布朗運動

布朗運動（Brownian motion）是微小粒子或者顆粒在流體中做的無規則運動。布朗運動過程是一種正態分布的獨立增量連續隨機過程。它是隨機分析中基本概念之一。其基本性質為：布朗運動W(t)是期望為0、方差為t（時間）的正態隨機變量。對於任意的r小於等於s，W(t)-W(s)獨立於的W(r)，且是期望為0、方差為t-s的正態隨機變量。可以證明布朗運動是馬爾可夫過程、鞅過程和伊藤過程。

它是在西元1827年英國植物學家羅伯特·布朗利用一般的顯微鏡觀察懸浮於水中由花粉所迸裂出之微粒時，發現微粒會呈現不規則狀的運動，因而稱它布朗運動。布朗運動也能測量原子的大小，因為就是由水中的水分子對微粒的碰撞產生的，而不規則的碰撞越明顯，就是原子愈小，因此根據布朗運動，定義原子的直徑為10−8厘米。

## 定義

自1860年以來，許多科學家都在研究此種現象，後來發現布朗運動有下列的主要特性：

- 粒子的運動由平移及轉移所構成，顯得非常沒規則而且其軌跡幾乎是處處沒有切線。
- 粒子之移動顯然互不相關，甚至於當粒子互相接近至比其直徑小的距離時也是如此。
- 粒子越小或液體粘性越低或溫度越高時，粒子的運動越活潑。
- 粒子的成分及密度對其運動沒有影響。
- 粒子的運動永不停止。

## 愛因斯坦的理論

在1905年，愛因斯坦提出了相關理論。他的理論有兩個部分：第一部分定義布朗粒子擴散方程式，其中的擴散係數與布朗粒子平均平方位移相關，而第二部分連結擴散係數與可測量的物理量。以此方式，愛因斯坦的理論可決定原子的大小，一莫耳有多少原子，或氣體的克分子量。根據阿伏伽德羅定律，所有理想氣體在標準溫度和壓力下體積為22.414升，其中包含的原子的數目被稱為「阿伏伽德羅常數」。由氣體的莫耳質量除以阿伏伽德羅常數等同原子量。

愛因斯坦論證的第一部分是，確定布朗粒子在一定的時間內運動的距離。經典力學無法確定這個距離，因為布朗粒子將會受到大量的撞擊，每秒大約發生 1014 次撞擊。因此，愛因斯坦將之簡化，即討論一個布朗粒子團的運動。

他把粒子在一個的空間中，把布朗粒子在一維方向上的運動增量 (x) 視作一個隨機值（$\Delta$ 或者 x，並對其坐標進行變換，讓原點成為粒子運動的初始位置）並給出機率密度函數 $\varphi(\Delta)$。另外，他假設粒子的數量有限，並擴大了密度（單位體積內粒子數量)，展開成泰勒級數。

$$\begin{align} \rho(x,t) + \tau \frac{\partial\rho(x)}{\partial t} + \cdots = \rho(x, t+\tau) ={}& \int_{-\infty}^{+\infty} \rho(x + \Delta, t) \cdot \varphi(\Delta) \, \mathrm{d} \Delta \\ ={}& \rho(x, t) \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\Delta) \, d \Delta + <pre> \frac{\partial\rho}{\partial x} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \Delta \cdot \varphi(\Delta) \, \mathrm{d} \Delta </pre> \\ &{}+ <pre> \frac{\partial^2 \rho}{\partial x^2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2} \cdot \varphi(\Delta) \, \mathrm{d} \Delta + \cdots </pre> \\ ={}& \rho(x, t) \cdot 1 + 0 + <pre> \frac{\partial^2 \rho}{\partial x^2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2} \cdot \varphi(\Delta) \, \mathrm{d} \Delta + \cdots </pre> \end{align}$$

第一行中的第二個等式是被 $\varphi$ 這個函數定義的。第一項中的積分等於一個由機率定義函數，第二項和其他偶數項（即第一項和其他奇數項）由於空間對稱性而消失。化簡可以得到以下關係關係：

$$\frac{\partial\rho}{\partial t} = \frac{\partial^2 \rho}{\partial x^2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2\, \tau} \cdot \varphi(\Delta) \, \mathrm{d} \Delta + \text{(更 高 阶 的 项 )}$$

拉普拉斯算子之前的係數，是下一刻的隨機位移量 $\Delta$，讓 D 為質量擴散係數：

$$D = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2\, \tau} \cdot \varphi(\Delta) \, \mathrm{d} \Delta$$

