代數數域

代數數域是數學中代數數論的基本概念，數域的一類，有時也被簡稱為數域，指有理數域$\mathbb{Q}$的有限擴張形成的擴域。任何代數數域都可以視作$\mathbb{Q}$上的有限維向量空間。

對代數數域的研究，或者更一般地說，對有理數域的代數擴張的研究，是代數數論的中心主題。

## 定義

### 預備知識

代數數域是域的一類。域是裝備了兩個二元運算（通常稱之為「加法」、「乘法」）的代數系統。這兩種運算各自滿足結合律與交換律，完全可逆，同時乘法對加法滿足分配律（詳細定義參見域）。域的一個重要的例子是有理數域$\mathbb{Q}$。

域的擴張

域的擴張研究各類域之間的關係，最早的應用包括多項式方程一般求根公式問題等。在給定的域F中加入不屬於此域的元素（一般以集合S記錄），規定相互間的運算法則後，「最小的」將它們都包含在內的域L稱為「F（添加S中元素得到）的擴域」。稱F是L的子域。一般將「F到L的域擴張」記作F⊂L或L/F。

向量空間

另一個基礎概念是向量空間。向量空間，特別是有限維向量空間的概念是三維空間以及其中向量概念的推廣（具體定義參見向量空間條目）。以某個域F為係數域的向量空間（通常稱作F上的向量空間或F-向量空間），其中的向量除了可以相加減，還可以乘以F中元素進行放縮。有限維的向量空間可以藉助其中的有限個向量來刻畫。這些向量之間必須滿足特定的條件，稱為空間的基。選定了空間的基以後，空間裡的任何向量都可以表達為以F中元素組成的有序數組：$(x_1, x_2, \cdots , x_n)$。其中的n是基中向量的個數，也稱為空間的維數。

有限擴張

設L是域F的一個擴域。將L中的元素看作向量，以F作為係數域，可以證明L是一個F-向量空間。如果這個向量空間是有限維的，就稱L是F的有限擴張。L作為F-向量空間的維數，稱為擴張的次數，記作L : F。

### 定義

若域L是有理數域$\mathbb{Q}$的有限擴張，則稱之為代數數域。

## 例子

最小最基本的代數數域是有理數域$\mathbb{Q}$。因為$\mathbb{Q}$自身是$\mathbb{Q}$向量空間，維數是1。因此$\mathbb{Q}$是$\mathbb{Q}$自身的域擴張，$[\mathbb{Q} : \mathbb{Q}] = 1.$

高斯有理數$\mathbb{Q}(i)$（i為虛數單位）是數學家發現的第一個非平凡代數數域的例子，它是所有形同：

$$a + bi , \; \; a, b \in \mathbb{Q}$$

數構成的集合。可以證明，$\mathbb{Q}(i)$是域，而且是$\mathbb{Q}$向量空間，以$\{1, i \}$為基，空間維數是2。所以$\mathbb{Q}(i)$是$\mathbb{Q}$的二次擴張，$[\mathbb{Q}(i) : \mathbb{Q}] = 2.$

給定不是完全平方數的正整數或相反數不是完全平方數的負整數d，二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$在$\mathbb{Q}$中添加d的平方根而得的擴域。與高斯有理數域類似，可以證明$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$是$\mathbb{Q}$向量空間，以$\{1, \sqrt{d} \}$為基，空間維數是2，即$[\mathbb{Q}(\sqrt{d}) : \mathbb{Q}] = 2.$

考慮多項式方程$x^n = 1$的n個復根$\xi_1, \xi_2, \cdots , \xi_n$，它們被稱做n次單位根，具體可以寫作：

$$\xi_i = e^{\frac{2i\pi}{n}}, \; \; i \in \{0, 1, \cdots, n-1 \}.$$

在$\mathbb{Q}$中添加$\xi_1, \xi_2, \cdots , \xi_n$得到的擴域稱為n次分圓域，記作$\mathbb{Q}(\xi_n)$。可以證明$\mathbb{Q}(\xi_n)$是有限維$\mathbb{Q}$向量空間，維數為$\varphi(n)$（$\varphi$是數論中的歐拉函數），即$[\mathbb{Q}(\xi_n) : \mathbb{Q}] = \varphi(n).$

實數域$\mathbb{R}$、複數域$\mathbb{C}$和p進數域$\mathbb{Q}_p$都不是$\mathbb{Q}$的有限擴張，因此都不是代數數域。任何有限域都不是$\mathbb{Q}$的擴域，因此也不是代數數域。

全體規矩數構成的域$\mathcal{C}$和全體代數數構成的域$\mathcal{A}$（有時也被簡稱為代數數域，與本文主題同名，但不是同一個概念）不是$\mathbb{Q}$的有限擴張，因此都不是代數數域。

