莫比烏斯變換

在幾何學裡, 莫比烏斯變換是一類從黎曼球面映射到自身的函數。用擴展複平面上的複數表示的話，其形式為：

$$f(z) = \frac{a z + b}{c z + d}$$

其中 z, a, b, c, d 為滿足 ad − bc ≠ 0的（擴展）複數。

莫比烏斯變換也可以被分解為以下幾個變換：把平面射影到球面上，把球體進行旋轉、位移等任何變換，然後把它射影回平面上。

莫比烏斯變換是以數學家奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯的名字命名的，它也被叫做單應變換（homographic transformation）或分式線性變換（linear fractional transformation）。

## 簡介

莫比烏斯變換是定義在擴充複平面上的（擴充複平面是指在普通的複平面加入無窮遠點構成的集合）

$$\widehat{\mathbb{C}} = \mathbb{C}\cup\{\infty\}.$$

擴充複平面可以看做是一個球面，它的另一個名稱就是黎曼球面。每個莫比烏斯變換都是從黎曼球面到它自身的一一對應的共形變換。事實上，所有這樣的變換都是莫比烏斯變換。

所有莫比烏斯變換的集合在函數複合作用下構成一個群，稱為「莫比烏斯群」，記作 $\mathcal{M} ( \widehat{\mathbb{C}} )$。這個群是黎曼球面（作為一個黎曼曲面）的自同構群，因此有時也被記作：

$\mbox{Aut}( \widehat{\mathbb{C}} )\,$.

莫比烏斯群同構於三維雙曲空間中的保向等距同構群，因此在三維雙曲空間中的子流形的研究中占有重要地位。

## 定義

莫比烏斯變換的常見形式為：

$$f(z) = \frac{a z + b}{c z + d}$$

其中a、b、c、d是任何滿足 ad − bc ≠ 0 的複數（當ad = bc 的時候這個表達式退化成一個常數，通常約定常數函數不是莫比烏斯變換）。當c≠0 時，定義

$f(-d/c) = \infin$，$f(\infin) = a/c;$

這樣便將莫比烏斯變換擴展到整個黎曼球面上。

如果c=0，那麼定義

$f(\infin) = \infin.$

這樣定義後莫比烏斯變換就成為了黎曼球面上的一個一一對應的全純函數。

由於對莫比烏斯變換的每一個係數乘上一個相同的係數$\lambda$後不會改變這個變換：$\frac{\lambda a z + \lambda b}{\lambda c z + \lambda d} = \frac{a z + b}{c z + d}$，所以也有的定義中將ad − bc ≠ 0 的條件改成 ad − bc = 1. 這樣的定義下得到的莫比烏斯變換可以說是「約簡後」的莫比烏斯變換。

## 分解與基本性質

莫比烏斯變換的實質與反演密切相關。實際上，一個形如

$$f(z) = \frac{a z + b}{c z + d}$$

莫比烏斯變換可以分解成四個變換：

- $f_1(z)= z+d/c \!$ （按d/c 做平移變換）。
- $f_2(z)= 1/z \!$ （關於單位圓做反演變換然後關於實數軸做鏡面反射）。
- $f_3(z)= (- (ad-bc)/c^2) \cdot z \!$ （做關於原點的位似變換然後做旋轉）。
- $f_4(z)= z+a/c \!$（按a/c 做平移變換）。

這四個變換的複合就是莫比烏斯變換：

$$f_4\circ f_3\circ f_2\circ f_1 (z)= f(z) = \frac{az+b}{cz+d}.\!$$

在這種分解之下，我們可以清楚地看出莫比烏斯變換的不少基本性質。首先，由於以上分解中的每個變換都是可逆的（它們的逆變換也十分清楚），因此可以容易地看出，莫比烏斯變換的逆變換也是一個莫比烏斯變換，而且其表達式可以具體計算。具體來說，設變換函數$g_1, g_2, g_3, g_4$，其中每一個$g_i$都是相應的$f_i$的逆變換（反函數）。

$$g_i = f_i^{(-1)}$$

那麼莫比烏斯變換f的逆變換就是：

$$f^{(-1)}(z) = g_1\circ g_2\circ g_3\circ g_4 (z) = \frac{dz-b}{-cz+a}$$

### 保角性與保圓性

由於莫比烏斯變換可以分解為平移、反演、位似與旋轉變換，因此能夠保持所有反演變換的性質。一個基本的例子是保角性：由於平移、反演、位似與旋轉變換都保持角度不變，因此兩個複數（或向量）之間的幅角差（夾角）在經過莫比烏斯變換後不變。

