互質因子算法

互質因子算法（Prime-factor FFT algorithm, PFA），又稱為Good-Thomas演算法，是一種快速傅立葉變換（FFT），把N = N1N2大小的離散傅立葉變換重新表示為N1 * N2大小的二維離散傅立葉變換，其中N1與N2需互質。變成N1和N2大小的傅立葉變換後，可以繼續遞迴使用PFA，或用其他快速傅立葉變換演算法來計算。

較流行的Cooley-Tukey算法經由mixed-radix一般化後，也是把N = N1N2大小的離散傅立葉變換分割為N1和N2大小的轉換，但和互質因子算法 (PFA)作法並不相同，不應混淆。Cooley-Tukey演算法的N1與N2不需互質，可以是任何整數；PFA的缺點則是N1與N2需互質 (例如N 是2次方就不適用)，而且要藉由中國剩餘定理來進行較複雜的re-indexing，然而此方法利用互質性質，不需要和單位根twiddle factors相乘，因此計算量更低。此外互質因子算法 (PFA)可以和mixed-radix Cooley-Tukey演算法相結合，前者將N 分解為互質的因數，後者則用在重複質因數上。

PFA也與nested Winograd FFT演算法密切相關，後者使用更為精巧的二維摺積技巧分解成N1 * N2的轉換。因而一些較古老的論文把Winograd算法稱為PFA FFT。

儘管PFA和Cooley-Tukey演算法並不相同，但有趣的是Cooley和Tukey在他們1965年發表的有名的論文中，沒有發覺到高斯和其他人更早的研究，只引用Good在1958年發表的PFA作為前人的FFT結果。剛開始的時候人們對這兩種作法是否不同有點困惑。

## 演算法

離散傅立葉變換（DFT）的定義如下:

$$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2\pi i}{N} nk } \qquad k = 0,\dots,N-1$$

PFA將輸入和輸出re-indexing，代入DFT公式後轉換成二維DFT。

### Re-indexing

設N = N1N2，N1與N2兩者互質，然後把輸入n 和輸出k 一一對應到

$$n = n_1 N_2 + n_2 N_1 \mod N$$

因N1與N2 互質，故根據最大公因數表現定理，對每個n 都存在滿足上式的整數n1與n2，且在同餘N 之下n1可以調整至0～N1 –1之間，n2可以調整至0～N2 –1之間。並根據同餘理論易知滿足上式且在以上範圍內的整數n1與n2是唯一的。這稱為Ruritanian 映射 (或Good's 映射)。

$$k = k_1 \mod N_1$$

$$k = k_2 \mod N_2$$

舉例來說:

如果$N=15, N_1=5, N_2=3, n=0,1,2,...,12, 13,14,$對於任一 $n$ 都可以對應到

$$n = n_1 N_2 + n_2 N_1 \mod N, n_1=0,1,...,N_1-1, n_2=0,1,...,N_2-1$$

$$0=0\centerdot N_2+0\centerdot N_1 \mod 15$$

$$1=2\centerdot N_2+2\centerdot N_1 \mod 15$$

$$2=4\centerdot N_2+1\centerdot N_1 \mod 15$$

$$3=1\centerdot N_2+0\centerdot N_1 \mod 15$$

$$4=3\centerdot N_2+2\centerdot N_1 \mod 15$$

$$5=0\centerdot N_2+1\centerdot N_1 \mod 15$$

$$6=2\centerdot N_2+0\centerdot N_1 \mod 15$$

$$7=4\centerdot N_2+2\centerdot N_1 \mod 15$$

$$8=1\centerdot N_2+1\centerdot N_1 \mod 15$$

$$9=3\centerdot N_2+0\centerdot N_1 \mod 15$$

$$10=0\centerdot N_2+2\centerdot N_1 \mod 15$$

$$11=2\centerdot N_2+1\centerdot N_1 \mod 15$$

$$12=4\centerdot N_2+0\centerdot N_1 \mod 15$$

$$13=1\centerdot N_2+2\centerdot N_1 \mod 15$$

$$14=3\centerdot N_2+1\centerdot N_1 \mod 15$$

因N1與N2 互質，故根據中國剩餘定理，對於每組 ( k1 , k2 ) (其中k1在0～N1 – 1之間, k2在0～N2 – 1之間)，都有存在且唯一的k 在0～N - 1之間且滿足上兩式。這稱為 CRT 映射。

