基本電學

基本電學（Basic Electricity）是研究電的基本性質和行為的學科，是電力學、電子學與電路學的基礎。主要探討以下幾個核心概念：

- 電壓（Voltage）：描述電位差，驅動電流流動的力量。
- 電流（Current）：表示電荷流動的速率。
- 電阻（Resistance）：描述材料對電流流動的阻力。
- 功率（Power）：電能轉換或消耗的速率。
- 電路（Circuit）：電的流通路徑，分為直流電路與交流電路。

基本電學廣泛應用於各種電子設備與工程領域，是學習更高階電學理論與實踐的基礎。

## 基本概念

### 基本單位

種類｜變數符號｜單位｜單位名稱｜定義｜相關

電壓｜$V$ 或 $E$ (後者用於表示電源)｜V｜伏特｜在電子元件或電路兩端的電位差 $V = \frac {W} {Q}$ $V = {I} \cdot {R}$

電流｜$I$｜A｜安培｜在單位時間內自導體截面積所通過的電量 $I = \frac {Q} {t}$ $I = \frac {V} {R}$ $I = {n} \cdot {v} \cdot {A} \cdot {e}$

電阻｜$R$｜Ω｜歐姆｜導體本身反抗電子流動的阻力 $R = \frac {V} {I}$ $R = \rho \cdot \frac {l} {A}$｜電阻率歐姆定律電阻溫度係數電阻色碼

電導｜$G$｜S｜西門子｜表示對傳導電流的能力，與電阻成倒數關係 $G = \frac {1} {R}$｜電導率

電容｜$C$｜F｜法拉｜表明儲存電荷的能力 $C = \frac {Q} {V}$

電感｜$L$｜H｜亨利｜指導體線圈在電流變化時，能夠儲存能量並產生電磁場的特性 $L= N \frac{\Phi}{i}$｜法拉第電磁感應定律

功率｜$P$｜W｜瓦特｜表示能量轉換或傳輸的速率 $P = {I} \cdot {V}$ $P = \frac {{V}^2} {R}$ $P = {I}^2 \cdot {R}$

電能｜$W$｜J｜焦耳｜指在電路中轉換或儲存的能量 $W = {P} \cdot {t}$ $W = {V} \cdot {Q}$｜焦耳定律

電量｜$Q$｜C｜庫倫｜表示電荷的累積量 $Q = {I} \cdot {t}$ $Q = \frac{{P} \cdot {t}}{V}$

- 關於電壓，在中國大陸、德國、法國、荷蘭、俄國使用$U$當符號，其他地區則用$V$當符號。

### 電路狀態

- 閉路（Closed Circuit），通路

當電源、導線、負載形成完整的電路路徑，電流能夠正常流動。這是電路正常運作的狀態，例如開燈後燈泡亮起，就是閉路狀態。

- 開路（Open Circuit），斷路

當電路某處斷開，導致電流無法流通。可能是開關被關閉、導線斷裂，或某個元件故障。例如，燈泡開關關閉後，電流停止流動，電路變成開路。

- 短路（Short Circuit）

當電流直接通過導線而未經負載，使得電阻趨近於零，造成電流急劇增加。短路可能導致電線發熱、火花或燒毀，容易危及設備安全。例如，電器內部電線意外接觸導致異常高電流，就是短路情況。

這三種狀態決定了電路是否正常運作，也影響了電子設備的安全性。

### 其它基本知識

- 密爾（mil）

1 mil = $\frac{1}{1000}$吋，1吋=2.54公分，1呎(ft)=12吋，1吋=1000密爾

- 圓密爾（C.M.）

1 C.M. = $\frac{\pi}{4}$平方密爾，1平方密爾 = $\frac{4}{\pi}$圓密爾

- 線規（Wire Gauge）
- IEC 60228，國際線材尺寸標準
- 中國線規(CWG)，直徑單位為公厘(mm)，截面積平方公厘(mm2)
- 美國線規(AWG)
- 集膚效應（Skin effect）

## 電路組成元件

### 電源

直流電(DC)｜交流電(AC)

