四維矢量

本條目中，向量與標量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如，${x}^{\mu}\,\!$或${x}_{\mu}\,\!$。為了避免歧意，四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如，$(x)^2\,\!$表示$x\,\!$平方；而${x}^2\,\!$是${x}^{\mu}\,\!$的第二個分量。

在相對論裏，四維向量（four-vector）是實值四維向量空間裏的矢量。這四維向量空間稱為閔考斯基時空。四維向量的分量分別為在某個時間點與三維空間點的四個數量。在閔考斯基時空內的任何一點，都代表一個「事件」，可以用四維向量表示。從任意慣性參考系觀察某事件所獲得的四維向量，通過勞侖茲變換，可以變換為從其它慣性參考系觀察該事件所獲得的四維向量。

本文章只思考在狹義相對論範圍內的四維向量，儘管四維向量的概念延伸至廣義相對論。在本文章內寫出的一些結果，必須加以修改，才能在廣義相對論範圍內成立。

## 數學性質

在閔考斯基時空內的任何一點，都可以用四維向量（一組標準基底的四個坐標） ${x}^{\mu}=({x}^0,\, {x}^1,\, {x}^2,\, {x}^3)$ 來表示；其中，上標 $\mu=0,\,1,\,2,\,3$ 標記時空的維數次序。稱這四維向量為「坐標四維向量」，又稱「四維坐標」，定義為

${x}^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ (ct,\, x,\, y,\, z)$。

其中，$c$ 是光速，$t$ 是時間，$(x,\, y,\, z)$ 是位置的三維直角坐標。

為了確使每一個坐標的單位都是長度單位，定義 ${x}^0\ \stackrel{def}{=}\ ct$。

「四維位移」定義為兩個事件之間的矢量差。在時空圖裏，四維位移可以用從第一個事件指到第二個事件的箭矢來表示。當矢量的尾部是坐標系的原點時，位移就是位置。四維位移 $\Delta {x}^{\mu}$ 表示為

$\Delta {x}^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ (\Delta ct,\ \Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$。

帶有上標的四維向量 ${U}^{\mu}$ 稱為反變矢量，其分量標記為

${U}^{\mu}=\ ({U}^0,\, {U}^1,\, {U}^2,\, {U}^3)$。

假若，標號是下標，則稱四維向量 ${U}_{\mu}$ 為協變矢量。其分量標記為

${U}_{\mu}=\ ({U}_0,\, {U}_1,\, {U}_2,\, {U}_3)=\ ({U}^0,\, - {U}^1,\, - {U}^2,\, - {U}^3)$。

在這裡，閔考斯基度規 $\eta_{\mu\nu}$ 被設定為

$\eta_{\mu \nu}\ \stackrel{def}{=}\ \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix}\right)$。

採用愛因斯坦求和約定，則四維向量的協變坐標和反變坐標之間的關係為

$U_{\mu} =\eta_{\mu \nu} U^{\nu}$。

閔考斯基度規與它的「共軛度規張量」 $\eta^{\mu\nu}$ 相等：

$\eta^{\mu \nu}\ \stackrel{def}{=}\ \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix}\right)$。

### 勞侖茲變換

給予兩個慣性參考系 $\mathcal{S}$、 $\bar{\mathcal{S}}$；相對於參考系 $\mathcal{S}$，參考系 $\bar{\mathcal{S}}$ 以速度 $\mathbf{v}=v\hat{\mathbf{x}}$ 移動。對於這兩個參考系，相關的「勞侖茲變換矩陣」 $\Lambda^\mu {}_\nu$ 是

$\Lambda^\mu {}_\nu=\ \left(\begin{matrix} \gamma & - \gamma\beta & 0 & 0 \\ - \gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)$。

其中，$\gamma=\cfrac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}$ 是勞侖茲因子，$\beta=\frac{v}{c}$是「貝塔因子」。

對於這兩個參考系 $\mathcal{S}$、 $\bar{\mathcal{S}}$，假設一個事件的四維坐標分別為 ${x}^{\mu}$、 $\bar{x}^{\mu}$。那麼，這兩個四維坐標之間的關係為

