廣義相對論的替代理論

廣義相對論的替代理論是與愛因斯坦廣義相對論競爭，嘗試要描述重力現象的物理理論。

對於建構一個理想重力理論，至今已有許多不同的嘗試。這些嘗試可以分為下面四個大類：

- 與廣義相對論直接競爭的理論，例如嘉當理論以及布蘭斯-狄克理論等等。
- 嘗試建構量子化的重力理論，例如迴圈量子重力理論。
- 嘗試統一重力與其他基本力，例如卡魯扎-克萊因理論。
- 嘗試將所有目標畢其功於一役，例如M理論。

本文談論對象僅包括與廣義相對論的直接競爭理論。關於量子化重力理論課題，參見量子重力。重力與其他基本力的統一理論課題，參見古典統一場論。試圖將所有目標畢其功於一役的理論，請見萬有理論。

## 動機

建立新的重力理論的動機隨著年代不同，最早先的動機是要解釋行星軌道（牛頓重力）以及更複雜的軌道（例如：拉格朗日）。再來登場的是不成功的嘗試——要合併重力與波理論或微粒(corpuscular)理論的新重力理論。隨著勞侖茲變換的發現，物理學的樣貌徹底改變，而導致了將其與重力調和的嘗試。在此同時，實驗物理學家開始測試重力與相對論的基礎——勞侖茲不變性、重力造成的光線偏折、Eötvös實驗。這些考量導致與考驗了廣義相對論的發展。

## 本文中的符號標記

$c\;$為光速，$G\;$為重力常數。幾何變數(Geometric variables)在此不使用。

拉丁字母指標取值從1到3，希臘字母指標取值從0到3。採用愛因斯坦取和原則。

$\eta_{\mu\nu}\;$為閔可夫斯基度規。$g_{\mu\nu}\;$為一張量，通常是度規張量。其有標記(signature)$(-,+,+,+)$。

協變微分(Covariant differentiation)寫為$\nabla_\mu\phi\;$或$\phi_{;\mu}\;$。

也可考慮閱讀廣義相對論的數學條目。

## 理論分類

重力理論可以粗略分為數個大類。此處描述的多數理論具有：

- 一作用量（參見最小作用量原理，其為一基於作用量觀念的變分原理）
- 一拉格朗日密度
- 一度規

若一理論具有一拉格朗日密度，寫作$L\,$，則作用量$S\,$則是此項的積分，例如：

$$S\,\propto\,\int d^4 x R \sqrt{-g}L\,$$

其中$R\,$是空間的曲率。在此方程式中，通常會有$g=-1\,$的情形，但並非必要條件。

本文中所描述的理論幾乎每個都有一作用量。這是目前已知的方法來保證能量、動量與角動量守恆能自動成立；儘管如此，要建構使守恆律被違背的作用量仍相當容易。1983年原始版本的MOND並沒有作用量。

一些理論有作用量但沒有拉格朗日密度。一個好的例子是懷海德(1922年)的理論，此中的作用量是非局域的。

一個重力理論是一度規理論(metric theory)僅當其可以給出遵守如下兩個條件的數學表述：

條件1. 存在一度規張量$g_{\mu\nu}\,$，標記為1，而此度規掌控了原長(proper-length)與原時(proper-time)測量，一如在狹義與廣義相對論：

$$ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu\,$$

此式中對指標$\mu$與$\nu$進行取和。

條件2. 受到重力作用的具應力物質與場按照下列方程式反應：

$$\nabla\cdot T=0\,$$

其中$T\,$為應力-能量張量，針對所有物質以及非重力的場，而$\nabla$為隨度規所做的協變導數(covariant derivative)。

任何重力理論若$g_{\mu\nu}\ne g_{\nu\mu}$永遠成立，則其非度規理論，但任何度規理論可以給予違背條件1與2的數學描述。

度規理論包括（從簡單至複雜）：

- 純量場理論（包括共形平直理論(Conformally flat theories)，以及具有共形平直空間切面(Conformally flat space slices)的層狀理論(Stratified theories)）

