引力坍縮

引力坍縮（英文：Gravitational collapse）是天體物理學上恆星或星際物質在自身物質的引力作用下向內塌陷的過程，產生這種情況的原因是恆星本身不能提供足夠的作用力以平衡自身的引力，從而無法繼續維持原有的流體靜力學平衡，引力使恆星物質彼此拉近而產生坍縮。在天文學中，恆星形成或衰亡的過程都會經歷相應的引力坍縮。特別地，引力坍縮被認為是Ib和Ic型超新星以及II型超新星形成的機制，大質量恆星坍縮成恆星黑洞時的引力坍縮也有可能是伽瑪射線暴的形成機制之一。至今人們對引力坍縮在理論基礎上還不十分了解，很多細節仍然沒有得到理論上的完善闡釋。由於在引力坍縮中很有可能伴隨著引力波的釋放，通過對引力坍縮進行電腦數值模擬以預測其釋放的引力波波形是當前引力波天文學界研究的課題之一。

## 恆星形成中的引力坍縮

恆星形成於星際間塵埃和氣體構成的巨型星雲，這些星雲中的粒子通常狀態下以高速隨機運動，彼此間的引力不足以將它們壓縮到一起。但當外界條件（例如臨近的超新星爆發或者其他激變事件的發生）允許時，這些星雲被足夠強的壓力壓縮以至於引力能夠克服這些粒子的運動使它們彼此靠攏。於是星雲開始引力坍縮的過程，並且其速度越來越快，由於角動量守恆的制約最終從原先龐大的星雲中分離出許多小的但更緻密的星雲，這一過程也經常稱作引力凝聚（gravitational condensation）。這些星雲繼續在自身的引力作用下發生坍縮，同時坍縮的能量不斷轉化成星雲的內能，在星雲內部產生向外的輻射壓，這個輻射壓能夠通過平衡向內的引力逐漸減緩並最終停止引力坍縮。當輻射壓與引力彼此平衡時，星雲坍縮為一個具有一定密度的球體，這被稱作原恆星。原恆星的周圍仍然充斥著厚重的星際氣體和塵埃。天文學家已經觀測到部分引力凝聚的過程，但這一過程還沒有得到全面的了解。

一個約大於1/10倍太陽質量的原恆星能夠具有足夠高的溫度和密度發生氫核聚變，從而能夠演化為主序星，在主序星階段提供恆星輻射壓的主要來源就是這種氫核聚變。而小於這一質量的原恆星只能形成褐矮星或次恆星天體，它們不能進行氫核聚變，但有些可以進行氘核聚變；更小的原恆星只有成為行星的可能，正如太陽系中的大行星那樣。

## 恆星衰亡中的引力坍縮

我們主要詳細討論恆星衰亡中的引力坍縮過程，這發生在恆星演化的最後階段。由於支持恆星的輻射壓來自於恆星內部輕元素到重元素的聚變而產生的熱量，當恆星的核燃料消耗殆盡後，恆星的溫度會逐漸冷卻，輻射壓從而逐漸不能平衡恆星自身的引力而產生坍縮，而恆星的半徑會逐漸減小。從物理上研究引力坍縮的基礎是廣義相對論，因此我們考慮如下的恆星模型。

### 恆星的相對論模型

由於一個理想化的恆星是各向同性的球體，它的引力場應該也是球對稱的，我們考慮一個一般化的定態球對稱度規：

$$ds^2 = -e^{2\alpha(r)}dt^2 + e^{2\beta(r)}dr^2 + r^2d\Omega^2\,$$

這裡$\alpha(r)\,$和$\beta(r)\,$都是一般化的函數，它們只與恆星引力場的徑向分量$r\,$有關。

將這個引力場與恆星本身物質建立聯繫的是愛因斯坦場方程：

$$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} = 8\pi GT_{\mu\nu}\,$$

其中愛因斯坦張量$G_{\mu\nu}\,$可由度規的形式直接寫成

$$G_{tt} = \frac{1}{r^2}e^{2(\alpha - \beta)}\left( 2r\partial_r\beta - 1 + e^{2\beta} \right)\,$$

