希爾伯特空間

在數學裡，希爾伯特空間（Hilbert space）即完備的內積空間，也就是一個帶有內積的完備向量空間。內積的構造推廣了歐幾里得空間的距離和角的概念；完備則確保了其上所有的柯西序列會收斂到此空間裡的一點，從而微積分中的許多概念都可以推廣到希爾伯特空間中。

希爾伯特空間為基於任意正交坐標系上的多項式表示的傅立葉級數和傅立葉變換提供了一種有效的表述方式，而這也是泛函分析的核心概念之一。另外希爾伯特空間也是量子力學的重要數學基礎之一。

## 簡介

希爾伯特空間以大衛·希爾伯特的名字命名，他在對積分方程的研究中研究了希爾伯特空間。馮·諾伊曼在其1929年出版的關於無界自伴算子的著作中，最早使用了「希爾伯特空間」這個名詞。馮·諾伊曼可能是最早清楚地認識到希爾伯特空間的重要性的數學家之一，他在進行對量子力學的基礎性和創造性地研究的時候認識到了這一點。此項研究由馮·諾伊曼與希爾伯特和朗道展開，隨後由尤金·維格納（Eugene Wigner）繼續深入。「希爾伯特空間」這個名字迅速被其他科學家所接受，例如在外爾1931年出版的著作《群與量子力學的理論》（The Theory of Groups and Quantum Mechanics）中就使用了這一名詞。

一個抽象的希爾伯特空間中的元素往往被稱為向量。在實際應用中，它可能代表了一列複數或是一個函數。例如在量子力學中，一個物理系統可以表示為一個複希爾伯特空間，其中的向量是描述系統可能狀態的波函數。詳細的資料可以參考量子力學的數學表述相關的內容。量子力學中由平面波和束縛態所構成的希爾伯特空間，一般被稱為裝備希爾伯特空間（rigged Hilbert space）

在所有的無窮維拓撲向量空間中，希爾伯特空間性質最好，也最接近有限維空間的情形。例如

- 酉群（unitary group）的表示論。
- 平方可積的隨機過程理論。
- 偏微分方程的希爾伯特空間理論，特別是狄利克雷問題。
- 函數的譜分析及小波分析。
- 量子力學的數學描述。

傅立葉分析的一個重要目的是將一個給定的函數表示成一族給定的基底函數的和（可能是無窮和）。這個問題可以在希爾伯特空間中更抽象地描述為：任何一個希爾伯特空間都有一族標準正交基，而且每個希爾伯特空間中的元素都可以唯一地表示為這族基底中的元素或其倍數的和。

## 定義

若在複（或實）內積空間 $H$ 取值的柯西序列，都收斂於 $H$ 內的某個向量，那 $H$ 就被稱為是希爾伯特空間，也就是說$H$ 是個複（或實）內積空間，若其上的向量序列 ${\{v_i \in H\}}_{i\in\N}$ 滿足 （注意 $d(v,\,w):= \|v - w\| = \sqrt{\langle v - w,\,v - w \rangle}$，詳請參見 內積空間#範數）

「對所有的正實數 $\epsilon > 0$，存在正整數 $n \in \N$ 使所有的正整數 $i,\,j \in \N$，只要有 $i,\,j > n$ 就有 $d(v_i,\,v_j) < \epsilon$」

就存在向量 $v \in H$，使得

「對所有的正實數 $\epsilon > 0$，存在正整數 $n \in \N$ 使所有的正整數 $i, \in \N$，只要有 $i > n$ 就有 $d(v_i,\,v) < \epsilon$」

這時稱 $H$ 就被稱為複（或實）希爾伯特空間（Hilbert space）。

## 例子

### 歐幾里得空間

$\mathbb{C}^n$及其上的內積

$$\langle x, y \rangle = \sum_{k=1}^n \overline{x_k} y_k$$

構成了一個複希爾伯特空間（其中短橫線表示一個複數的復共軛。），因為$\mathbb{C}^n$本身就是定義在域 $(\mathbb{C}^n, +, \times)$上的 $n$ 維向量空間，但有限維內積空間必完備，故 $\mathbb{C}^n$是個複希爾伯特空間。

### 序列空間

更一般的希爾伯特空間都是無窮維的，假設$B$是一個任意集合，可以定義其上的$\ell^2$序列空間，記為

$$\ell^2(B) =\left\{ x:B \rightarrow \mathbb{C}\,\bigg|\,\sum_{b \in B} \left|x \left(b\right)\right|^2 < \infty \right\}$$

