級數

級數（Series）代表某序列之和，例如序列$a_1,\,a_2,\, a_3,\,a_4,\,\ldots$的級數$S_n$可以表示成$S_n = a_1 + \ldots + a_n$，如果被取和的序列是有窮序列，相對應的級數被稱為有窮級數；反之，稱為無窮級數。常見的級數包括等差數列和等比數列的級數。

級數本身也是一種序列（代表加到第$n$項）。就跟普通序列一樣，級數的通項可以是實數、矩陣或向量等常量，也可以是關於其他變量的函數，不一定是一個數，但某序列要能定義相應級數，前提是必須要有加法（如實數加法、向量加法與矩陣加法等等）。

如果某級數來自於對常數序列取和，則稱之為常數（項）級數，如果來自於函數序列，則稱之為函數（項）級數。

無窮級數不像有窮級數可以加到最後一項，所以作為替代，通常會嘗試將項數趨近於無窮大來取「最終的和」，具體來說，也就是對級數$S_n$取極限$\lim_{n\to\infty} S_n$。如果這個極限存在，會仿造數列極限，將這個無窮級數稱為收斂的（convergent）；反之稱為發散的（divergent）。（而且要能定義極限還需要距離來比較遠近）

## 正式定義

$(A,\,\circ)$ 是個交換群，對於定義在 $A$ 上的序列 ${\{a_i \in A\}}_{i \in \N}$，存在唯一的序列 ${\{s_n \in A\}}_{n \in \N}$滿足：

(1) $s_1 = a_1$

(2) 對所有正整數 $n \in \N$， $s_{n + 1} = s_n \circ a_{n + 1}$

這個唯一存在的序列被稱為 ${\{a_i \in A\}}_{i \in \N}$ 的級數（series）。

也就是說，只要 $A$ 上有定義一種有交換律的「運算」，那定義在 $A$ 的序列${\{a_i \in A\}}_{i \in \N}$都可以「取和」，而它的「部分和」可以構成某個唯一的序列${\{s_n \in A\}}_{n \in \N}$。也就是說，一般會將 $\circ$ 視為加法「$+$」，而將$s_n$更加直觀的記為：

$$s_n = a_1 + \ldots + a_n$$

然後把$s_n$直觀地稱為部分和。

通常會做以下的符號定義：

$$\sum^{n}_{j = 1} a_j := s_n$$

而將 ${\{s_n \in A\}}_{n \in \N}$ 記為 ${\left\{\sum^{n}_{j = 1} a_j \right\}}_{n \in \N}$甚至是更直觀的 $\sum^{n}_{j = 1} a_j$

### 有窮級數

以上定義的級數，在直觀上被理解成「無窮級數」（infinite series）；但所謂的「有窮序列」，也只是從某個正整數 $m \in \N$ 開始，只要正整數 $i \geq m$ 就有 $a_i = 0_A$ （$(A,\,\circ)$的單位元，可直觀理解成一般加法的「零」）。所以「有窮序列」取部分和而得到的「有窮級數」（finite series），事實上包含在上述定義中；換句話說，有窮級數是對從某項 $m \in \N$ 開始為零的特殊序列取部分和得到的，所以不管怎麼加，部分和最大都只能到 $\sum^{m}_{j = 1} a_j$。

## 無窮級數的斂散性

對於級數$\sum_{n=1}^\infty u_n$，如果當$n$趨於正無窮大時，$s_n$趨向一個有限的極限：$s=\lim_{n\to\infty}s_n$，那麼這個無窮級數就叫做是收斂的，$s$叫做級數$\sum_{n=1}^\infty u_n$的和。如果極限不存在，這個無窮級數就是發散的。收斂的無窮級數存在唯一的一個和$s$。這時可以定義級數$\sum u_n$的餘項和：$R_n=S-S_n$。

