線性微分方程

線性微分方程（Linear differential equation）是數學中常見的一類微分方程。指以下形式的微分方程：

$$\mathcal{L}(y) = f \qquad \ldots \; \; (*)$$

其中方程左側的微分算子$\mathcal{L}$是線性算子，y是要解的未知函數，方程的右側是一個已知函數。如果f(x) 0，那麼方程(*)的解的線性組合仍然是解，所有的解構成一個向量空間，稱為解空間。這樣的方程稱為齊次線性微分方程。當f不是零函數時，所有的解構成一個仿射空間，由對應的齊次方程的解空間加上一個特解得到。這樣的方程稱為非齊次線性微分方程。線性微分方程可以是常微分方程，也可以是偏微分方程。

## 簡介

線性微分方程是一類特殊的微分方程。一個線性微分方程的解構成向量空間或仿射空間，因此可以應用相關的代數知識來討論解的性質。線性微分方程的普遍形式為：

$$\mathcal{L}(y) = f \qquad \ldots \; \; (*)$$

其中的$\mathcal{L}$是一個線性的微分算子，也就是說，設有兩個函數$y_1$和$y_2$以及兩個常數$\lambda_1$和$\lambda_2$，那麼：

$$\mathcal{L}(\lambda_1 y_1 +\lambda_2 y_2) = \lambda_1 \mathcal{L}(y_1) + \lambda_2 \mathcal{L}(y_2).$$

如果f是零函數，那麼給定若干個方程(*)的解函數：$y_1, y_2 , \cdots , y_m$以及同樣多的常數係數：$\lambda_1, \lambda_2 , \cdots , \lambda_m$，線性組合$\lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2 + \cdots + \lambda_m y_m$仍然是方程(*)的解函數。這說明所有方程(*)的解函數構成一個線性空間V，稱為方程的解空間。如果f不是零函數，那麼考慮相應的齊次線性微分方程：

$$\mathcal{L}(y) = 0 \qquad \ldots \; \; (**)$$

設$y^s$是方程(*)的一個解函數。$y$方程的任意一個解函數。則它們的和$y^s + y$仍然是(*)的解函數。另一方面，給定方程(*)的兩個解函數：$y_1^s$和$y_2^s$。則它們的差$y_1^s - y_2^s$會是方程的解函數。這說明方程(*)的所有解函數都可以寫成$y^s + y, \; y \in V$的形式。其中V是方程(**)的解空間。所以方程(*)的所有解函數構成一個仿射空間V'，並且$V' = y^s + V$。

## 常係數齊次線性微分方程

一種解線性微分方程的方法是歐拉發現的，他意識到這類方程的解都具有$e^{z x}$的形式，其中$z$是某個複數。因此，對於以下方程：

$$\frac {d^{n}y} {dx^{n}} + A_{1}\frac {d^{n-1}y} {dx^{n-1}} + \cdots + A_{n}y = 0$$

我們設$y=e^{z x}$，可得：

$$z^n e^{zx} + A_1 z^{n-1} e^{zx} + \cdots + A_n e^{zx} = 0.$$

兩邊除以e zx，便得到了一個n次方程：

$$F(z) = z^{n} + A_{1}z^{n-1} + \cdots + A_n = 0.\,$$

這個方程F(z) = 0稱為特徵方程。

一般地，把微分方程中以下的項

$$\frac {d^{k}y} {dx^{k}}\quad\quad(k = 1, 2, \dots, n).$$

換成zk，便可得到特徵方程。這個方程有n個解：z1, ..., zn。把任何一個解代入e zx，便可以得到微分方程的一個解：e zix。由於齊次線性微分方程滿足疊加原理，因此這些函數的任意線性組合仍然滿足微分方程。

如果特徵方程的根都不重複，我們便得到了微分方程的n個解。可以證明，這些解是線性獨立的。於是，微分方程的通解就是y = C1e z1x + C2e z2x + ...... + Cne znx，其中C1、C2、......、Cn是常數。

