霍奇對偶

數學中，霍奇星算子（Hodge star operator）或霍奇對偶（Hodge dual）由蘇格蘭數學家威廉·霍奇（Hodge）引入的一個重要的線性映射。它定義在有限維定向內積空間的外代數上。

## 維數與代數

霍奇星算子在 k-形式空間與 (n -k)-形式空間建立了一個對應。一個 k-形式在這個對應下的像稱為這個 k-形式的霍奇對偶。k-形式空間的維數是

$${n \choose k},\,$$

後一個空間的維數是

$${n \choose n - k},\,$$

又由二項式係數的對稱性，這兩個維數事實上相等。兩個具有相同維數的形式空間總同構；但不一定有一種自然或典範的方式。但霍奇對偶性利用了向量空間內積和定向，給出了一個特定的同構，因此在代數上這反應了二項式係數的性質。這也在 k-形式空間上誘導了一個內積。「自然」定義意味著這個對偶性關係在理論中可起幾何作用。

第一個有趣的情形是在三維歐幾里得空間 V。在這種情形，帕斯卡三角形相關行是

1, 3, 3, 1

霍奇對偶在兩個三維空間之間建立起一個同構，一個是 V 自己，另一個是 V 中兩個向量的楔積。具體細節參見例子一節。叉積只是三維的特殊性質，但霍奇對偶在所有維數都有效。

## 擴張

由於一個向量空間上 k 個變量的交錯線性形式空間自然同構於那個向量空間上的 k-向量空間的對偶，霍奇對偶也能對這些空間定義。與線性代數的大部分構造一樣，霍奇對偶可以擴張到一個向量叢。這樣的霍奇對偶特別常見的是在餘切叢的外代數（即流形上的微分形式）上，可用來從外導數構造余微分（codifferential），以及拉普拉斯-德拉姆算子，它導致了緊黎曼流形上微分形式的霍奇分解。

## k-向量的霍奇星號的正式定義

一個定向內積向量空間 V 上的霍奇星算子是 V 的外代數（$\Lambda(V)$）上的一個線性算子，是 k-向量子空間（$\Lambda^k(V)$）與 (n-k)-向量子空間（$\Lambda^{n-k}(V)$）之間的線性映射，這裡 $0\le k\le n,\, n=\dim V$。它具有如下性質，這些性質完全定義了霍奇星算子：給定一個定向正交基 $e_1,e_2,\cdots,e_n$ 我們有

$$\star (e_{i_1} \wedge e_{i_2}\wedge \cdots \wedge e_{i_k})= e_{i_{k+1}} \wedge e_{i_{k+2}} \wedge \cdots \wedge e_{i_n},$$

其中 $(i_1,i_2,\cdots,i_n)$ 是 $(1,2,\dots,n)$ 的一個偶排列。

特別是我們有。

$$*(e_1\wedge e_2\wedge \cdots \wedge e_k)= e_{k+1}\wedge e_{k+2}\wedge \dots \wedge e_n.$$

## 星算子的指標記法

使用指標記法，霍奇對偶由縮並一個 k-形式與 n-維完全反對稱列維-奇維塔張量的指標得到。這不同於列維-奇維塔符號有一個額外因子 (det g)½，這裡 g 是一個內積（如果 g 不是正定的，比如洛倫茲流形的切空間，則取行列式的絕對值）。

從而有

$$(*\eta)_{i_1,i_2,\ldots,i_{n-k}}= \frac{1}{k!} \eta^{j_1,\ldots,j_k}\,\sqrt {|\det g|} \,\epsilon_{j_1,\ldots,j_k,i_1,\ldots,i_{n-k}},\,$$

這裡 η 是任意一個反對稱 k 階張量。利用在定義列維-奇維塔張量中同一個內積 g 上升和下降指標。當然也可以對任何張量取星號，所得是反對稱的，因為張量的對稱分量在與完全反對稱列維-奇維塔張量縮並時完全抵消了。

