風險價值

風險價值（Value at Risk，縮寫：VaR），資產組合在持有期間內在給定的信賴區間內由於市場價格變動所導致的最大預期損失的數值。由此衍生出來的「風險價值」方法是風險管理中應用廣泛、研究活躍的風險定量分析方法之一。

對於給定的投資組合、時間跨度和機率 p，p VaR可以非正式地定義為：在排除所有聯合機率不超過 p 的更差結果之後，該時間段內的最大可能損失。這一定義假設採用按市值計價，且投資組合內不發生交易。

例如，若某股票投資組合的單日5% VaR為100萬美元，意味著在無交易情況下，該投資組合在一日內損失100萬美元或以上的機率為0.05，即平均每20個交易日約有1天出現100萬美元或以上的損失。

更正式地說，p VaR的定義如下：損失超過VaR的機率（至多）為 p，損失低於VaR的機率（至少）為 1-p。超過VaR閾值的損失被稱為「VaR突破」。

對於固定的 p，p VaR並不評估VaR突破發生時損失的規模，因此被部分人士視為風險管理中一個存疑的指標。例如，假設某人下注在7次擲硬幣中不會出現7次正面，條款規定：若未出現7次正面（機率127/128），他贏得100美元；若出現（機率1/128），他損失12,700美元。可能的損失金額為0美元或12,700美元。此時1% VaR為0美元，因為發生任何損失的機率為1/128，小於1%。然而，他實際上面臨最高12,700美元的潛在損失，即對任意 p ≤ 0.78125%（1/128）的 p VaR均可表達這一暴露。

VaR在金融領域有四項主要用途：風險管理、財務控制、財務報告以及計算監管資本。VaR有時也被應用於非金融領域。然而，它是一個頗具爭議的風險管理工具。

重要的相關概念包括經濟資本、回溯測試、壓力測試、預期損失和尾部條件期望值。

## 細節

VaR常用的參數為1%和5%機率，以及單日和兩週時間跨度，但其他組合亦有採用。

假設正常市場條件和無交易，並將損失限定於日常帳目中可測量的項目，其原因在於使損失具備可觀測性。在某些極端金融事件中，由於市場價格不可獲取或承擔損失的機構解體，損失可能無法確定。此外，災難的某些長期後果——如訴訟、喪失市場信心和員工士氣，以及品牌聲譽受損——可能需要很長時間才能顯現，且難以歸因於特定的先前決策。VaR劃定了正常交易日與極端事件之間的邊界。機構遭受的損失可能遠超VaR金額；唯一可以確定的是，這種情況不會頻繁發生。

機率水準的表述方式大致各佔一半：有時被指定為VaR突破機率的補數——即上例中的VaR將被稱為單日95% VaR而非單日5% VaR。這通常不會引起混淆，因為VaR突破的機率幾乎始終很小，必定低於50%。

儘管VaR幾乎代表損失，但按慣例以正數報告。負值VaR意味著投資組合有較高機率實現盈利——例如，單日5% VaR為負100萬美元，意味著投資組合在未來一天內有95%的機率盈利超過100萬美元。

另一個不一致之處在於，VaR有時指期末的盈虧，有時則指期間任意時點的最大損失。原始定義採用後者；但在1990年代初期，當VaR跨交易台和時區整合時，收盤估值是唯一可靠的數字，前者因此成為事實標準。在1990年代後半期，人們開始使用多日VaR時，幾乎總是僅估算期末的分佈。在理論上，時點估算也比區間最大值更易於處理。因此，期末定義在理論和實踐中均最為普遍。

## 種類

VaR的定義是非構造性的；它規定了VaR必須具備的性質，但未規定如何計算VaR。此外，定義的詮釋空間也相當寬泛。這導致了兩類廣泛的VaR形式：一類主要用於風險管理，另一類主要用於風險計量。兩者之間的區別並非截然分明，混合版本通常用於財務控制、財務報告和計算監管資本。

