直言三段論

直言三段論是所有前提都是直言命題的演繹推理。前兩個命題被分別稱為大前提和小前提。如果這個三段論是有效的，這兩個前提邏輯上蘊涵了最後的命題，它叫做結論。結論的真實性建立在前提的真實性和它們之間的聯繫之上：中項在前提中必須周延（distribute）至少一次，形成在結論中的主詞和謂詞之間的連接。例如：

所有生物都會死。

所有人都是生物。

所以，所有人都會死。

這裡的中項「生物」在大前提中周延，大項「會死者」在大前提和結論中都不周延，小項「人」在小前提和結論中周延；這個三段論符合周延規則：中項至少在一個前提中周延。一些直言三段論不是有效的，例如：

所有鳥都有翅膀。

所有人都不是鳥。

所以，沒有人有翅膀。

即使此例子的兩個前提和結論都是正確的，中項「鳥」在大前提和小前提中周延，大項「有翅膀」在結論中周延，小項「人」在小前提和結論中周延；此三段論卻是一種大項不當謬誤，將結論「沒有人有翅膀」理解為同樣表達的「所有人沒有翅膀」如此一來方便了解其中的謬誤；此三段論不有效的原因是它不符合另一個周延規則：在結論中周延的詞項，在前提中也必須周延。在該三段論中大項「有翅膀」在結論被否定了，也就是說表達了人沒有「有翅膀」，大項在此周延，但在大前提中未周延，因為在大前提中「有翅膀」並沒有涉及該項的所有個體。

## 歷史

亞里斯多德在公元前350年左右的《前分析篇》中第一次系統闡述了三段論理論。他將三段論定義為「一種論證，在其中某些東西被設定後，由於它們如此，就必然得出另外不同的東西」。亞里斯多德的理論主要針對包含三個直言命題的直言三段論，但也涉及模態三段論（包含「必然」、「可能」等模態詞的命題）。

### 中世紀

波埃修斯（約475-526）將亞里斯多德的邏輯學著作翻譯為拉丁文並編寫了教科書，使三段論理論得以在歐洲傳承。彼得·阿伯拉爾（1079-1142）在其《辯證術》中對三段論概念進行了深入討論，特別是在模態句的「de dicto」與「de re」區分方面作出了重要貢獻。讓·布里丹（約1300-1361）在其《推論論》和《辯證術綱要》中進一步拓展了三段論理論，此後近兩百年間三段論邏輯沒有重大變化。

### 近現代

17世紀，弗朗西斯·培根在《新工具》中強調對公理必須進行嚴格的實驗驗證，不能將三段論本身視為理解自然的最佳方法，從而推動了歸納邏輯的發展。伊曼努爾·康德在其《邏輯學》（1800）中聲稱邏輯學已是完成科學，亞里斯多德的三段論幾乎包含了關於邏輯的一切知識。1879年，戈特洛布·弗雷格在《概念文字》中引入了謂詞演算，用量詞和變量表示範疇命題，最終以一階邏輯取代了三段論作為邏輯學核心的地位。

與此同時，喬治·布爾在《思維規律的研究》（1854）中全面接受並擴展了亞里斯多德邏輯，為其提供了方程形式的數學基礎，並將可處理的問題從僅判定有效性擴展到求解方程。

## 語氣和格式

三段論有如下典型形式：

大前提：所有M是P。

小前提：所有S是M。

結論：所有S是P。

其中S代表結論的主詞（Subject），P代表結論的謂詞（Predicate），M代表中詞（Middle）。

三段論的命題可分為全稱（universal）、特稱（particular），及肯定、否定，組合起來有以下四類語氣（Mood）：

類型｜代號｜形式｜範例

全稱肯定型｜A（SaP）｜所有S是P｜所有人是會死的

全稱否定型｜E（SeP）｜沒有S是P｜沒有人是完美的

特稱肯定型｜I（SiP）｜有些S是P｜有些人是健康的

特稱否定型｜O（SoP）｜有些S不是P｜有些人不是健康的

三段論中，結論中的謂詞稱作大詞（P，或稱大項），包含大詞在內的前提稱作大前提；結論中的主詞稱作小詞（S，或稱小項），包含小詞在內的前提稱作小前提；沒有出現在結論，卻在兩個前提重複出現的稱作中詞（M，或稱中項）。大詞、中詞、小詞依不同排列方式，可分成四種格（Figure）：

