拉蓋爾多項式

在數學中，以法國數學家埃德蒙·拉蓋爾命名的拉蓋爾多項式定義為拉蓋爾方程的標準解。

$$x\,y'' + (1 - x)\,y' + n\,y = 0\,$$

這是一個二階線性微分方程。

這個方程只有當n非負時，才有非奇異解。拉蓋爾多項式可用在高斯積分法中，計算形如$\int_0^\infty f(x) dx$的積分。

這些多項式（通常用L0, L1等表示）構成一個多項式序列。這個多項式序列可以用羅德里格公式遞推得到。

$$L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right).$$

在按照下式定義的內積構成的內積空間中，拉蓋爾多項式是正交多項式。

$$\langle f,g \rangle = \int_0^\infty f(x) g(x) e^{-x}\,dx.$$

拉蓋爾多項式構成一個Sheffer序列。

拉蓋爾多項式在量子力學中有重要應用。氫原子薛丁格方程的解的徑向部分，就是拉蓋爾多項式。

物理學家通常採用另外一種拉蓋爾多項式的定義形式，即在上面的形式的基礎上乘上一個n!。

## 前幾個拉蓋爾多項式

前幾個拉蓋爾多項式的表達式與函數圖像如下：

n $L_n(x)\,$

0 $1\,$

1 $-x+1\,$

2 ${\scriptstyle\frac{1}{2}} (x^2-4x+2) \,$

3 ${\scriptstyle\frac{1}{6}} (-x^3+9x^2-18x+6) \,$

4 ${\scriptstyle\frac{1}{24}} (x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \,$

5 ${\scriptstyle\frac{1}{120}} (-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) \,$

6 ${\scriptstyle\frac{1}{720}} (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) \,$

## 遞歸定義

拉蓋爾多項式也可以通過遞歸的方式進行定義。首先，規定前兩個拉蓋爾多項式為：

$$L_0(x) = 1\,$$

$$L_1(x) = 1 - x\,$$

然後運用下面的遞推關係得到更高階的多項式。

$$L_{k + 1}(x) = \frac{1}{k + 1} \left( (2k + 1 - x)L_k(x) - k L_{k - 1}(x)\right).$$

## 廣義拉蓋爾多項式

上面提到的拉蓋爾多項式的正交性，也可以用另外一種方式表達。即：如果X是一個服從指數分布的隨機變量（即，機率密度函數如下式）：

$$f(x)=\left\{\begin{matrix} e^{-x} & \mbox{if}\ x>0, \\ 0 & \mbox{if}\ x<0, \end{matrix}\right.$$

那麼：

$$E \left[ L_n(X)L_m(X) \right]=0\ \mbox{whenever}\ n\neq m.$$

指數分布不是唯一的伽瑪分布，對於任意的伽瑪分布（機率密度函數如下，α > −1，參見Γ函數）

$$f(x)=\left\{\begin{matrix} x^\alpha e^{-x}/\Gamma(1+\alpha) & \mbox{if}\ x>0, \\ 0 & \mbox{if}\ x<0, \end{matrix}\right.$$

相應的正交多項式為形如下式的廣義拉蓋爾多項式（可以通過羅德里格公式得到）：

$$L_n^{(\alpha)}(x)= {x^{-\alpha} e^x \over n!}{d^n \over dx^n} \left(e^{-x} x^{n+\alpha}\right).$$

