正則變換

本條目中，向量與標量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。

在哈密頓力學裏，正則變換（canonical transformation）是一種正則坐標的改變，$(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})$，而同時維持哈密頓方程的形式，雖然哈密頓量可能會改變。正則變換是哈密頓-亞可比方程式與劉維爾定理的基礎。

## 定義

點變換（point transformation）將廣義坐標$\mathbf{q}=(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_N)$變換成廣義坐標$\mathbf{Q}=(Q_1,\ Q_2,\ \dots,\ Q_N)$，點變換方程式的形式為

$q_i=q_i(Q_1,\ Q_2,\ \dots,\ Q_N,\ t)\ ,\qquad\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N$。

其中，$t$是時間。

在哈密頓力學裏，由於廣義坐標與廣義動量$\mathbf{p}=(p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_N)$同樣地都是自變量（independent variable），點變換的定義可以加以延伸，使變換方程式成為

$q_i=q_i(Q_1,\ Q_2,\ \dots,\ Q_N,\ P_1,\ P_2,\ \dots,\ P_N,\ t)\ ,\qquad\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N$。

$p_i=p_i(Q_1,\ Q_2,\ \dots,\ Q_N,\ P_1,\ P_2,\ \dots,\ P_N,\ t)\ ,\qquad\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N$。

其中，$\mathbf{P}=(P_1,\ P_2,\ \dots,\ P_N)$是新的廣義動量。

為了分辨這兩種不同的點變換，稱前一種點變換為位形空間點變換，而後一種為相空間點變換。

在哈密頓力學裏，正則變換將一組正則坐標$(\mathbf{q},\ \mathbf{p})$變換為一組新的正則坐標$(\mathbf{Q},\ \mathbf{P})$，而同時維持哈密頓方程式的形式（稱為形式不變性）。原本的哈密頓方程式為

$\dot{\mathbf{q}} =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{p}}$。

$\dot{\mathbf{p}} = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{q}}$。

新的哈密頓方程式為

$\dot{\mathbf{Q}} =~~\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{P}}$。

$\dot{\mathbf{P}} = - \frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{Q}}$。

其中，$\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)$、$\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)$分別為原本的哈密頓量與新的哈密頓量。

## 實際用處

思考一個物理系統的哈密頓量

$\mathcal{H}=\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)$。

假設哈密頓量跟其中一個廣義坐標$q_i$無關，則稱$q_i$為可略坐標（ignorable coordinate），或循環坐標（cyclic coordinate）：

$\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i}=0$。

在哈密頓方程式中，廣義動量對於時間的導數是

$\dot{p}_i= - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i}=0$。

所以，廣義動量$p_i$是常數$k_i$。

假設一個系統裏有$n$個廣義坐標是可略坐標。找出這$n$個可略坐標，則可以使這系統減少$2n$個變數；使問題的困難度減少很多。正則變換可以用來尋找這一組可略坐標。

## 生成函數方法

主項目：正則變換生成函數

採取一種間接的方法，稱為生成函數方法，從$(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ \mathcal{H})$變換到$(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ \mathcal{K})$。為了要保證正則變換的正確性，第二組變數必須跟第一組變數一樣地遵守哈密頓原理

$\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)\right]dt=0$。

$\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[ \mathbf{P}\cdot\dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t) \right]dt=0$。

那麼，必須令

$\sigma \left[ \mathbf{p} \cdot \dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t) \right] = \mathbf{P} \cdot \dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t) + \frac{dG}{dt}$。

其中，$\sigma$是標度因子，$G$是生成函數。

假若一個變換涉及標度因子，則稱此變換為標度變換（scale transformation）。一般而言，標度因子不一定等於1。假若標度因子不等於1，則稱此正則變換為延伸正則變換（extended canonical transformation）；假若標度因子等於1，則稱為正則變換。

任何延伸正則變換都可以修改為正則變換。假設一個$\sigma \ne 1$的延伸正則變換表示為

$\sigma\left[\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}\right]=\mathbf{P}'\cdot\dot{\mathbf{Q}}' - \mathcal{K}\,'+\frac{dG\,'}{dt}$。

