一致空間

在拓撲學這個數學領域裡，一致空間（uniform space）是指帶有一致結構的集合。一致空間是一個拓撲空間，有可以用來定義如完備性、一致連續及一致收斂等一致性質的附加結構。

一致結構和拓撲結構之間的概念區別在於，一致空間可以形式化有關於相對鄰近性及點間臨近性等特定概念。換句話說，「x 鄰近於a 勝過y 鄰近於b」之類的概念，在一致空間中是有意義的。而相對的，在一般拓撲空間內，給定集合A 和B，有意義的概念只有：點x 能「任意鄰近」A（亦即在A 的閉包內）；或是和B相比，A 是x 的「較小鄰域」，但點間鄰近性和相對鄰近性就不能只用拓撲結構來描述了。

一致空間廣義化了度量空間和拓撲群，因此成為多數數學分析的根基。

## 定義

一致空間有三個等價定義。

### 周圍定義

考慮集合$X$以及非空集族$\Phi \subseteq P(X \times X)$。二元組$(X,\Phi)$稱為一致空間。若其滿足如下公理：

- $\forall U \in \Phi$，$\{(x,x)|x\in X\} \subseteq U$。
- $\forall U \in \Phi$，若$V \subseteq X \times X$，且$U \subseteq V$，則$V \in \Phi$。
- $\forall U, V \in \Phi$，$U \cap V \in \Phi$。
- $\forall U \in \Phi$，$\exists V \in \Phi$，使得只要$(x,y) \in V$且$(y,z) \in V$，就有$(x,z) \in U$。
- $\forall U \in \Phi$，則$U^{-1} = \{(y,x)|(x,y)\in U\} \in \Phi$。

其中，$\Phi$稱為$X$的一致結構或一致性，其元素稱為周圍（法語 entourage：鄰居或周圍），而集合$\{(x,x)|x \in X\}$記為$\Delta$，稱為對角。

若忽略最後一項公理，則稱此空間為準一致空間。

通常寫 Ux={y : (x,y)∈U}。在圖形上，典型的周圍被繪製為圍繞「y=x」對角的斑點；Ux 們則為縱截面。如果 (x,y) ∈ U，則可以說 x 和 y 是「U-鄰近」的。類似的，如果在 X 的子集 A 中的所有成對的點都是 U-鄰近的（就是說如果 A × A 被包含在 U 中），則 A 被稱為「U-小」的。周圍U 是對稱的，若(y,x) ∈ U 蘊涵(x,y) ∈ U。第一個公理表示，在每個周圍U而言，每一點都會U-鄰近於自身。第三個公理保證「同時U-鄰近且V-鄰近」也是一致性中的一種鄰近關係。第四個公理表示，對每個周圍U，都存在一個「一半大小」的周圍V。最後的公理表示，一致結構上的「鄰近性」本質上是對稱的。

一致性$\Phi$的基礎周圍系統是指任一個由Φ 的周圍所組成的集合B，其中Ф 的每一個周圍皆包含一個屬於B 的集合。因此，依據第二個公理，基礎周圍系統B 能無歧義地規範出一致性Φ 來：Φ 為由$X \times X$ 中包含一個屬於B 的集合的子集所組成的集合。每個一致空間都有個由對稱周圍所組成的基礎周圍系統。

對一致性的正確直觀概念可由下面度量空間的例子中得知：設(X,d) 為一度量空間，集合

$U_a = \{(x,y)\in X\times X|d(x,y)\leq a\}$，其中的 $a>0 \,$

會形成一個基礎周圍系統，無歧義地規範出X 的標準一致結構來。然後，x 和y 稱之為Ua-鄰近的，若x 和y 之間距離最多為a。

設$\Phi$和$\Psi$都是定義在集合$X$上的一致性。若$\Phi \supseteq \Psi$，則稱一致性$\Phi$比一致性$\Psi$精細；或稱$\Psi$比$\Phi$粗糙。

