等效原理

等效原理（Äquivalenzprinzip，equivalence principle），尤其是強等效原理，在廣義相對論的引力理論中居於一個極重要的地位，它的重要性首先是愛因斯坦分別在1911年的《關於引力對光傳播的影響》及1916年的《廣義相對論的基礎》中提出來。

等效原理共有兩個不同程度的表述：弱等效原理及強等效原理。

對此原理，愛因斯坦曾如是說：「我為它的存在感到極為驚奇，並且猜想其中必有一把可以更深入了解慣性和引力的鑰匙。」

## 愛因斯坦關於慣性質量與引力質量等同性的表述

稍微思考一下就會發現，慣性質量與引力質量的等同性定律等價於另一則斷言，即引力場賦予一個物體的加速度與此物體本身的性質無關。在某個引力場中，牛頓的運動方程（完整形式）如下：

(慣性質量) $\cdot$ (加速度) $=$ (引力場強度) $\cdot$ (引力質量).

只有在慣性質量與引力質量在數值上相等時，加速度才會與物體本身的性質無關。

## 引力理論的發展史

等效原理的類似思想萌發於17世紀初，當時，伽利略通過實驗表明了：測試質量在重力作用下的加速度與該質量的大小無關。

約翰內斯·克卜勒利用伽利略的發現，假設了月球在其軌道上停住從而墜向地球時會發生什麼事情，他精確地描述了該過程，從中看出他具備等效原理的知識。這個思想實驗的推導不需要知道重力是否隨距離增大而衰減，或以什麼方式衰減，但它需要假定重力與慣性二者等價。

假設相互鄰近的兩塊石頭位於世界上的任意位置，並且沒有第三個相關的物體對其施加影響，那麼，這兩塊石頭（就像兩根磁鐵針）就會相互靠近並在某個中間點相會，每個石頭被拖拽的空間距離是與對方的質量成比例的。假設月球與地球沒有（靠animal force或者別的等效力量）維持在各自軌道上運轉的話，那麼地球就會撞向月球——它會前進1/54的地月距離，而月球也會向地球墜去——它會前進另外的53/54的地月距離，最終他們會在那一點相會。當然我們假設了兩者具備相等的物質密度。

1/54的比值是克卜勒估算的月球-地球的質量比值，基於它們的直徑得出。他的描述的精確表達可以由牛頓定律$F = ma$和伽利略重力觀測得到的距離公式$D = (1/2)at^2$推導得出。上述2個加速度相等之後就是等效原理。對每個質量來說碰撞前經過的時間是相同的，由此克卜勒得出了結論$D_\mathrm{moon}/D_\mathrm{Earth}=M_\mathrm{Earth}/M_\mathrm{moon}$，他不需要知道碰撞前經過的時長，也不需要知道重力產生的加速力是否與距離有關、或有怎麼樣的關係。

牛頓的萬有引力理論簡化並形式化了伽利略和克卜勒的思想。牛頓意識到，除了引力和慣性之外，克卜勒的所謂「animal force或者別的等效力量」是不需要的。牛頓發展了克卜勒的行星定律，並推導出了引力是如何隨距離增大而衰減的。

1907年，阿爾伯特·愛因斯坦嚴格地提出了等效原理。他注意到，物體以1g的加速度向地心下落（$g = 9.81m/s^2$是地表的重力加速度），其加速效果等同於，位於太空中的一枚火箭之內觀測一個慣性運動的物體，而該火箭正以1g的加速度在做加速運動。愛因斯坦於是陳述為：