第1格｜第2格｜第3格｜第4格

大前提｜M-P｜P-M｜M-P｜P-M

小前提｜S-M｜S-M｜M-S｜M-S

結論｜S-P｜S-P｜S-P｜S-P

將以上整合在一起，三段論的大前提、小前提、結論分別可為A、E、I、O型命題之一，又可分為4格，故總共有256種三段論（若考慮大前提與小前提對調，便有512種，但邏輯上是相同的）。

三段論依語氣與格的分類縮寫，例如AAA-1（也可以寫成1-AAA）代表「大前提為A型，小前提為A型，結論為A型，第1格」的三段論。

此外，三段論的四種格之間可相互轉換：

- 第1格：對換大前提的主詞和謂詞的位置就變成第2格，對換小前提的主詞和謂詞的位置就變成第3格。
- 第2格：對換大前提的主詞和謂詞的位置就變成第1格，對換小前提的主詞和謂詞的位置就變成第4格。
- 第3格：對換大前提的主詞和謂詞的位置就變成第4格，對換小前提的主詞和謂詞的位置就變成第1格。
- 第4格：對換大前提的主詞和謂詞的位置就變成第3格，對換小前提的主詞和謂詞的位置就變成第2格。

E和I命題對換主詞和謂詞的位置而保持同原命題等價。A命題和O命題不能對換主詞和謂詞的位置，但是可以採用直接推理中的「對置法」。A命題還可以在確實主詞有元素存在的前提下，轉換成弱於原命題的I命題後再對換主詞和謂詞的位置。

## 有效性

考慮各種直言三段論的有效性將是非常冗長耗時的。前人想出了三個可供選擇的方法來找出有效性。方法之一是記住下一章節中列出的所有論式。

還可以通過構造文氏圖的方法得到有效形式。因為有三種項，文氏圖需要三個交疊的圓圈來表示每一個類。首先，為小項構造一個圓圈。臨近小項的圓圈的是同小項有著交疊的大項的圓圈。在這兩個圓圈之上是中項的圓圈。它應當在三個位置有著交疊：大項，小項和大項與小項交疊的地方。一個三段論是有效的，其必然條件是通過圖解兩個前提得出結論的真實性。永不圖解結論，因為結論必須從前提推導出來。總是首先圖解全稱命題。這是通過對一個類在另一個類中沒有成員的區域加黑影來實現的。所以在前面例子的AAA-1形式中大前提「所有M是P」中，對M不與P交疊的所有區域加黑影，包括M與S交疊的部分。接著對小前提重複同樣的過程。從這兩個前提中可推導出在類S中所有成員也是類P的成員。但是，不能推出類P的所有成員都是類S的成員。

作為文氏圖方法的另一個例子，考慮形式EIO-1的三段論。它的大前提是「沒有M是P」，它的小前提是「有些S是M」，它的結論是「有些S不是P」。這個三段論的大項是P，它的小項是S，它的中項是M。大前提在圖中通過對交集M ∩ P加陰影表示。小前提不能通過對任何區域加黑影表示。轉而，我們可以在交集S ∩ M的非黑影部分使用x符號來表示「有些S是M」。（注意：黑影區域和存在量化區域是互斥的）。接著因為存在符號位於S內但在P外，所以結論「存在一些S不是P」是正確的。

本文最後一節列出了所有24個有效論式的文氏圖。

最後一種方法是記住下面非形式表述的幾條規則以避免謬論。儘管文氏圖對於詮釋目的是好工具，有人更喜歡用這些規則來檢驗有效性。

基本規則：

- 結論中周延的詞必須在前提中周延（謬誤：大詞不當、小詞不當）。
- 中詞必須周延至少一次（謬誤：中詞不周延）。
- 二前提皆肯定，則結論必須為肯定（謬誤：肯定前提推得否定結論）。
- 一前提是否定，則結論必須為否定（謬誤：否定前提推得肯定結論）。
- 二前提皆否定，則三段論必無效（謬誤：排它前提謬誤）。
- 二前提皆全稱，則結論必須為全稱。
- 一前提是特稱，則結論必須為特稱。
- 二前提皆特稱，則三段論必無效。

若一個三段論式滿足以上的所有規則，就必定有效。

其他檢查：

- 如果語境上不能假設所有提及的集合非空，部分推論將會無效（謬誤：存在謬誤）。
- 必須包含嚴格的三個詞，不多不少。且須注意所有關鍵詞和結構的語義是否一致（謬誤：四詞謬誤、歧義謬誤）。

