黎曼-羅赫定理

黎曼–羅赫定理（Riemann–Roch theorem）是數學中的一個重要工具，在複分析和代數幾何中的應用尤為廣泛。利用該定理，可計算具有指定零點與極點的亞純函數空間的維數。它將具有純拓撲虧格 g 的連通緊黎曼曲面上的複分析以某種方式轉換為純代數背景。

此定理最初是黎曼不等式，對黎曼曲面的確定形式由伯恩哈德·黎曼早逝的學生古斯塔夫·羅赫於1850年代證明。隨後推廣到代數曲面，高維代數簇，等等。

## 預備記號

我們從一個虧格$g$的連通緊黎曼曲面開始，在上面取定一點$P$。我們想知道極點只在$P$的函數。這是向量空間的一個遞增序列：沒有極點的函數（即常值函數），在 P 有單極點，在 P 點最多有兩個極點，三個極點……這些空間都是有限維的。在 g=0 我們可知維數的序列前幾項為

1, 2, 3, ...:

這可由部分分式理論得出。反之，如果此序列開始為

1, 2, ...

則 g 必然是零（所謂黎曼球面）。

由橢圓函數理論知，g=1 時此序列是

1, 1, 2, 3, 4, 5 ...

且這也刻畫了 g=1 情形。當 g > 2 時，序列前端不是固定的；但我們可以確定此序列的後端。我們也可以看到為什麼 g=2 的情形是特殊的，由超橢圓曲線理論，其序列開始幾項為

1, 1, 2, ...

這些結論為何具有這種形式可以追溯到此定理的表述（羅赫的部分）：兩個維數之差。當其中一個可以為零，我們得到一個確定的公式，對虧格與度數（即自由度的個數）是線性的。這些例子已經可重構出如下形式

維數 − 修正項 = 度數 − g + 1。

對 g = 1，修正項當度數為 0 時是 1；其它情形是 0。整個定理說明修正項是函數空間的一個「補空間」的維數。

## 定理的陳述

用現代記法，虧格為 g 的緊黎曼曲面與一個典範除子 K 的黎曼–羅赫定理表述為：

l(D) − l(K − D) = deg(D) − g + 1.

這對所有除子 D 均成立。除子是曲面上點的自由阿貝爾群中一個元素。等價地，一個除子是曲面上一些點的整係數線性組合。

我們定義一個亞純函數 f 的除子為

$$(f):=\sum_{z_\nu \in R(f)} s_\nu z_\nu$$

這裡 R(f) 是所有零點與極點的集合，而 sν 定義為

$s_\nu := \begin{cases}\;\;\,a \\-a \end{cases}$｜，如果 $z_\nu$ 是一個 $a$ 重零點。

如果 $z_\nu$ 是一個 $a$ 階極點。

我們類似地定義一個亞純 1-形式的除子。一個整體亞純函數的除子叫做主除子。相差一個主除子的兩個除子稱為線性等價。一個整體亞純 1-形式的除子叫做典範除子（通常記作 K）。任何兩個亞純 1-形式都是線性等價的，所以典範除子在線性等價的意義下是惟一的。

符號 deg(D) 表示除子 D 的度數，即在 D 中出現的係數之和。可以證明一個整體亞純函數的除子的度數總是 0，所以除子的度數隻取決於線性等價類。

數 l(D) 是首先感興趣的量：使得 (h) + D 的所有係數都是非負的曲面上亞純函數 h 組成的向量空間的維數（在 C 上）。直覺上，我們可以將其想像為在每一點處的極點不比 D 中對應係數更壞的所有亞純函數；如果在 z 處 D 的係數是負數，則我們要求 h 在 z 處至少有那個重數的零點；如果 D 的係數是正數，h 最多有那個階數的極點。線性等價的除子相應的向量空間通過乘以那個整體亞純函數（這在差一個常數下是良定義的）是自然同構的。

