微分

函數的微分（differential）是指對函數的局部變化的一種線性描述。微分可以近似地描述當函數自變量的取值作足夠小的改變時，函數的值是怎樣改變的。

微分在數學中的定義：由$y$是$x$的函數($y=f(x)$)。從簡單的平面直角坐標系來看，自變量$x$的變化量趨近於0時($\frac\mathrm d{\mathrm dx}$)，因變量$y$的變化量也趨近於0，但$x$和$y$的變化量都趨近於0。當$x$有極小的變化量時，這稱為$x$的微分。

當某些函數$\textstyle f$的自變量$\textstyle x$有一個微小的改變$\textstyle h$時，函數的變化可以分解為兩個部分。

一個部分是線性部分：在一維情況下，它正比於自變量的變化量$\textstyle h$，可以表示成$\textstyle h$和一個與$\textstyle h$無關，只與函數$\textstyle f$及$\textstyle x$有關的量的乘積；在更廣泛的情況下，它是一個線性映射作用在$\textstyle h$上的值。

另一部分是比$\textstyle h$更高階的無窮小，也就是說除以$\textstyle h$後仍然會趨於零。當改變量$\textstyle h$很小時，第二部分可以忽略不計，函數的變化量約等於第一部分，也就是函數在$\textstyle x$處的微分，記作$\displaystyle f'(x)h$或$\displaystyle \textrm{d}f_x(h)$。如果一個函數在某處具有以上的性質，就稱此函數在該點可微。

不是所有的函數的變化量都可以分為以上提到的兩個部分。若函數在某一點無法做到可微，便稱函數在該點不可微。

在古典的微積分學中，微分被定義為變化量的線性部分，在現代的定義中，微分被定義為將自變量的改變量$\textstyle h$映射到變化量的線性部分的線性映射$\displaystyle \textrm{d}f_x$。這個映射也被稱為切映射。給定的函數在一點的微分如果存在，就一定是唯一的。

## 一元微分

### 定義

設函數$y = f(x)$在某區間$\mathcal{I}$內有定義。對於$\mathcal{I}$內一點$x_{0}$，當$x_{0}$變動到附近的$x_{0}+\Delta x$（也在此區間內）時，如果函數的增量$\Delta y = f(x_{0}+ \Delta x) - f(x_{0})$可表示為$\Delta y = A \Delta x + o( \Delta x)$（其中$A$是不依賴於$\Delta x$的常數），而$o( \Delta x)$是比$\Delta x$高階的無窮小，那麼稱函數$f(x)$在點$x_{0}$是可微的，且$A \Delta x$稱作函數在點$x_{0}$相應於自變量增量$\Delta x$的微分，記作$\textrm{d}y$，即$\textrm{d}y = A \Delta x$，$\textrm{d}y$是$\Delta y$的線性主部。

通常把自變量$x$的增量$\Delta x$稱為自變量的微分，記作$\textrm{d}x$，即$\textrm{d}x = \Delta x$。

### 和導數的關係

微分和導數是兩個不同的概念。但是，對一元函數來說，可微與可導是完全等價的概念。可微的函數，其微分等於導數乘以自變量的微分$\textrm{d}x$，換句話說，函數的微分與自變量的微分之商等於該函數的導數。因此，導數也叫做微商。於是函數$y = f(x)$的微分又可記作$\textrm{d}y = f'(x)\textrm{d}x$。

### 幾何意義

設$\Delta x$是曲線$y = f(x)$上的點$P$在橫坐標上的增量，$\Delta y$是曲線在點$P$對應$\Delta x$在縱坐標上的增量，$\textrm{d}y$是曲線在點$P$的切線對應$\Delta x$在縱坐標上的增量。當$\left| \Delta x \right|$很小時，$\left| \Delta y - \textrm{d}y \right|$比$\left| \Delta x \right|$要小得多(高階無窮小)，因此在點$P$附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。

### 例子

設有函數$f : x \mapsto x^2$，考慮它從某一點$x$變到$x + \textrm{d}x$。這時，函數的改變量$f(x +\textrm{d} x) - f(x)$等於：

$$f(x+\textrm{d} x) - f(x)= (x + \textrm{d} x)^2 - x^2$$

$$= 2x \cdot \textrm{d}x + (\textrm{d}x)^2 = A\textrm{d}x + o(\textrm{d}x)$$

其中的線性主部：$Adx = 2xdx$，高階無窮小是$o(\textrm{d}x)= (\textrm{d}x)^2$。

因此函數$\textstyle f$在點$\textstyle x$處的微分是$\textrm{d}y = 2x\textrm{d}x$。函數的微分與自變量的微分之商$\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x} = 2x = f^{\prime}(x)$，等於函數的導數。

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}(ax^n)}{\mathrm{d}x}$，尤其$y=ax^n$

$$=nax^{(n-1)}$$

以下有一例子：

當方程式為$y=2x^2$時，就會有以下的微分過程。

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$$

$$=\frac{\mathrm{d}2x^2}{\mathrm{d}x}$$

$$=2 \cdot 2x^{(2-1)}$$

$$=4x$$

### 微分法則

和求導一樣，微分有類似的法則。例如，如果設函數$u$、$v$可微，那麼：

- $$\mathrm{d}(au + bv) =\mathrm{d}au+\mathrm{d}bv= a\mathrm{d}u + b\mathrm{d}v$$
- $$d(uv) = udv + vdu$$
- $$d\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{vdu - udv}{v^2}$$
- 若函數$y(u)$可導，那麼$d[y(u)] = y'(u)du$

