模糊數學

模糊數學，亦稱弗晰數學或模糊性數學。1965年以後，在模糊集合、模糊邏輯的基礎上發展起來的模糊拓撲、模糊測度論等數學領域的統稱。是研究現實世界中許多界限不分明甚至是很模糊的問題的數學工具。在模式識別、人工智慧等方面有廣泛的應用。

## 模糊集

### 定義和表示

給定一個論域 U，那麼從 U 到單位區間 0,1 的一個映射$$\mu_{A}: U \mapsto [0,1]$$ 稱為 U 上的一個模糊集 或 U 的一個模糊子集。

記為 A。

映射（函數） μA(·) 或簡記為 A(·) 叫做模糊集 A 的隸屬函數。

對於每個 x ∈ U， μA(x) 叫做元素 x 對模糊集 A 的隸屬度。

模糊集的常用表示法有下述幾種：

- 解析法，也即給出隸屬函數的具體表達式。
- Zadeh 記法，例如$A={1\over x_1}+{0.5\over x_2}+{0.72\over x_3}+{0\over x_4}$。分母是論域中的元素，分子是該元素對應的隸屬度。有時候，若隸屬度為0，該項可以忽略不寫。
- 序偶法，例如$A=\{(x_1,1),(x_2,0.5),(x_3,0.72),(x_4,0)\}$，序偶對的前者是論域中的元素，後者是該元素對應的隸屬度。
- 向量法，在有限論域的場合，給論域中元素規定一個表達的順序，那麼可以將上述序偶法簡寫為隸屬度的向量式，如 A = (1,0.5,0.72,0)。

### 一些相關概念

- 模糊集 A 的承集或支集記為 $\text{supp}A=\{x\in U\mid A(x)\neq 0\}$。
- 模糊集 A 的核記為 $\text{ker}A=\{x\in U\mid A(x)=1\}$。
- 模糊集 A 的高度記為 $\text{hgt}A=\sup\{A(x)\mid x\in U\}$。
- 模糊集 A 的深度記為 $\text{dpn}A=\inf\{A(x)\mid x\in U\}$。

### 模糊度

一個模糊集 A 的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度，一個直觀的定義是這樣的：

設映射 D : F(U) → 0,1 滿足下述5條性質：

- 清晰性：D(A) = 0 若且唯若 A ∈ P(U)。（經典集的模糊度恆為0。）
- 模糊性：D(A) = 1 若且唯若 ∀ u ∈ U 有 A(u) = 0.5。（隸屬度都為0.5的模糊集最模糊。）
- 單調性：∀ u ∈ U，若 A(u) ≤ B(u) ≤ 0.5，或者 A(u) ≥ B(u) ≥ 0.5，則 D(A) ≤ D(B)。
- 對稱性：∀ A ∈ F(U)，有 D(Ac) = D(A)。（補集的模糊度相等。）
- 可加性：D(A∪B) + D(A∩B)=D(A) + D(B)。

則稱 D 是定義在 F(U) 上的模糊度函數，而 D(A) 為模糊集 A 的模糊度。

可以證明符合上述定義的模糊度是存在的，一個常用的公式（分別針對有限和無限論域）就是$\begin{align} D_p(A)&=\frac{2}{n^{1/p}}\left(\sum\limits_{i=1}^n\left|A(u_i)-A_{0.5}(u_i)\right|^p\right)^{1/p}\\ D(A)&=\int_{-\infty}^{+\infty}|A(u)-A_{0.5}(u)|\mbox{d}u \end{align}$ 其中 p > 0 是參數，稱為 Minkowski 模糊度。特別地，當 p = 1 的時候稱為 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指標，當 p = 2 的時候稱為 Euclid 模糊度。

## 模糊集的運算

### 各種算子

- Zadeh 算子，max 即為並，min 即為交

$$\begin{align}a\vee b&=\max\{a,b\}\\ a\wedge b&=\min\{a,b\}\end{align}$$

- 代數算子（機率和、代數積）

$$\begin{align}a\stackrel{\wedge}{+} b &=a+b-ab\\ a\cdot b &= ab\end{align}$$

- 有界算子

$$\begin{align}a\oplus b &=\min\{1,a+b\}\\ a\odot b &= \max\{0,a+b-1\}\end{align}$$

- Einstein 算子

$$\begin{align}a\stackrel{+}{\epsilon} b &= \frac{a+b}{1+ab}\\ a\stackrel{\cdot}{\epsilon} b &= \frac{ab}{1+(1-a)(1-b)}\end{align}$$

- Hamacher 算子，其中ν ∈ 0,+∞) 是參數，等於1時轉化為代數算子，等於2時轉化為 Einstein 算子

$$\begin{align} a\stackrel{+}{\nu} b &= \frac{a+b-ab-(1-\nu)ab}{\nu+(1-\nu)(1-ab)}\\ a\stackrel{\cdot}{\nu} b &= \frac{ab}{\nu+(1-\nu)(a+b-ab)} \end{align}$$

