E (數學常數)

$e$，亦稱自然常數、自然底數，或是歐拉數（Euler's number），是無理數的數學常數，以瑞士數學家歐拉命名；還有個較少見的名字納皮爾常數，用來紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進對數。它是一個無限不循環小數，數值約是（小數點後20位，A001113）：

$e = 2.71828182845904523536\cdots$，近似值為$\frac{271801}{99990}$。

有許多的函數都和$e$有關：自然對數函數的底數即為$e$，數學中的指數函數也常是指以$e$為底數的指數函數。

## 歷史

約翰·納皮爾於1618年出版的對數著作附錄中的一張表中第一次提到常數$e$，但它沒有記錄這常數，只有由它為底計算出的一張自然對數列表，通常認為這是由威廉·奧特雷德製作的。第一次把$e$看為常數的是雅各布·伯努利，他嘗試計算下式的值：

$$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$

上式代表把1與無窮小相加，再自乘無窮多次。

已知的第一次用到常數$e$，是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信，以$b$表示。1727年歐拉開始用$e$來表示這常數；而$e$第一次在出版物用到，是1736年歐拉的《力學》（Mechanica）。雖然往後年日有研究者用字母$c$表示，但$e$較常用，終於成為標準。

用$e$表示的原因確實不明，但可能因為$e$是指數函數（exponential）一字的首字母。另一看法則稱$a, b, c, d$有其他經常用途，而$e$是第一個可用字母。

## 定義

就像圓周率$\pi$和虛數單位i，$e$是數學中最重要的常數之一。它有幾種等價定義，下面列出一部分。

- $$e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$$
- $$e = \lim_{t \to 0} (1 + t)^\frac{1}{t}$$
- $$e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} <pre> + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots$$
- 其中$n!$代表$n$的階乘。
- 定義$e$爲唯一的正數$x$使得
- $$\int_{1}^{x} \frac{\mathrm{d}t}{t} = 1$$
- 定義$e$爲唯一的實數$x$使得
- $$\lim_{h\to 0} \frac{x^h-1}{h} = 1$$

這些定義可證明是等價的，請參見文章指數函數的特徵描述。

## 性質

指數增長或指數衰減過程都可以用指數函數表示。指數函數$e^x$的重要性在於，唯獨該函數（或其常數倍，即$x \mapsto ke^x$，其中$k$為任意常數）與自身導數相等。即：

$\frac{d}{dx} e^x=e^x$。

$e^{x}$的泰勒級數為$e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad \forall x$

$$= 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ...$$

$x$為複數時依然成立，因此根據$\sin x$及$\cos x$的泰勒級數，得出在數學中一條稱為歐拉公式的重要等式：

$$e^{\mathrm{i}x} = \cos x + {\rm i}\sin x$$

當$x = \pi$的特例是歐拉恆等式：

$$e^{\mathrm{i}\pi} + 1 = 0$$

此式被理察·費曼稱為「歐拉的寶石」。

$$(\cos x + i\sin x)^n = \left(e^{ix}\right)^n = e^{inx} = \cos (nx) + i \sin (nx)$$

即棣莫弗公式。

- $e$是無理數和超越數（見林德曼－魏爾斯特拉斯定理）。這是第一個獲證為超越數的數，而非故意構造的（比較劉維爾數）；由夏爾·埃爾米特（Charles Hermite）於1873年證明。有猜想它為正規數。
- 當$x = e$時函數$f(x) = \sqrt[x]{x}$有最大值。
- $e$的無窮連分數展開式有個有趣的模式，可以表示如下（A003417）

$$e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, \ldots]$$

就像以下的展開式：

$$e = 2+ \cfrac{1} <pre> {1+\cfrac{1} {\mathbf 2 +\cfrac{1} {1+\cfrac{1} {1+\cfrac{1} {\mathbf 4 +\cfrac{1} {1+\cfrac{1} {1+\cfrac{1} {\mathbf 6 +\cfrac{1} {1+\ddots} } } } } } } } } </pre>$$

## 無理數證明

### 反證法

證明$e$是無理數可以用反證法。假設$e$是有理數，則可以表示成$\frac{a}{b}$，其中$a, b$為正整數。以$e$的無窮級數展開式可以得出矛盾。

考慮數字

$x = b! \left(e-\sum_{i=0}^b {1 \over i!}\right)$。

以下將推導出$x$是小於1的正整數；由於不存在這樣的正整數，得出矛盾，所以得證$e$是無理數。

- $x$是整數，因為
- $$0 < x = b! \left(e - \sum_{i=0}^b {1 \over i!}\right) = b! \left({a \over b} - \sum_{i=0}^b {1 \over i!}\right)$$
- $$= a (b-1)! - \sum_{i=0}^b {b! \over i!}$$
- $= a (b-1)! - \left[ 1 + \sum_{n=0}^{b-1} b(b-1)\cdots(n+1)\right]$。
- $x$是小於1的正數，因為
- $$0 < x = b! \sum_{n=b+1}^\infty {1 \over n!}$$
- $$= \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)(b+2)} + \frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)} + \cdots$$
- $< \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)^2} + \frac{1}{(b+1)^3} + \cdots = {1 \over b} \le 1$。

