射流 (數學)

射流，也稱節（Jet）在數學中是指取一個可微函數f並在其定義域的每一點產生一個多項式，也就是f的截尾泰勒多項式的操作。雖然這是一個射流的定義，射流理論將這些多項式作為抽象多項式而不是多項式函數。

## 歐氏空間之間的函數的射流

在給出一個射流的嚴格定義之前，有必要查看一些特殊情況。

### 例：一維情況

設$f: {\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R}$是實值函數，在點$x_0$的領域U有至少k+1階導數。那麼根據泰勒定理。

$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots+\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^{k}+\frac{R_{k+1}(x)}{(k+1)!}(x-x_0)^{k+1}$$

其中

$$|R_{k+1}(x)|\le\sup_{x\in U} |f^{(k+1)}(x)|.$$

那麼f在點$x_0$的k-射流定義為多項式

$$(J^k_{x_0}f)(z)=f(x_0)+f'(x_0)z+\cdots+\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}z^k.$$

射流通常視為變量z的抽象多項式，而不是一個該變量實際的多項式函數。換言之，z是一個不定變量，這使得我們可以在射流上施行各種代數操作。實際上，射流是從基點$x_0$得到它們的函數依賴關係。這樣，通過變換基點，一個射流在每一點產生了一個k次多項式。這標誌著射流和截尾泰勒級數的概念上的區別：通常泰勒級數被視為函數式地依賴於它的變量，而非其基點。另一方面，射流將泰勒級數的代數屬性和它們的函數屬性分離開來。我們將在本條目後面討論該區別的原因和應用。

### 例：從歐氏空間到另一個歐氏空間的映射

假設$f:{\mathbb R}^n\rightarrow{\mathbb R}^m$是從一個歐氏空間到另一個的一個函數，有至少(k+1)階導數。本例中，推廣的泰勒定理斷言

$$f(x)=f(x_0)+(Df(x_0))\cdot(x-x_0)+\frac{1}{2}(D^2f(x_0))\cdot (x-x_0)^{\otimes 2}+\cdots+\frac{D^kf(x_0)}{k!}\cdot(x-x_0)^{\otimes k}+\frac{R_{k+1}(x)}{(k+1)!}\cdot(x-x_0)^{\otimes (k+1)}$$

這個情況下，f的k-射流定義為多項式

$$(J^k_{x_0}f)(z)=f(x_0)+(Df(x_0))\cdot z+\frac{1}{2}(D^2f(x_0))\cdot z^{\otimes 2}+\cdots+\frac{D^kf(x_0)}{k!}\cdot z^{\otimes k}$$

### 例：射流的代數屬性

射流可以加上兩種基本的代數結構。第一個是乘積結構，雖然這最後是最不重要的。第二個是射流的複合結構。

若$f,g:{\mathbb R}^n\rightarrow {\mathbb R}$是一對實值函數，則我們可以定義它們的射流的積為

$J^k_{x_0}f\cdot J^k_{x_0}g=J^k(f\cdot g)$.

這裡，我們略去了不定變量z，因為可以將射流理解為形式化多項式。這個乘積就是z上的普通多項式的乘積，以$z^{k+1}$為模。換言之，它是在環${\mathbb R}[z]/(z^{k+1})$上的乘積，其中$(z^{k+1})$是由次數≥ k+1的齊次多項式生成的理想。

現在討論射流的複合。為避免不必要的技術細節，我們考慮從原點映射到原點的函數的射流。若$f:{\mathbb R}^m\rightarrow{\mathbb R}^\ell$和$g:{\mathbb R}^n\rightarrow{\mathbb R}^m$滿足f(0)=0和g(0)=0，則$f\circ g:{\mathbb R}^n\rightarrow{\mathbb R}^\ell$。射流的複合定義為$$J^k_0 f\circ J^k_0 g=J^k_0 (f\circ g).$$ 它可以用鏈式法則直接證明構成一個原點的射流空間上的非交換操作。