### 任意項級數

如果級數$\sum_{n=1}^\infty u_n$中的各項可以是正數，負數或零，則級數$\sum_{n=1}^\infty u_n$稱為任意項級數。

將任意項級數各項$u_n$取絕對值，得到正項級數。

$$\sum_{n=1}^\infty |u_n|=|u_1|+|u_2|+|u_3|+\cdots+|u_n|+\cdots$$

### 條件收斂

如果任意項級數$\sum_{n=1}^\infty u_n$收斂，而級數$\sum_{n=1}^\infty |u_n|$發散，則稱級數$\sum_{n=1}^\infty u_n$條件收斂。

### 絕對收斂

如果級數$\sum_{n=1}^\infty |u_n|$收斂，則稱級數絕對收斂

定理：如果任意項級數$\sum_{n=1}^\infty u_n$的各項的絕對值所組成的正項級數$\sum_{n=1}^\infty |u_n|$收斂，則級數$\sum_{n=1}^\infty u_n$收斂。

證明：

令 ::::$a_n=\frac{1}{2}(|u_n|+u_n),b_n=\frac{1}{2}(|u_n|-u_n)$ ::於是，有 ::::$0\le a_n\le|u_n|,0\le b_n\le|u_n|$ ::因為$\sum_{n=1}^\infty a_n$,$\sum_{n=1}^\infty b_n$均為正項級數，且$\sum_{n=1}^\infty |u_n|$收斂，由比較審斂法知，級數$\sum_{n=1}^\infty a_n$和$\sum_{n=1}^\infty b_n$收斂。:::又因為$\sum_{n=1}^\infty u_n=\sum_{n=1}^\infty (a_n-b_n)$,所以由級數的定義可得，級數$\sum_{n=1}^\infty u_n$收斂。該定理表明，如果級數$\sum_{n=1}^\infty u_n$絕對收斂，則級數$\sum_{n=1}^\infty u_n$必收斂。

## 收斂級數的性質

- 若一個無窮級數$\sum u_n \ : \ u_1+u_2+u_3+ \cdots +u_n+ \cdots$收斂，其和為$s$，則如果每一項乘以一個常數$a$，得到的級數$\sum a u_n : \ au_1+au_2+au_3+\cdots+au_n+\cdots$也收斂，且和等於as。
- 收斂的無窮級數可以逐項相加或相減，如有兩個無窮級數：

$\sum_{n=1}^\infty u_n = s$和 $\sum_{n=1}^\infty v_n = t$，則

$\sum_{n=1}^\infty (u_n \pm v_n) =s \pm t$.

- 級數前面加上有限項或減去有限項不影響其斂散性，如：

$s=u_1+u_2+u_3+\cdots+u_n+\cdots$和 $s=u_{12}+u_{15}+u_{16}+u_{17}+\cdots+u_n+\cdots$

這兩個級數的斂散性是一樣的。

- 當$n$趨向無限大時，任何一個收斂級數的通項都趨於0：$\lim_{n\to\infty}u_n=0$
- 在一個完備空間中，也可以運用柯西收斂的準則來判斷級數是否收斂：一個無窮級數$\sum_{n=1}^ {+ \infty} u_n$收斂的充要條件是，對任意$\epsilon > 0$，總存在$N_ 0 > 0$，使得任意的$n > m > N_ 0$，$|s_n - s_m|=|\sum_{k=m+1}^n u_{k}|=|u_{m+1}+u_{m+2}+\cdots+u_{n}| < \epsilon$。

## 無窮級數的研究歷史

將一個函數展開成無窮級數的概念最早來自14世紀印度的馬德哈瓦。他首先發展了冪級數的概念，對泰勒級數、麥克勞林級數、無窮級數的有理逼近以及無窮連分數做了研究。他發現了正弦、餘弦、正切函數等的泰勒展開，還用冪級數計算了 π 的值。他的學生繼承和發展了他關於級數的工作。

