電磁張量

電磁張量（electromagnetic tensor）或電磁場張量（electromagnetic field tensor）（有時也稱作場強度張量（field strength tensor）、法拉第張量（Faraday tensor）或馬克士威雙向量（Maxwell bivector））是一個描述一物理系統中電磁場的數學客體，所根據的是馬克士威的電磁學理論。場張量是在赫爾曼·閔可夫斯基提出狹義相對論的四維張量形式之後被首次使用。

## 細節

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'''數學註記：本文會使用到抽象的指標記號。'''
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電磁張量$F_{\alpha\beta}$常表示成如下矩陣形式：

$$F_{\alpha\beta} = \begin{bmatrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{bmatrix}$$

其中

E是電場。

B是磁場。

c是光速。

### 性質

從場張量的矩陣形式可以見到，其會滿足下列特性：

- 反對稱性：$F^{\alpha\beta} \, = - F^{\beta\alpha}$（因此稱作雙向量（或稱雙矢、二重向量，bivector））。
- 零值的跡數或稱對角和。
- 6個獨立分量——$E_x/c$、$E_y/c$、$E_z/c$、$B_x$、$B_y$、$B_z$。

若將場張量做內積，則可得到一勞侖茲不變量：

$$F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} = \ 2 \left( B^2 - \frac{E^2}{c^2} \right) = \mathrm{invariant}$$

場張量$F^{\alpha\beta} \,$與對偶張量的乘積則為一偽純量不變量（pseudoscalar invariant）：

$$\frac{1}{2}\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}F^{\alpha\beta} F^{\gamma\delta} = - \frac{4}{c} \left( \vec B \cdot \vec E \right) = \mathrm{invariant} \,$$

其中$\ \epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta} \,$為四階完全反對稱單位張量（completely antisymmetric unit tensor）或稱列維-奇維塔符號（Levi-Civita symbol）。注意到場張量的行列式

$$\det \left( F \right) = \frac{1}{c^2} \left( \vec B \cdot \vec E \right) ^{2}$$

更正式地，可將電磁張量以4-向量勢$A^{\alpha} \,$寫成：

$$F_{ \alpha\beta } \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{ \partial A_{\beta} }{ \partial x^{\alpha} } - \frac{ \partial A_{\alpha} }{ \partial x^{\beta} } \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \partial_{\alpha} A_{\beta} - \partial_{\beta} A_{\alpha}$$

其中4-向量勢為：

$A^{\alpha} = \left( \frac{\phi}{c} , \vec A \right)$，其協變（covariant）形式可以透過乘上閔可夫斯基度規$\eta \,$來得到：

$$A_{\alpha} \, = \eta_{\alpha\beta} A^{\beta} = \left( \frac{\phi}{c}, -\vec A \right)$$

此處閔可夫斯基度規$\eta \,$的定義為：

$$\eta = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$$

若按照另種使用習慣將閔可夫斯基度規定義為：

$$\eta = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

則4-向量勢的協變形式會是：

$$A_{\alpha} \, = \eta_{\alpha\beta} A^{\beta} = \left( -\frac{\phi}{c}, \vec A \right)$$

## 導出電磁張量

為了要導出電磁張量的所有矩陣元素，我們需要定義（時空）導數算符（derivative operator）：

$$\partial_{\alpha} = \left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) = \left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \vec{\nabla} \right) \,$$

以及4-向量勢：

$$A_{\alpha} = \left(\frac{\phi}{c}, -A_x, -A_y, -A_z \right) \,$$

其中

$\vec A \,$為向量勢，而$\left(A_x, A_y, A_z \right)$為其分量。

$\phi \,$為純量勢。

$c \,$為光速。

指標α取值0、1、2、3。

電場與磁場可以透過下面兩個與向量勢及純量勢的關係式導出：

$$\vec{E} = -\frac{\partial \vec{A}}{\partial t} - \vec{\nabla} \phi \,$$

$$\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A} \,$$

以x分量為例：

$$E_x = -\frac{\partial A_x}{\partial t} - \frac{\partial \phi}{\partial x} = c ( {1\over c} \frac{\partial}{\partial t}(-A_x) - \frac{\partial}{\partial x}({\phi\over c}) ) \,$$

$$B_x = \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \,$$

利用這樣的定義，我們可以將上面兩個式子改寫成：

$E_x = c \left(\partial_0 A_1 - \partial_1 A_0 \right) \,$，或將c移動到等號左邊：$\frac{E_x}{c} = \partial_0 A_1 - \partial_1 A_0 \,$

$$B_x = \partial_2 A_3 - \partial_3 A_2 \,$$

在評估過所有分量後，可以得到一個二階、反對稱、協變張量$F_{\alpha\beta}$：

$$F_{\alpha\beta} = \partial_{\alpha} A_{\beta} - \partial_{\beta} A_{\alpha} \,$$

## 與古典電磁學的關聯

古典電磁學以及馬克士威方程組可以從如下定義的作用量推導得出：

$$\mathcal{S} = \int \left( -\begin{matrix} \frac{1}{4 \mu_0} \end{matrix} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} \right) \mathrm{d}^4 x \,$$

