真空電容率

真空電容率，又稱為真空介電係數，或電常數，是一個常見於電磁學的物理常數，符號為$\epsilon_0$。在國際單位制裏，真空電容率的數值為：

$\epsilon_0 \approx 8.854\ 187\ 817\dots\ \times 10^{-12}$ 法拉／米。

真空電容率 $\epsilon_0$ 可以用公式定義為

$\epsilon_0\ \stackrel{def}{=}\ \frac {1}{\mu_0 {c_0}^2}$。

其中，$c_0$ 是光波傳播於真空的光速

$c_0$

$c$

$\mu_0$ 是真空磁導率。

採用國際單位制，$c_0$ 的數值定義為 $299\ 792\ 458$ 米／秒，但根據2019年新國際單位制，$\mu_0$ 的數值是近似值。因此，$\epsilon_0$ 的數值不是定義值，近似為

$\epsilon_0 \approx 8.854\ 187\ 817\ldots \times 10^{-12}$ 安培2秒4公斤-1米-3（或者法拉／米）。

這些數值都可以在2006 CODATA報告裏找到。

真空電容率出現於電位移$\mathbf{D}\,\!$的定義式：

$\mathbf{D}\ \stackrel{def}{=}\ \epsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}\,\!$。

其中，$\mathbf{E}\,\!$是電場，$\mathbf{P}\,\!$是電介質的經典電極化強度。

學術界常遇到一個錯誤的觀點，就是認為真空電容率$\epsilon_0\,\!$是一個可實現真空的一個物理性質。正確的觀點應該為，$\epsilon_0\,\!$是一個度量系統常數，是由國際公約發表和定義而產生的結果。$\epsilon_0\,\!$的定義值是由光波在參考系統的光速或基準（benchmark）光速的衍生而得到的數值。這參考系統稱為自由空間，被用為在其它各種介質的測量結果的比較基線。可實現真空，像外太空、超高真空（ultra high vacuum）、量子色動真空（QCD vacuum）、量子真空（quantum vacuum）等等，它們的物理性質都只是實驗和理論問題，應與$\epsilon_0\,\!$分題而論。$\epsilon_0\,\!$的含義和數值是一個度量衡學（metrology）問題，而不是關於可實現真空的問題。為了避免產生混淆，許多標準組織現在都傾向於採用電常數為$\epsilon_0\,\!$的名稱。

## 歷史背景

如同前面所述，真空電容率$\epsilon_0\,\!$是一個度量系統常數。它的出現於電磁量的定義方程式，主要是因為一個稱為理想化的程序。只使用純理論的推導，馬克士威方程組奇異地預測出，電磁波以光速傳播於自由空間。繼續推論這個預測，就可以給出$\epsilon_0\,\!$的數值。若想了解為什麼$\epsilon_0\,\!$會有這數值，必須稍微閱讀一下電磁度量系統的發展史。

在以下的講述中，請注意到我們經典物理並不特別區分「真空」和「自由空間」這兩個術語。當今文獻裏，「真空」可能指為很多種不同的實驗狀況和理論實體。在閱讀文獻時，只有上下文可以決定術語的含意。

### 單位理想化

查爾斯·庫侖和其它物理學家的實驗，證明庫侖定律：分開距離為$r\,\!$，電量都是$Q\,\!$的兩個點電荷，其相互作用於對方的力$F\,\!$，可以用方程式表達為

$F=\frac{ k_{\mathrm{e}} Q^2}{r^2}\,\!$。

其中，$k_{\mathrm{e}}\,\!$是個常數。

假若，對其它變量不加以任何約束，則$k_{\mathrm{e}}\,\!$可以任意地設定。對於每一個不同的$k_{\mathrm{e}}\,\!$數值設定，$Q\,\!$的詮釋也相隨地不同。為了要避免混淆不清，每一個不同的詮釋必須有不同的名稱和標記符號。

厘米-克-秒靜電制是一個十九世紀後期建立的標準系統。在這標準系統裏，常數$k_{\mathrm{e}}\,\!$的數值被設定為1，電荷量的因次被稱為高斯電荷量。這樣，作用力的方程式變為

$F = \frac{{q_s}^2}{r^2}\,\!$。

其中，$q_s\,\!$是高斯電荷量。

假設兩個點電荷的電荷量都是一個單位高斯電荷量，分隔距離是1公分。則兩個點電荷相互作用於對方的力是1 達因。那麼，高斯電荷量的因次也可以寫為「達因1/2公分」。這與國際單位制的因次，「牛頓1/2公尺」，有同樣的因次。但是，高斯電荷量與國際單位制電荷量的因次並不相同。高斯電荷量不是用庫侖來測量的。

