磁矩

磁矩是磁鐵的一種物理性質。處於外磁場的磁鐵，會感受到力矩，促使其磁矩沿外磁場的磁場線方向排列。磁矩可以用向量表示。磁鐵的磁矩方向是從磁鐵的指南極指向指北極，磁矩的大小取決於磁鐵的磁性與量值。不只是磁鐵具有磁矩，載流迴路、電子、分子或行星等等，都具有磁矩。

科學家至今尚未發現宇宙中存在有磁單極子。一般磁性物質的磁場，其泰勒展開的多極展開式，由於磁單極子項目恆等於零，第一個項目是磁偶極子項、第二個項目是磁四極子（quadrupole）項，以此類推。磁矩也分為磁偶極矩、磁四極矩等等部分。從磁矩的磁偶極矩、磁四極矩等等，可以分別計算出磁場的磁偶極子項目、磁四極子項目等等。隨著距離的增遠，磁偶極矩部分會變得越加重要，成為主要項目，因此，磁矩這術語時常用來指稱磁偶極矩。有些教科書內，磁矩的定義與磁偶極矩的定義相同。

## 概述

一個載流迴圈的磁偶極矩是其所載電流乘以迴路面積：

$\boldsymbol{\mu}=I\mathbf{a}\,\!$。

其中，$\boldsymbol{\mu}\,\!$為磁偶極矩，$I\,\!$為電流，$\mathbf{a}\,\!$為面積向量。磁偶極矩、面積向量的方向是由右手定則決定。

處於外磁場的載流迴圈，其感受到的力矩和其勢能與磁偶極矩的關係為：

$\boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\mu}\times\mathbf{B}\,\!$。

$U= - \boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}\,\!$。

其中，$\boldsymbol{\tau}\,\!$為力矩，$\mathbf{B}\,\!$為磁場，$U\,\!$為勢能。

許多基本粒子，例如電子，都具有內稟磁矩。這種內稟磁矩是許多巨觀磁場力的來源，許多物理現象也和此有關。這種磁矩和古典物理的磁矩不同，而是和粒子的自旋有關，必須用量子力學來解釋。這些內稟磁矩是量子化的，最小的基本單位，常常稱為「磁子」（magneton）。例如，電子自旋的磁矩與波耳磁子的關係式為：

$\boldsymbol{\mu}_s= - g_s \mu_B \mathbf{S}/\hbar\,\!$。

其中，$\boldsymbol{\mu}_s\,\!$為電子自旋的磁矩，電子自旋g因子$g_s\,\!$是一項比例常數，$\mu_B\,\!$為波耳磁子，$\mathbf{S}\,\!$為電子的自旋，$\hbar\,\!$是約化普朗克常數。

## 單位

採用國際單位制，磁偶極矩的因次是面積×電流。磁偶極矩的單位有兩種等價的表示法：

1 安培·公尺2 = 1 焦耳／特斯拉。

CGS單位制又可細分為幾種亞單位制：靜電單位制（electrostatic units），電磁單位制（electromagnetic units）、高斯單位制。

光速 c = 29,979,245,800 ≈ 3·1010｜語言｜國際單位制｜靜電單位制｜電磁單位制｜高斯單位制

中文｜1 安培·公尺2 = 1 焦耳／特斯拉｜= (103 c) 靜安培·公分2｜= (103) 絕對安培·公分2｜= (103) 爾格／高斯

英文｜1 A·m2 =1 J/T｜= (103 c) statA·cm2｜= (103) abA·cm2｜= (103) erg／Gauss

磁偶極矩在電磁單位制與在靜電單位制的比例正好等於單位為公分／秒的光速。

在這篇文章內，所有的方程式都採用國際單位制。

## 兩種磁源

在任何物理系統裏，磁矩最基本的源頭有兩種：

- 電荷的運動，像電流，會產生磁矩。只要知道物理系統內全部的電流密度分佈（或者所有的電荷的位置和速度），理論上就可以計算出磁矩。
- 像電子、質子一類的基本粒子會因自旋而產生磁矩。每一種基本粒子的內稟磁矩的大小都是常數，可以用理論推導出來，得到的結果也已經通過做實驗核對至高準確度。例如，電子磁矩的測量值是−9.284764×10−24焦耳／特斯拉。磁矩的方向完全決定於粒子的自旋方向（電子磁矩的測量值是負值，這意味著電子的磁矩與自旋呈相反方向）。

