對數正態分布

$\sigma \ge 0$ $-\infty \le \mu \le \infty$

$$x \in [0; +\infty)\!$$

$$\frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{\left[\ln(x)-\mu\right]^2}{2\sigma^2}\right)$$

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{erf}\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right]$$

$$e^{\mu+\sigma^2/2}$$

$$e^{\mu}$$

$$e^{\mu-\sigma^2}$$

$$(e^{\sigma^2}\!\!-1) e^{2\mu+\sigma^2}$$

$$(e^{\sigma^2}\!\!+2)\sqrt{e^{\sigma^2}\!\!-1}$$

$$e^{4\sigma^2}\!\!+2e^{3\sigma^2}\!\!+3e^{2\sigma^2}\!\!-6$$

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln(2\pi\sigma^2) + \mu$$

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(it)^n}{n!}e^{n\mu+n^2\sigma^2/2}$is asymptotically divergent but sufficient for numerical purposes 在機率論與統計學中，任意隨機變量的對數服從正態分布,則這個隨機變量服從的分布稱為對數正態分布。如果 $Y$ 是正態分布的隨機變量，則 $\exp(Y)$（指數函數）為對數正態分布；同樣，如果 $X$ 是對數正態分布，則 $\ln X$為正態分布。

如果一個變量可以看作是許多很小獨立因子的乘積，則這個變量可以看作是對數正態分布。一個典型的例子是股票投資的長期收益率，它可以看作是每天收益率的乘積。

對於 $x>0$，對數正態分布的機率密度函數為

$$f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{ x\sigma\sqrt{2 \pi}} e^{-(\ln x - \mu)^2/2\sigma^2}$$

其中 $\mu$ 與 $\sigma$ 分別是變量對數的平均值與標準差。它的期望值是

$$\mathrm{E}(X) = e^{\mu + \sigma^2/2}$$

方差為

$$\mathrm{var}(X) = (e^{\sigma^2} - 1) e^{2\mu + \sigma^2}.\,$$

給定期望值與方差，也可以用這個關係求 $\mu$ 與 $\sigma$

$$\mu = \ln(\mathrm{E}(X))-\frac{1}{2}\ln\left(1+\frac{\mathrm{var}(X)}{\mathrm{E}(X)^2}\right),$$

$$\sigma^2 = \ln\left(1+\frac{\mathrm{var}(X)}{\mathrm{E}(X)^2}\right).$$

## 與幾何平均值和幾何標準差的關係

對數正態分布、幾何平均數與幾何標準差是相互關聯的。在這種情況下，幾何平均值等於 $\exp(\mu)$，幾何標準差等於 $\exp(\sigma)$。

如果採樣數據來自於對數正態分布，則幾何平均值與幾何標準差可以用於估計置信區間，就像用算術平均數與標準差估計正態分布的置信區間一樣。

置信區間界｜對數空間｜幾何

3σ 下界｜$\mu - 3\sigma$｜$\mu_\mathrm{geo} / \sigma_\mathrm{geo}^3$

2σ 下界｜$\mu - 2\sigma$｜$\mu_\mathrm{geo} / \sigma_\mathrm{geo}^2$

1σ 下界｜$\mu - \sigma$｜$\mu_\mathrm{geo} / \sigma_\mathrm{geo}$

1σ 上界｜$\mu + \sigma$｜$\mu_\mathrm{geo} \sigma_\mathrm{geo}$

2σ 上界｜$\mu + 2\sigma$｜$\mu_\mathrm{geo} \sigma_\mathrm{geo}^2$

3σ 上界｜$\mu + 3\sigma$｜$\mu_\mathrm{geo} \sigma_\mathrm{geo}^3$

其中幾何平均數 $\mu_\mathrm{geo} = \exp(\mu)$，幾何標準差 $\sigma_\mathrm{geo} = \exp(\sigma)$

## 矩

原始矩為：

$$\mu_1=e^{\mu+\sigma^2/2}$$

$$\mu_2=e^{2\mu+4\sigma^2/2}$$

$$\mu_3=e^{3\mu+9\sigma^2/2}$$

$$\mu_4=e^{4\mu+16\sigma^2/2}$$

或者更為一般的矩

$$\mu_k=e^{k\mu+k^2\sigma^2/2}.$$

## 局部期望

隨機變量 $X$ 在閾值 $k$ 上的局部期望定義為

$$g(k)=\int_k^\infty (x-k) f(x)\, dx$$

其中 $f(x)$ 是機率密度。對於對數正態機率密度，這個定義可以表示為

$$g(k)=\exp(\mu+\sigma^2/2)\Phi\left(\frac{-\ln(k)+\mu+\sigma^2}{\sigma}\right)-k \Phi\left(\frac{-\ln(k)+\mu}{\sigma}\right)$$

