基數 (數學)

在日常交流中，基數（cardinal number，cardinal）或量數，是對應量詞的數，例如「一顆蘋果」中的「一」。與序數相對，序數是對應排列的數，例如「第一名」中的「一」及「二年級」中的「二」。

在數學集合論中，基數或勢，即集合中包含的元素的「個數」（參見勢的比較），是日常交流中基數的概念在數學上的精確化（並使之不再受限於有限情形）。有限集合的基數，其意義與日常用語中的「基數」相同，例如$\{a, b, c\}$的基數是3。無限集合的基數，其意義在於比較兩個集的大小，例如整數集和有理數集的基數相同；整數集的基數比實數集的小。

## 歷史

康托爾在1874年－1884年引入最原始的集合論（現稱樸素集合論）時，首次引入基數概念。

他最先考慮的是集合$\{1,2,3\}$和$\{2,3,4\}$，它們並非相同，但有相同的基數。驟眼看來，這是顯而易見，但究竟何謂兩個集合有相同數目的元素？

康托爾的答案，是透過所謂的一一對應，即把兩個集合的元素一對一的排起來——若能做到，兩個集合的基數自然相同。這答案，容易理解但卻是革命性的，因為用相同的方法即可比較任意集合的大小，包括無窮集合。

最先被考慮的無窮集合是自然數集$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$及其無限子集。他把所有與$\mathbb{N}$能一一對應的集為可數集。令康托爾意外的是，原來$\mathbb{N}$的所有無限子集都能與$\mathbb{N}$一一對應。他把$\mathbb{N}$的基數稱為$\aleph_0$，是最小的艾禮富數。

康托爾發現，原來有理數集合與代數數集合也是可數的。於是乎在1874年初，他嘗試證明是否所有無限集合均是可數，其後他得出了實數集不可數的結論。原先的證明用到了涉及區間套的複雜論證，而在他1891年的論文中，他以簡單而巧妙的對角論證法重新證明了這一結果。實數集的基數，記作c，代表連續統。

接著康托爾構作一個比一個大的集合，得出一個比一個大的基數，而這些巨大集合的元素已不可如實數般書寫出來。因此關於基數的一般理論，需要一個新的語言描述，這就是康托爾發明集合論的主因。

康托爾隨後提出連續統假設：c就是第二個超窮基數$\aleph_1$，即継$\aleph_0$之後最小的基數。現已知這假設是不能證明的，即接受或否定它會得出兩套不同但邏輯上可行的公理化集合論。

## 動機

在非正式使用中，基數就是通常被稱為計數的東西。它們同一於開始於$0$的自然數（就是$0, 1, 2, \ldots$）。計數可以形式化地定義為有限基數，而無限基數隻出現在高等數學和邏輯中。

更正式地，一個非零的數可以用於兩個目的：描述一個集合的大小，或描述一個元素在序列中位置。對於有限集合和序列，可以輕易的看出著兩個概念是相符的，因為對於所有描述在序列中的一個位置的數，我們可以構造一個有正好大小的集合，比如3描述了$c$在序列$a,b,c,d,...$中的位置，並且我們可以構造有三個元素的集合$\{a,b,c\}$。但是在處理無限集合的時候，在這兩個概念之間的區別是本質的—這兩個概念對於無限集合實際上是不同的。考慮位置的方面會引申出序數的概念，而大小則被這裡描述的基數所廣義化。

在基數的形式定義背後的直觀想法是，可以構造一個記號來指明集合的相對大小，而不需理會它有哪些種類的成員。對於有限集合這是容易的：只需簡單的數算一個集合的成員數目。為了比較更大集合的大小，得藉助更加巧妙的概念。

一個集合$Y$至少等大小於（或稱大於等於）一個集合$X$，如果有從$X$到$Y$的一個單射（一一映射）。一一映射對集合$X$的每個元素確定了一個唯一的集合$Y$的元素。通過例子就最易理解了；假設有集合$X = \{1,2,3\}$和$Y = \{a,b,c,d\}$，我們可以注意到有一個映射：

$$1 \to a$$

$$2 \to b$$

$$3 \to c$$

這是一對一的，使用上述的大小概念，我們因此總結出$Y$有大於等於$X$的勢。注意元素$d$沒有元素映射到它，但這是允許的，因為我們只要求一一映射，而不必須是一對一併且完全的映射。這個概念的好處是它可以擴展到無限集合。

