法拉第電磁感應定律

法拉第電磁感應定律（Faraday's law of electromagnetic induction）簡稱法拉第定律，是電磁學的一條基本定律。它描述了磁場如何與電路相互作用以產生電動勢，這種現象稱為電磁感應。法拉第定律也是變壓器、電感元件及多種電動機、發電機、螺線管的根本運作原理。

法拉第電磁感應定律是基於麥可·法拉第於1831年所作的實驗，最初是一條基於觀察的實驗定律。這個效應也被約瑟·亨利於大約同時發現，但法拉第的發表時間較早。該定律後來和其他的電磁學定律一塊被列入麥克斯韋方程組，成為其中四個最基本的方程之一。

## 定律內容

法拉第定律指出：「任何封閉電路中感應電動勢大小，等於穿過這一電路磁通量的變化率。」

其數學公式表達為：

$$\mathcal{E}=-\frac{d\Phi_B }{dt}$$

其中：

$\mathcal{E}$ 是電動勢，單位為伏特。

ΦB是通過電路的磁通量，單位為韋伯。

對線圈圈數為N的緊纏線圈，則公式改寫為：

$$\mathcal{E} = - N{{d\Phi_B} \over dt}$$

電動勢的方向（公式中的負號）由德國科學家海因里希·楞次發現的楞次定律決定。

法拉第電磁感應定律用到通過一表面Σ的磁通量ΦB，其積分形式定義如下：

$$\Phi_B = \iint_{\Sigma (t)} \mathbf{B}(\mathbf{r},\ t) \cdot d \mathbf{A}\ $$

其中dA為移動面Σ(t)的面積元，B為磁場，B·dA為向量點積，見圖一。（更多細節見面積分及磁通量條目。）表面Σ的邊界為閉合曲線∂Σ(t)，為求電動勢的路徑，見圖二。

傳統上有兩種改變通過電路的磁通量的方式。至於感應電動勢時，改變的是自身的電場，例如改變生成場的電流（就像變壓器那樣）。而至於動生電動勢時，改變的是磁場中的整個或部份電路的運動，例如像在單極發電機中那樣。

## 馬克士威-法拉第方程與感應電動勢

馬克士威於1855年總結出法拉第定律的旋度版本，而黑維塞則於1884年將定律重寫成旋度方程：

$$\nabla\times \mathbf{E}(\mathbf{r},\ t) = -\frac{\partial \mathbf{B}(\mathbf{r},\ t)}{\partial t}$$

其中

$\nabla\times$ 代表 旋度

$\mathbf{E}$ 代表 電場強度（V/m）

$\mathbf{B}$ 代表 磁通量密度（Wb/m2）

$\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial t}\end{matrix}$ 代表 當方位向量 r 不變下的時間偏導數。

方程的意義是，如果電場的空間依賴在紙面上成逆時針方向（經右手定則，得旋度向量方向為出紙面），那麼磁場會因時間而更少指出紙面，更多地指入頁面（跟旋度向量異號）。方程跟磁場的變量有關係。故磁場不一定要指向紙面，只需向該方向轉動即可。

此方程是現代馬克士威方程組的四條方程之一。它描述變化中的磁場生成電場的現象，被稱為馬克士威-法拉第方程。但在有的文獻中，也會把這個旋度方程稱為「法拉第電磁感應定律」或「法拉第定律」，而把原來的通量方程稱為通量定則。

在麥克斯韋-法拉第方程中，黑維塞不使用馬克士威用過的時間全導數，而使用時間偏導數，這樣做使得馬克士威-法拉第方程的應用只限於在隨時間變化的磁場中靜止電荷的情況。它並不能說明帶電粒子在磁場中移動的電磁感應狀況。或者說，它只能說明感應電動勢，不能說明動生電動勢。

在感應電動勢的情況下，可以證明麥克斯韋-法拉第方程（旋度形式）和原始的法拉第定律（通量形式）等價，方法如下。

麥克斯韋-法拉第方程可以用開爾文-斯托克斯定理寫成積分形式：

$$\oint_{\partial \Sigma} \mathbf{E} \cdot d\boldsymbol{\ell} = - \ \iint_{\Sigma} { \partial \over {\partial t} } \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}$$

$$=- \ { \partial \over {\partial t} } \iint_{\Sigma} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}$$

