P進數

$p$進數（p-adic number），是數論中的概念，也稱作局部數域，是有理數域拓展成的完備數域的一種。這種拓展與常見的有理數域$\mathbb{Q}$到實數域$\mathbb{R}$、複數域$\mathbb{C}$的數系拓展不同，其具體在於所定義的「距離」概念。$p$進數的距離概念建立在整數的整除性質上。給定素數$p$，若兩個數之差被$p$的高次冪整除，那麼這兩個數距離就「接近」，冪次越高，距離越近。這種定義在數論性質上的「距離」能夠反映同餘的資訊，使$p$進數理論成為了數論研究中的有力工具。

$p$進數的概念首先由庫爾特·亨澤爾於1897年構思並刻畫，其發展動機主要是試圖將冪級數方法引入到數論中，但現今$p$進數的影響已遠不止於此。例如可以在$p$進數上建立$p$進數分析，將數論和分析的工具結合起來，安德魯·懷爾斯對費馬大定理的證明中就用到了$p$進數理論。此外，$p$進數在量子物理學、認知科學、電腦科學等領域都有應用。

## 預備知識

### 數系的拓展

數系是人類將自然中的數量關係抽象化得到的代數系統。最早建立的數系是帶有加法與乘法的自然數$\mathbb{N} = \{ 0,1,2,3 \cdots \}$，其後引入了負數、分數的概念，形成了有理數$\mathbb{Q}$。$\mathbb{Q}$是「最小的」能夠包容四則運算的代數系統

$\mathbb{Q}$

這樣的系統在近世代數中稱為域。

### 度量

數系的拓展中，自然數繫到有理數系的拓展是基於代數運算的需求，而有理數繫到實數系的拓展則是拓撲學的需要。這裡的拓撲指的是為代數體系賦予「形狀」，定義「遠近」、「長短」等概念，是建立幾何和分析結構的基礎。一個常見的拓撲學方法是引入「距離」的概念，正式稱呼為度量。最直觀的定義是將兩個有理數的「距離」（度量）$d$定義為兩者之差的絕對值：

$$d(x, y) = |x - y|.$$

兩個有理數之間的度量是一個非負的有理數。也即是說度量$d$是一個從有理數域映射到非負有理數集合的二元函數：$\mathbb{Q}\times \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}^+ = \{ x \in \mathbb{Q} ; \; \; x \geqslant 0\}$。其中$\mathbb{Q}^+$的大小關係則是有理數域上定義的全序。這個度量基於歐幾里得幾何，叫做歐幾里得度量或絕對值度量。

### 完備化

在$\mathbb{Q}$上裝備了度量後，可以討論極限的概念。極限描述了一個數列在下標趨於無窮時的趨勢，是分析學的基礎。如果一個有理數列在下標趨於無窮時，數列的項與某個數$l \in \mathbb{Q}$的距離可以小於任意給定的正有理數，就稱$l$為此數列的極限。擁有極限的數列的項在下標趨於無窮時相互無限「靠近」。但反過來，這樣的數列不一定擁有有理數極限。比如說以下數列：

