拉普拉斯方程

拉普拉斯方程，又名調和方程、位勢方程，是一種偏微分方程。因為由法國數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是電磁學、天文學、熱力學和流體力學等領域經常遇到的一類重要的數學問題，因為這種方程以勢函數的形式描寫電場、引力場和流場等物理對象（一般統稱為「保守場」或「有勢場」）的性質。

## 定義

三維情況下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，問題歸結為求解對實自變量x、y、z二階可微的實函數φ：

使用笛卡爾坐標。

$\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2 } + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2 } + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2 } = 0$。

使用柱坐標。

$$\Delta f=\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} =0$$

使用球面坐標。

$\Delta f = \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial}{\partial \rho} \left(\rho^2 \frac{\partial f}{\partial \rho}\right) + \frac{1}{\rho^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin\theta \frac{\partial f}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{\rho^2 \sin^2\theta} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} =0$。

使用曲線坐標。

$$\Delta f =\frac{\partial}{\partial \xi^j}\left(\frac{\partial f}{\partial \xi^k}g^{ki}\right) + \frac{\partial f}{\partial \xi^j} g^{jm}\Gamma^n_{mn} =0,$$

或

$\Delta f = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial \xi^i}\!\left(\sqrt{|g|}g^{ij} \frac{\partial f}{\partial \xi^j}\right) =0, \qquad (g=\mathrm{det}\{g_{ij}\})$。

這組方程又經常寫為

$$\nabla^2 \varphi = 0$$

或者

$\operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,\varphi = 0$。

其中，div表示矢量場的散度（結果是一個標量場），grad表示標量場的梯度（結果是一個矢量場）。

這方程又可寫為

$\Delta \varphi = 0$。

其中，Δ稱為拉普拉斯算子。

拉普拉斯方程的解稱為調和函數。

如果等號右邊是一個給定的函數f(x, y, z)，即

$\Delta \varphi = f$。

則該方程稱為泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最簡單的橢圓型微分方程。偏微分算子$\nabla^2$或$\Delta$（可以在任意維空間中定義這樣的算子）稱為拉普拉斯算子。

## 邊界條件

拉普拉斯方程的狄利克雷問題可歸結為求解在區域$D$內定義的函數$\varphi$，使得$\varphi$在$D$的邊界上等於某給定的函數。為方便敘述，以下採用拉普拉斯算子應用的其中一個例子——熱傳導問題作為背景進行介紹：固定區域邊界上的溫度（是邊界上各點位置坐標的函數），直到區域內部熱傳導使溫度分布達到穩定，這個溫度分布場就是相應的狄利克雷問題的解。

拉普拉斯方程的諾伊曼邊界條件不直接給出區域$D$邊界處的溫度函數φ本身，而是φ沿$D$的邊界法向的導數。從物理的角度看，這種邊界條件給出的是矢量場的勢分布在區域邊界處的已知效果（對熱傳導問題而言，這種效果便是邊界熱流密度）。

拉普拉斯方程的解稱為調和函數，此函數在方程成立的區域內是解析的。任意兩個函數，如果它們都滿足拉普拉斯方程（或任意線性微分方程），這兩個函數的任意線性組合同樣滿足前述方程。這種非常有用的性質稱為疊加原理。可以根據該原理將各種通解線性組合起來，以滿足所有邊界條件。

## 二維拉普拉斯方程

兩個自變量的拉普拉斯方程具有以下形式：

$$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} \equiv \psi_{xx} + \psi_{yy} = 0.$$