那麼在 t 時刻 x 處的布朗粒子密度 ρ 滿足擴散方程：

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}=D\cdot \frac{\partial^2\rho}{\partial x^2},$$

假設在初始時刻t = 0時，所有的粒子從原點開始運動，擴散方程的解

$$\rho(x,t)=\frac{\rho_0}{\sqrt{4\pi Dt}}e^{-\frac{x^2}{4Dt}}.$$

## 數學模型

### 定義

滿足下列條件的鞅我們稱之為布朗運動

- 這個鞅是關於時間連續的。
- 他的平方減去時間項也是一個鞅。

$(M_t)$是一個布朗運動若且唯若$(M_t)$為鞅，且$(M_t^2-t)$也為鞅.

### 其他定義

一維的定義

一維布朗運動$\scriptstyle (B_t)_{t \ge 0}$是關於時間t的一個隨機過程，他滿足：

- （獨立增量）設時間t和s滿足t > s,增量$\scriptstyle B_t-B_s$獨立於時間s前的過程$\scriptstyle (B_u)_{0\leq u \leq s}$。
- （穩定增量和正態性）設時間t和s滿足t > s,增量$\scriptstyle B_t-B_s$服從均值為0方差為t−s的正態分布。
- $\scriptstyle (B_t)_{t \ge 0}$幾乎處處連續，也就是說在任何可能性下，函數$\scriptstyle t\mapsto B_t(\omega)$是連續的.
- 通常假設$\scriptstyle B_0=0$。這種布朗運動我們稱它為標準的。

等價定義

一維布朗運動$\scriptstyle (B_t)_{t \ge 0}$是關於時間t的一個隨機過程，他滿足：

- $\scriptstyle (B_t)_{t \ge 0}$是一個高斯過程，也就是說對於所有的時間列：$\scriptstyle t_1\leq t_2\leq ...\leq t_n$,隨機向量：$\scriptstyle (B_{t_1},B_{t_2},...,B_{t_n})$服從高維高斯分布（正態分布）。
- $\scriptstyle (B_t)_{t \ge 0}$幾乎處處連續。
- 對於所有s和t,均值$\scriptstyle \mathbb E[B_t]=0$，協方差$\scriptstyle E[B_s B_t]=min (s,t)$.

高維定義

$\scriptstyle (B_t)_{t \ge 0}:=\left(B^1_t,B^2_t,...,B^d_t\right)_{t \ge 0}$是d維布朗運動，只需滿足$\scriptstyle B^1,B^2,...,B^d$為獨立的布朗運動。

換句話說，d維布朗運動 取值於$\scriptstyle \mathbb R^d$，而它在$\scriptstyle \mathbb R,\mathbb R^2,...,\mathbb R^{d-1}$空間上的投影均為布朗運動。

Wiener測度的定義

設$\scriptstyle \mathcal C(\mathbb R^+,\mathbb R)$為從$\scriptstyle \mathbb R^+$到$\scriptstyle \mathbb R$的連續函數空間，$\scriptstyle (\Omega,\mathcal T, \mathbb P)$為機率空間。布朗運動為映射

$$B: \Omega \longrightarrow C(\mathbb R^+,\mathbb R)$$

$\omega \mapsto \left( t\mapsto B_t(\omega) \right)$.

Wiener測度 （或稱為布朗運動的分布）設為$\scriptstyle W(d\omega)$,是映射B關於$\scriptstyle \mathbb P(d\omega)$的圖測度。

換句話說， W是$\scriptstyle \mathcal C(\mathbb R^+,\mathbb R)$上的一個機率測度，滿足對於任何$\scriptstyle A\subset \mathcal C(\mathbb R^+,\mathbb R)$，有

$W(A)=\mathbb P((B_t)_{t\geq0}\in A)$。

備忘

- 布朗運動是一種增量服從正態分布的萊維過程。
- 這個定義可以幫助我們證明布朗運動的很多特性，比如幾乎處處連續，軌跡幾乎處處不可微等等。
- 我們可以利用二次變差的期望為時間來等價定義布朗運動。這個定義由Levy定理演化而來，即：軌跡連續且二次變差為$t$的隨機過程為布朗運動。

