螺旋

螺旋（helix，複數：helices）是一種類似圓柱形螺旋彈簧或機器螺絲螺紋的形狀 .它是一種光滑的空間曲線，其切線與固定軸成恆定角度。螺旋在生物學中非常重要，因為DNA分子由兩個相互纏繞的螺旋組成，並且許多蛋白質具有螺旋狀的亞結構，稱為α 螺旋。螺旋這個詞來自希臘語ἕλιξ，「扭曲的，彎曲的」。「填充」的螺旋線，例如「螺旋形」（螺旋狀）坡道，是一種稱為螺旋面的表面。

## 屬性和類型

螺旋的螺距是螺旋旋轉一圈後的高度，沿螺旋軸平行測量。

雙螺旋由兩個（通常全等的）螺旋組成，它們具有相同的軸，不同的是沿軸的平移。

圓形螺旋（即半徑恆定的螺旋）具有恆定的帶曲率和恆定的撓率。圓形螺旋的斜率通常定義為其螺旋所繞的圓柱體的周長與其螺距（一個完整螺旋圈的高度）的比率。

圓錐螺旋線，也稱為圓錐螺線，可以定義為圓錐表面上的螺旋線，其到頂點的距離是從軸指示方向的角度的指數函數。

如果一條曲線的切線與空間中一條固定的線構成一個恆定的角度，則該曲線稱為一般螺旋線或圓柱螺旋線若且唯若曲率與撓率之比為常數時，曲線才是一般螺旋線。

如果一條曲線的主法線與空間中的一條固定線形成一個恆定的角度，那麼該曲線被稱為斜螺旋。它可以通過對一般螺旋的移動框架應用變換來構造。

有關更一般的螺旋狀空間曲線，請參見空間螺旋；例如球形螺旋。

### 手性

螺旋可以是右旋的，也可以是左旋的。視線沿著螺旋軸，如果順時針旋轉使螺旋遠離觀察者，則稱為右旋螺旋；如果朝向觀察者，則稱為左旋螺旋。旋向性（或手性）是螺旋的一種屬性，而不是透視的屬性：除非在鏡子中觀察，否則右旋螺旋不能變成左旋螺旋，反之亦然。

## 數學描述

在數學中，螺旋是三維空間中的曲線。以下笛卡爾坐標系中的參數化定義了一個特定的螺旋；也許最簡單的方程是

$$\begin{align} x(t) &= \cos(t),\\ y(t) &= \sin(t),\\ z(t) &= t. \end{align}$$

隨著參數t的增加，點$(x(t), y(t), z(t))$在右手坐標系中，繞z軸描繪螺距為2π （或斜率為 1）、半徑為 1 的右手螺旋線。

$$\begin{align} r(t) &= 1,\\ \theta(t) &= t,\\ h(t) &= t. \end{align}$$

半徑為a且斜率為 的圓形螺旋

$$\begin{align} x(t) &= a\cos(t),\\ y(t) &= a\sin(t),\\ z(t) &= bt. \end{align}$$