### 間距定義

一致空間也可以使用間距（法語：écart）的系統來得到等價的定義。間距是一種廣義的偽度量，與一般的偽度量不同，它允許兩點間的間距為無窮。此種定義方式對泛函分析特別有用。更精確地說，設$f:X\times X\to[0, +\infty]$ 為集合$X$上的一間距，逆像$U_a=f^{-1}([0,a])$，其中的$a>0$，可證明這些集合形成了一個一致性的基礎周圍系統。由$U_a$所生成的一致性即是由單個間距$f$所定義的一致性。

設$f_i$為$X$上的一組間距，則由這組間距所定義的一致結構會是個別間距$f_i$所定義的一致結構的「最小上界」。這個一致性的基礎周圍系統可由從個別間距$f_i$所定義的一致性的周圍的「有限」交集所組成的集合來得出。若這組間距為「有限」的，可以證明可由單個間距定義出相同的一致結構來，而此一間距即稱為這組間距的「上包絡」$\sup f_i$。

較不直觀地，可證明有可數基礎周圍系統的一致結構（並因此特別為由一組可數的間距定義的一致性）也可由單個間距定義出來。可推論出，任何一個一致結構都可以如上述一般由一組（可能為不可數的）間距定義出來（參見 Bourbaki：《General Topology》 Chapter IX §1 no. 4）。

### 一致覆蓋定義

一致空間 (X,Θ) 是集合 X 配備顯著的「一致覆蓋」族 Θ，它來自 X 的覆蓋的集合，在按星號精緻排序的時候形成了濾子。你可以稱呼覆蓋 P 是覆蓋 Q 的星號精緻(refinement)寫為 P<*Q，如果對於所有 A∈P，有 U∈Q 使得如果 A∩B≠∅，B∈P，則 B⊆U。公理化可簡約為：

- {X} 是一致覆蓋。
- 如果 P<*Q 並且 P 是一致覆蓋，則 Q 也是一致覆蓋。
- 如果 P 並且 Q 是一致覆蓋，則有一致覆蓋 R 精緻 P 和 Q 二者。

給定一個點 x 和一致覆蓋 P，可以把包含 x 的 P 的成員的併集認為是 x 的大小 P 的典型鄰域，並且這個直覺度量一致的適用在這個空間之上。

給定在周圍意義上的一個一致空間，定義覆蓋 P 為一致的，如果存在某個周圍 U 使得對於每個 x∈X，有一個 A∈P 使得 Ux⊆A。這些一致覆蓋形成了第二種定義的一致空間。反過來說，給定在一致覆蓋意義上的一個一致空間， ∪{A×A : A∈P} 的超集，因為 P 取值於一致覆蓋上，是第一種定義的一致空間的周圍。此外，這兩個變換是互逆的。

## 一致空間的拓撲

所有一致空間 X 都可以變成拓撲空間，通過定義 X 的子集 O 為開集，若且唯若對於所有 O 中的 x 存在周圍 V 使得 Vx 是 O 的子集。在這個拓撲中，點 x 的鄰域濾子是 {Vx:V∈Φ}。這可以通過遞歸的使用「一半大」周圍的存在性來證明。相較於一般拓撲空間，一致結構的存在性使得比較鄰域大小成為可能：Vx 和 Vy 被認為是「一樣大」。

一致結構所定義的拓撲被稱為引發自一致性。在拓撲空間上一致結構兼容於這個拓撲，如果這個一致結構定義的拓撲同最初的拓撲相符合。一般的說有多個不同的一致結構可以兼容於在 X 上的給定拓撲。

