Lp空間

在數學中，Lp空間是由p次可積函數組成的空間；對應的ℓp空間是由p次可和序列組成的空間。它們有時叫做勒貝格空間。

在泛函分析和拓撲向量空間中，他們構成了巴拿赫空間一類重要的例子。Lp空間在工程學領域的有限元分析中有應用。

## 基本知識

### 長度、距離與範數

泛函分析中，常常會在某類函數的集合上架設拓撲結構乃至更複雜的結構，以便使用拓撲乃至分析學的知識來討論這些集合的屬性。最常見的附加結構是賦范向量空間。將函數集合作為裝備了範數向量空間來看待，有助於理解函數類的關係和性質。範數是歐幾里德空間中長度概念的推廣。在平面幾何或立體幾何中，長度以及距離是最基本的概念之一。對象的形狀、位置、大小等性質或關係都是建立在長度和距離的定義上。最直觀的長度概念是由平直物理空間中抽象而來，滿足勾股定理。例如說在平面上，原點到點$P = (x, y)$的向量長度是$\sqrt{x^2 + y^2}$。三維空間中，原點到點$P = (x, y, z)$的向量長度$\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。長度函數$l$滿足如下的基本性質：

- 只有零向量的長度是零：$l(v) = 0 \iff v = 0,$
- 數乘線性：$\forall \lambda \in \mathbb{R}, \; \; l(\lambda v) = \left\vert\lambda\right\vert l(v),$
- 滿足三角不等式：$l(u) + l(v) \geqslant l(u + v).$

比如說在更一般的n維歐幾里德空間$\mathbb{R}^n$中。

$$l(v) = (x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2)^{\frac12}$$

這個函數也滿足以上的基本性質。更一般地，在向量空間$V$中，滿足以上性質的函數：$\mathcal{N} :\; V \rightarrow \mathbb{R}_+$稱為$V$上的「長度」函數或範數。比如在歐幾里德空間$\mathbb{R}^n$中也可以對給定的實數p ≥ 1定義範數：

$$\ \mathcal{N}_p(x) = \|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\dotsb+|x_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}$$

這個範數稱為$\mathbb{R}^n$上的p-範數。p = 2的時候，就是常見的歐幾里德範數。p = 1的時候，是所謂的曼哈頓距離。當p趨於無窮大的時候，p-範數趨於一個「極限」範數，稱為一致範數（也記作L∞-範數），定義為：

$$\ \mathcal{N}_{\infty}(x) = \|x\|_{\infty}=\max (|x_1|, |x_2| \cdots , |x_n|).$$

對不同的p來說，等長度點的集合是不一樣的。比如右圖列出了三種不同範數下單位圓（從原點出發，「長度」等於1的點的集合）形狀。

### 可數維度空間的p-範數

有限維空間中的p-範數可以如$\mathbb{R}^n$一般定義。當空間維數是可數無限時，也可以將p-範數的定義拓展到其上。這個定義一般適用於由數列或序列構成的空間，稱為$\ell^p$空間。常見的有如下例子：

- $\ell^1$空間，所有絕對收斂級數列構成的空間。
- $\ell^2$空間，所有平方收斂級數列構成的空間。
- $\ell^\infty$空間，所有有界數列構成的空間。

事實上，序列集合上可以自然地按照序列的加法和數乘定義出向量空間。而$\ell^p$空間則是在這個向量空間中定義如下的p-範數：

$$\|(x_n)_{n\in\mathbb{N}} \|_p = \left(|x_1|^p + |x_2|^p + \dotsb+|x_n|^p + |x_{n+1}|^p + \dotsb\right)^{\frac{1}{p}} = \left(\sum_{n\in\mathbb{N}} |x_n|^p \right)^{\frac{1}{p}}.$$