對於風險管理人員而言，VaR是一個系統，而非一個數字。該系統定期運行（通常為每日），所發布的數字與計算時間跨度內開倉頭寸的實際價格變動相比較。已發布的VaR事後不作任何調整，且對因輸入錯誤（包括IT故障、欺詐和未授權交易）、計算錯誤（包括未能按時生成VaR）以及市場波動所引起的VaR突破，均不作區分。

一項頻率論主張認為：VaR突破的長期頻率將等於規定的機率（在抽樣誤差範圍內），且VaR突破在時間上和VaR水準上均相互獨立。此主張通過回測——即已發布VaR與實際價格變動的比較——加以驗證。在這種詮釋下，許多不同系統均可產生具有同等良好回測結果的VaR，但日VaR值可能存在較大分歧。

在風險計量方面，所需的是一個數字，而非一個系統。貝葉斯機率主張認為：在計算時已知的資訊和預期下，VaR突破的主觀機率等於規定水準。VaR在事後會針對輸入和計算錯誤進行調整，但不納入計算時尚未獲取的資訊。在此背景下，「回測」具有不同含義：並非將已發布VaR與系統運行期間的實際市場走勢相比較，而是在盡可能長的可用且相關的數據期間內，對清洗後的歷史數據進行追溯計算。計算VaR與確定價格變動所用的持倉數據和定價模型相同。

儘管此處列舉的部分文獻僅承認一種VaR形式的合法性，但近期多數文獻似乎一致認為：風險管理VaR更適合用於當下的短期和戰術決策，而風險計量VaR則應用於理解過去，以及作出中期和戰略性的未來規劃。當VaR用於財務控制或財務報告時，應兼顧兩者。例如，若某交易台受VaR限額約束，這既是一項決定當日可接受哪些風險的風險管理規則，也是在報告期末計算該交易台風險調整回報時的風險計量輸入項。

### 在治理中的應用

VaR亦可應用於捐贈基金、信託和養老金計劃的治理。在此，受託人對整個資金池帳戶及各分散管理部分採用投資組合風險價值指標。受託人不作機率估算，而是分別為每個部分設定最大可接受損失水準。這樣做既為監督提供了簡明指標，又增強了問責性——管理人在此約束下須在既定風險參數內管理並避免損失。以此方式使用VaR，相較於回報標準差，提供了更直觀的風險計量控制監測方式。

美國證券交易委員會Rule 18f-4要求使用衍生工具的特定基金，須在基金的槓桿風險管理框架中遵從相對VaR測試。依賴該規則的基金通常須遵守基於風險價值的基金槓桿風險外部上限。此外部上限基於相對VaR測試——該測試將基金的VaR與該基金「指定參考投資組合」的VaR進行比較。基金一般可使用滿足特定要求的指數，或基金自身的證券投資組合（不含衍生工具交易）作為指定參考投資組合。若基金的衍生工具風險管理人合理認定某指定參考投資組合不適合用於相對VaR測試，則基金須遵從絕對VaR測試。在相對VaR測試下，基金的VaR通常不得超過其指定參考投資組合VaR的200%；在絕對VaR測試下，不得超過基金淨資產的20%。

## 數學定義

設 $X$ 為損益分佈（損失為負，盈利為正）。水準 $\alpha\in(0,1)$ 下的VaR是最小數 $y$，使得 $Y:=-X$ 不超過 $y$ 的機率至少為 $1-\alpha$。在數學上，$\operatorname{VaR}_{\alpha}(X)$ 是 $Y$ 的 $(1-\alpha)$-分位數，即

$\operatorname{VaR}_\alpha(X)=-\inf\big\{x\in\mathbb{R}:F_X(x)>\alpha\big\} = F^{-1}_Y(1-\alpha).$

這是VaR最一般的定義，兩個恆等式等價（事實上，對任意實隨機變量 $X$，其累積分佈函數 $F_X$ 均有定義）。然而，除非假設 $X$ 服從某種參數化分佈，否則此公式不能直接用於計算。

風險管理人員通常假設，部分壞事件的損失將無法確定——或因市場關閉或缺乏流動性，或因承擔損失的實體解體或喪失核算能力。因此，他們不接受基於定義明確的機率分佈假設的結果。納西姆·塔勒布將這一假設稱為「江湖騙術」。另一方面，許多學者傾向於假設一個定義明確的分佈，儘管通常帶有厚尾。這一分歧可能是VaR理論界爭議最大的問題。

