球面

球面 （sphere）是三維空間中完全圓形的幾何物體，它是圓球的表面（類似於在二維空間中，「圓」包圍著「圓盤」那樣）。

就像在二維空間中的圓的定義一樣，球面在數學上定義為三維空間中離給定的點距離相同的點的集合 r。這個距離 r 是球的半徑，球（ball）則是由離給定點距離小於 r 的所有點構成的幾何體，而這個給定點就是球心。球的半徑和球心也是球面的半徑和中心。兩端都在球面上的最長線段通過球心，其長度是其半徑的兩倍；它是球面和球體的直徑。

儘管在數學之外，術語「球面」和「球」有時可互換使用，但在數學中是明確區分的：球面是一種嵌在三維歐幾里得空間內的二維封閉曲面，而球是一種三維圖形，其包括球面和球面內部的一切（閉球），不過更常見的定義是只包括球面內部的所有點，不包括球面上的點（開球）。這種區別並不總是保持不變，尤其是在舊的數學文獻裡，sphere（球面）被當作固體。這與在平面上混用術語「圓」（circle）和「圓盤」（disk）的情況類似。

## 三維空間中的方程

在解析幾何中，球心為 $(x_0,y_0,z_0)$，半徑為 $r$ 的球面是滿足下面方程的所有點 $(x,y,z)$ 的軌跡

$$(x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2.$$

令 $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ 為實數，$a\neq 0$，並且

$$x_0 = \frac{-b}{a}, \quad y_0 = \frac{-c}{a}, \quad z_0 = \frac{-d}{a}, \quad \rho = \frac{b^2 +c^2+d^2 - ae}{a^2}.$$

如果 $\rho < 0$，則那麼下面的方程

$$f(x,y,z) = a(x^2 + y^2 +z^2) + 2(bx + cy + dz) + e = 0$$

沒有實數根，稱為虛球面的方程。如果 $\rho = 0$，則 $f(x,y,z) = 0$ 的唯一解是點 $P_0 = (x_0,y_0,z_0)$，此時該方程稱作點球面的方程。還有一種，就是在 $\rho > 0$ 的情況下，$f(x,y,z) = 0$ 是球面的方程，其中心是$P_0$，半徑是$\sqrt \rho$。

如果上述等式中的 $a$ 是零，那麼 $f(x,y,z)=0$ 就成為了平面方程。因此，平面可以認為是球心在無窮遠點的球面。

半徑 $r > 0$，中心在 $(x_0,y_0,z_0)$ 的球面上的點可以寫成參數方程

$\begin{align} x &= x_0 + r \sin \varphi \; \cos \theta \\ y &= y_0 + r \sin \varphi \; \sin \theta \qquad (0 \leq \varphi \leq \pi,\; 0 \leq \theta < 2\pi ) \\ z &= z_0 + r \cos \varphi \,\end{align}$

以原點為中心的任意半徑的球面是以下微分形式的積分曲面：

$$x \,\mathrm{d}x + y \, \mathrm{d}y + z \, \mathrm{d}z = 0.$$

這個方程反映了在球面上行進的點的位置 $(x,y,z)$ 和速度向量 $(dx,dy,dz)$ 總是彼此正交的。

球面還可以通過以任何直徑為軸，把圓旋轉一周形成的表面來構造。由於圓是一種特殊的橢圓，所以球面也是一種特殊的橢球面。橢圓圍繞其長軸旋轉形成的曲面，就是長球面；如果繞短軸旋轉，就會形成一個扁球面。

## 包圍的體積

在三維中，球面內包圍的體積 （即球的體積）是

$$V = \frac{4}{3}\pi r^3$$

其中 $r$ 是球面的半徑。阿基米德首先推導出了這個公式，他通過證明球體內的體積是球體內部與外接圓柱體（具有與球體直徑相等的高度和直徑）內部之間的體積差值的兩倍而得出該公式。這個說法可以根據祖暅原理得到。該公式也可以使用積分得出，即用截面積分（定積分）對無窮多的厚度無窮小的圓盤沿 $x$ 軸從 $x=-r$ 到 $x=r$ 堆積起來的體積求和，假設該球面半徑為 $r$，以原點為球心。