有時也將上面的多項式稱為連帶（聯屬，伴隨）拉蓋爾多項式。當取α = 0時，就回到拉蓋爾多項式：

$$L^{(0)}_n(x)=L_n(x).$$

## 廣義拉蓋爾多項式的性質與應用

- 拉蓋爾函數可以由合流超幾何函數和Kummer變換得到： $L_n^{(\alpha)}(x):= {n+ \alpha \choose n} M(-n,\alpha+1,x)={n+ \alpha \choose n} \sum_{i=0} (-1)^i \frac{{n \choose i}}{{\alpha+i \choose i}}x^i\,$ $= e^x\cdot {n+ \alpha \choose n} M(\alpha+n+1,\alpha+1,-x)$ $=\frac{e^x \sin(n \pi )}{\sin((n+\alpha)\pi)}L_{-\alpha-n-1}^{(\alpha)}(-x)$ $=e^x\cdot\sum_{i=0}(-1)^i {\alpha+n+i \choose n} \frac{x^i}{i!}.$當$n$為整數時，截斷為$n$階拉蓋爾多項式。
- $n$階拉蓋爾多項式可以通過將萊布尼茨乘積求導公式應用在羅德里格公式上而得到，結果為$L_n^{(\alpha)} (x) = \sum_{i=0}^n (-1)^i {n+\alpha \choose n-i} \frac{x^i}{i!}$。
- n階拉蓋爾多項式的首項係數為(−1)n/n!。
- 拉蓋爾多項式在x=0的取值（常數項）為 $L_n^{(\alpha)}(0)= {n+\alpha\choose n} \approx \frac{n^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)};$
- Ln(α)有n個實的正根（應該注意到 $\left((-1)^{n-i} L_{n-i}^{(\alpha)}\right)_{i=0}^n$構成以施圖姆序列），且這些根全部位於區間$(0, n+\alpha+ (n-1) \sqrt{n+\alpha}]$中。
- 當$n$很大，而$\alpha$不變，$x>0$時，拉蓋爾多項式的漸近行為如下：

$L_n^{(\alpha)}(x) \approx \frac{n^{\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{4}}}{\sqrt{\pi}} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{x^{\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{4}}} \cos\left(2 \sqrt{x \left(n+\frac{\alpha+1}{2}\right)}- \frac{\pi}{2}\left(\alpha+\frac{1}{2} \right) \right)$，以及

$L_n^{(\alpha)}(-x) \approx \frac{n^{\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{4}}}{2\sqrt{\pi}} \frac{e^{-\frac{x}{2}}}{x^{\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{4}}} \exp\left(2 \sqrt{x \left(n+\frac{\alpha+1}{2}\right)} \right)$。

$$L_0^{(\alpha)} (x) = 1$$

$$L_1^{(\alpha)}(x) = -x + \alpha +1$$

$$L_2^{(\alpha)}(x) = \frac{x^2}{2} - (\alpha + 2)x + \frac{(\alpha+2)(\alpha+1)}{2}$$

$$L_3^{(\alpha)}(x) = \frac{-x^3}{6} + \frac{(\alpha+3)x^2}{2} - \frac{(\alpha+2)(\alpha+3)x}{2} + \frac{(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{6}$$

- 根據拉蓋爾多項式的定義，可以使用秦九韶算法計算拉蓋爾多項式，程序代碼如下：

```
 '''function''' LaguerreL(n, alpha, x) {
    LaguerreL:= 1; bin:= 1 
    '''for''' i:= n '''to''' 1 '''step''' -1 {
        bin:= bin* (alpha+ i)/ (n+ 1- i)
        LaguerreL:= bin- x* LaguerreL/ i
    }
    '''return''' LaguerreL;
 }
```

### 遞推關係

拉蓋爾多項式滿足以下的遞推關係：

$$L_n^{(\alpha+\beta+1)}(x+y)= \sum_{i=0}^n L_i^{(\alpha)}(x) L_{n-i}^{(\beta)}(y),$$

特別地，有

$L_n^{(\alpha+1)}(x)= \sum_{i=0}^n L_i^{(\alpha)}(x)$以及$L_n^{(\alpha)}(x)= \sum_{i=0}^n{\alpha-\beta+n-i-1 \choose n-i} L_i^{(\beta)}(x)$，或$L_n^{(\alpha)}(x)=\sum_{i=0}^n {\alpha-\beta+n \choose n-i} L_i^{(\beta- i)}(x);$

還有

$$\begin{align}L_n^{(\alpha)}(x)- \sum_{j=0}^{\Delta-1} {n+\alpha \choose n-j} (-1)^j \frac{x^j}{j!}&= (-1)^\Delta\frac{x^\Delta}{(\Delta-1)!} \sum_{i=0}^{n-\Delta} \frac{{n+\alpha \choose n-\Delta-i}}{(n-i){n \choose i}}L_i^{(\alpha+\Delta)}(x)\\ &=(-1)^\Delta\frac{x^\Delta}{(\Delta-1)!} \sum_{i=0}^{n-\Delta} \frac{{n+\alpha-i-1 \choose n-\Delta-i}}{(n-i){n \choose i}}L_i^{(n+\alpha+\Delta-i)}(x).\end{align}$$

