黑洞熱力學

黑洞熱力學（black hole thermodynamics），或稱作黑洞力學，是發展於1970年代將熱力學的基本定律應用到廣義相對論領域中黑洞研究而產生的理論。雖然至今人們還不能清晰地理解闡述這一理論，黑洞熱力學的存在強烈地暗示了廣義相對論、熱力學和量子理論彼此之間深刻而基礎的聯繫。儘管它看上去只是從熱力學的最基本原理出發，通過經典和半經典理論描述了熱力學定律制約下的黑洞的行為，但它的意義遠超出了經典熱力學與黑洞的類比這一範疇，而將強引力場中量子現象的本性包含其中。

## 黑洞熵

在經典的廣義相對論範疇下，黑洞遵循無毛定理，即它只具有三個物理量：質量、角動量、電荷。無毛定理認為一旦這三個物理量被確定黑洞就被唯一地確定下來。由於黑洞沒有熵的定義，隨之而來的問題是：倘若粒子（或其他任何東西）落入黑洞後，它們的熵就由此消失了，如此宇宙作為一個孤立系統其中的熵就會減少，這違背了熱力學第二定律。

1972年，史蒂芬·霍金證明了黑洞視界的表面積永不會減少，兩個黑洞合併後的黑洞面積不會小於原先兩個黑洞面積之和。與此同時，普林斯頓大學的一名以色列年輕學生雅各布·貝肯斯坦借用了霍金關於黑洞面積永不減小的理論提出了黑洞熵的概念，他提出黑洞的表面積與它的熵成正比。如此黑洞的視界表面積成為了它的熵的量度，從而不會違反熱力學第二定律。貝肯斯坦在他的論文中指出：

黑洞物理學和熱力學之間存在有很多相似之處，其中最顯著的是黑洞表面積和熵的行為的相似性：這兩個量都是不可逆地增加的。

貝肯斯坦以這個相似性為出發點建立了黑洞熵的概念，然而隨之而來的新問題是：如果黑洞具有熵，那麼根據熱力學第三定律它也應該具有溫度，從而會產生熱輻射，但這顯然又和當時認為的任何物質都無法逸出黑洞的事實相矛盾。

## 彭羅斯過程

二十世紀六十年代末，羅傑·彭羅斯爵士提出了所謂彭羅斯過程，這是從旋轉黑洞中抽取能量並使之角動量降低的一種機制。簡單說來，當有一個具有動量和能量的物體進入一個旋轉黑洞的能層後 （實現彭羅斯過程的運動軌跡需要十分精確），如果這個物體一分為二，在彭羅斯過程下其中一部分會墜入事件視界，另一部分則會逸出能層並獲得比原先系統所具有的更大的能量。此時墜入視界的部分具有負值的能量和角動量，因此彭羅斯過程的代價是降低了黑洞的角動量，這一過程可簡單地表述為

$$\delta M = E\,$$

$$\delta J = L\,$$

這裡$\delta M\,$和$\delta J\,$是黑洞的能量和角動量的增量，$E\,$和$L\,$是墜入視界部分的能量和角動量。由於旋轉黑洞能層內的參考系拖拽的存在，我們定義黑洞視界的自轉角速度，同時也是視界中粒子運動的最低角速度為$\Omega_H\,$。對於彭羅斯過程存在如下極限：

$$\delta J < \frac{\delta M}{\Omega_H}\,$$

它表明不可能無限制地降低一個旋轉黑洞的角動量並從中抽取能量。上面的不等式是從墜入視界部分的測地線是類時的這一前提得到的，倘若墜入視界部分的測地線逐漸變為零性的，則我們可以達到降低角動量的極限，此時存在

$$\delta J = \frac{\delta M}{\Omega_H}\,$$

這可以看作是一種理想彭羅斯過程。

## 黑洞表面

對於克爾度規，黑洞視界的表面積可由下式給出：

$$A = 4\pi \left( r_+^2 + a^2 \right)\,$$

其中$r_+\,$是克爾黑洞視界的外表面半徑：

$$\left( r_+ - GM \right)^2 = G^2 M^2 - a^2$$

式中其它物理量的意義請參考克爾度規，並參見參考系拖拽#參考系拖拽的數學推導。

定義黑洞的不可約化質量

$$M_{irr}^2 = \frac{A}{16\pi G^2}\,$$

將上面的表面積公式和其他物理量的意義代入，可進一步得到

$$M_{irr}^2 = \frac{1}{2} \left( M^2 + \sqrt{M^4 - (J/G)^2} \right)\,$$

將此表達式對$M\,$和$J\,$進行全微分，得到

$$\delta M_{irr} = \frac{a}{4G\sqrt{G^2M^2 - a^2}M_{irr}}\left( \frac{\delta M}{\Omega_H} - \delta J \right)$$

