電感元件

電感器（inductor）是一種電路元件，會因為通過的電流的改變而產生電動勢，從而抵抗電流的改變。這屬性稱為電感。

電感元件有許多種形式，依據外觀與功用的不同，而會有不同的稱呼。以漆包線繞製多圈狀，常作為電磁鐵使用和變壓器等中使用的電感也依外觀稱為線圈（coil）。用以對高頻提供較大電抗，通過直流或低頻的，依功用常稱為扼流圈（choke），又稱抗流圈。常配合鐵磁性材料，安裝在變壓器、電動機和發電機中使用的較大電感，也稱繞組（Winding）。導線穿越磁性物質，而無線圈狀，常充當高頻濾波作用的小電感，依外觀常稱為磁珠（Bead）。

電感器一詞，通常只用來稱呼以自感或其效應為主要工作情況的元件。非以自感為主的，習慣上大多稱呼它的其他名稱，平常不以電感器稱呼，例如：變壓器、馬達裡的電磁線圈繞組等。

在中文裡，電感器一詞在口語上也會被簡稱為電感，但如需嚴謹表達為實體物件的情況，仍宜稱為電感器。

## 概述

通俗地說，穿過一個閉合導體迴路的磁感線條數稱為磁通量。由於穿過閉合載流導體（很多情況是線圈）的磁場在其內部形成的磁通量變化，根據法拉第電磁感應定律，閉合導體將產生一個電動勢以「反抗」這種變化，即電磁感應現象。電感元件的電磁感應分為自感應和互感應，自身磁場在線圈內產生磁通量變化導致的電磁感應現象，稱為「自感應」現象；外部磁場在線圈裡磁通量變化產生的電磁感應現象，稱為「互感應」現象。

比如，當電流以1安培/秒的變化速率穿過一個1亨利的電感元件，則引起1伏特的感應電動勢。當纏繞導體的導線匝數增多，導體的電感也會變大，不僅匝數，每匝（環路）面積，連纏繞材料都會影響電感大小。此外，用高滲透性材料纏繞導體也會令磁通量增加。

電感元件即利用這種感應的原理，在電路中發揮了許多作用。

## 儲存的能量

一個電感元件儲存的能量（單位：焦耳）等於流經它的電流建立磁場所做的功，其值由下式給出：

$E_\mathrm{stored} = {1 \over 2} L I^2$

其中L為電感，I為流經電感的電流。

上述的關係僅適用在電流和磁通呈線性，尚未進入磁飽和的電感元件。

若針對電感元件，要計算在時間$t_0$到$t_1$之間，電感元件可以儲存的能量，可以用下式計算：

$$E = \int_{t_0}^{t_1} \! P(t)\,dt = \frac{1}{2}LI(t_1)^2 - \frac{1}{2}LI(t_0)^2$$

## 水壓模型

電流可以被模擬為水流一樣，電感元件相當於被水流驅動的渦輪中的「飛輪」。電壓與電流改變的量成正比，所以電流的急速改變會產生強力的電壓。相似地，流向渦輪的水流被突然干擾時會產生巨大的壓力。於變壓器中的磁力交流沒有被有效地以模型形式模擬出來。

## 電感元件結構

電感可由電導材料盤繞磁芯製成，典型的如銅線，也可把磁芯去掉或者用鐵磁性材料代替。比空氣的磁導率高的芯材料可以把磁場更緊密的約束在電感元件周圍，因而增大了電感。電感有很多種，大多以外層瓷釉線圈（enamel coated wire）環繞鐵素體線軸製成，而有些防護電感把線圈完全置於鐵素體內。一些電感元件的芯可以調節。由此可以改變電感大小。小電感能直接蝕刻在印刷電路板上，用一種鋪設螺旋軌跡的方法。小值電感也可用以製造電晶體同樣的工藝製造在積體電路中。在這些應用中，鋁互連線被經常用做傳導材料。不管用何種方法，基於實際的約束應用最多的還是一種叫做「旋轉子」的電路，它用一個電容和主動元件表現出與電感元件相同的特性。用於隔高頻的電感元件經常用一根穿過磁柱或磁珠的金屬絲構成。

