貝塞爾函數

貝塞爾函數（Bessel functions），是數學上的一類特殊函數的總稱。通常單說的貝塞爾函數指第一類貝塞爾函數（Bessel function of the first kind）。一般貝塞爾函數是下列常微分方程（一般稱為貝塞爾方程）的標準解函數$y(x)$：

$$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0$$

該方程的通解無法用初等函數表示。

由於貝塞爾微分方程是二階常微分方程，需要由兩個獨立的函數來表示其標準解函數。典型的是使用第一類貝塞爾函數和第二類貝塞爾函數來表示標準解函數：

$$y(x)=c_1 J_\alpha(x) + c_2 Y_\alpha(x)$$

注意，由於 $Y_\alpha(x)$ 在 x=0 時候是發散的（無窮），當取 x=0 時，相關係數 $c_2$ 必須為0時，才能獲得有物理意義的結果。

貝塞爾函數的具體形式隨上述方程中任意實數或複數α變化而變化（相應地，α被稱為其對應貝塞爾函數的階數）。實際應用中最常見的情形為α是整數n，對應解稱為n 階貝塞爾函數。

儘管在上述微分方程中，α本身的正負號不改變方程的形式，但實際應用中仍習慣針對α和−α定義兩種不同的貝塞爾函數（這樣做能帶來好處，比如消除了函數在α=0 點的不光滑性）。

貝塞爾函數也被稱為柱諧函數、圓柱函數或圓柱諧波，因為他們是於拉普拉斯方程在圓柱坐標上的求解過程中被發現的。

## 歷史

貝塞爾函數的幾個正整數階特例早在18世紀中葉就由瑞士數學家丹尼爾·伯努利在研究懸鏈振動時提出了，當時引起了數學界的興趣。丹尼爾的叔叔雅各布·伯努利，歐拉、拉格朗日等數學大師對貝塞爾函數的研究作出過重要貢獻。1817年，德國數學家弗里德里希·威廉·貝塞爾在研究克卜勒提出的三體引力系統的運動問題時，第一次系統地提出了貝塞爾函數的總體理論框架，後人以他的名字來命名了這種函數。

## 現實背景和應用範圍

貝塞爾方程是在圓柱坐標或球坐標下使用分離變量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍茲方程時得到的（在圓柱域問題中得到的是整階形式 α = n；在球形域問題中得到的是半奇數階形式 α = n+½），因此貝塞爾函數在波的傳播問題以及各種涉及有勢場的問題中占有非常重要的地位，最典型的問題有：

- 在圓柱形波導中的電磁波傳播問題。
- 圓柱體中的熱傳導問題。
- 圓形（或環形）薄膜的振動模態分析問題。

在其他一些領域，貝塞爾函數也相當有用。譬如在ttf字體文件壓縮，信號處理中的調頻合成或凱澤窗的定義中，都要用到貝塞爾函數。

## 定義

貝塞爾方程是一個二階常微分方程，必然存在兩個線性無關的解。針對各種具體情況，人們提出了表示這些解的不同形式。下面分別介紹這些不同類型的貝塞爾函數。

### 第一類貝塞爾函數

第一類貝塞爾函數（Bessel function of the first kind），又稱貝塞爾函數（Bessel function），下文中有時會簡稱為J函數，記作Jα。

第一類α階貝塞爾函數Jα(x)是貝塞爾方程當α為整數或α非負時的解，須滿足在x = 0 時有限。這樣選取和處理Jα的原因見本主題下面的性質介紹；另一種定義方法是通過它在x = 0 點的泰勒級數展開（或者更一般地通過冪級數展開，這適用於α為非整數）：

$$J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha}$$

上式中$\Gamma(z)$為Γ函數（它可視為階乘函數向非整型自變量的推廣）。第一類貝塞爾函數的形狀大致與按$1/\sqrt x$速率衰減的正弦或餘弦函數類似（參見本頁下面對它們漸近形式的介紹），但它們的零點並不是周期性的，另外隨著x的增加，零點的間隔會越來越接近周期性。圖2所示為0階、1階和2階第一類貝塞爾函數$J_\alpha (x)$的曲線（$\alpha = 0, 1, 2$）。

如果α不為整數，則$J_\alpha (x)$和$J_{-\alpha} (x)$線性無關，可以構成微分方程的一個解系。反之若$\alpha$是整數，那麼上面兩個函數之間滿足如下關係：

$$J_{-\alpha}(x) = (-1)^{\alpha} J_{\alpha}(x)\,$$

於是兩函數之間已不滿足線性無關條件。為尋找在此情況下微分方程與$J_\alpha (x)$線性無關的另一解，需要定義第二類貝塞爾函數，定義過程將在後面的小節中給出。

