拓撲空間

拓撲空間（Topological space）是一種賦予「一點附近」這個概念的抽象數學結構；拓撲空間也是一個集合，其元素稱為點，由此可以定義出如收斂、連通、連續等概念。拓撲空間在現代數學的各個分支都有應用，是一個居於中心地位的、統一性的概念。拓撲空間有獨立研究的價值，研究拓撲空間的數學分支稱為拓撲學。

## 定義動機

拓撲結構最實用的動機，在於怎麼去定義「一點的附近」，用以定義函數極限。

對於度量空間 $(M,\,d)$ 內的任一點 $x$，可定義中心為 $x$，半徑為 $r > 0$ 的開球

$$B(x;r) := \left\{ y \in M \,\bigg|\, d(x,\,y) < r \right\}$$

然後把開球視為點 $x$ 附近的「開放邊界區域」。但考慮到「區域」應該是有任意形狀的，那一般的「開放邊界區域」，應該是任取裡面的點 $x$，都會有一個夠小的開球 $B(x;r)$ 完全落在這個區域裡，也就是說，可以定義 $(M,\,d)$ 的開子集 $O \subseteq M$ 為滿足如下條件的子集合

$$(\forall x \in O)(\exist r > 0) [\, B(x;r) \subseteq O \,]$$

這樣定義的開集有一些有趣的性質：

(1) 任二開集的交集也是開集

任取兩個 $(M,\,d)$ 的開子集 $O_1,\,O_2 \subseteq M$，若 $x \in O_1 \cap O_2$，根據定義存在 $r_1,\,r_2 > 0$ 使得

$$B(x;r_1) \subseteq O_1$$

$$B(x;r_2) \subseteq O_2$$

這樣若取 $r = \min{\{r_1,\,r_2\}}$，則會有：

$$B(x;r) \subseteq O_1 \cap O_2$$

也就是說， $O_1 \cap O_2$ 也是個開集。

(2) 任意個開集的併集也會是開集

若 $\mathfrak{A} \subseteq \mathcal{P}(M)$ 是一群開集所構成的集合，也就是說

$$\forall O\{ (O \in \mathfrak{A}) \Rightarrow (\forall x \in O)(\exist r > 0) [\, B(x;r) \subseteq O \,] \}$$

如果取

$$a \in \bigcup \mathfrak{A}$$

換句話說：

$$\exists O[\, (O \in \mathfrak{A})\wedge (a \in O) \,]$$

這樣的話，顯然有

$$(\exist r > 0) \left[\, B(a;r) \subseteq \bigcup \mathfrak{A} \,\right]$$

所以 $\bigcup \mathfrak{A}$ 也會是一個開集。

以上的性質促使人們在不依託度量情況下，去定義一個描述「一點的附近」的結構，換句話說，去抽象的定義一群開集是這麼樣的特殊集合，任二開集的交集是開的且任意開集的聯集也是開的。

## 正式定義

拓撲結構一詞涵蓋了開集系，閉集系，鄰域系，開核，閉包，導集，濾子等若干概念。可以從這些概念出發，給出若干種等價結構，但大部分書籍都以開集系為準。

### 開集系

根據定義動機一節可以作如下的定義：

$X$ 的子集族 $\mathfrak{O} \subseteq \mathcal{P}(M)$ 若滿足以下開集公理

正式定義｜直觀解釋

$X,\,\varnothing \in \mathfrak{O}$｜$X$ 本身和空集合也是開的

$\forall O_1 \forall O_2 [\, (O_1,\,O_2 \in \mathfrak{O}) \Rightarrow (O_1 \cap O_2 \in \mathfrak{O}) \,]$｜有限個開集的交集也是開的

$\forall \mathfrak{A} \left[\, (\mathfrak{A} \subseteq \mathfrak{O}) \Rightarrow \left(\bigcup \mathfrak{A} \in \mathfrak{O} \right) \,\right]$｜任意個開集的併集也是開的

則稱 $\mathfrak{O}$ 為 $X$ 的開集系（其中的元素稱為開集）或拓撲，$(X,\,\mathfrak{O})$ 則被稱為一拓撲空間，$X$ 內的元素 $x \in X$ 則稱為拓撲空間 $(X,\,\mathfrak{O})$ 的點。

