劉維爾定理 (哈密頓力學)

在物理學中，劉維爾定理（Liouville's theorem）是經典統計力學與哈密頓力學中的關鍵定理。該定理斷言相空間的分布函數沿著系統的軌跡是常數——即給定一個系統點，在相空間遊歷過程中，該點鄰近的系統點的密度關於時間是常數。換一種表述，就是共軛相空間裡，一個哈密頓系統的相體積不可壓縮。

它以法國數學家約瑟夫·劉維爾命名。這也是辛拓撲與遍歷論中的有關數學結果。

## 劉維爾方程

劉維爾方程描述了相空間分布函數（儘管數學中準確術語是測度，物理學家一般稱為分布）的時間演變。考慮一個動力系統具有正則坐標 $q_i$ 與共軛動量 $p_i$，這裡$i=1,\dots,d$。則相空間分布 $\rho(p,q)$ 確定了系統在無窮小相空間體積 $d^dq\,d^dp$ 中出現的機率 $\rho(p,q)\,d^dq\,d^dp$。劉維爾方程（Liouville equation）決定了 $\rho(p,q;t)$ 關於時間 $t$ 的演化：

$$\frac{d\rho}{dt}= \frac{\partial\rho}{\partial t} +\sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial\rho}{\partial q^i}\dot{q}^i +\frac{\partial\rho}{\partial p_i}\dot{p}_i\right)=0.\,$$

時間導數用點標記，根據這個系統的哈密頓方程求值。這個方程說明了相空間中密度的守恆性（該定理得名於約西亞·吉布斯）。劉維爾定理斷言

分布函數沿著相空間的任何軌跡是常數。

這個定理的一個簡單證明是觀察到 $\rho$ 的演化由連續性方程清晰地給出：

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial(\rho\dot{q}^i)}{\partial q^i}+\frac{\partial(\rho\dot{p}_i)}{\partial p_i}\right)=0.$$

即 $(\rho, \rho\dot{q}^i,\rho\dot{p}_i)$ 是一個守恆流。注意到此式與劉維爾方程的差是

$$\rho\sum_{i=1}^d\left( \frac{\partial\dot{q}^i}{\partial q^i} +\frac{\partial\dot{p}_i}{\partial p_i}\right) =\rho\sum_{i=1}^d\left( \frac{\partial^2 H}{\partial q^i\,\partial p_i} -\frac{\partial^2 H}{\partial p_i \partial q^i}\right)=0,$$

這裡 $H$ 是哈密頓量，並利用了哈密頓方程。這就是說，若將相空間中的運動視為系統點的一個流體，注意到相空間中的速度場 $(\dot p , \dot q)$ 的散度為零（由哈密頓方程得出），由連續性方程得出密度 $d \rho/dt$ 的隨流導數等於零的定理。

另一個證明是考慮通過相空間中的一朵「點雲」的軌跡。直接證明這朵雲沿著一個坐標方向拉伸比如 $p_i$，則在對應的 $q^i$ 方向收縮，從而乘積 $\Delta p_i \Delta q^i$ 保持不變。

等價地，由諾特定理，守恆流的存在意味著有一個對稱。對稱在時間轉換下不變，而這個對稱的生成元（或諾特荷）是哈密頓量。

## 物理解釋

所期望的粒子總數是分布在相空間上的積分：

$$N=\int d^dq\,d^dp\,\rho(p,q).\,$$

習慣上相空間測度有一個正規化因子，但此處將其忽略。在簡單情形，一個非相對論粒子在力場 $\mathbf{F}$ 下在歐幾里得空間運動，具有坐標 $\mathbf{x}$ 與動量 $\mathbf{p}$，劉維爾定理可以寫成

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\mathbf{p}}{m}\cdot\nabla_\mathbf{x}\rho+\mathbf{F}\cdot\nabla_\mathbf{p}\rho=0.\,$$

這不同於符拉索夫方程，或有時天體力學中的玻爾茲曼方程。後者有六維相空間，用於描述大量無碰撞粒子在重力或電磁場的影響下的運動。

在經典統計力學中，粒子數 $N$ 非常大（譬如：對一個實驗室規模系統為阿伏伽德羅常數數量級）。令 $\partial\rho/\partial t=0$ 給出了這個系統的穩定狀態的一個方程，可用來尋找在一個給定的統計系綜中可達到的微觀態。穩定狀態方程由 $\rho$ 等於哈密頓量 $H$ 的任何函數滿足：特別地，它由麥克斯韋-玻爾茲曼分布 $\rho\propto e^{-H/kT}$ 滿足，這裡 $T$ 是溫度 $k$ 是玻爾茲曼常數。

