傅立葉變換

傅立葉變換（Transformation de Fourier，Fourier transform，縮寫：FT）是一種線性變換，通常定義為一種積分變換。其基本思想是一個函數可以用（可數或不可數，可數的情況對應於傅立葉級數）無窮多個周期函數的線性組合來逼近，從而這些組合係數在保有原函數的幾乎全部資訊的同時，還直接地反映了該函數的「頻域特徵」。因其基本思想首先由法國學者約瑟夫·傅立葉系統地提出，所以以其名字來命名以示紀念。在現代數學理論中，傅立葉積分變換可以得到各種推廣，並在分析學中有廣泛應用，構成了調和分析這一數學領域。

經過傅立葉變換生成的函數 $\hat f$ 稱作原函數 $f$ 的傅立葉變換，應用意義上稱作頻譜。在特定情況下，傅立葉變換是可逆的，即將 $\hat f$ 通過逆變換可以得到其原函數 $f$。通常情況下，$f$ 是一個實函數，而 $\hat f$ 則是一個複數值函數，其函數值作為複數可同時表示振幅和相位。

## 定義

對於不同種類的函數，有一些不同版本的傅立葉變換的定義。對於定義在歐幾里得空間 $\mathbb R^d$ 上的函數，可給出通常的連續傅立葉變換；對於定義在 $d$ 維環面 $\mathbb T^d$ 上的函數，或者說周期函數，就給出傅立葉級數。進行傅立葉變換的函數的定義域可以推廣到拓撲群，如局部緊交換群。

若「傅立葉變換」一詞不加任何限定語，則往往是指所謂「連續傅立葉變換」，下文我們默認討論連續傅立葉變換。其他的常見變種列於傅立葉變換的其他變種一節。

### 傅立葉積分變換

對於一個多實變量的複函數 $f:\mathbb R^d\to \mathbb C$，其傅立葉變換的結果（記作 $\hat f:\mathbb R^d\to \mathbb C$ 或 $\mathcal F(f)$）最常見的定義方式是下面的傅立葉積分

$$\mathcal F(f)(\mathbf k) = \hat{f}(\mathbf k) = \int_{\mathbb R^d} f(\mathbf x)\ e^{- 2\pi i \mathbf k\cdot \mathbf x}\ \mathrm{d}\mathbf x,$$

稱為傅立葉積分變換，其中粗體的 $\mathbf x,\mathbf k\in\R^d$ 是 $d$ 維實向量，點乘號 $\cdot$ 則表示歐幾里得內積。值得一提的是，不同的作者可能在定義中對積分號前的係數 $1$ 和指數上的係數 $-2\pi i$ 進行調整，不同領域有不同的慣用約定，參見變換參數的常見約定。

常可定義另一積分變換 $\mathcal F^{-1}$：

$$\mathcal F^{-1}(f)(\mathbf x) = \check{f}(\mathbf x) = \int_{\mathbb R^d} f(\mathbf k)\ e^{2\pi i \mathbf x\cdot \mathbf k}\ \mathrm{d}\mathbf k,$$

它稱作傅立葉積分逆變換，滿足 $\mathcal F\circ\mathcal F^{-1}=\mathrm{id}$。

若某函數的傅立葉積分不收斂，則這一版本的傅立葉變換對其就無法定義；即便傅立葉積分收斂，所得的函數的積分逆變換也可能不收斂；或者這兩個變換非互逆關係。所以須了解什麼樣的函數是可變換的，而且滿足不同假設的函數的傅立葉變換可能性質不同。

另外，可行上述變換的函數太少，如各種多項式函數都無法用上面的積分定義，這些情況對於信號頻域分析等直接應用而言也十分重要，從而有必要進行推廣，這就是下面幾小節的主題。

### 收斂性

對於一個 $\mathbb R^d$ 上的連續函數 $f$ 而言，要使其黎曼積分收斂，主要需限制其在趨向無窮遠時的衰減速度。為使前述傅立葉積分收斂，可以考慮使得 $|x^{d+\epsilon}||f(x)|$ 有界的連續函數 $f$，其中 $\epsilon>0$。容易驗證這些函數在通常加法和數乘下構成一個向量空間，記作 $\mathcal M_\epsilon$。這些函數都是黎曼可積的，並且乘上模為1的指數函數所得函數仍在 $\mathcal M_\epsilon$ 中，也就是說其傅立葉積分也是收斂的。

