辛向量空間

數學中，一個辛矢量空間是帶有辛形式 ω 的向量空間 V，所謂辛形式即一個非退化斜對稱的雙線性形式。

確切地說，一個辛形式是一個雙線性形式 ω：V × V → R 滿足：

- 斜對稱：ω(u, v) = −ω(v, u)，對所有 u, v ∈ V 成立。
- 非退化：如果 ω(u, v) = 0 對所有 v ∈ V 成立，那麼 u = 0。

取定一組基，ω 能表示為一個矩陣。以上兩個條件表明這個矩陣必須是斜對稱非奇異矩陣。這不同於下面將介紹的辛矩陣，辛矩陣表示空間的一個辛變換。

如果 V 是有限維的那麼維數必須為偶數，因為每個奇數階斜對稱矩陣的行列式為 0。

非退化斜對稱雙線性形式和非退化「對稱」雙線性形式，比如歐幾里得向量空間的內積，的表現非常不同。歐幾里得內積 g，對任何非零向量 v，均有 g(v,v) > 0 成立；但是一個辛形式 ω 滿足 ω(v,v) = 0。

## 標準辛空間

標準辛空間 R2n 帶有由一個非奇異斜對稱矩陣給出的辛形式 ω。典型地，ω 寫成矩陣形式表為分塊矩陣

$$\omega = \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{bmatrix}$$

這裡 In 是 n × n 單位矩陣。用基向量表示

$(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n)$:

$$\omega(x_i, y_j) = -\omega(y_j, x_i) = \delta_{ij}\,$$

$$\omega(x_i, x_j) = \omega(y_i, y_j) = 0.\,$$

一個經過修改的正交化過程指出任何有限維辛向量空間都有這樣一組基，經常稱為達布基或辛基底。

有另外一種方式理解標準辛形式。因上面所使用的帶有標準結構的模型空間 Rn 容易導致誤會，我們用一個「匿名」空間替代之。設 V 是一個 n-維實向量空間，V∗ 為其對偶空間。現在考慮直和 W := V ⊕ V∗，帶有如下形式：

$$\omega(x \oplus \eta, y \oplus \xi) = \xi(x) - \eta(y).$$

選取 V 的任何一組基 (v1, …, vn)，考慮其對偶基

$$(v^*_1, \ldots, v^*_n).$$

我們能將基理解成在 W 中的向量。若記xi = (vi, 0) 和 yi = (0, vi∗)，將它們放在一塊，組成了 W 一組完整的基。

$$(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n).$$

這裡定義的形式 $\omega$ 可以證明具有本節最初的那些性質，換句話說，每一個辛結構都同構於一個形如V ⊕ V∗的形式。

對子空間V的選擇不是唯一的,對V選擇的過程稱為極化. 給出了一個這樣的同構的子空間稱為一個拉格朗日子空間或簡稱拉氏子空間.

更加明確的說，給定一個拉氏子空間(如之前定義), 那麼對基 $(x_1, \ldots, x_n)$的選擇，通過性質$\omega(x_i,y_j) = \delta_{ij}.$決定了對應的一組對偶基.

### 類比復結構

每一個辛結構都同構於一個形如V ⊕ V∗的形式，（某個向量空間上的）每一個復結構都同構於一個形如V ⊕ V∗的形式。利用這些結構，一個n-維流形的切叢,看做一個2n-維流形,擁有一個殆復結構,並且一個n-維流形餘切叢,看做一個2n-維流形,擁有一個辛結構: $T_*(T^*M)_p = T_p(M) \oplus (T_p(M))^*.$

拉格朗日子空間在復空間中的類似物是其實部構成的實子空間，這個實子空間的復化則是全空間W = V ⊕ JV。

## 體積形式

設 ω 是一個 n-維實向量空間 V 上的形式，ω ∈ Λ2(V)。那麼 ω 非退化若且唯若 n 是偶數，且 ωn/2 = ω ∧ … ∧ ω 是一個體積形式。n-維向量空間 V 上的體積形式是（惟一） n-形式 e1∗ ∧ … ∧ en∗ 非零乘積，這裡 ei 是 V 上的標準基。

