舒爾正交關係

舒爾正交關係（Schur orthogonality relations）描述了有限群表示中的核心事實。它可以推廣到一般的緊群，特別是緊李群，比如旋轉群 SO(3)。此關係可藉由舒爾引理證明。

## 有限群

令 $\Gamma^{(\lambda)} (R)_{mn}$ 是一個 |G| 階（即 G 有 |G| 個元素）有限群 $G=\{R\}$ 的一個不可約矩陣表示 $\Gamma^{(\lambda)}$ 的矩陣元素。因為可以證明任何有限群的不可約矩陣表示等價於一個酉表示，我們假設 $\Gamma^{(\lambda)}$ 是酉的：

$$<pre> \sum_{n=1}^{l_\lambda} \; \Gamma^{(\lambda)} (R)_{nm}^*\;\Gamma^{(\lambda)} (R)_{nk} = \delta_{mk} \quad \hbox{for all}\quad R \in G, </pre>$$

這裡 $l_\lambda$ 是表示 $\Gamma^{(\lambda)}$ 的（有限）維數

$l_\lambda$。

正交關係，只對不可約表示的矩陣元素成立，是

$$<pre> \sum_{R\in G}^{|G|} \; \Gamma^{(\lambda)} (R)_{nm}^*\;\Gamma^{(\mu)} (R)_{n'm'} = </pre> \delta_{\lambda\mu} \delta_{nn'}\delta_{mm'} \frac{|G|}{l_\lambda}.$$

這裡 $\Gamma^{(\lambda)} (R)_{nm}^*$ 是 $\Gamma^{(\lambda)} (R)_{nm}\,$ 的複共軛，求和遍及 G 的所有元素。如果兩個矩陣是在同一個不可約表示 $\Gamma^{(\lambda)}= \Gamma^{(\mu)}$，則克羅內克函數 $\delta_{\lambda\mu}$ 是單位；如果 $\Gamma^{(\lambda)}$ 與 $\Gamma^{(\mu)}$ 不等價則$\delta_{\lambda\mu}$為零。其他兩個克羅內克函數則要求行與列的指標必須相等（$n=n'$ 和 $m=m'$）才能得到一個非零的結果。這個定義也叫做廣義正交定理。

每個群有一個單位表示（所有群元素映為實數 1），這顯然是一個不可約表示。舒爾正交關係馬上給出

$$<pre> \sum_{R\in G}^{|G|} \; \Gamma^{(\mu)} (R)_{nm} = 0 </pre>$$

對 $n,m=1,\ldots,l_\mu$，此式對任何不等於單位表示的不可約表示 $\Gamma^{(\mu)}\,$成立。

### 例子

三個對象的 3! 個置換組成一個 6 階群，通常記作 $S_3$（對稱群）。這個群同構於點群 $C_{3v}$，由三重旋轉軸以及三個鉛直鏡面平面組成。這個群有一個二維不可約表示（l = 2）。在 $S_3$ 情形，通常將這個不可約表示利用楊氏表（楊氏矩陣）記作 $\lambda = [2,1]$ 而在 $C_{3v}$ 情形通常寫成 $\lambda = E$。在兩種情形不可約表示都由如下六個實矩陣組成，每個代表一個群元素

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 \\0 & -1 \\ \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2} \\ \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2} \\ \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2} \\ \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2} \\ \end{pmatrix}$$

元素 (1,1) 的正規化為：

$$\sum_{R\in G}^{6} \; \Gamma(R)_{11}^*\;\Gamma(R)_{11} = 1^2+1^2+\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2+\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2 +\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2 +\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2 = 3 .$$

同樣可以證明其它矩陣元素 (2,2)、(1,2) 與 (2,1) 的正規化。元素 (1,1) 與 (2,2) 的正交性：

$$\sum_{R\in G}^{6} \; \Gamma(R)_{11}^*\;\Gamma(R)_{22} = 1^2+(1)(-1)+\left(-\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right) +\left(-\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right) <pre> +\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2 +\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2 </pre> = 0 .$$

類似的關係對元素 (1,1) 與 (1,2) 的正交性成立，如是等等。容易驗證此例中所有對應矩陣元素之和為零，因為給定表示與恆等表示的正交性。

### 直接推論

矩陣的跡是對角矩陣元素之和。

$\operatorname{Tr}\big(\Gamma(R)\big) = \sum_{m=1}^{l} \Gamma(R)_{mm}$.

所有跡的集合 $\chi \equiv \{\operatorname{Tr}\big(\Gamma(R)\big)\;|\; R \in G\}$ 是一個表示的特徵標。通常將一個不可約表示中矩陣的跡寫成 $\chi^{(\lambda)}$

$\chi^{(\lambda)} (R)\equiv \operatorname{Tr}\left(\Gamma^{(\lambda)}(R)\right)$.

