Verma模

Verma模（Verma module）是李代數表示理論中的基本研究對象，其名取自Daya-Nand Verma。Verma模之間的態射相應於旗流形上的不變微分算子。

可用Verma模來證明以下命題：最高權為$\lambda$的最高權表示的維數有限，若且僅若$\lambda$是支配整權（dominant integral weight）。

## Verma模的定義

設：

- $F$為一域。
- $\mathfrak{g}$，為$F$上一半單李代數。
- $\mathcal{U}(\mathfrak{g})$為其泛包絡代數
- $\mathfrak{b}$為其一Borel子代數
- $\mathcal{U}(\mathfrak{b})$為其泛包絡代數
- $\mathfrak{h}$為其一嘉當子代數
- $\lambda \in \mathfrak{h}^*$為一固定之權。
- $F_\lambda$為$F$上的一維向量空間，賦與$\mathfrak{b}$-模結構：$\mathfrak{h}$的作用為「乘以$\lambda$」，正根的作用為零。由於$F_\lambda$是一左$\mathfrak{b}$－模，他同時亦是一左$\mathcal{U}(\mathfrak{b})$－模。
- 由Poincaré-Birkhoff-Witt定理，$\mathcal{U}(\mathfrak{g})$有一自然右$\mathcal{U}(\mathfrak{b})$－模結構。由於$\mathcal{U}(\mathfrak{g})$亦是一左$\mathfrak{g}$－模，所以是$(\mathfrak{g}, \mathcal{U}(\mathfrak{b}))$-雙模。
- 定義（最高權為$\lambda$之）Verma模 為

$$M_\lambda = \mathcal{U}(\mathfrak{g}) \otimes_{\mathcal{U}(\mathfrak{b})} F_\lambda$$

此自然地是一左$\mathfrak{g}$－模。從Poincaré-Birkhoff-Witt定理可知：$M_\lambda$，作為一向量空間，同構於

$$\mathcal{U}(\mathfrak{g}_-) \otimes_F F_\lambda$$

其中$\mathfrak{g}_-$為$\mathfrak{g}$之負根生成之子李代數。

## 基本性質

作為$\mathfrak{g}$－模，Verma模是一最高權表示，即整個模由一最高權向量生成。此最高權向量是$1\otimes 1$的像（其中前$1$為$\mathcal{U}(\mathfrak{g})$之單位，後$1$為域$F$之單位元）；其權為$\lambda$。

Verma模是weight modules，即$M_\lambda$是其權子空間之直和。每一權子空間$M_\mu$是有限維的，其維度是$M_\mu$權$\lambda-\mu$寫成正根之和之方法之數（參見Kostant partition function）。

Verma模有一重要性質：若$V$為任一最高權模，其最高權為$\lambda$，則存在一$\mathfrak{g}$ 滿射：$M_\lambda\to V$。換言之，任何最高權模都是$M_\lambda$的商模。

$M_\lambda$內存在唯一極大子模，而$M_\lambda$與此子模之商是不可約的。

Verma模$M_\lambda$本身不可約 若且僅若 當其最高權$\lambda$分解成基本權（fundamental weight）之和時，每一系數都不是$\{0,1,2,\ldots\}$。

稱Verma模$M_\lambda$為regular，若其最高權λ位於一支配權$\tilde\lambda$之仿射Weyl軌跡上。換言之，存在Weyl羣的元素w，使

$\lambda=w\cdot\tilde\lambda$。

其中$\cdot$是Weyl羣的仿射作用。

稱Verma模$M_\lambda$為singular，若λ的仿射軌跡上無支配權。此時，存在權$\tilde\lambda$使$\tilde\lambda+\delta$落於基本Weyl室之牆上；（其 中δ為各基本權之和）。

## Verma模之間的態射

設$\lambda, \mu$為兩權。若存在態射

$M_\mu\rightarrow M_\lambda$。

則$\mathfrak{g}$的Weyl羣$W$的仿射作用$W$必然能把$\mu$帶到$\lambda$。此為Harish-Chandra無限小中心特徵標定理之一推論。