在任何給定的 $x$ 處，體積增量（$\Delta V$）近似等於 $x$ 處圓盤的面積與其厚度（$\Delta x$）的乘積：

$$\Delta V \approx \pi y^2 \cdot \Delta x.$$

當最厚的那一個圓盤厚度趨近0時，總體積是所有增量的總和：

$$V = \lim_{ ||T|| \to 0 } \sum \pi y^2 \cdot \Delta x.$$

其中 $\lVert T \rVert$ 表示當取分割 $T$ 時，最厚的那個圓盤的厚度。此時體積為：

$$V = \int_{-r}^{r} \pi y^2 \mathrm{d}x.$$

在任何給定的 $x$ 處，$x$、$y$、$r$ 都可以構成一個直角三角形；因此，應用勾股定理得出：

$$y^2 = r^2 - x^2.$$

將上式代入得到

$$V = \int_{-r}^{r} \pi (r^2 - x^2) \mathrm{d}x,$$

積分之後就可以得出結果

$$V = \pi \left[r^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-r}^{r} = \pi \left(r^3 - \frac{r^3}{3} \right) - \pi \left(-r^3 + \frac{r^3}{3} \right) = \frac43\pi r^3.$$

另外，此公式也可以用球坐標系計算，體積元可以寫成

$$\mathrm{d}V=\rho^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi$$

因此得到三重積分，並算出結果如下：

$$V=\int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta\,\int_{0}^{\pi} \mathrm{d}\varphi\,\int_0^r \rho^2\sin\theta \mathrm{d}\rho = \frac43\pi r^3.$$

對於大多數實際用途而言，立方體的內接球的體積可以近似為立方體體積的52.4％，這是因為 $V=\frac{\pi}{6}d^3$，其中 $d$ 是球面的直徑，也是立方體的邊長，$\frac{\pi}{6}\approx 0.5236$。例如，直徑1m的球的體積是邊長為1m的立方體體積的52.4％，或約0.524 m3。

## 表面積

$$A = 4\pi r^2.$$

阿基米德首先根據「外接圓柱體側面的投影是保持面積的」這個事實推導出這個公式。另一種得到這個公式的方法基於如下事實，即球的表面積等於其體積公式關於 $r$ 的導數，因為半徑為 $r$ 的球體的體積可以認為是從半徑0到半徑 $r$ 嵌套在一起的無窮小厚度的無窮多個同心球殼的表面積的總和。在無窮小的厚度下，任何給定球殼的內外表面面積是相等的，半徑 $r$ 處的體積元可以簡單地認為是半徑 $r$ 處的表面積與無窮小厚度的乘積。

在任何給定半徑 $r$ 處，體積增量（$\Delta V$）等於半徑 $r$ 處表面積（$A(r)$）與球殼厚度（$\Delta r$）的乘積：

$$\Delta V \approx A(r) \cdot \Delta r.$$

總體積是所有球殼體積的總和：

$$V \approx \sum A(r) \cdot \Delta r.$$

該等式在最厚的那一個圓盤的 $\Delta r$ 趨近於 0 時為：

$$V = \int_0^r A(r) \, \mathrm{d}r.$$

代入 $V$：

$$\frac43\pi r^3 = \int_0^r A(r) \, \mathrm{d}r.$$

將等式兩邊對 $r$ 求導就會得到 $A$ 關於 $r$ 的函數：

$$4\pi r^2 = A(r).$$

這通常寫為：

$$A = 4\pi r^2,$$

其中 $r$ 是球面的半徑。

再來看一種方法，球面上的面積元可以用球坐標系給出：$dA=r^2 \sin \varphi d\theta d\varphi$。用笛卡爾坐標來表示的話，面積元就會寫成

$$\mathrm{d}S=\frac{r}{\sqrt{r^{2}-{\displaystyle \sum_{i\ne k}x_{i}^{2}}}}\prod_{i\ne k}\mathrm{d}x_{i},\;\forall k.$$

更一般性的表達，請參閱面積元條目。

因此總面積可以通過積分得到：

$$A =\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\,\int_0^\pi r^2 \sin{\varphi}\mathrm{d}\varphi=\int_0^{2\pi}[-r^2\cos{\varphi}]_0^{\pi}\,\mathrm{d}\theta= 4\pi r^2.$$

球面是包圍給定體積的所有曲面中面積最小的，球面還是給定表面積的所有閉合曲面中包圍體積最大的。因此球面在自然界中出現：例如，氣泡和小水滴大致為球形，因為表面張力會局部最小化表面積。