但是0與1之間（不含0與1）不存在有整數，故原先假設矛盾，得出$e$為無理數。

### 二項式定理

視$n$為存在的數值，所以用二項式定理可證出：

$$e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$

$$=\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n}C_{k}^{n}1^{n-k}\left(\frac{1}{n}\right)^k$$

$$=\lim_{n\to\infty} \left[C_{0}^{n}1^{n}\left(\frac{1}{n}\right)^0+C_{1}^{n}1^{n-1}\left(\frac{1}{n}\right)^1+C_{2}^{n}1^{n-2}\left(\frac{1}{n}\right)^2+C_{3}^{n}1^{n-3}\left(\frac{1}{n}\right)^3+...+C_{n}^{n}1^0\left(\frac{1}{n}\right)^n\right]$$

$$=\lim_{n\to\infty} \left[1\times 1+n\times \frac{1}{n}+\frac{n!}{\left(n-2\right)!2!}\times \frac{1}{n^2}+\frac{n!}{\left(n-3\right)!3!}\times \frac{1}{n^3}+...+1\times \frac{1}{n^n}\right]$$

$$=\lim_{n\to\infty} \left[1+1+\frac{n\times \left(n-1\right)}{2n^2}+\frac{n\times \left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3\times 2n^3}+...+\frac{1}{n^n}\right]$$

$$=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+...$$

$$=2.71828...$$

## 已知位數

日期｜位數｜計算者

1748年｜18｜李昂哈德·歐拉

1853年｜137｜William Shanks

1871年｜205｜William Shanks

1884年｜346｜J. M. Boorman

1946年｜808｜？

1949年｜2,010｜約翰·馮·諾伊曼

1961年｜100,265｜Daniel Shanks & 約翰·威廉·倫奇

1978年｜116,000｜史蒂芬·蓋瑞·沃茲尼克

1994年｜10,000,000｜Robert Nemiroff & Jerry Bonnell

1997年5月｜18,199,978｜Patrick Demichel

1997年8月｜20,000,000｜Birger Seifert

1997年9月｜50,000,817｜Patrick Demichel

1999年2月｜200,000,579｜Sebastian Wedeniwski

1999年10月｜869,894,101｜Sebastian Wedeniwski

1999年11月21日｜1,250,000,000｜Xavier Gourdon

2000年7月10日｜2,147,483,648｜近藤茂、Xavier Gourdon

2000年7月16日｜3,221,225,472｜Colin Martin、Xavier Gourdon

2000年8月2日｜6,442,450,944｜近藤茂、Xavier Gourdon

2000年8月16日｜12,884,901,000｜近藤茂、Xavier Gourdon

2003年8月21日｜25,100,000,000｜近藤茂、Xavier Gourdon

2003年9月18日｜50,100,000,000｜近藤茂、Xavier Gourdon

2007年4月27日｜100,000,000,000｜近藤茂、Steve Pagliarulo

2009年5月6日｜200,000,000,000｜近藤茂、Steve Pagliarulo

2010年2月21日｜500,000,000,000｜余智恆（Alexander J. Yee）

2010年7月5日｜1,000,000,000,000｜近藤茂、余智恆（Alexander J. Yee）

2014年11月15日｜1,048,576,000,000｜David Galilei Natale

## 諧取

- 在Google2004年的首次公開募股，集資額不是通常的整頭數，而是$2,718,281,828，這當然是取最接近整數的$e$十億美元。Google2005年的一次公開募股中，集資額是$14,159,265，與圓周率有關。
- Google也是首先在矽谷心臟地帶，接著在麻薩諸塞州劍橋出現的神祕 廣告版 的幕後黑手，它寫著{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com（在$e$的連續數字中第一個發現的十位質數.com）。解決了這問題（第一個$e$中的十位質數是7427466391，出奇地到很後才出現，由第100個數字開始），進入網站後還有個更難的題目要解決，最後會到達Google的招聘頁。但這個挑戰已結束，上述網站都已關閉。
- 著名電腦科學家高德納的軟體Metafont的軟體版本號趨向$e$（就是說版本號碼是2，2.7，2.71，2.718等），與之相對的有TeX的軟體版本號號是趨向於圓周率的。

## 基本資料

- 日語原文：歐拉數
- 製造數量：$e\approx$2.7182818285
- 作戰範圍：數表—無理數$\color{blue}\sqrt{2}$ - $\color{blue}\varphi$ - $\color{blue}\sqrt{3}$ - $\color{blue}\sqrt{5}$ - $\color{blue}\delta_S$ - $\color{blue}e$ - $\color{blue}\pi$
- 貨幣符號：$e$
- OEIS編號：A001113
- 發現者：雅各布·伯努利
- 別名：納皮爾常數
- 類型：無理數、超越數
- 定義：$e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$、$e = \lim_{t \to 0} (1 + t)^\frac{1}{t}$
- 以此為根的多項式或函數：$\int_{1}^{x} \frac{\mathrm{d}t}{t} = 1$
- nowrap（線性表示）：2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12...
- 系列：$e=\sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}$
- 二進制：2
- 八進制：8
- 十二進位：12
- 十六進位：16
- 六十進位：60…