積分符號內取微分

積分符號內取微分（Leibniz integral rule，也譯作萊布尼茨積分法則）是數學中微積分領域的一項常用運算技巧，主要用於求解含有參數的定積分的導數。該法則闡明了在滿足一定連續性和可微性條件的情況下，可以將求導運算平滑地移入積分符號之內，從而大大簡化計算過程。

## 定義

給定如下含有參數 $x$ 的積分：

$$F(x, a(x), b(x))=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt$$

若在區間 $\,x_0\leq x\leq x_1\,$ 上，函數 $f(x,t)\,$ 及其關於 $x$ 的偏導數 $\frac{\partial}{\partial x}\,f(x,t)\,$ 對 $t\,$ 和 $x\,$ 在 $(t,x)\,$ 平面上皆連續，且積分上下限函數 $a(x)$ 與 $b(x)$ 及其導數也連續（其中 $a(x)\leq t\leq b(x)$），則當 $\,x_0\leq x\leq x_1\,\,$ 時，根據全微分公式和微積分基本定理，該積分對參數 $x$ 的導數可以表示為：

$$\begin{align} \frac{d}{dx}\,F(x, a(x), b(x)) &= \left(\frac{\partial F}{\partial b}\right)\frac{db}{dx} + \left(\frac{\partial F}{\partial a}\right)\frac{da}{dx} + \frac{\partial F}{\partial x} \\ &= f(x,b(x))\,b'(x) - f(x,a(x))\,a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x}\, f(x,t)\; dt\, \end{align}$$

其中，$- f(x,a(x))\,a'(x)$ 這一項的負號來源於對積分下限的求導機制（詳見定理的證明）。

如果積分的上下限 $a$ 和 $b$ 僅僅是常數，而不是隨著 $x$ 變化的函數，那麼該法則可以簡化為直接交換積分和求導的順序：

$$\frac{d}{dx} \left(\int_{a}^{b} f(x,t)\,dt \right)= \int_{a}^{b}\frac{\partial}{\partial x} f(x,t) \,dt$$

## 高維情況

在多變量微積分和流體力學中，該法則可以推廣到高維空間。對於一個隨時間 $t$ 變化的動態積分區域 $D(t)$，其高維萊布尼茨法則（在物理學中常被稱為雷諾傳輸定理）表述如下：

$$\frac{d}{dt} \int_{D(t)} F(\mathbf{x}, t) \,dV = \int_{D(t)} \frac{\partial}{\partial t} \,F(\mathbf{x}, t)\,dV + \int_{\partial D(t)} \,F(\mathbf{x}, t)\, \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} \,dA$$

式中各變量的物理與數學含義如下：

- $F(\mathbf{x}, t)$ 是空間坐標 $\mathbf{x}$ 和時間 $t$ 的標量場函數。
- $D(t)$ 表示隨時間變化的三維積分區域（即控制體），$dV$ 為體積微元。
- $\partial D(t)$ 是該積分區域的邊界曲面，$dA$ 為面積微元。
- $\mathbf{v}$ 是邊界曲面上某一點的運動速度向量。
- $\mathbf{n}$ 是邊界曲面上該點的向外單位法向量。

該公式表明，一個動態區域內總量的變化率，等於區域內部場本身的局部變化率（第一項積分），加上由於邊界運動導致場通過邊界流入或流出的通量（第二項邊界積分）。

## 定理的證明

引理1：

$$\frac{\partial}{\partial b} \left (\int_a^b f(x)\; \mathrm{d}x \right ) = f(b), \qquad \frac{\partial}{\partial a} \left (\int_a^b f(x)\; \mathrm{d}x \right )= -f(a).$$

證明：

由微積分基本定理的第一部分可知，在求偏導時，相當於將其他變量視為常數。因此可得：

$$\begin{align} <pre> \frac{\partial}{\partial b} \left (\int_a^b f(x)\; \mathrm{d}x \right ) &= f(b) \\ \frac{\partial}{\partial a} \left (\int_a^b f(x)\; \mathrm{d}x \right ) &= -\frac{\partial}{\partial a} \left (\int_b^a f(x)\; \mathrm{d}x \right ) = -f(a) </pre> \end{align}$$

$\Box$

引理2：

假設 $a$ 和 $b$ 是常數，函數 $f(x, \alpha)$ 涉及常參數 $\alpha$ 的積分。假設函數 $f(x, \alpha)$ 在緊緻集 $\{(x, \alpha) : \alpha_0 \leq \alpha \leq \alpha_1 \text{ 且 } a \leq x \leq b\}$ 上連續，且 $f$ 對 $\alpha$ 的偏導數 $\frac{\partial f}{\partial \alpha}(x, \alpha)$ 存在且連續。

