複平面

數學中，複平面（Complex plane）是用水平的實軸與垂直的虛軸建立起來的複數的幾何表示。可視為一個具有特定代數結構笛卡兒平面（實平面），一個複數的實部用沿著 x-軸的位移表示，虛部用沿著 y-軸的位移表示。

複平面有時也叫做阿爾岡平面，因為它用於阿爾岡圖中。這是以讓-羅貝爾·阿爾岡（1768-1822）命名的，儘管它們最先是挪威-丹麥土地測量員和數學家卡斯帕爾·韋塞爾（1745-1818）敘述的。阿爾岡圖經常用來標示複平面上函數的極點與零點的位置。

複平面的想法提供了一個複數的幾何解釋。在加法下，它們像向量一樣相加；兩個複數的乘法在極坐標下的表示最簡單——乘積的長度或模長是兩個絕對值或模長的乘積，乘積的角度或輻角是兩個角度或輻角的和。特別地，用一個模長為 1 的複數相乘即為一個旋轉。

## 記號約定

在複分析中複數通常用符號$z$表示，它可以分為實部 ($x$) 與虛部 ($y$)：

$$z = x + iy\,$$

這裡$x$與$y$是實數，$i$是虛單位。在這種通常記法下複數$z$對應與笛卡兒平面中的點$(x,y)$。

笛卡兒平面中的點$(x,y)$在極坐標中也能表示為

$$(x, y) = (r\cos\theta, r\sin\theta)\qquad\left(r = \sqrt{x^2+y^2}; \quad \theta=\arctan\frac{y}{x}\right).\,$$

在笛卡兒平面中可能假設反正切函數$\arctan$取值於$-\pi$到$\pi$弧度（當$x\leq 0$時，對$(x,y)$定義「真正的」反正切函數需要一點考慮。在複平面上它們的極坐標具有如下形式（第三個等號源自歐拉公式）

$$z = x + iy = |z|\left(\cos\theta + i\sin\theta\right) = |z|e^{i\theta}\,$$

這裡

$|z| = \sqrt{x^2+y^2}; \quad \theta = \arg(z) = -i\ln\frac{z}{|z|}.\,$

這裡$|z|$是複數$z$的絕對值或模長；$\theta$，$z$的輻角，通常取值於區間$0\leq \theta<2\pi$；最後一個等式（$|z|e^{i\theta}$）得自歐拉公式。注意$z$的輻角是多值的，因為復指數函數是周期為$2\pi i$。從而，如果$\theta$是$\arg z$的一個值，其它值由$\arg z =\theta+2n\pi$給出，這裡$n$是任何$\neq 0$整數。

圍道積分理論是複分析的重要組成部分。在此情形，沿著閉曲線的積分方向是要緊的——沿著相反的方向所得的積分值乘以 −1。習慣上「正方向」是逆時針方向。例如，沿著單位圓我們從點$z=1$開始，向左上移動經過$z=i$，然後向左下經過 −1，右下經過$-i$，最後向右上移動到達起點$z=1$，這就是單位圓的正方向。

幾乎所有複分析專注複函數——即將複平面的一個子集映到複平面某個另外的（可能相交甚至重合）子集。這裡習慣說$f(z)$的定義域位於 z-平面上，並稱$f(z)$的值域或像作為 w-平面中的一個點集。用符號記成

$$z = x + iy;\qquad f(z) = w = u + iv,\,$$

並經常將函數$f$視為 z-平面（帶有坐標$(x,y)$）到 w-平面（帶有坐標$(u,v)$）的變換。

## 球極平面投影

將複平面視為一個球面的一部分是有用的。給定一個單位半徑球面，使複平面穿過其正中間，這樣球的中心與複平面的原點$z=0$重合，球面上的赤道與平面的單位圓重合。

我們可以將球面上的點與複平面建立如下一一對應。給定平面上一點，連接這一點與球面的北極之直線與球面恰好交於另一點。點$z=0$將投影到球面的南極。因為單位圓周的內部在球面內，整個區域（$|z|<1$）將映到南半球。單位圓周自己（$|z|=1$）映到赤道，而單位圓周的外部（$|z|>1$）將映到北半球。顯然這個過程是可逆的——給定任何球面上的不為北極的點，我們連接這一點與北極，與平面恰好交與一點。

