算符

在物理學領域裡，算符（operator）亦稱算子、運算子，其作用於物理系統的狀態空間，使得物理系統從某種狀態變換為另外一種狀態。物理學的算符，有別於數學的算子，儘管兩者英語相同。物理系統的變換可能相當複雜，需要用很多方程式來表明，假若能夠使用算符來代表，可以更為簡單扼要地表達論述。

對於很多案例，假若作用的對象有所迥異，算符的物理行為也會不同；但是，對於有些案例，算符的物理行為具有一般性，這時，就可以將論題抽象化，專注於研究算符的物理行為，不必顧慮到狀態的獨特性。這方法比較適用於一些像對稱性或守恆定律的論題。因此，在經典力學裏，算符是很有用的工具。在量子力學裏，算符為理論表述不可或缺的要素。

對於更深奧的理論研究，可能會遇到很艱難的數學問題，算符理論（operator theory）能夠提供高功能的架構，使得數學推導更為簡潔精緻、易讀易懂，更能展現出內中物理涵意。

一般而言，在經典力學裏的算符大多作用於函數，這些函數的參數為各種各樣的物理量，算符將某函數映射為另一種函數。這種算符稱為「函數算符」。在量子力學裏的算符稱為「量子算符」，作用的對象是量子態。量子算符將某量子態映射為另一種量子態。

## 經典力學

在經典力學裏，粒子（或一群粒子）的動力行為是由拉格朗日量$\mathcal{L}(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)$或哈密頓量$\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p})$決定；其中，$\mathbf{q}=(q_1,q_2,q_3,\dots,q_n)$、$\dot{\mathbf{q}}=(\dot{q_1},\dot{q_2},\dot{q_3},\dots,\dot{q}_n)$分別是廣義坐標、廣義速度，$\mathbf{p} =(p_1,p_2,p_3,\dots,p_n)= \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\mathbf{q}}}$是共軛動量，$t$是時間。

假設拉格朗日量$\mathcal{L}$或哈密頓量$\mathcal{H}$與某廣義坐標$q_i$無關，則當$q_i$有所改變時，$\mathcal{L}$或$\mathcal{H}$仍舊會保持不變，這意味著粒子的動力行為也會保持不變，對應於$q_i$的共軛動量$p_i$守恆。對於廣義坐標$q_i$的改變，動力行為所具有的不變性是一種對稱性。在經典力學裏，當研讀有關對稱性的課題時，算符是很有用的工具。

特別而言，假設對於某種群$G$的變換運算，物理系統的哈密頓量是個不變量；也就是說，假設$S\in G$。

$S\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p})=\mathcal{H}(\mathbf{q}',\ \mathbf{p}')=\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p})$。

在這案例裏，所有$G$的元素$S$都是物理算符，能夠將物理系統從某種狀態變換為另一種狀態；儘管$S$作用於這物理系統，哈密頓量守恆不變。

舉一個關於平移於空間的簡單例子。「平移算符」$T_a$能夠將粒子從坐標為$q_i$移動至坐標為$q_i+a$，以方程式表示：

$T_a f(q_i)=f(q_i-a)$。

其中，$f(q_i)$是描述一群粒子的密度函數。

給定一個對於平移變換具有不變性的物理系統，則儘管$T_a$的作用，這物理系統的哈密頓量$\mathcal{H}$是個不變量，對應於坐標$q_i$的動量$p_i$守恆。

### 經典力學算符表格

算符｜標記｜位置｜動量

平移算符｜$T(\mathbf{\Delta \mathbf{r}})$｜$\mathbf{r}\rightarrow \mathbf{r} +\Delta \mathbf{r}$｜$\mathbf{p}\rightarrow \mathbf{p}$

時間演化算符｜$U(\Delta t)$｜$\mathbf{r}(t)\rightarrow \mathbf{r}(t+\Delta t)$｜$\mathbf{p}(t)\rightarrow \mathbf{p}(t+\Delta t)$

旋轉算符｜$R(\mathbf{\hat{n}},\theta)$｜$\mathbf{r}\rightarrow R(\mathbf{\hat{n}},\theta)\mathbf{r}$｜$\mathbf{p}\rightarrow R(\mathbf{\hat{n}},\theta)\mathbf{p}$

伽利略變換算符｜$G(\mathbf{v})$｜$\mathbf{r}\rightarrow \mathbf{r} + \mathbf{v}t$｜$\mathbf{p}\rightarrow \mathbf{p} + m\mathbf{v}$