### 有效三段論式

唯有第一格的所有有效三段論式的結論涵蓋了A、E、I、O全部四種命題，第二格的所有有效三段論式皆為否定結論（E或O），第三格的所有有效三段論式皆為特稱結論（I或O），第四格的所有有效三段論式皆為否定結論或特稱結論（E、I或O）。下面表格中加下劃線者必須假設所有提及的集合非空才有效。

第1格｜第2格｜第3格｜第4格

AAA｜AEE｜AAI｜AAI

EAE｜EAE｜EAO｜EAO

AII｜AOO｜AII｜AEE

EIO｜EIO｜EIO｜EIO

AAI｜AEO｜IAI｜IAI

EAO｜EAO｜OAO｜AEO

在全部256種三段論式中，有24種有效，但是如果不能確定所有提及的集合為非空，則只有15種有效。

### 常犯的無效三段論式

```
1-AEE, 1-AEO, 1-EEA, 1-EEE, 1-EEI, 1-AIA, 1-IAA, 1-IAI, 1-III, 1-AOO, 1-OAO, 1-IEO
2-AAA, 2-AAI, 2-AII, 2-IAI, 2-OAO, 2-IEO, 2-EOI, 2-OEI, 2-IOO, 2-OIO
3-AAA, 3-AEE, 3-EAE, 3-AEO, 3-AOO, 3-AIA, 3-IAA, 3-III, 3-EOI, 3-OEI, 3-IEO
4-AAA, 4-EAE, 4-AII, 4-IEO
```

## 三段論式列表

總共有19個有效的論式，算結論弱化（全稱弱化為特稱）的5個論式則為24個有效論式，其中每一格剛好各有6個有效論式。為便於記憶，中世紀的學者將這些有效論式分別取了對應的拉丁語名字，每個名字的加了下劃線的元音即是對應的語氣：

第1格｜第2格｜第3格｜第4格

Barbara｜Camestres｜Darapti｜Bamalip

Celarent｜Cesare｜Felapton｜Fesapo

Darii｜Baroco｜Datisi｜Calemes

Ferio｜Festino｜Ferison｜Fresison

Barbari｜Camestros｜Disamis｜Dimaris

Celaront｜Cesaro｜Bocardo｜Calemos

### 經典三段論式

下面列出的是亞里斯多德的《前分析篇》中關於前3個格的14個三段論式。

#### 第1格

- AAA（Barbara）

所有M是P。

所有S是M。

∴所有S是P。

$$\cfrac{\forall x(M(x)\rightarrow P (x)) \qquad \forall x(S(x)\rightarrow M (x))} <pre> {\forall x(S(x) \rightarrow P (x))}$$

- EAE（Celarent）

沒有M是P。

所有S是M。

∴沒有S是P。

$$\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x)) \quad \forall x(S(x)\rightarrow M (x))} <pre> {\forall x(S(x) \rightarrow \lnot P (x))}$$

- AII（Darii）

所有M是P。

有些S是M。

∴有些S是P。

$$\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P (x)) \qquad \exists x(S(x)\land M (x))} <pre> {\exists x(S(x) \land P (x))}$$

- EIO（Ferio）

沒有M是P。

有些S是M。

∴有些S不是P。

$$\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x)) \quad \exists x(S(x)\land M (x))} <pre> {\exists x(S(x) \land \lnot P (x))}$$

#### 第2格

- AEE（Camestres）

所有P是M。

沒有S是M。

∴沒有S是P。

$$\cfrac {\cfrac { \begin{matrix} \quad \\ \forall x(P(x)\rightarrow M (x)) \end{matrix} \qquad \cfrac {\forall x (S(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x (M(x)\rightarrow \lnot S (x))}}{\forall x (M(x)\rightarrow \lnot S (x)) \qquad \forall x(P(x)\rightarrow M(x))}} <pre> {\cfrac {\forall x(P(x) \rightarrow \lnot S (x))} {\forall x(S(x) \rightarrow \lnot P (x))}}$$

（AEE-2是AEE-4的等價形式。這種形式還有其他推導方法。）

- EAE（Cesare）

沒有P是M。

所有S是M。

∴沒有S是P。

$$\cfrac { \cfrac { \forall x(P(x)\rightarrow \lnot M (x))} {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x))} \qquad \begin{matrix} \quad \\ \forall x(S(x)\rightarrow M (x)) \end{matrix}} <pre> {\forall x(S(x) \rightarrow \lnot P (x))}$$

