基 (線性代數)

在線性代數中，基（basis，又稱基底）是向量空間裡某一群特殊的向量（稱為基向量），使得向量空間中的任意向量，都可以唯一地表示成基向量的線性組合（或線性組合的極限）。

通過基底可以直接地描述向量空間 $\mathrm{V}$ 上定義的線性映射 $f$，詳請參見線性映射#矩陣一節。

## 定義

### Hamel基

$\mathrm{V}$ 是定義在域 $K$（也就是標量的母空間，如實數系 $\mathbb{R}$ 或複數系 $\mathbb{C}$）上的向量空間，如果 $\mathrm{V}$ 的子集 $\mathfrak{B}$ 滿足：

- $0_V \notin \mathfrak{B}$ （也就是零向量不會在 $\mathfrak{B}$ 裡）
- 若 $v \in \mathrm{V}$ 且 $v \neq 0_V$，則存在唯一的一組相異向量 $e_1,\, e_2,\,\ldots ,\, e_n \in \mathfrak{B}$ 和唯一的一組非零標量 $\lambda_1,\, \lambda_2,\,\ldots ,\, \lambda_n \in K$ 使得 $\lambda_1 \cdot e_1 + \lambda_2 \cdot e_2 + \cdots + \lambda_n \cdot e_n = v$。

則稱 $\mathfrak{B}$ 是向量空間 $\mathrm{V}$ 的一組Hamel基。$\mathfrak{B}$ 裡的元素被稱為基向量，若基向量的總數是有限個，$\mathfrak{B}$ 則會被稱為有限基或直接簡稱為基。

上面的第二個條件，也可以等價地改寫為以下兩條：

線性無關(linear independence)｜對任意相異的$e_1,\, e_2,\,\ldots ,\, e_n \in \mathfrak{B}$ 和任意的 $\lambda_1,\, \lambda_2,\,\ldots ,\, \lambda_n \in K$，若 $\lambda_1 \cdot e_1 + \lambda_2 \cdot e_2 + \cdots + \lambda_n \cdot e_n = 0_V$，則$\lambda_1= \lambda_2=\ldots =\lambda_n =0_K$

生成律(spanning property)｜對任意$v \in \mathrm{V}$，存在相異向量 $e_1,\, e_2,\,\ldots ,\, e_n \in \mathfrak{B}$和標量 $\lambda_1,\, \lambda_2,\,\ldots ,\, \lambda_n \in K$ 使得 $\lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \cdots + \lambda_n e_n = v$

等價性來自於線性無關：

若有第二組相異 $E_1,\, E_2,\,\ldots ,\, E_m \in \mathfrak{B}$ 基向量和第二組標量 $c_1,\, c_2,\,\ldots ,\, c_m \in K$ 也滿足 $c_1 \cdot E_1 + c_2 \cdot E_2 + \cdots + c_m \cdot E_m = v$ 的話，把這住兩組基向量合併，並重新排列，於兩組間重複的記為 $w_1,\, w_2,\,\ldots ,\, w_l \in \mathfrak{B}$，其他不重複的部分，第一組的記為 $v_1,\, v_2,\,\ldots ,\, v_{n-l} \in \mathfrak{B}$；而第二組的記為 $u_1,\, u_2,\,\ldots ,\, u_{m-l} \in \mathfrak{B}$；然後設 $w_1,\, w_2,\,\ldots ,\, w_l \in \mathfrak{B}$ 於原來第一組對應的標量係數是 $\alpha_1,\, \alpha_2,\,\ldots ,\, \alpha_l \in K$；原第二組則是對應 $a_1,\, a_2,\,\ldots ,\, a_l \in K$。另外 $v_1,\, v_2,\,\ldots ,\, v_{n-l} \in \mathfrak{B}$ 對應的標量係數則為 $\beta_1,\, \beta_2,\,\ldots ,\, \beta_{n-l} \in K$；$u_1,\, u_2,\,\ldots ,\, u_{m-l} \in \mathfrak{B}$ 對應的標量係數則為 $b_1,\, b_2,\,\ldots ,\, b_{m-l} \in K$；這樣把 $v \in \mathrm{V}$ 的第一組線性組合表達式減去第二組會有

$$\sum^{l}_{i=1}(\alpha_i-a_i)\cdot w_i +\sum^{n-l}_{j=1} \beta_j \cdot v_j +\sum^{m-l}_{k=1} (-b_k) \cdot u_k = 0_V$$

