拉回 (微分幾何)

在微分幾何中，拉回是將一個流形上某種結構轉移到另一個流形上的一種方法。具體地說，假設 $\phi: M\rightarrow N$ 是從光滑流形 $M$ 到 $N$ 的光滑映射；那麼伴隨有一個從 $N$ 上 1- 形式（餘切叢的截面）到 $M$ 上 1-形式的線性映射，這個映射稱為由 $\phi$ 拉回，經常記作 $\phi^*$。更一般地，任何 $N$ 上共變張量場——特別是任何微分形式——都可以由 $\phi$ 拉回到 $M$ 上。

當映射 $\phi$ 是微分同胚，那麼拉回與前推一起，可以將任何 $N$ 上的張量場變換到 $M$，或者相反。特別地，如果 $\phi$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的開集與 $\mathbb{R}^n$ 之間的微分同胚，視為坐標變換（也許在流形 M 上不同的坐標卡上），那麼拉回和前推描述了共變與反變張量用更傳統方式（用基）表述的變換性質。

拉回概念背後的本質很簡單，是一個函數和另外一個函數的前複合。但是將這種想法運用到許多不同的情形，可以構造許多複雜的拉回。本文從簡單的操作開始，然後利用它們構造更複雜的。粗略地講，拉回手法（利用前複合）將微分幾何中多種不同的結構變成反變函子。

## 光滑函數與光滑映射

設 $\phi: M\rightarrow N$ 是光滑流形 $M$ 與 $N$ 之間的光滑映射，假設 $f:N\rightarrow \mathbb{R}$ 是 $N$ 上一個光滑函數。則 $f$ 通過 $\phi$ 的拉回是 $M$ 上的光滑函數 $\phi^* f$，定義為$(\phi^* f)(x)=f(\phi(x))$。類似地，如果 $f$ 是 $N$ 中開集 $U$ 上的光滑函數，則相同的公式定義了 $M$ 中開集 $\phi^{-1}(U)$ 上一個光滑函數。用層的語言說，拉回定義了 $N$ 上光滑函數層到 $\phi$ 的直接像（在 $M$ 上光滑函數層中）的一個態射。

更一般地，如果 $f:N\rightarrow A$ 是從 $N$ 到任意其他流形 $A$ 的光滑映射，則 $\phi^* f(x)=f(\phi(x))$ 是從 $M$ 到 $A$ 的一個光滑映射。

## 叢與截面

如果 $E$ 是 $N$ 上一個向量叢（或任意纖維叢），$\phi: M\rightarrow N$ 是光滑映射，那麼拉回叢 $\phi^* E$ 是 $M$ 上一個向量叢（或更一般地纖維叢），其 $M$ 中的點 $x$ 處的纖維由 $(\phi^* E)_x = E_{\phi(x)}$ 給出。

在此情形，前複合定義了 $E$ 上截面的一個變換：如果 $s$ 是 $N$ 上 $E$ 的一個截面，那麼拉回截面 $\varphi^*s=s\circ\varphi$ 是 $M$ 上拉回叢 $\phi^* E$ 的一個截面。

## 多重線性形式

設 $\Phi:V\rightarrow W$ 是向量空間 $V$ 與 $W$ 之間的一個線性映射（即，$\Phi$ 是 $L(V,W)$ 中的元素，也記成 $\hom(V,W)$），設

$$F:W \times W \times \cdots \times W \rightarrow \mathbb{R}$$

是 $W$ 上一個多重線性形式（也稱為 $(0,s)$ 階張量——但不要和張量場混淆——這裡 $s$ 是乘積中 $W$ 的因子的個數）。則 $F$ 由 $\Phi$ 的拉回 $\Phi^* F$ 是一個 $V$ 上的多重線性形式，定義為 $F$ 與 $\Phi$ 的前複合。準確地，給定 $V$ 中向量 $v_1,v_2,\cdots,v_s$，$\Phi^* F$ 由公式定義

$$(\Phi^*F)(v_1,v_2,\ldots,v_s) = F(\Phi(v_1), \Phi(v_2), \ldots ,\Phi(v_s)),$$

這是 $V$ 上一個多重線性形式。從而 $\Phi^*$ 是一個從 $W$ 上的多重線性形式到 $V$ 上的多重線性形式的（線性）算子。作為一個特例，注意到如果 $F$ 是 $W$ 上一個線性形式（或 $(0,1)$ -張量），那麼 $F$ 是 $W$ 的對偶空間 $W^*$ 中一個元素，則 $\Phi^* F$ 是 $V^*$ 中一個元素，所以拉回定義了對偶空間之間一個線性映射，作用的方向與線性映射 $\Phi$ 自己的方向相反：

$$\Phi\colon V\rightarrow W, \qquad \Phi^*\colon W^*\rightarrow V^*.$$

從張量的觀點來看，自然想把來回這種概念推廣到任何階，即 $W$上取值於 $r$ 個 $W$ 的張量積 $W\otimes W\otimes\cdots\otimes W$ 的線性映射。但是，這種張量積不能自然的拉回：不過有從$V\otimes V\otimes\cdots\otimes V$ 到 $W\otimes W\otimes\cdots\otimes W$ 的前推算子，定義為

$$\Phi_*(v_1\otimes v_2\otimes\cdots\otimes v_r)=\Phi(v_1)\otimes \Phi(v_2)\otimes\cdots\otimes \Phi(v_r).$$

然而，如果 $\Phi$ 可逆，拉回可以用逆函數 $\Phi^{-1}$ 的前推定義。將一個可逆線性映射與這兩個構造放在一起，得到了對任何 $(r,s)$ 階張量一個拉回算子。

