三角函數

三角函數（trigonometric functions）是數學很常見的一類關於角度的函數。三角函數將直角三角形的內角和它的兩邊的比值相關聯，亦可以用單位圓的各種有關線段的長的等價來定義。三角函數在研究三角形和圓形等幾何形狀的性質時有著重要的作用，亦是研究振動、波、天體運動和各種周期性現象的基礎數學工具。在數學分析上，三角函數亦定義為無窮級數或特定微分方程的解，允許它們的取值擴展到任意實數值，甚至是複數值。

常見的三角函數有正弦函數（$\sin$）、餘弦函數（$\cos$）和正切函數（$\tan$或$\operatorname{tg}$或$\operatorname{tang}$）；在航海學、測繪學和工程學等其他學科中還會用到例如餘切函數（$\cot$或$\operatorname{ctg}$）、正割函數（$\sec$）、餘割函數（$\csc$）、正矢函數和半正矢函數等其它三角函數。不同的三角函數之間的關係可以幾何直觀或計算得出，稱為三角恆等式。

三角函數一般用於計算三角形中的未知長度的邊和未知的角度，在導航、工程學和物理學方面都有廣泛的用途。另外，以三角函數為模版，可以定義一類相似的函數，叫做雙曲函數。常見的雙曲函數也稱雙曲正弦函數、雙曲餘弦函數等。

## 歷史

三角函數的早期研究可以追溯到古代。例如古埃及數學家在鑑別尼羅河泛濫後的土地邊界、保持金字塔每邊斜度相同，都使用了三角術，只是他們可能還沒有對這種方式定名而已。古希臘三角術的奠基人是公元前2世紀的喜帕恰斯。他按照古巴比倫人的做法，將圓周分為360等份（即圓周的弧度為360度，與現代的弧度制不同）。對於指定弧度，他給出了對應的弦的長度數值，這記法和現代的正弦函數等價。喜帕恰斯實際上給出了最早的三角函數數值表。然而古希臘的三角學基本是球面三角學。這與古希臘人研究的主體是天文學有關。梅涅勞斯在他的著作《球面學》中使用了正弦來描述球面的梅涅勞斯定理。古希臘三角學與其天文學的應用在埃及的托勒密時代達到了高峰，托勒密在《數學彙編》（Syntaxis Mathematica）中計算了36度角和72度角的正弦值，還給出了計算和角公式和半角公式的方法。托勒密還給出了所有0到180度的所有整數和半整數弧度對應的正弦值。

希臘文化傳播到古印度後，印度人繼續研究了三角術。公元5世紀末的數學家阿耶波多提出用弧對應的弦長的一半來對應半弧的正弦，後來古印度數學家亦用了這做法，和現代的正弦定義一致。阿耶波多的計算中也使用了餘弦和正割。他在計算弦長時使用了不同的單位，重新計算了0到90度中間隔三又四分之三度（3.75°）的三角函數值表。然而古印度的數學與當時的中國一樣，停留在計算方面，缺乏系統的定義和演繹的證明。阿拉伯人也採用了古印度人的正弦定義，但他們的三角學是直接繼承於古希臘。阿拉伯天文學家引入了正切和餘切、正割和餘割的概念，並計算了間隔10分（10′）的正弦和正切數值表。到了公元14世紀，阿拉伯人將三角計算重新以算術方式代數化（古希臘人採用的是建立在幾何上的推導方式）的努力為後來三角學從天文學中獨立出來，成為了有更廣泛應用的學科奠定了基礎。

進入15世紀後，阿拉伯數學文化開始傳入歐洲。隨著歐洲商業興盛起來，航行、曆法測定和地理測繪中出現了對三角學的需求。在翻譯阿拉伯數學著作的同時，歐洲數學家開始製作更詳細精確的三角函數值表。哥白尼的學生喬治·約阿希姆·瑞提克斯製作了間隔10秒（10″）的正弦表，有9位精確值。瑞提克斯還改變了正弦的定義，原來稱弧對應的弦長是正弦，瑞提克斯則將角度對應的弦長稱為正弦。16世紀後，數學家開始將古希臘有關球面三角的結果和定理轉化為平面三角定理。弗朗索瓦·韋達給出了托勒密的不少結果對應的平面三角形式。他還嘗試計算了多倍角正弦的表達方式。

