作用量

在物理學裏，作用量（英語：action）是一個很特別、很抽象的物理量。它表示著一個動力物理系統內在的演化趨向。雖然與微分方程式方法大不相同，作用量也可以被用來分析物理系統的運動，所得到的答案是相同的。只需要設定系統在兩個點的狀態，初始狀態與最終狀態，然後，經過求解作用量的平穩值，就可以得到系統在兩個點之間每個點的狀態。

## 歷史

皮埃爾·德·費馬於1662年發表了費馬原理。這原理闡明：光傳播的正確路徑，所需的時間必定是極值。這原理在物理學界造成了很大的震撼。不同於牛頓運動定律的機械性，現今，一個物理系統的運動擁有了展望與目標。

戈特弗里德·萊布尼茨不同意費馬的理論。他認為光應該選擇最容易傳播的路徑。他於1682年發表了他的理論：光傳播的正確路徑應該是阻礙最小的路徑；更精確地說，阻礙與徑長的乘積是最小值的路徑。這理論有一個難題，如果要符合實驗的結果，玻璃的阻礙必須小於空氣的阻礙；但是，玻璃的密度大於空氣，應該玻璃的阻礙會大於空氣的阻礙。萊布尼茨為此提供了一個令人百思的辯解。較大的阻礙使得光較不容易擴散；因此，光被約束在一個很窄的路徑內。假若，河道變窄，水的流速會增加；同樣地，光的路徑變窄，所以光的速度變快了。

1744年，皮埃爾·莫佩爾蒂在一篇論文《The agreement between the different laws of Nature that had, until now,seemed incompatiable》中，發表了最小作用量原理：光選擇的傳播路徑，作用量最小。他定義作用量為移動速度與移動距離的乘積。用這原理，他證明了費馬原理：光傳播的正確路徑，所需的時間是極值；他也計算出光在反射與同介質傳播時的正確路徑。1747年，莫佩爾蒂在另一篇論文《On the laws of motion and of rest》中，應用這原理於碰撞，正確地分析了彈性碰撞與非彈性碰撞；這兩種碰撞不再需要用不同的理論來解釋。

萊昂哈德·歐拉在同年發表了一篇論文《Method for finding curves having a minimal or maximal property or solutions to isoperimetric problems in the broadest accepted sense》；其中，他表明物體的運動遵守某種物理量極值定律，而這物理量是$\int_{path}\ v^2\ dt\,\!$。應用這理論，歐拉成功的計算出，當粒子受到連心力作用時，正確的拋射體運動。

在此以後，許多物理學家，包括約瑟夫·拉格朗日、威廉·哈密頓、理察·費曼等等，對於作用量都有很不同的見解。這些見解對於物理學的發展貢獻甚多。

## 概念

微分方程式時常被用來表述物理定律。微分方程式指定出，隨著極小的時間、位置、或其他變數的變化，一個物理變數如何改變。總合這些極小的改變，再加上這物理變數在某些點的已知數值或已知導數值，就能求得物理變數在任何點的數值。

作用量方法是一種全然不同的方法，它能夠描述物理系統的運動，而且只需要設定物理變數在兩點的數值，稱為初始值與最終值。經過作用量平穩的演算，可以得到，此變數在這兩點之間任何點的數值。而且，作用量方法與微分方程式方法所得到的答案完全相同。

哈密頓原理闡明了這兩種方法在物理學價位的等價：描述物理系統運動的微分方程式，也可以用一個等價的積分方程式來描述。無論是關於經典力學中的一個單獨粒子、關於經典場像電磁場或重力場，這描述都是正確的。更加地，哈密頓原理已經延伸至量子力學與量子場論了。

用變分法數學語言來描述，求解一個物理系統作用量的平穩值（通常是最小值），可以得到這系統隨時間的演化（就是說，系統怎樣從一個狀態演化到另外一個狀態）。更廣義地，系統的正確演化對於任何微擾必須是平穩的。這要求導致出描述正確演化的微分方程式。

## 作用量形式

在經典物理裏，作用量這術語至少有七種不同的意義。每一種不同的意義有它不同的表達形式。

### 作用量（泛函）

最常見的作用量是一個泛函$\mathcal{S}\,\!$，輸入是參數為時間與空間的函數，輸出是一個純量。在經典力學裏，輸入函數是物理系統在兩個時間點$t_{1}\,\!$，$t_{2}\,\!$之間廣義座標$\mathbf{q}(t)\,\!$的演變。

作用量$\mathcal{S}\,\!$定義為，在兩個時間點之間，系統的拉格朗日量$L\,\!$對於時間的積分：

$\mathcal{S}[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_1}^{t_2} L[\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t]\, \mathrm{d}t\,\!$。