整個物理系統的淨磁矩是所有磁矩的向量和。例如，氫原子的磁場是以下幾種磁矩的向量和：

- 電子的自旋。
- 電子環繞著質子的軌域運動。
- 質子的自旋。

再舉個例子，構成條形磁鐵的物質，其未配對電子的內稟磁矩和軌域磁矩的向量和，是條形磁鐵的磁矩。

## 計算磁矩的方程式

### 平面迴圈

對於最簡單的案例，平面載流迴圈的磁偶極矩$\boldsymbol{\mu}\,\!$是

$\boldsymbol{\mu}=I \mathbf{a}\,\!$。

其中，$I\,\!$是迴圈所載有的恆定電流，$\mathbf{a}\,\!$是平面迴圈的面積向量。

面積向量和磁偶極矩的方向是由右手定則給出：令四隻手指朝著電流方向彎曲，伸直大拇指，則大拇指所指的方向即是面積向量的方向，也是磁偶極矩的方向。

這有限面積的載流迴圈還有更高階的磁矩，像磁四極矩，磁八極矩等等。假設載流迴圈的面積趨向於零、電流趨向於無窮大，同時保持$\boldsymbol{\mu}=I\mathbf{a}\,\!$不變，則所有更高階的磁矩會趨向於零，這真實的載流迴圈趨向於理想磁偶極子，或純磁偶極子。

### 任意迴路

對於任意迴路案例，假設迴路載有恆定電流$I\,\!$，則其磁偶極矩為

$\boldsymbol{\mu}=I\int_{\mathbb{S}} \mathrm{d} \mathbf{a}\,\!$。

其中，$\mathbb{S}\,\!$是積分曲面，$\mathbb{C}\,\!$是$\mathbb{S}\,\!$邊緣的閉合迴路，$\mathrm{d} \mathbf{a}\,\!$是微小面積元素，$\mathrm{d} \boldsymbol{\ell}\,\!$是微小線元素，$\mathbf{r}\,\!$是$\mathrm{d} \boldsymbol{\ell}\,\!$的位置。

引用向量恆等式

$\int_{\mathbb{S}} \mathrm{d} \mathbf{a}=\frac{1}{2}\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{r}\times\mathrm{d} \boldsymbol{\ell}\,\!$。

即可得到磁偶極矩的路徑積分方程式

$\boldsymbol{\mu}=\frac{I}{2}\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{r}\times\mathrm{d} \boldsymbol{\ell}\,\!$。

### 任意電流分佈

對於最廣義的任意電流分佈案例，磁偶極矩為

$\boldsymbol{\mu}=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{V}}\mathbf{r}\times\mathbf{J}\ \mathrm{d}V\,\!$。

其中，$\mathbb{V}\,\!$是積分體積，$\mathbf{r}\,\!$是源電流位置，$\mathbf{J}\,\!$是電流密度，$\mathrm{d}V\,\!$是微小體積元素。

任意一群移動電荷，像旋轉的帶電固體，都可以用這方程式計算出其磁偶極矩。

### 基本粒子

在原子物理學和核子物理學裏，磁矩的大小標記為$\mu\,\!$，通常測量單位為波耳磁子或核磁子（nuclear magneton）。磁矩關係到粒子的自旋，和／或粒子在系統內的軌域運動。以下列表展示出一些粒子的內稟磁矩：

粒子｜內稟磁矩（10−27 焦耳／特斯拉）｜自旋量子數

電子｜-9284.764｜1/2

質子｜+14.106067｜1/2

中子｜-9.66236｜1/2

緲子｜-44.904478｜1/2

重氫｜+4.3307346｜1

氫-3｜+15.046094｜1/2

欲知道更多有關於磁矩與磁化強度之間的物理關係，請參閱條目磁化強度。

## 載流迴路產生的磁場

載流迴路會在周圍產生磁場。這磁場包括偶極磁場與更高次的多極項目。但是，隨著距離的增遠，這些多極項目會更快速地減小，因此，在遠距離位置，只有偶極項目是磁場的顯要項目。