$\bar{x}^{\mu}=\Lambda^\mu {}_\nu\ x^{\nu}$。

$x^{\mu}=\bar{\Lambda}^{\mu} {}_{\nu}\ \bar{x}^{\nu}$。

其中，$\bar{\Lambda}^{\mu} {}_{\nu}$ 是 $\Lambda^{\mu} {}_{\nu}$ 的反矩陣。

$\bar{\Lambda}^{\mu} {}_{\nu}=\ \left(\begin{matrix} \gamma & \gamma\beta & 0 & 0 \\ \gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)$。

將這兩個四維坐標之間的關係式合併為一，則可得到

$\bar{x}^{\mu}=\Lambda^{\mu} {}_{\nu}\ x^{\nu}=\Lambda^{\mu} {}_{\nu}\ \bar{\Lambda}^{\nu} {}_{\xi}\ \bar{x}^{\xi}$。

因此，可以找到勞侖茲變換矩陣的一個特性：

$\Lambda^{\mu} {}_{\nu}\ \bar{\Lambda}^{\nu} {}_{\xi}=\delta^{\mu} {}_{\xi}$。

其中，$\delta^{\mu} {}_{\xi}$ 是克羅內克函數。

另外一個很有用的特性為

$\bar{\Lambda}^{\mu} {}_{\nu}=\eta_{\alpha\nu}\ \eta^{\beta\mu}\ \Lambda^{\alpha} {}_{\beta}$。

給定一個事件在某慣性參考系的四維坐標，通過勞侖茲變換，就可計算出這事件在另外一個慣性參考系的四維坐標。這是個很有用的物理性質。當研究物理現象時，所涉及的四維向量，最好都能夠具有這有用的性質。這樣，可以使得數學分析更加精緻犀利。以方程式表示，對於兩個參考系 $\mathcal{S}$、 $\bar{\mathcal{S}}$，具有這種有用性質的四維向量 ${U}^{\mu}$、$\bar{U}^{\mu}$ 滿足

$\bar{U}^{\mu}=\Lambda^{\mu} {}_{\nu}\ U^{\nu}$。

$U^{\mu}=\bar{\Lambda}^{\mu} {}_{\nu}\ \bar{U}^{\nu}$。

在計算這四維向量對於時間的導數時，若能選擇固有時為時間變數，則求得的四維向量仍舊具有這有用的性質。因為，固有時乃是個不變量；改變慣性參考系不會改變不變量。

假設一個物體運動於閔考斯基時空。在「實驗室參考系」裡，物體運動的速度隨著時間改變。對於每瞬時刻，選擇與物體同樣運動的慣性參考系，稱為「瞬間共動參考系」（momentarily comoving reference frame）。在這瞬間共動參考系裡，物體的速度為零，因此，這參考系也是物體的「瞬間靜止參考系」。隨著物體不斷地改變運動速度與方向，新的慣性參考系也會不斷地改換為瞬間共動參考系。隨著這些不斷改換的瞬間同行坐標系所測得的時間即為固有時，標記為 $\tau$。這就好像給物體掛戴一隻手錶，隨著物體的運動，手錶也會做同樣的運動，而手錶所紀錄的時間就是固有時。

這物體的運動可以用一條世界線 $x(\tau)$ 來描述。由於時間膨脹，發生於物體的兩個本地事件的微小固有時間隔 $\Delta \tau$ 與從別的慣性參考系 $\mathcal{S}$ 所觀測到的微小時間間隔 $\Delta t$ 的關係為

$\Delta t=\gamma\Delta \tau$。

所以，固有時 $\tau$ 對於其它時間 $t$ 的導數為

$\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{\gamma}$。

### 閔考斯基內積

在閔考斯基空間裡，兩個四維向量 $U^{\mu}$ 與 $V_{\mu}$ 的內積，稱為閔考斯基內積，以方程式表示為：

$U^{\mu}V_{\mu} \ \stackrel{def}{=}\ U^0 V^0 - U^1 V^1 - U^2 V^2 - U^3 V^3$。

由於這內積並不具正定性，即

$$U^{\mu}U_{\mu}= (U^0)^2 - (U^1)^2 - (U^2)^2 - (U^3)^2$$

可能會是負數；而歐幾里得內積一定不是負數。

許多學者喜歡使用相反正負號的 $\eta$：

$\eta_{\mu \nu}\ \stackrel{def}{=}\ \left(\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)$。

