三等分角

三等分角是古希臘平面幾何里尺規作圖領域中的著名問題，與化圓為方及倍立方問題並列為尺規作圖三大難題。尺規作圖是古希臘人的數學研究課題之一，是對具體的直尺和圓規畫圖可能性的抽象化，研究是否能用規定的作圖法在有限步內達到給定的目標。三等分角問題的內容是：「能否僅用尺規作圖法將任意角度三等分？」

三等分角問題提出後，在漫長的兩千餘年中，曾有眾多的嘗試，但沒有人能夠給出嚴格的答案。隨著十九世紀群論和域論的發展，法國數學家皮埃爾·汪策爾首先利用伽羅瓦理論證明，這個問題的答案是否定的：不存在僅用尺規作圖法將任意角度三等分的通法。具體來說，汪策爾研究了給定單位長度後，能夠用尺規作圖法所能達到的長度值。所有能夠經由尺規作圖達到的長度值被稱為規矩數，而汪策爾證明了，如果能夠三等分任意角度，那麼就能做出不屬於規矩數的長度，從而反證出通過尺規三等分任意角是不可能的。

如果不將手段局限在尺規作圖法中，放寬限制或藉助更多的工具的話，三等分任意角是可能的。然而，作為數學問題本身，由於三等分角問題表述簡單，而證明困難，並用到了高等的數學方法，在已被證明不可能實現後，仍然有許多人嘗試給出肯定的證明。

## 背景簡介

### 尺規作圖法

在敘述三等分問題前，首先需要介紹尺規作圖的意思。尺規作圖問題是從現實中具體的「直尺和圓規畫圖可能性」問題抽象出來的數學問題，將現實中的直尺和圓規抽象為數學上的設定，研究的是能不能在若干個具體限制之下，在有限的步驟內作出給定的圖形、結構或其他目標的問題。在尺規作圖中，直尺和圓規的定義是：

直尺：一側為無窮長的直線，沒有刻度也無法標識刻度的工具。只可以讓筆摹下這個直線的全部或一部分。

圓規：由兩端點構成的工具。可以在保持兩個端點之間的距離不變的情況下，固定其中一個端點，讓另一個端點移動，作出圓弧或圓。兩個端點之間的距離只能取已經作出的兩點之間的距離，或者任意一個未知的距離。

定義了直尺和圓規的特性後，所有的作圖步驟都可以歸化為五種基本的步驟，稱為作圖公法：

- 通過兩個已知點，作一直線。
- 已知圓心和半徑，作一個圓。
- 若兩已知直線相交，確定其交點。
- 若已知直線和一已知圓相交，確定其交點。
- 若兩已知圓相交，確定其交點。

尺規作圖研究的，就是是否能夠通過以上五種步驟的有限次重複，達到給定的作圖目標。尺規作圖問題常見的形式是：「給定某某條件，能否用尺規作出某某對象？」比如：「給定一個圓，能否用尺規作出這個圓的圓心？」等等。

### 問題敘述

三等分角問題的完整敘述是：

任意給定一個角，是否能夠通過以上說明的五種基本步驟，於有限次內作出另一個角，等於這個角的三分之一？

關於這個敘述中的用詞和術語，需要一一作出定義。「角」可以有兩種等價的定義：一個角可以是由一點和從它出發的兩條射線構成的集合，也可以是由三點和連接它們的兩條線段構成的集合。以下的敘述中採取第二個定義，用三個大寫英文字母或一個希臘字母表示一個角。角AOB指的是由三點A, O, B以及線段AO和OB構成的集合，也可以直接用一個希臘字母如α表示。兩個角AOB和A'O'B'相等，指的是以下條件：如果將線段OA沿點A延長為射線，在上面作一點C使得OC $=$ O'A'，同時將線段OB沿點B延長為射線，在上面作一點D使得OD $=$ O'B'，則CD $=$ A'B'。

一個角α等於另一個角β的三分之一，指的是角β等於角α的三倍。而一個角AOB等於角AOC的k倍（k > 1為自然數），指的是可以找到點B1, B2, ... , Bk等，使得k個角AOB1, B1OB2, ... , Bk-1OBk都等於AOC，並且點Bk就是點B。

