速率

速率（speed）是物理學中的一個基本概念，是指物體在單位時間內經過的路程，用來表示物體運動的快慢程度。

在日常生活中，「速率」和「速度」（Velocity）混用，但兩者在物理學中對應著不同的概念：速率是一個標量（只有大小、沒有方向），它的量綱是路程除以時間；速度是一個向量（有方向），它的量綱是位移除以時間。物體的瞬時速率等於瞬時速度的大小，而平均速率則不一定等於平均速度的大小。

國際單位制中，速率的單位為米每秒（m/s），但日常生活中較常用的單位是公里每小時（km/h）或是英制系統下的英里每小時（mph）。海上船隻或物體的行進速率，一般會使用節作為單位。

依照狹義相對論，能量或資訊所能傳遞的最快速率為真空中的光速c = 299,792,458 米每秒，大約是1,080,000,000千米每小時或671,000,000英里每小時。靜止質量不為零的物質要加速到此速率，需要無限大的能量。在相對論物理學中，會用快度來取代古典力學中的速度。

## 定義

用數學語言來描述，如果一個物體在一段時間$t$內移動的路程為$s$，那麼它的平均速率（用$\bar{v}$表示）便是$s$與$t$的比，具體可由下式給出：

$$\bar{v}=\frac{s}{t}$$

例如，一輛汽車在2小時內行駛了60公里，它在這段時間內的平均速率是30公里每小時。而一個物體在某個時刻的速率，則是它在這個時刻前後的一段極短時間中經過的路程$ds$與這段時間長度$dt$的比：

$$v=\frac{ds}{dt}$$

精確地說，假設路程$s$是一個關於時間$t$的函數，那麼物體在某個時刻$t_0$的瞬時速率，是以上比值在$dt$趨向於0時的極限值。或者說，是$s$在$t_0$時刻對時間的導數。

$$v_{t_0}=\left.\lim_{dt \to 0}\frac{ds}{dt}\right|_{t=t_0} = \left.\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right|_{t=t_0}$$

在某些簡化的物理模型中，物體在某個時刻之前的速率$v_{t_0}^-$可能不等於其之後的速率 $v_{t_0}^+$：

$$v_{t_0}^- = \left.\lim_{dt \to 0}\frac{s(t) - s(t-dt)}{dt}\right|_{t=t_0} \neq \left.\lim_{dt \to 0}\frac{s(t+dt) - s(t)}{dt}\right|_{t=t_0} = v_{t_0}^+$$

比如簡單的碰撞模型中的碰撞前速率和碰撞後速率。但在經典物理學中，總假設物體的路程，以及瞬時速度和瞬時速率都是連續變化的。簡化模型中出現不連續的速率是忽略了極短時間內速率變化的結果。

物體的瞬時速率等於其瞬時速度的大小。然而，物體的平均速率一般不等於其平均速度的大小。蓋因路程和位移的概念不同。例如一個物體做勻速圓周運動一周，則其平均速率為一個不為零的定值，但其平均速度是0。

## 例子

### 瞬時速率

車輛上的速度表可以顯示任何時刻的瞬時速率p.42。瞬時速率可能會隨時間而變動，一輛車在某個時刻的瞬時速率50公里/小時，但它維持此速率的時間可以是一秒、一分鐘或一小時。不過假若此車連續一小時以50公里/小時的（瞬時）速率行駛，則它所走路程為50公里。

### 平均速率

如果一輛車在一小時內行駛了80公里，則它在這一個小時中的平均速率為80公里/小時；若一輛車在第一個小時內行駛了140公里，在接下來的三個小時中行駛了180公里，則它在這四小時內的平均速率也是80公里/小時。但若分別考慮此車第一個小時以及其後三個小時內的平均速率，其數值就不是80公里/小時了。

平均速率可能會和過程中的瞬時速率有相當的差異p.42。若已知平均速率和時間，可以求得這段時間所走的路程：

$$s = \bar{v}t$$

依上述公式可得，若一輛車行駛了四小時，這四小時的平均速率為80公里/小時，則它在四個小時中行駛的總路程為320公里。

若以圖像的方式，可以利用路程－時間圖來顯示速率。路程－時間圖上的曲線表示了物體移動的路程是如何隨時間變化的。曲線上任意一點對應著一個時刻和物體在這一時刻移動的路程。曲線在一點上切線的斜率即為此時刻的瞬時速率，而曲線上兩點的割線斜率即為對應的二個時刻之間的平均速率。

