三體問題

三體問題（Three-body problem）是天體力學中的基本力學模型。它是指三個質量、初始位置和初始速度都是任意的可視為質點的天體，在相互之間萬有引力的作用下的運動規律問題。

## 內容

三體問題是多體問題的一個特例。對於一般多體問題而言，不存在一般的解析解，即難以預測所有三體問題的數學情景，但存在較為複雜的廣義解析解：松德曼-汪秋棟級數解。現在更多是研究其特殊情況或使用數值方法求解。

例如太陽系中，考慮太陽、地球和月球的運動，它們彼此以萬有引力相吸引，若假設三個星球都可設為質點，並且忽略其他星球的引力，太陽、地球和月球的運動即可以視為三體問題。

三體問題也被用於模擬經典力學或量子力學中三個粒子的運動狀態。

在小說《三體》中三體人就生存在這樣的星系中，所以才會有無法預測的災難。

## 數學概述

三體問題可以用三個質量為$m_i$的相互作用的物體的矢量位置$\mathbf{r_i} = (x_i, y_i, z_i)$的牛頓運動方程數學表示：

$$\begin{cases} <pre> \ddot\mathbf{r}_{\mathbf{1}} &= -G m_2 \frac{\mathbf{r_1} - \mathbf{r_2}}{|\mathbf{r_1} - \mathbf{r_2}|^3} - G m_3 \frac{\mathbf{r_1} - \mathbf{r_3}}{|\mathbf{r_1} - \mathbf{r_3}|^3}, \\ \ddot\mathbf{r}_{\mathbf{2}} &= -G m_3 \frac{\mathbf{r_2} - \mathbf{r_3}}{|\mathbf{r_2} - \mathbf{r_3}|^3} - G m_1 \frac{\mathbf{r_2} - \mathbf{r_1}}{|\mathbf{r_2} - \mathbf{r_1}|^3}, \\ \ddot\mathbf{r}_{\mathbf{3}} &= -G m_1 \frac{\mathbf{r_3} - \mathbf{r_1}}{|\mathbf{r_3} - \mathbf{r_1}|^3} - G m_2 \frac{\mathbf{r_3} - \mathbf{r_2}}{|\mathbf{r_3} - \mathbf{r_2}|^3}. </pre> \end{cases}$$ 其中$G$為萬有引力常數。這是一組9個二階微分方程構成的方程組。

這個問題也可以用哈密頓形式等價表示，此時可以用一組18個一階微分方程表示，這些方程分別對應於$\mathbf{r_i}$位置和動量$\mathbf{p_i}$的一個分量：

$$\frac{d \mathbf{r_i}}{dt} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{p_i}}, \qquad \frac{d\mathbf{p_i}}{dt} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{r_i}},$$ 此處$\mathcal{H}$為哈密頓量：

$$\mathcal{H} = -\frac{G m_1 m_2}{|\mathbf{r_1} - \mathbf{r_2}|}-\frac{G m_2 m_3}{|\mathbf{r_3} - \mathbf{r_2}|} -\frac{G m_3 m_1}{|\mathbf{r_3} - \mathbf{r_1}|} + \frac{\mathbf{p_1}^2}{2m_1} + \frac{\mathbf{p_2}^2}{2m_2} + \frac{\mathbf{p_3}^2}{2m_3}.$$

## 限制性三體問題

當所討論的三個天體中﹐三體中其中兩體的質量極大，以至於第三體的質量幾乎不能對其造成任何擾動；或是有一個天體的質量與其他兩體的質量相比小到可以忽略時，可將三體問題簡化為二體問題的變型。這樣的三體問題稱為限制性三體問題。一般地把小質量的天體稱為無限小質量體﹐簡稱小天體；把另外兩個大質量的天體稱為有限質量體。

設$m_{1,2}$為兩個有限質量體的質量，其平面坐標分別為$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，另設小天體坐標為$(x, y)$。所選單位應該要確保兩有限質量體之間距離和萬有引力常數均為1，這樣數學處理會比較簡單。則小天體的運動可以以下公式數學表示：

$$\begin{cases} \frac{d^2 x}{dt^2} = -m_1 \frac{x - x_1}{r_1^3} - m_2 \frac{x - x_2}{r_2^3},\\ \frac{d^2 y}{dt^2} = -m_1 \frac{y - y_1}{r_1^3} - m_2 \frac{y - y_2}{r_2^3}. \end{cases}$$ 其中$r_i = \sqrt{(x - x_i)^2 + (y - y_i)^2}.$