$$G_{rr} = \frac{1}{r^2}\left( 2r\partial_r\alpha + 1 - e^{2\beta} \right)\,$$

$$G_{\theta\theta} = r^2e^{-2\beta}\left[ \partial^2_r\alpha + \left( \partial_r\alpha \right)^2 - \partial_r\alpha\partial_r\beta + \frac{1}{r}\left(\partial_r\alpha - \partial_r\beta \right) \right]\,$$

$$G_{\phi\phi} = \sin^2\theta G_{\theta\theta}\,$$

如果星體為一理想流體模型，則這一模型的能量-動量張量為

$$T_{\mu\nu} = \left( \rho + p \right) U_\mu U_\nu + pg_{\mu\nu}\,$$

其中$\rho\,$是理想流體的能量密度，$p\,$實際是星體的輻射壓力，由於星體的各向同性它們都只是徑向坐標$r\,$的函數；而$U_\mu\,$是四維速度，由於它應該是類時的，應該滿足$U^{\mu}U_{\nu} = -1\,$的關係，因此根據度規的形式可得到

$$U_{\mu} = \left( e^\alpha, 0, 0, 0 \right)\,$$

將這一形式代入能量-動量張量得到

$$T_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} e^{2\alpha}\rho & & & \\ <pre> & e^{2\beta}p & &\\ </pre> & & r^2p & \\ <pre> & & & r^2\left(sin^2\theta\right)p </pre> \end{pmatrix}$$

由此我們可以得到獨立分量的愛因斯坦方程，$tt\,$分量為

$$\frac{1}{r^2}e^{-2\beta}\left( 2r\partial_r\beta - 1 + e^{2\beta} \right) = 8\pi G\rho\,$$

$rr\,$分量為

$$\frac{1}{r^2}e^{-2\beta}\left( 2r\partial_r\alpha + 1 - e^{2\beta} \right) = 8\pi Gp\,$$

$\theta\theta\,$分量為

$$e^{-2\beta}\left[ \partial^2_r\alpha + \left( \partial_r\alpha \right)^2 - \partial_r\alpha\partial_r\beta + \frac{1}{r}\left(\partial_r\alpha - \partial_r\beta \right) \right] = 8\pi Gp\,$$

由於$\phi\phi\,$分量和$\theta\theta\,$分量只差一個係數，兩者是關聯的，無需單獨列出$\phi\phi\,$分量的方程。

注意到$tt\,$分量的方程中只含$\beta\,$和$\rho\,$，因此建立一個新函數$m(r)\,$並做如下代換

$$m(r) = \frac{1}{2G}\left( r - re^{2\beta}\right) \,$$

從而有

$$e^{2\beta} = \left[ 1 - \frac{2Gm(r)}{r} \right]^{-1}\,$$

代入度規得到

$$ds^2 = -e^{2\alpha(r)}dt^2 + \left[ 1 - \frac{2Gm(r)}{r} \right]^{-1}dr^2 + r^2d\Omega^2\,$$

可見度規的分量$g_{rr}\,$具有史瓦西度規的一般化形式，但對於分量$g_{tt}\,$而言，愛因斯坦方程變為如下形式：

$$\frac{dm}{dr} = 4\pi r^2 \rho\,$$

考慮邊界條件，這個最簡單的微分方程的解是

$$m(r) = 4\pi \int^r_0 \rho \left( r^\prime \right) r^{\prime 2}dr^{\prime}\,$$

對於半徑為$R\,$的星體，可知$m(R)\,$就是星體的（史瓦西）質量$M\,$，即

$$M = m(R) = 4\pi \int^R_0 \rho(r)r^2dr\,$$

而$m(r)\,$的物理意義似乎就是對星體內部的能量密度在半徑$r\,$的範圍內積分，亦即這一範圍內的星體質量。不過，如果我們考慮在度規定義下的空間積分，積分的體元應該由下式給出

$$\sqrt{\gamma}d^3x = e^\beta r^2 \sin\theta drd\theta d\phi\,$$

其中$\gamma\,$是由度規的空間分量給出的張量：

$$\gamma_{ij} dx^idx^j= e^{2\beta}dr^2 + r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2\,$$

