布爾素理想定理

數學上，布爾素理想定理（Boolean prime ideal theorem）聲稱每個布爾代數中的任何理想，都可以擴展成素理想。這個陳述對於在集合上的濾子的變體叫做超濾子引理。不同數學結構上，理想的定義有所不同，例如環有（環論）素理想，分配格有（序理論）極大理想。對於有定義「理想」的數學結構，有時有類似的素理想定理（prime ideal theorem）保證存在滿足特定條件的「素理想」。布爾素理想定理是序理論的素理想定理。

儘管各種素理想定理可能合乎直覺，它們一般不能從策梅洛-弗蘭克爾集合論（ZF）的公理推導出來，反而有些等價於選擇公理（AC），有些（如布爾素理想定理）雖然嚴格弱於AC，仍不能由ZF證明。由於布爾素理想定理的強度介乎ZF和ZF+AC (ZFC)之間，有時亦用作集合論的公理，縮寫為BPI（對布爾代數）或PIT。

## 素理想定理

介紹素理想定理需要以下定義：

理想：偏序集（poset）的序理論理想是（非空）有向的下閉子集。如果考慮的poset（例如布爾代數）有二元上確界$\vee$，則理想可等價刻劃為下閉即：若$x \in I$且$y \le x$，則$y \in I$。且對$\vee$封閉即：若$x, y \in I$，則$x \vee y \in I$。子集$I$。

素理想：理想I稱為「素」，意思是只要下確界x$\wedge$y在I中，則必有x在I中或y在I中。

真理想：即不等於整個poset的理想。

歷史上，與素理想定理有關的第一個陳述，是用濾子表述。原偏序集上的濾子即是其對偶性 (序理論)偏序集上的理想。超濾子引理聲稱，集合上的每個濾子，都包含在某個超濾子（極大的真濾子）內。集合上的濾子就是它冪集上的布爾代數的真濾子。在這個特殊情況下，極大濾子（不是任何真濾子的嚴格子集的濾子）和素濾子（若$X \cup Y$在其中，則必有X或Y之一在其中）是一致的。所以這個陳述的（等價）對偶確保了集合冪集的每個理想都包含在一個素理想中。

上述陳述可以推出幾條更一般的素理想定理，每條分為弱形式和強形式。「弱素理想定理」聲稱所有「不平凡」（non-trivial）的特定類的代數都有至少一個素理想。相反，「強素理想定理」要求不與給定濾子相交的所有理想都可以擴展成仍不與之相交的素理想。在代數不是poset的情況下，則用其他子結構替代濾子。

還有一種變體是把「素理想」替代為「極大理想」，所得的極大理想定理（MIT）有時比對應的PIT強，但不一定。

## 布爾素理想定理

布爾素理想定理是給布爾代數的強素理想定理。形式陳述為：

設B是布爾代數，I是理想，並設F是B的一個濾子，使得I和F不交。則I被包含在B的不相交於F的某個素理想中。

布爾代數的弱素理想定理則聲稱：

所有布爾代數都包含一個素理想。

分別稱呼這些陳述為強和弱BPI。這兩個陳述是等價的，因為強BPI明顯蘊涵了弱BPI；欲證反蘊涵，可以在適當的商代數中，使用弱BPI找到相應的素理想。

BPI有不同表達方式。布爾代數中，有以下定理：

對於布爾代數B的任何理想I，下列是等價的：

- I是素理想。
- I是極大真理想，就是說對於任何真理想J，如果I包含在J中則I = J。
- 對於B的所有元素a，I正好包含{a, ¬a}之一。

它的對偶說明素濾子和超濾子等價。定理最後一個性質是對偶性 (序理論)命題，只是結合前面假定的「I是理想」給出了素理想的完全刻畫。這個定理的所有蘊涵都可以在經典Zermelo-Fraenkel集合論內證明。

由上述定理，下列布爾代數的（強）極大理想定理（MIT）等價於BPI：

設B是布爾代數，設I是一個理想並設F是B的一個濾子，使得I和F不相交。則I包含在B的不相交於F的某個極大理想內。

此處「極大」是全局極大，而不是指不相交於F的理想之中的極大，但後者也給出BPI的另一個等價刻劃：

設B是布爾代數，設I是一個理想並設F是B的一個濾子，使得I和F不相交。則I包含在B的不相交於F的所有理想中極大的某個理想內。

這個陳述等價於BPI是因為有定理：「對於任何分配格L，如理想I在不相交於給定濾子F的L的所有理想中是極大的，則I是素理想。」這個陳述在ZF內可證，見理想 (序理論)#極大理想。因為任何布爾代數都是分配格，該定理證實了上段的命題等價於BPI。

