柯爾莫果洛夫空間

在拓撲學和相關的數學分支中，T0空間，又稱柯爾莫哥洛夫空間（T0 space 或 Kolmogorov space），以數學家安德雷·柯爾莫哥洛夫命名，定義了一類廣泛地表現良好的拓撲空間。T0 條件是分離公理之一。

## 定義

拓樸空間$X$是T0空間若且唯若對所有相異的$x,y\in X$且，存在開集合$U$使得$x\in U,\ y\notin U$或$y\in U,\ x\notin U$。

T0 空間中所有相異點對都是拓撲可區分的。也就是說，對於任何兩個相異的點$x$和$y$，存在一個正好只包含兩點之一的開集。

注意拓撲可區分的點都是相異的。另一方面，如果單元素集合$\{x\}$和$\{y\}$是分離的，則點$x$和$y$必為拓撲可區分的。也就是說：

$\{x\}$與$\{y\}$「分離」$\implies x$與$y$「拓撲可區分」$\implies x \neq y$

拓撲可區分的條件一般強於相異的條件，但要弱於可分離的條件。

T0 空間中，第二個箭頭可以反轉：兩點相異若且唯若它們是拓樸可區分的。

## 例子和反例

在數學中經常研究的幾乎所有拓撲都是 T0 的。例如所有豪斯多夫空間和 T1 空間都是 T0 的。

### 非 T0 空間

- 在帶有密著拓撲的多元素集合中，沒有點是拓撲可區分的。
- 特定拓撲中的$\mathbb{R}^2$集合。其中開集都是$\mathbb{R}$的開集和$\mathbb{R}$自身的笛卡爾乘積的形式（$U \times \mathbb{R}$），即$\mathbb{R}$的平常拓撲和$\mathbb{R}$的密著拓撲的乘積空間；該拓撲中，點$(a,b)$和$(a,c)$是不可區分的。（注意：$(a,b)$為$\mathbb{R}^2$中的元素，而非$\mathbb{R}$的開區間）
- 從實直線$\mathbb{R}$到複平面$\mathbb{C}$的可測函數$f$的空間，使得 $|f(x)|^2$ 在整個實直線上的勒貝格積分是有限的。此空間中幾乎處處相等的兩個函數是不可區分的。

### T0 但非 T1 空間

- 交換環 R 的素環譜 Spec(R) 上的 Zariski拓撲總是 T0 但一般不是 T1。非閉合點對應於不是極大理想的素理想。它們對於理解概形是重要的。
- 在帶有至少兩個元素的任何集合上的特定點拓撲是 T0 但不是 T1，因為特定點不是閉合的（它的閉包是整個空間）。一種重要特殊情況是在集合 {0,1} 上的特定點拓撲的謝爾賓斯基空間。
- 在帶有至少兩個元素的任何集合上的排斥點拓撲是 T0 但不是 T1。唯一閉合點是排斥點。
- 在偏序集合上的Alexandrov拓撲是 T0 但不是 T1 除非這個次序是離散的（一致於相等性）。所有有限 T0 空間都是這種類型的。這還包括特定點和排斥點拓撲作為特殊情況。
- 在全序集合上的右序拓撲是有關的例子。
- 重疊區間拓撲類似於特定點拓撲，因為所有開集都包括 0。
- 非常一般的說，拓撲空間 X 是 T0 的，若且唯若在 X 上的特殊化預序是偏序。但是，X 將是 T1 的，若且唯若這個次序是離散的（一致於相等性）。所以空間將是 T0 但不是 T1，若且唯若在 X 上的這個特殊化預序是非離散偏序。

## 操作 T0 空間

典型研究的拓撲空間的例子是 T0。實際上，當數學家在很多領域特別是數學分析中，偶爾遇到非T0 空間的時候，它們通過以如下方式把它替代為 T0 空間。為了激發涉及到的想法，考慮周知的例子。L2(R) 空間是從實直線 R 到複平面 C 的可測函數的空間，它使得 |f(x)|2 在整個實直線上的勒貝格積分是有限的。這個空間應當通過定義範數

f

為這個積分的平方根來變成賦範向量空間。問題是這不是實際上的範數，只是半範數，因為有除了零函數之外有（半）範數為零的函數。標準解決是定義 L2(R) 為函數的等價類集合而不是直接的函數集合。這種構造了最初半賦範向量空間的商空間，而這個商是賦範向量空間。它從半賦範空間繼承了一些方便的性質。