風險價值亦可表達為失真風險測度，其失真函數為 $g(x) = \begin{cases}0 & \text{if }0 \leq x < 1-\alpha\\ 1 & \text{if }1-\alpha \leq x \leq 1\end{cases}.$

## 風險度量與風險指標

「VaR」一詞同時用於指風險度量和風險指標，有時會引起混淆。1995年以前的文獻通常強調風險度量，此後的文獻則更多強調風險指標。

VaR風險度量將風險定義為固定投資組合在固定時間跨度內的按市值計價損失。金融中存在許多替代性風險度量。由於未來績效無法採用按市值計價（以市場價格定義損失），損失通常（作為替代）被定義為基本面價值的變動。例如，若某機構持有一筆因利率上升而市場價格下跌的貸款，但現金流和信用質量無變化，部分系統不確認此為損失。另有系統嘗試納入日常財務報表中未能計量的經濟損失，如喪失市場信心或員工士氣、品牌聲譽受損或訴訟。

部分風險度量不採用固定時間跨度內的靜態投資組合假設，而是納入預期交易（如止損委託）的動態效應，並考慮持倉的預期持有期。

VaR風險指標通過分位數——即具有特定超額損失機率的節點——對可能損失的機率分佈進行匯總。一種常見的替代指標是預期損失。

## 風險價值與風險管理

相比於以標準差為代表的傳統風險測度，VaR著重於考慮更重要的資產下行風險，特別是極端情況下的損失規模。VaR支持者聲稱，VaR的首要也可能是最大的益處，在於它迫使機構改進系統和模型。1997年，Philippe Jorion 寫道：

VAR最大的益處在於它迫使機構採用結構化方法，批判性地思考風險。凡是經歷計算VAR過程的機構，都被迫正視自身對金融風險的暴露，並建立適當的風險管理職能。因此，通往VAR的過程可能與數字本身同等重要。

每日按時發布具有規定統計特性的數字，使交易機構的各個部門都遵循高度客觀的標準。必須建立健全的備份系統和默認假設。報告、建模或定價有誤的頭寸將顯露出來，不準確或延遲的數據源以及頻繁宕機的系統亦然。任何影響損益卻未在其他報告中反映的事項，都將在VaR虛高或VaR突破過多中顯現。「不計算VaR的風險承擔機構或許能夠倖免於難，但無法計算VaR的機構則不然。」

VaR的第二個聲稱益處在於，它將風險劃分為兩個區間。在VaR限額內，傳統統計學方法是可靠的。可用相對短期且具體的數據進行分析，機率估算具有實際意義（因為數據足夠多以供驗證）。在某種意義上，此處並不存在真實的風險，因為這些是大量獨立觀察值的總和，結果有下界。例如，賭場不擔心下一次輪盤旋轉是紅還是黑。風險管理人員鼓勵在這一區間承擔有效的風險，因為實際代價微乎其微。人們往往過於擔憂這些頻繁發生的風險，而對最壞的日子裡可能發生的事情關注不足。

在VaR限額之外，則是另一個世界。風險應以基於長期和廣泛市場數據的壓力測試進行分析。機率表述不再有意義。了解超出VaR點的損失分佈既不可能也沒有用處。風險管理人員應將精力集中於確保在盡可能情況下制定限制損失的良好計劃，以及在無法避免損失時能夠承受損失。

一個具體系統採用三個區間。

- 1至3倍VaR屬於正常事件，定期出現VaR突破是意料之中的。損失分佈通常具有厚尾，短期內可能出現多次突破。此外，市場可能異常，交易可能加劇損失，且損失可能未能在日常盯市中得到計量（如訴訟、員工士氣和市場信心喪失，以及品牌聲譽受損）。一個無法將3倍VaR損失視為日常事件加以應對的機構，可能在建立VaR系統之前便已倒閉。
- 3至10倍VaR是壓力測試的範圍。機構應確信已審查了所有可預見的、會在此範圍內造成損失的事件，並有能力承受這些損失。此類事件過於罕見，難以可靠地估算機率，因此風險/回報計算沒有意義。
- 可預見事件不應造成超過10倍VaR的損失。若確實如此，則應通過對沖或保險加以規避，或調整業務計劃以避免，或上調VaR。若可預見的損失在數量級上遠超日常巨額損失，業務難以為繼，且由於這類事件超出了日常經驗的範疇，規劃往往也十分困難。

