環 (代數)

環（ring）是一種帶有兩個二元運算（抽象化的「加法」和「乘法」）、並且符合特定運算規則的集合。它包含且抽象化了諸如整數、有理數、實數、複數、多項式、矩陣、函數、算子等等的代數結構。環是環論的主要研究對象，並且是構成各種抽象代數理論的重要基本概念。

數環（number ring）是環的一個特定子類，其元素必須是「數」；若不特別指明，此數環的元素通常是代數整數。

環的具體定義並沒有完全統一。不同研究方向的學者對於環是否要有乘法單位元有不同見解，在部份情況下甚至不要求乘法有結合律。然而除非明確聲明，否則本條目所稱的「環」是指有乘法單位元、乘法有結合律的環。關於乘法無單位元的環，請見偽環一文。

## 定義

給定一個集合 $R$ 以及兩個定義在 $R$ 上的二元運算 $+$ 和 $\times$ 分別稱為「$R$ 的加法」和「$R$ 的乘法」。如果 $R$、 $+$ 和 $\times$ 具有以下八個性質，則稱 $(R,+,\times)$ 意思是$R$ 連同 $+$ 和 $\times$ 這兩個二元運算一同提及構成了一個環。

- $(R,+)$ 是一個交換群：
- 加法有結合律——對所有的 $a, b, c \in R$，都有：$$(a + b) + c = a + (b + c)$$
- 加法有交換律——對所有的 $a, b \in R$，都有：$$a + b = b + a$$
- 有加法單位元——存在某個 $0_{R} \in R$，使得所有的 $r \in R$，都有： $$0_{R} + r = r$$
- 有加法反元素——對所有的 $r \in R$，存在某個 $-r \in R$，使得： $$-r + r = 0_{R}$$
- $(R,\times)$ 是一個有單位元的半群：
- 乘法有結合律——對所有的 $a,\,b,\,c \in R$，都有： $$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$$
- 有乘法單位元——存在某個 $1_{R} \in R$，使得所有的 $r \in R$，都有：$$1_{R} \times r = r \times 1_{R} = r$$
- （左）分配律——對所有的 $a,\,b,\,c \in R$，都有：$$a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$$
- （右）分配律——對所有的 $a,\,b,\,c \in R$，都有：$$(a + b) \times c = (a \times c) + (b \times c)$$

環的乘法經常依照慣例，不會寫出「$\times$」這個符號。例如（左）分配律就可以寫成：$$a (b + c) = ab + ac$$此外，加法單位元也經常稱為「零元素」或直接簡稱為「零」。

### 定義的分歧

環的定義的分歧通常在於是否要求乘法單位元的存在。在 1960 年代以前，多數抽象代數的教科書通常會採用埃米·諾特的定義，不要求乘法單位元存在。然而在1960年後，越來越多的著名教科書作者（例如：尼古拉·布爾巴基、大衛·艾森佈德、塞爾日·蘭）開始將乘法單位元的存在性納入定義中。不要求乘法單位元存在的作者，通常會將有乘法單位元的環稱為單位環（lang|en|unital ring）；反之，要求乘法單位元存在的作者，可能會將不含乘法單位元（identity）的環（ring）稱為 rng 或偽環（pseudo-ring），或甚至乾脆不提及任何沒有單位元的環。