（EAE-2是EAE-1的等價形式。）

- AOO（Baroco）

所有P是M。

有些S不是M。

∴有些S不是P。

$$\cfrac {\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M (x))}{\forall x(P(x)\rightarrow \lnot (\lnot M (x)))} } {\forall x((\lnot M(x)) \rightarrow \lnot P (x))} \quad \cfrac {\exists x(S(x)\land \lnot M (x))} {\exists x(S(x)\land (\lnot M (x)))}} <pre> {\exists x(S(x) \land \lnot P (x))}$$

（這種形式還有其他推導方法。）

- EIO（Festino）

沒有P是M。

有些S是M。

∴有些S不是P。

$$\cfrac { \cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M (x))} {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x))} \qquad \begin{matrix} \quad \\ \exists x(S(x)\land M (x))\end{matrix}} <pre> {\exists x(S(x) \land \lnot P (x))}$$

（EIO-2是EIO-1的等價形式。）

#### 第3格

- AAI（Darapti）

所有M是P。

所有M是S。

∴有些S是P。

（這種形式需要假定有些M確實存在。）

$$\cfrac {\cfrac {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P (x)) \qquad \forall x(M(x)\rightarrow S (x))} {\forall x(M(x)\rightarrow(P(x)\land S (x)))}}{\forall x(M(x)\rightarrow(S(x)\land P (x)))} \qquad \begin{matrix} \quad \\ \exists x M(x) \end{matrix} }{\exist x(S(x) \land P (x))}$$

$$\cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \quad \\ \quad \\ \forall x(M(x)\rightarrow P (x)) \end{matrix} \ \cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \forall x(M(x)\rightarrow S (x)) <pre> \end{matrix} \quad \cfrac {\exist x M(x)}{\exist x (M(x) \land M(x))} } {\cfrac {\exist x (M(x)\land S(x))} {\exist x (S(x)\land M(x))}}} {\exist x(S(x) \land P (x))}$$

- EAO（Felapton）

沒有M是P。

所有M是S。

∴有些S不是P。

（這種形式需要假定有些M確實存在。）

$$\cfrac {\cfrac {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x)) \qquad \forall x(M(x)\rightarrow S (x))} {\forall x(M(x)\rightarrow((\lnot P(x))\land S (x)))}}{\forall x(M(x)\rightarrow(S(x)\land \lnot P (x)))} \quad \begin{matrix} \quad \\ \exists x M(x) \end{matrix} }{\exist x(S(x) \land \lnot P (x))}$$

$$\cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \quad \\ \quad \\ \forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x)) \end{matrix} \, \cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \forall x(M(x)\rightarrow S (x)) <pre> \end{matrix} \quad \cfrac {\exist x M(x)}{\exist x (M(x) \land M(x))} } {\cfrac {\exist x (M(x)\land S(x))} {\exist x (S(x)\land M(x))}}} {\exist x(S(x) \land \lnot P (x))}$$

- AII（Datisi）

所有M是P。

有些M是S。

∴有些S是P。

$$\cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \forall x(M(x)\rightarrow P (x)) \end{matrix} \qquad \cfrac {\exist x(M(x)\land S (x))} {\exist x(S(x)\land M (x))}} <pre> { \exists x(S(x) \land P (x))}$$

（AII-3是AII-1的等價形式。）

- EIO（Ferison）

沒有M是P。

有些M是S。

∴有些S不是P。

$$\cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x)) \end{matrix} \quad \cfrac {\exist x(M(x)\land S (x))} {\exist x(S(x)\land M (x))}} <pre> {\exists x(S(x) \land \lnot P (x))}$$

（EIO-3是EIO-1的等價形式。）

- IAI（Disamis）

有些M是P。

所有M是S。

∴有些S是P。

$$\cfrac {\cfrac {\cfrac {\exist x(M(x)\land P (x))}{\exist x(P(x)\land M(x))} \qquad \begin{matrix} \quad \\ \forall x (M(x)\rightarrow S (x)) \end{matrix}}{\forall x (M(x)\rightarrow S (x)) \qquad \exist x(P(x)\land M(x))}} <pre> {\cfrac {\exists x(P(x) \land S (x))} {\exists x(S(x) \land P (x))}}$$

（IAI-3是IAI-4的等價形式。）

- OAO（Bocardo）

有些M不是P。

所有M是S。

∴有些S不是P。

$$\cfrac {\cfrac { \cfrac {\exist x(M(x)\land \lnot P (x))}{\exist x((\lnot P(x))\land M (x))} \quad \begin{matrix} \quad \\ \forall x (M(x)\rightarrow S (x))\end{matrix}}{\forall x (M(x)\rightarrow S (x)) \quad \exist x((\lnot P(x))\land M (x))}} <pre> {\cfrac {\exists x((\lnot P(x)) \land S (x))}{\exists x(S(x) \land \lnot P(x))}}$$

