長度收縮

長度收縮（又稱洛倫茲收縮或洛倫茲-費茲傑羅收縮）是指觀察者在觀察與其相對速度非零的物體時看到的長度變小的現象。這種現象通常只在相對速度接近光速時才會比較明顯。並且只有在與物體運動平行的方向上才能觀察到長度收縮。

對於常見物體，在其以常規速度運動時，這種效應可以忽略。只有在其運動速度足夠大，或是在電子運動中，考慮這種現象才較為有意義。當相對速度為13400000m/s（0.0447c）時，收縮後的長度為靜止長度的99.9%。而當相對速度增大到42300000m/s（0.141c），收縮後的長度仍為靜止長度的99%。隨著速度逐漸接近光速，這一效應開始變得十分明顯。這種效應可以用下面這個方程描述：

$$L=\frac{L_{0}}{\gamma(v)}=L_{0}\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}$$

其中

L0是物體的固有長度（物體在與其相對靜止的參考系中的長度）。

L是觀察者觀察到的物體的長度。

v是觀察者與運動物體之間的相對速度。

c是光速。

而γ(v)則是洛侖茲因子，定義為：

$\gamma (v) \equiv \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \ $。

在這個方程中，物體的長度所沿方向與物體運動方向平行。觀察者需要同時測量其與物體兩端的距離然後相減來得到物體的長度。當相對速度趨近光速時，物體在對應方向上的長度會變為零。更為普遍的變換請參見洛侖茲變換。

## 歷史

長度收縮由喬治·斐茲傑惹與亨德里克·洛倫茲先後於1889年與1892年提出。他們提出這一假設是用來應對麥可遜-莫雷實驗對於洛侖茲以太理論的撼動。儘管斐茲傑惹與洛侖茲都提到了靜電場在運動時發生變形的現象（「亥維賽橢圓」，奧利弗·亥維賽基於電磁理論於1888年提出），但他們認為這只是個特例情況。因為當時並沒有充足的理論證實分子間的作用力會完全依照電磁作用規律。1897年，約瑟夫·拉莫爾提出了一種可以將電磁作用視為所有力起源的理論。長度收縮是這一模型的直接推論。不過亨利·龐加萊在1905年提出，電子的穩定性並不能單單通過電磁作用就能得到解釋。所以他引入了另一個特例假設：長度收縮可以通過保證電子穩定性的非電約束力得到動力學解釋。並且這種力還可以掩蓋靜止以太的運動。

1905年，阿爾伯特·愛因斯坦首次移去了長度收縮中所有特例假設因素，展示了這種現象並不需要以太假設，而是可以通過狹義相對論得到解釋。愛因斯坦的理論後來得到了赫爾曼·閔可夫斯基的完善。他通過引入四維時空的概念給出了所有相對論效應的幾何解釋。

## 相對論基礎

首先需要考慮的問題是測量靜止與運動物體長度的方法。這裡的物體只是指由一系列互相靜止（換言之，它們在同個慣性系中會保持靜止）的點構成的一段線。如果觀察者與物體間的相對速度為零，那麼物體的原長$L_0$用測量棒就可以直接測定。當相對速度大於零時，測量可以這樣進行：

觀察者設置一列經過同步的時鐘。同步可以這樣完成：

- 使用愛因斯坦同步法交換光信號。
- 使用「慢時鐘輸運」法，也就是在消失輸運速度範圍內（vanishing transport velocity）在時鐘間傳遞一個時鐘。

當同步過程完成後，物體通過時鐘列，每個時鐘記錄下左右兩個端點通過的確切時間。在這之後，觀察者只需去看記錄下物體左端點通過時間的時鐘A的位置，以及同一時刻物體右端點經過的時鐘B的位置即可。A、B兩點的距離與物體此時長度$L$ 相等。當使用這種方法時，同時性（simultaneity）的定義就顯得尤其重要。

另一種方法是使用可以顯示其原時$T_0$的時鐘，讓其在物體靜止系內在時間$T$內（使用時鐘本身測量）自物體一點運動到另一點。物體的長度可以通過時鐘的運動與速度相乘求得，即$L_{0}=T\cdot v$（物體靜止系）或$L=T_{0}\cdot v$（時鐘靜止系）。

在牛頓力學中，同時性與時間都是絕對的，因而兩種方法最終得到的結論會是$L$與$L_0$相等。在相對論中，由所有慣性系中光速不變推出的相對同時以及時間膨脹打破了這個等式。當採用第一種方法時，當一個慣性系中的觀察者說自己同時測量物體端點的距離時，其他慣性系中的觀察者會認為測量並不是同時完成的。當採用第二種方法時，由於時間膨脹效應，$T$與$T_0$並不相等，這會導致出現長度不等的情況。

