電勢能

本條目中，向量與標量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。

在靜電學裏，電勢能（electric potential energy）是處於電場的電荷分佈所具有的勢能，與電荷分佈在系統內部的組態有關。電勢能的單位是焦耳。電勢能與電勢不同。電勢定義為處於電場的電荷所具有的電勢能每單位電荷。電勢的單位是伏特。

電勢能的數值不具有絕對意義，只具有相對意義。所以，必須先設定一個電勢能為零的參考系統。當物理系統內的每一個點電荷相距無窮遠且其相對靜止不動時，這一物理系統通常可以設定為電勢能等於零的參考系統。假設一個物理系統裏的每一個點電荷，從無窮遠處被一外力勻速地遷移到其所在位置，該外力做的總機械功為 $W$，則定義這系統的電勢能 $U$ 為

$U := W$。

在這過程裏，所涉及的機械功 $W$，不論是正值或負值，都由這物理系統之外的機制賦予。並且，被勻速遷移的每一個點電荷都不會獲得任何動能。

如此計算電勢能，並沒有考慮到移動的路徑，這是因為電場是保守場，電勢能只跟初始位置與終止位置有關，與路徑無關。

## 計算電勢能

在一個物理系統內，計算一個點電荷所具有的電勢能的方法，就是計算將這點電荷Q從無窮遠位置遷移到其它固定位置電荷附近所需要做的機械功。而計算只需要兩個參數：

- 其它電荷所產生的電勢。
- 點電荷Q的電荷量。

注意：這裡的計算不需要知道其它電荷的電荷量，也不需要知道這一點電荷Q所產生的電勢。

## 儲存於點電荷系統內的電勢能

### 單點電荷系統

只擁有單獨一個點電荷的物理系統，其電勢能為零，因為沒有任何其它可以產生電場的源電荷，所以，將點電荷從無窮遠移動至其最終位置，外機制不需要對它做任何機械功。特別注意，這點電荷有可能會與自己生成的電場發生作用。然而，由於在點電荷的位置，它自己生成的電場為無窮大，所以，在計算系統的有限總電勢能之時，一般刻意不將這「自身能」納入考量範圍之內，以簡化物理模型，方便計算。

### 雙點電荷系統

思考兩個點電荷所組成的物理系統。假設第一個點電荷 $q_1$ 的位置為坐標系的原點 $\mathbf{O}$，則根據庫侖定律，點電荷 $q_1$ 施加於位置為 $\mathbf{r}$ 的第二個點電荷 $q_2$ 的電場力為

$\mathbf{F}_{c}=\frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}$。

其中，$\epsilon_0$ 是電常數。

在移動點電荷 $q_2$ 時，為保證勻速，外機制必須施加作用力 $-\mathbf{F}_{c}$ 於點電荷 $q_2$，從而與電場力達到二力平衡。所以，機械功 $W$ 為

$W=-\int_{\mathbb{L}}\mathbf{F}_{c}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=-\ \frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{L}} \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$。

由於庫侖力為保守力，機械功與積分路徑 $\mathbb{L}$ 無關，所以，可以選擇任意一條積分路徑。在這裡，最簡單的路徑為從無窮遠位置朝著 $-\hat{\mathbf{r}}$ 方向遷移至 $\mathbf{r}$ 位置的直線路徑。那麼，機械功為

$W=-\ \frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0}\int_{\infty}^{r}\frac{\mathrm{d}r}{r^2}=\frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0 r}$。

這機械功是無窮遠位置與 $\mathbf{r}$ 位置之間的靜電能差別：

$W=U(\mathbf{r})-U(\infty)$。

設定 $U(\infty)=0$，則

$U(\mathbf{r})=\frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0 r}$。

現在，假設兩個點電荷的位置分別為 $\mathbf{r}_1$、$\mathbf{r}_2$，則電勢能為

$U=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q_1 q_2}{|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1|}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q_1 q_2}{r_{12}}$。

其中，$r_{12}=|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1|$ 是兩個點電荷之間的距離。