運用以上式子可以得到以下四條關係式：

- $L_n^{(\alpha)}(x) = L_n^{(\alpha+1)}(x) - L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x)$ $=\sum_{j=0}^k {k \choose j} L_{n-j}^{(\alpha-k+j)}(x),$
- $n L_n^{(\alpha)}(x) = (n + \alpha )L_{n-1}^{(\alpha)}(x) - x L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x),$ or $\frac{x^k}{k!}L_n^{(\alpha)}(x)= \sum_{i=0}^k (-1)^i {n+i \choose i} {n+\alpha \choose k-i} L_{n+i}^{(\alpha-k)}(x),$
- $$n L_n^{(\alpha+1)}(x)=(n-x)L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x)+(n+\alpha)L_{n-1}^{(\alpha)}(x)$$
- $$x L_n^{(\alpha+1)}=(n+\alpha)L_{n-1}^{\alpha}(x)-(n-x)L_n^{(\alpha)}(x);$$

將它們組合在一起，就得到了最常用的遞推關係式：

$$L_{n + 1}^{(\alpha)}(x) = \frac{1}{n + 1} \left( (2n + 1 + \alpha - x)L_n^{(\alpha)}(x) - (n + \alpha) L_{n - 1}^{(\alpha)}(x)\right).$$

當$i$與$n$均為整數時，拉蓋爾多項式有以下的有趣性質：

$$\frac{(-x)^i}{i!} L_n^{(i-n)}(x) = \frac{(-x)^n}{n!} L_i^{(n-i)}(x);$$

進一步可以得到部分分式分解：

$$\frac{L_n^{(\alpha)}(x)}{{n+ \alpha \choose n}}= 1- \sum_{j=1}^n \frac{x^j}{\alpha + j} \frac{L_{n-j}^{(j)}(x)}{(j-1)!} = 1-x \sum_{i=1}^n \frac{L_{n-i}^{(-\alpha)}(x) L_{i-1}^{(\alpha+1)}(-x)}{\alpha +i}.$$

### 拉蓋爾多項式的導函數

將拉蓋爾多項式對自變量x求導k次，得到：

$$\frac{\mathrm d^k}{\mathrm d x^k} L_n^{(\alpha)} (x) = (-1)^k L_{n-k}^{(\alpha+k)} (x)\,;$$

進一步有：

$$\frac{1}{k!} \frac{\mathrm d^k}{\mathrm d x^k} x^\alpha L_n^{(\alpha)} (x) = {n+\alpha \choose k} x^{\alpha-k} L_n^{(\alpha-k)}(x),$$

運用柯西多重積分公式可以得到：

$$L_n^{(\alpha')}(x) = (\alpha'-\alpha) {\alpha'+ n \choose \alpha'-\alpha} \int_0^x \frac{t^\alpha (x-t)^{\alpha'-\alpha-1}}{x^{\alpha'}} L_n^{(\alpha)}(t)\,dt.$$

將拉蓋爾多項式對參變量$\alpha$求導，得到下面的有意思的結果：

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm d \alpha}L_n^{(\alpha)}(x)= \sum_{i=0}^{n-1} \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{n-i}.$$

廣義拉蓋爾多項式滿足下面的微分方程：

$$x L_n^{(\alpha) \prime\prime}(x) + (\alpha+1-x)L_n^{(\alpha)\prime}(x) + n L_n^{(\alpha)}(x)=0,\,$$

可以與拉蓋爾多項式的k階導數所滿足的微分方程作一比較。

$$x L_n^{(k) \prime\prime}(x) + (k+1-x)L_n^{(k)\prime}(x) + (n-k) L_n^{(k)}(x)=0,\,$$

僅在此式中，$L_n^{(k)}(x)\equiv\frac{dL_n(x)}{dx^k}$（後面這個符號又有了新的含義）。

於是，當$\alpha=0$時，廣義拉蓋爾多項式可以用拉蓋爾多項式的導數表示：

$$L_n^{(k)}(x)=(-1)^k\frac{dL_{n+k}(x)}{dx^k}$$ 式中的上標(k)容易與求導k次混淆。

### 正交性

伴隨拉蓋爾多項式在區間`[`0, ∞)上以權函數xα e −x正交：

$$\int_0^{\infty}x^\alpha e^{-x} L_n^{(\alpha)}(x)L_m^{(\alpha)}(x)dx=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}\delta_{n,m},$$

這可由下式得到：

$$\int_0^\infty x^{\alpha'-1} e^{-x} L_n^{(\alpha)}(x)dx= {\alpha-\alpha'+n \choose n} \Gamma(\alpha').$$

