二體問題

本條目中，向量與標量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。

在經典力學裏，二體問題（two-body problem）研究兩個粒子因彼此互相作用而產生的運動。這是個很重要的天文學問題，常見的應用有衛星繞著行星公轉、行星繞著恆星公轉、雙星系統、雙行星、一個經典電子繞著原子核運動等等。

二體問題可以表述為兩個獨立的單體問題，其中一個是平凡的單體問題，另外一個單體問題研究一個粒子因外力作用而呈現的運動。由於很多單體問題有精確解（exact solution），即不需藉助近似方法就可得到問題的解答；其對應的二體問題連帶地也可解析。顯然不同地，除了特別案例以外，三體問題（或者更複雜的多體問題）並沒有精確解。

## 約化為兩個獨立的單體問題

在一個物理系統裏，假設兩個粒子的質量分別為$m_{1}\,\!$、$m_{2}\,\!$，在時間$t=0\,\!$的初始位置分別為$\mathbf{x}_{10}\,\!$、$\mathbf{x}_{20}\,\!$，初始速度分別為$\mathbf{v}_{10}\,\!$、$\mathbf{v}_{20}\,\!$，計算這兩個粒子的軌跡函數$\mathbf{x}_{1}(t)\,\!$及$\mathbf{x}_{2}(t)\,\!$的問題，稱為二體問題。

根據牛頓第二定律：

$\mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{1} \ddot{\mathbf{x}}_{1}\,\!$ —— (1)。

$\mathbf{F}_{21}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{2} \ddot{\mathbf{x}}_{2}\,\!$ —— (2)。

其中，$\mathbf{F}_{AB}\,\!$表示粒子B施加於粒子A的作用力。

將方程式(1)與方程式(2)相加，可以得到一個方程式，專門描述兩個粒子的質心運動。將方程式(1)與方程式(2)的相減，則可得到描述兩個粒子相對的位移向量$\mathbf{r}=\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2\,\!$與時間之間的關係。將這兩個獨立的單體問題的解答結合起來，就可以求得軌跡函數$\mathbf{x}_{1}(t)\,\!$和$\mathbf{x}_{2}(t)\,\!$。

### 質心運動（第一個單體問題）

質心的位置由兩個粒子的位置和質量給出：

$\mathbf{x}_{cm} \ \stackrel{def}{=}\ (m_{1}\mathbf{x}_{1} + m_{2}\mathbf{x}_{2})/M\,\!$。

其中，$M=m_{1} + m_{2}\,\!$是系統的總質量。

質心的加速度為：

$\ddot{\mathbf{x}}_{cm}=(m_{1}\ddot{\mathbf{x}}_{1} + m_{2}\ddot{\mathbf{x}}_{2})/M\,\!$。

由於沒有外力作用，將方程式(1)與(2)相加，根據牛頓第三定律，可以得到

$M\ddot{\mathbf{x}}_{cm} = \mathbf{F}_{12} + \mathbf{F}_{21} = 0 \,\!$。

因此，質心的加速度等於零，質心的速度$\mathbf{v}_{cm}\,\!$為常數：

$\mathbf{v}_{cm}=\dot{\mathbf{x}}_{cm}=(m_{1}\mathbf{v}_{10} + m_{2}\mathbf{v}_{20})/M\,\!$。

這物理系統的動量守恆：

$m_{1}\mathbf{v}_{1} + m_{2}\mathbf{v}_{2}=M\mathbf{v}_{cm}=m_{1}\mathbf{v}_{10} + m_{2}\mathbf{v}_{20}\,\!$。

從兩個粒子的初始位置和初始速度，就可以決定質心在任意時間的位置：

$\mathbf{x}_{cm}=\mathbf{v}_{cm}t+(m_{1}\mathbf{x}_{10} + m_{2}\mathbf{x}_{20})/M\,\!$。

### 位移向量運動（第二個單體問題）

將方程式(1)、(2)分別除以$m_1\,\!$、$m_2\,\!$，然後相減，可以得到

$\ddot{\mathbf{r}} = \ddot{\mathbf{x}}_{1} - \ddot{\mathbf{x}}_{2} = \left( \frac{\mathbf{F}_{12}}{m_{1}} - \frac{\mathbf{F}_{21}}{m_{2}} \right)\,\!$。

其中，$\mathbf{r}\,\!$是個從粒子2位置指到粒子1位置的位移向量。

應用牛頓第三定律，$\mathbf{F}_{12} = -\mathbf{F}_{21}\,\!$。所以。

$\ddot{\mathbf{r}} =\left(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} \right)\mathbf{F}_{12}\,\!$。

兩個粒子之間的作用力應該只是相對位置$\mathbf{r}\,\!$的函數，而不是絕對位置$\mathbf{x}_{1}\,\!$、$\mathbf{x}_{2}\,\!$的函數；否則，無法滿足物理的平移對稱，物理定律會因地而易，二體之間的物理關係無法普遍地成立於全宇宙。換句話說，在宇宙中，兩個粒子的絕對位置無關緊要，因為它們是宇宙中唯一的兩個粒子，是互相施加於彼此的作用力的源頭。誠然地，這是一個不實際的問題，可以被視為一個思想實驗。為了滿足這問題的要求，兩個粒子之間的作用力必須只是相對位置$\mathbf{r}\,\!$的函數。這樣，相減得到的方程式寫為