### 二等分角問題

與三等分角問題相比，用尺規作圖將任意角二等分要容易得多。右圖具體說明了二等分一個角的步驟。依照類似的步驟，也能夠將任意角四等分、八等分……但直到十九世紀，隨著群論和伽羅瓦理論的出現，數學家們才認識到二等分角和三等分角本質上的不同。在現代數學語言中，更常用域擴張的理論來論述三等分角的問題。從證明三等分角的過程中可以知道，尺規作圖的方法不但不能三等分任意角，也不能將任意角五等分、七等分、九等分、十一等分。其理由涉及到直線和圓的解析性質。

## 不可能性的證明

1837年，法國數學家汪策爾證明了，三等分角問題是沒有辦法完成的。

三等分角問題提出後，有許多基於平面幾何的論證和嘗試，但在十九世紀以前，一直沒有完整的解答。沒有人能夠給出將任意角度三等分的確實做法，但開始懷疑其可能性的人之中，也沒有人能夠證明這樣的做法一定不存在。直到十九世紀後，伽羅瓦和阿貝爾(全名:尼爾斯·阿貝爾)開創了以群論來討論有理係數多項式方程之解的方法，人們才認識到三等分角問題的本質。

### 尺規可作性和規矩數

在研究各種尺規作圖問題的時候，數學家們留意到，能否用尺規作出特定的圖形或目標，本質是能否作出符合的長度。引進直角坐標系和解析幾何以後，又可以將長度解釋為坐標。比如說，作出一個圓，實際上是作出圓心的位置（坐標）和半徑的長度。作出特定的某個交點或某條直線，實際上是找出它們的坐標、斜率和截距。為此，數學家引入了尺規可作性這一概念。假設平面上有兩個已知的點O和A，以OA為單位長度，射線OA為x-軸正向可以為平面建立一個標準直角坐標系，平面中的點可以用橫坐標和縱坐標表示，整個平面可以等價於$\mathbb{R}^2$。

設E是$\mathbb{R}^2$的一個非空子集。如果某直線$\mathcal{l}$經過E中不同的兩點，就說$\mathcal{l}$是E-尺規可作的，簡稱E-可作。同樣地，如果某個圓$\mathcal{C}$的圓心和圓上的某個點是E中的元素，就說$\mathcal{C}$是E-可作的。進一步地說，如果$\mathbb{R}^2$里的某個點P是某兩個E-可作的直線或圓的交點（直線－直線、直線－圓以及圓－圓），就說點P是E-可作的。這樣的定義是基於五個基本步驟得來的，包括了尺規作圖中從已知條件得到新元素的五種基本方法。如果將所有E-尺規可作的點的集合記作s(E)，那麼當E中包含超過兩個點的時候，E肯定是s(E)的真子集。從某個點集E0開始，經過一步能作出的點構成集合E1 $=$ s(E)，經過兩步能作出的點就是E2 $=$ s(E1)，……以此類推，經過n步能作出的點集就是En $=$ s(En-1)。而所有從E能尺規作出的點集就是：

$C(\mathrm{E}_0) = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} \mathrm{E}_n$。

另一個與尺規可作性相關的概念是規矩數。設H是從集合E0 $=$ {(0,0), (0,1)}開始，尺規可作點的集合：H $=$ C(E0)，那麼規矩數定義為H中的點的橫坐標和縱坐標表示的數。

定義：實數a和b是規矩數若且唯若(a, b)是H中的一個點。

可以證明，有理數集$\mathbb{Q}$是所有規矩數構成的集合K的子集，而K又是實數集$\mathbb{R}$的子集。另外，為了在複數集$\mathbb{C}$內討論問題，也會將平面$\mathbb{R}^2$看作複平面$\mathbb{C}$，同時定義一個複數a+bi是（復）規矩數若且唯若點(a, b)是H中的一個點。所有復規矩數構成的集合L也包含$\mathbb{Q}$作為子集，並且是複數集$\mathbb{C}$的子集。從尺規可作性到解析幾何下的規矩數，三等分角問題從幾何問題轉成了代數的問題。

