索伯列夫空間

數學上，一個索伯列夫空間是一個由函數組成的賦範向量空間。對於某個給定的 $p\geq 1$，索伯列夫空間的範數是函數 $f$ 的 $k$ 階導數和函數 $f$ 的有限Lp範數的結合。

索伯列夫空間以蘇聯數學家舍蓋·索伯列夫來命名。它的重要性體現在一些偏微分方程的弱解在特定的索伯列夫空間存在，即使該偏微分方程在具有經典導數定義的連續函數空間不存在強解。

## 簡介

對於數學函數的光滑性有很多種。最基本的要求可能就是函數要連續，更進一步的要求是可微（因為可微函數也是連續的），再強一些的概念是導數的連續性（這些函數稱為$C^1$ — 參看光滑函數）。可微函數在很多領域相當重要，特別是在微分方程中。在二十世紀，人們發現$C^1$函數空間不是研究微分方程的解的恰當的空間。

而索伯列夫空間正是$C^1$空間的替代品，用於研究偏微分方程的解。

## 技術性討論

我們從最簡單情況下的索伯列夫空間開始，也就是單位圓上的一維情況。在這個情況下，索伯列夫空間$W^{k,p}$定義為Lp的子集，使得 $f$ 和它的直到 $k$ 階的導數有一個有限的Lp範數，對於某個給定的 $p\geq 1$。定義正確意義上的導數時必須小心。在這個一維問題中，假設$f^{(k-1)}$是幾乎處處可微並且等於其導數的勒貝格積分（這可以排除康托函數這樣的例子）就足夠了。

按照這個定義，索伯列夫空間有一個自然的範數,

$$\|f\|_{k,p}= \Big(\sum_{i=0}^k\|f^{(i)}\|_p^p\Big)^{1/p} = \Big(\sum_{i=0}^k \int |f^{(i)}(t)|^p\,dt \Big)^{1/p}.$$

賦予了範數$\|\cdot\|_{k,p}$的$W^{k,p}$是一個完備空間。實際上只要取序列中的第一項和最後一項就可以了，也即，如下的範數

$$\|f^{(k)}\|_p + \|f\|_p$$

和上述範數等價。

### 例子

有些索伯列夫空間有簡單的表述。例如，在一維情況，$W^{1,1}$就是絕對連續函數空間，而 $W^{1,\infty}$ 是李普希茲函數空間。還有，$W^{k,2}$可以自然地用其傅立葉級數的術語定義，也就是

$$W^{k,2}({\mathbb T}) = \Big\{ f\in L^2({\mathbb T}):\sum_{n=-\infty}^\infty (1+n^2 + \dotsb + n^{2k}) |\widehat{f}(n)|^2 < \infty\Big\}$$

其中$\widehat{f}$是 $f$ 的傅立葉級數。和前面一樣，可以採用等價的範數

$$\|f\|^2=\sum_{n=-\infty}^\infty (1 + n^{2k}) |\widehat{f}(n)|^2.$$

兩個表達都可以從帕塞瓦爾定理以及微分等價於傅立葉係數乘以in這個事實導出。這個特殊情況很重要，因此有一個特別的符號，$H^k$:

$$\,H^k = W^{k,2}.$$

## 非整數 $k$ 的索伯列夫空間

為避免混淆，在討論不是整數的k的時候，我們通常用 $s$ 來取代它，也即$W^{s,p}$或者$H^s$。

### $p=2$ 的情形

$p=2$ 的情形是最簡單的情形，因為傅立葉表述可以直接推廣。我們定義範數為

$$||f||^2_{2,s}=\sum (1+n^{2s})|\widehat{f}(n)|^2$$

而索伯列夫空間$H^s$為具有有限範數的函數的空間。

### 分數階微分

如果 $p$ 不是2，就採取類似的方法。在這個情況下帕塞瓦爾定理不再成立，但是微分還是對應於在傅立葉域中的乘法，並且可以推廣到非整數階。因此，可以定義一個分數階微分的算子其階為 $s$，如下所示

$$F^s(f)=\sum_{n=-\infty}^\infty (in)^s\widehat{f}(n)e^{int}$$

換句話說，取傅立葉變換，乘以$(in)^s$再取逆傅立葉變換（定義為傅立葉－乘法－逆傅立葉的算子稱為乘子，這本身也是一個研究主題）。這使得我們可以定義$s,p$的索伯列夫範數如下

