坡印亭定理

在電磁學中，坡印亭定理（Poynting's theorem）是偏微分方程形式說明電磁場的能量守恆的定理，由英國物理學家約翰·亨利·坡印廷發現。坡印亭定理類似於經典力學中的功-能原理，在數學形式上與連續性方程相似。它把能量密度的時間導數，能量的流動，和電磁場做功的速率聯繫起來。

## 陳述

### 一般形式

此定理概念上是指能量守恆：

一個空間區域（單位體積內）中，能量傳遞速率等於在一電荷分布上做功的速率加上離開該區域的能量通量。

此定理還有一種陳述：

單位時間內，一定體積中電磁場能量減少的速率，等於場力所做的功與單位時間向外的淨通量的和。

數學上，用微分形式概括為：

$$-\frac{\partial u}{\partial t} = \nabla\cdot\mathbf{S}+\mathbf{J}_f\cdot\mathbf{E}$$

其中 $\nabla \cdot \mathbf{S}$ 是坡印亭矢量（能量流）的散度，而 $\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}$ 是場中帶電物體做功的功率（$\mathbf{J}$ 為對應於電荷運動的自由電流密度，$\mathbf{E}$ 為電場強度，$\cdot$ 為點積）。能量密度 u 為：

$$u = \frac{1}{2}\left(\mathbf{E}\cdot\mathbf{D} + \mathbf{B}\cdot\mathbf{H}\right)$$

其中 D 是電位移矢量，B 是磁感應強度而 H 是磁場強度，ε0 是真空電容率，μ0 是真空磁導率。由於電荷可以自由移動，D 與 H 場忽略任何束縛電荷和電流的電荷分布（由定義），J 是自由電流密度，不是全電流的電流密度。

利用散度定理，坡印亭定理可以改寫為積分形式：

$-\frac{\partial}{\partial t} \int_V u dV=$ $\scriptstyle \partial V$ $\mathbf{S}\cdot d\mathbf{A} + \int_V\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}dV$

其中 $\partial V \!$ 為 V 的邊界。該體積的形狀似任意的但對於計算是固定的。

### 電機工程

在電機工程中，該定理通常寫成以下把能量密度 u 展開的形式，這與流體力學之連續性方程相似：

$$\nabla\cdot\mathbf{S} + \epsilon_0 \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} + \mathbf{J}\cdot\mathbf{E} = 0,$$

其中

- $\epsilon_0 \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ 是驅動電場建立的無功功率的密度。
- $\frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$ 是驅動磁場建立的無功功率的密度。
- $\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}$ 由洛侖茲力作用在載流子上損耗的電功率的密度。

## 推導

雖然能量守恆定律和洛倫茲力定律可以導出該定理的一般形式，要推導坡印亭矢量的表達式並由此完整敘述，還需要用到馬克士威方程組。

### 坡印廷定理

考慮到以上敘述 - 這個定理有三個元素，涉及將（單位時間）能量轉移寫成體積分：

因為 u 是能量密度，對整個體積區域積分得到區域內儲存的總能量 U，再對時間求（偏）導數得到能量變化率：

$U=\int_V u dV \ \rightarrow \ \frac{\partial U}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \int_V u dV = \int_V \frac{\partial u}{\partial t} dV .$

離開區域的能流為坡印亭矢量的曲面積分，使用散度定理可以將其寫作：

$\scriptstyle \partial V$ $\mathbf{S}\cdot d\mathbf{A}=\int_V\nabla\cdot \mathbf{S} dV .$

把某一電荷分布上的洛倫茲力密度 f 在整個體積上積分得到總受力 F 為

$$\mathbf{f} = \rho\mathbf{E}+\mathbf{J}\times\mathbf{B} \ \rightarrow \ \int_V \mathbf{f} dV = \mathbf{F} = \int_V (\rho\mathbf{E}+\mathbf{J}\times\mathbf{B} )dV ,$$

其中 ρ 為該分布的電荷密度而 v 為其速度。因為 $\mathbf{J} = \rho \mathbf{v}$，該力做功的速率為

$\mathbf{F}\cdot\frac{d \mathbf{r}}{dt} = \mathbf{F}\cdot \mathbf{v} = \int_V (\rho\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}+\rho\mathbf{v}\times\mathbf{B}\cdot \mathbf{v} )dV \ \rightarrow \ \mathbf{F}\cdot \mathbf{v} = \int_V \mathbf{E}\cdot \mathbf{J}dV .$

所以，根據能量守恆定律，單位時間內的能流平衡方程是該定理的積分形式：

$$-\int_V\frac{\partial u}{\partial t}dV = \int_V\nabla\cdot\mathbf{S}dV+\int_V\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}dV,$$

由於體積 V 是任意的，對所有體積來說都是成立的，這意味著

$$- \frac{\partial u}{\partial t} = \nabla\cdot\mathbf{S} + \mathbf{J}\cdot\mathbf{E},$$

這是坡印廷定理的微分形式。

### 坡印亭矢量

從定理可以得到坡印亭矢量 S 的實際形式。能量密度的時間導數（運用向量點乘的乘積法則）為

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{1}{2} \left(\mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} + \mathbf{D}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \mathbf{H}\cdot\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} + \mathbf{B}\cdot\frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t}\right)= \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} + \mathbf{H}\cdot\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t},$$

使用本構關係

$$\mathbf{D} = \epsilon_0 \mathbf{E},\quad \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{H}.$$

時間偏導意味著要用到馬克士威方程組的兩個方程。求麥克斯韋–法拉第方程與 H 的點積：

$$\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = - \nabla \times \mathbf{E} \ \rightarrow \ \mathbf{H}\cdot\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = - \mathbf{H}\cdot\nabla \times \mathbf{E},$$

再求麥克斯韋–安培方程與 E 的點積：

$$\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} + \mathbf{J} = \nabla \times \mathbf{H} \ \rightarrow \ \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} + \mathbf{E}\cdot\mathbf{J} = \mathbf{E}\cdot\nabla \times \mathbf{H}.$$

總和目前的結果得到：

$$\begin{align} -\nabla\cdot\mathbf{S} & = \frac{\partial u}{\partial t} +\mathbf{J}\cdot\mathbf{E} \\ & = \left(\mathbf{H}\cdot\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} + \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\right) + \mathbf{J}\cdot\mathbf{E} \\ & = \mathbf{E}\cdot\nabla \times \mathbf{H} - \mathbf{H}\cdot\nabla \times \mathbf{E}, \\ \end{align}$$

然後，利用向量微積分恆等式：

$$\nabla \cdot\mathbf{E} \times \mathbf{H}=\mathbf{H}\cdot\nabla \times \mathbf{E} - \mathbf{E}\cdot\nabla \times \mathbf{H},$$

給出了坡印廷矢量的表達式：

$$\mathbf{S} =\mathbf{E} \times \mathbf{H} ,$$

物理上意味著由於時變電場和磁場的能量傳遞與這兩種場垂直。

## 外部連結

- ScienceWorld上的「坡印亭定理」