無量綱量

在量綱分析中，無量綱量（dimensionless quantity）又稱無量綱量、量綱為一的量（quantity of dimension one），指的是沒有量綱的量。它是個單純的數字，量綱為1。必須注意的是：無量綱量雖然沒有量綱，但是可能被賦予一個習慣性計數單位，但絕對不會有國際單位制的基本單位。例如：摩爾當量是無量綱量，在習慣上用 Eq 作計數單位。

無量綱量在數學、物理學、工程學、經濟學以及日常生活中（如數數）被廣泛使用。一些廣為人知的無量綱量包括圓周率（π）、歐拉常數（e）和黃金分割率（φ）等。與之相對的是有量綱量，擁有諸如長度、面積、時間等單位。

無量綱量常寫作兩個有量綱量之積或比，但其最終的綱量互相消除後會得出無量綱量。比如，應變是量度形變的量，定義為長度差與原先長度之比。但由於兩者的量綱均為L（長度），因此相除後得出的量是沒有量綱的。

## 屬性

- 雖然無量綱量本身沒有量綱，但是它也有時被加以無量綱的單位。在分子和分母使用同樣的單位（kg/kg或mol/mol），有時可以幫助表達所測量的數值（如質量百分濃度或摩爾分數等）。某些量還可以表示為不同的單位之比，但這兩個單位的量綱相同（如光年除以米）。這種做法可以用於計算圖表中的斜率，或者進行單位轉換。這樣的寫法並不意味著存在量綱，而只不過是符號表達上的慣例。其他常用的無量綱量有：%=0.01，百分比；‰=0.001，千分比；ppm=10−6，百萬分比；ppb=10−9，十億分比；ppt=10−12，兆分比（萬億分比）以及角單位（度、弧度、百分度）等等。
- 兩個具有相同量綱之比是沒有量綱的，而且無論用甚麼單位計算，該量還是不變的。例如，如果物體A對物體B施大小為F的作用力，那B也會向A施大小為f的力。兩個力的比率F/f永遠等於1（見牛頓第三定律），而不取決於測量F和f所用的單位。這是因為物理中一個重要的假設：物理定律是獨立於人們選用的單位制的。如果以上的F/f不經常等於1，而在我們從國際單位制轉用厘米-克-秒制時改變了的話，這就意味著牛頓第三定律的真偽要看我們選取哪一種單位制，而這就與假設矛盾了。這一假設是白金漢π定理的基礎，其表述為：所有物理定律均能以數個無量綱量的數學組合（加、減、乘、除等等）寫成恆等式。如果無量綱量組合後的值在替換所用單位制後改變了的話，那麼白金漢π定理就不成立了。

## 白金漢π定理

白金漢π定理的另一項推論為，如果n個變數之間有某種函數關係，而這些變數中有k個獨立的量綱，則可以產生p = n − k個獨立的無量綱量。

### 例子

某磁力攪拌器的電功率是被攪拌液體的密度和黏度、攪拌器的直徑及攪拌速度的函數。因此這裡共有n = 5個變量

這n = 5個變量共由以下k = 3個量綱組成：

- 長度：L (m)
- 時間：T (s)
- 質量：M (kg)

根據該定理，通過組合這n = 5個變量，可以得出p = n − k = 5 − 3 = 2個獨立的無量綱量。此例中的這兩個無量綱量分別為：

- 雷諾數（描述流體流動的無量綱量）
- 功率數（描述攪拌器，同時包含流體密度的無量綱量）

## 例子

- 在10個蘋果中，有1個是壞了的。總蘋果數中壞蘋果的比例為1個蘋果/10個蘋果= 0.1 = 10%，這是個無量綱量。
- 角：角的定義為，以圓心為頂點劃出的弧的長度除以某另一長度。這個比率由長度除以長度所得，因此是個無量綱量。當所用的（無量綱）單位為弧度時，那個「另一長度」就是圓的半徑。當單位為角度時，「另一長度」就是圓周長的360分之1。
- 圓周率是個無量綱量，定義為圓周長與直徑之比。該數值無論在用甚麼單位量度這些長度時（厘米、英里、光年等等）都會是相同的，只要周長和直徑以同樣的單位量度。