17世紀，詹姆斯·格里高利也開始研究無窮級數，並發表了若干函數的麥克勞林展開式。1715年，布魯克·泰勒提出了構造一般解析函數的泰勒級數的方法。18世紀時歐拉又發展了超幾何級數和q-級數的理論。

### 對審斂法的研究

14世紀時，馬德哈瓦已經開始討論判別無窮級數斂散性的方法。他提出了一些審斂的準則，後來他的學生將其推廣。

然而在歐洲，審查無窮級數是否收斂的研究一般被認為是從19世紀由高斯開始的。他於1812年發表了關於歐拉的超幾何級數

$$1 + \frac{\alpha\beta}{1\cdot\gamma}x + \frac{\alpha(\alpha+1)\beta(\beta+1)}{1 \cdot 2 \cdot \gamma(\gamma+1)}x^2 + \cdots$$

論文，提出了一些簡單的收斂準則，並對餘項和以及收斂半徑進行了討論。

柯西提出了嚴格的審斂法的重要性，他證明了兩個收斂級數的乘積不一定是收斂的，同時開始研究嚴格的審斂準則。歐拉和高斯各自給出了各種審斂法則。柯西更研究了複函數的冪級數展開。

1826年，阿貝爾在他的關於二項式級數

$$1 + \frac{m}{1}x + \frac{m(m-1)}{2!}x^2 + \cdots$$

論文中更正了柯西的若干個結論，並給出了二項式級數的嚴格的求和方法，指出了連續性在收斂問題中的重要性。

柯西提出的審斂法並不是普遍適用的，只能用於判別某些特定函數的斂散性。同時代的其他數學家，比如拉貝（Joseph Ludwig Raabe）的對數判別法，德·摩根的對數判別法（被 DuBois-Reymond和普林斯海姆證明對某些函數失效）

以及貝特朗、斯托克斯、切比雪夫等人的審斂法也是如此。

對普遍的審斂法則的研究由恩斯特·庫默爾開始，之後的艾森斯坦、維爾斯特拉斯、尤里斯·迪尼等都曾致力於這一領域。普林斯海姆於1889年發表的論文闡述了完整的普適審斂理論。

### 對一致連續性的研究

1821年，柯西首先開始對一致連續性的研究，但其中有不少錯誤和局限。這些錯誤最早被阿貝爾指出，但首先得出正確結論的是西德爾和斯托克斯。1853年，柯西在注意到阿貝爾的批評後重新開展研究，並得到了與斯托克斯一樣的結論。然而，一致連續性的重要性在很長一段時間裡沒有受到重視。

