群的展示

在數學中，展示是定義群的一種方法。通過指定生成元的集合 S 使得這個群的所有元素都可以寫為某些這種生成元的乘積，和這些生成元之間的關係的集合 R。稱 G 有展示

$\langle S \mid R\rangle$。

非正式的說，G 有上述展示如果它是 S 所生成的只服從關係 R 的「最自由的群」。正式的說，群 G 被稱為有上述展示如果它同構於 S 上的自由群模以關係 R 生成的正規子群的商群。

作為一個簡單的例子，n 階循環群有展示

$\langle a \mid a^n = e\rangle$。

這里的 $e$ 是群單位元。它可以等價的寫為

$\langle a \mid a^n\rangle$。

因為把不包括等號的項認為是等於群單位元。這種項叫做關係元(relator)，區別於包括等號的關係。

所有群都有一個展示，並且事實上有很多不同的展示；展示經常是描述群結構的最簡潔方式。

一個密切關聯但不同的概念是群的絕對展示。

## 背景

集合 S 上的自由群是其每個元素都可以唯一描述為如下形式的有限長度的乘積的群:

$$s_1^{a_1} s_2^{a_2} \ldots s_n^{a_n}$$

這里的每個 si 是 S 的一個元素，對於任何 i 有 si ≠ si+1；而每個 ai 是非零整數。用不太正式的術語，群由在生成元和它們的逆元中的字組成，只服從用其逆元消除生成元的規則。

如果 G 是任何群，而 S 是 G 的生成子集，則 G 的所有元素也有如上形式；但是一般的說，這些乘積不能唯一的描述 G 的一個元素。

例如，二面體群 D8 可以生成自 8 階的旋轉 r和 2 階的翻轉 f；而 D8 的任何特定元素都是若干 r 和 f 的乘積。

但是，比如有 r f r = f， r 7 = r −1 等；所以這種乘積在 D8 中不是唯一的。每個這種乘積等價可以表達為等於單位元的等式；比如

r f r f = 1

r 8 = 1

f 2 = 1

非正式的，我們可以認為在左側的乘積是自由群 F = 的元素，並認為是這些字串生成 F 的子集 R；其中每個在被當作在 D8 中的乘積的時候還等價於 1。

如果我們接著讓 N 是由 R 的所有共軛的集合 x −1 R x 生成的 F 的子群，則 N 是 F 的正規子群；而 N 的每個元素，在被當作在 D8 中的乘積的時候，也被求值為 1。因此 D8 同構於商群 F /N。我們接著稱 D8 有展示

$\langle r, f \mid r^8 = f^2 = (rf)^2 = 1\rangle$。

## 形式定義

設 S 是集合併設 是在 S 上的自由群。設 R 是在 S 上的字的集合，所以 R 自然的給出了一個 的子集。要形成帶有展示的 的群，想法是選取最小的 的商群，使得 R 的每個元素被當作同單位元一樣。注意 R 可能不是子群也就更不是 的正規子群了，所以我們不能用 R 天真的求商。解決方式是在 選取 R 的正規閉包 N，它被定義為包含 R 的 的最小正規子群。群 接著被定義為商群

$\langle S \mid R \rangle = \langle S \rangle / N$。

S 的元素叫做 的生成元而 R 的元素叫做關係元。群 G 被稱為有展示 如果 G 同構於。

實踐中經常把關係元寫為 $x$ = $y$ 形式，這里的 $x$ 和 $y$ 是在 $S$ 上的字。這意味著 $y^{-1}x \in R$。還有一個直覺意義是 x 和 y 的像被假定在商群中是相等的。因此比如在關係元列表中的 $r^n$ 等價於 $r^n=1$。另一個常用簡寫是把交換子 $xyx^{-1}y^{-1}$ 寫為 $[x,y]$。

一個展示被稱為有限生成的，如果 $S$ 是有限的並且是有限關聯的即 $R$ 是有限的。如果二者都是有限的它被稱為有限展示。群是有限生成的(亦或是有限關聯的，有限展現的)，如果它有有限生成的(亦或是有限關聯的，有限展示的)的展示。

如果 $S$ 用所有自然數 $\mathbb{N}$ 或它的有限子集構成的集合 $I$ 來索引(index)，則容易建立一種簡單的從在 $S$ 上的自由群到自然數的一對一的編碼(或哥德爾數) $f:\langle S\rangle\rightarrow\mathbb{N}$，使得我們可以找到演算法從給定 $f(w)$ 計算 $w$ 或反之。我們可以稱 $<S>\ $ 的子集 $U$ 是遞歸的(亦或是遞歸可枚舉)的，如果 $f(U)$ 是遞歸的(亦或是遞歸可枚舉的)。如果 $S$ 是如上索引的而 $R$ 是遞歸可枚舉的，則這個展示是遞歸展示而對應的群是遞歸展現的。這種用法好像很奇怪，但是有可能證明如何群有帶有 $R$ 遞歸可枚舉的展示則它還有另一個帶有 $R$ 遞歸的展示。

對於有限群 $G$，乘法表提供了一種展示。我們選取 $S$ 為 $G$ 的元素 $g_i$，$R$ 為形如 $g_ig_jg_k^{-1}$ 的所有字，這里的 $g_ig_j=g_k\ $ 是在乘法表是中的一個表項。展示可以被認為是乘法表的推廣。