宇稱算符｜$P$｜$\mathbf{r}\rightarrow -\mathbf{r}$｜$\mathbf{p}\rightarrow -\mathbf{p}$

時間反演算符｜$\Theta$｜$\mathbf{r}\rightarrow \mathbf{r}(-t)$｜$\mathbf{p}\rightarrow -\mathbf{p}(-t)$

- $R(\hat{\mathbf{n}},\theta)$是旋轉矩陣，$\hat{\mathbf{n}}$是旋轉軸向量，$\theta$是旋轉角弧。

### 生成元概念

對於一個微小的平移變換，猜測平移算符的形式為

$T_{\epsilon}\approx I+\epsilon A$。

其中，$I$是「單位算符」──變換群的單位元，$\epsilon$是微小參數，$A$是專門用來設定平移變換群的生成元。

為了簡化論述，只考慮一維案例，推導平移於一維空間的生成元。將平移算符$T_\epsilon$作用於函數$f(x)$：

$T_\epsilon f(x)=f(x - \epsilon)$。

由於$\epsilon$很微小，可以泰勒近似$f(x- \epsilon)$為

$T_\epsilon f(x)=f(x-\epsilon)\approx f(x) - \epsilon f'(x)$。

重寫平移算符的方程式為

$T_\epsilon f(x) = (I-\epsilon \mathrm{D}) f(x)$。

其中，導數算符$\mathrm{D}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$是平移群的生成元。

總結，平移群的生成元是導數算符。

### 指數映射

在正常狀況下，通過指數映射，可以從生成元得到整個群。對於平移於空間這案例，重複地做$N$次微小平移變換$T_{a/N}$，來代替一個有限值為$a$的平移變換$T_a$：

$T_a f(x)=T_{a/N} \cdots T_{a/N}\ f(x)$。

現在，讓$N$變得無窮大，則因子$a/N$趨於無窮小：

$T_a f(x)=\lim_{N\to\infty} T_{a/N} \cdots T_{a/N} f(x)= \lim_{N\to\infty} (I -(a/N)\mathrm{D})^N f(x)$。

這表達式的極限為指數函數：

$T_a f(x)= e^{-a\mathrm{D}} f(x)$。

核對這結果的正確性，將指數函數泰勒展開為冪級數：

$T_a f(x) = \left(I - a\mathrm{D} + {a^2\mathrm{D}^2\over 2!} - {a^3\mathrm{D}^3\over 3!} + \cdots \right) f(x)$。

這方程式的右手邊可以重寫為

$f(x) - a f'(x) + {a^2\over 2!} f''(x) - {a^3\over 3!} f'''(x) + \cdots$。

這正是$f(x-a)$的泰勒級數，也是$T_a f(x)$的原本表達式結果。

物理算符的數學性質是很重要的研讀論題。更多相關內容，請參閱條目C*-代數與蓋爾范德-奈馬克定理（Gelfand-Naimark theorem）。

## 量子力學

在量子力學裏，算符的功能被發揮得淋漓盡致。量子力學的數學表述建立於算符的概念。量子系統的量子態可以用態向量設定，態向量是向量空間的單位範數向量。在向量空間內，量子算符作用於量子態，使它變換成另一個量子態。由於物體的態向量範數應該保持不變，量子算符必須是厄米算符。假若變換前的量子態與變換後的量子態，除了乘法數值以外，兩個量子態相同，則稱此量子態為本徵態，稱此乘法數值為本徵值。

物理實驗中可以觀測到的物理量稱為可觀察量。每一個可觀察量，都有其對應的算符。可觀察量的算符也許會有很多本徵值與本徵態。根據統計詮釋，每一次測量的結果只能是其中的一個本徵值，而且，測得這本徵值的機會呈機率性，量子系統的量子態也會改變為對應於本徵值的本徵態。

### 量子算符

假設，物理量$O$是某量子系統的可觀察量，其對應的量子算符$\hat{O}$可能有很多不同的本徵值$O_i$與對應的本徵態$|e_i\rang$，這些本徵態$|e_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$，形成了具有正交歸一性的基底：

