戴維南定理

戴維南定理（Thevenin's theorem）又稱等效電壓源定律，是由法國科學家L·C·戴維南於1883年提出的一個電學定理。由於早在1853年，亥姆霍茲也提出過本定理，所以又稱亥姆霍茲-戴維南定理。其內容是：一個含有獨立電壓源、獨立電流源及電阻的線性網絡的兩端，就其外部型態而言，在電學上可以用一個獨立電壓源V和一個電阻二端網路的串聯電阻組合來等效。在單頻交流系統中，此定理不僅適用於電阻，也適用於廣義的阻抗。

此定理陳述出一個具有電壓源及電阻的電路可以被轉換成戴維南等效電路，這是用於電路分析的簡化技巧。戴維南等效電路對於電源供應器及電池（裡面包含一個代表內阻抗的電阻及一個代表電動勢的電壓源）來說是一個很好的等效模型，此電路包含了一個理想的電壓源串聯一個理想的電阻。

## 亥姆霍茲的證明

戴維南定理最早由德國科學家赫爾曼·馮·亥姆霍茲於1853年發現並發表，而戴維南在這4年後才出生。由於戴維南於1883年發表的證明更加貼近現代的電氣工程，因此他的名字與該定理更常聯繫在一起，而先前亥姆霍茲對這個問題的表述反映了一種更為普適性的物理學方法。

在亥姆霍茲於1853年發表的論文中，他關注於物理上廣義導體的電動特性，尤其是動物組織。他在文中指出生理學家埃米爾·杜布瓦-雷蒙的早期研究表明「肌肉中每個被刺激的最小部分都會產生電流」。當時的實驗通過在動物組織的兩個點之間連接一個檢流計，並測量通過外部電路的電流強度。由於這項研究的目的是了解組織的內部特性，亥姆霍茲希望找到一種方法將這些內部特性與外部測得的電流聯繫起來。

亥姆霍茲的起點是古斯塔夫·基爾霍夫於1848年發表的研究成果。基爾霍夫和亥姆霍茲一樣關注點是三維的導電系統。他考慮了由兩部分組成的系統，並將其分別標記為A和B部分。A部分由一系列端到端連接的導體組成，其中每個導體均有電動勢和電阻。B部分則通過兩根導線連接到A的端點。基爾霍夫隨後得出「在不改變B中任何一點的電流的情況下，可以用一個電動勢等於A中電壓差總和且電阻等於A中各元素電阻總和的導體替代A」的證明。

在1853年的論文中，亥姆霍茲承認了基爾霍夫的研究成果，但指出其結果僅適用於類似蓄能式水電站的情況，即A中並沒有閉合電流迴路，而是所有電流迴路都通過B的情況。因此，他試圖將基爾霍夫的結果推廣到系統A中任意三維的電流和電壓源分布的情況。

亥姆霍茲首先給出了一個比先前更為普遍的疊加原理的表述，並在論文第212-213頁將其表達為：

如果任何導體系統在不同位置包含電動勢，那麼系統中每一點的電壓等於各個電動勢分別獨立產生的電壓的代數和。同樣，平行於三個互相垂直軸的電流分量等於各個電動勢所產生的相應分量的總和。

利用疊加原理及歐姆定律，亥姆霍茲證明了以下三個關於物理系統A的內部電壓和電流與通過線性系統B的電流之間關係的定理，假設B在A表面的兩個點上連接：

- 對於每個導體A，其內部電動勢隨意分布，可以在其表面上指定一種電動勢分布，產生的電流與A內部的電動勢在每個連接的導體B中產生的電流相同。
- 當外部電路連接時，導體A內部的電壓和電流分量等於沒有連接電路時內部的電壓和電流分量加上表面上的電壓和電流分量。
- 在表面上分布的電動勢如果要產生與內部電動勢相同的導出電流，只有一個常數值不同，並且在表面上所有點處都是相同的。

由此，亥姆霍茲在論文第222頁指出了他的最終結論：

如果一個物理導體在其表面上的兩個特定點具有恆定的電動勢，並連接到任意線性導體，那麼就可以用一個具有一定的電動勢和電阻的線性導體代替它，其在所有連接的線性導體中激發的電流與物理導體完全相同。……替換的線性導體的電阻等於該物體自身的電阻。

他隨後指出，他對一般物理系統推導的結果同樣適用於基爾霍夫所考慮的幾何意義上的線性電路：

對每個物理導體適用的結果，同樣適用於分支線性電流系統的特殊情況。即使該系統的兩個特定點連接到任何其他線性導體，它相對於這些導體的行為就像一個具有一定電阻的線性導體，其大小可以根據分支線路的已知規則找到，電動勢則由連接點在外加電路前的電壓差決定。

