環的局部化

在抽象代數中，局部化是一種在環中形式地添加某些元素的倒數，藉以建構分式的技術；由此可透過張量積構造模的局部化。範疇的局部化過程類似，但此時加入的是態射之逆元素，以使得這些態射在局部化以後變為同構。

局部化在環論與代數幾何中佔有根本地位，範疇的局部化則引出導範疇的概念，在高等數學中有眾多應用。

## 幾何詮釋

「局部化」一詞源出代數幾何。設 $R$ 是一個仿射代數簇 $X$ 的座標環（也就是 $X$ 上的多項式函數），則 $R$ 對其元素 $f$ 的局部化的意義是將 $V(f) := \{ x \in X : f(x) = 0 \}$ 從 $X$ 中挖掉，得到的環 $R_f$ 正是 $X - V(f)$ 的座標環；若對極大理想 $\mathfrak{m}_x := \{ f \in R : f(x)=0 \}$ 作局部化，則可以設想為對所有滿足 $f(x) \neq 0$ 的 $f$，亦即 $f \in R-\mathfrak{m}_x$ 挖去$V(f)$；得到的環 $R_{\mathfrak{m}_x}$ 體現 $X$ 上的多項式函數在 $x$ 點的局部性質。

藉著將模理解為仿射代數簇上的擬凝聚層，可以類似地詮釋模的局部化；它無非是擬凝聚層在一個點的莖。

## 環的局部化

在此僅考慮含單位元的環。設 $R$ 為環，$S$ 為 $R$的積性子集（定義：對乘法封閉，並包含單位元素的集合）。以下將探討 $R$ 對 $S$ 之局部化。

### 泛性質

$R$ 對 $S$ 的局部化如果存在，是一個環 $S^{-1}R$（或記作 $R[S^{-1}]$）配上環同態 $R \rightarrow S^{-1}R$，使之滿足以下的泛性質：

對任何環 $T$ 及環同態 $\phi: R \rightarrow T$，若 $S$ 的元素在 $\phi$ 下的像皆可逆，則存在唯一的環同態 $\psi: S^{-1}R \rightarrow T$，使得 $\phi$ 是 $R \rightarrow S^{-1}R$ 與 $\psi$ 的合成。

此性質可保證局部化 $(S^{-1}R, R \rightarrow S^{-1}R)$ 的唯一性。

### 交換環的情形

當交換環 $R$ 為整環時，局部化的構造相當容易。若 $0 \in S$，則 $S^{-1}R$ 必然是零環；若不然，我們可以在 $R$ 的分式環 $K$ 中構造局部化：取 $S^{-1}R \subset K$ 為形如 $\frac{r}{s} \quad (r \in R, s \in S)$ 的元素即可。

對於一般的交換環，我們必須推廣分式環的構造；在此須注意到：由於 $S$ 中可能有零因子，我們不能魯莽地通分一個分式。構造方式如下：

在集合 $R \times S$ 上定義下述等價關係 $\sim$：

$(r,s) \sim (r',s') \iff$ 存在 $t \in S$ 使得 $t(rs' - r's) = 0$

等價類 $[r,s]$ 可以想成「分式」 $r/s$，藉此類比，在商集 $(R \times S)/\sim$ 上定義加法與乘法為：

$$[r,s] + [r',s'] = [rs'+r's, ss']$$

$$[r,s] [r',s'] = [rr',ss']$$

可驗證上述運算是明確定義的。此外還有環同態 $R \rightarrow (R \times S)/\sim$，定義為 $r \mapsto [r,1]$。於是可定義 $S^{-1}R := (R \times S)/\sim$，再 配上上述環運算與同態。在實踐上，我們常逕將 $S^{-1}R$ 裡的元素寫作分式 $r/s$。

交換代數與代數幾何中經常考慮兩種局部化：

- 固定 $f \in R$，取 $S := \{ f^n : n \geq 0 \}$。在交換環譜中，對這類 $S$ 的局部化構成 $\mathrm{Spec}(R)$ 的基本開集（$\mathrm{Spec}(R)$ 表 $R$ 的所有素理想構成的集合）。這種局部化常記作 $R_f$。
- 固定素理想 $\mathfrak{p} \subset R$，取 $S := R - \mathfrak{p}$，此時也稱作對素理想 $\mathfrak{p}$ 的局部化。這種局部化常記作 $R_\mathfrak{p}$。