我們……認為一個引力場與一個相應的加速參考系在物理上是等效的。

也就是說，位於地球表面等效於位於一艘正被引擎加速的太空飛船上（飛船遠離任何引力源）。在地球表面的等效加速方向是」上「，即與地心相反的方向，相應地，飛船的加速方向與推進器噴出的物質相反。從這個原理中，愛因斯坦推斷：自由落體其實是一個慣性運動。正在自由下落的物體並不會覺察出向下加速（即，朝向地球或其它大質量物體），反而只有失重感與零加速。在一個慣性參考系中，物體（以及光子）遵守牛頓第一定律，作勻速直線運動。類似地，在一個彎曲的時空中，一個慣性粒子或一束光的世界線會儘可能的直接（在時間與空間之內）。這樣的一條世界線被稱為測地線，從慣性參考系的角度看就是一條直線。這就是為什麼加速度計在自由落體過程中不會有任何讀數，內部測試質量與加速度計本身之間不存在相對運動。

一個例子：一個慣性物體正在空間中沿著測地線運動，它可以被一個巨大的引力質量所捕獲並在軌道上繞行，並完全感受不到加速度。這是可能的，因為在巨大的引力質量的附近，時空是高度彎曲的，此時測地線也會向內彎成弧線，並最終環繞著該質量中心，一個自由漂浮的慣性物體就只會沿著這些彎曲的測地線形成橢圓軌道。而在軌道上的加速度計將永遠不會出現讀數。

相比之下，牛頓力學將引力視為一種」力「，這種力把具有質量的物體拽向另一大質量的物體。在地球表面，引力被地表的阻擋力所抵消。所以在牛頓的物理學中，一個人靜止地位於一個大質量（非旋轉）物體的表面時，他便處在一個慣性參考系中。種種這些因素促成了如下等效原理的推論，愛因斯坦在1911年將其精確地闡述：

當一名觀察者探測到局部範圍內出現力的作用，該力作用於所有物體上，並且作用力與物體的慣性質量成正比，那麼，該觀察者正處於一個加速參考系之中。

愛因斯坦還提到了2個參考系，K和K'。K是一個均勻的引力場；而K'不存在引力場，但卻正在均勻加速，使得兩參考系中物體都感受到完全相同的力：

我們得出了一個關於這個經驗法則的非常滿意的解釋，前提是假定我們認可系統K和K'在物理上是完全等價的。也就是說，我們認可系統K可被視為一艘不在引力場中的飛船，且正在均勻地加速運動。這個關於物理學等價性的假定使我們不可能談論參考系統的絕對加速度，就像通常的相對性原理禁止我們談論系統的絕對速度一樣。這也使得引力場中所有物體的同等下墜顯得理所當然。

這個發現僅僅是起點，最後被發揚光大成為了廣義相對論。愛因斯坦建議應該將它提升到一般性原理的地位，他在構建相對論時將其稱為」等效性的原理「：

只要我們將自己限制在牛頓力學占主導的領域，並只涉及純粹的力學過程，我們就會確信系統K和K'的等效性。但是我們的這一觀點並沒有任何更深層的意義，除非系統K和K'在所有物理過程中都是等效的，也就是說，除非一切自然定律在K中與K'中完全一致。假定了這一點之後，我們就得出一個具有重大意義的原理——如果它真的是正確的話。因為那樣的話，我們就可以通過理論上研究均勻加速參考系中的物理過程，進而獲取關於相似引力場中物理過程的知識。

愛因斯坦聯合了等效原理與狹義相對論，預言了引力勢中的時鐘會有流速變化，而且光線在引力場中會發生偏轉彎曲，這個預言甚至早於他發展出彎曲時空的概念。

愛因斯坦描述的初始版本的等效原理得出了結論：自由落體運動和慣性運動在物理上是等效的。這個形式的等效原理可以陳述如下。處於無窗戶的房間中的觀察者無法區分自己正在地球表面、還是在深空中以1g加速運動的飛船中。嚴格來說這是不正確的，因為巨大質量的物體會引發潮汐現象（由於引力場的強度和方向的差異），而加速運動的深空飛船中卻沒有這個現象。因此，這個房間應該是足夠小的，以至於潮汐現象可以被忽略。