常用符號

直流電壓源｜電流源｜交流電壓源｜電池（常指直流電壓源）

受控電壓源｜受控電流源

電池組（不常用，多數情況下即使有多個電池連接也僅表示為一個電源）｜接地線｜接地線

### 導線

- 依導電性，分為：
- 超導體
- 導體，通常指導線之內，用以傳遞電流的金屬線
- 半導體
- 絕緣體，通常指導線外層包覆的橡膠絕緣體
- 依絕緣外層的有無，分為：裸導線（裸線）、絕緣導線
- 依製造形式，分為：
- 單線（單心線、單芯線），指在橡膠絕緣體內只有一根圓形實心導體的電線，缺乏可撓性，彎曲易折斷。且在安全電流要求高的需求時，則須採用絞線。
- 絞線，指在橡膠絕緣體內，由數根導體絞合而成，導線內的導體數量為 N＝3n（n＋1）＋1，其中 n 為包圍中心導體的層數。
- 依導體的材質，分為：
- 銀線，導電率雖高於銅線，但由成本因素，難以大量使用。
- 軟銅線，柔軟，可撓性較佳，加上絕緣被覆可做屋內線路管線的配線或電纜導線使用。
- 硬銅線，具有較大的抗張力，常做屋外架空線路使用。
- 鋁線，導電率約為銅線的61％，耐張強度約為 16〜18kg/mm2（是銅線的 40％左右），使用鋼心增加強度者稱為鋼心鋁線（A.C.S.R.）

### 負載

種類｜單位｜電路圖符號｜實際電子元件｜圖示

電阻(R)｜歐姆(Ω)｜ANSI（上） IEC（下）｜電阻器

電感(L)｜亨利(H)｜電感元件

電容(C)｜法拉(F)｜電容器

## 電路

### 串聯電路

串聯電路就是把電路元件一個接一個串接，讓電流只能沿著同一條路線依序流過每一個元件的電路。

電路特性另見：電壓分配定則

### 並聯電路

並聯電路就是把電路元件平行接在一起，讓電流有多條路線可以同時流動的電路。

電路特性另見：電流分配定則

### 串並聯電路

串並聯電路就是同時包含串聯和並聯接法的混合型電路。有些元件是串聯的，有些元件是並聯的，交錯組合在一起。

電路特性：

- 先並聯、後串聯，或是先串聯、後並聯都可能出現。
- 分析的時候，要一部分一部分來簡化（先把並聯部分合併，然後再處理串聯）。
- 計算時，要記得把握以下原則：
- 串聯時：電流相同、電壓分配。
- 並聯時：電壓相同、電流分配。

## 直流電路

- 在直流電路中，阻止電流通過的阻力稱為電阻，以 R 表示，單位為Ω（歐姆）。

### 電壓分配定則

- 克希荷夫電壓定律（Kirchhoff's voltage law）

$$\sum_{k=1}^n V_k = 0$$

在串聯電路中：電壓

$$V_e = \sum_{k=1}^n V_k = V_1 + V_2 + \cdots + V_n$$

電流

$$I = \frac{V_e}{R_{total}} = \frac{V_1}{R_1} = \frac{V_2}{R_2} = \cdots = \frac{V_n}{R_n}$$

總電阻

$$R_\mathrm{total} = R_1 + R_2 + \cdots + R_n$$

各電阻的電壓降

$$V_n = \frac{V_e}{R_{total}} \cdot R_n$$

### 電流分配定則

- 克希荷夫電流定律（Kirchhoff's circuit laws）

$$\sum_{k=1}^n {I}_k = 0$$

在並聯電路中：

電壓

$$V_e = V_1 = V_2 = \cdots = V_n$$

各電阻流經的電流

$$I_n = \frac{V_n}{R_n}$$

電流

$$I_\mathrm{total} =\sum_{k=1}^n {I}_k = I_1 + I_2 + \cdots + I_n$$

總電阻

$$R_\mathrm{total} = \frac{V_e}{I_\mathrm{total}}$$

### 電壓源與電流源互換

電流源轉電壓源

$$V_\mathrm{s} = R \cdot I_\mathrm{s}\,\!$$

電壓源轉電流源

$$I_\mathrm{s} = \frac{V_\mathrm{s}}{R}$$

## 直流電路分析

### 迴路電流法

迴路電流法（Mesh Current Method），又稱「網目分析」（Mesh analysis），是一種用於電路分析的系統化方法，主要用來求解平面電路中每個獨立迴路的電流。

