拉比周期

在物理學中，拉比周期是在振盪外場中的二能級量子體系的周期性行為。一個二能級系統具有兩個可能的狀態，如果狀態不是簡併的，當吸收一份能量以後，體系可以被激發。

這種效應在量子光學、核磁共振和量子計算中非常重要，它是以伊西多·伊薩克·拉比（Isidor Isaac Rabi）的名字命名的。

當一個原子（或者其它二能級體系）被一束相干光照射的時候，它將周期性地吸收光子並透過受激發射重新將光子發射出來，這樣一個周期稱為拉比周期，它的倒數稱為拉比頻率。

這種機制是量子光學的基礎，其模型的建立可以依據傑恩斯-卡明斯模型和布洛赫矢量形式。

例如，對於頻率受外部電磁場調製到激發態的二能級原子（該原子的電子可以處於激發態或者基態），利用布洛赫方程可以得到，原子處於激發態的機率為$|c_b(t)|^2=\sin(\omega t/2)^2 \,$，其中$\omega \,$為拉比頻率。

更一般地，可以考慮一個沒有本徵態的二能級體系，如果這個體系初態位於其中一個能級，時間演化將導致每個能級的態密度按照某個特徵頻率振盪，其角頻率也稱為拉比頻率。

## 數學處理

拉比效應的數學細節請參見拉比問題。例如，若將電磁場頻率調至激發能，並於電磁場當中置入一個雙態原子（該原子之電子可以處於激發態或基態），那麼處於激發態原子之機率可以從Bloch方程得出：

$$|c_b(t)|^2 \propto \sin^2 (\omega t/2)$$

$\omega$是拉比頻率。

更一般而言，我們可以考慮一種，兩個能階都不是能量本徵態的系統。因此，如果在其中一個能階對系統初始化，則時間演化將使每個能階的總粒子數以某個特徵頻率振盪，其角頻率也稱為拉比頻率。該雙態量子系統的狀態可以表示為二維希爾伯特空間複向量，這意味著每個狀態向量 $\vert\psi\rangle$是以標準的複數坐標表示。

$|\psi\rangle = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2\end{pmatrix} = c_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix} ;$ $c_1$和$c_2$是坐標。

如果向量歸一化， $c_1$和$c_2$的關聯為${|c_1|}^2+{|c_2|}^2 = 1$。基向量表示為$|0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}$和$|1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix}$

所有與該系統相關的可觀測物理量均為2 $\times$ 2埃爾米特矩陣，這表示系統的哈密頓量也是相似矩陣。

## 如何在量子系統中準備振盪實驗

可以透過以下步驟建構振盪實驗：

- 準備系統，使之處於固定狀態；例如 $|1\rangle$
- 在哈密頓量H下，讓態隨時間t自由演化
- 求出狀態為$|1\rangle$的機率 P(t)

如果$|1\rangle$是H的本徵態且P(t)=1，那麼就不會產生振盪。此外，如果兩個態$|0\rangle$和$|1\rangle$皆為簡併態，那麼包括$|1\rangle$在內的所有態皆為H的本徵態。因此也不會產生振盪。

