海島算經

《海島算經》是三國時代魏國數學家劉徽所著的測量學著作，原為《劉徽九章算術注》第九卷勾股章內容的延續和發展，名為《九章重差圖》，附於《劉徽九章算術注》之後作為第十章。唐代將《重差》從《九章》分離出來，單獨成書，按第一題「今有望海島」，取名為《海島算經》，是《算經十書》之一。

劉徽《海島算經》「使中國測量學達到登峰造極的地步」，使「中國在數學測量學的成就，超越西方約一千年」（美國數學家弗蘭克·斯委特茲語）

## 重差理論的歷史

重差理論起源於《周髀算經》的《日高圖》「以表高乘兩表相去為黃甲之實。以影差為黃乙之廣而一，所得則變為黃乙之袤，上與日齊。」

劉徽在《九章算術·序》中，進一步發展了重差術：「凡望極高、測絕深，而兼知其遠者必用重差、句股，則必以重差為率，故曰重差也。立兩表於洛陽之城，令高八尺。南北各盡平地，同日度其正中之時，以景差為法，表高乘表間為實，實如法而一。所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表間為實，實如法而一，即為從南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地為句、股，為之求弦，即日去人也。」

日去地=$H*D \over d$ $+H$

南戴日下= 南表景 *$D \over d$

其中H為表高，D為表間，d為景差。

## 內容

《海島算經》共九問。都是用表尺重複從不同位置測望，取測量所得的差數，進行計算從而求得山高或谷深，這就是劉徽的重差理論。《海島算經》中，從題目文字可知所有計算都是用籌算進行的。「為實」指作為一個分數的分子，「為法」指作為分數的分母。所用的長度單位有里、丈、步、尺、寸；１里＝180丈=1800尺；1丈=10尺：1步=6尺，1尺=10寸。

### 望海島

今有望海島，立兩表，齊高三丈，前後相去千步，令後表與前表三相直。從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末三合。從後表卻行一百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末三合。問島高及去表各幾何？答曰：島高四里五十五步；去表一百二里一百五十步。術曰：以表高乘表間為實；相多為法，除之。所得加表高，即得島高。求前表去島遠近者：以前表卻行乘表間為實；相多為法。除之，得島去表里數。

由於前表去島的距離不能直接測量，劉徽用同樣高度的表杆前後測量，表杆與地面垂直，人眼貼地，望表杆頂和島上山頂對齊，這時測得人眼和前表杆的水平距離叫「前表卻行」DG=123步；再將表杆往後移動，兩表杆間距稱為「表間」=1000步，依法測出「後表卻行」FH=127步。

表高 =CD

前表卻行=DG

後表卻行=FH

相多=FH-DG

表間=DF

島高=AB

前表去島遠近=BD

依法得島高 AB=$\tfrac{CD \times DF}{FH-DG}+CD$

依法得前表去島遠近 BD=$\tfrac{DG \times DF}{FH-DG}$

### 望松生山上

今有望松生山上，不知高下。立兩表齊，高二丈，前後相去五十步，令後表與前表三相直。從前表卻行七步四尺，薄地遙望松末，與表端三合。又望松本，入表二尺八寸。復從後表卻行八步五尺，薄地遙望松末，亦與表端三合。問松高及山去表各幾何？答曰：松高一十二丈二尺八寸；山去表一里二十八步、七分步之四。術曰：以入表乘表間為實。相多為法，除之。加入表，即得松高。求表去山遠近者：置表間，以前表卻行乘之為實。相多為法，除之，得山去表。

CD EF 表示前後兩支表杆，前表杆有刻度，用作兩次測量，第一次從G點瞄準A、C兩點成直線，第二次從G點校準樹根J，讀出前表杆上度數（入表）。

表高 =CD=2丈

前表卻行=DG=7步4尺

後表卻行=FH=8步5尺

相多=FH-DG

表間=DF=50步

松高=AJ

前表去山遠近=BD

入表=CK=二尺八寸

松高=AJ=$\tfrac{CK \times DF}{(FH-DG)}+CK$

前表去山遠近=BD=$\tfrac{DF \times DG}{(FH-DG)}$

### 南望方邑

今有南望方邑，不知大小。立兩表東、西去六丈，齊人目，以索連之。令東表與邑東南隅及東北隅三相直。當東表之北卻行五步，遙望邑西北隅，入索東端二丈二尺六寸半。又卻北行去表一十三步二尺，遙望邑西北隅，適與西表相三合。問邑方及邑去表各幾何？答曰：邑方三里四十三步、四分步之三；邑去表四里四十五步。術曰：以入索乘後去表，以兩表相去除之，所得為景差；以前去表減之，不盡以為法。置後去表，以前去表減之，余以乘入索為實。實如法而一，得邑方。求去表遠近者：置後去表，以景差減之，余以乘前去表為實。實如法而一，得邑去表。