伴隨對稱核多項式可以用拉蓋爾多項式表示為：

$$\begin{align} K_n^{(\alpha)}(x,y)&{:=}\frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \sum_{i=0}^n \frac{L_i^{(\alpha)}(x) L_i^{(\alpha)}(y)}{{\alpha+i \choose i}}\\ &{=}\frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \frac{L_n^{(\alpha)}(x) L_{n+1}^{(\alpha)}(y) - L_{n+1}^{(\alpha)}(x) L_n^{(\alpha)}(y)}{\frac{x-y}{n+1} {n+\alpha \choose n}} \\ &{=}\frac{1}{\Gamma(\alpha+1)}\sum_{i=0}^n \frac{x^i}{i!} \frac{L_{n-i}^{(\alpha+i)}(x) L_{n-i}^{(\alpha+i+1)}(y)}{{\alpha+n \choose n}{n \choose i}};\end{align}$$

也有下面的遞推關係：

$$K_n^{(\alpha)}(x,y)=\frac{y}{\alpha+1} K_{n-1}^{(\alpha+1)}(x,y)+ \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \frac{L_n^{(\alpha+1)}(x) L_n^{(\alpha)}(y)}{{\alpha+n \choose n}}.$$

進一步地，在伴L2`[`0, ∞)空間上，有：

$$y^\alpha e^{-y} K_n^{(\alpha)}(\cdot, y) \rightarrow \delta(y- \, \cdot),$$

在氫原子的量子力學處理中用到了下面的公式：

$$\int_0^{\infty}x^{\alpha+1} e^{-x} \left[L_n^{(\alpha)}\right]^2 dx= \frac{(n+\alpha)!}{n!}(2n+\alpha+1).$$

### 級數展開

設一個函數具有以下的級數展開形式：

$$f(x)= \sum_{i=0} f_i^{(\alpha)} L_i^{(\alpha)}(x).$$

則展開式的係數由下式給出

$$f_i^{(\alpha)}=\int_0^\infty \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{{i+ \alpha \choose i}} \cdot \frac{x^\alpha e^{-x}}{\Gamma(\alpha+1)} \cdot f(x) \,dx .$$

這個級數在Lp空間$L^2[0,\infty)$上收斂，若且唯若

$$\| f \|_{L^2}^2 := \int_0^\infty \frac{x^\alpha e^{-x}}{\Gamma(\alpha+1)} | f(x)|^2 dx = \sum_{i=0} {i+\alpha \choose i} |f_i^{(\alpha)}|^2 < \infty.$$

一個相關的展開式為：

$$f(x)= e^{\frac{\gamma}{1+\gamma} x} \cdot \sum_{i=0} \frac{L_i^{(\alpha)}\left(\frac{x}{1+\gamma}\right)}{(1+\gamma)^{i+\alpha+1}} \sum_{n=0}^i \gamma^{i-n} {i \choose n} f_n^{(\alpha)};$$

特別地

$$e^{-\gamma x} \cdot L_n^{(\alpha)}(x(1+\gamma))= \sum_{i=n} \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{(1+\gamma)^{i+\alpha+1}} \gamma^{i-n} {i \choose n},$$

這可由下式得到：

$$L_n^{(\alpha)}\left(\frac{x}{1+\gamma} \right)= \frac{1}{(1+\gamma)^n} \sum_{i=0}^n \gamma^{n-i} {n+\alpha \choose n-i} L_i^{(\alpha)}(x).$$

還有，當$\operatorname{Re}{(2\alpha- \beta)}>-1$時。

$$\frac{x^{\alpha-\beta} f(x)}{\Gamma(\alpha-\beta+1)}= {\alpha \choose \beta} \sum_{i=0} \frac{L_i^{(\beta)}(x)}{{\beta+i \choose i}} \sum_{n=0}^i (-1)^{i-n} {\alpha-\beta \choose i-n} {\alpha+n \choose n} f_n^{(\alpha)},$$

這個結果可以由下式導出。

$$\frac{x^{\alpha-\beta} L_n^{(\alpha)}(x)}{\Gamma(\alpha-\beta+1)} = {\alpha \choose \beta} {\alpha+ n\choose n} \sum_{i=n} (-1)^{i-n} {\alpha-\beta \choose i-n} \frac{L_i^{(\beta)}(x)}{{\beta+i \choose i}}$$

#### 更多的例子

冪函數可以展開為：

$$\frac{x^n}{n!}= \sum_{i=0}^n (-1)^i {n+ \alpha \choose n-i} L_i^{(\alpha)}(x)= (-1)^n \sum_{i=0}^n L_i^{(\alpha-i)}(x) {-\alpha \choose n-i},$$

