魏爾施特拉斯逼近定理

斯通—魏爾施特拉斯逼近定理 (Stone-Weierstrass Theorem) 是一個分析學上的定理，其描述了在緊緻豪斯多夫空間$(X, \tau)$上的實數連續函數$C(X, \mathbb{R})$能夠被較小的函數集逼近的條件。

## 定義

對於緊緻豪斯多夫空間 $(X, \tau)$以及$\mathcal{A}\subseteq C(X,\mathbb{R})$，我們定義

- $\mathcal{A}$是一個代數 (algebra) 如果$\mathcal{A}$是一個實數子空間，並且對於所有$f,g\in \mathcal{A}$，$fg\in \mathcal{A}$。
- $\mathcal{A}$分離相異點(separates points)如果對於所有相異$x,y\in X$，存在$f\in C(X, \mathbb{R})$使得$f(x)\neq f(y)$。
- $\mathcal{A}$是一個晶格 (lattice) 如果對於所有$f,g\in \mathcal{A}$，$\min(f,g),\max(f.g)\in \mathcal{A}$。

## 敘述

對於緊緻豪斯多夫空間 $(X, \tau)$以及分離相異點的閉子代數$\mathcal{A}\subseteq C(X,\mathbb{R})$，那麼$\mathcal{A}$是以下兩個情況之一：

- $\mathcal{A}=C(X, \mathbb{R})$。
- 存在一個$x_0\in X$使得$\mathcal{A}=\{g\in C(X, \mathbb{R}): g(x_0)=0\}$。

且(1)若且唯若$1\in \mathcal{A}$；(2)若且唯若存在$x_0\in X$使得對於所有$g\in \mathcal{A}$ $g(x_0)=0$。

注意：由於$\mathcal{A}$分離相異點，在(2)的等價(不論哪個方向)中的$x_0$是唯一的。

## 證明

引理Ａ：如果將$\mathbb{R}^2$視為一個實數向量空間，且兩向量間乘法定義為$(x_1, y_1)\cdot (x_2, y_2)\mapsto (x_1x_2, y_1y_2)$，那麼$\mathbb{R}^2$是個代數。且所有子代數只能是以下幾個情況：

- $\mathbb{R}^2$。
- $\{(0,0)\}$。
- $v$的線性生成空間，其中$v=(1,0), (0,1), (1,1)$。

證明：顯然，(1), (2)跟(3)都是子代數。如果$\mathcal{A}\subseteq \mathbb{R}^2$是一個子代數，那麼因為$\mathcal{A}$是一個子空間。那麼如果$\dim(\mathcal{A})=0, 2$，對應到(1), (2)。如果$\dim(\mathcal{A})=1$，那麼存在一個非零向量$v=(a,b)$使得$\mathcal{A}=\text{span}(v)$。那麼因為$\mathcal{A}$是一個代數，存在$\lambda\in\mathbb{R}$使得$a^2=\lambda a, b^2=\lambda b$。所以$a(\lambda-a)=0, b(\lambda -b)=0$。如果$a\neq 0, b\neq 0$，那麼$a=b=\lambda$，對應到(3)中$v=(1,1)$的情況；如果$a, b$其一非零，則對應到(3)中$v=(0,1), (1,0)$的情況。$\square$引理B：對於豪斯多夫空間$X$和分離相異點的子代數$\mathcal{A}\subseteq C(X, \mathbb{R})$，以及相異點$x,y\in X$，定義$\mathcal{A}_{xy}=\{(g(x), g(y)): g\in \mathcal A\}$。那麼只能是以下兩個情況：

- 對於所有相異$x,y\in X,\mathcal{A}_{xy}=\mathbb R^2$。
- 存在一組相異$x,y\in X,\mathcal{A}_{xy}=\text{span}\{(1,0)\}, \text{span}\{(0,1)\}$。

另外，(2)等價於存在一個$x_0\in X$使得對於所有$g\in \mathcal{A}$，$g(x_0)=0$。

注意：由於$\mathcal{A}$分離相異點，在(2)的等價(不論哪個方向)中的$x_0$是唯一的。證明：顯然，對於所有相異$x,y\in X,\mathcal{A}_{xy}$是一個子代數。根據引理A，只需要證明對於所有相異$x,y\in X,\mathcal{A}_{xy}$不可能是$\text{span}\{(1,1)\}, \text{span}\{(0,0)\}$，但這顯然成立，因為$\mathcal{A}$分離相異點以及。

