Θ函數

數學中，Θ函數是一種多複變特殊函數。其應用包括阿貝爾簇與模空間、二次形式、孤立子理論；其格拉斯曼代數推廣亦出現於量子場論，尤其於超弦與D-膜理論。

Θ函數最常見於橢圓函數理論。相對於其「z」變量，Θ函數是擬周期函數（quasiperiodic function），具有「擬周期性」。在一般下降理論中，Θ函數是來自線叢條件。

## 雅可比Θ函數

雅可比Θ函數取二變量$z\,$與$\tau\,$，其中$z\,$為任何複數，而$\tau\,$為上半複平面上一點；此函數之定義為：

$\vartheta (z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \ e^{(\pi i n^2 \tau +2 \pi i n z ) }$。

若固定$\tau\,$，則此成為一週期為$1 \,$的單變量$(z)\,$整函數的傅里葉級數：

$\vartheta( z+1; \tau) = \vartheta (z; \tau)$。

在以 $\tau\,$ 位移時，此函數符合：

$\vartheta(z+a+b\tau;\tau) = \ e^{(-\pi i b^2 \tau -2 \pi i b z)}\vartheta(z;\tau)$。

其中 $a \,$與$b \,$為整數。

## 輔助函數

可定義輔助函數：

$$\vartheta_{01} (z;\tau) = \vartheta(z+\frac{1}{2};\tau)$$

$$\vartheta_{10}(z;\tau) = e^{\frac{\pi {\mathrm{i}} \tau}{4} + \pi {\mathrm{i}} z}\vartheta(z+\frac{\tau}{2};\tau)$$

$$\vartheta_{11}(z;\tau) = e^{\frac{\pi {\mathrm{i}} \tau}{4} + \pi {\mathrm{i}} (z+\frac{1}{2})}\vartheta(z+\frac{\tau+1}{2};\tau).$$

其中符號依黎曼與芒福德之習慣；雅可比的原文用變量$q = e^{\pi {\mathrm{i}} \tau}\,$替換了$\tau\,$，而稱本條目中的Θ為$\theta_3\,$，$\vartheta_{01}$為$\theta_0\,$，$\vartheta_{10}$為$\theta_2\,$，$\vartheta_{11}$為$-\theta_1\,$。

若設$z= 0 \,$，則我們可從以上獲得四支單以$\tau\,$為變量之函數，其中$\tau\,$取值於上半複平面。此等函數人稱「Θ『常量』」（theta constant）；我們可以用Θ函數定義一系列模形式，或參數化某些曲線。由「雅可比 恆等式」可得：

$\vartheta(0;\tau)^4 = \vartheta_{01}(0;\tau)^4 + \vartheta_{10}(0;\tau)^4$,

是為四次費馬曲線。

## 雅可比恆等式

雅可比恆等式描述模羣在Θ函數之作用；模羣之生成元為T: τ ↦ τ+1與S: τ ↦ -1/τ。我們已有 T 作用之式。設：

$$\alpha = (- {\mathrm{i}} \tau)^{\frac{1}{2}} e^{{\pi {\mathrm{i}} z^2}{\tau}}\,$$

則

$$\vartheta (\frac{z}{\tau}; -\frac{1}{\tau}) = \alpha \vartheta(z; \tau)$$

$$\vartheta_{01} (\frac{z}{\tau}; -\frac{1}{\tau}) = \alpha \vartheta_{10}(z; \tau)$$

$$\vartheta_{10} (\frac{z}{\tau}; -\frac{1}{\tau}) = \alpha \vartheta_{01}(z; \tau)$$

$$\vartheta_{11} (\frac{z}{\tau}; -\frac{1}{\tau}) = -\alpha \vartheta_{11}(z; \tau)$$

## 以nome q表示Θ函數

我們可用變量$w\,$與$q\,$，代替$z \,$與$\tau\,$，來表示ϑ。設$w =e^{\pi {\mathrm{i}} z}\,$而$q =e^{\pi {\mathrm{i}} \tau}\,$。則ϑ可表示為：

$$\vartheta(w; q) = \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n}q^{n^2}.$$