實際上，k-射流的複合不過就是多項式的複合，以次數$>k$的齊次多項式為模。

例:

- 在一維，令$f(x)=\log(1-x)$而$g(x)=\sin\,x$。則

$$(J^3_0f)(x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}$$

$$(J^3_0g)(x)=x-\frac{x^3}{6}$$

且

$$(J^3_0f)\circ (J^3_0g)=-\left(x-\frac{x^3}{6}\right)-\frac{1}{2}\left(x-\frac{x^3}{6}\right)^2-\frac{1}{3}\left(x-\frac{x^3}{6}\right)^3\ \ (\hbox{mod}\ x^4)$$

$$=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}$$

## 歐氏空間一點的射流：嚴格定義

本節集中描述在一點的一個函數的射流的兩種不同的嚴格定義，之後討論泰勒定理。這些定義在給出在兩個流形之間的射流的內蘊定義中是很有用的。

### 解析定義

如下的定義採用了數學分析中定義射流和射流空間的思想。它可以推廣到巴拿赫空間之間的光滑函數、實或復域之間的解析函數、p進分析、或是其它的分析領域。

令$C^\infty({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)$為光滑函數$f:{\mathbb R}^n\rightarrow {\mathbb R}^m$的向量空間。令k為非負整數，並令p為${\mathbb R}^n$的一點。我們在該空間定義一個等價關係$E_p^k$，也就是令兩個函數f和g等價如果f和g在p有相同的值，並且所有它們的偏導數等價到k階，若f和g在p數值相同，並且它們直到p階的偏導數全部相同。

k階射流空間$C^\infty({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)$在點p定義為$E^k_p$的等價類集合，並記為$J^k_p({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)$。

光滑函數$f\in C^\infty({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)$的k階射流定義為f在$J^k_p({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)$中所屬的等價類。

### 代數幾何定義

如下定義採用代數幾何和交換代數中的思想來建立射流和射流空間的概念。雖然這個定義不太適合代數幾何本身，因為它屬於光滑範疇，但也很容易修改為適合代數幾何的使用的形式。

令$C^\infty({\mathbb R}^n_p,{\mathbb R}^m)$為光滑函數$f:{\mathbb R}^n\rightarrow {\mathbb R}^m$在${\mathbb R}^n$中的點p的芽的向量空間。令${\mathfrak m}_p$為在p為零的函數的理想。(這是局部環 $C^\infty({\mathbb R}^n_p,{\mathbb R}^m)$的極大理想。)則理想${\mathfrak m}_p^{k+1}$由所有在點p直到k階導數全部為零的函數的芽組成。現在我們可以定義p點的射流空間為

$$J^k_p({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)=C^\infty({\mathbb R}^n_p,{\mathbb R}^m)/{\mathfrak m}_p^{k+1}$$

若$f:{\mathbb R}^n\rightarrow {\mathbb R}^m$為光滑函數，我們可以定義f在p的k階射流為$J^k_p({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)$的如下元素

$$J^k_pf=f\ (\hbox{mod}\ {\mathfrak m}_p^{k+1})$$

### 泰勒定理

不管怎樣定義，泰勒定理建立了向量空間$J^k_p({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)$和${\mathbb R}^m[z]/(z^{k+1})$之間的標準同構。所以，在歐氏空間的範圍中，射流通常可以和它們的多項式表示在這個同構下等同起來。

### 從一點到一點的射流空間

我們定義了位於一點$p\in {\mathbb R}^n$的射流的空間$J^k_p({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)$由所有f(p)=q的函數f的射流組成的子空間記為

$$J^k_p({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)_q=\left\{J^kf\in J^k_p({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)|f(p)=q\right\}$$

## 兩個流形間的函數的射流

若M和N是兩個光滑流形，我們如何定義函數$f:M\rightarrow N$的射流?也許可以通過M和N上的局部坐標來定義。這個方法的缺點是流形不能在這種方式下以等變的形式來定義。射流不像張量那樣變換。實際上，兩個流形間的函數的射流屬於一個射流叢。

