楊輝三角形

楊輝三角形，又稱帕斯卡三角形、賈憲三角形、海亞姆三角形、巴斯卡三角形，是二項式系數的一種寫法，形似三角形，在中國首現於南宋楊輝的《詳解九章算法》得名，其在書中說明是引自賈憲的《釋鎖算書》，故又名賈憲三角形。前9行寫出來如下：

$$\begin{array}{c} <pre> 1 \\ 1 \quad 1 \\ 1 \quad 2 \quad 1 \\ 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\ 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \\ 1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1 \\ 1 \quad 6 \quad 15 \quad 20 \quad 15 \quad 6 \quad 1 \\ 1 \quad 7 \quad 21 \quad 35 \quad 35 \quad 21 \quad 7 \quad 1 \\ 1 \quad 8 \quad 28 \quad 56 \quad 70 \quad 56 \quad 28 \quad 8 \quad 1 \\ 1 \quad 9 \quad 36 \quad 84 \quad 126 \quad 126 \quad 84 \quad 36 \quad 9 \quad 1 \\ 1 \quad 10 \quad 45 \quad 120 \quad 210 \quad 252 \quad 210 \quad 120 \quad 45 \quad10 \quad 1\\ </pre> \end{array}$$

楊輝三角形第 $n$ 層（頂層稱第 0 層，第 1 行，第 $n$ 層即第 $n+1$ 行，此處 $n$ 為包含 0 在內的自然數）正好對應於二項式 $\left(a+b\right)^{n}$ 展開的係數。例如第二層 1 2 1 是冪指數為 2 的二項式 $\left(a+b\right)^{2}$ 展開形式 $a^{2}+2ab+b^{2}$ 的係數。

## 性質

- 楊輝三角形以正整數構成，數字左右對稱，每行由1開始逐漸變大，然後變小，回到1。
- 楊輝三角形每一行的平方和在楊輝三角出現奇數次。
- 楊輝三角形第2的冪行所有數都是奇數亦即組合數$\binom{2^a-1}{b}$恆為奇數，其中$a$為非負整數，$b$為$0,1,2,3, \cdots ,(2^a-1)$中的某一數。此為盧卡斯定理的特殊情況。
- 第 $n$ 行的數字個數為 $n$ 個。
- 第 $n$ 行的第 $k$ 個數字為組合數 $C_{k-1}^{n-1}$。
- 第 $n$ 行數字和為 $2^{n-1}$，因為第 $n$ 行是 $\left(1+1\right)^{n-1}$ 的二項展開。
- 第 $n$ 行的數字按順序寫下所形成的數字為 $11^{n-1}$，因為該數字是 $\left(10+1\right)^{n-1}$ 的二項展開。例如第二行 $11=11^1$，第三行 $121=11^2$，第四行 $1331=11^3$，第五行 $14641=11^4$，第六行 $161051=11^5$（第六行之後需進位）。該規律可推廣至任何進位制，例如在九進制下：$121_9=100_{10}$，$1331_9=1000_{10}$。
- 除每行最左側與最右側的數字以外，每個數字等於它的左上方與右上方兩個數字之和（也就是說，第 $n$ 行第 $k$ 個數字等於第 $n-1$ 行的第 $k-1$ 個數字與第 $k$ 個數字的和）。這是因為有組合恆等式：$C_{k+1}^{n+1}=C_{k}^{n}+C_{k+1}^{n}$。可用此性質寫出整個楊輝三角形。
- 如果 $n$ 為質數，則第 $\left(n+1\right)$ 行的數中除了兩端的1以外均為 $n$ 的整數倍數。若 $n$ 為合數則不然。考慮二項式係數$\binom{p}{n}=\frac{p!}{n!(p-n)!}$，並限定n不為p或0，則由於分子有質數p，但分母不含p，故分子的p能保留，不被約分而除去，即$\binom{p}{n}$恆為p的倍數。另見中一新生之夢。
- 按照該三角形的斜邊以及與之平行的斜線上的數所形成的數列為第 $\left(n-1\right)$ 維度的單純形數。即第一列全為1（0維），第二列為自然數形成的數列，第三列為三角形數形成的數列，第四列為四面體數形成的數列，第五列為五胞體數形成的數列，以此類推。
- 第 $p$ 行（第 $n$ 層）的所有的數的平方和為第 $\left(2p-1\right)$ 行（第 $2n$ 層）正中央的數字。可用該式得出 $\sum_{k=0}^n {n \choose k}^2 = {2n \choose n}$。例如第五行（第四層）所有的數的平方和 $1^2+4^2+6^2+4^2+1^2=70$ 是第九行（第八層）正中央的數字。
- 將三角形左端對齊之後，沿右斜45度的對角線方向（不改變三角形形狀的話則需要按照中國象棋的馬的走法）取得的數之和為斐波那契數。
- 將第奇數行正中央的數減去其左側（或右側）第二個數，得到的差為卡塔蘭數。
- 將楊輝三角形中所有的奇數與所有的偶數以不同顏色塗色的話，可以形成一個類似謝爾賓斯基三角形的圖形。

