磁流體力學

磁流體力學（英文：MHD, Magnetohydrodynamics、magnetofluiddynamics或hydromagnetics），是研究等離子體和磁場相互作用的物理學分支，其基本思想是在運動的導電流體中，磁場能夠感應出電流。磁流體力學將等離子體作為連續介質處理，要求其特徵尺度遠遠大於粒子的平均自由程、特徵時間遠遠大於粒子的平均碰撞時間，不需考慮單個粒子的運動。由於磁流體力學只關心流體元的平均效果，因此是一種近似描述的方法，能夠解釋等離子體中的大多數現象，廣泛應用於等離子體物理學的研究。更精確的描述方法是考慮粒子速度分布函數的動理學理論。磁流體力學的基本方程是流體力學中的納維-斯托克斯方程和電動力學中的麥克斯韋方程組。磁流體力學是由瑞典物理學家漢尼斯·阿爾文創立的，阿爾文因此獲得1970年的諾貝爾物理學獎。

## 磁流體力學方程組

單流體是磁流體力學的基礎模型，其基本方程組有16個標量方程，包含16個未知標量，因此是完備的。更複雜的雙流體模型含有更多方程和未知標量。結合邊界條件可以求解這些偏微分方程組。

### 電磁場方程

在磁流體力學中，等離子體可以看作是良導體，電磁場變化的特徵時間遠遠大於粒子碰撞的時間，電磁場可以認為是准靜態的，因此麥克斯韋方程組中的位移電流項可以忽略，寫為：

$$\nabla\cdot\boldsymbol{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

$$\nabla\times\boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}$$

$$\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0$$

$$\nabla\times\boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{J}$$

由於存在洛倫茲力，歐姆定律的數學形式為：

$$\boldsymbol{J}=\sigma(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})$$

### 流體力學方程

等離子體是流體，滿足流體的連續性方程：

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\boldsymbol{v})=0$$

流體的運動方程的右邊應加上電磁力項$\rho_q\boldsymbol{E}+\boldsymbol{J}\times\boldsymbol{B}$，而重力與電磁力相比是小量，$\rho_q\boldsymbol{E}$常常也可以忽略不計。因此運動方程為：

$$\rho\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t} = \nabla\cdot\boldsymbol{P}+\boldsymbol{J}\times\boldsymbol{B}$$

其中

$$\boldsymbol{P}=2\eta\boldsymbol{S}-\bigg(p+\frac23\eta\nabla\cdot\boldsymbol{v} - \eta'\nabla\cdot\boldsymbol{v}\bigg)\boldsymbol{I}$$

能量方程的右邊應加上因電磁場引起的焦耳熱$\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{J}$，重力所做的功可以忽略不計。因此能量方程為：

$$\rho\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigg(\varepsilon+\frac{\boldsymbol{v}^2}{2}\bigg) = \nabla\cdot(\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{v})+\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{J} - \nabla\cdot\boldsymbol{q}$$

其中 $\boldsymbol{q}=-\kappa\nabla T$

### 狀態方程

流體的狀態方程形式為：

$$p=p(\rho,T)$$

對於絕熱過程，有

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(p\rho^{-\gamma})=0$ 即 $p\rho^{-\gamma}=\mathrm{const}$

### 理想磁流體力學方程組

對於無粘（$\eta=0$）、絕熱（$\kappa=0$）、理想導電（$\sigma\to\infty$）的等離子體，即理想導電流體，磁流體力學方程可以簡化為：

$$\nabla\times\boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}$$

$$\nabla\times\boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{J}$$

$$\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}=0$$

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\boldsymbol{v})=0$$

$$\rho\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t} = \nabla\cdot\boldsymbol{P}+\boldsymbol{J}\times\boldsymbol{B}$$

$$p\rho^{-\gamma}=\mathrm{const}$$

稱為理想磁流體力學方程組。

## 二流體模型

實際情況中等離子體往往是兩種或者兩種以上成分組成的流體，描述它們的方程組特別複雜，求解十分困難。一般情況下可以認為高度電離的等離子體是由電子流體和離子流體兩種成分組成的，等離子體的二流體模型或者雙流體模型研究它們各自的動力學方程，並且考慮它們之間的耦合。在電子和離子每種組分里，達到平衡時的麥克斯韋速度分布所需要的時間遠遠小於電子和離子之間發生熱交換的特徵時間，因此在這種近似下，電子和離子可以認為是各自獨立運動的，二者之間的碰撞導致了等離子體電阻。

## 磁張力與磁壓力

將麥克斯韋方程組中的$\boldsymbol{J}=\nabla\times\boldsymbol{B}/\mu_0$代入洛倫茲力$\boldsymbol{f}=\boldsymbol{J}\times\boldsymbol{B}$可得

$$\boldsymbol{f}=\boldsymbol{J}\times\boldsymbol{B} = \frac{1}{\mu_0}(\boldsymbol{B}\cdot\nabla)\boldsymbol{B} - \nabla(\frac{B^2}{2\mu_0})$$

上式右邊第一項反映了大小為$B^2/\mu_0$，沿著磁感線方向的磁張力，第二項反映了大小為$B^2/2\mu_0$，各向同性的磁壓力，其效果是壓縮等離子體。因此，作用於某流體質元的磁力等效於磁張力與磁壓力的和。

## 磁擴散與磁凍結

在磁流體力學中，等離子體可以看作是良導體，磁感應方程為：

$$\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}=\nabla\times(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})+\eta\nabla^2\boldsymbol{B}$$

其中，$\eta=\frac1{\sigma\nu}$叫做磁粘滯係數或者磁擴散係數。如果磁雷諾數$R_m=\frac{l_0 V_0}{\eta}\ll1$，則磁感應方程退化為擴散方程的形式

$$\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}=\eta\nabla^2\boldsymbol{B}$$

此時等離子體會表現出磁擴散效應，磁場從強度大的區域向強度小的區域發生擴散。

如果磁雷諾數$R_m=\frac{l_0 V_0}{\eta}\gg1$，或者流體的電導率$\sigma\to\infty$，則磁感應方程退化為凍結方程：

$$\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}=\nabla\times(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})$$

此時等離子體會表現出磁凍結效應，磁感線如同粘附在流體質元上，隨流體一起運動。