實射影空間

數學中，實射影空間（real projective space），記作 RPn，是 Rn+1 中的直線組成的射影空間。它是一個 n 維緊光滑流形，也是格拉斯曼流形的一個特例。

## 構造

與所有射影空間一樣，RPn 是通過取 Rn+1 − {0} 在等價關係 x ∼ λx 對所有實數 λ ≠ 0 下的商空間。對所有 x 屬於 Rn+1 − {0}，總可找到一個 λ 使得t λx 的範數為 1。恰好有相差一個符號的兩個這樣的 λ。

故 RPn 也可通過將 Rn+1 中單位 n-維球面 Sn 的對徑點等同起來得到。

進一步我們限制在 Sn 的上半球面，僅將邊界赤道上的對徑點等同。這說明 RPn 閉 n-維圓盤 Dn 將邊界 ∂Dn = Sn−1 上的對徑點等同。

## 低維例子

$\mathbf{RP}^1$ 也成為實射影直線，拓撲等價於圓周。

$\mathbf{RP}^2$ 稱為實射影平面。

$\mathbf{RP}^3$ （微分同胚）是 SO(3)，從而有一個群結構；覆疊映射 $S^3 \to \mathbf{RP}^3$ 是一個群映射 $\operatorname{Spin}(3) \to SO(3)$，這裡 Spin(3)是 SO(3) 的萬有覆疊李群。

## 拓撲

n-維球面的對徑映射（將 x 送到 -x）生成 Sn 上一個 Z2 群作用。上已提到，這個作用的軌道空間是 RPn。這個作用恰是一個覆疊空間作用，使 Sn 成為 RPn 的二重覆疊。因為對 n ≥ 2，Sn 是單連通的，它們在此情形也是萬有覆疊。從而當 n > 1 時，RPn 的基本群是 Z2（當 n=1 基本群是 Z 因為同胚於 S1）。基本的一個生成元是連接 Sn 中一組對徑點的曲線投影到 RPn 上的閉曲線。

### 點集拓撲

n-維射影空間的一些性質：

- 1-維射影空間同胚與圓周。
- 2-維射影空間不能嵌入 R3。但可以嵌入 R4 以及浸入 R3。
- n-維射影空間事實上同胚於 R(n+1)2 中所有跡為 1 的對稱 (n+1)×(n+1) 冪等線性變換組成的子流形。
- n-維射影空間是緊連通空間，基本群同構於 2 階循環群（從 n-維球面到 n-維射影空間的商映射是 n-維射影射影空間被一個道路連通空間的二重覆疊）。

### 同倫群

$\mathbf{RP}^n$ 的高次同倫群恰好是 $S^n$ 的高階同倫群，有纖維化的同倫長正合序列得出。

確切地，這個纖維叢是

$$\mathbf{Z}/2 \to S^n \to \mathbf{RP}^n.$$

你也可以類似於復射影空間將其寫成

$$S^0 \to S^n \to \mathbf{RP}^n$$

或

$$O(1) \to S^n \to \mathbf{RP}^n.$$

低次同調群是

$$\pi_i \mathbf{RP}^n = \begin{cases} 0 & i = 0\\ \mathbf{Z}/2 & i = 1\\ 0 & 1 < i < n\\ \mathbf{Z} & i = n. \end{cases}$$

### 光滑結構

實射影空間是光滑流形。在 Sn 的齊次坐標 (x1...xn+1) 中，考慮子集 Ui 使得 xi ≠ 0。每個 Ui 同胚於 Rn 中的開單位球體，且坐標轉移函數是光滑的。這給出了 RPn 一個光滑結構。

