可測函數

可測函數（measurable function）是保持可測空間結構的函數，也是勒貝格積分中主要討論的函數。

## 正式定義

設 $(X,\Sigma_X)$ 與 $(Y,\Sigma_Y)$ 為可測空間。那函數 $f:X\to Y$ 對任意 $B \in \Sigma_Y$ 若滿足：

$$f^{-1}(B) \in \Sigma_X$$

則稱 $f$ 為一個 $\Sigma_X$ - $\Sigma_Y$ 可測函數。

## 重要範例

### 實可測函數

取本節定義中的 $Y$ 為實數系 $\R$，然後取：

$$\mathcal{I} = \bigg\{ A \in \mathcal{P}(\R) \,\bigg|\, <pre> (\exists a)(\exists b)\left[\, (a,\,b \in \R) \wedge (A = (a,\,b)) \,\right] </pre> \bigg\}$$

$$\mathcal{B}_{\R} := \sigma(\mathcal{I}) = \bigcap \bigg\{ \Sigma \,\bigg|\, <pre> (\Sigma\text{ is a sigma algebra.}) \wedge (\mathcal{I} \subseteq \Sigma) </pre> \bigg\}$$

換句話說，$\mathcal{B}_{\R}$ 是由實數開區間所生成的博雷爾代數（注意到 $\mathcal{I}$ 本身是個拓撲基），那麼這樣的$\Sigma_X$ - $\mathcal{B}_{\R}$ 可測函數 $f$，通常會簡稱為 $\Sigma_X$ - 實可測函數；甚至簡稱為實可測函數。機率論裡的隨機變量就是實可測函數。

### 博雷爾函數

如果$(X,\tau_X)$ 與 $(Y,\tau_Y)$ 正好也是拓撲空間，這時取以下兩個最小σ-代數：

$$\sigma(\tau_X) = \bigcap \bigg\{ \Sigma \,\bigg|\, <pre> (\Sigma\text{ is a sigma algebra.}) \wedge (\tau_X \subseteq \Sigma) </pre> \bigg\}$$

$$\sigma(\tau_Y) = \bigcap \bigg\{ \Sigma \,\bigg|\, <pre> (\Sigma\text{ is a sigma algebra.}) \wedge (\tau_Y \subseteq \Sigma) </pre> \bigg\}$$

換句話說，$\sigma(\tau_X)$ 是由 $X$ 上開集所生成的博雷爾代數；$\sigma(\tau_Y)$ 是由 $Y$ 上開集所生成的博雷爾代數，那這樣 $\sigma(\tau_X)$ - $\sigma(\tau_X)$ 可測函數 $f$ 又稱為 $\tau_X$ - $\tau_Y$ 博雷爾函數（Borel function）。

根據拓撲空間連續函數的定義， $\tau_X$ - $\tau_Y$ 博雷爾函數必定 $\tau_X$ - $\tau_Y$ 連續，但反之不成立，原因可見下面可測函數的性質的定理(2)。

## 可測函數的性質

設 $(X,\Sigma_X)$ 為可測空間， $Y$ 為一集合，且有函數 $f:X\to Y$。那

$$\Sigma = \left\{ B\in \mathcal{P}(Y) \,\big|\, <pre> f^{-1}(B) \in \Sigma_X </pre> \right\}$$

為 $Y$ 的σ代數。

證明以下將逐條檢驗 $\Sigma$ 是否符合σ代數的定義 (1) $Y \in \Sigma$ 因為： : $f^{-1}(Y) = \left\{ x \in X \,|\, (\exists y \in Y)\left[ f(x) = y \right] \right\} = X \in \Sigma_X$ 所以 $Y \in \Sigma$。(2) $B \in \Sigma$，則 $Y - B \in \Sigma$ 若 $B \in \Sigma$，因為： : $f^{-1}(Y-B) = \big\{ x \in X \,|\, (\exists y)\left\{ (y \in Y) \wedge (y \notin B) \wedge [f(x) = y] \right\} \big\} = X - f^{-1}(B) \in \Sigma_X$ 所以 $Y - B \in \Sigma$。(3)可數個併集仍在 $\Sigma$ 中 若 $\{B_1,\,B_2,\,\dots\} \subseteq \Sigma$，那因為： : $f^{-1}\left( \bigcup\{B_1,\,B_2,\,\dots\} \right) = \big\{ x \in X \,\big|\, (\exists y)\left\{ [f(x) = y] \wedge (\exists i \in N) (y \in B_i) \right\} \big\} = \bigcup\{f^{-1}(B_1),\,f^{-1}(B_2),\,\dots\} \in \Sigma_X$ 所以 $\bigcup\{B_1,\,B_2,\,\dots\} \in \Sigma$。綜上所述， $\Sigma$ 的確是$Y$ 的σ代數。$\Box$

