特殊酉群

在數學中，$n$ 階特殊酉群（special unitary group），記作 $\operatorname{SU}(n)$，是行列式為 1 的 $n\times n$ 酉矩陣組成的群（一般酉矩陣的行列式是絕對值為1的複數）。群運算是矩陣乘法。特殊酉群是由 $n\times n$ 酉矩陣組成的酉群 $\operatorname{U}(n)$ 的一個子群，酉群又是一般線性群 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{C}$) 的一個子群。

群 $\operatorname{SU}(n)$ 在粒子物理中標準模型中有廣泛的應用，特別是 $\operatorname{SU}(2)$ 在電弱相互作用與 $\operatorname{SU}(3)$ 在量子色動力學中。

最簡單的情形 $\operatorname{SU}(1)$，是平凡群，只有一個元素。群 $\operatorname{SU}(2)$ 同構於範數為 $1$ 的四元數，從而微分同胚於三維球面。因為單位四元數可表示三維空間中的旋轉（差一個符號），我們有一個滿同態從 $\operatorname{SU}(2)$ 到旋轉群 $\operatorname{SO}(3)$，其核為 $\{+I, -I\}$。

## 性質

特殊酉群 SU(n) 是一個 n2-1 維實矩陣李群。在拓撲上是緊及單連通的。在代數上，它是一個單李群（意為它的李代數是單的，見下）。SU(n) 的中心同構於循環群 Zn。當 n ≥ 3，它的外自同構群是 Z2，而 SU(2) 的外自同構群是平凡群。

SU(n) 代數由 n2 個算子生成，滿足交換關係（對 i, j, k, l = 1, 2, ..., n）：

$$\left [ \hat{O}_{ij} , \hat{O}_{kl} \right ] = \delta_{jk} \hat{O}_{il} - \delta_{il} \hat{O}_{kj}$$

另外，算子

$$\hat{N} = \sum_{i=1}^n \hat{O}_{ii}$$

滿足

$$\left [ \hat{N}, \hat{O}_{ij} \right ] = 0$$

這意味著 SU(n) 獨立的生成元個數是 n2-1。

## 生成元

一般地，SU(n) 的無窮小生成元（infinitesimal generator） T，由一個無跡埃爾米特矩陣表示。即

- $$\operatorname{tr}(T_a) = 0 ,\,$$

以及

- $$T_a = T_a^\dagger .\,$$

### 基本表示

在定義或基本表示中，由 $n\times n$ 矩陣表示的生成元是：

- $$T_a T_b = \frac{1}{2n}\delta_{ab}I_n + \frac{1}{2}\sum_{c=1}^{n^2 -1}{(if_{abc} + d_{abc}) T_c} \,$$

這裡係數 $f$ 是結構常數，它對所有指標都是反對稱的，而係數 $d$ 對所有指標都是對稱的。

從而

- $$\left[T_a, T_b \right]_+ = \frac{1}{n}\delta_{ab} + \sum_{c=1}^{n^2 -1}{d_{abc} T_c} \,$$
- $$\left[T_a, T_b \right]_- = i \sum_{c=1}^{n^2 -1}{f_{abc} T_c} \,$$

我們也有

- $$\sum_{c,e=1}^{n^2 -1}d_{ace}d_{bce}= \frac{n^2-4}{n}\delta_{ab} \,$$

作為一個正規化約定。

### 伴隨表示

在伴隨表示中，生成元表示由 $(n^2-1) \times (n^2-1)$ 矩陣表示，其元素由結構常數定義：

- $$(T_a)_{jk} = -if_{ajk} \,$$

## SU(2)

$\operatorname{SU}_2(\mathbb{C})$ 一個一般矩陣元素形如

$$U = \begin{pmatrix} \alpha&-\overline{\beta}\\ \beta&\overline{\alpha} \end{pmatrix}$$

這裡 $\alpha,\beta\in\mathbb{C}$ 使得 $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$。我們考慮如下映射 $\varphi : \mathbb{C}^2 \to \operatorname{M}(2,\mathbb{C})$，（這裡 $\operatorname{M}(2,\mathbb{C})$ 表示 2×2 復矩陣集合），定義為

$$\varphi(\alpha,\beta) = \begin{pmatrix} \alpha&-\overline{\beta}\\ \beta&\overline{\alpha} \end{pmatrix}.$$

考慮到 $\mathbb{C}^2$ 微分同胚於 $\mathbb{R}^4$ 和 $\operatorname{M}(2,\mathbb{C})$ 同胚於 $\mathbb{R}^8$，我們可看到 $\varphi$ 是一個實線性單射，從而是一個嵌入。現在考慮 $\varphi$ 限制在三維球面上，記作 $S^3$，我們可發現這是三維球面到 $\operatorname{M}(2,\mathbb{C})$ 的一個緊子流形的一個嵌入。但顯然有 $\varphi(S^3) = \operatorname{SU}_2(\mathbb{C})$，作為一個流形微分同胚於 $\operatorname{SU}_2(\mathbb{C})$，使 $\operatorname{SU}_2(\mathbb{C})$ 成為一個緊連通李群。

