霍金輻射

霍金輻射（英語：Hawking radiation）是以量子效應理論推測出的一種由黑洞散發出來的熱輻射。此理論在1974年由物理學家史蒂芬·霍金提出。有了霍金輻射的理論就能說明黑洞的質量如何降低而導致黑洞蒸散的現象。

黑洞因為霍金輻射而失去質量，當黑洞損失的質量比增加的質量多的時候，黑洞就會縮小，最終消失。而比較小的微黑洞的輻射量通常會比正常的黑洞大，所以前者會比後者縮小與消失的速度還要更快。

霍金的分析迅速成為第一個令人信服的量子引力理論，儘管目前尚未實際觀察到霍金輻射的存在。在2008年6月NASA發射了GLAST衛星，它可以尋找蒸發的黑洞中γ射線的閃光。而在額外維度理論，高能粒子對撞也有可能創造出自我消失的微黑洞。

2010年9月，一項模擬重力研究的結果被部分科學家認為是首次展示出霍金輻射的可能存在與可能性質。然而，霍金輻射仍未被實際觀測到。

## 概述

在古典物理學中，黑洞具有極強的引力場，任何物質、甚至連光都無法逃脫其事件視界。因此，古典黑洞的溫度在絕對意義上是絕對零度，且不會發出任何輻射。

然而，當引入相對論性量子力學與量子場論後，這種完全黑暗的性質發生了改變。史蒂芬·霍金透過計算彎曲時空中的量子場真空態，發現黑洞並非完全靜止，而是會像一個具有特定溫度的黑體一樣，持續向外源源空間釋放熱輻射。

## 物理機制與推導

霍金輻射的理論架構建立在彎曲時空量子場論（Quantum Field Theory in Curved Spacetime）的微擾開展上。其核心物理機制可從量子真空與時空幾何的交互作用來理解。

### 真空極化與虛粒子對

在量子力學中，根據海森堡不確定性原理，真空並非空無一物，而是充滿了瞬息萬變的能量波動。這種波動表現為自發產生的「虛粒子對」（Virtual particle pairs），包含一個正能量粒子與一個負能量粒子（或粒子與反粒子）。在正常情況下，這對虛粒子會在極短的時間內重新相遇並發生湮滅，將能量還給真空，因此無法被直接觀測。

然而，當這種真空極化現象發生在黑洞的事件視界（Event horizon）邊緣時，強烈的引力潮汐力會介入這一過程：

- 粒子分離：在虛粒子對湮滅之前，強大的引力場會將它們強行拉開，使其分居於事件視界的外側與內側。
- 負能量捕獲：位於視界內側的虛粒子被黑洞強大的引力禁錮，並落入奇點。在彎曲時空的座標系中，該粒子可以擁有相對於觀測者而言的「負能量（Negative energy）」。
- 正能量逃逸：根據能量守恆定律，留在視界外側的另一個虛粒子為了維持整體的能量平衡，必須獲得正能量。它成功擺脫了黑洞的引力束縛，逃逸至無窮遠處。對於遠方的觀測者而言，這個逃逸的真實粒子就像是由黑洞本身發射出來的熱輻射，即為霍金輻射。

由於黑洞不斷吞入負能量粒子並向外釋放正能量粒子，其總質量 $M$ 必定會隨著時間推移而逐漸減小。這一現象被稱為「黑洞蒸發」（Black hole evaporation）。

### 霍金溫度公式

霍金透過著名的博戈留波夫轉換（Bogoliubov transformation）方法，計算了黑洞形成前後真空態的數學關係，推導出霍金輻射的光譜呈現完美的黑體輻射分佈。其對應的霍金溫度（Hawking temperature $T_{\mathrm{H}}$）公式如下：

$$T_{\mathrm{H}} = \frac{\hbar c^3}{8\pi G M k_{\mathrm{B}}}$$

其中各物理常數與變量定義為：

- $\hbar$：約化普朗克常數（$\frac{h}{2\pi}$），代表量子效應。
- $c$：光速，代表相對論效應.
- $G$：萬有引力常數，代表引力交互作用。
- $k_{\mathrm{B}}$：玻爾茲曼常數，代表熱力學與統計力學。
- $M$：黑洞的質量。

### 質量的演化與黑洞壽命

從霍金溫度公式可以看出，黑洞的溫度與其質量 $M$ 成反比。這導致了一個非常顯著的熱力學不穩定性：

- 大質量黑洞：如恆星黑洞或超大質量黑洞，其質量非常巨大，因此其霍金溫度極低（通常遠低於宇宙微波背景輻射的 2.7 K）。在目前的宇宙環境中，這類黑洞吸收背景輻射的速度遠大於自身蒸發的速度，因此它們目前仍在增長。
- 微型黑洞：質量極小的黑洞（如宇宙早期可能形成的原初黑洞），其溫度會變得非常高。隨著黑洞不斷蒸發，其質量 $M$ 變小，溫度 $T_{\mathrm{H}}$ 隨之暴漲，導致輻射功率急遽增加。

