隨機森林

在機器學習中，隨機森林是一個包含多個決策樹的分類器，並且其輸出的類別是由個別樹輸出的類別的眾數而定。

這個術語是1995年由貝爾實驗室的何天琴所提出的隨機決策森林（random decision forests）而來的。

然後Leo Breiman和Adele Cutler發展出推論出隨機森林的演演算法。而"Random Forests"是他們的商標。

這個方法則是結合Breimans的「Bootstrap aggregating」想法和Ho的「random subspace method」以建造決策樹的集合。

## 歷史

隨機森林的引入最初是由華裔美國人何天琴於1995年先提出的。然後隨機森林由Leo Breiman於2001年在一篇論文中提出的。這篇文章描述了一種結合隨機節點優化和bagging，利用類CART過程構建不相關樹的森林的方法。此外，本文還結合了一些已知的、新穎的、構成了現代隨機森林實踐的基礎成分，特別是

- 使用out-of-bag誤差來代替泛化誤差
- 通過排列度量變量的重要性

## 演算法

### 預備：決策樹學習

決策樹是機器學習的常用方法。Hastie等說：「樹學習是如今最能滿足於數據挖掘的方法，因為它在特徵值的縮放和其他各種轉換下保持不變，對無關特徵是穩健的，而且能生成可被檢查的模型。然而，它通常並不準確。」

特別的，生長很深的樹容易學習到高度不規則的模式，即過學習，在訓練集上具有低偏差和高變異數的特點。隨機森林是平均多個深決策樹以降低變異數的一種方法，其中，決策樹是在一個數據集上的不同部分進行訓練的。這是以偏差的小幅增加和一些可解釋性的喪失為代價的，但是在最終的模型中通常會大大提高性能。

### Bagging

隨機森林訓練演算法把bagging的一般技術應用到樹學習中。給定訓練集$X=x_1,\dots,x_n$和目標$Y=y_1,\dots,y_n$，bagging方法重複（$B$次）從訓練集中有放回地採樣，然後在這些樣本上訓練樹模型：

For b = 1, ..., B:

- 從X和Y抽取n個訓練樣本（有放回抽樣），分別記為Xb和Yb。
- 在Xb和Yb上訓練一個分類或回歸樹fb。

在訓練結束之後，對未知樣本x的預測可以通過對x上所有單個回歸樹的預測求平均來實現：

$$\hat{f} = \frac{1}{B} \sum_{b=1}^Bf_b (x')$$

或者在分類任務中選擇多數投票的類別。

這種bagging方法在不增加偏置的情況下降低了方差，從而帶來了更好的性能。這意味著，即使單個樹模型的預測對訓練集的噪聲非常敏感，但對於多個樹模型，只要這些樹並不相關，這種情況就不會出現。簡單地在同一個數據集上訓練多個樹模型會產生強相關的樹模型（甚至是完全相同的樹模型）。Bootstrap抽樣是一種通過產生不同訓練集從而降低樹模型之間關聯性的方法。

此外，x'上所有單個回歸樹的預測的標準差可以作為預測的不確定性的估計：

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{b=1}^B (f_b(x') - \hat{f})^2}{B-1} }.$$

樣本或者樹的數量B是一個自由參數。通常使用幾百到幾千棵樹，這取決於訓練集的大小和性質。使用交叉驗證，或者透過觀察out-of-bag誤差（那些不包含xᵢ的抽樣集合在樣本xᵢ的平均預測誤差），可以找到最優的B值。當一些樹訓練到一定程度之後，訓練集和測試集的誤差開始趨於平穩。

### 從 bagging 到隨機森林

上面的過程描述了樹的原始的 bagging 演算法。隨機森林與這個通用的方案只有一點不同:它使用一種改進的學習演算法，在學習過程中的每次候選分裂中選擇隨機子空間。這個過程有時又被稱為「特徵 bagging」。這樣做的原因是 bootstrap 抽樣導致的樹的相關性：如果有一些特徵預測目標值的能力很強，那麼這些特徵就會被許多樹所選擇，這樣就會導致樹的強相關性。何天琴分析了不同條件下 bagging 和隨機子空間投影對精度提高的影響。