此外，一個廣義圓經過莫比烏斯變換後，仍會映射到一個廣義圓。廣義圓是指黎曼球面上的圓，包括普通的圓形和帶無窮遠點的直線（可以認為是一個半徑無限大的圓）。這也是反演保持廣義圓的結果。當然莫比烏斯變換並不是將圓映射到圓，將直線映射到直線，經過映射後直線可能變成圓，圓也可能變成直線。

### 複比不變性

莫比烏斯變換也可以保持複數的複比不變。設有四個兩兩不同的複數$z_1, z_2, z_3, z_4$，對應擴充複平面上四個不同的點，它們經過莫比烏斯變換後變成$w_1, w_2, w_3, w_4$四點，那麼複比：

$$\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z_1-z_4)} = \frac{(w_1-w_3)(w_2-w_4)}{(w_2-w_3)(w_1-w_4)}.$$

當 $z_1, z_2, z_3, z_4$ 中有一個或多個是無窮大時，複比就定義為相應逼近的極限。比如說當四個複數是 $z_1, z_2, z_3, \infin$ 時，複比就是：

$$\frac{(z_1-z_3)}{(z_2-z_3)}.$$

### 確定莫比烏斯變換

給定平面上三個不同點 $z_1, z_2, z_3$，存在著唯一的一個莫比烏斯變換$f$，使得$f(z_1), f(z_2), f(z_3)$ 分別等於 $0, 1, \infty$。這個莫比烏斯變換就是：

$$f(z) = \frac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_3)(z_2-z_1)}$$

而由於對於另外的三個不同點 $w_1, w_2, w_3$，也唯一存在一個莫比烏斯變換$g$，使得$g(w_1), g(w_2), g(w_3)$ 分別等於 $0, 1, \infty$。因此，對於任意一組出發點 $z_1, z_2, z_3$，任意一組到達點 $w_1, w_2, w_3$，都唯一存在一個莫比烏斯變換，將$z_1, z_2, z_3$ 分別映射到點 $w_1, w_2, w_3$。具體地說，這個變換就是$g^{(-1)} \circ f$。作為推論，如果一個莫比烏斯變換有三個不動點，那麼它是恆等變換。

## 矩陣表示

莫比烏斯變換構成的莫比烏斯群$\mathcal{M} (\widehat{\mathbb{C}})$和由二階復可逆矩陣所構成的二階復係數一般線性群$\mathcal{GL}_2(\mathbb{C})$有同態的關係。事實上，考慮一個二階的可逆矩陣：$A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{pmatrix}$，其中$a_1 a_4-a_2 a_3 \neq 0$，那麼由矩陣的係數 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 可以寫出一個莫比烏斯變換：

$$g_A : \; z \; \mapsto \frac{a_1 z + a_2}{a_3 z + a_4}$$

而如果考慮映射：

$$\mathcal{GL}_2(\mathbb{C}) \longrightarrow \mathcal{M} (\widehat{\mathbb{C}})$$

$$\varphi : \, A \quad \mapsto \quad g_A$$

則經過計算可以知道，$g_{AB}=g_A\circ g_B$，也就是說：

$$\varphi (A B) = \varphi (A) \circ \varphi (B)$$

因此$\varphi$是一個群同態。

注意到對所有的複數$\lambda$，$\frac{\lambda a_1 z + \lambda a_2}{\lambda a_3 z + \lambda a_4} = \frac{a_1 z + a_2}{a_3 z + a_4}$，所以變換$g_{(\lambda A)}=g_A$。因此，可以將起始空間由一般線性群縮小到特殊線性群$\mathcal{SL}_2(\mathbb{C})$。而由於有且僅有單位矩陣$\mathbf{Id}_2$和負單位矩陣$-\mathbf{Id}_2$在群同態$\varphi$下對應的莫比烏斯變換是恆等變換，所以$\varphi$的核是$\left\{\mathbf{Id}_2, -\mathbf{Id}_2 \right\}$。根據群同態基本定理，有以下群同構關係：

$$\mathcal M(\hat{\mathbb{C}})\cong \mathcal{SL}_2(\mathbb{C}) \bigg/ \left\{\mathbf{Id}_2, -\mathbf{Id}_2 \right\} = \mathbb{P}\mathcal{SL}_2(\mathbb{C})$$

其中$\mathbb{P}\mathcal{SL}_2(\mathbb{C})$為複平面上的射影特殊線性群。