奇點解消

在代數幾何學中，奇點解消問題探討代數簇是否有非奇異的模型（即：與之雙有理等價的非奇異代數簇）。在特徵為零的域上，廣中平祐已給出肯定答案，至於正特徵的域，四維以上的情形至今（2007年）未解。

## 定義

對於一個域 $k$ 上的代數簇 $X$，若能找到一個完備非奇異代數簇與之雙有理等價（換言之：有相同的函數域），則稱 $X$ 有弱奇點解消。在實踐上常會要求更容易運用的條件：若存在非奇異代數簇 $X'$ 及真雙有理態射 $X' \to X$，使之在 $X$ 的奇點集 $\mathrm{Sing}(X)$ 之外為同構，則稱 $X$ 有奇點解消。真態射的條件意在排除平凡解，例如 $X' = X \setminus \mathrm{Sing}(X) \hookrightarrow X$。

一般而言，設 $X \hookrightarrow W$，其中 $W$ 是非奇異代數簇，此時一個實用的概念是 $X$ 在 $W$ 中的強奇點解消：這是一個真雙有理態射 $f: W' \to W$，滿足下述條件：

- $W' \to W$ 由一系列對非奇異閉子簇的拉開合成，每一步取的閉子簇都橫截已拉開的例外除數。
- $X$ 的嚴格變換 $X'$ 是非奇異的，並與橫截拉開的例外除數；於是限制態射 $X' \to X$ 是 $X$ 的奇點解消。
- $W'$ 的構造對平滑態射具函子性。
- 態射 $X' \to X$ 與 $X$ 在 $W$ 中的嵌入方式無關。

廣中平祐證明了：當域 $k$ 的特徵為零，則存在滿足前兩個條件的強奇點解消。他的建構後經多位數學家改進，以滿足全部四個條件。

## 簡史

代數曲線的奇點解消較容易，在19世紀已廣為人知。證明方法不一：最常見的兩種是相繼拉開奇點，或取曲線的正規化。正規化消解的是所有餘維度為一的奇點，因此僅適用於曲線。

複代數曲面的奇點解消先後由 Beppo Levi（1899年）、O. Chisini（1921年）與 G. Albanese（1924年）給出非正式的說明。第一個嚴謹證明由 Robert J. Walker 於1935年給出。對所有零特徵域均成立的代數證明由扎裡斯基於1939年給出。S. S. Abhyankar 證明正特徵域上的情形（1956年）。所有二維優概形（包括所有算術曲面）的奇點解消由 Lipman 在1978年證出。

消解曲面奇點的通常辦法是不斷將曲面正規化（以消去餘維為一的奇點）並拉開奇點（以改善餘維為二的奇點，但是可能會增加新的餘維一的奇點）。

對於三維情形，零特徵域上首先由扎裡斯基證明（1944年）；域特徵超過 5 的情形由 S. S. Abhyankar 於1966年證明。

零特徵域上任意維度的奇點消解首先由廣中平祐於1964年證出。他證明可以藉著相繼對非奇異閉子流形作拉開以消去奇點，其證明中對維度作了相當複雜的數學歸納法。簡化版的證明之後由許多數學家給出，包括 Bierstone 與 Milman（1997年），Encinas 與 Villamayor（1998年），Encinas 與 Hauser（2002年）、Cutkosky（2004年），Wlodarczyk（2005年）及 Kollar（2007年）。某些晚近證明的長度還不及廣中平祐證明的十分之一，並簡單到可以在研究所導論課程中給出。關於該定理的介紹，詳閱文獻中 Hauser 的著作（2003），歷史討論請見 Hauser（2000）。

A. J. de Jong 在1996年提出奇點解消的另種進路，這套進路被 Bogomolov 與 Pantev（1996年）及 Abramovich 與 de Jong（1997年）用於證明零特徵域上的奇點解消。De Jong 的方法對正特徵域上的代數簇給出較弱的結果，然而已足以替代奇點解消的許多角色。

De Jong 證明對任意域上的代數簇 $X$，存在滿的真態射 $X' \to X$，使得 $\dim X' = \dim X$ 且 $X'$ 非奇異。這不一定是雙有理等價，$X'$ 的函數域可能是有限擴張，故非奇點解消。De Jong 的想法是嘗試將 $X$ 表為一個較小空間 $Y$ 上的纖維化映射，使得纖維均為曲線（為此可能需要修改 $X$），然後藉著對維度作數學歸納法消去 $Y$ 的奇點，最後消去纖維上的奇點。

