概形論術語

這是概形論術語。欲知代數幾何中概形的簡介，請見條目仿射概形、射影空間、層及概形。本條目旨在列出概形論中的基本技術定義與性質。

## 點

一個概形 $S$ 是一個局部賦環空間，故也是拓撲空間，但「$S$ 的點」具有三重涵義：

- 拓撲空間意義下的點。
- $T$-值點：對任一概形 $T$，一個 $T$-值點是指一個態射 $T \to S$。
- 幾何點：當 $S$ 定義在一個域 $K$ 上時（換言之 $S$ 是 $\mathrm{Spec}(K)$-概形），一個幾何點乃是一個 $\mathrm{Spec}(\overline{K})$-值點，其中 $\overline{K}$ 表 $K$ 的代數閉包。

幾何點是古典問題的主角，例如對複代數簇而言，通常說「點」即指幾何點。拓撲空間的點包括一般點的類比（相對於扎里斯基而非韋伊的理論）。藉由米田引理，考慮所有的概形 $T$ 與所有 $T$-值點，可以將概形 $S$ 理解為相應的可表函子 $h_S$，此觀念是代數幾何發展史上的一大步。

## 纖維

在格羅滕迪克的相對幾何框架下，一態射的纖維有三重涵義：

- 一個點（拓撲意義下）的逆像。
- 兩個態射的纖維積：對於仿射概形，纖維積對應到環的張量積。
- 幾何纖維：設 $S, S'$ 為 $\mathrm{Spec}(K)$-概形（$K$ 為域），$f: S \to S'$ 為一 $\mathrm{Spec}(K)$-態射，$P: \mathrm{Spec}(\overline{K}) \to S'$ 為一幾何點，則 $P$ 點的幾何纖維定義為相應的纖維積 $S \times_S \mathrm{Spec}(\overline{K})$。

## 概形之性質

概形的大部分性質都是「局部的」，換言之：$X$ 具有性質甲，若且唯若對其任一開覆蓋 $X = \bigcup_i X_i$，每個 $X_i$ 皆具性質甲；而通常只要對一組開覆蓋驗證即可。這類性質有時也被稱為「扎里斯基局部」的，藉以區別對於其他格羅滕迪克拓撲的情形（如平展拓撲）。

考慮一概形 $X$ 及一組仿射開子概形 $\mathrm{Spec} A_i$ 組成的開覆蓋。藉此可將概形的局部性質翻譯為交換環的性質。一個性質甲在上述意義下是局部的，若且唯若相應的環性質在局部化之下不變。

舉例明之，局部諾特概形是能由諾特環的交換環譜覆蓋的概形。由於諾特環的局部化仍為諾特環，局部諾特性確實是上述意義下的局部性質。另一個例子是既約概形，這也是局部性質，因為若一個交換環無冪零元，則其局部化亦然。

分離概形並非局部性質：任何仿射概形都是分離概形，因此任何概形都是「局部分離」的，然而存在非分離的概形。

以下是環的局部性質列表（不全），由此可定義概形的相應性質。以下令 $X := \bigcup_i \mathrm{Spec} A_i$ 為一概形之開覆蓋。

概念｜定義｜例子｜反例

與概形結構相關者

不可約｜若一連通概形 $X$ （作為拓撲空間）不能表為兩個閉子集的聯集，除非其中一者為 $X$，則稱之為不可約概形。利用素理想與仿射概形的點的對應，可知連通概形 $X$ 不可約若且唯若每個 $A_i$ 恰有一個極小素理想。凡諾特概形皆可唯一表示為有限個極大不可約閉子集的聯集，這些閉子集稱為其不可約成份。｜仿射空間、射影空間｜Spec kx,y/(xy) =

既約｜環 $A_i$ 皆為既約環（即：無冪零元素），等價的說法是結構層 $\mathcal{O}_X$ 沒有冪零的局部截面。代數幾何的一大進步是將代數簇推廣為概形，而概形可能是非既約的。｜代數簇 （根據定義）｜kx/(x2)

