策梅洛-弗蘭克爾集合論

策梅洛-弗蘭克爾集合論（Zermelo-Fraenkel Set Theory），是數學基礎中最常用的一階公理化集合論。含選擇公理時常簡寫為ZFC，不含選擇公理的則簡寫為ZF。它是二十世紀早期為了建構一個不會導致類似羅素悖論的矛盾的集合理論所提出的一個公理系統。

## 介紹

ZFC旨在構建自一個單一的基本本體論概念集合，和一個單一的本體論假定，就是在論域中所有的個體（就是所有數學對象）都是集合。有一個單一的基本二元關係集合成員關係；集合$a$是集合$b$的成員寫為$a\in b$（通常讀做"$a$是$b$的元素"）。ZFC是一階理論，所以ZFC包括後台邏輯是一階邏輯的公理。這些公理支配了集合的行為和交互。ZFC是標準形式的公理化集合論。使用ZFC的大量的正在進行中的普通數學推導請參見 Metamath 在線計劃。

在1908年，恩斯特·策梅洛提出了第一個公理化集合論，即策梅洛集合論。然而，這個公理系統無法構建出序數的集合；而序數是許多集合論研究的根本工具。此外，Zermelo的分類公理中使用了被稱作「明確性」的性質，而它的實際意義是有歧義的（此時一階邏輯的概念還未被提出）。在1922年，亞伯拉罕·弗蘭克爾和陶拉爾夫·斯科倫獨立的提議了定義「明確性」為可以在一階邏輯中公式化並原子公式僅包括集合的公式。他們還同時提出應該用替代公理取代分類公理，並在體系中添加正規公理（首先由 馮諾依曼提出），從而得到了被稱作 ZF的公理體系。

再向ZF增加選擇公理就誕生了ZFC。選擇公理曾飽受爭議，因為選擇函數的存在性是非構造性的；選擇公理確立了選擇函數的存在，而不說明如何構造這些函數。所以使用選擇公理構造的一些集合，儘管可以證明其存在，但可能無法詳細、描述性地構造出。因此，當一個結論依賴於選擇公理時，有時會被明確地指出。

ZFC一般由一階邏輯寫出，實際上包含了無窮多個公理，因為替代公理實際上是公理模式。理察·蒙塔古證明了ZFC和ZF集合論二者都不能用有限個公理來公理化。在另一方面，馮諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論（Von Neumann–Bernays–Gödel, NBG）可以被有限公理化。NBG的對象同時包括集合和類；類是有含有元素但不在其他任何類中的實體。NBG和ZFC事實上是等價的，即所有不以任何方式提及類的定理在兩個公理體系中同時可以證明或同時不能證明。

依據哥德爾第二不完備定理，ZFC的一致性不能在ZFC之內證明。ZFC的延展包括了通常意義上的大部分數學，所以ZFC的相容性不能在其他數學分支中證明。ZFC的相容性可從弱不可達基數的存在(獨立於ZFC)而得出。幾乎沒有人懷疑ZFC有什麼矛盾；通常認為，如果ZFC事實上不自洽，那相應的例子早就應該被發現了。可以肯定的是，ZFC避開了樸素集合論的三大悖論，羅素悖論、布拉利-福爾蒂悖論和康托爾悖論。

文獻中討論過的ZFC的缺陷包括：

- 它比幾乎所有普通數學所要求的程度還要強（桑德斯·麥克萊恩和所羅門·費弗曼這麼認為）。
- 相對於其他集合論的公理化，ZFC相對要弱。例如，它不允許全集合（如新基礎）或類（如NBG）的存在。
- 桑德斯·麥克萊恩（範疇論的締造者之一）和其他人爭論說任何公理化集合論對於實際上的數學工作方式而言都是不正當的。依據他的觀點，數學不是關於抽象對象的搜集和它們的性質的學科，而是關於結構和結構保持的映射的學科。

## 基本符號

ZFC有許多等價的形式。下列的公理是由丘嫩於1980年提出。公理本身以一階邏輯來敘述。

本條目定理的證明會頻繁引用一階邏輯的定理，定理的代號可以參見常用的推理性質一節。

以下把 $\vdash_{ZFC}$ 和 $\vdash_{ZF}$ 都簡寫為 $\vdash$，除了強調使用選擇公理的情況。

### 斷言符號

在ZF下，「屬於關係」以一個雙元斷言符號 $P(x,\,y)$ 來表示， $P(x,\,y)$ 通常簡記為 $x \in y$，並被直觀理解成「x屬於y」；類似地， $P(x,\,y)$ 的否定 $\neg P(x,\,y)$ 通稱被簡記為 $x \notin y$，並被直觀理解為「x不屬於y」。

