樹堆

$$O(\n*log n)$$ 樹堆（Treap），是電腦科學中術語。是有一個隨機附加域滿足堆的性質的二叉搜索樹，其結構相當於以隨機數據插入的二叉搜索樹。其基本操作的期望時間複雜度為$O(\log{n})$。相對於其他的平衡二叉搜索樹，Treap的特點是實現簡單，且能基本實現隨機平衡的結構。屬於弱平衡樹。

## 介紹

Treap一詞由Tree和Heap二詞合成而來。其本身是一棵二叉搜索樹，它的左子樹和右子樹也分別是一個Treap，和一般的二叉搜索樹不同的是，Treap為每個節點記錄優先級。Treap在以關鍵碼構成二叉搜索樹的同時，其節點優先級還滿足堆的性質。Treap維護堆性質的方法用到了旋轉，且只需要進行兩種旋轉操作，因此編程複雜度較Splay要小一些。

### 插入

給節點隨機分配一個優先級，先和二叉搜索樹的插入一樣，先把要插入的點插入到一個葉子上，然後跟維護堆一樣進行以下操作：

- 如果當前節點的優先級比父節點大就進行2. 或3. 的操作
- 如果當前節點是父節點的左子葉就右旋
- 如果當前節點是父節點的右子葉就左旋。

由於旋轉是$O(1)$的，最多進行h次（h是樹的高度），插入的複雜度是$O(h)$的，在期望情況下$h=O(\log{n})$，所以它的期望複雜度是$O(\log{n})$。

### 刪除

因為Treap滿足堆性質，所以只需要把要刪除的節點旋轉到葉節點上，然後直接刪除就可以了。具體的方法就是每次找到優先級最大的子葉，向與其相反的方向旋轉，直到那個節點被旋轉到了葉節點，然後直接刪除。

刪除最多進行$O(h)$次旋轉，期望複雜度是$O(\log{n})$。

### 查找

和一般的二叉搜索樹一樣，但是由於Treap的隨機化結構，Treap中查找的期望複雜度是$O(\log{n})$。

## 演算法分析

二叉搜索樹有一個特性，就是每個子樹的形態在優先級唯一確定的情況下都是唯一的，不受其他因素影響，也就是說，左子樹的形態與樹中大於根節點的值無關，右子樹亦然。這是因為Treap滿足堆的性質，Treap的根節點是優先級最大的那個節點，考慮它的左子樹，樹根也是子樹裡面最大的一點，右子樹亦然。所以Treap相當於先把所有節點按照優先級排序，然後插入，實質上就相當於以隨機順序建立的二叉搜索樹，只不過它並不需要一次讀入所有數據，可以一個一個地插入。而當這個隨機順序確定的時候，這個樹是唯一的。因此在給定優先級的情況下，只要是用符合要求的操作，通過任何方式得出的Treap都是一樣的，所以不改變優先級的情況下，特殊的操作不會造成Treap結構的退化。而改變優先級可能會使Treap變得不夠隨機以致退化。

Treap的其它操作的期望複雜度同樣是$O(\log{n})$。

## 參考程序

### Pascal版本

```pascal
(*
    Project: Amber Standard Sources Library [ASSL]
    Author: Amber
    Title: Treap
    Category: Data Structure
    Version: v1.0
    Remark: XXXXXXXX
    Tested Problems: N/A
    Date: 2006-11-16
 *)
 program ASSL_Treap(Input, Output);
 const
    Infinity = 65535;
 type
    TIndex = Longint;
    TKey = Longint;
    TPriority = Word;
    PTreapNode = ^TTreapNode;
    TTreapNode = record
        Left, Right: PTreapNode;
        Priority: TPriority;
        Key: TKey;
    end;
 var
    NullNode: PTreapNode;
 
 procedure Initalize;
 begin
    if NullNode = nil then
    begin
        New(NullNode);
        NullNode^.Left := NullNode;
        NullNode^.Right := NullNode;
        NullNode^.Priority := Infinity;
    end;
 end;
 
 function FindMax(T: PTreapNode): PTreapNode;
 begin
    if T <> NullNode then
        while T^.Right <> NullNode do
            T := T^.Right;
    Result := T;
 end;
 
 function FindMin(T: PTreapNode): PTreapNode;
 begin
    if T <> NullNode then
        while T^.Left <> NullNode do
            T := T^.Left;
    Result := T;
 end;
 
 function Find(T: PTreapNode; Key: TKey): PTreapNode;
 begin
    while T <> NullNode do
        if Key < T^.Key then
            T := T^.Left
        else if Key > T^.Key then
            T := T^.Right
        else
            Break;
    Result := T;
 end;
 
 function LeftRotate(T: PTreapNode): PTreapNode;
 begin
    Result := T^.Left;
    T^.Left := Result^.Right;
    Result^.Right := T;
 end;
 
 function RightRotate(T: PTreapNode): PTreapNode;
 begin
    Result := T^.Right;
    T^.Right := Result^.Left;
    Result^.Left := T;
 end;
 
 function InsertNode(Key: TKey; T: PTreapNode): PTreapNode;
 begin
    if T = NullNode then
    begin
        New(T);
        T^.Left := NullNode;
        T^.Right := NullNode;
        T^.Key := Key;
        T^.Priority := Random(65535);
    end
    else if Key < T^.Key then
    begin
        T^.Left := InsertNode(Key, T^.Left);
        if T^.Left^.Priority < T^.Priority then
            T := LeftRotate(T);
    end
    else if Key > T^.Key then
    begin
        T^.Right := InsertNode(Key, T^.Right);
        if T^.Right^.Priority < T^.Priority then
            T := RightRotate(T);
    end;
    Result := T;
 end;
 
 function DeleteNode(Key: TKey; T: PTreapNode): PTreapNode;
 begin
    if T <> NullNode then
        if Key < T^.Key then
            T^.Left := DeleteNode(Key, T^.Left)
        else if Key > T^.Key then
            T^.Right := DeleteNode(Key, T^.Right)
        else
        begin
            if T^.Left^.Priority < T^.Right^.Priority then
                T := LeftRotate(T)
            else
                T := RightRotate(T);
            if T <> NullNode then
                T := DeleteNode(Key, T)
            else //RightRotate
            begin
                Dispose(T^.Left);
                T^.Left := NullNode;
            end;
        end;
     Result := T;
 end;
 
 procedure Main;
 begin
     Initalize;
 end;
 begin
     Main;
 end;
```