因此對空間的體積分應為

$$\begin{align} \bar{M} & = 4\pi \int^R_0 \rho(r)r^2e^{\beta(r)}dr\\ & = 4\pi \int^R_0\frac{\rho(r)r^2}{\left[ 1 - \frac{2Gm(r)}{r} \right]^{1/2}}dr \end{align}$$

這種差異在物理上是由於引力的存在所導致的度規變化而產生的，因此它實際上來源於星體內部物質彼此間的引力相互作用，總體上表現為星體內在的束縛能量，即$E_B = \bar{M} - M > 0\,$，它表示了將星體內部的物質打散後拋到無限遠處所需要的能量。

對於$rr\,$分量的愛因斯坦方程，如果用$m(r)\,$表示可寫為

$$\frac{d\alpha}{dr} = \frac{Gm(r)+4\pi Gr^3\rho}{r[r - 2Gm(r)]}\,$$

考慮星體的能量-動量守恆：$\nabla_{\mu}T^{\mu\nu} = 0\,$，由於$T^{\mu\nu}\,$和度規形式的關係，只有$\nabla_{r}T^{rr}\,$這一項是不平庸為零的。僅保留這一項後由動量-能量守恆關係得到

$$(p + \rho)\frac{d\alpha}{dr} = -\frac{dp}{dr}\,$$

將這一方程與上面得到的$rr\,$分量的愛因斯坦方程合併消去$\alpha(r)\,$，從而得到

$$\frac{dp}{dr} = -\frac{(\rho + p)\left[ Gm(r)+ 4\pi Gr^3p \right]}{r[r - 2Gm(r)]}\,$$

這一方程叫做托爾曼-奧本海默-沃爾科夫方程，或簡單地稱作恆星的流體靜力學平衡方程。由於$m(r)\,$和$\rho(r)\,$直接相關，這個方程揭示了星體的能量密度與輻射壓力之間的聯繫。同時我們還需要星體的狀態方程來確定一顆恆星所處的狀態，通常情況下輻射壓力是能量密度和熵的函數。這裡我們只考慮熵很小可以忽略的狀態，另外對於天體系統而言，狀態方程通常具有冪指數的形式，從而有

$$p = K\rho^{\gamma}\,$$

這裡$K\,$和$\gamma\,$都是常數。

在一個簡單的理想模型中，恆星可以是一個不可壓縮的理想流體，從而它的能量密度在恆星內部總是常數，而在外部總是零，即

$$\rho(r) = \begin{cases} \rho, & r<R \\ 0, & r>R \end{cases}$$

根據積分關係可以進一步得到$m(r)\,$的形式

$$m(r) = \begin{cases} \frac{4}{3}\pi r^3 \rho, & r<R \\ \frac{4}{3}\pi R^3 \rho = M, & r>R \end{cases}$$

將這個函數的形式代入流體靜力學平衡方程並對$r\,$積分就得到了壓力$p(r)\,$：

$$p(r) = \rho \left[ \frac{R\sqrt{R - 2GM} - \sqrt{R^3 - 2GMr^2}}{\sqrt{R^3 - 2GMr^2} - 3R\sqrt{R - 2GM}} \right]\,$$

再將它代入$rr\,$分量的愛因斯坦方程，從而可得到度規分量$g_{tt} = -e^{2\alpha(r)}\,$的形式：

$$e^{\alpha(r)} = \frac{3}{2}\left( 1 - \frac{2GM}{R} \right)^{1/2} - \frac{1}{2}\left( 1 - \frac{2GMr^2}{R^3} \right)^{1/2}, \qquad r<R \,$$

從壓力的表達式$p(r)\,$中看出當$r\,$越小即越接近恆星內部中心壓力就越大。當$r=0\,$時，恆星中心的壓力為

$$p(0) = \rho \left[ \frac{R\sqrt{R - 2GM} - R\sqrt{R}}{R\sqrt{R} - 3R\sqrt{R - 2GM}} \right]\,$$

