外代數

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 實外代數中，''n'' 階元素的幾何詮釋：''n'' = 0（具有正負號的點），1（具有指向的線段，即[[向量]]），2（具有定向的平面元），3（具有定向的體積）。''n''個向量的外積可以圖像化為''n''維幾何物體（例如''n''維[[平行六面體]], ''n''維[[橢球]]）；其大小為[[超體積]]（hypervolume），其[[定向 (向量空間)|定向]]的定義由(''n'' − 1)維邊界以及物體內部在哪一側來決定。<ref></ref><ref></ref>
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外代數（Exterior algebra）也稱為格拉斯曼代數（Grassmann algebra），以紀念數學家赫爾曼·格拉斯曼。

數學上，向量空間$V$的外代數是一個特定有單位的結合代數，其包含了$V$為其中一個子空間。它記為$\land (V)$或$\land\cdot(V)$. 而它的乘法，稱為楔積或外積，記為$\land$. 楔積是結合的和雙線性的；其基本性質是它在$V$上是交錯的，也就是：

$v\wedge v = 0$，對於所有向量$v\in V$

這表示

$u\wedge v = - v\wedge u$，對於所有向量$u,v\in V$，以及

$v_1\wedge v_2\wedge\cdots \wedge v_k = 0$，當$v_1,\ldots,v_k\in V$ 線性相關時。

值得注意的是，以上三性質只對$V$中向量成立，不是對代數$\land (V)$中所有向量成立。

外代數事實上是「最一般的」滿足這些屬性的代數。這意味著所有在外代數中成立的方程只從上述屬性就可以得出。$\land (V)$的這個一般性形式上可以用一個特定的泛性質表示，請參看下文。

形式為$v_1\land v_2\land\ldots\land v_k$的元素，其中$v_1,\ldots,v_k$在$V$中，稱為$k$-向量。所有$k$-向量生成的$\land (V)$的子空間稱為$V$的$k$-階外冪，記為$\land^k(V)$。外代數可以寫作每個$k$階冪的直和：

$$\Lambda(V) = \bigoplus_{k=0}^{\infty} \Lambda^k V$$

該外積有一個重要性質，就是$k$-向量和$I$-向量的積是一個$k+I$-向量。這樣外代數成為一個分次代數，其中分級由$k$給出。這些$k$-向量有幾何上的解釋：2-向量$u\land v$代表以$u$和$v$為邊的帶方向的平行四邊形，而3-向量$u\land v\land w$代表帶方向的平行六面體，其邊為$u$, $v$, 和$w$。

外冪的主要應用在於微分幾何，其中他們用來定義微分形式。因而，微分形式有一個自然的楔積。所有這些概念由格拉斯曼提出。

## 定義及運算律

外代數有很多種等價的定義，下面的定義是最簡潔的一個。

定義: 設 $V$是域 $K$上的一個向量空間，讓$T^k(V):=\underset{k}{\underbrace{V\otimes\cdots\otimes V}}$則定義

$$T(V) = \bigoplus_{k=0}^\infty T^k V <pre> = K \oplus V \oplus (V \otimes V) \oplus (V \otimes V \otimes V) \oplus \ldots </pre>$$

令 $I$為 $V$的張量代數的理想（即雙邊理想），該理想是由所有形如$v \otimes v$的張量生成的（其中$v \in V$任意），則將$V$上的外代數$\Lambda (V)$定義為商代數$T(V)/I$，即

$$<pre> \Lambda(V) := T(V)/I, </pre>$$

並且把$v_1 \otimes \ldots \otimes v_k \in T^k V$的等價類

$\sim$

$\forall u, v \in T(V)\, , u \sim v \Leftrightarrow u - v \in I \, .$

$[v_1 \otimes \ldots \otimes v_k] \in T(V)/I$記為$v_1 \wedge \ldots \wedge v_k$，其中 $v_1, \ldots, v_k \in V$。設$k = 0, 1, 2, \ldots \, ,$ 稱

$$\Lambda^k(V) := (T^k V)/I$$

為$V$的$k$-階外冪（$k$th exterior power of $V$），稱$\land^k (V)$中的元素為$k$-向量（$k$-multivector）。