CRT 映射的另一種表示法如下

$$k = k_1 N_2^{-1} N_2 + k_2 N_1^{-1} N_1 \mod N$$

其中N1-1表示N1在模N2之下的反元素，N2-1反之。

( 也可以改成對輸入n 用 CRT 映射以及對輸出k 用Ruritanian 映射)

對於有效re-indexing (理想上是達到原地)的方法有許多研究，以減少耗費時間的模運算。

### DFT re-expression

表示方法一:

將以上的re-indexing代入DFT公式裡指數部分的nk 之中。

$$e^{-\frac{2\pi i}{N} nk } = e^{-\frac{2\pi i}{N} ( n_1 N_2 + n_2 N_1 )k} = e^{-\frac{2\pi i}{N_1} k n_1} e^{-\frac{2\pi i}{N_2} k n_2} = e^{-\frac{2\pi i}{N_1} k_1 n_1} e^{-\frac{2\pi i}{N_2} k_2 n_2}$$

( 因為e2πi = 1，所以兩個指數的k 部份可以分別模N1與N2 )。剩下的部分變成

$$X_{k_1 , k_2 } = <pre> \sum_{n_1=0}^{N_1-1} \left( \sum_{n_2=0}^{N_2-1} x_{n_1 N_2 + n_2 N_1} e^{-\frac{2\pi i}{N_2} n_2 k_2 } \right) e^{-\frac{2\pi i}{N_1} n_1 k_1 }. </pre>$$

則內部和外部的總和分別轉換成大小為N2與N1的DFT。

表示方法二:

如果令 $k=k_1 N_2 + k_2 N_1 \quad for\quad k=0,1,...,N-1,$

令 $n = ((n_1 N_2 + n_2 N_1))_N$，$(\cdot)_N$相當於取 $N$的餘數，$n_1 = 0,\dots,N_1-1$, $n_2 = 0,\dots,N_2-1$

$$X[((k_1 N_2+k_2 N_1))_N]=\sum_{n=0}^{N-1}x[((n_1 N_2+n_2 N_1))_N]e^{-j \frac{2 \pi}{N_2 N_1}(k_1 N_2+k_2 N_1)(n_1 N_2+n_2 N_1)}$$

$$=\sum_{n=0}^{N-1}x[((n_1 N_2 + n_2 N_1))_N]e^{-j \frac{2 \pi}{N_2 N_1}(k_1 n_1 N_2 N_2 + k_2 n_2 N_1 N_1 + k_1 n_2 N_2 N_1 + k_2 n_1 N_1 N_2)}$$

$$=\sum_{n=0}^{N-1}x[((n_1 N_2 + n_2 N_1))_N]e^{-j \frac{2 \pi}{N_1}(k_1 n_1 N_2)}e^{-j \frac{2 \pi}{N_2}(k_2 n_2 N_1)}$$

$$=\sum_{n_2=0}^{N_2-1}\{\sum_{n_1=0}^{N_1-1}x[((n_1 N_2 + n_2 N_1))_N]e^{-j \frac{2 \pi}{N_1}(k_1 n_1 N_2)}\}e^{-j \frac{2 \pi}{N_2}(k_2 n_2 N_1)}.$$

對於每一個 $n_2$ 都要做一個 $N_1$ 點的 $DFT$，而因為 $n_2 = 0,\dots,N_2-1$有 $N_2$個，所以需要 $N_2$ 個 $N_1$ 點 $DFT$,