後來，科學家覺得，對於球幾何案例，應該加入因子$4 \pi\,\!$於庫侖定律，表達方程式為

$F = \; k'_{\mathrm{e}} {q'_s}^2/4 \pi r^2\,\!$。

其中，$k'_{\mathrm{e}}\,\!$、$q'_s\,\!$分別為新的常數和電荷量。

這個點子稱為理想化。設定$k'_{\mathrm{e}}=1\,\!$。電量單位也改變了，但是，電量的因次仍舊是「達因1/2公分」。

下一個步驟是將電量表達為一個獨自的基本物理量，標記為$q\,\!$，將庫侖定律寫為它的現代形式：

$F = q^2/4 \pi \epsilon_0 r^2\,\!$。

很明顯地，舊厘米-克-秒靜電制裏的電量$q_s\,\!$與新的國際標準制電量$q\,\!$的關係式為

$q_s=q/\sqrt{4\pi\epsilon_0}\,\!$。

### ε0數值的設定

採用國際標準制，要求力的單位為牛頓，距離的單位為公尺，電荷量的單位為工程師的實用單位，庫侖，定義為1 安培的電流在1秒鐘內所累積的電荷量。那麼，真空電容率的因次應該是「庫侖2牛頓-1公尺-2」（或者，「法拉1公尺-1」）。

真空電容率的數值可以從馬克士威方程組求得。觀察在真空中的馬克士威方程組的微分形式：

$\nabla\cdot\mathbf{E}=0\,\!$。

$\nabla\times\mathbf{E}= - \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\,\!$。

$\nabla\cdot\mathbf{B}=0\,\!$。

$\nabla\times\mathbf{B}=\epsilon_0\mu_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\,\!$ ;

其中，$\mathbf{E}\,\!$是電場，$\mathbf{B}\,\!$是磁感應強度。

取第四個馬克士威方程式的旋度。

$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{B})=\epsilon_0\mu_0\frac{\partial(\nabla\times\mathbf{E})}{\partial t}\,\!$。

將第二個馬克士威方程式（法拉第方程式）代入，則可得到

$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{B})= - \epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}\,\!$。

應用一個向量恆等式。

$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{B})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{B}) - \nabla^2\mathbf{B}\,\!$。

再注意到第三個馬克士威方程式（高斯磁定律），所以。

$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{B})= - \nabla^2\mathbf{B}\,\!$。

這樣，就可以得到光波的磁場波動方程式：

$\nabla^2\mathbf{B}-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}=0\,\!$。

以同樣的方式，也可得到光波的電場波動方程式：

$\nabla\times\mathbf{B}=\epsilon_0\mu_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$

$\begin{align} \nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})&=-\frac{\partial(\nabla\times\mathbf{B})}{\partial t}\\ &= - \epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}\\ \end{align}$

$\nabla\cdot\mathbf{E}=0$

$\begin{align} \nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})&=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E}\\ &= - \nabla^2\mathbf{E}\\ \end{align}$

$\nabla^2\mathbf{E}-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=0$

$\nabla^2\mathbf{E}-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=0$。

這光波傳播的速度（光速$c_0\,\!$）是

$c_0=1/\sqrt{\epsilon_0\mu_0}\,\!$。

這方程式表達出光速、真空電容率、真空磁導率，這三個物理量的相互關係。原則上，科學家可以選擇以庫侖，或是以安培為基本電磁單位。經過仔細的考量，國際單位組織決定以安培為基本電磁單位。因此，$\mu_0\,\!$、$c_0\,\!$的數值設定了$\epsilon_0\,\!$的數值。若想知道如何決定$\mu_0\,\!$的數值，請參閱條目真空磁導率。

## 可實現真空和自由空間

自由空間（free space）是一個理想的參考狀態，可以趨近，但是在物理上是永遠無法達到的狀態。可實現真空有時候被稱為部分真空（partial vacuum），意指需要超低氣壓，但超低氣壓並不是近似自由空間的唯一條件。

與經典物理內的真空不同，現今時代的物理真空意指的是真空態（vacuum state），或量子真空。這種真空絶對不是簡單的空無一物的空間。因此，自由空間不再是物理真空的同義詞。若想要知道更多細節，請參閱條目自由空間和真空態。

對於為了測量國際單位的數值，而在實驗室製成的任何部分真空，一個很重要的問題是，部分真空是否可以被滿意地視為自由空間的實現？還有，我們必須怎樣修正實驗的結果，才能使這些結果適用於基線？例如，為了彌補氣壓高於零而造成的誤差，科學家可以做一些修正。

若想知道怎樣才能製成優良的部分真空，請參閱條目超高真空（ultra high vacuum）和自由空間。

請注意，這些缺陷並不會影響真空電容率$\epsilon_0\,\!$的意義或數值。$\epsilon_0\,\!$是個定義值，是由國際標準組織，通過光速和真空磁導率的定義值而衍生的。

## 參閱

- 偶極子
- 電極化強度
- 電偶極矩
- 磁化向量
- 卡西米爾效應