接著證明(2)的等價：如果存在一組相異$x,y\in X,\mathcal{A}_{xy}=\text{span}\{(1,0)\}, \text{span}\{(0,1)\}$，那麼根據$\mathcal{A}_{xy}$的定義，存在一個$x_0\in X$使得對於所有$g\in \mathcal{A}$，$g(x_0)=0$。相反地，如果存在一個$x_0\in X$使得對於所有$g\in \mathcal{A}$，$g(x_0)=0$，那麼對於所有相異於$x_0$的$y\in X$，我們有$\mathcal{A}_{{x_0} y}=\text{span}\{(0,1)\}$。$\square$引理C：對於任意$\epsilon>0$，存在一個實多項式$P$使得$P(0)=0$，且對於所有$x\in [-1,1]$，$||x|-P(x)|< \epsilon$。證明：令$P_0\equiv 0$，$P_{n+1}(x)=P_n(x)+\frac{x^2-P_n^2(x)}{2}$。那麼根據數學歸納法可以證明：

- 對於所有$x\in [-1,1]$，$0\leq P_{n}(x)\leq P_{n+1}(x)\leq |x|$。
- 對於所有$x\in [-1,1]$，$||x|-P_n(x)|\leq |x|\left(1-\frac{|x|}{2}\right)^{n}$。

因為$|x|\left(1-\frac{|x|}{2}\right)^{n}\leq \frac{1}{n+1}$，得證。$\square$引理D：對於緊緻豪斯多夫空間$X$和閉子代數$\mathcal{A}\subseteq C(X, \mathbb{R})$，如果$g\in \mathcal{A}$，那麼$|g|\in \mathcal{A}$，且$\mathcal{A}$是一個晶格。證明：對於非零函數$g\in \mathcal{A}$，令$h=\frac{g}{\lVert g\rVert_{\infty, X}}$，其中$\lVert\cdot\rVert_{\infty, X}$是在$X$上的無窮範數。那麼因為$-1\leq h\leq 1$根據引理C，存在一個存在一個實多項式$P$使得$P(0)=0$，且對於所有$x\in X$，有$||h(x)|-P(h(x))|<\epsilon$。因為$P(0)=0$，所以$P(h(x))\in \mathcal{A}$。因為$\epsilon>0$是任意的，所以$|h|\in \mathcal{A}\implies |g|=\lVert g\rVert_{\infty, X}|h|\in \mathcal{A}$。對於任意$f_1, f_2\in \mathcal{A}, \max(f_1, f_2)=\frac{|f_1-f_2|+(f_1+f_2)}{2}\in \mathcal{A}, \min(f_1, f_2)=-\max(-f_1, -f_2)\in \mathcal{A}$。

$\square$引理E：對於緊緻豪斯多夫空間$X$和閉晶格$\mathcal{A}\subseteq C(X, \mathbb{R})$，如果$f\in C(X, \mathbb R)$，且對於所有$x,y\in X$，存在$g_{xy}\in \mathcal{A}$使得$g_{xy}(x)=f(x), g_{xy}(y)=f(y)$，那麼$f\in \mathcal{A}$。證明：給定$\epsilon>0$，對於所有$x,y\in X$，令$U_{xy}=\{z\in X: f(z)<g_{xy}(z)+\epsilon\}, V_{xy}=\{z\in X: f(z)>g_{xy}(z)-\epsilon\}$。那麼根據條件，對於所有$x,y\in X$，$x,y\in U_{xy}\cap V_{xy}$。於是對於任意$y\in X$，${\left\{U_{xy}\right\}}_{x\in X}$是一個$X$的開覆蓋。因此存在$n_y\in\mathbb{N}$使得$X=\bigcup_{j=1}^{n_y}U_{x_j y}$。注意到這等價於對所有$z\in X$，存在一個$j=1,\cdots, n_y$使得$f(z)<g_{x_{j}y}(z)+\epsilon$。於是，如果令$g_y(z)=\max_{j=1,\cdots, n_y}g_{x_{j}y}(z)$，那麼對於所有$z\in X,f(z)<g_y(z)+\epsilon$且對於所有$z\in \bigcap_{j=1}^{n_y}V_{{x_j}y},f(z)>g_y(z)-\epsilon$。令$V_y=\bigcap_{j=1}^{n_y}V_{x_j y}$，那麼因為$\left\{V_y \right\}_{y\in X}$是是一個$X$的開覆蓋。存在$y_1,\cdots,y_m\in X$使得$X=\bigcup_{k=1}^m V_{y_k}$。令$g=\min_{k=1,\cdots,m}g_{{y_k}}$。於是$\lVert f-g\rVert_{\infty, X}<\epsilon$。因為$\mathcal{A}$是個閉晶格，$g\in \mathcal{A}\implies f\in \mathcal{A}$。$\square$

### 定理證明：

我們宣稱以下等價：

- 對於所有相異$x,y\in X$，$\mathcal{A}_{xy}=\mathbb{R}^2$，其中$\mathcal{A}_{xy}$如引理B中所述。
- $1\in \mathcal{A}$。
- $\mathcal{A}=C(X, \mathbb R)$。