註：

- $\forall \lambda \in K$，若且唯若$\lambda = 0$時才有$\lambda \in I$，因此，可以把$\Lambda^0 (V) = K/I$等同於$K$，並且把$[\lambda] \in \Lambda^0 (V)$記為$\lambda$；基於類似的原因，可以把$\Lambda^1 (V) = V/I$等同於$V$，而且把$[v] \in \Lambda^0 (V)$記為$v$。這一點是前面所講的能夠把$[v_1 \otimes \ldots \otimes v_k] \in \Lambda^k (V)$記為 $v_1 \wedge \ldots \wedge v_k$的特例和前提。
- 當$k > 1$時，$k$-向量並不僅限於形如$v_1 \wedge \ldots \wedge v_k$的元素，例如，$v_1 \wedge v_2 + w_1 \wedge w_2$也是2-向量，其中$v_1, v_2, w_1, w_2 \in V$.
- 理想$I$中的元素並不僅限於形如$v \otimes v$的張量，例如。
- $\forall v \in V, \forall t \in T(V)$, 必定有 $v \otimes v \otimes t \in I$和$t \otimes v \otimes v \in I$.
- $\forall v, w \in V$, 由於$(v + w) \otimes (v + w) \in I$和$v \otimes v \in I$以及$w \otimes w \in I$，顯然有$v \otimes w + w \otimes v = (v + w) \otimes (v + w) - v \otimes v - w \otimes w \in I$，這就有一個推論：所有的二階對稱張量都在理想$I$中。
- 由於上面的兩個結論，$\forall v, w \in V$，我們有$v \otimes w \otimes v = v \otimes (w \otimes v + v \otimes w) - v \otimes v \otimes w \in I$，這是因為等式右邊的每一項都在$I$中。對張量$t \in T(V)$的階數作數學歸納法，則可以證明：$\forall v \in V$, $\forall t \in T(V)$，總有$v \otimes t \otimes v \in I$。
- 設$k = 2, 3, \ldots$，則$\forall \alpha \in \Lambda^k (V)$，$\alpha$作為等價類含有唯一的一個完全反對稱的代表元$t \in T^k (V)$，可以把這個$k$-階的完全反對稱張量等同於$\alpha$, 詳見後面的「反對稱算子和外冪」一節。在有些文獻中，$k$-向量就是以這種方式定義的。

運算律 將上面的注中的內容用$\wedge$寫出，則分別給出

(1) $\forall \lambda \in K, \alpha \in \Lambda(V)$, $\lambda \wedge \alpha = \alpha \wedge \lambda = \lambda \alpha.$

證明如下：作為等價類，我們從$\alpha \in \Lambda(V) = T(V)/I$中任意挑選一個代表元$t$，則$t \in T(V)$而且$\alpha = [t]$。根據商代數的定義。

$$\lambda \wedge \alpha = [\lambda] \wedge [t] = [\lambda \otimes t] = [\lambda t] = \lambda [t] = \lambda \alpha.$$

類似地，可以證明$\alpha \wedge \lambda = \lambda \alpha \, .$

(2) 根據注3.1中的內容，顯然有$v \wedge v = 0, \, \forall v \in V$.

(3) 根據注3.2中的內容，對任意$v, w \in V$成立著

$$v \wedge w = - w \wedge v.$$

註：即使$K$的特徵為2，這個公式也是對的，只不過此時有$-1 = 1$而已。

(4) 根據商代數的定義以及張量代數的性質，運算$\wedge: \Lambda(V) \times \Lambda(V) \rightarrow \Lambda(V)$滿足結合律和分配律：

$$(\alpha \wedge \beta) \wedge \theta = \alpha \wedge (\beta \wedge \theta),$$

$$(\alpha + \beta) \wedge \theta = \alpha \wedge \theta + \beta \wedge \theta,$$

$$\alpha \wedge (\beta + \theta) = \alpha \wedge \beta + \alpha \wedge \theta,$$

其中$\alpha, \beta, \theta \in \Lambda (V)$都是任意的。

以前兩條性質為例，其證明如下：設張量$a, b, t \in T(V)$分別是$\alpha, \beta, \theta$中的代表元，即$\alpha = [a]$, $\beta = [b]$, $\theta = [t]$, 則

$$(\alpha \wedge \beta) \wedge \theta = ([a] \wedge [b]) \wedge [t] = [a \otimes b] \wedge [t] = [(a \otimes b) \otimes t] = [a \otimes (b \otimes t)] = [a] \wedge [b \otimes t] = [a] \wedge ([b] \wedge [t]) = \alpha \wedge (\beta \wedge \theta),$$

$$(\alpha + \beta) \wedge \theta = ([a] + [b]) \wedge [t] = [a + b] \wedge [t] = [(a + b) \otimes t] <pre> = [a \otimes t + b \otimes t] = [a \otimes t] + [b \otimes t] = [a] \wedge [t] + [b] \wedge [t] = \alpha \wedge \theta + \beta \wedge \theta.$$