18世紀開始引進解析幾何等分析學工具，數學家開始用分析學研究三角函數。牛頓在1669年的《分析學》一書中給出了正弦和餘弦函數的無窮級數表示。Collins將牛頓的結果告訴詹姆斯·格列高里，後者進一步給出了正切等三角函數的無窮級數。萊布尼茲在1673年左右也獨立得到這結果。歐拉的《無窮小量分析引論》（Introductio in Analysin Infinitorum，1748年）對建立三角函數的分析處理做了最主要的貢獻，他定義三角函數為無窮級數，並表述了歐拉公式，還有使用接近現代的簡寫sin.、cos.、tang.、cot.、sec.和csc.（cosec.）。

1631年徐光啟與鄧玉函、湯若望合撰《大測》首次將三角函數引入中國並確立了正弦、餘弦等譯名。

## 幾何定義

### 以直角三角形來定義

直角三角形只有銳角（大小在0至90度之間的角）三角函數的定義。指定銳角$\theta$可做出直角三角形，使一個內角為$\theta$，對應股（對邊a）、勾（鄰邊b）和弦（斜邊h）：

$\theta$的正弦是對邊與斜邊的比值：$\sin{\theta}=\frac{a}{h}$ $\theta$的餘弦是鄰邊與斜邊的比值：$\cos{\theta}=\frac{b}{h}$ $\theta$的正切是對邊與鄰邊的比值：$\tan{\theta}=\frac{a}{b}$ $\theta$的餘切是鄰邊與對邊的比值：$\cot{\theta}=\frac{b}{a}$ $\theta$的正割是斜邊與鄰邊的比值：$\sec{\theta}=\frac{h}{b}$ $\theta$的餘割是斜邊與對邊的比值：$\csc{\theta}=\frac{h}{a}$

### 以直角坐標系來定義

假設$P(x,y)$是平面直角坐標系$xOy$中的一點，$\theta$是橫軸正向$\vec{Ox}$逆時針旋轉到$\vec{OP}$方向所形成的一個角，$r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0$是$P$到原點$O$的距離，則$\theta$的六種三角函數定義為：

正弦｜餘弦｜正切｜餘切｜正割｜餘割

$\sin \theta = \frac{y}{r}$｜$\cos \theta = \frac{x}{r}$｜$\tan \theta = \frac{y}{x}$｜$\cot \theta = \frac{x}{y}$｜$\sec \theta = \frac{r}{x}$｜$\csc \theta = \frac{r}{y}$

這樣可以定義任何角度的三角函數（除非當定義式無意義時）。大於360°或小於-360°的角度可認為是轉了（逆時針／順時針）不止一圈。而多轉或少轉了整數圈不會影響三角函數的取值。如果按弧度制方式記錄角度，將弧長作為三角函數的輸入值（360°等於$2\pi$），那麼三角函數就是取值為全體實數R，最小正周期（基本周期）為$2\pi$的周期函數，如

$$\sin\theta = \sin\left(\theta + 2\pi k \right), \quad \forall \theta \in \mathbb{R}, \; \; k \in \mathbb{Z}$$

$$\cos\theta = \cos\left(\theta + 2\pi k \right), \quad \forall \theta \in \mathbb{R}, \; \; k \in \mathbb{Z}$$

正弦、餘弦、正割或餘割的基本周期是$2\pi$弧度或360°；正切或餘切的基本周期是$\pi$弧度或180°。

### 單位圓定義

三角函數亦可以根據直角坐標系$xOy$中半徑為1，以圓心為原點$O$的單位圓來定義。指定一角$\theta$，假設$A(1,0)$為起始點，如果$\theta>0$則將$OA$以逆時針方向轉動，如果$\theta<0$則以順時針方向移動，直到轉過的角度等於$\theta$為止。假設最終點A轉到的位置為$P(x,y)$，那麼

正弦｜餘弦｜正切｜餘切｜正割｜餘割

$\sin \theta = y$｜$\cos \theta = x$｜$\tan \theta = \frac{y}{x}$｜$\cot \theta = \frac{x}{y}$｜$\sec \theta = \frac{1}{x}$｜$\csc \theta = \frac{1}{y}$

## 基本性質

從幾何定義中能推導出很多三角函數的性質。例如正弦函數、正切函數、餘切函數和餘割函數是奇函數，餘弦函數和正割函數是偶函數。正弦和餘弦函數的圖像形狀一樣（見右圖），可以看作是沿著坐標橫軸平移得到的兩組函數。正弦和餘弦函數關於$x=\frac{\pi}{4}$軸對稱。正切函數和餘切函數、正割函數和餘割函數也分別如此。

