Σ-代數

在數學中，某個集合 X 上的 σ-代數（σ-algebra）又叫 σ-域（σ-field），是 X 的某群子集合所構成的特殊子集族。這個子集族對於補集運算和可數個聯集運算具有封閉性（因此對於可數個交集運算也是封閉的）。σ-代數在測度論裡可以用來定義所謂的「可測集合」，是測度論的基礎概念之一。

σ-代數的概念大約起始於1900~1930年，它隨著測度論的發展而逐漸清晰。最著名的 σ-代數是關於實數軸測度的波萊爾σ-代數（得名於法國數學家埃米·波萊爾），以及1901年亨利·勒貝格建立的勒貝格σ-代數。而現代的測度理論的公理化體系就建立在勒貝格的相關理論之上。在這個領域中，σ-代數不僅僅是用於建立公理體系，也是一個強有力的工具，在定義許多重要的概念如條件期望和鞅的時候，都需要用到。

## 動機

σ-代數的提出有至少三個作用：定義測度，操作集合的極限，以及管理集合所表示的部分資訊。

### 測度

測度是給$X$的子集賦予非負實數值的函數；可以把測度想成給集合的一個精確的「大小」或「體積」的定義。直覺上來講，若干個互不相交集合的併集的大小應當等於它們各自的大小之和，即使有無窮多個這樣的不交集。

## 定義

$X$ 為一集合，假設有子集族 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$（$\mathcal{P}(X)$ 代表 $X$ 的冪集）滿足下列條件

- $$X \in \mathcal{F}$$
- $$(\forall A \in \mathcal{F}) \left\{ (A \in \mathcal{F}) \Rightarrow [(X - A) \in \mathcal{F}] \right\}$$
- $$(\forall \mathcal{A}) \left\{ <pre> [(\mathcal{A} \cong \N) \wedge (\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F})] \Rightarrow \left( \bigcup \mathcal{A} \in \mathcal{F} \right) </pre> \right\}$$

則稱 $\mathcal{F}$ 是 $X$ 的一個 σ-代數。

注意到定義第3條的$\mathcal{A} \cong \N$，意思是 $\mathcal{A}$ 和自然數系 $\N$ 等勢，直觀的意思就是 $\mathcal{A}$ 裡的元素跟自然數一樣多。

以上定義的直觀意義為：一群 $X$ 的子集合所組成的集合 $\mathcal{F}$，為 $X$ 上的一個 σ-代數意思是滿足：

- $X$ 本身就是 $\mathcal{F}$ 的元素。
- 如果集合 $A$ 在 $\mathcal{F}$ 中，那麼它的補集 $X - A$ 也在$\mathcal{F}$中。
- 如果有可數個集合 $A_1 , A_2, \cdots$ 都在 $\mathcal{F}$ 中，那麼它們的聯集也在$\mathcal{F}$ 中。

在測度論裡有序對 $\left(X,\mathcal{F}\right)$ 會被稱為一個可測空間。而任何在 $\mathcal{F}$ 中的子集 $A$，則稱為可測集合（measurable set）；而在機率論中， $\mathcal{F}$ 被稱為事件族（family of events）， $\mathcal{F}$ 中的子集 $A$ 則稱為事件。

### 例子

- $X$上最小的σ-代數是$\{ \varnothing, X \}$。
- $X$上最大的σ-代數是$X$的冪集$\mathcal{P}(X)$（也就是所有 $X$ 的子集合所組成的集合）

## 最小σ-代數

設 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$ 是 $X$ 的一個子集族，則：

$$\sigma(\mathcal{F}) := \bigcap \bigg\{ \Sigma \,\bigg|\, <pre> (\Sigma\text{ is a sigma algebra of } X) \wedge (\mathcal{F} \subseteq \Sigma) </pre> \bigg\}$$

也是$X$ 的σ代數。

證明根據 $\sigma(\mathcal{F})$ 的定義（嚴謹來說，依據分類公理所新增的公理），對所有集合 $A$ 有： : $A \in \sigma(\mathcal{F}) \Leftrightarrow (\forall \Sigma) \left\{ [\,(\Sigma \text{ is a algebra of } X) \wedge (\mathcal{F} \subseteq \Sigma)\,] \Rightarrow (A \in \Sigma) \right\}$ (a) 以下將逐條檢驗σ代數的定義，來驗證 $\sigma(\mathcal{F})$ 的確是 $X$ 的σ代數： (1) $X \in \sigma(\mathcal{F})$ 對所有的集合族 $\Sigma$ 來說，只要 $\Sigma$ 是σ代數，按照定義理當有 $X \in \Sigma$，所以由式(a)的右方的確可以得出 $X \in \sigma(\mathcal{F})$。(2)若 $A \in \Sigma$，則 $X - A$ 也在 $\sigma(\mathcal{F})$ 中 若 $A \in \Sigma$，那根據式(a)，對所有的集合族 $\Sigma$ 來說，只要 $\Sigma$ 是σ代數 且$\mathcal{F} \subseteq \Sigma$，理當有 $A \in \Sigma$，所以對所有 $\Sigma$ 只要滿足這兩個條件，理當有 $X - A \in \Sigma$，所以由式(a)的右方的確有： : $(\forall A )\{ [A \in \sigma(\mathcal{F})] \Rightarrow [X - A \in \sigma(\mathcal{F})] \}$ (3)可數個併集也在 $\sigma(\mathcal{F})$ 中 若 $\{A_1,\,A_2,\,\dots\} \subseteq \sigma(\mathcal{F})$，由式(a)，只要 $\Sigma$ 滿足(a)左方的兩個條件，就有 $\{A_1,\,A_2,\,\dots\} \subseteq \Sigma$，所以： : $\bigcup\{A_1,\,A_2,\,\dots\} \in \Sigma$ 所以再從(a)右方，就可以得到： : $\bigcup\{A_1,\,A_2,\,\dots\} \in \sigma(\mathcal{F})$ 綜上所述， $\sigma(\mathcal{F})$ 的確是 $X$ 的σ代數。$\Box$

根據以上的定理，可以做以下的定義：

$\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$ 是 $X$ 的一個子集族，則：

$$\sigma(\mathcal{F}) := \bigcap \bigg\{ \Sigma \,\bigg|\, <pre> (\Sigma\text{ is a sigma algebra of } X) \wedge (\mathcal{F} \subseteq \Sigma) </pre> \bigg\}$$

稱為包含 $\mathcal{F}$ 的最小σ-代數。

### 例子

- 設集合$X=\{a,b,c,d\}$，那麼$\sigma(\{\{a\}\}) = \{\varnothing, \{a\}, \{b, c, d\}, X\}$ 是集合$X$上含有 $\{a\}$ 的σ-代數中最「小」的一個。

## 性質

σ-代數是一個代數也是一個λ系，它對集合的交集、聯集、差集、可數交集、可數聯集運算都是封閉的。