動量算符

在量子力學裏，動量算符（momentum operator）是一種算符，可以用來計算一個或多個粒子的動量。對於一個不帶電荷、沒有自旋的粒子，作用於波函數 $\psi(x)\,\!$ 的動量算符可以寫為

$\hat{p}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\,\!$。

其中，$\hat{p}\,\!$ 是動量算符，$\hbar\,\!$ 是約化普朗克常數，$i\,\!$ 是虛數單位，$x\,\!$ 是位置。

給予一個粒子的波函數 $\psi(x)\,\!$，這粒子的動量期望值為

$\langle p\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^*(x)\hat{p}\psi(x)\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^*(x)\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\psi(x)\ dx\,\!$。

其中，$p\,\!$ 是動量。

## 導引 1

對於一個非相對論性的自由粒子，位勢 $V(x)=0\,\!$，不含時薛丁格方程式表達為

$- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \ \psi(x)=E \psi(x)\,\!$。

其中，$\hbar\,\!$ 是約化普朗克常數，$m\,\!$ 是粒子的質量，$\psi(x)\,\!$ 是粒子的波函數，$x\,\!$ 是粒子的位置，$E\,\!$ 是粒子的能量。

這薛丁格方程式的解答 $\psi_k(x)\,\!$ 是一個平面波：

$\psi_k(x)= e^{ikx}\,\!$。

其中，$k\,\!$ 是波數，$k^2=2mE/\hbar^2\,\!$。

根據德布羅意假說，自由粒子所表現的物質波，其波數與自由粒子動量的關係是

$p=\hbar k\,\!$。

自由粒子具有明確的動量 $p\,\!$，給予一個系綜許多相同的自由粒子系統。每一個自由粒子系統的量子態都一樣。標記粒子的動量算符為 $\hat{p}\,\!$。假若，對於這系綜內，每一個自由粒子系統的動量所作的測量，都得到同樣的測量值 $p\,\!$，那麼，不確定性 $\sigma_{p}=0\,\!$，這自由粒子的量子態是確定態，是 $\hat{p}\,\!$ 的本徵態，在位置空間(position space)裏，本徵函數為 $\psi_k\,\!$，本徵值為 $p\,\!$：

$\hat{p}\psi_k(x)=p\psi_k(x)\,\!$。

換句話說，在位置空間裏，動量算符的本徵函數必須是自由粒子的波函數 $\psi_k(x)\,\!$。

為了要達到此目標，勢必要令

$\hat{p}\psi_k(x)=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\psi_k(x)=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} e^{ikx}=\hbar ke^{ikx}=p\psi_k(x)\,\!$。

所以，可以認定動量算符的形式為

$\hat{p}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\,\!$。

## 導引 2

在古典力學裏，動量是質量乘以速度：

$p=mv=m\frac{dx}{dt}\,\!$。

在量子力學裏，由於粒子的位置不是明確的，而是機率性的。所以，猜想這句話是以期望值的方式來實現：

$\langle p\rangle= m\frac{d}{dt}\langle x\rangle\,\!$。

那麼，用積分方程式來表達。

$\langle p\rangle= m\frac{d}{dt}\int_{ - \infty}^{\infty}\ \Psi^*(x,\,t)x\Psi(x,\,t)\ dx\,\!$。

其中，$\Psi(x,\,t)\,\!$ 是波函數。

取微分於積分號下。

$\langle p\rangle=m \int_{ - \infty}^{\infty}\ \left( \frac{\partial \Psi^*}{\partial t}x\Psi +\Psi^*\frac{\partial x}{\partial t}\Psi+\Psi^*x\frac{\partial \Psi}{\partial t} \right) dx\,\!$。

由於 $x\,\!$ 只是一個位置的統計參數，不跟時間有關。

$\langle p\rangle=m \int_{ - \infty}^{\infty}\ \left( \frac{\partial \Psi^*}{\partial t}x\Psi +\Psi^*x\frac{\partial \Psi}{\partial t} \right) dx\,\!$。(1)