### C++版本

```c++
#include <iostream>
#include <ctime>

#include <cstdlib>
#define MAX 100

using namespace std;

typedef struct
{
	int l,r,key,fix;
} node;

class treap
{
public:
	node p[MAX];
	int size,root;
	treap()
	{
		srand(time(0));
		size=-1;
		root=-1;
	}

	void rot_l(int &x)
	{
		int y=p[x].r;
		p[x].r=p[y].l;
		p[y].l=x;
		x=y;
	}

	void rot_r(int &x)
	{
		int y=p[x].l;
		p[x].l=p[y].r;
		p[y].r=x;
		x=y;
	}

	void insert(int &k,int tkey)
	{
		if (k==-1)
		{
			k=++size;
			p[k].l=p[k].r=-1;
			p[k].key=tkey;
			p[k].fix=rand();
		}
		else if (tkey<p[k].key)
		{
			insert(p[k].l,tkey);
			if (p[ p[k].l ].fix>p[k].fix)
				rot_r(k);
		}
		else
		{
			insert(p[k].r,tkey);
			if (p[ p[k].r ].fix>p[k].fix)
				rot_l(k);
		}

	}

	void remove(int &k,int tkey)
	{
		if (k==-1) return;
		if (tkey<p[k].key)
			remove(p[k].l,tkey);
		else if (tkey>p[k].key)
			remove(p[k].r,tkey);
		else
		{
			if (p[k].l==-1 && p[k].r==-1)
				k=-1;
			else if (p[k].l==-1)
				k=p[k].r;
			else if (p[k].r==-1)
				k=p[k].l;
			else if (p[ p[k].l ].fix < p[ p[k].r ].fix)
			{
				rot_l(k);
				remove(p[k].l,tkey);
			}
			else
			{
				rot_r(k);
				remove(p[k].r,tkey);
			}
		}
	}

	void print(int k)
	{
		if (k == -1) return ;
		if (p[k].l!=-1)
			print(p[k].l);
		cout << p[k].key << " : " << p[k].fix << endl;
		if (p[k].r!=-1)
			print(p[k].r);
	}
};

treap T;

int main(void)
{

	int i;
	for (i = 3; i >= 1; i--)
		T.insert(T.root,i);
	T.print(T.root);
	for (i = 3; i >= 1; i--)
	{
		cout << endl;
		T.remove(T.root,i);
		T.print(T.root);
	}
	return 0;
}
```

## 與其他結構的比較

- AVL樹
- 伸展樹（Splay Tree）
- 線段樹
- 紅黑樹
- Size Balanced Tree

## 外部連結

- 一個Treap的演示
- Randomized Search Trees(pdf)，有對Treap和它的加權形式的詳盡介紹以及複雜度的嚴格證明
- nocow.cn - Treap

## 基本資料

- 類型：隨機二元搜索樹
- space_avg：$O(n)$
- space_worst：$O(n)$
- search_avg：$O(\log n)$
- search_worst：$O(n)$
- insert_avg：$O(\log n)$
- insert_worst：$O(n)$
- delete_avg：$O(\log n)$
- delete_worst：$O(n)$
- build_avg：$O(\n*log n)$
- build_worst：$O(\n*log n)$