馬赫原理

在理論物理學中，尤其是在的討論中，馬赫原理（或馬赫猜想）是阿爾伯特·愛因斯坦對一個不精確的假設的稱呼，該假設通常被認為是物理學家和哲學家恩斯特·馬赫提出的。該假設試圖解釋旋轉物體（例如陀螺儀和自轉的天體）如何保持參考系。

該命題認為，絕對旋轉的存在（局部慣性系與旋轉參考系的區別）是由物質的大尺度分布決定的，如下例所示：你站在田野里仰望星空。你的雙臂自然垂放在身體兩側，你看到遠處的星星一動不動。現在開始旋轉。星星在你周圍飛速旋轉，你的雙臂也隨之遠離身體。為什麼星星旋轉時你的雙臂會被拉開？為什麼星星靜止不動時你的雙臂卻能自由垂放？a 馬赫原理指出，這並非巧合——存在一條物理定律，將遙遠恆星的運動與局部慣性系聯繫起來。如果你看到所有恆星都在你周圍旋轉，馬赫原理認為，存在某種物理定律，使你感受到離心力。該原理有許多不同的表述，通常表述較為模糊，例如「遠處的質量影響著我們這裡的慣性」。馬赫原理的一個非常概括的表述是「局部物理定律是由宇宙的大尺度結構決定的」。

馬赫原理是愛因斯坦發展廣義相對論的重要指導因素。愛因斯坦意識到，物質的整體分布決定了度規張量，而度規張量指示了哪個參考系相對於旋轉是靜止的。參考系拖曳和引力角動量守恆使得這一結論在某些解中成為廣義相對論的真命題。但由於該原理本身非常模糊，因此出現了許多不同的表述，它們都可以被視為馬赫原理，其中一些是錯誤的。哥德爾旋轉宇宙就是一個場方程的解，它旨在以最糟糕的方式違背馬赫原理。在這個例子中，隨著距離的增加，遙遠恆星的旋轉速度似乎越來越快。由於該例子包含閉合的類時曲線，因此它並不能完全解決馬赫原理的物理意義問題。

## 歷史

馬赫在其著作《力學原理》 （德文版1883年，英文版1893年）中提出了這一思想。在馬赫之前，喬治·貝克萊的著作中也出現了類似的基本思想。馬赫之後，本尼迪克特·弗里德蘭德和他的兄弟伊曼努爾合著的《絕對運動還是相對運動？》（1896年）一書也包含了與馬赫原理相似的觀點。頁 需要

## 愛因斯坦對這一原理的運用

相對論中存在一個根本性問題：如果所有運動都是相對的，我們如何測量物體的慣性？我們必須相對於其他物體來測量慣性。但如果我們想像一個粒子完全獨立於宇宙之外呢？我們或許仍然希望能夠了解它的運動狀態。馬赫原理有時被解釋為：在這種情況下，這種粒子的運動狀態沒有任何意義。

用馬赫的話來說，這一原則體現如下：

探究者必須感受到這種……了解宇宙中各質量之間直接聯繫的必要性。在他面前，將浮現出一種對事物整體原理的理想洞見，加速運動與慣性運動都將以相同的方式從中產生。

阿爾伯特·愛因斯坦似乎將馬赫原理理解為：

...慣性源於物體之間的一種相互作用。

從這個意義上講，馬赫原理至少有一部分與哲學整體論相關。馬赫的建議可以被視為引力理論應當是關係理論的訓誡。愛因斯坦在研究廣義相對論時將這一原理引入了主流物理學。事實上， 「馬赫原理」一詞正是愛因斯坦首次提出的。由於馬赫從未明確闡述過這一原理，因此關於他是否真的意在提出一條新的物理定律，一直存在諸多爭議。

愛因斯坦從中汲取靈感的著作是馬赫的《力學》 （1883 年出版，1893 年翻譯），這位哲學家在書中批評了牛頓的絕對空間觀念，特別是牛頓提出的支持存在一個有利參考系的論證：這通常被稱為「牛頓水桶論證」。

在牛頓的《自然哲學的數學原理》中，他試圖證明，我們總能通過測量僅在絕對旋轉時才會產生的視在力來判斷物體是否相對於絕對空間旋轉。如果將一個裝滿水的桶旋轉起來，起初水是靜止的，但隨後，由於旋轉產生的離心力，桶壁會逐漸將運動傳遞給水，使水彎曲並沿著桶壁向上流動。這個實驗表明，只有當水相對於絕對空間（這裡用地球參考系，或者更準確地說，用遙遠的恆星來表示）旋轉時，才會產生離心力；而當桶相對於水旋轉時，則不會產生離心力，這表明水相對於絕對空間是靜止的。

