N維球面

n維球面是普通的球面在任意維度的推廣。它是$(n+1)$維空間內的 $n$ 維流形。特別地，0維球面就是直線上的兩個點，1維球面是平面上的圓，2維球面是三維空間內的普通球面。高於2維的球面有時稱為超球面。中心位於原點且半徑為單位長度的 $n$ 維球面稱為單位n維球面，記為 $S^n$。用符號來表示，就是：

$$S^n = \left\{ x \in \mathbb{R}^{n+1} : \|x\| = 1\right\}.$$

$n$ 維球面是 $(n+1)$ 維球體的表面或邊界，是 $n$ 維流形的一種。對於$n\geq 2$，$n$ 維球面是單連通的 $n$ 維流形，其曲率為正的常數。

## 描述

對於任何自然數 $n$，半徑為 $r$ 的 $n$ 維球面定義為 $(n+1)$ 維歐幾里得空間中到某個定點的距離等於常數 $r$ 的所有點的集合，其中 $r$ 可以是任何正的實數。它是 $(n+1)$ 維空間內的 $n$ 維流形。特別地：

- 0維球面是直線上的兩個點$\{p-r, p+r\}$。
- 1維球面是平面上的圓。
- 2維球面是三維空間內的普通球面。
- 3維球面是四維空間內的球面。

### $(n+1)$維空間中的歐幾里得坐標

$(n+1)$ 維空間中的點$(x_1, x_2, \cdots, x_{n+1})$定義了一個 $n$ 維球面（$S^n(r)$），由以下方程表示：

$$r^2=\sum_{i=1}^{n+1} (x_i - C_i)^2.\,$$

其中 $C$ 是中心點， $r$ 是半徑。

以上的 $n$ 維球面在 $(n+1)$ 維空間中存在，是 $n$ 維流形的一個例子。半徑為 $r$ 的 $n$ 維球面的體積形式 $\omega$ 由下式給出：

$$\omega = {1 \over r} \sum_{j=1}^{n+1} (-1)^{j-1} x_j \,dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_{j-1} \wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1} = * dr$$

其中*是霍奇星算子（關於討論和這個公式在 $r=1$ 的情形下的證明，請參見）。因此。

$$dr \wedge \omega = dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.$$

### $n$維球體

由 $n$ 維球面所包圍的體積，稱為 $(n+1)$ 維球體。如果把球體的表面包括在內，則 $(n+1)$ 維球體是封閉的，否則是開放的。

特別地：

- 1維球體，是一個線段，是0維球面的內部。
- 2維球體，是一個圓盤，是圓（1維球面）的內部。
- 3維球體，是一個普通的球體，是球面（2維球面）的內部。
- 4維球體，是3維球面的內部。

## n維球體的體積

$(n-1)$維球面所包圍的體積（$n$維球體的體積）由以下公式給出：

$V_n={\pi^\frac{n}{2}R^n\over\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}={C_n R^n}$,

其中$\Gamma$是伽瑪函數。對於偶數$n$，$\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)= \left(\frac{n}{2}\right)!$；對於奇數$n$，$\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)= \sqrt{\pi} \frac{n

}{2^{\frac{n+1}{2$，其中$n

$表示雙階乘。

由此可以推出，對於給定的 $n$，常數 $C_n$ 的值為：

$C_n={\frac{\pi^k}{k!}}$（對於偶數 $n=2k$）。

$C_n=C_{2k+1}=\frac{2^{2k+1} k!\, \pi^{k}}{(2k+1)!}$（對於奇數 $n=2k+1$）。

$$S_{n-1}=\frac{dV_n}{dR}=\frac{nV_n}{R}={2\pi^\frac{n}{2}R^{n-1}\over\Gamma(\frac{n}{2})}={n C_n R^{n-1}}$$

