作用量-角度坐標

在經典力學裏，作用量-角度坐標（action-angle coordinate）是一組正則坐標，通常在解析可積分系統 (Integrable system) 時，有很大的用處。應用作用量-角度坐標的方法，不需要先解析運動方程式，就能夠求得振動或旋轉的頻率。作用量-角度坐標主要用於完全可分的 哈密頓-亞可比方程式（哈密頓量顯性地不含時間，也就是說，能量保持恆定）。作用量-角度變數可以用來定義一個環面不變量。因為，保持作用量的不變設定了環的曲面，而角度是環面的另外一個坐標，粒子依照著角度，捲繞於環面。

在量子力學早期，波動力學發展成功之前，波耳-索末菲量子化條件 (Bohr-Sommerfeld quantization) 是研究量子力學的利器。此條件闡明，作用量必須是普朗克常數常數的整數倍。愛因斯坦對於 Einstein-Brillouin-Keller action quantization 深刻的理解 與 非可積分系統 量子化的困難，都是以 作用量-角度坐標的環面不變量 來表達。

在哈密頓力學裏，作用量-角度坐標也可以應用於微擾理論，特別是在決定緩漸不變量。關於一個自由度很小的動力系統的非線形微擾，混沌理論研究的最早的一個結果是 KAM theorem。這定理闡明，對於微小微擾，環面不變量是穩定的。

作用量-角度坐標，對於戶田晶格 (Toda field theory) 的解析，對於 Lax pairs 的定義，更廣義地，對於一個系統同光譜 (isospectral) 演化的構想，都佔有關鍵地位。

## 導引

### 保守的哈密頓量系統

主條目：哈密頓特徵函數

假設，在一個物理系統裏，哈密頓量是保守的，也就是說，哈密頓量 $\mathcal{H}$ 不顯含時間。

$\mathcal{H}(\mathbf{q};\ \mathbf{p})=a_\mathcal{H}$。

其中，$a_\mathcal{H}$ 是運動常數，$\mathbf{q}$ 是廣義坐標，$\mathbf{p}$ 是廣義動量。

採用哈密頓特徵函數 $W(\mathbf{q};\ \mathbf{P})$ 為正則變換的第二型生成函數。變換方程式為

$\mathbf{p}=\frac{\partial W}{\partial \mathbf{q}}$。

$\mathbf{Q}=\frac{\partial W}{\partial \mathbf{P}}$。

其中，$\mathbf{Q}$ 是新廣義坐標，$\mathbf{P}$ 是新廣義動量。

新哈密頓量 $\mathcal{K}$ 與舊哈密頓量 $\mathcal{H}$ 相等：

$\mathcal{K}(\mathbf{Q};\ \mathbf{P})=\mathcal{H}(\mathbf{q};\ \mathbf{p})=a_\mathcal{H}$。

新廣義動量的哈密頓方程式為

$\dot{\mathbf{P}}= - \frac{\partial \mathcal{K}}{\partial Q}=0,\!$。

所以，新廣義動量是常數 $\mathbf{a}$：

$\mathbf{P}=\mathbf{a}$。

假設，這物理系統的哈密頓-亞可比方程式 $\mathcal{H}\left(\mathbf{q},\ \frac{\partial W}{\partial \mathbf{q}}\right)= a_{\mathcal{H}}$ 為完全可分的，則哈密頓特徵函數 $W(\mathbf{q};\ \mathbf{P})$ 可以分離為 $n$ 個函數 $W_i$：

$W(\mathbf{q};\ \mathbf{a})=\sum_{i=1}^n\ W_i(q_i;\ \mathbf{a})$。

哈密頓特徵函數與新舊正則坐標的關係是

$p_i=\frac{\partial W_i(q_i;\ \mathbf{a})}{\partial q_i}$。

$Q_{i}=\sum_{j=1}^n\ \frac{\partial W_j(q_j;\ \mathbf{a})}{\partial a_{i}}$。

### 週期性運動

假若，粒子的運動是週期性運動，最常見的例子如振動或旋轉都是週期性運動，則可以設計一個新正則坐標－作用量-角度坐標 $(\mathbf{w},\ \mathbf{J})$。定義作用量為

$J_{i} \equiv \oint p_{i} dq_{i}$。

這閉路徑積分的路徑是粒子運動一週期的路徑。

由於廣義動量 $p_i$ 只跟 $q_i$、$\mathbf{a}$ 有關，經過積分，作用量$J_{i}$ 只跟 $\mathbf{a}$ 有關。所以，作用量向量 $\mathbf{J}$ 只是個常數向量。哈密頓特徵函數可以表達為