- 步驟簡述： :、# 假設迴路電流方向：在每個獨立迴路中假設一個電流方向（順時針或逆時針均可，但須一致）。:、# 套用克希荷夫電壓定律（KVL）：在每個迴路中列出電壓總和為零的方程式。:、#: 根據 $\sum V = 0$ 原則寫出聯立方程式： :、#:: $\begin{cases} \text{Mesh 1: } I_1 = I_s\\ \text{Mesh 2: } -V_s + R_1(I_2-I_1) + \frac{1}{s C}(I_2-I_3)=0\\ \text{Mesh 3: } \frac{1}{s C}(I_3-I_2) + R_2(I_3-I_1) + sLI_3=0\\ \end{cases} \,$ :、# 考慮公共元件的影響：若有元件被多個迴路共享，需考慮其在不同迴路中電流的方向及相對應的影響。:、# 解聯立方程式：根據所列的方程式，解出每個迴路電流。:、優點： : 適用於包含多個電壓源和電阻的複雜電路。: 方程式數量少於節點電壓法，尤其適合平面電路。:、應用場景： : 計算電路中各支路的電流。: 分析直流和交流電路中的電壓與電流分布。

### 重疊定理

重疊定律（Superposition Theorem）是一個重要的電路分析工具，用於處理多個電源作用於同一電路時的情況。其核心思考是逐一考慮每個電源的影響，然後將結果疊加。

- 保留要考慮的電源，其它電壓源設為短路（用導線替代），電流源則設為開路（切斷電路）。
- 計算該電源在電路中引起的電流或電壓。
- 將所有電源的影響疊加起來，得到電路中每個支路的總電壓或電流。
- 分析包含多個電壓源或電流源的線性電路。
- 適用於直流與交流電路。
- 僅適用於線性電路，即電路元件的特性必須滿足線性關係（如電阻、線性電感與電容等）。

重疊定律的優點是它能簡化分析過程，尤其在面對複雜電路時，逐一處理電源的影響能更有條理地進行計算。

### 節點電壓法

節點電壓法，又稱「節點分析」

- 決定電路上的各節點，並分別標示節點電壓$V_1$、$V_2$、$V_3$……$V_n$ #假設各節點的電流方向，並分別標示$I_1$、$I_2$、$I_3$……$I_n$ #在各節點上，應用克希荷夫電流定律，寫出各電流的方程式。#解聯立方程式，求出各節點電壓。#再把求出的各節點電壓代入各節點電流的方程式，即可得各支路的實際電流。

案例 如右圖基本電路案例所示，$V_1$ 是唯一的未知電壓節點。連接於這節點有三個支路，因此必須計算三個支路電流。假定這些電流的方向都是朝著離開節點的方向。#通過電阻器 $R_1$ 的支路電流： $I_1=(V_1-V_S)/R_1$。#通過電阻器 $R_2$ 的支路電流： $I_2=V_1/R_2$。#通過電流源 $I_S$ 的支路電流： $I_3= - I_S$。應用克希荷夫電流定律， :$I_1+I_2+I_3=\frac{V_1 - V_S}{R_1} + \frac{V_1}{R_2} - I_S = 0$。稍加運算，可以得到 :$V_1 = \left( \frac{V_S}{R_1} + I_S \right)\left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)^{-1}$。將所有變量的數值代入，可以得到答案 :$V_1 = \left( \frac{5\text{ V}}{100\,\Omega} + 20\text{ mA} \right) \left( \frac{1}{100\,\Omega} + \frac{1}{200\,\Omega} \right)^{-1} \approx 4.667\text{ V}$。

### 戴維寧定律

戴維寧定律（Thevenin's theorem）是一種簡化電路分析的方法，能將任意線性電路轉換為一個戴維寧等效電路，該等效電路由 一個等效電壓源（$V_{th}$）和 一個串聯的等效電阻（$R_{th}$）組成。:、定律概述 :、# 任何包含 電壓源、電流源與電阻 的線性電路，如果只觀察其中的兩個端點，則該電路可以簡化為： :、# 等效電壓源（$V_{th}$）為原電路中開路狀態下該端點的電壓。:、# 等效電阻（$R_{th}$）為原電路中去除獨立電源後，端點間所測得的電阻值。:、應用步驟 :、# 找出等效電壓（$V_{th}$）在所分析的兩個端點之間計算開路電壓。:、# 找出等效電阻（$R_{th}$）將所有獨立電壓源短路，獨立電流源開路，然後計算端點間的等效電阻。:、# 繪製等效電路 使用 $V_{th}$ 和 $R_{th}$ 來取代原始複雜電路。:、應用場合 :、# 簡化複雜電路，使計算更容易。用於分析不同負載對電路的影響，尤其在功率分析與最大功率轉移時非常有用。這一定律讓分析電路變得更加簡單直觀。