開集系的代號 $\mathfrak{O}$ 是字母「O」的德文尖角體，取名自德語形容詞「offen」（開的）。

從開集系出發定義其它概念：（$A \subseteq X$ 為 $X$ 的子集）

- 閉集：若 $X - A$ 是開集，則稱 $A$ 是閉集。
- 鄰域：若存在開集 $O$ 使得 $x \in O \subseteq A$，則稱 $A$ 是點 $x$ 的鄰域。
- 開核：$A$ 的開核（或內部）$A^{\circ}$ 定義為$A$ 內所有開集之並，也就是$A^{\circ} := \bigcup \left\{ O \in \mathfrak{O} \,\big|\, O \subseteq A \right\}$

### 閉集系

$X$ 的子集族 $\mathfrak{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$ 若滿足如下閉集公理：

正式定義｜直觀解釋

$X,\,\varnothing\in\mathfrak{F}$｜$X$ 本身和空集合也是閉的

$\forall F_1 \forall F_2 [\, (F_1,\,F_2 \in \mathfrak{F}) \Rightarrow (F_1 \cup F_2 \in \mathfrak{F}) \,]$｜有限個閉集的併集是閉的

$\forall \mathfrak{B} \left[\, (\mathfrak{B} \subseteq \mathfrak{F}) \Rightarrow \left(\bigcap \mathfrak{B} \in \mathfrak{F} \right) \,\right]$｜任意個閉集的交集是閉的

則稱 $\mathfrak{F}$ 為 $X$ 的閉集系（其中的元素稱為閉集）。

閉集系的代號 $\mathfrak{F}$ 是字母「F」的德文尖角體，取名自法語動詞「fermer」（關閉）的過去分詞「fermé」（封閉的）。

根據德摩根定理和量詞符號的意義，以下的子集族

$$\mathfrak{O}_{\mathfrak{F}} = \left\{ O \in \mathcal{P}(X) \,\big|\, X - O \in \mathfrak{F} \right\}$$

為開集系，類似地，對於開集系 $\mathfrak{O}$，以下的子集族

$$\mathfrak{F}_{\mathfrak{O}} = \left\{ F \in \mathcal{P}(X) \,\big|\, X - F \in \mathfrak{O} \right\}$$

為閉集系，所以閉集系跟拓撲是等價的結構。

從閉集系出發定義其它概念：（$A \subseteq X$ 為 $X$ 的子集）

- 開集：$X - A$ 是閉集，則稱 $A$ 是開集。
- 閉包：$A$ 的閉包$\overline{A}$ 定義為包含A的所有閉集之交，也就是$\overline{A} := \bigcap \left\{ F \in \mathfrak{F} \,\big|\, A \subseteq F \right\}$

### 鄰域系

函數 $\mathfrak{U}:X \to \mathcal{P}[\mathcal{P}(X)]$（$\mathcal{P}[\mathcal{P}(X)]$ 指 $X$ 的冪集的冪集，也就是由所有子集族所構成的集合）若對任意 $x \in X$ 滿足如下鄰域公理：

正式定義｜直觀解釋

$\forall U\{\, [\,U\in\mathfrak{U}(x)\,] \Rightarrow (x \in U) \,\}$｜$x$ 屬於 $\mathfrak{U}(x)$ 的任意元素（$\mathfrak{U}(x)$ 裡的元素都是 $x$ 的鄰域）

$\forall U\forall V\{\, [\,U,\,V \in \mathfrak{U}(x)\,] \Rightarrow [\,U \cap V \in \mathfrak{U}(x)\,] \,\}$｜$x$ 的任二鄰域的交集也是 $x$ 的鄰域

$(\forall V \subseteq X)[\,\forall U \in \mathfrak{U}(x)\,]\{\, (U \subseteq V ) \Rightarrow [\,V \in \mathfrak{U}(x)\,] \,\}$｜包含任何 $x$ 的鄰域的任意子集也是 $x$ 的鄰域

