求和符號

求和符號（summation；符號：$\sum$，讀作：sigma），是歐拉於1755年首先使用的一個數學符號。這個符號是源自於希臘文「σουμαρω（增加，Soumaro）」的字頭，「Σ」正是「σ」的大寫。

求和指的是將給定的數值相加的過程，又稱為加總。求和符號常用來簡化有多個數值相加的數學表達式。

假設有$n$個數值$x_1, x_2, \cdots, x_n$，則這$n$個數值的總和$x_1 + x_2 + \cdots + x_n$可表示為$\sum^{n}_{k=1} x_k$。

用等式來呈現的話就是$\sum^{n}_{k=1} x_k=x_1 + x_2 + \cdots + x_n$。

舉例來說，若有4個數值：$x_1=1, x_2=3,x_3=5,x_4=7$，則這4個數值的總和為：

$$\sum^{4}_{k=1} x_k=x_1 + x_2 + x_3 + x_4=1+3+5+7=16$$

在數學中，求和是任何類型數字的序列相加，稱為加數或加數；結果是它們的總和或總數。除了數字之外，也可以對其他類型的值求和：函數、向量、矩陣、多項式，以及通常在其上定義了表示為「+」的運算的任何類型的數學物件的元素。

無窮序列的總和稱為級數，它們涉及極限的概念，本條目不予考慮。

顯式序列的總和表示為一連串的加法。例如，1, 2, 4, 2 的和記為 1 + 2 + 4 + 2，得到 9，即 1 + 2 + 4 + 2 = 9。因為加法是結合可交換的，所以有不需要括號，無論加法的順序如何，結果都是一樣的。只有一個元素的序列的總和會產生這個元素本身。按照慣例，空序列（沒有元素的序列）的總和結果為 0。

## 求和方法

- 裂項法：利用$a_k=b_{k+1}-b_k$求出$\sum_{k=m}^n a_k$。
- 錯位相減法：透過兩個求和式的相減化簡求和數列的求和方法。
- 倒序求和：對於有對稱中心的函數$f(x)+f(2a-x)=2b$首尾求和
- 逐項求導：可從$\displaystyle \sum_{k=0}^n x^k=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}$推導出$\displaystyle \sum_{k=0}^n k^m x^k$

$$\sum_{i=1}^n a_i b_i=a_1(b_1-b_2)+(a_1+a_2)(b_2-b_3)+\dots+(a_1+a_2+\dots+a_{n-1})(b_{n-1}-b_n)+(a_1+a_2+\dots+a_n)b_n$$

## 含多項式求和公式

以下設p為多項式，$\deg p(k)=m,\Delta p(k)=p(k+1)-p(k)$

### $\sum p(k)$

$\sum p(k)$是對一個多項式求和，自然數方冪和、等冪求和、等差數列求和都屬於對多項式求和。

- 帕斯卡矩陣形式
- $\sum_{k=1}^n p(k)= \begin{pmatrix}C_n^1 & C_n^2 & \cdots & C_n^{m+1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_0^0 & 0 & \cdots & 0\\ -C_1^0 & C_1^1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ (-1)^mC_m^0 & (-1)^{m-1}C_m^1 & \cdots & C_m^m\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}p(1)\\p(2)\\\vdots\\p(m+1)\end{pmatrix}$
- 差分變換形式
- $$p(k)=\sum_{j=1}^{m+1} C_{k-1}^{j-1}\Delta^{j-1} p(1)$$
- $\sum_{k=1}^n p(k)=\sum_{j=1}^{m+1} C_{n}^{j}\Delta^{j-1}p(1)$

$$\sum^{n}_{k=1} k^0 =\sum^{n}_{k=1} 1=n$$

三角形數：$\sum^{n}_{k=1} k = \frac{n(n+1)}{2}$

等差級數：$\sum_{i=0}^{n-1} (a_1+id)=\frac{n( a_1 + a_n)}{2} =\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d ]}{2}=a_1C_n^1+dC_n^2$

連續正整數平方和：$\sum^{n}_{k=1} k^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

連續正整數立方和：$\sum^{n}_{k=1} k^3 =\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$

正方形數：$\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) = n^2$

$\sum p(k)$的例子

### $\sum u_k v_k x^k$

當$u_k=p(k)$為多項式，$\sum_{l=0}^\infty v_l x^l$易求高階導數時，$\sum_{k=0}^\infty u_k v_k x^k$有封閉型和式

$\sum_{k=0}^\infty u_k v_k x^k=\sum_{k=0}^\infty \frac{\Delta^k u_0 x^k}{k!}\frac{d^k}{dx^k}(\sum_{l=0}^\infty v_l x^l)$

#### $\sum p(k)q^k$

- $$u_k=p(k),v_k=1,x=q,\sum u_k v_k x^k=\sum p(k)q^k$$
- 有限和$\displaystyle\sum_{k=1}^n p(k)q^{k-1}$有封閉型和式
- 當p為常數時，是對等比數列求和，當p為一次多項式時，是對差比數列求和。
- $$\displaystyle\sum_{k=1}^n p(k)q^{k-1}=f(n)q^n-f(0)$$
- $f(n)=\frac{p(n)}{q-1}+\frac{1}{(q-1)^2}\sum_{k=1}^m \frac{(-1)^kq^{k-1}}{(q-1)^{k-1}}\Delta^k(p(n))=\frac{1}{q-1}\sum_{k=0}^m (\frac{-q}{q-1})^k\Delta^k p(n+1)$

等比級數：$\sum_{i=0}^{n-1} a_1x^{i} = \frac{a_1(x^n-1)}{x-1}$，若$0<|x|<1$，則$\sum_{i=0}^{\infty} a_1x^{i} = \frac{a_1}{1-x}$