$\lang e_i |e_j\rang=\delta_{ij}$。

其中，$\delta_{ij}$是克羅內克函數。

假設，某量子系統的量子態為

$|\psi\rang=\sum_i \ c_i|e_i\rang$。

其中，$c_i=\lang e_i |\psi \rang$是複係數，是在$|e_i\rang$裏找到$|\psi\rangle$的機率幅。

測量這動作將量子態$|\psi\rang$改變為本徵態$|e_i\rang$的機率為$p_i=|c_i|^2$，測量結果是本徵值$O_i$的機率也為$p_i$。

### 期望值

在量子力學裏，重複地做同樣實驗，通常會得到不同的測量結果，期望值是理論平均值，可以用來預測測量結果的統計平均值。

採用狄拉克標記，對於量子系統的量子態$|\psi\rang$，可觀察量$O$的期望值$\lang O\rang$定義為

$\lang O \rang\ \stackrel{def}{=}\ \lang \psi |\hat{O} | \psi \rang$。

其中，$\hat{O}$是對應於可觀察量$O$的算符。

將算符$\hat{O}$作用於量子態$|\psi\rang$，會形成新量子態$|\phi\rang$：

$|\phi\rang=\hat{O}|\psi\rang=\sum_i \ c_i\hat{O}| e_i\rang=\sum_i \ c_i O_i| e_i\rang$。

從左邊乘以量子態$\lang\psi|$，經過一番運算，可以得到

$\lang\psi|\phi\rang =\lang\psi|\hat{O}|\psi\rang=\sum_i \ c_i O_i\lang\psi| e_i\rang=\sum_i\ |c_i|^2O_i =\sum_i\ p_iO_i$。

所以，每一個本徵值與其機率的乘積，所有乘積的代數和，就是可觀察量$O$的期望值：

$\lang O\rang=\sum_i\ p_iO_i$。

將上述定義式加以推廣，就可以用來計算任意函數$F(O)$的期望值：

$\langle F( O ) \rangle = \lang \psi | F( \hat{O} ) | \psi \rang$。

例如，$F( \hat{O} )$可以是$\hat{O}^2$，即重複施加算符$\hat{O}$兩次：

$\lang O^2 \rang= \lang\psi \vert \hat{O}^2 \vert \psi \rang$。

### 對易算符

假設兩種可觀察量$A$、$B$的算符分別為$\hat{A}$、$\hat{B}$，它們的對易算符定義為

$[\hat{A},\hat{B}]\ \stackrel{def}{=}\ \hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$。

對易算符是由兩種算符組合而成的複合算符，當作用於量子態$|\psi\rang$時，會給出

$[\hat{A},\hat{B}]|\psi\rang=\hat{A}\hat{B}|\psi\rang-\hat{B}\hat{A}|\psi\rang$。

假設$[\hat{A},\hat{B}]=0$，則稱這兩種可觀察量為「相容可觀察量」，否則，$[\hat{A},\hat{B}]\ne 0$，稱這兩種可觀察量為「不相容可觀察量」。

假設兩種可觀察量為不相容可觀察量，則由於不確定原理，絕無法製備出這兩種可觀察量在任意精確度內的量子系統。注意到這是一個關於製備方面的問題，不是一個關於測量方面的問題。假若精心設計測量實驗，裝備足夠優良的測量儀器，則對於某些量子系統，測量這兩種可觀察量至任意精確度是很容易達成的任務。

### 厄米算符

每一種經過測量而得到的物理量都是實值，因此，可觀察量$O$的期望值是實值：

$\lang O\rang=\lang O\rang^*$。

對於任意量子態$|\psi\rang$，這關係都成立：

$\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang=\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang^*$。

根據伴隨算符的定義，假設$\hat{O}^{\dagger}$是$\hat{O}$的伴隨算符，則$\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang^*=\lang\psi |\hat{O}^{\dagger}|\psi\rang$。因此。

$\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}$。

這正是厄米算符的定義。所以，表現可觀察量的算符，都是厄米算符。

### 矩陣力學

應用基底的完備性，添加單位算符$\hat{I}=\sum_{i}|e_i\rang\lang e_i|$於算符$\hat{O}$的兩旁，可以得到

$\hat{O}=\sum_{i,j}|e_i\rang\lang e_i|\hat{O}|e_j\rang\lang e_j|=\sum_{ij}O_{i,j}|e_i\rang\lang e_j|$。

