格林函數

在數學中，格林函數（點源函數、影響函數）是一種用來解有初始條件或邊界條件的非齊次微分方程的函數。在物理學的多體理論中，格林函數常常指各種關聯函數，有時並不符合數學上函數的定義。

格林函數的名稱是來自於英國數學家喬治·格林（George Green），早在1830年代，他是第一個提出這個概念的人。

## 定義以及用法

給定流形$M\,$上的微分算子 $L\,$，其格林函數$G(x,s)\, s,x\in M$，為以下方程的解

$$L G (x,s) = \delta(x-s) \ \ \ \ \ (1)$$

其中 $\delta\,$ 為狄拉克δ函數。此技巧可用來解下列形式的微分方程：

$$L u(x) = f(x) \ \ \ \ (2)$$

若$L$的 零空間非平凡，則格林函數不唯一。不過，實際上因著對稱性、邊界條件或其他的因素，可以找到唯一的格林函數。一般來說，格林函數只是一個廣義函數。

格林函數在凝聚態物理學中常被使用，因為格林函數允許擴散方程式有較高的精度。在量子力學中，哈密頓算子的格林函數和狀態密度有重要的關係。由於擴散方程式和薛丁格方程有類似的數學結構，因此兩者對應的格林函數也相當接近。

## 動機

若可找到線性算符 $L\,$ 的格林函數 $G\,$，則可將 (1) 式兩側同乘$f(s)\,$，再對變數 $s\,$ 積分，可得：

$$\int L G(x,s) f(s) ds = \int \delta(x-s)f(s) ds = f(x).$$

由公式 (2) 可知上式的等號右側等於 $Lu(x)\,$，因此：

$$Lu(x) = \int L G(x,s) f(s) ds.$$

由於算符 $L\,$ 為線式，且只對變數 $x\,$ 作用，不對被積分的變數 $s\,$ 作用），所以可以將等號右邊的算符 $L\,$ 移到積分符號以外，可得：

$$Lu(x) = L\left(\int G(x,s) f(s) ds\right).$$

而以下的式子也會成立：

$$u(x) = \int G(x,s) f(s) ds . \ \ \ \ (3)$$

因此，若知道 (1) 式的格林函數，及 (2) 式中的 $f(x)$，由於 $L$ 為線性算符，可以用上述的方式得到 $u(x)$。換句話說， (2) 式的解 $u(x)$ 可以由 (3) 式的積分得到。若可以找到滿足 (1) 式的格林函數 $G$，就可以求出 $u(x)$。

並非所有的算符 $L$ 都存在對應的格林函數。格林函數也可以視為算符 $L$ 的左逆元素。撇開要找到特定算符的格林函數的難度不論，(3) 式的積分也很難求解，因此此方法只能算是提供了一個理論上存在的解法。

格林函數可以用來解非齊次的微-積分方程──多半是施圖姆-劉維爾問題。若 $G$ 是算符 $L$ 的格林函數，則方程式 $Lu = f$ 的解 $u$ 為

$$u(x) = \int{ f(s) G(x,s) \, ds}.$$

可以視為 $f$ 依狄拉克 $\delta$ 函數的基底展開，再將所有投影量疊加的結果。以上的積分為弗雷德霍姆積分方程。

## 非齊次邊界值問題的求解

格林函數的主要用途是用來求解非齊次的邊界值問題。在近代的理論物理中，格林函數一般是用來作為費曼圖中的傳播子，而「格林函數」一詞也用來表示量子力學中的關聯函數。

### 研究框架

令 $L$ 為一個施圖姆-劉維爾算子，是一個以以下形式表示的線性微分算子

$$L = {d \over dx}\left[ p(x) {d \over dx} \right] + q(x)$$

而 $D$ 是邊界條件算子

$$Du = \left\{\begin{matrix} \alpha _1 u'(0) + \beta _1 u(0) \\ \alpha _2 u'(l) + \beta _2 u(l) \end{matrix}\right.$$

