換位子群

在數學尤其是抽象代數中，群的換位子群或導群，另名交換子群，意指該群所有換位子所生成的子群，記作 $[G,G]$、$G'$ 或 $G^{(1)}$。任意給定群均對應一個確定的換位子群。作為群 $G$ 的正規子群，換位子群 $G'$ 是使得 $G$ 對它的商群 $G/G'$ 交換的最小正規子群。換言之，換位子群表徵群 $G$ 的可交換程度，根據換位子的定義 $[x,y]=xyx^{-1}y^{-1}$, $x$ 與 $y$ 交換，即 $xy=yx$, 若且唯若 $[x,y]=e$, 即，群內可交換的元素越多，換位子就越少，換位子群也就越小。顯然，交換群的換位子群為平凡群$\{e\}$.

## 換位子

對群元 $g,\,h\in G$, $g$ 與 $h$ 的換位子為 $[g,\,h]=g^{-1}h^{-1}gh$. 換位子 $[g,\,h]$ 等價於群么 $e$ 若且唯若 $gh=hg$, 即二者交換。一般情況下，顯然有 $gh=hg[g,\,h]$.

該記號的順序任定，有下述不同的定義方式，此時換位子將左乘，而非右乘二者的積：

$[g,\,h]=ghg^{-1}h^{-1}$,

此時有 $gh=[g,\,h]hg$ 而非 $gh=hg[g,\,h]$.

對 $g$ 和 $h$ 來說，群 $G$ 中形如 $[g,\,h]$ 的元即稱其換位子。么 $e=[e,\,e]$ 恆為換位子。群 $G$ 交換若且唯若其換位子群平凡，即 $G'=\{e\}$.

下例對群 $G$ 元 $s,\,g,\,h$ 成立：

- $[g,\,h]^{-1}=[h,\,g]$;
- $[g,\,h]^s=[g^s,\,h^s]$，其中 $g^s := s^{-1}gs$ 意指 $g$ 關於 $s$ 的共軛。
- $$\begin{align} f\colon\, & G \to H,\\ <pre> & [g,\,h] \mapsto [f(g),\,f(h)]. </pre> \end{align}$$

前兩者蘊含 $G$ 的換位子集對交換與共軛封閉。對第三條取 $H=G$, 即知換位子集穩定於 $G$ 的任意自同態，這正是第二條的一般情況，只需取 $f$ 作 $G$ 的共軛自同構：

$$\begin{align} <pre> f\colon\,&G\to G\\ &x\mapsto x^s:=s^{-1}xs, </pre> \end{align}$$

即得第二條。

換位子的積未必是換位子。典例是由 $a,\,b,\,c,\,d$ 生成的自由群內的 $[a,\,b][c,\,d]$. 已知存在兩換位子其積非換位子的最小有限群，階數為 96，在同構意義上有兩種如此的 96 階群。

## 定義

給定群 $G$，其換位子群 $[G,G]$（或稱導群，記 $G'$ 或 $G^{(1)}$）是 $G$ 的所有換位子所生成的子群：

$$[G,G] = \{ g^{-1}h^{-1}gh \,\colon \, g, h \in G \}.$$

由定義知，任意 $[G,\,G]$ 的元有形式

$$\prod_{i=1}^n[g_i,\,h_i]=[g_1,\,h_1]\cdots[g_n,\,h_n],\,n\in\mathbb{N}_+,\,\forall i,\,g_i,\,h_i\in G.$$

此外由

$$\left(\prod_i[g_i,\,h_i]\right)^s=\prod_i[g_i^s,\,h_i^s]$$

知換位子群亦對 $G$ 正規。對任意同態 $f\colon\,G\to H$。

$$f\colon\,\prod_i[a_i,\,b_i]\mapsto\prod_i[f(a_i),\,f(b_i)]=[f(a_1),\,f(b_1)]\cdots[f(a_n),\,f(b_n)],$$

故而 $f([G,\,G])\subseteq [H,\,H].$

這表明換位子群可視作群範疇 $\mathsf{Grp}$ 的函子，其部分含義將於下文探討。此外倘取 $G=H$, 知換位子群於 $G$ 的任意自同態下穩定：換言之，$[G,\,G]$ 為 $G$ 的全特徵子群，這一性質遠強於正規性。

換位子群亦定義作 $G$ 的子集

$$\left\{\left.\prod_{i\in I} g_i\right|\,\exists \varphi\colon I\leftrightarrow I,\, \prod_{i\in I}g_{\varphi(i)}=e_G,\,\forall i,\,g_i\in G,\,I\subset\mathbb{N}\right\},$$