這樣依據線性無關，就有

$$\alpha_1-a_1 = \alpha_2-a_2 = \cdots = \alpha_l-a_l = 0_K$$

$$\beta_1 = \beta_2 = \cdots = \beta_{n-l} = 0_K$$

$$b_1 = b_2 = \cdots = b_{m-l} = 0_K$$

這就確保任意 $v \in \mathrm{V}$ 的線性組合表達式都是用同一組的基向量，且其標量係數也是唯一的。

### Schauder基

除了上小節單以線性組合定義的Hamel基，也有以無窮級數展開任意向量為動機來定義基：

$\mathrm{V}$ 是定義在域 $K$ 上的巴拿赫空間（範數記為$\|v\|$），若向量序列 ${\{e_i \in V\}}_{i\in\mathbb{N}}$ 滿足：

- 對所有自然數 $i\in\N$，$e_i \neq 0_V$ （也就是零向量不會在 ${\{e_i \in V\}}_{i\in\mathbb{N}}$ 裡）
- 對每個 $v \in \mathrm{V}$，都存在唯一組標量${\{\lambda_i \in K\}}_{i\in\mathbb{N}}$，使得對所有的 $\epsilon > 0$，存在 $m\in\Z^+$ 使得 $n\in\N$ 且 $n>m$ 則 $\left\|\sum^n_{i=0}\lambda_i\cdot e_i - v\right\|<\epsilon$ （仿造數列極限而定義）

那向量序列 ${\{e_i \in V\}}_{i\in\mathbb{N}}$ 則被稱為是向量空間 $\mathrm{V}$ 的一組Schauder基。

第二項條件通常會簡寫為

對每個 $v \in \mathrm{V}$，都存在唯一組標量${\{\lambda_i \in K\}}_{i\in\mathbb{N}}$，使 $v=\lim_{n\to\infty}\sum^{n}_{i=0} \lambda_i \cdot e_i$

甚至寫為

$$v=\sum^{\infty}_{i=0} \lambda_i \cdot e_i$$

### 例子

在傅立葉級數的研究中，函數$\{1\}\cup\{\sin(nx),\cos(nx)|n\in\mathbb{N}\}$是所有的在區間0, 2π上為平方可積分的（實數或複數值）的函數的（實數或複數）向量空間的「正交基」，這種函數$f(x)$滿足

$$\int_0^{2\pi} \left|f(x)\right|^2\,dx<\infty.$$

函數族$\{1\}\cup\{\sin(nx),\cos(nx)|n\in\mathbb{N}\}$是線性無關的，所有在0, 2π上平方可積分的函數是它們的「無限線性組合」，在如下意義上

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^{2\pi}\biggl|a_0+\sum_{k=1}^n \bigl(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\bigr)-f(x)\biggr|^2\,dx=0$$

對於適合的（實數或複數）係數ak, bk。但是多數平方可積分函數不能表達為這些基函數的有限線性組合，因為它們不構成Hamel基。這個空間的所有Hamel基都大於這個函數的只可數無限集合。此類空間的Hamel基沒有什麼價值，而這些空間的正交基是傅立葉分析的根本。

## 維度

如果基中元素個數有限，就稱向量空間為有限維向量空間，並將元素的個數稱作向量空間的維度。如果原本的基底為：

$$\mathfrak{B} = \left\{e_1,\,e_2,\ldots,\,e_N\right\}$$

那時也可依據元素個數的數數是以一對一對應來定義的本質，反過來用基向量序列 ${\{e_i \in V\}}^{N}_{i=1}$ 來間接代表$\mathfrak{B}$。

