聯絡形式

在數學，特別是微分幾何中，一個聯絡形式（connection form）是用活動標架與微分形式的語言處理聯絡數據的一種方式。

歷史上聯絡形式由埃利·嘉當在二十世紀上半葉引入，作為他活動標架方法的一部分，也是其主要促進因素之一。聯絡形式一般取決於標架的選取，從而不是一個張量性對象。在嘉當最初的工作之後，湧現出聯絡形式的各種推廣與重新解釋。特別地，在一個主叢上，一個主聯絡是將聯絡形式自然重新解釋為一個張量性對象。另一方面，聯絡形式作為定義在微分流形上的微分形式與在一個抽象的主叢上相比，有其優越性。從而，儘管它們不滿足張量性，聯絡形式依然被使用，因為利用它們計算相對簡單。在物理學中，聯絡形式在規範理論中通過規範共變微分也廣泛應用。

與向量叢的每個基相伴的聯絡形式是微分 1-形式矩陣。聯絡形式沒有張量性因為在基變化下，聯絡形式的變換涉及到轉移函數的外微分，與列維-奇維塔聯絡的克里斯托費爾符號非常類似。一個聯絡形式的主要張量性不變量是其曲率形式。如果有將向量叢與切叢等價的一個焊接形式，則有另一個不變量：撓率形式。在許多情形，考慮有附加結構的向量叢上的聯絡形式：即帶有結構群的纖維叢。

## 向量叢

### 預備

#### 向量叢上的標架叢

設 E 是光滑流形 M 上纖維維數為 k 的一個向量叢。E 的一個局部標架是 E 的局部截面的一個有序基。

令 e=(eα)α=1,2,...,k 是 E 上一個局部標架。這個標架可用來表示 E 的任何局部截面。假設 ξ 是一個局部截面，定義在 e 的同一個開子集上，則

$$\xi = \sum_{\alpha=1}^k e_\alpha \xi^\alpha(\mathbf e)$$

其中 ξα(e) 表示 ξ 在標架 e 中的分量。寫成一個矩陣方程，有

$$\xi = {\mathbf e} \begin{bmatrix} \xi^1(\mathbf e)\\ \xi^2(\mathbf e)\\ \vdots\\ \xi^k(\mathbf e) \end{bmatrix}= {\mathbf e}\, \xi(\mathbf e).$$

#### 外聯絡

E 上一個聯絡是一類特殊的微分算子

$$D : \Gamma(E) \rightarrow \Gamma(E\otimes\Omega^1M)$$

這裡 Γ 表示一個向量叢的局部截面層，Ω1M 是 M 上微分 1-形式。特別地，如果 v 是 E 的一個局部截面，f 是一個光滑函數，則

$$D(fv) = v\otimes (df) + fDv$$

這裡 df 是 f 的外導數。

有時習慣於將 D 的定義延拓到任意 E-值形式，這樣講其視為 E 與整個微分形式外代數的張量積上一個微分你算子。給定一個外聯絡 D 滿足這個相容性質，則存在 D 的惟一延拓：

$$D : \Gamma(E\otimes\Omega^*M) \rightarrow \Gamma(E\otimes\Omega^*M)$$

使得

$$D(v\wedge\alpha) = (Dv)\wedge\alpha + (-1)^{\text{deg}\, v}v\wedge d\alpha$$

這裡 v 是次數為 deg v 的齊次元素。換句話說，D 是分次模 Γ(E ⊗ Ω*M) 上的一個導子。

### 聯絡形式

聯絡形式出現在將外聯絡應用於一個特定的標架 e。當外聯絡應用於 eα，有惟一的 M 上 1-形式 k × k 矩陣 (ωαβ) 使得

$$D e_\alpha = \sum_{\beta=1}^k e_\beta\otimes\omega^\beta_\alpha.$$

利用聯絡形式，E 任何截面的外聯絡現在可以表示出來，假設 ξ = Σα eαξα，則

$$D\xi = \sum_{\alpha=1}^k D(e_\alpha\xi^\alpha(\mathbf e)) = \sum_{\alpha=1}^k e_\alpha\otimes d\xi^\alpha(\mathbf e) + \sum_{\alpha=1}^k\sum_{\beta=1}^k e_\beta\otimes\omega^\beta_\alpha \xi^\alpha(\mathbf e).$$

