正切半角公式

正切半角公式又稱萬能公式，這一組公式有四個功能：

- 將角統一為$\frac{\alpha }{2}$。
- 將函數名稱統一為$\tan$。
- 任意實數都可以$\tan \frac{\alpha }{2}$的形式表達，可用正切函數換元。
- 在某些積分中，可以將含有三角函數的積分變為有理分式的積分。

因此，這組公式被稱為以切表弦公式，簡稱以切表弦。它們是由二倍角公式求得的。

$$\sin \alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}$$

$$\cos \alpha = \frac{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}$$

$$\tan \alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}$$

$$\cot \alpha = \frac{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}$$

$$\sec \alpha = \frac{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}$$

$$\csc \alpha = \frac{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}$$

而被稱為萬能公式的原因是利用$\tan \frac{\alpha }{2}$的代換可以解決一些有關三角函數的積分。參見三角換元法。

$$\begin{align} \tan\left(\frac{\eta}{2} \pm \frac{\theta}{2}\right) & = \frac{\sin\eta \pm \sin\theta}{\cos\eta + \cos\theta} = -\frac{\cos\eta - \cos\theta}{\sin\eta \mp \sin\theta}, \\[10pt] \tan\left(\pm\frac{\theta}{2}\right) & = \frac{\pm\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{\pm\tan\theta}{\sec\theta + 1} = \frac{\pm 1}{\csc\theta + \cot\theta}, ~~~~(\eta = 0) \\[10pt] \tan\left(\pm\frac{\theta}{2}\right) & = \frac{1-\cos\theta}{\pm\sin\theta} = \frac{\sec\theta-1}{\pm\tan\theta} = \pm(\csc\theta-\cot\theta), ~~~~(\eta=0) \\[10pt] \tan\left(\frac{\pi}{4} \pm \frac{\theta}{2} \right) & = \frac{1 \pm \sin\theta}{\cos\theta} = \sec\theta \pm \tan\theta = \frac{\csc\theta \pm 1}{\cot\theta}, ~~~~(\eta=\frac{\pi}{2}) \\[10pt] \tan\left(\frac{\pi}{4} \pm \frac{\theta}{2} \right) & = \frac{\cos\theta}{1 \mp \sin\theta} = \frac{1}{\sec\theta \mp \tan\theta} = \frac{\cot\theta}{\csc\theta \mp 1}, ~~~~(\eta=\frac{\pi}{2}) \\[10pt] \frac{1 - \tan\frac{\theta}{2}}{1 + \tan\frac{\theta}{2}} & = \pm\sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}}. \end{align}$$

## 萬能公式的證明

由二倍角公式，有：

$$\sin \alpha = 2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2} =\frac{2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}+\sin^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2} \div \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{(\cos^2 \frac{\alpha}{2}+\sin^2\frac{\alpha}{2})\div \cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{2\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}}{1+\frac{\sin^2\frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}} =\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}$$

$$\tan \alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}$$

再由同角三角函數間的關係，得出

$$\cos \alpha = \frac{\sin\alpha}{\tan\alpha}=\frac{\frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}}{\frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}} = \frac{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}$$

### 幾何證明

在單位圓內，$t = \tan\frac{\phi}{2}$。根據相似關係，$\frac{t}{\sin \phi} = \frac{1}{1+ \cos \phi}$，可得出

$$t = \frac{\sin \phi}{1+ \cos \phi} = \frac{\sin \phi(1- \cos \phi)}{(1+ \cos \phi)(1- \cos \phi)} = \frac{1- \cos \phi}{\sin \phi}$$。

顯然$\tan \frac{a+b}{2} = \frac{\sin \frac{a+b}{2}}{\cos \frac{a+b}{2}} = \frac{\sin a + \sin b}{\cos a + \cos b}$。

## 雙曲函數

此公式亦可以對雙曲函數起到類似的作用，由雙曲線右支上的一點$(\cosh \theta, \sinh \theta)$給出。從$(-1,0)$到y軸給出了如下等式：

$$t = \tanh\frac{1}{2}\theta = \frac{\sinh\theta}{\cosh\theta+1} = \frac{\cosh\theta-1}{\sinh\theta}$$

可以得到

$\cosh\theta = \frac{1 + t^2}{1 - t^2},$｜$\sinh\theta = \frac{2t}{1 - t^2},$

$\tanh\theta = \frac{2t}{1 + t^2},$｜$\coth\theta = \frac{1 + t^2}{2t},$

$\mathrm{sech}\,\theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2},$｜$\mathrm{csch}\,\theta = \frac{1 - t^2}{2t},$

和

$e^{\theta} = \frac{1 + t}{1 - t},$｜$e^{-\theta} = \frac{1 - t}{1 + t}.$

卡爾·維爾斯特拉斯引入這個式子來省去查找原函數的麻煩。

$\theta$在$T$而得出下面的雙曲反正切函數和自然對數之間的關係：

$$\operatorname{artanh} t = \frac{1}{2}\ln\frac{1+t}{1-t}.$$