水仙花數

在數論中，水仙花數（Narcissistic number），也被稱為超完全數字不變數（pluperfect digital invariant, PPDI）、自戀數、自冪數或阿姆斯特朗數（Armstrong number），用來描述一個N位非負整數，其各位數字的N次方和等於該數本身。

## 水仙花數的定義

設有自然數n，d為該自然數各位數字，即 n = dkdk-1...d1，則有：

n = dk·10k-1 + dk-1·10k-2 + ... + d2·10 + d1,

如果該自然數n滿足條件：

n = dkk + dk-1k + ... + d2k + d1k.

則這個自然數就被稱為超完全數字不變數。

例如153、370、371及407就是三位超完全數字不變數，其各個數之立方和等於該數：

153 = 13 + 53 + 33。

370 = 33 + 73 + 03。

371 = 33 + 73 + 13。

407 = 43 + 03 + 73。

若將條件放寬，一個N位數，其各個數之M次方和等於該數，M和N不一定相等，這樣的數稱為完全數字不變數（perfect digital invariant），例如數字4150等於各位數字的5次方。

4150 = 45 + 15 + 55 + 05,

水仙花數一定是完全數字不變數，但完全數字不變數不一定是水仙花數。

嚴格意義來說水仙花數指三位數。

## 定義

設 $n$ 為一自然數。定義基數 $b > 1$ 的 水仙花函數 $F_{b} : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ 如下：

$$F_{b}(n) = \sum_{i=0}^{k - 1} d_i^k.$$

其中 $k = \lfloor \log_{b}{n} \rfloor + 1$ 為數字在基數 $b$ 下的位數。

$$d_i = \frac{n \bmod{b^{i+1}} - n \bmod b^i}{b^i}$$

表示數字的各位數值。若自然數 $n$ 為 $F_{b}$ 的 不動點，即 $F_{b}(n) = n$，則稱 $n$ 為 水仙花數。

範圍 $0 \leq n < b$ 的自然數為 平凡水仙花數，其他水仙花數則為 非平凡水仙花數。

舉例，數字 153 在基數 $b = 10$ 下是水仙花數，因為 $k = 3$ 且 $153 = 1^3 + 5^3 + 3^3$。

若自然數 $n$ 為 $F_{b}$ 的 周期點，且存在正整數 $p$ 使 $F_{b}^p(n) = n$（其中 $F_{b}^p$ 為 $F_b$ 的第 $p$ 次迭代），則稱 $n$ 為 社交性水仙花數，其形成的序列週期為 $p$。

- 當 $p = 1$ 時，社交性水仙花數即為普通水仙花數。
- 當 $p = 2$ 時，稱為 友好水仙花數。

所有自然數 $n$ 不論基數大小都是 $F_{b}$ 的前週期點。

理由如下：

- 對給定位數 $k$，最小可能值為 $b^{k - 1}$，最大可能值為 $b^{k} - 1 \leq b^k$。
- 水仙花函數的值為 $F_{b}(n) = k(b-1)^k$。

因此，水仙花數必須滿足不等式：

$b^{k - 1} \leq k(b-1)^k \leq b^k$。

兩邊同時乘以 $\frac{b}{(b - 1)^k}$ 得：

${\left(\frac{b}{b - 1}\right)}^{k} \leq bk \leq b{\left(\frac{b}{b - 1}\right)}^{k}$。

等價於 $k \leq {\left(\frac{b}{b - 1}\right)}^{k} \leq bk$。

由於 $\frac{b}{b - 1} \geq 1$，存在一個最大位數 $k$ 使 ${\left(\frac{b}{b - 1}\right)}^{k} \leq bk$。

