施瓦茨引理

數學上，施瓦茨引理（Schwarz lemma）是複分析中關於定義在單位開圓盤的全純函數的一個結果，以赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨命名。這引理不及其他結果有名（例如黎曼映射定理，其證明有用到這引理），但卻是能顯示全純函數的剛性的一個簡單結果。對於實函數則沒有類似的結果。

## 陳述

設$\mathbb{D}=\{z:|z|<1\}$是複平面上以原點為圓心的單位開圓盤。全純函數$f:\mathbb{D}\to\mathbb{D}$滿足$f(0)=0$，則對任意$z\in\mathbb{D}$，$|f(z)|\le|z|$且$|f'(0)|\le 1$。此外，如果存在$z$使得$|f(z)|=|z|$，或者$|f'(0)|=1$，則f是一個旋轉$f(z)=az$，其中$|a| = 1$。

施瓦茨引理表明，若$f(z)$是從單位圓盤到單位圓盤的解析映射，且原點$z=0$為其不動點，則像點$f(z)$到原點的距離比$z$到原點的距離近。如果有一點使得這兩個距離相等，那麼$f(z)$就一定是一個旋轉。如果在單位圓盤內畫一個圓心在原點的圓（半徑小於1），那麼這個圓在$f(z)$映射下的像一定在這個圓所包圍的區域內部。

## 證明

證明直接應用最大模原理，設

$$g(z) = \begin{cases} <pre> \frac{f(z)}{z}\, & \mbox{if } z \neq 0 \\ f'(0) & \mbox{if } z = 0, </pre> \end{cases}$$

則函數$g(z)$在$\mathbb{D}$內全純，包括原點（由於f(0) = 0且f是全純函數）。設$\mathbb{D}_r=\{z:|z|\le r\}$為圓心在原點半徑為$r<1$的閉圓盤。根據最大模原理，對任意$z\in\mathbb{D}_r$存在邊界上一點$z_r$，使得：

$$|g(z)| \le |g(z_r)| = \frac{|f(z_r)|}{|z_r|} \le \frac{1}{r}$$

當r趨於1時，得到|g(z)| ≤ 1。

而且，如果在$\mathbb{D}$內存在某個不為0的z0，使得g(z0) = 1，那麼把最大模原理應用於g，可得g是常數，因此f(z) = kz，其中k是常數且|k| = 1。這在當|f '(0)| = 1時也是正確的。

## 施瓦茨-皮克定理

施瓦茨引理有一個變體稱為施瓦茨-皮克定理（Schwarz-Pick theorem），刻畫了單位圓盤的解析自同構（即單位圓盤到自身的全純雙射）的特性。

設$f:\mathbb{D} \to \mathbb{D}$ 全純。那麼，對所有$z_1,z_2\in \mathbb{D}$。

$\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{1-\overline{f(z_1)}f(z_2)}\right| \le \frac{\left|z_1-z_2\right|}{\left|1-\overline{z_1}z_2\right|}$。

並且，對任意$z\in\mathbb{D}$。

$\frac{\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^2} \le \frac{1}{1-\left|z\right|^2}.$。

以下表達式

$$d(z_1,z_2)=\tanh^{-1}\left(\frac{\left|z_1-z_2\right|}{\left|1-\overline{z_1}z_2\right|}\right)$$

是龐加萊度量下兩點$z_1,z_2$的距離。龐加萊度量就是二維雙曲幾何的龐加萊圓盤模型的度量。這定理本質上就是說單位圓盤到自身的全純映射會減小各點之間的龐加萊距離。若以上兩不等式有一式的等號成立（就是說這個全純映射保持龐加萊度量下的距離），那麼f一定是單位圓盤的解析自同構，由單位圓盤到自身的莫比烏斯變換所給出。

關於上半平面$\mathbb{H}$有一個相似的命題：

設$f:\mathbb{H}\to\mathbb{H}$全純。那麼，對所有$z_1,z_2\in \mathbb{H}$。

$\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{\overline{f(z_1)}-f(z_2)}\right| \le \frac{\left|z_1-z_2\right|}{\left|\overline{z_1}-z_2\right|}$。

這是上面提到的施瓦茨-皮克定理的簡單推論：只要注意到凱萊變換$W(z)=(z-i)/(z+i)$把上半平面$\mathbb{H}$共形地映為單位圓盤$\mathbb{D}$。則$W\circ f\circ W^{-1}$是$\mathbb{D}$到自身的全純映射，對這個映射使用施瓦茨-皮克定理，並化簡，就能得到想要的結果。還有，對所有$z\in\mathbb{H}$

$$\frac{\left|f'(z)\right|}{\mbox{Im }f(z)} \le \frac{1}{\mbox{Im }z}.$$

若以上兩個不等式中有一式等號成立，那麼$f$必是實係數的莫比烏斯變換。也就是說，若等號成立，則有

$f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$。

其中$a,b,c,d$是實數，並且$ad-bc>0$。

## 施瓦茨-皮克定理的證明

以下形式的莫比烏斯變換

$$\frac{z-z_0}{\bar{z}_0z-1},|z_0|<1$$

把單位圓映到自身。固定$z_ 1$並定義莫比烏斯變換

$$M(z)=\frac{z_1-z}{1-\bar{z}_1z},\varphi(z)=\frac{f(z_1)-z}{1-\overline{f(z_1)}z}$$

由於$M(z_1)=0$，且莫比烏斯變換是可逆的，所以複合$\varphi\circ f\circ M^{-1}$把0映為0，把單位圓盤映到自身。從而可以使用施瓦茨引理，得到

$$|\varphi\circ f\circ M^{-1}(z)|=\left|\frac{f(z_1)-f(M^{-1}(z))}{1-\overline{f(z_1)}f(M^{-1}(z))}\right|\le|z|$$

記$z_2=M^{-1}(z)$，就得到想要的結論

$$\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{1-\overline{f(z_1)}f(z_2)}\right| \le \frac{\left|z_1-z_2\right|}{\left|1-\overline{z_1}z_2\right|}$$

要證明定理的第二部分，把上式左邊整理成差商的形式

$$\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{z_1-z_2}\right|\le\left|\frac{1-\overline{f(z_1)}f(z_2)}{1-\bar{z}_1z_2}\right|$$

令$z_2$趨向於$z_1$即得。

## 進一步的推廣與相關結果

施瓦茨-阿爾福斯-皮克定理給出對雙曲流形的類似結果。

De Brange定理，以前稱為Bieberbach猜想，是該引理的一個重要推廣。

Koebe四分之一定理，給出了f是單值的情況下的一個相關的估計。

## 參考

- Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See Section 2.3)