整｜不可約的既約概形稱作整概形。等價的說法是：該概形可由整環的譜覆蓋。嚴格地說，這只在連通概形上才是局部性質。｜Spec kt/f, f 為不可約多項式｜Spec A ⊕ B. (A, B ≠ 0)

正規｜若每個 $A_i$ 都是整閉的，則稱 $X$ 為正規概形。｜正則概形、帶有理奇點的曲面｜帶奇點的曲線

與正則性相關者

正則｜若每個 $A_i$ 都是正則局部環，則稱 $X$ 為正則概形。｜域上的平滑代數簇｜Spec kx,y/(x2+x3-y3)=

Cohen-Macaulay｜若 $X$ 的局部環皆是Cohen-Macaulay環，則稱 $X$ 為 Cohen-Macaulay 概形。｜正則概形、 Spec kx,y/(xy)

與「大小」相關者

局部諾特｜每個 $A_i$ 皆為諾特環。如果此外更要求該覆蓋為有限覆蓋，則該概形稱為諾特概形。｜古典代數幾何的大部分對象｜$GL_\infty = \cup GL_n$

鏈｜若 $X$ 的任兩個不可約閉子概形 $Y \subset Z$ 之間的極大鏈都有相同長度，則稱 $X$ 為鏈概形，這在局部上對應於鏈環。整鏈概形的維度是局部性質。｜代數幾何的大部分對象｜見條目鏈環中的反例

## 態射之性質

格羅滕迪克的基本理念之一是強調「相對」性，亦即置重點於態射的性質。概形範疇有一終對象 $\mathrm{Spec} \Z$，所以任何概形可以唯一地理解為 $\mathrm{Spec} \Z$-概形，藉此可以從態射性質定義概形本身的性質。

以下令

$$f: Y \to X$$

為概形間的態射。一如既往，以下的性質也是局部的，即：若存在開覆蓋 $X = \bigcup U_i$ 使得 $f$ 在 $f^{-1}(U_i)$ 上的限制帶有該性質，則 $f$ 本身也帶該性質。

### 與拓撲結構相關的概念

若一個態射在拓撲空間上是開映射，則稱此態射為開態射；閉態射的定義類似。平坦態射皆為開態射。

若 $f(Y)$ 在 $X$ 中稠密，則稱此態射為優勢態射（英文：dominant morphism，法文：morphisme dominant）。對於仿射概形，優勢態射對應到環的單射同態。

### 開浸入與閉浸入

- 開浸入：若 $f$ 同構於一個開子概形的包含映射，則稱之為開浸入。
- 閉浸入：若 $f$ 同構於一個閉子概形的包含映射，則稱之為閉浸入。閉浸入在局部上對應到環的商同態。閉浸入可以如下刻劃：$f: Y \to X$ 是閉浸入，若且唯若 $f$ 在拓撲空間的意義下是個閉浸入（$f: Y \to f(Y)$ 是同胚，且 $f(Y)$ 是 $X$ 中的閉集），而且 $f^{\#}: \mathcal{O}_X \to f_* \mathcal{O}_Y$ 是滿射。
- 浸入：閉浸入與開浸入的合成。

開浸入僅關乎拓撲，而閉浸入則與結構層有關。概形的閉子集可以帶有多種閉子概形結構，其中存在一個始對象，使得其結構層不含冪零元，稱為該閉子集對應的既約子概形。

### 仿射態射與射影態射

若 $X$ 的仿射開子概形對 $f$ 的逆像仍為仿射概形，則稱 $f$ 為仿射態射。用較炫的說法：仿射態射係來自 $\mathcal{O}_X$-代數的整體 $\mathbf{Spec}$ 構造，這是整體版本的交換環譜。例子包括向量叢。

射影態射的定義類似，此時對應到分次 $\mathcal{O}_X$-代數的整體 $\mathbf{Proj}$ 構造，另一種等價的刻劃是： $f$ 是射影態射，若且唯若它可分解為閉浸入 $Y \to \mathbb{P}^n_X := \mathbb{P}^n \times X$ 及自然投影 $\mathbb{P}^n_X \to X$。

