秩—零化度定理

秩—零化度定理（Rank–nullity theorem）是線性代數中的一個定理，給出了一個線性變換或一個矩陣的秩和它的零化度之間的關係。對一個元素在體$\mathrm{F}$中的$m \cdot n$矩陣$\mathrm{A}$，秩－零化度定理說明，它的秩（rank A）和零化度（nullity A）之和等於$n$：

$$\operatorname{rank} \mathrm{A} + \operatorname{nullity} \mathrm{A} = n.$$

同樣的，對於一個從$F-$線性空間$\mathrm{V}$射到$\mathrm{F}-$線性空間$\mathrm{W}$的線性變換 $\mathrm{T} \; : \; \; \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{W}$， $\mathrm{T}$的秩是它的象的維度，$\mathrm{T}$的零化度是它的核（零空間）的維度。我們有：

$$\operatorname{dim} (\operatorname{Im} \mathrm{T}) + \operatorname{dim} (\operatorname{Ker} \mathrm{T}) = \operatorname{dim} \mathrm{V}$$

也就是：

$$\operatorname{rank} \mathrm{T} + \operatorname{nullity} \mathrm{T} = \operatorname{dim} \mathrm{V}.$$

實際上定理在更廣的範圍內也成立，因為$\mathrm{V}$和$\mathrm{F}$可以是無限維的。

## 證明

證明的方法基於線性空間的基和同構。

設$\mathrm{V}$是一個有限維線性空間，其維度$\operatorname{dim} \mathrm{V} = n$。對一個從$\mathrm{V}$射到$\mathrm{F}$的線性變換$\mathrm{T}$，它的核$\operatorname{Ker} \mathrm{T}$是$\mathrm{V}$的一個子空間。設 $\mathfrak{B}_k = \left( e_1, e_2 \cdots , e_p \right)$是$\operatorname{Ker} \mathrm{T}$的一組基（$p \leqslant n$）。根據基擴充定理，$\mathfrak{B}_k$可以被擴充為$\mathrm{V}$的一組基：$\mathfrak{B} = \left( e_1, e_2 \cdots , e_n \right)$。除了$\mathfrak{B}_k$的$p$個向量以外，另外的$n-p$個向量$\left( e_{p+1}, \cdots , e_n \right)$是一組線性無關的向量。設$\mathrm{H}$是它們張成的子空間，那麼$\mathrm{V}$是子空間$\operatorname{Ker} \mathrm{T}$與$\mathrm{H}$的直和：

$$\mathrm{V} = \operatorname{Ker} \mathrm{T} \oplus \mathrm{H}$$

所以，按照直和的性質，有$\operatorname{dim} (\mathrm{H}) + \operatorname{dim} (\operatorname{Ker} \mathrm{T}) = \operatorname{dim} \mathrm{V}$，並且這兩個子空間的交集為$\operatorname{Ker} \mathrm{T} \cap \mathrm{H} = \left\{ 0 \right\}$。同時，$\forall u \in \mathrm{V},$ 都可以寫成$\ u = a + b$的形式，其中$a \in ker(\mathrm{T}), \; b \in \mathrm{H}$。考慮$\mathrm{T}$限制在$\mathrm{H}$上到$\operatorname{Im} \mathrm{T}$的線性變換$\mathrm{T}_{\mathrm{H}}$：

$$\begin{align}\mathrm{T}_{\mathrm{H}} : \mathrm{H} & \rightarrow \operatorname{Im} \mathrm{T} \\ u & \mapsto \mathrm{T}(u) \end{align}$$

下證$\mathrm{T}_{\mathrm{H}}$是一個同構。首先由於$\mathrm{T}$是線性映射，所以$\mathrm{T}_{\mathrm{H}}$是線性映射。只需證明它也是雙射：

- $\mathrm{T}_{\mathrm{H}}$是一個單射，因為$\forall u,v \in \mathrm{H}$， $\mathrm{T}(u)=\mathrm{T}(v) \Rightarrow \mathrm{T}(u-v)=0 \Rightarrow u-v \in \mathrm{H} \cap \operatorname{Ker} \mathrm{T} \Rightarrow u-v=0 \Rightarrow u=v$。
- $\mathrm{T}_{\mathrm{H}}$是一個滿射，因為$\forall v \in \operatorname{Im} \mathrm{T}$， $\exists u \in \mathrm{V},$使得$\ v = \mathrm{T}(u)$，而且$u = a+b$，其中$a \in \operatorname{Ker} \mathrm{T} ,\ b \in \mathrm{H}$。於是 $v =\mathrm{T}(u)= \mathrm{T}(a+b)=\mathrm{T}(a)+\mathrm{T}(b)\ =\mathrm{T}(b)$，其中$b \in \mathrm{H}$，所以$\mathrm{T}_{\mathrm{H}}$是一個滿射。

既然$\mathrm{T}_{\mathrm{H}}$是一個$\mathrm{H}$到$\operatorname{Im} \mathrm{T}$的同構，那麼

$$\operatorname{dim} (\mathrm{H} ) = \operatorname{dim}( \operatorname{Im} \mathrm{T}).$$

綜上所述，即有：

$$\operatorname{dim} ( \operatorname{Im} \mathrm{T}) + \operatorname{dim} ( \operatorname{Ker} \mathrm{T}) = \operatorname{dim} ( \mathrm{V}),$$

也就是：

$$\operatorname{rank} \mathrm{T} + \operatorname{nullity} \mathrm{T} = \operatorname{dim} ( \mathrm{V}).$$

## 其他表達形式及推廣

秩—零化度定理是抽象代數中的同態基本定理在線性空間上的表現形式。如果用更現代的語言，定理可以表示為：如果

0 → U → V → R → 0

是線性空間中的一個短正合列，那麼有：

dim(U) + dim(R) = dim(V)

其中 R 表示 im T， U 表示 ker T。

在有限維的情況下，上式可以作進一步推廣。如果

0 → V1 → V2 → ... → Vr → 0

是有限維線性空間中的一個正合列，那麼有：

$$\sum_{i=1}^r (-1)^i\dim(V_i) = 0.$$

在有限維線性空間中，秩—零化度定理還可以用線性變換的指標（index）描述。線性變換的指標指的是，對於線性變換T : V → W：

index T = dim(ker T) - dim(coker T)

其中 coker T 表示 T 的餘核。正如 ker T 表示方程 Tx = 0 線性獨立的解的「個數」， coker T 表示使得方程 Tx = y 有解而必須加於 y 的限制條件的個數。

這時秩—零化度定理表述為：

index T = dim(V) - dim(W)

可以看到，在這種表述下，我們可以很容易地得到 T 的指標，而不必對 T 作深入研究。更深入的結果可以參見阿蒂亞－辛格指標定理。阿蒂亞－辛格指標定理說明某些微分算子的指標可以通過涉及的空間的幾何性質得到。