所有有限展現的群是遞歸展現的，但是有不能有限展現的遞歸展現的群。但是 Graham Higman 的一個定理聲稱有限生成的群有遞歸展現，當且僅當它可以被嵌入到有限展現的群中。從它我們可以得出只有(不別同構之異)可數多個有限生成的遞歸展現的群。Bernhard Neumann 已經證明了有不可數多個不同構的兩生成元的群。所以有不能遞歸展現的有限生成群。

## 例子

下表列出了經常研究的群的表示的一些例子。注意在每種情況下都有多種可能的其他展示。列出的展示不必然是最有效的那種可能。

群｜展示｜注釋

S 上的自由群｜$\langle S \mid \varnothing \rangle$｜自由群是在它不服從任何關係的意義上稱為自由的。

Cn，n 階循環群｜$\langle a \mid a^n \rangle$

D2n，2n 階二面體群｜$\langle r, f \mid r^n, f^2, (rf)^2 \rangle$｜這里的 r 表示旋轉而 f 表示翻轉

D∞, 無限二面體群｜$\langle r, f \mid f^2, (rf)^2 \rangle$

Dicn，雙循環群｜$\langle r, f \mid r^{2n} = 1, r^n = f^2, frf^{-1} = r^{-1} \rangle$｜四元群是 n = 2 時的特殊情況

Z × Z｜$\langle x, y \mid xy=yx \rangle$

Zm × Zn｜$\langle x, y \mid x^m=1, y^n=1, xy=yx \rangle$

S 上的自由阿貝爾群｜$\langle S \mid R \rangle$ 這里的 R 是 S 上的自由群的元素的所有交換子的集合

對稱群，Sn｜生成元: $\sigma_1, \ldots, \sigma_{n-1}$關係:、${\sigma_i}^2 = 1$,、$\sigma_i\sigma_j = \sigma_j\sigma_i \mbox{ if } j \neq i\pm 1$,、$\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i = \sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}$ 最後的關係集合可以被變換為、${(\sigma_i\sigma_{i+1}})^3=1$ 使用 ${\sigma_i}^2=1$。｜這里 $\sigma_i$ i是交換第 i 個元素與第 i+1 個元素的置換。乘積 $\sigma_i \sigma_{i+1}$ 是在集合 $\{i,i+1,i+2\}$ 上的 3-循環。

編織群，Bn｜生成元: $\sigma_1, \ldots, \sigma_{n-1}$ 關係:、$\sigma_i\sigma_j = \sigma_j\sigma_i \mbox{ if } j \neq i\pm 1$,、$\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i = \sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}$｜注意同對稱群的相似性；唯一的不同是關係 ${\sigma_i}^2 = 1$ 的免除。

四面體群, T ≅ A4｜$\langle s,t \mid s^2, t^3, (st)^3 \rangle$

八面體群, O ≅ S4｜$\langle s,t \mid s^2, t^3, (st)^4 \rangle$

二十面體群, I ≅ A5｜$\langle s,t \mid s^2, t^3, (st)^5 \rangle$

四元群, Q｜$\langle i,j \mid i^4, i^2j^2, ijij^{-1} \rangle$

$SL_2(\mathbb{Z})$｜$\langle a,b \mid aba=bab, (aba)^4 \rangle$｜在拓撲上可以把 a 和 b 可視化為在環面上的Dehn扭曲。

$GL_2(\mathbb{Z})$｜$\langle a,b,j \mid aba=bab, (aba)^4,j^2,(ja)^2,(jb)^2 \rangle$

$PSL_2(\mathbb{Z})$｜$\langle a,b \mid a^2, b^3 \rangle$｜PSL2(Z) 是循環群 Z2 和 Z3 的自由積。

海森堡群｜$\langle x,y,z \mid z=xyx^{-1}y^{-1}, xz=zx, yz=zy \rangle$

Baumslag-Solitar群，B(m,n)｜$\langle a, b \mid a^n = b a^m b^{-1} \rangle$

## 一些定理

所有群 G 都有表示。要得出這個結論請考慮在 G 上的自由群。因為 G 明顯的生成自身它應當可以通過 的商群得到。實際上，通過自由群的泛性質，存在唯一一個覆蓋了恆等映射的群同態 φ : → G。設 K 是這個同態的核。則 G 明顯的有展示。注意這個展示是高度低效的，因為 G 和 K 二者都比所需要的大很多。

所有有限群都有限展示。

群的字問題的否定解答聲稱有一個有限展示，它沒有演算法能對給出的兩個字 u, v 確定 u 和 v 是否描述了群中的同一個元素。

## 自由積

如果 G 有展示 而 H 有展示，並有著 S 和 T 是不相交的，則自由積 G * H 有展示。

## 直積

如果 G 有展示 而 H 有展示，並有著 S 和 T 是不相交的，則 G 和 H 的直積有展示。這里 S,T 意味著來自 S 的所有元素與來自 T 的所有元素的交換子集合。

## 引用

- Schreier's method, Nielsen's method, free presentations, subgroups and HNN extensions, , etc.
- This useful reference has tables of presentations of all small finite groups, the reflection groups, and so forth.