標架叢

數學中，標架叢（Frame bundle）是一個與任何向量叢 E 相伴的主叢。F(E) 在一點 x 的纖維是 Ex 的所有有序基或曰標架。一般線性群通過基變更自然作用在 F(E) 上，給出標架叢一個主 GLk(R)-叢結構，這裡 k 是 E 的秩。

一個光滑流形的標架叢是與其切叢相伴的叢。因此它有經常稱為切標架叢（tangent frame bundle）。

## 定義與構造

設 E → X 是拓撲空間 X 上一個 k 階實向量叢。在點 x ∈ X 的一個標架是向量空間 Ex 的一個有序基。等價地，一個標架可以視為線性同構

$$p : \mathbb R^k \to E_x.$$

在 x 的所有標架集合，記作 Fx，所有可逆 k×k 矩陣組成的一般線性群 GLk(R) 在它上面有一個自然右作用：一個群元素 g ∈ GLk(R) 通過複合作用在 p 的標架上給出一個新標架

$$p\circ g:\mathbb R^k\to E_x.$$

GLk(R) 在 Fx 上這個作用是自由傳遞的（這是標準線性代數結論：存在惟一可逆線性變換將一個基變為另一個）。作為一個拓撲空間 Fx 同胚於 GLk(R)，但它沒有群結構，因為沒有「優先的標架」。空間 Fx 稱為一個 GLk(R)-torsor。

E 的標架叢，記作 F(E) 或 FGL(E)，是所有 Fx 的不交並：

$$\mathrm F(E) = \coprod_{x\in X}F_x.$$

F(E) 中每個點是一個二元組 (x, p)，其中 x 是 X 中一點而 p 是 x 處一個標架。存在自然投影 π : F(E) → X 將 (x, p) 送到 x。群 GLk(R) 如上右作用在 F(E) 上。這個作用顯然是自由的且軌道恰是 π 的纖維。

標架叢 F(E) 可給一個自然的拓撲，其叢結構由 E 確定。設 (Ui, φi) 是 E 的一個局部平凡化。則對每個 x ∈ Ui 有一個線性同構 φi,x : Ex → Rk。這個數據決定了一個雙射

$$\psi_i : \pi^{-1}(U_i)\to U_i\times \mathrm{GL}_k(\mathbb R),\,$$

由下式給出

$$\psi_i(x,p) = (x,\varphi_{i,x}\circ p).$$

有了這個雙射後，每個 π−1(Ui) 可賦予 Ui × GLk(R) 的拓撲。則 F(E) 上的拓撲是由包含映射 π−1(Ui) → F(E) 余誘導的最終拓撲。

有了上面所有數據後，標架叢 F(E) 成為 X 上一個結構群為 GLk(R) 的主纖維叢，具有局部平凡化 ({Ui}, {ψi})，可以驗證 F(E) 的轉移函數與 E 的相同。

上面所有工作對光滑範疇也成立：如果 E 是光滑流形 M 上一個光滑向量叢，則 E 的標架叢可賦予 M 上光滑主叢結構。

## 相伴向量叢

向量叢 E 與它的標架叢 F(E) 是相伴叢。每一個決定了另一個。標架叢 F(E) 可如上由 E 構造出來，或更抽象地利用纖維叢構造定理。在後一個方法中，F(E) 與 E 有同樣底、平凡化鄰域以及轉移函數，但有抽象纖維 GLk(R)，這裡結構群 GLk(R) 作用在纖維 GLk(R) 上是左乘。

給定一個線性表示 ρ : GLk(R) → V，有一個向量叢相伴與 F(E)

$$\mathrm F(E)\times_{\rho}V,\,$$

它由乘積 F(E) × V 模去等價關係 (pg,v) ~ (p,ρ(g)v)，對所有 g 屬於 GLk(R)，給出。記等價類為 p,v。

向量叢 E 自然同構於叢 F(E) ×ρ Rk，這裡 ρ 是 GLk(R) 在 Rk 上的基本表示。同構由

$$[p,v]\mapsto p(v)$$

給出，這裡 v 是 Rk 中一個向量而 p : Rk → Ex 是 x 處一個標架。容易驗證這個映射是良定義的。

任何相伴與 E 的向量叢可由如上構造給出。例如，E 的對偶叢由 F(E) ×ρ* (Rk)* 給出，這裡 ρ* 是基本表示的對偶。E 的張量叢可類似地構造。

## 切標架叢

一個光滑流形 M 的切標架叢（或簡稱標架叢）是與 M 的切叢相伴的標架叢。M 的標架叢通常記作 FM 或 GL(M) 而不是 F(TM)。如果 M 是 n-維的則切叢的秩為 n，所以 M 的標架叢是 M 上一個主 GLn(R) 叢。

### 光滑標架

M 的標架叢的局部截面稱為 M 上的光滑標架。主叢橫截定理說 M 中任何有光滑標架的開集 U 上標架叢是平凡的。給定一個光滑標架 s : U → FU，平凡化 ψ : FU → U × GLn(R) 由

$$\psi(p) = (x, s(x)^{-1}\circ p)$$

給出，這裡 p 是 x 處一個標架。從而一個流形是可平行化的若且唯若 M 的標架叢有一個整體截面。

因為 M 的切叢在 M 的任何坐標鄰域是可平凡化的，故標架叢也是。事實上，給定任何坐標鄰域 U 帶有坐標 (x1,…,xn)，坐標向量場

$$\left(\frac{\partial}{\partial x^1},\cdots,\frac{\partial}{\partial x^n}\right)$$