### 解析函數

解析函數的實部和虛部均滿足拉普拉斯方程。換言之，若 z = x + iy，並且

$f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$。

那麼 f(z) 是解析函數的充要條件是 u(x,y)，v(x,y) 可微，且滿足下列柯西-黎曼方程：

$u_x = v_y, \quad v_x = -u_y$。

上述方程繼續求導就得到

$u_{yy} = (-v_x)_y = -(v_y)_x = -(u_x)_x$。

所以 u 滿足拉普拉斯方程。類似的計算可推得 v 同樣滿足拉普拉斯方程。

反之，給定一個由解析函數（或至少在某點及其鄰域內解析的函數）f(z) 的實部確定的調和函數，若寫成下列形式：

$f(z) = \varphi(x,y) + i \psi(x,y)$。

則等式

$\psi_x = -\varphi_y, \quad \psi_y = \varphi_x$。

成立就可使得柯西-黎曼方程得到滿足。上述關係無法確定ψ，只能得到它的微增量表達式：

$d \psi = -\varphi_y\, dx + \varphi_x\, dy$。

φ 滿足拉普拉斯方程意味著 ψ 滿足可積條件：

$\psi_{xy} = \psi_{yx}$。

所以可以通過一個線積分來定義 ψ。可積條件和斯托克斯定理的滿足說明線積分的結果與積分經過的具體路徑無關，僅由起點和終點決定。於是，我們便通過複變函數方法得到了 φ 和 ψ 這一對拉普拉斯方程的解。這樣的解稱為一對共軛調和函數。這種構造解的方法只在局部（複變函數 f(z)）的解析域內）有效，或者說，構造函數的積分路徑不能圍繞有 f(z) 的奇點。譬如，在極坐標平面 (r,θ) 上定義函數

$\varphi = \log r$。

那麼相應的解析函數為

$f(z) = \log z = \log r + i\theta$。

在這裡需要注意的是，極角 θ 僅在不包含原點的區域內才是單值的。

拉普拉斯方程與解析函數之間的緊密聯繫說明拉普拉斯方程的任何解都無窮階可導（這是解析函數的一個性質），因此可以展開成冪級數形式，至少在不包含奇點的圓域內是如此。這與波動方程的解形成鮮明對照，後者包含任意函數，其中一些的可微分階數是很小的。

冪級數和傅立葉級數之間存在著密切的關係。如果我們將函數 f 在複平面上以原點為中心，R 為半徑的圓域內展開成冪級數，即

$f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n z^n$。

將每一項係數適當地分離出實部和虛部

$c_n = a_n + i b_n$。

那麼

$f(z) = \sum_{n=0}^\infty \left[ a_n r^n \cos n \theta - b_n r^n \sin n \theta\right] + i \sum_{n=1}^\infty \left[ a_n r^n \sin n\theta + b_n r^n \cos n \theta\right]$。

這便是 f 的傅立葉級數。這些三角函數自身也可以用倍角公式展開。

### 流體動力學

設 $u$、$v$ 分別為滿足定常、不可壓縮和無旋條件的流體速度場的 $x$ 和 $y$ 方向分量（這裡僅考慮二維流場），那麼不可壓縮條件為：

$u_x + v_y=0$。

無旋條件為：

$v_x - u_y =0$。

若定義一個標量函數 $\psi$，使其微分滿足：

$d \psi = -v\, dx + u\, dy$。

那麼不可壓縮條件便是上述微分式的可積條件。積分的結果函數 $\psi$ 稱為流函數，因為它在同一條流線上各點的值是相同的。$\psi$ 的一階偏導為：

$\psi_x = -v, \quad \psi_y=u$。

無旋條件即令 $\psi$ 滿足拉普拉斯方程。$\psi$ 的共軛調和函數 $\varphi$ 稱為速度勢。柯西-黎曼方程要求

$\varphi_x=u, \quad \varphi_y=v$。

所以每一個解析函數都對應著平面內的一個定常不可壓縮無旋流場。解析函數的實部為速度勢函數，虛部為流函數。

### 靜電學

根據麥克斯韋方程組，二維空間中不隨時間變化的電場 (u,v) 滿足：

$\nabla \times (u,v) = v_x -u_y =0$。

和

$\nabla \cdot (u,v) = \rho$。

其中 ρ 為電荷密度。第一個麥克斯韋方程便是下列微分式的可積條件：

$d \varphi = -u\, dx -v\, dy$。

所以可以構造電勢函數 φ 使其滿足

$\varphi_x = -u, \quad \varphi_y = -v$。

第二個麥克斯韋方程即：

$\varphi_{xx} + \varphi_{yy} = -\rho$。

這是一個泊松方程，當空間不包含自由電荷時，方程等號右邊變為0，方程變為拉普拉斯方程。

## 三維拉普拉斯方程

### 基本解

拉普拉斯方程的基本解滿足

$\nabla \cdot \nabla u = u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = -\delta(x-x',y-y',z-z')$。