## 在電子電路中

像電容元件反抗電壓的變化一樣，電感元件反抗電流的變化。一個理想電感元件應對直流電不呈電阻性，然而只有超導電感元件才會產生零電阻。

一般來說，隨時間變化的電壓v(t)與隨時間變化的電流i(t)在一個電感為L的電感元件上呈現的關係可以用微分方程來表示：

$v(t) = L \frac{di(t)}{dt}$。

當有正弦交流電穿過電感元件時，會產生正弦電壓。電壓的幅度與電流的幅度（$I_P$）與電流的頻率（f）的乘積成比例。

$$i(t) = I_P \sin(2 \pi f t)\,$$

$$\frac{di(t)}{dt} = 2 \pi f I_P \cos(2 \pi f t)$$

$$v(t) = 2 \pi f L I_P \cos(2 \pi f t)\,$$

在這種情況下，電流與電壓的相位相差90度，（電流落後電壓）

### 拉普拉斯電路分析（s-域）

當於電路分析中使用拉普拉斯變換，一個沒有初始電流的理想電感元件的阻抗能於s域被表述成：

$$Z(s) = s L\,$$

L為電感

s為複頻率

如果電感元件沒有起始電流，那它可以被表述成：

- 附加一個電壓來源，以串聯形式與電感元件連接著，電壓來源的值為：

$$L I_0 \,$$

(請留意電壓來源應該有與初始電流相反的極性）

- 或是附加一個電流來源，以並聯形式與電感元件連接著，電流來源的值為：

$$\frac{I_0}{s}$$

L為電感

$I_0$為電感元件的初始電流

### 電感元件網路

並聯電路中的電感元件每個都有相同的電勢差。其總的等效電感（Leq）：

$$\frac{1}{L_\mathrm{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \cdots + \frac{1}{L_n}$$

通過串聯電感的電流保持不變，但每個電感元件上的電壓可不同。其電壓之和等於總電壓。總電感：

$$L_\mathrm{eq} = L_1 + L_2 + \cdots + L_n \,\!$$

這種簡單的關係只有在沒有磁場互耦（mutual coupling）的條件下才成立。

## 品質因數Q

一個理想的電感元件是不會因流經線圈的電流的大小而改變其敏感度。但是於實際環境下，線圈內的金屬線會令電感元件帶有繞組電阻。由於繞組電阻是以串聯著電感元件的電阻形式出現，所以亦被稱為串聯電阻。由於串聯電阻的存在，實際電感元件的特性會不同於理想電感，可以用品質因數表示電感和電阻之的比例。

一個電感元件的品質因數（簡稱Q）是它處於某一特定頻率時，它的電感電抗和電阻之間的比例，這個比例是用來量度電感元件的有效程度。品質因數越高，電感元件的表現越相似現想中電感元件的表現。

電感元件的品質因數Q能由以下方程式可得，R是電感元件的內部電抗：

$$Q = \frac{\omega{}L}{R}$$

使用鐵磁性材料而其他部份不變的話，電感會上升，因此品質因數會被提高。但是若頻率上升時，鐵磁性材料的電感會降低，也就是電感是頻率的變數。所以於甚高頻（VHF）或更高頻的情況下，會傾向使用空氣核心。使用鐵磁性核心的電感元件可能會於大量電流流入時進入飽和狀態，引致電感及品質因數下降。使用空氣核心能避免這種現象。一個經良好設計的含空氣核心的電感元件能有高達幾百的品質因數。

一個近乎理想的電感元件（即近乎無限的品質因數）可以由以下方法所製：將由超導合金所製的線圈浸入液態氦或液態氮中。這會令電線處於極低溫狀態，而繞組電阻會消失。因為超導電感元件的效能極近乎理想中的電感元件，它可以儲存大量電能於磁場內。（見超導儲能）

相同條件下內阻越大，品質因數越小。品質因數可以看做是衡量電感元件好壞的標準之一，品質因數越高通常意味著電感的品質越好。

## 公式

以下的表列出一些簡單形狀電感器，其電感量近似公式。

架構｜公式｜註解

無鐵心的圓柱形電感｜$L=\frac{\mu_0 KN^2A}{l}$ :L = 電感單位亨利（H） :μ0 = 自由空間的磁導率 = 4$\pi$×10-7 H/m :K = Nagaoka係數 :N = 匝數 :A = 環繞的橫斷面積，單位：平方米（m2） :l = 盤繞長度，單位：米（m）｜Nagaoka係數（K）的計算十分複雜，通常需要查表得到。但一般可取近似值$K\approx 1$（適用於使用細導線緊密排繞，而且線圈長度遠大於線圈直徑的單層電感）

