向量空間

向量空間是一群可縮放和相加的數學實體（如實數甚至是函數）所構成的特殊集合，其特殊之處在於縮放和相加後仍屬於這個集合。這些數學實體被稱為向量，而向量空間正是線性代數的主要研究對象。

## 正式定義

給定域 $\left(K,\,+,\,\times\right)$ 和某集合 $V$，它們具有了以下兩種運算（函數）：

- 向量加法 $\oplus:V \times V \to V$ （其中 $\oplus(u,\,v)$ 慣例上簡記為 $u \oplus v$）
- 標量乘法 $\cdot :K \times V \to V$ （其中 $\cdot\,(a,\,v)$ 慣例上簡記為 $a \cdot v$ 甚至是 $a v$）

且這兩種運算滿足：（特別注意 $+$ 和 $\times$ 是域 $K$ 是本身具有的加法和乘法）

名稱｜前提條件｜內容

向量加法｜的單位元與逆元素｜存在 $V$ 的元素 $e \in V$ 對所有 $u \in V$｜有 $e \oplus u = u \oplus e = u$

且存在 $w \in V$ 使得 $w \oplus u = u \oplus w = e$

結合律｜對所有 $u,\,v,\,w \in V$｜$u \oplus (v \oplus w) = (u \oplus v) \oplus w$

交換律｜對所有 $u,\,v \in V$｜$u \oplus v=v \oplus u$

標量乘法｜的單位元｜對所有 $u \in V$｜若 $1_K \in K$ 是 $K$ 的乘法單位元，則 $1_K \cdot u = u$

對向量加法的分配律｜對所有 $u,\,v \in V$ 和所有 $a \in K$｜$a \cdot (u \oplus v) = a \cdot u \oplus a \cdot v$

對域加法的分配律｜對所有 $u \in V$ 和所有 $a,\,b \in K$｜$(a + b)\cdot u = a \cdot u \oplus b \cdot u$

與域乘法｜$a \cdot (b \cdot u) = (a \times b) \cdot u$

這樣稱 「$V$ 為定義在域 $K$ 上的向量空間」，而 $V$ 裡的元素 $u \in V$ 被稱為向量；域 $K$ 裡的元素 $a \in K$ 被稱為標量。這樣域 $K$ 就是囊括所有標量的集合，所以為了解說方便，有時會將 $K$ 暱稱為標量域或是標量母空間。在不跟域的加法混淆的情況下，向量加法 $\oplus$ 也可以簡寫成 $+$。

前四個條件規定 $\left( V,\,\oplus \right)$ 是交換群。上述的完整定義也可以抽象地概述成「$\left(K,\,+,\,\times\right)$ 是個域，且 $V$ 是一個 $K-$模」。

## 基本性質

以下定理都沿用正式定義一節的符號與前提條件。

向量加法的單位元是唯一的。

以上的定理事實上繼承自群的單位元唯一性。這樣的話，可以仿造群的習慣以記號 $0_V$ 代表「向量加法 $\oplus$ 的唯一單位元」，並稱之為 $V$ 的零向量。

在不跟標量域的加法單位元 $0_K \in K$ 混淆的情況下，零向量 $0_V \in V$ 也可以簡寫成 $0$。

任意向量的向量加法逆元素是唯一的。

以上的定理事實上繼承自群的逆元唯一性，這樣的話，可以仿造群的習慣以 $u^{-1}$ 代表「向量 $u$ 在向量加法 $\oplus$ 下的唯一逆元素」，甚至可以把 $v \oplus u^{-1}$ 簡記為 $v \ominus u$，並暱稱為向量減法。在不跟標量的加法混淆的情況下， $u^{-1}$ 也可記為 $- u$； $v \ominus u$ 也可記為 $v - u$。

