改進型韋格納分佈

改進型韋格納分佈(modified Wigner distribution function)，用於時頻分析的一種方法，屬於信號處理的範疇。它改進了韋格納分佈原有的相交項(cross term)的問題。韋格納分佈是西元1932年由尤金·維格納所提出用於古典力學，但是亦可用於時頻分析。韋格納分佈與短時距傅立葉變換都可用於時頻分析，雖然前者通常擁有較高的解析度且有良好的數學特性，但當有兩個以上的信號成分時，韋格納分佈就會出現相交項問題，這在應用上造成很大的困擾。因此在西元1995年,L. J. Stankovic和S. Stankovic提出了改進型韋格納分佈，以修正韋格納分佈中會出現的相交項問題。

## 原理

### 韋格納分佈的數學定義

$W_x(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tau/2)x^*(t-\tau/2)e^{-j2\pi\tau\,f}d\tau$ $=\int_{-\infty}^{\infty} X(f+\eta/2)\cdot X^*(f-\eta/2)e^{j2\pi t\eta}\cdot d\eta$

### 改進型韋格納分佈的數學定義

為了改善韋格納分佈的相交項(cross-term)問題，改進型韋格納分佈在此引入了一個類似遮罩(mask)的函數，將相交項過濾掉。

- 定義一：:$W_x(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty}w(\tau/2)w^*(-\tau/2)x(t+\tau/2)x^*(t-\tau/2)e^{-j2\pi\tau\,f}d\tau$

其中w(t)為遮罩函數. 常為方波，其方波寬度為參數B。可寫成 $w(t)=\begin{cases} 1 \ \ \ if\ |t|<B \\ 0\ \ \ otherwise\end{cases}$

- 定義二：:$W_x(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty}P(\theta)Y(t,f+\theta/2)Y^*(t,f-\theta/2)d\theta$，其中 $Y(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty}w(\tau)x(t+\tau)e^{-j2\pi f\tau}d\tau$； $P(\theta)\,$ 類似遮罩函數。

$P(\theta)\approx1\ $，當θ很小

$P(\theta)\approx0\ $，當θ很大

適當地選擇$P(\theta)\approx1\ $的範圍。若選的範圍太小，將會破壞原本的項(auto term)。

- 定義三：$W_x(t,f) = \int_{-\infty}^{\infty} w(\tau)x^L(t+\tfrac{\tau}{2L})\cdot \overline{x^L(t-\tfrac{\tau}{2L})}e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau$

增加 L 可以減少相交項(cross-term)的影響(但是不會完全消除)

- 定義四：$W_x(t,f) = \int_{-\infty}^{\infty} [\prod_{l=1}^{q/2}x(t+d_l\tau)x^*(t-d_{-l}\tau)]e^{-j2\pi \tau f}d\tau$

當 q = 2 和 $d_{l} = d_{-l} = 0.5$，就是原本的韋格納分佈。

當指數函數的次項不超過 q/2 +1時，就可以避免相交項(cross-term)

然而，相交項(cross-term)會介於兩個訊號之間，無法完全被移除。

定義四的維格納分布又稱為多項型維格納分布 (Polynomial Wigner Distribution Function)

$$W_x(t,f) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{j2\pi\sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2} + 1} n a_n t^{n-1} \tau} \ e^{-j2\pi\tau f} d\tau = \int_{-\infty}^{\infty} [\prod_{\ell=1}^{q/2}x(t+d_\ell\tau)x^*(t-d_{-\ell}\tau)]e^{-j2\pi \tau f}d\tau$$

If $x(t) = e^{j2\pi \sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2}+1}n a_n t^{n} }$

所以 $d_\ell$ 必須要能滿足下面的式子：

$$<pre> e^{j2\pi\sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2} + 1} n a_n t^{n-1} \tau} </pre> = \prod_{\ell=1}^{q/2}x(t+d_\ell\tau)x^*(t-d_{-\ell}\tau)$$

$$W_x(t,f) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j2\pi(f-\sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2}+1})n a_n t^{n-1} \tau} d\tau \cong \delta(f-\sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2}+1}n a_n t^{n-1} \tau)$$

其中 $\sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2}+1}n a_n t^{n-1}$為 $x(t)$ 的瞬時頻率

接下來，我們來看 $d_\ell$ 要怎麼設定：

(1) 當 $q = 2$ 的時候： $x(t+d_\ell\tau)x^*(t-d_{-\ell}\tau) = e^{j2\pi \sum_{n=1}^{2}n a_n t^{n-1} \tau}$