$[\,\forall U \in \mathfrak{U}(x)\,] [\,\exists V \in \mathfrak{U}(x)\,]\{\, (V \subseteq U) \wedge (\forall y \in V)[\, U \in \mathfrak{U}(y) \,] \,\}$｜$x$ 的每個鄰域內有個 $x$ 的鄰域，使的大鄰域都是小鄰域裡面點的領域

這樣任意 $\mathfrak{U}(x)$ 被稱為 $x$ 的鄰域系， $\mathfrak{U}(x)$ 裡的元素 $U \in \mathfrak{U}(x)$ 則稱為 $x$ 的鄰域。

換句話說，函數 $\mathfrak{U}$ 將 $X$ 的每個點 $x \in X$ 映射至 $\mathfrak{U}(x)$，而 $\mathfrak{U}(x)$ 則是所有 $x$ 的鄰域所構成的集族。

鄰域系的代號 $\mathfrak{U}$ 是字母「U」的德文尖角體，取名自德語動詞「umgeben」（環繞）的名詞化「Umgebung」（周圍、環境）。

若取以下的子集族

$$\mathfrak{O}_{\mathfrak{U}} = \left\{ O \in \mathcal{P}(X) \,\big|\, (\forall x)\{\, (x \in O) \Rightarrow [\,O \in \mathfrak{U}(x)\,] \,\} \right\}$$

因為 $X$ 包含任意鄰域， $X$ 本身顯然為任意 $x \in X$ 的領域，故 $X \in \mathfrak{O}_\mathfrak{U}$；另外空集合 $\varnothing$ 沒有任何屬於它的點，所以根據實質條件的意義，$\varnothing \in \mathfrak{O}_\mathfrak{U}$。

若取 $O_1,\,O_2 \in \mathfrak{O}_\mathfrak{U}$，根據鄰域公理的第二項有 $O_1 \cap O_2 \in \mathfrak{O}_\mathfrak{U}$；若取 $\mathfrak{B} \subseteq \mathfrak{O}_\mathfrak{U}$，且 $x \in \bigcup \mathfrak{B}$，那換句話說

$$\exists O[\, (O \in \mathfrak{B}) \wedge (x \in O) \,] <pre>$$

這樣的話有

$$\exists O[\, (O \in \mathfrak{B}) \wedge (x \in O) \wedge (O \in \mathfrak{O}_\mathfrak{U}) \,] <pre>$$

那這樣根據鄰域公理第三項，$\bigcup \mathfrak{B} \in \mathfrak{O}_\mathfrak{U}$，所以 $\mathfrak{O}_{\mathfrak{U}}$ 的確是個開集合系。

類似地對於開集系 $\mathfrak{O}$，若對任意 $x \in X$ 取

$$\mathfrak{U}(x) = \left\{ U \in \mathcal{P}(X) \,\big|\, \exists O[\, (O \in \mathfrak{O}) \wedge (O \subseteq U) \wedge (x \in O) \,] \right\}$$

那 $\mathfrak{U}(x)$ 也會符合上面四款鄰域系公理（注意到第四項取 $V = U^{\circ}$），所以對所有 $x \in X$ 定義了鄰域系等同於定義了一個拓撲。

從鄰域系出發定義其它概念：（$A \subseteq X$ 為 $X$ 的子集）

- 開集：對任意 $x \in A$，有 $A \in \mathfrak{U}(x)$，則稱 $A$ 是開集。（開集本身是它所有點的鄰域）
- 開核：$A^{\circ} = \left\{ x \in X \,\big|\, \exists U\{\, [\,U\in \mathfrak{U}(x)\,]\wedge (U \subseteq A) \,\} \right\}$（開核裡的每一點，都有一個包含於 $A$ 的領域。）
- 閉包：$\overline{A} = \left\{ x \in X \,\big|\, \forall U\{ [\,U\in \mathfrak{U}(x)\,] \Rightarrow (U\cap A\ne\varnothing) \} \right\}$。（閉包裡每一點的領域，都跟 $A$ 有交集。）