馬赫在他的書中指出，水桶實驗僅僅表明，當水相對於水桶旋轉時，不會產生離心力。我們無法得知，如果實驗中水桶的深度和寬度增加到數里之大，水的運動狀態會發生怎樣的變化。在馬赫的理論中，絕對運動的概念應該被一種完全的相對論所取代。在這種相對論中，任何運動，無論是勻速運動還是加速運動，都只有相對於其他物體才有意義（也就是說，我們不能簡單地說水在旋轉，而必須具體說明它是相對於容器旋轉還是相對於地球旋轉）。在這種觀點下，那些似乎能夠區分相對運動和「絕對」運動的力，實際上應該被視為我們參考系中特定不對稱性的產物。這種不對稱性存在於我們認為處於運動狀態的物體（例如水桶）和我們認為處於靜止狀態的物體（例如地球和遙遠的恆星）之間，而後者比前者大得多、重得多。

哲學家喬治·貝克萊在其著作《論運動》中也表達過類似的觀點。因此，在前面提到的馬赫的段落中，我們尚不清楚這位哲學家是否意在闡述一種重物之間新的物理作用方式。這種物理機制應該決定物體的慣性，使得宇宙中那些質量巨大且距離遙遠的物體對慣性力的貢獻最大。更有可能的是，馬赫僅僅是提出了一種「對空間運動的重新描述，這種描述不再涉及『空間』這一概念」。可以肯定的是，愛因斯坦對馬赫的這段話作了前一種解讀，由此引發了一場曠日持久的爭論。

大多數物理學家認為，馬赫原理從未發展成能夠解釋恆星產生這種效應的定量物理理論。馬赫本人也從未完全闡明他的原理。雖然愛因斯坦對馬赫原理很感興趣，並從中獲得了靈感，但愛因斯坦對該原理的闡述並不是廣義相對論的基本假設，儘管引力質量和慣性質量等效原理無疑是基本的。

## 廣義相對論中的馬赫原理

由於對距離和時間的直觀概念不再適用，廣義相對論中「馬赫原理」的確切含義甚至比牛頓物理學中的含義更加模糊不清，至少存在 21 種馬赫原理的表述，其中一些被認為比其他表述更具馬赫性質 一個相對較弱的表述是：一個地方的物質運動應該會影響另一個地方的慣性參考系。

在完成廣義相對論的構建之前，愛因斯坦發現了一種效應，他將其解釋為馬赫原理的證據。為了概念上的簡化，我們假設背景是固定的，構造一個質量很大的球殼，並讓它在這個背景下旋轉。球殼內部的參考系相對於固定的背景會發生進動。這種效應被稱為倫斯-蒂林效應。愛因斯坦對馬赫原理的這一表現非常滿意，他甚至寫信給馬赫表達了以下觀點：

……結果表明，慣性源於物體間的一種相互作用，這完全符合你對牛頓水桶實驗的思考……如果一個重質量殼層相對於恆星繞其中心軸旋轉，殼層內部就會產生一種科里奧利力（Coriolis force）；也就是說，傅科擺（Foucault pendulum）的擺動平面會被帶動旋轉（其角速度在實際上微小到無法測量）。

倫斯-蒂林效應無疑符合「此處的物質影響此處的慣性」這一基本而寬泛的概念。如果沒有物質外殼，或者外殼不旋轉，擺的平面就不會被拖拽。至於「慣性源於物體之間的某種相互作用」這一說法，在這個效應的語境下也可以得到印證。

然而，問題的根本在於固定背景的存在，愛因斯坦將其描述為「恆星」。現代相對論學家在初值問題中看到了馬赫原理的印記。本質上，我們人類似乎希望將時空分割成若干個恆定時間的切片。當我們這樣做時，愛因斯坦方程可以分解為兩組方程：一組方程必須滿足每個切片上的要求，另一組方程則描述了切片之間的轉換方式。單個切片的方程是橢圓型偏微分方程。一般來說，這意味著科學家只能給出切片幾何形狀的一部分，而其他所有區域的幾何形狀則由該切片上的愛因斯坦方程決定。需要澄清

在漸近平坦時空的背景下，邊界條件是在無窮遠處給出的。啟發式地，漸近平坦宇宙的邊界條件定義了一個慣性有意義的參考系。當然，通過對遙遠宇宙進行洛倫茲變換，這個慣性也可以被變換。

