CW復形

CW復形，又稱胞腔復形，在拓撲學上屬於拓撲空間之一類，由J.H.C.懷特海德引入，用於同倫理論。其思想是構造一類空間，比單純復形更為廣泛（我們現在可以說，有更好的範疇論屬性）；但還要保留組合的本質，因此計算方面的考慮沒有被忽略。

## 形式表述

粗略地說，CW復形由稱作胞腔的基本元件組成。其精確定義規定胞腔如何在拓撲意義上「粘合」。CW復形名稱中的「C」代表「閉有限」（closure-finite），而「W」則代表「弱拓撲」（weak topology）。

單個 $n$ 維閉胞腔是指 $n$ 維閉球在貼映射下的像。例如，每個單純形都是一個閉胞腔，或更一般地，每個凸多面體都是一個閉胞腔。單個 $n$ 維開胞腔則是一個同胚於 $n$ 維開球的拓撲空間。零維的開（或閉）胞腔是指一個單元素空間。而「閉有限」條件要求每個閉胞腔都可由有限個開胞腔所覆蓋。

CW復形是一個豪斯多夫空間 $X$，連同一個將 $X$ 劃為開胞腔（維度不必統一）的劃分，並滿足以下性質：

- 對 $X$ 的劃分中的任意一個 $n$ 維開胞腔 $C$，存在一個從 $n$ 維閉球到 $X$ 的連續映射 $f$，使得：
- $f$ 限制在閉球的內部上是到胞腔 $C$ 的同胚，且
- 閉球的邊界在 $f$ 下的像包含於 $X$ 的劃分中的有限個維度小於 $n$ 的元素的併集內。
- $X$ 的閉子集即是與每一個開胞腔交於閉集（相對於開胞腔本身的拓撲）的集合（$X$ 的拓撲為所有開胞腔的並的弱拓撲）。

### 相對CW復形

籠統地說，相對CW復形與CW復形的區別在於它容許一個額外的、不須帶有任何胞腔結構的組件。遵照上文的定義，這個組件被視作負一維胞腔。

## CW復形的歸納法定義

如果一個CW復形中胞腔的維度最大為 $n$，那麼我們稱這個CW復形是 $n$ 維的。若胞腔的維度沒有上限，那麼我們說這個CW復形是無窮維的。CW復形的 $n$ 維骨架是指所有維度不超過 $n$ 的胞腔的並。如果這個併集是閉集，那麼它本身就是一個CW復形，稱為原復形的子復形。因此，CW復形的 $n$ 維骨架是維度不超過 $n$ 的最大子復形。

CW復形常常由其各個維度上的骨架通過歸納來定義。首先定義0維骨架為離散空間。緊接著將1維胞腔黏著到0維骨架上。這一步先將每個1維胞腔先視作1維閉球，然後通過某個從這個閉球的邊界——即0維球面 $S^0$ ——到0維骨架的連續影射貼合。$S^0$ 上的每一點都與其在該映射下的像與0維骨架上的某一點等同；這構成一個等價關係。如此，1維骨架就定義成0維骨架和所有1維胞腔的並、再模去此等價關係後的商空間。

概括而言，給定 $(n-1)$ 維骨架，$n$ 維骨架是由在此基礎上黏著 $n$ 維胞腔得到。每個 $n$ 維胞腔同樣先視作 $n$ 維閉球，然後通過某個從這個閉球的邊界——即 $(n-1)$ 維球面 $S^{n-1}$ ——到 $(n-1)$ 維骨架的連續影射貼合。$S^{n-1}$ 上的每一點都與其在該映射下的像與 $(n-1)$ 維骨架上的某一點等同；這同樣構成一個等價關係。這樣，$n$ 維骨架就定義成 $(n-1)$ 維骨架和所有 $n$ 維胞腔的並、再模去此等價關係後的商空間。

在同構意義上，每個 $n$ 維CW復形都可依此由其 $(n-1)$ 維骨架構造而成，因此每個有限維CW復形都能按以上方法構造。甚至對於無窮維CW復形也成立，只要藉助拓撲空間的歸納極限來描述以上無窮過程的結果，這個結論也是對的：在極限的集合 $X$ 中，子集是閉集若且唯若它與每一個骨架都交於閉集（相對於骨架本身的拓撲）。

