赫爾曼·外爾

赫爾曼·克勞斯·胡戈·外爾 （Hermann Klaus Hugo Weyl，1885年11月9日－1955年12月8日；又譯韋爾），德國數學家，物理學家和哲學家。儘管他的大部分工作時間是在瑞士蘇黎世和美國的普林斯頓高等研究院（IAS）度過的，他仍被認為傳承了以大衛·希爾伯特和赫爾曼·閔可夫斯基為代表的哥廷根大學學派的數學傳統。他的研究工作在理論物理上和在純數學領域（如數論）等都有著一樣傑出的貢獻。他是20世紀最有影響力的數學家之一，也是普林斯頓高等研究院早期的重要成員。

外爾發表過的作品涉及時間、空間、物質、哲學、邏輯、對稱性和數學史。他是最早把廣義相對論和電磁理論結合的人之一。當他同時代的數學家對昂利·龐加萊和希爾伯特的對數學的廣泛涉獵的重要性缺乏重視的時候，外爾走得比任何人更遠。麥可·阿蒂亞曾評價，他開始研究一個數學題目的時候，經常發現外爾已經在他之前有所貢獻（The Mathematical Intelligencer (1984), vol.6 no.1）。

## 傳記

外爾出生於德國漢堡附近的小鎮埃爾姆斯霍恩。從1904年到1908年期間他在哥廷根和慕尼黑學習數學和物理。在他十分尊敬的導師希爾伯特的指導下，外爾在哥廷根大學獲得博士學位。在幾年的教學工作後，他離開哥廷根到蘇黎世，在那裡他擔任蘇黎世聯邦理工學院數學系的系主任。在那裡他和當時正在研究廣義相對論阿爾伯特·愛因斯坦是同事。愛因斯坦對著迷於數學物理的外爾有很大的影響。1921年外爾見到了被聘用為蘇黎世大學教授的埃爾溫·薛丁格，自那時起他們成為了一生的親密朋友。

外爾在1930年離開了蘇黎世，到哥廷根接替希爾伯特的職位，直到1933年納粹執政時，因為他的妻子是猶太人而被迫離開。這一事件使得他決定前往當時剛剛創建的普林斯頓高等研究院。直到1951年他退休以前，他都在那裡工作。他和他的妻子生活在普林斯頓和蘇黎世兩地，並於1955年逝世。

## 貢獻

### 流形與物理學的幾何基礎

1913年，外爾出版了Die Idee der Riemannschen Fläche (The Concept of a Riemann Surface，《黎曼面的概念》，有英譯本)一書。在書中他給出了處理黎曼面的一般方法。為了讓黎曼面的理論更加嚴格，外爾使用了點集拓撲。而這一方法後來被推廣到一般的流形上。他為此參考了魯伊茲·布勞威爾之前在拓撲學上的工作。

作為哥廷根的最重要的科學家之一，外爾很早就對愛因斯坦的工作有了充分的了解。在他的《時間、空間、物質》（1918年第一版，1922年第四版）一書中，他回溯了相對論物理的發展。1918年，他引入了規範（gauge）的概念，並給出了規範理論最早的例子。在當時的條件下，外爾的規範理論試圖用時空的幾何性質來描述電磁場和引力場，但是這並不是一個太成功的嘗試（某種程度上，我們可以把他的工作看成愛因斯坦所追求的統一場論的數學化）。黎曼幾何中的外爾張量（Weyl curvature tensor）對研究共形幾何的內在性質有重要的作用。1929年外爾把四腳場（vierbein）引入廣義相對論。

他的對物理學的探索基於埃德蒙德·胡塞爾的現象學，特別是胡塞爾在1913年的 《純粹現象學通論 純粹現象學和現象學哲學的觀念(I)》（Ideen zu einer reinen Phänomenologie und phänomenologischen Philosophie. Erstes Buch: Allgemeine Einführung in die reine Phänomenologie）。顯然地，這是外爾處理愛因斯坦的有爭議的對於恩斯特·馬赫的現象物理學的依賴性的方式。胡塞爾對戈特洛布·弗雷格 關於他的算術哲學的最早的著作的批評反應強烈。彼時他正在探索對於數學和其他結構的感覺，而這正是弗雷格從經驗參考中區分出來的。所以有充足的理由認為，規範理論是從外爾的作為物理量度的形式的觀點，而不是一種物理理論發展起來的。

