推遲勢

本條目中，向量與標量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。檢驗變數或場變數的標記的後面沒有單撇號「$'\,\!$」；源變數的標記的後面有單撇號「$'\,\!$」。

在電磁學裏，推遲勢指的是，響應含時電荷分佈或含時電流分佈，而產生的推遲純量勢或推遲向量勢。對於這程序，由於「前因」與「後果」之間必然的推遲關係，訊號以光速從源位置傳播到場位置，需要有限時間。在某源位置的電流或電荷分佈，必須經過一段時間之後，才能夠將其影響傳播到場位置，產生對應的電磁作用。這一段時間的長久跟源位置與場位置之間距離的遠近有關。

## 理論概念

對於靜態的電荷分佈和電流分佈，電勢$\Phi(\mathbf{r})$和磁向量勢$\mathbf{A}(\mathbf{r})$分別定義為

$\Phi(\mathbf{r})\ \stackrel{def}{=}\ \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'$。

$\mathbf{A}(\mathbf{r})\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'$。

其中，$\mathbf{r}$是場位置，$\mathbf{r}'$是源位置，$\epsilon_0$是真空電容率，$\mu_0$是真空磁導率，$\rho$是電荷密度，$\mathbf{J}$是電流密度，$\mathbb{V}'$是體積分的空間，$d^3\mathbf{r}'$是微小體元素。

在電動力學裏，這兩個方程式必須加以延伸，才能正確地響應含時電流分佈或含時電荷分佈。定義推遲時間$t_r$為檢驗時間$t$減去電磁波傳播的時間：

$t_r\ \stackrel{def}{=}\ t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{c}$。

其中，$c$是光速。

假設，從源位置$\mathbf{r}'$往場位置$\mathbf{r}$發射出一束電磁波，而這束電磁波在檢驗時間$t$抵達觀測者的場位置$\mathbf{r}$，則這束電磁波發射的時間是推遲時間$t_r$。由於電磁波傳播於真空的速度是有限的，觀測者檢驗到電磁波的檢驗時間$t$，會不同於這電磁波發射的推遲時間$t_r$。

推遲純量勢$\Phi(\mathbf{r},\,t)$與推遲向量勢$\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)$分別用方程式定義為

$\Phi(\mathbf{r},\,t)\ \stackrel{def}{=}\ \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'$。

$\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'$。

請注意，在這兩個含時方程式內，源電荷密度和源電流密度都跟推遲時間$t_r$有關，而不是與時間無關。

這兩個含時方程式，是用推理得到的啟發式，而不是用任何定律或公理推導出來的。訊號以光速傳播，從源位置到場位置，需要有限時間。所以在時間$t$的推遲勢必定是由在推遲時間$t_r$的源電荷密度或源電流密度產生的。為了要確定這兩個方程式的正確性與合理性，必須證明它們滿足非齊次的電磁波方程式。還有，勞侖次規範是一個常用的規範，可以較便利地解析電磁輻射的生成問題。稍後會有表示兩個方程式滿足勞侖次規範條件的證明。

## 非齊次的電磁波方程式

含時電荷分佈或含時電流分佈所產生的電勢或磁向量勢，必須遵守達朗貝爾方程，表達為

$\nabla^2\Phi(\mathbf{r},\,t) - {1 \over c^2} {\partial^2 \Phi(\mathbf{r},\,t) \over \partial t^2} = - {\rho(\mathbf{r},\,t) \over \epsilon_0}$。

$\nabla^2 \mathbf{A}(\mathbf{r},\,t) - {1 \over c^2} {\partial^2 \mathbf{A}(\mathbf{r},\,t) \over \partial t^2} = - \mu_0 \mathbf{J}(\mathbf{r},\,t)$。

假若，這些用啟發法推理得到的推遲純量勢$\Phi(\mathbf{r},\,t)$和推遲向量勢$\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)$不能滿足非齊次的電磁波方程式，那麼，這些推遲勢很可能有重大錯誤，無法適用於期望的用途（從含時源生成電磁輻射）。

設定$\boldsymbol{\mathfrak{R}}$為從源位置到場位置的分離向量：

$\boldsymbol{\mathfrak{R}}=\mathbf{r} - \mathbf{r}'$。

場位置$\mathbf{r}$、源位置$\mathbf{r}'$和時間$t$都是自變數（independent variable）。分離向量$\boldsymbol{\mathfrak{R}}$和其大小$\mathfrak{R}$都是應變數（dependent variable），跟場位置$\mathbf{r}$、源位置$\mathbf{r}'$有關。推遲時間$t_r=t - \mathfrak{R}/c$也是應變數，跟時間$t$、分離距離$\mathfrak{R}$有關。

推遲純量勢$\Phi(\mathbf{r},\,t)$的梯度是

$\nabla\Phi(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \nabla\left(\frac{\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\mathfrak{R}}\right)\, d^3\mathbf{r}'= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \left[\frac{\nabla\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\mathfrak{R}}+\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)\nabla\left(\frac{1}{\mathfrak{R}}\right)\right]\, d^3\mathbf{r}'$。

注意到

$\frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t)}{\partial t}=\frac{\partial t_r}{\partial t}\ \frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\partial t_r}=\frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\partial t_r}$。