根據哈密頓原理，正確的演化$\mathbf{q}_{\mathrm{true}}(t)\,\!$要求平穩的作用量$\mathcal{S}\,\!$（最小值、最大值、鞍值）。經過運算，結果就是拉格朗日方程式。

### 簡略作用量（泛函）

簡略作用量也是一個泛函，通常標記為$\mathcal{S}_{0}\,\!$。這裏，輸入函數是物理系統移動的一條路徑，完全不考慮時間參數。舉例而言，一個行星軌道的路徑是個橢圓，一個粒子在均勻重力場的路徑是拋物線；在這兩種狀況，路徑都跟粒子的移動速度無關。簡略作用量$\mathcal{S}_{0}\,\!$定義為廣義動量$\mathbf{p}\,\!$沿著路徑的積分：

$\mathcal{S}_{0} = \int \mathbf{p}\,\mathrm{d}\mathbf{q}\,\!$。

其中，$\mathbf{q}\,\!$是廣義座標．根據莫佩爾蒂原理，正確路徑的簡略作用量$\mathcal{S}_{0}\,\!$是平穩的。

### 哈密頓主函數

主條目：哈密頓主函數。

哈密頓主函數是由哈密頓-雅可比方程式定義的。哈密頓-雅可比方程式是經典力學的另一種表述。哈密頓主函數$S\,\!$與泛涵$\mathcal{S}\,\!$有密切的關係。固定住初始時間$t_{1}\,\!$和其對應的座標點$\mathbf{q}_{1}\,\!$；而准許時間上限$t_{2}\,\!$和其對應的座標點$\mathbf{q}_{2}\,\!$的改變。取$t_{2}\,\!$和$\mathbf{q}_{2}\,\!$為函數$S\,\!$的參數。換句話說，作用量函數$S\,\!$是拉格朗日量對於時間的不定積分：

$S(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t) = \int L[\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t]\, \mathrm{d}t\,\!$。

更加地，可以證明$\mathbf{P}\,\!$是某常數向量$\mathbf{a}\,\!$。所以。

$S(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t) = S(\mathbf{q},\ \mathbf{a},\ t)\,\!$。

### 哈密頓特徵函數

主條目：哈密頓特徵函數。

假若，哈密頓量$H\,\!$是守恆的。

$H=\alpha\,\!$。

其中，$\alpha\,\!$是常數。

設定哈密頓特徵函數$W\,\!$為

$W(\mathbf{q},\ \mathbf{a}) = S(\mathbf{q},\ \mathbf{a},\ t) - \alpha t\,\!$。

則哈密頓特徵函數$W\,\!$是一個作用量。

更加地。

$\frac{dW}{dt}=\frac{\partial W}{\partial \mathbf{q}}\dot{\mathbf{q}}=\mathbf{p}\dot{\mathbf{q}}\,\!$。

對於時間積分：

$W(\mathbf{q},\ \mathbf{a})=\int\mathbf{p}\dot{\mathbf{q}}dt=\int \mathbf{p}\,d\mathbf{q}\,\!$。

這正是簡略作用量的方程式。

### 哈密頓-雅可比方程的其他解

主條目：哈密頓-雅可比方程式。

哈密頓-雅可比方程式是經典力學的一種表述。假若，哈密頓-雅可比方程式是完全可分的；則哈密頓主函數$S(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)\,\!$分出的每一個項目$S_{k}(q_{k},\ \mathbf{P},\ t)\,\!$也稱為"作用量"。

### 作用量-角度座標

主條目：作用量-角度座標。思考一個作用量-角度座標的廣義動量變數$J_{k}\,\!$，定義為在相空間內，關於轉動運動或振蕩運動，廣義動量的閉路徑積分：

$J_{k} = \oint p_{k} \mathrm{d}q_{k}\,\!$。

這變數$J_{k}\,\!$稱為廣義座標$q_{k}\,\!$的作用量；相應的正則座標是角度$w_{k}\,\!$。不同於前面簡略作用量泛函地用點積來積分向量；這裏，只有一個純量變數$q_{k}\,\!$被用來積分。作用量$J_{k}\,\!$等於，隨著$q_{k}\,\!$沿著閉路徑，$S_{k}(q_{k})\,\!$的改變。應用於幾個有趣的物理系統，$J_{k}\,\!$或者是常數，或者改變非常地慢。因此，$J_{k}\,\!$時常應用於微擾理論與緩漸不變量的研究。

### 哈密頓流作用量

參閱重言1形式。

## 數學導引

哈密頓原理闡明，如果一個物理系統在兩個時間點$t_{1}\,\!$、$t_{2}\,\!$的運動是正確運動，則作用量泛函$\mathcal{S}\,\!$的一次變分$\delta\mathcal{S}\,\!$為零。用數學方程式表示，定義作用量為