所有慣性系中測量方式可以通過洛倫茲變換以及時間膨脹推導。最終結果顯示，物體的原長保持不變，且是物體的最大長度，也就是說在其他慣性系中同一物體的長度都比原長小。這種收縮只會在物體運動方向上發生，物體長度與原長之間的關係如下式所示：

$$L=L_{0}/\gamma$$

## 磁作用

在電子相對原子核運動過程中，受到相對論收縮效應的影響會產生磁作用。載流線圈附近的運動電荷所受到的磁作用就是由電子與質子間相對運動造成的。

1820年，安德烈-馬里·安培展示通有同向電流的平行線圈會彼此吸引。對於電子而言，線圈會略微收縮，造成另一線圈中的電子局部稠密。而另一線圈中的電子雖然也會在運動，但他們並不會產生同等收縮。這造成電子與質子產生了視在局部不均，此時發生較大收縮線圈中的電子就會受另一線圈中多餘質子的吸引。反之亦然。在質子靜止參考系中，電子會運動並收縮，也會產生同樣的不平衡。雖然電子的漂移速度相對較低（1米每秒量級），但電子與質子間的作用非常大，以致在這一較低速度下，相對論收縮也會引起明顯效應。

這種效應也可以用來解釋不帶電流的磁性粒子，只需把電流替換成自旋即可。

## 對稱性

S系中所有平行於x軸的事件都是同時發生的。S'系中所有平行於x'軸的事件也是同時發生的。

相對性原理（即所有慣性系中，物理規律都應具有相同形式）要求長度收縮影視對稱的：即如果S系中的靜止長棒在S'系中發生長度收縮，那麼S'中的靜止長棒也應在S系中發生收縮。這一點可以使用對稱的閔可夫斯基圖表示，因為幾何上，洛倫茲變換對應四維時空中的旋轉。

在右側第一張圖中，如果S'系中有一根靜止長棒，且一個端點位於ct'軸且平行於x'軸。在這個參考系中，端點同時時的位置是O和B，因此原長等於OB。在S系中，同時位置則是O和A，因此收縮後的長度是OA。

反之，如果S系中有另一根靜止長棒。同樣，它的一個端點位於ct軸且平行於x軸。在這個參考系中，端點同時時的位置是O和D，因此原長等於OD。在S'系中，同時位置則是O和C，因此收縮後的長度是OC。

在右側第二張圖中，如果S系中有一列靜止的火車，S'系中有一座靜止的火車站。S系與S'系的相對速度為$v = 0{.}8c$。S系中有一根原長$L_0=\mathrm{AB}=30\ \mathrm{cm}$的長棒，其在S'系中收縮後的長度$L'$為：

$$L'=\mathrm{AC}=L_{0}/\gamma=18\ \mathrm{cm}$$

當長棒從S系中的火車中扔到S'系中的火車站並靜止，它的長度可以使用上面的方法再次測量。現在S'中長棒原長$L'_0 = \mathrm{EF} =30\ \mathrm{cm}$，那麼此時長棒相對於S系是運動的，其長度會發生收縮：

$$L=\mathrm{DE}=L'_{0}/\gamma=18\ \mathrm{cm}$$

## 實驗驗證

任何與物體一起運動的觀察這都不能測量物體的收縮，因為根據相對性原理，他本人就能感覺到他自己與物體在同一參考系中保持相對靜止。所以長度收縮在物體靜止系中都不能測出，而只能在物體運動系中測到。除此之外，即使在非拖帶（non-co-moving）參考系中，對於長度收縮的直接實驗驗證也是非常難以實現的，因為目前的技術水平，可觀測的物體都不能加速至相對論效應明顯的速度。能以那樣高的速度運動的物體只有原子中的粒子，但他們的大小不足以直接測量收縮的程度。

不過，目前已經有一些途徑可以間接驗證這種效應的存在：

麥可遜-莫雷實驗：在狹義相對論中，這個實驗可以這樣解釋：在干涉儀的靜止系中，光在各個方向上傳播時間相同。在干涉儀運動系中，縱向光束的傳播路徑要比靜止系中長，其傳播時間也會相應變長，在向前和反射路徑中，其與橫向光束傳播時間需要分別乘以L/(c-v)與L/(c+v)。因此，為使各向傳播時間重新一致，干涉儀中橫向路徑發生收縮。兩路光束的傳播速度一致，兩個垂直臂的總時間與其運動方向無關。

快μ子的活動範圍要比慢μ子大得多。在地球固聯繫中，大氣層厚度保持原長。μ子壽命增長可以通過時間膨脹解釋。然而在，繆子靜止系中，其壽命並沒有改變，但大氣層厚度收縮以致μ子能夠到達地球表面。