差比級數：$\displaystyle \sum_{k=1}^n [a+(k-1)d]r^{k-1}=\left[\frac{a+(n-1)d}{r-1}-\frac{d}{(r-1)^2}\right]r^n-\left[\frac{a-d}{r-1}-\frac{d}{(r-1)^2}\right]$

$\sum p(k)q^k$的例子

#### $\sum \frac{p(k)}{k!}x^k$

- $$u_k=p(k),v_k=\frac{1}{k!},\sum u_k v_k x^k=\sum \frac{p(k)}{k!}x^k$$
- $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{p(n)}{n!}x^n=e^x\sum_{k=0}^m \frac{\Delta^k p(0)}{k!}x^k$

### $\sum H_k p(k)$

$\sum_{k=1}^n H_k p(k)=(\sum_{j=0}^m C_{n+1}^{j+1} \Delta^j p(0))H_n-\sum_{j=0}^m\frac{C_n^{j+1}}{j+1}\Delta^j p(0)$，其中$H_n$為調和數或調和級數

## 組合數求和公式

### 一階求和公式

- $\sum_{r=0}^n \binom nr = 2^{n}$ (巴斯卡三角形每一行的數字總和)
- $$\sum_{r=0}^{n-k} \frac {(-1)^r (n+1)}{k+r+1} \binom {n-k}r = \binom nk^{-1}$$
- $\sum_{r=0}^n \binom {dn}{dr}=\frac{1}{d}\sum_{r=1}^d (1+e^{\frac{2 \pi r i}{d}})^{dn}$
- $F_n=\sum_{i=0}^{\infty} \binom {n-i}{i}$

$$F_{n-1}+F_n=\sum_{i=0}^{\infty} \binom {n-1-i}{i}+\sum_{i=0}^{\infty} \binom {n-i}{i}=1+\sum_{i=1}^{\infty} \binom {n-i}{i-1}+\sum_{i=1}^{\infty} \binom {n-i}{i}=1+\sum_{i=1}^{\infty} \binom {n+1-i}{i}=\sum_{i=0}^{\infty} \binom {n+1-i}{i}=F_{n+1}$$

- $$\sum_{i=m}^n \binom ia = \binom {n+1}{a+1} - \binom {m}{a+1}$$

$$\binom {m}{a+1} + \binom ma + \binom {m+1}a ... + \binom na = \binom {n+1}{a+1}$$

$$\sum_{i=m}^n \binom {k_1+i}{k_2} = \binom {k_1+n+1}{k_2+1} - \binom {k_1+m}{k_2+1}$$

$$\sum_{i=m}^n \binom {k_1+i}{k_2+i} = \binom {k_1+n+1}{k_2+n} - \binom {k_1+m}{k_2+m-1}$$

### 二階求和公式

- $$\sum_{r=0}^n {\binom nr}^2 = \binom {2n}n$$
- $\sum_{i=0}^n \binom {r_1+n-1-i}{r_1-1} \binom {r_2+i-1}{r_2-1}=\binom {r_1+r_2+n-1}{r_1+r_2-1}$

$$(1-x)^{-r_1} (1-x)^{-r_2}=(1-x)^{-r_1-r_2}$$

$$(1-x)^{-r_1} (1-x)^{-r_2}=(\sum_{n=0}^{\infty} \binom {r_1+n-1}{r_1-1} x^n)(\sum_{n=0}^{\infty} \binom {r_2+n-1}{r_2-1} x^n)=\sum_{n=0}^{\infty} (\sum_{i=0}^n \binom {r_1+n-1-i}{r_1-1} \binom {r_2+i-1}{r_2-1}) x^n$$

$$(1-x)^{-r_1-r_2}=\sum_{n=0}^{\infty} \binom {r_1+r_2+n-1}{r_1+r_2-1} x^n$$

- $$\sum_{i=0}^k \binom ni \binom m{k-i}=\binom {n+m}k$$

范德蒙恆等式與超幾何函數有關係：

$$\sum_{i=0}^k \binom ni \binom m{k-i}=\frac{m!}{k!(m-k)!}{}_2F_1(-n,-k;m-k+1;1)=\binom {n+m}k$$

### 三階求和公式

- $${\binom {n+k}k}^2=\sum_{j=0}^k {\binom kj}^2 \binom {n+2k-j}{2k}$$

范德蒙恆等式與廣義超幾何函數有關係：

$$\sum_{j=0}^k {\binom kj}^2 \binom {n+2k-j}{2k}=\frac{(n+2k)!}{(2k)!n!}{}_3F_2 (-k,-k,-n;1,-n-2k;1)={\binom {n+k}k}^2$$

## 定積分判斷總和界限

當$f(x)$在a,b單調遞增時：

$$f(a) + \int_a^b f(x) dx \le \sum_{x=a}^{b} f(x) \le f(b) + \int_a^b f(x) dx$$

當$f(x)$在a,b單調遞減時：

$f(b) + \int_a^b f(x) dx \le \sum_{x=a}^{b} f(x) \le f(a) + \int_a^b f(x) dx$

## 求和函數

以$\sum_{i=1}^n i^9$為例：

- Matlab

```matlab
syms k n;symsum(k^9,k,1,n)
```

- Mathematica

```
 <small>In[1]:=</small> Sum[i^9, {i, 1, n}]
 <small>Out[1]:=</small> <math>\frac{1}{20} n^2 (n+1)^2 \left(n^2+n-1\right) \left(2 n^4+4 n^3-n^2-3 n+1\right)</math>
```