定理

定理（Theorem）是經過受邏輯限制的證明為真的陳述。一般來說，在數學中，只有重要或有趣的陳述才叫定理。證明定理是數學的中心活動。一個定理陳述一個給定類的所有（全稱）元素一種不變的關係，這些元素可以是無窮多，它們在任何時刻都無區別地成立，而沒有一個例外。（例如：某些$a$是$x$，某些$a$是$y$，就不能算是定理）。

猜想是相信為真但未被證明的數學敘述，或者叫做命題，當它經過證明後便是定理。猜想是定理的來源，但並非唯一來源。一個從其他定理引伸出來的數學敘述可以不經過成為猜想的過程，成為定理。

如上所述，定理需要某些邏輯框架，繼而形成一套公理（公理系統）。同時，一個推理的過程，容許從公理中引出新定理和其他之前發現的定理。

在命題邏輯，所有已證明的敘述都稱為定理。

## 定理性與真理

直到19世紀晚期和數學基礎危機之前，所有數學定理都是從少數幾個被認為不言自明的基本性質建立起來的，例如每個自然數都有後繼者這一事實，或者恰好有一條直線通過兩個給定的不同點，以及在定理的證明中用於組合這些事實的邏輯推理規則。這些被認為絕對顯然的基本性質稱為公設或公理，例如歐幾里得公設。所有定理都通過隱式或顯式地使用這些基本性質來加以證明。由於這些基本性質被認為不言自明，一個已證明的定理便被視為確定的真理，除非其證明中存在錯誤。例如，歐幾里得從幾個公理和公設出發，證明了三角形的內角之和等於180°，這被視為不容置疑的事實。

數學基礎危機的一個方面是通過改變歐幾里得第五公設而發現了非歐幾里得幾何。這些幾何不會引起任何內部矛盾，儘管在此類幾何中三角形的內角之和不等於180°。換言之，「三角形的內角之和等於180°」這一性質可以為真也可以為假，取決於歐幾里得第五公設是被假設還是被否定。類似地，19世紀對集合若干「顯然」基本性質的使用導致了羅素悖論的矛盾，此問題通過修改允許操作集合的公理而得以解決。

一般而言，19世紀的危機通過重新審視數學的基礎、使其更為嚴格而得到解決。在這些新基礎中，定理是一個數學理論的形式語言中的適定公式，可以從理論的公理和推理規則推導出來。因此，上述關於三角形內角之和的定理變成了：「在歐幾里得幾何的公理和推理規則下，三角形的內角之和等於180°」。類似地，羅素悖論消失了，因為在現代公理化集合論中，「所有集合的集合」無法用適定公式來表達——更確切地說，如果它可以被如此表達，則意味著該理論是不相容的，每一個適定斷言及其否定都將是定理。

在這一背景下，定理的有效性僅取決於其證明的正確性，而與「現實世界」中公理的真實性乃至含義無關。這並不意味著公理的含義不重要，而只是說定理的有效性獨立於公理的含義。這種獨立性或許有用，因為它允許將某一數學領域的結果應用於表面上不相關的領域。

這種數學思維方式的一個重要後果是，它允許將數學理論和定理定義為數學對象，並對它們加以證明。特別地，存在一些適定斷言，可以被證明在某個特定理論中不是定理，儘管它們可以在更廣泛的理論中得到證明。一個例子是古德斯坦定理，它可以用皮亞諾算術陳述，但可以被證明在皮亞諾算術中不可證；然而，它在某些更一般的理論（例如策梅洛-弗蘭克爾集合論）中是可以證明的。

## 各種數學敘述（按重要性來排列）

- 數學原理
- 公理（也稱公設）−公理是沒有經過證明，但被當作不證自明的一個命題。
- 定理
- 命題−通常，命題是一個可以判斷真或假的陳述句，亦有既真又假的命題（悖論）。
- 推論（也稱系、系理）−一個從定理隨之而即時出現的敘述。若命題B可以很快、簡單地推導出命題A，命題A為命題B的推論。
- 引理（也稱輔助定理，補理）−某個定理的證明的一部分的敘述。它並非主要的結果。引理的證明有時還比定理長，例如舒爾引理。
- 假說−根據已知的科學事實和科學原理，對所研究的自然現象及其規律性提出的推測和說明。