對上一節定義的標準基，我們有

$$\omega^n=(-1)^{n/2} x^*_1\wedge\ldots \wedge x^*_n \wedge y^*_1\wedge \ldots \wedge y^*_n.$$

重排即

$$\omega^n= x^*_1\wedge y^*_1\wedge \ldots \wedge x^*_n \wedge y^*_n.$$

定義 ωn 或 (−1)n/2ωn 為標準體積形式。也許會有一個因子 n!，這取決於外形式定義的反對稱化是否包含因子 n!。體積形式定義了辛向量空間 (V, ω) 的一個定向。

## 辛映射

假設 $(V,\omega)$ 和 $(W,\rho)$ 是辛向量空間，那麼線性映射 $f:V\rightarrow W$ 稱為一個辛映射若且唯若拉回 $f^*$ 保持辛形式，即 $f^*\rho=\omega$。拉回形式的定義為：

$$f^*\rho(u,v)=\rho(f(u),f(v))$$

從而 f 是一個辛映射若且唯若

$$\rho(f(u),f(v))=\omega(u,v)$$

對 V 中所有 u 和 v 成立。特別的，辛映射保持體積形式，保定向，是同構。

## 辛群

如果 V = W，則一個辛映射稱為 V 上的線性辛變換。特別的，在這種情形我們有：

$$\omega(f(u),f(v)) = \omega(u,v)\;,$$

從而線性變換 f 保持辛形式。所有辛變換的集合組成一個群，且是一個李群，稱為辛群，記作 Sp(V) 或者 Sp(V,ω)。辛變換的矩陣形式由辛矩陣給出。

## 子空間

設 W 是 V 的一個線性子空間，定義 W 的辛補（空間）為子空間：

$W^{\perp} = \{v\in V \mid \omega(v,w) = 0\;$對所有 $w\in W\}.$

辛補滿足

$$(W^{\perp})^{\perp} = W$$

和

$$\dim W + \dim W^\perp = \dim V.$$

但是，不像正交補， W⊥ ∩ W 不一定為 {0}。我們討論四種情形：

- W 是辛子空間，如果 W⊥ ∩ W = {0}。若且唯若 ω 在 W 上的限制是非退化時成立。帶有限制形式的一個辛子空間本身也是一個辛向量空間。
- W 是迷向子空間，如果 W ⊆ W⊥。若且唯若 ω 限制在 W 上為 0 時成立。任何 1-維子空間都是迷向的。
- W 是余迷向子空間，如果 W⊥ ⊆ W。W 是余迷向的若且唯若ω 在商空間 W/W⊥ 上非退化。等價地 W 是余迷向的若且唯若 W⊥ 是迷向的。任何余維數為 1 的子空間都是余迷向的。
- W 是拉格朗日子空間，如果 W = W⊥。一個子空間是拉格朗日的若且唯若它既是迷向又是余迷向的。在有限維向量空間，一個拉格朗日子空間是維數為 V 之一半的迷向子空間。任何迷向子空間可以擴充為一個拉格朗日子空間。

對上面的標準向量空間 R2n。

- 由 {x1, y1} 生成的子空間是辛子空間。
- 由 {x1, x2} 生成的子空間是迷向子空間。
- 由 {x1, x2, …, xn, y1} 生成的子空間是余迷向子空間。
- 由 {x1, x2, …, xn} 生成的子空間是拉格朗日子空間。

## 其它性質

注意到辛形式滿足正則對易關係，從而辛向量空間的加法群有個中心擴張，這個中心擴張恰是海森伯群。

## 又見

- 辛流形是每一點的切空間上帶有光滑「閉」辛形式的光滑流形。
- 辛表示是一個群元素的作用都是辛變換的群表示。
- 馬斯諾夫指標。

## 腳註與參考

- Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See chapter 3.
- J.柯歇爾、鄒異明，辛幾何引論，科學出版社，1999年2月。