線性無關

在線性代數裡，向量空間的一組元素中，若沒有向量可用有限個其他向量的線性組合所表示，則稱為線性無關或線性獨立（linearly independent），反之稱為線性相關（linearly dependent）。例如在三維歐幾里得空間R3的三個向量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)線性無關。但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)線性相關，因為第三個是前兩個的和。

## 定義

假設V是在域K上的向量空間。如果$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$是V的向量，若它們為線性相關，則在域K 中有非全零的元素$a_1, a_2, \dots, a_n$，使得

$a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0}$。

或更簡略地表示成。

$\sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0}$。

（注意右邊的零是V的零向量，不是K的零元素。）

如果K中不存在這樣的元素，那麼$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$是線性無關。

對線性無關可以給出更直接的定義。向量$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$線性無關，若且唯若它們滿足以下條件：如果$a_1, a_2, \dots, a_n$是K的元素，適合：

$a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0}$。

那麼對所有$i = 1, 2, \dots, n$都有$a_i = 0$。

在V中的一個無限集，如果它任何一個有限子集都是線性無關，那麼原來的無限集也是線性無關。

線性相關性是線性代數的重要概念，因為線性無關的一組向量可以生成一個向量空間，而這組向量則是這向量空間的基。

## 相關性

- 含有零向量的向量組，必定線性相關。

若有向量組$a_1, a_2, ... , a_s$，其中$a_1=0$，則$a_1 = 0 \cdot a_2 + ... + 0 \cdot a_s$。

- 含有兩個相等向量的向量組，必定線性相關。

若有向量組$a_1, a_2, ... , a_s$，其中$a_1=a_2$，則$a_1 = 1 \cdot a_2 + 0 \cdot a_3 + ... + 0 \cdot a_s$。

- 若一向量組相關，則加上任意個向量後，仍然線性相關；即局部線性相關，整體必線性相關。
- 整體線性無關，局部必線性無關。
- 向量個數大於向量維數，則此向量組線性相關。
- 若一向量組線性無關，即使每一向量都在同一位置處增加一分量，仍然線性無關。
- 若一向量組線性相關，即使每一向量都在同一位置處減去一分量，仍然線性相關。
- 若$a_1, a_2, ... , a_s$線性無關，而$b, a_1, a_2, ... , a_s$線性相關，則$b$必可由$a_1, a_2, ... , a_s$線性表示，且表示係數唯一。
- 有向量組$\textrm{I}\{a_1, a_2, ..., a_s\}$和$\textrm{II}\{b_1, b_2, ..., b_t\}$，其中$t>s$，且$\textrm{II}$中每個向量都可由$\textrm{I}$線性表示，則向量組$\textrm{II}$必線性相關。即向量個數多的向量組，若可被向量個數少的向量組線性表示，則向量個數多的向量組必線性相關。
- 若一向量組$b_1, b_2, ..., b_t$可由向量組$a_1, a_2, ..., a_s$線性表示，且$b_1, b_2, ..., b_t$線性無關，則$t \le s$。即線性無關的向量組，無法以向量個數較少的向量組線性表示。

## 例子1

設V = Rn，考慮V內的以下元素：

$$\begin{matrix} \mathbf{e}_1 & = & (1,0,0,\ldots,0) \\ \mathbf{e}_2 & = & (0,1,0,\ldots,0) \\ & \vdots \\ \mathbf{e}_n & = & (0,0,0,\ldots,1).\end{matrix}$$

則e1、e2、……、en是線性無關的。

### 證明

假設a1、a2、……、an是R中的元素，使得：

$$a_1 \mathbf{e}_1 + a_2 \mathbf{e}_2 + \cdots + a_n \mathbf{e}_n = 0 . \,\!$$

由於

$$a_1 \mathbf{e}_1 + a_2 \mathbf{e}_2 + \cdots + a_n \mathbf{e}_n = (a_1 ,a_2 ,\ldots, a_n) , \,\!$$

因此對於{1, ..., n}內的所有i，都有ai = 0。

## 例子2

設V是實變量t的所有函數的向量空間。則V內的函數et和e2t是線性無關的。

### 證明

假設a和b是兩個實數，使得對於所有的t，都有：

aet + be2t = 0

我們需要證明a = 0且b = 0。我們把等式兩邊除以et（它不能是零），得：

bet = −a

也就是說，函數bet與t一定是獨立的，這只能在b = 0時出現。可推出a也一定是零。

## 例子3

R4內的以下向量是線性相關的。

$$\begin{matrix} \\ <pre> \begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix} </pre> \\ \\ \end{matrix}$$

### 證明

我們需要求出標量$\lambda_1$、$\lambda_2$和$\lambda_3$，使得：

$$\begin{matrix} \\ \lambda_1 \begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}+ \lambda_2 \begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}+ \lambda_3 \begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}= <pre> \begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}. </pre> \end{matrix}$$

可以形成以下的方程組：

$$\begin{align} <pre> \lambda_1& \;+ 7\lambda_2& &- 2\lambda_3& = 0\\ 4\lambda_1& \;+ 10\lambda_2& &+ \lambda_3& = 0\\ 2\lambda_1& \;- 4\lambda_2& &+ 5\lambda_3& = 0\\ </pre> -3\lambda_1& \;- \lambda_2& &- 4\lambda_3& = 0\\ \end{align}$$

解這個方程組（例如使用高斯消元法），可得：

$$\begin{align} <pre> \lambda_1 &= \lambda_1 \\ \lambda_2 &= (-\lambda_1)/3 \\ \lambda_3 &= (-2\lambda_1)/3. \\ </pre> \end{align}$$

由於它們都是非平凡解，因此這些向量是線性相關的。