基 (拓撲學)

在拓撲學的相關領域中，拓撲基(base 或 basis) 是某種特殊集合族，它們的任意併集構成了一個拓撲空間的開集。基在拓撲學的作用是簡化證明，許多拓撲的性質可轉換成基的性質，像是拓撲意義下的連續就可以直接對基來做定義。

## 動機

拓撲基的動機是想定義一群特殊的子集，它們的任意併集都是「開」的；嚴謹來說，令 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$ 為集合 $X$ 的一個子集族，希望 $\mathcal{F}$ 內任意一群子集之併集所組成的 $\mathcal{U}$：

$$\mathcal{U} := \left\{ U \in \mathcal{P}(X) \,\bigg|\, <pre> (\exists \mathcal{A})\left[ (\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F}) \wedge \left(\bigcup\mathcal{A} = U \right) </pre> \right] \right\}$$

為 $X$ 上的拓撲。

集合 $X$ 有子集族 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$，設：

$$\mathcal{U} := \left\{ U \in \mathcal{P}(X) \,\bigg|\, <pre> (\exists \mathcal{A})\left[ (\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F}) \wedge \left(\bigcup\mathcal{A} = U \right) </pre> \right] \right\}$$

則「$\mathcal{U}$ 為 $X$ 上的拓撲」，等價於以下兩條件：

- $$\bigcup\mathcal{F} = X$$
- 對所有 $B_1,\,B_2 \in \mathcal{F}$，$B_1 \cap B_2 \in \mathcal{U}$

