應力-能量張量

應力-能量張量，也稱應力-能量-動量張量、能量-應力張量、能量-動量張量、簡稱能動張量，在物理學中是一個張量，描述能量與動量在時空中的密度與通量(flux)，其為牛頓物理中應力張量的推廣。在廣義相對論中，應力-能量張量為重力場的源，一如牛頓重力理論中質量是重力場源一般。應力-能量張量具有重要的應用，尤其是在愛因斯坦場方程式。

## 定義

請注意我們將全程使用到愛因斯坦取和原則。當用到座標表示，x0代表時間，其他座標項x1, x2及x3則為剩下的空間分量。

應力-能量張量為一個二階張量$T^{ab}$，給出四維動量或4-動量之a分量通過一座標為常數xb之表面的通量。

另外要注意的是應力-能量張量是對稱(當自旋張量為零時)，亦即

$$T^{ab} = T^{ba} \,$$

若自旋張量S非零，則

$$\partial_{\alpha}S^{\mu\nu\alpha} = T^{\mu\nu} - T^{\nu\mu}$$

## 例子

此處舉出一些特例：

$$T^{00}$$

代表能量密度。

$$T^{0i}$$

代表能量通過xi表面之通量，等同於

$$T^{i0},$$

第i 動量之密度。

分量

$$T^{ij}$$

代表i 動量通過xj表面之通量。其中較特別的是：

$$T^{ii}$$

代表一個類似壓力與張應力的物理量——正向應力(normal stress)，而

$$T^{ij}, \quad i \ne j$$

代表剪應力(shear stress)。

提醒：在固態物理與流體力學中，應力張量所指為應力-能量張量於共動參考系(comoving frame of reference)的空間分量。換句話說，工程學中的應力-能量張量與此處由動量對流項(momentum convective term)表示的應力-能量張量有所差異。

## 作為諾特流(Noether current)

應力-能量張量滿足連續性方程式(continuity equation)

$\nabla_b T^{ab}=T^{ab}{}_{;b}=0$.

此一物理量

$$\int d^3x T^{a0}$$

是對一類空切面積分，得出能量-動量向量。分量$T^{a0}$因此可以詮釋為（非重力的）能量與動量之局域密度，而連續性方程式的第一分量

$$\nabla_b T^{0b} = \nabla \cdot \mathbf{p} - \frac{\partial E}{\partial t} = 0$$

則單純是能量守恆的表述。空間分量$T^{ij}$ (i, j = 1, 2, 3)則對應到局域非重力的應力分量，其中包括了壓力。此一張量為與時空移動相應的守恆諾特流(Noether current)。

## 於廣義相對論中

上面所給的關係並不唯一決定此張量。在廣義相對論中，對稱形式的張量，也就是額外滿足

$$T^{ab} = T^{ba}$$

關係的張量成為時空曲率的源，並且是與規範變換(gauge transformation)相應的流密度(current density)，在此是以座標變換為例。若有扭率(torsion)，則此張量就不再是對稱的。這對應到非零自旋張量的例子。參見愛因斯坦-嘉當重力。

在廣義相對論中，平直時空所用的偏導數(偏微分，partial derivative)修改為協變導數(covariant derivative)。這表示連續性方程式中用張量表示的能量和動量不是絕對地守恆。在牛頓重力的古典極限，這一點有一個簡單的解釋：與引力位能互相交換的能量，它沒有包含在能動張量中，而動量是通過場傳遞到其他物體。然而在廣義相對論中，無法定義對應「重力場」能量密度與動量密度的物理量；任何意圖要定義這些密度的膺張量(pseudo-tensor)均可以透過一個座標轉換使它們局域地消失為零。一般情況下，對於應力─能量張量只是部分的"協變守恆"，我們必須感到心滿意足。

在彎曲時空中，一般而言類空積分依賴於類空截面。事實上在一般的彎曲時空中是無法定義一個全局的能量─動量張量（原文誤為'vector'）。

### 愛因斯坦場方程式

在廣義相對論中，應力-能量張量主要出現在愛因斯坦場方程式的研究題材中，方程式常寫為：

$$R_{\alpha \beta} - {1 \over 2}R\,g_{\alpha \beta} = {8 \pi G \over c^4} T_{\alpha \beta},$$

其中$R_{\alpha \beta}$為里奇張量, $R$為里奇純量（對里奇張量做張量縮併(tensor contraction)而得），以及$G$為宇宙重力常數(universal gravitational constant).

