SL₂(ℝ)

在數學中，特殊線性群 SL₂(ℝ) 是行列式為 1 的 2×2 實矩陣組成的群：

$\mbox{SL}_2(\mathbb{R}) = \left\{ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} : a,b,c,d\in\mathbb{R}\right.\,$，且 $ad-bc=1\Bigg\}\,$．

它是一個三維李群，在幾何、拓撲、表示論及物理中有重要應用．

與 SL₂(ℝ) 密切相關的是射影線性群 PSL₂(ℝ)。這是將 SL₂(ℝ) 中每個元素與它的負元素等同得到的商：

$$\mbox{PSL}_2(\mathbb{R}) = \mbox{SL}_2(\mathbb{R})/\{-1,+1 \}.\,$$

一些作者將這個群記做 SL(2,ℝ)．這是一個單李群，包含模群 PSL₂(ℤ)．

## 描述

SL2(ℝ) 是 ℝ2 上所有保持定向面積的線性變換群。它同構於辛群 Sp2(ℝ) 以及廣義特殊酉群 SU(1,1)。它也同構於單位長共四元數群。

商 PSL2(ℝ) 有多個有趣的描述：

- 它是實射影直線 $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$ 上保持定向的射影變換群。
- 它是單位圓盤的共形自同構群。
- 它是雙曲平面保持定向的等距群。
- 它是三維閔可夫斯基空間的限制洛倫茲群。等價地，它同構於不定正交群 SO+(1,2)。從而 SL2(ℝ) 同構於旋量群 Spin(2,1)+。

### 線性分式變換

PSL2(ℝ) 的元素做為線性分式變換(Linear fractional transformation)作用在實射影直線 $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$ 上：

$$x \mapsto \frac{ax+b}{cx+d}.$$

這類似於 PSL2(ℂ) 通過莫比烏斯變換在黎曼球面上的作用。這是 PSL2(ℝ) 在雙曲平面上的作用限制到無窮遠邊界。

### 莫比烏斯變換

PSL2(ℝ) 中的元素通過莫比烏斯變換作用在複平面上：

$z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}\;\;\;(\,$ 這裡 $a,b,c,d\in\mathbb{R}\mbox{)}.\,$

這正好是保持上半平面的莫比烏斯變換集合。從而 PSL2(ℝ) 是上半平面的共形自同構群。由黎曼映射定理，它也是單位圓盤的共形自同構群。

這些莫比烏斯變換是雙曲空間上半平面模型的等距，而圓盤相應的莫比烏斯變換是龐加萊圓盤模型的雙曲等距。

### 伴隨表示

群 SL2(ℝ) 通過共軛作用在它的李代數 SL2(ℝ) 上，導致 PSL2(ℝ) 的一個忠實 3 維線性表示。這也可以描述為 PSL₂(ℝ) 作用在 ℝ² 上的二次型上。結果是如下表示

$$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} a^2 & 2ac & c^2 \\ ab & ad+bc & cd \\ b^2 & 2bd & d^2 \end{bmatrix}.$$

sl2(ℝ) 上的基靈型有符號 (2,1)，誘導了 PSL2(ℝ) 與洛倫茲群 SO+(2,1) 之間一個同構。PSL2(ℝ) 在閔可夫斯基空間上的作用限制成 PSL2(ℝ) 在雙曲空間的雙曲面模型上的等距。

## 元素的分類

SL2(ℝ) 中一個元素 A 的本徵值滿足特徵多項式

$$\lambda^2 \,-\, \mathrm{tr}(A)\,\lambda \,+\, 1 \,=\, 0,\,$$

從而

$$\lambda = \frac{\mathrm{tr}(A) \pm \sqrt{\mathrm{tr}(A)^2 - 4}}{2}. \,$$

這導致了如下元素分類：

- 如果 | tr(A) | < 2，則 A 稱為橢圓型。
- 如果 | tr(A) | = 2，則 A 稱為拋物型。
- 如果 | tr(A) | > 2，則 A 稱為雙曲型。