在此數學表示中，運動方程通過坐標$x_i(t), y_i(t)$具有明確的時間相關性。但可以通過轉換為旋轉參考系來消除這一時間相關性，從而簡化了後續分析。

## 歷史

1499年，韋斯普奇最早提出三體問題。他利用月球位置訊息來確定自己在巴西的位置。這一方法適用於海上確定經度導航，因此在17世紀20年代，此法變得尤為實用。實際上，約翰·哈里森發明的航海經線儀解決了確定經度的問題。但是，由於太陽和行星對月球繞地公轉的擾動效應，月球理論的準確性很低。

亞美利哥·韋斯普奇和伽利略·伽利萊隨後也提出了三體問題。伽利略確定所有天體的下落速度都是相同均勻的，但他並沒有將其應用到行星運動。

1687年，當時艾薩克·牛頓發表了《自然哲學的數學原理》。在《原理》第一卷的第66號命題及其22個推論中，牛頓首次定義和研究了三個受相互擾動的重力吸引影響的巨大物體的運動問題。在第三冊的第25至35條命題中，牛頓將他的66號命題結果用於月球在地球和太陽的引力影響下的運動。

讓·勒朗·達朗貝爾和亞歷克西·克洛德·克萊羅兩個長期競爭者都試圖找到該問題的某種通性。他們競相在1747年向法國皇家科學研究院提交了他們的第一批三體問題分析。「三體問題」（法語：Problème des trois Corps）這個名字至此開始廣泛使用。達朗貝爾於1761年發布的文章表明，該名稱最早使用於1747年。

1887年，為了祝賀自己的60歲壽誕，瑞典國王奧斯卡二世贊助了一項現金獎勵的競賽，徵求太陽系的穩定性問題的解答，這是三體問題的一個變型。

法國數學家亨利·龐加萊簡化了問題，提出了限制性三體問題：即三體中其中兩體的質量極大，以至於第三體的質量完全不能對其造成任何擾動。面對這個問題，龐加萊運用了他發明的相圖理論，並且最終發現了混沌理論。雖然龐加萊沒有成功給出一個完整的解答，不過他的工作令人印象深刻，因此他於1888年贏得了獎金。

龐加萊發現這個系統的演變經常是混沌的，即如果初始狀態有一個小的擾動，例如個體的初始位置有一個小的變動，則後來的狀態可能會有極大的不同。如果這一小變動不能被測量儀器所探測，那麼我們將不能預測最終狀態為何。

著名數學家兼競賽裁判卡爾·魏爾施特拉斯說：「這個工作不能真正視為對所求的問題的完善解答，但是它的重要性使得它的出版將標誌著天體力學的一個新時代的誕生。」

魏爾斯特拉斯並不知道他自己的預測有多準確。在龐加萊的論文中，他描述了例如同宿點（homoclinic points）之類的新思想。這些概念在1890年的瑞典《數學學報》備忘錄中出版，後來該書在編輯途中被發現一個理論上的錯誤，然而該錯誤實際上導致了龐加萊一些進一步的發現，這些發現在現代視為混沌理論的開端。

19世紀末到20世紀初，科學家們研究使用短程二體吸力來解決三體問題的方法。19世紀後期，喬治·威廉·希爾在用金星和水星的運動來研究限制性三體問題，不久進一步延伸到四體問題以計算月球繞地球軌道和行星環繞恆星軌道。

1907年和1909年時，芬蘭數學家卡爾·弗里肖夫·松德曼分別發表兩篇論文，證明三體問題存在一個t1/3的冪級數解，除初始狀態是角動量為零的情況（這種情況極其罕見，只有當物體勒貝格測度為0時才會出現）外，對所有實數t始終收斂。松德曼的研究成果收錄於1912年的瑞典《數學學報》上。

1930年，數學家大衛·貝洛里奇（David Beloriszky）指出，松德曼級數收斂極慢，如果將松德曼級數解用於天文觀測，則計算有效項數將至少達到108000000項。

1970年，前蘇聯理論物理學家維塔利·尼古拉耶維奇·葉菲莫夫預測當三個相同的玻色子之間的對相互作用接近共振時，三體譜表現出無限的束縛態序列。這一預測於2006年證實，因此也稱為葉菲莫夫效應。