由於待測的方城寬度AB，在東西方向，與地面平行，因此兩支在C點D點插入地面與地面垂直的表杆，在此不用作直接測量，測量是依靠一根拴在C、D兩根垂直表杆中間的一條水平測量繩索CD完成的。此題中一根水平測量繩作兩次測量用。

景差 =入表* 後去表/ 表相去。

### 望深谷

今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺。從勾端望谷底，入下股九尺一寸。又設重矩於上，其矩間相去三丈。更從勾端望谷底，入上股八尺五寸。問谷深幾何？答曰：四十一丈九尺。術曰：置矩間，以上股乘之，為實。上、下股相減，余為法，除之。所得以勾高減之，即得谷深。

山谷深=（距間 × 上股）/（下股-上股）-句高。

### 登山望樓

今有登山望樓，樓在平地。偃矩山上，令句高六尺。從句端斜望樓足，入下股一丈二尺。又設重矩於上，令其間相去三丈。更從句端斜望樓足，入上股一丈一尺四寸。又立小表於入股之會，復從句端斜望樓岑端，入小表八寸。問樓高几何？答曰：八丈。術曰：上下股相減，余為法；置矩閒，以下股乘之，如句高而一。所得，以入小表乘之，為實。實如法而一，即是樓高。

樓高=（距間 * 下股）* （入小表）/句高/（下股-上股）。

### 南望波口

今有東南望波口，立兩表南、北相去九丈，以索薄地連之。當北表之西卻行去表六丈，薄地遙望波口南岸，入索北端四丈二寸。以望北岸，入前所望表里一丈二尺。又卻後行1去表一十三丈五尺。薄地遙望波口南岸，與南表三合。問波口廣幾何？答曰：一里二百步。術曰：以後去表乘入索，如表相去而一。所得，以前去表減之，余以為法；復以前去表減後去表，余以乘入所望表里為實，實如法而一，得波口廣。

此題中一根水平測量繩，作三次測量用。

### 望清淵

今有望清淵，淵下有白石。偃矩岸上，令句高三尺。斜望水岸，入下股四尺五寸。望白石，入下股二尺四寸。又設重矩於上，其間相去四尺。更從句端斜望水岸，入上股四尺。以望白石，入上股二尺二寸。問水深幾何？答曰：一丈二尺。術曰：置望水上下股相減，余以乘望石上股為上率。又以望石上下股相減，余以乘望水上股為下率。兩率相減，余以乘矩間為實；以二差相乘為法。實如法而一，得水深。又術：列望水上下股及望石上下股，相減，余為法。以望石下股減望水下股，余以乘矩間為實，實如法而一，得水深。

A標誌水岸，S標誌白石，C標誌岸邊；句是古代測量用具之一，有兩個邊成直角（如今三角板）：使用時句的一邊務必與地面垂直。此題用兩個句，一個在C，一個在D，各測量水岸和水底白石。此題用四次測望術。

### 登山望津

今有登山望津，津在山南。偃矩山上，令句高一丈二尺。從句端斜望津南岸，入下股二丈三尺一寸。又望津北岸，入前望股里一丈八寸。更登高岩北，卻行二十二步，上登五十一步，偃矩山上。更從句端斜望津南岸，入上股二丈二尺。問津廣幾何？答曰：二里一百二步。術曰：以句高乘下股，如上股而一。所得以句高減之，余為法；置北行，以句高乘之，如上股而一。所得以減上登，余以乘入股里為實。實如法而一，即得津廣。

### 登山臨邑

今有登山臨邑，邑在山南。偃矩山上，令勾高三尺五寸。令勾端與邑東南隅及東北隅三相直。從勾端遙望東北隅，入下股一丈二尺。又施橫勾於入股之會，從立勾端望西北隅，入橫勾五尺。望東南隅，入下股一丈八尺。又設重矩於上，令矩間相去四丈。更從立勾端望東南隅，入上股一丈七尺五寸。問邑廣長各幾何？答曰：南北長一里一百步；東西廣一里三十三步、少半步。術曰：以勾高乘東南隅入下股，如上股而一，所得減勾高，余為法；以東北隅下股減東南隅下股，余以乘矩間為實。實如法而一，得邑南北長也。求邑廣：以入橫勾乘矩間為實。實如法而一，即得邑東西廣。