其中把導數移至積分前這個動作，需要一與時無關的曲面Σ（對應於只有感應電動勢的情況），見圖六：

Σ為一被閉合圍道∂Σ包圍的曲面；Σ與∂Σ皆為固定的，不隨時間變動。

E為電場強度。

dℓ為圍道∂Σ的一無限小向量元。

B為磁通量密度。

dA為曲面Σ的一無限小向量元，其大小相等於一塊無限小曲面，而其方向與該塊曲面成正交。

dℓ和dA都具有正負模糊性；要得到正確的正負號，需要使用右手定則，解釋詳見開爾文-斯托克斯定理條目。對一平面Σ而言，曲線∂Σ的正路徑元dℓ，其定義由右手定則所規定，就是當右手姆指跟表面Σ的垂直線n同一方向時，其他手指所指的那一個方向。

方程左邊圍繞著∂Σ的積分叫曲線積分或路徑積分，給出電動勢。方程右邊的曲面積分，是通過Σ的磁通量ΦB的明確表達式。這就是感應電動勢情況下的法拉第定律通量形式。

## 洛倫茲力與動生電動勢

在動生電動勢的情況下，使用完整的洛倫茲力計算電動勢：

$$\mathcal{E} = \oint_{\partial \Sigma (t)}\left( \mathbf{E}( \mathbf{r},\ t) +\mathbf{ v \times B}(\mathbf{r},\ t)\right) \cdot d\boldsymbol{\ell}\ $$

法拉第電磁感應定律的一個描述，比麥克斯韋-法拉第方程的積分形式更通用（見洛倫茲力），如下：

$\oint_{\partial \Sigma (t)}\left( \mathbf{E}( \mathbf{r},\ t) +\mathbf{ v \times B}(\mathbf{r},\ t)\right) \cdot d\boldsymbol{\ell}\ $ $\ =-\frac {d} {dt} \iint_{\Sigma (t)} d \boldsymbol {A} \cdot \mathbf {B}(\mathbf{r},\ t) \ $

其中∂Σ(t)為圍著運動表面Σ(t)的閉合路徑，而v為運動速率。見圖二。注意上面用的是時間常導數，而不是時間偏導數，意指Σ(t)的時間差異必須被微分所包括。被積函數中，曲線dℓ的元以速率v移動。

圖七為磁力是如何促成電動勢作出了詮釋，而電動勢就在上面方程的左邊。曲線∂Σ部分dℓ，在時間dt以速率v移動時掃過的面積為（見向量積的幾何意義）：

$$d\mathbf{A} = d \boldsymbol{\ell \times v } dt \ $$

所以在時間dt間通過∂Σ為邊的表面中這一部分的磁通量變量ΔΦB為：

$$\frac {d \Delta \Phi_B} {dt} = \mathbf{B} \cdot \ d \boldsymbol{\ell \times v } \ = \mathbf{v} \times \mathbf{B} \cdot \ d \boldsymbol{\ell} \ $$

如果我們把這些通過所有部分dℓ的ΔΦB的作用加在一起，就可以得到法拉第定律對磁力的促成作用。也就是，這個項跟運動電動勢有關係。

### 例一：空間變強磁場

考慮圖三的長方形線圈，它在xy平面上向x方向以速率v移動。因此，線圈中心xC滿足v = dxC/dt。線圈在y方向的長度為ℓ，x方向的寬度為w。一不隨時間改變，而隨x方向改變的磁場B(x)指向z方向。左邊的磁場為B(xC − w/2)，右邊的磁場為B(xC + w/2)。電動勢可直接求得，或由上述的法拉第電磁感應定律求得。