即便我們對 K 一無所知，我們知道特殊性指標（index of speciality）（上文所說的修正項）

l(K − D) ≥ 0,

所以

l(D) ≥ deg(D) − g + 1

這就是早先提到的黎曼不等式。

上面定理對所有緊連通黎曼曲面都成立。這個公式對一個代數閉域 k 上所有非奇異射影代數曲線也成立。這裡 l(D) 表示在每一點的極點不壞於 D 中對應係數的曲線上有理函數空間的維數（在 k 上）。

為了將其與我們上面的例子聯繫起來，我們需要 K 的一些資訊：對 g=1 我們可取 K=0，而對 g=0 可取 K = −2P （任何 P）。一般地 K 的度數是 2g − 2。只要 D 的度數至少是 2g − 1 我們可確保修正項是 0。

回到 g= 2 的情形我們可知上面提到的序列是

1, 1, ?, 2, 3, ... .

由此知度數為 2 的不確定項是 1 或 2，當然與點的選擇有關。可以證明任何虧格為 2 的曲線恰有六個點的序列是 1, 1, 2, 2, ... 而其它一般點的序列是 1, 1, 1, 2, ...。特別地，一個虧格 2 曲線是超橢圓曲線。對 g>2 幾乎所有點的序列以 g+1 個 1 開始，只有有限個點為其它序列（參見魏爾斯特拉斯點）。

## 推廣

曲線的黎曼–羅赫定理對黎曼曲面由黎曼與羅赫於1850年代證明，對代數曲線由腓特烈·卡爾·施密特於1929年證明。它是基本的，曲線後續理論試圖加細它的結論（比如布里爾–諾特理論）。

在更高維（適當的定義除子或線叢）此定理有多個版本。它們的一般表述取決於將定理分成兩部分。其一，現在稱為塞爾對偶性，將 l(K − D) 項解釋為第一層同調群的維數，l(D) 為零次上同調群（或截面的空間）的維數，定理左邊成為一個歐拉示性數，而右邊給出它的計算，正好只與黎曼曲面的拓撲有關的一個度數。

在二維代數幾何中這樣一個公式由義大利幾何學派找到；代數曲面的黎曼-羅赫定理證明了（有各種版本，最早可能屬於馬克斯·諾特。這樣的問題大約在1950年前解決了。

n-維推廣，希策布魯赫–黎曼–羅赫定理，由弗里德里希·希策布魯赫找到並證明，利用了代數拓撲學中的示性類；他深受小平邦彥的工作影響。大約在同一時間讓-皮埃爾·塞爾給出了塞爾對偶性的一般形式，故我們冠以他的姓氏。

亞歷山大·格羅滕迪克於1957年證明了一個深遠的推廣，現在叫做格羅滕迪克–黎曼–羅赫定理。他的工作將黎曼–羅赫重新解釋為不僅是關於一個簇的定理，而是關於兩個簇之間的一個態射的。證明的細節由博雷爾–塞爾於1958年發表。

最後在代數拓撲中也找到了一個一般版本。這些發展本質上在1950年至1960年完成。阿蒂亞–辛格指標定理開啟了這一條推廣的道路。

它導致的結論是一個凝聚層相當好計算。如果只對交錯和中一項感興趣，這是通常的情形，必需更進一步的討論比如消滅定理。

## 參考文獻

### 來源

- Borel, Armand & Serre, Jean-Pierre (1958), Le théorème de Riemann-Roch, d'après Grothendieck, Bull.S.M.F. 86 (1958), 97-136.
- Grothendieck, Alexander, et al. (1966/67), Théorie des Intersections et Théorème de Riemann-Roch (SGA 6), LNM 225, Springer-Verlag, 1971.
- , available online at
- , see pages 208–219 for the proof in the complex situation. Note that Jost uses slightly different notation.
- , contains the statement for curves over an algebraically closed field. See section IV.1.
- . A good general modern reference.
- Misha Kapovich, The Riemann–Roch Theorem (lecture note) an elementary introduction
- J. Gray, The Riemann-Roch theorem and Geometry, 1854-1914.