轉動慣量列表

對於一個有多個質點的系統，$I = \sum_{i=1}^N {m_i r_i^2}$。若該系統由剛體組成，可以用無限個質點的轉動慣量和，即用積分計算其轉動慣量。以下列表給出了常見物理模型的轉動慣量。

值得注意的是，不應將其與截面慣量（又稱截面二次軸矩（second axial moment of area）），截面矩（area moment of inertia）混淆，後者用於彎折方面的計算。以下之轉動慣量假設了整個物體具有均勻的常數密度。

## 常見物理模型的轉動慣量

描述｜圖形｜轉動慣量｜註解

質點，離軸距離為r，質量為m｜$I = mr^2 \,\!$

兩端開通的薄圓柱殼，半徑為r，質量為m｜$I = m r^2 \,\!$｜此表示法假設了殼的厚度可以忽略不計。此為下一個物體，當其r1 = r2時的特例。

兩端開通的厚圓柱，內半徑為r1，外半徑為r2，高為h，質量為m｜$I_z = \frac{1}{2} m\left({r_1}^2 + {r_2}^2\right)$ $I_x = I_y = \frac{1}{12} m\left[3\left({r_1}^2 + {r_2}^2\right)+h^2\right]$或者定義標準化厚度tn = t/r並定義r = r2，可得$I_z = mr^2\left(1-t_n+\frac{1}{2}t_n^2\right)$

實心圓柱，半徑為r，高為h，質量為m｜$I_z = \frac{m r^2}{2}\,\!$ $I_x = I_y = \frac{1}{12} m\left(3r^2+h^2\right)\,\!$｜此為前面物體，當其r1 = 0時的特例。

薄圓盤，半徑為r，質量為m｜$I_z = \frac{m r^2}{2}\,\!$ $I_x = I_y = \frac{m r^2}{4}\,\!$｜此為前面物體，當其h = 0時的特例。

圓環，半徑為r，質量為m｜$I_z = m r^2\,\!$ $I_x = I_y = \frac{m r^2}{2}\,\!$｜此為後面環面，當其b = 0時的特例。

球殼，內半徑為r1，外半徑為r2，質量為m｜$I = \frac{2}{5} m\left(\frac{{r_2}^5-{r_1}^5}{{r_2}^3-{r_1}^3}\right)\,\!$

實心球，半徑為r，質量為m｜$I = \frac{2 m r^2}{5}\,\!$｜此為前面物體，當其r1 = 0時的特例；也是後面橢球，當其a = b = c時的特例。

空心球，半徑為r，質量為m｜$I = \frac{2 m r^2}{3}\,\!$｜此為前面球殼，當其r1 → r2時的極限。

橢球，半軸為a、b、c，質量為m｜$I_a = \frac{1}{5} m \left(b^2 + c^2\right) \,\!$ $I_b = \frac{1}{5} m \left(a^2 + c^2\right) \,\!$ $I_c = \frac{1}{5} m \left(a^2 + b^2\right) \,\!$

圓錐，半徑為r，高為h，質量為m｜$I_z = \frac{3}{10}mr^2 \,\!$ $I_x = I_y = \frac{3}{20}m\left({r^2}+{4}h^2\right) \,\!$

實心長方體，高為h，寬為w，長為d，質量為m｜$I_h = \frac{1}{12} m\left(w^2+d^2\right)$ $I_w = \frac{1}{12} m\left(h^2+d^2\right) \,\!$ $I_d = \frac{1}{12} m\left(h^2+w^2\right) \,\!$｜邊長為$s$的立方體對任意過質心的軸的轉動慣量$I_\mathrm{CM} = \frac{ms^2}{6} \,\!$。

正四面體，邊長為s，質量為m｜$I_\mathrm{solid} = \frac{1}{20} ms^2 \,\!$ $I_\mathrm{hollow} = \frac{1}{12} ms^2 \,\!$｜「solid」意為實心，「hollow」意為空心，下同。

正八面體，邊長為s，質量為m｜$I_{x, \mathrm{hollow}} = I_{y, \mathrm{hollow}} = I_{z, \mathrm{hollow}} = \frac{1}{6} ms^2 \,\!$ $I_{x, \mathrm{solid}} = I_{y, \mathrm{solid}} = I_{z, \mathrm{solid}} = \frac{1}{10} ms^2 \,\!$