$\mathcal{S}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)\,dt\,\!$。

其中，$L(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)\,\!$是系統的拉格朗日函數，廣義座標$\mathbf{q} = \left(q_{1},\ q_{2},\ \ldots,\ q_{N}\right)\,\!$是時間的函數。

假若，$\mathbf{q}(t)\,\!$是系統的正確運動，則$\delta \mathcal{S}=0\,\!$。

從哈密頓原理可以導引出拉格朗日方程式．假設$\mathbf{q}(t)\,\!$是系統的正確運動，讓$\boldsymbol\varepsilon (t)\,\!$成為一個微擾$\delta\mathbf{q}\,\!$；微擾在軌道兩個端點的值是零：

$\boldsymbol\varepsilon(t_{1})=\boldsymbol\varepsilon(t_{2})\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ 0\,\!$。

取至$\boldsymbol\varepsilon (t)\,\!$的一階微擾，作用量泛函的一次變分為

$\delta \mathcal{S} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \left[ L(\mathbf{q}+\boldsymbol{\varepsilon},\ \dot\mathbf{q} +\dot\boldsymbol{\varepsilon}) - L(\mathbf{q},\ \dot\mathbf{q})\right]dt = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \left( \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} + \dot\boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt \,\!$。

這裏，將拉格朗日量$L\,\!$展開至$\boldsymbol\varepsilon (t)\,\!$的一階微擾。

應用分部積分法於最右邊項目。

$\delta \mathcal{S} = \left[ \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}} + \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \left(\boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} - \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt\,\!$。

邊界條件$\boldsymbol\varepsilon(t_{1}) = \boldsymbol\varepsilon(t_{2})\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ 0\,\!$使第一個項目歸零。所以。

$\delta \mathcal{S} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \boldsymbol\varepsilon \cdot \left(\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt\,\!$。

要求作用量泛函$\mathcal{S}\,\!$平穩。這意味著，對於正確運動的任意微擾$\boldsymbol\varepsilon (t)\,\!$，一次變分$\delta \mathcal{S}\,\!$必須等於零：

$\delta \mathcal{S} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \boldsymbol\varepsilon \cdot \left(\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt=0\,\!$。

請注意，還沒有對廣義座標$\mathbf{q}(t)\,\!$做任何要求。現在，要求所有的廣義座標都互相無關（完整限制）。這樣，根據變分法基本引理，可以得到拉格朗日方程式：

$\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} = \mathbf{0}\,\!$。

在各個物理學領域，拉格朗日方程式都被認為是非常重要的方程式，能夠用來精確地理論分析許多物理系統。

對應於廣義座標$q_{k}\,\!$的廣義動量$p_{k}\,\!$，又稱為共軛動量，定義為

$p_{k} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{\partial L}{\partial\dot q_{k}}\,\!$。

假設$L\,\!$不顯性地跟廣義座標$q_{k}\,\!$有關。

$\frac{\partial L}{\partial q_{k}}=0\,\!$。

則廣義動量$p_{k} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{\partial L}{\partial\dot q_{k}}\,\!$是常數。在此種狀況，座標$q_{k}\,\!$稱為循環座標。舉例而言，如果用極座標系$(r,\ \theta,\ h)\,\!$來描述一個粒子的平面運動，而$L\,\!$與$\theta\,\!$無關，則廣義動量是守恆的角動量。

## 參閱

- 拉格朗日力學
- 哈密頓力學
- 諾特定理
- 愛因斯坦-希爾伯特作用量
- 最小作用量原理

## 外部連結

- Edwin F. Taylor加了註釋的參考書目。
- 最小作用量原理 非常好地互動解釋。

## 參考文獻

- Cornelius Lanczos, "The Variational Principles of Mechanics",（Dover Publications, New York, 1986）, ISBN 0-486-65067-7.這領域最常引用的參考書。
- 列夫·朗道and E. M. Lifshitz, "Mechanics, Course of Theoretical Physics", 3rd ed., Vol. 1,（Butterworth-Heinenann, 1976）, ISBN 0-7506-2896-0.這本書一開始就講解最小作用量原理。
- Herbert Goldstein "Classical Mechanics", 2nd ed.,（Addison Wesley, 1980）, pp. 35-69。
- Thomas A. Moore "Least-Action Principle" in Macmillan Encyclopedia of Physics, Volume 2,（Simon & Schuster Macmillan, 1996）, ISBN 0-02-897359-3, , pages 840–842。
- Robert Weinstock, "Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering",（Dover Publications, 1974）, ISBN 0-486-63069-2。非常好的古早書。
- Dugas, René, "A History of Mechanics",（Dover, 1988）, ISBN 0-486-65632-2, pp. 254-275。