千禧年大獎難題

千禧年大獎難題（Millennium Prize Problems）是七條由美國的克雷數學研究所（Clay Mathematics Institute，CMI）於2000年5月24日公佈的數學難題，解題總獎金700萬美元。根據克雷數學研究所制定的規則，這系列挑戰不限時間，題解必須發表在知名的國際期刊，並經過各方驗證，只要通過兩年驗證期和專家小組審核，每解破一題可獲獎金100萬美元。

這些難題旨在呼應1900年德國數學家大衛·希爾伯特在巴黎提出的23個歷史性數學難題，經過一百年，約17條難題至少已局部解答。而千禧年大獎難題的破解，極有可能為密碼學、航太、通訊等領域帶來突破性進展。

迄今為止，在七條問題中，龐加萊猜想是唯一已解決的，2003年，俄羅斯數學家格里戈里·佩雷爾曼證明了它的正確性。而其它六道難題仍有待研究者探索。

## 緣起與公佈

2000年5月24日，克雷數學研究所在巴黎的法蘭西公學院召開了巴黎千年會議（Paris Millennium Event）。百多年前的1900年，德國數學家大衛·希爾伯特宣佈了希爾伯特的23個問題，地點正是在巴黎舉行的第二屆國際數學家大會。在二十世紀，對此系列問題的研究極大地推動了數學的發展。出此考慮，克雷數學研究所決定邀請世界上有影響力的數學家參會，並在會上宣佈二十一世紀須解決的七大數學難題。宣佈這些問題前，當天會議首先播放了1930年希爾伯特退休時演講的錄音，包括他的名言：「我們必須知道，我們必將知道。」隨後，美國數學家約翰·泰特登台，依如下順序宣佈了七條問題中的三條：黎曼猜想、貝赫和斯維訥通-戴爾猜想和P/NP問題，並逐一簡單介紹。之後是英國數學家麥可·阿蒂亞演講，介紹剩下四題，分別是龐加萊猜想、霍奇猜想、楊-米爾斯存在性與質量間隙和納維-斯托克斯存在性與光滑性。

這七大難題是由克雷數學研究所的科學顧問委員會（Scientific Advisory Board）在諮詢其他頂尖數學家後共同選出。小組有五位國際數學專家，領導者是美國數學家、哈佛大學教授亞瑟·賈菲，此外還包括解決了費馬大定理的安德魯·懷爾斯、法國數學家阿蘭·科納、數學物理學家愛德華·威滕，以及上述提及過的約翰·泰特和麥可·阿蒂亞。他們旨在記錄當今數學家面對最難的問題，引起大眾對數學研究的注意，強調為難題尋找答案的重要性。問題甄選完成後，克雷數學研究所董事會撥款七百萬美元，為每條問題設立一百萬美元獎金，並寫出授獎規則。

## 獎勵與規則

總計700萬美元的獎金來源於從事投資基金行業的美國商人蘭登·克雷（Landon T. Clay），作為業餘數學愛好者，他在1999年創立了克雷數學研究所，隨即捐出了這筆款項。克雷數學研究所董事會（Board of Directors）將這筆錢設立為千禧年難題的獎金，每題價值一百萬美元。理論上只有該董事會有權授獎。董事會接受研究所科學顧問委員會（Scientific Advisory Board）對得獎人的推薦。

克雷數學研究所規定，任何解題並意在獲獎的研究者，不應把答案直接呈交至研究所，而須先在有國際聲譽的同行評審數學出版物發表完整解答，否則研究所的科學顧問委員會將評定發表方式是否合格。解答須在兩年內獲數學界廣泛接受。若滿足以上條件，科學顧問委員會將成立特別小組以評定獲獎資格，該小組至少有兩位非委員會成員，其中至少一人會完整校驗解答。特別的，對於P/NP問題和納維-斯托克斯問題，證明或證否皆有獲獎資格。至於其他幾條問題，提出反例亦可獲獎，但若原問題在重構後可以剔除特殊情況而不傷本質，提出者可能只獲得一小筆獎金。此外，若多位數學家對題解做出關鍵貢獻，可由多人分享獎金。

