安培環路定律

本條目中，向量與標量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。

安培環路定律（Ampère's circuital law）常簡稱「安培定律」，是經典電磁學中將「閉合迴路（環路）周圍磁場的環量」與「穿過該環路的電流」聯繫起來的定律。此定律可藉由測量一圈的「磁場足跡」，來反推中間穿過了多少電流。安培環路定律屬於靜磁學基本定律。由於畢奧-薩伐爾定律是基本公理，此磁場與電流的環路關係是可以被數學證明出來的，因此，嚴謹的稱呼，應該為安培環路定理（Ampère's circuital theorem）。

安培環路定律是受到奧斯特於1820年發現「電流產生磁場」現象所啟發，此發現促使安培、麥克斯韋等人開展了理論與實驗研究，最終形成了該定律的現代形式。首先，1826年由安培提出初步概念；其後，1855年麥克斯韋發表了較完整定律。1865年，麥克斯韋藉由引入位移電流項，將該定律推廣到可以處理隨時間變化的電流情況。最終修正的定律稱為安培-麥克斯韋定律（Ampère-Maxwell law），而修正後得到的方程稱為安培-麥克斯韋方程（Ampère-Maxwell equation），它是構成經典電磁學基礎的麥克斯韋方程組之一。

## 定律方程

安培環路定律表明了：在真空中載流導線所載有的穩恆電流，與磁感應強度沿著環繞導線的任意閉合迴路（環路，closed loop）的路徑積分（環場積），兩者之間的關係為

$\oint_\mathbb{C} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} =\mu_0 I_{\text{enc}}$。

其中，$\mathbb{C}$是環繞著導線的閉合迴路，$\mathbf{B}$是磁感應強度（又稱為磁場），$\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$是微小線元素向量，$\mu_0$是磁常數，$I_{\text{enc}}$是閉合迴路$\mathbb{C}$所圍住的電流。

亦即，在真空中的穩恆電流會產生穩恆磁場，而磁感應強度B沿任意環繞載流導線的閉合路徑的線積分值（環場積），等於該選取的環路（安培環路）所包圍的總電流值（各個電流的代數和）乘以真空磁導率。

詹姆斯·馬克士威將方程式重新推導一遍，使得符合電動力學條件，並且發表結果於論文《論物理力線》內。馬克士威認為，含時電場會生成磁場，假若電場含時間，則前述安培定律方程式不成立，必須加以修正。經過修正後，新的方程式稱為馬克士威-安培方程式，是馬克士威方程組中的一個方程式，以積分形式表示為

$\oint_\mathbb{C} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \mu_0 \int_\mathbb{S} \left(\mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\right) \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}$。

其中，$\mathbb{S}$是邊緣為$\mathbb{C}$的任意曲面，$\mathbf{J}$是穿過曲面$\mathbb{S}$的電流的電流密度，$\mathbf{ D }$是電位移，$\mathrm{d}\mathbf{a}$是微小面元素向量。

## 安培右手定則

載流迴圈所產生的磁場方向可以使用右手定則來判斷。其方法為將拇指外的四根手指向手掌彎的方向視為磁場方向，則拇指所指的方向即為電流的方向。

右手定則也可以用來辨明一條電線四周磁場的方向。對於這用法，右手定則稱為「安培右手定則」，或「安培定則」。如右圖，安培右手定則表明，假若將右手的大拇指朝著電線的電流方向指去，再將四根手指握緊電線，則四根手指彎曲的方向為磁場的方向。

## 原版安培環路定律

安培環路定律的歷史原版形式，連結了磁場與源電流。這定律可以寫成兩種形式，積分形式和微分形式。根據克耳文－斯托克斯定理（即ℝ³上的斯托克斯公式），對於任意向量$\mathbf{F}$。

$\int_\mathbb{S} \nabla\times \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}=\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$。

所以，這兩種形式是等價的。

### 積分形式

電流$I$在一個曲面$\mathbb{S}$上的通量，等於磁場$\mathbf{B}$沿著$\mathbb{S}$的邊緣閉合迴路$\mathbb{C}$的路徑積分。採用國際單位制（後面會講述CGS單位製版本），原版安培環路定律的積分形式可以寫為：

$\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \mu_0 I$。

請注意到這方程式有些模糊之處，需要特別澄清：

- 第一，邊界曲線$\mathbb{C}$的正向與曲面$\mathbb{S}$的側符合右手規則。沿著閉合迴路$\mathbb{C}$線積分的方向有兩種（順時針方向及逆時針方向）。還有，$I \!\ $是通過邊緣為閉合迴路$\mathbb{C}$的曲面$\mathbb{S}$的淨自由電流，包括以某方向通過的電流，減去以相反方向通過的電流。但是，兩種方向中，任何一種都可以選為正值。為了澄清這些模糊之處，必須使用右手定則：當右手食指朝著線積分方向指去時，伸直的大拇指會指向微小面元素向量，設定朝著這方向流動的電流為正值。
- 第二，（固定$\mathbb{C}$）定理之成立與以$\mathbb{C}$為邊界的$\mathbb{S}$的選擇無關。通過邊緣為閉合迴路$\mathbb{C}$的曲面有無限多選擇（設想在一個閉合鐵環上懸跨著一個肥皂泡，假若輕輕地往這個肥皂泡吹一口氣，則泡沫的形狀會變形）。不過選擇哪一曲面都無所謂，因為任何邊緣為$\mathbb{C}$的曲面皆可被證明為正確的選擇。