典型地，對於一個包含 p 個特徵的分類問題，可以在每次劃分時使用 $\sqrt p$ 個特徵。對於回歸問題，作者推薦 p/3 但不少於 5 個特徵。

### 極限樹

再加上一個隨機化步驟，就會得到極限隨機樹（extremely randomized trees），即極限樹。與普通的隨機森林相同，他們都是單個樹的集成，但也有不同：首先，每棵樹都使用整個學習樣本進行了訓練，其次，自上而下的劃分是隨機的。它並不計算每個特徵的最優劃分點（例如，基於資訊熵或者基尼不純度），而是隨機選擇劃分點。該值是從特徵經驗範圍內均勻隨機選取的。在所有隨機的劃分點中，選擇其中分數最高的作為結點的劃分點。與普通的隨機森林相似，可以指定每個節點要選擇的特徵的個數。該參數的默認值，對於分類問題，是$\sqrt{n}$，對於回歸問題，是$n$，其中 $n$是模型的特徵個數。

## 性質

### 特徵的重要性

隨機森林天然可用來對回歸或分類問題中變量的重要性進行排序。下面的技術來自Breiman的論文，R語言包randomForest包含它的實現。

度量數據集 $\mathcal{D}_n =\{(X_i, Y_i)\}_{i=1}^n$的特徵重要性的第一步是，使用訓練集訓練一個隨機森林模型。在訓練過程中記錄下每個數據點的out-of-bag誤差，然後在整個森林上進行平均。

為了度量第$j$個特徵的重要性，第$j$個特徵的值在訓練數據中被打亂，並重新計算打亂後的數據的out-of-bag誤差。則第$j$個特徵的重要性分數可以通過計算打亂前後的out-of-bag誤差的差值的平均來得到，這個分數通過計算這些差值的標準差進行標準化。

產生更大分數的特徵比小分數的特徵更重要。這種特徵重要性的度量方法的統計定義由Zhu et al.給出。

這種度量方法也有一些缺陷。對於包含不同取值個數的類別特徵，隨機森林更偏向於那些取值個數較多的特徵，部分置換、growing unbiased trees可以用來解決這個問題。如果數據包含一些相互關聯的特徵組，那麼更小的組更容易被選擇。

### 與最近鄰演算法的關係

Lin和Jeon在2002年指出了隨機森林演算法和K-近鄰演算法(k-NN)的關係。事實證明，這兩種演算法都可以被看作是所謂的「加權鄰居的方案」。這些在數據集$\{(x_i, y_i)\}_{i=1}^n$上訓練的模型通過查看一個點的鄰居來計算一個新點x'的預測值$\hat{y}$，並且使用權重函數W對這些鄰居進行加權:

$$\hat{y} = \sum_{i=1}^n W(x_i, x') \, y_i.$$

其中， $W(x_i, x')$是第i個點在同一棵樹中相對於新的數據點x'的非負權重。對於任一特定的點x'，$x_i$的權重的和必須為1。權重函數設定如下：

- 對於k-NN演算法，如果xi是距離x'最近的k個點之一，則$W(x_i, x') = \frac{1}{k}$，否則為0。
- 對於樹，如果xi與x'屬於同一個包含k'個點的葉結點，則$W(x_i, x') = \frac{1}{k'}$，否則為0。

因為森林平均了m棵樹的預測，且這些樹具有獨立的權重函數$W_j$，故森林的預測值是：

$$\hat{y} = \frac{1}{m}\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^n W_{j}(x_i, x') \, y_i = \sum_{i=1}^n\left(\frac{1}{m}\sum_{j=1}^m W_{j}(x_i, x')\right) \, y_i.$$

上式表明了整個森林也採用了加權的鄰居方案，其中的權重是各個樹的平均。在這裡，x'的鄰居是那些在任一樹中屬於同一個葉節點的點$x_i$。只要$x_i$與x'在某棵樹中屬於同一個葉節點，$x_i$就是x'的鄰居。

## 基於隨機森林的非監督學習

作為構建的一部分，隨機森林預測器自然會導致觀測值之間的不相似性度量。還可以定義未標記數據之間的隨機森林差異度量：其思想是構造一個隨機森林預測器，將「觀測」數據與適當生成的合成數據區分開來。觀察到的數據是原始的未標記數據，合成數據是從參考分布中提取的。隨機森林的不相似性度量之所以吸引人，是因為它能很好地處理混合變量類型，對輸入變量的單調變換是不敏感的，而且在存在異常值的情況下度量結果依然可靠。由於其固有變量的選擇，隨機森林不相似性很容易處理大量的半連續變量。