## 已解問題

### 龐加萊猜想

在拓撲學，二維球面是緊緻且單連通。通俗地說，意味球面不會無限延伸，並且其上任何閉合的圈都可收緊至一點。龐加萊猜想考慮的是更高維的情況：若閉合三維空間中每條閉曲線都可連續收縮到一點，那麼拓撲地看，這空間是否就是球面。它的數學陳述為：一個單連通三維閉流形同胚於三維球面。這猜想是三維流形的分類問題的核心。1962年，史蒂芬·斯梅爾證明了龐加萊猜想在五維以上的等價結論，四維的情況則在二十年後由麥可·弗里德曼證明，但數學界始終對三維流形束手無策，而人類所處的宇宙是三維流形，更顯出問題重要。

龐加萊猜想的官方陳述由約翰·米爾諾撰寫。

2003年，俄羅斯數學家格里戈里·佩雷爾曼在arXiv貼出了完整證明，先後有兩篇文章，但文字簡略且原創度極強，數學界經過近三年才完成校驗。2006年，多組研究者先後發表論文闡釋了佩雷爾曼的成果，並認定其無誤。由於這一貢獻，國際數學家大會決定授予佩雷爾曼菲爾茲獎，但他本人卻拒絕領獎。2010年3月18日，千禧年大獎正式頒發給佩雷爾曼，但他又一次拒絕領獎，也包括克雷數學研究所的百萬獎金。根據俄羅斯國際文傳電訊社的消息，佩雷爾曼認為此獎不公，他相信哥倫比亞大學數學家理察·哈密頓對這問題的貢獻絲毫不遜於自己。

## 未解問題

### P/NP問題

在理論電腦科學，複雜度類P指所有可由確定型圖靈機在多項式時間內解決的問題，類NP是所有可在多項式時間內驗證解的正確性的問題。這裡所謂「多項式時間」指的是求解演算法運行時間至多是輸入規模的多項式函數例如輸入$n$個數字，演算法從理論上保證在$10n$秒內完成，而不會花去$2^n$秒。粗略說，P類問題是可以在電腦上快速求解的問題，而對NP問題則可快速確定某個可能的解是否正確。可以看出P類問題也是NP類問題，而兩者是否完全相等便是P/NP問題，即是否所有NP類問題都是P類問題，擁有多項式時間的求解演算法。P/NP不單是抽象的數學難題；若得以解決，它在運籌學和密碼學等應用領域也將有重大影響，此外還被認為有特別的哲學意義。

2001年一項針對100名數學和電腦科學家的調查發現其中61人相信P≠NP，2012年調查者重複同一問卷發現84%受訪者相信P≠NP，在可能的解決方法上，他們給出了組合數論、邏輯學和代數幾何等答案。在研究方面，對P/NP問題的重大進展來自1970年代史蒂芬·庫克和列奧尼德·列文的成果，他們證明存在這樣一類問題，若能對任意一條NP問題找到多項式時間的求解演算法，那麼所有NP問題都是多項式時間可解的。他們將此類命題命名為NP完全問題。而對P/NP難題最近一次引起大量討論的嘗試來自惠普實驗室的印度科學家維奈·地奧萊里卡（Vinay Deolalikar）在2010年8月網上發表長達100頁的論文，宣稱證明了P≠NP，在電腦科學和數學界的一番討論和校閱，尼爾·伊莫爾曼等人發現論文有致命錯誤。

P/NP問題的官方陳述由史蒂芬·庫克撰寫。

### 霍奇猜想

數學的一大分支代數幾何的中心研究對象是代數簇，簡言之它是由代數方程產生的代數對象，是幾何對象的推廣，人們所熟知的任何幾何對象（如圓）都是一個代數簇，但並非所有代數簇都是幾何的、可以直觀描繪的。在此猜想中，代數幾何學家關心的是非奇異射影代數簇，粗略而言它是一面光滑的多維曲面，由代數方程解定義產生正如一個圓心在原點的球面可由$x^2+y^2+z^2=1$定義的那樣。霍奇猜想所說的是在這種「形狀完美」的代數簇上，本可能不是幾何對象的霍奇閉鏈（Hodge cycle）卻是由名為代數閉鏈的幾何對象組成的。其嚴謹的數學表述為：在非奇異復射影代數簇上，任何一條霍奇閉鏈都可以表示為代數閉鏈類的有理線性組合。誠然，霍奇猜想中的數學名詞可說是令人生畏，在七大千年難題中，它也被認為是對非專業人士而言最難理解的一個。然而霍奇猜想的證明將為代數幾何、拓撲學和數學分析三個領域建立一種基本的聯繫，因此具有重大意義。