### 性質

- 布朗運動的軌道幾乎處處不可微：對於任何$\scriptstyle \omega\in \Omega$,軌道$\scriptstyle t\mapsto B_t(\omega)$為一個連續但是零可微的函數。
- 協方差$\scriptstyle \mathbb E[B_s B_t]=min (s,t)$。
- 布朗運動具有強馬氏性：對於停時T,取條件$\scriptstyle [T < \infty ]$,過程$\scriptstyle (B^T_t)_{t\geq 0}:=(B_{T+t}-B_T)_{t\geq 0}$為一個獨立於$\scriptstyle (B_{s})_{0 \leq s<T}$的布朗運動。
- 它的Fourier變換或特徵函數為$\scriptstyle \mathbb E\left[ e^{i u B_t} \right] = e^{-\frac{tu^2}{2}}$。可見，布朗運動是一個無偏，無跳躍，二項係數為1/2的Levy過程。
- 布朗運動關於時間是齊次的：對於s > 0, $\scriptstyle (B_{t+s}-B_s)_{t\geq 0}$是一個獨立於$\scriptstyle (B_u)_{0\leq u \leq s}$的布朗運動。
- -B是一個布朗運動。
- （穩定性）對於c > 0， $\scriptstyle \left(cB_{\frac{t}{c^2}}\right)_{t\geq 0}$是布朗運動。
- （時間可逆性）$\scriptstyle \left(tB_{\frac{1}{t}}\right)_{t > 0}$在t=0之外是布朗運動。

如果$\scriptstyle d\in \{1,2\}$,集合$\scriptstyle\{t\geq 0, B_t=x\}$不是有界的，對於任何$\scriptstyle x\in \mathbb R^d$。

如果$\scriptstyle d\geq 3, \,\,\,\lim_{t\rightarrow \infty} ||B_t||=+\infty$（幾乎處處）。

- （反射原理）

$$\mathbb P[\sup_{0\leq s\leq t}B_s \geq a]=2 \mathbb P[B_t \geq a] = \mathbb P[|B_t| \geq a].$$

### 布朗運動的數學構造

#### 利用Kolmogorov一致性定理

設$(f_t)_{t\in{\mathbb{R}}_+}$為$L^2({\mathbb{R}}_+)$空間中一列實值函數。設：

$\forall(u,v)\in{\mathbb{R}}_+\text{, }s(u,v)={\langle f_u,f_v \rangle}_{L^2({\mathbb{R}}_+)}=\int_{\mathbb{R}_+} f_u(x)f_v(x)dx$

這列函數滿足：

$\forall k\in\mathbb{N}^*$，任意的$t_1, ..., t_k\in\mathbb{R}_+$,矩陣$\left(s(t_i,t_j)\right)_{1\leq i,j\leq k}$為對稱半正定的。

利用Kolmogorov一致性定理，我們可以構造高斯過程$\{Y_t\}_{t\in\mathbb{R}_+}$，它的均值$m$任意，協方差為上面定義的$s$。

當$(f_t)_{t\in{\mathbb{R}}_+}=\left(\sqrt{c}.1\!\!1_{[0,t]} \right)_{t\in\mathbb{R}_+}$，$c>0$為不依賴於t的常數，$1\!\!1_{[0,t]}$為$[0,t]$上的示性函數。則：

$s(u,v)=c\int\limits_{\mathbb{R}}1\!\!1_{[0,u]}(s)1\!\!1_{[0,v]}(s)ds=\text{c.min}(u,v)$

在這個情況下，矩陣$\left(s(t_i,t_j)\right)_{1\leq i,j\leq k}$是對稱且正定的。

我們稱一個高斯過程為 布朗運動若且唯若均值為0，協方差為s。$c = Var(B_1)$，當$c = 1$時，稱之為 標準的布朗運動.

#### 利用隨機過程

Donsker定理（1951）證明了逐漸歸一化的隨機遊走弱收斂於布朗運動。

$$\left( \frac{1}{\sigma\sqrt{n}} \left(\sum_{k=1}^{[nt]} U_k +(nt - [nt])U_{[nt]+1} \right) \right)_{0\leq t\leq 1} \underset{n\rightarrow \infty}{\Longrightarrow} (B_t)_{0\leq t\leq 1}$$

其中（Un, n ≥ 1）獨立同分布，均值為0,方差為σ的隨機變量序列。

#### 利用傅立葉級數

設2列獨立的正態$\scriptstyle \mathcal N(0,1)$隨機變量序列$\scriptstyle (N_k,k\in \mathbb N)$和$\scriptstyle (N'_k,k\in \mathbb N)$。定義$\scriptstyle (B_t)_{t\geq0}$：

$$B_t := t N_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\sqrt{2}}{2\pi k} \left(N_k \cos(2\pi kt -1)+N_k'\sin(2\pi kt)\right)$$

為布朗運動。

## 外部連結

- 漫談布朗運動
- Brownian motion - an overview