卡爾·弗里德里希·高斯

約翰·卡爾·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauß，Carolus Fridericus Gauss；1777年4月30日－1855年2月23日），德國數學家、天文學家、大地測量學家、物理學家，在數學和科學的諸多領域都有重要貢獻。他曾擔任德國哥廷根天文台台長，並自1807年起擔任天文學教授，直至1855年去世。

高斯在哥廷根大學求學期間便已提出若干數學定理。作為獨立學者，他撰寫了經典著作《算術研究》和《天體運動理論》（Theoria motus corporum coelestium）。高斯提供了代數基本定理的第二和第三個完整證明。在數論方面，他作出了諸多重要貢獻，包括複合律、二次互反律、費馬多邊形數定理的一個特殊情況。他還研究了二元和三元二次型理論、十七邊形作圖方法以及超幾何函數理論。由於他在科學與數學方面的廣泛而深刻的貢獻，現今有超過一百個數學與科學概念以他的名字命名。

在識別穀神星為矮行星的過程中，高斯起到了關鍵作用。他研究大行星對小行星運動的擾動，進而引入了高斯引力常數，並發展了最小二乘法（在阿德里安-馬里·勒讓德發表前就已發現）。1820年至1844年間，高斯主持了漢諾瓦王國的大地測量工作以及一項測弧計劃；他是地球物理學的奠基人之一，並提出了磁學的基本原理。他的實用工作成果包括1821年發明的日照儀、1833年發明的磁強計，以及他與威廉·愛德華·韋伯共同於1833年建造的世界上第一台電磁電報機。

高斯是第一個發現並研究非歐幾里得幾何的人，這一理論也是由他命名。他還比約翰·圖基和詹姆斯·庫利早約160年就發展出了快速傅立葉變換。

高斯拒絕發表未完成的研究，他的一些重要成果是在他去世後才由他人整理出版。他認為，學習的過程本身，而非知識的占有，才是最大的樂趣。儘管他並不熱衷於教學而更傾向於專注於自己的研究，但他的部分學生，如戴德金和黎曼，後來也成為了傑出而有影響力的數學家。

## 生平

### 青年及學生時期

高斯於1777年4月30日出生在布倫瑞克-沃爾芬比特爾親王國的不倫瑞克（今德國下薩克森州）。他的家庭社會地位較低。父親蓋布哈特·迪特里希·高斯（Gebhard Dietrich Gauss，1744–1808）從事過多種職業，包括屠夫、泥瓦匠、園丁以及喪葬互助基金的出納員。高斯形容父親為正直且受人尊敬，但在家中性格粗暴而專橫。他的父親在書寫和計算方面頗有經驗，而高斯的母親多蘿西婭（Dorothea，蓋布哈特的第二任妻子）幾乎不識字。高斯還有一個同父異母的哥哥。

高斯是數學神童。當小學老師注意到他的非凡才智時，便向不倫瑞克公爵報告，公爵隨即資助他就讀當地的查理學院（Collegium Carolinum查理學院是布倫瑞克工業大學的前身，但在高斯的時代它還沒有大學地位。），他在那裡從1792年讀到1795年，期間曾師從埃伯哈德·奧古斯特·威廉·馮·齊默爾曼。此後，公爵繼續資助他在哥廷根大學攻讀數學、自然科學及古典語言，直至1798年。在哥廷根期間，他的數學教授是亞伯拉罕·戈特黑爾夫·克斯特納。高斯因克斯特納擅寫諷刺短詩，戲稱他為「詩人中最會做數學的，數學家中最會寫詩的」。高斯曾畫過一幅素描，描繪克斯特納在課上展示一個簡單的計算時出現了錯誤。天文學課程則由卡爾·費利克斯·賽費爾教授，高斯畢業後仍與他保持通信，不過高斯與天文學家奧伯斯在信中常對賽費爾頗多揶揄。相較之下，他對物理學教師格奧爾格·克里斯托夫·利希滕貝格評價頗高，對古典學教授克里斯蒂安·戈特洛布·海涅也十分敬重，常欣然聆聽其講座。在此期間的同學包括約翰·弗里德里希·本岑貝格、鮑耶·法爾卡斯以及海因里希·威廉·布蘭德斯。

高斯大概主要靠自學掌握了數學，他曾多次獨立重新發現一些數學定理。1796年，他解決了一個自古希臘以來困擾數學家的幾何難題：確定哪些正多邊形可以尺規作圖。這一發現促使他最終決定將數學而非語文學身事業。高斯的數學日記記錄了他自1796年至1814年間的若干重要發現，這些簡短的筆記表明，他的數學巨著《算術研究》（1801年）中的許多思想都萌芽於這一時期。

小學時，高斯所在的班級被老師J·G·比特納（Büttner）要求將1到100的自然數求和。令比特納驚訝的是，高斯以遠超預期的速度給出了正確的答案5050。他發現這個求和可以通過配對簡化：1 + 100 = 101，2 + 99 = 101，以此類推，總共50組，每組和為101，於是結果是50 × 101 = 5050。另有版本說他是將100個數字看作是100組101，再除以2，得出同樣結果。

### 私人學者

1799年，高斯獲得哲學博士學位。與一些說法不同例如，這一錯誤在馬斯登（1977年）中出現。他並不是在哥廷根大學畢業的，而是在不倫瑞克公爵的特別要求下，於公國唯一的國立大學——黑爾姆施泰特大學取得學位。其博士論文由約翰·弗里德里希·普法夫評審。高斯無需再參加口試，便以「缺席授予」（in absentia）的方式獲得學位。隨後，公爵繼續資助他在不倫瑞克作為私人學者的生活費用。在接下來的幾年中，高斯謝絕了來自聖彼得堡俄羅斯科學院和蘭茨胡特大學的聘請。1804年，公爵承諾為他在不倫瑞克建立一座天文台，並由建築師彼得·約瑟夫·克拉厄草擬了初步設計圖。但這一計劃最終因拿破崙戰爭而夭折：公爵於1806年在耶拿戰役中陣亡。次年，不倫瑞克公國被廢除，高斯也因此失去了經濟支持。

在19世紀初計算小行星軌道的過程中，高斯開始與不萊梅和利林塔爾 (下薩克森)的天文學界建立聯繫，尤其是與海因里希·奧伯斯、卡爾·路德維希·哈丁、弗里德里希·威廉·貝塞爾。他們共同構成了非正式的天文學團體，稱為天體警察，其目標之一是尋找更多的行星。他們收集了關於小行星和彗星的大量觀測數據，作為高斯研究其軌道的基礎。這些研究成果後來被高斯彙編成他的天文學大作《天體運動理論》（Theoria motus corporum coelestium，1809年）。

### 在哥廷根擔任教授

1807年11月，高斯受聘於哥廷根大學，擔任正教授及天文台台長。此時，哥廷根大學已隸屬於新成立的威斯伐倫王國，由熱羅姆·波拿巴統治。高斯自此一直在該職位上工作，直至1855年去世。不久之後，威斯伐倫政府要求高斯繳納兩千法郎作為戰爭賠款，但他無力支付。奧伯斯和皮埃爾-西蒙·拉普拉斯都希望為他籌款相助，但高斯婉拒了他們的幫助。最終，一位來自法蘭克福的匿名人士代為繳納了這筆費用，後來被證實是采邑主教達爾貝格。

高斯接管的哥廷根天文台已有60年歷史，最初由選帝侯喬治二世於1748年創建，建在一座改建的防禦塔上，儀器尚可使用，但已有部分過期。早在1802年，喬治三世就原則上批准了新天文台的建設計劃，威斯伐倫政府也繼續推動相關工程，但高斯直到1816年9月才得以遷入新的辦公場所。他還獲得了全新的現代化儀器，包括由雷普索爾德和格奧爾格·弗里德里希·馮·賴興巴赫製造的兩架子午儀，以及由夫琅和費製造的量日儀。

除純數學研究外，高斯的科學活動大致可以分為三個階段：19世紀前二十年，他的主要研究方向是天文學；第三個十年集中於大地測量學；第四個十年則以物理學為主，特別是磁學。

