白雜訊

白噪音 (2022年電影)

白雜訊，或稱白噪音，是一種功率譜密度為常數的隨機信號或隨機過程。即此信號在各個頻段上的功率一致。由於白光是由各種頻率（顏色）的單色光混合而成，因而此信號的平坦功率譜性質稱為「白色」，此信號也因此得名為白噪聲。相對的，其他不具有這一性質的噪聲信號則稱為有色噪聲。

理想的白噪聲具有無限頻寬，因而其能量是無限大，這在現實世界是不可能存在的。實際上，人常常將有限頻寬的平整訊號視為白噪聲，以方便進行數學分析。

常見的白噪聲例子包括電風扇的聲音、電視機無信號的沙沙聲、吹風機的聲音、海浪聲和下雨聲等。

## 統計特性

術語白噪聲也常用於表示在相關空間的自相關為0的空域噪聲信號，於是信號在空間頻率域內就是「白色」的，對於角頻率域內的信號也是這樣，例如夜空中向各個角度發散的信號。右面的圖片顯示了電腦產生的一個有限長度的離散時間白噪聲過程。

需要指出，相關性和機率分布是兩個不相關的概念。「白色」僅意味著信號是不相關的，白噪聲的定義除了要求均值為零外並沒有對信號應當服從哪種機率分布作出任何假設。因此，如果某白噪聲過程服從高斯分布，則它是「高斯白噪聲」。類似的，還有泊松白噪聲、柯西白噪聲等。人們經常將高斯白噪聲與白噪聲相混同，這是不正確的認識。根據中心極限定理，高斯白噪聲是許多現實世界過程的一個很好的近似，並且能夠生成數學上可以跟蹤的模型，這些模型用得如此頻繁以至於加性高斯白噪聲成了一個標準的縮寫詞：AWGN。此外，高斯白噪聲有著非常有用的統計學特性，因為高斯變量的獨立性與不相關性等價。

白噪聲是維納過程或者布朗運動的廣義均方導數（generalized mean-square derivative）。

白噪聲的數學期望為0：

$$\mu_n = \mathbb{E} \{ n(t) \} = 0$$

其自相關函數為狄拉克δ函數：

$$r_{nn} = \mathbb{E} \{ n(t) n(t-\tau) \} = \delta ( \tau )$$

上式正是對白噪聲的「白色」性質在時域的描述。由於隨機過程的功率譜密度是其自相關函數的傅立葉變換，而δ函數的傅立葉變換為常數，因此白噪聲的功率譜密度是平坦的。

## 噪聲的顏色

也有其它「顏色」的噪聲存在，最常用的有粉紅、棕色和藍色噪聲。

## 應用

白噪聲的應用領域之一是建築聲學，為了減弱內部空間中分散人注意力並且不希望出現的噪聲（如人的交談），使用持續的低強度噪聲作為背景聲音。一些緊急車輛的警報器也使用白噪聲，因為白噪聲能夠穿過如城市中交通噪聲這樣的背景噪聲並且不會引起反射，所以更加容易引起人們的注意。

在電子音樂中也有白噪聲的應用，它被直接或者作為濾波器的輸入信號以產生其它類型的噪聲信號，尤其是在音訊合成中，經常用來重現類似於鐃鈸這樣在頻域有很高噪聲成分的打擊樂器。

白噪聲也用來產生脈衝響應。為了在一個演出地點保證音樂會或者其它演出的均衡效果，從PA系統發出一個瞬間的白噪聲或者粉紅噪聲，並且在不同的地方監測噪聲信號，這樣工程師就能夠建築物的聲學效應能夠自動地放大或者削減某些頻率，從而就可以調整總體的均衡效果以得到一個平衡的和聲，且根據網路調查，許多民眾提到人聲、雨聲等白噪音可以協助專心、入睡、放鬆心情

白噪聲可以用於放大器或者電子濾波器的頻率響應測試，有時它與響應平坦的話筒或和自動均衡器一起使用。這個設計的思路是系統會產生白噪聲，話筒接收到揚聲器產生的白噪聲，然後在每個頻率段進行自動均衡從而得到一個平坦的響應。這種系統用在專業級的設備、高端的家庭立體聲系統或者一些高端的汽車收音機上。

