伯特蘭定理

在經典力學裏，伯特蘭定理闡明，只有兩種位勢$V$可以給出閉合軌道：

- 平方反比連心力給出的連心勢，像重力勢或靜電勢，以方程式表示為

$V(r) = \frac{ - k}{r}$。

$V(r) = \frac{1}{2} kr^{2}$。

其中，$r$是徑向座標，$k$是正值常數。假若物體從某位置移動，經過一段路徑後，又回到原先位置，則稱此路徑為閉合軌道。

1687年，物理學家艾薩克·牛頓在著作《自然哲學的數學原理》裏提出了萬有引力定律，解釋了行星繞著太陽的公轉為何遵守克卜勒定律。此後許多科學家開始研究，當行星的運動稍許偏離了這軌道時，可能會發生的狀況。其中一個問題為軌道是否仍舊閉合。但經過多年的探討亦無法給出合理的解答。直到1873年，法國數學家約瑟·伯特蘭發表伯特蘭定理，才正確解析此問題。該定理對於經典天體力學研究非常重要，伯特蘭定理給予實驗者一個精確的方法，來測試萬有引力的平方反比性質。

在現代物理學裏，理論物理學家發現由於廣義相對論效應，引力與距離不再成精確的平方反比關係，因此軌道是非閉合的。天文學家作實驗觀測到，水星繞著太陽公轉的橢圓軌道，其近拱點呈緩慢進動狀態。

## 前論

所有吸引性連心力都可以產生圓形的公轉軌道；這圓形軌道當然是閉合軌道；其形成的唯一條件是連心力恰巧地與離心力等值；後者決定了維持某圓形半徑所需的角速度。本篇文章不研究非連心力。一般而言，非連心力不會產生圓形的公轉軌道。

採用極坐標$(r,\theta)$，一個移動於連心勢$V(r)$的粒子，其拉格朗日量$\mathcal{L}$是

$\mathcal{L}=\frac{1}{2}m\dot{r}^2+\frac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2 - V(r)$。

其中，$m$是粒子質量，$\dot{r}$、$\dot{\theta}$分別表示$r$、$\theta$對於時間$t$的導數。

這粒子的拉格朗日方程式為

$m\ddot{r} - mr\dot{\theta}^2+\frac{dV}{dr}=0$。

$\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta})=0$。

由於角坐標$\theta$顯性地跟拉格朗日量無關，$\theta$是個可略坐標，其共軛動量（角動量）$\ell$守恆，$\ell$是個常數：

$\ell=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}}=mr^2\dot{\theta}$。

將角動量的方程式代入徑向拉格朗日方程式，可以得到一個$r$的二次微分方程式。

$m\ddot{r} - \frac{\ell^2}{mr^3}+\frac{dV}{dr}=0$。

假設軌道是圓形軌道，方程式左手邊第一個項目是零，則如同期待的，連心力$- \frac{dV}{dr}$等值於離心力$- \frac{\ell^2}{mr^3}$。

對於時間的導數與對於角變數的導數之間關係為

$\frac{d}{dt} = \frac{\ell}{mr^{2}} \frac{d}{d\theta}$。

將這公式代入，可推導出一個跟角度有關，跟時間無關的軌道方程式：

$\frac{\ell}{r^{2}} \frac{d}{d\theta} \left( \frac{\ell}{mr^{2}} \frac{dr}{d\theta} \right) - \frac{\ell^{2}}{mr^{3}} = - \frac{dV}{dr}$。

設定變數$u = \frac{1}{r}$，改換方程式的變數為$u$，同時將方程式兩邊乘以$\frac{m}{\ell^2 u^2}$，可以得到一個常係數非齊次線性全微分方程式：

$\frac{d^2u}{d\theta^2}+u= - \frac{m}{\ell^2}\frac{d}{du}V(1/u)$。

## 導引

如同前面所說，給予粒子適當的初始速度，任何連心力都能產生標準圓形軌道。可是，假設給予粒子某徑向速度，則這些軌道可能不穩定（穩定在這裏定義為長久地公轉於同一條軌道），也可能不閉合。本段落會證明，穩定的閉合軌道只發生於平方反比連心勢或徑向諧振子勢（一個必要條件）。下一個段落會證明，這些位勢的確會產生穩定的閉合軌道（一個充分條件）。

為了簡化標記，設定

$J(u)= - \frac{m}{\ell^2}\frac{d}{du}V(1/u)= - \frac{m}{\ell^{2}u^{2}} f(1/u)$；(1)

其中，$f(1/u)$是連心力函數。

則軌道方程式為

$\frac{d^2u}{d\theta^2}+u=J(u)$。

如果要得到半徑為$r_0\equiv \frac{1}{u_0}$的圓形運動軌道，必要條件是軌道方程式左邊第一項等於零，方程式變為

$u_{0} = J(u_0)$。

思考對於標準圓形運動軌道的變數$u$的微擾$\eta \equiv u - u_{0}$，函數$J(u)$在$u_0$的泰勒級數為

$J(u)\approx u_0+\eta J^{\prime}(u_0)+\frac{1}{2}\eta^2 J^{\prime\prime}(u_0) +\frac{1}{6}\eta^3 J^{\prime\prime\prime}(u_0)+\ldots$。

