豪斯多夫空間

在拓撲學和相關的數學分支中，豪斯多夫空間、分離空間或T2空間（Hausdorff space, separated space or T2 space）是其中的點都「由鄰域分離」的拓撲空間。在眾多可施加在拓撲空間上的分離公理中，「豪斯多夫條件」是最常使用和討論的。它蘊涵了序列、網和濾子的極限的唯一性。直觀地講，這個條件可用個雙關語來形容：如果某空間中任兩點可用開集合將彼此「豪斯多夫」開來，該空間就是「豪斯多夫」的。

豪斯多夫得名於拓撲學的創立者之一費利克斯·豪斯多夫。豪斯多夫最初的拓撲空間定義把豪斯多夫條件包括為公理。

## 定義

假設X是拓撲空間。設x和y是X中的點。我們稱 x 和 y 可以「由鄰域分離」，如果存在 x 的鄰域 U 和 y 的鄰域 V 使得 U 和 V 是不相交的（U ∩ V = ∅），且 X 中的任意兩個不同的點都可以由這樣的鄰域分離，那麼稱 X 是豪斯多夫空間。這也是豪斯多夫空間叫做 T2空間或分離空間的原因。

X 是預正則空間，如果任何兩個拓撲可區分的點可以由鄰域分離。預正則空間也叫做 R1空間。

在這些條件之間的聯繫如下。拓撲空間是豪斯多夫空間，若且唯若它是預正則空間和柯爾莫果洛夫空間的二者（就是說獨特的點是拓撲可區分的）。拓撲空間是預正則空間，若且唯若它的柯爾莫果洛夫商空間是豪斯多夫空間。

## 等價

對於拓撲空間X，以下論述等價：

- $X$是豪斯多夫空間。
- $\{(x,x)|x \in X\}$是積空間$X \times X$的閉集。
- X中極限是唯一的(就是序列、網和濾子收斂於最多一個點)。
- 所有包含在X中的單元素集合都等於包含它的所有閉鄰域的交集。

## 例子和反例

在數學分析所遇到的幾乎所有空間都是豪斯多夫空間；最重要的實數是豪斯多夫空間。更一般的說，所有度量空間都是豪斯多夫空間。事實上，在分析中用到的很多空間，比如拓撲群和拓撲流形在其定義中明確的聲明了豪斯多夫條件。

最簡單的是 T1空間而非 T2 空間的拓撲的例子是餘有限空間。

偽度量空間是典型的非豪斯多夫空間，但是它們是預正則的，並且它們在分析中通常只用於構造豪斯多夫 gauge空間。實際上，在分析家處理非豪斯多夫空間的時候，它至少要是預正則的，他們簡單的把它替代為是豪斯多夫空間的它的柯爾莫果洛夫商空間。

相反的，在抽象代數和代數幾何更經常見到非預正則空間，特別是作為在代數簇或交換環譜上的扎里斯基拓撲。他們還出現在直覺邏輯的模型論中：所有完全 Heyting代數都是某個拓撲空間的開集的代數，但是這個空間不需要是預正則的，更少見豪斯多夫空間。

## 性質

豪斯多夫空間的子空間和乘積是豪斯多夫空間，但是豪斯多夫空間的商空間不必須是豪斯多夫空間。事實上，所有拓撲空間都可以實現為某個豪斯多夫空間的商。

豪斯多夫空間是T1空間，這意味著所有單元素集合是閉集。類似的，預正則空間是 R0空間。

豪斯多夫空間另一個美好的性質是緊緻集合總是閉集，這是因為假定$H$是一個豪斯多夫空間，而$S$是$H$的一個緊緻集合，那對於任何位於$S$的補集$\bar{S}$中的點$x$而言，$x$都會位於一個作為$\bar{S}$的子集的開集當中所致，而可以利用豪斯多夫空間的定義和緊緻集合對於開覆蓋的定義來證明包含$x$且作為$\bar{S}$的子集的開集存在，而這樣的開子集說明了若$x$是$\bar{S}$的一個元素，那麼$x$會是$\bar{S}$的一個內部點，因此$\bar{S}$本身也是個開集合，因此做為$\bar{S}$補集的$S$是閉集。但對於非豪斯多夫空間而言，這點可能失效，也就是說一個不是豪斯多夫空間的空間，其緊緻集合未必是閉集，像例如有其失效的T1空間的例子。