#### 貝塞爾積分

$\alpha$為整數時貝塞爾函數的另一種定義方法由下面的積分給出：

$$J_\alpha (x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \cos (\alpha \tau - x \sin \tau) d\tau.$$

（$\alpha$為任意實數時的表達式見貝塞爾函數#參考文獻|參考文獻2第360頁）

這個積分式就是貝塞爾當年提出的定義，而且他還從該定義中推出了函數的一些性質。另一種積分表達式為：

$$J_\alpha (x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{i(\alpha \tau - x \sin \tau)} d\tau$$

#### 和超幾何級數的關係

貝塞爾函數可以用超幾何級數表示成下面的形式：

$$J_\alpha(z)=\frac{(z/2)^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)} \;_0F_1 (\alpha+1; -z^2/4).$$

ɑ為整數。由於函數線性相關的特性(用了一個就少了一個，所以要再構造一個)，才需定義如下詳細介紹的第二類貝塞爾函數。

### 第二類貝塞爾函數（諾依曼函數）

第二類貝塞爾函數（Bessel function of the second kind），又稱諾伊曼函數（Neumann function），下文中有時會簡稱為Y函數，記作Yα。

第二類貝塞爾函數也許比第一類更為常用。

這種函數通常用Yα(x)表示，它們是貝塞爾方程的另一類解。x = 0 點是第二類貝塞爾函數的（無窮）奇點。

Yα(x)又被稱為諾依曼函數（Neumann function），有時也記作Nα(x)。它和Jα(x)存在如下關係：

$$Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha(x) \cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)},$$

若α為整數（此時上式是$\frac{0}{0}$型未定式）則取右端的極限值。

從前面對Jα(x)的定義可以知道，若α不為整數時，定義Yα是多餘的（因為貝塞爾方程的兩個線性無關解都已經用J函數表示出來了）。另一方面，若α為整數，Yα便可以和Jα構成貝塞爾方程的一個解系。與J函數類似，Y函數正負整數階之間也存在如下關係：

$$Y_{-n}(x) = (-1)^n Y_n(x)\,$$

Jα(x)和Yα(x)均為沿負實半軸割開的複平面內關於x的全純函數。當α為整數時，複平面內不存在貝塞爾函數的支點，所以J 和Y 均為x 的整函數。若將x 固定，則貝塞爾函數是α的整函數。圖3所示為0階、1階和2階第二類貝塞爾函數$Y_\alpha (x)$的曲線（$\alpha = 0, 1, 2$）：

### 第三類貝塞爾函數（漢克爾函數）

第三類貝塞爾函數（Bessel function of the third kind），又稱漢克爾函數（Hankel function）。

貝塞爾方程的另外一對重要的線性無關解稱為漢克爾函數（Hankel functions）Hα(1)(x)和Hα(2)(x)，分別定義為：

$$H_\alpha^{(1)}(x) = J_\alpha(x) + i Y_\alpha(x)$$

$$H_\alpha^{(2)}(x) = J_\alpha(x) - i Y_\alpha(x)$$

其中i 為虛數單位$\sqrt { - 1}$。以上的線性組合也成為第三類貝塞爾函數；它們描述了二維波動方程的外向行柱面波解和內向行柱面波解（"行"與在"行動"中同音）。

利用前面推出的關係可將漢克爾函數表示成：

$$H_{\alpha}^{(1)} (x) = \frac{J_{-\alpha} (x) - e^{-\alpha \pi i} J_\alpha (x)}{i \sin (\alpha \pi)}$$

$$H_{\alpha}^{(2)} (x) = \frac{J_{-\alpha} (x) - e^{\alpha \pi i} J_\alpha (x)}{- i \sin (\alpha \pi)}$$