### 速降函數

$\mathcal M_\epsilon$ 上的傅立葉變換已具備許多良好的性質。然而，由於未必有 $f\in M_\epsilon \implies \hat f\in M_\epsilon$，所以 $\mathcal F:\mathcal M_\epsilon\to\mathcal M_\epsilon$ 可能不具可逆性。一些分析表明， $\hat f$ 趨向無窮遠時的衰減行為與 $f$ 的連續性與可微性有關：為使 $\hat f$ 更快地衰減， $f$ 應具有更好的光滑性，反過來也一樣。這啟發我們研究所謂速降函數，其任意階導數的衰減速度都快於任意負冪次函數，其構成的向量空間稱為速降函數空間，記作 $\mathcal S$。速降函數的傅立葉變換仍是速降函數，那麼上面的積分逆變換可以定義在整個 $\mathcal S$ 上。可以證明該積分確實是逆變換，於是傅立葉積分變換是 $\mathcal S$ 上的一個自同構。

### 勒貝格積分與勒貝格可積函數

上述積分變換是基於黎曼積分的。然而相比之下，使用基於測度的勒貝格積分來定義傅立葉積分變換有許多的優勢。下文提到傅立葉積分變換時都默認是勒貝格積分意義上的。

$\mathbb R^d$ 上全體勒貝格可積的函數構成的向量空間記作 $L^1(\mathbb R^d)$ 或此處省略地記為 $L^1$，其是Lp空間的一種。對于勒貝格可積函數 $f\in L^1$ 而言，由於 $|f(x) e^{2\pi i \mathbf{k}\cdot \mathbf x}|=|f(x)||e^{2\pi i \mathbf k\cdot \mathbf x}|=|f(x)|$，$f(x) e^{2\pi i \mathbf{k}\cdot \mathbf x}$ 也是勒貝格可積的，也就是說傅立葉積分變換在 $L^1$ 上有定義。

一般來說可積函數 $f\in L^1$ 的傅立葉變換 $\hat f$ 未必是可積的。但對於其中可積的 $\hat f\in L^1$ 可以證明，積分逆變換

$$\int_{\mathbb R_d} \hat f(\mathbf k)\ e^{2\pi i \mathbf x\cdot \mathbf k}\ \mathrm{d}\mathbf k$$

對於 $\mathbf x\in \mathbb R^d$ 幾乎處處收斂於 $f(\mathbf x)$。

### 平方可積函數

對于勒貝格積分定義的傅立葉積分變換而言，它仍是速降函數空間 $\mathcal S$ 上的自同構。更具體地說，這是一個連續線性等距自同構（可查閱連續線性算子以了解可能導出的其他性質；另，這裡所涉及的範數是L2範數）。

一個重要的事實是， $\mathcal S$ 在平方可積函數空間 $L^2$ 中稠密，而 $L^2$ 是一個希爾伯特空間。這意味著 $\mathcal S$ 上的任一連續線性算子可以映射的擴張到 $L^2$ 上且保持連續性，且這樣的擴張唯一。也就是說，若可找到速降函數序列 $f_n$ 收斂於一個平方可積函數 $f$，那麼 $f$ 的傅立葉變換可定義為序列 $\hat{f_n}$ 的極限，而不產生收斂性與對 $f_n$ 選擇的依賴問題。

更進一步地，這個擴張還可以保持等距同構性質，在 $L^2$ 上滿足這一性質意味著傅立葉變換是一個么正算子，這就是普朗歇爾定理的內容。

這一變換並不對於所有的平方可積函數都具有一個積分定義式，對於補集 $L^2 \setminus L^1$ 中的函數則需要通過極限來定義。故不再稱其為積分變換，而是稱為傅立葉-普朗歇爾變換或簡單稱為傅立葉變換或普朗歇爾變換。

### 緩增分布

如前面所提到的，非零多項式函數不是可積或平方可積的，從而無法使用上面的方法來定義傅立葉變換。這一點可以通過考慮緩增分布來解決。

分布（也稱為是一種廣義函數）是測試函數空間上的連續線性泛函（即，該空間的連續對偶空間的成員）。而緩增分布則是以速降函數為測試函數的情況。測試函數空間所要求的收斂性與前文提及的由範數誘導的收斂性都不同，實際上作為測試函數空間的 $\mathcal S$ 的這種收斂性無法由任何範數誘導，它構成一個可數範數空間。另可參見LF-space、Spaces of test functions and distributions。

緩增分布 $f$ 的傅立葉變換 $\hat f$ 定義為

$$\hat{f}:\mathcal S\to \mathbb{C}:\varphi\mapsto f(\hat \varphi).$$

也就是說，若記 $\mathcal S$ 上的傅立葉變換為 $\mathcal F_0$、 $\mathcal S$ 的連續對偶空間為 $\mathcal S'$，則 $\mathcal F_0$ 的共軛算子 $\mathcal F_0^*$ 在 $\mathcal S'$ 上的限制就是緩增分布的傅立葉變換。

這個變換也是可逆的，並且在某種意義上是 $\mathcal F_0$ 的擴張，也就是說可以用它來變換的函數比 $\mathcal S$ 中的更多。為說明這一點，下面在一維情況下舉些例子。