對所有的純量 $a \in K$ 都有 $a \cdot 0_V = 0_V$。（零向量的伸縮還是零向量）

證明考慮到標量乘法對向量加法的分配律和零向量的性質會有 : $a \cdot 0_V = a \cdot (0_V + 0_V) = a \cdot 0_V + a \cdot 0_V$ 那取向量 $u \in V$ 為 $a \cdot 0_V$ 的向量加法逆元素，配上向量加法的結合律和單位元的定義會有 $\begin{align} 0_V & = u + a \cdot 0_V\\ & = u + ( a \cdot 0_V + a \cdot 0_V)\\ & = (u + a \cdot 0_V )+ a \cdot 0_V\\ & = 0_V + a \cdot 0_V\\ & = a \cdot 0_V\\ \end{align}$ 故得証。$\Box$

對所有的向量 $u \in V$，若純量 $0_K \in K$ 是域加法的單位元，則 $0_K \cdot u = 0_V$。

證明考慮到域 $K$ 自身的定義，還有標量乘法對域加法的分配律的話有 : $0_K \cdot u = (0_K + 0_K)\cdot u = 0_K \cdot u + 0_K \cdot u$ 那取向量 $w \in V$ 為 $0_K \cdot u$ 的向量加法逆元素，配上向量加法的結合律和單位元的定義會有 : $0_V = w + 0_K \cdot u = w + (0_K \cdot u + 0_K \cdot u) = (w + 0_K \cdot u) + 0_K \cdot u = 0_V + 0_K \cdot u = 0_K \cdot u$ 故得証。$\Box$

對所有的向量 $u \in V$ 和標量 $a \in K$，如果 $a \cdot u = 0_V$，則 $u = 0_V$ 或 $a = 0_K$ ( 其中 $0_K \in K$ 是域加法的單位元)。

證明若 $K =\{0_K\}$，根據定理(3)本定理顯然成立。下面只考慮 $K \neq \{0_K\}$ 的狀況。假設存在向量 $u \in V$ 和標量 $a \in K$ 滿足 $u \neq 0_V$ 且 $a \neq 0_K$，但 $a \cdot u = 0_V$。若以 $1_K \in K$ 表示域的乘法單位元，那根據其性質與和定義關於標量乘法單位元的部分會有 $\begin{align} u & = 1_K \cdot u\\ & = (a \times \frac{1}{a}) \cdot u \end{align}$ 那再根據定義關於標量乘法與域乘法的部分，還有域乘法的交換律會有 $\begin{align} u & = (a \times \frac{1}{a}) \cdot u\\ & = (\frac{1}{a} \times a) \cdot u\\ & = \frac{1}{a} \cdot(a \cdot u) \end{align}$ 那再套用定理(3)和前提假設會有 $\begin{align} u & = \frac{1}{a} \cdot (a \cdot u)\\ & = \frac{1}{a} \cdot 0_V\\ & = 0_V \end{align}$ 這跟前提假設是矛盾的，所以根據反證法和德摩根定理，對所有向量 $u \in V$ 和所有標量 $a \in K$，只有可能「$u = 0_V$ 或 $a = 0_K$」或「$a \cdot u \neq 0_V$」，但這段敘述正好等價於定理想證明的，故得証。$\Box$

如果 $-a \in K$ 是 $a \in K$ 的域加法逆元素，那對所有的向量 $u \in V$，$a \cdot u$ 的向量加法逆元素必為 $-a \cdot u$。

證明以下設純量 $0_K \in K$ 是域加法的單位元。考慮到域 $K$ 自身的定義，還有標量乘法對域加法的分配律會有 : $0_K \cdot u =(-a + a) \cdot u = -a \cdot u + a\cdot u$ : $0_K \cdot u = [a + (-a)]\cdot u = a \cdot u + (-a)\cdot u$ 然後考慮到前面的定理(4)，就有 : $0_V =0_K \cdot u = -a \cdot u + a \cdot u$ : $0_V =0_K \cdot u = a \cdot u + (-a) \cdot u$ 然後考慮到定理(2)保證的逆元素唯一性，就可以知道向量 $a \cdot u$ 的加法逆元素必為 $-a \cdot u$。$\Box$

如果 ${-1}_K \in K$ 是域加法單位元 $1_K \in K$ 的域加法逆元素，那對所有的向量 $u \in V$，其向量加法逆元素必為 ${-1}_K \cdot u$。