若α為整數，則須對等號右邊取極限值。另外，無論α是不是整數，下面的關係都成立：

$$H_{-\alpha}^{(1)} (x)= e^{\alpha \pi i} H_{\alpha}^{(1)} (x)$$

$$H_{-\alpha}^{(2)} (x)= e^{-\alpha \pi i} H_{\alpha}^{(2)} (x)$$

### 修正貝塞爾函數

貝塞爾函數當變量x 為複數時同樣成立，並且當x 為純虛數時能得到一類重要情形——它們被稱為第一類修正貝塞爾函數（modified Bessel function of the first kind）和第二類修正貝塞爾函數（modified Bessel function of the second kind），或虛變量的貝塞爾函數（有時還稱為雙曲型貝塞爾函數），定義為：

$$I_\alpha(x) = i^{-\alpha} J_\alpha(ix) \!$$

$$K_\alpha(x) = \frac{\pi}{2} \frac{I_{-\alpha} (x) - I_\alpha (x)}{\sin (\alpha \pi)} = \frac{\pi}{2} i^{\alpha+1} H_\alpha^{(1)}(ix) \!$$

以上形式保證了當變量x 為實數時，函數值亦為實數。這兩個函數構成了下列修正貝塞爾方程（與一般貝塞爾方程的差別僅在兩個正負號）的一個相互線性無關的解系：

$$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} - (x^2 + \alpha^2)y = 0.$$

修正貝塞爾函數與一般貝塞爾函數的差別在於：一般貝塞爾函數隨實變量是振盪型的，而修正貝塞爾函數Iα 和Kα則分別是指數增長和指數衰減型的。和第一類貝塞爾函數Jα一樣，函數Iα當α > 0 時在x=0 點等於0，當α=0時在x=0 點趨於有限值。類似地，Kα在x=0 點發散（趨於無窮）。

複數變量的貝塞爾函數之零值：$J_\alpha (x) = 0$的解在α≥-1的情況下都是實數；階數-2>α>-1的情況下，除了實數之外還有且僅有一對共軛的純虛數解（G.N Watson 貝塞爾函數#參考文獻|參考文獻5）。

第二類修正貝塞爾函數有時候被稱為第三類修正貝塞爾函數（modified Bessel function of the third kind）。

### 球貝塞爾函數

若使用分離變量法求解球坐標下的三維亥姆霍茲方程，則可得到如下形式關於徑向（r 方向）分量的常微分方程：

$$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + 2x \frac{dy}{dx} + [x^2 - n(n+1)]y = 0.$$

關於上述方程的一對線性無關解稱為球貝塞爾函數，分別用jn和yn表示（有時也記為nn）。這兩個函數與一般貝塞爾函數Jn和Yn 存在關係：

$$j_n(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{n+1/2}(x),$$

$$y_n(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} Y_{n+1/2}(x) = (-1)^{n+1} \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{-n-1/2}(x).$$

球貝塞爾函數也可寫成：

$$j_n(x) = (-x)^n \left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^n\,\frac{\sin x}{x} ,$$

$$y_n(x) = -(-x)^n \left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^n\,\frac{\cos x}{x}.$$

0階第一類球貝塞爾函數$j_0(x)$又稱為sinc函數。頭幾階整階球貝塞爾函數的表達式分別為：

第一類：

$$j_0(x)=\frac{\sin x} {x}$$

$$j_1(x)=\frac{\sin x} {x^2}- \frac{\cos x} {x}$$

$$j_2(x)=\left(\frac{3} {x^2} - 1 \right)\frac{\sin x}{x} - \frac{3\cos x} {x^2}$$

第二類：

$$y_0(x)=-j_{-1}(x)=-\,\frac{\cos x} {x}$$

$$y_1(x)=j_{-2}(x)=-\,\frac{\cos x} {x^2}- \frac{\sin x} {x}$$

$$y_2(x)=-j_{-3}(x)=\left(-\,\frac{3}{x^2}+1 \right)\frac{\cos x}{x}- \frac{3 \sin x} {x^2}.$$

還可以依照前面構造漢克爾函數相同的步驟構造所謂球漢克爾函數：

$$h_n^{(1)}(x) = j_n(x) + i y_n(x)$$

$$h_n^{(2)}(x) = j_n(x) - i y_n(x).$$

事實上，所有半奇數階貝塞爾函數都可以寫成由三角函數組成的封閉形式的表達式，球貝塞爾函數也同樣可以。特別地，對所有非負整數n，存在：

$$h_n^{(1)}(x) = (-i)^{n+1} \frac{e^{ix}}{x} \sum_{m=0}^n \frac{i^m}{m!(2x)^m} \frac{(n+m)

}{(n-m)

}$$

而對實自變量x，hn(2)是上面hn(1)的復共軛（

表示雙階乘）。由此我們可以通過得到h，再分離實部虛部，求出相應階j 和h 的表達式，譬如j0(x) = sin(x)/x，y0(x) = -cos(x)/x，等等。

