域擴張

域擴張（Field extensions）是數學分支抽象代數之域論中的主要研究對象，基本想法是從一個基域開始以某種方式構造包含它的「更大」的域。域擴張可以推廣為環擴張。

## 定義

設K和L是兩個域。如果存在從K到L的域同態ι，則稱(L,ι)是K的一個域擴張，記作L/K或K⊆L、K⊂L。K稱為域擴張的基域，L稱為K的擴域。如果某個域F既是K的擴域，又是L的子域，則稱域擴張F/K是域擴張L/K的子擴張，稱F（域擴張L/K的）中間域。

域擴張的記法L/K只是形式上的標記，不表示存在任何商環或商群等代數結構。有些文獻中也會將域擴張記為L:K。

另外，因為ι是域同態，所以ι是單射。由於K是域，所以ι(K)是一個L的同構於K的子域。很多時候也直接省略ι，直接將K視為L的一個子域。為了記敘方便，下文中將依情況使用這種省略方式。

設有域擴張L/K，給定一個由L中不屬於ι(K)的元素組成的集合S，考慮L中所有同時包含ι(K)和S的子域，其中有一個「最小的」，稱為「在K中添加（集合）S生成的擴域」，記作K(S)。它是所有同時包含ι(K)和S的域的子域。如果集合S只有一個元素a，則稱域擴張K(S)/K為單擴張，對應的擴域一般簡記作K(a)。a稱為這個域擴張的本原元。

每個域擴張中，擴域可以看作是以基域為係數域的向量空間。設有域擴張L/K，將L中元素看作向量，K中元素看作係數，可以定義L中的域加法運算作為向量的加法運算，同時可以定義K中元素作為係數與L中元素的數乘運算。可以驗證，在這樣定義下，L是一個K-向量空間。它的維數稱為域擴張的次數或度數，一般記作L:K。次數為1的擴張，擴域和基域同構，稱為平凡擴張。次數有限的域擴張稱為有限擴張，否則稱為無限擴張。

## 例子

複數域$\mathbb C$是實數域$\mathbb R$的擴域，而$\mathbb R$則是有理數域$\mathbb Q$的擴域。這樣，顯然$\mathbb{C} \big/ \mathbb R$也是一個域擴張。實數到複數的域擴張次數：$[\mathbb C : \mathbb{R}] = 2$。因為$\mathbb C$可以看作是以$\{1, i\}$為基的實向量空間。故擴張$\mathbb{C} \big/ \mathbb R$是有限擴張。$\mathbb{C} = \mathbb R (i)$，所以這個擴張是單擴張。

集合$\mathbb Q (\sqrt{2}) = \{ a+ b\sqrt{2} ; \; a, b, \in \mathbb{Q} \}$是在$\mathbb Q$中添加$\sqrt{2}$生成的擴域，顯然也是一個單擴張。它的次數是2，因為$\{ 1, \sqrt{2}\}$可作為一個基。$\mathbb Q$的有限擴張也稱為代數數域，在代數數論有重要地位。

有理數的另一個擴張域是關於一個素數p的p進數域$\mathbb{Q}_p$。它與$\mathbb R$類似，是有理數域完備化得到的數域。但由於使用的拓撲不同，所以與$\mathbb R$有著截然不同的性質。

對任何的素數p和正整數n，都存在一個元素個數為pn的有限域，記作GF(pn)。它是有限域GF(p)（即$\mathbb{Z} \big/ p\mathbb{Z}$）的擴域。

給定域K和以K中元素為係數的K-不可約多項式P，P為K上的多項式環KX的元素。P生成的理想是極大理想，因此KX/P是域，而且是K的擴域。其中不定元X是多項式P的根。

給定域K，考慮所有以K中元素為係數的有理函數，即可以表示為兩個以K中元素為係數的多項式P、Q之比：P的函數。它們構成一個域，記作K(X)，是多項式環KX的分式域。它是域K的擴域，次數為無限大。

## 基本性質

設有域擴張L/K，則擴域L與K有相同的加法和乘法單位元。加法群 (K, +) 是 (L,+) 的一個子群，乘法群 (K×, ·) 是 (L×, ·) 的一個子群。因此，L與K有相同的特徵。

設有域擴張L/K及某個中間域F，則域擴張F/K和L/F的次數乘積等於L/K的次數：

$$[L : K] = [L:F] \cdot [F:K].$$

## 代數元與超越元

給定域擴張L/K，如果L中一個元素a是某個以K中元素為係數的（非零）多項式（以下簡稱為K-多項式）的根，則稱a是K上的一個代數元，否則稱其為超越元。如果L中每個元素都是K上的代數元，就稱域擴張L/K為代數擴張，否則稱其為超越擴張。例如$\sqrt{2}$和$i$都是$\mathbb Q$上的代數元，而e與π都是$\mathbb Q$上的超越元。$\mathbb Q$上的代數元和超越元分別叫做代數數與超越數。

