分離變數法

數學上，分離變數法是一種解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用這方法，可以藉代數來將方程式重新編排，讓方程式的一部分只含有一個變數，而剩餘部分則跟此變數無關。這樣，隔離出的兩個部分的值，都分別等於常數，而兩個部分的值的代數和等於零。

## 常微分方程

假若，一個常微分方程可以寫為

$\frac{d}{dx} f(x) = g(x)[h(f(x))]$。

設定變數 $y = f(x)$。那麼。

$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$ ．(1)

只要是 $h(y)\ne 0$，就可以將方程式兩邊都除以 $h(y)$，再都乘以 $dx$：

${dy \over h(y)} = {g(x)dx}$。

這樣，可以將兩個變數 $x$，$y$ 分離到方程式的兩邊。由於任何一邊的表達式跟另外一邊的變數無關，表達式恆等於常數 $k$。因此，可以得到兩個較易解的常微分方程。

$\int{dy \over h(y)} = \int{g(x)dx}=k$。

### 第二種方法

有些不喜歡用萊布尼茨標記的數學家，或許會選擇將公式 (1) 寫為

$\frac{1}{h(y)} \frac{dy}{dx} = g(x)$。

這寫法有一個問題：無法比較明顯的解釋，為什麼這方法叫作分離變數法？

隨著 $x$ 積分公式的兩邊，可以得到

$\int \frac{1}{h(y)} \frac{dy}{dx} \, dx = \int g(x) \, dx$。(2)

應用換元積分法。

$\int \frac{1}{h(y)} \, dy = \int g(x) \, dx$。

假如，可以求算這兩個積分，則這常微分方程有解。這方法允許將導數 $\frac{dy}{dx}$ 當做可分的分式看待，可以較方便的解析可分的常微分方程。這在實例 (II)的解析裏會有更詳細的解釋。

### 實例 (I)

常微分方程式 $\frac{d}{dx}f(x)=f(x)(1 - f(x))$ 可以寫為

$\frac{dy}{dx}=y(1-y)$；(3)

其中，$y=f(x)$。

設定 $g(x)=1$，$h(y)=y(1 - y)$。套用公式 (1)，這常微分方程式是可分的。

進一步編排，則

$\frac{dy}{y(1 - y)}=dx$。

變數 $x$，$y$ 分別在公式的兩邊。將兩邊積分。

$\int\frac{dy}{y(1 - y)}=\int dx$。

積分的結果是

$\ln |y| - \ln |1 - y|=x+C$。

其中，$C$ 是個積分常數。稍加運算，則可得

$y=\frac{1}{1+Be^{ - x}}$。

在這裏，檢查此解答的正確與否。計算導數 $\frac{dy}{dx}$。答案應該與原本的問題相同。（必須仔細地計算絕對值。絕對符號內不同的正負值，分別地造成了 $B$ 的正值與負值。而當 $y=1$ 時，$B=0$）。

特別注意，由於將公式 (3) 的兩邊除以 $y$ 跟 $(1 - y)$，必須檢查兩個函數 $y(x) = 0$ 與 $y(x) = 1$ 是否也是常微分方程式的解答（在這個例子裏，它們都是解答）。參閱奇異解。

### 實例 (II)

人口數值的成長時常能夠用常微分方程來表達

$\frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{K}\right)$。

其中，$P$ 是人口數值函數，$t$ 是時間參數， $k$ 是成長的速率，$K$ 環境的容納能力。

將方程式的兩邊都除以$P\left(1-\frac{P}{K}\right)$ ．再隨著時間 $t$ 積分。

$\int\frac{1}{P\left(1-\frac{P}{K}\right)}\frac{dp}{dt}\,dt=\int k\,dt$。

應用換元積分法。

$\int\frac{dP}{P\left(1-\frac{P}{K}\right)}=\int k\,dt$。

稍微運算，則可得

$P(t)=\frac{K}{1+Ae^{ - kt}}$。

其中，$A$ 是常數。

## 偏微分方程

給予一個 $n$ 元函數 $F(x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n)$ 的偏微分方程，有時候，為了將問題的偏微分方程式改變為一組常微分方程，可以猜想一個解答；解答的形式為

$F = F_1(x_1) F_2(x_2) \cdots F_n(x_n)$。

或者

$F = f_1(x_1) + f_2(x_2) + \cdots + f_n(x_n)$。

時常，對於每一個自變量 $x_i$，都會伴隨著一個分離常數。如果，這個方法成功，則稱這偏微分方程為可分偏微分方程 (separable partial differential equation)。

### 實例 (III)

假若，函數 $F(x,\ y,\ z)$ 的偏微分方程為

$\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} + \frac{\partial F}{\partial z} = 0$。

猜想解答為

$F(x,y,z) = X(x) + Y(y) + Z(z)$。

那麼。

$\frac{dX}{dx} + \frac{dY}{dy} + \frac{dZ}{dz} = 0$。

因為 $X(x)$ 只含有 $x$、$Y(y)$ 只含有 $y$、$Z(z)$ 只含有 $z$，這三個函數的導數都分別必須等於常數。更明確地說，將一個偏微分方程改變為三個很簡單的常微分方程：

$\frac{dX}{dx} = c_1$。

$\frac{dY}{dy} = c_2$。

$\frac{dZ}{dz} = c_3$。

其中，$c_1,\ c_2,\ c_3$ 都是常數，$c_1 + c_2 + c_3 = 0$。

偏微分方程的答案為

$F(x,y,z) = c_1 x + c_2 y + c_3 z + c_4$。

其中，$c_4$ 是常數。

### 實例 (IV)

思考一個典型的偏微分方程。

$\nabla^2 v + \lambda v = {\partial^2 v \over \partial x^2} + {\partial^2 v \over \partial y^2} + \lambda v = 0$。

首先，猜想答案的形式為

$v = X(x)Y(y)$。

代入偏微分方程。

${\partial^2\over\partial x^2} [X(x)Y(y)]+{\partial^2\over\partial y^2}[X(x)Y(y)]+\lambda X(x)Y(y)=0$。

或者，用單撇號標記。

$X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)+\lambda X(x)Y(y)= 0$。

將方程式的兩邊除以 $X(x)Y(y)$，則可得

${X''(x)\over X(x)}= - {Y''(y)+\lambda Y(y)\over Y(y)}$。

由於任何一邊的表達式跟另外一邊的變數無關，表達式恆等於常數 $k$：

${X''(x)\over X(x)} = k = - {Y''(y)+\lambda Y(y)\over Y(y)}$。

因此，可以得到兩個新的常微分方程式：

$X''(x) - kX(x)=0$。

$Y''(y)+(\lambda+k) Y(y) =0$。

這兩個常微分方程式都是齊次的二階線性微分方程。假若，$k < 0<\lambda+k$，則這兩個常微分方程都是用來表達諧振問題的方程式。解答為

$X(x)=A_x\cos(\sqrt{- k}\ x+B_x)$。

$Y(y)=A_y\cos(\sqrt{\lambda+k}\ y+B_y)$。

其中，$A_x,\ A_y$ 是振幅常數，$B_x,\ B_y$ 是相位常數。這些常數可以由邊界條件求得。

## 參閱

- 拉普拉斯-龍格-冷次向量
- 哈密頓-雅可比方程
- 亥姆霍茲方程

## 參考文獻

- A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002.。