戈弗雷·哈羅德·哈代

戈弗雷·哈羅德·哈代（Godfrey Harold Hardy，1877年2月7日－1947年12月1日），英國數學家，出生於英格蘭薩里郡，在劍橋大學三一學院畢業，其後在劍橋大學、牛津大學任教並成為英國皇家學會成員。他長期擔任牛津大學和劍橋大學的數學教授職位，與另一位英國數學家利特爾伍德進行了長達35年的合作，發表了過百篇論文，主要涉及數論中的丟番圖逼近，堆壘數論；素數分布理論與黎曼函數；調和分析中的三角級數理論，發散級數求和與陶伯型定理，不等式，積分變換與積分方程等方面，對分析學和數論的發展有深刻的影響。他被認為是二十世紀英國分析學派的代表人物。

哈代在數學界外較為人所知的是他在1940年關於數學之美的隨筆－《一個職業數學家的辯白》。書中包括了他對純數學和數學應用的看法，經常被認為是寫給外行人的著作中，對於一位在工作中的數學家心靈最好的見解。

從1914年開始，哈代成為印度數學家斯里尼瓦瑟·拉馬努金的導師，生成了一段著名的關係。哈代很快的發現拉馬努金沒受高等教育卻表現出眾的才華，兩人之後成為親密的合作者。在保羅·艾狄胥的訪問中，哈代被問到什麼是他自己對數學最大的貢獻，他不加思索的回答是發現了拉馬努金。他稱他們之間的合作關係為：「我人生中的一個浪漫的意外」（the one romantic incident in my life.）。

## 生平

### 早年求學

哈代於1877年2月7日出生在英格蘭薩里郡克蘭利的一個教師家庭里。父親是當地私立中學克蘭利中學的教師和財務主管（Bursar），母親是林肯教區師範培訓學校（Lincoln Diocese Training College for teachers）的高級學位講師。哈代的父母親都有著良好的數學造詣，但由於出身貧寒，並未能在大學深造。哈代童年的時候，就已經表露出與數學的緣分。他兩歲的時候，曾經不斷地寫數字直到一百萬，在教堂里做禮拜的時候，他以對聖詩中的數字做質因數分解為樂趣。但他在回憶中表示自己童年時並不喜愛數學：

I do not remember having felt, as a boy, any passion for mathematics, and such notions as I may have had of the career of a mathematician were far from noble. I thought of mathematics in terms of examinations and scholarships: I wanted to beat other boys, and this seemed to be the way in which I could do so most decisively.

我記得小時候我並不喜歡數學，在我身上也許有成為數學家的特質，但並不突出。我認為數學就是測驗和獎學金：我希望擊敗其他的人，而用數學來做這件事是我最擅長的。

因為父親的關係，哈代進入克蘭利中學就讀，成績優異。12歲畢業後，由於在數學方面的成績，得到了溫切斯特公學的獎學金。1896年，哈代從溫切斯特公學畢業，進入劍橋大學三一學院學習。經過著名教師羅伯特·拉姆塞·韋伯兩年的指導，哈代在劍橋大學數學榮譽學位考試中取得第四名的成績畢業。在劍橋大學學習期間，哈代加入了劍橋使徒會，劍橋大學的一個秘密精英社團。

在大學的學習生涯中，有兩件事情讓哈代十分不滿。第一是他的宗教信仰問題。哈代在離開溫切斯特公學時已經決定不會信仰上帝。而三一學院有不少必須的禮拜儀式。哈代無法做到虔誠地禮拜，而且也不願在此問題上矇混過關，導致他和教長的關係十分不好。第二件事是哈代對韋伯的應試式教育方式十分不滿。在哈代看來，韋伯只專注於應試技巧，而對數學本身並不熱愛。這使哈代十分失望。他開始轉向另一位教師樂甫。哈代自言受影響頗深的是樂甫推薦他閱讀的由當時法國綜合理工學院數學教師卡米爾·若爾當寫的《分析學教程》（Cours d'analyse de l'École Polytechnique）。哈代自學了這位法國數學家的教材，其中帶有的歐洲大陸數學的精確風格對哈代產生了重大影響。他在自傳中回憶：

My eyes were first opened by Professor Love, who first taught me a few terms and gave me my first serious conception of analysis. But the great debt which I owe to him was his advice to read Jordan's "Cours d'analyse"; and I shall never forget the astonishment with which I read that remarkable work, the first inspiration for so many mathematicians of my generation, and learnt for the first time as I read it what mathematics really meant.

