雅可比橢圓函數

在數學中，雅可比橢圓函數是由卡爾·雅可比在1830年左右研究的一類橢圓函數。這類函數可用於擺之類的應用問題，並具有與三角函數相似的性質。

## 介紹

雅可比橢圓函數有十二種，各對映到某個矩形的頂點連線。此諸頂點記作 $s\,$ $c\,$ $d\,$ $n\,$。

視此矩形為複數平面的一部分，$s \,$ 是原點，$c\,$ 是實軸上的一點 $K,d \,$ 是 $K+{\rm{i}}K'\,$，$n\,$ 是 ${\rm{i}}K'\,$。$K\,$ 與 ${\rm{i}}K'\,$ 稱作四分之一週期。

十二個橢圓函數分別記為 ${\rm{sc}} , {\rm{sd}} , {\rm{sn}} , {\rm{cs}} , {\rm{cd}} , {\rm{cn}} , {\rm{ds}} , {\rm{dc}} , {\rm{dn}} , {\rm{ns}} , {\rm{nc}} , {\rm{nd}} \,$。為方便起見，取變數 $p, q \,$意指矩形上的任一對頂點，則函數 $pq\,$ 是唯一滿足以下性質的週期亞純函數

- $p\,$ 是單零點，$q\,$ 是單極點。
- $pq\,$ 在 $\vec{pq}$ 方向的週期等於 $p,q\,$ 距離的兩倍。對另兩個從 $p \,$出發的方向，$pq \,$亦滿足同樣性質。
- $pq\,$ 在頂點 $p \,$ $q\,$ 的展式首項係數均為一。

表列如次：

函數｜週期｜零點｜極點｜留數

$\mathrm{sn}\,(z; k)$｜$4\, K,\ 2 \,\mathrm{i} K'$｜$2m K + 2 \,n\,\mathrm{i}\, K'$｜$2\,m K + (2n+1) \,\mathrm{i}\, K '$｜$(-1)^m\frac{1}{k}$

$\mathrm{cn}\,(z; k)$｜$4\, K,\ 2 \,(K + \mathrm{i} K')$｜$(2m+1) \,K + 2\,n\,\mathrm{i}\, K'$｜$2\,m K + (2n+1) \,\mathrm{i}\, K'$｜$(-1)^{m+n}\frac{1}{{\rm{i}}k}$

$\mathrm{dn}\,(z; k)$｜$2\, K,\ 4\,\mathrm{i} K'$｜$(2\,m + 1)\, K + 2 \,(n+1)\,\mathrm{i}\, K'$｜$2\,m K + (2n+1) \,\mathrm{i}\, K'$｜$(-1)^{n-1}{\rm{i}}\,$

$n\,$ 與 $m\,$ 是整數

一般而言，須以平行四邊形代替上述矩形，以考慮更一般的週期。

## 表為橢圓積分之逆

以上定義略顯抽象，更具體的定義是將之表為某類橢圓積分(第一類不完全橢圓積分)之逆。設

$$u=\int_0^\phi \frac{d\theta} {\sqrt {1-m \sin^2 \theta}}.$$

橢圓正弦函數 sn u 定義為

$$\operatorname {sn}\; u = \sin \phi\,$$

而橢圓餘弦函數 cn u 定義為

$$\operatorname {cn}\; u = \cos \phi$$

同理，橢圓德爾塔函數有

$$\operatorname {dn}\; u = \sqrt {1-m\sin^2 \phi}.\,$$

這裡的 $m \in \mathbb{R}$ 是自由變元，通常取 $0 \leq m \leq 1$。

剩下的九種橢圓函數能由這三種構造。

## 反函數

雅可比橢圓函數的反函數可以像三角函數與反三角函數那樣被定義。因為橢圓函數往往是橢圓積分之逆，這些反函數也都可以用勒讓德橢圓積分來描述。如同反三角函數一樣，雅可比橢圓函數的反函數也是多值的，因此需要支割線。以下是部分反函數的積分表達：

- $$\mathrm{arcsn}\,(z,k) = \int_0^z \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}$$
- $$\mathrm{arccn}\,(z,k) =\int_z^1 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2+k^2t^2)}}$$
- $$\mathrm{arcdn}\,(z,k) = \int_z^1 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(t^2+k^2-1)}}$$
- $$\mathrm{arcns}\,(z,k) = \int_0^\infty \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(t^2-1)(t^2-k^2)}}$$
- $$\mathrm{arcnc}\,(z,k) =\int_1^z \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(t^2-1)(1-k^2)(k^2+t^2)}}$$
- $$\mathrm{arcnd}\,(z,k) = \int_1^z \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(t^2-1)(1-(1-k^2)t^2)}}$$

