薛丁格繪景

薛丁格繪景（Schrödinger picture）是量子力學的一種表述，為紀念物理學者埃爾溫·薛丁格而命名。在薛丁格繪景裏，量子系統的態向量隨著時間流易而演化，而像位置、自旋一類的對應於可觀察量的算符則與時間無關。

薛丁格繪景與海森堡繪景、狄拉克繪景不同。在海森堡繪景裏，對應於可觀察量的算符會隨著時間流易而演化，而描述量子系統的態向量則與時間無關。在狄拉克繪景裏，態向量與算符都會隨著時間流易而演化。

這三種繪景殊途同歸，所獲得的結果完全一致。這是必然的，因為它們都是在表達同樣的物理現象。

在薛丁格繪景裏，負責時間演化的算符是一種么正算符，稱為時間演化算符。假設時間從$t_0$流易到$t$，而經過這段時間間隔，態向量$|\psi(t_0)\rang$演化為態向量$|\psi(t)\rang$，這時間演化過程以方程式表示為

$|\psi(t)\rang = U(t, t_0) |\psi(t_0)\rang$。

其中，$U(t, t_0)$是時間演化算符。

假設系統的哈密頓量$H$不含時，則時間演化算符為

$U(t, t_0) = e^{-iH(t-t_0)/\hbar}$。

其中，$\hbar$是約化普朗克常數，指數函數$e^{-iH(t-t_0)/\hbar}$必須通過其泰勒級數計算。

在初級量子力學教科書裏，時常會使用薛丁格繪景。

## 時間演化算符

### 定義

時間演化算符$U(t,\,t_0)$定義為

$| \psi(t) \rang\ \stackrel{def}{=}\ U(t,\,t_0) | \psi(t_0) \rang$。

其中，右矢$| \psi(t) \rang$表示時間為$t$的態向量，$U(t,\,t_0)$是時間演化算符，從時間$t$演化到時間$t_0$。

這方程式可以做這樣解釋：將時間演化算符$U(t,\,t_0)$作用於時間是$t_0$的態向量$| \psi(t_0) \rang$，則會得到時間是$t$的態向量$| \psi(t) \rang$。

類似地，也可以用左矢$\langle \psi|$來定義：

$\langle \psi(t) | = \langle \psi(t_0) |U^{\dagger}(t,\,t_0)$。

其中，算符$U^{\dagger}$是算符$U$的厄米共軛。

### 性質

#### 么正性

由於態向量必須滿足歸一條件，態向量的範數不能隨時間而變：

$\langle \psi(t)| \psi(t) \rang= \langle \psi(t_0) | \psi(t_0) \rang$。

可是。

$\langle \psi(t)| \psi(t) \rang = \langle \psi(t_0)|U^{\dagger}(t,\,t_0)U(t,\,t_0)| \psi(t_0) \rang$。

所以。

$U^{\dagger}(t,\,t_0)U(t,\,t_0)=I$ ;

其中，$I$是單位算符。

#### 單位性

時間演化算符$U(t_0,\,t_0)$必須是單位算符$U(t_0,\,t_0)=I$，因為。

$| \psi(t_0) \rang = U(t_0,\,t_0) | \psi(t_0) \rang$。

#### 閉包性

從初始時間$t_0$到最後時間$t$的時間演化算符，可以視為從中途時間$t_1$到最後時間$t$的時間演化算符，乘以從初始時間$t_0$到中途時間$t_1$的時間演化算符：

$U(t,\,t_0) = U(t,\,t_1)U(t_1,\,t_0)$。

根據時間演化算符的定義。

$| \psi(t_1) \rang = U(t_1,\,t_0) | \psi(t_0) \rang$。

$| \psi(t) \rang = U(t,\,t_1) | \psi(t_1) \rang$。

所以。

$| \psi(t) \rang = U(t,\,t_1)U(t_1,\,t_0) | \psi(t_0) \rang$。

可是，再根據定義。

$| \psi(t) \rang = U(t,\,t_0) | \psi(t_0) \rang$。

所以，時間演化算符必須滿足閉包性：

$U(t,\,t_0) = U(t,\,t_1)U(t_1,\,t_0)$。

### 時間演化算符的微分方程式

為了方便起見，設定$t_0=0$，初始時間$t_0$永遠是$0$，則可忽略時間演化算符的$t_0$參數，改寫為$U(t)$。含時薛丁格方程式為

$i \hbar {\partial \over \partial t}| \psi (t) \rang = H| \psi (t)\rang$。

其中，$H$是哈密頓量。

從時間演化算符的定義式，可以得到

$i \hbar {\partial \over \partial t}U(t) | \psi (0) \rang = HU(t) | \psi (0) \rang$。

