歸納推理

歸納法或歸納推理（Inductive reasoning），有時叫做歸納邏輯，是論證的前提支持結論但不確保結論的推理過程。它基於對特殊的代表（token）的有限觀察，把性質或關係歸結到類型；或基於對反覆再現的現象的模式（pattern）的有限觀察，公式表達規律。例如，使用歸納法在如下特殊的命題中：

- 冰是冷的。
- 彈子球在擊打球桿的時候移動。

推斷出普遍的命題如：

- 所有冰都是冷的。
- 所有彈子球都在擊打球桿的時候移動。

廣義而言，歸納推理泛指多種推理方法，其中論證的結論並非以演繹的確定性獲得支持，而至多具有某種程度的概然性。與演繹推理（例如數學歸納法）不同（在演繹推理中，只要前提正確，結論便是「確定的」），歸納推理在給定前提下得出的結論至多是「概然的」。

## 例子

強歸納：

所有觀察到的烏鴉都是黑的。

所以所有烏鴉都是黑的。

這例示了歸納的本質：從特殊歸納出普遍。結論明顯不是確定的。除非我們見過所有的烏鴉 - 我們怎能都知道呢? - 可能還有些罕見的藍(烏)鴉或是白(烏)鴉。

弱歸納：

我總是把畫像掛在釘子上。

所以所有畫像都是掛在釘子上的。

在這個例子中，前提建立在確定事物之上： 「我總是把畫像掛在釘子上」，但是不是所有的人都把畫像掛在釘子上，而那些確實使用釘子的人也可能只是有時使用。有很多物體可以用來掛畫像，包括但不限於：螺絲釘、螺栓和夾子。我做的結論是過度普遍化，並在某些情況下是錯的。

少年們得到了許多超速罰單。

所以所有少年都超速。

在這個例子中，基礎前提不是建立在確定事物之上：不是所有我發現超速的少年得到了罰單。這可能在於少年要超速的普遍本質 - 同烏鴉是黑的一樣 - 但是前提所基於的更像痴心妄想而不是直接的觀察。

## 有效性

多數人學習的形式邏輯是演繹的，而歸納推理則是屬於非形式邏輯。雖然如此，但一些哲學家仍堅持建立歸納邏輯的系統，但是對歸納的邏輯是否可能是有爭議的。相對於演繹推理，歸納推理達成的結論並非必然與最初的假定有相同的確定程度。例如，所有天鵝都是白色的結論明顯是錯的，但在殖民於澳大利亞之前在歐洲一直被認為是正確的。歸納論證從來就不是有約束力的但它們可以是有說服力的。歸納推理在演繹上是無效的。（在形式邏輯中的論證是有效的，若且唯若論證的前提為真而結論卻為假是不可能的。）

在歸納法中，總是有很多結論可以合理的關聯於特定前提。歸納是開放的；而演繹是封閉的。

歸納問題的經典哲學處理，意味著為歸納推理找到了正當理由，是蘇格蘭人大衛·休謨完成的。休謨突出了依據重複經驗的模式的我們的日常推理，而不是演繹上的有效論證。比如我們相信麵包對我們有益，因為過去一直如此，但是麵包將來對我們有害至少是可以想像的。

休謨說對所有事情都堅持可靠的演繹上的正當有理的人會餓死的。替代激進懷疑論關於所有事物的無所作為，他提倡基於常識的實用懷疑論，這裡接受歸納法是必然的。

二十世紀的開發者很不同的為歸納問題加了外框。勝過選擇對將來做什麼預測，它可以被看作是選擇適合於觀察的概念（參見條目藍綠色）或適合於觀測數據點的曲線圖。

歸納法有時被加邊框為關於從過去做關於將來的推理，但是在最廣泛的意義上它涵蓋了在已觀察的事物的基礎上達成對未觀察的事物的結論。從現在的證據推論過去（比如考古）也算做歸納法。歸納法也可以跨越空間而不是時間，比如從在我們的星系得出關於整個宇宙的結論，基於本地經濟業績得出關於國家經濟政策的結論。

## 歸納推理的類型

歸納推理的類型包括普遍化、預測、統計三段論、類比論證和因果推斷。它們的結果如何被看待也各有差異。

### 歸納普遍化

普遍化（更準確地說是「歸納普遍化」）是從關於樣本的前提推出關於總體的結論的過程。從樣本獲得的觀察被投射到更廣的總體之上。

樣本中比例為Q的部分具有性質A。

所以，總體中比例為Q的部分具有性質A。

例如，罈中有20個非黑即白的球：為了估計黑球和白球各自的數目，抽取四個球作為「樣本」，其中三個是黑球、一個是白球。一種歸納普遍化的結論可能是：罈中有15個黑球和5個白球。然而就罈中（「總體」）各色球的「實際」數目而言，這只是17種可能性之一——也可能是19個黑球而僅有1個白球，或只有3個黑球而有17個白球，或介於其間的任何組合。每種可能分布是實際黑白球數的機率，可以使用貝葉斯推斷（以觀察到的樣本更新關於分布的先驗假設）或最大似然估計（找出在觀察樣本下最可能的分布）等技術來估計。

前提對結論的支持程度，取決於樣本群體中的個體數目、總體中的成員數目，以及樣本代表總體的程度（對於靜態總體，這可以通過隨機抽樣來達成）。樣本代表總體的程度取決於個別觀察所用程序的可靠性，這並不總像從靜態總體中隨機取出一個元素那樣簡單，而後者本身也並不總是簡單的。樣本相對於總體的規模越大、樣本越能貼切地代表總體，普遍化就越強。輕率概化和抽樣偏差（以偏概全）是與普遍化有關的謬誤。

#### 統計普遍化

統計普遍化是一種歸納論證，其中關於總體的結論是使用具有統計代表性的樣本推斷出來的。例如：

在相當規模的隨機抽樣的選民中，66%支持Z法案。

所以，大約66%的選民支持Z法案。

只要抽選過程真正隨機，且樣本中具有所考察性質的項目數量足夠大，這一測量在明確界定的誤差範圍內就是高度可靠的，並且易於量化。將上述論證與下面的論證作比較：「我讀書會裏的十個人中有六個是自由意志主義者。所以，大約60%的人是自由意志主義者。」這個論證很弱，因為樣本不是隨機的，而且樣本規模非常小。

