伴隨矩陣

在線性代數中，一個方形矩陣的伴隨矩陣（adjugate matrix）是一個類似於逆矩陣的概念。如果矩陣可逆，那麼它的逆矩陣和它的伴隨矩陣之間只差一個係數。然而，伴隨矩陣對不可逆的矩陣也有定義，並且不需要用到除法。

$\mathbf{A}$的伴隨矩陣記作$\mathrm{adj}(\mathbf{A})$，或$\mathbf{A}^*$。

## 定義

設R是一個交換環，A是一個以R中元素為係數的n×n的矩陣。A的伴隨矩陣可按如下步驟定義：

- 定義：A關於第i行第j列的餘子式（記作Mij）是去掉A的第i行第j列之後得到的(n − 1)×(n − 1)矩陣的行列式。
- 定義：A關於第i行第j列的代數餘子式是：

$\mathbf{C}_{ij} =(-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ij}$。

- 定義：A的余子矩陣是一個n×n的矩陣C，使得其第i行第j列的元素是A關於第i 行第j 列的代數餘子式。

引入以上的概念後，可以定義：矩陣A的伴隨矩陣是A的余子矩陣的轉置矩陣：

$\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^T$。

也就是說，A的伴隨矩陣是一個n×n的矩陣（記作adj(A)），使得其第i 行第j 列的元素是A關於第j行第i列的代數餘子式。

簡言之，伴隨矩陣就是把原來余子矩陣C每一列的代數餘子式橫著寫：

$\left[ \mathrm{adj}(\mathbf{A}) \right]_{ij} = \mathbf{C}_{ji}$。

## 例子

### 2x2矩陣

一個$2\times 2$矩陣$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}} & {{d}} \end{bmatrix}$的伴隨矩陣是

$$\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix} \,\,\,{{d}} & \!\!{{-b}}\\ {{-c}} & {{a}} \end{bmatrix}$$

### 3x3矩陣

對於$3\times 3$的矩陣，情況稍微複雜一點：

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$$

其伴隨矩陣是：

$$\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix} +\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \\ <pre> & & \\ </pre> -\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \\ <pre> & & \\ </pre> +\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} +\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} \\ & & \\ -\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} \\ & & \\ +\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \end{bmatrix}$$

其中

$$\left| \begin{matrix} a_{im} & a_{in} \\ \,\,a_{jm} & a_{jn} \end{matrix} \right|= \det\left[ \begin{matrix} a_{im} & a_{in} \\ \,\,a_{jm} & a_{jn} \end{matrix} \right]= \det\left| \begin{matrix} a_{im} & a_{in} \\ \,\,a_{jm} & a_{jn} \end{matrix} \right|$$

要注意伴隨矩陣是餘因子矩陣的轉置，因此第3行第2列的係數是A關於第2行第3列的代數餘子式。

### 具體情況

對於數值矩陣。

例如求矩陣 $A = \begin{bmatrix} \!-3 & \, 2 & \!-5 \\ \!-1 & \, 0 & \!-2 \\ \, 3 & \!-4 & \, 1 \end{bmatrix}$ 的伴隨矩陣$\operatorname{adj}(A)$。

只需將數值代入上節得到的表達式中。

即：$\operatorname{adj}(A)_{ji}=C_{ij}=(-1)^{i+j}(M_{ij})$。

其中，$M_{ij}$為刪掉矩陣 $A$ 的第 i 橫列與第 j 縱行後得到的行列式，$C_{ji}$為矩陣 $A$ 的餘因子。

例如：$\operatorname{adj}(A)$中第3行第2列的元素為

$$\operatorname{adj}(A)_{32}=C_{23}=(-1)^{2+3}\;\operatorname{det}\begin{bmatrix}\!-3&\,2\\ \,3&\!-4\end{bmatrix}=-((-3)\cdot (-4)-2 \cdot 3)=-6$$