$$\,\Vert f\Vert_{s,p}=\Vert f\Vert_p+ \Vert F^s(f)\Vert_p$$

而且，跟平常一樣，索伯列夫空間是有有限索伯列夫範數的函數的空間。

### 復插值

獲取「分數索伯列夫空間」的另一個辦法是採用復插值。復插值是一個通用的技術：對於任何 $0 \leq t \leq 1$ 和巴拿赫空間 $X$ 及 $Y$，且這二者都包含於某個更大的巴拿赫空間中，我們可以創建「過渡空間」，記為 $[X,Y]_t$。（後面將會討論到一個不同的方法，所謂的實插值方法，它對於跡的分類的索伯列夫理論有重要的意義）。

這樣的空間 $X$ 和 $Y$ 稱為插值對。

下面提一些關於復插值的有用的定理：

定理（插值）：$[[X,Y]_a , [X,Y]_b ]_c = [X,Y]_{cb+(1-c)a}$.

定理 （算子的插值）：若 $\{X,Y\}$ 和 $\{A,B\}$ 是插值對，並且若 $T$ 是一個線性映射，定義與 $X+Y$到 $A+B$ 中，使得 $T$ 在 $X$ 到 $A$ 和 $Y$ 到 $B$ 上連續，則 $T$ 從 $[X,Y]_t$ 到$[A,B]_t$上連續。並且有如下的插值不等式：

$$||T||_{[X,Y]_t \to [A,B]_t}\leq C||T||_{X\to A}^{1-t}||T||_{Y\to B}^t.$$

參看: Riesz-Thorin定理。

回到索伯列夫空間上來，我們要通過對幾個$W^{k,p}$的插值得到非整數 $s$ 的$W^{s,p}$。第一件事當然是看看這個可以給出一致的結果，而我們確實有

定理: $\left[W^{0,p},W^{m,p}\right]_t=W^{n,p}$，如果 $n$ 是一個整數使得 $n=tm$。

因此，復插值是一個得到一個空間$W^{k,p}$之間的空間$W^{s,p}$的一個連續統的一致的方法。而且，它給出了和分數階微分同樣的空間（但參看延拓算子中的一個變化）。

## 多維情況

現在考慮在 $\mathbb{R}^n$ 及其子集上的索伯列夫空間。從圓到線的變化只涉及傅立葉公式的技術細節 — 基本上就是將傅立葉級數變為傅立葉變換，將求和變為積分。到多維情況的轉換有更大的難度，從定義就開始變化。$f^{(k-1)}$是$f^{(k)}$的積分這個條件無法一般化，而最簡單的解決辦法是考慮分布理論意義下的導數。

由此可以得到一個形式化的定義。令 $D$ 為 $\mathbb{R}^n$ 中開集。定義索伯列夫空間

$$\,W^{k,p}(D)$$

為定義於 $D$ 上的函數f的族，使得對於滿足下式的每個多重索引$\alpha$

$$|\alpha|\leq k$$

$f^{(\alpha)}$是一個函數，且

$$||f^{(\alpha)}||_p < \infty.$$

在它上面的一個合適的範數是所有這樣的 $\alpha$ 上的那些 $L^p$ 範數的和。它是完備的，因此是一個巴拿赫空間。

實際上，這個方法在一維也成立，並且和前面分數階微分中所述並無多大區別。

### 例子

在多維情況，有些結果不再成立，例如，$W^{1,1}$只包含連續函數。例如，$\frac{1}{|x|}$屬於$W^{1,1}(B^3)$，其中$B^3$是三維的單位球。對於足夠大的 $k$，$W^{k,p}(D)$將只包含連續函數，但是對於哪個 $k$ 才夠取決於 $p$ 以及維數這二者。

但是，$W^{1,\infty}$ 和 $W^{k,2}$ 的表述在做了必要的修改之後還是成立的。

## 索伯列夫嵌入

索伯列夫空間$W^{k,p}(\mathbb{R}^n)$是$L^p(\mathbb{R}^n)$的子集。一個很自然的問題是：有沒有其它的Lp空間包含$W^{k,p}(\mathbb{R}^n)$？索伯列夫嵌入定理給出一個簡單的表達（參看）:

