量子測量

在量子力學之中，所謂的「測量」需要有較嚴謹的定義，而特別稱之為量子測量。量子測量不同於一般經典力學中的測量，量子測量會對被測量子系統產生影響，比如改變被測量子系統的狀態；處於相同狀態的量子系統被測量後可能得到完全不同的結果，這些結果符合一定的機率分布。量子測量是量子力學解釋體系的核心問題，而量子力學的解釋目前還沒有統一的結論。

## 量子測量的數學形式

與經典物理中的測量不同，量子測量不是獨立於所觀測的物理系統而單獨存在的，相反，測量本身即是物理系統的一部分，所作的測量會對系統的狀態產生干擾。

### 一般形式：量子公設III

量子公設的第三條是對測量下的定義。量子測量可以通過一個測量算符的集合$\{ M_m \}$來表示，它作用在系統的狀態空間上。測量算符$M$的序列號$m$表示測量所得出的不同結果。如果系統在測量前處於狀態$|\psi \rang$，那麼測量後得到結果m的機率是：

$$p( m ) = \lang \psi | M^\dagger_mM_m | \psi \rang$$

測量後系統的狀態變為：

$$\frac{ M_m| \psi \rang } {\sqrt{\lang \psi | M^\dagger_mM_m | \psi \rang} }$$

測量算符必須滿足以下的完備性條件：

$$\sum_m M^\dagger_mM_m = I$$

上述完備性條件與下式等價，即完備性條件決定了測量得到各個結果的機率和為1：

$$1 = \sum_m p_m = \sum_m \lang \psi | M^\dagger_mM_m | \psi \rang$$

### 射影測量

射影測量（projective measurement）是一般形式量子測量的一個特例，即測量算子集合是一組射影算子$\{P_m\}$的情況，值得注意的是很多介紹量子力學的書比如只介紹射影測量，這種測量結合量子系統的演化（evolution）與一般形式測量等價。對於射影測量，可以定義可觀測量（observable）$M$使得

$$M=\sum_{m}mP_m$$

其中的射影算子$P_m$的定義為：

$$P\equiv\sum_{i=1}^{k}|i\rangle\langle i|$$

$\{|i\rangle\}$構成被測量子系統狀態空間的某個子空間$W$的一組基向量，射影算子$P$可以將一個狀態向量投影到該子空間$W$，因此得名射影算子。顯然射影算子有以下性質：

$$P_{m}^{\dagger}P_m=P_m^2=P_m$$

於是射影測量測得結果$m$的機率為：

$$p(m)=\langle \psi | P_{m} |\psi \rangle$$

測量後量子系統的狀態為

$$|\psi^{'}\rangle=\frac{P_m|\psi \rangle} {\sqrt{p(m)}}$$

射影測量的結果的平均值一般計為：

$$\begin{align} \langle M\rangle &= \sum_m mp(m)\\ &=\langle \psi |(\sum_m m P_m )|\psi \rangle\\ &=\langle \psi | M |\psi \rangle \end{align}$$

### 示例

一個量子比特$|\psi \rangle = a|0\rangle + b |1 \rang$被$\{ M_m \} = \{ M_0, M_1 \}$測量，所謂量子比特可以認為是一個二維量子系統的狀態，比如一個光子的極化狀態。

$$M_0 = |0 \rang \lang 0|; M^\dagger_0M_0 = M_0$$

$$M_1 = |1 \rang \lang 1|; M^\dagger_1M_1 = M_1$$

$$I = |0 \rang \lang 0| + |1 \rang \lang 1| = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$p( 0 ) = \lang \psi | M^\dagger_0M_0 | \psi \rang <pre> = \lang \psi | M_0 | \psi \rang = \lang \psi | 0 \rang \lang 0 | \psi \rang = |a|^2$$

$$p( 1 ) = |b|^2$$

測量得到0和1的機率分別是$|a|^2$和$|b|^2$，而

$$1=\langle \psi|\psi\rangle = |a|^2+|b|^2$$

即機率和為1

$$\frac{ M_0| \psi \rangle }{|a|} = \frac{a}{|a|} | 0 \rangle$$

$$\frac{ M_1| \psi \rangle }{|b|} = \frac{b}{|b|} | 1 \rangle$$

可以發現測量後，系統的狀態要麼變成$\frac{a}{|a|}|0\rangle$要麼變成$\frac{b}{|b|}|1\rangle$，而對於量子力學來說，量子狀態的相位是沒有意義的，因而系統的狀態在測量之後不是$|0\rangle$就是$|1\rangle$，即投影到了基向量$|0\rangle$或$|1\rangle$構成的狀態空間中去，顯然${|0\rangle}$或$|1\rangle$只能構成一個一維狀態空間。