球貝塞爾函數的生成函數為：

$$\frac{1}{z} \cos (\sqrt{z^2 - 2zt}) = \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!} j_{n-1}(z),$$

$$\frac{1}{z} \sin (\sqrt{z^2 - 2zt}) = \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!} y_{n-1}(z).$$

### 黎卡提-貝塞爾函數：Sn, Cn, ξn, ζn

黎卡提-貝塞爾函數（Riccati-Bessel functions）和球貝塞爾函數比較類似：

$$S_n(x)=x j_n(x)=\sqrt{\pi x/2}J_{n+1/2}(x)$$

$$C_n(x)=-x y_n(x)=-\sqrt{\pi x/2}Y_{n+1/2}(x)$$

$$\zeta_n(x)=x h_n^{(2)}(x)=\sqrt{\pi x/2}H_{n+1/2}^{(2)}(x)=S_n(x)+iC_n(x)$$

該函數滿足方程：

$$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + [x^2 - n (n+1)] y = 0$$

這個方程以及相應的黎卡提-貝塞爾解是德國物理學家古斯塔夫·米（Gustav Mie）於1908年研究電磁波在球狀顆粒表面散射問題時提出的，後人將這種散射稱為米氏散射（Mie scattering）。這個問題近幾年的進展可參見文獻 Du (2004)。

後人有時會遵從德拜（Debye）在1909年的論文中的記法，用$\psi_n,\chi_n$ 代替前面的$S_n,C_n$。

## 漸近形式

貝塞爾函數在α非負時具有下面的漸近形式。當自變量x 為小量，即$0 < x \ll \sqrt{\alpha + 1}$時，有：

$$J_\alpha(x) \rightarrow \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \left( \frac{x}{2} \right) ^\alpha$$

$$Y_\alpha(x) \rightarrow \left\{ \begin{matrix} <pre> \frac{2}{\pi} \left[ \ln (x/2) + \gamma \right] & \mbox{if } \alpha=0 \\ \\ -\frac{\Gamma(\alpha)}{\pi} \left( \frac{2}{x} \right) ^\alpha & \mbox{if } \alpha > 0 </pre> \end{matrix} \right.$$

式中γ為歐拉-馬歇羅尼常數（也叫歐拉常數，等於 0.5772156649...），Γ為Γ函數。對於很大的x，即$x \gg |\alpha^2 - 1/4|$時，漸近形式為：

$$J_\alpha(x) \rightarrow \sqrt{\frac{2}{\pi x}} <pre> \cos \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right)$$

$$Y_\alpha(x) \rightarrow \sqrt{\frac{2}{\pi x}} <pre> \sin \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right).$$

（α=1/2 時漸近號兩邊嚴格相等；參見前面對球貝塞爾函數的介紹）。其他形式貝塞爾函數的漸近形式可以從上面的式子直接推得。譬如，對大自變量$x \gg |\alpha^2 - 1/4|$，修正貝塞爾函數的漸近形式為：

$$I_\alpha(x) \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi x}} e^x,$$

$$K_\alpha(x) \rightarrow \sqrt{\frac{\pi}{2x}} e^{-x}.$$

對小自變量$0 < x \ll \sqrt{\alpha + 1}$：

$$I_\alpha(x) \rightarrow \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \left( \frac{x}{2} \right) ^\alpha$$

$$K_\alpha(x) \rightarrow \left\{ \begin{matrix} <pre> - \ln (x/2) - \gamma & \mbox{if } \alpha=0 \\ \\ \frac{\Gamma(\alpha)}{2} \left( \frac{2}{x} \right) ^\alpha & \mbox{if } \alpha > 0 </pre> \end{matrix} \right.$$

## 性質

整階（α = n）第一類貝塞爾函數Jn常通過對其母函數（generating function）的羅朗級數（Laurent series）展開來定義：

$$e^{(x/2)(t-1/t)} = \sum_{n=-\infty}^\infty J_n(x) t^n,$$

上式得左邊即為整階第一類貝塞爾函數的母函數，這是丹麥天文學家漢森於1843年提出的。（這種定義也可以通過路徑積分或其他方法推廣到非整數階）。整階函數的另一個重要性質是下列雅可比-安格爾恆等式（Jacobi-Anger identity）：

