葉狀結構

微分幾何中，葉狀結構（foliation）是n-流形上的等價關係，等價類是連通單射浸入子流形，都具有相同維度p，以實坐標空間$\mathbb{R}^n$的分解為標準嵌入子空間$\mathbb{R}^p$的陪集$x+\mathbb{R}^p$為模型。等價類稱作葉狀結構的葉（leaf）。若要求流形和/或子流形具有（$C^r$類的）分段線性、微分或解析結構，就可分別定義分段線性、微分、解析葉狀結構。在最重要的$C^r$類微分葉狀結構中，通常r ≥ 1（否則$C^0$就是拓撲葉狀結構）。p（葉的維度）稱作葉狀結構的維度，$q=n-p$稱作其餘維數。

在數學物理學家關於廣義相對論的一些論文中，「葉狀結構」用於描述：相關的洛倫茲流形（(p+1)維時空）分解為p維超平面，指定為梯度處處不為零的實值光滑函數（標量場）的水平集；這光滑函數通常被假定為時間函數，梯度處處類時間，因此其水平集都是類空間超平面。為與標準數學術語保持一致，這些超平面通常稱作葉狀結構的葉。注意，雖然這情形確實構成標準數學意義上的余維-1葉狀結構，但這類例子是全局平凡的。雖然（數學）余維-1葉狀結構的葉局部上總是函數的水平集，但一般不能在全局這樣表達，因為葉可能無限多次通過局部平凡化坐標圖，葉周圍的完整也可能阻礙葉的全局一致定義函數的存在。例如，雖然3-球面有一個由里布發現的余維1-葉狀結構，但閉流形的余維-1葉狀結構不能由光滑函數的水平集給出，因為閉流形上的光滑函數必然在最值點有臨界點。

葉狀結構好比是一種給流形穿的條紋織物的衣服。在流形的每個足夠小的片上，這些條紋給了流形一個局部乘積結構，不需在局部區域之外一致（不用有良定義的整體結構）：沿著一個條紋走足夠遠，可能回到不同的鄰近的條紋。

## 葉狀圖與圖冊

為給葉狀結構下精確定義，需先定義一些輔助元素。

$\mathbb{R}^n$中的矩鄰域是形式為$B=J_1\times\cdots\times J_n$的開子集，其中$J_i$是第i個坐標軸上（可能無界）的相對開區間。若$J_1$具有形式$(a,\ 0]$，則稱B具有邊界

$$\partial B = \left \{ \left(0,x^2, \ldots, x^n \right ) \in B \right \}.$$

在下面的定義中，坐標圖（coordinate chart）被認為是在$\mathbb{R}^p\times\mathbb{R}^q$，允許流形具有邊界和（凸）角的可能。

n-流形M上余維為q的葉狀圖（foliated chart）是$(U,\ \varphi)$，其中$U\subset M$是開集，$\varphi: U \to B_{\tau} \times B_{\pitchfork}$是微分同胚，$B_{\pitchfork}$是$\mathbb{R}^q$中的矩鄰域，$B_{\tau}$是$\mathbb{R}^p$中的矩鄰域。集合$P_y=\varphi^{-1}(B_{\tau}\times\{y\})$，其中$y \in B_{\pitchfork}$稱作這葉狀圖的斑（plaque）。$\forall x\in B_{\tau}$，集合$S_x=\varphi_x=\varphi^{-1}(\{x\}\times B_{\pitchfork})$稱作葉狀圖的橫截（transversal）。集合$\partial_{\tau}U=\varphi^{-1}(B_{\tau}\times(\partial B_{\pitchfork}))$稱作U的切邊界（tangential boundary），$\partial_{\pitchfork}U=\varphi^{-1}((\partial B_{\tau})\times B_{\pitchfork})$稱作U的橫截邊界（transverse boundary）。

葉狀圖是所有葉狀結構的基本模型，斑就是葉。$B_{\tau}$表示「B-切」，$B_{\pitchfork}$表示「B-截」。還有多種可能。若$B_{\pitchfork},\ B_{\tau}$都有空邊界，則葉狀圖就建模了無界n-流形的余維-q葉狀結構。若其中一個矩鄰域有界，則葉狀圖建模了有界無角n-流形的葉狀結構的各種可能性。具體來說，若$\partial B_{\pitchfork}\neq \varnothing=\partial B_{\tau}$，則$\partial U=\partial_{\tau}U$是斑之並，斑表示的葉狀結構切於邊界。若$\partial B_{\tau}\neq\varnothing=\partial B_{\pitchfork}$，則$\partial U=\partial_{\pitchfork}U$是橫截之並，葉狀結構橫截於邊界。最後，若$\partial B_{\pitchfork}\neq\varnothing\neq\partial B_{\tau}$，則建模了葉狀流形（foliated manifold），角分開了切邊界與橫截邊界。

n-流形M上余維為q的$C^r\ (0\le r\le\infty)$類葉狀圖冊（foliated atlas）是余維為q的葉狀圖的$C^r$-圖冊$\mathcal{U} = \{(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})\mid \alpha \in A\}$，只要P、Q在$\mathcal{U}$的不同圖中都是斑，P ∩ Q在P、Q中都是開的，它們就是相干葉狀結構（coherently foliated）。

重新表述相干葉狀圖的有效方法是將$w\in U_{\alpha}\cap U_{\beta}$寫作：

$$\varphi_{\alpha} (w) = \left ( x_{\alpha} (w), y_{\alpha} (w) \right ) \in B_{\tau}^{\alpha} \times B_{\pitchfork}^{\alpha},$$

$$\varphi_{\beta} (w) = \left ( x_{\beta} (w), y_{\beta} (w) \right ) \in B_{\tau}^{\beta} \times B_{\pitchfork}^{\beta}.$$

$(U_{\alpha},\ \varphi_{\alpha})$常寫作$(U_{\alpha},\ x_{\alpha},\ y_{\alpha})$，其中

$$x_{\alpha} = \left (x_{\alpha}^1, \dots,x_{\alpha}^p \right ),$$

$$y_{\alpha} = \left (y_{\alpha}^1, \dots,y_{\alpha}^q \right ).$$

在$\varphi_{\beta}(U_{\alpha}\cap U_{\beta})$上，坐標公式可改寫為

$$g_{\alpha \beta} \left ( x_{\beta},y_{\beta} \right ) = \varphi_{\alpha} \circ \varphi_{\beta}^{-1} \left ( x_{\beta}, y_{\beta} \right ) = \left ( x_{\alpha} \left ( x_{\beta}, y_{\beta} \right ), y_{\alpha} \left ( x_{\beta}, y_{\beta} \right ) \right ).$$