這樣，$U^{\mu}$ 與 $V_{\mu}$ 的內積改變為

$U^{\mu}V_{\mu}= - U^0 V^0+U^1 V^1 + U^2 V^2 + U^3 V^3$。

其它相聯的量值也會因而改變正負號，但這不會改變系統的物理性質。

從參考系 $\mathcal{S}$ 改換至另一參考系 $\overline{\mathcal{S}}$，$U^{\mu}$ 與 $V_{\mu}$ 的內積為

${U}^{\mu}{V}_{\mu} =\overline{\Lambda}^{\mu} {}_{\alpha}\ \overline{U}^{\alpha}\ \eta_{\mu\beta} {V}^{\beta} =\overline{\Lambda}^{\mu} {}_{\alpha}\ \overline{U}^{\alpha}\ \eta_{\mu\beta}\ \overline{\Lambda}^{\beta} {}_{\xi}\ \overline{V}^{\xi} =\overline{\Lambda}^{\mu} {}_{\alpha}\ \overline{U}^{\alpha}\ \eta_{\mu\beta}\ \overline{\Lambda}^{\beta} {}_{\xi}\ \eta^{\xi\zeta}\ \overline{V}_{\zeta} =\overline{\Lambda}^{\mu} {}_{\alpha}\ \overline{U}^{\alpha}\ \overline{\Lambda}^{\zeta} {}_{\mu}\ \overline{V}_{\zeta} =\delta^{\zeta} {}_{\alpha}\ \overline{U}^{\alpha}\ \overline{V}_{\zeta} =\overline{U}^{\alpha}\overline{V}_{\alpha}$。

所以，在閔考斯基時空內，兩個四維向量的內積是個不變量：

$U^{\mu}V_{\mu}=\overline{U}^{\mu}\overline{V}_{\mu}$。

四維向量可以分類為類時，類空，或類光（零矢量）：

類時矢量：$U^{\mu} U_{\mu} > 0$。

類空矢量：$U^{\mu} U_{\mu} < 0$。

類光矢量：$U^{\mu} U_{\mu} = 0$。

## 動力學實例

### 四維速度

設想一個物體運動於閔考斯基時空，則其世界線的任意事件 $x^{\mu}(\tau)$ 的四維速度 $U^{\mu}$ 定義為

$U^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mathrm{d}x^{\mu}}{\mathrm{d}\tau}= \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}\ \frac{\mathrm{d}x^{\mu}}{\mathrm{d}t}= \left(\gamma c,\ \gamma \mathbf{u} \right)$。

其中，$\mathbf{u}=\left(\frac{\mathrm{d}x^1}{\mathrm{d}t},\, \frac{\mathrm{d}x^2}{\mathrm{d}t},\, \frac{\mathrm{d}x^3}{\mathrm{d}t}\right)$ 是三維速度，或經典速度矢量。

$U^{\mu}$ 的空間部分與經典速度 $\mathbf{u}$ 的關係為

$\left(U^1,\, U^2,\, U^3\right)=\gamma \mathbf{u}$。

四維速度與自己的內積等於光速平方，是一個不變量：

$U^{\mu}U_{\mu} = c^2$。

在物體的瞬間共動參考系裡，物體的速度為零，因此，四維速度為

$\left(c,0,0,0\right)_{MCRF}$。

其方向與瞬間共動參考系的第零個基底向量 $\hat{\mathbf{e}}_0=\left(1,0,0,0\right)_{MCRF}$ 同向。

其中，$MCRF$ 表示從瞬間共動參考系觀察得到的數據。

### 四維加速度

四維加速度 $\alpha^{\mu}$ 定義為

$\alpha^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mathrm{d}U^{\mu}}{\mathrm{d}\tau} = \left(\gamma \dot{\gamma} c,\, \gamma \dot{\gamma} \mathbf{u} + \gamma^2 \dot{\mathbf{u}} \right)$。