在兩邊取分量。

$$D\xi(\mathbf e) = d\xi(\mathbf e)+\omega \xi(\mathbf e) = (d+\omega)\xi(\mathbf e)$$

其中 d 與 ω 分別表示外導數與一個 1-形式矩陣，作用在 ξ 的分量上。反之，一個 1-形式矩陣 ω 先天足以完全確定在 e 所定義的開子集上局部聯絡。

#### 標架的改變

為了將 ω 延拓到一個合適的整體對象，必須檢驗選取 E 不同的截面時的行為。為了表明取決於 e 的選取寫成 ωαβ = ωαβ(e)。

假設 e′ 是另一個局部基，則有一個可逆 k × k 矩陣函數 g 使得

$${\mathbf e}' = {\mathbf e}\, g,\quad \text{i.e., }\,e'_\alpha = \sum_\beta e_\beta g^\beta_\alpha.$$

將外聯絡應用到兩邊，給出了 ω 的變換法則：

$$\omega(\mathbf e\, g) = g^{-1}dg+g^{-1}\omega(\mathbf e)g.$$

特別注意 ω 不滿足張量性變換，因為從一個標架到另一個標架的法則涉及到轉移矩陣 g 的導數。

#### 整體聯絡形式

如果 {Up} 是 M 的一個開覆蓋，且每個 Up 攜有 E 的一個平凡化 ep，則利用在重疊區域上局部標架的黏合數據可以定義一個整體聯絡形式。具體地，M 上一個聯絡形式是定義在每個 Up 上的 1-形式矩陣 ω(ep) 的一個系統，滿足下列相容性條件

$$\omega(\mathbf e_q) = (\mathbf e_p^{-1}\mathbf e_q)^{-1}d(\mathbf e_p^{-1}\mathbf e_q)+(\mathbf e_p^{-1}\mathbf e_q)^{-1}\omega(\mathbf e_p)(\mathbf e_p^{-1}\mathbf e_q).$$

這個相同性條件特別地確保 E 的一個截面的外聯絡，當抽象地視為 E ⊗ Ω1M 的一個截面時，與定義聯絡中基截面的選取無關。

### 曲率

E 上一個聯絡形式的曲率 2-形式定義為

$$\Omega(\mathbf e) = d\omega(\mathbf e) + \omega(\mathbf e)\wedge\omega(\mathbf e).$$

不像聯絡形式，曲率在標架的變化下表現為張量性，可以利用龐加萊引理直接驗證。特別地，如果 e → e g 是標架的一個變化，則曲率 2-形式變換為

$$\Omega(\mathbf e\, g) = g^{-1}\Omega(\mathbf e)g.$$

此變換法則的一種理解如下。設 e* 是對應於 e 的對偶基。則 2-形式

$$\Omega={\mathbf e}\Omega(\mathbf e){\mathbf e}^*$$

與標架的選取無關。特別地，Ω 是 M 上一個向量值 2-形式，取值於自同態環 Hom(E,E)。用符號表示。

$$\Omega\in \Gamma(\Omega^2M\otimes \text{Hom}(E,E)).$$

使用外聯絡 D，曲率自同態由

$$\Omega(v) = D(D v) = D^2v\,$$

給出，對 v ∈ E。從而曲率是序列

$$\Gamma(E)\ \stackrel{D}{\to}\ \Gamma(E\otimes\Omega^1M)\ \stackrel{D}{\to}\ \Gamma(E\otimes\Omega^2M)\ \stackrel{D}{\to}\ \dots\ \stackrel{D}{\to}\ \Gamma(E\otimes\Omega^n(M))$$