## 認識論考量

許多數學定理是條件性陳述，其證明從稱為假設或前提的條件中推導結論。根據將證明理解為真理之辯護的觀點，結論通常被視為假設的必然後果——即假設為真時結論亦為真，無需任何其他假設。然而，在某些演繹系統中，視推導規則和條件符號所賦予的含義（例如非古典邏輯），條件式也可以有不同的解釋。

雖然定理可以以完全符號化的形式寫出（例如命題演算中的命題），但為了更好的可讀性，它們通常以自然語言非正式地表達。證明亦然，往往以邏輯清晰、措辭明確的非正式論證形式呈現，旨在使讀者對定理陳述的真實性確信無疑，且原則上可以從中構造出形式符號化的證明。

除了可讀性更佳外，非正式論證通常也比純符號式論證更易於核驗——事實上，許多數學家更偏好一種不僅能證明定理有效性、而且能在某種意義上說明「其為何顯然為真」的證明。在某些情況下，甚至可以用一張圖作為定理的證明。

由於定理是數學的核心，它們也是數學美學的核心。定理常被描述為「平凡的」、「困難的」、「深刻的」，甚至「優美的」。這些主觀判斷不僅因人而異，也隨時代和文化而變化：例如，隨著某個證明被發現、簡化或更深入地理解，昔日困難的定理可能變得平凡。另一方面，一個深刻的定理可能陳述簡單，但其證明可能涉及數學不同領域之間令人驚訝而微妙的聯繫。費馬最後定理是這類定理的一個特別著名的例子。

## 定理的非正式說明

從邏輯上講，許多定理具有指示條件句的形式：「若A，則B」。這樣的定理並不斷言B，而只是斷言B是A的必然後果。在這種情況下，A稱為定理的假設（此處「假設」的含義與猜想截然不同），B稱為定理的結論。兩者合在一起（不含證明）稱為定理的命題或陳述（例如「若A，則B」就是其命題）。A和B也可以分別稱為前件和後件。「若n是偶自然數，則n/2是自然數」是一個典型例子，其中假設是「n是偶自然數」，結論是「n/2也是自然數」。

為了使定理能夠被證明，它原則上必須能夠表達為精確的形式陳述。然而，定理通常以自然語言而非完全符號化的形式表達——前提是可以從非正式陳述導出形式陳述。

在數學中，通常的做法是在給定語言中選擇若干假設，並宣稱理論由這些假設的所有可推導陳述構成。這些假設構成理論的基礎，稱為公理或公設。數學中稱為證明論的領域研究形式語言、公理以及證明的結構。

某些定理是「平凡的」，即它們以顯而易見的方式從定義、公理和其他定理推導而來，不含任何令人驚訝的洞見。另一些定理可稱為「深刻的」，因為其證明可能冗長困難，涉及表面上與定理陳述無關的數學領域，或揭示了不同數學領域之間出人意料的聯繫。一個定理可能陳述簡單卻極為深刻，費馬最後定理是一個絕佳例子，數論和組合學等領域亦不乏此類定理。

此外，有些定理雖有已知的證明，卻無法輕易寫下來。最突出的例子是四色定理和克卜勒猜想：兩者的真實性均通過化歸為電腦程序驗證的計算搜索而確認。最初許多數學家不接受這種形式的證明，但它已被越來越廣泛地接受。數學家多倫·澤伊爾伯格甚至聲稱，這些可能是數學家迄今所證明的唯一非平凡結果。

## 結構

定理一般都有許多條件。然後有結論—一個在條件下成立的數學敘述。通常寫作「若條件，則結論」。用符號邏輯來寫就是條件→結論。而當中的證明不視為定理的成分。

## 逆定理

若存在某敘述為$A\rightarrow B$，其逆敘述就是$B\rightarrow A$。逆敘述成立的情況是$A\leftrightarrow B$，否則通常都是倒果為因，不合常理。若果敘述是定理，其成立的逆敘述就是逆定理。

- 若某敘述和其逆敘述都為真，條件必要且充足。
- 若某敘述為真，其逆敘述為假，條件充足。
- 若某敘述為假，其逆敘述為真，條件必要。

## 與科學理論的關係

數學定理與科學理論在認識論上有根本區別。科學理論無法被證明；其關鍵屬性是可否證性，即它對自然界做出可以通過實驗檢驗的預測。預測與實驗之間的任何分歧都說明科學理論存在錯誤，或至少限制了其精確性或有效範圍。數學定理則是純粹抽象的形式陳述：定理的證明不能以實驗或其他經驗證據來支持，而這正是科學理論的支持方式。