對於每一組$((k_1N_2))_{N_1}$都要做一個 $N_2$ 點的 $DFT$，而因為 $N_2$為常數，$k_1 = 0,\dots,N_1-1$有 $N_1$ 個，所以需要 $N_1$ 個 $N_2$ 點 $DFT$。

因此如果要計算複雜度，可以乘法器的數量當作考量,

假設$N_1$ 點的 $DFT$ 需要 $M_1$個乘法器,

假設$N_2$ 點的 $DFT$ 需要 $M_2$個乘法器,

則總共需要 $N_2 M_1 + N_1 M_2$個乘法器。

### 範例

以N = 6為例，有兩種可能，N1 = 2, N2 = 3或N1 = 3, N2 = 2。

第一種情形所產生的流程圖如左圖所示。先做2次3點DFT後再做3次2點DFT。

第二種情形所產生的流程圖如右圖所示。先做3次2點DFT後再做2次3點DFT。

其中2點DFT的部份因構造單純，皆以交錯的蝴蝶圖來顯示。

可以看出即使在這個簡單的例子中，輸入和輸出的index也都經過有點複雜的重新排列。

## 與Cooley-Tukey演算法的比較

如首段所述，Cooley-Tukey演算法和互質因子算法 (PFA)曾被誤認為很類似。兩者皆有各自優點可適用於不同狀況，因此分辨它們的不同是很重要的。在1965年著名的論文中發表的Cooley-Tukey演算法，是在DFT的定義

$$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2\pi i}{N} nk } \qquad k = 0,\dots,N-1$$

中代入n = n1 + n2N1 , k = k1N2 + k2，則

$$e^{-\frac{2\pi i}{N} nk } = e^{-\frac{2\pi i}{N} ( n_1 + n_2 N_1 )( k_1 N_2 + k_2 )} = e^{-\frac{2\pi i}{N_1} n_1 k_1} e^{-\frac{2\pi i}{N} n_1 k_2} e^{-\frac{2\pi i}{N_2} n_2 k_2}$$

$$X_{k_1N_2 + k_2} = <pre> \sum_{n_1=0}^{N_1-1} \left( \sum_{n_2=0}^{N_2-1} x_{n_1 + n_2 N_1} e^{-\frac{2\pi i}{N_2} n_2 k_2 } \right) e^{-\frac{2\pi i}{N} n_1 k_2} e^{-\frac{2\pi i}{N_1} n_1 k_1 } </pre>$$

比PFA多了一些要乘的因子$e^{-\frac{2\pi i}{N} n_1 k_2}$ (稱為twiddle factors )，但index較為簡單，且適用於任何N1、N2。在J. Cooley稍後發表的關於FFT歷史探討的論文中使用N = 24點FFT為例，顯示兩種作法在index結構上的不同。

## N1 與 N2 不互質情況

$N = N_1 * N_2$，若$N_1$ 與 $N_2$ 並不互質，仍可透過拆解得到運算所需的乘法數量。

離散傅立葉變換（DFT）的定義如下:

$$F[m] = \sum_{n=0}^{N-1} f[n] e^{-\frac{2\pi i}{N} mn } \qquad m,n = 0,\dots,N-1$$ 可以拆解成$N_2$ 個 $N_1-point$ DFTs 和 $N_1$ 個 $N_2-point$ $DFT_s$，以及twiddle factor。

### 演算法

令 $n = n_1N_1 + n_2$，$m = m_1 + m_2N_2$。$n_1, m_1 = 0, 1, 2, ...., N_2-1$, $n_2, m_2 = 0, 1, 2, ...., N_1-1$

