超越數

在數論中，超越數（transcendental number）是指任何一個不是代數數的複數。只要它不是任何一個有理係數代數方程的根，它即是超越數。最著名的例子是自然對數底e以及圓周率π。

幾乎所有的實數和複數都是超越數，這是因為代數數的集合是可數集，而實數和複數的集合是不可數集之故。

## 定義

超越數是代數數的相反，也即是說若$x$是一個超越數，那麼對於任何整數$a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0$都符合：

$$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \ne 0$$

（其中$a_n\neq 0$）

## 例子

超越數的例子包括：

- 錢珀瑙恩數
- 劉維爾數：$\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!} = 0.110001000000000000000001000\ldots$它是第一個確認為超越數的數，是於1844年劉維爾發現的。
- 自然對數底$\boldsymbol{e}$（參見：e）。
- $\boldsymbol{e}^a$，其中$a$是除0以外的代數數。
- $\boldsymbol{\pi}$（參見：圓周率）林德曼-魏爾斯特拉斯定理，1882年，註：因$\pi \,$是超越數而證明尺規作圖中的「化圓為方」的不可實現性。
- $\boldsymbol{e^{\pi}}$（參見：e的π次方）
- $2^{\sqrt{2}}$（參見：2的√2次方）。更一般地，若$a \,$為零和一以外的任何代數數及$b \,$為無理代數數則$a^b \,$必為超越數。這就是格爾豐德-施奈德定理。
- $\sin 1 \,$（參見：正弦）
- $\ln a \,$（參見：自然對數），其中$a \,$為一不等於1的正有理數。
- $\mathbf{W}(a)\,$（參見：朗伯W函數），其中$a \,$為一正有理數。
- $\Gamma (\frac{1}{3}) \,$ $\left(\approx 2.67894 \right) \,$，$\Gamma (\frac{1}{4}) \,$ $\left(\approx 3.62561 \right) \,$及$\Gamma (\frac{1}{6}) \,$ $\left(\approx 5.56632 \right) \,$（參見伽傌函數）。

所有超越數構成的集是一個不可數集，也就是說，幾乎所有的實數和複數都是超越數；儘管如此，現今發現的超越數極少，甚至連$\pi + e\,$是不是超越數也不知道，因為要證明一個數是超越數或代數數是十分困難的。

超越數的證明，給數學帶來了大的變革，解決了幾千年來數學上的難題——尺規作圖三大問題，即倍立方問題、三等分任意角問題和化圓為方問題。隨著超越數的發現，這三大問題被證明為不可能。

## 可能的超越數

以下數仍待證明為超越數或代數數：

- 數 e 和$\pi$的大多數和、積、冪等等，例如$\pi + e$, $\pi - e$, $\pi e$, $\frac{\pi}{e}$, $\pi^{\pi}$, $e^e$, $\pi^e$, $\pi^{\sqrt{2}}$, $\pi^{\pi^2}$尚未得知是有理數、代數無理數或超越數。值得注意的例外是$\pi + e^\pi$, $\pi e^\pi$和 $e^{\pi\sqrt{n}}$（對於所有正整數 $n$）已被證明是超越數
- 歐拉-馬歇羅尼常數$\gamma$，尚未被證明是無理數
- 卡塔蘭常數，未被證明是無理數
- 阿培里常數$\zeta(3)$，是無理數
- 黎曼ζ函數在其他奇整數的取值，$\zeta(5), \zeta(7), \ldots$（尚未被證明是無理數）
- 費根鮑姆常數，$\delta$與$\alpha$，皆未證明是否為無理數
- 米爾斯常數，未證明是否為無理數
- 辛欽常數，未證明是否為無理數
- 科普蘭-埃爾德什常數，是無理數

猜想：

- Schanuel猜想
- 四指數猜想

## 簡要地證明$e$是超越數

第一個對自然對數底 e是超越數的證明可以追溯到1873年。我們現在跟隨的是大衛·希爾伯特的策略。他給出了夏爾·埃爾米特的原始證明的簡化。思路如下所示：

為尋找矛盾，假設$e$是代數數。那就存在一個有限的整係數集$c_0, c_1, \ldots, c_n$滿足下列等式：

$$c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots+c_{n}e^{n}=0, \qquad c_0, c_n \neq 0.$$