高斯從不掩飾他對授課的厭煩。但自他在哥廷根開始學術生涯起，他仍持續講授課程，直至1854年。他常抱怨教學占據了他太多時間，認為這浪費了自己的研究精力。然而他偶爾也會讚揚某些學生的才華。他的授課內容以天文學、大地測量學和應用數學為主，純數學方面只開設過三門課程。高斯總共講了195場講座，其中70%與天文學相關，15%與數學相關，9%與大地測量學相關，6%與物理學相關。他的學生中有不少後來成了著名的數學家、物理學家或天文學家，包括：莫里茨·康托爾、戴德金、恩諾·迪克森、恩克、古爾德通信目錄顯示，高斯生前收到的最後一封信便是古爾德撰寫的。這是一封真正的告別信，但尚不清楚這封信是否有及時送達高斯。海涅、威廉·克林克富斯、阿道夫·特奧多爾·庫普費爾、利斯廷、莫比烏斯、弗里德里希·伯恩哈德·戈特弗里德·尼古拉、黎曼、李特爾、恩斯特·克里斯蒂安·尤利烏斯·舍林、謝爾克、舒馬赫、卡爾·格奧爾格·克里斯蒂安·馮·施陶特、莫里茨·亞伯拉罕·施特恩、格奧爾·弗雷德里克·烏爾辛等。此外，他在地球科學領域的學生還包括沃爾夫岡·薩托里烏斯·馮·瓦爾特斯豪森和約翰·愛德華·瓦佩烏斯。

高斯從未撰寫過教科書，也反感大眾科學。他嘗試科普寫作僅兩次，分別是關於復活節日期計算的論文（1800/1802年）以及1836年的隨筆《地磁與磁強計》（Erdmagnetismus und Magnetometer）。他發表論文和著作一律使用拉丁語或德語。在他去世後，人們在他的遺物中發現了一篇關於智神星攝動的法語論文，這很可能是他為法國科學院的一項獎項競賽所作的投稿。《天體運動理論》原於1806年以德語寫成，但高斯按照出版商弗里德里希·克里斯托夫·佩爾特斯的請求翻譯成了拉丁語。其拉丁文風格古典，但也吸收了當時數學界的一些通用寫法。

高斯第一次在哥廷根大學上課是1808年。他闡述自己的天文學方法為：依賴可靠的觀測和精確的計算，而非憑信念或空洞的假設來推理。他的教學任務由其他講師共同承擔，以完成整個教學計劃。其中包括數學家伯恩哈德·弗里德里希·蒂鮑特、以其撰寫的教科書聞名的物理學家約翰·托比亞斯·邁爾、1831年起接替邁爾的韋伯，以及負責天文台事務的哈丁，後者主講實用天文學課程。新天文台建成後，高斯居住在西翼，而哈丁則在東翼。兩人曾關係友好，但後來關係疏遠。一些傳記作家推測，原因可能是高斯始終希望與他職位相當的哈丁只是作為他的助手或觀測員。高斯幾乎完全壟斷了新購置的子午儀，僅在極少數情況下允許哈丁參與聯合觀測。

馬丁·布倫德爾將高斯的天文學研究劃分為七個階段，其中自1820年起被視為「天文學活動減弱時期」。儘管新天文台設備先進，但其運作效率並不如其他台站；高斯的天文研究更多體現為個人性質，沒有系統的長期觀測計劃。直到哈丁於1834年去世，大學才為天文台設立了一個助手職位。高斯的第一個助手是卡爾·沃爾夫岡·本亞明·戈爾德施密特，第二個是威廉·克林克費斯，後者後來成為他的繼任者之一。

儘管如此，高斯兩次拒絕了能讓他擺脫教學負擔、專注科研的絕佳機會：1810年和1825年，他拒絕了柏林普魯士科學院的正式院士職位；他還分別於1810年和1842年，拒絕了萊比錫大學和維也納大學的教授邀請。這些決定可能部分出於家庭經濟狀況困難的考慮。高斯的薪酬從1810年的1000帝國塔勒提高到1824年的2500塔勒，而在他晚年時，他已成為哥廷根大學收入最高的教授之一。

1810年，高斯的同事兼朋友弗里德里希·威廉·貝塞爾因在柯尼斯堡大學缺乏正式學術頭銜而陷入困境，向高斯求助。高斯遂在1811年3月以哥廷根大學哲學院的名義，為貝塞爾申請並授予了榮譽博士學位。貝塞爾從未接受過大學教育。他還曾為索菲·熱爾曼撰寫榮譽博士推薦信，但時間臨近她去世，因此她未能獲得這一學位。此外，高斯還成功支持了柏林數學家費迪南·艾森斯坦的學術晉升。

高斯始終忠於漢諾瓦王室。1837年，威廉四世去世後，新任漢諾瓦國王恩斯特·奧古斯特廢除了1833年的憲法。包括高斯的朋友和合作者威廉·韋伯以及女婿海因里希·埃瓦爾德在內的七位教授公開抗議，被後人稱為「哥廷根七君子」。七人皆被革職，其中三人更被驅逐出境，不過埃瓦爾德和韋伯得以繼續留在哥廷根。高斯對此事深感痛心，但也認為自己無能為力，無法施以援手。

高斯還參與了大學的學術行政工作，曾三次當選哲學院院長。他還受託管理大學的遺孀撫恤基金，並為其穩定營收策略撰寫過精算學分析報告。他也曾擔任哥廷根皇家科學院的院長長達九年。

儘管晚年患有痛風，情緒亦不甚愉快，高斯仍保持著極高的學術活力。1855年2月23日，他在哥廷根因心臟病去世，葬於當地的阿爾巴尼公墓。他的葬禮上，女婿海因里希·埃瓦爾德以及摯友兼傳記作者沃爾夫岡·薩托里烏斯·馮·瓦爾特斯豪森發表了悼詞。

高斯理財頗有成效，投資股票和證券積累了相當可觀的財富，資產總額超過15萬塔勒。他去世後，人們在其住所還發現了藏匿的約1.8萬塔勒現金。

### 高斯的大腦

高斯去世的次日，他的大腦被摘除、保存，並由魯道夫·華格納研究。華格納測得高斯大腦的重量略高於平均水平，為1492克。他的兒子、地理學家赫爾曼·華格納在博士論文中估算高斯的大腦皮層面積為219588平方毫米。然而，2013年，位於哥廷根的馬克斯·普朗克生物物理化學研究所的一位神經生物學家發現：高斯大腦在最初研究後不久因標籤錯誤被與另一人混淆。被誤認為是高斯大腦的，實際上屬於幾個月後同樣在哥廷根去世的醫生康拉德·海因里希·富克斯。進一步的研究顯示，這兩人的大腦均未表現出明顯異常。因此，除魯道夫與赫爾曼·華格納的最初研究外，直到1998年之前所有關於「高斯大腦」的研究實際上都是關於富克斯的大腦。

### 家庭

1805年10月9日，高斯在不倫瑞克的聖凱薩琳教堂與約翰娜·奧斯特霍夫（Johanna Osthoff）結婚。他們育有兩子一女：約瑟夫·高斯（1806–1873）、明娜·埃瓦爾德（1808–1840）和路易斯（Louis，1809–1810）。路易斯出生一個月後，約翰娜於1809年10月11日去世，而路易斯也在幾個月後夭折。高斯選擇的這三個名字是為了紀念小行星最早的發現者之三：朱塞佩·皮亞齊、威廉·奧伯斯和路德維希·哈丁。

1810年8月4日，高斯再婚，迎娶了他第一任妻子的朋友威廉明妮·「明娜」·瓦爾德克（Wilhelmine 「Minna」 Waldeck）。他們又育有三名子女：歐根·高斯（後改名為Eugene，1811–1896）、威廉·高斯（後改名為William，1813–1879）和特蕾澤·施陶芬瑙（1816–1864）。明娜在患病十餘年後，於1831年9月12日去世。此後，特蕾澤接管家務，照顧高斯直至其去世。她後來嫁給了演員康斯坦丁·施陶芬瑙。她的姐姐威廉明妮則嫁給了東方學家海因里希·埃瓦爾德。高斯的母親多蘿西婭（Dorothea）曾從1817年起與海因里希同住，直到她1839年去世。