另外，丘嫩的ZF系統以一個雙元斷言符號 $Q(x,\,y)$ 來表示「相等關係」（通常簡記為 $x = y$），且 $x = y$ 被預先的假設為ZF理論裡的相等符號，換句話說，對於 $x = y$ 有以下的隱含公理： *（E1）對任意變數 $x$，$(\forall x)(x=x)$ 為公理。*（E2）對於任意變數 $x$ 和 $y$，若在公式 $\mathcal{A}$ 中自由的 $x$ 都不在 $\forall y$ 的範圍內。若以 $\mathcal{A}_y$ 代表 $\mathcal{A}$ 某些（而非全部）自由的 $x$ 被取代成 $y$ 而成的新公式，則::$(\forall x)(\forall y)[(x=y)\Rightarrow(\mathcal{A}\Rightarrow\mathcal{A}_y)]$ :為公理。習慣上會把 $\neg(x = y)$ 簡記成 $(x \neq y)$。

### 包含

但ZF所談及的一切對象為「集合」，直觀上「x包含於y」意為「所有x的元素a都會屬於y」，以此為動機，ZF有以下的符號簡寫

$$x \subseteq y := \forall a[\, (a \in x) \Rightarrow (a \in y) \,]$$

以上可稱為「x包含於y」，也可稱為「x是y的子集（subset）」。注意到 $a$ 須為展開這個簡寫時首次出現的變數，才能避免與其他變數混淆。

## 外延公理

$$(\forall x) (\forall y) \{(\forall z)[(z \in x) \Leftrightarrow (z \in y)] \Rightarrow (x = y)\}$$

目前ZF內沒有任何函數符號，而且一開始就假設 $x = y$ 為ZF理論裡的相等符號，所以依據一階邏輯的等式定理一節應有：

$$\vdash (x = y)\Rightarrow [(z \in x) \Rightarrow (z \in y)]$$

$$\vdash (y = x)\Rightarrow [(z \in y) \Rightarrow (z \in x)]$$

$$\vdash (x = y)\Rightarrow (y = x)$$

這樣結合(AND)和演繹元定理就有：

$$\vdash (x = y)\Rightarrow [(z \in x) \Leftrightarrow (z \in y)]$$

對上式使用(GEN)有：

$$\vdash (\forall z)\{ <pre> (x = y) \Rightarrow [(z \in x) \Leftrightarrow (z \in y)] </pre> \}$$

再結合量詞公理(A5)就有：

$$\vdash (x = y) \Rightarrow (\forall z)\{ <pre> [(z \in x) \Leftrightarrow (z \in y)] </pre> \}$$

注意對外延公理(ext)使用兩次量詞公理(A4)會有：

$$\vdash (\forall z)\{ <pre> [(z \in x) \Leftrightarrow (z \in y)] </pre> \} \Rightarrow (x = y)$$

這樣結合(AND)就有：

$$\vdash (x = y)\Leftrightarrow (\forall z)[(z \in x) \Leftrightarrow (z \in y)]$$

也就是外延公理(ext)搭配等號公理，可以推出「兩個集合相等，若它們有相同的元素。」

### 視相等符號為公式

除了一開始就假設 $x=y$ 為ZF的相等符號，也可以一開始做如下的符號定義，將$x = y$ 定義為以下合式公式的簡寫：

$$(x = y) := (\forall z)[(z \in x) \Leftrightarrow (z \in y)] \land (\forall z)[(x \in z) \Leftrightarrow (y \in z)]$$