- Yager 算子，其中 p 是參數，等於1時轉化為有界算子，趨於無窮時轉化為 Zadeh 算子

$$\begin{align}a\;Y_p\;b &= \min\{1,(a^p+b^p)^{1/p}\}\\ a\;y_p\;b &= 1-\min\{1,[(1-a)^p+(1-b)^p]^{1/p}\}\end{align}$$

- λ-γ 算子，其中 λ,γ ∈ 0,1 是參數

$$\begin{align}a\;\lambda\;b &= \lambda ab+(1-\lambda)(a+b-ab)\\ a\;\gamma\;b &= (ab)^{1-\gamma}(a-ab)^\gamma\end{align}$$

- Dobois-Prade 算子，其中 λ ∈ 0,1 是參數

$$\begin{align} a\vee_d b &= \frac{a+b-ab-\min\{(1-\lambda),a,b\}}{\max\{\lambda,1-a,1-b\}}\\ a\wedge_d b &= \frac{ab}{\max\{\lambda,a,b\}} \end{align}$$

### 算子的性質

參見集合代數和布爾代數。

主要算子的性質對比表如下（`.`表示不滿足，`-`表示未驗證）：

算子｜結合律｜交換律｜分配律｜互補律｜同一律｜冪等律｜支配律｜吸收律｜雙重否定律｜德·摩根律

Zedah｜√｜√｜√｜.｜√｜√｜√｜√｜√｜√

代數｜√｜√｜.｜.｜√｜.｜√｜.｜√

有界｜√｜√｜.｜√｜√｜.｜√｜√｜√

線性補償是指：

$(\forall x,y,k \in [0,1])(x+k \wedge y-k\ \Rightarrow\ U(x+k,y-k)=U(x,y))$

算子的並運算｜冪等律｜排中律｜分配律｜結合律｜線性補償

Zadeh｜√｜.｜√｜√｜.

代數｜.｜.｜.｜√｜.

有界｜.｜√｜.｜.｜√

Hamacher r = 0｜.｜.｜.｜√｜.

Yager｜.｜.｜.｜√｜.

Hamacher｜.｜.｜.｜√｜.

Dobois-Prade｜.｜.｜.｜√｜.

## 模糊集與經典集的關係

### 截集與截積

設 $A\in \mathcal{F}(U)$，任取 $\lambda \in [0,1]$，則

$A_\lambda = \{ u\in U\mid A(u)\geq\lambda\}$。

稱 Aλ 為 A 的 λ 截集，而 λ 稱為閾值或置信水平。將上式中的 ≥ 替換為 >，記為 ASλ，稱為強截集。

截集和強截集都是經典集合。此外，顯然 A1 為 A 的核，即 kerA；如果 kerA ≠ ø，則稱 A 為正規模糊集，否則稱為非正規模糊集。

截積是數與模糊集的積：

設 λ ∈ 0,1，A ∈ F(U)，則 ∀ u∈U，λ 與 A 的截積（或稱為 λ 截集的數乘，記為 λA）定義為：

$(\lambda A)(u)=\lambda \wedge A(u)= \begin{cases} <pre> A(u), &\lambda \geq A(u),\\ \lambda, &\lambda < A(u). </pre> \end{cases}$

根據定義，截積仍是 U 上的模糊集合。

### 分解定理與表現定理

分解定理：

設 A∈F(U)，則

$A=\bigcup\limits_{\lambda\in[0,1]}\lambda A_\lambda$

即任一模糊集 A 都可以表達為一族簡單模糊集 {λAλ} 的並。也即，一個模糊集可以由其自身分解出的集合套而「拼成」。

表現定理：

設 H 為 U 上的任何一個集合套，則

$A=\bigcup\limits_{\lambda\in[0,1]}\lambda H(\lambda)$

是 U 上的一個模糊集，且 ∀ λ ∈ 0,1，有（1） ASλ = ∪α>λ H(α)

（2） Aλ = ∩α<λ H(α)

即任一集合套都能拼成一個模糊集。

## 模糊集之間的距離

### 使用度量理論

可以使用一般的度量理論來描述模糊集之間的距離。在這個意義上，我們需要在模糊冪集 F(U) 上建立一個度量，此外，我們還可能需要將此度量標準化，也即映射到 0,1 區間上。例如可以這樣來標準化 Minkowski 距離：

$$\tilde{d}(x,y)=\left({1\over n}\sum\limits_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|^p \right)^{1\over p}$$

### 貼近度

另一種是使用貼近度概念。在某種意義上，貼近度就是 1 - 距離（這裡的距離是上述標準化意義上的距離）。而之所以應用這個變換，是考慮到「度」的概念的直覺反映——距離越近，貼近的程度顯然越「高」，因此它恰為距離的反數。

