質能等價

E = mc²，即質能等價（mass-energy equivalence）、質能互換，亦稱為質能轉換公式、質能方程，是闡述能量（E）與質量（m）間相互關係的理論物理學公式，公式中的 c 是物理學中代表真空光速的常數。從現代物理的觀點來看，這個方程表示靜質量相當於靜能量。

## 方程式的含義

該公式表明，有質量的物體相對於一個參照系靜止時仍然有巨大的能量。而在牛頓力學中，靜止的物體沒有動能，可能有勢能、化學能或熱能，這些能量通常遠小於物體的質量乘c²。

## 背景及其影響

這個等式源於阿爾伯特·愛因斯坦對於物體慣性和它自身能量關係的研究。研究的著名結論就是物體質量實際上就是它自身能量的量度。為了便於理解此關係的重要性，可以比較一下電磁力和引力。電磁學理論認為，能量包含於與力相關而與電荷無關的場（電場和磁場）中。在萬有引力理論中，能量包含於物質本身。因此物質質量能夠使時空扭曲，但其它三種基本相互作用（電磁相互作用，強相互作用，弱相互作用）的粒子卻不能，這並不是偶然的。

一千克物質完全等價於

- 89,875,517,873,681,764 焦耳或
- 大約21,470,501,160,000 卡路里
- 24,965,421,632 千瓦時
- 21.48076431 百萬噸TNT

要注意實際的靜質量到能量的轉換不大可能是百分之百有效的。一個理論上完美的轉化是物質和反物質的湮滅；對於多數情況，轉換會有很多含靜質量的副產品，因而只有少量的靜質量真正被轉換成能量。在該方程中，質量就是能量，但是為了簡明起見，轉換這個詞常常被用於代替質能等價關係，實際上通常所指的一般是靜質量和能量的轉換。

### 影響

這個方程表示質量和能量等價，現今即以能量單位eV（電子伏特）描述夸克等物質的質量。

雖然很多人並不確切的知道這個公式的真實含義，但它已經成為人類歷史上最有名的公式之一，並成為文化的一部分。

有人認為這一公式直接導致了原子彈的設計和製造，但事實上質能轉換公式對於原子理論和原子彈的設計和製造並無任何的直接或間接促進作用，而僅僅是後人用來解釋原子彈原理的工具之一。通過測量不同原子核的質量和那個數量的獨立質子和中子的質量和的差，可以得到原子核所包含的結合能的估計值。這不僅顯示可能通過輕核的核聚變和重核的核裂變釋放這個結合能，也可用於估算會釋放的結合能的量。

## 方程的推導

令$m_0$表示靜止質量，$m$表示相對論質量，$m = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$。

以一外力$\mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}$對物體作功，根據動能定理，物體的微小動能變化為

$${dE_k}=\mathbf{F}{dx}= \frac{d\mathbf{p}}{dt}{dx} = d\mathbf{p} \frac{dx}{dt}$$

因為$\mathbf{p}=mv, \frac{dx}{dt}=v$，所以${dE_k}=vd(mv)=v^2dm+mvdv$

由$m = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$得：$m^2c^2-m^2v^2=m_0^2c^2$

因為m,v都是t的函數，將該式兩邊對t微分，得：$c^2dm=v^2dm+mvdv$，將結果代入上式${dE_k}$，得

$${dE_k}=c^2dm$$

對其積分，有：${E_k}={\int_{m_0}^{m}c^2\,dm}=mc^2-m_0c^2$

這就是相對論的動能公式。

把$E=mc^2$解釋為物體以速率$v$運動時的能量，則$E_0=m_0c^2$為物體靜止時的能量。因此總能量$E=E_k+E_0$.

## 低速近似

上面得到的動能的相對論表達式是：

$${E_k}=mc^2-m_0c^2 = m_0c^2 \left[ \frac{1} {\sqrt{1-v^2/c^2}} - 1\right]$$

將$\frac{1} {\sqrt{1-v^2/c^2}}$展開為冪級數，則有：

$$\frac{1} {\sqrt{1-v^2/c^2}} =1 + \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c}\right)^2 + \frac{3}{8} \left(\frac{v}{c}\right)^4 + \frac{5}{16} \left(\frac{v}{c}\right)^6 + \cdots.$$

