平行移動

在幾何中，平行移動（或譯平行輸運，英文：parallel transport 或 parallel translation）是將流形上的幾何數據沿著光滑曲線移動的一種方法。如果流形的切叢上裝備有一個仿射聯絡（一個共變導數或聯絡），那麼聯絡保證我們可以將流形上的向量沿著曲線移動使得它們關於這個聯絡保持「平行」。其他聯絡概念也裝備了它們自己的平行移動系統。比如，一個向量場上的科斯居爾聯絡也允許類似於共變導數一樣將向量平行移動。埃雷斯曼或嘉當聯絡提供了從流形到主叢全空間的「提升曲線」。這種曲線提升方式有時被認為是參考標架的平行移動。

在某種意義上說，關於聯絡的平行移動提供了將流形的局部幾何沿著曲線移動的方法：即「連接」了鄰近點的幾何。有許多種平行移動的概念，但其中一種特殊方式——以某種方式連接了一條曲線上點的幾何——等同於提供了一個聯絡。事實上，通常的聯絡概念是平行移動的無窮小類比。反之，平行移動是聯絡的局部實現。

因為平行移動給出了聯絡的一種局部實現，它也提供了曲率的一種局部實現（稱為和樂）。安布羅斯-辛格定理明確了曲率與和樂的關係。

## 向量叢上的平行移動

設 M 是光滑流形，E→M 是一個向量叢，其上有共變導數 ∇。設 γ: I→M 是由開區間 I 參數化的一條光滑曲線。$E$ 的一個沿著 γ 的截面 X 稱為平行，如果

$\nabla_{\dot\gamma(t)}X=0$ 對 $t \in I \ .$

記 P = γ(0) ∈ M，如果我們有 P 點的纖維 EP 中一個元素 e0，而不是一個截面。e0 沿著 γ 的平行移動是把 e0 擴張成 γ 上一個「平行」截面 X。更確切地，X 是 E 沿著 γ 惟一的截面使得：

- $$\nabla_{\dot{\gamma}} X = 0$$
- $$X_{\gamma(0)} = e_0.$$

注意到，在一個局部平凡化中（1）定義了一個常微分方程，（2）給出了初始條件。從而由柯西-利普希茨定理保證了解的存在惟一性。

從而聯絡 ∇ 定義了纖維的元素沿著曲線移動的一種方式，這便給出了沿著曲線上點的纖維之間的線性同構：

$$\Gamma(\gamma)_s^t : E_{\gamma(s)} \rightarrow E_{\gamma(t)}\ ,$$

從 γ(s) 上的向量空間到 γ(t) 上的向量空間，這個同構稱為與曲線關聯的平行移動映射。這樣得到的纖維之間的同構一般會取決於曲線的選取；如果與選取無關，那麼沿著任何曲線的平行移動都可以用來定義在整個 M 上 E 的平行截面，這若且唯若聯絡 ∇ 的曲率為 0。

特別地，沿著一條始於點 x 的閉曲線的平行移動定義了 x 處切空間的一個自同構，這個自同構不一定平凡。由以 x 為基點的所有閉曲線定義的平行移動自同構組成了一個變換群稱為 ∇ 在 x 處的和樂群。這個群與 ∇ 在 x 處的曲率有緊密的關係，這便是安布羅斯-辛格和樂定理。

### 由平行移動得到聯絡

給定一個共變導數 ∇，沿著 γ 的平行移動由積分 $\scriptstyle{\nabla_{\dot{\gamma}}=0}$ 得到。反之，如果有一個合適的平行移動概念，那麼相應的聯絡可通過求導獲得。這個方法本質上屬於，參見。也採取這種方式。

考慮對流形上每條曲線 γ 分配一些映射

$$\Gamma(\gamma)_s^t : E_{\gamma(s)} \rightarrow E_{\gamma(t)}\ ,$$

使得

- $\Gamma(\gamma)_s^s = Id$，Eγ(s) 的恆同變換。
- $$\Gamma(\gamma)_u^t\circ\Gamma(\gamma)_s^u = \Gamma(\gamma)_s^t\ .$$
- γ 上的 Γ 「光滑」依賴於 s 與 t。

在條件 3. 中光滑性的概念有點難以確定（見下面纖維叢平行移動的討論）。特別地，現代作者（比如 Kobayashi 與 Nomizu）通常將聯絡的平行移動視為從其它意義下的聯絡中得來，這樣光滑性更容易表述。

