金茲堡-朗道方程

金茲堡-朗道方程，或金茲堡-朗道理論（Ginzburg–Landau theory），是由維塔利·金茲堡和列夫·朗道在1950年提出的一個描述超導現象的理論。早期的金茲堡-朗道方程只是一個唯象的數學模型，從宏觀的角度描述了第一類超導體。1957年，蘇聯物理學家阿列克謝·阿布里科索夫基於金茲堡-朗道理論提出了第二類超導體的概念。1959年，列夫·戈爾科夫結合BCS理論，從微觀角度嚴格證明了金茲堡-朗道理論是BCS理論的一種極限情況。為了表彰金茲堡和阿布里科索夫對超導理論的貢獻，他們與研究超流理論的安東尼·萊格特共同獲得了2003年的諾貝爾物理學獎。

## 理論

金茲堡－朗道方程是由金茲堡和朗道在朗道的二級相變理論的基礎上提出的。他們斷言超導態可以通過一個復序參量（complex order parameter）ψ(r) 來表徵。這個形似波函數的序參量測量的是超導體在低於超導轉變溫度Tc時的超導有序度（"degree of superconducting order"），在BCS理論的框架中可以視為描述庫柏對質量中心位置的單粒子波函數。在臨界相變點附近，超導體的自由能密度 $f$ 可被展開為如下形式：

$f = f_{n0} + \alpha |\psi|^2 + \frac{\beta}{2} |\psi|^4 + \frac{1}{2m^*} \left| \left(\frac{\hbar}{i}\nabla - \frac{e^*}{c}\mathbf{A} \right) \psi \right|^2 + \frac{H^2}{8\pi}$

若 $\psi = 0$，則上式化為常態下的自由能 $f_{n0} + \frac{h^2}{8\pi}$。$m^*$表示有效質量，$e^*$表示有效電荷，A 是磁矢勢，$H$為磁場強度。在後續的實驗中，人們發現 $e^* \approx 2\mathit{e}$（$\mathit{e}$ 為基本電荷）。

當自由能取極小值時可得金茲堡-朗道方程：

$$\alpha \psi + \beta |\psi|^2 \psi + \frac{1}{2m^*} \left(\frac{\hbar}{i}\nabla - \frac{e^*}{c}\mathbf{A} \right)^2 \psi = 0$$

由 $\mathbf{J} = \frac{c}{4\pi}\boldsymbol\nabla \times \mathbf{H}$，可推導出電流密度

$\mathbf{J} = \frac{e^*}{m^*} \left|\psi\right|^2 \left(\hbar\nabla\varphi - \frac{e^*}{c} \mathbf{A} \right)$

## 分析

如果不考慮金茲堡－朗道方程中的磁場與梯度項，方程可化為：

$f_s - f_n = \alpha |\psi|^2 + \frac{1}{2}\beta |\psi|^4$

由於 $\beta > 0$，當 $\alpha > 0$ 時，自由能的最小值出現在 $|\psi|^2 = 0$，對應著非超導的普通狀態。當 $\alpha < 0$ 時，自由能的最小值出現在 $|\psi|^2 = - \frac{\alpha} {\beta} = |\psi_{\infty}|^2$；之所以被記為 $|\psi_{\infty}|^2$，是因為 $\psi$ 是在超導體內部「無窮深」處取得的這一函數值，「無窮深」意味著完全屏蔽了外表面的電磁場或電流。

若已知 $e^* = 2\mathit{e}$，且 $m^* = 2m$，則可以計算出金茲堡－朗道方程中各個係數的表達式。使用經驗方程進行估計可知：

$$|\psi|^2 \propto 1 - t^4 \approx 4(1 - t)$$

$$\alpha \propto \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \approx (1 - t)$$