每一Verma模 態射都是單射。態射空間之維度

$$dim(Hom(M_\mu, M_\lambda))\leq 1$$

其中$\mu, \lambda$為任何兩權。因此，存在一非零態射$M_\mu\rightarrow M_\lambda$若且僅若$M_\mu$ 同構於$M_\lambda$的一（唯一）子模。

Verma模態射的完整分類來自I.N.伯恩斯坦、I.M.蓋爾芳特 與S.I.蓋爾芳特 的工作與N. Verma的工作。簡言之。

存在非零態射$M_\mu\rightarrow M_\lambda$若且僅若 存在一串權

$$\mu=\nu_0\leq\nu_1\leq\ldots\leq\nu_k=\lambda$$

使得存在正根$\gamma_i$使$\nu_{i-1}+\delta=s_{\gamma_i}(\nu_i+\delta)$（其中$s_{\gamma_i}$是根反映（根系），而$\delta$是所有基本權之和）且對每一$1\leq i\leq k$，$(\nu_i+\delta)(H_{\gamma_i})$為一自然數（其中$H_{\gamma_i}$是根$\gamma_i$之對偶根（coroot））。

若Verma模$M_\mu$與$M_\lambda$俱為regular，則僅存支配權$\tilde\lambda$與Weyl羣元w, w′使

P$\mu=w'\cdot\tilde\lambda$

而且

$$\lambda=w\cdot\tilde\lambda,$$

其中$\cdot$為Weyl羣的仿射作用。設此等權是整權（integral weight）。存在非零態射

$$M_\mu\to M_\lambda$$

若且僅若，在Weyl羣W 的Bruhat次序中。

$w \leq w'$。

## Jordan-Holder序列

設

$$0\subset A\subset B\subset M_\lambda$$

為一$\mathfrak{g}$－模序列，其中B/A為不可約表示，其最高權為μ。則存在非零態射$M_\mu\to M_\lambda$。

推論：

設$V_\mu, V_\lambda$為二最高權表示。若

$$V_\mu\subset V_\lambda$$

則存在非零態射$M_\mu\to M_\lambda$。

## 伯恩斯坦-蓋爾芳特-蓋爾芳特 分解

設$V_\lambda$為李代數$\mathfrak{g}$的一有限維不可約表示，其最高權為λ。我們已知：存在非零態射

$$M_{w'\cdot\lambda}\to M_{w\cdot\lambda}$$

若且僅若，在其Weyl羣的Bruhat次序中。

$w\leq w'$。

以下定理描述如何分解$V_\lambda$成Verma模的正合序列。

（此定理出現於 伯恩斯坦-蓋爾芳特-蓋爾芳特1975年的論文）:

存在由$\mathfrak{g}$－態射組成的正合序列

$$0\to \oplus_{w\in W,\,\, l(w)=n} M_{w\cdot \lambda}\to \ldots \to \oplus_{w\in W,\,\, l(w)=2} M_{w\cdot \lambda}\to \oplus_{w\in W,\,\, l(w)=1} M_{w\cdot \lambda}\to M_\lambda\to V_\lambda\to 0$$

其中n為Weyl羣最長元之長度。

一般研究員簡稱其為「BGG分解」。

廣義Verma模亦有類似分解。

近來有人研究此等分解之某些特例，以助理解拋物幾何（parabolic geometries，嘉當幾何之特例）上之不變微分算子。嘉當幾何的定義依賴於一李羣G與其拋物子羣P。參閲、與。

## 參攷

- Knapp, A. W. Lie Groups Beyond an troduction. Second Edition. (2002), page 285.
- Dixmier, J., Enveloping Algebras, North-Holland, Amsterdam, New York, Oxford, 1977
- Humphreys J., Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer Verlag, 1980
- Roggenkamp K., Stefanescu M., Algebra - Representation Theory, Springer, 2002