二次函數

在數學中，二次函數（quadratic function）表示形為 $f(x)=ax^2+bx+c \,\!$（$a \ne 0 \,\!$，且$a$、$b$、$c$是常數）的多項式函數，其中，$x$為自變量註：自變量$x$的取值範圍為任何實數，$a$、$b$、$c$分別是函數解析式的二次項係數、一次項係數和常數項。二次函數的圖像是一條主軸平行於$y$軸的拋物線。

二次函數表達式$ax^2+bx+c$的定義是一個二次多項式，因為$x$的最高冪次是2。

如果令二次函數的值等於零，則可得一個一元二次方程式、二次方程式。該方程的解稱為方程的根或函數的零點。

## 歷史

大約在公元前480年，古巴比倫人和中國人已經使用配方法求得了二次方程的正根，但是並沒有提出通用的求解方法。公元前300年左右，歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程。

7世紀印度的婆羅摩笈多是第一位懂得用使用代數方程的人，它同時容許有正負數的根。

11世紀阿拉伯的花拉子米獨立地發展了一套公式以求方程的正數解。亞伯拉罕·巴希亞（亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱）在他的著作Liber embadorum，首次將完整的一元二次方程解法傳入歐洲。

## 根

二次方程 $ax^2+bx+c=0\,\!$ 的兩個根為：$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}$$解方程後，我們會得到兩個根：$x_1$和$x_2$。則點$(x_1,0)$和$(x_2,0)$就是二次函數與$x$軸的交點。根的類型如下：

- 設$\Delta = b^2-4ac \,$為一元二次方程式的判別式，又記作D。
- 當$\Delta > 0\,\!$，則方程有兩個不相等的根，也即與$x$軸有兩個不重疊的交點，因為$\sqrt{\Delta}$是正數。
- 當$\Delta = 0\,\!$，則方程有兩個相等的根，也即與$x$軸有一個切點，因為$\sqrt{\Delta}$是零。
- 當$\Delta < 0\,\!$，則方程沒有實數根，也即與 $x$ 軸沒有交點，因為$\sqrt{\Delta}$是共軛複數。

設$r_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}$和$r_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}$，我們可以把$a x^2 + b x + c \,\!$因式分解為$a(x - r_1)(x - r_2)\,\!$。

## 二次函數的形式

二次函數可以表示成以下三種形式：

- $f(x) = a x^2 + b x + c \,\!$ 稱為一般形式或多項式形式。
- $f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)\,\!$ 稱為因子形式或交點式，其中$r_1$和$r_2$是二次方程的兩個根，$(r_1,0)$,$(r_2,0)$ 是拋物線與$x$軸的兩個交點。
- $f(x) = a(x - h)^2 + k \,\!$ 稱為標準形式或頂點形式，$(h,k)$即為此二次函數的頂點。

把一般形式轉換成因子形式時，我們需要用求根公式來算出兩個根$r_1$和$r_2$，或是利用十字交乘法（適用於有理數）。把一般形式轉換成標準形式時，我們需要用配方法。把因子形式轉換成一般形式時，我們需要把兩個因式相乘並展開。把因子形式轉換成標準形式有特殊的方法。

$h$代表了二次函數的對稱軸，因此兩根的平均數即為$h$

- $k$展開後比較後可得 $k=-a\left(\frac{|r_1-r_2|}{2}\right)^2$

不通過$r_1$和$r_2$求$k$及$h$公式：

- $$h = - \frac{b}{2a}$$
- $k = -\frac{b^2-4ac}{4a}$ (也作$k = \frac{4ac-b^2}{4a}$)

而在三種形式中皆出現的$a$為此二次函數的領導係數，決定二次函數圖像開口的大小與方向。

## 圖像

- 係數$a$控制了二次函數從頂點的增長（或下降）速度，即二次函數開口方向和大小。$|a|$越大，開口越小，函數就增長得越快。
- 係數$b$和$a$控制了拋物線的對稱軸（以及頂點的$x$坐標）。
- 係數$b$控制了拋物線穿過$y$軸時的傾斜度（導數）。
- 係數$c$控制了拋物線最低點或最高點的高度，它是拋物線與$y$軸的交點。

函數｜圖像｜函數變化｜對稱軸｜開口方向｜最大（小）值

$y=ax^2$｜$a>0$｜當$x>0$時，$y$隨$x$的增大而增大；當$x<0$時，$y$隨$x$ 的減小而增大｜$y$軸或$x=0$｜向上｜$0$

$y=ax^2$｜$a<0$｜當$x>0$時，$y$隨$x$ 的增大而減小；當$x<0$時，$y$隨$x$ 的減小而減小｜$y$軸或$x=0$｜向下｜$0$

$y=ax^2+c$｜$a>0$｜當$x>0$時，$y$隨$x$ 的增大而增大；當$x<0$時，$y$隨$x$ 的減小而增大｜$y$軸或$x=0$｜向上｜$c$

$y=ax^2+c$｜$a<0$｜當$x>0$時，$y$隨$x$的增大而減小；當$x<0$時，$y$隨$x$ 的減小而減小｜$y$ 軸或 $x=0$｜向下｜$c$

$y=ax^2+bx+c$｜$a>0$｜當$x>-\frac{b}{2a}$時，$y$ 隨$x$的增大而增大；當$x<-\frac{b}{2a}$時，$y$隨$x$的減小而增大｜$x=-\frac{b}{2a}$｜向上｜$-\frac{b^2-4ac}{4 a}$

$y=ax^2+bx+c$｜$a<0$｜當$x>-\frac{b}{2a}$時，$y$ 隨$x$的增大而減小；當$x<-\frac{b}{2a}$時，$y$隨$x$的減小而減小｜$x=-\frac{b}{2a}$｜向下｜$-\frac{b^2-4ac}{4 a}$