$$\frac12 , \frac23 , \frac35 , \frac58 , \frac{8}{13} , \cdots$$

這說明有理數在表示長度和距離的時候是不完備的，存在著無法用有理數表達的長度。為此需要對有理數進行擴展，稱為完備化。

將$\mathbb{Q}$完備化的拓撲方法由格奧爾格·康托提出。康托的方法依賴於現稱為柯西數列的概念。柯西數列是一種可以用任意「小」的「圓盤」覆蓋從某項起所有項的無窮數列。某個有理數數列$(a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{Q}^{\mathbb{N}}$是柯西數列，若且唯若對任意有理數$\epsilon > 0$，都存在自然數$N_\epsilon \in \mathbb{N}$，使得對任意$n, m > N_\epsilon$，都有$d(a_n ,a_m) < \epsilon$。康托承認每個這樣的有理數數列都收斂到某個極限，將實數定義為某個柯西數列的極限。顯然，對於所有有理數，都能找到一個以它為極限的柯西數列，比如常數數列。如果當兩個柯西數列$(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$和$(b_n)_{n\in \mathbb{N}}$的差：$(a_n - b_n)_{n\in \mathbb{N}}$收斂於$0$，就稱這兩個數列等價，這樣就可以在所有的柯西數列中建立等價關係。而康托將所有的等價類的集合定義為實數集$\mathbb{R}$。四則運算、絕對值度量和序關係「$>$」都可以從有理數域自然誘導到$\mathbb{R}$上。最重要的是，可以證明，所有$\mathbb{R}$中元素構成的柯西數列都收斂到$\mathbb{R}$中。這說明$\mathbb{R}$是一個有序完備數域。

實數$\mathbb{R}$作為$\mathbb{Q}$的完備化是建立在絕對值度量上的，這種度量與日常現實中的歐幾里德式的「距離」概念吻合，符合直觀經驗。實數也因此成為描述現實世界的有力數學工具。$p$進數與實數的不同在於，它是將絕對值度量改為另一種非直觀的度量對有理數進行完備化後得到的完備數域。

## 構造

### 分析方法

在有理數$\mathbb{Q}$上引入絕對值度量，與此對應的柯西序列的等價類構成了完備數域$\mathbb{R}$。$p$進數則是在$\mathbb{Q}$上引入不同的度量後進行完備化得到的完備數域。

給定素數$p$。對任意$x \in \mathbb{Q}$，將其寫為分數形式$x = \frac{a}{b}$，其中$a$和$b$是整數，$b$不等於0。根據算術基本定理，每個整數都可以唯一分解為素因數的乘積。考察$p$在$a$和$b$的素因數分解中的次數$\operatorname{ord}_p(a)$和$\operatorname{ord}_p(b)$，定義$p$進賦值：

$$\nu_p (x) = \operatorname{ord}_p(a) - \operatorname{ord}_p(b).$$

同時約定$\nu_p (0) =+\infty$。例如$p = 5$，$x = \frac{63}{550}$，則

$$\nu_p (x) = \operatorname{ord}_p(63) - \operatorname{ord}_p(550) = 0 - 2 = -2.$$

在此基礎上，可以定義度量映射以及其對應誘導的範數：

$$\operatorname{d}_p (x, y) = p^{-\nu_p (x - y)}, \quad |x|_p = p^{-\nu_p (x)}.$$

例如

$$\operatorname{d}_5 (\frac{64}{550}, \frac{1}{550}) = 5^{-\nu_5 (\frac{63}{550})} = 5^{2}, \quad \left|\frac{63}{550}\right|_5 = 5^{-\nu_5 (\frac{63}{550})} = 5^{2}.$$

可以驗證映射$\operatorname{d}_p$滿足度量所需的一切性質。因此，用與構造實數相同的手段，可以構造一個完備有序數域，記作$\mathbb{Q}_p$。

由奧斯特洛夫斯基定理，$\mathbb{Q}$的所有絕對值賦值或者等價於絕對值，或為平凡賦值，或等價於某素數$p$的$p$進賦值。從而$\mathbb{Q}$（關於某賦值）的完備化也只有這些。

### 代數方法

用代數的方法，首先定義$p$進整數環$\mathbb{Z}_p$，然後構造其分式域，也可以得到$p$進數域。

首先考慮由整數模$p^n$的同餘類構成的環：$\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$。$\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$與$\mathbb{Z}/p^{n-1}\mathbb{Z}$之間存在自然的環同態：

$\varphi_n : \begin{cases} \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p^{n-1}\mathbb{Z} \\ x \mapsto x \bmod{p^{n-1}} \end{cases}$