$W(\mathbf{q};\ \mathbf{J})=\sum_{i=1}^n\ W_i(q_i;\ \mathbf{J})$。

雖然是同樣的物理量，函數的參數不同，形式也不同。

定義角度 $\mathbf{w}$ 為

$w_{i} \equiv \frac{\partial W}{\partial J_i}=\sum_{j=1}^n\ \frac{\partial W_j(q_j;\ \mathbf{J})}{\partial J_{i}}$。

由於所有的廣義坐標 $q_i$ 都相互獨立，所有的廣義動量 $p_i$ 也都相互獨立，所以，所有的作用量 $J_i$ 都相互獨立，作用量-角度坐標可以正確的用為正則坐標。這樣，哈密頓特徵函數可以用正則坐標作用量-角度坐標表達為

$W(\mathbf{w};\ \mathbf{J})=\sum_{i=1}^n\ W_i(w_i;\ \mathbf{J})$。

新哈密頓量 $\mathcal{K}'$ 與舊哈密頓量 $\mathcal{H}$ 相等：

$\mathcal{K}'(\mathbf{w};\ \mathbf{J})=\mathcal{H}(\mathbf{q};\ \mathbf{p})=a_\mathcal{H}$。

因為作用量 $J_i=J_i(\mathbf{a})$ 只是常數向量，所以。

$- \dot{J}_i=\frac{\partial \mathcal{K}'}{\partial w_i}=0$。

新哈密頓量 $\mathcal{K}'=\mathcal{K}'(\mathbf{J})$，只跟作用量 $\mathbf{J}$ 有關，跟角度 $\mathbf{w}$ 無關。

角度 $w_i$ 隨時間的導數 $\nu_i$，可以用哈密頓方程式決定：

$\nu_{i}(\mathbf{J})=\dot{w}_{i} = \frac{\partial \mathcal{K}'}{\partial J_{i}}$。

每一個 $J_i$ 都是常數，所以，$\nu_i(\mathbf{J})$ 也是常數：

$w_{i} = \nu_{i} t + \beta_{i}$。

其中，$\beta_{i}$ 是積分常數。

### 運動頻率

假設原本廣義坐標 $q_{i}$ 的振蕩或旋轉的運動週期為 $T_i$，則其對應的角度變數 $w_{i}$ 的改變是 $\Delta w_{i} = \nu_{i} T_i$。進一步了解物理量 $\nu_i$ 的性質，猜想 $\nu_i$ 與廣義坐標 $q_{i}$ 週期性運動的頻率有關。可是，因為角度 $w_{i}$ 是廣義座標 $\mathbf{q}$ 與作用量 $\mathbf{J}$ 的函數，無法確定前面的猜想。為了證實這論點，計算週期 $T_i$：

$T_{i}=\oint dt=\oint \frac{dq_i}{\dot{q_i}}=\oint \cfrac{dq_i}{\ \ \cfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}\ \ }$。

新哈密頓量 $\mathcal{K}'(\mathbf{J})$ 與舊哈密頓量 $\mathcal{H}$ 相等。所以。

$\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}=\sum_{j=1}^n \frac{\partial \mathcal{K}'}{\partial J_j}\frac{\partial J_j}{\partial p_i}=\sum_{j=1}^n \nu_j \frac{\partial J_j}{\partial p_i}$。

假若 $q_{j}$ 是個循環坐標，那麼，其共軛動量 $p_{j}$ 必是個常數，可以從作用量的定義積分內提出來：

$J_{j}\equiv \oint p_{j} dq_{j}=p_{j}\oint dq_{j}=p_j \ell$。

其中，$\ell$ 是 $q_{j}$ 運動一週期的值。

這樣。

$\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}=\sum_{j=1}^n \nu_j \delta_{ij}\, \ell=\nu_i\,\ell$。

代入週期 $T_i$ 的公式。

$T_{i}=\oint \frac{dq_i}{\nu_i(\mathbf{J})\,\ell}=\frac{1}{\nu_i}$。

肯定地，$\nu_i$ 是廣義坐標 $q_i$ 的頻率。

假若 $q_{j}$ 不是循環坐標，則不能將其共軛動量 $p_{j}$ 從作用量的定義積分內提出來，必須採用另外一個方法計算。從角度的定義，可以察覺角度 $w_{i}$ 跟廣義坐標 $\mathbf{q}$、作用量 $\mathbf{J}$ 有關：

