戴爾指數

戴爾指數（Theil Index）又稱為泰爾指數，是一個衡量經濟不平等的統計量。它也曾經用來衡量其他社會不平等現象，如種族隔離。

戴爾指數主要是利用資訊理論中的資訊熵的概念導出的。戴爾指數等於資訊冗餘，也就是資料最大可能資訊熵減去觀測到的資訊熵，它是廣義熵指數的特例，可以被視為冗餘度、單樣性、不平等、非隨機性和可壓縮性的度量。

戴爾指數最早由荷蘭鹿特丹伊拉斯姆斯大學的計量經濟學家亨利·戴爾 (經濟學家)（Henri Theil）所提出。

## 數學公式

假設一個人口為N的群體，其收入分別為xi (i = 1,...,N)，則它的戴爾指數T定義為：

$$T_T=T_{\alpha=1} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \frac{x_i}{\mu} \ln\left(\frac{x_i}{\mu} \right)$$

而戴爾指數L則定義為

$$T_L = T_{\alpha=0}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \ln\left(\frac{\mu}{x_i}\right)$$

其中$x_i$為第$i$個人的收入，${\mu}$為平均收入，$N$為人口數量。加總符號中的第一項可以理解為個人在總收入中所占的比例，第二項為該個人相對於均值的收入。

如果收入分布是個離散分布函數 fk (k = 0,...,W)，其中fk是收入為k的人口比例，而W = Nμ 代表總收入，可以得知 $\sum_{k=0}^W f_k=1$。

它的戴爾指數T定義為：

$$T_T=\sum_{k=0}^W\, f_k\, \frac k \mu \ln\left(\frac k \mu \right)$$

這裡的$\mu$一樣是收入平均

$$\mu=\sum_{k=0}^W k f_k$$

其中應注意到收入k是一個整數，k=1代表最小收入增量（比如新台幣1元）。

如果收入分布是個連續分布函數f(k)，k取值0到無窮，其中f(k) dk 是收入為k 到 k + dk的人口數量，那戴爾指數T定義為：

$$T_T=\int_0^\infty f(k) \frac k \mu \ln\left(\frac k \mu \right) dk$$

其中平均$\mu$為：

$$\mu=\int_0^\infty k f(k) \, dk$$

一些常見連續機率分佈的戴爾指數如下表所示：

收入分布函數｜PDF(x) (x ≥ 0)｜戴爾指數（納特）

狄拉克δ函數｜$\delta(x-x_0),\, x_0>0$｜0

連續型均勻分布｜$\begin{cases} \frac{1}{b-a} & a\le x\le b \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$｜$\ln \left( \frac{2a}{(a+b)\sqrt{e}} \right) + \frac{b^2}{b^2-a^2}\ln (b/a)$

指數分布｜$\lambda e^{-x\lambda},\,\,x>0$｜$1-$ $\gamma$

對數常態分布｜$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{(-(\ln(x)-\mu)^2)/\sigma^2}$｜$\frac{\sigma^2}{2}$

帕累托分布｜$\begin{cases} \frac{\alpha k^\alpha}{x^{\alpha+1}} & x\ge k\\0 & x < k \end{cases}$｜$\ln(1\!-\!1/\alpha)+\frac{1}{\alpha-1}$ (α>1)

卡方分布｜$\frac{2^{-k/2} e^{-x/2} x^{k/2 - 1}}{\Gamma(k/2)}$｜$\ln(2/k)+$ $\psi^{(0)}$ $(1\!+\!k/2)$

伽瑪分布｜$\frac{e^{-x/\theta}x^{k-1}\theta^{-k}}{\Gamma(k)}$｜$\psi^{(0)}$ $(1+k)-\ln(k)$

韋伯分布｜$\frac k \lambda \left(\frac {x}{\lambda} \right)^{k-1} e^{-(x/\lambda)^k}$｜$\frac{1}{k}$ $\psi^{(0)}$ $(1+1/k)-\ln\left(\Gamma(1+1/k)\right)$

如果每一個人都有相同的收入，即等於均值，則指數為零。如果某個個人擁有所有的收入，則指數為$\ln{N}$。TT 除以$\ln N$ 可以將方程歸一化到0到1的範圍，但這樣違反獨立公理: $T[x\cup x]\ne T[x]$並不符合衡量不平等的標準。

## 資訊論推導

戴爾指數導自克勞德·夏農的資訊熵，他的一般數學形式為：

$$S = k \sum_{i=1}^N \left( p_i \log{\frac{1}{p_i}} \right) = - k \sum_{i=1}^N \left( p_i \log{p_i} \right)$$

其中 $p_i$是從人群裡找到$i$的機率。$k$是玻爾茲曼常數。在資訊論中，當資訊以二進制數字給出時，$k=1$並且對數基底為2。在物理學和戴爾指數的計算中，選擇自然對數作為對數基底。當$p_i$替換成人均收入$x_i$時，需要除以總收入達到歸一化$N\overline{x}$。那可以導出，觀察到的資訊熵為：

$$S_\text{Theil} = \sum_{i=1}^N \left( \frac{x_i}{N \overline{x}} \ln{\frac{N \overline{x}}{x_i}} \right)$$

設$T$為戴爾指數，$S$為夏農熵，則有

$$T=\ln(N)-S$$

其中，ln(N)是理論最大熵。香濃根據事件發生機率導出的其熵測度。它可以用戴爾係數解釋為自某個特定個人處隨機取得一塊錢的機率。並與其第一項，即總收入中個人所占份額相同。

符號｜資訊論｜戴爾指數 TT

$N$｜字符數｜人口數

$i$｜某個特定字符｜某個特定人

$x_i$｜第i個字符 character｜第i個人的收入

$N\overline{x}$｜總字符數｜總收入

$T_T$｜未被使用的資訊空間｜未使用潛在價格機制

## 可分解性

戴爾指數的一個優點是它是某個子群體中不平等的加權和。例如，美國國內的不平等就是每個州的不平等的加權和，由該州收入相對於國家總收入的比值來加權。

如果人口被劃分為$m$個子群體，$s_k$ 為群體$k$ 的收入比例，$T_k$為該子群體的戴爾指數，而 $\overline{x}_k$ 為子群體 $k$的平均收入，則戴爾指數為

$$T = \sum_{k=1}^m s_k T_{T_k} + \sum_{k=1}^m s_k \ln{\frac{\overline{x}_k}{\overline{x}}}$$

因此，我們可以說某個特定群體給總體「貢獻了」一定數量的不平等。

另外一個被廣泛使用的不平等度量為基尼係數，該係數對於很多人來說由於基於勞倫茨曲線而非常直觀。但是它卻沒有戴爾指數容易分解。

## 外部連結

- 德克薩斯大學戴爾指數簡介 （英文）
- 試算表: 收入不平等指標#電子表格計算
- 免費在線計算器 計算基尼係數，繪製洛倫茲曲線，並為任何數據集計算許多其他濃度測量值
- Free Calculator: Online and downloadable scripts (Python and Lua) for Atkinson, Gini, and Hoover inequalities
- Users of the R data analysis software can install the "ineq" package which allows for computation of a variety of inequality indices including Gini, Atkinson, Theil.
- MATLAB 不平等包。MATLAB不平等包，其中包括用於計算基尼，阿特金森，泰爾指數和標繪洛倫茨曲線的代碼