愛因斯坦-嘉當理論

愛因斯坦-嘉當理論（Einstein-Cartan theory）是理論物理學中將廣義相對論延伸以正確處理自旋角動量。此理論以物理學家阿爾伯特·愛因斯坦以及埃利·嘉當（Élie Cartan)為名。

作為古典物理中的主要理論，廣義相對論卻有一個缺點：其無法描述「自旋軌道耦合」（spin-orbit coupling），亦即內稟角動量（intrinsic angular momentum）（自旋）與軌道角動量（orbital angular momentum）間的交換。存在有定量的理論證明，其顯示：當物體具有自旋性質時，廣義相對論必須要擴充成愛因斯坦-嘉當理論。

實驗上的效應由於太小，目前尚無法觀測得到。

## 歷史

該理論最早由埃利·嘉當(Élie Cartan)於 1922 年提出，並在隨後的幾年中得到了闡述。阿爾伯特愛因斯坦於 1928 年開始加入該理論，當時他試圖將撓率與電磁場張量匹配作為統一場論的一部分，但沒有成功。這一思路引導他得出了相關但不同的遠程並行理論。

Dennis Sciama和Tom Kibble在20世紀60年代獨立地重新審視了該理論，並於1976年發表了一篇重要評論。

愛因斯坦-嘉當理論在歷史上一直被無扭轉理論和布蘭斯-迪克理論等其他替代理論所掩蓋，因為扭轉似乎以犧牲方程式的易處理性為代價，幾乎沒有增加預測的好處。由於愛因斯坦-嘉當理論是純粹經典的，它也沒有完全解決量子重力問題。在愛因斯坦-嘉當理論中，狄拉克方程式變得非線性。最近，人們對愛因斯坦-嘉當理論的興趣已經轉向宇宙學意義，最重要的是，避免了宇宙開始時的引力奇點。該理論被認為是可行的，並且仍然是物理學界的活躍話題。

該理論間接影響了圈量子重力（並且似乎也影響了扭量理論）。

## 動機

廣義相對論無法描述自旋軌道耦合的理由根源於黎曼幾何，而廣義相對論是建構於其上。在黎曼幾何中，里奇曲率張量（Ricci curvature tensor）$R_{ab}$必須是a與b對稱的（亦即，$R_{ab}=R_{ba}$）。因此愛因斯坦曲率張量(Einstein curvature tensor)$G_{ab}$定義為

$$G_{ab}=R_{ab}-\frac{1}{2}R g_{ab}$$

也必須是對稱的。在廣義相對論中，愛因斯坦曲率張量為局域重力建構了模型，且其（透過重力常數的聯繫）等同於應力-能量張量或能量-動量張量$P_{ab}$（此處我們將能量-動量張量表示為P，是因為廣義相對論中常用來表示能量-動量張量的T在愛因斯坦-嘉當理論留給仿射扭率(affine torsion)。）愛因斯坦曲率張量的對稱性強迫動量張量必須是對稱的。然而，當自旋與軌道角動量進行交換時，根據角動量守恆的廣義式，則知動量張量為不對稱的。

自旋流(spin current)之散度——$\frac{1}{2}\left(T_{ab}-T_{ba}\right)=0$

細節請參考自旋張量(spin tensor)條目。

因此廣義相對論無法適當地為自旋軌道耦合建構模型。

於1922年，埃利·嘉當提出猜想認為廣義相對論應該被延伸成包括仿射扭率(affine torsion)，其允許里奇張量可以是不對稱的。雖然自旋-軌道耦合是重力物理學中相對次要的現象，愛因斯坦–嘉當理論則相當重要，因為