### 閉包公理

$X$的冪集$P(X)$上的一元運算$c : P(X) \to P(X)$（即將$X$的子集A映射為$X$的子集$c(A)$）稱為閉包運算（像稱為原像的閉包）。若且唯若運算$c$滿足下述的閉包公理：

- A1：$A \subseteq c(A)$。
- A2：$c(c(A)) = c(A)$。
- A3：$c(A \cup B) = c(A) \cup c(B)$。
- A4：$c(\varnothing) = \varnothing$。

集合$A$的閉包通常記為$\overline{A}$。

從閉包出發定義其它概念：

- 從閉包定義閉集：$X$的子集$A$是閉集，若且唯若$A = \overline{A}$。
- 從閉包定義開核：$X$的子集$A$的開核$A^{\circ} = X - \overline{X-A}$。
- 從閉包定義鄰域：$X$的子集$U$是點$x$的鄰域，若且唯若$x \notin \overline{X-U}$。

### 開核公理

$X$的冪集$P(X)$上的一元運算$o: P(X) \to P(X)$（即將$X$的子集A映射為$X$的子集$o(A)$）稱為開核運算（像稱為原像的開核或內部）。若且唯若運算$o$滿足如下開核公理：

- I1：$o(A) \subseteq A$。
- I2：$o(o(A)) = o(A)$。
- I3：$o(A \cap B) = o(A) \cap o(B)$。
- I4：$o(X) = X$。

集合$A$的開核通常記為$A^{\circ}$。

（顯然，開核運算是閉包運算的對偶概念）。

從開核出發定義其它概念：

- 從開核定義開集：$X$的子集$A$是開集，若且唯若$A = A^{\circ}$。
- 從開核定義鄰域：$X$的子集$U$是點$x$的鄰域，若且唯若$x\in U^{\circ}$。
- 從開核定義閉包：$X$的子集$A$的閉包$\overline{A} = X - (X-A)^{\circ}$。

### 導集公理

$X$的冪集$\mathcal{P}(X)$上的一元運算$d: \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)$（即將$X$的子集$A$映射為$X$的子集$d(A)$）稱為導集運算（像稱為原像的導集），若且唯若$d$滿足以下導集公理：

- D1：$d(\varnothing) = \varnothing$。
- D2：$d(d(A)) \subseteq d(A) \cup A$。
- D3：$\forall x \in X,\ d(A) = d(A - \{x\})$。
- D4：$d(A\cup B) = d(A)\cup d(B)$

從導集出發定義其它概念：

- 從導集定義閉集：$X$的子集$A$是閉集，若且唯若$d(A)\subseteq A$。

## 拓撲之間的關係

同一個全集可以擁有不同的拓撲，有些是有用的，有些是平庸的，這些拓撲之間可以形成一種偏序關係。當拓撲$\mathfrak{T}_1$的每一個開集都是拓撲$\mathfrak{T}_2$的開集時，稱拓撲$\mathfrak{T}_2$比拓撲$\mathfrak{T}_1$更細，或稱拓撲$\mathfrak{T}_1$比拓撲$\mathfrak{T}_2$更粗。

僅依賴於特定開集的存在而成立的結論，在更細的拓撲上依然成立；類似的，僅依賴於特定集合不是開集而成立的結論，在更粗的拓撲上也依然成立。

最粗的拓撲是由空集和全集兩個元素構成的拓撲，最細的拓撲是離散拓撲，這兩個拓撲都是平庸的。

在有些文獻中，我們也用大小或者強弱來表示這裡粗細的概念。

## 連續映射與同胚

類似定義拓撲空間，連續映射也有基於開集，閉集，開核，閉包和鄰域等概念的等價定義。

$(X,\,\mathfrak{O}_X)$ 與 $(Y,\,\mathfrak{O}_Y)$ 都是拓撲空間，如果函數 $f:X \to Y$ 滿足：

$$(\forall B \in \mathfrak{O}_Y)[f^{-1}(B) \in \mathfrak{O}_X]$$

稱 $f$ 為 $\mathfrak{O}_X$-$\mathfrak{O}_Y$ 連續。

若更進一步，$f$ 為雙射而有反函數 $f^{-1}:Y \to X$ 且 $f^{-1}$ 為 $\mathfrak{O}_Y$-$\mathfrak{O}_X$ 連續，則稱 $f$ 為 $\mathfrak{O}_X$-$\mathfrak{O}_Y$ 同胚映射，且稱$X$ 與 $Y$ 是同胚的。