統計普遍化也稱為「統計投射」和「樣本投射」。

#### 軼事普遍化

軼事普遍化是一種歸納論證，其中關於總體的結論是使用非統計樣本推斷出來的。換言之，這種普遍化是基於軼事證據的。例如：

今年到目前為止，他兒子的少棒隊十場比賽贏了六場。

所以，到賽季結束時，他們大約會贏得60%的比賽。

這種推論不如統計普遍化可靠（因而更容易犯輕率概化的謬誤），首先因為樣本事件不是隨機的，其次因為它不能化約為數學表達式。從統計上說，根本無從得知、測量和計算將在未來出現的影響賽績的各種情況。在哲學層面上，這一論證依賴於「未來事件的運行將反映過去」這個預設。換言之，它把自然的齊一性視為理所當然——那是一條無法從經驗數據本身推導出來的未經證明的原理。默認預設這種齊一性的論證有時被稱為「休謨式的」，得名於最先對其加以哲學審視的哲學家。

### 預測

歸納預測從其他實例的樣本得出關於未來、當前或過去實例的結論。與歸納普遍化一樣，歸納預測依賴於由某現象的具體實例構成的數據集。但歸納預測不以普遍陳述作結，而是以一個具體陳述作結：關於單個實例將具有（或不具有）其他實例所共有（或不共有）的某性質的機率。

群體G中比例為Q的已觀察成員具有性質A。

所以，群體G的其他成員在下次被觀察時，有相當於Q的機率具有性質A。

### 統計三段論

統計三段論是從關於一個群體的普遍化推出關於一個個體的結論的過程。

總體P的已知實例中比例為Q的部分具有性質A。

個體I是P的另一個成員。

所以，I具有A的機率相當於Q。

例如：

Excelsior預備學校90%的畢業生繼續升讀大學。

Bob是Excelsior預備學校的畢業生。

所以，Bob很可能會升讀大學。

這就是「統計三段論」。儘管無法確定Bob會上大學，但（在沒有進一步資訊的情況下）這一結果的確切機率是完全有保證的。兩種dicto simpliciter謬誤可能出現在統計三段論中：「意外」和「反意外」。

### 類比論證

類比推論的過程是：注意到兩個或多個事物的共有性質，並在此基礎上推論它們也共有某個進一步的性質：

P和Q在性質a、b、c方面相似。

已觀察到對象P還具有性質x。

所以，Q很可能也具有性質x。

類比推理在常識、科學、哲學、法律和人文學科中非常常見，但有時它只被接受為一種輔助方法。案例推理是其精緻化的形式。

礦物A和礦物B都是常含石英礦脈的火成岩，最常見於南美洲有古代火山活動的地區。

礦物A還是一種適合雕刻成珠寶的軟石。

所以，礦物B很可能也是一種適合雕刻成珠寶的軟石。

這就是「類比歸納」，據此，在某些方面相似的事物更傾向於在其他方面也相似。哲學家約翰·斯圖爾特·密爾在其《邏輯體系》中詳細探討了這種歸納形式，他說：「毫無疑問，每一種〔未知為不相干的〕相似之處，都在原有基礎之外為結論提供了某種程度的機率支持。」參見密爾五法。

一些思想家主張，類比歸納是歸納普遍化的一個子類別，因為它假定了一種支配事件的預先確立的齊一性。類比歸納還需要對被引為兩者共有的那些特徵的「相干性」進行輔助考察。在前面的例子中，如果加上一個前提，說這兩種石頭都曾見載於早期西班牙探險者的記錄，那麼這一共同屬性對於石頭本身是外在的，無助於它們之間的概然親緣性。

類比的一個陷阱是特徵可能被選擇性地挑選：即使對象顯示出驚人的相似之處，並置的兩個事物也可能各自具有類比中未指出的、截然「不」相似的其他特徵。因此，如果不進行所有相關的比較，類比可能產生誤導。

### 因果推斷

因果推斷基於效果發生的條件，得出關於可能的或概然的因果聯繫的結論。關於兩個事物相關性的前提可以指示它們之間的因果關係，但必須確認額外的因素，才能確立因果關係的確切形式。

### 其他類型

簡單歸納:簡單歸納是從關於一個樣本群體到關於另一個個體的結論的過程。

- 全體P的比例為Q的已知實例有性質A。
- 個體I是P的另一個成員。
- 結論：個體I有性質A的機率相當於Q。

這實際上是普遍化和統計三段論的組合，這裡的普遍化的結論也是統計三段論的第一個前提。

訴諸權威（典據論證）:引經據典論證基於來源說真命題的比例得出關於一個陳述的真實性的結論。它與推測有相同的形式。

- 權威A的比例為Q的主張是對的。
- 權威A的這個主張是對的機率相當於Q。

例子：

來自關於邏輯的網站的所有的評述都是對的。

這個資訊來自關於邏輯的網站。

所以，這個資訊（可能）是對的。

## 方法

達成歸納普遍化的兩種主要方法是「枚舉歸納」和「消除歸納」。

### 枚舉歸納

枚舉歸納是一種歸納方法，其中普遍化是根據支持它的實例的「數目」構造的。支持的實例越多，結論就越強。

最基本形式的枚舉歸納從特殊實例推理到所有實例，因而是一種無限制的普遍化。如果觀察了100隻天鵝，而全部100隻都是白的，人們可能推出一個概然的全稱直言命題：「所有天鵝都是白的」。由於這種推理形式的前提即使為真也不蘊涵結論為真，這是歸納推論的一種形式。結論可能為真，也可能被認為概然為真，但它仍可能為假。關於枚舉歸納的證成和形式的問題一直是科學哲學的核心議題，因為枚舉歸納在科學方法的傳統模型中具有樞紐地位。

