卡西米爾不變量

在數學裏，卡西米爾不變量（又稱卡西米爾元或卡希米爾算子）是李代數的泛包絡代數中心的一個特別的元素。典型的例子是角動量算符的平方 J 2, 一個三維旋轉群的卡西米爾不變量。

卡西米爾元以亨德里克·卡西米爾命名。1931年，他確立了這個概念，以用在他對剛體動力學的描述當中。

## 定義

最常用的卡西米爾元是二次的。其最易定義，因此先在下文給出。然而，也有更高次的卡西米爾不變量，其對應高次的對稱齊次多項式，這些不變量在最後定義。

### 二次卡西米爾元

設 $\mathfrak{g}$ 為一個 $n$ 維半單李代數。設 B 為 $\mathfrak{g}$ 上非奇異的二次型，並要求 B 在 $\mathfrak{g}$ 的伴隨作用下不變，即對 $\mathfrak{g}$ 中的任意 X,Y,Z, 都有 $B(ad_XY,Z)+B(Y,ad_XZ)=0.$ （例如，可取 B 為基靈型。）

設

$$\{X_i\}_{i=1}^n$$

為 $\mathfrak{g}$ 的基，以及

$$\{X^i\}_{i=1}^n$$

為 $\mathfrak{g}$ 關於 B 的對偶基，則 B 的卡西米爾不變量 $\Omega$ 是泛包絡代數 $U(\mathfrak{g})$ 的元素

$$\Omega = \sum_{i=1}^n X_i X^i.$$

儘管上述定義取決於選取的基，可以證明所得的 Ω 與所選的基無關。另一方面，不同的二次型 B 可以給出不同的 Ω. B 的不變性，說明卡西米爾元與李代數 $\mathfrak{g}$ 的任何元素都可交換，因此是泛包絡代數 $U(\mathfrak{g})$ 的中心的元素。

### 線性表示和光滑作用的卡西米爾元

給定 $\mathfrak{g}$ 在向量空間 V 上的李代數表示 ρ （允許無窮維），將 ρ(Ω) 稱為 ρ 的卡西米爾不變量，其為 V 上的線性算子，且由下式給出：

$$\rho(\Omega) = \sum_{i=1}^n \rho(X_i)\rho(X^i).$$

此處假定了 B 為基靈型，否則必須指明 B.

該構造的特定形式，在微分幾何和大域分析中有重要作用。假設連通李群 G 的李代數 $\mathfrak{g}$ 作用在微分流形 M 上，則在 M 的連續函數空間上，有 G 相應的表示 ρ. $\mathfrak{g}$ 的元素均由 M 上的一階微分算子表示，於是，上式給出 ρ 的卡西米爾元，其為 M 上的二階微分算子，且在 G 的作用下不變。

更進一步，若 M 有度量張量，使得 G 的元素作為 M 的保距變換，可遞地作用在 M 上，且一點的穩定子 Gx 不可約地作用在切空間 TxM 上，則 ρ 的卡西米爾元是該度量的拉普拉斯算子的倍數。

也可定義更一般的卡西米爾不變量，其於弗雷德霍姆理論研究偽微分算子時用到。

### 一般情況

每個卡西米爾算子，都對應伴隨表示的對稱代數 $\mbox{ad}_\mathfrak{g}.$ 的對稱齊次多項式。換言之，任何一個卡西米爾算子都具有下列形式：

$$C_{(m)} = \kappa^{ij\cdots k} X_i \otimes X_j \otimes \cdots\otimes X_k,$$

其中 m 是對稱張量 $\kappa^{ij\cdots k}$ 的階，且 $X_i$ 組成 $\mathfrak{g}$ 的基。域 K上的多項式環 $K[t_i, t_j, \cdots ,t_k]$ 內，有 m 元對稱齊次多項式

$$c_{(m)} = \kappa^{ij\cdots k} t_i t_j \cdots t_k$$

與該卡西米爾算子對應。龐卡萊–伯克霍夫–維特定理給出了泛包絡代數的顯式構造，由此可以證明上述的對應關係。

然而，並非每個對應張量（或對稱齊次多項式）都與一個卡西米爾算子對應。其必須與李括號顯見地可交換，即對每個基向量 $X_i$, 都滿足

$[C_{(m)}, X_i] = 0$.

考慮結構常數 fijk，其滿足

$$[X_i,X_j]=f_{ij}^{\;\; k}X_k.$$

於是對於滿足上述條件的對稱多項式，可得

$$f_{ij}^{\;\; k} \kappa^{jl\cdots m} + f_{ij}^{\;\; l} \kappa^{kj\cdots m} + \cdots + f_{ij}^{\;\; m} \kappa^{kl\cdots j} = 0.$$

此為伊斯拉埃爾·蓋爾范德所得的結果。由該交換關係，可知卡西米爾元與李代數中的任意元素都可交換，從而卡西米爾元是在泛包絡代數的中心裏內。得益於此，李代數表示能以其卡西米爾元的特徵值來分類。

注意上述對稱多項式的線性和仍然是在中心裏。更甚者，諸卡西米爾元組成中心的一組基。若一個半單李代數的秩為 r, 即其嘉當子代數的維數為 r, 則其恰有 r 個卡西米爾元。