則可以設定另外一組變數與哈密頓量：

$\mathbf{Q}=\alpha \mathbf{Q}'$。

$\mathbf{P}=\beta \mathbf{P}'$。

$\mathcal{K}=\alpha\beta\mathcal{K}\,'$。

$G=\alpha\beta G\,'$；其中，$\alpha,\ \beta$是用來刪除$\sigma$的常數，$\sigma=\frac{1}{\alpha\beta}$。經過一番運算，可以得到

$\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{P}}=\alpha\frac{\partial \mathcal{K}\,'}{\partial \mathbf{P}'}=\alpha\dot{\mathbf{Q}}'=\dot{\mathbf{Q}}$。

$\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{Q}}=\beta\frac{\partial \mathcal{K}\,'}{\partial \mathbf{Q}'}= - \beta\dot{\mathbf{P}}'= - \dot{\mathbf{P}}$。

$\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}=\alpha\beta(\mathbf{P}'\cdot\dot{\mathbf{Q}}' - \mathcal{K}\,'+\frac{dG\,'}{dt})=\mathbf{P}\cdot\dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}+\frac{dG}{dt}$。（1）

顯然地，這變換符合哈密頓方程式。所以，任何延伸正則變換都可以改變為正則變換。

假若正則變換不顯性含時間，則稱為設限正則變換（restricted canonical transformation）。

生成函數$G$的參數，除了時間以外，一半是舊的正則坐標；另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定，一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種變換，從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換$(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})$保證是正則變換。

### 第一型生成函數

第一型生成函數$G_{1}$只跟舊廣義坐標、新廣義坐標有關。

$G=G_{1}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)$。

代入方程式（1）。展開生成函數對於時間的全導數。

$\mathbf{p} \cdot \dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t) = \mathbf{P} \cdot \dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P}, t) + \frac{\partial G_{1}}{\partial t} + \frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}} \cdot \dot{\mathbf{q}} + \frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}} \cdot \dot{\mathbf{Q}}$。

新廣義坐標$\mathbf{Q}$和舊廣義坐標$\mathbf{q}$都是自變量，其對於時間的全導數$\dot{\mathbf{Q}}$和$\dot{\mathbf{q}}$互相無關，所以，以下$2N+1$個方程式都必須成立：

$\mathbf{p} = ~~\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}}$，（2）

$\mathbf{P} = -\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}}$，（3）

$\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G_{1}}{\partial t}$。（4）

這$2N+1$個方程式設定了變換$(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})$，步驟如下：

第一組的$N$個方程式（2），設定了$\mathbf{p}$的$N$個函數方程式

$\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)$。

在理想情況下，這些方程式可以逆算出$\mathbf{Q}$的$N$個函數方程式

$\mathbf{Q}=\mathbf{Q}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)$。（5）

第二組的$N$個方程式（3），設定了$\mathbf{P}$的$N$個函數方程式

$\mathbf{P}=\mathbf{P}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)$。

代入函數方程式（5），可以算出$\mathbf{P}$的$N$個函數方程式

$\mathbf{P}=\mathbf{P}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)$。（6）

從$2N$個函數方程式（5）、（6），可以逆算出$2N$個函數方程式

$\mathbf{q}=\mathbf{q}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)$。

$\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)$。

代入新哈密頓量$\mathcal{K}$的方程式（4），可以得到

$\mathcal{K} =\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)$。

### 第二型生成函數

第二型生成函數$G_{2}$的參數是舊廣義坐標$\mathbf{q}$、新廣義動量$\mathbf{P}$ 與時間：

$G = - \mathbf{Q}\cdot\mathbf{P}+G_{2}(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)$。

以下$2N+1$方程式設定了變換$(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})$：

$\mathbf{p} = \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{q}}$。

$\mathbf{Q} = \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{P}}$。

$\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G_{2}}{\partial t}$。

### 第三型生成函數

第三型生成函數$G_{3}$ 的參數是舊廣義動量$\mathbf{p}$、新廣義坐標$\mathbf{Q}$與時間：

$G = \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} + G_{3}(\mathbf{p}, \mathbf{Q}, t)$。

以下$2N+1$方程式設定了變換$(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})$：

$\mathbf{q} = -\frac{\partial G_{3}}{\partial \mathbf{p}}$。

$\mathbf{P} = -\frac{\partial G_{3}}{\partial \mathbf{Q}}$。

$\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G_{3}}{\partial t}$。

### 第四型生成函數

第四型生成函數$G_{4}(\mathbf{p}, \mathbf{P}, t)$的參數是舊廣義動量$\mathbf{p}$、新廣義動量$\mathbf{P}$與時間：