VaR作為指標的另一個價值，在於它能夠將投資組合的風險壓縮為一個單一數字，從而使不同投資組合（持有不同資產）之間的風險具有可比性。在任何投資組合內，亦可識別出能夠更好對沖投資組合以降低VaR的特定持倉。

### 計算方法

步驟如下：

- 界定影響資產組合價值的市場因素變數，例如：利率、匯率、商品價格
- 確定這些變量的分佈或隨機過程，例如：正態分佈
- 將資產組合的市場價值表達成這些變量及其相關係數的函數
- 選擇某種方法來預測這些市場因素的變化，通過函數得到資產組合的市場價值的改變量——即「風險價值」（VaR）

VaR可採用參數法（如方差-協方差 VaR或delta-gamma VaR）或非參數法（如歷史模擬 VaR或重採樣 VaR）進行估算。非參數VaR估算方法詳見Markovich和Novak。Kuester等人對多種VaR預測策略進行了比較研究。

2012年5月發布的一份麥肯錫報告估計，85%的大型銀行採用歷史模擬法，另外15%採用蒙地卡羅方法（通常應用主成分分析降維）。

## 風險價值系統

芝加哥商品交易所（CME）於1988年12月16日在金融衍生工具市場推出衡量投資組合風險價值的系統SPAN（Standard Portfolio Analysis of Risk），用以衡量該交易所會員結算頭寸的總風險，從而確定應收保證金數額，如今已成為計算投資組合保證金的全球行業標準之一。

## 回溯測試

回溯測試（backtesting）是評估VaR預測結果與投資組合實際盈虧是否相符的過程。相較於預期損失等大多數風險指標，VaR的一項主要優點在於可利用多種回溯測試程序對一組VaR預測結果進行驗證。早期的回溯測試範例見於Christoffersen（1998），後由Pajhede（2017）加以推廣。其方法是對損失超過VaR的「命中序列」建立模型，並檢驗這些「命中」事件是否相互獨立、且發生機率是否正確。例如，在採用95% VaR時，損失超過VaR的機率應為5%，且各次命中應相互獨立。

另有若干回溯測試方法以命中序列中命中事件之間的時距為建模對象，詳見Christoffersen與Pelletier（2004）、Haas（2006）及Tokpavi等人（2014），以及Pajhede（2017）。如上述文獻所指出，在高覆蓋率（例如99% VaR）情況下，漸近分佈通常表現欠佳，因此常採用Dufour（2006）的參數化自助法以獲得正確的檢驗規模。Matlab及R語言均有現成的回溯測試工具包可供使用。

巴塞爾協議II的第二支柱包含一個驗證VaR數值的回溯測試步驟。

## 歷史

美國銀行業在1980年代末至1990年代初飽受商業風險困擾，金融機構的壞帳逐年增加，普遍認為《巴塞爾協議》的信貸評估公式扭曲了貸款決策。在此背景下，JP摩根公司所發明的風險價值方法因能定量分析市場風險而備受重視。

風險計量問題在統計學、經濟學和金融領域由來已久，金融風險管理長期以來亦是監管機構和金融高管關注的議題。回溯性研究在這段歷史中發現了若干類VaR的概念，但VaR作為一個獨立概念的出現，要到1980年代末才得以實現。其直接導火索是1987年股市崩盤——這是第一場有大批接受學術訓練的量化分析師身居足以關切整個公司存亡的高位的重大金融危機。