（$z$ 須為展開這個簡寫時首次出現的變數）

直觀上，這個符號定義表示「兩個集合相等，若它們有相同的元素；且它們會屬於同個集合」

如此一來，就不需要外延公理，也可以確保 $x = y$ 為ZF理論裡的相等符號：

證明以下的證明會逐條檢驗等式定理一節所條列的定義 （E1）： $(x = x)$ 展開來是 : $(\forall z)[ (z \in x) \Leftrightarrow (z \in x) ] \land (\forall z)[ (x \in z) \Leftrightarrow (x \in z) ]$ 那考慮到恆等關係和(AND)有 : $\vdash (z \in x) \Leftrightarrow (z \in x)$ : $\vdash (x \in z) \Leftrightarrow (x \in z)$ 那再套用(GEN)有 : $\vdash (\forall z)[ (z \in x) \Leftrightarrow (z \in x) ]$ : $\vdash (\forall z)[ (x \in z) \Leftrightarrow (x \in z) ]$ 對上兩式使用(AND)有 : $\vdash (\forall z)[ (z \in x) \Leftrightarrow (z \in x) ] \land (\forall z)[ (x \in z) \Leftrightarrow (x \in z) ]$ 所以（E1）得證。（E2）：目前ZF內沒有任何函數符號，所以對變數 $x$ 來說，ZF的原子公式只有 $(x \in z)$ 和 $(z \in x)$ 兩種可能，這樣的話，（E2）等同於要求以下兩式是ZF的定理 : (1) $(x = y) \Rightarrow [\, (x \in z) \Rightarrow (y \in z) \,]$ : (2) $(x = y) \Rightarrow [\, (z \in x) \Rightarrow (z \in y) \,]$ 對 $(x = y)$ 使用(AND)有 : $(x = y) \vdash (\forall z)[ (x \in z) \Leftrightarrow (y \in z) ]$ : $(x = y) \vdash (\forall z)[ (z \in x) \Leftrightarrow (z \in y) ]$ 那上兩式搭配量詞公理(A4)與(D1)會有 : $(x = y) \vdash (x \in z) \Leftrightarrow (y \in z)$ : $(x = y) \vdash (z \in x) \Leftrightarrow (z \in y)$ 對上面兩式使用(AND)和(D1)就有 : $(x = y) \vdash (x \in z) \Rightarrow (y \in z)$ : $(x = y) \vdash (z \in x) \Rightarrow (z \in y)$ 所以根據演繹元定理，（E2）得證。（E3）：本條定義要求以下的合式公式為ZF的定理 : $(x = y) \Rightarrow (y = x)$ 從且的交換性有 : $\vdash (\forall z)[(z \in x) \Leftrightarrow (z \in y)] \Rightarrow (\forall z)[(z \in y) \Leftrightarrow (z \in x)]$ : $\vdash (\forall z)[(x \in z) \Leftrightarrow (y \in z)] \Rightarrow (\forall z)[(y \in z) \Leftrightarrow (x \in z)]$ 對上面兩式使用(AND)和(D1)就有 : $(x = y) \vdash (\forall z)[(z \in y) \Leftrightarrow (z \in x)]$ : $(x=y) \vdash (\forall z)[(y \in z) \Leftrightarrow (x \in z)]$ 再對上面兩式使用(AND)和(D1)又有 : $(x = y) \vdash (y=x)$ 所以（E3）的確是ZF的定理。綜上所述， $x = y$ 的確為ZF理論裡的相等符號。$\Box$

但採用這個符號定義的ZF與丘嫩的ZF是兩套不等效的理論，因為在丘嫩的ZF裡沒有以下的定理：

$$\vdash [(x \in z) \Leftrightarrow (y \in z)] \Rightarrow (x = y)$$

### 真子集

在定義「相等」以後，可以把「相等的集合」排除出子集的定義中，換句話說，ZF有以下的符號定義

$$x\subset y := (x \subseteq y) \wedge (x \neq y)$$

可直觀理解為「x是y的真子集（proper subset）」。

## 正規公理

$$(\forall x)\bigg\{ <pre> (\exists a)( a \in x) \Rightarrow (\exists y)\Big\{ (y \in x) \land \{\lnot (\exists z)[ (z \in y) \land (z \in x) ]\} \Big\} </pre> \bigg\}$$

「每個非空集合$x$都包含一個成員$y$，使得$x$和$y$不相交。」

## 替代公理

(Axiom schema of replacement)

令$\phi \!$是ZFC語言內的任意公式，其自由變數有$x,y,A,w_1,\ldots,w_n \!$，但$B$在$\phi \!$ 則不是自由的。則：

$\forall A\forall w_1,\ldots,w_n \bigl[ \forall x ( x\in A \Rightarrow \exists!y\,\phi ) \Rightarrow \exists B \forall x \bigl(x\in A \Rightarrow \exists y (y\in B \land \phi)\bigr)\bigr]$。

「若一個可定義的函數$f$的定義域為一集合，且對定義域的任一$x$，$f(x)$也都是集合，則$f$的值域會是一個集合的子集。」這個限制被需要用來避免一些悖論。

## 分類公理

若變數 $s$ 於公式 $\mathcal{P}$ 完全被約束，則對任意不是 $s$ 的變數 $x$ 與 $a$：

$$(\forall x)(\exists s)(\forall a)\{ <pre> (a \in S) \Leftrightarrow [(a \in x) \land \mathcal{P}] </pre> \}$$

都是公理。

「對每個集合 $x$ 和任意不含變數 $s$ 的公式 $\mathcal{P}$，都有某 $x$ 的子集合 $s$，裡面的成員都滿足 $\mathcal{P}$」

分類公理事實上是以集合建構式符號為動機。構成的集合通常使用來標記。給定一集合z和具有一自由變數$x$的公式$\phi(x)\!$，則由所有在$z$內，滿足$\phi\!$的$x$所組成的集合，標記為

$\{x \in z : \phi(x)\}$。

分類公理可以用來證明空集（標記為$\varnothing$）的存在，只要至少已存在一個集合。通常的方法是找一個所有集合都沒有的性質。例如，設$w$是一個已存在的集合，而空集可定義為

$\varnothing = \{u \in w \mid (u \in u) \land \lnot (u \in u) \}$.

