卡比博-小林-益川矩陣

卡比博-小林-益川矩陣（Cabibbo-Kobayashi-Maskawa，CKM或KM matrix）是粒子物理標準模型的一個重要組成成份，它表徵了頂類型和底類型夸克間通過W粒子弱相互作用的耦合強度。對二代夸克情形，它是由義大利物理學家卡比博在1963年首先給出的，通常被稱為卡比博矩陣或卡比博角。1973年日本物理學家小林誠和益川敏英把它推廣到三代夸克。三代矩陣含有相位，可以用來解釋弱相互作用中的電荷宇稱對稱性破缺（CP破壞），也被經常用來解釋宇宙重子數不對稱。CKM矩陣在輕子中的對應是牧-中川-坂田矩陣（Maki-Nakagawa-Sakata或MNS）。

## 內容

### 歷史

早期的粒子物理模型包涵三種夸克—上夸克、下夸克和奇異夸克。在研究強子的弱衰變中，人們發現奇異數守恆的過程要比不守恆的過程進行得快約20倍。為解釋此現象，卡比博引入了一個下夸克和奇異夸克（這兩種夸克有相同的量子數）之間的混合角θc。上夸克與下夸克和奇異夸克的相互作用耦合分別正比於此角的餘弦（cosθc）和正弦（sinθc）。實驗上sinθc約為0.23。

1973年，在一篇發表在日本期刊《理論物理學進展》上的題為「弱相互作用可重整化理論中的CP破壞」的論文中，小林誠和益川敏英把卡比博角推廣到三代夸克。他們發現雖然一般的三維么正矩陣有九個實參數，但是只有四個具有物理意義，而其它的都可以被吸收到夸克波函數的位相中而不為觀測。四個物理參數中的一個是位相因子，它提供了CP破壞的微觀機制，同時猜測了第三代夸克的存在，因此具有重大的物理意義。他們二人也因而與南部陽一郎分享了2008年諾貝爾物理學獎。

如今，尋找CKM矩陣參數的微觀物理起源是粒子物理理論研究的重大課題之一。

### 參數化表示

CKM矩陣是一個三維么正矩陣。

小林誠和益川敏英當初給的表示是:

$$\begin{bmatrix} \cos\theta_1 & -\sin\theta_1 \cos\theta_3 & -\sin\theta_1 \sin\theta_3 \\ <pre> \sin\theta_1 \cos\theta_2 & \cos\theta_1 \cos\theta_2 \cos\theta_3 - \sin\theta_2 \sin\theta_3 e^{i\delta} & \cos\theta_1 \cos\theta_2 \sin\theta_3 + \sin\theta_2 \cos\theta_3 e^{i\delta}\\ \sin\theta_1 \sin\theta_2 & \cos\theta_1 \sin\theta_2 \cos\theta_3 + \cos\theta_2 \sin\theta_3 e^{i\delta} & \cos\theta_1 \sin\theta_2 \sin\theta_3 - \cos\theta_2 \cos\theta_3 e^{i\delta} \end{bmatrix}$$

在標準參數化下，它可以由三個混合角（θ12，θ13，θ23）和一個相位（δ）表示為

$$\begin{bmatrix} V_{ud} & V_{us} & V_{ub} \\ V_{cd} & V_{cs} & V_{cb}\\ V_{td} & V_{ts} &V_{tb} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{12}c_{13} & s_{12} c_{13} & s_{13}e^{-i\delta_{13}} \\ <pre> -s_{12}c_{23} - c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & c_{12}c_{23} - s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & s_{23}c_{13}\\ s_{12}s_{23} - c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & -c_{12}s_{23} - s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & c_{23}c_{13} \end{bmatrix}.$$

其中（u，c，t）和（d，s，b）分別代表三代頂類型（上、粲、頂）和底類型（下、奇異、底）夸克，c12，s12等是cosθ12，sinθ12等的簡寫。

目前實驗給出的數據：

θ12 = 13.040.05°

θ13 = 0.2010.011°

θ23 = 2.380.06°

δ13 = 1.200.08

實驗上CKM矩陣參數滿足s13<<s23<<s12<<1。

描寫這一重要特性的一個常用參數化表示是由美國物理學家林肯·沃芬斯坦給出的。記

$$s_{12}=\lambda=\frac{|V_{us}|}{\sqrt{|V_{ud}|^2+|V_{us}|^2}},\quad s_{23}=A\lambda^2=\lambda\left|\frac{V_{cb}}{V_{us}}\right|,\,\,$$

$$s_{13}e^{i\delta}=V_{ub}^*=A\lambda^3(\rho+i\eta)={\frac{A\lambda^3(\bar\rho+i\bar\eta)(1-A^2\lambda^4)^{1/2}} {(1-\lambda^2)^{1/2}[1-A^2\lambda^4(\bar\rho+i\bar\eta)]}},$$

截止到λ3，CKM矩陣為

$$\begin{bmatrix} 1-\lambda^2/2 & \lambda & A\lambda^3(\rho-i\eta) \\ <pre> -\lambda & 1-\lambda^2/2 & A\lambda^2 \\ A\lambda^3(1-\rho-i\eta) & -A\lambda^2 & 1 \end{bmatrix}.$$

