熱傳導方程式

熱傳導方程（或稱熱方程）是一個重要的偏微分方程，它描述一個區域內的溫度如何隨時間變化。

## 物理機制

熱傳導在三維的各向同性介質裡的傳播可用以下方程式表達：

$${\partial u\over \partial t}=\mathrm{div}(Uu) = k \left({\partial^2 u\over \partial x^2 } + {\partial^2 u\over \partial y^2 } + {\partial^2 u\over \partial z^2 }\right) <pre> = k( u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} ) \quad$$

其中：

- u =u(t, x, y, z)表溫度，它是時間變數t與空間變數(x,y,z)的函數。
- ${\partial u}$/${\partial t}$是空間中一點的溫度對時間的變化率。
- $u_{xx}$, $u_{yy}$與$u_{zz}$溫度對三個空間座標軸的二次導數。
- k是熱擴散率，決定於材料的熱導率、密度與熱容。

熱方程是傅立葉冷卻律的一個推論（詳見條目熱傳導）。

如果考慮的介質不是整個空間，則為了得到方程的唯一解，必須指定u的邊界條件。如果介質是整個空間，為了得到唯一性，必須假定解的增長速度有個指數型的上界，此假定吻合實驗結果。

熱方程的解具有將初始溫度平滑化的特質，這代表熱從高溫處向低溫處傳播。一般而言，許多不同的初始狀態會趨向同一個穩態（熱平衡）。因此我們很難從現存的熱分佈反解初始狀態，即使對極短的時間間隔也一樣。

熱方程也是拋物線偏微分方程最簡單的例子。

利用拉普拉斯算子，熱方程可推廣為下述形式

$$u_t = k \Delta u, \quad$$

其中的$\Delta$是對空間變數的拉普拉斯算子。

熱方程支配熱傳導及其它擴散過程，諸如粒子擴散或神經細胞的動作電位。

就技術上來說，熱方程違背狹義相對論，因為它的解表達一個「擾動可以在瞬間傳播至空間各處」的情況。擾動在前方光錐外的影響通常可忽略不計，但是若要為熱傳導推出一個合理的速度，則須轉而考慮一個雙曲線型偏微分方程。

## 以傅立葉級數解熱方程

以下解法首先由約瑟夫·傅立葉在他於1822年出版的著作Théorie analytique de la chaleur（中譯：解析熱學）給出。先考慮只有一個空間變數的熱方程，這可以當作棍子的熱傳導之模型。方程式如下：

$$(1) \ u_t = k u_{xx} \quad$$

其中u = u(t, x)是t和x的雙變數函數。

- x是空間變數，所以x ∈ 0,L，其中L表示棍子長度。
- t是時間變數，所以t ≥ 0。

假設下述初始條件

$$(2)\ u(0,x) = f(x) \quad \forall x \in [0,L] \quad$$

其中函數f是給定的。再配合下述邊界條件

$(3)\ u(t,0) = 0 = u(t,L) \quad \forall t > 0 \quad$.

讓我們試著找一個非恆等於零的解，使之滿足邊界條件(3)並具備以下形式：

$$(4)\ u(t,x) = X(x) T(t). \quad$$

這套技術稱作分離變數法。現在將u代回方程式(1)。

$$\frac{T'(t)}{kT(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)}. \quad$$

由於等式右邊只依賴x，而左邊只依賴t，兩邊都等於某個常數− λ，於是：

$$(5) \ T'(t) = - \lambda kT(t) \quad$$

$$(6) \ X''(x) = - \lambda X(x). \quad$$

以下將證明(6)沒有λ ≤ 0的解：

假設λ < 0，則存在實數B、C使得

$X(x) = B e^{\sqrt{-\lambda} \, x} + C e^{-\sqrt{-\lambda} \, x}$。

從(3)得到

$$X(0) = 0 = X(L). \quad$$

於是有B = 0 = C，這蘊含u恆等於零。

假設λ = 0，則存在實數B、C使得

$$X(x) = Bx + C. \quad$$

仿上述辦法可從等式(3)推出u恆等於零。

因此必然有λ > 0，此時存在實數A、B、C使得

$$T(t) = A e^{-\lambda k t} \quad$$

$X(x) = B \sin(\sqrt{\lambda} \, x) + C \cos(\sqrt{\lambda} \, x)$。

從等式(3)可知C = 0，因此存在正整數n使得

$\sqrt{\lambda} = n \frac{\pi}{L}$。

由此得到熱方程形如(4)的解。

一般而言，滿足(1)與(3)的解相加後仍是滿足(1)與(3)的解。事實上可以證明滿足(1)、(2)、(3)的解由下述公式給出：

$$u(t,x) = \sum_{n = 1}^{+\infty} D_n \left(\sin \frac{n\pi x}{L}\right) e^{-\frac{n^2 \pi^2 kt}{L^2}}$$