本節先引入從實直線到流形的函數的射流的概念。然後，證明這樣的射流構成一個纖維叢，和切叢類似，它也是一個射流叢的一個伴隨叢。接下來，討論定義兩個光滑流形間的函數的射流的問題。在整節中，我們全部採用分析方法。雖然代數幾何方法在很多應用中更合適，因其過於微妙不便於在此系統論述。細節請參看射流 (代數幾何)。

### 從實直線到流形的函數的射流

假設M為一個光滑流形，p為其中一點。我們來定義穿過p的曲線的射流，我們所指的曲線也即使得f(0)=p的光滑函數$f:{\mathbb R}\rightarrow M$。定義一個等價關係$E_p^k$如下。令f和g為一對穿過p的曲線。我們稱f和g在p為k階等價，如果存在p的某個鄰域U，使得對於每個光滑函數$\varphi : U \rightarrow {\mathbb R}$, $J^k_0 (\varphi\circ f)=J^k_0 (\varphi\circ g)$。注意，這些射流是定義良好的，因為複合函數$\varphi\circ f$和$\varphi\circ g$只是從實直線到自身的映射而已。該等價關係有時稱為在點p的曲線的k階相切。

現在我們定義k階射流空間$J^k_0({\mathbb R},M)_p$為在$E^k_p$關係下穿過p的曲線構成的等價類。曲線f穿過p的k階射流定義為f所屬的等價類，記為$J^kf$ or $J^k_0f$。

這構成了一個實向量空間。隨著p在M中變化，$J^k_0({\mathbb R},M)_p$構成了M上的一個纖維叢:k階切叢，經常記為TkM （雖然這個記號有時會導致混淆）。在k=1時，一階切叢就是通常的切叢：T1M=TM。

要證明TkM實際上構成一個纖維叢，我們需要查看一下$J^k_0({\mathbb R},M)_p$在局部坐標中的屬性。令(xi)= (x1,...,xn)為M在p的鄰域U中的一個局部坐標系。稍微濫用記號一下，我們可以視(xi)為一個局部微分同胚$(x^i):M\rightarrow\R^n$。

斷言：穿過p的兩條曲線f和g以$E_p^k$為模等價，若且唯若$J^k_0\left((x^i)\circ f\right)=J^k_0\left((x^i)\circ g\right)$在p的某個鄰域$U \subset V$上成立。

顯然，僅當這部分很清楚，因為這n的函數x1,...,xn的每一個都是從M到${\mathbb R}$的光滑函數。所以按照等價關係$E_p^k$的定義，兩個等價曲線必須滿足$J^k_0(x^i\circ f)=J^k_0(x^i\circ g)$。

反過來，假設φ是一個M上在p的一個鄰域內的光滑實值函數。因為每個光滑函數有一個局部坐標表達式，我們可以將φ表達為坐標的函數。精確地講，假設Q是M中接近 p的一點，則

$$\varphi(Q)=\psi(x_1(Q),\dots,x_n(Q))$$

對於某個n個實變量的光滑實值函數ψ成立。因此，對於穿過p的曲線f和g，我們有

$$\varphi\circ f=\psi(x_1\circ f,\dots,x_n\circ f)$$

$$\varphi\circ g=\psi(x_1\circ g,\dots,x_n\circ g)$$

從鏈式法則即可得到斷言中當的部分。例如，若f和g是實變量t的函數，則

$$\left. \frac{d}{dt} \left( \psi\circ f \right) (t) \right|_{t=0}= \sum_{i=1}^n\left.\frac{d}{dt}(x_i\circ f)(t)\right|_{t=0}\ (D_i\psi)\circ f(0)$$