### 橢圓型元素

橢圓型元素的本徵值都是複數，是單位圓周上的共軛值。這樣的元素的作用是歐幾里得空間中的旋轉，相應的 PSL2(ℝ) 元素之作用是雙曲平面與閔可夫斯基空間的旋轉。

模群的橢圓型元素的本徵值一定為 {ω, 1/ω} 形式，其中 ω 是一個本原3次、4次、或6次單位根。他們是模群中所有有限階元素，他們作用在環面上是周期性微分同胚。

### 拋物型元素

拋物型元素只有一個本徵值，1 或者 -1。這樣的元素作用在歐幾里得平面上是錯切映射，相應 PSL2(ℝ) 中元素作用在雙曲平面上是極限旋轉（limit rotation），在閔可夫斯基空間上的作用是零旋轉。

模群的拋物型元素作用在環面上是德恩扭轉（Dehn twist）。

### 雙曲型元素

雙曲型元素的本徵值都是實數，互為倒數。這樣一個元素作用在歐幾里得空間上是擠壓映射（squeeze mapping），相應的 PSL2(ℝ) 元素作用在雙曲平面是平移，在閔可夫斯基空間上的作用是洛倫茲遞升。

模群的雙曲型元素作用在環面上是阿諾索夫微分同胚（Anosov diffeomorphism）。

## 拓撲和萬有覆蓋

做為一個拓撲空間，PSL2(R) 可以描述為雙曲平面的單位切叢，這是一個圓叢，有由雙曲平面上辛結構誘導的自然切觸結構。SL2(R) 是 PSL2(R) 的二重覆蓋，可以認為是雙曲平面上的旋量叢。

SL2(R) 的基本群是無限循環群 ℤ。其萬有覆蓋群記做 $\overline{\mbox{SL}_2(\mathbb{R})}$，是一個有限維李群但不是矩陣群。即 $\overline{\mbox{SL}_2(\mathbb{R})}$ 沒有忠實有限維表示。

做為一個拓撲空間，$\overline{\mbox{SL}_2(\mathbb{R})}$ 是雙曲平面上一個線叢。若賦予一個左不變度量，3-流形 $\overline{\mbox{SL}_2(\mathbb{R})}$ 成為瑟斯頓八幾何之一。例如，$\overline{\mbox{SL}_2(\mathbb{R})}$ 是任何雙曲曲面的單位切叢的萬有覆蓋。任何以 $\overline{\mbox{SL}_2(\mathbb{R})}$ 為模型的流形是可定向的，也是一個二維雙曲軌形上的圓叢（一個塞弗特纖維空間（Seifert fiber space））。

## 代數結構

SL2(ℝ) 的中心是兩個元素的群 {-1,1}，商 PSL2(ℝ) 是單群。

PSL2(ℝ) 的離散子群稱為富克斯群（Fuchsian group）。他們是歐幾里得壁紙群（wallpaper group）和飾帶群（Frieze group）的雙曲類比。最有名的是模群 PSL2(ℤ)，它作用在雙曲平面由理想三角形形成的嵌圖上。

圓群SO(2)是 SL2(ℝ) 的一個極大緊子群，圓 SO(2)/{-1,+1} 是 PSL2(ℝ) 的一個極大緊子群。

PSL2(ℝ) 的舒爾乘子（Schur multiplier）是 ℤ，萬有中心擴張與萬有覆蓋群相同。

## 表示理論

SL2(ℝ) 是一個實非緊單李群，也是復李群 SL2(ℂ) 的分裂實形式。SL2(ℝ) 的李代數記做 sl2(ℝ)，是所有跡為零的 2×2 實矩陣。它是 VIII 型比安基代數。

SL2(ℝ) 的有限維表示理論等價於SU(2)的表示理論，這是 SL2(ℂ) 的緊實形式。特別地 SL2(ℝ) 沒有非平凡有限維酉表示。

SL2(ℝ) 的無限維表示理論相當有意思。這個群有多類酉表示，這被蓋爾范德、奈馬克 (1946)、巴格曼 (1947)、Harish-Chandra (1952) 詳細地解決了。

## 另見

- 線性群
- 特殊線性群
- 射影線性群（projective linear group）
- 雙曲等距（hyperbolic isometry）
- 模群（modular group）
- 莫比烏斯變換
- 射影變換
- 富克斯群（Fuchsian group）
- 李群列表（Table of Lie groups）