費米能

費米能量（Fermi energy）是固體物理學中的一個概念。無相互作用的費米子組成的系統中，費米能量（$E_\mathrm{F}$）常常表示在該系統中加入一個粒子後可能引起的基態能量的最小增量。費米能亦可等價定義為在絕對零度時，處於基態的費米子系統的化學勢（chemical potential），或上述系統中處於基態的單個費米子的最高能量。費米能量是凝聚體物理學的核心概念之一。

雖然嚴格來說，費米能是指費米子系統在趨於絕對零度時的化學勢；但是在半導體物理和電子學領域中，費米能則經常被當做電子或空穴化學勢的代名詞。一般來說，「費米能」這個術語所代表的含義可以從上下語境中判斷。

費米能以提出此概念的美籍義大利裔物理學家恩里科·費米（Enrico Fermi）的名字命名。

## 三維形式的推導

考慮一個處於邊長為L的正方體內無相互作用的費米子（如電子）組成的固態系統，其總體積V = L3。由於該系統中的電子為其餘離子所共享，並不束縛於特定的離子，不考慮電子間的相互作用以及彼此間的散射作用，與電子和離子間的散射作用，亦不考慮電子的自旋耦合作用，綜上，電子可視為束縛在該固態系統中的自由粒子，而由於採用以上的近似，故電子在該固態系統中的能量為三維無限深方形阱中的特徵能量，為量子化分布。因此該系統的波函數可寫為：

$$\psi = A \sin\left(\frac{n_x \pi x}{L}\right) \sin\left(\frac{n_y \pi y}{L}\right) \sin\left(\frac{n_z \pi z}{L}\right) \,$$

其中

A為波函數的歸一化常數。

nx、ny、nz為正整數

在某一能級上一個粒子的能量為：

$$E_n = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} \left( n_x^2 + n_y^2 + n_z^2\right) \,$$

在絕對零度時，該費米子系統中存在具有最高能量即費米能的一個粒子，將該粒子所處的態記為nF。對於具有N個費米子的系統，其nF須滿足：

$$N = \frac{1}{8} \times 2 \times \frac{4}{3} \pi n_F^3\,$$

或簡化為

$$n_F = \left( \frac{3 N}{\pi} \right)^{1/3}$$

帶入En能量式，即得到費米能的表達式：

$E_F \,$｜$= \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} n_F^2$

$$= \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} \left( \frac{3 N}{\pi} \right)^{2/3}$$

利用幾何關係（將L2寫成V2/3），既得到用單位體積中的粒子數表示的費米能：

$$E_F = \frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{3 \pi^2 N}{V} \right)^{2/3} \,$$

其中

$\hbar$為約化普朗克常數$= 1.055\times10^{-34}\ \mbox{J}\cdot\mbox{s}$

m為粒子質量。

## 典型的費米能

### 白矮星

白矮星是宇宙中一類質量與太陽相當，但半徑約只有太陽的1/100的天體。這種天體的高密度使的其中的電子不是被各自所屬的單個原子核束縛，而是以簡併電子氣的形式存在。白矮星中的體積電子數密度為1036個/m3量級。利用前面的公式可以得到其費米能為：

$$E_F = \frac{\hbar^2}{2m_e} \left( \frac{3 \pi^2 (10^{36})}{1 \ \mathrm{m}^3} \right)^{2/3} \approx 3 \times 10^5 \ \mathrm{eV} \,$$

### 原子核

另一個典型例子是構成原子核的核子（即質子和中子）。原子核半徑約為：

$$R = \left(1.5 \times 10^{-15} \mathrm{m} \right) \times A^{1/3}$$

其中A為核子數。

所以原子核的核子數密度為：

$$n = \frac{A}{\begin{matrix} \frac{4}{3} \end{matrix} \pi R^3 } \approx 7 \times 10^{43} \ \mathrm{m}^{-3}$$

所以原子核的費米能約為：

$$E_F = \frac{\hbar^2}{2m_p} \left( \frac{3 \pi^2 (7 \times 10^{43})}{1 \ \mathrm{m}^3} \right)^{2/3} \approx 33 \times 10^6 \ \mathrm{eV} = 33 \ \mathrm{MeV}$$

