代數數論

在數學中，代數數論（Algebraic number theory）是數論的一支，在這個數學分支中，「數」的概念延伸到代數數上，以解決具體的數論問題。這類數是有理係數多項式的根。與此相關的概念是數域，這是有理數域的有限擴張。依照同樣的動機，整數可以被推廣為為代數整數，然後研究一個數域裡的代數整數。

代數整數在加法、減法與乘法下構成一個環，但整數的許多性質並不能推廣到一般數域裡的代數整數上，其中一個例子是素因數分解的唯一性（又稱算術基本定理），這是十九世紀數學家試圖證明費馬大定理時遇到的主要阻礙，然而代數數論的應用不僅止於此。數學中一些較深入的理論有助於讓我們了解代數數與代數整數的性質——包括伽羅瓦理論、伽羅瓦上同調、類域論、群表示論與L-函數的相關理論等等。

數論中的許多問題可藉由「模 p」（其中 p 為素數）來研究。這套技術導向p進數的建構，而p進數是局部域的例子；局部域的研究運用了一些研究數域時的相同方法，但是通常更容易處理。各個局部域上性質時常可以上升到整體數域上性質，例如哈瑟原理：

「一個有理係數二次方程在有理數域上有解，若且唯若它在實數上及在每個素數 p 之 p進數域上有解」。

這類結果往往被稱作局部-整體原理，其中「局部」意指局部域，而「整體」意指數域。

## 唯一因子分解和理想類群

代數數域K的整數環OK的元素的素分解和整數環Z的素數分解有不同之處，不是每個OK的元素都唯一分解。雖然OK元素的唯一分解性質在某些情況下可能成立，如高斯整環，但在其它情況下可能會失敗，如Z√-5中，6就不是唯一分解:$6=2\cdot3=(1+\sqrt{-5})\cdot(1-\sqrt{-5}).$ 這裡需要注意的是需要考慮分解確實「質數」的，同樣的算式可以出現在Q√-5中，但是因為Q√-5是一個二次域，既一定是唯一分解整環。

OK的理想類群是一個整數環OK的元素是否唯一因子分解的度量，特別是當整數環OK理想類群是平凡群時，若且唯若O為唯一分解整環。0的唯一因子分解和OK素理想間關係。

OK元素的唯一分解可能成立：這時OK的理想的唯一分解成素理想（即它是一個戴德金整環）。這使得在研究OK的素理想尤其重要。從另方面，從整數環Z更改為代數數域K的整數環OK後，整數環Z中素數就能生成Z素理想（其實，Z的每一個素理想（p）的形式是：pZ）可同一素數在O中可能不再生成素理想，例如，在高斯整環中，理想2Zi不再是素理想：

$$2\mathbf{Z}[i]=\left((1+i)\mathbf{Z}[i]\right)^2.$$

但理想3Zi是一個素理想。高斯整環唯一因子分解完整的答案使用費馬大定理，其結果為：

$$p\mathbf{Z}[i]\mbox{ is a prime ideal if }p\equiv 3 \,(\operatorname{mod}\, 4)$$

$$p\mathbf{Z}[i]\mbox{ is not a prime ideal if }p\equiv 1 \,(\operatorname{mod}\, 4).$$

得出這種簡單的結果對更一般的整數環來說是代數數論的基本問題。當代數數域K是有理數Q的阿貝爾擴張時（即有交換伽羅瓦群的擴張）類域論實現了這一目標。

## 素元和素點

（根據類域論，因K為有理域Q時OK才有唯一分解，以下K=Q，注意有理域Q和有理數域不同，實域R和實數域不同）

在OK素理想的概念的一個重要的推廣是理想論，也叫賦值論，這兩種方法之間的關係如下：

運算為通常的絕對值函數|·|，映射有理域Q→實域R的，令絕對值函數|·|p: 定義稱為p-adic絕對賦值，p∈Z中的素數。由奧斯特洛夫斯基的定理，所有p-adic絕對賦值對Q是等價類,p-adic絕對賦值可看成類似通常素數。更普遍的，代數數域K的絕對賦值稱為一個素點。K中素元分兩類：像p-adic絕對賦值|·|p這種等價類是有限的，被稱為有限素元（有限素點）。而通過復域C的模|·|方式定義的素元可看成復域C一個無限子集，被稱為無限素元（或無限素點）。因此，一般表示Q的素元集合為{2，3，5，7，...，∞}，在這種情況下|·|∞是有理域Q的素元（素點）。

