霍奇理論

在數學中，霍奇理論（英語：Hodge theory），以威廉·瓦倫斯·道格拉斯·霍奇命名，是一種使用偏微分方程研究光滑流形 $M$ 的上同調群的方法。其關鍵觀察在於，給定 $M$ 上的一個黎曼度量，每個上同調類都有一個規範代表元，即在該度量的拉普拉斯算子下消失的微分形式。這樣的形式被稱為調和形式（harmonic forms）。

該理論由霍奇在 1930 年代開發，旨在研究代數幾何，它建立在喬治·德·拉姆關於德拉姆上同調的工作基礎之上。它在兩個主要設定中具有重大應用——黎曼流形和凱勒流形。霍奇的主要動機，即對複射影簇的研究，被包含在後一種情況中。霍奇理論已成為代數幾何中的重要工具，特別是通過其與代數閉鏈（algebraic cycles）研究的聯繫。

雖然霍奇理論本質上依賴於實數和複數，但它可以應用於數論問題。在算術情況下，p-進霍奇理論的工具已經給出了經典霍奇理論的替代證明或類似結果。

霍奇理論的核心思想可以用一句話概括：「形狀的拓撲特徵（有多少個洞），可以通過尋找能量最低的物理狀態來確定。」

我們可以這樣想像：

- 拓撲學（軟）：想像一個形狀像輪胎（環面）的物體。拓撲學家關心的是它有一個「洞」。這個洞是抽象的，無論你怎麼擠壓輪胎，洞都在那裡。
- 幾何與物理（硬）：霍奇理論引入了物理學的視角。想像在這個輪胎表面通上電流或熱流。
- 調和形式（平衡態）：電流會自然地尋找阻力最小的路徑，熱量會自然地擴散直到均勻。這種「自然均勻」或「能量最低」的狀態，在數學上就是調和形式。

霍奇理論告訴我們：每一個抽象的「洞」，都恰好對應一種獨特的、完美的「能量平衡狀態」。因此，我們可以通過解物理方程（拉普拉斯方程）來算出這個物體有多少個洞。

## 歷史

代數拓撲領域在 1920 年代仍處於起步階段。當時尚未發展出上同調的概念，且微分形式與拓撲學之間的互動也鮮為人知。1928 年，埃利·嘉當發表了一個名為《封閉群空間的貝蒂數》（Sur les nombres de Betti des espaces de groupes clos）的想法，他在其中建議——但未證明——微分形式和拓撲學應該聯繫起來。當時還是學生的喬治·德·拉姆在閱讀後深受啟發。在他 1931 年的論文中，他證明了一個現在稱為德拉姆定理的結果。根據斯托克斯定理，微分形式沿奇異鏈的積分會誘導出如下所示的雙線性配對（對於任何緊緻光滑流形 $M$）：

