離散空間

在拓撲學和相關數學領域中，離散空間（discrete space）指一種特別簡單的拓撲空間或相似的結構，在其中點都在特定意義下是相互孤立的。

離散拓撲是可以在集合上給出的最精細的拓撲。離散拓撲中的每個子集都是開集，因此每個單子集也都是開集。

## 定義

給定集合X:

- 在X上的離散拓撲是通過X的所有子集是開集（因此也是閉集）而定義的。如果X配備了它的離散拓撲，則X組成了離散拓撲空間。
- 在X上的離散一致是通過令X × X中的對角集$\{(x,x) : x \in X\}$的所有子集為周圍（entourage）而定義的。如果X配備了它的離散一致，則X組成了離散一致空間。
- 在X上的離散度量$\rho$定義為

$\forall x,\ y\in X,\ \rho(x,y) = \left\{\begin{matrix} 1 &\mbox{if}\ x\neq y , \\ 0 &\mbox{if}\ x = y \end{matrix}\right.$。這時，$(X,\rho)$被稱為離散度量空間或孤點空間。

- 給定拓撲空間$(Y, \tau)$的離散子空間是指$(Y, \tau)$的拓撲子空間（$Y$的子集與$(Y, \tau)$的子空間拓撲），其拓撲等於離散拓撲。例如，若$Y := \R$具有通常的歐幾里得拓撲結構，那麼$S = \left\{\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \ldots\right\}$（賦予了子空間拓撲）就是$\R$的離散子空間，而$S \cup \{0\}$不是。
- $\forall x \in S,\ \exists \delta>0$（取決於$x$），使得$\forall y \in S\setminus\{x\},\ d(x,y) > \delta$，且這樣的集合由孤點組成，則集合$S$在度量空間$(X,d),$中是離散的。
- 集合$S \subseteq X$，若$\exists \varepsilon > 0$，使得$\forall$離散的$x, y \in S, d(x, y) > \varepsilon$，則集合$S$在度量空間$(X,d),\ $中一致離散。

若$\exists$某個堆積半徑（Packing Radius）$r > 0,\ \forall x,y \in E,\ $要麼有$x=y$要麼有$d(x,y)>r$，則稱度量空間$(E,d)$是一致離散集。度量空間之下的拓撲空間可以是離散的，而沒有一致離散的度量：例如在實數的集合$\left\{2^{-n} : n \in \N_0\right\}$上的平常度量。

令$X = \left\{2^{-n} : n \in \N_0 \right\} = \left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots\right\}$，以實數的平常度量考慮該集合。由於$\forall x_n = 2^{-n} \in X$，都可以用開區間$(x_n - \varepsilon, x_n + \varepsilon)$（其中$\varepsilon = \tfrac{1}{2} \left(x_n - x_{n+1}\right) = 2^{-(n+2)}$）包圍之，則$X$是離散空間。因此，交集$\left(x_n - \varepsilon, x_n + \varepsilon\right) \cap X$完全是單元素集$\{x_n\}$。由於實數開集與$X$的交對誘導拓撲來說也是開的，所以$\{x_n\}$是開集，單元素集也是開集，$X$是離散空間。

然而，$X$不是一致離散的。設$\exists r > 0$，使得只要$x \neq y$就有$d(x,y) > r$，則只需證$X$中至少有$x$、$y$兩點比$r$更近即可。由於相鄰點$x_n$與$x_{n+1}$的間距為$2^{-(n+1)}$，我們需要找到滿足此式的$n$：

$$\begin{align} <pre> 2^{-(n+1)} &< r \\ 1 &< 2^{n+1}r \\ r^{-1} &< 2^{n+1} \\ </pre> \log_2\left(r^{-1}\right) &< n+1 \\ <pre> -\log_2(r) &< n+1 \\ -1 - \log_2(r) &< n </pre> \end{align}$$

由於總有$n$大於任何給定實數，因此$X$中總有至少兩點的間距小於$\forall r>0$，因此$X$不一致連續。

## 性質

離散度量空間基本的一致性是離散一致，而離散一致空間基本的拓撲是離散拓撲。因此，離散空間的不同概念是相互兼容的。另一方面，非離散一致空間或度量空間基本的拓撲可以是離散的，一個例子是度量空間$X = \{n^{-1} : n \in \N\}$（度量繼承自實數軸，由$d(x,y) = \left|x - y\right|$給出）。這不是離散度量，這個空間也不完備，因此作為一致空間不離散，但作為拓撲空間是離散的。我們稱X是「拓撲離散」而非「一致離散」或「度量離散」。

此外還有:

