新基礎集合論

在數理邏輯中，新基礎集合論（NF）是公理化集合論的一種，由蒯因構想出來作為對《數學原理》中類型論的簡化。蒯因1937年於《數理邏輯的新基礎》一文中首次提及NF（此即其名稱的由來）。請注意，此條目大多是在談論NFU，這是Jensen於1969年所提出，並由Holmes於1998年闡述的一重要變體。

## 類型論TST

改進版本的類型論TST的基本謂詞是等於和成員關係。TST有一個線性的類型層次：類型0由不加描述的個體組成。對於每個（元-）自然數n，類型n+1的對象是類型n對象的集合；類型n的集合有類型為n-1的成員。用等號連接的對象必須有相同的類型。下列兩個原子公式簡潔的描述了定類型規則：$x^{n} = y^{n} \ $和$x^{n} \in y^{n+1}$（符號仍可改進）。

TST的公理是：

- 外延性：帶有相同成員的相同（正數）類型的集合是相等的。
- 概括公理模式，也就是：

如果$\phi(x^n)\ $是公式，則集合$\{x^n \mid \phi(x^n)\}^{n+1}$存在。

換句話說，給定任何公式$\phi(x^n) \ $，存在集合$A^{n+1}\ $使得$\forall x^n \exists A^{n+1} [x^n \in A^{n+1} \leftrightarrow \phi(x^n)]$為真。

這個類型論比於《數學原理》首次發表的類型論簡單許多，因為它還得包括其參數不必然都有同樣類型的關係類型。在1914年，諾伯特·維納展示了如何把有序對編碼為集合的集合。這使得以這裡描述的集合層次的方式消除了關係類型。

## 蒯因集合論

### 公理和層化

新基礎（NF）是通過放棄TST的類型區別而獲得的。NF的公理有：

- 外延性：有相同元素的兩個對象是同一個對象。
- 概括模式：所有TST的概括實例，但去掉了類型索引（並且不用引入在變量之間新的同一性）。

通過約定，NF的概括模式使用層化公式的概念來陳述，而不直接提及類型。一個公式$\phi$被稱為是層化的，如果存在從語法片段到自然數的一個函數f，使得對於任何$\phi$的原子子公式$x \in y$有f(y) = f(x) + 1；而對於任何$\phi$的原子子公式$x=y$，有f(x) = f(y)。概括接著變成：

對於每個層化公式$\phi$存在$\{x \mid \phi \}$。甚至在層化概念內隱含的對類型的間接提及也可以消除。Hailperin在1944年證實了概括等價於它的一些推論的有限合取，所以NF可以有限的公理化而不提及類型的概念。

對於樸素集合論概括好像是不自洽的，但是在這裡不是。例如，不可能的羅素類$\{x \mid x \not\in x\}$不是NF集合，因為$x \not\in x$不能被層化。

### 有序對

關係和函數在TST（以及NF和NFU）中以通常的方式定義為有序對。首先由Kuratowski在1921年提議的有序對常用的定義對於NF和相關理論有個嚴重缺陷：結果的有序對必定有比它的參數（它的左和右投影）的類型高2的類型。所以為了決定分層，函數有比它的定義域的成員高3的類型。

如果能以其類型是同它的參數一樣的類型的方式定義對（導致一個類型齊平有序對），則關係或函數有隻比它的域的成員的類型高1的類型。所以NF和相關理論通常採用蒯因的有序對的集合論定義，這樣得出的是類型的類型-齊平的有序對。Holmes（1998）把有序對與它的左和右投影定為原始概念。幸運的是，無論有序對是通過定義或通過假定（就是作為原始概念）而類型齊平，通常是不重要的。

類型齊平有序對的存在蘊涵了「無窮公理」，而NFU +「無窮公理」解釋了NFU +「存在著類型齊平的有序對」（它們不是同樣的理論，但是區別無關緊要）。反過來，NFU +「無窮公理」+「選擇公理」證明了類型齊平有序對的存在。

### 有用的大集合的可容納性

NF（以及NFU +「無窮公理」+「選擇公理」，下面描述並已知是相容的）允許構造兩種集合，它們都是ZFC和它的真擴展所不允許的，因為「太大」的緣故（某些集合論在真類的名義下接受這些實體）：

- 全集V。因為$x=x$是層化公式，通過概括存在全集$V = \{x \ | \ x=x \} \ $。直接的推論是所有集合都有補集，而在NF下的整個集合論全集有一個布爾結構。
- 基數和序數。在NF（和TST）中，存在n個元素的所有集合的集合（這裡循環性只是外觀上的）。所以弗雷格的基數定義在NF和NFU中可行；基數是集合在等勢關係下的等價類：集合A和B是等勢的，如果存在它們之間的雙射，在這種情況下我們寫為$A \sim B \ $。類似的，序數是良序集合在相似關係下的等價類。

## NF(U)如何避免集合論悖論

NF清除了三個周知的集合論悖論。NFU這個{相對}相容的理論也避免了這些悖論，增強了我們對這些理論的信心。

羅素悖論：$x \not\in x$不是層化公式，所以不會通過概括的任何推論得出$\{x \mid x \not\in x\}$的存在性。蒯因構造NF的時候大概最關注於這個悖論。

