模糊集

模糊集是模糊數學上的一個基本概念，是數學上普通集合的擴展。

## 定義

給定一個論域$U$，那麼從$U$到單位區間$[0,1]$的一個映射$\mu_{A}: U \mapsto [0,1]$稱為$U$上的一個模糊集，或$U$的一個模糊子集。

## 表示

模糊集可以記為$A$。映射（函數）$\mu_A(\cdot)$或簡記為$A(\cdot)$叫做模糊集$A$的隸屬函數。對於每個$x\in U$， $\mu_A(x)$叫做元素$x$對模糊集$A$的隸屬度。

模糊集的常用表示法有下述幾種：

- 解析法，也即給出隸屬函數的具體表達式。
- Zadeh記法，例如$A={1\over x_1}+{0.5\over x_2}+{0.72\over x_3}+{0\over x_4}$。分母是論域中的元素，分子是該元素對應的隸屬度。有時候，若隸屬度為0，該項可以忽略不寫。
- 序偶法，例如$A=\{(x_1,1),(x_2,0.5),(x_3,0.72),(x_4,0)\}$，序偶對的前者是論域中的元素，後者是該元素對應的隸屬度。
- 向量法，在有限論域的場合，給論域中元素規定一個表達的順序，那麼可以將上述序偶法簡寫為隸屬度的向量式，如$A=(1,0.5,0.72,0)$。

## 和傳統集合的關係

和傳統的集合一樣，模糊集也有它的元素，但可以談論每個元素屬於該模糊集的程度，其從低至高一般用 0 到 1 之間的數來表示。模糊集理論是由盧菲特·澤德（1965）所引進的，是經典集合論的一種推廣。在經典的集合論中，所謂的二分條件規定每個元素只能屬於或不屬於某個集合（因此模糊集不是集合）；可以說，每個元素對每個集合的歸屬性（membership）都只能是 0 或 1。而每模糊集則擁有一個歸屬函數（membership function），其值允許取閉區間$[0,1]$（單位區間）中的任何實數，用來表示元素對該集的歸屬程度。比如設某模糊集$A$的歸屬函數為$M$，而$a$、$b$、$c$為三個元素；如果$M(a)=1$，$M(b)=0$，$M(c)=\frac{1}{2}$，則可以說 「$a$完全屬於$A$」，「$b$完全不屬於$A$」，「$c$對$A$的歸屬度為$\frac{1}{2}$」（注意沒有說「$c$有一半屬於$A$」，因為尚未規定$\frac{1}{2}$的歸屬度具有甚麼特殊含義）。作為特例，當歸屬函數的值只能取 0 或 1 時，就得到了傳統集合論常用的指示函數（indicator function）。傳統集合在模糊集理論中通常稱作「明確集」（crisp set）。

### 截集與截積

設 $A$為 $U$上的模糊集（記作 $A\in \mathcal{F}(U)$），任取 $\lambda \in [0,1]$，則

$A_\lambda = \{ u\in U\mid A(u)\geq\lambda\}$。

稱$A_\lambda$為$A$的$\lambda$截集，而$\lambda$稱為閾值或置信水平。將上式中的$\geq$替換為$>$，記為$A_{S\lambda}$，稱為強截集。

截集和強截集都是經典集合。此外，顯然$A_1$為$A$的核，即$\ker A$；如果$\ker A\neq \varnothing$，則稱$A$為正規模糊集，否則稱為非正規模糊集。

截積是數與模糊集的積：

設$\lambda\in [0,1]$，$A\in F(U)$，則$\forall u\in U$，$\lambda$與$A$的截積（或稱為$\lambda$截集的數乘，記為$\lambda A$）定義為：

$$(\lambda A)(u)=\lambda \wedge A(u)= \begin{cases} <pre> A(u), &\lambda \geq A(u),\\ \lambda, &\lambda < A(u). </pre> \end{cases}$$

根據定義，截積仍是$U$上的模糊集合。

### 分解定理與表現定理

分解定理：

設$A\in F(U)$，則

$A=\bigcup\limits_{\lambda\in[0,1]}\lambda A_\lambda$

即任一模糊集$A$都可以表達為一族簡單模糊集$\left \{ \lambda a_\lambda \right \}$的並。也即，一個模糊集可以由其自身分解出的集合套而「拼成」。