由於上節得到的不等關係，我們有

$$\delta M_{irr} > 0\,$$

這表明黑洞不可約化質量永不可能減少，即通過彭羅斯過程從旋轉黑洞中能夠抽取的最大能量為旋轉黑洞的初始質量減去不可約化質量，通過計算我們得到可以最多從一個旋轉黑洞中抽取其總能量的29%。

由於不可約化質量是通過黑洞的表面積定義的，通過微分的法則可以得到

$$\delta A = 8\pi G \frac{a}{\Omega_H \sqrt{G^2M^2 - a^2}}\left( \delta M - \Omega_H \delta J \right)$$

由於同樣因式的存在，可知黑洞的表面積也永遠不會減小。此式還可以進一步整理為

$$\delta M = \frac{\kappa}{8\pi G}\delta A + \Omega_H \delta J$$

其中

$$\kappa = \frac{\sqrt{G^2M^2 - a^2}}{2GM(GM +\sqrt{G^2M^2 - a^2})}$$

是一個常數，這實際是克爾黑洞的表面引力。

## 黑洞熱力學定律

$$\delta M = \frac{\kappa}{8\pi G}\delta A + \Omega_H \delta J$$

這個方程的形式讓人聯想到熱力學第一定律：

$$dU = TdS + PdV$$

將兩者比較來看，$\Omega_H \delta J$的意義有如是通過將物體拋入黑洞從而對黑洞做功。這樣，黑洞的表面積就相當於它的熵，而表面引力相當於它的溫度。在經典的廣義相對論範疇下，這種對應確實近乎完美：

### 黑洞熱力學第零定律

- 熱力學第零定律：在熱平衡狀態下，系統各處都具有相同的溫度。
- 黑洞熱力學第零定律：定態黑洞在整個視界表面具有相同的表面引力。

### 黑洞熱力學第一定律

- 熱力學第一定律：$dU = TdS + PdV$
- 黑洞熱力學第一定律：$\delta M = \frac{\kappa}{8\pi G}\delta A + \Omega_H \delta J$

當有黑洞中有電荷存在時還需要添加電勢項$\Phi dQ\,$，正如在熱力學第一定律中還可以添加化學勢等。

### 黑洞熱力學第二定律

- 熱力學第二定律：孤立系統的熵永不隨時間減少：$dS \ge 0\,$。
- 黑洞熱力學第二定律：孤立黑洞視界的表面積永不隨時間減少：$\delta A \ge 0\,$。

### 黑洞熱力學第三定律

- 熱力學第三定律：不可能通過任何物理過程達到絕對零度。
- 黑洞熱力學第三定律：黑洞的表面引力不可能為零。

黑洞熱力學第三定律相當於是否定了裸奇點的存在，這和宇宙審查是一致的。

## 霍金輻射

在經典世界中，黑洞熱力學與經典熱力學無法做出類比的地方在於普朗克黑體輻射定律：經典世界中的熱力學系統總會發出熱輻射，而黑洞則不會有任何東西從中出來。在貝肯斯坦的理論中，黑洞仍然是一個100%的黑體，但仍具有特定溫度下的熱輻射。這個矛盾之處讓當時的霍金非常惱火，他試圖證明貝肯斯坦的理論是錯的，但這最終導致他發現黑洞確實會發出輻射，並且黑洞不是完全黑的。這種熱輻射被稱作霍金輻射，霍金運用了彎曲時空中的量子場論從理論上預言了這種輻射，所採用的方法直接來源於對彎曲時空中粒子產生的計算。

關於霍金輻射的簡易推導過程請參見霍金輻射，這裡直接給出結論。

霍金輻射所對應的黑洞表面溫度為

$$T_{H} = \frac{\kappa}{2\pi}\,$$

注意這個表達式的含義確實是真正物理意義上的黑洞溫度，而不僅僅是一種數學上的與熱力學的類比。

從而黑洞熵為

$$S_{H} = \frac{A}{4G}\,$$

貝肯斯坦由此提出了廣義化的第二定律，即宇宙間物質與黑洞的熵的總和永不減小：

$$\delta \left( S + \frac{A}{4G} \right) \ge 0$$

在很多前提假設下，廣義化的第二定律都被證明是正確的。但對於熵這一概念，我們總希望能夠通過對系統所有可達到的量子態數取對數來定義（即玻爾茲曼熵），但在無毛定理的描述下具有確定質量、角動量和電荷的黑洞只具有一個態而並非多個。這些問題都在暗示著我們對於熵的概念需要有一個更深刻的理解，特別是在量子引力的框架下由於廣義相對論不允許普適意義下的絕對的「時間平移」的存在，以及它和統計力學所要求的遍歷性不相容，這些都要求在量子引力中我們需要對熵有一個更新更深刻的定義。