數學上構建螺旋的另一種方法是將復值函數exi繪製為實數x的函數（參見歐拉公式）。x的值以及函數值的實部和虛部賦予該圖三個實維。

除了旋轉、平移和比例變化外，所有右手螺旋都等同於上面定義的螺旋。等效的左手螺旋可以通過多種方式構造，最簡單的方法是否定x， y或z分量中的任意一個。

### 弧長、曲率和撓率

一個半徑為 a>0、斜率為 a/b（或螺距為 2πb）的圓柱螺旋線，用笛卡爾坐標表示其參數方程如下：

$$t\mapsto (a\cos t, a\sin t, bt), t\in [0,T]$$

弧長為

$$A = T\cdot \sqrt{a^2+b^2},$$

曲率為

$$\frac{a}{a^2+b^2},$$

撓率

$$\frac{b}{a^2+b^2}.$$

螺旋具有恆定的非零曲率和撓率。

螺旋是向量值函數

$$\begin{align} \mathbf{r}&=a\cos t \mathbf{i}+a\sin t \mathbf{j}+ b t\mathbf{k}\\[6px] \mathbf{v}&=-a\sin t \mathbf{i}+a\cos t \mathbf{j}+ b \mathbf{k}\\[6px] \mathbf{a}&=-a\cos t \mathbf{i}-a\sin t \mathbf{j}+ 0\mathbf{k}\\[6px] |\mathbf{v}|&=\sqrt{(-a\sin t )^2 +(a\cos t)^2 + b^2}=\sqrt{a^2 +b^2}\\[6px] |\mathbf{a}| &= \sqrt{(-a\sin t )^2 +(a\cos t)^2 } = a\\[6px] s(t) &= \int_{0}^{t}\sqrt{a^2 +b^2}d\tau = \sqrt{a^2 +b^2} t \end{align}$$

因此，螺旋線可以重新參數化為s的函數，該函數必須是單位速度：

$$\mathbf{r}(s) = a\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} } \mathbf{i}+a\sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2}} \mathbf{j}+ \frac{bs}{\sqrt{a^2 +b^2}} \mathbf{k}$$

單位切向量是

$$\frac{d \mathbf{r}}{d s} = \mathbf{T} = \frac{-a}{\sqrt{a^2 +b^2} }\sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} } \mathbf{i}+\frac{a}{\sqrt{a^2 +b^2} }\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} }\mathbf{j}+ \frac{b}{\sqrt{a^2 +b^2}} \mathbf{k}$$

法向量是

$$\frac{d \mathbf{T}}{d s} = \kappa \mathbf{N} = \frac{-a}{a^2 +b^2 }\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} } \mathbf{i}+\frac{-a}{a^2 +b^2} \sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} }\mathbf{j}+ 0 \mathbf{k}$$

其曲率為

$$\kappa = \left|\frac{d\mathbf{T}}{ds}\right|= \frac{a}{a^2 +b^2 }$$。

單位法向量是

$$\mathbf{N}=-\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} } \mathbf{i} - \sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} } \mathbf{j} + 0 \mathbf{k}$$

副法線向量是

$$\begin{align} \mathbf{B}=\mathbf{T}\times\mathbf{N} &= \frac{1}{\sqrt{a^2 +b^2 }} \left( b\sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2}}\mathbf{i} - b\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2}}\mathbf{j}+ a \mathbf{k}\right)\\[12px] \frac{d\mathbf{B}}{ds} &= \frac{1}{a^2 +b^2} \left( b\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2}} \mathbf{i} + b\sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2}}\mathbf{j}+ 0 \mathbf{k} \right) \end{align}$$

它的撓率是$$\tau = \left| \frac{d\mathbf{B}}{ds} \right| = \frac{b}{a^2 +b^2}.$$

## 示例

分子生物學中雙螺旋的一個例子是核酸雙螺旋。

圓錐螺旋的一個例子是雪松點(Cedar Point)遊樂園的螺旋過山車。

自然界中發現的一些曲線由多個不同旋向的螺旋組成，這些螺旋通過稱為卷鬚變位的轉變連接在一起。

大多數硬體螺紋都是右旋螺旋。生物學中的 α 螺旋以及 DNA 的A型和B型也是右手螺旋。DNA 的Z 型是左旋的。

在音樂中，音高空間通常用螺旋或雙螺旋來建模，通常從圓圈延伸出來，例如五度圈，以表示八度等效。

在航空領域，幾何螺距是指飛機螺旋槳元件沿螺旋線移動一周後前進的距離，該螺旋線的夾角等於元件弦長與垂直於螺旋槳軸的平面之間的夾角；另請參閱：螺距角（航空）。

- Lehn等人報導的摺疊分子螺旋的晶體結構
- 攀緣植物形成的天然左手螺旋
- 帶電粒子在均勻磁場中沿螺旋路徑運動
- 螺旋彈簧