解析函數

在數學中，解析函數（Analytic function）是局部上由收斂冪級數給出的函數。解析函數可分成實解析函數與複解析函數，兩者有類似之處，同時也有重要的差異。兩種類型的解析函數都是無窮可導的，但復解析函數表現出一些一般實解析函數不成立的性質。此外在超度量域上也可以定義解析函數，這套想法在當代數論與算術代數幾何中有重要應用。一個函數是解析函數若且唯若這個函數在它定義域內的每個點的鄰域內的泰勒級數都收斂。

解析函數集有時也寫作 $C^\omega$。

## 定義

形式地說，設開集$D \subseteq \mathbb{R}$，且函數 $f: D \rightarrow \mathbb{R}$，若對任何 $x_0 \in D$ 都存在 $x_0$ 在 $D$ 中的開鄰域，使得 $f$ 在其內可表為下述收斂冪級數,則此（實）函數稱為$D$上的（實）解析函數：

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-x_0 \right)^n = a_0 + a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2 + a_3 (x-x_0)^3 + \cdots$$

其中係數 $a_i$ 皆為實數。

或者等價地，實解析函數也可以定義為在定義域 $D$ 內每一點$x_0$的泰勒級數皆逐點收斂的光滑函數 $f$，即：

$$T(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}$$

在$x_0$的某個鄰域收斂到 $f(x)$。

集合$D$上的解析函數全體組成的集合通常記做$\mathcal{C}^\omega(D)$。

若函數$f(x)$在點$x_0$的某個鄰域上解析，則稱$f(x)$在點$x_0$處解析。

複解析函數的定義類此，僅須將上式的中的實數線換作複平面，並將實數換作複數即可。一個函數是復解析的，若且唯若這個函數是全純的（即復可微的）。出於這個原因，術語「全純」和「解析」經常可以互換。

## 例子

典型的解析函數有：

- 多項式函數是解析的。對於次數為n的多項式，其泰勒級數中大於n階的項必為零，自然也是收斂的。
- 指數函數是解析的。這個函數的泰勒級數在整個複平面上收斂。
- 三角函數、對數函數、冪函數在相應的定義域上都是解析的。
- 多數特殊函數（至少在複平面上的某些區域）
- 超幾何函數
- 貝塞爾函數
- 伽馬函數

典型的非解析函數有：

- 絕對值函數非解析函數，因為它在點0處不可微。分段定義的函數在分段處通常不是解析的。
- 複共軛函數$z\mapsto z^*$非複解析函數，儘管它在實數線上的限制（即恆等函數）是實解析函數。但如果把它看作從$\mathbb{R}^2$到$\mathbb{R}^2$的映射，則是實解析的。

## 等價描述

以下條件等價：

- $f$是$D\subseteq \mathbb{R}$上的實解析函數。
- $f$可以復解析延拓到複平面的開集$G$上，$G\supseteq D$。
- $f$是光滑的，且對任意緊集$K\subset D$，存在常數$C$使得對任意的$x\in K$、非負整數$k$，不等式$\left|\frac{d^kf}{dx^k}\right|\le C^{k+1}k!$成立。

復解析函數與全純函數等價，因此也更容易鑑別。

## 基本性質

- 解析函數的和、積與複合仍是解析函數（惟合成時須留意定義域的問題）。
- 若解析函數在一個開集上非零，則它在該開集上的倒數仍為解析函數。若一個可逆解析函數的導函數處處不為0，則其反函數也是解析函數。
- 凡解析函數皆屬光滑函數，即無窮可微。逆命題對實解析函數不成立。實際上，在某種意義上，實解析函數相比於實光滑函數是很稀少的。對複函數，逆命題確實成立，實際上任何一次可微的複函數都是解析的。
- 對任何開集$\Omega\subseteq \mathbb{C}$，所有解析函數組成的集合$\mathcal{A}(\Omega)$是弗雷歇空間（關於緊集上的一致收斂）。由莫雷拉定理易得解析函數在緊集上的一致極限仍是解析函數。全部的有界解析函數$\mathcal{A}_\infty(\Omega)$關於上確界範數構成巴拿赫空間。