20世紀70年代，米歇爾·赫農和羅傑A.布魯克分別找到了一套特殊解族，這些特殊解族構成了同系列特殊解族: 布魯克-赫農-哈德吉德梅特里奧解族（Broucke–Henon–Hadjidemetriou family）。

1979年，前蘇聯數學家L·K·巴巴德贊詹茲（LK Babadzanjanz）發表論文《Existence of the continuations in the N-body problem（多體問題連續性的存在性）》。

後又於1993年發表論文《On the global solution of the N-body problem（論多體問題全局解）》。

1985年，中國數學家汪秋棟發表論文《多體問題全局解的存在性》

後又於1991年發表論文《The global solution of the n-body problem（多體問題全局解）》。

1993年，聖塔菲研究所的美國物理學家克里斯·摩爾構想了一種零角動量解，該解適用於三個相等質量物體做「8」字型運動。

此情形在2000年由數學家阿蘭·契納和理察·蒙哥馬利（Richard Montgomery）證明。

該解在數值上證明了對於質量和軌道參數小擾動的穩定性，這增加了在物理宇宙中可以觀察到這種軌道的可能。但有人認為不太可能發生這種情況，因為其穩定的範圍較小，因此不太可能發生這種情況。此外，雙星散射事件會導致「8」字形軌道的出現機率估計不足1%。

2013年，貝爾格勒物理研究所的物理學家米洛萬·烏瓦科夫（Milovan Šuvakov）與維利科·德米特拉·伊諾維（Veljko Dmitrašinović）發現了等質量零角動量三體問題的13種新的解族。

2015年，物理學家安娜·胡多馬爾（Ana Hudomal）發現了14種等質量零角動量三體問題的新解族。

2017年，中國電腦科學家李曉明和中國數學家廖世俊發現了669組等質量零角動量三體問題的新周期軌道。

2018年，不等質量的零動量系統又新增了1223組新解。

2018年，李曉明和廖世俊發布了234個不等質量「自由落體」三體問題的解。三體問題的自由落體公式從所有三個靜止的物體開始。正因為如此，質量在一個自由落體配置不在一個閉合的「循環」軌道上運行，而是沿著一個開放的「軌道」向前和向後運行。

2019年，愛丁堡大學菲利普·布林（Philip Breen）等人訓練了一種用於三體問題的快速神經網路。

2022年，廖世俊、楊宇和李曉明在《新天文學》上提出了一個獲得「三體問題」周期解的路線圖。

2023年，伊萬·赫里斯托夫（Ivan Hristov）、拉多斯拉娃·赫里斯托娃（Radoslava Hristova）、維利科·德米特拉希諾維奇（Veljko Dmitrašinović）和谷川清隆（Kiyotaka Tanikawa）發表了一篇關於等質量三體系統的周期軌道研究，發現了12409個不同軌道。

## 解法

### 一般性解法

三體序列的收斂半徑由到最近奇點的距離決定。因此，必須要考慮三體問題的可能奇點。三體問題中的唯二奇點是二元碰撞（兩個天體間的瞬時碰撞）和三元碰撞（三個天體間的瞬時碰撞），下面對此類狀態進行簡單討論。

實際上多體間不太可能發生碰撞（包括二體和三體），因為此前已證明碰撞狀態對應勒貝格測度為0的一組初始狀態。然而，由於沒有對這一初始狀態進行研究，以避免相應解出現碰撞奇點。因此，松德曼的求解思路包含以下幾大要點:

- 通過適當的變量替換，用正則化去分析二元碰撞以外的解。
- 用保羅·潘勒韋方程的思路證明只有在角動量L=0時才會發生三元碰撞。將初始狀態限制為L ≠ 0，從三體問題的變換方程中去除所有實奇點。
- 證明如果L≠0，則不僅不存在三元碰撞，而且系統嚴格有界遠離三元碰撞。通過對微分方程使用柯西存在性定理，證明在以實軸為中心的複平面（符合柯西—柯瓦列夫斯卡婭定理的陰影）中，證明存在一帶狀區域（與L取值有關），其中不包含復奇點。
- 構造保角變換h(z)=$e^\frac{\pi \omega}{2\Omega}$，把這一帶狀區域映射到單位圓盤。他證明了如果1=ω = t1/3（正則化後的新變量），且ω- ω* ≤ Ω，則映射可由下面兩式得出：

$$\begin{cases} \omega=\frac{2\Omega}{\pi}log{1+\tau \over 1-\tau},\\ \tau= \frac{e^\frac{\pi \omega}{2\Omega} - 1}{e^\frac{\pi \omega}{2\Omega} + 1}. \end{cases}$$ 由此，松德曼證明，l和Ω一旦確定，就可以通過對τ的連續微分計算各項發展，從而證明了三體問題存在收斂級數解。