長子約瑟夫早在上學期間便在1821年夏天的測量工作中擔任高斯的助手。1824年他短暫就讀大學後加入漢諾瓦軍隊，並於1829年再次參與測量任務。1830年代，他負責將測量網路擴展至王國西部地區。憑藉其測地學背景，他後來離開軍職，轉而投身鐵路建設，並成為漢諾瓦王國國家鐵路的主任。1836年，他曾赴美國考察數月，研究當地鐵路系統。途中，他遇到了大地測量學家費迪南德·魯道夫·哈斯勒，他與卡爾·弗里德里希·高斯曾有科學通訊往來。

歐根於1830年9月離開哥廷根，移民美國，在軍中服役五年後，加入中西部的美國皮毛公司。之後他遷居密蘇里州，成為一名成功的商人。威廉娶了天文學家貝塞爾的侄女，隨後也移居密蘇里州，初為農夫，後來在聖路易斯的製鞋業中致富。歐根與威廉在美國均有大量後代，而留在德國的高斯後裔則全部來自約瑟夫，因為高斯的兩個女兒都未育有子女。

- 約瑟夫·高斯
- 索菲·埃里特羅佩爾約瑟夫的妻子
- 威廉明妮·高斯
- 海因里希·埃瓦爾德威廉明妮的丈夫
- 歐根·高斯
- 亨利埃塔·福西特歐根的妻子
- 威廉·高斯
- 路易莎·阿萊塔·法倫斯坦威廉的妻子
- 特蕾澤·高斯
- 康斯坦丁·施陶芬瑙特蕾澤的丈夫

### 個性

#### 學者

在19世紀最初的二十年間，高斯是德國唯一一位能與當時法國頂尖數學家相媲美的重要人物。他的《算術研究》成為第一本被翻譯成法語的德國數學著作。

自1799年起，高斯已「走在新發展的前沿」，他擁有豐富的新思想，並以嚴謹的論證風格著稱。他與之前的數學家如萊昂哈德·歐拉形成鮮明對比，歐拉的寫作常常讓讀者參與其思考過程，其中甚至包含某些偏離正解的嘗試。而高斯則開創了一種新的表達方式：直接而完整，不暴露自己的思維路徑，而是以最終形式呈現結果。

高斯是第一個恢復了我們在古人中所欽佩的論證嚴謹性的人，這種嚴謹曾在前一時期被對新發現的熱情所掩蓋。

然而，對他自己來說，他所追求的理想卻與此截然不同。在寫給好友鮑耶·法爾卡斯的一封信中，他寫道：

並非知識本身，而是學習的過程；並非占有，而是抵達的過程，才帶來最大的樂趣。當我徹底澄清並窮盡一個課題之後，我就會轉身離開，重新走入黑暗之中。

高斯的身後遺稿、科學高斯的日記，以及他在自編教材中留下的簡短注釋表明，他在數學研究中大量採用經驗方法。他始終不厭其煩地計算，且計算速度極快，通過估算來驗證自己的結果。然而，他的計算也並非總是無誤。為了應對巨大的計算工作量，他使用了多種巧妙的工具。他參考大量數學用表，檢驗其準確性，並親自編制了許多用於私人用途的新表格。他還發明了新的高效計算工具，例如高斯消去法。高斯所做的計算和所編的表格往往遠比實際需要的精度更高，這種方式很可能為他的理論工作提供了進一步的素材。

高斯只願在認為作品完整無瑕時才予以發表，這種完美主義態度體現在他個人印章上的格言：「少但成熟」（Pauca sed Matura）。他的一些同行鼓勵他儘早公布新思想，有時甚至批評他拖延太久。但高斯為自己辯護稱，初步的發現並不困難，真正難的是將其整理成可展示的詳細形式，而這往往因為時間不足或「精神狀態不安」而難以完成。儘管如此，高斯還是在各類期刊中發表了不少短篇通訊，以表達一些迫切的想法；他也留下了數量可觀的遺稿。他曾稱數學為「科學的女王」，而算術則是「數學的女王」。據說他曾表示：能否立即理解歐拉恆等式是一個人是否能成為一流數學家的試金石。

高斯有時會聲稱某位學者的思想早已被他掌握。他關於優先權的觀念——「誰先發現，而非誰先發表」——與同時代科學家的觀點相左。與他在呈現數學思想時追求完美的態度形成對比的是，他的引用被批評為疏忽大意。他對正確的引用方法有著不同尋常的觀點：只對那些重要的、任何人都不應忽視的前人工作給出完整的參考文獻；但如此引用，作者就必須對科學史有相當的了解，這反而要花費大量的時間。

#### 私人生活

高斯去世後不久，他的朋友薩托里烏斯於1856年發表了第一部高斯傳記，文風頗為熱情洋溢。薩托里烏斯將他描繪成一位內心平和、不斷奮進的人，具有孩童般的謙遜，同時具有「鐵石般的性格」，擁有不可動搖的堅強意志。除了他親近的朋友圈之外，其他人往往認為他拘謹寡言，難以接近，仿佛是「一位坐在科學高峰之上的奧林匹斯神祇」。與他關係密切的同代人普遍認為高斯性格難以相處。他常常拒絕接受他人的讚美。他在接待訪客時，有時會表現得脾氣暴躁，令來者不悅，但過不了多久，他的情緒又可能發生轉變，變成得和藹可親、思想開明。高斯不喜歡好爭論的人；他曾與同事約翰·弗里德里希·路德維希·豪斯曼一起反對聘請尤斯圖斯·馮·李比希擔任哥廷根大學的教職，「因為他總是捲入各種爭論之中」。

高斯的一生也被家庭中的重大問題所籠罩。當他的第一任妻子約翰娜在他們第三個孩子出生後不久突然去世時，他寫了一封寫給亡妻的訣別信，用古典輓歌的風格表達了自己的悲痛——這是他留下的最為私人化的文字記錄。他的第二任妻子以及兩個女兒都患上了結核病。1831年12月他寫給貝塞爾的信中暗示了自己的苦楚，稱自己是「經受了最嚴重的家庭苦難」。

由於妻子長期患病，高斯將兩個年幼的兒子送到遠離哥廷根的策勒接受了幾年的教育。長子約瑟夫雖在大地測量方面積累了相當的知識，但他的軍旅生涯在服役二十餘年後仍停留在薪資微薄的一級中尉軍銜，最終無果而終。即使在結婚之後，他仍需父親給予經濟上的資助。次子歐根在計算和語言方面部分繼承了父親的才能，但性格活潑，有時反叛。他希望學習語文學，而高斯則希望他成為律師。歐根因欠債纍纍、在公共場合製造醜聞，於1830年9月在戲劇性的情形下突然離開哥廷根，經不萊梅移民至美國。他很快將隨身攜帶的少量錢財揮霍一空，其後高斯拒絕再給予他任何經濟資助。最小的兒子威廉希望在農業管理領域獲得資質，但在接受適當教育方面遇到困難，最終也選擇了移民海外。高斯唯一陪伴他走完人生最後歲月的，是他最小的女兒特蕾澤。

高斯在晚年養成了收集各種有用或無用的數字資料的習慣，比如從他家到哥廷根某些地點的路徑數量，或是某人的年齡（具體至天數）；他曾於1851年12月致信亞歷山大·馮·洪堡，祝賀對方已達到艾薩克·牛頓去世時的年齡。

除了精通拉丁語之外，高斯還掌握了多種現代語言。他閱讀古典與現代文學，並能用原文閱讀英文和法文著作。他從大學圖書館借閱的第一本書是塞繆爾·理查森的小說《克拉麗莎；或，一位年輕女士的歷史》，借於1795年。他最喜愛的英文作家是沃爾特·司各特，最喜歡的德語作家是讓·保羅。62歲時，他開始自學俄語，很可能是為了理解來自俄羅斯的科學著作，其中包括羅巴切夫斯基關於非歐幾何的論文。高斯喜歡唱歌，也常去聽音樂會。他勤奮地閱讀報紙；在生命的最後幾年裡，他幾乎每天中午都會去大學的學術閱報室。高斯對哲學興趣不大，並嘲諷「那些所謂形上學家的咬文嚼字」，他所指的是當時德國唯心主義中自然哲學學派的擁護者。