(5) 根據上面的(3)和(4)，用數學歸納法可以證明：$\forall \alpha \in \Lambda^k (V) \, , \, \beta \in \Lambda^l (V) \, ,$

$$\beta \wedge \alpha = (-1)^{kl} \alpha \wedge \beta.$$

證明從略。

## 基底和維數

若$V$的維數是$n$而$\left \{ e_1,\ldots,e_n \right \}$是$V$的基，則集合

$$\{e_{i_1}\wedge e_{i_2}\wedge\cdots\wedge e_{i_k} \mid 1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n\}$$

是$k$階外冪$\land^k(V)$的一個基。理由如下：給定任何如下形式的楔積

$$v_1\wedge\cdots\wedge v_k$$

則每個向量$v_j$可以記為基向量$e_i$的一個線性組合；利用楔積的雙線性性質，這可以擴張為那些基向量的楔積的線性組合。任何出現同樣基向量兩次的楔積為0；任何基向量出現的次序不正確的可以重新排序，在交換任何兩個基向量的時候變換符號。一般來講，最後基$k$-向量前的係數可以用通過積$e_i$來描述$v_j$的矩陣的子式來計算。

數一下基元素，我們可以看到$\land^k(V)$的維數是n 取 k。特別的有。

$\land^k(V)=\left \{ 0 \right \}$對於$k>n$.

外代數是一個分級代數，是如下直和

$$\Lambda(V) = \Lambda^0(V)\oplus \Lambda^1(V) \oplus \Lambda^2(V) \oplus \cdots \oplus \Lambda^n(V)$$

其維數等於二項式係數之和，也就是$2^n$.

## 例子: 歐氏三維空間的外代數

考慮空間$\mathbb{R}^3$，其基為$\left \{ i,j,k \right \}$。一對向量

$$\mathbf{u} = u_1 \mathbf{i} + u_2 \mathbf{j} + u_3 \mathbf{k}$$

$$\mathbf{v} = v_1 \mathbf{i} + v_2 \mathbf{j} + v_3 \mathbf{k}$$

楔積為

$$\mathbf{u} \wedge \mathbf{v} = (u_1 v_2 - u_2 v_1) (\mathbf{i} \wedge \mathbf{j}) + (u_1 v_3 - u_3 v_1) (\mathbf{i} \wedge \mathbf{k}) + (u_2 v_3 - u_3 v_2) (\mathbf{j} \wedge \mathbf{k})$$

其中$\left \{ i\land j,i\land k,j\land k \right \}$是三維空間$\land^2\left ( \mathbb{R}^3 \right )$的基底。

再加一個向量

$\mathbf{w} = w_1 \mathbf{i} + w_2 \mathbf{j} + w_3 \mathbf{k}$,

這三個向量的楔積是

$$\mathbf{u} \wedge \mathbf{v} \wedge \mathbf{w} = (u_1 v_2 w_3 + u_2 v_3 w_1 + u_3 v_1 w_2 - u_1 v_3 w_2 - u_2 v_1 w_3 - u_3 v_2 w_1) (\mathbf{i} \wedge \mathbf{j} \wedge \mathbf{k})$$

其中$i\land j\land k$是一維空間$\land^3\left ( \mathbb{R}^3 \right )$的基底。

空間$\land^1\left ( \mathbb{R}^3 \right )$是$\mathbb{R}^3$, 而空間$\land^0\left ( \mathbb{R}^3 \right )$是$\mathbb{R}$。取所有四個子空間的直和得到一個向量空間$\land\left ( \mathbb{R}^3 \right )$，這是八維向量空間

$\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8) := (a_1, a_2 \mathbf{i} + a_3 \mathbf{j} + a_4 \mathbf{k}, a_5 \mathbf{i} \wedge \mathbf{j} + a_6 \mathbf{i} \wedge \mathbf{k} + a_7 \mathbf{j} \wedge \mathbf{k}, a_8 \mathbf{i} \wedge \mathbf{j} \wedge \mathbf{k})$.

