圓周運動

在物理學中，圓周運動（Circular motion）是指運動軌跡為圓或圓的一部分的一種運動。

圓周運動的例子有：一個軌道為圓的人造衛星的運動、一個電子垂直地進入一個均勻的磁場時所做的運動等等。

一個質點的圓周運動可以按軌道的切線和垂直軌道的法線這兩個方向來分解。

質點的加速度在切向的分量稱為切線加速度。切線加速度改變質點沿軌道運動的線速度的大小，不改變方向。加速度在法線的分量成為法線加速度。由於在圓周運動中，法線加速度始終指向圓心，所以此加速度又稱向心加速度。向心加速度改變質點速度的方向，不改變大小。

切線加速度大小為零的運動稱為勻速圓周運動。

對於勻速圓周運動，符合以下方程和分量方程：

## 常用公式

- $$\theta = \omega t \ $$
- $$a = r\omega^2 \ $$
- $$\omega}= {2\pi \over \ T \ $$

其中$v$為速度，$a$為向心加速度, $T$為周期，$\omega$為角速度（單位：rad/s）。

## 分量方程

在運動平面中建立平面直角坐標系，並以圓心為原點，初位置的位置矢量$\vec{r}$的方向為$x$軸正方向。

### 位移

- $$\left|\vec{x} \right| = r \cos \theta = r \cos \omega t$$
- $$\left|\vec{y} \right|= r \sin \theta = r \sin \omega t$$

### 速度

- $$\left|\vec{V}_x \right|= \frac{d\vec{x}}{dt} = \frac{dr \cos \theta}{d \theta} \frac{d \theta}{dt} = -r \omega \sin \omega t$$
- $$\left|\vec{V}_y \right|= \frac{d\vec{y}}{dt} = \frac{dr \sin \theta}{d \theta} \frac{d \theta}{dt} = r \omega \cos \omega t$$
- $$\omega = \frac{d \theta}{dt}$$

### 加速度

- $$\vec{a}_x = \frac{d\vec{V}_x}{dt} = -\vec{r} \omega^{2} \cos \omega t$$
- $$\vec{a}_y = \frac{d\vec{V}_y}{dt} = -\vec{r} \omega^{2} \sin \omega t$$
- $$\left| \vec{a} \right| = \sqrt{a_x^{2} + a_y^{2}} = r \omega^{2} = \frac{v^{2}}{r} = \frac{4 \pi^{2} r}{T^{2}}$$
- $$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}= \frac{2 \pi \vec{r}}{T}$$

## 動力學分析

將做圓周運動的質點受到的合力$F$分解為切向力$F_\tau$和法向力$F_n$。

切向力產生切向加速度：

$$F_\tau=ma_\tau$$

法向力產生法向加速度:

$$F_n=ma_n$$

當質點做勻速圓周運動時，質點受到的合外力$F=F_n$，此時$F$又稱向心力。

## 物理量

假設一個1千克的物體，以角速度1 rad·s−1沿半徑為1 m的勻速圓周運動。

- 該物體的速率為1 m·s−1
- 向心加速度為1 m·s−2
- 該物體受到的向心力為1 kg·m·s−2，即1牛頓
- 該物體的動量為1 kg·m·s−1
- 轉動慣量為1 kg·m2
- 角動量為1 kg·m2·s−1
- 動能為$\frac{1}{2}$焦耳
- 軌道的周長為$2\pi$ (≈6.283)米
- 運動的周期為$2\pi$秒
- 頻率為$\frac{1}{2\pi}$赫茲
- 從量子力學的觀點，系統在受激態的量子數大約為～9.48×1035。

然後假設一個質量為$m$的物體，以角速度$\omega$沿半徑為r的圓周運動。

- 速度$v=r\omega$
- 向心加速度$a=r\omega ^2 = \frac{v^2}{r}$
- 向心力$F=ma=rm\omega ^2 = \frac{mv^2}{r}$
- 物體的動量$p=mv=rm\omega$
- 轉動慣量$I=r^2 m$
- 角動量$L=rmv=r^2m\omega=I\omega$
- 動能$E=\frac{mv^2}{2}=\frac{r^2m \omega^2}{2}=\frac{p^2}{2m}=\frac{I \omega^2}{2}=\frac{L^2}{2I}$
- 軌道周長為$2\pi r$
- 運動周期$T=\frac{2\pi}{\omega}$
- 頻率$f=\frac{1}{T}$. (常用希臘字母ν表示頻率，但為了與表示速度的符號$v$區分，這裡使用$f$表示頻率)
- 量子數$J=\frac{2\pi L}{h}$（$h$是普朗克常數）

## 變速圓周運動

一般地，將作圓周運動的物體所受的合力分解為向心力（垂直於速度方向）和切向力（沿速度方向，使物體速度大小發生變化）。而物體在這兩個方向上滿足牛頓第二定律。

向心力的大小：

$$F_n=ma_n=m \frac{v^2}{r}$$

$v$是物體的速度，$r$是運動軌跡的半徑。

## 圓周運動的極坐標描述

在圓周運動時，物體沿著一個曲率半徑固定的曲線運動。

$\vec r$ 徑向量為：

$\vec r=R \vec e_R$ 此處 $\vec e_R$ 是平行於徑向量的單位向量。

在極座標中，物體的速度可以用兩個分量表示：徑向分量和切線分量。當圓的半徑為常數且徑向分量的速度為零，則速度:

$$\vec v=R\dot \varphi \cdot \vec e_{\varphi}$$

所以 $v_{\varphi}=R\omega$

物體的加速度也可以分解成徑向分量及切線分量：

$$\vec a = \dot {\vec v} = -R{\dot \varphi}^2 \vec e_R +R \ddot \varphi \vec e_{\varphi}$$

我們可以看到向心加速度是徑向的分量，它是：

$$a_R= R\dot \varphi ^2=R\omega ^2$$

徑向分量可改變速度的大小:

$$a_{\varphi}=R\ddot \varphi = R\varepsilon$$

## 圓周運動的複數描述

我們可以使用複數來描述圓周運動。令$x$軸表示實數，$y$軸表示虛數，則物體的位置可以表示成在$z$的複數向量：

$$z=x+iy=R(\cos \varphi +i \sin \varphi)=Re^{i\varphi}$$

此處$i$是虛數單位。

$\varphi =\varphi (t)$是複數向量的實數部份，並且是時間的函數。

因為半徑是常數（定值）$\dot R =\ddot R =0$

所以速度是：

$$v=\dot z = iR\dot \varphi e^{i\varphi} = i\omega \cdot Re^{i\varphi}= i\omega z$$

而加速度則是：

$$a=i\dot \omega z +i \omega \dot z =(i\varepsilon -\omega^2)z$$

## 外部連結

- Circular Motion - 網上教科書（英文）