二面角

二面角（dihedral angle）是兩個相交平面之間的夾角。在立體幾何中，它被定義為一條直線和兩個半平面的併集，這條直線是兩個半平面的公共邊。在高維中，二面角表示兩個超平面之間的夾角。

在化學中，二面角是分子中的兩個分別由三個原子組成的平面之間的夾角，一共涉及四個原子，公共邊是一個化學鍵（兩個原子），平面則由另兩個原子分別與該化學鍵構成。

## 立體幾何

一條直線和兩個半平面的併集組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。

由直線 $l$、半平面 $\alpha$ 和半平面 $\beta$ 組成的二面角，記作：「二面角$\alpha -l-\beta$」，也可記作「$^2\angle l$」。

也可在直線 $l$ 外、半平面 $\alpha$ 和半平面 $\beta$ 內，分別取點$P$和點$Q$，將這個二面角記作「二面角$P-l-Q$」。

在 二面角$\alpha -l-\beta$ 的棱 $l$ 上任取一點$O$，以點$O$為垂足，在半平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 內分別作射線 $OA$ 和射線 $OB$ 垂直於棱 $l$，那麼射線$OA$ 和射線$OB$ 所構成的 $\angle AOB$ 叫做二面角的平面角。

在非解析幾何方法中，常通過建立二面角的平面角，通過求出平面角的大小，來求出二面角的大小：

$$\because AB \perp OB$$

$\therefore OB$ 為$OA$在平面 $\beta$ 中的射影。

$$\because OA\perp l , OB\perp l$$

$\therefore \angle AOB$ 是二面角$\alpha -l-\beta$ 的平面角。

## 解析幾何

若兩個相交平面在笛卡爾坐標中的方程分別為

$$a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0$$

$$a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0 \,\, ,$$

則它們之間的二面角 $\varphi$ 為：

$$\cos \varphi = \frac{\left\vert a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 \right\vert}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}} \,\, .$$

另一種方法是計算兩個平面的法向量nA和nB之間的夾角：

$$\cos \varphi = \frac{ \left\vert\mathbf{n}_\mathrm{A} \cdot \mathbf{n}_\mathrm{B}\right\vert}{|\mathbf{n}_\mathrm{A} | |\mathbf{n}_\mathrm{B}|} \,\, ,$$

其中nA • nB是兩個向量的點積，|nA| |nB|是兩個向量的模的乘積。

任何平面也可以由位於該平面的兩個非共線向量來描述；他們的叉積是平面的法向量。因此，二面角可以由三個向量b1、b2和b3定義，形成兩對非共線向量：

$$\varphi = \operatorname{atan2} \left( \big([\mathbf{b}_1 \times \mathbf{b}_2]\times [\mathbf{b}_2 \times \mathbf{b}_3]\big) \cdot \frac{\mathbf{b}_2}{|\mathbf{b}_2|} \,\, , \,\, [\mathbf{b}_1 \times \mathbf{b}_2] \cdot [\mathbf{b}_2 \times \mathbf{b}_3] \right) \,\, ,$$

其中atan2是二個參數的反正切函數變體，一般而言，atan2(y, x) 等價於 atan(y/x)。

## 立體化學

構象名稱｜syn-正丁烷紐曼投影｜syn-正丁烷鋸木架投影

在化學中，扭轉角（torsion angle）被定義為二面角的特定例子，描述了通過化學鍵連接的分子的兩個部分的幾何關係。

在立體化學中，分子中的每三個（非共線）原子都決定了一個平面。當兩個這樣的平面相交時，它們之間的角度便是二面角。二面角用於描述具體的分子構象。角度在0°和±90°之間的立體化學構象被稱為syn（s，順）；在±90°和180°之間的為anti（a，反）。類似地，角度在30°和150°之間或-30°和-150°之間的被稱為clinal（c，錯），而在0°和±30°或±150°和180°之間的被稱為periplanar（p，疊）。

這兩種術語可以組合起來，以定義四個角度範圍：0°至±30°為順疊（sp）；30°至90°和-30°至-90°為順錯（sc）；90°至150°和-90°至-150°為反錯（ac）；±150°至180°為反疊（ap）。順疊構象也被稱為順式（syn-或cis-）構象；反疊構象也被稱為反式（anti-或trans-）構象；順錯構象也被稱為鄰位交叉、間扭（gauche或skew）構象。

例如，對於正丁烷，可以用兩個中心碳原子和任一個甲基碳原子來分別指定兩個平面。本節開頭（上圖）所示的syn-構象具有60°的二面角，比180°二面角的anti-構象更不穩定。

對於大分子使用，建議使用符號T，C，G+，G-，A+和A-分別表示ap，sp，+sc，-sc，+ac和-ac。

### 蛋白質

拉氏圖（也稱為Ramachandran圖或φ,ψ圖），由G·N·Ramachandran、C·Ramakrishnan和V·Sasisekharan在1963年最初開發，是一種形象化蛋白質結構中能量（位阻）允許的胺基酸殘基的二面角ψ與φ的關係的方式。右圖展示了骨架二面角φ和ψ的定義（Ramachandran稱為φ和φ）。

在蛋白質鏈中，三個二面角被定義為φ（phi），ψ（psi）和ω（omega），如圖所示。肽鍵的平面性通常使得ω被限制為180°（典型trans情況）或0°（罕見cis情況）。trans和cis異構體的α-碳之間的距離分別為大約3.8和2.9 Å。cis異構體主要在Xaa-Pro肽鍵（其中Xaa是任何胺基酸）中觀察到。

側鏈二面角傾向於聚集在180°，60°和-60°附近，稱為trans，gauche+和gauche-構象。某些側鏈二面角的穩定性受到φ和ψ值的影響。例如，當ψ接近-60°時，gauche+旋轉異構體的側鏈中的γ-碳和下一個殘基的氮之間就會有直接的位阻相互作用。

#### 從二面角轉換為鏈中的笛卡爾坐標

在聚合物特別是蛋白質中，常常用內部坐標來描述主鏈，也即把二面角和鍵長按照順序列表。但是，某些類型的計算化學反而使用笛卡爾坐標。在計算結構優化中，一些程序需要在迭代過程中在這些表示法之間來迴轉換，這項工作可能占用大部分計算時間。對於有很多迭代或長鏈的過程，它也可能引入累積的數值不準確性。雖然所有的轉換算法會產生數學上相同的結果，但它們的運算速度和數字精度不同。

## 幾何

每個多面體在每條邊上都有一個二面角，用於描述以該邊為公共邊的兩個面的關係。該二面角也被稱為面角，其計算的是多面體的內角。面角0°意味著兩個面法向量是反向平行的，而且兩個面相互重疊，這意味著它是退化多面體的一部分。面角為180°意味著這些面是平行的，如在鑲嵌中。在多面體的凹部，可以存在大於180°的面角，在基礎數學二面角的取值範圍上有爭議目前認為取值為0，180。

邊傳遞多面體中的每個二面角大小相同。這包括5個正多面體，4個星型正多面體，兩個擬正多面體和兩個擬正對偶多面體。

給定一個在共同頂點P上相交且具有邊AP、BP和CP的多面體的三個面，包含APC和BPC的面之間的二面角的餘弦為：

$$\cos\varphi = \frac{ \cos (\angle \mathrm{APB}) - \cos (\angle \mathrm{APC}) \cos (\angle \mathrm{BPC})}{ \sin(\angle \mathrm{APC}) \sin(\angle \mathrm{BPC})} \,\, .$$

## 外部連結

- 木工中的二面角 - Tips.FM
- 5個正多面體的分析，給出了這些精確值的逐步推導