不定積分

不定積分（Indefinite Integration），也可稱反導函數（Antiderivative）或原函數。在微積分中，函數 $f$ 的不定積分是一個可微函數 $F$，其導數等於原來的函數 $f$，即 $F' = f$。

不定積分在原先的定義上並沒有設定區間，會與導函數間相差一常數$C$。若導函數的定義是有區間的，請參照定積分。

不定積分和定積分間的關係係由微積分基本定理聯繫起來，函數的定積分可以透過先求得不定積分再帶入數字來運算。

## 性質

有一函數$K(x)$與其自變數$x$。當$K^\prime(x)=k(x)$並在區間$I$中滿足所有自變數$x$，這時我們稱$K$為$k$的反導函數。

## 例子

函數 $K(x)=\tfrac{2^x}{\ln2}$ 是函數 $k(x)=2^x\!$ 的一個反導函數，但實際上 $k$ 的反導函數有無窮多個。與$K$ 相差一個常數的函數都是 $k$ 的反導函數，這是因為常數函數的導數為零，例如：$\tfrac{2^x}{\ln2}+\ln2,\ \tfrac{2^x}{\ln2}-e^\sqrt{\pi}$ 都為函數 $k(x)$ 的反導函數。函數族 $\{\tfrac{2^x}{\ln2}+c\;| \;c\in\mathbb{R} \}$ 是 $k(x)=2^x$ 的所有可能的反導函數的集合，其中 $c$ 叫做積分常數。從圖像上來看，這是 $K(x)=\tfrac{2^x}{\ln2}$ 向上或向下平移後得到的一組函數，由定義可知它們在 $x$ 軸同一點的斜率都是一樣的。

### 微積分基本定理

不定積分的一個重要應用是計算定積分，微積分基本定理建立了兩者間的關係。

微積分基本定理：如果函數 $f$是閉區間 $[a,b]$ 上的連續函數，$F$ 是 $f$ 在 $[a,b]$ 上的一個反導函數，那麼有

$$\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$$

證明：取區間$[a,b]$的一個分割：$a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b$，又設$\Delta x_{i} = x_{i+1} - x_{i}$，根據均值定理有 $\xi_i\in (a,b)$，使得

$$F(x_{i+1}) - F(x_{i}) = F^\prime(\xi_{i}) \cdot \Delta x_{i}$$

所以

$$\begin{align} F(b)-F(a) & = \sum_{i=0}^{n-1} (F(x_{i+1}) - F(x_{i})) \\ <pre> & = \sum_{i=0}^{n-1} F^\prime(\xi_{i}) \cdot \Delta x_{i} \\ & = \sum_{i=0}^{n-1} f(\xi_{i}) \cdot \Delta x_{i} \\ </pre> \end{align}$$

$f$ 在閉區間 $[a,b]$ 上連續，故可使用黎曼可積，讓 $\sup_{0\le i\le n-1} \{\Delta x_i\} \le\lambda$ 於是當 $\lambda\to 0$，也就是分割越來越細時有

$$\lim_{\lambda\to 0} \sum_{i=0}^{n-1} f(\xi_{i}) \cdot \Delta x_{i} = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$$

於是有

$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$。

$f$ 的每個反導函數都可以叫做 $f$ 的不定積分，簡寫作$\int f(x)\, \mathrm{d}x.$，因為在計算定積分時，積分常數在相減時消掉了。如果 $F$ 定義在幾個不同的區間上，那麼每個區間上的積分常數可以互不相同。例如

$$F(x)=\begin{cases}-\frac{1}{x}+C_1\qquad x<0\\-\frac{1}{x}+C_2\qquad x>0\end{cases}$$

就是函數 $f(x)=\tfrac{1}{x^2}$ 的不定積分的一般形式。其定義域為 $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$。

### 由積分定義的函數

什麼樣的函數具有反導函數是微積分基本定理中的基本問題。首先，每個連續函數都有反導函數，並且由上面可知，任一函數的反導函數如果存在的話會有無限多個。其次，由微分基本性質可知，對於一個有反導函數的函數，其反導函數在某點取某特定值的只有一個。要證明存在性，假設函數 $f$ 的反導函數在 $a$ 點為零，則它可以表示為如下的由積分定義的函數：

$$\Phi(x)=\int^x_af(t)\,\mathrm{d}t$$

且$\,\Phi(a)=0$。

下面給出這函數是 $f$ 的反導函數的證明：

證明：

$$\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)=\int_a^{x+ \Delta x}f(t)\,\mathrm{d}t-\int_a^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$$

$$=\int_x^{x+\Delta x}f(t)\,\mathrm{d}t$$

$=f(\xi)\cdot\Delta x$，其中$x<\xi<x+\Delta x\ $，當$\Delta x\to0$時，$\xi$趨向於$x$。

所以有$\Phi^\prime(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}f(\xi)=f(x)$。