雖然等效原理指導了廣義相對論的發展，但它卻不是相對論的一個基本原理，它只是相對論的幾何性質的一個自然結果。在廣義相對論中，自由下落的物體沿著時空的測地線運動，我們感知到的重力，其實是因為我們沒有辦法沿著那些時空測地線運動，地球表面物質的力學阻擋讓我們沒法這麼做。

自從愛因斯坦發展出了廣義相對論，人們需要一種框架來檢驗這個理論，並與其它可能的兼容狹義相對論的引力理論作比較。羅伯特·亨利·迪克發展出了這一框架，作為他用以檢驗廣義相對論的方案的一部分。2個新的原理被提出來，即所謂的愛因斯坦等效原理和強等效原理，兩者都假定弱等效原理作為出發點。它們的區別只在於，是否適用於引力實驗。

另一個需要澄清的事情是，等效原理假定了1g的恆定加速度，但並沒有考慮產生1g所帶來的力學影響。如果我們確實考慮力學影響的話，那我們必須假定上述的無窗戶房間具有固定的質量。對它進行1g的加速意味著，對它有一個恆定的作用力，力的大小$F = mg$（其中m是房間整體連同其中觀察者的質量）。現在，如果觀察者在房間內跳起，那麼房中地板上某個物體的重量將會暫時減小，這是因為跳起的觀察者反向推了地板，導致房間的加速度暫時減小了。當觀察者在空中時，房間的整體質量減小了，於是得以擁有更大的加速度，導致地板上那個物體的重量又會增加。當觀察者落地時，再次反向推了地板，該物體重量會再次減小。之後，它的重量最終會恢復原狀。為了使所有這些效應與一顆1g的行星上所作的測量相同，該無窗戶房間必須假定與那顆行星具有相等的質量。此外，該無窗戶房間不能引起它自身的引力效應，否則場景就變得更複雜了。這些無疑都是學術性的，但如果我們想用實驗來演示1g引力和1g加速度的等效性的話，在或多或少的精度上也是具備操作性的。

## 弱等效原理

弱等效原理原是指觀測者不能在局部的區域內分辨出由加速度所產生的慣性力或由物體所產生的引力，而它是由引力質量與慣性質量成正比例這一事實推演出來，這個關係首先是由伽利略及牛頓用一系列的實驗斷定出來。

### 伽利略及牛頓的實驗

早在17世紀，伽利略已利用物體從斜面滾下不同的距離所需要的時間，去證明物體於地球上的自由下落的加速度是一個常量；另外，伽利略亦發現單擺的週期只與擺長有關，而與擺錘的質料無關。稍後的牛頓則做了兩個等長而同形狀的單擺，其中一個的擺錘是用金做的；而另一個擺錘用等重的銀、鉛、玻璃、沙等不同物料製成。而牛頓在多次實驗均未能觀察到它們之間的週期差異。

從牛頓力學來說，質量本身被付予兩種不同的意義：一個從動力學方程式（牛頓第二定律）引入：

$\mathbf{F}=m_\text{I}\mathbf{a}$

$m_\text{I}\,$是指慣性質量，代表著物體運動的慣性，即是物體抵抗運動變化的程度；另一方面，從牛頓萬有引力定律：

$\mathbf{F}_\text{G}=-G{M_\text{G}m_\text{G}\over r^2}\mathbf{e_r}=m_\text{G}\mathbf{g}$

可知$m_\text{G}\,$是代表物體引力大小的一個參數，稱作引力質量。

至此可從定量分析去理解兩種不同物理量的關係：

從斜面的落體運動分析，可知

$m_\text{I}\mathbf{a}=m_\text{G}\mathbf{g}\sin\theta$

$\mathbf{a}=\left( \frac{m_\text{G}}{m_\text{I}} \right)\mathbf{g}\sin\theta$

由於實驗結果是：自由下落的加速度是一個常量，所以：

$m_\text{I}=m_\text{G}\,$

但這個實驗的精確度不及單擺那麼高，從小幅單擺的分析可知：

$m_\text{I}l\ddot{\theta} = m_\text{G}g\theta$ $\ddot{\theta} =\left( \frac{m_\text{G}}{m_\text{I}} \right)\left( \frac{g}{l} \right) \theta$