首先讓我打開眼界的是樂甫教授。他首先教會了我一些數學用語，讓我首次對分析學有了嚴謹的概念。然而他對我最大的恩惠是建議我讀了若爾當的《分析學教程》。我永遠無法忘記我閱讀這本傑作時心中的震撼。這本書讓我這一代的許多數學家獲得了最初的激勵，也讓我頭一次懂得了數學的真諦。

1900年，哈代以第一名的成績通過了數學榮譽學位考試第二部分的測試，並獲得了三一學院研究員（fellow of Trinity）的職位。1901年，哈代和金斯一道獲得了劍橋大學頒發的史密斯獎。1903年，哈代獲得碩士學位（M.A.）。1906年，哈代開始在劍橋大學任教，每周教課六小時。這使得哈代有足夠時間展開自己的研究。

### 學術研究與合作

哈代的學術生涯在1911年迎來了最重要的變化。1911年以前，哈代在將級數和積分收斂性方面的研究上有不少成果，並讓他成為了英國皇家學會會員。博吉爾在《科學傳記辭典》中這樣寫道：

...Hardy wrote many papers on the convergence of series and integrals and allied topics. Although this work established his reputation as an analyst, his greatest service to mathematics in this early period was A course of pure mathematics (1908). This work was the first rigorous English exposition of number, function, limit, and so on, adapted to the undergraduate, and thus it transformed university teaching.

……（哈代）寫了不少有關級數和積分收斂性的論文。這些文章讓他建立了作為分析學家的地位。然而他早期學術生涯中最重要的數學貢獻應該是1908年的《純數學教程》。此書是國內首次將數論、函數、極限等概念以嚴謹的方式，用適於大學生的方式呈現的教材，深刻改變了大學教育。

對這段時期，哈代自己則這樣回憶：

I wrote a great deal... but very little of any importance; there are not more than four of five papers which I can still remember with some satisfaction.

我寫了很多……但沒有什麼重要的東西。現在想起來，也就只有四到五篇文章能讓我有些滿意。

1911年，哈代開始和同學院的數學研究員利特爾伍德合作。他們之間的合作關係從此開始，維持了35年。一開始兩人的研究方向在數學分析和解析數論上，在華林問題上取得了顯著進展，開發出了「哈代－利特爾伍德圓法」。

1913年，哈代數學生涯中又一重要的合作關係隨著一封信件拉開序幕。印度的抄寫員拉馬努金在印度的英國人建議下，向劍橋大學的多名教授寄出了自己在數學上的研究成果。哈代對拉馬努金的天賦十分讚賞，邀請他到劍橋來繼續數學工作。1914年，一戰爆發。利特爾伍德參加了軍隊，在皇家陸軍炮兵服役；哈代則由於身體原因並未通過服役檢查。同年，拉馬努金應邀來到劍橋，與哈代展開了五年的合作。

1919年，拉馬努金因為身體問題，被迫返回印度。另一方面，由於羅素在一戰期間參與反戰活動，最後被牛津大學免職。哈代趁此機會離開了他很不喜歡的劍橋大學，接替羅素擔任了牛津大學薩維爾幾何學教授職位。牛津時期是哈代最滿意的時期。他一邊在牛津任教職，一邊與在劍橋大學任職的利特爾伍德合作。這段時期是哈代成果最為豐富的時期。他自己在回憶時認為：

I was at my best at a little past forty, when I was a professor at Oxford.

