交換律

交換律（Commutative property）是被普遍使用的一個數學名詞，意指能改變某物的順序而不改變其最終結果。交換律是大多數數學分支中的基本性質，而且許多的數學證明需要倚靠交換律。簡單運算的交換律許久都被假定存在，且沒有給定其一特定的名稱，直到19世紀，數學家開始形式化數學理論之後，交換律才得到正式的定義。

## 一般用法

交換律是一個和二元運算及函數有關的性質。而若交換律對一特定二元運算下的一對元素成立，則稱這兩個元素為在此運算下是「可交換」的。

在群論和集合論中，許多的代數結構被稱做是可交換的，若其中的運算域滿足交換律。在數學分析和線性代數中，一些知名的運算（如實數及複數上的加法和乘法）的交換律會經常被用於（或假定存在於）證明之中。

## 數學定義

「可交換」一詞被使用於如下幾個概念中：

- 若稱集合$S$上的一個二元運算$*$為「可交換」的，若$(\forall x \in S)(\forall y \in S)(x * y = y * x)$。
- 若稱$x$在$*$下和$y$為「可交換」的，則$x * y = y * x$。
- 若稱二元函數$f:A \times A \to B$為「可交換」的，若$(\forall x \in A)(\forall y \in A)[f(x, y) = f(y, x)]$。

## 歷史

對交換律假定存在的應用早在很久之前便已有所記戴。埃及人用乘法的交換律來簡化乘積的計算。且知歐幾里得在《幾何原本》中已有假定了乘法交換律的存在。對交換律形式上的應用產生於18世紀末19世紀初，那時數學家開始在研究函數的理論。今日，交換律已被普遍認知，且在大多數的數學分支中被當做基本性質來使用。交換律的簡易版本通常會在初等數學教程中被教導。

第一個使用「可交換（commutative）」一詞的是 Francois Servois 於1814年寫下的筆記，這一詞在筆記中被用來指有著現在稱之為交換律的函數。這一詞首次出現於英語中的是在1844年的英國皇家學會哲學彙刊中。

## 相關性質

### 結合律

結合律和交換律密切相關著。結合律是指運算的順序並不會影響其最終結果。相對地，交換律則是指運算元的順序不會影響其最終結果的性質。

### 對稱

對稱可以和交換律有直接的關連。若將一個可交換運算子寫成一個二元函數，則此一函數會對 $y = x$ 這條線對稱。舉例來說，若設一函數 $f$ 來表示加法（一可交換運算），所以 $f(x,y) = x + y$，也因此 $f$ 會是個如右圖所見的對稱函數。

## 示例

### 日常生活

可交換的例子：

- 洗一雙鞋子可類比為一可交換運算，因為不論是左邊的鞋子先洗，還是右邊的鞋子先洗，最終的結果（兩隻鞋子都洗好）是一樣的。
- 成語「朝三暮四」也可看做是可交換運算的一個例子。

不可交換的例子：

- 洗衣和乾衣可類比成不可交換運算，因為先乾衣再洗衣和先洗衣再乾衣兩者會得出很不同的結果來。
- 魔術方塊是不可交換的。例如，將正面順時針扭轉，頂面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉（FUF'），並不會得出如將正面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉，最後再將頂面順時針扭轉（FF'U）一樣的結果。扭轉是不可交換的。這些扭轉被研究於群論中。

### 數學

可交換的例子：

$$y + z = z + y \quad \forall y,z\in \mathbb{R}$$

例如：$4 + 5 = 5 + 4 = 9$。

$$y \times z = z \times y \quad \forall y,z\in \mathbb{R}$$

例如：$3 \times 5 = 5 \times 3 = 15$。

- 更多可交換二元運算的例子包括複數的乘法、向量的加法、和集合的交集與聯集。

不可交換的例子：

- 減法： $0-1\neq 1-0$，不過可將其減法符號轉換成加上其相反數，即可使用交換律。
- 除法： $1\div2\neq 2\div1$，可將除法轉換成乘上其倒數以使用交換律。

$\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$。

## 數學結構與交換律

- 阿貝爾群是一個群運算為可交換的群。
- 交換環是一個乘法為可交換的環。（環中的加法依定義總會是可交換的。）
- 域的加法與乘法都是可交換的。
- 中心是一個群最大的可交換子集。

## 參考資料

### 書籍

Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.

Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.

Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.

### 文章

- https://web.archive.org/web/20080228100512/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf Lumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript.

Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.

- Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 978-0-7141-0944-2

Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus.

### 線上資源

- Krowne, Aaron, , Accessed 2007-08-08.
- Definition of commutativity and examples of commutative operations
- , Accessed 2007-08-08.
- Explanation of the term commute
- , Accessed 2007-08-08
- Examples proving some noncommutative operations
- Article giving the history of the real numbers
- Page covering the earliest uses of mathematical terms
- Biography of Francois Servois, who first used the term