位置算符

在量子力學裏，位置算符（position operator）是一種量子算符。對應於位置算符的可觀察量是粒子的位置。位置算符的本徵值是位置向量。採用狄拉克標記，位置算符 $\hat{x}$ 的本徵態 $|x\rang$ 滿足方程式

$\hat{x}|x\rang=x|x\rang$。

其中，$x$ 是本徵值，是量子態為 $|x\rang$ 的粒子所處的位置，$x$ 只是一個數值。

## 位置空間表現

設定量子態 $|\Psi\rang=\hat{x}|\psi \rang$。量子態 $|\Psi\rang$、$|\psi\rang$ 的位置空間表現，即波函數，分別定義為

$\Psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ \lang x|\Psi\rang$。

$\psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ \lang x|\psi\rang$。

在位置空間裡，定義算符 $\hat{\mathfrak{x}}$ 為

$\hat{\mathfrak{x}}\psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ x\psi(x)$。

在位置空間裡，使用連續本徵態 $|x'\rang$ 所組成的基底，任意量子態 $|\psi\rang$ 展開為

$|\psi \rang = \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ |x'\rang\lang x'|\psi\rang$。

將量子算符 $\hat{x}$ 作用於量子態 $|\psi\rang$，可以得到

$\hat{x}|\psi \rang =\hat{x} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ |x'\rang\lang x'|\psi\rang <pre> =\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ x' |x'\rang\lang x'|\psi\rang </pre> =\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ x' \psi(x')|x'\rang =\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ \hat{\mathfrak{x}}\psi(x') |x'\rang$。

應用狄拉克正交歸一性，$\lang x|x'\rang =\delta(x-x')$，這方程式與左矢 $\lang x|$ 的內積為

$\lang x|\hat{x}|\psi \rang =\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ \hat{\mathfrak{x}}\psi(x') \lang x|x'\rang =\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ \hat{\mathfrak{x}}\psi(x') \delta(x-x') =\hat{\mathfrak{x}}\psi(x)$。

量子態 $|\Psi\rang$ 的展開式為

$\Psi \rang =\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ |x'\rang\lang x'|\Psi\rang =\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ \Psi(x')|x'\rang$。

應用狄拉克正交歸一性，這方程式與左矢 $\lang x|$ 的內積為

$\lang x|\Psi \rang =\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ \Psi(x')\lang x|x'\rang =\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ \Psi(x') \delta(x-x') =\Psi(x)$。

所以，兩個波函數 $\Psi(x)$、$\psi(x)$ 之間的關係為

$\Psi(x)=\hat{\mathfrak{x}}\psi(x)$。

總結，位置算符 $\hat{x}$ 作用於量子態 $|\psi\rang$ 的結果 $|\Psi\rang$，表現於位置空間，等價於波函數 $\psi(x)$ 與 $x$ 的乘積 $\Psi(x)$。位置算符 $\hat{x}$ 的位置空間表現是位算符 $\hat{\mathfrak{x}}$，可以稱算符 $\hat{\mathfrak{x}}$ 為位置算符。

## 本徵函數

假設，在位置空間裡，位置算符 $\hat{\mathfrak{x}}$ 的本徵值為 $q$ 的本徵函數是 $g_q(x)$。用方程式表達。

$\hat{\mathfrak{x}}g_q(x)=q g_q(x)$。

這方程式的一般解為。

$g_q(x)=g_0 \delta(x - q)$。

其中，$g_0$ 是常數，$\delta(x - q)$ 是狄拉克δ函數。

注意到 $g_q(x)$ 無法歸一化：

$\int_{ - \infty}^{\infty}\ g_q^*(x)g_q(x)\ dx=|g_0|^2 \int_{ - \infty}^{\infty}\ \delta^2(x - q)\ dx=\mbox{?}$。

