分形

分形（fractal，源自frāctus，有「零碎」、「破裂」之意），又稱分形、殘形，通常被定義為「一個粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數個部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小後的形狀」，即具有自相似的性質。分形在數學中是一種抽象的物體，用於描述自然界中存在的事物。人工分形通常在放大後能展現出相似的形狀。分形也被稱為擴展對稱或展開對稱。如果在每次放大後，形狀的重複是完全相同的，這被稱為自相似。自相似的一個例子是門格海綿。分形在不同的縮放級別上可以是近似相似的。曼德博集合的放大圖像中顯示了這種模式。分形也包有圖像的細節重複自身的意味。

分形與其他幾何圖形相似但又有所不同。當縮放一個圖形時，就能看出分形和其他幾何圖形的區別。將一個多邊形的邊長加倍，它的面積變為原來的四倍。新的邊長與舊邊長相比增加了2倍，而面積增加了4倍，即$2^2$倍。平面內的多邊形在二維空間中，指數2剛好是多邊形所在的二維空間的維數。類似的，對於三維空間中的球，如果它的半徑加倍，則它的體積變為原來的8倍，即$2^3$倍，指數3依舊是球所在空間的維數。如果將分形的一維長度加倍，如將康托三分集的初始線段長加倍，分形空間的內容變為$2^n$倍，此時n不一定是個整數。冪指數n稱為分形的維數，它通常大於分形的拓撲維數。

作為一個數學函數，分形通常是處處不可微的。無窮分形曲線可以理解為一條一維的曲線在空間中繞行，它的拓撲維數仍然是1，但大於1的分形維數暗示了它也有類似曲面的性質。

我們可以從這些年來正式發表的文獻中追蹤分形概念的發展史。從17世紀有了遞歸的概念開始，到19世紀，伯納德·波爾查諾、波恩哈德·黎曼和卡爾·魏爾斯特拉斯對連續不可微函數開創性的研究，這些嚴謹的數學概念推動著分形的發展。20世紀時，人們創造了分形這個詞，隨之而來的是人們對分形和電腦建模和興趣的迅速增長。1975年本華·曼德博首次提出「分形(fractal)」這個術語。分形的拉丁文詞源wikt:分形#拉丁語有「破壞」、「破碎」的意思，曼德博將分形的概念從理論分形維數拓展到自然界中的幾何圖形。

一個數學意義上分形的生成是基於一個不斷迭代的方程式，即一種基於遞歸的反饋系統。分形有幾種類型，可以分別依據表現出的精確自相似性、半自相似性和統計自相似性來定義。權威學者們對分形的精確定義仍有爭論。曼德博自己將分形總結為：「美麗、（研究起來）極其困難但又非常的有用，這就是分形」。1982年曼德博提出了更正式的定義：「分形是一種其豪斯多夫維數嚴格大於拓撲維數的集合」。後來他認為這種定義過於嚴格，於是簡化並擴展了這個定義：「分形是由與整體在某些方面相似的部分構成的圖形。」。又過了一段時間，曼德博決定使用以下方式來描述分形：「...在研究和使用分形時，不需要迂腐的定義。用分形維數作為描述各種不同分形的通用術語。」

通常認為，理論分形是無限迭代、自相似的、具有分形維數的詳細數學結構。人們創造了許多分形圖形並進行了充分的研究。分形並不限於幾何圖形，它也可以描述時間序列。雖然分形是一個數學構造，它們同樣可以在自然界中被找到，這使得它們被劃入藝術作品的範疇。分形在醫學、土力學、地震學和技術分析中都有應用。在自然、技術、藝術、建築和法律等領域，人們對圖形、結構和音頻中不同程度自相似的分形圖形進行了研究，並反過來利用分形理論取生成圖形、結構和音頻。分形和混沌理論密切相關，因為混沌過程的圖形大多數都是分形。

