泊松流形

在數學中，泊松流形（Poisson manifold）是一個微分流形 M 使得 M 上光滑函數代數 C∞(M) 上裝備有一個雙線性映射稱為泊松括號，將其變成泊松代數。

每個辛流形是泊松流形，反之則不然。

## 定義

M 上一個泊松結構（Poisson structure）是一個雙線性映射

$$\{,\}:C^\infty(M) \times C^\infty(M) \to C^\infty(M),\,$$

使得這個括號反對稱：

$$\{f,g\}=-\{g,f\},\,$$

服從雅可比恆等式：

$$\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0,\,$$

是 C∞(M) 關於第一個變量的導子：

$\{fg,h\}=f\{g,h\} + g\{f,h\}$ 對所有 $f,g,h \in C^\infty(M).\,$

上一個性質有多種等價的表述。取定一個光滑函數 g ∈ C∞(M)，我們有映射 $f \mapsto \{ g, f\}$ 是 C∞(M) 上一個導子。這意味著存在 M 上哈密頓向量場 Xg 使得

$$X_g(f) = \{f,g\}\,$$

對所有 f ∈ C∞(M)。這說明這個括號只取決於 f 的微分。從而，任何泊松結構有一個相伴的從 M 的餘切叢 T∗M 到切叢 TM 的映射

$$B_M : \mathrm{T}^* M \to \mathrm{T} M,\,$$

將 df 映為 Xf。

## 泊松雙向量

餘切叢與切叢之間的映射意味著 M 上存在一個雙向量場 η，泊松雙向量（Poisson bivector），一個反對稱 2 張量 $\eta\in \bigwedge^2 TM$，使得

$$\{f,g\} = \langle \mathrm{d} f \otimes \mathrm{d} g, \eta\rangle ,\,$$

這裡 $\langle , \rangle$ 是切叢與其對偶之間的配對。反之，給定 M 上一個雙向量場 η，這個公式可用來定義一個關於第一個變量為導子的反對稱括號。這個括號服從雅可比恆等式，從而定義了一個泊松結構若且唯若斯豪滕–尼延黑斯括號 η,η 等於 0。

在局部坐標中，雙向量在一點 x = (x1, ..., xm) 有表達式

$$\eta_x=\sum_{i,j=1}^m \eta_{ij}(x) \frac {\partial}{\partial x_i} \otimes \frac {\partial}{\partial x_j}\,$$

從而

$$\{f,g\}(x)=\sum_{i,j=1}^m \eta_{ij}(x) \frac {\partial f}{\partial x_i} \otimes \frac {\partial g}{\partial x_j}.\,$$

對一個辛流形，η 不過是由辛形式 ω 誘導的餘切叢與切叢之間的配對，存在性是其非退化保證。辛流形與泊松流形的差別在於辛形式必須無處奇異，而泊松雙向量不必處處都滿秩。當泊松雙向量處處為零時，稱流形有平凡泊松結構。

## 泊松映射

泊松映射（Poisson map）定義為光滑映射 $\phi:M\to N$，從一個泊松流形 M 映到泊松流形 N，保持括號積：

$$\{f_1,f_2\}_N \circ \phi = \{f_1\circ \phi, f_2 \circ \phi\}_M\,$$

這裡 { , }M 與 { , }N 分別是 M 與 N 上的泊松括號。

## 乘積流形

給定兩個泊松流形 M 與 N，可以在乘積流形上定義一個泊松括號。設 f1 與 f2 是定義在乘積流形 M × N 上兩個光滑函數，利用在因子流形上的括號 { , }M 與 { , }N 定義乘積流形上的括號{ , }M×N：

$$\{f_1,f_2\}_{M\times N}(x,y) = \{f_1 (x, \cdot), f_2(x, \cdot)\}_N (y) + \{f_1 (\cdot, y), f_2(\cdot, y)\}_M (x)\,$$

這裡 x ∈ M 與 y ∈ N 都是常數；這就有，當

$$f(\cdot,\cdot):M\times N\to\mathbb{R},\,$$

則蘊含著

$$f(x,\cdot):N\to\mathbb{R}\,$$

與

$$f(\cdot, y):M\to\mathbb{R}.\,$$

## 辛葉子

一個泊松流形可以分成一族辛葉子（symplectic leaves）。每一片葉子是泊松流形的一個子流形，每片葉子自身是一個辛流形。兩個點在同一片葉子上如果他們由一個哈密頓向量場的積分曲線連接。即，哈密頓向量場的積分曲線在這個流形上定義了一個等價關係。這個等價關係的等價類就是辛葉子。

## 例子

如果 $\mathfrak{g}$ 是一個有限維李代數，$\mathfrak{g}^*$ 是其對偶空間，則李括號在 $\mathfrak{g}^*$ 上誘導了一個泊松結構。令 f1 與 f2 是 $\mathfrak{g}^*$ 上兩個函數，$x\in \mathfrak{g}^*$ 是一點，可定義

$$\{f_1,f_2\}(x) = \langle \;\left[(df_1)_x, (df_2)_x \right] \,, x \rangle$$

這裡 $\mathrm{d} f \in (\mathfrak{g}^*)^* \simeq \mathfrak{g}$，而 , 是李括號。如果 ek 是李代數 $\mathfrak{g}$ 上的局部坐標，則泊松雙向量由

$$\eta_{ij}(x) = \sum_k c_{ij}^k \langle x, e_k\rangle\,$$

給出，這裡 $c_{ij}^k$ 是李代數的結構常數（structure constant）。

## 復結構

一個復泊松流形（complex Poisson manifold）是一個具有復結構或殆復結構 J 的泊松流形使得復結構保持雙向量：

$$\left(J \otimes J\right)(\eta) = \eta.\,$$

復泊松流形的辛葉子是偽凱勒流形（pseudo-Kähler manifold）。

## 參考文獻

- A. Lichnerowicz, "Les variétès de Poisson et leurs algèbres de Lie associées", J. Diff. Geom. 12 (1977), 253-300.
- A. A. Kirillov, "Local Lie algebras", Russ. Math. Surv. 31 (1976), 55-75.
- V. Guillemin, S. Sternberg, Symplectic Techniques in Physics, Cambridge Univ. Press 1984.
- P. Liberman, C.-M. Marle, Symplectic geometry and analytical mechanics, Reidel 1987.
- K. H. Bhaskara, K. Viswanath, Poisson algebras and Poisson manifolds, Longman 1988, ISBN 0-582-01989-3.
- I. Vaisman, Lectures on the Geometry of Poisson Manifolds, Birkhäuser, 1994. See also the review by Ping Xu in the Bulletin of the AMS.