#### 例子

對於實軸上的速降函數 $g\in\mathcal S(\R)$，其有這樣唯一一個由積分定義的連續線性泛函 $g'$ 與之對應（這一點實際上只需局部可積函數）：

$$g':\varphi\mapsto\int_{\mathbb {R}} \varphi(x)g(x)\ \mathrm{d}x ,$$

現在對其做傅立葉變換，得到

$$\hat {g'}(\varphi)=\int_{\mathbb R} \hat\varphi(x)g(x)\ \mathrm{d}x=\int_{\mathbb R} \varphi(x)\hat{g}(x)\mathrm{d}x,$$

其中第二個等號源於 $\mathcal F_0$ 的如下性質（由富比尼定理易證）：

$$\int_{\mathbb R^d} \hat\psi(\mathbf x)\phi(\mathbf{x}) \mathrm{d}\mathbf{x}=\int_{\mathbb R^d} \psi(\mathbf{x})\hat\phi(\mathbf x) \mathrm{d}\mathbf{x}.$$

由此可看出線性泛函 $\hat{g'}$ 以前述的方式唯一對應於函數 $\hat g$ （唯一性在這樣意義上理解：對應相同線性泛函的函數幾乎處處相等）。在這個意義上它對於 $g\in\mathcal S$ 是與 $\mathcal F_0$ 的定義相重合的。

然而並非所有連續線性泛函都有這樣的積分表示，如所謂求值泛函。0處的求值泛函作用於每個函數時，都給出該函數在0處的值：

$$\delta_0:\mathcal S\to \mathbb C:\varphi\mapsto \varphi(0),$$

它正是所謂狄拉克δ函數，其傅立葉變換滿足

$$\hat{\delta_0}(\varphi)=\delta_0(\hat \varphi)=\hat\varphi(0)=\int_{\mathbb R} \varphi(x)\ \mathrm{d}x,$$

而這正是常值函數 $1$ 如前述方式對應的線性泛函 $1'$。也就是說在這個意義上，狄拉克δ「函數」的傅立葉變換是 $1$。從頻譜意義上理解，這意味著常值函數的頻譜集中在零頻率處（或者說周期無窮大） $\exp\left(ikx\right)|_{k=0}=1$ 的情況。

### 變換參數的常見約定

如前面提到的，傅立葉積分變換中有可調整的參數，對它們的調整不會造成變換性質的顯著變化，而僅僅是對變換結果的定義域或值域進行了放縮。通過顯式地引入參數 $a,b$，傅立葉積分變換的通式可以寫為

$$\hat f(\mathbf k):=\left(\frac{|b|}{(2\pi)^{1-a}}\right)^{d/2}\int_{\mathbb R^d}f(\mathbf x)e^{ib\mathbf k\cdot \mathbf x}\mathrm{d}\mathbf x ,$$

相應的滿足 $\mathcal F\circ\mathcal F^{-1}=\mathrm{id}=\mathcal F\circ\mathcal F^{-1}$ 的逆變換定義為

$$\check f(\mathbf x):=\left(\frac{|b|}{(2\pi)^{1+a}}\right)^{d/2}\int_{\mathbb R^d}f(\mathbf k)e^{-ib\mathbf k\cdot \mathbf x}\mathrm{d}\mathbf k.$$

編號｜選擇｜特性

1｜$a=0$｜變換與逆變換有相同的前置因子，且變換是么正的

2｜$(2\pi)^{1-a}=|b|$｜正變換沒有前置因子

3｜$(2\pi)^{1+a}=|b|$｜逆變換沒有前置因子

4｜$|b|=1$｜變換的自變量 $k$ 對應於角頻率

5｜$|b|=2\pi$｜變換的自變量 $k$ 對應於頻率

6｜$b<0$｜$\exp(ix)$貢獻正頻率部分的譜

7｜$b>0$｜$\exp(-ix)$貢獻正頻率部分的譜

一些選擇組合因同時滿足上面多個特性或在特定領域中自然出現而變得常見，列在下表。

編號｜a｜b｜滿足特性｜場景

1｜0｜1｜1、4、7｜現代物理

2｜1｜-1｜2、4、6｜純數學、系統工程

3｜-1｜1｜3、4、7｜傳統物理

4｜0｜$-2\pi$｜1、2、3、5、6｜信號處理

本節中使用的約定是 $(a,b)=(0,-2\pi)$。

## 應用

傅立葉變換在醫學、數據科學、物理學、聲學、光學、結構力學、量子力學、數論、組合數學、機率論、統計學、信號處理、密碼學、大氣科學、海洋學、通訊、金融等領域都有著廣泛的應用。