$$H_k(M; \mathbf{R}) \times H^k_{\text{dR}}(M; \mathbf{R}) \to \mathbf{R}.$$

正如最初所述，德拉姆定理斷言這是一個完美配對，因此左側的每一項都是彼此的向量空間對偶。用現代語言來說，德拉姆定理通常被表述為實係數奇異上同調與德拉姆上同調同構：

$$H^k_{\text{sing}}(M; \mathbf{R}) \cong H^k_{\text{dR}}(M; \mathbf{R}).$$

德拉姆的原始陳述則是實數域上奇異上同調是奇異同調的對偶這一事實的結果。

另外，所羅門·萊夫謝茨在 1927 年的一篇論文中使用拓撲方法重新證明了黎曼的定理。用現代語言來說，如果 $\omega_1$ 和 $\omega_2$ 是代數曲線 $C$ 上的全純微分，那麼它們的楔積必然為零，因為 $C$ 只有一個複維度；因此，它們的上同調類的杯積為零，這明確地給了萊夫謝茨一個關於黎曼關係的新證明。此外，如果 $\omega$ 是一個非零全純微分，那麼 $\sqrt{-1}\,\omega \wedge \bar\omega$ 是一個正體積形式，萊夫謝茨由此能夠重新推導出黎曼不等式。1929 年，W. V. D. 霍奇得知了萊夫謝茨的論文。他立即觀察到類似的原理適用於代數曲面。更準確地說，如果 $\omega$ 是代數曲面上的一個非零全純形式，那麼 $\sqrt{-1}\,\omega \wedge \bar\omega$ 是正的，所以 $\omega$ 和 $\bar\omega$ 的杯積必須是非零的。由此可知 $\omega$ 本身必須代表一個非零的上同調類，因此它的週期不能全為零。這解決了 Severi 的一個問題。

霍奇認為這些技術也應該適用於更高維度的簇。他的同事彼得·弗雷澤（Peter Fraser）向他推薦了德拉姆的論文。在閱讀德拉姆的論文時，霍奇意識到黎曼曲面上全純 1-形式的實部和虛部在某種意義上是彼此對偶的。他懷疑在更高維度中應該存在類似的對偶性；這種對偶性現在被稱為霍奇星算子。他進一步猜想，每個上同調類都應該有一個特殊的代表元，該代表元具有它及其對偶在外導數算子下都消失的性質；這些現在被稱為調和形式。霍奇在 1930 年代的大部分時間都致力於這個問題。他最早發表的證明嘗試出現在 1933 年，但他認為這「極其粗糙」。當時最傑出的數學家之一赫爾曼·外爾發現自己無法確定霍奇的證明是否正確。1936 年，霍奇發表了一個新的證明。雖然霍奇認為新證明優越得多，但 Bohnenblust 發現了一個嚴重的缺陷。赫爾曼·外爾和小平邦彥獨立地修改了霍奇的證明以修復該錯誤。這確立了霍奇所尋求的調和形式與上同調類之間的同構。

In retrospect it is clear that the technical difficulties in the existence theorem did not really require any significant new ideas, but merely a careful extension of classical methods. The real novelty, which was Hodge’s major contribution, was in the conception of harmonic integrals and their relevance to algebraic geometry. This triumph of concept over technique is reminiscent of a similar episode in the work of Hodge’s great predecessor Bernhard Riemann.

回顧過去，很明顯存在性定理中的技術困難實際上並不需要任何重要的新思想，而僅僅是經典方法的仔細擴展。真正的新穎之處，也是霍奇的主要貢獻，在於調和積分的概念及其與代數幾何的相關性。這種概念勝過技術的勝利讓人想起霍奇偉大的前輩伯恩哈德·黎曼工作中的類似插曲。

——M. F. 阿蒂亞, William Vallance Douglas Hodge, 17 June 1903 – 7 July 1975, Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society, vol. 22, 1976, pp. 169–192.

## 實流形的霍奇理論

### 德拉姆上同調

霍奇理論引用了德拉姆複形。令 $M$ 為一個光滑流形。對於非負整數 $k$，令 $\Omega^k(M)$ 為 $M$ 上 $k$ 階光滑微分形式的實向量空間。德拉姆複形是微分算子的序列：

$$0\to \Omega^0(M) \xrightarrow{d_0} \Omega^1(M)\xrightarrow{d_1} \cdots\xrightarrow{d_{n-1}} \Omega^n(M)\xrightarrow{d_n} 0,$$

其中 $d_k$ 表示 $\Omega^k(M)$ 上的外導數。這是一個上鏈複形，即 $d_{k+1} \circ d_k = 0$（也寫作 $d^2 = 0$）。德拉姆定理表明，$M$ 的實係數奇異上同調可以由德拉姆複形計算：

$$H^k(M,\mathbf{R})\cong \frac{\ker d_k}{\operatorname{im} d_{k-1}}.$$

要理解德拉姆上同調，我們可以想像埃舍爾的「無限樓梯」畫作：

- 閉形式（$\ker d$）：這就像是你站在樓梯上，每一步都感覺是在「向上走」。在局部看來，這是合理的（微分為零，沒有局部旋轉）。
- 恰當形式（$\operatorname{im} d$）：這是真實的高度變化。如果你在一座真實的山上，一直向上走，你一定會到達更高的海拔。
- 上同調（$H^k$）：埃舍爾畫作的奇妙之處在於，你一直「向上走」（閉形式），最後卻回到了起點。這說明這個樓梯中間有一個「洞」（視覺錯覺造成的拓撲結構）。
- 結論：上同調群就是在測量這種「看起來在上升，但實際上是在繞圈」的現象。它幫我們區分了「真正的升高」和「繞著洞轉圈」。