$x$

$\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$

$x \bmod{p^{n-1}}$

$\mathbb{Z}/p^{n-1}\mathbb{Z}$

$x$

$x$

$p = 3$

$\varphi_2$

$\bar{7}_9 \in \mathbb{Z}/3^2\mathbb{Z}$

$7 \mod{3}$

$\bar{1}_3 \in \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$

考察逆向鏈：

$$\cdots \; \xrightarrow{\varphi_{n+1}} \; \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} \; \xrightarrow{\varphi_n} \; \mathbb{Z}/p^{n-1}\mathbb{Z} \; \xrightarrow{\varphi_{n-1}} \; \cdots \; \xrightarrow{\varphi_3} \; \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \; \xrightarrow{\varphi_2} \; \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$$

定義$\mathbb{Z}_p$為其逆向極限：$\mathbb{Z}_p = \; \lim_{\longleftarrow} \left( \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} , \varphi_n \right)$。

也就是說，每個$p$進整數$a \in \mathbb{Z}_p$被定義為以下的序列：

$$a = \{a_1 , a_2, \cdots , a_n , \cdots \; \}$$

其中$a_n \equiv a_{n-1} \pmod{p^{n-1}}$。可以證明，這樣定義的$p$進整數環$\mathbb{Z}_p$與拓撲方法構造的$\mathbb{Q}_p$中通過$\mathbb{Z}_p = \{ x \; ; \; |x|_p \leqslant 1 \}$定義的$p$進整數環是同構的。

在以上的定義下，整數$\mathbb{Z}$可以自然地嵌入$\mathbb{Z}_p$中，每個整數都可以依照它在$\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$的同餘類，唯一表示為一個$p$進整數。例如在$p=3$時，整數3629在$\mathbb{Z}_3$中對應的3進整數可以表示為：

$$3629_3 = \{2 , 2 , 11 , 65, 227, 713 , 1442 , 3629 , 3629 , 3629 , \cdots \; \}.$$

從上面的例子可以看到，對於正整數，$a_n$將收斂於$a$本身，對於負整數情況則複雜一些，例如。

$$-1_3 = \{2 , 8 , 26, 80, 242, \cdots \; \}.$$

由於環同態$\varphi_n$良好地保持了環的結構，所以這種結構自然地延伸到逆向極限$\mathbb{Z}_p$中。直觀上可以理解為，$\mathbb{Z}_p$是$\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$結構的極限。$n$越大，$\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$和$\mathbb{Z}_p$就越「相似」。

$p$進整數環$\mathbb{Z}_p$中的單位元顯然是$1_p = \{1 , 1, \cdots , 1 , \cdots \; \},$ 一個$p$進整數$a \in \mathbb{Z}_p = \{a_1 , a_2, \cdots , a_n , \cdots \; \}$是（乘法）可逆元若且唯若$a_1$是$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$中的可逆元。非可逆元的元素都可以表達為：

$$a = p^{v_p(a)} u = \{p^{v_p(a)} u_1 , p^{v_p(a)} u_2, \cdots , p^{v_p(a)} u_n , \cdots \; \},$$

其中$u = \{u_1 ,u_2, \cdots , u_n , \cdots \; \}$是$\mathbb{Z}_p$中的可逆元，$v_p(a)$稱為$p$進整數$a$的（代數）賦值。可以看出，這個賦值和拓撲構造時的賦值是等價的。可以證明$\mathbb{Z}_p$是特徵為0的整環。構造$\mathbb{Z}_p$的分式域，可以證明其分式域（在恰當的拓撲同構的意義上）等於前面用拓撲方法構造的$\mathbb{Q}_p$。

## 展開式與記數法

每個$p$進數$x \in \mathbb{Q}_p$都有唯一的展開式：

$$x = \frac{\alpha_{-k}}{p^k} + \frac{\alpha_{-k+1}}{p^{k-1}} + \cdots + \alpha_0 + \alpha_1 p + \cdots + \alpha_i p^i + \cdots = \sum_{i=-k}^{\infty} \alpha_i p^i.$$

