費曼圖

費曼圖（Feynman diagram）是美國物理學家理察·費曼在處理量子場論時提出的一種形象化的方法，描述粒子之間的相互作用、直觀地表示粒子散射、反應和轉化等過程。使用費曼圖可以方便地計算出一個反應過程的躍遷機率。

在費曼圖中，粒子用線表示，費米子一般用實線，光子用波浪線，玻色子用虛線，膠子用圈線。一線與另一線的連接點稱為頂點。費曼圖的橫軸一般為時間軸，向右為正，向左代表初態，向右代表末態。與時間軸方向相同的箭頭代表正費米子，與時間軸方向相反的箭頭表示反費米子。

## 簡介

兩個粒子的相互作用量由反應截面積所量化，其大小取決於它們的碰撞，該相互作用發生的機率尤其重要。如果該相互作用的強度不太大（即是能夠用微擾理論解決），這反應截面積（或更準確來說是對應的時間演變算子、分布函數或S矩陣）能夠用一系列的項（戴森級數）所表示，這些項能描述一段短時間所發生的故事，像以下的例子：

- 兩個具有一定相對速度的粒子在自由地移動（由兩條向著大致方向的線表示）
- 它們遇到對方（兩線連於第一點──頂點）
- 它們在同一路徑上漫步（兩線合二為一）
- 然後再度分開（第二個頂點）
- 但它們發覺自己的速度已變，而且再也不和之前一樣（兩線從最後的頂點向上──有時樣式會因應粒子所經歷的轉變而有所不同）

這故事能夠以圖來表示，這一般來說要比記起對應戴森級數的數學公式要容易得多。這種圖被稱為費曼圖。它們在戴森級數迅速趨向極限時才有意義。由於它們能夠說簡易的故事，而且又跟早期的氣泡室實驗相似，所以費曼圖變得非常普及。

## 動機與歷史

粒子物理學中，計算散射反應截面積的難題簡化成加起所有可能存在的居間態振幅（每一個對應攝動理論又稱戴森級數的一個項）。用費曼圖表示這些狀態以，比瞭解當年冗長計算容易得多。從該系統的基礎拉格朗日量能夠得出費恩曼法則，費恩曼就是用該法則表明如何計算圖中的振幅。每一條內線對應虛粒子的分布函數；每一個線相遇頂點給出一個因子和來去的兩線，該因子能夠從相互作用項的拉格朗日量中得出，而線則約束了能量、動量和自旋。費曼圖因此是出現在戴森級數每一個項的因子的符號寫法。

但是，作為微擾的展開式，費曼圖不能包涵非微擾效應。

除了它們在作為數學技巧的價值外，費曼圖為粒子的相互作用提供了深入的科學理解。粒子會在每一個可能的方式下相互作用：實際上，居間的虛粒子超越光速是允許的。（這是基於測不準原理，因深奧的理由而不違反相對論；事實上，超越光速對保留相對性時空的偶然性有幫助。）每一個終態的概率然後就從所有如此的機率中得出。這跟量子力學的泛函積分表述有密切關係，該表述（路徑積分表述）也是由費曼發明的。

如此計算如果在缺少經驗的情況下使用，通常會得出圖的振幅為無窮大，這個答案在物理理論中是不能接受的。問題在於粒子自身的相互作用被錯誤地忽視了。重整化的技巧（是由費曼、施溫格和朝永所開發的）彌補了這個效應並消除了麻煩的無窮大項。經過這樣的重整化後，用費曼圖做的計算通常能與實驗結果準確地吻合。

費曼圖及路徑積分法亦被應用於統計力學中。

### 其他名稱

默里·蓋爾曼一直將費曼圖稱為斯蒂克爾堡圖(Stückelberg diagrams)，因為瑞士物理學家厄恩斯特·斯蒂克爾堡(Ernst Stückelberg)發明了一個相近的圖。