## 額外結構

研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下：

- 一個實數或複數向量空間加上長度概念（就是範數）則成為賦範向量空間。
- 一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念則成為內積空間。
- 一個向量空間加上拓撲結構並滿足連續性要求（加法及標量乘法是連續映射）則成為拓撲向量空間。
- 一個向量空間加上雙線性算子（定義為向量乘法）則成為域代數。

## 例子

對一般域F，V記為F-向量空間。若F是實數域ℝ，則V稱為實數向量空間；若F是複數域ℂ，則V稱為複數向量空間；若F是有限域，則V稱為有限域向量空間。

最簡單的F-向量空間是F自身。只要定義向量加法為域中元素的加法，標量乘法為域中元素的乘法就可以了。例如當F是實數域ℝ時，可以驗證對任意實數a、b以及任意實數u、v、w，都有：

- u + (v + w) = (u + v) + w。
- v + w = w + v。
- 零元素存在：零元素0滿足：對任何的向量元素v，v + 0 = v。
- 逆元素存在：對任何的向量元素v，它的相反數w = −v就滿足v + w = 0。
- 標量乘法對向量加法滿足分配律：a(v + w) = a v + a w.
- 向量乘法對標量加法滿足分配律：(a + b)v = a v + b v.
- 標量乘法與標量的域乘法相容：a(bv) =(ab)v。
- 標量乘法有單位元：ℝ中的乘法單位元，也就是實數「1」滿足：對任意實數v，1v = v。

更為常見的例子是給定了直角坐標系的平面：平面上的每一點$P$都有一個坐標$P(x, y)$，並對應著一個向量$(x, y)$。所有普通意義上的平面向量組成了一個空間，記作ℝ²，因為每個向量都可以表示為兩個實數構成的有序數組$(x, y)$。可以驗證，對於普通意義上的向量加法和標量乘法，ℝ²滿足向量空間的所有公理。實際上，向量空間是ℝ²的推廣。

同樣地，高維的歐幾里得空間ℝn也是向量空間的例子。其中的向量表示為$v = (a_1, a_2, \cdots, a_n)$，其中的$a_1, a_2, \cdots, a_n$都是實數。定義向量的加法和標量乘法是：

$\forall \lambda \in \mathbb{R}, \, v = (a_1, a_2, \cdots, a_n) \in \mathbb{R}^n, \, w = (b_1, b_2, \cdots, b_n) \in \mathbb{R}^n$。

$v + w = (a_1, a_2, \cdots, a_n) + (b_1, b_2, \cdots, b_n) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \cdots, a_n + b_n)$ $\lambda v = \lambda (a_1, a_2, \cdots, a_n) = (\lambda a_1, \lambda a_2, \cdots, \lambda a_n)$ 可以驗證這也是一個向量空間。

再考慮所有係數為實數的多項式的集合$\mathbb{R}[X]$。對於通常意義上的多項式加法和標量乘法，$\mathbb{R}[X]$也構成一個向量空間。更廣泛地，所有從實數域射到實數域的連續函數的集合$\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})$也是向量空間，因為兩個連續函數的和或差以及連續函數的若干倍都還是連續函數。

### 方程組與向量空間

向量空間的另一種例子是齊次線性方程組（常數項都是0的線性方程組）的解的集合。例如下面的方程組：

$$3x + 2y - z = 0$$

$$x + 5y + 2z = 0$$

如果$(x_1, y_1, z_1)$和$(x_2, y_2, z_2)$都是解，那麼可以驗證它們的「和」$(x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)$也是一組解，因為：

$$3(x_1+x_2) + 2(y_1+y_2) - (z_1+z_2) = (3x_1 + 2y_1 - z_1) + (3x_2 + 2y_2 - z_2) = 0$$

$$(x_1+x_2) + 5(y_1+y_2) + 2(z_1+z_2) = (x_1 + 5y_1 + 2z_1) + (x_2 + 5y_2 + 2z_2) = 0$$