其中$k$就是$x$的$p$進賦值$\nu_p(x)$，$a_i \in \{ 0, 1, \cdots , p -1 \}$，$a_{-k} \neq 0$。這一展開式在度量$\operatorname{d}_p$下收斂到$x$。代數構造中$p$進整數的數列表示的第$N$項，等於其展開式前$N$項的部分和。設$p$進整數$x$的數列表示為$\{ a_1, a_2, \cdots , a_n , \cdots \}$，其展開式為$\sum_{i=0}^{\infty} \alpha_i p^i$，則

$$a_N = \sum_{i=0}^{N-1} \alpha_i p^i.$$

這說明$p$進整數數列表示中，隨著項數增大，數列的項在$\operatorname{d}_p$下收斂到$p$進整數自身。

仿照有理數中$p$進位的記數法，可以將$p$進數$x$記為：

$x = \cdots \alpha_i \alpha_{i-1} \cdots \alpha_1 \alpha_0 . \alpha_{-1} \cdots \alpha_{-k+1} \alpha_{-k}$。

稱為$p$進數的$p$進記法。

按$\operatorname{d}_p$的定義，$x$的「大小」（範數）為$p^k$。也就是說，一個$p$進數小數點後位數越多則越大。這個性質與實數正好相反。

### 例子

從代數構造方法中可知，整數$\mathbb{Z}$可以自然地嵌入$\mathbb{Z}_p$中，因此非負整數在$\mathbb{Q}_p$中表現為有限位數的$p$進整數。其$p$進記法和$p$進位記數法雷同。例如當$p=5$時，自然數$438$記為：$3223_5$。負整數和分母不為$p$的正整數次冪的分數在$p$進記法中則表現為向左側延伸的無限循環。例如$\frac17$的$p$進記法為：

$\frac17 = \dots 2412032412033_5 = \dot{2}4120\dot{3}3_5 \;$。

計算方法如下：

$$\frac{5^3 - 6}{7} = 32_5 \; , \quad \frac{5^9 - 6}{7} = 32412032_5 \; , \quad \frac{5^{15} - 6}{7} = 32412032412032_5 \; , \; \cdots$$

$$\Rightarrow -\frac{6}{7} = \lim_{k\to +\infty} -\frac{6}{7} + \frac{5^{6k+3}}{7} = \dots 32412032412032_5 \; . \quad \left( \left| \frac{5^{6k+3}}{7} \right|_5 = \frac{1}{5^{6k+3}} \; \xrightarrow{k\to +\infty} \; 0 \; . \right)$$

$\Rightarrow \frac{1}{7} = -\frac{6}{7} + 1 = \dots 2412032412033_5 = \dot{2}4120\dot{3}3_5 \;$。

如果有理數$x$的分子或分母里含有$p$的冪次，則可以仿照$p$進位記數法的做法，先將其提出作為因數，寫成$x = p^k \frac{a}{b}$的形式，將$\frac{a}{b}$表達為$p$進記法，然後移動小數點得到$x$的$p$進記法。例如要求$\frac{1}{175}$的$p$進記法，可以先將$\frac{1}{175}$表示為$\frac{1}{175} = 5^{-2} \frac17$，寫出$\frac{1}{7}$的$p$進記法後，將小數點向左移動兩位得到：

$$\frac{1}{175} = \dot{3}2412\dot{0}.33_5$$

因此，分母為$p$的正整數次冪的分數在$p$進數中表現為有限小數。

## 基本性質

$\mathbb{Q}_p$具有許多與$\mathbb{R}$不同的特性，其中某些可能違反直觀直覺。舉例來說，$\mathbb{Q}_5$中不存在平方等於7的數（等價於實數中的$\sqrt{7}$），但存在平方等於-1的數（等價於複數中的虛數單位$i$）。一般來說，-1在$\mathbb{Q}_p$中有平方根，若且唯若$p$除以4餘1。對不相同的質數$p$、$q$，$\mathbb{Q}_p$與$\mathbb{Q}_q$不同構，並且它們的交集只有$\mathbb{Q}$。每一個$\mathbb{Q}_p$中的元素個數都是不可數的。