由於$|\psi(0) \rang$可以是任意恆定態向量（處於$t=0$的態向量），時間演化算符必須遵守方程式

$i \hbar {\partial \over \partial t}U(t) = HU(t)$。

假若哈密頓量不含時，則這方程式的解答為

$U(t) = e^{-iHt / \hbar}$。

注意到在時間$t=0$，時間演化算符必須約化為單位算符$U(0)=I$。由於$H$是算符，指數函數$e^{-iHt}$必須通過其泰勒級數計算：

$e^{-iHt / \hbar} = 1 - \frac{iHt}{\hbar} - \frac{1}{2}\left(\frac{Ht}{\hbar}\right)^2 + \cdots$。

按照時間演化算符的定義，在時間$t$，態向量為

$| \psi(t) \rang = e^{-iHt / \hbar} | \psi(0) \rang$。

注意到$|\psi(0) \rang$可以是任意態向量。假設初始態向量$|\psi(0) \rang$是哈密頓量的本徵態，而本徵值是$E$，則在時間$t$，態向量為

$| \psi(t) \rang = e^{-iEt / \hbar} | \psi(0) \rang$。

這樣，可以看到哈密頓量的本徵態是定態，隨著時間的流易，只有相位因子在進行演化。

假設，哈密頓量與時間有關，但在不同時間的哈密頓量相互對易，則時間演化算符可以寫為

$U(t) = \exp\left({-\frac{i}{\hbar} \int_0^t H(t')\, dt'}\right)$。

假設，哈密頓量與時間有關，而在不同時間的哈密頓量不相互對易，則時間演化算符可以寫為

$U(t) =T \exp\left({-\frac{i}{\hbar} \int_0^t H(t')\, dt'}\right)$。

其中，$T$是時間排序算符。

必須用戴森級數來表示。

$U(t) =1+\sum^\infty_{n=1}\left(\frac{-i}{\hbar}\right)^n\int^t_0 dt_1\int^{t_1}_0 dt_2 \dots \int^{t_{n-1}}_0 dt_n H(t_1)H(t_2)\dots H(t_n)$。

## 各種繪景比較摘要

為了便利分析，位於下標的符號$\mathcal{H}$、$\mathcal{I}$、$\mathcal{S}$分別標記海森堡繪景、交互作用繪景、薛丁格繪景。

各種繪景隨著時間流易會呈現出不同的演化：

演化｜海森堡繪景｜交互作用繪景｜薛丁格繪景

右矢｜常定｜$| \psi(t) \rang_{\mathcal{I}} = e^{i H_0t/\hbar} | \psi(t) \rang_{\mathcal{S}}$｜$|\psi(t) \rang_{\mathcal{S}}= e^{-iHt/\hbar} | \psi(0) \rang_{\mathcal{S}}$

可觀察量｜$A_{\mathcal{H}}(t)=e^{i Ht/\hbar} A_{\mathcal{S}}e^{-i Ht/\hbar}$｜$A_{\mathcal{I}}(t)=e^{i H_0t/\hbar} A_{\mathcal{S}}e^{-i H_0t/\hbar}$｜常定

密度算符｜常定｜$\rho_{\mathcal{I}}(t)=e^{i H_0t/\hbar} \rho_S (t) e^{-i H_0t/\hbar}$｜$\rho_{\mathcal{S}}(t)= e^{-i Ht/\hbar}\rho_{\mathcal{S}}(0) e^{iHt/\hbar}$

## 參閱

- 哈密頓-亞可比方程式