每個有限擴張都是代數擴張，反之則不然。超越擴張必然是無限擴張。給定域擴張L/K，如果L中元素要麼屬於K，要麼是K上的超越元，則稱L是K的純超越擴張。一個單擴張如果由添加代數元生成則是有限擴張，如果由添加超越元生成則是純超越擴張。

### 極小多項式

給定域擴張L/K，如果L中一個元素a是K上的代數元，那麼在所有使得f(a) = 0的首一K-多項式f中，存在一個次數最小的，稱為a在K上的極小多項式，記為πa。設πa為n次多項式，則中間域K(a)等於所有以a為不定元的K-多項式的集合。更具體地說，等於所有以a為不定元的、次數嚴格小於n的K-多項式的集合：K(a) = Ka = Kn-1a。這說明K(a)中任何元素b都可以寫成$b = \lambda_1 + \lambda_2 a + \cdots + \lambda_n a^{n-1}$的形式。其中$(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n)$是n個K中元素。由於πa是極小多項式，所以可推出：$\{1, a, \cdots , a^{n-1} \}$是中間域K(a)作為K-向量空間的基。擴張K(a)/K的次數是K(a) : K = n.

### 可分裂域與代數閉包

分裂域是將某個多項式的根全部添加到其係數域中生成的域擴張，將多項式轉化為域擴張進行研究。給定域擴張L/K，稱一個K-多項式f在L中可分裂，如果f可以寫成：

$$f = \kappa (X - \alpha_1)(X - \alpha_2)\cdots (X - \alpha_k), \; \kappa \in K, \; \alpha_1, \alpha_2 ,\cdots , \alpha_k \in L$$

形式，即f的每個根都是L中的元素。如果f在L中可分裂，但不在L的任何一個包含K的真子域中可分裂（也就是說L是令f在其中可分裂的「最小」的域擴張），就稱L是f在K上的可分裂域。

給定域K，如果所有K-多項式在K都可分裂，則稱K為代數閉域。給定代數擴張L/K，如果L是代數閉域，則稱其為K的代數閉包，一般記作Kalg。給定K，則它所有的代數閉包都是K-同構的。

## 域擴張的自同構群

除了將擴域看作基域上的向量空間外，另一個研究域擴張的角度是考察域擴張的自同構群。給定域擴張L/K，L上的一個自同構σ被稱為K-自同構，若且唯若σ限制在K上的部分是平凡的（即為恆等映射）：

$$\forall x \in K, \; \sigma(x) = x.$$

所有的K-自同構組成一個群，稱為域擴張的自同構群，記作Aut(L/K)。這些自同構描繪了K「以外」的元素可以怎樣相互變換而保持域L的域結構不變。

## 正規、可分與伽羅瓦擴張

伽羅瓦擴張是伽羅瓦理論中的基礎概念。有限的伽羅瓦擴張滿足伽羅瓦理論基本定理，在此擴張的伽羅瓦群的子群與其中間域之間建立了一一對應的關係，從而給出了中間域的清晰描述。

一般定義伽羅瓦擴張是正規且可分的域擴張。一個域擴張L/K稱為正規擴張，如果對任何一個以K中元素為係數的不可約多項式P，只要它有一個根在L中，則它的所有根都在L中，也就是說可以分解為L上一次因式的乘積。正規擴張也叫做准伽羅瓦擴張，它與伽羅瓦擴張的差別是伽羅瓦擴張還是可分擴張。一個代數擴張L/K稱為可分擴張，如果L中每個元素在K上的極小多項式是可分的，即（在 K的一個代數閉包中）沒有重根。從以上正規擴張和可分擴張的定義中可以推出：一個域擴張L/K是伽羅瓦擴張，若且唯若它是某個以K中元素為係數的可分多項式的分裂域。

伽羅瓦擴張的自同構群稱為其伽羅瓦群，記作Gal(L/K)。它的階數（群中元素個數）等於伽羅瓦擴張的次數：L:K。伽羅瓦理論基本定理說明，當伽羅瓦擴張是有限擴張的時候，給定Gal(L/K)的任一個子群H，唯一存在一個中間域K⊂LH⊂L與之對應，這個域LH恰好是L中對所有的H中的自同構固定的元素的集合：

$$L^H = \{ x ; \; \forall \sigma \in H, \; \sigma(x) = x\}$$

這種對應關係被稱作伽羅瓦對應。給定Gal(L/K)的子群H，LH被稱為H的對應域。伽羅瓦對應建立了特定條件下域擴張與群論之間轉化的紐帶，通過研究特定群的結構，可以給出域擴張的仔細刻畫。