然而，上式中右側的級數不總是收斂的（有可能其級數和是無窮大）。所以$\ell^p$空間實際上是所有序列集合中，令上式右側的級數能夠收斂的元素組成的子集。

可以證明，隨著p增大，$\ell^p$空間包含的元素也越多。實際上，如果p < q，那麼$\ell^p$空間是$\ell^q$空間的真子集。比如說，以下的數列：

$$a = (\frac1n)_{n\in\mathbb{N}^*} = \left( 1, \frac12 , \frac13 , \cdots , \frac1n , \cdots \right)$$

不屬$\ell^1$，因為$1 + \frac12 + \frac13 + \cdots + \frac1n + \cdots$的和是無窮大。不過，由於

$$1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} + \cdots$$

和是有限的，所以數列$a$屬於$\ell^2$.

## L p空間

當空間維度是無窮而且不可數的時候（沒有一個可數的基底），無法運用有限維或可數維度空間的辦法來定義範數，但對於可積函數空間，仍然能夠定義類似的概念。具體來說，給定測度空間(S, Σ, μ)以及大於等於1的實數p，考慮所有從S到域$\mathbb{K}$（$\mathbb{K} = \mathbb{C}$或$\mathbb{R}$）上的可測函數。考慮所有絕對值的p次冪在S可積的函數，也就是集合：

$$\mathcal{L}^p(S, \mu) = \left\{ f ; \; \|f\|_p = \left({\int_S |f|^p\;\mathrm{d}\mu}\right)^{\frac{1}{p}} < \infty \right\}$$

集合中的函數可以進行加法和數乘：

$$(f+g)(x) = f(x)+g(x), \quad (\lambda f)(x) = \lambda f(x), \;\; \lambda \in \mathbb{K}$$

從閔可夫斯基不等式可知，兩個p次可積函數的和，也是一個p次可積函數。另外，容易證明$\| \lambda f \|_p =|\lambda| \| f \|_p$；閔可夫斯基不等式的積分形式說明三角不等式對$\| \cdot \|_p$成立。滿足這樣條件的$\| \cdot \|_p$構成一個半範數，令$\mathcal{L}^p(S, \mu)$成為一個半賦范向量空間。之所以是半範數，是因為滿足$\| f \|_p = 0$的函數$f$不一定是零函數。然而可以通過一套標準的拓撲方法從這個半賦范空間得到一個賦范空間：考慮$\mathcal{L}^p(S, \mu)$中所有使得$\| f \|_p = 0$的函數$f$的集合：

$$N = \left\{ f ; \; \| f \|_p = 0 \right\}.$$

集合$N$可以看作是映射$f \mapsto \| f \|_p$的零空間。對可測函數$f$來說，$\| f \|_p = 0 \iff \mu (f \neq 0 ) = 0 \iff f$幾乎處處為零（在測度μ意義下）。所以

$N \equiv \mathrm{ker}(\|\cdot\|_p) = \{f : f \; \; \mu-$幾乎處處為0$\}.$

而$N$同時也是$\mathcal{L}^p(S, \mu)$的一個子空間。設$L^p(S, \mu)$是$\mathcal{L}^p(S, \mu)$關於$N$的商空間。$L^p(S, \mu)$中的某個元素$f$可以看作是所有和函數$f$相差一個$N$中元素的函數構成的等價類。這樣定義的空間$L^p(S, \mu)$是一個賦范向量空間，稱為S上函數關於測度μ的L p空間。$\| \cdot \|_p$稱為$L^p(S, \mu)$函數的p-範數。

需要注意的是，L p空間中的元素嚴格來說並不是具體的函數，而是一族函數構成的等價類。而當需要將L p空間元素當作函數來計算的時候，參與計算的實際是從這一族函數中抽取的一個代表函數。