### 諾頓定律

諾頓定律（Norton's Theorem）是一種電路分析方法，可以將能將任意線性電路轉換為一個諾頓等效電路，該等效電路由一個等效電流源（$I_{No}$）和 一個並聯電阻（$R_{No}$）的簡化電路模型。這與 戴維寧定律 類似，只是戴維寧定律使用的是 電壓源與串聯電阻。:、定律概述任何由電壓源、電流源和電阻組成的線性電路，在特定端點處可以簡化為： :、# 等效電流源（$I_{No}$）為該埠的短路電流，即直接短路兩端點時測得的電流。:、# 等效電阻（$R_{No}$）為該埠的等效電阻，計算方式與戴維寧電阻一致：所有獨立電壓源短路，獨立電流源開路，然後求端點間的電阻。:、應用步驟 :、# 計算諾頓等效電流（$I_{No}$）直接短路分析端點間的電流。:、# 計算諾頓等效電阻（$R_{No}$）去除獨立電源，求端點間的等效電阻。:、# 繪製諾頓等效電路使用 ($I_{No}$) 和 ($R_{No}$) 來取代原始電路。:、應用場合 :、# 用於簡化複雜電路分析，使計算更直觀。:、# 在負載變化時，能有效地研究電路響應。:、# 可與戴維寧定律相互轉換，以適應不同計算需求。

### 匯流排法

匯流排法，又稱「密勒定理」（Millman's theore）是一種電路分析方法，主要用於多個電壓源並聯的電路，幫助簡化計算並求得等效電壓。它適用於線性電阻電路，能有效計算電路節點的電位。

- 定律概述匯流排法的核心公式：$V_m = \frac{\sum \frac{V_i}{R_i}}{\sum \frac{1}{R_i}}$，其中：
- $V_m$：匯流排電壓（等效電壓）。
- $V_i$：第 (i) 個電壓源的電壓值。
- $R_i$：與該電壓源串聯的電阻值。
- 應用步驟
- 識別所有並聯的電壓源與其串聯電阻。
- 代入公式計算匯流排的等效電壓。
- 計算支路電流（若需要），可利用歐姆定律：$I_i = \frac{V_m - V_i}{R_i}$
- 得出完整的電流分布與電壓值。
- 應用場合
- 適用於多個電壓源並聯的電路分析。
- 能快速計算節點電壓，不需使用克希荷夫電壓定律（KVL）或迴路電流法。

這一定律能簡化電路分析，使計算過程更加直觀。

### 惠斯登平衡電橋

惠斯登平衡電橋（Wheatstone bridge）

- 在$V_G$的位置上放置安培計。#當$\frac{R_2}{R_1} = \frac{R_x}{R_3}$時，將沒有電流通過中間的電線。因此可測知未知的電阻$R_x$。

### 最大功率轉移

- 將複雜的電路，先化簡為戴維寧等效電路，即一個電壓源模式的電路。#然後將外加的負載的電阻值調整到與電壓源模式的電路裡的電阻值一樣時，外加的負載可得最大功率。

### 直流三線制

直流三線制是一種直流供電方式，主要使用三條線路來分配電壓，以便能同時提供兩種不同的電壓，具有以下特點：

- 概念簡介
- 包括 正極線（+）、負極線（-），以及中性線（N）。
- 中性線通常用來分配不同電壓。
- 在正極與中性線之間提供一個較低的電壓，例如：+6V
- 在正極與負極之間提供較高的電壓，例如：+12V
- 中性線將電壓劃分為多區，使負載可選擇適合的電壓。
- 適用於需要多電壓輸出的系統，例如通信設備和工業控制。
- 提高了直流電力的使用效率。
- 簡化電源系統設計，尤其是在需要多電壓的設備中。

## 直流暫態

充電暫態：(e=2.718、e-1=0.368、e-2=0.135、e-3= 0.05、e-4=0.02、e-5= 0)

### RC

時間常數(T)=RC

- 充電初態：電容器兩平行電板對位移電流所形成之阻力最小，充電電流最大，電阻最小，故可視同短路。
- 充電穩態：C視為開路。
- 放電初態：C視為電壓源。
- 放電穩態：C視為原元件。

### RL

時間常數(T)=L/R

- 儲能初態：依據法拉第定律及楞次定律可知電感兩端產生一最大的反電勢，故充電電流為零，所以視同開路。電容器充電與放電電流方向相反，而電感器儲能與釋能電流方向相同。
- 儲能穩態：L視為短路。
- 釋能初態：L視為電流源。
- 釋能穩態：L視為原元件。

