濾子 (數學)

濾子（Filter）在數學中是指偏序集合的特殊子集。是昂利·嘉當在1937年發明的並隨後在尼古拉·布爾巴基的書《點集拓撲學》中作為對E. H.摩爾和H. L. Smith在1922年發明的網的概念的替代。濾子經常使用的特殊情況是要考慮的有序集合只是某個集合的冪集，並用集合包含來排序。

濾子出現在序理論和格理論中，還可以在它們所起源的拓撲學中找到。濾子的對偶概念是理想。

## 定義

濾子和濾子基的最一般的形式是定義在一般的偏序集上的。

設F是偏序集合 (P,≤)的子集，若F滿足以下條件則其為濾子。

- F非空。
- ∀x, y ∈ F，∃z ∈ F，使z ≤ x且z ≤ y。(即F為濾子基或向下有向的)
- F是上閉的：∀x ∈ F，y ∈ P，x ≤ y ⇒ y ∈ F。

## 相關概念和結論

### 真濾子

偏序集P的濾子F稱為真濾子，若F≠P。

### 主濾子及其主元素

包含給定元素$p$的最小的濾子是主濾子。$p$稱為該濾子的主元素。$p$的主濾子是：$\{x \in P \ | \ p \le x \}$給出，並記為$\uparrow p$。

### 理想

濾子的序對偶（交換≥和≤，∧和∨）概念是理想。

由於濾子和理想在概念上的序對偶性，關於濾子的討論通常可以與理想的討論相關聯。關於濾子的其它資訊（如極大濾子，素濾子)參見理想。關於超濾子有專門的條目。

## 格中的濾子

濾子最初只是為格定義的。在這種情況下，濾子可以被特徵化為如下等價陳述：

格 (P,≤)的非空子集F是濾子，若且唯若它是對有限交(下確界)運算封閉的上閉集合。

即，對於所有在F中的x，y，x ∧ y也在F中。

## 集合上的濾子

濾子的一個特殊情況是定義在集合上的濾子。假定一個集合S，偏序⊆可以通過子集包含定義在冪集P(S)上，把 (P(S),⊆)變成了一個格。定義S上的濾子 F為P(S)的有如下性質的子集：

- S ∈ F（F非空）
- ∅ ∉ F（F為真子集）
- 若A ∈ F且B ∈ F，則A ∩ B ∈ F（F對有限交封閉）
- 若A ∈ F且A ⊆ B，則B ∈ F中，對於所有B ⊆ S。（F是上閉集合）

前三個性質蘊涵了集合上的濾子有有限交集性質。通過這個定義在集合上的濾子是真濾子。為此有時叫做集合上的真濾子；但是，只要集合上下文是明顯的，短名字就足夠了。

濾子基是P(S)的帶有如下性質的子集B：

- B的任何兩個集合的交集包含B的一個集合
- B是非空的並且空集不在B中

濾子基B可以通過把包含B的一個集合的P(S)的所有集合包括在內而變成(真)濾子。所以結果的濾子基經常被稱為是生成或擴張自濾子基B。所有濾子更加是濾子基，所以經過濾子基到濾子的過程可以被看做某種補全。

如果B和C是在S上的兩個濾子基，要說C 細於（finer than）B（或者C是B的精細），意味著對於每個B0 ∈ B，有一個C0 ∈ C使得C0 ⊆ B0。

- 對於濾子基B和C，如果B細於C且C細於B，則B和C被稱為等價濾子基。
- 對於濾子基A, B和C，如果A細於B且B細於C，則A細於C。

給定P(S)的一個子集T，我們可以問是否存在一個最小的濾子F包含T。這樣一個濾子存在，若且唯若T的子集的有限交集是非空的。我們稱T為F的子基，並稱F 生成自T。F可以通過採納T的所有有限交集來構造，它就是F的濾子基。

### 例子

- 最簡單的濾子的例子是包括S的一個特定非空子集C的S的所有子集的集合。這種濾子叫做 C生成的主濾子。
- 在無限集合S上Frechet濾子是S的有有限補元的所有子集的集合。
- 在集合X上的一致空間是在X×X上的濾子。
- 可以使用Rasiowa-Sikorski引理建立在偏序集合內的濾子，這經常用於力迫。
- 集合$\{ \{ N, N+1, N+2, \dots \} : N \in \{1,2,3,\dots\} \}$被叫做自然數序列$(1,2,3,\dots)$的尾濾子基。尾濾子基由任何網$(x_\alpha)_{\alpha \in A}$使用構造$\{ \{ x_\alpha : \alpha \in A, \alpha_0 \leq a \} : \alpha_0 \in A \}\,$得到。所以，所有的網都生成一個濾子基(並因此是濾子)。因為所有序列都是網，這對所有序列也成立。

### 在模型論中濾子

對於在集合S上的任何濾子F，如下定義的集合函數

$$m(A)=\left\{ \begin{matrix} \,1 & \mbox{if }A\in F \\ \,0 & \mbox{if }S - A\in F \\ \,\mbox{undefined} & \mbox{otherwise} \end{matrix} \right.$$