## 例子

星算子一個常見例子是在 n = 3，可以做為 3 維向量與斜對稱矩陣之間的對應。這不明顯地使用於向量分析中，例如由兩個向量的楔積產生叉積向量。具體地說，對歐幾里得空間 R3，容易發現

$$*\mathrm{d}x=\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z$$

和

$$*\mathrm{d}y=\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x$$

以及

$$*\mathrm{d}z=\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y$$

這裡 dx、dy 與 dz 是 R3 上的標準正交微分1-形式。霍奇對偶在此情形顯然對應於三維中的叉積。

當 n = 4 時，霍奇對偶作用在第二外冪（6 維）上是自同態。它是一個對合，從而可以分解為子對偶與反自對偶子空間，在這兩個子空間上的作用分別為 +1 和 -1。

另一個有用的例子是 n = 4 閔可夫斯基時空，具有度量符號為 (+,-,-,-,) 與坐標 (t,x,y,z)，對1-形式有

$$*\,\mathrm{d}t=\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z$$

$$*\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z$$

$$*\,\mathrm{d}y=-\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}z$$

$$*\,\mathrm{d}z=\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}y$$

對2-形式有

$$*\, \mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}x = - \mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z$$

$$*\, \mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}y = \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}z$$

$$*\, \mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}z = - \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y$$

$$*\, \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}y = \mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}z$$

$$*\, \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}z = - \mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}y$$

$$*\, \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z = \mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}x$$

## k-向量的內積

霍奇對偶在 k-向量空間上誘導了一個內積，即在 V 的外代數上。給定兩個 k-向量 $\eta$ 與 $\zeta$，有

$$\zeta\wedge *\eta = \langle\zeta, \eta \rangle\;\omega,\,$$

這裡 ω 是正規化的體積形式。可以證明 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 是一個內積，它是半雙線性的，並定義了一個範數。反之，如果在 $\Lambda^k(V)$ 上給了一個內積，則這個等式可以做為霍奇對偶的另一種定義。

本質上，V 的正交基元素的楔積組成了 V 的外代數的一個正交基。當霍奇星號擴張到流形上，可以證明體積形式能寫做

$$\omega=\sqrt{|\det g_{ij}|}\;dx^1\wedge\ldots\wedge dx^n,\,$$

其中 $g_{ij}$ 是流形的度量。

## 對偶性

當作用兩次時霍奇星號定義了一個對偶，不考慮符號的話，所得結果是外代數上一個恆等式。給定 n-維空間 V 上一個 k-向量 $\eta \in \Lambda^k (V)$，我們有

$$**\eta=(-1)^{k(n-k)}s\;\eta,\,$$

這裡 s 與 V 上內積的符號有關。具體說，s 是內積張量行列式的符號。例如，如果 n = 4 時，若內積的符號是 (+,-,-，-) 或 (-,+,+,+) 則 s = -1。對普通的歐幾里得空間，符號總是正的，所以 s = +1。在普通向量空間，這一般不是一個問題。當霍奇星號擴張到偽-黎曼流形上時，上面的內積理解為對角形式的度量。

## 流形上的霍奇星號

在一個 n-維定向黎曼或偽黎曼流形上每一點的切空間上可以重複如上構造，將得到 k-形式的霍奇對偶，是一個 n- k 形式。霍奇星號在流形上的微分形式上誘導了一個 L2-範數。對 $\Lambda^k(M)$ 的空間截面 $\eta$ 與 $\zeta$，其內積可寫做