經過一番運算，可以得到勞侖茲因子對於時間的導數：

$\dot{\gamma}=\frac{\mathrm{d}\gamma}{\mathrm{d}t}=\gamma^3 (\mathbf{u}\cdot\mathbf{a})/c^2$。

其中，$\mathbf{a}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{u}}{\mathrm{d}t}$ 是經典加速度。

所以，四維加速度 $\alpha^{\mu}$ 可以表示為

$\alpha^{\mu}=\left(\gamma^4 (\mathbf{u}\cdot\mathbf{a})/c,\, \gamma^2 \mathbf{a}+\gamma^4 (\mathbf{u}\cdot\mathbf{a})\mathbf{u}/c^2 \right)$。

由於 $U_\mu U^\mu$ 是個常數，四維加速度與四維速度相互正交；也就是說，四維速度與四維加速度的閔考斯基內積等於零：

$\alpha_\mu U^\mu = \frac{1}{2} \frac{\mathrm{d} (U_\mu U^\mu)}{\mathrm{d}\tau}=0$。

對於每一條世界線，這計算結果都成立。

注意到在瞬間共動參考系裡， $U_\mu$ 只有時間分量不等於零，所以， $\alpha^{\mu}$ 為的時間分量為零：

$\alpha^{\mu}=\left(0,\, \gamma^2 \mathbf{a}\right)_{MCRF}$。

### 四維動量

一個靜止質量為 $m$ 的粒子的四維動量 $P^\mu$ 定義為

$P^\mu\ \stackrel{def}{=}\ m U^\mu=\left(\gamma m c,\, \gamma m\mathbf{u} \right)$。

經典動量 $\mathbf{p}$ 定義為

$\mathbf{p}\ \stackrel{def}{=}\ m_{rel}\mathbf{u}=\gamma m\mathbf{u}$。

其中，$m_{rel}$ 是相對論性質量。

所以，$P^\mu$ 的空間部分等於經典動量 $\mathbf{p}$：

$\left(P^1,\, P^2,\, P^3\right)=\mathbf{p}$。

### 四維力

作用於粒子的四維力定義為粒子的四維動量對於固有時的導數：

$F^\mu\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mathrm{d}P^\mu}{\mathrm{d}\tau}$。

提出四維動量內的靜止質量因子，即可發覺四維力就是靜止質量乘以四維加速度：

$F^\mu=m\frac{\mathrm{d}U^\mu}{\mathrm{d}\tau}=m \alpha^\mu$。

因此，四維力可以表示為

$F^\mu=m \left(\gamma^4 (\mathbf{u}\cdot\mathbf{a})/c,\, \gamma^2 \mathbf{a}+\gamma^4 (\mathbf{u}\cdot\mathbf{a})\mathbf{u}/c^2 \right)$。

經典力 $\mathbf{f}$ 定義為

$\mathbf{f}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}$。

所以，$F^\mu$的空間部分等於 $\gamma \mathbf{f}$：

$\left(F^1,\, F^2,\, F^3\right)=\gamma \mathbf{f}$。

## 物理內涵

在四維向量的表述裏，存在著許多能量與物質之間的關係。從這些特別關係，可以顯示出這表述的功能與精緻。

### 質能方程式

假設，在微小時間間隔 $\mathrm{d}t$，一個運動於時空的粒子，感受到作用力 $\mathbf{f}$ 的施加，而這粒子的微小位移為 $\mathrm{d}\mathbf{x}$。那麼，作用力 $\mathbf{f}$ 對於這粒子所做的微小機械功 $\mathrm{d}W$ 為