在這個球極平面投影中只北極這一點，不能對應到複平面上任何一點。我們將其變成一一對應，添加一個理想的點——所謂的無窮遠點——到複平面上，使其與球面的北極對應。複平面添加一個無窮遠點這個拓撲空間，稱為擴充複平面。這就是數學家在討論複分析時為什麼說單個無窮遠點。在實數軸上有兩個無窮遠點，但擴充複平面上只有一個（北極）無窮遠點。

想像一下球面上的經線和緯線投影到平面上會變成什麼。平行於赤道的所有緯線，它們將變為以原點$z=0$為圓心的圓周；而經線將變為經過原點的直線（從而也經過無窮遠點，因為它們在球面上同時經過北極和南極）。

這不是從球面到平面惟一的球極平面投影。例如，球面的南極點可能置於平面的原點$z=0$之上，球面於平面在這一點相切。細節事實上並不重要，任何球面到平面的球極投影都將產生一個無窮遠點，球面上的緯線與經線將分別映成平面上的圓周與直線。

## 切割複平面

當討論一個複變函數時，想像「切割」複平面經常會有方便之處。這種想法自然出現於多種不同情境。

### 多值關係與分支點

考慮簡單的二值關係

$$w = f(z) = \pm\sqrt{z} = z^{\frac{1}{2}}.\,$$

在我們可將這個關係處理為單值函數之前，所得值域必須做些限制。在處理實數的平方根時這是容易做到的。例如，我們可定義

$$y = g(x) = \sqrt{x}\ = x^{\frac{1}{2}}\,$$

為非負實數$y$使得$y^2=x$。這個想法在二維複平面不再如此有效。為了看出為什麼，考慮點$z$沿著單位圓周移動$f(z)$值的變化方式。我們有

$$z = e^{i\theta}\qquad\Rightarrow\qquad w=z^{\frac{1}{2}} = e^{\frac{i\theta}{2}}\qquad(0\leq\theta\leq 2\pi).\,$$

顯然，當$z$沿著圓周移動一圈，$w$只移動半圈。從而複平面上一個連續運動將正平方根$e^0=1$變為負平方根$e^{i\pi}=-1$。

問題之出現是由於在點$z=0$只有一個平方根，但其它複數$z\neq 0$都恰有兩個平方根。在實數軸上我們在單點$x=0$處立一個「障礙」以避免這個問題。在複平面上需要更大的障礙，防止出現任何圍繞分支點$z=0$的完全迴路。通常做法是引入一個分支切割（branch cut）；在這種情形可以從$z=0$起沿著正實數軸一直到無窮遠點剪開，從而在切開的平面上限制為$0\leq \arg z <2\pi$。

現在我們可以給出$w=z^{\frac{1}{2}}$的一個完整描述。為此我們需要兩個 z-平面副本，每一個沿著實軸剪開。在一個副本上我們定義 1 的平方根為$e^0=1$，而在另一個上定義 1 的平方根為$e^{i\pi}=-1$。我們稱這兩個切開的整個平面為「片」。由一個連續性討論，我們可以看出（非單值）函數$w=z^{\frac{1}{2}}$將第一片映為上半 w-平面，$0\leq \arg w <\pi$，而將第二片應為下半 w-平面，$\pi\leq \arg w <2\pi$)。

這個例子中的分支切割不必非要沿著實軸，甚至不必是直線。任何連接原點$z=0$與無窮遠點的連續曲線都行。在某些情形，分支切割甚至不必經過無窮原點。例如，考慮關係

$$w = g(z) = \left(z^2 - 1\right)^{\frac{1}{2}}.\,$$

這裡多項式$z^2-1$在$z=\pm 1$為零，所以$g$顯然由兩個分支點。我們可沿著實軸從 −1 到 1 切開平面，$g(z)$在所得的片上是單值函數。或者，從$z=1$沿著正實軸經過無窮遠點，然後沿著負實軸到達另一分支點$z=-1$切開。

這種情況使用如上所述的球極平面投影最容易看清。在球面上一種切割是沿著連接赤道上兩點$z=-1$與$z=1$穿過南半球並經過南極點的經線；第二種切割是經過北半球，連接同樣兩個赤道點並經過北極（即無窮遠點）的經線。