此空間在定義如下內積後，成為一個希爾伯特空間：

$$\langle x, y \rangle = \sum_{b \in B} \overline{x(b)} y(b)$$

其中$x$和$y$是$\ell^2(B)$中的任意元素。在這個定義中，$B$並非一定要是可數的，在$B$不可數之情形下，$\ell^2(B)$不是可分（separable）的。在下面更具體的例子中，所有的希爾伯特空間在選定適當的$B$的情況下，都可以表示成為$\ell^2(B)$的一個同構空間。特別地，當$B = \mathbb(N)$的時候，可以將其簡單記為$\ell^2$。

### 勒貝格空間

勒貝格空間( 這裡指 $L^2(X)$ 空間 )是指定義在測度空間$(X, \mathcal{M}, \mu)$ 上的函數空間，其中$X$ 代表函數的定義域，$\mathcal{M}$ 的元素是 $X$上的子集族，為 一個 $\sigma$ 代數，一般把 $\mathcal{M}$ 稱作可測空間(measurable space)，而 $\mu$ 是 $\mathcal{M}$ 上的測度。

更仔細的說，$L^2(X, \mu)$( 簡寫做 $L^2(X)$ ) 表示 $X$ 上所有平方可積（square-integrable）的複數值的可測函數的集合。平方可積表示該函數的絕對值的平方的積分是有限的。要注意的是在 $L^2(X)$ 空間裡，對於幾乎處處( almost everywhere )相同的函數，也就是說如果兩函數只在一個測度為0的集合上不相等，我們把這兩函數當做在 $L^2(X)$ 中相同的元素。

此時兩個函數$f$和$g$的內積定義為

$$\langle f,g\rangle=\int_X \overline{f(t)} g(t) \ d \mu(t)$$

- 因為 $f,g\in L^2(X)$，所以這內積的定義沒有問題。

但需要證明的是：

- 此空間在此內積下是完備的。

這個證明可以在相關的書籍中找到，與此例相關的內容可以參看關於$L^p$空間的著作。

### 索伯列夫空間

索伯列夫空間一般表示為$H^s$或者$W^{s, 2}$是希爾伯特空間的另一個重要實例，它多被應用於偏微分方程的研究。

## 基本性質

### 有限維必完備

證明若複內積空間 $V$ 為 $N$ 維，那根據格拉姆-施密特正交化，存在一列向量： : $\{e_1,\,e_2,\,\ldots,\,e_N\}$ 為 $V$ 的正交基底，現在假設 ${\{v_i \in V\}}_{i\in\N}$ 是柯西序列，換句話說： : 「對所有的正實數 $\epsilon > 0$，存在正整數 $n \in \N$ 使所有的正整數 $i,\,j \in \N$，只要有 $i,\,j > n$ 就有 $d(v_i,\,v_j) < \epsilon$」這樣，對每個正整數 $i \in \N$ 存在唯一的一組複數 $z_{i1},\,z_{i2},\,\ldots,\,z_{iN} \in \C$ 使得 : $v_i = \sum^N_{k=1} z_{ik} \cdot e_k$ 這樣根據內積空間的勾股定理有 : ${[d(v_i,\,v_j)]}^2 = \sum^N_{k=1} {|z_{ik} - z_{jk}|}^2 < \epsilon^2$ 取 $x_{ik} = \operatorname{Re}(z_{ik})$ 和 $y_{ik} = \operatorname{Im}(z_{ik})$，則有 : $\sum^N_{k=1} {|z_{ik} - z_{jk}|}^2 = \sum^N_{k=1}{|x_{ik} - x_{jk}|}^2 + \sum^N_{k=1} {|y_{ik} - y_{jk}|}^2< \epsilon^2$ 所以 : ${|x_{ik} - x_{jk}|} < \epsilon$ : ${|y_{ik} - y_{jk}|} < \epsilon$ 這樣的話，對每個正整數 $k \in \N$，實數數列 ${\{x_{ik} \in \R\}}_{i \in \N}$ 和 ${\{y_{ik} \in \R\}}_{i \in \N}$ 是柯西數列，這樣根據實數完備性，存在唯一的 $x_k \in \R$ 和 $y_k \in \R$ 使得 :$\lim_{i \to \infty} x_{ik} = x_k$ :$\lim_{i \to \infty} y_{ik} = y_k$ 那這樣根據數列極限的定義，對每個正整數 $k \in \N$，和所有的正實數 $\epsilon > 0$，存在正整數 $n_1,\,n_2,\,\ldots,\,n_{2N} \in \N$ 使所有的正整數 $i \in \N$，只要有 $i > \max\{n_1,\,n_2,\,\ldots,\,n_{2N}\}$ 就有 :${|x_{ik} - x_k|} < \frac{\epsilon}{\sqrt{2N}}$ :${|y_{ik} - y_k|} < \frac{\epsilon}{\sqrt{2N}}$ 這樣的話，取 $z_k = x_k + i y_k$ 和 $v = \sum^N_{k=1} z_k \cdot e_k$ 會有 : ${[d(v_i,\,v)]}^2 = \sum^N_{k=1}{|x_{ik} - x_k|}^2 + \sum^N_{k=1} {|y_{ik} - y_k|}^2< \epsilon^2$ 換句話說： :$\lim_{i \to \infty} v_i = v$ 這樣就證明了 $V$ 裡的柯西序列必然收斂於 $V$ 裡的向量，故 $V$ 為希爾伯特空間。$\Box$