迄今發現的所有生命形式都由細胞構成。

所以，所有生命形式都由細胞構成。

這就是「枚舉歸納」，又稱「簡單歸納」或「簡單預測歸納」。它是歸納普遍化的一個子類別。在日常實踐中，這也許是最常見的歸納形式。就上述論證而言，結論頗具吸引力，但所作的預測遠遠超出了證據。首先，它假定迄今觀察到的生命形式能夠告訴我們未來的情形將會如何：這是一種對齊一性的訴求。其次，結論中的「所有」是一個大膽的斷言。只要有一個相反的實例，論證就宣告失敗。最後，以任何數學形式量化概然性的程度都是成問題的。我們用什麼標準來衡量我們地球上已知生命的樣本相對於所有（可能的）生命？假設我們確實發現了某種新的有機體——比如漂浮在中間層或某顆小行星上的某種微生物——而且它是由細胞構成的。這一佐證性證據的加入是否迫使我們提高對該命題的機率評估？一般認為回答「是」是合理的，而且對許多人來說這個「是」不僅合理而且無可爭辯。那麼這一新數據究竟應當使我們的機率評估改變「多少」？在這裏，共識便消融了，取而代之的是這樣一個問題：無論有沒有數值量化，我們究竟能否融貫地談論機率。

迄今發現的所有生命形式都由細胞構成。

所以，「下一個」被發現的生命形式將由細胞構成。

這是「弱形式」的枚舉歸納。它把「所有」截短為僅僅單個實例，通過提出弱得多的主張，大大增強了其結論的概然性。除此之外，它與強形式有同樣的缺陷：其樣本總體不是隨機的，而且量化方法難以捉摸。

### 消除歸納

消除歸納又稱變異歸納，是最早由弗蘭西斯·培根提出的一種歸納方法；在這種方法中，普遍化是根據支持它的實例的「多樣性」構造的。與枚舉歸納不同，消除歸納根據支持結論的實例的種類之不同進行推理，而不是根據支持它的實例數目。隨著實例多樣性的增加，就能識別出更多基於這些實例的可能結論彼此不相容而加以消除。這反過來又增強了任何仍與各種實例保持一致的結論的強度。在此語境下，信心是已被識別為不相容並被消除的實例數目的函數。這種信心表達為培根式機率 i|n（讀作「n個之中的i個」），其中已識別出n個認為某主張不相容的理由，而其中i個已被證據或論證消除。

攻擊一個論證有三種方式；這些方式——在可廢止推理文獻中稱為「擊敗者」（defeaters）——是：反駁（rebutting）、削弱（undermining）和截斷（undercutting）。反駁通過提出反例來擊敗論證；削弱通過質疑證據的有效性來擊敗論證；截斷則通過指出推論成立而結論不成立的條件來擊敗論證。這一進路正是通過識別擊敗者並證明其錯誤來建立信心的。

這類歸納可以使用不同的方法論，例如準實驗法，它檢驗並在可能時消除競爭假說。也可以採用不同的證據檢驗來消除所考慮的可能性。

消除歸納對科學方法至關重要，用於消除與觀察和實驗不一致的假說。它關注可能的原因，而不是觀察到的因果聯繫的實際實例。

消除歸納也因其依賴於在排除之前必須識別出所有貌似合理的競爭假說而受到批評。薩爾蒙（Salmon）指出，這一要求在科學實踐中很少能夠達成，因為即使在現有替代方案被拋棄之後仍可能出現新的解釋，這限制了該方法所能提供的確定性。托雷蒂（Torretti）同樣論證說，消除策略面臨更廣泛的非充分決定問題：若干不同的假說可能與同一批證據保持相容，除非可能性的空間已被明確界定，否則消除就是不完全的。

## 歷史

### 古代哲學

對於從特殊到普遍的推進，公元前300年代的亞里斯多德使用了希臘語詞「epagogé」，西塞羅將其翻譯為拉丁語詞「inductio」。

#### 亞里斯多德與逍遙學派

亞里斯多德的《後分析篇》涵蓋了自然哲學和社會科學中歸納證明的方法。《後分析篇》第一卷描述了證明的本性與科學及其要素：包括定義、劃分、對第一原理的直觀理性、特殊證明與普遍證明、肯定證明與否定證明、科學與意見的區別等。

#### 皮浪主義

古代皮浪主義者是最早指出歸納問題的西方哲學家：在他們看來，歸納無法證成把全稱陳述接受為真。

#### 古代醫學

古希臘醫學的經驗學派採用「epilogism」作為推論方法。「Epilogism」是一種免於理論的方法，它通過事實的積累來看待歷史，不作重大的普遍化，並顧及提出因果主張的後果。Epilogism是一種完全在可見和明顯事物領域之內進行的推論，它力求不援引不可觀察者。

古希臘醫學的教條學派則採用「analogismos」作為推論方法。這種方法運用類比，從觀察到的事物推理到不可觀察的力量。

### 近代早期哲學

1620年，近代早期哲學家弗蘭西斯·培根駁斥了單純經驗和單純枚舉歸納的價值。他的方法即歸納主義，要求把揭示自然界結構和因果關係的細緻而多樣的觀察與枚舉歸納結合起來，才能獲得超出當前經驗範圍的知識。因此，歸納主義需要枚舉歸納作為一個組成部分。

#### 大衛·休謨

經驗主義者大衛·休謨1740年的立場認為，枚舉歸納沒有理性的基礎，更遑論邏輯的基礎；相反，歸納是本能而非理性的產物，是心靈的一種習慣和日常生活的必需。雖然觀察（例如太陽的運動）可以與自然齊一性原理相結合，產生看似確定的結論，但歸納問題恰恰源於自然齊一性並不是一條邏輯上有效的原理：它既不能被辯護為演繹上理性的，也不能通過訴諸「自然齊一性準確地描述了過去，因此很可能準確地描述未來」而被辯護為歸納上理性的——因為這本身就是一個歸納論證，而歸納正是需要證成的東西，故而是循環論證。