$\nabla \mathfrak{R}=\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}$。

所以，源電荷密度$\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)$的梯度是

$\nabla\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)= - \frac{1}{c}\ \frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\partial t_r}\nabla \mathfrak{R}= - \frac{1}{c}\ \frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\partial t}\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}= - \frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c}\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}$。

其中，$\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)$定義為$\frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t)}{\partial t_r}$。

將這公式代入，推遲純量勢$\Phi(\mathbf{r},\,t)$的梯度是

$\nabla\Phi(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \left[ - \frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c}\frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}} - \rho(\mathbf{r}' ,\, t_r) \left(\frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}^2}\right)\right]\, d^3\mathbf{r}'$。

推遲純量勢$\Phi(\mathbf{r},\,t)$的拉普拉斯算符是

$\begin{align} \nabla^2\Phi(\mathbf{r},\,t) & = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \left[ <pre> - \frac{\nabla\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c}\cdot\frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}} - \frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c}\nabla\cdot\left(\frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}}\right) - [\nabla\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)] \cdot\left(\frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}^2}\right) - \rho(\mathbf{r}' ,\, t_r) \nabla\cdot\left(\frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}^2}\right)\right] </pre> \, d^3\mathbf{r} \\ <pre> & = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \left[ - \frac{\ddot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c^2 \mathfrak{R}} - \frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c \mathfrak{R}^2} + \frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c \mathfrak{R}^2} - 4\pi\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r) \delta^3(\boldsymbol{\mathfrak{R}})\right]\, d^3\mathbf{r}' \\ & = - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\left[\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} </pre> \frac{\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\mathfrak{R}}\, d^3\mathbf{r}' \right] <pre> - \frac{\rho(\mathbf{r},\, t)}{\epsilon_0} \\ </pre> \end{align}$。

其中，$\delta^3(\boldsymbol{\mathfrak{R}})$是三維狄拉克δ函數。

所以，推遲純量勢滿足非齊次的電磁波方程式

$\nabla^2\Phi(\mathbf{r},\,t)+ \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \Phi(\mathbf{r},\,t)}{\partial t^2}= - \frac{\rho(\mathbf{r},\, t)}{\epsilon_0}$。

類似地，可以證明推遲向量勢$\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)$滿足非齊次的電磁波方程式。

## 勞侖次規範條件

給予磁場$\mathbf{B}$，並不是只有一個向量場$\mathbf{A}$滿足條件$\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}$。實際上，有無限多個解答。應用一項向量恆等式，$\nabla\times(\nabla \lambda)=0$，給予任意函數$\lambda$，那麼，$\mathbb{A}=\mathbf{A}+\nabla\lambda$也是一個解答。磁向量勢的這種特性，稱為規範自由。

物理學家時常會選擇使用某種規範來解析特定的問題。在電磁學裏，勞侖次規範是一個常用的規範，可以便利地解析電磁輻射的生成問題。勞侖次規範用微分方程式表達為

$\nabla \cdot \mathbf{A} +{1 \over c^2} {{\partial \Phi } \over {\partial t}}= 0$。

按照前述方法，可以證明推遲純量勢$\Phi(\mathbf{r},\,t)$和推遲向量勢$\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)$滿足勞侖次規範。這是一個很好的練習。

## 廣義的含時電磁場

推遲勢與電場$\mathbf{E}$、磁場$\mathbf{B}$的關係分別為

$\mathbf{E}= - \nabla\Phi - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}$。

$\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$。

按照前述方法，可以得到電場$\mathbf{E}$和磁場$\mathbf{B}$的方程式，又稱為傑斐緬柯方程式：

$\mathbf{E}(\mathbf{r},\,t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \left[\rho(\mathbf{r}',\,t_r)\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} +\frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}',\,t_r)}{c}\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{ |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^2} - \frac{\dot{\mathbf{J}}(\mathbf{r}',\,t_r)}{c^2 |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right] d^3\mathbf{r}'$。

$\mathbf{B}(\mathbf{r},t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'} \left[\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} +\frac{\dot{\mathbf{J}}(\mathbf{r}',\,t_r)}{c |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^2}\right]\times(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\ d^3\mathbf{r}'$。

## 超前勢

定義超前時間$t_a$為現在時間$t$加上光波傳播的時間：

$t_a\ \stackrel{def}{=}\ t + \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{c}$。

超前純量勢$\Phi_a(\mathbf{r},\,t)$與超前向量勢 $\mathbf{A}_a(\mathbf{r},\,t)$分別用方程式表達為

$\Phi_a(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\rho(\mathbf{r}' ,\, t_a)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'$。

$\mathbf{A}_a(\mathbf{r},\,t)= \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t_a)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'$。

這兩個方程式表明，在時間$t$的超前純量勢與超前向量勢，乃是由在超前時間$t_a$的源電荷密度或源電流密度產生的。超前純量勢$\Phi_a(\mathbf{r},\,t)$與超前向量勢$\mathbf{A}_a(\mathbf{r},\,t)$也滿足非齊次的電磁波方程式和勞侖次規範，但它們違反了因果律。這是很嚴峻的問題，未來發生的事件不應該影響過去發生的事件。在物理學裏，超前純量勢和超前向量勢只是很有意思的純理論問題，並沒有任何實際用途。

## 參閱

- 非齊次的電磁波方程式
- 傑斐緬柯方程式
- 黎納-維謝勢
- 拉莫方程式
- 阿布拉罕-勞侖茲力
- 狹義相對論