配方法

配方法（Completing the square）。

將下方左邊的多項式化成右邊的形式，就是配方法的目標：

$ax^2 + bx + c = a(x-h)^2 +k$，其中$h$和$k$是常數。

## 簡介

在基本代數中，配方法是一種用來把二次函數化為一個多項式的平方與一個常數的和的方法。這種方法是把以下的多項式$$a x^2 + b x\,\!$$化為$$(c x + d)^2 + e\,\!$$以上表達式中的係數$a$、$b$、$c$、$d$和$e$本身也可以是表達式，可以含有除$x$以外的變量。

配方法通常用來推導出二次方程的求根公式：

$$\begin{align} <pre> ax^2+bx+c &{}= 0\\ ax^2+bx &{}= -c\\ x^2 + \left( \frac{b}{a} \right) x &{}= -\frac{c}{a}\\ </pre> \end{align}$$

我們的目的是要把方程的左邊化為完全平方。由於問題中的完全平方具有$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$的形式，可導出$2xy=\frac{b}{a}x$，因此$y=\frac{b}{2a}$。等式兩邊加上$y^2=(\frac{b}{2a})^2$，可得：

$$\begin{align} <pre> x^2 + \frac{b}{a} x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 &{}= \left(\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{c}{a} \\ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 &{}= \frac{b^2-4ac}{4a^2}\\ x + \frac{b}{2a} &{}= \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ x &{}= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} </pre> \end{align}$$

這個表達式稱為二次方程的求根公式。

## 幾何學的觀點

考慮把以下的方程配方：$$x^2 + bx = a.\,$$由於$x^2$表示邊長為$x$的正方形面積，$bx$表示邊長為$b$和$x$的矩形面積，因此配方法可以視為矩形的操作。

如果嘗試把矩形$x^2$ 和兩個$\frac{b}{2}\,x$合併成一個更大的正方形，這個正方形還會缺一個角。把以上方程的兩端加上$\left(\frac{b}{2}\right)^2$，正好是欠缺的角的面積，這就是「配方法」的名稱的由來。

## 一般公式

為了得到$a x^2 + b x = (c x + d)^2 + e , \,$我們設

$$\begin{align} <pre> c &{}= \sqrt{a} ,\\ d &{}= \frac{b}{2\sqrt{a}} ,\\ e &{}= -d^2\\ &{}= -\left(\frac{b}{2\sqrt{a}}\right)^2\\ &{}= -\frac{b^2}{4a} . </pre> \end{align}$$

得出$a x^2 + b x = \left(\sqrt{a}\,x + \frac{b}{2 \sqrt{a}}\right)^2 - <pre> \frac{b^2}{4a} . \,$

### 證明

注意$\left(cx + d\right)^2 + e = c^2 x^2 + 2cdx + d^2 + e$。為了把$c^2 x^2 + 2cdx + d^2 + e\!$化為 $ax^2 + bx + f \!$ 的形式，我們必須進行以下的代換：

$$\begin{align} <pre> a &{}= c^2 ,\\ b &{}= 2cd ,\\ f &{}= d^2 + e . </pre> \end{align}$$

現在，$a$、$b$和$f$依賴於$c$、$d$和$e$，因此我們可以把$c$、$d$和$e$用$a$、$b$和$f$來表示：

$$\begin{align} <pre> c &{}= \pm \sqrt{a} ,\\ d &{}= \frac{b}{2c}\\ &{}= \pm \frac{b}{2\sqrt{a}} ,\\ e &{}= f - d^2\\ &{}= f - \frac{b^2}{4a} </pre> \end{align}$$

若且唯若$f$等於零且$a$是正數時，這些方程與以上是等價的。如果$a$是負數，那麼$c$和$d$的表達式中的±號都表示負號──然而，如果$c$和$d$都是負數的話，那麼$(cx+d)^2$的值將不受影響，因此$\pm$號是不需要的。

## 例子

### 具體例子

$$\begin{align}5x^2 + 7x - 6 &{}= 5\left(x^2 + {7 \over 5}x\right) -6 \\ &{}= 5\left[x^2 + {7 \over 5}x +\left({7 \over 10}\right)^2\right] - 6 - 5\left({7 \over 10}\right)^2 \\ &{}= 5\left(x + {7 \over 10}\right)^2 - 6 - {7^2 \over 2\cdot 10} \\ &{}= 5\left(x + {7 \over 10}\right)^2 - {6\cdot 20 + 7^2 \over 20} \\ &{}= 5\left(x + {7 \over 10}\right)^2 - {169 \over 20} \end{align}$$

從中我們可以求出多項式為零時$x$的值，也就是多項式的根。

$$\begin{align} 5x^2 + 7x - 6 &{}= 0\\ 5\left(x + {7 \over 10}\right)^2 - {169 \over 20} &{}= 0\\ \left(x + {7 \over 10}\right)^2 &{}= {169 \over 100}\\ &{}= \left({13 \over 10}\right)^2\\ x + {7 \over 10} &{}= \pm {13 \over 10}\\ x &{}= {-7 \pm 13 \over 10}\\ &{}= {3 \over 5}\mbox{ or }-2 \end{align}$$