$(U_{\alpha},\ x_{\alpha},\ y_{\alpha}),\ (U_{\beta},\ x_{\beta},\ y_{\beta})$是相干葉狀結構這一條件意味著，若$P\subset U_{\alpha}$是斑，則$P\cap U_{\beta}$的連通分量位於$U_{\beta}$的（可能不同的）斑中。等價地，由於$U_{\alpha},\ U_{\beta}$的斑分別是橫坐標$y_{\alpha},\ y_{\beta}$的水平集，$\forall z\in U_{\alpha}\cap U_{\beta}$都有鄰域，其中公式

$$y_\alpha = y_\alpha(x_\beta, y_\beta) = y_\alpha(y_\beta)$$

與$x_{\beta}$無關。

葉狀圖冊的主要用處是將重疊的斑連接起來，形成葉狀結構；上述一般定義顯得有點笨拙，一個問題是，$(U_{\alpha},\ \varphi_{\alpha})$的斑可以與多個$(U_{\beta},\ \varphi_{\beta})$的斑相遇。甚至可能出現，一個圖的斑與另一圖的無窮多個斑相遇。不過，如下所示，假設情形更規則，也不失一般性。

若$\mathcal{U} \cup \mathcal{V}$是葉狀$C^r$圖冊，則M上兩具有相同餘維和光滑度的$C^r$類葉狀圖冊$\mathcal{U},\ \mathcal{V}$是相干的：$\left ( \mathcal{U} \thickapprox \mathcal{V} \right )$。葉狀圖冊的相干是等價關係。

證明自反關係和對稱關係是直接的。要證傳遞關係，令$\mathcal{U} \thickapprox \mathcal{V}$ and $\mathcal{V} \thickapprox \mathcal{W}$。令$(U_{\alpha},\ x_{\alpha},\ y_{\alpha})\in\mathcal{U},\ (W_{\lambda},\ x_{\lambda},\ y_{\lambda})\in\mathcal{W}$，並假設有點$w\in U_{\alpha}\cap W_{\lambda}$。擇$(V_{\delta},\ x_{\delta},\ y_{\delta})\in\mathcal{V}$，使得$w\in V_{\delta}$。根據上述說明，w有屬於$U_{\alpha}\cap V_{\delta}\cap W_{\lambda}$的鄰域，使得 :$y_\delta = y_\delta( y_\lambda) \quad \text{on} \quad \varphi_\lambda ( N ),$ :$y_\alpha = y_\alpha(y_\delta) \quad \text{on} \quad \varphi_\delta ( N ),$ 由此 :$y_{\alpha} = y_\alpha \left ( y_\delta( y_\lambda) \right ) \quad \text{on} \quad \varphi_\delta ( N ).$ 由於$w\in U_{\alpha}\cap W_{\lambda}$是任意的，可以總結$y_{\alpha}(x_{\lambda},\ y_{\lambda})$局部依賴於$x_{\lambda}$。於是可以證明$\mathcal{U} \thickapprox \mathcal{W}$，因為相干是可傳遞的。

上面定義的開集上的斑與橫截也是開的。不過，我們也可以談論閉的斑與橫截：若$(U,\ \varphi),\ (W,\ \psi)$都是葉狀圖，使得$\overline{U}$（U的閉包）是W的子集，$\varphi=\psi|U$；則，若$\varphi(U) = B_{\tau} \times B_{\pitchfork},$可知$\psi|\overline{U}$，寫作$\overline{\varphi}$，將$\overline{U}$微分同胚地帶到$\overline{B}_{\tau} \times \overline{B}_{\pitchfork}.$

符合以下條件的葉狀圖冊稱作規則的（regular）：

- $\forall\alpha\in A,\ \overline{U}_{\alpha}$是葉狀圖$(W_{\alpha},\ \psi_{\alpha})$的緊子集，且$\varphi_{\alpha}=\psi_{\alpha}|U_{\alpha}$。
- 覆蓋$\{U_{\alpha}|\alpha\in A\}$是局部有限的。
- 若$(U_{\alpha},\ \varphi_{\alpha}),\ (U_{\beta},\ \varphi_{\beta})$都是葉狀圖冊的元素，則每個閉斑$P\subset\overline{U}_{\alpha}$的內部與最多與$\overline{U}_{\beta}$中的1個斑相遇。

根據性質 (1)，坐標$x_{\alpha},\ y_{\alpha}$延伸到$\overline{U}_{\alpha}$上的坐標$\overline{x}_{\alpha},\ \overline{y}_{\alpha}$，可以寫成$\overline{\varphi}_{\alpha} = \left (\overline{x}_{\alpha},\overline{y}_{\alpha} \right ).$性質 (3)等價於要求：若$U_{\alpha}\cap U_{\beta}\neq\varnothing$，橫坐標變化$\overline{y}_{\alpha} = \overline{y}_{\alpha} \left ( \overline{x}_{\beta}, \overline{y}_{\beta} \right )$獨立於$\overline{x}_{\beta}.$即

$$\overline{g}_{\alpha \beta} = \overline{\varphi}_{\alpha} \circ \overline{\varphi}_{\beta}^{-1} : \overline{\varphi}_{\beta} \left ( \overline{U}_{\alpha} \cap \overline{U}_{\beta} \right ) \rightarrow \overline{\varphi}_{\alpha} \left ( \overline{U}_{\alpha} \cap \overline{U}_{\beta} \right )$$

有公式

$$\overline{g}_{\alpha \beta} \left ( \overline{x}_{\beta}, \overline{y}_{\beta} \right ) = \left ( \overline{x}_{\alpha} \left ( \overline{x}_{\beta}, \overline{y}_{\beta} \right ), \overline{y}_{\alpha} \left ( \overline{y}_{\beta} \right ) \right ).$$

類似論斷也適於開圖（無覆蓋線）。橫坐標映射$y_{\alpha}$可視作浸沒

$$y_{\alpha} : U_{\alpha} \rightarrow \mathbb{R}^q$$

公式$y_{\alpha}=y_{\alpha}(y_{\beta})$可視作微分同胚

$$\gamma_{\alpha \beta} : y_{\beta} \left ( U_{\alpha} \cap U_{\beta} \right ) \rightarrow y_{\alpha} \left ( U_{\alpha} \cap U_{\beta} \right ).$$

