微積分學

微積分學（calculus）或微分積分學，簡稱微積分，主要包括微分學和積分學兩個部分，是研究極限、微分、積分和無窮級數等的一個數學分支。本質上，微積分學是一門研究連續變化的學問。

微積分學在科學、商學和工程學領域皆有廣泛的應用，並成為了現代大學教育的重要組成部分，用於有效解決一些僅以代數學和幾何學無法處理的問題。

微積分學於代數學和幾何學的基礎上建立，其中微分是指函數的局部變化率的一種線性描述，包括求導數和其運算，即一套關於變化率的理論。它使得函數、速度、加速度和斜率等均可用一套通用的符號進行演繹；積分是微積分學與數學分析裡的一個核心概念，包括求積分的運算，為定義和計算長度、面積、體積等提供一套通用的方法。

微積分基本定理指出，微分和不定積分互為逆運算，這也是兩種理論被統一成微積分學的原因。

歷史上，微積分曾被稱作無窮小演算。直至現今，在更深層次的數學領域中，高等微積分學通常被稱為分析學，並被定義為研究函數的科學，是高等數學的主要分支之一。相應的，微積分學又稱為初等數學分析。

## 概念

微積分是研究『非線性連續變化關係』的核心數學工具。微積分最初步的簡易思想是『以直代曲』與『逼近』，可以看成：先「無限分割」，化曲為直；再「無限累加」，還直為曲。其進階思想，則推廣至多維空間、機率分布或是函數空間的研究。

簡單來說，「微積分」將非線性且連續的對象看成無窮多個、無窮小的『線性單元』疊加構成，進行「微分」就是無窮分割的過程，進行「積分」就是還原的過程。微分與積分兩者是微積分兩大分支，因互為逆運算，而常被一併提及。對一個函數微分，就是把這個函數無窮分割成一系列無窮小的線性單元。對一個函數積分，就是把這個函數加權的線性單元還原成無窮分割前的原函數。

進一步說，「微積分」的思想是將非線性的對象（曲線、曲面或高維流形），在局部看作是無窮多個、無窮小的『線性近似』（如切線段、切平面塊）的疊加。「線性」是指滿足線性變換的性質，並不局限於幾何上的線。

微分藉由無限「分割」，將複雜的非線性過程局部轉化為無窮多個線性增量；積分再借無限「累加」，將這些局部增量還原為整體的改變量。因此，微分本質上是求瞬時變化率，即將函數局部線性化的過程；積分則是這一過程的逆運算，通過對無窮小單元進行連續求和，從而還原出原函數或計算累積效應。微積分的思想將局部與整體、瞬時與過程統一在『極限』的框架之下。

## 漢語語源

微分與積分的現代用法，源於李善蘭和偉烈亞力的《代微積拾級》(1859年，上海，共18卷)一書，在譯著中，李善蘭解釋了為甚麼使用微分一詞：「凡線、面、體皆設為由小漸增，尤為微小之中所增之積，即微分也；其全積，即積分也。」也就是說，微分意指將物體（如曲線）細分為無數的微小部分，求出變化率；積分意指將這些微小部分累積起來，以得到完整的體積或面積。

## 歷史

現代微積分是在17世紀的歐洲由艾薩克·牛頓和戈特弗里德·萊布尼茨（相互獨立，在同一時間首次出版）發展起來的，其元素最先出現在古希臘，再則是在中國和中東，此後是在中世紀的歐洲和印度。

無窮小演算（Infinitesimal calculus）是微積分的早期名稱，在17世紀60年代由萊布尼茨和牛頓基於巴羅和笛卡爾等數學家的工作各自獨立發展出來。它包括了微分演算和積分演算，分別用來指微分學和積分學的技術。無窮小演算以後發展為標準微積分及非標準分析等體系。

在早期微積分中，無窮小量的使用被認為是不嚴格的，被一些作者嚴厲地批評，其中最有名的包括米歇爾·羅爾和貝克萊主教。後者在1734年的著作《分析家》中稱它為「已死量的幽靈」。

