傳遞函數

在工程中，傳遞函數（transfer function，也稱系統函數、轉移函數或網路函數，畫出的曲線叫做傳遞曲線）是用來擬合或描述黑箱模型（系統）的輸入與輸出之間關係的數學表示。在二維圖像的應用中，輸入和輸出的位圖間的關係函數稱作轉移曲線、轉換曲線（transfer curve）或特徵曲線（characteristic curve）。

通常它是零初始條件和零平衡點下，以空間或時間頻率為變量表示的線性時不變系統（LTI）的輸入與輸出之間的關係。然而一些資料來源中用「傳遞函數」直接表示某些物理量輸入輸出的特性，（例如二埠網絡中的輸出電壓作為輸入電壓的一個函數）而不使用變換到S平面上的結果。

## 解釋

傳遞函數通常用於分析諸如單輸入、單輸出的濾波器系統中，主要用在信號處理、通信理論、控制理論。這個術語經常專門用於如本文所述的線性時不變系統（LTI）。實際系統基本都有非線性的輸入輸出特性，但是許多系統在標稱參數範圍內的運行狀態非常接近於線性，所以實際應用中完全可以應用線性時不變系統理論表示其輸入輸出行為。

簡單說明一下，下面的描述都是以複數 $s=\sigma +j\cdot \omega$ 為變量的。在許多應用中，足以限定 $\sigma=0$ (於是 $s=j\cdot \omega$)，從而將含有複參數的拉普拉斯變換簡化為實參 $\omega$的傅立葉變換。

那麼，對於最簡單的連續時間輸入信號$x(t)$和輸出信號$y(t)$來說，傳遞函數$H(s)$所反映的就是零狀態條件下輸入信號的拉普拉斯變換 $X(s) = \mathcal{L}\left\{x(t)\right\}$ 與輸出信號的拉普拉斯變換 $Y(s) = \mathcal{L}\left\{y(t)\right\}$ 之間的線性映射關係：

$$Y(s) = H(s) \, X(s)$$

或者

$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{ \mathcal{L}\left\{y(t)\right\} }{ \mathcal{L}\left\{x(t)\right\} }$$

在離散時間系統中，應用Z變換，傳遞函數可以類似地表示成

$$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)}$$

這常常被稱為脈衝傳遞函數。

### 從微分方程直接推導

考慮一個常係數線性微分方程

$$L[u] = \frac{d^nu}{dt^n} + a_1\frac{d^{n-1}u}{dt^{n-1}} + \dotsb + a_{n-1}\frac{du}{dt} + a_nu = r(t)$$

其中 u 和 r 是 t 的適當的光滑函數。L 是相關函數空間上定義的，將 u 變換為 r 的算子。這種方程可以用於以強迫函數 r 為變量約束輸出函數 u。傳遞函數寫成算子$F[r] = u$的形式，是 L 的右逆，因為$L[F[r]] = r$。

這個常係數齊次微分方程$L[u] = 0$的解可以通過嘗試$u = e^{\lambda t}$找到。這個代換會產生特徵多項式

$$p_L(\lambda) = \lambda^n + a_1\lambda^{n-1} + \dotsb + a_{n-1}\lambda + a_n\,$$

在輸入函數 r 的形式也為$r(t) = e^{s t}$的時候，非齊次的情形也可以很容易的解決。在那種情況下，通過代入$u = H(s)e^{s t}$就可以發現$L[H(s) e^{s t}] = e^{s t}$若且唯若

$$H(s) = \frac{1}{p_L(s)}, \qquad p_L(s) \neq 0.$$

把那當作傳遞函數的定義需要注意區分實數和複數的差異。這是受到 abs(H(s)) 表示增益，而用 -atan(H(s)) 表示相位滯後慣例的影響。傳遞函數的其他定義還有例如$1/p_L(ik)$。

## 信號處理

設普通線性非時變系統的輸入為 $x(t) \ $，輸出為 $y(t) \ $，並且 $x(t) \ $ 和 $y(t) \ $ 的拉普拉斯變換為

$$X(s) = \mathcal{L}\left \{ x(t) \right \} \equiv \int_{0}^{\infty} x(t) e^{-st}\, dt$$

$Y(s) = \mathcal{L}\left \{ y(t) \right \} \equiv \int_{0}^{\infty} y(t) e^{-st}\, dt$.

