正則變換生成函數

在哈密頓力學裏，當計算正則變換時，生成函數扮演的角色，好似在兩組正則坐標 $(\mathbf{q},\ \mathbf{p})$，$(\mathbf{Q},\ \mathbf{P})$ 之間的一座橋。為了要保證正則變換的正確性，採取一種間接的方法，稱為生成函數方法。這兩組變數必須符合方程式

$\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}=\mathbf{P}\cdot\dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}+\frac{dG}{dt}$；(1)

其中，$\mathbf{q}=(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_N)$ 是舊廣義坐標，$\mathbf{p}=(p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_N)$ 是舊廣義動量，$\mathbf{Q}=(Q_1,\ Q_2,\ \dots,\ Q_N)$ 是新廣義坐標，$\mathbf{P}=(P_1,\ P_2,\ \dots,\ P_N)$ 是新廣義動量，$\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t),\ \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)$ 分別為舊哈密頓量與新哈密頓量，$G(-,\ -,\ t)$ 是生成函數，$t$ 是時間。

生成函數 $G$ 的參數，除了時間以外，一半是舊的正則坐標；另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定，一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種不同的變換，從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換 $(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})$ 保證是正則變換。

## 生成函數列表

生成函數｜導數

$G= G_1(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)$｜$\mathbf{p}=~~\frac{\partial G_1}{\partial \mathbf{q}}\ ,\qquad \mathbf{P}= - \frac{\partial G_1}{\partial \mathbf{Q}}$

$G= G_2(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t) - \mathbf{Q}\mathbf{P}$｜$\mathbf{p}=~~\frac{\partial G_2}{\partial \mathbf{q}}\ ,\qquad \mathbf{Q}=~~ \frac{\partial G_2}{\partial \mathbf{P}}$

$G= G_3(\mathbf{p},\ \mathbf{Q},\ t) + \mathbf{q}\mathbf{p}$｜$\mathbf{q}= - \frac{\partial G_3}{\partial \mathbf{p}}\ ,\qquad \mathbf{P}= - \frac{\partial G_3}{\partial \mathbf{Q}}$

$G= G_4(\mathbf{p},\ \mathbf{P},\ t) + \mathbf{q}\mathbf{p} - \mathbf{Q}\mathbf{P}$｜$\mathbf{q}= - \frac{\partial G_4}{\partial \mathbf{p}}\ ,\qquad \mathbf{Q}=~~\frac{\partial G_4}{\partial \mathbf{P}}$

## 第一型生成函數

第一型生成函數 $G_{1}$ 只跟舊廣義坐標、新廣義坐標有關。

$G=G_{1}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)$。

代入方程式 (1)。展開生成函數對於時間的全導數。

$\mathbf{p} \cdot \dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t) = \mathbf{P} \cdot \dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P}, t) + \frac{\partial G_{1}}{\partial t} + \frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}} \cdot \dot{\mathbf{q}} + \frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}} \cdot \dot{\mathbf{Q}}$。

新廣義坐標 $\mathbf{Q}$ 和舊廣義坐標 $\mathbf{q}$ 都是自變量，其對於時間的全導數 $\dot{\mathbf{Q}}$ 和 $\dot{\mathbf{q}}$ 互相無關，所以，以下 $2N+1$ 個方程式都必須成立：

$\mathbf{p} = ~~\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}}$，(2)

$\mathbf{P} = -\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}}$，(3)

$\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G_{1}}{\partial t}$。(4)

這 $2N+1$ 個方程式設定了變換 $(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})$，步驟如下：

第一組的 $N$ 個方程式 (2)，設定了 $\mathbf{p}$ 的 $N$ 個函數方程式

$\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)$。

在理想情況下，這些方程式可以逆算出 $\mathbf{Q}$ 的 $N$ 個函數方程式

$\mathbf{Q}=\mathbf{Q}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)$。(5)

第二組的 $N$ 個方程式 (3)，設定了 $\mathbf{P}$ 的 $N$ 個函數方程式

$\mathbf{P}=\mathbf{P}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)$。

代入函數方程式 (5)，可以算出 $\mathbf{P}$ 的 $N$ 個函數方程式

$\mathbf{P}=\mathbf{P}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)$。(6)

從 $2N$ 個函數方程式 (5)、(6)，可以逆算出 $2N$ 個函數方程式

$\mathbf{q}=\mathbf{q}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)$。

$\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)$。

代入新哈密頓量 $\mathcal{K}$ 的方程式 (4)，可以得到

$\mathcal{K} =\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)$。

## 第二型生成函數

第二型生成函數 $G_{2}$ 只跟舊廣義坐標 $\mathbf{q}$、新廣義動量 $\mathbf{P}$ 有關：

$G \equiv - \mathbf{Q}\cdot\mathbf{P}+G_{2}(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)$。