其中

$D_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin \frac{n\pi x}{L} \, dx$。

### 推廣求解技巧

上面採用的方法可以推廣到許多不同方程。想法是：在適當的函數空間上，算子$u \mapsto u_{xx}$可以用它的特徵向量表示。這就自然地導向線性自伴算子的譜理論。

考慮線性算子Δ u = ux x，以下函數序列

$e_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x}{L}$（n ≥ 1）

是Δ的特徵向量。誠然：

$\Delta e_n = -\frac{n^2 \pi^2}{L^2} e_n$。

此外，任何滿足邊界條件f(0)=f(L)=0的Δ的特徵向量都是某個en。令L2(0, L)表 0, L上全體平方可積函數的向量空間。這些函數en構成L2(0, L)的一組正交歸一基。更明白地說：

$$\langle e_n, e_m \rangle = \int_0^L e_n(x) e_m(x) dx = \left\{ \begin{matrix} 0 & n \neq m \\ 1 & m = n\end{matrix}\right.$$

最後，序列{en}n ∈ N張出L2(0, L)的一個稠密的線性子空間。這就表明我們實際上已將算子Δ 對角化。

## 非均勻不等向介質中的熱傳導

一般而言，熱傳導的研究奠基於以下幾個原理。首先注意到熱流是能量流的一種形式，因此可以談論單位時間內流進空間中一塊區域的熱量。

- 單位時間內流入區域 V的熱量由一個依賴於時間的量qt(V)給出。假設q有個密度Q(t,x)，於是

$$q_t(V) = \int_V Q(t,x)\,d x \quad$$

- 熱流是個依賴於時間的向量函數H(x)，其刻劃如下：單位時間內流經一個面積為dS而單位法向量為n的無窮小曲面元素的熱量是

$$\mathbf{H}(x) \cdot \mathbf{n}(x) \, dS$$

因此單位時間內進入V的熱流量也由以下的面積分給出

$$q_t(V)= - \int_{\partial V} \mathbf{H}(x) \cdot \mathbf{n}(x) \, dS$$

其中n(x)是在x點的向外單位法向量。

- 熱傳導定律說明溫度對時間的梯度滿足以下線性關係

$$\mathbf{H}(x) = -\mathbf{A}(x) \cdot \nabla u(x)$$

其中A(x)是個3×3實對稱正定矩陣。

利用格林定理可將之前的面積分轉成一個體積分

$$q_t(V) = - \int_{\partial V} \mathbf{H}(x) \cdot \mathbf{n}(x) \, dS$$

$$= \int_{\partial V} \mathbf{A}(x) \cdot \nabla u(x) \cdot \mathbf{n}(x) \, dS$$

$$= \int_V \sum_{i, j} \partial_{x_i} a_{i j}(x) \partial_{x_j} u(t,x)\,dx$$

- 溫度在x點對時間的改變率與流進x點所在的無窮小區域的熱量成正比，此比例常數與時間無關，而可能與空間有關，寫作κ(x)。

$$\partial_t u(t,x) = \kappa(x) Q(t,x)\,$$

將以上所有等式合併，便獲得支配熱流的一般公式。

$$\partial_t u(t,x) = \kappa(x) \sum_{i, j} \partial_{x_i} a_{i j}(x) \partial_{x_j} u(t,x)$$