思考一個載有恆定電流$I\,\!$的任意局域迴路$\mathbb{C}\,\!$，其磁矢勢$\mathbf{A}\,\!$為

$\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint_{\mathbb{C}'}\ \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\,'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\,\!$。

其中，$\mathbf{r}\,\!$是檢驗位置，$\mathbf{r}'\,\!$是源頭位置，是微小線元素$\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\,'\,\!$的位置，$\mu_0\,\!$是磁常數。

假設檢驗位置足夠遠，$r>r'\,\!$，則表達式$\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\,\!$可以泰勒展開為

$\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}=\frac{1}{r}\sum_{n=0}^{\infty}\ \left(\frac{r'}{r}\right)^n P_n(\cos \theta')\,\!$。

其中，$P_n(\cos \theta')\,\!$是勒讓德多項式，$\theta'\,\!$是$\mathbf{r}\,\!$與$\mathbf{r}'\,\!$之間的夾角。

所以，磁矢勢展開為

$\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\ \frac{1}{r^{n+1}}\oint_{\mathbb{C}'}\ (r')^n P_n(\cos \theta') \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\,'\,\!$。

思考$n=0\,\!$項目，也就是磁單極子項目：

$\mathbf{A}_0(\mathbf{r})=\frac{\mu_0 I}{4\pi r}\oint_{\mathbb{C}'}\ \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\,'=0\,\!$。

由於閉合迴路的向量線積分等於零，磁單極子項目恆等於零。

再思考$n=1\,\!$項目，也就是磁偶極子項目：

$\mathbf{A}_1(\mathbf{r})=\frac{\mu_0 I}{4\pi r^{2}}\ \oint_{\mathbb{C}'}\ r' \cos \theta' \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\,'=\frac{\mu_0 I}{4\pi r^{2}}\ ( - \hat{\mathbf{r}}\times \oint_{\mathbb{S}'}\mathrm{d}\mathbf{a}')\,\!$。

注意到磁偶極矩為$\boldsymbol{\mu}=I\oint_{\mathbb{S}'}\mathrm{d}\mathbf{a}'\,\!$，偶極磁矢勢可以寫為

$\mathbf{A}_1(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi }\ \frac{\boldsymbol{\mu}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}\,\!$。

偶極磁場$\mathbf{B}_1\,\!$為

$\mathbf{B}_1(\mathbf{r})=\nabla\times\mathbf{A}_1(\mathbf{r})\,\!$。

由於磁偶極子的向量勢有一個奇點在它所處的位置（原點$\mathbf{O}$），必須特別小心地計算，才能得到正確答案。更仔細地推導，可以得到磁場為

$\mathbf{B}_1(\mathbf{r}) = \frac {\mu_0} {4\pi r^3} \left[3(\boldsymbol{\mu}\cdot\hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mu}\right] +\frac{2\mu_0}{3}\boldsymbol{\mu}\delta^3(\mathbf{r})\,\!$。

其中，$\delta^3(\mathbf{r})\,\!$是狄拉克δ函數。

偶極磁場的狄拉克δ函數項目造成了原子能級分裂，因而形成了超精細結構（hyperfine structure）。在天文學裏，氫原子的超精細結構給出了21公分譜線，在電磁輻射的無線電波範圍，是除了3K背景輻射以外，宇宙彌漫最廣闊的電磁輻射。從復合紀元（recombination）至再電離紀元（reionization）之間的天文學研究，只能依靠觀測21公分譜線無線電波。

給予幾個磁偶極矩，則按照疊加原理，其總磁場是每一個磁偶極矩的磁場的總向量和。

## 處於外磁場的磁偶極子

### 磁偶極子感受到的磁力矩

如圖右，假設載有電流$I\,\!$的一個方形迴圈處於外磁場$\mathbf{B}=B_0\hat{\mathbf{z}}\,\!$。方形迴圈四個邊的邊長為$w\,\!$，其中兩個與$\hat{\mathbf{y}}\,\!$平行的邊垂直於外磁場，另外兩個邊與磁場之間的夾角角弧為$- \theta+\pi/2\,\!$。