(1) 其顯示出仿射理論，而非度規理論，對於重力能提供更好的描述。

(2) 其解釋仿射扭率的意義，在一些量子重力理論中自然出現。

(3) 其將自旋詮釋為仿射扭率，在幾何意義上是時空介質(spacetime medium)之位錯場(field of dislocations)的一項連續近似。

將黎曼幾何擴充以包含了仿射扭率則稱為黎曼-嘉當幾何(Riemann–Cartan geometry)。

## 幾何與表示式

時空物理學的數學基礎是仿射微分幾何(affine differential geometry)，其中我們賦予n維微分流形M 一項沿著M上路徑對向量作平行移動的定律。（一微分流形的每個點，我們都有切向量所組成的一個線性空間，不過我們無法將向量移動到其他點，或是去比較M上位於不同兩點上的向量。）平行移動保存了向量間的線性關係；也就是說，若兩向量 $\vec{u}$ 與 $\vec{v}$ 在M上同一點，沿著一曲線被平行移動成為向量 $\vec{u}^{\prime}$ 與 $\vec{v}^{\prime}$，則兩者的線性組合

$a \vec{u}$ + $b \vec{v}$

也平行移動為

$a \vec{u}^{\prime}$ + $b \vec{v}^{\prime}$。

仿射微分幾何中的平行性(Parallelism)是路徑相依(path-dependent)的；也就是說，如果沿著同起點與同終點之兩相異路徑平行移動一向量，在終點所得的結果向量一般來說是相異的。這樣的差異本質上即為曲率的影響，而曲率在微分幾何中是個中心概念。

## 愛因斯坦-嘉當引力理論簡介

### 用標架場重寫愛因斯坦引力理論

用標架場$\lambda _{\mu }^{(\alpha )}$ 代替度規場${{g}_{\mu \nu }}$，我們可以得到用標架場$\lambda _{\mu }^{(\alpha )}$ （僅考慮內稟坐標系變換是整體Lorentz變換）表示的兩種等價形式的推廣的愛因斯坦引力場運動方程為：

- （1）引力場運動方程第一形式：$\frac{D{{Q}^{(\alpha )\mu \nu }}}{D{{x}^{\nu }}}=\frac{16\pi G}{{{c}^{4}}}{{P}^{(\alpha )\mu }}$
- （2）引力場運動方程第二形式：${{R}^{\mu \nu }}-\frac{1}{2}{{g}^{\mu \nu }}R+\frac{1}{2}\lambda _{(\alpha )}^{\nu }\frac{DK_{{}}^{(\alpha )\mu \rho }}{D{{x}^{\rho }}}=\frac{8\pi G}{{{c}^{4}}}\left( P_{m}^{\nu \mu }-P_{gk}^{\nu \mu } \right)$

其中：

$${{P}^{(\alpha )\mu }}=P_{m}^{(\alpha )\mu }-P_{g}^{(\alpha )\mu }$$

$$\begin{align} <pre> & {{Q}^{(\alpha )\mu \nu }}=Q_{E}^{(\alpha )\mu \nu }+K_{{}}^{(\alpha )\mu \nu } \\ & Q_{E}^{(\alpha )\mu \nu }={{F}^{(\alpha )\mu \nu }}+\left( {{F}^{\mu (\alpha )\nu }}-{{F}^{\nu (\alpha )\mu }} \right)-2\left( {{\lambda }^{(\alpha )\mu }}{{F}^{\nu }}-{{\lambda }^{(\alpha )\nu }}{{F}^{\mu }} \right) \\ & K_{{}}^{(\alpha )\mu \nu }=\beta _{1}^{{}}{{F}^{(\alpha )\mu \nu }}+\beta _{2}^{{}}\left( {{F}^{\mu (\alpha )\nu }}-{{F}^{\nu (\alpha )\mu }} \right)-2\beta _{3}^{{}}\left( {{\lambda }^{(\alpha )\mu }}{{F}^{\nu }}-{{\lambda }^{(\alpha )\nu }}{{F}^{\mu }} \right) \\ </pre> \end{align}$$