現在考慮李代數 $\mathfrak{su}_2(\mathbb{C})$，一個一般元素形如

$$U' = \begin{pmatrix} ix & -\overline{\beta}\\ \beta & -ix \end{pmatrix}$$

這裡 $x \in \mathbb{R}$ 以及 $\beta \in \mathbb{C}$。易驗證這樣形式的矩陣的跡是零並為反埃爾米特的。從而李代數由如下矩陣生成

$$u_1 = \begin{pmatrix} 0 & i\\ i & 0 \end{pmatrix} \qquad u_2 = \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad u_3 = \begin{pmatrix} i & 0\\ 0 & -i \end{pmatrix}$$

易見它具有上面提到的一般元素的形式。它們滿足關係 $u_3u_2 = -u_2u_3 = u_1$ 和 $u_2u_1 = -u_1u_2 = u_3$。從而交換子括號由

$$[u_1,u_3]=2u_2, \qquad [u_2,u_1] = 2u_3, \qquad [u_3,u_2] = 2u_1.$$

確定。上述生成元與泡利矩陣有關，$u_1 = i\sigma_1$, $u_2 = -i\sigma_2$ 及 $u_3 = i\sigma_3$。

## SU(3)

SU(3) 的生成元 T，在定義表示中為

$$T_a = \frac{\lambda_a}\sqrt{2} .\,$$

這裡 $\lambda \,$ 為蓋爾曼矩陣，是 SU(2) 泡利矩陣在 SU(3) 之類比：

$\lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$｜$\lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$｜$\lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$｜$\lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix}$｜$\lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}$｜$\lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

注意它們都是無跡埃爾米特矩陣。

它們服從關係

- $$\left[T_a, T_b \right] = i \sum_{c=1}^8{f_{abc} T_c} \,$$

這裡 f 是結構常數，如上所定義，它們的值為

$$f^{123} = 1 \,$$

$$f^{147} = -f^{156} = f^{246} = f^{257} = f^{345} = -f^{367} = \frac{1}{2} \,$$

$$f^{458} = f^{678} = \frac{\sqrt{3}}{2} \,$$

d 的取值：

$$d^{118} = d^{228} = d^{338} = -d^{888} = \frac{1}{\sqrt{3}} \,$$

$$d^{448} = d^{558} = d^{668} = d^{778} = -\frac{1}{2\sqrt{3}} \,$$

$$d^{146} = d^{157} = -d^{247} = d^{256} = d^{344} = d^{355} = -d^{366} = -d^{377} = \frac{1}{2} \,$$

## 李代數

$\mathrm{SU}(n)$ 對應的李代數記作 $\mathfrak{su}(n)$。它的標準數學表示由無跡反埃爾米特 $n \times n$ 復矩陣組成，以通常交換子為李括號。粒子物理學家通常增加一個因子 $i$，從而所有矩陣成為埃爾米特的。這只不過是同一個實李代數一個不同的更方便的表示。注意 $\mathfrak{su}(n)$ 是 $\mathbb{R}$ 上一個李代數。

例如，下列量子力學中使用的矩陣組成 $\mathfrak{su}(2)$ 在 $\mathbb{R}$ 上的一組基：

$$i\sigma_x = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix}$$

$$i\sigma_y = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$$

$$i\sigma_z = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}$$

（這裡 $i$ 是虛數單位。）

這個表示經常用於量子力學（參見泡利矩陣以及蓋爾曼矩陣）表示基本粒子比如電子的自旋。它們也作為我們三維空間量子相對論描述中的單位向量。

注意任意兩個不同生成元的乘積是另一個生成元，以及生成元反交換。與單位矩陣（乘以 $i$）一起

$$i I_2 = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}$$

它們也是 $\mathfrak{su}(2)$ 的生成元。

當然這裡它取決於我們最終處理的問題，比如在非相對論量子力學中為 2-旋量；或在相對論狄拉克理論中，我們需要到 4-旋量的一個擴張；或在數學中甚至是克利福德代數。

註：在矩陣乘法下（在此情形是反交換的），生成克利福德代數 $\mathrm{Cl}_3$，而在交換子括號下生成李代數 $\mathfrak{su}(2)$。

回到一般的 $\mathrm{SU}(n)$：

如果我們選擇（任意）一個特定的基，則純虛數無跡對角 $n \times n$ 矩陣子空間組成一個 $n - 1$ 維嘉當子代數。

將這個李代數復化，從而現在允許任何無跡 $n \times n$ 矩陣。權本徵向量是嘉當子代數自己，只有一個非零元素的矩陣不是對角的。儘管嘉當子代數 $\mathrm{h}$ 只是 $n - 1$ 維，但為了化簡計算，經常引入一個輔助元素，與所有元素交換的單位矩陣（它不能視為這個李代數的一個元素）。故我們有一個基，其中第 $i$ 個基向量是在第 $i$ 個對角元素為 $1$ 而在其它處為零的矩陣。則權由 $n$ 個坐標給出，而且在所有 $n$ 個坐標求和為零（因為單位矩陣只是輔助的）。