那麼，給定一對8維向量$a$和$b$, 其中$a$如上給出，而

$\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, b_6, b_7, b_8)$,

$a$和$b$的楔積如下(用列向量表達),

$\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_1 b_1 \\ a_1 b_2 + a_2 b_1 \\ a_1 b_3 + a_3 b_1 \\ a_1 b_4 + a_4 b_1 \\ a_1 b_5 + a_5 b_1 + a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_1 b_6 + a_6 b_1 + a_2 b_4 - a_4 b_2 \\ a_1 b_7 + a_7 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3 \\ a_1 b_8 + a_8 b_1 + a_2 b_7 + a_7 b_2 - a_3 b_6 - a_6 b_3 + a_4 b_5 + a_5 b_4 \end{pmatrix}$.

容易驗證8維楔積以向量$\left ( 1,0,0,0,0,0,0,0 \right )$為乘法么元。也可以驗證該$\land\left ( \mathbb{R}^3 \right )$代數的楔積是結合的(也是雙線性的):

$$(\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}) \wedge \mathbf{c} = \mathbf{a} \wedge (\mathbf{b} \wedge \mathbf{c}) \qquad \qquad \forall \, \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \isin \Lambda (\mathbf{R}^3),$$

所以該代數是有單位且結合的。

## 叉乘的實質，贗向量與贗標量

對三維歐幾里得空間$E^3$可以建立一個線性同構$\phi: \Lambda^2(E^3) \rightarrow E^3$如下：任取$E^3$的右手的標準正交基$\boldsymbol{i}$，$\boldsymbol{j}$，$\boldsymbol{k}$，規定$\phi$把$\boldsymbol{i} \wedge \mathbf{j}$，$\boldsymbol{j} \wedge \boldsymbol{k}$，$\boldsymbol{k} \wedge \boldsymbol{i}$分別映射為$\boldsymbol{k}$，$\boldsymbol{i}$，$\boldsymbol{j}$，則$\phi$的定義與右手的標準正交基如何選取無關。

不難看出，對任意向量$\boldsymbol{u}$和$\boldsymbol{v}$，這個線性同構把$\boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v}$映射為$\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v}$。這就是叉乘（向量積）的實質。例如，$E^3$中平行四邊形$ABCD$的面積向量可以表示為$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}$. 經過推廣之後，高維黎曼流形$(M, \mathbf{g})$中的緊的二維曲面$\Sigma$的面積則可以用

$$<pre> \int_\Sigma \sqrt{h} \, du^1 \wedge du^2 \, , \qquad h = \left|\begin{array}{cc} h_{11} & h_{12} \\ h_{21} & h_{22} \end{array}\right| \, , </pre>$$

來計算（其中$h_{ab}$是度規張量場$\mathbf{g}$在$\Sigma$上的誘導度規$$<pre> \mathbf{h} = h_{ab} \, du^a \otimes du^b </pre>$$ 的坐標分量），由此可以看到外積和叉乘的深刻關係。

在物理學中，向量（極向量）與贗向量（軸向量）兩個概念經常需要加以區分。從根本上說，向量是$E^3$中的元素，所以在空間反演變換下不會改變方向；而贗向量其實是$\Lambda^2 (E^3)$中的元素，故在空間反演變換下會改變方向。

類似地，藉助於右手的標準正交基，可以把$\Lambda^3 (E^3)$中的元素$a \, \boldsymbol{i} \wedge \boldsymbol{j} \wedge \boldsymbol{k}$映射為「標量"$a \in \mathbb{R} = \Lambda^0 (E^3)$。但是，在空間反演變換下它就會原形畢露，所以稱它為贗標量。真正的標量在空間反演下是不變的，而贗標量在空間反演下會改變符號。

把 2-向量$\boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v}$映射為向量$\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v}$以及把 3-向量$a \, \boldsymbol{i} \wedge \boldsymbol{j} \wedge \boldsymbol{k}$映射為一個實數$a$的映射實際上是一個叫做霍奇對偶的線性映射。

## 泛性質及構造

令$V$為一個域$K$（在多數應用中，也就是實數域）上的向量空間。$\land(V)$是「最一般」的包含$V$的並有一個交替乘法在$V$上由單位的結合$K$-代數這個事實可以用如下的泛性質形式化的表達：

任給一個有單位的結合 $K$-代數$A$和一個$K$-線性映射$j:V\rightarrow A$使得$j(v)j(v)=0$對於每個$v$屬於$V$成立，則存在恰好一個由單位的代數同態$f:\land(V)\rightarrow A$使得$f(v)=j(v)$所有$v$屬於$V$成立。