我們定義函數 $\psi(\alpha)$（這裡將 $a$ 和 $b$ 視為與 $\alpha$ 無關的絕對常數）：

$$\psi(\alpha) = \int_a^b f(x,\alpha)\;\mathrm{d}x$$

則 $\psi(\alpha)$ 可以直接對 $\alpha$ 在積分符號內取微分，即：

$$\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}\alpha}=\int_a^b\frac{\partial}{\partial\alpha}\,f(x,\alpha)\,\mathrm{d}x$$

證明：

由海涅－康托爾定理可知，連續函數在緊緻集上必定一致連續。即對任意 $\varepsilon > 0$，都存在一個 $\Delta\alpha$，使得對於任意 $x \in [a, b]$，均滿足：

$$|f(x,\alpha+\Delta \alpha)-f(x,\alpha)|<\varepsilon.$$

另一方面，考察 $\psi$ 的增量：

$$\begin{align} \Delta\psi &=\psi(\alpha+\Delta \alpha)-\psi(\alpha) \\ &=\int_a^b f(x,\alpha+\Delta\alpha)\;\mathrm{d}x - \int_a^b f(x,\alpha)\; \mathrm{d}x \\ &=\int_a^b \left (f(x,\alpha+\Delta\alpha)-f(x,\alpha) \right )\;\mathrm{d}x \\ &\leq \varepsilon (b-a) \end{align}$$

由此可見 $\psi(\alpha)$ 是一個連續函數。

同理，若偏導數 $\frac{\partial}{\partial\alpha}\,f(x,\alpha)$ 存在且連續，則對任意 $\varepsilon > 0$ 存在 $\Delta\alpha$，使得：

$$\forall x \in [a, b] \quad \left|\frac{f(x,\alpha+\Delta \alpha)-f(x,\alpha)}{\Delta \alpha} - \frac{\partial f}{\partial\alpha}\right|<\varepsilon.$$

因此，差商可以表示為：

$$\frac{\Delta \psi}{\Delta \alpha}=\int_a^b\frac{f(x,\alpha+\Delta\alpha)-f(x,\alpha)}{\Delta \alpha}\;\mathrm{d}x = \int_a^b \frac{\partial\,f(x,\alpha)}{\partial \alpha}\,\mathrm{d}x + R$$

其中誤差項 $R$ 滿足：

$$|R| < \int_a^b \varepsilon\; \mathrm{d}x = \varepsilon(b-a).$$

令 $\varepsilon \to 0$ 且 $\Delta\alpha \to 0$，即可得出：

$$\lim_{{\Delta \alpha} \to 0}\frac{\Delta\psi}{\Delta \alpha}= \frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}\alpha} = \int_a^b \frac{\partial}{\partial \alpha}\,f(x,\alpha)\,\mathrm{d}x$$

證畢。

定理的最終證明：

定義目標函數 $\varphi(\alpha)$ 如下：

$$\varphi(\alpha) = \int_{a(\alpha)}^{b(\alpha)} f(x,\alpha)\;\mathrm{d}x$$

這裡的 $a$ 與 $b$ 不再是常數，而是關於 $\alpha$ 的函數。當 $\alpha$ 增加 $\Delta\alpha$ 時，它們分別增加 $\Delta a$ 和 $\Delta b$。此時 $\varphi$ 的增量為：

$$\begin{align} \Delta\varphi &=\varphi(\alpha+\Delta\alpha)-\varphi(\alpha) \\ &=\int_{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha+\Delta\alpha)\;\mathrm{d}x\,-\int_a^b f(x,\alpha)\;\mathrm{d}x\, \\ &=\int_{a+\Delta a}^af(x,\alpha+\Delta\alpha)\;\mathrm{d}x+\int_a^bf(x,\alpha+\Delta\alpha)\;\mathrm{d}x+\int_b^{b+\Delta b}f(x,\alpha+\Delta\alpha)\;\mathrm{d}x -\int_a^b f(x,\alpha)\;\mathrm{d}x \\ &=-\int_a^{a+\Delta a}\,f(x,\alpha+\Delta\alpha)\;\mathrm{d}x+\int_a^b[f(x,\alpha+\Delta\alpha)-f(x,\alpha)]\;\mathrm{d}x+\int_b^{b+\Delta b}\,f(x,\alpha+\Delta\alpha)\;\mathrm{d}x. \end{align}$$

由積分中值定理可得 $\int_a^b f(x)\;\mathrm{d}x=(b-a)f(\xi)$，其中 $a < \xi < b$。將此定理應用於上式的首尾兩項積分中，上式可化為：

$$\Delta\varphi=-\Delta a\,f(\xi_1,\alpha+\Delta\alpha)+\int_a^b[f(x,\alpha+\Delta\alpha)-f(x,\alpha)]\;\mathrm{d}x+\Delta b\,f(\xi_2,\alpha+\Delta\alpha)$$

$$=-\Delta a\,f(\xi_1,\alpha+\Delta\alpha)+\psi(\alpha+\Delta\alpha)-\psi(\alpha)+\Delta b\,f(\xi_2,\alpha+\Delta\alpha)$$