### RLC

- 充電：外加直流電壓E後，電容C被充電，電流i將呈振動狀逐漸衰減至零值，而電容器兩端的電壓vC亦呈振動狀逐漸增至E值。由電路電流使電感器儲存磁能 Li2大於儲在電容器C中之電能 Cv2時，充電電流i向電容C充電。同時，由電感器中儲存之磁能產生的反電勢vL，使其產生一與充電電流反向之電流，而令電容器放電。因電容器放電後電荷逐漸減少，電源遂再度向電容充電，如此反覆地充放電使電路電流i呈振動狀，同時因電能被電阻R吸收消耗，致電流i愈來愈小乃致趨於零，且vC亦呈振動狀漸趨近於E值。
- 放電：當電容C充電完成後，將開關S.W.切離直流電壓源E後，電路的變化與前述情形相似，此種暫態現象由於電路常數R、L、C值的不同，將產生下列三種狀況：

1.設R＞2根號L/C時：

因R比2根號L/C大，則電容器中的電能大於電感器中的磁能，而電能因被電阻所吸收，故電流衰減而近於零，vC則漸升至E值，而電流因受電感器的反電勢所抑制，變化不似RC電路般之急劇，此種電流的變化呈「非振動性」的。

2.設R＜2根號L/C時：

因R比2 小，則電感中的磁能大於電容中的電能，因能量為電阻器所消耗，使電流呈振動狀，漸趨於零值，vC亦呈振動狀而漸趨於E值。

3.設R＝2根號L/C時：

此種狀況介於上述兩者間，屬於臨界狀態。

## 交流電路

- 在交流電路中，阻止電流通過的阻力稱為阻抗，以 Z 表示，單位亦為Ω（歐姆）。

### 基本交流電路

電路種類｜電路圖示｜相關公式

純電阻交流電路｜電源電壓 :$v(t)=V_\mathrm{m}\cdot\sin(\omega t)$ 電路電流 :$i(t)=\frac{v(t)}{R}=\frac{V_\mathrm{m}}{R}\cdot\sin(\omega t)=I_\mathrm{m}\cdot\sin(\omega t)$

純電感交流電路｜電路電流 :$i(t)=I_\mathrm{m}\cdot\sin(\omega t)$ 感應電勢 :$e_\mathrm{L}= \frac{\mathrm{\Delta i}}{\Delta t}$ :$e_\mathrm{L}(t)=V_\mathrm{m}\cdot\sin(\omega t - 90^\operatorname{\omicron})=V_\mathrm{m}\cdot\cos(\omega t)$

純電容交流電路｜電源電壓 :$v(t)=V_\mathrm{m}\cdot\sin(\omega t)$ 電路電流 :$i=\frac{\mathrm{\Delta Q}}{\Delta t}=\frac{\mathrm{C \Delta V(t)}}{\Delta t}$ :$i(t)=I_\mathrm{m}\cdot\sin(\omega t + 90^\operatorname{\omicron})=I_\mathrm{m}\cdot\cos(\omega t)$

R-L串聯電路｜負載電壓 :$V_\mathrm{R}=I \cdot R$，電壓與電流同相。:$V_\mathrm{L}=I \cdot X_\mathrm{L}$，電壓超前電流90°。電源電壓 :$E= \ V_\mathrm{R} + j V_\mathrm{L}$ 總阻抗 :$Z=\frac{E}{I}=\sqrt{R^2 + X_\mathrm{L}^2}$ 電源電壓超前電路電流的相角 :$\theta = \tan ^{-1} \frac{V_\mathrm{L}}{V_\mathrm{R}} = \tan ^{-1} \frac{I \cdot X_\mathrm{L}}{I \cdot R} = \tan ^{-1} \frac{X_\mathrm{L}}{R}$ :$\theta = \cos ^{-1} \frac{V_\mathrm{R}}{E} = \cos ^{-1} \frac{I \cdot R}{I \cdot Z} = \cos ^{-1} \frac{R}{Z}$

R-C串聯電路｜負載電壓 :$V_\mathrm{R}=I \cdot R$，電壓與電流同相。:$V_\mathrm{C}=I \cdot X_\mathrm{C}$，電壓滯後電流90°。電源電壓 :$E= \ V_\mathrm{R} - j V_\mathrm{C}$ 總阻抗 :$Z=\frac{E}{I}=\sqrt{R^2 + X_\mathrm{C}^2}$ 電源電壓滯後電路電流的相角 :$\theta = \tan ^{-1} \frac{V_\mathrm{C}}{V_\mathrm{R}} = \tan ^{-1} \frac{I \cdot X_\mathrm{C}}{I \cdot R} = \tan ^{-1} \frac{X_\mathrm{C}}{R}$ :$\theta = \cos ^{-1} \frac{V_\mathrm{R}}{E} = \cos ^{-1} \frac{I \cdot R}{I \cdot Z} = \cos ^{-1} \frac{R}{Z}$