以上討論了n個根全不相同的情形。如果這n個根中有兩個（或多個）相同，用上面的方法就無法得出n個線性獨立的解。但是，可以驗證，如果z是特徵方程的 mz 重根，那麼，對於 $k\in\{0,1,\dots,m_{z}-1\} \,$，$y=x^ke^{zx} \,$ 就是微分方程的一個解。對每個特徵根 z，都能得到 mz 個解，所有這些解的線性組合就是方程的通解。

一般地，如果微分方程的係數Ai都是實數，那麼它的解也應該表示成實數的形式。假如特徵方程有複數根，那麼它一定是成對的，也就是說，如果a + bi是特徵方程的根，那麼a - bi也是一個根。於是，y = e (a + bi)x和y = e (a - bi)x都是微分方程的解。但這兩個解都是複數的形式。考慮到這兩個解的任意線性組合也仍然是微分方程的解，我們可以把這兩個解相加，再除以2，利用歐拉公式，便得到一個實數形式的解：y = e axcosbx。如果把兩個解相減，再除以2i，便得到另一個實數形式的解：y = e axsinbx。於是，y = C1e axcosbx + C2e axsinbx就是微分方程的通解。

### 例子

求微分方程$y''-4y'+5y=0 \,$的通解。特徵方程是$z^2-4z+5=0 \,$，它的根是2+i和2−i。於是，$y= C_1 e^{2x} \cos{x} + C_2 e^{2x} \sin{x}$就是微分方程的通解。

## 常係數非齊次線性微分方程

欲得到非齊次線性微分方程的通解，我們首先求出對應的齊次方程的通解，然後用待定係數法或常數變易法求出非齊次方程本身的一個特解，把它們相加，就是非齊次方程的通解。

### 待定係數法

考慮以下的微分方程：

$$\frac {dy} {dx} = y + e^{2x}. \!$$

對應的齊次方程是：

$$\frac {dy} {dx} = y.$$

它的通解是：

$$y = c e^x. \!$$

由於非齊次的部分是($e^{2x}$)，我們猜測特解的形式是：

$$y_p = A e^{2x}.\!$$

把這個函數以及它的導數代入微分方程中，我們可以解出A：

$$\frac{d}{dx} \left( Ae^{2x} \right) = A e^{2x} + e^{2x} \!$$

$$2 A e^{2x} = A e^{2x} + e^{2x} \!$$

$$2 A = A + 1\,\!$$

$$A = 1.\,\!$$

因此，原微分方程的解是：

$y = c e^x + e^{2 x}. \!$ ($c \in R$)

### 常數變易法

假設有以下的微分方程：

$$y^{\prime\prime} + py^{\prime} + qy = f(x)$$

我們首先求出對應的齊次方程的通解$\ y = C_1 y_1 + C_2 y_2$，其中C1、C2是常數，y1、y2是x的函數。然後我們用常數變易法求出非齊次方程的一個特解，方法是把齊次方程的通解中的常數C1、C2換成x的未知函數u1、u2，也就是：

$$y = u_1 y_1 +u_2 y_2 . ~~\mathrm{(1)}$$

兩邊求導數，可得：

$$y'= u_1'y_1 + u_2' y_2 + u_1y_1' + u_2 y_2'.$$

我們把函數u1、u2加上一條限制：

$$u_1'y_1 + u_2'y_2 = 0. ~~\mathrm{(2)}$$

於是：

$$y' = u_1y_1'+u_2y_2'.~~\mathrm{(3)}$$

兩邊再求導數，可得：

$$y''= u_1'y_1'+u_2'y_2'+u_1y_1''+u_2y_2''.~~\mathrm{(4)}$$

把(1)、(3)、(4)代入原微分方程中，可得：

$$u_1'y_1'+u_2'y_2'+u_1y_1''+u_2y_2''+pu_1y_1'+pu_2y_2'+qu_1y_1+qu_2y_2 =f(x).$$

整理，得：

$$u_1'y_1'+u_2'y_2'+(u_1y_1''+pu_1y_1'+qu_1y_1)+(u_2y_2''+pu_2y_2'+qu_2y_2)= f(x).$$