則週期$T\,$則表示為：

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m_\text{I}l}{m_\text{G}g}}$

由於實驗的結果是：單擺的週期只與擺長有關，而與擺錘的質量無關；所以牛頓以$\frac{m_\text{G}}{m_\text{I}}=1 + O(10^{-3})\,$的精確度於1680年接受了$m_\text{I}=m_\text{G}\,$的結論。

在牛頓之後，厄阜於1890年25年間，以鉑為基準用八種不同的材料去進行攏扭實驗，去測量引力質量與慣性質量的比例與1的偏離，從實驗的精確度，厄阜的結論是：

$\frac{m_\text{G}}{m_\text{I}}=1 + O(10^{-8})\,$

到了1962年，迪克改進了厄阜攏扭實驗之精確度至$10^{-11}$；到了1971年，布拉金斯基及潘洛夫等人又將實驗之精確度推至$10^{-12}$。此外還有別的科學家用實驗測定了原子和原子核的結合能所對應的引力質量與慣性質量之比，亦沒有發現對1之偏離（雖精確度不及厄阜攏扭實驗）。因此，在目前的精確度甚高之下，可證實：

$m_\text{I}=m_\text{G}\,$

從兩種質量的觀念上來說，他們是本質不同的物理量；但如果兩者的值之比例對一切物體相同，在實用上可把他們當同一個量來對待（即是物體的質量），這就是引力質量與慣性質量成正比例；在適當的單位制下，即令比例常數成為$1$，引力質量與慣性質量相等。

### 愛因斯坦的思想實驗

自牛頓至愛因斯坦的200餘年間，人們對引力質量及慣性質量相等的事只是當成偶然的事件，並沒有深刻去研究，直至愛因斯坦完成狹義相對論後，要處理引力理論和相對性原理的調和問題，方始注意。愛因斯坦曾說：

引力場中一切物體都具有同一的加速度，這條定律也可表述為慣性質量同引力質量相等，它當時就使我認識到它的全部重要性。我為它的存在感到極為驚奇，並且猜想其中必有一把可以更深入了解慣性和引力的鑰匙。

愛因斯坦用一個思想實驗來說明：在遙遠的宇宙深處（慣性參考系），有一個密封的太空船在$+z$方向向上加速，其加速度為$9.8\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-2}$，假設密封的太空船內有一個太空人及一個鉛球，該太空人在太空船內拿起一塊鉛球，他感受到鉛球有重量；不單如此，他自己亦感受到自身有重量，他認為這有兩個可能性：一是太空船在太空中正在$+z$方向向上（相對於太空人）加速，雖然附近沒有任何星球或重力場，太空人仍會感覺到因鉛球及自身的慣性關係有下墜的傾向，這就是慣性力。另一個可能性是太空船可能停在一顆行星上，其引力場強度是$9.8\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{kg}^{-1}$，它利用萬有引力來拉扯著鉛球及自己，使他感到鉛球及自己的重量。

另一個思想實驗是：在大廈內的電梯不幸地斷了鋼索，電梯正以加速度$9.8\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-2}$向下加速，假設電梯槽無限長，電梯內有乘客及一個鉛球，裡面的乘客可觀察到鉛球及自己會浮在半空，即是「失重」。他認為這有兩個可能性：一是電梯在電梯槽中正在$-z$方向向上（相對於電梯槽）加速，乘客及鉛球正跟著電梯加速。另一個可能性是電梯可能在遙遠的宇宙深處，其引力場強度是$0\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{kg}^{-1}$，沒有萬有引力來拉扯著鉛球及自己，使他感受不到鉛球及自己的重量；由於乘客認為沒有任何力施加在自己及鉛球上，所以加速度為$0\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-2}$，是慣性參考系。