球的質量與表面積之比稱為比表面積，可以由上述等式表示出來

$$\mathrm{SSA} = \frac{A}{V\rho} = \frac{3}{r\rho},$$

其中 ρ 為密度（質量與體積之比）。

## 幾何性質

球面由四個不共面的點唯一確定。更一般地說，球面由四個條件唯一確定，例如通過一個點、與一個平面相切，等等。該性質類似於三個非共線的點確定平面中的唯一圓的性質。

因此，一個球體由一個圓和一個不在該圓平面內的點唯一確定。

通過檢查兩個球面方程的共同解，可以看出兩個球相交於一個圓，包含該圓的平面稱作相交球的基本平面。雖然基本平面是一個實平面，但這個圓可能是虛圓（兩個球面沒有實的公共點），也可能由單個點組成（兩個球面在該點相切）。

在實交點處的兩個球面之間的夾角是由該點處的球體的切面確定的二面角。兩個球面在相交圓的所有點處的夾角都是相同的。若且唯若它們的球心之間的距離的平方等於其半徑的平方和時，它們的交角才是直角（相互正交）。

### 球面束

如果 $f(x,y,z) = 0$ 和 $g(x,y,z) = 0$ 是兩個不同球面的方程，那麼

$$s f(x,y,z) + t g(x,y,z) = 0$$

當參數 $s$ 和 $t$ 是任意值時，也是球面方程。滿足該等式的所有球體的集合稱為由原始兩個球體確定的球面束。在這個定義中，允許球面是一個平面（無限半徑，球心在無窮遠處），而如果兩個原始球面都是平面，那麼束的所有球面都是平面，否則在球面束中只會有一個平面（基本平面）。

如果球面束不是由所有平面組成，那麼有三種類型的束：

- 若球面相交於一個實圓 $C$，則球面束由包含 $C$ 的所有球面（包括基本平面）組成。球面束中所有普通球面的中心位於穿過 $C$ 的中心並垂直於基本平面的直線（下面稱作「中心線」）上。
- 若球面相交於一個虛圓，球面束的所有球面也會通過這個虛圓，但是其實這些普通球面不相交（沒有真正的公共點）。中心線垂直於這個基本平面，這是一個真實的平面，但其中包含了一個假想的圓。
- 如果球面相交於一點 $A$，則所有在這個面內的球面 $A$ 都是相切的，同時基本面是所有這些面的公切面。中心線在 $A$ 處垂直於基本平面。

所有從基本平面的固定點到球面束的一個球面的切線的長度都是相同的。

基本平面是與球面束中所有球面正交的所有球面的中心的軌跡。而且，與球體束的任何兩個球體正交的球體，與球面束的所有球面正交，並且其中心位於球面束的基本平面中。

## 術語

穿過球心的一條直線與球面相交，這兩個相對稱的交點稱為對徑點。大圓是球面上的一個圓，與球面具有相同的中心和半徑，大圓所在的平面能將球面分成兩個相同的部分。球面的截面稱為圓面截口（spheric sections）。圓面截口均為圓，除了大圓以外的其他圓稱為小圓。

球面上兩個不同非對徑點之間的最短距離是過這兩個點的唯一大圓上的兩個圓弧中劣弧的長度。有了這個「大圓距離」，大圓就成為了黎曼圓。

若將球面上任意一點設為該球面的北極，與該點相對應的對徑點則被稱為南極，而赤道則是與這兩個極點等距的大圓。過這兩個極點的大圓被稱為子午線或經線，過這兩個極點的直線被稱為旋轉軸。而緯度則是球面上與赤道平行的圓。這個術語也同樣適用於那些與地球表面一樣近似於球面的天體 （見大地水準面）。

## 半球面

任何過球心的平面都把它分成兩個相等的半球面。過球心的任何兩個相交平面都將球體細分為四個球面二角形，其頂點全部與位於平面交線上的對徑點重合。

球體的對徑商空間是實射影平面，它也可以被看作是北半球，赤道的對映點被確定。

有猜想認為半球是黎曼圓的最佳（最小面積）等長填充。

## 推廣

### 維數

球面可以推廣到任意維數的空間。對於任意自然數$n$，$n$-球面（常寫為$S^n$）是($n+1$)維歐幾里得空間中離該空間的一個中心點距離固定為 $r$ 的點的集合，其中 $r$ 與前面一樣是正實數。特別地：