垂直於外磁場的兩個邊所感受的磁力矩為

$\boldsymbol{\tau}=\left(IwB_0 \frac{w\sin{\theta}}{2}+IwB_0 \frac{w\sin{\theta}}{2}\right)\hat{\mathbf{y}}=Iw^2B_0\sin{\theta}\hat{\mathbf{y}}\,\!$。

另外兩個邊所感受的磁力矩互相抵消。注意到這迴圈的磁偶極矩為 $\boldsymbol{\mu}=Iw^2\hat{\boldsymbol{\mu}}\,\!$。所以，這迴圈感受到的磁力矩為

$\boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\mu}\times\mathbf{B}\,\!$。

令載流迴圈的面積趨向於零、電流趨向於無窮大，同時保持$\boldsymbol{\mu}=I\mathbf{a}\,\!$不變，則這載流迴圈趨向於理想磁偶極子。所以，處於外磁場的磁偶極子所感受到的磁力矩也可以用上述方程式表示。

當磁偶極矩垂直於磁場時，磁力矩的大小是最大值$\mu B_0\,\!$；當磁偶極矩與磁場平行時，磁力矩等於零。

### 磁偶極子的勢能

將載流迴圈從角弧$\theta_1\,\!$扭轉到角弧$\theta_2\,\!$，磁場所做的機械功$W\,\!$為

$W= - \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau\ d\theta = - \int_{\theta_1}^{\theta_2} \mu B_0\sin{\theta}\ d\theta =\mu B_0(\cos{\theta_2} - \cos{\theta_1})\,\!$。

注意到磁力矩的扭轉方向是反時針方向，而$\theta\,\!$是朝著順時針方向遞增，所以必須添加一個負號。設定$\theta_1=\pi/2\,\!$，則

$W=\mu B_0\cos{\theta_2}=\boldsymbol{\mu}\cdot \mathbf{B}\,\!$。

對抗這磁場的磁力矩，將載流迴圈從角弧$\pi/2\,\!$扭轉到角弧$\theta_2\,\!$，所做的機械功$W_a\,\!$為

$W_a= - W= - \boldsymbol{\mu}\cdot \mathbf{B}\,\!$。

定義載流迴圈的勢能$U\,\!$等於這機械功$W_a\,\!$，以方程式表示為

$U= - \boldsymbol{\mu}\cdot \mathbf{B}\,\!$。

與前段所述同理，磁偶極子的勢能也可以用這方程式表示。當磁偶極矩垂直於磁場時，勢能等於零；當磁偶極矩與磁場呈相同方向時，勢能是最小值$- \mu B_0\,\!$；當磁偶極矩與磁場呈相反方向時，勢能是最大值$\mu B_0\,\!$。

### 非均勻磁場

假設外磁場為均勻磁場，則作用於載流迴路$\mathbb{C}'\,\!$的磁場力等於零：

$\mathbf{F}= I\oint_{\mathbb{C}'}\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}'\times\mathbf{B}=0\,\!$。

假設外磁場為非均勻的，則會有一股磁場力，作用於磁偶極子。依照磁矩模型的不同，求得的磁場力也會不同。採用常見的「電流模型」，則一個磁偶極子所感受到的磁場力為

$\mathbf{F}_{\ell}=\nabla(\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B})\,\!$。

另外一種採用「磁荷模型」。這類似電偶極矩的模型，計算出的磁場力為

$\mathbf{F}_d=(\boldsymbol{\mu}\cdot\nabla)\mathbf{B}\,\!$。

兩者之間的差別為

$\mathbf{F}_l=\mathbf{F}_d + \boldsymbol{\mu}\times \left(\nabla \times \mathbf{B} \right) \,\!$。

假設，電流等於零，電場不含時間，則根據馬克士威-安培方程式。

$\nabla \times \mathbf{B} = 0 \,\!$。

兩種模型計算出來的磁場力相等。可是，假設電流不等於零，或電場為含時電場，則兩種模型計算出來的磁場力不相等。1951年，兩個不同的實驗，研究中子的散射於鐵磁性物質，分別得到的結果與電流模型預估的結果相符合。