一些數學家，如麥克勞林，試圖去證明使用無窮小量在定理上的完備性。但直到150年後，才由柯西和威爾斯特拉斯完成了這一證明，結束了只能使用模糊的概念去定義無窮小量的歷史。

### 古代

在古代數學中，產生了一些引申出後來積分學的思想，但當時對該些思想的探討方式並不嚴格、系統。埃及的莫斯科數學紙草書（c. 1820 BC）記載了對不同種類的體積和面積的計算，而這即是積分學的目標之一。不過它的公式只屬簡單指示，沒有提及推導方法，有的公式也只是粗疏的估算。

積分的起源較早，古希臘時期歐多克索斯（約公元前408-355年）就曾用窮竭法來求面積與體積。阿基米德（約公元前287-212年）用內接正多邊形的周長來窮盡圓周長，而求得圓周率的近似值；也用一連串的三角形來填充拋物線的圖形，以求得其面積。這些都是窮盡法的古典例子。

中國的劉徽在公元三世紀也應用窮竭法求圓的面積。在公元五世紀，祖沖之採用祖暅原理計算出球體積，該原理後來也被稱之為卡瓦列里原理。

### 現代

歐洲文藝復興之後，基於實際的需要及理論的探討，積分技巧有了進一步的發展。譬如為了航海的方便，傑拉杜斯·麥卡托發明了所謂的麥卡托投影法，使得地圖上的直線就是航海時保持定向的斜駛線。

在歐洲，基礎性的論證來自博納文圖拉·卡瓦列里，他提出體積和面積應該用求無窮小橫截面/段的體積/面積的總和來計算。他的想法類似於阿基米德在《力學定理的方法》（The Method）所提出的，但是卡瓦列里的著述丟失了，直到20世紀初期再被找到。卡瓦列里的努力沒有得到認可，因為他的方法的誤差巨大，而且他提出的那些無窮小的量一開始也不獲認同。

17世紀的前半是微積分學的醞釀時期，觀念在摸索中，計算是個別的，應用也是個別的。而後戈特弗里德·威廉·萊布尼茨和艾薩克·牛頓兩人幾乎同時使微積分觀念成熟，澄清微、積分之間的關係，使計算系統化，並且把微積分大規模使用到幾何與物理研究上。

在他們創立微積分以前，人們把微分和積分視為獨立的學科，之後才確實劃分出「微積分學」這門學科。

在對微積分的正式研究中，卡瓦列里提出的無窮小量，與當時在歐洲發展起來的有限差分演算連繫到了一起。皮埃爾·德·費馬聲稱他借用了丟番圖的成就，引入了「准等式」（adequality）概念，表示兩個項在除卻一個無窮小誤差項下等同。而把無窮小量與有限差分演算連繫起來的工作，是由約翰·沃利斯、伊薩克·巴羅和詹姆斯·格雷果里完成的。後兩者在1670年左右證明了微積分第二基本定理。

兩位獨立確立微積分體系的數學家：艾薩克·牛頓爵士（左）與戈特弗里德·萊布尼茨（右）

牛頓的老師伊薩克·巴羅雖然知道微分和積分之間有互逆的關係，但他不能體會此種關係的意義，其原因之一就是求導數還沒有一套有系統的計算方法。古希臘平面幾何的成功對西方數學影響極其深遠：一般認為唯有幾何的論證方法才是嚴謹、真正的數學，代數不過是輔助的工具而已。直到笛卡兒及費馬倡導以代數的方法研究幾何的問題，這種態度才逐漸轉變。可是一方面幾何思維方式深植人心，而另一方面代數方法仍然未臻成熟，實數系統一時不能建立，所以許多數學家仍然固守幾何陣營而不能發展出有效的計算方法，巴羅便是其中之一。牛頓雖然放棄了他老師的純幾何觀點而發展出了有效的微分方法，可是他遲遲未敢發表。雖然他利用了微積分的技巧，由萬有引力及運動定律出發說明了他的宇宙體系，但因害怕當時人們的批評，所以在他1687年的巨著《自然哲學的數學原理》中仍把微積分的痕跡抹去，而以古典的幾何論證方式論述。