另一方面，若H無簡併本徵態，且初態不是本徵態，則振盪將會產生。雙態系統哈密頓量的最一般形式給定如下$\mathbf{H} = \begin{pmatrix} a_0+a_3 & a_1-ia_2\\ a_1+ia_2 & a_0-a_3\end{pmatrix}$ $a_0,a_1, a_2$和$a_3$是實數。這個矩陣可以分解為 $\mathbf{H} = a_0\cdot\sigma_0 + a_1\cdot\sigma_1 + a_2\cdot\sigma_2 + a_3\cdot\sigma_3 ;$ $\sigma_0$是2 $\times$ 2單位矩陣，$\sigma_k \; (k = 1,2,3)$是泡利矩陣。尤其是在與時間無關的情況下，這種分解能夠簡化系統分析，其中$a_0,a_1,a_2$和$a_3$是常數。考慮置於磁場$\mathbf{B} = B\mathbf{\hat z}$ 之中的自旋1/2粒子。該系統的交互作用能量算符為$\mathbf{H}=-\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}=-\gamma\mathbf{S}\cdot\mathbf{B}=-\gamma \ B\ S_z$， $S_z = \frac{\hbar}{2}\, \sigma_3 = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}$ $\mu$是粒子磁矩的大小， $\gamma$是旋磁比，$\boldsymbol{\sigma}$是泡利矩陣之向量。此處哈密頓量之本徵態是$\sigma_3$，而$|1\rangle$和$|2\rangle$具有對應的本徵值$E_+ = \frac{\hbar}{2}\gamma B \, \ E_-= -\frac{\hbar}{2}\gamma B$。我們可以在系統處於狀態$|\psi\rang$下，給出找到任意狀態$|\phi\rangle$之機率${|\langle\phi|\psi\rangle|}^2$。在$t=0$的時刻，讓系統處於準備狀態$\left| +X \right\rangle$。注意到$\left| +X \right\rangle$是$\sigma_1$的本徵態： $|\psi(0)\rang= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}+ \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$此處的哈密頓量與時間無關。因此，透過求解平穩的薛丁格方程，在經過時間t之後，狀態演變為$\left|\psi(t)\right\rang= \exp\left[{\frac{-i\mathbf{H}t}{\hbar}}\right] \left|\psi(0) \right\rang = \begin{pmatrix} \exp\left[{\tfrac{-i E_+ t}{\hbar}}\right] & 0 \\ 0 & \exp\left[{\tfrac{-i E_- t}{\hbar}}\right] \end{pmatrix} |\psi(0)\rang$，帶有系統總能量$E$。

因此經過時間t之後，狀態成為： $|\psi(t)\rang=e^{\frac{-iE_+t}{\hbar}}\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + e^{\frac{-iE_-t}{\hbar}}\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle$現在假設在t時刻，對x方向上的自旋進行測量。下式給出測量到自旋向上的機率：${\left|\langle +X|\psi(t)\rangle\right|}^2 = {\left| \frac{{\left\langle 0 \right| + \left\langle 1 \right|}}{\sqrt{2}} <pre> \left({ \frac{1}{\sqrt{2}} \exp \left[\frac{-i E_+ t}{\hbar} \right] \left|0 \right\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \exp \left[\frac{-i E_- t}{\hbar} \right] \left|1 \right\rangle }\right) </pre> \right|}^2 = \cos^2\left( \frac{\omega t}{2} \right) ,$ $\omega$是特徵角頻率，假設$E_- \geq E_+$的情形，給定$\omega = \frac{E_- - E_+}{\hbar}=\gamma B$。在這種情況下，當系統最初自旋是在$\left| +X \right\rangle$方向，那麼x方向發現自旋向上的機率會隨著時間$t$而振盪。同樣，如果我們測量$\left| +Z \right\rangle$方向，那麼所測量到的系統自旋為$\tfrac{\hbar}{2}$之機率為$\tfrac{1}{2}$。在$E_+ = E_-$簡併情形下，特徵頻率為0，無振盪發生。

留意到，如果系統處於給定哈密頓量的本徵態，則系統將維持在該狀態，保持不變。

這同樣也適用於時間相依的哈密頓函數。以$\hat{H} = -\gamma\ S_z B \sin(\omega t)$ 為例；如果系統的初始自旋狀態為$\left| +Y \right\rangle$，那麼在$t$時刻，自旋在y方向測量結果為$+\tfrac{\hbar}{2}$之機率為${\left| \left\langle \, +Y|\psi(t) \right\rangle \right|}^2 \, = \cos^2 \left(\frac{\gamma B}{2\omega} \cos \left({\omega t}\right) \right)$。