高斯具有「貴族氣質和徹頭徹尾的保守性格」，他對他人的智力與道德普遍缺乏敬意，信奉的座右銘是「世界想要被欺騙，那就讓它被欺騙」（Mundus vult decipi, ergo decipiatur）。他不喜歡拿破崙及其體制，對一切形式的暴力和革命深感厭惡。因此，儘管他贊同1848年革命的一些目標，如德國統一，卻譴責其手段。當時的政治背景是德意志邦聯的混亂局面，由39個幾乎獨立的州組成，其中三個州的主權者是其他國家（荷蘭、丹麥、英國）的國王，而普魯士王國和奧地利帝國則廣泛延伸至邦聯的邊界之內。他對憲政制度評價甚低，批評當時的議會議員缺乏知識、邏輯混亂。

一些高斯的傳記作者曾推測他的宗教信仰。他有時會說「上帝在做算術」和「我之所以成功，不是我的努力，而是主的恩典」。高斯是路德宗教會的成員，正如德國北部的大多數人一樣，但他似乎並不全信路德宗的教義，也不將《聖經》完全按字面理解。據薩托里烏斯說，高斯的宗教信念激發了他「對真理永不滿足的渴求」、對其他宗教的寬容以及強烈的正義感。

## 數學

### 代數和數論

#### 代數基本定理

在他1799年的博士論文中，高斯證明了代數基本定理：每一個非常數的、復係數的一元多項式至少有一個複數根。在他之前，包括讓·勒朗·達朗貝爾在內的一些數學家曾提出過錯誤的證明。高斯的論文中對達朗貝爾的工作進行了批評。此後，他又給出了另外三種證明方法，最後一次是在1849年，通常被認為是最嚴謹的。他在這項工作中極大地澄清了複數的概念。

#### 《算術研究》

在《算術研究》序言中，高斯將他對數論研究的起點追溯至1795年。在研讀了費馬、歐拉、拉格朗日、勒讓德等前人的著作後，他意識到自己獨立發現的許多成果早已被這些數學家部分得出。《算術研究》寫於1798年，出版於1801年；它確立了數論作為一門獨立學科的地位，涵蓋了初等數論和代數數論的內容。在書中，高斯引入了同餘符號，並以此清晰地展現模算數。他討論了算術基本定理與原根問題。在主要章節中，高斯首次給出了二次互反律的兩個證明，並發展了二元與三元二次型的理論。

《算術研究》中包含了二元二次型的高斯複合律，以及對一個整數表示為三個平方數之和的表達次數的計數。作為其「勒讓徳三平方定理」的幾乎直接的推論，他證明了費馬多邊形數定理中 n = 3 （即三角形）的情形。.在第五章末尾，高斯未給出證明地列出了一些關於類數的分析式結果，從中可以推測他在1801年時已經知道類數公式。

在最後一章，高斯證明了正十七邊形可以尺規作圖，這一幾何問題被他歸結為代數問題。他證明：一個正多邊形可作，若且唯若其邊數是2的冪，或是2的冪與若干互異的費馬素數的乘積。在同一章節中，他還給出了一個關於某些係數在有限域上的三次多項式的解的個數的結果，該結果實質上是對橢圓曲線上的整點計數。他於1797至1799年間所做的一章未完成的工作，後來在他身後遺留下的手稿中被發現。

#### 其他研究

高斯最早的一項成果是他於1792年憑經驗提出的一個猜想，後來被稱為素數定理，其通過對數積分估算素數的數量。高斯後來在給恩克的信中詳細講述了這個故事。

1816年，奧伯斯鼓勵高斯參加法國科學院設立的費馬大定理證明的徵文比賽；高斯卻拒絕了，認為這個題目無趣。然而，在他去世後，人們發現了一篇未註明日期的短文，其中包含了對 n = 3 和 n = 5 兩種特殊情形的證明。n = 3 的情形早已由萊昂哈德·歐拉證明過，但高斯給出了更為簡潔的證明，他引入了艾森斯坦整數，使得證明更具一般性但也比使用實整數的方法更加簡單。

1831年，高斯在評審路德維希·奧古斯特·澤貝爾關於正三元二次型簡化理論的著作時，對克卜勒猜想的求解作出了貢獻。他在發現澤貝爾證明中存在一些不足之處後，對許多論證進行了簡化，證明了核心猜想，並指出該猜想等價於規則排列下的克卜勒猜想，即在三維空間中，當球心構成立方晶繫結構時，球體堆積密度達到最大。

在兩篇關於四次剩餘的論文（1828年與1832年）中，高斯引入了高斯整數環$\mathbb{Z}[i]$，並證明它是唯一分解整環。他進一步推廣了一些重要的算術概念，如費馬小定理與高斯引理。引入這個整數環的主要目的是為了表述四次互反律。正如高斯所發現的那樣，復整數環是研究更高次互反律的自然背景。

在第二篇論文中，他陳述了四次互反律的一般形式，並證明了其中若干特殊情形。在更早的1818年發表的一篇論文中，他給出了二次互反律的第五與第六種證明，並指出這些證明中使用的技術（高斯和）可以推廣以證明更高次的互反律。

### 分析

高斯最早的發現之一是兩個正實數的算術-幾何平均數的概念。他在1798至1799年間通過蘭登變換發現了其與橢圓積分之間的聯繫，並在日記中記錄了高斯常數與雙紐線橢圓函數之間聯繫的發現，這一結果被高斯稱為「必將開啟分析領域的全新天地」。他還很早就涉足了複分析基礎中的一些形式問題。從1811年他寫給貝塞爾的一封信可以看出，高斯已經知道複分析的基本定理（即柯西積分定理），並在研究圍繞極點的積分時理解了留數的概念。

歐拉的五邊形數定理，加之他在算術-幾何平均數和雙紐線函數方面的研究，使他得出了許多關於雅可比Θ函數的結果，並最終在1808年發現了後來稱為雅可比三乘積恆等式的公式，其中歐拉定理是一個特例。他的相關工作表明，他早在1808年就已掌握橢圓函數的3階、5階、7階模變換。後來，這些變換分別由勒讓德於1824年（3階）、雅可比於1829年（5階）和路德維希·阿道夫·松克於1837年（7階和其他階）給出。高斯在 1828 年寫給貝塞爾的一封信中評論道：「阿貝爾先生已經...搶先了我一步，並減輕了我三分之一的出版工作……」

他遺稿中的若干數學片段表明，高斯已掌握現代模形式理論的某些部分。在他對兩個複數的多值算術-幾何平均數的研究中，他發現了算術-幾何平均數的無窮多個值與其兩個「最簡單值」之間的深刻聯繫。在尚未發表的筆記中，他識別出並勾畫了模群的基本域這一關鍵概念。高斯對此類結構繪有一幅草圖：單位圓盤內密鋪著每個角都為π/4的等邊雙曲三角形。

高斯在分析中的洞察力一例，是他一句晦澀的評論：圓的尺規分割原理也可應用於雙紐線曲線的分割，這一思路啟發了阿貝爾的雙紐線分割定理。這句話出現在《算術研究》第7章第335條中。另一個例子是他在1811年發表的論文《若干奇異級數的求和》（Summatio quarundam serierum singularium）中，通過引入二項式係數的q-模擬，並利用多個原創恆等式對其進行操作，解決了二次高斯和的正負性確定問題。這些恆等式似乎來源於他在橢圓函數理論中的工作；不過高斯將其論證以形式化方式展開，並未揭示其出自橢圓函數理論的本源，後來如雅可比與埃爾米特的工作才揭示了他論證的關鍵所在。

在1813年的《關於無窮級數……的一般研究》（Disquisitiones generales circa seriem infinitam...）中，高斯首次系統地研究了一般超幾何函數$F(\alpha,\beta,\gamma,x)$，並證明當時已知的許多函數都是超幾何函數的特例。這一工作是數學史上對收斂級數的首次精確探討。此外，該文還研究了以超幾何函數比值形式出現的無窮連分數，今稱高斯連分數。

1823年，高斯憑藉一篇關於共形映射的論文贏得了丹麥科學院的獎項。該論文包含多個涉及複分析領域的重要發展。高斯指出，複平面中保持角度不變的映射必須是復解析函數，並利用後來被稱為貝爾特拉米方程的形式，證明了解析曲面上等溫坐標的存在。論文最後舉例說明了如何共形映射到球面和旋轉類球面。