牛頓利用了微積分的技巧，由萬有引力及運動定律出發說明了他的宇宙體系，解決天體運動，流體旋轉的表面，地球的扁率，擺線上重物的運動等問題。牛頓在解決物理問題時，使用了其獨特的符號來進行計算，並提出了乘積法則、鏈式法則、高階導數、泰勒級數。在其它著作中，牛頓給出了函數的級數展開式，當中包括分數和無理數的乘冪，而且明顯地牛頓知道泰勒級數的原理。但是他沒有發表所有的這些發現，因為無窮小方法在當時仍然飽受爭議。

上述思想被戈特弗里德·威廉·萊布尼茨整合成為真正的微積分，而牛頓指責前者存在抄襲。萊布尼茨在今天被認為是獨立發明微積分的另一人。他的貢獻在於成功提供一套明確的規則來處理無窮小的量，能夠允許計算二階或更高階的導數，以微分和積分的形式給出乘積法則和鏈式法則。與牛頓不同，萊布尼茨很注重形式，往往花上數天決定對概念予以什麼適當的符號。

萊布尼茨和牛頓都被普遍認為是獨立的微積分發明者。牛頓最先將微積分應用到普通物理當中，而萊布尼茨創作了不少今天在微積分所使用的符號。牛頓、萊布尼茨都給出了微分、積分的基本規則，二階與更高階導數，近似多項式級數的記法等。在牛頓的時代，微積分基本定理是已知的事實。

當牛頓和萊布尼茨第一次發表各自的成果時，數學界就發明微積分的歸屬和優先權問題爆發一場曠日持久的大爭論。牛頓最先得出結論，而萊布尼茨最先將其發表。牛頓稱萊布尼茨從他未發表的手稿中盜取了想法，皇家學會的一些成員也跟牛頓持同一觀點。這場大紛爭將使數學家分成兩派：一派是英國數學家，捍衛牛頓；另一派是歐洲大陸數學家。結果是對英國數學家不利。日後對牛頓和萊布尼茨的論文的小心檢視，證實兩人是獨立得出自己的結論。萊布尼茨從積分推導，牛頓從微分推導。在今天，牛頓和萊布尼茨被譽為發明微積分的兩個獨立創始者。不過，「微積分」之名則是萊布尼茨所創。而牛頓將其成果稱為「流數術」（method of fluxions）。

微積分實際被許多人不斷地完善，也離不開巴羅、笛卡兒、費馬、惠更斯和沃利斯的貢獻。最早的及最完整的一部有關有限和無窮小分析的著作由瑪利亞·阿涅西於1748年所著。

牛頓和萊布尼茨雖然把微積分系統化，但是它還是不夠嚴謹。可是當微積分被成功地用來解決許多問題，卻使得十八世紀的數學家偏向其應用，而甚少致力於其嚴謹性。當時，微積分學的發展幸而掌握在幾個非常優越的數學家，如歐拉、拉格朗日、拉普拉斯、達朗貝爾及伯努利世家等人的手裡。研究的問題由自然現象而來，所以能以自然現象的數據來驗合微積分的許多推論，使微積分學不因基礎不穩而隱含錯誤。在這一眾數學家的手中，微積分學的範圍很快已超越現在大學初階段所授的微積分課程，而邁向更高深的分析學。

### 基礎

在微積分中，「基礎」意味將一個概念從明確的公理和定義中嚴格地建構出來。早期微積分所使用的無窮小被認為是不嚴謹的，遭到了一些作者的嚴厲批評，特別是米歇爾·羅爾和喬治·貝克萊主教。貝克萊因在他1734年出版的《分析學家》（The Analyst）中將無窮小描述為「消失量之鬼」而著名。近代的一篇分析認為萊布尼茨版微積分比起貝克萊的經驗主義批評還更嚴密。為微積分予以嚴謹基礎，成為數學家們在牛頓、萊布尼茨之後幾世紀的重要工作，時至今日仍在某程度上是研究的活躍領域。