事實上，不是所有空間都擁有由有限個元素構成的基底。這樣的空間稱為無限維空間。某些無限維空間上可以定義由無限個元素構成的基。在現代集合論中，如果承認選擇公理，就可以證明任何向量空間都擁有一組基。一個向量空間的基不止一組，但同一個空間的兩組不同的基，它們的元素個數或勢（當元素個數是無限的時候）會是相等的。一組基裡面的任意一部分向量都是線性無關的；反之，如果向量空間擁有一組基，那麼在向量空間中取一組線性無關的向量，一定能得到一組基。特別地，在內積向量空間中，可以定義正交的概念。通過特別的方法，可以將任意的一組基變換成正交基乃至標準正交基。

## 性質

設$\mathfrak{B}$是向量空間$\mathrm{V}$的子集。則$\mathfrak{B}$是基，若且唯若滿足了下列任一條件：

- $\mathrm{V}$是$\mathfrak{B}$的極小生成集，就是說只有$\mathfrak{B}$能生成$\mathrm{V}$，而它的任何真子集都不能生成全部的向量空間。
- $\mathfrak{B}$是$\mathrm{V}$中線性無關向量的極大集合，就是說$\mathfrak{B}$在$\mathrm{V}$中是線性無關(線性獨立)集合，而且$\mathrm{V}$中沒有其他線性無關(線性獨立)集合包含它作為真子集。
- $\mathrm{V}$中所有的向量都可以按唯一的方式表達為$\mathfrak{B}$中向量的線性組合。如果基是有序的，則在這個線性組合中的係數提供了這個向量關於這個基的坐標。

如果承認良序定理或任何選擇公理的等價物，那麼作為推論，可以證明任何的向量空間都擁有一組基。（證明：良序排序這個向量空間的元素。建立不線性依賴於前面元素的所有元素的子集。它就是基）。反過來也是真的。一個向量空間的所有基都擁有同樣的勢（元素個數），叫做這個向量空間的維度。這個結果叫做維度定理，它要求系統承認嚴格弱形式的選擇公理即超濾子引理。

### 例子

- 考慮所有坐標 (a, b)的向量空間R2，這裡的a和b都是實數。則非常自然和簡單的基就是向量e1 = (1,0)和e2 = (0,1):假設v = (a, b)是R2中的向量，則v = a (1,0) + b(0,1)。而任何兩個線性無關向量如 (1,1)和(−1,2)，也形成R2的一個基。
- 更一般的說，給定自然數n。n個線性無關的向量e1, e2, ..., en可以在實數域上生成Rn。因此，它們也是的一個基而Rn的維度是n。這個基叫做Rn的標準基。
- 設V是由函數et和e2t生成的實數向量空間。這兩個函數是線性無關的，所有它們形成了V的基。
- 設Rx指示所有實數多項式的向量空間；則 (1, x, x2, ...)是Rx的基。Rx的維度的勢因此等於$\aleph_0$.

## 標準基

在行向量空間$\R^n$中有單位行向量

$E_{(1)}=(1,0,...,0),E_{(2)}=(0,1,...,0),...,E_{(n)}=(0,0,...,1)$

那麼在該空間中，任意向量$X=(x_1,x_2,...,x_n)$,都可以唯一表示成$X=x_1E_{(1)}+x_2E_{(2)}+...+x_nE_{(n)}$.然後我們可以看出，$\R^n$可以由它的向量子空間構成

$\R^n$ $=<E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}>$.

同樣的，單位列向量就可以表達為$\R^n$ $=[E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}]$.

線性無關的單位行向量$E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}$生成$\R^n$. 那麼${E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}}$是$\R^n$的基，稱這個基為標準基.