#### 數值分析

高斯常常從他通過實驗收集的數值數據中歸納出定理。因此，高效演算法在輔助計算中的使用對他的研究至關重要；他在數值分析方面做出了許多貢獻，例如1816年發表的高斯求積法。

在1823年寫給克里斯蒂安·路德維希·格爾林的一封私人信件中，他描述了如何用高斯-賽德爾迭代解4×4的線性方程組——這是一種解線性系統的「間接」迭代法，並推薦在含有兩個以上方程的系統中避免通常的「直接消元」法，而是使用這種方法。

1805年，在計算智神星和婚神星的軌道時，高斯發明了一種計算如今稱為離散傅立葉變換的演算法，比庫利和圖基找到他們相似的庫利-圖基快速傅立葉變換演算法法早了160年。他將其發展為一種三角插值方法，但論文《插值理論的新方法處理》直到他去世後的1876年才發表，那時約瑟夫·傅立葉已在1807年獨立提出了這一學科。

### 幾何

#### 微分幾何

漢諾瓦的大地測量工作激發了高斯對微分幾何與拓撲學的興趣，這些數學領域處理曲線與曲面。他在1828年發表的論文標誌著現代曲面微分幾何的誕生。該論文突破了傳統方法——即將曲面視為雙變量函數的笛卡爾圖像——而轉向從受限於其上運動的二維存在的「內部」視角來探索曲面。其結果就是絕妙定理（Theorema Egregium），確立了高斯曲率的一個性質。非正式地說，該定理表明，曲面的曲率可以完全通過在曲面上測量角度與距離來確定，而不依賴於曲面在三維或二維空間中的嵌入方式。

絕妙定理引出了將曲面抽象為二維流形的概念；它澄清了流形的內在性質（度量）與其所在空間中的物理實例之間的區別。其一個推論是：具有不同高斯曲率的曲面之間不存在等距變換。實用意義上，這意味著球面或橢球不能在不發生變形的情況下轉化為平面，這在設計地圖投影時造成了根本性問題。該論文的一部分專門研究測地線。高斯特別證明了關於測地三角形的局部高斯-博內定理，並將勒讓德球面三角形定理推廣到任意具有連續曲率的曲面上的測地三角形；他發現，「足夠小」的測地三角形的角度總和與具有相同邊長的平面三角形的角度總和之間的差異，僅依賴於三角形頂點處曲率的數值，而與三角形內部曲面的形狀無關。

高斯1828年的論文中並未包含測地曲率的概念。然而，在一份先前未發表的手稿中（極有可能寫於1822–1825年間），他引入了「側曲率」（Seitenkrümmung）一詞，並證明了其在等距變換下的不變性。這一結果後來由費迪南德·明金得到並於1830年發表。高斯論文包含了他關於總曲率引理的核心內容，但其推廣則由皮埃爾·奧西安·博內在1848年發現並證明，即如今所知的高斯–博內定理。

#### 非歐幾里得幾何

在高斯的一生中，歐幾里得幾何的平行公設是備受討論的話題。許多人試圖在歐幾里得公理體系內證明該公設，同時也有數學家討論在沒有該公設的情況下建立幾何體系的可能性。高斯自1790年代起便在思考幾何的基礎問題，但直到1810年代才意識到：一種沒有平行公設的非歐幾里得幾何能夠解決這一難題。在1824年寫給弗朗茨·陶里努斯的信中，他提出了一份簡明扼要的提綱，稱之為「非歐幾里得幾何」，但他強烈禁止陶里努斯加以利用。高斯被認為是最早發現並研究非歐幾何的人，這一術語甚至也是由他首創。

數學史上關於非歐幾里得幾何的首批出版物由尼古拉·羅巴切夫斯基於1829年和鮑耶·亞諾什於1832年發表。在隨後的幾年裡，高斯也將自己關於這一主題的想法記錄下來，但並未發表，從而避免影響當時的科學討論。高斯在寫給亞諾什之父、自己的好友鮑耶·法爾卡斯的信中稱讚了亞諾什的思想，並聲稱這些思想與自己數十年來的設想一致。然而，他究竟在多大程度上早於羅巴切夫斯基和鮑耶，目前尚不清楚，因為他留下的文字記載含糊而晦澀。

沃爾夫岡·薩托里烏斯·馮·瓦爾特斯豪森於1856年首次提及高斯在非歐幾里得幾何上的工作，但直到1900年他的遺稿在《高斯全集》第八卷中出版，人們才看清他在這一問題上的思想，而當時非歐幾里得幾何仍是頗具爭議的話題。

#### 早期拓撲學

高斯還是拓撲學的早期先驅之一，在他那個時代這一領域被稱為位置幾何學（Geometria Situs）。他1799年發表的代數基本定理的第一個證明中就包含了具有拓撲本質的論證；五十年後，在他對這一定理的第四個證明中，他進一步發展了這種拓撲論證。

他在1804年從事天文學研究時，再次接觸到拓撲的概念。當時他確定了彗星和小行星可能出現的天球區域的界限，並將這一帶稱為「黃道帶」。他發現，如果地球軌道和彗星軌道相互「環繞 (紐結理論)」，那麼基於拓撲原因，這一黃道帶實際上就是整個天球。1848年，在小行星虹神星被發現的背景下，他又發表了一篇關於黃道帶的定性討論。

在1820年至1830年間的信件中，高斯對與位置幾何學密切相關的主題進行了深入思考，並逐漸意識到這一領域的語義困難。這一時期的片段顯示，他試圖對所謂的「軌跡圖形」進行分類，即具有有限個橫截自交點的閉平面曲線，這些曲線也可能是扭結的平面投影。為此，他設計了一種符號體系，即高斯碼，從某種意義上捕捉了軌跡圖形的特徵。

在1833年的一份手稿中，高斯通過某種二重積分定義了兩條空間曲線的環繞數，並由此首次為一個拓撲現象提供了解析表述。在同一份文稿中，他感嘆位置幾何學的進展甚微，並指出該領域的核心問題之一將是「計算兩條閉合曲線或無限曲線的環繞次數」。他那個時期的筆記還顯示，他也在思考其他拓撲對象，例如辮與纏結。

在後來的歲月里，高斯對他高度重視的新興拓撲學的影響主要通過他與莫比烏斯和利斯廷之間的零星評註和口頭交流得以傳遞。

### 次要的數學成就

高斯運用複數的概念，以一種新的簡潔方式解決了一些知名問題。比如，在他1836年關於三元形的幾何方面及其在晶體學中的應用的一篇簡短筆記中，他提出了軸測基本定理，即如何通過複數在二維平面上完全準確地表示三維立方體。他使用某些莫比烏斯變換在擴展複平面上的作用描述球體的旋轉，並給出了三角形的三條高總是相交於一點（垂心）這一幾何定理的新證明。

高斯數十年來一直關注約翰·納皮爾的奇妙五角星——一種特殊的球面五角星；他從多個角度來研究它，逐漸全面理解了其幾何、代數和分析方面的特徵。特別是，在1843年，他提出並證明了若干定理，將橢圓函數、納皮爾球面五邊形以及平面上的彭賽列五邊形聯繫起來。

此外，他還給出了在給定四邊形內作面積最大的橢圓的解法，也在五邊形面積的計算上發現了一個出人意料的結果。

## 科學

### 天文學

1801年1月1日，義大利天文學家朱塞佩·皮亞齊發現了一顆新的天體，他根據提丟斯-波得定則認為這可能是長期尋覓的火星與木星之間的行星，並將其命名為穀神星。他只能觀測到它一小段時間，之後它便消失在太陽的強光之中。當時的數學工具不足以根據有限的觀測數據預測它再次出現的位置。高斯著手解決這個問題，並預測了1801年12月可能重新觀測到它的位置。結果相當準確：弗朗茨·克薩韋爾·馮·察赫在12月7日和31日於哥達天文台、海因里希·奧伯斯在1月1日和2日於不萊梅分別獨立地在高斯預測的位置附近重新觀測到了這顆天體。將一個天體明確識別為行星，需要至少兩次間隔觀測。

