理想 (環論)

理想（Ideal）是一個環論中的概念。

若某環的子集為在原環加法的定義下的子群，且其中的元素在原環乘法下與任意原環中的元素結果都在該子群中，則稱其為原環的理想。

通俗地說，一環的理想在加法上成群且在乘法上表現如同一個黑洞。

理想是整數的某些子集，例如偶數或3的倍數組成的集合的推廣。兩個偶數相加或相減結果仍是偶數，偶數與任意整數相乘的結果也仍是偶數；這些閉包和吸收的性質正是理想的定義。理想可以被用來構造商環，這類似於在群論里，正規子群可以被用來構造商群。

## 歷史

恩斯特·庫默爾提出了理想數的概念，以此作為那些不具有唯一因子分解的數環的「缺失」的因子。「理想」在這裡的意思是它只存在於想像中，可以類比在幾何中那些「理想」的幾何對象，比如無窮遠處的點。隨後在1876年，理察·戴德金在狄利克雷的數論講義書的第三版中用被稱為「理想」的數的集合代替了庫默爾之前未定義的概念。之後這個概念被大衛·希爾伯特和艾米·諾特從數環拓展到了多項式環以及其他交換環上。

## 定義

環(R,+,·)，已知(R, +)是阿貝爾群。R的子集I稱為R的一個右理想，若I滿足：

- (I, +)構成(R, +)的子群。
- ∀i ∈ I，r ∈ R，i·r ∈ I。

類似地，I稱為R的左理想，若以下條件成立：

- (I, +)構成(R, +)的子群。
- ∀i ∈ I，r ∈ R，r·i ∈ I。

若I既是R的右理想，也是R的左理想，則稱I為R的雙邊理想，簡稱R上的理想。

### 示例

- 整數環的理想：整數環Z只有形如nZ的理想。

### 一些結論

- 在環中，（左或右）理想的交和並仍然是（左或右）理想。
- 對於R的兩個理想A，B，記$AB=\left\{ \sum_{k=0}^{n} a_{k}b_{k}| a_{k} \in A,b_{k} \in B \right\}$。按定義不難證明：
- 如果A是R的左理想，則AB是R的左理想。
- 如果B是R的右理想，則AB是R的右理想。
- 如果A是R的左理想，B是R的右理想，則AB是R的雙邊理想。
- R的子集I是R的理想，若I滿足：
- ∀a,b ∈ I，a - b∈I。
- ∀a ∈ I, r ∈ R，則a·r∈ I。
- 交換環的理想：交換環的理想都是雙邊理想。
- 除環的理想：除環中的（左或右）理想只有平凡（左或右）理想。

## 生成理想

如果 $A$ 是環 $R$ 的一個非空子集，令 $\left\langle A\right\rangle=RA+AR+RAR+\mathbb{Z}A$, 其中

$$\mathbb{Z}A=\left\{\sum_{i=1}^n m_i a_i: m_i\in \mathbb{Z},\,a_i\in A,\,n\geq 1\right\};$$

$$RA=\left\{\sum_{i=1}^n r_i a_i: r_i\in R,\,a_i\in A,\,n\geq 1\right\};$$

$$AR=\left\{\sum_{i=1}^n a_i r_i: r_i\in R,\,a_i\in A,\,n\geq 1\right\};$$

$$RAR=\left\{\sum_{i=1}^n r_i a_i r_i': r_i,r_i'\in R,\,a_i\in A,\,n\geq 1\right\},$$

則 $\left\langle A\right\rangle$ 是環 $R$ 的理想，這個理想稱為 $R$ 中由 $A$ 生成的理想，$A$ 稱為生成元集。同群的生成子群類似，$\left\langle A\right\rangle$ 是 $R$ 中所有包含 $A$ 的理想的交，因此是 $R$ 中包含 $A$ 的最小理想。下面是生成理想的幾種特殊情況：

- 當 $R$ 是交換環時，$\left\langle A\right\rangle =RA+\mathbb{Z}A$;
- 當 $R$ 是有單位元$1$的環時，$\left\langle A\right\rangle =RAR$;
- 當 $R$ 是有單位元的交換環時，$\left\langle A\right\rangle =RA$.

## 主理想

設集合A = {a1,a2,...,an}，則記 = 1,a2,...,an>，稱$\left \langle A \right \rangle$是有限生成理想。特別當$A= \left\{ a\right\}$是單元素集時，稱$\left \langle A \right \rangle =\left \langle a \right \rangle$為環R的主理想。注意$\left\{ a\right\}$作為生成元一般不是唯一的，如$\left \langle a \right \rangle =\left \langle -a \right \rangle$。$\left \langle a \right \rangle$的一般形式是：

$$\left \langle a \right \rangle =\left\{ \sum_{k=1}^{m} x_{k}ay_{k}+sa+at+na| x_{k},y_{k},s,t \in R, n,m \in Z \right\}$$

- 性質：$\left \langle A \right \rangle =\sum_{a \in A} \left \langle a \right \rangle$

幾類特殊環中的主理想：

- 如果是交換環，則$\left \langle a \right \rangle =\left\{sa+na| s \in R, n \in Z \right\}$
- 如果是有單位元的環，則$\left \langle a \right \rangle =\left\{ \sum_{k=1}^{m} x_{k}ay_{k}| x_{k},y_{k} \in R, m \in Z, m>0 \right\}$
- 如果是有單位元的交換環，則$\left \langle a \right \rangle =\left\{sa| s \in R \right\}$

## 相關概念和結論

- 真理想：若I是環R的理想，且I是R的真子集，I稱為R的真理想。
- 極大理想：環R的一個真理想I被稱為R的極大理想，若不存在其他真理想J，使得I是J的真子集。
- 極大左理想：設I是環R的左理想，若I ≠ R並且在I與R之間不存在真的左理想，則稱I是環R的一個極大左理想。極大左理想與極大理想之間有如下關係：
- 如果I是極大左理想，又是雙邊理想，則I是極大理想。
- 極大理想未必是極大左理想。
- 單環：在么環中，若零理想是其極大理想，稱該環為單環。
- 除環是單環，其零理想是極大理想。
- 域是單環。
- 在整數環Z中，由p生成的主理想是極大理想的充分必要條件是：p是素數。
- 設R是有單位元1的交換環。理想I是R的極大理想的充分且必要條件是：商環R / I是域。
- 設I是環R的左理想，則I是R的極大左理想的充分必要條件是對R的任意一個不含在I中的左理想J都有I+J=R。
- 素理想：環R的真理想I被稱為素理想，若∀R上的理想A，B，有AB ⊆ I ⇒ A ⊆ I或B ⊆ I。
- 素環：若環R的零理想是素理想，則稱R是素環（或質環）。
- 無零因子環是素環。
- 在交換環R中，真理想I是素理想的充要條件是：R / I是素環。
- 准素理想：環R的真理想I。若∀R上的理想P，有P2 ⊆ I ⇒ P ⊆ I，稱I是R的准素理想。
- 准素理想是一類比素理想相對較弱的理想。素理想是准素理想，反之不成立。