### 三角恆等式

不同的三角函數之間有很多對任意的角度取值都成立的等式，稱為三角恆等式。最著名的是畢達哥拉斯恆等式，它說明對於任何角，正弦的平方加上餘弦的平方必定會是1。這能從斜邊為1的直角三角形應用勾股定理來得出。利用符號形式表示的話，畢達哥拉斯恆等式為

$\sin^2\! x + \cos^2\! x = 1$。

因此可以推導出

$\tan^2\! x + 1 = \sec^2\! x$。

$1+ \cot^2\! x = \csc^2\! x$。

另一個關鍵聯繫是和差公式，它能根據兩個角度自身的正弦和餘弦而給出它們的和與差的正弦和餘弦。它們可以利用幾何的方法使用托勒密的論證方法來推導出來；還可以利用代數方法使用歐拉公式來檢定。

$\sin \left(x+y\right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y$ :$\cos \left(x+y\right)=\cos x \cos y - \sin x \sin y$ :$\tan \left(x+y\right)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \tan y}$ :$\sin \left(x-y\right)=\sin x \cos y - \cos x \sin y$ :$\cos \left(x-y\right)=\cos x \cos y + \sin x \sin y$ :$\tan \left(x-y\right)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x \tan y}$

當兩角相同，和角公式簡化為更簡單的等式，稱為二倍角公式（或倍角公式）：

$$\sin (2x) = 2\sin x \cos x$$

$$\cos (2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$$

$$\tan (2x) = \frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}$$

這些等式還可以用來推導積化和差恆等式，以前曾經利用它把兩數的積變換成兩數的和而像對數那樣使運算更快。（用制好的三角函數表）

還有半角公式：

$$\sin \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$$

$$\cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$$

$$\tan \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}} = \frac{1-\cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{1+\cos x}$$

### 微積分

三角函數的積分和導數可參見導數表、積分表和三角函數積分表。以下是六種基本三角函數的導數和積分。

函數｜$\sin x$｜$\cos x$｜$\tan x$｜$\cot x$｜$\sec x$｜$\csc x$

導數｜$\cos x$｜$-\sin x$｜$\sec^{2} x$｜$-\csc^{2} x$｜$\sec{x}\tan{x}$｜$-\csc{x}\cot{x}$

反導數（不計常數項）｜$-\cos x$｜$\sin x$｜$-\ln \left |\cos x\right |$｜$\ln \left |\sin x\right |$｜$\ln \left |\sec x + \tan x\right |$｜$\ln \left |\csc x - \cot x\right |$

## 分析學定義

### 級數定義

在幾何學中，三角函數的定義建立在幾何直觀上，只用幾何和極限的性質就可以直接得知正弦和餘弦的導數。在分析學中，三角函數是解析函數，數學家利用泰勒級數給出了不依賴幾何直觀的代數定義：

$$\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$

$$\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$$

可以證明以上的無窮級數對任意實數$x$都是收斂的，所以很好地定義了正弦和餘弦函數。

三角函數的級數定義經常用作嚴格處理三角函數和起點應用（比如，在傅立葉級數中），因為無窮級數的理論可以從實數系的基礎發展而來，不需要任何幾何方面的考慮。這樣，這些函數的可微性和連續性便可以單獨從級數定義來確立。

其他三角函數的級數定義：

$$\tan x = \sum_{n=1} ^ \infty \frac{ (-1) ^ {n-1} 2 ^ {2n} (2 ^ {2n} - 1) B_{2n} x ^ {2n - 1}} {(2n)!} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots \left( |x| < \frac {\pi} {2}\right)$$

$$\csc x = \sum_{n=0}^\infty \frac{( - 1 )^{n + 1} 2 (2^{2n - 1} - 1) B_{2n} x^{2n - 1}} {(2n)!} = \frac {1} {x} + \frac {x} {6} + \frac {7 x^3} {360} + \frac {31 x^5} {15120} + \cdots (0 < |x| < \pi)$$

$$\sec x =\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_n x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots \left( |x| < \frac {\pi} {2}\right)$$

$$\cot x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots ( 0 < |x| < \pi)$$