### 性質

- $f$對任何閉集的原像是閉集。
- 對點$f(x)$的任一鄰域$V$，都存在點$x$的一個鄰域$U$，使得$f(U) \subset V$，則稱$f(x)$在點$x$連續，而連續映射即點點連續的映射。
- 對任一集合$A$，$f(\overline{A}) \subseteq \overline{f(A)}$成立。
- 對任一集合$A$，$f^{-1}(A^{\circ}) \subseteq (f^{-1}(A))^{\circ}$成立。

## 拓撲空間範疇

拓撲空間作為對象，連續映射作為態射，構成了拓撲空間範疇，它是數學中的一個基礎性的範疇。試圖通過不變量來對這個範疇進行分類的想法，激發和產生了整個領域的研究工作，包括同倫論、同調論和K-理論。

## 相關概念

### 基本概念

給定拓撲空間$(X,\tau)$，A是X的子集，有以下概念（繼續使用上面的符號）：

內部，內點：A的開核o(A)又稱為A的內部，其元素稱為A的內點。

外部，外點：X - c(A)稱為A的外部，其元素稱為A的外點。

邊界，邊界點：c(A)∩c(X-A)稱為A的邊界，其元素稱為A的邊界點。

觸點：A的閉包c(A)中的點稱為A的觸點。

稠密性，稠密集：稱A在X中是稠密的（或稱稠密集），若且唯若c(A) = X。

邊緣集：稱A是X的邊緣集，若且唯若X-A在X中是稠密的。

疏性，疏集：稱A在X中是疏的（或稱疏集），若且唯若c(A)是X中的邊緣集。

第一範疇集，第二範疇集：稱A是X中的第一範疇集，若且唯若A可以表示為可數個疏集的並。稱A是X中的第二範疇集，若且唯若A不是X中的第一範疇集。

聚點，導集：X中的點x稱為A的聚點，若且唯若x ∈ c(A - {x})（或者等價地，x的任意鄰域至少包含x以外的A的一個點）。A的所有聚點組成的集合稱為A的導集。

孤立點：A中的點x稱為A的孤立點，若且唯若它不是A的聚點。

孤點集，離散集：稱A為孤點集或離散集，若且唯若A中所有的點都是A的孤立點。

自密集：稱A為自密集，若且唯若A中的點都是A的聚點（等價地，A中沒有A的孤立點）。

完備集：稱A為完備集，若且唯若A等於其導集。

自密核：A的最大自密子集稱為A的自密核。

無核集：稱A是無核集，若且唯若A的自密核是∅（或等價地，A的任意非空子集都含有孤立點）。

### 網

網的目的在推廣序列及極限，網的收性稱作Moore-Smith收斂。其關鍵在於以有向集合代替自然數集$\mathbb{N}$。

空間$X$上的一個網$(x_\alpha)_{\alpha \in A}$是從有向集合$A$映至$X$的映射。

若存在$x \in X$，使得對每個$x$的鄰域$U$都存在$\beta \in A$，使得$\alpha \geq \beta \Rightarrow x_\alpha \in U$，則稱網$(x_\alpha)_{\alpha \in A}$收斂至$x$。

