特徵標理論

在數學裡，尤其是在群表示理論裡，一個群表示的特徵標（character）是一個將群的每個元素映射對應矩陣的跡(Trace)的函數。特徵標蘊藏著群的許多重要性質，且因此可以用來做群的研究。

特徵標理論是對有限簡單群分類的一個有重要的工具。在范特-湯普遜定理證明接近一半的地方會有一個用到特徵標的複雜計算。另外還有一些較簡單但一樣重要的結論需用在特徵標理論，如伯恩賽德定理及理查·布勞爾和鈴木通夫所證出之定理，此定理表示有限簡單群不會有一個為廣義四元群的西洛2-子群。

## 定義

設V為一個域F上的有限維向量空間且設$\rho\colon G\to\mathrm{GL}(V)$為一個群G於V上的表示。則ρ的特徵標即為如下給定之函數

$$\chi_{\rho}(g) = \mathrm{Tr}(\rho(g))\,$$

其中$\mathrm{Tr}$為矩陣的跡數。

一個特徵標χρ若被稱為是不可約的，若表示ρ是一個不可約表示。若被稱為是線性的，則表示ρ的維度等於1。χρ的核為集合

$$\ker \chi_{\rho} := \left \lbrace g \in G \mid \chi_{\rho}(g) = \chi_{\rho}(1) \right \rbrace$$

其中$\chi_{\rho}(1)$是χρ在群單位元上的值。當ρ是G的k維表示且1為G的單位元時。

$$\chi_{\rho}(1) = \operatorname{Tr}(\rho(1)) = \operatorname{Tr} \begin{bmatrix}1 & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & 1\end{bmatrix} = \sum_{i = 1}^k 1 = k = \dim \rho$$

和特徵標群的情況不同，一個群的特徵標通常不會自己「形成」一個群。

## 拓撲群的情形

在調和分析中，通常定義局部緊阿貝爾拓撲群 $G$ 的特徵標為連續群同態 $\chi: G \to \mathbb{S}^1$；在此，$\mathbb{S}^1$ 表示單位圓構成的群，等價地說就是 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$。

部份作者將特徵標的定義放寬為連續群同態 $\chi: G \to \mathbb{C}^\times$，而將取值在 $\mathbb{S}^1$ 者稱作麼特徵標。其他人則保留原初定義，而將這類廣義的特徵標稱為擬特徵標。

$G$ 的全體特徵標構成一個群 $\hat{G}$，群二元運算的定義是 $(\chi \cdot \eta)(g) = \chi(g) \to \eta(g)$，稱為對偶群。龐特里雅金對偶性總結了對偶群的一般性質。

## 性質

- 特徵標是一個類函數，即為對一個共軛類內的所有元素來說，χ會是個常數。
- 兩個同構的表示會有相同的特徵標。若係數域的特徵char(F)=0，則兩個表示為同構的，若且唯若它們有著完全相同的特徵標。
- 若一個表示可以是多個子表示的直和：$V = W_1 \oplus W_2 \oplus \cdot \oplus W_r$，則其相對應的特徵標會是其所有子表示的特徵標之和：$\forall g \in G, \ \chi_V (g) = \chi_{W_1} (g) + \chi_{W_2} (g) + \cdot + \chi_{W_r} (g)$。
- 在有限群的情況下，每個特徵標$\chi\ (g)$都是n個m次單位根之和，其中n為表示內域的維度，m則是g的階。
- 若F是代數封閉的且char(F)不可以整除G的階|，則G的不可約特徵標之數量等於G的共軛類數： $|Irr(G)| = |Conj(G)|$。

### 算術性質

令$\rho$和$\sigma$為G的兩個表示，則有下列的等式成立：

$$\chi_{\rho \oplus \sigma} = \chi_\rho + \chi_\sigma$$

$$\chi_{\rho \otimes \sigma} = \chi_\rho \cdot \chi_\sigma$$

$$\chi_{\rho^*} = \overline {\chi_\rho}$$

$$\chi_{\textrm{Alt}^2 \rho}(g) = \frac{1}{2} \left[ \left(\chi_\rho (g) \right)^2 - \chi_\rho (g^2) \right]$$

$$\chi_{\textrm{Sym}^2 \rho}(g) = \frac{1}{2} \left[ \left(\chi_\rho (g) \right)^2 + \chi_\rho (g^2) \right]$$

其中$\rho \oplus \sigma$為兩者的直和、$\rho \otimes \sigma$為兩者的張量積、$\rho^*$為$\rho$的共軛轉置、以及Alt稱為交替積$\textrm{Alt}^2 \rho = \rho \wedge \rho$而Sym則稱為對稱方，其值由下式決定

$\rho \otimes \rho = \left(\rho \wedge \rho \right) \oplus \textrm{Sym}^2 \rho$.

