四維超正方體

在幾何學中，四維超正方體或正八胞體，是一種四維的超正方體（hypercube）是立方體的四維類比，有8個立方體胞。四維超正方體之於立方體，就如立方體之於正方形。它是四維歐式空間中6個四維凸正多胞體之一。

超正方體是一個有無窮多個成員的凸正多胞形家族的四維成員，這個家族被稱為「超方形」（或稱立方形、正測形），這個家族的成員與施萊夫利符號{4,3,3,……,3,3}，它們都具有類似正方形和立方體的性質，如二胞角都為90°等。

「超正方體」和「超立方體」（Hypercube）這個名稱在一般的場合中特指四維的這個超正方體，不過在數學上，「超正方體」這個詞可以指n維（n>3）的任意一個超方形，因此把它和n維的其他超方形放在一起討論時，要加「四維」以示區別。

## 幾何性質

在四維歐幾里得空間的標準四維方體是點(±1, ±1, ±1, ±1)的凸包。它包含了點：

$$\{(x_1,x_2,x_3,x_4) \in \mathbb R^4 \,:\, -1 \leq x_i \leq 1 \}$$

四維方體由八個超平面(xi = ±1)包圍。兩兩非平行超平面相交，共形成四維方體的24個正方形面。每條棱有3個立方體和3個正方形相交。在每一頂點有4個立方體、6個正方形和4條棱相交。四維方體共有8個立方體、24個正方形、32條棱和16個頂點。邊長為a的四維超正方體超體積是a4，表體積是8a3。

若一個四維超立方體的棱長為1，則其外接超球半徑為1，外中交超球（經過超立方體各棱中點的三維超球）半徑為$\frac{\sqrt3}{2}$，內中交超球（經過超立方體各面中心的三維超球）半徑為$\frac{\sqrt2}{2}$，內切超球半徑為$\frac{1}{2}$。事實上，對於任意一個棱長為a的n維超方形，其自身中心到任意一個k維元素的中心的距離為$\frac{a\sqrt{n-k}}{2}$。

四維方體的每一頂點與4條棱相鄰，所以四維方體的頂點圖是正四面體。所以四維方體的施萊夫利符號是{4,3,3}，前面兩個數字{4,3}代表其維面為立方體、後面兩個數字{3,3}代表其頂點圖為正四面體。其對偶多胞體是正十六胞體，施萊夫利符號是{3,3,4}。對偶多胞體維面與頂點圖交換，正十六胞體的維面變為正四面體、頂點圖變為立方體。

### 對稱群構造

作為一個超方形，超立方體可被識別為不同對稱群的多胞體：首先，它是四維的超方形——一個凸正多胞體——四維超立方體，對應施萊夫利符號{4,3,3}，考克斯特-迪肯符號為node_1，對應考克斯特BC4平面（即超方形—正軸形對應的考克斯特平面），具有超正八面體對稱性（又叫正十六胞體對稱性），階為384。同時，它也可被看作是立方體的四維稜柱，對應施萊夫利符號{4,3}×{}，考克斯特-迪肯符號node_1，這個對稱群的階只有96。並且，它還是四維以上高維才有的兩個二維以上多胞形的歐拉乘積——四維柱體柱的一個，即4-4柱體柱，是兩個正方形的乘積，對應施萊夫利符號{4}×{4}，考克斯特-迪肯符號為node_1，群階64。它還是正四稜柱稜柱{4}×{}×{}，node_1，群階32。它還是線段稜柱稜柱稜柱{}×{}×{}×{}，node_1，群階16。

### 投影

#### 二維投影

超正方體的構造方法可以通過以下方式來想像：

- 零維：因為任何一點放大都是一條直線，所以任何一點都是屬於一維空間，而不屬於零維空間。
- 一維：兩個點A和B可以被連接起來，我們就得到一個新的線段AB。
- 從一維到二維：兩個平行的線段AB和CD可以被連接起來，我們就得到了一個正方形，以頂點為標記記作正方形ABCD。
- 從二維到三維：兩個平行的正方形ABCD和EFGH可以被連接起來，我們就得到了一個立方體，以頂點標記為立方體ABCDEFGH。
- 從三維到四維：兩個平行的立方體ABCDEFGH和IJKLMNOP可以被連接起來，我們於是就得到了一個超正方體，以頂點標記為超正方體ABCDEFGHIJKLMNOP。

四維方體的結構不易想像，但可以投射至3維或2維空間。在我們將其投影到二維空間中後，把頂點位置調整，可以了解更多。如此獲得的圖像，不再反映四維方體空間構造，而是反映頂點間的聯繫。以下給出一些例子。

