算子

在數學領域裡，算子（operator）或運算子、運算符，是一種映射，一個向量空間的元素通過此映射（或模）在另一個向量空間（也有可能是相同的向量空間）中產生另一個元素。數學的算子，有別於物理學的算符，儘管兩者英語相同。

算子對於線性代數和泛函分析都至關重要，它在純數學和應用數學的許多其他領域中都有應用。例如，在經典力學中，導數的使用無處不在，而在量子力學中，可觀察量由埃爾米特算子表示。各種算子可以具有包括線性、連續性和有界性等的重要性質。

## 定義

設U、V是兩個向量空間。從U到V的任意映射被稱為算子。令V是域K上的向量空間。我們可以定義包含所有從U到V算子的集合上的向量空間結構（A和B是算子）：

$(A + B)\mathbf{x} := A\mathbf{x} + B\mathbf{x}$。

$$(\alpha A)\mathbf{x} := \alpha A \mathbf{x}$$

對所有A, B: U→V，x$\in$U和α$\in$K。

從一個向量空間到自身的算子構成一個辛結合代數：

$(AB)\mathbf{x} := A(B\mathbf{x})$。

單位元是恆等映射（通常記為E、I或id）。

### 有界算子和算子範數

令U和V是同一有序域（例如$\mathbf{R}$）上的兩個賦范向量空間。從U到V的線性算子被稱為有界，如果存在C>0滿足

$$||A\mathbf{x}||_V \leq C||\mathbf{x}||_U$$

對所有x$\in$U。

有界算子構成一個向量空間。在這個向量空間上，我們可以引入一個與U和V的範數相容的範數：

$||A|| = \inf\{C: ||A\mathbf{x}||_V \leq C||\mathbf{x}||_U\}$。

對於從U到自身的算子有

$||AB|| \leq ||A||\cdot||B||$。

任何具有這一性質的辛賦范代數被稱為Banach代數。可以將譜理論推廣到這樣的代數上。C*-代數是具有一些附加結構的Banach代數，在量子力學中起重要作用。

## 特殊情形

### 泛函

泛函是將向量空間映射到其底域的算子。廣義函數理論和變分法是泛函的重要應用。兩者對理論物理都非常重要。

### 線性算子

線性算子是最常見的算子。設U和V是域K上的向量空間。算子A：U→V被稱為線性，如果

$$A(\alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{y}) = \alpha A \mathbf{x} + \beta A \mathbf{y}$$

對所有x、y$\in$U和α、β$\in$K。

線性算子的重要性在於它是向量空間之間的態射。

在有限維情形下，線性算子可以以下面的方式由矩陣表示。設$K$是一個域，$U$和$V$是$K$上有限維向量空間。選擇一組基$\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_n$ $U$上和一組基$\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_m$在$V$上。令$\mathbf{x} = x^i \mathbf{u}_i$為$U$上的任意向量（假設有愛因斯坦求和約定），且有$A: U \to V$是線性算子。則有

$A\mathbf{x} = x^i A\mathbf{u}_i = x^i (A\mathbf{u}_i)^j \mathbf{v}_j$。

所以有$a_i^j := (A\mathbf{u}_i)^j \in K$是算子$A$在固定基底下的矩陣表示。$a_i^j$不依賴於$x$的選取，且有$A\mathbf{x} = \mathbf{y}$若且唯若$a_i^j x^i = y^j$。因此在固定基底下的n×m矩陣一一映射到從$U$到$V$的線性算子。

與有限維向量空間之間的算子直接相關的重要概念包括秩、行列式、逆算子和特徵空間。

線性算子在無限維情形也起著重要作用。秩和行列式的概念不能擴展到無限維矩陣。這就是為什麼在無限維情況下研究線性算子（和一般的算子）時採用非常不同的技術的原因。在無限維情況下的對線性算子的研究被稱為泛函分析。

實數序列（或更一般地任意向量空間中的向量序列）的空間本身構成無限維向量空間。最重要的情形是實數或複數序列，這些空間與線性子空間一起被稱為序列空間。這些空間上的算子被稱為序列變換。

巴拿赫空間上的有界線性算子在標準算子範數意義下構成Banach代數。Banach代數理論將特徵空間理論推廣到更一般的譜的概念。

## 例子

### 幾何

在幾何中，有時研究向量空間上的附加結構。在這些研究中，將這些向量空間一一映射到自身的算子非常有用，它們通過構造自然地構成群。

例如保持向量空間結構的雙射算子正是可逆線性算子。它們構成了一般線性群。它們算子加法下不是向量空間，例如， id和-id都是可逆的（雙射），但它們的和為0，不可逆。

在這樣的空間上保持歐幾里得度量的算子構成等度群，保持原型不變的子群被稱為正交群。正交群中的保角算子構成特殊正交群。

### 機率論

機率論中也涉及到算子，如期望、方差、協方差、階乘等。

### 微積分

從泛函分析的角度來說，微積分是研究兩個線性算子：微分算子$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$和不定積分算子$\int_0^t$。

#### 傅立葉級數和傅立葉變換

傅立葉變換在應用數學特別是物理學和信號處理中都是有用的工具。它是另一種積分算子; 它的意義主要在於它以一種有效的可逆的方式將一個時域上的函數轉換為頻域上的函數。因為是一個可逆變換算子，所以沒有資訊損失。在周期函數這一簡單情況下，該結果是基於定理任何連續周期函數可以表示為一系列正弦波和餘弦波的和：

$f(t) = {a_0 \over 2} + \sum_{n=1}^{\infty}{ a_n \cos ( \omega n t ) + b_n \sin ( \omega n t ) }$。

(a0, a1, b1, a2, b2, ...)實際上是無限維向量空間ℓ2的元素，因此傅立葉級數是線性算子。

當處理R → C的一般函數時，變換採用積分形式：

$f(t) = {1 \over \sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^{+ \infty}{g( \omega )e^{ i \omega t } \,d\omega }$。

#### 拉普拉斯變換

拉普拉斯變換是另一種積分算子，用於簡化求解微分方程的過程。

對於f = f(s)，拉普拉斯變換定義如下：

$F(s) = \mathcal{L}\{f\}(s) =\int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt$。

### 標量和向量場上的基本算子

三個算子是向量微積分的關鍵：

- Grad（梯度），（算子符號$\nabla$）在標量場中的每個點對應一個向量，指向該場最大變化率的方向，並且其範數是該最大變化率的絕對值。
- Div（散度），（算子符號$\nabla \cdot$）是一個向量算子，用於描述向量場從給定點向外的發散度或朝向給定點的收斂度。
- Curl（旋度），（算子符號$\nabla \times$）是一個向量算子，用於描述在給定點的向量場旋轉程度。

作為從向量微積分算子到物理、工程和張量空間的延伸，梯度、散度和旋度算子也經常與張量微積分相關聯。

## 另請參閱

- 運算
- 函數
- 數學符號表
- 向量空間
- 對偶空間
- 算子代數
- Banach代數
- 算子列表
- 算符
- 算子 (編程)