阿貝爾-魯菲尼定理

阿貝爾-魯菲尼定理是代數學中的重要定理。它指出，五次及更高次的多項式方程沒有一般的求根公式，即不是所有這樣的方程都能由方程的係數經有限次四則運算和開方運算求根。這個定理以保羅·魯菲尼和尼爾斯·阿貝爾命名。前者在1799年給出了一個不完整的證明，後者則在1824年給出了完整的證明。埃瓦里斯特·伽羅瓦創造了群論，獨立地給出了更廣泛地判定多項式方程是否擁有根式解的方法，並給出了定理的證明，但直到他死後的1846年才得以發表。

## 簡介

阿貝爾-魯菲尼定理並不是說明五次或更高次的多項式方程沒有解。事實上代數基本定理說明任意非常數的多項式在複數域中都有根。然而代數基本定理並沒有說明根的具體形式。通過數值方法可以計算多項式的根的近似值，但數學家也關心根的精確值，以及它們能否通過簡單的方式用多項式的係數來表示。例如，任意給定二次方程$ax^2 + bx + c = 0 \; ( a \neq 0)$，它的兩個解可以用方程的係數來表示：

$$r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

這是一個僅用有理數和方程的係數，通過有限次四則運算和開平方得到的解的表達式，稱為其代數解。三次方程、四次方程的根也可以使用類似的方式來表示。阿貝爾-魯菲尼定理的結論是：任意給定一個五次或以上的多項式方程：$a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0 \; ( n \geqslant 5, \; a_n \neq 0)$，那麼不存在一個通用的公式（求根公式），使用$a_0, a_1, \cdots , a_n$和有理數通過有限次四則運算和開根號得到它的解。或者說，當n大於等於5時，存在n次多項式，它的根無法用自己的係數和有理數通過有限次四則運算和開根號得到。換一個角度說，存在這樣的實數或複數，它滿足某個五次或更高次的多項式方程，但不能寫成任何由方程係數和有理數構成的代數式。這並不是說每一個五次或以上的多項式方程，都無法求得代數解。比如$x^5 -2 = 0$的解就是$\sqrt[5]{2}$。

具體區分哪些多項式方程可以有代數解而哪些不能的方法由伽羅瓦給出，因此相關理論也被稱為伽羅瓦理論。簡單來說，某多項式方程有代數解，等價於說它對應的域擴張上的伽羅瓦群是一個可解群。對於一般的二次、三次和四次方程，它們對應的伽羅瓦群是二次、三次和四次對稱群：$\mathfrak{S}_2,\mathfrak{S}_3,\mathfrak{S}_4$，它們都是可解群。但一般的五次方程對應的是五次對稱群$\mathfrak{S}_5$，這是一個不可解群。當次數n大於等於5時，情況也是如此。

## 歷史

多項式方程求解是古典代數學的基本問題之一。使用配方法解二次方程有悠久的歷史。16世紀，義大利的塔塔利亞發現了三次方程的求根公式，但由學自塔塔利亞的卡爾達諾首先在《大術》中發表。卡爾達諾的學生費拉里則推演出了四次方程的求根公式。1770年，約瑟夫·拉格朗日開始將各種求根技巧進行整理，希望能夠發展出更普遍的求根理論。拉格朗日首先研究了根之間的置換，提出了拉格朗日預解式（Lagrange resolvent）的概念。但他尋找五次或更高次多項式方程的求根公式的嘗試終告失敗。

1799年，義大利人保羅·魯菲尼嘗試證明五次或以上的多項式方程沒有一般的求根公式，並給出了一個不完整的證明，這個證明冗長晦澀，超過五百頁紙。在他的朋友皮耶羅·阿巴迪和另一位數學家馬爾法迪的質疑和批評下，從1799年到1813年的14年間，魯菲尼曾經發表過六個不同的版本。魯菲尼的證明很大程度上受到了拉格朗日關於多項式方程的根之間的置換關係的啟發，然而他證明的「高於四次的多項式方程沒有一般的求根公式」這一結論讓當時的數學家難以接受。魯菲尼將自己的證明寄給拉格朗日，希望同為義大利人的後者能夠認識到其重要性，但沒有回音。這讓魯菲尼十分沮喪。拉格朗日對這個證明表現冷淡，但並非過眼即忘。他在很久後仍與人談起這份證明並給予好評，但認為其中並未對某些假設給出證明。