它們滿足上循環條件，即，在$y_{\delta}(U_{\alpha}\cap U_{\beta}\cap U_{\delta})$上。

$$\gamma_{\alpha \delta} = \gamma_{\alpha \beta} \circ \gamma_{\beta \delta}$$

尤其是。

$$\gamma_{\alpha \alpha} \equiv y_{\alpha} \left ( U_{\alpha} \right ),$$

$$\gamma_{\alpha \beta} = \gamma_{\beta \alpha}^{-1}.$$

用上述關於相干性和規則性的定義，可證明每個葉狀圖冊都有規則的相干細化。

證明固定M上的一個度量核一個葉狀圖冊$\mathcal{W}.$傳遞到子覆蓋，如有必要，可假設$\mathcal{W} = \left \{ W_j,\psi_j \right \}_{j=1}^l$有限。令ε > 0是$\mathcal{W}$的勒貝格數，即直徑< ε的$\forall\subset X\subseteq M$都完全位於某個$W_j$中。$\forall x\in M$，擇j使得$x\in W_j$、擇葉狀圖$(U_x,\ \varphi_x)$使得 :$x\in U_x\subseteq \overline{U}_x\subset W_j,$ :$\varphi_x=\psi_j|U_x,$ :${\rm diam}(U_x)<\varepsilon/2.$ 設$U_x\subset W_k\ (k\neq j)$，並照常記$\psi_k=(x_k,\ y_k)\ (y_k:\ W_k\to\mathbb{R}^q)$是橫坐標映射。這是浸沒，以$W_k$中的斑為水平集。因此，$y_k$限制到浸沒$y_k:\ U_x\to\mathbb{R}^q.$ 這在$x_j$中是局部為常的；因此，若有必要可以選擇較小的$U_x$，假定$y_k|\overline{U}_x$以$\overline{U}_x$的斑為水平集。即，$W_k$的斑最多與$\overline{U}_x$的一個（緊）斑相遇（因此包含）。由於1 < k < l < ∞，可以擇$U_x$，使得只要$U_x\subset W_k$，$\overline{U}_x$的不同斑就位於$W_k$的不同斑中。傳遞到$\{(U_x,\ \varphi_x)|x\in M\}$的有限子圖冊$\mathcal{U} = \left \{U_i,\varphi_i \right \}_{i=1}^N$。若$U_i\cap U_j\neq 0,\ {\rm diam}(U_i\cup U_j)<\varepsilon$，於是存在索引k使得$\overline{U}_i \cup \overline{U}_j \subseteq W_k$。$\overline{U}_i$的不同斑（分別是$\overline{U}_j$的不同斑）位於$W_k$的不同斑中。因此$\overline{U}_i$的每個斑內部最多與$\overline{U}_j$的一個斑相交，反之亦然。根據構造，$\mathcal{U}$是$\mathcal{W}$的相干細化，是規則葉狀圖冊。若M非緊，局部緊性和第二可數性允許我們選擇緊子集序列$\left \{ K_i \right \}_{i=0}^{\infty}$，使得$\forall i\ge 0,\ M = \bigcup_{i=1}^{\infty} K_i,\ K_i\subset {\rm int}K_{i+1}$。傳遞到子圖集，假定$\mathcal{W} = \left \{ W_j, \psi_j \right \}_{j=0}^{\infty}$可數，且可找到嚴格遞增正整數列$\left \{ n_l \right \}_{l=0}^{\infty}$使$\mathcal{W}_l = \left \{ W_j, \psi_j \right \}_{j=0}^{n_l}$是$K_l$的覆蓋。令$\delta_l$表示$K_l$到$\partial K_{l+1}$的距離，並擇$\varepsilon_l>0$，小到對於$l\ge 1,\ \varepsilon_0<\delta_0/2$，都有$\varepsilon_l<{\rm min}\{\delta_l/2,\ \varepsilon_{l-1}\}$（$\varepsilon_l$是$\mathcal{W}_l$（作為$K_{l}$的開覆蓋）與$\mathcal{W}_{l+1}$（作為$K_{l+1}$的開覆蓋）的勒貝格數）。更確切地說，若$X\subset M$與$L_l$相遇（或$K_{l+1}$），且${\rm diam} X<\varepsilon_l$，則X位於$\mathcal{W}_l$的某個元素中（或$\mathcal{W}_{l+1}$）。$\forall x\in K_l\diagdown{\rm int}K_{l-1}$，與緊情形一樣構造$(U_x,\ \varphi_x)$，要求$\overline{U}_x$是$W_j$的緊子集，且$\forall j\le n_l,\ \varphi_x=\psi_j|U_x$。同時，要求${\rm diam}\overline{U}_x<\varepsilon_l/2$。和之前一樣，傳遞到$K_l\diagdown{\rm int}K_{l-1}$的有限子覆蓋$\left \{U_i,\varphi_i \right \}_{i=n_{l-1} + 1}^{n_l}$（此處取$n_{-1}=0$。）這樣就創造了規則葉狀圖冊$\mathcal{U} = \left \{U_i,\varphi_i \right \}_{i=1}^{\infty}$，細化了$\mathcal{W}$並與$\mathcal{W}$相干。

## 葉狀結構的定義

根據實現葉狀結構的方式，有幾種不同的定義。最常見方式是通過流形分解，得到

定義 n維流形M的p-維$C^r$類葉狀結構是將M分解為不交連通子流形$\{L_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$的並，稱作葉狀結構的葉（leaf），具有如下性質：M的點都有鄰域U和局部$C^r$類坐標系$x=(x^1,\ \ldots,\ x^n):\ U\to \mathbb{R}^n$，使得對每片葉$L_{\alpha}$，$U\cap L_{\alpha}$的組分都由方程組$x^{p+1}=\text{常数},\ \ldots,\ x^n=\text{常数}$描述。則，葉狀結構記作$\mathcal{F}=\{L_{\alpha}\}_{\alpha\in A}.$

葉的概念可以讓我們直觀地思考葉狀結構。若用稍微幾何化的定義，n維流形M的p維葉狀結構$\mathcal{F}$也許可簡單視作M的逐對不交、連通浸沒的p維子流形（葉狀結構的葉）的集合$\{M_a\}$，使得對點$\forall x\in M$，都有圖$(U,\varphi)$，其中U同胚於$\mathbb{R}^n$，包含的x使得對每片葉$M_a$，與U相遇或為空集或為子空間的可數集，其在$\varphi (M_a \cap U)$中$\varphi$的像下是前n-p個坐標為常數的p維仿射子空間。

葉狀結構局部上都是浸沒，允許下列定義

定義 令M、Q是n維流形，q≤n，並令$f:\ M\to Q$是浸沒，即假設函數微分矩陣（雅可比矩陣）的秩為q，則據隱函數定理，ƒ在M上誘導了余維為q的葉狀結構，其中的葉定義為$x\in Q,\ f^{-1}(x).$

這定義描述了n維流形M的p維葉狀結構$\mathcal{F}$，是由圖（chart）$U_i$與下列映射覆蓋的：

$$\varphi_i:U_i \to \mathbb{R}^n$$

這樣，對重疊對$U_i,\ U_j$，轉移函數$\varphi_{ij}:\ \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$定義為

$$\varphi_{ij} =\varphi_j \varphi_i^{-1}$$

形式為

$$\varphi_{ij}(x,y) = (\varphi_{ij}^1(x),\varphi_{ij}^2(x,y))$$

其中x表示前$q=n-p$個坐標，y表示後p個坐標（co-ordinates），即

$$\begin{align} \varphi_{ij}^1:{} &\mathbb{R}^q\to\mathbb{R}^q \\ \varphi_{ij}^2:{} &\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^p \end{align}$$