二項式可以展開為：

$${n+x \choose n}= \sum_{i=0}^n \frac{\alpha^i}{i!} L_{n-i}^{(x+i)}(\alpha).$$

進一步可以得到：

$e^{-\gamma x}= \sum_{i=0} \frac{\gamma^i}{(1+\gamma)^{i+\alpha+1}} L_i^{(\alpha)}(x)$（若且唯若 $\operatorname{Re}{(\gamma)} > -\frac{1}{2}$時收斂）

更一般地

$$\frac{x^\beta e^{-\gamma x}}{\Gamma(\beta+1)}= {\alpha+\beta \choose \alpha} \sum_{i=0} \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{ {\alpha+i \choose i}} \sum_{j=0}^i \frac{(-1)^j}{(1+\gamma)^{\alpha+ \beta+ j+ 1}} {\alpha+\beta+j \choose j} {\alpha+i \choose i-j}.$$

對於非負的整數$\beta$，可以化簡為：

$$\frac{x^n e^{-\gamma x}}{n!}= \sum_{i=0} \frac{\gamma^i L_i^{(\alpha)}(x)}{(1+\gamma)^{i+n+\alpha+1}} \sum_{j=0}^n (-1)^{n-j} \gamma^j {n+\alpha \choose j} {i \choose n-j},$$

當$\gamma=0$時，可以化簡為：

$\frac{x^\beta}{\Gamma(\beta+1)} = {\alpha+ \beta \choose \alpha} \sum_{i=0} (-1)^i {\beta \choose i} \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{{\alpha+i \choose i}},$或

$$\frac{x^\beta L_n^{(\gamma)}(x)}{\Gamma(\beta+1)} = {\alpha+ \beta \choose \alpha} \sum_{i=0} \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{{\alpha+i \choose i}}\sum_{j=0}^n (-1)^{i-j} {n+ \gamma \choose n-j} {\beta+j \choose i} {\alpha+ \beta+ j \choose j}.$$

雅可比Theta 函數有下面的表示：

$$\sum_{k \in \mathbb{Z}} e^{-k^2 \pi x}= \sum_{i=0} L_i^{(\alpha)}\left(\frac{x}{t}\right) \sum_{k \in \mathbb{Z}} \frac{(k^2 \pi t)^i}{(1+ k^2 \pi t)^{i+\alpha+1}};$$

隨意選定參量t，貝塞爾函數可以表示為：

$$\frac{J_\alpha(x)}{\left( \frac{x}{2}\right)^\alpha}= \frac{e^{-t}}{\Gamma(\alpha+1)} \sum_{i=0} \frac{L_i^{(\alpha)}\left( \frac{x^2}{4 t}\right)}{{i+ \alpha \choose i}} \frac{t^i}{i!};$$ Γ函數可以展開為：

$$\Gamma(\alpha)=x^\alpha \sum_{i=0} \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{\alpha+i} \qquad \left(\Re(\alpha)<\frac 1 2\right);$$

低階不完全伽瑪函數可展開為：

$$\frac{\gamma(s;z)}{t^s \Gamma(s)}= \frac{\left(\frac{z}{t}\right)^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)} \sum_{i=0} \frac{L_i^{(\alpha)}\left(\frac{z}{t}\right)}{{\alpha+i \choose i}} \sum_{j=0}^i \frac{(-1)^j}{(1+t)^{s+j}}{s-1+j \choose j}{\alpha-1+i \choose i-j},$$

$$\frac{\gamma(s;z)}{t^s \Gamma(s)}= {\alpha+s \choose \alpha+1} \sum_{i=0} \frac{{\alpha+ i+1\choose i+1}- L_{i+1}^{(\alpha)}\left( \frac{z}{t}\right)}{{\alpha+ i+1\choose i}} \sum_{j=0}^i \frac{(-1)^j}{(1+t)^{\alpha+1+s+j} } {\alpha+s+j \choose j}{\alpha+i+1 \choose i-j}.$$

還有：

$$\gamma(s,z)=\frac{\gamma^s}{\Gamma(1-s)} \sum_{i=0} \frac{L_{i+1}^{(-s)}(0)-L_{i+1}^{(-s)}\left(\frac{z}{\gamma}\right)}{(1+\gamma)^{i+1}} \sum_{n=0}^i \gamma^{i-n} \frac{{i \choose n}}{n+1-s};$$