## 基的擴張

如上所述，一個向量空間的每一組基都是一個極大的線性無關集合，同時也是極小的生成集合。可以證明，如果向量空間擁有一組基，那麼每個線性無關的子集都可以擴張成一組基（也稱為基的擴充定理），每個能夠生成整個空間的子集也必然包含一組基。特別地，在任何線性無關集合和任何生成集合之間有一組基。以數學語言來說：如果$\mathfrak{L}$是在向量空間$\mathrm{V}$中的一個線性無關集合而集合$\mathfrak{G}$是一個包含$\mathfrak{L}$而且能夠生成$\mathrm{V}$的集合，則存在$\mathrm{V}$的一組基$\mathfrak{B}$，它包含了$\mathfrak{L}$而且是$\mathfrak{G}$的子集：$\mathfrak{L} \subseteq \mathfrak{B} \subseteq \mathfrak{G}$。

以上兩個結論可以幫助證明一個集合是否是給定向量空間的基。如果不知道某個向量空間的維度，證明一個集合是它的基需要證明這個集合不僅是線性無關的，而且能夠生成整個空間。如果已知這個向量空間的維度（有限維），那麼這個集合的元素個數必須等於維數，才可能是它的基。在兩者相等時，只需要證明這個集合線性無關，或這個集合能夠生成整個空間這兩者之一就夠了。這是因為線性無關的子集必然能擴充成基；而這個集合的元素個數已經等於基的元素個數，需要添加的元素是0個。這說明原集合就是一組基。同理，能夠生成整個空間的集合必然包含一組基作為子集；但假如這個子集是真子集，那麼元素個數必須少於原集合的元素個數。然而原集合的元素個數等於維數，也就是基的元素個數，這是矛盾的。這說明原集合就是一組基。

## 有序基和坐標

基底是作為向量空間的子集定義的，其中的元素並不按照順序排列。為了更方便相關的討論，通常會將基向量進行排列。比如說將：$\mathfrak{B} =\{ e_1, e_2 , \cdots , e_n \}$寫成有序向量組：$( e_1, e_2 , \cdots , e_n )$。這樣的有序向量組稱為有序基。在有限維向量空間和可數維數的向量空間中，都可以自然地將基底表示成有序基。在有序基下，任意的向量都可以用確定的陣列表示，稱為向量的坐標。例如，在使用向量的坐標表示的時候習慣談論「第一個」或「第二個」坐標，這只在指定了基的次序前提下有意義。在這個意義下，有序基可以看作是向量空間的坐標架。

設$\mathrm{V}$是在域$\mathbb{F}$上的n維向量空間。在$\mathrm{V}$上確定一個有序基等價於確定一個從坐標空間$\mathbb{F}^n$到$\mathrm{V}$的一個選定線性同構$\phi$。

證明：這個證明利用了$\mathbb{F}^n$的標準基是有序基的事實。

首先假設

$\phi : \; \; \mathbb{F}^n \rightarrow \mathrm{V}$是線性同構。可以定義$\mathrm{V}$的一組有序基$\{v_i \}_{1\leqslant i \leqslant n}$如下：

$$v_i = \phi (e_i) , \; \; \forall i, \; 1\leqslant i \leqslant n .$$

其中的$\{e_i \}_{1\leqslant i \leqslant n}$是$\mathbb{F}^n$的標準基。

反過來說，給定一個有序基，考慮如下定義的映射

φ(x) = x1v1 + x2v2 + ... + xnvn,

這裡的x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen是Fn的一個元素。不難檢查出φ是線性同構。

這兩個構造明顯互逆。所以V的有序基一一對應於線性同構Fn → V。

確定自有序基{vi}線性映射φ的逆映射為V裝備了坐標：如果對於向量v ∈ V, φ-1(v) = (a1, a2,...,an) ∈ Fn，則aj = aj(v)的分量是v的坐標，在v = a1(v) v1 + a2(v) v2 + ... + an(v) vn的意義上。

從向量v到分量aj(v)的映射是從V到F的線性映射，因為φ-1是線性的。所以它們是線性泛函。它們形成V的對偶空間的基，叫做對偶基。

## 外部連結

- MIT Linear Algebra Lecture on Bases at Google Video, from MIT OpenCourseWare