惠更斯-菲涅耳原理

惠更斯－菲涅耳原理（Huygens–Fresnel principle）是研究波傳播問題的一種分析方法，因荷蘭物理學者克里斯蒂安·惠更斯和法國物理學者奧古斯丁·菲涅耳而命名。惠更斯－菲涅耳原理指出，波前的每一點發出次波，這些次波互相干涉，疊加形成新的波前。這個原理同時適用於遠場極限和近場衍射。

惠更斯－菲涅耳原理能夠正確地解釋與計算波的傳播。基爾霍夫衍射公式給衍射提供了一個嚴格的數學基礎，這基礎是建立於波動方程式和格林第二恆等式。從基爾霍夫衍射公式，可以推導出惠更斯－菲涅耳原理。菲涅耳在惠更斯－菲涅耳原理裏憑空提出的假定，在這推導過程中，會自然地表現出來。

舉一個簡單例子來解釋這個原理。假設有兩個相鄰房間A、B，這兩個房間之間有一扇敞開的房門。當聲音從房間A的角落裏發出時，則處於房間B的人所聽到的這聲音有如是位於門口的波源傳播而來的。對於房間B的人而言，位於門口的空氣振動是聲音的波源。

光波對於狹縫或孔徑的衍射也可以用這方式處理，但直觀上並不明顯，因為可見光的波長很短，因此很難觀測到這種效應。

## 歷史

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[[File:Huygens_principle.gif|200px|thumb|按照惠更斯原理，波的直線傳播與球面傳播。]]
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1678年，惠更斯完成著作《光論》（《Traitė de la Lumiere》）。1690年這本書公開發行。在這本書中他提出「惠更斯原理」：

波前的每一點可以認為是產生球面次波的點波源，而以後任何時刻的波前則可看作是這些次波的包絡。

藉著這原理，他可以給出波的直線傳播與球面傳播的定性解釋，並且推導出反射定律與折射定律；但是他並不能解釋，為什麼當光波遇到邊緣、孔徑或狹縫時，會偏離了直線傳播，即衍射效應。惠更斯假定次波只會朝前面方向傳播，而不會朝後面方向傳播。他並沒有解釋為什麼會發生這種物理行為。惠更斯原理是一種光波動說。這假說是根據1664年羅伯特·虎克的提議。虎克本人公開批評牛頓的光微粒說。兩位大師爭吵不休，直至虎克往生。在那時期，由於艾薩克·牛頓在其它物理領域的成功，他被公認是光本質爭論的贏家。

菲涅耳在惠更斯原理的基礎上假設這些次波會彼此發生干涉，因此惠更斯－菲涅耳原理是惠更斯原理與干涉原理的結晶。用這種觀點來描述波的傳播，可以解釋波的衍射現象。特別地，惠更斯－菲涅耳原理是建立衍射理論的基礎，並指出了衍射的實質是所有次波彼此相互干涉的結果。為了符合實驗結果，他又添加了一些關於次波的相位與波幅的假定。這些假定引導出的預測與許多實驗觀察相符合，包括帕松光斑，也對於為什麼波只會朝前面方向傳播，而不會朝後面方向傳播這問題給出一個定量的解釋。

1818年，菲涅耳將他的論文提交給法蘭西學術院的評委會。評委會的會員西莫恩·帕松閱讀完畢後認為，假若菲涅耳的理論成立，則將光波照射於一小塊圓形擋板，其形成的陰影的中央必會有一個亮斑，因此，他推斷這理論不正確。但是，評委會的另一位會員，弗朗索瓦·阿拉戈親自動手做這實驗，獲得的結果與預測相符合，證實菲涅耳原理正確無誤。真正最先觀察到這現象的是法國-義大利天文學者吉雅科莫·馬勞地（Giacomo Maraldi），但他於1723年獲得的研究結果在那時代並沒有得到重視。這實驗是支持光波動說的強有力的證據。這實驗與托馬斯·楊的雙縫實驗共同反駁了艾薩克·牛頓主導的光微粒說。

## 數學表述

如右圖所示，假設點波源Q0發射出的球面波，其複值波幅為$\psi_0$、波長為$\lambda$、波數為$k=2\pi/\lambda$。對於球面波，波擾的數值大小與距離$r'$成反比，相位隨著波數$k$與距離$r'$的乘積而改變。因此，在與點波源Q0相離距離為$r'$的點Q，其波擾為