我們可以把這個概念擴展到一個類似於等式的關係。兩個集合$X$和$Y$被稱為有相同的"勢"，如果存在$X$和$Y$之間的雙射。通過Schroeder-Bernstein定理，這等價於有從$X$到$Y$和從$Y$到$X$的兩個一一映射。我們接著記之為 $| X | = | Y |$。$X$的基數自身經常被定義為有著 $| a | = | X |$ 的最小序數$a$。這叫做馮·諾伊曼基數指派；為使這個定義有意義，必須證明所有集合都有同某個序數一樣的勢；這個陳述就是良序原理。然而即使不給集合的勢指派一個名字，討論集合之間相對的勢還是可以的。

一個經典例子是無限旅館悖論，也叫做希爾伯特旅館悖論。假設你是有無限個房間的旅館主人。旅館客滿，而又來了一個新客人。可以讓在房間1的客人轉移到房間2，房間2的客人轉移到房間3，以此類推，騰空房間1的方式安置這個新客人。我們可以明確的寫出這個映射的一個片段：

$$1 \longleftrightarrow 2$$

$$2 \longleftrightarrow 3$$

$$3 \longleftrightarrow 4$$

...

$$n \longleftrightarrow n+1$$

...

在這種方式下我們可以看出集合$\{1,2,3,...\}$和集合$\{2,3,4,...\}$有相同的勢，因為已知這兩個集合之間存在雙射。這便給"無限集合"提供了一個合適的定義，即是與自身某個真子集有著相同的勢的任何集合；在上面的例子中$\{2,3,4,...\}$是$\{1,2,3,...\}$的真子集。

當我們考慮這些大對象的時候，我們還想看看計數次序的概念是否符合上述為無限集合定義的基數。事實上是不一致的；通過考慮上面的例子，我們可以看到如果有「比無限大一」的某個對象存在，它必須跟起初的無限集合有一樣的勢。這時候可以使用另一種稱為序數的形式概念，它是建基於計數並依次考慮每個數的想法上。而我們會發現，勢和序（ordinality）的概念對於無限的情況是有分歧的。

可以證明實數的勢大於剛才描述的自然數的勢，透過對角論證法可以一目瞭然。跟勢相關的經典問題（比如連續統假設）主要關注在某一對無限基數之間是否有別的基數。現時數學家已經在描述更大更大基數的性質。

因為基數是數學中如此常用的概念，有各種各樣的名字指涉它。勢相同有時也叫做等勢、均勢或等多（equipotence, equipollence, equinumerosity）。因此稱有相同勢的兩個集合為等勢的、均勢的或等多的（equipotent, equipollent, equinumerous）。

## 定義

首先，給出集合$X$和$Y$，我們稱$X$的勢小於等於$Y$，記作 $| X | \leq | Y |$，當且僅當存在由$X$到$Y$的單射；稱$X$的勢與$Y$相等，記作 $| X | = | Y |$，當且僅當存在由$X$到$Y$的雙射（即一一對應）。

康托爾-伯恩斯坦-施洛德定理指出如果 $| X | \leq | Y |$ 及 $| Y | \leq | X |$ 則 $| X | = | Y |$。

假設選擇公理，所有集合都可良序，且對於所有集合$X$與$Y$，有 $| X | \leq | Y |$ 或 $| Y | \leq | X |$。因此，我們可以定義序數，而集合$X$的基數則是與$X$等勢的最小序數$\alpha$。

（若不接受選擇公理，我們也可對非良序集$X$定義基數，就是所有與$X$等勢的集的階中下確界。）

### 有限集的基數

自然數的一種定義是$0=\{ \},1=\{0\},2=\{0,1\},3=\{0,1,2\},\ldots ,N=\{0,1,\ldots ,N-1\}$。可以見到，與數$N$等勢的集必有$N$個元素。如集合$\{2, 3, 5\}$的基數為$3$。

