根系 (數學)

在數學中，根系是歐幾里得空間中滿足某些公理的向量配置。根系在李群、李代數與代數群理論中格外重要；而根系分類的主要工具──鄧肯圖，也見諸奇異性理論等與李群並無顯著關係的學科。

## 定義

設 $V$ 為有限維實向量空間，並賦予標準的內積 $(,)$。$V$ 中的根系是有限個向量（稱為根）構成的集合 $\Phi$，滿足下述條件：

- $\Phi$ 的元素張出 $V$。
- 對任一 $\alpha \in \Phi$，其屬於 $\Phi$ 的純量倍數只有 $\pm \alpha$。
- 對任意 $\alpha \in \Phi$，集合 $\Phi$ 在對 $\alpha$ 的反射之下不變。在此的反射是指
- $$\sigma_\alpha(\beta) =\beta-2\frac{(\alpha,\beta)}{(\alpha,\alpha)}\alpha \in \Phi.$$
- （整性）若 $\alpha, \beta \in \Phi$，則 $\beta$ 在 $\alpha$ 方向的投影乘以2是 $\alpha$ 的整數倍，即：
- $$\langle \beta, \alpha \rangle := 2 \frac{(\alpha,\beta)}{(\alpha,\alpha)} \in \mathbb{Z},$$

根據性質三，整性等價於：對任意 $\alpha,\beta \in \Phi$，$\sigma_\alpha(\beta)$ 與 $\beta$ 僅差 $\alpha$ 的整數倍。此外，注意到性質四定義的尖積

$$\langle \cdot, \cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb{Z}$$

並非一個內積，它未必對稱，而且只對第一個參數是線性的。

根系 $\Phi$ 的秩定義為 $V$ 的維度。

給定兩個根系 $(V,\Phi), (W, \Psi)$，可考慮其正交直和 $V \oplus W$，則 $\Phi \sqcup \Psi$ 自然地構成其中的根系。若一個根系無法表成如此的組合（當然，假設 $V, W \neq \{0\}$），則稱之為不可約的。

對兩個根系 $(E_1, \Phi_1), (E_2, \Phi_2)$，若存在其間的線性同構，使得 $\Phi_1$ 映至 $\Phi_2$，則稱它們為同構的根系。

對於根系 $(V, \Phi)$，對根的反射生成一個群，稱為該根系的外爾群。可證明此群在 $\Phi$ 上忠實地作用，因此必為有限群。

## 秩一與秩二的例子

### 秩為1的例子

在同構的意義下，秩一的根系僅有一種，由兩個非零向量 $\{\alpha, -\alpha\}$ 組成。此根系記作 $A_1$。

### 秩為2的例子

秩二的根系有四種可能，對應於$\sigma_\alpha(\beta) = \beta + n\alpha$，其中$n = 0, 1, 2, 3$的情況。注意根系並不由它生成的格所決定：$A_1 \times A_1$ 和$B_2$均生成正方形格，而 $A_2$和$G_2$ 生成六邊形格。這僅僅是五種可能的二維格中的兩種。

圖解如下：

根系 A1×A1node_n1｜根系 A2node_n1

根系 B2node_n1｜根系 G2node_n1

當 $\Phi$ 是 $V$ 中的根系，而 $W$ 是 $\Psi = \Phi \cap W$ 在 $W$ 中生成的子空間，則 $\Psi$ 是 $W$ 中的根系。因此上述列表限制了任意秩根系中兩根的幾何關係，例如：任意兩根的交角僅可能是 $0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150$ 或 $180$ 度。

## 正根與單根

對於根系 $\Phi$，可以取定滿足下述條件的正根子集 $\Phi^+$：

- 對每個根 $\alpha\in\Phi$，$\alpha, -\alpha$ 中恰有一者屬於 $\Phi^+$。
- 對任意 $\alpha, \beta\in \Phi^+$，若 $\alpha+\beta \in \Phi$，則 $\alpha+\beta \in \Phi^+$。