一些數學家，包括科林·麥克勞林，試圖證明使用無窮小是可靠的做法，但直到150多年之後才得以成功。奧古斯丁·路易·柯西和卡爾·魏爾斯特拉斯的工作，實現了對無窮小的記號的迴避。微分和積分的基礎終於被打下了。在柯西的著作中，可以看到一系列的基礎進路嘗試，包括通過無窮小來對連續進行定義，和在微分定義中一個不太精確的函數極限原型。而在魏爾斯特拉斯的著述中，對極限概念作了形式化，迴避了無窮小的使用。繼魏爾斯特拉斯之後，微積分就常以極限作為基礎，而非無窮小了。波恩哈德·黎曼使用這些概念來對積分進行嚴格定義。在這一時期，微積分的概念也被推廣到歐幾里得空間和複平面。

在現代數學裡，微積分基礎被包含在實變函數論中，後者包括了對微積分理論的完全數學證明。微積分的範圍也被大大拓寬了。昂利·勒貝格建立了測度論，以測度概念來定義絕大多數函數（除卻特別病態的函數）上的積分。洛朗·施瓦茨引入了分布概念，可以用其取任意函數的導數。

極限不是對微積分基礎唯一的嚴格進路。另一種方法是採用亞伯拉罕·魯濱遜的非標準分析。羅賓遜在1960年左右所採取的進路襲承了牛頓——萊布尼茨的最初概念，借用數理邏輯的技術將實數系統擴大，得以將無窮小和無窮大數包含在內。所得出的數為超實數，可以用它們來對微積分法則作萊布尼茨式的推導。

### 重要性

早期的微積分概念來自於埃及、希臘、中國、印度、伊拉克、波斯、日本，但現代微積分則來自於歐洲。17世紀時，艾薩克·牛頓與戈特弗里德·萊布尼茨在前人的基礎上提出微積分的基本理論。微積分基本概念的產生是建立在求瞬間運動和曲線下面積這兩個問題之上的。

微分應用包括對速度、加速度、曲線斜率、最優化等的計算。積分應用包括對面積、體積、弧長、質心、做功、壓力的計算。更高級的應用包括冪級數和傅立葉級數等。

微積分也使人們更加精確地理解到空間、時間和運動的本質。多個世紀以來，數學家和哲學家都在爭論除以零或無限多個數之和的相關悖論。這些問題在研究運動和面積時常常出現。古希臘哲學家埃利亞的芝諾便給出了好幾個著名的悖論例子。微積分提供了工具，特別是極限和無窮級數，以解決該些悖論。

## 主要概念

微積分主要有三大類分支：極限、微分學、積分學。微積分的基本理論表明了微分和積分是互逆運算，牛頓和萊布尼茨發現了這個定理以後才引起了其他學者對於微積分學的狂熱的研究，而這個發現也使得我們在微分和積分之間可以互相轉換。這個基本理論也提供了一個用代數計算許多積分問題的方法，也就是用不定積分法取代極限運算法。該理論也可以解決一些微分方程的問題，解決未知數的積分。微分問題在科學領域無處不在。