一般的說，在處理集合 X 上一個固定拓撲 T 的時候，如果這個拓撲是 T0 將是有幫助的。換句話說，在 X 是固定而 T 允許在特定邊界內變化的時候，強迫 T 是 T0 將是不方便的，因為非 T0 拓撲經常是重要的特殊情況。因此，區分可以放置在拓撲空間上的各種條件的 T0 和非 T0 版本二者是重要的。

## 柯爾莫哥洛夫商空間

點與點之間的拓撲不可區分性是一種等價關係。對任意拓撲空間$X$，通過考慮此等價關係給出的商空間總是T0空間。這個商空間叫做$X$的柯爾莫果洛夫商空間，寫作KQ($X$)。如果$X$本身已經是T0空間，則 KQ($X$)和$X$自然同胚。

絕對的說，柯爾莫果洛夫空間是拓撲空間的反射子範疇，而柯爾莫果洛夫商是反射子。

拓撲空間$X$和$Y$的柯爾莫果洛夫商同胚時，$X$和$Y$被稱為柯爾莫果洛夫等價的。這種等價性保留很多拓撲空間的性質（如連通性，緊緻性）；就是說，如果$X$和$Y$柯爾莫果洛夫等價，則$X$有某種性質若且唯若$Y$也有。

另一方面，許多拓撲空間的性質蘊涵了 T0 性；就是說如果$X$有這種性質，則$X$必定是 T0的。只有很少性質比如「$X$為不可分空間」，是這個經驗規則的例外（此條件不蘊涵 T0 性）。

更為理想地，在拓撲空間上定義的很多結構都可在$X$和 KQ($X$) 之間轉移。結果就是如果你有帶有特定結構或性質的非 T0 拓撲空間，則你通常可通過選取柯爾莫果洛夫商來形成帶有相同結構或性質的 T0 空間。

L2(R) 的例子展示了這些特徵。從拓撲學的角度，這個半賦範向量空間有很多額外的結構；例如，它是向量空間，並有半範數，並且這些定義了相容於這個拓撲的偽度量和一致結構。還有，這些結構有很多性質；例如半範數滿足平行四邊形恆等式而一致結構是完備的。這個空間不是 T0 的因為幾乎處處相等的任何兩個 L2(R) 的函數關於這個拓撲是不可區分的。當我們形成柯爾莫果洛夫商的時候，實際的 L2(R) 保持了這些結構和性質。因此，L2(R) 也是滿足平行四邊形恆等式的完備半賦范向量空間。但是我們實際上得到的要多了一點，因為這個空間現在是 T0 的。半範數是範數，若且唯若底層拓撲是 T0，所以 L2(R) 實際上是滿足平行四邊形恆等式的完備賦范向量空間 — 也叫做希爾伯特空間。它是數學家（和研究量子力學的物理學家）一般都研究的希爾伯特空間。注意符號 L2(R) 通常指示柯爾莫果洛夫商，在測度零的集合上有所不同的平方可積函數的等價類的集合，而非符號所暗示的簡單的是平方可積函數的向量空間。

## 去除 T0

你可能注意到了，儘管範數歷史上定義在先，人們也提出了半範數的定義，它是範數的一種非 T0 版本。一般的說，可以定義拓撲空間的性質和結構二者的非 T0 版本。首先，考慮拓撲空間的一個性質，比如是豪斯多夫的性質。你可以定義另一個拓撲空間性質，通過定義空間 X 為滿足這個性質，若且唯若柯爾莫果洛夫商 KQ(X) 是豪斯多夫的。這是一個明智的不太著名的性質，這種空間 X 被為預正則的。（甚至有預正則性的更直接的定義）。現在考慮可以放置到拓撲空間上一個結構，比如度量。我們可以通過設置在 X 上的結構簡單的是在 KQ(X) 上的度量來定義一個新結構。有這種在 X 上的明智的結構，它就是偽度量。（偽度量也有更直接的定義）。

在這種方式下，有從性質或結構的要求中去除 T0 性的自然方式。研究 T0 的空間一般要容易些，但讓非 T0 的結構得到漂洗後的對應者也是容易的。使用柯爾莫果洛夫商的概念可以任意的增加或去除 T0 要求。

## 外部連結

- The Legacy of Andrei Nikolaevich Kolmogorov Curriculum Vitae and Biography. Kolmogorov School. Ph.D. students and descendants of A.N. Kolmogorov. A.N. Kolmogorov works, books, papers, articles. Photographs and Portraits of A.N. Kolmogorov.
- History of weak separation axioms (PDF file)