含時薛丁格方程式為

$i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}= - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}+V\Psi\,\!$。

其中， $V\,\!$ 是位勢。

其共軛複數為

$i\hbar\frac{\partial \Psi^*}{\partial t}=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi^*}{\partial x^2} - V\Psi^*\,\!$。

將上述兩個方程式代入方程式 (1)，可以得到

$\begin{align}\langle p\rangle & = \frac{m}{i\hbar} \int_{ - \infty}^{\infty}\ \left( \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi^*}{\partial x^2}x\Psi - V\Psi^*x\Psi <pre> - \frac{\hbar^2}{2m}\Psi^*x\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}+\Psi^*xV\Psi \right) dx \\ & =\frac{\hbar}{i2} \int_{ - \infty}^{\infty}\ \left( \frac{\partial^2 \Psi^*}{\partial x^2}x\Psi - \Psi^*x\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} \right) dx \\ </pre> \end{align}\,\!$。

使用分部積分法，並利用當x趨於無窮大時波函數$\Psi\,\!$趨於零的特性，有

$\int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial^2 \Psi^*}{\partial x^2}x\Psi\ dx= - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\Psi\ dx - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}x\frac{\partial \Psi}{\partial x}\ dx \,\!$，(2)

$\int_{ - \infty}^{\infty}\ \Psi^* x\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}\ dx= - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \Psi^*\frac{\partial \Psi}{\partial x}\ dx - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}x\frac{\partial \Psi}{\partial x}\ dx \,\!$。(3)

方程式 (2) 與 (3) 的減差（使用分部積分法，並利用當x趨於無窮大時波函數$\Psi\,\!$趨於零的特性）

$(2) - (3)=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \left( - \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\Psi+\Psi^*\frac{\partial \Psi}{\partial x} \right) dx=2\int_{ - \infty}^{\infty}\ \Psi^*\frac{\partial \Psi}{\partial x}\ dx\,\!$。

所以。

$\langle p\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \Psi^*\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}\Psi\ dx\,\!$。

對於任意波函數 $\Psi\,\!$，這方程式都成立。因此，可以認定動量算符 $\hat{p}\,\!$ 為 $\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\,\!$。

## 厄米算符

由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以，可觀察量 $O\,\!$ 的期望值是實值的：

$\langle O\rangle=\langle O\rangle^*\,\!$。

對於任意量子態 $|\psi\rangle\,\!$，這關係都成立：

$\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle=\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle^*\,\!$。

根據伴隨算符的定義，假設 $\hat{O}^{\dagger}\,\!$ 是 $\hat{O}\,\!$ 的伴隨算符，則 $\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle^*=\langle\psi |\hat{O}^{\dagger}|\psi\rangle\,\!$。因此。

$\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}\,\!$。

這正是厄米算符的定義。所以，表示可觀察量的算符 $\hat{O}\,\!$，都是厄米算符。

動量是一個可觀察量，動量算符應該也是厄米算符：選擇位置空間，量子態 $|\psi\rangle\,\!$ 的波函數為 $\psi(x)\,\!$。

$\begin{align} \langle\psi|\hat{p}|\psi\rangle & =\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^*\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial x}\ dx=\left. \frac{\hbar}{i}\psi^*\psi\right|_{ - \infty}^{\infty} - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi^*}{\partial x}\right)\psi\ dx \\ & =\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi\left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\psi\right)^* \ dx =\langle\psi|\hat{p}|\psi\rangle^*=\langle\psi|\hat{p}^{\dagger}|\psi\rangle \\ \end{align}$。

對於任意量子態 $|\psi\rangle\,\!$，$\hat{p}=\hat{p}^{\dagger}\,\!$。所以，動量算符確實是一個厄米算符。

## 本徵值與本徵函數

假設，動量算符 $\hat{p}\,\!$ 的本徵值為 $p\,\!$ 的本徵函數是 $f_p(x)\,\!$：

$\hat{p}f_p(x)=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial f_p(x)}{\partial x}=p f_p(x)\,\!$。

