古德曼函數

古德曼函數（Gudermannian function）是一個函數。它無須涉及複數便將三角函數和雙曲函數連繫起來。

## 性質

古德曼函數的定義如下

$$\begin{align}{\rm{gd}}(x)&=\int_0^x\frac{dt}{\cosh t} \qquad -\infty<x<\infty\\ &=\arcsin\left(\tanh x \right)=\mbox{arctan}\left(\sinh x \right)=\mathrm{arccsc}\left(\coth x \right) \\ &=\mbox{sgn}(x)\cdot\mathrm{arccos}\left(\mathrm{sech}\,x \right)=\mbox{sgn}(x)\cdot\mathrm{arcsec}\left(\cosh x \right) \\ &=2\arctan(e^x)-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}-2\arccot(e^x)\\ &=2\arctan\left(\tanh\frac{x}{2}\right)\\ &=\mathrm{arccot}\left(\mathrm{csch}\,x \right)\\ \end{align}\,\!$$

（$\begin{align}{\rm{gd}}(x)=\mathrm{arccot}\left(\mathrm{csch}\,x \right)\end{align}\,\!$僅在arccot的值域設為$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$時成立，參見反餘切。）

有以下恆等式：

$$\begin{align}\sin\left(\operatorname{gd}x\right)&=\tanh x ;&\quad\cos\left(\operatorname{gd} x\right)&=\mbox{sech} x\\ \tan\left(\operatorname{gd} x\right)&=\sinh x ;&\quad\sec\left(\operatorname{gd} x\right)&=\cosh x\\ \cot\left(\operatorname{gd} x\right)&=\operatorname{csch} x ;&\quad\csc\left(\operatorname{gd} x\right)&=\coth x\\ \tan\left(\frac{\operatorname{gd} x}{2}\right)&=\tanh\frac{x}{2} ;&\quad\cot\left(\frac{\operatorname{gd} x}{2}\right)&=\coth\frac{x}{2}\\ \end{align}\,\!$$

## 反函數

古德曼函數之反函數的定義為：

$$\begin{align} \operatorname{arcgd}x &=\operatorname{gd}^{-1}x=\int_0^x\frac{dt}{\cos t}\qquad -\pi/2<x<\pi/2\\ &=\mathrm{arctanh}\,(\sin x) = \mathrm{arcsinh}\,(\tan x)\\ &=\mathrm{arccoth}\,(\csc x) = \mathrm{arccsch}\,(\cot x)\\ &=\mbox{sgn}(x)\cdot\mathrm{arccosh}\,(\sec x) = \mbox{sgn}(x)\cdot\mathrm{arcsech}\,(\cos x)\\ &=2\mathrm{arctanh}\left(\tan\frac{x}{2}\right)\\ &={}\ln\left|\sec x(1+\sin x)\right|\\ &={}\ln\left|\tan x+\sec x\right|=\ln\left|\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)\right|\\ &={}\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right| \end{align}\,\!$$

有以下恆等式：

$$\begin{align}\sinh\left(\operatorname{gd}^{-1}x\right)&=\tan x;&\quad\cosh\left(\operatorname{gd}^{-1} x\right)&=\sec x\\ \tanh\left(\operatorname{gd}^{-1} x\right)&=\sin x ;&\quad\;\mbox{sech}\left(\operatorname{gd}^{-1} x\right)&=\cos x\\ \coth\left(\operatorname{gd}^{-1} x\right)&=\csc x ;&\quad\,\mbox{csch}\left(\operatorname{gd}^{-1} x\right)&=\cot x\\ \tanh\left(\frac{\operatorname{gd}^{-1} x}{2}\right)&=\tan\frac{x}{2};&\quad\,\coth\left(\frac{\operatorname{gd}^{-1} x}{2}\right)&=\cot\frac{x}{2}\\ \end{align}\,\!$$

## 餘函數

古德曼函數之餘函數的定義為：

$$\begin{align} \operatorname{cogd} x&= \begin{cases} <pre> \int_x^\infty\frac{dt}{\sinh t}\qquad 0<x<\infty\!\, \\ \int_{-\infty}^x\frac{dt}{\sinh t}\qquad -\infty<x<0\!\, </pre> \end{cases}\\ &=-\mbox{sgn}(x)\cdot\ln\left| \tanh {x \over2}\right|\\ &=\mbox{sgn}(x)\cdot\ln\left|\coth x+\operatorname{csch} x\right|\\ &=2\operatorname{artanh} (e^{-\left|x\right|})\cdot\mbox{sgn}(x)=2\operatorname{arcoth} (e^\left|x\right|)\cdot\mbox{sgn}(x)\\ &=\operatorname{cogd}^{-1} x\\ \end{align}\,\!$$

有以下恆等式：

$$\begin{align}\sinh \left(\operatorname{cogd} x\right)&=\operatorname{csch} x ;&\quad\;\cosh\left(\operatorname{cogd} x\right) &=\coth{\left|x\right|}\\ \tanh{\left|\operatorname{cogd} x\right|}&=\operatorname{sech} x ;&\quad\;\mbox{sech}\left(\operatorname{cogd} x\right) &=\tanh{\left|x\right|}\\ \coth{\left|\operatorname{cogd} x\right|}&=\cosh x ;&\quad\,\mbox{csch}\left(\operatorname{cogd} x\right)&=\sinh x\\ \end{align}\,\!$$

## 微分

它們的導數分別為：

$$\begin{align}\frac{d}{dx}\operatorname{gd} x=\operatorname{sech} x;\quad\frac{d}{dx}\operatorname{arcgd} x=\sec x;\quad\frac{d}{dx}\operatorname{cogd} x=-\operatorname{csch}{\left| x\right|} \\ \end{align}\,\!$$

## 應用

- 在雙曲幾何中，表達式

$$\frac{\pi}{2} - \mbox{gd} (x)$$

定義了平行角函數。

- 在使用麥卡托投影法的地圖，若以$y\,$表示一個地點在地圖跟赤道的距離，則其緯度$\phi\,$和$y\,$的關係為：

$$\phi = \mbox{gd} (y)\,$$

- 古德曼函數在倒單擺的非週期解中出現。

## 參考

- CRC Handbook of Mathematical Sciences 5th ed. pp 323-5.
- Gudermannian Function -- from Wolfram MathWorld

## 發現者的生平

克里斯托夫·古德曼（Christof Gudermann，1798年–1852年）是德國數學家，是高斯的學生，卡爾·魏爾施特拉斯的老師。