### 數學

- 傅立葉變換可用於將索伯列夫空間 $W^{s,p}$ 上的範數從 $s\in\mathbb Z$ 的情況推廣至為 $s\in\mathbb R$ 的情況。
- 一個隨機變量的特徵函數是機率密度函數的傅立葉變換 $E(e^{it\cdot X})=\int e^{it\cdot x}d\mu_X(x)$，儘管技術上往往使用傅立葉-斯蒂爾切斯變換的形式。

### 物理學

在處理具有波動方程背景的函數時，頻域的資訊處理起來通常更為方便，且信號的濾波等頻域操作在器件方面有簡單的實現。

除了力學振動、振盪電路等有明顯波動方程背景的問題外，也有一些其他情況使得傅立葉變換在理論中自然地出現，如：

- 光學中，近軸近似下的菲涅耳衍射積分是一個傅立葉變換。
- 量子力學中，位置表象與動量表象之間的變換是一個傅立葉變換。
- 量子場論中，一個具有良好性質的場算子通常由創生及湮滅算符的傅立葉變換構造而來。

## 基本性質

下面性質的更直觀的寫法可參見常用傅立葉變換表。

### 線性性質

傅立葉變換是線性映射。也就是說對於 $\forall \alpha,\beta\in\mathbb{R},\quad \forall f,g\in\operatorname{Dom}(\mathcal F),$ 也存在 $\mathcal{F}(\alpha f+\beta g)=\alpha\mathcal{F}(f)+\beta\mathcal{F}(g).$

### 平移性質

可定義函數間的映射 $\tau_\alpha$ 滿足

$$\tau_\alpha(f)(x)=f(x-\alpha),$$

稱為平移算子。其可以推廣到緩增分布上，定義為共軛算子 $\tilde\tau_\alpha=\tau_{-\alpha}^*$，也就是說對於

$$\forall \phi\in \mathcal S',\varphi\in\mathcal S,\quad\phi(\tau_{-\alpha}\varphi)=\tilde\tau_\alpha f(\varphi),$$

其中省略了表示平移算子作用於函數所需的括號。下文不再區分函數與分布的平移，採用相同記號。

傅立葉變換與平移算子滿足如下關係：

$$\widehat{\tau_\alpha f}(k)=\exp(-2\pi i\alpha k)\hat f(k),$$

反過來，對於函數 $g(x) := \exp(2\pi i\alpha x)f(x)$，也有 $\hat g(k)=\tau_\alpha \hat f(k)$。

也就是說平移與相移相關聯。

### 放縮性質

$$f(ax)\ \ \stackrel{\mathcal{F}}{\Longleftrightarrow}\ \ \frac{1}{|a|}\widehat{f}\left(\frac{\xi}{a}\right),\quad \ a \ne 0$$

$a=-1$ 的情況即給出所謂反射性質。

### 導數關係

傅立葉變換與導數算子滿足如下關係：

$$\widehat{\partial^\alpha(f)}(k)=\exp(2\pi i k)^\alpha\hat f(k),$$

其中 $\alpha$ 是高階導數，多元情況則一般化為多重指標。

反過來，對於函數 $g(x) := (-2\pi i x)^\alpha f(x)$，也有 $\hat g(k)=\partial^\alpha(\hat f)(k)$。

也就是說求導在乘上頻率是相關聯的。

這裡的導數算子也可以是緩增分布的導數算子，同樣由共軛算子定義為 $\tilde\partial^\alpha=(-1)^\alpha(\partial^\alpha)^*$。

### 卷積定理

若函數 $f,g$ 有傅立葉變換，且存在卷積 $f*g:x\mapsto\int_{\mathbb R} f(x-\xi)g(\xi)\,\mathrm d\xi$，則該卷積的傅立葉變換即 $\hat f\hat g$。

也可以推廣地定義分布 $\phi$ 與測試函數 $\varphi$ 的卷積，這時同樣有 $\widehat{\phi*\varphi}=\hat\varphi\hat\phi$。

### 帕塞瓦爾定理

$L^2$ 上的傅立葉變換是等距映射。或者說，若函數 $f \left( x\right )$ 平方可積，則$\int_{-\infty}^{+\infty} |f (x)|^2dx = \int_{-\infty}^{+\infty} |\hat f(\omega)|^{2}d\omega$。

## 傅立葉變換的其他變種

### 傅立葉級數

連續形式的傅立葉變換其實是傅立葉級數（Fourier series）的推廣，因為積分其實是一種極限形式的求和算子而已。對於周期函數，其傅立葉級數是存在的：

$$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx} ,$$

其中$F_n$為復振幅。對於實值函數，函數的傅立葉級數可以寫成：

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]$$

其中an和bn是實頻率分量的振幅。

傅立葉分析最初是研究周期性現象，即傅立葉級數的，後來通過傅立葉變換將其推廣到了非周期性現象。理解這種推廣過程的一種方式是將非周期性現象視為周期性現象的一個特例，即其周期為無限長。

