有限生成阿貝爾群

在抽象代數中，阿貝爾群 $(G, +)$ 被稱為有限生成的，如果 $G$ 有一個有限子集 $x_1, \dots, x_s$ 使得所有 $G$ 中的元素 $x$ 可以寫為如下形式

$$x = n_1x_1 + n_2x_2 + \dots + n_sx_s$$

其中 $n_1, \dots, n_s$ 都是整數。在這種情況下，我們稱集合 $\{x_1, \dots, x_s\}$ 為 $G$ 的生成集，或稱 $x_1, \dots, x_s$ 生成了 $G$。

顯然，所有有限阿貝爾群都是有限生成的。有限生成的阿貝爾群的結構相當簡單，並可以被完全地分類。

## 例子

- 整數集 $(\mathbb{Z}, +)$ 是有限生成阿貝爾群。
- 整數模以 n $\mathbb{Z}_n$ 是有限生成阿貝爾群。
- 有限多個有限生成阿貝爾群的直和也是有限生成阿貝爾群。

有理數集的群 $(\mathbb{Q}, +)$ 不是有限生成的：如果有理數 $x_1, \dots, x_s$ 生成 $\mathbb{Q}$，選取一個與所有分母互素的自然數 $w$； $1/w$ 不能被 $x_1, \dots, x_s$ 生成。

## 分類

有限生成阿貝爾群的基本定理（它是在主理想整環上的有限生成模的結構定理的特殊情況）可以用兩種方式陳述（類似於PID）:

### 基礎分解(elementary divisors)

主分解公式生成任何有限生成阿貝爾群 G 同構於準素循環群和無限循環群的直和。準素循環群是其階是素數的冪的群。就是說，所有這種群同構於如下形式之一

$$\mathbb{Z}^n \oplus \mathbb{Z}_{q_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{q_t}$$

這里的秩 n ≥ 0，並且數 q1,...,qt 是（不必需不同的）素數的冪。特別地，$G$ 是有限群當且僅當 $n = 0$。n, q1,...,qt 的值（差一個指標的重排）唯一確定自 G。

### 不變量因子分解(invariant factors decomposition)

我們可以寫任何有限生成阿貝爾群 $G$ 為如下形式的直和

$$\mathbb{Z}^n \oplus \mathbb{Z}_{k_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{k_u}$$

這里的 k1 整除 k2，而它又整除 k3 如此直到 ku。還有，n 的秩和不變量因子 k1,...,ku 唯一的確定自 G（這里帶有唯一次序）。

### 等價

這些陳述是等價的，因為中國剩餘定理聲稱 Zm 同構於 Zj 和 Zk 的直和，當且僅當 j 和 k 互質並且 m = jk。

## 例子

在這裡提供幾個簡單的例子作為參考

### EX1: 找出所有階為20的阿貝爾群

首先可以將階數質因數分解 $20=2^2*5^1$

注意到指數有2以及1，先注意到2，2的整數分解有兩種，即 { 2 } , { 1,1 } 而 1 的整數分解只有一種即 , { 1 }

所以20階的阿貝爾群的基礎分解即為 $\mathbb{Z}_{4}\oplus \mathbb{Z}_{5}$，$\mathbb{Z}_{2}\oplus\mathbb{Z}_{2}\oplus\mathbb{Z}_{5}$

### EX2:找出所有階為72的阿貝爾群

注意到$72=2^3*3^2$，然後看到3有三種分解, 即 { 3 } , { 2,1 }, { 1,1,1 } , 而2的整數分解有兩種，即 { 2 } , { 1,1 }