## 歷史

波斯數學家凱拉吉和天文學家兼詩人歐瑪爾·海亞姆（عمر خیام,Omar Khayyám）在10世紀都發現了這個三角形，而且還知道可以藉助這個三角形找$n$次根，和它跟二項式的關係。但他們的著作已佚失。

11世紀北宋數學家賈憲發明了賈憲三角，並發明了增乘方造表法，可以求任意高次方的展開式係數。賈憲還對賈憲三角表（古代稱數字表為「立成」）的構造進行描述。賈憲的三角表圖和文字描寫，仍保存在大英博物館所藏《永樂大典》卷一萬六千三百四十四。

13世紀中國南宋數學家楊輝在《詳解九章算術》裡解釋這種形式的數表，並說明此表引自11世紀前半賈憲的《釋鎖算術》。

1303年元代數學家朱世傑在《四元玉鑒》卷首繪製《古法七乘方圖》。

義大利人稱之為「塔塔利亞三角形」（Triangolo di Tartaglia）以紀念在16世紀發現一元三次方程解的塔塔利亞。

布萊士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique（1655年）介紹了這個三角形。帕斯卡搜集了幾個關於它的結果，並以此解決一些機率論上的問題，影響面廣泛，皮埃爾·雷蒙·德蒙莫爾（1708年）和亞伯拉罕·棣莫弗（1730年）都用帕斯卡來稱呼這個三角形。

歷史上曾經獨立繪製過這種圖表的數學家：

- Karaji 和 歐瑪爾·海亞姆 波斯 10世紀（圖文無存）
- 賈憲 中國北宋 11世紀 《釋鎖算術》 （圖文現存大英博物館所藏《永樂大典》）
- 楊輝 中國南宋 1261《詳解九章算法》記載之功（圖文現存大英博物館所藏《永樂大典》）
- 朱世傑 中國元代 1299《四元玉鑒》級數求和公式
- 阿爾·卡西 阿拉伯 1427《算術的鑰匙》（現存圖文）
- 阿皮亞納斯 德國 1527
- 施蒂費爾 德國 1544《綜合算術》二項式展開式係數
- 薛貝爾 法國 1545
- B·帕斯卡 法國 1654《論算術三角形》

### 中國數學家的研究

中國賈憲是賈憲三角的發明人，賈憲/楊輝稱之為「釋鎖求廉本源」，朱世傑稱之為「古法七乘方圖」（1303年），明代數學家吳敬《九章詳註比類演算法大全》稱之為「開方作法本源」（1450年）；明王文素《算學寶鑑》稱之為「開方本源圖」（1524年）；明代程大位《算法統宗》稱之為「開方求廉率作法本源圖」（1592年）。

清代梅文鼎《少廣拾遺》稱之為「七乘府演算法」（1692年）；清代孔廣森《少廣正負術》稱之為「諸乘方乘率表」；焦循《加減乘除釋》稱之為「古開方本原圖」；劉衡《籌表開諸乘方捷法》稱之為「開方求廉率圖」；項名達《象數一原》稱之為「遞加圖」。偉烈亞力《數學啟蒙》稱之為「倍廉法表」；李善蘭《垛積比類》稱之為「三角垛表」。近代中算史家李儼稱之為「巴斯噶三角形」，但根據《永樂大典》指出「巴斯噶三角形」最早由賈憲使用。著名數學家華羅庚，在1956年寫的一本通俗讀物《從楊輝三角談起》，將賈憲的《開方作法本源》稱為「楊輝三角」，首次將「巴斯噶三角形」回歸宋代數學家名下；此後的中學數學教科書和許多數學科普讀物都跟隨之。另一方面，專業的中國數學史著作，都用「賈憲三角」這個稱呼。

## 一個數在楊輝三角出現的次數

由1開始，正整數在楊輝三角形出現的次數為：∞,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, ... （OEIS:A003016）。最小而又大於1的數在賈憲三角形至少出現n次的數為2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... （OEIS:A062527）

- 除了1之外，所有正整數都出現有限次。
- 只有2出現剛好一次。
- 6,20,70等出現三次。
- 出現兩次和四次的數很多。
- 還未能找到出現剛好五次或七次的數。
- 120,210,1540等出現剛好六次。（OEIS:A098565）
- 因為丟番圖方程${n+1 \choose k+1} = {n \choose k+2},$有無窮個解，所以出現至少六次的數有無窮多個。
- 其解答，是

$n = F_{2i+2} F_{2i+3} - 1,\,$ $k = F_{2i} F_{2i+3} - 1,\,$

- 其中$F_n$表示第$n$個斐波那契數（$F_1 = F_2 = 1$）。
- 3003是第一個出現八次的數。

## 參見

- 賈憲、楊輝
- 萊布尼茨三角形