倒易點陣

倒易點陣（reciprocal lattice），又稱倒（易）晶格、倒（易）格子，是物理學中描述空間波函數的傅立葉變換後的周期性的一種方法。相對於正晶格所描述的實空間周期性，倒晶格描述的是動量空間，亦可認為是k空間的周期性。根據位置和動量所滿足的龐特里亞金對偶性，布拉菲晶格的倒晶格仍然是一種布拉菲晶格，而倒晶格的倒晶格就會變回原始晶格（正晶格）。

## 數學描述

### 一維晶格

對於以$\boldsymbol{a}$為基矢的一維晶格，其倒格子的基矢為

$$\boldsymbol{b}=2 \pi \frac{\boldsymbol{a}}{a^2}$$

### 二維晶格

對於以$(\boldsymbol{a_{1}}, \boldsymbol{a_{2}})$為基矢的二維晶格，定義其二維平面法線向量為$\boldsymbol{n}$，其倒格子的基矢為

$$\boldsymbol{b_{1}}=2 \pi \frac{\boldsymbol{a_{2}} \times \boldsymbol{n}}{\boldsymbol{a_{1}} \cdot (\boldsymbol{a_{2}} \times \boldsymbol{n})}$$

$$\boldsymbol{b_{2}}=2 \pi \frac{\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{a_{1}}}{\boldsymbol{a_{2}} \cdot (\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{a_{1}})}$$

### 三維晶格

對三維晶格而言，我們定義素晶胞的基矢 $(\boldsymbol{a_{1}}, \boldsymbol{a_{2}}, \boldsymbol{a_{3}})$，可以用下列公式決定倒晶格的晶胞基矢$(\boldsymbol{b_{1}}, \boldsymbol{b_{2}}, \boldsymbol{b_{3}})$

$$\boldsymbol{b_{1}}=2 \pi \frac{\boldsymbol{a_{2}} \times \boldsymbol{a_{3}}}{\boldsymbol{a_{1}} \cdot (\boldsymbol{a_{2}} \times \boldsymbol{a_{3}})}$$

$$\boldsymbol{b_{2}}=2 \pi \frac{\boldsymbol{a_{3}} \times \boldsymbol{a_{1}}}{\boldsymbol{a_{2}} \cdot (\boldsymbol{a_{3}} \times \boldsymbol{a_{1}})}$$

$$\boldsymbol{b_{3}}=2 \pi \frac{\boldsymbol{a_{1}} \times \boldsymbol{a_{2}}}{\boldsymbol{a_{3}} \cdot (\boldsymbol{a_{1}} \times \boldsymbol{a_{2}})}$$

### 倒晶格與正晶格的關係

倒晶格與正晶格的基矢滿足以下關係

$$\boldsymbol{a_{i}} \cdot \boldsymbol{b_{j}}=2 \pi \delta_{ij}= \begin{cases} 2 \pi, & i\ =\ j \\ 0, & i\ \ne\ j \end{cases}$$

定義三維中的倒晶格向量G

$$\mathbf{G}=h \boldsymbol{b_{1}} + k \boldsymbol{b_{2}} + l \boldsymbol{b_{3}}$$

其中(h,k,l)為密勒指數，向量G的模長與正晶格的晶面間距有以下關係

$$\mathbf{|G_{hkl}|}=\frac{2 \pi}{d_{hkl}}$$

向量G和正晶格向量R有以下關係

$$\mathbf{R}=c_{1} \boldsymbol{a_{1}} + c_{2} \boldsymbol{a_{2}} + c_{3} \boldsymbol{a_{3}}$$

$$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{G \cdot R}}=1$$

三維倒晶格中的晶胞體積ΩG和正晶格的晶胞體積Ω有以下關係

$$\Omega_{G}=\frac{(2 \pi)^3}{\Omega}$$

## 倒晶格的物理意義

在此以一維晶格為例。在一個以$\boldsymbol{a}$為基矢的一維晶格中，其波函數應該為布洛赫波

$$\psi_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x})$$

定義其倒晶格向量

$$\boldsymbol{G}=n\boldsymbol{b},\ n=0, 1, 2, \cdots$$

$$\boldsymbol{b}=2 \pi \frac{\boldsymbol{a}}{a^2}$$

$$\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{a}=2 \pi n$$

以及一個函數

$$\begin{alignat}{2} u_{\boldsymbol{k+G}}({\boldsymbol{x}}) & =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{x}} u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x}) \\ u_{\boldsymbol{k+G}}({\boldsymbol{x+a}}) &=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{x}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{a}} u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x+a}) \\ & =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{x}} u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x+a}) \\ \end{alignat}$$

由於$u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x})$是一個布洛赫波包，滿足

$$u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x+a})=u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x})$$

所以

$$u_{\boldsymbol{k+G}} (\boldsymbol{x+a})=u_{\boldsymbol{k+G}} (\boldsymbol{x})$$

也是一個布洛赫波包。則波函數有以下性質

$$\begin{align} \psi_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x}) & = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x}) \\ & = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\boldsymbol{k+G})\cdot\boldsymbol{x}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{x}} u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x}) \\ & = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\boldsymbol{k+G})\cdot\boldsymbol{x}}u_{\boldsymbol{k+G}} (\boldsymbol{x}) \\ & = \psi_{\boldsymbol{k+G}} (\boldsymbol{x}) \end{align}$$