#### 洛倫茲力法

在線圈左邊的一電荷q，所受的洛倫茲力為qv×Bk = −qvB(xC − w/2)j（j、k分別為y方向及z方向的單位向量，見向量積），因此左邊整段電線的電動勢（單位電荷所作的功）為vℓB(xC − w/2)。可用相同的論述，求出右邊電線的電動勢為vℓB(xC + w/2)。兩股電動勢互相抵抗，將正電荷推向線圈底部。由於這時磁場的強度會向x方向增強，所以右邊的力最強，電流會順時針流動：使用右手定則，電流所產生的磁場會抵抗外加的磁場。驅動電流的電動勢必須向逆時針方向增加（抵抗電流）。把電動勢向逆時針方向加起來得：

$$\mathcal{E} = v\ell [ B(x_C+w/2) - B(x_C-w/2)] \ $$

#### 法拉第定律法

線圈上任何位置通過線圈的磁通量為

$$\Phi_B = \pm \int_0^{\ell} dy \int_{x_C-w/2}^{x_C+w/2} B(x) dx$$

$$= \pm \ell \int_{x_C-w/2}^{x_C+w/2} B(x) dx \ $$

其正負取決於表面的垂直線與B的方向之異同。如果表面垂直線跟感應電流的B同一方向，式子為負。此時通量的時間導數（使用微分的鏈式法則或牛頓-萊布尼茨公式的通用形式求出）為：

$$\frac {d \Phi_B} {dt} = (-) \frac {d}{dx_C} \left[ \int_0^{\ell}dy \ \int_{x_C-w/2}^{x_C+w/2} dx B(x)\right] \frac {dx_C}{dt} \ $$

$$= (-) v\ell [ B(x_C+w/2) - B(x_C-w/2)] \ ,$$

（其中v = dxC/dt為線圈於x方向的運動速率），所以

$$\mathcal{E} = -\frac {d\Phi_B} {dt} = v\ell [ B(x_C+w/2) - B(x_C-w/2)] \ $$

跟之前一樣。

這兩種方法一般來說都一樣，但視乎例子而定，其中一種有時可能會比較實用。

### 例二：均勻磁場中的運動環路。

圖四為由上下兩塊帶導電邊沿的碟片所組成的轉軸，上面的電線環路垂直地連接著兩塊碟片。整組裝置在磁場中旋轉，該磁場向外呈放射狀指出，但其大小不隨方向變化。一向外的迴路從邊沿上把電流收集起來。在收集迴路的位置上，向外的磁場與迴路位於同一個平面上，因此收電迴路並不對電路的磁通量造成影響。電動勢可直接求出，或使用上文的法拉第定律求出。

#### 洛倫茲力法

這個案中，在移動環路中那兩根垂直的電線裏，洛倫茲力向下驅動著電流，因此電流從上碟片流向下碟片。在碟片的導電邊沿內，洛倫茲力與邊沿垂直，所以邊沿上並沒有電動勢，環路中的水平部分也沒有。電流通過外加的迴路從下邊沿傳到上邊沿，而該迴路位於磁場的平面上。因此，迴路中的洛倫茲力與迴路平行，在這迴路中並沒有生成電動勢。穿過電流通道，到達電流反方向流動的地方，功只在移動環路垂直電線中抵抗洛倫茲力，其中

$$F = q\ B \ v\ $$

因此電動勢為

$$\mathcal {E} = B v \ell \ = B r \ell \omega \ $$

其中ℓ為環路中的垂直長度，與角轉動率相關的速度可由v = r ω求出，而r = 碟片半徑。注意，在任何跟環路轉動並連接上下邊沿的路徑中，所作的功都一樣。

#### 法拉第定律法

一個直覺上很吸引但錯誤的通量定則使用法是，將通過電流的通量當成只是ΦB = Bwℓ，其中w為移動環路的寬度。這數目與時間沒有關係，所以這方法會不正確地預測出無生成電動勢。這套論述的缺陷在於它並沒有考慮到整個電路，而整個電路是閉合的環路。

使用通量定則時，我們必須顧及整個電路，其中包括通過上下碟片邊沿的路徑。我們可以選擇一通過兩道邊沿及移動環路的任意閉合路徑，而通量定則會找出該路徑的電動勢。任何有一部分連接移動環路的路徑，都會表達到電路移動部分的相對運動。

