柯西積分公式

柯西積分公式是數學中複分析的一個重要結論，以十九世紀法國數學家奧古斯丁·路易·柯西命名。柯西積分公式說明了任何一個閉合區域上的全純函數在區域內部的值完全取決於它在區域邊界上的值，並且給出了區域內每一點的任意階導數的積分計算方式。柯西積分公式是複分析中全純函數「微分等同於積分」特性的表現。而在實分析中這樣的結果是完全不可能達到的。

這個公式是柯西在1831年證明的。柯西在同年10月11日首次將其發表，並將它寫入了1841年發表的《分析與數學物理習題集》（Exercices d'analyse et de physique mathématique）一書中。

## 定理

設$\Omega$是複平面$\mathbb{C}$的一個單連通的開子集。$f \; : \; \; \Omega \; \rightarrow \mathbb{C}$是一個$\Omega$上的全純函數。設$\gamma$是$\Omega$內的一個簡單閉合的可求長曲線（即連續而不自交並且能定義長度的閉合曲線），那麼函數$f$在$\gamma$內部的點$a$上的值是：

$$f(a) = {1 \over 2\pi i} \oint_{\gamma} {f(z) \over z-a}\, dz.$$

其中的積分為沿著$\gamma$逆時針方向的積分。

根據導數定義以及函數$f$的連續性，可以得到

$$f'(a) = {1 \over 2\pi i} \oint_{\gamma} {f(z) \over (z-a)^{2}}\, dz.$$

再依據數學歸納法，可以得到函數$f$的n階導數為

$$f^{(n)}(a) = {n! \over 2\pi i} \oint_{\gamma} {f(z) \over (z-a)^{n+1}}\, dz.$$

稱此公式為函數$f$的n階導數的柯西積分公式。這對所有正整數n都成立，所以全純函數必然是無窮次可導的。

如果函數$f$僅在$\gamma$內部是全純函數，在邊界$\gamma$上僅僅是連續函數，那麼只有函數$f$的柯西積分公式成立，而微分公式不一定成立。

## 證明

選定以$a$為圓心，在$\gamma$內部的一個圓盤$D_0 = \{ z ; \; |z - a| \leqslant r\}$，它的邊界是圓$C_0 = \{ z ; \; |z - a| = r\}$。函數$\frac{f}{z-a}$在閉合區域$D \setminus D_0$上是全純函數，所以根據柯西積分定理，它在邊界上的積分等於0：

$${1 \over 2\pi i} \oint_{\gamma} {f(z) \over z-a}\, dz + {1 \over 2\pi i} \oint_{C_0^-} {f(z) \over z-a}\, dz = 0.$$

其中$C_0^-$的標記表示沿「內邊界」$C_0$的積分是順時針方向。所以將這個積分改為沿逆時針方向$C_0^+$後，就能得到：

$${1 \over 2\pi i} \oint_{\gamma} {f(z) \over z-a}\, dz = {1 \over 2\pi i} \oint_{C_0^+} {f(z) \over z-a} \, dz .$$

這個等式與圓盤$D_0$的半徑$r$無關，也就是說無論圓盤多麼小，這個等式都成立。注意到當半徑$r$趨於0的時候，函數$f$在圓$C_0$上的值基本上等於$f(a)$。所以

$$\begin{align} \left| \oint_{C_0^+} {f(z) \over z-a}\, dz - 2\pi i f(a) \right| &= \left| \oint_{C_0^+} {f(z) - f(a) \over z-a}\, dz \right| \\ &= \left| \int_{0}^{2\pi} {f(a + r\cdot e^{it}) - f(a) \over a+ r\cdot e^{it} - a} r i \cdot e^{it}\, dt \right| \qquad (z = a + r\cdot e^{it}) \\ &= \left| \int_{0}^{2\pi} \left[ f(a + r\cdot e^{it}) - f(a)\right] i \, dt \right| \\ &\leqslant \int_{0}^{2\pi} \left| f(a + r\cdot e^{it}) - f(a)\right| \, dt \\ &\leqslant 2\pi \max_{0 \leqslant t < 2\pi } \left| f(a + r\cdot e^{it}) - f(a)\right| \xrightarrow[r\to 0]{} 0. \end{align}$$

這說明

${1 \over 2\pi i} \oint_{\gamma} {f(z) \over z-a}\, dz = {1 \over 2\pi i} \oint_{C_0^+} {f(z) \over z-a} \, dz = {1 \over 2\pi i} 2\pi i f(a) = f(a). \qquad \Box$

## 例子

考慮函數：$g(z)=\frac{z^2}{z^2+2z+2}$以及閉合區域：|z| = 2。這是一個以原點為圓心，半徑為2的圓，以下記作$C$. 下面使用柯西積分公式計算$g(z)$沿$C$的積分。

首先，函數$g$有兩個極點，分別是方程$z^2+2z+2 = 0$的兩個復根：$z_1=-1+i,$ $z_2=-1-i.$ 它們的模長都小於2，所以都在$C$的內部。函數可以寫成$g$：

$$g(z)=\frac{z^2}{(z-z_1)(z-z_2)}.$$

$g$在兩個極點附近趨於無窮。在兩個極點周圍各作一個小圓圈：$C_1$和$C_2$，應用柯西積分定理可知，所要求的積分

$$\oint_{C} g(z) \, dz = \oint_{C_1} g(z) \, dz + \oint_{C_2} g(z) \, dz.$$

注意到函數$f_1 = \frac{z^2}{z - z_1}$在$C_2$內部是全純函數，所以在$C_2$上的積分：

$$\oint_{C_2} g(z)\, dz = \oint_{C_2} {f_1(z) \over z - z_2} \, dz = 2\pi i f_1(z_2).$$

同理，函數$f_2 = \frac{z^2}{z - z_2}$在$C_1$內部是全純函數，所以

$$\oint_{C_1} g(z)\, dz = \oint_{C_1} {f_2(z) \over z - z_1} \, dz = 2\pi i f_2(z_1).$$

所以

$$\begin{align} \oint_{C} g(z) \, dz &= \oint_{C_2} g(z) \, dz + \oint_{C_1} g(z) \, dz. = 2\pi i f_1(z_2) + 2\pi i f_2(z_1) \\ &= 2\pi i \left( \frac{z_2^2}{z_2 - z_1} + \frac{z_1^2}{z_1 - z_2}\right) = 2\pi i \frac{z_1^2 - z_2^2}{z_1 - z_2} = 2\pi i \left( z_1 + z_2 \right) \\ &= -4\pi i \end{align}$$