而輔助Θ函數可表示為：

$$\vartheta_{01}(w; q) = \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n w^{2n}q^{n^2},$$

$$\vartheta_{10}(w; q) = q^{\frac{1}{4}} \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n+1}q^{n^2+n},$$

$$\vartheta_{11}(w; q) = {\mathrm{i}} q^{\frac{1}{4}} \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n w^{2n+1}q^{n^2+n}.$$

此表示式不需要指數函數，所以適用於指數函數無每一處定義域，如p進數域。

## 乘積表示式

雅可比三重積恆等式（Jacobi's triple product identity）中指出：若有複數$w\,$和$q\,$，其中$|q|<1 \,$而$w \neq 0\,$，則

$$\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + w^{2}q^{2m-1}\right) \left( 1 + w^{-2}q^{2m-1}\right) = \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n}q^{n^2}.$$

此式可以用基本方法證明，如戈弗雷·哈羅德·哈代和愛德華·梅特蘭·賴特共同編著的《數論導引》（An Introduction to the Theory of Numbers）。

若用nome變量$q = e^{\pi i \tau}\,$與$w = e^{\pi i z}\,$表示，則有：

$$\vartheta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(\pi i \tau n^2) \exp(\pi i z 2n) = \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n}q^{n^2}.$$

由此得到Θ函數的積公式：

$$\vartheta(z; \tau) = \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - \exp(2m \pi i \tau)\right) \left( 1 + \exp((2m-1) \pi i \tau + 2 \pi i z)\right) \left( 1 + \exp((2m-1) \pi i \tau -2 \pi i z)\right)$$

三重積等式左邊可以擴展成：

$$\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + (w^{2}+w^{-2})q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),$$

即

$\vartheta(z|q) = \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + 2 \cos(2 \pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right)$。

這個式子在z取實值時尤為重要。

各輔助Θ函數亦有類似之積公式：

$$\vartheta_{01}(z|q) = \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 - 2 \cos(2 \pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).$$

$$\vartheta_{10}(z|q) = 2 q^{1/4}\cos(\pi z)\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + 2 \cos(2 \pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).$$

$$\vartheta_{11}(z|q) = -2 q^{1/4}\sin(\pi z)\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 - 2 \cos(2 \pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).$$

## 積分表示式

雅可比Θ函數可用積分表示，如下：

$$\vartheta (z; \tau) = -i \int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \cos (2 u z + \pi u) \over \sin (\pi u)} du$$

$$\vartheta_{01} (z; \tau) = -i \int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \cos (2 u z) \over \sin (\pi u)} du.$$

$$\vartheta_{10} (z; \tau) = -i e^{iz + i \pi \tau / 4} \int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \cos (2 u z + \pi u + \pi \tau u) \over \sin (\pi u)} du$$

$$\vartheta_{11} (z; \tau) = e^{iz + i \pi \tau / 4} \int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \cos (2 u z + \pi \tau u) \over \sin (\pi u)} du$$

## 與黎曼ζ函數的關係

黎曼常用關係式

$$\vartheta(0;-\frac{1}{\tau})=(-i\tau)^{\frac{1}{2}} \vartheta(0;\tau)$$

以證黎曼ζ函數之函數方程。他寫下等式：

$\Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \pi^{-\frac{s}{2}} \zeta(s) = \frac{1}{2}\int_0^\infty\left[\vartheta(0;it)-1\right] t^{\frac{s}{2}}\frac{dt}{t}$。

而此積分於替換$s \to 1-s$下不變。$z\,$非零時之積分，在赫爾維茨ζ函數一文有描述。

## 與基本橢圓函數之關係

雅可比用Θ函數來構造橢圓函數，並使其有易於計算之形式，因為Θ函數中快速收斂的級數往往比積分容易計算。他表示他的橢圓函數成兩枚上述Θ函數之商，這可參見雅可比橢圓函數的定義。魏爾施特拉斯橢圓函數亦可由雅可比Θ構造：

$$\wp(z;\tau) = -(\log \vartheta_{11}(z;\tau))'' + c$$

其中二次微分相對於z，而常數c使$\wp(z)$的羅朗級數（於 z = 0）常項為零，因為雅可比橢圓函數單位胞腔內兩極點互為相反數，和為零，而魏爾施特拉斯橢圓函數的所有極點留數均為零，所以這是必要的。

## 與模形式之關係

設η為戴德金η函數。則

$\vartheta(0;\tau)=\frac{\eta^2\left(\tau+\frac{1}{2}\right)}{\eta(2\tau+1)}$.

