幾何中心

$n$ 維空間中一個對象$X$的幾何中心或形心是將$X$分成矩相等的兩部分的所有超平面的交點。非正式地說，它是$X$中所有點的平均。如果一個物件質量分佈平均，形心便是重心。

如果一個對象具有一致的密度，或者其形狀和密度具有某種對稱性足以確定幾何中心，那麼它的幾何中心和質量中心重合，該條件是充分但不是必要的。

有限個點總存在幾何中心，可以通過計算這些點的每個坐標分量的算術平均值得到。這個中心是空間中一點到這有限個點距離的平方和的唯一最小值點。點集的幾何中心在仿射變換下保持不變。

## 性質

一個凸對象的幾何中心總在其內部。一個非凸對象的幾何中心可能在外部，比如一個環或碗的幾何中心不在內部。

## 三角形的中心

形心是三角形的幾何中心，是指三角形的三條中線（頂點和對邊的中點的連線）交點。

### 三條中線共點證明

用塞瓦定理逆定理可以直接證出：

$$\frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA} \cdot \frac{AD}{DB}=\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1}=1$$

因此三線共點。

中心分每條中線比為2:1，這就是說距一邊的距離是該邊相對頂點距該邊的$\dfrac{1}{3}$。如右圖所示：

如果三角形是由均勻材料做成的薄片，那麼幾何中心也就是質量中心。它的笛卡爾坐標是三個頂點的坐標算術平均值。也就是說，如果三頂點位於$(x_a, y_a)$，$(x_b, y_b)$，和$(x_c, y_c)$，那麼幾何中心位於：

$$\Big( <pre> \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x_a+x_b+x_c),\; \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (y_a+y_b+y_c)\Big) </pre> = \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x_a, y_a) + \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x_b, y_b) + \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x_c, y_c)$$

### 中心分中線為2:1的證明

設三角形ABC的中線$\overline{AD}$，BE和CF交於三角形的中心G，延長AD至點O使得

$$AG = GO. \,$$

那麼三角形AGE和AOC 相似（公共角A，AO = 2 AG，AC = 2 AE），所以OC平行於GE。但是GE是BG的延長，所以OC平行於BG。同樣的，OB平行於CG。

從而圖形GBOC是一個平行四邊形。因為平行四邊形對角線互相平分，對角線GO和BC的交點使得GD = DO，這樣

$$GO = GD + DO = 2GD. \,$$

所以，$AG = GO = 2GD\,$，或$AG:GD = 2: 1\,$，這對任何中線都成立。

### 性質

- 三角形的重心與三頂點連線，所形成的三個三角形面積相等。
- 頂點到重心的距離是中線的$\tfrac{2}{3}$。
- 外心$O$、重心$G$、九點圓圓心$F$、垂心$H$四點依次序共線，其中$OG:GF:FH=2:1:3$，此線稱為歐拉線。
- 內心$I$、重心$G$、斯俾克心$S$、奈格爾點$N$四點依次序共線，其中$IG:GS:SN=2:1:3$，此線稱為奈格爾線。
- 三角形的重心同時也是中點三角形的重心。
- 在直角座標系中，若頂點的座標分別為$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$、$(x_3,y_3)$。

$$\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$$

- 三線坐標中。

$$bc : ca : ab = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c} = \csc A : \csc B : \csc C$$

- 重心坐標中。

$$1 : 1 : 1$$

- 三角形的重心的等截共軛點也是三角形重心自己。
- 三角形的重心的等角共軛點稱為類似重心。

## 四面體的中心

類似三角形的中心的結論對四面體也成立，四面體的幾何中心是所有頂點和相對平面中心的連線的交點。這些線段被中心分成3:1。這個結論能自然推廣到任何$n$-維單形。如果單形的頂點集是${v_0,...,v_n}$，將這些頂點看成向量，幾何中心位於：

$$\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^n v_i \; .$$

## 多邊形的中心

一個由 $N$ 個頂點 $(x_i,y_i)$ 確定的不自交閉多邊形的中心能如下計算：

記號 $(x_N,y_N)$ 與頂點 $(x_0,y_0)$ 相同。

$$A = \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{N-1}(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)$$

多邊形的中心由下式給出：

$$C_x = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{N-1}(x_i+x_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)$$

$$C_y = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{N-1}(y_i+y_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)$$

## 有限點集的中心

給定有限點集 $x_1,x_2,\ldots,x_k$屬於$\mathbb{R}^n$，它們的中心定義$C$為

$C = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_k}{k}$。

## 面積中心

面積中心和質量中心非常類似，面積中心只取決於圖形的幾何形狀。如果物體是均勻的，質量中心將位於面積中心。

對於兩部分組成的圖形，將有如下等式：

$$\overline{y} = \dfrac{\overline{y_1}A_1 + \overline{y_2}A_2}{A_1 + A_2}$$

$\overline{y}$是特定部分的面積中心到所選參考系的距離。$A$是特定部分的面積。

當一個複雜幾何圖形可以分成一些已知的簡單幾何圖形時，先計算各部分的面積中心，然後通過下面一般的公式計算整個圖形的面積中心：

$$\overline{x} = \frac{\sum \overline{x_i}A_i}{\sum A_i}$$

$$\overline{y} = \frac{\sum \overline{y_i}A_i}{\sum A_i}$$

這裡從y-軸到中心的距離是$\overline{x}$，從x-軸到中心的距離是$\overline{y}$，中心的坐標是$(\overline{x} , \overline{y})$。

## 積分公式

一個平面圖形的中心的橫坐標（x軸）由積分

$C_x = \frac{\int x f(x) \; dx}{\int f(x) \; dx}$給出。

這裡 $f(x)$ 是對象位於在橫坐標x點y軸上的長度，是在x圖形的測度。這個公式能由區域關於y-軸的第一矩得出。

這個過程等價於取加權平均。假設y-軸表示頻率，x-軸表示欲求平均值的變量，那麼沿著x-軸的中心即 $\bar{x}$。從而中心可以想像成表示特定形狀的許多無限小元的加權平均。

對任意維數 $n$，由相同的公式得出$\R^n$中一個對象的中心第一個坐標，假設 $f(x)$ 是對象在坐標x的截面（也就是說，對象中第一個坐標為x的所有點的集合）的$(n-1)$-維測度。

注意到分母恰是對象的n- 維測度。特別的，在 $f$ 為正規時，即分母為1，中心也稱為 $f$ 的平均。

當對象的測度為0或者積分發散，這個公式無效。

## 圓錐和稜錐的中心

圓錐或稜錐的中心位於連接頂點和底的中心的線段上，分比為3:1。

## 對稱中心

如果中心確定了，那麼中心是所有它對稱群的不動點。從而對稱能全部或部分確定中心，取決於對稱的種類。另外可以知道，如果一個對象具有傳遞對稱性，那麼它的中心是不確定的或不在內部，因為一個傳遞變換群沒有不動點。

## 地理中心

地理學中，地球表面一個區域的幾何中心也稱為地理中心。

## 外部連結

- Encyclopedia of Triangle Centers by Clark Kimberling. The centroid is indexed as X (2).
- Triangle centers by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas.
- Characteristic Property of Centroid at cut-the-knot
- Barycentric Coordinates at cut-the-knot
- Online Tool to Compute Center of Mass bounded by f (x) and g (x)
- Interactive animations showing Centroid of a triangle and Centroid construction with compass and straightedge