基靈矢量場

基靈矢量場，基靈矢量或基靈矢量場（Killing vector 或 Killing vector field），以德國數學家威爾海姆·基靈命名，是定義在黎曼流形或偽黎曼流形上的一組矢量場，流形的度規在這組矢量的方向上能夠保持不變。基靈矢量是等距同構的無窮小生成元，即由基靈矢量場生成的流包含有一種對稱性，也就是說流形在基靈矢量場的方向上進行平移不會改變其上點與點之間的距離。一個簡單的例子是一個圓周上具有相同長度並且指向順時針方向的矢量場即是一個基靈矢量場，因為將圓周上的點沿這些方向平移等同於順時針轉動這個圓周而不改變彼此間的距離。

如果度量（度規）的係數$g_{\mu \nu} \,$在某個坐標基$dx^{a} \,$下與$x^{K}$無關，那麼$x^{\mu} = \delta^{\mu}_{K} \,$自動是一個基靈向量，這裡 $\delta^{\mu}_{K} \,$是克羅內克函數。例如，如果度量係數都不是時間的函數，流形一定自動有一個類時基靈向量。

基靈矢量在廣義相對論中描述了時空幾何的對稱性，每一種對稱性都與一個基靈矢量相關聯。

## 數學定義

具體地，向量場X是一個基靈場，如果度量關於 X 李導數為零：

$$\mathcal{L}_{X} g = 0 \,.$$

用列維-奇維塔聯絡表示，即

$$g(\nabla_{Y} X, Z) + g(Y, \nabla_{Z} X) = 0 \,$$

對所有的向量Y與Z。在局部坐標系中，這便是基靈方程：

$$\nabla_{\mu} X_{\nu} + \nabla_{\nu} X_{\mu} = 0 \,.$$

該條件表示成共變形式，從而只要在一個特定的坐標系中成立就在所有坐標系下成立。

一個基靈場由其在一點的向量和其梯度（即這個場在該點的所有共變導數）決定。

兩個基靈場的李括號仍然是一個基靈場。從而流形M上的基靈場組成了M上一個李代數。如果M緊或者完備這便是流形的等距同構群的李代數。

對緊流形：

- 負里奇曲率意味著不存在非平凡基靈場。
- 非正里奇曲率，意味著任何基靈場都是平行的，即沿著任何向量場的共變導數恆為零。
- 如果截面曲率為正且M維數為偶，一個基靈場一定有零點。

基靈向量場可以推廣到共形基靈向量場，定義為：

$$\mathcal{L}_{X} g = \lambda g \,$$

對某個純量$\lambda\,$，一個單參數共形映射族的導數是共形基靈場。另一種推廣是共形基靈張量場，是一個對稱張量場T，使得$\nabla T \,$的對稱化中與跡無關的部分為零。

## 廣義時空幾何中的對稱性和守恆律

在廣義相對論中，基靈矢量與時空的對稱性緊密聯繫。簡單說來，當一個時空流形在特定變換下具有幾何不變性時，我們稱這種時空流形具有對稱性；也就是說度規在這種變換下是保持形式不變的。一個張量場可能會具有多種不同的對稱性，例如閔可夫斯基時空的平直度規在平移變換（包含四種基本對稱操作）及洛倫茲變換（包含六種基本對稱操作）下保持不變，即對於閔可夫斯基度規

$$ds^2 = \eta_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}\,$$

所具有的兩種對稱性表示為

$x^{\nu} \to x^{\nu} + a^{\nu}\,$ （平移對稱性）

$x^{\nu} \to \Lambda^{\nu}_{\mu}x^{\nu}\,$ （洛倫茲對稱性）

從閔可夫斯基時空的平移對稱性表示中我們可以看到，度規的係數$\eta_{\mu\nu}\,$（1或-1）和平移的坐標函數$x^{\nu}\,$無關。這個性質可以推廣到一般度規$g_{\mu\nu}\,$下的平移對稱性，即對於某些確定的坐標函數$x^{\sigma}\,$，如果$\partial_{\sigma}g_{\mu\nu} = 0\,$對所有的$\mu\,$和$\nu\,$成立，則度規在$x^{\sigma}\,$方向上具有平移對稱性：

$$\partial_{\sigma}g_{\mu\nu} = 0 \qquad \Rightarrow \qquad x^{\sigma} \to x^{\sigma} + a^{\sigma}\,$$