R-L-C串聯電路｜電源電壓 :$E= \ V_\mathrm{R} + j V_\mathrm{L} - j V_\mathrm{C} = \ V_\mathrm{R} + j (V_\mathrm{L} - V_\mathrm{C})$ :$E= I \cdot \sqrt{R^2 + (X_\mathrm{L} - X_\mathrm{C})^2}$ 總阻抗 :$Z=\frac{E}{I}=\sqrt{R^2 + (X_\mathrm{L} - X_\mathrm{C})^2}$ 電源電壓電路電流的相角 #$X_\mathrm{L} > \ X_\mathrm{C}$，為電感性電路，電壓超前電流。#$X_\mathrm{L} < \ X_\mathrm{C}$，為電容性電路，電壓滯後電流。#$X_\mathrm{L} = \ X_\mathrm{C}$，為電阻性電路，電壓與電流同相。:$\theta = \tan ^{-1} \frac{V_\mathrm{L}-V_\mathrm{C}}{V_\mathrm{R}} = \tan ^{-1} \frac{I \cdot X_\mathrm{L} - I \cdot X_\mathrm{C}}{I \cdot R} = \tan ^{-1} \frac{X_\mathrm{L} - X_\mathrm{C}}{R}$ :$\theta = \cos ^{-1} \frac{V_\mathrm{R}}{E} = \cos ^{-1} \frac{I \cdot R}{I \cdot Z} = \cos ^{-1} \frac{R}{Z}$

R-L並聯交流電路｜電路電流 :$I = \ I_\mathrm{R} -j I_\mathrm{L}$ :$I_\mathrm{R} = \frac{E}{R}$，為純電阻，電流與電壓同相。:$I_\mathrm{L} = \frac{E}{X_\mathrm{L}}$，為純電感，電流滯後電壓90°。總阻抗 :$Z = \frac{R \cdot j X_\mathrm{L}}{R + j X_\mathrm{L}}$ 電路電流滯後電源電壓的相角 :$\theta = \tan ^{-1} \frac{I_\mathrm{L}}{I_\mathrm{R}} = \tan ^{-1} \frac{\frac{E}{X_\mathrm{L}}}{\frac{E}{R}} = \tan ^{-1} \frac{R}{X_\mathrm{L}}$ :$\theta = \cos ^{-1} \frac{I_\mathrm{R}}{I} = \cos ^{-1} \frac{\frac{E}{R}}{\frac{E}{Z}} = \cos ^{-1} \frac{Z}{R}$

R-C並聯電路｜電路電流 :$I = \ I_\mathrm{R} +j I_\mathrm{C}$ :$I_\mathrm{R} = \frac{E}{R}$，為純電阻，電流與電壓同相。:$I_\mathrm{C} = \frac{E}{X_\mathrm{C}}$，為純電容，電流超前電壓90°。總阻抗 :$Z = \frac{R \cdot (-j X_\mathrm{C})}{R - j X_\mathrm{C}}$ 電路電流超前電源電壓的相角 :$\theta = \tan ^{-1} \frac{I_\mathrm{C}}{I_\mathrm{R}} = \tan ^{-1} \frac{\frac{E}{X_\mathrm{C}}}{\frac{E}{R}} = \tan ^{-1} \frac{R}{X_\mathrm{C}}$ :$\theta = \cos ^{-1} \frac{I_\mathrm{R}}{I} = \cos ^{-1} \frac{\frac{E}{R}}{\frac{E}{Z}} = \cos ^{-1} \frac{Z}{R}$