事實上，假設所論解析函數皆可在原點附近一開集 $B(0, r) := \{ x : |x| < r \}$ 上表示為冪級數，則上述運算可以形式地操作：

$$\sum_{i \geq 0} a_i x^i + \sum_{i \geq 0} b_i x^i = \sum_{i \geq 0} (a_i+b_i) x^i$$

$$\sum_{i \geq 0} a_i x^i \cdot \sum_j b_j x^j = \sum_{k \geq 0} (\sum_{i+j=k} a_i b_j) x^k$$

$$f(x) = \sum_{i \geq 0} a_i x^i, g(x) = \sum_{i > 0} b_i x^i$$

$\Rightarrow (f \circ g)(x) = \sum_{i \geq 0} (\sum_{j>0} b_j x^j)^i$（定義域可能會縮小）

$$f(x) = 1 - \sum_{i>0} a_i x^i \Rightarrow \dfrac{1}{f(x)} = \sum_{j \geq 0} (\sum_{i>0} a_i x^i)^j$$

其中每個運算結果的係數都可以寫成有限的代數式。

一個非零多項式的零點數不大於它的次數，解析函數的零點也有類似的限制：若一解析函數的零點集在定義域內有極限點，則函數在包含該點的連通分支上恆為零。此外，若解析函數在一點的各階導數皆為零，則該函數在含該點的連通分支上為常數函數。

這些性質表明：儘管解析函數比多項式有更多的自由度，它仍是一個具有相當「剛性」的數學物件。

## 解析與可微

如上所述，實或複解析函數均在實變數的意義上無窮可微（記作光滑函數，或 $C^\infty$）。但是存在光滑卻非解析的函數，典型的例子是

$$f(x) := \begin{cases}e^{-\frac{1}{x}} & x > 0, \\ 0 & x \leq 0 \end{cases}$$

可證明它是光滑的，且在原點的任意開鄰域內都有無窮多個零點，故非解析。

複解析函數則不同：凡複解析函數必為全純函數（即複可導，以實變數表示則是滿足柯西-黎曼方程），反之亦然，因此全純函數與解析函數在複分析中是同一類對象。

## 實解析函數與複解析函數

實解析與複解析函數有些重要差異，一般而言複解析函數更具剛性。

依據劉維爾定理，定義在整個複平面上的有界解析函數必為常數。此結論對實解析函數不成立，例如：

$$f(x)=\frac{1}{x^2+1}.$$

此外，若一個複解析函數在一個以 $x_0$ 為中心的開圓盤內有定義，則在 $x_0$ 的冪級數展開式在該開圓盤內收斂。對實解析函數則不然。上面舉的例子在$x_0=0$處的泰勒展開式為$\sum_{n=0}^\infty{(-1)^nx^{2n}}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots$，在$|x|>1$時發散。

給定實數線上一個區間 $I$ 上的實解析函數 $f$，則 $f$ 能延拓為複平面上一開集 $U \supset I$ 上的複解析函數。然而定義在整個 $\mathbb{R}$ 上的實解析函數不一定能延拓到整個 $\mathbb{C}$，如前例之 $f$，在點$\pm i$處無定義。這解釋了為何$f$的泰勒級數在$|x|>1$時發散，收斂半徑為1。

## 超度量域上的解析函數

冪級數可以定義在任意域上，取帶有絕對值的域則能探討收歛性。實解析函數與複解析函數分別對應到 $\mathbb{R}$ 與 $\mathbb{C}$；在數論上也考慮超度量域，如 p進數域 $\mathbb{Q}_p$ 或 $\mathbb{C}_p := \widehat{\bar{\mathbb{Q}}_p}$。

由於超度量域滿足強三角不等式 $|x+y| \leq \mathrm{max}(|x|,|y|)$，遂具備許多獨特性質，例如 $\sum_i a_i$ 收斂若且唯若$\lim_{i \to \infty} a_i = 0$。雖然超度量分析缺乏實數或複數上的直觀，技術上卻往往簡單得多。

## 多元解析函數

利用多元冪級數，可將解析函數的定義直接推廣到多變元的情形。它們是局部上形如

$$s(x) := \sum_I a_I (x-a)^I$$

函數，其中 $x, a$ 皆為向量，而 $I$ 代表多重指標。

多元解析函數有一些性質和一元解析函數相同。但是，二維以上的解析函數還有一些有趣的新性質，複解析函數的情形尤其特出。例如：

- 根據Hartogs擴張定理，二元以上的復解析函數的零點集不會是離散的。