將轉移函數$\varphi_{ij}$拆分為$\varphi_{ij}^1(x),\ \varphi_{ij}^2(x,y)$，作為浸沒的一部分完全類似於將$\overline{g}_{\alpha \beta}$拆分為$\overline{y}_{\alpha} \left ( \overline{y}_{\beta} \right ),\ \overline{x}_{\alpha} \left ( \overline{x}_{\beta}, \overline{y}_{\beta} \right )$，作為規則葉狀圖冊定義的一部分。這使得可以用規則葉狀圖冊定義葉狀結構成為可能。為此，必須首先證明，余維度為q的規則葉狀圖冊都與唯一的余維度為q的葉狀結構$\mathcal{F}$相關聯。

證明令$\mathcal{U} = \left \{U_a,\varphi_{\alpha} \right \}_{\alpha \in A}$是余維為q的規則葉狀圖冊。在M上定義等價關係：x ~ y，若且唯若$\exists\mathcal{U}$-斑$P_0$使得$x,\ y\in P_0$，或有$\mathcal{U}$-斑的序列$L=\{P_0,\ P_1,\ \dots,\ P_p\}$使得$x \in P_0,\ y \in P_p,\ P_i \cap P_{i-1} \neq \varnothing \ (1\le i\le p)$成立。稱序列L為連接x、y的長p的斑鏈。$x,\ y\in P_0$時，可以說$\{P_0\}$是連接x、y的長度為0的斑鏈。~是等價關係，這很清楚；同樣明顯的是，等價類L都是斑的並。由於$\mathcal{U}$-斑只能在彼此的開子集中相互重疊，所以L在局部是維度為n-q的拓撲浸入（immerse）子流形。斑$P\subset L$的開子集在L上構成了n-q維的局部歐氏拓撲的基，L在這拓撲中顯然是連通的。要檢驗L是否為豪斯多夫空間也是平凡的，主要問題是要證明L第二可數。由於斑都是第二可數的，所以對L只需證L中$\mathcal{U}$-斑集最多為可數無窮。固定一個這樣的斑$P_0$，根據規則葉狀圖冊的定義，其只與有限多個其他斑相遇。即，只有有限多長1的斑鏈$\{P_0,\ P_i\}$。歸納始於$P_0$的p長斑鏈，同樣可證明長度≤ p的斑鏈只有有限多條。根據~的定義，L中所有$\mathcal{U}$-斑都可通過始於$P_0$的有限斑鏈抵達，因此可得上述論斷。

正如證明所示，葉狀結構的葉是長度 ≤ p的斑鏈的等價類，也是拓撲浸入豪斯多夫p維子流形。接著，我們將證明葉上斑的等價關係可用相干葉狀圖冊的等價來表示，即它們與葉狀結構的聯繫。更具體地說，若$\mathcal{U},\ \mathcal{V}$是M上的葉狀圖冊、且若$\mathcal{U}$與葉狀結構$\mathcal{F}$相關聯，則若且唯若$\mathcal{V}$也與$\mathcal{F}$相關聯時，$\mathcal{U},\ \mathcal{V}$相干。

證明若$\mathcal{V}$也與$\mathcal{F}$相關聯，則每片葉L都是$\mathcal{V}$-斑與$\mathcal{U}$-斑的並。這些斑在L的流形拓撲中是開子集，因此交於彼此的開子集。由於斑是連通的，所以不在同一片葉的$\mathcal{U}$-斑不能交$\mathcal{V}$-斑；因此葉狀圖冊是相干的。反之，若只知道$\mathcal{U}$與$\mathcal{F}$相關聯、$\mathcal{V} \approx \mathcal{U}$，令Q是$\mathcal{V}$-斑。若L是$\mathcal{F}$的葉，且$w\in L\cap Q\ (w\in P)$，令$P\in L$是$\mathcal{U}$-斑，則$P\cap Q$是w在Q中的開鄰域，且$P\cap Q\subset L\cap Q$。由於$w\in L\cap Q$是任意的，可知$L\cap Q$是開的；由於L也是任意的葉，所以Q可分解為不交的開子集，每個都是Q與$\mathcal{F}$中某葉的交。又由於Q連通，$L\cap Q=Q.$最後，Q也是任意的$\mathcal{V}$-斑，所以$\mathcal{V}$與$\mathcal{F}$相關聯。

現在很明顯，M上的葉狀結構與葉狀圖冊間的關聯關係產生了M的葉狀結構集同葉狀圖冊的相干類集之間的一一對應，換句話說，M上余維為q的$C^r$類葉狀結構$\mathcal{F}$是余維為q的$C^r$類葉狀圖冊的相干類。據佐恩引理，葉狀圖冊相干類顯然包含唯一的最大葉狀圖冊。於是。

定義 M上余維為q的$C^r$類葉狀結構是M上余維為q的最大葉狀$C^r$-圖冊。

實踐中，通常用較小的葉狀圖冊表示葉狀結構，通常還要求是規則的。

在圖$U_i$中，條紋$x=\text{常数}$與別的圖$U_j$上的條相匹配。這些子流形在圖之間拼接成最大連通單射浸入子流形，就是葉狀結構的葉（leaf）。

若縮小圖$U_i$，可以寫成$U_{ix}\times U_{iy}$，其中$U_{ix}\subset\mathbb{R}^{n-p},\ U_{iy}\subset\mathbb{R}^p.\ \ U_{}iy$與斑同構，$U_{ix}$的點參數化了$U_i$中的斑。若擇$y_0\in U_{iy}$，則$U_{ix}\times\{y_0\}$是$U_i$的子流形，與每個斑恰交一次，這叫做葉狀結構的局部橫截面。注意，由於單值性的原因，全局橫截面可能不存在。

r = 0的情形比較特殊。實踐中出現的$C^0$葉狀結構通常是「光滑葉」。更確切地說，是以下意義的$C^{r,\ 0}$類：

定義 若葉狀圖冊的相應相干類包含規則葉狀圖冊$\{U_{\alpha},\ x_{\alpha},\ y_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$，使得坐標變換式

$$g_{\alpha \beta}(x_\beta, y_\beta) = ( x_\alpha( x_\beta, y_\beta), y_\alpha ( y_\beta)).$$

屬於$C^k$類，但$x_{\alpha}$在坐標$x_{\beta}$中是$C^r$類，其階數≤ r、與$x_{\beta}$的混合偏導數在坐標$(x_{\beta},\ y_{\beta}$中是$C^k$類，則稱葉狀結構$\mathcal{F}$屬於$C^{r,\ k}\ (r>k\ge 0)$類。