## 解熱方程

雅可比Θ函數為一維熱方程、於時間為零時符合週期邊界條件之唯一解。設z = x取實值，τ = it而t取正值。則有

$$\vartheta (x,it)=1+2\sum_{n=1}^\infty \exp(-\pi n^2 t) \cos(2\pi nx)$$

此解此下方程：

$\frac{\partial}{\partial t} \vartheta(x,it)=\frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \vartheta(x,it)$。

於t = 0時，Θ函數成為「狄拉克梳狀函數」（Dirac comb）

$\lim_{t\rightarrow 0} \vartheta(x,it)=\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-n)$。

其中δ為狄拉克δ函數，故可知此解是唯一的。

因此，一般解可得自t = 0時的（週期）邊界條件與Θ函數的卷積。

## 與海森堡羣之關係

雅可比Θ函在海森堡羣之一離散子羣作用下不變。見海森堡羣之Θ表示一文。

## 推廣

若F為一n元二次型，則有一關連的Θ函數

$$\theta_F (z)= \sum_{m\in Z^n} \exp(2\pi izF(m))$$

其中Zn為整數格。此Θ函數是模羣（或某適當子羣）上的權n/2 模形式。在其富理埃級數

$$\theta_F (z) = \sum_{k=0}^\infty R_F(k) \exp(2\pi ikz)$$

中，RF(k) 稱為此模形式之「表示數」（representation numbers）。

### 黎曼Θ函數

設

$$\mathbb{H}_n=\{F\in M(n,\mathbb{C}) \; \mathrm{s.t.}\, F=F^T \;\textrm{and}\; \mbox{Im} F >0 \}$$

為一集對稱方矩陣，其虛部為正定，一般稱Hn為「西格爾上半平面」（Siegel upper half-plane），它是上半複平面的高維推廣。模羣之n維推廣為辛羣Sp(2n,Z)：當n = 1 時， Sp(2,Z) = SL(2,Z)。同餘子群（congruence subgroup）的n維推廣為態射核$\textrm{Ker} \{\textrm{Sp}(2n,\mathbb{Z})\rightarrow \textrm{Sp}(2n,\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}) \}$。

若設$\tau\in \mathbb{H}_n$，則可定義黎曼Θ函數：

$\theta (z,\tau)=\sum_{m\in Z^n} \exp\left(2\pi i \left(\frac{1}{2} m^T \tau m +m^T z \right)\right)$。

$\theta (z,\tau)=\sum_{m\in Z^n} \exp\left(2\pi i \left(\frac{1}{2} m^T \tau m +m^T z \right)\right)$。

其中$z\in \mathbb{C}^n$為一n維複向量，上標T為轉置。然則雅可比Θ函數為其特例（設n = 1、 $\tau \in \mathbb{H}$；其中$\mathbb{H}$為上半平面）。

在$\mathbb{C}^n\times \mathbb{H}_n.$的緊緻子集上，黎曼Θ函數絶對一致收歛。

函數方程為：

$\theta (z+a+\tau b, \tau) = \exp 2\pi i \left(-b^Tz-\frac{1}{2}b^T\tau b\right) \theta (z,\tau)$。

此方程成立於$a,b \in \mathbb{Z}^n$, $z \in \mathbb{C}^n$， $\tau \in \mathbb{H}_n$。

## 參考文獻

- Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. (See section 16.27ff.)
- Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
- Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 (See Chapter 6 for treatment of the Riemann theta)
- G. H. Hardy and E. M. Wright，An Introduction to the Theory of Numbers, fourth edition (1959) , Oxford University Press
- David Mumford，Tata Lectures on Theta I (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7
- James Pierpont Functions of a Complex Variable, Dover
- Harry E. Rauch and Hershel M. Farkas, Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces, (1974) Williams & Wilkins Co. Baltimore ISBN 0-683-07196-3.