## 用Θ函數來定義

雅可比橢圓函數也可以用Θ函數來定義。如果我們把$\vartheta(0;\tau)$簡寫為$\vartheta$，把$\vartheta_{01}(0;\tau), \vartheta_{10}(0;\tau), \vartheta_{11}(0;\tau)$分別簡寫為$\vartheta_{01}, \vartheta_{10}, \vartheta_{11}$（Theta常數），那麼橢圓模k是$k=({\vartheta_{10} \over \vartheta})^2$。如果我們設$u = \pi \vartheta^2 z$，我們便有：

$$\mbox{sn}(u; k) = -{\vartheta \vartheta_{11}(z;\tau) \over \vartheta_{10} \vartheta_{01}(z;\tau)}$$

$$\mbox{cn}(u; k) = {\vartheta_{01} \vartheta_{10}(z;\tau) \over \vartheta_{10} \vartheta_{01}(z;\tau)}$$

$$\mbox{dn}(u; k) = {\vartheta_{01} \vartheta(z;\tau) \over \vartheta \vartheta_{01}(z;\tau)}$$

## 加法定理

$$\operatorname{cn}^2 + \operatorname{sn}^2 = 1,\,$$

$$\operatorname{dn}^2 + k^2 \operatorname{sn}^2 = 1.\,$$

由此可見 (cn,sn,dn) 描出射影空間 $\mathbb{P}^3(\mathbb{C})$ 中兩個二次曲面之交，這同構於一條橢圓曲線。曲線上的群運算由下列加法公式描述：

$$\operatorname{cn}(x+y) = {\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y) - \operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y) \over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x) \;\operatorname{sn}^2 (y)}},$$

$$\operatorname{sn}(x+y) = {\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{cn}(y)\;\operatorname{dn}(y) + \operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{dn}(x) \over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x)\; \operatorname{sn}^2 (y)}},$$

$$\operatorname{dn}(x+y) = {\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y) - k^2 \;\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y) \over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x)\; \operatorname{sn}^2 (y)}}.$$

## 函數的平方之間的關係

$$-\operatorname{dn}^2(u)+(1-k^2)= -k^2\;\operatorname{cn}^2(u) = k^2\;\operatorname{sn}^2(u)-k^2$$

$$(k^2-1)\;\operatorname{nd}^2(u)+(1-k^2)= k^2(k^2-1)\;\operatorname{sd}^2(u) = k^2\;\operatorname{cd}^2(u)-k^2$$

$$(1-k^2)\;\operatorname{sc}^2(u)+(1-k^2)= (1-k^2)\;\operatorname{nc}^2(u) = \operatorname{dc}^2(u)-k^2$$

$$\operatorname{cs}^2(u)+(1-k^2)=\operatorname{ds}^2(u)=\operatorname{ns}^2(u)-k^2$$

## 常微分方程的解

三個基本的雅可比橢圓函數的導數為：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{sn}\,(z; k) = \mathrm{cn}\,(z;k)\, \mathrm{dn}\,(z;k),$$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{cn}\,(z; k) = -\mathrm{sn}\,(z;k)\, \mathrm{dn}\,(z;k),$$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{dn}\,(z; k) = - k^2 \mathrm{sn}\,(z;k)\, \mathrm{cn}\,(z;k).$$

根據以上的加法定理，可知它們是以下非線性常微分方程的解：

- $\mathrm{sn}\,(x;k)$是微分方程$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + (1+k^2) y - 2 k^2 y^3 = 0,$和$\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}\right)^2 = (1-y^2) (1-k^2 y^2)$的解。
- $\mathrm{cn}\,(x;k)$是微分方程$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + (1-2k^2) y + 2 k^2 y^3 = 0,$和$\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}\right)^2 = (1-y^2) (1-k^2 + k^2 y^2)$的解。
- $\mathrm{dn}\,(x;k)$是微分方程$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} - (2 - k^2) y + 2 y^3 = 0,$和$\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}\right)^2 = (y^2 - 1) (1 - k^2 - y^2)$的解。

## 文獻

- 見 第16章
- Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
- E. T. Whittaker and G. N. Watson A Course of Modern Analysis, (1940, 1996) Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3
- Alfred George Greenhill, The applications of elliptic functions (London, New York, Macmillan, 1892)
- H. Hancock Lectures on the theory of elliptic functions (New York, J. Wiley & sons, 1910)
- A. C. Dixon The elementary properties of the elliptic functions, with examples (Macmillan, 1894)