## 類別

更多級數請參見級數列表。

### 幾何級數

幾何級數（或等比級數）是指通項為等比數列的級數，比如：

$$1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2^n}=2$$

一般來說，幾何級數$\sum_{n=0}^\infty z^n$收斂若且唯若$\left \vert z \right \vert < 1$。

### 調和級數

調和級數是指通項為${1 \over n}$的級數：

$$1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}$$

它是發散的。

### $p$-級數

$p$-級數是指通項為$\frac{1}{n^p}$的級數：

$$U_p =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}$$

對於實數值的$p$，當$p>1$時收斂，當$p\leq 1$時發散。這可以由積分比較審斂法得出。

函數$\zeta : p \mapsto U_p$是黎曼ζ函數在實軸大於1的部分的限制，關於黎曼$\zeta$函數有著名的黎曼猜想。

特別地，當$p=1$時，$p$-級數即為調和級數。

### 裂項級數

$$\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})$$

收斂若且唯若數列$b_n$收斂到某個極限$L$，並且這時級數的和是$b_1-L$。

### 泰勒級數

泰勒級數是關於一個光滑函數$f$在一點$a$附近取值的級數。泰勒函數由函數在點$a$的各階導數值構成，具體形式為：

$$\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}$$

這是一個冪級數。如果它在$a$附近收斂，那麼就稱函數$f$在點$a$上是解析的。

### 交錯級數

具有以下形式的級數

$$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\!$$

其中所有的$a_n$非負，被稱作交錯級數。交錯級數的收斂通常要藉助萊布尼茨判別法。

### 冪級數

形同$\sum a_n (x- x_0)^n$的函數項無窮級數稱為$x- x_0$的冪級數。它的收斂與否和係數$a_n$有關。

### 傅立葉級數

任何周期函數都可以用正弦函數和餘弦函數構成的無窮級數來表示，稱為傅立葉級數。傅立葉級數是函數項無窮級數，也就是說每項都是一個函數。傅立葉級數在數論、組合數學、信號處理、機率論、統計學、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。

例如，周期為$2 \pi$的周期函數$f(x)$可以表示為：

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx +b_n \sin nx), n=1, 2, 3, \ldots$$

其中，$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx dx$，$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx dx$，特別的，$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$

## 常數項無窮級數審斂法

### 正項級數

若通項為實數的無窮級數$\sum u_n$每一項$u_n$都大於等於零，則稱$\sum u_n$是一正項級數。

如果無窮級數 $\sum u_n$ 是正項級數，則部分和$S_n$是一個單調遞增數列。由數列極限的判別準則：單調有界數列必有極限。因此，倘若部分和數列Sn有界，$\sum u_n$收斂，且$\lim_{n \to \infty}S_n =s$ ;反之，若部分和數列趨於正無窮，級數發散。

#### 比較判別法

設$\sum u_n$ 和 $\sum v_n$是正項級數。

如果存在正實數$M$，使得從若干項開始，$u_n \le Mv_n$（也就是說$u_n = O_{\infty} (v_n)$），則

- 當$\sum v_n$ 收斂時，可推出 $\sum u_n$ 也收斂。
- 當$\sum u_n$ 發散時，可推出 $\sum v_n$ 也發散。

如果$\lim_{n \to \infty}{u_n \over v_n} =0$，則

- 當$\sum v_n$ 收斂時，可推出 $\sum u_n$ 也收斂。
- 當$\sum u_n$ 發散時，可推出 $\sum v_n$ 也發散。

如果$\lim_{n \to \infty}{u_n \over v_n} =1$或其它有限數，則$\sum v_n$ 和$\sum u_n$ 同時收斂或發散。

比如，我們已知級數：$\sum {1 \over n^2}$收斂，則級數：$\sum {|\sin n | \over n^2}$也收斂，因為對任意的$n$，$\sin n \le 1$。

比較判別法的特點是要已知若干級數的斂散性。一般來說，我們可以選擇比較簡單的級數：$U_p =\sum {1 \over n^p}$作為「標準級數」，依此判斷其他函數的斂散性。需要知道的是當$p \le 1$時，$U_p$發散，當$p > 1$時，$U_p$收斂。

#### 達朗貝爾判別法

在比較判別法中，如果取幾何級數為比較的標準級數，可得：

設$\sum u_n$是通項大於零的正項級數。並且$\lim_{n \to \infty} {u_{n+1} \over u_n}= p$，則

- 當$p < 1$ 時，級數$\sum u_n$收斂。
- 當$p > 1$ 時，級數$\sum u_n$發散。
- 當$p = 1$ 時，級數$\sum u_n$可能收斂也可能發散。

這個判別法也稱為比值判別法或比值審斂法。

#### 柯西收斂準則

設 $\sum u_n$ 是正項級數。並且$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = p$，則

- 當$p < 1$時，級數 $\sum u_n$ 收斂。
- 當$p > 1$時，級數 $\sum u_n$ 發散。
- 當$p = 1$時，級數 $\sum u_n$ 可能收斂也可能發散。

