愛因斯坦求和約定

在數學裏，特別是將線性代數套用到物理時，愛因斯坦求和約定（Einstein summation convention）是一種標記的約定，又稱為愛因斯坦標記法（Einstein notation），在處理關於坐標的方程式時非常有用。這約定是由阿爾伯特·愛因斯坦於1916年提出的。後來，愛因斯坦與友人半開玩笑地說：「這是數學史上的一大發現，若不信的話，可以試著返回那不使用這方法的古板日子。」

按照愛因斯坦求和約定，當一個單獨項目內有標號變數出現兩次，一次是上標，一次是下標時，則必須總和所有這單獨項目的可能值。通常而言，標號的標值為1、2、3（代表維度為三的歐幾里得空間），或0、1、2、3（代表維度為四的時空或閔可夫斯基時空）。但是，標值可以有任意值域，甚至（在某些應用案例裏）無限集合。這樣，在三維空間裏。

$$y = c_i x^i\,\!$$

意思是

$y = \sum_{i=1}^3 c_i x^i = c_1 x^1 + c_2 x^2 + c_3 x^3\,\!$。

請特別注意，上標並不是指數，而是標記不同坐標。例如，在直角坐標系裏，$x^1\,\!$、$x^2\,\!$、$x^3\,\!$分別表示$x\,\!$坐標、$y\,\!$坐標、$z\,\!$坐標，而不是$x\,\!$、$x\,\!$的平方、$x\,\!$的立方。

## 簡介

愛因斯坦標記法的基本點子是餘向量與向量可以形成純量：

$y = c_1 x^1+c_2x^2+c_3x^3+ \cdots + c_nx^n\,\!$。

通常會將這寫為求和公式形式：

$y = \sum_{i=1}^n c_ix^i\,\!$。

在基底變換之下，純量保持不變。當基底改變時，一個向量的線性變換可以用矩陣來描述，而餘向量的線性變換則需用其逆矩陣來描述。這樣的設計為的是要保證，不論基底為何，伴隨餘向量的線性函數（即上述總和）保持不變。由於只有總和不變，而總和所涉及的每一個項目都有可能會改變，所以，愛因斯坦提出了這標記法，重複標號表示總和，不需要用到求和符號：

$$y = c_i x^i \,\,\!$$

採用愛因斯坦標記法，餘向量都是以下標來標記，而向量都是以上標來標記。標號的位置具有特別意義。請不要將上標與指數混淆在一起，大多數涉及的方程式都是線性，不超過變數的一次方。在方程式裏，單獨項目內的標號變數最多只會出現兩次，假若多於兩次，或出現任何其它例外，則都必須特別加以說明，才不會造成含意混淆不清。

## 向量的表示

在線性代數裏，採用愛因斯坦標記法，可以很容易的分辨向量和餘向量（又稱為1-形式）。向量的分量是用上標來標明，例如，$a^i\,\!$。給予一個$n\,\!$維向量空間$\mathbb{V}\,\!$和其任意基底$\mathbf{e}=(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_n)\,\!$（可能不是標準正交基），那麼，向量$\mathbf{a}\,\!$表示為

$\mathbf{a}= a^i \mathbf{e}_i= \begin{bmatrix}a^1\\a^2\\\vdots\\a^n\end{bmatrix}\,\!$。

餘向量的分量是用下標來標明，例如，$\alpha_i\,\!$。給予$\mathbb{V}\,\!$的對偶空間$\mathbb{V}^*\,\!$和其任意基底$\boldsymbol{\omega}=(\boldsymbol{\omega}^1,\boldsymbol{\omega}^2,\dots,\boldsymbol{\omega}^n)\,\!$（可能不是標準正交基），那麼，餘向量$\boldsymbol{\alpha}\,\!$表示為

$\boldsymbol{\alpha}= \alpha_i \boldsymbol{\omega}^i= \begin{bmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n\end{bmatrix}\,\!$。

採用向量的共變和反變術語，上標表示反變向量（向量）。對於基底的改變，從$\mathbf{e}\,\!$改變為$\overline{\mathbf{e}}\,\!$，反變向量會變換為

${\overline{a}}^{i}= \frac{\partial {\overline{x}}^{i}}{\partial x^j} a^j\,\!$。

其中，${\overline{a}}^{i}\,\!$是改變基底後的向量的分量，${\overline{x}}^{i}\,\!$是改變基底後的坐標，$x^j\,\!$是原先的坐標。

下標表示共變向量（餘向量）。對於基底的改變，從$\boldsymbol{\omega}\,\!$改變為$\overline{\boldsymbol{\omega}}\,\!$，共變向量會會變換為

