蚌線

在平面幾何中，蚌線是一類曲線，可以由一條給定的曲線、一個定點和一個給定的長度來確定。更具體地說，過定點 $O$ 的動直線與給定曲線 $c$ 相交，動直線上滿足「與交點距離為定長 $k$」的點的軌跡定出的新曲線，就是原曲線 $c$ 關於極點 $O$ 和跡距 $k$ 的蚌線。

用解析幾何的方式來表述：平面曲線 $c$ 的極坐標方程為 $\rho = f(\theta)$，則以 $\rho = f(\theta)\pm k$ 為方程的曲線是 $c$ 關於原點的蚌線。

「蚌線」也常特指原曲線為直線的蚌線，即尼科美迪斯蚌線。尼科美迪斯是古希臘數學家，他利用這種蚌線來解決古希臘數學三大難題中的兩個——三等分角和倍立方體。

## 尼科美迪斯蚌線

### 性質

有定直線 $l$ 和直線外一固定點 $O$，過點 $O$ 的動直線與 $l$ 相交，動直線上滿足「與交點距離為定長」的點的軌跡，就是直線 $l$ 關於極點 $O$ 的蚌線 $c$，即尼科美迪斯蚌線。一條尼科美迪斯蚌線有內外兩支，兩支的漸近線都為 $l$。

通常記 $l$ 與點 $O$ 的距離為 $a$，跡距為 $b$。根據 $a$ 和 $b$ 的關係，內支有三種不同形態：

- 當 $b < a$ 時，蚌線內支沒有尖點或結點，極點與內支不相交。
- 當 $a = b$ 時，蚌線內支有一個尖點，尖點與極點重合。
- 當 $b > a$ 時，蚌線內支有一個結點，結點與極點重合。

尼科美迪斯蚌線是軸對稱圖形，對稱軸與 $l$ 垂直並通過極點 $O$。

### 歷史和應用

古希臘數學家尼科美迪斯是最早研究蚌線的人。他發明了繪製直線之蚌線的工具，這是人們第一次用儀器繪製出直線和圓之外的幾何曲線。他關於蚌線的論著已經失傳，只有一部分通過帕普斯的《數學彙編》得以保存下來。帕普斯指出，存在「四種」蚌線，但只記錄了「第一種」蚌線，也就是直線蚌線的外支，用來解決尺規作圖三大難題中的兩個：三等分角和倍立方體。剩下的「三種」蚌線，很可能指的是直線蚌線內支的三種形態。

帕普斯將該曲線稱為「螺線」（κοχλοειδὴς γραμμή），這很可能是尼科美迪斯最初的叫法。後來的普羅克洛等人才改稱該曲線為「蚌線」（κογχοειδὴς γραμμή）。

17世紀的大數學家艾薩克·牛頓認為蚌線是僅次於直線和圓的、定義第三簡潔的曲線，並利用蚌線構造出多種三次平面曲線。但及至當代，蚌線變得很少被數學家研究和關注。

#### 倍立方體

作線段 $AB = 1$。以點 $A$ 為圓心、$AB$ 為半徑作圓，以點 $B$ 為圓心、$AB$ 為半徑作圓，交於點 $C$。

過點 $A$ 作線段 $AC$ 的垂線 $l$。以點 $C$ 為極點、$AB$ 為跡距作直線 $l$ 的蚌線外支。

延長 $BA$ 交蚌線於點 $D$。延長 $AB$ 交圓 $B$ 於點 $E$。連接 $CD$ 交 $l$ 於點 $F$。線段 $CF$ 的長度即為 $\sqrt[3]{2}$。

代數證明設 $CF = x$。顯然 $x$ 是正實數。因為 $\triangle AFC$ 為直角三角形，所以 $AF = \sqrt {CF^2-CA^2}=\sqrt {x^2-1}$。又因為 $\triangle ADF \sim \triangle EDC$，所以 $AF = {EC \over CD} \cdot FD={{\sqrt 3} \over x+1}$。:$\sqrt {x^2-1} ={{\sqrt 3} \over x+1}$ :$(x^2-1)(x+1)^2 = 3$ :$x^4+2x^3-2x-4=0$ :$(x+2)(x^3-2)=0$ :$x^3-2=0$ :$x=\sqrt[3]{2}$

尼科美迪斯的幾何證明

作長方形 $ABGH$，$AH=BG=2AB=2GH$。:延長 $DH$，延長 $BG$，交於點 $K$。:連接 $EH$，交 $BG$ 於點 $L$，點 $L$ 是 $BG$ 中點。:取 $AB$ 中點 $M$，連接 $MC$。