$$P_{g}^{(\alpha )\mu }=\frac{{{c}^{4}}}{16\pi G}\left( -{{F}_{\lambda \rho \sigma }}{{Q}^{\lambda \mu \sigma }}+\frac{1}{4}{{F}_{\lambda m\sigma }}{{Q}^{\lambda m\sigma }}\delta _{\rho }^{\mu } \right){{\lambda }^{(\alpha )\rho }}$$

$$\begin{align} <pre> & P_{m}^{(\alpha )\mu }=-\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta \left( {{L}_{m}}\sqrt{-g} \right)}{\delta {{\lambda }_{(\alpha )\mu }}}=-\frac{\delta {{L}_{m}}}{\delta {{\lambda }_{(\alpha )\mu }}}-{{L}_{m}}{{\lambda }^{(\alpha )\mu }} \\ & \\ </pre> \end{align}$$

$$P_{gk}^{(\alpha )\mu }=\frac{{{c}^{4}}}{16\pi G}\left( -{{F}_{\lambda \rho \sigma }}{{K}^{\lambda \mu \sigma }}+\frac{1}{4}{{F}_{\lambda m\sigma }}{{K}^{\lambda m\sigma }}\delta _{\rho }^{\mu } \right){{\lambda }^{(\alpha )\rho }}$$

當 ${{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}},{{\beta }_{3}}<<1$時，由引力場運動方程的第二形式得到愛因斯坦引力場運動方程：

$${{R}^{\mu \nu }}-\frac{1}{2}{{g}^{\mu \nu }}R=\frac{8\pi G}{{{c}^{4}}}P_{m}^{\nu \mu }$$

### 愛因斯坦引力理論與狄拉克電子理論之間的矛盾

考慮電子與引力的作用時，我們需要引入標架仿射聯絡$\hat{\Gamma }_{(\beta )\mu }^{(\alpha )}$。在黎曼時空中，存在關係式：${{D}_{\nu }}\lambda _{\mu }^{(\alpha )}={{\partial }_{\nu }}\lambda _{\mu }^{(\alpha )}-\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }\lambda _{\rho }^{(\alpha )}+\hat{\Gamma }_{(\beta )\nu }^{(\alpha )}\lambda _{\mu }^{(\beta )}=0$，標架場與標架仿射聯絡不獨立。

因此，黎曼時空中的電子場、電磁場及引力場的運動才方程為：

(1)電子場運動方程：

$$\left\{ \begin{align} <pre> & i\hbar {{\gamma }^{\mu }}{{D}_{\mu }}\psi -mc\psi =0 \\ & i\hbar {{D}_{\mu }}\bar{\psi }{{\gamma }^{\mu }}+mc\bar{\psi }=0 \\ </pre> \end{align} \right.$$

(2)電磁場運動方程：

$${{D}_{\nu }}{{F}^{\mu \nu }}=-4\pi j_{e}^{\mu }$$

(3)引力場運動方程：

$${{R}^{\mu \nu }}-\frac{1}{2}{{g}^{\mu \nu }}R=\frac{8\pi G}{{{c}^{4}}}\left( P_{e}^{\nu \mu }+P_{\gamma }^{\nu \mu }-\frac{1}{2}D_{\sigma }^{{}}{{s}_{e}}^{(\alpha \beta )\sigma }\lambda _{(\alpha )}^{\nu }\lambda _{(\beta )}^{\mu } \right)$$

根據電子場運動方程得到能量-動量流運動方程為：

$${{D}_{\nu }}P_{e}^{\mu \nu }=-{F_{\rho }}^{\mu }j_{e}^{\rho }+\frac{1}{2}{{R}_{(\alpha \beta )\nu }}^{\mu }s_{e}^{(\alpha \beta )\nu }$$

根據引力場運動方程得到能量-動量流運動方程為：

$${{D}_{\nu }}P_{e}^{\mu \nu }=-{F_{\rho }}^{\mu }j_{e}^{\rho }-\frac{1}{4}{{R}_{(\alpha \beta )\nu }}^{\mu }{{s}_{e}}^{(\alpha \beta )\nu }$$