### 平移對稱性和動量守恆

對類時的測地線而言，測地線方程可以寫成動量的形式，即對於粒子的四維動量$p^{\mu} = mU^{\mu}\,$，測地線方程為

$$p^{\lambda}\nabla_{\lambda}p^{\mu} = 0$$

其中$p^{\lambda}\,$的上標可以降為下標而方程保持形式不變，根據協變導數的定義方程等價於

$$p^{\lambda}\partial_{\lambda}p_{\mu} - \Gamma^{\sigma}_{\lambda \mu}p^{\lambda}p_{\sigma} = 0\,$$

左邊第一項的含義是動量如何沿測地線變化：

$$p^{\lambda}\partial_{\lambda}p_{\mu} = m\frac{dx^{\lambda}}{d\tau}\partial_{\lambda}p_{\mu} = m\frac{dp_{\mu}}{d\tau}\,$$

而第二項可以化為如下形式：

$$\begin{align} \Gamma^{\sigma}_{\lambda \mu}p^{\lambda}p_{\sigma} & = \frac{1}{2}g^{\sigma\nu} \left( \partial_{\lambda}g_{\mu\nu} + \partial_{\mu}g_{\nu\lambda} - \partial_{\nu}g_{\lambda\mu} \right) p^{\lambda}p_{\sigma}\\ & = \frac{1}{2}\left( \partial_{\lambda}g_{\mu\nu} + \partial_{\mu}g_{\nu\lambda} - \partial_{\nu}g_{\lambda\mu} \right) p^{\lambda}p^{\nu}\\ & = \frac{1}{2}\left( \partial_{\mu}g_{\nu\lambda} \right) p^{\lambda}p^{\nu} \end{align}$$

其中第二步到第三步是用了$p^{\lambda}p^{\nu}\,$的對稱性，從而對稱的兩項可以消去。綜合上面的結果我們得到

$$m\frac{dp_{\mu}}{d\tau} = \frac{1}{2}\left( \partial_{\mu}g_{\nu\lambda} \right) p^{\lambda}p^{\nu}\,$$

從這個方程我們可知，對於度規$g_{\nu\lambda}\,$若在坐標方向$\mu\,$上偏導數為零，則沿坐標方向$\mu\,$的動量$p^{\mu}\,$不隨時間變化，即動量分量$p^{\mu}\,$是一個守恆量，即

$$\partial_{\sigma}g_{\mu\nu} = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \frac{dp_{\sigma}}{d\tau} = 0 \,$$

這個守恆律雖然是從類時的測地線得到的，它對所有的測地線都成立。

## 基靈矢量

我們在上節中看到，當度規與坐標的某一個分量無關時，度規在這個分量上則具有平移對稱性。現在從這個事實出發將其寫成協變的形式，即當一個一般的度規$g_{\mu\nu}\,$與某一坐標分量$x^{\sigma}\,$無關時，定義矢量$\partial_{\sigma}\,$將其標記為$\boldsymbol{K}\,$：

$$\boldsymbol{K} = \partial_{\sigma}\,$$

推導中一般寫成分量的形式：

$${K}^{\mu} = \left( \partial_{\sigma} \right)^{\mu} = \delta^{\mu}_{\sigma}\,$$

這裡我們稱${K}^{\mu}$是度規對稱性的生成矢量，即在這個矢量的方向上的無窮小變換操作下坐標保持不變。在這個矢量的作用下，守恆量可以寫成協變的形式，例如

$$p_{\sigma} = {K}^{\nu} p_{\nu}\,$$

從前文的推導我們已知，若$p^{\mu}\,$是沿測地線的（標量）守恆量，則它沿測地線的方向導數為零，用生成矢量的形式寫出來則得到

$$\frac{dp_{\sigma}}{d\tau} = 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad p^{\mu}\nabla_{\mu} \left({K}_{\nu} p^{\nu} \right) = 0 \,$$

將右面的式子作展開得到

$$\begin{align} p^{\mu}\nabla_{\mu} \left({K}_{\nu} p^{\nu} \right) & = p^{\mu}\nabla_{\mu} {K}_{\nu} p^{\nu} + p^{\mu}p^{\nu}\nabla_{\mu}K_{\nu}\\ & = p^{\mu}p^{\nu}\nabla_{\mu}K_{\nu} \\ & = p^{\mu}p^{\nu}\nabla_{( \mu}K_{\nu)} \end{align}$$