證明以下逐條檢驗拓撲的定義： (1) 等價於「$X \in \mathcal{U}$」的條件 若 $X \in \mathcal{U}$，則： : $(\exists \mathcal{A})\left[ (\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F}) \wedge \left(\bigcup\mathcal{A} = X \right) \right]$(a) 考慮到 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$，所以根據有無限併集性質的定理(1)與(2)有 : $\bigcup\mathcal{F} \subseteq X$ 但根據無限併集性質的定理(1)，(a)又等價於： : $(\exists \mathcal{A})\left[ (\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F}) \wedge \left(\bigcup\mathcal{A} = X \right) \wedge \left(\bigcup\mathcal{A} \subseteq \bigcup\mathcal{F} \right) \right]$ 所以有： : $X \subseteq \bigcup\mathcal{F}$ 所以從 $X \in \mathcal{U}$ 有： : $\bigcup\mathcal{F} = X$ (a1) 反之若有 (a1)，因為 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{F}$，所以有 $X \in \mathcal{U}$。故在本定理的前提下，(a1)等價於 $X \in \mathcal{U}$。(2) $\varnothing \in \mathcal{U}$ 首先考慮到 $\varnothing \subseteq \mathcal{F}$，然後從無限併集性質的定理(0)有 $\varnothing = \bigcup\varnothing$，故 $\varnothing \in \mathcal{U}$。(3) 對任意 $\mathfrak{A} \subseteq \mathcal{U}$ 有 $\bigcup\mathfrak{A} \in \mathcal{U}$ 首先，$\mathfrak{A} \subseteq \mathcal{U}$ 可等價地展開為 : $(\forall A \in \mathfrak{A})(\exists \mathcal{B})\left[ (\mathcal{B} \subseteq \mathcal{F}) \wedge \left(\bigcup\mathcal{B} = A \right) \right]$(b) 上式可直觀地解釋成「$A \in \mathfrak{A}$ 都是 $\mathcal{F}$ 內某些集合的併集」，既然如此，取一個蒐集各種不同 $A$ 的子集的集族 $\mathcal{P}_{\mathfrak{A}}$： : $\mathcal{P}_{\mathfrak{A}} := \left\{ S \, | \, (\exists A)[ (A \in \mathfrak{A}) \wedge (S \subseteq A) ] \right\}$ 這樣根據有限交集的性質，$x \in \bigcup (\mathcal{P}_{\mathfrak{A}} \cap \mathcal{F})$ 等價於 : $(\exists S)\left\{ (x \in S) \wedge (S \in \mathcal{F}) \wedge (\exists A)\left[ (A \in \mathfrak{A}) \wedge (S \subseteq A) \right] \right\}$ 考慮到一階邏輯的定理(Ce)，將$(\exists A)$ 移至最前，再將$(\exists S)$移入括弧內，上式就依據(Equv)而等價於 : $(\exists A)\left\{ (A \in \mathfrak{A}) \wedge (\exists S)\left[ (x \in S) \wedge (S \in \mathcal{F}) \wedge (S \subseteq A) \right] \right\}$ 也就等價於 : $(\exists A)\left\{ (A \in \mathfrak{A}) \wedge \left(x \in \bigcup [\mathcal{P}(A) \cap \mathcal{F}]\right) \right\}$ 根據無限併集性質的定理(4)，從(b)有 : $(\forall A \in \mathfrak{A})(\exists \mathcal{B})\left\{ (\mathcal{B} \subseteq \mathcal{F}) \wedge \left\{A \subseteq \bigcup[\mathcal{B} \cap \mathcal{P}(A)]\right\} \right\}$ 這樣根據無限併集性質的定理(1)又會有 : $(\forall A \in \mathfrak{A}) \left\{A \subseteq \bigcup[\mathcal{F} \cap \mathcal{P}(A)]\right\}$ 考慮到 $\mathcal{F} \cap \mathcal{P}(A) \subseteq \mathcal{P}(A)$，從無限併集性質的定理(1)與定理(2)有 : $\bigcup\mathcal{F} \cap \mathcal{P}(A) \subseteq A$ 所以最後從(b)有 : $(\forall A \in \mathfrak{A}) \left\{A = \bigcup[\mathcal{F} \cap \mathcal{P}(A)]\right\}$ 所以 $x \in \bigcup (\mathcal{P}_\mathfrak{A} \cap \mathcal{F})$ 最後等價於 : $(\exists A)\left[ (A \in \mathfrak{A}) \wedge (x \in A) \right]$ 換句話說 : $x \in \bigcup \mathfrak{A}$ 這樣考慮到 $\mathcal{P}_{\mathfrak{A}} \cap \mathcal{F} \subseteq \mathcal{F}$ 就有 : $\bigcup \mathfrak{A} = \bigcup (\mathcal{P}_{\mathfrak{A}} \cap \mathcal{F}) \in \mathcal{U}$ 所以在本定理的前提下，對所有 $\mathfrak{A} \subseteq \mathcal{U}$ 都有 $\bigcup\mathfrak{A} \in \mathcal{U}$。(4)等價於「$U,\,V \in \mathcal{U}$ 則 $U \cap V \in \mathcal{U}$」的條件 若 : 「對所有的 $U,\,V \in \mathcal{U}$ 有 $U \cap V \in \mathcal{U}$」(P) 因取任意 $B_1,\,B_2 \in \mathcal{F}$ 都有： : $B_1 = \bigcup\{B_1\} \in \mathcal{U}$ : $B_2 = \bigcup\{B_1\} \in \mathcal{U}$ 故 $B_1 \cap B_2 \in \mathcal{U}$，換句話說從假設(P)可以推出： : 「對所有 $B_1,\,B_2 \in \mathcal{F}$，$B_1 \cap B_2 \in \mathcal{U}$」(P') 另一方面， $U \cap V \in \mathcal{U}$ 可等價地展開為： : $(\exists \mathcal{E})\left\{ (\mathcal{E} \subseteq \mathcal{F}) \wedge \left(U \cap V = \bigcup\mathcal{E}\right) \right\}$ 因為 $U,\,V \in \mathcal{U}$ 可等價地展開為： : $(\exists \mathcal{A})\left[ \left(U = \bigcup \mathcal{A}\right) \wedge (\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F}) \right]$ : $(\exists \mathcal{B})\left[ \left(V = \bigcup \mathcal{B}\right) \wedge (\mathcal{B} \subseteq \mathcal{F}) \right]$ 所以在 $U,\,V \in \mathcal{U}$ 的前提下 $U \cap V \in \mathcal{U}$ 又可更進一步等價地展開為： : $(\exists \mathcal{A})(\exists \mathcal{B})(\exists \mathcal{E})\left\{ (\mathcal{A},\,\mathcal{B},\,\mathcal{E} \subseteq \mathcal{F}) \wedge \left(U = \bigcup\mathcal{A}\right) \wedge \left(V = \bigcup\mathcal{B}\right) \wedge \left[\left(\bigcup\mathcal{A}\right) \cap \left(\bigcup\mathcal{B}\right) = \bigcup\mathcal{E}\right] \right\}$ 此時考慮到一階邏輯的定理(Ce)，連續使用兩次會有： : $\left[x \in \left(\bigcup\mathcal{A}\right) \cap \left(\bigcup\mathcal{B}\right)\right] \Leftrightarrow (\exists A)(\exists B)[ (A \in \mathcal{A}) \wedge (B \in \mathcal{B}) \wedge (x \in A \cap B) ]$ 這樣的話，若取一個包含所有 $A \cap B$ 的集族： : $\mathcal{C} := \left\{ S \in \mathcal{P}(X) \, \big| \, (\exists A)(\exists B)[ (A \in \mathcal{A}) \wedge (B \in \mathcal{B}) \wedge (S = A \cap B) ] \right\}$ 這樣就有： : $\bigcup\mathcal{C} = \left(\bigcup\mathcal{A}\right) \cap \left(\bigcup\mathcal{B}\right)$ 而且考慮到 $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F}$ 和 $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{F}$，所以在(P')的前提下，所有的 $A \cap B$ 都在 $\mathcal{U}$ 裡，換句話說，$\mathcal{C} \subseteq \mathcal{U}$，故從上小結的結果有： : $U \cap V \in \mathcal{U}$ 所以，(P')跟(P)等價。綜合上面的(a1)、(a2)、和(P')，本定理得證。$\Box$