這方程式的一般解為。

$f_p(x)=f_0 e^{ipx/\hbar}\,\!$。

其中，$f_0\,\!$ 是常數。

假設 $f_p(x)\,\!$ 的定義域是一個有限空間，從 $x= - L\,\!$ 到 $x=L\,\!$，那麼，可以將 $f_p(x)\,\!$ 歸一化：

$\int_{ - L}^{L}\ f_p^*(x)f_p(x)\ dx=|f_0|^2 \int_{ - L}^{L}\ dx=|f_0|^2 2L=1\,\!$。

$f_0\,\!$ 的值是 $1/\sqrt{2L}\,\!$。動量算符的本徵函數歸一化為 $f_p(x)=\frac{1}{\sqrt{2L}} e^{ipx/\hbar}\,\!$。

假設 $f_p(x)\,\!$ 的定義域是無窮大空間，則 $f_p(x)\,\!$ 不是一個平方可積函數：

$\int_{ - \infty}^{\infty}\ f_p^*(x)f_p(x)\ dx=|f_0|^2 \int_{ - \infty}^{\infty}\ dx=\infty\,\!$。

動量算符的本徵函數不存在於希爾伯特空間內，不能直接地積分 $|f_p(x)|^2\,\!$ 於無窮大空間，來使 $f_p(x)\,\!$ 歸一化。

換另一種方法，設定 $f_0=1/ \sqrt{2\pi\hbar}\,\!$。那麼。

$\int_{ - \infty}^{\infty}\ f_{p1}^*(x)f_{p2}(x)\ dx=\frac{1}{2\pi\hbar}\int_{ - \infty}^{\infty}e^{ - i(p1-p2)x/\hbar}\ dx=\delta(p1-p2)\,\!$。

其中，$\delta(p1-p2)\,\!$ 是狄拉克δ函數。

這性質不是普通的正交歸一性。稱這性質為狄拉克正交歸一性。因為這性質，動量算符的本徵函數是完備的。也就是說，任意波函數 $\psi(x)\,\!$ 都可以表達為本徵函數的線性組合：

$\psi(x)=\int_{ - \infty}^{\infty}c(p) f_p(x)\ dp=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{ - \infty}^{\infty}c(p) e^{ipx/\hbar}\ dp\,\!$。

其中，係數 $c(p)\,\!$ 是

$c(p)=\int_{ - \infty}^{\infty}f_p^*(x)\psi(x)\ dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{ - \infty}^{\infty}\psi(x) e^{ - ipx/\hbar}\ dx\,\!$。

## 正則對易關係

位置算符與動量算符的交換算符，當作用於一個波函數時，有一個簡單的結果：

$[\hat{x},\ \hat{p}]\psi=(\hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x})\psi=x\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial x} - \frac{\hbar}{i}\frac{\partial (x\psi)}{\partial x}=i\hbar\psi\,\!$。

所以，$[\hat{x},\ \hat{p}]=i\hbar\,\!$。這關係稱為位置算符與動量算符的正則對易關係。由於兩者的正則對易關係不等於 0，位置與動量彼此是不相容可觀察量。$\hat{x}\,\!$ 與 $\hat{p}\,\!$ 絕對不會有共同的基底量子態。一般而言，$\hat{x}\,\!$ 的本徵態與 $\hat{p}\,\!$ 的本徵態不同。

根據不確定性原理。

$\Delta A\ \Delta B \ge \left|\frac{\langle[ A,\ B]\rangle}{2i}\right| \,\!$。

由於 $x\,\!$ 與 $p\,\!$ 是兩個不相容可觀察量，$\left|\frac{\langle[\hat{x},\ \hat{p}]\rangle}{2i}\right| =\hbar/2\,\!$。所以，$x\,\!$ 的不確定性與 $p\,\!$ 的不確定性的乘積 $\Delta x\ \Delta p \,\!$，必定大於或等於 $\hbar/2\,\!$。