$n$ 維球面的表面積和體積之間有以下的關係：

$$\frac{V_n}{S_{n-1}} = \frac{R}{n}$$

$$\frac{S_{n+1}}{V_n} = 2\pi R$$

從此可以推導出遞推關係：

$$V_n = \frac{2 \pi R^2}{n} V_{n-2}\,$$

這些公式也可以直接從 $n$ 維球坐標系中的積分推出Stewart。

### 例子

對於較小的$n$，半徑為$R$的$n$維球體體積$V_n$為如下：

$V_0\,$｜=｜$1\,$

$V_1\,$｜=｜$2\,R$｜$\approx$｜$2.00000 \,R$

$V_2\,$｜=｜$\pi\,R^2$｜$\approx$｜$3.14159 \,R^2$

$V_3\,$｜=｜$\frac{4 \pi}{3}\,R^3$｜$\approx$｜$4.18879 \,R^3$

$V_4\,$｜=｜$\frac{\pi^2}{2}\,R^4$｜$\approx$｜$4.93480 \,R^4$

$V_5\,$｜=｜$\frac{8 \pi^2}{15}\,R^5$｜$\approx$｜$5.26379 \,R^5$

$V_6\,$｜=｜$\frac{\pi^3}{6}\,R^6$｜$\approx$｜$5.16771 \,R^6$

$V_7\,$｜=｜$\frac{16 \pi^3}{105}\,R^7$｜$\approx$｜$4.72477 \,R^7$

$V_8\,$｜=｜$\frac{\pi^4}{24}\,R^8$｜$\approx$｜$4.05871 \,R^8$

但當 $n$ 趨於無窮大時，$\frac{V_n}{R^n}$ 趨於0。

如果維度 $n$ 不限於整數，那麼 $n$ 維球面的體積就是n的連續函數，它的極大值位於$n = 5.2569464...$，體積為5.277768...。當 $n=0$ 或 $n=12.76405...$ 時，體積為1。

單位 $n$ 維球面的外切超正方體的邊長為2，因此體積為 $2^n$；當維度增加時，$n$ 維球面的體積與外切於它的超正方體的體積之比單調減少。

## 超球坐標系

我們可以定義 $n$ 維空間內的坐標系統，與3維空間內的球坐標系類似，由徑向坐標 $r$ 和$\ n-1$個角度坐標 $\phi _1 , \phi _2 , ... , \phi _{n-1}$ 組成。如果 $x_i$是笛卡兒坐標系，那麼我們可以定義：

$$x_1=r\cos(\phi_1)\,$$

$$x_2=r\sin(\phi_1)\cos(\phi_2)\,$$

$$x_3=r\sin(\phi_1)\sin(\phi_2)\cos(\phi_3)\,$$

$$\cdots\,$$

$$x_{n-1}=r\sin(\phi_1)\cdots\sin(\phi_{n-2})\cos(\phi_{n-1})\,$$

$$x_n~~\,=r\sin(\phi_1)\cdots\sin(\phi_{n-2})\sin(\phi_{n-1})\,$$

從中可以推出逆變換的公式：

$$\tan(\phi_{n-1})=\frac{x_n}{x_{n-1}}$$

$$\tan(\phi_{n-2})=\frac{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2}}{x_{n-2}}$$

$$\cdots\,$$

$$\tan(\phi_{1})=\frac{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2+\cdots+{x_2}^2}}{x_{1}}$$

注意最後一個角$\phi _{n-1}$的值域為$2\pi$，而其它角的值域為$\pi$。這個值域覆蓋了整個球面。

$n$ 維空間內的體積元素可以從變換的雅可比行列式得出：

$$d_{\mathbb{R}^n}V = \left|\det\frac{\partial (x_i)}{\partial(r,\phi_j)}\right| dr\,d\phi_1 \, d\phi_2\ldots d\phi_{n-1}$$

$$=r^{n-1}\sin^{n-2}(\phi_1)\sin^{n-3}(\phi_2)\cdots \sin(\phi_{n-2})\, dr\,d\phi_1 \, d\phi_2\cdots d\phi_{n-1}$$

以上 $n$ 維球體的體積方程可以通過積分來重新得出：

$$V_n=\int_{r=0}^R \int_{\phi_1=0}^\pi \cdots \int_{\phi_{n-2}=0}^\pi\int_{\phi_{n-1}=0}^{2\pi}d_{\mathbb{R}^n}V. \,$$

$(n-1)$ –維球面的體積元素是2維球面的面積元素的推廣，由以下公式給出：

$$d_{S^{n-1}}V = \sin^{n-2}(\phi_1)\sin^{n-3}(\phi_2)\cdots \sin(\phi_{n-2})\, d\phi_1 \, d\phi_2\ldots d\phi_{n-1}$$

## 球極平面投影

就像三維空間中的二維球面可以通過球極平面投影映射到二維平面上一樣，一個n維球面也可以通過球極平面投影的 $n$ 維形式映射到 $n$ 維超平面。例如，半徑為1的二維球面上的點$\ [x,y,z]$映射到$\ xy$平面上的點$\ [x,y,z] \mapsto \left[\frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z}\right]$。也就是說：

$$\ [x,y,z] \mapsto \left[\frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z}\right].$$

類似地，半徑為1的 $n$ 維球面$\mathbf{S}^{n-1}$的球極平面投影映射到垂直於$\ x_n$軸的$n-1$維超平面$\mathbf{R}^{n-1}$：

$$[x_1,x_2,\ldots,x_n] \mapsto \left[\frac{x_1}{1-x_n},\frac{x_2}{1-x_n},\ldots,\frac{x_{n-1}}{1-x_n}\right].$$

## 參考文獻

- （第20章：3-spheres and hyperbolic 3-spaces）
- （第14章：The Hypersphere）
- Marsaglia, G. "Choosing a Point from the Surface of a Sphere." Ann. Math. Stat. 43, 645-646, 1972.