微分算子

在數學中，微分算子（Differential operator）是定義為微分運算之函數的算子。首先在記號上，將微分考慮為一個抽象運算是有幫助的，它接受一個函數得到另一個函數。

## 記號

最常用的微分算子是取導數自身。這個算子的常用記號包括：${\mathrm{d} \over \mathrm{d}x}$、$D$（在不會搞混哪個變量微分時），以及$D_x$（指明了變量）。

一階導數如上所示，但當取更高階n-次導數時，下列替代性記號是有用的：$\mathrm{d}^n \over \mathrm{d}x^n$、$D^n$、$D^n_x$。

記號D的發明與使用歸於奧利弗·亥維賽，他在研究微分方程中考慮了如下形式的微分算子

$$\sum_{k=0}^n c_k D^k$$

另一個最常見的微分算子是拉普拉斯算子，定義為

$$\Delta=\nabla^{2}=\sum_{k=1}^n {\partial^2\over \partial x_k^2}$$

另一個微分算子是Θ算子，定義為

$$\Theta = z {\mathrm{d} \over \mathrm{d}z}$$

有時候這也稱為齊次算子，因為它的本徵函數是關於z的單項式：

$$\Theta(z^k) = k z^k,\quad k=0,1,2,\dots$$

在n個變量中齊次算子由

$$\Theta = \sum_{k=1}^n x_k \frac{\partial}{\partial x_k}$$

給出。與單變量一樣，Θ的本徵空間是齊次多項式空間。

## 一個算子的伴隨

給定一個線性微分算子T

$Tu = \sum_{k=0}^n a_k (x) D^k u$。

這個算子的伴隨定義為算子$T^*$使得

$$\langle Tu,v \rangle = \langle u, T^*v \rangle$$

這裡記號$\langle\cdot,\cdot\rangle$表示數量積或點積。從而此定義取決於數乘的定義。

### 單變量中的形式伴隨

在平方可積函數空間中，數量積定義為

$$\langle f, g \rangle = \int_a^b f (x) \, \overline{g (x)} \,\mathrm{d}x$$

如果另外增添要求f或g當$x \to a$與$x \to b$等於零，我們也可定義T的伴隨為

$$T^*u = \sum_{k=0}^n (-1)^k D^k [a_k (x)u]$$

此公式不明顯地取決於數量積的定義，故有時作為伴隨算子的一個定義。當$T^*$用這個公式定義時，它稱為T的形式伴隨。

一個（形式）自伴算子是與它的（形式）伴隨相等的算子。

### 多變量

如果Ω是Rn中一個區域，而P是Ω上一個微分算子，則P在L2(Ω)中的伴隨由對偶性以類似的方式定義：

$$\langle f, P^* g\rangle_{L^2(\Omega)} = \langle P f, g\rangle_{L^2(\Omega)}$$

對所有光滑L2函數f與g。因為光滑函數在L2中是稠密的，這在L2的一個稠密子集上定義了伴隨：: P*是一個稠定算子。

### 例子

施圖姆-劉維爾算子是形式自伴算子一個熟知的例子。這個二階微分算子L可以寫成如下形式

$$Lu = -(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^2 u +(-p') D u +(q)u.\;\!$$

這個性質可用上面的形式自伴的定義來證明。

$$\begin{align} L^*u & {} =(-1)^2 D^2 [(-p)u] +(-1)^1 D [(-p')u] +(-1)^0 (qu) \\ <pre> & {} = -D^2 (pu) + D(p'u)+qu \\ & {} = -(pu)''+(p'u)'+qu \\ & {} = -p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu \\ & {} = -p'u'-pu''+qu \\ & {} = -(pu')'+qu \\ & {} = Lu </pre> \end{align}$$

這個算子在施圖姆-劉維爾理論（Sturm–Liouville theory）

中的關鍵，其中考慮了這個算子本徵函數（類比於本徵向量）。

## 微分算子的性質

微分是線性的，即

$$D(f+g) =(Df)+(Dg)$$

$$D (af) = a (Df)$$

這裡f和g是函數，而a是一個常數。

任何以函數為係數之D的多項式也是一個微分算子。我們也可以通過法則

$$(D_1 \circ D_2,f) = D_1(D_2(f))$$

複合微分算子。需要一些注意：首先算子D2中的任何函數係數必須具有D1所要求的可微次數。為了得到這樣運算的一個環，我們必須假設所用的係數的所有階導數。第二，這個環不是交換的：一個算子gD一般與Dg不同。事實上我們有例，如在量子力學中的基本關係：

$$Dx - xD = 1$$

但這些算子的子環：D的常係數多項式是交換的。它可以另一種方式刻畫：它由平移不變算子組成。

微分算子也服從移位定理（shift theorem）。

## 多變量

同樣的構造可對偏導數也成立，關於不同的變量微分給出可交換的算子。

## 坐標無關描述以及與交換代數的關係

在微分幾何與代數幾何中，通常習慣於對兩個向量叢之間的微分算子有一個坐標無關描述。設$E$與$F$是流形$M$上兩個向量叢。截面的一個$\mathbb{R}$-線性映射$P: \Gamma (E) \rightarrow \Gamma (F)$稱為一個k-階微分算子，如果它分解穿過節叢$J^k (E)$。換句話說，存在一個向量叢的線性映射

$$i_P: J^k (E) \rightarrow F$$

使得

$$P = \hat{i}_P\circ j^k$$

這裡$\hat{i}_P$表示由$i_P$，在截面上誘導的映射，而$j^k:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma(J^k(E))$，是典範（或通用）k-階微分算子。

這恰好意味著對一個給定的截面$s$ of $E$，$P (s)$在一個點$x\in M$的值完全由$s$在$x$的k-階無窮小行為決定。特別地這蘊含著$P (s)(x)$由$s$在$x$的芽決定，這說明了微分算子是局部的。一個基本的結果是皮特定理（Peetre theorem）證明了逆命題也是正確的：任何局部算子是微分。

線性微分算子的一個等價的，但純代數的描述如下：

一個$\mathbb{R}$-線性映射$P$是一個k-階微分算子，如果對任何(k + 1)階光滑函數$f_0,\ldots,f_k \in C^\infty (M)$我們有

$$[f_k[f_{k-1}[\cdots[f_0,P]\cdots]]=0$$

這裡括號$[f,P]:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (F)$定義為交換子

$$[f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P (s)$$

線性算子的這個刻畫說明，它們是一個交換代數上的模之間的一個特殊映射，使這個概念可視為交換代數的一部分。

## 例子

- 在物理學的應用中，像拉普拉斯算子在建立與求解偏微分方程中起著主要的作用。
- 在微分拓撲中，外導數與李導數算子有內蘊意義。
- 在抽象代數中，導子的概念是微分算子不要求分析的一個推廣。通常這樣的推廣用於代數幾何與交換代數。另見節。