群作用

數學上，對稱群描述物體的所有對稱性。這是通過群作用的概念來形式化的：群的每個元素作為一個雙射（或者對稱作用）作用在某個集合上。在這個情況下，群稱為置換群（特別是在群有限或者不是線性空間時）或者變換群（特別是當這個集合是線性空間而群作為線性變換作用在集合上時）。一個群G的置換表示是群作為一個集合的置換群的群表示（通常該集合有限），並且可以表述為置換矩陣，一般在有限的情形作此考慮－這和作用在有序的線性空間基上是一樣的。

## 定義

令 $G$ 為一個群， $X$ 為一個集合， $G$ 在 $X$ 上的一個(左) 群作用 $\alpha$ 是一個二元函數

$$\alpha : G \times X \rightarrow X$$

該函數滿足如下兩條公理：

- 對所有 $g, h \in G$ 以及 $x \in X$，$\alpha(g h, x) = \alpha(g, \alpha(h, x))$。
- 對每個 $x \in X$，有 $\alpha(e, x) = x$ ( $e$ 為群 $G$ 的單位元)。

一般稱群 $G$ （在左邊）作用於集合 $X$ 上，或稱 $X$ 是一個 $G$-集合。

為簡化在群作用 $\alpha$ 上使用的符號，我們可以將其柯里化：令 $\alpha_g : X \rightarrow X$ 為由單個元素 $g$ 給出的映射 $x \mapsto \alpha(g, x)$，這樣可以通過考慮函數集 $\{\alpha_g \mid g \in G\}$ 來研究群作用。上述兩條公理可以寫作

- $$\alpha_e(x) = x$$
- $$\alpha_g(\alpha_h(x)) = (\alpha_g \circ \alpha_h)(x) = \alpha_{gh}(x)$$

其中 $\alpha_g \circ \alpha_h$ 表示兩函數的複合。所以第二條公理說明函數的複合可以與群運算互相對應，它們可以組成一個交換圖表。該公理甚至可以簡寫為 $\alpha_g \circ \alpha_h = \alpha_{gh}$。

$\alpha(g, x)$ 一般簡寫為 $g \cdot x$ 或 $gx$。

由上述兩條公理可知，對固定的元素 $g \in G$，從$X$映射到$X$ $x \mapsto g \cdot x$ 是一個雙射（單射和滿射的條件可以分別通過考慮 $g^{-1}$ 和 $e$ 給出）。因此，也可以將 $G$ 在 $X$ 上的群作用定義為從 $G$ 到對稱群上$S_{X}$ 的群同態。

### 右群作用

我們可以類似地定義一個 $G$ 在 $X$ 上的右群作用為函數$X \times G \rightarrow X$，滿足以下公理：

- $$x \cdot (g h) = (x \cdot g) \cdot h$$
- $$x \cdot e = x$$

注意左和右作用的區別僅在於像 $gh$ 這樣的積在 $x$ 上作用的次序。左群作用中， $h$ 先作用，然後才到 $g$，而對於右作用 $g$ 先作用，然後才到 $h$。右作用與群上的逆操作複合可以構造出一個左作用。如果 $r$ 為一右作用，則

$$l : G \times M \to M : (g, m) \mapsto r(m, g^{-1})$$

是一左作用，因為

$$l(gh, m) = r(m, (gh)^{-1}) = r(m, h^{-1}g^{-1}) = r(r(m, h^{-1}), g^{-1}) = r(l(h, m), g^{-1}) = l(g, l(h, m))\,$$

而

$$l(e, m) = r(m, e^{-1}) = r(m, e) = m\,$$

所以我們可以不失一般性地考慮左群作用。

## 群作用的種類

群G作用在集合X上的作用稱為:

遞移性(Transitive):如果X是一個非空集合，對於每對數對 x,y $\in$ X，則存在一個g$\in$G，使得$g \cdot x = y$，我們就稱此作用為遞移性。

忠實性(Faithful):如果群G嵌入(embbeding)到X的置換群中，我們就稱此作用為忠實的。換言之，就是群G到X的置換群之中為單射。

自由性(Free):如果給定 $g, h\in G$，存在$x \in X$，則有著$g {\cdot}x=h{\cdot}x {\;\;}{\Rightarrow}\;\;\; g=h$，則稱為此作用為自由性。

正則的(Regular):同時具有自由性以及遞移性的作用稱為正則的，又稱簡單遞移（simply transitive）。

n-遞移性(n-transitive):如果集合X 至少有 n 個元素, 對所有不同的元素x1, ..., xn 和所有不同的y1, ..., yn, 存在一個 g 在群G 使得 g⋅xk = yk 對所有 1 ≤ k ≤ n，我們就稱其為n-遞移性。