## 學習演演算法

根據下列演演算法而建造每棵樹：

- 用$N$來表示訓練用例（樣本）的個數，$M$表示特徵數目。
- 輸入特徵數目$m$，用於確定決策樹上一個節點的決策結果；其中$m$應遠小於$M$。
- 從$N$個訓練用例（樣本）中以有放回抽樣的方式，取樣$N$次，形成一個訓練集（即bootstrap取樣），並用未抽到的用例（樣本）作預測，評估其誤差。
- 對於每一個節點，隨機選擇$m$個特徵，決策樹上每個節點的決定都是基於這些特徵確定的。根據這$m$個特徵，計算其最佳的分裂方式。
- 每棵樹都會完整成長而不會剪枝（Pruning，這有可能在建完一棵正常樹狀分類器後會被採用）。

## 優點

隨機森林的優點有：

- 對於很多種資料，它可以產生高準確度的分類器。
- 它可以處理大量的輸入變數。
- 它可以在決定類別時，評估變數的重要性。
- 在建造森林時，它可以在內部對於一般化後的誤差產生不偏差的估計。
- 它包含一個好方法可以估計遺失的資料，並且，如果有很大一部分的資料遺失，仍可以維持準確度。
- 它提供一個實驗方法，可以去偵測variable interactions。
- 對於不平衡的分類資料集來說，它可以平衡誤差。
- 它計算各例中的親近度，對於數據挖掘、偵測離群點（outlier）和將資料視覺化非常有用。
- 使用上述。它可被延伸應用在未標記的資料上，這類資料通常是使用非監督式聚類。也可偵測偏離者和觀看資料。
- 學習過程是很快速的。

## 開源實現

- The Original RF by Breiman and Cutler written in Fortran 77.
- ALGLIB contains a modification of the random forest in C#, C++, Pascal, VBA.
- party Implementation based on the conditional inference trees in R.
- randomForest for classification and regression in R.
- Python implementation with examples in scikit-learn.
- Orange data mining suite includes random forest learner and can visualize the trained forest.
- Matlab implementation.
- SQP software uses random forest algorithm to predict the quality of survey questions, depending on formal and linguistic characteristics of the question.
- Weka RandomForest in Java library and GUI.
- ranger A C++ implementation of random forest for classification, regression, probability and survival. Includes interface for R.

## 參閱

- 機器學習
- 提升方法 - 機器學習方法
- 決策樹學習 - 機器學習演算法
- 集成學習
- 無母數統計
- 隨機化算法 - 將一定程度的隨機性作為其邏輯或程序的一部分的演算法
- 梯度提升技術

## 外部連結

- Ho, Tin Kam (1995). "Random Decision Forest". Proc. of the 3rd Int'l Conf. on Document Analysis and Recognition, Montreal, Canada, August 14-18, 1995, 278-282（Preceding Work）
- Ho, Tin Kam (1998). "The Random Subspace Method for Constructing Decision Forests". IEEE Trans. on Pattern Analysis and Machine Intelligence 20 (8), 832-844（Preceding Work）
- Deng, H; Runger, G; Tuv, Eugene (2011). Bias of importance measures for multi-valued attributes and solutions, Proceedings of the 21st International Conference on Artificial Neural Networks (ICANN2011)
- Amit, Yali and Geman, Donald (1997) "Shape quantization and recognition with randomized trees". Neural Computation 9, 1545-1588. （Preceding work）
- Breiman, Leo "Looking Inside The Black Box". Wald Lecture II（Lecture）
- Breiman, Leo (2001). "Random Forests". Machine Learning 45 (1), 5-32（Original Article）
- Random Forest classifier description（Site of Leo Breiman）
- Liaw, Andy & Wiener, Matthew "Classification and Regression by randomForest" R News (2002) Vol. 2/3 p. 18 （Discussion of the use of the random forest package for R）
- Ho, Tin Kam (2002). "A Data Complexity Analysis of Comparative Advantages of Decision Forest Constructors". Pattern Analysis and Applications 5, p. 102-112 （Comparison of bagging and random subspace method）