龐加萊度量

數學中，龐加萊度量（Poincaré metric），以昂利·龐加萊命名，描述了一個常負曲率二維曲面的度量張量。它是雙曲幾何和黎曼曲面中廣為使用的自然度量。

在二維雙曲幾何中有三種廣泛使用的等價表述。其中一個是龐加萊半平面模型，在上半平面上定義一個雙曲空間模型。龐加萊圓盤模型在單位圓盤上定義了一個雙曲空間模型。圓盤與上半平面通過一個共形映射聯繫，等距由莫比烏斯變換給出。第三個表述是在穿孔圓盤上，通常表示為與 q-類似（Q-analog）的關係，這種形式不同於前兩種。

## 黎曼曲面上的度量概要

複平面上的度量可寫成一般形式

$$ds^2=\lambda^2(z,\overline{z})\, dzd\overline{z}$$

這裡 λ 是 z 與 $\overline{z}$ 的一個實正函數。

$$l(\gamma)=\int_\gamma \lambda(z,\overline{z})\, |dz| .$$

$$\mbox{Area}(M)=\int_M \lambda^2 (z,\overline{z})\,\frac{i}{2}dz \wedge d\overline{z},$$

這裡 $\wedge$ 是用於構造體積形式的外積。度量的行列式等於 $\lambda^4$，故而行列式的平方根是 $\lambda^2$。複平面上的歐幾里得體積形式為 $dx\wedge dy$，從而我們有

$$dz \wedge d\overline{z}=(dx+i\,dy)\wedge (dx-idy)= -2i\,dx\wedge dy.$$

函數 $\Phi(z,\overline{z})$ 稱為度量的勢能（potential of the metric），如果

$$4\frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial}{\partial \overline{z}} \Phi(z,\overline{z})=\lambda^2(z,\overline{z}).$$

拉普拉斯–貝爾特拉米算子為

$$\Delta = \frac{4}{\lambda^2} \frac {\partial}{\partial z} \frac {\partial}{\partial \overline{z}} = \frac{1}{\lambda^2} \left( \frac {\partial^2}{\partial x^2} + \frac {\partial^2}{\partial y^2} \right).$$

度量的高斯曲率由

$$K=-\Delta \log \lambda ,$$

給出，這個曲率是里奇數量曲率的一半。

等距保持角度與弧長。在黎曼曲面上，等距與坐標變換等價：即拉普拉斯-貝爾特拉米算子與曲率在等距下不變。從而，比如設 S 是一個黎曼曲面帶有度量 $\lambda^2(z,\overline{z})\, dzd\overline{z}$ 而 T 是帶有度量 $\mu^2(w,\overline{w})\, dw\,d\overline{w}$ 的黎曼曲面，則映射

$$f:S\to T\,$$

以及 $f=w(z)$ 是等距若且唯若它是共形的以及

$$\mu^2(w,\overline{w}) \; \frac {\partial w}{\partial z} \frac {\partial \overline {w}} {\partial \overline {z}} = \lambda^2 (z, \overline {z}) .$$

在這裡，映射為共形的也就是條件

$$w(z,\overline{z})=w(z),$$

即

$$\frac{\partial}{\partial \overline{z}} w(z) = 0.$$

## 龐加萊平面上的度量與體積元

龐加萊半平面模型中上半平面 H 的龐加萊度量張量為

$$ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}=\frac{dzd\overline{z}}{y^2},$$

這裡我們記 $dz=dx+i\,dy$。這個度量張量在 SL(2,R) 的作用下不變。這就是，如果我們記

$$z'=x'+iy'=\frac{az+b}{cz+d},$$

對 $ad-bc=1$，則我們可算得

$$x'=\frac{ac(x^2+y^2)+x(ad+bc)+bd}{|cz+d|^2},$$

與

$$y'=\frac{y}{|cz+d|^2},$$

無窮小變換為

$$dz'=\frac{dz}{(cz+d)^2},$$

從而

$$dz'd\overline{z}' = \frac{dz\,d\overline{z}}{|cz+d|^4}.$$

這樣便清楚地表明度量張量在 SL(2,R) 的作用下不變。

不變體積元素為

$$d\mu=\frac{dx\,dy}{y^2}.$$

對 $z_1,z_2 \in \mathbb{H}$ 度量為

$$\rho(z_1,z_2)=2\tanh^{-1}\frac{|z_1-z_2|}{|z_1-\overline{z_2}|},$$

$$\rho(z_1,z_2)=\log\frac{|z_1-\overline{z_2}|+|z_1-z_2|}{|z_1-\overline{z_2}|-|z_1-z_2|}.$$

