上極限和下極限

在微積分學中，上極限和下極限（Limit superior and limit inferior）是指數列極限的上極限和下極限，可以大致想像為數列極限的上下界。舉例來說，數列 $\{(-1)^n\}_{n=1}^{\infty}$ 的上極限為 1，下極限為 -1。

函數的上極限和下極限可以用類似方式考慮。集合的上極限和下極限分別是這個集合的極限點的上確界和下確界。

## 定義

序列$(x_n)$的上極限定義是

$\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n=\inf_{n\geq 0}\,\sup_{k\geq n}x_k=\inf\{\,\sup\{\,x_k:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}$。

或者

$\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sup_{m\geq n}x_m\right)$。

同樣的，序列$x_n$的下極限定義是

$\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n=\sup_{n\geq 0}\,\inf_{k\geq n}x_k=\sup\{\,\inf\{\,x_k:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}$。

或者

$\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\inf_{m\geq n}x_m\right)$。

這些定義在任意的偏序集都適用，只需要上確界和下確界存在。

在完全格裡，上確界和下確界總是存在，所以其中的序列一定有上極限和下極限。

每當$\liminf x_n$和$\limsup x_n$都存在，那麼

$\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n$。

上極限和下極限也記為$\varlimsup_{n\rightarrow\infty} x_n$和$\varliminf_{n\rightarrow\infty} x_n$。

## 實數數列

實數集 R 的數列對微積分很重要。R 不是完備格，但可以加入正負無窮以得到完備全序集 $[-\infty,+\infty]$，形成完備格。那麼在 $[-\infty,+\infty]$ 中數列 $(x_n)$ 收斂若且唯若 $\liminf x_n = \limsup x_n$，而這時 $\lim x_n$ 等於上面的共同值。注意當只是考慮 R 時，收斂至 $-\infty$ 或 $+\infty$ 並不當作收斂，而是視作極限不存在。

若實數數列 $(x_n)$ 的上極限為實數即為有限，不是 $\pm\infty$，那麼上極限是最小的實數 a，使得對任意小的正實數 $\epsilon$，都存在足夠大的正整數 N，使得對所有 $n\ge N$，都有 $x_n < a + \epsilon$。換言之，對任何大於上極限的實數，都存在 N 使得這實數是數列 $(x_n)_{n\ge N}$ 的上界。

若實數數列 $(x_n)$ 的下極限為實數，那麼下極限是最大的實數 b，使得對任意小的正實數 $\epsilon$，都存在足夠大的正整數 N，使得對所有 $n\ge N$，都有 $x_n > b - \epsilon$。換言之，對任何小於下極限的實數，都存在 N 使得這實數是數列 $(x_n)_{n\ge N}$的下界。

設 $(x_n)$ 是整數數列。若其上極限為實數 a，由於 $\lfloor a\rfloor$ 也符合上述條件，故此 a 必是整數。$\lfloor a\rfloor$ 是不大於 a 的最大整數。在條件中取 $\epsilon < 1$，得出 a 是最小的實數，使得存在正整數 N，對所有 $n\ge N$，都有 $x_n \le a$。因此 a 是最大的整數，使得有無限個 $x_n = a$。同樣地，若其下極限為實數 b，則 b 是最小的整數，使得有無限個 $x_n = b$。

若 $I=\liminf x_n$ 和 $S=\limsup x_n$，那麼區間 $[I,S]$ 不一定包含任何的 $x_n$，但是輕微擴大了的 I-ε,S+ε對任意小的ε > 0都會包含除了有限項外所有的 xn。區間 I, S 是適合這個性質的最小閉區間。

### 例子

- 設$x_n=(-1)^n\left(1+\frac 1 n\right)$，則$\liminf x_n=-1$，$\limsup x_n=1$。閉區間-1, 1中不包含任何$x_n$。
- 考慮數列$x_n=\sin \!n$。應用π的無理數性質，可以證明$\liminf x_n = -1$和$\limsup x_n = +1$。數列$\{1,2,3,...\}$取mod 2π後在0, 2π中是稠密的，故得出結果。由等分佈定理可知這數列在區間中是等分佈的。
- 一個數論例子是

$$\liminf_{n\to\infty}(p_{n+1}-p_n)$$

其中${p_n}$是第$n$個素數。下極限的值的猜測為2——這是孿生素數猜想。然而這個下極限是否為有限，是數論中長久以來的未解問題。直到2013年，張益唐首次證明下極限的值有限，並且小於7千萬。截至2014年9月，下極限的值的上界已降至246。由整數數列的下極限性質可知，有無限多的正整數n，使得$p_{n+1}-p_n$不大於246。

## 集的序列

集合X的冪集P(X)是完備格。對於P(X)中的序列，也就是X的子集的序列，其上下極限也有用處。

若$X_n$是這樣的序列，那麼X的元素a屬於$\liminf X_n$，若且唯若存在自然數$n_0$使得對於所有$n>n_0$，a在$X_n$裡。元素a屬於$\limsup X_n$，若且唯若對所有自然數$n_0$，都存在一個指數$n>n_0$使得a在$X_n$裡。換句話說，$\limsup X_n$包含了所有這樣的元素，其中的每一個，都有無限多個n，使得它在集合$X_n$裡；而$\liminf X_n$包含了所有這樣的元素，其中的每一個，都有除了有限多個外的所有n，使得它在$X_n$裡。

以集合論的標準語言來說，一個集合序列的下確界是這些集合的可數交，也就是包含在所有集合裡的最大集合：

$\inf\left\{\,X_m : m=1,2,3,\dots\,\right\}={\bigcap_{m=1}^\infty}X_m$。

令$I_n$為自$X_n$起的集合的下確界。那麼序列$I_n$非遞減，因為$I_n \sub I_{n+1}$。所以，第1至n個下確界的併集就是第n個下確界。下極限就是這序列的極限：

$\liminf_{n\rightarrow\infty}X_n={\bigcup_{n=1}^\infty}\left({\bigcap_{m=n}^\infty}X_m\right)$。

上極限可以相反方式定義。一個集合序列的上確界是包含這些集合的最小集合，也就是它們的可數並：

$\sup\left\{\,X_m : m=1,2,3,\dots\,\right\}={\bigcup_{m=1}^\infty}X_m$。

上極限是這個非遞增的上確界序列的可數交（其中每個上確界都包含在前一個裡面）。

$\limsup_{n\rightarrow\infty}X_n={\bigcap_{n=1}^\infty}\left({\bigcup_{m=n}^\infty}X_m\right)$。

例子或應用可見波萊爾－坎泰利引理，柯西-阿達馬公式（Cauchy-Hadamard Formula）。