### 離散時間傅立葉變換

離散傅立葉變換是離散時間傅立葉變換（DTFT）的特例（有時作為後者的近似）。DTFT在時域上離散，在頻域上則是周期的。DTFT可以被看作是傅立葉級數的逆轉換。

### 離散傅立葉變換

為了在運算科學和數位訊號處理等領域使用電腦進行傅立葉變換，必須將函數xn定義在離散點而非連續域內，且須滿足有限性或周期性條件。這種情況下，使用離散傅立葉變換，將函數xn表示為下面的求和形式：

$$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-i\frac{2\pi}{N} kn} \qquad k = 0,\dots,N-1$$

其中$X_k$是傅立葉振幅。直接使用這個公式計算的計算複雜度為$\mathcal{O}(n^2)$，而快速傅立葉變換（FFT）可以將複雜度改進為$\mathcal{O}(n \log n)$。計算複雜度的降低以及數字電路計算能力的發展使得DFT成為在信號處理領域十分實用且重要的方法。

### 在阿貝爾群上的統一描述

以上的傅立葉變換都可以被統一描述為任意局部緊緻的阿貝爾群上的傅立葉變換。這一問題屬於調和分析的範疇。在調和分析中，一個變換從一個群變換到它的對偶群。此外，將傅立葉變換與卷積相聯繫的卷積定理在調和分析中也有類似的結論。傅立葉變換的廣義理論基礎參見龐特里亞金對偶性中的介紹。

### 時頻分析變換

小波變換，Chirplet變換和分數傅立葉變換的都是為了得到時間信號的頻率資訊。同時解析頻率和時間的能力在數學上受不確定性原理的限制。

### 傅立葉變換家族

下表列出了傅立葉變換家族的成員。容易發現，函數在時（頻）域的離散對應於其像函數在頻（時）域的周期性。反之連續則意味著在對應域的信號的非周期性。下表給出詳細的情形：

變換｜時間｜頻率

連續傅立葉變換｜連續，非週期性｜連續，非週期性

傅立葉級數｜連續，週期性｜離散，非週期性

離散時間傅立葉變換｜離散，非週期性｜連續，週期性

離散傅立葉變換｜離散，週期性｜離散，週期性

## 常用傅立葉變換表

下面的表記錄了一些封閉形式的傅立葉變換。對於函數$f(x)$, $g(x)$和$h(x)$，它們的傅立葉變換分別表示為$\hat{f}$, $\hat{g}$ 和$\hat{h}$。只包含了三種最常見的形式。注意條目105給出了一個函數的傅立葉變換與其原函數，這可以看作是傅立葉變換及其逆變換的關係。

### 函數關係

下表列出的常用的傅立葉變換對可以在或中找到。

函數｜傅立葉變換 么正，普通的頻率｜傅立葉變換 么正，角頻率｜傅立葉變換 非么正，角頻率｜注釋

$\displaystyle f(x)\,$｜$\displaystyle \hat{f}(\xi)=$ $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{-2\pi i x\xi}\, dx$｜$\displaystyle \hat{f}(\omega)=$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i \omega x}\, dx$｜$\displaystyle \hat{f}(\nu)=$ $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{-i \nu x}\, dx$｜基本定義

101｜$\displaystyle a\cdot f(x) + b\cdot g(x)\,$｜$\displaystyle a\cdot \hat{f}(\xi) + b\cdot \hat{g}(\xi)\,$｜$\displaystyle a\cdot \hat{f}(\omega) + b\cdot \hat{g}(\omega)\,$｜$\displaystyle a\cdot \hat{f}(\nu) + b\cdot \hat{g}(\nu)\,$｜線性性質

102｜$\displaystyle f(x - a)\,$｜$\displaystyle e^{-2\pi i a \xi} \hat{f}(\xi)\,$｜$\displaystyle e^{- i a \omega} \hat{f}(\omega)\,$｜$\displaystyle e^{- i a \nu} \hat{f}(\nu)\,$｜時域平移

103｜$\displaystyle e^{ 2\pi iax} f(x)\,$｜$\displaystyle \hat{f} \left(\xi - a\right)\,$｜$\displaystyle \hat{f}(\omega - 2\pi a)\,$｜$\displaystyle \hat{f}(\nu - 2\pi a)\,$｜頻域平移，變換102的頻域對應