## 特殊情況下的應力-能量張量

### 孤立粒子

在狹義相對論中，質量為m的無相互作用粒子的應力-能量張量為：

$$T^{\alpha \beta}[t,x,y,z] = \frac{m \, v^{\alpha}[t] v^{\beta}[t]}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} \delta(x - x[t]) \delta(y - y[t]) \delta(z - z[t])$$

其中δ是狄拉克δ函數，$v^{\alpha} \!$是速度矢量：

$$\begin{pmatrix} v^0 [t] \\ v^1 [t] \\ v^2 [t] \\ v^3 [t] \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ {d x [t] \over d t} \\ {d y [t] \over d t} \\ {d z [t] \over d t} \end{pmatrix} .$$

### 處於平衡狀態下的流體的應力-能量張量

對於處於熱平衡狀態下的流體，應力-能量張量具有一個特別簡單的形式：

$$T^{\alpha \beta} \, = (\rho + {p \over c^2})u^{\alpha}u^{\beta} + p g^{\alpha \beta}$$

其中$\rho$是質量-能量密度（牛頓每立方米），$p$是流體靜壓力（牛頓每平方米），$u^{\alpha}$是流體的四維速度，$g^{\alpha \beta}$是度量張量的逆。

四維速度滿足：

$$u^{\alpha} u^{\beta} g_{\alpha \beta} = - c^2 \,.$$

在隨流體一起移動的慣性參考系中，四維速度為：

$$u^{\alpha} = (1, 0, 0, 0) \,,$$

度量張量的倒數為：

$$g^{\alpha \beta} \, = \left( \begin{matrix} <pre> - c^{-2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) </pre> \,,$$

應力-能量張量是一個對角矩陣：

$$<pre> T^{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix} \rho & 0 & 0 & 0 \\ 0 & p & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p \end{matrix} \right). </pre>$$

### 電磁應力-能量張量

一個無源電磁場的應力-能量張量為：

$$T^{\mu \nu} (x) = \frac{1}{\mu_0} \left( F^{\mu \alpha} g_{\alpha \beta} F^{\nu \beta} - \frac{1}{4} g^{\mu \nu} F_{\delta \gamma} F^{\delta \gamma} \right)$$

其中$F_{\mu \nu}$是電磁張量。

### 標量場

滿足克萊因-戈爾登方程的標量場$\phi$的應力-能量張量為：

$$T^{\mu\nu} = \frac{\hbar^2}{m} (g^{\mu \alpha} g^{\nu \beta} + g^{\mu \beta} g^{\nu \alpha} - g^{\mu\nu} g^{\alpha \beta}) \partial_{\alpha}\bar\phi \partial_{\beta}\phi - g^{\mu\nu} m c^2 \bar\phi \phi .$$

## 各式各樣的應力-能量張量

存在有一些互不相等的應力-能量張量。

### 正則(Canonical)應力-能量張量

其為與時空平移相關的諾特流。

### 希爾伯特應力-能量張量

應力-能量張量在廣義相對論中僅能以動態度規來定義。其定義成一個泛函導數(functional derivative)

$$T^{\mu\nu}(x)=\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta \mathcal{S}_{\mathrm{matter}}}{\delta g_{\mu\nu}(x)}$$

其中Smatter是作用量的非重力部份，為對稱的且有規範不變性。

### 贗張量(Pseudotensors)

贗張量的例子有愛因斯坦贗張量與藍道-里夫須茲贗張量(Landau-Lifschitz pseudotensor)。

## 外部連結

- Lecture, Stephan Waner
- Caltech Tutorial on Relativity — A simple discussion of the relation between the Stress-Energy tensor of General Relativity and the metric