另外在交換代數的文獻中，通常還會額外約定環的乘法要滿足交換律。這類文獻的作者通常會事先聲明。

## 例子

- 整數$\mathbb{Z}$、有理數$\mathbb{Q}$、實數$\mathbb{R}$和複數$\mathbb{C}$，連同尋常的加法和乘法，構成了一個環。它們的加法單位元是$0$，乘法單位元是$1$，是最典型的實際例子。
- 整係數多項式環$\mathbb{Z}[x]$、有理係數多項式環$\mathbb{Q}[x]$，實係數多項式環$\mathbb{R}[x]$、複係數多項式環$\mathbb{C}[x]$，連同多項式加法和乘法，構成一個環。它們的加法單位元也是$0$，乘法單位元也是$1$。更一般地，可以考慮任何環$R$的多項式環$R[x]$。
- 整係數有理函數$\mathbb{Z}(x)$、有理係數有理函數$\mathbb{Q}(x)$，實係數有理函數$\mathbb{R}(x)$、複係數有理函數$\mathbb{C}(x)$，連同有理函數的加法和乘法，構成一個環。它們的加法單位元依然是$0$，乘法單位元依然是$1$。更一般地，可以考慮任何環$R$的有理函數環$R(x)$；而「建構分式」的操作還是「分式體」以及更一般的「局部化」這些概念的起源。
- 大小為$n \times n$的整係數矩陣$\mathbf{M}_{n}(\mathbb{Z})$、有理係數矩陣$\mathbf{M}_{n}(\mathbb{Q})$、實係數矩陣$\mathbf{M}_{n}(\mathbb{R})$、或複係數矩陣$\mathbf{M}_{n}(\mathbb{C})$，連同矩陣加法和矩陣乘法，構成一個環。它們的加法單位元是零矩陣：$$\mathbf{0}_{n} := \begin{bmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 0 \\ \end{bmatrix}_{n \times n}$$乘法單位元則是單位矩陣：$$\mathrm{I}_{n} := \begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \\ \end{bmatrix}_{n \times n}$$同樣的，可以考慮任何環$R$的矩陣環$\mathbf{M}_{n}(R)$。矩陣環也是典型的非交換環。
- 如果集合 $R$ 只有一個元素，那 $R$ 只可能定義出唯一的一種環結構——零環（Zero ring）。

## 基本性質

- 零元素是唯一的
- 零乘以任何東西都是零
- 乘法單位元是唯一的
- 任何元素如果有乘法反元素，那是唯一的
- 多個環元素的分配律：$$\left(\sum_{i = 1}^{n}a_i\right)\left(\sum_{j = 1}^{m}b_j\right) = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}a_ib_j$$
- 環元素的整數倍與整數次方——整數可以用來當作是任何環的係數，只要定義以下的係數運算規則：$$na := \underbrace{a + a + \cdots a}_{n \text{ 次}} \qquad (-n)a := \underbrace{(-a) + (-a) + \cdots (-a)}_{n \text{ 次}} \qquad 0a := 0_R$$這種係數運算規則和普通係數的概念有許多一致性，例如：
- $$n(ab) = (na)b = a(nb)$$
- $$(nm)a = n(ma) = m(na)$$
- $$n(a+b) = na + nb$$
- $$(n+m)a = na + ma$$

而類似地如果把多次相加改成多次相乘，那麼可以這邊暫定 $a$ 有乘法反元素。如果沒有乘法反元素，那麼有關負數次方的結果不一定成立。定義冪運算：$$a^n := \underbrace{a \times a \times \cdots a}_{n \text{ 次}} \qquad a^{-n} := \underbrace{a^{-1} \times a^{-1} \times \cdots a^{-1}}_{n \text{ 次}} \qquad a^{0} := 1_R$$

- 二項式展開——如果 $ab = ba$，那麼它們總和的次方可以這樣計算：$$(a + b)^n = a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^{2} + \cdots + \binom{n}{n-2}a^{2}b^{n-2} + \binom{n}{n-1}ab^{n-1} + b^n = \sum_{i+j = n}\frac{n!}{(i!)(j!)}a^ib^j$$這可以推廣到多個元素 $a_1,a_2,\dots,a_m$ 總和的次方——如果任兩個元素的 $a_i$ 和 $a_j$ 的乘法都可以交換（即 $a_ia_j = a_ja_i$），那麼：$$(a_1 + a_2 + \cdots + a_m)^n = \sum_{i_1 + i_2 + \cdots + i_m = n}\frac{n!}{(i_1!)(i_2!)\cdots(i_n!)}a_{1}^{i_1}a_{2}^{i_2} \cdots a_{m}^{i_m}$$

## 基本的相關概念

### 特殊的環元素

在初等環論中，以下四類型的環元素在任意的環中都有定義，它們是經常被討論的對象：

- 可逆元（Unit 或 Invertible element）：有乘法反元素的環元素。
- 零因子（Zero divisor）：相乘後為零的非零元素；相當於「零的因數」。
- 冪零元（Nilpotent）：自乘多次後變成零的環元素。
- 冪等元（Idempotent）：自乘任意多次都不變的環元素。

### 環同態、核、像

在環論中，環同態描述了環與環之間的關係。一個從環 $R$ 送往環 $S$ 的環同態（Ring homomorphism）$f : R \to S$ 簡單來說是一種「維持環結構」的映射；而具體來說，$f$ 要具有以下三個性質：

