拉普拉斯算子

在數學以及物理中，拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（Laplace operator, Laplacian）是由歐幾里得空間中的一個函數的梯度的散度給出的微分算子，通常寫成 $\Delta$、$\nabla^2$ 或 $\nabla \cdot \nabla$。

這名字是為了紀念法國數學家皮耶-西蒙·拉普拉斯（1749–1827）而命名的。他在研究天體力學在數學中首次應用算子，當它被施加到一個給定的重力位（Gravitational potential）的時候，其中所述算子給出的質量密度的常數倍。經拉普拉斯算子運算為零 $\Delta f = 0$ 的函數稱為調和函數，現在稱為拉普拉斯方程，和代表了在自由空間中的可能的重力場。

拉普拉斯算子有許多用途，此外也是橢圓算子中的一個重要例子。

拉普拉斯算子出現描述許多物理現象的微分方程裡。例如，常用於波方程的數學模型、熱傳導方程、流體力學以及亥姆霍茲方程。在靜電學中，拉普拉斯方程和泊松方程的應用隨處可見。在量子力學中，其代表薛丁格方程中的動能項。

拉普拉斯算子是最簡單的橢圓算子，並且拉普拉斯算子是霍奇理論的核心，並且是德拉姆上同調的結果。在圖像處理和電腦視覺中，拉普拉斯算子已經被用於諸如斑點檢測和邊緣檢測等的各種任務。

## 定義

拉普拉斯算子是 n 維歐幾里得空間中的一個二階微分算子，其定義為對函數 $f$ 先作梯度運算（$\nabla f$）後，再作散度運算（$\nabla \cdot \nabla f$）的結果。因此如果 $f$ 是二階可微的實函數，則 $f$ 的拉普拉斯算子定義為：

$\Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f$ ── (1)

$f$ 的拉普拉斯算子也是笛卡兒坐標系 $x_i$ 中的所有非混合二階偏導數：

$\Delta f = \sum_{i=1}^n \frac {\partial^2 f}{\partial x^2_i}$ ── (2)

作為一個二階微分算子，對於k ≥ 2，拉普拉斯算子把Ck函數映射到Ck-2函數。表達式（(1)或(2)）定義了一個算子Δ：Ck(Rn)→ Ck-2(Rn)，或更一般地，定義了一個算子Δ：Ck(Ω)→ Ck-2(Ω)，對於任何開集Ω。

函數的拉普拉斯算子也是該函數的海森矩陣的跡：

$$\Delta f = \mathrm{tr}(H(f)).\,\!$$

## 坐標表示式

### 二維空間

$$\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$$

其中x與y代表x-y平面上的笛卡兒坐標

另外極坐標的表示法為：

$$\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}$$

### 三維空間

笛卡兒坐標系下的表示法

$$\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.$$

圓柱坐標系下的表示法

$$\Delta f = {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho} <pre> \left( \rho {\partial f \over \partial \rho} \right) </pre> + {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2 }.$$

球坐標系下的表示法

$$\Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} <pre> \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) </pre> + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} <pre> \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) </pre> + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}.$$

### N維空間

在參數方程為$x=r\theta \in {\mathbb R}^N$（其中$r \in [0,+\infty)$以及$\theta \in S^{N-1}$）的$N$維球坐標系中，拉普拉斯算子為：

$$\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{N-1}{r} \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \Delta_{S^{N-1}} f$$

其中$\Delta_{S^{N-1}}$是$N-1$維球面上的拉普拉斯-貝爾特拉米算子。我們也可以把${\partial^2 f \over \partial r^2} + \frac{N-1}{r} \frac{\partial f}{\partial r}$的項寫成$\frac{1}{r^{N-1}} \frac{\partial}{\partial r} \Bigl(r^{N-1} \frac{\partial f}{\partial r} \Bigr)$。

## 恆等式

- 如果f和g是兩個函數，則它們的乘積的拉普拉斯算子為：

$\Delta(fg)=(\Delta f)g+2((\nabla f)\cdot(\nabla g))+f(\Delta g)$。

f是徑向函數$f(r)$且g是球諧函數$Y_{lm}(\theta,\phi)$，是一個特殊情況。這個情況在許多物理模型中有所出現。$f(r)$的梯度是一個徑向向量，而角函數的梯度與徑向向量相切，因此：