微積分的基本概念還包括函數、無窮序列、無窮級數和連續等，運算方法主要有符號運算技巧，該技巧與初等代數和數學歸納法緊密相連。

微積分被延伸到微分方程、向量分析、變分法、複分析、時域微分和微分拓撲等領域。微積分的現代版本是實分析。

### 極限和無窮小

微積分中最重要的概念是「極限」。微商（即導數）是一種極限。定積分也是一種極限。

從牛頓實際使用它到制定出周密的定義，數學家們奮鬥了200多年。現在使用的定義是魏爾斯特拉斯於19世紀中葉給出的。

數列極限就是當一個有順序的數列往前延伸時，如果存在一個有限數（非無限大的數），使這個數列可以無限地接近這個數，這個數就是這個數列的極限。

數列極限的表示方法是：

$$\lim_{n \to \infty}x_n = L$$

其中$L$就是極限的值。例如當$x_n = {1 \over 2n}$時，它的極限為$L=0$。就是說$n$越大（越往前延伸），這個值越趨近於$0$。

微積分通常是透過對很小的數的處理，而發展起來的。歷史上，一開始是用無窮小量來做。無窮小量可以被看作是一個數，但是從某種意義上來說，它「無窮小」。一個無窮小數$\mathrm{d}x$能夠比$0$大，但是小於數列$1$，$\tfrac{1}{2}$，$\tfrac{1}{3}$，⋯⋯任一個數，以及小於任何正實數。任何整數倍數的無窮小還是無窮小，換句話說，無窮小不滿足阿基米德性質。從這角度來看，微積分是一組處理無窮小的技巧，這種方法於19世紀已不被推崇，因為很難使無窮小成為精確概念。但是，這個概念在20世紀由於非標準分析以及光滑無窮小分析的引進被重新提及，非標準分析為無窮小的操作提供了堅實的基礎。

在19世紀，無窮小被極限取代，極限描述的是與函數在某一點附近的值有關的值。它描述了函數在某處附近的行為，類似無窮小，但是使用了普通的實數系統。在這種做法下，微積分是一組處理極限的技巧。無窮小被很小的數代替，函數無窮小附近的行為是通過取距離越來越小時的極限來找到的。極限是提供微積分嚴格的基礎最簡單的方式，基於這個原因，它是標準的做法。

### 導數

在運動學中，平均速度等於位移除以所花費的時間——在一小段間隔的時間內，除上其位移，等於這一小段時間內的速度，但是當這一小段間隔的時間趨於零，也就是瞬時速度時，則無法按照通常的除法計算，這時的速度為時間的導數，得用求導的方法計算。而引入導數概念前，一般會先引入函數的平均變化率的概念。函數在某點處的平均變化率是指函數在該點處的因變量的增量和自變量的增量的比值。一個函數的自變量趨近某一極限時，其平均變化率的極限即為導數。在速度問題上，距離是時間的因變量，隨時間變化而變化；當時間趨於某一極限時，距離增量除以時間增量的極限即為距離對時間的導數。

導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率。

### 微分學

微分學主要研究的是在函數自變量變化時如何確定函數值的瞬時變化率（導數或微商）。換言之，計算導數的方法就叫微分學。微分學的另一個計算方法是牛頓法，該演算法又叫應用幾何法，主要通過函數曲線的切線來尋找點斜率。費馬常被稱作「微分學的鼻祖」。

微分學研究的是一個函數的導數的定義，性質和應用。求出導數的過程被稱為求導。給定一個函數和定義域內的一個點，在那個點的導數描述了該函數在那一點附近的表現。通過找出一個函數定義域內每一點的導數，可以生成一個新的函數，叫做原函數的導函數，或者導數。以數學術語說，導數是輸入一個函數，輸出另一個函數的線性算子。這比許多初等代數裡所學的過程更為抽象，初等代數裡的函數常常是輸入一個數，並輸出另一個數。例如，如果在倍增函數中輸入$3$，則輸出$6$，和如果在平方函數中輸入$3$，則輸出$9$。但是，微分能把平方函數作為輸入，這意味著微分利用平方函數的所有資訊去產生另一個函數（生成的函數是倍增函數）。

導數的最常見的符號是一個類似撇號的符號，叫作「撇（prime）」。從而函數f的導數是$f'$，讀作「f一撇（f prime）」。例如，如果$f(x)=x^2$是平方函數，那麼它的導數$f'(x)=2x$是倍增函數。

如果函數的輸入量代表時間，那麼導數就代表關於時間的變化。例如，如果f是輸入時間，輸出那個時間的球的位置的函數，則f的導數就是位置隨著時間怎樣變化，這就是球的速度。

如果一個函數是線性的（也就是說，如果函數的圖像是一條直線），那麼這個函數可以寫成$y=mx+b$，$x$是自變量，$y$是因變量，$b$是$y$的縱截距，且

$$m = \frac{\Delta y}{\Delta x}.$$

這個公式給出一條直線的斜率的一個準確值。如果這個函數的圖像不是一條直線，那麼$y$的變化量除以$x$的變化量之值隨$x$改變。導數給出了輸出量關於輸入量的變化率這一概念一個確切的含義。具體來說，設$f$是一個函數，並在它的定義域內取一個點$a$，$(a,f(a))$是這個函數圖像中的一個點。假設$h$是一個接近於$0$的數，這時$a+h$是一個接近於$a$的數。所以$(a+h,f(a+h))$是接近於$(a,f(a))$的。這兩點間的斜率是

$$m = \frac{f(a+h) - f(a)}{(a+h) - a} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.$$

