馬克士威應力張量

本條目中，向量與標量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。

在電磁學裏，馬克士威應力張量(Maxwell stress tensor)是描述電磁場帶有之應力的二階張量。馬克士威應力張量可以表現出電場力、磁場力和機械動量之間的相互作用。對於簡單的狀況，例如一個點電荷自由地移動於均勻磁場，應用勞侖茲力定律，就可以很容易地計算出點電荷所感受的作用力。但是，當遇到稍微複雜一點的狀況時，這很普通的程序會變得非常困難，方程式洋洋灑灑地一行又一行的延續。因此，物理學家通常會聚集很多項目於馬克士威應力張量內，然後使用張量數學來解析問題。

## 導引

為了方便參考，先列出馬克士威方程組：

名稱｜微分形式

高斯定律｜$\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}$

高斯磁定律｜$\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{B} = 0$

法拉第感應定律｜$\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$

馬克士威-安培定律｜$\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ $

其中，$\mathbf{E}$ 是電場，$\mathbf{B}$ 是磁場，$\rho$ 是電荷密度，$\mathbf{J}$是電流密度，$\varepsilon_0$ 是電常數，$\mu_0$ 是磁常數。

從勞侖茲力定律開始，一個電荷分佈所感受到的單位體積的作用力 $\mathbf{f}$ 是

$\mathbf{f} = \rho\mathbf{E} + \mathbf{J}\times\mathbf{B}$。

應用高斯定律和馬克士威-安培定律，把電荷密度和電流密度替換掉，只讓電場和磁場出現於方程式：

$\mathbf{f} = \epsilon_0 \left(\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} \right)\mathbf{E} + \frac{1}{\mu_0} \left(\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B} \right) \times \mathbf{B} - \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \times \mathbf{B}$。

應用乘積法則和法拉第感應定律：

$\frac{\partial}{\partial t} (\mathbf{E}\times\mathbf{B}) = \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\times \mathbf{B} + \mathbf{E} \times \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} = \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\times \mathbf{B} - \mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E})$。

稍加編排，將 $\mathbf{f}$ 寫為

$\begin{align}\mathbf{f} & = \epsilon_0 \left(\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} \right)\mathbf{E} + \frac{1}{\mu_0} \left(\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B} \right) \times \mathbf{B} - \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}\left( \mathbf{E}\times \mathbf{B}\right) - \epsilon_0 \mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E}) \\ <pre> & = \epsilon_0\left[ (\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} )\mathbf{E} - \mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E}) \right] + \frac{1}{\mu_0} \left[ - \mathbf{B}\times\left(\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B} \right) \right] - \epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\left( \mathbf{E}\times \mathbf{B}\right) \\ </pre> \end{align}$。

為了使 $\mathbf{E}$ 的項目 $\mathbf{B}$ 的項目能夠相互對稱，加入一個 $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ 項目：

$\mathbf{f}= \epsilon_0\left[ (\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} )\mathbf{E} - \mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E}) \right] + \frac{1}{\mu_0} \left[(\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{B})\mathbf{B} - \mathbf{B}\times\left(\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B} \right) \right] <pre> - \epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\left( \mathbf{E}\times \mathbf{B}\right)$。

應用向量恆等式，對於任意向量 $\mathbf{A}$

$\mathbf{A} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A})=\tfrac{1}{2} \boldsymbol{\nabla} A^2 - (\mathbf{A} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{A}$。

將 $\mathbf{f}$ 的方程式內的旋度項目除去：

$\mathbf{f} = \epsilon_0\left[ (\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} )\mathbf{E} + (\mathbf{E}\cdot\boldsymbol{\nabla}) \mathbf{E} \right] + \frac{1}{\mu_0} \left[(\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{B} )\mathbf{B} + (\mathbf{B}\cdot\boldsymbol{\nabla}) \mathbf{B} \right] - \frac{1}{2} \boldsymbol{\nabla}\left(\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0} B^2 \right) <pre> - \epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\left( \mathbf{E}\times \mathbf{B}\right)$。

這方程式最右邊項目涉及了坡印廷向量 $\mathbf{S}$：

$\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{E}\times\mathbf{B}$。

設定馬克士威應力張量 $\stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}}$ （以英文字母上面加兩隻箭矢符號來標記二階張量）：

$T_{ij} \equiv \epsilon_0 \left(E_i E_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} E^2\right) + \frac{1}{\mu_0} \left(B_i B_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} B^2\right)$。