正根的取法並不唯一。取定一組正根後，$-\Phi^+$ 的元素被稱為負根。

正根的選取等價於單根的選取。單根集是 $\Phi$ 中滿足下述條件的子集 $\Delta$：

任意 $\Phi$ 中的元素皆可唯一地表成 $\Delta$ 中元素的整係數線性組合，而且其係數或者全大於等於零，或者全小於等於零。

選定一組單根後，可定義相應的正根為展開式中係數大於等於零的根。如此可得到單根與正根選取法的一一對應。

## 以鄧肯圖分類根系

不可約根系與某類被稱為鄧肯圖的圖間有一一對應關係。鄧肯圖的分類是簡單的組合學問題，由此可導出不可約根系的分類定理。其構造方式如下：

給定一個不可約根系，選取一組單根。相應的鄧肯圖以這些單根為頂點。兩個單根 $\alpha, \beta$ 若不垂直，則有 $\langle \alpha, \beta \rangle \cdot \langle \beta, \alpha \rangle$ 個邊相連：若只有一個邊，則不取定向，否則則取自長度 $(\alpha, \alpha)$ 長者（稱為長根）指向短者（稱為短根）的有向邊。

一個根系可以取多種不同的單根。然而，由於外爾群在這些選取上的作用是傳遞的，鄧肯圖的構造與單根的選取無關，它是根系內在的不變量。反之，給定具有相同鄧肯圖的兩個不可約根系，可以按圖配對單根及其間的內積，從而得到根系的同構。鄧肯圖給出的內積未必唯一，但至多差一個正常數倍，因而得到的根系是同構的。

藉此，可將不可約根系的分類問題化約到連通鄧肯圖的分類。若某個鄧肯圖來自於根系，則從其頂點與邊定義的雙線性形式必然是鄧肯的；配上這個條件後，即可解決根系的分類。

鄧肯圖的分類列表詳如下圖。下標表示圖中的頂點數，亦即相應根系的秩。

## 不可約根系的性質

$\Phi$｜$|\Phi|$｜$|\Phi^{<}|$｜I｜$|W|$

An (n≥1)｜n(n+1)｜n+1｜(n+1)!

Bn (n≥2)｜2n2｜2n｜2｜2n n!

Cn (n≥3)｜2n2｜2n(n−1)｜2｜2n n!

Dn (n≥4)｜2n(n−1)｜4｜2n−1 n!

E6｜72｜3｜51840

E7｜126｜2｜2903040

E8｜240｜1｜696729600

F4｜48｜24｜1｜1152

G2｜12｜6｜1｜12

不可約根系依其鄧肯圖的種類命名。有四族根系：$A_n, B_n, C_n, D_n$，其下標分別取遍 $n \geq 1,2,3,4$ 的正整數，稱為典型根系；剩下五種情形稱為例外根系。下標表示根系之秩。在上表中， $|\Phi^{<}|$ 表示短根的個數（若諸根同長，則皆視為長根），$I$ 表示其嘉當矩陣的行列式，而 $|W|$ 表示外爾群之階。

## 不可約根系的構造方法及描述

### An

取 $V$ 為 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中滿足 $\sum_{i=1}^{n+1} x_i = 0$ 的點 $(x_1, \ldots, x_{n+1})$ 所成之子空間。令 $\Phi$ 為 $V$ 中長度為 $\sqrt{2}$ 的格子點。取 $\mathbb{R}^{n+1}$ 的標準基 $e_1, \ldots, e_{n+1}$，則根具有 $e_i-e_j \; (i \neq j)$ 的形式，共有 $n(n+1)$ 個根。通常取單根為 $\alpha_i := e_i - e_{i+1}$。

對垂直於 $\alpha_i$ 的超平面的鏡射在 $\Phi$ 上的作用是交換第 $i, i+1$ 個座標。因此 $A_n$ 的外爾群不外就是對稱群 $S_{n+1}$。

