弗里德曼方程

弗里德曼方程（Friedmann equations）是廣義相對論框架下描述空間上均一且各向同性的膨脹宇宙模型的一組方程。它們最早由亞歷山大·弗里德曼在1922年得出，他通過在弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克度規下對具有給定質量密度$\rho\,$和壓力$p\,$的流體的能量-動量張量應用愛因斯坦引力場方程而得到。而具有負的空間曲率的方程則由弗里德曼在1924年得到。

## 假設

弗里德曼方程所基於的假設是宇宙在空間上是均一且各向同性的；從今天的經驗來看，這個假設在大於一億秒差距的尺度上是合理的。這個假設要求宇宙的度規具有如下形式：

$$ds^2 = {a(t)}^2 ds_3^2 - dt^2$$

其中宇宙標度因子$a(t)\,$只與時間有關，因而三維空間度規$ds_3^2\,$必須是下面三種形式之一：

- 平直空間（曲率處處為零）
- 具有常數正曲率的三維球面
- 具有常數負曲率的三維雙曲面

在下面的討論中，這三種情形各自對應著一個參數k的值，分別為0，1，-1。而$a(t)\,$被稱作宇宙標度因子，它能夠通過愛因斯坦場方程和宇宙間物質的能量和應力聯繫。

## 方程

描述一個均一且各向同性的膨脹宇宙模型需要兩個獨立的弗里德曼方程，它們是

$$H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}$$

這一方程來自愛因斯坦場方程的00分量；以及

$$\dot{H} + H^2 = \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}$$

這一方程來自愛因斯坦場方程的跡。其中$G, \Lambda, c\,$是普適性常數，而在每一個特定解中$k\,$也是常數；$a, H, \rho, p\,$是隨時間變化的函數。這裡$H \equiv \frac{\dot{a}}{a}$是哈勃參數，表徵著宇宙膨脹的速率；$\Lambda$是宇宙學常數；$G$是牛頓的萬有引力常數；$c$是真空中的光速。$k \over a^2$是宇宙任意「時間切片」的空間曲率，它在這裡等於里奇標量$R\,$的六分之一，這是由於在弗里德曼模型中$R = \frac{6}{a^2}(\ddot{a} a + \dot{a}^2 + kc^2)$。通常我們在選取參數$a\,$或$k\,$進行不同情形的討論時它們可以代表兩者不同的含義，但最終所代表的物理模型本質是一樣的。

- $k = 1, 0, -1\,$代表著宇宙的形狀，分別代表著閉合的三維球面、平直（歐幾里得空間）和開放的三維雙曲面，此時的$a\,$值分別對應著宇宙的曲率半徑（$k = 1\,$）、在給定時間上的任意正值$k = 0\,$，以及在$k = -1\,$的情形下，$i \cdot a\,$（粗略地）對應著宇宙的曲率半徑。
- $a\,$作為宇宙標度因子，在現在取為1；而$k\,$在$a=1\,$時表示宇宙的空間曲率。如果宇宙的形狀是超球面，曲率半徑為$R_t\,$（在現在的時刻為$R_0\,$），則$a=R_t/R_0\,$。如果$k\,$是正值，則宇宙是超球面；零值時是平直空間；負值時是超雙曲面。

通過第一個方程，第二個方程的形式可以寫為

$$\dot{\rho} = -3 H \left(\rho + \frac{p}{c^2}\right),$$

這個形式消除了宇宙常數項並體現了質能守恆定律。

有時方程可以通過如下重新定義來簡化：

$$\rho \rightarrow \rho + \frac{\Lambda c^2}{8 \pi G}$$

$$p \rightarrow p - \frac{\Lambda c^4}{8 \pi G}$$

從而得到

$$H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3}\rho - \frac{kc^2}{a^2}$$

$$\dot{H} + H^2 = \frac{\ddot{a}}{a} = - \frac{4\pi G}{3}\left(\rho + \frac{3p}{c^2}\right).$$

簡化後第二個方程在這個變換下具有不變性。

哈勃參數$H\,$在其他參數隨時間變化（特別是質量密度、真空能量或空間曲率）時也是隨時間變化的；而在當今對哈勃參數的測量表明它在哈勃定律中是一個常數。如果將弗里德曼方程應用於一個流體的狀態方程，所得到的宇宙的時空幾何是流體密度的函數。

有些宇宙學家將第二個方程稱作弗里德曼加速方程，而只稱第一個方程為弗里德曼方程。

## 密度參數

宇宙的密度參數$\Omega\,$，定義為宇宙的實際（或觀測）密度與弗里德曼宇宙的臨界密度$\Omega_c\,$的比值。得到臨界密度需要假設宇宙學常數為零（基本的弗里德曼宇宙正包含這個假設）並使歸一化的空間曲率$k\,$為零，從而根據第一個方程得到

$$\rho_c = \frac{3 H^2}{8 \pi G}.$$

密度參數因此為

$$\Omega \equiv \frac{\rho}{\rho_c} = \frac{8 \pi G\rho}{3 H^2}.$$

這個參數本來是用來判斷宇宙的空間幾何形狀的一種方法，在臨界密度$\Omega_c\,$時宇宙的形狀是平直的。在真空能量密度為零的假設下，如果密度參數大於一，宇宙在空間上是閉合的，宇宙會最終停止膨脹並開始坍縮；如果密度參數小於一，宇宙在空間上是開放的，宇宙會一直保持膨脹下去。不過，如果將空間曲率和真空能量都一起考慮到密度參數中，也有可能出現密度參數正好等於一的情況，驗證這種情況就需要對宇宙中多個參數進行測量。根據宇宙的ΛCDM模型，密度參數所包含的重要參數還有重子、冷暗物質和暗能量。根據威爾金森微波各向異性探測器（WMAP）對宇宙空間幾何的探測表明，宇宙是接近平直的，即空間曲率$k\,$為零。

第一個弗里德曼方程經常用密度參數來表示為

$$\frac{H^2}{H_0^2} = \Omega_R a^{-4} + \Omega_M a^{-3} + \Omega_k a^{-2} + \Omega_{\Lambda}.$$

其中$\Omega_R\,$是宇宙現在的輻射密度（即$a = 1\,$時的密度），$\Omega_M\,$是宇宙現在的物質密度（包括重子和暗物質），$\Omega_k = 1 - \Omega\,$是宇宙現在的空間曲率密度，而$\Omega_{\Lambda}\,$是宇宙現在的宇宙常數或真空能量密度。

## 有用的解

在理想流體的情形下，弗里德曼方程很容易求解；此時的狀態方程是

$$p=w\rho c^2,\!$$

其中$p\,$是壓力，$\rho\,$是流體在自身參考系下的質量密度，$w\,$是一個常數。此時的宇宙標度因子的解為

$$a(t)=a_0\,t^{\frac{2}{3(w+1)}}$$

其中$a_0\,$是能夠根據初始條件得到的積分常數。而$w\,$在取不同的值時對應著不同的解，這一族解對宇宙學意義非常重要。例如在$w = 0\,$時對應著物質占主導地位的宇宙，意味著宇宙中物質的密度遠超過輻射的密度，從一般解中可以看到此時的解為

$a(t)\propto t^{2/3}$ 物質主導宇宙

另一種情形是輻射密度遠大於物質密度，此時對應$w = 1/3\,$，即

$a(t)\propto t^{1/2}$ 輻射主導宇宙