電荷密度

本條目中，向量與標量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。

在電磁學裏，電荷密度是一種度量，用以描述空間中連續電荷的分布狀況。依據討論電磁模型的維度而定，電荷密度可以是線電荷密度、面電荷密度或體電荷密度。

假設電荷分佈於一條曲線或一根直棒子，則其線電荷密度是每單位長度的電荷密度，單位為庫侖／公尺 (coulomb/meter)。假設電荷分佈於一個平面或一個物體的表面，則其面電荷密度是每單位面積的電荷密度，單位為庫侖／公尺2。假設電荷分佈於一個三維空間的某區域或物體內部，則其體電荷密度是每單位體積的電荷密度，單位為庫侖／公尺3。

由於在大自然裏，有兩種電荷，正電荷和負電荷，所以，電荷密度可能會是負值。電荷密度也可能會跟位置有關。特別注意，不要將電荷密度與電荷載子密度 (charge carrier density) 搞混了。

電荷密度與電荷載子的體積有關。例如，由於鋰陽離子的半徑比較小，它的體電荷密度大於鈉陽離子的體電荷密度。

## 古典電荷密度

假設，一個體積為 $V$ 的載電體，其電荷密度 $\rho_0$ 是均勻的，跟位置無關，那麼，總電荷量 $Q$ 為

$Q=\rho_0 V$。

假設，在某一區域內有 $N$ 個離散的點電荷，像電子。那麼，電荷密度可以用狄拉克δ函數來表達為

$\rho(\mathbf{r})=\sum_{i=1}^N\ q_i\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_i)$。

其中， $\mathbf{r}$ 是檢驗位置，$q_i$ 是位置為 $\mathbf{r}_i$ 的第 $i$ 個點電荷的電量。

## 量子電荷密度

在量子力學裏，類氫原子的中心有一個正電性的原子核，環繞著原子核四週的一個電子的軌域，其電荷密度可以用波函數 $\psi(\mathbf{r})$ 表達為

$\rho(\mathbf{r}) = q\cdot|\psi(\mathbf{r})|^2$。

其中，$q$ 是電子的電荷量。

注意到 $|\psi(\mathbf{r})|^2$ 是找到電子的機率。經過歸一化，在全部空間找到電子的機率是

$\int_{all\ space} |\psi(\mathbf{r})|^2 \mathrm{d}^3{r}=1$。

例如，氫原子的波函數 $\psi_{nlm}(\mathbf{r})$ 是

$\psi_{nlm}(\mathbf{r})=R_{nl}(r)Y_l^m(\theta,\,\phi)$。

其中，$R_{nl}$ 是徑向函數，$Y_l^m(\theta,\,\phi)$ 是球諧函數，$n$ 是主量子數，$l$ 是角量子數，$m$ 是磁量子數。

## 相對論性電荷密度

從相對論的角度來論述，導線的長度與觀察者的移動速度有關，所以電荷密度是一種相對論性觀念。安東尼·法蘭碁（Anthony French）在他的著作中表明，移動中的電荷密度會產生磁場力，會吸引或排斥其它載流導線。使用閔可夫斯基圖，法蘭碁闡明，一條中性的載流導線，對於處於移動參考系的觀察者而言，為什麼會貌似載有淨電荷密度。通過時空坐標，研究電磁現象的領域稱為相對論性電磁學（relativistic electromagnetism）。

## 電荷守恆的連續方程式

電荷密度與電流密度之間的關係式為：

$\frac{\partial \rho(\mathbf{r},\,t)}{\partial t}+\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{J}(\mathbf{r},\,t) =0$。

其中，$\mathbf{r}$ 是位置，$t$ 是時間，$\mathbf{J}$ 是電流密度。

在電磁理論裏，從馬克士威方程組，可以推導出電荷守恆的連續方程式。根據加入位移電流項目後的安培定律。

$\nabla \times \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$。

其中，$\mathbf{B}$ 是磁場，$\mathbf{E}$ 是電場，$\mu_0$ 是磁常數，$\epsilon_0$ 是電常數。

取散度於方程式的兩邊：

$\nabla\cdot(\nabla \times \mathbf{B}) =\mu_0\nabla\cdot\mathbf{J}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf{E})$。

由於旋度的散度等於零，再根據高斯定律，可以得到想要的關係式

$0=\nabla\cdot\mathbf{J}+\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf{E})=\nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}$。

換另外一種比較直覺的推導方法。流入某體積 $\mathbb{V}$ 的淨電流為

$I=-\oint_\mathbb{S} \mathbf{J} \cdot \mathrm{d}^2\mathbf{r}$。

其中，$I$ 是電流，$\mathbb{S}$ 是包圍體積 $\mathbb{V}$ 的閉曲面，$\mathrm{d}\mathbf{r}^2$ 是微小面向量元素，垂直於 $\mathbb{S}$ 從體積內朝外指出。

應用散度定理，將這方程式寫為

$I=-\int_\mathbb{V} \nabla\cdot\mathbf{J}\ \mathrm{d}^3r$。

總電荷量 $Q$ 與體積 $\mathbb{V}$ 內的電荷密度 $\rho$ 的關係為

$Q=\int_\mathbb{V} \rho\ \mathrm{d}^3r$。

電荷守恆要求，流入體積 $\mathbb{V}$ 的淨電流，等於體積 $\mathbb{V}$ 內總電荷量 $Q$ 的變率：

$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d} t}=I=\int_\mathbb{V} \frac{\partial \rho}{\partial t}\ \mathrm{d}^3r$。

所以。

$\int_\mathbb{V}\frac{\partial \rho}{\partial t}+\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{J}\ \mathrm{d}^3r=0$。

對於任意體積 $\mathbb{V}$，上述方程式都成立。所以，可以將被積式提取出來：

$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{J} =0$。

## 電勢和電場

在一個體積區域 $\mathbb{V}'$ 內，源位置 $\mathbf{r}'$ 的電荷密度為 $\rho(\mathbf{r}')$ 的電荷分佈，所產生在場位置 $\mathbf{r}\!$ 的電勢為

$\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \mathrm{d}^3{r}'$。

其中，$\mathrm{d}^3{r}'$ 是微小體積元素。

電場 $\mathbf{E}$ 是電勢的負梯度：

$\mathbf{E}(\mathbf{r})= - \boldsymbol{\nabla} \phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \rho(\mathbf{r}')\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \mathrm{d}^3{r}'$。

應用向量關係式

$\boldsymbol{\nabla} \cdot \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}=4\pi \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')$。

取散度於電場。

$\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r})= - \nabla^2 \phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \rho(\mathbf{r}')4\pi \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}') \mathrm{d}^3{r}'$。

可以得到高斯定律的微分形式

$\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{\rho(\mathbf{r})}{\epsilon_0}$。

和帕松方程式

$\nabla^2 \phi(\mathbf{r}) = - \frac{\rho(\mathbf{r})}{\epsilon_0}$。

## 參閱

- 拉普拉斯方程式
- 恩紹定理
- 格林互反定理 (Green's reciprocity theorem)