$A_n$ 是李代數 $\mathfrak{sl}(n+1, \mathbb{C})$ 的根系。

### Bn

1｜-1｜0｜0

0｜1｜-1｜0

0｜0｜1｜-1

0｜0｜0｜1

取 $V = \mathbb{R}^n$，並令 $\Phi$ 為 $V$ 中長度為 $1, \sqrt{2}$ 的格子點。共有 $2n^2$ 個根。通常取單根為 $\alpha_i = e_i - e_{i+1} \; (1 \leq i < n)$ 及 $\alpha_n := e_n$（短根）。

對短根 $\alpha_n$ 的反射即 $(x_1, \ldots, x_n) \mapsto (x_1, \ldots, -x_n)$。

$B_1$ 跟 $A_1$ 僅差一個縮放，因此通常僅考慮 $n \geq 2$ 的情形。$B_n$ 是李代數 $\mathfrak{so}(2n+1, \mathbb{C})$ 的根系。

### Cn

1｜-1｜0｜0

0｜1｜-1｜0

0｜0｜1｜-1

0｜0｜0｜2

取 $V = \mathbb{R}^n$，$\Phi$ 為 $V$ 中所有長度 $\sqrt{2}$ 的格子點與形如 $2\lambda$的點，其中 $\lambda$ 是長度為一的格子點。共有 $2n^2$ 個根。通常取單根為 $\alpha_i := e_i - e_{i+1} \; (1 \leq i < n)$及 $\alpha_n := 2e_n$（長根）。

$C_2$ 與 $B_2$ 僅差一個縮放加上旋轉 45 度，因此通常僅考慮 $n \geq 3$ 的情形。$C_n$ 是李代數 $\mathfrak{sp}(2n,\mathbb{C})$ 的根系。

### Dn

1｜-1｜0｜0

0｜1｜-1｜0

0｜0｜1｜-1

0｜0｜1｜1

取 $V := \mathbb{R}^n$，$\Phi$ 為 $V$ 中長度 $\sqrt{2}$ 的格子點。共有 $2n(n-1)$ 個根。通常取單根為 $\alpha_i = e_i - e_{i+1}, \; (1 \leq i < n)$ 及 $\alpha_n = e_n + e_{n-1}$。

$D_3$ 同構於 $A_3$，故通常僅考慮 $n \geq 4$ 的情形。$D_n$ 是李代數 $\mathfrak{so}(2n,\mathbb{C})$ 的根系。

### E8, E7, E6

$E_8$ 是較為特殊的根系。首先定義 $\mathbb{R}^8$ 中滿足下述條件的點集 $\Gamma_8$：

- 各座標均為整數，或均為半整數（不容相混）。
- 八個座標的和為偶數。

定義 $E_8$ 為 $\Gamma_8$ 中長度為 $\sqrt{2}$ 的向量，即：

$$\left\{ \alpha \in \mathbb{Z}^8 \sqcup \left(\mathbb{Z}+\frac{1}{2}\right)^8 : |\alpha|^2 = 2, \; \sum \alpha_i \in 2\mathbb{Z} \right\}$$

定義 $E_7$ 為 $E_8$ 與超平面 $\{x : (x,\alpha)=0 \}$ 之交，其中 $\alpha \in E_8$ 是任取的根。同樣步驟施於 $E_7$，得到更小的根系 $E_6$。根系 $E_6, E_7, E_8$ 分別有 72, 126 與 240 個根。若續行此化約步驟，則會得到典型根系 $D_5, A_4$。

1｜-1｜0｜0｜0｜0｜0｜0

0｜1｜-1｜0｜0｜0｜0｜0

0｜0｜1｜-1｜0｜0｜0｜0

0｜0｜0｜1｜-1｜0｜0｜0

0｜0｜0｜0｜1｜-1｜0｜0

0｜0｜0｜0｜0｜1｜-1｜0

0｜0｜0｜0｜0｜1｜1｜0

½｜½｜½｜½｜½｜½｜½｜½

另一種等價的描述是取 $\Gamma'_8$ 為：

- 各坐標均為整數，而且其和為偶數；或
- 各坐標均為半整數，而且其和為奇數。

$\Gamma_8$ 與 $\Gamma'_8$ 同構。將任意偶數個座標乘以負一，便可在兩者間轉換。$\Gamma_8$ 稱為 $E_8$ 的偶坐標系，$\Gamma'_8$ 稱為奇坐標系。