這和同樣的表達式中用g代替f計算有相同的值，因為f(0)=g(0)=p並且f和g在坐標系(xi)中k階相切。

因此，這個表面上的纖維叢TkM確實有每個坐標鄰域中的局部平凡化。至此，要證明這個表面上的纖維叢是真正的纖維叢，只需證明它在坐標變換下有非奇異的變換函數。令$(y^i):M\rightarrow{\mathbb R}^n$為一個不同的坐標系，並令$\rho=(x^i)\circ (y^i)^{-1}:{\mathbb R}^n\rightarrow {\mathbb R}^n$為相伴隨的從歐氏空間到自身的坐標變換微分同胚。通過${\mathbb R}^n$的仿射變換，我們可以不失一般性地假設ρ(0)=0。在該假設下，只要證明$J^k_0\rho:J^k_0({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^n)\rightarrow J^k_0({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^n)$是射流複合下的可逆變換即可。（參看射流群。）但是由於ρ是微分同胚，$\rho^{-1}$也是光滑映射。因而。

$$I=J^k_0I=J^k_0(\rho\circ\rho^{-1})=J^k_0(\rho)\circ J^k_0(\rho^{-1})$$

這表明$J^k_0\rho$是非奇異的。而且，它是光滑的，雖然我們這裡並不需要利用這一點。

直觀的來講，這意味著我們可以用M上的局部坐標中的泰勒級數來表達一個曲線的射流。

局部坐標中的例子：

- 如前所示，通過p的一條曲線的1階射流就是一個切向量。在p的一個切向量就是一個一階微分算子，它作用於p點的光滑實值函數。在局部坐標中，每個切向量有如下形式

$$v=\sum_iv^i\frac{\partial}{\partial x^i}$$

給定這樣的一個切向量v，令f為在坐標系xi中用$x^i\circ f(t)=tv^i$給定的曲線。若φ是p的一個鄰域中的光滑函數，且φ(p)=0，則

$$\varphi\circ f:{\mathbb R}\rightarrow {\mathbb R}$$

是一個光滑實值單變量函數，其1階射流如下

$J^1_0(\varphi\circ f)(t)=tv^i \frac{\partial f}{\partial x^i}(p)$.

這表明，可以自然地將切向量和過該點的曲線的1階射流等同起來。

- 過一點的曲線的二階射流。

在以點p為中心的局部坐標系xi中，我們可以將曲線f(t)的二階泰勒多項式表達如下

$$x^i(t)=t\frac{dx^i}{dt}(0)+\frac{t^2}{2}\frac{d^2x^i}{dt^2}.$$

所以在這個x坐標系中，過p的曲線的2階射流可以等同為一個實數的列表$(\dot{x}^i,\ddot{x}^i)$。和且向量（曲線的1階射流）一樣，2階射流在坐標變換函數作用下的某種變化法則。

令(yi)為另一坐標系。按鏈式法則。

$$\frac{d}{dt}y^i(x(t))=\frac{\partial y^i}{\partial x^j}(x(t))\frac{dx^j}{dt}(t)$$

$$\frac{d^2}{dt^2}y^i(x(t))=\frac{\partial^2 y^i}{\partial x^j\partial x^k}(x(t))\frac{dx^j}{dt}(t)\frac{dx^k}{dt}(t)+\frac{\partial y^i}{\partial x^j}(x(t))\frac{d^2x^j}{dt^2}(t)$$

因此，變換通過在t=0計算如下兩個表達式給出。

$$\dot{y}^i=\frac{\partial y^i}{\partial x^j}(0)\dot{x}^j$$

$$\ddot{y}^i=\frac{\partial^2 y^i}{\partial x^j\partial x^k}(0)\dot{x}^j\dot{x}^k+\frac{\partial y^i}{\partial x^j}(0)\ddot{x}^k.$$