上述定義是所謂「葉狀空間」的更一般概念。我們可以放寬橫截的條件為$\mathbb{R}^q$的相對緊開子集，允許橫坐標$y_{\alpha}$在更一般的拓撲空間Z中取值。斑仍是$\mathbb{R}^q$的相對緊開子集，橫坐標公式$y_{\alpha}(y_{\beta})$的變化是連續的，$x_{\alpha}(x_{\beta},\ y_{\beta})$在坐標$x_{\beta}$中屬於$C^r$類，其階數 ≤ r、與$x_{\beta}$的混合偏導數在坐標$(x_{\beta},\ y_{\beta})$中連續。一般要求M、Z為局部緊可測第二可數空間。這似乎是很狂野的推廣，但在一些情形下很有用。

## 完整性

令$(M,\ \mathcal{F})$是葉狀流形（foliated manifold）。設L是$\mathcal{F}$的葉，s是L中的路徑，我們感興趣的是M中s的鄰域中葉狀結構的行為。直觀地說，在葉上可以沿路徑s行走，同時關注附近所有葉。在他（以下寫作s(t)）行走時，一些葉可能會「掉落」、變得不可見；另一些可能會突然進入可視範圍，漸漸接近L；還有些可能會以接近平行的方式跟隨L，或垂直地打轉之類。若s是環路，則隨著t增大，s(t)會反覆回到同一個點s(t0)，每次都會有更多葉螺旋狀地進入或離開視野。這種行為經過適當的形式化，叫做葉狀結構的完整性（holonomy）。

完整性在葉狀流形上有多種具體實現方式：葉狀叢（foliated bundle）的總完整群、一般葉狀流形的完整偽群、一般葉狀流形的虧格完整廣群、葉的虧格完整群、葉的無窮小完整群。

### 葉狀叢

最容易理解的完整性是葉狀叢的總完整性，這是龐加萊映射概念的推廣。

「第一回歸映射」來自動力系統理論。令$\Phi_t$是緊n-流形上的非奇異$C^r\ (r\ge 1)$流。應用中，可以想像M是個回旋加速器或流體的閉合迴路。若M有界，則假定流與界相切。流生成了1維葉狀結構$\mathcal{F}$。若知道流的正方向，但不知道其他參數（軌跡形狀、速度等），則稱底葉狀結構（underlying foliation）$\mathcal{F}$有向。假設流有全局橫截面N，即N是M的n-1維緊正合嵌入的$C^r$子流形，葉狀結構$\mathcal{F}$垂直於N，每條流線都與N相遇。由於N的維度與葉的維度是互補的，橫截性條件是

$$T_y (M) = T_y(\mathcal{F}) \oplus T_y(N) \text{ for each } y\in N.$$

令$y\in N$，考慮M中所有序列$\left \{\Phi_{t_k}(y)\right\}_{k=1}^\infty$的所有堆積點的ω-極限集合ω(y)，其中$t_k$為無窮大。可以證明，ω(y)是緊非空的，是流線的並。若$z = \lim_{k \rightarrow \infty} \Phi_{t_k} \in \omega(y),$則有值$t^*\in \mathbb{R}$使得$\Phi_{t^*}(z)\in N$，由此可得

$$\lim_{k \to \infty} \Phi_{t_k + t^\ast} (y) = \Phi_{t^\ast}(z) \in N.$$

由於N是緊的，$\mathcal{F}$橫截於N，因此集合$\{t>0|\Phi_t(y)\in N\}$是單調遞增序列$\{\tau_k(y)\}_{k=1}^\infty$，並發散。

當$y\in N$變化，令$\tau(y)=\tau_1(y)$，這樣定義一個正函數$\tau\in C^r(N)$（第一回歸時間），使得$\forall y\in N,\ \Phi_t(y)\notin N,\ 0<t<\tau(y),\ \Phi_{\tau(y)}(y)\in N.$

定義$f:\ N\to N,\ f(y)=\Phi_{\tau(y)}(y).$這是$C^r$映射。若流反向，則完全相同的構造會得到逆的$f^{-1}$；所以$f\in {\rm Diff}^r(N)$。這個微分同胚是第一回歸映射，τ稱作第一回歸時間。雖然第一回歸時間取決於流的參數化，但f顯然只取決於有向葉狀結構$\mathcal{F}$。可以將流$\Phi_t$重參數化，使其保持非奇異、是$C^r$類，且方向不翻轉，從而使$\tau\equiv 1.$

流有橫截面N的假設是很受限的，意味著M是$S^1$上纖維叢的總空間。事實上在$\mathbb{R}\times N$上，可將$\sim_f$定義為以下條件生成的等價關係：

$$(t,y) \sim_f (t-1,f(y)).$$

等價地，這是加法群Z在$\mathbb{R}\times N$上的作用的軌等價，定義如下

$$\forall k\in\mathbb{Z},\ \forall(t,\ y)\in\mathbb{R}\times N,\ k \cdot (t,y) = (t - k,f^k(y) ).$$

f的映射圓柱定義為$C^r$流形

$$M_f = (\mathbb{R} \times N)/{\sim_f}.$$

由第一回歸映射f的定義與第一回歸時間$\tau\equiv 1$的假設，可立即得出映射

$$\Phi : \mathbb{R} \times N \rightarrow M.$$

流的定義可誘導一個規範$C^r$微分同胚

$$\varphi : M_f \rightarrow M.$$

若記$M_f=M$，則$\mathbb{R}\times N$到R的投影誘導了$C^r$映射

$$\pi : M \rightarrow \mathbb{R} / \mathbb{Z} = S^1$$

使M變為圓上纖維叢的總空間。這只是$S^1\times D^2$到$S^1$的投影。葉狀結構$\mathcal{F}$橫截於這叢的纖維，限制到每片葉L的叢投影π是覆蓋映射$\pi:\ L\to S^1$，這就是葉狀叢（foliated bundle）。

以$x_0\in S^1$的等價類$0+\mathbb{Z}$為基點，$\pi^{-1}(x_0)$就是原橫截面N。對$S^1$上以$x_0$為基點的每個環路s，同倫類$[s]\in\pi_1(S^1,\ x_0)$的唯一特徵是${\rm deg}s\in\mathbb{Z}$。環路s提升到每條流線中的一條路徑，很明顯提升$s_y$始於$y\in N$、終於$f^k(y)\in N\ (k={\rm deg}s)$。微分同胚$f^k\in{\rm Diff}^r(N)$也用$h_s$表示，稱作環路s的總整體性。由於只取決於s，因此定義了同胚

$$h : \pi_1(S^1,x_0) \rightarrow \operatorname{Diff}^{\,r}(N),$$

稱作葉狀叢的總整體同胚。

更直觀地運用纖維叢，令$(M,\ \mathcal{F})$是余維為q的葉狀n-流形，令$\pi:\ M\to B$是纖維叢，具有q維纖維F與連通基空間B。假設所有這些結構都屬於$C^r\ (0\le r\le \infty)$類，若r = 0，B支持一個$C^1$結構。由於B上的最大$C^1$圖冊都包含$C^{\infty}$子圖冊，因此假設B如所期望那般光滑並不失一般性。最後，$\forall x\in B$，假設x有連通開鄰域$U\subseteq B$，和局部平凡化

$$\begin{matrix} \pi^{-1}(U) & \xrightarrow{\varphi} & U\times{F} \\ \scriptstyle{\pi} \Bigg\downarrow & {\qquad} & \Bigg\downarrow{\scriptstyle{p}} \\ U & \xrightarrow{\text{id}} & U \end{matrix}$$

