自然對數

自然對數（Natural logarithm）為以數學常數$e$為底數的對數函數，標記作$\ln x$或$\log_e x$，其反函數為指數函數$e^x$。根據微積分學，某函數之定義域為其反函數之值域，反之其值域為其反函數之定義域。因$e^x$的值域為$(0,\infty)$，且其為$\ln x$之反函數，故可知$\ln x$之定義域為$(0,\infty)$，即$\ln x$在非正實數系無法定義。

自然對數積分定義為對任何正實數$x$，由$1$到$x$所圍成，$xy=1$曲線下的面積。如果$x$小於1，則計算面積為負數。

$$\ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}\,$$

$e$則定義為唯一的實數$x$使得$\ln x = 1$。

自然對數一般表示為$\ln x\!$，數學中亦有以$\log x\!$表示自然對數。若要避免與底為10的常用對數 $\log x\!$ 混淆，可用「全寫」 $\log_{\boldsymbol{e}} x\!$。

## 歷史

### 十七世紀

約翰·納皮爾在1614年以及約斯特·比爾吉在6年後，分別發表了獨立編制的對數表，當時通過對接近1的底數的大量乘冪運算，來找到指定範圍和精度的對數和所對應的真數。當時還沒出現有理數冪的概念，按後世的觀點，約翰·納皮爾的底數0.999999910000000相當接近$\frac{1}{e}$，而約斯特·比爾吉的底數1.000110000相當接近自然對數的底數$e$。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，約翰·納皮爾用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，亨利·布里格斯建議納皮爾改用10為底數未果，他用自己的方法

$10^{\frac{1}{2^{54}}}$

於1624年部份完成了常用對數表的編制。

形如$f(x)=x^p$的曲線都有一個代數反導數，除了特殊情況$p=-1$對應於雙曲線的弓形面積，即雙曲線扇形；其他情況都由1635年發表的卡瓦列里弓形面積公式給出

$$\int_0^a x^n\,dx = \tfrac{1}{n+1}\, a^{n+1} \qquad n \geq 0,$$

$$\int x^n\,dx = \tfrac{1}{n+1}\, x^{n+1} + C \qquad n \neq -1.$$

其中拋物線的弓形面積由公元前3世紀的阿基米德完成（拋物線的弓形面積），雙曲線的弓形面積需要發明一個新函數。1647年聖文森特的格列高利將對數聯繫於雙曲線$xy=1$的弓形面積，他發現x軸上$[a,b]$兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形同$[c,d]$對應的扇形，在$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$時面積相同，這指出了雙曲線從$x=1$到$x=t$的積分$f(t)$滿足：

$$f(tu) = f(t) + f(u)\,$$

1649年，薩拉薩的阿爾豐斯·安東尼奧將雙曲線下的面積解釋為對數。大約1665年，伊薩克·牛頓推廣了二項式定理，他將$\frac{1}{1+x}$展開並逐項積分，得到了自然對數的無窮級數。「自然對數」最早描述見於尼古拉斯·麥卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中，他也獨立發現了同樣的級數，即自然對數的麥卡托級數。

### 十八世紀

大約1730年，歐拉定義互為逆函數的指數函數和自然對數為

$$\int_1^a x^n\,dx = \tfrac{1}{n+1} (a^{n+1} - 1) \qquad n \neq -1.$$

$$\begin{align} \ln(x) &=\lim_{n \rightarrow \infty} n(x^{1/n} - 1) \\ &=\lim_{n \rightarrow -1} \tfrac{1}{n+1} (x^{n+1} - 1) \\ \end{align}$$

$$e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n,$$

$$\ln(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} n\left(x^{\frac{1}{n}} - 1\right)$$

1742年威廉·瓊斯發表了現在的冪指數概念

$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^x=\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right)^{\frac {x}{n}}$。

## 形式定義

歐拉定義自然對數為序列的極限：

$$\ln(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} n\left(x^{\frac{1}{n}} - 1\right).$$