一般會根據無限併集性質的定理(4)，將第二個條件等價的寫為：

「對所有 $B_1,\,B_2 \in \mathcal{F}$， $B_1 \cap B_2 = \bigcup [\mathcal{F} \cap \mathcal{P}(B_1 \cap B_2)] <pre>$」

也就等價於：

「所有的 $B_1,\,B_2 \in \mathcal{F}$，對任意 $x \in B_1 \cap B_2$ 都存在 $C \in [\mathcal{F} \cap \mathcal{P}(B_1 \cap B_2)]$ 使得 $x \in C$」

## 定義

由上面動機一節的定理，可以作如下的定義：

$\mathfrak{B} \subseteq \mathcal{P}(X)$ 為集合 $X$ 的一個子集族，若滿足：

- $\bigcup\mathfrak{B} = X$ （基的元素覆蓋$X$）
- 所有的 $B_1,\,B_2 \in \mathcal{F}$，對任意 $x \in B_1 \cap B_2$ 都存在 $C \in [\mathcal{F} \cap \mathcal{P}(B_1 \cap B_2)]$ 使得 $x \in C$

則稱 $\mathfrak{B}$ 為 $X$ 的一個拓撲基（Topological Basis）。而：

$$\tau := \left\{ U \in \mathcal{P}(X) \,\bigg|\, <pre> (\exists \mathcal{A})\left[ (\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F}) \wedge \left(\bigcup\mathcal{A} = U \right) </pre> \right] \right\}$$

則稱為由基 $\mathfrak{B}$ 所生成的拓撲。

### 範例

以所有實數線中的開區間為元素所構成的集合是拓撲基，因為：

- 任意實數 $r \in \R$ 都包含在某個開區間裡，如 $(r-1,\,r+1)$。故開區間全體「覆蓋」了整條實數線。
- 任何兩個開區間的交集要麼也是開區間要麼為空。
- 對任意開區間 $(a,\,b)$ 內的實數 $c \in (a,\,b)$，都有一個比 $(a,\,b)$ 更小的開區間也包含 $c$，如 $\left( \frac{a+c}{2},\,\frac{b+c}{2} \right)$。

這些性質正好滿足拓撲基的定義。

更一般的來說，以度量空間的開球為元素所構成的集合是拓撲基，因為：

- 度量空間的任意點都可作為開球的球心，故開球全體「覆蓋」了整個度量空間。
- 取任二開球$B_{r_a}(a)$和$B_{r_b}(b)$，若$x \in B_{r_a}(a) \cap B_{r_b}(b)$，且 $r = \min \{r_a - d(x,\,a),\,r_b - d(x,\,b)\}$，則$B_r(x) \subseteq B_{r_a}(a) \cap B_{r_b}(b)$。

