超複數

超複數是複數在抽象代數中的引申，通常是實數域上某個有限維的單位代數的元素。19世紀後期對超複數的研究，成為現代群表示論的根基。

此種代數舉例如下：

- 4維度：四元數、雙複數、分裂四元數
- 8維度：八元數、複四元數
- 16維度：十六元數

## 歷史

19世紀，實數系和複數系之外的若干數系，如四元數系、雙複數系、分裂四元數系、複四元數系、八元數系，成為數學文獻中完善的概念。超複數是涵蓋該些數系的概念，吸引學者研究和分類。

分類工作始於班傑明·皮爾士的1872年文章〈線性結合代數〉，並由其子查爾斯·桑德斯·皮爾士接續。重要的是，二人認定冪零元和冪等元皆對分類有用。凱萊－迪克森構造利用對合，從實數系開始，生成複數系、四元數系、八元數系。赫維茲和弗羅貝尼烏斯證明超複數的若干限制：赫維茲定理斷言有限維的實複合代數僅得實數系$\mathbb{R}$、複數系$\mathbb{C}$、四元數系$\mathbb{H}$、八元數系$\mathbb{O}$，而弗羅貝尼烏斯定理 (實除代數)斷言，實結合除代數僅得$\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$、$\mathbb{H}$。1958年，弗蘭克·亞當斯考慮H-空間（有具單位元的連續乘法的拓撲空間）的霍普夫不變量，發表推廣的結果，該結果仍將維數限制在1、2、4、8。

矩陣代數對研究超複數系幫助很大。首先，矩陣提供新的超複數系，例如$2 \times 2$實矩陣組成的代數（同構於分裂四元數）。很快，矩陣方法解明其他超複數系，因為該些超複數系也可以用矩陣及其運算表示。1907年，約瑟夫·韋德伯恩證明，滿足結合律的超複數系可表示為方陣代數或其直積。此後，結合代數成為較常用來稱呼超複數系的術語，例如韋德伯恩在愛丁堡大學的學位論文標題便用了此術語。然而，也有不可結合的數系，例如八元數系和雙曲四元數系，也算是另一類的超複數。

湯馬士·霍金斯（Thomas Hawkins）解釋，超複數是研究李群和群表示論的踏腳石。例如，1929年，埃米·諾特發表〈超複量與表示論〉。1973年，以賽亞·坎托爾和索洛多夫尼科夫（A. S. Solodovnikov）出版關於超複數的德文教科書，該書於1989年翻譯成英文。

凱倫·帕歇爾詳細介紹全盛期的超複數研究，包括數學家特奧多爾·莫林和愛德華·斯圖迪的貢獻。關於超複數至近世代數的過渡，巴爾特·倫德特·范德瓦爾登在《代數史》有三十頁專論超複數。

## 定義

定義超複數為實域上某個有限維代數的元素，而該代數要有單位，但無需可結合或可交換。該些元素可以寫成一組基$\{ 1, i_1, \dots, i_n \}$的線性組合，其中系數為實數$(a_0, \dots, a_n)$，而基的大小$n+1$稱為該代數的維數。若可行，一般將基正規化，即選取$i_k$使$i_k^2 \in \{ -1, 0, +1 \}$。下節先考慮二維超複數（即$n=1$）。

## 二維實代數

關於二維實代數有以下定理：在同構意義下，實域上的二維單位代數恰有3個：複數系、雙曲複數系、二元數系。於是，實域上的所有二維單位代數皆可結合和可交換。

下段簡述定理的證明。

因為給定的代數是二維，可選一組基$\{1, u\}$。因為代數對乘法封閉，$u$的平方仍是代數的元素，故可寫成線性組合：

$$u^2=a_0+a_1u,$$

其中$a_0, a_1$為實系數。

運用常見的配方法，兩邊減走$a_1u$並加上$a_1^2/4$，得：

$$u^2-a_1u+\frac{a_1^2}{4} = a_0+\frac{a_1^2}{4}.$$

所以$\left(u-\frac{a_1}{2}\right)^2 = \tilde{u}^2$，其中$\tilde{u}^2=a_0 + \frac{a_1^2}{4}$是實數。