白噪聲也作為一些隨機數字生成器的基礎使用。

白噪聲也可以用於審訊前使人迷惑，並且可能用於感覺剝奪技術的一部分。上市銷售的白噪聲機器產品有私密性增強器、睡眠輔助器以及掩飾耳鳴。

## 數學定義

### 白色隨機向量

一個隨機向量 $\mathbf{w}$ 為一個白色隨機向量若且唯若它的平均值函數與自相關函數滿足以下條件：

$$\mu_w = \mathbb{E}\{ \mathbf{w} \} = 0$$

$$R_{ww} = \mathbb{E}\{ \mathbf{w} \mathbf{w}^T\} = \sigma^2 \mathbf{I}$$

意即它是一個平均值為零的隨機向量，並且它的自相關函數是單位矩陣的倍數。

### 白色隨機過程(白雜訊)

一個時間連續隨機過程$w(t)$，其中 $t \in \mathbb{R}$，為一個白雜訊若且唯若它的平均值函數與自相關函數滿足以下條件：

$$\mu_w(t) = \mathbb{E}\{ w(t)\} = 0$$

$$R_{ww}(t_1, t_2) = \mathbb{E}\{ w(t_1) w(t_2)\} = (N_{0}/2) \delta(t_1 - t_2)$$

意即它是一個對所有時間其平均值為零的隨機過程，並且它的自相關函數是狄拉克δ函數，有無限大的功率。

由上述自相關函數可推出以下的功率譜密度。

$$S_{xx}(\omega) = (N_{0}/2) \,\!$$

由於δ函數的傅立葉變換為1。而對於所有頻率來說，此功率譜密度是一樣的。因此這是對白雜訊之「白色」性質在頻域的表述。

## 隨機向量變換

白色隨機向量的兩個理論應用是模擬以及白化另外一個任意隨機向量。為了模擬一個任意隨機向量，我們使用一個仔細選擇的矩陣對白色隨機向量進行變換。我們選擇的變換矩陣能夠是被變換的白色隨機向量的平均值和協方差矩陣與模擬的任意向量的平均值和協方差矩陣相匹配。為了白化一個任意的隨機向量，我們使用仔細選擇的矩陣對它進行變換，這樣得到的隨機向量就是一個白色隨機向量。

這兩個思想在通信和音頻領域中通道估計和通道均衡這樣的應用中是很關鍵的。這些思想在數據壓縮中也有應用。

### 模擬隨機向量

假設隨機向量 $\mathbf{x}$ 有協方差矩陣 $K_{xx}$，由於這個矩陣是 共軛對稱和半正定，根據線性代數中的譜定理，我們可以用以下方法對角線或者分解矩陣。

$$\,\! K_{xx} = E \Lambda E^T$$

其中 $E$ 是特徵向量的正交矩陣，$\Lambda$ 是特徵值的對角矩陣。

通過對白色向量 $\mathbf{w}$ 進行下面變換我們可以模擬這個平均為$\mathbf{\mu}$、協方差矩陣為$K_{xx}$的隨機向量 $\mathbf{x}$ 的一階和二階矩量屬性：

$$\mathbf{x} = H \, \mathbf{w} + \mu$$

其中

$$\,\!H = E \Lambda^{1/2}$$

這樣，這個變換輸出的期望是

$$\mathbb{E} \{\mathbf{x}\} = H \, \mathbb{E} \{\mathbf{w}\} + \mu = \mu$$

協方差矩陣是

$$\mathbb{E} \{(\mathbf{x} - \mu) (\mathbf{x} - \mu)^T\} = H \, \mathbb{E} \{\mathbf{w} \mathbf{w}^T\} \, H^T = H \, H^T = E \Lambda^{1/2} \Lambda^{1/2} E^T = K_{xx}$$

### 白化隨機向量

白化一個平均值為 $\mathbf{\mu}$、協方差矩陣為 $K_{xx}$ 的向量 $\mathbf{x}$ 的方法是執行下面的計算：

$$\mathbf{w} = \Lambda^{-1/2}\, E^T \, ( \mathbf{x} - \mathbf{\mu} )$$

這樣，這個變換輸出的期望是

$$\mathbb{E} \{\mathbf{w}\} = \Lambda^{-1/2}\, E^T \, ( \mathbb{E} \{\mathbf{x} \} - \mathbf{\mu} ) = \Lambda^{-1/2}\, E^T \, (\mu - \mu) = 0$$

協方差矩陣

$$\mathbb{E} \{\mathbf{w} \mathbf{w}^T\} = \mathbb{E} \{ \Lambda^{-1/2}\, E^T \, ( \mathbf{x} - \mathbf{\mu} )( \mathbf{x} - \mathbf{\mu} )^T E \, \Lambda^{-1/2}\, \}$$

$$= \Lambda^{-1/2}\, E^T \, \mathbb{E} \{( \mathbf{x} - \mathbf{\mu} )( \mathbf{x} - \mathbf{\mu} )^T\} E \, \Lambda^{-1/2}\,$$

$$= \Lambda^{-1/2}\, E^T \, K_{xx} E \, \Lambda^{-1/2}$$

對角線化 $K_{xx}$ 得到：

$$\Lambda^{-1/2}\, E^T \, E \Lambda E^T E \, \Lambda^{-1/2} = \Lambda^{-1/2}\, \Lambda \, \Lambda^{-1/2} = I$$

