李雅普諾夫穩定性

在數學和自動控制領域中，李雅普諾夫穩定性（Lyapunov stability，或李亞普諾夫穩定性）可用來描述一個動力系統的穩定性。如果此動力系統任何初始條件在 $x_0$ 附近的軌跡均能維持在 $x_0$ 附近，那麼該系統可以稱為在$x_0$處李雅普諾夫穩定。

若任何初始條件在 $x_0$ 附近的軌跡最後都趨近$x_0$，那麼該系統可以稱為在$x_0$處漸近穩定。指數穩定可用來保證系統最小的衰減速率，也可以估計軌跡收斂的快慢。

李雅普諾夫穩定性可用在線性及非線性的系統中。不過線性系統的穩定性可由其他方式求得，因此李雅普諾夫穩定性多半用來分析非線性系統的穩定性。李亞普諾夫穩定性的概念可以延伸到無限維的流形，即為結構穩定性，是考慮微分方程中一群不同但「接近」的解的行為。輸入-狀態穩定性（ISS）則是將李雅普諾夫穩定性應用在有輸入的系統。

## 歷史

這一穩定性以俄國數學家亞歷山大·李亞普諾夫命名，他在1892年發表了他的博士論文《運動穩定性的一般問題》，文中給出了穩定性的科學概念、研究方法和相關理論。李雅普諾夫考慮到針對非線性系統修改穩定理論，修正為以一個穩定點線性化的系統為基礎的線性穩定理論。他的作品最初以俄文發行，後翻譯為法文，但多年來默默無聞。人們對它的興趣突然在冷戰初期（1953至1962年）開始，因當所謂的「李雅普諾夫第二方法」被認為適用於航空航天制導系統的穩定性，而這系統通常包含很強的非線性，其他方法並不適用。大量的相關出版物自那時起開始出現，並進入控制系統文獻中。最近李雅普諾夫指數的概念（與李雅普諾夫穩定性第一種方法）引起了廣泛興趣，並與混沌理論結合了起來。

## 連續時間系統下的定義

給定一個完備的賦範向量空間E（例如$\mathbb{R}^n$），設U是E的開子集。考慮一個自治的非線性動力系統：

$\dot{x} = f(x(t)), \;\;\;\; x(t_0) = x_0$,

其中$x(t) \in U$是系統的狀態向量，$f: U \rightarrow E$是U上的連續函數。

假設函數f有一個零點：f(a) =0，則常數函數：x = a是動力系統的駐定解（或稱平衡解）。稱a是動力系統的平衡點。

- 稱點a李雅普諾夫穩定（簡稱穩定），如果對每個$\epsilon > 0$，均存在$\delta = \delta(\epsilon) > 0$，使得對所有滿足$\|x_0 - a\| < \delta$的$x_0$，只要$t \geqslant t_0$，就有$\|x(t)-a\| < \epsilon$。
- 稱點a漸近穩定，如果點a李雅普諾夫穩定，且存在$\delta > 0$，使得對所有滿足 $\|x_0 - a\| < \delta$ 的$x_0$，$\lim_{t \rightarrow \infty}x(t) = a$。
- 稱點a指數穩定，如果點a漸近穩定，且存在 $\alpha, \beta, \delta >0$ 使得對所有滿足$\|x_0 - a\| < \delta$的$x_0$，只要$t \geqslant t_0$，就有$\|x(t) - a\| \leq \alpha\|x_0 - a\|e^{-\beta t}$。

它們的直觀幾何意義是：

- 平衡點為李雅普諾夫穩定的，表示若動力系統狀態函數（微分方程的解函數）的初值「足夠接近」平衡點，則它會永遠維持在平衡點附近任意小的範圍里（距平衡點的距離不超過任意選擇的正實數 $\epsilon$）。
- 漸近穩定的意思是，初值足夠接近平衡點的狀態函數，不但維持在平衡點附近，而且最後會收斂到平衡點。
- 指數穩定的意思是，狀態函數不但最後會收斂到平衡點，且收斂速度不慢於某種指數遞減的速度。