關於最大基數的康托爾悖論利用了康托爾定理對全集的應用。康托爾定理聲稱（假定ZFC）任何集合的$A \ $的冪集$P(A) \ $大於$A \ $（沒有從$P(A) \ $到$A \ $的單射函數）。但如果$V \ $是全集的話，當然有從$P(V) \ $到$V \ $的單射。為了解決這個問題，我們需要注意到$|A| < |P(A)| \ $在類型論中沒有意義：$P(A) \ $的類型比$A \ $的類型高1。正確的有類型版本（它是在類型論中的定理，成立的原因就像康托爾定理在ZF中成立那樣）是$|P_1(A)| < |P(A)| \ $，這裡的$P_1(A) \ $是$A \ $的單元素子集的集合。在這個定理中，使我們感興趣的特殊實例是$|P_1(V)| < |P(V)| \ $：單元素集合們少於集合們（因此一個元素的集合們少於全體對象，如果我們在NFU中的話）。從全集到這些單元素集合明顯的雙射$x \mapsto \{x\} \ $不是一個集合；它不是集合是因為它的定義是非層化的。注意在所有已知的NFU的模型中$|P_1(V)| < |P(V)| << |V| \ $都成立；「選擇公理」允許我們不只證明有基本元素，而且在$|P(V)| \ $和$|V| \ $之間有很多基數。

我們現在引入某些有用的概念。若集合$A \ $滿足$|A| = |P_1(A)| \ $，就被稱為康托爾式的：康托爾式集合滿足通常形式的康托爾定理。集合$A \ $滿足進一步條件$(x \mapsto \{x\})\lceil A \ $，即單元素集合映射在A上的限制，則不只是康托爾式的而且是強康托爾式的。

下面是關於最大序數的布拉利-福爾蒂悖論。我們定義(跟從樸素集合論)序數是良序排序在相似性下的等價類。在序數上有一個明顯的自然的良序排序；因為它是良序排序所以它屬於一個序數$\Omega \ $。(通過超限歸納法)可直接證明在小於一個給定序數$\alpha \ $的序數們上的自然次序的序類型是$\alpha \ $自身。但是這意味著$\Omega \ $是小於$\Omega \ $的序數們的序類型，因此它嚴格小於所有序數的序類型 -- 但是通過定義，後者是$\Omega \ $自身！

在NF(U)中對這個悖論的解決開始於觀察到在小於$\alpha \ $的序數們上的自然次序的序類型的類型比$\alpha \ $的類型高。因此類型齊平有序對的類型比它的參數的類型高1，而常規的Kuratowski有序對高3。對於任何序類型$\alpha \ $，我們可以定義比$\alpha \ $的類型高1的序類型：如果$W \in \alpha \ $，則$T(\alpha) \ $是次序$W^{\iota} = \{(\{x\},\{y\}) \mid xWy\}$的序類型。T運算的煩瑣只是外觀上的；可以輕易的證明T是在序數們上的嚴格的單調(序保持)運算。

我們可以用層化的方式重申關於序類型的引理：在小於$\alpha \ $的序數們上的自然次序的序類型是$T^2(\alpha) \ $或$T^4(\alpha) \ $，依賴於使用哪個有序對定義(我們在下文中假定類型齊平有序對)。從此我們可演繹出在小於$\Omega \ $的序數們上的序類型是$T^2(\Omega) \ $，從它我們演繹出$T^2(\Omega)<\Omega \ $。因此T運算不是個函數；我們不能有從序數到序數的嚴格單調集合映射，它向下映射一個序數！因為T是單調的，我們有$\Omega > T^2(\Omega) > T^4(\Omega)\ldots$，在序數們中的「遞減序列」不能是集合。

某些人已經斷言這個結果證實了沒有NF(U)的模型是「標準」的，因此在任何NFU的模型中序數們外在的不是不是良序的。我們不接受這種立場，而我們注意到還有一個NFU的定理，任何NFU的集合模型都有非良序的「序數」；NFU不結論出全集V是NFU的模型，儘管V是集合，因為成員關係不是集合關係。

關於數學在NFU中的進一步開發，和與在ZFC中相同的開發的比較，請參見數學的集合論實現（Implementation of mathematics in set theory）。

蒯因在1940年第一版的《數理邏輯》的集合論中，結合了von Neumann-Bernays-Gödel集合論的真類於NF，並為真類包括了一個無限制概括的公理模式。在1942年，J. Barkley Rosser證明了蒯因的集合論遭受Burali-Forti悖論。在1950年，王浩展示了如何修正蒯因的公理來避免這個問題，蒯因在1951年第二和最終版本的《數理邏輯》中包括了結果的公理化。

## 外部連結

- Stanford Encyclopedia of Philosophy:
- Quine's New Foundations -- by Thomas Forster.
- Alternative axiomatic set theories -- by Randall Holmes.
- Randall Holmes: New Foundations Home Page.
- Randall Holmes: Bibliography of Set Theory with a Universal Set.