要構造最一般的包含$V$的代數，而且其乘法是在$V$上交替的，很自然可以從包含$V$的最一般的代數開始，也就是張量代數$T(V)$，然後通過合適的商來強制交替的性質。這樣我們取$T(V)$中由所有形為$v\otimes v$的元素生成的雙邊理想$I$，其中$v$屬於$V$，並定義$\land(V)$為商

$$\land(V)=T(V)/I$$

（並且使用$\land$為$\land(V)$中的乘法的代號）。然後可以直接證明$\land(V)$包含$V$並且滿足上述泛性質。

如果不是先定義$\land(V)$然後把外冪$\land^k(V)$等同為特定的子空間，我們也可以先定義空間$\land^k(V)$然後把它們合併成為一個代數$\land(V)$。這個方法在微分集合中常常用到，並在下節中有描述。

## 反對稱算子和外冪

給定兩個向量空間$V$和$X$，一個從$V^k$到$X$的反對稱算子是一個多線性映射

$$f:V^k\rightarrow X$$

使得只要$v_1,\ldots,v_k$是$V$中線性相關的向量，則

$f\left ( v_1,\ldots,v_k \right )=0$.

最著名的例子是行列式值，從$(K^n)^n$到$K$的反對稱線形算子。

映射

$$w:V^k\rightarrow \land^k(V)$$

它關聯$V$中的$k$個向量到他們的楔積，也就是它們相應的$k$-向量，這也是反對稱的。事實上，這個映射是定義在$V^k$上的「最一般」的反對稱算子：給定任何其它反對稱算子$f:V^k\rightarrow X$，存在一個唯一的線性映射$\varphi:\land^k(V)\rightarrow X\mathrm{with}f=\varphi\circ w$。這個泛性質表述了空間$\land^k(V)$並且可以作為它的定義。

所有從$V^k$到基域$K$的反對稱映射組成一個向量空間，因為兩個這樣的映射的和、或者這樣一個映射和一個標量的乘積也是反對稱的。若$V$是有限維的，維數$n$，則該空間可以認同為$\land^k(V^*)$，其中$V^*$表示$V$的對偶空間。特別的有，從$V^k$到$K$的反對稱映射的空間是$n$取$k$維的。

在這個等同關係下，若基域是$R$或者$C$，楔積有一個具體的形式：它從兩個給定的反對稱映射得到一個新的反對稱映射。設$\omega:V^k\rightarrow K$和$\eta:V^m\rightarrow K$為兩個反對稱映射。和在多線性映射的張量積的情況一樣，楔積的變量數是每個映射的變量數之和。它定義如下：

$$\omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}{\rm Alt}(\omega\otimes\eta)$$

其中多線性映射的交替$\mathrm{Alt}$定義為其變量的所有排列的帶符號平均：

$${\rm Alt}(\omega)(x_1,\ldots,x_k)=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}{\rm sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(k)})$$

注意：有一些書中楔積定義為

$$\omega\wedge\eta={\rm Alt}(\omega\otimes\eta)$$

## 指標記法

在主要由物理學家使用的指標記法中有：

$$(\omega\wedge\eta)_{a_1 \cdots a_{k+m}}=\frac{1}{k!m!}\epsilon_{a_1 \cdots a_{k+m}}^{b_1 \cdots b_k c_1 \cdots c_m} \omega_{b_1 \cdots b_k} \eta_{c_1 \cdots c_m}$$

## 微分形式

令$M$為一個微分流形。一個微分k-形式$\omega$是$\land^kT^*M$（$M$的餘切叢的$k$階外冪）的一個截面。等價的有：$\omega$是$M$的光滑函數，對於$M$的每個點$x$給定一個$\land^k\left ( T_xM \right )^*$的元素。大致來講，微分形式是餘切向量的全局版本。微分形式是微分幾何的重要工具，其中，它們被用於定義德拉姆上同調和亞歷山大-斯潘尼爾上同調。

## 推廣

給定一個交換環$R$和一個$R$-模$M$，我們可以定義和上文一樣的外代數$\land(M)$，它是張量代數$T(M)$適當的商。它會滿足類似的泛性質。

## 物理應用

格拉斯曼代數在物理中有重要應用，它們被用於建模和費米子和超對稱性相關的各種概念。

參看：超空間，超代數，超群

## 相關課題

- 多線性代數
- 張量代數
- 對稱代數
- 克利福德代數