域 (數學)

在抽象代數中，域（field）又稱域，是一種具有加法跟乘法的集合（代數結構），且其加法跟乘法運算就如同普通的有理數還有實數。事實上，體正是數域以及四則運算的推廣，所以被廣泛運用在代數、數論等數學領域中。

體是環的一種。但區別在於域要求它的非零元素可以做除法，且體的乘法有交換律。

最有名的體結構的例子就是有理數體、實數體還有複數體。還有其他形式的體，例如有理函數體、代數函數體、代數數體、p進數體等，都很常在數學的領域中被使用或是研究，特別是數論或是代數幾何。此外還有一些密碼學上的安全協定都是依靠著有限體。

在兩個體中的關係被表示成體擴張的觀念。Galois理論，由Évariste Galois在1830年代提出，致力於理解體擴展的對稱性。其中Galois理論還有其他結果，解決了不能用尺規作圖做出三等份角以及化方為圓的問題。此外，還解決了五次方程不能有公式解的問題。

## 正式定義

給定集合 $K$，它具有了以下兩種二元運算：

- $\oplus:K \times K \to K$ （其中 $\oplus(a,\,b)$ 慣例上簡記為 $a \oplus b$）
- $\otimes:K \times K \to K$ （其中 $\otimes(a,\,b)$ 慣例上簡記為 $a \otimes b$ 或 $a \cdot b$ 甚至是 $ab$）

滿足：

- $(K,\,\oplus)$ 為交換群，且其單位元為 $0_K$。
- $(K-\{0_K\},\,\otimes)$ 為交換群。
- 分配律：對所有 $a,\,b,\,c \in K$，$a \otimes (b \oplus c) = (a \otimes b) \oplus (a \otimes c)$ 且 $(b \oplus c) \otimes a = (b \otimes a) \oplus (c \otimes a)$。

那稱「$(K,\,\oplus,\,\otimes)$ 為體」，當二元運算（$\oplus$和$\otimes$）的定義顯而易見而不需特別強調時，亦可將 $(K,\,\oplus,\,\otimes)$ 簡記為 $K$。

### 慣用符號與稱呼

(1)體的代號：

有時會基於德語 Körper，以字母 $K$ 代稱體，但也會基於英語 Field 以 $F$ 代稱。

(2)加法與乘法：

習慣上，$\otimes$ 被稱為乘法， $(K-\{0_K\},\,\otimes)$ 的單位元會記為 $1_K$，並稱為 $(K,\,\oplus,\,\otimes)$ 的乘法單位元。

類似地， $\oplus$ 被稱為加法， $0_K$ 被稱為體的加法單位元。

類似於實數的加乘法，這兩個二元運算的運算式如果沒有括弧，會依照先乘後加的順序理解。

(3)減法與除法：

對於任意 $a,\,b \in K$，一般會遵循群的習慣，將 $a$ 的加法逆元素記做 $-a$，並將 $b+(-a)$ 簡記為 $b-a$，並可將之稱為減法。

類似地，若 $a \neq 0_K$， $a$ 的乘法逆元素記做 $\frac{1}{a}$，並將 $b \otimes \frac{1}{a}$ 簡記為 $\frac{b}{a}$，並可將之稱為除法。

這些運算跟實數四則運算不必然相同，上面的約定慣例只是方便記憶和理解。但另一方面，在不與實數四則運算混淆的前提下，$\otimes$也可簡記為$\times$，$\oplus$也可簡記為$+$。

### 子體

類似於子群，也可以定義如下的子體：

$(K,\,\oplus,\,\otimes)$ 為體。若$K$的非空子集$A \subseteq K$使$(A,\,\oplus_{A \times A},\,\otimes_{A \times A})$也為體，則稱$(A,\,\oplus_{A \times A},\,\otimes_{A \times A})$為$(K,\,\oplus,\,\otimes)$的子體(subfield)；如果二元運算（$\oplus$和$\otimes$）不須特別強調，也可以簡稱為「$A$為$K$的子體」。

$\oplus_{A \times A}$意思就是保留原來$\oplus$的對應規則，但把定義域縮小到$A \times A$所生成的新函數（也就是函數的限制）。所以直觀上「$A$是$K$的子體」的意思就是：「把$\oplus$和$\otimes$的定義範圍由$K$縮小成$A$時，$\oplus$和$\otimes$仍然保有體的運算性質」。

## 基本性質

$\left(K,\,+,\,\times\right)$ 為體，那對任意 $a \in K$ 有

$$0_K \times a = a \times 0_K = 0_K$$

證明根據分配律和加法單位元的性質會有 : $a \times 0_K = a \times (0_K + 0_K) = a \times 0_K + a \times 0_K$ : $0_K \times a= (0_K + 0_K) \times a = 0_K \times a + 0_K \times a$ 這樣的話，根據加法結合律還有加法單位元的性質有 $\begin{align} 0_K & = -(a \times 0_K) + a \times 0_K\\ & = -(a \times 0_K) + (a \times 0_K + a \times 0_K)\\ & = [-(a \times 0_K) + a \times 0_K] + a \times 0_K\\ & = 0_K + a \times 0_K\\ & = a \times 0_K \end{align}$ $\begin{align} 0_K & = -(0_K \times a) + 0_K \times a\\ & = -(0_K \times a) + (0_K \times a + 0_K \times a)\\ & = [-(0_K \times a) +0_K \times a] + 0_K \times a\\ & = 0_K + 0_K \times a\\ & = 0_K \times a \end{align}$ 故得証。$\Box$