## 費米能級

費米能級是絕對零度下電子的最高能級。根據泡利不相容原理，同一個量子態不能容納兩個或兩個以上的費米子，所以在絕對零度下，電子將從低到高依次填充各能級，形成電子能態的「費米海」。「費米海」中每個電子的平均能量為（絕對零度下）：

$$E_{av} = \frac{3}{5} E_F$$

其中$E_F$為費米能。

費米面上電子（或其它費米子）的動量稱為費米動量，滿足：

$$p_F = \sqrt{2 m_e E_F}$$

其中$m_e$為電子質量。

這個概念通常應用在能量和動量之間的色散關係上，與動量的方向無關。更一般的情況下，費米能更具有普遍意義。

費米速度指絕對零度下電子繞原子核運動的最高速度，該速度對應於前面給出的費米能量。費米速度定義為：

$$V_F = \sqrt{\frac{2 E_F}{m_e}}$$

其中$m_e$為電子質量。

另一個相關的概念是費米溫度，定義為：

$$T_F = \frac{E_F}{k_B}$$

其中kB為玻爾茲曼常數。

物質在費米溫度以下會越來越顯著地表現出量子效應。

## 量子力學解釋

根據量子力學理論，具有半奇數自旋量子數（通常為1/2）的費米子，如電子，遵循泡利不相容原理，即一個量子態只能被一個粒子所占據。因此，費米子在能級中的分布遵循費米-狄拉克分布。一個由無相互作用的費米子組成的系統的基態模型可按照如下的方法構造：從無粒子系統開始，將粒子逐個填入現有而未被占據的最低能量的量子態，直到所有粒子全部填完。此時，系統的費米能就是最高占據分子軌道（highest occupied molecular orbital，縮寫為HOMO）的能量。在導電材料中，HOMO與最低未占據分子軌道（lowest unoccupied molecular orbital，縮寫為LUMO）是等價的。但在其它材料中，上述兩個軌道的能量會相差2-3電子伏。事實上這一能隙在導體中也存在，只是小得可以忽略而已。

## 自由電子氣

自由電子氣是借用理想氣體模型描述費米子系統性質的量子力學模型。該模型中，粒子所處的量子態可用它們具有的動量來表徵。對於周期性系統，譬如在金屬原子點陣中運動的電子，亦可類似地引入「准動量」的概念以表徵量子態（參見條目布洛赫波）。無論上述哪種模型，其具有費米能的量子態都處於動量空間中的一個確定的曲面上，這個曲面稱為費米面。自由電子氣的費米面是一個球面；周期體系中的費米面則通常是扭曲面（參見條目布里淵區）。費米面包圍的體積決定了系統中的電子數，而費米面的拓撲結構則與金屬的各種傳導性質（如電導率）直接相關。對費米面的研究有時被稱為「費米學」（Fermiology）。如今，絕大多數金屬的費米面均已經有較透徹的理論與實驗研究。

自由電子氣的費米能與化學勢之間存在如下關係：

$$\mu = E_F \left[ 1- \frac{\pi ^2}{12} \left(\frac{k_BT}{E_F}\right) ^2 + \frac{\pi^4}{80} \left(\frac{k_BT}{E_F}\right)^4 + \cdots \right]$$

其中EF為費米能，kB為玻爾茲曼常數，T為絕對溫度。從上式可以看出，當溫度遠低於費米溫度EF/kB時，系統的化學勢與費米能近似相等。金屬的費米溫度為105K量級，因此在室溫（300 K）下，系統的費米能與化學勢基本上是相等的。這在應用上是一個重要的結論，因為費米-狄拉克分布的表達式中出現的是化學勢，而不是費米能

$E_F^0$

$E_F$

## 參考資料

- 黃昆原著，韓汝琦改編，《固體物理學》，高等教育出版社，北京，1988，ISBN 978-7-04-001025-1
- 蔡維理編，中國科學技術大學固體物理學課程課件（PowerPoint文件），主頁
- 各種元素的費米能、費米速度、和費米溫度表 (英文)
- 關於費米氣體和費米溫度的討論。