（這種形式還有其他推導方法。）

### 增補的論式

第4格由亞里斯多德的學生泰奧弗拉斯托斯補充。

#### 第4格

- AAI（Bamalip）

所有P是M。

所有M是S。

∴有些S是P。

（這種形式需要假定有些P確實存在。）

$$\cfrac {\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M (x)) \qquad \forall x(M(x)\rightarrow S (x))} <pre> {\forall x(M(x)\rightarrow S (x)) \qquad \forall x(P(x)\rightarrow M (x))}} {\forall x(P(x)\rightarrow S (x))} \quad \cfrac {\exists x P(x)} {\exists x (P(x)\land P(x))}} {\cfrac {\exists x(P(x) \land S (x))} {\exists x(S(x) \land P (x))}}$$

- EAO（Fesapo）

沒有P是M。

所有M是S。

∴有些S不是P。

（這種形式需要假定有些M確實存在。）

$$\cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \quad \\ \cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M (x))} {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x))} \end{matrix} \, \cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \forall x(M(x)\rightarrow S (x)) <pre> \end{matrix} \quad \cfrac {\exist x M(x)}{\exist x (M(x) \land M(x))} } {\cfrac {\exist x (M(x)\land S(x))} {\exist x (S(x)\land M(x))}}} {\exist x(S(x) \land \lnot P (x))}$$

（EAO-4是EAO-3的等價形式。）

- AEE（Calemes）

所有P是M。

沒有M是S。

∴沒有S是P。

$$\cfrac {\cfrac {\forall x( P(x)\rightarrow M (x)) \qquad \forall x(M(x)\rightarrow \lnot S (x))} <pre> {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot S (x)) \qquad \forall x( P(x)\rightarrow M (x))}} {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot S (x))} {\forall x(S(x) \rightarrow \lnot P (x))}}$$

- EIO（Fresison）

沒有P是M。

有些M是S。

∴有些S不是P。

$$\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M (x))} <pre> {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x))} \qquad \cfrac {\exists x(M(x)\land S (x))} {\exists x(S(x)\land M (x))}} {\exists x(S(x) \land \lnot P (x))}$$

（EIO-4是EIO-1的等價形式。）

- IAI（Dimaris）

有些P是M。

所有M是S。

∴有些S是P。

$$\cfrac {\cfrac {\exists x( P(x)\land M (x)) \qquad \forall x(M(x)\rightarrow \ S(x))} <pre> {\forall x(M(x)\rightarrow \ S(x)) \qquad \exists x(P(x)\land M(x))}} {\cfrac {\exists x(P(x) \land S(x))} {\exists x(S(x) \land P(x))}}$$

#### 結論弱化的論式

歷史上，AAI-3、EAO-3、AAI-4、EAO-4的拉丁語名字中有字母「p」，用來指示出這些論式通過引入了某個詞項確實有元素存在的前提，將一個A命題弱化成了I命題。後人認為它們不是直言的即不是無條件的，這個問題被稱為存在性引入問題。

在假定結論的主詞確定有成員存在的前提下，可將論式中的結論A弱化為結論I，結論E弱化為結論O，它們也可以被增補為有效論式，從而得到所有可能的24有效論式。結論弱化論式有5個：AAI-1（Barbari），即弱化的AAA-1；EAO-1（Celaront），即弱化的EAE-1；AEO-2（Camestros），即弱化的AEE-2；EAO-2（Cesaro），即弱化的EAE-2；AEO-4（Calemos），即弱化的AEE-4。AAI-1的結論同於AII-1的結論，EAO-1、EAO-2的結論同於EIO-1的結論，AEO-2、AEO-4的結論同於AOO-2的結論，需要注意結論弱化論式原來的結論依然成立。

### 謂詞演算公式的註解

按照布爾邏輯和集合代數的觀點，三段論可以解釋為：集合（類）$\, S \,$和集合$\, M \,$有某種二元關係，並且集合$\, M \,$和集合$\, P \,$有某種二元關係，從而推論出集合$\, S \,$和集合$\, P \,$是否存在進而為何種可確定的二元關係。兩個集合之間的二元關係用直言命題可確定的有四種：

