指數分布

$\lambda > 0 \,$ 率

$$x \in [0;\infty)\!$$

$$\,\lambda e^{-\lambda x}$$

$$1 - e^{-\lambda x}$$

$$\lambda^{-1}\,$$

$$\ln(2)/\lambda\,$$

$$0\,$$

$$\lambda^{-2}\,$$

$$2\,$$

$$6\,$$

$$1 - \ln(\lambda)\,$$

$$\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{-1}\,$$

$$\left(1 - \frac{it}{\lambda}\right)^{-1}\,$$

在機率論和統計學中，指數分布（Exponential distribution）是一種連續機率分佈。指數分布可用於建模平均發生率恆定且連續、獨立事件的發生間隔，例如旅客進入機場的時間間隔、電話打進客服中心的時間間隔、中文維基百科新條目出現的時間間隔、機器的壽命等。

## 記號

指數分布即形狀母數 $\alpha$ 為1的伽瑪分布。

若隨機變數$X$服從母數為$\lambda$或$\beta$的指數分布，則記作

$$X\sim \text{Exp}(\lambda )$$ 或 $X\sim \text{Exp}(\beta )$

兩者意義相同，只是$\lambda$與$\beta$互為倒數關係。只要將以下式子做${\color{Red}\lambda =\frac{1}{\beta}}$的替換即可，即，指數分布之機率密度函數為：

$$f(x;{\color{Red}\lambda}) = \left\{\begin{matrix} {\color{Red}\lambda} e^{-{\color{Red}\lambda} x} & x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.$$

或

$$f(x;{\color{Red}\beta}) = \left\{\begin{matrix} {\color{Red}\frac{1}{\beta}} e^{-{\color{Red}\frac{1}{\beta}} x} & x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.$$

累積分布函數為：

$$F(x;{\color{Red}\lambda}) = \left\{\begin{matrix} 1-e^{-\color{Red}{\lambda} x}&,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.$$

或

$$F(x;{\color{Red}\beta}) = \left\{\begin{matrix} 1-e^{-{\color{Red}\frac{1}{\beta}} x}&,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.$$

其中$\lambda>0$是分布的母數，即每單位時間發生該事件的次數；$\beta$為比例母數，即該事件在每單位時間內的發生率。兩者常被稱為率參數（rate parameter）。指數分布的區間是`[0,`∞)。

## 特性

### 期望值與變異數

隨機變量 $X$（$X$ 的母數為 $\lambda$ 或 $\beta$）的期望值是：

$$\mathbf{E}(X) = \frac{1}{\color{Red}{\lambda}}={\color{Red}\beta}$$

例如：如果你平均每個小時接到2次電話，那麼你預期等待每一次電話的時間是半個小時。

$X$ 的方差是：

$$\mathbf{Var}(X) = \frac{1}{\color{Red}{\lambda^2}}={\color{Red}\beta^2}$$

$X$ 的偏態係數是：

$$\mathbf{V}[X]=1$$

### 無記憶性

指數函數的一個重要特徵是無記憶性（Memoryless Property，又稱遺失記憶性）。這表示如果一個隨機變量呈指數分布，它的條件概率遵循：

$$P(T > s + t\; |\; T > t) = P(T > s) \;\; \hbox{for all}\ s, t \ge 0.$$

### 與泊松過程的關係

泊松過程是一種重要的隨機過程。泊松過程中，第 $k$ 次隨機事件與第 $k+1$ 次隨機事件出現的時間間隔服從指數分布。而根據泊松過程的定義，長度為 $t$ 的時間段內沒有隨機事件出現的機率等於

$\frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^0}{0!} = e^{-\lambda t}$,

長度為 $t$ 的時間段內隨機事件發生一次的機率等於$\frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^1}{1!}=e^{-\lambda t} \lambda t$。

所以第 $k$ 次隨機事件之後長度為 $t$ 的時間段內，第 $k+n$ 次（$n=1, 2, 3,\cdots$）隨機事件出現的機率等於$1-e^{-\lambda t}$。這是指數分布。這還表明了泊松過程的無記憶性。

### 四分位數

率參數 $\lambda$ 的四分位數函數（Quartile function）是：

$$F^{-1}(p;\lambda) = \frac{-\ln(1-p)}{\lambda},\qquad 0 \le p < 1$$

- 第一四分位數：$\frac{\ln(\frac{4}{3})}{\lambda}$
- 中位數：$\frac{\ln(2)}{\lambda}$
- 第三四分位數：$\frac{\ln(4)}{\lambda}$

因此，四分位距為$\frac{\ln(3)}{\lambda}$。

## 參數估計

### 最大概似法

給定獨立同分布樣本 $x =x_1, \cdots, x_n$，$\lambda$ 的似然函數（Likelihood function）是：

$$L(\lambda) = \prod_{i=1}^n \lambda \, \exp(-\lambda x_i) = \lambda^n \, \exp\!\left(\!-\lambda \sum_{i=1}^n x_i\right)=\lambda^n\exp\left(-\lambda n \overline{x}\right)$$

其中：

$\overline{x}={1 \over n}\sum_{i=1}^n x_i$是樣本期望値。

似然函數對數的導數是：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda} \ln L(\lambda) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda} \left( n \ln(\lambda) - \lambda n\overline{x} \right) = {n \over \lambda}-n\overline{x}\ \left\{\begin{matrix} > 0 & \mbox{if}\ 0 < \lambda < \frac{1}{\overline{x}}, \\ \\ = 0 & \mbox{if}\ \lambda = \frac{1}{\overline{x}}, \\ \\ < 0 & \mbox{if}\ \lambda > \frac{1}{\overline{x}}. \end{matrix}\right.$$

參數 $\lambda$ 的最大概似估計（Maximum likelihood）值是：

$$\widehat{\lambda} = \frac1{\overline{x}}$$