其中φ是$C^r$微分同胚（若r = 0則是同胚），將$\mathcal{F} \mid \pi^{-1}(U)$帶到積葉狀結構$\{U\times\{y\}\}_{y\in F}$。其中，$\mathcal{F} \mid \pi^{-1}(U)$是葉為$L\cap\pi^{-1}(U)$的連通組分的葉狀結構，L是$\mathcal{F}$的葉。這是$C^r$類「葉狀叢」（foliated bundle）$(M,\ \mathcal{F},\ \pi)$的一般定義。

$\mathcal{F}$垂直於π的纖維（可以說$\mathcal{F}$是垂直於纖維的），π到$\mathcal{F}$的每片葉L的限制是覆蓋映射$\pi:\ L\to B$。特別是，每條纖維$F_x=\pi^{-1}(x)$都與$\mathcal{F}$的每片葉相遇。纖維是$\mathcal{F}$的橫截，與流的橫截完全類似。

葉狀結構$\mathcal{F}$橫截於纖維不能保證葉是B的覆蓋空間。這個問題的一個簡單版本是$\mathbb{R}^2$的一個葉狀結構橫截於纖維

$$\pi : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R},$$

$$\pi(x,y) = x,$$

但有無限多葉缺失了y軸。在相應的圖像中，「有箭頭的」葉以及它們上面所有的葉都漸進於x = 0軸。一般稱這種葉狀結構為相對於纖維是不完備的，即當參數$x\in B$接近某個$x_0\in B$，一些葉「奔向無窮大」。更確切地說，可能有葉L，和一條連續路徑$s:\ [0,\ a)\to L$使得$\lim_{t\to a-}\pi(s(t))=x_0\in B$，但$\lim_{t\to a-}s(t)$在L的流形拓撲中不存在。這類似於不完備流，某些流線會在有限時間內發散。雖然這樣的葉L可能在別處與$\pi^{-1}(x_0)$相遇，但不能均勻覆蓋$x_0$的鄰域，因此不可能是B在π下的的覆蓋空間。F是緊的時，$\mathcal{F}$對纖維的橫截性確實保證了完備性，於是$(M,\mathcal{F},\pi)$是葉狀叢。

B上有圖冊$\mathcal{U}=\{U_{\alpha},\ x_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$，包含開連通坐標圖，以及平凡化$\varphi_{\alpha}:\ \pi^{-1}(U_{\alpha})\to U_{\alpha}\times F$，將$\mathcal{F}|\pi^{-1}(U_{\alpha})$帶到積葉狀結構。置$W_{\alpha}=\pi^{-1}(U_{\alpha})$，並記$\varphi_{\alpha}=(x_{\alpha},\ y_{\alpha})$，其中（濫用符號）$x_{\alpha}$表示$x_{\alpha}\circ \pi,\ y_{\alpha}:\ \pi^{-1}(U_{\alpha})\to F$是將$\varphi_{\alpha}$與規範投影$U_{\alpha}\times F\to F$組合而得的浸沒。

圖冊$\mathcal{W}=\{W_{\alpha},\ x_{\alpha},\ y_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$的作用類似葉狀圖冊。$W_{\alpha}$的斑是$y_{\alpha}$的水平集，這一族斑通過$y_{\alpha}$，與F相同。由於預設了B支持某個$C^{\infty}$結構，據懷特黑德定理，可在B上固定一個黎曼度量，擇圖冊$\mathcal{U}$為測地凸的。於是，$U_{\alpha}\cap U_{\beta}$總是連通的。若這個交非空，則$W_{\alpha}$的每個斑都正好與$W_{\beta}$的一個斑相遇。然後，通過設下式，可定義一個完整上循環（holonomy cocycle）$\gamma = \left \{ \gamma_{\alpha \beta} \right \}_{\alpha,\beta \in A}$ by setting

$$\gamma_{\alpha \beta} = y_\alpha \circ y_\beta^{-1} : F \rightarrow F.$$

## 例子

### 平坦空間

考慮n維空間，是由前n-p個坐標為常數的點組成的子空間之積。這可以用一張圖（chart）表示，其基本原理是$\mathbb{R}^n=\mathbb{R}^{n-p}\times\mathbb{R}^p$，葉或斑$\mathbb{R}^p$由$\mathbb{R}^{n-p}$枚舉。置n = 3、p = 2，可以類比三維空間：書的2維葉由（1維）頁碼枚舉。

### 叢

較平凡的葉狀結構例子是積$M=B\times F$，葉$F_b=\{b\}\times F,\ b\in B$（M的另一個葉狀結構由$B_f=B\times\{f\},\ f\in F$給出）。

對流形F而言，$G={\rm Homeo}(F)$的平坦G-叢是更一般的一類。給定表示$\rho:\ \pi_1(B)\to{\rm Homeo}(F)$，具有單值ρ的平坦${\rm Homeo}(F)$-叢由$M=\left(\widetilde{B}\times F\right)/\pi_1B$給出，其中$\pi_1(B)$通過甲板變換作用於萬有覆蓋$\widetilde{B}$，通過表示ρ作用於F。

平坦叢符合纖維叢的框架。若有流形F使得$\forall b\in B$，都有開鄰域U使得有同胚$\varphi:\pi^{-1}(U)\to U\times F\ (\pi = p_1 \varphi,\ p_1:\ U\times F\to U)$（其中p1是到第一個因子的投影），則流形之間的映射$\pi:\ M\to B$是纖維叢。纖維叢產生了由纖維$F_b:=\pi^{-1}(\{b\}), b\in B$組成的葉狀結構，其葉空間L與B同構，前者是豪斯多夫流形。

### 覆蓋

若$M\to N$是流形間的覆蓋映射，F是N上的葉狀結構，則其拉回到M上的葉狀結構。更一般地，若映射只是分歧覆蓋（分歧軌跡橫截於葉狀結構），則葉狀結構就可以被拉回。

### 浸沒

若$M^n\to N^q,\ (q\le n)$是流形的浸沒，則據反函數定理，浸沒的纖維的連通組分定義了M的余維為q的葉狀結構。纖維叢是這種類型的一個例子。

不是纖維叢的浸沒的一個例子是

$$\begin{cases} f:[-1,1]\times \mathbb{R}\to \mathbb{R} \\f(x,y)=(x^2-1) e^y\end{cases}$$

