埃倫費斯特定理

在量子力學裏，埃倫費斯特定理（Ehrenfest theorem）表明，量子算符的期望值對於時間的導數，跟這量子算符與哈密頓算符的對易算符，兩者之間的關係，以方程式表達為

$\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,\ H] \rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle$。

其中，$A$ 是某個量子算符，$\langle A\rangle$ 是它的期望值，$H$ 是哈密頓算符，$t$ 是時間，$\hbar$ 是約化普朗克常數。

埃倫費斯特定理是因物理學家保羅·埃倫費斯特命名。在量子力學的海森堡繪景裏，埃倫費斯特定理非常顯而易見；取海森堡方程式的期望值，就可以得到埃倫費斯特定理。埃倫費斯特定理與哈密頓力學的劉維定理密切相關；劉維定理使用的泊松括號，對應於埃倫費斯特定理的對易算符。實際上，從根據經驗法則，將對易算符換為泊松括號乘以 $i\hbar$，再取 $i\hbar$ 趨向於 0 的極限，含有對易算符的量子定理就可以改變為含有泊松括號的經典定理。

## 薛丁格繪景下的推導

假設，一個物理系統的量子態為 $\Phi(x,\ t)$，則算符 $A$ 的期望值對於時間的導數為

$$\begin{align} \frac{d}{dt}\langle A\rangle & = \frac{d}{dt}\int \Phi^* A \Phi~dx \\ <pre> & = \int \left( \frac{\partial \Phi^*}{\partial t} \right) A\Phi~dx+ \int \Phi^* \left( \frac{\partial A}{\partial t}\right) \Phi~dx+\int \Phi^* A \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right) ~dx \\ & = \int \left( \frac{\partial \Phi^*}{\partial t} \right) A\Phi~dx + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle + \int \Phi^* A \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right) ~dx \\ \end{align}$$

薛丁格方程表明哈密頓算符 $H$ 與時間 $t$ 的關係為

$H\Phi= i\hbar \frac{\partial \Phi}{\partial t}$。

其共軛為

$(H\Phi)^*= - i\hbar \frac{\partial \Phi^*}{\partial t}$。

因為哈密頓算符是厄米算符，$H^*=H$，所以。

$(H\Phi)^*=\Phi^*H^*=\Phi^*H$。

將這三個方程式代入 $\frac{d}{dt}\langle A\rangle$ 的方程式，則可得到

$\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\int \Phi^* (AH-HA) \Phi~dx + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle$。

所以，埃倫費斯特定理成立：

$\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,\ H]\rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle$。

有時算符 $A$ 不隨時間變化，則 $\left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle$ 等於零。

## 海森堡繪景下的推導

海森堡繪景下的推導更為直接。有海森堡運動方程式

$$\frac{\partial}{\partial t}A = \frac{\partial A}{\partial t} + \frac{1}{i\hbar}[A, H]$$

直接取等式兩邊的算子的期望值可得

$$\left\langle\Psi\left|\frac{d}{dt}A(t)\right|\Psi\right\rangle = \left\langle\Psi\left|\frac{\partial A(t)}{\partial t}\right|\Psi\right\rangle + \left\langle\Psi\left|\frac{1}{i \hbar}[A(t),H]\right|\Psi\right\rangle$$

等式左邊的態向量不含時，因此可以把 $\frac{d}{dt}$ 一項移到狄拉克符號外，因此有

$$\frac{d}{dt}\langle A(t)\rangle = \left\langle\frac{\partial A(t)}{\partial t}\right\rangle + \frac{1}{i \hbar}\left\langle[A(t),H]\right\rangle$$

## 實例

使用埃倫費斯特定理，可以簡易地證明，假若一個物理系統的哈密頓量顯性地不含時間，則這系統是保守系統。

從埃倫費斯特定理，可以計算任何算符的期望值對於時間的導數。特別而言，速度的期望值和加速度的期望值。知道這些資料，就可以分析量子系統的運動行為。

### 守恆的哈密頓量

考慮哈密頓算符 $H$：

$\frac{d}{dt}\langle H\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [H,\ H]\rangle + \left\langle \frac{\partial H}{\partial t}\right\rangle=\left\langle \frac{\partial H}{\partial t}\right\rangle$。