當$M = \frac{4}{9G}R\,$時這個表達式的值為無窮大，而任何大於這個值的質量$M\,$在廣義相對論中都沒有對應的定態解。也就是說，當我們將一顆超過這個質量的恆星壓縮到給定的半徑$R\,$之內後，這顆恆星會不斷地坍縮直到形成一個恆星黑洞。實際上，任何定態的球對稱星體的質量都受到$M <\frac{4}{9G}R\,$這個關係的制約。

這種坍縮可能會因費米簡併壓力的存在而停止，即由於泡利不相容原理的存在，恆星的任意兩個電子都拒絕繼續接近，這種因電子簡併壓力而獲得支撐自身引力的星體即是白矮星。而有些星體的質量過大以至超過了錢德拉塞卡極限（1.4倍太陽質量），電子的簡併壓力不足以平衡向內的引力坍縮，此時恆星的半徑會進一步減小，電子和質子合併產生中子和中微子，這一過程叫做不可逆β衰變。最終中微子全部飄散，恆星坍縮成一顆依靠中子簡併壓力平衡引力並且典型半徑只有10千米的中子星。中子星的光度非常低，但常常具有高速的角動量和高強度的磁場，這樣的中子星被稱作脈衝星，最早於1967年被發現。脈衝星所釋放的電磁脈衝具有高度的方向性和規律性。關於描述中子星的狀態方程人們至今還並未完全了解，但普遍認為質量過大的中子星沒有一個穩定的態，它會在引力的作用下持續坍縮為一個黑洞，這個臨界條件（大約在3-4倍太陽質量）叫做奧本海默-沃爾科夫極限。

### II型超新星的引力坍縮

II型超新星是大質量恆星引力坍縮的結果。儘管相關的理論研究已經長達三十餘年，以及對超新星SN 1987A的觀測取得了相當寶貴的成果，在超新星引力坍縮的理論研究中仍有很多部分和細節完全沒有弄清楚，它們坍縮的細節有可能彼此之間存在很大差異。一般認為質量在9倍太陽質量以上大質量恆星在核聚變反應的最後階段會產生鐵元素的內核，其內核的坍縮速度可以達到每秒七萬千米（約合0.23倍光速），這個過程會導致恆星的溫度和密度發生急劇增長。內核的這一能量損失過程終止於向外簡併壓力與向內引力的彼此平衡。在光致蛻變的作用下，γ射線將鐵原子分解為氦原子核並釋放中子，同時吸收能量；而質子和電子則通過電子俘獲過程（不可逆β衰變）合併，產生中子和逃逸的中微子。

在一顆典型的II型超新星中，新生成的中子核的初始溫度可達一千億開爾文，這是太陽核心溫度的6000倍。如此高的熱量大部分都需要被釋放，以形成一顆穩定的中子星，而這一過程能夠通過進一步的中微子釋放來完成。這些「熱」中微子構成了涵蓋所有味的中微子-反中微子對，並且在數量上是通過電子俘獲形成的中微子的好幾倍。大約1046焦耳的引力能量——約占星體剩餘質量的10%——會轉化成持續時間約10秒的中微子暴，這是這場事件的主要產物。中微子暴會帶走內核的能量並加速坍縮過程，而某些中微子則還有可能被恆星的外層物質吸收，為其後的超新星爆發提供能量。

內核最終會坍縮為一個直徑約為30千米的球體，而它的密度則與一個原子核的密度相當，其後坍縮會因核子間的強相互作用以及中子簡併壓力突然終止。向內坍縮的物質的運動由於突然被停止，物質會發生一定程度的反彈，由此會激發出向外傳播的激波。電腦模擬的結果指出這種向外擴散的激波並不是導致超新星爆發的直接原因；實際上在內核的外層區域由於重元素的解體導致的能量消耗，激波存在的時間只有毫秒量級。這就需要存在一種尚未了解的過程，能夠使內核的外層區域重新獲得大約1044焦耳的能量，從而形成可見的爆發。當前的相關研究主要集中在對於作為這一過程基礎的中微子重新升溫、自旋和磁場效應的組合研究。