現在可從定量的分析去討論上述兩種情況，從第一個思想實驗可知：

$\mathbf{R}=m_\text{I}\mathbf{a}$（從太空船外）

$\mathbf{0}=\mathbf{R}-m_\text{G}\mathbf{g}^\prime$（從太空船內）

由於$m_\text{I}=m_\text{G}\,$及$\mathbf{a}=\mathbf{g}^\prime\,$，所以法向反作用力$\mathbf{R}\,$相同，密封太空船內的太空人不可能分辨出重力所做成的重量或由慣性做出的「重量」。

由第二個思想實驗可知：

$m_\text{I}\mathbf{a}=m_\text{G}\mathbf{g}$（從電梯外）

$\mathbf{a}^\prime=\mathbf{0}$ 及 $\mathbf{g}^\prime=\mathbf{0}$（從電梯內）

由於$m_\text{I}=m_\text{G}\,$及法向反作用力$\mathbf{R}=\mathbf{0}\,$（任何物體沒有與電梯接觸），電梯內的乘客不可能分辨出加速度所抵消的引力場強度（假慣性參考系）或由真正為零的引力場強度及加速度（真慣性參考系）。

由此可見，無論任何動力學方法，只要有$m_\text{I}=m_\text{G}\,$，是不能分辨引力場強度及加速度的動力學效應；甚至或是慣性參考系和非慣性參考系的動力學效應都是不能分辨，其中的兩類觀察者都是能用各自的方式去正確描述事實，所以這兩種分析方法是等效的，這就是弱等效原理。

### 引力、慣性、狹義相對論及弱等效原理

弱等效原理的論證，一直只是用經典力學的方法去嘗試分辨慣性參考系和非慣性參考系，並沒有提及用其他方法，如電磁學方法；另外，慣性質量及重力質量的關係能否再用狹義相對論的方式再驗証一次？畢竟只用上述方法是不足以說明在經典力學不適用的情形下慣性質量及重力質量依然有比例的關係。愛因斯坦於是利用質能關係$E=m_\text{I}c^2\ $去說明在相對論的效果被考慮的情形下，若果假定一點的引力場（$-z$方向）及一點的加速參考系（$+z$方向）的物理學效應完全一樣，那麼不但慣性質量及引力質量依然有比例的關係，而且時間、空間都受到引力場的影響。

愛因斯坦的論証如下：設兩個備有量度儀器的物質體系 $S_1$ 和 $S_2$，位於存在重力的慣性參考系 $K$ 之 $z$ 軸上，彼此相隔為 $h\ \mathrm{m}\,$，令 $S_2$ 的引力勢比 $S_1$ 大 $gh\ \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-2}\,$（即是 $S_1$ 比 $S_2$ 更近引力源）。有一定的能量$E\,$以輻射形式從 $S_2$ 發射到 $S_1$。這時可利用量度儀器去量度 $S_1$ 和 $S_2$ 的能量，將這些裝置帶到 $z$ 軸的同一位置之上去進行比較，結果理應完全一樣。但我們不能先驗地論斷引力場對於輻射傳遞能量的過程沒有影響。但我們可以用一個均加速、沒有引力的參考系 $K'$ 去代替存在重力的慣性參考系 $K$ 去進行測量。我們用 $K'$ 相對一個沒有加速的 $K_O$ 去運動，去分析由 $S_2$ 輻射能量至 $S_1$ 的過程。當 $S_2$ 輻射能量至 $S_1$ 的瞬間，設 $K'$ 相對於 $K_O$ 的速度為 $0$，當時間過去了${h \over c}\,$，輻射會到達 $S_1$ 而 $K'$ 相對於 $K_O$ 的速度為 $v = g {h \over c}\,$，根據狹義相對論和都卜勒效應， $S_1$ 所得到的能量不是 $E_2\,$ 而是比$E_2\,$ 大的 $E_1\,$。因為$K'$做均加速運動，根據狹義相對論，當物體的速度越接近光速，越難加速，因此正在做均加速運動的$K'$的速度必定遠小於光速。$E_1$和$E_2$的關係是