其中，$O_{ij}=\lang e_i|\hat{O}|e_j\rang$是求和式內每一個項目的係數。

所以，量子算符可以用矩陣形式來代表：

$\hat{O}\ \stackrel{rep}{=}\ \begin{pmatrix} O_{11} & O_{12} & \cdots & O_{1n} \\ O_{21} & O_{22} & \cdots & O_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O_{n1} & O_{n2} & \cdots & O_{nn} \\ \end{pmatrix}$。

算符$\hat{O}$與它的伴隨算符$\hat{O}^{\dagger}$彼此之間的關係為

$\lang e_i|\hat{O}|e_j\rang=\lang e_j|\hat{O}^{\dagger}|e_i\rang^*$。

所以，分別代表這兩個算符的兩個矩陣，彼此是對方的轉置共軛。對於厄米算符，代表的矩陣是個實值的對稱矩陣。

用矩陣代數來計算算符$\hat{O}$怎樣作用於量子態$|\psi\rang$，假設系統因此變換為量子態$|\phi\rang$：

$|\phi\rang=\hat{O}|\psi\rang$。

從左邊乘以本徵態$\lang e_i|$，應用基底的完備性，添加單位算符$\hat{I}$於算符的右邊，可以得到

$\lang e_i|\phi\rang= \lang e_i|\hat{O}|\psi\rang=\sum_j \lang e_i|\hat{O}|e_j\rang\lang e_j|\psi\rang=\sum_{ij}O_{ij}\lang e_j|\psi\rang$。

右矢$|\phi\rang$、$|\psi\rang$分別用豎矩陣來代表

$|\phi\rang\ \stackrel{rep}{=}\ \begin{pmatrix} \lang e_1|\phi\rang \\ \lang e_2|\phi\rang \\ \vdots \\ \lang e_n|\phi\rang \\ \end{pmatrix}$、 $|\psi\rang\ \stackrel{rep}{=}\ \begin{pmatrix} \lang e_1|\psi\rang \\ \lang e_2|\psi\rang \\ \vdots \\ \lang e_n|\psi\rang \\ \end{pmatrix}$。

兩個豎矩陣彼此之間的關係為

$\begin{pmatrix} \lang e_1|\phi\rang \\ \lang e_2|\phi\rang \\ \vdots \\ \lang e_n|\phi\rang \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} O_{11} & O_{12} & \cdots & O_{1n} \\ O_{21} & O_{22} & \cdots & O_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O_{n1} & O_{n2} & \cdots & O_{nn} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lang e_1|\psi\rang \\ \lang e_2|\psi\rang \\ \vdots \\ \lang e_n|\psi\rang \\ \end{pmatrix}$。

假設算符$\hat{O}$是厄米算符，則其所有本徵態都相互正交。以矩陣來代表算符，可以計算出一組本徵值與對應的本徵態，每一次做測量會得到的結果只能是這一組本徵值中之一。由於本徵態的正交性質，可以找到一組基底來表示每一種量子態。解析方塊矩陣的特徵多項式，就可以找到本徵值$\lambda$：

$\det\left ( \hat{O} - \lambda\hat{I} \right ) = 0$。

### 量子算符表格

在這表格裏，算符的表現空間是位置空間。假若表現空間是其它種空間，則表示出的方程式會不一樣。在英文字母上方的尖角號表示整個符號代表的是個量子算符，不是單位向量。

算符名稱｜直角坐標系分量表示｜向量表示

位置算符｜$\begin{align} \hat{x} = x \\ \hat{y} = y \\ \hat{z} = z \end{align}$｜$\mathbf{\hat{r}} = \mathbf{r}$

動量算符｜一般狀況 $\begin{align} \hat{p}_x & = -i \hbar \frac{\partial }{\partial x} \\ \hat{p}_y & = -i \hbar \frac{\partial }{\partial y} \\ \hat{p}_z & = -i \hbar \frac{\partial }{\partial z} \end{align}$｜一般狀況 $\mathbf{\hat{p}} = -i \hbar \nabla$

電磁場 $\begin{align} \hat{p}_x = -i \hbar \frac{\partial }{\partial x} - qA_x \\ \hat{p}_y = -i \hbar \frac{\partial }{\partial y} - qA_y \\ \hat{p}_z = -i \hbar \frac{\partial }{\partial z} - qA_z \end{align}$｜電磁場（$\mathbf{A}$是磁向量勢） $\mathbf{\hat{p}} = -i \hbar \nabla - q\mathbf{A}$