另一方面，英國和法國的數學家對魯菲尼的證明反映較好。英國皇家學會的數位會員在閱讀了該證明後表示「頗為滿意」。法國數學家奧古斯丁·柯西認識到了魯菲尼文章的重要性，在1813年與1815年之間曾經給出過魯菲尼文中結果的一些推廣。魯菲尼去世前六個月收到了柯西的回信，後者在信中表示：「您寫的關於方程的一般解的論文，在我看來，是值得數學界關注的作品。以我判斷，您已經完整證明了高於四次之方程不可解」，並告訴魯菲尼他已經將這個結論應用在教學中。

不過，由於魯菲尼的證明使用了新穎的根置換概念進行討論，而且結論大膽，因此並沒有在當時引起廣泛的重視。另外，魯菲尼的證明中確實缺漏了關鍵的一步的證明。

1824年，在魯菲尼死後的第三年，19歲的挪威人尼爾斯·阿貝爾自費首次發表了自己關於五次及以上的多項式方程不可解的證明。由於匱乏資金，阿貝爾將證明壓縮為六頁。阿貝爾作出證明時並不知道魯菲尼的工作。他的證明過程與魯菲尼大體相似，但包括了魯菲尼沒有注意到的關鍵一步的證明。阿貝爾將此證明寄給德國大數學家高斯，然而後者以為是惡作劇，甚至沒有拆封，也沒有回應。1826年，阿貝爾得到挪威政府資助，帶著更為完整的證明版本到柏林和巴黎遊學，然而仍然沒有受到重視。1828年，阿貝爾的工作開始被數學界認知，但已經回到挪威的阿貝爾對此幾無所知。由於染上肺結核，阿貝爾在1829年4月6日去世。

魯菲尼和阿貝爾的證明思路大致相同，以下只介紹阿貝爾的證明。其思路是使用反證法來證明五次或以上方程求根公式的不存在性，即反設存在這樣的公式。假設有五次多項式方程，其根為五個不同的數。阿貝爾首先證明了，求根公式裡，各個根的表達式必然是如同：

$$r = p + p_1 R^{\frac15} + p_2 R^{\frac25}+ p_3 R^{\frac35}+ p_4 R^{\frac45}$$

形式。其中的p、p1、p2等是由方程係數和有理數構成的有理式，R則是可以寫成和r一樣形式的代數式，依此循環，直到某個根式中只有由方程係數和有理數構成的有理式為止。接下來，阿貝爾證明了，所有類似r這樣的表達式，都可以表達成方程的根構成的有理式。特別的，R1也可以表達為根的有理式。這一步結果也是魯菲尼假設而未證明的。

其後的一步是證明的核心。阿貝爾使用柯西的思想，揭露了r作為根的有理式和係數的無理式之間的根本矛盾：如果r，作為由方程的五個根的有理式，在方程的根取遍120個可能置換時只有少於5個的取值，那麼它的取值個數是1或者2，而不可能是3或4。這個結果在群論中可以用$\mathfrak{S}_5$的特性來解釋。證明了這一點後，阿貝爾開始推出矛盾之處。首先，R1在所有置換下不可能只有一個值，否則方程只會有一個根，矛盾。其次，R1在所有置換下也不可能有5個或以上的取值，否則迭代之下，取值個數會升至120個，即方程有120個根，矛盾。而最後，對R1在所有置換下恰有兩個取值的情況，阿貝爾構造了一個等式，其左側在所有置換下取值有120個而右側只有10個，同樣導致矛盾。而如前已經證明取值不可能是3個或4個。這說明在任意情況下，求根公式都會導致矛盾，從而說明求根公式並不存在。