$(X,\Sigma_X)$ 為可測空間，$\mathcal{F}_Y \subseteq \mathcal{P}(Y)$ 是集合 $Y$ 的一個子集族，那對函數 $f:X\to Y$ 來說，以下兩敘述等價：

- 對所有 $B \in \mathcal{F}_Y$ 有 $f^{-1}(B) \in \Sigma_X$
- $f$ 是 $\Sigma_X$ - $\sigma(\mathcal{F}_Y)$ 可測函數

證明(1 $\Rightarrow$ 2) 若對所有 $B \in \mathcal{F}_Y$ 都有： : $f^{-1}(B) \in \Sigma_X$ 換句話說： : $\mathcal{F}_Y \subseteq \left\{ B\in \mathcal{P}(Y) \,\big|\, f^{-1}(B) \in \Sigma_X \right\}$ 那根據本節之定理(1)和最小σ代數 $\sigma(\mathcal{F}_Y)$ 的定義有： : $\sigma(\mathcal{F}_Y) \subseteq \left\{ B\in \mathcal{P}(Y) \,\big|\, f^{-1}(B) \in \Sigma_X \right\}$ 換句話說，只要 $B \in \sigma(\mathcal{F}_Y)$ 就有 $f^{-1}(B) \in \Sigma_X$，故 $f$ 是 $\Sigma_X$ - $\sigma(\mathcal{F}_Y)$ 可測函數。$\Box$ (2 $\Rightarrow$ 1) 若對所有$B \in \sigma(\mathcal{F}_Y)$ 都有 $f^{-1}(B) \in \Sigma_X$，換句話說： : $\mathcal{F}_Y \subseteq \sigma(\mathcal{F}_Y) \subseteq \left\{ B\in \mathcal{P}(Y) \,\big|\, f^{-1}(B) \in \Sigma_X \right\}$ 這樣的話，的確可以從 $B \in \mathcal{F}_Y$ 推出 $f^{-1}(B) \in \Sigma_X$。$\Box$

設 $(X,\Sigma_X)$為可測空間，$(Y,\tau_Y)$ 與 $(Z,\tau_Z)$ 為拓撲空間，若：

- $f:X\to Y$ 為 $\Sigma_X$- $\sigma(\tau_Y)$可測函數
- $g: Y\to Z$ 為 $\tau_Y$ - $\tau_Z$ 連續函數

則複合函數 $g \circ f$ 為 $\Sigma_X$- $\sigma(\tau_Z)$可測函數。

證明根據定理(2)， $g \circ f$ 為 $\Sigma_X$- $\sigma(\tau_Z)$可測函數等價於： : 「對所有的 $C \in \tau_Z$， ${(g \circ f)}^{-1}(C) = f^{-1}[g^{-1}(C)] \in \Sigma_X$」但因為$g$ 為 $\tau_Y$ - $\tau_Z$ 連續函數，故： : 「對所有的 $C \in \tau_Z$， $g^{-1}(C) \in \tau_Y \subseteq \sigma(\tau_Y)$」但 $f$ 又為 $\Sigma_X$- $\sigma(\tau_Y)$可測函數，故可以得到 $f^{-1}[g^{-1}(C)] \in \Sigma_X$，所以本定理得証。$\Box$

- 兩個可測的實函數的和與積也是可測的。
- 可數個實可測函數的最小上界也是可測的。
- 可測函數的逐點極限是可測的。（連續函數的對應命題需要比逐點收斂更強的條件，例如一致收斂。）
- 盧辛定理

## 勒貝格可測函數

勒貝格可測函數是一個實函數f : R → R，使得對於每一個實數a，集合

$$\{x \in \R : f(x)>a \}$$

都是勒貝格可測的集合。勒貝格可測函數的一個有用的特徵，是f是可測的若且唯若mid{-g,f,g}對於所有非負的勒貝格可積函數g都是可積的。

## 不可測函數

不是所有的函數都是可測的。例如，如果$A$是實數軸$\R$的一個不可測子集，那麼它的指示函數$1_A(x)$是不可測的。