剛過四十的時候，我的狀態是最好的。那時我在牛津任教授。

除了學術上的活動，哈代還在1924年至1926年間出任過英國科學工作者協會（工會性質）的理事長。哈代曾經嘲諷自己的職位是「世界上最不實用的職業里最不實用的成員」，但他在遇到重大事件時仍會審慎地負責處理。1928年至1929年，哈代曾經到美國普林斯頓大學做過一年的訪問教授，同時美國數學家維布倫則到三一學院任教一年作為交換。1931年，哈代從牛津大學回到劍橋大學，接替歐內斯特·威廉·霍布森擔任薩德萊數學教授職位，直到1942年。

### 晚年

二十世紀三十年代末以後，哈代的學術活動逐漸減少。哈代是一個堅持年輕人的思想和生活方式的人，他常年參與板球、網球、壁球等運動並保持不俗的水平。然而1939年，哈代患上了冠狀動脈血栓，無法繼續參加各種運動。1939年二戰爆發，讓哈代感到更加苦悶。四十年代以後，哈代很少參與學術活動。1940年，哈代的《一個數學家的辯白》出版。1946年，哈代病情加重，曾經試圖自殺未遂。

1947年12月1日，哈代在劍橋去世，享年70歲。

## 數學貢獻

哈代是數學界公認的將歐洲大陸（法國、瑞士、德國）的嚴謹數學風格引入英國的數學家。在19世紀，英國數學界秉承從艾薩克·牛頓以來的實用派數學傳統，側重於數學與實際問題的結合，對數學概念和推導本身的嚴密性不甚重視。當時劍橋大學的數學研究側重於研究與流體力學相關的數學理論。哈代以綜合理工學院式的嚴密定義與推導的傳統進行研究工作，並逐漸發展出純數學的概念。

G·H·哈代在數學分析與解析數論上有重要貢獻。他與李特爾伍德合作發展了哈代-李特爾伍德圓法以處理華林問題，並在素數分佈問題上多所斬獲。

儘管哈代偏好純粹數學，他卻是群體遺傳學中哈代-溫伯格定律的發現者之一。

榮譽

- 獲得劍橋大學史密斯獎（1901年）
- 成為英國王家學會成員（1910年）
- 擔任牛津大學薩維爾幾何學教授職位（1920年）
- 獲得英國王家學會王家獎章（1920年）
- 擔任倫敦數學會主席（1926年－1928年）
- 成為美國數學學會吉布斯講師（1928年）
- 獲得倫敦數學會德摩根獎章（1929年）
- 獲得美國數學協會查文尼特獎（1932年）
- 獲得英國王家學會西爾維斯特獎章（1940年）
- 擔任倫敦數學會主席（1939年－1941年）
- 成為愛丁堡王家學會成員（1946年）
- 獲得英國王家學會科普利獎章（1947年）

## 與其他數學家的關係

- 英國數學家李特爾伍德，哈代和他一起撰寫了很多篇論文。
- 印度數學家拉馬努金：哈代和他是很親密的朋友。有一次保羅·艾狄胥跟哈代做訪問，問及哈代認為自己對數學最大的貢獻為何，他答是發現了拉馬努金。

## 作品

- 《純數學教程》，1908年
- 《數論介紹》，與愛德華·梅特蘭·賴特合寫，1938年
- 《拉馬努金》，1940年
- 《一個職業數學家的告白》，1940年

## 外部連結

- Quotations of G. H. Hardy
- Hardy's work on Number Theory

## 基本資料

- 日語原文：戈弗雷·哈羅德·哈代
- 出生日期：1877年2月7日
- 出生地：薩里郡克蘭利
- 逝世日期：1947年12月1日
- 逝世地：劍橋郡劍橋
- 研究領域：數學
- 機構：劍橋大學三一學院
- 母校：劍橋大學
- 博士導師：樂甫、埃德蒙·泰勒·惠特克
- 博士生：瑪麗·卡特賴特、西德尼·查普曼、I·J·古德、愛德華·林福特、弗蘭克·維戈·莫雷、西里爾·奧福德、哈利·皮特、理察·拉多、斯里尼瓦瑟·拉馬努金、羅伯特·亞歷山大·蘭金、唐納德·C·斯賓塞、愛德華·查爾斯·蒂奇馬什、蒂魯克坎納普蘭·維賈拉哈萬、愛德華·梅特蘭·賴特
- 知名於：哈代-溫伯格定律、萊德馬契級數
- 受影響自：卡米爾·若爾當
- 施影響於：斯里尼瓦瑟·拉馬努金
- 獲獎：王家學會成員
- 宗教：無神論者