R-L-C並聯電路｜電路電流 :$I= \ I_\mathrm{R}-jI_\mathrm{L}+jI_\mathrm{C}=I_\mathrm{R}-j(I_\mathrm{L}+I_\mathrm{C})$ :$I_\mathrm{R} = \frac{E}{R}$，為純電阻，電流與電壓同相。:$I_\mathrm{L} = \frac{E}{X_\mathrm{L}}$，為純電感，電流滯後電壓90°。:$I_\mathrm{C} = \frac{E}{X_\mathrm{C}}$，為純電容，電流超前電壓90°。總阻抗 :$Z=\frac{E}{I}=\frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{R})^2+(\frac{1}{X_L}-\frac{1}{X_C})^2}}$ 電源電壓電路電流的相角 #$X_\mathrm{L} > \ X_\mathrm{C}$，為電容性電路，電流超前電壓。#$X_\mathrm{L} < \ X_\mathrm{C}$，為電感性電路，電流滯後電壓。#$X_\mathrm{L} = \ X_\mathrm{C}$，為電阻性電路，電壓與電流同相。:$\theta = \tan ^{-1} \frac{I_\mathrm{L}-I_\mathrm{C}}{I_\mathrm{R}} = \tan ^{-1} \frac{\frac{E}{X_\mathrm{L}}-\frac{E}{X_\mathrm{C}}}{\frac{E}{R}} = \tan ^{-1} \frac{\frac{1}{X_\mathrm{L}}-\frac{1}{X_\mathrm{C}}}{\frac{1}{R}} = \tan ^{-1} (R \cdot \frac{X_\mathrm{C}-X_\mathrm{L}}{X_\mathrm{C} \cdot X_\mathrm{L}})$ :$\theta = \cos ^{-1} \frac{I_\mathrm{R}}{I} = \cos ^{-1} \frac{\frac{E}{R}}{\frac{E}{Z}} = \cos ^{-1} \frac{Z}{R}$

### 電壓分配定則

在串聯電路中

電源電壓

$$V_e = \sum_{k=1}^n V_k = V_1 + V_2 + \cdots + V_n$$

總阻抗

$$Z_\mathrm{total} = Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n$$

電路電流

$$I=\frac{V_e}{Z_\mathrm{total}} = \frac{V_e}{Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n}$$

各阻抗的電壓降

$$V_n = \frac{V_e}{Z_{total}} \cdot Z_n = I \cdot Z_n$$

### 電流分配定則

在並聯電路中：電源電壓

$$V_e = V_1 = V_2 = \cdots = V_n$$

各阻抗流經的電流

$$I_n = \frac{V_n}{Z_n}$$

總電流

$$I_\mathrm{total} =\sum_{k=1}^n {I}_k = I_1 + I_2 + \cdots + I_n$$

總阻抗

$$Z_\mathrm{total} = \frac{V_e}{I_\mathrm{total}}$$

### R-L-C串聯電路與R-L-C並聯電路的阻抗等值互換

R-L-C串聯電路轉R-L-C並聯電路：$$R'=\frac{R^2+X^2}{R}$$

$$X'=\frac{R^2+X^2}{X}$$

R-L-C並聯電路轉R-L-C串聯電路：$$R'=\frac{R \cdot X^2}{R^2+X^2}$$

$$X'=\frac{R^2 \cdot X}{R^2+X^2}$$

### Y形電路與Δ電路的阻抗等值互換

Y形電路轉Δ電路：$$Z_{ab}=\frac{Z_a \cdot Z_b + Z_b \cdot Z_c + Z_c \cdot Z_a}{Z_c}$$

$$Z_{bc}=\frac{Z_a \cdot Z_b + Z_b \cdot Z_c + Z_c \cdot Z_a}{Z_a}$$

$$Z_{ca}=\frac{Z_a \cdot Z_b + Z_b \cdot Z_c + Z_c \cdot Z_a}{Z_b}$$

Δ電路轉Y形電路：$$Z_a=\frac{Z_{ab} \cdot Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}$$

$$Z_b=\frac{Z_{ab} \cdot Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}$$

$$Z_c=\frac{Z_{bc} \cdot Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}$$

## 交流電路分析

### 交流電路電功率

交流電路中的電功率是指電能在電路中傳遞或轉換的速率，因為電壓和電流隨時間變化，導致功率的計算比直流電複雜。

̇̈瞬時功率（instantaneous power），是指在某一瞬間，電壓與電流的乘積：

$$p(t) = v(t) \cdot i(t)$$

ː 由於交流電壓和電流是隨時間變化的，瞬時功率也會隨時間變化。

平均功率則是在一個完整周期的交流波形取能量對時間變率的平均。

瞬時有功功率的時間均值（time average），稱為有功功率（active power，P）或實功率（real power）：

$$\mbox{P} = Vrms \cdot Irms \cdot \cos{\phi}$$

ː 其中，$Vrms$ 和 $Irms$ 分別是電壓和電流的有效值，$\phi$ 是電壓與電流之間的相位差。

瞬時無功功率的時間均值，稱為無功功率（reactive power，Q）或虛功率（fictitious power）：

$$\mbox{Q} = Vrms \cdot Irms \cdot \sin{\phi}$$

視在功率（Apparent Power，S）：是電壓與電流有效值的乘積，表示電路中總的功率需求，單位為伏安（VA）：

$$\mbox{S} = Vrms \cdot Irms$$

功率因數（Power Factor，PF）：是有功功率與視在功率的比值，反映了電路中能量利用的效率：

$$\mbox{PF} = {\frac{P}{S}} = \cos{\phi}$$

### 電路分析

基本上演算法與直流電路分析的演算法一樣，但負載由電阻（R）改為阻抗（Z）。改以複數方式計算相關公式。

### 交流最大功率轉移

在交流電路中，最大功率傳輸定理（Maximum Power Transfer Theorem）指出：當負載阻抗 ZL 等於電源內部阻抗 ZS 的共軛複數時，負載將獲得最大功率。這種情況稱為共軛匹配（Conjugate Matching）。