諾德斯特洛姆(Nordström)、Einstein-Fokker、Whitrow-Morduch、Littlewood、Bergman、Page-Tupper, 愛因斯坦（1912年）、Whitrow-Morduch、羅森(Rosen)（1971年）、Papapetrou、倪維斗(Ni)、Yilmaz、Coleman、李-萊特曼-倪(Lee-Lightman-Ni)

- 雙度規理論

羅森（1975年）、Rastall、萊特曼-李(Lightman-Lee)

- 類線性理論（包括線性固定規範(Linear fixed gauge)）

懷海德(Whitehead)、Deser-Laurent、Bollini-Giambini-Tiomno

- 張量理論

愛因斯坦廣義相對論

- 純量-張量理論
- 向量-張量理論
- 其他度規理論

（參見後文1980年代至今的現代理論）

非度規理論，則包括嘉當(Cartan)、Belinfante-Swihart。

關於馬赫原理，在這裡做一些陳述是洽當的，因為其中一些理論根據的是馬赫原理，例如懷海德（1922年），and many mention it in passing eg. Einstein-Grossmann (1913), Brans-Dicke (1961). 馬赫原理可以被想作是介於牛頓與愛因斯坦之間的妥協(half-way-house)。可以做如此描述：

- 牛頓：絕對空間與時間。
- 馬赫：參考系源自於宇宙中物質的分布。
- 愛因斯坦：沒有絕對的參考系。

目前為止，所有的實驗證據指出馬赫原理是不正確的，但其可能性尚未被完全排除。

## 早期理論（1686年至1916年）

早期重力理論——指的是廣義相對論之前的理論——包括有牛頓（1686年）、愛因斯坦（1912年a & b）、愛因斯坦與格羅斯曼(Grossmann)（1913年）、諾德斯特洛姆(Nordström)（1912年、 1913年）以及愛因斯坦與佛克(Fokker)（1914年）。

在牛頓（1686年）理論中（以更近代的數學重寫），質量密度$\rho\,$產生了一個純量場$\phi\,$：

${\partial^2 \phi \over \partial x^j \partial x^j}=4 \pi \rho \,$。

利用倒三角算符(Nabla operator)$\nabla$，可以很方面地寫成：

$\nabla^2 \phi =4 \pi \rho\,$。

而純量場掌控了自由下落粒子的運動：

${ d^2x^j\over dt^2}+{\partial\phi\over\partial x^j\,}=0 \,$。

其中純量場為$\phi=GM/r \,$。

## 廣義相對論替代理論的測試

理論與測試的發展是一個牽一個地進行著。多數測試可以被分類為（參見Will 2001）：

- 基本生存力(Basic Viability)
- 愛因斯坦等效原理(Einstein's Equivalence Principle, EEP)
- 參數化後牛頓形式(Parametric Post-Newtonian, PPN)
- 強場重力(Strong Gravity)
- 重力波(Gravitational Waves)

## 理論測試結果

### 一些理論的PPN參數實測值

（細節參見威爾(Will)（1981年）與倪維斗(Ni)（1972年）。米斯納(Misner)等人（1973年）製表將倪氏參數記號轉換成威爾的版本。）

廣義相對論至今已經超過90歲，而不斷繼起的重力替代理論卻無法與更精確的觀測結果相一致。更細節的描述請見參數化後牛頓形式(Parameterized post-Newtonian formalism, PPN)。

下表列舉了為數眾多的理論之PPN值。如果格中的值跟行頂格子的值相同，則表示完整的式子太複雜而無法列在此處；例如：行頂格子為β參數，而Bergmann（1968年）, Wagoner（1970年）的格子值也是β。

$\gamma$｜$\beta$｜$\xi$｜$\alpha_1$｜$\alpha_2$｜$\alpha_3$｜$\zeta_1$｜$\zeta_2$｜$\zeta_3$｜$\zeta_4$

愛因斯坦（1916年）廣義相對論｜1｜1｜0｜0｜0｜0｜0｜0｜0｜0

純量-張量理論

Bergmann（1968年）, Wagoner（1970年）｜$\textstyle\frac{1+\omega}{2+\omega}$｜$\beta$｜0｜0｜0｜0｜0｜0｜0｜0