$AD \cdot BD =(MD-MA)\cdot (MD+MB)$ :$AD \cdot BD +MA^2 =MD^2$ :$AD \cdot BD +MA^2 +MC^2=MD^2+MC^2$ :$AD \cdot BD +AC^2=CD^2$

$\triangle KBD \sim \triangle KGH \sim \triangle HAD$ :$KG:GH = HA:AD$ :$\because GH=GL ,\ AH=2AB=AE$ :$\therefore KG:GL = AE:AD =FC:FD$ :$\because FD =AB=GL$ :$\therefore KG = FC$ :$KL=KG+GL=FC+FD=CD$ :$KL^2=CD^2$

$KL^2=(KL+GL)\cdot (KL-GL)+GL^2$ :$KL^2=KB\cdot KG+GL^2$ :$CD^2=AD \cdot BD +AC^2$ :$\therefore KB\cdot KG+GL^2 = AD \cdot BD +AC^2$ :$KB\cdot KG = AD \cdot BD$ :$AD:KG=KB:BD=KG:GH=HA:AD$

$HA:AD=AD:KG=KG:GH$ :$HA=2GH$ :$\therefore KG=\sqrt[3]{2}GH$

#### 三等分角

作任意直角三角形 $\triangle OAB$，點 $A$ 為垂足。以點 $O$ 為極點、$2\ OB$ 為跡距作直線 $AB$ 的蚌線外支。

過點 $B$ 作直線 $AB$ 的垂線，交蚌線於點 $C$。$OC$ 就是 $\angle AOB$ 的三等分線。

證明作 $OC$ 與 $AB$ 的交點 $D$。取 $CD$ 的中點 $E$，連接 $BE$。根據蚌線和直角三角形的性質，可知 $OB = CE = DE = BE$。易證得 $\angle BOD = \angle BED = \angle EBC + \angle C = 2 \angle C = 2 \angle AOD$。故 $\angle AOD = {1 \over 3} \angle AOB$。

### 解析幾何

在極坐標系中，設點 $O$ 為坐標原點，則直線 $l$ 和蚌線 $c$ 的方程可以表示為：

$$l : \ \rho = a {\sec \theta}$$

$$c : \ \rho = a {\sec \theta} \pm b$$

$(-{\pi \over 2} < \theta < {\pi \over 2} \ , \ a, b \in \mathbb{R}^+)$

在直角坐標系中，設點 $O$ 為坐標原點，則直線 $l$ 和蚌線 $c$ 的方程可以表示為：

$$l : \ x = a$$

$$c : \ (x-a)^2(x^2+y^2)=b^2x^2$$

$(a, b \in \mathbb{R}^+)$

或用參數方程表示為：

$$\begin{cases} x=a \pm b \cos \theta \\ y=a \tan \theta \pm b \sin \theta \end{cases}$$

（上下正負號同號，$-{\pi \over 2} < \theta < {\pi \over 2} \ , \ a, b \in \mathbb{R}^+$）

尼科美迪斯蚌線是四次平面曲線。

## 帕斯卡蝸線

帕斯卡蝸線是一類外旋輪線，同時也是一類特殊的蚌線，是圓關於圓上一個定點的蚌線。由於極點在原曲線上，所以蚌線的內支和外支光滑相連為一條曲線。當跡距等於圓的直徑時，就是心臟線。

作圓 $O$ 關於圓上一個定點 $A$、跡距等於圓的半徑的蚌線。對於圓上任意一點 $B$，延長 $BO$ 至圓外，與所作蚌線交於點 $C$。根據蚌線的性質，易知 $\angle ACB = {1 \over 3} \angle AOB$。這條特殊的蚌線被稱為三等分角蝸線。

- 圓關於圓上一點、跡距小於圓徑的蚌線
- 圓關於圓上一點、跡距等於圓徑的蚌線，即心臟線
- 三等分角蝸線

## 其他蚌線

- 圓對圓外一點的蚌線，跡距大於極點與圓的最大距離。極點與蚌線內支分離
- 圓對圓外一點的蚌線，跡距等於極點與圓的最大距離。極點為蚌線內支的尖點
- 圓對圓外一點的蚌線，跡距小於極點與圓的最大距離，大於極點與圓的最小距離。極點為蚌線內支的結點
- 圓對圓外一點的蚌線，跡距等於極點與圓的最小距離。極點為蚌線內支的尖點
- 圓對圓外一點的蚌線，跡距小於極點與圓的最小距離。極點與蚌線內支分離
- 圓對圓內一點的一條蚌線
- 拋物線對線外一點的一條蚌線
- 正弦曲線對線外一點的一條蚌線
- 立方曲線對線外一點的一條蚌線
- 雙曲線一支對線上一點的蚌線
- 橢圓對於中心、跡距等於半短軸的蚌線，內支有兩個重合的尖點