- 離散空間的拓撲維數為0。
- 拓撲空間是離散的，若且唯若它的單元素集合是開集，也就是若且唯若其不含任何極限點。
- 單元素集合形成了這個離散拓撲的基。
- 一致空間X是離散的，若且唯若對角集$\{(x,x) : x \in X\}$是周圍。
- 所有離散拓撲空間都滿足分離公理；特別地，所有離散空間都是豪斯多夫空間。
- 離散空間是緊緻空間，若且唯若它是有限的。
- 所有離散一致空間或度量空間都是完備空間。
- 組合上兩個性質，所有離散一致空間或度量空間都是全有界的，若且唯若它是有限的。
- 所有離散度量空間都有界。
- 所有離散空間都是第一可數空間，並且離散空間是第二可數空間若且唯若它是可數的。
- 所有離散空間都是完全不連通空間。
- 所有非空離散空間都是貧集。
- 任何兩個同勢的離散空間都同胚。
- 任何離散空間都可度量（通過離散度量）。
- 有限空間可度量，若且唯若其離散。
- 若$X$是拓撲空間，$Y$是攜帶離散拓撲的集合，則$X$被$X \times Y$均勻覆蓋（投影映射是所需的覆蓋）。
- 作為實數軸子集的整數上的子空間拓撲是離散拓撲。
- 離散空間可分，若且唯若其可數。
- 實數集$\mathbb{R}$的任何拓撲子空間（具有通常的歐幾里得拓撲）都必然可數。

從離散拓撲空間到另一個拓撲空間的任何函數都連續，從離散一致空間到另一個一致空間的任何函數都一致連續。就是說，在拓撲空間和連續映射範疇中，或在一致空間和一致連續映射範疇內，離散空間X是集合X上的自由對象。這些性質是更廣泛現象的實例，即離散結構通常自由於集合上。

對於度量空間，情況更加複雜，因為依賴於所選擇的態射有很多度量空間範疇。態射都（一致）連續時，離散度量空間當然是自由的，但這並未表現度量結構的特性，只針對了一致或拓撲結構。若將態射限制為利普希茨連續映射或短映射，便可以找到與度量結構更有關的範疇；但這些範疇在包含多個元素時沒有自由對象。然而，離散度量空間在有界度量空間和利普希茨連續映射範疇內是自由的，且在以1為界的度量空間和短映射範疇內也是自由的。就是說，從離散度量空間到另一個有界度量空間的任何函數都是利普希茨連續的，而任何從離散度量空間到另一個以1為界的度量空間的任何函數都是短映射。

從另一個方向看，從拓撲空間Y到離散空間X的函數f是連續的，若且唯若它是局部常數函數，即Y的每個點都有函數值為常數的鄰域時。

非空集$X$上的每個超濾子$\mathcal{U}$都可以與$X$上的拓撲$\tau = \mathcal{U} \cup \left\{ \varnothing \right\}$相關聯，其性質是：$X$的每個非空真子集$S$要麼開要麼閉。換句話說，每個子集都是開集或閉集，但（與離散拓撲相反）唯二既是開集又是閉集（即閉開集）的只有$\varnothing$和$X$。作為對比，離散拓撲中，$X$的所有子集都是閉開集。

## 例子與用途

離散結構常常用作不帶任何其他自然拓撲、一致或度量的集合的「默認結構」。離散結構常用作檢驗特定假設的「極端」例子。例如，將離散拓撲結構賦予任何群，都可將其視作拓撲群，這意味著拓撲群相關的理論適用於所有群。實際上，分析學家更可能指被代數學家稱為「離散群」的平凡非拓撲群。有時這一點會有很好的應用，例如結合龐特里亞金對偶性時。

0維流形（或微分、或解析流形）就只是離散可數拓撲空間（不可數離散空間不是第二可數空間）。由此，我們可以把任何離散可數群視作0維李群。

儘管離散空間從拓撲學的角度看沒有什麼令人興奮的，但卻可以從它們構造有趣的空間。例如，可數無限多個自然數離散空間的積與無理數空間同胚，這裡的同胚由連分數展開給出。可數無限多個離散空間$\{0,1\}$的積與康托爾集同胚；事實上如果在積上應用積一致結構，則它與康托爾集是一致同構的，這種同構通過數字的三進位表示·給出（見康托爾空間）。局部單射函數的每個纖維都必然是其定義域的離散子空間。

在數學基礎中，對$\{0,1\}$積緊性的研究是超濾子原理（等同於布爾素理想定理）的拓撲方法的核心，而超濾子原理是選擇公理的弱形式。

## 不可分空間

在某種意義上，離散拓撲的對立是密著拓撲（也稱為「不可分拓撲」），具有最少可能數目的開集（即空集和空間自身）。離散拓撲面向始對象或自由對象，而密著拓撲面向終對象或余自由對象：所有從拓撲空間到密著空間的函數都是連續的。