輻角原理

在複分析中，輻角原理（Argument principle）或稱柯西輻角原理（Cauchy's argument principle）說如果 $f(z)$ 是在某個圍道 $C$ 上以及內部一個亞純函數，且 $f$ 在 $C$ 上沒有零點或極點，則下列公式成立

$$\oint_{C} {f'(z) \over f(z)}\, dz=2\pi \mathrm{i} (N-P)$$

這裡 $N$ 與 $P$ 分別表示 $f(z)$ 在圍道 $C$ 內部的零點與極點個數，每個零點計重數，極點計階數。定理的陳述假設圍道 $C$ 是簡單的，即沒有自交，以及它是逆時針方向定向的。

更一般地，假設 $C$ 是一條曲線，逆時針方向定向，在複平面中一個開集 $\Omega$ 中可縮為一點。對每個 $z\in\Omega$，令 $n(C,z)$ 是 $C$ 繞點 $z$ 的卷繞數。則

$$\oint_{C} \frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = 2\pi \mathrm{i} \left(\sum_a n(C,a) - \sum_b n(C,b)\right),$$

這裡第一個求和對 $f$ 所有零點 $a$ 進行並計重數，第二個求和在 $f$ 的所有極點 $b$ 上進行並計重數。

## 證明

設 $z_N$ 是 $f$ 的一個零點。我們可將 $f$ 寫成 $f(z)=(z-z_N)^kg(z)$ 這裡 $k$ 是零點$z_N$的重數，從而$g(z_N)\neq 0$。我們有

$$f'(z)=k(z-z_N)^{k-1}g(z)+(z-z_N)^kg'(z)\,\!$$

以及

$${f'(z)\over f(z)}={k \over z-z_N}+{g'(z)\over g(z)}.$$

因 $g(z_N)\neq 0$， $\frac{g'(z)}{g(z)}$在$z_N$ 沒有奇點，從而在 $z_N$ 解析，這意味著$\frac{f'(z)}{f(z)}$ 在 $z_N$ 的留數是 $k$。

設 $z_P$ 是 $f$ 的一個極點。我們可寫成 $f(z)=(z-z_P)^{-m}h(z)$ 這裡 $m$ 是極點$z_P$的階數，從而$h(z_P)\neq 0$。我們有

$$f'(z)=-m(z-z_P)^{-m-1}h(z)+(z-z_P)^{-m}h'(z)\,\!.$$

以及

$${f'(z)\over f(z)}={-m \over z-z_P}+{h'(z)\over h(z)}$$

因為 $h(z_P)\neq 0$， $\frac{h'(z)}{h(z)}$ 在 $z_P$ 沒有奇點，從而在 $z_P$ 解析。我們發現$\frac{f'(z)}{f(z)}$ 在 $z_P$ 的留數是 $-m$。

將它們放在一起，$f$ 的每個 $k$ 重零點 $z_N$ 產生$\frac{f'(z)}{f(z)}$ 的一個留數為 $k$ 的單極點，而 $f$ 的每個 $m$ 階極點 $z_P$ 產生 $\frac{f'(z)}{f(z)}$ 的一個留數為 $-m$ 的單極點（這裡一個單極點指一階極點）。另外，可以證明 $\frac{f'(z)}{f(z)}$ 沒有其它極點，從而沒有其它留數。

由留數定理我們有關於 $C$ 的積分是 $2\pi \mathrm{i}$ 與這些留數之和的乘積。總之，每個零點 $z_N$ 的 $k$ 之和是計重數的零點個數，對極點類似，故我們得到了欲證之結論。

## 推論

假設 $C$ 是一個以原點為中心的閉圍道，通過考慮 $f(z)$ 關於 $0$ 的卷繞數可得出一些推論。我們看到 $\frac{f'(z)}{f(z)}$ 在 $C$ 上的積分是 $\log f(z)$ 值的變化。因為 $C$ 是閉的我們只需考慮 ${\arg f(z)}\cdot\mathrm{i}$ 在 $C$ 上的變化，它將是 $2\pi\mathrm{i}$ 的某個整數倍（但可能繞原點卷多圈）。但從輻角原理

$$\oint_C {f'(z) \over f(z)}\, dz=2\pi \mathrm{i} (N-P)$$

約去因子 $2\pi \mathrm{i}$，我們得到

$$N-P = I(C, 0)$$

這裡 $I(C,0)$ 表示 $f$ 在 $C$ 上關於 $0$ 的卷繞數，且有$I(C,0)=\sum_a n(C,a)$，（這裡的求和對 $f$ 所有零點 $a$ 進行並計重數）。

一個推論是更廣泛的定理，在同樣的假設下，如果 $g$ 是 $\Omega$ 中一個解析函數，則

$$\frac{1}{2\pi i} \oint_C g(z)\frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = \sum_a n(C,a)g(a) - \sum_b n(C,b)g(b).$$

例如，如果 $f$ 是以一個簡單圍道 $C$ 內部 $z_1,\dots,z_p$ 為零點的多項式，以及$g)z)=z^k$，則

$$\frac{1}{2\pi i} \oint_C z^k\frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = z_1^k+z_2^k+\dots+z_p^k,$$

是 $f$ 的根的次方和對稱多項式。

另一個推論是如果我們計算復積分：

$$\oint_C f(z){g'(z) \over g(z)}\, dz,$$

對一個合適的$f$，我們有阿貝爾-普蘭納公式：

$$\sum_{n=0}^{\infty}f(n)-\int_{0}^{\infty}f(x)\,dx= f(0)/2+i\int_{0}^{\infty}\frac{f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}\, dt ,$$

這給出了一個離散和式與它的積分之間的關係。

## 歷史

按照弗蘭克·史密西斯一書（Cauchy and the Creation of Complex Function Theory, Cambridge University Press, 1997）的說法，在奧古斯丁·路易·柯西從法國到都靈（當時皮德蒙特-薩丁尼亞王國的首都）的自我放逐途中，柯西於1831年11月2日提出了和上面類似的一個定理（見177頁）。但是根據此書，只提到了零點，沒有極點。柯西的這個定理在許多年後的1974年才以手寫本發表，故很難閱讀。柯西逝世兩年前的1855年發表的一篇論文中，零點與極點都討論了。定理 1 只涉及了零點。柯西1855年論文中的定理 2 說「一個單復變量函數 Z 的對數計量（compteurs logarithmiques，相當於現代教材中的對數留數）等於 Z 與 1/Z 根的個數之差（相當於現代教材中的函數 Z 的零點與極點）。從而現代「輻角原理」可在1855年柯西論文中作為一個定理發現。

### 應用

反饋控制理論的現代書籍中頻繁用到輻角原理，將其作為奈奎斯特穩定性判據的理論基礎。哈里·奈奎斯特1932年原理的論文（H. Nyquist, "Regeneration theory", Bell System Technical Journal, vol. 11, pp. 126-147, 1932）用一種相當笨拙與原始的方法得出奈奎斯特穩定性判據。在這篇論文中，奈奎斯特完全沒有提到柯西的名字。後來，Leroy MacColl (Fundamental theory of servomechanisms, 1945) 與 Hendrik Bode (Network analysis and feedback amplifier design, 1945) 都從輻角原理得到了奈奎斯特穩定性判據。MacColl (Bell Laboratories) 將輻角原理稱為柯西定理。這樣輻角原理在純粹數學與控制工程學中都有重大影響。現在，輻角原理可在複分析或控制工程學的現代教材中都可以找到。

## 外部連結

- Module for the Argument Principle by John H. Mathews
- An Illustration of the Argument Principle by Keith Schneider, The Wolfram Demonstrations Project.