### 霍奇理論中的算子

在 $M$ 上選擇一個黎曼度量 $g$ 並回憶：

$$\Omega^k(M) = \Gamma \left (\bigwedge\nolimits^k T^*(M) \right ).$$

該度量通過將 $g$ 從每個餘切纖維 $T_p^*(M)$ 誘導的內積擴展（參見格拉姆矩陣）到其第 $k$ 個外積 $\bigwedge\nolimits^k(T_p^*(M))$，從而在每個纖維 $\bigwedge\nolimits^k(T_p^*(M))$ 上產生一個內積。$\Omega^k(M)$ 上的內積定義為給定一對 $k$ 形式在 $M$ 上關於與 $g$ 相關聯的體積形式 $\sigma$ 的逐點內積的積分。具體來說，給定一些 $\omega,\tau \in \Omega^k(M)$，我們有

$$(\omega,\tau) \mapsto \langle\omega,\tau\rangle := \int_M \langle \omega(p),\tau(p)\rangle_p \sigma.$$

自然地，上述內積誘導出一個範數，當該範數在某個固定的 $k$ 形式上有限時：

$$\langle\omega,\omega\rangle = \| \omega\|^2 < \infty,$$

那麼被積函數是 $M$ 上的一個實值、平方可積函數，通過其逐點範數進行評估。

$$\|\omega(p)\|_p:M \to \mathbf{R}\in L^2(M).$$

考慮 $d$ 關於這些內積的伴隨算子：

$$\delta : \Omega^{k+1}(M) \to \Omega^k(M).$$

那麼形式上的拉普拉斯算子定義為

$$\Delta = d\delta + \delta d.$$

這是一個二階線性微分算子，推廣了 $\mathbf{R}^n$ 上函數的拉普拉斯算子。根據定義，如果一個形式的拉普拉斯算子為零，則稱其為「調和形式」（harmonic）：

$$\mathcal{H}_\Delta^k(M) = \{\alpha\in\Omega^k(M)\mid\Delta\alpha=0\}.$$

通俗來說，我們可以將上同調類比作一張鬆垮垮地蓋在物體上的橡皮膜。

- 這張膜可以隨意滑動、變形（這代表上同調類中的不同微分形式），但不能被撕破或跨越障礙物（拓撲限制）。
- 拉普拉斯算子（$\Delta$）的作用就像是測量這張膜的張力。
- 調和形式（$\Delta \alpha = 0$）就是這張膜繃得最緊、表面積最小、能量最低的狀態。

在所有的變形可能性中，大自然傾向於選擇那個最「平滑」、最「均勻」的形態。霍奇定理保證了在每一個拓撲類別中，都有且只有一個這樣的完美形態。

拉普拉斯算子首先出現在數學物理中。特別是，馬克士威方程組表明，真空中的電磁場（即沒有任何電荷）由一個 2-形式 $F$ 表示，使得在被視為 4 維閔可夫斯基空間的時空上 $\Delta F = 0$。

在閉黎曼流形上的每個調和形式 $\alpha$ 都是閉的，意味著 $d\alpha = 0$。因此，存在一個規範映射 $\varphi:\mathcal{H}_\Delta^k(M)\to H^k(M,\mathbf{R})$。霍奇定理（Hodge theorem）陳述 $\varphi$ 是向量空間的同構。換句話說，$M$ 上的每個實上同調類都有唯一的調和代表元。具體來說，調和代表元是代表給定上同調類的具有最小 $L^2$ 範數的唯一閉形式。霍奇定理是使用橢圓偏微分方程理論證明的，霍奇最初的論證由小平和其他人在 1940 年代完成。