不能成為鏈復形（在德拉姆上同調的意義下）的度量。

### 焊接與撓率

假設 E 的纖維維數 k 等於流形 M 的維數。在此情形，向量叢 E 有時帶有出聯絡外的附加數據：一個焊接形式（solder form）。一個焊接形式是一個整體定義的向量值 1-形式 θ ∈ Γ(Ω1(M,E)) 使得映射

$$\theta_x : T_xM \rightarrow E_x$$

對所有 x ∈ M 是線性同構。如果給定了一個焊接形式，則可以定義聯絡的撓率為（用外聯絡表示）：

$$\Theta = D\theta.\,$$

撓率 Θ 是 M 上一個 E-值 2-形式。

一個焊接形式與相伴的撓率都可用 E 的一個局部標架 e 描述。如果 θ 是一個焊接形式，則可分解為標架分量

$$\theta = \sum_i \theta^i(\mathbf e) e_i.$$

那麼撓率的分量為

$$\Theta^i(\mathbf e) = d\theta^i(\mathbf e) + \sum_j \omega_j^i(\mathbf e)\wedge \theta^j(\mathbf e).$$

與曲率一樣，可以證明 Θ 在標架的變化與反變張量變現類似

$$\Theta^i(\mathbf e\, g)=\sum_j g_j^i \Theta^j(\mathbf e).$$

與標架無關的撓率可由標架分量重新得到：

$$\Theta = \sum_i e_i \Theta^i(\mathbf e).$$

### 例：列維-奇維塔聯絡

假設 M 帶有一個黎曼度量，考慮 M 的切叢上的列維-奇維塔聯絡。切叢上一個局部標架是一個有序向量場 e = (ei M) 定義在 M 的一個開子集上，在定義域每一點上線性無關。克里斯托費爾符號定義了列維-奇維塔聯絡

$$\nabla_{e_i}e_j = \sum_{k=1}^n\Gamma_{ij}^k(\mathbf e)e_k.$$

如果 θ = (θi θi(ej) = δij（克羅內克δ），則聯絡形式為

$$\omega_i^j(\mathbf e) = \sum_k \Gamma_{ki}^j(\mathbf e)\theta^k.$$

利用聯絡形式，一個向量場 v = Σieivi 上的外聯絡由

$$Dv=\sum_k e_k\otimes(dv^k) + \sum_{j,k}e_k\otimes\omega^k_j(\mathbf e)v^j.$$

給出。我們可以重新得到列維-奇維塔聯絡，在通常的意義下，將此式與 ei 縮並

$$\nabla_{e_i} v = \langle Dv, e_i\rangle = \sum_k e_k \left(\nabla_{e_i} v^k + \Sigma_j\Gamma^k_{ij}(\mathbf e)v^j\right).$$

#### 曲率

列維-奇維塔聯絡的曲率 2-形式是一個矩陣 (Ωij)，由

$$\Omega_i^j(\mathbf e) = d\omega_i^j(\mathbf e)+\sum_k\omega_k^j(\mathbf e)\wedge\omega_i^k(\mathbf e).$$

給出。為了簡單起見，假設標架 e 是完整的，故 dθi=0。使用重複指標的求和約定，則

$$\begin{array}{ll} \Omega_i^j &= d(\Gamma^j_{qi}\theta^q) + (\Gamma^j_{pk}\theta^p)\wedge(\Gamma^k_{qi}\theta^q)\\ &\\ &=\theta^p\wedge\theta^q\left(\partial_p\Gamma^j_{qi}+\Gamma^j_{pk}\Gamma^k_{qi})\right)\\ &\\ &=\tfrac12\theta^p\wedge\theta^q R_{pqi}{}^j \end{array}$$