## 簡介

和數學家們相比，分形一詞對大眾來說含義不盡相同。相對於數學概念來說，大眾可能更熟悉分形藝術。即使是對數學家來說分形也很難定義，但只要一點點數學背景就可以理解分形的核心特徵。

分形的「自我相似」的特徵很容易通過類比來理解，就像用鏡頭或其他設備放大數字圖像，從而發現以前不可見的、更精細的新結構。如果你放大一個分形的圖像，則不會出現新的細節；圖像沒什麼變化，相似的圖案一遍又一遍的重複出現。對於有些分形幾乎完全一樣的圖像會不斷地重複。自我相似的特徵並非反直覺的。人們在生活中也能看到自我相似的現象，例如：兩面平行的鏡子間的無限重複、山上廟裡老和尚的故事裡的山......分形的不同之處在於重複的圖案一定有詳細的細節。

細節性的概念和分形的另一個特徵——分形維數有關。分形維數不需要數學背景，也很容易理解：分形的分形維數大於它的拓撲維數，通過將分形尺度與普通的幾何形狀相比較，我們便能感受到他們的差別。舉個例子，通常認為直線是是一維的，如果直線被分為三部分，每部分都是原來的1/3長，你會得到相等的三部分。相比之下，科赫雪花的拓撲維數是1，和普通的直線一樣，但它的分形維數大於1，因為它有很多的細節。雪花曲線被分為原長的1/3，得到的是4條原始雪花曲線重組組合的結果。這種與眾不同的關係是分形維數的基礎。

這也引出了第三個特徵：分形在數學上是處處不可微的。具體的說，這意味著分形不能用傳統的方法測量。測量非分形曲線，如波浪曲線的長度，只要放大到足夠大，總能用直線擬合一小段曲線，然後就能用捲尺測量這段直線的長度，再將各段直線長度相加，就可以得出波浪的長度。這樣做實質上是把曲線看作數學上的函數，在一小段範圍內取一階泰勒展開，近似為直線，然後求和總長度。但分形曲線是處處不可微的，如果嘗試使用直線去擬合分形曲線，如科赫雪花曲線，縮放的過程永遠不會停止，因為曲線圖案的重複模式總會不斷地出現，每次縮放，都需要使用更小的捲尺來貼合曲線。

## 歷史

分形的歷史可以從主要理論的研究追溯到現代電腦圖形學中的應用，在這個過程中有幾個著名的人物對典型的分形形式做出了貢獻。根據Pickover的說法，17世紀時，數學家兼哲學家萊布尼茨思考過遞迴的自相似，分形的數學從那時開始漸漸地成形（雖然他誤認只有直線會自相似）。在他的著作中萊布尼茨使用了「分形指數」這個術語，但遺憾的是「幾何」還不知道它們。根據不同史書的記載，在這之後，很少再有數學家嘗試解決這些問題。已有的工作也模糊不清，主要的原因是人們對不熟悉新興概念的牴觸，這些概念有時被稱為數學「怪物」。

因此直到兩個世紀之後，1872年7月18日卡爾·魏爾斯特拉斯才在皇家普魯士科學院給出分形的第一個定義：分形是一種具有處處連續，但又處處不可微等反直覺性質的函數圖形。另外，隨著求和計算值的增加，函數的導數變得任意大。不久之後，1883年，參加過魏爾施特拉斯課程的格奧爾格·康托爾也給出一個具有不尋常性質的例子：實直線上的子集——康托爾集，現在也被認為是分形。同樣的，在那個世紀的末尾，菲利克斯·克萊因和儒勒·昂利·龐加萊也提出了一種稱為「自逆」分形的分形。