取決於此實數值，分別有三種情況：

- 若$4a_0 = -a_1^2$，則上式變成$\tilde{u}^2 = 0$。於是，$\tilde{u}$可視為二元數的基$\{1, \varepsilon\}$中的冪零元$\varepsilon$。
- 若$4a_0 > -a_1^2$，則有$\tilde{u}^2 > 0$。雙曲複數的標準基$\{ 1 , j \}$滿足$j^2 = +1$，故若除$\tilde{u}$以正實數$a:=\sqrt{a_0+\frac{a_1^2}{4}}$（其平方與$\tilde{u}$平方相等），得到的結果即可視為$j$。
- 若$4a_0 < -a_1^2$，則有$\tilde{u}^2 < 0$。平常複數的標準基$\{ 1 , i \}$滿足$i^2 = -1$，故若除$\tilde{u}$以正實數$a:=\sqrt{\frac{a_1^2}{4}-a_0}$（其平方與$\tilde{u}$平方互為相反數），得到的結果即可視為$i$。

從而定理成立。

複數系是以上三個二維實代數中唯一一個域。若代數具有1的非實平方根$j$（如雙曲複數），則也有冪等元$\tfrac{1}{2} (1 \pm j)$和零因子（因為$(1 + j)(1 - j) = 0$），故此種代數必不為除代數。然而，此種性質有時很有用，例如雙曲複數適用於描述狹義相對論的勞侖茲變換。

《數學雜誌》在2004年的某版中，稱二維實代數為「廣義複數」（generalized complex numbers）。四個複數交比的概念也可以推廣到其他二維實代數。

## 高維例子（有多於一條非實軸）

### 克里福代數

克里福代數是由賦有二次型的向量空間所生成的單位結合代數。在實域上，其等價於可以定義對稱純量積$u \cdot v = \tfrac{1}{2}(uv + vu)$，正交化該二次型，以得到基$\{e_1, \ldots, e_k\}$，滿足：

$$\tfrac{1}{2} (e_i e_j + e_j e_i) = \left\{ \begin{matrix} -1, 0, +1, & i=j, \\ <pre> 0, & i \not = j. \end{matrix} \right.$$

由乘法封閉性，該向量空間的基相乘得到$2^k$個克里福數，即$1,\ e_1,\ e_2,\ e_3,\ \ldots,\ e_1 e_2,\ \ldots,\ e_1 e_2 e_3,\ \ldots,\ e_1 e_2 \cdots e_k$，皆為克里福代數的元素，且組成該代數的基（不同於原向量空間的基），可視為一個超複數系的基。與原向量空間的基$\{e_1, \ldots, e_k\}$不同，該代數的其他基元素不一定反交換，而是取決於將兩個因子對調時，會交換的簡單因子（即$e_i$）有奇數對抑或偶數對。所以，$e_1 e_2 = -e_2 e_1$，但$e_1 (e_2 e_3) = + (e_2 e_3) e_1$。

若不允許$e_i^2 = 0$（即二次型退化雙線性型），則餘下的克里福代數可記為$\mathrm{Cl}_{p,q} (\mathbb R)$，表示其為$p$個滿足$e_i^2 = +1$的簡單基元和$q$個滿足$e_i^2 = -1$的簡單基元生成的代數，而括號內的$\mathbb R$指明此為實域上的克里福代數，即元素的系數為實數。

該些代數稱為幾何代數，組成有規律的一族。該族代數適用於描述轉動、相位、自旋，因此在古典和量子力學、電磁學、相對論方面很有用。

此族代數包括：複數系$\mathrm{Cl}_{0,1} (\mathbb R)$、雙曲複數系$\mathrm{Cl}_{1,0} (\mathbb R)$，四元數系$\mathrm{Cl}_{0,2} (\mathbb R)$、分裂複四元數$\mathrm{Cl}_{0,3} (\mathbb R)$、分裂四元數系$\mathrm{Cl}_{1,1} (\mathbb R)\cong\mathrm{Cl}_{2,0} (\mathbb R)$（二維空間生成的自然代數）、$\mathrm{Cl}_{3,0} (\mathbb R)$（三維空間生成的自然代數，也是包立矩陣生成的代數）、時空代數$\mathrm{Cl}_{1,3} (\mathbb R)$。

代數$\mathrm{Cl}_{p, q}(\mathbb R)$可以視為代數$\mathrm{Cl}_{q+1, p}(\mathbb R)$的偶子代數$\mathrm{Cl}_{q+1, p}^{[0]}(\mathbb R)$，從而可用作描述$\mathrm{Cl}_{q+1, p}(\mathbb R)$中的旋轉。因此，複數密切關係二維空間的旋轉，四元數密切關係三維空間的旋轉，雙曲複數密切關係1+1維時空的雙曲旋轉（洛侖茲變換），餘可類推。

