Ext函子

在同調代數中，Ext 函子是 Hom 函子的導函子。此函子首見於代數拓撲，但其應用遍佈許多領域。

## 定義

設 $\mathcal{C}$ 為有充足內射元的阿貝爾範疇，例如一個環 $R$ 上的左模範疇 $R-\mathbf{Mod}$。固定一對象 $A$，定義函子 $T_A(-) := \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,-)$，此為左正合函子，故存在右導函子 $R^\bullet T_A(-)$，記為 $\mathrm{Ext}_\mathcal{C}^\bullet(A,-)$。當 $\mathcal{C}=R-\mathbf{Mod}$ 時，常記之為 $\mathrm{Ext}_R^\bullet(A,-)$。

根據定義，取 $B$ 的內射分解

$$J(B)\longleftarrow B\longleftarrow 0$$

並取 $\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,-)$，得到

$$\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,J(B))\longleftarrow \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B) \longleftarrow 0$$

去掉首項 $\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B)$，最後取上同調群，便得到 $\mathrm{Ext}_\mathcal{C}^\bullet(A,B)$。

另一方面，若 $\mathcal{C}$ 中也有充足射影元（例如 $R-\mathbf{Mod}$），則可考慮右正合函子 $G_B(-) := \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(-,B)$ 及其左導函子 $L_\bullet G_B(-)$，可證明存在自然同構 $L_\bullet G_B(A) = \mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A,B)$。換言之，對 $A$ 取射影分解：

$$P(A) \longrightarrow A \longrightarrow 0$$

並取 $\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(-,B)$，得到

$$\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(P(A), B) \longrightarrow \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B) \longrightarrow 0$$

去掉尾項 $\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B)$，其同調群同構於 $\mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A,B)$。

## 基本性質

- 若 $A$ 是射影對象或 $B$ 是內射對象，則對所有 $i>0$ 有 $\mathrm{Ext}^i_\mathcal{C}(A,B) = 0$。
- 反之，若 $\mathrm{Ext}^1_\mathcal{C}(A,-)=0$，則 $A$ 是射影對象。若 $\mathrm{Ext}^1_\mathcal{C}(-,B)=0$，則 $B$ 是內射對象。
- $$\mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(\bigoplus_i A_i, B) = \coprod_i \mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A_i, B)$$
- $$\mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A, \prod_j B_j) = \prod_j \mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A, B_j)$$
- 根據導函子性質，對每個短正合序列 $0 \to B' \to B \to B'' \to 0$，有長正合序列：

$$\cdots \to \mathrm{Ext}^{n-1}_\mathcal{C}(A, B'') \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A, B') \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A, B) \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A, B'') \to \mathrm{Ext}^{n+1}_\mathcal{C}(A, B'') \to \cdots$$

- 承上，若 $\mathcal{C}$ 有充足的射影元，則對第一個變數也有長正合序列；換言之，對每個短正合序列 $0 \to A' \to A \to A'' \to 0$，有長正合序列

$$\cdots \to \mathrm{Ext}^{n-1}_\mathcal{C}(A', B) \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A'', B) \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A, B) \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A', B) \to \mathrm{Ext}^{n+1}_\mathcal{C}(A'', B) \to \cdots$$

## 譜序列

今設 $A,B$ 為含單位元的環，並固定一環同態 $A \to B$。則由雙函子的自然同構

$$\mathrm{Hom}_B(-, \mathrm{Hom}_A(B,-)) \simeq \mathrm{Hom}_A(-, -)$$

導出格羅滕迪克譜序列：對每個 $B$-模 $M$ 及 $A$-模 $N$，有譜序列

$$E_2^{pq} = \mathrm{Ext}_B^p(M, \mathrm{Ext}^q_A(B, N)) \Rightarrow \mathrm{Ext}_A^{p+q}(M, N)$$

這個關係稱為換底。

## Ext函子與擴張

Ext 函子得名於它與群擴張的聯繫。抽象地說，給定兩個對象 $A, B \in \mathcal{C}$，在擴張

$$0\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow 0$$

等價類與 $\mathrm{Ext}_\mathcal{C}^1(A,B)$ 之間有一一對應，下將詳述。

對任兩個擴張

$0\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow 0$ 與

$$0\rightarrow B\rightarrow C'\rightarrow A\rightarrow 0$$

可以構造其 Baer 和 為 $0 \rightarrow B \rightarrow C \times_A C' / \Delta \rightarrow A \rightarrow 0$，其中 $\Delta := (1,-1)(C \sqcup_B C')$（反對角線）。這在等價類上構成一個群運算，可證明此群自然地同構於 $\mathrm{Ext}^1_\mathcal{C}(A,B)$。

對更高階的擴張，同樣可定義等價類；對任兩個 n-擴張（n>1）

$0\rightarrow B\rightarrow X_n\rightarrow\cdots\rightarrow X_1\rightarrow A\rightarrow 0$ 與

$$0\rightarrow B\rightarrow X'_n\rightarrow\cdots\rightarrow X'_1\rightarrow A\rightarrow 0$$

此時的 Baer 和定為

$$0 \rightarrow B \rightarrow Y_n\rightarrow X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\rightarrow\cdots\rightarrow X_2\oplus X'_2\rightarrow X''_1\rightarrow A\rightarrow 0$$

其中 $A := X_1 \times_A X_1'/\Delta_1$（反對角線 $\Delta_1$ 之定義同上），$Y_n := X_n \sqcup_B X_n'$。這也在 n-擴張的等價類上構成一個群運算，此群自然同構於 $\mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A,B)$。藉此，能在任何阿貝爾範疇上定義 Ext 函子。

## 重要例子

- 設 $G$ 為群，取環 $R :=\Z G$，可以得到群上同調：$\mathrm{Ext}_{\Z G}^\bullet (\Z, M ) = H^\bullet(G,M)$。
- 設 $\mathcal{C}$ 為局部賦環空間 $X$ 上的 $\mathcal{O}_X$-模範疇，可以得到層上同調：$\mathrm{Ext}_\mathcal{C}^\bullet(\mathcal{O}_X, \mathcal{F}) = H^\bullet(X, \mathcal{F})$。
- 設 $\mathfrak{g}$ 為李代數，取環 $R := U(\mathfrak{g})$ 為其泛包絡代數，可以得到李代數上同調：$\mathrm{Ext}_R^\bullet(R, M) = H^\bullet(\mathfrak{g}, M)$。
- 設 $k$ 為域，$A$ 為 $k$-代數，取環 $R := A \times A^\mathrm{op}$，$A$ 帶有自然的 $R$-模結構，此時得到 Hochschild 上同調：$\mathrm{Ext}^\bullet_R(A, M) = HH^\bullet(A, M)$。