拉普拉斯-貝爾特拉米算子

在微分幾何中，拉普拉斯算子可以推廣為定義在曲面，或更一般地黎曼流形與偽黎曼流形上，函數的算子。這個更一般的算子叫做拉普拉斯－貝爾特拉米算子（Laplace–Beltrami operator）。與拉普拉斯算子一樣，拉普拉斯–貝爾特拉米算子定義為梯度的散度。這個算子作為共變導數的散度，可以延拓到張量上的算子。或者，利用散度與外導數，這個算子可以推廣到微分形式上的算子，所得的算子稱為拉普拉斯－德拉姆算子（Laplace–de Rham operator）。

## 拉普拉斯－貝爾特拉米算子

就像拉普拉斯算子一樣，定義拉普拉斯－貝爾特拉米算子為梯度的散度。為了寫出這個算子的一個公式，首先需寫出流形上的散度與梯度。

設 $g$ 表示流形上的（偽）-度量張量，我們發現在局部坐標中體積形式由

$$\mathrm{vol}_n := \sqrt{|g|} \;dx^1\wedge \ldots \wedge dx^n$$

給出，這裡 $dx^i$ 是局部坐標系基向量

$$\partial_i := \frac {\partial}{\partial x^i}$$

對偶基 1-形式，而 $\wedge$ 是楔積。這裡 $|g|:=|\det g_{ij}|$ 是度量張量行列式的絕對值。流形上一個向量場 X 的散度可以定義為

$$(\mbox{div} X) \; \mathrm{vol}_n := \mathcal{L}_X \mathrm{vol}_n$$

這裡 $L_X$ 是沿著向量場 X 的李導數。在局部坐標中，我們得到

$$\mbox{div} X = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \partial_i \left(\sqrt {|g|} X^i\right).$$

這裡（下面同樣如此）使用了愛因斯坦求和約定，所以上式其實是一個關於 i 的和式。一個數量函數 f 的梯度利用流形上內積 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 可定義為

$$\langle \mbox{grad} f(x) , v_x \rangle = df(x)(v_x)$$

對位於流形在 x 點的切空間中所有向量 $v_x$ 成立。這裡 df 是函數 f 的外導數；它是變量 $v_x$ 的一個函數。在局部坐標中有

$$\left(\mbox{grad} f\right)^i = \partial^i f = g^{ij} \partial_j f.$$

綜上，對一個數量函數 f 的拉普拉斯–貝爾特拉米算子在局部坐標中公式為

$$\Delta f = \mbox{div grad} \; f = \frac{1}{\sqrt {|g|}} \partial_i \left(\sqrt{|g|} g^{ij} \partial_j f \right).$$

這裡 $g^{ij}$ 是度量張量 $g$ 之逆的分量，所以 $g^{ij}g_{jk}=\delta^i_k$，這裡 $\delta^i_k$ 為克羅內克函數。

注意到如上定義中，只對數量函數 $f:M\rightarrow \mathbb{R}$ 有效。我們欲將對函數的拉普拉斯算子，延拓到微分形式上；為此，我們必須回到拉普拉斯–德拉姆算子，將在下一節定義。可以證明拉普拉斯–貝爾特拉米算子在歐幾里得空間退化通常的拉普拉斯算子，利用乘積法則與鏈式法則將其重寫為

$$\Delta f = \partial_i \partial^i f + (\partial^i f) \partial_i \ln \sqrt{|g|}.$$

當 $|g| = 1$，比如笛卡兒坐標下的歐幾里得空間，容易得到

$$\Delta f = \partial_i \partial^i f$$

這就是通常的拉普拉斯算子。利用符號為 (+++-) 的閔可夫斯基度量，得到達朗貝爾算子。在局部參數化 $u^1, u^2$ 中，拉普拉斯–貝爾特拉米算子利用度量張量與克里斯托費爾符號可表示如下：

$$\Delta f = g^{ij}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial u^i\, \partial u^j} - \Gamma_{ij}^k \frac{\partial f}{\partial u^k} \right).$$

注意到通過使用球坐標與圓柱坐標的度量張量，我們類似地可重新得到拉普拉斯算子在球坐標與圓柱坐標下的表達式。拉普拉斯–貝爾特拉米算子不僅在彎曲空間中存在，而且在曲線坐標系下的通常平坦空間中也存在。

另外注意到外導數 d 與 -div 伴隨：

$\int_M df(X) \;\mathrm{vol}_n = - \int_M f \mbox{div} X \;\mathrm{vol}_n$ （證明）

這裡最後一個等式利用了斯托克斯定理。另外注意拉普拉斯–貝爾特拉米算子是負的且對稱：

$$\int_M f\Delta h \;\mathrm{vol}_n = - \int_M \langle \mbox{grad} f, \mbox{grad} h \rangle \;\mathrm{vol}_n = \int_M h\Delta f \;\mathrm{vol}_n$$