註記：

- 係數κ(x)是該材料在x點的密度和比熱的積的倒數。
- 在等方向性介質的情況，矩陣A只是個純量，等於材料的導熱率。
- 在非等向的情況，A不一定是純量，我們鮮少能明確寫出熱方程的解。然而通常可考慮相應的抽象柯西問題，證明它是適定的，並（或）導出若干定性結果（諸如初始值保持正性、無窮傳播速度、收斂至平衡態或一些平滑化性質）。這些論證通常有賴於單參數半群理論：舉例來說，如果A是個對稱矩陣，那麼由

$$Au(x):=\sum_{i, j} \partial_{x_i} a_{i j}(x) \partial_{x_j} u(x)$$

定義的橢圓算子是自伴而且耗散的，因此由譜定理導出它生成一個單參數半群。

## 粒子擴散

### 粒子擴散方程

在粒子擴散的模型中，我們考慮的方程涉及

- 在大量粒子集體擴散的情況：粒子的體積濃度，記作c。或者
- 在單一粒子的情況：單一粒子對位置的機率密度函數，記作P。

不同情況下的方程式：

$$c_t = D \Delta c, \quad$$

或者

$$P_t = D \Delta P. \quad$$

c與P都是位置與時間的函數。D是擴散係數，它控制擴散速度，通常以公尺/秒為單位。

如果擴散係數D依賴於濃度c（或第二種情況下的機率密度P），則我們得到非線性擴散方程。

單一粒子在粒子擴散方程下的隨機軌跡是個布朗運動。

如果一個粒子在時間$t=0$時置於$\vec R = \vec 0$，則相應的機率密度函數具有以下形式：

$$P(\vec R,t) = G(\vec R,t) = \frac{1}{(4 \pi D t)^{3/2}} e^{-\frac {\vec R^2}{4 D t}}$$

它與機率密度函數的各分量$R_x$、$R_y$和$R_z$的關係是：

$$P(\vec R,t) = \frac{1}{(4 \pi D t)^{3/2}} e^{-\frac {R_x^2+R_y^2+R_z^2}{4 D t}} = P(R_x,t)P(R_y,t)P(R_z,t)$$

隨機變數$R_x, R_y, R_z$服從平均數為0、變異數為$2\,D\,t$的正態分佈。在三維的情形，隨機向量$\vec R$服從平均數為$\vec 0$、變異數為$6\,D\,t$的正態分佈。

在t=0時，上述$P(\vec R, t)$的表示式帶有奇點。對應於粒子處在原點之初始條件，其機率密度函數是在原點的狄拉克δ函數，記為$\delta(\vec R)$（三維的推廣是$\delta(\vec R) = \delta(R_x)\delta(R_y) \delta(R_z)$）；擴散方程對此初始值的解也稱作格林函數。

### 擴散方程的歷史源流

粒子擴散方程首先由Adolf Fick於1855年導得。

### 以格林函數解擴散方程

格林函數是擴散方程在粒子位置已知時的解（數學家稱之為擴散方程的基本解）。當粒子初始位置在原點$\vec 0$時，相應的格林函數記作$G(\vec R, t)$（t>0）；根據擴散方程對平移的對稱性，對一般的已知初始位置$\vec R^0$，相應的格林函數是$G(\vec R - \vec R^0, t)$。

對於一般的初始條件，擴散方程的解可以透過積分分解為一族格林函數的疊加。

舉例來說，設t=0時有一大群粒子，根據濃度分佈的初始值$c(\vec R, 0)$分佈於空間中。擴散方程的解將告訴我們濃度分佈如何隨時間演化。

跟任何（廣義）函數一樣，濃度分佈的初始值可以透過積分表為狄拉克δ函數的疊加：

$$c(\vec R, t=0) = \int c(\vec R^0,t=0) \delta(\vec R - \vec R^0) dR_x^0\,dR_y^0\,dR_z^0$$

擴散方程是線性的，因此在之後的任一時刻t，濃度分佈變為：

$$c(\vec R, t) = \int c(\vec R^0,t=0) G(\vec R - \vec R^0,t) dR_x^0\,dR_y^0\,dR_z^0$$

在粒子擴散的情形，我們可以將狄拉克δ函數對應的初始條件理解為粒子落在一個已知位置。一般而言，任何擴散過程的解都有這種表法，包括熱傳導或動量的擴散；後者關係到流體的黏性現象。