表現定理：

設$H$為$U$上的任何一個集合套，則

$A=\bigcup\limits_{\lambda\in[0,1]}\lambda H(\lambda)$

是$U$上的一個模糊集，且$\forall\lambda\in [0,1]$，有

（1）$A_{S\lambda}=\cup_{\alpha>\lambda}H(\alpha)$

（2）$A_\lambda=\cap_{\alpha<\lambda}H(\alpha)$

即任一集合套都能拼成一個模糊集。

## 模糊度

一個模糊集$A$的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度，一個直觀的定義是這樣的：

設映射$D:F(U)\rightarrow[0,1]$滿足下述5條性質：

- 清晰性：$D(A)=0$若且唯若$A\in P(U)$。（經典集的模糊度恆為0。）
- 模糊性：$D(A)=1$若且唯若$\forall u\in U$有$A(u)=0.5$。（隸屬度都為0.5的模糊集最模糊。）
- 單調性：$\forall u\in U$，若$A(u)\leq B(u)\leq 0.5$，或者$A(u)\geq B(u)\geq 0.5$，則$D(A)\leq D(B)$。
- 對稱性：$\forall A\in F(U)$，有$D(A^c)=D(A)$。（補集的模糊度相等。）
- 可加性：$D(A\cup B)+D(A\cap B)=D(A)+D(B)$。

則稱$D$是定義在$F(U)$上的模糊度函數，而$D(A)$為模糊集$A$的模糊度。

可以證明符合上述定義的模糊度是存在的，一個常用的公式（分別針對有限和無限論域）就是$\begin{align} D_p(A)&=\frac{2}{n^{1/p}}\left(\sum\limits_{i=1}^n\left|A(u_i)-A_{0.5}(u_i)\right|^p\right)^{1/p}\\ D(A)&=\int_{-\infty}^{+\infty}|A(u)-A_{0.5}(u)|\mbox{d}u \end{align}$其中$p>0$是參數，稱為 Minkowski 模糊度。特別地，當$p=1$的時候稱為 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指標，當$p=2$的時候稱為 Euclid 模糊度。

### 模糊測度(Fuzzy measures)

$\mathfrak{B}$是輿集$\mathrm{X}$的一種。

用$g$函數定義$\mathfrak{B}$，包含下列3項特性稱為模糊測度:

①$g(0)=0,g(\mathrm{X})=1$

---$g$函數代0值，表示沒有值為空值，用數學0來表示。$g$函數代$X$表示輿集全部帶進去了塞滿了，用1表示塞滿。

②若$A,B\in\mathfrak{B}$和$A\subseteq B$, 則$g(A)\leq g(B)$.

---$A,B$是屬於$\mathfrak{B}$的一部分，$A$在$B$裡面也可能跟$B$一樣大，則$g(A)\leq g(B)$

③If $A_{n}$∈$\mathfrak{B}$, $A_1$⊆$A_2$⊆…,then $\lim_{n \to \infty}g(A_n)=g(\lim_{n \to \infty}A_n )$

---當$A_{n}$屬於$\mathfrak{B}$同時$A_1$包含於$A_2\subseteq\ldots$，則將$A_n$代入$g$函數趨小所得的值等同於先趨小$A_n$再代入$g$函數所求得的值。

## 模糊集的運算

### 各種算子

- Zadeh 算子，$\max$即為並，$\min$即為交

$$\begin{align}a\vee b&=\max\{a,b\}\\ a\wedge b&=\min\{a,b\}\end{align}$$

- 代數算子（機率和、代數積）

$$\begin{align}a\stackrel{\wedge}{+} b &=a+b-ab\\ a\cdot b &= ab\end{align}$$

- 有界算子

$$\begin{align}a\oplus b &=\min\{1,a+b\}\\ a\odot b &= \max\{0,a+b-1\}\end{align}$$