對函數 f 與 h。因此，許多作者定義拉普拉斯–貝爾特拉米算子時添一個減號，將其變成正的。

### 利用共變導數

拉普拉斯–貝爾特拉米算子也可利用與列維-奇維塔聯絡相伴的迭代共變導數的跡寫出來。從這個觀點來看，設 Xi 是切向量場的一個基（不必由坐標系誘導）。則一個函數 f 的黑塞矩陣是一個 2-張量，分量由

$$H(f)_{ij}=H_f(X_i, X_j) =(\nabla df)(X_i, X_j)=(\nabla_{X_i} df)(X_j)= \nabla_{X_i}\nabla_{X_j} f - \nabla_{\nabla_{X_i}X_j} f$$

給出。容易看出有張量性變換，因為對每個變量 Xi 與 Xj 都是線性的。則拉普拉斯–貝爾特拉米算子是黑塞矩陣關於度量的跡：

$$\Delta f = \sum_{ij} g^{ij} H(f)_{ij}.$$

在抽象指標記號中，此算子經常寫成

$$\Delta f = \nabla^a \nabla_a f$$

需要理解清楚的是這個跡其實就是黑塞張量的跡。

## 拉普拉斯－德拉姆算子

更一般地，我們可以在微分流形的外代數上定義一個拉普拉斯微分算子。在黎曼流形上它是一個橢圓型算子，而在洛倫茲流形上是雙曲型的。拉普拉斯–德拉姆算子定義為

$$\Delta= \mathrm{d}\delta+\delta\mathrm{d} = (\mathrm{d}+\delta)^2,\;$$

這裡 d 是外導數而 δ 是余微分。當作用在數量函數上，余微分可以定義為 δ = −$*$d$*$，這裡 $*$ 是霍奇星算子；更一般地，余微分可能包含與所作用的 k-形式的階數有關的一個符號。

可以證明拉普拉斯–德拉姆算子作用在數量函數 f 上時與前面的拉普拉斯–貝爾特拉米算子定義相同；細節參見證明。注意拉普拉斯–德拉姆算子事實上是負拉普拉斯–貝爾特拉米算子；這個符號來自定義余微分的習慣。不幸的是，兩者都用 Δ 表示，經常成為混亂之源。

### 性質

給定數量函數 f 與 h，以及一個實數 a，拉普拉斯–德拉姆算子有如下性質：

- $$\Delta(af + h) = a\,\Delta f + \Delta h\!$$
- $\Delta(fh) = f \,\Delta h + 2 (\partial_i f) (\partial^i h) + h\, \Delta f$ （證明）

## 張量上的拉普拉斯算子

利用與列維-奇維塔聯絡相伴的共變導數，拉普拉斯–貝爾特拉米算子可推廣到偽黎曼流形上任意張量。這個推廣的算子可以作用在反對稱張量上。但所得的算子與拉普拉斯–德拉姆算子給出的不同：兩者通過外森比克恆等式相關。

## 例子

拉普拉斯–貝爾特拉米算子許多特例可以明白地寫出來。

球面拉普拉斯算子

球面拉普拉斯算子是帶截面曲率為 1 的典範度量 n-1 維球面上的拉普拉斯–貝爾特拉米算子。通常將其視為等距嵌入 Rn 中，作為以原點為中心的單位球面。則對$S^{n-1}$上一個函數$f$，其球面拉普拉斯算子定義為

$$\Delta_{S^{n-1}}f(x) = \Delta f(x/|x|)$$

這裡 f(x/|x|) 是函數 f 次數為零的齊次延拓到 Rn，而 Δ 是周圍歐幾里得空間的拉普拉斯算子。具體地，這由歐幾里得拉普拉斯算子在球極坐標下熟知的公式所蘊含：

$$\Delta f = r^{-n}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^n\frac{\partial f}{\partial r}\right) + r^{-2}\Delta_{S^{n-1}}f.$$

更一般地，利用法叢可進行類似的技巧，定義任何黎曼流形作為等距嵌入歐幾里得空間中的超平面上的拉普拉斯–貝爾特拉米算子。

我們也可以給出球面上拉普拉斯–貝爾特拉米算子在法坐標系中一個內蘊描述。設 (t,ξ) 是球面上關於球面上特定點 p （北極）的球坐標，這就是關於 p 的測地極坐標。這裡 t 表示從 p 出發沿著單位速度測地線的緯度，ξ 是表示$S^{n-1}$中測地線的方向的一個參數。則球面拉普拉斯算子具有如下形式

$$\Delta f(t,\xi) = \sin^{1-n}t \frac{\partial}{\partial t}\left(\sin^{n-1}t\frac{\partial f}{\partial t}\right) + \sin^{-2}t\Delta_\xi f$$

這裡 $\Delta_\xi$ 是通常 n - 1 球面上的拉普拉斯算子。

## 參考文獻

- Jürgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 . (Provides a general introduction to curved surfaces).