這一表述與30年後戴維南發表的內容基本相同。

## 戴維南等效電路計算

在計算戴維南等效電路時，必須聯立兩個由電阻及電壓兩個變數所組成的方程式，這兩個方程式可經由下列步驟來獲得，但也可以使用埠在其他條件下的狀態得出：

- 在AB兩端開路（在沒有任何外電流輸出，亦即當AB點之間的阻抗無限大）的狀況下計算輸出電壓 VAB，此輸出電壓就是VTh。
- 在AB兩端短路（亦即負載電阻為零）的狀況下計算輸出電流IAB，此時RTh等於VTh除以IAB。
- 此等效電路是由一個獨立電壓源VTh與一個電阻RTh串聯所組成。

其中的第2項也可以考慮成：

a. 首先將原始電路系統中的電壓源以短路取代，電流源以開路取代。

b. 此時，用一個電阻計從AB兩端測得系統的總電阻R，即等效電阻RTh。

此戴維南等效電壓就是該原始電路輸出端的電壓，當在計算戴維南等效電壓時，分壓原理是很好用的，可將其中一端電壓設爲Vout，而另外一端接地。

戴維南等效電阻是由橫跨A與B兩端往系統「看」進來所量測到的，但重點是，要先將所有的電壓源及電流源以內部電阻取代。對於理想電壓源來說，可以直接用短路來取代；對於理想的電流源來說，可以直接用開路來取代。之後，電阻可以用串聯電路及並聯電路的公式計算出來。這種方法只適用於含有獨立源的電路。如果電路中存在受控源，需要用到其他的方法，如在A和B之間連接一個測試源，並計算兩端的電壓或流過測試源的電流。

## 戴維南等效電路的限制

許多電路特別在短路的狀況下會變成非線性，所以戴維南等效電路通常只適用於有限定負載的範圍內。此外，戴維南等效電路只是從負載的觀點來看待電路系統，在戴維南等效電路中的功率耗損並不代表在真實系統中的功率耗損。

## 轉換成諾頓等效電路

右圖所示，左邊為諾頓等效電路，右邊為戴維南等效電路，諾頓等效電路與戴維南等效電路之間的關係，可由下列方程式來描述：

$$R_{Th} = R_{No} \!$$

$$V_{Th} = I_{No} R_{No} \!$$

$$\frac{V_{Th}}{R_{Th}} = I_{No}\!$$

其中 $R_{th}$、$R_{No}$、$V_{th}$及$I_{No}$分別代表戴維南等效電阻、諾頓等效電阻、戴維南等效獨立電壓源以及諾頓獨立電流源。

## 戴維南等效電路範例

在這個範例中，計算等效電壓：

$$V_\mathrm{AB} = {R_2 + R_3 \over (R_2 + R_3) + R_4} \cdot V_\mathrm{1}$$

$$= {1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega \over (1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega) + 2\,\mathrm{k}\Omega} \cdot 15 \mathrm{V}$$

$$= {1 \over 2} \cdot 15 \mathrm{V} = 7.5 \mathrm{V}$$

（注意：在A與B開路的狀況下，由於沒有任何電流流過R1，亦即在R1上沒有電壓降，所以在上面的計算中並不將R1列入考慮。）

計算等效電阻：

$$R_\mathrm{AB} = R_1 + \left[ \left ( R_2 + R_3 \right ) \| R_4 \right]$$

$$= 1\,\mathrm{k}\Omega + \left[ \left ( 1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega \right ) \| 2\,\mathrm{k}\Omega \right]$$

$$= 1\,\mathrm{k}\Omega + \left[{1 \over ( 1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega )} + {1 \over (2\,\mathrm{k}\Omega ) }\right]^{-1} = 2\,\mathrm{k}\Omega$$

附註：求等效電阻時，可將原先的 15 V 理想輸出等電壓源視為短路。

## 三相電路中的應用

1933年，A.T.斯塔爾在《電氣工程師學會雜誌》雜誌的一篇題為《有源網路的新定理》的文章中發表了戴維南定理的推廣，該文章指出任何三端有源線性網絡都可以被具有相應阻抗的三個以星形接法或三角形接法連接的電壓源所取代。

## 外部連結

- 等效電路概念的起源
- Thevenin's theorem at allaboutcircuits.com
- First-Order Filters: Shortcut via Thévenin Equivalent Source —在第4頁，用戴維南定理簡化複雜電路中對一階低通濾波器和相關的分壓器、時間常數和增益。