$\overline{\alpha}_i= \frac{\partial x^i}{\partial {\overline{x}}^{j}} \alpha_j\,\!$。

## 一般運算

矩陣$A\,\!$的第$m\,\!$橫排，第 $n\,\!$豎排的元素，以前標記為$A_{mn}\,\!$；現在改標記為$A_n^m\,\!$。各種一般運算都可以用愛因斯坦標記法來表示如下：

### 內積

給予向量$\mathbf{a}\,\!$和餘向量$\boldsymbol{\alpha}\,\!$，其向量和餘向量的內積為純量：

$\mathbf{a}\cdot\boldsymbol{\alpha}=a_i \alpha^i\,\!$。

### 向量乘以矩陣

給予矩陣$A\,\!$和向量$\mathbf{a}\,\!$，它們的乘積是向量$\mathbf{b}\,\!$：

$b^i=A^i_j a^j\,\!$。

類似地，矩陣$A\,\!$的轉置矩陣$B=A^\mathrm{T}\,\!$，其與餘向量$\boldsymbol{\alpha}\,\!$的乘積是餘向量$\boldsymbol{\beta}\,\!$：

$\beta_j=B^i_j \alpha_i=\alpha_i B^i_j\,\!$。

### 矩陣乘法

矩陣乘法表示為

$C^i_k = A^i_j \, B^j_k \,\!$。

這公式等價於較冗長的普通標記法：

$C_{ik} = (A \, B)_{ik} = \sum_{j=1}^N A_{ij} B_{jk}\,\!$。

### 跡

給予一個方塊矩陣$A^i_j\,\!$，總和所有上標與下標相同的元素$A^i_i\,\!$，可以得到這矩陣的跡$t\,\!$：

$t=A^i_i\,\!$。

### 外積

M維向量$\mathbf{a}\,\!$和N維餘向量$\boldsymbol{\alpha}\,\!$的外積是一個M×N矩陣$A\,\!$：

$A= \mathbf{a} \, \boldsymbol{\alpha} \,\!$。

採用愛因斯坦標記式，上述方程式可以表示為

$$A^i_j = a^i \, \alpha_j\,\!$$

由於$i\,\!$和$j\,\!$代表兩個不同的標號，在這案例，值域分別為M和N，外積不會除去這兩個標號，而使這兩個標號變成了新矩陣$A\,\!$的標號。

## 向量的內積

一般力學及工程學會用互相標準正交基的基底向量$\hat{\mathbf{i}}\,\!$、$\hat{\mathbf{j}}\,\!$及$\hat{\mathbf{k}}\,\!$來描述三維空間的向量。

$\mathbf{u} = u_x\hat{\mathbf{i}} + u_y\hat{\mathbf{j}} + u_z\hat{\mathbf{k}}\,\!$。

把直角坐標系的基底向量$\hat{\mathbf{i}}\,\!$、$\hat{\mathbf{j}}\,\!$及$\hat{\mathbf{k}}\,\!$寫成$\hat{\mathbf{e}}_1\,\!$、$\hat{\mathbf{e}}_2\,\!$及$\hat{\mathbf{e}}_3\,\!$，所以一個向量可以寫成：

$\mathbf{u} = u_1 \hat{\mathbf{e}}_1 + u_2 \hat{\mathbf{e}}_2 + u_3 \hat{\mathbf{e}}_3 <pre> = \sum_{i = 1}^3 u_i \hat{\mathbf{e}}_i\,\!$。

根據愛因斯坦求和約定，若單項中有標號出現兩次且分別位於上標及下標，則此項代表著所有可能值之總和：

$\mathbf{u} =u^i \hat{\mathbf{e}}_i = \sum_{i = 1}^3 u^i \hat{\mathbf{e}}_i \,\!$。

由於基底是標準正交基，$\mathbf{u}\,\!$的每一個分量$u^i= u_i \,\!$，所以。

$\mathbf{u}= \sum_{i = 1}^3 u_i \hat{\mathbf{e}}_i \,\!$。

兩個向量$\mathbf{u}\,\!$與$\mathbf{v}\,\!$的內積是

$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (u^i\hat{\mathbf{e}}_i) \cdot (v^j <pre> \hat{\mathbf{e}}_j) = \left( \sum_{i = 1}^3 u_i\hat{\mathbf{e}}_i \right) \cdot \left( \sum_{j = 1}^3 v_j \mathbf{e}_j \right)=\sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 1}^3 u_i v_j ( \hat{\mathbf{e}}_i \cdot \hat{\mathbf{e}}_j ) \,\!$。

