=0}^\infty \left(1-\frac{1}{(4k+2)^2}\right) = \left(1-\frac{1}{4}\right) \left(1-\frac{1}{36}\right) \left(1-\frac{1}{100}\right) \cdots$$

$$\sqrt{2} = \prod_{k=0}^\infty \frac{(4k+2)^2}{(4k+1)(4k+3)} = \left(\frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3}\right) \left(\frac{6 \cdot 6}{5 \cdot 7}\right) \left(\frac{10 \cdot 10}{9 \cdot 11}\right) \left(\frac{14 \cdot 14}{13 \cdot 15}\right) \cdots$$

$$\sqrt{2} = \prod_{k=0}^\infty \left(1+\frac{1}{4k+1}\right) \left(1-\frac{1}{4k+3}\right) = \left(1+\frac{1}{1}\right) \left(1-\frac{1}{3}\right) \left(1+\frac{1}{5}\right) \left(1-\frac{1}{7}\right) \cdots.$$

$$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \left(\frac{\pi}{4}\right)^{2k}}{(2k)!}.$$

$$\sqrt{2} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^{k+1} \frac{(2k-3)

}{(2k)

} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2\cdot4} + \frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} - \frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6\cdot8} + \cdots.$$

$$\sqrt{2} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(2k+1)!}{(k!)^2 2^{3k+1}} = \frac{1}{2} +\frac{3}{8} + \frac{15}{64} + \frac{35}{256} + \frac{315}{4096} + \frac{693}{16384} + \cdots.$$

2的算術平方根的連分數展開式為：

$$\!\ \sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots}}}}.$$

令$\!\ x = 2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots}}}}$。

由觀察可知$x=2+\frac{1}{x}$，即$x^2-2x-1=0$。

解方程，取正根，得$x=1+\sqrt{2}$。

因此$\sqrt{2}=x-1= 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots}}}}$。

## 基本資料

- 說明：2的平方根等於一個直角邊都是1的等腰直角三角形的斜邊長
- 作戰範圍：數表—無理數$\color{blue}\sqrt{2}$ - $\color{blue}\varphi$ - $\color{blue}\sqrt{3}$ - $\color{blue}\sqrt{5}$ - $\color{blue}\delta_S$ - $\color{blue}e$ - $\color{blue}\pi$
- 日語原文：2的平方根
- nav：no
- 製造數量：$\sqrt{2}$
- 面值：$\sqrt{2}\approx$1.414213562...
- 以此為根的多項式或函數：$x^{2}-2 = 0$
- 無理數：$\sqrt{2}$
- 別名：2的算術平方根、2的主平方根、根號2
- 連分數：$1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}$