例如，霍奇定理意味著閉流形的實係數上同調群是有限維的。（誠然，還有其他方法可以證明這一點。）事實上，算子 $\Delta$ 是橢圓的，而閉流形上橢圓算子的核總是有限維向量空間。霍奇定理的另一個推論是，閉流形 $M$ 上的黎曼度量在 $M$ 的整數上同調模去扭子群（modulo torsion）上確定了一個實值內積。例如，由此可知，$M$ 的等距同構群在一般線性群 $\text{GL}(H^*(M, \mathbf{Z}))$ 中的像也是有限的（因為格的等距同構群是有限的）。

霍奇定理的一個變體是霍奇分解（Hodge decomposition）。這表明閉黎曼流形上的任何微分形式 $\omega$ 都可以唯一地分解為三部分之和：

$$\omega = d \alpha +\delta \beta + \gamma,$$

其中 $\gamma$ 是調和的：$\Delta\gamma = 0$。根據微分形式上的 $L^2$ 度量，這給出了一個正交直和分解：

$$\Omega^k(M) \cong \operatorname{im} d_{k-1} \oplus \operatorname{im} \delta_{k+1} \oplus \mathcal H_\Delta^k(M).$$

霍奇分解是德拉姆複形的亥姆霍茲分解的推廣。

### 橢圓複形的霍奇理論

阿蒂亞和博特將橢圓複形定義為德拉姆複形的推廣。霍奇定理可以推廣到這種設定，如下所示。令 $E_0,E_1,\ldots,E_N$ 為配備度量的向量叢，位於具有體積形式 $dV$ 的閉光滑流形 $M$ 上。假設

$$L_i:\Gamma(E_i)\to\Gamma(E_{i+1})$$

是作用於這些向量叢的C∞截面上的線性微分算子，並且誘導出的序列

$$0\to\Gamma(E_0)\to \Gamma(E_1) \to \cdots \to \Gamma(E_N) \to 0$$

是一個橢圓複形。引入直和：

$$\begin{align} \mathcal E^\bullet &= \bigoplus\nolimits_i \Gamma(E_i) \\ L &= \bigoplus\nolimits_i L_i:\mathcal E^\bullet\to\mathcal E^\bullet \end{align}$$

並令 $L^*$ 為 $L$ 的伴隨。定義橢圓算子 $\Delta = LL^* + L^*L$。與德拉姆情況一樣，這產生了調和截面的向量空間

$$\mathcal H=\{e\in\mathcal E^\bullet\mid\Delta e=0\}.$$

令 $H:\mathcal E^\bullet\to\mathcal H$ 為正交投影，令 $G$ 為 $\Delta$ 的格林算子。霍奇定理隨後斷言以下內容：

- $H$ 和 $G$ 是良定義的（well-defined）。
- $$\text{Id} = H + \Delta G = H + G\Delta$$
- $LG = GL$, $L^*G = GL^*$
- 複形的上同調與調和截面的空間規範同構，$H(E_j)\cong\mathcal H(E_j)$，這意味著每個上同調類都有唯一的調和代表元。

在這種情況下也存在霍奇分解，推廣了上述德拉姆複形的陳述。

## 複射影簇的霍奇理論

令 $X$ 是一個光滑複射影流形，意味著 $X$ 是某個複射影空間 $\mathbf{CP}^N$ 的閉複子流形。根據趙定理（Chow's theorem），複射影流形自動是代數的：它們由 $\mathbf{CP}^N$ 上齊次多項式方程的零點集定義。$\mathbf{CP}^N$ 上的標準黎曼度量在 $X$ 上誘導出一個黎曼度量，該度量與複結構具有強相容性，使 $X$ 成為一個凱勒流形。

