嘉當聯絡

在數學上，微分幾何的結構嘉當聯絡（Cartan connection）是聯絡概念的一個推廣，由Élie Cartan提出。該方法的一些應用請參見活動標架法，嘉當聯絡的應用和愛因斯坦-嘉當理論。

## 理論的概念方面

它由埃里·嘉當提出，作為他的活動標架法的一部分（和一種表述方法）。它可作用於微分形式，所以帶有計算的特徵，但也有兩個其它重要的方面，兩個都更偏幾何。嘉當重新表述了偽黎曼幾何的微分幾何；並不僅僅是（度量）流形，還有任意流形的理論，包括李群。這是用活動標架（repère mobile）的術語來表述的，特別是作為廣義相對論的另一種表述。

主要的想法是用正交標架建立聯絡形式和曲率的表達式。

嘉當形式化是協變導數和曲率的一種可選表示法，它採用微分形式和標架。雖然它最基本的形式是坐標相關的，它非常適合計算。它也可以用標架叢的術語來理解，並且有像旋量叢（spinor bundle）這樣的推廣。

### 標架的一般理論

理論的第一個方面指向主叢的理論（也可以成為標架的一般理論）。對於李群G的主叢上的聯絡的想法比較容易表述，因為在「豎直方向」，可以看到所需的數據可以通過把所有切向量平移回單位元（回到李代數）給出，而聯絡的定義只是簡單的加上一個相容的'水平'分量。若G是對於另一個李群H的一種仿射群-也就是G是H和一個H作用在其上的向量平移群T的半直積，則一個H叢可以通過關聯叢（associated bundle）構造變成一個G叢。也有一個關聯的T叢：一個向量叢，H以自同胚作用於其上，該自同胚在G上成為內自同胚。

這種設置下的第一類定義是H的一個嘉當聯絡是一個特定類型的主G-聯絡。

### 認同切叢

第二種定義直接檢視以光滑流形M為基空間的切叢TM。這裡，數據是TM的一種特定的認同，作為一個叢，作為上面提到的T叢中的豎直切向量（其中，M自然的認同為0截面）。這稱為焊接（soldering,有時寫作welding）:我們現在把TM放在了更豐富的設置中，它由H值的變換數據表達。這裡的一個要點是，和前面的討論一樣，它不假設H忠實地作用在T上。這直接使得旋量叢可以在理論中取代它們的位置，只要把H變成一個旋量群而不只是一個正交群。

## 使用形式化屬於的一般理論

在根源上，幾何由空間的不同物體間的"相似性"的概念組成。在19世紀晚期，相似性的概念通常由李群在空間上的作用給出。李群的作用通常是非常剛性的，所以嘉當幾何是這種相似概念的一個推廣使得曲率得以出現。當然，一個平坦的嘉當幾何是沒有曲率的幾何。從平坦的情況開始，我們用一般性的形式化數學術語描述嘉當幾何是什麼意思。

### 平坦的情況

#### 問題的引入

愛爾蘭根綱領主要處理拓撲群的齊性空間的研究，特別的，多數有用的幾何（至少在19世紀和20世紀初）剛好就是同胚於李群的李子群的商空間的齊次微分流形。正是繼承自李群的微分結構給了這些齊次空間比一般的齊次空間更多的（微分類型的）結構。

#### 數學細節

嘉當的一般方法是從一個李群G和一個李子群H開始，它們的李代數分別為$\mathfrak g$和$\mathfrak h$。有一個H的右作用在標準同態

$$\pi:G \rightarrow G/H$$

纖維上，由$R_hg=gh$給出。一個向量場是豎直的若$\pi_*X=0$. 任何$X\in\mathfrak h$可以通過右作用的微分給出一個標準的豎直向量場$X^+$。所以，譬如若h(t)是若h(t)是一個單參數子群，其在么元的切向量為h'(e)=X,則其垂直向量場為

$$X^+=\frac{d}{dt}|_{t=e}R_{h(t)}.$$

G的Maurer-Cartan form w可以用齊次空間上的主叢的術語公理化的解釋為：

- w是一個G上的g值1-形式，它是G的切空間的線性同構。
- $(R_h)_*w=Ad(h^{-1})w$對所有H中的h.
- $w(X^+)=X$對所有$\mathfrak h$中的X.
- $dw+\frac{1}{2}[w,w]=0$（結構方程）