阿貝爾在給出了五次或以上多項式方程求根公式不存在的證明後，開始研究可以通過開方求解的某些特殊類型高次多項式方程。但阿貝爾的研究隨著他病逝而中斷。不過，在同一時期，法國的伽羅瓦運用深刻的洞察力，用更為抽象的方式，給出了「哪些多項式方程可以通過開方求解」的完整判別方法。伽羅瓦使用的是現今稱為群論的代數工具，將根的置換集合作為群來考慮，將多項式方程可解轉化為群的特性。伽羅瓦的結果在其生前並沒有得到重視，在他去世後，才逐漸被數學界發現。

## 現代證明

伽羅瓦創造了群論來解決多項式方程可解判定性的問題。此後阿廷等人建立了環和域擴張的理論。現代伽羅瓦理論中，使用域擴張的伽羅瓦群理論來證明阿貝爾-魯菲尼定理。

域擴張理論將多項式方程的求解過程轉化為特定的域擴張來描述。給定特徵為0的係數域K。設有以K中元素為係數的多項式P。將P的根添加到係數域K中，包含它們的「最小」的域稱為P的分裂域，記為L。方程求解的過程，可以看作是「已知量」的集合從係數域K擴張到分裂域L的過程。另一方面，考察四則運算和開方所能生成的「新數量」。由於域對四則運算封閉，所以能夠使得「已知量」增多的本質操作是開方運算。給定K中元素a，對a開m次方等價於將a的m個m次方根作為「已知量」添加到原來的域中，擴張為「更大」的域K'的過程。而多項式P可以用求根公式求解（以下簡稱可解），等價於說可以通過有限次地添加方根，將係數域K擴張為某個包含分裂域L的擴域。即：

$\exists F = F_0 \subset F_1 \subset \cdots \subset K_n$，P在Kn中分裂，且使得$\forall i = 0,1,\cdots , n-1, \; \, F_{i+1} = F_i(\zeta_i)$.

而其中ζi是Fi中某個元素的方根：

$\forall i = 0,1,\cdots , n-1, \; \, \exists k_i \in \mathbb{N}, \; k_i \geqslant 2$，使得$\zeta_i^{k_i} \in F_i.$

另一方面，考慮L中所有在K上平凡的自同構（稱為K-自同構）。這些自同構不改變係數，只將P的根映射到另外一個根上，並且完全由它們在P的根上的變換情況決定，可以看作是僅僅針對根的置換。這些K-自同構構成一個群，稱為域擴張L/K的伽羅瓦群或P在K上的伽羅瓦群。

通過一些技術處理，可以將可解多項式對應的域擴張「塔」$F_0 \subset F_1 \subset \cdots \subset K_n$加強為：$F_0 \subset F_1$是添加單位根的伽羅瓦擴張，其後的每個擴張都是伽羅瓦擴張，且對應的伽羅瓦群是循環群。通過伽羅瓦理論基本定理，可以推出：P在K上可解，等價於說它在K上的伽羅瓦群包含一個一直遞減到平凡子群的正規子群列，而且相鄰的兩個子群的商群是交換群。這樣的群稱為可解群。可以證明，如果某個群可解，那麼其任一正規子群以及其對應的商群都可解。

給定K上一個一般的五次多項式，它在K上的伽羅瓦群是$\mathfrak{S}_5$，而$\mathfrak{S}_5$不是交換群，它唯一的非平凡正規子群只有n次交替群$\mathfrak{A}_5$。而$\mathfrak{A}_5$是單群，它的正規子群只有平凡子群。而這時候$\mathfrak{A}_5$對平凡子群的商群（即它自身）不是交換群。所以$\mathfrak{S}_5$不是可解群。因此一般的五次多項式方程不可解。

對於一般的更高次的多項式，使用類似的論證，可以從$\mathfrak{A}_n$（n大於5）是不交換單群的事實推出，一般的n次（n大於5）多項式方程不可解。