### 切線速率

物體在單位時間內經歷的路程，是為速率或線速率，而如果物體在做圓周運動，那麼它的速率也稱為切線速率p.131，因為它運動的方向是沿著圓周的切線方向。旋轉木馬轉一圈時，位置靠外的木馬走過的路程比位置靠內的木馬要多。這說明位置靠外的木馬平均速率比位置靠內的木馬要大。對於圓周運動的物體而言，切線速率及線速率二者可互換使用，二者的單位均為m/s或km/h。

轉速或角速率是指單位時間內轉的圈數。旋轉木馬中，不同位置的木馬切線速率可能不同，但所有木馬在相同時間內都旋轉了相同的圈數，因此其角速率均相同。轉速一般以每分鐘轉速或是以單位時間的弧度作為單位。旋轉一圈的弧度略大於6個弧度（精確值為$2 \pi$弧度）。若將角速率加上方向，則成為角速度，前者為一純量，後者則為一向量。若兩片CD每秒都旋轉20圈，一片順時針旋轉，另一片逆時針旋轉，那麼二者的角速率相同，但角速度不同。

圓周運動的物體（或距旋轉軸固定距離的一點），其切線速率和轉速成正比p.131。不過切線速率和轉速不同，一點的切線速率和距旋轉軸的距離有關，距旋轉軸不同距離的二點，其轉速相等，但切線速率不相等。旋轉軸上的點，其切線速率甚至為零。在一旋轉的物體上，離旋轉軸越遠，會發現線速率越快。若轉速固定，則切線速率和一點距旋轉軸的距離成正比p.132，因此可得下式：

$$v \sim \!\, r \omega$$

其中

v為切線速率

ω為轉速

r為距旋轉軸的距離

因此只要轉速變快或是距旋轉軸的距離變長，都會使切線速度變快。

若切線速率、轉速及距離選擇適當的單位（例如切線速率單位選擇m/s，轉速單位選擇弧度/s，距離單位選擇ｍ），上式的比例關係可以變成以下的等式：

$$v = r\omega$$

因此，一個系統只要所有部份的角速度相同，其切線速度只和距旋轉軸的距離有關。（上述切線速度和距離的比例關係不適用於行星的運轉，因為行星在不同位置的角速度不同）

## 單位

速率的單位包括：

- 米每秒（符號為m s-1或m/s），國際單位制導出單位
- 千米每小時（符號為km/h）
- 英里每小時（符號為m/h或mph）
- 節（即「海里每小時」，符號kt）
- 馬赫, 由速率除以聲速得到
- 真空中光速（c=2.997 924 58·108m s-1, 是自然單位之一）

速率各單位間重要的換算關係包括：

## 不同速率的例子

速率｜m/s｜ft/s｜km/h｜mph｜註解

大陸飄移的平均速率｜0.00000001｜0.00000003｜0.00000004｜0.00000002｜4公分/年，速率依位置而異

普通蝸牛的速率｜0.001｜0.003｜0.004｜0.002｜1毫米每秒

輕快地步行｜1.7｜5.5｜6｜4

奧林匹克運動會短跑選手（100米內的平均速率）｜10｜32.8｜36｜22

大部份郊區道路的速限｜13.8｜45.3｜50｜30

台北101觀光電梯｜16.7｜54.8｜60.6｜37.6｜1,010 m/min

香港巴士的最高運行速率｜20｜65.6｜72｜44.7

一般鄉間道路的速限｜24.6｜80.66｜88.5｜56

薩菲爾-辛普森颶風等級的一級颶風｜33｜108｜119｜74｜一分鐘平均風速需大於此數值

法國高速公路限速｜36.1｜118｜130｜81

人力驅動的最快速度｜37.02｜121.5｜133.2｜82.8｜加拿大自行車手Sam Whittingham利用斜躺腳踏車創下的記錄

漆彈槍的槍口初速｜90｜295｜320｜200

波音747-8巡航速率｜255｜836｜917｜570｜0.85馬赫

陸上速度記錄｜341.1｜1119.1｜1227.98｜763｜由超音速推進號在1997年10月15日創下

在海平面大氣壓、20°C（293開爾文）的乾燥空氣中的聲速｜343｜1,125｜1,235｜768｜由定義=1馬赫

AK-47突擊步槍的槍口初速｜710｜2,330｜2,600｜1600

正式的飛行速度記錄｜980｜3,215｜3,530｜2,194｜由SR-71黑鳥式偵察機在1976年7月28日創下

太空梭返回地球時的速率｜7,800｜25,600｜28,000｜17,500

相對於地球的逃逸速度｜11,200｜36,700｜40,000｜25,000｜地表的逃逸速度為11.2 km/s

地球的平均公轉速率｜29,783｜97,713｜107,218｜66,623

真空中的光速（符號c）｜299,792,458｜983,571,056｜1,079,252,848｜670,616,629

## 基本資料

- 國際單位：m/s, m s−1