數列極限

數列極限（limit of a sequence）為某些數列才擁有的特殊值，當數列的下標越來越大的時候，數列的值也就越接近那個特殊值。

## 定義

取一複數數列 ${\{z_i \in \C\}}_{i \in \N}$，若有一複數 $z \in \C$，使得

「對於任意的正實數 $\epsilon > 0$，存在自然數 $n \in \N$，使得任意的自然數 $i \in \N$，只要 $i > n$，則 $|z_i - z| < \epsilon$」

用正式的邏輯語言來表示即

$$(\forall \epsilon > 0)(\exists n \in \N)(\forall i \in \N) [\,(i > n) \Rightarrow (|z_i - z| < \epsilon)\,]$$

則稱數列${\{z_i \in \C\}}_{i \in \N}$收斂於 $z$（convergent to $z$），並記作

$$\lim _{i \to \infty} z_i = z$$

如果不存在這樣的複數 $z \in \C$，則稱 ${\{z_i \in \C\}}_{i \in \N}$ 是發散的（divergent）。

### 實數數列的極限

從上面的定義可以證明，對實數數列 $\{z_i \in \R\}_{i \in \N}$ 來說，若

$$\lim _{i \to \infty} z_i = z$$

則其極限 $z$ 一定為實數。

證明假設 $z$ 的虛部 $\operatorname{Im}(z) \neq 0$ 的話，則對極限定義取 $\epsilon = |\operatorname{Im}(z)| > 0$ 的話，會存在 $n \in \N$，使得任意的 $i \in \N$，只要 $i > n$有 :$|z - z_i| = \sqrt{{[\operatorname{Re}(z) - z_i]}^2 + {|\operatorname{Im}(z)|}^2} < |\operatorname{Im}(z)|$ 這是矛盾的，所以根據反證法，$\operatorname{Im}(z) = 0$，即 $z \in \R$。$\Box$

## 基本性質

### 唯一性

若數列 ${\{z_i \in \C\}}_{i \in \N}$ 的極限存在，則極限是唯一的。

證明設數列 ${\{z_i \in \C\}}_{i \in \N}$ 有兩個不相等的極限值$z,\, z^\prime \in \C$，則根據假設，對任意的 $\epsilon > 0$，存在 $n_1,\,n_2 \in \N$，使任意 $i \in \N$，只要 $i > \max\{n_1,\,n_2\}$ 就有 :$|z_i - z| < \frac{\epsilon}{2}$ :$|z_i - z^\prime| < \frac{\epsilon}{2}$ 這樣根據三角不等式，對任意的 $\epsilon > 0$，只要自然數 $i > n$ 就有則 :$|z - z^\prime| = |(z - z_i) - (z^\prime - z_i)| \le |z - z_i| + |z^\prime - z_i| < \epsilon$ 這樣的話，根據不極限不相等的假設有 :$|z - z^\prime| > 0$ 所以可以取$\epsilon = |z - z^\prime|$而得到 :$|z - z^\prime| < |z - z^\prime|$ 這樣是矛盾的，故根據反證法， $|z - z^\prime| = 0$，也就是 $z = z^\prime$，故極限唯一。$\Box$

### 有界性

若複數數列$\{x_i \in \C\}_{i \in \N}$有極限，則存在正實數 $M > 0$，使得對所有的自然數 $i \in \N$ 都有 $|x_i| \le M$。

（即 $\{x_i \in \R\}_{i \in \N}$ 有極限則必為有界數列）

證明因為$\{x_i \in \C\}_{i \in \N}$有極限，所以有複數 $L \in \C$ 滿足 :$\lim _{n \to \infty} x_n=L$ 這樣的話，對於 $\epsilon = 1 > 0$，存在自然數 $n \in \N$，使得任意的自然數 $i \in \N$，只要 $i > n$，則 :$|x_i - L| < \epsilon = 1$ 從而 :$|x_n| = |(x_n - L) + L| \le |x_n - L| + |L| < 1 + |L|$ 這樣的話，令 :$M = \max \left( |x_1|,\ |x_2|,\cdots ,\ |x_n|,\ 1 + |L| \right)$ 就會有 :$|x_i| \le M$ 故得証。$\Box$

根據實質條件的意義，上面的定理等價於「如果一個複數數列無界，則這個複數數列一定發散。」

注意有界數列不一定有極限，如數列 $1,\ 0,\ 1,\ 0,\cdots ,\ \frac{1 - (-1)^n}{2},\cdots$ 是一個有界數列，但沒有極限。

但是當數列有界，存在一個遞增或是遞減的子數列的話，在假設可數版本的選擇公理成立的情況下，則可以證明此數列有極限。

### 保序性

有實數數列 $\{x_i \in \R\}_{i \in \N}$ 和 $\{y_i \in \R\}_{i \in \N}$，若

$$\lim _{n \to \infty} x_n=a$$

$$\lim _{n \to \infty} y_n=b$$

則「$a > b$」等價於「存在$n \in \N$ 使任何 $i \in \N$ 只要 $i > n$ 就有 $x_i > y_i$」。

證明左至右：取$\epsilon = \frac{a - b}{2} > 0$，則由前提假設，存在 $n_1,\,n_2 \in \N$ 使任何 $i \in \N$ 只要 $i > \max\{n_1,\,n_2\}$ 就有 :$|x_i - a| < \frac{a - b}{2}$ :$|y_i - b| < \frac{a - b}{2}$ 從而 :$y_n < b + \frac{a - b}{2} = \frac{a + b}{2}$ 故 :$y_n < \frac{a + b}{2} < x_n$ 這樣取 $n = \max\{n_1,\,n_2\}$，左至右就得證。$\Box$ 右至左：由前提假設，對任意的 $\epsilon > 0$，存在 $n_1,\,n_2 \in \N$ 使任何 $i \in \N$ 只要 $i > \max\{n_1,\,n_2,\,n\}$ 就有 :$\epsilon -a < x_i < \epsilon + a$ :$\epsilon -b < y_i < \epsilon + b$ :$x_i > y_i$ 從而 :$0 < x_i - y_i < a- b$ 故得證。$\Box$