$\mathrm{d}W= \mathbf{f} \cdot \mathrm{d}\mathbf{x}$。

因此，這粒子的動能的改變 $\mathrm{d}K$ 為

$\mathrm{d}K=\mathrm{d}W= \mathbf{f} \cdot \mathrm{d}\mathbf{x}$。

粒子的動能 $K$ 對於時間的導數為

$\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}= \mathbf{f} \cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{f} \cdot \mathbf{u}$。

將前面經典力和經典速度的公式帶入，可以得到

$\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=m\gamma^3 (\mathbf{u} \cdot \mathbf{a})=m c^2 \frac{\mathrm{d}\gamma}{\mathrm{d}t}$。

這公式的反微分為

$K=\gamma m c^2+K_0$。

當粒子靜止時，動能等於零。所以。

$K=\gamma m c^2 - m c^2$。

這公式的右手邊第二個項目就是靜止能量 $E_0\ \stackrel{def}{=}\ m c^2$。動能 $K$ 加上靜止能量 $E_0$ 等於總能量 $E$：

$E = \gamma m c^2$。

再加簡化，以相對論性質量 $m_{rel}$ 表示：

$E=m_{rel} c^2$。

這方程式稱為質能方程式。

### 能量-動量關係式

使用質能方程式 $E= m_{rel} c^2=\gamma m c^2$，四維動量可以表示為

$P^{\mu} = \left(\frac{E}{c},\, \mathbf{p} \right)$。

四維動量與自己的內積為

$P^\mu P_\mu=\frac{E^2}{c^2} - (p)^2$。

改以四維速度來計算內積：

$P^\mu P_\mu = m^2 U^\mu U_\mu = m^2 c^2$。

所以，能量-動量關係式為

$E^2 = (pc)^2 + m^2 c^4$。

## 電磁學實例

### 四維電流密度

在電磁學裏，四維電流密度 $J^{\mu}$ 是一個四維向量，定義為

$J^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ ( \rho c,\, \mathbf{j})$。

其中，$\rho$ 是電荷密度，$\mathbf{j}$ 是三維電流密度。

在瞬間共動參考系所觀測到的電荷密度，稱為固有電荷密度 $\rho_0=\rho/\gamma$。四維電流密度與四維速度的關係為

$J^{\mu}=\rho_0 U^{\mu}$。

電荷守恆定律能以三維矢量表示為

$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot \mathbf{j}=0$。

這定律也能以四維電流密度表示為

$\frac{\partial J^{\mu}}{\partial x^{\mu}}=0$。

從這方程式，可以推論四維電流密度的四維散度等於零。

### 電磁四維勢

電磁四維勢是由電勢 $\phi \,$ 與矢量勢 $\mathbf{A}$ 共同形成的，定義為

$A^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ ( \phi /c,\, \mathbf{A})$。

黎曼-索末菲方程式表示電磁四維勢與四維電流密度之間的關係：

$\Box A^\mu = \mu_0 J^\mu$ ;

其中，$\mu_0$ 是磁常數，$\Box=\partial^2=\partial_\alpha\partial^\alpha=\left( \frac{1}{c^2}\ \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 \right)$ 是達朗貝爾算符，又稱為四維拉普拉斯算符。

### 四維頻率和四維波矢量

一個平面電磁波的四維頻率 ${\nu}^\mu$ 定義為

${\nu}^\alpha\ \stackrel{def}{=}\ (f,\, f\mathbf{n})$。

其中，$f$ 是電磁波的頻率，$\mathbf{n}$ 是朝著電磁波傳播方向的單位矢量。

四維頻率與自己的內積永遠等於零：

${\nu}^\alpha {\nu}_\alpha = (f)^2 (1 - n^2) = 0$。

一個近單色光的波包的波動性質可以用四維波矢量 ${K}^\alpha$ 來描述：

${K}^\alpha\ \stackrel{def}{=}\ \left(\frac{2\pi f}{c},\, \mathbf{k} \right)$。

其中，$\mathbf{k}$ 是三維波矢量。

四維波矢量與四維頻率之間的關係為

${K}^\alpha=\frac{2\pi{\nu}^\alpha}{c}$。

## 參閱

- 洛侖茲協變性