利用這種記號我們可寫出多個特徵標公式：

$$\sum_{R\in G}^{|G|} \chi^{(\lambda)}(R)^* \, \chi^{(\mu)}(R)= \delta_{\lambda\mu} |G|,$$

這可以用來檢驗一個表示是否是可約的（這些公式說明在任意特徵標表中一行是正交向量）。以及

$$\sum_{R\in G}^{|G|} \chi^{(\lambda)}(R)^* \, \chi(R) = n^{(\lambda)} |G|,$$

這幫助我們確認不可約表示 $\Gamma^{(\lambda)}$ 在具有特徵標 $\chi(R)$ 的可約表示 $\Gamma \,$ 中包含的次數。

例如，如果

$$n^{(\lambda)}\, |G| = 96$$

這個群的階是

$$|G| = 24\,$$

則 $\Gamma^{(\lambda)}\,$ 在給定「可約」表示 $\Gamma \,$ 中包含的次數是

$$n^{(\lambda)} = 4\, .$$

關於群特徵表參見特徵標理論。

## 緊群

有限群的正交關係推廣為緊群（包含緊李群，比如 SO(3)）本質上是簡單的：只要將在群上的求和換成在群上的積分。

每個緊群 $G$ 有惟一一個雙不變哈爾測度，使得群的體積是 1。將這個測度記成 $dg$。設 $( \pi^\alpha )$ 是 $G$ 的不可約表示的一個完備集合，設 $\phi^\alpha_{v,w}(g)=<v,\pi^\alpha(g)w>$ 是表示 $\pi^\alpha$ 的矩陣係數。正交關係可以敘述為兩部分1) 如果 $\pi^\alpha \ncong \pi^\beta$ 則：

$$\int_G \phi^\alpha_{v,w}(g)\phi^\beta_{v',w'}(g)dg=0$$

2)如果 $\{e_i\}$ 是表示空間 $\pi^\alpha$ 的一個正交規範基，則：

$$d^\alpha\int_G \phi^\alpha_{e_i,e_j}(g)\phi^\alpha_{e_m,e_n}(g)dg=\delta_{i,m}\delta_{j,n}$$

這裡 $d^\alpha$ 是 $\pi^\alpha$ 的維數。這些正交關係以及所有表示的維數有限是彼得-外爾定理的推論。

### 例 $SO(3)$

一個三參數群的例子是矩陣群 SO(3)，有所有 3×3 正交矩陣組成。這個群的一個可能的參數化是利用歐拉角： $\mathbf{x} = (\alpha, \beta, \gamma)$。界限是 $0 \le\alpha, \gamma \le 2\pi$ 以及 $0 \le \beta \le\pi$。

體積元素 $\omega(\mathbf{x})\, dx_1 dx_2\cdots dx_r$ 的計算不僅取決於參數的選取，也取決於最終結果，即加權函數（測度） $\omega(\mathbf{x})$ 的解析形式。

例如，SO(3) 的歐拉角參數化給出權重 $\omega(\alpha,\beta,\gamma) = \sin\! \beta \,,$，而 n, ψ 參數化給出權重t $\omega(\psi,\theta,\phi) = 2(1-\cos\psi)\sin\!\theta\,$，其中 $0\le \psi \le \pi, \;\; 0 \le\phi\le 2\pi,\;\; 0 \le \theta \le \pi$。

可以證明一個緊李群的不可約表示是有限維的並可選成酉的：

$$<pre> \Gamma^{(\lambda)}(R^{-1}) =\Gamma^{(\lambda)}(R)^{-1}=\Gamma^{(\lambda)}(R)^\dagger\quad \hbox{with}\quad \Gamma^{(\lambda)}(R)^\dagger_{mn} \equiv \Gamma^{(\lambda)}(R)^*_{nm}. </pre>$$

簡記成

$$<pre> \Gamma^{(\lambda)}(\mathbf{x})= \Gamma^{(\lambda)}\Big(R(\mathbf{x})\Big) </pre>$$

正交關係具有形式

$$<pre> \int_{x_1^0}^{x_1^1} \cdots \int_{x_r^0}^{x_r^1}\; \Gamma^{(\lambda)}(\mathbf{x})^*_{nm} \Gamma^{(\mu)}(\mathbf{x})_{n'm'}\; \omega(\mathbf{x}) dx_1\cdots dx_r \; = \delta_{\lambda \mu} \delta_{n n'} \delta_{m m'} \frac{|G|}{l_\lambda}, </pre>$$

群的體積是

$$<pre> |G| = \int_{x_1^0}^{x_1^1} \cdots \int_{x_r^0}^{x_r^1} \omega(\mathbf{x}) dx_1\cdots dx_r . </pre>$$

我們注意到 SO(3) 的不可約表示是維格納D-矩陣（Wigner D-matrix）$D^\ell(\alpha \beta \gamma)$，它們的維數是 $2\ell+1$。故

$$<pre> |SO(3)| = \int_{0}^{2\pi} d\alpha \int_{0}^{\pi} \sin\!\beta\, d\beta \int_{0}^{2\pi} d\gamma = 8\pi^2, </pre>$$

它們滿足

$$<pre> \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} D^{\ell}(\alpha \beta\gamma)^*_{nm} \; D^{\ell'}(\alpha \beta\gamma)_{n'm'}\; \sin\!\beta\, d\alpha\, d\beta\, d\gamma = \delta_{\ell\ell'}\delta_{nn'}\delta_{mm'} \frac{8\pi^2}{2\ell+1}. </pre>$$

## 參考文獻

任何以物理或化學為目的的群表示論書籍中都會提到正交關係。下面更高等的書籍給出了證明：

- M. Hamermesh, Group Theory and its Applications to Physical Problems, Addison-Wesley, Reading (1962). (Reprinted by Dover).
- W. Miller, Jr., Symmetry Groups and their Applications, Academic Press, New York (1972).
- J. F. Cornwell, Group Theory in Physics, (Three volumes), Volume 1, Academic Press, New York (1997).