柯西主值

在微積分中，柯西主值是為某類原來發散的反常積分指派特定數值的方式，為紀念數學家柯西而得此名。

## 第一類反常積分

第一類反常積分，稱為無窮積分，指積分區間的上限或下限為無窮的積分。

設函數 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上連續且可積。可定義以下第一類反常積分：

$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \lim_{u\to -\infty} \int_u^cf(x)\,dx + \lim_{v\to+\infty} \int_c^vf(x)\,dx$。

其中 $c$ 是區間上任意一點。

上式中兩個極限皆收斂，這反常積分才定義為收斂。若任意其一發散，則此積分發散。在這裡，兩個極限須分別處理，即兩者的收斂速度可能不同。但在柯西主值的理解下，可假設兩個極限的收斂速度相同，即：

$\mathrm{PV}\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^Rf(x)\,dx$。

若在相同收斂速度下，兩者可以互相抵消，則該積分的柯西主值存在。舉例來說：

$$\begin{align} \mathrm{PV}\int_{-\infty}^\infty x \,dx &= \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^R x \,dx \\ &=\lim_{R\to +\infty} \left[\frac{x^2}{2}\right]_{-R}^R\\ &=\lim_{R\to +\infty} \left(\frac{R^2}{2}-\frac{R^2}{2}\right)\\ &=0 \end{align}$$

根據定義，若無窮積分收斂，則其柯西主值收斂，且二者相等。但無窮積分的柯西主值收斂，該積分未必收斂。

## 第二類反常積分

第二類反常積分，稱為瑕積分，指被積函數在積分區間中含有不連續點的積分。

設函數 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上連續且可積，但在點 $a$ 及 $b$ 不連續。可定義以下第二類反常積分：

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{u\to a^+} \int_u^cf(x)\,dx + \lim_{v\to b^-} \int_c^vf(x)\,dx$。

其中 $c$ 是區間上任意一點。

設函數 $g(x)$ 在 $[a,c)$ 及 $(c,b]$上連續且可積，但在點 $c$ 不連續。可定義以下第二類反常積分：

$\int_a^b g(x)\,dx = \lim_{u\to c^-} \int_a^ug(x)\,dx + \lim_{v\to c^+} \int_v^bg(x)\,dx$。

同樣地，上式中兩個極限皆收斂，這反常積分才定義為收斂。若任意其一發散，則此積分發散。在這裡，兩個極限的收斂速度可能不同。但在柯西主值的理解下，可假設兩個極限的收斂速度相同，即：

$\mathrm{PV}\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon} f(x) \,dx$。

$\mathrm{PV}\int_a^b g(x)\,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^+} \left[\int_a^{c-\varepsilon} g(x)\,dx+\int_{c+\varepsilon}^b g(x)\,dx\right]$。

若在相同收斂速度下，兩者可以互相抵消，則該積分的柯西主值存在。

根據定義，若瑕積分收斂，則其柯西主值收斂，且二者相等。但瑕積分的柯西主值收斂，該積分未必收斂。

對於區間上有多個不連續點的積分，可由類似方式定義廣義的柯西主值。

## 混合反常積分

有些時候，無窮積分和瑕積分能同時出現。設函數 $f(x)$ 在 $(-\infty,c)$ 及 $(c,\infty)$上連續且可積，但在點 $c$ 不連續。我們能用以下方式計算其柯西主值：

$\mathrm{PV}\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\int_{c-\frac{1}{\varepsilon}}^{c-\varepsilon} f(x)\,dx+\int_{c+\varepsilon}^{c+\frac{1}{\varepsilon}}f(x)\,dx \right]$。

## 計算問題

在計算積分的柯西主值時，使用換元積分法可能會導致歧義。例如在計算 $\mathrm{PV} \int_{-2}^1\frac{10+4x}{x^3(5+x)^3}\,dx$ 時。

$$\begin{align} \mathrm{PV} \int_{-2}^1\frac{10+4x}{x^3(5+x)^3}\,dx &= \mathrm{PV} \int_{-2}^0\frac{10+4x}{x^3(5+x)^3} \,dx+\mathrm{PV} \int_0^1\frac{10+4x}{x^3(5+x)^3} \,dx\\ &= \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left( \int_{-2}^{-\varepsilon }\frac{10+4x}{x^3(5+x)^3} \,dx+ \int_{\varepsilon }^1\frac{10+4x}{x^3(5+x)^3}\,dx \right)\\ &= \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left( \left[ -\frac{1}{x^2(5+x)^2}\right]_{-2}^{-\varepsilon } + \left[ -\frac{1}{x^2(5+x)^2}\right]_{\varepsilon}^{1} \right) \\ &= \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left( -\frac{1}{\varepsilon^2(5-\varepsilon)^2} + \frac{1}{4(5-2)^2} - \frac{1}{(5+1)^2} +\frac{1}{\varepsilon^2 (5+\varepsilon)^2}\right) \\ &= \lim_{\varepsilon \to 0^+}\frac{-20\varepsilon}{\varepsilon^2(5-\varepsilon)^2(5+\varepsilon)^2} \\ &=-\infty \end{align}$$

但若使用換元 $u=5x+x^2$， $du=(5+2x)dx$。

$$\begin{align} \mathrm{PV} \int_{-2}^1\frac{10+4x}{x^3(5+x)^3}\,dx & = \mathrm{PV} \int_{-6}^6\frac{2}{u^3} \,du\\ &= \mathrm{PV}\int_{-6}^0\frac{2}{u^3}\,du + \mathrm{PV}\int_0^6\frac{2}{u^3}\,du\\ &= \lim_{\varepsilon\to 0^+} \left( \int_{-6}^{-\varepsilon}\frac{2}{u^3}\,du + \int_{\varepsilon}^6\frac{2}{u^3} \,du\right) \\ &= \lim_{\varepsilon\to 0^+} \left( \left[ -\frac{1}{u^2}\right]_{-6}^{-\varepsilon}+\left[ -\frac{1}{u^2}\right]_{\varepsilon}^{6} \right) \\ &= \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left( -\frac{1}{\varepsilon^2} + \frac{1}{36} - \frac{1}{36} +\frac{1}{\varepsilon^2}\right) \\ &=0 \end{align}$$

在上面的兩個結果中，第一個才是正確的。第二個計算方式中，由於使用換元取代時，兩個極限的收斂速度改變了。當兩者的改變不對稱時，就會得到不一樣的結果。要避免這樣的情形，我們應避免使用換元取代的方法求柯西主值。

## 名稱和記號

有些作者會把柯西主值直接叫作「主值」(principal value)。但這和多值函數的主值是沒有關係的。

不同作者會使用不同的記號表示積分的柯西主值。以下是常見的記號：

$\mathrm{PV} \int f(x)\,dx$。

$\mathrm{p.v.} \int f(x)\,dx$。

$-\!\!\!\!\!\!\int f(x)\, dx$。

## 參考文獻

- 歐陽光中、朱學炎、陳傳璋 (2007)。《數學分析（下冊）》。第三版。高等教育出版社。ISBN 978-7-04-020743-9。
- Weisstein, Eric W. Improper Integral. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ImproperIntegral.html
- Weisstein, Eric W. Cauchy Principal Value. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CauchyPrincipalValue.html
- Dave Rusin's webpage. Cauchy Principal Value. The Department of Mathematics, the University of Texas. http://www.math.utexas.edu/users/rusin/408D-12b/CPV.pdf.