## 範例

### 圓形載流迴圈的磁偶極矩

一個載流迴圈的磁偶極矩與其面積和所載電流有關。例如，載有1安培電流，半徑$r'\,\!$為0.05公尺的單匝圓形載流迴圈，其磁偶極矩為：

$\mu=\pi r'\,^2 I=\pi\times 0.05^2\times 1\approx 0.008\;[\mathrm{A}\cdot\mathrm{m}^2]=0.008\;[\mathrm{J/T}]\,\!$。

磁偶極矩垂直於載流迴圈的平面。載流迴圈的磁矩，可以用來建立以下幾點論據：

- 假設場位置的距離$r\,\!$超遠於迴圈半徑$r'=0.05\ \mathrm{m}\,\!$，則磁場會呈反立方減弱：

沿著迴圈的中心軸，磁矩與場位置$\mathbf{r}\,\!$平行：

$B= \frac {\mu_0} {4\pi r^3} 2\mu=\frac{4\pi\times10^{ - 7}}{4\pi r^3}\times 2\times 0.008 \approx \frac{1.6\times 10^{ - 9}}{r^3} \;[\mathrm{T}\cdot\mathrm{m}^3]\,\!$。

在包含迴圈的平面的任意位置，磁矩垂直於場位置：

$B= - \frac {\mu_0} {4\pi r^3} \mu= - \ \frac{4\pi\times10^{ - 7}}{4\pi r^3}\times 0.008\approx -\ \frac{0.8\times 10^{ - 9}}{r^3} \;[\mathrm{T}\cdot\mathrm{m}^3]\,\!$。

負號表示平面任意位置案例與中心軸案例，這兩個案例的磁場呈相反方向。

- 假設在地球的某地方，地磁場$\mathbf{B}_E\,\!$的數值大約為0.5 高斯（5×10−5 特斯拉），而且迴圈磁矩垂直於地磁場$\mathbf{B}_E\,\!$，則此迴圈所感受到的力矩為

$\tau\approx 0.008\times 5\times10^{-5}= 4\times10^{-7} \ [\mathrm{N} \cdot \mathrm{m}]\,\!$。

- 應用力矩的觀念，可以製造出羅盤。假設這羅盤的磁針，由於力矩的作用，從磁針的磁矩垂直於地磁場$\mathbf{B}_E\,\!$，旋轉至磁針的磁矩與地磁場$\mathbf{B}_E\,\!$呈相同方向，則這羅盤-地球系統釋放出的能量$U\,\!$為

$U\approx 0.008\times 5\times10^{-5}= 4\times10^{-7} \ [\mathrm{J}]\,\!$。

由於羅盤懸浮系統的摩擦機制，這能量是以熱量的形式耗散淨盡。

### 螺線管的磁矩

一個多匝線圈（或螺線管）的磁矩是其每個單匝線圈的磁矩的向量和。對於全同匝（單層捲繞），只需將單匝線圈的磁矩乘以匝數，就可得到總磁矩。然後，這總磁矩可以用來計算磁場，力矩，和儲存能量，方法與使用單匝線圈計算的方法相同。

假設螺線管的匝數為$N\,\!$，每一匝線圈面積為$a\,\!$，通過電流為$I\,\!$，則其磁矩為

$\mu=N Ia\,\!$。

### 載電粒子圓周運動的磁矩

假設，一個點電荷$q\,\!$以等速$v\,\!$繞著z-軸，移動於半徑為$r\,\!$的平面圓形路徑，則其電流為

$I=\frac{qv}{2\pi r}\,\!$。

其磁矩為

$\boldsymbol{\mu}=\frac{qv}{2\pi r} \pi r^2=\frac{qvr}{2}\hat{\mathbf{z}}\,\!$。

其角動量$\mathbf{J}\,\!$為

$\mathbf{J}=mvr\hat{\mathbf{z}}\,\!$。

其中，$m\,\!$是載電粒子的質量。

所以，磁矩與角動量的經典關係為

$\boldsymbol{\mu}=\frac{q}{2m}\mathbf{J}\,\!$。

對於電子，這經典關係為

$\boldsymbol{\mu}= - \ \frac{e}{2m_e}\mathbf{J}\,\!$。

其中，$m_e\,\!$是電子的質量，$e\,\!$是電子的絕對電量。

假設，這點電荷是個束縛於氫原子內部的電子。由於離心力等於庫侖吸引力。

$\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\ \frac{e^2}{r^2}=m_e \frac{v^2}{r}\,\!$。