## 概形的情形

奇點解消的定義容易推廣到所有概形。並非所有概形都有奇點解消：格羅滕迪克（1965, EGA IV 7.9）證明了如果在一個局部諾特概形 $X$ 上有限的所有整概形都有奇點解消，則 $X$ 必然是擬優概形。格羅滕迪克猜測其逆為真，換言之：如果一個局部諾特概形 $X$ 是擬優且既約的，則可以消解奇點。當 $X$ 定義於一個零特徵的域上時，此陳述能由廣中平祐的定理導出；一般情形則化約到整完備局部環的奇點解消問題。

## 外部連結

- 一些奇點及其解消之 圖片
- SINGULAR: 一套能處理奇點解消的軟體
- 2006年6月的暑期學校 Resolution of Singularities (Trieste, Italy) 的 講義
- desing 另一套處理奇點解消的軟體

## 文獻

- Abhyankar, Shreeram Local uniformization on algebraic surfaces over ground fields of characteristic p≠0 Ann. of Math. (2) 63 (1956), 491--526.
- S.S. Abhyankar, Resolution of singularities of embedded algebraic surfaces , Acad. Press (1966), second edition (1998) ISBN 3540637192
- Abramovich, D., de Jong, A. J., Smoothness, semistability, and toroidal geometry. J. Algebraic Geom. 6 (1997), no. 4, 789-801.
- G. Albanese, Transformazione birazionale di una superficie algebrica in un altra priva di punti multiple, Rend. Circ. Mat. Palermo 48 (1924).
- Bierstone, Edward, Milman, Pierre D. Canonical desingularization in characteristic zero by blowing up the maximum strata of a local invariant. Invent. Math. 128 (1997), no. 2, 207-302.
- Bogomolov, Fedor A., Pantev, Tony G. Weak Hironaka theorem. Math. Res. Lett. 3 (1996), no. 3, 299-307.
- O. Chisini, La risoluzione delle singolarita di una superficie, Mem. Acad. Bologna, 8 (1921).
- Steven Dale Cutkosky Resolution of Singularities (2004) ISBN 0821835556
- de Jong, A. J. Smoothness, semi-stability and alterations. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 83 (1996), 51-93.
- Encinas, S. Hauser, Herwig Strong resolution of singularities in characteristic zero. Comment. Math. Helv. 77 (2002), no. 4, 821--845.
- Encinas, S., Villamayor, O., Good points and constructive resolution of singularities. Acta Math. 181 (1998), no. 1, 109--158.
- A. Grothendieck, J. Dieudonne, Eléments de géométrie algébrique Publ. Math. IHES, 24 (1965)
- Hauser, Herwig (2000) Resolution of singularities 1860-1999. In Resolution of singularities (Obergurgl, 1997), 5-36, Progr. Math., 181, Birkhäuser, Basel, 2000. ISBN 0817661786
- Hauser, Herwig (2003) The Hironaka theorem on resolution of singularities (or: A proof we always wanted to understand). Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 40 (2003), no. 3, 323-403
- Hironaka, Heisuke Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero. I, II. Ann. of Math. (2) 79 (1964), 109-203; ibid. (2) 79 1964 205-326.
- Janos Kollar Lectures on Resolution of Singularities (2007) ISBN 0691129231 (similar to his Resolution of Singularities -- Seattle Lecture.
- B. Levi, Risoluzione delle singolarita puntualli delle superficie algebriche, Atti. Acad. Torino, 34 (1899).
- J. Lipman, Desingularization of two-dimensional schemes, Ann. Math. 107 (1978) 151-207.
- Robert J. Walker, Reduction of the Singularities of an Algebraic Surface The Annals of Mathematics 2nd Ser., Vol. 36, No. 2 (Apr., 1935), pp. 336-365
- Wlodarczyk, Jaroslaw Simple Hironaka resolution in characteristic zero. J. Amer. Math. Soc. 18 (2005), no. 4, 779-822
- Zariski, Oscar The reduction of the singularities of an algebraic surface. Ann. of Math. (2) 40, (1939). 639-689.
- Zariski, Oscar Reduction of the singularities of algebraic three dimensional varieties. Ann. of Math. (2) 45, (1944). 472-542.