## 代數數域與代數數

代數數是指能夠成為某個有理數係數多項式（不是零多項式）的根的數。顯然所有的有理數都是代數數。給定一個代數數域L，依定義，域擴張$\mathbb{Q} \subset L$是有限擴張。設其次數為正整數m

$\mathbb{Q}$。將L看作是m維$\mathbb{Q}$向量空間，在L中任意選一個不屬於$\mathbb{Q}$的數z，它可以被看作是m維$\mathbb{Q}$向量空間中的一個（非零）向量。考慮以下的m + 1個向量：

$$1, z, z^2, \cdots, z^m$$

它們都屬於L。根據向量空間的性質，它們是線性相關的。即存在不全為零的m + 1個有理數：$a_0, a_1, \cdots , a_m$，使得：

$a_0 + a_1 z + \cdots + a_m z^m = 0$.

考慮非零多項式$P = a_0 + a_1 X+ \cdots + a_m X^m$，$P(z) = 0$，即z是多項式$P$的根。所以z是代數數。由上可知，任一代數數域的元素都是代數數。

## 代數整數

代數整數是指能夠成為某個首一整數係數多項式的根的數。顯然代數整數是一種代數數。任何整數n都是一次整係數多項式X - n的根，因此是代數整數。給定代數數域F，F中所有代數整數構成一個環，稱作F中的（代數）整數環，也稱為F-整數環，記作$\mathcal{O}_F$。例如$\mathbb{Q}$上的代數整數環就是$\mathbb{Z}$，因此在代數數域研究中$\mathbb{Z}$也被稱作「有理整數」（有理數域中的整數），以區別於其餘的代數整數。

代數數域F中的整數環$\mathcal{O}_F$與$\mathbb{Z}$有不同的代數性質。$\mathcal{O}_F$不一定是唯一分解整環。舉例來說，設$F = \mathbb{Q}(\sqrt{-5})$，F中的整數環是$\mathcal{O}_F = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$。$2, 3, 1+\sqrt{-5}, 1-\sqrt{-5}$都是$\mathcal{O}_F$中的「素數」

$\mathcal{O}_F$。正整數6，作為$\mathcal{O}_F$中的元素，它的素因數分解有兩種方式：

$$6 = 2 \times 3 = \left(1+\sqrt{-5}\right) \times \left(1 - \sqrt{-5}\right) .$$

有理整數的唯一分解性質在不少代數數域的整數環中失效。這個事實說明了拉梅對費馬大定理的證明是錯誤的。為此庫默爾等引進了理想數來作為彌補，由此發展出理想理論。代數數論中一個重要的事實是：$\mathcal{O}_F$的每個理想都可以唯一表示為素理想的乘積，即為戴德金整環。這種「理想的唯一素分解」可部分彌補「代數整數一般不能唯一素因子分解」的不足，在歷史上使代數數論發展起來。

## 代數數域的基

### 整數基

設F為n次代數數域，F的整數基是任一由n個F-整數組成的集合：

$$B = \{b_1, b_2, \cdots, b_n \}$$

使得任一個F-整數x都能唯一地表示為這n個F-整數的整線性組合，即：

$\forall x \in \mathcal{O}_F, \; \; \exists ! \; (m_1, m_2, \cdots, m_n) \in \mathbb{Z}^n$，使得$x = m_1 b_1 + m_2 b_2 + \cdots + m_n b_n.$

換句話說，整數基B是$\mathcal{O}_F$作為自由$\mathbb{Z}$模的基。給定F的一組整數基B，可以證明，所有F中元素x都可以唯一地表示為其中元素的有理線性組合，即：

$\forall x \in F, \; \; \exists ! \; (q_1, q_2, \cdots, q_n) \in \mathbb{Q}^n$，使得$x = q_1 b_1 + q_2 b_2 + \cdots + q_n b_n.$

這說明B是F作為n維$\mathbb{Q}$向量空間的一組基。而且由於B中元素都是F-整數，故B名為整數基。此外可以證明，x是F-整數若且唯若所有$q_1, q_2, \cdots, q_n$都是有理整數。

### 乘冪基

設F為n次代數數域。作為n維$\mathbb{Q}$向量空間，F包含如下形式的基：

$$B = \{ 1, \beta, \beta^2, \cdots , \beta^{n-1} \}$$

其中每個元素都是某個特定的數β的乘冪。根據域擴張理論中的本原元定理，這樣的β一定存在，稱為域擴張$\mathbb{Q} \subset F$的本原元。如果β不僅是本原元，還是F-整數，那麼這時B也是整數基，稱作乘冪整數基，稱F為單衍域（monogenic field）。

## 參考來源

- Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
- Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999
- Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005
- Andre Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995