諧振子

古典力學中，一個諧振子（harmonic oscillator）乃一個系統，當其從平衡位置位移，會感受到一個恢復力$F$正比於位移$x$，並遵守虎克定律：

$$F = -k x \,$$

其中$k$是一個正值常數。

如果$F$是系統僅受的力，則系統稱作簡諧振子（簡單和諧振子）。而其進行簡諧運動——正中央為平衡點的正弦或餘弦的振動，且振幅與頻率都是常數（頻率跟振幅無關）。

若同時存在一摩擦力正比於速度，則會存在阻尼現象，稱這諧振子為阻尼振子。在這樣的情形，振動頻率小於無阻尼情形，且振幅隨著時間減小。

若同時存在跟時間相關的外力，諧振子則稱作是受驅振子。

力學上的例子包括了單擺（限於小角度位移之近似）、連接到彈簧的質量體，以及聲學系統。其他的相類系統包括了電學諧振子（electrical harmonic oscillator，參見RLC電路）。

## 簡諧振子

簡諧振子沒有驅動力，也沒有摩擦（阻尼），所以淨力單純為：

$$F = -k x \,$$

利用牛頓第二定律

$$F = m a = -k x \,$$

則加速度$a$等於是$x$的二次微分導數：

$$m \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -k x$$

若定義${\omega_0}^2 = k/m$，則方程式可以寫為如下：

$$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + {\omega_0}^2 x = 0$$

可以觀察到：

$$\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} = \ddot x = \frac{\mathrm{d}\dot {x}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}\dot {x}}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}\dot {x}$$

然後代回原式得到

$$\frac{\mathrm{d} \dot{x}}{\mathrm{d}x}\dot x + {\omega_0}^2 x = 0$$

$$\mathrm{d} \dot{x}\cdot \dot x + {\omega_0}^2 x \cdot \mathrm{d}x = 0$$

積分可得

$$\dot{x}^2 + {\omega_0}^2 x^2 = K$$

其中K是積分常數，設K = (A ω0)2

$$\dot{x}^2 = A^2 {\omega_0}^2-{\omega_0}^2 x^2$$

$$\dot{x} = \pm {\omega_0} \sqrt{A^2 - x^2}$$

$$\frac {\mathrm{d}x}{\pm \sqrt{A^2 - x^2}} = {\omega_0}\mathrm{d}t$$

經過積分，結果（包括積分常數φ）為

$$\begin{cases} \arcsin{\frac {x}{A}}= \omega_0 t + \phi \\ \arccos{\frac {x}{A}}= \omega_0 t + \phi \end{cases}$$

並有一般解

$$x = A \cos {(\omega_0 t + \phi)} \,$$

其中振幅$A \,$以及相位$\phi \,$可透過初始條件來決定。

另外也可以將一般解寫成

$$x = A \sin {(\omega_0 t + \phi)} \,$$

其中$\phi \,$的值與前面形式相比，偏移了$\pi/2 \,$。

又可以寫作

$$x = A \sin{\omega_0 t} + B \cos{\omega_0 t} \,$$

其中$A \,$與$B \,$為透過初始條件決定的常數，以替代前面形式的$A \,$與$\phi \,$。

振動頻率則為

$$f = \frac{\omega_0}{2\pi}$$

動能為

$T = \frac{1}{2} m \left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega_0 t + \phi)$.

以及勢能（位能）為

$$U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega_0 t + \phi)$$

所以系統總能為定值：

$$E = \frac{1}{2} k A^2$$

## 受驅諧振子

一受驅諧振子滿足如下非齊次（nonhomogeneous）二階線性微分方程

$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + {\omega_0}^2x = A_0 \cos(\omega t)$。

其中$A_{0}$是驅動振幅而$\omega$是驅動頻率，針對的是一弦波式的驅動機制。這樣的系統出現在交流LC（電感L-電容C）電路以及理想化的彈簧系統（沒有內部力學阻力或外部的空氣阻力）。

## 阻尼諧振子

一阻尼諧振子滿足如下二階微分方程

$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + \frac{b}{m} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + {\omega_0}^2x = 0$。

其中$b$是由實驗決定的阻尼常數，滿足關係式$F = -bv$。遵守此方程式的系統，其中一例為置於水中的加權彈簧（weighted spring），若假設水所施的阻尼力與速度$v$呈線性比例關係。

阻尼諧振子的頻率為

$$\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - R_m^2}$$

其中

$R_m=\frac{b}{2m}$。

## 受驅阻尼振子

受驅阻尼振子滿足方程式

$m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + r \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + kx= F_0 \cos(\omega t)$。

其一般解為兩個解的和，一為暫態解（無驅動阻尼諧振子之齊次常微分方程的解），與初始條件相關；另一為穩態解（非齊次常微分方程式之特殊解），與初始條件無關，只與驅動頻率、驅動力、阻尼力有關。

穩態解為

$$x(t) = \frac{F_0}{Z_m \omega} \sin(\omega t - \phi)$$

其中

$$Z_m = \sqrt{r^2 + \left(\omega m - \frac{k}{\omega}\right)^2}$$

為阻抗（impedance）或線性響應函數（linear response function）之絕對值

$$Z = r + i\left(\omega m - \frac{k}{\omega}\right)$$

而

$$\phi = \arctan\left(\frac{\omega m - \frac{k}{\omega}}{r}\right)$$

為相對於驅動力（相位定為0）的振動相位。

可以觀察到，當在某特定驅動頻率$\omega$時，振子振動之振幅（相對於一給定之$F_0$）達到最大。這發生在頻率為

$${\omega}_r = \sqrt{\frac{k}{m} - 2\left(\frac{r}{2 m}\right)^2}$$

之時，而此現象稱之為（位移上的）共振。

總結來說，在穩態時，振動頻率等同於驅動力的頻率，但振動與驅動力在相位上有偏移；且振幅大小與驅動頻率相關，當驅動頻率與振動系統偏好（共振）頻率相同時，振幅達到最大。

例子：RLC電路；電阻類比於阻尼。

## 完整數學描述

多數諧振子，至少近似上地說，是在解以下的微分方程式：

$$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + \frac{b}{m} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + {\omega_0}^2x = A_0 \cos(\omega t)$$

其中t是時間，b是阻尼常數，ωo是本徵角頻率，而Aocos(ωt)代表驅動系統的某種事物，其振幅Ao而角頻率ω。x是進行振盪的被測量量；可以是位置、電流或其他任何可能的物理量。角頻率與頻率f有關，關係式為

$f = \frac{\omega}{2 \pi}$。

### 重要項

- 振幅：偏離平衡點的最大的位移量。
- 週期：系統完成一個振盪循環所需的時間，為頻率的倒數。
- 頻率：單位時間內系統執行的循環總數量（通常以赫茲 = 1/秒為量度）。
- 角頻率：$\omega = 2 \pi f$
- 相位：系統完成了循環的多少（開始時，系統的相位為零；完成了循環的一半時，系統的相位為$\pi$）。
- 初始條件：t = 0時系統的狀態。