定理：令 $k,n\in\mathbb{Z}_{>0}$ 且 $1\leq p\leq\infty$。則如下命題成立:

- 若 $\frac{1}{p}>\frac{k}{n}$ 則 $W^{k,p}(\mathbb{R}^n)\subseteq L^{\frac{1}{\frac{1}{p}-\frac{k}{n}}}(\mathbb{R}^n)$（作為集合）。而且，包含關係是一個有界算子。
- 若 $\frac{1}{p}=\frac{k}{n}$ 則所有有緊支撐的函數 $f\in W^{k,p}(\mathbb{R}^n)$是$L^q(\mathbb{R}^n)$的元素，其中 $q<\infty$。

## 跡

令$s>\frac{1}{2}$。若 $X$ 為開集，使得其邊界 $G$「足夠光滑」，則我們可以定義映射 $P$ 的跡（也即，限制)如下

$$Pu=u|_G,$$

也即，$u$ 限制到邊界 $G$ 上。一個可能的光滑條件是一致$C^m$， m ≥ s。（但是注意，這個矩陣跡沒有關係。）

這個跡映射 $P$ 其定義域為$H^s(X)$，而其像正好是$H^{s-\frac{1}{2}}(G)$。如果要完全形式化，$P$ 首先定義在無窮可微函數上，並且通過連續性擴展到整個$H^s(X)$。注意取跡'失去了半個導數'。

確定$W^{s,p}$的跡映射的像要困難很多，需要使用實插值這個工具，在此不具體討論。其最後的結果是Besov空間。事實上，在$W^{s,p}$空間的情形，我們不是失去半個導數，我們失去了$\frac{1}{p}$個導數。

## 延拓算子

若 $X$ 是開域，其邊界不是太不良（例如，如果其邊界為流形，或者滿足更寬鬆但更奇特的「錐條件」）則存在一個算子 $A$ 將 $X$ 的函數到 $\mathbb{R}^n$ 的函數，使得：

- $Au(x) = u(x)$ 對於幾乎所有 $X$ 中的 $x$ 以及
- $A$ 連續，從$W^{k,p}(X)$到$W^{k,p}({\mathbb R}^n)$，對於任何 $1 \leq p \leq \infty$ 以及整數 $k$。

我們稱算子 $A$ 為 $X$ 的延拓算子。

延拓算子是最自然的定義非整數 $s$ 的$H^s(X)$方法（我們不能直接在 $X$ 進行，因為取傅立葉變化是一個整體操作）。我們定義$H^s(X)$為：u屬於$H^s(X)$若且唯若 $Au$ 屬於$H^s(\mathbb R^n)$。等價的有，復插值產生同樣的$H^s(X)$空間只要 $X$ 存在一個延拓算子。如果 $X$ 沒有一個延拓算子，復插值是唯一取得$H^s(X)$空間的辦法。

因此，插值不等式仍然成立。

### 用零延拓

我們定義 $H^s_0(X)$ 為無窮可微緊支撐函數的空間 $C^\infty_c(X)$ 在 $H^s(X)$ 中的閉包。給定一個跡的定義如上，我們可以給出如下命題

定理：令 $X$ 為一致 $C^m$ 正規空間，$m \geq s$並令 $P$ 為線性映射，將 $H^s(X)$ 中的 $u$ 映射到

$$\left.\left(u,\frac{du}{dn},...,\frac{d^k u}{dn^k}\right)\right|_G$$

其中$\frac{d}{dn}$是垂直於 $G$ 的導數，而 $k$ 是最大的小於 $s$ 的整數。則$H^s_0$正好是 $P$ 的核。

若$u\in H^s_0(X)$，我們可以一種自然的方式定義它的零延拓$\tilde u \in L^2({\mathbb R}^n)$，也就是

$\tilde u(x)=u(x)$若$x \in X$，否則$\tilde u(x)=0$。

定理：令 $s>\frac{1}{2}$。將 $u$ 變為 $\tilde u$ 的映射是到 $H^s({\mathbb R}^n)$ 中的連續映射，若且唯若 $s$ 不是形為 $n+\frac{1}{2}$（對於某個整數 $n$）。