$$e^{iz \cos \phi} = \sum_{n=-\infty}^\infty i^n J_n(z) e^{in\phi},$$

利用這一等式可以將平面波展開成一系列柱面波的疊加，或者將調頻信號分解成傅立葉級數的疊加。

函數Jα、Yα、Hα(1)和Hα(2)均滿足遞推關係：

$$Z_{\alpha-1}(x) + Z_{\alpha+1}(x) = \frac{2\alpha}{x} Z_\alpha(x)$$

$$Z_{\alpha-1}(x) - Z_{\alpha+1}(x) = 2\frac{dZ_\alpha}{dx}$$

其中Z代表J, Y, H(1)或H(2)。（常將這兩個恆等式聯立推出其他關係）。從這組遞推關係可以通過低階貝塞爾函數（或它們的低階導數）計算高階貝塞爾函數（或它們的高階導數）。特別地，有：

$$\left( \frac{d}{x dx} \right)^m \left[ x^\alpha Z_{\alpha} (x) \right] = x^{\alpha - m} Z_{\alpha - m} (x)$$

$$\left( \frac{d}{x dx} \right)^m \left[ \frac{Z_\alpha (x)}{x^\alpha} \right] = (-1)^m \frac{Z_{\alpha + m} (x)}{x^{\alpha + m}}$$

由於貝塞爾方程對應的作用算符除以x 後便是一個（自伴隨的）厄米算符（Hermitian），所以它的解在適當的邊界條件下須滿足正交性關係。特別地，可推得：

$$\int_0^1 x J_\alpha(x u_{\alpha,m}) J_\alpha(x u_{\alpha,n}) dx = \frac{\delta_{m,n}}{2} J_{\alpha+1}(u_{\alpha,m})^2,$$

其中α > -1，δm,n為克羅內克δ，uα,m表示Jα(x)的第m 級零點。這個正交性關係可用於計算傅立葉-貝塞爾級數中各項的係數，以利用該級數將任意函數寫成α固定、m 變化的函數Jα(x uα,m)的無窮疊加形式。（可以立即得到球貝塞爾函數相應的關係）。

另一個正交性關係是下列在α > -1/2時成立的「封閉方程」（closure equation）：

$$\int_0^\infty x J_\alpha(ux) J_\alpha(vx) dx = \frac{1}{u} \delta(u - v)$$

其中δ為狄拉克δ函數。球貝塞爾函數的正交性條件為（當α > 0）：

$$\int_0^\infty x^2 j_\alpha(ux) j_\alpha(vx) dx = \frac{\pi}{2u^2} \delta(u - v)$$

貝塞爾方程的另一個重要性質與其朗斯基行列式（Wronskian）相關，由阿貝爾恆等式（Abel's identity）得到：

$$A_\alpha(x) \frac{dB_\alpha}{dx} - \frac{dA_\alpha}{dx} B_\alpha(x) = \frac{C_\alpha}{x},$$

其中Aα 和Bα是貝塞爾方程的任意兩個解，Cα是與x 無關的常數（由α和貝塞爾函數的種類決定）。譬如，若Aα = Jα、Bα = Yα，則Cα is 2/π。該性質在修正貝塞爾函數中同樣適用，譬如，若Aα = Iα、Bα = Kα，則Cα為-1。

## 參見

- Hankel變換——以貝塞爾函數作展開。

## 參考文獻

- 1 嚴鎮軍編，《數學物理方程》，第二版，中國科學技術大學出版社，合肥，2002，第82頁~第123頁，ISBN 7-312-00799-6
- 2 Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (Dover: New York, 1972) （英文）
- Chapter 9 整階貝塞爾函數
- Section 9.1 J, Y （韋伯） and H （漢開爾）
- Section 9.6 修正貝塞爾函數（I和K）
- Section 9.9 開爾文函數
- Chapter 10 分數階貝塞爾函數
- Section 10.1 球貝塞爾函數（j、y和h）
- Section 10.2 修正球貝塞爾函數（I和K）
- Section 10.3 黎卡提-貝塞爾函數
- Section 10.4 艾里函數（Airy functions）
- 3 George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists (Harcourt: San Diego, 2001).
- 4 Frank Bowman, Introduction to Bessel Functions (Dover: New York, 1958) ISBN 0-486-60462-4.
- 5 G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Second Edition, (1966) Cambridge University Press.
- 6 G. Mie, "Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen", Ann. Phys. Leipzig 25(1908), p.377.
- 7 Hong Du, "Mie-scattering calculation," Applied Optics 43 (9), 1951-1956 (2004).

## 外部連結

- Engineering Fundamentals - Bessel Function