### 哲學

外爾從年輕時就對哲學感興趣，當時他讀了康德的《純粹理性批判》，其將空間和時間作為先驗的知識概念（儘管他後來反對康德與歐氏幾何學過於密切的聯繫）。從1912年起，他深受胡塞爾及其現象學的影響，這也反映在他的《空間、時間、物質》一書中的一些段落中。1927年，他為《哲學手冊》撰寫的《數學與自然科學之哲學》由奧登堡出版社出版，後來單獨出版並修訂成書。為重構外爾哲學的起源並將其融入哲學主流理論，諾曼·謝羅卡(Norman Sieroka)指出了外爾和其蘇黎世哲學家同事弗里茨·梅迪庫斯(Fritz Medicus)之間深入、長期的討論，後者是研究費希特的專家。費希特的知識學和哲學認為，「存在」是「絕對自我」與其物質鄰域(Umgebung)相互作用的結果，這對外爾也有很大影響，並體現在外爾對拓撲（連續統）和鄰域概念的使用上。根據謝羅卡的觀點，外爾在量子理論和廣義相對論背景下對物質概念的哲學解釋中也深受萊布尼茨的物質理論（單子理論等）和德國唯心主義（費希特辯證法）的影響。該影響亦見於外爾關於符號與其鄰域在數學理論結構中的相互作用的看法和其數學哲學中（他視直覺主義和形式主義的數學內部分歧為胡塞爾現象學和費希特建構主義之間的分歧之延申）。在 1920 年代，在量子力學發展之前，受到當時日益清晰的量子理論統計性質的啟發，外爾從物質的場論描述轉向活性（agens）物質的理論，這是通過將空間鄰域包含在所表達的場論描述中來實現的。他使用微分幾何方法促成了規範場論概念的起源。在量子論的影響下，他背離了這個「幾何場論」。按謝羅卡的解釋，費希特和卡西爾也對外爾的晚期哲學（科學作為一種「符號建構」）產生了重要影響。外爾對馬丁·海德格的關注鮮為人知，外爾不認同海德格對死亡的看法，但他的哲學思想中對鄰域概念的運用受到海德格存在主義的影響。

## 以外爾為名的相關主題

- 馬約拉納-外爾旋量
- 舒爾-外爾二元性
- 外爾代數
- 狄拉克矩陣之外爾基底
- 外爾特徵標公式
- 外爾準則
- 外爾曲率：參見外爾張量
- 外爾曲率假說
- 外爾維度式
- 外爾方程式：一種相對論量子力學波動方程式
- 外爾重力
- 外爾群
- 外爾規範
- 外爾不等式
- 外爾積分
- 外爾定律
- 外爾引理 (拉普拉斯方程式)
- 外爾模
- 外爾符號
- 外爾悖論
- 外爾假設
- 外爾量子化
- 外爾純量
- 外爾旋量
- 外爾和
- 外爾對稱：參見外爾轉換
- 外爾張量
- 外爾和
- 外爾向量
- 外爾轉換

## 延伸閱讀

- ed. K. Chandrasekharan,Hermann Weyl, 1885–1985, Centenary lectures delivered by C. N. Yang, R. Penrose, A. Borel, at the ETH Zürich Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo – 1986, published for the Eidgenössische Technische Hochschule, Zürich.
- Deppert, Wolfgang et al., eds., Exact Sciences and their Philosophical Foundations. Vorträge des Internationalen Hermann-Weyl-Kongresses, Kiel 1985, Bern; New York; Paris: Peter Lang 1988,
- Ivor Grattan-Guinness, 2000. The Search for Mathematical Roots 1870-1940. Princeton Uni. Press.
- Thomas Hawkins, Emergence of the Theory of Lie Groups, New York: Springer, 2000.
- In connection with the Weyl–Pólya bet, a copy of the original letter together with some background can be found in:
- Erhard Scholz; Robert Coleman; Herbert Korte; Hubert Goenner; Skuli Sigurdsson; Norbert Straumann eds. Hermann Weyl's Raum – Zeit – Materie and a General Introduction to his Scientific Work (Oberwolfach Seminars) Springer-Verlag New York, New York, N.Y.
- Skuli Sigurdsson. "Physics, Life, and Contingency: Born, Schrödinger, and Weyl in Exile." In Mitchell G. Ash, and Alfons Söllner, eds., Forced Migration and Scientific Change: Emigré German-Speaking Scientists and Scholars after 1933 (Washington, D.C.: German Historical Institute and New York: Cambridge University Press, 1996), pp. 48–70.

## 基本資料

- 日語原文：赫爾曼·外爾、Hermann Weyl
- 出生：Hermann Klaus Hugo Weyl
- 出生日期：1885年11月9日
- 出生地：德意志帝國埃爾姆斯霍恩
- 逝世日期：1955年12月8日
- 逝世地：瑞士蘇黎世
- 母校：蘇黎世大學、哥廷根大學
- 知名於：以外爾為名的相關主題、結構主義 (科學哲學)、蟲洞
- 配偶：Friederike Bertha Helene Joseph、Ellen Bär
- 子女：弗里茨·約阿希姆·外爾、Michael Weyl
- 獲獎：羅巴切夫斯基獎（1927）、喬賽亞·威拉德·吉布斯講座（1948）
- 研究領域：純粹數學、數學物理、數學基礎
- 機構：普林斯頓高等研究院、哥廷根大學、蘇黎世聯邦理工學院
- 論文：Singuläre Integralgleichungen mit besonder Berücksichtigung des Fourierschen Integraltheorems
- 論文：https://jscholarship.library.jhu.edu/bitstream/handle/1774.2/34190/31151014634046.pdf.
- 論文：1908
- 博士導師：大衛·希爾伯特
- 博士生：亞歷山大·溫斯坦、朱利葉斯·亞當斯·史翠頓
- 著名學生：桑德斯·麥克蘭恩