即那些存在某種重排使得結果為么的群元乘積構成的集合。

### 導集序列

導集能夠迭代構造：

$$G^{(0)}:=G$$

$$G^{(n)}:=\left[G^{(n-1)},\,G^{(n-1)}\right],\quad n\in\mathbb{N}.$$

群 $G^{(i)},i=2,\,3,\,\dots$ 依次稱 $n$ 階導群。下降正規序列

$$\cdots\triangleleft G^{(2)}\triangleleft G^{(1)}\triangleleft G^{(0)}=G$$

即稱導出序列。

對有限群而言，導出序列終止於完滿群，其平凡與否皆有可能。而對於無限群，其導出序列不必終止於有限步，而可能以超限遞歸至持續無窮序數步，繼而得到超限導出序列，其最終終止於群的完美核。

### Abel 化

給定群 $G$, 商群 $G/N$ 交換若且唯若 $[G,\,G]\subset N$.

商群 $G/[G,\,G]$ 交換，稱 $G$ 的 Abel 化，常記作 $G^{\mathrm{ab}}$ 或 $G_{\mathrm{ab}}$.

有範疇方向的實用詮釋，映射 $\varphi\colon\,G\to G^\mathrm{ab}$. 換言之， $\varphi$ 泛於任意從 $G$ 到 Abel 群 $H$ 的同態，或稱任意從 $G$ 到 Abel 群 $G$ 的同態均可經由 $\varphi$ 唯一分解：對任意 Abel 群 $H$ 與群同態 $f\colon\, G\to H$, 存在唯一同態 $F\colon\, G^{\rm ab}\to H$ 使得 $f=F\circ\varphi$. 正如由泛映射定義的對象通常所具的特點般，這表徵 Abel 化子群 $G^{\rm ab}$ 在典範同構意義下的唯一性，而顯示構造的 $G\to G/[G,\,G]$ 表徵其存在性。

Abel 化函子是從 Abel 群範疇 $\mathsf{AbGrp}$ 到群範疇 $\mathsf{Grp}$ 的包含函子的左伴隨。Abel 化函子 $\mathsf{AbGrp}\to\mathsf{Grp}$ 的存在性令範疇 $\mathsf{AbGrp}$ 擁有群範疇的反射子範疇，定義為其包含函子擁有左伴隨的全子範疇。

$G^{\rm ab}$ 另有一重要釋義 $H_1(G,\,\mathbb{Z})$, 群 $G$ 的整係數一階同調群。

### 相關的群

群 $G$ 交換若且唯若其導群平凡：$[G,\,G]=\{e\}$, 或等價地說，若且唯若其等於自身的 Abel 化。關於 Abel 化，定義見前述。

群 $G$ 完滿若且唯若其導群等於自身：$[G,\,G]=G$，或等價地說，若且唯若其 Abel 化平凡。這「相反」於阿貝爾群。

滿足 $\exists n\in\mathbb N,\,G^{(n)}=\{e\}$ 的群稱可解群，這一條件寬於交換，亦即取 $n=1$ 的情形。

滿足 $\forall n\in\mathbb N,\, G^{(n)}\ne \{e\}$ 的群稱非可解群。

對序數 $\alpha$ 滿足 $G^{(\alpha)}=\{e\}$ 的群稱亞阿貝爾群，這一條件寬於可解，亦即取 $\alpha<\infty$ 的情形。

### 完滿群

若群 $G$ 的導群等於自身，即 $G^{(1)}=G$, 稱該群完滿群，包含非交換單群及不動域 $\mathbb k$ 上的特殊線性群 $\operatorname{SL}_n(\mathbb k)$.

## 例子

- 任意 Abel 群的換位子群均平凡。
- 域或除環 $\mathbb k$ 上的一般線性群 $\operatorname{GL}_n(\mathbb k)$ 的換位子群等於特殊線性群 $\operatorname{SL}_n(\mathbb k)$, 若 $n\ne2$, 或 $\mathbb k$ 不是擁有兩個元素的域。
- 4 次交錯群 $A_4$ 的換位子群即 Klein 四元群 $V_4$。
- $n$ 次對稱群 $S_n$ 的換位子群即 $n$ 次交錯群 $A_n$。
- 四元群 $Q=\{1,\,-1,\,{\rm i},\,{\rm -i},\,{\rm j},\,{\rm -j},\,{\rm k},\,{\rm -k}\}$ 的換位子群為 $\{1,\,-1\}$。

### 從 $\operatorname{Out}$ 出發的映射

由於導群是特徵子群，任意 $G$ 上的自同構均誘導其 Abel 化子群上的自同構。由於 Abel 化子群本身是 Abel 群，內自同構平凡，從而得到映射

$\operatorname{Out}G\to \operatorname{Aut}G^{\rm ab}$.