以下是有限集的三個等價定義：它與某自然數等勢；它只有一個等勢的序數，就是它的基數；它沒有等勢的真子集。

### 無限集的基數

最小的無限集合是自然數集。$\{1, 2, 3, 4,\ldots , n, \ldots \}$與$\{2, 4, 6, 8, \ldots , 2n, \ldots \}$基數相同，因為可以讓前一集合的$n$與後一集合的$2n$一一對應。從這個例子可以看出，對於一個無窮集合來說，它可以和它的一個真子集有相同的基數。

以下是無限集的四個等價定義：它不與任何自然數等勢；它有超過一個等勢的序數；它有至少一個真子集和它等勢；存在由自然數集到它的單射。

## 基數算術

我們可在基數上定義若干算術運算，這是對自然數運算的推廣。

給出集合$X$與$Y$，定義 $X + Y = \{(x,0): x \in X\} \cup \{(y,1): y \in Y\}$，則基數和是

$|X| + |Y| = |X + Y|$。

若$X$與$Y$不相交，則 $|X| + |Y| = |X \cup Y|$。

基數積是

$$|X| |Y| = |X \times Y|$$

其中$X \times Y$是$X$和$Y$的笛卡兒積。

基數指數是

$$|X|^{|Y|} = |X^{Y}|$$

其中$X^{Y}$是所有由$Y$到$X$的函數的集合。

在有限集時，這些運算與自然數無異。一般地，它們亦有普通算術運算的性質：

- 加法和乘法是可交換的，即 $|X|+|Y|=|Y|+|X|$ 及 $|X||Y|=|Y||X|$
- 加法和乘法符合結合律，$(|X|+|Y|)+|Z|=|X|+(|Y|+|Z|)$及 $(|X||Y|)|Z|=|X|(|Y||Z|)$
- 分配律，即 $(|X|+|Y|)|Z|=|X||Z|+|Y||Z|$。
- $$|X|^{|Y| + |Z|} = |X|^{|Y|} |X|^{|Z|}$$
- $$|X|^{|Y| |Z|} = (|X|^{|Y|})^{|Z|}$$
- $$(|X||Y|)^{|Z|} = |X|^{|Z|} |Y|^{|Z|}$$

無窮集合的加法及乘法（假設選擇公理）非常簡單。若$X$與$Y$皆非空而其中之一為無限集，則

$$|X| + |Y| = |X||Y| = \max\{|X|, |Y|\}$$

注意$2^{| X |}$是$X$的冪集之基數。由對角論證法可知$2^{| X |} > | X |$，是以並不存在最大的基數。事實上，基數的類是真類。

還有些關於指數的性質：

- $|X|^{0} = 1$（特別地，$0^{0} = 1$）。
- $0^{|Y|} = 0$，若$Y$非空。
- $1^{|Y|} = 1$。
- 若$|X| \leq |Y|$，則 $|X|^{|Z|} \leq |Y|^{|Z|}$。
- 若 $|X|$ 和 $|Y|$ 俱有限且大於1，而$Z$是無窮集，則 $|X|^{|Z|} = |Y|^{|Z|}$。
- 若X是無窮而$Y$是有限及非空，則 $|X|^{|Y|} = |X|$。

## 基數序列及連續統假設

對每一個基數，存在一個最小比它大的基數。這在自然數當然是對的。自然數集的基數是$\aleph_0$，康托爾稱下一個為$\aleph_1$，相類似的，還定義了如下一個序列：$\aleph_0, \aleph_1,\ldots,\aleph_n \ldots$。

設$c=2^{\aleph_0}$。連續統假設猜想，就是$c=\aleph_1$。

連續統假設是與一般集論公理（即Zermelo-Fraenkel公理系統加上選擇公理）是獨立的。

更一般的假設，即$\aleph_{n+1}=2^{\aleph_n}$。

廣義連續統假設，就是對所有無窮基數$\aleph$，都不存在介乎$\aleph$與$2^\aleph$之間的基數。

## 外部連結

- https://web.archive.org/web/20010528181608/http://logweb.terrashare.com/text/logic/infini.txt
- Infinite Ink: Cardinal Numbers