同樣，將一組解乘以一個常數後，仍然會是一組解。可以驗證這樣定義的「向量加法」和「標量乘法」滿足向量空間的公理，因此這個方程組的所有解組成了一個向量空間。

一般來說，當齊次線性方程組中未知數個數大於方程的個數時，方程組有無限多組解，並且這些解組成一個向量空間。

對於齊次線性微分方程，解的集合也構成向量空間。比如說下面的方程：

$$f'' + 4xf' + \cos(x)f = 0$$

出於和上面類似的理由，方程的兩個解$f_1$和$f_2$的和函數$f_1 + f_2$也滿足方程。可以驗證，這個方程的所有解構成一個向量空間。

## 子空間基底

如果一個向量空間V的一個非空子集合W對於V的加法及標量乘法都封閉（也就是說任意W中的元素相加或者和標量相乘之後仍然在W之中），那麼將W稱為V的線性子空間（簡稱子空間）。V的子空間中，最平凡的就是空間V自己，以及只包含0的子空間${0}$。

給出一個向量集合B，那麼包含它的最小子空間就稱為它的生成子空間，也稱線性包絡，記作span(B)。

給出一個向量集合B，若它的生成子空間就是向量空間V，則稱B為V的一個生成集。如果一個向量空間V擁有一個元素個數有限的生成集，那麼就稱V是一個有限維空間。

可以生成一個向量空間V的線性獨立子集，稱為這個空間的基。若V={0}，約定唯一的基是空集。對非零向量空間V，基是V「最小」的生成集。向量空間的基是對向量空間的一種刻畫。確定了向量空間的一組基B之後，空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。如果能夠把基中元素按下標排列：$\mathbf{B} = \left\{ e_1, e_2, \cdots, e_n, \cdots \right\}$，那麼空間中的每一個向量v便可以通過座標系統來呈現：

$$v = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \cdots + \lambda_n e_n + \cdots$$

這種表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是說，向量空間的基提供了一個坐標系。

可以證明，一個向量空間的所有基都擁有相同基數，稱為該空間的維度。當V是一個有限維空間時，任何一組基中的元素個數都是定值，等於空間的維度。例如，各種實數向量空間：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ∞,…中， ℝn的維度就是n。在一個有限維的向量空間（維度是n）中，確定一組基$\mathbf{B} = \left\{ e_1, e_2, \cdots, e_n \right\}$，那麼所有的向量都可以用n個標量來表示。比如說，如果某個向量v表示為：

$v = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \cdots + \lambda_n e_n$

那麼v可以用陣列$v = (\lambda_1 ,\lambda_2 , \cdots , \lambda_n )$來表示。這種表示方式稱為向量的坐標表示。按照這種表示方法，基中元素表示為：

$e_1 = (1, 0, \cdots ,0)$ $e_2 = (0, 1, \cdots ,0)$ $e_n = (0, 0, \cdots ,1)$ 可以證明，存在從任意一個n維的$\mathbf{F}$-向量空間到空間$\mathbf{F}^n$的雙射。這種關係稱為同構。

## 線性映射

給定兩個係數域都是F的向量空間V和W,定義由V到W的線性變換（或稱線性映射）為所有從V射到W並且它保持向量加法和標量乘法的運算的函數f：

$f : \, V \rightarrow W$ $\forall a \in F, u,v \in V, \, f(u+v) = f(u) + f(v), \, f(a \cdot v) = a \cdot f(v)$ 所有線性變換的集合記為$\mathcal{L}(V, W)$，這也是一個係數域為F的向量空間。在確定了V和W上各自的一組基之後，$\mathcal{L}(V, W)$中的線性變換可以通過矩陣來表示。

如果兩個向量空間V和W之間的一個線性映射是一一映射，那麼這個線性映射稱為（線性）同構，表示兩個空間構造相同的意思。如果在V和W之間存在同構，那麼稱這兩個空間為同構的。如果向量空間V和W之間存在同構$f : \, V \rightarrow W$，那麼其逆映射$g : \, W \rightarrow V$也存在，並且對所有的$x \in V, \, y \in W$，都有：

$g \circ f (x) = x, \, f \circ g (y) = y$

## 參考文獻

- 《中國大百科全書》
- Howard Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra, Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.
- Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. Linear Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.
- Seymour Lipschutz and Marc Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra, McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.
- Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, Historia Mathematica 22 (1995), no. 3, 262-303.
- Gilbert Strang. "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8