#### 一維格林函數解列表

以下以簡寫BC代表邊界條件，IC代表初始條件。

$$\begin{cases} u_{t}=ku_{xx} & -\infty<x<\infty,\,0<t<\infty \\ u(x,0)=g(x) & IC \end{cases}$$

$$u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi kt}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4kt}\right)g(y)\,dy$$

$$\begin{cases} u_{t}=ku_{xx} & \, 0\le x<\infty, \, 0<t<\infty \\ u(x,0)=g(x)& IC \\ u(0,t)=0 & BC \end{cases}$$

$$u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi kt}} \int_{0}^{\infty} \left(\exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4kt}\right)-\exp\left(-\frac{(x+y)^2}{4kt}\right)\right) g(y)\,dy$$

$$\begin{cases} u_{t}=ku_{xx} & \, 0\le x<\infty, \, 0<t<\infty \\ u(x,0)=g(x)& IC \\ u_{x}(0,t)=0 & BC \end{cases}$$

$$u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi kt}} \int_{0}^{\infty} \left(\exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4kt}\right)+\exp\left(-\frac{(x+y)^2}{4kt}\right)\right) g(y)\,dy$$

$$\begin{cases} u_{t}=ku_{xx}+f & -\infty<x<\infty,\,0<t<\infty \\ u(x,0)=0 & IC \end{cases}$$

$$u(x,t)=\int_{0}^{t}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{4\pi k(t-s)}} \exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4k(t-s)}\right)f(s)\,dyds$$

$$\begin{cases} u_{t}=ku_{xx}+f(x,t)& 0\le x<\infty,\,0<t<\infty \\ u(x,0)=0 & IC \\ u(0,t)=0 & BC \end{cases}$$

$$u(x,t)=\int_{0}^{t}\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{4\pi k(t-s)}} \left(\exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4k(t-s)}\right)-\exp\left(-\frac{(x+y)^2}{4k(t-s)}\right)\right) f(y,s)\,dyds$$

$$\begin{cases} u_{t}=ku_{xx} & 0\le x<\infty,\,0<t<\infty \\ u(x,0)=0 & IC \\ u(0,t)=h(t) & BC \end{cases}$$

$$u(x,t)=\int_{0}^{t} \frac{x}{\sqrt{4\pi k(t-s)^3}} \exp\left(-\frac{x^2}{4k(t-s)}\right)h(s)\,ds$$

（可能的問題：根據上解，u(0)=0）

$$\begin{cases} u_{t}=ku_{xx}+f & -\infty<x<\infty,\,0<t<\infty \\ u(x,0)=g(x) & IC\end{cases}$$

$$\quad{u=w+v}$$

$$\begin{cases} v_{t}=kv_{xx}+f, \, w_{t}=kw_{xx} \, & -\infty<x<\infty,\,0<t<\infty \\ v(x,0)=0,\, w(x,0)=g(x) \, & IC\end{cases}$$

$$\begin{cases} u_{t}=ku_{xx}+f & 0\le x<\infty,\,0<t<\infty \\ u(x,0)=g(x)& IC \\ u(0,t)=h(t) & BC\end{cases}$$

$$\quad{u=w+v+r}$$

$$\begin{cases} v_{t}=kv_{xx}+f, \, w_{t}=kw_{xx}, \, r_{t}=kr_{xx} \, & 0\le x<\infty,\,0<t<\infty \\ v(x,0)=0, \; w(x,0)=g(x), \; r(x,0)=0 & IC \\ v(0,t)=0, \; w(0,t)=0, \; r(0,t)=h(t) & BC \end{cases}$$

## 其他應用領域

熱傳導方程式在許多隨機過程的數學模型中出現，諸如布萊克-斯科爾斯模型與奧恩斯坦-烏倫貝克過程。在金融數學，1973年發表的布萊克-斯科爾斯模型作為期權定價模型，當中的差分方程可以轉成熱傳導方程式，並從此導出較簡單的解。許多簡單期權的延伸模型沒有解析解，因此必須以數值方法計算模型給出的定價。熱傳導方程式可以用克蘭克-尼科爾森方法有效地求數值解，此方法也可用於許多無解析解的模型（詳見文獻Wilmott，1995）。

熱傳導方程式及其非線性的推廣型式也被應用於圖像分析。

量子力學中的薛丁格方程雖然有類似熱傳導方程式的數學公式（但時間參數為$i$ 是虛數單位），本質卻不是擴散問題，解的定性行為也完全不同。

熱傳導方程式在流形上的推廣是處理阿蒂亞-辛格指標定理的主要工具之一，由此也導向熱傳導方程式在黎曼幾何中有許多應用。

## 外部連結

- 熱方程的推導
- Linear heat equations :邊界值問題的特解 - 來自EqWorld