$\psi(\mathbf{r'}) = \frac {\psi_0 e^{ikr'}}{r'}$。

應用惠更斯原理與波的疊加原理，將所有與點Q同波前的點波源，其所發射出的次波對於點P的貢獻疊加在一起，可以得到在點P的總波擾。為了與做實驗獲得的結果相符合，菲涅耳還發覺必須將計算結果乘以常數因子$-i/\lambda$與「傾斜因子」$K(\chi)$；其中，$\chi$是三角形Q0PQ在點Q的外角。

- 第一個修正意謂著次波與主波的相位差為$\pi/2$，相對於主波，次波的相位超前$\pi/2$，另外，次波與主波之間的波幅比率為$1:\lambda$。
- 對於第二個修正，菲涅耳假定，當$\chi=0$時，傾斜因子$K(\chi)$是最大值；而當$\pi\le\chi\le\pi/2$時，傾斜因子$K(\chi)$等於零。

假若不做這假定，則次波會朝著所有可能方向傳播，這包括了向前傳播與向後傳播；但是，做實驗並沒有觀察到向後傳播的波，為了符合這實驗結果，必須假定次波朝著各個方向傳播的波幅不一樣，對於前方傳播的波幅很大，對於後方傳播的波幅很微小，甚至等於零。傾斜因子的主要功能就是調整次波朝著各個方向傳播的波幅。

經過修正後，從點波源Q0發射出的波，其波前的微小面元素$\mathrm{d}S$部分，對於點P貢獻出的微小複值波擾$\mathrm{d}\psi(\mathbf{r})$為

$\mathrm{d}\psi(\mathbf{r}) = -\ \frac {i\psi_0 e^{ik(r'+R)}}{\lambda r' R} K(\chi)\,\mathrm{d}S$。

其中，$R$是點Q與點P之間的距離。

在點P的複值波擾為

$\psi(\mathbf{r}) = -\ \frac {i\psi(\mathbf{r}')}{\lambda} \int_{\mathbb{S}} \frac {e^{ikR}}{R} K(\chi)\,\mathrm{d}S$。

其中，$\mathbb{S}$是積分曲面。

從基爾霍夫衍射公式，可以推導出惠更斯－菲涅耳原理。菲涅耳在惠更斯－菲涅耳原理裏憑空提出的假定與修正，在這推導過程中，會自然而然地顯露出來。惠更斯－菲涅耳方程式可以視為基爾霍夫衍射公式的一個近似。古斯塔夫·基爾霍夫給出了傾斜因子$K(\chi)$的表達式：

$K(\chi )=\frac{1}{2}(1+\cos \chi)$。

注意到根據這表達式，當$\chi=0$時，傾斜因子$K(\chi)$是最大值；而當$\chi=\pi/2$時，傾斜因子$K(\chi)$不等於零。

## 量子電動力學

惠更斯原理可以視為空間的各向同性的後果。「空間的各向同性」指的是，在空間裡，對於所有方向，物理性質都一樣。在各向同性空間（或各向同性介質）裏足夠微小的區域內產生的任何波擾，必會從那區域以徑向傳播。由這波擾產生的波動，又會在其它區域形成波擾，如此這般繼續不斷。所有波動的疊加形成了觀察到的波動傳播圖樣。

量子電動力學的關鍵基礎之一是空間的各向同性。在這空間裏，任意物體的波函數會沿著所有未被阻礙的可能路徑傳播。當對於所有可能路徑做積分計算時，若將波函數的相位因子正比於路徑距離這因素納入考量，則波函數與波函數彼此之間的相互干涉會正確地預測出實驗觀察到的各種現象。

## 單縫衍射

惠更斯－菲涅耳原理最常見的應用之一，是計算平面波（通常為可見光、無線電波、X射線或電子等）照射到具有任意形狀孔徑的擋板的衍射行為。根據原理所述，位於孔徑的每一點都是都是點波源，能夠發射出向各個方向傳播的球面子波。將所有從這些點波源發射出的球面波通過干涉原理進行疊加，平面波通過孔徑後的在任意時刻的波前。

考慮最簡單的單縫衍射情形，例如在計算出現於觀察屏的衍射圖樣時，先將這條相對較寬的單縫分成無數更窄的狹縫，然後將它們看作是新的點波源並計算彼此的干涉。如果將單縫分成兩個小狹縫，當它們的子波的光程差對應著$\lambda/2$時有相消干涉；如果分成三個小狹縫，則這一光程差對應$\lambda/3$時有相消干涉；以此類推到無數個小狹縫的情形，則位於兩端的小狹縫的光程差需要恰好為$\lambda$時才會得到完全的相消干涉。以方程式表達，假設單縫的寬度為$d$，「第一極小值」的位置與中央軸的夾角為$\theta$則