由於y1和y2都是齊次方程的通解，因此$u_1y_1''+pu_1y_1'+qu_1y_1$和$u_2y_2''+pu_2y_2'+qu_2y_2$都變為零，故方程化為：

$$u_1'y_1'+u_2'y_2'=f(x).~~\mathrm{(5)}$$

(2)和(5)聯立起來，便得到了一個$u_1'$和$u_2'$的方程組，便可得到$u_1'$和$u_2'$的表達式；再積分，便可得到$u_1$和$u_2$的表達式。

這個方法也可以用來解高於二階的非齊次線性微分方程。一般地，有：

$$u'_j=(-1)^{n+j}\frac{W(y_1,\ldots,y_{j-1},y_{j+1}\ldots,y_n)_{0 \choose f}}{W(y_1,y_2,\ldots,y_n)}.$$

其中W表示朗斯基行列式。

## 變係數線性微分方程

n階的變係數微分方程具有以下形式：

$$p_{n}(x)y^{(n)}(x) + p_{n-1}(x) y^{(n-1)}(x) + \cdots + p_0(x) y(x) = r(x).$$

一個例子是柯西-歐拉方程：

$$x^n y^{(n)}(x) + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_0 y(x) = 0.$$

變係數線性微分方程通常沒有一般的方法可以求解，但一階的變係數線性微分方程是例外。設有以下的一階變係數線性微分方程：

$$\ Dy(x) + f(x) y(x) = g(x).$$

這個方程可以用積分因子求解，方法是把兩邊乘以$e^{\int f(x)\,dx}$：

$$Dy(x)e^{\int f(x)\,dx}+f(x)y(x)e^{\int f(x)\,dx}=g(x)e^{\int f(x) \, dx},$$

用乘法定則，可以簡化為：

$$D (y(x)e^{\int f(x)\,dx})=g(x)e^{\int f(x)\,dx}$$

兩邊積分，得：

$$y(x)e^{\int f(x)\,dx}=\int g(x)e^{\int f(x)\,dx} \,dx+c ~,$$

$$y(x) = {\int g(x)e^{\int f(x)\,dx} \,dx+c \over e^{\int f(x)\,dx}} ~.$$

也就是說，一階線性微分方程$y'(x) + p(x) y(x) = r(x)$的解是：

$$y=e^{-a(x)}\left(\int r(x) e^{a(x)}\, dx + \kappa\right)$$

其中$\kappa$是積分常數，且

$$a(x)=\int{p(x)\,dx}.$$

### 例子

考慮以下一階線性微分方程：

$$\frac{dy}{dx} + b y = 1.$$

p(x) = b，r(x) = 1，因此微分方程的解為：

$$y(x) = e^{-bx} \left( \frac{e^{bx}}{b}+ C \right) = \frac{1}{b} + C e^{-bx} .$$

## 拉普拉斯變換解微分方程

應用拉普拉斯變換解線性微分方程顯得更為方便簡單。

首先有以下關係：

$$\mathcal{L}\{f'\} <pre> = s \mathcal{L}\{f\} - f(0)$$

$$\mathcal{L}\{f''\} <pre> = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0) - f'(0)$$

$$\mathcal{L}\{f^{(n)}\} <pre> = s^n \mathcal{L}\{f\} - \Sigma_{i = 1}^{n}s^{n - i}f^{(i - 1)}(0).$$

有如下微分方程：

$$\sum^n_{i=0}a_if^{(i)}(t)=\phi(t).$$

該方程可變換為：

$$\sum^n_{i=0}a_i\mathcal{L}\{f^{(i)}(t)\}=\mathcal{L}\{\phi(t)\}$$

則：

$$\mathcal{L}\{f(t)\}={\mathcal{L}\{\phi(t)\}+\sum^n_{i=1}a_i\sum^i_{j=1}s^{i-j}f^{(j-1)}(0) \over \sum^n_{i=0}a_is^i}.$$

其中 $f^{(k)}(0)$ 是初始條件。

f(t) 通過拉普拉斯反變換 $\mathcal{L}\{f(t)\}$ 求得。