雙曲函數

在數學中，雙曲函數是一類與常見的三角函數（也叫圓函數）類似的函數。最基本的雙曲函數是雙曲正弦函數$\sinh$和雙曲餘弦函數$\cosh$，從它們可以導出雙曲正切函數$\tanh$等，其推導也類似於三角函數的推導。雙曲函數的反函數稱為反雙曲函數。

雙曲函數的定義域是實數，其自變量的值叫做雙曲角。雙曲函數出現於某些重要的線性微分方程的解中，譬如說定義懸鏈線和拉普拉斯方程。

## 基本定義

最簡單的幾種雙曲函數為：

- $$\sinh x = \frac{e^x - e^{ - x} }{2}$$
- $$\cosh x = \frac{e^x + e^{ - x} }{2}$$
- $$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}.$$
- 雙曲餘切：當$x\neq 0$
- $$\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1}.$$
- $$\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} + 1}.$$
- 雙曲餘割：當$x\neq 0$
- $$\operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} - 1}.$$

函數$\cosh x$是關於y軸對稱的偶函數。函數$\sinh x$是奇函數。

如同當$t$遍歷實數集$\mathbb{R}$時，點（$\cos t$, $\sin t$）的軌跡是一個圓$x^2 + y^2 = 1$一樣，當$t$遍歷實數集$\mathbb{R}$時，點（$\cosh t$, $\sinh t$）的軌跡是單位雙曲線$x^2 - y^2 = 1$的右半邊。這是因為有以下的恆等式：

$$\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1$$

參數t不是圓角而是雙曲角，它表示在x軸和連接原點和雙曲線上的點（$\cosh t$, $\sinh t$）的直線之間的面積的兩倍。

## 歷史

在18世紀，約翰·海因里希·蘭伯特引入雙曲函數，並計算了雙曲幾何中雙曲三角形的面積。自然對數函數是在直角雙曲線$xy = 1$下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線$y = x$上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數指數函數，即要形成指定雙曲角$u$，在漸近線即x或y軸上需要有的$x$或$y$的值。顯見這裡的底邊是$\left(e^u + e^{ -u}\right) \frac{\sqrt{2}}{2}$，垂線是$\left(e^u - e^{-u}\right) \frac{\sqrt{2}}{2}$。

通過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有：

- $$\cosh u = \frac{e^u + e^{-u}}{2}$$
- $$\sinh u = \frac{e^u - e^{-u}}{2}$$

單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線$xy = 1$下雙曲角的${1 \over 2}$。

## 虛數圓角定義

雙曲角經常定義得如同虛數圓角。實際上，如果$x$是實數而$i ^ 2 = -1$，則

$\cos(i x) = \cosh(x), \quad$ $-i \sin(i x) = \sinh(x).$

所以雙曲函數$\cosh$和$\sinh$可以通過圓函數來定義。這些恆等式不是從圓或旋轉得來的，它們應當以無窮級數的方式來理解。特別是，可以將指數函數表達為由偶次項和奇次項組成，前者形成$\cosh$函數，後者形成了$\sinh$函數。$\cos$函數的無窮級數可從$\cosh$得出，通過把它變為交錯級數，而$\sin$函數可來自將$\sinh$變為交錯級數。上面的恆等式使用虛數$i$，從三角函數的級數的項中去掉交錯因子$(-1)^n$，來恢復為指數函數的那兩部份級數。

$$e^x = \cosh x + \sinh x\!$$

$$\begin{array}{lcl} \cosh x = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!} & \sinh x = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ \cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} & \sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ \end{array}$$

雙曲函數可以通過虛數圓角定義為：

- $$\sinh x = -i \sin (i x) \!$$
- $$\cosh x = \cos (i x) \!$$
- $$\tanh x = -i \tan (i x) \!$$
- $$\coth x = i \cot (i x) \!$$
- $$\operatorname{sech} x = \sec (i x) \!$$
- $$\operatorname{csch} x = i \csc (i x) \!$$

這些複數形式的定義得出自歐拉公式。

## 與三角函數的類比

奧古斯都·德·摩根在其1849年出版的教科書《Trigonometry and Double Algebra》中將圓三角學擴展到了雙曲線。威廉·金頓·克利福德在1878年使用雙曲角來參數化單位雙曲線。

給定相同的角α，在雙曲線上計算雙曲角的量值（雙曲扇形面積除以半徑）得到雙曲函數，角$\alpha$得到三角函數。在單位圓和單位雙曲線上，雙曲函數與三角函數有如下的關係:

- 正弦同樣是從x軸到曲線的半弦。
- 餘弦同樣是從y軸到曲線的半弦（圖中的餘弦是長方形的另一條邊）。
- 正切同樣是過x軸上單位點（1,0）在曲線上的切線到終邊的長度。
- 餘切同樣是從y軸與過終邊和曲線交點的切線與y軸的交點和曲線連線之長度。
- 正割同樣是在一個有正切和單位長的直角三角形上，但邊不一樣。
- 餘割同樣是y軸與過終邊和曲線交點的切線與y軸的交點和原點之距離。
- 角的量值可以從0到無限大，但$\alpha$實際上只會介於$0$到$2\pi$（360度）之間，其餘是$\alpha$的同界角，再繞著圓旋轉，故三角函數可以有周期。雙曲角的量值可以從$0$到無限大，但$\alpha$實際上不會超過$\frac{\pi}{4}$（45度），故無法如三角函數一樣有周期性。

## 恆等式

與雙曲函數有關的恆等式如下:

$$\begin{align} \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \\ 1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2x \\ \operatorname{coth}^2x - 1 = \operatorname{csch}^2x \\ \end{align}$$

$$\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y$$

$$\cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y$$

$$\tanh(x+y) = \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x \tanh y}$$

$$\sinh 2x\ = 2\sinh x \cosh x$$

$$\cosh 2x\ = \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2\cosh^2 x - 1 = 2\sinh^2 x + 1$$

$$\tanh 2x = \frac{2 \tanh x}{1 + \tanh ^2 x}$$

$$\begin{align} <pre> \sinh x + \sinh y &= 2 \sinh \left(\frac{x+y}{2}\right) \cosh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\ \cosh x + \cosh y &= 2 \cosh \left(\frac{x+y}{2}\right) \cosh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\ </pre> \end{align}$$

$$\sinh \frac{x}{2} = \frac{\sinh x}{\sqrt{2 (\cosh x + 1)} } = \sgn x \, \sqrt \frac{\cosh x - 1}{2}$$

$$\cosh\frac{x}{2} = \sqrt{ \frac{\cosh x + 1}{2} }$$

$$\tanh \frac{x}{2} = \frac{\sinh x}{\cosh x + 1} = \sgn x \, \sqrt \frac{\cosh x-1}{\cosh x+1} = \frac{e^x - 1}{e^x + 1}$$

其中 為符號函數。

若 x ≠ 0，則：

$$\tanh \frac{x}{2} = \frac{\cosh x - 1}{\sinh x} = \coth x- \operatorname{csch} x$$

由於雙曲函數和三角函數之間的對應關係，雙曲函數的恆等式和三角函數的恆等式之間也是一一對應的。對於一個已知的三角函數公式，只需要將其中的三角函數轉成相應的雙曲函數，並將含有有兩個$\sinh$的積的項（包括$\coth^2 x, \tanh^2 x, \operatorname{csch}^2 x , \sinh x \sinh y$）轉換正負號，就可得到相應的雙曲函數恆等式。如

三角函數的三倍角公式為：

$$\sin 3x\ = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$$

$$\cos 3x\ = -3 \cos x + 4 \cos^3 x$$

而對應的雙曲函數三倍角公式則是：

$$\sinh 3x\ = 3 \sinh x + 4 \sinh^3 x$$

$$\cosh 3x\ = -3 \cosh x + 4 \cosh^3 x$$

$$\begin{align} <pre> \sinh(x - y) &= \sinh x \cosh y - \cosh x \sinh y \\ \cosh(x - y) &= \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y \\ \tanh(x - y) &= \frac{\tanh x -\tanh y}{1- \tanh x \tanh y } \\ </pre> \end{align}$$

## 雙曲函數的導數

$$\begin{align} <pre> \frac{d}{dx}\sinh x &= \cosh x \\ \frac{d}{dx}\cosh x &= \sinh x \\ \frac{d}{dx}\tanh x &= 1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x} \\ \frac{d}{dx}\coth x &= 1 - \coth^2 x = -\operatorname{csch}^2 x = -\frac{1}{\sinh^2 x} && x \neq 0 \\ \frac{d}{dx}\operatorname{sech} x &= - \tanh x \operatorname{sech} x \\ \frac{d}{dx}\operatorname{csch} x &= - \coth x \operatorname{csch} x && x \neq 0 </pre> \end{align}$$