### 分離態射與真態射

- 分離態射：使得對角態射 $\Delta_{Y/X}: Y \to Y \times_X Y$ 為閉浸入的態射，此概念對應到拓撲學中的豪斯多夫空間。
- 真態射：即滿足下列性質的態射
- 分離態射
- 泛閉（即：任一閉浸入 $s: Z \to X$ 在對 $f$ 取纖維積後仍為閉浸入）
- 有限型

### 有限型、擬有限與有限態射

若 $X$ 有一組仿射開覆蓋 $\mathrm{Spec}\, A_i$，使得態射 $f^{-1}(\mathrm{Spec}\, A_i) \to \mathrm{Spec}\, A_i$ 對應到 $\mathrm{Spec}\, B_i \to \mathrm{Spec}\, A_i$，使得 $B_i$ 是有限 $A_i$-模，則稱此態射為有限態射。

若將上述條件改為：$f^{-1}(\mathrm{Spec}\, A_i)$ 有一組仿射開覆蓋 $\mathrm{Spec}\, B_{ij}$，使得 $\mathrm{Spec}\, B_{ij}$ 是有限生成的 $\mathrm{Spec}\, A_i$-代數，則稱此態射為局部有限型態射；若上述開覆蓋 $f^{-1}(\mathrm{Spec}\, A_i) = \bigcup_j \mathrm{Spec}\, B_{ij}$ 可取為有限的，則稱之有限型態射。代數幾何中探討的多數態射都是有限型態射。

若 $f$ 的纖維都是有限的，且是有限型態射，則稱之為擬有限態射。有限態射皆為擬有限態射。

### 平坦態射

若 $f$ 在結構層的莖上給出平坦同態，則稱之為平坦態射。視此態射為一族以 $X$ 的點為參數的概形，則平坦性可詮釋為纖維在變形下的某些良好性質，例如希爾伯特多項式的不變性。

### 非分歧態射與平展態射

對一點 $y \in Y$，考慮相應的環同態：

$$f^\# \colon \mathcal{O}_{X, f(y)} \to \mathcal{O}_{Y, y}.$$

令 $\mathfrak{m}$ 為 $\mathcal{O}_{X,f(y)}$ 的極大理想，並設

$$\mathfrak{n} := f^\#(\mathfrak{m}) \mathcal{O}_{Y,y}$$

若對所有 $y \in Y$，$\mathfrak{n}$ 是 $\mathcal{O}_{Y,y}$ 的極大理想，且導出的映射 $\mathcal{O}_{X,f(y)}/\mathfrak{m} \to \mathcal{O}_{Y,y}/\mathfrak{n}$ 是有限、可分的代數擴張，則稱此態射為非分歧態射。

平坦的非分歧態射稱為平展態射，此外尚有多種等價定義。在代數簇的情形，平展態射恰好是在切空間上導出同構的態射，這正好是微分幾何中平展態射的定義。

### 平滑態射

平滑態射對應到拓撲學中的塞爾纖維化映射，在代數幾何中有多種定義：

- $f: Y \to X$ 是有限型平坦態射，且 $\Omega^1_{Y/X}$ 是局部自由 $\mathcal{O}_Y$-模，其秩為 $\dim Y - \dim X$。
- $f: Y \to X$ 可分解為某個平展態射 $g: Y \to \mathbb{A}^n_X$ 及自然投影 $p: \mathbb{A}^n_X \to X$ 之合成。
- 形式判準：對任何交換環 $A$ 及其理想 $I$，並滿足 $I^2 = (0)$，則 $\mathrm{Hom}_X (\mathrm{Spec}(A), Y) \to \mathrm{Hom}_X (\mathrm{Spec}(A/I), Y)$ 是滿射。

## 外部連結

- Crib Sheet: Properties of Morphisms of Schemes, Johan de Jong