安培環路定律可由必歐-沙伐定律和磁場的疊加性證明（請參閱必歐-沙伐定律）。在靜磁學中，安培環路定律的角色與高斯定律在靜電學的角色類似。當系統組態具有適當的對稱性時，我們可以利用這對稱性，使用安培環路定律來便利地計算磁場。例如，當計算一條直線的載流導線或一個無限長螺線管的磁場時，可以採用圓柱坐標系來匹配系統的圓柱對稱性。

### 微分形式

根據克耳文－斯托克斯定理，這方程式也可以寫為微分形式。只有當電場不含時間的時候，也就是說，當電場對於時間的偏微分等於零的時候，這方程式才成立。採用國際單位制，這方程式表示為

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J }$。

磁場$\mathbf{B}$的旋度等於（產生該磁場的）傳導電流密度$\mathbf{J}$。

## 電流分類

電流可以細分為自由電流和束縛電流，而束縛電流又可分類為磁化電流和電極化電流。以方程式表示，總電流密度$\mathbf{J}$是

$\mathbf{J} =\mathbf{J_f +J_M +J_P}$。

其中，$\mathbf{J}_ f$是自由電流密度或傳導電流密度，$\mathbf{J}_M$是磁化電流密度，$\mathbf{J}_ P$是電極化電流密度。

從微觀而言，所有的電流基本上是一樣的。但是，由於實用原因，物理學家會將電流分類為自由電流和束縛電流，對於每一類電流有不同的處理方式。例如，束縛電流通常發生於原子尺寸。物理學家或許想要使用較簡單但適用於較大尺寸狀況的理論。因此，較微觀的安培定律，以B場$\mathbf{B}$和微觀電流（包括自由電流和束縛電流）來表達的定律，有時候會被替代為等價的形式，以附屬磁場（又稱為H場）$\mathbf{H}$和自由電流來表達的形式。後面證明段落，會有詳細的關於自由電流和束縛電流的定義，與兩種表述等價的證明。

### 自由電流

通常在教科書內所提及的單獨的「電流」二字，都是指的自由電流，即自由載流子（電子及陰陽離子）的定向移動。例如，通過一條導線或一個電池的電流。自由電流與後面提到的束縛電流明顯不同，後者出現於可以被磁化或電極化的宏觀物質裏（每一種物質都會或多或少地被電極化或磁化）。

### 磁化電流

當一個物質被磁化的時候（例如，將此物質置入外磁場），電子仍舊會束縛於它們所屬的原子。但是，它們的物理行為會有所改變（會與感受到的磁場耦合），產生微觀電流。將這些電流總合在一起，會有如同宏觀電流一般的效應，環繞於磁化物體內部或表面。稱這電流為磁化電流，是束縛電流的一部分。稱磁化電流的密度為「體磁化電流密度」$\mathbf{J}_M$，用方程式定義為

$\mathbf{J}_M\ \stackrel{def}{=}\ \nabla\times\mathbf{M}$。

其中，$\mathbf{M}$是磁化強度（單位體積的磁偶極矩）。

### 電極化電流

束縛電流的另外一種來源是電極化電流。感受到電場的作用，可電極化物質內的正束縛電荷和負束縛電荷會以原子距離相互分離。假設電場隨著時間而變化，束縛電荷也會隨著時間而移動，因而產生「電極化電流」，稱其密度為「電極化電流密度」$\mathbf{J}_P$，用方程式定義為

$\mathbf{J}_P\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}$。

其中，$\mathbf{P}$是電極化強度。

注意到電極化強度的定義式

$\nabla\cdot\mathbf{P}\ \stackrel{def}{=}\ - \rho_b$。

其中，$\rho_b$是「體束縛電荷密度」。

取電極化電流密度的散度：

$\nabla\cdot\mathbf{J}_P=\frac{\partial}{\partial t} (\nabla\cdot\mathbf{P})$。

所以，電極化電流密度與體束縛電荷密度的關係為

$\nabla\cdot\mathbf{J}_P= - \frac{\partial\rho_b}{\partial t}$。

## 原版安培環路定律的不足處

原版安培環路定律只適用於靜磁學。在電動力學裏，當物理量含時間，有些細節必須仔細檢查。思考安培方程式。

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J }$。

其中，$\mathbf{B}$是B場，$\mu_0$是磁常數，$\mathbf{J }$是總電流。

取散度於這方程式，則會得到

$\nabla\cdot(\nabla \times \mathbf{B}) = \mu_0 \nabla\cdot\mathbf{J }$。

應用一個向量恆等式，旋度的散度必定等於零。所以。

$\nabla\cdot(\nabla \times \mathbf{B}) =0$。

這意味著電流密度的散度等於零：

$\nabla\cdot\mathbf{J }=0$。

在靜磁學內，這是正確的。但是，出了靜磁學範圍，當電流不穩定的時候，這就不一定正確了。

舉個經典例子，如圖右，一個正在充電的電容器，其兩片金屬板會隨著時間分別累積異性電荷。設定表面$\mathbb{L}$的邊緣為閉合迴路$\mathbb{C}$。應用安培定律。