## 無量綱量列表

下表中所有的量均為無量綱量：

名稱｜標準符號｜定義｜應用範疇

阿貝數｜V｜$V = \frac{ n_d - 1 }{ n_F - n_C }$｜光學（光的色散）

活度系數｜γ｜$\gamma= \frac {{a}}{{x}}$｜化學（活躍分子或原子佔總數之比）

反照率｜$\alpha$｜${\alpha}= (1-D) \bar \alpha(\theta_i) + D \bar{ \bar \alpha}$｜氣候學、天文學

勞侖茲因子｜$\gamma$｜$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} } } = \frac{1}{\sqrt{1- \beta^2} }$｜相對論

阿基米德數｜Ar｜$Ar = \frac{g L^3 \rho_\ell (\rho - \rho_\ell)}{\mu^2}$｜密度差造成的流體運動

阿倫尼烏斯數｜$\alpha$｜活化能與熱能之比

相對原子質量｜M｜化學

伯格諾德數｜Ba｜$Ba = \frac{\rho d^2 \lambda^{1/2} \gamma}{\mu}$｜固體塊的流動（如米粒或沙子）

比贊數（熱力學）｜Be｜$Be = \frac {\dot S'_{gen, \Delta T}} {\dot S'_{gen, \Delta T}+ \dot S'_{gen, \Delta p}}$｜熱傳導不可逆性與由於熱傳導和流體阻力的總不可逆性之比

比贊數（流體力學）｜Be｜$Be = \frac{\Delta P . L^2} {\mu \alpha}$｜沿著通道的壓力差

賓漢數｜Bm｜$Bm = \frac{ \tau_yL }{ \mu V }$｜屈服應力與黏滯應力之比

畢奧數｜Bi｜$Bi = \frac{h L_C}{\ k_b}$｜固體的表面傳導率與體積傳導率之比

布萊克數｜Bl或B｜$B = \frac{V \rho}{\mu ( 1-\epsilon) D}$｜流體穿過多孔介質時慣性相對黏滯力的重要性

博登斯坦數｜Bo｜$Bo = Re\cdot Sc = vL/\mathcal{D}$｜停留時間的分佈

邦德數｜Bo｜$Bo = \frac{\rho a L^2}{\gamma}$｜由浮力推動的毛細作用

布林克曼數｜Br｜$Br = \frac {\mu U^2}{\kappa(T_w-T_0)}$｜從容器壁到黏性流體的熱傳導

Brownell-Katz數｜毛細管數和邦德數的組合

毛細管數｜Ca｜受表面張力影響的流體流動

錢德拉塞卡數｜$\ Q$｜${Q}\ =\ \frac{{B_0}^2 d^2}{\mu_0 \rho \nu \lambda}$｜磁對流，用以表達洛倫茲力與黏度之比

靜摩擦係數｜$\mu_s$｜物體間的靜摩擦

動摩擦係數｜$\mu_k$｜物體互相滑動時的摩擦

柯爾伯恩j因數｜熱傳導的無量綱係數

庫朗數｜$\nu$｜雙曲型偏微分方程之解

達姆科勒數｜Da｜$Da = k \tau$｜反應時間與共振時間之比

阻尼比｜$\zeta$｜$\zeta = \frac{c}{2 \sqrt{km}}$｜系統中阻尼的程度

達西阻力係數｜$C_f$或$f$｜流體流動

狄恩數｜D｜$\mathit{D} = \frac{\rho V\! d}{\mu} \left( \frac{d/2}{R} \right)^{1/2}$｜彎曲管道中的流體渦

底波拉數｜De｜$\mathrm{De} = \frac{t_\mathrm{c}}{t_\mathrm{p}}$｜粘彈性流體的流動學

分貝｜dB｜兩個強度之比，通常用於聲音

阻力系數｜$C_d$｜流動阻力

Dukhin數｜Du｜異質系統中表面電導率與體積電導率之比

歐拉常數｜e｜數學

埃克特數｜Ec｜熱對流傳導

埃克曼數｜Ek｜地球物理學（黏質阻力）

彈性｜E｜$E_{x,y} = \left | \frac{\Delta y / y}{\Delta x / x} \right | = \left | \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \frac{x}{y} \right |= \left | \frac{dy}{dx} \cdot \frac{x}{y} \right |$｜經濟學，常用於量度供給和需求如何受價格變化的影響