$E_1 = E_2 \gamma \left(1+ {v \over c}\right)= E_2 \gamma \left(1+ {gh \over c^2}\right)\,$

由於$K'$的速度遠小於光速，$\gamma$近似於$1$，故$E_1$和$E_2$的關係為

$E_1 = E_2\left(1+ {v \over c}\right)= E_2 \left(1+ {gh \over c^2}\right)\,$

根據以上的假定，同樣的過程發生在存在重力的慣性參考系 $K$ 之上會有同樣的效果，可用引力勢差$-\Delta\Phi > 0\,$去代替 $gh\,$，只要設 $S_1$ 關於引力的任意常數為 $0$ 即可，結果是

$E_1 = E_2 - {E_2 \over c^2}\Delta\Phi\,$

在式子中，$E_1\,$ 比 $E_2\ $ 多了 ${E_2 \over c^2}\Delta\Phi\,$ 的引力勢能，而輻射本身就相當於多了一個引力質量 $m_\text{G} = {E_2 \over c^2}\ $，但由於$E=m_\text{I}c^2\ $，這個引力質量不但必與慣性質量有關，而且必需要相等。愛因斯坦再用以下的過程詳細說明這一點：

- 把能量 $E\,$ （在 $S_2$ 量度出的）以輻射形式從 $S_2$ 發射至 $S_1$，用上述之結果，可知 $S_1$ 吸收了能量 $E\left(1+{gh \over c^2}\right)\,$ （在 $S_1$ 量度出的）。
- 把一個具有引力質量 $m_\text{G}\,$ 的物體 $W$ 從 $S_2$ 下降至 $S_1$，這過程中 物體 $W$ 向外作了功 $m_\text{G}gh\,$。
- 當物體 $W$ 在 $S_1$ 時，能量 $E\,$ 從 $S_1$ 輸送至物體 $W$，使物體 $W$ 的引力質量增加至 $m'_\text{G}\,$。
- 把物體 $W$ 升回至 $S_2$，外界需要作功，其值即是 $m'_\text{G}gh\,$。
- 把能量 $E\,$ 從物體 $W$ 送回至 $S_2$。

這個過程的結果只是能量在 $S_1$ 增加了 $E\left({gh \over c^2}\right)\,$，而能量又以作功的形式 $m'_\text{G}gh - m_\text{G}gh\,$ 給出，所以

$E\left({gh \over c^2}\right) = m'_\text{G}gh - m_\text{G}gh\,$

或者

${E \over c^2} = m'_\text{G} - m_\text{G}\,$

引力質量的增加值等於能量的增加值，能量的增加值又要等於慣性質量的增加值。

其實這等效性可從參考系 $K$ 及 $K'$ 之間的等效性得出的：由於 $K$ 中的引力質量完全等於 $K'$ 中的慣性質量，因此能量本身必然有引力質量，其數值等於它的慣性質量。如果在 $K'$ 中（即是均加速參考系）有一個物體，質量為 $M_0\,$ 的掛在測力計上，由於物體的慣性，測力計會得出表觀重量 $M_0g\,$。如果把能量 $E\,$ 附加至物體之上，測力計必然會得出表觀重量 $\left(M_0 + {E \over c^2} \right)g\,$。根據假定，在參考系 $K$ 中 （在均勻引力場中）重作這個實驗時，必然會有相同的結果。

所以，慣性參考系和非慣性參考系的任何效應都是不能分辨，其中的兩類觀察者都是能用各自的方式去正確描述事實；而非慣性參考系的效應可以歸於慣性參考系中引力的效應，反之亦然，而這兩種效應是等效的。

