殆複流形

在數學中，一個殆複流形（almost complex manifold）是在每個切空間上帶有一個光滑線性複結構的光滑流形。此結構的存在性是一個流形成為複流形的必要條件，但非充分條件。即每個複流形是一個殆複流形，反之則不然。殆複結構在辛幾何中有重要應用。

此概念由埃雷斯曼與霍普夫於1940年代引入。

## 定義

設 M 是一個光滑流形。M 上一個殆複結構（almost complex structure）J 是在該流形每個切空間給出一個線性複結構（即平方為 -1 的線性映射），且在流形上光滑變化。換句話說，我們有一個秩為 (1,1) 的光滑張量場 J 使得 J2 = -1，將其視為切叢上一個向量叢自同構 J : TM → TM。攜有一個殆複結構的流形稱為殆複流形（almost complex manifold）。

如果 M 有一個複結構，它必是偶數維的。事實上如果 M 有一個殆複結構必是偶數維。這可如下看出來。假設 M 是 n 維的，設 J : TM → TM 是一個殆複結構。則 det(J-xI) 是 x 的一個次數為 n 的多項式。如果 n 是奇數，則它有一個實根，z。那麼 det(J-zI)=0，所以存在一個向量 v 屬於 TM 使得 Jv=zv。從而 JJv=z2v 這顯然不等於 -v 因 z 是實數。從而 n 必須是偶數如果 M 有一個殆複結構。可以證明它也必須是可定向。

線性代數中一個簡單的練習說明任何偶數維向量空間有一個線性複結構。從而一個偶數維流形在每點 p 總存在一個秩 (1,1) 張量使得 Jp2 = −1（這只不過是在每個切空間的一個線性變換）。只有當這個局部張量能拼成一個整體定義的，逐點的線性複結構得出一個殆複結構，這樣是惟一確定的。這樣拼接的可能性，從而流形 M 上殆複結構的存在，等價於將切叢的結構群從 GL(2n, R) 約化為 GL(n, C)。這樣存在性是一個純粹的代數拓撲問題，這已被充分理解。

## 例子

對每個整數 n，平坦空間 $R^{2n}$ 有一個殆複結構。這樣殆複結構的一個例子是 ($1 \le i,j \le 2n$): $J_{ij} = -\delta_{i,j+1}$ 對奇數 i。

$J_{ij} = \delta_{i,j-1}$ 對偶數 i。

存在殆複結構的球面只有 S2 與 S6。在 S2 的情形，殆複結構其實來自於黎曼球面上的複結構。6 維球面 S6，當將其視為單位範數虛八元數，從八元數乘法繼承一個殆複結構。

## 殆複流形的微分拓撲

就像一個向量空間 V 上的複結構可將 VC 分解為 V+ 與 V-，所以 M 上一個殆複結構可將複化的切叢 TMC（這是在每一點是複化的切空間的向量叢）。TM+ 的一個截面稱為 (1,0) 型向量場，而 TM- 的一個截面稱為 (0,1) 型向量場。這樣 J 在複切叢 (1,0)-向量場上相當於乘以 i，在 (0,1)-向量場上相當於乘以 -i。

和從餘切叢的外冪構造微分形式一樣，我們可以構造複餘切叢的外冪（典範同構於複切叢的對偶空間叢）。殆複結構在每個 r-形式上誘導了分解

$$\Omega^r(M)^\mathbb{C}=\bigoplus_{p+q=r} \Omega^{(p,q)}(M).$$

換句話說，每個 Ωr(M)C 可以分解為 Ω(p,q)(M) 之和，這裡 p、q 取遍 p+q = r。

在任何直和中，有一個典範投影 πp,q，從 Ωr(M)C 到 Ω(p,q)。我們也有一個外導數將 Ωr(M)C 映為 Ωr+1(M)C。從而我們利用殆複結構可以加細外導數在特定類型上的作用

$$\partial=\pi_{p+1,q}\circ d$$

$$\overline{\partial}=\pi_{p,q+1}\circ d$$

所以 $\partial$ 是將類型的全純部分增加 1 的映射（將 (p,q) 型形式變為 (p+1,q) 型形式），而 $\overline{\partial}$ 是將類型的反全純部分增加 1 的映射。這些算子稱為 Dolbeault 算子。

因為所有的投影直和必是恆等映射，我們注意到外導數可以寫成

$$d=\sum_{r+s=p+q+1} \pi_{r,s}\circ d=\partial + \overline{\partial}+\dotsb.$$

## 可積殆複結構

每個複流形自身便是一個殆複結構。在局部全純坐標 $z^\mu = x^\mu + i y^\mu$ 下，可定義映射

$$J\frac{\partial}{\partial x^\mu} = \frac{\partial}{\partial y^\mu} \qquad J\frac{\partial}{\partial y^\mu} = -\frac{\partial}{\partial x^\mu}$$

