向量值微分形式

數學中，流形 M 上一個向量值微分形式（vector-valued differential form）是 M 上取值於一個向量空間 V 的微分形式。更一般地，它是取值於 M 上某個向量叢 E 的微分形式。通常的微分形式可以視為 R-值微分形式。向量值微分形式是微分幾何中的自然對象並有廣泛的應用。

## 正式定義

設Μ是一個光滑流形，$\Epsilon\to\Mu$是Μ上一個光滑向量場。我們記一個叢Ε截面的空間為$\Gamma(\Epsilon)$。一個階數為ρ的Ε-值微分形式是Ε與$\wedge^\rho(\Tau^*\Mu)$，Μ的餘切叢的ρ-次外冪，的張量積叢的一個光滑截面。這樣的形式的空間記作

$$\Omega^\rho(\Mu,\Epsilon) = \Gamma(\Epsilon\otimes\wedge^\rho\Tau^*\Mu).\,$$

習慣上一個E-值 0-形式就是叢E的一個截面。即

$$\Omega^0(\Mu,\Epsilon) = \Gamma(\Epsilon).\,$$

等價地，一個E-值微分形式可以定義為一個完全斜對稱的叢態射

$$\Tau\Mu\otimes\cdots\otimes\Tau\Mu\to\Epsilon.$$

設V是一個給定的向量空間。一個階數為ρ的V-值微分形式是一個取值於平凡叢$\Mu\times V$的微分形式。這樣的形式的空間記作$\Omega^\rho(\Mu,V)$。當$V=\mathbf{R}$我們重新得到了通常的微分形式。

## 向量值形式的運算

### 拉回

與通常的形式一樣，對向量值形式我們可以定義通過光滑映射的拉回。N 上 E-值形式通過一個光滑映射 φ : M → N 的拉回是 M 上一個 (φ*E)-值形式，這裡 form on M, where φ*E 是 E 通過 φ 的拉回叢。

公式和通常的情形一樣。對 N 上任何一個 E-值 p-形式 ω，拉回 φ*ω 由

$$(\varphi^*\omega)_x(v_1,\cdots, v_p) = \omega_{\varphi(x)}(\mathrm d\varphi_x(v_1),\cdots,\mathrm d\varphi_x(v_p))$$

給出。

### 楔積

與通常微分形式一樣，可以定義向量值形式的楔積。一個 E1-值 p-形式與一個 E2-值 q-形式的楔積是一個自然的 (E1⊗E2)-值 (p+q)-形式:

$$\wedge : \Omega^p(M,E_1) \times \Omega^q(M,E_2) \to \Omega^{p+q}(M,E_1\otimes E_2).$$

定義就和通常的微分形式一樣，只不過實數乘法為張量積取代：

$$(\omega\wedge\eta)(v_1,\cdots,v_{p+q}) = \frac{1}{p!q!}\sum_{\pi\in S_{p+q}}\sgn(\pi)\omega(v_{\pi(1)},\cdots,v_{\pi(p)})\otimes \eta(v_{\pi(p+1)},\cdots,v_{\pi(p+q)}).$$

特別地，一個通常（R-值）p-形式與一個 E-值 q-形式的張量積自然是一個 E-值 (p+q)-形式（因為 E 與平凡叢 M × R 的張量積自然同構於 E）。對 ω ∈ Ωp(M) 和 η ∈ Ωq(M, E) 我們有通常的交換關係：

$$\omega\wedge\eta = (-1)^{pq}\eta\wedge\omega.$$

一般地，兩個 E-值形式的楔積不是另一個 E-值形式，而是一個 (E⊗E)-值形式。但是，如果 E 是一個代數叢（也就是一個代數的叢而不僅僅是向量空間）則與 E 中的乘法複合得到一個 E-值形式。如果 E 是一個交換結合代數，則在此修改後的楔積下，所有 E-值微分形式的集合

$$\Omega(M,E) = \bigoplus_{p=0}^{\dim M}\Omega^p(M,E)$$

成為一個分次交換結合代數。如果 E 的纖維不交換則 Ω(M,E) 不是分次交換的。

### 外導數

對任何向量空間 V，V-值微分形式上有一個自然的外導數。這只不過是通常的外導數作用在關於 V 的任何一個基的分量上。具體地說，如果 {eα} 是 V 的一個基，則 V-值 p-形式 ω = ωαeα 的微分為：

$$d\omega = (d\omega^\alpha)e_\alpha.\,$$

V-值形式的外導數完全由通常的關係刻畫：

$$\begin{align} &d(\omega+\eta) = d\omega + d\eta\\ &d(\omega\wedge\eta) = d\omega\wedge\eta + (-1)^p\,\omega\wedge d\eta\qquad(p=\deg\omega)\\ &d(d\omega) = 0. \end{align}$$