作為一個路徑例子，選擇在上碟片按照轉動方向，並下碟片按照轉動反方向穿過電路（由圖四的箭號表示）。在這情況下，對與迴路成角θ的移動環路而言，圓柱體的一部分面積A = rℓθ為電路的一部分。這面積與磁場垂直，所以造成了這個大小的通量：

$$\Phi_B = -B r \theta \ell \ $$

其中式子為負，這是因為右手定則指出，電流環路所產生的磁場，與外加的磁場方向相反的緣故。由於這是通量中唯一一個跟隨時間轉變的部分，所以通量定則預測的電動勢為

$$\mathcal{E} = -\frac {d \Phi_B} {dt} = B r \ell \frac {d \theta} {dt}$$

$$= B r \ell \omega \ $$

與使用洛倫茲力法的計算答案一致。

現在嘗試不同的路徑。跟隨一條選擇餘下部分通過邊沿的路徑。那麼耦合磁通量會隨θ增加而減少，但右手定則會指出把電流環路加到外加磁場上去，因此這條路徑跟第一條路徑的電動勢相同。任何迴路的組合都會對電動勢產生相同的結果，因此跟隨哪一條路徑實際上並不重要。

#### 直接從通量變量中推導

以上使用閉合路徑求電動勢的方法，看起來是取決於路徑幾何的細節。相反地，使用勞侖茲力則沒有這樣的限制。所以有需要加深對通量定則的理解，有關路徑等同及路徑選取時的會漏掉的細節。

圖五是圖四的理想化版本，當中圓柱體被展開成了平面。同樣的路徑分析依然有效，但是還有一個可以簡化的地方。電路中與時間無關的方面，並不能夠影響通量隨時間的變化率。例如，環路以均速滑動時，電流通過環路流動的細節，並不取決於時間。與其考慮求電動勢時環路選取的細節，不如考慮環路移動時所掃過的磁場面積。這相當於找出電路通量的切斷率。這個說法提供了一個方法，可直接求出通量變化率，而不需要考慮電路上各種路徑選取，隨時間而變化的細節。跟使用洛倫茲力一樣，很明顯地，任何兩條連接移動環路的路徑，都會產生相同的通量變化率，不同之處只在於它們如何與環路相交。

圖五中，單位時間內掃過的面積為dA/dt = vℓ，跟選取的環路細節無關，所以可經法拉第電磁感應定律求出電動勢：

$$\mathcal{E} = - {{d\Phi_B} \over dt} = B v \ell \ $$

電路勢的路徑的不依賴性表明，如果滑動環路被實心導電板所取代，又或是更複雜的某種變形表面，分析都是一樣的：找出電路移動部分掃過面積的通量。相近地，如果圖四的移動環路被一360°的實心導電圓柱體所取代，掃過面積的計算就跟只有一個環路時是完全一樣的。故此，對圓柱體及實心導電板的個案而言，法拉第定律所預測的電動勢完全一樣，更甚者，以有孔板為壁的圓柱體的個案也一樣。但是注意，這個電動勢所導致的流動電流是不一樣的，因為電阻決定電流。

## 動生電動勢和感應電動勢的統一

有些物理學家注意到法拉第定律是一條描述兩種現象的方程式：由磁力在移動中的電線中產生的動生電動勢，及由磁場轉變而成的電力所產生的感應電動勢。就像理察·費曼指出的那樣：

所以「通量定則」，指出電路中電動勢等於通過電路的磁通量變化率的，同樣適用於通量不變化的時候，這是因為場有變化，或是因為電路移動（或兩者皆是）……但是在我們對定則的解釋裏，我們用了兩個屬於完全不同個案的定律：「電路運動」的$^{\mathbf{-v \times B}}$和「場變化」的$^{\mathbf{\nabla \ x \ E \ = \ -\partial_{\ t} B}}$。