以下是 $S^{-1}R$ 的一些環論性質。

- $S^{-1}R = (0)$ 若且唯若 $0 \in S$。
- 環同態 $R \rightarrow S^{-1}R$ 是單射，若且唯若 $S$ 中不含零因子。
- 同態 $R \rightarrow S^{-1}R$ 下的逆像給出下列一一對應：

$$\mathrm{Spec}(S^{-1}R) = \{ \mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(R) : \mathfrak{p} \cap S = \emptyset \}$$

一個重要的特例是取 $S = R - \mathfrak{p}$，可知 $R_\mathfrak{p}$ 中的素理想一一對應至 $R$ 中包含於 $\mathfrak{p}$ 的素理想，因此 $R_\mathfrak{p}$ 是局部環。

### 非交換環的情形

非交換環的局部化較困難，並非對所有積性子集 $S$ 都有局部化。充分條件之一是歐爾條件，請參閱條目歐爾定理。

其應用之一是用於微分算子環。例如它可以解釋作為一個微分算子 $D$ 抽象地添加逆算子 $D^{-1}$；微局部分析中運用了這類構造。

## 模的局部化

設 $R$ 為含單位元的交換環，$S$ 是積性子集，而 $M$ 是個 $R$-模。模的局部化與交換環類似，寫作 $S^{-1}M$ 或 $M[S^{-1}]$。我們依然要求存在模同態 $M \rightarrow S^{-1}M$ 及以下的泛性質（此泛性質蘊含唯一性）：

對任何 $S^{-1}R$-模 $N$ 及 $R$-模同態 $\phi: M \rightarrow N$，存在唯一的 $S^{-1}R$-模同態 $\psi: S^{-1}M \rightarrow N$，使得 $\phi$ 是 $M \rightarrow S^{-1}M$ 與 $\psi$ 的合成。

事實上，可以用張量積構造模的局部化：

$$S^{-1}M := M \otimes_R S^{-1}R$$

這是一個正合函子，它將單射映為單射。亦即：$S^{-1}R$ 是平坦的 $R$-模。利用張量積與環的局部化的泛性質，可以形式地導出上述構造確實滿足局部化的要求。

此外，也可以仿造交換環的局部化，用分式 $\{ m/s : m \in M, s \in S \}$ 直接構造 $S^{-1}M$，分式間的等價與代數運算類似交換環的情形。

## 範疇的局部化

範疇的局部化的意義在將一族態射之逆態射加入範疇中，使得這些態射成為同構。這在形式上近於環的局部化，也能使先前不同構的對象在局部化後變為同構。例如，在同倫理論中有許多連續映射在同倫的意義下可逆，藉著將這些映射局部化，同倫等價的空間可被視為彼此同構。局部化範疇裡的操作也稱作分式運算，相關技術細節請見文獻中 Gabriel-Zisman 或 Weibel 的著作。

### 一些例子

- 塞爾提議在模掉某類阿貝爾群 $\mathcal{C}$ 的同倫範疇裡操作，這意謂若群 $A, B$ 滿足 $A/B \in \mathcal{C}$，則視之為同構的。稍後 Dennis Sullivan 引進一個大膽的想法：改在空間的局部化裡操作。如此將影響底層的拓撲空間。
- 設 $R$ 的克魯爾維數至少是 2，此時若兩個 $R$-模 $M \supset N$ 滿足 $M/N$ 的支撐集的餘維至少是 2，則可視之為偽同構的。岩澤理論大大利用了這個想法。
- 在同調代數中，我們藉著加入擬同構之逆而得到導範疇。
- 在阿貝爾簇的理論中，我們常等同兩個同源的阿貝爾簇，並將同源映射視為同構。此「至多差一個同源」的範疇是局部化較簡單的例子，實質上不外是將 $\mathrm{Hom}(X,Y)$ 代以 $\mathrm{Hom}(X,Y) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}$。

### 集合論的問題

一般而言，給定一個範疇 $\mathcal{C}$ 及一族態射 $w$，在探討是否能構造局部化 $w^{-1}\mathcal{C}$ 時會遇到以下問題：當 $\mathcal{C}$ 是小範疇或 $w$ 是集合時已知可構造局部化，但一般來說則是個棘手的集合論問題；局部化的典型構造可能會造成兩對象間的態射「太多」，換言之可能是個真類。發展模型範疇的動機之一正是要避免這類問題。

## 文獻

- P. Gabriel and M. Zisman. Calculus of fractions and homotopy theory. Springer-Verlag New York, Inc., New York, 1967. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 35.
- Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X
- Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra (1994), Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1