- 維持加法的結構——對所有的 $a, b \in R$，都有：$$f(a+b) = f(a)+f(b)$$
- 維持乘法的結構——對所有的 $a, b \in R$，都有：$$f(ab) = f(a)(b)$$
- 維持單位元的結構——也就是：$$f(1_{R}) = 1_{S}$$

對一個環同態 $f$ 來說，有以下兩個密切相關的概念：

- 核（Kernel）——送到零元素的那些元素：$$\mathrm{Ker}(f) := f^{-1}(0_{S}) = \{ a \in R \mid f(a) = 0_{S} \} \subseteq R$$
- 像（Image）——把元素都送過去後的結果：$$\mathrm{Im}(f) := f(R) = \{ f(a) \in S \mid a \in R \} \subseteq S$$

### 子環、（雙邊）理想、商環

給定一個環 $R$，我們可以考慮它的：

- 子環（Subring）——某個送往 $R$ 的環同態在$R$ 內的像。
- 雙邊理想（Two side ideal）——某個定義在$R$ 上的環同態的核。
- 商環（Quotient）——（同構意義下）某個定義在$R$ 上的環同態的像。

一個環的環同態、子環、雙邊理想、商環共同刻劃了環的結構。

## 具有額外性質的環

### 交換環（ commutative ring ）

如果一個環 $R$ 還額外滿足：

乘法的交換律：對於所有 $a, b \in R$：

$$a \times b = b \times a$$

則稱 $R$ 是一個交換環。交換環是最被深入研究的一類環，其中包括以下幾類：

- 整環（Integral domain）：沒有零因子的交換環。
- 唯一分解整環（Unique factorization domain）：可以唯一分解任何元素的整環。
- 主理想整環（Principal ideal domain）：所有理想都是主理想的整環。
- 歐幾里得整環（Euclidean domain）：可以進行歐幾里得演演算法（輾轉相除法）的整環。
- 體（Field）：非零元素都有乘法反元素的交換環。
- 代數閉體（Algebraically closed field）：所有多項式都有根的體。

### 非交換環

所謂的非交換環實際上是指「不假設是交換環」的環，這樣子的環有：

- 除環（Division ring）：非零元素都有乘法反元素的環（可能不交換）。
- 單環（Simple ring）：沒有非平凡雙邊理想的環。

## 從已知的環建構出其他環的方式

### 直積

給定數個環 $R_1, R_2, \dots, R_n$，可以考慮這些環作為集合的笛卡爾積：

$$\prod_{i = 1}^{n} R_i := R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_n = \{ (a_1,a_2,\dots,a_n) \mid a_1 \in R_1, a_2 \in R_2 ,\dots, a_n \in R_n \}$$可以在這個集合上用以下方式定義加法和乘法：

$$(a_1,a_2,\dots,a_n) + (b_1,b_2,\dots,b_n) := (a_1 + b_1,a_2 + b_2, \dots,a_n + b_n)$$ $$(a_1,a_2,\dots,a_n) \times (b_1,b_2,\dots,b_n) := (a_1 \times b_1,a_2 \times b_2, \dots,a_n \times b_n)$$這使得$\prod_{i = 1}^{n} R_i$構成一個環。稱為 $R_1, R_2, \dots, R_n$ 的直積（Direct product）；它的加法單位元是 $(0_{R_1},0_{R_2},\dots,0_{R_n})$ 乘法單位元是 $(1_{R_1},1_{R_2},\dots,1_{R_n})$

這種概念可以推廣到無限多個環、甚至不可數多個環的直積。

### 多項式環

給定一個環 $R$，可以考慮以這個環作為係數的多項式：$$R[x] := \left\{ \sum_{i=0}^{n}a_ix^i ~\Bigg|~ a_i \in R, n = 1,2,3,\dots \right\}$$可以仿照一般的實係數多項式運算規則，為這個集合定義加法和乘法：$$\left( \sum_{i=0}^{n}a_ix^i \right) + \left( \sum_{i=0}^{n}b_ix^i \right) := \sum_{i=0}^{n}(a_i + b_i)x^i$$ $$\left( \sum_{i=0}^{n}a_ix^i \right) \times \left( \sum_{i=0}^{m}b_ix^i \right) := \sum_{i=0}^{n+m}\left( \sum_{j=0}^{i}a_jb_{i-j} \right)x^i$$在這樣的運算規則下， $R[x]$ 被稱為是 $R$ 的多項式環；它的加法單位元以及乘法單位元與 $R$ 相同。

