高斯定律

高斯定律（Gauss' law）表明在閉合曲面內的電荷分佈與產生的電場之間的關係：

- 其定性描述為：穿越出任意閉合曲面的淨電通量等於該閉合曲面內的淨電荷除以電容率。該閉合曲面稱為高斯曲面。
- 真空中高斯定律積分形式為：$\Phi_E =\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\vec{E}\cdot d\vec{a}=\dfrac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}$。

其中，$\vec{E}$ 為電場， $d\vec{a}$ 為閉合曲面 $\mathbb{A}$ 的微分面積，由曲面向外定義為其方向，$Q_{enc}$ 為閉合曲面內的電荷，$\varepsilon_0$ 為真空電容率。

- 其微分形式為：$\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$；其中，$\rho$ 為電荷密度（單位 C/m3）。
- 在線性材料中，等式變為$\nabla\cdot\varepsilon\vec{E}=\rho_{free}$；其中 $\varepsilon$ 為材料的電容率，$\rho_{free}$ 為自由電荷密度。

此方程是卡爾·高斯在1835年提出的，但直到1867年才發布。高斯定律在靜電場情況下類比於應用在磁場學的安培定律，而二者都被集中在麥克斯韋方程組中。因為數學上的相似性，高斯定律也可以應用於其它由反平方定律決定的物理量，例如引力或者輻照度。參看散度定理。

## 積分形式

採用國際單位制，對於空間內的任意體積 $\mathbb{V}$，其表面 $\mathbb{A}$，真空中的高斯定律的積分形式可以用方程式表達為

$\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset \vec{E}\cdot d\vec{a}=\dfrac{Q_{enc}}{\varepsilon _0}$。

其中，$\vec{E}$ 為電場， $d\vec{a}$ 為閉合曲面 $\mathbb{A}$ 的微分面積，由曲面向外定義為其方向，$Q_{enc}$ 是在體積 $\mathbb{V}$ 內的總電荷數量。

- 電通量 $\Phi_E$ 是穿過曲面 $\mathbb{A}$ 的電場線數量：

$\Phi_E=\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\vec{E} \cdot d\vec{a}$。

- $Q_{enc}$ 包括自由電荷和束縛電荷（在電介質內，因電極化強度而產生的電荷）。
- $\varepsilon_0$ 是真空電容率。

### 應用

給予空間的某個區域內，任意位置的電場。原則上，應用高斯定律，可以很容易地計算出電荷的分佈。只要積分電場於任意區域的表面，再乘以真空電容率，就可以得到那區域內的電荷數量。

但是，更常遇到的是逆反問題。給予電荷的分佈，求算在某位置的電場。這問題比較難解析。雖然知道穿過某一個閉合曲面的電通量，這資料仍舊不足以解析問題。在閉合曲面任意位置的電場可能會是非常的複雜。

假若，問題本身顯示出某種對稱性，促使在閉合曲面位置的電場大小變得均勻。那麼，就可以藉著這均勻性來計算電場。像圓柱對稱、平面對稱、球對稱等等，這些空間的對稱性，都能幫助高斯定律來解析問題。若想知道怎樣利用這些對稱性來計算電場，請參閱高斯曲面（Gaussian surface）。

## 微分形式

高斯定律的方程式的微分形式為

$\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$。

其中 $\rho$ 為體電荷密度，$\epsilon_0$ 為真空電容率。

在數學裏，高斯定律的微分形式等價於其積分形式。這等價關係可以用散度定理來證明。

## 自由電荷的高斯定律

### 自由電荷與束縛電荷

自由電荷是自由移動，不被束縛於原子或分子內的電荷；而束縛電荷則是束縛於原子或分子內的電荷。當遇到涉及電介質的問題時，才需要考慮到束縛電荷所產生的效應。當電介質被置入於外電場時，電介質內的束縛電荷會被外電場影響，雖然仍舊束縛於其微觀區域（原子或分子），但會做微小位移。所有這些微小位移的貢獻造成了宏觀的電荷分佈的改變。