分形發展的一個里程碑在1904年，當時海里格·馮·科赫不滿意魏爾施特拉斯那抽象和基於分析的定義，它擴展了龐加萊的定義，給出了更加幾何化的定義並附上了一個類似函數的手繪圖形，今天稱之為科赫雪花。另一個里程碑在十年之後，1915年瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基構造出了謝爾賓斯基三角形；隔年，又造出了謝爾賓斯基地毯。1918年，兩名法國數學家皮埃爾·法圖和加斯東·茹利亞通過各自獨立的工作，基本上同時得出了描述複數映射以及函數迭代相關分形行為的結果，並由此引出了之後關於奇異吸引子的想法。吸引子理論之後在分形理論中占有十分重要的地位。在這項鞏固走發表之後不久，1918年3月，費利克斯·豪斯多夫擴展了「維數」的定義，允許幾何具有非整數維數，這對分形定義的發展意義重大。1938年，保羅·皮埃爾·萊維在他的論文《平面、空間曲線和由與整體自相似部件組成的曲面》中將自相似曲線的概念更進一步地推進，他在文中描述了一個新的分形曲線－萊維C形曲線。

1960年代，本華·曼德博開始研究自相似，且在劉易斯·弗賴伊·理查森之前工作的基礎上，寫下一篇論文《英國的海岸線有多長？統計自相似和分數維度》。最終，曼德博在1975年提出了「分形」一詞，來標記一個豪斯多夫-貝西科維奇維數大於拓撲維數的物件。曼德博以顯著的電腦繪製圖像來描繪此一數學定義，這些圖像征服了大眾的想像；它們中許多都基於遞歸，導致了大眾對術語「分形」的通俗理解。

不同的研究者推測，由於缺乏現代電腦圖形學的幫助，早期的研究人員受限於工具，只能手繪圖形。因此缺乏可視化分形之美的手段，也無法欣賞它們發現的許多分形模式的含義。如茱莉亞集，通過幾次迭代，只能可視化為非常簡單的圖形。這種情況在20世紀60年代得到了改觀，當時本華·曼德博正開始寫他基於劉易斯·弗賴伊·理查森早期工作的論文：《英國的海岸線有多長？統計自相似和分數維度》。1975年，曼德博將數百年來關於分形的構思與發展固化在「分形」一詞上，並用高超的電腦可視化構造來說明他的數學定義。這些圖像，包括他定義的曼德博集合，抓住了大眾的想像力。其中的很多圖形都是基於遞歸的，這也讓「分形」一詞具有了現在的含義。

1980年，洛倫·卡彭特在電腦圖形學頂級年會SIGGRAPH上發表了一次演講，演講中他介紹了他基於分形理論開發的用於產生風景的軟體。

## 特徵

分形一般有以下特質：

- 在任意小的尺度上都能有精細的結構。
- 太不規則，以致無論是其整體或局部都難以用傳統歐氏幾何的語言來描述。
- 具有（至少是近似的或統計的）自相似形式。
- 一般地，其「分形維數」（通常為豪斯多夫維數）會大於拓撲維數（但在空間填充曲線如希爾伯特曲線中為例外）。
- 在多數情況下有著簡單的遞歸定義。

因為分形在所有的大小尺度下都顯得相似，所以通常被認為是無限複雜的（以不嚴謹的用詞來說）。自然界裡一定程度上類似分形的事物有雲、山脈、閃電、海岸線、雪片、植物根、多種蔬菜（如花椰菜和西蘭花）和動物的毛皮的圖案等等。但是，並不是所有自相似的東西都是分形，如實直線雖然在形式上是自相似的，但卻不符合分形的其他特質，比如說它能被傳統的歐氏幾何語言所描述。

分形的圖像可以用碎形生成軟體作出。儘管用此類軟體生成的圖像並不具備上述分形的特徵，比如說存在放大後無上述特徵的局部區域，但是這些圖像通常仍然被稱為分形。而且這些圖像可能含有由計算或顯示造成的人為偏差——一些不屬於分形的特徵。