本原的(Primitive):如果遞移性作用滿足只有trivial區塊(block)，那我們稱此作用為本原的。可以證明n-遞移性皆為本原的。

## 軌道與穩定化子

### 軌道

令群 $G$ 作用在集合 $X$ 上，對 $X$ 中的元素 $x$， $x$ 在 $G$ 上的軌道是 $X$ 的子集，定義為

$$\{g \cdot x \mid g \in G\}$$

記作 $G \cdot x$ 或 $Gx$。

集合 $X$ 的兩個軌道要麼相等，要麼完全不相交，因此軌道是集合的一個劃分。如果兩個軌道 $G \cdot x$ 和 $G \cdot y$ 存在公共元素 $a$，那麼存在兩個 $G$ 中的元素 $m$ 和 $n$，使得 $a = m \cdot x \in G \cdot x$， $a = n \cdot y \in G \cdot y$。因而 $x = m^{-1} \cdot a = m^{-1}n \cdot y \in G \cdot y$，反之亦可推出 $y = n^{-1} \cdot a = n^{-1}m \cdot x \in G \cdot x$，所以兩個集合相等。

軌道的一個例子是陪集，假若 $H$ 是$G$ 的一個子集，且定義 $G$ 中元素的慣常運算規則為 $H$ 在$G$ 上的一個作用，那麼 $H$ 的陪集 $aH$ ($a \in G$)就是 $a$ 的軌道。

### 不變子集

令 $S$ 為 $X$ 的一個子集，群 $G$ 作用在 $X$ 上，對於群 $G$ 中的所有元素 $g$，以及所有 $S$ 中的元素 $s$，有 $g \cdot s \in S$，則我們會說 $S$ 在 $G$ 的作用下是封閉的。

若$x$是$\mathrm{X}$的一個元素，對於群$\mathrm{G}$中的所有元素$g$而言，都有$g \cdot x = x$，那麼就稱$x$是$\mathrm{G}$-不變的（$\mathrm{G}$-invariant）。

### 不動點與穩定子群

令 $g \in G$ 和 $x \in X$，如果 $g \cdot x = x$，則 $x$ 是關於 $g$ 的一個不動點。

對 $X$ 的元素 $x$，所有令 $g \cdot x = x$ 的 $G$ 中的元素 $g$ 構成的集合稱為 $G$ 關於 $x$ 的穩定子群，記作 $G_x$ 或 $Stab_G(x)$。

$G_x = \{g \in G \mid g \cdot x = x\}$。

$G_x$是$\mathrm{G}$的一個子群，因為根據定義$e \cdot x = x \in G_x$，因此 $G$ 的單位元 $e$ 在 $G_x$ 中。如果 $m \in G_x$，那麼$m$的逆元$m^{-1}$也是$\mathrm{Gx}$的元素，因為$x = e \cdot x = m^{-1}m \cdot x = m^{-1} \cdot x$。

### 軌道－穩定點定理

軌道與穩定子群緊密相關。令群 $G$ 作用在 $X$ 上，令 $X$ 中的 $x$，考慮映射 $f : G \rightarrow X$， $g \mapsto g \cdot x$。該映射的值域等於軌道 $G \cdot x$。$G$ 中的兩元素 $g$ 和 $h$ 的像 $f(g)$ 和 $f(h)$ 相同的條件是

$f(g) = f(h) \iff g \cdot x = h \cdot x \iff g^{-1} h \cdot x = x \iff g^{-1} h \in G_x \iff h \in g G_x$。

換言之， $f(g) = f(h)$ 當且僅當 $g$ 和 $h$ 在穩定子群 $G_x$ 的同一個陪集中。所以所有在軌道 $G \cdot x$ 中的元素 $y$ 的原像都包含於某個陪集中，每個陪集的像亦為 $X$ 的一個單元素集合。因此 $f$ 事實上是 $G_x$ 的所有陪集與 $X$ 的元素的一一對應， $f: G / G_x \rightarrow X$ 是一個雙射函數。

這個結論稱為軌道-穩定點定理，有

$$|G\cdot x|=[G:G_x]$$

### 伯恩賽德引理

而一個跟軌道-穩定點定理相似的結果就是伯恩賽德引理

$$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} |X^g|$$

其中 $X^g$ 是 $X$ 關於 $g$ 的穩定子群。$G$ 和 $X$ 都有限時該引理尤其重要，可以被詮釋為「群作用的軌道數等於平均每個群元素的不動點的個數」。

## 範例

- 任意群G在任意集合X上的平凡的群作用定義為 g⋅x = x 對任意g屬於G以及任意x屬於X；換句話說，每個群元素對應 X上的恆等置換。