有理函數

有理函數（Rational function）是可以表示為以下形式的函數：

$f(x)=\frac{a_m x^m+a_{m-1} x^{m-1}+\cdots +a_1x+a_0}{b_n x^n+b_{n-1} x^{n-1}+\cdots +b_1x+b_0} = \frac{P_m(x)}{Q_n(x)} \quad ; \quad m, n \in \mathbb{N}_0$，$b_i$不全為0。

有理數式是多項式除法的商，有時稱為代數分數。

## 漸近線

- 不失一般性可假設分子、分母互質。若存在$r>0$，使得$(px+q)^r$是分母$Q(x)$的因子，則有理函數存在垂直漸近線$x=-q/p$。
- 若$m<n$，有水平漸近線$y=0$。
- 若$m=n$，有水平漸近線$y=\frac{a_m}{b_m}$。
- 若$m=n+1$，有斜漸近線$y=\frac{a_m}{b_n} x + \frac{b_n*a_{m-1} - b_{n-1}*a_m}{{b_n}^2}$。

只有一條水平漸近線

## 泰勒級數

有理函數的泰勒級數的係數滿足一個線性遞歸關係。反之，若一個泰勒級數的係數滿足一個線性遞歸關係，它對應的函數是有理函數。

## 部分分式

部分分式，又稱部分分數、分項分式，是將有理數式分拆成數個有理數式的技巧。

有理數式可分為真分式、假分式和帶分式，這和一般分數中的真分數、假分數和帶分數的概念相近。真分式分子的次數少於分母的。

若有理數式$\frac{P(x)}{Q(x)}$的分母$Q(x)$可分解為數個多項式的積，其部分分數便是$\sum\frac{A_n}{Q(x)/h_n(x)}$，其中$h_n(x)$是$Q(x)$的因子，$A_n$是次數不大於Q(x)/h_n(x)的多項式。

### 例子

- 分拆$\frac{x^3 - 5x +88}{x^2 + 3x - 28}$

分子的次數是3，分母的是2，所以先將它轉成真分式和多項式的和（即帶分式）：

$$x-3 + \frac{32 x+4}{x^2 + 3x - 28}$$

因為$x^2 + 3x - 28 = (x+7)(x-4)$，所以

$$\frac{32 x+4}{x^2 + 3x - 28} = \frac{A}{x+7} + \frac{B}{x-4}$$

其中A和B是常數。兩邊乘以$x^2 + 3x - 28$，得

$$\ 32x + 4 = A(x-4) + B(x+7)$$

即

$$\ 32x + 4 = (A+B)x + (7B-4A)$$

比較係數，得

$$\ A + B = 32$$

$$\ 7B - 4A = 4$$

解得$A=20, B=12$。

故：

$$\frac{x^3 - 5x +88}{x^2 + 3x - 28} = x + \frac{20}{x+7} + \frac{12}{x-4} - 3$$

也可以把x的特殊值代入等式來解出A和B。例如，當x=4時，我們有

$$\ 128 + 4 = 11B$$

$$\ B = 12$$

當x=-7時，我們有

$$\ -224 + 4 = -11A$$

$$\ A = 20$$

### 應用

- 裂項和
- 複分析
- 拉普拉斯變換

## 積分

### 部分分數

在計算有理數式的積分時，部分分數的方法很有用，因為分母的1和2次多項式的有理數式的積分都有固定的方法計算。

- 分母為1次多項式：求$\int \frac{1}{ax+b} dx$。

設$u=ax+b$：

$$\frac{du}{dx} = a$$

$$\frac{du}{a} = dx$$

原式變為

$$\int \frac{1}{u} \frac{du}{a} = \frac{1}{a} \int \frac{1}{u} {du} = \frac{\ln\left|u\right|}{a} + C = \frac{\ln\left|ax+b\right|}{a} + C$$

- 分母次數為2：求$\int \frac{dx+e}{ax^2+bx+c} dx$。

若多項式$ax^2+bx+c$可分解為兩個一次多項式的積（即$b^2-4ac \ge 0$），則可用部分分數的方法解決。若多項式不可分解，則將它配方，再用各種替代法解決。

例如：

$$\int {x+6 \over x^2-8x+25}\,dx.$$

因為

$$x^2-8x+25=(x^2-8x+16)+9=(x-4)^2+9\,$$

考慮

$$u=x^2-8x+25\,$$

$$du=(2x-8)\,dx$$

$$du/2=(x-4)\,dx$$

將分子分解，以便應用上面的替換：

$$\int {x-4 \over x^2-8x+25}\,dx + \int {10 \over x^2 - 8x + 25} \, dx$$

左邊：

$$\int {x-4 \over x^2-8x+25}\,dx = \int {du/2 \over u} = {1 \over 2}\ln\left|u\right|+C = {1 \over 2}\ln(x^2-8x+25)+C$$

