莫比烏斯帶

莫比烏斯帶（Möbiusband），又譯梅比斯環、莫比烏斯環或麥比烏斯帶，是一種只有一個面（表面）和一條邊界的曲面，也是一種重要的拓撲學結構，是由德國數學家、天文學家莫比烏斯和約翰·利斯廷在1858年獨立發現的。這個結構可以用一個紙帶旋轉半圈再把兩端粘上之後輕而易舉地製作出來。事實上有兩種不同的莫比烏斯帶鏡像，他們相互對稱；如果把紙帶順時針旋轉再粘貼，就會形成一個右手性的莫比烏斯帶，反之亦類似。

莫比烏斯帶本身具有很多奇妙的性質。如果從中間剪開一個莫比烏斯帶，不會得到兩個窄的帶子，而是會形成一個把紙帶的端頭扭轉了兩次再結合的環（並不是莫比烏斯帶），再把剛剛做出那個把紙帶的端頭扭轉了兩次再結合的環從中間剪開，則變成兩個環。如果你把帶子的寬度分為三分，並沿著分割線剪開的話，會得到兩個環，一個是窄一些的莫比烏斯帶，另一個則是一個旋轉了兩次再結合的環。另外一個有趣的特性是將紙帶旋轉多次再粘貼末端而產生的，比如旋轉三個半圈的帶子再剪開後會形成一個三葉結；剪開帶子之後再進行旋轉，然後重新黏貼則會變成數個頭與尾互相連結的反手結。

莫比烏斯帶常被認為是無窮大符號「∞」的創意來源，因為如果某個人站在一個巨大的莫比烏斯帶的表面上，能夠沿著他能看到的「路」一直走下去。

## 幾何學與拓撲學結構

一個利用參數方程式創造出立體莫比烏斯帶的方法：

$$\begin{align} &x(u,v)=\left(1+\frac{v}{2}\cos\frac{u}{2}\right)\cos(u)\\ &y(u,v)=\left(1+\frac{v}{2}\cos\frac{u}{2}\right)\sin(u)\\ &z(u,v)=\frac{v}{2}\sin\frac{u}{2}\\ &(0 \leq u < 2\pi,-1 \leq v \leq 1) \end{align}$$

這個方程組可以創造一個邊長為1半徑為1的莫比烏斯帶，所處位置為x-y面，中心為（0，0，0）。參數u在v從一個邊移動到另一邊的時候環繞整個帶子。

如果用圓柱坐標系（r,θ,z）表示的話，一個無邊界的莫比烏斯帶可以表示為：

$$\log(r)\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=z\cos\left(\frac{\theta}{2}\right).$$

從拓撲學上來講，莫比烏斯帶可以定義為笛卡兒積0,1×0,1，邊由在0 ≤ x ≤ 1的時候（x,0）~（1-x,1）決定，如右圖所示。

莫比烏斯帶是一個二維的緊緻流形（即一個有邊界的面），可以嵌入到三維或更高維的流形中。它是一個不可定向的的標準範例，可以看作RP2 # RP2。同時也是數學上描繪纖維叢的例子之一。特別地，它是一個有一纖維單位區間，I = 0,1的圓S1上的非平凡叢。僅從莫比烏斯帶的邊緣看去給出S1上一個非平凡的兩個點（或Z2）的從。

## 有關的物體

和莫比烏斯帶非常近似的一個幾何學物體叫做克萊因瓶。一個克萊因瓶可以用粘貼兩個莫比烏斯帶的方法製作出來。但是如果物體不進行自我交叉，這個步驟在三維空間內是不可能完成的。

另外一個相近的結構是實射影平面。如果在實射影平面上有一個洞的話，從左側看就會形成一個莫比烏斯帶。或者把莫比烏斯帶的邊界進行有限定義，就會形成一個真投影屏面。更形象地說法是重建莫比烏斯帶的邊緣形成一個普通的環。有一種普遍的誤解認為如果不進行平面的自我交叉就無法在三維空間內形成一個有普通環邊緣的莫比烏斯帶。事實上是可能的，方法是這樣的：定義C為xy面上的單位圓，現在連接C上面的對跖點，比如θ和θ + π。當θ在0到π/2之間運動的時候，在xy面上方做這條線的反餘切，其他情況則在面下做反餘切。

## 藝術和科技

- 莫比烏斯帶為很多藝術家提供了靈感，比如美術家莫里茨·科內利斯·埃舍爾就是一個利用這個結構在他木刻畫作品裡面的人，最著名的就是莫比烏斯二代，圖畫中表現一些螞蟻在莫比烏斯帶上面前行。
- 它也經常出現在科幻小說裡面，比如亞瑟·克拉克的《黑暗之牆》。科幻小說常常想像我們的宇宙就是一個莫比烏斯帶。由A.J.Deutsch於1950年創作的短篇小說《一個叫莫比烏斯的地鐵站》為波士頓地鐵站創造了一個新的行駛線路，整個線路按照莫比烏斯帶方式扭曲，走入這個線路的火車都消失不見。另外一部小說《星際迷航：下一代》中也用到了莫比烏斯帶空間的概念。