### 可一致化空間

拓撲空間被稱為可一致化的，如果一致結構兼容於這個拓撲。

所有可一致化空間是完全正則拓撲空間。此外，對於可一致化空間 X 下列等價：

- X 是柯爾莫果洛夫空間
- X 是豪斯多夫空間
- X 是吉洪諾夫空間
- 對於任何兼容的一致結構，所有周圍的交集是對角 {(x, x) : x ∈ X}。

可一致化空間的拓撲總是對稱拓撲；就是說這個空間是 R0 空間。

反過來說，每個完全正則空間都是可一致化的。兼容於完全正則空間 X 的拓撲的一個一致性可以定義為最粗糙一致性，它使得所有 X 上的連續實數值函數為一致連續。這個一致性的基礎周圍系統提供為集合 (f × f)-1(V) 的所有有限交集，這裡的 f 是 X 上的連續實數值函數而 V 是一致空間 R 的周圍。這個一致性定義了一個拓撲，它明顯的粗糙於 X 的最初拓撲；並且它還精細於最初的拓撲（因此與它相符合）是完全正則性的簡單推論：對於任何 x ∈ X 和 x 的鄰域 V，有連續實數值函數 f 有著 f(x)=0 並對於 V 的補集中的點等於 1。

特別是，緊緻豪斯多夫空間是可一致化的。事實上，對於緊緻豪斯多夫空間 X 在 X × X 中對角的所有鄰域的集合形成了唯一的兼容於這個拓撲的一致性。

豪斯多夫一致空間是可度量空間，如果它的一致性可以定義自為可數的偽度量族。實際上，如在上面偽度量定義中討論的，這種一致性可以定義自單一的偽度量，如果這個空間是豪斯多夫的，則它必然是度量。特別是，如果向量空間的拓撲是豪斯多夫的並且可定義自可數的半範數族，則它是可度量的。

## 一致連續

類似於在拓撲空間之間保持拓撲性質的連續函數，在一致空間之間的一致連續函數保持一致性質。帶有一致映射的一致空間形成了範疇。在一致空間之間的同構叫做一致同構。

一致連續函數被定義為其周圍的逆像還是周圍的函數，或等價的說，一致覆蓋的逆像還是一致覆蓋的函數。

所有一致連續函數都關於引發的拓撲是連續的。

## 完備性

推廣完備度量空間的概念，你也可以定義一致空間的完備性。替代柯西序列，轉而使用柯西濾子（或柯西網）。

在一致空間 X 上的柯西濾子 F 是濾子 F 使得對於所有周圍 U，存在 A∈F 有著 A×A ⊆ U。換句話說，一個濾子是柯西濾子，如果它包含「任意小」集合。可從定義中得出每個（關於這個一直結構定義的拓撲）收斂的濾子都是柯西濾子。柯西濾子叫做「極小」的，如果不包含更小（就是更粗）的柯西濾子（除了自己）。可以證明所有柯西濾子包含一個唯一的「極小柯西濾子」。每個點的鄰域濾子（由這個點的所有鄰域構成的濾子）是極小柯西濾子。

反過來說，一致空間稱為完備的，如果所有柯西濾子收斂。任何緊緻豪斯多夫空間都是關於兼容於這個拓撲的一致結構的完備一致空間。

完備一致空間享有如下重要性質：如果 f: A → Y 是從一致空間 X 的稠密子集 A 到完備一致空間 Y 的一致連續函數，則 f 可以擴張（唯一的）成在整體 X 上的一致連續函數。

### 一致空間的豪斯多夫完全

如同度量空間，所有一致空間 X 都豪斯多夫完全：就是說存在一個完備豪斯多夫一致空間 Y 和一致連續映射 i: X → Y 帶有如下性質：

對於任何從 X 到完備豪斯多夫一致空間 Z 的一致連續映射 f，存在一個唯一的一致連續映射 g: Y → Z 使得 f = gi。

豪斯多夫完全 Y 是唯一的（不別同構之異）。作為一個集合 Y 可以選取為由 X 上的極小柯西濾子組成。作為每個 X 中點 x 的鄰域濾子 B(x)，映射 i 可以被定義為把 x 映射到 B(x)。如此定義的映射 i 一般不是單射；事實上，等價關係 i(x) = i(x ') 的圖象是 X 的所有周圍的交集，因此 i 是單射正好在 X 是豪斯多夫空間的時候。