這個判別法也稱為根值判別法或根值審斂法。

### 交錯級數

具有以下形式的級數

$$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\!$$

其中所有的$a_n$非負，被稱作交錯級數。

#### 萊布尼茨判別法

在上述的級數$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\!$中，如果當$n$趨於無窮時, 數列$a_n$的極限存在且等於 0，並且每個$a_n$小於$a_{n-1}$（即, 數列$a_n$是單調遞減的），那麼級數收斂。

### 任意項級數

對於通項為任意實數的無窮級數$\sum u_n$，將級數$\sum |u_n|$稱為它的絕對值級數。可以證明，如果$\sum |u_n|$收斂，那麼 $\sum u_n$也收斂，這時稱 $\sum u_n$絕對收斂。如果$\sum u_n$收斂，但是$\sum |u_n|$發散，則稱$\sum u_n$條件收斂。比如說，級數$\sum {\sin n \over n^2}$絕對收斂，因為前面已經證明 $\sum {| \sin n | \over n^2}$收斂。而級數$\sum {(-1)^n \over n}$是條件收斂的。它自身收斂到$\ln {1 \over 2}$，但是它的絕對值級數$\sum {1 \over n}$是發散的。

黎曼級數定理說明，如果一個無窮級數$\sum u_n$條件收斂，那麼對於任意的實數$x$，存在一個正整數到正整數的雙射$\sigma$，使得級數$\sum u_{\sigma(n)}$收斂到 $x$。對於正負無窮大，上述雙射也存在。

## 函數項級數

設$(u_n (x))_{n \ge 0}$為定義在區間$\mathcal{I}$上的函數列，則表達式：$u_1 (x) + u_2 (x) + \cdots + u_n (x) + \cdots$稱為函數項級數，簡記為$\sum u_n (x)$。對函數項級數的主要研究是：

- 確定對哪些$x$，$\sum u_n (x)$收斂。
- $\sum u_n (x)$收斂的話，其和是什麼，有什麼性質？

### 收斂域

對區間$\mathcal{I}$上的每個 $x_0$，級數 $\sum u_n (x_0)$是常數項級數。若$\sum u_n (x_0)$收斂，則稱$x_0$是$\sum u_n (x)$的一個收斂點，$\sum u_n (x)$全體收斂點的集合稱為它的收斂域。若$\sum u_n (x_0)$發散，則稱$x_0$是$\sum u_n (x)$的一個發散點，$\sum u_n (x)$全體發散點的集合稱為它的發散域。$\sum u_n (x)$在其收斂域的每一點上都有定義，因此定義了一個函數，稱為$\sum u_n (x)$的和函數，記為$S(x)$。按照定義，$S(x_0) = \lim_{n \to \infty} S_n(x_0)$，其中$S_n(x_0) = u_1 (x_0) + u_2 (x_0) + \cdots + u_n (x_0)$為函數項級數在$x_0$點上的部分和。

### 一致收斂

函數項級數的取值可以在它的收斂域上用和函數定義，但和函數的性質可能會和級數的每一項不同。比如說，當函數項級數$\sum u_n (x)$中的每一項$u_n (x)$在收斂域上都是連續函數時，和函數未必會是連續函數。以下是一個例子：

設$\displaystyle u_n (x) = x^n - x^{n+1}$，也就是說$\displaystyle u_0 (x) = 1 - x$，$\displaystyle u_1 (x) = x - x^2$等等，它們顯然都是連續函數（甚至是光滑函數）。這時函數項級數在$x$ 點上的部分和$S_n(x) = \sum_{k=0}^n (x^k - x^{k+1}) =1 - x^{n+1}$。在區間$[0, 1]$的每一點上，部分和都有極限：