儘管如此，給了這樣一種平行移動的規則，可以復原 E 上關聯的無窮小聯絡。令 γ 是 M 中一條光滑曲線，起點為 γ(0)，初始切向量 X = γ′(0)。如果 V 是 E 在 γ 上的一個截面，則令

$$\nabla_X V = \lim_{h\to 0}\frac{\Gamma(\gamma)_h^0V_{\gamma(h)} - V_{\gamma(0)}}{h} = \left.\frac{d}{dt}\Gamma(\gamma)_t^0V_{\gamma(t)}\right|_{t=0}\ .$$

這就在 E 上定義了關聯於 Γ 的無窮小聯絡 ∇。從這個無窮小聯絡我們又重新得到相同的平行移動 Γ。

### 特例：切叢

設 M 是一個光滑流形，則 M 的切叢上一個聯絡稱為仿射聯絡，確定了一類曲線稱為（仿射）測地線Kobayashi。一條光滑曲線 γ: I → M 是一條仿射測地線如果 $\dot\gamma$ 是沿著 $\gamma$ 的平行移動，即

$$\Gamma(\gamma)_s^t\dot\gamma(s) = \dot\gamma(t)\ .$$

取關於時間的導數，得到更熟悉的形式

$$\nabla_{\dot\gamma(t)}\dot\gamma = 0\ .$$

## 黎曼幾何中的平行移動

在（偽）黎曼幾何中，度量聯絡是其平行移動保持度量張量的任何聯絡。即度量聯絡是任何聯絡 Γ 使得，對任意兩個向量 X, Y ∈ Tγ(s)

$$\langle\Gamma(\gamma)_s^tX,\Gamma(\gamma)_s^tY\rangle_{\gamma(t)}=\langle X,Y\rangle_{\gamma(s)}\ .$$

取 t=0 的導數，伴隨的微分算子 ∇ 必須滿足關於度量的乘積法則：

$$\nabla_Z\langle X,Y\rangle = \langle \nabla_ZX,Y\rangle + \langle X,\nabla_Z Y\rangle\ .$$

### 測地線

如果 ∇ 是一個度量張量，那麼仿射測地線便是通常黎曼幾何中的測地線且是局部距離最小曲線。更準確地，首先注意到如果 γ: I → M（這裡 I 是一個開區間），是一條測地線，那麼$\dot\gamma$ 的模長在 I 中為常數。事實上有

$$\frac{d}{dt}\langle\dot\gamma(t),\dot\gamma(t)\rangle\bigg|_{t=0} = 2\langle\nabla_{\dot\gamma(t)}\dot\gamma(t),\dot\gamma(t)\rangle=0\ .$$

這樣，如果 A 是 $\dot\gamma(t)$ 的模長，則在這個度量下，曲線 γ 上「足夠接近」的兩點 γ(t1) 與 γ(t2) 的距離由

$$\mbox{dist}\big(\gamma(t_1),\gamma(t_2)\big) = A|t_1 - t_2|$$

給出。上面的公式對不是足夠接近的兩點可能不成立，因為測地線在整體上可能不是最小曲線，比如可能盤繞在流形上（例如球面）。

## 推廣

平行移動可更廣泛的定義於其它類型的聯絡，不一定要定義在向量叢上。一種推廣是主叢聯絡Kobayashi。設 P → M 是一個流形 M 上一個以李群 G 為結構群的主叢，主叢聯絡為 ω。像向量叢一樣，P 上一個主叢聯絡 ω 對 M 上任何曲線 γ 定義了一個映射：

$$\Gamma(\gamma)_s^t : P_{\gamma(s)} \rightarrow P_{\gamma(t)}\ ,$$

從 γ(s) 的纖維到 γ(t) 的纖維。這是齊性空間的一個同構：即 $\Gamma_{\gamma(s)} gu = g\Gamma_{\gamma(s)}$，對任何 g ∈G。

更進一步地推廣平行移動也是可能的。在 埃雷斯曼聯絡的情形下，聯絡取決於切空間「水平提升」這種特殊概念，我們可以定義通過水平提昇平行移動。嘉當聯絡是帶有額外結構的埃雷斯曼聯絡，使得平行移動可想像成沿著流形上一條曲線「旋轉」某個模型空間的映射。這個「旋轉」稱為進化。

## 外部連結

- Spherical Geometry Demo （一個演示球面上切向量平行移動的 Applet 程序）