其中$B_n \,$是伯努利數，$E_n \,$是歐拉數。

這些定義也可以看作是每個三角函數作為實函數的泰勒級數。從複分析的一條定理得出，這實函數到複數有唯一的解析擴展。它們有同樣的泰勒級數，複數的三角函數是使用上述級數來定義。

#### 與指數函數和複數的關系

可以從上述的級數定義證明正弦和餘弦函數分別是復指數函數在它的自變量為純虛數時候的虛數和實數部分：

$e^{{\mathrm{i}}\theta} = \cos\theta + {\mathrm{i}}\sin\theta \,$。（i是虛數單位）

歐拉首先注意到這關係式，因此叫做歐拉公式。從中可推出，對實數x。

$$\cos x \, = \, \operatorname{Re} \; \left(e^{{\mathrm{i}}x}\right) \; \; , \qquad \quad \sin x \, = \, \operatorname{Im} \; \left(e^{{\mathrm{i}}x}\right)$$

進一步還可定義對複自變量z的三角函數：

$$\sin z \, = \, \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} \, = \, {e^{{\mathrm{i}}z} - e^{-{\mathrm{i}}z} \over 2{\mathrm{i}}} = -{\mathrm{i}}\sinh \left({\mathrm{i}}z\right)$$

$$\cos z \, = \, \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} \, = \, {e^{{\mathrm{i}}z} + e^{-{\mathrm{i}}z} \over 2} = \cosh \left({\mathrm{i}}z\right)$$

$$\sin (a+b\mathrm{i}) = \sin a \cosh b + (\cos a \sinh b)\mathrm{i}$$

$$\cos (a+b\mathrm{i}) = \cos a \cosh b - (\sin a \sinh b)\mathrm{i}$$

$$\tan (a+b\mathrm{i}) = \frac{\tan a + (\tanh b)\mathrm{i}}{1 - (\tan a \tanh b)\mathrm{i}}$$

（其中$\sinh$、$\cosh$、$\tanh$為雙曲函數，其馬勞克林級數與對應的三角函數很類似，只差在正負號）

$\sin(z)$｜$\cos(z)$｜$\tan(z)$｜$\cot(z)$｜$\sec(z)$｜$\csc(z)$

### 較少見的三角函數

除了上述六種基本函數，史上還有下列幾種較少見的三角函數：

- 弦函數（$\mathrm{crd}\; \theta$）：早期的三角函數表紀錄的是弦的全長（如托勒密全弦表），對應的三角函數為crd函數。不過今日此函數已被正弦函數取代，已經鮮少使用。
- 正矢（$\mathrm{versin}\; \theta$）、餘矢系列函數，與其半值函數（如半正矢系列函數）：早期導航術中很重要的三角函數之一，因半正矢公式出名。不過其定義和基本三角函數高度相關，因此在電腦和電腦普及後這個函數已經幾乎沒再使用。
- 外正割（$\mathrm{exsec}\; \theta$）和外餘割（$\mathrm{excsc}\; \theta$）：由於正割和餘割部分的數值十分接近一，因此運算時很容易出現災難性抵消或數值誤差，因此出現了外正割和外餘割的函數與函數表來解決這類問題。不過這類問題在電腦和電腦普及後逐漸消失，因此這個函數已經幾乎沒再使用。

正矢｜$\mathrm{versin}\; \theta=1-\cos \theta$｜半正矢｜$\mathrm{haversin}\;\theta=\frac{1-\cos\theta}{2}$

餘的正矢｜$\mathrm{vercosin}\; \theta=1+\cos\theta$｜餘的半正矢｜$\mathrm{havercosin}\;\theta=\frac{1+\cos\theta}{2}$

餘矢｜$\mathrm{coversin}\; \theta=1-\sin\theta$｜半餘矢｜$\mathrm{hacoversin}\;\theta=\frac{1-\sin\theta}{2}$

餘的餘矢｜$\mathrm{covercosin}\; \theta=1+\sin\theta$｜餘的半餘矢｜$\mathrm{hacovercosin}\;\theta=\frac{1+\sin\theta}{2}$

外正割｜$\mathrm{exsec}\; \theta=\sec\theta-1$｜外餘割｜$\mathrm{excsc}\; \theta=\csc\theta-1$

弦函數｜$\mathrm{crd}\; \theta= 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$