現在對於一個正整數$k$，我們定義如下的多項式：

$$f_k(x) = x^{k} \left [(x-1)\cdots(x-n) \right ]^{k+1},$$

並在上述等式的兩端乘上

$$\int^{\infty}_{0} f_k e^{-x}\,dx,$$

於是我們得到等式：

$$c_{0} \left (\int^{\infty}_{0} f_k e^{-x}\,dx\right )+ c_1e\left ( \int^{\infty}_{0}f_k e^{-x}\,dx\right )+\cdots+ c_{n}e^{n} \left (\int^{\infty}_{0}f_k e^{-x}\,dx\right ) = 0.$$

該等式可以寫成這種形式

$$P+Q=0$$

其中

$$P =c_{0}\left ( \int^{\infty}_{0}f_k e^{-x}\,dx\right )+ c_{1}e\left (\int^{\infty}_{1}f_k e^{-x}\,dx\right )+ c_{2}e^{2}\left (\int^{\infty}_{2}f_k e^{-x}\,dx\right ) +\cdots+ c_{n}e^{n}\left (\int^{\infty}_{n}f_k e^{-x}\,dx\right )$$

$$Q=c_{1}e\left (\int^{1}_{0} f_k e^{-x}\,dx\right )+c_{2}e^{2} \left (\int^{2}_{0} f_k e^{-x}\,dx\right )+\cdots+c_{n}e^{n}\left (\int^{n}_{0} f_k e^{-x}\,dx \right )$$

引理 1. 對於恰當選擇的$k$， $\frac{P}{k!}$ 是非零整數。

證明： P 的每一項都是整數乘以階乘的和，這可以從以下的關係式得出

$$\int^{\infty}_{0}x^{j}e^{-x}\,dx=j!$$

對於任何正整數 j 成立（考慮Γ函數）。

它是非零的，因為對於每一個滿足 0< a ≤ n 的 a。

$$c_{a}e^{a}\int^{\infty}_{a} f_k e^{-x}\,dx$$

中的被積函數均為 e−x 乘以一些項的和，在積分中用 x - a 替換 x 後， x 的最低冪次是 k+1。然後這就變成了具有以下形式的積分的和

$$\int^{\infty}_{0}x^{j}e^{-x}\,dx$$

其中 k+1 ≤ j，而且它是一個能被 (k+1)! 整除的整數。在除以 k! 後，我們得到模 (k+1) 得 0 的數。

現在我們只須考慮a=0的項。我們有：

$$\int^{\infty}_{0} f_k e^{-x}\,dx = \int^{\infty}_{0} \left ([(-1)^{n}(n!)]^{k+1}e^{-x}x^k + \cdots \right ) dx$$

於是

$${\frac{1}{k!}}c_{0}\int^{\infty}_{0} f_k e^{-x}\,dx = c_{0}[(-1)^{n}(n!)]^{k+1} \qquad \mod (k+1).$$

通過選擇 k，使得 k+1 是大於 n 與 |c0| 的質數，我們可以得出 $\tfrac{P}{k!}$ 模 (k+1) 為非零，從而該數為非零整數。

引理 2. 對於充分大的 k， $\left|\tfrac{Q}{k!}\right|<1$。

證明：注意到

$$f_k e^{-x} = x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots(x-n)]^{k+1}e^{-x} = \left ([x(x-1)\cdots(x-n)]^k \right ) \left ((x-1)\cdots(x-n)e^{-x}\right )$$

使用 $|x(x-1)\cdots(x-n)|$ 和 $|(x-1)\cdots(x-n)e^{-x}|$ 在區間 0,n 的上限 G 和 H，我們可以推出

$$|Q|<G^{k}H(|c_{1}|e+2|c_{2}|e^{2}+\cdots+n|c_{n}|e^{n})$$

由於

$$\lim_{k\to\infty}\frac{G^k}{k!}=0$$

我們有

$$\lim_{k\to\infty}\frac{Q}{k!}=0$$

這點足以完成對引理的證明。

注意可以選擇滿足兩個引理的$k$，從而我們能得出矛盾。進而得以證明$e$的超越性。

## 馬勒的分類

庫爾特·馬勒在1932年把超越數分為3類，分別叫做S數、T數和U數。這些類別的定義利用了劉維爾數思想的擴充。

### 實數的無理性度量

一種定義劉維爾數的方式是考慮對於給定的實數$x$，可以使得一次多項式$\vert qx-p \vert$盡可能小但不精確地等於 0。這裡的$p$ , $q$是滿足$\vert p \vert$, $\vert q \vert$以正整數$H$為界的整數。