那麼輸出與輸入之間通過傳遞函數 $H(s) \ $ 發生關係

$$Y(s) = H(s) X(s) \,$$

並且傳遞函數為

$H(s) = \frac{Y(s)} {X(s)}$。

### 頻響函數

在信號分析與處理中，通常感興趣的系統的頻率響應，這時候經常使用頻響函數來表示系統對於不同頻率諧波的響應特徵。頻響函數通常用傅立葉變換表示，傅立葉變換是 $s = j \omega$ 的雙邊拉普拉斯變換的一個特例。頻響函數實際上是線性系統的穩態響應分量，只有再加上瞬態響應分量，才構成系統的全響應，即系統的傳遞函數。

當一個振幅為 $|X| \ $、角頻率為 $\omega \ $ 以及相位為 $\arg(X) \ $ 的諧波信號

$$x(t) = Xe^{j\omega t} = |X|e^{j(\omega t + \arg(X))}$$

其中 $X = |X|e^{j\arg(X)}$

輸入到線性時不變系統的時候，那麼對應的輸出為：

$$y(t) = Ye^{j\omega t} = |Y|e^{j(\omega t + \arg(Y))}$$

且 $Y = |Y|e^{j\arg(Y)}$.

注意，在線性非時變系統中，諧波信號輸入頻率 $\omega \ $ 沒有發生變化，只有三角函數的振幅和相位經過系統發生了改變。相位延遲（也就是傳遞函數引起的與頻率相關的正弦曲線延遲）為：

$\tau_{\phi}(\omega) = -\frac{\phi(\omega)}{\omega}$。

群延遲（也就是傳遞函數引起的與頻率相關的正弦曲線包絡線延遲）通過計算相位延遲對於角頻率 $\omega \ $ 的導數得到。

$\tau_{g}(\omega) = -\frac{d\phi(\omega)}{d\omega}$.

頻率響應 $H(j \omega)$ 可分解為幅頻響應$A(\omega)$或增益$G(\omega)$以及相頻響應$\phi(\omega)$

$$G(\omega) = \frac{|Y|}{|X|} = |H(j \omega)| \ $$

$\phi(\omega) = \arg(Y) - \arg(X) = \arg( H(j \omega))$.

並可由此繪出系統的幅頻特性曲線與相頻特性曲線，總稱波特圖。

頻率響應也可以按其實部與虛部分解表示為：

$$H(j \omega) = \operatorname{Re}(\omega) + j\operatorname{Im}(\omega)$$

並由此繪出系統頻率響應的奈奎斯特曲線。

不管是使用拉普拉斯變換還是傅立葉變換，它們都將時間域上系統響應的卷積運算轉化為對應的複數域或頻域上的代數（頻率相乘，相位相加）運算，並且可以直觀的揭示出系統對於信號頻率的作用。

## 控制工程

在控制工程和控制理論中，傳遞函數是從拉普拉斯變換推導出來的。傳遞函數是經典控制工程中的一個主要工具，但是，在分析多輸入多輸出（MIMO）系統的時候它就顯得很笨拙了，在分析這樣的系統的時候大部分被狀態空間表示所代替。儘管這樣，經常也可以從任意的線性系統得到傳遞矩陣用於分析它的動態及其它特性：傳遞矩陣中的每個元素都是與特定輸入和特性輸出相關的一個傳遞函數。

## 光學

在光學中調製傳遞函數描述的是光學系統傳遞對比度的能力，是常用的像質評價方法之一。

例如，如果一系列的黑白交替條紋以一個特定的空間頻率畫出來，那麼當觀察這些條紋的時候，圖像質量可能發生退化。白色的條紋看起來變暗了，而黑色的條紋看起來變亮了。

忽略相位變化，在特定空間頻率的調製傳遞函數稱為調製傳遞函數（modulation transfer function，MTF），定義為：

$$\mathrm{MTF}(f) = \frac{M(\mathrm{image})} {M(\mathrm{source})}$$

其中調製（M）是根據下式從圖像或者光源亮度中導出來的：

$$M = \frac{(L_\mathrm{max} - L_\mathrm{min} )} {(L_\mathrm{max} + L_\mathrm{min})}$$

用MTF曲線的積分值可以評價成像質量。理論上，像點的中心亮度值等於MTF曲線的面積。而面積越大，意味著像點中包含的資訊越多，成像質量也就越好。不過，MTF曲線只能反映少數點的情況。

## 非線性系統

許多非線性成分（如張弛振盪器）就不存在傳遞函數，但可以用描述函數來近似。