其中，$\delta_{ij}$ 是克羅內克函數。

定義一個向量 $\mathbf{A}$ 與馬克士威應力張量 $\stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}}$ 的內積為

$(\mathbf{A}\cdot \stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}})_j=\textstyle{\sum_i}\ A_i T_{ij}$。

那麼，一個電荷分佈所感受到的單位體積的作用力 $\mathbf{f}$ 是

$\mathbf{f} = \nabla \cdot \stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}} - \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{S}}{\partial t}$。

## 馬克士威應力張量的性質

馬克士威應力張量是一個對稱張量，表達為

$T_{ij} = \left( \begin{matrix} \epsilon_0(E_x^2 - E^2 /2)+\cfrac{1}{\mu_0}(B_x^2 - B^2 /2) & \epsilon_0 E_x E_y +\cfrac{1}{\mu_0}(B_x B_y) & \epsilon_0 E_x E_z+\cfrac{1}{\mu_0}(B_x B_z) \\ \epsilon_0 E_x E_y+\cfrac{1}{\mu_0}(B_x B_y) & \epsilon_0(E_y^2 - E^2 /2)+\cfrac{1}{\mu_0}(B_y^2 - B^2 /2) & \epsilon_0 E_y E_z +\cfrac{1}{\mu_0}(B_y B_z) \\ \epsilon_0 E_x E_z+\cfrac{1}{\mu_0}(B_x B_z) & \epsilon_0 E_y E_z+\cfrac{1}{\mu_0}(B_y B_z) & \epsilon_0(E_z^2 - E^2 /2)+\cfrac{1}{\mu_0}(B_z^2 - B^2 /2) \end{matrix} \right)$。

馬克士威應力張量的單位是牛頓／公尺2。馬克士威應力張量的 ij 元素詮釋為，朝著 i-軸方向，施加於 j-軸的垂直平面，單位面積的作用力；對角元素代表負壓力，非對角元素代表剪應力。對角元素給出張力（拖拉力）作用於其對應軸的垂直面微分元素。不同於理想氣體因為壓力而施加的作用力，在電磁場內的一個面元素也會感受到方向不垂直於其面的剪應力。這是由非對角元素給出的。

## 動量守恆定律

在一個體積 $\mathcal{V}$ 內的電荷，所感受到的總作用力 $\mathbf{F}$ 是

$\mathbf{F}=\int_{\mathcal{V}}\ \mathbf{f}\mathrm{d}\tau=\int_{\mathcal{V}}\ \nabla \cdot \stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}}\mathrm{d}\tau - \epsilon_0 \mu_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{\mathcal{V}}\ \mathbf{S}\mathrm{d}\tau$。

應用散度定理，可以得到

$\mathbf{F}=\oint_{\mathcal{S}}\ \stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}}\cdot\mathrm{d}\mathbf{a} - \epsilon_0 \mu_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{\mathcal{V}}\ \mathbf{S}\mathrm{d}\tau$。

其中，$\mathcal{S}$ 是體積 $\mathcal{V}$ 的閉合表面。

根據牛頓第二定律。

$\mathbf{F}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}$。

其中，$\mathbf{p}$ 是動量。

所以，電荷的動量 $\mathbf{p}_{charge}$ 可以表達為

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_{charge}}{\mathrm{d}t}=\oint_{\mathcal{S}}\ \stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}}\cdot\mathrm{d}\mathbf{a} - \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_{em}}{\mathrm{d}t}$。

其中，$\mathbf{p}_{em}=\epsilon_0 \mu_0\oint_{\mathcal{V}}\ \mathbf{S}\mathrm{d}\tau$ 是儲存於電磁場的動量（坡印廷向量 $\mathbf{S}$ 是由電場和磁場組成的一個複合向量）。

稍加編排，可以得到動量守恆定律的積分方程式：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{p}_{charge}+\mathbf{p}_{em})=\oint_{\mathcal{S}}\ \stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}}\cdot\mathrm{d}\mathbf{a}$。

動量守恆定律闡明，一個體積的總動量（電荷的動量加上電磁場的動量）的增加速率等於每秒鐘流入閉合表面的動量。負的馬克士威應力張量 $-$ $\stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}}$ 是一個動量通量密度。

動量守恆定律也能以微分形式表達為

$\frac{\partial}{\partial t}(\mathfrak{p}_{charge} +\mathfrak{p}_{em})=\nabla\cdot\stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}}$。

其中，$\mathfrak{p}_{charge}$ 是電荷的動量密度，$\mathfrak{p}_{em}$ 是電磁場的動量密度。