這種浸沒產生了$[-1,\ 1]\times\mathbb{R}$的葉狀結構，在下列$\mathbb{Z}$作用下是不變的：

$$z(x, y)= (x,y+n ), \quad \text{or} \quad z(x, y)=\left((-1)^nx, y\right)$$

其中$(x,\ y)\in[-1,\ 1]\times\mathbb{R},\ n\in\mathbb{Z}$。$\mathbb{Z}\backslash([-1,\ 1]\times\mathbb{R})$的誘導葉狀結構稱作（環空的）2維里布葉狀結構，或（莫比烏斯帶的）2維無向里布葉狀結構。它們的葉空間都不是豪斯多夫的。

### 里布葉狀結構

定義一個潛沒

$$\begin{cases} f:D^{n}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R} \\ f(r,\theta,t):=(r^2-1)e^t\end{cases}$$

其中$(r,\ \theta)\in[0,\ 1]\times S^{n-1}$是n維圓盤$D^n$上的圓柱坐標。這浸沒產生了$D^n\times\mathbb{R}$的葉狀結構，在如下Z作用下是不變的：

$$z(x,y)=(x,y+z)\ ((x,\ y)\in D^n\times\mathbb{R},\ z\in\mathbb{Z})$$

$\mathbb{Z}\backslash(D^n\times\mathbb{R})$的誘導葉狀結構被稱作n維里布葉狀結構，其葉空間不是豪斯多夫的。

對於n = 2，這給出了實心環面的葉狀結構，可由沿邊界粘合兩個實心環面，來定義3-球的里布葉狀結構。奇數維球$S^{2n+1}$的葉狀結構也是明確已知的。

### 李群

若G是李群、H是李子群，則G就會被H的陪集葉化。若H在G中閉合，則商空間$G/H$是光滑（豪斯多夫）流形，將G轉化為纖維叢，纖維H、基為$G/H$。這個纖維叢實際上是主的，具有結構群H。

### 李群作用

令G是光滑作用於流形M的李群。若作用是局部自由作用或自由作用，則G的軌道定義了M的一個葉狀結構。

### 線性葉狀結構與克羅內克葉狀結構

若$\tilde{X}$是非奇異（即無處為零）的向量場，則$\tilde{X}$定義的局部流拼湊在一起，就定義了維度為1的葉狀結構。事實上，給定任一點$x\in M$，由於$\tilde{X}$是非奇異的，所以可找到一個關於x的坐標鄰域$(U,\ x^1,\ ,\ldots,\ x^n)$，使得

$$- \varepsilon < x^i < \varepsilon, \quad 1 \le i \le n,$$

$$\frac{\partial}{\partial x^1} = \tilde{X}\mid U.$$

從幾何角度來看，$\tilde{X} \mid U$的流線就是水平集

$$x^i = c^i, \quad 2 \le i \le n,$$

其中所有的$|c^i| < \varepsilon.$由慣例，流形是第二可數的，因此類似「長線」這樣的葉異常現象會被M本身的第二可數性排除。要求$\tilde{X}$是完全域（例如M是緊的），從而要求每片葉都是流線，就可以避開這個難題。

環面$T^2$上的一類重要1維葉狀結構來自投影於其上的恆向量場。$\mathbb{R}^2$上的恆向量場

$$\tilde{X} \equiv \begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}$$

對$\mathbb{R}^2$中所有平移都不變，因此當投影到環面$T^2=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$時傳遞到良定義向量場X。假定a ≠ 0。$\tilde{X}$產生的$\mathbb{R}^2$上的葉狀結構$\mathcal{\tilde{F}}$的葉具有斜率為$\theta=b/a$的平行線，這葉狀結構在平移下也是不變的，並傳遞到X產生的$T^2$上的葉狀結構$\mathcal{F}$。

$\mathcal{\tilde{F}}$每片葉的形式是

$$\tilde{L} = \{(x_0 + ta,y_0 + tb)\}_{t \in \mathbb{R}}.$$

若斜率是有理的，則所有葉都是與圓同胚的閉合曲線。這時，可取$a,\ b\in\mathbb{Z}$。對固定的$t\in\mathbb{R}$，$\tilde{L}$中與$t\in t_0+\mathbb{Z}$的值對應的點都投影到$T^2$的同一點，於是$\mathcal{F}$對應的葉L是$T^2$中的嵌入圓。由於L是任意的，所以$\mathcal{F}$是$T^2$對圓的葉狀結構。由此很容易得出，這個葉狀結構實際上就是纖維叢$\pi:\ T^2\to S^1$，這就是所謂線性葉狀結構。

若斜率是無理的，則葉是非緊的，同胚於非緊實線，在環面中稠密（參無理旋轉）。每個點$(x_0,\ y_0)$的軌跡永遠不會回到同一點，而是在環面上產生「處處稠密」的環繞，會任意接近任何給定的點。於是，軌跡的閉包是整個2維環面。這種情形稱作克羅內克葉狀結構，得名於利奧波德·克羅內克與

克羅內克稠密性定理 若實數θ不等於π的所有有理倍數，則集合$\{e^{in\theta}|n\in\mathbb{Z}\}$在單位圓內稠密。

證明首先注意，若$\mathcal{\tilde{F}}$的葉$\tilde{L}$不是一一投影到$T^2$，則一定有實數$t\neq 0$使得ta、tb都是整數。但這意味著$b/a\in\mathbb{Q}$。要證$\mathcal{F}$的葉L在$T^2$中都稠密，只需證明$\forall v\in\mathbb{R}^2$，$\mathcal{\tilde{F}}$的每片葉$\tilde{L}$與陪集$v+\mathbb{Z}^2$中的適當點間距都是任意小的正距離。$\mathbb{R}^2$中的適當平移使我們可以假設v = 0，這樣任務就簡化為證明$\tilde{L}$任意地經過合適的點$(n,\ m)\in\mathbb{Z}^2$。線$\tilde{L}$具有斜截式 :$y = \theta x + c.$ 因此，對於任意$\eta>0$，只要找到整數n、m使得 :$|\theta n + c - m| < \eta.$ 等價地，$c\in\mathbb{R}$是任意的，就可以證明集合$\{\theta n-m\}_{m,\ n\in\mathbb{Z}}$在R中稠密。這實質上就是歐多克索斯關於θ與1不可通約（即θ無理）的標準。

用平行線對$\mathbb{R}^n$進行葉狀結構的類似構造，可得與環面上的線性流相關的n-環面$\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n$的1維葉狀結構。

### 緯懸葉狀結構

平坦叢不僅有對纖維的線性結構，還有橫截於纖維的葉狀結構，其葉為

$$L_f:= \left\{p\left(\tilde{b},f\right): \tilde{b}\in\widetilde{B}\right\}, \quad \mbox{ for }f\in F,$$

其中$p:\ \widetilde{B}\times F\to M$是規範投影。這個葉狀結構稱作表示$\rho:\ \pi_1(B)\to{\rm Homeo}(F)$的緯懸。