高斯法構造了一個八次方程，其中一個已知解是地球的軌道，所求的解則根據物理條件從剩下的七個解中排除出來。在這項工作中，高斯使用了為此而創建的綜合近似方法。

穀神星的發現促使高斯研究行星受大行星擾動的運動理論，最終在1809年發表為《天體繞太陽以圓錐曲線運動之理論》（Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum）。該著作引入了高斯引力常數。

隨著新小行星的發現，高斯開始研究它們軌道根數的攝動。他首先用類似拉普拉斯的方法分析穀神星，但他最關注的是智神星，其軌道離心率和傾角較大，拉普拉斯的方法因而不適用。高斯使用了自己的工具：算術-幾何平均數、超幾何函數以及自己的插值法。他在1812年發現了它與木星之間18:7的軌道共振；高斯以密碼形式記錄了這一結果，只在給奧伯斯和貝塞爾的信中給出明確含義。馬丁·布倫德爾認為該密碼無解，但實際上頗為簡單。經過多年努力，他在1816年完成了這項工作，但結果仍未令他滿意。這標誌著他在理論天文學方面活動的結束。

高斯關於智神星攝動的研究成果之一是《引力的測定……》（Determinatĭo Attractionis...，1818年），該文提出了一種後來被稱為「橢圓環法」的理論天文學方法。文中引入了一個平均化的概念：將軌道上的行星替換為一個虛擬環，其質量密度與行星沿相應軌道弧運動所需的時間成正比。高斯詳細介紹了計算這種橢圓環引力的方法，其中包括多個步驟；其中一步直接應用了算術-幾何平均數演算法來計算橢圓積分。

即便高斯在理論天文學方面的工作告一段落，他在觀測天文學上的更為實用的活動仍然持續貫穿了他的整個職業生涯。早在1799年，高斯就研究了利用月球視差確定經度的問題，並為此推導出了比當時常用公式更為便利的計算方法。擔任天文台台長後，從他與貝塞爾的通信中可以得知他非常重視基本天文常數。高斯本人提供了章動與光行差、太陽坐標、折射的表格。他對球面幾何學作出了諸多貢獻，並在此背景下解決了天文航海的一些實際問題。他發表了大量觀測結果，主要涉及小行星和彗星；他的最後一次觀測是1851年7月28日日食。

### 曆法

高斯在博士論文之後發表的第一篇論文（1800年）涉及復活節日期的確定，這是一個基礎的數學課題。高斯的目標是為沒有教會曆法乃至天文曆法知識的人提供便利的演算法，因此避免使用通常的術語，如金數、閏餘、太陽周期、主日字母，也在表述上避免任何宗教色彩。這一選題選擇很可能有歷史背景。16世紀儒略曆被格里高利曆取代，這在神聖羅馬帝國引發混亂，而德國直到1700年才完成替換，將相差的十一天刪除。即便如此，復活節在新教和天主教地區仍然日期不同，直到1776年通過協議才消除了這一差異。在新教諸侯國，例如不倫瑞克公國，1777年的復活節——在高斯出生前五周——是首次按新方法計算的復活節。

### 誤差理論

高斯在計算穀神星軌道時，很可能使用了最小二乘法以減小測量誤差的影響。該方法於1805年由阿德里安-馬里·勒讓德首次發表，但高斯在《運動理論》（Theoria motus，1809年）中聲稱自己早在1794或1795年就已使用過這一方法。在統計學史上，這一分歧被稱為「最小二乘法發現的優先權之爭」。高斯在1823年發表的兩部分論文《易受最小誤差影響之觀測組合理論》（Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae）中證明了：在誤差服從正態分布的假設下，最小二乘法在所有線性無偏估計量中具有最小的抽樣方差（即高斯-馬爾可夫定理）。

在第一部分論文中，他證明了針對單峰分布的高斯不等式（切比雪夫型不等式），並在未給出證明的情況下陳述了另一個關於四階矩的不等式（即高斯–溫克勒不等式的特例）。他給出了樣本方差的方差的上下界。在第二部分論文中，高斯描述了遞迴最小平方濾波器。他在誤差理論方面的研究後來被大地測量學家弗里德里希·羅伯特·黑爾默特在多個方向上加以拓展，形成了高斯–黑爾默特模型。

高斯還對機率論中一些與誤差理論並不直接相關的問題作出貢獻。其中一個例子出現在他的日記中：他試圖描述在 (0,1) 區間內均勻分布的隨機數，其連分數展開中各項的漸近分布。他推導出了這一分布，即如今所稱的高斯–庫茲明分布，這是他在發現高斯–庫茲明–維爾辛算子的遍歷性過程中順帶得到的結果。高斯的解決方案是連分數度量論中有史以來的首個成果。

### 大地測量學

自1799年起，高斯便忙於大地測量方面的工作。當時他在卡爾·路德維希·馮·勒科克對西發里亞地區的測量中協助進行計算。自1804年開始，他在不倫瑞克和哥廷根自學了一些實用的大地測量技術。

自1816年起，高斯的前學生、當時在哥本哈根任教授、但居住在霍爾斯坦公國漢堡阿爾托納區任區內天文台台長的海因里希·克里斯蒂安·舒馬赫開始從北部的斯卡恩到南部的勞恩堡對日德蘭半島開展三角測量。勞恩堡是霍爾斯坦公國最南端的城鎮，該公國由丹麥國王共同統治。該項目不僅為地圖製作奠定基礎，也旨在確定兩個端點之間的大地測量弧。大地測量弧的數據用於確定地球大地水準面的尺寸，而較長的弧段可帶來更精確的結果。舒馬赫請求高斯將此項工作向南延伸到漢諾瓦王國；高斯經過短暫猶豫後同意。1820年5月，喬治四世國王最終下令委託高斯執行此項任務。

弧長測量需要對測量網路中至少兩個點進行精確的天文定位。巧合的是，哥廷根和阿爾托納兩個天文台（後者位於舒馬赫住宅的花園中）幾乎處在同一經線上，這一點被高斯和舒馬赫加以利用。緯度則通過他們各自的儀器，運輸至兩地的傑西·拉姆斯登天頂望遠鏡共同測定。這架拉姆斯登天頂望遠鏡由軍械委員會借出，此前曾被威廉·馬奇用於大不列顛主三角測量。

高斯和舒馬赫早在1818年10月就已測定了一些用於大地連接的角度，如呂訥堡、漢堡和勞恩堡之間的角度。1821年至1825年的夏季間，高斯親自指導三角測量工作，從南部的圖林根一直到北部的易北河。位於高哈根、圖林根林山中的大伊瑟爾山以及哈茨山中的布羅肯峰之間的三角形，是高斯測量過的最大三角形，其最大邊長達107公里。在地廣人稀、缺乏顯著天然山峰或人工建築的呂訥堡石楠草原上，他很難找到合適的三角測量點；有時不得不在植被中開闢測量通道。

為了信號指示，高斯發明了一種帶可動反射鏡和小型望遠鏡的新儀器，用以將太陽光反射到三角測量點上，並將其命名為「日照儀」。另一種適用於相同目的的裝置是加裝了額外反射鏡的六分儀，他稱之為「副日照儀」。在測量工作中，高斯由漢諾瓦軍隊的士兵協助，其中包括他的長子約瑟夫。1820年，高斯參與了舒馬赫在漢堡附近布拉克進行的基線 (測量學)測量（布拉克基線），並將其結果用於評估漢諾瓦的三角測量。

這一系列工作還帶來了對參考橢球扁率的更佳取值。瓦爾貝克於1820年給出的數值1/302.78被改進為1/298.39；該計算由哥廷根大學的私人講師愛德華·施密特完成。高斯為在平面圖上表示大地測量數據發展了參考橢球的保角投影，即今日所謂的橫軸麥卡托投影。

弧長測量完成後，經1828年3月25日的王室法令授權，高斯開始將三角測量向西擴展，以完成整個漢諾瓦王國的測量。實際工作由三位軍官負責，其中包括中尉約瑟夫·高斯。全部數據的最終處理則由高斯承擔，他在其中應用了自己的數學發明，如最小二乘法和消元法。項目於1844年完成，高斯向政府遞交了最終報告；而他所發展的投影方法直到1866年才正式出版。