進一步可知：$f$ 的反導函數中在點 $a$上取值為 $A$ 的只有一個，就是$\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t + A$。

這也可以看作是微積分基本定理另一個表達形式。

不連續的函數也可以有反導函數，例如考慮函數$f\ $：

當$x\ne0$時$f(x) = 2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$，$\displaystyle f(0)=0$

這個函數在0上不連續，但可以驗證函數：$F(x)=x^2\sin\tfrac{1}{x}$（$x\ne0$時），$\displaystyle F(0)=0$ 是 $f$ 的反導函數。

許多看似很「簡單」的函數的反導函數是無法用初等函數來表達，比如說如下幾個不定積分：

$\int e^{-x^2}\,\mathrm{d}x,\qquad \int \frac{\sin (x)}{x}\,\mathrm{d}x,\qquad \int\frac{1}{\ln x}\,\mathrm{d}x$。

它們的積分同樣存在，定義為：

$$\int e^{-x^2}\,\mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \operatorname{erf}(x) + C$$

$$\int \frac{\sin (x)}{x}\,\mathrm{d}x = \operatorname{Si}(x) + C$$

$$\int\frac{1}{\ln x}\,\mathrm{d}x = \operatorname{Li}(x) + C$$

其中erf函數為誤差函數，Si函數為三角積分，Li函數為對數積分。

關於什麼時候反導函數可以用初等函數表達，可參見劉維爾定理。

## 積分技巧

求初等函數的不定積分比求它們的導數要困難得多。如上面所看到的，有些初等函數的反導函數無法用初等函數來表達。以下是求不定積分的一些技巧。

- 積分的線性性質使得我們可以把較為複雜的函數分成幾個較為簡單的函數的和來計算
- 換元積分法可以把被積函數轉換成比較容易積分的形式，但對換元函數有一定要求。
- 分部積分法，用於函數乘積的積分。
- 對於實值分式函數的積分，可以先將函數展開成若干一次分式函數以及二次分式函數的冪的和，再進行積分。
- Risch演算法。
- 對於常見的不定積分，可以查看積分表
- 當函數的不定積分不能用初等函數表達時，可以採用其他辦法計算函數的定積分，比如數值積分。

## 不連續函數的積分

微積分基本定理要求 $f$ 為連續函數，但是，對於不連續的函數，我們仍然可以考慮求不定積分。對於什麼函數有反導函數，現在仍存在著未解決的問題。如今已知的結論有：

- 一些很不「規則」的函數，儘管在「非常多」的點上並不連續，但仍有原函數。
- 在某些情況下，一些不「規則」的函數的不定積分可以通過黎曼積分求得。當然更多的不「規則」的函數不是黎曼可積的。

## 不定積分公式表

在以下公式中，$C$為任意常數。

- $$\int a\,\mathrm{d}x = ax + C$$
- $\int x^{a}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C$，其$a\,$是常數$a \ne -1$
- $$\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \ln \left|x\right| + C$$
- $\int a^{x}\,\mathrm{d}x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C$，其$a > 0 \,$，$a \ne 1$
- $$\int \sin x\,\mathrm{d}x = -\cos x + C$$
- $$\int \cos x\,\mathrm{d}x = \sin x + C$$
- $$\int \tan x\,\mathrm{d}x = -\ln \left|\cos x\right| + C$$
- $$\int \cot x\,\mathrm{d}x = \ln \left|\sin x\right| + C$$
- $$\int \sec x\,\mathrm{d}x = {\rm Re} {\rm{Arth}} \tan \frac{x}{2} + C = \ln \left|\sec x + \tan x\right| + C = \frac{1}{2} \ln \left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right| + C$$
- $$\int \csc x\,\mathrm{d}x = {\rm Re} {\rm{Ln}}\tan \frac{x}{2} + C = \ln \left|\csc x - \cot x\right| + C = \frac{1}{2} \ln \left|\frac{1-\cos x}{1+\cos x} \right| + C$$
- $$\int \sec^{2}x\,\mathrm{d}x = \tan x + C$$
- $$\int \csc^{2}x\,\mathrm{d}x = -\cot x + C$$
- $$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = \arcsin x + C$$
- $$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,\mathrm{d}x = \arcsin \frac{x}{a} + C$$
- $$\int \frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x = \arctan x + C$$
- $$\int \frac{1}{a^2+x^2}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$$
- $$\int \operatorname{sinh}\,x\,\mathrm{d}x = \operatorname{cosh}\,x\,+ C$$
- $$\int \operatorname{cosh}\,x\,\mathrm{d}x = \operatorname{sinh}\,x\,+ C$$
- $$\int \frac 1{\sqrt{x^2+a^2}}\mathrm{d}x = \operatorname{ln}(x+\sqrt{x^2+a^2}) + C$$
- $$\int \frac 1{\sqrt{x^2-a^2}}\mathrm{d}x = \operatorname{ln}|x+\sqrt{x^2-a^2}| + C$$