以上幾種陳述都是等價的。更進一步，因為布爾代數的對偶次序是布爾代數自身，當對以上陳述取對偶的時候，所得的等價命題也是適用於布爾代數的定理，但是其中「理想」一詞都被替代為「濾子」。若考慮的布爾代數是某集合的冪集（以子集關係為序），「極大濾子定理」被稱為超濾子引理。

總結起來，對於布爾代數，弱和強MIT、弱和強PIT、用濾子替代了理想的等價陳述都是等價的。已知所有這些陳述都是選擇公理的推論（可利用佐恩引理證明），但是不能在經典Zermelo-Fraenkel集合論中證明。

## 進一步的素理想定理

前面以布爾代數為例介紹的典型性質，經修改後，亦適用於更一般的格，比如分配格或Heyting代數。但是，在這些情況下極大理想不同於素理想，而在PIT和MIT之間的關係是不明顯的。

實際上，已發現分配格甚至Heyting代數的MIT等價於選擇公理。在另一方面，已知分配格的強PIT等價於BPI（即布爾代數的MIT和PIT），所以這個陳述嚴格弱於選擇公理。而由於Heyting代數不是自對偶，使用濾子替代理想會產生不同的定理。更甚者，關於Heyting代數對偶的MIT並不強於BPI，與上述的Heyting代數的MIT截然不同。

最後，素理想定理也存在於其他（非序理論的）抽象代數中。比如，環的MIT蘊涵了選擇公理。這種情況需要把序理論的術語「濾子」替代為其他概念，對於環則是乘法閉合子集。

## 超濾子引理

在集合X上的濾子是由X的若干非空子集組成，對有限交和超集閉合（向上封閉）的搜集。超濾子是極大濾子。超濾子引理聲稱集合X上的所有濾子都是X上某個超濾子的子集。這個引理最常用在拓撲學中。

超濾子引理等價於布爾素理想定理，此等價可使用不帶選擇公理的ZF集合論證明。證明的想法是任何集合的全體子集，以包含關係為偏序，都組成布爾代數，而任何布爾代數都可通過Stone表示定理表示為集合的代數。

## 應用

直覺上，布爾素理想定理聲稱在布爾代數中有足夠多的素理想，使所有理想都可以擴展成極大理想。這對於證明Stone布爾代數表示定理（Stone對偶性的特殊情況）有用，過程會為布爾代數的所有素理想的集合賦予斯通拓撲，並從這個拓撲找回最初的布爾代數（在同構的意義下）。此外，應用中可以自由選用素理想或素濾子，因為理想與濾子一一對應：將理想的元素逐個取布爾補，就得到濾子。

在一般拓撲學中，一些被稱為依賴於選擇公理的定理實際上等價於BPI。例如，「緊緻豪斯多夫空間之積仍為緊」等價於它，但如果去除「豪斯多夫」條件，則等價於完整的選擇公理。

## 參考文獻

- B. A. Davey and H. A. Priestley, Introduction to Lattices and Order, 2nd edition, Cambridge University Press, 2002.

An easy to read introduction, showing the equivalence of PIT for Boolean algebras and distributive lattices.

- P. T. Johnstone, Stone Spaces, Cambridge studies in advanced mathematics 3, Cambridge University Press, 1982.

The theory in this book often requires choice principles. The notes on various chapters discuss the general relation of the theorems to PIT and MIT for various structures (though mostly lattices) and give pointers to further literature.

- B. Banaschewski, The Power of the Ultrafilter Theorem, Journal of the London Mathematical Society (2) 27, 193–202, 1983.

Discusses the status of the ultrafilter lemma.

- M. Erné, Prime Ideal Theory for General Algebras, Applied Categorical Structures 8, 115–144, 2000.

Gives many equivalent statements for the BPI, including prime ideal theorems for other algebraic structures. PITs are considered as special instances of separation lemmas.