自休謨首次論述「支持自然齊一性的演繹論證無效」與「歸納論證循環」之間的兩難以來，這種僅在兩種推論模式（演繹與歸納）之間的所謂二分法，已因第三種推論模式的發現而受到質疑，即溯因，或稱溯因推理。它由查爾斯·桑德斯·皮爾士於1886年首先系統表述和提出，他當時稱之為「以假說推理」（reasoning by hypothesis）。「最佳解釋推論」經常（但仍有爭議地）被視為溯因的同義詞；它由吉爾伯特·哈曼於1965年首先辨識出來，他稱之為「溯因推理」，但他對溯因的定義與皮爾士的定義略有不同。無論如何，如果溯因確實是理性上獨立於其他兩種模式的第三種推論模式，那麼或者自然齊一性可以通過溯因獲得理性證成，或者休謨的兩難其實更是一個三難。休謨還對枚舉歸納和理性被用於就不可觀察者達成確定性持懷疑態度，尤其懷疑從「改變關係的一個方面會阻止或產生特定結果」這一事實推論出因果性。

#### 伊曼努爾·康德

被休謨著作的德譯本從「教條的沉睡」中喚醒之後，康德試圖解釋形上學的可能性。1781年，康德的《純粹理性批判》引入理性主義，作為有別於經驗主義的通往知識的道路。康德把陳述分為兩類。分析陳述憑藉其詞項的排列和含義而為真，因此分析陳述是重言式，僅僅是邏輯真理，必然為真。而綜合陳述的含義則指涉事實的狀態，即偶然性。康德的《純粹理性批判》既反對笛卡爾和萊布尼茨等理性主義哲學家，也反對洛克和休謨等經驗主義哲學家，它持續論證：為了擁有知識，我們既需要心靈的貢獻（概念），也需要感官的貢獻（直觀）。因此對康德而言，嚴格意義上的知識僅限於我們可能知覺到的東西（現象），而純然思想的對象（「物自身」）原則上不可知，因為我們永遠不可能知覺到它們。

康德推論說，心靈必須包含它自己的範疇來組織感覺材料，使對「空間」和「時間」中的對象（現象）的經驗成為可能，因此他斷定自然齊一性是一條先驗真理。一類並非偶然而是必然為真的綜合陳述，就是綜合先驗的。康德由此既拯救了形上學，也拯救了牛頓的萬有引力定律。基於「超出我們知識之外的東西對我們而言什麼都不是」這一論證，他拋棄了科學實在論。康德關於知識經由知覺與我們的思維能力合作而產生的立場（先驗唯心主義）催生了德國唯心主義運動。黑格爾的絕對唯心主義隨後在歐洲大陸和英格蘭盛行。

### 近代晚期哲學

實證主義由亨利·德·聖西門開創，並由其昔日學生奧古斯特·孔德在1830年代推廣，是第一種近代晚期科學哲學。法國大革命之後，孔德擔心社會崩壞，因而反對形上學。孔德說，人類知識已從宗教演進到形上學再到科學，而科學則從數學流向天文學、物理學、化學、生物學、社會學——依此順序——描述日益複雜的領域。社會的全部知識都已成為科學的知識，神學和形上學的問題則是無法回答的。孔德認為枚舉歸納因其立足於現有經驗而可靠。他主張以科學而非形上學真理作為改善人類社會的正確方法。

按照孔德的看法，科學方法提出預測並加以確證，進而陳述規律——即實證陳述——是神學或形上學所無法駁斥的。英國哲學家約翰·斯圖爾特·密爾認為經驗能夠通過展示自然齊一性來證成枚舉歸納，他歡迎孔德的實證主義，但認為科學規律可以被撤回或修正，而且密爾也不參與孔德的人性宗教。孔德確信可以把科學規律當作全部知識的不可駁斥的基礎，並認為教會在尊崇傑出科學家之餘，應當把公眾的心智聚焦於「利他主義」——這個術語是孔德創造的——以通過孔德的領頭科學社會學，把科學應用於人類的社會福祉。

在1830和1840年代，當孔德和密爾還是居於領導地位的科學哲學家時，威廉·惠威爾認為枚舉歸納遠不那麼令人信服，並且不顧歸納主義的主導地位，提出了「超歸納」（superinduction）。惠威爾主張，應當承認「歸納一詞的獨特含義」：「有某種概念被『疊加』（superinduced）於事實之上」，也就是說，「在每一個歸納推論中都有一個新概念的發明」。概念的創造容易被忽視，在惠威爾之前也很少獲得承認。惠威爾解釋道：

「儘管我們通過在事實之上疊加一個新概念而把事實捆綁在一起，但這個概念一旦被引入和應用，就被看作與這些事實不可分離地聯繫在一起，並必然地蘊涵於其中。人們一旦憑藉這個概念在心中把諸現象捆綁起來，就再也不容易把它們恢復到此前那種分離而不融貫的狀態。」

這些「疊加」出來的解釋很可能有缺陷，但當它們展現出惠威爾所稱的「融通」（consilience）——即同時預測多個領域中的歸納普遍化——其準確性便得到提示；按照惠威爾的看法，這一成就能夠確立它們的真理性。也許是為了遷就當時把科學視為歸納主義方法的主流觀點，惠威爾用數章篇幅論述「歸納的方法」，並時而使用「歸納邏輯」的說法——儘管事實上歸納缺乏規則，也無法加以訓練。

在1870年代，實用主義的創始人C·S·皮爾士進行了大量研究，闡明了作為數學證明的演繹推論的基礎（弗雷格也獨立地做了同樣的工作）。皮爾士承認歸納，但始終堅持存在第三種推論類型，他在不同時期稱之為「溯因」（abduction）、「回推」（retroduction）、「假說」（hypothesis）或「推定」（presumption）。後來的哲學家把皮爾士的溯因等稱為「最佳解釋推論」（IBE）。

### 當代哲學

#### 伯特蘭·羅素

在突出了休謨的歸納問題之後，約翰·梅納德·凱恩斯提出「邏輯機率」作為其回答，或者說作為他所能達到的最接近解決的方案。伯特蘭·羅素認為凱恩斯的《機率論》（A Treatise on Probability）是對歸納最好的考察，並認為如果與讓·尼科的《歸納的邏輯問題》以及R·B·布雷斯韋特在1925年10月號《心靈》雜誌上對凱恩斯著作的書評一起閱讀，就能涵蓋「關於歸納的已知內容的大部分」，儘管這一「主題是技術性的和困難的，涉及相當多的數學」。二十年後，羅素追隨凱恩斯，把枚舉歸納視為一條「獨立的邏輯原理」。羅素認為：

