泊松括號

在數學及經典力學中，泊松括號是哈密頓力學中重要的運算，在哈密頓表述的動力系統中時間演化的定義起著中心角色。在更一般的情形，泊松括號用來定義一個泊松代數，而泊松流形是一個特例。它們都是以西莫恩·德尼·泊松命名的。

## 正則坐標

在正則坐標$(q_i,p_j)$表示中，相空間內兩個函數$f(\mathbf{q},\ \mathbf{p}),\ g(\mathbf{q},\ \mathbf{p})$的泊松括號具有如下形式：

$\{f,g\} = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}} \right]$。

## 運動方程

哈密頓-雅可比運動方程有一個使用泊松括號的等價表示。這可最直接地用坐標系表示。假設$f(p,q,t)$是流形上一個函數，則我們有

$\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(p,q,t) = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac {\partial f}{\partial p} \frac {\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} + \frac {\partial f}{\partial q} \frac {\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$。

然後，取$p=p(t)$與$q=q(t)$為哈密頓-雅可比方程$\dot{q}={\partial H}/{\partial p}$與$\dot{p}=-{\partial H}/{\partial q}$的解，我們有

$\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(p,q,t) = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac {\partial f}{\partial q} \frac {\partial H}{\partial p} - \frac {\partial f}{\partial p} \frac {\partial H}{\partial q} = \frac{\partial f}{\partial t} +\{f,H\}$。

從而，辛流形上一個函數f的演化可用辛同胚單參數族給出，以時間t為參數。丟掉坐標系，我們有

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f= \left(\frac{\partial }{\partial t} - \{\,H, \cdot\,\}\right)f$。

算子$- \{\,H, \cdot\,\}$稱為劉維爾算子。

## 運動常數

一個可積動力系統可能有能量以外的運動常數。這樣的運動常數在泊松括號下將與哈密頓量交換。假設某個函數$f(p,q)$是一個運動常數。這意味著如果$p(t),q(t)$是哈密頓運動方程的一條軌跡或解，則沿著軌跡有$0=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}$。這樣我們有

$$0 = \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(p,q) = \frac {\partial f}{\partial p} \frac {\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} + \frac {\partial f}{\partial q} \frac {\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = \frac {\partial f}{\partial q} \frac {\partial H}{\partial p} - \frac {\partial f}{\partial p} \frac {\partial H}{\partial q} = \{f,H\}$$

這裡中間步驟利用運動方程得到。這個方程稱為劉維爾方程。劉維爾定理描述了如上給出的一個測度（或相空間上分布函數）的時間演化。

為了使一個哈密頓系統完全可積，所有的運動常數必須互相對合。

## 定義

設M是一個辛流形，即流形上帶有一個辛形式（閉的非退化2-形式）：$\omega$，這就是說$d\omega = 0$且當其視一個映射$\omega: \xi \in \mathrm{vect}[M] \rightarrow i_\xi \omega \in \Lambda^1[M]$，$\omega$有逆映射$\tilde{\omega}: \Lambda^1[M] \rightarrow \mathrm{vect}[M]$。這裡$d$是流形M上內蘊的外導數運算，而$i_\xi \theta$是內乘或縮並運算，在1-形式$\theta$這等價於$\theta(\xi)$。

由外微分的公理，我們由：

$$i_{[v, w]} \omega = d(i_v i_w \omega) + i_v d(i_w \omega) - i_w d(i_v \omega) - i_w i_v d\omega ,\,$$