$\ln (a)$正式定義為積分。

$$\ln(a)=\int_1^a \frac{1}{x}\,dx.$$

這個函數為對數是因滿足對數的基本性質:

$$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b). \,\!$$

這可以通過將定義了$\ln(ab)$的積分拆分為兩部份，並在第二部份中進行換元$x=ta$來證實:

$$\ln (ab) = \int_1^{ab} \frac{1}{x} \; dx = \int_1^a \frac{1}{x} \; dx \; + \int_a^{ab} \frac{1}{x} \; dx =\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{at} \; d(at)$$

$$=\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{t} \; dt = \ln (a) + \ln (b).$$

冪公式$\ln (t^r)=r\ln (t)$可如下推出:

$$\ln(t^r) = \int_1^{t^r} \frac{1}{x}dx = \int_1^t \frac{1}{u^r} d\left(u^{r}\right) = \int_1^t \frac{1}{u^r} \left(ru^{r - 1} \, du\right) = r \int_1^t \frac{1}{u} \, du = r \ln(t).$$

第二個等式使用了換元$u=x^{\frac{1}{r}}$。

自然對數還有在某些情況下更有用的另一個積分表示：

$$\ln(x) = -\lim_{\epsilon \to 0} \int_\epsilon^\infty \frac{dt}{t}\left( e^{-xt} - e^{-t} \right).$$

## 性質

- $$\ln(1) =\int_1^1 \frac{1}{t}\,dt=0 \,$$
- $$\operatorname{ln}(-1) = i \pi \,$$

(參見複數對數)

- $$\ln(x) < \ln(y) \quad{\rm for}\quad 0 < x < y \,$$
- $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \,$$
- $$\ln(x^y) = y \, \ln(x) \,$$
- $$\frac{x-1}{x} \leq \ln(x) \leq x-1 \quad{\rm for}\quad x > 0 \,$$
- $$\ln{( 1+x^\alpha )} \leq \alpha x \quad{\rm for}\quad x \ge 0, \alpha \ge 1 \,$$

證明$$\lim_{h \to 0} \frac{\ln(1+h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(1+h)-\ln 1}{h} = \frac{d}{dx} \ln x \Bigg|_{x=1} = 1$$

## 導數

自然對數的導數為

$$\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}.\,$$

證明一（微積分第一基本定理）:$\frac{d}{dx} \ln(x)=\frac{d}{dx} \int_1^x \frac{1}{t}\,dt = \frac{1}{x}$

證明二：按此影片

$$\frac{d}{dx} \ln (x) =\lim_{h \to 0} \frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h}$$

$$=\lim_{h \to 0} \frac{\ln(\frac{x+h}{x})}{h}$$

$$=\lim_{h \to 0} \left[ \frac{1}{h} \ln\left( 1 + \frac{h}{x} \right)\right]\quad$$

$$= \lim_{h \to 0} \ln\left( 1 + \frac{h}{x} \right)^\frac{1}{h}$$

設$u=\frac{h}{x} \Rightarrow ux=h$

$$\frac{1}{h}=\frac{1}{ux}$$

$$\frac{d}{dx} \ln (x)=\lim_{u \to 0} \ln (1+u)^\frac {1}{ux}$$

$$=\lim_{u \to 0}\ln\left[(1+u)^\frac{1}{u} \right]^\frac{1}{x}$$

$$=\frac{1}{x} \lim_{u \to 0} \ln(1+u)^\frac {1}{u}$$

設$n=\frac{1}{u} \Rightarrow u=\frac{1}{n}$

$$\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x} \lim_{n \to \infty} \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$$

$$=\frac{1}{x} \ln \left [ \lim_{n \to \infty}\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \right ]$$

$$=\frac{1}{x} \ln e$$

$$=\frac {1}{x}$$

用自然對數定義的更一般的對數函數，$\log_b(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(b)}$，根據其逆函數即一般指數函數的性質，它的導數為：

$$\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x\ln(b)}.$$

根據鏈式法則，以$f(x)$為參數的自然對數的導數為

$$\frac{d}{dx} \ln[f(x)] = \frac{f'(x)}{f(x)}.$$

右手端的商叫做$f$的對數導數，通過$\ln(f(x))$的導數的方法計算$f'(x)$叫做對數微分。

## 冪級數

自然對數的導數性質導致了$\ln(1+x)$在0處的泰勒級數，也叫做麥卡托級數：

$$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$$

對於所有$\left|x\right| \leq 1,$但不包括$x = -1.$

把$x-1$代入$x$中，可得到$\ln(x)$自身的級數。通過在麥卡托級數上使用歐拉變換，可以得到對絕對值大於1的任何$x$有效的如下級數:

$$\ln{x \over {x-1}} = \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n x^n}} = {1 \over x}+ {1 \over {2x^2}} + {1 \over {3x^3}} + \cdots \,.$$