## 雙曲函數的泰勒展開式

雙曲函數也可以以泰勒級數展開:

$$\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

$$\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}$$

$$\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}$$

$\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi$（羅朗級數）

$$\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2}$$

$\operatorname {csch}\, x = \frac {1} {x} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , 0 < \left |x \right | < \pi$（羅朗級數）

其中

$B_n$是第$n$項伯努利數

$E_n$是第$n$項歐拉數

## 無限積與連續分數形式

下列的擴展在整個複數平面上成立：

$$\sinh x = x\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right) = \cfrac{x}{1 - \cfrac{x^2}{2\cdot3+x^2 - \cfrac{2\cdot3 x^2}{4\cdot5+x^2 - \cfrac{4\cdot5 x^2}{6\cdot7+x^2 - \ddots}}}}$$

$$\cosh x = \prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{x^2}{(n-1/2)^2\pi^2}\right) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{x^2}{1 \cdot 2 + x^2 - \cfrac{1 \cdot 2x^2}{3 \cdot 4 + x^2 - \cfrac{3 \cdot 4x^2}{5 \cdot 6 + x^2 - \ddots}}}}$$

$$\tanh x = \cfrac{1}{\cfrac{1}{x} + \cfrac{1}{\cfrac{3}{x} + \cfrac{1}{\cfrac{5}{x} + \cfrac{1}{\cfrac{7}{x} + \ddots}}}}$$

## 雙曲函數的積分

$$\int\sinh cx\,\mathrm{d}x = \frac{1}{c}\cosh cx + C$$

$$\int\cosh cx\,\mathrm{d}x = \frac{1}{c}\sinh cx + C$$

$$\int \tanh cx\,\mathrm{d}x = \frac{1}{c}\ln(\cosh cx) + C$$

$$\int \coth cx\,\mathrm{d}x = \frac{1}{c}\ln\left|\sinh cx\right| + C$$

$$\int \operatorname{sech} cx\,\mathrm{d}x = \frac{1}{c}\arctan (\sinh cx) + C$$

$$\int \operatorname{csch} cx\,\mathrm{d}x = \frac{1}{c}\ln\left|\tanh\frac{cx}{2}\right| + C$$

## 與指數函數的關係

從雙曲正弦和餘弦的定義，可以得出如下恆等式:

$$e^x = \cosh x + \sinh x$$

和

$$e^{-x} = \cosh x - \sinh x$$

## 複數的雙曲函數

因為指數函數可以定義為任何複數參數，也可以擴展雙曲函數的定義為複數參數。函數$\sinh z$和$\cosh z$是全純函數。

指數函數與三角函數的關係由歐拉公式給出：

$$\begin{align} <pre> e^{i x} &= \cos x + i \;\sin x \\ e^{-i x} &= \cos x - i \;\sin x </pre> \end{align}$$

所以:

$$\begin{align} <pre> \cosh ix &= \frac{1}{2} \left(e^{i x} + e^{-i x}\right) = \cos x \\ \sinh ix &= \frac{1}{2} \left(e^{i x} - e^{-i x}\right) = i \sin x \\ \tanh ix &= i \tan x \\ </pre> \end{align}$$

$$\begin{align} <pre> \cosh(x+iy) &= \cosh(x) \cos(y) + i \sinh(x) \sin(y) \\ \sinh(x+iy) &= \sinh(x) \cos(y) + i \cosh(x) \sin(y) \\ </pre> \end{align}$$

$$\begin{align} <pre> \cosh x &= \cos ix \\ \sinh x &= - i \sin ix \\ \tanh x &= - i \tan ix </pre> \end{align}$$

因此，雙曲函數是關於虛部有週期的，週期為$2 \pi i$（對雙曲正切和餘切是$\pi i$）。

## 反雙曲函數

反雙曲函數是雙曲函數的反函數。它們的定義為：

$$\begin{align} <pre> \operatorname {arsinh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right) \\ \operatorname {arcosh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right); x \ge 1 \\ \operatorname {artanh} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right); \left| x \right| < 1 \\ \operatorname {arcoth} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{x + 1}{x - 1} \right); \left| x \right| > 1 \\ \operatorname {arsech} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x} \right); 0 < x \le 1 \\ \operatorname {arcsch} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\left| x \right|} \right); x \ne 0 </pre> \end{align}$$