這個表達式稱為差商。通過曲線上的兩個點的一條直線稱為割線，所以$m$是$(a,f(a))$和$(a+h,f(a+h))$間割線的斜率。割線僅僅是函數在$a$點行為的一個近似，因為它不能解釋函數在$a$到$a+h$之間的情況。通過設定$h$為$0$來發現函數在$a$處的行為是不可能的，因為這需要除以$0$，而除以$0$是不可能的。導數定義為$h$趨向於$0$時差商的極限，就是說用h可取的所有可能小的值來研究f的行為，並取一個相容的值以適用於當$h$等於$0$的情況：

$$\lim_{h \to 0}{f(a+h) - f(a)\over{h}}.$$

幾何上，導數是函數$f$在$a$點處切線的斜率。切線是割線的極限，正如導數是差商的極限。因此，導數有時也被稱為f的斜率。這裡有一個具體的例子，就是求一個平方函數在$x$等於$3$處的導數。令這個平方函數為$f(x)=x^2$：

$$\begin{align}f'(3) &=\lim_{h \to 0}{(3+h)^2 - 3^2\over{h}} \\ &=\lim_{h \to 0}{9 + 6h + h^2 - 9\over{h}} \\ &=\lim_{h \to 0}{6h + h^2\over{h}} \\ &=\lim_{h \to 0} (6 + h) \\ &= 6. \end{align}$$

平方函數在點$(3,9)$處的切線斜率是$6$，也就是說，它朝上走的速度是朝右走的速度的6倍。對於平方函數的定義域中的任一點，都可以求得像剛才所描述的極限。因此這定義了平方函數的導函數，也簡稱為平方函數的導數。以上的一個相似計算表明平方函數的導數是倍增函數。

### 萊布尼茨記號

一個由萊布尼茨引進的常用導數記號，以上面為例，是：

$$\begin{align} y&=x^2 \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=2x. \end{align}$$

在以極限為基礎的理論里，記號$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$並不理解成兩個數的商，而是上面計算的極限的簡記。然而，萊布尼茨打算將它表示成兩個無窮小數的商，$x$的一個無窮小變化量$\mathrm{d}x$引起了一個無窮小的變化量$\mathrm{d}y$。我們也可以把$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$看作一個微分算子，它以一個函數為輸入，以這個函數的導函數作為輸出。例如：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2)=2x.$$

在這個用法中，分母中的$\mathrm{d}x$讀作「關於x」。即使微積分理論是用極限的概念，而不是用無窮小的概念發展成的，人們還是常常把$\mathrm{d}x$，$\mathrm{d}y$這類記號當作實數來操作。儘管可以避免這樣的操作，但是有時候它們在符號上可以方便地表達全導數這類操作。

### 積分學

積分是微分的逆運算，即從導數推算出原函數，又分為定積分與不定積分。一個一元函數的定積分可以定義為無窮多小矩形的面積和，即等於函數曲線下包含的實際面積。我們也可以用積分來計算平面上一條曲線所包含的面積、球體或圓錐體的表面積或體積等。從技術上來講，積分學是研究對這兩個相關的線性算子的研究。

不定積分是導數的逆運算，即反導數。當$f$是$F$的導數時，$F$是$f$的不定積分。（這種在公式中使用大小寫字母以區分微分積分在數學中很常見。）

定積分輸入公式，輸出數字，即給出圖像與橫坐標之間各個面積的代數和。對定積分的技術定義是各個矩形之面積和的極限，又稱黎曼積分。

舉例：在給定時間內行徑的路程：

路程 = 速度 × 時間

如果速度是一定的，那麼上述參數簡單相乘即可得出結果。但如果速度為變量，那麼就不得不使用更強大的公式。其中的一個方式是將行徑路程根據時間近似地劃分成許多小部分，將每個間距中的時間乘以當時的速度，最後將每個間距所行徑的近似路程累計為黎曼和。當中的基本想法是，如果時長間隔很短，那麼速度會近似不變。然而，黎曼和只給出行徑路程的近似值。我們必須對所有可能的黎曼和取極限，來得出精確的值。

