WKB近似

在量子力學裏，WKB近似（WKB approximation）是一種半經典計算方法，可以用來解析薛丁格方程式。喬治·伽莫夫使用這方法，首先正確地解釋了阿爾法衰變。WKB近似先將量子系統的波函數，重新打造為一個指數函數。然後，半經典展開。再假設波幅或相位的變化很慢。通過一番運算，就會得到波函數的近似解。

## 簡略歷史

WKB近似以三位物理學家格雷戈爾·文策爾、漢斯·克喇末和萊昂·布里淵姓氏字首命名。於1926年，他們成功地將這方法發展和應用於量子力學。不過早在1923年，數學家哈羅德·傑弗里斯就已經發展出二階線性微分方程式的一般的近似法。薛丁格方程式也是一個二階微分方程式。可是，薛丁格方程式的出現稍微晚了兩年。三位物理學家各自獨立地在做WKB近似的研究時，似乎並不知道這個更早的研究。所以物理界提到這近似方法時，常常會忽略了傑弗里斯所做的貢獻。這方法在荷蘭稱為KWB近似，在法國稱為BWK近似，只有在英國稱為JWKB近似。

## 數學概念

一般而言，WKB近似專門計算一種特殊微分方程式的近似解。這種特殊微分方程式的最高階導數項目的係數是一個微小參數$\epsilon\,\!$。給予一個微分方程式，形式為

$\epsilon \frac{d^ny}{dx^n} + a(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n - 1}} + \cdots + k(x)\frac{dy}{dx} + m(x)y= 0\,\!$。

假設解答的形式可以展開為一個漸近級數：

$y(x) \sim \exp\left[\frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n(x)\right]\,\!$。

將這擬設代入微分方程式。然後約去相同指數函數因子。又取$\delta \rightarrow 0\,\!$的極限。這樣，就可以從$S_0(x)\,\!$開始，一個一個的解析這漸近級數的每一個項目$S_n(x)\,\!$。

通常$y(x)\,\!$的漸近級數會發散。當$n\,\!$大於某值後，一般項目$\delta ^n S_n(x)\,\!$會開始增加。因此WKB近似法造成的最小誤差，約是最後包括項目的數量級。

## 數學例子

設想一個二階齊次線性微分方程式

$\epsilon^2 \frac{d^2 y}{dx^2} = Q(x) y \,\!$。

其中，$Q(x) \neq 0\,\!$。

猜想解答的形式為

$y(x) = \exp\left[\frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n(x)\right]\,\!$。

將猜想代入微分方程式，可以得到

$\epsilon^2\left[\frac{1}{\delta^2}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n'\right)^2 + \frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n''\right] = Q(x)\,\!$。

取$\delta \rightarrow 0\,\!$的極限，最重要的項目是

$\frac{\epsilon^2}{\delta^2}S_0'^2 \sim Q(x)\,\!$。

我們可以察覺，$\delta\,\!$必須與$\epsilon\,\!$成比例。設定$\delta=\epsilon\,\!$，則$\epsilon\,\!$的零次冪項目給出

$\epsilon^0: \qquad S_0'^2 = Q(x)\,\!$。

我們立刻認出這是程函方程。解答為

$S_0(x) = \pm \int_{x_0}^{x}\sqrt{Q(t)}\,dt\,\!$。

檢查$\epsilon\,\!$的一次冪項目給出

$\epsilon^1:\qquad 2S_0'S_1' + S_0'' = 0\,\!$。

這是一個一維傳輸方程式。解答為

$S_1(x) = - \frac{1}{4}\ln\left(Q(x)\right) + k_1\,\!$。

其中，$k_1\,\!$是任意常數。

我們現在有一對近似解（因為$S_0\,\!$可以是正值或負值）。一般的一階WKB近似解是這一對近似解的線性組合：

$y(x)\approx c_1Q^{ - \frac{1}{4}}(x)\exp\left[\frac{1}{\epsilon}\int_{x_0}^x\sqrt{Q(t)}dt\right] + c_2Q^{ - \frac{1}{4}}(x)\exp\left[ - \frac{1}{\epsilon}\int_{x_0}^x\sqrt{Q(t)}dt\right]\,\!$。

檢查$\epsilon\,\!$的更高冪項目（$n>2\,\!$）可以給出：

$2S_0'S_n' + S''_{n - 1} + \sum_{j=1}^{n - 1}S'_jS'_{n - j} = 0\,\!$。

## 薛丁格方程式的近似解

解析一個量子系統的薛丁格方程式，WKB近似涉及以下步驟：

- 將波函數重寫為一個指數函數。
- 將這指數函數代入薛丁格方程式。
- 展開指數函數的參數為約化普朗克常數的冪級數。
- 匹配約化普朗克常數同次冪的項目，會得到一組方程式。
- 解析這些方程式，就會得到波函數的近似。