豪斯多夫空間的定義聲稱點可以由鄰域分離。它蘊涵了表象上更強的東西：在豪斯多夫空間中所有成對的不相交的緊緻集合都可以由鄰域分離。這是緊緻集合經常表現得如同點的一般規則的一個例子。

緊緻性條件與預正則一起經常蘊涵了更強的分離公理。例如，任何局部緊緻預正則空間都是完全正則空間。緊緻預正則空間是正規空間，意味著它們滿足烏雷松引理和蒂茨擴張定理，並且有服從局部有限開覆蓋的單位劃分。這些陳述的豪斯多夫版本是：所有局部緊緻豪斯多夫空間是吉洪諾夫空間，而所有緊緻豪斯多夫空間是正規豪斯多夫空間。

下列結果是關於來或到豪斯多夫空間的映射 (連續函數和其他) 的技術上的性質。

設 f : X → Y 是連續函數且 Y 是豪斯多夫空間。則 f 的圖象$\{(x,f(x)) :x\in X\}$是 $X \times Y$中的閉子集。

設 f : X → Y 是函數並設$\mbox{ker}(f) = \{(x,x') :f (x) = f(x')\}$是作為 $X \times X$的子空間的它的核。

- 如果f是連續函數並且 Y 是豪斯多夫空間則 ker(f) 是閉集。
- 如果f是開滿射而 ker(f) 是閉集則Y豪斯多夫空間。
- 如果f是連續開滿射（就是開商映射），則Y是豪斯多夫空間，若且唯若ker(f)是閉集。

如果 f,g : X → Y 是連續映射而 Y 是豪斯多夫空間，則均衡子$\mbox{eq}(f,g) = \{x :f (x) = g (x)\}$在 X 中是閉集。因此如果一致於 f 和 g 在某個 X 的稠密子集上有相同的值，則 f 和 g 在整個 X 上都是相同的，已就是 f=g。換句話說，若 f 是映射到豪斯多夫空間的連續函數，則函數 f 會被它在稠密子集上的值唯一決定。

設 f : X → Y 是閉滿射且對於所有 y ∈ Y，有 f−1(y) 是緊緻的。則若 X 是豪斯多夫空間會推得 Y 也是。

設 X 是緊緻豪斯多夫空間、 f : X → Y 是商映射，則下列是等價的

- Y 是豪斯多夫空間
- f 是閉映射
- ker(f) 是閉集

## 預正則性和正則性

所有正則空間都是預正則空間，也都是豪斯多夫空間。有很多拓撲空間的結果對正則空間和豪斯多夫空間二者都成立。多數時候這些結果對於所有預正則空間也成立；它們對正則空間和豪斯多夫空間要分開列出，因為預正則空間的概念要更晚。在另一方面，這些對於正則性為真的結果一般不適用於非正則豪斯多夫空間。

有很多情況拓撲空間的其他條件（比如仿緊緻性或局部緊緻性）也蘊涵正則性，如果它滿足預正則性的話。這種條件經常有兩個版本：正則版本和豪斯多夫版本。儘管豪斯多夫空間一般不是正則性的，局部緊緻的豪斯多夫空間是正則性的，因為任何豪斯多夫空間都是預正則性的。因此從特定角度來看，在有關這些情況的時候它實際是預正則性的，而非正則性的。但是，定義仍依據正則性來措辭，因為這些條件比預正則性更周知。

更詳細細節請參見分離公理的歷史。

## 變體

術語「豪斯多夫」、「分離」和「預正則」還可以用於在拓撲空間上的變體如一致空間、柯西空間和收斂空間。在所有這些例子中統一的概念特徵是網或濾子（在它們存在的時候）的極限是唯一的（對於分離空間）或在拓撲同構意義下唯一的（對於預正則空間）。

這顯現出一致空間和更一般的柯西空間總是預正則的，所有在這些情況下豪斯多夫條件簡約為T0條件。還有完備性在其中有意義的空間，豪斯多夫性在這些情況下是完備性的自然夥伴。特別是，一個空間是完備的，若且唯若所有柯西網有至少一個極限，而一個空間是豪斯多夫的，若且唯若所有柯西網都有最多一個極限（因為只有柯西網可以首先有極限）。

## 引用

- Munkres, J. R., 2000, Topology, 2nd edition, Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9
- 趙文敏，《拓撲學導論》，九章出版社，ISBN 978-957-603-018-5
- Arkhangelskii, A.V., L.S.Pontryagin, General Topology I,（1990）Springer-Verlag, Berlin. ISBN 978-3-540-18178-1
- Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966).