範疇 (數學)

在範疇論中，範疇這一概念代表一些數學對象及這些對象間的一些關係，以及這些關係之間的關係。利用範疇可以公式化抽象結構並保留結構上的關係，如運算。範疇幾乎可以出現於現代數學的任意分支，同時也統合了這些分支的底層理念。對範疇本身的研究就稱作範疇論。

## 定義

### 範疇

一個範疇 $\mathcal C$ 意指資料 $(\mathrm{Ob\ }{\mathcal C}, \mathrm{Mor\ }{\mathcal C};\circ )$，其中：

- 一個由對象（Object）所構成的類 $\mathrm{Ob\ }{\mathcal C}$。
- 對象間的態射（Morphism）所構成的類 $\mathrm{Mor\ }{\mathcal C}$。每一個態射 $f\in{\mathrm{Mor\ }}\mathcal{C}$ 均蘊含確定的「始對象（Domain）」$A$ 和「終對象（Codomain）」$B$，且 $A,B\in\mathrm{Ob\ }{\mathcal C}$。此時記 $f\colon A\to B$，稱 $f$ 為從 $A$ 到 $B$ 的一個態射此處並未限定是唯一一個。所有由 $A$ 至 $B$ 的態射構成類，記作 $\mathrm{Hom}_{\mathcal C}\ (A,B)$，不致混淆時，也記作 $\mathrm{Hom}\ (A,B)$。
- 對任意態射對 $(A,B)$ 有態射複合 $\circ$ 如下：

$$\begin{align}\circ(-,-)\colon\ &\mathrm{Hom}\ (A,B)\times\mathrm{Hom}\ (B,C) & \to &\quad \mathrm{Hom}\ (A,C),\\&(f,g)&\mapsto&\quad g\circ f,\end{align}$$

其中，$g\circ f$ 在不致混淆時也記作 $gf$。

此態射複合滿足下列公理：

- （結合律）對態射 $f\colon A\to B$，$g\colon B\to C$ 和 $h\colon C\to D$，有 $h(gf)=(hg)f$。
- （么元）對任意對象 $X$，存在一態射 $1_X \in \mathrm{Hom}\ (X,X)$，使得對任意態射 $f\in\mathrm{Hom}\ (A,B)$，均滿足 $1_Bf=f=f1_A$。態射 $1_X$ 稱作「$X$ 的單位態射」。

根據上述公理可以證明，對每個特定對象而言，單位態射具唯一性。在這樣的等價關係上，部分作者視對象與其單位態射為同一概念。

顯然，$\mathrm{Mor\ }{\mathcal C}$ 和 $\mathrm{Ob\ }{\mathcal C}$ 間自然地存在三個映射：$\mathrm{Id}\colon\ X\mapsto 1_X$，$\mathrm{Dom}\colon\ f\mapsto A$，$\mathrm{Cod}\colon\ f\mapsto B$，如圖 1 所示。

### 小範疇和局部小範疇

一個範疇 $\mathcal C$ 稱作小範疇（Small Category），若且唯若其態射類 $\mathrm{Mor\ }{\mathcal C}$ 比真類小，即僅有集合那麼大。

一個範疇 $\mathcal C$ 稱作局部小範疇（Locally Small Category），若且唯若對任意對象對 $(A,B)\in(\mathrm{Ob}\ \mathcal{C})^2$，其對應的的態射類 $\mathrm{Hom}_{\mathcal C}\ (A,B)$ 均為非真類的集合。