一維不含時薛丁格方程式為

$- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \psi(x) + V(x) \psi(x) = E \psi(x)\,\!$。

其中，$\hbar\,\!$是約化普朗克常數，$m\,\!$是質量，$x\,\!$是坐標，$V(x)\,\!$是位勢，$E\,\!$是能量，$\psi\,\!$是波函數。

稍加編排，重寫為

$\hbar^2\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \psi(x) =2m \left( V(x) - E \right) \psi(x)\,\!$。(1)

假設波函數的形式為另外一個函數$\phi\,\!$的指數（函數$\phi\,\!$與作用量有很密切的關係）：

$\psi(x) = e^{\phi(x)/\hbar} \,\!$。

代入方程式(1)。

$\hbar\phi''(x) +\left[\phi'(x)\right]^2=2m\left( V(x) - E \right)\,\!$；(2)

其中，$\phi'\,\!$表示$\phi\,\!$隨著$x\,\!$的導數。

$\phi'\,\!$可以分為實值部分與虛值部分。設定兩個函數$A(x)\,\!$與$B(x)\,\!$：

$\phi'(x) = A(x) + i B(x)\,\!$。

注意到波函數的波幅是$\exp\left[\int^x A(x')dx'/\hbar\right]\,\!$，相位是$\int^x B(x')dx'/\hbar\,\!$。將$\phi'\,\!$的代表式代入方程式(2)，分別匹配實值部分、虛值部分，可以得到兩個方程式：

$\hbar A'(x) + A(x)^2 - B(x)^2 =2m \left( V(x) - E \right)\,\!$，(3)

$\hbar B'(x) + 2 A(x) B(x) = 0\,\!$。(4)

### 半經典近似

將$A(x)\,\!$與$B(x)\,\!$展開為$\hbar\,\!$的冪級數：

$A(x) =\sum_{n=0}^\infty \hbar^n A_n(x)\,\!$。

$B(x) =\sum_{n=0}^\infty \hbar^n B_n(x)\,\!$。

將兩個冪級數代入方程式(3)與(4)。$\hbar\,\!$的零次冪項目給出：

$A_0(x)^2 - B_0(x)^2 = 2m \left( V(x) - E \right)\,\!$。

$A_0(x) B_0(x) = 0\,\!$。

假若波幅變化地足夠慢於相位（$A_0(x) \ll B_0(x)\,\!$），那麼，我們可以設定

$A_0(x) = 0\,\!$。

$B_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( E - V(x) \right) }\,\!$。

只有當$E\ge V(x) \,\!$的時候，這方程式才成立。經典運動只會允許這種狀況發生。

更精確一點，$\hbar\,\!$的一次冪項目給出：

$A_0'+2A_0 A_1 - 2B_0 B_1= - 2B_0 B_1=0\,\!$。

$B_0'+2A_0 B_1+2B_0 A_1=B_0'+2B_0 A_1=0\,\!$。

所以。

$B_1=0\,\!$。

$A_1= - \frac{B_0'}{2B_0}=\frac{d}{dx}ln B_0^{ - 1/2}\,\!$。

波函數的波幅是$\exp\left[\int^x A(x')dx'/\hbar\right]=\frac{1}{\sqrt{B_0}}\,\!$。

定義動量$p(x) = \sqrt{ 2m \left( E - V(x) \right) }\,\!$，則波函數的近似為

$\psi(x) \approx \cfrac{C_{\pm}} {\sqrt{p(x)}} e^{\pm i \int_{x_0}^x p(x') \mathrm{d}x'/\hbar} \,\!$；(5)

其中，$C_+\,\!$和$C_{-}\,\!$是常數，$x_0\,\!$是一個任意參考點的坐標。

換到另一方面，假若相位變化地足夠慢於波幅（$B_0(x) \ll A_0(x)\,\!$），那麼，我們可以設定

$A_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( V(x) - E \right) }\,\!$。

$B_0(x) = 0\,\!$。

只有當$V(x)\ge E\,\!$的時候，這方程式才成立。經典運動不會允許這種狀況發生。只有在量子系統裏，才會發生這種狀況，稱為量子穿隧效應。類似地計算，可以求得波函數的近似為

$\psi(x) \approx \frac{C_{\pm}} {\sqrt{p(x)}} e^{\pm\int_{x_0}^x p(x') \mathrm{d}x'/\hbar}\,\!$；(6)

其中，$p(x) = \sqrt{ 2m \left(V(x) - E\right) }\,\!$。

### 連接公式

顯而易見地，我們可以從分母觀察出來，在經典轉向點$E = V(x)\,\!$，這兩個近似方程式(5)和(6)會發散，無法表示出物理事實。我們必須正確地找到波函數在經典轉向點的近似解答。設定$x_1< x< x_2\,\!$是經典運動允許區域。在這區域內，$E>V(x)\,\!$，波函數呈振動形式。其它區域$x<x_1\,\!$和$x_2< x\,\!$是經典運動不允許區域，波函數呈指數遞減形式。假設在經典轉向點附近，位勢足夠的光滑，可以近似為線性函數。更詳細地說，在點$x_2\,\!$附近，將 $\frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right)\,\!$展開為一個冪級數：