其中 R 是黎曼曲率張量。

#### 撓率

列維-奇維塔聯絡是切叢上惟一撓率為零的度量聯絡。為了描述撓率，注意到向量叢 E 是切叢。這帶有一個典範焊接形式（有時稱為典範 1-形式），它是對應於切叢的恆同自同態的 Hom(TM,TM) = T*M ⊗ TM 的截面 θ。在標架 e 中，焊接形式為 θ = Σi ei ⊗ θi，其中 θi 是對偶基。

聯絡的撓率由 Θ = D θ 給出，或用焊接形式的標架分量表示為

$$\Theta^i(\mathbf e) = d\theta^i+\sum_j\omega^i_j(\mathbf e)\wedge\theta^j.$$

為簡單起見再次假設 e 是完整的，此表達式簡化為

$$\Theta^i = \Gamma^i_{kj} \theta^k\wedge\theta^j$$

它等於零若且唯若 Γikj 的下指標是對稱的。

## 結構群

當向量叢 E 攜有一個結構群時，可以構造更特別的一類聯絡形式。這等於是在 E 上有與李群 G 相關的一類優先的標架 e。例如，若 E 上有一個度量，則考慮在每一點形成一個標準正交基的標架。結構群則為正交群，因為這個群保持標架的標準正交性。其它例子包括：

- 上一節所考慮的通常標架，有結構群 GL(k)，其中 k 是 E 的纖維維數。
- 一個複流形（或殆複流形）的全純切向量叢。這裡結構群是 GLn(C) ⊂ GL2n(R)。若給定一個埃爾米特度量，則結構群約化為作用在酉標架上的酉群。
- 帶有自旋結構的流形上的旋量。標架是關於旋量空間上一個不變內積酉的，結構群約化為自旋群。
- CR流形上的全純切叢。

一般地，設給定的向量叢 E 的一個纖維維數為 k，而 G ⊂ GL(k) 是一般線性群 Rk 的一個給定的子群。如果 (eα) 是 E 的一個局部標架，則一個矩陣值函數 (gij): M → G 作用在 eα 上可產生一個標架

$$e_\alpha' = \sum_\beta e_\beta g_\alpha^\beta.$$

這樣兩個標架是 G-相關的。非正式地講，向量叢 E 具有 G-叢結構如果指定了一類優先的標架，它們局部都是互相 G-相關的。正式地講，E 是一個結構群為 G，典型纖維 Rk 上有G 作為 GL(k) 子群的自然作用的纖維叢。

### 相容聯絡

一個聯絡與 E 上一個 G-叢結構相容要求相伴的平行移動總將一個 G-標架映為另一個 G-標架。正式地講，沿著一條曲線 γ，下列條件局部成立（即對足夠小的 t）：

$$\Gamma(\gamma)_0^t e_\alpha(\gamma(0)) = \sum_\beta e_\beta(\gamma(t))g_\alpha^\beta(t)$$

對某個矩陣 gαβ （可能與 t 有關）。在 t = 0 微分給出

$$\nabla_{\dot{\gamma}(0)} e_\alpha = \sum_\beta e_\beta \omega_\alpha^\beta(\dot{\gamma}(0))$$

這裡係數 ωαβ 在李群 G 的李代數 g 中。

由此觀察，定義為

$$D e_\alpha = \sum_\alpha e_\beta\otimes \omega_\alpha^\beta(\mathbf e)$$

聯絡形式 ωαβ 與結構相容，如果 1-形式的矩陣 ωαβ(e) 取值於 g。

而且相容聯絡的曲率形式是一個 g-值 2-形式。

### 標架的變化

考慮標架變化

$$e_\alpha' = \sum_\beta e_\beta g_\alpha^\beta$$

這裡 g 是一個定義在 M 的一個開子集上的 G-值函數，聯絡形式的變換法則為：

$$\omega_\alpha^\beta(\mathbf e\cdot g) = (g^{-1})_\gamma^\beta dg_\alpha^\gamma + (g^{-1})_\gamma^\beta \omega_\delta^\gamma(\mathbf e)g_\alpha^\delta.$$