可見，倒晶格向量G描述了波函數在以k為基矢的動量空間（k空間）內的周期性。其向量單位，即倒晶格的基矢$\boldsymbol{b_{i}}$是描述k空間中平移對稱性的基矢。其最小可重複單位，即倒晶格的晶胞，稱為第一布里淵區。由于波矢k和動量與波函數對應的能量密切相關，在能帶理論中也用來解釋能帶的周期性。

## 倒晶格與晶體衍射

晶體衍射滿足布拉格定律

$$\begin{alignat}{2} 2 d\sin\theta = n\lambda \\ 2 \times \frac{2 \pi}{\lambda}\sin\theta=\frac{2 \pi}{d_{n}} \\ \end{alignat}$$

定義入射波波矢為$\boldsymbol{k}$，則上述公式可變換為

$$\begin{array}{lcl} |\boldsymbol{k}|= \cfrac{2 \pi}{\lambda} \\ \mathbf{|G_{hkl}|}=\cfrac{2 \pi}{d_{hkl}} \\ 2 |\boldsymbol{k}| \sin \theta = |\mathbf{G}| \\ \end{array}$$

因此滿足布拉格定律的晶體衍射反映的不是正晶格，而是倒晶格。

進一步將以上公式轉化為向量形式，定義入射波波矢為$\boldsymbol{k_i}$，反射波波矢為$\boldsymbol{k_o}$，可以得到

$$\boldsymbol{\Delta k} = \boldsymbol{k_o} - \boldsymbol{k_i} = \mathbf{G}$$

這個形式也和勞厄方程式相符。

晶體衍射的想法也可以用來解釋能帶結構中，為什麼能量的分布是不連續的。

## 常見布拉菲晶格的倒晶格

### 簡單立方晶體

簡單立方晶體的素格子基矢可以寫成

$$\boldsymbol{a_1}=a\hat{x}$$

$$\boldsymbol{a_2}=a\hat{y}$$

$$\boldsymbol{a_3}=a\hat{z}$$

體積為

$$\boldsymbol{a_1}\cdot\boldsymbol{a_2}\times\boldsymbol{a_3}=a^3$$

可推得倒晶格的素格子基矢

$$\boldsymbol{b_1} = {2\pi \over a} \hat{x}$$

$$\boldsymbol{b_2} = {2\pi \over a} \hat{y}$$

$$\boldsymbol{b_3} = {2\pi \over a} \hat{z}$$

所以簡單立方晶體的倒晶格同樣為簡單立方晶體，但是晶格常數為 $2 \pi\over a$。

### 面心立方晶體(FCC)

面心立方晶體的素格子基矢可以寫成下列三項

$$\boldsymbol{a_1}={a\over 2}\left(\hat{y}+\hat{z} \right)$$

$$\boldsymbol{a_2}={a\over 2}\left(\hat{z}+\hat{x} \right)$$

$$\boldsymbol{a_3}={a\over 2}\left(\hat{x}+\hat{y} \right)$$

體積為

$$\boldsymbol{a_1}\cdot\boldsymbol{a_2}\times\boldsymbol{a_3}={a^3\over 4}$$

可推得倒晶格之素格子基矢

$$\boldsymbol{b_1} = {2\pi \over a} \left(-\hat{x} +\hat{y} +\hat{z}\right)$$

$$\boldsymbol{b_2} = {2\pi \over a} \left(+\hat{x} -\hat{y} +\hat{z}\right)$$

$$\boldsymbol{b_3} = {2\pi \over a} \left(+\hat{x} +\hat{y} -\hat{z}\right)$$

面心立方晶體的倒晶格為體心立方晶體。

### 體心立方晶體(BCC)

體心立方晶體的素格子基矢可以寫成下列三項

$$\boldsymbol{a_1}={a\over 2}\left(-\hat{x} +\hat{y} +\hat{z}\right)$$

$$\boldsymbol{a_2}={a\over 2}\left(+\hat{x} -\hat{y} +\hat{z}\right)$$

$$\boldsymbol{a_3}={a\over 2}\left(+\hat{x} +\hat{y} -\hat{z}\right)$$

體積為

$$\boldsymbol{a_1}\cdot\boldsymbol{a_2}\times\boldsymbol{a_3}={a^3\over 2}$$

可推得倒晶格之素格子基矢

$$\boldsymbol{b_1} = {2\pi \over a} \left(\hat{y}+\hat{z} \right)$$

$$\boldsymbol{b_2} = {2\pi \over a} \left(\hat{z}+\hat{x} \right)$$

$$\boldsymbol{b_3} = {2\pi \over a} \left(\hat{x}+\hat{y} \right)$$

可得知體心立方晶體之倒晶格為面心立方晶體。

在布拉菲晶格中,三軸互為九十度的$(\boldsymbol{a_{1}}, \boldsymbol{a_{2}}, \boldsymbol{a_{3}})$ (立方, 正方, 斜方)的晶體結構,是很容易被證明其倒晶格空間之三軸$(\boldsymbol{b_{1}}, \boldsymbol{b_{2}}, \boldsymbol{b_{3}})$與其真實晶格之三軸有垂直的關係.

## 參閱

- 晶體學
- 對偶空間
- 電子衍射
- 埃瓦爾德球（Ewald's sphere）
- 密勒指數（Miller index）
- 布里淵區

## 外部連結

- http://newton.umsl.edu/run//nano/known.html - Jmol-based electron diffraction simulator lets you explore the intersection between reciprocal lattice and Ewald sphere during tilt.
- DoITPoMS Teaching and Learning Package on Reciprocal Space and the Reciprocal Lattice