數學研究中，許多重要的範疇（例如集合的範疇），通常即使非小，也是局部小的。

## 範疇舉例

每一範疇都可由其物件、態射和態射複合來表示。

- 所有集合的範疇 $\mathsf{Set}$，其態射為集合間的函數，而態射複合則為一般的函數複合。此處及下列皆為具體範疇的例子，即：在 $\mathsf{Set}$ 上加入一些結構，且要求態射為對應於此附加結構的函數，態射複合為簡單的一般函數複合。
- 所有預序關係的範疇 $\mathsf{Ord}$，其態射為單調函數。
- 所有原群的範疇 $\mathsf{Mag}$，其態射為原群間的同態。
- 所有群的範疇 $\mathsf{Group}$，其態射為群同態。
- 所有阿貝爾群的範疇 $\mathsf{Ab}$，其態射為群同態。
- 所有環的範疇 $\mathsf{Ring}$，其態射為環同態。部分作者習慣將一般環的範疇記作 $\mathsf{Rng}$，而將么環的範疇記作 $\mathsf{Ring}$。
- 所有於體 $\mathbb{k}$（維持固定）上的向量空間的範疇 $\mathsf{Vect}_{\mathbb{k}}$，其態射為線性映射。
- 所有拓樸空間的範疇 $\mathsf{Top}$，其態射為連續函數。
- 所有度量空間的範疇 $\mathsf{Met}$，其態射為度量映射。
- 所有一致空間的範疇 $\mathsf{Uni}$，其態射為一致連續函數。
- 所有光滑流形的範疇 $\mathsf{Man}^p$，其態射為 $p$ 次連續可微映射。
- 所有小範疇的範疇 $\mathsf{Cat}$，其態射為函子。
- 所有局部小範疇的範疇 $\mathsf{CAT}$。由於 Russell 悖論，找到這樣一個範疇使得 $\mathsf{CAT}\in\mathrm{Ob}\ \mathsf{CAT}$ 並不可行，不過顯然有 $\mathsf{Cat}\in\mathrm{Ob}\ \mathsf{CAT}$。
- 所有集合的關係範疇 $\mathsf{Rel}$，其態射為關係。
- 任一預序集 $(P, \preceq)$ 均蘊含一個小範疇，其對象為 $P$ 的元，態射為有序對 $(p,q)$ 使得 $p\preceq q$。可以驗證，這樣的態射複合滿足定義的公理。
- 任一么半群 $M$ 均蘊含一個攜唯一一個對象 $x$ 的小範疇 $\mathsf{B}M$。$\mathsf{B}M$ 以 $M$ 中的元作為態射，每個態射各自表示 $x$ 上一個不同的自同態，而態射複合由 $M$ 的乘法給出。$M$ 的么元 $e\in M$ 也作為 $\mathsf{B}M$ 這唯一一個對象的單位態射存在。可以將範疇這一概念視作么半群之延伸概念。
- 任意有向圖蘊含一個自然的小範疇，以圖的頂點為對象，有向路徑為態射，路徑串聯為態射複合。這被稱作由有向圖產生的「自由範疇」。
- 若I是一個集合，「在I上的具體範疇」會是個小範疇，其物件為I的元素，而態射則只有單位態射。當然，其態射複合的公理是必然滿足的。

## 態射類型

一個態射 $f\colon\ a\to b$ 被稱為：

- 同構（Isomorphism），若且唯若存在態射 $g\colon\ b\to c$，滿足 $gf=1_a,\,fg=1_b$，換言之，存在逆。
- 自態射（Endomorphism），若且唯若 $b=a$，即 $f$ 是從 $a$ 到 $a$ 自身的態射。
- 自同構（Automorphism），若且唯若 $f$ 同時為同構與自態射。
- 單態射（Monomorphism），若且唯若對任意態射 $h,k\in\mathrm{Hom}\ (x,\,a)$，$fh=fk$ 均蘊含 $h=k$。
- 滿態射（Epimorphism），若且唯若對任意態射 $h,k\in\mathrm{Hom}\ (b,\,x)$，$hf=kf$ 均蘊含 $h=k$。
- $g\colon\ b\to a$ 的截面（Section），若且唯若 $gf=1_a$，也稱作 $g$ 的右逆（Right Reverse）或分裂單態射（Split Monomorphism）。
- $g\colon\ b\to a$ 的收縮（Retraction），若且唯若 $fg=1_b$，也稱作 $g$ 的左逆（Left Reverse）或分裂滿態射（Split Epimorphism）。

也記 $a$ 上的所有自態射構成類 $\mathrm{End}\ a$，所有自同構構成類 $\mathrm{Aut}\ a$。

下述三個命題是等價的：

- $f$ 是單態射且是收縮。
- $f$ 是滿態射且是截面。
- $f$ 是同構。

態射之間的關係（例如 $fg=h$）可以非常方便地表示為交換圖表，其中物件表示為點，態射表示為箭頭。

## 特別的範疇

### 子範疇

給定一個範疇 $\mathcal{C}$，稱範疇 $\mathcal{D}$ 為 $\mathcal{C}$ 之子範疇（Subcategory），若且唯若：

- $\mathrm{Ob}\ \mathcal{D}\subseteq \mathrm{Ob}\ \mathcal{C}$。
- $\mathrm{Mor}\ \mathcal{D}\subseteq\mathrm{Mor}\ \mathcal{C}$。
- 同時，態射複合仍然保持。

### 群胚

稱 $\mathcal{C}$ 為一群胚（Groupoid），若且唯若其中所有態射為同構。

- 群可被定義作具唯一一個對象的群胚。

任意範疇 $\mathcal{C}$ 均內含一個最大群胚（Maximal Groupoid），為包含全部 $\mathcal{C}$ 的對象，而包含且僅包含全部自態射作為態射的子範疇。

### 對偶範疇

令 $\mathcal{C}$ 為一範疇，規定其對偶範疇 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ 如下：

- 以 $\mathrm{Ob}\ \mathcal{C}$ 為 $\mathrm{Ob}\ \mathcal{C}^{\mathrm{op}}$。
- 由如下從 $\mathrm{Mor}\ \mathcal{C}$ 到 $\mathrm{Mor}\ \mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ 的一一對應函子完全生成後者：

$$\begin{align}\mathrm{Mor}\ \mathcal{C}\qquad&\to&\mathrm{Mor}\ \mathcal{C}^{\mathrm{op}}\\ f\colon\ X\to Y\quad&\mapsto& f^{\mathrm{op}}\colon\ Y\to X\end{align}$$