對於複流形 $X$ 和自然數 $r$，$X$ 上的每個（複係數）C∞ $r$-形式可以唯一地寫成類型為 $(p, q)$ 的形式之和，其中 $p + q = r$，這意味著形式可以局部寫成項的有限和，每項的形式為

$$f\, dz_1\wedge\cdots\wedge dz_p\wedge d\overline{w_1} \wedge\cdots\wedge d\overline{w_q}$$

其中 $f$ 是 C∞ 函數，$z$ 和 $w$ 是全純函數。在凱勒流形上，調和形式的 $(p, q)$ 分量仍然是調和的。因此，對於任何緊緻凱勒流形 $X$，霍奇定理給出了 $X$ 的複係數上同調分解為複向量空間的直和：

$$H^r(X,\mathbf{C})=\bigoplus_{p+q=r} H^{p,q}(X).$$

對於複流形（比如全純形狀），霍奇理論提供了一種比實流形更精細的視角，這就像是稜鏡分光：

- 普通的上同調（$H^r$）：就像是一束混合的白光，告訴我們這裡有一個「洞」。
- 霍奇分解（$H^{p,q}$）：就像是用稜鏡將白光分解成了彩虹光譜。
- 由於複數平面有兩個維度（實部和虛部），我們可以問這個「洞」在多大程度上是由全純方向（$z$）構成的，多大程度上是由反全純方向（$\bar{z}$）構成的。

例如，在一個複曲面上，一個二維的洞可能完全由全純曲線構成（$H^{1,1}$），也可能不是。這種分解讓我們能看清幾何結構的內部成分。

這個分解實際上獨立於凱勒度量的選擇（但對於一般的緊緻複流形沒有類似的分解）。另一方面，霍奇分解真正依賴於 $X$ 作為複流形的結構，而群 $H^r(X, \mathbf{C})$ 僅依賴於 $X$ 的底層拓撲空間。

取這些調和代表元的楔積對應於上同調中的杯積，因此複係數的杯積與霍奇分解相容：

$$\smile \colon H^{p,q}(X) \times H^{p',q'}(X) \rightarrow H^{p+p',q+q'}(X).$$

霍奇分解的部分 $H^{p,q}(X)$ 可以與凝聚層上同調群識別，該群僅依賴於 $X$ 作為複流形（不依賴於凱勒度量的選擇）：

$$H^{p,q}(X)\cong H^q(X,\Omega^p),$$

其中 $\Omega^p$ 表示 $X$ 上全純 $p$-形式的層。例如，$H^{p,0}(X)$ 是 $X$ 上全純 $p$-形式的空間。（如果 $X$ 是射影的，塞爾的 GAGA 定理意味著整個 $X$ 上的全純 $p$-形式實際上是代數的。）

另一方面，積分可以寫成 $Z$ 的同調類與由 $\alpha$ 代表的上同調類的帽積。根據龐加萊對偶性，$Z$ 的同調類對偶於一個上同調類，我們稱之為 $[Z]$，帽積可以通過取 $[Z]$ 和 $\alpha$ 的杯積並與 $X$ 的基本類進行帽積運算來計算。

因為 $[Z]$ 是一個上同調類，它有一個霍奇分解。根據我們上面的計算，如果我們將此類與任何類型 $(p,q) \ne (k,k)$ 的類進行杯積，我們會得到零。因為 $H^{2n}(X, \mathbb{C}) = H^{n,n}(X)$，我們得出結論 $[Z]$ 必須位於 $H^{n-k,n-k}(X)$ 中。

霍奇數 $h^{p,q}(X)$ 指的是複向量空間 $H^{p,q}(X)$ 的維數。這些是光滑複射影簇的重要不變量；當 $X$ 的複結構連續變化時它們不會改變，但它們通常不是拓撲不變量。霍奇數的性質包括霍奇對稱性 $h^{p,q} = h^{q,p}$（因為 $H^{p,q}(X)$ 是 $H^{q,p}(X)$ 的複共軛）和 $h^{p,q} = h^{n-p,n-q}$（由塞爾對偶性）。

