不等

數學上，不等是表明兩個對象的大小或者順序的二元關係，與相等相對。不等關係主要有四種：

- $a<b$，即$a$小於$b$
- $a>b$，即$a$大於$b$

上述兩個屬於嚴格不等。

- $a\leq b$，即$a$小於等於$b$
- $a\geq b$，即$a$大於等於$b$
- $a\neq b$，即$a$不等於$b$

將兩個表達式用不等符號連起來，就構成了不等式。

若不等關係對變量的所有元素都成立，則稱其為「絕對的」或「無條件的」。若不等關係只對變量的部分取值成立，而對另一部分將改變方向或失效，則稱為條件不等。

不等式兩邊同時加或減相同的數，或者兩邊同時乘以或除以同一個正數，不等關係不變。不等式兩邊同時乘以或除以同一個負數，不等關係改變方向。

符號$a\gg b$表示$a$「遠大於」$b$。其含義是不確定的，可以是 100 倍的差異，也可能是10個數量級的差異。和方程相聯繫，它被用來給出一個非常大的值而使方程的輸出滿足一個特定的結果。

## 性質

不等具有下列性質：

三一律：對任意實數$a$、$b$，只有下列之一是真的：

- $$a<b$$
- $$a=b$$
- $$a>b$$

調換性質：對任意實數$a$、$b$：

- $a < b$ 和 $b > a$ 是等價的。
- $a \le b$ 和 $b \ge a$ 是等價的。

transitive-property：對任意實數$a$、$b$、$c$：

- 如果 $a < b$ 且 $b < c$，則 $a<c$。
- 如果 $a \le b$ 且 $b \le c$，則 $a \le c$。
- 如果 $a < b$ 且 $b \le c$，則 $a < c$。
- 如果 $a \le b$ 且 $b < c$，則 $a < c$。

加法性質：對任意實數$a$、$b$、$c$：

- 若 $a > b$；則 $a + c > b + c$。
- 若 $a < b$；則 $a + c < b + c$。

乘法性質：對任意實數$a$、$b$、$c$，且有$c\ne 0$：

- 若$c$為 正數 且 $a > b$；則 $ac > bc$。
- 若$c$為 正數 且 $a < b$；則 $ac < bc$。
- 若$c$為 負數 且 $a > b$；則 $ac < bc$。
- 若$c$為 負數 且 $a < b$；則 $ac > bc$。

注意：當遇上不等關係求解時，比如已知 $A>B$，$C>D$，不可以認為 $A-C>B-D$，但根據此描述可知 $A-D>B-C$ 是真的。

## 鏈式表示法

- $a < b < c$ 代表「$a < b$ 且 $b < c$」。
- $a \le b \le c$ 代表「$a \le b$ 且 $b \le c$」。
- $a < b \le c$ 代表「$a < b$ 且 $b \le c$」。
- $a \le b < c$ 代表「$a \le b$ 且 $b < c$」。

## 舉例

- 若$x>0$；則

$$x^x \ge \left( \frac{1}{e}\right)^\frac{1}{e},$$

- 若$x>0$；則

$$x^{x^x} \ge x\,$$

- 若$x,y,z>0$；則

$$(x+y)^z + (x+z)^y + (y+z)^x > 2\,$$

- 若$x,y,z>0$；則

$$x^x y^y z^z \ge (xyz)^\frac{x+y+z}{3},$$

- 若$a,b>0$；則

$$a^a + b^b \ge a^b + b^a\,$$

- 若$a,b>0$；則

$$a^{ea} + b^{eb} \ge a^{eb} + b^{ea}\,$$

- 若$a,b,c>0$；則

$$a^{2a} + b^{2b} + c^{2c} \ge a^{2b} + b^{2c} + c^{2a}\,$$

- 若$a_1,\ldots,a_n>0$；則

$$a_1^{a_2}+a_2^{a_3}+\cdots+a_n^{a_1}>1$$

```
   <li>
       對於實數 <math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>、<math>d</math>，若 <math>a < b</math> 且 <math>c < d</math>；則
       <dl>
           <dd>
               <math>a + c < b + d</math>
               {| class="wikitable collapsible" style="width: 75%;"
                ! style="text-align: left;" | 證明
                |-
                |
                {| class="hover-highlight" style="width: 100%; border-collapse: collapse;"
                |-
                | <math>a < b</math>
                |-
                | <math>c < d</math>
                |-
                | <math>a - b< 0</math>
                |-
                | <math>0 < d - c</math>
                |}
                <p style="text-align: left;">'''('''20''')''' 及 '''('''25''')''' 經由[[#transitive-property|遞移性質]]可以得到</p>
                {| class="hover-highlight" style="width: 100%; border-collapse: collapse;"
                |-
                | <math>a - b < d - c</math>
                |-
                | <math>a - b + (b + c) < d - c + (b + c)</math>
                |-
                | <math>a + c < b + d</math>
                |}
               |}
           </dd>
       </dl>
   </li>
```

- 對於實數 $a$、$b$、$c$、$d$，若 $a < b$ 且 $c < d$；則

```
<math>a - d < b - c</math>

  <div style="margin-left: 3.2em;">
  {| class="wikitable collapsible" style="width: 75%;"
   ! style="text-align: left;" | 證明
   |-
   |
   {| class="hover-highlight" style="width: 100%; border-collapse: collapse;"
   |-
   | <math>a < b</math>
   |-
   | <math>c < d</math>
   |-
   | <math>- c > - d</math>
   |-
   | <math>- d < - c</math>
   |}
   <p>'''('''45''')''' 及 '''('''60''')''' 經由 '''('''ex1''')''' 可以得到</p>
   {| class="hover-highlight" style="width: 100%; border-collapse: collapse;"
   |-
   | <math>a + (- d) < b + (- c)</math>
   |-
   | <math>a - d < b - c</math>
   |}
  |}
  </div>
```