楊氏模量

楊氏模量（Young's modulus，或稱楊氏模數）是固體材料的一種力學性質，用來衡量材料在沿長度方向受拉或受壓時的剛度。它是描述材料在拉伸或軸向壓縮情況下的彈性模量。楊氏模量定義為：在材料的線性彈性範圍內，施加在物體上的應力（單位面積上的力）與由此產生的軸向應變（表徵相對形變的無量綱量）之比。

楊氏模量以英國科學家托馬斯·楊命名，但儘管如此，楊氏模量的概念是由萊昂納德·歐拉在1727年提出。現代意義上的首次關於楊氏模量的實驗是由義大利科學家Giordano Riccati在1782年完成，比托馬斯·楊早了25年。模量（modulus）一詞由拉丁語中modus演變而來，意為測量。

## 定義

楊氏模量 $E$ 定量描述在材料的彈性限度內壓縮或拉伸應力 $\sigma$（單位面積所受的力）和軸向應變 $\epsilon$（比例形變）。

$$E = \frac {\sigma } {\varepsilon}$$

楊氏模量在國際單位制（SI）中以帕斯卡（Pa）計量，簡稱為帕。常見的楊氏模量都在吉帕（GPa）級別。

### 線性彈性

當固體材料被施加較小的壓縮或拉伸應力時會發生彈性形變。彈性形變是可逆的，即材料可以回到施加應力之前的初始狀態。

當應力和應變接近0的區間內，應力應變曲線是線性的。胡克定律表明應力與應變成比例，其中的比例係數即楊氏模量。楊氏模量越大，所需造成相同應變的應力大小就越大，理想剛體的楊氏模量位無窮大，相反地，非常柔軟的材料（例如水）無需除重力外的外力作用即可產生形變，因此其楊氏模量為零。

### 相關其他物理屬性

- 強度（剛度）：材料在拉伸狀態下不斷裂所能承受的最大應力。
- 幾何剛度：取決於物體形狀而非局部性質的全局特徵，比如說工字梁就比在單位長度內質量相同的同種材料的其他梁有更高的抗彎曲能力。
- 材料硬度：固體對外界物體入侵的局部抵抗能力。
- 韌性：材料在斷裂前所能吸收的最大機械能。
- 屈服點：屈服點是應力-應變曲線上的一個點，該點表示彈性行為的極限和塑性行為的開始。在屈服點以下，材料將彈性變形，其應力應變比值固定呈一條直線，並在去除應用的應力後恢復到其原始形狀。

## 應用

楊氏模量可以用於計算在壓縮或者拉伸應力下各向同性的彈性材料的尺寸變化。例如，楊氏模量可以用來預測材料在壓縮或拉伸應力下的伸長量。楊氏模量可以直接應用於軸向應力，即應力僅存在於沿物體軸線方向，而非除軸線方向外的其他方向。楊氏模量也可以用於求解支撐點之間受壓的靜定梁的形變。

其他材料彈性相關計算通常需要另一額外的材料彈性物理量，例如剪切模量$G$，體積模量$K$和泊松比$\nu$。三者間任意兩個參數即可完整描述各向同性材料的彈性性質。例如，在計算已知泊松比為0.43±0.12，平均楊氏模量為52 KPa的癌變皮膚組織的物理性質時，確定組織的彈性性質便是臨床研究應用的第一步。各向同性的均質材料的楊氏模量和上述三個彈性常數的關係如下：

$$E = 2G(1 + \nu) = 3K(1 - 2\nu)$$

### 線性與非線性

楊氏模量代表胡克定律中有關應力和應變的比例係數，但是胡克定律只適用於理想條件下材料的彈性和線性響應，在實踐中所有材料都會在受力極大或者伸長量極大時崩潰，然而在受力或者伸長量較小的時候，材料可以被近似為服從胡克定律。當胡克定律適用的範圍遠大於材料所受的應力時，該材料的反饋可以被視為線性，反之則視其為非線性。

鋼材，碳纖維和玻璃等材料通常可被視作線性材料，橡膠，泥土等則通常被視作非線性材料。然而上述說法並非嚴格的分類，如果施加的應力或應變足夠小，非線性材料的物理反饋也是線性的。另外，如果施加在線性材料上的應力或應變足夠大時，上述線性相關的理論也不足以描述實際情況。例如，線性理論認為線性材料具有可逆性，即材料可以在應力撤除後回到施加前的初始狀態，但顯然在高負載條件下橋梁鋼材的結構失效不服從上述理論。雖然鋼材通常被視作線性材料，但在上述極端條件下是不成立的。

在固體力學中，在應力-應變曲線上任意一點的斜率都被叫做該點的相切模量（tangent modulus），可以通過拉伸試驗中獲得的材料應力-應變特徵曲線確定。

### 定向材料

同種材料不同方向上的楊氏模量可能不同。大多數金屬和陶瓷材料都是各向同性的，這些材料的機械屬性在各個朝向上都是相同的。但是金屬和陶瓷材料在製造過程中可以參入雜質，金屬材料也可以通過機械處理是其晶粒結構具有方向性，這些材料也變為各向異性，楊氏模量便會取決於力的方向向量。各向異性在很多複合物中都有體現，例如當力的方向平行於纖維時，碳纖維的楊氏模量會更高（相比於其他方向）。工程師們會將例如木頭和鋼筋混凝土等其他材料的方向性應用在實際建造中。