104｜$\displaystyle f(a x)\,$｜$\displaystyle \frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\xi}{a} \right)\,$｜$\displaystyle \frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\omega}{a} \right)\,$｜$\displaystyle \frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\nu}{a} \right)\,$｜在時域中定標。如果$\displaystyle |a|\,$值較大，則$\displaystyle f(a x)\,$會收縮到原點附近，而$\displaystyle \frac{1}{|a|}\hat{f} \left( \frac{\omega}{a} \right)\,$會擴散並變得扁平。當$\displaystyle |a|\,$趨向無窮時，$\displaystyle f(a x)\,$成為狄拉克δ函數。

105｜$\displaystyle \hat{f}(x)\,$｜$\displaystyle f(-\xi)\,$｜$\displaystyle f(-\omega)\,$｜$\displaystyle 2\pi f(-\nu)\,$｜傅立葉變換的二元性性質。這裡$\hat{f}$的計算需要運用與傅立葉變換那一列同樣的方法。通過交換變量$x$和$\xi$或$\omega$或$\nu$得到。

106｜$\displaystyle \frac{d^n f(x)}{dx^n}\,$｜$\displaystyle (2\pi i\xi)^n \hat{f}(\xi)\,$｜$\displaystyle (i\omega)^n \hat{f}(\omega)\,$｜$\displaystyle (i\nu)^n \hat{f}(\nu)\,$｜傅立葉變換的微分性質

107｜$\displaystyle x^n f(x)\,$｜$\displaystyle \left (\frac{i}{2\pi}\right)^n \frac{d^n \hat{f}(\xi)}{d\xi^n}\,$｜$\displaystyle i^n \frac{d^n \hat{f}(\omega)}{d\omega^n}$｜$\displaystyle i^n \frac{d^n \hat{f}(\nu)}{d\nu^n}$｜變換106的頻域對應

108｜$\displaystyle (f * g)(x)\,$｜$\displaystyle \hat{f}(\xi) \hat{g}(\xi)\,$｜$\displaystyle \sqrt{2\pi} \hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega)\,$｜$\displaystyle \hat{f}(\nu) \hat{g}(\nu)\,$｜記號$\displaystyle f * g\,$表示$f$和$g$的卷積—這就是卷積定理

109｜$\displaystyle f(x) g(x)\,$｜$\displaystyle (\hat{f} * \hat{g})(\xi)\,$｜$\displaystyle (\hat{f} * \hat{g})(\omega) \over \sqrt{2\pi}\,$｜$\displaystyle \frac{1}{2\pi}(\hat{f} * \hat{g})(\nu)\,$｜變換108的頻域對應。

110｜當$\displaystyle f(x)$是實變函數｜$\displaystyle \hat{f}(-\xi) = \overline{\hat{f}(\xi)}\,$｜$\displaystyle \hat{f}(-\omega) = \overline{\hat{f}(\omega)}\,$｜$\displaystyle \hat{f}(-\nu) = \overline{\hat{f}(\nu)}\,$｜埃爾米特對稱。$\displaystyle \overline{z}\,$表示復共軛。

111｜當$\displaystyle f(x)$是實偶函數｜$\displaystyle \hat{f}(\omega)$, $\displaystyle \hat{f}(\xi)$和$\displaystyle \hat{f}(\nu)\,$都是實偶函數。

112｜當$\displaystyle f(x)$是實奇函數｜$\displaystyle \hat{f}(\omega)$, $\displaystyle \hat{f}(\xi)$和$\displaystyle \hat{f}(\nu)$都是虛奇函數。

113｜$\displaystyle \overline{f(x)}$｜$\displaystyle \overline{\hat{f}(-\xi)}$｜$\displaystyle \overline{\hat{f}(-\omega)}$｜$\displaystyle \overline{\hat{f}(-\nu)}$｜復共軛，110的一般化

### 平方可積函數

時域信號｜角頻率表示的傅立葉變換｜弧頻率表示的傅立葉變換｜注釋

$g(t)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} \mathrm{d} \omega \,$｜$G(\omega)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} \mathrm{d}t \,$｜$G(f)\!\equiv$ $\int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} \mathrm{d}t \,$

10｜$\mathrm{rect}(a t) \,$｜$\frac{1}{\sqrt{2 \pi a^2}}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi a}\right)$｜$\frac{1}{|a|}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{f}{a}\right)$｜矩形脈衝和歸一化的sinc函數

11｜$\mathrm{sinc}(a t)\,$｜$\frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2 \pi a}\right)$｜$\frac{1}{|a|}\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{f}{a} \right)\,$｜變換10的頻域對應。矩形函數是理想的低通濾波器，sinc函數是這類濾波器對反因果衝擊的響應。

12｜$\mathrm{sinc}^2 (a t) \,$｜$\frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \mathrm{tri} \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right)$｜$\frac{1}{|a|}\cdot \mathrm{tri} \left( \frac{f}{a} \right)$｜tri是三角形函數

