留數

在複分析中，留數是一個正比於一個亞純函數某一奇點周圍的路徑積分的複數。（更一般地，對於任何除去離散點集{ak}之外全純的函數$f: \mathbb{C} \setminus \{a_k\} \rightarrow \mathbb{C}$都可以計算其留數，即便是離散點集中含有本質奇點）留數可以是很容易計算的，一旦知道了留數，就可以通過留數定理來計算更複雜的路徑積分。

## 定義

亞純函數$f$在孤立奇點$a$的留數，通常記為$\operatorname{Res}(f,a)$或$\operatorname{Res}_a(f)$，是使$f(z)- R/(z-a)$在穿孔圓盤$0<|z-a|<\delta$內具有解析原函數的唯一值$R$。

另外，留數也可以通過求出洛朗級數展開式來計算，並且可以將留數定義為洛朗級數的係數a-1。

留數的定義可以拓展到任意黎曼曲面上。

## 例子

作為例子，考慮以下的路徑積分：

$$\oint_C {e^z \over z^5}\,dz$$

其中C是圍繞原點的任意(正向)簡單閉曲線。

我們來計算這個積分，不用任何標準的積分定理。現在，ez的泰勒級數是眾所周知的，我們可以把這個級數代入被積表達式中。則積分變為：

$$\oint_C {1 \over z^5}\left(1+z+{z^2 \over 2!} + {z^3\over 3!} + {z^4 \over 4!} + {z^5 \over 5!} + {z^6 \over 6!} + \cdots\right)\,dz.$$

我們把1/z5的項乘進級數中，便得到：

$$\oint_C \left({1 \over z^5}+{z \over z^5}+{z^2 \over 2!\;z^5} + {z^3\over 3!\;z^5} + {z^4 \over 4!\;z^5} + {z^5 \over 5!\;z^5} + {z^6 \over 6!\;z^5} + \cdots\right)\,dz$$

$$=\oint_C \left({1 \over\;z^5}+{1 \over\;z^4}+{1 \over 2!\;z^3} + {1\over 3!\;z^2} + {1 \over 4!\;z} + {1\over\;5!} + {z \over 6!} + \cdots\right)\,dz.$$

現在，積分便化為更簡單的形式。由於：

$$\oint_C {1 \over z^a} \,dz=0,\quad a \in \mathbb{Z},\quad a \ne 1.$$

因此任何不是$c \over z$形式的項都變成了零，那麼積分變為：

$$\oint_C {1 \over 4!\;z} \,dz={1 \over 4!}\oint_C{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i) = {\pi i \over 12}.$$

$1 \over 4!$就是$e^z \over z^5$在z = 0的留數，記為：

$\mathrm{Res}_0 {e^z \over z^5},$或$\mathrm{Res}_{z=0} {e^z \over z^5},$或$\mathrm{Res}(f,0).$

## 留數的計算

設複平面內有一穿孔圓盤$D=\{z: 0<|z-c|<R\}$，f是定義在D內的一個全純函數。f在c的留數Res(f, c)是羅朗級數展開式的(z − c)−1項的係數a−1。計算留數的值的方法有很多，具體採用那種方法取決於題目中的函數，以及奇點的性質。

根據柯西積分公式，我們有：

$$\operatorname{Res}(f,c) = {1 \over 2\pi i} \oint_\gamma f(z)\,dz$$

其中γ是逆時針繞著c的一條閉曲線。我們可以選擇γ為繞著c的一個圓，它的半徑可以任意地小。

### 可去奇點

如果函數f在整個圓盤$\{|z-c|<R\}$內可以延拓為全純函數，則Res(f, c) = 0。反過來不總成立。

#### 一階極點

在一階極點，留數由以下公式給出：

$$\operatorname{Res}(f,c)=\lim_{z\to c}(z-c)f(z).$$

設g和h在c的一個鄰域內是全純函數，h(c) = 0而g(c) ≠ 0，那麼函數f(z)=g(z)/h(z)在極點c的留數為：

$$\operatorname{Res}(f,c) = \frac{g(c)}{h'(c)}.$$

#### 較高階極點的極限公式

更一般地，f在z = c的留數，其中c是n階極點，由以下公式給出：

$$\mathrm{Res}(f,c) = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to c} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left( (z-c)^{n}f(z) \right).$$

以上的公式對於計算低階極點的留數是十分有用的。對於較高階的極點，則級數展開式更加容易一些。

### 無窮遠點的留數

一般地，無窮遠點的留數是指：

$\mathrm{Res}(f(z), \infty) = -\mathrm{Res}\left(\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right), 0\right)$.

如果滿足下面的條件：

$\lim_{|z| \to \infty} f(z) = 0$,

則可以用下面的公式計算無窮遠點的留數：

$\mathrm{Res}(f, \infty) = -\lim_{|z| \to \infty} z \cdot f(z)$.

如果不滿足，即

$\lim_{|z| \to \infty} f(z) = c \neq 0$,

則無窮遠點的留數為：

$\mathrm{Res}(f, \infty) = -\lim_{|z| \to \infty} z^2 \cdot f'(z)$.

### 級數方法

如果函數的一部分或全部可以展開為泰勒級數或洛朗級數，則留數的計算比用其它的方法要容易得多。

- 第一個例子，計算以下函數在奇點的留數：

$$f(z)={\sin{z} \over z^2-z}$$

它可以用來計算一定的路徑積分。這個函數表面上在z = 0處具有奇點，但如果把分母因式分解，而把函數寫成：

$$f(z)={\sin{z} \over z(z-1)}$$

則顯然z = 0是可去奇點，因此z = 0處的留數為零。

唯一一個另外的奇點是z = 1。函數g(z)在z = a的泰勒級數為：

$$g(z) = g(a) + g'(a)(z-a) + {g''(a)(z-a)^2 \over 2!} + {g'''(a)(z-a)^3 \over 3!}+ \cdots$$

因此，對於g(z) = sin z和a = 1，我們有：

$$\sin{z} = \sin{1} + \cos{1}(z-1)+{-\sin{1}(z-1)^2 \over 2!} + {-\cos{1}(z-1)^3 \over 3!}+\cdots.$$

對於g(z) = 1/z和a = 1，我們有：

$$\frac1z = \frac1 {(z-1)+1} = 1 - (z-1) + (z-1)^2 - (z-1)^3 + \cdots.$$

把兩個級數相乘，並除以(z − 1)，便得：

$$\frac{\sin{z}} {z(z-1)} = {\sin{1} \over z-1} + (\cos{1}-\sin1) + (z-1) \left(-\frac{\sin{1}}{2!} - \cos1 + \sin1\right) + \cdots.$$

因此f(z)在z = 1的留數為sin 1。

- 接下來的例子展示了運用級數展開來求留數，拉格朗日反演定理在這裡發揮了重要作用。令

$$u(z):=\sum_{k\geq 1}u_k z^k$$

為一個整函數，並令

$$v(z):=\sum_{k\geq 1}v_k z^k$$

## 參考文獻

- Marsden & Hoffman, Basic complex analysis (Freeman, 1999).