其中 $\Phi$ 是標準正態部分的累積分布函數。對數正態分布的局部期望在保險業及經濟領域都有應用，著名的Black-Scholes期權定價公式便可由此推導出。

## 參數的最大似然估計

為了確定對數正態分布參數 $\mu$ 與 $\sigma$ 的最大似然估計，我們可以採用與正態分布參數最大似然估計同樣的方法。我們來看

$$f_L (x;\mu, \sigma) = \frac 1 x \, f_N (\ln x; \mu, \sigma)$$

其中用 $f_L (\cdot)$ 表示對數正態分布的機率密度函數，用 $f_N (\cdot)$— 表示正態分布。因此，用與正態分布同樣的指數，我們可以得到對數最大似然函數：

$$\begin{matrix} <pre> \ell_L (\mu,\sigma | x_1, x_2, ..., x_n) & = & - \sum _k \ln x_k + \ell_N (\mu, \sigma | \ln x_1, \ln x_2, \dots, \ln x_n) = \\ \\ </pre> \ & = & \operatorname {constant} + \ell_N (\mu, \sigma | \ln x_1, \ln x_2, \dots, \ln x_n). \end{matrix}$$

由於第一項相對於 $\mu$ 與 $\sigma$ 來說是常數，兩個對數最大似然函數 $\ell_L$ 與 $\ell_N$ 在同樣的 $\mu$ 與 $\sigma$ 處有最大值。因此，根據正態分布最大似然參數估計器的公式以及上面的方程，我們可以推導出對數正態分布參數的最大似然估計

$$\widehat \mu = \frac {\sum_k \ln x_k} n, \ <pre> \widehat \sigma^2 = \frac {\sum_k {\left( \ln x_k - \widehat \mu \right)^2}} n.$$

## 相關分布

- 如果 $Y = \ln(X)$ 與 $X \sim \operatorname{Log-N}(\mu, \sigma^2)$，則 $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$ 是正態分布。
- 如果 $X_m \sim \operatorname {Log-N} (\mu, \sigma_m^2), \ m = \overline {1 ... n}$ 是有同樣 $\mu$ 參數、而 $\sigma$ 可能不同的統計獨立對數正態分布變量，並且 $Y = \prod_{m=1}^n X_m$，則 $Y$ 也是對數正態分布變量：$Y \sim \operatorname {Log-N} \left( n\mu, \sum _{m=1}^n \sigma_m^2 \right)$。

## 進一步的閱讀資料

- Robert Brooks, Jon Corson 以及 J. Donal Wales 的 "The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion" , in Advances in Futures and Options Research, volume 7, 1994.

## 參考文獻

- 對數正態分布, Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957)
- Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues , E. Limpert, W. Stahel and M. Abbt,. BioScience, 51 (5), p. 341–352 (2001).
- 對數正態分布特性, John Hull, in Options, Futures, and Other Derivatives 6E (2005).
- Eric W. Weisstein et al. 對數正態分布 at MathWorld. Electronic document, 2006年10月26日造訪.

## 基本資料

- pdf_image：、μ=0
- cdf_image：、μ=0
- parameters：$\sigma \ge 0$、$-\infty \le \mu \le \infty$
- 值域：$x \in [0; +\infty)\!$
- 密度：$\frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{\left[\ln(x)-\mu\right]^2}{2\sigma^2}\right)$
- 累積分布函數：$\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{erf}\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right]$
- 期望值：$e^{\mu+\sigma^2/2}$
- 中位數：$e^{\mu}$
- 眾數：$e^{\mu-\sigma^2}$
- 密度：$(e^{\sigma^2}\!\!-1) e^{2\mu+\sigma^2}$
- 偏度：$(e^{\sigma^2}\!\!+2)\sqrt{e^{\sigma^2}\!\!-1}$
- 峰度：$e^{4\sigma^2}\!\!+2e^{3\sigma^2}\!\!+3e^{2\sigma^2}\!\!-6$
- 熵：$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln(2\pi\sigma^2) + \mu$
- mgf：(參見原始動差文本)
- 特徵函數：$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(it)^n}{n!}e^{n\mu+n^2\sigma^2/2}$is asymptotically divergent but sufficient for numerical purposes