「休謨的懷疑論完全建立在他對歸納原理的拒斥之上。應用於因果性的歸納原理是說：如果A曾非常頻繁地伴隨B或繼之以B出現，那麼在下一次觀察到A的場合，它很可能伴隨B或繼之以B。如果這條原理要成為充分的，足夠多的實例就必須使這種機率離確定性不遠。如果這條原理、或任何可以由之演繹出它的其他原理是真的，那麼休謨所拒斥的因果推論便是有效的——當然不是作為給出確定性，而是作為給出對實踐目的而言足夠的機率。如果這條原理不是真的，那麼從特殊觀察達到普遍科學規律的一切嘗試都是謬誤的，而休謨的懷疑論對經驗主義者來說便無可逃避。這條原理本身當然不能在不陷入循環的情況下從觀察到的齊一性中推論出來，因為證成任何這類推論都需要它。因此，它必須是一條不基於經驗的獨立原理，或者可以從這樣一條原理演繹出來。就此而言，休謨已經證明純粹經驗主義不是科學的充分基礎。但只要承認這一條原理，其他一切便都可以按照『我們的全部知識基於經驗』的理論進行。必須承認，這是對純粹經驗主義的一次嚴重背離，而且那些並非經驗主義者的人可能會問：既然允許了一次背離，為什麼禁止其他背離？然而，這些並不是休謨的論證直接引起的問題。這些論證所證明的——我認為這個證明是無法反駁的——是：歸納是一條獨立的邏輯原理，既不能從經驗中推論出來，也不能從其他邏輯原理中推論出來；而沒有這條原理，科學就是不可能的。」

#### 吉爾伯特·哈曼

在1965年的一篇論文中，吉爾伯特·哈曼說明，枚舉歸納並不是一種自主的現象，而僅僅是最佳解釋推論（IBE）的一種偽裝了的結果。在其他方面，IBE與C·S·皮爾士的溯因同義。許多信奉科學實在論的科學哲學家一直主張，IBE是科學家發展出關於自然的近似為真的科學理論的方式。

## 與演繹推理的比較

歸納推理是一種論證形式，與演繹推理相反，它允許結論即使在所有前提為真的情況下仍可能為假。演繹推理與歸納推理之間的這一差異，反映在描述演繹論證和歸納論證的術語上。在演繹推理中，一個論證是「有效的」，若假定論證的前提為真，結論就「必定」為真。如果論證有效且前提「確實」為真，則該論證是「健全的」。相反，在歸納推理中，論證的前提永遠不能保證結論「必定」為真。取而代之的是：一個論證是「強的」，若假定論證的前提為真，結論「很可能」為真。如果論證強而前提又被認為為真，則稱該論證是「有說服力的」。較不正式地說，歸納論證的結論可以被稱為「概然的」、「貌似可信的」、「可能的」、「合理的」或「有理據的」，但永遠不能稱為「確定的」或「必然的」。邏輯不提供從概然通往確定的橋梁。

想通過某種機率的臨界積累來獲得確定性是徒勞的，這可以用擲硬幣的練習來說明。假設某人檢驗一枚硬幣是公平硬幣還是雙頭硬幣。他擲硬幣十次，十次都正面朝上。此時已有強的理由相信它是雙頭硬幣。畢竟，連續十次正面的機率是0.000976，不到千分之一。然後，擲了100次之後，每一擲都正面朝上。這時對硬幣是雙頭的已有「幾乎」確定性，人們可以把「硬幣很可能是雙頭的」視為「真」。然而，無論在邏輯上還是在經驗上，都不能排除下一擲會出現反面。無論連續多少次正面朝上，情況都是如此。如果編程讓一台機器不停地連續擲硬幣，某個時刻結果將出現一串100次的正面。在時間的長河中，一切組合都會出現。

至於從公平硬幣擲出十次全正面這一渺茫前景——正是這一結果使硬幣顯得有偏——許多人可能會驚訝地得知：任何一個正反面序列的機率都同樣小（例如正-正-反-反-正-反-正-正-正-反），然而它在「每一次」十連擲的試驗中都會出現。這意味著十連擲的「所有」結果都與擲出十次全正面有相同的機率，即0.000976。如果把正反面序列記錄下來，那麼無論結果為何，那個確切序列出現的機率都是0.000976。

一個論證是演繹的，當結論在給定前提下是必然的。也就是說，前提為真則結論必定為真。例如，在連續得到10次正面之後，人們可以演繹地得出：這枚硬幣已滿足某種統計標準而可被視為很可能是雙頭的——即使下一擲出現反面，這一結論也不會被證偽。

如果一個演繹結論恰當地從其前提推出，它就是有效的；否則就是無效的（說一個論證無效並不是說它的結論為假；它可能有一個真的結論，只是這並非憑藉前提而然）。考察下面的例子將表明，前提與結論之間的關係是這樣的：結論的真已經隱含在前提之中。單身漢未婚是因為我們「說」他們如此；我們就是這樣定義他們的。蘇格拉底會死是因為我們已把他歸入會死的存在者的集合。有效演繹論證的結論已經包含在前提之中，因為其真嚴格說來只是邏輯關係的事情。它所能說的不能多於其前提。相反，歸納前提從事實和證據中汲取實質內容，結論相應地提出事實主張或預測。其可靠性隨證據成比例地變化。歸納想要揭示關於世界的某種「新」東西。可以說，歸納想要說的「多於」前提中所包含的。

為了更好地看出歸納論證與演繹論證的差異，考慮這樣說是沒有意義的：「迄今考察過的所有矩形都有四個直角，所以我看到的下一個矩形將有四個直角。」這會把邏輯關係當作事實性的、可發現的東西，因而是可變的和不確定的。同樣，從演繹上說，我們可以容許地說：「所有獨角獸都會飛；我有一隻名叫查理的獨角獸；所以查理會飛。」這個演繹論證是有效的，因為邏輯關係成立；我們並不關心它們在事實上的健全性。