## 特徵標的誘導與限制

設 $G$ 為有限群，$H \leq G$ 為其子群，而 $\rho$ 為 G 的表示，其特徵標記為 $\chi$。令 $\mathrm{Ind}^G_H(\chi)$ 為誘導表示 $\mathrm{Ind}^G_H(\rho)$ 的特徵標；根據弗羅貝尼烏斯互反定理，對所有 $G$ 的特徵標 $\eta$，恆有下述等式

$$\langle \mathrm{Ind}^G_H(\chi), \eta \rangle_G = \langle \chi, \eta|_H \rangle_H$$

此等式可用來刻劃類函數 $\mathrm{Ind}^G_H(\chi)$。事實上，若選定陪集分解

$$G = \bigcup_t Ht$$

還可以明確地寫下 $\mathrm{Ind}^G_H(\chi)$ 的取值：

$$\mathrm{Ind}^G_H(\chi)(g) = \begin{cases} \sum_{tht^{-1} \in H} \chi(tht^{-1}), \mbox{ if g is conjugate to some h} \in H \\ 0, \mbox{ otherwise} \end{cases}$$

## 特徵標表

一個有限群的不可約特徵標可以形成一個特徵標表，其蘊含著許多有關群G在緊緻形式時的有用資訊。每一行標記著一個不可約特徵標且包含著此一特徵標在每個G的共軛類上的值。

下面是有三個元素之循環群C3的特徵標表：

(1)｜(u)｜(u2)

1｜1｜1｜1

χ1｜1｜u｜u2

χ2｜1｜u2｜u

其中的u為一個原三次單位根。

特徵標表總會是正方的，因為不可約表示的數目總會相等於共軛類的數目。特徵標表的第一個行總會是1，其對應至群的當然表示上。

### 正交關係

有關特徵標表最重要的性質之一為其在行與列上都會有著正交關係。

對特徵標(即對特徵標表中的行)的內積由下給出：

$\left \langle \chi_i, \chi_j \right \rangle := \frac{1}{ \left | G \right | }\sum_{g \in G} \chi_i(g) \overline{\chi_j(g)}$ 其中 $\overline{\chi_j(g)}$ 表示 $\chi_{j}$在g上的值的複數共軛。

對於此一內積而言，不可約特徵標兩兩正規正交：

$$\left \langle \chi_i, \chi_j \right \rangle = \begin{cases} 0 & \text{如 果 }\, i \ne j \\ 1 & \text{如 果 }\, i = j \end{cases}$$

對表中的列的正交關係則由下列給出：

對$g, h \in G$，其和為$\frac{1}{ \left | G \right | }\sum_{\chi_i} \chi_i(g) \overline{\chi_i(h)} = \begin{cases}1/\left | C_G(g) \right | & \mbox{ 如 果 }\, g, h \mbox{ 共 軛 } \\ 0 & \mbox{ 如 果 }\, g, h \mbox{ 不 共 軛 }\end{cases}$

其中相加的範圍為所有G的不可約特徵標$\chi_i$，而符號$\left | C_G(g) \right |$則表示為g的共軛類之大小。

此一正交關係可以幫助許多的運算，如：

- 將一個未知特徵標分解成不可約特徵標的線性組合。
- 當只有一些不可約特徵標為可知時，建構其完整的特徵標表。
- 求出群的共軛類的表示的中心化子的階。
- 求出群的階。

### 特徵標表性質

一個群G的某些性質可以由其特徵表中推導出來：

- G的階就是表上所有特徵標之在1上的取值的平方：(χ(1))2的總和（伯恩賽德公式）。
- G是可換的若且唯若對每個在表上的特徵標，χ(1) = 1。
- G有一個非當然正規子群(即G不是一個簡單群)若且唯若對於某些表上的非當然特徵標χ和一些於G內的非單位元素g，會有χ(1) = χ(g)。

特徵標表通常不會將群分至同構：例如，四元群Q和有8個元素的二面體群D4會有同樣的特徵標表。

對有限群之特別例子，詳見有限群表示理論。

一維表示的特徵標會形成一個特徵標群，其和數論中有著很重要的關連。

## 參考文獻

- 見第2章
- 1976年原版的修正重印版，由Academic Press所出版
- http://planetmath.org/encyclopedia/Character.html
- 化學中重要的點群的特徵標表 - 列出了大多數的點群並其在化學中使用之符號的特徵標表。