這個級數類似於貝利-波爾溫-普勞夫公式。

還要注意到$x \over {x-1}$是自身的逆函數，所以要生成特定數$y$的自然對數，簡單把$x \over {x-1}$代入$x$中。

$$\ln{x} = \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n}} \left( {x - 1 \over x} \right)^n = \left( {x - 1 \over x} \right) + {1 \over 2} \left( {x - 1 \over x} \right)^2 + {1 \over 3} \left( {x - 1 \over x} \right)^3 + \cdots \,$$

對於$\operatorname{Re} (x) \geq \frac12 \,.$

自然數的倒數的總和

$$1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k},$$

叫做調和級數。它與自然對數有密切聯繫：當$n$趨於無窮的時候，差

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n),$$

收斂於歐拉-馬歇羅尼常數。這個關係有助於分析演算法比如快速排序的性能。

## 積分

自然對數通過分部積分法積分:

$$\int \ln (x) \,dx = x \ln (x) - x + C.$$

假設:

$$u = \ln(x) \Rightarrow du = \frac{dx}{x}$$

$$dv = dx \Rightarrow v = x\,$$

所以:

$$\begin{align} \int \ln (x) \,dx & = x \ln (x) - \int \frac{x}{x} \,dx \\ & = x \ln (x) - \int 1 \,dx \\ & = x \ln (x) - x + C \end{align}$$

自然對數可以簡化形如$g(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}$的函數的積分：$g(x)$的一個原函數給出為$\ln(\left \vert f(x) \right \vert)$。這是基於鏈式法則和如下事實:

$$\ {d \over dx}\ln \left| x \right| = {1 \over x}.$$

換句話說。

$$\int { 1 \over x} dx = \ln|x| + C$$

且

$$\int { \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx} = \ln |f(x)| + C.$$

### 例子

下面是$g(x)=\tan x$的例子：

$$\begin{align} \int \tan x \,dx &= \int {\sin x \over \cos x} \,dx \\ &= \int {-{d \over dx} \cos x \over {\cos x}} \,dx. \\ \end{align}$$

設$f(x)=\cos x$且$f'(x)=-\sin x$：

$$\begin{align}\int \tan x \,dx &= -\ln{\left| \cos x \right|} + C \\ &= \ln{\left| \sec x \right|} + C \\ \end{align}$$

## 與雙曲函數的關係

在18世紀，約翰·海因里希·蘭伯特介入雙曲函數，並計算雙曲幾何中雙曲三角形的面積。對數函數是在直角雙曲線$xy=1$下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線$y=x$上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數指數函數，即要形成指定雙曲角$u$，在漸近線即x或y軸上需要有的$x$或$y$的值。顯見這裡的底邊是$\left(e^u + e^{ -u}\right) \frac{\sqrt{2}}{2}$，垂線是$\left(e^u - e^{-u}\right) \frac{\sqrt{2}}{2}$。

通過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有：

- $$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$$
- $$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$$

單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線$xy=1$下雙曲角的$\frac{1}{2}$。

## 連分數

儘管自然對數沒有簡單的連分數，但有一些廣義連分數如:

$$\begin{align} \ln (1+x) &= \frac{x^1}{1}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\cdots \\ <pre> &= \cfrac{x}{1-0x+\cfrac{1^2x}{2-1x+\cfrac{2^2x}{3-2x+\cfrac{3^2x}{4-3x+\cfrac{4^2x}{5-4x+\ddots}}}}} \\ </pre> \end{align}$$

$$\begin{align} \ln \left( 1+\frac{x}{y} \right) &= \cfrac{x} {y+\cfrac{1x} {2+\cfrac{1x} {3y+\cfrac{2x} {2+\cfrac{2x} {5y+\cfrac{3x} {2+\ddots}}}}}} \\ <pre> &= \cfrac{2x} {2y+x-\cfrac{(1x)^2} {3(2y+x)-\cfrac{(2x)^2} {5(2y+x)-\cfrac{(3x)^2} {7(2y+x)-\ddots}}}} \\ </pre> \end{align}$$