$$\beta \propto \frac{1}{(1 + t^2)^2} \approx const$$

其中 $t = T/T_c$。

## 相干長度與穿透深度

金茲堡-朗道方程預測了超導體中兩個新的特徵長度。

第一個叫做超導相干長度ξ。對於T > Tc (一般相)，相干長度由以下方程給出：

$$\xi = \sqrt{\frac{\hbar^2}{2 m |\alpha|}}.$$

對於 T < Tc (超導相)，相干長度由以下方程給出：

$$\xi = \sqrt{\frac{\hbar^2}{4 m |\alpha|}}.$$

第二個叫做穿透深度λ。這個概念最初是由倫敦兄弟在他們的倫敦理論中提出的。如果使用金茲堡-朗道模型中的參數來表示，穿透深度可以寫作：

$$\lambda = \sqrt{\frac{m}{4 \mu_0 e^2 \psi_0^2}},$$

其中ψ0 表示在沒有電磁場的條件下序參量的平衡值。外加磁場在超導體中的指數衰減可以通過穿透深度來定義。通過計算超導電子密度恢復到其平衡值ψ0 時產生的微小擾動，我們可以確定這個指數衰減。磁場的指數衰減與高能物理中的希格斯機制是等價的。

朗道還定義了一個參數κ。κ = $\lambda$/$\xi$ 現今被稱為金茲堡-朗道參數。朗道提出，第一類超導體應滿足 01/$\sqrt{2}$。如此一來，金茲堡-朗道理論通過定義這兩個長度，就表徵了所有的超導體。

## 解析解

金茲堡-朗道方程可化為以下形式的非線性偏微分方程：

$\frac{\partial u}{\partial t}-a \frac{\partial^2 u }{\partial x^2}-bu+c|u|^2u=0$

其中$u(x,t)$是一個復值函數，且有{x∈ℝ, t≥0}；a和c為復常數，b∈ℝ。若假設a、b、c都是正實數，則金茲堡-朗道方程有下列行波解：

$$sol[1] := u = -(1/2)*b/\sqrt(c*b)+(1/2)*\sqrt(c*b)*tanh(_C1+(1/4)*\sqrt(2)*\sqrt(a*b)*x/a-(3/4)*b*t)/c$$

$$sol[2] := u = -(1/2)*b/\sqrt(c*b)+(1/2)*\sqrt(c*b)*coth(_C1+(1/4)*\sqrt(2)*\sqrt(a*b)*x/a-(3/4)*b*t)/c$$

$$sol[3] := u = -(1/2*I)*b/\sqrt(-c*b)-(1/2)*\sqrt(-c*b)*tan(_C1+(1/4)*\sqrt(-2*a*b)*x/a-(3/4*I)*b*t)/c$$

$$sol[4] := u = -(1/2)*b/\sqrt(c*b)+(1/2)*\sqrt(c*b)*tanh(_C1+(1/4)*\sqrt(2)*\sqrt(a*b)*x/a-(3/4)*b*t)/c$$

$$sol[5] :=\frac{ -\sqrt(3)*exp(-1-(1/4)*\sqrt(3)*x+(9/4)*t)}{(exp(1+(1/4)*\sqrt(3)*x-(9/4)*t)+exp(-1-(1/4)*\sqrt(3)*x+(9/4)*t))}$$

部分解析解的行為如下所示：

## 延伸閱讀

### 超導理論相關

- 阿布里科索夫2003年的諾貝爾獎講座： pdf 或 影片
- 金茲堡2003年的諾貝爾獎講座： pdf 或 影片

### 偏微分方程相關

- 谷超豪 《孤立子理論中的達布變換及其幾何應用》上海科學技術出版社
- 閻振亞著 《複雜非線性波的構造性理論及其應用》科學出版社 2007年
- 李志斌編著 《非線性數學物理方程的行波解》科學出版社
- 王東明著 《消去法及其應用》科學出版社 2002
- 何青 王麗芬編著 《Maple 教程》科學出版社 2010 ISBN 9787030177445
- Graham W. Griffiths William E.Shiesser Traveling Wave Analysis of Partial Differential p135 Equations Academy Press
- Richard H. Enns George C. McCGuire, Nonlinear Physics Birkhauser,1997
- Inna Shingareva, Carlos Lizárraga-Celaya,Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple Springer.
- Eryk Infeld and George Rowlands,Nonlinear Waves,Solitons and Chaos,Cambridge 2000
- Saber Elaydi,An Introduction to Difference Equationns, Springer 2000
- Dongming Wang, Elimination Practice,Imperial College Press 2004
- David Betounes, Partial Differential Equations for Computational Science: With Maple and Vector Analysis Springer, 1998 ISBN 9780387983004
- George Articolo Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple V Academic Press 1998 ISBN 9780120644759