電離氫分子兩態間的拉比振盪。

電離氫分子是由兩個質子$P_1$、$P_2$和一個電子所組成。由於質子質量較大，因此這兩個質子可以被視為固定不動的。設R為質子之間的距離，而 $|1\rangle$和$|2\rangle$兩個態的電子所處之位置，約坐落在$P_1$或$P_2$附近。假設在某一時刻，電子位於質子$P_1$附近。根據前一節的結果，我們知道它將在兩個質子之間振盪，而振盪頻率等於與兩個分子定態$|E_+\rangle$和$|E_-\rangle$有關的玻爾頻率。這種在兩個態之間的電子振盪，對應於分子電偶極矩平均值的振盪。因此，當分子不處於定態時，就能夠產生一個振盪的電偶極矩。這種振盪偶極矩可以與同頻率的電磁波交換能量。因此，這個頻率必須出現在電離氫分子的吸收光譜和發射光譜中。

## 以 Pauli 矩陣推導非微擾過程之拉比公式

考慮以下形式的哈密頓量$\hat{H} = E_0\cdot\sigma_0 + W_1\cdot\sigma_1 + W_2\cdot\sigma_2 + \Delta\cdot\sigma_3 = \begin{pmatrix} E_0 + \Delta & W_1-iW_2 \\ W_1+iW_2 & E_0 - \Delta \end{pmatrix} .$該矩陣的特徵值為$\lambda_+ =E_+=E_0+ \sqrt{{\Delta}^2+{W_1}^2+{W_2}^2}=E_0+\sqrt{{\Delta}^2+ {\left\vert W \right\vert}^2}$，$\lambda_- =E_-=E_0- \sqrt{{\Delta}^2+{W_1}^2+{W_2}^2}=E_0-\sqrt{{\Delta}^2+ {\left\vert W \right\vert}^2}$。此處$\mathbf{W}=W_1 + \imath W_2$， ${\left\vert W \right\vert}^2={W_1}^2+{W_2}^2=WW^*$。因此我們可以取 $\mathbf{W}={\left\vert W \right\vert}e^{\imath\phi}$。

現在，由方程式 :$\begin{pmatrix}E_0+\Delta & W_1-iW_2\\ W_1+iW_2 & E_0-\Delta\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}=E_+\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}$，我們可以得到$E_+$的特徵向量。

因此， $b= - \frac{a \left(E_0+\Delta-E_+ \right)} {W_1 - i W_2}$。

對特徵向量採用歸一化條件${\left\vert a \right\vert}^2+{\left\vert b \right\vert}^2=1$。

因此 ${\left\vert a \right\vert}^2+{\left\vert a \right\vert}^2\left(\frac{\Delta}{\left\vert W \right\vert}-\frac{\sqrt{{\Delta}^2+ {\left\vert W \right\vert}^2}}{\left\vert W \right\vert}\right)^2=1$。

令 $\sin\theta=\frac{\left\vert W \right\vert}{\sqrt{{\Delta}^2+ {\left\vert W \right\vert}^2}}$，$\cos\theta=\frac{\Delta}{\sqrt{{\Delta}^2+ {\left\vert W \right\vert}^2}}$。所以$\tan\theta=\frac{\left\vert W \right\vert}{\Delta}$。

我們得到 ${\left\vert a \right\vert}^2+{\left\vert a \right\vert}^2\frac{({1-\cos\theta})^2}{\sin^2\theta}=1$，即 ${\left\vert a \right\vert}^2=\cos^2\left(\tfrac{\theta}{2}\right)$。取任意相角$\phi$，我們可以寫下 $a=\exp(\imath\phi/2)\cos\left(\tfrac{\theta}{2}\right)$. 同理可證，$b=\exp(-\imath\phi/2)\sin \left(\tfrac{\theta}{2}\right)$。

所以特徵值$E_+$之特徵向量為$\left|E_+\right\rang = \begin{pmatrix} \cos \left(\theta/2\right) \\ e^{\imath\phi}\sin\left(\theta/2\right) \end{pmatrix}$。