這裡$[v, w]$表示光滑向量場的李括號，其性質本質上定義了M上流形結構。

如果v使得$d(i_v \omega) = 0$，我們稱之為$\omega$-閉（或稱余閉）。類似地，如果$i_v \omega = df$對所有函數f成立，我們稱v $\omega$-恰當（或余恰當）。已知$d\omega = 0$，上面的表達式蘊含著兩個余閉向量場總是一個余恰當向量場，因為當v和w都余閉時，表達式中惟一非零項是$d(i_v i_w \omega)$。又因為外導數滿足$d \circ d = 0$，所有餘恰當向量場是余閉的；所以李括號對余閉向量場空間與其子空間余恰當向量場都是封閉。用抽象代數的話來說，余閉向量場組成了M上光滑向量場李代數的一個子代數，而余恰當向量場組成這個子代數的一個代數理想。

假設存在逆映射$\tilde{\omega}$，M上每個光滑實值函數f可以與一個余恰當向量場相伴$\tilde{\omega}(df)$（兩個函數與同一個向量場相伴若且唯若它們的差是d的核，即在M的任何連通分支上是常數）。這樣我們定義$(M, \omega)$上的泊松括號，為可微函數上一個雙線性運算，在泊松括號下$C^\infty$（光滑）函數組成一個代數。它由下式給出：

$$\{f,g\} = i_{\tilde{\omega}(df)} dg = - i_{\tilde{\omega}(dg)} df = -\{g,f\}\,$$

泊松括號的反對稱性由外導數的公理與條件$d\omega$保證。映為映射$\tilde{\omega}$是逐點線性和反對稱的，一些作者將它們和一個雙向量聯繫起來，這不是外微分中常見的對象。這種形式它稱為這個辛流形上泊松雙向量或泊松結構，泊松括號簡單地寫做$\{f,g\} = \tilde{\omega}(df, dg)$。

光滑函數上的泊松括號對應於余恰當向量場上的李括號並繼承了它的性質。從而它滿足雅可比恆等式：

$$\{f,\{g,h\}\} + \{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\} = 0\,$$

關於一個特定的數量場f的泊松括號$\{f,\_\}$對應於關於$\tilde{\omega}(df)$的李導數。從而，它是一個導子，即它滿足萊布尼茲法則：

$$\{f,gh\} = \{f,g\}h + g\{f,h\}\,$$

這是流形的一個基本性質，關於兩個向量場的李導數運算的交換子等價於關於某個向量場的李導數，即它們的李括號。泊松括號中平行的角色顯然是雅可比恆等式的一個變形：

$$\{f,\{g,h\}\} - \{g,\{f,h\}\} = \{\{f,g\},h\}\,$$

如果f和g的泊松括號消失（$\{f,g\}=0$），則f與g稱為互相對合（mutual involution），並有關於f和g取泊松括號的運算交換。

## 李代數

泊松括號是反交換的，也滿足雅可比恆等式。這使得辛流形上的光滑函數空間成為無限維的李代數，以泊松括號為李括號。相應的李群是辛流形的辛同胚群（也稱為正則變換）。

給定一個可微切叢上的向量場X，令$P_X$為其共軛動量。這個從場到共軛動量的映射為從泊松括號到李括號的李代數反同態：

$\{P_X,P_Y\}=-P_{[X,Y]} \,$。

這個重要結果值得我們給個簡短證明。記位形空間的q點的向量場X為

$$X_q=\sum_i X^i(q) \frac{\partial}{\partial q^i}$$

其中$\partial /\partial q^i$是局部坐標系。X的共軛動量的表達式為

$$P_X(q,p)=\sum_i X^i(q) \;p_i$$

這裡$p_i$為和坐標共軛的動量函數。這樣就有，對相空間的每點$(q,p)$。

$$\{P_X,P_Y\}(q,p)= \sum_i \sum_j \{X^i(q) \;p_i, Y^j(q)\;p_j \}$$

$$=\sum_{ij} p_i Y^j(q) \frac {\partial X^i}{\partial q^j} - p_j X^i(q) \frac {\partial Y^j}{\partial q^i}$$

$$= - \sum_i p_i \; [X,Y]^i(q)$$

$$= - P_{[X,Y]}(q,p) \,$$

以上對所有$(q,p)$成立，證畢。