重離子靜止時會是球形，而在以接近光速的速度運動時則會變成盤形。粒子碰撞的部分實驗結果只能通過由長度收縮引起的核子密度增大解釋。

高速運動的帶電粒子電離能力較強。經典物理學的結果卻與之相反，因為運動的電離粒子會與其他原子電子相互作用的過程會占去部分時間。在相對論中，則可以通過靜電場發生的長度收縮導致其在傳播方向上電場增強解釋。

在同步加速器以及自由電子雷射器中，高速電子會被注入波盪器中以產生同步輻射。在電子靜止系中，波盪器的長度會收縮易產生更高頻率的輻射。除此之外，為了達到實驗室系中測到的頻率，人們可以應用相對論性都卜勒效應。波盪器所能產生的極高頻率輻射只能通過長度收縮以及相對論性都卜勒效應得到。

## 實在性

1911年，弗拉基米爾·瓦里恰克（Vladimir Varićak）提出如果利用洛倫茲的理論，長度收縮是一種「客觀」現象；而如果依據愛因斯坦的理論，其則為「表觀的或主觀的」現象。愛因斯坦就此回應道：

這位作者不正確地表述了洛倫茲關於物理事實的理解和我的理解之間的差別，關於洛侖茲是不是真實的問題，會把人引入歧途。只要這種收縮對於一個隨之運動的觀察者是不存在的，那它就的確是不「真實的」；但是，從它對於一個不隨之運動的觀察者在原則上可以用物理方法加以證明這一點來說，它是「真實的」。

愛因斯坦認為長度收縮並不是依照測量過程隨意定義的。他在那篇文章中還提出了一個思想實驗：設A'B'與A"B"是兩根原長相等的長棒的端點。讓它們以相同速率（相對於靜止的x軸）相向運動。A'A"相遇於A*，B'B"相遇於B*。A*B*的長度要比A'B'及A"B"短。當其中一根長棒相對於x軸靜止時，也會發生類似的現象。

## 相關悖論

粗略使用收縮方程會產生「梯子悖論」以及「貝爾飛船悖論」這些悖論，但這些悖論只需修正其中同時的概念就足以解決。埃倫費斯特悖論是有關長度收縮比較重要的悖論。它證明剛體的概念與相對論並不兼容，降低了玻恩剛性理論的可用性，並展示了與物體一起轉動的觀察者所看到的現象需要用非歐幾何描述。

## 視覺效應

長度收縮涉及到在一個坐標系內同時測量多個位置。這意味著如果可以拍到快速移動的物體，那麼這張照片也許可以反映物體在其運動方向上的收縮。不過由於相片是在側面拍攝的，這樣的視覺效應就與長度收縮是另一回事了。因為長度收縮只能通過物體的端點直接測量。羅傑·彭羅斯與詹姆斯·特雷爾等人都曾注意到照片並不能展示運動物體的長度收縮。比方說，當角直徑較小時，一個運動的球體側面看仍會是圓形，不過看起來會像是在轉動。這種轉動視覺效應稱作彭羅斯-特雷爾轉動。

## 推導

### 通過洛倫茲變換

長度收縮可以通過洛倫茲變換推導：

$$\begin{align} x' & =\gamma\left(x-vt\right),\\ t' & =\gamma\left(t-vx/c^{2}\right). \end{align}$$

運動長度已知

在慣性系S中，設$x_{1}$和$x_{2}$是運動物體的兩個端點。這裡，它的長度$L$可以根據上述變換，通過在$t_{1}=t_{2}\,$時同時確定兩個端點的位置測量。現在這個物體在S'系中的原長可以通過洛倫茲變換計算。自S到S'的時間坐標變換會導致時間不同，但這並不影響推導，因為物體在S'系中是靜止的。因此，這裡只需要考慮空間坐標的變換：

$x'_{1}=\gamma\left(x_{1}-vt_{1}\right)$以及$x'_{2}=\gamma\left(x_{2}-vt_{2}\right)$。

由於$t_{1}=t_{2}\,$，那麼設$L=x_{2}-x_{1}$，$L_{0}^{'}=x_{2}^{'}-x_{1}^{'}$，S'中的原長為：

$$L_{0}^{'}=L\cdot\gamma. \qquad \qquad \text{(1)}$$

$$L=L_{0}^{'}/\gamma. \qquad \qquad \text{(2)}$$

依據相對性原理，S中靜止的物體在S'中同樣也會發生長度收縮。當改變改變符號和對換表示後：

$$L_{0}=L'\cdot\gamma. \qquad \qquad \text{(3)}$$

此時。

$$L'=L_{0}/\gamma.\qquad \qquad \text{(4)}$$

原長已知

反之，如果物體在S系中靜止，且原長已知。由於物體的位置會時時發生變化，在S'中就要同時確定物體兩個端點的位置。因此，時空坐標要進行以下變換：

$$\begin{align} x_{1}^{'} & =\gamma\left(x_{1}-vt_{1}\right) & \quad, \quad & & x_{2}^{'} & =\gamma\left(x_{2}-vt_{2}\right)\\ t_{1}^{'} & =\gamma\left(t_{1}-vx_{1}/c^{2}\right) & \quad, \quad & & t_{2}^{'} & =\gamma\left(t_{2}-vx_{2}/c^{2}\right). \end{align}$$