上述結果表明，從電子場運動方程得到的能量-動量流運動方程與從引力場運動方程得到的能量-動量流運動方程是不相容的。

### 有撓時空引力理論（愛因斯坦-嘉當理論）

在有撓時空中，標架場 $\lambda _{\mu }^{(\alpha )}$與標架仿射聯絡$\hat{\Gamma }_{(\beta )\mu }^{(\alpha )}$ 是獨立的，標架場$\lambda _{\mu }^{(\alpha )}$ 描述時空的彎曲，標架仿射聯絡$\hat{\Gamma }_{(\beta )\mu }^{(\alpha )}$ 描述時空的扭曲，並且有：

$${{D}_{\nu }}\lambda _{\mu }^{(\alpha )}={{\partial }_{\nu }}\lambda _{\mu }^{(\alpha )}-\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }\lambda _{\rho }^{(\alpha )}+\hat{\Gamma }_{(\beta )\nu }^{(\alpha )}\lambda _{\mu }^{(\beta )}\ne 0$$

有撓時空中的引力場推廣為引力-自旋場，因此簡化形式的愛因斯坦-嘉當引力-自旋場的運動方程：

(1)電子場運動方程：

$$\left\{ \begin{align} <pre> & \frac{1}{2}\left( i\hbar {{\gamma }^{\mu }}D_{\mu }^{{}}\psi +i\hbar D_{\mu }^{{}}({{\gamma }^{\mu }}\psi ) \right)-mc\psi =0 \\ & \frac{1}{2}\left( i\hbar D_{\mu }^{{}}\bar{\psi }{{\gamma }^{\mu }}+i\hbar D_{\mu }^{{}}(\bar{\psi }{{\gamma }^{\mu }}) \right)+mc\bar{\psi }=0 \\ </pre> \end{align} \right.$$

(2)電磁場運動方程：

$$D_{\nu }^{{}}{{F}^{\mu \nu }}=-4\pi j_{e}^{\mu }$$

(3)自旋場運動方程：

$$D_{\nu }^{{}}{{R}^{(\alpha \beta )\mu \nu }}=\frac{8\pi \kappa }{{{c}^{4}}}\left( s_{e}^{(\alpha \beta )\mu }+s_{g}^{(\alpha \beta )\mu } \right)$$

(4)引力場運動方程：

a.	第一形式：

$$D_{\nu }^{{}}{{Q}^{(\alpha )\mu \nu }}=\frac{16\pi G}{{{c}^{4}}}\left( P_{e}^{(\alpha )\mu }+P_{\gamma }^{(\alpha )\mu }+P_{f}^{(\alpha )\mu }-P_{g}^{(\alpha )\mu }-\frac{{{c}^{4}}}{16\pi G}\bar{\beta }\left( 2{{{\hat{R}}}^{\mu (\alpha )}}-\hat{R}{{\lambda }^{(\alpha )\mu }} \right) \right)$$

b.	第二形式：

$$\bar{\beta }\left( R_{\nu }^{\mu }-\frac{1}{2}\delta _{\nu }^{\mu }R \right)\lambda _{{}}^{(\alpha )\nu }+\frac{1}{2}\beta D_{\nu }^{{}}{{\bar{K}}^{(\alpha )\mu \nu }}=\frac{8\pi G}{{{c}^{4}}}\left( P_{e}^{(\alpha )\mu }+P_{\gamma }^{(\alpha )\mu }+P_{f}^{(\alpha )\mu }-P_{gk}^{(\alpha )\mu } \right)$$

可以證明上述運動方程是相容的，因此有撓時空的愛因斯坦-嘉當引力-自旋場理論消除了愛因斯坦引力理論與狄拉克電子理論之間的矛盾。

## 應用

- 解釋宇宙加速膨脹
- 解釋先鋒異常
- 解釋星系轉動曲線
- 預言帶電物體周圍的引力異常
- 預言日月食的引力異常