將此展開示代入軌道方程式：

$\frac{d^2\eta}{d\theta^2}+\eta=\eta J^{\prime}(u_0)+\frac{1}{2}\eta^2 J^{\prime\prime}(u_0)+\frac{1}{6}\eta^3 J^{\prime\prime\prime}(u_0)\ldots$。

設定常數$\beta^2\equiv 1 - J^{\prime}(u_0)$（$\beta=0$的解答為標準圓形運動軌道）：

$\frac{d^2\eta}{d\theta^2}+\beta^2\eta=\frac{1}{2}\eta^2 J^{\prime\prime}(u_0) +\frac{1}{6}\eta^3 J^{\prime\prime\prime}(u_0) \ldots$。(2)

取至$\eta$的1次方：

$\frac{d^2\eta}{d\theta^2}+\beta^2\eta=0$。

$\beta^2$必須是個非負數；否則，軌道的半徑會呈指數方式遞增。一階微擾解答為

$\eta(\theta)=h_1\cos(\beta\theta)$。

其中，振幅$h_1$是個積分常數。

假若這軌道是閉合軌道，則$\beta$必須是有理數。繼續運算，從方程式(1)，取對於$u$的導數：

$\begin{align} J^{\prime}(u_0) & = -\frac{m}{\ell^2}\left( - \left.\frac{2f(1/u)}{u^3}\right|_{u_0}+\left.\frac{1}{u^2}\frac{d f(1/u)}{du}\right|_{u_0}\right) \\ <pre> & = - \left.\frac{2J(u)}{u}\right|_{u_o}+\frac{J(u)}{f(1/u)}\left.\frac{df}{du}\right|_{u_0}= - 2+\frac{u_0}{f(1/u_0)}\left.\frac{df}{du}\right|_{u_0}=1 - \beta^2 \\ \end{align}$。

這方程式對於任意$u_0$值都必須成立，因此可以將$u_0$認定為函數$\left.\frac{df}{du}\right|_{u_0}$的參數。用符號$u$來代替$u_0$。

$\frac{df}{du}= - (\beta^2 - 3 )\frac{f(1/u)}{u}$。

將方程式的變數換回為$r$。

$\frac{df}{dr} = \left( \beta^{2} - 3 \right) \frac{f}{r}$。

這意味著作用力必須遵守冪定律：

$f(r) = - \frac{k}{r^{3-\beta^2}}$。

代入方程式 (1) , $J$的一般形式為

$J(u) = \frac{mk}{\ell^2} u^{1-\beta^2}$。(3)

假設實際軌道與圓形有更大的差別（也就是說，不能忽略$J$函數的泰勒級數的更高次方項目），則可以用傅立葉級數來展開$\eta$：

$\eta(\theta) = h_0 + h_1\cos(\beta\theta)+h_2\cos(2\beta\theta) + h_3\cos(3\beta \theta) + \ldots$。

因為高頻率項目的係數太小，傅立葉級數只取至$3\beta$項目。方程式 (2)也只取至$\eta$的三次方。注意到$h_0$與$h_2$的數量級為$h_1^2\!$，超小於$h_1$；$h_3,\!$的數量級為$h_1^3$，超小於$h_0$與$h_2$。將上述傅立葉級數代入方程式 (2)，匹配方程式兩邊同頻率項目的係數。這樣，可以得到一系列方程式：

$h_0=h_1^2\frac{J^{\prime\prime}(u_0)}{4\beta^2}$，(4)

$0=(2h_1 h_0+h_1 h_2)\frac{J^{\prime\prime}(u_0)}{2}+h_1^3 \frac{J^{\prime\prime\prime}(u_0)}{8}$，(5)

$h_2= - h_1^2\frac{J^{\prime\prime}(u_0)}{12\beta^2}$。(6)

求$J(u)$在$u_0$對於$u$的微分：

$$J^{\prime}(u_0) =(1 - \beta^2) \frac{mk}{\ell^2} u_0^{ - \beta^2}=1 - \beta^2$$

$J^{\prime\prime}(u_0) =(1 - \beta^2)( - \beta^2)\frac{mk}{\ell^2} u_0^{ - \beta^2 - 1} = - \frac{\beta^2(1 - \beta^2)}{u_0}$。(7)

$J^{\prime\prime\prime}(u_0) =(1 - \beta^2)( - \beta^2)( - \beta^2 - 1)\frac{mk}{\ell^2} u_0^{ - \beta^2 - 2} =\frac{\beta^2(1 -\beta^2)(1+\beta^2)}{u_0^2}$。(8)