定義了 U 上一個光滑標架。在標架叢上工作的一個好處是它們允許我們處理標架而不是坐標架；我們可選取對手中問題合適的標架。這有時稱為活動標架法。

### 焊接形式

流形 M 的標架叢是一類特殊的主叢，它的幾何本質上繫於 M 的幾何。這種關係可用 FM 上一個稱之為焊接形式（或稱基本或重言 1-形式）向量值 1-形式表示。設 x 是流形 M 上一點，p 是 x 處一個標架，故

$$p : \mathbb{R}^n\to T_xM$$

是 Rn 與 M 在 x 處切叢的一個線性同構。FM 的焊接形式是一個 Rn-值 1-形式 θ，定義為

$$\theta_p(\xi) = p^{-1}\mathrm d\pi(\xi)\,$$

這裡 ξ 與 FM 相切於 (x,p)，p-1:TxM → Rn 是標架映射的逆，dπ 是投影映射 π: FM → M 的微分。焊接形式是水平的，它在與 π 的纖維相切的向量上為零，以及右等變，即

$$R_g^*\theta = g^{-1}\theta\,$$

這裡 Rg 是由 g ∈ GLn(R) 的左平移。FM 上這樣性質的形式稱為基本或張量性形式。這樣的形式與 TM-值 1-形式一一對應，從而與 M 上光滑叢映射 TM → TM 一一對應。這樣看來，θ 恰好是 TM 上恆等映射。

## 標準正交標架叢

如果向量叢 E 配有一個黎曼叢度量，則每個纖維 Ex 不僅是一個向量空間而且是一個內積空間。這樣便可以討論 Ex 的所有標準正交標架集合。Ex 的一個標準正交標架是 Ex 的一個有序標準正交基，或等價地，一個等距線性同構

$$p:\mathbb R^k \to E_x$$

這裡 Rk 配有標準歐幾里得度量。正交群 O(k) 通過右複合自由傳遞作用在所有標準正交標架上。換句話說，所有標準正交標架集合是一個右 O(k)-torsor。

E 的標準正交標架叢，記作 FO(E)，是在底空間 X 上每一點 x 處的所有標準正交標架集合。它可用完全類似於通常標架叢的方法構造出來。秩 k 的黎曼向量叢 E → X 的標準正交標架是 X 上一個主 O(k)-叢。同樣，此構造在光滑範疇一樣成立。

如果向量叢 E 可定向，則我們可定義 E 的定向標準正交標架叢，記作 FSO(E)，是所有正定向標準正交標架叢，這是一個主 SO(k)-叢。

如果 M 是一個 n-維黎曼流形，則 M 的標準正交標架叢，記作 FOM 或 O(M)，是與 M 的切叢（由定義它配有一個黎曼度量）相伴的標準正交標架叢。如果 M 可定向，則也有定向標準正交標架叢 FSOM。

給定一個黎曼向量叢 E，標準正交標架叢是一般線性標架叢的 O(k)-子叢。換句話說，包含映射

$$i:{\mathrm F}_{\mathrm O}(E) \to {\mathrm F}_{\mathrm{GL}}(E)\,$$

是一個主叢映射。我們說 FO(E) 是 FGL(E) 的結構群從 GLk(R) 到 O(k) 的約化。

## G-結構

如果光滑流形 M 有額外的結構，通常自然地考慮 M 全標架叢的一個適應於給定結構的子叢。例如，如果 M 是一個黎曼流形，我們從上面看到自然地去考慮 M 的標準正交標架叢。標準正交標架叢只不過是FGL(M) 的結構群到正交群 O(n) 的約化。

一般地，如果 M 是一個光滑 n-流形，G 是 GLn(R) 的一個子李群，我們定義 M 上一個 G-結構為 FGL(M) 結構群到 G 的一個約化。具體地說，這是 M 上一個主 G-叢 FG(M)，以及 M 上一個 G-等變叢映射

$${\mathrm F}_{G}(M) \to {\mathrm F}_{\mathrm{GL}}(M).\,$$

在這種語言中，M 上一個黎曼度量給出 M 上一個 O(n)-結構。下面是其它一些例子。

- 每個定向流形有一個定向標架，這就是 M 上一個 GLn+(R)-結構。
- M 上一個體積形式確定了 M 上一個 SLn(R)-結構。
- 一個 2n-維辛流形有一個自然的 Sp2n(R)-結構。
- 一個 2n-維復或殆複流形有一個自然的 GLn(C)-結構。

在某些例子中，M 上一個 G-結構惟一確定了 M 上對應的結構。例如 M 上一個 SLn(R)-結構確定了 M 上一個體積形式。但是，在某些情形，比如辛與複流形，需要一個可積性條件。M 上一個 Sp2n(R)-結構惟一確定了 M 上一個非退化 2-形式，但對 M 是辛的，這個 2-形式必須也是閉的。