以上的定理也證明了，只要$\left(K,\,+\right)$ 為交換群且有分配律，就足以決定 $0_K$ 相關乘法的值。所以正式定義雖然把 $0_K$ 排除在與乘法有關的運算性質之外，但事實上把$0_K$包含進去也會有交換律和結合律，也就是說

$\left(K,\,+,\,\times\right)$ 為體，那對任意 $a,\,b \in K$ 有 : $a \times b = b \times a$ $\left(K,\,+,\,\times\right)$ 為體，那對任意 $a,\,b,\,c \in K$ 有 : $a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$ $\left(K,\,+,\,\times\right)$ 為體，那對任意 $a,\,b \in K$ 有 : $-(a \times b)=(-a) \times b = a \times (-b)$

證明根據乘法交換律跟分配律有 $\begin{align} (a \times b)+[(-a) \times b] & = (b \times a)+[b \times (-a)]\\ & = b \times (a - a)\\ & = b \times 0_K \end{align}$ 這樣根據定理(1)和加法交換律就有 : $(a \times b) + [(-a) \times b] = [(-a) \times b] + (a \times b) = 0_K$ 所以 : $-(a \times b) = [(-a) \times b]$ 再考慮到乘法的交換律有 : $-(a \times b) = -(b \times a) = (-b) \times a = a \times (-b)$ 故得証。$\Box$

$\left(K,\,+,\,\times\right)$ 為體，若 $a,\,b \in K$ 且 $a \neq 0_K$ 和 $b \neq 0_K$，則

$$\frac{1}{a\times b} = \frac{1}{a} \times \frac{1}{b}$$

證明根據乘法的結合律和交換律，還有乘法單位元的性質會有 $\begin{align} \left(\frac{1}{a}\times\frac{1}{b}\right)\times (a \times b) & = \left(\frac{1}{b}\times\frac{1}{a}\right)\times (a \times b)\\ & = \frac{1}{b}\times\left[\frac{1}{a}\times (a \times b)\right]\\ & = \frac{1}{b}\times\left[\left(\frac{1}{a}\times a \right)\times b\right]\\ & = \frac{1}{b}\times(1_K \times b)\\ & = \frac{1}{b}\times b\\ & = 1_K\\ & = (a \times b) \times (\frac{1}{a}\times\frac{1}{b}) \end{align}$ 故得証。$\Box$

$\left(K,\,+,\,\times\right)$ 為體，那對任意 $a,\,b \in K$，若 $a \times b = 0_K$，則 $a = 0_K$ 或 $b = 0_K$。

證明如果 $K-\{0_K\} = \varnothing$，那對任意 $a \in K$ 都有 $a = 0_K$，所以以下只考慮 $K-\{0_K\} \neq \varnothing$ 狀況。假設存在 $a,\,b \in K$ 滿足 $a \neq 0_K$ 和 $b \neq 0_K$，但同時 $a \times b = 0_K$，這樣根據定理(1)和(3)有 $\begin{align} 1_K &= (\frac{1}{a}\times\frac{1}{b})\times(a\times b)\\ & = (\frac{1}{a}\times\frac{1}{b}) \times 0_K\\ & = 0_K \end{align}$ 這顯然是矛盾的，所以根據反證法和德摩根定理，對所有的 $a,\,b \in K$，只能「$a,\,b$ 其中一者為 $0_K$」或「$a \times b \neq 0_K$」，也就等價於： :「對所有 $a,\,b \in K$，若 $a \times b = 0_K$ 則 $a,\,b$ 其中一者為 $0_K$。」故得証。$\Box$

- 若$(K,\,\oplus,\,\otimes)$ 為體，$(K-\{0_K\},\,\otimes)$的有限子群都是循環群。
- 若存在正整數n使得0 = 1 + 1 + ... + 1（n個1），那麼這樣的n中最小的一個稱為這個域的特徵，特徵要麼是一個素數p，要麼是0（表示這樣的n不存在）。此時$F$中最小的子域分別是$\mathbb{Q}$或有限域$\mathbb{F}_p$，稱之為$F$的素域。
- 一個交換環是域若且唯若它的理想只有自身和零理想。
- 在選擇公理成立的假設下，對每個域F都存在著唯一的一個域G（在同構意義上），G包含F，G是F的代數擴張，並且G代數封閉。G稱作由F確定的代數閉包。在很多情況下上述的同構並不是唯一的，因此又說G是F的一個代數閉包。