我們也可以求出$x$取得什麼值時，以下的多項式為最大值或最小值：$$y = 5x^2 + 7x - 6$$最高次數的項$x^2$的係數為正，因此$x$的絕對值越大，$y$就越大。但是，$y$有一個最小值，在任何地方都不能比它更小。從完全平方的形式中，$y = 5\left(x + \frac{7}{10}\right)^2 - \frac{169}{20}$，我們可以看到，如果$x = -{7 \over 10}$，那麼$y=-\frac{169}{20}=-8.45$；但如果$x$是任何其它的數，$y$都是$-\frac{169}{20}$加上一個非零的平方數。由於非零實數的平方都是正數，因此當$x$不為 $-\frac{7}{10}$時，$y$一定大於−8.45。所以，$(x,y)=\left(-\frac{7}{10},-\frac{169}{20}\right)=(-0.7,-8.45)=$就$y$的最小值。

### 微積分例子

假設我們要求出以下函數的原函數：$$\int\frac{1}{9x^2-90x+241}\,dx.\,\!$$這可以用把分母配方來完成。分母是：$$9x^2-90x+241=9(x^2-10x)+241$$把兩邊$x^2-10x$加上$(\frac{10}{2})^2=25$，就可以得到一個完全平方，$x^2-10x+25=(x-5)^2$。分母變為：

$$\begin{align} <pre> 9(x^2-10x)+241 &{}=9(x^2-10x+25)+241-9(25)\\ &{}=9(x-5)^2+16 </pre> \end{align}$$

因此積分為：

$$\begin{align} <pre> \int\frac{1}{9x^2-90x+241}\,dx &{}=\frac{1}{9}\int\frac{1}{(x-5)^2+(\frac{4}{3})^2}\,dx\\ &{}=\frac{1}{9}\cdot\frac{3}{4}\arctan\frac{3(x-5)}{4}+C </pre> \end{align}$$

### 複數例子

考慮以下的表達式：$$|z|^2 - b^*z - bz^* + c$$其中$z$和$b$是複數，$z^*$和$b^*$分別是$z$和$b$的共軛複數，$c$是一個實數。利用恆等式$\left \vert u \right \vert ^2=uu^*$，我們可以把它寫成：$$|z-b|^2 - |b|^2 + c$$這顯然是一個實數。這是因為：

$$\begin{align} <pre> |z-b|^2 &{}= (z-b)(z-b)^*\\ &{}= (z-b)(z^*-b^*)\\ &{}= zz^* - zb^* - bz^* + bb^*\\ &{}= |z|^2 - zb^* - bz^* + |b|^2 </pre> \end{align}$$

作為另外一個例子，以下的表達式$$ax^2 + by^2 + c$$其中$a$、$b$、$c$、$x$和$y$是實數，$a>0$且$b>0$，可以用一個複數的絕對值的平方來表示。定義$$z = \sqrt{a}\,x + i \sqrt{b} \,y$$那麼

$$\begin{align} <pre> |z|^2 &{}= z z^*\\ &{}= (\sqrt{a}\,x + i \sqrt{b}\,y)(\sqrt{a}\,x - i \sqrt{b}\,y) \\ &{}= ax^2 - i\sqrt{ab}\,xy + i\sqrt{ba}\,yx - i^2by^2 \\ &{}= ax^2 + by^2 , </pre> \end{align}$$

因此$$ax^2 + by^2 + c = |z|^2 + c \,\!$$

## 方法的變化

通常配方法是把第三項$v^2$加在$u^2 + 2uv\,$，得出一個平方。我們也可以把中間的項（$2uv$或$-2uv$）加在多項式$u^2 + v^2\,$就得出一個平方。

### 例子：正數與它的倒數的和

從以下的恆等式中。

$$\begin{align} x + {1 \over x} &{} = \left(x - 2 + {1 \over x}\right) + 2\\ <pre> &{}= \left(\sqrt{x} - {1 \over \sqrt{x}}\right)^2 + 2 </pre> \end{align}$$

我們可以看出，正數$x$與它的倒數的和總是大於或等於 2。

### 例子：分解四次多項式

假設我們要把以下的四次多項式分解：$$x^4 + 324$$也就是：$$(x^2)^2 + (18)^2$$因此中間的項是$2(x^2)(18)=36x^2$。所以，我們有：

$$\begin{align} x^4 + 324 &{}= (x^4 + 36x^2 + 324 ) - 36x^2 \\ &{}= (x^2 + 18)^2 - (6x)^2 \\ &{}= (x^2 + 18 + 6x)(x^2 + 18 - 6x) \\ &{}= (x^2 + 6x + 18)(x^2 - 6x + 18) \end{align}$$

最後一個步驟是把所有的項按降冪方式排列。

## 參考文獻

- 《初中代數41講》，賈士代主編，首都師範大學出版社，ISBN 7-81039-028-7，第49-55頁。
- 《華羅庚學校數學課本（初一年級）》，劉彭芝主編，中國大百科全書出版社，ISBN 7-5000-5664-8，第81-91頁。

## 外部連結

- 用配方法來解二次方程： WebGraphing.com