$\mu \ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = \mathbf{F}(\mathbf{r})\,\!$。

其中，$\mu =m_{1}m_{2}/M\,\!$是約化質量。

一旦求得函數$\mathbf{x}_{cm}(t)\,\!$與$\mathbf{r}(t)\,\!$，就可以計算出兩個粒子的軌跡方程式$\mathbf{x}_{1}(t)\,\!$與$\mathbf{x}_{2}(t)\,\!$：

$\mathbf{x}_{1}(t)=\mathbf{x}_{cm}(t) + m_{2}\mathbf{r}(t)/M\,\!$。

$\mathbf{x}_{2}(t)=\mathbf{x}_{cm}(t) - m_{1}\mathbf{r}(t)/M\,\!$。

## 角動量

兩個粒子的總角動量$\mathbf{L}_{tot} \,\!$為

$$\begin{align}\mathbf{L}_{tot} & =\mathbf{x}_1 \times (m_1\dot{\mathbf{x}}_1)+\mathbf{x}_2 \times (m_2\dot{\mathbf{x}}_2)=\mathbf{x}_{cm} \times M\dot{\mathbf{x}}_{cm}+\mathbf{r} \times \mu\dot{\mathbf{r}} \\ <pre> & =\mathbf{L}_{cm}+ \mathbf{L}_{rel}\\ \end{align}\,\!$$

其中，$\mathbf{L}_{cm}=\mathbf{x}_{cm} \times M\dot{\mathbf{x}}_{cm}\,\!$是質心對於原點的角動量，$\mathbf{L}_{rel}=\mathbf{r} \times \mu\dot{\mathbf{r}}\,\!$是兩個粒子對於質心的角動量。

回想前面質心的軌跡方程式。

$\mathbf{x}_{cm}=\mathbf{v}_{cm}t+(m_{1}\mathbf{x}_{10} + m_{2}\mathbf{x}_{20})/M\,\!$。

為了簡化分析，設定質心的初始位置為$0\,\!$。也就是說，質心的直線運動經過原點。那麼。

$\mathbf{L}_{cm}=\mathbf{v}_{cm}t \times M\mathbf{v}_{cm}=0\,\!$。

$\mathbf{L}_{tot} =\mathbf{L}_{rel}\,\!$。

二體問題常用的換元的技巧是通過 $u=1/r \!$ 和 $\dot{\theta}=Lu^{2}/m\!$ 將原方程中對時間的求導轉化為對角度 $\theta\!$ 的求導，並得到Sturm-Liouville型方程

$$(Lu')'+Lu = 1/L\!$$

### 角動量守恆與連心力

二體問題的總力矩$\boldsymbol{\tau}_{tot}\,\!$是

$\boldsymbol{\tau}_{tot}=\mathbf{x}_1\times\mathbf{F}_{12}+\mathbf{x}_2 \times \mathbf{F}_{21}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}_{12}\,\!$。

在物理學裏，時常會遇到的萬有引力、靜電力等等，都是連心力。假設，作用力$\mathbf{F}_{12}\,\!$是連心力，則$\mathbf{F}_{12}\,\!$與$\mathbf{r}\,\!$同直線，總力矩$\boldsymbol{\tau}_{tot}\,\!$等於0。根據角動量守恆定律。

$\boldsymbol{\tau}_{tot}=\frac{d \mathbf{L}_{tot}}{dt}\,\!$。

因此，總角動量$\mathbf{L}_{tot} \,\!$是個常數，總角動量守恆。

請注意，並不是每一種力都是連心力。假設，兩個粒子是帶電粒子。由必歐-沙伐定律與勞侖茲力定律所算出的作用力和反作用力並不是連心力。總力矩$\boldsymbol{\tau}_{tot}\,\!$不等於0。總角動量不守恆；這是因為還有角動量並沒有被計算在內。假若，將電磁場的角動量計算在內，則角動量守恆定律仍舊成立。

在很多物理系統裏，作用力$\mathbf{F}(\mathbf{r})\,\!$是一種連心力，以方程式表示為

$\mathbf{F}(\mathbf{r}) = F(r)\hat{\mathbf{r}}$。

其中，$r\,\!$是徑向距離，$\hat{\mathbf{r}}\,\!$是徑向單位向量。

這物理系統的運動方程式為

$\mu \ddot{\mathbf{r}} = {F}(r)\hat{\mathbf{r}}\,\!$。

更詳盡細節，請參閱條目經典連心力問題（classical central force problem）。

### 平面運動與角動量守恆

總角動量與$\mathbf{r}\,\!$的點積為

$\mathbf{r}\cdot\mathbf{L}_{tot}=\mathbf{r}\cdot(\mathbf{r} \times(\mu\dot{\mathbf{r}}))=0\,\!$。

這兩個粒子的運動軌道必定包含於垂直於$\mathbf{L}_{tot} \,\!$的平面。假設作用力為連心力，則由於角動量守恆，這兩個粒子必定運動於某特定平面，而常數向量$\mathbf{L}_{tot} \,\!$垂直於這平面。

## 參閱

- 多體問題
- 克卜勒定律
- 克卜勒問題
- 拉普拉斯-龍格-冷次向量
- 伯特蘭定理
- 牛頓旋轉軌道定理