除了距離外，還有一些與模糊集的特殊操作有關係的貼近度定義。

最大最小貼近度：$$\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\vee B(u_i))}$$

算術平均最小貼近度：$$\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{{1\over 2}\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)+B(u_i))}$$

幾何平均最小貼近度：$$\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{\sum_{i=1}^{n}\sqrt{A(u_i)\cdot B(u_i)}}$$

指數貼近度：$$\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{1}{e^{\|A-B\|}}$$

## 模糊關係

模糊關係是建立在模糊集上的關係，此外，它也有一些特別的性質和應用。

### 定義

設 U 和 V 是論域，U × V = {(x , y) | x ∈ U, y ∈ V } 是 U 和 V 的笛卡爾直積，則每個模糊子集 R ∈ U × V 都稱為從 U 到 V 的一個模糊關係。若 U = V，則稱 R 是 U 中的模糊關係。如果 R(x,y) = α，則稱 x 與 y 具有關係 R 的程度為 α。特別地：

- 若 ∀ (x,y) ∈ U × U，當 x = y 時 R = 1，當 x ≠ y 時 R = 0，則稱 R 為 U 上的恆等關係，記為 I
- 若 ∀ (x,y) ∈ U × V，有 R(x,y) = 0，則稱 R 為從 U 到 V 的零關係，記為 0
- 若 ∀ (x,y) ∈ U × V，有 R(x,y) = 1，則稱 R 為從 U 到 V 的全稱關係，記為 E

模糊關係的並、交、補、包含、相等、λ 截和截積運算，實質上就是模糊集的相應運算（採用 Zadeh 算子）。但模糊關係還有一個特殊的運算轉置，定義為

RT(x,y) = R(y,x)

易知轉置運算滿足復原律、交換律和單調性等。

### 關係以及關係的合成的矩陣表達

關係的合成：

對於從 U x-m 到 V y-p 的關係 R，以及從 V y-p 到 W z-n 的關係 S，那麼從 U 到 W 的模糊複合關係 R · S 為

$\displaystyle (R\circ S)(x_i,z_j)=\bigvee_{k\leq p}[R(x_i,y_k)\wedge S(y_k,z_j)]$

其中 ∧ 是取小 ∨ 是取大（即 Zedah 算子）。由此可知，模糊複合關係的運算，就是兩個模糊關係的矩陣的乘法運算，只是要將矩陣乘法中的乘法改為 ∧，而加法改為 ∨ 即可。

例子：設 U = {1,2,3,4}, V = {a,b,c}, W = {α,β}：

從 U 到 V 的模糊關係 R｜從 V 到 W 的模糊關係 S

```
(1,a)=0.7, (1,b)=0.5, (1,c)=0
(2,a)=1,   (2,b)=0,   (2,c)=0
(3,a)=0,   (3,b)=1,   (3,c)=0
(4,a)=0,   (4,b)=0.4, (4,c)=0.3
```

```
(a,&alpha;)=0,6 (a,&beta;)=0.8
(b,&alpha;)=0   (b,&beta;)=1
(c,&alpha;)=0   (c,&beta;)=0.9
```

那麼這些模糊關係可以寫成如下矩陣表達（注意行列位置）：

R｜a｜b｜c 1｜0.7｜0.5｜0 2｜1｜0｜0 3｜0｜1｜0 4｜0｜0.4｜0.3｜S｜α｜β a｜0.6｜0.8 b｜0｜1 c｜0｜0.9｜R · S｜α｜β 1｜0.6｜0.7 2｜0.6｜0.8 3｜0｜1 4｜0｜0.4

### 模糊關係與分類

模糊等價關係定義：

設 U 中的模糊關係 R 滿足

- 自反性 : ∀ x ∈ U, R(x , x) = 1

- 對稱性 : ∀ x, y ∈ U, R(x , y) = R(y , x)

- 傳遞性 : ∀ x, y, z ∈ U, ∀ λ ∈ 0,1, 當 R(x , y) ≥ λ 且 R(y , z) ≥ λ 時，R(x , z) ≥ λ

則稱 R 為 U 中的一個模糊等價關係。易知，對於一個固定的 λ ∈ 0,1 來說，傳遞性條件刻畫了模糊關係 R 具有 λ 水平上的傳遞性。

下述定理指出了模糊等價關係與普通等價關係的關係：U 中的模糊關係 R 是模糊等價關係的充要條件是，對於每個 λ ∈ 0,1，R 的 λ 截關係 Rλ 是 U 中的普通等價關係。

只滿足自反性和對稱性，不滿足傳遞性的模糊關係稱為模糊相似關係。而將等價關係與相似關係聯繫在一起的是下述定理：U 中的模糊關係 R 是模糊傳遞關係的充要條件是 R2 ⊆ R。

分類：

- 如果模糊關係是等價關係，取某一水平的 λ 截集，即可得到這個水平上的分類。
- 如果模糊關係是相似關係，計算 R* ≡ R2^k = R2^(k+1)，則 R* 可被證明是等價關係。