或

$$J\frac{\partial}{\partial z^\mu} = i\frac{\partial}{\partial z^\mu} \qquad J\frac{\partial}{\partial \bar{z}^\mu} = -i\frac{\partial}{\partial \bar{z}^\mu}.$$

容易驗證這個映射定義了一個殆複結構。從而流形上任何複結構得出一個殆複結構，這稱為由複結構所誘導，此複結構稱為與該殆複結構相容。

逆問題是否殆複結構蘊含複結構的存在則不是這麼平凡，一般是不成立的。在任意一個殆複流形上總可以找到坐標系使得殆複結構在任意給定點 p 取如上典範形式。然而，一般不可能找到坐標系使得 J 在 p 的一個完整的鄰域上取典範形式。這樣的坐標如果存在，稱為 J 的局部全純坐標。如果 M 在每一點附近有 J 的局部全純坐標，則它們拼成 M 的一個全純圖冊，給出一個複結構，且其誘導了 J。這樣的 J 稱為可積的。如果 J 由一個複結構誘導，則它是由惟一的一個複結構誘導的。

設 J 是流形 M一個殆複結構，定義尼延黑斯張量為

$$N_J(X,Y) = [X,Y] + J([J X, Y] + [X, J Y]) - [J X, J Y].$$

Newlander-Nirenberg 定理斷言一個殆複結構是可積的若且唯若尼延黑斯張量對 M 上所有光滑向量場 X 與 Y 消沒（這裡的 ·, · 表示向量場的李括號）。從而為了驗證一個給定的殆複流形是否有一個相容的複結構，只需計算其尼延黑斯張量。相容複結構是惟一的，上面已討論過。因為一個殆複結構的可積性等價於複結構的存在性，有時這也作為複結構的定義。

存在等價於尼延黑斯張量消沒的其它判據，豐富了驗證一個殆複結構的可積性（事實上以每一個作為一個殆複結構的可積性，在文獻中都可找到）。它們包括

- 兩個 (1,0)-向量場的李括號依然是 (1,0) 型。
- $$d = \partial + \bar\partial.$$
- $$\bar\partial^2=0.$$

任何這些條件蘊含了惟一一個相容複結構的存在。

殆複結構的存在性是一個拓撲學問題，上已討論過，相對容易回答。另一方面，可積殆複結構的存在性是一個難得多的分析問題。例如，早就知道 S6 有一個殆複結構，但它是否有一個可積的複結構仍然是一個開放的問題。值得注意的是光滑性是重要的。對實解析的 J，Newlander-Nirenberg 定理可由弗羅貝尼烏斯定理得出；對 $C^\infty$（以及更弱的連續性） J，分析是必須的（因為正則性假設減弱了故需要更難的技巧）。

## 相容三元組

假設 M 攜有一個辛形式 ω，一個黎曼度量 g 與一個殆複結構 J。因為 ω 與 g 是非退化的，每個都有到了一個叢同構 TM → T*M，其中第一個映射記作 φω，由內乘給出 φω(u) = $i$uω = ω(u, · )，另一個記作 φg，由 g 通過類似的運算給出。這三個結構 (g,ω,J) 形成一個相容三元組，如果每個結構可由其它兩個如下確定：

- g(u,v) = ω(u,Jv)
- ω(u,v) = g(Ju,v)
- J(u) = φg-1(φω(u)).

在每一個這樣的方程中，如果右邊的兩個結構通過對應的構造得出指定類型的結構，則稱為相容的。例如 ω 與 J 是相容的如果 ω( · ,J · ) 是一個黎曼度量。利用辛形式 ω 的基本性質，可以證明一個相容殆複結構 J 對黎曼度量 ω(u,Jv) 是一個殆凱勒結構。另外一個事實是如果 J 是可積的，則 (M,ω,J) 是一個凱勒流形。

這些三元組與酉群的三選二性質有關。

## 廣義殆複結構

奈傑爾·希欽引入了流形 M 上的廣義殆複結構的概念，在他的學生馬可·瓜蒂耶里與吉爾·卡亞坎蒂的博士論文中得到詳細地研究。一個通常的殆複結構是在複切叢 TM 的每個纖維中選取一個半維數的子空間。一個廣義殆複結構是在複切叢與複餘切叢直和的每個纖維中選取一個半維數的迷向子空間。在每種情形都要求該子叢與其複共軛得出原來的叢。

一個殆複結構積成一個複結構如果該半維數子空間在李括號下封閉。一個廣義殆複結構積成一個廣義複結構如果該子空間在柯朗括號下封閉。進一步如果該半維數子空間是一個處處非零純旋量的零化子則 M 是一個廣義卡拉比-丘流形。

## 參考文獻

- da Silva, A.C., Lectures on Symplectic Geometry, Springer (2001). ISBN 3-540-42195-5. Information on compatible triples, Kähler and Hermitian manifolds, etc.
- Wells, R.O., Differential Analysis on Complex Manifolds, Springer-Verlag, New York (1980). ISBN 0-387-90419-0. Short section which introduces standard basic material.