$2(\nabla f(r))\cdot(\nabla Y_{lm}(\theta,\phi))=0$。

球諧函數還是球坐標系中的拉普拉斯算子的角部分的特徵函數：

$\Delta Y_{\ell m}(\theta,\phi) = -\frac{\ell(\ell+1)}{r^2} Y_{\ell m}(\theta,\phi)$。

因此：

$\Delta( f(r)Y_{\ell m}(\theta,\phi)) = \left(\frac{d^2f(r)}{dr^2} + \frac{2}{r} \frac{df(r)}{dr} - \frac{\ell(\ell+1)}{r^2} f(r)\right)Y_{\ell m}(\theta,\phi)$。

## 譜理論

拉普拉斯算子的譜由特徵值$\lambda$和對應的特徵函數$f$組成，滿足：

$$-\Delta f = \lambda f$$

這就是所謂的亥姆霍茲方程。

如果$\Omega$在$\mathbb{R}^n$中有界，拉普拉斯算子的特徵函數是希爾伯特空間$L^2(\Omega)$下的一組標準正交基。這主要是因為緊自伴隨算子的譜定理，適用於拉普拉斯的逆算子（根據龐加萊不等式和Rellich-Kondrachov定理，它是緊算子）。這也可以表明特徵函數是無窮階可微的函數。更一般地說，這些結果對任何有界緊黎曼流形上的拉普拉斯-貝特拉米算子都是成立的，或者說對任何有邊界上具有光滑係數的橢圓算子的Dirichlet特徵值問題也成立。當Ω為N維球面時，拉普拉斯的特徵函數是球諧函數。

## 推廣

### 複雜空間上的實值函數

拉普拉斯算子可以用一定的方法推廣到非歐幾里得空間，這時它就有可能是橢圓算子、雙曲算子、或超雙曲算子。

在閔可夫斯基空間中，拉普拉斯算子變為達朗貝爾算子（d'Alembertian）：

$$\square = {\partial^2 \over \partial x^2 } + {\partial^2 \over \partial y^2 } + {\partial^2 \over \partial z^2 } - \frac {1}{c^2}{\partial^2 \over \partial t^2 }.$$

達朗貝爾算子通常用來表達克萊因-戈爾登方程以及四維波動方程。第四個項前面的符號是負號，而在歐幾里德空間中則是正號。因子c是需要的，這是因為時間和空間通常用不同的單位來衡量；如果x方向用寸來衡量，y方向用厘米來衡量，也需要一個類似的因子。

### 值域爲複雜空間

#### 向量值函數的拉普拉斯算子

拉普拉斯算子作用在向量值函數上，其結果被定義爲一個向量，這個向量的各個分量分別爲向量值函數各個分量的拉普拉斯，卽

$\nabla^2 \mathbf{A} =(\nabla^2 A_x, \nabla^2 A_y, \nabla^2 A_z)$．

更一般地，對沒有坐標的向量，我們用下面的方式定義（受向量恆等式的啓發）：

$\nabla^2 \mathbf{A} = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla \times(\nabla \times \mathbf{A})$，也可用類似於拉普拉斯－德拉姆算子的方式定義，然後證明「旋度的旋度」向量恆等式．

#### 拉普拉斯－貝爾特拉米算子

拉普拉斯算子也可以推廣為定義在黎曼流形上的橢圓型算子，稱為拉普拉斯-貝爾特拉米算子。達朗貝爾算子則推廣為偽黎曼流形上的雙曲型算子。拉普拉斯–貝爾特拉米算子還可以推廣為運行於張量場上的算子（也稱為拉普拉斯–貝爾特拉米算子）。

另外一種把拉普拉斯算子推廣到偽黎曼流形的方法，是通過拉普拉斯–德拉姆算子，它作用在微分形式上。這便可以通過外森比克恆等式來與拉普拉斯–貝爾特拉米算子聯繫起來。

## 外部連結

- MathWorld: Laplacian
- Derivation of the Laplacian in Spherical coordinates by Swapnil Sunil Jain