### 內積為連續函數

$H$ 是個複希爾伯特空間，$v \in H$ 為某向量則：

- 函數 $f(h) = \langle v, h \rangle \; ( h \in H )$ 為 $\tau_H$-$\tau_\R$ 連續
- 函數 $f(h) = \langle h, h \rangle \; (h \in H )$ 為 $\tau_H$-$\tau_\R$ 連續

證明

在希爾伯特空間 H 中，若序列 滿足對任意的 v ∈ H, 都有

$$\lim_n \langle x_n, v \rangle = \langle x, v \rangle,$$

則稱該序列弱收斂到向量 x ∈ H.

例如，任何正交序列 都弱收斂到 0. 此為貝塞爾不等式的結果。根據一致有界原理，每個弱收斂序列 都有界。

反之，希爾伯特空間中的每個有界序列，都有一個弱收斂子序列，此謂巴拿赫-阿拉奧盧定理。這可用作證明某些連續凸泛函的最小值的存在性，正如波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理適用於 ℝd 上的連續函數。一個較簡單的結果是：

若 f : H → ℝ 為凸的連續函數，使得當 ‖x‖ 趨向於 時，就有 f(x) 趨向於，則 f 在某點 x0 ∈ H 取得最小值。

此個結論（並其若干推廣）是變分法中直接法的基礎。更抽象地說，凸泛函的最小值存在，也是因為希爾伯特空間 H 上的閉有界凸集均為弱緊集（因為 H 是自反空間）。弱收斂子序列的存在性是 Eberlein–Šmulian theorem 的特殊情況。

### 帕塞瓦爾恆等式（勾股定理）

在希爾伯特空間 H 中，若兩支向量 u 和 v 滿足 u,v = 0，則稱它們正交，記為 u ⊥ v. 更一般地，若 S 是 H 的子集，則 u ⊥ S 表示 u 與 S 的每個元素都正交。

當 u 和 v 正交時，就有

$$\|u + v\|^2 = \langle u + v, u + v \rangle = \langle u, u \rangle + 2 \, \operatorname{Re} \langle u, v \rangle + \langle v, v \rangle= \|u\|^2 + \|v\|^2\,.$$

對 n 使用數學歸納法，上式可以推廣到對任意 n 支正交向量 u1, ..., un 成立，即

$$\|u_1 + \cdots + u_n\|^2 = \|u_1\|^2 + \cdots + \|u_n\|^2\,.$$

畢達哥拉斯恆等式對每個內積空間都成立，但希爾伯特空間具有完備性，故此恆等式可推廣到對級數成立。一列 正交 向量組成的級數 ∑uk 在 H 中收斂當且僅當各項範數平方組成的級數收斂，且此時

$$\left\|\sum_{k=0}^\infty u_k \right\|^2 = \sum_{k=0}^\infty \left\|u_k\right\|^2\,.$$

此外，正交向量的級數和與求和順序無關。

### 平行四邊形恆等式和極化恆等式

由定義，每個希爾伯特空間都是巴拿赫空間。而在每個希爾伯特空間中，以下平行四邊形恆等式成立:

$$\|u+v\|^2+\|u-v\|^2=2\left(\|u\|^2+\|v\|^2\right)\,.$$

反之，若一個巴拿赫空間滿足平行四邊形恆等式，則其亦為希爾伯特空間，因為它的內積可由極化恆等式唯一確定。對實希爾伯特空間，極化恆等式是

$$\langle u,v\rangle = \tfrac{1}{4}\left(\|u+v\|^2-\|u-v\|^2\right)\,.$$

而對複希爾伯特空間，其為

$$\langle u,v\rangle = \tfrac{1}{4}\left(\|u+v\|^2-\|u-v\|^2+i\|u+iv\|^2-i\|u-iv\|^2\right)\,.$$