## 餘切向量與 1 形式

設 $\phi: M\rightarrow N$ 是光滑流形間的光滑映射。那麼 $\phi$ 的前推：$\phi* = \operatorname{d}\!\phi$ （或 $D\phi$），是從 $M$ 的切叢 $TM$ 到拉回叢 $\phi^*TN$ 的（在 $M$ 上）向量叢同態。從而 $\phi*$ 的轉置是從 $\phi^*T^*N$ 到 $M$ 的餘切叢 $T^* M$ 的叢映射。

現在假設 $\alpha$ 是 $T^* N$ 的一個截面（$N$ 上一個 1-形式），將 $\alpha$ 與 $\phi$ 前複合得到 $\phi^* T^* N$的一個拉回截面。將上述（逐點）叢映射應用到截面導致 $\alpha$ 由 $\phi$ 的拉回，是 $M$ 上一個 1-形式，定義為：

$$(\varphi^*\alpha)_x(X) = \alpha_{\varphi(x)}(\mathrm d\varphi_x(X))$$

對 $x$ 屬於 $M$ 與 $X$ 屬於 $T_xM$。

## （共變）張量場

對任何自然數 $s$，上述構造馬上可推廣到 $(0,s)$ 階張量叢上。流形 $N$ 上 $(0,s)$ 張量場 是 $N$ 上張量叢的一個截面，在 $N$ 中 $y$ 點的截面是多重線性 $s$-形式空間

$$F\colon T_y N\times\cdots \times T_y N\to \R.$$

取 $\Phi$ 等於從 $M$ 到 $N$ 的一個光滑映射的微分（逐點的），多重線性形式的拉回可與截面的拉回複合得出 $M$ 上 $(0,s)$ 張量場的拉回。更確切地，如果 $S$ 是 $N$ 上一個 $(0,s)$-張量場，那麼 $S$ 由 $\phi$ 的拉回 是 $M$ 上 $(0,s)$-張量場 $\phi^*S$，定義為

$$(\varphi^*S)_x(X_1,\ldots, X_s) = S_{\varphi(x)}(\mathrm d\varphi_x(X_1),\ldots \mathrm d\varphi_x(X_s))\ ,$$

對 $x$ 屬於 $M$ 與 $X_j$ 屬於 $T_xM$。

## 微分形式

共變張量場拉回的一個特別重要的例子是微分形式的拉回。如果 $\alpha$ 是一個微分 $k$-形式，即 $TN$（逐點）反交換 $k$-形式組成的外叢 $\Lambda^k T^*N$ 的一個截面，則 $\alpha$ 的拉回是 $M$ 上一個微分 $k$-形式，定義與上一節相同：

$$(\varphi^*\alpha)_x(X_1,\ldots, X_k) = \alpha_{\varphi(x)}(\mathrm d\varphi_x(X_1),\ldots \mathrm d\varphi_x(X_k))\ ,$$

對 $x$ 屬於 $M$ 與 $X_j$ 屬於 $T_xM$。

微分形式的拉回有兩個性質，使其非常有用。

- 和楔積相容：假設同上，對 $N$ 上的微分形式 $\alpha$ 與 $\beta$。

$$\varphi^*(\alpha \wedge \beta)=\varphi^*\alpha \wedge \varphi^*\beta\ .$$

- 和外導數 $\operatorname{d}\!$ 相容：如果 $\alpha$ 是 $N$ 上一個微分形式，則

$$\varphi^*(\mathrm d\alpha) = \mathrm d(\varphi^*\alpha)\ .$$

## 由微分同胚拉回

當流形之間的映射 $\phi$ 是微分同胚，即有一個光滑逆函數，則在向量場上也像 1-形式一樣定義拉回，從而通過擴張，對流形上任何混合張量場都可拉回。線性映射

$$\Phi=\mathrm d\varphi_x\in GL(T_xM,T_{\varphi(x)}N)$$

可逆，給出

$$\Phi^{-1}={\mathrm d\varphi_x}^{-1} \in GL(T_{\varphi(x)}N, T_xM).$$

一個一般的混合型張量場通過張量積分解為 $TN$ 與 $T^*N$ 兩部分，分別用 $\Phi$ 與 $\Phi^{-1}$ 變換。當 $M = N$ 時，則拉回和前推刻畫了流形 $M$ 上張量場的變換性質。用傳統術語說，拉回描述了張量共變指標的變換性質；相對地，反變指標的變換性質由前推給出。

## 由自同構拉回

上一節的構造有一個代表性特例，若 $\phi$ 是流形 $M$ 到自己的微分同胚。在這種情況下，導數 $\operatorname{d}\!\phi$ 是 $GL(TM,\phi^*TM)$ 的一個截面。這樣便在通過一個一般線性群 $GL(m) (m = \dim M)$ 相配於 $M$ 的標架叢 $GL(M)$ 的任何叢的截面上導出了拉回作用。

## 拉回與李導數

將上述想法應用到由向量場 $M$ 定義的微分同胚單參數群，對參數求導，得到了任意叢上的李導數概念。

## 聯絡（共變導數）

如果 $\nabla$ 是 $N$ 上向量叢 $E$ 的聯絡（或共變導數），$\phi$ 是從 $M$ 到 $N$ 的光滑映射，那麼在 $M$ 上的向量叢 $\phi^*E$ 上有拉回聯絡 $\varphi^*\nabla$，由等式

$$(\varphi^*\nabla)_X(\varphi^*s) = \varphi^*(\nabla_{\mathrm d\varphi(X)} s)$$

惟一確定。

## 參考文獻

- Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 See sections 1.5 and 1.6.
- Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.7 and 2.3.
- B. A. Dubrovin, et al., Modern Geometry Methods and Applications(Part I), (1999) Beijing World Publishing Corp., ISBN 7-5062-0123-2 See section 22.