代入方程式 (1)。展開生成函數隨時間的全導數：

$\mathbf{p} \cdot \dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) = -\mathbf{Q} \cdot \dot{\mathbf{P}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q}, \mathbf{P}, t) + \frac{\partial G_{2}}{\partial t} + \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{q}} \cdot \dot{\mathbf{q}} + \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{P}} \cdot \dot{\mathbf{P}}$。

由於舊廣義坐標 $\mathbf{q}$ 與新廣義動量 $\mathbf{P}$ 必須彼此無關，以下 $2N+1$ 方程式必須成立：

$\mathbf{p} = \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{q}}$，(7)

$\mathbf{Q} = \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{P}}$，(8)

$\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G_{2}}{\partial t}$。(9)

這 $2N+1$ 個方程式設定了變換 $(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})$。步驟如下：

第一組的 $N$ 個方程式 (7)，設定了 $\mathbf{p}$ 的函數方程式

$\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)$。

在理想情況下，這些方程式可以逆算出 $\mathbf{P}$ 的函數方程式

$\mathbf{P}=\mathbf{P}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)$。(10)

第二組的 $N$ 個方程式 (8)，設定了的函數方程式

$\mathbf{Q}=\mathbf{Q}(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)$。

代入函數方程式 (10)，可以算出 $\mathbf{Q}$ 函數方程式

$\mathbf{Q}=\mathbf{Q}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)$。(11)

由函數方程式 (10)、(11)，可以算出函數方程式

$\mathbf{q}=\mathbf{q}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)$。

$\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)$。

代入新哈密頓量的方程式 (9)，則可得到

$\mathcal{K} =\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)$。

## 第三型生成函數

第三型生成函數只跟舊廣義動量 $\mathbf{p}$、新廣義坐標 $\mathbf{Q}$ 有關：

$G \equiv \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} + G_{3}(\mathbf{p},\ \mathbf{Q},\ t)$。

以下 $2N+1$ 方程式設定了變換 $(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})$：

$\mathbf{q} = -\frac{\partial G_{3}}{\partial \mathbf{p}}$。

$\mathbf{P} = -\frac{\partial G_{3}}{\partial \mathbf{Q}}$。

$\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G_{3}}{\partial t}$。

## 第四型生成函數

第四型生成函數 $G_{4}(\mathbf{p}, \mathbf{P}, t)$ 只跟舊廣義動量 $\mathbf{p}$、新廣義動量 $\mathbf{P}$ 有關：

$G \equiv \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} - \mathbf{Q} \cdot \mathbf{P} + G_{4}(\mathbf{p}, \mathbf{P}, t)$。

以下 $2N+1$ 方程式設定了變換 $(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})$：

$\mathbf{q} = -\frac{\partial G_{4}}{\partial \mathbf{p}}$。

$\mathbf{Q} = ~~\frac{\partial G_{4}}{\partial \mathbf{P}}$。

$\mathcal{K}= \mathcal{H} + \frac{\partial G_{4}}{\partial t}$。

## 實例 1

第一型生成函數有一個特別簡易案例：

$G_{1} \equiv \mathbf{q} \cdot \mathbf{Q}$。

方程式 (2)，(3)，(4) 的答案分別為

$\mathbf{p} = ~~\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}} = \mathbf{Q}$。

$\mathbf{P} = -\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}} = -\mathbf{q}$。

$\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)=\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)$。

## 實例 2

再擧一個涉及第二型生成函數，比較複雜的例子。讓

$G_{2} \equiv \mathbf{g}(\mathbf{q};\ t) \cdot \mathbf{P}$。

這裏， $\mathbf{g}$ 是一組 $N$ 個函數。

答案是一個廣義坐標的點變換。

$\mathbf{Q}=\frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{P}} =\mathbf{g}(\mathbf{q};\ t)$。

## 實例 3

有時候，可以將一個給定的哈密頓量，變成一個很像諧振子的哈密頓量。

$\mathcal{H} = aP^2 + b Q^2$。

例如，假若哈密頓量為

$\mathcal{H}= \frac{1}{2q^2} + \frac{p^2 q^4}{2}$；(12)

這裏，$p$ 是廣義動量，$q$ 是廣義坐標。

一個優良的正則變換選擇是

$P = pq^2$，(13)

$Q = - \frac{1}{q}$。(14)

代入方程式 (12)，新哈密頓量的形式與諧振子的哈密頓量型式相同：

$$\mathcal{H} = \frac{Q^2}{2} + \frac{P^2}{2}$$

這變換用的是第三型生成函數 $G_3(p,\ Q)$；其對於 $Q$ 的導數是

$\frac{\partial G_3}{\partial Q}= - P$。

代入方程式 (13)、(14)。

$\frac{\partial G_3}{\partial Q}= - \frac{p}{Q^2}$。

對於 $Q$ 積分，可以得到生成函數 $G_3$：

$G_3(p,\ Q) = \frac{p}{Q}$。

最後，檢查答案是否正確：

$q = - \frac{\partial G_3}{\partial p} = \frac{-1}{Q}$。

## 參閱

- 哈密頓-亞可比方程式
- 帕松括號
- 正則變換列表