絕熱不變量

絕熱不變量，又稱浸漸不變量或緩漸不變量，是指一個物理系統中，經過一個緩慢的變化而幾乎保持不變的物理量，比如理想氣體在絕熱過程中的熵。這可以理解為，物理系統從一個狀態向另一個狀態過渡時，假如這個過程的持續時間趨向於無窮大，那麼絕熱不變量的變化就趨向於零。

浸漸不變量有一種錯誤的寫法是寢漸不變量。出現這種錯誤的原因是繁體「浸」的一種字體是「寖」，和「寢」很像。

在熱力學中，絕熱過程是一個隔絕系統與外界熱交換的過程，可快可慢。如果一個熱力學過程發生得非常緩慢，以至於比體系達到平衡還要慢，那麼這個過程就是可逆的，也被稱為準靜態過程。在可逆的絕熱過程中，系統時刻保持平衡，而且系統的熵是定值。在20世紀上半葉，量子物理學家用「絕熱過程」來描述可逆的絕熱過程和其他緩慢變化的過程。這種量子力學的定義更接近於熱力學中的准靜態過程，與絕熱過程沒有直接關係。

在力學裡面，絕熱變化是哈密頓函數的緩慢變化，其中能量的相對變化速度要遠遠緩於周期運動的頻率。相空間內，周期運動軌道所圍成的體積就是絕熱不變量。

在量子力學中，絕熱變化的變化率遠遠低於本徵態間的頻率差。在這種情況下系統的能級不會變化，所以系統的量子數是絕熱不變量。

在舊量子論中，系統的量子數等於經典的絕熱不變量。這就確定了玻爾-索末菲量子化條件：量子數等於相空間內運動軌道所圍成的體積。

在等離子體物理學中，絕熱不變量有三個μ、J、Φ，每個都與不同類型的周期性運動相對應。

## 熱力學

在熱力學中，可逆絕熱過程是熵不會增加的過程。在這種情況下，所有的變化發生得比較緩慢，使得系統時刻保持平衡，而且只允許相同溫度的子系統間發生熱交換。對於孤立系統，絕熱過程不允許熱量流入或者流出。

### 理想氣體的絕熱膨脹

如果一個裝有理想氣體的容器在瞬間膨脹，那麼其中氣體的溫度不會改變，因為氣體分子並不會改變速度。此時分子平均動能不變，然而氣體的體積卻增加了。然而，如果容器膨脹得比較緩慢，使得理想氣體壓強定律時刻適用，那麼氣體分子的動能會不斷減少，而且減少的動能用來向膨脹的容器壁做功。功的數值是壓強乘上容器壁面積再乘上向外的位移，也就是壓強乘上氣體體積增加量：

$$dW = P dV = {N k_B T \over V} dV$$

如果氣體沒有吸熱，那麼氣體的內能會減少相同的大小。根據定義，理想氣體的內能只是分子平均能量的函數，而與體積無關，所以

$$dT = {1 \over N C_v} dE$$

其中$C_{v}$是每個分子的定容熱容。當氣體內能的變化完全是由於對容器壁做功而引起，那麼溫度的變化量由下式給出：

$$N C_v dT = - dW = - {N{k_B}T \over V} dV$$

這就得到了溫度和體積變化關係的微分方程，這樣就可以積分得到不變量。常數$k_B$是玻耳茲曼常數，通過採用自然單位制，我們可以視其為1：

$$\, d(C_v N \log T) = - d( N \log V)$$

因此

$$\, C_v N \log T + N \log V$$

是一個絕熱不變量。它和理想氣體的熵$S$有關：

$$\, S = C_v N \log T + N \log V - N \log N = N \log (T^{C_v} V/N)$$

所以，理想氣體的熵也是個絕熱不變量。$N \log N$項使得熵具有可加性，成為廣延量，故兩團理想氣體的熵就是它們各自的熵相加。

在微觀表述下，一個擁有$3-N$個粒子的系統，$S$是$3-N$維相空間裡所有滿足能量為$E(T)$和體積為$V$的狀態數的對數。

對於一團單原子的理想氣體，這很容易算出來。我們先寫出系統的能量：

$$E= {1\over 2m} \sum_k p_{k1}^2 + p_{k2}^2 + p_{k3}^2$$

滿足總能量為$E$的各種粒子的狀態在相空間內確定了一個球面。這個球面是一個$3-N$維的，半徑為$\scriptstyle \sqrt{2mE}$的球的表面。這個球的體積是