- $S^0$：0-球體是實線的區間$[-r, r]$的一對端點
- $S^1$：1-球面是半徑為 $r$ 的圓
- $S^2$：2-球面是普通的球面
- $S^3$：3-球面是四維歐氏空間中的球面。

$n>2$的球面有時稱作超球面。

以原點為中心的單位半徑 $n$ 球面表示為 $S^n$，通常稱為「$n$ 球面」。請注意，普通球面是一個2-球面，因為它是一個二維曲面（它嵌入在三維空間中）。

$$\frac{2 \pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}$$

其中$\Gamma(z)$是歐拉發現的伽馬函數。

表面積的另一種表達式為

$$\begin{cases} <pre> \displaystyle \frac{(2\pi)^{\frac{n}{2}}\,r^{n-1}}{2 \cdot 4 \cdots (n-2)}, & \text{if } n \text{ is even}; \\ \\ \displaystyle \frac{2(2\pi)^{\frac{n-1}{2}}\,r^{n-1}}{1 \cdot 3 \cdots (n-2)}, & \text{if } n \text{ is odd}. \end{cases}$$

體積等於表面積乘以$\frac{r}{n}$，或者說

$$\begin{cases} <pre> \displaystyle \frac{(2\pi)^{\frac{n}{2}}\,r^n}{2 \cdot 4 \cdots n}, & \text{if } n \text{ is even}; \\ \\ \displaystyle \frac{2(2\pi)^{\frac{n-1}{2}}\,r^n}{1 \cdot 3 \cdots n}, & \text{if } n \text{ is odd}. \end{cases}$$

對於$n$球的體積也存在一般遞歸公式。

### 度量空間

更一般地，在度量空間 $(E, d)$ 中，中心 $x$、半徑 $r>0$ 的球面是使得 $d(x,y)=r$ 的點 $y$ 的集合。

如果球心是位於 $E$ 的原點（如在賦范空間中那樣）的話，定義和符號中沒有提及它。如果等於1，則半徑也是如此，例如單位球體的情況。

與球體不同的是，即使是一個大球面也可能是一個空集。例如，在歐幾里德度量 $\mathrm{Z}^n$ 中，只有 $r^2$ 可以寫成整數的 $n$ 平方和時，半徑 $r$ 的球面才是非空的。

## 拓撲學

在拓撲學中，$n$球面定義為與$(n+1)$球體的邊界同胚的空間；因此它與歐幾里德 $n$ 球體同胚，但可能缺少其度量。

- 0-球面是一對具有離散拓撲的點。
- 1-球面是一個圓（同胚意義下）。因此，例如（任何扭結的像）是1-球面。
- 2-球面就是普通的球面（同胚意義下）。因此，例如，任何類球面都是2-球面。

$n$ 球面記為 $S^n$。它是沒有邊界的緊緻拓撲流形的一個例子。球面不必是光滑的；如果它是光滑的，它就不需要與歐幾里得球面微分同胚。

海涅－博雷爾定理表明歐幾里德 $n$ 球面是緊緻的。球面是連續函數$\lVert x \rVert$下單點集的逆象。因此，球面是閉合的。$S^n$ 也是有界的；所以它是緊緻的。

值得注意的是，在三維空間中是可以把普通的球面內外翻轉過來的，這個過程稱作球面外翻，過程中可能會發生自交，但不會產生任何摺痕。

## 球面幾何

歐幾里得平面幾何的基本要素是點和線。在球面上，點以通常的意義來定義。「線」的類似物是測地線，測地線是一個大圈；大圓的界定性特徵是含有其所有點的平面也穿過球心。弧長測量表明，球面上兩點之間的最短路徑是過這兩點的大圓的較短的那一段圓弧。

經典幾何的許多定理也適用於球面幾何，但並非所有的定理都是這樣，因為球面不能滿足一些經典幾何的假設，包括平行假設。在球面三角學中，角是在大圓之間定義的。球面三角學在許多方面與普通的三角學不同。例如，球形三角形的內角之和總是超過180度。而且，任何兩個相似的球面三角形都是全等的。

## 球面的十一種性質

在David Hilbert和Stephan Cohn-Vossen的著作《幾何與想像》一書中，統一描述了球面的11種性質，並討論了這些性質是否僅僅存在於確定球面之中。一些性質對於平面來說也是成立的，因為平面可以視作半徑無限大的球面。這些性質為：