設有狀態函數x，其初始取值為$x(t_0) = x_0$。稱$\bar{x} = \{ x(t); \; t \geqslant t_0 \}$為x的軌跡。如果對所有初始值與x足夠接近的狀態函數y，兩者的軌跡會趨於相同：

$$\lim_{t \to \infty}\|y(t)-x(t)\| \longrightarrow 0.$$

則稱x的軌跡有（局部）吸引性（attractive）。若上述條件對所有y均成立，則稱x有全局吸引性（globally attractive）。

如果x的軌跡有吸引性，並且穩定，則x漸近穩定。不過，x有吸引性不表示它的軌跡漸近穩定。

## 迭代系統下的定義

離散時間系統下穩定性的定義和連續時間系統下的定義幾乎相同。以下為其定義，不過使用的是較多數學書籍上使用的定義。

給定度量空間$(X,d)$。設$f\colon X\to X$為一連續函數。稱點$a \in X$為李雅普諾夫穩定，如果對任意$\epsilon>0$，都存在$\delta>0$，使得只要$x \in X$滿足$d(x,a)<\delta$，就有

$$\forall n\in \mathbb{N} , \; \; d(f^n(x),f^n(a))<\epsilon.$$

稱點a漸近穩定，如果a是李雅普諾夫穩定的點，而且在穩定點集合的內部，即存在$\delta>0$，使得只要$x \in X$滿足$d(x,a)<\delta$，就有

$$\lim_{n\to\infty} d(f^n(x),f^n(a))=0$$

## 李雅普諾夫穩定性理論

對於微分方程解之穩定性的研究稱為穩定性理論。而李雅普諾夫穩定性定理只提供了穩定性的充份條件。

### 李雅普諾夫穩定性第二定理

考慮一個函數 V(x) : Rn → R 使得

- $V(x) \ge 0$ 只有在 $x=0$ 處等號成立（正定函數）
- $\dot{V}(x(t)) < 0$ （負定）

則V(x)稱為李雅普諾夫候選函數（Lyapunov function candidate），且系統（依李雅普諾夫的觀點）為漸近穩定。

上式中 $V(0)=0$ 是必要的條件。否則，$V(x) = 1/(1+|x|)$可以用來「證明」 $\dot x(t) = x$有區域性穩定。另一個稱為徑向無界性（radial unboundedness）的條件則是用來得到全域漸近穩定的結果。

此種分析方式可類比為考慮一物理系統（如彈簧及質量的系統）及其中的能量。若系統能量隨時間遞減，且減少的能量不會恢復，而此系統最後一定會靜止於某個特定的狀態。最後的狀態稱為吸引子。不過針對一個物理系統，找到表達其精確能量的函數不一定容易，而且針對抽象數學系統、經濟系統或生物系統，上述能量的概念又不一定適用。

利用李雅普諾夫的分析方式，可在不知道系統實際能量的情形下，證明系統的穩定性。不過前提是可以找到滿足上述限制的李雅普諾夫函數。

例如考慮以下的系統

$$\dot{x} = -x^3 \,$$

希望用李雅普諾夫函數來確認$x = 0 \,$附近的穩定性。令

$$V(x) = 0.5 x^2 \,$$

$V(x)$本身為正定函數．而V(x)的導函數如下

$$\dot{V}(x(t)) = {\partial V \over \partial x}(-x^3) = -x^4 \,$$

為負定函數，因此上述系統在$x = 0 \,$附近為漸近穩定。

## 線性系統狀態空間模型的穩定性

一個線性的狀態空間模型

$$\dot{\textbf{x}} = A\textbf{x}$$

為漸近穩定（其實是指數穩定），若

$$A^{T}M + MA + N = 0$$

解存在。

其中 $N = N^{T} > 0$ 且 $M = M^{T} > 0$ （正定矩陣）。（對應的李雅普諾夫函數為$V(x) = x^TMx$）

## 有輸入值系統的穩定性

一個有輸入（或受控制）的系統可以下式表示

$$\dot{\textbf{x}} = \textbf{f(x,u)}$$

其中輸入 u(t) 可視為控制、外部輸入、擾動、刺激或外力。這種系統的研究是控制理論研究的主題之一，也應用在控制工程中。

對於有輸入的系統，需量化輸入對系統穩定性的影響。在線性系統中會用BIBO穩定性來作分析的工具，在非線性系統中則會使用輸入-狀態穩定性。