細棒，長為L，質量為m｜$I_{\mathrm{center}} = \frac{m L^2}{12} \,\!$｜此表示法假設了棒的寬度和厚度可以忽略不計。此為前面實心長方體，當其w = L，h = d = 0時的特例。

細棒，長為L，質量為m｜$I_{\mathrm{end}} = \frac{m L^2}{3} \,\!$｜此表示法假設了棒的寬度和厚度可以忽略不計。

環面，圓管的半徑為a，截面的半徑為b，質量為m｜關於直徑：$\frac{1}{8}\left(4a^2 + 5b^2\right)m \,\!$關於縱軸：$\left(a^2 + \frac{3}{4}b^2\right)m \,\!$

薄多邊形，頂點為$\vec{P}_{1}$，$\vec{P}_{2}$，$\vec{P}_{3}$，……，$\vec{P}_{N}$，質量為$m$｜$I=\frac{m}{6}\frac{\sum_{n=1}^{N}||\vec{P}_{n+1}\times\vec{P}_{n}||(\vec{P}^{2}_{n+1}+\vec{P}_{n+1}\cdot\vec{P}_{n}+\vec{P}_{n}^{2})}{\sum_{n=1}^{N}||\vec{P}_{n+1}\times\vec{P}_{n}||}$｜外接圓半徑為R，質量為m的正n邊形，對過其中心且垂直於所在平面的軸的轉動慣量$I=\frac{1}{2}mR^2\left(1 - \frac{2}{3}\sin^2 \frac{\pi}{n}\right) \,\!$

## 常見物理模型的三維慣量張量

以下列表給出了每個物體主軸定理上的慣量張量。

為了保留上面的I的標量矩，I的張量矩根據以下式子被投射在由單位向量n所定義的方向上：

$$\mathbf{n}\cdot\mathbf{I}\cdot\mathbf{n}\equiv n_i I_{ij} n_j\,,$$

其中點積表示用到了張量收縮和愛因斯坦求和約定。n可以是Ix, Iy, Iz的笛卡爾基ex, ey, ez

描述｜圖形｜慣量張量矩

實心球，半徑為r，質量為m｜$I = \begin{bmatrix} \frac{2}{5} m r^2 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{5} m r^2 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{5} m r^2 \end{bmatrix}$

空心球，半徑為r，質量為m｜$I = \begin{bmatrix} \frac{2}{3} m r^2 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{3} m r^2 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{3} m r^2 \end{bmatrix}$

實心橢球，半軸為a、b、c，質量為m｜$I = \begin{bmatrix} \frac{1}{5} m (b^2+c^2) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{5} m (a^2+c^2) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} m (a^2+b^2) \end{bmatrix}$

圓錐，半徑為r，高為h，質量為m｜$I = \begin{bmatrix} \frac{3}{5} m h^2 + \frac{3}{20} m r^2 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{5} m h^2 + \frac{3}{20} m r^2 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{10} m r^2 \end{bmatrix}$

實心長方體，高為h，寬為w，長為d，質量為m｜$I = \begin{bmatrix} \frac{1}{12} m (h^2 + d^2) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{12} m (w^2 + d^2) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{12} m (w^2 + h^2) \end{bmatrix}$

端點繞y軸旋轉的細棒，長為l，質量為m｜$I = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} m l^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} m l^2 \end{bmatrix}$

中心繞y軸旋轉的細棒，長為l，質量為m｜$I = \begin{bmatrix} \frac{1}{12} m l^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{12} m l^2 \end{bmatrix}$

實心圓柱，半徑為r，高為h，質量為m｜$I = \begin{bmatrix} \frac{1}{12} m (3r^2+h^2) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{12} m (3r^2+h^2) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} m r^2\end{bmatrix}$

兩端開通的厚圓柱，內半徑為r1，外半徑為r2，高為h，質量為m｜$I = \begin{bmatrix} \frac{1}{12} m (3(r_1^2 + r_2^2)+h^2) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{12} m (3(r_1^2 + r_2^2)+h^2) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} m (r_1^2 + r_2^2)\end{bmatrix}$