### 域的擴張與最小多項式

以集合的觀念來說，L與$\mathbb{Q}$、$\mathbb{C}$之間是子集與包含的關係。以抽象代數的觀點來說，可以證明L是有理數域$\mathbb{Q}$的擴域，是實數域$\mathbb{C}$的子域。記作$\mathbb{Q} \subseteq \mathrm{L} \subseteq \mathbb{C}$。域是抽象代數中的概念，是能夠進行「加減乘除」運算的集合。從單位長度出發，很容易得到任何有理數長度的線段，所以直線OA（也就是實數軸）上所有的有理數坐標的點都是尺規可作點。如果平面上還有另一個尺規可作點（對應複數z），那麼也能做出任意pz+q的點，甚至於任何形如：

$$\frac{P_1(z)}{P_2(z)}$$

點（其中P1和P2是兩個多項式）。有理數域$\mathbb{Q}$和所有因為z而多出來的尺規可作點仍舊構成一個域，稱為$\mathbb{Q}$關於z的擴張，記作$\mathbb{Q}(z)$。然而，$\mathbb{Q}(z)$中的元素並沒有表面上那麼「多」。一般來說，如果有一個多項式P使得P(z)=0，那麼$\mathbb{Q}(z)$中的元素都可以寫成λ1+λ2z+...+λdzd-1的形式，其中d是P的階數。這樣的情況稱為域$\mathbb{Q}$的有限擴張，因為$\mathbb{Q}(z)$可以看成關於$\mathbb{Q}$的有限維線性空間。為了確定這個線性空間的維數，需要為它找一個基底，也就是一個線性無關的最小生成集。為此，尋找使得m(z) $=$ 0的多項式中階數最小的，並稱m是z最小多項式。在最小多項式確定後，便可確定1, z, ... , zdm-1是$\mathbb{Q}(z)$的一個基底，$\mathbb{Q}(z)$是一個dm維的$\mathbb{Q}$-線性空間（dm是m的階數）。這時候也稱dm是域擴張$\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}(z)$的階數，記作：

$$[ \mathbb{Q}(z) : \mathbb{Q} ] = \mathrm{d}_m$$

### 規矩擴張的階數

對任何一個尺規可作點，都可以考察它對應的域擴張的階數。由於每個尺規可作點都是通過五種作圖公法的有限次累加得到的，而其中生成新點（也就是新坐標）的只有後三種。所以只需考察這三種步驟得到的新點對應的域擴張的階數。假設某個時刻，已知的所有尺規可作點構成的域是L，那麼生成新點時的直線和圓的係數都在L裡面。

直線的方程是：$ax + by + c = 0, \quad a, b, c \in \mathrm{L}, \qquad \qquad \cdots \; \; (1)$

圓的方程是：$(x -c_1)^2 + (y - c_2)^2 = r^2, \quad c_1, c_2, r \in \mathrm{L}.\qquad \qquad \cdots \; \; (2)$

無論是兩個(1)類方程，兩個(2)類方程，還是一個(1)類和一個(2)類方程聯立求解，得到的x和y值都會是形同

$$\begin{cases} x = p_1 + q_1\sqrt{t} & p_1 , \; q_1 , \; t \; \in \mathrm{L}\\ y = p_2 + q_2\sqrt{t} & p_2 , \; q_2 \; \in \mathrm{L} \end{cases}$$

數值。所以復規矩數z $=$ x+yi滿足一個二次方程：

$$(z - (p_1 + p_2 i))^2 = t(q_1 + q_2 i)^2$$

其中的p1+p2i、q1+q2i以及t都是L中的元素。這意味著，域擴張L⊆L(z)的階數最多是2（最小多項式的階數至多是2）。這又說明，從L開始，經過一系列（n次）基本步驟得到的尺規可作點，代表了n次域擴張：