### 么正三角形

CKM矩陣也可用所謂的么正三角形來圖像表示。最常見的是正交關係

$$V_{ud}V_{ub}^*+V_{cd}V_{cb}^*+V_{td}V_{tb}^*=0$$

用測量最精確的項（VcdV*cb）來歸一，此關係可以表示為複平面上的三角形，其三頂點坐標分別為（0，0），（1，0）

和（$\bar\rho$，$\bar\eta$），如右圖所示。它的面積與位相參數表示化無關，是刻劃CP破壞的不變量。文獻中稱之為雅爾斯廓格（Jarlskog）不變量。

### 數學推導

CKM矩陣的數學推導相當平庸。首先任意一個三維矩陣可以寫成歐拉形式V=V2V1V3，其中對角塊矩陣V1，V2，V3有以下形式（X代表非零元）

$$V_1=\begin{bmatrix} X & X & 0 \\ <pre> X & X & 0 \\ 0 & 0 & X \end{bmatrix},\quad </pre> V_{2,3}=\begin{bmatrix} X & 0 & 0 \\ <pre> 0 & X & X \\ 0 & X & X \end{bmatrix} </pre>$$

其次注意到任意一個二維么正矩陣可以表為（ε，η，ρ為么模複數，c=cosθ，s=sinθ）

$$U=\begin{bmatrix} \epsilon c & \epsilon\eta s \\ <pre> -\rho s & \rho\eta c \end{bmatrix} </pre>$$

由此

$$\begin{bmatrix} \epsilon^* & 0 \\ 0 & \rho^* \end{bmatrix} U \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \eta^* \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c & s \\ <pre> -s & c \end{bmatrix} </pre>$$

因此可以通過一系列對角么正矩陣作矩陣變換

$$V\rightarrow DVD'=DV_2D''D''^*V_1D'''^*D'''V_3D' = V_2'V_1'V_3'$$

使得

$$V_2'=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ <pre> 0 & c_2 & -s_2 \\ 0 & s_2 & c_2 \end{bmatrix},\quad </pre> V_3'=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ <pre> 0 & c_3 & s_3 \\ 0 & -s_3 & c_3 \end{bmatrix} </pre>$$

在上式中V2'仍是與V2同形的一般么正矩陣。

但可以繼續在V上左、右相乘與V2'和V3'對易的對角矩陣，即diag（α，β，β）型矩陣（α，β么模），使得

$$V_1'=\begin{bmatrix} c_1 & s_1 & 0 \\ <pre> -s_1 & c_1 & 0 \\ 0 & 0 & e^{i\delta} \end{bmatrix} </pre>$$

最後將所有的對角（相位）變換矩陣吸收到夸克波函數中去，V2'，V1'，V3'相乘即得CKM矩陣。

## 參數測量

CKM矩陣元實驗測定和最新數據的詳細資料，可參閱粒子數據組的網頁和出版物

$$V_{CKM}= \begin{bmatrix} 0.97427 \pm 0.00015 & 0.22534 \pm 0.00065 & 0.00351^{+0.00015}_{-0.00014} \\ 0.22520 \pm 0.00065 & 0.97344 \pm 0.00016 & 0.0412^{+0.0011}_{-0.0005} \\ 0.00867^{+0.00029}_{-0.00031} & 0.0404^{+0.0011}_{-0.0005} & 0.999146^{+0.000021}_{-0.000046} \end{bmatrix}.$$

沃爾芬斯坦參數：$\lambda = 0.22535 \pm 0.00065,A=0.817 \pm 0.015,\bar{\rho}=0.136 \pm 0.018,\bar{\eta}=0.348 \pm 0.014$

和雅爾斯廓格不變量：$J=(2.96_{-0.16}^{+0.20}) \times 10^{-5}$

## 獨立變量的計算

考慮有 N 代夸克 (2N 種風味)，那麼

- 一個 N × N 的么正矩陣需要 N2 個實係數來給定 (因為么正矩陣滿足 VV† = I，其中 V† 是 V 的共軛轉置，而 I 是單位矩陣)。
- 其中 2N − 1 個係數不是物理上實際的，因為每個夸克都可以吸收一個相位 (質量本徵態和弱作用力本徵態各可吸收一個)，而全部的共同相位是不可觀測的。因此，不受相位選擇影響的自由變數總共有 N2 − (2N − 1) = (N − 1)2 個。
- 這其中有 N(N − 1)/2 個是旋轉角度，稱為夸克的混合角。
- 而剩下的 (N − 1)(N − 2)/2 個就是造成 CP破壞的複數相位。

當 N = 2 時，獨立變量只有一個，就是兩代夸克間的混合角。當初只有兩代夸克被發現時，這是第一種 CKM 矩陣。其角度稱為卡比博角度，由尼古拉·卡比博發明。

在標準模型中，N = 3，總共有三個混合角和一個 CP 破壞相位。

## 與重子生成的關係

CP破壞是解釋自宇宙大爆炸以來僅物質存在(即反物質消失)的沙卡洛夫三條件（熱力學非平衡，重子數不守恆，C和CP對稱性不守恆）之一，因此CKM矩陣在粒子宇宙學中有著重要應用。但是現在公認的結論是實驗測量到CP破壞的數量級，遠不足以解釋觀測到的重子不對稱度，因此重子生成必須有其他的來源。

## 外部連結

- 粒子物理數據組首頁
- 康奈爾大學的 CLEO實驗
- 高能加速器研究機構 ( KEK) 的 BELLE 實驗
- SLAC國家加速器實驗室 ( SLAC) 的 BaBar 實驗
- 費米國家加速器實驗室（FNAL）的 D0和 CDF實驗
- 歐洲核子研究中心（CERN）的 LHCb 實驗