霍奇菱形可以被視為一個複雜形狀的「DNA 指紋」或「元素週期表」。

- 這個菱形將一個形狀的所有拓撲資訊按維度（行）和複結構成分（列）排列出來。
- 對稱性：就像生物體的左右對稱一樣，霍奇菱形通常具有高度的對稱性（左右對稱、上下對稱）。
- 識別身分：不同的幾何形狀（如球體、甜甜圈、K3曲面）都有其獨特的霍奇菱形數值分佈。數學家只要看一眼這個菱形，通常就能大致判斷出這是什麼類型的幾何對象。

光滑複射影簇（或緊緻凱勒流形）的霍奇數可以列在霍奇菱形（Hodge diamond）中（以複維度 2 的情況為例）：

h2,2

h2,1｜h1,2

h2,0｜h1,1｜h0,2

h1,0｜h0,1

h0,0 例如，每個虧格為 $g$ 的光滑射影代數曲線具有霍奇菱形：

g｜g

再舉一個例子，每個 K3曲面具有霍奇菱形：

20

$X$ 的貝蒂數是給定行中霍奇數的總和。霍奇理論的一個基本應用是，根據霍奇對稱性，光滑複射影簇（或緊緻凱勒流形）的奇數貝蒂數 $b_{2a+1}$ 是偶數。這對於一般的緊緻複流形並不成立，如霍普夫曲面的例子所示，它微分同胚於 $S^1 \times S^3$，因此具有 $b_1 = 1$。

「凱勒包」（Kähler package）是對光滑複射影簇（或緊緻凱勒流形）上同調的一組強限制，建立在霍奇理論之上。結果包括萊夫謝茨超平面定理、硬萊夫謝茨定理和霍奇-黎曼雙線性關係。這些結果中的許多都源於可以使用霍奇理論為緊緻凱勒流形證明的基本技術工具，包括凱勒恆等式和$\partial \bar \partial$-引理。

霍奇理論及其擴展（如非阿貝爾霍奇理論）也對緊緻凱勒流形可能的基本群給出了強限制。

## 代數閉鏈與霍奇猜想

令 $X$ 為一個光滑複射影簇。$X$ 中餘維數為 $p$ 的複子簇 $Y$ 定義了上同調群 $H^{2p}(X,\mathbb{Z})$ 的一個元素。此外，產生的類具有一個特殊性質：它在複上同調 $H^{2p}(X,\mathbb{C})$ 中的像位於霍奇分解的中間部分 $H^{p,p}(X)$ 中。霍奇猜想預測了一個逆命題：$H^{2p}(X,\mathbb{Z})$ 中任何在複上同調中的像位於子空間 $H^{p,p}(X)$ 中的元素，都應該有一個正整數倍是 $X$ 的複子簇類的 $\mathbb{Z}$-線性組合。（這樣的線性組合稱為 $X$ 上的代數閉鏈。）

關鍵點在於，霍奇分解是複係數上同調的分解，通常不來自於整數（或有理數）係數上同調的分解。因此，交集

$$(H^{2p}(X,\mathbb{Z})/{\text{torsion}})\cap H^{p,p}(X)\subseteq H^{2p}(X,\mathbb{C})$$

可能比整個群 $H^{2p}(X,\mathbb{Z})/\text{torsion}$ 小得多，即使霍奇數 $h^{p,p}$ 很大。簡而言之，霍奇猜想預測 $X$ 的複子簇的可能「形狀」（由上同調描述）是由 $X$ 的霍奇結構（整數上同調與複上同調的霍奇分解的結合）決定的。

萊夫謝茨 (1,1)-定理表明，對於 $p=1$，霍奇猜想是成立的（甚至是整數形式成立，即在陳述中不需要正整數倍）。

簇 $X$ 的霍奇結構描述了 $X$ 上代數微分形式在 $X$ 的同調類上的積分。在這個意義上，霍奇理論與微積分中的一個基本問題有關：一般來說，代數函數的積分沒有「公式」。特別是，代數函數的定積分，稱為週期，可以是超越數。霍奇猜想的困難反映了人們對這類積分普遍缺乏理解。

