格拉斯曼流形

在數學中，格拉斯曼流形是一個向量空間 V 的給定維數的所有線性子空間。例如，格拉斯曼流形 Gr1(V) 是 V 中過原點直線的空間，從而與射影空間 PV 相同。格拉斯曼流形以赫爾曼·格拉斯曼命名。

## 引言

通過給定子空間一個拓撲結構可以談論子空間的一個連續選取或子空間集合的一個開集或閉集；通過給它們一個微分流形結構可以考慮子空間的光滑選取。

一個自然的例子來自嵌入在歐幾里得空間中光滑流形的切叢。假設我們有一個 r 維流形 M 嵌入在 $\mathbb{R}^n$ 中。在 M 中的每一點 x，M 的切叢可以視為 $\mathbb{R}^n$ 的切空間（也是 $\mathbb{R}^n$）的一個子空間。將 x 分配為它切空間定義了一個 M 到 Grr(n) 的映射。（為此我們需要平移 M 在 x 處的切空間到原點，從而定義了一個 r-維向量子空間。這種想法非常類似於三維空間中曲面的高斯映射）。

這種想法廣泛地說可以推廣到一個流形 M 所有向量叢，這樣每個向量叢產生一個從 M 到一個合適的一般化格拉斯曼流形的連續映射——但是為此我們須證明不同的嵌入定理。我們然後發現我們的向量叢的性質與對應的映射視為連續映射的性質有關。特別的我們發現，具有同倫的映射的向量叢是同構的。但是同倫的定義依賴於一個連續的概念，從而一個拓撲。

### 歷史

最簡單的非射影空間格拉斯曼流形是 $\mathrm{Gr}_2(4)$。這是尤里烏斯·普呂克研究的，做為射影三維空間中的直線，他通過普呂克坐標參數化了這個空間。赫爾曼·格拉斯曼將普呂克的工作一般化為 n 維空間中的 r 平面。

## 低維情況

當 k = 2 時，格拉斯曼流形是收集所有過原點平面的集合。在三維歐幾里得空間，一個平面完全由其一條垂線確定（反之亦然）；從而 Gr2(3) 同構於 Gr1(3)（兩者都同構於實射影平面）。

## 格拉斯曼流形作為集合

設 V 是域 k 上有限維向量空間。格拉斯曼流形 Grr(V) 是 V 的所有 r-維線性子空間。它也記做 Gr(V)， Gr(r, V) 或 G(r, V)。如果 V 的維數為 n，則格拉斯曼流形也記做 Gr(r, n) 或 G(r, n)。

V 的向量子空間等價於射影空間 PV 的線性子空間，故等價地可將格拉斯曼流形視為 PV 的線性子空間之集合。當格拉斯曼流形看成這樣時，經常記做 Grr−1(PV)，Gr−1(PV)，Gr(r−1, n−1) 或 G(r−1, n−1)。

## 格拉斯曼流形作為齊性空間

給格拉斯曼流形一個幾何結構最快的方法是將其表述為一個齊性空間。首先，注意到一般線性群 GL(V)傳遞作用於 V 的 r-維子空間上。從而，如果 H 是這個作用的穩定子，我們有：

Grr(V) = GL(V)/H.

如果底域是 R 或 C 且將 GL(V) 視為一個李群，則這個構造將格拉斯曼流形變為一個光滑流形。也可以利用其它群來構造。為此，取定一個 V 上的內積。在 R 上我們將 GL(V) 換成正交群 O(V)，通過限制到正交標架，我們有等式

Gr(r, n) = O(n)/(O(r) × O(n−r)).

在 C 上，我們將 GL(V) 換為酉群 U(V)。這說明格拉斯曼流形是緊緻的。這些構造也使格拉斯曼流形成為一個度量空間：對 V 的一個子空間 W，令 PW 是 V 到 W 的投影。則

$$d(W, W') = \lVert P_W - P_{W'} \rVert,$$

是 Grr(V) 上一個度量，這裡 $\lVert\cdot\rVert$ 表示算子範數。

如果底域 k 任意且將 GL(V) 視為一個代數群，則這種構造說明格拉斯曼是一個非奇異代數簇。還可以證明 H 是一個拋物型子群，由此得出 Grr(V) 完備。

## 普呂克嵌入

普呂克嵌入是格拉斯曼流形到一個射影空間的自然嵌入：

$$\psi : \mbox{Gr}_r(V) \rightarrow \mathbf{P}(\wedge^r V).$$

假設 W 是 V 的一個 r-維子空間 V。為了定義 ψ(W)，取 W 的一組基 w1, ..., wr，然後設 ψ(W) 是這些基元素的楔積：

ψ(W) = w1 ∧ ... ∧ wr.

