Abc猜想

abc猜想（abc conjecture）是一個未解決的數學猜想，最先由約瑟夫·奧斯特萊及大衛·馬瑟在1985年提出。abc猜想以三個互質正整數a, b, c描述，c是a及b的和，猜想因此得名。京都大學數理解析研究所望月新一教授於2012年提出論文證明，經過8年同行審查後於2020年4月發表，但對於該證明的正確性仍存在極大爭議。對此也衍生出一BOINC項目「ABC@Home」。

abc猜想若得證，數論中很多著名猜想可以立時得出。多利安·哥德費爾德稱abc猜想為「丟番圖分析中最重要的未解問題」。Goldfeld

## 內容

對正整數$n$，$\operatorname{rad}(n)$表示$n$的質因數的積，稱為$n$的根基（radical）。例如

$\operatorname{rad}(16) = \operatorname{rad}\left(2^4\right) = 2$。

$\operatorname{rad}(17) = 17$。

$\operatorname{rad}(18) = \operatorname{rad}\left(2 \cdot 3^2\right) = 2 \cdot 3 = 6$。

$\operatorname{rad}(1000000) = \operatorname{rad}\left(2^6 \cdot 5^6\right) = 2 \cdot 5 = 10$。

若正整數a, b, c 彼此互質，且a + b=c，「通常」會有c < rad(abc)，例如：

$(a, b, c) = (2, 7, 9)$：$\operatorname{rad}(abc) = 42 > 9 = c$。

$(a, b, c) = (9, 16, 25)$：$\operatorname{rad}(abc) = 30 > 25 = c$。

但是也有反例，例如：

$a = 3$, $b = 125$, $c = 128$：因為$125=5^{3}$，$128=2^{7}$，故此$\operatorname{rad}(abc) = 30 < c$。

如上有多於一個整數可被小的質數的高次冪整除，使rad(abc) < c，是較特殊的情況。ABC@Home計劃目的在尋找更多這樣的例子。

abc猜想（一）

對於任何$\varepsilon >0$，只存在有限個互質正整數的三元組(a, b, c)，c = a + b，使得

$$c > \operatorname{rad}(abc)^{1+\epsilon}$$

abc猜想也有以下等價的表述方式：

abc猜想（二）

對於任何$\varepsilon >0$，存在常數$C_{\varepsilon}>0$，使得對於互質正整數的三元組(a, b, c)，c = a + b，有：

$$c < C_{\varepsilon} \operatorname{rad}(abc)^{1+\epsilon},$$

abc猜想第三個表述方式，用到了三元組(a, b, c)的品質（quality），定義為：

$$q(a,b,c)=\frac{\log(c)}{\log(\operatorname{rad}(abc))}$$

例如：

- q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...
- q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...

一般的互質正整數的三元組，通常有 rad(abc) > c，因此q(a, b, c) < 1。q大於1的情況較少出現。

abc猜想（三）

對於任何$\varepsilon > 0$，只存在有限個互質正整數的三元組(a, b, c)，c = a + b，使得

$$q(a,b,c) > 1+\epsilon$$

abc猜想中的ε不能去掉，不然命題就不成立。考慮以下例子：

$a_n = 3^{2^n} -1$, $b_n = 1$, $c_n = 3^{2^n}$

這三個正整數互質，且有$a_n+b_n=c_n$。注意到$a_n$可被$2^{n+2}$整除，因此有

$\operatorname{rad}(a_n b_n c_n) \le 3 \cdot 2 \cdot \frac {a_n}{2^{n+2}}= \frac {3 a_n}{2^{n+1}}$:

因此

$$c_n > a_n \ge \frac {2^{n+1}}{3} \operatorname{rad}(a_n b_n c_n)$$

當n趨向無限大時，$\frac {2^{n+1}}{3}$也趨向無限大。因此不存在常數C，使得 c < C rad(abc)對所有適合條件的三元組都成立。

## 可得出的結果

如果abc猜想得證，那麼有很多結果可以推導出來。其中一些結果，在abc猜想提出後，已經以其他方法得到證明，一些則仍然為猜想。

- Thue–Siegel–Roth定理
- 費馬大定理對所有足夠大指數的情形（安德魯·懷爾斯已證一般情形） Granville
- Mordell猜想（格爾德·法爾廷斯已證一般情形）Elkies
- Erdős–Woods猜想，除了有限多的反例。Langevin
- 存在無限多非維費里希素數Silverman
- Marshall Hall猜想的弱形式Nitaj
- 費馬－卡塔蘭猜想Pomerance
- 用勒讓德符號構成的L函數L(s, χd)沒有西格爾零點（需要abc猜想在代數數域上的一致形式，不只在有理整數上。）Granville
- 對有至少3個簡單零點的多項式P(x)，在整數x取的所有值中，只有有限個次方數。
- Tijdeman定理的推廣形式，關於ym = xn + k的解的個數（定理是k=1的情形），及Pillai猜想，關於Aym = Bxn + k的解的個數。
- 等價於Granville–Langevin 猜想
- 等價於修改後的Szpiro猜想Oesterlé
- 布羅卡問題n! + A= k2，對任何給定的整數A，都只有有限個解。Dąbrowski

## 理論結果

abc猜想導出c有abc的根基的接近線性函數的上界；不過，現在已知的是指數上界。確切結果如下：

$c < \exp{ \left(K_1 \operatorname{rad}(abc)^{15}\right) }$ Stewart,

$c < \exp{ \left(K_2 \operatorname{rad}(abc)^{\frac{2}{3} + \varepsilon}\right) }$ Stewart,

$c < \exp{ \left(K_3 \operatorname{rad}(abc)^{\frac{1}{3} + \varepsilon}\right) }$ Stewart.