${2\pi^{3N/2}(2mE)^{{3N-1}\over 2}}\over {\Gamma(3N/2)}$。

其中$\Gamma$是伽馬函數。

由於每個氣體分子都可以在體積$V$內部的任意位置存在，所以相空間內總能量為$E$的氣體狀態占有的體積是

${2\pi^{3N/2}(2mE)^{{3N-1}\over 2}}V^N\over {\Gamma(3N/2)}$。

由於$N$個氣體分子是全同的，所以相空間內戰友的體積要除以$N! = \Gamma(N+1)$，也就是$N$個粒子的全排列。

對伽馬函數應用斯特林公式，忽略當$N$趨於無限時的有限常數項。

$$S= N \big( 3/2 \log(E)- 3/2 \log(3N/2)+\log(V)-\log(N)\big )$$

$$= N \big( 3/2 \log(\scriptstyle{\frac 2 3} \displaystyle E/N)+\log(V/N)\big )$$

由於單原子理想氣體的定容熱容是$3 \over 2$，我們可以看到這和熱力學導出的熵函數是一樣的。

### 維恩定律，光子氣體的絕熱膨脹

對於一盒處於熱力學平衡的熱輻射，在忽略量子力學效應的情況下，其中的經典電磁場的能量是無窮大的，因為能量均分原理要求每一種頻率的輻射都有相同大小的能量，然而熱輻射的頻率由無窮多種。這在物理上是荒謬的，因為這就意味著所有的能量都會以高頻電磁波耗散。

然而，即使忽略量子力學，我們還是可以單單從熱力學中導出一些關於熱力學平衡分布的性質，因為絕熱不變量可以推廣到體積可變的光子氣體上。

當光子氣體的體積緩慢增大，因為碰壁而被反射的光的頻率可以通過都卜勒頻移得出。當容器壁靜止，則光反射時不改變頻率。當容器壁緩慢移動，則僅僅在與容器壁固連的參考系中，反射光的頻率才不會變。當容器壁向外移動，那麼反射光會發生紅移，頻率的改變量$\Delta f$由下式給出：

$$\Delta f = {2v\over c} f$$

同時，光的能量也會因體積膨脹而減少，因為光壓對容器壁做正功。由於光被反射，光壓等於兩倍的光動量，也就是$2E \over c$。光壓做功功率等於光壓乘上速度：

$$\, \Delta E = v{2E \over c}$$

綜合上述兩式，我們發現光的頻率的改變量和能量的改變量成比例關係：

$${\Delta f \over f} = {\Delta E \over E}$$

由於光子氣體的緩慢膨脹會保持熱力學分布不變，那麼我們可以得出，能量為$E$的光剛好具有頻率$f$的機率一定是$E \over f$的函數。

這個分布函數無法僅僅從熱力學推導出來，不過維恩猜測了一種在高頻率的情況下成立的分布函數形式。他假設分布函數有一個玻爾茲曼因子。這並不符合經典熱力學，因為在經典熱力學的情況下這個因子是${1 \over 2} \beta = {1 \over 2} k_B T$（由能量均分原理導出），然而此時維恩以一個新的，未經證實的卻符合高頻範圍實驗數據的假設因子取代之：

$$\, \langle E_f \rangle = e^{-\beta h f}$$

當所有空腔內的頻率的能量的期望值相加，我們便得到了維恩分布。這是一種描述經典光子氣體的熱力學分布。維恩定律蘊含了光是一份份，也就是量子化地傳遞能量的假設。維恩的光子氣體的熵正比於體積的$N$次方，其中$N$是光的「份」數。這啟發了愛因斯坦提出光量子的假說，其中光量子的能量正比於其頻率。這樣，光子氣體的熵就具有了統計學意義，也就是光子在容器內可能存在的位置數。