### 微分方程定義

三角函數在物理學是研究振動和波不可或缺的工具，如簡諧振動滿足以下微分方程，正弦和餘弦函數都滿足

$$y''+ y = 0\,$$

就是說，它們加上自己的二階導數都等於0函數。在由所有這條方程的解的二維向量空間$V$中，正弦函數是滿足初始條件$y(0) = 0$和$y'(0) = 1$的唯一解，而餘弦函數是滿足初始條件$y(0) = 1$和$y'(0) = 0$的唯一解。因為正弦和餘弦函數是線性無關的，它們在一起形成了$V$的基。這種定義正弦和餘弦函數的方法本質上等價於使用歐拉公式。（參見線性微分方程）。很明顯這條微分方程不只用來定義正弦和餘弦函數，還可用來證明正弦和餘弦函數的三角恆等式。進一步的，觀察到正弦和餘弦函數滿足$y''=-y \,$，這意味著它們是二階導數算子的特徵函數。

正切函數是非線性微分方程

$$y'=1+y^2 \,$$

滿足初始條件$y(0) = 0$的唯一解。有個非常有趣的形象證明證明了正切函數滿足這微分方程，參見Needham的Visual Complex Analysis。

#### 弧度的重要性

弧度通過測量沿著單位圓的路徑的長度而指定一角，並構成正弦和餘弦函數的特定輻角。特別是，只有映射弧度到比率的那些正弦和餘弦函數才滿足描述它們的經典微分方程。如果正弦和餘弦函數的弧度輻角是正比於頻率的

$$f(x) = \sin(kx); k \ne 0, k \ne 1 \,$$

則導數將正比於「振幅」。

$f'(x) = k\cos(kx) \,$。

這裡的$k$是表示在單位之間映射的常數。如果$x$是度，則

$k = \frac{\pi}{180^\circ}$。

如果$x$是圈（轉，$2\pi$弧度，$360$度），則

$$k = 2\pi$$

這意味著使用度（或圈）的正弦的二階導數不滿足微分方程

$y'' = -y \,$。

但滿足

$y'' = -k^2y \,$。

對餘弦也是類似的。

這意味著這些正弦和餘弦是不同的函數，因此只有它的輻角是弧度的條件下，正弦的四階導數才再次是正弦。因為凡是作為函數意義上的正弦、餘弦、正切，都只用弧度定義，而不用360度的角度定義。

### 利用函數方程定義三角函數

在數學分析中，可以利用基於和差公式這樣的性質的函數方程來定義三角函數。例如，取用給定此種公式和畢達哥拉斯恆等式，可以證明只有兩個實函數滿足這些條件。即存在唯一的一對實函數$\sin$和$\cos$使得對於所有實數$x$和$y$，下列方程成立：

$$\sin^2\!x + \cos^2\!x = 1,\,$$

$$\sin(x+y) = \sin\!x\cos\!y + \cos\!x\sin\!y,\,$$

$$\cos(x+y) = \cos\!x\cos\!y - \sin\!x\sin\!y,\,$$

並滿足附加條件

$0 < x\!\cos\!x < \sin\!x < x\ \mathrm{for}\qquad 0 < x < 1$。

從其他函數方程開始的推導也有可能，這種推導可以擴展到複數。作為例子，這推導可以用來定義伽羅瓦域中的三角學。

## 計算

計算三角函數是一個十分複雜的主題，由於電腦和提供對任何角度的內置三角函數的科學計算器的廣泛使用，現在大多數人都不再需要了。本節中將描述它在三個重要背景下的計算詳情：歷史上三角函數表的使用、電腦使用的現代技術以及容易找到簡單精確值的一些「重要」角度。（下面只考慮一個角度小範圍，比如0到$\frac{\pi}{2}$，因為三角函數的周期性和對稱性，所有其他角度可以化簡到這範圍內。）

在電腦誕生前，人們通常通過對計算到多個有效數字的三角函數表的內插來計算三角函數的值。這種表格在人們剛剛產生三角函數的概念的時候就已經有了，它們通常是通過從已知值（比如$\sin \frac{\pi}{2}=1$）開始並重複應用半角和和差公式而生成。