令 $f(x)$ 為在 $[0,l]$ 區間的連續函數，並假設以下問題

$$\begin{matrix}Lu = f \\ Du = 0 \end{matrix}$$

有正則特牲；即其齊次問題只存在尋常解。

### 定理

則存在唯一解 $u(x)\,$ 滿足以下方程式

$$\begin{matrix}Lu = f \\ Du = 0 \end{matrix}$$

而其解的計算方式如下

$$u(x) = \int_0^\ell f(s) g(x,s) \, ds$$

而中 $g(x,s)\,$ 即為格林函數，有以下的特性：

- $g(x,s)\,$ 對 $x \,$ 及 $s \,$ 連續。
- 對所有 $x \ne s$, $L g ( x, s ) = 0 \,$.
- 對所有 $s \ne 0, l$, $D g ( x, s ) = 0 \,$.
- 微分跳躍：$g ' ( s_{ + 0}, s ) - g ' (s_{ - 0}, s ) = 1 / p(s) \,$.
- 對稱：$g(x, s) = g(s, x) \,$.

## 尋找格林函數

### 特徵向量展開

若一微分算子 $L$ 有一組完備的特徵向量 $\Psi_n(x)$（也就是一組函數 $\Psi_n(x)$ 及純量 $\lambda_n$ 使得 $L \Psi_n = \lambda_n \Psi_n$ 成立）則可以由特徵向量及特徵值產生格林函數。

先假設函數 $\Psi_n(x)$ 滿足以下的完備性：

$$\delta(x - x') = \sum_{n=0}^\infty \Psi_n(x) \Psi_n(x').$$

經由證明可得下式：

$$G(x, x') = \sum_{n=0}^\infty \frac{\Psi_n(x) \Psi_n(x')}{\lambda_n}.$$

若在等號兩側加上微分算子 $L$，則可以證明以上假設的完備性。

有關以上格林函數的進一步研究，及格林函數和特徵向量所組成空間的關係，則為弗雷德霍姆理論所要探討的內容。

## 拉普拉斯算子的格林函數

先由格林定理開始：

$$\int_V (\phi\nabla^2\psi - \psi\nabla^2\phi) dV = \int_S (\phi\nabla\psi - \psi\nabla\phi)\cdot d\hat\sigma$$

假設線性算符 $L$ 為拉普拉斯算子 $\nabla^2$，而 $G$ 為拉普拉斯算子的格林函數。則因為格林函數的定義，可得下式：

$$L G(x,x') = \nabla^2 G(x,x') = \delta(x-x')$$

令格林定理中的 $\,\!\psi = G$，可得：

$$\int_V \phi(x') \delta(x - x')\ d^3x' - \int_V G(x,x') \nabla^2\phi(x')\ d^3x' = \int_S \phi(x')\nabla' G(x,x') - G(x,x')\nabla'\phi(x') \cdot d\hat\sigma' \ \ \ \ \ (4)$$

根據上式，可以解拉普拉斯方程 $\nabla^2\phi(x)=0$ 或 泊松方程 $\nabla^2\phi(x)=-4\pi\rho(x)$，其邊界條件可以為狄利克雷邊界條件或是諾伊曼邊界條件。換句話說，在以下任一個條件成立時，可以解一空間內任一位置的 $\,\!\phi(x)$：

- 已知 $\,\!\phi(x)$ 在邊界上的值（狄利克雷邊界條件）。
- 已知 $\,\!\phi(x)$ 在邊界上的法向導數（諾伊曼邊界條件）。

若想解在區域內的 $\,\!\phi(x)$，由於狄拉克 $\delta$ 函數的特性，(4) 式等號左邊的第一項

$$\int\limits_V {\phi(x')\delta(x-x')\ d^3x'}$$

可化簡為 $\,\!\phi(x)$，再將 (4) 式等號左邊第二項 $\nabla^2\phi(x')$ 用 $\,\!\rho'(x')$ 表示，（若為泊松方程，$\,\!\rho'(x)=-4\pi\rho(x)$，若為拉普拉斯方程，$\,\!\rho'(x)=0$），可得：

$$\phi(x) = \int_V G(x,x') \rho'(x')\ d^3x' + \int_S \phi(x')\nabla' G(x,x') - G(x,x')\nabla'\phi(x') \cdot d\hat\sigma' \ \ \ \ \ (5)$$

