前推 (微分)

假設 $\phi: M\rightarrow N$ 是光滑流形之間的光滑映射；則 $\phi$ 在一點 $x$ 處的微分在某種意義上是 $\phi$ 在 $x$ 附近的最佳線性逼近。這可以視為通常微積分中全導數的推廣。確切地說，它是從 $M$ 在 $x$ 處的切空間到 $N$ 在 $\phi(x)$ 處的切空間的一個線性映射，從而可以將 $M$ 的切向量「前推」成 $N$ 的切向量。

映射 $\phi$ 的微分也被一些的作者稱為 $\phi$ 的導數或全導數，有時它自己也之稱為前推（pushforward）。

## 動機

設 $\phi: U\rightarrow V$是從 $\mathbb{R}^m$ 的一個開集 $U$ 到 $\mathbb{R}^n$ 的開集 $V$ 的一個光滑映射。對任何 $U$ 中的給定點 $x$， $\phi$ 在 $x$ 的雅可比矩陣（關於標準坐標）是 $\phi$ 在 $x$ 的全微分的矩陣表示，這是一個從 $\mathbb{R}^m$ 到 $\mathbb{R}^n$ 的線性映射：

$$\mathrm d \varphi_x:\mathbb R^m\to\mathbb R^n\ .$$

我們希望將其推廣到 $\phi$ 是「任何」兩個光滑流形 $M$ 與 $N$ 之間的光滑映射。

## 光滑映射的微分

令 $\phi: M\rightarrow N$ 是光滑流形間的光滑映射。給定某點 $x \in M$，$\phi$ 在 $x$ 的微分或（全）導數是從 $M$ 在 $x$ 的切空間到 $N$ 在 $\phi(x)$ 的切空間一個線性映射

$$\mathrm d \varphi_x:T_xM\to T_{\varphi(x)}N\ ,$$

映射 $\operatorname{d}\!\phi_x$ 運用到切向量 $X$ 上有時稱為 $X$ 由 $\phi$ 的前推。前推的確切定義取決於我們怎樣定義切向量（不同的定義可參見切空間）。

如果我們定義切向量為通過 $x$ 的曲線等價類，那麼微分由

$$\mathrm d \varphi_x(\gamma'(0)) = (\varphi \circ \gamma)'(0)$$

給出，這裡 $\gamma$ 是 $M$ 上滿足 $\gamma(0)=x$ 的一條曲線。換句話說，一條曲線 $\gamma$ 在 0 處切向量的前推恰好是 $\phi \circ \gamma$ 在 0 處的切向量。

另一種方式，如果切向量定義為作用在光滑實值函數上的導子，那麼微分由

$$\mathrm d\varphi_x(X)(f) = X(f \circ \varphi)$$

給出，這裡 $X \in T_x M$，從而 $X$ 是定義在 $M$ 上的一個導子而 $f$ 是 $N$ 上一個光滑實值函數。根據定義，在給定 $M$ 上 $x$ 處 $X$ 的前推在 $T_{\phi(x)}N$中，從而定義了一個 $N$ 上的導子。

取定 $x$ 與 $\phi(x)$ 附近的坐標卡以後，$F$ 局部由 $\mathbb{R}^m$ 與 $\mathbb{R}^n$ 之間的光滑映射

$${\hat \varphi} : U \rightarrow V$$

確定。而 $\operatorname{d}\!\phi_x$ 具有表示（在 $x$ 附近）：

$$\mathrm d \varphi_x\Bigl(\frac{ \partial }{\partial u^a}\Bigr) = \frac{\partial {\hat \varphi}^b}{\partial u^a} \frac{ \partial }{\partial v^b},$$

這裡使用了愛因斯坦求和約定，偏導數對 $x$ 坐標卡相應的 $U$ 中的點取值。

線性擴張得到如下矩陣

$$(\mathrm d\varphi_x)_a^{\;b}= \frac{\partial {\hat\varphi}^b}{\partial u^a}.$$

從而光滑映射 $\phi$ 在每一點的微分是切空間之間的一個線性變換。從而在某些選定的局部坐標下，它表示為相應的從 $\mathbb{R}^m$ 到 $\mathbb{R}^n$ 光滑映射的雅可比矩陣。一般情形，微分不要求可逆。如果 $\phi$ 是一個局部微分同胚，那麼在 $x$ 點的前推是可逆的，其逆給出 $T_{\phi(x)}N$ 的拉回。