### 亞純函數定義域的限制

亞純函數是在其定義域中除了有限或可數無窮個點之外全純從而解析的複函數。函數不能定義的那些點稱為亞純函數的極點。有時所有極點位於一條直線上，在這種情形說這個函數在「切開的平面上全純」。這裡是一個簡單的例子。

Γ函數，其定義為

$$\Gamma (z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left[\left(1+\frac{z}{n}\right)^{-1}e^{\frac{z}{n}}\right]\,$$

這裡$\gamma$是歐拉-馬歇羅尼常數，當$z$等於零或負整數時，無窮乘積的分母恰有一個為零，故$\Gamma(z)$只有單極點 0, −1, −2, −3, ...。因為所有極點在負實數軸上，從$z=0$到無窮遠點，這個函數可以描述為

「在切開的複平面上全純，切割是沿著負實軸從 0（包含）到無窮遠點。」

或者，$\Gamma(z)$也能描述為

「在切開的複平面$-\pi<\arg z <\pi$並除去點$z=0$上全純。」

注意這種切割與我們能剛才遇到的分支截斷稍有不同，因為這事實上在切開的複平面上除去了實軸。分支截斷留下實軸作為切開複平面的一邊（$0\leq \theta$），但與另一邊（$0<2\pi$）完全分開。

當然，為了構造$\Gamma(z)$一個全純區域事實上不必完全將從$z=0$到$-\infty$的整個線段除去。我們只需將平面在可數無窮個點 {0, −1, −2, −3, ...} 處穿孔。但這個穿孔平面上的閉迴路可能圍繞一個或多個$\Gamma(z)$的極點，由留數定理得到的圍道積分不必為零。通過切開複平面我們不僅確保$\Gamma(z)$在這些限制的區域上全純，而且也確保 $\Gamma$在切開的複平面的任何閉曲線上圍道積分恆等於零。而這在一些數學論證中可能非常重要。

### 收斂區域的分類

許多複函數是用無窮級數或連分數定義的。分析這些無窮長表達式的一個基本考慮是確定它們收斂為一個有限值的複平面區域。平面上一個切割可能對這個過程有幫助，如下例所示。

考慮由無窮級數定義的函數

$$f(z) = \sum_{n=1}^\infty \left(z^2 + n\right)^{-2}.\,$$

因為$z^2=(-z)^2$對任何複數$z$成立，顯然$f(z)$是一個$z$的偶函數，所以可以限制在半個複平面上分析。又因為當

$$z^2 + n = 0 \quad \Leftrightarrow \quad z = \pm i\sqrt{n},\,$$

時級數沒有定義，有理由沿著整個虛軸切開平面，使這個級數在實部不為零的收斂，當$z$是純虛數時需做更細緻的檢驗。

這個例子中切割不過是方便之舉，因為無窮和無定義的點是離散的，且切開的平面可被一個合適的穿孔平面替代。在某些情形，切割是必須的，不止是為了方便。考慮無窮周期連分數

$$f(z) = 1 + \cfrac{z}{1 + \cfrac{z}{1 + \cfrac{z}{1 + \cfrac{z}{\ddots}}}}.\,$$

可以收斂問題$f(z)$收斂到一個有限值若且唯若$z$不是$z<- \frac{1}{4}$的負實數。換句話說，這個連分數的收斂區域是切開的複平面，這裡切割沿著負實軸從$-\frac{1}{4}$直到無窮遠點。

## 將切開的平面重新黏合

我們已經見到關係

$$w = f(z) = \pm\sqrt{z} = z^{\frac{1}{2}},\,$$

怎樣通過將$f$的定義域分割成兩個不連通的片變成一個單值函數。還可以將這兩片黏合在一起形成一個黎曼曲面，在它上面$f(z)=z^{\frac{1}{2}}$可以定義為一個全純函數，其像是整個 w-平面（除去點$w=0$）。具體做法如下：