動能算符｜平移運動 $\begin{align} \hat{T}_x & = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2} \\ \hat{T}_y & = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial y^2} \\ \hat{T}_z & = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial z^2} \\ \end{align}$｜平移運動 $\begin{align} \hat{T} & = \hat{T}_x+ \hat{T}_y+ \hat{T}_z \\ & = \frac{-\hbar^2 }{2m}\nabla^2 \\ \end{align}$

電磁場 $\begin{align} \hat{T}_x & = \frac{1}{2m}\left(-i \hbar \frac{\partial }{\partial x } - q A_x \right)^2 \\ \hat{T}_y & = \frac{1}{2m}\left(-i \hbar \frac{\partial }{\partial y} - q A_y \right)^2 \\ \hat{T}_z & = \frac{1}{2m}\left(-i \hbar \frac{\partial }{\partial z} - q A_z \right)^2 \end{align}$｜電磁場（$\mathbf{A}$是磁向量勢） $\begin{align} \hat{T} & = \frac{\mathbf{\hat{p}}\cdot\mathbf{\hat{p}}}{2m} \\ & = \frac{1}{2m}(-i \hbar \nabla - q\mathbf{A})\cdot(-i \hbar \nabla - q\mathbf{A}) \\ & = \frac{1}{2m}(-i \hbar \nabla - q\mathbf{A})^2 \end{align}$

旋轉運動（$I$是轉動慣量） $\begin{align} \hat{T}_{xx} & = \frac{\hat{J}_x^2}{2I_{xx}} \\ \hat{T}_{yy} & = \frac{\hat{J}_y^2}{2I_{yy}} \\ \hat{T}_{zz} & = \frac{\hat{J}_z^2}{2I_{zz}} \\ \end{align}$｜旋轉運動 $\hat{T} = \frac{\mathbf{\hat{J}}\cdot\mathbf{\hat{J}}}{2I}$

勢能算符｜N/A｜$\hat{V} = V\left ( \mathbf{r}, t \right )$

總能量算符｜N/A｜含時位勢： $\hat{E} = i \hbar \frac{\partial }{\partial t}$ 不含時位勢： $\hat{E} = E$

哈密頓算符｜N/A｜$\begin{align} \hat{H} & = \hat{T} + \hat{V} \\ & = \frac{\mathbf{\hat{p}}\cdot\mathbf{\hat{p}}}{2m} + V \\ & = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V \\ \end{align}$

角動量算符｜$\begin{align} \hat{L}_x & = -i\hbar \left(y {\partial\over \partial z} - z {\partial\over \partial y}\right)\\ \hat{L}_y & = -i\hbar \left(z {\partial\over \partial x} - x {\partial\over \partial z}\right)\\ \hat{L}_z & = -i\hbar \left(x {\partial\over \partial y} - y {\partial\over \partial x}\right) \end{align}$｜$\mathbf{\hat{L}} = -i\hbar \mathbf{r} \times \nabla$

自旋算符｜$\begin{align}\hat{S}_x = {\hbar \over 2} \sigma_x\\ \hat{S}_y = {\hbar \over 2} \sigma_y\\ \hat{S}_z = {\hbar \over 2} \sigma_z \end{align}$ 其中， $\sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}$ $\sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}$ $\sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}$ 是自旋1/2粒子的包立矩陣。｜$\mathbf{\hat{S}} = {\hbar \over 2} \boldsymbol{\sigma}$ 其中，向量$\boldsymbol{\sigma}$的分量是包立矩陣。

總角動量算符｜$\begin{align} \hat{J}_x & = \hat{L}_x + \hat{S}_x\\ \hat{J}_y & = \hat{L}_y + \hat{S}_y\\ \hat{J}_z & = \hat{L}_z + \hat{S}_z \end{align}$｜$\begin{align} \mathbf{\hat{J}} & = \mathbf{\hat{L}}+\mathbf{\hat{S}} \\ & = -i\hbar \mathbf{r}\times\nabla + \frac{\hbar}{2}\boldsymbol{\sigma} \end{align}$

躍遷矩（電）（transition moment）｜$\begin{align} \hat{d}_x & = qx\\ \hat{d}_y & = qy\\ \hat{d}_z & = qz \end{align}$｜$\mathbf{\hat{d}} = q \mathbf{r}$