- Einstein 算子

$$\begin{align}a\stackrel{+}{\epsilon} b &= \frac{a+b}{1+ab}\\ a\stackrel{\cdot}{\epsilon} b &= \frac{ab}{1+(1-a)(1-b)}\end{align}$$

- Hamacher 算子，其中$\nu \in [0,+\infty)$是參數，等於1時轉化為代數算子，等於2時轉化為 Einstein 算子

$$\begin{align} a\stackrel{+}{\nu} b &= \frac{a+b-ab-(1-\nu)ab}{\nu+(1-\nu)(1-ab)}\\ a\stackrel{\cdot}{\nu} b &= \frac{ab}{\nu+(1-\nu)(a+b-ab)} \end{align}$$

- Yager 算子，其中$p$是參數，等於1時轉化為有界算子，趨於無窮時轉化為 Zadeh 算子

$$\begin{align}a\;Y_p\;b &= \min\{1,(a^p+b^p)^{1/p}\}\\ a\;y_p\;b &= 1-\min\{1,[(1-a)^p+(1-b)^p]^{1/p}\}\end{align}$$

- $\lambda-\gamma$算子，其中$\lambda, \gamma \in [0,1]$是參數

$$\begin{align}a\;\lambda\;b &= \lambda ab+(1-\lambda)(a+b-ab)\\ a\;\gamma\;b &= (ab)^{1-\gamma}(a-ab)^\gamma\end{align}$$

- Dobois-Prade 算子，其中$\lambda \in [0,1]$是參數

$$\begin{align} a\vee_d b &= \frac{a+b-ab-\min\{(1-\lambda),a,b\}}{\max\{\lambda,1-a,1-b\}}\\ a\wedge_d b &= \frac{ab}{\max\{\lambda,a,b\}} \end{align}$$

### 算子的性質

參見集合代數和布爾代數。

主要算子的性質對比表如下（`.`表示不滿足，`-`表示未驗證）：

算子｜結合律｜交換律｜分配律｜互補律｜同一律｜冪等律｜支配律｜吸收律｜雙重否定律｜德·摩根律

Zedah｜√｜√｜√｜.｜√｜√｜√｜√｜√｜√

代數｜√｜√｜.｜.｜√｜.｜√｜.｜√

有界｜√｜√｜.｜√｜√｜.｜√｜√｜√

線性補償是指：$(\forall x,y,k \in [0,1])(x+k \wedge y-k\ \Rightarrow\ U(x+k,y-k)=U(x,y))$

算子的並運算｜冪等律｜排中律｜分配律｜結合律｜線性補償

Zadeh｜√｜.｜√｜√｜.

代數｜.｜.｜.｜√｜.

有界｜.｜√｜.｜.｜√

Hamacher r = 0｜.｜.｜.｜√｜.

Yager｜.｜.｜.｜√｜.

Hamacher｜.｜.｜.｜√｜.

Dobois-Prade｜.｜.｜.｜√｜.

## 模糊集之間的距離

### 使用度量理論

可以使用一般的度量理論來描述模糊集之間的距離。在這個意義上，我們需要在模糊冪集$F(U)$上建立一個度量，此外，我們還可能需要將此度量標準化，也即映射到$[0,1]$區間上。例如可以這樣來標準化 Minkowski 距離：

$$\tilde{d}(x,y)=\left({1\over n}\sum\limits_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|^p \right)^{1\over p}$$

### 貼近度

另一種是使用貼近度概念。在某種意義上，貼近度就是 1 - 距離（這裡的距離是上述標準化意義上的距離）。而之所以應用這個變換，是考慮到「度」的概念的直覺反映——距離越近，貼近的程度顯然越「高」，因此它恰為距離的反數。

除了距離外，還有一些與模糊集的特殊操作有關係的貼近度定義。

最大最小貼近度：$$\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\vee B(u_i))}$$

算術平均最小貼近度：$$\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{{1\over 2}\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)+B(u_i))}$$

幾何平均最小貼近度：$$\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{\sum_{i=1}^{n}\sqrt{A(u_i)\cdot B(u_i)}}$$

指數貼近度：$$\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{1}{e^{\|A-B\|}}$$