### 四則運算定理

有複數數列 $\{x_i \in \C\}_{i \in \N}$ 和 $\{y_i \in \C\}_{i \in \N}$，若

$$\lim _{n \to \infty} x_n=a$$

$$\lim _{n \to \infty} y_n=b$$

則

$$\lim _{n \to \infty} \left( {{x_n} \pm {y_n}} \right)= a \pm b$$

證明對任意$\epsilon > 0$ 有 $\frac{\epsilon}{2} > 0$，所以根據前提，對 $\epsilon > 0$ 存在 $n_1,\,n_2 \in \N$ 使任何 $i \in \N$ 只要 $i > \max\{n_1,\,n_2\}$ 就有 :$|x_i - a| < \frac{\epsilon}{2}$ :$|y_i - b| < \frac{\epsilon}{2}$ 這樣根據三角不等式有 :$|(x_i-y_i) - (a - b)| \leq |x_i - a| + |b-y_i| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$ :$|(x_i + y_i) - (a + b)| \leq |x_i - a| + |y_i - b| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$ 故得證。$\Box$

有複數數列 $\{x_i \in \C\}_{i \in \N}$ 和 $\{y_i \in \C\}_{i \in \N}$，若

$$\lim _{n \to \infty} x_n=a$$

$$\lim _{n \to \infty} y_n=b$$

則

$$\lim _{n \to \infty } {x_n} \cdot {y_n} = a \cdot b$$

證明對任意正整數$j \in \N$ 有 :$x_j(y_j - b) + b(x_j - a) = x_j y_j - a b$ (1) 且根據上面的有界性，存在$M > 0$ 使得 :$|x_j| \leq M$ (2) 那對任意的$\epsilon > 0$ 有 $\frac{\epsilon}{|b| + M} > 0$，所以根據前提，對 $\epsilon > 0$ 存在 $n_1,\,n_2 \in \N$ 使任何 $i \in \N$ 只要 $i > \max\{n_1,\,n_2\}$ 就有 :$|x_i - a| < \frac{\epsilon}{|b| + M}$ :$|y_i - b| < \frac{\epsilon}{|b| + M}$ 這樣根據三角不等式和(1)(2)式就有 :$|x_i y_i - a b| \leq |x_i||y_i - b| + |b||x_i - a| \leq M|y_i - b| + |b||x_i - a| < M\frac{\epsilon}{|b| + M} + |b|\frac{\epsilon}{|b| + M} = \epsilon$ 故得證。$\Box$

有實數數列${ \{ x_i \in \R \} }_{i \in \N}$ 滿足

(1) $\lim_{n\to\infty} x_n = a$

(2) $a \neq 0$

(3) 存在正整數$m \in \N$ 使任意正整數 $j \in \N$ 只要 $j > m$ 則$x_j \neq 0$

則

$$\lim _{n \to \infty} \frac{1}{x_n} = \frac{1}{a}$$

證明根據前提(1)，對 $\frac{|a|}{2} > 0$ 存在 $n \in \N$ 使任何 $i \in \N$ 只要 $i > n$ 就有 :$a - \frac{|a|}{2}< x_i < a + \frac{|a|}{2}$ (a) 根據實數系的三分律跟前提(2)，不是 $a > 0$ 就是 $a < 0$；先假設$a > 0$，那根據(a)有 :$\frac{|a|}{2}=\frac{a}{2} < x_i = |x_i|$ (b) 另一方面，若$a < 0$，同樣根據(a)有 :$x_i < \frac{a}{2} < 0$ (c) 所以綜合(b)(c)，可以結論 :「存在 $n \in \N$ 使任何 $i \in \N$ 只要 $i > n$ 就有$\frac{1}{|x_i|} < \frac{2}{|a|}$」(d) 那對任意的$\epsilon > 0$ 有 $\frac{|a|^2\epsilon}{2} > 0$，所以根據前提(2)(3)和式(d)，對 $\epsilon > 0$ 存在 $n_1 \in \N$，使任何 $i \in \N$ 只要 $i > \max\{n_1,\,n,\,m\}$ 就有 :$\left| \frac{1}{x_i} - \frac{1}{a} \right| = \frac{|x_i - a|}{|a||x_i|} < \frac{2|x_i - a|}{|a|^2} < \frac{2}{|a|^2} \cdot \frac{|a|^2\epsilon}{2} = \epsilon$ 故得證。$\Box$

以上的除法定理配上乘法定理，就可以對一般$\frac{x_i}{y_i} = x_i \cdot \frac{1}{y_i}$的狀況取極限。

## 審斂法

其中一個判斷數列是否收斂的定理，稱為單調收斂定理，和實數完備性相關：單調有界數列必收斂，即是說，有上界的單調遞增數列，或是有下界的單調遞減數列，必然收斂。