其中的三維δ函數代表位於$(x',\, y', \, z')$的一個點源。

由基本解的定義，若對u作用拉普拉斯算子，再把結果在包含點源的任意體積內積分，那麼

$\iiint_V \nabla \cdot \nabla u dV =-1$。

由於坐標軸旋轉不改變拉普拉斯方程的形式，所以基本解必然包含在那些僅與到點源距離r相關的解中。如果我們選取包含點源、半徑為a的球形域作為積分域，那麼根據高斯散度定理

$-1= \iiint_V \nabla \cdot \nabla u \, dV = \iint_S u_r dS = 4\pi a^2 u_r(a)$。

求得在以點源為中心，半徑為r的球面上有

$u_r(r) = -\frac{1}{4\pi r^2}$。

所以

$u = \frac{1}{4\pi r}$。

經過類似的推導同樣可求得二維形式的解

$u = \frac{-\ln r}{2\pi}$。

### 格林函數

格林函數是一種不但滿足前述基本解的定義，而且在體積域V的邊界S上還滿足一定的邊界條件的基本解。譬如，$G(x,y,z;x',y',z')\,$可以滿足

$\nabla \cdot \nabla G = -\delta(x-x',y-y',z-z') \quad \hbox{in} \quad V$。

$G = 0 \quad \hbox{if} \quad (x,y,z) \quad \hbox{on} \quad S$。

現設u為在V內滿足泊松方程的任意解：

$\nabla \cdot \nabla u = -f$。

且u在邊界S上取值為g，那麼我們可以應用格林定理（是高斯散度定理的一個推論），得到

$\iiint_V \left[ G \, \nabla \cdot \nabla u - u \, \nabla \cdot \nabla G \right]\, dV = \iiint_V \nabla \cdot \left[ G \nabla u - u \nabla G \right]\, dV = \iint_S \left[ G u_n -u G_n \right] \, dS$。

un和Gn分別代表兩個函數在邊界S上的法嚮導數。考慮到u和G滿足的條件，可將這滿足狄利克雷邊界條件的公式化簡為

$u(x',y',z') = \iiint_V G f \, dV - \iint_S G_n g \, dS$。

所以格林函數描述了量f和g對$(x',y',z')$點函數值的影響。

### 圓球殼案例

格林函數在半徑為a的球面內的點上得值可以通過鏡像法求得：距球心ρ的源點P的通過球面的「反射鏡像」P' 距球心

$\rho' = \frac{a^2}{\rho}$。

需要注意的是，如果P在球內，那麼P將在球外。於是可得格林函數為

$G= \frac{1}{4 \pi R} - \frac{a}{4 \pi \rho R'}$。

其中，R表示距源點P的距離，R' 表示距鏡像點P' 的距離。從格林函數上面的表示式可以推出泊松積分公式。設ρ、θ和φ為源點P的三個球坐標分量。此處θ按照物理學界的通用標準定義為坐標矢徑與豎直軸（z軸）的夾角（與歐洲習慣相同，與美國習慣不同）。於是球面內拉普拉斯方程的解為：

$u(P) = \frac{1}{4\pi} a^3\left( 1 - \frac{\rho^2}{a^2} \right) \iint \frac{g(\theta',\varphi') \sin \theta' \, d\theta' \, d\varphi'}{(a^2 + \rho^2 - 2 a \rho \cos \Theta)^{3/2} }$。

其中，$\cos \Theta = \cos \theta \cos \theta' + \sin\theta \sin\theta'\cos(\theta -\theta')$。

這個公式的一個顯見的結論是：若u是調和函數，那麼u在球心處的取值為其在球面上取值的平均。於是我們可以立即得出以下結論：任意一個調和函數（只要不是常函數）的最大值必然不會在其定義域的內部點取得。

## 外部連結

- 拉普拉斯方程（特解和邊值問題）在EqWorld網站上的介紹（專門介紹數學方程的網站，英文）。
- 初始值問題舉例exampleproblems.com網站上使用拉普拉斯方程解題的例子（英文）。