立體角

立體角，常用字母Ω表示，是一個物體對特定點的三維空間的角度，是平面角在三維空間中的類比。它描述的是站在某一點的觀察者測量到的物體大小的尺度。例如，對於一個特定的觀察點，一個在該觀察點附近的小物體有可能和一個遠處的大物體有著相同的立體角。

錐體的立體角大小定義為，以錐體的頂點為球心作球面，該錐體在球表面截取的面積與球半徑平方之比，單位為球面度（sr）。一個球體即是4π，半球即是2π。

## 立體角的定義

以觀測點為球心，構造一個單位球面；任意物體投影到該單位球面上的投影面積，即為該物體相對於該觀測點的立體角。

因此，立體角是單位球面上的一塊面積，這和「平面角是單位圓上的一段弧長」類似。

### 立體角公式

在球坐標系中。

$$dA = (r\sin\theta\,d\varphi)(r d\theta)=r^2(\sin\theta\,d\theta\,d\varphi)$$

因此，極小立體角（單位球面上的極小面積）為：

$$d\Omega = \frac{dA}{r^2} = \sin\theta\,d\theta\,d\varphi$$

所以，立體角是投影面積與球半徑平方值的比，這和「平面角是圓的弧長與半徑的比」類似。

對極小立體角做曲面積分即可得立體角：

$$\Omega= \iint_S d\Omega = \iint_S \sin\theta\,d\theta\,d\varphi$$

### 任意定向曲面的立體角

任意定向曲面 $\vec{S}$ 相對於某一個點 $P$ 的立體角，即為該曲面投影到以 $P$ 為球心的單位球面上的面積。

令 $\vec{r}$ 為該單位球面上以 $P$ 為原點的極小面積的位置向量，可以得到以下公式：

$$\Omega= \iint_S \frac{dA}{r^{2}} =\iint_S \frac { \vec{r} \cdot \textrm{d}\vec{S}}{\left| \vec{r} \right|\, r^2}= \iint_S \frac { \vec{r} \cdot \textrm{d}\vec{S}}{ r^3}$$

### 立體角的單位

立體角的國際制單位是球面度（steradian，sr）。立體角有一個非國際制單位平方度，1 sr = (180/π)2 square degree。

### 封閉曲面的立體角

一個完整的球面對於球內任意一點的立體角為4π sr（對於球外任意一點的立體角為0 sr）：

${\scriptstyle S}$ $\ \sin\theta\,d\theta\,d\varphi$ $\ = \int_0^\pi \sin\theta d\theta \int_0^{2\pi} d\varphi = [-\cos\theta]_0^{\pi} (2\pi) = 4\pi$

這個定理對所有封閉曲面皆成立，它也是高斯定律的主要依據。

## 立體角的應用

立體角在物理上有相當多的應用：

- 計算電通量與磁通量，是高斯常用的數學方法。在高斯的環繞數中，也使用了立體角來推導出環繞數的公式。
- 計算發光強度。

## 常見幾何體的立體角

### 圓錐，球冠

頂角為2$\theta$的圓錐的立體角為一個單位球的球冠。

$$\Omega = 2 \pi \left (1 - \cos {\theta} \right) .\,\!$$

（上面結果由下式得到）

$$\int_0^{2\pi} \int_0^{\theta} \sin \theta' \ d \theta' \ d \phi = 2\pi\int_0^{\theta} \sin \theta' \ d \theta' = 2\pi\left[ -\cos \theta' \right]_0^{\theta} \ = 2\pi\left(1 -\cos \theta \right).$$

應該注意阿基米德在2200年前不用微積分證明了球冠的表面積與半徑為球冠邊沿到球冠最低點的距離的圓的面積相等。

$$2r \sin \left( \frac{ \theta}{2} \right).\,$$

顯然，在單位圓中球冠立體角為

$$\Omega = 4 \pi \sin^2 \left( \frac{ \theta}{2} \right) = 2 \pi \left (1 - \cos {\theta} \right) .\,\!$$

當 θ = π/2，球冠變為有著立體角 2π的半球。

當 θ = π，立體角涵蓋整個球體，球冠變為有著立體角 4π的球，我們將4π稱為全方位立體角。

### 任意四面體的立體角

對於任意一個四面體OABC,其中O,A,B,C分別為四面體的四個頂點。下面給出一個公式，計算從O點觀察三角形ABC的立體角Ω的方便簡單的公式。令α=∠BOC，β=∠AOC，γ=∠AOB(均為各自平面內兩條直線的夾角，可以採用平面三角形的餘弦公式計算求得)，$s = \frac {1}{2} (\alpha + \beta + \gamma).$有(參見L' Huilier')

$$\tan \left( \frac{\Omega}{4} \right) = \sqrt{ \tan \left( \frac{s}{2}\right) \tan \left( \frac{s - \alpha}{2}\right) \tan \left( \frac{s - \beta}{2}\right) \tan \left( \frac{s - \gamma}{2}\right)}$$

附上相應的Fortran 程序：

```fortran
program solid_angle
REAL X(4),Y(4),Z(4)  !存放四个顶点的三维坐标，依次为A,B,C,O（程序中以P点代替，为观测点）

X(1)=1         
X(2)=0
X(3)=0
X(4)=0
Y(1)=0
Y(2)=1
Y(3)=0
Y(4)=0
Z(1)=0
Z(2)=0
Z(3)=1
Z(4)=0

以单位1球体，在第一象限的八分之一球所含的四面体为例。程序可适用于任意四面体。

分别计算6条棱的长度的平方
PA=(X(4)-X(1))**2+(Y(4)-Y(1))**2+(Z(4)-Z(1))**2
PB=(X(4)-X(2))**2+(Y(4)-Y(2))**2+(Z(4)-Z(2))**2
PC=(X(4)-X(3))**2+(Y(4)-Y(3))**2+(Z(4)-Z(3))**2

AB=(X(1)-X(2))**2+(Y(1)-Y(2))**2+(Z(1)-Z(2))**2
BC=(X(3)-X(2))**2+(Y(3)-Y(2))**2+(Z(3)-Z(2))**2
AC=(X(1)-X(3))**2+(Y(1)-Y(3))**2+(Z(1)-Z(3))**2

应用余弦公式计算三个夹角

COSALPHA=(PB+PC-BC)/2.0/SQRT(PB*PC)
COSBETA=(PA+PC-AC)/2.0/SQRT(PA*PC)
COSGAMA=(PB+PA-AB)/2.0/SQRT(PB*PA)

ALPHA=acos((PB+PC-BC)/2.0/SQRT(PB*PC))
BETA=acos((PA+PC-AC)/2.0/SQRT(PA*PC))
GAMA=acos((PB+PA-AB)/2.0/SQRT(PB*PA))

s=(alpha+beta+gama)/2.

omiga=atan(sqrt(tan(s/2.)*tan(s/2.-alpha/2.)*tan(s/2.-beta/2.)*tan(s/2.-gama/2.)))*4.

write(*,*) omiga*180./3.14159
end 
```

## 外部鏈接

- YouTube: Chapter 23 02 Solid Angle