實變函數論

實分析，也稱為實數分析、實變函數論（Real analysis、Theory of functions of a real variable），是處理實數及實函數的數學分析。專門研究實數函數及數列的解析特性，包括實數數列的極限，實函數的微分及積分、連續性、光滑性以及其他相關性質。

實分析常以基礎集合論，函數概念定義等等開始。

## 內容

### 實數的構造

有許多種將實數定義為有序域的方式。合成的作法會提供許多實數的公理，將實數變成完備有序域。在一般集合論的公理下，可以證明這些公理都是明確的，也就是說有一個公理的模型，任兩個模型都是同構的。這些模型中需要有一個有明確的定義，而大部份的模型都可以用實數為有序域時的基本性質來得到。

### 實數的有序性

實數有許多重要的特性是和數學中格的定義有關，這些性質也是複數所沒有的。其中最重要的是，實數形成有序域，實數的有序滿足反對稱性、傳遞性及完全性，屬於全序關係，而且實數有最小上界性。實數中的偏序關係帶來了實變分析中許多重要的定理，例如單調收斂定理、介值定理及中值定理。

在實變分析中這些定理只針對實數，不過許多的結果可以應用在其他的數學對象。特別是許多泛函分析及算子理論中的概念是來自實數中概念的擴展，這類的擴展包括里斯空間及正算子的理論。也有數學家考慮複數數列的實部及虛部，例如算子數列的強算子拓撲。

### 序列

序列是一個定義域為可數全序集合的函數，多半會讓定義域是自然數或是所有整數。例如，一個實數的序列為以下定義的映射$a:\mathbb{N}\to\mathbb{R},\ n\mapsto a_n$，常會表示為$(a_n)=(a_n)_{n\in\mathbb{N}}=(a_1, a_2, a_3, \cdots)$。若一序列會慢慢的接近一個極限（也就是存在$\lim_{n\to\infty}a_n$），稱此序列為收斂，否則則稱此序列為發散。

### 極限

極限是指函數或序列在其輸入接近一定值時，其輸出數值所接近的特定定值。極限是微積分學及廣義數學分析的基礎，連續函數、導數及積分也是利用極限來定義。

### 連續函數

若函數的輸入及輸出值都是實數，可以表示成笛卡兒坐標系上的圖形。粗略來說，若函數圖形是一條連續未分割的曲線，其中沒有「洞」或是「斷點」，函數即為連續函數。

針對上述粗略的定義，在數學上有許多嚴謹的定義。這些定義彼此是等價的，因此會用最簡單而方便的定義來確認一個函數是否是連續，在以下的定義中

$$f\colon I \rightarrow \mathbf R.$$

是一個定義在實數$\boldsymbol{R}$以內子集的函數，子集$I$稱為函數$f$的定義域。子集$I$的一些可能選擇包括$I=\boldsymbol{R}$（所有實數）、以下的開區間

$$I = (a, b) = \{x \in \mathbf R \,|\, a < x < b \},$$

或閉區間

$$I = [a, b] = \{x \in \mathbf R \,|\, a \leq x \leq b \}.$$

因此$a$及$b$是實數。

一致連續是連續函數中，比連續函數更強的性質。若X和Y是實數子集，函數$f:X\rightarrow Y$為一致連續的條件是針對所有大於0的實數$\varepsilon$，存在一實數$\delta >0$，使得針對所有的$x,y\in X,\left \vert x-y \right \vert <\delta$即表示$\implies \left \vert f(x)-f(y) \right \vert <\varepsilon$。

一致連續和每一點連續的差異在一致連續時，$\delta$值只和$\varepsilon$值有關，和該值在定義域中的位置無關。一般情況下，連續不意味著均勻連續。

### 級數

給定一無窮序列 $(a_n)$，即可定義相關的級數為$a_1+a_2+a_3+\cdots=\sum_{n\in\mathbb{N}}a_n$，有時會簡稱為$\sum a_n$。級數的部份和$\sum a_n$為$s_n=\sum_{j=1}^n a_j$。級數$\sum a_n$收斂的條件是部份和的數列$(s_n)$收斂，否則級數即稱為發散。收斂級數的和$s=\sum_{n=1}^\infty a_n$定義為$s=\lim_{n\to\infty}s_n$.