雖然微觀而言，不論是自由電荷，還是束縛電荷，本質上都是電荷。實際而言，對於某些案例，使用自由電荷的概念可以簡化問題的解析。但有時候，由於問題比較複雜，缺乏對稱性，必需採用其它方法來解析問題。

### 積分形式

對於空間內的任意體積 $\mathbb{V}$，其表面 $\mathbb{A}$，這個高斯定律表述，可以用積分形式的方程式表達為

$\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathbf{D}\cdot \mathrm{ds}=Q_{\mathrm{free}}$ ;

其中，$\mathbf{D}$ 為電位移， $\textrm{ds}$ 為閉合曲面 $\mathbb{A}$ 的微分面積，由曲面向外定義為其方向，$Q_{\mathrm{free}}$ 是在體積 $\mathbb{V}$ 內的自由電荷數量。

### 微分形式

只涉及自由電荷，這個高斯定律表述的微分形式可以表達為

$$\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{D} = \rho_{\mathrm{free}}$$

其中，$\rho_{\mathrm{free}}$ 是自由電荷密度，完全不包括束縛電荷。

請注意，在某種狀況下，雖然區域內可能沒有自由電荷，$\rho_{\mathrm{free}}=0$。但是，這並不表示電位移等於 0。因為。

$\mathbf{D}=\epsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$。

其中，$\mathbf{P}$ 是電極化強度。

取旋度於方程式的兩邊。

$\mathbf{\nabla}\times\mathbf{D}=\mathbf{\nabla}\times\epsilon_0 \mathbf{E} +\mathbf{\nabla}\times \mathbf{P}=\mathbf{\nabla}\times \mathbf{P}$。

所以，電位移很可能不等於 0。最典型的例子是永電體。

在數學裏，高斯定律的微分形式等價於其積分形式。這等價關係可以用散度定理來證明。

### 等價證明

兩種高斯定律數學等價的證明本段落證明高斯定律對於總電荷的方程式 :$\nabla\cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$，等價於高斯定律對於自由電荷的方程式 :$\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho_{f}$。請注意，這裏只處理微分形式，不處理積分形式。這已達成足夠條件。因為，根據散度定理，兩種高斯定律的方程式，其微分形式都分別等價於積分形式。電位移 $\mathbf{D}$ 的定義式為 :$\mathbf{D}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$；其中，$\mathbf{P}$ 是電極化強度。束縛電荷密度 $\rho_{bound}$ 的定義式為（請參閱電極化） :$\rho_{bound}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - \nabla\cdot \mathbf{P}$。注意到 $\rho$ 是總電荷密度： :$\rho =\rho_{free}+\rho_{bound}=\rho_{free} - \nabla\cdot \mathbf{P}=\rho_{free} - \nabla\cdot\mathbf{D}+\varepsilon_0\nabla\cdot \mathbf{E}$。稍加編排， :$\rho- \varepsilon_0\nabla\cdot \mathbf{E}=\rho_{free} - \nabla\cdot\mathbf{D}$。所以，$\nabla\cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$ 若且唯若 $\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho_{free}$。兩個方程式等價。

### 線性電介質

線性電介質有一個簡單良好的性質，其 $\mathbf{D}$ 和 $\mathbf{E}$ 的關係方程式為

$\epsilon \mathbf{E}=\mathbf{D}$。

其中，$\epsilon$ 是物質的電容率。

對於線性電介質，又有一對等價的高斯定律表述：

$\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{a}'=\frac{Q_{\mathrm{free}}}{\epsilon}$。

$\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho_{\mathrm{free}}}{\epsilon}$。

## 高斯定律與庫侖定律的關係

### 從庫侖定律推導高斯定律

庫侖定律闡明，一個固定的點電荷的電場是

$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{q'}{4\pi \epsilon_0} \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}$。