另一邊：

$$\int {10 \over x^2-8x+25} \, dx = \int {10 \over (x-4)^2+9} \, dx = \int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^2+1}\,dx$$

代入

$$w=(x-4)/3\,$$

$$dw=dx/3\,$$

$${10 \over 3}\int {dw \over w^2+1} = {10 \over 3} \arctan(w)+C={10 \over 3} \arctan\left({x-4 \over 3}\right)+C.$$

另一種可行的代入方法是：

$$\tan\theta={x-4 \over 3},\,$$

$$\left({x-4 \over 3}\right)^2+1=\tan^2\theta+1=\sec^2\theta,\,$$

$$d\tan\theta=\sec^2\theta\,d\theta={dx \over 3}.\,$$

$$\int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^2+1}\,dx = 10/9 \int \frac{1}{\sec^2 \theta} 3 \sec^2 \theta \, d\theta = {10 \over 3} \arctan\left({x-4 \over 3}\right)+C$$

### 奧斯特羅格拉茨基方法

奧斯特羅格拉茨基方法（Ostrogradsky Algorithm / Ostrogradsky's Method）是這樣的：

設求積的有理函數為 $\frac{P}{Q}$，其中$P,Q$是多項式，$\deg(P)<\deg(Q)$（$P$的次數少於$Q$）。設$Q_1$為Q的導數Q'和Q的最大公因數，$Q_2 = \frac{Q}{Q_1}$。則有：

$$\int \frac{P}{Q} dx = \frac{P_1}{Q_1} + \int \frac{P_2}{Q_2} dx$$

其中$P_1,P_2$為多項式，$\deg(P_i) < \deg(Q_i)$。

#### 應用例子

- 求 $\int \frac{x dx}{(x-1)^2 (x+1)^3}$。
- $$Q = (x-1)^2 (x+1)^3$$
- $$Q' = 2(x-1)(x+1)^3 + 3(x-1)^2 (x+1)^2 = (x-1)(x+1)^2 ( 5x-1 )$$
- $$Q_1 = gcd(Q,Q') = (x-1)(x+1)^2$$
- $$Q_2 = Q/Q_1 = (x-1)(x+1)$$

設 $P_1 = Ax^2 + Bx + C , \quad P_2 = Dx + E$

$$\int \frac{x dx}{(x-1)^2 (x+1)^3} = \frac{Ax^2 + Bx + C}{(x-1)(x+1)^2} + \int \frac{Dx + E}{(x-1)(x+1)} dx$$

兩邊取導數：

$$\frac{x}{(x-1)^2 (x+1)^3} = \frac{A x^3 + (2 B - A) x^2 + (3 C - B + 2 A) x - C + B}{ (x-1)^2 (x+1)^3 } + \frac{Dx + E}{(x-1)(x+1)}$$

通分母，右邊的分子為：

$$D x^4 + (E + D - A) x^3 + (E - D - 2 B + A) x^2 + (- E - D - 3 C + B - 2 A) x - E + C - B$$

比較分子的多項式的係數，得$A=B=E=-0.125, C=-0.25, D=0$。於是有

$$\int \frac{x dx}{(x-1)^2 (x+1)^3} = \frac{x^2 + x + 2}{8(1-x)(x+1)^2} + \int \frac{dx}{8(x-1)(x+1)}$$

後者可用部分分數的方法求得。

#### 證明

$$\int \frac{P}{Q} dx = \frac{P_1}{Q_1} + \int \frac{P_2}{Q_2} dx$$

$$\frac{P}{Q} = \frac{P'_1 - \frac{Q'_1 P_1}{Q_1} }{Q_1} + \frac{P_2}{Q_2}$$

兩邊乘以$Q$

$$P = P'_1 Q_2 - \frac{Q'_1 Q_2 P_1}{Q_1} + P_2 Q_1$$

由於 $Q'_1 Q_2 = Q' - Q_1 Q'_2$，而$Q'$和$Q_1 Q'_2$都是$Q_1$的倍數，所以$\frac{Q'_1 Q_2 P_1}{Q_1}$是多項式。

比較兩邊多項式的次數：

- $$\deg(P) \le \deg(Q)-1$$
- $$\deg(P'_1 Q_2 \le (\deg(Q_1)-1) + (\deg(Q)-\deg(Q_1)) = \deg(Q)-1$$
- $$\deg(\frac{Q'_1 Q_2 P_1}{Q_1}) \le (\deg(Q_1)-1) + (\deg(Q)-\deg(Q_1)) + ( \deg(Q_1) - 1 ) - \deg(Q_1) = \deg(Q) - 2$$
- $$\deg(P_2 Q_1) \le (\deg(Q) - \deg(Q_1) - 1) + \deg(Q_1) = \deg(Q)-1$$

因此$P_1, P_2$有解。

## 應用

- 帕德近似
- 插值

## 參考

- Ostrogradsky's method
- http://www.math.uncc.edu/~droyster/courses/fall01/classnotes/Lecture08.pdf