- A（全稱肯定）命題：所有$\, M \,$的元素是$\, N \,$的元素，確定了$\, M \,$「包含於」$\, N \,$的關係，$\, M \,$是$\, N \,$的子集，$\, N \,$是$\, M \,$的超集，這是一種偏序關係，$\, L \,$包含於$\, M \,$，並且$\, M \,$包含於$\, N \,$，則$\, L \,$包含於$\, N \,$。A命題允許兩個推理方向，從元素屬於$\, M \,$推出它屬於$\, N \,$，從元素不屬於$\, N \,$推出它不屬於$\, M \,$。A命題確定了$\, M \,$減$\, N \,$的差集是空集。
- E（全稱否定）命題：所有$\, M \,$的元素不是$\, N \,$的元素，確定了$\, M \,$和$\, N \,$是「無交集」的關係，這是一種對稱關係，$\, M \,$無交集於$\, N \,$，同於$\, N \,$無交集於$\, M \,$。E命題允許兩個推理方向，從元素屬於$\, M \,$推出它不屬於$\, N \,$，從元素屬於$\, N \,$推出它不屬於$\, M \,$。E命題確定了$\, M \,$與$\, N \,$的交集是空集。
- I（特稱肯定）命題：有些$\, M \,$的元素是$\, N \,$的元素，確定了$\, M \,$和$\, N \,$是「有交集」的關係，這是一種對稱關係，$\, M \,$有交集於$\, N \,$，同於$\, N \,$有交集於$\, M \,$。I命題確定了$\, M \,$與$\, N \,$的交集不是空集。
- O（特稱否定）命題：有些$\, M \,$的元素不是$\, N \,$的元素，確定了$\, M \,$「不包含於」$\, N \,$的關係。O命題確定了$\, M \,$減$\, N \,$的差集不是空集。

兩個全稱命題可以推出一個新的全稱命題，一個全稱命題和一個特稱命題可以推出一個新的特稱命題，兩個特稱命題無法推理。A命題可以和所有四種命題組合。E命題還可以和I命題組合，兩個否定命題和IE組合，不能得出屬於四種命題之一的結論。故而有效的論式，要在AA、AE、EA、AI、IA、AO、OA、EI這8種組合乘以4種格，共32種情況中找出。

AA組合中AAA-1是直接推出的；第4格AA組合推論出謂詞包含於主詞的關係，這不是四種命題之一，只能在謂詞確實有元素存在的前提下弱化為AAI-4。AE組合中AEE-4是直接推出的，EA組合中EAE-1是直接推出的。第3格AA組合和EA組合，在中項確定有元素存在的前提下，形成AAI-3和EAO-3。AAA-1、AAI-4、AAI-3沒有等價者。通過對換其前提E命題中主詞和謂詞的位置，從AEE-4得出其等價者AEE-2，從EAE-1的得出其等價者EAE-2，從EAO-3得出其等價者EAO-4。

AII-1、IAI-4是直接推出的，通過對換其前提I命題中主詞和謂詞的位置，從AII-1得出其等價者AII-3，從IAI-4得出其等價者IAI-3。AOO-2和OAO-3在歷史上採用了反證法，這裡採用了直接推理中的「對置法」，AOO-2、OAO-3沒有等價者。EIO-1是直接推出的，通過對換其前提E命題及/或I命題中主詞和謂詞的位置，從EIO-1得出其等價者EIO-2、EIO-3、EIO-4。

## 24論式圖示

下表以文氏圖展示24個有效直言三段論，不同欄表示不同的前提，不同外框顏色表示不同的結論，需要存在性預設的推理以虛線與斜體字標示。

格｜A ∧ A｜A ∧ E｜A ∧ I｜A ∧ O｜E ∧ I

AAA｜AAI｜AEE｜AEO｜EAE｜EAO｜AII｜IAI｜AOO｜OAO｜EIO

1｜Barbara｜Barbari｜Celarent｜Celaront｜Darii｜Ferio

2｜Camestres｜Camestros｜Cesare｜Cesaro｜Baroco｜Festino

3｜Darapti｜Felapton｜Datisi｜Disamis｜Bocardo｜Ferison

4｜Bamalip｜Calemes｜Calemos｜Fesapo｜Dimatis｜Fresison

## 外部連結

- aristotle-logic
- square
- medieval-syllogism
- Aristotle's Prior Analytics: the Theory of Categorical Syllogism an annotated bibliography on Aristotle's syllogistic
- Abbreviatio Montana article by Prof. R. J. Kilcullen of Macquarie University on the medieval classification of syllogisms.
- The Figures of the Syllogism is a brief table listing the forms of the syllogism.
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