可得出下列式子

$$F[m_1+m_2N_2] = \sum_{n=0}^{N-1} f[n_1N_1+n_2] e^{-\frac{2\pi i}{N} (m_1+m_2N_2)(n_1N_1+n_2) } \qquad$$

$$\qquad\qquad\qquad \ \ = \sum_{n=0}^{N-1} f[n_1N_1+n_2] e^{-\frac{2\pi i}{N_1N_2} (m_1n_1N_1+m_1n_2+m_2n_1N_1N_2+m_2n_2N_2) }$$

$$\qquad\qquad\qquad \ \ = \sum_{n=0}^{N-1} f[n_1N_1+n_2] e^{-\frac{2\pi i}{N_2}(m_1n_1) } e^{-\frac{2\pi i}{N_1}(m_2n_2) } e^{-\frac{2\pi i}{N_1N_2}(m_1n_2) }$$

$$\qquad\qquad\qquad \ \ = \sum_{n_2=0}^{P_1-1} \Bigl( \sum_{n_1=0}^{N_2-1} f[n_1N_1+n_2] e^{-\frac{2\pi i}{N_2}(m_1n_1) } \Bigr) e^{-\frac{2\pi i}{N_1}(m_2n_2) } e^{-\frac{2\pi i}{N_1N_2}(m_1n_2) }$$

上述的 $e^{-\frac{2\pi i}{N_1N_2}(m_1n_2) }$ 被稱為twiddle factor，需要額外的乘法去做運算。

由於$n_1, m_1 = 0, 1, 2, ...., N_2-1$, $n_2, m_2 = 0, 1, 2, ...., N_1-1$

twiddle factors的數量為 $N = N_1 * N_2$，移去 $m_1 = 0$ 以及 $n_2 = 0$ 的情況，至多需要 $(N_1-1) * (N_2-1)$個twiddle factors。

### 分階段解析

#### Step1

令 $g[n_1, n_2] = f[n_1N_1+n_2]$

#### Step2

固定 $n_2$，對 $n_1$ 做 $N_2-point$ $DFT$。

$$G_1[m_1,n_2] = \sum_{n_1=0}^{N_2-1} g[n_1,n_2] e^{-\frac{2\pi i}{N_2} (m_1n_1) }$$

由於$n_2 = 0, 1, 2, ...., N_1-1$，所以有 $N_1$ 個 $N_2-point$ $DFT_s$

#### Step3

$G_2[m_1, n_2] = G_1[m_1, n_2]e^{-\frac{2\pi i}{N_1N_2}(m_1n_2) }$ (twiddle factors)

#### Step4

固定 $n_2$，對 $n_2$ 做 $N_1-point$ $DFT$。

$$G_3[m_1,m_2] = \sum_{n_2=0}^{N_1-1} g[m_1,n_2] e^{-\frac{2\pi i}{N_1} (m_2n_2) }$$

由於$m_1 = 0, 1, 2, ...., N_2-1$，所以有 $N_2$ 個 $N_1-point$ $DFT_s$

#### Step5

$$F[m_1+m_2N_2] = G_3[m_1, m_2]$$

### 實際乘法量計算

$$N = N_1 * N_2$$

假設 $N_1-point$ DFT 的乘法量為 $B_1$， $N_2-point$ $DFT$ 的乘法量為 $B_2$

且 $m_1n_2$ 中。

有 $D_1$ 個值不為 $N/12$ 以及 $N/8$ 的倍數

有 $D_2$ 個值為 $N/12$ 或 $N/8$ 的倍數，但不為 $N/4$ 的倍數

則 $N-point$ $DFT$ 的乘法量數量為 $N_2B_1 + N_1B_2 + 3D_1 + 2D_2$ 個。

#### 補充說明

$a$為一複數，則 $a*e^{i\theta}$ 一般需要 3個乘法，但若 $\theta$ = $\pi / 4$ 或 $\theta$ = $\pi / 3$ 則只需要2個乘法。

#### 簡單範例

$16-point$ $DFT$, $16=4*4$

$4-point$ needs $0 \ MUL_s$

$m_1n_2$ = $0, 0, 0, 0, 0, 1 ,2, 3, 0 ,2, 4, 6, 0, 3, 6, 9$

$D_1$ = 4 (1, 3, 3, 9), $D_2$ = 4 (2, 2, 6, 6)

總計需要 $4*0 + 4*0 + 3*4 + 2*4 = 20 MUL_s$

## 參考文獻

- Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2025