其中，$\epsilon_0\,\!$是電常數。

現在施加外磁場$\mathbf{B}=B\hat{\mathbf{z}}\,\!$於此氫原子，則會有額外的勞侖茲力作用於電子。假設軌道半徑不變（這只是一個粗略計算），只有電子的速度改變為$v_B\,\!$，則

$\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\ \frac{e^2}{r^2}+ev_B B=m_e \frac{v_B^2}{r}\,\!$。

所以。

$v_B^2 - v^2=(v_B + v)(v_B - v)=\frac{ev_B B r}{m_e}\,\!$。

假設，兩個速度的差別$\Delta v=v_B - v\,\!$超小，則

$\Delta v\approx \frac{e B r}{2 m_e}\,\!$。

所以，由於施加外磁場$\mathbf{B}\,\!$，磁矩的變化為

$\Delta \boldsymbol{\mu}= - \frac{e \Delta v r}{2}\hat{\mathbf{z}}= - \frac{e^2 r^2}{4m_e}B\hat{\mathbf{z}}\,\!$。

注意到$\Delta \boldsymbol{\mu}\,\!$與$\mathbf{B}\,\!$呈相反方向，因而減弱了磁場。這是抗磁性的經典解釋。可是，抗磁性是一種量子現像，經典解釋並不正確。

為了簡略計算，使用半經典方法，可以求出磁矩的變化為

$\Delta \boldsymbol{\mu} = - \ \frac{e^2 \langle r^2\rangle}{4m_e}B\hat{\mathbf{z}}\,\!$。

其中，$\langle r^2\rangle\,\!$是半徑平方的期望值。

### 電子的磁矩

電子和許多其它種類的粒子都具有內稟磁矩。這是一種量子屬性，涉及到量子力學。詳盡細節，請參閱條目電子磁偶極矩（electron magnetic dipole moment）。微觀的內稟磁矩集聚起來，形成了巨觀的磁效應和其它物理現象，例如電子自旋共振。

電子的磁矩是

$\boldsymbol{\mu}= - g_e \mu_B \mathbf{S}/\hbar\,\!$。

其中，$g_e\,\!$是電子的朗德g因子，$\mu_B=e\hbar/2m_e\,\!$是波耳磁子，$\mathbf{S}\,\!$是電子的自旋角動量。

按照前面計算的經典結果，$g_e = 1\,\!$；但是，在狄拉克力學裏，$g_e = 2\,\!$；更準確地，由於量子電動力學效應，它的實際値稍微大些，$g_S = 2.002\,319\,304\,36\,\!$。

請注意，由於這方程式內的負號，電子磁矩與自旋呈相反方向。對於這物理行為，經典電磁學的解釋為：假想自旋角動量是由電子繞著某旋轉軸而產生的。因為電子帶有負電荷，這旋轉所產生的電流的方向是相反的方向，這種載流迴路產生的磁矩與自旋呈相反方向。同樣的推理，帶有正電荷的正子（電子的反粒子），其磁矩與自旋呈相同方向。

### 原子的磁矩

在原子內部，可能會有很多個電子。多電子原子的總角動量計算，必須先將每一個電子的自旋總和，得到總自旋，再將每一個電子的軌角動量總和，得到總軌角動量，最後用角動量耦合（angular momentum coupling）方法將總自旋和總軌角動量總和，即可得到原子的總角動量。原子的磁矩$\mu\,\!$與總角動量$\mathbf{J}\,\!$的關係為

$\boldsymbol{\mu}= - g_J \mu_B\mathbf{J}/\hbar\,\!$。

其中，$g_J\,\!$是原子獨特的朗德g因子。

磁矩對於磁場方向的分量$\mu_z\,\!$是

$\mu_z = - g_J \mu_B J_z/\hbar\,\!$。

其中，$J_z=J_m \hbar\,\!$是總角動量對於磁場方向的分量，$J_m\,\!$是磁量子數，可以取2J+1個整數値，-J、 -J+1、…、J-1、J，之中的任意一個整數值。