由於基底是標準正交基，基底向量相互正交歸一：

$\hat{\mathbf{e}}_i \cdot \hat{\mathbf{e}}_j = \delta_{ij} \,\!$。

其中，$\ \delta_{ij}\,\!$就是克羅內克函數。當$i=j\,\!$時，則$\delta_{ij}=1\,\!$，否則$\delta_{ij}=0\,\!$。

邏輯上，在方程式內的任意項目，若遇到了克羅內克函數$\ \delta_{ij}\,\!$，就可以把方程式中的標號$i\,\!$轉為$j\,\!$或者把標號$j\,\!$轉為$i\,\!$。所以。

$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} =\sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 1}^3 u_i v_j\delta_{ij}= \sum_{i = 1}^3 u_i v_i \,\!$。

## 向量的叉積

採用同樣的標準正交基$\hat{\mathbf{e}}_1\,\!$、$\hat{\mathbf{e}}_2\,\!$及$\hat{\mathbf{e}}_3\,\!$，兩個向量$\mathbf{u}\,\!$與$\mathbf{v}\,\!$的叉積，以方程式表示為

$$\mathbf{u} \times \mathbf{v}= (u^j \hat{\mathbf{e}}_j ) \times (v^k <pre> \hat{\mathbf{e}}_k)= \left( \sum_{j = 1}^3 u_j \hat{\mathbf{e}}_j \right) \times \left( \sum_{k = 1}^3 v_k \hat{\mathbf{e}}_k \right) \,\!$$

$=\sum_{j = 1}^3 \sum_{k = 1}^3 u_j v_k (\mathbf{e}_j \times \mathbf{e}_k ) = \sum_{j = 1}^3 \sum_{k = 1}^3 u_j v_k\epsilon_{ijk} \mathbf{e}_i <pre> \,\!$。

注意到

$\hat{\mathbf{e}}_j \times \hat{\mathbf{e}}_k = \epsilon_{ijk} \hat{\mathbf{e}}_i\,\!$。

其中，張量$\ \epsilon_{ijk}\,\!$是列維-奇維塔符號，定義為

$\epsilon_{ijk} = \epsilon^{ijk}\ \stackrel{def}{=} \begin{cases} +1 \\ -1 \\ 0 \end{cases} \,\!$｜，若$(i,j,k)=\,\!$ $\{1,2,3\}\,\!$、$\{2,3,1\}\,\!$或$\{3,1,2\}\,\!$ （偶置換）

若$(i,j,k)=\,\!$ $\{3,2,1\}\,\!$、$\{2,1,3\}\,\!$或$\{1,3,2\}\,\!$（奇置換）

若 $i=j\,\!$、$j=k\,\!$或$i=k\,\!$

所以。

$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = (u^2 v^3 - u^3 v^2) \hat{\mathbf{e}}_1 + (u^3 v^1 - u^1 v^3) \hat{\mathbf{e}}_2 + (u^1 v^2 - u^2 v^1) \hat{\mathbf{e}}_3\,\!$。

設定$\mathbf{w} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}\,\!$，那麼。

$w^i \hat{\mathbf{e}}_i= \epsilon^{ijk} u_j v_k\hat{\mathbf{e}}_i \,\!$。

所以。

$\ w^i = \epsilon^{ijk} u_j v_k \,\!$。

## 向量的共變分量和反變分量

在歐幾里得空間$\mathbb{V}\,\!$裏，共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用內積運算從向量求得餘向量；對於所有向量$\mathbf{b}\,\!$，通過下述方程式，向量$\mathbf{a}\,\!$唯一地確定了餘向量$\boldsymbol{\alpha}\,\!$：

$\boldsymbol{\alpha}(\mathbf{b})=\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\,\!$。

逆過來，通過上述方程式，每一個餘向量$\boldsymbol{\alpha} \,\!$唯一地確定了向量$\mathbf{a}\,\!$。由於這向量與餘向量的相互辨認，我們可以提到向量的共變分量和反變分量；也就是說，它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。

給予$\mathbb{V}\,\!$的一個基底$\mathfrak{f}=(X_1,X_2,\dots,X_n)\,\!$，則必存在一個唯一的對偶基底$\mathfrak{f}^{\sharp}=(Y^1,Y^2,\dots,Y^n)\,\!$，滿足