## 性質

### 唯一性

一個單李代數中，每個不變二次型皆為基靈型的倍數，所以對應的卡西米爾元唯一（允許相差一個常數的意義下）。對於一般的半單李代數，考慮其不變二次型組成的空間。半單李代數是若干單李代數的直和，因此該二次型空間中，對應每個單分量，恰有一個基向量。故卡西米爾元組成的空間中，也對應每個單分量，恰有一個基向量。

### 與 G 上拉普拉斯算子的關係

若 $G$ 為李群，且其李代數為 $\mathfrak{g}$, 則 $\mathfrak{g}$ 上的不變二次型對應 $G$ 上的雙不變黎曼度量。並且， $\mathfrak{g}$ 的泛包絡代數等同於 $G$ 上的左不變微分算子空間。在此等同關係下，$\mathfrak{g}$ 上雙線性型的卡西米爾元，對應 $G$ 關於雙不變度量的拉普拉斯－貝爾特拉米算子。

### 推廣

卡西米爾算子是李代數的泛包絡代數的中心的特殊二次元素。換言之，卡西米爾算子是一個微分算子，其與李代數的生成元皆可交換。泛包絡代數中心裏，每個二次元素均是某個二次型的卡西米爾元。然而，中心內可以有其他（非二次）的元素。

由拉卡定理，半單李代數的泛包絡代數中心的維數，等於該李代數的秩。在任意的半單李群（即其李代數為半單李代數）上，可以利用卡西米爾元，定義群上的拉普拉斯算子。然而，按照上述關於秩的結論，當秩大於 1 時，無法類比地定義唯一的拉普拉斯算子。

根據定義，泛包絡代數的中心內，任何元素都與整個代數的元素可交換。由舒爾引理，任何既約表示中，卡西米爾算子必為恆等映射的倍數。該比例常數適用於李代數表示的分類（也就適用於李群表示的分類）。物理上，質量和自旋均屬該種常數，並且量子力學中許多量子數亦然。

## 例：$\mathfrak{so}(3)$

考慮三維歐幾里得空間的旋轉群 SO(3). 其李代數 $\mathfrak{so}(3)$ 的秩為 1, 因此僅得一個獨立的卡西米爾元。旋轉群的基靈型為克羅內克δ, 故相應的卡西米爾不變量正是李代數的生成元 $L_x,\, L_y,\, L_z$ 的平方和。換言之，卡西米爾元由等式

$$L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2$$

給出。

考慮 $\mathfrak{so}(3)$ 的一個不可約表示。記其中 $L_z$ 的最大特徵值為 $\ell$, 則 $\ell$ 的可能取值為 $0,1/2,1,3/2,\ldots.$ 卡西米爾元的不變性可推出其為恆等算子 I 的倍數。該常數可以具體計算出，即：

$$L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2=\ell(\ell+1)I.$$

在量子力學中，常數 $\ell$ 稱為總角動量量子數。對於旋轉群的有限維矩陣取值表示，$\ell$ 總為整數或半整數（奇數的一半）。倘為整數，則該表示稱為玻色子表示（bosonic representation)，否則稱為費米子表示（fermionic representation)。

給定 $\ell$, 得到的矩陣表示是 $(2\ell+1)$ 維的。例如 $\mathfrak{so}(3)$ 的三維表示對應於 $\ell\,=\,1$, 由下列的生成元給出：

$$L_x= i\begin{pmatrix} 0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 1& 0 \end{pmatrix};\quad L_y= i\begin{pmatrix} 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 0 \end{pmatrix};\quad L_z= i\begin{pmatrix} 0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0 \end{pmatrix},$$

其中照物理學常用的約定加入了 $i$ 因子，使得諸生成元皆為自伴算子。

由此，可以手算二次卡西米爾元，結果為

$$L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2= 2 \begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{pmatrix}.$$

當 $\ell\,=\,1$時，$\ell(\ell+1)\,=\,2$, 故此例子與前段的一般結果一致。類似地，二維的表示以泡利矩陣作基，對應物理上自旋為 1/2 的粒子。

## 特徵值

由於卡西米爾元 $\Omega$ 在泛包絡代數的中心內，其在一個單模（該代數的直和分解的一個分量）上的作用是乘上一個常數。設 $\langle,\rangle$ 為 $\Omega$ 定義採用的對稱非退化二次型。記 $L(\lambda)$ 為具有最高權 $\lambda$ 的元素組成的有限維模（稱為該表示的最高權模）。則卡西米爾元 $\Omega$ 在 $L(\lambda)$ 的作用為乘常數

$$\langle \lambda, \lambda + 2 \rho \rangle=\langle\lambda+\rho,\lambda+\rho\rangle - \langle\rho,\rho\rangle ,$$

其中 $\rho$ 為所有正根之和之半。

若 $L(\lambda)$ 非平凡（即 $\lambda\neq 0$), 則上述常數非零。原因是，由於 $\lambda$ 是優控的（dominant, 即與任意正根的內積皆非負），若 $\lambda\neq 0$，則 $\langle\lambda,\lambda\rangle>0$, 且 $\langle\lambda,\rho\rangle\geq 0$, 故 $\langle\lambda,\lambda+2\rho\rangle >0$. 此結果適用於魏爾完全可約性定理的證明。亦可不使用上述公式，而採用更抽象的嘉當判別法證明該常數非零。