第一幅圖顯示四維方體本質上從結合2個立方體，連結對應頂點得來。第二幅圖反映出四維方體每條邊等長，也可以看出立方體如何互相連結。第三幅圖按著每一頂點由最底一頂點出發沿著棱走的長度排列。如果我們是要將超正方體用作在並行計算中連接不同處理器網路拓撲基礎，則這些圖像會非常有用。在超正方體中任意兩個頂點之間之間至多有4中不同的路程，並且這裡有許多路徑是等同的。

超正方體還是一個二分圖，就像正方形和立方體一樣。

#### 三維投影

超正方體到三維空間的正對胞的平行投影有一個立方體凸包。最近端的和最遠端的胞被投影成了立方體凸包本身，而剩餘6個立方體胞則被投影成了立方體的6個正方形面。（因為它們平行於投影線）超正方體到三維空間的正對面的平行投影有一個長方體（正四稜柱）凸包。2對胞被投影成了長方體凸包的上下兩半，而剩餘4個胞則投影成了正四稜柱凸包的側面。超正方體到三維空間的正對棱的平行投影有一個正六稜柱形的凸包。6個胞被投影成了菱形稜柱，它們在正六稜柱凸包中的排列方式就如同立方體正對頂點的平行投影中正方形面投影成的菱形在六邊形凸包中的排列方式。剩餘的2個胞被投影成了正六稜柱的兩個底面。超正方體到三維空間的正對頂點的平行投影有一個菱形十二面體凸包，事實上，我們正好有兩種方法能將菱形十二面體分割成4個全等的平行六面體，因此菱形十二面體中共計有8個全等的平行六面體。超正方體在這種投影下胞的投影就正好是這8個平行六面體。這個投影的體積是超正方體所有投影中最大的。

## 可視化

超正方體能夠被展開成三維空間中的一個由8個立方體組成的展開圖，就像立方體能被展開成二維空間中的一個由6個正方形組成的展開圖一樣。(觀看動畫)超正方體有261種不同的展開圖我們可以通過將展開圖與對偶樹（是一種在其補圖中有完美匹配的樹 (圖論)）相匹配來計算其展開圖的個數。｜超正方體立體的三維投影（平行視角）

### 透視投影

正八胞體繞著一個從左前到右後，從上到下切過圖形的平面進行單旋轉時的透視投影。｜正八胞體繞著兩個在四維空間中互相正交的平面進行雙旋轉時的透視投影。｜超正方體的透視投影，背面的胞已被隱藏。紅色的頂點是在四維空間中最近的頂點，有4個立方體胞在此相交。

正四面體是超正方體中心投影的凸包。8個立方體胞中的4個是可見的。第16個頂點被投影成了無窮遠點，並且與之相連的棱和胞都被隱藏了。｜球極投影 （棱首先被投影上了3-球）

### 二維線架投影

考克斯特平面｜B4｜B3 / D4 / A2｜B2 / D3

圖像

二面體群｜8｜6｜4

考克斯特平面｜（對角線投向中心）｜F4｜A3

圖像

二面體群｜2｜12/3｜4

## 相關槪念

- 多胞形（Polytope）
- 超正方體（Hypercube）
- 四維多胞體（Polychoron）
- 四維凸正多胞體（Convex regular polychoron）
- 四維均勻多胞體
- 維度（Dimension）
- 四維空間（Four-dimensional space）
- 胞 (幾何)（Cell）
- 五維超正方體（Penteract）

## 外部連結

- Der 8-Zeller (8-cell) Marco Möller's Regular polytopes in R4 (German)
- WikiChoron: Tesseract
- HyperSolids is an open source program for the Apple Macintosh (Mac OS X and higher) which generates the five regular solids of three-dimensional space and the six regular hypersolids of four-dimensional space.
- Hypercube 98 A Windows program that displays animated hypercubes, by Rudy Rucker
- ken perlin's home page A way to visualize hypercubes, by Ken Perlin
- Some Notes on the Fourth Dimension includes very good animated tutorials on several different aspects of the tesseract, by Davide P. Cervone
- Tesseract animation with hidden volume elimination
- A Study of Dimensions by Bill Price
- Regular convex four-dimensional polytopes by David Fontaine

四維正多胞體

正五胞體｜超立方體｜正十六胞體｜正二十四胞體｜正一百二十胞體｜正六百胞體

{3,3,3}｜{4,3,3}｜{3,3,4}｜{3,4,3}｜{5,3,3}｜{3,3,5}

## 基本資料

- 日語原文：超正方體
- 名稱：超正方體、（8胞體）、4-超方形
- 類型：四維凸正多胞體
- 家族：超方形
- 維度：4
- 胞：8 (4.4.4)
- 面：24 {4}
- 邊：32
- 頂點：16
- 頂點圖：(3.3.3)
- 施萊夫利符號：{4,3,3}、{4,3}x{}、{4}x{4}、{4}x{}x{}、{}x{}x{}x{}
- Coxeter_diagram：node_1
- 類比：正方體
- 對稱群：B4, 3,3,4
- 屬性：凸集