若背景邏輯包含等式，也可定義空集為

$\varnothing = \{u \in w \mid \lnot (u = u) \}$.

因此，空集公理可由此處的九個公理中導出。外延公理還可證明空集是唯一的（不依賴$w$）。通常會以定義性擴展，將符號$\varnothing$加至ZFC語言中。

### 分類元定理

分類公理也可以由替代公理和空集公理中導出，而視為一條元定理：

## 配對公理

(Axiom of pairing)

若$x$和$y$是集合，則存在一個集合包含$x$和$y$。

$\forall x \forall y \exist z (x \in z \land y \in z)$。

這個公理是Z的一部份，但在ZF中就顯得多餘，因為它可以由將替代公理應用至任意有兩個成員的集合上導出。此類集合的存在性可由將無窮公理或冪集公理應用兩次至空集上得到。

## 聯集公理

(Axiom of union)

對任一個集合$\mathcal{F}$，總存在一個集合$A$，包含每個為$\mathcal{F}$的某個成員的成員的集合。

$\forall \mathcal{F} \,\exists A \, \forall Y\, \forall x [(x \in Y \land Y \in \mathcal{F}) \Rightarrow x \in A]$。

## 無窮公理

(Axiom of infinity)

令$S(x)\!$為$x \cup \{x\} \!$，其中$x \!$為某個集合，則存在一個集合$X$，使得空集$\varnothing$為$X$的成員，且當一個集合$y$為$X$的成員時，$S(y)\!$也會是$X$的成員。

$\exist X \left [\varnothing \in X \land \forall y (y \in X \Rightarrow S(y) \in X)\right ]$。

較口語地說，存在一個有無限多成員的集合$X$。滿足無窮公理的最小集合$X$為馮諾伊曼序數$\omega$，這個序數也可想成是自然數的集合$\mathbb{N}$。

## 冪集公理

(Axiom of power set)

令$z \subseteq x$為$\forall q (q \in z \Rightarrow q \in x)$。對任一個集合$x$，皆存在一個集合$y$，為$x$的冪集的父集。$x$的冪集為一個其成員為所有$x$的子集的類。

$\forall x \exists y \forall z [z \subseteq x \Rightarrow z \in y]$。

## 良序定理

(Well-ordering theorem)

對任一集合$X$，總存在一個可良好排序X的二元關係$R$。這意指著，$R$是$X$上的全序關係，且$X$內每個非空子集在$R$下都有一個最小元素。

$\forall X \exists R ( R \;\mbox{well-orders}\; X)$。

若給定前八個公理，就可以找到許多個和第九個公理等價的敘述，最著名的則為選擇公理，其敘述如下：令$X$為一非空集合，則存在一從$X$映射至$X$內成員的聯集的函數（稱為「選擇函數」），可使得對所有的$Y \in X$都會有$f(Y) \in Y$。因為當$X$為有限集合時，選擇函數的存在性很容易由前八個公理中證出，所以選擇公理只在無限集合中有意義。選擇公理被認為是非結構的，因為它只聲明一個選擇集合的存在，但完全不講這個選擇集合是如何被「建構」出來的。

## 文獻

- 亞歷山大·阿比安, 1965. The Theory of Sets and Transfinite Arithmetic. W B Saunders.
- Keith Devlin, 1996 (1984). The Joy of Sets. Springer.
- Abraham Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, and Levy, Azriel, 1973 (1958). Foundations of Set Theory. North Holland.
- Hatcher, William, 1982 (1968). The Logical Foundations of Mathematics. Pergamon.
- Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
- Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
- Suppes, Patrick, 1972 (1960). Axiomatic Set Theory. Dover.
- Tourlakis, George, 2003. Lectures in Logic and Set Theory, Vol. 2. Cambridge Univ. Press.
- Jean van Heijenoort, 1967. From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard Univ. Press. Includes annotated English translations of the classic articles by Zermelo, Frankel, and Skolem bearing on ZFC.

## 外部連結

- Metamath. An online project building a great deal of mathematics from first-order logic and ZFC. Principia Mathematica done right.
- Stanford Encyclopedia of Philosophy: Set Theory —by Thomas Jech.