代數曲線

在代數幾何中，一條代數曲線是一維的代數簇。最典型的例子是射影平面$\mathbb{P}^2$上由一個齊次多項式$f(X,Y)$定義的零點。

## 仿射曲線

定義在域$F$上的仿射代數曲線可以看作是$F^n$中由若干個$n$-元多項式$g_i \in F[x_1, \ldots, x_n]$定義的公共零點，使得其維數為一。

利用結式，我們可以將變數消至兩個，並化約到與之雙有理等價的平面代數曲線$f(x,y)=0$，其中$f \in F[x,y]$，因此在探討曲線的雙有理幾何時僅須考慮平面曲線。

## 射影曲線

射影空間中的曲線可視作仿射曲線的緊化，它們帶有更好的幾何性質。在以上考慮的方程$g_i = 0$（$i=1, \ldots, n-1$）中，我們作代換：

$$g_i(x_1, \ldots, x_n) \longrightarrow (X_0)^{\deg g_i} g_i\left(\frac{X_1}{X_0}, \ldots, \frac{X_n}{X_0}\right)$$

遂得到$n-1$個齊次多項式，它們在射影空間$\mathbb{P}^n_F$中定義一條曲線，此射影曲線與開集$U_0 := \{(X_0: \cdots: X_n) | X_0 \neq 0 \}$的交集同構於原曲線。射影曲線的例子包括$\mathbb{P}^3_{\mathbb{Q}}$中的費馬曲線$X^n + Y^n + Z^n=0$，其上的有理點對應到費馬方程$X^n+Y^n=Z^n$的互素整數解。

## 代數函數域

代數曲線之研究可化約為不可約代數曲線之研究，後者的範疇在雙有理等價之意義下等價於代數函數域範疇。域$F$上的函數域$K$是超越次數為一的有限型域擴張，換言之：存在元素$x \in K$使得$x$在$F$上超越，而且$K/F(x)$是有限擴張。

以複數域$\mathbb{C}$為例，我們可以定義複係數有理函數域$\mathbb{C}(x)$。變元$x, y$對代數關係$y^2 =x^3-x-1$生成的域$\mathbb{C}(x,y)$是一個橢圓函數域，代數曲線$\{ (x,y) \in \mathbb{C}^2 : y^2 = x^3 - x - 1 \}$ 給出它的一個幾何模型。

若基域$F$非代數封閉域，則函數域無法只由多項式的零點描述，因為此時存在無點的曲線。例如可取實數域$F := \mathbb{R}$並考慮其上的代數曲線$x^2 + y^2 + 1 = 0$，此方程定義了一個$\mathbb{R}[x]$的有限擴張，因而定義了一個函數域，然而

$$\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 + 1 = 0 \} = \emptyset$$

代數封閉域上的代數曲線可以用代數簇完整地描述，對於一般的基域或者環上的曲線論，概形論能提供較合適的框架。

## 複代數曲線與黎曼曲面

複射影曲線可以嵌入$n$維複射影空間$\mathbb{C}P^n$。複射影曲線在拓撲上為二維的對象，當曲線光滑時，它是個緊黎曼曲面，即一維的緊複流形，因而是可定向的二維緊流形。這時該曲面的拓撲虧格（直觀說就是曲面有幾個洞或把手）等同於曲線上由代數幾何學定義的虧格。視這類曲線為黎曼曲面，則可以採複分析手法加以研究。另一方面，黎曼則證明了任何緊黎曼曲面都同構於一條複射影曲線。

於是我們有三個相互等價的範疇：複數域上的不可約平滑射影曲線、緊黎曼曲面與$\mathbb{C}$上的函數域。因此一維複分析（包括位勢論）、代數幾何與域論的方法此時能相互為用，這是高等數學裡很常見的現象。

## 奇點

### 判斷方式

曲線在一點$P$的平滑性可以用雅可比矩陣判斷。以下考慮嵌於$\mathbb{P}^n$中的曲線：設該曲線由$n-1$個$n+1$個變元的齊次多項式$g_1, \ldots, g_{n-1}$定義，若其雅可比矩陣$\left(\frac{\partial g_i}{\partial x_j}\right)_{i,j}$在區線上一點$P$滿秩，則稱它$P$點光滑；反之則稱為奇點。在一點的平滑性與多項式$g_1, \ldots, g_{n-1}$的選取無關，也與曲線的嵌入方式無關。