當$t_{1}=t_{2}$，$L_{0}=x_{2}-x_{1}$，非同時距離時間差為：

$$\begin{align} \Delta x' & =\gamma L_{0}\\ \Delta t' & =\gamma vL_{0}/c^{2} \end{align}$$

為了得到端點在同一時刻的位置，距離可以這樣求得：

$$\begin{align} L' & =\Delta x'-v\Delta t'\\ <pre> & =\gamma L_{0}-\gamma v^{2}L_{0}/c^{2}\\ & =L_{0}/\gamma </pre> \end{align}$$

由此得到收縮後的長度。類似地，當物體在S'中靜止時。

$L=L^{'}_{0}/\gamma$.

### 通過時間膨脹

長度收縮也能通過時間膨脹推導。思路與前文（「相對論基礎」）基本一致。時鐘運動時間$T$與其原時$T_{0}$滿足：

$$T=T_{0}\cdot\gamma$$

設一根原長為$L_0$的長棒在S系中靜止，而時鐘在S'系中靜止。在S系中，時鐘在長棒從一個端點到另一個端點的運動時間為$T=L_{0}/v$，在S'系中則為$T'_{0}=L'/v$。因此$L_{0}=Tv$，而$L'=T'_{0}v$。通過插入時間膨脹方程，長度之間的比值為：

$\frac{L'}{L_{0}}=\frac{T'_{0}v}{Tv}=1/\gamma$.

因此。

$L'=L_{0}/\gamma$.

也就是說，時鐘在S系中的運動時間要比在S'中長（S系中的時間膨脹效應），對應地，長棒在S系中的長度也就比S'中的長（S'系中的長度收縮效應）。類似地，如果時鐘和長棒分別在S和S'中靜止，對應的結果則為：

$L=L'_{0}/\gamma$.

### 幾何方法

除了上述兩種方法，還可通過不同空間中的三角法來解釋長度收縮。

右圖的左側展示了一個在三維歐幾里得空間 E3內旋轉的長方體。旋轉方向上的截面要比旋轉前長。右側則是單個空間維度發生收縮的閔科夫斯基時空E1,2中的運動薄板。直線變換方向上的截面要比變換前窄。在兩種情形中，縱向並沒有受到影響而三個平面在長方體的各個頂點上都是彼此正交的。

在狹義相對論中，龐加萊變換是一種仿射變換。其是依據慣性系狀態以及不同的原點選擇不同的描述閔可夫斯基時空的直角坐標系。洛倫茲變換是一種線性龐加萊變換。對閔可夫斯基時空進行洛侖茲變換（洛倫茲群是等距同構群的迷向子群（isotropy subgroup））與對歐幾里德空間金星旋轉變換的作用類似。狹義相對論中有很大一部分是對閔可夫斯基時空中非歐三角法則的研究。

三角法｜圓｜拋物線｜雙曲線

克萊因幾何｜歐幾里得平面｜伽利略平面｜閔科夫斯基平面

符號｜E2｜E0,1｜E1,1

二次型｜正有限｜退化｜非退化但無限

等距同構群｜E(2)｜E(0,1)｜E(1,1)

各向同性群｜SO(2)｜SO(0,1)｜SO(1,1)

各向同性類｜旋轉｜錯切｜平移

凱萊代數｜複數｜二元數｜雙曲複數

ε2｜-1｜0｜1

時空解釋｜無｜牛頓時空｜閔科夫斯基時空

斜率｜tan φ = m｜tanp φ = u｜tanh φ = v

餘弦｜cos φ = (1+m2)−1/2｜cosp φ = 1｜cosh φ = (1-v2)−1/2

正弦｜sin φ = m (1+m2)−1/2｜sinp φ = u｜sinh φ = v (1-v2)−1/2

正割｜sec φ = (1+m2)1/2｜secp φ = 1｜sech φ = (1-v2)1/2

餘割｜csc φ = m−1 (1+m2)1/2｜cscp φ = u−1｜csch φ = v−1 (1-v2)1/2

## 外部連結

- Physics FAQ
- Can You See the Lorentz–Fitzgerald Contraction? Or: Penrose-Terrell Rotation （洛侖茲-斐茲傑惹收縮可以用肉眼觀察麼？或彭羅斯-特雷爾轉動）
- A Special Relativity Paradox: The Barn and the Pole （一種狹義相對論佯謬：穀倉與長杆）