算術-幾何平均值不等式

算術-幾何平均值不等式，簡稱算幾不等式，是一個常見而基本的不等式，表現算術平均數和幾何平均數之間恆定的不等關係。設$x_1,x_2, \ldots, x_n$為$n$個非負實數，它們的算術平均數是$\mathbf{A}_n = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$，它們的幾何平均數是$\mathbf{G}_n = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}$。算術-幾何平均值不等式表明，對任意的非負實數$x_1, \ldots, x_n$：

$\mathbf{A}_n \ge \mathbf{G}_n$

等號成立若且唯若$x_1 = x_2 = \cdots = x_n$。

通常用於兩個數之間，設這兩個數為$a$和$b$，也就是$\frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab}$

算術-幾何平均值不等式僅適用於非負實數，是對數函數之凹性的體現，在數學、自然科學、工程科學以及經濟學等其它學科都有應用。

算術-幾何平均值不等式有時被稱為平均值不等式（或均值不等式），其實後者是一組更廣泛的不等式。

## 例子

在$n=4$的情況，設：$x_1 = 3.5,\ x_2 =6.2 ,\ x_3 = 8.4, \ x_4 = 5$，那麼

$$\mathbf{A}_4= \frac{3.5 + 6.2 + 8.4 + 5}{4} = 5.775, \ \mathbf{G}_4 = \sqrt[4]{3.5 \times 6.2 \times 8.4 \times 5} \approx 5.4945$$

可見$\mathbf{A}_4 \ge \mathbf{G}_4$。

## 歷史上的證明

歷史上，算術-幾何平均值不等式擁有眾多證明。$n=2$的情況很早就為人所知，但對於一般的$n$，不等式並不容易證明。1729年，英國數學家麥克勞林最早給出一般情況的證明，用的是調整法，然而這個證明並不嚴謹，是錯誤的。

### 柯西的證明

1821年，法國數學家柯西在他的著作《分析教程》中給出一個使用逆向歸納法的證明：

命題$P_n$：對任意的$n$個正實數$x_1, \ldots, x_n$，$\mathbf{A}_n \ge \mathbf{G}_n$

當$n=2$時，$P_2$顯然成立。假設$P_n$成立，那麼$P_{2n}$成立。證明：對於$2n$個正實數$x_1, \cdots, x_n, y_1, \cdots, y_n$。

$$\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n + y_1 + \cdots y_n}{2n} = \ \frac{1}{2} \left( \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n} + \frac{y_1 + \cdots + y_n}{n} \right)$$

$$\ge \ \frac{1}{2} \left( \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} + \sqrt[n]{y_1 \cdot y_2 \cdots y_n} \right) <pre> \ge \ \sqrt{ \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} \cdot \sqrt[n]{y_1 \cdot y_2 \cdots y_n} }$$

$$= \ \sqrt[2n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n y_1 \cdot y_2 \cdots y_n}$$

假設$P_n$成立，那麼$P_{n-1}$成立。證明：對於$n-1$個正實數$x_1, \cdots, x_{n-1}$，設$\mathbf{A}_{n-1}= \frac{x_1 + \cdots + x_{n-1} }{n-1}$，$\mathbf{G}_{n-1} = \sqrt[n-1]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_{n-1} }$，那麼由於$P_n$成立，$\frac{x_1 + \cdots + x_{n-1} + \mathbf{A}_{n-1}}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_{n-1} \mathbf{A}_{n-1} }$。

但是$x_1 + \cdots + x_{n-1} = (n-1)\mathbf{A}_{n-1}$，$x_1 \cdot x_2 \cdots x_{n-1} = \mathbf{G}^{n-1}_{n-1}$，因此上式正好變成

$$\mathbf{A}_{n-1}^n \ge \mathbf{G}^{n-1}_{n-1} \mathbf{A}_{n-1}$$

也就是說$\mathbf{A}_{n-1} \ge \mathbf{G}_{n-1}$

綜上可以得到結論：對任意的自然數$n \ge 2$，命題$P_n$都成立。這是因為由前兩條可以得到：對任意的自然數$k$，命題$P_{2^k}$都成立。因此對任意的$n \ge 2$，可以先找$k$使得$2^k \ge n$，再結合第三條就可以得到命題$P_{n}$成立了。

### 歸納法的證明

使用常規數學歸納法的證明則有喬治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代數論》（Algebra）的第二卷中給出的：

由對稱性不妨設$x_{n+1}$是$x_1, x_2 \cdots x_{n+1}$中最大的，由於$\mathbf{A}_{n+1} = \frac{n\mathbf{A}_n + x_{n+1}}{n+1}$，設$x_{n+1} = \mathbf{A}_n + b$，則$b \ge 0$，並且有$\mathbf{A}_{n+1} = \mathbf{A}_n +\frac{b}{n+1}$。

根據二項式定理。

$$\mathbf{A}^{n+1}_{n+1} = (\mathbf{A}_n +\frac{b}{n+1})^{n+1} \ge \mathbf{A}^{n+1}_{n} + (n+1)\mathbf{A}^{n}_{n} \frac{b}{n+1} = \mathbf{A}^{n}_{n}(\mathbf{A}_{n} + b ) = \mathbf{A}^{n}_{n}x_{n+1} \ge \mathbf{G}^{n}_{n}x_{n+1}$$

$$= x_1 x_2 \cdots x_{n+1} = \mathbf{G}^{n+1}_{n+1}$$

於是完成了從$n$到$n+1$的證明。

此外還有更簡潔的歸納法證明：

在$n$的情況下有不等式$\mathbf{A}_n \ge \mathbf{G}_n$和$x_{n+1} + (n-1)\mathbf{G}_{n+1} \ge n \sqrt[n]{ x_{n+1} \mathbf{G}^{n-1}_{n+1} }$成立，於是：

$$\frac{ x_1 + x_2 \cdots +x_n + x_{n+1} + (n-1)\mathbf{G}_{n+1} }{n} \ge \mathbf{G}_n + \sqrt[n]{ x_{n+1} \mathbf{G}^{n-1}_{n+1}} \ge 2 \sqrt[2n]{\mathbf{G}^{n}_{n} x_{n+1} \mathbf{G}^{n-1}_{n+1}}= 2\mathbf{G}_{n+1}$$