歸納推理的結論本質上是不確定的。它只處理在給定前提下結論按照某種證據理論而言「可信」的程度。例子包括多值邏輯、鄧普斯特-謝弗理論，或帶有貝葉斯規則等推論規則的機率論。與演繹推理不同，它不依賴在封閉論域上成立的全稱命題來得出結論，因此即使在認知不確定的情形下它也可以適用（不過這方面可能出現技術問題；例如，機率的第二公理是一個封閉世界假定）。

這兩類論證的另一個關鍵差異是：在非公理化的或經驗的系統（例如實在）中，演繹的確定性是不可能的，這使歸納推理成為通往關於這類系統的（機率性）知識的主要途徑。

給定「如果A為真，那將導致B、C、D為真」，演繹的一個例子是「A為真，因此我們可以演繹出B、C、D為真」。歸納的一個例子則是「觀察到B、C、D為真，因此A可能為真」。A是B、C、D為真的一個合理解釋。

例如：

足夠大的小行星撞擊會造成非常大的隕石坑，並引起嚴重的撞擊冬天，足以使非鳥恐龍滅絕。

我們觀察到墨西哥灣有一個非常大的隕石坑，其年代非常接近非鳥恐龍滅絕的時間。

所以，這次撞擊有可能解釋非鳥恐龍為何滅絕。

但要注意，對這場大滅絕的小行星解釋不必然正確。其他有潛力影響全球氣候的事件也與非鳥恐龍的滅絕時間吻合，例如印度德干暗色岩形成期間火山氣體（尤其是二氧化硫）的釋放。

歸納論證的另一個例子：

我們所知的所有生物生命形式都依賴液態水而存在。

所以，如果我們發現一種新的生物生命形式，它很可能依賴液態水而存在。

每當發現一種新的生物生命形式時，都可以提出這一論證，而且每次的結論都會是正確的；然而，將來仍有可能發現一種不需要液態水的生物生命形式。因此，該論證也可以表述為：

我們所知的所有生物生命形式都依賴液態水而存在。

所以，所有生物生命很可能都依賴液態水而存在。

約翰·維克斯（John Vickers）給出了一個「不正確的」統計三段論的經典例子：

我們見過的所有天鵝都是白的。

所以，我們「知道」所有天鵝都是白的。

這一結論之所以失敗，是因為當時已知的天鵝總體實際上並不能代表所有天鵝。一個更合理的結論是：按照適用的慣例，我們或許可以合理地期望英格蘭的所有天鵝至少在短期內都是白的。

簡而言之：演繹關乎「確定性/必然性」；歸納關乎「機率」。任何單一斷言都將符合這兩個標準之一。分析推理的另一種進路是模態邏輯，它以一種不涉及被視為可能的事物之間機率的方式，處理必然與「可能」之間的區別。

歸納推理的哲學定義，比「從特殊/個別實例推進到更廣的普遍化」更為細緻。毋寧說，歸納邏輯論證的前提為結論指示某種程度的支持（歸納機率），但並不蘊涵結論；也就是說，前提暗示真但並不確保真。以這種方式，也可能存在從普遍陳述到個別實例的推進（例如統計三段論）。

要注意，這裏所描述的「歸納」推理的定義不同於數學歸納法——後者實際上是一種「演繹」推理的形式。數學歸納法用於為遞歸定義的集合的性質提供嚴格證明。數學歸納法的演繹性質源自其立足於非有限數目的情形，這與枚舉歸納這類涉及有限數目情形的歸納程序（如窮舉證明）形成對比。數學歸納法和窮舉證明都是完全歸納的例子。完全歸納是一種隱蔽形式的演繹推理。

## 歸納問題

儘管至少早自皮浪主義哲學家塞克斯圖斯·恩丕里柯以來，哲學家們就已指出歸納推理的不健全性，對歸納問題的經典哲學批判是由蘇格蘭哲學家大衛·休謨給出的。儘管歸納推理的使用展現出相當大的成功，其應用的證成卻一直是有疑問的。認識到這一點，休謨突出了這樣一個事實：我們的心靈常常從相對有限的經驗中得出看似正確、實則遠非確定的結論。在演繹中，結論的真值以前提的真為基礎。而在歸納中，結論對前提的依賴總是不確定的。例如，讓我們假設「所有烏鴉都是黑的」。存在許多黑烏鴉這一事實支持這個假設。然而，一旦發現存在白烏鴉，我們的假設就失效了。因此，「所有烏鴉都是黑的」這樣的一般規則不是那種能夠成為確定的陳述。休謨進一步論證，證成歸納推理是不可能的：這是因為它不能被演繹地證成，於是我們唯一的選擇是歸納地證成它。而由於這一論證是循環的，藉助休謨之叉，他斷定我們對歸納的使用在邏輯上是無法證成的。

儘管如此，休謨表示，即使歸納被證明不可靠，我們仍然不得不依賴它。因此，休謨提倡的不是嚴苛懷疑論的立場，而是基於常識的實用懷疑論，其中歸納的不可避免性得到接受。伯特蘭·羅素用一個故事闡明了休謨的懷疑論：一隻雞每天早晨都被餵食，從不間斷；牠遵循歸納法則，斷定這種餵食將一直持續下去，直到最後農夫割了牠的喉嚨。

1963年，卡爾·波普爾寫道：「歸納，『即』基於許多觀察的推論，是一個神話。它既不是心理事實，不是日常生活的事實，也不是科學程序的事實。」波普爾1972年的著作《客觀知識》——其第一章即專論歸納問題——開篇便說：「我認為我已經解決了一個重大的哲學問題：歸納問題」。在波普爾的圖式中，枚舉歸納是在「問題轉移」過程中由猜想與反駁的步驟投射出的「一種視覺錯覺」。作為想像力的飛躍，「嘗試性解決方案」是即興作出的，沒有歸納規則加以指導。由此產生的不受限制的普遍化是演繹的，是全部解釋性考量所蘊涵的結果。然而爭論仍在繼續：波普爾的所謂解決方案並未獲得普遍接受。