此次崩盤在標準統計模型下的發生機率極低，由此令量化金融學的整個基礎受到質疑。對歷史的重新審視促使部分量化分析師得出結論：大約每十年一到兩次的週期性危機，會衝破用於交易、投資管理及衍生品定價模型所蘊含的統計假設。這些危機往往同時波及多個市場，包括平時並無相關性的市場，且鮮少有可辨別的經濟成因或預警信號（儘管事後的解釋層出不窮）。後來，它們被納西姆·尼可拉斯·塔雷伯命名為「黑天鵝」，其概念更延伸至金融領域之外。

若將這些事件納入量化分析，它們將主導分析結果，導致策略在日常運作中失效；若將其排除，則「黑天鵝」事件之間積累的收益可能遠不及危機中遭受的損失——機構或因此倒閉。

VaR正是作為一種系統性方法而發展起來，旨在將極端事件與日常價格波動加以區隔：前者通過對長期歷史和廣泛市場事件的定性研究加以處理，後者則通過特定市場短期數據的定量研究加以處理。人們曾希望「黑天鵝」事件出現前，至少在部分市場中VaR估計值的上升或VaR突破頻率的增加能夠提供預警，但這一點能否成立仍存爭議。

為使VaR可供觀測，非正常市場狀況及交易行為被排除在VaR估計之外。然而，這並非總能實現——例如在9/11事件後市場關閉、或如2008年多次出現的嚴重流動性匱乏情況下，損失的界定本身便存在困難。當承擔風險的機構本身陷入倒閉或解體時，損失同樣難以界定。此外，若某一指標依賴於交易員採取特定行動、迴避其他行動，則可能引發自我指涉。

此即風險管理型VaR。在1990年代以前，這一方法已在多家金融機構的量化交易部門（尤其是信孚銀行）中得到廣泛應用，但其名稱與定義尚未標準化，各交易台的VaR亦未予匯總。

1990年代初，多家公司陷入困境，原因在於同一底層押注以不明顯的方式遍布公司各處。由於許多交易台已在計算風險管理型VaR，且它是唯一一個既能針對所有業務加以界定、又能在不作強力假設的前提下加以匯總的通用風險指標，因而成為全公司風險報告的自然選擇。摩根大通首席執行官丹尼斯·韋瑟斯通以要求「4時15分報告」著稱——即要求在收市後15分鐘內，將全公司所有風險匯總於一頁紙上呈報。

風險計量型VaR正是為此目的而發展起來。摩根大通在這方面的研究最為深入，並於1994年公開發布其方法論，免費提供必要基礎參數的估計值——這是VaR首次突破相對小圈子的量化分析師群體而廣為人知。兩年後，該方法論獨立為一家營利性機構，即現今隸屬於MSCI的RiskMetrics集團。

1997年，美國證券交易委員會裁定，上市公司須在財務報表附註中披露其衍生品業務的定量資訊；主要銀行及交易商選擇以納入VaR資訊的方式履行這一規定。

自1999年起逐步推廣並接近完成的巴塞爾協議II的全球採納，進一步推動了VaR的應用。VaR是市場風險的首選計量方式，協議其他部分亦採用了與VaR類似的概念。

## 批評

VaR自1994年由交易台進入公眾視野以來一直頗具爭議。1997年納西姆·尼可拉斯·塔雷伯與Philippe Jorion之間著名的 辯論闡明了爭議的主要論點。塔雷伯認為VaR：

- 拋棄了2,500年的經驗，轉而依賴由非交易員建構的未經驗證模型
- 是一種騙術，因為它聲稱能估算本質上無法測量的極端事件的風險
- 提供了虛假的信心
- 將被交易員所利用

2008年，大衛·艾因霍恩與Aaron Brown在《全球風險專業人士協會評論》（GARP Risk Review）上就VaR展開辯論。艾因霍恩將VaR比作「在一切時候都正常運作的安全氣囊，除非你真的發生了車禍」。他進一步指控VaR：

- 導致金融機構過度承擔風險及過度槓桿化
- 只聚焦於分佈中部可管控的風險，忽視了尾部風險
- 製造了承擔「過度但遙遠風險」的誘因
- 「在令高層管理人員和監管者產生虛假安全感時，具有潛在的災難性後果。」