對於遠小於光速的速度，$v/c$很小，該式中的高階項會越來越小。只保留前兩項，則有：

$${E_k}= m_0c^2 \left[ \frac{1} {\sqrt{1-v^2/c^2}} - 1\right] \approx m_0c^2 \left[ 1 + \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c}\right)^2 -1 \right] = \frac{1}{2} m_0 v^2.$$

也就是經典力學的動能表達式。這表明經典力學是相對論在低速運動下的一個高度精確的近似。

## 狹義相對論中的質量

### 使用相對論質量

亨德里克·勞侖茲（Hendrik Lorentz，1853-1928）在他的電子理論裡以力和加速度的比（代替動量和速率的比）來定義質量。他發現當外力平行或垂直與運動方向時的有效質量不一樣：平行時$m_{\parallel} = \gamma^3 m_0$而垂直時$m_{\perp} = \gamma m_0$。其中$\gamma$被稱為洛倫茲因子。

現在稱為相對論質量的概念最初由R.C. Tolman在1912年提出。相對論質量和靜質量$m_0$（也即物體相對於參照系靜止時的質量）的關係如下：

$$m = \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

物體的相對論質量（或稱「運動質量」）$m$正比於物體總能量$E$。對運動物體有$E=mc^2$。一束光子在真空中傳播，其靜止質量是0，但由於它們有能量，因此相對論質量不為0。

### 使用靜止質量

愛因斯坦晚年認為「相對論質量」是無益的：

給運動物體引入質量$M = m/\sqrt{1 - v^2/c^2}$的概念是不好的，它沒有明確的定義。除了『靜止質量』$m \,\!$之外，最好不再引入其他質量概念。與其引入$M \,\!$，不如提及運動物體的動量和能量表達式。

愛因斯坦於1948年寫給林肯·巴涅特的一封信

It is not good to introduce the concept of the mass $M = m/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ of a moving body for which no clear definition can be given. It is better to introduce no other mass concept than the 'rest mass' $m \,\!$. Instead of introducing $M \,\!$ it is better to mention the expression for the momentum and energy of a body in motion.

埃德溫·F·泰勒和約翰·惠勒不使用它，因為：

現代的物理學家很少使用「相對論質量」的概念，現代的物理學家都用m來表示靜止質量，它是四維動量和四維速度的比：

$$p^{\mu} = m v^{\mu}$$

而物體的相對論能量就是四元動量的時間部：

$$E \equiv p^{0} = \sqrt{p^2c^2+m^2c^4} = \gamma mc^2$$

其中$p = \gamma mv$是物體的相對論動量。

有$E_0 = mc^2\,$，即物體的靜能量相當於質量。

## 愛因斯坦和他1905年的論文

阿爾伯特·愛因斯坦沒有在他的1905年論文中精確地表述這個方程。"Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?"（「一個物體的慣性依賴於它所包含的能量嗎?」，發表於《物理學年鑑》9月27日），這是現在被稱為「奇蹟年論文」的文章之一。

愛因斯坦最初將方程寫為$dm = \frac{\mathrm L}{\mathrm c^2}$（用「$L$」來表示能量）。該論文的確切內容是：「若一個物體以輻射形式發射能量L，它的質量減少$\frac{\mathrm L}{\mathrm c^2}$。」

## 其他貢獻

愛因斯坦不是唯一將能量聯繫到質量的人，但他是第一個將這個作為更大的理論的一部分推出的，而且，是根據這個理論的前提所導出的結果。

根據Umberto Bartocci（佩魯賈大學數學史家），該方程早在兩年之前就由Olinto De Pretto發表了，他是一個義大利維琴查的工業家。但是沒有主流史學家認為這個結論是真實的或者是重要的，他們認為即便De Pretto是首位發現該公式的人，但是只有在愛因斯坦將它和相對論建立聯繫之後，該公式才真正顯示出價值。

## 外部連結

- E=mc² 100歲誕辰 BBC
- 愛因斯坦的E=mc²啟發了芭蕾舞 BBC
- 蘭伯特舞團：Constant Speed E=mc²
- 愛德華·馬勒的主頁>反物質計算器
- 核爆的能量
- 愛因斯坦在1905年9月27日發表的論文
- 愛因斯坦在1912年的手稿顯示了E=mc²
- NOVA - 愛因斯坦的偉大構想，《愛因斯坦的偉大想法》是一部在2005年時播放的關於質能方程E=mc²的基礎、誕生、應用的電視傳記，該傳記主要講述1905年間的事情。