其中

$\mathrm{d}^4 x \;$是對時間及空間的積分。

這表示拉格朗日量是為

$\mathcal{L} \,$｜$= -\begin{matrix} \frac{1}{4\mu_0} \end{matrix} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} \,$

$$= -\begin{matrix} \frac{1}{4\mu_0} \end{matrix} \left( \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \right) \left( \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu \right) \,$$ $$= -\begin{matrix} \frac{1}{4\mu_0} \end{matrix} \left( \partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu - \partial_\nu A_\mu \partial^\mu A^\nu - \partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu + \partial_\nu A_\mu \partial^\nu A^\mu \right) \,$$

最後一段等號右邊四個項，最左項與最右項相等，因為$\mu$與$\nu$僅為傀指標；中間兩項也彼此相等。因此拉格朗日量變為

$\mathcal{L} \,$｜$= -\begin{matrix} \frac{1}{2\mu_0} \end{matrix} \left( \partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu - \partial_\nu A_\mu \partial^\mu A^\nu \right) \,$

我們將之代入場的歐拉-拉格朗日方程：

$\partial_\nu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\nu A_\mu )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\mu} = 0 \,$。

第二項為零，因為此情況下的拉格朗日量只含有導數項。因此歐拉-拉格朗日方程變為：

$\partial_\nu \left( \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu \right) = 0 \,$。

圓括號內的項正是場張量，因此最終可以簡化為

$\partial_\nu F^{\mu \nu} = 0 \,$。

此方程式僅是寫下兩個齊次馬克士威方程式的另一條途徑，只要做以下代入：

$$~E^i /c \ \ = -F^{0 i} \,$$

$$\epsilon^{ijk} B^k = -F^{ij} \,$$

其中指標$i \,$與$j \,$取值1、2、3。

## 場張量的重要性

潛藏在看似複雜的張量數學方程式外表下的，是對電磁學馬克士威方程組所做的巧妙統合。考慮靜電方程式（electrostatic equation）

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$$

告訴了我們電場向量的散度等於電荷密度除以電容率$\epsilon_0$，而動電方程式（electrodynamic equation）

$$\vec{\nabla} \times \vec{B} - \frac{1}{c^2} \frac{ \partial \vec{E}}{\partial t} = \mu_0 \vec{J}$$

也就是磁場向量的旋度減掉電場隨著時間變動（取時間微分），等於電流密度乘以磁導率$\mu_0$。

這兩個關於電學的方程式可以約化成

$$\partial_{\alpha} F^{\alpha\beta} = \mu_0 J^{\beta} \,$$

其中

$J^{\alpha} = ( c \, \rho , \vec{J} ) \,$為四維電流密度。

同樣的情況也適用在磁學上。若我們考慮靜磁方程式（magnetostatic equation）

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0$$

告訴了我們沒有「真實」存在的磁荷（磁單極），而動磁方程式（magnetodynamics equation）

$$\frac{ \partial \vec{B}}{ \partial t } + \vec{\nabla} \times \vec{E} = 0$$

告訴了我們磁場隨著時間變動（取時間微分）加上電場的旋度等於零（或是另種講法：電場的旋度等於負的磁場隨著時間變）。若用電磁張量，磁學的方程式可以約化成

$F_{ \alpha \beta , \gamma } + F_{ \beta \gamma , \alpha } + F_{ \gamma \alpha , \beta } = 0 \,$，或者利用反對稱化符號——方括號表示成

$F_{ [\alpha \beta , \gamma] } = 0 \,$。

## 場張量與相對論

場張量其得名理由是因為電磁場須遵守張量轉換定律；（非重力場）物理定律具有這樣的普適性質，在狹義相對論誕生之後就被普遍認識到。相對論要求所有（非重力場的）物理定律在所有座標系統中都應具有相同形式，這導致張量的引入。張量形式也使得物理定律能有優美的數學表示方式。舉例來說，電磁學的馬克士威方程組可以用場張量寫成：

$$F_{[\alpha\beta,\gamma]} \, = 0$$

$$F^{\alpha\beta}{}_{,\beta} \, = \mu_0 J^{\alpha}$$

其中逗號，表示對其做偏微分。第二個方程式暗示了電荷與電流元的守恆：

$$J^\alpha{}_{,\alpha} \, = 0$$

在廣義相對論的彎曲時空中，這些定律可用（許多物理學家覺得）吸引人的方式來推廣——就是將偏微分改成協變微分：

$$F_{[\alpha\beta;\gamma]} \, = 0$$

$$F^{\alpha\beta}{}_{;\beta} \, = \mu_0 J^{\alpha}$$

其中分號;代表了協變微分，跟上面在平直時空所用的偏微分相互輝映。方程式的優美不受改變，僅僅需要將偏微分換成協變微分，這在廣義相對論常見的說法。這樣的方程式常被稱作是「彎曲時空下的馬克斯韋方程組」。一樣地，第二個方程式暗示著電荷與電流元的守恆（於彎曲時空中）：

$$J^\alpha{}_{;\alpha} \, = 0$$

## 在量子電動力學與量子場論中的角色

在量子電動力學中的拉格朗日量是從相對論建立的古典拉格朗日量所延伸：$\mathcal{L}=\bar\psi(i\hbar c \, \gamma^\alpha D_\alpha - mc^2)\psi -\frac{1}{4 \mu_0}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta},$以將光子以及電子的創生（creation）與湮滅（annihilation）整合進來。

在量子場論中，電磁場強度張量被當作是規範場強度張量的範本。此一項搭配上局域交互作用拉格朗日量（local interaction Lagrangian），其作用角色與在量子電動力學中幾乎一樣。