數學家斷言：

莫比烏斯帶只有一邊。

如果你不相信。

就請剪開一個驗證。

帶子分離時候卻還是相連。

- 莫比烏斯帶也被用於工業製造。一種從莫比烏斯帶得到靈感的傳送帶能使用更長的時間，因為可以更好的利用整個帶子，或者用於製造磁帶，可以承載雙倍的資訊量。
- 有一座鋼製的莫比烏斯帶雕塑位於美國華盛頓的史密斯森林歷史和技術博物館。
- 復仇者聯盟4:終局之戰（英語：Avengers: Endgame）劇情中東尼史塔克嘗試透過電腦藉由莫比烏斯帶模擬時空攔截與時間指向，意外的成功了。
- 荷蘭建築師Ben Van Berkel以莫比烏斯帶為創作模型設計了著名的莫比烏斯住宅。
- 在日本漫畫《哆啦A夢》中，哆啦A夢有個道具的外觀就是莫比烏斯帶；在故事中，只要將這個環套在門把上，則外面的人進來之後，看到的依然是外面。
- 在電玩遊戲「音速小子－滑板流星故事」中最後一關魔王戰就是在莫比烏斯帶形狀的跑道上進行，如果不打敗魔王，就會一直在莫比烏斯帶上無限循環的跑下去。
- 1988年在日本上映的動畫電影機動戰士GUNDAM 逆襲的夏亞以莫比烏斯帶作為對命運的隱喻：人類就好比行走在莫比烏斯帶上的螞蟻一般，永遠逃不出這個怪圈，不斷重覆著相同的錯誤，類同的悲劇也在不斷地上演。
- 電影《機動戰士GUNDAM 逆襲的夏亞》的主題歌BEYOND THE TIME（メビウスの宇宙を越えて）亦呼應了這個主題（日文「メビウス」就是Möbius的意思）。
- JoJo的奇妙冒險第6部空條徐倫對c-moon一幕亦有於戰鬥中使用此結構。
- 美國微軟公司出品的軟體開發工具Visual Studio 2010版的logo易被誤認為是一條莫比烏斯帶。但其實並非如此，因為沿著該logo的表面走，無法像莫比烏斯帶那樣將全部表面都走遍。
- 2013年，韓國導演金基德的電影《莫比烏斯》命名就取材於莫比烏斯環，象徵人性周而復始的重複悲劇和錯誤。
- 網路上流傳一部動畫影片，用莫比烏斯帶原理，來解釋巴哈所著的逆行卡農作品。
- 《Bilibili拜年祭2017》中作品《再一次》以莫比烏斯帶原理構築了困住木琳與海閱的古堡。
- 手機遊戲大作莫比烏斯 Final Fantasy就是以Möbius來命名。
- 韓團 本月少女 MV故事線使用了莫比烏斯環的概念
- 臺劇《想見你》中，黃雨萱和李子維不斷穿越時空造成循環，其故事線使用了莫比烏斯環的概念。而原本王詮勝（從2003年穿越來的李子維）打算向黃雨萱求婚的戒指形狀也運用了莫比烏斯環。
- 在獵人黑暗大陸篇中，小傑之父親亦有提到在古書【新世界紀行-東】中有紀載，現在普遍的世界地圖不過是真實世界的一小部分，其存在於一個名為"莫比烏斯"的巨大湖泊中，四周為"無盡"海所包圍。

## 趣聞

中文網路上曾流傳有一些以年輕人和老禪師為主人公，並且涉及數學概念的冷笑話。其中一則來源於人人網使用者黃雁捷的段子大致內容如下：「青年向禪師討教，希望可以讓他的女朋友沒有缺點，只有優點。禪師微笑著，請青年為他找一張只有正面沒有背面的紙。然後青年掏出了一個莫比烏斯環……」

歷史上確有相似的事情發生過，主人公是同樣擁有傳奇色彩的美國物理學家理察·費曼和他當時的女朋友阿琳。少年費曼有一次與阿琳一同談論笛卡爾的哲學時，指出笛卡爾對於完美必定存在的論述是在偷換概念。阿琳感嘆說也許就像哲學老師說的一樣，任何事物都像紙張一樣擁有不同的2個面；費曼則說這一說法本身也是值得權衡的，然後根據從《大英百科全書》學到的知識，拿出一張紙，在女友面前現場製作了一個莫比烏斯紙環。阿琳非常驚喜，第2天把紙環帶到了學校。當老師拿起一張紙又開始舉例事物都有兩面性時，她興奮地舉起了莫比烏斯紙環，令在場的師生們都為之驚訝。不過費曼非常欣賞笛卡爾的科學貢獻。

由於將紙張製作成莫比烏斯環可以同時利用到紙張的正反兩面，因此某些允許攜帶但限制使用單面小抄的考試中，會另外標示不得使用此結構形式的小抄，因為變相獲得了雙倍的書寫空間（通常在數學系或理工系較常出現，作為一種幽默的警示）。