上述的上界中，K1是不依賴a, b, c的常數，而K2和K3是（以可有效計算的方式）依賴於ε的常數，但不依賴於a, b, c。上述的上界對c > 2的三元組都成立。

## 計算結果

2006年，荷蘭的萊頓大學數學系與Kennislink科學研究所合作，開展ABC@Home計劃。這個計劃是網格計算系統，目的在找出更多的正整數三元組a, b, c使得rad(abc) 1｜q > 1.05｜q > 1.1｜q > 1.2｜q > 1.3｜q > 1.4

c < 102｜6｜4｜4｜2｜0｜0

c < 103｜31｜17｜14｜8｜3｜1

c < 104｜120｜74｜50｜22｜8｜3

c < 105｜418｜240｜152｜51｜13｜6

c < 106｜1,268｜667｜379｜102｜29｜11

c < 107｜3,499｜1,669｜856｜210｜60｜17

c < 108｜8,987｜3,869｜1,801｜384｜98｜25

c < 109｜22,316｜8,742｜3,693｜706｜144｜34

c < 1010｜51,677｜18,233｜7,035｜1,159｜218｜51

c < 1011｜116,978｜37,612｜13,266｜1,947｜327｜64

c < 1012｜252,856｜73,714｜23,773｜3,028｜455｜74

c < 1013｜528,275｜139,762｜41,438｜4,519｜599｜84

c < 1014｜1,075,319｜258,168｜70,047｜6,665｜769｜98

c < 1015｜2,131,671｜463,446｜115,041｜9,497｜998｜112

c < 1016｜4,119,410｜812,499｜184,727｜13,118｜1,232｜126

c < 1017｜7,801,334｜1,396,909｜290,965｜17,890｜1,530｜143

c < 1018｜14,482,065｜2,352,105｜449,194｜24,013｜1,843｜160

ABC@Home找出 2380 萬個三元組，現今目標在找出c不大於263的所有三元組(a,b,c)。

q｜a｜b｜c｜發現者

1｜1.6299｜2｜310·109｜235｜Eric Reyssat

2｜1.6260｜112｜32·56·73｜221·23｜Benne de Weger

3｜1.6235｜19·1307｜7·292·318｜28·322·54｜Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski

4｜1.5808｜283｜511·132｜28·38·173｜Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj

5｜1.5679｜1｜2·37｜54·7｜Benne de Weger

## 歷史

1996年，艾倫·貝克（Alan Baker）提出一個較為精確的猜想，將$\operatorname{rad}(abc)$用$\varepsilon^{-\omega}\operatorname{rad}(abc)$取代，在此$\omega$是$a, b, c$的不同質因數的數目。

2007年，呂西安·施皮羅嘗試給出證明，後來被發現有錯誤。

2012年8月，日本京都大學數學家望月新一發表長約五百頁的abc猜想的證明，以他建立的宇宙際泰赫米勒理論（inter-universal Teichmüller theory）為基礎。該證明目前正由其他數學專家檢查中。當Vesselin Dimitrov和阿克沙伊·文卡泰什在2012年10月發現一處錯誤時，望月新一在他的網站確認了此錯誤，並聲稱這個錯誤能夠在近期修補，不會影響最後的結果。2012年12月，望月新一在自己主頁貼出了自己對所有四篇文章的修改稿。主要包含27條重要的修改。2012年12月-2013年2月，他又屢次對文章進行了修訂，新修正了18處錯誤，當中很多也是打字錯誤。望月新一在網上公開了2013年以及2014年的檢驗進度報告。2018年8月，皮特·舒爾策和Jakob Stix指出，望月新一的證明論文中 Corollary 3.12 證明結尾的一行推理存在無法修復的缺陷。望月認為二者的批評存在「某種根本上的誤解」。

## 參見

- 根基
- Mason-Stothers定理—多項式環上的對應定理

## 參考文獻

### 來源

- On the diophantine equation $x!+A=y^2$

## 外部連結

- ABC@home 分布式計算項目ABC@Home.
- Easy as ABC: Easy to follow, detailed explanation by Brian Hayes.
- Abderrahmane Nitaj's ABC conjecture home page
- Bart de Smit's ABC Triples webpage
- http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf
- The amazing ABC conjecture
- The ABC's of Number Theory by Noam D. Elkies
- Questions about Number by Barry Mazur
- Philosophy behind Mochizuki’s work on the ABC conjecture on MathOverflow
- ABC Conjecture Polymath project wiki page linking to various sources of commentary on Mochizuki's papers.