將上式兩邊同除以 $\Delta\alpha$，並令 $\Delta\alpha \to 0$。此時，由於積分區間的逼近，$\xi_1 \to a$ 且 $\xi_2 \to b$。結合引理2中關於 $\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}\alpha}$ 的結論以及導數的定義，最終得到：

$$\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}\alpha} = \int_a^b\frac{\partial}{\partial \alpha}\,f(x,\alpha)\,\mathrm{d}x+f(b,\alpha)\frac{\partial b}{\partial \alpha}-f(a,\alpha)\frac{\partial a}{\partial \alpha}.$$

定理至此得證。

## 由富比尼定理證明

利用多重積分中的富比尼定理，我們也可以從另一個側面證明該法則的最簡形式。

首先交換積分順序：

$$\frac{d}{d y}\left(\int_{c}^{y} \int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial z}(x, z) d x d z\right)=\frac{d}{d y}\left(\int_{a}^{b} \int_{c}^{y} \frac{\partial f}{\partial z}(x, z) d z d x\right)$$

根據微積分基本定理的第一形式

$\frac{d}{d t}\left(\int_{a}^{t} f(x) d x\right)=f(t)$

等式左邊在對 $y$ 求導後，直接等於內部被積函數在上限 $y$ 處的值：

$$\int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) d x.$$

而根據微積分基本定理的第二形式（即牛頓-萊布尼茨公式）

$\int_{a}^{b} F^{\prime}(x) d x=F(b)-F(a)$

等式右邊先計算內層關於 $z$ 的積分，可得：

$$\frac{d}{d y}\left(\int_{a}^{b}(f(x, y)-f(x, c)) d x\right).$$

由於被積函數中的第二部分 $f(x, c)$ 僅依賴於常數 $c$ 而不包含變量 $y$，所以它對 $y$ 的導數為 0。因此右側化簡為：

$$\frac{d}{d y}\left(\int_{a}^{b} f(x, y) d x\right).$$

左右兩邊相等，這便證明了積分符號內取微分的核心等式。

## 大眾文化

積分符號內取微分這一技巧，曾在美國著名物理學家、諾貝爾物理學獎得主理察·費曼的暢銷自傳回憶錄《別鬧了，費曼先生！》中被特別提及。在該書「一個不同的工具箱」一章中，費曼回憶稱自己是在高中時偶然讀到一本由麻省理工學院數學系教授弗雷德里克·S·伍茲（Frederick S. Woods）撰寫的《高等微積分》（1926年版）舊書中學會這一技巧的。

費曼指出，這種老派的計算方法在他後來接受的正規大學教育中極少被系統教授。正因為他掌握了這個與眾不同的「秘密武器」，使得他在普林斯頓大學攻讀研究生期間，能夠巧妙地解開許多讓其他同學乃至教授都感到束手無策的複雜積分問題。費曼在書中的自述生動地描繪了這段經歷：

我始終沒有學會的是「圍道積分（contour integration）」。高中物理老師貝德先生給過我一本書，我會的所有積分方法，都是從這本書裡學到的。

事情是這樣的：一天下課之後，他叫我留下。「費曼」，他說，「你上課時話太多了，聲音又太大。我知道你覺得這些課太沉悶，現在我給你這本書。以後你坐到後面角落去好好讀這本書，等你全弄懂了之後，我才准你講話。」

於是每到上物理課時，不管老師教的是帕斯卡定律或是別的什麼，我都一概不理。我坐在教室的角落，念伍茲（Woods）著的這本《高等微積分學》。貝德知道我念過一點《實用微積分》，因此他給我這本真正的大部頭著作——給大學二三年級學生念的教材。書內有傅立葉級數、貝塞爾函數、行列式、橢圓函數——各種我前所未知的奇妙東西。

那本書還教你如何對積分符號內的參數求微分。後來我發現，一般大學課程並不怎麼教這個技巧，但我掌握了它的用法，往後還一再地用到它。因此，靠著自修那本書，我做積分的方法往往與眾不同。

結果經常發生的是，我在麻省理工或普林斯頓的朋友被某些積分難住，原因卻是他們從學校學來的標準方法不管用。如果那是圍道積分或級數展開，他們都懂得怎麼把答案找出；現在他們卻碰壁了。這時我便使出「積分符號內取微分」的方法——這是因為我有一個與眾不同的工具箱。當其他人用光了他們的工具，還沒法找到解答時，便把問題交給我了！