## 計算

楊氏模量可以通過彈性限度內應力$\sigma$和應變$\varepsilon$的比值求出。

$$E \equiv \frac{\sigma(\varepsilon)}{\varepsilon}= \frac{F/A}{\Delta L/L_0} = \frac{F L_0} {A \, \Delta L}$$

其中：

- $E$ 為楊氏模量（彈性模量）
- $F$為施加在物體上的力
- $A$是有效的橫截面積，即垂直於所受力的橫截面積
- $\Delta L$ 為物體長度的改變量，通常材料受拉伸時為正，壓縮是為負
- $L_0$ 為物體原長

### 壓縮或拉伸材料的施力

楊氏模量可以被用於計算特定應變下材料所施加的力。

$$F = \frac{E A \, \Delta L} {L_0}$$

其中 $F$ 是材料的拉伸或收縮量為$\Delta L$時所施加的力。

對於被拉伸的繩，有胡克定律如下：

$$F = \left( \frac{E A} {L_0} \right) \, \Delta L = k x$$

易得：

$k \equiv \frac {E A} {L_0} \,$ and $x \equiv \Delta L.$

注意到彎曲彈簧的彈性關係來源於剪切模量而非楊氏模量。當彈簧受拉伸時，彈簧鋼絲的形狀改變而總長度保持不變，所以在拉伸彈簧的情境只涉及到其材料的剪切模量。

### 彈性勢能

儲存在線性材料中的彈性勢能可由胡克定律的積分得出：

$$U_e = \int {k x}\, dx = \frac {1} {2} k x^2.$$

代入楊氏模量的相關公式並化簡易得：

$$U_e = \int \frac{E A \, \Delta L} {L_0}\, d\Delta L = \frac {E A} {L_0} \int \Delta L \, d\Delta L = \frac {E A \, {\Delta L}^2} {2 L_0}$$

可見單位體積下的彈性勢能密度為：

$$\frac{U_e} {A L_0} = \frac {E \, {\Delta L}^2} {2 L_0^2} =\frac{1}{2} \times \frac {E\, {\Delta L}}{L_0} \times \frac {\Delta L}{L_0} = \frac {1}{2} \times \sigma(\varepsilon) \times \varepsilon$$

應變被定義為$\varepsilon \equiv \frac {\Delta L} {L_0}$，所以對於線性材料，上式可簡化為： $u_e(\varepsilon) = \int {E \, \varepsilon}\, d\varepsilon = \frac {1} {2} E {\varepsilon}^2$。

而對於非線性材料而言，無法用單一的線性關係表示應力應變和楊氏模量的關係，因此上述化簡併不成立：

$$u_e(\varepsilon) = \int E(\varepsilon) \, \varepsilon \, d\varepsilon \ne \frac {1} {2} E \varepsilon^2$$

## 各種材料的楊氏模量約值

楊氏模量取決於材料的組成。舉例來說，大部分金屬在合金成分不同、熱處理在加工過程中的應用，其楊氏模量值會有5％或者更大的波動。正如以下的很多材料的楊氏模量值非常接近。

材料｜楊氏模量 ($E$) / $G$ $Pa$｜楊氏模量 ($E$) / lbf/in²

橡膠（微小應變）｜0.01-0.1｜1,500-15,000

低密度聚乙烯｜0.2｜30,000

聚丙烯｜1.5-2｜217,000-290,000

聚對苯二甲酸乙二酯｜2-2.5｜290,000-360,000

聚苯乙烯｜3-3.5｜435,000-505,000

尼龍｜2-4｜290,000-580,000

橡木（顆粒表面）｜11｜1,600,000

高強度混凝土（受到壓縮）｜30｜4,350,000

金屬鎂｜45｜6,500,000

玻璃（所有種類）｜71.7｜10,400,000

鋁｜69｜10,000,000

黃銅和青銅｜103-124｜17,000,000

鈦 (Ti)｜105-120｜15,000,000-17,500,000

碳纖維強化塑料（單向，顆粒表面）｜150｜21,800,000

合金與鋼｜190-210｜30,000,000

鎢 (W)｜400-410｜58,000,000-59,500,000

碳化矽（SiC）｜450｜65,000,000

碳化鎢（WC）｜450-650｜65,000,000-94,000,000

單碳納米管｜approx. 1,000｜approx. 145,000,000

鑽石｜1,050-1,200｜150,000,000-175,000,000

## 單位

楊氏模量的因次同壓強，在SI單位制中，壓力的單位為Pa也就是帕斯卡。

但是通常在工程的使用中，因各材料楊氏模量的量值都十分的大，所以常以百萬帕斯卡（MPa）或十億帕斯卡（GPa）作為其單位。

- $1\ \mathrm{MPa}=\mathrm1\times10^6\ \mathrm{Pa}=1\ \begin{matrix} \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^2} \end{matrix}$ (1牛頓每平方毫米為1MPa)
- $1\ \mathrm{GPa}=\mathrm1\times10^9\ \mathrm{Pa}=1\ \begin{matrix} \frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{mm}^2} \end{matrix}$ (1千牛頓每平方毫米為1GPa)