$\frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right) = U_1(x - x_2) + U_2(x - x_2)^2 + \cdots\,\!$。

其中，$U_1,\,U_2,\,\cdots\,\!$是常數值係數。

取至一階，方程式(1)變為

$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \psi(x) = U_1(x - x_2) \psi(x)\,\!$。

這微分方程式稱為艾里方程式，其解為著名的艾里函數：

$\psi(x) = C_{2A} \textrm{Ai}\left( \sqrt[3]{U_1}(x - x_2) \right) + C_{2B} \textrm{Bi}\left( \sqrt[3]{U_1}(x - x_2) \right)\,\!$。

匹配艾里函數和在$x< x_2\,\!$的波函數，在$x_2< x\,\!$的波函數，經過一番繁雜的計算，可以得到在$x_2\,\!$附近的連接公式（connection formula）：

$\psi(x) = \begin{cases} <pre> \cfrac{2C_2}{\sqrt{p(x)}} \sin \left(\cfrac{1}{\hbar}\int_x^{x_2} p(x')dx'+\cfrac{\pi}{4}\right) & \mbox{if } x<x_2 \\ \cfrac{C_2}{\sqrt{|p(x)|}} \exp\left( - \int_{x_2}^x |p(x')|dx'/{\hbar}\right) & \mbox{if } x_2<x </pre> \end{cases}\,\!$。

類似地，也可以得到在$x_1\,\!$附近的連接公式：

$\psi(x) = \begin{cases} <pre> \cfrac{C_1}{\sqrt{|p(x)|}} \exp\left( - \int_x^{x_1} |p(x')|dx'/{\hbar}\right) & \mbox{if } x<x_1 \\ \cfrac{2C_1}{\sqrt{p(x)}} \sin \left(\cfrac{1}{\hbar}\int_{x_1}^{x} p(x')dx'+\cfrac{\pi}{4}\right) & \mbox{if } x_1<x </pre> \end{cases}\,\!$。

### 量子化規則

在經典運動允許區域$x_1< x< x_2\,\!$內的兩個連接公式也必須匹配。設定角變量

$\theta_1= - \frac{1}{\hbar}\int_{x_1}^{x} p(x')dx' - \frac{\pi}{4}\,\!$。

$\theta_2=~\frac{1}{\hbar}\int_x^{x_2} p(x')dx' + \frac{\pi}{4}\,\!$。

$\alpha=\int_{x_1}^{x_2} p(x)dx/\hbar\,\!$。

那麼。

$\alpha=\theta_2 - \theta_1 - \pi/2\,\!$。

$- C_1 \sin \theta_1=C_2 \sin \theta_2=C_2\sin(\theta_1+\alpha+\pi/2)\,\!$。

立刻，我們可以認定$|C_1|=|C_2|\,\!$。匹配相位，假若$C_1=C_2\,\!$，那麼。

$\alpha+\pi/2=(2m - 1)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!$。

所以。

$\alpha=(2m - 3/2)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!$。

假若$C_1= - C_2\,\!$，那麼。

$\alpha+\pi/2=2m\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!$。

所以。

$\alpha=(2m - 1/2)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!$。

總結，量子系統必須滿足量子化守則：

$\int_{x_1}^{x_2} p(x)dx =(n - 1/2)\pi\hbar,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!$。

### 範例

考慮一個量子諧振子系統，一個質量為$m\,\!$的粒子，運動於諧振位勢$V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2 x^2\,\!$；其中，$\omega\,\!$是角頻率。求算其本徵能級$E_n\,\!$？

能量為$E\,\!$的粒子，其運動的古典轉向點$x_t\,\!$為

$E=\frac{1}{2}m\omega^2 x_t^2\,\!$。

所以。

$x_t=\pm \sqrt{\frac{2E}{m\omega^2 }}\,\!$。

粒子的動量為

$p(x)=\sqrt{2m\left(E - \frac{1}{2}m\omega^2 x^2\right)}\,\!$。

將這些變量代入量子化守則：

$\int_{ - 2E/m\omega^2}^{2E/m\omega^2}\,\sqrt{2m\left(E - \frac{1}{2}m\omega^2 x^2\right)}\,dx=(n - 1/2)\pi\hbar,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!$。

經過一番運算，可以得到本徵能量

$E_n=(n - 1/2)\omega\hbar,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!$。

藉由以上之計算，發現近似解與精確解完全一樣。

## 參閱

- 微擾理論 (量子力學)
- 量子穿隧效應
- 舊量子論