度量的另一個有用的形式是用交比給出。給定緊化複平面 $\hat {\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \infty$ 上任意四點 $z_1,z_2,z_3$ 與$z_4$，交比定義為

$$(z_1,z_2; z_3,z_4) = \frac{(z_1-z_2)(z_3-z_4)}{(z_2-z_3)(z_4-z_1)}.$$

那麼度量用交比表示為

$$\rho(z_1,z_2)= \ln (z_1,z_2^\times ; z_2, z_1^\times).$$

這裡 $z_1^\times$ 與 $z_2^\times$ 是端點，位於實數軸上，測地線連接 $z_1$ 與 $z_2$。這些點是有順序的故 $z_1$ 位於 $z_1^\times$ 與 $z_2$ 之間。

這個度量張量的測地線是在兩個端點處垂直於實軸的圓弧（的一段），即端點位於實軸的上半圓周。

## 從平面到圓盤的共形映射

上半平面可以共形地映到單位圓盤，用莫比烏斯變換

$$w=e^{i\phi}\frac{z-z_0}{z-\overline {z_0}} ,$$

這裡單位圓盤上的點 w 對應於上半平面上的點 z。在這個映射中，常數 z0 可取上半平面上任何一點；這個點將映為圓盤的中心。實數軸 $\Im z =0$ 映為單位圓盤的邊界 $|w|=1$。實常數 $\phi$ 將圓盤旋轉任意一個角度。

典範映射是

$$w=\frac{iz+1}{z+i}$$

將 i 映為圓盤的中心，0 映為圓盤的最低點。

## 龐加萊圓盤上的度量與體積元素

龐加萊圓盤模型里的龐加萊度量張量在單位圓盤 $U=\{z=x+iy:|z|=\sqrt{(x^2+y^2)} \leq 1 \}$ 上為

$$ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{(1-(x^2+y^2))^2}=\frac{dz\,d\overline{z}}{(1-|z|^2)^2}.$$

體積形式為

$$d\mu=\frac{dx\,dy}{(1-(x^2+y^2))^2}=\frac{dx\,dy}{(1-|z|^2)^2}.$$

對 $z_1,z_2 \in U$ 的龐加萊度量為

$$\rho(z_1,z_2)=2\tanh^{-1}\left|\frac{z_1-z_2}{1-z_1\overline{z_2}}\right| .$$

這個度量張量的測地線是在端點處正交於圓盤邊界的圓弧。

## 穿孔圓盤模型

第二個將上半平面映成圓盤是 q-映射：

$$q=exp(i\pi\tau)$$

這裡 q 是 nome（Nome），$\tau$ 是半周期比例（half-period ratio）。在上一節的記號中，$\tau$ 是上半平面 $\Im \tau >0$ 的坐標。這個映射映到穿孔圓盤，因為值 q=0 不在映射的像中。

上半平面的龐加萊度量在 q-圓盤上誘導一個度量

$$ds^2=\frac{4}{|q|^2 (\log |q|^2)^2} dq d\overline{q},$$

度量的勢能是

$$\Phi(q,\overline{q})=4 \log \log |q|^{-2}.$$

## 施瓦茨引理

龐加萊度量在調和函數上距離減小。這是施瓦茨引理的一個推廣，稱為施瓦茨-阿爾福斯-皮克定理（Schwarz-Alhfors-Pick theorem）。

## 引用

- Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
- Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See Section 2.3).
- Svetlana Katok, Fuchsian Groups (1992), University of Chicago Press, Chicago ISBN 0-226-42583-5 (Provides a simple, easily readable introduction.)