自旋-軌道作用

在量子力學裏，一個粒子因為自旋與軌道運動而產生的作用，稱為自旋-軌道作用（Spin–orbit interaction），也稱作自旋-軌道效應或自旋-軌道耦合。最著名的例子是電子能級的位移。電子移動經過原子核的電場時，會產生電磁作用．電子的自旋與這電磁作用的耦合，形成了自旋-軌道作用。譜線分裂實驗明顯地偵測到電子能級的位移，證實了自旋-軌道作用理論的正確性。另外一個類似的例子是原子核殼層模型能級的位移。

半導體或其它新穎材料常常會涉及電子的自旋-軌道效應。自旋電子學專門研究與應用這方面的問題。

## 電子的自旋-軌道作用

在這篇文章裏，會以相當簡單與公式化的方式，詳細地講解一個束縛於原子內的電子的自旋-軌道作用理論。這會用到電磁學、非相對論性量子力學、一階微擾理論。這自旋-軌道作用理論給出的答案，雖然與實驗結果並不完全相同，但相當的符合。更嚴謹的導引應該從狄拉克方程式開始，也會求得相同的答案。若想得到更準確的答案，則必須用量子電動力學來計算微小的修正。這兩種方法都在本條目範圍之外。

### 磁場

雖然在原子核的靜止參考系 (rest frame)，並沒有作用在電子上的磁場；在電子的靜止參考系，有作用在電子上的磁場存在。暫時假設電子的靜止參考系為慣性參考系，則根據狹義相對論，磁場 $\mathbf{B}\,\!$ 是

$\mathbf{B} = - \,\frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2}\,\!$；(1)

其中，$\mathbf{v}\,\!$ 是電子的速度，$\mathbf{E}\,\!$ 是電子運動經過的電場，$c\,\!$ 是光速。

以質子的位置為原點，則從質子產生的電場是

$\mathbf{E}=\frac{Ze}{4\pi\epsilon_0 r^2}\hat{\mathbf{r}} =\frac{Ze}{4\pi\epsilon_0 r^3}\mathbf{r} \,\!$。

其中，$Z\,\!$ 是質子數量（原子序數），$e\,\!$ 是單位電荷量，$\epsilon_0\,\!$ 是真空電容率，$\hat{r}\,\!$ 是徑向單位向量，$r\,\!$ 是徑向距離，徑向向量 $\mathbf{r}\,\!$ 是電子的位置。

電子的動量 $\mathbf{p}\,\!$ 是

$\mathbf{p}=m\mathbf{v}\,\!$。

其中，$m\,\!$ 是電子的質量。

所以，作用於電子的磁場是

$\mathbf{B} = \frac{Ze}{4\pi\epsilon_0 m c^2 r^3}\,\mathbf{r}\times\mathbf{p}= \frac{Ze}{4\pi\epsilon_0 m c^2 r^3}\,\mathbf{L}\,\!$；(2)

其中，$\mathbf{L}\,\!$ 是角動量，$\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}\,\!$。

$\mathbf{B}\,\!$ 是一個正值因子乘以 $\mathbf{L}\,\!$，也就是說，磁場與電子的軌道角動量平行。

### 磁矩

電子自旋的磁矩 $\boldsymbol{\mu}\,\!$ 是

$\boldsymbol{\mu} = \gamma\,\mathbf{S}\,\!$。

其中，$\gamma=\frac{g_s q_e}{2m}\,\!$ 是旋磁比 (gyromagnetic ratio)，$\mathbf{S}\,\!$ 是自旋角動量，$g_s\,\!$ 是朗德g因子，$q_e\,\!$ 是電荷量。

電子的朗德g因子（g-factor）是 $2\,\!$，電荷量是 $- e\,\!$。所以。

$\boldsymbol{\mu} = - \frac{e}{m}\mathbf{S}\,\!$。(3)

電子的磁矩與自旋反平行。

### 哈密頓量微擾項目

自旋-軌道作用的哈密頓量微擾項目是

$H'= - \boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}\,\!$。

代入 $\boldsymbol{\mu}\,\!$ 的公式 (3) 和 $\mathbf{B}\,\!$ 的公式(2)，經過一番運算，可以得到

$$H'=\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 m^2 c^2}\ \frac{\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}}{r^3}\,\!$$

一直到現在，都還沒有考慮到電子靜止坐標乃非慣性坐標。這事實引發的效應稱為托馬斯進動 (Thomas precession)。因為這效應，必須添加因子 $1/2\,\!$ 在公式裏。所以。

$H'=\frac{Ze^2}{8\pi\epsilon_0 m^2 c^2}\ \frac{\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}}{r^3}\,\!$。