假設兩個點電荷的正負性相異，則電勢能為負值，兩個點電荷會互相吸引；否則，電勢能為正值，兩個點電荷會互相排斥。

### 三個以上點電荷的系統

對於三個點電荷的系統，外機制將其每一個單獨點電荷，一個接著一個，從無窮遠位置遷移至最終位置，所需要做的機械功，就是整個系統的靜勢能。以方程式表示。

$U= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left(\frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_1 q_3}{r_{13}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} \right)$。

其中，$q_1,q_2,q_3$ 為點電荷，$r_{ij}$ 為第i個與第j個點電荷之間的距離。

按照這方法演算，對於多個點電荷的系統，按照順序，從第一個點電荷到最後一個點電荷，各自移動到最後對應位置。在第 $i$ 個點電荷 $q_i$ 遷移時，只會感受到從第 $1$ 個點電荷到第 $i-1$ 個點電荷的電場力，而機械功 $W_i$ 是因為抗拒這些電場力而做出的貢獻：

$W_i= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\sum_{j=1}^{i-1} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$。

所有點電荷做出的總機械功（即總電勢能）為

$U=W=\sum_{i=1}^n W_i= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{i-1} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$。

將每一個項目重覆多計算一次，然後將總和除以 $2$，這公式也可以表達為。

$U= \frac{1}{8 \pi \epsilon_0}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1,j\ne i}^{n} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$。

這樣，可以忽略點電荷的遷移順序。

注意到除了點電荷 $q_i$ 以外，所有其它點電荷產生的電勢在位置 $\mathbf{r}_i$ 為

$\phi(\mathbf{r}_i)= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\sum_{j=1,j\ne i}^{n} \frac{q_j}{r_{ij}}$。

所以，離散點電荷系統的總電勢能為

$U= \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n q_i \phi(\mathbf{r}_i)$。

- 上述方程式假設電介質是自由空間，其電容率為 $\epsilon_0$，即電常數。假設電介質不是自由空間，而是電容率為 $\epsilon$ 的某種電介質，則必需將方程式內的 $\epsilon_0$ 更換為 $\epsilon$。

## 儲存於連續電荷分佈的能量

對於連續電荷分佈，前面的電勢能方程式變為

$U= \frac{1}{2}\int_{\mathbb{V}} \rho(\mathbf{r})\phi(\mathbf{r})\ \mathrm{d}^3 r$。

其中，$\rho(\mathbf{r})$ 是在源位置 $\mathbf{r}$ 的電荷密度，$\mathbb{V}$ 是積分體積。

應用高斯定律

$\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$ ;

其中，$\mathbf{E}$ 是電場。

電勢能為

$\begin{align} U & = \frac{\epsilon_0}{2}\int _{\mathbb{V}} [\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r})]\phi(\mathbf{r})\ \mathrm{d}^3 r \\ <pre> & = \frac{\epsilon_0}{2}\int _{\mathbb{V}} \mathbf{\nabla}\cdot[\mathbf{E}(\mathbf{r})\phi(\mathbf{r})]- </pre> \mathbf{E}(\mathbf{r})\cdot\mathbf{\nabla}\phi(\mathbf{r})\ \mathrm{d}^3 r \\ \end{align}$。

應用散度定理，可以得到

$U= \frac{\epsilon_0}{2}\oint_{\mathbb{S}} [\mathbf{E}(\mathbf{r})\phi(\mathbf{r})]\cdot\mathrm{d}^2 r-\frac{\epsilon_0}{2}\int_{\mathbb{V}} \mathbf{E}(\mathbf{r})\cdot\mathbf{\nabla}\phi(\mathbf{r})\ \mathrm{d}^3 r$。

其中，$\mathbb{S}$ 是包住積分體積 $\mathbb{V}$ 的閉曲面。

當積分體積 $\mathbb{V}$ 趨向於無限大時，閉曲面 $\mathbb{S}$ 的面積趨向於以變率 $r^2$ 遞增，而電場、電勢分別趨向於以變率 $1/r^2$、$1/r$ 遞減，所以，上述方程式右手邊第一個面積分項目趨向於零，電勢能變為

$U= -\frac{\epsilon_0}{2}\int_{\mathbb{ALL\ SPACE}} \mathbf{E}(\mathbf{r})\cdot\mathbf{\nabla}\phi(\mathbf{r}) \mathrm{d}^3 r$。