W 的一組不同基給出不同的楔積，但兩個積只差一個非零數量（基變換矩陣的行列式）。因為右邊取值於一個射影空間，ψ 是良定義的。為了說明 ψ 是一個嵌入，注意到可由 ψ(W) 重新得到 W，W 是所有向量 w 使得 w ∧ ψ(W) = 0。

格拉斯曼的這個嵌入滿足一些非常簡單的二次多項式稱為普呂克關係。這說明了格拉斯曼流形作為一個一個代數子簇嵌入 P(∧rV)，這也給出構造格拉斯曼流形的另一個方法。為了表述普呂克關係，取 V 的兩個 r-維子空間 W 和 Z，它們的基分別為 w1, ..., wr 和 z1, ..., zr。那麼對任何整數 k ≥ 0，如下等式在 P(∧rV) 的齊次坐標環中成立：

$$(w_1 \wedge \cdots \wedge w_r)\cdot(z_1 \wedge \cdots \wedge z_r) - \sum_{i_1 < \cdots < i_k} (v_1 \wedge \cdots \wedge v_{i_1 - 1} \wedge w_1 \wedge v_{i_1 + 1} \wedge \cdots \wedge v_{i_k - 1} \wedge w_k \wedge v_{i_k + 1} \wedge \cdots \wedge v_r)\cdot(v_{i_1} \wedge \cdots \wedge v_{i_k} \wedge w_{k+1} \cdots \wedge w_r) = 0.$$

## 對偶性

V 的每個 r-維子空間 W 確定了 V 的一個 n-r-維商空間 V/W，這可寫成短正合序列：

$$0 \to W \to V \to V/W \to 0.$$

取這三個空間的對偶以及線性變換得出 (V/W)* 在 V* 中的包含，其商為 W*:

$$0 \to (V/W)^* \to V^* \to W^* \to 0.$$

利用有限維向量空間與二次對偶的自然同構，說明再取一次對偶得到了原來的短正合序列。從而 V 的 r-維子空間與 V* 的 n-r-維子空間存在一一對應。用格拉斯曼流形表示，這是典範同構

$$\mbox{Gr}_r(V) \cong \mbox{Gr}_{n-r}(V^*).$$

取 V 與 V* 的一個同構確定了 Grr(V) 與 Grn−r(V) 的一個（非典範）同構。這個同構將一個 r-維子空間變為它的n−r-維正交補。

## 舒伯特胞腔

格拉斯曼流形的一個詳細研究將其分解為叫做舒伯特胞腔的子集，最先應用於計數幾何。Grr(n) 的舒伯特胞腔是用一個輔助性的旗 (線性代數)定義：取子空間 V1, V2, ..., Vr，使得 Vi 包含於 Vi+1。然後，對 i = 1 到 r，我們考慮 Grr(n) 相應的子空間，由與 Vi 的交的維數至少為 i 的 W 組成。舒伯特胞腔的操作是舒伯特分析。

這裡是這種技術的一個例子。考慮確定 $\chi(G_{n,r})$ 的歐拉示性的問題，這裡是 $\mathbb R^n$ 的 r-維子空間的格拉斯曼流形。取定 $\mathbb R^n$ 的一個一維子空間 $R$，考慮 $\mathbb R^n$ 的 r-維子空間是否包含 $R$，給出 $G_{n,r}$ 的一個分解。前者是 $G_{n-1,r-1}$，後者是 $G_{n-1,r}$ 上一個 r-維向量叢。這樣給出遞歸公式：

$$\chi G_{n,r} = \chi G_{n-1,r-1} + (-1)^r \chi G_{n-1,r}\,$$

這裡令 $\chi G_{n,0} = \chi G_{n,n} = 1$。如果解出這些遞歸關係，有公式：$\chi G_{n,r} = 0$ 若且唯若 $n$ 是偶數且 $r$ 是奇數。另一方面，$\chi G_{n,r} = {\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \choose \lfloor \frac{r}{2} \rfloor }.$

## 伴隨測度

當 V 是一個 n-維歐幾里得空間，我們可以在 $G_{n,r}$ 上定義一個一致測度。設 $\theta_{n}$ 是正交群 $O(n)$ 上的單位哈爾測度並取定 $V\in G_{n,r}$。則對一個集合 $A\subseteq G_{n,r}$，定義

$$\gamma_{n,r}(A)=\theta_{n}\{g\in O(n):gV\in A\}.$$

這個測度在群 $O(n)$ 的作用下不變，即 $\gamma_{n,r}(gA)=\gamma_{n,r}(A)$ 對所有 $g\in O(n)$ 成立。因為 $\theta_{n}(O(n))=1$，我們有 $\gamma_{n,r}(G_{n,r})=1$。另外 $\gamma_{n,r}$ 關於度量空間拓撲是一個拉東測度（Radon measure），且每個相同半徑（關於這個度量）的球有相同的測度——在此意義下該測度是一致的。

## 參考文獻

- Joe Harris, Algebraic Geometry, A First Course, (1992) Springer, New York, ISBN 0-387-97716-3
- Pertti Mattila, Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces, (1995) Cambridge University Press, New York, ISBN 0-521-65595-1