蘇格蘭數學家威廉·霍奇在1950年公佈猜想後不久，唐納德·斯賓塞和小平邦彥就證明了其中一種簡單情況。近年來的研究方向分為兩支：美國數學家菲利普·格里菲斯等人嘗試將這一猜想化約為霍奇類導出的多元可容正規函數（admissible normal function）的奇點（singularities）存在性問題，克萊爾·瓦贊則力圖在算術簇上證明霍奇猜想。大體而言，霍奇猜想的證明仍然難見突破，它甚至被稱為是漫無邊際的猜測，暫時沒有有力證據表明霍奇的直覺正確。

霍奇猜想的官方陳述由皮埃爾·德利涅撰寫。

### 黎曼猜想

數論分支解析數論的一大研究主題是素數分佈。1740年瑞士數學家歐拉研究了如下用希臘字母$\zeta$命名的函數：

$$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty n^{-s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots \;\;\;\;\;\;\; \!$$

用一種與埃拉托斯特尼篩法頗有相通之處的證明法，他證明了對於任意$s>1$。

$$\zeta(s) = \frac{1}{\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{5^s}\right)\left(1-\frac{1}{7^s}\right)\left(1-\frac{1}{11^s}\right) \ldots } = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}$$

此處$p$為全體素數。這稱歐拉乘積公式的等式標誌解析數論的肇始，它表明ζ函數與素數有著隱約而緊密的關係。19世紀的德國數學家黎曼對這一函數的性質做出了更深入的研究，他證實了通過解析延拓，$\zeta$函數可以被定義在複數域。由於他是認識到這一點第一人，此函數通常稱黎曼ζ函數。在1859年的論文中，黎曼首先觀察到ζ函數在負偶數上有零點，它們稱「平凡零點」，在注意到一些規律後，他猜測ζ函數所有非平凡零點的實數部分均為1/2，也即ζ函數非平凡解都位於直線$\frac{1}{2}+t\mathbf{i}$（「臨界線」）上，這便是黎曼猜想。為數不少的數學命題以黎曼猜想成立為前提，其在數學上的影響力已遠超素數分佈模式一點。它還對密碼學和物理學意義重大。

黎曼猜想是千禧年七大難題和希爾伯特的23個問題唯一一條共同問題，是150年來一直吸引數學家的難題，對它的研究極大推動了解析數論發展。有分析和數值方面證據支持黎曼猜想正確。例如，1914年哈代證明了ζ函數有無限多個零點的實部等於1/2，1989年布萊恩·康瑞（Brian Conrey）證明了ζ函數全部零點中有2/5位於臨界線上，2012年這結果提升到41.28%。2004年，數學家通過電腦驗證了ζ函數前1013個零點，沒有找到黎曼猜想反例，但這些離真正證明黎曼猜想仍相去甚遠。

黎曼猜想的官方陳述由恩里科·邦別里撰寫。

### 楊-米爾斯存在性與質量間隙

在物理學，楊-米爾斯理論是基於非阿貝爾群的量子規範理論。20世紀初，物理學家期待量子理論和經典場論兩種思想可以融合。在這一方向上，最早出現的理論是英國物理學家保羅·狄拉克1927年創立的量子電動力學，簡稱QED，它提供了對電磁現象的量子描述，成為麥克斯韋理論的一個量子版本，能極為精確地解釋電磁場和電磁力。自然而然，物理學家期待後續的理論能將電磁現象與弱力和強力一道統一起來。1954年楊振寧和羅伯特·米爾斯提出了楊-米爾斯理論，它是對QED的進一步推廣。在此基礎上統一電磁力和強弱相互作用時，物理學家發現這一理論的「無質量性」成為癥結所在。經典楊-米爾斯理論的核心是一組非線性偏微分方程，楊-米爾斯存在性與質量間隙難題旨在證明楊-米爾斯方程組有唯一解，並且該解滿足「質量間隙」這特徵，其官方表述為：對任意緊緻、單的規範群，四維歐幾里得空間中的量子楊-米爾斯理論存在一個正的質量間隙。質量間隙問題是量子動力學理解強相互作用的理論關鍵，關乎理論物理學的數學基礎，其解決將意味著一個數學上完整的量子規範場論的產生。