與序列空間一樣，在函數空間上也可以定義一致範數。定義的方法和範數一樣，首先定義：

$\|f\|_\infty \equiv \inf \{ C\ge 0 : |f(x)| \; \; \mu-$幾乎處處小於等於$C \}.$

$$\mathcal{L}^\infty (S, \mu) = \left\{ f ; \; \|f\|_\infty < \infty \right\}$$

$\|\cdot \|_\infty$是一個半範數，取$N \equiv \mathrm{ker}(\|\cdot\|_\infty) = \{f : f \mu-$幾乎處處為0$\}.$，則$\mathcal{L}^\infty (S, \mu)$關於$N$的商空間是一個賦范向量空間，記作$L^\infty (S, \mu)$。

一致範數與p-範數之間存在以下關係：

$$\|f\|_\infty=\lim_{p\to\infty}\|f\|_p$$

可以證明，L p空間是完備的空間，也即是說是一個巴拿赫空間（完備賦范向量空間）。L p空間的完備性通常被稱為里茲－費舍爾定理。具體的證明可以藉助測度上的勒貝格積分的相關收斂定理來完成。

### 特例

L p空間都是巴拿赫空間，但只有當p = 2的時候，L2空間是希爾伯特空間。也就是說，可以為L2空間中的元素定義內積。具體形式是：

$$\langle f, g \rangle = \int_S f(x) \overline{g(x)} \, \mathrm{d}\mu(x).$$

其中的$\overline{g(x)}$表示複數的共軛。這個內積是從2-範數自然誘導的內積。L2空間在傅立葉級數和量子力學以及其他領域有著重要的運用。

$\ell^p$空間可以看作是L p空間的特例。只要取L p空間中的$S = \mathbb{N}$，測度為$\mathbb{n}$上的計數測度，則對應的$L^p (S, \mu)$就是$\ell^p$空間。

## Lp空間的性質

### 對偶空間

一個拓撲向量空間的對偶空間是指由這個向量空間上的所有的連續線性泛函構成的泛函空間。對某個大於1的實數p，設q是滿足$\frac1p + \frac1q = 1$的唯一實數，則空間Lp(S, μ)的對偶空間Lp(S, μ)*與Lq(S, μ)同構。這個關係可以通過一個自然的同構映射展現：

$$\kappa_p : \; \; L^q(S, \mu) \longrightarrow L^p(S, \mu)^*$$

$$f \qquad \longmapsto \kappa_p(f) := \left( g \in L^p(S, \mu) \; \mapsto \; \int_S f g \; d\mu \right).$$

赫爾德不等式保證了其中的泛函$\kappa_p(f)$是良好定義並且是連續的。$\kappa_p$是一個線性映射，根據赫爾德不等式的極限情況，$\kappa_p(f)$作為泛函的範數和$f$一樣，這說明$\kappa_p$是一個等距映射。此外還可以證明，對偶空間Lp(S, μ)*中的任一線性泛函對偶空間G都能表示成某個$\kappa_p(g)$的形式，所以$\kappa_p$是一個滿射。結合以上性質可以推出，$\kappa_p$是一個等距同構。在這個同構的意義下，我們常說Lp(S, μ)的對偶空間「是」Lq(S, μ)。

以上性質說明，當大於1的時候，Lp(S, μ)是一個自反空間：Lp(S, μ)的二次對偶空間（對偶空間的對偶空間）「是」它自己（在同構的意義下）。具體來說，從$\kappa_p$出發，可以構造出以下的關係：

$$j_p \colon L^p(S, \mu) \overset{\kappa_q}{\to} L^q(S, \mu)^* \overset{\,\,\left(\kappa_p^{-1}\right)^*}{\longrightarrow} L^p(S, \mu)^{**}$$

$\kappa_q$與$\left(\kappa_p^{-1}\right)^*$的複合映射jp是從Lp(S, μ)映射到其二次對偶空間的賦值嵌入映射：

$\forall f \in L^p(S, \mu), \; \; G \in L^p(S, \mu)^*, \; \; \exists g \in L^q(S, \mu)$ 使得$G = \kappa_p ( g).$

