協變經典場論

近年來，協變經典場論又引起了研究者的興趣。動力學在這裡用有限維空間的在時空中的給定時間點上的場來表述。射流叢現在被認為是這種表述的正確定義域。

本文給出一階經典場論的協變表述的一些幾何結構。

## 記法

本條目記法和射流叢條目所引入的一致。並令$\bar{\Gamma}(\pi)$表示有緊支撐的$\pi\,$的截面。

## 作用量積分

一個經典場論數學上可以如下表述

- 一個纖維叢 $(\mathcal{E},\pi, \mathcal{M})$，其中$\mathcal{M}$表示一個$n\,$維時空。
- 一個拉格朗日量形式 $\Lambda:J^{1}\pi \rightarrow \Lambda^{n}M$

令$\star 1\,$代表$M\,$上的體積形式，則$\Lambda = L\star 1\,$，其中$L:J^{1}\pi \rightarrow \mathbb{R}$是拉格朗日量函數。

我們在 $J^{1}\pi\,$上選擇纖維化坐標$\{x^{i},u^{\alpha},u^{\alpha}_{i}\}\,$，使得

$$\star 1 = dx^{1} \wedge \ldots \wedge dx^{n}$$

作用量積分定義為

$$S(\sigma) = \int_{\sigma(\mathcal{M})} (j^{1}\sigma)^{*}\Lambda \,$$

其中$\sigma \in \bar{\Gamma}(\pi)$，並定義於開集$\sigma(\mathcal{M})\,$，而$j^{1}\sigma\,$代表其第一射流延長(jet prolongation)。

## 作用量積分的變分

截面$\sigma \in \bar{\Gamma}(\pi)\,$的變分由曲線$\sigma_{t} = \eta_{t} \circ \sigma\,$給出，其中$\eta_{t}\,$是一個$\mathcal{E}\,$上的$\pi\,$-豎直向量場$V\,$的流，它在$\mathcal{M}\,$上有緊支撐。

截面$\sigma \in \bar{\Gamma}(\pi)\,$稱為變分的駐點，如果

$$\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\int_{\sigma(\mathcal{M})}(j^{1}\sigma_{t})^{*}\Lambda = 0\,$$

這等價於

$$\int_{\mathcal{M}} (j^{1}\sigma)^{*}\mathcal{L}_{V^{1}}\Lambda = 0\,$$

其中$V^{1}\,$代表$V\,$的第一延長，按李導數的定義。

使用嘉當公式，$\mathcal{L}_{X}=i_{X}d + di_{X}\,$，斯托克斯定理以及$\sigma\,$的緊支撐，可以證明這等價於

$$\int_{\mathcal{M}} (j^{1}\sigma)^{*}i_{V^{1}}d\Lambda = 0 \,$$

## 歐拉－拉格朗日方程

考慮一個$\mathcal{E}$的$\pi\,$-豎直向量場

$$V = \beta^{\alpha}\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}}\,$$

其中$\beta^{\alpha} = \beta^{\alpha}(x,u)\,$。採用切觸形式 $\theta^{j} = du^{j} - u^{j}_{i}dx^{i}\,$ on $J^{1}\pi\,$，我們可以計算$V\,$的第一延長。然後得到

$$V^{1} = \beta^{\alpha}\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}} + \left(\frac{\partial \beta^{\alpha}}{\partial x^{i}} + \frac{\partial \beta^{\alpha}}{\partial u^{j}}u^{j}_{i}\right)\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}_{i}}\,$$

其中$\gamma^{\alpha}_{i} = \gamma^{\alpha}_{i}(x,u^{\alpha},u^{\alpha}_{i})\,$。

據此，可以證明

$$i_{V^{1}}d\Lambda = \left[\beta^{\alpha}\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}} + \left(\frac{\partial \beta^{\alpha}}{\partial x^{i}} + \frac{\partial \beta^{\alpha}}{\partial u^{j}}u^{j}_{i}\right)\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}_{i}}\right]\star 1 \,$$

因而

$$(j^{1}\sigma)^{*}i_{V^{1}}d\Lambda = \left[(\beta^{\alpha} \circ \sigma)\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}} \circ j^{1}\sigma + \left(\frac{\partial \beta^{\alpha}}{\partial x^{i}} \circ \sigma + \left(\frac{\partial \beta^{\alpha}}{\partial u^{j}} \circ \sigma \right)\frac{\partial \sigma^{j}}{\partial x^{i}} \right)\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}_{i}} \circ j^{1}\sigma \right]\star 1 \,$$

分部積分並考慮$\sigma\,$的緊支撐，臨界條件變為

$\int_{\mathcal{M}} (j^{1}\sigma)^{*}i_{V^{1}}d\Lambda \,$｜$= \int_{\mathcal{M}} \left[\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}} \circ j^{1}\sigma - \frac{\partial}{\partial x^{i}} \left(\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}_{i}} \circ j^{1}\sigma \right)\right]( \beta^{\alpha}\circ \sigma )\star 1 \,$

$$= 0 \,$$

因為$\beta^{\alpha}\,$為任意函數，我們得到

$$\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}} \circ j^{1}\sigma - \frac{\partial}{\partial x^{i}} \left(\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}_{i}} \circ j^{1}\sigma \right) = 0\,$$

這些就是歐拉－拉格朗日方程組。

## 參考

- Saunders, D.J., "The Geometry of Jet Bundles", Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7
- Bocharov, A.V. et al. "Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics", Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958
- De Leon, M., Rodrigues, P.R., "Generalized Classical Mechanics and Field Theory", Elsevier Science Publishing, 1985, ISBN 0-444-87753-3
- Griffiths, P.A., "Exterior Differential Systems and the Calculus of Variations", Boston: Birkhauser, 1983, ISBN 3-764-33103-8
- Gotay, M.J., Isenberg, J., Marsden, J.E., Montgomery R., Momentum Maps and Classical Fields Part I: Covariant Field Theory, November 2003
- Echeverria-Enriquez, A., Munoz-Lecanda, M.C., Roman-Roy,M., Geometry of Lagrangian First-order Classical Field Theories, May 1995