另見正則系綜與微正則系綜。

## 其他表述

### 泊松括號

此定理經常用泊松括號表述為

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\{\,\rho,H\,\}\,$$

或利用劉維爾算子（Liouville operator 或 Liouvillian）

$$\hat{\mathbf{L}}=\sum_{i=1}^{d}\left[\frac{\partial H}{\partial p_{i}}\frac{\partial}{\partial q^{i}}-\frac{\partial H}{\partial q^{i}}\frac{\partial }{\partial p_{i}}\right],\,$$

寫成

$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+{\hat{L}}\rho =0.\,$$

### 遍歷論

在遍歷論與動力系統中，由目前給出的物理考慮啟發，有相應的結果也稱為劉維爾定理。在哈密頓力學中，相空間是一個自然賦有一個光滑測度的光滑流形（局部這個測度是 6n-維勒貝格測度）。該定理說這個光滑測度在哈密頓流下不變。更一般地，我們可以描述一個光滑測度在一個流下不變的充分必要條件。哈密頓力學情形便是一個推論。

### 辛幾何

系統狀態在相空間中按哈密頓力學演化，這用辛幾何就表述為：系統的演化軌跡是由哈密頓向量場在相空間這個辛流形上生成的積分曲線，參見流曲線。

要刻畫各種量隨系統演化而產生的變化，可以使這個量的場 $A$ 依賴於時間參數，也可以考慮流形的自同構 $\phi_t$，在幾何方法中一般用後者，從而一個量對演化參數（時間） $t$ 的導數應由一個李導數表示。作為一個例子，假設要考察的量 $A$ 是一個微分形式，那麼有 $\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\phi_t^*A=\phi_t^*L_X A$，其中 $\phi_t^*$ 是拉回映射。

辛流形上的辛形式 $\omega$ 本身在一個哈密頓向量場 $X$ （對應於前面小節中提到的速度場）的流下是不變的，這一點可以由嘉當公式 $L_X=\mathrm d\circ\iota_X+\iota_X\circ\mathrm d$ 看出來，因為辛形式是閉形式，從而第二項為零，那麼：這個李導數在辛形式上的作用為零，若且唯若 $\iota_X\omega$ 是閉形式——滿足這個條件的向量場稱為辛向量場。哈密頓向量場是辛向量場這一點也是顯然的，因為哈密頓向量場就定義為滿足 $\iota_X\omega=\mathrm dH$ 的向量場$X$，參見閉形式與恰當形式。只不過由於辛形式是非退化的，所以一個哈密頓函數 $H$ 給出的哈密頓向量場是唯一的。

在達布定理所保證的正則坐標下，流形的體積形式就是辛形式的 $d$ 次楔積（乘上一個係數 $1/d!$）。由於哈密頓流保辛形式，所以也保體積形式。等價地說，這意味著自同構的雅克比行列式是1。哈密頓流保持體積測度不變這一結論有時也被稱為劉維爾定理。

物理教科書上常見的關於隨流導數的論述，是考慮相空間上的一個初始分布，（出於方便，討論歸一化的機率分布）其機率測度是某個（通常要求是光滑的）機率密度函數 $\rho$ 與體積測度的乘積。注意這個分布未必是在力學演化下不變的（概念上一個極端的例子是一個狄拉克分布），而須考察不變的條件。在用自同構刻畫演化時下，這條件同樣是由李導數等於零來表示，不過物理學上更熟悉的形式是寫作前面的小節中的偏導數的形式，或使用泊松括號： $L_X\sigma\equiv\{\sigma, H\}$。

### 量子力學

劉維爾方程在量子力學中的類比描述了一個混合態的時間演化。正則量子化得出這個定理的一個量子力學版本。這個過程利用哈密頓力學描述經典系統，經常用於產生經典系統的量子類比。經典變量重新解釋為量子算子，而泊松括號用交換子代替。在這種情形，所得方程是

$$\frac{\partial}{\partial t}\rho=\frac{1}{i \hbar}[H,\rho],\,$$

這裡 ρ 是密度矩陣。

將其應用到一個可觀測量的期望值，相應的方程由埃倫費斯特定理給出，具有形式

$$\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i \hbar}\langle [A,H] \rangle,\,$$

這裡 $A$ 是一個可觀測量。注意符號不同，這由算子的穩定性與狀態時間相關之假設得出。

### 劉維爾定理之破壞

2005年，有論文發現當x與p不是辛形式的時候，尤其演化中存在幾何相位，流體密度將可能被壓縮。

## 注釋

- 劉維爾方程對平衡與非平衡系統都成立。這是非平衡統計力學的基本方程。它對碰撞系統的逼近稱為玻爾茲曼方程。
- 劉維爾方程積分變為漲落定理的證明，由此可推出熱力學第二定律。它也是線性傳播係數（比如切變粘性、熱傳導率或電傳導率）的格林-久保關係的推導關鍵部分。
- 事實上任何哈密頓力學，高等統計力學或辛幾何的教材中都會推導劉維爾定理。