## 例子

- 實數集 $\mathbb R$ 上的標準CW結構中的0維骨架為整數集 $\mathbb Z$，而1維胞腔則是區間 $\{ [n,n+1] : n \in \mathbb Z\}$。相似地，在 $\mathbb R^n$ 上的標準CW結構中的胞腔是 $\mathbb R$ 的0維和1維胞腔的積。
- 多面體帶有自然的CW復形結構。
- 圖是一維CW復形。
- 無窮維希爾伯特空間不是CW復形：它是一個貝爾空間（見貝爾綱定理），因此不能寫成其 $n$ 維骨架的並，因每個骨架都是閉集且內部為空。這個論證也可引申到許多無窮維空間。
- $n$ 維球面容許一個只有兩個胞腔的CW結構：一個0維胞腔和一個 $n$ 維胞腔，依靠從 $S^{n-1}$ 到0維胞腔的常映射黏著。另外一個替代的胞腔分解也很受歡迎，因赤道包含映射 $S^{n-1} \to S^n$ 的補集恰好是兩個球：上半球和下半球。由歸納法可得 $S^n$ 的一個CW分解，每個維度 $0 \leq k \leq n$ 上恰好有兩個 $k$ 維胞腔。
- $n$ 維實射影空間容許一個CW結構，每個維度 $0 \leq k \leq n$ 上恰好有一個 $k$ 維胞腔。
- 格拉斯曼流形容許一個CW結構，其胞腔稱作舒伯特胞腔.
- 微分流形、代數和射影簇都同倫於CW復形。
- 空間 $\{re^{2\pi i \theta} : 0 \leq r \leq 1, \theta \in \mathbb Q\} \subset \mathbb C$ 同倫於CW復形（甚至是可收縮的），但不容許任何CW結構，因其不是局部可收縮的。
- 夏威夷耳環是不同倫於CW的拓撲空間的一例。

## CW復形的同調與上同調

CW復形的奇異同調（或上同調）可以通過胞腔同調計算。此外，在CW復形和胞腔映射的範疇內，胞腔同調可以解讀成一種同調論。如要計算CW復形的廣義（上）同調，阿提亞-希策布魯赫譜序列是胞腔同調的一個類比。

以下是一些計算的實例：

- 對於球面 $S^n$，取只帶有一個0維胞腔和一個 $n$ 維胞腔的分解。胞腔鏈復形 $C_*$ 與同調皆為

$$H_k = C_k = \left\{ \begin{array}{lr} \mathbb Z & k \in \{0,n\} \\ 0 & k \notin \{0,n\} \end{array} \right.$$

因為所有微分算子皆為零（實際上，上鏈復形與上同調亦然）。或者，如果我們取赤道分解，使得每個維度上各有兩個胞腔，那麼

$$C_k = \left\{ \begin{array}{lr} \mathbb Z^2 & 0 \leq k \leq n \\ 0 & \text{otherwise} \end{array} \right.$$

而微分算子是形為 $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}$ 的矩陣。這個復形給出的同調與以上計算一致，因為復形在除 $C_0$ 與 $C_n$ 項外都是正合的。

- 對於復射影空間 $\mathbb{P}^n\mathbb{C}$，可以相似地算得

$$H^k(\mathbb{P}^n\mathbb{C}) = \begin{cases} <pre> \mathbb{Z} \quad\text{for } 0\le k\le 2n,\text{even}\\ 0 \quad\text{otherwise}. </pre> \end{cases}$$

之所以這兩例中計算都尤其簡單，是因為同調完全由胞腔數目確定——換言之，胞腔的黏著映射在計算中沒有扮演任何角色。這個現象只是特例，在一般情況下並不成立。

## 同倫範疇

在某些專家眼中，CW復形的同倫範疇即使不是唯一的同倫範疇（基於技術原因，實際使用的版本是帶基點的空間），也是同倫範疇的最佳候選。因此，可能會得出非CW復形的空間的輔助構造需儘量避免。在這方面的基本結論是布朗可表性定理：同倫範疇上的可表函子可以藉助CW復形來相當精簡地刻畫。

## 性質

- CW復形是局部可收縮的。
- CW復形滿足懷特黑德定理：CW復形之間的映射是同倫等價若且唯若在所有同倫群上都誘導出同構。
- 兩個CW復形的積可以轉化成一個CW復形。具體而言，設 $X$ 和 $Y$ 為CW復形，那麼 $X\times Y$ 上容許一個CW復形的結構，其胞腔即 $X$ 中的胞腔與 $Y$ 中胞腔的積，並配備弱拓撲。不出所料，這個新的CW復形的底集合就是 $X\times Y$ 本身。此外，多數情況下弱拓撲與 $X\times Y$ 上的積拓撲一致，例如當 $X$ 或 $Y$ 之一是有限CW復形（或更一般地，當它們之一是局部有限的，也即在每個維度它有有限個胞腔）。然而，如果 $X$ 和 $Y$ 皆非局部緊，弱拓撲可能比積拓撲更精細。在這種不利的情形下，兩個復形的積（作為拓撲空間） $X\times Y$ 不是一個CW復形。另一方面，$X$ 和 $Y$ 在緊生成空間範疇中的積的拓撲與弱拓撲一致，因此確實定義出一個CW復形。
- 設 $X$ 和 $Y$ 為CW復形。函數空間 $\operatorname{Hom}(X,Y)$ （帶緊緻開拓撲）一般不是CW復形。若 $X$ 是有限CW復形，那麼 $\operatorname{Hom}(X,Y)$ 同倫等價於一個CW復形；這是由於約翰·米爾諾的一個定理 (1959)。注意到 $X$ 和 $Y$ 都是緊生成豪斯多夫空間，因此 $\operatorname{Hom}(X,Y)$ 常常取其緊生成的變種；以上結論對於這個變種仍然成立。
- CW復形的覆疊空間也是CW復形。
- CW復形是仿緊空間，而有限CW復形是緊空間。CW復形的緊子空間必定包含於一有限子復形內。