我們不知道在物理學上還有其他地方，可以用到一條如此簡單且準確的通用原理，來明白及分析兩個不同的現象。

格里夫斯的書中也有類似陳述。

1905年，阿爾伯特·愛因斯坦在《論動體的電動力學》論文中強調了經典電動力學中的這種不對稱性。他指出，感應電流作為物理結果僅取決於導體和磁體之間的相對運動，然而經典理論根據哪個物體被認為處於運動狀態而給出了不同的解釋。這種不一致性表明不存在首選參考系，推動了狹義相對論的建立。

用現代術語來說就是，電場和磁場被理解為一個單一電磁場張量的分量。在慣性系改變時，這兩個場會相互轉換。相應的，同樣的物理現象（感應電流的產生）在不同參照系會得到不同解釋：在一個參照系中被認為是動生電動勢，而在另一個參照系中則會被理解為感應電動勢。

### 示例：移動觀測者的視點

再次討論圖三的例子，但這次以移動觀測者的參考系，帶出電場與磁場間以及運動與感應電動勢的密切關係。假設一環路觀測者與環路一起移動。觀測者以洛倫茲力及法拉第電磁感應定律計算環路的電動勢。由於這觀測者與環路一起移動，觀測者看不到環路的運動，以及零v×B。然而，由於磁場隨x位置變化，所以觀測者看到時間變強的磁場，也就是：

$$\mathbf{B} = \mathbf{k}{B}(x+vt) \ $$

其中k為指向z方向的單位向量。

#### 洛倫茲力定律版本

麥克斯韋-法拉第方程指出移動觀測者在y方向所見的電場Ey可由下式表示（見旋度）：

$$\nabla \times \mathbf{E} = \mathbf{k}\ \frac {dE_y}{dx}$$

$$=- \frac { \partial \mathbf{B}}{\partial t}=-\mathbf{k}\frac {d B(x+vt)} {dt} = -\mathbf{k}\frac {dB}{dx} v \ \ $$

下式使用了鏈鎖律：

$$\frac {dB}{dt} = \frac {dB}{d(x+vt)} \frac {d(x+vt)}{dt} =\frac {dB} {dx} v \ $$

求解Ey，準確到一個對環路積分沒有作用的常數，得：

$$E_y (x,\ t) = -B(x+vt) \ v \ $$

使用洛倫茲力定律，得一個電場分量，觀測者於時間t得環路的電動勢為：

$$\mathcal{E} = -\ell [ E_y (x_C+w/2,\ t) - E_y(x_C-w/2,\ t)]$$

$$= v\ell [ B(x_C+w/2+v t) - B(x_C-w/2+vt)] \ $$

這個結果跟靜止觀測者的個案一致，他看到的是中點xC移到xC + vt。然而，移動觀測者的結果中，洛倫茲力看起來只有電分量，而靜止觀測者的則只有磁分量。

#### 法拉第電磁感應定律

使用法拉第電磁感應定律，與xC一起移動的觀測者看到磁通量的變化，但環路看起來並沒有移動：環路的中心xC被固定了，這是因為觀測者與環路一起移動著。通量則是：

$$\Phi_B =-\int_0^{\ell} dy \int_{x_C-w/2}^{x_C+w/2} B(x+vt) dx \ $$

其中右式為負，這是因為表面的垂直線與外加磁場各自指向相反的方向。現在從法拉第電磁感應定律得出的電動勢是：

$$\mathcal{E} = -\frac {d\Phi_B} {dt} = \int_0^{\ell} dy \int_{x_C-w/2}^{x_C+w/2} \frac{d}{dt}B(x+vt) dx$$

$$= \int_0^{\ell} dy \int_{x_C-w/2}^{x_C+w/2} \frac{d}{dx}B(x+vt)\ v\ dx$$

$$=v\ell \ [ B(x_C+w/2+vt) - B(x_C-w/2+vt)] \ $$

答案是一樣的。時間導數走進了積分裏面，這是因為積分的上下限並不取決於時間。又一次，鏈式定律被用於把時間導數轉化成x導數。

靜止觀測者認為該電動勢是運動電動勢，而移動觀測者則認為是感應電動勢。

## 應用

### 發電機

由法拉第電磁感應定律因電路及磁場的相對運動所造成的電動勢，是發電機背後的根本現象。當永久性磁鐵相對於一導電體運動時（反之亦然），就會產生電動勢。如果電線這時連著電負載的話，電流就會流動，並因此產生電能，把機械運動的能量轉變成電能。例如，基於圖四的鼓輪發電機。另一種實現這種構想的發電機就是法拉第圓盤，簡化版本見圖八。注意使用圖五的分析，或直接用洛倫茲力定律，都能得出使用實心導電碟片運作不變的這一結果。