另外，局部微分同胚的微分是切空間之間的線性同構。

微分經常有其他一些記法，比如

$$D\varphi_x,\; (\varphi_*)_x, \;\varphi'(x)\ .$$

從定義可得出複合函數的微分便是微分的複合（即，具有函子性質），這便是光滑函數微分的鏈式法則。

## 切叢上的微分

光滑映射 $\phi$ 的微分以顯而易見的方式誘導了從 $M$ 的切叢到 $N$ 的切叢的一個叢映射（事實上是向量叢同態），記為 $\operatorname{d}\!\phi$ 或 $\phi*$，滿足如下的交換圖表：

這裡 $\pi_M$ 與 $\pi_N$ 分別表示 $M$ 與 $N$ 切叢的叢投影。

等價地（參見叢映射），$\phi*=\operatorname{d}\!\phi$ 是從 $TM$ 到 $M$ 上的拉回叢 $\phi^* TN$ 的叢映射，這可以看成 $M$ 上向量叢 $\hom(TM, \phi^* TN)$ 的一個截面。

## 向量場的前推

給定了一個光滑映射 $\phi: M\rightarrow N$ 與 $M$ 上一個向量場 $X$，一般不能定義 $X$ 通過 $\phi$ 的前推為 $N$ 的一個向量場。譬如，如果映射 $\phi$ 不是滿射，則在 $\phi$ 的像外部沒有自然的方式定義拉回；如果 $\phi$ 不是單射也有可能在給定一點拉回不止一種選擇。無論如何，可以用「沿著映射的向量場」概念將難處變精確。

$M$ 上 $\phi^* TN$ 的一個截面稱為沿著 $\phi$ 的向量場。例如，如果 $M$ 是 $N$ 的一個子叢而 $\phi$ 是包含映射，那麼沿著 $\phi$ 的向量場恰好是 $N$ 沿著 $M$ 的切叢的一個截面；特別的，$M$ 上的向量通過 $TM$ 包含到 $TN$ 中定義這樣一個截面。這種想法推廣到任何光滑映射。

假設 $X$ 是 $M$ 上一個向量場，即 $TM$ 的一個截面。那麼，運用逐點微分得出 $X$ 的前推$\phi^* X$，這是一個沿著 $\phi$ 的向量場，即 $M$ 上 $\phi^* TN$ 的一個截面。

任何 $N$ 上的向量場 $Y$ 定義了 $\phi^* TN$ 的一個拉回截面 $\phi^* Y$ 使得 $(\phi^* Y)_X=Y_{\phi(x)}$。$M$ 上一個向量場 $X$ 與 $N$ 上一個向量場 $Y$ 稱為 $\phi$-相關的，如果作為沿著 $\phi$ 的向量場有 $\phi*X=\phi^*Y$。換句話說，對任何 $x$ 屬於 $M$，有 $\operatorname{d}\!\phi_x(X)=Y_{\phi(x)}$。

在某些情形，給定 $M$ 上一個向量場 $X$，$N$ 上只有惟一的向量場 $Y$ 與 $X\phi$-相關。特別地，這在 $\phi$ 是微分同胚時自然成立。在這種情況下，前推定義了 $N$ 上一個向量場 $Y$，由

$$Y_x=\varphi_*(X_{\varphi^{-1}(x)}).$$

給出。一個更一般的情形是 $\phi$ 為滿射（比如纖維叢的叢投影）。這時 $M$ 上的向量場 $X$ 稱為可投影的，如果對任何 $y$ 屬於 $N$, $\operatorname{d}\!\phi_x(X_x)$ 與 $x$ 屬於 $\phi^{-1}(\{y\})$ 的取法無關。這恰好是保證 $X$ 的前推可以作為 $N$ 上的一個良定的向量場的條件。

## 參閲

- 拉回

## 參考文獻

- John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, (2003) Springer Graduate Texts in Mathematics 218.
- Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 See section 1.6.
- Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.7 and 2.3.