13｜$\mathrm{tri} (a t) \,$｜$\frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}} \cdot \mathrm{sinc}^2 \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right)$｜$\frac{1}{|a|}\cdot \mathrm{sinc}^2 \left( \frac{f}{a} \right) \,$｜變換12的頻域對應

14｜$e^{-\alpha t^2}\,$｜$\frac{1}{\sqrt{2 \alpha}}\cdot e^{-\frac{\omega^2}{4 \alpha}}$｜$\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{(\pi f)^2}{\alpha}}$｜高斯函數$\exp(-\alpha t^2)$的傅立葉變換是其本身；只有當$\mathrm{Re}(\alpha)>0$時，該函數可積的

15｜$e^{iat^2} = \left. e^{-\alpha t^2}\right|_{\alpha = -i a} \,$｜$\frac{1}{\sqrt{2 a}} \cdot e^{-i \left(\frac{\omega^2}{4 a} -\frac{\pi}{4}\right)}$｜$\sqrt{\frac{\pi}{a}} \cdot e^{-i \left(\frac{\pi^2 f^2}{a} -\frac{\pi}{4}\right)}$｜光學領域應用較多

16｜$\cos ( a t^2 ) \,$｜$\frac{1}{\sqrt{2 a}} \cos \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right)$｜$\sqrt{\frac{\pi}{a}} \cos \left( \frac{\pi^2 f^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right)$

17｜$\sin ( a t^2 ) \,$｜$\frac{-1}{\sqrt{2 a}} \sin \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right)$｜$- \sqrt{\frac{\pi}{a}} \sin \left( \frac{\pi^2 f^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right)$

18｜$\mathrm{e}^{-a|t|} \,$｜$\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{a}{a^2 + \omega^2}$｜$\frac{2 a}{a^2 + 4 \pi^2 f^2}$｜a>0

19｜$\frac{1}{\sqrt{|t|}} \,$｜$\frac{1}{\sqrt{|\omega|}}$｜$\frac{1}{\sqrt{|f|}}$｜變換本身就是一個公式

20｜$J_0 (t)\,$｜$\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{\mathrm{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}}$｜$\frac{2\cdot \mathrm{rect} (\pi f)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 f^2}}$｜J0(t)是0階第一類貝塞爾函數。

21｜$J_n (t) \,$｜$\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{ (-i)^n T_n (\omega) \mathrm{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}}$｜$\frac{2 (-i)^n T_n (2 \pi f) \mathrm{rect} (\pi f)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 f^2}}$｜上一個變換的推廣形式; Tn (t)是第一類切比雪夫多項式。

22｜$\frac{J_n (t)}{t} \,$｜$\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{i}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (\omega)\,$ $\cdot \ \sqrt{1 - \omega^2} \mathrm{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)$｜$\frac{2 \mathrm{i}}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (2 \pi f)\,$ $\cdot \ \sqrt{1 - 4 \pi^2 f^2} \mathrm{rect} ( \pi f )$｜Un (t)是第二類切比雪夫多項式。

### 分布

時域信號｜角頻率表示的傅立葉變換｜弧頻率表示的傅立葉變換｜注釋

$g(t)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} d \omega \,$｜$G(\omega)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} dt \,$｜$G(f)\!\equiv$ $\int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} dt \,$｜基本定義

23｜$1\,$｜$\sqrt{2\pi}\cdot \delta(\omega)\,$｜$\delta(f)\,$｜$\delta(\omega)$代表狄拉克δ函數分布.這個變換展示了狄拉克δ函數的重要性：該函數是常函數的傅立葉變換

24｜$\delta(t)\,$｜$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,$｜$1\,$｜變換23的頻域對應

25｜$e^{i a t}\,$｜$\sqrt{2 \pi}\cdot \delta(\omega - a)\,$｜$\delta(f - \frac{a}{2\pi})\,$｜由變換103和23得到

26｜$\cos (a t)\,$｜$\sqrt{2 \pi} \frac{\delta(\omega\!-\!a)\!+\!\delta(\omega\!+\!a)}{2}\,$｜$\frac{\delta(f\!-\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})\!+\!\delta(f\!+\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})}{2}\,$｜由變換101和25得到，應用了歐拉公式：$\cos(a t) = (e^{i a t} + e^{-i a t})/2.$

27｜$\sin( at)\,$｜$\sqrt{2 \pi}\frac{\delta(\omega\!-\!a)\!-\!\delta(\omega\!+\!a)}{2i}\,$｜$\frac{\delta(f\!-\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})\!-\!\delta(f\!+\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})}{2i}\,$｜由變換101和25得到

28｜$t^n\,$｜$i^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)\,$｜$\left(\frac{i}{2\pi}\right)^n \delta^{(n)} (f)\,$｜這裡, $n$是一個自然數. $\delta^{(n)}(\omega)$是狄拉克δ函數分布的$n$階微分。這個變換是根據變換107和24得到的。將此變換與101結合使用，我們可以變換所有多項式函數。

29｜$\frac{1}{t}\,$｜$-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)\,$｜$-i\pi\cdot \sgn(f)\,$｜此處$\sgn(\omega)$為符號函數；注意此變換與變換107和24是一致的.

