波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理

波爾查諾-魏爾施特拉斯定理（Bolzano–Weierstrass theorem）是數學中，尤其是拓撲學與實分析中，用以刻畫 $\mathbb{R}^n$中的緊集的基本定理，得名於數學家伯納德·波爾查諾與卡爾·魏爾施特拉斯。波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理說明，有限維實向量空間$\mathbb{R}^n$中的一個子集$E$是序列緊緻（每個序列都有收斂子序列）若且唯若$E$是有界閉集。

## 歷史

這個定理最早由伯納德·波爾查諾證明，當他在證明介值定理時，附帶證明了這個定理，但是他的證明已經散佚。卡爾·魏爾施特拉斯獨自發現並證明了這個定理。波爾查諾-魏爾施特拉斯定理是實分析中的基本定理。

## 基礎概念

- 子列：也稱為子序列。一個序列$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$的一個子列是指在$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$中抽取無窮多個元素，然後按照它們在原來序列里的順序排列起來的序列。嚴格的定義是：如果存在一個從$\mathbb{N}$到$\mathbb{N}$的嚴格單調遞增的映射$\phi$，使得$a_{\phi (n)} = b_n, \; \forall n\in\mathbb{N}$，就稱$(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$是$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$的一個子列。
- 有界閉集：$\mathbb{R}^n$中的有界閉集概念建立在給定的拓撲和度量上的。由於在有限維向量空間中所有度量等價，所以可以將$\mathbb{R}^n$視為裝備了歐幾里德度量的度量空間（並且可以定義相應的範數）。$\mathbb{R}^n$的子集$E$有界，若且唯若所有$E$中元素$x$的範數小於一個給定常數$K$。注意這時對應的拓撲是歐幾里德範數誘導的自然拓撲。
- 序列緊緻：稱一個集合$S$是序列緊緻的，是指每個由集合$S$中元素所組成的數列都包含收斂的子列，並且該子列收斂到集合$S$中的某個元素。

## 定理

波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理可以視為刻畫有限維實向量空間$\mathbb{R}^n$中序列緊緻集合的定理。波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理的核心部分可以僅僅使用序列的語言來表示：

定理 1：

任一$\mathbb{R}^n$中的有界序列$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$都至少包含一個收斂的子列。

從這個定理出發，在給定的有界閉集$F$中任取一個序列，那麼這個序列是有界的，從而至少包含一個收斂的子列。而從$F$的封閉性可知，這個子列作為$F$的一部分，其收斂的極限必然也在$F$中。所以可以推知：

推論：

任一$\mathbb{R}^n$中的有界閉集必然序列緊緻。

這個推論給出了$\mathbb{R}^n$中集合序列緊緻的充分條件。另一方面，可以證明序列緊緻的集合必然是有界閉集。這樣就將充分條件推進為充要條件：

定理 2：

$\mathbb{R}^n$中的一個子集$E$是序列緊緻的，若且唯若$E$是有界閉集。

由於有限維賦範向量空間都與裝備了歐幾里德範數的$\mathbb{R}^n$同胚，所以以上的定理都可以擴展到任意有限維賦範向量空間。

## 證明

證明的關鍵是定理的核心部分，也就是定理1：任一$\mathbb{R}^n$中的有界序列$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$都至少包含一個收斂的子列。

引理：

任何實數列必然包含單調的子列。

引理的證明：

設有實數列$(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$，定義集合：$X = \{ a_k ; \ \forall n \ge k , \ a_k \ge a_n \}$。集合中的每個元素，都比序列中排在其後的所有元素都大。

- 如果$X$中有無限個元素，在其中取下標遞增的一個數列，那麼這個數列是$(a_n)_{n \ge 0}$的子列，並且單調遞減，構造完畢。
- 如果$X$中元素個數有限，那麼設$N$為$X$中元素的下標中最大的一個。對任意$n > N$，考慮$a_n$，$a_n$不在集合$X$中，所以$a_n$之後至少會有一個元素大於$a_n$。換句話說，序列$(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$裡面排在$a_N$後面的任一元素，它後面都必然還有一個比它大的元素。於是取$k_0 = N+1$，$\scriptstyle k_1 > k_0$為第一個大於$a_{k_0}$的元素的下標，$\scriptstyle k_2 > k_1$為第一個大於$a_{k_1}$的元素的下標，依此類推，就可以得到$(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$的一個單調遞增的子列。

綜上可得，任何實數列必然包含單調的子列。

定理的證明：

先考慮一維（也就是$n = 1$）的情況。給定有界的實數列$(a_k)_{k \in \mathbb{N}}$，取它的一個單調子列。不妨設這個子列單調遞增，由於數列有上界，依據數列的單調收斂定理，這個子列必然收斂。

對於高維（$n \geqslant 2$）的情況，證明的思路是取多次子列。

設$(a_k)_{k\in \mathbb{N}} = (a_{1k} , a_{2k} , \cdots , a_{nk})_{k\in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^n$為一個有界序列，則$n$個實數列$(a_{ik})_{k\in \mathbb{N}} , 1 \le i \le n$都是有界數列。於是存在$(a_k)_{k\in \mathbb{N}}$的子列$(a_{\phi_1 ( k)})_{k \in \mathbb{N}}$使得$(a_{1 \phi_1 (k)})_{k\in \mathbb{N}}$收斂。但是$(a_{\phi_1 ( k)})_{k\in \mathbb{N}}$仍是有界數列，因而存在子列$(a_{\phi_2 (\phi_1 ( k))})_{k\in \mathbb{N}}$使得$(a_{2 \phi_2 (\phi_1 (k))})_{\in \mathbb{N}}$也收斂（注意這裡$(a_{1 \phi_2 (\phi_1 (k))})_{k\in \mathbb{N}}$必然是收斂的）。在進行類似的$n$次操作後，我們就可以得到一個子列，使得$\forall 1 \le i \le n, \ (a_{i \phi_n ( \cdots \phi_2 (\phi_1 (k)) \cdots )})_{k\in \mathbb{N}}$都收斂，也就是說存在子列$\ (a_{\phi_n ( \cdots \phi_2 (\phi_1 (k)) \cdots )})_{k\in \mathbb{N}}$收斂。證畢。

## 波爾查諾-魏爾斯特拉斯性質

在有限維度量空間中，波爾查諾-魏爾斯特拉斯說明了序列緊緻的集合就是有界閉集。然而在一般的度量空間中，有界閉集不一定是序列緊緻的。為此，拓撲學中將一般度量空間中的序列緊緻稱為波爾查諾-魏爾斯特拉斯性質。

定義：

設$K$為度量空間$(E ; \; d)$的子集。若$K$中任一序列$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$都包含一個收斂的子列，其極限也是$K$中元素，就稱$K$具有波爾查諾-魏爾斯特拉斯性質。

如果度量空間本身滿足波爾查諾-魏爾斯特拉斯性質，就稱這個度量空間為緊空間。在度量空間中，波爾查諾-魏爾斯特拉斯性質等價於海恩-波萊爾性質：所有$K$的開覆蓋都有限子覆蓋。

## 參考來源

- Fitzpatrick, Patrick M. (2006) Advanced Calculus (2nd ed.). Belmont, CA: Thompson Brooks/Cole. ISBN 0-534-37603-7.

## 外部連結

- A proof of Bolzano–Weierstrass Theorem
- PlanetMath: proof of Bolzano–Weierstrass Theorem
- Proof of Bolzano–Weierstrass Theorem as a rap
- Demonstration of Bolzano–Weierstrass Theorem