唐納德·吉利斯論證說，與歸納推理相關的推論規則在科學中壓倒性地缺席，他把大多數科學推論描述為「涉及由人的機智和創造力想出的猜想，絕不是以任何機械的方式、或按照精確規定的規則推論出來的」。吉利斯也提供了一個罕見的反例：「在AI的機器學習程序中」。

### 偏差

歸納推理也被稱為假說構造，因為所得出的任何結論都基於現有知識和預測。與演繹論證一樣，偏差可能扭曲歸納論證的恰當應用，從而妨礙推理者根據線索形成最合乎邏輯的結論。這些偏差的例子包括可得性捷思、確認偏誤和可預測世界偏差。

可得性捷思被認為會導致推理者主要依賴容易獲得的資訊。人們傾向於依賴周遭世界中容易取得的資訊。例如，在調查中，當人們被要求估計死於各種原因的人口百分比時，大多數受訪者會選擇媒體上最常出現的原因，如恐怖主義、謀殺和飛機事故，而不是疾病和交通事故這類在技術上對個人「較不易得」的原因——因為後者在周遭世界中沒有被那樣強烈地強調。

確認偏誤源於確認而非否認假說的自然傾向。研究表明，人們傾向於尋求與已知假說更一致的問題解決方案，而不是試圖反駁這些假說。通常，在實驗中，受試者會提出尋求符合既定假說的答案的問題，從而確認這些假說。例如，如果假設薩莉是個善於交際的人，受試者自然會通過提出會產生「薩莉確實是個善於交際的人」這類確認性答案的問題，來確認這一前提。

可預測世界偏差圍繞這樣一種傾向：在秩序未被證明存在之處（無論是完全不存在，還是在特定的抽象層次上不存在）知覺到秩序。賭博就是可預測世界偏差最流行的例子之一。賭徒往往開始認為自己看到了結果中簡單而明顯的模式，因此相信自己能夠根據所目睹的東西預測結果。而實際上，這些博弈的結果難以預測，本質上高度複雜。一般而言，人們傾向於尋求某種簡單化的秩序來解釋或證成自己的信念和經驗，而他們往往難以意識到，自己所知覺到的秩序可能與事實全然不同。

## 貝葉斯推理

作為歸納的邏輯而非信念的理論，貝葉斯推論並不決定哪些信念是先驗理性的，而是決定我們在面對證據時應當如何理性地改變所持有的信念。我們從考慮一份窮盡的可能性清單開始，對其中每一種可能性給出確定的機率刻畫（以似然表達），並給出精確的先驗概率（例如基於邏輯或從既往經驗歸納而來）；面對證據時，我們便使用貝葉斯邏輯以精確的方式調整對給定假說的信念強度，得出候選的「後驗概率」——而不考慮新證據在多大程度上可能恰好給我們以具體的理由去懷疑自己的假定。若不然，則宜視需要重新審視並重複對可能性及其刻畫的考慮，直到（或許）達到一種穩定的局面。

歸納邏輯的候選系統中，最有影響的是貝葉斯主義，它使用機率論作為歸納的框架。貝葉斯定理被用於在給定某些證據時計算你對一個假設的信任的強度應當改變多少。

關於從何得知最初的可信度是有爭議的。客觀貝葉斯主義者尋求對於假設為正確的機率的客觀評估，而因此不能倖免於客觀主義的哲學批判。主觀貝葉斯主義者堅持表示主觀可信度的先驗概率，但是貝葉斯定理的反覆應用導致了同後驗概率的高度一致性。因此它們不能為在衝突的假設間做出選擇提供客觀標準。可以用這種理論理性的證明對某些假設的相信是正當的，但是要付出拒絕客觀主義的代價。比如，不能使用這種方案在衝突的科學範例之間做客觀決定。

Edwin Jaynes是率直的物理學家和貝葉斯主義者，他聲稱'主觀'因素在所有推理中都存在（比如為演繹推理選擇公理，選擇最初的可信度或先驗概率，選擇可能度），並為來自定性知識的事物指派機率提出一系列的原理。最大熵（不關心原理的推廣）和變換群組是他建立的兩個結果工具；二者都嘗試通過把知識比如條件的對稱性轉換成對機率分布的明確選擇，減輕在特定條件下機率指派的主觀性。

基本的貝葉斯推理可以作如下理解：

假設 α 為「法官判斷案件的正確性」，其值可以是0至1的有理數

```
α ∈ {0..1} = “Correctness of Judgment”,  where
→ < 0.5 代表判斷不正確
→ > 0.5 代表判斷正確
→ = 1 代表判斷完全正確
→ = 0 代表判斷完全錯誤
```

假設 β¹ 為「法官的安全性」，其值可以是0至1的有理數

```
β¹ ∈ {0..1} = “Safty of Justice”,  where
→ < 0.5 代表不安全
→ > 0.5 代表安全
→ = 1 代表判斷完全安全
→ = 0 代表判斷完全危險
```

設 A 為 α > 0.75 的事件, B 為 β¹ = 0 的事件

那麼「法官在危險狀態下判斷大致正確」的機會率就是 P(A|B)

```
Probability of In-danger-fair-correct-judgment of justice
= P(A|B) = P(α > 0.75 | β¹ =0)
```

使用貝葉斯推理，機會率 P(A|B) 可以以如下方法求解：

```
<math>P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)}</math>
```

如果在判決當時，地方局勢非常危險，P(B) = P(β¹ = 0) 會大過 0.8

```
P(B) = 0.8
```

而根據以往判決，經裁決後，10個案件中有6.5個案件敗方認為裁決不公平，而選擇上訴

```
邏輯： 
      案件判決正確 ⇒ 就不會上訴
所以：
      選擇上訴 ⇒ 判決不正確
      P(A) = 0.65
```