所以$(n+1)\mathbf{A}_{n+1} = x_1 + x_2 \cdots +x_n + x_{n+1} \ge 2n \mathbf{G}_{n+1} - (n-1)\mathbf{G}_{n+1} = (n+1)\mathbf{G}_{n+1}$，從而有$\mathbf{A}_{n+1} \ge \mathbf{G}_{n+1}$。

### 基於琴生不等式的證明

注意到幾何平均數$\mathbf{G}_n$實際上等於$\exp \left( \frac{\ln {x_1} + \ln {x_2} + \cdots + \ln {x_n}}{n} \right)$，因此算術-幾何平均不等式等價於：

$\ln { \frac{ x_1 + x_2 + \cdots + x_n }{n} } \ge \frac{\ln {x_1} + \ln {x_2} + \cdots + \ln {x_n}}{n}$。

由於對數函數是一個凹函數，由琴生不等式可知上式成立。

### 基於排序不等式的證明

令$b_i = \frac{{a_i }} {{{\mathbf{G}}_n }}(i=1,2,3,...,n)$，於是有$b_1 b_2 \cdots b_n=1$，再作代換$b_1 = \frac{{c_1 }}{{c_2 }},b_2 = \frac{{c_2 }}{{c_3 }},\cdots,b_n = \frac{{c_n }}{{c_1 }}$，運用排序不等式得到：

$\frac{{c_1 }}{{c_2 }} + \frac{{c_2 }}{{c_3 }} + \cdots + \frac{{c_n }}{{c_1 }} \geqslant \frac{{c_1 }}{{c_1 }} + \frac{{c_2 }}{{c_2 }} + ... + \frac{{c_n }}{{c_n }} = n$。

於是得到$a_1 + a_2 + \cdots + a_n \geqslant n{\mathbf{G}}_n$，即原不等式成立。

此外還有基於伯努利不等式或藉助調整法、輔助函數求導和加強命題的證明。

## 推廣

算術-幾何平均不等式有很多不同形式的推廣。

### 加權算術-幾何平均不等式

不僅「均勻」的算術平均數和幾何平均數之間有不等式，加權的算術平均數和幾何平均數之間也有不等式。設$x_1, \cdots, x_n$和$p_1, \cdots, p_n$為正實數，並且$p_1 + p_2 \cdots + p_n =1$，那麼：

$p_1 x_1 +p_2 x_2 \cdots + p_n x_n \ge x^{p_1}_1 x^{p_2}_2 \cdots x^{p_n}_n$。

加權算術-幾何平均不等式可以由琴生不等式得到。

### 矩陣形式

算術-幾何平均不等式可以看成是一維向量的係數的平均數不等式。對於二維的矩陣，一樣有類似的不等式：

對於係數都是正實數的矩陣$\begin{bmatrix} <pre> a_{11} & \cdots & a_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nk} </pre> \end{bmatrix}$

設$A_{j} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_{ij}$，$G_{i}=\sqrt[k]{\prod_{j=1}^k a_{ij} }$，那麼有：

$$\sqrt[k]{A_1 A_2 \cdots A_k} \leqslant \frac{G_1 + G_2 + \cdots + G_n}{n}$$

也就是說：對$k$個縱列取算術平均數，它們的幾何平均小於等於對$n$個橫行取的$n$個幾何平均數的算術平均。

### 極限形式

也稱為積分形式：對任意在區間$[0,1]$上可積的正值函數$f$，都有$\int_{0}^{1} f(x) dx \ge \exp (\int_{0}^{1} \ln f(x) dx )$ 這實際上是在算術-幾何平均值不等式取成$\frac{ x_1 + x_2 + \cdots + x_n }{n} \ge \exp ( \frac{\ln {x_1} + \ln {x_2} + \cdots + \ln {x_n}}{n} )$後，將兩邊的黎曼和中的$n$趨於無窮大後得到的形式。

### 算術-幾何-調和平均值不等式

若再規定$x_1,x_2, \ldots, x_n$的調和平均數$H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}.$

則有$\mathbf{A}_n \ge \mathbf{G}_n \ge \mathbf{H}_n$ 且等號依舊成立若且唯若$x_1 = x_2 = \cdots = x_n$。

證明由算術-幾何平均值不等式知

$$\frac{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}{n} \ge \sqrt[n]{\frac{1}{x_1} \frac{1}{x_2} \cdots \frac{1}{x_n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}}$$

故

$$\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \ge \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}$$

即

$\mathbf{G}_n \ge \mathbf{H}_n$

且等號成立於

$$\frac{1}{x_1}= \frac{1}{x_2}= \cdots= \frac{1}{x_n}$$

即

$$x_1=x_2=\cdots =x_n$$

## 參考來源

- 匡繼昌，《常用不等式》，山東科技出版社。
- 李勝宏，《平均不等式與柯西不等式》，華東師大出版社。
- 莫里斯·克萊因（Morris Kline），張理京 張錦炎 江澤涵 譯，《古今數學思想》，上海科學技術出版社。
- 李興懷，《學科奧林匹克叢書·高中數學》，廣東教育出版社。