考慮兩個切開的複平面副本，切割沿著正實軸從$z=0$到無窮遠點。在一片上定義$0\leq \arg z<2\pi$，所以由定義$1^{\frac{1}{2}}=e^0=1$。在第二片上定義$2\pi\leq \arg z<4\pi$，同樣由定義有$1^{\frac{1}{2}}=e^{i\pi}=-1$。現在將第二片翻轉，從而虛軸與第一片虛軸方向相反，實軸指向相同的方向，將兩片「黏合」起來（從而第一片標為「$\theta=0$」的邊與第二片標為「$\theta<4\pi$」的邊相連，而第二片標為「$\theta=2\pi$」的邊與第一片標為「$\theta<2\pi$」的邊相連）。得到一個黎曼曲面，$f(z)=z^{\frac{1}{2}}$在這個曲面上單值全純。

為了理解為什麼$f$在這個區域上是單值，想像沿著單位圓繞一圈，從第一片上的$z=1$ 開始。當$0\leq\theta<2\pi$是我們仍然在第一片上；當$\theta=2\pi$我們轉移到第二片，沿著分支點 $z=0$在第二片上再繞一圈回到我們的起點，由我們的黏合方式，這裡$\theta=4\pi$等價於$\theta=0$。換句話說，當變量$z$沿著分支點繞兩周，$z$在 w-片面的像只繞一周。

形式微分說明

$$f(z) = z^{\frac{1}{2}} \quad\Rightarrow\quad f^\prime (z) = {\textstyle \frac{1}{2}}z^{-\frac{1}{2}}\,$$

由此我們可說$f$的導數在黎曼曲面上除了$z=0$之外任何地方都存在且為有限（即$f$在$z=0$之外全純）。

上面討論過的函數

$$w = g(z) = \left(z^2 - 1\right)^{\frac{1}{2}},\,$$

黎曼曲面如何構造呢？我們同樣從兩個 z-平面副本開始，但這一次每個沿著實軸從$z=-1$到$z=1$切開——它們是 $g(z)$的兩個分支點。我們將其中一個翻轉，從而兩個虛軸指向相反，將這兩個切片的對應邊黏合。通過沿著以$z=1$為中心的單位圓繞一圈，我們可以驗證$g$在所得的曲面上是單值函數。從第一片上$z=2$開始，沿著圓周繞半圈遇到$z=0$的切割。切割強迫我們轉到第二片，從而當 $z$沿著分支點$z=-1$ 繞 一整圈，$w$恰好繞了半圈，$w$的符號反過來了（由於$e^{i\pi}=-1$），而我們的路逕到達這個曲面的第二片上的$z=2$。繼續半周我們遇到了另一個邊的切割，在$z=0$處，在繞分支點兩周之後最終到達我們的起點（第一片上的$z=2$）。

這個例子中標記$\theta=\arg z$的自然方式是在第一片上令$-\pi<\theta\leq\pi$，第二片為$\pi<\theta\leq 3\pi$。兩片的虛軸方向相反，從而一片上逆時針意義的正旋轉仍然是另一片上的閉迴路運動（記住第二片翻轉了）。想像這個曲面嵌入一個三維空間，兩片都平行於 xy-平面。則這個平面上出現一個鉛直洞，在此處兩個切割連接起來。如果當切割是從 $z=-1$沿負實軸到無窮，然後沿正實軸到$z=1$，又是如何呢？同樣可以構造一個黎曼曲面，但這一次「洞」是水平的。從拓撲上說，這兩個黎曼曲面是等價的，它們都是虧格為 1 的可定向二維曲面。

## 其它含義

本文中上面幾節將「複平面」處理為複數的幾何類比。儘管術語「複平面」這種用法具有長期與數學悠久的歷史，但並不意味著是惟一的稱之為「複平面」的數學概念。至少有三種其它可能。

- 1 + 1 維閔可夫斯基空間，也稱為分裂複平面，代數分裂複數可分解為兩個實數部分，容易將其關聯到笛卡兒平面里的點$(x,y)$。
- 實數上的二元數集合也能與笛卡兒平面中的點$(x,y)$一一對應，給出了另一個「複平面」。
- 向量空間 C×C，複數與自身的笛卡兒積，是一個其坐標為複數的二維向量空間，在這種意義下也是一個「複平面」。

## 參考文獻

- Francis J. Flanigan, Complex Variables: Harmonic and Analytic Functions, Dover, 1983 ISBN 0-486-61388-7.
- Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964.
- H. S. Wall, Analytic Theory of Continued Fractions, D. Van Nostrand Company, Inc., 1948; reprinted (1973) by Chelsea Publishing Company ISBN 0-8284-0207-8.
- E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927.