## 示例

一類分形的典型例子有：康托爾集、謝爾賓斯基三角形和地毯、門格海綿、龍形曲線、皮亞諾曲線和科赫曲線。其他的例子包括李亞普諾夫碎形及克萊因群的極限集。分形可以是確定性的，如上述所有的分形；也可以是隨機的（即非確定性的）。比如說，平面上布朗運動的軌跡的豪斯多夫維數等於2。

混沌動力系統有時候會和分形聯繫起來。動力系統的相空間中的對象可以是分形（參見吸引子），一族系統的參數空間中的對象也可以是分形。一個有意思的例子就是曼德博集。這個集合包含很多完整的圓盤，所以它的豪斯多夫維數等於它的拓撲維數2；但是真正令人驚訝的是，曼德博集的邊界的豪斯多夫維數也是2（而拓撲維數是1），這個結果由宍倉光廣（Mitsuhiro Shishikura）在1991年證明。一個與曼德博集緊密相關的分形是朱利亞集。

即使將曼德博集合放大2000倍，還是會顯示出類似整個集合的精細結構

## 造法

四個製造分形的一般技術如下：

- 逃逸時間分形：由空間（如複平面）中每一點的遞迴關係式所定義，例如曼德博集合、茹利亞集合、火燒船碎形、牛頓分形和李亞普諾夫碎形等。由一次或兩次逃逸時間公式的迭代生成的二維向量場也會產生分形，若點在此一向量場中重複地被通過。
- 迭代函數系統：使用固定的幾何替代規則生成分形，得到的結果可能是隨機的或確定的。Haferman地毯、康托爾集、謝爾賓斯基三角形、謝爾賓斯基地毯、皮亞諾曲線、科赫雪花、龍形曲線、T-方形分形、門格海綿等都是此類分形的一些例子。
- 隨機分形：由隨機而無確定過程產生，如布朗運動的軌跡、萊維飛行、碎形風景和布朗樹等。後者會產生一種稱之為樹狀分形的分形，如擴散限制聚集或反應限制聚集束。
- 奇異吸引子：以一個映射的迭代或一套會顯出混沌的初值微分方程所產生。

## 分類

分形也可以依據其自相似來分類，有如下三種：

- 精確自相似：這是最強的一種自相似，分形在任一尺度下都顯得一樣。由迭代函數系統定義出的分形通常會展現出精確自相似來。
- 半自相似：這是一種較鬆的自相似，分形在不同尺度下會顯得大略（但非精確）相同。半自相似分形包含有整個分形扭曲及退化形式的縮小尺寸。由遞迴關係式定義出的分形通常會是半自相似，但不會是精確自相似。
- 統計自相似：這是最弱的一種自相似，這種分形在不同尺度下都能保有固定的數值或統計測度。大多數對「分形」合理的定義自然會導致某一類型的統計自相似（分形維數本身即是個在不同尺度下都保持固定的數值測度）。隨機分形是統計自相似，但非精確及半自相似的分形的一個例子。

## 應用

如上所述，隨機分形可以用來描述許多高度不規則的現實世界的物件。其他分形的應用亦包括：

- 醫學中組織病理學切片的歸類
- 碎形風景或海岸線複雜性
- 酵素/酵素學（米曼氏動力學）
- 製作新音樂
- 製作許多的藝術形式
- 複雜網絡分析
- 信號及圖像壓縮
- 地震學
- 土壤力學
- 電腦及電視遊戲設計，尤其是有機背景的CG和部份的過程生成
- 斷口分析和斷裂力學
- 碎形天線－使用分形形狀的小尺寸天線
- 小角度X光散射
- 新嬉皮T恤和其他的時尚服飾
- 偽裝圖樣的製作，如MARPAT
- 數位日晷
- 價格序列的技術分析（見艾略特波浪理論）

## 軟體

- Apophysis (software)
- Ultra Fractal
- Visions of Chaos

## 外部連結

- 分形 Fractal（複雜性科學 - 複雜適應性系統）
- Fractal Geometry