超過此位數時，必然 $F_{b}(n) \leq n$。

因此，水仙花數是有限個，自然數一定會收斂到小於 $b^{k} - 1$ 的週期點或不動點，成為前週期點。

以 $b = 10$ 為例，最大水仙花數小於 $10^{60}$。

數字 $n$ 經過多少次迭代 $i$ 才能到達不動點，即為水仙花函數的韌性，若永不達到不動點則未定義。

基數 $b$ 至少存在一個兩位數水仙花數若且唯若 $b^2 + 1$ 非質數，且兩位數水仙花數的數量為 $\tau(b^2+1)-2$，其中 $\tau(n)$ 為正整數 n 的因數個數。

每個基數 $b \geq 3$ 且非九的倍數，都至少有一個三位數水仙花數。不存在三位數水仙花數的基數為：

2, 72, 90, 108, 153, 270, 423, 450, 531, 558, 630, 648, 738, 1044, 1098, 1125, 1224, 1242, 1287, 1440, 1503, 1566, 1611, 1620, 1800, 1935, ...

10 進位中共有 88 個水仙花數，其中最大者為：

115,132,219,018,763,992,565,095,597,973,971,522,401

共 39 位數。

## 部分水仙花數

### 十進制下的水仙花數

十進位的水仙花數共有89個，最大的是

115,132,219,018,763,992,565,095,597,973,971,522,401

共有39位數。

完整的十進位水仙花數列表如下：

- 0
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 153
- 370
- 371
- 407
- 1634
- 8208
- 9474
- 54748
- 92727
- 93084
- 548834
- 1741725
- 4210818
- 9800817
- 9926315
- 24678050
- 24678051
- 88593477
- 146511208
- 472335975
- 534494836
- 912985153
- 4679307774
- 32164049650
- 32164049651
- 40028394225
- 42678290603
- 44708635679
- 49388550606
- 82693916578
- 94204591914
- 28116440335967
- 4338281769391370
- 4338281769391371
- 21897142587612075
- 35641594208964132
- 35875699062250035
- 1517841543307505039
- 3289582984443187032
- 4498128791164624869
- 4929273885928088826
- 63105425988599693916
- 128468643043731391252
- 449177399146038697307
- 21887696841122916288858
- 27879694893054074471405
- 27907865009977052567814
- 28361281321319229463398
- 35452590104031691935943
- 174088005938065293023722
- 188451485447897896036875
- 239313664430041569350093
- 1550475334214501539088894
- 1553242162893771850669378
- 3706907995955475988644380
- 3706907995955475988644381
- 4422095118095899619457938
- 121204998563613372405438066
- 121270696006801314328439376
- 128851796696487777842012787
- 174650464499531377631639254
- 177265453171792792366489765
- 14607640612971980372614873089
- 19008174136254279995012734740
- 19008174136254279995012734741
- 23866716435523975980390369295
- 1145037275765491025924292050346
- 1927890457142960697580636236639
- 2309092682616190307509695338915
- 17333509997782249308725103962772
- 186709961001538790100634132976990
- 186709961001538790100634132976991
- 1122763285329372541592822900204593
- 12639369517103790328947807201478392
- 12679937780272278566303885594196922
- 1219167219625434121569735803609966019
- 12815792078366059955099770545296129367
- 115132219018763992565095597973971522400
- 115132219018763992565095597973971522401

### 十二進制下的水仙花數

25:22+52=25

A5:A2+52=A5

577:53+73+73=577

668:63+63+83=668

A83:A3+83+33=A83

14765:15+45+75+65+55=14765

938A4:95+35+85+A5+45=938A4

顯然，任何一位數（從1到B）都是水仙花數，另外，在十二進制中，不存在四位數的水仙花數。

- 三進位中的這樣的數有：0、1、2、12、122
- 四進位中的這樣的數有：0、1、2、3、313

## 參考資料

- Rose, Colin (2005), Radical narcissistic numbers, Journal of Recreational Mathematics, 33(4), 2004-2005, pages 250-254.
- Perfect Digital Invariants by Walter Schneider
- On a curious property of 3435 by Daan van Berkel