從第一步到第二步中第一項消去的原因是測地線方程，而第二步到第三步是由於$\mu\,$和$\nu\,$的對稱性。

由此可得到結論：對於任何滿足方程$\nabla_{( \mu}K_{\nu)} = 0\,$的矢量$K_{\nu}\,$，都對應著沿測地線的守恆量$K_{\nu}p^{\nu}\,$：

$$\nabla_{( \mu}K_{\nu)} = 0 \qquad \Rightarrow \qquad p^{\mu}\nabla_{\mu} \left({K}_{\nu} p^{\nu} \right) = 0\,$$

左面的方程$\nabla_{( \mu}K_{\nu)} = 0\,$叫做基靈方程，而滿足這個方程的矢量場$K_{\nu}\,$叫做基靈矢量場或直接稱作基靈矢量。基靈矢量的形式與度規的坐標選取有關，雖然上文的推導過程中基靈矢量的形式是$\boldsymbol{K} = \partial_{\sigma}\,$，這是由選取坐標系的特殊性決定的，在其他一般化的坐標系選取下它會具有不同的形式；但無論如何卻總能找到一個特定的坐標系使對應的基靈矢量滿足如$\boldsymbol{K} = \partial_{\sigma}\,$的形式。

從基靈矢量的概念可進一步推廣到基靈張量，即滿足方程

$$\nabla_{( \mu}K_{\nu_1 \nu_2 ... \nu_l)} = 0\,$$

$l\,$階張量$K_{\nu_1 \nu_2 ... \nu_l}\,$對應有守恆量${K}_{\nu_1 \nu_2 ... \nu_l} p^{\nu_1 \nu_2 ... \nu_l}\,$

$$p^{\mu}\nabla_{\mu} \left({K}_{\nu_1 \nu_2 ... \nu_l} p^{\nu_1 \nu_2 ... \nu_l} \right) = 0\,$$

度規本身就是一個基靈張量，在膨脹宇宙模型中，弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克度規也具有類時的基靈張量。

### 性質

基靈矢量的協變導數與黎曼張量直接聯繫，彼此關係為

$$\nabla_{\mu}\nabla_{\sigma}K^{\rho} = R^{\rho}_{\sigma\mu\nu}K^{\nu}\,$$

與里奇張量的關係為

$$\nabla_{\mu}\nabla_{\sigma}K^{\mu} = R_{\sigma\nu}K^{\nu}\,$$

從這兩個關係、比安基恆等式以及基靈方程可推出里奇標量在沿基靈矢量場的方向導數為零，這是其度規在這些方向上具有幾何不變性的體現：

$$K^{\lambda}\nabla_{\lambda}R = 0\,$$

### 類時的基靈矢量

動量守恆是空間平移不變性的體現，而能量守恆則是時間平移不變性的體現。藉助於一個類時的基靈矢量我們能夠定義一個全部時空的守恆能量：從基靈矢量$K_{\nu}\,$和能量-動量張量$T_{\mu\nu}\,$能夠定義一個流

$$J^{\mu} = K_{\nu}T^{\mu\nu}\,$$

這個流是一個守恆量：

$$\nabla_{\mu}J^{\mu} = \left( \nabla_{\mu}K_{\nu} \right) T^{\mu\nu} + K_{\nu} \left( \nabla_{\mu} T^{\mu\nu} \right) = 0\,$$

第一項為零是由於基靈方程，而第二項為零是由於$T_{\mu\nu}\,$的守恆。

當$K_{\nu}\,$是一個類時的基靈矢量時，可以通過對這個守恆流在整個類空的超平面$\Sigma\,$內積分從而定義時空中的總能量：

$$E = \int_{\Sigma} J^{\mu}n_{\mu}\sqrt{\gamma}\,d^3x\,$$

其中$\gamma_{ij}\,$是超平面$\Sigma\,$的誘導度規，而$n_{\mu}\,$是其法向矢量。這實際是廣義相對論中柯瑪質量的定義，在膨脹宇宙模型中時空中的總能量一般並不是守恆的，這與膨脹宇宙的度規是時間的函數有關。如果存在一個類時的基靈矢量，則度規與時間無關，從而存在一個守恆的能量定義。