在 Y 上的一致結構定義如下：對於每個對稱周圍 V（就是說使得 (x,y) 在 V 中正好在 (y,x) 在 V 的時候），設 C(V) 是「至少共有一個 V-小集合」的所有極小柯西濾子的對 (F,G) 的集合。集合 C(V) 可以被證實形成了基礎周圍系統；如此就定義了配備了這個一致結構的 Y。

集合 i(X) 因此是 Y 的稠密子集。如果 X 是豪斯多夫空間，則 i 是到 i(X) 的同構，因此 X 可用它的完全的稠密子集來識別。此外，i(X) 總是豪斯多夫的；它叫做關聯於 X 的豪斯多夫一致空間。如果 R 指示等價關係 i(x) = i(x ')，則商空間 X/R 同胚於 i(X)。

## 例子

- 所有度量空間 (M, d) 都可被當作一致空間。實際上因為度量是當然的偽度量，上文的偽度量定義給出了 M 的一致結構。這個一致性的基礎周圍系統提供自集合 $\qquad U_a = d^{-1} ([0,a]) = \{(m,n)\in M\times M|d(m,n)\leq a\}$。這個 M 的一致結構生成了在 M 上的正常度量空間拓撲。但是，不同的度量空間可以有相同的一致結構（平凡的例子可通過度量的常數提供）。這個一致結構還生成一致連續和度量空間的完備性的等價定義。
- 使用度量，可以構造有相符合拓撲的不同一致結構的簡單例子。例如，設 d1(x,y) = | x − y | 是在 R 上的正常度量，並設 d2(x,y) = | ex − ey |。則這兩個度量都引發在 R 上的正常拓撲，但是一致結構是不同的，因為 { (x,y) : | x − y | < 1 } 是 d1 的一致結構的周圍但不是 d2 的。非正式的，這個例子可以被看作選取正常的一致性並通過連續但非一致連續函數的作用扭曲它。
- 所有拓撲群 G（特別是所有拓撲向量空間）成為一致空間，如果我們定義 G × G 的子集 V 是周圍，若且唯若它包含集合 { (x, y) : x⋅y−1 ∈ U } 對於 G 的單位元的某個鄰域 U。這個 G 上的一致結構叫做在 G 上的右一致性，因為對於所有 G 中的 a，右乘法 x → x⋅a 是關於這個一致結構一致連續的。你還可以定義 G 上的左一致性；它們兩個不需要相符合，但是它們都生成在 G 上的給定拓撲。

## 歷史

在安德烈·韋伊於1937年首次給出一致結構的明確定義之前，一致概念如完備性被使用度量空間討論。尼古拉·布爾巴基在書《Topologie Général》中提供了依據周圍的一致結構定義，而 John Tukey 給出了一致覆蓋定義。韋伊還依據偽度量族來刻畫一致空間。

## 引用

- Nicolas Bourbaki，General Topology (Topologie Générale), ISBN 0-387-19374-X (Ch. 1-4), ISBN 0-387-19372-3 (Ch. 5-10): Chapter II is a comprehensive reference of uniform structures, Chapter IX § 1 covers pseudometrics, and Chapter III § 3 covers uniform structures on topological groups
- J. R. Isbell, Uniform Spaces ISBN 0-8218-1512-1
- I. M. James, Introduction to Uniform Spaces ISBN 0-521-38620-9
- I. M. James, Topological and Uniform Spaces ISBN 0-387-96466-5
- John Tukey，Convergence and Uniformity in Topology; ISBN 0-691-09568-X
- André Weil，Sur les espaces a structure uniforme et sur la topologie generale, Act. Sci. Ind. 551, Paris, 1937