或者使用矩陣乘積：

$$\omega({\mathbf e}\cdot g) = g^{-1}dg + g^{-1}\omega g.$$

為了理解每一項，回憶到 g : M → G 是一個 G-值（局部定義）函數。這樣

$$\omega({\mathbf e}\cdot g) = g^*\omega_{\mathfrak g} + \text{Ad}_{g^{-1}}\omega(\mathbf e)$$

其中 ωg 是群 G 的馬尤厄-嘉當形式，這裡沿著函數 g 拉回到 M 上，Ad 是 G 在其李代數上的伴隨表示。

## 主叢

前文所介紹的聯絡形式，取決於選取一個特定的標架。在第一個定義中，標架只不過是截面的一個局部基。對每個標架，給出了一個聯絡形式，並有從一個標架到另一個標架的變換法則。在第二個定義中，標架自身帶有由李群給出的附加結構，標架的變化限制取值於這個群。主叢的語言，由夏爾·埃雷斯曼於是十九世紀40年代最先提出，提供了將這些聯絡形式與聯繫他們變化法則組織為具有一個單獨變換法則的內蘊形式。這種方法的優點是形式不在是定義在流形自身上，而是在更大的主叢上。

### 聯絡形式的主聯絡

假設 E → M 是結構群為 G 的一個向量叢。設 {U} 是 M 的一個開覆蓋，在每個 U 上有一個 G-標架，記作 eU。在重疊的開子集上的關係為：

$${\mathbf e}_V={\mathbf e}_U\cdot h_{UV}$$

其中 hUV 是定義在 U ∩ V 上某個 G-值函數。

設 FGE 是取遍 M 上每個點的所有 G-標架。這是 M 上一個主 G-叢。具體地說，利用 G-標架都是 G-相關的事實，FGE 可以實現為開覆蓋集合間的黏合數據：

$$F_GE = \left.\coprod_U U\times G\right/\sim$$

這裡等價關係 ~ 定義為：

$$((x,g_U)\in U\times G) \sim ((x,g_V) \in V\times G) \iff {\mathbf e}_V={\mathbf e}_U\cdot h_{UV} \text{ and } g_U = h_{UV}^{-1}(x) g_V.$$

在 FGE 上，定義一個主 G-聯絡如下，在每個積 U × G 上定義一個 g-值 1-形式，在重疊區域上服從等價關係。首先設

$$\pi_1:U\times G \to U,\quad \pi_2 : U\times G \to G$$

是投影映射。現在對一個點 (x,g) ∈ U × G，置

$$\omega_{(x,g)} = Ad_{g^{-1}}\pi_1^*\omega(\mathbf e_U)+\pi_2^*\omega_{\mathbf g}.$$

1-形式 ω 這樣構造，在重疊集合上服從轉移規律，從而下降到主叢 FGE 上一個整體定義的 1-形式。可以證明 ω 是一個主聯絡，即它再現了 G 在 FGE 上右作用的生成元，且等變交結 T(FGE) 上的右作用與 G 的伴隨表示。

### 主聯絡相伴的聯絡形式

反之，主 G-叢 P→M 上一個主 G-聯絡 ω 給出 M 上一族聯絡形式。假設 e : M → P 是 P 的一個局部截面。則 ω 沿 e 的拉回定義了 M 上一個 g-值 1-形式：

$$\omega({\mathbf e}) = {\mathbf e}^*\omega.$$

用一個 G-值函數 g 改變標架，使用萊布尼茲法則與伴隨，可以發現 ω(e) 按如下要求變化：

$$\langle X, ({\mathbf e}\cdot g)^*\omega\rangle = \langle [d(\mathbf e\cdot g)](X), \omega\rangle$$

這裡 X 是 M 上一個向量，d 表示前推。

## 參見條目

- 埃雷斯曼聯絡
- 嘉當聯絡
- 仿射聯絡
- 曲率形式