### 拓撲性質

$\mathbb{Q}_p$上的範數$| \cdot |_p$是一個超度量的範數。它不僅滿足三角不等式，而且滿足更強的關係：

$$| x + y |_p \leqslant \max \{| x|_p , | y |_p\}.$$

這說明，如果將$\mathbb{Q}_p$想像成一個幾何空間，那麼其中的三角形的一邊長度總小於等於另外兩邊中較長者，也就是說所有的三角形都是銳角等腰三角形。這與實際中的歐式幾何空間完全不同。由此$\mathbb{Q}_p$與$\mathbb{R}$具有截然不同的拓撲性質。另外可證明說超度量中的不等號可以等號取代。

- 在$\mathbb{Q}_p$中，一個數列$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$收斂若且唯若$x_{n+1} - x_n$趨於0。一個無窮級數$\scriptstyle \sum_{n\in\mathbb{N}}$ $u_n$收斂若且唯若$u_n$趨於0。
- 考慮$\mathbb{Q}_p$中的一個「球」：$B_{r}(x_0) = \{ x \in \mathbb{Q}_p \; ; \; |x - x_0|_p \leqslant r\}$。這個球即是開集，也是閉集。這個球中每一個點，都是球的球心。兩個球之間或者完全不相交，或者一個完全在另一個裡面。
- $\mathbb{Q}_p$上的拓撲是完全不連通的豪斯多夫空間：設有元素$x \in \mathbb{Q}_p$，則包含$x$的連通單元只有$\{ x \}$.
- $\mathbb{Q}_p$是由$\mathbb{Q}$完備化而得，因此$\mathbb{Q}$在$\mathbb{Q}_p$中稠密。不僅如此，任意給定有限個質數$p_1, p_2 , \cdots , p_k$和正有理數$\epsilon >0$，並在相應的$p$進數域中各選定一個數：$\beta_1 \in \mathbb{Q}_{p_1} , \beta_2 \in \mathbb{Q}_{p_2}, \cdots , \beta_k \in \mathbb{Q}_{p_k}$後，都可找到有理數$\omega$，它與任一個$\beta_i \in \mathbb{Q}_{p_i} , \; \; i \in \{1,2, \cdots , k\}$之間的距離都小於$\epsilon$

$\omega$

$\beta_i$

$\epsilon$

$\operatorname{d}_{p_i}$

$\left| \omega - \beta_i \right|_{p_i} < \epsilon$。

$p$進整數$\mathbb{Z}_p$定義為所有範數不大於1的$p$進數：$\mathbb{Z}_p = \{ x \; ; \; |x|_p \leqslant 1 \}$。這說明$\mathbb{Z}_p$就是$\mathbb{Q}_p$的單位球。其「球面」為所有範數等於1的$p$進整數集合：$\mathbb{Z}_p^\times = \{ x \; ; \; |x|_p = 1 \}$，亦即$\mathbb{Z}_p$中所有可逆元的集合。$\mathbb{Z}_p$是緊緻的。所有的整數都是$p$進整數，整數集合$\mathbb{Z}$在$\mathbb{Z}_p$中稠密。

- $\mathbb{Q}_p$中的任一個球$B_{r}(x_0)$都可以表達為$x_0 + p^m \mathbb{Z}_p$，其中的$m$是使得$p^{-m} \leqslant r$的最小整數。
- $\mathbb{Q}_p$是局部緊緻的。

### 代數性質

代數上，$\mathbb{Q}_p$是$\mathbb{Z}_p$的分式域。更準確地說，$\mathbb{Q}_p = \mathbb{Z}_p \scriptstyle \left[\frac1p \right]$。也即是說，對每一個$x \in \mathbb{Q}_p$，都存在整數$k$，使得$p^kx \in\mathbb{Z}_p$。

$\mathbb{Z}_p$是特徵為0的主理想整環。$\mathbb{Z}_p$的非零理想只有主理想$I_k = p^k \mathbb{Z}_p$，其中$k$是任意自然數。它唯一的極大理想是$I_1$。根據同構基本定理，$\mathbb{Z}_p$對$I_1$的商同構於有限域$\mathbb{F}_p$。類似地，$\mathbb{Z}_p/p^n\mathbb{Z}_p$同構於$\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$。