### CW 結構

實射影空間 RPn 有一個 CW結構，在每一維有 1 個胞腔。

在 Sn 上的齊次坐標 (x1 ... xn+1) 中，坐標鄰域 U1 = {(x1 ... xn+1)|x1 ≠ 0} 可與 n-維圓盤 Dn 的內部等價。當 xi = 0，我們有 RPn - 1。從而 RPn 的 n - 1 骨架是 RPn - 1，而且黏貼映射 f: Sn-1 → RPn - 1 是一個二對一映射。我們可令

$$\mathbf{RP}^n = \mathbf{RP}^{n-1} \cup_f D^n.$$

歸納證明 RPn 是一個 CW 復形，在每一維有 1 個胞腔。

這些胞腔與旗流形上一樣是舒伯特胞腔。這便是，取一個完全旗（稱為標準旗）0 = V0 < V1 <...< Vn；則閉 k-胞腔是屬於 Vk 中的直線。而開 k-胞腔（k-胞腔的內部）是 Vk\Vk-1 中的直線（屬於 Vk 但不屬於 Vk - 1 的直線）。

在齊次坐標（關於旗的）中，這些胞腔是

$$[*:0:0:\dots:0]$$

$$[*:*:0:\dots:0]$$

$$\vdots$$

$$[*:*:*:\dots:*].$$

這不是一個正則 CW 結構，因黏貼映射是二對一的。但它的覆蓋是球面上一個正則 CW 結構，在每一維有 2 個胞腔；事實上，這是球面上最小的正則 CW 結構。

在光滑結構的幫助下，莫爾斯函數的存在性可證明 RPn 是一個 CW 復形。在齊次坐標中，這樣一個函數可為：

$$g(x_1, \cdots, x_{n+1}) = \sum_1 ^{n+1} i \cdot |x_i|^2.$$

在每個鄰域 Ui，g 有非退化奇點 (0...,1,...0)，這裡 1 出現於第 i 個位置，具有莫爾斯指標 i。這說明了 RPn 是一個在每一維有一個胞腔的 CW 復形。

### 同調

與上面 CW 結構相伴的胞腔鏈復形在每個維數 0,...,n 恰有一個胞腔。對每個維數 k，邊界映射 dk : δDk → RPk-1/RPk-2，坍塌到 Sk - 1 上的赤道然後將對徑點等同。在奇數（偶數）維，度數為 0（2）：

$$\mathrm{deg}(d_k) = 1 + (-1)^k.\,$$

從而整同調是

$$H_i(\mathbf{RP}^n) = \begin{cases} \mathbf{Z} & i = 0 \mbox{ or } i = n \mbox{ odd,}\\ \mathbf{Z/2Z} & 0<i<n,\ i\ \mbox{odd,}\\ 0 & \mbox{else.} \end{cases}$$

### 可定向性

$\mathbf{RP}^n$ 可定向若且唯若 n 為奇數，上面的同調計算已經做了說明。更具體地，$\mathbf{R}^p$ 上的對徑映射有符號 $(-1)^p$，所以它是保定向的若且唯若 p 是偶數。從而定向特徵標是：$\pi_1(\mathbf{RP}^n)$ 中的非平凡迴路作為 $(-1)^{n+1}$ 作用在定向上，所以 $\mathbf{RP}^n$ 可定向若且唯若 n+1 為偶數，即 n 為奇數。

### 重言叢

在實射影空間上有一個自然的線叢，稱為重言叢。更確切地，這稱為重言子叢，也存在一個對偶 n-維叢稱為重言商叢。

## 幾何

實射影空間有一個常正數量曲率度量，由二重覆疊的標準圓球面（對極映射是一個等距）得來。

對標準圓度量，其截面曲率恆等於 1。

### 測度

在標準圓度量中，射影空間的測度恰好是球面測度的一半。

## 無窮實射影空間

無窮實射影空間構造為有限射影空間的正向極限或併集：

$$\mathbb{RP}^\infty := \lim_n \mathbb{RP}^n.$$

拓撲上說，這是艾倫伯格-麥克蘭恩空間$K(\mathbb{Z}/2,1)$（它被可縮的無窮球面 $S^\infty$ 二重覆疊）並且是 BO(1)，線叢的分類空間（更一般地，無窮格拉斯曼流形是向量叢的分類空間）。

係數取 Z/2 的上同調環是

$$H^*(\mathbb{RP}^\infty;\mathbb{Z}/2) = \mathbb{Z}/2[w_1],$$

這裡 $w_1$ 是第一斯蒂弗爾-惠特尼類：

它是 $w_1$（其度數為 1）上的自由 $\mathbb{Z}/2$-代數。