厄特沃什數｜Eo｜判斷汽泡或液滴形狀

埃里克森數｜Er｜液晶流動特性

歐拉數 (物理學)｜Eu｜流體動力學（壓力與慣性力之比）

過量溫度係數｜Θr｜$\Theta_r = \frac{T-T_e}{U_e^2/(2c_p)}$｜熱力學與流體動力學

范寧摩擦係數｜f｜管道中的流體流動

費根鮑姆常數｜$\alpha, \delta$｜混沌理論（週期倍增）

精細結構常數｜$\alpha$｜$\alpha = \frac{e^2}{2\varepsilon_0 hc}$｜量子電動力學

焦比｜$f$｜光學、攝影

Foppl-von Karman數｜薄殼失穩

傅立葉數｜Fo｜熱傳導

菲涅耳數｜F｜$F\ \stackrel{def}{=}\ \frac{a^{2}}{L \lambda}$｜狹縫衍射

福祿數｜Fr｜$Fr = \frac{V}{\sqrt{g\ell}}$｜波和表面行為

增益｜電子學（信號輸出與信號輸入之比）

速比｜單車傳動

伽利萊數｜Ga｜$\mathrm{Ga} =Re^2Ri= \frac{g\, L^3}{\nu^2}$｜引力造成的黏質流動

黃金分割比｜$\varphi$｜數學、美學

格雷茨數｜Gz｜熱流

格拉斯霍夫數｜Gr｜自由對流

重力耦合常數｜$\alpha_G$｜$\alpha_G=\frac{Gm_e^2}{\hbar c}$｜重力

八田數｜Ha｜$Ha = {{ \sqrt{{\frac{2}{{m} + 1}}k_{m,n} {C_{A,i}}^{m - 1} C_{B,bulk}^n {D}_A}} \over {{k}_L}}$｜化學反應造成的吸附增強

哈根數｜Hg｜$\mathrm{Hg} = -\frac{1}{\rho}\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}\frac{L^3}{\nu^2}$｜強制對流

水力梯度｜i｜地下水流動

雅各布數｜Ja｜$Ja = \frac{c_p (T_s - T_{sat}) }{h_{fg} }$｜液汽相變時所吸收的顯能與潛能之比

Karlovitz數｜湍流燃燒

Kc數｜$K_C$｜$K_c = \frac{VT }{L }$｜震盪流場中物體的阻力與慣性之比

克努森數｜Kn｜分子平均自由程長度與某代表性長度之比

尿素清除指數｜Kt/V｜醫學

Kutateladze數｜K｜兩相逆流

拉普拉斯數｜La｜混溶流體中的自由對流

路易斯數｜Le｜質量擴散率與熱擴散率之比

升力係數｜$C_L$｜在某攻角下翼型的升力

Lockhart-Martinelli參數｜$\chi$｜濕氣的流動

樂甫數｜地球的硬性

倫德奎斯特數｜$S$｜ratio of a resistive time to an Alfvén wave crossing time in a plasma

馬赫數｜M｜$\ M = \frac {{V}}{{a}}$｜氣體動力學

磁雷諾數｜$R_m$｜磁流體力學

曼寧糙率係數｜n｜開放管道流體流動（由引力推動）

馬蘭戈尼數｜Mg｜由熱表面張力偏差引起的馬蘭戈尼流

莫頓數｜Mo｜判斷汽泡或液滴形狀

彭巴數｜$K_M$｜溶液冷凍時的熱傳導與擴散

努塞爾特數｜Nu｜$Nu =\frac{hd}{k}$｜強制對流下的熱傳導

奧內佐格數｜Oh｜液體霧化，馬蘭戈尼流

佩克萊特數｜Pe｜$Pe = \frac{du\rho c_p}{k} = (Re)(Pr)$｜平流-擴散問題，總動量傳遞和分子熱傳遞之間的關係

剝離數｜微觀結構與底物的黏附作用

導流係數｜K｜在帶電離子束中空間電荷的強度

圓周率｜$\pi$｜數學（圓周長與直徑之比）

泊松比｜$\nu$｜彈性（橫向與縱向負荷）

多孔性｜$\phi$｜地質學

功率因數｜電子學（有功功率與視在功率之比）

功率數｜$N_p$｜攪拌器的功率消耗

普蘭特數｜$Pr$｜$Pr = \frac{\nu}{\alpha} = \frac{c_p \mu}{k}$｜黏性擴散率與熱擴散率之比

壓力係數｜$C_P$｜翼型上某個點的壓力

品質因子｜$Q$｜描述振子的阻尼

弧度｜$\theta_{rad}$｜$\theta_{rad} =\frac{s}{r}$｜量度平面角，$1 \text{ rad} = \frac {180^\circ} {\pi}$

