連續性方程式

在物理學裏，連續性方程式（continuity equation）是描述守恆量傳輸行為的偏微分方程式。在適當條件下，質量、能量、動量、電荷等都是守恆量，因此很多傳輸行為都可以用連續性方程式來描述。

連續性方程式是局域性的守恆定律方程式。與全域性的守恆定律相比，這種守恆定律條件更強。本條目內的所有關於連續性方程式的範例都表達了同樣的思想──在任意區域內某種守恆量總量的改變，等於從邊界進入或離去的數量；守恆量不能夠增加或減少，只能夠從某一個位置遷移到另一個位置。

每一種連續性方程式都既可以用積分形式表達（使用通量積分），描述任意有限區域內的守恆量；也可以用微分形式表達（使用散度算符），描述任意位置的守恆量。其微分形式與積分形式通過散度定理相互關聯。

## 概論

### 微分形式

一般的連續性方程式的微分形式為

$\frac{\partial \varphi}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{f} = s$。

其中，$\varphi$ 是某物理量 $q$ 的密度（每單位體積的物理量），$\mathbf{f}$ 是 $q$ 的流量密度（每單位面積每單位時間的物理量）的向量函數（vector function），$s$ 是 $q$ 在每單位體積每單位時間的生成量。

假若 $s>0$ 則稱 $s$ 為「源點」；假若 $s<0$ 則稱 $s$ 為「匯點」。假設 $\varphi$ 是沒有產生或湮滅的守恆量，（例如，電荷），則 $s=0$，連續性方程式變為

$\frac{\partial \varphi}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{f} = 0$。

從簡單的「能量連續性方程式」到複雜的納維-斯托克斯方程式，這方程式可以用來表示任意連續性方程式。該方程式也是平流方程式（advection equation）的推廣。

另一些物理學中的方程式也具有類似連續性方程式的數學形式，例如電場的高斯定律或引力場的高斯重力定律。但是他們通常不被稱為連續性方程式，因為 $\mathbf{f}$ 並不代表真實物理量的流動。

### 積分形式

根據散度定理，連續性方程式可以寫為等價的積分形式：

$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} + \oint_{\mathbb{S}} \mathbf{f}\cdot\mathrm{d}\mathbf{a} = S$。

其中，$\mathbb{S}$ 是包住體積 $\mathbb{V}$ 的任意固定（不隨時間改變）閉曲面，$Q$ 是在體積 $\mathbb{V}$ 內的 $q$ 總量，$S=\int_{\mathbb{V}}s\ \mathrm{d}^3r$ 是在積分體積 $\mathbb{V}$ 內源點與匯點的總生成量每單位時間，$\mathrm{d}\mathbf{a}$ 是微小面向量積分元素。

舉一簡例，假設 $\mathbb{V}$ 是台北101大樓，$Q$ 是在大樓內某時間的總人數，$\mathbb{S}$ 是由門口、牆壁、屋頂、地基等等，共同組成的曲面，則連續性方程式表明，當人們進入大樓時（代表穿過曲面的內向通量），或當大樓裏面的孕婦生產時（代表源點的 $s>0$），在大樓裏面的總人數會增加；而當人們離開大樓時（代表穿過曲面的外向通量），在大樓裏面的總人數會減少。

## 電磁理論

在電磁理論裏，連續性方程式可以視為一條經驗定律，表達局域電荷守恆，或是從馬克士威方程組推導出的結果。「電荷連續性方程式」表明，電荷密度 $\rho$ 的變率與電流密度 $\mathbf{J}$ 的散度，兩者的代數和等於零：

$\frac{ \partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{J} =0$。

### 馬克士威-安培方程式滿足局域電荷守恆的連續性方程式

馬克士威-安培方程式為

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \ \epsilon_0 \frac{ \partial E }{\partial t}$。

其中，$\mathbf{B}$ 是磁場，$\mathbf{E}$ 是電場，$\mu_0$ 是磁常數，$\epsilon_0$ 是電常數。

取散度於方程式的兩邊，由於旋度的散度必是零。

$0= \mu_0\nabla \cdot \mathbf{J} +\mu_0\epsilon_0 \frac{ \partial (\nabla \cdot\mathbf{E})}{\partial t}$。

高斯定律的方程式為

$\nabla \cdot\mathbf{E}=\rho/\epsilon_0$。

將這方程式代入，可以得到

$\frac{ \partial \rho }{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J}=0$。

電流是電荷的流量。連續性方程式可以這樣論述：假若電荷從某微小體積元素移動出去（電流密度的散度是正值），則在那微小體積元素內的總電荷量會減少，電荷密度的變率是負值。從這解釋可以察覺，連續性方程式就是電荷守恆。

### 四維電流

四維電流密度定義為

$J^{\alpha}\ \stackrel{def}{=}\ (c \rho , \mathbf{J}) = (c \rho , J_x, J_y , J_z)$。

其中，$\alpha$ 標記時空坐標，$c$ 是光速。

電荷守恆可以簡潔地由四維電流密度的散度表達，即連續性方程式

$\partial_{\alpha} J^{\alpha}=0$。

其中，$\partial_{\alpha}\ \stackrel{def}{=}\ \left(\frac{ \partial}{\partial r^0}, \frac{ \partial}{\partial r^1}, \frac{ \partial}{\partial r^2}, \frac{ \partial}{\partial r^3}\right) = \left(\frac{ \partial}{c\partial t},\frac{ \partial}{\partial x},\frac{ \partial}{\partial y},\frac{ \partial}{\partial z}\right)$。