當原始恆星的質量低於大約20倍太陽質量（取決於爆炸的強度以及爆炸後回落的物質總量），坍縮後的剩餘產物是一顆中子星；對於高於這個質量的恆星，剩餘質量由於超過奧本海默-沃爾科夫極限，會繼續坍縮為一個黑洞（這種坍縮有可能是伽瑪射線暴的產生原因之一，並且伴隨著大量伽瑪射線的放出在理論上也有可能產生再一次的超新星爆發），理論上出現這種情形的上限大約為40-50倍太陽質量。對於超過50倍太陽質量的恆星，一般認為它們會跳過超新星爆發的過程而直接坍縮為黑洞，不過這個極限由於模型的複雜性計算起來相當困難。但據最近的觀測顯示，質量極高的恆星（～150倍太陽質量）在形成II型超新星時很可能不需要鐵核的存在，而其爆發可能具有另一種完全不同的理論機制。

## 引力坍縮中的引力輻射

由於超新星的引力坍縮並不是高度對稱的，這一點已經在對超新星SN 1987A的觀測中得到證實超新星的爆發很有可能是一種重要的引力波源，按照不同情況可分為三類。

在超新星引力坍縮開始後形成中子星的最初期（～0.1秒），這個新生的中子星處於高度不穩定的對流狀態，同時它也是高溫並且是非球對稱的，處於一種「沸騰」的狀態。這種沸騰能夠使中心熾熱的核物質（～1012開爾文）上升到中子星的表面，並被表面的中微子流冷卻。理論上這一過程中非對稱的中子星的自轉會產生相當微弱的並具有周期性的引力輻射。據推測，這個過程中可能會產生大概在10個周期上的引力波，頻率在100赫茲左右，強度在$3\times 10^{-22}(30\mathrm{kpc}/r)\,$的量級（$r\,$是超新星到地球的距離）。這類事件由於有熾熱的中微子流的存在，可以由中微子探測器與引力波探測器進行相關符合測量。

在超新星的引力坍縮過程中，轉動會使坍縮的內核逐漸變得扁平，從而開始發生引力輻射。如果內核的角動量足夠小以至於離心力不足以使坍縮在內核達到原子核的密度之前就停下，那麼內核的坍縮、反彈以及之後發生的振盪很有可能是軸對稱的。因此這期間會產生一種持續時間很短且無周期性的引力波的突發信號（burst），並伴隨有電子俘獲和中微子輸運的過程。但引力輻射的波形和振幅都很難從理論上預測，現在只有數值模擬的方法。這種突發信號可能頻帶很寬，中心頻率在1千赫茲；或者有可能是在200赫茲到10千赫茲之間任意一個頻率的周期性啁啾信號。理論上估計如果其發射的能量要大於0.01倍太陽質量，現在的地面探測器則有可能觀測到發生在室女座星系團之內的這類事件。但事實上數值模擬的結果顯示這部分引力輻射的能量非常少，一般認為輻射能量不會超過超新星總質量的$10^{-6}\,$，相應的強度在$3\times 10^{-21}(30\mathrm{kpc}/r)\,$的量級之下，這對於現在的地面引力波探測器LIGO和VIRGO而言將無法探測到本星系群以外的此類事件。

如果在坍縮過程中內核的角動量足夠大以至於它能使坍縮在內核達到原子核的密度之前就停下，則這過程中產生的動態不穩定性有可能破壞內核的軸對稱性。內核有可能形成一種自轉的棒狀結構，並有可能碎裂成更多大質量的碎塊。這個過程所形成的引力波強度有可能可以與雙中子星旋近時的引力波強度相媲美。這種強度的引力波信號可以被現在的LIGO和VIRGO探測至室女座星系團之內（超新星爆發機率為每年幾次），並有可能在下一代探測器中延伸到超新星爆發機率為每年幾萬次的範圍。