$\mathrm{L} \subseteq \mathrm{L}_1 \subseteq \cdots \subseteq \mathrm{L}_n$。

而每次域擴張的階數：Lk : Lk-1都不超過2。因此，如果從基本的有理數域出發的話，就能得到如下的定理：

任何復規矩數z對應的域擴張$\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}(z)$的階數$[ \mathbb{Q}(z) : \mathbb{Q} ]$都是2的某個冪次：

$[ \mathbb{Q}(z) : \mathbb{Q} ] = 2^s$ 其中的s是某個小於n的自然數（n是已知所有有理數坐標點時，作出z對應的點要經過的基本步驟數目）。

### 三等分角的反證

上文已經說明，任何可以用尺規作圖作出的點，其座標對應一個復規矩數，它的最小多項式次數為$2^{s}$。以下用反證法證明三等分任意角是不可能的。反設可以用尺規作圖將任意角三等分，代表對任意角度是$\theta$的角，均可以由尺規作圖得到 角度為$\frac{\theta}{3}$的角。這等價於說在已知單位長度和$\cos{\theta}$的時候能做出$\cos{\frac{\theta}{3}}$的長度。設L是包含了$\cos{\theta}$和單位長度1的域。用尺規作圖可以得到$z = \cos{\frac{\theta}{3}}$，說明域擴張的階數是2的冪次：

$$[ \mathrm{L}(z) : \mathrm{L} ] = 2^s$$

然而根據三倍角公式：

$\cos \theta = 4 \cos^3 {\frac{\theta}{3}} -3 \cos {\frac{\theta}{3}} = 4z^3 - 3z$。

運用多項式的知識可以證明，$z$在L中的最小多項式的階數必定不大於3，也就是說是1，2或者3。比如說當角度$\theta = 60^\circ$時，L就是$\mathbb{Q}$（$\cos{\theta}=\frac12 \in \mathbb{Q}$）三倍角公式變成：

$4 z^3 - 3 z = \cos{60^\circ} = \frac{1}{2}$，即是：

$$8 z^3 - 6 z - 1 = 0$$

這個多項式不可約，所以這個方程的解不屬於有理數集$\mathbb{Q}$，所以可以證明$[\mathbb{Q}(z) : \mathbb{Q}] = 3$。然而3不是2的冪次，這和之前的結論矛盾。如此便說明，無法用尺規作圖將任意角三等分。$\Box$

## 能夠尺規三等分的角度

以上的證明通過一個反例：$\theta = 60^\circ$說明了用尺規作圖將任意角三等分是不可能的。但用尺規作圖三等分某些特定的角（比如說直角）仍然是可行的。事實上，從證明中可以看出，尺規三等分某個角$\theta$等價於說$[ \mathrm{L}(\cos{\frac{\theta}{3}}) : \mathrm{L} ] = 1$。要注意的是，這個條件與$\cos{\theta}$本身能否用尺規作圖作出並不相關。實際上，有的角度$\theta$即便本身無法用尺規作圖法作出，但如果已知角$\theta$作為條件，是能夠用尺規作圖將它三等分的。角度$3\pi/7$就是這樣一個例子。它本身無法用尺規作出，但如果給定一個$3\pi/7$的角，它的五倍角就是$15\pi/7$，等於將圓周繞過一圈後的$\pi/7$，這正是$3\pi/7$的三分之一。可以證明，角度$2\pi/N$可以用尺規三等分，若且唯若自然數N本身無法被三整除。

從證明中還可看出，只要自然數k只含有2以外的質因子，根據k倍角公式得到的k階多項式就說明$\cos{\frac{\theta}{k}}$的最小多項式階數整除k，所以不是2的冪次，從而無法用尺規作圖k等分任意角。例如用尺規作圖五等分任意角、七等分任意角等等都是不可能的（$2\pi/N$可以五等分，當且僅當N不是5的倍數；而不管N是多少，$2\pi/N$都不能七等分，因為正七邊形本身就不能尺規作圖了）。

## 三等分角的方法

用尺規作圖的方法三等分角被證明是不可行的。如果放寬尺規作圖的限制，或允許使用另外的工具，那麼三等分任意角仍舊是可能的。

### 無限次步驟

尺規作圖要求在有限次步驟內將任意角三等分。如果我們允許使用無限次的步驟來構造三等分角的話，可以利用

$$\frac13 = \frac14 + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + \cdots$$