$$(\eta,\zeta)=\int_M \eta\wedge *\zeta.\,$$

（截面的集合通常記做 $\Omega^k(M)=\Gamma(\Lambda^k(M))$；裡面的元素稱為外 k-形式。）

更一般地，在非定向情形，我們可以定義 k-形式的霍奇星號維一個 (n - k)-偽微分形式；即取值於典範線叢的一個微分形式。

### 餘微分

霍奇星號在流形上最重要的應用是用來定義餘微分 δ。令

$$\delta = (-1)^{nk + n + 1} *d*\,$$

這裡 d 是外導數。對黎曼流形 s = +1。

$$d:\Omega^k(M)\rightarrow \Omega^{k+1}(M),\,$$

而

$$\delta:\Omega^k(M)\rightarrow \Omega^{k-1}(M).\,$$

相比於外導數，餘微分不是外代數上的反導子。

餘微分在是外微分的伴隨：

$$\langle \delta \zeta, \eta\rangle = \langle \zeta, d\eta\rangle .\,$$

這個恆等式是因為體積形式 ω 滿足 dω = 0，從而

$$\int_M d(\zeta \wedge *\eta)=0.\,$$

拉普拉斯–德拉姆算子由

$$\Delta=\delta d + d\delta$$

給出，是霍奇理論的核心。它有對稱性：

$$\langle\Delta \zeta,\eta\rangle = \langle\zeta,\Delta \eta\rangle,\,$$

以及非負：

$$\langle\Delta\eta,\eta\rangle \ge 0.\,$$

霍奇星號將一個調和形式變成調和形式。作為霍奇定理的一個推論，德拉姆上同調自然同構於調和 k-形式空間，從而霍奇星號誘導了上同調群之間一個同構

$$\star : H^k_\Delta(M)\to H^{n-k}_\Delta(M),\,$$

通過龐加萊對偶性，這給出了 Hk(M) 與它的對偶空間的一個典範等價。

## 三維中的導數

$\ast$ 算子與外導數 $d$ 的組合推廣了三維經典算子 grad、curl 和 div。具體做法如下：$d$ 將一個 0-形式（函數）變成 1-形式，1-形式變成 2-形式，2-形式變成 3-形式（應用到 3-形式變成零）。

- 對一個 0-形式（$\omega=f(x,y,z)$），第一種情形，寫成分量與 $\operatorname{grad}$ 算子等價：

$$d\omega=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz.$$

- 第二種情形後面跟著 $\ast$，是 1-形式（$\omega=Adx+Bdy+Cdz$）上一個算子，其分量是 $\operatorname{curl}$ 算子：

$$d\omega=\left({\partial C \over \partial y} - {\partial B \over \partial z}\right)dy\wedge dz + \left({\partial C \over \partial x} - {\partial A \over \partial z}\right)dx\wedge dz+\left({\partial B \over \partial x} - {\partial A \over \partial y}\right)dx\wedge dy.$$

使用霍奇星號給出：

$$\ast d\omega=\left({\partial C \over \partial y} - {\partial B \over \partial z}\right)dx - \left({\partial C \over \partial x} - {\partial A \over \partial z}\right)dy+\left({\partial B \over \partial x} - {\partial A \over \partial y}\right)dz.$$

- 最後一種情形，前面與後面都有一個 $\ast$，將一個 1-形式（$\omega=Adx+Bdy+Cdz$）變成 0-形式（函數）；寫成分量是 $\operatorname{div}$ 算子：

$$\ast\omega=Ady\wedge dz-Bdx\wedge dz+Cdx\wedge dy$$

$$d\ast\omega=\left(\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}\right)dx\wedge dy\wedge dz$$

$$\ast d\ast\omega=\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}.$$

這些表達式的一個好處是恆等式 $d^2=0$，任何情形都成立，將

$$\operatorname{curl}(\operatorname{grad}(f))=\operatorname{div}(\operatorname{curl}(\mathbf{F}))=0$$

統一起來了。特別地，麥克斯韋方程組用外導數與霍奇星號表示時，有一個特別簡單和優美的形式：

$$\mathrm{d}\mathbf{F}=0,\qquad *\mathrm{d} * {\mathbf{F}}=\mathbf{J}.$$

這裡 $\mathbf{F}$ 是四維洛倫茲時空中某個 2-形式，$\mathbf{J}$ 是電流 1-形式。

## 參考文獻

- Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (Provides a basic review of differential geometry in the special case of four-dimensional space-time.)
- Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 . (Provides a detailed exposition starting from basic principles, but does not treat the pseudo-Riemannian case).
- David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, (1981) Addison-Wesley Publishing, New York' ISBN 0-201-10096-7. (Provides condensed review of non-Riemannian differential geometry in chapter 0).