在平面射影曲線的例子，假設曲線$C$由齊次方程式$f(x,y,z)=0$定義，則$C$的奇點恰為$C$上使得$\nabla f$為零的點，即：

$$\frac{ \partial f }{ \partial x }(P)=\frac{ \partial f }{ \partial y }(P)=\frac{ \partial f }{ \partial z }(P)=0 \quad (P \in C)$$

在特徵非零的域上，一條代數曲線僅有有限個奇點；無奇點的曲線即平滑曲線。奇點在雙有理映射下可能映為光滑點；事實上，奇點總是可藉著平面的拉開映射或正規化解消，由此得到的新平滑曲線仍雙有理等價於原曲線；然而對代數封閉域上的射影曲線，其奇點總數則關係到曲線的幾何虧格，後者是個雙有理不變量。

### 奇點分類

曲線的奇點包括多重點（這是曲線的自交點）及尖點（如仿射曲線$x^3=y^2$之於原點$(0,0)$，見右圖）等等。一般來說，仿射平面曲線$f(x,y)=0$在一點$P$的奇點性質可以透過下述方式理解：

透過平移，不妨假設$P=(0,0)$。將多項式$f(x,y)$寫成

$$f(x,y) = \sum_{n \geq 1} f_n(x,y)$$

其中$f_n(x,y)$是$n$次齊次多項式。直觀地想像，$f(x,y)=0$在原點附近的性狀僅決定於最低次的非零項，設之為$f_m(x,y)$。根據齊次性可以將之分解成

$$f_m(x,y) = \prod _{i=1}^m (a_i x - b_i y)$$

換言之，曲線在原點附近將近似於$m$條（含重複）直線$a_i x - b_i y = 0$的聯集。上式中相異的直線數$r$稱作分支數，正整數$m$稱作平面曲線在該點的重數，此外還有一個內在的不變量$\delta_P := \dim \mathcal{O}_{\tilde{C},P}/\mathcal{O}_{C,P}$，其中$\tilde{C} \rightarrow C$是該曲線的正規化態射。資料m, δ, r能夠被用來分類奇點。例如一般尖點對應到$[2,1,1]$，一般雙重點對應到$[2,1,2]$，而一般n重點則對應到$[n,\frac{n(n-1)}{2}, n]$。

各奇點的不變量δP決定平面曲線$f(x,y)=0$的虧格：設$\deg f = d$，則有

$$g = \frac{1}{2}(d-1)(d-2) - \sum_P \delta_P,$$

對於在複數域上的平面曲線，John Milnor以拓撲方式定義了不變量μ，稱為Milnor數：同樣假設$P=(0,0)$，在原點附近夠小的四維球$B_\epsilon := \{ (x,y) \in \mathbb{C}^2 : |x|^2+|y|^2 < \epsilon \}$內有$(x,y) \neq (0,0) \Rightarrow \nabla f(x,y) \neq 0$，此時有連續映射

$$\nabla f(x,y) : B_\epsilon - \{(0,0)\} \rightarrow B_\epsilon - \{(0,0)\}$$

由於$B_\epsilon - \{(0,0)\}$ 同倫等價於三維球面$\mathbb{S}^3$，於是可定義μ為此映射的拓撲次數。μ與前述不變量的關係由下式表明：

$$\mu = 2\delta -r + 1$$

事實上，$\{ (x,y) \in \mathbb{C}^2 : f(x,y)=0 \} \cap \{ (x,y) \in \mathbb{C}^2 : |x|^2+|y|^2 = \epsilon \}$在ε夠小時是$\{ (x,y) \in \mathbb{C}^2 : |x|^2+|y|^2 = \epsilon \} \cong \mathbb{S}^3$中的一個環圈，稱作奇點環圈，它具有複雜的拓撲性質。例如：$x^3=y^2$在尖點附近的奇點環圈是三葉結。