反過來講，可以表明，給定一個流形和一個M上的主H叢，若叢上給出一個形式w滿足這些條件，則該主叢局域同構於一個主齊次叢$G\rightarrow G/H$的H叢.Maurer-Cartan形式的第四個屬性等價於建立這種同構的可積性條件。一個嘉當幾何是這個意義下的可積性條件的一種破壞，使得曲率得以出現。

### 彎曲的情況

從上述的齊次空間$(G,H,{\mathfrak g},{\mathfrak h},w)$的基本數據開始，我們現在準備定義一個嘉當幾何為這個結構的一個特定變形，使得曲率能夠出現。

#### 引例

黎曼幾何可以看作是歐氏幾何的"變形",偽黎曼流形是閔可夫斯基空間的變形，配置了共形結構的微分流形（Weyl流形）可以視為共形幾何的變形，一個配置了仿射聯絡的微分流形（但沒有黎曼度量）可以視為仿射幾何的變形，等等。

還有很多其它例子。特別的有，G可以不是H上的仿射群。物理中的例子有，若M為一四維流形而H為旋子洛倫茲群Spin(3,1)，則G可以是

R4$\rtimes$Spin(3,1）,

或Spin(4,1)或Spin(3,2)。這分別對應於選擇閔可夫斯基空間，de Sitter空間和反de Sitter空間。這些結構的彎曲對應物在廣義相對論中很重要。（選擇哪個群取決於宇宙常數的符號）

另一個例子，G可以是SO(n+1,1)，作用於n+2維閔可夫斯基空間，而H可以是通過原點的射線的等距群。這樣得到的幾何結構和n球的共形運動群同構。這些數據的彎曲對應和流形的共形結構的表述相關。

#### 數學細節

嘉當幾何有下列部分組成。一個光滑n維流形M，一個r維李群H,其李代數為$\mathfrak h$，一個M上的主H叢P，一個n+r維李群G，其李代數為$\mathfrak g$，H為G子群。嘉當聯絡是P上的$\mathfrak g$-值的1-形式滿足

- w是P的切空間的線性同構
- $(R_h)_*w=Ad(h^{-1})w$對所有H中的h
- $w(X^+)=X$對所有$\mathfrak h$中的X

嘉當聯絡的曲率為$\mathfrak g$-值的2-形式

$$\Omega=dw+\frac{1}{2}[w,w]$$

若M配備了一個嘉當幾何，其切空間有一個標準的H表示。實際上，投影$\pi:P\rightarrow M$有微分$\pi_*:TP\rightarrow TM$. $\pi_*$的核（kernel）由垂直向量的子叢組成，嘉當聯絡平凡化為$\mathfrak h$. 這樣M的切叢同構於纖維積

$$TM\cong P\times_H \mathfrak g/\mathfrak h$$

這裡$\mathfrak g/\mathfrak h$被H的伴隨表示作用於其上。

## 嘉當聯絡的規範

進行嘉當聯絡的實際計算時，傳統上要在一個特定的規範中進行。M上的一個規範就是M的（一個開子集上的）$\mathfrak g$-值1-形式$\theta$，使得商映射$$\theta:T_p M\rightarrow{\mathfrak g}\rightarrow {\mathfrak g}/{\mathfrak h}$$ 是向量空間的同構。

用聯絡w的術語來講，一個規範可以通過選擇一個截面$s:M\rightarrow P$，並置$\theta=s^*w$來決定。這樣一個叢的截面稱為一個活動標架。若一對截面s和t給定，則他們通過H-作用相聯，所以$s=kt$，其中k一個M上的H-值函數。所導出的規範$s^*w$和$t^*w$有下列方程關聯

$$s^*w=Ad(k^{-1})t^*w+k^*\omega_H$$

其中$\omega_H$是H的Maurer-Cartan形式。

## 基本D算子

令V為H的實或復表示，H的作用記作$\rho$。令$A^0(P,V)$為P上的等變V值函數，使得

$R_h^*f=\rho(h^{-1})f$對所有$f\in A^0(P,V)$.