## 例子

- 許多常見的數域都是域。比如說，全體複數的集合$\mathbb{C}$與其加法和乘法構成一個域。全體有理數的集合$\mathbb{Q}$ 與其加法和乘法也是一個域，它是$\mathbb{C}$的子域，並且不包含更小的子域了。
- 代數數域：代數數域是有理數域$\mathbb{Q}$的有限擴域，也就是說代數數域是$\mathbb{Q}$上的有限維向量空間。代數數域都同構於$\mathbb{C}$的子域，並且這個同構保持$\mathbb{Q}$不變，即這個同構把每個有理數都映射到它自身。代數數域是代數數論研究的對象。
- 代數數構成的域：所有的代數數的集合對於加法和乘法構成一個域，記作$\overline{\mathbb{Q}}$。$\overline{\mathbb{Q}}$是有理數域$\mathbb{Q}$的代數閉包（見下）。$\overline{\mathbb{Q}}$是特徵為零的代數封閉的域的一個例子。
- 全體實數的集合$\mathbb{R}$對於加法和乘法構成一個域。實數域是複數域$\mathbb{C}$的子域，也是一個有序域。後者使得實數域上能夠建立起微積分理論。
- 所有的實代數數的集合也構成一個域，它是$\mathbb{R}$的一個子域
- 任意一個有限域的元素個數是一個素數q的乘方，一般記作Fq，就是所謂的伽羅瓦域。任意一個元素個數是素數q的域都同構於Z/pZ = {0, 1, ..., p − 1}。令p = 2,就得到最小的域：F2。F2隻含有兩個元素0和1，運算法則如下：

- 設E和F是兩個域，E是F的子域，則F是E的 擴域。設x是F中的一個元素，則存在著一個最小的同時包含E和x的F的子域，記作E (x)，E (x)稱作E在F中關於 x的單擴張。比如說，複數域$\mathbb{C}$就是實數域$\mathbb{R}$在$\mathbb{C}$中關於虛數單位i的單擴張
- 每一個有乘法麼元的環R都對應著一個包含它的域，稱為它的分式域，記作K(R)。分式域的具體構造方法是定義類似於最簡分數的等價類，再將環「嵌入」其中（詳見分式域）。可以證明，K(R)是包含R的「最小」的域。
- 設F是一個域，定義F (X)是所有以F中元素為係數的分式的集合，則F (X)是F的一個擴域。F (X)是F上的一個無窮維的向量空間，這是域的超越擴張的一個例子。
- 設F是一個域，p(X)是多項式環FX上的一個不可約多項式，則商環FX/是一個域。其中的表示由p(X)生成的理想。舉例來說，RX/是一個域（同構於複數域$\mathbb{C}$）。可以證明，F的所有單擴張都同構於此類形式的域。
- 若V是域F上的一個代數簇，則所有V → F 的有理函數構成一個域，稱為V的函數域。
- 若S是一個黎曼曲面，則全體S → C 的亞純函數構成一個域。
- 由於序數的類不是集合，因此在其上定義的尼姆數不能構成真正的域。但它滿足域的所有條件，且其任意封閉子集（如小於$2^{2^n}$的所有自然數構成的子集）都是域。

## 有限體

有限體是一個體有著有限多個元素，其元素個數也跟體的階數相同，按照體的定義，可以知道$\mathbb{F}_2$為最小的有限體，因為根據定義，一個體至少包含兩個元素$1\neq 0$。

通常來說，最簡單的質數階體，就是$\mathbb{Z}/ p \mathbb{Z}=\{0,1,...p-1\}$，此處$p$為質數，在這個體上的加法與乘法等同於在整數$\mathbb{\Z}$上的運算，然後除以$p$，取它的餘數。這個運算精確的建構了一個體，通常我們將這個體記作$\mathbb{F}_{p}$。要注意的是$\mathbb{Z}/ n \mathbb{Z}=\{0,1,...n-1\}$，當n為合成數時並不是一個有限體，例如在 $\mathbb{Z}/ 4 \mathbb{Z}$ 中 $2\times2=0$，因此 $(\{1,2,3\},\times)$ 不能形成群。

如果我們將向量空間$\mathit{V}=\mathbb{F}_{p}/m^n$，則我們將V稱作有限體向量空間，其中$n=\dim\mathit{V}$，可知這個向量空間中，有$p^n$個元素。

如果我們將有限體放入矩陣，也就是$GL_{n}(\mathbb{F}_p)$，則此矩陣的元素有$(p^n-1)(p^n-p)...(p^n-p^{n-1})$

## 歷史

歷史上，三個代數中的學科導引到了體的概念:第一個是解多項式方程的問題，第二個是代數數論，第三個則是代數幾何的問題。體的概念始於1770年，由拉格朗日所提出。拉格朗日他觀察到關於三次方程的根x1, x2, x3的置換，在以下的表達

(其中ω是三次方程的單位根)只產生兩個值。在這方向上，拉格朗日概念上的解釋了由 希皮奧內·德爾·費羅 和 弗朗索瓦·韋達 的經典解法，其解法藉由簡化三次方程關於未知 x 到一個 x3的二次方程。四次方程上也和三次方程一樣有相似的觀察，拉格朗日因此連結的關於體的概念還有群的概念。數學家范德蒙也同樣在1770年有著更全面的延伸。

## 伽羅瓦理論

請參見伽羅瓦理論