$d\sin(\theta)=\lambda$。

## 一般孔徑的衍射

上面討論單縫衍射時所用的定性分析難以推廣到一般形狀孔徑的衍射中。而古斯塔夫·基爾霍夫在惠更斯－菲涅耳原理的基礎上將其數學化，認為這個原理可以用一個近似積分來表示。從一個點波源發射出的進行波在位置$\mathbf{r}$上的振幅$\psi$可由頻域下對應的波方程（亥姆霍茲方程）的解給出：

$\nabla^2 \psi + k^2 \psi = -\delta(\mathbf r)$。

其中，$\delta(\mathbf r)$是三維狄拉克δ函數。

由於在這裏狄拉克δ函數僅是徑向$\mathbf r$的函數，則在球坐標系下可以將拉普拉斯算符分解為

$\nabla ^2\psi= \frac{1}{r} \frac {\partial ^2}{\partial r^2} (r \psi)$。

直接代入波方程，得到的方程的解是標量的格林函數，並在球坐標系下可表為

$\psi(r) = \frac{e^{ikr}}{4 \pi r}$。

這個解的形式是假設了描述波源的狄拉克函數位於原點。對於任意位置$\mathbf r^{\prime}$的源點，在場點$\mathbf r$的標量格林函數可表為

$\psi(\mathbf r | \mathbf r') = \frac{e^{ik | \mathbf r - \mathbf r' | }}{4 \pi | \mathbf r - \mathbf r' |}$。

由此，對於入射到孔徑上的電場$E_{\rm{inc}}(x, y)$，從這一孔徑發出的電場由入射場和格林函數對孔徑幾何分布的面積分給出：

$$\Psi(r)\propto \int\!\!\!\int_\mathrm{aperture} E_{inc}(x',y')~ \frac{e^{ik | \mathbf r - \mathbf r'|}}{4 \pi | \mathbf r - \mathbf r' |} \,dx'\, dy',$$

其中孔徑上的點源坐標由下式給出：

$\mathbf r' = x' \hat{\mathbf x} + y' \hat{\mathbf y}$。

在遠場極限下，光線可認為彼此平行，此時格林函數

$\psi(\mathbf r | \mathbf r') = \frac{e^{ik | \mathbf r - \mathbf r' |} }{4 \pi | \mathbf r - \mathbf r' |}$。

可簡化為

$\psi(\mathbf r | \mathbf r') = \frac{e^{ik r}}{4 \pi r} e^{-ik ( \mathbf r' \cdot \hat{\mathbf r})}$。

則在遠場區（夫琅禾費區），場的表達式為

$\Psi(r)\propto \frac{e^{ik r}}{4 \pi r} \int\!\!\!\int_\mathrm{aperture} E_{inc}(x',y') e^{-ik ( \mathbf r' \cdot \hat{\mathbf r} ) } \, dx' \,dy'$。

並由於

$\mathbf r' = x' \hat{\mathbf x} + y' \hat{\mathbf y}$。

以及

$\hat{\mathbf r} = \sin \theta \cos \phi \hat{\mathbf x} + \sin \theta ~ \sin \phi ~ \hat{\mathbf y}+ \cos \theta \hat{\mathbf z}$。

從而，從一個平面孔徑發出的電場在夫琅禾費區的表達式為

$\Psi(r)\propto \frac{e^{ik r}}{4 \pi r} \int\!\!\!\int_\mathrm{aperture} E_{inc}(x',y') e^{-ik \sin \theta (\cos \phi x' + \sin \phi y')} \, dx'\, dy'$。

令

$$k_x = k \sin \theta \cos \phi$$

和

$k_y = k \sin \theta \sin \phi$。

則一個平面孔徑的夫琅禾費衍射具有傅立葉變換的形式：

$\Psi(r)\propto \frac{e^{ik r}}{4 \pi r} \int\!\!\!\int_\mathrm{aperture} E_{inc}(x',y') e^{-i (k_x x' + k_y y') } \,dx'\, dy',$。

這表明在衍射的遠場區，電場的形式由孔徑的幾何分布在空間上的傅立葉變換給出。也就是說當惠更斯－菲涅耳原理應用於孔徑時，它表明夫琅禾費衍射的圖樣是孔徑形狀在空間上的傅立葉變換。這一原理用另一種語言——傅立葉光學——也可以做出等價的描述。