## 重要性質

$\mathcal{B}$ 是集合 $X$ 的拓撲基，則 $\mathcal{B}$ 生成的拓撲是包含 $\mathcal{B}$ 的最粗拓撲

證明設 $\mathcal{B}$ 所生成的拓撲是 $\tau_\mathcal{B}$；另一方面包含 $\mathcal{B}$ 的最粗拓撲為 $\tau(\mathcal{B})$。根據最粗拓撲的定義有： :$\vdash (\forall S)\big\{ [S \in \tau(\mathcal{B})] \Leftrightarrow (\forall \mathfrak{T})\{ [(\mathfrak{T}\text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{B} \subseteq \mathfrak{T})] \Rightarrow (S \in \mathfrak{T}) \} \big\}$(a) 那以量詞公理(A4) 將 $\forall S$ 去掉會有： :$\vdash [S \in \tau(\mathcal{B})] \Leftrightarrow (\forall \mathfrak{T})\{ [(\mathfrak{T}\text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{B} \subseteq \mathfrak{T})] \Rightarrow (S \in \mathfrak{T}) \}$ 那再使用量詞公理(A4)，配合(D1)會有： :$\vdash [S \in \tau(\mathcal{B})] \Rightarrow \{ [(\tau_B \text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{B} \subseteq \tau_B)] \Rightarrow (S \in \tau_B) \}$ 因為 $\tau_\mathcal{B}$ 是 $\mathcal{B}$ 所生成的拓撲，配合(D2)有：（$\mathcal{P}$ 為 「$\mathcal{B}$ 是 $X$ 的拓撲基」的正式敘述） :$\mathcal{P} \vdash [S \in \tau(\mathcal{B})] \Rightarrow (S \in \tau_B)$ 另一方面，根據拓撲基的定義有： :$\mathcal{P},\, S \in \tau_B \vdash (\exists \mathcal{C})\left[ \left(S = \bigcup \mathcal{C}\right) \wedge (\mathcal{C} \subseteq \mathcal{B}) \right]$ 而根據拓撲的定義(關於聯集的部分)與演繹定理會有： :$\mathcal{P},\, [(\mathfrak{T}\text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{B} \subseteq \mathfrak{T})],\, \left[\left(S = \bigcup \mathcal{C}\right) \wedge (\mathcal{C} \subseteq \mathcal{B}) \right] \vdash (S \in \mathfrak{T})$ 這樣根據(GEN)與演繹定理就有： :$\mathcal{P},\, [(\mathfrak{T}\text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{B} \subseteq \mathfrak{T})] \vdash (\exists C)\left[\left(S = \bigcup \mathcal{C}\right) \wedge (\mathcal{C} \subseteq \mathcal{B}) \right] \Rightarrow (S \in \mathfrak{T})$ 換句話說，從演繹定理與(D1)有： :$\mathcal{P},\, S \in \tau_B \vdash [(\mathfrak{T}\text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{B} \subseteq \mathfrak{T})] \Rightarrow (S \in \mathfrak{T})$ 那從普遍化元定理就有： :$\mathcal{P},\, S \in \tau_B \vdash (\forall \mathfrak{T})\{ [(\mathfrak{T}\text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{B} \subseteq \mathfrak{T})] \Rightarrow (S \in \mathfrak{T}) \}$ 這樣從(a)，配合(AND)與(D1)就有： :$\mathcal{P},\, S \in \tau_B \vdash S \in \tau(\mathcal{B})$ 這樣從(AND)和演繹定理就有： :$\mathcal{P} \vdash (S \in \tau_B) \Leftrightarrow [S \in \tau(\mathcal{B})]$ 套用(GEN)將 $\forall S$ 重新加入就會有： :$\mathcal{P} \vdash \tau_B = \tau(\mathcal{B})$ 故本定理得証。$\Box$

$\mathcal{B}_1$ 和 $\mathcal{B}_2$ 都是集合 $X$ 的拓撲基，而 $\tau_1$ 為 $\mathcal{B}_1$ 生成的拓撲； $\tau_2$ 為 $\mathcal{B}_2$ 生成的拓撲，則以下兩敘述價

- $$\tau_1 \subseteq \tau_2$$
- $$(\forall B_1 \in \mathcal{B}_1)(\exists B_2 \in \mathcal{B}_2)(B_2 \subseteq B_1)$$