更一般地，上面的注可應用於 M 上任何平坦向量叢（即一個轉移函數是常數的向量叢） E 之 E-值形式。上面定義的外微分是 E 的任何局部平凡化。

如果 E 不是平坦的則 E-值形式上沒有自然的外微分。需要在 E 上選取一個聯絡。E 上一個聯絡是一個將 E 的界面變為 E-形式的線性微分算子：

$$\nabla : \Omega^0(M,E) \to \Omega^1(M,E).$$

如果 E 裝備有一個聯絡 ∇，則有惟一的一個共變外微分延拓了 ∇

$$d_\nabla: \Omega^p(M,E) \to \Omega^{p+1}(M,E).\,$$

共變外微分由線性與等式

$$d_\nabla(\omega\wedge\eta) = d_\nabla\omega\wedge\eta + (-1)^p\,\omega\wedge d\eta$$

刻畫，這裡 ω 是一個 E-值 p-形式而η 是一個通常的 q-形式。一般地，不一定有 d∇2 = 0。事實上，這若且唯若聯絡 ∇ 平坦（即曲率消失）。

## 李代數值形式

向量值形式一個重要的特例是李代數值形式。設 $\mathfrak g$ 是一個李代數，則有 $\mathfrak g$-值形式。這樣的形式在主叢的聯絡以及嘉當聯絡的理論中有重要應用。

因為任何李代數有一個雙線性李括號運算，兩個李代數值形式的楔積可與李括號運算複合得到另一個李代數值形式。這個運算通常記為 ω∧η，表明涉及兩個運算。例如如果 ω 和 η 是李代數值 1-形式，則有

$$[\omega\wedge\eta](v_1,v_2) = [\omega(v_1),\eta(v_2)] - [\omega(v_2),\eta(v_1)].$$

在此運算下一個流形 M 上所有李代數值形式成為一個分次李超代數。

## 主叢上的基本或張量性形式

設 E → M 是 M 上一個秩 k 光滑向量叢，π : F(E) → M 是 E（相伴的）標架叢。E 通過 π 的拉回同構於平凡叢 F(E) × Rk。從而，M 上一個 E-值形式的拉回決定了 F(E) 上一個 Rk-值形式。不難檢驗這個拉回形式關於 GLk(R) 在 F(E) × Rk 上的自然作用左等變，且在鉛直向量取值上為零（F(E) 位於核 dπ 中的切向量）。F(E) 上這樣的向量值形式之重要足以獲得一個特別的名字：他們被稱為 F(E) 上的基本或張量性形式。

設 π : P → M 是一個（光滑）主 G-叢，令 V 是一個固定的向量空間以及表示 ρ : G → GL(V)。P 上一個 ρ 型基本或張量性形式是水平且等變的，如果：

- $(R_g)^*\omega = \rho(g^{-1})\omega\,$ 對所有 g ∈ G，且
- $\omega(v_1, \ldots, v_p) = 0$ 其中至少有一個 vi 是鉛直的（即 dπ(vi) = 0）。

這裡 Rg 表示通過 g ∈ G 的左平移。注意這對 0-形式第二個條件是空虛的真。

給定 P 和 ρ 如上，我們定義構造相伴叢 E = P ×ρ V。P 上的張量性形式一一對應於 M 上的 E-值形式。與主叢 F(E) 的情形一樣，M 上 E-值形式拉回到 P 上的 V-值形式，這正好是 P 上的 ρ 型基本或張量性形式。反之給定 P 上任何一個 ρ 型張量性形式我們直接地可以構造 M 上的相應的 E-值形式。