這些連分數特別是最後一個對接近1的值快速收斂。但是，更大的數的自然對數，可以輕易的用這些更小的數的自然對數的加法來計算，帶有類似的快速收斂。

例如，因為$2=1.25^3\times 1.024$，2的自然對數可以計算為:

$$\begin{align} \ln 2 &= 3 \ln \left( 1+\frac{1}{4} \right) + \ln \left( 1+\frac{3}{125} \right) \\ &= \cfrac{6} {9-\cfrac{1^2} {27-\cfrac{2^2} {45-\cfrac{3^2} {63-\ddots}}}} + \cfrac{6} {253-\cfrac{3^2} {759-\cfrac{6^2} {1265-\cfrac{9^2} {1771-\ddots}}}}. \\ \end{align}$$

進而，因為$10=1.25^{10}\times 1.024^3$，10的自然對數可以計算為:

$$\begin{align} \ln 10 &= 10 \ln \left( 1+\frac{1}{4} \right) + 3\ln \left( 1+\frac{3}{125} \right) \\ <pre> &= \cfrac{20} {9-\cfrac{1^2} {27-\cfrac{2^2} {45-\cfrac{3^2} {63-\ddots}}}} </pre> + \cfrac{18} {253-\cfrac{3^2} {759-\cfrac{6^2} {1265-\cfrac{9^2} {1771-\ddots}}}}. \\ \end{align}$$

## 複數對數

指數函數可以擴展為對任何複數$x$得出複數值為$e^x$的函數，只需要簡單使用$x$為複數的無窮級數；這個指數函數的逆函數形成複數對數，並帶有正常的對數的多數性質。但是它涉及到了兩個困難：不存在$x$使得$e^x=0$；並且有著$e^{2\pi i}=1=e^0$。因為乘法性質仍適用於複數指數函數，$e^z=e^{z+2n\pi i}$，對於所有複數$z$和整數$n$。

所以對數不能定義在整個複平面上，並且它是多值函數，就是說任何複數對數都可以增加$2\pi i$的任何整數倍而成為等價的對數。複數對數只能在切割平面上是單值函數。例如，$\log i=\frac{1}{2}\pi i$或$\frac{5}{2}\pi i$或$-\frac{3}{2}\pi i$等等；儘管$i^4=1$，$4\log=i$不能定義為$2\pi i$或$10\pi i$或$-6\pi i$，以此類推。

- z=Re(ln(x+iy))
- Im(ln(x+iy))
- ln(x+iy)
- 前三圖的疊加

### 主值定義

對於每個非0複數$z=x+yi$，主值$\log z$是虛部位於區間$(-\pi, \pi]$內的對數。表達式$\log 0$不做定義，因為沒有複數$w$滿足$e^w=0$。

要對$\log z$給出一個公式，可以先將$z$表達為極坐標形式，$z=re^{i\theta}$。給定$z$，極坐標形式不是確切唯一的，因為有可能向$\theta$增加$2\pi$的整數倍，所以為了保證唯一性而要求$\theta$位於區間$(-\pi, \pi]$內；這個$\theta$叫做幅角的主值，有時寫為$\operatorname{arg} z$或$\operatorname{atan}2(y,x)$。則對數的主值可以定義為：

$$\operatorname{Log} z := \text{ln } r + i \theta = \ln |z| + i \operatorname{Arg} z = \operatorname{ln}\sqrt{x^2+y^2} + i \operatorname{atan2}(y,x).$$

例如，$\operatorname{Log}(-3i)=\ln 3-\frac{\pi i}{2}$。

## 科學應用

自然指數有應用於表達放射性衰變的過程，如放射性原子數目的微分方程$N$隨時間變化率$\frac{dN}{dt}=-pN$，常數$p$為原子衰變機率，積分得$N(t)=N(0)\exp (-pt)$。