### 弱等效原理、光的引力偏折與引力紅移—時空彎曲的本質

從弱等效原理，可以推論出光的引力偏折及引力紅移這二個經驗的結果，並可證明用平直幾何去描述存在引力的時空之不適用性。

#### 光的引力偏折

假設有一個「靜止」的電梯中的觀察者看到外面射進去的光是直線進行的；當電梯向上加速時，他會發現光會沿向下的彎曲曲線行進，光沿向下的曲線彎曲是因為參考系被加速；由於等效原理成立，光在引力場中必然有相同的現象。

#### 引力紅移

再用剛才參考系的 $K'$ 去說明，現在 $S_1$ 和 $S_2$ 分別換上了測定頻率的裝置，有一輻射的頻率為$f_2\,$由 $S_2$ 向 $S_1$ 輻射，在 $S_1$ 其頻率不會再是$f_2\,$而是較大的$f_1\,$，即是「藍移」，並且

$f_1 = f_2 \left(1+ {v^2 \over 2c^2}\right) = f_2 \left(1+ {gh \over c^2}\right)\,$

因為我們可以再引入一個沒有加速度的參考系 $K_O$，在輻射開始發射時， $S_1$ 相對 $K_O$ 的速度為 $0$；在輻射到達 $S_1$ 後， $S_1$ 相對 $K_O$ 的速度為 $g {h \over c}\,$。根據都卜勒效應及狹義相對論，作一級近似，便會得到上述藍移結果。

由於 $K$ 及 $K'$ 的等效性，可知這方程式對 $K$ 參考系亦有效，只要這座標系中亦有這輻射輸送過程。由此可知，一個輻射在 $S_2$ 於一定的引力勢$\Phi_2\,$之下發射至 $S_1$ （引力勢為$\Phi_1\,$），引力勢差為$\Delta\Phi = \Phi_1 - \Phi_2 = -gh < 0\,$。在應用位於 $S_2$ 的鍾測得輻射的週期為$T_2\,$而得知頻率為$T_2^{-1} = f_2\,$，在 $S_1$ 所測得的頻率為$f_1 = f_2 \left(1 - {\Delta\Phi \over c^2}\right)\,$，而週期為$T_1 = f_1^{-1} = \left(f_2 \left(1 - {\Delta\Phi \over c^2}\right)\right)^{-1} = T_2 \left(1 + {\Delta\Phi \over c^2}\right)\,$

即是在 $S_1$ 的週期比 $S_2$ 的週期短，由此可知靠近引力源的地方的時間比遠離引力源的地方的時間慢。

其實藍移及紅移是相對的，如果輻射從 $S_1$ 向 $S_2$ 發射，便會得到紅移的結果，習慣上會把這現象稱為「引力紅移」。

#### 時空彎曲的本質

Schild 在 60 年代提出一個論據，等效原理的成立表明自洽的引力理論無法在狹義相對論的框架內完成。

他的證明如下：考慮一個觀察者在地球表面上高$z_1\,$ 處，有另一個觀察者在地球表面上高$z_2 = z_1 + h\,$ 處彼此相對靜止（即是上述的 $S_1$ 和 $S_2$）。觀察者可通過觀察來得知彼此相對靜止，並且他們相對於地球的洛侖茲參考系也是靜止的。在這條件下在 $S_1$ 發出固有頻率$f_1\,$的電磁訊號，在 $S_2$ 接收到，頻率為$f_2\,$；為了識別訊號， $S_1$ 和 $S_2$ 的觀察者約定訊號有$N\,$個週期長的脈衝，則發射時所需的時間是$\Delta t_1\,$由$N = f_1\Delta t_1\,$定出。而在 $S_2$ 的接收者所需要的吸收時間$\Delta t_2\,$是由$N = f_2\Delta t_2\,$定出。由於根據引力紅移：$f_1 > f_2\,$，所以必然有$\Delta t_1 < \Delta t_2\,$，時間間隔也就不同了，而人們可在固定的$\Delta t\,$ 後再發射多一次訊號。把這個情況用狹義相對論的時空圖去分析，光在時空圖沿 $45^\circ$ 的零線移動，在上述的情況下在時空圖中已畫了一個平行四邊形，但它的對邊不對等，即是$\Delta t_1 < \Delta t_2\,$；在平直時空中，這是不可能的。有人提出一個問題：既然光在引力場傳播，光線必然彎曲，而不會沿 $45^\circ$ 的零線移動。但重要的是：引力場是靜止的，質驗者也沒移動，所以實驗中沒有裝置隨時間變化，所以甚麼的光線移動的路徑必然是全等的，結果仍是$\Delta t_1 < \Delta t_2\,$。即是該平行四邊形無法合攏，如要合攏即要平行四邊形「拱」起來，但在平直時空中是不可能的。