如果左圖中的$f(x)$代表根據時間而改變的速度，那麼$a$時間點與$b$時間點之間的路程就可以用陰影區域$s$來表達。

要求得區域面積的近似值，直觀的辦法就是將$a$、$b$兩點之間的路程分割為等長線段，每個線段的長度用符號$\Delta x$來標記。對於每個小線段，我們在方程上找到對應值$f(x)$，記為$h$。如此，以$\Delta x$為底、$h$為高的矩形面積（時間$\Delta x$乘以速度$h$），就是通過該線段的路程。和每個線段相關聯的是線段上方程的平均值$f(x)=h$。所有矩形的總和就是數軸與曲線之間面積的近似值，即總行徑路程的近似值。$\Delta x$的值越小，矩形數量就越多，近似值也就越精確。而如果我們要求得精確值，就必須尋找$\Delta x$的極限，令其數值逼近零。

積分的符號是$\int$，像一個拉長的S（S意味「求和」，sum）。定積分被記為如下：

$$\int_a^b f(x)\, \mathrm{d}x.$$

讀作，$f(x)$由$a$到$b$的定積分。萊布尼茨的符號$\mathrm{d}x$意在表述將曲線下的面積分割為無窮多的矩形，以至於他們的寬$\Delta x$變成無窮小的$\mathrm{d}x$。對於建立在極限上的微積分，符號

$$\int_a^b \ldots\, \mathrm{d}x$$

應被理解為一個輸入函數，輸出數字（即面積）的算子。在終端的微分$\mathrm{d}x$不是數字，也不是與$f(x)$相乘—雖然，若作為$\Delta x$極限定義的提醒，可理解為積分裡符號運算的相乘。從形式上來講，微分說明了函數是關於哪個變量被積分。此外，亦作為積分算子的尾括弧。

不定積分，或反導數，記作：

$$\int f(x)\, \mathrm{d}x.$$

只相差一個常數的函數有著相同的導數，另外也可以證明一個給定函數的反導數實際上是一個只相差一常數的方程組。例如，考慮函數$y=x^2+C$，當中$C$為任意常數，則其導數均為$y'=2x$；後者的反導數可被寫為：

$$\int 2x\, \mathrm{d}x = x^2 + C.$$

反導數中的未知常數$C$被稱為積分常數。

### 微積分基本定理

微積分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）又稱微積分基本公式，證實微分和積分互為逆運算。更精確地說，它將一個反導數的具體值與定積分聯繫起來。因為計算反導數通常比應用定積分定義更加簡單，微積分基本公式為計算定積分提供了一個行之有效的方式。它也可以被理解為微分是積分逆運算的精確解釋。

微積分基本公式：如果函數f在$\left[ a ,\; b\right]$區間是連續的，函數F在區間(a, b)的導數是f，那麼。

設 $f(x) = F(x)+C.$

$$\int_{a}^{b} f'(x)\,\mathrm{d}x = f(b) - f(a).$$

$$\int f'(x)\,\mathrm{d}x = F(x) + C = F(x) + f(a) - F(a) = f(x), \text{where } C = f(a) - F(a), a, C\in \mathbf{R}.$$

$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t)\,dt = f(x).$$

這成為日後數學分析碩果的重要基石。基本公式為計算定積分提供了簡單的計算反導數的代數方法，而無須使用其極限定義來計算。它也是解微分方程的雛形。微分方程把一個未知函數與其導數相關連，而在科學的不同領域中，微分方程都很常見。

## 微積分的符號

微分學中的符號「$\textrm{d}x$」、「$\textrm{d}y$」等，是由萊布尼茨首先使用。其中的$\textrm{d}$源自拉丁語中「差」（Differentia）的第一個字母。積分符號「$\int_{}\,$」亦由萊布尼茨所創，它是拉丁語「總和」（Summa）的第一個字母s的伸長（和Σ有相同的意義）。