歷史上他們也曾被叫成費恩曼-戴森圖或戴森圖。

## 費曼規則

- 費曼規則（Feynman rules）**是量子場論中一組將物理過程的費曼圖轉化為對應矩陣元（Matrix Element）或散射振幅（Scattering amplitude $\mathcal{M}$）的數學操作指南。透過這些規則，物理學家能夠將抽象的微擾理論圖表，精確地計算出粒子的反應截面（Cross section）和衰變率（Decay rate）。

不同的量子場論模型（如量子電動力學 QED、弱電理論或量子色動力學 QCD）擁有各自特定的費曼規則，但其核心架構皆包含以下三大要素：

### 核心要素與數學對應

- 外腿（External Lines）：代表進入或離開反應的真實粒子。
- 自旋0（純量粒子）：對應因子為 $1$。
- 自旋1/2（費米子）：初始態對應狄拉克旋量 $u$ 或 $\bar{v}$；最終態對應 $\bar{u}$ 或 $v$。
- 自旋1（規範玻色子）：對應極化向量 $\epsilon_\mu$ 或 $\epsilon_\mu^*$。
- 內部傳播子（Propagators）：代表圖形內部相連的虛粒子，負責在頂點間傳遞動量 $q$。
- 費米子傳播子：$\frac{i(\gamma^\mu q_\mu + m)}{q^2 - m^2 + i\epsilon}$
- 光子傳播子（費曼規範）：$\frac{-ig_{\mu\nu}}{q^2 + i\epsilon}$
- 頂點（Vertices）：粒子發生交互作用並交換量子數的地點。
- 每個頂點都包含一個耦合常數（Coupling constant，如 QED 中的電子電荷 $e$），用以決定交互作用的強度。
- 例如 QED 的電子-光子頂點對應因子為 $-ie\gamma^\mu$。

### 計算與推導步驟

在實際應用中，利用費曼規則計算振幅通常遵循以下標準步驟：

- 繪製費曼圖：依據反應的初始和最終狀態，畫出所有可能的一階與高階微擾圖形。
- 標記動量：為每條外腿分配物理動量，並確保每個頂點都滿足動量守恆。
- 依序代入因子：沿著費米子線逆著箭頭方向（或依據規範場指標），將外腿、傳播子和頂點的數學因子依序相乘。
- 迴圈積分：若圖形中存在未被動量守恆鎖定的內部閉迴圈（Loop），必須對該迴圈動量進行全空間積分 $\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}$。
- 對稱因子與符號：乘上圖形的對稱因子（Symmetry factor），並根據費米子置換規則確定整體的正負號。

## 例子

### β衰變

右圖為β衰變的費曼圖。圖中的直線代表費米子，而波浪線則代表虛玻色子。在本例中，圖被設定在流形時空中，y坐標為時間而x坐標為空間；x坐標亦代表了某些相互作用（考慮碰撞）的「地點」。由於時間朝著y軸方向，所以中微子是向著時間方向行進的；但費米子可以被視為其向時間後方移動的反粒子，因為數學上這兩個概念沒有分別。這適用於所有粒子和反粒子。

### 量子電動力學

在量子電動力學中，有兩個場標記，叫「電子」和「光子」。「電子」有一定方向而「光子」無固定方向。當中只有一種相互作用，用「γ」標記，其三度分別為「光子」、「電子」「頭」和「電子」「尾」。

## 參考資料

- Gerardus 't Hooft, Martinus Veltman, Diagrammar, CERN Yellow Report 1973, online
- David Kaiser, Drawing Theories Apart: The Dispersion of Feynman Diagrams in Postwar Physics, Chicago: University of Chicago Press, 2005. ISBN 0-226-42266-6
- Martinus Veltman, Diagrammatica: The Path to Feynman Diagrams, Cambridge Lecture Notes in Physics, ISBN 0-521-45692-4 (expanded, updated version of above)

## 外部連結

- 史丹福線性加速器中心的費曼圖頁面
- AMS article: "What's New in Mathematics: Finite-dimensional Feynman Diagrams"
- WikiTeX 支援維基條目中的費曼圖直接編輯
- Drawing Feynman diagrams with FeynDiagram C++ library that produces PostScript output.
- Feynman Diagram Examples using Thorsten Ohl's Feynmf LaTeX package.