其中，$q'$ 是點電荷，$\mathbf{\epsilon_{0}}$是真空電容率，$\mathbf{r}$ 是電場位置，$\mathbf{r}'$ 是點電荷位置。

根據這方程式，計算位於 $\mathbf{r}'$ 的無窮小電荷元素所產生的位於 $\mathbf{r}$ 的電場，積分體積曲域 $\mathbb{V}$ 內所有的無窮小電荷元素，可以得到電荷分佈所產生的電場：

$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint_{\mathbb{V}} \rho(\mathbf{r}')\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \mathrm{d}^3 \mathbf{r}'$。

取這方程式兩邊對於 $\mathbf{r}$ 的散度：

$\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint_{\mathbb{V}}\rho(\mathbf{r}') \nabla\cdot\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \mathrm{d}^3 \mathbf{r}'$。

注意到

$\nabla\cdot\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} = 4\pi \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')$。

其中，$\delta(\mathbf{r})$是狄拉克δ函數。

所以，$\mathbf{E}(\mathbf{r})$ 的散度是

$\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\epsilon_0} \iiint_{\mathbb{V}} \rho(\mathbf{r}')\ \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3 \mathbf{r}'$。

利用狄拉克δ函數的挑選性質，可以得到高斯定律的微分形式：

$\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \rho(\mathbf{r})/\epsilon_0$。

或者可以這樣得到高斯定理的積分形式：

點電荷電場通過面元的電通量為

$$\mathrm{d} \Phi_{E}=\boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\boldsymbol{e}_{r} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}}{r^{2}}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \mathrm{~d} \Omega$$

對於單點電荷情形。

( i ) 在高斯面內，$\iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} =\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathrm{~d} \Omega =\frac{q}{\varepsilon_{0}}$

( ii ) 在高斯面外，$\iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} =\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset \mathrm{~d} \Omega =0$

故可以得到，$\iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} =\frac{1}{\varepsilon_{0}} \sum_{i \in S_{inside}} q_{i}$，即$\iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} =\frac{Q_{enc}}{\varepsilon _0}$

若包圍在S面內的電荷具有一定體分布，電荷體密度為$\rho$，則高斯定理可寫成：

$$\iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} =\frac{1}{\varepsilon_{0}} \iiint _{V}\rho\,\mathrm{d} V$$

由於庫侖定律只能應用於固定不動的電荷，對於移動電荷，這導引不能証明高斯定律成立。事實是，對於移動電荷，高斯定律也成立。所以，從這角度來看，高斯定律比庫侖定律更一般化。

### 從高斯定律推導庫侖定律

嚴格地說，從高斯定律不能從數學推導出庫侖定律，高斯定律並沒有給出任何關於電場的旋度的資料（參閱亥姆霍茲定理和法拉第電磁感應定律）。但是，假若能夠添加一個對稱性假定，即電荷造成的電場是球對稱的（就像庫侖定律本身一樣，在固定不動電荷的狀況，這假設是正確的；在移動電荷的狀況，這假設是近乎正確的），那麼，就可以從高斯定律推導出庫侖定律。

高斯定律的方程式為

$\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}' = Q/\epsilon_0$。

設定高斯定律積分的曲面 $\mathbb{A}$ 為一個半徑 $r$ 圓球面，圓心位置在電荷 $Q$ 的位置。那麼，由於球對稱性，$\mathbf{E}=E(r)\hat{\mathbf{r}}$，$E(r)$ 與 $d\mathbf{a}'$ 無關，可以將 $E(r)$ 從積分內提出：

$\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}' =E(r)\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\hat{\mathbf{r}}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}'=E(r)\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathrm{d}a=4\pi r^2E(r)=Q/\epsilon_0$。

所以，庫侖定律成立：

$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}$。

## 參閱

- 卡爾·高斯
- 鏡像法
- 恩紹定理（Earnshaw's theorem）
- 格林互反定理（Green's reciprocity theorem）
- 多極展開（multipole expansion）