瑞利數｜$Ra$｜$\mathrm{Ra} = \mathrm{Gr}\mathrm{Pr} = \frac{g \beta \Delta T L^3} {\nu \alpha}$｜自由對流中的浮力和黏滯力

折射率｜n｜電磁學、光學

雷諾數｜$Re$｜$Re = \frac{vL\rho}{\mu}$｜流體的慣性力與黏滯力之比

比重｜RD｜比重計，物質間的比較

理查遜數｜Ri｜浮力對流動穩定性的影響

洛氏硬度｜硬度

滾動阻力係數｜Crr｜$C_{rr} = \frac{N_f}{F}$｜車輛動力學

羅斯貝數｜$Ro$｜$Ro = \frac{U}{LF}$｜地球物理學中的慣性力，描述科里奧利力的影響程度

勞斯數｜Z或P｜$\mathrm{P} = \frac{w_s}{\beta \kappa u_*}$｜沈積物流移

施密特數｜Sc｜$\mathit{Sc} = \frac{\nu}{D} = \frac {\mu} {\rho D}$｜流體動力學（質量轉移與擴散）

形狀因數｜H｜邊界層流動中排移厚度與動量厚度之比

舍伍德數｜Sh｜$\mathrm{Sh} = \frac {h_DL} {D_{fluid}}$｜強制對流中的質量轉移

希爾茲參數｜τ∗或θ｜流體運動造成的沈積物流移的臨界

索默菲德數｜邊層潤滑

斯坦頓數｜St｜$St = \frac{h}{G c_p} = \frac{h}{\rho u c_p}= \frac{\mathrm{Nu}}{\mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}}$｜強制對流中的熱傳遞

史蒂芬數｜Ste｜$Ste = \frac{C_p\Delta T}{L}$｜相變時的熱傳遞

斯托克斯數｜$S_{tk}$或$S_k$｜$Stk = \frac{\tau\,U_o}{d_c}$｜流體流中的粒子動力學

應變｜$\epsilon$｜$\epsilon = \cfrac{\partial{F}}{\partial{X}} - 1$｜材料科學、彈性

斯特勞哈爾數｜St或Sr｜$St = {f L\over V}$｜持續並脈動的流體流動

泰勒數｜Ta｜$Ta = \frac{4\Omega^2 R^4}{\nu^2}$｜旋轉的流體流動

Ursell數｜U｜$U = \frac{H\, \lambda^2}{h^3}$｜在淺流體層上表面引力波的非線性度

Vadasz數｜Va｜$Va = \frac{\phi Pr}{Da}$｜在多孔介質中流體流動時，該數影響多孔性$\phi$、普蘭特數以及達西阻力係數

范特霍夫因子｜i｜$i = 1 + \alpha (n - 1)$｜化學定量分析（Kf及Kb）

Wallis參數｜J、｜$\alpha = R \left( \frac{\omega \rho}{\mu} \right)^\frac{1}{2}$｜多相流體流動時的表現速

韋伯數｜We｜$We = \frac{\rho v^2 l}{\sigma}$｜表面極為彎曲的多相流體流動

魏森貝格數｜Wi｜$Wi = \dot{\gamma} \lambda$｜粘彈性流體流動

沃默斯利數｜$\alpha$｜$\alpha = R \left( \frac{\omega \rho}{\mu} \right)^\frac{1}{2}$｜持續並脈動的流體流動

## 無量綱的物理常數

一些基本物理常數，如真空中的光速、萬有引力常數、普朗克常數和波茲曼常數等等，在適當挑選時間、長度、質量、電荷及溫度等單位後，可以歸一（數值為1）。這種單位制被稱為自然單位制。不過不可能在每一個單位制中都把所有的物理常數歸一，剩餘的量必須以實驗判定。這些剩餘的量包括：

- α：精細結構常數，電磁交互作用的耦合常數，α ≈ 1/137。
- μ或β：質子與電子的不變質量之比，可更廣義地指所有基本粒子相對電子的不變質量之比，μ ≈ 1836。
- αs：強相互作用的耦合常數。
- αG：重力的耦合常數，αG ≈ 1.75×10−45。

## 外部連結

- John Baez, " How Many Fundamental Constants Are There? "
- Huba, J. D., 2007, NRL Plasma Formulary: Dimensionless Numbers of Fluid Mechanics. Naval Research Laboratory. p. 23 , 24 , 25
- Sheppard, Mike, 2007, " Systematic Search for Expressions of Dimensionless Constants using the NIST database of Physical Constants."