具體地說，若$B=S^1$，$\varphi:F\to F$是F的同胚，則$\varphi$的緯懸葉狀結構定義為表示$\rho:\ \mathbb{Z}\to{\rm Homeo}(F)$的緯懸葉狀結構，由$\rho(z)=\Phi^z$給出。其葉空間是$L=\mathcal{F}/\sim$，其中只要對某個$n\in\mathbb{Z},\ y=\Phi^n(x),\ x\sim y$。

緯懸葉狀結構最簡單的例子是q維流形X。令$f:\ X\to X$是雙射。將緯懸$M=S^1\times_f X$定義為$[0,\ 1]\times X$對等價關係$(1,\ x)\sim(0,\ f(x))$的商。

$$M=S^1\times_f X=[0,\ 1]\times X$$

則，M自動攜帶兩個葉狀結構：$\mathcal{F}_2$包含$F_{2,\ t}=\{(t,\ x)_{\sim}:\ x\in X\}$形式的集合；$\mathcal{F}_1$包含$F_{2,\ x_0}=\{(t,\ x):\ t\in[0,\ 1],\ x\in O_{x_0}\}$形式的集合，其中軌道$O_{x_0}$定義為

$$O_{x_0}=\{\ldots,\ f^{-2}(x_0),\ f^{-1}(x_0),\ x_0,\ f(x_0),\ f^2(x_0),\ \ldots\}$$

其中指數指的是函數f與自身複合的次數。注意$O_{x_0}=O_{f(x_0)}=O_{f^{-2}(x_0)},\ {\rm etc.}$，對$F_{1,\ x_0}$也同樣。理解葉狀結構$\mathcal{F}_1$等效於理解映射f的動力學。若流形X已經葉化，則只要f是葉間映射，就可以利用這構造增加葉狀結構的余維數。

2-環面的克羅內克葉狀結構是旋轉$R_{\alpha}:\ S^1\to S^1$（角度為$\alpha\in[0,\ 2\pi)$）的緯懸葉狀結構。

更具體地說，若$\Sigma=\Sigma_2$是2洞環面，$C^1,\ C^2\in\Sigma$是兩個嵌入圓，則$\mathcal{F}$是葉$\Sigma\times\{y\},\ y\in S^1$的3-流形的積葉狀結構$M=\Sigma\times S^1$。注意$N_i=C_i\times S^1$是嵌入環，$\mathcal{F}$橫截於$N_i,\ i=1,\ 2$。令${\rm Diff}_{+}(S^1)$表示$S^1$的保向微分同胚群，並擇$f_1,\ f_2\in{\rm Diff}_{+}(S^1)$。將M沿$N_1,\ N_2$切開，$N_i^{+},\ N_i^{-}$表示它們的副本。這時，流形$M'=\Sigma'\times S_1$有4個邊界分量$\left \{N_i^{\pm} \right \}_{i=1,2}.$葉狀結構$\mathcal{F}$橫截邊界$\partial M'$的葉狀結構$\mathcal{F^{\prime}}$，葉的形式為$\Sigma'\times\{y\},\ y\in S^1$。

這片葉在4個圓$C_i^{\pm} \times \{y\} \subset N_i^{\pm}$中與$\partial M'$相遇。若$z\in C_i$，則$C_i^{\pm}$中的對應點記作$z^{\pm}$，$N_i^{-}$通過下列標識，「回到」$N_i^{+}$：

$$(z^{-},y) \equiv (z^{+},f_i(y)), \quad i = 1,2.$$

由於$f_1,\ f_2$是$S^1$的保向微分同胚，因此與恆同（identity）同痕，由這操作得到的流形同胚於M。$\mathcal{F^{\prime}}$的葉則重新組合，產生M新的葉狀結構$\mathcal{F}(f_1,\ f_2)$。若$\mathcal{F}(f_1,\ f_2)$的葉L 包含一片$\Sigma'\times\{y_0\}$，則

$$L = \bigcup_{g \in G} \Sigma^{\prime} \times \{ g (y_0) \},$$

其中$G\subset{\rm Diff}_+(S^1)$是由$\{f_1,\ f_2\}$生成的子群。這些Σ'的副本通過標識彼此相連：

$$\forall z\in C_1,\ (z^-,\ g(y_0))\equiv(z^+,\ f_1(g(y_0)))$$

$$\forall z\in C_2,\ (z^-,\ g(y_0))\equiv(z^+,\ f_2(g(y_0)))$$

其中g在G上取值。葉完全由$y_0\in S^1$的G-軌道決定，可以很簡單也可以很複雜。例如若相應的G-軌道有限，則葉就是緊的。舉個極端的例子，若G是平凡的$(f_1=f_2={\rm id}_{S^1})$，則$\mathcal{F}(f_1,\ f_2)=\mathcal{F}$。若軌道在$S^1$中是稠密的，則對應的葉在M中也稠密。例如，若$f_1,\ f_2$是2π的有理獨立倍的旋轉，則每片葉都是稠密的。其他例子中，某些葉L的閉包$\bar{L}$與每個因子$\{w\}\times S^1$在康托爾集中相遇。在$\Sigma\times I$上也可做類似構造，其中I是緊非退化區間。這裡，取$f_1,\ f_2\in{\rm Diff}_+(I)$，由於$\partial I$通過所有保向微分同胚逐點固定了，所以可得一個以$\partial M$的兩分量為葉的葉狀結構。若在這情形下形成M'，就會得到有角葉狀流形。無論哪種情形，這種構造都被稱作微分同胚對的緯懸，提供了余維為1的葉狀結構的有趣例子。

## 葉狀結構與可積性

假設一切都光滑，那麼向量場之間有一種密切關係：給定M上不為零的向量場X，其積分曲線將給出1維葉狀結構（即余維為n-1的葉狀結構）。

這觀察可推廣為弗羅貝尼烏斯定理，即分布（流形切叢的n − p維子叢）與葉狀結構的葉相切的充分必要條件是，與分布相切的向量場集對李括號閉合。這也可以解釋為，將切叢的結構群從${\rm GL}(n)$約化為可約群。

弗羅貝尼烏斯定理中的條件作為可積條件出現，並斷言若滿足條件，就能約化，因為具有所需塊結構的局部轉移函數存在。例如，對某（非規範）$\alpha\in\Omega^1$（即非零餘向量場），余維為1時可定義葉狀結構的切叢為${\rm ker}(\alpha)$。若處處都有$\alpha\wedge{\rm d}\alpha=0$，則給定的α可積。

由於存在拓撲約束，因此存在全局葉狀結構理論。例如，曲面情形中，處處非零向量場只能存在於環面的有向緊曲面上。這是龐加萊-霍普夫定理的結果，指出歐拉示性數需為0。其與切觸幾何有很多深層聯繫，專門研究不可積情形。

## 葉狀結構的存在

給出連通非緊流形上的分布與可積分布同倫的充分必要條件。證明，任意有分布的緊流形都有同維度的葉狀結構。

## 外部連結

- Foliations at the Manifold Atlas