因為地方局勢不安全，法官如果判決正確，而身陷險境的機會率超過 30% (主觀)

```
P(B|A) = 0.3
```

所以 「法官在危險狀態下判斷大致正確」的機會率就是

```
Probability of In-danger-fair-correct-judgment of justice
<math>= P(A|B) = \frac{0.3 \times 0.65}{0.8} = 0.24375</math>
```

所以，根據貝納斯推論，如果地方局勢非常危險，法官的裁決只有 24.375% 大致正確。

再想深一層。

設 γ 為案件停留的日子

```
γ ∈ {1,2,3,...} 
```

再設 C 為案件停留超過18個月的事件 ≈ C = γ > 545 的事件

已知 案件通常審判 6個月，較多情況在150日至210日中間，在過往十年1000個C類案件中只有20件

```
γ ~ Gaussian Distribution with mean=180, variance=30
γ ~ N(180,30)
```

所以，可以相信，P(C) = P(γ > 545) < 0.005

```
without loss of generality, we can assume:
  P(C) = 0.005
```

設 β² 為「地方局勢的危險性」，其值可以是0至1的有理數

```
β² ∈ {0..1} = “Country Safty”,  where
→ < 0.5 代表不安全
→ > 0.5 代表安全
→ = 1 代表判斷完全安全
→ = 0 代表判斷完全危險
```

再設 D 為 β² > 0.8的事件

而以現在的局勢來看，失業率維持在3%

可以相信，P(D) > 97%

```
without loss of generality, we can assume:
  P(D) = 0.97
```

那麼，在地方局勢安全的情況下，案件停留超過 545日的機會率是多少呢？

這也可以用貝納斯推論求解：

```
<math>P(C|D) = \frac{P(D|C) \times P(C)}{P(D)}</math>
```

根據常識統計，我們知道案件停留超過545日又地方局勢很危險的情況 20單案件裏面有 10件案件

```
邏輯： 
      案件通常審判 6個月，較多情況在 150日至210日中間
      γ ~ N(180,30)
      裁決正常 ⇒ 案件不會停留超過545日
所以，可以相信：
      P(D|C) = 0.5
```

所以。

```
<math>= P(C|D) = \frac{0.5 \times 0.005}{0.97} = 0.00258</math>
```

根據貝納斯推論，在地方局勢安全的情況下，案件停留超過 545日的機會率只有 0.258%

⇒ 所以，如果案件真的停留超過 545日，而失業率維持在3% (代表地方局勢安全)，這代表 「裁決無理」 Irrational Judgement 的機會率是 93.75%

⇒ 經推論，裁決很大機會是無理 Irrational

⇒ 或者，有可能，你會爭議裁決真的不是無理，有40%以上是合理。但根據貝納斯理論，要 P(C|D) = 0.4，除非「地方局勢安全性」在 0.0025/0.4 = 0.00625，失業率高過99%。這是沒有可能的，所以根據逆反式，裁決不可能有40%以上是合理。

而貝納斯的理論中，有一個連環規則(Chain Rule)的

```
P(T|s,c) = P(s|T) P(T|c)
```

```
P(A|D) = P(D|A) x P(A) / P(D) = P(D|A) 0.65 / 0.97  
P(C|A) = P(A|C) x P(C) / P(A) = P(A|C) 0.005 / 0.65

P(A|C,D) = P(D|A) x P(A|C) x 0.005 / 0.97
```

設

```
 因為根據現實，地方安全基本上和裁決無太大關係，而現在地方大致安全。所以，without loss of generality，可設：
    P(D|A) = 0.9 
 而停留超過 545日而有裁決正確的案件的機會率只是一半一半。所以，without loss of generality，可設：
    P(C|A) = 0.5
```

所以

```
 P(A|C,D) = 0.9 x 0.5 x 0.005 / 0.97 = 0.00232
```

換句話說,

⇒ 在安全的情況下，案件停留超過 545日，而裁判正確的機會率是 0.232% (p-value)

⇒ 幾乎是沒有可能

## 歸納推斷

1960年前後，雷·索羅門諾夫創立了普遍歸納推斷理論，這是一種基於觀察的預測理論，例如根據給定的一系列符號預測下一個符號。它是一個形式化的歸納框架，把演算法資訊論與貝葉斯框架結合起來。普遍歸納推斷立足於堅實的哲學基礎，同時被評論為「似乎是一種不足以應對任何相當複雜的或現實世界環境的工具」，它可以被視為數學形式化的奧卡姆剃刀。該理論的基本要素是演算法機率和柯爾莫哥洛夫複雜度的概念。

歸納推斷通常考慮可數規模的假說類。晚近的一項進展確立了歸納推斷的一個充分必要條件：有限的錯誤界得到保證，當且僅當假說類是可在線學習類的可數並集。值得注意的是，這一條件允許假說類具有不可數的規模，同時仍在該框架內保持可學習。

## 實際例子

一件由A和B同時發生才能確立的事件C，明顯地你會觀察到：事件C成立則B必定發生。但絕對不能貿然將結論誤解為「只要B發生則事件C一定發生」（而應該是要由A和B同時發生才能確定C的產生）。而且你也不能擅自擴充成為「只要C事件不發生則事件B一定沒有發生」，同樣的關鍵點仍舊是「當A不成立時，C就一定不成立」而B是否成立就不一定也無從得知了。

事實上你只能由現有實驗結果推論，尤其是生物體的實驗更不易有完美相同條件的控制組，及顧及全方面的對照組，你也無從判定究竟一共要有幾個因素加起來才會導致你在觀察的結果。更常見的情況是，你因為總是同時觀察到了C跟D現象，就因此加以歸納為A+B會導致C+D，或是A+B+D會導致C的結論。在你做更進一步的實驗來確認你的假設之前，你都無法排除這些不確定性，更誇張的就是C跟D說不定根本就沒有關係，或是更複雜的要有D+E才有A，又要同時有B，才有C這個結果。所以，在科學實驗中，演繹法才是比較不容易被質疑的一種判斷法，但是也不一定保證這樣做出的結論就是對的。

## 外部連結

- Four Varieties of Inductive Argument
- Stanford Encyclopedia of Philosophy entry on Inductive Logic