這個無窮級數的和來實現。給定任意一的角度為$\theta$的角。已知尺規二等分角是可行的，所以重複兩次就能夠四等分一個角$\theta$，得到$\frac{\theta}{4}$。同樣地，可以作出$\frac{\theta}{4^2}$、$\frac{\theta}{4^3}$等所有形同$\frac{\theta}{4^n}$的角。將它們逐次相加，就能夠在無限次（可數次）操作後用尺規作圖得到

$\frac{\theta}{4} + \frac{\theta}{4^2} +\frac{\theta}{4^3} + \cdots = \frac{\theta}{3}$。

在這個公式下誤差值為下

- $\left| \frac{\theta}{3} - \sum_{k=1}^n \frac{\theta}{4^k} \right| = \frac{\theta}{3 \cdot 4^n}$ 根據此估算：
- 若$\theta = 180^\circ$時，取前 15 項誤差可小於$10^{-6}$，若$\theta = 1^\circ$ 時，僅需 9 項即可達成同樣精度。
- 可見此級數具有快速收斂特性，在有限項下已可逼近任意角的三等分角，具有實作價值。

### 二刻尺

如果允許使用有刻度的直尺（二刻尺），則三等分任意角是可行的。右圖為把角a三等分的示意圖。這個想法最早由阿基米德提出。

首先，在直尺上有兩個刻度，相距AB。把角上的直線延長，並作一個半徑為AB的圓。

把直尺的一點固定在A，並將直尺繞著點A移動，直到其中一個刻度位於點C，另一個刻度位於點D，也就是說，CD $=$ AB。這時，角b就是角a的三分之一。

要證明$a = 3b$，我們需要利用直線上的鄰角(adjacent angles on straight line)，三角形的內角和(angle sum of triangle)及等腰三角形底角(base angle, isosceles triangle)。

證明：

- $e + c = 180^\circ$。
- $e + 2b = 180^\circ$。
- 兩式相減，得$c = 2b$。
- $d + 2c = 180^\circ$，因此$d = 180^\circ - 2c$，把上式代入，得$d = 180^\circ - 4b$。
- $a + d + b = 180^\circ$，因此$a + (180^\circ - 4b) + b = 180^\circ$。

所以，$a - 3b = 0$，或$a = 3b$。證畢。

或者，可以利用三角形的外角(Exterior Angle of a Triangle)作證明。

$$b + b = c$$

$$b + c = a$$

$$\Rightarrow{ b} + 2b = a$$

$$\Rightarrow {a} = 3b$$

同樣也可證明。

### 藉助其他形狀或工具

尺規作圖的規定來自於古希臘的柏拉圖學派，他們認為僅有直線和圓是完美的形狀。事實上，如果允許在作圖中使用其他的曲線或形狀，那麼三等分任意角是可行的。例如：已知角AOB，做其角平分線OC。以直線OC為準線，點A為焦點，作一雙曲線；同時以O為圓心，OA為半徑做圓。設該圓與雙曲線在角AOB內側的交點為D，那麼角AOD等於角AOB的三分之一。此外，麥克勞林、利馬松等人也曾經設計過可以輔助三等分角的曲線。阿基米德螺線（等角螺線）也是能夠直觀幫助三等分角的曲線。在極坐標中，阿基米德螺線的方程是：

$$\rho = c \theta$$

其中的$\rho$是極徑（離原點的距離），$\theta$是幅角。由於極徑和幅角成正比，所以要尋找等於給定角度三分之一的角度，只需要確定原角度對應的極徑長度$\rho_0$，然後對比找出$\frac{\rho_0}{3}$對應的角度即可。

## 外部連結

- HPM 通訊第6卷第6期，3大作圖題 介紹在較寬鬆的條件下（允許使用有刻度的直尺或配合其他曲線）用尺規作圖，來求解三等分角問題。
- 三等分任意角可能嗎？