## 曲線的例子

### 有理曲線

域$F$上的有理曲線是雙有理等價於射影直線$\mathbb{P}^1_F$的曲線，換言之，其函數域同構於單變元有理函數域$F(t)$。當$F$代數封閉時，這也等價於該曲線之虧格為零，對一般的域則不然；實數域上由$x^2+y^2+1=0$給出的函數域虧格為零，而非有理函數域。

具體地說，一條有理曲線是能以有理函數參數化的曲線，例子請見條目有理正規曲線。

任何$F$上有有理點的圓錐曲線都是有理曲線。參數化的過程如下：過給定有理點$P$而斜率為$t$的直線交平面上一條二次曲線於兩點，就x坐標來說，交點的x坐標是一個二次多項式的根，其中一個屬於$F$的根已知，即$P$的x坐標；因此透過根與係數的關係得知另一根也屬於$F$，而且能表作$t$在$F$上的有理函數。y坐標的作法相同。

例。考慮斜橢圓$E: x^2+xy+y^2=1$，其中$(-1,0)$是有理點。畫一條過該點且斜率為t之直線$y=t(x+1)$，並帶入E的等式，於是得到：

$x = \frac{1-t^2}{1+t+t^2}$。

$$y=t(x+1)=\frac{t(t+2)}{1+t+t^2}$$

這就給出E的有理參數化，於是證明了E是有理曲線。

將此結果置於射影幾何的框架下，則能導出若干數論的結論。例如我們可在E中加入無窮遠點，得到射影曲線

$$X^2+XY+Y^2=Z^2 \,\!$$

以上參數化遂表為

$$X=1-t^2,\quad Y=t(t+2),\quad Z=t^2+t+1 \,\!$$

若取$t$為整數，對應的$X,Y,Z$是不定方程$X^2+XY+Y^2=Z^2$的整數解；若將$X$代以$-X$，則此方程詮釋為θ=60°時的餘弦定理，藉此能描述所有一角為 60°且邊長均為整數的三角形，例如取$t=2$，就得到邊長分別為X=3, Y=8, Z=7的三角形。

### 橢圓曲線

橢圓曲線可以定義為任意虧格等於一且給定一個有理點的代數曲線，它們都同構於平面上的三次曲線。此時通常取無窮遠處的反曲點為給定的有理點，這時該曲線可以寫作射影版本的Tate-魏爾施特拉斯形式：

$$y^2z + a_1 xyz + a_3 yz^2 = x^3 + a_2 x^2z + a_4 xz^2 + a_6 z^3. \,\!$$

橢圓曲線帶有唯一的阿貝爾群結構，使得給定有理點為單位元素，且加法為代數簇的態射，因而橢圓曲線構成一個阿貝爾簇。在三次平面曲線的情形，三點和為零若且唯若它們共線。對於複數域上的橢圓曲線，此阿貝爾簇同構於$\mathbb{C}/\Lambda$，其中的$\Lambda$由相應的橢圓函數給出。

### 虧格大於一的曲線

對虧格大於一的曲線，其性質與有理曲線與橢圓曲線有顯著不同。根據法爾廷斯定理，定義在數域上的這類曲線只有有限個有理點；若視為黎曼曲面，它們則帶有雙曲幾何的結構。例子包括超橢圓曲線、克萊因四次曲線與一開始提到的費馬曲線在$n \geq 4$的情形。

## 文獻

- Egbert Brieskorn and Horst Knörrer, Plane Algebraic Curves, John Stillwell, trans., Birkhäuser, 1986
- Claude Chevalley, Introduction to the Theory of Algebraic Functions of One Variable, American Mathematical Society, Mathematical Surveys Number VI, 1951
- Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces, Springer, 1980
- Phillip A. Griffiths, Introduction to Algebraic Curves, Kuniko Weltin, trans., American Mathematical Society, Translation of Mathematical Monographs volume 70, 1985 revision
- Robin Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer, 1977
- Shigeru Iitaka, Algebraic Geometry: An Introduction to the Birational Geometry of Algebraic Varieties, Springer, 1982
- John Milnor, Singular Points of Complex Hypersurfaces, Princeton University Press, 1968
- George Salmon, Higher Plane Curves, Third Edition, G. E. Stechert & Co., 1934
- Jean-Pierre Serre, Algebraic Groups and Class Fields, Springer, 1988