由平行四邊形恆等式，可以推出任何希爾伯特空間都是一致凸巴拿赫空間。

## 投影定理

### 最佳逼近

根據希爾伯特射影定理，若 C 是希爾伯特空間 H 的非空閉凸子集，x為 H 的任一點，則存在唯一的 y ∈ C 使其到 x 的距離是各個 C 中的點到 x 的距離中最小的，即

$$y \in C \,, \quad \|x - y\| = \operatorname{dist}(x, C) = \min \{ \|x - z\| : z \in C \}\,.$$

此等價於經平移的凸集 D = C − x 中有範數最小的元素。欲證之，可先證明對每個序列 (dn) ⊂ D，若各項範數趨向於D中範數的下確界，則其為柯西序列（利用平行四邊形恆等式），故由完備性知其收斂到D 的某點。此結論對任意一致凸巴拿赫空間均適用。

當對 H 的閉子空間 F 應用此結論時，可以證明最靠近 x 的點 y ∈ F 滿足

$$y \in F \,, \quad x - y \perp F \,.$$

該點 y 稱為 x 到 F 上的 正交射影，而這給出的映射 PF : x ↦ y 是線性的。此結論於應用數學有用，而數值分析尤甚，因這結論是最小二乘法的基礎。

特別到，當 F 不等於 H 時，可找到一支非零向量 v 與 F 正交（選 x ∉ F 並考慮 v = x − y）。由此得到一個有用的判定條件：

H 的子集 S 線性生成一個稠密的子空間當且僅當向量 0 是 H 中與 S 正交的唯一向量。

### 對偶性

對偶空間 H* 是所有由H 到其系數域的連續線性函數組成的空間。其具有一個自然的範數，由下式給出：

$$\|\varphi\| = \sup_{\|x\|=1, x\in H} |\varphi(x)| \,.$$

這滿足平行四邊形恆等式，故對偶空間亦為一個內積空間。同時它也是完備的，所以希爾伯特空間的對偶空間也是希爾伯特空間。

里斯表示定理 描述了這個對偶空間。對每個 H 的元素 u， H* 中有唯一的 φu 滿足

$$\varphi_u(x) = \langle x,u\rangle \,.$$

則 u ↦ φu 是從 H 到 H* 的反線性映射。里斯表示定理說此映射是個反線性同構。所以對每個 H* 的元素 φ，都存在唯一的 uφ ∈ H 使得

$$\langle x, u_\varphi\rangle = \varphi(x)$$

對任意 x ∈ H 都成立。對偶空間 H* 上的內積滿足

$$\langle \varphi, \psi \rangle = \langle u_\psi, u_\varphi \rangle \,.$$

注意右邊的次序反轉了，才使 uφ 的反線性變回上述內積對 φ 的線性。當 H 是實希爾伯特空間時，從 H 到其對偶的反線性同構實際上是一般的同構，所以實希爾伯特空間自然地與其對偶同構。

表示 φ 的向量 uφ 可藉下列方法找到。當 φ ≠ 0 時，核 F = Ker(φ) 是 H 的閉子空間，且不等於 H，故存在非零向量 v 與 F 正交。取向量 u 為 v 的純量倍 λv，於是條件 φ(v) = ⟨v,u⟩ 給出

$$u = \langle v, v \rangle^{-1} \, \overline{\varphi (v)} \, v \,.$$

物理學上廣泛應用的狄拉克符號正利用了φ ↔ u 的對應關係。物理學家通常約定，內積 x 對右邊的運算元線性，即

$$\langle x| y \rangle = \langle y, x \rangle \,.$$

於是 x 可以視為線性泛函 x （稱為 左矢）作用在向量 y （稱為 右矢）的結果。

里斯表示定理要求空間的完備性。事實上，從定理可知任意內積空間的拓撲對偶都與其完備化空間同構。作為里斯表示定理的直接推論，希爾伯特空間 H 是 自反空間, 即由 H 到其對偶之對偶的自然映射是同構。

## 希爾伯特空間的基

希爾伯特空間的一個中間概念是標準正交基，即其上的一族函數$\{e_k\}_{k \in B}$滿足：

- 所有元素都是單位化的：即對於任意$x$，$\Vert e_k \Vert = 1$，$\forall k \in B$。
- 所有元素彼此正交：若$x$和$y$是這族基中的不同元素，那麼$<x, y> = 0$。
- 其線性擴張稠密：即其中的所有元素的有限的線性組合是$H$的一個稠密子集。

有時也使用標準正交列或標準正交集指代。

標準正交基的一些實例：

- 集合（$\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$）

## 希爾伯特空間的相互作用

給定任意兩個（或更多）希爾伯特空間，利用直和或張量積的方式，可以給出一個更大的希爾伯特空間。

## 請參見

- 完備的度量空間或完備的距離空間
- 完備的賦范空間
- n維歐幾里得空間