等比數列的和就是一個收斂級數，也是芝諾悖論的基礎：

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+\cdots=1$.

以下的調和級數即為發散級數：

$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots=\infty$.

（此處「$=\infty$」不是嚴謹的表示方式，只是表示部份和會無限制地増長）

### 微分

函數$f$在$a$位置的導數為以下的函數極限

$$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

若導數在所有位置都存在，稱函數為可微分，可以再繼續計算函數的高階導數。

也可以將函數依其微分分類來區分。分類$C^0$包括所有連續函數，分類$C^1$包括所有導數連續的可微函數，這類函數稱為「連續可微」。分類$C^1$是指其導數在分類$C^1$中的函數。一般來說，分類$C^k$可以用遞歸方式定義，定義方式是宣告分類$C^0$是所有的連續函數，而分類$C^k$（$k$為正整數）是所有可微，而且其導數為$C^{k-1}$的函數。而分類$C^k$包括在分類$C^{k-1}$中，對所有的正整數$k$都成立。分類$C^\infty$是所有$C^k$的交集，其中$k$為所有的非負整數。$C^\omega$包括所有的解析函數，是分類$C^\infty$的嚴格子集。

### 積分

#### 黎曼積分

黎曼積分定義函數的黎曼和，對應為一個區間內的標記分區（tagged partitions）。令$[a,b]$為實數下的封閉區間，則在區間$[a,b]$內的標記分區為有限數列

$$a = x_0 \le t_1 \le x_1 \le t_2 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le t_n \le x_n = b . \,\!$$

將區間$[a,b]$分隔為$n$個下標為$i$子區間$[x_{i-1},x_i]$，每一個用不同的點$t_i\in [x_{i-1},x_i]$來標記。函數f對應標記分區的黎曼和定義為

$$\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta_i ;$$

則和的每一項都是長方形的面積，其高為函數在給定子區間內，標示點的數值，寬和子區間的寬相等。令$\Delta_i=x_i-x_{i-1}$為子區間$i$的寬，則標記分區的網格為長子區間中最寬區間的寬度$\mathrm{max}_{i=1\ldots n}\Delta_i$。函數$f$在區間$[a,b]$內的黎曼積分等於$S$若：

對所有$\varepsilon >0$，存在$\delta>0$使得，對於任何有標示，且網格小於$\delta$的區間$[a,b]$，以下的式子成立

$$\left| S - \sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta_i \right| < \varepsilon.$$

若選定的標示都是每個區間內函數的最大值（或最小值），黎曼積分就會成為上（或下）達布和，因此黎曼積分和達布積分有緊密的關係。

#### 勒貝格積分

勒貝格積分是一種積分概念，可以將積分延伸到更大範圍的函數，同時也拓展函數的定義域。

### 分布

分布或是廣義函數是一種將函數擴展後產生的概念。透過分布可以針對一些在傳統定義下其導數不存在的函數進行微分（例如單位階躍函數）。而任何局部可積函數都一定會有廣義函數下的導數。

### 和複變分析的關係

實變函數論是數學分析的一部份，探討像數列及其極限、連續性、函數的導數及積分。實變分析專注在實數，多半會包括正負無窮大以形成擴展實軸。實變分析和研究複數對應性質的複分析緊密相關。在複分析中，很自然的會對全純函數定義導數，全純函數有許多有用的性質，包括多次可微、可以用冪級數表示，而且滿足柯西積分公式。

實變分析中也很自然的去考慮可微、光滑函數或調和函數，這些也常常用到，不過仍少了一些複變中全純函數中有力的性質。而且代數基本定理若以複數表示時會比較簡單。

複變中解析函數理論的技巧也可以用在實變分析，例如應用留數定理來計算實變函數的定積分。

## 重要結果

實分析的重要結果包括波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理、海涅－博雷爾定理、介值定理、中值定理、微積分基本定理及單調收斂定理。

實分析的許多概念可以擴展到廣義的度量空間，包括巴拿赫空間及希爾伯特空間。