所以72階的阿貝爾群的基礎分解即為

$\mathbb{\Z}_{8}\oplus\mathbb{\Z}_{9}$， $\mathbb{\Z}_{8}\oplus\mathbb{\Z}_{3}\oplus\mathbb{\Z}_{3}$，$\mathbb{\Z}_{2}\oplus\mathbb{\Z}_{4}\oplus\mathbb{\Z}_{9}$，$\mathbb{\Z}_{2}\oplus\mathbb{\Z}_{2}\oplus\mathbb{\Z}_{2}\oplus\mathbb{\Z}_{9}$， $\mathbb{\Z}_{4}\oplus\mathbb{\Z}_{2}\oplus\mathbb{\Z}_{3}\oplus\mathbb{\Z}_{3}$，$\mathbb{\Z}_{2}\oplus\mathbb{\Z}_{2}\oplus\mathbb{\Z}_{2}\oplus\mathbb{\Z}_{3}\oplus\mathbb{\Z}_{3}$

## 證明

設$g_1,g_2,\cdots, g_k$是G的具有最小基的生成元，我們稱如下關係是非平凡的

$$n_1g_1+n_2g_2+\cdots+n_kg_k$$

如果$n_i$不全為0。

記

$$m_1g_1+m_2g_2+\cdots +m_kg_k\qquad\qquad (1)$$

為所有非平凡關係中具有最小正係數的關係，不失一般性，設$m_1$為最小的係數。對於任意關係

$$n_1g_1+n_2g_2+\cdots +n_kg_k\qquad\qquad (2)$$

我們有$m_1\mid n_1$，這是因為否則的話我們將有$n_1=m_1p+r,\ r<m_1$，所以將(1)式乘上p後減去(2)式我們將有$g_1$的係數為r小於$m_1$。

進一步我們有$m_1\mid m_i$，這是因為否則的話存在$m_i=m_1p+r$，這將有：

$$m_1(g_1+pg_i)+\cdots +rg_i+\cdots +m_kg_k$$

與(1)式得最小性選擇矛盾。因此我們有：

$$m_1g_1+\cdots +m_kg_k = m_1(g_1 - p_2g_2-\cdots -p_kg_k) = m_1\hat{g_1}=0$$

所以若

$$n_1\hat{g_1}+n_2g_2+\cdots +n_kg_k = 0$$

那麼必有$m_1\mid n_1$，特別的$n_1\hat{g_1} = 0$。

將$g_2,g_3,\cdots,g_k$生成的子群記為G，所以G中的每個元素都可表示成

$$n\hat{g_1}+a,\ a\in G'$$

若存在$n_1\hat{g_1}+p_1=n_2\hat{g_1}+p_2$，我們將有關係

$$(n_1-n_2)\hat{g_1}+(p_1-p_2)=0$$

由上面的討論我們知道$(n_1-n_2)\hat{g_1}=0$，因此$n_1\hat{g_1}=n_2\hat{g_1}$且$p_1=p_2$。

所以$G=C_{\hat{g_1}}\oplus G'$這裡$C_{\hat{g_1}}$為$\hat{g_1}$生成的循環群。所以通過歸納法我們即可得到原命題。

## 推論

不同陳述的基本定理說明了有限生成阿貝爾群是有限秩的自由阿貝爾群和有限阿貝爾群的直和，此兩者都是唯一（不別同構之異）。有限阿貝爾群就是 G 的撓子群。G 的秩定義為 G 的無撓部分的秩，這就是上面公式中的數 n。

基本定理的推論是所有有限生成無撓阿貝爾群是自由阿貝爾群。有限生成條件在這里是本質性的：Q 是無撓但非自由阿貝爾群。

有限生成阿貝爾群的所有子群和因子群也是有限生成阿貝爾群。有限生成阿貝爾群和群同態一起形成了阿貝爾范疇，它是阿貝爾群范疇的子范疇。

## 非有限生成阿貝爾群

注意不是所有有限秩的阿貝爾群都是有限生成的；秩-1 群 Q 就是一個例子，而Z2 的可數個復本的直和給出的秩-0 群是另一個例子。

## 參見

- 約當-赫德定理是對非阿貝爾群的推廣。