NordtVedt（1970年）, Bekenstein（1977年）｜$\textstyle\frac{1+\omega}{2+\omega}$｜$\beta$｜0｜0｜0｜0｜0｜0｜0｜0

布蘭斯-狄克（1961年）｜$\textstyle\frac{1+\omega}{2+\omega}$｜1｜0｜0｜0｜0｜0｜0｜0｜0

向量-張量理論

Hellings-Nordtvedt（1973年）｜$\gamma$｜$\beta$｜0｜$\alpha_1$｜$\alpha_2$｜0｜0｜0｜0｜0

Will-Nordtvedt（1972年）｜1｜1｜0｜0｜$\alpha_2$｜0｜0｜0｜0｜0

雙度規理論

Rosen（1975年）｜1｜1｜0｜0｜$c_0/c_1-1$｜0｜0｜0｜0｜0

Rastall（1979年）｜1｜1｜0｜0｜$\alpha_2$｜0｜0｜0｜0｜0

萊特曼-李（1973年）｜$\gamma$｜$\beta$｜0｜$\alpha_1$｜$\alpha_2$｜0｜0｜0｜0｜0

層狀理論

李-萊特曼-倪（1974年）｜$ac_0/c_1$｜$\beta$｜$\xi$｜$\alpha_1$｜$\alpha_2$｜0｜0｜0｜0｜0

倪維斗（1973年）｜$ac_0/c_1$｜$bc_0$｜0｜$\alpha_1$｜$\alpha_2$｜0｜0｜0｜0｜0

純量場論

愛因斯坦（1912年）{非廣義相對論}｜0｜0｜-4｜0｜-2｜0｜-1｜0｜0†

Whitrow-Morduch（1965年）｜0｜-1｜-4｜0｜0｜0｜-3｜0｜0†

羅森（1971年）｜$\lambda$｜$\textstyle\frac{3}{4}+\textstyle\frac{\lambda}{4}$｜$-4-4\lambda$｜0｜-4｜0｜-1｜0｜0

Papetrou (1954年a, 1954年b)｜1｜1｜-8｜-4｜0｜0｜2｜0｜0

倪維斗（1972年）（層狀）｜1｜1｜-8｜0｜0｜0｜2｜0｜0

Yilmaz（1958年、1962年）｜1｜1｜-8｜0｜-4｜0｜-2｜0｜-1†

Page-Tupper（1968年）｜$\gamma$｜$\beta$｜$-4-4\gamma$｜0｜$-2-2\gamma$｜0｜$\zeta_2$｜0｜$\zeta_{ 4}$

諾德斯特洛姆（1912年）｜$-1$｜$\textstyle\frac12$｜0｜0｜0｜0｜0｜0｜0†

諾德斯特洛姆（1913年）、愛因斯坦-佛克（1914年）｜$-1$｜$\textstyle\frac12$｜0｜0｜0｜0｜0｜0｜0

倪維斗(Ni)（1972年）（平直）｜$-1$｜$1-q$｜0｜0｜0｜0｜$\zeta_2$｜0｜0†

Whitrow-Morduch（1960年）｜$-1$｜$1-q$｜0｜0｜0｜0｜q｜0｜0†

Littlewood（1953年）、Bergman（1956年）｜$-1$｜$\textstyle\frac12$｜0｜0｜0｜0｜-1｜0｜0†

† 此理論不完備，且$\zeta_{ 4}$可以是兩值中的一者。最接近零的值在此列出。

至今所有實驗測試與廣義相對論相符，因此PPN分析立即刪除了表中所有的純量場論。

此處未有針對懷海德（1922年）、Deser-Laurent（1968年）、Bollini-Giamiago-Tiomino（1970年）三者的完整PPN參數列表。但在這些三個情形中$\beta=\gamma$，這與廣義相對論的情形以及實驗結果嚴重違背。特別的是，這些理論預測的地球潮汐振幅是不正確的值。

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