此題用四次測望術

## 歷代研究

南北朝數學家祖沖之曾為《九章重差圖》作注。唐朝將《九章重差圖》從《劉徽九章算術注》中分離出來單獨成書，以第一題「今有望海島」取名為《海島算經》。唐高宗顯慶元年（656年）數學家李淳風等注釋《算經十書》，作為國子監學習和考試用書，《海島算經》就是《算經十書》之一，並且規定《海島算經》的學習期限為三年，是其他算經學習期限的三倍，可見《海島算經》在唐代受重視的程度。北宋元豐七年（1084年）和南宋寧宗嘉定六年（1213年）先後刻印兩次。但宋刻本《海島算經》後來遺失。南宋秦九韶研究過類似於海島算經的測量書題目《表望浮屠》，南宋數學家楊輝《續古摘奇演算法》討論了四種測量問題，包括來自《海島算經》海島題，並指出「登高望松，遙望波口，非三望之術乎？清淵白石、登山臨邑，非四望之術乎？」。明永樂年間收入《永樂大典》，但只存劉徽文字和李淳風注，劉徽原圖和劉徽所作的注釋已不存。元朝數學家朱世傑《四元玉鑒》《勾股測望》門第四，六，七，八等四問用天元術闡述《海島算經》的《望海島》，《望深谷》，《南望方邑》，《望清淵》。清乾隆時代，經學家戴震將《海島算經》文字，從《永樂大典》中輯錄出來收入《四庫全書》。

清代數學家李潢著《海島算經細草圖說》，沈欽裴著《重差圖說》，均以歐幾里德幾何學論證，已失劉徽原意。

李鏐著《海島算經緯筆》。到民國時期，中算史家李儼《重差術流源及其新注》和《中國古代中算家的測繪術》，《海島算經新注》都對《海島算經》有所論述。

近年中國數學家白尚恕對海島算經有較詳細的論證。吳文俊院士論文《我國古代測望之學重差理論評介兼評數學史研究中的某些方法問題》

與《海島算經古證探源》兩篇論文對《海島算經》有詳細的論證，前文批評一些前人對《海島算經》的論證中添加歐幾里德幾何的平行線或利用相似形理論或後代的代數論證的方法，顛倒歷史，都是錯誤的方法，並提出正確的論證，必須以劉徽時代的出入相補原理為基礎，才能還原《海島算經》的本來面目。

## 傳播

《海島算經》在唐代傳入朝鮮、日本。最早向西方介紹《海島算經》的是19世紀來華傳教士偉烈亞力。他1852年在《北華捷報》（North China Herald，《字林西報》前身）發表的論文：《中國數學科學札記》（Jottings on the Sciences of Chinese Mathematics）。偉烈亞力在文中介紹了《海島算經》，說此書是「一部關於實用三角學的九個問題」。1913年日本數學史家三上義夫在其英文著作《中國與日本數學的發展》第五章《海島算經》中譯出頭三則問題，1932年法國數學家 L·van·Hee 翻譯《海島算經》全文。1986年澳大利亞華人數學家洪天賜和美國數學家弗蘭克·斯委特茲將《海島算經》全文翻譯成英文。此外還有日文翻譯本和俄文翻譯本。

## 評價

3世紀劉徽《海島算經》運用二次、三次、四次測望法，是測量學歷史上領先的創造。中外學者對《海島算經》的成就，給予很高的評價。《海島算經》的英譯者和研究者，美國數學家弗蘭克·斯委特茲，在比較西歐測量學從古代希臘、羅馬直到文藝復興時期的發展，認為希臘測量術，重點在測量器具的運用，而其數學水準遠不如劉徽《海島算經》，直到文藝復興時代，才差強達到《海島算經》水準。他還指出17世紀初義大利來華傳教士利瑪竇和中國徐光啟合著的《測量法義》十五題，並未能達到或超越《海島算經》。他結論；「簡而言之，在測量數學領域，中國人的成就，超越西方世界約一千年。」

《中國數學大系》一書中評價《海島算經》：「使中國測量學達到登峰造極的地步。在西歐直到16，17世紀，才出現二次測量術的記載，到18世紀，才有了三、四次測量之術，可見中國古代測量學的意境之深，功用之廣」。劉徽《海島算經》的測量術，實比歐洲早一千三百至一千五百年。

## 翻譯本

- （法）L. van Hee: Le Classique de l'Île Maritime: Ouvrage Chinois de III siècle 1932。
- （美）Frank J. Swetz: The Sea Island Mathematical Manual, The Pennsylvania State University Press, 1992 ISBN 0-271-00799-0
- （日）川原秀成譯 《海島算經》
- （俄）別遼姿金娜譯 《海島算經》 1974年