根據史蒂芬-玻爾茲曼定律，黑洞的輻射功率與溫度的四次方成正比（$P \propto T^4 \propto M^{-4}$）。結合黑洞表面積，可推導出黑洞質量隨時間的減少率為：

$$\frac{dM}{dt} \propto -\frac{1}{M^2}$$

對此微分方程進行積分，可以求得一個質量為 $M$ 的黑洞，在不考慮外界物質吸收的情況下，其完全蒸發所需的壽命（Evaporation time $t$）大約為：

$$t \propto M^3$$

在黑洞生命的最後幾秒鐘，由於質量趨近於零，其輻射功率將會趨向無窮大。黑洞最終會在釋放出巨量高能伽瑪射線（$\gamma$-rays）與高能粒子的猛烈爆炸中徹底灰飛煙滅。

## 黑洞資訊悖論（黑洞謬論）

霍金輻射的發現不僅僅是一項理論物理突破，它同時掀起了現代物理學史上最著名的爭議——黑洞資訊悖論（Black hole information paradox，在大眾文化中有時被通稱為「黑洞謬論」）。這場危機直接指向了量子力學與廣義相對論在底層邏輯上的根本衝突。

### 核心衝突點

量子力學的核心基石之一是時空演化的么正性（或稱一體性）。這意味著波函數的演化是完全決定論且可逆的。如果已知一個孤立系統在某一時刻的完整量子態，理論上就能夠百分之百地推導出它在過去任何一個時間點或未來任何一個時間點的狀態。換言之，物理資訊（Information）是守恆的，絕對不可能在宇宙中憑空消失。

古典廣義相對論指出，無論什麼樣的物質（不論是高度有序的電腦晶片、一本書，還是一堆混亂的原子）掉進黑洞，最終形成的黑洞都只能由三個外部可觀測的古典物理量來完全描述：質量、電荷和角動量。所有關於掉落物質內部結構、排列方式和量子歷史的細節資訊，都會被事件視界徹底屏蔽。

### 悖論的產生

當霍金證明黑洞會發出熱輻射並且會完全蒸發時，問題就出現了。霍金輻射是一種純粹的熱輻射（Thermal radiation），其光譜和特徵僅僅取決於黑洞當前的質量。這意味著，不論當初是丟進一本書還是丟進等質量的石塊，黑洞蒸發後所產生的霍金輻射在統計學上都是完全隨機、一模一樣的。

如果黑洞最終完全蒸發並化為虛無，那麼：

- 當初掉進黑洞的那些物質所攜帶的豐富量子資訊，去哪裡了？
- 答案只有兩個：要麼資訊在黑洞內部被徹底摧毀了（這將直接推翻量子力學的么正性）；要麼廣義相對論在事件視界處的數學描述存在本質上的嚴重錯誤。

這就是理論物理學界長達數十年、被稱為「黑洞戰爭」的學術爭論起因。

### 現代主流理論解決方案

為了解決這個涉及宇宙基本法則的矛盾，當代頂尖理論物理學家們提出了幾種具有代表性的假說與解決路徑：

- 1. 資訊隨霍金輻射編碼釋出（佩奇曲線與量子糾纏）：

這是目前理論物理學界最主流的觀點。物理學家唐·佩奇（Don Page）提出，如果資訊是守恆的，那麼隨著黑洞蒸發，黑洞與外在輻射之間的量子糾纏熵會先上升，在達到某個臨界點（稱為佩奇點，Page time）後開始下降，最終歸零。這表明資訊並沒有丟失，而是以極其複雜、非局域的量子相干形式，被深深隱藏並編碼在看似隨機的霍金輻射粒子之中。霍金本人也於 2004 年承認了這一點，並宣布自己最初的「資訊丟失論」是錯誤的。

- 2. 全像原理與黑洞互補性（Holographic Principle）：

由倫納德·薩斯坎德（Leonard Susskind）與傑拉德·特·胡夫特（Gerard 't Hooft）提出。根據全像原理，三維空間黑洞內部所發生的所有量子交互作用，都可以被完全等價地映射（編碼）到二維的事件視界表面上。黑洞互補性（Black hole complementarity）則進一步指出，對於外部觀測者來說，資訊從未真正穿過視界，而是被事件視界表面的高溫粒子熱化並隨著霍金輻射重新發射出去；而對於自由下落的觀測者來說，資訊則平滑地穿過視界進入內部。這兩種視角在量子力學中是互補且不矛盾的。

- 3. 黑洞防火牆假說（AMPS Firewall）：

2012年，由阿赫邁里（Almheiri）、馬洛夫（Marolf）、波爾欽斯基（Polchinski）和蘇利（Sully）四位物理學家提出（簡稱 AMPS）。他們指出，如果佩奇曲線是正確的（即資訊必須釋出），且廣義相對論的等效原理（視界處平滑無奇）也是正確的，兩者會產生嚴重的矛盾。為了解決這個衝突，他們大膽假設：在黑洞的事件視界上，存在一個能量密度極高的量子「防火牆（Firewall）」。任何物質在穿過視界的瞬間都會被這道防火牆瞬間燒毀並解碼，資訊以此留在視界外部。這一假說雖然激進，但也極大推動了弦理論與量子引力的融合研究。

- 4. 黑洞殘餘物假說（Black Hole Remnants）：

該假說認為黑洞並不會完全消失。當黑洞蒸發到普朗克尺度（約 $10^{-35}$ 米）時，由於極端強烈的量子引力效應，半古典的霍金輻射計算失效，蒸發過程停止。黑洞會留下一個極近微小但穩定的「殘餘物」（Remnant），這個殘餘物就像一個容量無限大的量子隨身碟，內部封存並保留了黑洞在過去漫長生命中所吞噬的所有原始量子資訊。