鏈式法則

連鎖律，亦可稱鏈式法則（Chain rule），用於求合成函數的導數。

## 正式表述

兩函數 $f$ 和 $g$ 的定義域 ($D_f$ 和 $D_g$)、值域 ($I_f$ 和 $I_g$) 都包含於實數系 $\mathbb{R}$，若可以定義合成函數 $g \circ f$ (也就是 $I_f \cap D_g \neq \varnothing$ )，且 $f$ 於 $a\in D_f$ 可微分，且 $g$ 於 $f(a)\in I_f \cap D_g$ 可微分，則

$${(g \circ f)}^{\prime}(a) = g^{\prime}[f(a)] \cdot f^{\prime}(a)$$

也可以寫成

$$\frac{dg[f(x)]}{dx}\bigg|_{x=a} = \frac{dg(y)}{dy}\bigg|_{y=f(a)} \cdot \frac{df}{dx}\bigg|_{x=a}$$

## 例子

求函數 $f(x) = (x^2 + 1)^3$的導數。

設 $g(x) = x^2 + 1$

$$h(g) = g^3 \to h(g(x)) = g(x)^3.$$

$$f(x) = h(g(x))$$

$$f'(x)=h'(g(x))g'(x)=3(g(x))^2(2x)=3(x^2+1)^2(2x)=6x(x^2+1)^2.$$

求函數 $\arctan\,\sin\, x$的導數。

$$\frac{d}{dx}\arctan\,x\,=\,\frac{1}{1+x^2}$$

$$\frac{d}{dx}\arctan\,f(x)\,=\,\frac{f'(x)}{1+f^2(x)}$$

$$\frac{d}{dx}\arctan\,\sin\,x\,=\,\frac{\cos\,x}{1+\sin^2\,x}$$

## 證明

嚴謹的證明需要以下連續函數的極限定理：

$f$ 和 $g$ 都是實函數，若可以定義合成函數 $g \circ f$ 且

- $$\lim_{x\to a}f(x)=L$$
- $$\lim_{y\to L}g(y)=g(L)$$

則有

$$\lim_{x\to a}g[f(x)]=g(L)$$

只要展開極限的ε-δ定義，並考慮 $f(x)$ 等於或不等於 $L$ 的兩種狀況，這個極限定理就可以得証。

為了證明連鎖律，定義一個函數 $G$，其定義域 $D_G = D_g$，而對應規則為

$$G(y)=\begin{cases} \displaystyle\frac{g(y)-g[f(a)]}{y-f(a)} & y\neq f(a) \\\\ <pre> g^{\prime}[f(a)] & y=f(a) </pre> \end{cases}$$

和一個函數 $F$，其定義域 $D_F = D_f$，而對應規則為

$$F(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a} & x\neq a \\\\ <pre> f^{\prime}(a) & x=a </pre> \end{cases}$$

這樣，考慮到 $g \circ f$ 於 $a$ 的導數是以下函數（定義域為$D_{g\,\circ f}$）的極限

$$\lim_{x\to a}\frac{g(y)-g[f(a)]}{x-a}=\lim_{x\to a}G[f(x)]\cdot F(x)$$

因為可微則必連續（根據乘法的極限性質），所以 $f$ 於 $a$ 連續、 $G$於 $f(a)$ 連續，故根據上面的極限定理有

$$\lim_{x\to a}G[f(x)]=g^{\prime}[f(a)]$$

而且針對一開始可微的前提有

$$\lim_{x\to a}F(x)=f^{\prime}(a)$$

再根據乘法的極限性質有

$$\lim_{x\to a}\frac{g(y)-g[f(a)]}{x-a}=g^{\prime}[f(a)]\cdot f^{\prime}(a)$$

即為所求。$\Box$

## 多元複合函數求導法則

考慮函數$z = f(x, y)$，其中$x = g(t)$，$y = h(t)$，$g(t)$和$h(t)$是可微函數，那麼：

$${\ dz \over dt}={\partial z \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial z \over \partial y}{dy \over dt}.$$

假設$z = f(u, v)$的每一個自變量都是二元函數，也就是說，$u = h(x, y)$，$v = g(x, y)$，且這些函數都是可微的。那麼，$z$的偏導數為：

$${\partial z \over \partial x}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial x}$$

$${\partial z \over \partial y}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial y}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial y}.$$

如果我們考慮

$$\vec r = (u,v)$$

為一個向量函數，我們可以用向量的表示法把以上的公式寫成f的梯度與$\vec r$的偏導數的數量積：

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\vec \nabla f \cdot \frac{\partial \vec r}{\partial x}.$$

更一般地，對於從向量到向量的函數，求導法則為：

$$\frac{\partial(z_1,\ldots,z_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_p)} = \frac{\partial(z_1,\ldots,z_m)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)} \frac{\partial(y_1,\ldots,y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_p)}.$$

## 高階導數

複合函數的最初幾個高階導數為：

$$\frac{d (f \circ g) }{dx} = \frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}$$

$$<pre> \frac{d^2 (f \circ g) }{d x^2} = \frac{d^2 f}{d g^2}\left(\frac{dg}{dx}\right)^2 + \frac{df}{dg}\frac{d^2 g}{dx^2} </pre>$$

$$<pre> \frac{d^3 (f \circ g) }{d x^3} = \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^3 + 3 \frac{d^2 f}{d g^2} \frac{dg}{dx} \frac{d^2 g}{d x^2} + \frac{df}{dg} \frac{d^3 g}{d x^3} </pre>$$

$$<pre> \frac{d^4 (f \circ g) }{d x^4} =\frac{d^4 f}{dg^4} \left(\frac{dg}{dx}\right)^4 + 6 \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^2 \frac{d^2 g}{d x^2} + \frac{d^2 f}{d g^2} \left\{ 4 \frac{dg}{dx} \frac{d^3 g}{dx^3} + 3\left(\frac{d^2 g}{dx^2}\right)^2\right\} + \frac{df}{dg}\frac{d^4 g}{dx^4}. </pre>$$