1985年，中國數學家汪秋棟發表論文《多體問題全局解的存在性》，後又於1991年發表論文《The global solution of the n-body problem（多體問題全局解）》。

將解法推廣至多體問題中，並給出了角動量L為0的初始狀態下的解法。

### 特殊解法

#### 傳統理論

1767年，萊昂哈德·歐拉提出了三個周期解序列，其中三個物體在任意時刻均共線。具體內容參見歐拉三體問題。

1772年，拉格朗日找到了一系列由三個質點組成的等邊三角形解。這些解與歐拉的共線解一起構成了三體問題的中心構形。該系列解對於任何質量比的天體均有效，並且都沿克卜勒橢圓運動。這四個解族是唯一有明確解析式的已知解族。在圓型限制性三體問題的特殊情況下，這些解在隨原點變換的旋轉坐標軸中稱為拉格朗日點L1, L2, L3, L4和L5，其中L3, L4是拉格朗日對稱解的實例。

1892年至1899年，龐加萊為限制性三體問題找到了一組無窮多的周期解，並將這組解推廣至一般三體問題。

1893年，恩斯特·邁塞爾提出了三體勾股問題：將質量之比為3：4：5的三個質點分別置於3：4：5直角三角形的頂點處，研究其軌跡。卡爾·伯勞在1913年進一步研究了這個問題。

1967年，維克多·塞貝赫利和弗雷德里克·彼得斯（C. Frederick Peters）利用數值積分理論建立了這個問題的最終逃逸模型，同時找到了附近的周期解。

20世紀70年代，米歇爾·赫農和羅傑A.布魯克分別找到了一套特殊解族，這些特殊解族構成了同系列特殊解族: 布魯克-赫農-哈德吉德梅特里奧解族。在這一解族中，這三個物體都具有相同的質量，可以表現出逆行和直行兩種形式。在布魯克的一些解中，兩個物體延相同的軌道運行。

#### 數值分析方法

儘管高精度需要大量的CPU時間，但是可以用數值積分在電腦上得到多體問題的任意高精度解。現已有人嘗試創建電腦程式，結合狹義相對論等現代物理學理論，以數字方式解決涉及電磁相互作用和引力相互作用的三體問題（以及擴展的多體問題）。此外，使用隨機遊走理論，可以計算三體處於不同位置的機率。

2017年，廖世俊和李曉明發明了「精準數值模擬（the clean numerical simulation，CNS）」的混沌系統數值模擬新策略，用超級計算機成功獲得了695個等質量三體系統的周期軌道。

2019年，布林等人訓練了一種用於三體問題的快速神經網路，該神經網路使用數字積分器進行訓練。

2023年，伊萬·赫里斯托夫、拉多斯拉娃·赫里斯托娃、維利科·德米特拉希諾維奇和谷川清隆發表了一篇關於等質量三體系統的周期軌道研究。其中，他們發現了12409個不同軌道。

## 多體問題

三體問題是多體問題的一個特例，它描述了多個物體如何在一種相互作用（如引力）下移動。這些問題具有收斂冪級數形式的全局解析解，正如松德曼（n = 3）和汪秋棟（n >3）所證明的那樣（詳見N體問題）。然而，松德曼-汪秋棟級數收斂得如此之慢，以至於它們沒有什麼實用性。因此，目前還需要用數值積分形式的數值分析方法求取近似解，或在某些特殊情況下，使用經典三角級數近似（參見多體模擬）。原子系統，例如原子、離子和分子，可以用量子多體問題來處理。在經典力學系統中，多體系統通常是指一個星系或星系團；行星系統，如恆星、行星及其衛星等也可視為多體系統。一部分可以用擾動理論簡化處理，其中系統被視為二體系統加上一個假定導致偏離無擾動雙體軌跡的額外力。

## 文化領域

中國作家劉慈欣圍繞三體問題展開創作了《三體》三部曲中的第一部作品《三體》，向公眾科普了三體問題。

## 外鏈

- Physicists Discover a Whopping 13 New Solutions to Three-Body Problem (Science)
- 3body simulator - an example of a computer program that solves the three-body problem numerically