依照其順序一一計算，便可得到計算後的結果是：

$$\operatorname{adj}(A) = \operatorname{adj}\begin{bmatrix} \!-3 & \, 2 & \!-5 \\ \!-1 & \, 0 & \!-2 \\ \, 3 & \!-4 & \, 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \!-8 & 18 & \, -4 \\ \, -5 & 12 & \, -1 \\ \!4 & \!-6 & \, 2 \end{bmatrix}$$

## 應用

作為拉普拉斯公式的推論，關於n×n矩陣A的行列式，有：

$$\mathbf{A}\, \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})\, \mathbf{A} = \det(\mathbf{A})\, \mathbf{I}\qquad(*)$$

其中I是n階的單位矩陣。事實上，A adj(A)的第i行第i列的係數是

$\sum_{j=1}^{n} a_{i;j} C_{i,j}$。根據拉普拉斯公式，等於A的行列式。

如果i ≠ j，那麼A adj(A)的第i行第j列的係數是

$\sum_{k=1}^{n} a_{i;k} C_{j,k}$。拉普拉斯公式說明這個和等於0（實際上相當於把A的第j行元素換成第i行元素後求行列式。由於有兩行相同，行列式為0）。

由這個公式可以推出一個重要結論：交換環R上的矩陣A可逆若且唯若其行列式在環R中可逆。

這是因為如果A可逆，那麼

$1 = \det(\mathbf I) = \det(\mathbf{A} \mathbf{A}^{-1}) = \det(\mathbf{A}) \det(\mathbf{A}^{-1})$。

如果det(A)是環中的可逆元那麼公式（*）表明

$$\mathbf{A}^{-1} = \det(\mathbf{A})^{-1}\, \mathrm{adj}(\mathbf{A})$$

## 性質

對$n\times n$的矩陣A和B，有：

- $\mathrm{adj}(\mathbf{I}) = \mathbf{I}$。
- $\mathrm{adj}(\mathbf{AB}) = \mathrm{adj}(\mathbf{B})\,\mathrm{adj}(\mathbf{A})$。
- $\mathrm{adj}(\mathbf{A}^T) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^T$。
- $\det\big(\mathrm{adj}(\mathbf{A})\big) = \det(\mathbf{A})^{n-1}$。
- $$\mathrm{adj}(k \mathbf{A}) = k^{n-1} \ \mathrm{adj}(\mathbf{A})$$
- 當n>=2時，$\mathrm{adj}(\mathrm{adj}(\mathbf{A})) =(\det \mathbf{A})^{n-2} \mathbf{A}$
- 如果A可逆，那麼$\mathrm{adj}(\mathbf{A}^{-1}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^{-1} = \frac{A}{\det A}$
- 如果A是對稱矩陣，那麼其伴隨矩陣也是對稱矩陣；如果A是反對稱矩陣，那麼當n為偶數時，A的伴隨矩陣也是反對稱矩陣，n為奇數時則是對稱矩陣。
- 如果A是（半）正定矩陣，那麼其伴隨矩陣也是（半）正定矩陣。
- 如果矩陣A和B相似，那麼$\mathrm{adj}(\mathbf{A})$和$\mathrm{adj}(\mathbf{B})$也相似。
- 如果n>2，那麼非零矩陣A是正交矩陣若且唯若$\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \pm A^T$

### 伴隨矩陣的秩

當矩陣A可逆時，它的伴隨矩陣也可逆，因此兩者的秩一樣，都是n。當矩陣A不可逆時，A的伴隨矩陣的秩通常並不與A相同。當A的秩為n-1時，其伴隨矩陣的秩為1，當A的秩小於n-1時，其伴隨矩陣為零矩陣。

### 伴隨矩陣的特徵值

設矩陣A在復域中的特徵值為$\lambda_1, \lambda_2 \cdots \lambda_n$(即為特徵多項式的n個根），則A的伴隨矩陣的特徵值為

$\lambda_2 \lambda_3 \cdots \lambda_{n}, \ \lambda_1 \lambda_3 \cdots \lambda_{n}, \cdots , \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_{n-1}$。