1828年，在研究緯度差異時，高斯首次將地球的形狀定義為：在每一點上都與重力方向垂直的物理表面；後來他的博士生約翰·貝內迪克特·利斯廷將其命名為大地水準面。

### 磁學和電報

#### 地磁學

高斯自1803年起便對磁學產生興趣。1826年亞歷山大·馮·洪堡訪問哥廷根後，兩位科學家開始對地磁進行深入研究，部分各自獨立，部分則密切合作。1828年，高斯前往柏林做客洪堡主持的德國自然科學家和醫師協會的會議，並在此結識了物理學家威廉·韋伯。

1831年，在高斯的推薦下，韋伯接替約翰·托比亞斯·邁爾擔任哥廷根大學物理學教席，兩人因此開始了卓有成效的合作。他們共同推動了磁學研究的發展，並以質量、電荷和時間為基準建立了新的磁學單位體系。他們還創立了「磁學協會」（Magnetischer Verein），這是一個由多家天文台組成的國際合作組織，1836至1841年間，它們在約定的日期、使用統一的方法，在世界各地進行地磁場測量。

1836年，洪堡致信時任皇家學會會長薩塞克斯公爵，建議在大英帝國領地內建立全球性的地磁觀測站網路，並強調應按照他的方法在標準化的條件下進行磁場測量。在其他倡議者的推動下，這最終促成了由愛德華·賽賓領導的全球性計劃，即所謂的「磁學十字軍運動」。觀測的日期、時間與間隔都預先規定，並統一採用哥廷根平均時間作為標準。來自五大洲的61個觀測站參與了該計劃。高斯與韋伯創辦了出版觀測結果的叢書，1837至1843年間共出版六卷。1843年，因哥廷根七君子事件的後續影響，韋伯離任前往萊比錫，這也標誌著磁學協會活動的終結。

仿效洪堡的做法，高斯在天文台花園內建造了一座磁觀測臺，但二人對儀器設備的看法有所不同：高斯偏好固定式儀器，認為其能提供更精確的結果；而洪堡則習慣使用可移動式儀器。高斯關注磁偏角、磁傾角和磁強度的時間與空間變化，並且與洪堡不同，他將磁強度區分為「水平分量」和「垂直分量」。他與韋伯共同發展了測量地磁場各分量的方法，並構造出一種適用於測量地球磁場絕對強度的磁強計，使測量不再依賴儀器本身的相對值。該磁強計的精度約為以往儀器的十倍。通過這項工作，高斯成為第一個用基本力學量推導出非力學量的科學家。

高斯於1839年發表《地磁通論》（Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus），他認為其中描述了磁力的本質；但根據費利克斯·克萊因的評價，此作更像是利用球諧函數對觀測資料進行整理，而非真正的物理理論。該理論預言地球上恰有兩個磁極，從而使克里斯多福·漢斯廷提出的四磁極學說被淘汰。此外，相關數據還使得磁極位置得以相當精確地確定。

高斯也對俄國地球物理學的開端產生影響。他的學生阿道夫·特奧多爾·庫普費爾在聖彼得堡建立了一座磁觀測台，以哥廷根觀測台為典範；伊萬·西蒙諾夫也在喀山做了類似的工作。

#### 電磁學

漢斯·克里斯蒂安·奧斯特在電磁現象方面的發現，以及麥可·法拉第在電磁感應方面的成果，引起了高斯的關注。高斯與韋伯找出了帶分支的電路規律，這些規律後來被古斯塔夫·基爾霍夫獨立發現並首次發表，現稱基爾霍夫電路定律。他們也對電磁學進行了探究。1833年，他們共同建造了世界上第一台機電式電報機；韋伯甚至將天文台與哥廷根市中心的物理研究所用電報線連接起來1845年的一場雷暴損壞了電纜。但這一發明並未被進一步商業化利用。

高斯試圖制定描述電磁感應的定量規律，這表明了他對電磁學的主要理論興趣。在這些年留下的筆記中，他記錄了若干創新性的公式；其中包括他發現的向量勢函數（後來於1845年被弗朗茨·恩斯特·諾伊曼獨立重新發現）。1835年1月，他寫下了一條「感應定律」，與法拉第定律等價，指出空間中某點的電動勢等於該函數對時間的瞬時變化率。

高斯還試圖為靜電學、電動力學、電磁學、電磁感應的遠距效應尋找一條統一規律，類似於牛頓的萬有引力定律，但這項努力最終以「悲劇性的失敗」告終。

### 勢理論

自艾薩克·牛頓從理論上證明地球和自轉的恆星會呈現非球形形狀以來，橢球體的引力問題在天體數學中變得愈發重要。在他的第一篇關於勢理論的論文《引力論……》（Theoria attractionis...，1813年）中，高斯給出了空間中任意一點處由均勻三軸橢球產生的引力的封閉形式。與此前麥克勞林、拉普拉斯和拉格朗日的研究不同，高斯的新解直接以橢圓積分的形式處理引力。在此過程中，他還證明並應用了若干後來被稱作高斯定理的向量分析特例。

在《關於與距離平方倒數成比作用的吸引與排斥力的一般定理》（Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte，1840年）中，高斯建立了一個基於拉格朗日、拉普拉斯和泊松工作的磁矢勢基本理論；他似乎並不了解喬治·格林在這一領域的早期成果。然而，高斯始終未能給出磁現象的成因，也未能建立類似牛頓萬有引力定律那樣的磁學理論，使科學家能夠據此預測未來的地磁效應。

### 光學

高斯的計算使漢堡的儀器製造商約翰·格奧爾格·雷普索爾德在1810年得以構造出一種新的消色差透鏡系統。此前，難題之一在於所用玻璃的折射率和色散並不精確可知。1817年發表的一篇短文中，高斯討論了高斯鏡中如何消除色差的問題，並計算了為將色差最小化所需的透鏡形狀和折射係數的調整量。他的工作引起了光學家卡爾·奧古斯特·馮·施泰因海爾的注意，後者在1860年推出了施泰因海爾消色差雙合透鏡，其中部分設計基於高斯的計算。大量關於幾何光學的成果散布於高斯的書信與手稿中。

在《屈光研究》（Dioptrische Untersuchungen，1840年）中，高斯首次對在近軸近似（即高斯光學）下的成像進行了系統分析。他在近軸近似下僅用光學系統的基點刻畫系統，並推導出適用於任意透鏡厚度、無額外限制的高斯透鏡公式。

### 力學

高斯在力學方面的首項研究與地球自轉有關。1802 年，他的大學好友約翰·本岑貝格進行實驗，以測定下落物體偏離垂直方向的量（即今日所謂的科里奧利力）。本岑貝格請高斯基於理論計算這些偏移值，以便與實驗結果比較。高斯據此推導出一套描述運動的基本方程，其結果與本岑貝格的測量數據相當吻合。本岑貝格隨後在其關於自由落體實驗的著作中，將高斯的分析作為附錄收入。

1851年傅科通過公開擺實驗展示地球自轉後，格爾林向高斯詢問相關的進一步解釋。這促使高斯設計了一種新的示範裝置，其擺長遠短於傅科擺。該裝置通過讀數望遠鏡觀察擺動，並利用一個垂直刻度尺及安裝在擺上的小鏡子進行測量。裝置的細節見於高斯與格爾林的通信中；韋伯曾於1853年用此裝置做過一些實驗，但並未發表數據。

高斯在1829年提出的高斯最小約束原理，旨在作為一個廣義概念來克服力學中將靜力學與動力學分割的傳統，把達朗貝爾原理與拉格朗日虛功原理結合起來，並展現出與最小二乘法之間的類比關係。

### 計量學

1828年，高斯被任命為漢諾瓦王國度量衡委員會主席。他負責制定長度和計量標準 (計量學)。高斯親自處理繁瑣的測量工作，並對機械結構的製作提出了詳細要求。在與同樣從事該領域工作的舒馬赫的通信中，他提出了若干用於高精度天平的新構想。1841年，他向政府提交了關於漢諾瓦英尺與磅的最終報告。由於1836年的一項法律將漢諾瓦的度量衡體系與英國體系相互接軌，這項工作因此獲得了國際性的意義。