### x 截距

當函數與$x$軸有兩個交點時，設這兩個交點分別為 $A(x_1,0),\, B(x_2,0)$，由根與係數的關係得出：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$和$x_1x_2=\frac{c}{a}$

$$\begin{align}\therefore AB&=|x_2-x_1| \\ &=\left|\sqrt{(x_2-x_1)^2}\right| \\ &=\left|\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\right| \\ &=\left|\sqrt{\left(-\frac{b}{a}\right)^2-\frac{4c}{a}}\right| \\ &=\left|\sqrt{\frac{b^2}{a^2}-\frac{4ac}{a^2}}\right| \\ &=\left|\sqrt{\frac{b^2-4ac}{a^2}}\right| \\ &=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|} \ \ \ \ \text{或} \ \ \ \ \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}\end{align}$$

### 頂點

拋物線的頂點是它轉彎的地方，也稱為駐點。如果二次函數是標準形式，則頂點為$(h, k)\,\!$。用配方法，可以把一般形式$f(x) = a x^2 + b x + c \,\!$化為：$$f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac-b^2}{4 a}$$

因此在一般形式中，拋物線的頂點是：$$\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4 a}\right)$$如果二次函數是因子形式$f(x) = a(x - r_1)(x - r_2) \,\!$，則兩個根的平均數$$\frac{r_1 + r_2}{2} \,\!$$就是頂點的$x$坐標，因此頂點位於$$\left(\frac{r_1 + r_2}{2}, f(\frac{r_1 + r_2}{2})\right)\!$$ $a < 0 \,\!$時，頂點也是最大值；$a > 0 \,\!$時，則是最小值。

經過頂點的豎直線$$x=h=-\frac{b}{2a}$$又稱為拋物線的對稱軸。

### 最大值和最小值

#### 導數法

函數的最大值和最小值總是在駐點（又稱臨界點，穩定點）取得。以下的方法是用導數法來推導相同的事實，這種方法的好處是適用於更一般的函數。

設有函數$f(x) = ax^2 + bx + c \,\!$，尋找它的極值時，我們必須先求出它的導數：$$f(x)=ax^2+bx+c \Leftrightarrow \,\! f'(x)=2ax+b \,\!$$然後，求出$f'(x)\,\!$的根：$$2ax+b=0 \Rightarrow \,\! 2ax=-b \Rightarrow\,\! x=-\frac{b}{2a}$$因此，$-\frac{b} {2a}$是$f(x)\,\!$的$x\,\!$值。現在，為了求出$y\,\!$，我們把$x = -\frac{b} {2a}$代入 $f(x)\,\!$：$$y=a \left (-\frac{b}{2a} \right)^2+b \left (-\frac{b}{2a} \right)+c\Rightarrow y= \frac{ab^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow y= \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow y= \frac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a} \Rightarrow y= \frac{-b^2+4ac}{4a} \Rightarrow y= -\frac{(b^2-4ac)}{4a} \Rightarrow y= -\frac{\Delta}{4a}$$所以，最大值或最小值的坐標為：$$\left (-\frac {b}{2a}, -\frac {\Delta}{4a} \right)$$

#### 配方法

$$\begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ &= a(x^2+\frac{b}{a}x)+c \\ &= a \left[ x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 \right]+c-a(\frac{b}{2a})^2 \\ &= a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac}{4a}-\frac{b^2}{4a}\\ &= a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a} \\ \end{align}$$

由於實數的二次方皆大於等於0，因此當$x=-\frac{b}{2a}$時，$f(x)$有最大或最小值$\frac{4ac-b^2}{4a}$。

## 二次函數的平方根

二次函數的平方根的圖像要麼是橢圓，要麼是雙曲線。如果$a>0\,\!$，則方程$y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c}$描述了一條雙曲線。該雙曲線的軸由對應的拋物線$y_p = a x^2 + b x + c \,\!$的最小值決定。如果最小值是負數，則雙曲線的軸是水平的。如果是正數，則雙曲線的軸是豎直的。如果$a<0\,\!$，則方程$y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c}$的圖像要麼是一個橢圓，要麼什麼也沒有。如果對應的拋物線$y_p = a x^2 + b x + c \,\!$的最大值是正數，則它的平方根描述了一個橢圓。如果是負數，則描述了一個空集。

## 二元二次函數

二元二次函數是以下形式的二次多項式：$$f(x,y) = A x^2 + B y^2 + C x + D y + E x y + F \,\!$$這個函數描述了一個二次曲面。把$f(x,y)\,\!$設為零，則描述了曲面與平面$z=0\,\!$的交線，它是一條圓錐曲線。

### 最小值/最大值

如果$4AB-E^2 <0 \,$，則函數沒有最大值或最小值，其圖像是雙曲拋物面。

如果 $4AB-E^2 >0 \,$，則當$A>0$時函數具有最小值，當$A<0$具有最大值。其圖像是橢圓拋物面。

二元二次函數的最大值或最小值在點 $(x_m, y_m) \,$ 取得，其中：$$x_m = -\frac{2BC-DE}{4AB-E^2}$$ $$y_m = -\frac{2AD-CE}{4AB-E^2}$$如果$4AB- E^2 =0 \,$且$DE-2CB=2AD-CE \ne 0 \,$，則函數沒有最大值或最小值，其圖像是拋物柱面。

如果$4AB- E^2 =0 \,$且$DE-2CB=2AD-CE =0 \,$，則函數在一條直線上取得最大值/最小值。當$A>0$時取得最大值，$A<0$時取得最小值。其圖像也是拋物柱面。

## 參考資料

### 參考書目

- 《代數1》， Glencoe, ISBN 0-07-825083-8
- 《代數2》，Saxon, ISBN 0-939798-62-X