愛因斯坦-希爾伯特作用量

希爾伯特作用量或愛因斯坦-希爾伯特作用量（英文：Einstein-Hilbert action）是廣義相對論中能夠導出愛因斯坦引力場方程（通過取變分得到時空度規的運動方程）的作用量，它最早由希爾伯特在1915年提出。從希爾伯特作用量導出愛因斯坦引力場方程的優點是多方面的：首先，它能夠簡單地將廣義相對論理論和其他同樣用作用量形式表示的經典場論（如麥克斯韋理論）統一起來；其次，通過尋找這個作用量中包含的對稱性可以輕易地根據諾特定理判別守恆量。在廣義相對論中，作用量一般都被認為是度規（以及物質場）的一個泛函，而其聯絡是列維-奇維塔聯絡。

能夠導出真空中的愛因斯坦方程的作用量$S[g]\,$由下面的拉格朗日量的積分給出：

$$S[g]= \int {1 \over 2\kappa} R \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4x$$

其中$g = \, {1 \over c^2} \, \det \, (g_{\alpha \beta})$是時空的洛倫茲度規的行列式，$R\,$是里奇標量，$\kappa = \frac{8 \pi G}{c^4} \,$是一個普適性常數，拉格朗日量是${1 \over 2\kappa} R \sqrt{-g}$，積分範圍是時空中的一塊區域。對於有物質存在的愛因斯坦方程，在對應的拉格朗日量中還要添加物質本身的拉格朗日量。（注意：這裡所謂「拉格朗日量」都是指其標量密度，在國際單位制中的單位是焦耳/立方米，而不是指其在空間或時空範圍內的一個積分。）

注意到$\sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4 x$是一個形式不變的四維體元，因此也可以將希爾伯特作用量寫成（可能更好看些的）如下形式：

$$S[g]= \int {1 \over 2\kappa} R \, \mathrm{dV} \,$$

## 導出愛因斯坦引力場方程

假設理論中場的完整作用量形式即包括愛因斯坦-希爾伯特作用量以及可描述任意物質場的拉格朗日量$\mathcal{L}_\mathrm{M}$，則有

$$S = \int \left[ {1 \over 2\kappa} \, R + \mathcal{L}_\mathrm{M} \right] \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4 x$$

作用量原理告訴我們這個作用量對度規$g^{\mu\nu}\,$的變分為零：

$$\begin{align} 0 & = \delta S \\ <pre> & = \int \left[ {1 \over 2\kappa} \frac{\delta (\sqrt{-g}R)}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} \right] \delta g^{\mu\nu}\mathrm{d}^4x \\ & = \int \left[ {1 \over 2\kappa} \left( \frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu} } \right) + \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} \right] \delta g^{\mu\nu} \sqrt{-g}\, \mathrm{d}^4x. </pre> \end{align}$$

由於這個方程要求對所有變分$\delta g^{\mu\nu}$都成立，這意味著

$$\frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu}} = - 2 \kappa \frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}},$$

是度規場的運動方程，而方程的右邊則（根據定義）正比於能量-動量張量。

$$T_{\mu\nu}:= -2 \frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} = -2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g^{\mu\nu}} + g_{\mu\nu} \mathcal{L}_\mathrm{M}.$$

計算方程的左邊需要得到里奇標量的變分和度規的行列式，它們的有關計算可以參考有關教科書，下面給出的範例來自。

### 黎曼張量、里奇張量和里奇標量的變分

為計算里奇標量的變分我們首先考慮黎曼張量以及里奇張量的變分。黎曼張量的定義為

$${R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma} <pre> - \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma},$$

由於黎曼曲率只和列維-奇維塔聯絡$\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$有關，黎曼張量的變分可由下給出：

$$\delta{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\delta\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu\delta\Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \delta\Gamma^\rho_{\mu\lambda} \Gamma^\lambda_{\nu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda} \delta\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \delta\Gamma^\rho_{\nu\lambda} \Gamma^\lambda_{\mu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda} \delta\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}.$$