$G = \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} - \mathbf{Q} \cdot \mathbf{P} + G_{4}(\mathbf{p}, \mathbf{P}, t)$。

以下$2N+1$方程式設定了變換$(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})$：

$\mathbf{q} = -\frac{\partial G_{4}}{\partial \mathbf{p}}$。

$\mathbf{Q} = ~~\frac{\partial G_{4}}{\partial \mathbf{P}}$。

$\mathcal{K}= \mathcal{H} + \frac{\partial G_{4}}{\partial t}$。

### 實例1

第一型生成函數有一個特別簡易案例：

$G_{1} = \mathbf{q} \cdot \mathbf{Q}$。

生成函數的導數分別為

$\mathbf{p} = ~~\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}} = \mathbf{Q}$。

$\mathbf{P} = -\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}} = -\mathbf{q}$。

舊的哈密頓量與新的哈密頓量相同：

$\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)=\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)$。

### 實例2

再擧一個比較複雜的例子。讓

$G_{2} \equiv \mathbf{g}(\mathbf{q};\ t) \cdot \mathbf{P}$。

這裏，$\mathbf{g}$是一組$N$個函數。

答案是一個廣義坐標的點變換。

$\mathbf{Q}=\frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{P}} =\mathbf{g}(\mathbf{q};\ t)$。

## 不變量

正則變換必須滿足哈密頓方程式不變；哈密頓方程式為正則變換的一個不變式。另外，正則變換也有幾個重要的不變量。

### 辛條件

辛標記提供了一種既簡單，又有效率的標記方法來展示方程式及數學運算。設定一個$2N\times 1$的豎矩陣$\boldsymbol{\xi}$ :

$\boldsymbol{\xi}^T=[q_1,\ q_2,\ q_3,\ \dots,\ q_N,\ p_1,\ p_2,\ p_3,\ \dots,\ p_N]$。

變數向量$\boldsymbol{\xi}$將$\mathbf{q}$與$\mathbf{p}$包裝在一起。這樣，哈密頓方程式可以簡易的表示為

$\dot{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\xi}}$。

這裏，$\boldsymbol{\Omega}$是辛連結矩陣、$\mathcal{H}$是哈密頓量。

應用辛標記於正則變換，正則坐標會從舊正則坐標$\boldsymbol{\xi}$改變成新正則坐標$\boldsymbol{\Xi}$，$\boldsymbol{\xi} \rightarrow \boldsymbol{\Xi}$；哈密頓量也從舊的哈密頓量$\mathcal{H}$改變成新的哈密頓量$\mathcal{K}$，$\mathcal{H} \rightarrow \mathcal{K}$；但是，哈密頓方程式的形式仍舊維持不變：

$\dot{\boldsymbol{\Xi}}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}$。

這裏，$\mathcal{K}=\mathcal{H}+\frac{dG}{dt}+\mathbf{P}\dot{\mathbf{Q}} - \mathbf{p}\dot{\mathbf{q}}$。

用第一型生成函數$G=G_1(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)$，則$\mathcal{K}=\mathcal{H}+\frac{\partial G_1}{\partial t}$。

取$\boldsymbol{\Xi}=\boldsymbol{\Xi}(\boldsymbol{\xi},\ t)$關於時間$t$的導數。

$\dot{\boldsymbol{\Xi}}=\mathbf{M}\dot{\boldsymbol{\xi}}+\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial t}$。

這裏，$\mathbf{M}$是亞可比矩陣，$M_{ij}=\frac{\partial \Xi_i}{\partial \xi_j}$。

代入哈密頓方程式。

$\mathbf{M}\dot{\boldsymbol{\xi}}+\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial t}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}+\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial^2 G_1}{\partial \boldsymbol{\Xi}\ \partial t}$ ;

假若限制正則變換為設限正則變換，也就是說，顯性地不含時間，解答會簡單許多。假若正則變換顯性地含時間，則仍舊能得到與下述同樣的答案，這是一個很好的偏導數習題。現在，限制這正則變換為設限正則變換，則簡化後的方程式為

