體積形式

數學中，體積形式提供了函數在不同坐標系（比如球坐標和圓柱坐標）下對體積積分的一種工具。更一般地，一個體積元是流形上一個測度。

在一個定向n-維流形上，體積元典型地由體積形式生成，所謂體積元是一個處處非零的n-階微分形式。一個流形具有體積形式若且唯若它是可定向的，而可定向流形有無窮多個體積形式（細節見下）。

有一個推廣的偽體積形式概念，對無論可否定向的流形都存在。

許多類型的流形有典範的（偽）體積形式，因為它們有額外的結構保證可選取一個更好的體積形式。在復情形，一個帶有全純體積形式的凱勒流形是卡拉比-丘流形。

## 定義

流形M上一個體積形式是處處非0的最高階（n-維流形上的n-形式）微分形式。

用線叢的語言來說，稱最高階外積$\Omega^n(M) = \Lambda^n(T^*M)$為行列式線叢，n-形式是它的截面。

對不可定向流形，一個體積「偽」形式，也稱為「奇」或「扭曲」的體積形式，可以定義為定向叢的一個處處非0截面；這個定義同樣適用於定向流形。在這種看法下，（非扭曲的）微分形式就是「偶」 n-形式。除非特別地討論扭曲形式時，我們總是略去形容詞「偶」。

第一次明確地引入扭曲微分形式是德拉姆。

## 定向

一個流形具有體積形式若且唯若它可定向，這也可以作為可定向的一個定義。

在G-結構的語言中，一個體積形式是一個SL-結構。因為$\mbox{SL} \to \mbox{GL}^+$是形變收縮（因為$\mbox{GL}^+ = \mbox{SL} \times \mathbf{R}^+$，這裡正實數視為純量矩陣），一個流形具有一個SL-結構若且唯若具有一個$\mbox{GL}^+$-結構，即是一個定向。

在線叢的語言中，行列式叢$\Omega^n(M)$的平凡性等價於可定向性，而一個線叢是平凡的若且唯若它有一個處處非0的截面，這樣又得到，體積形式的存在性等價於可定向性。

對於偽體積形式，一個偽體積形式是一個$\mbox{SL}^\pm$-結構，因為$\mbox{SL}^\pm \to \mbox{GL}$ 同倫等價（事實上是形變收縮），任何流形都有偽體積形式。類似地，定向叢總是平凡的，所以任何流形都有一個偽體積形式。

## 和測度的關係

任何流形有一個偽體積形式，因為定向叢（作為線叢）是平凡的。給定一個定向流形上的體積形式ω，密度 |ω| 是忘掉定向結構的非定向流形的一個偽體積形式。

任何偽體積形式ω（從而任何體積形式亦然）定義了一個波萊爾集合上一個測度：

$$\mu_\omega(U)=\int_U\omega. \,\!$$

注意區別，在於任何一個測度可以在（Borel）子集上積分，而一個體積形式只能在一個「定向」胞腔上積分。在單變量微積分中，寫成$\int_b^a f\,dx = -\int_a^b f\,dx$，將$dx$視為體積形式而不是測度，$\int_b^a$表明「在$[a,b]$上沿著定向相反的反向積分」，有時記成$\overline{[a,b]}$。

進一步，一般的測度不必連續或光滑，他們不必由體積形式定義；或更形式地說，關於一個體積形式的Radon-Nikodym導數不必絕對連續。

## 例子

### 李群

任何李群，可以由平移定義一個自然的體積形式。這就是說，如果ωe 是$\bigwedge^n T_e^*G$中一個元素，那麼一個左不變形式可以定義為$\omega_g=L_g^*\omega_e$，這裡Lg為左平移。作為一個推論，任何李群都是可定向的。這個體積形式在相差一個常數的意義下是惟一的，相應的測度稱為哈爾測度。

### 辛流形

任何辛流形（或更確切地為殆辛流形）有一個自然的體積形式。如果M是一個帶有辛形式ω的2n-維流形，那麼由辛形式非退化可知ωn處處非零。作為一個推論，任何辛流形是可定向的（事實上，已經定向）。

### 黎曼體積形式

任何黎曼流形（或偽黎曼流形）有一個自然的體積（或偽體積）形式。在局部坐標系下，能寫成表達式：

$$\omega = \sqrt{|g|} dx^1\wedge \dots \wedge dx^n$$

這裡流形為n-維，$|g|$是流形上度量張量行列式的絕對值，$dx^i$為組成流形餘切叢一組基的1形式。

這個體積形式有許多不同的記號，包括：

$$\omega = \mathrm{vol}_n = \epsilon = *(1) . \,\!$$

這裡∗是霍奇對偶，從而最後一個形式∗(1)強調體積形式是流形上常數映射的霍奇對偶。

儘管希臘字母ω經常用於表示體積形式，但是這個記法很難通用，符號ω在微分幾何中經常有其它意思（比如辛形式），所以一個公式中的ω不一定就表示體積形式。

一個流形如果既是辛的又是黎曼的，如果流形是凱勒的那種方式定義的體積形式相等。

### 曲面的體積形式

體積形式一個簡單的例子可以考慮嵌入n-維歐幾里得空間中的2-維曲面。考慮子集$U \subset \mathbf{R}^2$，以及映射函數

$$\phi:U\to \mathbf{R}^n$$

定義了嵌入到$\mathbf{R}^n$中的一個曲面。映射的雅可比矩陣為

$$\lambda_{ij}=\frac{\partial \phi_i} {\partial u_j}$$

指標i從1跑到n，j從1跑到2。n-維空間的歐幾里得度量誘導了集合U上的一個度量，度量矩陣分量為：

$$g_{ij}=\sum_{k=1}^n \lambda_{ki} \lambda_{kj} = \sum_{k=1}^n \frac{\partial \phi_k} {\partial u_i} \frac{\partial \phi_k} {\partial u_j}$$