- 球面上任意點與球心的距離都是相同的。同時，它和某兩個固定點之間的距離之比是恆定的。
- 第一句一般是球面的定義，可以唯一確定球面。而第二句的結論與阿波羅尼斯圓類似，很容易被推導出，第二句的結論也適用於平面。
- 球面的外輪廓和用平面截出的截面都是圓。
- 該性質是球面獨有的性質。
- 球面的徑長和周長保持不變。
- 曲面的徑長是指兩個與該曲面相切的互相平行的平面的距離。除了球面之外，還有很多的閉合凸面的徑長也是恆定不變的，例如邁斯納結構。而曲面的周長是在平面上的正交投影的邊界長度。從這兩者中任意性質出發都可以推出另一個性質。
- 球面的所有點都是臍點。
- 因為球面上的法線是由球心向外輻射的，所以在球面上任意一點的 法線與其外表面的夾角都成直角。過法線的平面與曲面的交線形成的曲線稱為法曲線，法曲線的曲率為也被稱為法曲率。對於大多數曲面上大部分的點，不同的法曲線的法曲率也不同；而這些法曲率的最大值和最小值被稱為主曲率。任何閉合的曲面上至少有四個臍點。臍點上所有的法曲率是相等的;包括其主曲率也是相等的。臍點可以被認為是曲面上最像球面的點。
- 球面上所有法曲線的曲率都是相等的，所以每個點都是臍點。曲面中，只有球面和平面具有此性質。
- 球體是沒有中心表面的。
- 對於一個給定的法曲線，存在一個曲率等於截面曲率的曲率圓與曲面相切，圓心位於其法線上。例如，對應其最大和最小截面曲率的兩個圓心被稱為焦點，所有這些圓心的集合形成的面叫做焦面。
- 對於大多數曲面來說，焦面會形成兩個曲面在臍點處相交。一下幾種特殊的情況：
- 對於管道曲面，一層焦面形成曲線，另一層焦面形成為曲面
- 對於圓錐體，圓柱體，環面和環形曲線兩層焦面都形成曲面。
- 在球面上，每一個大圓的圓心都在球體的球心，而焦面形成一個點該性質是球面獨有的。
- 球面上的所有測地線都是閉合曲線。
- 測地線是球面表面上的曲線，也是兩點之間的最短距離。它們是平面幾何中直線概念的一種概括性表達。對於球面來說，測地線是一個大的圓。許多其他的曲面都有這種性質。
- 在體積大小一定的情況下，球面的表面積最小；而在表面積的大小固定的情況下，球面則能包圍最大的體積。
- 這個性質源自自等周不等式。這些性質唯一地定義了球面，例如在肥皂泡中：肥皂泡包圍的體積不變，其表面張力使得其表面積最小。一個自由浮動的肥皂泡因此近似於一個球體(儘管由於重力這樣的外力會輕微使得肥皂泡的形狀變得扭曲)。
- 在所有已經給定表面積的凸固體中，球面的總平均曲率是最小的。
- 平均曲率是兩個主曲率的平均值，這是恆定的一個數值，因為球面上的所有點的主曲率都是相等的。
- 球面的平均曲率是恆定的。
- 球面是唯一沒有邊界和奇異點而有恆定正平均曲率的嵌入面。其他如最小曲面這樣的沉浸面的平均曲率也是恆定的。
- 球面的高斯曲率是一個常數。
- 高斯曲率是兩個主曲率的乘積。它是一種可以通過測量長度和角度來確定的固有性質，與曲面如何嵌入這個空間無關。因此，折彎曲面並不會改變高斯曲率，而其他高斯曲率不變的曲面則可以通過在球面上切割一個小狹縫並折彎來得到。所有其他的曲面都有邊界，球面是唯一沒有邊界的曲面，因為它的高斯曲率是一個常數。偽球面是一個高斯曲率為負且不變的曲面的例子。
- 球面是由一個由三參數所組成的剛性運動所構成的。
- 圍繞任何軸旋轉，在原點處的單位球會將球面陰影映射到其自身上。任何繞著過原點的直線的旋轉都可以表示為在三坐標軸上旋轉的組合

（詳見歐拉角）。因此，存在一個三參數的旋轉族，使得每次旋轉將球面轉換成自身；這個族被稱為旋轉組SO(3)。該平面是唯一具有三參數變換族的一個曲面（沿原點周圍的xy軸旋轉和平移）。圓柱體是唯一具有雙參數系列剛性運動的表面，並且旋轉表面和螺旋面是具有單參數系列的表面。