## 榮譽和獎項

高斯於1802年首次成為科學社團成員，加入俄羅斯科學院。此後，他陸續獲得多個科學院（以通信院士、外國院士或正式院士等不同身份）的成員資格，包括：哥廷根科學院（1802/1807年）、法國科學院（1804/1820年）、倫敦皇家學會（1804年）、柏林普魯士科學院（1810年）、維羅納國家科學院（1810年）、愛丁堡皇家學會（1820年）、慕尼黑巴伐利亞科學與人文學院（1820年）、丹麥皇家科學院（1821年）、英國皇家天文學會（1821年）、瑞典皇家科學院（1821年）、美國文理科學院（1822年）、布拉格波希米亞皇家科學院（1833年）、比利時皇家科學、文學與美術院（1841/1845年）、烏普薩拉皇家科學院（1843年）、都柏林愛爾蘭皇家學院（1843年）、荷蘭皇家藝術與科學學院（1845/1851年）、西班牙科學院（1850年）、俄羅斯地理學會（1851年）、維也納帝國科學院（1848年）、美國哲學學會（1853年）、劍橋哲學會，以及哈勒姆荷蘭皇家科學與人文院。

喀山大學與布拉格大學哲學院均於1848年授予他名譽院士稱號。

高斯於1809年獲法國科學院頒發的拉朗德獎，以表彰他在行星理論以及只利用三次觀測即可確定行星軌道的方法方面的貢獻；1823年，他因關於保角投影的論文獲得丹麥科學院獎；1838年，因「其在磁學方面的發明與數學研究」而獲皇家學會授予的科普利獎章。

1837年，高斯被授予法國榮譽軍團騎士勛位；1842年普魯士設立功績勳章（平民級）時，他成為首批成員。他還獲得了威斯伐倫王冠勳章（1810年）、丹麥達尼布洛勳章（1817年）、漢諾瓦皇家圭爾夫勳章（1815年）、瑞典北極星勳章（1844）、獅子亨利勳章（1849年），以及巴伐利亞科學與藝術勳章（1853年）。

漢諾瓦國王授予他「宮廷顧問」（Hofrath，1816年）及「機密宮廷顧問」（Geheimer Hofrath，1845年）的榮譽頭銜。1849年，在他的博士學位金禧紀念之際，他被授予不倫瑞克和哥廷根兩地的榮譽市民稱號。高斯逝世後不久，漢諾瓦國王格奧爾格五世下令鑄造了一枚紀念章，背面題辭為「致首席數學家」。高斯常見的稱號「數學王子」是這一題辭（GEORGIVS V REX HANNOVERAE MATHEMATICORVM PRINCIPI）的誤譯。

哥廷根高斯協會（Gauss-Gesellschaft Göttingen）成立於1964年，旨在研究高斯及相關人物的生平與著作，並出版《高斯協會通訊》（Mitteilungen der Gauss-Gesellschaft）。

## 以高斯命名的事物

- 以卡爾·弗里德里希·高斯命名的事物列表

## 部分著作列表

### 數學和天文

- 1799: （關於代數基本定理的博士論文，赫爾姆斯泰德大學）原件
- 1816: 原件
- 1816: 原件
- 1850: 原件（1849年講座）
- 1800: 原件
- （翻譯自 德語第二版，哥廷根1860年）
- 1802: 原件
- 1804: 原件（關於黃道帶）
- 1808: 原件（引入了高斯引理，在他第三個二次互反律證明中使用）
- 1809: Original book
- 1811: 1810年原件
- 1811: 1808年原件（計算二次高斯和的正負性，用於他第四個二次互反律證明）
- 1813: Disquisitiones generales circa seriem infinitam $1+\frac{\alpha\beta}{\gamma\cdot 1}+\frac{\alpha(\alpha+1)\beta(\beta+1)}{1\cdot 2\cdot \gamma(\gamma+1)}xx+\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)\beta(\beta+1)(\beta+2)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \gamma(\gamma+1)(\gamma+3)}x^3+\text{etc.}$ 關於無窮級數 $1+\frac{\alpha\beta}{\gamma\cdot 1}+\frac{\alpha(\alpha+1)\beta(\beta+1)}{1\cdot 2\cdot \gamma(\gamma+1)}xx+\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)\beta(\beta+1)(\beta+2)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \gamma(\gamma+1)(\gamma+3)}x^3+\text{etc.}$ 的一般研究 1812年原件（包含高斯連分數）
- 1816: 1814年原件
- 1818: 1817年原件（二次互反律的第五、六個證明）
- 1818: 原件（高斯唯一提及計算算術-幾何平均數演算法的文獻）
- 1823: 1821年原件
- 1823: 原件
- 1825: （為他贏得丹麥科學院獎的保角投影論文）
- 1828: 原件
- 1828: （1826年寫成）
- （關於將機率計算作為高斯誤差傳播律基礎的三篇論文）
- 1828: 1827年原件
- 1828: 1825年原件
- 1832: 1831年原件（引入高斯整數，陳述（未證明）四次互反律，證明關於1 + i的補充律）
- 1845: 1843年原件
- 1847: 1846年原件
- 1848: 原件
- 1903: Wissenschaftliches Tagebuch 科學日記`]` 1847年原件（關於黃道帶）

### 物理

- 1804: Fundamentalgleichungen für die Bewegung schwerer Körper auf der Erde 地球上重物運動的基本方程`]`，出版於 原件
- 1813: 原件（包含向量分析的高斯定理）
- 1830: 1829年原件
- 1841: 1832年原件高斯於1832年12月向哥廷根科學院提交了該文本，1833年出現了少量拉丁文預印本。不久後，該文本被翻譯成德語和法語出版。拉丁文全集於1841年出版。
- The Intensity of the Earth's Magnetic Force Reduced to Absolute Measurement. 由Susan P. Johnson翻譯.
- 1836: Erdmagnetismus und Magnetometer 地磁與磁強計`]`，出版於
- 1840: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte 關於與距離平方倒數成比作用的吸引與排斥力的一般定理`]`，出版於
- 1843: 1840年原件

### 作品集

- （包括遺物中發現的生前未出版材料）

### 信件

- （1804年12月至1844年8月）
- （包括高斯1835年2月至1848年1月致帕爾姆·海因里希·路德維希·馮博古斯瓦夫斯基的信件）
- （1802年2月至1826年10月）
- （1797年9月至1853年2月；也包括兩人之外的信件）沃爾夫岡·鮑耶是鮑耶·法爾卡斯在德國使用的別名。
- （1810年6月至1854年6月)
- （1810年6月至1854年6月）
- （1807年7月至1854年12月；也包括兩人之外的信件）
- （1835至1843年）
- （1799年2月至1800年9月）
- （1802年1月至1819年10月）
- （1820年1月至1839年5月；也包括兩人之外的信件）
- 第1、2卷（1808年4月至1836年3月）
- 第3、4卷（1836年3月至1845年4月）
- 第5、6卷（1845年5月至1850年11月）
- （1795年至1815年）

哥廷根科學院提供了一套完整的卡爾·弗里德里希·高斯書信的收藏，並可在線訪問。高斯的文獻遺產由哥廷根州立與大學圖書館保存並提供。高斯本人及其家族成員的書面資料，也可在不倫瑞克市檔案館查閱。

## 參考文獻

### 來源

- With a critical view on Dunnington's style and appraisals

## 基本資料

- 出生：Johann Carl Friedrich Gauss
- 出生日期：1777年4月30日
- 出生地：神聖羅馬帝國布倫瑞克-沃爾芬比特爾親王國不倫瑞克
- 逝世日期：1855年2月23日
- 逝世地：德意志邦聯漢諾瓦王國哥廷根
- 研究領域：數學、天文學、大地測量學、磁學
- 母校：查理學院（Collegium Carolinum）、哥廷根大學、黑爾姆施泰特大學（哲學博士）
- 機構：哥廷根大學
- 論文：每個一元的整有理代數函數都可以分解為一次或二次實因式這一定理的新證明（Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse）
- 論文：http://www.e-rara.ch/zut/content/titleinfo/1336299
- 論文：1799年
- 博士導師：約翰·弗里德里希·普法夫
- 知名於：完整列表
- 配偶：約翰娜·奧斯特霍夫（Johanna Osthoff）、明娜·瓦爾德克（Minna Waldeck）
- 子女：6
- 獲獎：拉朗德獎（1809年）、科普利獎章（1838年）