令$m(x,1,H)$為這些多項式所取的最小非零絕對值，並且令：

$$\omega(x, 1, H) = - \frac{\log m(x, 1, H)}{\log H}$$

$$\omega(x, 1)= \limsup_{H\to\infty} \omega(x,1,H).$$

$\omega(x, 1)$常稱為實數$x$的無理性度量（measure of irrationality）。對於有理數$\omega(x, 1)=0$，而且對無理數其值至少為1。劉維爾數可以定義為具有無窮大的無理性度量的數。Thue–Siegel–Roth定理表明了實代數無理數的無理性度量均為 1。

### 複數的超越性度量

接下來考慮多項式對於複數$x$的取值，這些多項式係數為整數，次數至多為$n$，而且多項式的高至多為$H$，此處的$n$, $H$是正整數。

令$m(x,n,H)$為以$x$為變量的上述多項式所取的最小非零值，並且令：

$$\omega(x, n, H) = - \frac{\log m(x, n, H)}{n\log H}$$

$$\omega(x, n)= \limsup_{H\to\infty} \omega(x,n,H).$$

假如對於盡可能小的正整數$n$，$\omega(x,n)$為無窮大，則這種情況下複數$x$稱為$n$次的U數。

現在我們可以定義

$$\omega (x) =\limsup_{n\to\infty}\omega(x,n).$$

$\omega (x)$常稱為$x$的超越性度量（measure of transcendence）。假如$\omega(x,n)$有界，則$\omega (x)$有限，$x$稱為S數。如果$\omega(x,n)$有限而無界，則$x$稱為T數。$x$為代數數當且僅當$\omega (x)=0$。

顯然劉維爾數是U數的子集。威廉·勒維克在1953年構造了任意次數的U數。劉維爾數是不可數集，從而U數也是。它們的測度為 0。

T陣列成的集合測度亦為 0。人們花了 35 年時間證明它們存在。沃爾夫岡·M·施密特在 1968 年證明了T數的樣例存在。由是可知幾乎所有複數都是S數。馬勒證明了當$x$為任意非零代數數時$e^x$均為S數：這點揭示了$e$是S數且給出了$\pi$的超越性證明。對於$\pi$我們至多知道它不是U數。其他更多的超越數仍未歸類。

兩個數$x$, $y$稱為代數相關，當存在 2 個變量的整係數非零多項式$P$滿足$P(x,y)=0$。一個有力的定理指出，屬於相同馬勒分類的 2 個複數是代數相關的。這允許我們構造新形式的超越數，例如劉維爾數與$e$或$\pi$的和。

通常推測 S 代表馬勒的老師卡爾·西格爾（Carl Ludwig Siegel），而 T 和 U 是接下來的兩個字母。

### Koksma 的等價分類

```
在 1939 年提出了基於代數數逼近的另一種分類<ref name=Bug250/><ref name=Baker87>Baker (1975) p.87</ref>。
```

考慮用次數$\leq n$且高$\leq H$的代數數逼近複數$x$。令$\alpha$為該有限集中滿足$\vert x-\alpha \vert$取最小正值得代數數。定義$\omega^*(x,H,n)$和$\omega^*(x,n)$如下：

$$|x-\alpha| = H^{-n\omega^*(x,H,n)-1}.$$

$$\omega^*(x,n) = \limsup_{H\to\infty} \omega^*(x,n,H).$$

若對於最小的正整數$n$，$\omega^*(x,n)$為無窮大，則稱$x$為$n$次的U*數。

若$\omega^*(x,n)$有界且不收斂到 0，則則稱$x$為S*數。

一個數$x$被稱為 A*數，當$\omega^*(x,n)$收斂到 0。

若所有的$\omega^*(x,n)$均為有限但無界，則稱 x 為T*數。

Koksma和馬勒的分類是等價的，因為它們將超越數以同樣的方式分類。A*數就是代數數。

### 勒維克的構造

令

$$\lambda= \tfrac{1}{3} + \sum_{k=1}^\infty 10^{-k!}$$

可以證明$\lambda$（劉維爾數）的$n$次方根是$n$次的U數。

此構造可以改進以建立$n$次U數的不可數個系列。令$Z$為上述$\lambda$的級數中 10 的冪次的集合。$Z$所有子集的集合是不可數的。在表示$\lambda$的級數中刪去任意一個$Z$的子集，將產生不可數個顯然的劉維爾數，它們每一個的$n$次方根都是次數為$n$的U數。

### 類型

數列$\{\omega(x,n)\}$的上界稱為類型（type）。幾乎所有實數都是類型為 1 的S數，此類型數在實S數中是最小的。幾乎所有複數都是類型為 1/2 的S數，此類型數在複S數中同樣是最小的。以上判斷對於幾乎所有數成立的猜想由馬勒提出，於 1965 年由 Vladimir Sprindzhuk 證明。