實數域$\mathbb{R}$只有一個真代數擴張，就是複數域$\mathbb{C} = \mathbb{R}(i)$。$\mathbb{C}$不僅是代數閉域，而且是完備的。域擴張$\mathbb{C}/\mathbb{R}$的次數為2。與此不同的是，$\mathbb{Q}_p$的任何有限擴張都不是代數封閉的，$\mathbb{Q}_p$的代數閉包是$\mathbb{Q}_p$上的無限擴張，一般記作$\bar{\mathbb{Q}}_p$。將$\mathbb{Q}_p$上的拓撲拓延到$\bar{\mathbb{Q}}_p$後會發現，$\bar{\mathbb{Q}}_p$並不是完備的空間。使用標準方法將其完備化後，得到的空間稱為$p$進複數，記作$\mathbb{C}_p$。$\mathbb{C}_p$和複數域$\mathbb{C}$是代數同構的，可以視為裝備了另一種拓撲結構（超度量）的複數域。

如果$p$是奇數，那麼$n$次單位根屬於$\mathbb{Q}_p$若且唯若$n$整除$p$-1。換句話說，$\mathbb{Q}_p$中由單位根構成的群只有$\mathbb{U}_{p-1}$及其子群。$p = 2$時，單位根只有1和-1。

## 應用

### 數論

$p$進數對於同餘資訊有一種獨特的編碼方法，這在數論裏作用很大。例如，困擾數學家長達三百多年的費馬最後定理，終於在1994年由安德魯·懷爾斯使用$p$進數理論證明，這是數學上的重大突破。懷爾斯因此獲得2005年度邵逸夫獎。

### 量子物理

$p$進數剛出現時，學者們最初認為這理論屬於純數學領域，毫無任何實用價值。但1968年，兩位純數學研究者A. Monna和F. van der Blij首先提出將$p$進數應用到物理學中。1972年，E. Beltrametti和G. Cassinelli探討了一種取值為$p$進數的量子邏輯狀態模型。進入二十世紀八十年代後，$p$進數在量子物理學中的應用愈為廣泛。首先湧現的是$p$進弦和$p$進超弦模型。量子物理學家在這些模型中使用與實數拓撲性質不同的$p$進數，以構建出不同的時空結構，描述在普朗克尺度下與大尺度完全不同的物理現象和行為。在普朗克尺度下，基於實數的模型無法很好的描繪出某些量子特性，而$p$進數域的某些性質，比如說無序性

$\mathbb{Q}_p$

和普朗克尺度下的物理特質相近。

$p$進數量子物理學中的應用也帶動了數學中對$p$進數的研究。例如$p$進弦論的研究促使數學家展開了對$p$進數上的分布理論、微分方程及偽微分方程（pseudodifferential equation）、機率論以及$p$進數上相應希爾伯特空間（裝備了額外結構的$\mathbb{C}_p$）中的算子譜理論等多方面的研究。

### 資訊編碼

$p$進數的數列展開表示可以被用於資訊的編碼。因此$p$進數可以被用來描述很多資訊處理的過程，在認知科學、心理學和社會學研究中出現。

### 𝑝進動力系統理論

算術動力系統是二十世紀九十年代提出的數學理論，整合了動力系統及數論。傳統的離散動力系統會探討迭代函數在複平面或是實數中的性質。算術動力系統則探討多項式或解析函數在整數、有理數、$p$進數及幾何點中的迭代特性。$p$進數動力系統在電腦科學領域中的直線式程序（straight-line programs）問題、數值分析與模擬中的偽隨機數問題、密碼學中的流加密問題上都有重要作用。在電腦科學和自動機理論中，$p$進遍歷理論可以幫助快速製造大拉丁方。後者在實驗設計、軟體測試和通信理論中都有良多應用。

## 外部連結

- Springer在線數學百科全書上p進數的資料。