在法拉第碟片這一例子中，碟片在與碟片垂直的均勻磁場中運動，導致一電流因洛倫茲力流到向外的軸臂裏。明白機械運動是如何成為驅動電流的必需品，是很有趣的一件事。當生成的電流通過導電的邊沿時，這電流會經由安培環路定理生成出一磁場（圖八中標示為「Induced B」）。因此邊沿成了抵抗轉動的電磁鐵（楞次定律一例）。在圖的右邊，經轉動中軸臂返回的電流，通過右邊沿到達底部的電刷。此一返回電流所感應的磁場會抵抗外加的磁場，它有減少通過電路那邊通量的傾向，以此增加旋轉帶來的通量。因此在圖的左邊，經轉動中軸臂返回的電流，通過左邊沿到達底部的電刷。感應磁場會增加電路這邊的通量，減少旋轉帶來的通量。所以，電路兩邊都生成出抵抗轉動的電動勢。儘管有反作用力，需要保持碟片轉動的能量，正等於所產生的電能（加上由於摩擦、焦耳熱及其他消耗所浪費的能量）。所有把機械能轉化成電能的發電機都會有這種特性。

雖然法拉第定律經常描述發電機的運作原理，但是運作的機理可以隨個案而變。當磁鐵繞著靜止的導電體旋轉時，變化中的磁場生成電場，就像麥克斯韋-法拉第方程描述的那樣，而電場就會通過電線推著電荷行進。這個案叫感應電動勢。另一方面，當磁鐵靜止，而導電體運動時，運動中的電荷的受到一股磁力（像洛倫茲力定律所描述的那樣），而這磁力會通過電線推著電荷行進。這個案叫動生電動勢。（更多有關感應電動勢、動生電動勢、法拉第定律及洛倫茲力的細節，可見上例或格里夫斯一書。）

### 電動機

發電機可以「反過來」運作，成為電動機。例如，用法拉第碟片這例子，設一直流電流由電壓驅動，通過導電軸臂。然後由洛倫茲力定律可知，行進中的電荷受到磁場B的力，而這股力會按佛來明左手定則訂下的方向來轉動碟片。在沒有不可逆效應（如摩擦或焦耳熱）的情況下，碟片的轉動速率必需使得dΦB/dt等於驅動電流的電壓。

### 變壓器

法拉第定律所預測的電動勢，同時也是變壓器的運作原理。當線圈中的電流轉變時，轉變中的電流生成一轉變中的磁場。在磁場作用範圍中的第二條電線，會感受到磁場的轉變，於是自身的耦合磁通量也會轉變（dΦB/dt）。因此，第二個線圈內會有電動勢，這電動勢被稱為感應電動勢或變壓器電動勢。如果線圈的兩端是連接著一個電負載的話，電流就會流動。

### 電磁流量計

法拉第定律可被用於量度導電液體或漿狀物的流動。這樣一個儀器被稱為電磁流量計。在磁場B中因導電液以速率為v的速度移動，所生成的感應電壓ε可由以下公式求出：

$$\mathcal{E}= B \ell v$$

其中ℓ為電磁流量計中電極間的距離。

## 延伸閱讀

有關法拉第定律一詞各種用法的討論： Tankersley and Mosca: Introducing Faraday's law

## 外部連結

- 電磁感應的簡易互動Java教學 美國國家高能磁場實驗室
- R. Vega 《電磁感應：法拉第定律與楞次定律》——高度動畫化課堂
- 喬治亞州州立大學超物理筆記 ; 另見 主頁