現代電腦使用了各種技術。一個常見的方式，特別是在有浮點單元的高端處理器上，是組合多項式或有理式逼近（比如切比雪夫逼近、最佳一致逼近和帕德逼近，和典型用於更高或可變精度的泰勒級數和羅朗級數）和範圍簡約與表查找—首先在一個較小的表中查找最接近的角度，然後使用多項式來計算修正。在缺乏硬體乘法器的簡單設備上，有叫做CORDIC演算法的一個更有效演算法（和相關技術），因為它只用了移位和加法。出於性能的原因，所有這些方法通常都用硬體來實現。

對於非常高精度的運算，在級數展開收斂變得太慢的時候，可以用算術幾何平均來逼近三角函數，它自身通過複數橢圓積分來逼近三角函數。

### 三角函數的特殊值

特殊角度可用勾股定理（即畢氏定理）人手輕易計出三角函數的值。$\pi / 60$弧度（3°）的任何整數倍之正弦、餘弦和正切都可人手計算。以下是常用的特殊函數值。

函數｜$0 \ (0^\circ)$｜$\frac{\pi}{12} \ (15^\circ)$｜$\frac{\pi}{6} \ (30^\circ)$｜$\frac{\pi}{4} \ (45^\circ)$｜$\frac{\pi}{3} \ (60^\circ)$｜$\frac{5\pi}{12} \ (75^\circ)$｜$\frac{\pi}{2} \ (90^\circ)$

$\sin$｜$0$｜$\frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} } {4}$｜$\frac{1}{2}$｜$\frac{\sqrt{2}}{2}$｜$\frac{\sqrt{3}}{2}$｜$\frac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} } {4}$｜$1$

$\cos$｜$1$｜$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$｜$\frac{\sqrt{3}}{2}$｜$\frac{\sqrt{2}}{2}$｜$\frac{1}{2}$｜$\frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2}} {4}$｜$0$

$\tan$｜$0$｜$2-\sqrt{3}$｜$\frac{\sqrt{3}}{3}$｜$1$｜$\sqrt{3}$｜$2+\sqrt{3}$｜$\pm\infty$

$\cot$｜$\pm\infty$｜$2+\sqrt{3}$｜$\sqrt{3}$｜$1$｜$\frac{\sqrt{3}}{3}$｜$2-\sqrt{3}$｜$0$

$\sec$｜$1$｜$\sqrt{6} - \sqrt{2}$｜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$｜$\sqrt{2}$｜$2$｜$\sqrt{6}+\sqrt{2}$｜$\pm\infty$

$\csc$｜$\pm\infty$｜$\sqrt{6}+\sqrt{2}$｜$2$｜$\sqrt{2}$｜$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$｜$\sqrt{6} - \sqrt{2}$｜$1$

註：$\pm\infty$有時會寫作無定義（不存在）。

## 反三角函數

三角函數屬周期函數而不是單射函數，嚴格來說並沒有反函數，要定義其反函數必須先限制三角函數的定義域，使得三角函數成為雙射函數。基本的反三角函數定義為：

反三角函數｜定義｜值域

$\arcsin(x) = y \,$｜$\sin(y) = x \,$｜$-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2} \,$

$\arccos(x) = y \,$｜$\cos(y) = x \,$｜$0 \le y \le \pi \,$

$\arctan(x) = y \,$｜$\tan(y) = x \,$｜$-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2} \,$

$\arccsc(x) = y \,$｜$\csc(y) = x \,$｜$-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}, y \ne 0 \,$

$\arcsec(x) = y \,$｜$\sec(y) = x \,$｜$0 \le y \le \pi, y \ne \frac{\pi}{2} \,$

$\arccot(x) = y \,$｜$\cot(y) = x \,$｜$0 < y < \pi \,$

對於反三角函數，符號$\sin^{-1}$和$\cos^{-1}$經常用於$\arcsin$和$\arccos$。使用這種符號的時候，反函數可能跟三角函數的倒數混淆。「$\mathrm{arc}$」前綴可避免這種混淆，儘管「$\arcsec$」可能偶爾跟「arcsecond」（角秒）混淆。

正如正弦和餘弦那樣，反三角函數也可以根據無窮級數來定義。例如。

$$\arcsin z = z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots$$

這些函數也可以通過證明它們是其他函數的原函數來定義。例如反正弦函數，可以寫為如下積分：

$$\arcsin\left(x\right) = \int_0^x \frac 1 {\sqrt{1 - z^2}}\,\mathrm{d}z, \quad |x| < 1$$