## 微積分學的應用

微積分學的發展與應用幾乎影響了現代生活的所有領域。它與大部分科學分支關係密切，包括精算、電腦、衛生、工業工程、商業管理、商務統計、人口統計，特別是物理學；經濟學亦經常會用到微積分學。幾乎所有現代科學技術，如：水利、土木、建築、機械、航海及航空等工業工程類科和醫藥及護理等衛生類科都以微積分學作為基本數學工具。微積分使得數學可以在（非常數）變化率和總改變之間互相轉化，讓我們可以在已知其中一者時求出另一者。

物理學大量應用微積分；古典力學、熱傳和電磁學都與微積分有密切聯繫。已知密度的物體質量、物體的轉動慣量、物體在保守力場的總能量都可用微積分來計算。牛頓第二定律便是微積分在力學中的一個應用例子：它的最初陳述使用了「變化率」一詞，而「變化率」即是指導數。陳述大意為：物體動量的變化率等於作用在物體上的力，而且朝同一方向。今天常用的表達方式是$\mathbf{F} = m\mathbf{a}$，它包括了微分，因為加速度是速度的導數，或是位置矢量的二階導數。已知物體的加速度，我們就可以得出它的路徑。

麥克斯韋爾的電磁學理論和愛因斯坦的廣義相對論都應用了微分。生物學用微積分來計算種群動態，輸入繁殖率和死亡率來模擬種群改變。化學使用微積分來計算反應速率，放射性衰退。

微積分可以與其它數學分支並用。例如，可與線性代數並用，來求得某區域中一組點的「最佳」線性近似。它也可以用在機率論中，來確定由給定密度函數所給出的連續隨機變量之機率。在解析幾何對函數圖像的研究中，微積分可以用來求得最大值、最小值、斜率、凹度、拐點等。

格林公式將一個封閉曲線上的線積分，與一個邊界為$C$且平面區域為$D$的雙重積分聯繫起來。這一點被應用於求積儀這個工具，它用於量度在平面上的不規則圖形面積。例如，它可以在設計住宅擺設時，計算不規則的花瓣床、游泳池所佔的面積。

在醫療領域，微積分可以計算血管最優支角，將血流最大化。通過藥物在體內的衰退規律，微積分可以推導出服藥規律。

在經濟學中，微積分可以通過計算邊際成本和邊際收益來確定最大利潤。

微積分也被用於尋找方程的近似值；實踐中，它是在各種應用裡解微分方程、求根的標準做法。典型的方法有牛頓法、定點迭代法、線性近似等。比如：宇宙飛船利用一種歐拉方法的變體來求得零重力環境下的近似航線。

## 學科教育

在美國大學先修課程中，AP微積分AB、BC分別為對應大學一元微積分半年、全年課程。

在香港，微積分是新高中數學科延伸部分課程的一部份，這部分是選修的。

在台灣，普通型高中數學分成「數學甲」與「數學乙」兩種。過去數學甲是自然組數學，三年級下學期才有基礎微積分課程；數學乙是社會組數學，僅有提到極限的概念而已。但自2019年啟用108課綱後，數學甲與數學乙皆從三年級上學期開始教學基礎微積分課程。技術型高中數學分成「數學A」、「數學B」、「數學C」與「數學S」四種，各四冊。數學A是家政數學；數學B商業數學；數學C是工業工程數學；數學S是影視數學，其中「數學A」、與「數學S」皆並未列入，僅「數學B」、「數學C」才有，並在醫、農、理、工、商管學院大學部一年級上、下學期分別開設「微積分 (一)」、「微積分 (二)」課程，作為該學院之共同必修課程，也為該學院之各科系將來開設之進階課程奠定基礎，以方便學生修習，同時也是熱門大學轉學考及碩士班考試熱門考科之一。

## 參見

### 其它相關議題

- 預科微積分
- 高等數學
- 數學分析
- 無窮級數
- 微分方程
- 積分方程
- 複分析
- 微分幾何
- 非標準分析
- 隨機分析