一般來講測量不是么正算符，而是從系統裡獲取資訊的一個過程。

### 可測量的量值（「物理量」）作為算符

量子力學中，可觀測量在數學上常以厄米算符（Hermitian）或自伴算符來表示。此算符的本徵值集合代表測量可能結果的集合。對於每個本徵值而言，存在有一個對應的本徵態（或本徵向量），其為系統在測量之後的狀態。這種表徵具有一些特質：

- 厄米矩陣的本徵值是實數。一個測量的可能結果恰好是給定的可觀測量的本徵值。
- 一個厄米矩陣可以么正式地對角化（參見譜定理（Spectral theorem）），產生了本徵向量的一組正交歸一基，可以架構出系統的態空間。一般來說，系統的狀態可以寫為任何厄米算符的線性組合。如此在物理上的意義即為任何狀態可以表示為一可觀測量其本徵態的疊加。

重要的例子有：

- 哈密頓算符，代表系統的總能量；非相對論性的特例為：${\hat H} = {\hat p^2 \over 2m} + V( \hat x )$.
- 動量算符：${\hat p} = {\hbar \over i}{\partial \over \partial x}$（以位置基底表示。）
- 位置算符：${\hat x} = {-\hbar \over i}{\partial \over \partial p}$（以動量基底表示。）

算符可以是非對易性（或稱非交換性）的。在有限維度的例子，如果兩個厄米算符擁有相同的歸一化的本徵向量集合，則它們可以對易。非對易的兩個可觀測量被稱為「不相容」（incompatible）而無法同時測量。比較知名的例子是位置與動量，也可以透過海森堡不確定原理來描述。

## 量子測量的哲學議題

### 什麼樣的物理交互作用構成測量？

在量子去相干於二十世紀末出現之前，量子力學及哥本哈根詮釋一直存在一個重大的觀念性問題。那就是沒有一個明確的準則來判別怎樣的物理交互作用屬於「測量」並且會造成波函數崩潰。薛丁格的貓即是最好的例子。現在，對於弱測量的了解以及什麼程度的交互作用或測量足以摧毀量子相干性有了定量的分析，因此在量子去相干理論的架構下，一些問題已經可以被理解。但對於構成測量的一些面向，物理學家仍然沒有一致的認同。

### 測量是否真的決定狀態？

測量是否決定一個狀態在不同的量子詮釋下有不同的答案。(這也與對波函數崩潰的理解有很大的關聯。)舉例來說，在哥本哈根詮釋大多數的版本中，測量會決定一個系統的狀態，並且在測量後系統的態一定是測量中得到的。但根據多世界詮釋，測量在不同的世界有不同的結果，所以測量後其他的可能狀態仍然存於不同的世界中。

### 測量過程是隨機的或是決定性的？

一般一致認為量子力學的測量顯現出隨機的特性，但這究竟是本質上的隨機，或只是看似隨機，則仍然沒有定論。量子力學背後可能存在隱變數理論，以決定性的方式，在特定的安排方式下，使實驗結果看似隨機。隱變數理論如果存在，將會是「非定域性的」。這仍是熱門的研究領域之一。

### 測量過程是否違反定域性原理?

定域性原理要求任何資訊皆不能以超越光速的速度傳遞(詳見狹義相對論)。實驗上我們知道，如果量子力學是決定性的(藉由隱變數理論)，那麼它必須是非定域性的，因此違反定域性原理(詳見貝爾定理、EPR佯謬)。然而，物理學家對於量子力學是非決定性、非定域性或著兩者皆是，仍然沒有定論。

## 外部連結

- 史丹福大學哲學資料庫—— 量子理論中的測量