「週期」可以被視為我們測量複雜幾何形狀的特殊「尺子」。

- 想像一個形狀複雜的物體（流形），我們看不見它，只能通過測量來推測它的樣子。
- 我們在這個物體上畫一些圈（同調類），然後沿著這些圈進行某種數學測量（積分微分形式）。
- 得到的測量結果就是「週期」。
- 這些數字（週期）極其敏感地依賴於物體的形狀。如果物體稍微變形，週期數值就會改變。因此，通過記錄這些積分值的變化，我們就能精確地描繪出形狀的細微特徵，這就是為什麼霍奇理論要研究積分的原因。

例如：對於一個光滑複射影 K3 曲面 $X$，群 $H^2(X,\mathbb{Z})$ 同構於 $\mathbb{Z}^{22}$，而 $H^{1,1}(X)$ 同構於 $\mathbb{C}^{20}$。它們的交集可以具有介於 1 到 20 之間的任何秩；這個秩稱為 $X$ 的皮卡數（Picard number）。所有射影 K3 曲面的模空間具有可數無限集合的分量，每個分量的複維度為 19。皮卡數為 $a$ 的 K3 曲面子空間的維數為 $20-a$。（因此，對於大多數射影 K3 曲面，$H^2(X,\mathbb{Z})$ 與 $H^{1,1}(X)$ 的交集同構於 $\mathbb{Z}$，但對於「特殊」的 K3 曲面，交集可能更大。）

這個例子暗示了霍奇理論在複代數幾何中扮演的幾種不同角色。首先，霍奇理論對哪些拓撲空間可以具有光滑複射影簇的結構給出了限制。其次，霍奇理論提供了關於具有給定拓撲類型的光滑複射影簇模空間的資訊。最好的情況是當托雷利定理（Torelli theorem）成立時，意味著簇由其霍奇結構決定（至多差一個同構）。最後，霍奇理論提供了關於給定簇上代數閉鏈的趙群（Chow group）的資訊。霍奇猜想是關於從趙群到普通上同調的循環映射（cycle map）的像，但霍奇理論也提供了關於循環映射核的資訊，例如使用由霍奇結構構建的中間雅可比簇。

## 推廣

混合霍奇理論（Mixed Hodge theory），由皮埃爾·德利涅開發，將霍奇理論擴展到所有複代數簇，不一定是光滑或緊緻的。即，任何複代數簇的上同調都有一種更一般的分解類型，即混合霍奇結構。

另一種針對奇異簇的霍奇理論推廣由相交同調提供。即，齋藤盛彥表明，任何複射影簇（不一定是光滑的）的相交同調具有純霍奇結構，就像在光滑情況下一樣。事實上，整個凱勒包都延伸到了相交同調。

複幾何的一個基本方面是存在連續族的非同構複流形（它們作為實流形都是微分同胚的）。菲利普·格里菲斯的霍奇結構的變形（variation of Hodge structure）概念描述了當光滑複射影簇 $X$ 變化時，其霍奇結構如何變化。在幾何術語中，這相當於研究與簇族相關聯的週期映射。齋藤的霍奇模（Hodge modules）理論是一個推廣。粗略地說，簇 $X$ 上的一個混合霍奇模是 $X$ 上混合霍奇結構的層，這可能產生於不必是光滑或緊緻的簇族。

「霍奇結構的變形」可以用物體與影子的關係來類比：

- 流形族（Family of varieties）：想像一個正在空中緩慢旋轉或變形的立體雕塑。
- 霍奇結構：想像這座雕塑投射在地面上的影子。
- 當雕塑本身（流形）發生連續變化時，它的影子（霍奇結構）也會隨之發生連續的變形。
- 數學家通過研究地上的影子如何拉長、縮短或扭曲（週期映射），來反推空中那個看不見的高維雕塑是如何運動和變形的。這就是格里菲斯（Griffiths）理論的核心。

## 參考文獻

- Python code for computing Hodge numbers of hypersurfaces on GitHub