雖然八維或以上時，凱萊-迪克森結構和分裂複數構造的乘法不可結合，任意維數的克里福代數皆可結合。

1995年，伊恩·波蒂厄斯有關克里福代數的書中，論及「子代數的辨認」。其命題11.4總結超複數的情況：

設$A$為實結合代數，且具有單位元$1$。則

- $1$生成$\mathbb R$（實子代數）。
- 若$e_0 \in A$是任何滿足$e_0^2 = -1$的元素，則其生成的二維子代數與$\mathbb C$同構（複子代數）。
- 若$e_0 \in A$是任何滿足$e_0^2 = +1$的元素，則其生成的二維子代數與$\mathbb R^2$同構（此處$\mathbb R^2$是實二元組的集合，其上的乘法是逐個分量相乘。該代數與雙曲複代數同構）。
- 若$e_0 ^2 = e_1 ^2 = -1$，且$e_0, e_1$反交換，則$\{e_0, e_1\}$生成的四維子代數同構於$\mathbb H$（四元數代數）。
- 若$e_0 ^2 = e_1 ^2 = 1$，且$e_0, e_1$反交換，則$\{e_0, e_1\}$生成的四維子代數同構於$\mathcal M_2 (\mathbb R)$（元素為$2 \times 2$實矩陣，或分裂四元數）。
- 若$e_0 ^2 = e_1 ^2 = e_2 ^2 = -1$，且$e_0, e_1, e_2$兩兩反交換，則其生成的八維子代數同構於$\ {}^2 \mathbb H$（分裂複四元數）。
- 若$e_0 ^2 = e_1 ^2 = e_2 ^2 = 1$，且$e_0, e_1, e_2$兩兩反交換，則其生成的八維子代數同構於$\mathcal M_2(\mathbb C)$（元素為$2 \times 2$複矩陣，亦可視為複四元數或包立代數）。

超出該些古典代數的延伸，見克里福代數的分類。

### 凱萊－迪克森構造

撇除實數系、複數系、四元數系不計，其他克里福代數$\mathrm {Cl}_{p, q}(\mathbb R)$皆含有平方為$+1$的非實數，故不能為除代數。凱萊－迪克森構造是另一個擴展複數系的方法，其給出維數為$2^n\ (n = 2,\ 3,\ 4,\ldots)$的數系，該些數系的基$\{1, i_1, \dots, i_{2^n-1}\}$滿足：所有非實的基元兩兩反交換，且$i_m^2 = -1$。在8維或以上時（即$n \ge 3$），該些代數不可結合，而在16維或以上時（即$n \ge 4$），該些代數有零因子。

此構造得到的前幾個代數是4維的四元數系、8維的八元數系、16維的十六元數系。隨維數上升，其代數結構的對稱性逐一失去：四元數乘法不可交換，八元數乘法不可結合，而十六元數的範數不具積性。

凱萊－迪克森構造的某些步驟中，若插入額外的符號，則得到複合代數中的「分裂代數」，而非除代數：

分裂複數系：有基$\{ 1, i_1 \}$，滿足$\ i_1^2 = +1$。

分裂四元數系：有基$\{ 1, i_1, i_2, i_3 \}$，滿足$\ i_1^2 = -1, i_2^2 = i_3^2 = +1$。

分裂八元數：有基$\{ 1, i_1, \dots, i_7 \}$，滿足$\ i_1^2 = i_2^2 = i_3^2 = -1$，$\ i_4^2 = i_5^2 = i_6^2 = i_7^2 = +1$。

與複數系不同，分裂複數系並非代數閉，甚至包含非平凡的零因子和冪等元。與四元數系類似，分裂四元數系亦不可交換，但同時還含有冪零元。分裂四元數與二階方陣的代數同構。分裂八元數系不可結合，也含有冪零元。

### 張量積

兩個代數的張量積仍為代數，如此可構造更多超複數系。

作為例子，取2維實代數$\mathbb C$（複數系）、4維實代數$\mathbb H$（四元數系）、8維實代數$\mathbb O$（八元數系），分別與$\mathbb C$作張量積，依次得4維的雙複數系$\mathbb C\otimes_\mathbb{R}\mathbb C$、8維的複四元數系$\mathbb C\otimes_\mathbb{R}\mathbb H$、16維的複八元數系$\mathbb C\otimes_\mathbb{R}\mathbb O$。

### 其他例子

- 多重複數：其組成複域上的$2^{n-1}$維向量空間。
- 複合代數：賦有二次型的代數，其中二次型與乘法可互換次序。