將方程式(7)、(8)代入方程式(4)、(6)：

$h_0= - \frac{(1-\beta^2)h_1^2}{4u_0}$，(9)

$h_2=\frac{(1-\beta^2)h_1^2}{12u_0}$。(10)

再將方程式 (7)、(8)、(9)、(10)代入方程式 (5)，經過一番運算，可以得到伯特蘭定理的重要結果：

$\beta^2( 1 - \beta^2)(4 - \beta^2)=0$。

解答$\beta=0$是標準圓形軌道。只有平方反比連心勢 ($\beta =1$)與徑向諧振子勢 ($\beta =2$)能夠造成穩定的，閉合的，非圓形的公轉軌道。

## 平方反比力（克卜勒問題）

平方反比連心力給出的連心勢，像重力勢或靜電勢，以方程式表示為

$V(\mathbf{r}) = \frac{ - k}{r} = - ku$。

處於這種連心勢的粒子，其一般軌道方程式寫為

$\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} + u = -\frac{m}{\ell^{2}} \frac{d}{du} V(1/u) = \frac{km}{\ell^{2}}$。

其解答為軌道函數$u(\theta)$：

$u= \frac{km}{\ell^{2}} \left[ 1 + e \cos \left( \theta - \theta_{0}\right) \right]$。

其中，$e$是橢圓軌道的離心率，$\theta_{0}$是相位差，是一個積分常數。

這是焦點位於原點的圓錐曲線的一般方程式。當$e=0$時，這軌道對應於圓形軌道。

當$e<1$時，這軌道是橢圓形軌道；當$e=1$時，這軌道是拋物線軌道；當$e>1$時，這軌道是雙曲線軌道。

離心率與粒子能量$E$的關係為

$e = \sqrt{1 + \frac{2E\ell^{2}}{k^{2}m}}$。

所以，當$E= - \frac{k^{2}m}{2\ell^{2}}$時，這軌道是圓形軌道。

當$E<0$時，這軌道是橢圓形軌道；當$E=0$時，這軌道是拋物線軌道；當$E>0$時，這軌道是雙曲線軌道。

## 徑向諧振子

為了方便解析這問題，採用直角坐標$\mathbf{r} = (x, y, z)$。勢能可以寫為

$V(\mathbf{r}) = \frac{1}{2} kr^{2} = \frac{1}{2} k ( x^{2} + y^{2} + z^{2})$。

處於徑向諧振子位勢的粒子，其拉格朗日量$\mathcal{L}$是

$\mathcal{L}=\frac{1}{2} m (\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}) +\frac{1}{2} k (x^{2}+y^{2}+z^{2})$。

這粒子的拉格朗日方程式為

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \omega_{0}^{2} x = 0$。

$\frac{d^{2}y}{dt^{2}} + \omega_{0}^{2} y = 0$。

$\frac{d^{2}z}{dt^{2}} + \omega_{0}^{2} z = 0$。

其中，$\omega_{0}=k/m$是振動頻率。

常數$k$必須為正值；否則，粒子會朝著無窮遠飛離。這些微分方程式的解答為

$x = A_{x} \cos \left(\omega_{0} t + \phi_{x} \right)$。

$y = A_{y} \cos \left(\omega_{0} t + \phi_{y} \right)$。

$z = A_{z} \cos \left(\omega_{0} t + \phi_{z} \right)$。

其中，$A_{x}$、$A_{y}$、$A_{z}$分別為x、y、z方向的振幅，$\phi_{x}$、$\phi_{y}$、$\phi_{z}$分別為其相位

由於上述方程式經過整整一周期$T \equiv {2\pi}/{\omega_{0}}$後，會重複自己，軌道解答$\mathbf{r}(t) = \left[ x(t), y(y), z(t) \right]$是閉合軌道。

## 牛頓旋轉軌道定理

牛頓旋轉軌道定理表明，對於一個感受到線性作用力或平方反比作用力的移動中的粒子，假設再增添立方反比力於此粒子，只要因子$\alpha$是有理數，則粒子的軌道仍舊是閉合軌道。根據牛頓旋轉軌道定理的方程式，增添的立方反比力$\Delta F(r)=\frac{k}{r^3}$為

$\Delta F(r)=\frac{L_{1}^{2}}{mr^{3}} \left( 1 - \alpha^{2} \right)$。

其中，$\ell_{1}$是粒子原本的角動量，$m$是粒子的質量。

所以，$\alpha^2=1 - \frac{mk}{\ell_1^2}$。

由於$\alpha$是有理數，$\alpha$可以寫為分數$m/n$；其中，$m$和$n$都是整數。對於這案例，增添立方反比力使得粒子完成$m$圈公轉的時間等於原本完成$n$圈公轉的時間。這種產生閉合軌道的方法不違背伯特蘭定理，因為，增添的立方反比力與粒子的原本角動量有關。

## 參閱

- 二體問題
- 三體問題
- 克卜勒定律
- 牛頓旋轉軌道定理