因為電子帶有負電荷，所以$\mu_z\,\!$是負值。

處於磁場的磁偶極子的動力學，不同於處於電場的電偶極子的動力學。磁場會施加力矩於磁偶極子，迫使它依著磁場線排列。但是，力矩是角動量對於時間的導數。所以，會產生自旋進動，也就是說，自旋方向會改變。這物理行為以方程式表達為

$\frac{1}{\gamma} \frac{d \boldsymbol{\mu}}{dt} = \boldsymbol{\mu}\times\mathbf{H}\,\!$。

其中，$\gamma \,\!$是迴轉磁比率（gyromagnetic ratio），$\mathbf{H}\,\!$是磁場。

注意到這方程式的左手邊項目是角動量對於時間的導數，而右手邊項目是力矩。磁場又可分為兩部分：

$\mathbf{H}=\mathbf{H}_{eff} - \frac{\lambda}{\gamma \mu}\frac{d\boldsymbol{\mu}}{dt}\,\!$。

其中，$\mathbf{H}_{eff}\,\!$是有效磁場（外磁場加上任何自身場），$\lambda \,\!$是阻尼係數。

這樣，可以得到蘭道-李佛西茲-吉爾伯特方程式（Landau–Lifshitz–Gilbert equation）：

$\frac{1}{\gamma} \frac{d \boldsymbol{\mu}}{dt} = \boldsymbol{\mu}\times\mathbf{H}_{eff} - \frac{\lambda}{\gamma \mu}\boldsymbol{\mu} \times\frac{d\boldsymbol{\mu}}{dt} \,\!$。

方程式右邊第一個項目描述磁偶極子繞著有效磁場的進動，第二個項目是阻尼項目，會使得進動漸漸減弱，最後消失。蘭道-李佛西茲-吉爾伯特方程式是研究磁化動力學最基本的方程式之一。

### 原子核的磁矩

核子系統是一種由核子（質子和中子）組成的精密物理系統。自旋是核子的量子性質之一。由於原子核的磁矩與其核子成員有關，從核磁矩的測量數據，更明確地，從核磁偶極矩的測量數據，可以研究這些量子性質。

雖然有些同位素原子核的激發態的衰變期超長，大多數常見的原子核的自然存在狀態是基態。每一個同位素原子核的能態都有一個獨特的、明顯的核磁偶極矩，其大小是一個常數，通過細心設計的實驗，可以測量至非常高的精確度。這數值對於原子核內每一個核子的獨自貢獻非常敏感。若能夠測量或預測出這數值，就可以揭示核子波函數的內涵。現今，有很多理論模型能夠預測核磁偶極矩的數值，也有很多種實驗技術能夠進行原子核測試。

### 分子的磁矩

任何分子都具有明確的磁矩。這磁矩可能會跟分子的能態有關。通常而言，一個分子的磁矩是下列貢獻的總和，按照典型強度從大至小列出：

- 假若有未配對電子，則是其自旋所產生的磁矩（順磁性貢獻）
- 電子的軌域運動，處於基態時，所產生常與外磁場成正比的磁矩（抗磁性貢獻）
- 依照核自旋組態，核自旋所產生的總磁矩。

#### 分子磁性範例

- 氧分子，O2，由於其最外面的兩個未配對電子的自旋，具有強順磁性。
- 二氧化碳分子，CO2，由於電子軌域運動而產生的，與外磁場成正比的，很微弱的磁矩。在某些稀有狀況下，假若這分子是由具磁性的同位素組成，像13C或17O，則此同位素原子核也會將其核磁性貢獻給分子的磁矩。
- 氫分子，H2，處於一個弱磁場（或零磁場），會顯示出核磁性。氫分子的兩種自旋異構體，正氫或仲氫，都具有這種物理性質。

## 參閱

- 電偶極矩
- 磁化強度
- 磁化率
- 球多極矩
- 絕熱不變數
- 磁偶極間交互作用（Magnetic dipole-dipole interaction）