《紐約時報》記者喬·諾塞拉於2009年1月4日發表了長篇文章 《風險管理失當》，探討VaR在2008年金融危機中所扮演的角色。文章在訪談多位風險管理人員後指出，VaR對風險專家而言極具價值，但同時也因給銀行高管和監管者帶來虛假的安全感而加劇了危機。VaR作為專業風險管理者的有力工具，既容易遭到誤解，一旦被誤解又十分危險。

塔雷伯於2009年在美國國會作證，要求禁止使用VaR，理由包括：尾部風險在本質上不可測量；以及出於錨定原因，VaR會導致更高的風險承擔。

VaR不具備次可加性：合併投資組合的VaR可能大於各組成部分VaR之和。

以美國銀行分支機構遭搶劫為例：平均約每十年發生一次搶劫事件，單一分支機構在某一特定日被搶劫的機率約為0.0004%，因此搶劫風險不會進入單日1% VaR的範疇——機構應購買保險而非自行管控這一風險。隨著機構分支機構增多，某一特定日遭搶劫的機率上升至接近VaR量級，此時進行內部壓力測試並自行分析風險才具合理性。對於大型銀行機構而言，搶劫屬於日常事件，損失被納入日常VaR計算並以統計方式追蹤，而非逐案處理。投資組合或機構規模越大，特定風險便從「低機率/低可預測性/高影響」轉變為「統計上可預測/個體影響低」的損失，即從遠在VaR之外（應予保險）過渡至接近VaR邊界（應逐案分析），再進入VaR之內（以統計方式處理）。

VaR是一個靜態風險指標——從定義上看，VaR是底層機率分佈的一個特定特性（本質上是一個分位數）。如需動態風險指標，詳見Novak第10章。

常見的VaR濫用包括：

- 假設合理損失不會超過VaR的若干倍（通常為三倍）——實際上損失可能極為巨大
- 報告未通過回溯測試驗證的VaR——無論採用何種方法計算，VaR都應在歷史數據中產生正確數量的「突破」次數（在抽樣誤差範圍內）。常見的違反常識的做法是基於未經驗證的「一切均遵循多元常態分佈」假設來估算VaR

### VaR、CVaR、RVaR與EVaR

VaR並非一致風險測度，因為它違反了次可加性，即：

$$\mathrm{If}\; X,Y \in \mathbf{L} ,\; \mathrm{then}\; \rho(X + Y) \leq \rho(X) + \rho(Y).$$

然而，VaR可被條件風險價值（CVaR）或超熵風險值（EVaR）等一致風險測度所約束。CVaR定義為信賴水準介於0至α之間的VaR值的平均。

與CVaR不同，VaR具有穩健統計量的性質。與之相關的一類風險測度稱為「區間風險價值」（RVaR），是CVaR的穩健版本。

對於 $X\in \mathbf{L}_{M^+}$（其中 $\mathbf{L}_{M^+}$ 為所有博雷爾可測函數且其矩母函數在所有正實數值上存在的函數集合），有：

$$\text{VaR}_{1-\alpha}(X)\leq \text{RVaR}_{\alpha,\beta}(X) \leq \text{CVaR}_{1-\alpha}(X)\leq\text{EVaR}_{1-\alpha}(X),$$

其中

$$\begin{align} &\text{VaR}_{1-\alpha}(X):=\inf_{t\in\mathbf{R}}\{t:\text{Pr}(X\leq t)\geq 1-\alpha\},\\ &\text{CVaR}_{1-\alpha}(X) := \frac{1}{\alpha}\int_0^{\alpha} \text{VaR}_{1-\gamma}(X)d\gamma,\\ &\text{RVaR}_{\alpha,\beta}(X) := \frac{1}{\beta-\alpha}\int_{\alpha}^{\beta} \text{VaR}_{1-\gamma}(X)d\gamma,\\ &\text{EVaR}_{1-\alpha}(X):=\inf_{z>0}\{z^{-1}\ln(M_X(z)/\alpha)\}, \end{align}$$

其中 $M_X(z)$ 為X在z處的矩母函數。上列方程式中，變量X表示財務損失，而非通常情形下的財富。