$\mathbf{M}\dot{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}$。

而$\mathcal{H}=\mathcal{H}(\boldsymbol{\xi})$，所以。

$\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}=\frac{\partial \boldsymbol{\xi}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\xi}}=(\mathbf{M}^{-1})^T\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\xi}}= - (\mathbf{M}^{-1})^T\boldsymbol{\Omega}\dot{\boldsymbol{\xi}}$。

代回前一個方程式，取$\dot{\boldsymbol{\xi}}$的係數，則可以得到

$\mathbf{M}= - \boldsymbol{\Omega}(\mathbf{M}^{-1})^T\boldsymbol{\Omega}$。

經過一番運算。

$\mathbf{M}^T= - \boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}^{-1}\boldsymbol{\Omega}$。

$\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}=\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}^{-1}$。

可以求出辛條件：

$\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}=\boldsymbol{\Omega}$。

在這裏，得到了正則變換的辛條件：一個變換是正則變換，若且唯若辛條件成立。

### 基本帕松括號不變量

在相空間裏，兩個函數$f(\mathbf{q},\ \mathbf{p}),\ g(\mathbf{q},\ \mathbf{p})$關於正則坐標$\mathbf{q},\ \mathbf{p}$的帕松括號定義為

$\big[f,\ g\big]_{(\mathbf{q},\ \mathbf{p})} = \sum_{i=1}^{N} \left( \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}} \right)$。

用辛標記。

$\big[f,\ g\big]_{\boldsymbol{\xi}}= \left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\xi}}$。

立刻，可以得到下述關係：

$\big[q_i,\ q_j\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\big[p_i,\ p_j\big]_{\boldsymbol{\xi}}=0$。

$\big[q_i,\ p_j\big]_{\boldsymbol{\xi}}= - \big[p_i,\ q_j\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\delta_{ij}$。

定義基本帕松括號$\big[\boldsymbol{\xi},\ \boldsymbol{\xi}\big]$為一個方矩陣，其中，元素$ij$的值是$\big[\xi_i,\ \xi_j\big]$。那麼。

$\big[\boldsymbol{\xi},\ \boldsymbol{\xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}$。

思考一個變換$\boldsymbol{\xi}\rightarrow \boldsymbol{\Xi}$。新坐標的基本帕松括號為

$\big[\boldsymbol{\Xi},\ \boldsymbol{\Xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\left(\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}$。

這兩個正則坐標的亞可比矩陣$M$是

$M=\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}$。

代入前一個方程式，則

$\big[\boldsymbol{\Xi},\ \boldsymbol{\Xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}$。

假若這變換是正則變換，辛條件$\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}=\boldsymbol{\Omega}$必須成立。

$\big[\boldsymbol{\Xi},\ \boldsymbol{\Xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}$。

相反地，假若$\big[\boldsymbol{\Xi},\ \boldsymbol{\Xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}$，則辛條件成立，這變換是正則變換。

所以，一個變換是正則變換，若且唯若基本帕松括號關於任何正則坐標的值不變。當表示基本帕松括號時，我們可以忽略下標符號，直接表示為$\big[\boldsymbol{\xi},\ \boldsymbol{\xi}\big]$，而認定這基本帕松括號是關於正則坐標計算的值。

### 帕松括號不變量

思考兩個函數$f,\ g$對於正則坐標$\boldsymbol{\xi}$的泊松括號

$$\begin{align}\big[f,\ g\big]_{\boldsymbol{\xi}} & =\left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\xi}} \\ & = \left(\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\Xi}} \\ & = \left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\right)^T M^T \boldsymbol{\Omega}M\frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\ \ _\circ \\ \end{align}$$

假若這變換是正則變換，辛條件$\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}=\boldsymbol{\Omega}$必須成立。

$\big[f,\ g\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\right)^T\boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\Xi}}=\big[f,\ g\big]_{\boldsymbol{\Xi}}$。

所以，任何兩個函數關於正則坐標的帕松括號，都是正則變換的不變量。當表示帕松括號時，可以忽略下標符號，直接表示為$\big[f,\ g\big]$，而認定這帕松括號是關於正則坐標計算的值。

## 參閱

- 正則變換列表
- 正則座標
- 帕松括號
- 辛矩陣
- 辛拓撲
- 辛群