$Y^i \cdot X_j = \delta^i_j\,\!$。

其中，張量$\delta^i_j\,\!$是克羅內克函數。

以這兩種基底，任意向量$\mathbf{a}\,\!$可以寫為兩種形式

$\begin{align} \mathbf{a} &= \sum_i a^i[\mathfrak{f}]X_i = \mathfrak{f}\,\mathbf{a}[\mathfrak{f}]\\ &=\sum_i a_i[\mathfrak{f}]Y^i = \mathfrak{f}^\sharp\,\mathbf{a}[\mathfrak{f}^\sharp] \end{align} \,\!$。

其中，$a^i[\mathfrak{f}]\,\!$是向量$\mathbf{a}\,\!$對於基底$\mathfrak{f}\,\!$的反變分量，$a_i[\mathfrak{f}]\,\!$是向量$\mathbf{v}\,\!$對於基底$\mathfrak{f}\,\!$的共變分量。

### 歐幾里得空間

在歐幾里得空間$\mathbb{R}^3\,\!$裏，使用內積運算，能夠從向量求得餘向量。給予一個可能不是標準正交基的基底，其基底向量為$\mathbf{e}_1\,\!$、$\mathbf{e}_2\,\!$、$\mathbf{e}_3\,\!$，就可以計算其對偶基底的基底向量：

$\mathbf{e}^1 = \frac{\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3}{\tau} ; \qquad \mathbf{e}^2 = \frac{\mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_1}{\tau}; \qquad \mathbf{e}^3 = \frac{\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2}{\tau}\,\!$。

其中，$\tau=\mathbf{e}_1\cdot(\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3)\,\!$是基底向量$\mathbf{e}_1\,\!$、$\mathbf{e}_2\,\!$、$\mathbf{e}_3\,\!$共同形成的平行六面體的體積。

反過來計算。

$\mathbf{e}_1 = \frac{\mathbf{e}^2 \times \mathbf{e}^3}{\tau'} ; \qquad \mathbf{e}_2 = \frac{\mathbf{e}^3 \times \mathbf{e}^1}{\tau'}; \qquad \mathbf{e}_3 = \frac{\mathbf{e}^1 \times \mathbf{e}^2}{\tau'}\,\!$。

其中，$\tau'=\mathbf{e}^1\cdot(\mathbf{e}^2 \times \mathbf{e}^3)=1/\tau\,\!$是基底向量$\mathbf{e}^1\,\!$、$\mathbf{e}^2\,\!$、$\mathbf{e}^3\,\!$共同形成的平行六面體的體積。

雖然$\mathbf{e}_i\,\!$與$\mathbf{e}^j\,\!$並不相互標準正交，它們相互對偶：

$\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}^j = \delta_i^j\,\!$。

雖然$\mathbf{e}^i\,\!$與$\mathbf{e}_j\,\!$並不相互標準正交，它們相互對偶：

$\mathbf{e}^i \cdot \mathbf{e}_j = \delta^i_j\,\!$。

這樣，任意向量$\mathbf{a}\,\!$的反變分量為

$a^1 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^1; \qquad a^2 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^2; \qquad a^3 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^3\,\!$。

類似地，共變分量為

$a_1 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_1; \qquad a_2 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_2; \qquad a_3 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_3\,\!$。

這樣，$\mathbf{a}\,\!$可以表示為

$\mathbf{a} = a_i \mathbf{e}^i = a_1 \mathbf{e}^1 + a_2 \mathbf{e}^2 + a_3 \mathbf{e}^3 \,\!$。

或者。

$\mathbf{a} = a^i \mathbf{e}_i = a^1 \mathbf{e}_1 + a^2 \mathbf{e}_2 + a^3 \mathbf{e}_3\,\!$。

綜合上述關係式。

$\mathbf{a} = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_i) \mathbf{e}^i = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^i) \mathbf{e}_i \,\!$。

向量$\mathbf{a}\,\!$的共變分量為

$a_i = \mathbf{a}\cdot \mathbf{e}_i = (a^j \mathbf{e}_j)\cdot \mathbf{e}_i = (\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_i) a^j=g_{ji}a^j\,\!$。

其中，$g_{ji}=\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_i\,\!$是度規張量。

向量$\mathbf{a}\,\!$的反變分量為

$a^i = \mathbf{a}\cdot \mathbf{e}^i = (a_j \mathbf{e}^j)\cdot \mathbf{e}^i = (\mathbf{e}^j\cdot\mathbf{e}^i) a_j =g^{ji}a_j\,\!$ ;

其中，$g^{ji}=\mathbf{e}^j\cdot\mathbf{e}^i\,\!$是共軛度規張量。

共變分量的標號是下標，反變分量的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基，或反變基底向量組成的基底是標準正交基，則共變基底與反變基底相互等價。那麼，就沒有必要分辨共變分量和反變分量，所有的標號都可以用下標來標記。