故 $\mathrm{SU}(n)$ 的秩是 $n - 1$，它的鄧肯圖由 $A_{n - 1}$ 給出，有 $n - 1$ 個頂點的鏈。

它的根係由 $n(n - 1)$ 個根組成，生成一個 $n - 1$ 歐幾里得空間。這裡，我們使用 $n$ 冗餘坐標而不是 $n - 1$ 坐標來強調根系的對稱（$n$ 坐標之和為零）。換句話說，我們是將這個 $n - 1$ 維向量空間嵌入 $n$-維中。則根由所有 $n(n - 1)$ 置換 $(1, -1, 0, \dots, 0)$。兩段以前的構造解釋了為什麼。單根的一個選取為

$(1, -1, 0, \dots, 0)$,

$(0, 1, -1, \dots, 0)$,

…,

$(0, 0, 0, \dots, 1, -1)$.

它的嘉當矩陣是

$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & \dots & 0 \\-1 & 2 & -1 & \dots & 0 \\ 0 & -1 & 2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 2 \end{pmatrix}$.

它的外爾群或考克斯特群是對稱群 $S_n$，$(n - 1)$-單形的對稱群。

## 廣義特殊酉群

對一個域 F，F 上廣義特殊酉群 SU(p,q;F)，F 上一個秩為 n=p+q 的向量空間上使得一個符號為 (p,q) 的非退化埃爾米特形式不變的所有行列式為 1 線性變換組成的群。這個么正群經常稱為 F 上符號為 (p,q) 的特殊酉群。域 F 可以換為一個交換環，在這種情形向量空間換為自由模。

特別地，固定 GL(n,R) 中一個符號為 (p,q) 的埃爾米特矩陣，則所有

$$M \in SU(p,q,R)$$

滿足

$$M^{*} A M = A \,$$

$$\det M = 1. \,$$

經常可以見到記號 $SU_{p,q}$ 略去環或域，在這種形式環或域是指 C，這給出一個典型李群。當 F=C 時，A 的標準選取是

$$<pre> A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & I_{n-2} & 0 \\ -i & 0 & 0 \end{bmatrix}. </pre>$$

對某些維數 A 可能有更好的選擇，當限制為 C 的一個子環時有更好表現。

### 例子

這類群的一個重要例子是皮卡模群 SU(2,1;Zi)，（射影地）作用在二度復雙曲空間上，同樣地 SL(2,Z) （射影地）作用在二維實雙曲空間上。2003年，Gábor Francsics 與彼得·拉克斯算出了這個群在 $HC^2$ 上作用的基本域，參見。

另一個例子是 SU(1,1;C)，同構於 SL(2,R)。

## 重要子群

在物理學中，特殊酉群用於表示波色對稱。在對稱性破缺理論中尋找特殊酉群的子群很重要。在大一統理論中 SU(n) 重要的子群是，對 p>1，n-p>1：

$$SU(n) \supset SU(p)\times SU(n-p) \times U(1).$$

為了完整性，還有正交與辛子群：

$$SU(n) \supset O(n)$$

$$SU(2n) \supset USp(2n).$$

因為 SU(n) 的秩是 n-1，U(1) 是 1，一個有用的檢驗是看子群的秩是小於還是等於原來群的秩。SU(n) 是多個其它李群的子群：

$$SO(2n) \supset SU(n)$$

$$USp(2n) \supset SU(n)$$

$Spin(4) = SU(2) \times SU(2)$（參見自旋群）

$$E_6 \supset SU(6)$$

$$E_7 \supset SU(8)$$

$G_2 \supset SU(3)$（關於 E6, E7 與 G2 參見單李群）。

有同構 SU(4)=Spin(6)，SU(2)=Spin(3)=USp(2) 以及 U(1)=Spin(2)=SO(2)。

最後值得指出的是 SU(2) 是 SO(3) 的二重覆疊群，這個關係在非相對論量子力學 2-旋量的旋轉中起著重要的作用。

## 參考文獻

- Maximal Subgroups of Compact Lie Groups

## 外部連結

- Physics 558 - Lecture 1, Winter 2003