在偶坐標下，通常取單根為

$$\alpha_i := e_i - e_{i+1} \quad (1 \leq i \leq 6)$$

$$\alpha_7 := e_7 + e_6$$

$$\alpha_8 = \beta_0 = \frac{\sum_{i=1}^8 e_i}{2}$$

1｜-1｜0｜0｜0｜0｜0｜0

0｜1｜-1｜0｜0｜0｜0｜0

0｜0｜1｜-1｜0｜0｜0｜0

0｜0｜0｜1｜-1｜0｜0｜0

0｜0｜0｜0｜1｜-1｜0｜0

0｜0｜0｜0｜0｜1｜-1｜0

0｜0｜0｜0｜0｜0｜1｜-1

-½｜-½｜-½｜-½｜-½｜½｜½｜½

在奇坐標下，通常取單根為

$$\alpha_i := e_i - e_{i+1} \quad (1 \leq i \leq 7)$$

$\alpha_8 := \beta_5$，其中

$$\beta_j := \frac{-\sum_{i=1}^j e_i + \sum_{i=j+1}^8 e_i}{2}$$

（在上述定義中，若改取 $\beta_3$，將得到同構的結果。若改取 $\beta_1, \beta_7, \beta_2, \beta_6$，將得到 $A_8$ 或 $D_8$。至於 $\beta_4$，其坐標和為零，而 $\alpha_1, \ldots, \alpha_7$ 亦然，所以張出的向量空間維度不合所求。

刪去 $\alpha_1$ 可得到 $E_7$ 的一組單根；再刪去 $\alpha_2$，可得 $E_6$ 的單根。

由於對 $\alpha_1$ 垂直等價於前兩個坐標相等，而對 $\alpha_1, \alpha_2$ 垂直等價於前三個座標相等，不難導出 $E_7, E_6$ 的明確定義：

E7 = (α ∈ Z7 ∪ (Z+½)7: ∑αi2 + α12 = 2，∑αi + α1 ∈ 2Z),

E6 = (α ∈ Z6 ∪ (Z+½)6: ∑αi2 + 2α12 = 2，∑αi + 2α1 ∈ 2Z)

### F4

1｜-1｜0｜0

0｜1｜-1｜0

0｜0｜1｜0

-½｜-½｜-½｜-½

對於 $F_4$，取 $V=\mathbb{R}^4$，並令 $\Phi$ 為滿足下述條件的向量：

- $$|\alpha| = 1, \sqrt{2}$$
- $2\alpha$ 各坐標皆為奇數或皆為偶數。

此根系有 $48$ 個根。通常取單根為 $B_3$ 的單根再加上 $\alpha_4 = -\left(\sum_{i=1}^4 e_i\right)/2$。

### G2

1｜-1｜0

-1｜2｜-1

$G_2$ 有 12 個根，構成一個六邊形的頂點，詳如秩二的例子一節所示。通常取單根為

- $$\alpha_1$$
- $$\beta := \alpha_2 - \alpha_1$$

在此沿用了之前的符號： $\alpha_i := e_i - e_{i+1}, \; (i=1,2)$。

## 根系與李群、李代數

不可約根系的分類可用於研究下述對象：

- 單複李代數
- 單複李群
- 模掉中心後為單李群的單連通複李群
- 緊單李群

## 參考文獻

### 來源

- Serre, J.-P., Jones, G. A., Complex Semisimple Lie Algebras (2001), Springer-Verlag, ISBN 3540678271
- Serre, J.-P. Lie Algebras and Lie Groups (2005), Lecture Notes in Mathematics, no. 1500, Springer-Verlag, ISBN 3540550089 .
- Dynkin, E. B. The structure of semi-simple algebras. (Russian) Uspehi Matem. Nauk (N.S.) 2, (1947). no. 4(20), 59–127.