儘管如此，數學定理的發現確實涉及一定程度的經驗主義和數據收集。通過建立規律——有時藉助強大的電腦——數學家可能對如何加以證明有所預感，在某些情況下甚至有具體的證明思路。此外，也可以通過找到單個反例，確定某命題在所述形式下不可能有證明，並可能提示原命題的受限形式可能具有可行的證明。

例如，柯拉茲猜想和黎曼假設都是著名的未解問題，已通過大量實驗驗證被廣泛研究，但均未被證明。柯拉茲猜想已對約2.88×1018以內的初始值進行了驗證；黎曼假設已驗證對黎曼ζ函數的前10萬億個非平凡零點成立。儘管大多數數學家可以接受猜想和假設為真，兩者均未被視為已證明。

這類經驗證據並不構成證明。例如，默滕斯猜想是一個關於自然數的陳述，現已知為假，但沒有已知的明確反例（即不知道使默滕斯函數M(n)等於或超過n的平方根的自然數n）：所有小於1014的數都滿足默滕斯性質，最小的不滿足此性質的數僅知小於e1.59×1040，即約104.3×1039。由於宇宙中的粒子數一般認為少於10100（即古戈爾），通過窮舉搜索找到明確反例是沒有希望的。

「理論」這個詞在數學中也存在，用來表示一套數學公理、定義和定理的集合，例如群論（參見數學理論）。在科學特別是物理學和工程學中也有「定理」，但它們的陳述和證明往往需要物理假設和直覺，其依據的物理公理本身是可被證偽的。

## 出版物當中的排版

在英語出版物中，定理（通常被歸類為命題、引理或推論並相應標記）及其證明通常按如下方式排版：

定理。（Wiles, 1994）設x, y, z與n為整數，且xn+yn=zn，n≥3。則xyz=0。

證明。〔證明開始〕

〔……〕

〔證明文本（續）〕〔證明結束〕∎

證明的結尾可以用字母Q.E.D.（拉丁語quod erat demonstrandum的縮寫）或墓碑符號（如「□」或「∎」，表示「證明結束」）來標示，後者由保羅·哈爾莫斯引入數學寫作，靈感來源於雜誌中用於標示文章結尾的符號。

確切的排版風格取決於作者或出版物。許多出版物為使用其版式規範提供了說明或宏（巨集）。

在定理之前，通常有描述定理所用術語確切含義的定義，以及若干用於證明的命題或引理。然而，引理有時也嵌入定理的證明之中——或以嵌套方式呈現，或在定理證明之後給出。

推論通常緊接在定理之後（證明之前）或在證明之後直接給出。推論有時有其自身的證明，說明其為何由定理推出。

## 軼聞

據估計，每年有超過25萬個定理被證明。

著名的格言「數學家是一種把咖啡轉化為定理的裝置」可能出自阿爾弗雷德·雷尼，儘管它常被歸於雷尼的同事保羅·埃爾德什——埃爾德什以其證明的眾多定理、廣泛的合作以及嗜飲咖啡而聞名。

有限單群的分類被一些人認為是最長的定理證明，涵蓋了約100位作者在500篇期刊文章中的數萬頁內容。這些論文合在一起被認為提供了一個完整的證明，若干持續進行的項目希望縮短並簡化這一證明。另一個此類定理是四色定理，其由電腦生成的證明對人類而言太長而無法閱讀。

## 邏輯中的定理

邏輯語言中的定理表示的是一個公式集合，並且該公式集合中的每一個公式都代表著知識的一片段，由此我們可以給定理一個更准確的表達（這裡所說的定理指的是在一階邏輯中的定理，通常來說任意一個命題集合往往不一定是定理）。定理在邏輯中的定義︰

一個定理是一個含有由建立於語言集合$L$上的命題（$L$-命題）組成的非空集合。

這個定理（或這個命題集合）我們記作$T$，這些建立於語言集合$L$上的命題必須符合如下屬性︰

對所有在$T$中的命題$\varphi$，如果$T\vDash\varphi$，那麼$\varphi\in T$。

比如一個永真命題集合是一個定理，這個永真命題集合被包含在所有建立在語言集合$L$上的定理中。此外，我們說一個定理是另外一個定理$T$的擴展（extension），前提是該定理包含定理$T$。