是有限可加性的，就是一個「測度」，如果這個術語更加鬆散的構造的話。所以陳述

$$\left\{\,x\in S: \varphi(x)\,\right\}\in F$$

可以在某種程度上被認為類似於聲稱φ「幾乎處處」成立。在濾子內的成員關係釋義用在模型論的超乘積理論中。

### 在拓撲學中的濾子

在拓撲學和數學分析中，濾子被用來定義收斂，類似於序列在度量空間空間中所扮演的角色。

在拓撲學和有關的數學領域中，濾子是網的推廣。網和濾子二者都提供非常一般性的上下文來統一各種極限概念到任意的拓撲空間。

一個序列通常用作為全序集合來索引。因此，在第一可數空間中的極限可以被序列所描述。但是如果，空間不是第一可數的，則必須使用網或濾子。網推廣了序列的概念，通過簡單的要求索引集合是有向集合。濾子可以被認為是從多個網建立的集合。因為，濾子的極限和網的極限二者在概念上同於序列的極限。

使用濾子的好處是很多結果的證明可以不使用選擇公理。

#### 鄰域基

選取拓撲空間T和一個點x ∈ T。

- 選取Nx是在T的點x上的鄰域濾子。這意味著Nx是點x的所有拓撲鄰域的集合。可以驗證Nx是個濾子。鄰域系統是鄰域濾子的另一個名字。
- 要說N是在T的x上的鄰域基，就意味著對於所有V0 ∈ Nx，存在N0 ∈ N使得N0 ⊆ V0。注意所有鄰域基都是濾子基。

#### 收斂濾子基

選取拓撲空間T和一個點x ∈ T。

- 要說濾子基B 收斂到x，指示為B → x，就意味著對於所有x的鄰域U，有B0 ∈ B使得B0 ⊆ U。在這種情況下，x叫做B的極限點而B叫做收斂濾子基。注意這裡用的術語「極限點」是「極限」概念到濾子基的推廣；在某些上下文中，術語「極限點」用於下面解說的簇點，並以此區別於術語「極限」。
- 對於所有x的鄰域基N，有N → x。
- 如果N是p的鄰域基而C是在T上的濾子基，則C → x 若且唯若C細於N。
- 對於X ⊆ T，要說p是X在T中極限點，就意味著對於T中的p的每個鄰域U，有U∩(A - {p})≠∅。
- 對於X ⊆ T，p是X在T中的極限點，若且唯若存在在A - {p}上的濾子基B使得B → p。

#### 聚集

選取拓撲空間T和點x ∈ T。

- 要說x是B在T上的聚集點，就意味著對於每個B0 ∈ B和對於 x在T中的每個鄰域U，有B0∩U≠∅。在這種情況下，B 被被稱為聚集於點x。
- 對於濾子基B使得B → x，極限點x也是聚集點。
- 對於濾子基B有著聚集點x，x 不必然是極限點。
- 對於濾子基B聚集於點x，有一個濾子基C細於會聚到x的濾子基B。
- 對於濾子基B，集合∩{cl(B0) : B0∈B}是所有B的聚集點的集合(注意：cl(B0)是B0的閉包)。假定T是偏序集合。
- B的下極限是B的所有聚集點的集合的下確界。
- B的上極限是B的所有聚集點的集合的上確界。
- B是收斂濾子基，若且唯若它的下極限和上極限一致；在這種情況下它們所一致於的值是這個濾子基的極限。

#### 拓撲空間的性質

選取拓撲空間T。

- T是豪斯多夫空間，若且唯若對於所有在T上的濾子基B，B→p並且B→q蘊涵p=q（就是說，所有濾子（基）有最多一個極限點）。
- T是緊緻空間，若且唯若所有在X上的濾子基聚集。
- T是緊緻空間，若且唯若所有在X上的濾子基是收斂濾子基的子集。
- T是緊緻空間，若且唯若所有在X上的超濾子會聚。

#### 拓撲空間上的函數

選取拓撲空間X和Y和子集E ⊆ X。選取E上的濾子基B和函數$f : E \to Y$。B在f下的像fB是集合$\{ f(x) : x \in B \}$。像fB形成了在Y上的濾子基。

- f 連續於x，若且唯若$F \to x$蘊涵$f(F) \to f(x)$。

#### 度量空間

選取度量空間X帶有度量d。

- 要說濾子基B在X上是柯西的，就意味著對於每個實數ε>0，有B0 ∈ B使得B0的度量直徑小於ε。
- 選取 (xn)是度量空間X中的序列。(xn)是柯西序列，若且唯若形如{ {xn,xn+1,...} : n ∈ {1,2,3,...} }的濾子基是柯西的。

### 一致空間中的濾子

給定一致空間X，在X上的濾子F被稱為柯西濾子，如果對於所有周圍（entourage）U，有著$A \in F$帶有$(x, y) \in U$對於所有$x, y \in A$。在度量空間中，這選取形式 F為柯西的，如果對於所有$\epsilon > 0 \ \ \exists A \in F \ \ \mathrm{diam}(A) < \epsilon$。X被稱為是完備的，如果所有柯西濾子會聚。反過來說，在一致空間上所有收斂濾子是柯西濾子。此外，所有柯西濾子的聚集點是極限點。

緊緻一致空間是完備的：在緊緻空間中每個濾子都有聚集點，並且如果濾子是柯西的，這種聚集點就是極限點。進一步的，一致空間是緊緻的若且唯若它是完備的和完全有界的。

## 引用

- Cartan, H. (1937) "Thèorie des filtres". CR Acad. Paris, 205, 595–598.
- Cartan, H. (1937) "Filtres et ultrafiltres" CR Acad. Paris, 205, 777–779.

A monograph available free online:

- Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.
- An introductory account of the theory of filters in metric and topological spaces