## 多元函數微分

當自變量是多元變量時，導數的概念已經不適用了（儘管可以定義對某個分量的偏導數，但偏導數只對單一自變量微分），但仍然有微分的概念。

### 定義

設$f$是從歐幾里得空間Rn（或者任意一個內積空間）中的一個開集$\Omega$射到Rm的一個函數。對於$\Omega$中的一點$x$及其在$\Omega$中的鄰域$\Lambda$中的點$x+h$。如果存在線性映射$A$使得對任意這樣的$x+h$,

$$\lim_{h \to 0} \left( \frac{|f (x+h) - f(x) - A(h)|}{|h|} \right) = 0$$

那麼稱函數$f$在點$x$處可微。線性映射$A$叫做$f$在點$x$處的微分，記作$\textrm{d}f_x$。

如果$f$在點$x$處可微，那麼它在該點處一定連續，而且在該點的微分只有一個。為了和偏導數區別，多元函數的微分也叫做全微分或全導數。

當函數在某個區域的每一點$x$都有微分$\textrm{d}f_x$時，可以考慮將$x$映射到$\textrm{d}f_x$的函數：

$$\textrm{d}f : x \mapsto \textrm{d}f_x$$

這個函數一般稱為微分函數。

### 性質

- 如果$f$是線性映射，那麼它在任意一點的微分都等於自身。
- 在Rn（或定義了一組標準基的內積空間）裡，函數的全微分和偏導數間的關係可以通過雅可比矩陣刻畫：

設$f$是從Rn射到Rm的函數，$f = (f_1, f_2, \cdots , f_m)$，那麼：

$\textrm{d}f_x = J_f(x) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}$。

具體來說，對於一個改變量：$h = (h_1, h_2, \ldots , h_n) = \sum_{i=1}^n h_i e_i$，微分值：

$$\textrm{d}f_x(h) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix} \begin{pmatrix} h_1 \\ \vdots \\h_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^m \left(\sum_{j=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_j} h_j\right) e_i$$

- 可微的必要條件：如果函數$f$在一點$x_0$處可微，那麼雅克比矩陣的每一個元素$\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)$都存在，但反之不真。
- 可微的充分條件：如果函數$f$在一點$x_0$的雅克比矩陣的每一個元素$\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)$都在$x_0$連續，那麼函數在這點處可微，但反之不真。

### 例子

函數$f : (x, y) \mapsto \left(x^2 + y^2, (1 - x^2 - y^2)x -y, x - (1 - x^2 - y^2)y \right)$是一個從$\mathbb{R}^2$射到$\mathbb{R}^3$的函數。它在某一點$(x, y)$的雅可比矩陣為：

$$J_f(x,y) = \begin{bmatrix} 2x & 2y \\ 1 - 3x^2 - y^2 & -2xy - 1 \\ 1 + 2xy & -1 + x^2 + 3y^2 \end{bmatrix}$$

微分為：$\textrm{d}f_{(x, y)} : h \mapsto J_f(x,y)(h)$，也就是：

$$\textrm{d}f_{(x, y)} : h = \begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \end{pmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 2x & 2y \\ 1 - 3x^2 - y^2 & -2xy - 1 \\ 1 + 2xy & -1 + x^2 + 3y^2 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2xh_1 + 2yh_2 \\ (1 - 3x^2 - y^2)h_1 -(2xy +1)h_2 \\ (1 + 2xy)h_1 -(1 - x^2 - 3y^2)h_2 \end{pmatrix}$$

## 微分與微分形式

如果說微分是導數的一種推廣，那麼微分形式則是對於微分函數的再推廣。微分函數對每個點$x$給出一個近似描述函數性質的線性映射$\textrm{d}f_x$，而微分形式對區域$\mathbf{D}$內的每一點給出一個從該點的切空間映射到值域的斜對稱形式：$\omega(x):\mathbf{TD}_x \longrightarrow \mathbb{R}$。在坐標記法下，可以寫成：

$$\omega(x) = \sum_{1 \le i_1 \le \cdots \le i_k \le n} a_{i_1 \cdots i_k}(x) \textrm{d}x^{i_1}\wedge \cdots \wedge \textrm{d}x^{i_k}$$

其中的$\textrm{d}x^{i}$是$i$-射影算子，也就是說將一個向量$v$射到它的第$i$個分量$v^{i}$的映射。而$\textrm{d}x^{i_1}\wedge \cdots \wedge \textrm{d}x^{i_k}$是滿足：

$$\textrm{d}x^{i_1}\wedge \cdots \wedge \textrm{d}x^{i_k}(v_{1}, \cdots v_{k}) = \begin{vmatrix} v_{1}^{i_1} & \cdots & v_{1}^{i_k} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ v_{k}^{i_1} & \cdots & v_{k}^{i_k} \end{vmatrix}$$

k-形式。

特別地，當$f$是一個從Rn射到R 的函數時，可以將$\textrm{d}f_x$寫作：

$$\textrm{d}f_x = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(x) \textrm{d}x^{i}$$

正是上面公式的一個特例。