證明

- 如果 B1,B2,...,Bn 是拓撲 T1,T2,...,Tn 的基，則集合積 B1 × B2 × ... × Bn 是乘積拓撲 T1 × T2 × ... × Tn 的基。在無限乘積的情況下這仍適用，除了出現有限多個基元素之外全部都必須是整個空間之外。
- 設 B 是 X 的基並設 Y 是 X 的子空間。那麼如果我們交 B 的每個元素於 Y，結果的集合的搜集是子空間 Y 的基。

$\mathfrak{B}$是集合$Y$ 的拓撲基（其生成的拓撲為$\tau_Y$）； $(X,\,\tau_X)$為一拓撲空間；$f:X \to Y$為一函數。若對任意$B \in \mathfrak{B}_Y$有$f^{-1}(B) \in \tau_X$，則$f$是$\tau_X$-$\tau_Y$連續。

證明若$O \in \tau_Y$，根據基的定義，存在$\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{B}$使得： :$O = \bigcup \mathcal{F}$ 這樣的話，若取： :$f^{-1}(\mathcal{F}) = \{A\,| (\exists B \in \mathcal{F})(A = f^{-1}(B)) \,\}$ 則有： :$f^{-1}(O) = \bigcup f^{-1}(\mathcal{F})$ :$f^{-1}(\mathcal{F}) \subseteq \tau_X$ 這樣根據拓撲空間的定義就有： :$f^{-1}(O) = \bigcup f^{-1}(\mathcal{F}) \in \tau_X$ 故$f$是$\tau_X$-$\tau_Y$連續。$\Box$

- X 的子集的搜集是 X 上的拓撲當且僅當它生成自身。
- B 是拓撲空間 X 的基，當且僅當 B 的包含 x 的元素的子搜集形成在 x 上的局部基，對於 X 的任何點 x。
- 給定拓撲的一個基，要證明網或序列的收斂，在包含假定極限的所有基中的集合中最終證明它就是充分的。

## 依據基定義的對象

- 序拓撲通常定義為類似開區間的集合的搜集所生成的拓撲。
- 度量拓撲通常定義為開球的搜集生成的拓撲。
- 第二可數空間是有可數基的拓撲。
- 離散拓撲有由所有單元素集合組成的基。

## 閉集基

閉集同樣擅長描述空間的拓撲。因為有對於拓撲空間的閉集的對偶的基的概念。給定一個拓撲空間 X， X 的閉集基是閉集的集合族 F 使得任何閉集 A 是 F 的元素的交集。

等價的說，閉集族形成了閉集基，如果對於每個閉集 A 和每個不在 A 中的點 x，存在一個 F 的元素包含 A 但不包含 x。

容易檢查 F 是 X 的閉集基，當且僅當 F 的成員的補集的集合族是 X 的開集基。

設 F 是 X 的閉集基。則

- ∩F = ∅
- 對於每個 F1 和 F2 在 F 中，併集 F1 ∪ F2 是 F 的某個子族的交集(就是說，對於任何不在 F1 或 F2 的 x，存在一個 F3 在 F 包含 F1 ∪ F2 並不包含 x)。

滿足這些條件的集合 X 的任何子集搜集形成 X 上的拓撲的閉集基。這個拓撲的閉集完全就是 F 的成員的交集。

在某些情況下，更習慣使用閉集基而非開集基。例如，一個空間是完全正規空間，當且僅當它的零集形成了閉集基。給定任何拓撲空間 X，零集形成在 X 上某個拓撲的閉集基。這個拓撲將是 X上比最初的要粗的最細的完全正規拓撲。在類似的脈絡下，在 An 上的 Zariski拓撲被定義為選取多項式函數的零集作為閉集基。

## 準基

若拓撲空間$X$是最小的拓撲使得$X$的子集的集$B$都是$X$的開集，則稱$B$為$X$的一個準基（subbasis/subbase）。另一等價的定義為，若$B$及其所有有限交集構成了拓撲空間$X$之基，則$B$為準基。

例子：

- 在實數線上，所有長度為1的開區間便是一個準基。

J.W. 亞歷山大證明了：若每個準基覆蓋都有一個有限個元素的子覆蓋，則此空間是緊緻的。

## 參考文獻

- James Munkres (1975) Topology: a First Course. Prentice-Hall.
- Willard, Stephen (1970) General Topology. Addison-Wesley. Reprinted 2004, Dover Publications.