## 經典力學，作用量

假設哈密頓函數緩慢變化。比如，一個頻率可變的一維諧振子：

$$H_t(p,x) = {p^2\over 2m} + {m \omega(t)^2 x^2\over 2} \,$$

這個經典周期運動的作用量$J$是相空間內運動軌道圍成的體積：

$$J = \int_0^T p(t) {dx \over dt} dt \,$$

由於$J$是一個完整周期的積分，所以$J$只是能量的函數。當哈密頓函數不隨時間改變，即$J$是常數，正則共軛坐標$\theta$就會隨時間線性增大。

$${d\theta \over dt} = {\partial H \over \partial J} =H\,'(J) \,$$

所以在求作用量$J$時，在周期運動路徑上的對時間$t$的積分，可以用常數$H\,'$來轉換為對$\theta$的積分。將$J$的積分式對$J$求導，可以得到一個固定了$H\,'$的恆等式：

$${dJ\over dJ } = 1 = \int_0^T \bigg( {\partial p \over \partial J} {dx \over dt} + p {\partial \over \partial J} {dx \over dt} \bigg) dt = <pre> H\,' \int_0^T \bigg({\partial p \over \partial J}{\partial x \over \partial \theta} - {\partial p \over \partial \theta}{\partial x \over \partial J}\bigg) dt </pre> \,$$

被積函數是$x$和$p$的泊松括號。對於兩個正則共軛量，比如$x$和$p$，在任何正則坐標系內都恆等於1。所以

$$1 = H\,' \int_0^T \{ x,p \}\, dt = H\,'\, T \,$$

於是$H\,'$就是周期的倒數。$\theta$對於所有的$J$，都是一個隨時間線性增大的變量。$\theta$是一個角度變量。

### $J$的絕熱不變量

哈密頓函數僅僅是作用量$J$的函數，對於最簡單的諧振子。

$$\, H= \omega J \,$$

當$H$不隨時間變化，$J$就是個常數。當$H$緩慢地隨時間變化，$J$的變化率可以通過重寫$J$的積分表達式得到：

$$J = \int_0^{2\pi} p {\partial x \over \partial \theta} d\theta \,$$

該式對時間的導數是

$${dJ\over dt} = \int_0^{2\pi} \bigg({dp \over dt} {\partial x\over \partial \theta} + p {d\over dt} {\partial x \over \partial \theta} \bigg) d\theta \,$$

接下來我們把時間的微分用角度$\theta$的微分表示。應用$d\theta = \omega dt \,$並設$\omega:=1\,$以不失一般性，我們就能得到

$${dJ \over dt} = \int_0^{2\pi} \bigg({\partial p \over \partial \theta} {\partial x \over \partial \theta} + p {\partial \over \partial \theta} {\partial x \over \partial \theta} \bigg) d\theta \,$$

只要$J$和$\theta$在每一個周期里都變化不大，上式都可以分部積分，從而等於0。這說明緩慢變化中，作用量的變化量的一階小量等於0。

這就是絕熱不變量定理：作用量是絕熱不變量。

對於一個諧振子，當能量為$E$時，作用量$J$，也就是相空間內沿著周期運動路徑圍成的面積，是一個橢圓的面積。這個橢圓代表能量$E$：

$$E = {p^2\over 2m} + {m\omega^2 x^2\over 2} \,$$

橢圓的半長軸是$\scriptstyle \sqrt{2E/\omega^2m}$，半短軸是$\scriptstyle \sqrt{2mE}$。得到作用量$J = 2\pi E/\omega$。所以假如一個單擺被緩慢收緊，其頻率會變化，而能量也會以相同比例變化。

### 舊量子論

當普朗克發現可以通過向熱輻射添加經典的能量均分原理，而將維恩定律推廣到所有頻率，甚至低頻的時候，物理學家們想了解其他系統的量子化行為。

普朗克輻射定律定量地指出，電磁場的能量是以一小份為單位的，每一份正比於電磁場的頻率：

$$E= h f = \hbar \omega \,$$

從絕熱不變量可以推出每一個量子之與能量和頻率的商有關，而且由於能量必須具有可加性，那麼每一個能級的寬度必須是相等的。

愛因斯坦以及其後的德拜，通過考慮以量子化的振子來描述固體中聲波傳播的機制，發展了量子力學。這個模型解釋了當溫度非常低的時候，固體的熱容不遵守經典能量均分原理$3k_B$，而趨於0的原因。

在索爾維會議上，量子化其他物理學的問題被提了出來。洛倫茲指出了一個問題。考慮一個量子化的，擺長非常緩慢減小的單擺，其量子數是無法改變的，因為不存在一個足夠高的頻率以實現兩種狀態的過渡。然而事實上單擺的頻率隨著擺線變短而改變，所以量子態的能量也會改變。