## 流體力學

在流體力學裏，連續性方程式表明，在任何穩定態過程中，質量進入物理系統的速率等於離開的速率。此時連續性方程式與電路學的克希荷夫電流定律類似。「質量連續性方程式」的微分形式為

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0$。

其中，$\rho$ 是流體質量密度，$\mathbf{u}$ 是流速向量場，兩者相乘後為質量通量。

假設流體是不可壓縮流，則密度 $\rho$ 是常數，質量連續性方程式簡化為體積連續性方程式：

$\nabla \cdot (\mathbf{u}) = 0$。

這意味著，在所有位置，速度場的散度等於零；也就是說，局域的體積變率為零。

在另一方面，納維-斯托克斯方程式是一個向量連續性方程式，描述動量守恆。

## 能量

根據能量守恆，能量只能夠傳輸，不能夠生成或湮滅，這意味著「能量連續性方程式」。這是在熱力學定律（Laws of thermodynamics）外，能量守恆的另一種數學表述，即。

$\frac{ \partial u}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{q}= 0$。

其中，$u$ 是能量密度（單位體積的能量），$q$ 是能量通量向量（數值大小為單位截面面積每單位時間傳輸的能量，方向為截面的外法線方向）。

根據傅立葉定律（Fourier's law），對於均勻傳導介質。

$\mathbf{q} = -k \nabla T$。

其中，$k$ 是熱導率，$T$ 是溫度函數。

能量連續性方程式又可寫為熱傳導方程。

$\frac{ \partial u}{\partial t} - k\nabla^2T= 0$。

## 量子力學

在量子力學裏，從機率守恆可以得到「機率連續性方程式」假設一個量子系統的波函數為 $\Psi(x,t)$，機率流 $\mathbf{J}$的定義為

$\mathbf{J}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^* \boldsymbol{\nabla} \Psi - \Psi \boldsymbol{\nabla} \Psi^*\right) = \frac\hbar m \mbox{Im}(\Psi^*\boldsymbol{\nabla}\Psi)$。

其中，$\hbar$ 是約化普朗克常數，$m$ 是質量，$\Psi^*$ 是 $\Psi$ 是共軛複數，$\mbox{Im}()$ 是取括弧內項目的虛部。

### 連續方程式與機率守恆定律

機率流滿足量子力學的連續方程式：

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{J} = 0$。

其中，$\rho = |\Psi|^2$ 是機率密度。

應用高斯公式，可以等價地以積分方程式表示。

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_\mathbb{V} |\Psi|^2 \mathrm{d}^3{r} + \oint_\mathbb{S}\mathbf{J}\cdot {\mathrm{d}\mathbf{a}} = 0$；(1)

其中，$\mathbb{V}$ 是任意三維區域，$\mathbb{S}$ 是 $\mathbb{V}$ 的邊界曲面。

方程式 (1) 左邊第一個體積積分項（不包括對於時間的偏微分）是測量粒子位置時粒子在 $\mathbb{V}$ 內的機率。第二個曲面積分是機率流出 $\mathbb{V}$ 的通量。總之，方程式 (1) 表明，粒子在三維區域 $\mathbb{V}$ 內的機率對於時間的微分，與其流出三維區域的機率 $\mathbb{V}$ 的通量，兩者之和等於零。

### 連續方程式推導

測得粒子在三維區域 $\mathbb{V}$ 內的機率 $P$ 是

$P= \int_\mathbb{V} \rho\,\mathrm{d}^3\mathbf{r} = \int_\mathbb{V} |\Psi|^2 \,\mathrm{d}^3\mathbf{r}$。

機率對於時間的導數是

$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_\mathbb{V} |\Psi|^2 \,\mathrm{d}^3{r} = \int_\mathbb{V} \left( \frac{\partial \Psi}{\partial t}\Psi^* + \Psi \frac{\partial \Psi^*}{\partial t} \right) \,\mathrm{d}^3{r}$；(2)

注意到 $\Psi$ 的含時薛丁格方程式為

$i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{-\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi + U\Psi$。

其中，$U(\mathbf{r})$ 是位勢。

將含時薛丁格方程式代入方程式 (2)，可以得到

$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t} = - \int_\mathbb{V} \frac{\hbar}{2mi} \left(\Psi^* \nabla^2 \Psi - \Psi \nabla^2 \Psi^* \right)\,\mathrm{d}^3{r}$。

應用一則向量恆等式，可以得到

$\boldsymbol{\nabla} \cdot \left(\Psi^*\boldsymbol{\nabla} \Psi - \Psi \boldsymbol{\nabla} \Psi^* \right) = \boldsymbol{\nabla} \Psi^* \cdot \boldsymbol{\nabla} \Psi + \Psi^* \nabla^2 \Psi - \boldsymbol{\nabla} \Psi \cdot \boldsymbol{\nabla} \Psi^* - \Psi \nabla^2 \Psi^*$。

這方程式右手邊第一項與第三項互相抵銷，將抵銷後的方程式代入。

$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t} = - \int_\mathbb{V} \boldsymbol{\nabla} \cdot \left[\frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^* \boldsymbol{\nabla} \Psi - \Psi \boldsymbol{\nabla} \Psi^* \right)\right]\,\mathrm{d}^3{r}$。

將機率密度方程式與機率流定義式代入。

$\int_\mathbb{V} \frac{\partial \rho}{\partial t}\,\mathrm{d}^3{r}= - \int_\mathbb{V} \left( \boldsymbol{\nabla} \cdot\mathbf{J}\right)\,\mathrm{d}^3{r}$。

該等式對於任意三維區域 $\mathbb{V}$ 都成立，所以被積項目在任何位置都必須等於零：

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J} = 0$。

## 參閱

- 歐拉方程式
- 諾特定理