其中滿足：$\forall f,g\in\mathrm{Mor}\ \mathcal{C},(f\circ_{\mathcal{C}}g)^{\mathrm{op}}:=g^{\mathrm{op}}\circ_{\mathcal{C}^{\mathrm{op }}}f^{\mathrm{op}}$。

利用對偶範疇可證明如下的對偶定理：

定理：下列三條定理等價：

- $f\colon\ x\to y$ 為範疇 $\mathcal{C}$ 中的一個同構（雙態射）。
- 對所有對象 $c\in\mathrm{Ob}\ \mathcal{C}$，$f$ 上的後複合定義了雙射 $f_*\colon\ \mathrm{Hom}(c,x)\to \mathrm{Hom} (c,y)$。
- 對所有對象 $c\in\mathrm{Ob}\ \mathcal{C}$，$f$ 上的前複合定義了雙射 $f^*\colon\ \mathrm{Hom}(y,c)\to \mathrm{Hom} (x,c)$。

### 積範疇

對任意範疇 $\mathcal{C}$ 和 $\mathcal{D}$，定義其積範疇 $\mathcal{C}\times\mathcal{D}$ 如下：

- 以形如 $(c,\,d)$ 的有序對為對象，其中 $c\in\mathrm{Ob}\ \mathcal{C},\,d\in\mathrm{Ob}\ \mathcal{D}$。
- 以形如 $(f,\,g)\colon\ (c,\,d)\to(c',\,d')$ 的有序對為態射，同時
- 結合律與單位態射也如此被逐分量定義。

### 逗號範疇

給定函子 $F\colon\ \mathcal{D}\to\mathcal{C},\,G\colon\ \mathcal{E}\to\mathcal{C}$，定義其逗號範疇 $F\downarrow G$ 如下：

- 以有序三元組 $(d,\,e,\,f\colon\ Fd\to Ge)\in \mathrm{Ob}\ \mathcal{D}\times\mathrm{Ob}\ \mathcal{E}\times\mathrm{Mor}\ \mathcal{C}$ 為對象。
- 以有序對 $(h\colon\ d\to d',\,k\colon\ e\to e')\in \mathrm{Mor}\ \mathcal{D}\times \mathrm{Mor}\ \mathcal{E}$ 為態射，使得對於每個 $(h,\,k)\colon\ (d,\,e,\,f)\to(d',\,e',\,f')$，圖 2 在 $\mathcal{C}$ 中交換，即：使得 $f'\circ Fh=Gk\circ f$。

## 範疇類型

- 在許多範疇中，例如阿貝爾群範疇或向量空間範疇，態射集合 $\mathrm{Hom}(a,\,b)$ 不僅是集合，而且還是阿貝爾群，並且態射的複合與這些阿貝爾群之間的群結構兼容，即複合映射是雙線性的。這種範疇稱為預可加範疇。如果在此基礎上這個範疇還帶有所有有限積和上積，那麼我們稱之為可加範疇。如果更進一步地，所有態射都有核和上核，並且每個滿態射都是上核而每個單態射都是核，那麼我們稱之為阿貝爾範疇。阿貝爾範疇的典型例子是阿貝爾群的範疇。
- 範疇是完備的當其擁有所有極限。集合、阿貝爾群、拓撲空間的範疇都是完備的。
- 範疇是笛卡爾閉的當其擁有所有有限直積、且有限積上的態射總是可由任一因子上的態射確定。笛卡爾閉範疇包括 Set 和 CPO，即完全偏序和斯科特連續函數組成的範疇。
- 拓撲斯是一種特定的笛卡爾閉範疇；所有數學內容都可以用拓撲斯的語言形式化（正如所有經典數學都可以用集合範疇的語言形式化一般）。拓撲斯也可用於表示邏輯理論。

## 參考文獻

- Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.（1990）. Abstract and Concrete Categories . Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.（now free on-line edition）
- Asperti, Andrea, & Longo, Giuseppe (1991). Categories, Types and Structures. Originally publ. M.I.T. Press.
- Barr, Michael, & Wells, Charles (2002). Toposes, Triples and Theories.（revised and corrected free online version of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften（278）. Springer-Verlag,1983)
- Borceux, Francis (1994). Handbook of Categorical Algebra.. Vols. 50-52 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge: Cambridge University Press.
- Lawvere, William, & Schanuel, Steve.（1997）. Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories. Cambridge: Cambridge University Press.
- Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician（2nd ed.）. Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
- Jean-Pierre Marquis, "Category Theory" in Stanford Encyclopedia of Philosophy , 2006

## 外部連結

- Homepage of the Categories mailing list, with extensive list of resources
- Category Theory section of Alexandre Stefanov's list of free online mathematics resources