或者說

$A^0(P,V)=P\times_H V$.

令$A^q(P,V)$為P上的等變V值q-形式的空間。在有嘉當聯絡的情況，有一個標準的同構

$$\phi:A^q(P,V)\cong A^0(P,\bigwedge^q\mathfrak g^*)$$

由下式給出$$\alpha(X_1,X_2,\dots,X_q)=\phi(\alpha)(w^{-1}X_1,\dots,w^{-1}X_q)$$

de Rham算子保持等變性，所以退化為一階微分算子

$d:A^q(P,V)\rightarrow A^{q+1}(P,V)$.

基本D算子就是如下複合算子

$D=\phi^{-1}\circ d:A^0(P,V)\rightarrow A^0(P,V\otimes \mathfrak g^*)$.

作用於$A^0(P,V)$中的函數，得到

$$D_X f=w^{-1}(X)f.$$

## 共變微分

共變微分是一種一階微分算子，可以定義在一大類嘉當幾何上。同上節一樣，令數據$(P,H,\mathfrak g,\mathfrak h, w)$給定一個嘉當幾何，並令$(V,\rho)$為H的一個表示，並在M上形成向量叢$\mathbb V=A^0(P,V)$。共變導數是一個一階微分算子

$$\nabla_X:\Gamma(\mathbb V)\rightarrow \Gamma(\mathbb V)$$

對每個$X\in TM$滿足通常的公理：若v和w是$\mathbb V$的截面，k是M上的函數，而X和Y是TM的截面，則

- $$\nabla_X(v+w)=\nabla_Xv+\nabla_Xw$$
- $$\nabla_{X+Y}v=\nabla_Xv+\nabla_Yv$$
- $$\nabla_{kX}v=k\nabla_Xv$$
- $$\nabla_X(kv)=X(k)v+k\nabla_Xv.$$

要構造共變微分，令v為$\mathbb V$任一截面。注意v可以看作H-等變映射$P\rightarrow V$。這是我們要採用的觀點。令X為M的切叢的一個截面。取任意到P的切叢上的右不變提升$\bar{X}$。定義

$\nabla_X v=\bar{X}(v)+\rho(\omega(\bar{X}))(v)$.

要證明$\nabla_X$有所需屬性，它必須：（1）和所選的提升$\bar{X}$無關，（2）等變，所以它下降為$\mathbb V$的一個截面。

對於（1），選擇X的一個右不變的提升的模糊性是$X\mapsto X+\zeta^+$形式的變換，其中$\zeta^+$是一個從$\zeta\in\mathfrak h$導出的右不變豎直向量場。所以，在新的提升$\bar{X}+\zeta^+$下計算共變導數，就得到

$$\nabla_Xv=\bar{X}(v)+\zeta^+(v)+\rho(\omega(\bar{X}+\zeta^+))(v)$$

$$=\bar{X}(v)+\zeta^+(v)+\rho(\omega(\bar{X}))(v)+\rho(\zeta)(v)$$

$$=\bar{X}(v)+\rho(\omega(\bar{X}))(v)$$

因為$\rho(\zeta)(v)=-\zeta^+(v)$，這只要取等變屬性$R_{h}^*v=\rho(h^{-1})v$的微分就可以看到。

對於（2），因為$\bar{X}$是右不變的。

$$R_h^*(\bar{X}(v))=\bar{X}(R_h^*v)=\bar{X}(\rho(h^{-1})(v))=\rho(h^{-1})(\bar{X}(v))$$

進一步的有

$$R_h^*[\rho(\omega(\bar{X}))(v)]=\rho(Ad(h^{-1})\omega(\bar{X}))(\rho(h^{-1})v)$$

$$=\rho(h^{-1})\rho(\omega(\bar{X}))(v)$$

所以$R_h^*(\nabla_X v)=\rho(h^{-1})\nabla_X v$，和我們所要的一樣。

參看：黎曼幾何，廣義相對論

## 進一步的閱讀

- M. Nakahara, "Geometry, Topology and Physics", ISBN 0750306068（2nd ed, paperback）

## 參見條目

- 埃雷斯曼聯絡
- 仿射聯絡
- 曲率形式