這樣，通過上面的變換就可以將隨機向量白化為平均值為0、協方差矩陣是單位矩陣的隨機向量。

## 隨機信號變換

我們將模擬和白化這兩個概念推廣到連續時間隨機信號或者隨機過程。我們創建一個濾波器用於模擬，將白噪聲注入其中，用輸出信號模擬任意隨機過程的一階和二階矩。對於白化，我們將任意隨機信號注入所選濾波器中，濾波器輸出是白噪聲。

### 模擬連續時間隨機信號

我們可以使用固定的平均值 $\mu$、協方差函數

$$K_x(\tau) = \mathbb{E} \left\{ (x(t_1) - \mu) (x(t_2) - \mu)^{*} \right\} \mbox{ where } \tau = t_1 - t_2$$

和功率譜密度

$$S_x(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} K_x(\tau) \, e^{-j \omega \tau} \, d\tau$$

模擬任何廣義的穩定、連續時間隨機過程 $x(t) : t \in \mathbb{R}\,\!$

我們可以使用頻域技術模擬這個信號。

由於 $K_x(\tau)$ 是個半正定的埃爾米特矩陣，所以 $S_x(\omega)$ 是實數並且若且唯若 $S_x(\omega)$ 滿足佩維維納標準（Paley-Wiener criterion）

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\log (S_x(\omega))}{1 + \omega^2} \, d \omega < \infty$$

時可以 factored 為

$$S_x(\omega) = | H(\omega) |^2 = H(\omega) \, H^{*} (\omega)$$

如果 $S_x(\omega)$ 是有理函數，我們可以將它分解成極點-零點格式

$$S_x(\omega) = \frac{\Pi_{k=1}^{N} (c_k - j \omega)(c^{*}_k + j \omega)}{\Pi_{k=1}^{D} (d_k - j \omega)(d^{*}_k + j \omega)}$$

選擇最小相位 (minimum phase) $H(\omega)$ 保證極點和零點都位於S 面的左側，這樣我們就可以使用$H(\omega)$作為濾波器的傳遞函數來模擬 $x(t)$。

我們可以構建下面的線性、非時變 (time-invariant) 濾波器來模擬 $x(t)$

$$\hat{x}(t) = \mathcal{F}^{-1} \left\{ H(\omega) \right\} * w(t) + \mu$$

其中 $w(t)$ 是有如下一階和二階矩屬性的連續時間的白噪聲：

$$\mathbb{E}\{w(t)\} = 0$$

$$\mathbb{E}\{w(t_1)w^{*}(t_2)\} = K_w(t_1, t_2) = \delta(t_1 - t_2)$$

這樣，結果信號 $\hat{x}(t)$ 與所期望的信號 $x(t)$ 一樣有同樣的二階矩量屬性。

### 連續時間隨機信號的白化

假設我們有一個廣義的穩定、連續時間隨機過程 $x(t) : t \in \mathbb{R}\,\!$，與上面定義的信號同樣的平均值 $\mu$、協方差函數 $K_x(\tau)$ 和功率譜密度 $S_x(\omega)$。

我們可以使用頻域技術 白化 這個信號，用上面的過程 factor 功率譜密度 $S_x(\omega)$。

選擇最小相位 $H(\omega)$ 得到極點和零點都位於s 面左側，這樣就可以用下面的反濾波器白化$x(t)$

$$H_{inv}(\omega) = \frac{1}{H(\omega)}$$

選擇的最小相位濾波器保證逆濾波器穩定的。另外，必須保證 $H(\omega)$ 在所有 $\omega \in \mathbb{R}$ 上都嚴格為正，這樣 $H_{inv}(\omega)$ 就不會有任何 奇點。

白化過程的最終格式如下所示：

$$w (t) = \mathcal{F}^{-1} \left\{ H_{inv}(\omega) \right\} * (x(t) - \mu)$$

這樣 $w(t)$ 就是一個白色噪聲隨機過程，它的平均值為零、功率譜密度為

$$S_{w}(\omega) = \mathcal{F} \left\{ \mathbb{E} \{ w(t_1) w(t_2) \} \right\} = H_{inv}(\omega) S_x(\omega) H^{*}_{inv}(\omega) = \frac{S_x(\omega)}{S_x(\omega)} = 1$$

注意這個功率譜密度 對應於 $w(t)$ 的協方差函數的 δ函數。

$$K_w(\tau) = \,\!\delta (\tau)$$

## 外部連結

- A mathematical application of noise whitening of pictures - pdf
- White noise calculator, thermal noise - Voltage in microvolts, conversion to noise level in dBu and dBV and vice versa
- Free hour-long white noise MP3 for download
- White Noise Machine