可以在反三角函數條目中找到類似的公式。使用複對數可把這些函數延伸到複數輻角：

$$\arcsin (z) = -{\mathrm{i}} \ln \left({\mathrm{i}} z + \sqrt{1 - z^2} \right)$$

$$\arccos (z) = -{\mathrm{i}} \ln \left( z + \sqrt{z^2 - 1}\right)$$

$$\arctan (z) = \frac{\mathrm{i}} {2} \ln\left(\frac{1-{\mathrm{i}} z}{1+{\mathrm{i}} z}\right)$$

## 相關定理

三角函數，正如其名，在三角學十分重要。三角學研究發現了許多利用三角函數來刻畫三角形、圓形或多邊形的定理。

### 正弦定理

正弦定理聲稱對於邊長為$a$、$b$和$c$而相應角為$A$、$B$和$C$的三角形，有：

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

其中$R$是三角形的外接圓半徑。正弦定理用於計算已知兩角和一邊時三角形的未知邊長，是三角測量中常見情況，前述為數學常用。至於物理學應用為三分力且合力為0的情況。

### 餘弦定理

餘弦定理（也叫餘弦公式）是勾股定理的延伸：

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$

也可表示為

$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$。

餘弦定理用於確定三角形已知兩邊和一角時未知的值。

### 正切定理

$$\frac{a+b}{a-b} = \frac{\tan\dfrac{A+B}{2}}{\tan\dfrac{A-B}{2}}$$

### 餘切定理

$$\cot{ \frac{\alpha}{2 }} = \frac{s-a}{\zeta }$$

其中$\zeta = \sqrt{\frac{1}{s} (s-a)(s-b)(s-c)}$為三角形的內切圓半徑，$s = \frac{a+b+c}{2 }$為三角形半周長。

### 周期函數

三角函數在物理也重要，如用正弦和餘弦函數描述簡諧運動，它描述了很多自然現象，比如附著在彈簧上的物體的振動，掛在繩子上物體的小角度擺動。正弦和餘弦函數是圓周運動的一維投影。

三角函數在一般周期函數的研究中也很有用。這些函數有作為圖像的特徵波模式，在描述循環現象比如聲波或光波的時候是很有用的。每個信號都可以記為不同頻率的正弦和餘弦函數的（通常無限）和；這是傅立葉分析的基礎想法，這裡的三角級數可以用來解微分方程的各種邊值問題。例如，方波可以寫為傅立葉級數

$x_{\mathrm{square}}(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty {\sin{\left [ (2k-1)t \right ]}\over(2k-1)}$。

右邊動畫可見，只用幾項就形成非常準確的估計。

## 延伸閱讀

- Abramowitz, Milton、Irene A. Stegun，Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables，Dover，New York（1964年），ISBN 978-0-486-61272-0。
- Boyer, Carl B.，A History of Mathematics，John Wiley & Sons, Inc.，第二版（1991年），ISBN 978-0-471-54397-8。
- Joseph, George G.，The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics，第二版，Penguin Books，London，（2000年），ISBN 978-0-691-00659-8。
- Kantabutra, Vitit，On hardware for computing exponential and trigonometric functions，IEEE Trans. Computers 45 (3), 328-339（1996年）。
- Maor, Eli， Trigonometric Delights，Princeton Univ. Press.（1998年），重印版（2005年2月25日）：ISBN 978-0-691-09541-7。
- Needham, Tristan， Preface， Visual Complex Analysis，Oxford University Press，（1999年），ISBN 978-0-19-853446-4。
- O'Connor, J.J.、E.F. Robertson， Trigonometric functions，MacTutor History of Mathematics Archive，（1996年）。
- O'Connor, J.J.、E.F. Robertson， Madhava of Sangamagramma，MacTutor History of Mathematics Archive，（2000年）。
- Pearce, Ian G.， Madhava of Sangamagramma，MacTutor History of Mathematics Archive，（2002年）。
- Weisstein, Eric W.， Tangent，MathWorld，2006年1月21日訪問。
- Lars Ahlfors, Complex Analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, second edition, McGraw-Hill Book Company, New York, 1966.

## 外部連結

- Engineers Edge的三角函數列表
- nanoSouffle線上繪圖─可繪畫各種函數。可在各瀏覽器使用，JavaScript只用於實時更新，並非必須
- 正弦和餘弦函數─以REXX來表示
- http://www.dudefree.com/unitcircle/
- 常用三角函數表（文字版）