於是，高階不完全伽瑪函數就是：

$$\begin{align}\frac{\Gamma(s,z)}{z^s e^{- z}}&= \sum_{k=0} \frac{L_k^{(\alpha)}(z)}{(k+1) {k+1+\alpha-s \choose k+1}} \qquad \left(\Re\left(s-\frac \alpha 2 \right)< \frac 1 4 \right)\\ &= \sum_{k=0} L_k^{(\alpha)}(z\, t) \cdot \frac{_2F_1\left(1+\alpha+k, 1+k; 2+\alpha+k-s; \frac{t-1}{t}\right)}{t^k(k+1){1+\alpha+k-s \choose 1+k}} \\ &= t^s \sum_{k=0} L_k^{(\alpha)}(z\, t) \cdot \frac{_2F_1\left(1-s, 1+\alpha-s; 2+\alpha+k-s; \frac{t-1}{t}\right)}{(k+1){1+\alpha+k-s \choose 1+k}}\\ &= t^{1+\alpha} \sum_{k=0} L_k^{(\alpha)}(z \, t) \cdot \frac{_2F_1\left(1+\alpha+k, 1+\alpha-s; 2+\alpha+k-s; 1-t \right)}{(k+1){1+\alpha+k-s \choose 1+k}},\end{align}$$

$_2F_1$表示超幾何函數。

## 圍道積分表示

拉蓋爾多項式可以用圍道積分表示，如下式所示：

$$L_n^{(\alpha)}(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint\frac{e^{-\frac{x t}{1-t}}}{(1-t)^{\alpha+1}\,t^{n+1}} \; dt$$

積分方向逆時針繞原點一周。

## 與埃爾米特多項式的關係

廣義拉蓋爾多項式與埃爾米特多項式有下列關係：

$$H_{2n}(x) = (-1)^n\ 2^{2n}\ n!\ L_n^{(-1/2)} (x^2)$$

以及

$$H_{2n+1}(x) = (-1)^n\ 2^{2n+1}\ n!\ x\ L_n^{(1/2)} (x^2)$$

這裡的Hn表示乘上了exp(−x2)的埃爾米特多項式（所謂的「物理學家形式」）。

正因為這樣，廣義拉蓋爾多項式也在量子諧振子的量子力學處理中出現。

## 與超幾何函數的關係

拉蓋爾多項式可以用超幾何函數來定義，具體地說，是用合流超幾何函數定義：

$$L^{(\alpha)}_n(x) = {n+\alpha \choose n} M(-n,\alpha+1,x) =\frac{(\alpha+1)_n} {n!} \,_1F_1(-n,\alpha+1,x)$$

$(a)_n$是階乘冪，這裡表示升階乘。

## 與貝塞爾函數的關係

拉蓋爾多項式與變形貝塞爾函數之間有以下關係：

$$\begin{align}L_n^{(\alpha)}(x) =& e^\frac x 2 \left(\frac x 4\right)^{n+\frac 12}\frac{2 }{\sqrt \pi (n+1)! {-\frac 1 2 \choose n+1}} \cdot \\ &\cdot\sum_{k=0}^n (-1)^{k+1}{2n+1 \choose n-k} \frac{{n+\alpha \choose n}{\alpha+2n+1 \choose n-k}}{{n-k+\alpha \choose n-k}} \left(k+\frac 1 2 \right) K_{k+\frac 1 2}\left(\frac x 2 \right)\\ = &e^\frac{x}{2} \left(\frac{4}{x} \right)^{n+\alpha+\frac{1}{2}} \Gamma\left(\alpha+\frac{1}{2} \right) {-\alpha-1 \choose n}{-\alpha-\frac 1 2 \choose n} \cdot \\ & \cdot n! \sum_{k=0}^{n} \frac{{-2n-1-2\alpha \choose k-n} {-2n-1-\alpha \choose k-n}}{{-\alpha-1 \choose k-n}} \left(\alpha+\frac{1}{2}+k \right) I_{\alpha+\frac 1 2+k} \left(\frac x 2 \right) \end{align},$$

進一步有：

$$L_n^{(\alpha)}(x)= \frac 2 {4^n (2n+1) {-\frac 1 2 \choose n}} \sum_{k=0}^n \left(k+\frac 1 2 \right) \frac{{2n+1 \choose n-k}}{{n \choose k}^2} {n+\alpha \choose k}{2n+\alpha+1 \choose n-k} \frac{x^{n-k}}{(n-k)!}L_k^{-2k-1}(x).$$

## 外部連結

- 氫原子量子力學處理中的拉蓋爾多項式的快速求導法

## 參考文獻

- Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), " Chapter 22 ", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4 .
- B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials.
- Eric W. Weisstein, " Laguerre Polynomial ", From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
- S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 3.