由於總相角較無關緊要，我們可以寫下 $\left|E_+\right\rang = \begin{pmatrix} \cos \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \\ e^{\imath\phi}\sin\left(\tfrac{\theta}{2}\right) \end{pmatrix} = \cos \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left|0\right\rang + e^{\imath\phi} \sin \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left|1\right\rang$。

類似地, 特徵能量$E_-$之特徵向量為 $\left|E_-\right\rang = \cos \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left|0\right\rang - e^{\imath\phi} \sin \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left|1\right\rang$。

從這兩個方程，我們可以寫出

$$\left|0\right\rang = \cos \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left|E_+\right\rang + \sin \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left|E_-\right\rang$$

$\left|1\right\rang = e^{-\imath\phi} \cos \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left|E_+\right\rang - e^{-\imath\phi} \sin \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left|E_-\right\rang$。

假設系統開始時在時刻 $t = 0$的狀態是$|0\rang$，也就是說，$\left| \psi\left( 0 \right) \right\rang = \left|0\right\rang = \cos \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left|E_+\right\rang + \sin \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left|E_-\right\rang$。經過時間t之後，狀態演變為

$\left| \psi\left( t \right) \right\rang = e^{\frac{-i \hat{H} t}{\hbar}} \left| \psi\left( 0 \right) \right\rang = \cos \left(\tfrac{\theta}{2}\right) e^{\frac{-i E_+ t}{\hbar}} \left|E_+\right\rang + \sin \left(\tfrac{\theta}{2}\right) e^{\frac{-i E_- t}{\hbar}} \left|E_-\right\rang$。

如果系統處於$|E_+\rang$ 或 $|E_-\rang$之中的某一個本徵態，那麼它將會維持在同一個本徵態。然而，對於如上所示的一般初始狀態而言，時間演化並不顯然。

系統在時刻t處於狀態$|1\rang$的機率幅為 $\left \langle\ 1 | \psi(t) \right\rangle = e^{\imath\phi}\sin \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \cos\left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left( e^{\frac{-\imath E_+ t}{\hbar}}-e^{\frac{-\imath E_- t}{\hbar}} \right)$。

系統當前處於$|\psi(t)\rang$，而之後處於任意態 $|1\rang$的機率為$\begin{align} P_{0\to 1}(t) &= {|\langle\ 1|\psi(t)\rangle|}^2 \\ &= e^{-\imath\phi} \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \left(e^{\frac{+\imath E_+ t}{\hbar}}-e^{\frac{+\imath E_-t}{\hbar}}\right) e^{+\imath\phi} \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \left( e^{\frac{-\imath E_+ t}{\hbar}} - e^{\frac{-\imath E_-t}{\hbar}} \right) \\&= \frac{\sin^2{\theta}}{4} \left(2 - 2\cos\left( \frac{\left (E_+-E_- \right)t}{\hbar} \right) \right) \end{align}$這可以簡化為$P_{0\to 1}(t)=\sin^2(\theta)\sin^2\left(\frac{(E_+-E_-)t}{2\hbar}\right)=\frac{{\left\vert W \right\vert}^2}{{\Delta}^2+{\left\vert W \right\vert}^2}\sin^2\left(\frac{(E_+-E_-)t}{2\hbar}\right)$.........(1)這表明，當系統最初處於狀態$|0\rang$時，該系統最終處於狀態$|1\rang$的機率是有限的。機率是以角頻率 $\omega =\frac{E_+-E_-}{2\hbar}=\frac{\sqrt{{\Delta}^2+ {\left\vert W \right\vert}^2}}{\hbar}$振盪，而$\omega$是系統唯一的玻爾頻率，又稱為拉比頻率。而式子(1)亦可稱為拉比公式。在時間t之後，系統處於狀態$|0\rang$的機率為${|\langle\ 0|\psi(t)\rangle|}^2=1-\sin^2(\theta)\sin^2\left(\frac{(E_+-E_-)t}{2\hbar}\right)$，同樣也是振盪形式。