這裡要用到一個結論作為引理：一個n階矩陣的n個特徵值的和等於它的跡數，它們的乘積等於矩陣的行列式。

分3種情況討論：

- 如果A的秩為n，即是說A可逆，那麼由引理有：$\det A = \lambda_1\lambda_2 \cdots \lambda_n$。只需證明A的伴隨矩陣的特徵值為$\frac{ \det A}{\lambda_1} , \frac{ \det A}{\lambda_2}, \cdots , \frac{ \det A}{\lambda_n}$。考察矩陣$X \mathbf{I} -\mathrm{adj}(\mathbf{A})$：

$$\det( X \mathbf{I} -\mathrm{adj}(\mathbf{A}) )$$

$$\ \ = \det( X \mathbf{I} - \det \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} )$$

$\ \ = \det \mathbf{A}^{-1} \cdot \det( X \mathbf{A} - \det \mathbf{A} \cdot \mathbf{I})$ $\ \ = \frac{1}{\det \mathbf{A} } \cdot X^n \cdot \det(\mathbf{A} - \frac{\det \mathbf{A} }{X} \mathbf{I} ) <pre>$

由於$\det( \mathbf{A} - X \mathbf{I}) = \prod_{i=1}^n(\lambda_i - X)$，因此

$$\det(\mathbf{A} - \frac{\det \mathbf{A} }{X} \mathbf{I} )$$

$$\ \ = \prod_{i=1}^n(\lambda_i - \frac{\det \mathbf{A} }{X})$$

$$\ \ = \frac{1}{X^n} \prod_{i=1}^n(\lambda_i X - \det \mathbf{A})$$

因此

$$\det( X \mathbf{I} -\mathrm{adj}(\mathbf{A}) )$$

$$\ \ = \frac{1}{\det \mathbf{A} } \cdot X^n \cdot \frac{1}{X^n} \prod_{i=1}^n(\lambda_i X - \det \mathbf{A})$$

$$\ \ = \frac{1}{\det \mathbf{A} } \cdot \lambda_1\lambda_2 \cdots \lambda_n \prod_{i=1}^n(X - \frac{ \det A}{\lambda_i})$$

$$\ \ = \prod_{i=1}^n( X - \frac{\det A}{\lambda_i})$$

可以看到$\mathrm{adj}(\mathbf{A})$的特徵多項式為$\prod_{i=1}^n(X - \frac{ \det A}{\lambda_i})$，因此命題成立。

- 如果A的秩嚴格小於n-1，即是說A至少有兩個特徵值為0，於是

$$\lambda_2 \lambda_3 \cdots \lambda_{n}, \ \lambda_1 \lambda_3 \cdots \lambda_{n}, \cdots , \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_{n-1}$$

全部都是0。這時A的伴隨矩陣為0，因此特徵值也全是0。命題成立。

- 如果A的秩等於n-1，即是說A至少有一個特徵值為0，不妨設其為$\lambda_1$。由於這時A的伴隨矩陣秩為1，它至少有n-1個特徵值為0。設剩餘的一個為$\alpha$，則其跡數為$\alpha$。另一方面，A的伴隨矩陣的跡數為

$$C_{11} +C_{22} + \cdots + C_{nn}$$

這個和恰好等於$\sum_{i=1}^n \prod_{k \neq i} \lambda_k$，即等於$\lambda_2 \lambda_3 \cdots \lambda_{n}$（其餘都是0）。

綜上所述，對任意的矩陣A，命題都成立。

### 伴隨矩陣和特徵多項式

設 $p(t)=\mathrm{det}(\mathbf{A}-t\mathbf{I})$ 為$\mathbf{A}$的特徵多項式，定義$q (t) = \frac{p (0)-p (t)}{t}$，那麼：

$\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = q(\mathbf{A}) = -(p_1 \mathbf{I} + p_2 \mathbf{A} + p_3 \mathbf{A}^2 + \cdots + p_{n} \mathbf{A}^{n-1})$,

其中$p_i$是$p(t)$的各項係數：

$p (t) = p_0 + p_1 t + p_2 t^2 + \cdots p_{n} t^{n}$。

伴隨矩陣也出現在行列式的導數形式中。