設定 $g_0=1$，函數 $g_q(x)$ 滿足下述方程式：

$\int_{ - \infty}^{\infty}\ g_{q1}^*(x)g_{q2}(x)\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \delta(x - q1)\delta(x - q2)\ dx=\delta(q1-q2)$。

這性質不是普通的正交歸一性，這性質稱為狄拉克正交歸一性。因為這性質，位置算符的本徵函數具有完備性，也就是說，任意波函數 $\psi(x)$ 都可以表達為本徵函數的線性組合：

$\psi(x)=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi(q)g_{q}(x)\ dq$。

雖然本徵函數 $g_q(x)$ 所代表的量子態是無法實際體現的，並且嚴格而論，不是一個函數，它可以視為代表一種理想量子態，這種理想量子態具有準確的位置 $q$，因此，根據不確定性原理，這種理想量子態的動量呈均勻分佈。

## 期望值

採用位置空間表現，設想一個移動於一維空間的量子粒子。在這裏，希爾伯特空間是 $\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R})$，是實值定義域的平方可積函數的空間。兩個態向量的內積是

$\lang \psi_1| \psi_2 \rang = \int_{ - \infty}^{\infty}\psi_1^*(x)\psi_2(x) \, \mathrm{d}x$。

對於任意量子態 $\psi$，可觀察量 $x$ 的期望值為

$\lang x \rang\ \stackrel{def}{=}\ \lang \psi | \hat{x} |\psi \rang$。

位置算符 $\hat{x}$ 作用於量子態 $|\psi\rang$ 的結果，表現於位置空間，等價於波函數 $\psi(x)$ 與 $x$ 的乘積，所以。

$\lang x \rang =\int_{ - \infty}^{\infty} \psi^\ast (x) \, x \, \psi(x) \, \mathrm{d}x = \int_{ - \infty}^{\infty} x \, |\psi(x)|^2 \, \mathrm{d}x$。

粒子處於 $x$ 與 $x+dx$ 微小區間內的機率是

$p(x) \mathrm{d}x = \psi^*(x)\psi(x) \mathrm{d}x$。

粒子位置與機率的乘積在位置空間的積分，就是粒子位置的期望值。

## 三維案例

推廣至三維空間相當直截了當，參數為三維位置 $\mathbf{r}$ 的波函數為 $\psi(\mathbf{r})$，位置的期望值為

$\langle \mathbf{r} \rangle = \int_{\mathbb{V}} \mathbf{r} |\psi(\mathbf{r})|^2 \mathrm{d}^3 \mathbf{r}$。

其中，$\mathbb{V}$ 是積分體積。

位置算符 $\mathbf{\hat{\mathfrak{r}}}$ 的作用為

$\mathbf{\hat{\mathfrak{r}}}\psi=\mathbf{r}\psi$。

## 對易關係

位置算符與動量算符的對易算符，當作用於波函數時，會得到一個簡單的結果：

$[\hat{x},\ \hat{p}]\psi=(\hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x})\psi=x\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial x} - \frac{\hbar}{i}\frac{\partial (x\psi)}{\partial x}=i\hbar\psi$。

所以，$[\hat{x},\ \hat{p}]=i\hbar$。這關係稱為位置算符與動量算符的對易關係。由於兩者的對易關係不等於 0，位置與動量彼此是不相容可觀察量。$\hat{x}$ 與 $\hat{p}$ 絕對不會擁有共同的基底量子態。一般而言，$\hat{x}$ 的本徵態與 $\hat{p}$ 的本徵態不同。

根據不確定性原理。

$\Delta A\ \Delta B \ge \left|\frac{\langle[ A,\ B]\rangle}{2i}\right|$。

由於 $x$ 與 $p$ 是兩個不相容可觀察量，$\left|\frac{\langle[\hat{x},\ \hat{p}]\rangle}{2i}\right| =\hbar/2$。所以，$x$ 的不確定性與 $p$ 的不確定性的乘積 $\Delta x\ \Delta p$，必定大於或等於 $\hbar/2$。