注意，二階射流的變化法則在坐標變換函數中是二階的。

### 從流形到流形的函數的射流

現在可以定義從流形到流形的函數的射流了。

設M和N為兩個光滑流形。令p為M一點。考慮由定義在p的某個鄰域中的光滑映射$f:M\rightarrow N$組成的空間$C^\infty_p(M,N)$。在$C^\infty_p(M,N)$上定義一個等價關係$E^k_p$如下。兩個映射f和g稱為等價的，若對於每條穿過p的曲線γ（按此處常規，這表示一個使得$\gamma(0)=p$的映射$\gamma:{\mathbb R}\rightarrow M$）我們在p的某個領域上有$J^k_0(f\circ \gamma)=J^k_0(g\circ \gamma)$。

$J^k_p(M,N)$的射流空間則定義為$C^\infty_p(M,N)$以等價關係$E^k_p$為模的等價類的集合。注意，因為目標空間N不需要有代數結構，$J^k_p(M,N)$也可以沒有這樣的結構。也就是說，這和歐氏空間的情形實際上形成鮮明的對比。

若$f:M\rightarrow N$是定義在p附近的光滑函數，則我們定義f在p的k階射流$J^k_pf$為f以$E^k_p$為模所屬的等價類。

## 截面的射流

本節討論向量叢的局部截面的射流的概念。所有本節的內容可以在做適當的改動後推廣到纖維叢、巴拿赫流形上的巴拿赫叢、纖維化流形、或者概形上的准一致層的局部截面的情況。而且，這些例子只是可以作的推廣的一部分而已。

設E為流形M上的有限維光滑向量叢，其投影為$\pi:E\rightarrow M$。則E的截面為滿足$\pi\circ s$為M上的恆等自同構的光滑函數$s:M\rightarrow E$。截面s在p的一個鄰域上的射流就是從M到E的光滑函數在點p的射流。

這些在點p的射流的空間記為$J^k_p(M,E)$。雖然這個記法可能會和更一般的兩個流形間的函數的射流空間造成混淆，上下文通常可以消除這種歧義。

和從流形到另一流形的函數的射流不同，在p的截面的射流有繼承自截面本身的向量空間結構的向量空間結構。隨著p在M上變化，射流空間$J^k_p(M,E)$形成一個M上的叢，也就是E的k階射流叢，記為Jk(E)。

- 例：切叢的一階射流叢。

我們採用一點的局部坐標。考慮一個向量場

$$v=v^i(x)\partial/\partial x^i$$

在M中點p的一個鄰域。v的一階射流可以通過取向量場的係數的一階泰勒多項式得到：

$$v^i(x)=v^i(0)+x^j\frac{\partial v^i}{\partial x^j}(0)=v^i+v^i_jx^j$$

在這個x坐標中，在一點的1階射流可以和實數的列表$(v^i,v^i_j)$等同起來。這和將一點的切向量和列表(vi)等同起來是一樣的。在特定的坐標變換的變換法則之下，我們必須知道該變換如何影響這個列表$(v^i,v^i_j)$。

因此我們考慮變換到另一個坐標系yi時所需的變化。令wk為向量場v在y坐標中的表示。則在y坐標系中，v的一階射流是新的實數列表$(w^i,w^i_j)$。因為

$$v=w^k(y)\partial/\partial y^k=v^i(x)\partial/\partial x^i,$$

我們有

$$w^k(y)=v^i(x)\frac{\partial y^k}{\partial x^i}(x).$$

所以

$$w^k(0)+y^j\frac{\partial w^k}{\partial y^j}(0)=\left(v^i(0)+x^j\frac{\partial v^i}{\partial x^j}\right)\frac{\partial y^k}{\partial x^i}(x)$$

用泰勒級數展開，我們有

$$w^k=\frac{\partial y^k}{\partial x^i}(0) v^i$$

$$w^k_j=v^i\frac{\partial^2 y^k}{\partial x^i\partial x^j}+v_j^i\frac{\partial y^k}{\partial x^i}.$$

注意變換法則在坐標變換函數中也是二階的。

### 向量叢之間的微分算子

參看微分算子#坐標無關表述。