K的無限素元可有嵌入同態K→C（即非零的環同態，從K到C）。具體來說，可把嵌入分成兩個不相交的子集，那些像在R中算一個子集S1，其餘的為另一子集S2。S1的每個嵌入σ：K→R，對應唯一一個和通常絕對值一樣的絕對賦值;這種方式產生的一個素元的被稱為一個實素元（或實素點）。S2的一個嵌入τ：是K→C不包含在R中的的像，可以形成另一個唯一的嵌入τ，稱為共軛嵌入，組成的復共軛映射為τ的C→C.而此絕對賦值為複數的模：|z| = |z|。這樣的素元叫一個復素元（或復素點）。這樣無限素元的集合的描述如下：每個無限素元對應到一個唯一的嵌入σ：K→R，或一對共軛嵌入τ，τ：K→C.實素點素數表示為r1，復素點表示為r2，嵌入ķ→C的總數為r1+2r2，（事實上，等於K/ Q的擴張次數：K：Q）。

## 單位

算術基本定理說明Z環的乘法結構為：每一個非零整數可以表為唯一的若干素數次冪和±1乘。這對OK的理想的唯一分解對一部分理想正確，不能全正確是因為±1，因為整數1和-1是Z環的可逆元素（即單位，兩者組成一個乘法群叫單位群，記為Z×，是個2階循環群）。更普遍的是，在OK的形式下全部素元乘法可逆組成一個乘法群，記為O×，群素元稱為OK的單位，這個群比2階循環群Z×階大。由狄利克雷單位定理可得：單位群是交換群。更確切的有伽羅瓦模形式：

OK $\simeq$ Z⊕r⊕（有限循環群）。

有限循環群即為K的單位群O×。OK單元群的階大小，OK的格結構，在類數公式可以看出。

## 局部域

在素點w對數域K完備化給出了一個完全域。如果賦值是阿基米德賦值，得到R或C，都是完全域。如果非阿基米德賦值，則是有理素元的離散賦值，得到有限擴張Kw / Qp:：這離散賦值域也是一個完全域，且是有限剩餘域。

局部方法簡化了域的算術，能局部研究問題。例如克羅內克韋伯定理，可以輕鬆地從局部狀態進行。局部域的研究背後的哲學，主要是出於幾何方法。在代數幾何，可通過對極大理想的點集局部化的變量研究入手。而全局資訊，可通過局部化綜合在一起得出。在代數數論，局部研究問題是主要方法之一，通過在數域代數中對整數環的素元入手，再對分式域研究得出全局資訊。

## 主要結果

理想類群階的有限性問題。代數數論一個經典結論是：代數數域的理想類群階有限。

理想類群階大小叫類數，常記為h。

### 狄利克雷單位定理

- 狄利克雷的單位定理提供了OK 單位乘群O× 的結構描述，它指出:OK $\simeq$Z⊕r⊕（finite circle group）其中有限循環群是O×的所有單位根組成，且r = r1 + r2 − 1，或者說，OK是階為r = r1 + r2 − 1的有限阿貝爾群，且其扭元素由O×的所有單位根組成

### 互反律

- 二次互反律
- 三次互反律
- 四次互反律

## 參考文獻

- Kenneth Ireland and Michael Rosen, "A Classical Introduction to Modern Number Theory, Second Edition", Springer-Verlag, 1990
- Ian Stewart and David O. Tall, "Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem," A. K. Peters, 2002
- Jürgen Neukirch, Algebraic Number Theory (1999), Springer. ISBN 3-5406-5399-6
- Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique (1988), PUF. ISBN 2-13-041838-X