現在由於$\delta\Gamma^\rho_{\nu\mu}$是兩個聯絡的差，因此它是一個張量，我們計算它的協變導數：

$$\nabla_\lambda (\delta \Gamma^\rho_{\nu\mu} ) = \partial_\lambda (\delta \Gamma^\rho_{\nu\mu} ) + \Gamma^\rho_{\sigma\lambda} \delta\Gamma^\sigma_{\nu\mu} - \Gamma^\sigma_{\nu\lambda} \delta \Gamma^\rho_{\sigma\mu} - \Gamma^\sigma_{\mu\lambda} \delta \Gamma^\rho_{\nu\sigma}$$

我們現在可以清楚地看到黎曼曲率張量的變分表達式等於如下兩項的差：

$$\delta R^\rho{}_{\sigma\mu\nu} = \nabla_\mu (\delta \Gamma^\rho_{\nu\sigma}) - \nabla_\nu (\delta \Gamma^\rho_{\mu\sigma}).$$

而里奇張量的變分可簡單地通過緊縮黎曼張量的變分表達式的兩個分量得到：

$$\delta R_{\mu\nu} \equiv \delta R^\rho{}_{\mu\rho\nu} = \nabla_\rho (\delta \Gamma^\rho_{\nu\mu}) - \nabla_\nu (\delta \Gamma^\rho_{\rho\mu}).$$

里奇標量的定義為

$$R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}.\!$$

從而它相對於度規$g^{\mu\nu}$的變分為

$$\begin{align} \delta R &= R_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu} + g^{\mu\nu} \delta R_{\mu\nu}\\ <pre> &= R_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu} + \nabla_\sigma \left( g^{\mu\nu} \delta\Gamma^\sigma_{\nu\mu} - g^{\mu\sigma}\delta\Gamma^\rho_{\rho\mu} \right) </pre> \end{align}$$

在第二行中我們使用了上面得到的里奇張量的變分結果以及協變導數對度規的性質$\nabla_\sigma g^{\mu\nu} = 0$。

最後一項$\nabla_\sigma ( g^{\mu\nu} \delta\Gamma^\sigma_{\nu\mu} - g^{\mu\sigma}\delta\Gamma^\rho_{\rho\mu} )$是一個全微分，根據斯托克斯定理當對它進行積分時只能得到一個邊界項。因而當度規的變分$\delta g^{\mu\nu}$ 在無窮遠處趨於零時這項的積分也為零，從而不對作用量有貢獻。這樣我們得到

$$\frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} = R_{\mu\nu}$$

### 度規行列式的變分

根據對行列式進行求導的雅可比公式

$$\,\! \delta g = g \, g^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu}$$

我們得到

$$\begin{align} \delta \sqrt{-g} &= -\frac{1}{2\sqrt{-g}}\delta g = \frac{1}{2} \sqrt{-g} (g^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu}) = -\frac{1}{2} \sqrt{-g} (g_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu}),\end{align}$$

從而結論為

$$\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu} } = -\frac{1}{2} g_{\mu\nu}$$

### 運動方程

我們得到了所需要的所有變分，將它們代入運動方程可得

$$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu},$$

這是愛因斯坦引力場方程，其中$\kappa = \frac{8 \pi G}{c^4}$的選取是為了使非相對論極限能夠滿足牛頓引力理論的形式，而$G\,$是萬有引力常數。

## 宇宙學常數

對於含有宇宙常數項的愛因斯坦方程

$$R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} R + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu} \,$$

對應的希爾伯特作用量也包含宇宙學常數，寫為

$$S = \int \left[ {1 \over 2\kappa} \left( R - 2 \Lambda \right) + \mathcal{L}_\mathrm{M} \right] \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4 x$$

## 參考文獻

- Hilbert, D. (1915) Die Grundlagen der Physik , Konigl. Gesell. d. Wiss. Gottingen, Nachr. Math.-Phys. Kl. 395-407