上式即為調和函數（harmonic function）的特性之一：若邊界上的值或法向導數已知，則可以求出區域內每個位置的數值。

在靜電學中，$\,\!\phi(x)$ 為電位，$\,\!\rho(x)$ 為電荷密度，而法向導數 $\nabla\phi(x')\cdot d\hat\sigma'$ 則為電場在法向的分量。

若目前的邊界條件為狄利克雷邊界條件，可以選擇在 $x$ 或 $x'$ 在邊界時，其值也為 0 的格林函數。若邊界條件為諾伊曼邊界條件，可以選擇在 $x$ 或 $x'$ 在邊界時，其法向導數為 0 的格林函數。因此 (5) 式等號右側的二個積分項有一項為 0，只剩下一項需計算。

在自由空間的情形下（此時可將邊界條件視為：$\lim_{\hat x \to \infty} \phi(x) = 0$），拉普拉斯算子的格林函數為：

$$G(\hat x, \hat x') = \frac{1}{|\hat x - \hat x'|}$$

若 $\,\!\rho(\hat x)$ 為電荷密度，則可得到電荷密度和電位 $\,\!\phi(\hat x)$ 的公式：

$$\phi(\hat x) = \int_V \frac{\rho(x')}{|\hat x - \hat x'|} \ d^3x'$$

## 範例

針對以下微分方程

$$\begin{matrix}Lu\end{matrix} = u ' ' + u = f( x )$$

$$Du = u(0) = 0 \quad, \quad u\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$$

找出格林函數。

第 1 步

根據定理中，格林函數的特性 2，可得

$$g(x,s) = c_1 (s) \cdot \cos x + c_2 (s) \cdot \sin x$$

在 $x<s$ 時因特性 3 可知

$$g(0,s) = c_1 (s) \cdot 1 + c_2 (s) \cdot 0 = 0, \quad c_1 (s) = 0$$

（此時不需考慮 $g(\frac{\pi}{2},s) = 0$ 的式子，因 $x \ne \frac{\pi}{2}$）在 $x>s$ 時因特性 3 可知

$$g(\frac{\pi}{2},s) = c_1 (s) \cdot 0 + c_2 (s) \cdot 1 = 0, \quad c_2 (s) = 0$$

（此時不需考慮 $\quad g(0,s) = 0$ 的式子，因 $x \ne 0$）整理上述的結果，可得以下的式子。

$$g(x,s)=\left\{\begin{matrix} a(s) \sin x, \;\; x < s \\ b(s) \cos x, \;\; s < x \end{matrix}\right.$$

第 2 步

依格林函數的特性，找出 $a(s)$ 和 $b(s)$.

根據特性 1，可得

$a(s) \sin s = b(s) \cos s\quad$.

根據特性 4，可得

$$b(s) \cdot [ - \sin s ] - a(s) \cdot \cos s = \frac{1}{1} = 1\, .$$

解上述二式，可以求出 $a(s)$ 和 $b(s)$

$a(s) = - \cos s \quad ; \quad b(s) = - \sin s$.

因此格林函數為

$$g(x,s)=\left\{\begin{matrix} -1 \cdot \cos s \cdot \sin x, \;\; x < s \\ -1 \cdot \sin s \cdot \cos x, \;\; s < x \end{matrix}\right.$$

對照此解和格林函數的特性 5，可知此解也滿足特性 5 的要求。

## 其他舉例

- 若流形為 $\mathbb{R}$，而線性算符 $L$ 為 $d/dx$，則單位階躍函數 $H(x-x_0)$ 為 $L$ 在 $x_0$ 處的格林函數。
- 若流形為第一象限平面 $\{(x,y): x,y\geq 0\}$ 而線性算符 $L$ 為拉普拉斯算子，並假設在 $x = 0$ 處有狄利克雷邊界條件，而在 $y = 0$ 處有諾依曼邊界條件，則其格林函數為

$$G(x, y, x_0, y_0)=\frac{1}{2\pi}\left[\ln\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}-\ln\sqrt{(x+x_0)^2+(y-y_0)^2}\right]$$

$$+\frac{1}{2\pi}\left[\ln\sqrt{(x-x_0)^2+(y+y_0)^2}-\ln\sqrt{(x+x_0)^2+(y+y_0)^2}\right].$$