̈電流：

$$|I| = {|V_\text{S}| \over |Z_\text{S} + Z_\text{L}|} .$$

̈負載功率：

$$P_\text{L} = \frac 1 2 \frac{|V_\text{S}|^2 R_\text{L}}{(R_\text{S} + R_\text{L})^2}$$

̈電源內部阻抗：

$$Z_S = R_S + jX_S$$

̈負載阻抗：

$$Z_L = R_L + jX_L$$

要達到最大功率轉移，負載阻抗應滿足：

負載的電阻部分 RL 應等於電源的電阻部分 RS，而負載的電抗部分 XL 應為電源電抗部分 XS 的相反數

$$R_\text{L} = R_\text{S}$$

$$X_\text{L} = -X_\text{S}$$

描述̈電源內部阻抗的共軛複數，表示為 $^*,$，因此可以下列方式表示為：

$$Z_\text{L} = Z_\text{S}^*.$$

## 多相交流電路

多相交流電路（Polyphase AC Circuit），是指有兩個以上相位的交流電（AC）電路。最常見的就是三相交流電（three-phase AC），這也是現在工業用電、輸配電系統的主流。

基本概念：

- 單相交流：只有一條交流電壓波形，電壓隨時間正弦波動。
- 多相交流：有多條交流電壓波形，每條波形彼此時間上有固定相位差，但振幅和頻率一樣。

例如在三相系統中：

- 有三條電壓波形（通常叫A、B、C相）
- 每條之間相差120度（360度 ÷ 3）

此設計可以讓電力系統更穩定、更高效，尤其是：

- 電動機運轉更平順（因為永遠有某一相在推動）
- 能量傳輸效率更高（三相比單相省線材、減少損耗）
- 可以藉由用不同的接法（Y形電路接法、Δ電路接法）來滿足不同電壓需求

至於多相交流電路，具有以下優點：

- 連續平穩的功率輸出，不會像單相一樣有功率波動。
- 輸送同樣功率時，線材更細、損耗更小。
- 電動機設計簡單，啟動力矩大，效率高。

## 交叉相關

### 靜電

- 庫侖定律（Coulomb's law）
- 電場（Electric field）
- 電通量（Electric flux）
- 高斯定律（Gauss's law）
- 靜電感應（Electrostatic induction）

### 磁

- 磁場（Magnetic field）
- 磁通量（Magnetic flux）與磁通密度
- 磁化（Magnetization）
- 磁阻（Magnetic reluctance）
- 磁滯（Magnetic hysteresis）

### 電流磁效應、電磁感應

- 安培右手定則（Ampère's circuital law）
- 法拉第電磁感應定律（Faraday's law of induction）
- 冷次定律（Lenz's law）
- 佛來明右手定則（Fleming's right hand rule，又稱發電機定則）
- 佛來明左手定則（Fleming's left hand rule，又稱電動機定則）
- 必歐-沙伐定律（Biot–Savart law）

### 電熱效應

- 電熱效應（Thermoelectric effect）
- 熱電冷卻（Thermoelectric cooling）
- 焦耳定律（Joule's laws）
- 熱電偶（Thermocouple）
- 熱敏電阻（Thermistor）

### 光電科技

- 電燈泡（Incandescent light bulb）
- 光電效應（Photoelectric effect）
- 太陽能電池（Solar cell）
- 光敏電阻（Photoresistor）

### 電化學效應

- 電池（Battery）
- 蓄電池與記憶效應
- 法拉第電解定律（Faraday's laws of electrolysis）
- 電鍍（Electroplating）

## 相關數學

- 行列式（電路分析常用）
- 複數（交流電路相關計算常用）

## 相關

- 電路符號
- 電路圖
- 電學

## 相關課程

- 課程: 基本電學/ 何宏發教授 - 台灣師範大學開放式課程
- 基本電學 - 電子科 - 高雄市雄工
- 工業配線能力本位訓練教材 導線的認識
- 電線電纜工程品質管理實務
- Lessons In Electric Circuits