顯然，我們有(3)$\implies$(2)。假設(2)成立，那麼$\mathcal{A}_{xy}$就不可能是$\text{span}\{(0,1)\}, \text{span}\{(1,0)\}$。所以根據引理Ｂ，(1) 成立。假設(1)成立，那麼給定任意$f\in C(X, \mathbb{R})$以及相異$x,y\in X$，有$(f(x), f(y))\in \mathbb{R}^2=\mathcal{A}_{xy}$，所以存在$g_{xy}\in \mathcal{A}$使得$(f(x), f(y))=(g_{xy}(x), g_{xy}(y))$。另外，對於$x\in X$，根據引理B中(2)的等價，存在$g_x\in \mathcal{A}$使得對於$g_x(x)\neq 0$。因此$f(x)=\widetilde{g}(x)$，其中$\widetilde{g}:=\frac{f(x)}{g_x(x)}g_x\in \mathcal{A}$。於是，根據引理D以及引理E，$f\in \mathcal{A}$。因為$f\in C(X, \mathbb R)$是任意的，(3)成立。

類似地，我們宣稱以下等價：

- 存在相異$x,y\in X$，$\mathcal{A}_{xy}=\text{span}{(0,1)}, \text{span}{(1,0)}$，其中$\mathcal{A}_{xy}$如引理B中所述。
- 存在$x_0\in X$使得對於所有$g\in \mathcal{A}, g(x_0)=0$。
- 存在$x_0\in X$使得$\mathcal{A}=\{g\in C(X, \mathbb R):g(x_0)=0\}$。

(1)$\iff$(2)已由引理B給出且(3)$\implies$(2)顯然。因此，僅須證明(2)$\implies$(3)。假設(2)成立，那麼顯然有$\mathcal{A}\subseteq\{g\in C(X, \mathbb R):g(x_0)=0\}$。注意到因為$\mathcal{A}$分離相異點，該$x_0$唯一。給定$g\in C(X, \mathbb R)$且$g(x_0)=0$。給定相異$x, y\in X$，如果$x, y\neq x_0$，那麼根據引理B (的證明)，$\mathcal{A}_{xy}=\mathbb R^2$，所以存在$g_{xy}\in \mathcal{A}$使得$(g(x), g(y))=(g_{xy}(x), g_{xy}(y))$。如果$x,y$其一為$x_0$，那麼根據$x_0$的唯一性，$\mathcal{A}_{xy}=\text{span}\{(1,0)\}, \text{span}\{(0,1)\}$，因此一樣有$g_{xy}\in \mathcal{A}$使得$(g(x), g(y))=(g_{xy}(x), g_{xy}(y))$。

給定任意$x\in X$，如果$x=x_0$，那麼$g(x_0)=0(x_0)$，其中$0\in \mathcal{A}$指零函數。如果$x\neq x_0$，那麼根據$x_0$的唯一性，存在$g_x\in \mathcal{A}$使得$g_x(x)\neq 0$，因此$g(x)=\widetilde{g}(x)$，其中$\widetilde{g}:=\frac{g(x)}{g_x(x)}g_x\in \mathcal{A}$。於是，根據引理D以及引理E，$f\in \mathcal{A}$。因為$f\in C(X, \mathbb R)$是任意的，(3)成立。

## 非緊緻空間

根據亞歷山德羅夫緊化(Alexandroff's extension)，可以延伸到非緊緻的局部緊緻豪斯多夫空間中，敘述如下：敘述：給定一個非緊緻的局部緊緻豪斯多夫空間$X$以及在$X$在無窮遠處消失(vanishes at infinity)的實連續函數集$C_0(X, \mathbb{R})$ (也就是說，對於任意$\epsilon>0$，$\{x\in X: |f(x)|\geq \epsilon\}$是一個緊緻集)。如果$\mathcal{A}\subseteq C_0(X, \mathbb R)$使一個分離相異點的閉子代數，那麼$\mathcal{A}$是以下兩個情況之一：

- $\mathcal{A}=C_0(X, \mathbb{R})$。
- 存在一個$x_0\in X$使得$\mathcal{A}=\{g\in C_{0}(X, \mathbb{R}): g(x_0)=0\}$。

## 複數域

在複數域中，包含常數函數$1$的閉子代數$\mathcal{A}\subseteq C(X, \mathbb C)$ 並不會都與$C(X, \mathbb C)$相等。不過如果$\mathcal{A}$對於共軛映射$g\mapsto\bar{g}$封閉，那麼有類似的結論：敘述：對於緊緻豪斯多夫空間 $(X, \tau)$以及分離相異點，且對共軛封閉的的閉子代數$\mathcal{A}\subseteq C(X,\mathbb{C})$，那麼$\mathcal{A}$是以下兩個情況之一：

- $\mathcal{A}=C(X, \mathbb{C})$。
- 存在一個$x_0\in X$使得$\mathcal{A}=\{g\in C(X, \mathbb{C}): g(x_0)=0\}$。