當$x \neq 1$時，$S_n(x) \rightarrow 1$

當$\displaystyle x = 1$時，$S_n(x) \rightarrow 0$

於是在區間$[0, 1]$上，級數$\sum u_n (x)$ 收斂，其和函數$S(x)$為：

當$0 \le x < 1$時，$S(x) = 1$；$S(1) = 0$。

這不是一個連續函數。

然而，如果函數項級數能夠滿足某些更嚴格的條件的話，可以證明級數的和函數的規則性將會等於每一項函數的規則性，這就是所謂的一致收斂性質。和函數列的一致收斂性質一樣，函數項級數$\sum u_n (x)$在某個區間$\mathcal{I}$內（關於某個範數$\left \| \cdot \right \|$）一致收斂的定義是它的部分和函數$S_n$ 在區間$\mathcal{I}$上一致收斂到和函數$S$。

$$\lim_{n \rightarrow \infty } \left \| S - S_n \right \|_{\mathcal{I}} = 0$$

或者寫成$\lim_{n \rightarrow \infty } \left \| \sum_{k=n}^{\infty} u_k \right \|_{\mathcal{I}} = 0$

可以證明：

如果級數$\sum u_n (x)$ 在區間$\mathcal{I}$ 內一致收斂，並且每個$u_n (x)$ 都是連續函數，那麼和函數$S$ 在區間$\mathcal{I}$ 上也是連續函數。

進一步的，如果導函數級數的每一項都是$\mathcal{C}^p$函數（$p$階連續可微函數），並且各階導函數級數$\sum u_n (x), \sum u_n^{(1)} (x), \sum u_n^{(2)} (x), \ldots, \sum u_n^{(p)} (x)$在區間$\mathcal{I}$內都一致收斂，那麼級數和函數$S(x) = \sum u_n (x)$ 也是$\mathcal{C}^p$函數，並且：

$\forall 0 \le i \le p$，$S^{(i)}(x) = \sum u_n^{(i)} (x)$。

### 絕對收斂

函數項級數也有絕對收斂的概念。對於某個給定的區間$\mathcal{I}$和範數$\left \| \cdot \right \|_{\mathcal{I}}$，函數項級數$\sum u_n (x)$在區間$\mathcal{I}$內絕對收斂，若且唯若常數級數$\sum \left \| u_n \right \|_{\mathcal{I}}$收斂。

絕對收斂的（連續？）函數在每一點都收斂，並且在區間$\mathcal{I}$內一致收斂。

### 冪級數

形同$\sum a_n (x- x_0)^n$的函數項無窮級數稱為$x- x_0$的冪級數。一般只需討論形同$\sum a_n x^n$的冪級數。

#### 冪函數的收斂域

根據阿貝爾定理，它的收斂域是一個關於零對稱的區間，即為$( -R,R )$（可開可閉）的形式。這個正數$R$（可以是無窮大）叫做冪級數的收斂半徑。並有定理：

設冪級數$\sum a_n x^n$滿足$\lim_{n \to \infty} {a_{n+1} \over a_n} = \rho$，則：

- $\rho$是正實數時，$R = {1 \over \rho}$。
- $\rho = 0$時，$R = \infty$。
- $\rho = \infty$時，$R = 0$。

#### 冪級數的和函數

求解冪級數的和函數有時需要利用先對各項積分（或求導）以得到一個方便利用已有公式進行求和的形式，在求和後在對各項求導（或積分）。

## 漸進級數

漸進級數是用來對某些函數的間斷點附近的情況進行逼近的級數。漸進級數一般是發散的，它的部分和趨於無窮大，因此可以很好地逼近一個趨於無窮大的函數。但要注意的是，漸進級數提供的逼近是相對的，即只是比值趨於一致，與函數值之間的誤差並不像收斂的級數一樣趨於無窮小。一般來說，漸進級數在若干項後便達到最小的絕對誤差，之後的絕對誤差一般會增大甚至趨於無窮。

## 發散級數的和

發散級數的部分和沒有極限，但是在應用中可以使用比較弱的級數和定義，比如切薩羅求和、阿貝爾求和、拉馬努金求和以及歐拉求和

## 推廣

級數的概念可以在任何的對稱拓撲群中定義，常用的是在一個巴拿赫空間（比如實數或複數空間）中。