最小公倍數

最小公倍數（英語：least common multiple，lcm）是數論中的一個概念。若有一個數$X$，可以被另外兩個數$A$、$B$整除，且$X$同時大於或等於$A$和$B$，則$X$為$A$和$B$的公倍數。$A$和$B$的公倍數有無限個，而所有正的公倍數中，最小的公倍數就叫做最小公倍數。同樣地，若干個整數公有的倍數中最小的正整數稱為它們的最小公倍數。$n$個整數$a_1, a_2, \cdots , a_n$的最小公倍數一般記作：$[a_1, a_2, \cdots , a_n]$，或者參照英文記法記作$\operatorname{lcm}(a_1, a_2, \cdots , a_n)$。

對分數進行加減運算時，要求兩數的分母相同才能計算，故需要通分；標準的計算步驟是將兩個分數的分母通分成它們的最小公倍數，然後將通分後的分子相加。

## 與最大公因數之關係

兩個整數的最小公倍數與最大公因數之間有如下的關係：

$$\operatorname{lcm}(a,b)=\frac{|a\cdot b|}{\operatorname{gcd}(a,b)}$$

## 計算方法

最小公倍數可以通過多種方法得到，最直接的方法是列舉法，從小到大列舉出其中一個數（如最大數）的倍數，當這個倍數也是另一個數的倍數時，就求得最小公倍數。另一個方法是利用公式$\operatorname{lcm}(a_1,a_2)=\frac{a_1 a_2 }{\gcd(a_1,a_2)}$來求解，這時首先要知道它們的最大公因數。而最大公因數可以通過短除法得到。

利用整數的唯一分解定理，還可以用質因數分解法。將每個整數進行質因數分解。對每個質數，在質因數分解的表達式中尋找次數最高的乘冪，最後將所有這些質數乘冪相乘就可以得到最小公倍數。譬如求216、384和210的最小公倍數。對216、384和210來說：

$216=2^3 \times 3^3$，$384=2^7 \times 3^1$，$210=2^1 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1$。

其中$2$對應的最高次乘冪為$2^7$；$3$對應的最高次乘冪為$3^3$；$5$和$7$對應的最高次乘冪分別是$5^1$與$7^1$。將這些乘冪乘起來，就可以得到最小公倍數：

$[216, 384, 210]=2^7 \times 3^3 \times 5^1 \times 7^1 = 120960$。

短除法

利用短除法，可以快速計算出多個整數的最小公倍數。

以下為例子:

假設我們要求12、20和42的最小公倍數。

b: 2 3 7

最小公倍數=a×b

因此，12、18和42和最小公倍數=6×2×3×7

所以，6×2×3×7=252，12、18和42的最小公倍數是252

### 遞歸計算多個整數的最小公倍數

可以遞歸求出多個整數的最小公倍數：欲求 $\operatorname{lcm}(a_1,...,a_n) (n\geq 3)$，只需求 $\operatorname{lcm}(a_1,...,a_{n-2},\operatorname{lcm}(a_{n-1},a_n))$。

這利用了性質 $\operatorname{lcm}(a_1,a_2,a_3)=\operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(a_1,a_2),a_3)$。該性質證明如下：

記 $a_1,a_2,a_3$ 的質因數分解分別為$\prod_{i=1}^n p_i^{e_{1i}},\prod_{i=1}^n p_i^{e_{2i}},\prod_{i=1}^n p_i^{e_{3i}}$，其中 $p_i$ 是第 $i$ 個質數。

那麼根據最小公倍數的定義，$\operatorname{lcm}(a_1,a_2,a_3)=\prod_{i=1}^n p_i^{\max(e_{1i},e_{2i},e_{3i})}$。

$\operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(a_1,a_2),a_3)=\operatorname{lcm}(\prod_{i=1}^n p_i^{\max(e_{1i},e_{2i})},a_3) =\prod_{i=1}^n p_i^{\max(\max(e_{1i},e_{2i}),e_{3i})} =\prod_{i=1}^n p_i^{\max(e_{1i},e_{2i},e_{3i})}$。

證畢。

## 程式代碼

以下使用輾轉相除法求得最大公因數，之後再求最小公倍數。

### C

```c
int GCD(int a, int b) {
	if(b) while((a %= b) && (b %= a));
	return a + b;
}

int LCM(int a, int b) {
	return a * b / GCD(a, b);
}
```

### C++

```cpp
template<typename T>
T GCD(T a, T b) {
	if (b) while((a %= b) && (b %= a));
	return a + b;
}

template<typename T>
T LCM(T a, T b) {
	return a * b / GCD(a, b);
}
```

### C#

```csharp
int GCD(int a, int b)
{
	return a % b == 0 ? b : GCD(b, a % b);
}

int LCM(int a, int b)
{
	return a * b / GCD(a, b);
}
```

### Go

```go
func GCD(a, b int) int {
    if b == 0 {
        return a
    }
	return GCD(b, a%b)
}

func LCM(a, b int) int {
	return a * b / GCD(a, b)
}
```

### Java

```java
int GCD(int a, int b) {
	return a % b == 0 ? b : GCD(b, a % b);
}

int LCM(int a, int b) { 
	return a * b / GCD(a, b);
}
```

### Pascal

```pascal
function gcd(a,b:integer):longint;
begin
    if b=0 then gcd:=a
    else gcd:=gcd(b,a mod b);
end;

function lcm(a,b:integer):longint;
begin
    lcm:=(a*b) div gcd(a,b);
end;
```

### Python

```python
def gcd(a, b):
    return a if b == 0 else gcd(b, a % b)
    
def lcm(a, b):
    return a * b / gcd(a, b)
```

### Ruby

```ruby
def gcd(a, b)
  b.zero? ? a : gcd(b, a % b)
end

def lcm(a, b)
  a * b / gcd(a, b)
end
```

### Swift

```swift
func gcd(_ a: Int, _ b: Int) -> Int {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b)
}

func lcm(_ a: Int, _ b: Int) -> Int {
    return a * b / gcd(a, b)
}
```

## 應用

求最小公倍數是進行分數加減法時的步驟之一。將分母通分時，會把所有分數的分母通分為它們的最小公倍數，然後將分子相加。例如：

$${2\over21}+{1\over6}={4\over42}+{7\over42}={11\over42}$$

其中分母42就是21與6的最小公倍數。