### 能級位移

在準備好了自旋-軌道作用的哈密頓量微擾項目以後，現在可以估算這項目會造成的能量位移。特別地，想要找到 $H_0\,\!$ 的本徵函數形成的基底，使 $H'\,\!$ 能夠對角化。為了找到這基底，先定義總角動量算符 $\mathbf{J}\,\!$：

$\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}\,\!$。

總角動量算符與自己的內積是

$\mathbf J^2=\mathbf L^2+\mathbf S^2+2\mathbf{L}\cdot \mathbf{S}\,\!$。

所以。

$\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}= {1\over 2}(\mathbf{J}^2 - \mathbf{L}^2 - \mathbf{S}^2)\,\!$。

請注意 $H'\,\!$ 與 $\mathbf{L}\,\!$ 互相不對易， $H'\,\!$ 與 $\mathbf{S}\,\!$ 互相不對易。讀者可以很容易地證明這兩個事實。由於這兩個事實，$H_0\,\!$ 與 $\mathbf{L}\,\!$ 的共同本徵函數不能被當做零微擾波函數，用來計算一階能量位移 $E^{(1)}\,\!$。$H_0\,\!$ 與 $\mathbf{S}\,\!$ 的共同本徵函數也不能被當做零微擾波函數，用來計算一階能量位移 $E^{(1)}\,\!$。可是， $H'\,\!$、$J^2\,\!$、$L^2\,\!$、$S^2\,\!$，這四個算符都互相對易。$H_0\,\!$、$J^2\,\!$、$L^2\,\!$、$S^2\,\!$，這四個算符也都互相對易。所以，$H_0\,\!$、$J^2\,\!$、$L^2\,\!$、$S^2\,\!$，這四個算符的共同本徵函數 $|n,j,l,s\rangle\,\!$ 可以被當做零微擾波函數，用來計算一階能量位移 $E_n^{(1)}\,\!$；其中， $n\,\!$ 是主量子數，$j\,\!$ 是總角量子數，$l\,\!$ 是角量子數，$s\,\!$ 是自旋量子數。這一組本徵函數所形成的基底，就是想要尋找的基底。這共同本徵函數 $|n,j,l,s\rangle\,\!$ 的 $\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}\,\!$ 的期望值是

$\begin{align} \langle n,j,l,s\,|\,\mathbf{L}\cdot\mathbf{S} \,|\,n,j,l,s\rangle & ={1\over 2}(\langle\mathbf{J}^2\rangle - \langle\mathbf{L}^2\rangle - \langle\mathbf{S}^2\rangle) \\ <pre> & ={\hbar^2\over 2}[j(j+1) - l(l+1) - s(s+1)] \\ & ={\hbar^2\over 2}[j(j+1) - l(l+1) - 3/4] \\ </pre> \end{align}\,\!$。

其中，電子的自旋 $s=1/2\,\!$。

經過一番繁瑣的運算，可以得到 $r^{ - 3}\,\!$ 的期望值

$\langle n,j,l,s\,|\, r^{ - 3}\, |\,n,j,l,s\rangle=\frac{2Z^3}{a_0^3 n^3 l(l+1)(2l+1)}\,\!$。

其中，$a_0=\frac{4\pi\epsilon_0\hbar^2}{m e^2}\,\!$ 是波耳半徑。

將這兩個期望值的公式代入，能級位移是

$E_n^{(1)}=\frac{Z^4 e^2 \hbar^2}{8\pi\epsilon_0 m^2 c^2 a_0^3}\ \frac{[j(j+1) - l(l+1) - 3/4]}{n^3\, l(l+1)(2l+1)}\,\!$。

經過一番運算，可以得到

$E_n^{(1)}=\frac{(E_n^{(0)})^2}{mc^2}\ \frac{2n[j(j+1) - l(l+1) - 3/4]}{l(l+1)(2l+1)}\,\!$。

其中，$E_n^{(0)}=\frac{Z^2 \hbar^2}{2m a_0^2 n^2}\,\!$ 是主量子數為 $n\,\!$ 的零微擾能級。

特別注意，當 $l=0\,\!$ 時，這方程式會遇到除以零的不可定義運算；雖然分子項目 $j(j+1) - l(l+1) - 3/4=0\,\!$ 也等於零。零除以零，仍舊無法計算這方程式的值。很幸運地，在精細結構能量微擾的計算裏，這不可定義問題自動地會消失。事實上，當 $l=0\,\!$ 時，電子的軌道運動是球對稱的。這可以從電子的波函數的角部分觀察出來，$l=0\,\!$ 球諧函數是

$Y_0^0=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\,\!$。

由於完全跟角度無關，角動量也是零，電子並不會感覺到任何磁場，所以，電子的 $l=0\,\!$ 軌道沒有自旋-軌道作用。

## 參閱

- 斯塔克效應
- 塞曼效應
- 超精細結構
- 蘭姆位移

## 外部連結

- 聖地牙哥加州大學物理系量子力學視聽教學：自旋-軌道作用