### 矩陣環

給定一個環 $R$，可以考慮以這個環作為係數、大小為 $n \times n$ 的矩陣：

$$\mathbf{M}_{n}(R) := \left\{ \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \dots & a_{n,n} \\ \end{bmatrix}_{n \times n} ~\bigg|~ a_{i,j} \in R, \quad i,j = 1,2,\dots,n\right\}$$同樣可以仿照一般的矩陣運算規則，為這個集合定義加法和乘法：

$$\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \dots & a_{n,n} \\ \end{bmatrix}_{n \times n} + \begin{bmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} & \dots & b_{1,n} \\ b_{2,1} & b_{2,2} & \dots & b_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n,1} & b_{n,2} & \dots & b_{n,n} \\ \end{bmatrix}_{n \times n} := \begin{bmatrix} a_{1,1} + b_{1,1} & a_{1,2} + b_{1,2} & \dots & a_{1,n} + b_{1,n} \\ a_{2,1} + b_{2,1} & a_{2,2} + b_{2,2} & \dots & a_{2,n} + b_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} + b_{n,1} & a_{n,2} + b_{n,2} & \dots & a_{n,n} + b_{n,n} \\ \end{bmatrix}_{n \times n}$$ $$\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \dots & a_{n,n} \\ \end{bmatrix}_{n \times n} \times \begin{bmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} & \dots & b_{1,n} \\ b_{2,1} & b_{2,2} & \dots & b_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n,1} & b_{n,2} & \dots & b_{n,n} \\ \end{bmatrix}_{n \times n} := \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i,1} & \sum_{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i,2} & \dots & \sum_{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i,n} \\ \sum_{i=1}^{n}a_{2,i}b_{i,1} & \sum_{i=1}^{n}a_{2,i}b_{i,2} & \dots & \sum_{i=1}^{n}a_{2,i}b_{i,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i,1} & \sum_{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i,2} & \dots & \sum_{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i,n} \\ \end{bmatrix}_{n \times n}$$那麼 $\mathbf{M}_{n}(R)$ 在這樣的運算規則下，構成一個環。它的加法單位元是零矩陣：$$\mathbf{0}_{n} := \begin{bmatrix} 0_{R} & 0_{R} & \dots & 0_{R} \\ 0_{R} & 0_{R} & \dots & 0_{R}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0_{R} & 0_{R} & \dots & 0_{R} \\ \end{bmatrix}_{n \times n}$$乘法單位元則是單位矩陣：$$\mathrm{I}_{n} := \begin{bmatrix} 1_{R} & 0_{R} & \dots & 0_{R} \\ 0_{R} & 1_{R} & \dots & 0_{R} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0_{R} & 0_{R} & \dots & 1_{R} \\ \end{bmatrix}_{n \times n}$$同樣的，可以考慮任何環 $R$ 的矩陣環 $\mathbf{M}_{n}(R)$。矩陣環也是典型的非交換環。

### 局部化與分式體

局部化的概念並不是對任何的環都有效，在大多數時候，只會考慮交換環的局部化。粗略地說，局部化是「加入某些元素的乘法反元素」；而分式體則是透過「加入所有非零元素的乘法反元素」來定義。分式體最著名的例子就是從整數構造有理數的過程。

更抽象地講，一個環對某些元素的局部化是「使得這些元素可逆的、最小的環」；在這種意義下，分式體就是「使得非零元素可逆的、最小的環」。而這個概念實際上就是——「包含這個環的最小的體」。

## 交換環與代數幾何的關係

交換環是乘法滿足交換律的環。這種環和代數幾何有著深遠的關聯性，體現在交換環範疇 $\mathbf{CRing}$ 和仿射概形範疇 $\mathbf{AffSch}$ 有著如下對偶性：

$$\mathbf{CRing}^{\mathrm{op}} \cong \mathbf{AffSch}$$

這種對偶性使得交換環的代數性質可以轉換成仿射概形的幾何性質。

## 外部連結

- Database of Ring Theory 一個紀錄了大量環的性質的資料庫
- 《數學百科全書》對環的 定義
- MathWorld 對環的 定義
- nLab 對環的 定義