這些二能階系統的振盪稱為拉比振盪，在許多問題之中都會發生這種振盪，如中微子振盪、電離氫分子、量子計算、氨邁射等等。

## 量子計算中的拉比振盪

任何雙態量子系統都可以用來模擬量子位元。現在考慮一個自旋$\tfrac{1}{2}$系統，將磁矩$\boldsymbol{\mu}$置於經典磁場$\boldsymbol{B} = B_0\ \hat{z} + B_1 \left(\cos{(\omega t)}\ \hat{x} - \sin{(\omega t)} \ \hat{y} \right)$之中。令系統旋磁比$\gamma$，因此磁矩$\boldsymbol{\mu} = \frac{\hbar}{2} \gamma \boldsymbol{\sigma}$，可以給出該系統的哈密頓量$\mathbf{H}=-\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}= -\frac{\hbar}{2}\omega_0\sigma_z-\frac{\hbar}{2}\omega_1(\sigma_x\cos\omega t-\sigma_y\sin\omega t)$，此處$\omega_0=\gamma B_0$，$\omega_1=\gamma B_1$。

透過上述步驟，我們可以求得哈密頓量的特徵值和特徵向量。現在，讓量子位元在$t = 0$時刻處於量子態$|0\rang$，那麼，在$t$時刻，量子位元處於量子態$|1\rang$的機率為$P_{0\to1}(t)=\left(\frac{\omega_1}{\Omega}\right)^2\sin^2\left(\frac{\Omega t}{2}\right)$ $\Omega=\sqrt{(\omega-\omega_0)^2+\omega_1^2}$，這種現象就稱作拉比振盪。因此，量子位元會在量子態$|0\rang$和$|1\rang$之間振盪。振盪的振幅會在$\omega=\omega_0$達到最大，而這即為共振條件。共振時的躍遷機率為$P_{0\to1}(t)=\sin^2\left(\frac{\omega_1 t}{2}\right)$，要從一個量子態$|0\rang$躍遷到另一個量子態$|1\rang$，只需調整旋轉場作用的時間$t$滿足$\frac{\omega_1 t}{2}=\frac{\pi}{2}$或是$t=\frac{\pi}{\omega_1}$就充分了，這叫做「$\pi$脈衝」。如果選擇的時間介於0和$\frac{\pi}{\omega_1}$之間，我們會得到$|0\rang$和$|1\rang$的疊加態。尤其是當$t=\frac{\pi}{2\omega_1}$的時候，我們會得到一個「$\frac{\pi}{2}$脈衝」，它的作用是造成$|0\rang \to \frac{|0\rang+i|1\rang}{\sqrt{2}}$量子態躍遷，而這個操作在量子計算中起到至關重要的作用。當對雷射場中的二能階原子進行大致滿意的旋轉波近似時，方程基本上是相同的。然後兩個原子能階之間的能量差$\hbar\omega_0$($\omega$是雷射波的頻率)及拉比頻率$\omega_1$，與原子的躍遷電偶極矩$\vec{d}$與雷射波電場$\vec{E}$的乘積成正比，也就是$\omega_1 \propto \hbar \ \vec{d} \cdot \vec{E}$。總而言之，拉比振盪是用於操縱量子位元的基本過程，而這個振盪是在適當調整的時間間隔內，藉由將量子位元暴露在周期性的電場或磁場中來獲得。

## 外部連結

- https://web.archive.org/web/20110719095612/http://www.itp.tu-berlin.de/menue/lehre/owl/quantenmechanik/zweiniveau/parameter/en/

A Java applet that visualizes Rabi Cycles of two-state systems (laser driven).

- https://web.archive.org/web/20110719095819/http://www.itp.tu-berlin.de/menue/lehre/owl/quantenmechanik/elektron-phonon-wechselwirkung/parameter/en/

extended version of the applet. Includes electron phonon interaction.