以上論証並未提供引力場所需的彎曲時空，但已說明了如果等效原理要成立，平直時空中要完成引力理論是不可能的；甚至是用全域的加速參考系去正確描述引力也是不可能的。

## 強等效原理

強等效原理是指在時空區域的一點內的引力場可用相應的局域慣性參考系去描述，而狹義相對論在其局域慣性參考系中完全成立。

弱等效原理並不能推演出強等效原理，而只是強等效原理的一個抽象結果。利用廣義相對論幾何方式（時空度規張量、時空曲率張量）去描述引力（引力場強度、引力勢）的基礎即在此原理之上。由於引力場本身是與引力場源的距離有關，形成了引力場在時空分佈中並不均勻，是不能用一個全域的加速參考系去描述，即是用一個全域的加速參考系去抵消各時空點上的引力。但每一點的引力場是有一個相應的引力場強度，可用有一個與之相等的加速度（相對於靜止的觀察者）的局域的加速參考系，亦即是局域慣性參考系（相對於加速的觀察者）去描述，即是用一個局域的加速參考系去抵消各相應的時空點上的引力，然後將各個局域慣性參考系的關係統合起來（即是曲率和能動張量的關係），就可對全域的時空作抽述（例如運動定律）。

例如在狹義相對論中成立的能量-動量守恆定律有以下的形式：

$T^{\mu\nu}_{,\nu} = 0\,$ 在廣義相對論中有以下的形式：

$T^{\mu\nu}_{;\nu} = T^{\mu\nu}_{,\nu} + \Gamma^{\mu}_{\rho\nu}T^{\rho\nu} + \Gamma^{\nu}_{\rho\nu}T^{\rho\mu} = 0\,$ 後兩項可看作加速度或引力場對守恆定律的影響。

## 等效原理的實驗驗證

據說16世紀伽利略在義大利進行了著名的比薩斜塔實驗，但未有人證明是否確有其事。數百年來，物理學家進行了眾多實驗對等效原理進行檢驗。1971年，執行阿波羅15號登月任務的太空人大衛·斯科特在月球上當著電視攝像機的面，將錘子和羽毛同時扔出，兩樣東西同時掉到了月球表面。他喊道：「你們知道嗎？伽利略先生是正確的。」

當代測量雷射從月球反射回到地球的時間得到的結果是等效原理在$10^{-12}$的精度上成立。法國計劃在2010年發射MICROSCOPE衛星，測量精度可達$10^{-15}$。義大利計劃發射伽利略·伽利雷衛星（GG）將在$10^{-17}$的精度上對等效原理進行檢驗。史丹福大學和一個國際研究小組合作的等效原理衛星檢測（STEP）計劃測量精度將達到$10^{-18}$。

2018年，西維吉尼亞州的葛林·班克天文台利用一個三星系統再次驗証等效原理。PSR J0337+1715是由一個中子星與兩個白矮星組成的三星系統。從準確地追蹤這三顆星的足跡，研究員證實，特別結實的中子星與比較疏鬆的白矮星都以同樣的方式「掉落」，換句話說，它們都遵守強版等效原理。