30｜$\frac{1}{t^n}\,$｜$-i \begin{matrix} \sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\end{matrix} \sgn(\omega)\,$｜$-i\pi \begin{matrix} \frac{(-i 2\pi f)^{n-1}}{(n-1)!}\end{matrix} \sgn(f)\,$｜變換29的推廣

31｜$\sgn(t)\,$｜$\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \frac{1}{i\ \omega }\,$｜$\frac{1}{i\pi f}\,$｜變換29的頻域對應

32｜$u(t) \,$｜$\sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{i \pi \omega} + \delta(\omega)\right)\,$｜$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{i \pi f} + \delta(f)\right)\,$｜此處$u(t)$是單位階躍函數;此變換根據變換101和31得到.

33｜$e^{- a t} u(t) \,$｜$\frac{1}{\sqrt{2 \pi} (a + i \omega)}$｜$\frac{1}{a + i 2 \pi f}$｜$u(t)$是單位階躍函數，且$a > 0$.

34｜$\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (t - n T) \,$｜$\begin{matrix} \frac{\sqrt{2\pi }}{T}\end{matrix} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \omega -k \begin{matrix} \frac{2\pi }{T}\end{matrix} \right)\,$｜$\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( f -\frac{k }{T}\right) \,$｜狄拉克梳狀函數——有助於解釋或理解從連續到離散時間的轉變.

### 二元函數

時域信號｜傅立葉變換單一，普通頻率｜傅立葉變換么正，角頻率｜傅立葉變換非么正，角頻率

400｜$\displaystyle f(x,y)$｜$\displaystyle \hat{f}(\xi_x, \xi_y)=$ $\displaystyle \iint f(x,y) e^{-2\pi i(\xi_x x+\xi_y y)}\,dx\,dy$｜$\displaystyle \hat{f}(\omega_x,\omega_y)=$ $\displaystyle \frac{1}{2 \pi} \iint f(x,y) e^{-i (\omega_x x +\omega_y y)}\, dx\,dy$｜$\displaystyle \hat{f}(\nu_x,\nu_y)=$ $\displaystyle \iint f(x,y) e^{-i(\nu_x x+\nu_y y)}\, dx\,dy$

401｜$\displaystyle e^{-\pi\left(a^2x^2+b^2y^2\right)}$｜$\displaystyle \frac{1}{|ab|} e^{-\pi\left(\xi_x^2/a^2 + \xi_y^2/b^2\right)}$｜$\displaystyle \frac{1}{2\pi\cdot|ab|} e^{\frac{-\left(\omega_x^2/a^2 + \omega_y^2/b^2\right)}{4\pi}}$｜$\displaystyle \frac{1}{|ab|} e^{\frac{-\left(\nu_x^2/a^2 + \nu_y^2/b^2\right)}{4\pi}}$

402｜$\displaystyle \mathrm{circ}(\sqrt{x^2+y^2})$｜$\displaystyle \frac{J_1\left(2 \pi \sqrt{\xi_x^2+\xi_y^2}\right)}{\sqrt{\xi_x^2+\xi_y^2}}$｜$\displaystyle \frac{J_1\left(\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2}\right)}{\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2}}$｜$\displaystyle \frac{2\pi J_1\left(\sqrt{\nu_x^2+\nu_y^2}\right)}{\sqrt{\nu_x^2+\nu_y^2}}$

注釋

400：變量$\xi_x$、$\xi_y$、$\omega_x$、$\omega_y$、$\nu_x$、$\nu_y$為實數。二重積分是對整個平面積分。

401：這兩個函數都是高斯函數，而且可能不具有單位體積。

402：此圓有單位半徑，如果把 $\text{circ}(t)$認作階梯函數 $u(1-t)$; Airy分布用 $J_1$（一階第一類貝塞爾函數）表達。Stein

### 三元函數

時域信號｜角頻率表示的傅立葉變換｜弧頻率表示的傅立葉變換｜注釋

$\mathrm{circ}(\sqrt{x^2+y^2+z^2})$｜$\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot\frac{\sin[\omega] - 2 \pi f_r \cos[\omega]}{\omega^3}$｜$4 \pi \frac{\sin[2 \pi f_r] - 2 \pi f_r \cos[2 \pi f_r]}{(2 \pi f_r)^3}$｜此球有單位半徑；fr是頻率矢量的量值{fx,fy,fz}.

## 外部連結

- Encyclopedia of Mathematics