在惠勒-馬赫-愛因斯坦時空中，馬赫原理具有更強的形式，這種時空要求空間緊湊且整體雙曲。在這樣的宇宙中，馬赫原理可以表述為：宇宙中某一特定時刻的物質和場能量-動量（以及可能的其他資訊）的分布決定了宇宙中每一點的慣性系（其中「宇宙中的某一特定時刻」指的是選定的柯西曲面）

此前也有人嘗試構建更完整的馬赫理論，例如布蘭斯-迪克理論和霍伊爾-納利卡引力理論，但大多數物理學家認為這些理論都未能完全成功。1993年在圖賓根舉行的一次專家出口民意調查中，當被問及「廣義相對論是否完全符合馬赫定律？」時，3名受訪者回答「是」，22名回答「否」。而當被問及「具有某種封閉邊界條件的廣義相對論是否非常符合馬赫定律？」時，14名受訪者回答「是」，7名回答「否」

然而，愛因斯坦堅信，一個有效的引力理論必然要包含慣性的相對性：

這段文字探討了愛因斯坦對慣性起源的深刻思考及其與馬赫原理的關係。以下是對應的中文翻譯：當時愛因斯坦對慣性的相對性深信不疑，以至於他在1918年提出，一個令人滿意的引力理論應當建立在三個同等重要的原則之上：

- 廣義協變性所表述的相對性原理。
- 等效原理。
- 馬赫原理（這是該術語首次出現在文獻中）：即 "gµν" 完全由物體的質量決定，更廣義地說，是由 "Tµν"（能量-動量張量）決定的。

1922年，愛因斯坦注意到其他人即便在缺乏這第三條標準的情況下也感到滿足，他隨後補充道：「然而，這種滿足感在後代看來將是不可思議的。」

必須承認，據我所見，直到今天，馬赫原理並未給物理學帶來決定性的進一步突破。同樣必須承認的是，慣性的起源在粒子與場論中過去是、現在依然是最模糊難解的課題。因此，馬赫原理或許仍有未來——但前提是必須結合量子理論。

## 慣性感應

1953年，為了用定量的方式表達馬赫原理，劍橋大學物理學家丹尼斯·W·西亞瑪提出在牛頓萬有引力方程中加入一個與加速度相關的項。西亞瑪提出的與加速度相關的項是$F = G \frac{m_A m_B \bf a}{rc^2}\ $其中r為粒子間的距離， G為萬有引力常數， a為相對加速度， c為真空中的光速。Sciama 將加速度相關項的影響稱為慣性感應。

## 原則表述的差異

「某處的質量影響此處的慣性」這一寬泛概念已有多種表達形式。赫爾曼·邦迪和約瑟夫·塞繆爾列出了十一條不同的陳述，可以稱之為馬赫原理，分別標記為馬赫0到馬赫10 （靈感來源於馬赫數）。雖然他們的列表未必詳盡無遺，但確實展現了各種可能性。

從遙遠星系的平均運動來看，宇宙相對於局部慣性系似乎並不旋轉。

- 牛頓引力常數G是一個動力學場。
- 孤立物體置於空曠空間中沒有慣性。
- 局部慣性系會受到宇宙物質運動和分布的影響。
- 宇宙在空間上是封閉的。
- 宇宙的總能量、角動量和線動量均為零。
- 慣性質量受物質全球分布的影響。
- 如果把所有物質都去掉，就沒有空間了。
- $\Omega\ \stackrel{\text{def}}{=}\ 4 \pi \rho G T^2$是一個確定的數，其量級為 1，其中$\rho$是宇宙中物質的平均密度， $T$是哈勃時間。
- 該理論不包含任何絕對要素。
- 系統的整體剛體旋轉和平移是無法觀測的。

## 參見

Physics

- 絕對轉動
- Brans–Dicke theory
- Frame-dragging
- History of general relativity
- Hoyle–Narlikar theory of gravity
- Hughes–Drever experiment
- Luminiferous aether
- Shape dynamics
- Wheeler–Feynman absorber theory

## 延伸閱讀

- This textbook, among other writings by Sciama, helped revive interest in Mach's principle.

## 外部連結

- 恩斯特·馬赫， 《力學科學》（1893年譯本）， Archive.org網站有售。
- 《馬赫原理》 （1995 年），選自《愛因斯坦研究》第 6 卷（13MB PDF）
- （最初以義大利語出版，名稱為 Gasco E.「Il contributo di mach sull'origine dell'inerzia。」 Quaderni di Storia della Fisica，2004 年。）