### 範例

#### 位置算符

只思考一維問題，將位置算符$\hat{x}$施加於位置本徵態$|x\rang$，可以得到本徵值$x$，即粒子的位置：

$\hat{x}|x\rang=x|x\rang$。

由於位置基底具有完整性，$\hat{I}=\int_{ - \infty}^{\infty}\ | x\rang\lang x|\mathrm{d}x$，任意量子態$|\psi\rang$可以按著位置本徵態形成的基底展開：

$|\psi\rang=\int_{ - \infty}^{\infty}\ |x\rang\lang x|\psi\rang \mathrm{d}x$。

將位置算符$\hat{x}$施加於量子態$|\psi\rang$，由於算符$\hat{x}$只作用於右矢$|x\rang$，與其它數學個體無關，可以移入積分式內：

$\hat{x}|\psi\rang=\hat{x}\int_{ - \infty}^{\infty}\ |x\rang\lang x|\psi\rang\mathrm{d}x =\int_{ - \infty}^{\infty}\ \hat{x}|x\rang\lang x|\psi\rang \mathrm{d}x =\int_{ - \infty}^{\infty}\ x|x\rang\lang x|\psi\rang \mathrm{d}x$。

左矢$\lang\psi|$與這方程式的內積為

$\lang\psi|\hat{x}|\psi\rang =\int_{ - \infty}^{\infty}\ x\lang\psi|x\rang\lang x|\psi\rang \mathrm{d}x$。

設定量子態$|\alpha\rang=\hat{x}|\psi\rang$。由於位置基底具有完整性，$\hat{I}=\int_{ - \infty}^{\infty}\ | x\rang\lang x|\mathrm{d}x$，量子態$\lang\psi|$與$|\alpha\rang$的內積，可以按著位置本徵態形成的基底展開為

$\lang\psi|\alpha\rang=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \lang \psi| x\rang\lang x|\alpha\rang\mathrm{d}x=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \lang \psi| x\rang\lang x|\hat{x}|\psi\rang\mathrm{d}x$。

將這兩個積分式加以比較，立刻可以辨識出全等式

$\lang x|\hat{x}|\psi\rang=x\lang x|\psi\rang$。

設定量子態$|\Psi\rang=\hat{x}|\psi \rang$。量子態$|\Psi\rang$、$|\psi\rang$的位置空間表現，即波函數，分別定義為

$\Psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ \lang x|\Psi\rang$。

$\psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ \lang x|\psi\rang$。

兩個波函數$\Psi(x)$、$\psi(x)$之間的關係為

$\Psi(x)=x\psi(x)$。

總結，位置算符$\hat{x}$作用於量子態$|\psi\rang$的結果$|\Psi\rang$，表現於位置空間，等價於波函數$\psi(x)$與$x$的乘積$\Psi(x)$。

#### 動量算符

表現於位置空間，一維動量算符為

$\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}$。

將動量算符$\hat{p}$施加於量子態$|\psi\rang$，可以得到類似前一節得到的結果：

$\lang x|\hat{p}|\psi\rang= -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\lang x|\psi\rang$。

應用位置基底所具有的完整性，對於任意量子態$|\phi\rang$，可以得到更廣義的結果：

$\begin{align}\lang \phi|\hat{p}|\psi\rang & =\int_{ - \infty}^{\infty}\ \lang \phi| x\rang\lang x|\hat{p}|\psi\rang\mathrm{d}x \\ <pre> & =\int_{ - \infty}^{\infty}\ \lang \phi| x\rang\left( -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\right)\lang x|\psi\rang\mathrm{d}x \\ & =\int_{ - \infty}^{\infty}\ \phi^*(x)\left( -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\right)\psi(x)\mathrm{d}x \\ </pre> \end{align}$。

其中，$\phi(x)=\lang x|\phi\rang$、$\psi(x)=\lang x|\psi\rang$分別是量子態$|\phi\rang$、$|\psi\rang$表現於位置空間的波函數。

假設$|\psi\rang$是$\hat{p}$的本徵態，本徵值為$p$，則可得到

$\lang x|\hat{p}|\psi\rang=p\lang x|\psi\rang = -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\lang x|\psi\rang$。

將$|\psi\rang$改寫為本徵值為$p$的本徵態$|p\rang$，方程式改寫為

$-i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\lang x|p\rang =p\lang x|p\rang$。

這微分方程式的解析解為

$\lang x|p\rang=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{ipx/\hbar}$。

所以，動量本徵態的波函數是一個平面波。不需要應用薛丁格方程式，就可以推導求得這出結果。

## 參閱

- 有界算符
- 表示論
- 算子