愛因斯坦解釋說，對於緩慢的擺線收緊，單擺的頻率和能量都會變化，但比值保持不變。與其很相似的是，維恩觀察到在緩慢增大一個熱輻射腔的體積的時候，熱輻射的能量和頻率的比值是定值（參看本頁面熱力學部分）。最後的結論是，量子化的對象必須是絕熱不變量。

這場討論被索末菲發展到了一個更一般的理論：任何一個力學系統的量子數都是由絕熱不變量給出。由於諧振子的的作用量是一個整數，那麼一般化的量子化條件是：

$$\int p dq = n h \,$$

這個量子化條件是舊量子論的基石，可以定性預測原子系統的行為。這個理論對於量子數比較小的系統並不精確，因為這個理論糅合了經典和量子力學。不過，這是向新量子論邁出的重要一步。

## 等離子體物理

### 第一種絕熱不變量，磁矩μ

μ是旋轉粒子的磁矩，定義為：

$$\mu=\frac{\frac12mv_\perp^2}{B}$$

磁矩μ在時間和空間變化的磁場B中均恆定，因此它滿足絕熱不變量的定義條件，對應於拉莫爾迴轉這一周期性運動。

運動積分計算如下：

$$\oint p\,\mathrm{d}q=\oint mv_\perp r_\perp\,\mathrm{d}\theta = 2 \pi r_\perp mv_\perp = 2 \pi\frac{mv_\perp^2}{\omega_c} = 4\pi\frac{m}{\left|q\right|}\mu$$

在$\frac{m}{\left|q\right|}$不變的情況下，磁矩μ為運動常數。這是在假定$\frac{\omega}{\omega_c}\ll1$的情況下；在以$\frac{\omega}{\omega_c}$為參量的展開式中，不論展開到哪一階，磁矩μ均恆定。在一次拉莫爾迴轉的迴轉周期內，磁矩μ的變化遠遠小於磁場B的變化。

#### μ非絕熱不變量的情形

$\frac{\omega}{\omega_c}\ge1$時，μ非絕熱不變量，常見的例子有以下三種：

- 磁泵浦（magnetic pumping），若在磁鏡約束系統中，磁場的強度隨正弦規律變化，粒子的徑向速度$v_\perp$會震盪，若粒子間還存在碰撞的話，則粒子的部分迴轉能量會由徑向轉移到平行於磁場方向的速度分量中，此時μ非絕熱不變量。
- 迴旋加熱（cyclotion heating），在磁場B以${\omega_c}$的頻率振盪的情形下，拉莫爾運動被不斷加速，因而$\frac{\omega}{\omega_c}\ge1$，此時μ非絕熱不變量。
- 磁會切（Magnetic Cusps），在會切磁鏡與普通磁鏡共同構成的會切裝置的對稱中心處，磁場為0，${\omega_c}$也為0，因而$\frac{\omega}{\omega_c}\ge1$，此時μ非絕熱不變量。

### 第二種絕熱不變量，J

兩個磁鏡間，被俘獲的一個粒子，以反跳頻率做周期運動。這一周期性運動所對應的絕熱不變量稱為縱向不變量，通常記作J，定義如下：

$J=\int_a^b v_\|\,\mathrm{d}s$,

比如，在地磁場所產生的磁鏡中，大量粒子被捕獲，這些粒子繞地球在徑向上緩慢漂移，這一過程發生在電離層中。而且，儘管地磁場在太陽風的作用下並不對稱，粒子們仍然會回到同一條磁力線上。

#### J非絕熱不變量的情形

在渡越時間磁抽運（transit-time magnetic pumping）的情形中，等離子體被加熱，磁場的變化的時間小於反跳時間，因而J不守恆，也即J非絕熱不變量。

### 第三種絕熱不變量，Φ

對應於導向中心環繞地球的粒子緩慢漂移這一周期性運動，存在第三種絕熱不變量，即漂移表面所包圍的總磁通量Φ。但由於地磁場B的漲落比起這一漂移來，要迅速的多，因而這一不變量基本上沒有什麼應用性可言。

#### Φ非絕熱不變量的情形

在激發電離層磁流體波時，粒子在環繞地球漂移一周時能碰到同一相位的波，如果相位恰當，波可以從粒子獲得能量而被激發，此時，Φ非絕熱不變量

## 參考文獻

- F. F. Chen, Introduction to Plasma Physics and Controlled Fusion, Vol 1: Plasma Physics, Second Edition, Plenum Press, 1984
- F. F. Chen著，林光海譯《等離子體物理學導論》，人民教育出版社, 1980版。