電場與電勢的微分關係為

$\mathbf{E}=-\nabla\phi$。

將這方程式代入，電勢能變為

$U=\frac{\epsilon_0}{2}\int_{\mathbb{ALL\ SPACE}} [E(\mathbf{r})]^2\mathrm{d}^3 r$。

所以，電勢能密度 $u$ 為

$u(\mathbf{r})=\frac{\epsilon_0}{2} [E(\mathbf{r})]^2$。

## 自身能與交互作用能

前面分別推導出兩個電勢能方程式：

$U= \frac{1}{8 \pi \epsilon_0}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1,j\ne i}^{n} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$。

$U=\frac{\epsilon_0}{2}\int_{\mathbb{ALL\ SPACE}} [E(\mathbf{r})]^2\mathrm{d}^3 r$。

注意到第一個方程式計算得到的電勢能，可以是正值，也可以是負值；但從第一個方程式推導出來的第二個方程式，其計算得到的電勢能則必定是正值。為甚麼會發生這不一致問題？原因是第一個方程式只囊括了電荷與電荷之間的交互作用能；而第二個方程式在推導過程中，無可避免地將電荷的自身能也包括在內。在推導第一個方程式時，在位置 $\mathbf{r}_i$ 的電勢乃是，除了 $q_i$ 以外，所有其它電荷共同貢獻出的電勢；而在推導第二個方程式時，電勢乃是所有電荷共同貢獻出的電勢。

舉一個雙點電荷案例，假設電荷 $q_1$、$q_2$ 的位置分別為 $\mathbf{r}_1$、$\mathbf{r}_2$，則在任意位置 $\mathbf{r}$ 的電場為

$\mathbf{E}=\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_2=\frac{q_1}{4\pi\epsilon_0 }\ \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|^3}+\frac{q_2}{4\pi\epsilon_0 }\ \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_2}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|^3}$。

其電勢能密度為

$u=\frac{\epsilon_0}{2} E^2=\frac{\epsilon_0}{2}(E_1\,^2+E_2\,^2+2\mathbf{E}_1\cdot\mathbf{E}_2)$。

很明顯地，這方程式右手邊的前兩個項目分別為電荷 $q_1$、$q_2$ 的自身能密度 $\epsilon_0 E_1\,^2/2$、$\epsilon_0 E_2\,^2/2$。最後一個項目是否為交互作用能密度？為了回答這有意思的問題，繼續計算交互作用能密度的體積積分：

$U_{int}=\int_{\mathbb{V}} u_{int}\ \mathrm{d}^3 r =\epsilon_0\int_{\mathbb{V}}\mathbf{E}_1\cdot\mathbf{E}_2\ \mathrm{d}^3 r=\frac{q_1 q_2}{16\pi^2\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}}\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|^3}\ \cdot\ \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_2}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|^3}\ \mathrm{d}^3 r$。

應用一條向量恆等式。

$\nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right)=-\ \frac{(\mathbf{r} - \mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}$。

可以得到

$\begin{align}U_{int} & =\frac{q_1 q_2}{16\pi^2\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}}\nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}\right)\ \cdot\ \nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|}\right)\mathrm{d}^3 r \\ <pre> & =\frac{q_1 q_2}{16\pi^2\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}}\nabla\ \cdot\ \left[\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}\nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|}\right)\right] </pre> -\ \left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}\right)\nabla^2\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|}\right) \mathrm{d}^3 r \\ \end{align}$。

應用散度定理，可以將這方程式右手邊第一個項目，從體積積分變為面積積分：

$\int_{\mathbb{V}}\nabla\ \cdot\ \left[\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}\nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|}\right)\right]\mathrm{d}^3 r =\oint_{\mathbb{S}}\left[\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}\nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|}\right)\right]\cdot\mathrm{d}^2 r$。

其中，$\mathbb{S}$ 是包住積分體積 $\mathbb{V}$ 的閉曲面。

假設 $\mathbb{V}$ 趨向於無窮大空間，則這面積積分趨向於零。再應用一則關於狄拉克δ函數的向量恆等式

$\nabla^2 \left(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right)= - 4\pi\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')$。

可以得到

$U_{int}=\frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{ALL\ SPACE}}\frac{\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_2)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}\ \mathrm{d}^3 r=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q_1 q_2}{|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2|}$。

這就是雙點電荷系統的電勢能。