度量的行列式由

$$\det g = \left |\frac{\partial \phi} {\partial u_1} \wedge \frac{\partial \phi} {\partial u_2} \right|^2 = \det (\lambda^T \lambda)$$

給出，這裡$\wedge$是楔積。對一個正則曲面，這個行列式不為0；等價地，雅可比矩陣的秩為2。

現在考慮U的一個坐標變換，由微分同胚

$$f \colon U\to U , \,\!$$

給出。從而坐標$(u_1,u_2)$用$(v_1,v_2)$形式表示是$(u_1,u_2)= f(v_1,v_2)$。坐標變換的雅可比矩陣為：

$$F_{ij}= \frac{\partial f_i} {\partial v_j}$$

在新坐標系下，我們有：

$$\frac{\partial \phi_i} {\partial v_j} = \sum_{k=1}^2 \frac{\partial \phi_i} {\partial u_k} \frac{\partial f_k} {\partial v_j}$$

從而度量變換為：

$$\tilde{g} = F^T g F$$

這裡 $\tilde{g}$是在v坐標系下的度量。行列式：

$\det \tilde{g} = \det g (\det F)^2$.

給出以上構造後，現在可以直接理解為什麼體積在坐標變換下不變的。在2維，體積就是面積。子集$B\subset U$的面積由積分：

$$\begin{align} <pre> \mbox{Area}(B) &= \iint_B \sqrt{\det g}\; du_1 du_2 \\ &= \iint_B \sqrt{\det g} \;\det F \;dv_1 dv_2 \\ &= \iint_B \sqrt{\det \tilde{g}} \;dv_1 dv_2 </pre> \end{align}$$

給出。從而，在任一坐標系下，體積都有相同的表達式，即這個表達式在坐標變換下是不變的。

注意到在以上表達式中2維並沒有任何特殊性，以上結論可以平凡地推廣到任意維數。

## 體積形式不變性

體積形式不是惟一的，它們以如下方式組成了流形上非0函數上的一個旋子。這是Radon–Nikodym定理的一個幾何形式。

給定M上一個處處函數f，和一個體積形式$\omega$，$f\omega$也是M上的體積形式。相反地，給定任何兩個體積形式$\omega, \omega'$，他們的比是一個處處非0函數（如果定向相同為正，定向相反為負）。

在坐標系中，他們都不過是一個處處非0函數乘以勒貝格測度，他們的比就是函數的比，這和坐標系的選取無關。本質上，這是$\omega'$關於$\omega$的Radon–Nikodym導數。

### 無局部結構

一個體積形式沒有局部結構：任何兩個體積形式（在相同維數的流形上）是局部同構的。

正式地說，這個結論意味著給定任何兩個同維數的流形$M,N$，分別具有體積形式$\omega_M, \omega_N$，對任何點$m\in M, n\in N$，存在一個映射$f\colon U \to V$（這裡$U$是$m$的一個鄰域而$V$是$n$的一個鄰域），使得N（限制在鄰域$V$上）上的體積形式拉回到$M$（限制在鄰域$U$）上的體積形式：$f^*\omega_N\vert_V = \omega_M\vert_U$。給定維數的可微流形是局部微分同胚的；增添的判斷標準是體積形式拉回到體積形式。

在1維情形，可以這樣證明：給定$\mathbf{R}$上一個體積形式$\omega$，定義

$$f(x) := \int_0^x \omega$$

那麼標準勒貝格測度$dx$通過f: $\omega = f^*dx$拉回到$\omega$，實際上，$\omega = f\,dx$。

高維數時，給定任何一點$m \in M$，存在一個鄰域局部同胚於$\mathbf{R}\times\mathbf{R}^{n-1}$，我們可以進行相同的步驟。

### 整體機構：體積

連通流形M上一個體積形式有一個惟一的整體不變量，即總體積（記作$\mu(M)$），在保持體積形式的映射下不變；總體積可能是無窮，比如$\mathbf{R}^n$上的勒貝格測度。對於一個不連通流形，任何連通分支的體積是不變量。

用符號表示，如果$f\colon M \to N$是流形的同胚，將$\omega_N$拉回到$\omega_M$，那麼

$$\mu(N)=\int_N \omega_N = \int_{f(M)} \omega_N = \int_M f^*\omega_N = \int_M \omega_M=\mu(M)$$

從而流形具有相同的體積。

體積形式也能在覆蓋映射下拉回，在此情況下將體積乘以纖維的基數（形式地說，在纖維上積分）。在無窮重覆蓋（比如$\mathbf{R} \to S^1$），有限體積流形上的體積形式拉回到一個無窮體積流形上的體積形式。

反過來，于爾根·莫澤的一個定理指出，對於連通緊流形上兩個體積相等的體積形式$\omega_1$和$\omega_2$，存在一個流形的微分自同胚將$\omega_1$拉回到$\omega_2$，事實上存在由的流形成同痕。

## 另見

- 龐加萊度量給出了複平面上一個新的體積形式。
- 測度。

## 參考文獻

- Michael Spivak, Calculus on Manifolds, (1965) W.A. Benjamin, Inc. Reading, Massachusetts ISBN 0-8053-9021-9（提供了一個微分幾何的現代理念的初等介紹，只需要一般的微積分背景。）