這問題的解決前景不甚樂觀，愛德華·威滕也直言「（它）對現在而言實在太難。」物理學家普遍相信質量間隙存在，但至今未能找到確鑿的數學和物理學證明。

楊-米爾斯存在性與質量間隙問題的官方陳述由亞瑟·賈菲和愛德華·威滕撰寫。

### 納維-斯托克斯存在性與光滑性

在流體力學，納維-斯托克斯方程描述了包括空氣和水在內的流體的運動。該方程組早在1821年便由法國工程師克勞德-路易·納維發現了，他通過引入黏度的概念而推廣了17世紀建立的歐拉方程，隨後愛爾蘭數學家喬治·斯托克斯又對其多次完善。長久以來，數學家和物理學家相信對此方程的解能解釋和預測流體行爲，但至今對它的理解也頗爲有限。具體說來，對$i=1,2,3$，都有如下納維-斯托克斯方程。

$\frac{\partial v_i}{\partial t} +\sum_{j=1}^{3}v_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j}= -\frac{\partial p}{\partial x_i} + \nu\sum_{j=1}^{3}\frac{\partial^2 v_i}{\partial x_j^2} +f_i(\boldsymbol{x},t)$。

其中$\nabla\cdot \mathbf{v} = 0$。而欲解的未知數是速度向量$\mathbf{v}(\boldsymbol{x},t)$和流體壓力$p(\boldsymbol{x},t)$。納維-斯托克斯存在性與光滑性問題要求解答者證明該方程存在光滑的解。

在此問題上數學家已取得了部分成果。1934年，讓·勒雷證明了方程弱解的存在性，該解滿足方程均值，在每一點上則不一定。另外，給定初始條件，總能找到一個正數$T$，使方程在$[0,T)$的時間段上可解，這正數也稱「爆裂時間」（blowup time）；只是一般而言由於$T$實在太小，這些解未必有用。陶哲軒在2014年2月發表了一項關於三維納維-斯托克斯方程均值版本的爆裂時間的新成果。

納維-斯托克斯存在性與光滑性問題的官方陳述由查爾斯·費夫曼撰寫。

### 貝赫和斯維訥通-戴爾猜想

在數論和代數幾何，由形如$y^2 = x^3 + ax + b$的等式定義、且沒有奇點的曲線稱橢圓曲線。橢圓曲線是數論研究的重要領域，例如安德魯·懷爾斯對費馬大定理的證明的關鍵便是橢圓曲線。它在密碼學和數據傳輸上也均有應用。在此一問題上，數學家關心給定一橢圓曲線，其有多少個有理解，即有多少組有理數對$(x,y)$滿足橢圓曲線方程。這一問題與該曲線對應的哈瑟-韋伊L函數 $L(C,s)$密切相關。基於電腦的數值依據，數學家布萊恩·貝赫和彼得·斯維訥通-戴爾猜想，一橢圓曲線$C$有無窮多有理解，當且僅當$L(C,s)$在$s=1$時取0。

有大量數值依據表明猜想正確。而在1994年前該猜想是否有意義都不甚明確，當時的數學家並不知是否存在一個合適的$L(C,s)$函數，使得對所有的$s$都有一個答數，這猜想直到1994年才作爲谷山-志村定理一個特殊形式被解決。近年來此問題進展不多，特別是對於橢圓曲線秩大於1的情況，數學家所知甚少。

貝赫和斯維訥通-戴爾猜想的官方陳述由安德魯·懷爾斯撰寫。

## 外部連結

- The Millennium Prize Problems