假若，哈密頓量顯性地不含時間，$\frac{\partial H}{\partial t}=0$，則

$\langle H\rangle=H_0$。

哈密頓量是個常數$H_0$。

### 位置的期望值對於時間的導數

試想一個質量為 $m$ 的粒子，移動於一維空間．其哈密頓量是

$H(x,\ p,\ t) = \frac{p^2}{2m} + V(x,\ t)$ ;

其中，$x$ 為位置，$p$ 是動量，$V$ 是位勢。

應用埃倫費斯特定理。

$\frac{d}{dt}\langle x\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [x,\ H]\rangle + \left\langle \frac{\partial x}{\partial t}\right\rangle= \frac{1}{i\hbar}\langle [x,\ H]\rangle =\frac{1}{i2m\hbar}\langle [x,\ p^2]\rangle =\frac{1}{i2m\hbar}\langle xpp - ppx\rangle$。

由於 $xpp - ppx=i2\hbar p$，位置的期望值對於時間的導數等於速度的期望值：

$\frac{d}{dt}\langle x\rangle =\frac{1}{m} \langle p\rangle= \langle v\rangle$。

這樣，可以得到動量 $p$ 的期望值。

### 動量的期望值對於時間的導數

應用埃倫費斯特定理。

$\frac{d}{dt}\langle p\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,\ H]\rangle + \left\langle \frac{\partial p}{\partial t}\right\rangle$。

由於 $p$ 與自己互相交換，所以，$[p,\ p^2]=0$。又在坐標空間裏，動量算符 $p = \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}$ 不含時間：$\frac{\partial p}{\partial t} = 0$。所以。

$\frac{d}{dt}\langle p\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,\ V]\rangle$。

將泊松括號展開。

$\frac{d}{dt}\langle p\rangle = \int \Phi^* V\frac{\partial}{\partial x}\Phi~dx - \int \Phi^*\frac{\partial}{\partial x} \left(V\Phi\right)~dx$。

使用乘法定則。

$\frac{d}{dt}\langle p\rangle = \left\langle -\ \frac{\partial}{\partial x} V\right\rangle = \langle F\rangle$。

在量子力學裏，動量的期望值對於時間的導數，等於作用力 $F$ 的期望值。

## 經典極限

取經典極限，$\left\langle \frac{\partial V(x)}{\partial x}\right\rangle\approx \frac{\partial V(\langle x\rangle)}{\partial \langle x\rangle}$，則可得到一組完全的量子運動方程式：

$\frac{d}{dt}\langle x\rangle=\langle v\rangle$。

$\frac{d}{dt}\langle p\rangle= -\ \frac{\partial V(\langle x\rangle)}{\partial \langle x\rangle}$。

這組量子運動方程式，精確地對應於經典力學的運動方程式：

$\frac{dx}{dt}=v$。

$\frac{dp}{dt}= -\ \frac{\partial V(x)}{\partial x}$。

取「經典極限」，量子力學的定律約化為經典力學的定律。這結果也時常被稱為埃倫費斯特定理。這經典極限是什麼呢？標記 $V\,'(x)$ 為 $\frac{\partial V(x)}{\partial x}$。設定 $\langle x\rangle=x_0$。泰勒展開 $V\,'(x)$ 於 $x_0$：

$V\,'(x)=V\,'(x_0)+(x-x_0)V\,''(x_0)+\frac{1}{2}(x-x_0)^2 V\,'''(x_0)+\ \dots$。

由於 $\langle x-x_0\rangle=0$，$\langle (x-x_0)^2\rangle=\sigma_x^2$。

$\left\langle\frac{\partial V(x)}{\partial x}\right\rangle\approx V\,'(x_0)+\frac{1}{2}\ \sigma_x^2\ V\,''(x_0)$。

這近似方程式右手邊的第二項目就是誤差項目。只要這誤差項目是可忽略的，就可以取經典極限。而這誤差項目的大小跟以下兩個因素有關：

- 一個是量子態對於位置的不可確定性。
- 另一個則是位勢隨著位置而變化的快緩。

## 參閱

- 維里定理