$\oint_\mathbb{C} \mathbf{B} \cdot d\boldsymbol{\ell} =\mu_0 I_{\text{enc}}$。

在這裡，$I_{\text{enc}}$是通過任意曲面的電流，只要這曲面符合一個條件：邊緣為閉合迴路$\mathbb{C}$。所以，這任意曲面可以是表面$\mathbb{L}$，而$I_{\text{enc}}$是$I$；或者這任意曲面可以是封閉圓柱表面減去左邊表面$\mathbb{S} - \mathbb{L}$，而由於通過這任意曲面的電流是$0$，$I_{\text{enc}}$是$0$。選擇不同的曲面會得到不同的答案，這在物理學裏，是絕對不允許發生的事。

為了解決上述難題，安培環路定律必須加以修改延伸。應用流體力學的方法，馬克士威摹想磁場為電介質渦旋（vortex）大海，而位移電流即為大海內的電極化電流。在他於1861年發表的論文《論物理力線》裡面，馬克士威將位移電流項目加入了安培定律。

### 位移電流

在自由空間內，位移電流跟電場隨著時間的變化率有關；而在電介質內，上述貢獻仍舊存在，但另外一個重要貢獻則與電介質的電極化有關。雖然電荷不能自由地運動於電介質，感受到外電場的作用，分子的束縛電荷可以做微小的運動。因此，正值和負值的束縛電荷會產生小距離的分離，造成電極化的增加，這可以用變量電極化強度$P$來表達。電極化強度隨著時間的變化所產生的效應就是電極化電流。

位移電流密度$\mathbf{J}_D$定義為

$\mathbf{J}_D\ \stackrel{def}{=}\ \frac {\partial\mathbf{D}}{\partial t}$。

其中，$\mathbf{D}$是電位移，定義為

$\mathbf{D}\ \stackrel{def}{=}\ \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$。

其中，$\varepsilon_0$是電常數，$\mathbf{P}$是電極化強度。

所以，位移電流密度分為兩個部分：

$\mathbf{J}_D = \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}$。

這方程式右手邊的第一個項目是馬克士威修正項目，在任何地方都可存在，甚至在真空也可以存在。馬克士威修正項目並不涉及任何真實的電荷運動，但是，它描述一個含時電場的物理行為，就好像是真實的電流。第二個項目是電極化電流密度，與電介質內單獨分子的極化性有關。

## 原本定律的延伸：馬克士威-安培方程式

將馬克士威修正項目加入安培方程式：

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J }+ \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ ;

或者，使用H場$\mathbf{H}$和位移電流$\mathbf{D}$來表達。

$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J }_f+ \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$。

這就是馬克士威-安培方程式，可以補救原本安培環路定律的限制。

假若使用B場$\mathbf{B}$的馬克士威-安培方程式，由於習慣，時常會稱$\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$項目為位移電流密度。由於增添了位移電流，馬克士威能夠推論（正確地）光波是一種電磁波（請參閱電磁波條目）。

### 等價證明

馬克士威-安培方程式的等價證明這裏證明方程式 :$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$。等價於方程式 :$\nabla\times \mathbf{H} = \mathbf{J}_f + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$，注意到只處理微分形式，而不處理積分形式。但這已足夠了。因為，根據克耳文-斯托克斯定理，微分形式等價於積分形式。回想電位移的定義式為 :$\mathbf{D}\ \stackrel{def}{=}\ \epsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$。還有，$\mathbf{H}$的定義式為 :$\mathbf{H}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B} - \mathbf{M}$。將這兩個定義式代入H場$\mathbf{H}$的馬克士威-安培方程式， :$\nabla\times \left(\frac{1}{\mu_0} \mathbf{B} - \mathbf{M} \right)= \mathbf{J}_f + \epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}+ \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}$。經過一番運算，可以得到 :$\nabla\times \left(\frac{1}{\mu_0} \mathbf{B} \right)= \mathbf{J}_f +\nabla\times\mathbf{M}+ \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}+ \epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}= \mathbf{J}_f +\mathbf{J}_M +\mathbf{J}_P + \epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$。稍加整理，即可得到磁場$\mathbf{B}$的馬克士威-安培方程式 :$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$。

## CGS單位制的安培方程式

採用CGS單位制，安培方程式的積分形式，包括馬克士威修正項目，可以寫為

$\oint_\mathbb{C} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \frac{1}{c} \int_S \left(4\pi\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right) \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}$。

其中，$c$是光速。

其微分形式可以寫為

$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \frac{1}{c}\left(4\pi\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)$。