$w_{i}=w_i(\mathbf{q};\ \mathbf{J})$。

保持作用量不變，角度的虛位移 $\delta w_{i}$ 是：

$\delta w_{i}=\sum_{j=1}^n \frac{\partial w_i}{\partial q_j} dq_j$。

在一個週期性物理系統裏，每一個廣義坐標 $q_i$ 都有它運動的週期 $T_i$。假若，其中有任何廣義坐標的週期與別的廣義坐標的週期不相同，則稱此物理系統為多重週期性物理系統。假若，兩個廣義坐標的週期不同 $T_1$、$T_2$。在做閉路徑積分的時候，就必須使用使用一個新的週期 $T$，讓閉路徑積分能夠開始與結束於同一點．假若，兩個週期的比例是個有理數，則稱這兩個週期互相可通約的。設定新週期為

$T=m_1T_1+m_2T_2$。

其中，$\frac{T}{T_1}$、$\frac{T}{T_2}$、$m_1$、$m_2$，都是正值的整數。

同樣地，在多重週期性物理系統裏，假若，每一個廣義坐標的週期與其它的廣義坐標的週期都是互相可通約的，則此系統是完全可通約的，稱此系統為完全可通約系統。那麼，新週期 $T$ 為

$T=\sum_{i=1}^n m_iT_i$。

其中，$\frac{T}{T_i}$、$m_i$，都是正值的整數。

經過一個週期 $T$，角度 $w_{i}$ 的變化是：

$\Delta w_{i} = \nu_{i}m_i T_i=\oint \sum_{j=1}^n \frac{\partial w_{i}}{\partial q_{j}} dq_{j} =\oint\sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \frac{\partial^2 W_k(q_k;\ \mathbf{J})}{\partial q_{j}\ \partial J_{i}}dq_{j}$。

由於作用量 $J_{i}$ 是個常數，可以將它從積分內提出：

$\Delta w_{i}=\frac{d}{dJ_{i}} \oint \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \frac{\partial W_k(q_k;\ \mathbf{J})}{\partial q_{j}} dq_{j} = \frac{d}{dJ_{i}} \oint \sum_{j=1}^n p_{j} dq_{j} = \frac{d}{dJ_{i}}\sum_{j=1}^n m_jJ_j=m_i$。

所以，頻率是

$\nu_{i}(\mathbf{J}) = \frac{1}{T}$。

假若，有任何兩個互相不可通約的廣義坐標 $q_i$、$q_j$，其週期 $T_i$、$T_j$ 的比例是無理數。那麼，$q_i$ 不可能與 $q_j$ 同時回到同一點。雖然如此，有理論證明，$\nu_{i}$、$\nu_{i}$ 仍舊分別是 $q_i$、$q_j$ 的頻率。

### 傅立葉級數

角度 $\mathbf{w}$ 是一組互相獨立的廣義坐標。所以，一般而言，每一個廣義坐標 $q_{k}$ 可以用角度的傅立葉級數表示：

$q_{k} = \sum_{s_{1}=-\infty}^{\infty} \sum_{s_{2}=-\infty}^{\infty} \ldots \sum_{s_{N}=-\infty}^{\infty} A^{k}_{s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{N}} e^{i2\pi s_{1} w_{1}} e^{i2\pi s_{2} w_{2}} \ldots e^{i2\pi s_{N} w_{N}}$。

其中， $A^{k}_{s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{N}}$ 是傅立葉級數係數。

在大多數實際案例，物理系統的哈密頓-亞可比方程式 $\mathcal{H}\left(\mathbf{q},\ \frac{\partial W}{\partial \mathbf{q}}\right)= a_{\mathcal{H}}$ 為完全可分的。那麼，一個原本廣義坐標 $q_{k}$ 只需用其相應的角度變數的傅立葉級數表示：

$q_{k} = \sum_{s_{k}=-\infty}^{\infty} e^{i2\pi s_{i} w_{i}}$。

## 基本規則總結

一般程序有三個步驟：

- 計算作用量變數 $J_{i}$。
- 用作用量變數表示原本哈密頓量。
- 取哈密頓量關於作用量變數的導數。這樣，可以求得頻率 $\nu_{i}$。

## 簡併度

在有些案例，兩個不同的廣義坐標會有相同的頻率；也就是說，$\nu_{i} = \nu_{j}$ for $i \neq j$。稱這些案例的運動狀態為簡併。

簡併的運動給出暗示，很可能有更多的保守量。例如，克卜勒問題的頻率是簡併的，這對應於拉普拉斯-龍格-冷次向量的恆定性。

簡併的運動還給出暗示，在多於一種坐標系統裏，哈密頓-亞可比方程式會是完全可分的。例如，克卜勒問題在球坐標系與拋物線坐標系，都是完全可分的。

## 參考文獻

- Lev D. Landau and E. M. Lifshitz, (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).
- H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics, 2nd. Ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9. pg. 457-477.