線形導體｜$L = \frac{\mu_0}{2\pi} \left( l \ln\left[\frac{1}{c}\left(l + \sqrt{l^2 + c^2}\right)\right] - \sqrt{l^2 + c^2} + c + \frac{l}{4 + c \sqrt{\frac{2}{\rho}\omega\mu}} \right)$、L = 電感、l = 導線長度、c = 導線半徑、μ0 = 自由空間的磁導率 = 4$\pi$×10−7 H/m、μ = 導體相對導磁率、p = 電阻、ω = 相頻率｜在ω = 0或ω = ∞時是準確的

$L = \frac{1}{5} l \left[\ln\left(\frac{4l}{d}\right) - 1\right]$、L = 電感（nH）、l = 導線長度（mm）、d = 導線直徑（mm）、f = 頻率｜、Cu or Al（銅或是鋁，相對導磁率接近1）、l > 100 d、d2 f > 1 mm2 MHz

$L = \frac{1}{5} l \left[\ln\left(\frac{4l}{d}\right) - \frac{3}{4}\right]$、L = 電感（nH）、l = 導線長度（mm）、d = 導線直徑（mm）、f = 頻率｜、Cu or Al（銅或是鋁，相對導磁率接近1）、l > 100 d、d2 f < 1 mm2 MHz

3.短圓柱盤繞無芯（空氣）電感元件的電感：

$L=\frac{r^2N^2}{9r+10l}$

L = 電感單位µH

r = 纏繞的外環半徑單位英寸

l = 纏繞長度單位英寸

N = 匝數

4.多層空氣芯電感元件：

$L = \frac{0.8r^2N^2}{6r+9l+10d}$

L = 電感單位µH

r = 纏繞平均半徑單位英寸

l = 繞線物理長度單位英寸

N = 匝數

d = 纏繞深度單位英寸（即，外半徑減去內半徑）

5.平螺旋型空芯電感：

$$L=\frac{r^2N^2}{(2r+2.8d) \times 10^5}$$

L = 電感單位H

r = 纏繞平均半徑單位米

N = 匝數

d = 纏繞深度單位米（即，外半徑減去內半徑）

因此一個8匝的螺旋型盤繞，平均半徑25mm，深度10mm的電感元件，電感為5.13µH。

同樣的公式改用英制單位：

$$L=\frac{r^2N^2}{8r+11d}$$

L = 電感單位µH

r = 纏繞平均半徑單位英寸

N = 匝數

d = 纏繞深度單位英寸（即，外半徑減去內半徑）

6.環形鐵心的繞阻電感（核心物料的圓形橫切面的相對導率為$\mu_r$）

$$L=\mu_0\mu_r\frac{N^2r^2}{D}$$

L = 電感單位H

μ0 = 真空磁導率 = 4$\pi$×10-7 H/m

μr = 核心物料的相對導率

N = 匝數

r = 纏繞平均半徑單位米

D = 環形線圈的總直徑單位米

## 應用

電感元件廣泛的應用在模擬電路與信號處理過程中。

- 電感元件與電容元件及其他一些器件結合可以形成調諧電路，可以放大或過濾一些特定的信號頻率。
- 大電感可用於電源的閥門（chokes），以前也經常與濾波器聯用用於去除直流輸出的冗餘和波動成分。
- 磁珠或環繞電纜可產生小電感可阻止傳輸線中的射頻干擾。
- 小的電容/電感還可結合產生調諧電路用於無線電的收發。
- 兩個或多個電感元件之間有耦合磁通量可形成變壓器，變壓器是電力電源系統的基本組件。變壓器的效率隨著頻率的增加而減小，但高頻變壓器的體積也變的很小，這也是為什麼一些飛行器用400赫茲交流電而不是通常的50或60赫茲，用小型變壓器而節省了大量的載重。
- 在開關式電源中，電感元件被做為儲能元件。電感元件隨著調整器的轉換頻率的特定部分而儲能，而在周期後半部分釋放能量。其能量轉換比決定了輸入輸出電壓比。這個XL用於補充主動半導體設備可用來精確控制電壓。
- 電感元件也被應用於電力傳輸系統，用來降低系統電壓或限制疵電流，這些通常被用於反應堆。相比其他元件電感元件要顯得大而重，所以在現代設備裡以減少了其應用；有些固態開關電源去掉了大變壓器，電路轉為使用小的電感元件，有些則由迴轉器電路模擬。