從而

$$\; \; \left[ j_p(f) \right](G) = \left[ \left( \left(\kappa_p^{-1}\right)^* \circ \kappa_q \right) (f) \right](G) = \left[\left(\kappa_p^{-1}\right)^* \left(\kappa_q (f) \right)\right] (G) = \left[ \kappa_q (f)\right] \left( \kappa_p^{-1} (G)\right) = \left[\kappa_q (f)\right] (g) = \int_S f g \; d\mu = G(f).$$

作為兩個等距同構的複合映射，jp也是等距同構。這說明Lp(S, μ)和Lp(S, μ)**也是同構關係。

如果測度μ是σ-有限測度，那麼L1(S, μ)*和L∞(S, μ)也是等距同構。可以證明。

$$\kappa_1 : \; \; f \in L^\infty (S, \mu) \longmapsto \left( g \in L^1 (S, \mu) \; \mapsto \; \int_S f g \; d\mu \right)$$

是L∞(S, μ)到L1(S, μ)*上的一個同構。

L∞(S, μ)則更為複雜。L∞(S, μ)*可以被刻畫為所有關於測度μ絕對連續的有界帶號有限可加測度的集合。如果承認選擇公理，那麼一般來說，L∞(S, μ)*這個集合要比L1(S, μ)「大得多」。只有對某些簡單的測度μ，L∞(S, μ)*會和L1(S, μ)同構。

### 嵌入

給定兩個實數：1 ≤ p < q ≤ ∞，當比較Lp(S, μ)和Lq(S, μ)的時候會發現，前者中包含一些局部行為更加不規則的函數，而後者中則包含了「尾巴更粗」的函數。舉例來說，$L^1 (\mathbb{R})$中的連續函數（也就是實數域上的勒貝格可積函數）可以在0的附近取很大的值，但當自變量趨於無窮大的時候，函數的值必須趨於0. 而對於$L^\infty (\mathbb{R})$中的連續函數（有界連續函數），無論自變量多大，函數值都可以不在0附近，但反過來說，無論自變量取多少，函數的值也不能超過上界和下界。

假設全集S在μ中的測度有限，以及1 ≤ p < q ≤ ∞。那麼由赫爾德不等式有如下限制：

$$\|f\|_p \le \mu(S)^{(1/p)-(1/q)} \|f\|_q$$

這說明空間Lq(S, μ)可以被連續地嵌入到Lp(S, μ)裡面。換句話說，Lq(S, μ)到Lp(S, μ)上的恆等映射$I_{p,q}$是有界連續映射。$I_{p,q}$的算子範數就是由以上不等式取等號的情形確定的：

$$\| I_{p,q} \| =\mu(S)^{(1/p)-(1/q)}.$$

### 稠密子空間

研究某個複雜的無窮維賦范空間的時候，常常會使用一個由空間中比較「簡單」的元素構成的稠密子集來逼近空間中的一個元素。假設1 ≤ p < ∞，則空間Lp(S, μ)中的元素可以用測度空間 (S, Σ, μ) 上的簡單可積函數逼近。給定測度空間(S, Σ, μ)，其上的一個簡單可積函數指的是形同：

$$f = \sum_{j=1}^n a_j \mathbf{1}_{A_j}$$

函數。其中的aj是實數或複數係數，Aj ∈ Σ 是測度有限的可測集合。由勒貝格積分的構造方法可知，簡單可積函數的集合在Lp(S, μ)中稠密。

如果S本身也是測度空間，而μ是S上的博雷爾測度，那麼可以通過烏雷松引理證明，所有S可測而且測度有限的子集對應的指示函數都可以通過連續函數逼近。所以所有的簡單可積函數可以用連續函數逼近。因而可以證明，Lp(S, μ)中的連續函數構成的集合在Lp(S, μ)中稠密。對於更具體的空間，可以證明更加強的結果。比如說當S是n維歐幾里德空間，而μ是S上的正則博雷爾測度的時候，可以證明，所有緊支撐的光滑函數的集合在Lp(S, μ)中稠密。