如果我們把 $x(t) = e^{j2\pi\sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2}+1}a_nt^n}$代入，可以得到下列式子：

$$a_2(t+d_1\tau)^2 + a_1(t+d_1\tau) - a_2(t-d_{-1}\tau) - a_1(t-d_{-1}\tau) = 2 a_2 t \tau +a_1\tau$$

$\begin{cases} d_1 + d_{-1} = 1 \\ d_1 - d_{-1} = 0 \end{cases}$ $\Longrightarrow \begin{cases} d_1 = \tfrac{1}{2} \\ d_{-1} = \tfrac{1}{2} \end{cases}$

由此可以知道，當 $q = 2$ 並且 $d_{-1} = d_1 = \tfrac{1}{2}$ 時，多項型的維格納分布 (Polynomial Wigner Distribution Function) 就會與原始的維格納分布相同

$$W_x(t,f) = \int_{-\infty}^{\infty} [\prod_{l=1}^{q/2}x(t+d_l\tau)x^*(t-d_{-l}\tau)]e^{-j2\pi \tau f}d\tau = \int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tau/2)x^*(t-\tau/2)e^{-j2\pi\tau\,f}d\tau , \quad if \quad q = 2 ,\ d_{-1} = d_1 = \tfrac{1}{2}$$

(2) 當 $q = 4$ 的時候： $x(t+d_\ell\tau)x^*(t-d_{-\ell}\tau) = e^{j2\pi \sum_{n=1}^{3}n a_n t^{n-1} \tau}$

如果我們把 $x(t) = e^{j2\pi\sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2}+1}a_nt^n}$代入，可以得到下列式子：

$$a_3(t+d_1\tau)^3 + a_2(t+d_1\tau)^2 + a_1(t+d_1\tau) a_3(t+d_2\tau)^3 + a_2(t+d_2\tau)^2 + a_1(t+d_2\tau) -a_3(t+d_{-1}\tau)^3 - a_2(t+d_{-1}\tau)^2 - a_1(t+d_{-1}\tau) -a_3(t+d_{-2}\tau)^3 - a_2(t+d_{-2}\tau)^2 - a_1(t+d_{-2}\tau)$$

$$= 3 a_3 t^2 \tau + 2 a_2 t \tau +a_1\tau$$

$\begin{cases} a_3(t+d_1\tau)^3 + a_3(t+d_2\tau)^3 -a_3(t+d_{-1}\tau)^3 -a_3(t+d_{-2}\tau)^3 \\a_2(t+d_1\tau)^2 + a_2(t+d_2\tau)^2 - a_2(t+d_{-1}\tau)^2 - a_2(t+d_{-2}\tau)^2 \\a_1(t+d_1\tau) + a_1(t+d_2\tau) - a_1(t+d_{-1}\tau) - a_1(t+d_{-2}\tau) \end{cases}$ $= \begin{cases} 3 a_3 t^2 \tau \\ 2 a_2 t \tau \\ a_1\tau \end{cases}$

所以我們可以得到

$$\begin{cases} d_1 + d_2 +d_{-1} + d_{-2} = 1 \\ {d_1}^2 + {d_2}^2 - {d_{-1}}^2 - {d_{-2}}^2 = 0 \\ {d_1}^3 + {d_2}^3 + {d_{-1}}^3 + {d_{-2}}^3 = 0 \end{cases}$$

可以看到如果 $q$ 太大，$d_\ell$ 會不好設計。

## 性能表現

在此有兩個例子來說明改進型韋格納分佈確實能消除相交項。

- $x(t)=\begin{cases} \cos(3\pi t) \ \ \ t\le-4 \\ \cos(6\pi t)\ \ \ -4<t\le4 \ \ \ \\ \cos(4\pi t) \ \ \ t>4 \end{cases}$

左圖是韋格納分佈；右圖是改進型韋格納分佈。可以很明顯地看出，改進型韋格納分佈大大地改進相交項的問題，相對地增加清晰度。

- $x(t)=\exp(j \cdot(t-5)^3-j \cdot 6 \pi \cdot t)$

左圖是韋格納分佈；右圖是改進型韋格納分佈。明顯地看出，改進型韋格納分佈確實可改進相交項的問題，同時增加清晰度。

## 同時參閱

- 信號處理
- 時頻分析
- 短時距傅立葉變換