有一個命題集合$A$，我們將一個包含$A$的集合記作$\mbox{Th}(A)$，那麼$\mbox{Th}(A)=\{\ \varphi\ \ |\ \ A\vDash\varphi\ \}$。顯而易見$A\vDash\mbox{Th}(A)$，所以$\mbox{Th}(A)$是一個定理。比如我們有一個集合$G$，$G$有三個基於語言$L$上的命題，其中$L=\{e,f\}$，$e$是常數符號，$f$是函數符號。三個命題如下︰

$\forall x \forall y \forall z f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))$。

$\forall x f(x,e)=x \land f(e,x)=x$。

$\forall x \exist y f(x,y)=e \land f(y,x)=e$。

那麼如果有$\mbox{Th}(G)=\{\ \varphi\ \ |\ \ G\vDash\varphi\ \}$，則$\mbox{Th}(G)$是$G$的定理。當然，如果$A$和$B$是兩個命題集合且滿足$A\subseteq B$，那麼$\mbox{Th}(A)\subseteq\mbox{Th}(B)$。

我們說一個定理$T$是完整的（Complete），當且僅當對於和$T$一樣構建在同樣語言集合上的所有命題$\varphi$，要麼$\varphi\in T$，要麼$\lnot\varphi\in T$。

注意︰這個概念不能和定理$T$的完備性（Completude）混淆，完備性是證明在定理$T$中的永真命題是遞推可列舉的（recursivement enumerable），但是不能說它一定是完整的。

不是所有的定理是完整的。比如$\mbox{Th}(\Phi)$一個空集合$\{\Phi\}$的定理是所有真命題集合，但是$\mbox{Th}(\Phi)$不是完整的。假如有命題$\Psi=\exist x\exist y(x\neq y)$，對於$\Psi$來說，它既不是永真命題，也不是永假命題，它是一個可滿足式的命題，也就是說$\mbox{Th}(\Phi)\nvDash\Psi$且$\mbox{Th}(\Phi)\nvDash\lnot\Psi$。因此$\Psi\notin\mbox{Th}(\Phi)$，所以我們說$\mbox{Th}(\Phi)$不是完整的。

一個定理$T$稱作是穩健的（Consistante），當且僅當$\forall\varphi\in T,\ \lnot\varphi\notin T$。我們說對所有的解釋（Interpretation）$I$，$\mbox{Th}(I)$是一個定理，並且$\mbox{Th}(I)$既是穩健的又是完整的。

在數理邏輯中，一個形式理論是形式語言中的一組語句。語句是不含自由變元的適定公式。屬於某一理論的語句是其定理，而該理論就是其定理的集合。通常認為理論在邏輯後承關係下是封閉的——一些定義認為理論在語義後承關係（$\models$）下封閉，另一些則定義為在語法後承（即可推導性關係，$\vdash$）下封閉。

若一個理論對可推導性關係是封閉的，則它必須關聯一個演繹系統，以說明定理是如何推導的。演繹系統可以明確陳述，也可以從上下文中清楚推斷。在邏輯後承關係下對空集取閉包，所得的集合恰好包含演繹系統的所有定理。

在邏輯的廣義意義上，一個定理不必為真，因為包含它的理論相對於給定語義學或底層語言的標準解釋而言可能是不可靠的。一個不相容的理論以所有語句作為其定理。

數學邏輯中若干重要定理包括：

- 一階邏輯的緊致性定理
- 一階邏輯的完備性定理
- 一階算術的哥德爾不完備定理
- 一階算術的相容性定理
- 塔爾斯基不可定義性定理
- 邏輯的丘奇-圖靈不可判定性定理
- 洛布定理
- 勒文海姆-斯科倫定理
- 林德斯特倫定理
- 克雷格定理
- 消切定理

### 語法與語義

形式定理的概念從本質上說是語法的，而非語義的，其與真命題的概念形成對比——後者引入了語義學。不同的演繹系統可能產生不同的解釋，取決於推導規則的前提（即信念、確證或其他模態）。形式系統的可靠性取決於其所有定理是否都是有效式。有效式是在任何可能的解釋下均為真的公式（例如在古典命題邏輯中，有效式就是重言式）。一個形式系統在其所有定理也都是重言式時，被認為是語義完備的。