## 抽象定義

思考維度為$n\,\!$的向量空間$\mathbb{V}\,\!$。給予一個可能不是標準正交基的基底$(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_n)\,\!$。那麼，在$\mathbb{V}\,\!$內的向量$\mathbf{v}\,\!$，對於這基底，其分量為$v^1\,\!$、$v^2\,\!$、...$v^n\,\!$。以方程式表示。

$\mathbf{v} = v^i\mathbf{e}_i.\,\!$。

在這方程式右手邊，標號$i\,\!$在同一項目出現了兩次，一次是上標，一次是下標，因此，從$i\,\!$等於$1\,\!$到$n\,\!$，這項目的每一個可能值都必須總和在一起。

愛因斯坦約定的優點是，它可以應用於從$\mathbb{V}\,\!$用張量積和對偶性建立的向量空間。例如，$\mathbb{V}\otimes \mathbb{V}\,\!$，$\mathbb{V}\,\!$與自己的張量積，擁有由形式為$\mathbf{e}_{ij} = \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j\,\!$的張量組成的基底。任意在$\mathbb{V}\otimes \mathbb{V}\,\!$內的張量$\mathbf{T}\,\!$可以寫為

$\mathbf{T} = T^{ij}\mathbf{e}_{ij}\,\!$。

向量空間$\mathbb{V}\,\!$的對偶空間$\mathbb{V}^*\,\!$擁有基底$(\mathbf{e}^1,\mathbf{e}^2,\dots,\mathbf{e}^n)\,\!$，遵守規則

$\mathbf{e}^i \cdot\mathbf{e}_j = \delta^i_j\,\!$。

其中，$\delta^i_j\,\!$是克羅內克函數。

## 範例

為了更明確地解釋愛因斯坦求和約定，在這裏給出幾個簡單的例子。

- 思考四維時空，標號的值是從0到3。兩個張量，經過張量縮併（tensor contraction）運算後，變為一個純量：

$c=a^\mu b_\mu = a^0 b_0 + a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3\,\!$。

$c^\nu=a^{\mu\nu} b_\mu +f^\nu= a^{0\nu} b_0 + a^{1\nu} b_1 + a^{2\nu} b_2 + a^{3\nu} b_3+f^\nu\,\!$。

由於運算結果與標號$\mu\,\!$和$\nu\,\!$無關，可以被其它標號隨意更換，所以，$\mu\,\!$和$\nu\,\!$稱為傀標號。

自由標號是沒有被總和的標號。自由標號應該出現於方程式的每一個項目裏，而且在每一個項目裏只出現一次。在上述方程式裏，$\nu\,\!$是自由標號，每一個項目都必須有同樣的自由標號。注意到在項目$a^{\mu\nu} b_\mu\,\!$裏，標號$\mu\,\!$出現了兩次，一次是上標，一次是下標，所以，這項目的所有可能值都必須總和在一起。稱$\mu\,\!$為求和標號。

- 思考在黎曼空間的弧線元素長度$ds\,\!$：

$ds^2=g_{ij}dx^i dx^j=g_{0j}dx^0 dx^j+g_{1j}dx^1 dx^j+g_{2j}dx^2 dx^j+g_{3j}dx^3 dx^j\,\!$。請將這兩種標號跟自由變量和約束變量相比較。

進一步擴展。

$$ds^2=g_{00}dx^0 dx^0+g_{10}dx^1 dx^0+g_{20}dx^2 dx^0+g_{30}dx^3 dx^0\,\!$$

$$\qquad +g_{01}dx^0 dx^1+g_{11}dx^1 dx^1+g_{21}dx^2 dx^1+g_{31}dx^3 dx^1\,\!$$

$$\qquad +g_{02}dx^0 dx^2+g_{12}dx^1 dx^2+g_{22}dx^2 dx^2+g_{32}dx^3 dx^2\,\!$$

$\qquad +g_{03}dx^0 dx^3+g_{13}dx^1 dx^3+g_{23}dx^2 dx^3+g_{33}dx^3 dx^3\,\!$。

注意到$ds^2\,\!$是$ds\,\!$乘以$ds\,\!$，是$(ds)^2\,\!$，而不是$(s^2)\,\!$坐標的微小元素。當有疑慮時，可以用括號來分歧義。

## 參閱

- 狄拉克標記
- 抽象指標記號
- 潘洛斯圖形標記法（Penrose graphical notation）