幾乎所有點集拓撲學的基本概念都能表述作網的收斂性，請參閱主條目網

## 拓撲空間的例子

- 實數集R構成一個拓撲空間：全體開區間構成其上的一組拓撲基，其上的拓撲就由這組基來生成。這意味著實數集R上的開集是一組開區間的並（開區間的數量可以是無窮多個，但進一步可以證明，所有的開集可以表示為可數個互不相交的開區間的並）。從許多方面來說，實數集都是最基本的拓撲空間，並且它也指導著我們獲得對拓撲空間的許多直觀理解；但是也存在許多「奇怪」的拓撲空間，它們有悖於我們從實數集獲得的直觀理解。
- 更一般的，n維歐幾里得空間Rn構成一個拓撲空間，其上的開集就由開球來生成。
- 任何度量空間都可構成一個拓撲空間，如果其上的開集由開球來生成。這中情況包括了許多非常有用的無窮維空間，如泛函分析領域中的Banach空間和希爾伯特空間。
- 任何局部域都自然地擁有一個拓撲，並且這個拓撲可以擴張成為這個域上的向量空間。
- 除了由全體開區間生成的拓撲之外，實數集還可以賦予另外一種拓撲—下限拓撲（lower limit topology）。這種拓撲的開集由下列點集構成—空集、全集和由全體半開區間`[`a, b)生成的集合。這種拓撲嚴格地細於上面定義的歐幾里得拓撲；在這種拓撲空間中，一個點列收斂於一點，若且唯若，該點列在歐幾里得拓撲中也收斂於這個點。這樣我們就給出了一個集合擁有不同拓撲的示例。
- 流形都是一個拓撲空間。
- 每一個單形都是一個拓撲空間。單形是一種在計算幾何學中非常有用的凸集。在0、1、2和3維空間中，相應的單形分別是點、線段、三角形和四面體。
- 每一個單純復形都是一個拓撲空間。一個單純復形由許多單形構成。許多幾何體都可以通過單純復形—來建立模型，參見多胞形（Polytope）。
- 扎里斯基拓撲是一種純粹由代數來定義的拓撲，這種拓撲建立在某個環的交換環譜之上或者某個代數簇之上。對Rn或者Cn來說，相應扎里斯基拓撲定義的閉集，就是由全體多項式方程的解集合構成。
- 線性圖是一種能推廣圖的許多幾何性質的拓撲空間。
- 泛函分析中的許多算子集合可以獲得一種特殊的拓撲，在這種拓撲空間中某一類函數序列收斂於零函數。
- 任何集合都可以賦予離散拓撲。在離散拓撲中任何一個子集都是開集。在這種拓撲空間中，只有常數列或者網是收斂的。
- 任何集合都可以賦予平庸拓撲。在平庸拓撲中只有空集和全集是開集。在這種拓撲空間中，任和一個序列或者網都收斂於任何一個點。這個例子告訴我們，在某些極端情況下，一個序列或者網可能不會收斂於唯一的一個點。
- 有限補拓撲。設X是一個集合。X的所有有限子集的補集加上空集，構成X上的一個拓撲。相應的拓撲空間稱為有限補空間。有限補空間是這個集合上最小的T1拓撲。
- 可數補拓撲。設X是一個集合。X的所有可數子集的補集加上空集，構成X上的一個拓撲。相應的拓撲空間稱為可數補空間。
- 如果Γ是一個序數，則集合0, Γ是一個拓撲空間，該拓撲可以由區間(a, b`]`生成，此處a和b是Γ的元素。

### 例子

- X = {1,2,3,4} 和 X 內兩個子集組成的集族 } 會形成一個密著拓撲。
- X = {1,2,3,4} 和 X 內六個子集組成的集族 τ = {,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4 會形成另一個拓撲。
- X = ℤ（整數集合）及集族 τ 等於所有的有限整數子集加上 ℤ 自身不是一個拓撲，因為（例如）所有不包含零的有限集合的聯集是無限的，但不是 ℤ 的全部，因此不在 τ 內。
- 1個元素的集上總拓撲數顯然只有1個。
- 2個元素的集上總拓撲數顯然只有4個。
- 3個元素的集上總拓撲數只有29個。
- 4個元素的集上總拓撲數只有355個。
- n個元素的集上總拓撲數規律還在研究中，不過已取得些成果。參見OEIS-A000798說明

3點集 X={a,b,c}的拓撲總共有29個,可分為九類，具體如下：

- {∅, X}
- {∅,{a},X},{∅,{b},X},{∅,{c},X}
- {∅,{a,b},X},{∅,{a,c},X},{∅,{b,c},X}
- {∅,{a},{b,c},X},{∅,{b},{a,c},X},{∅,{c},{a,b},X}
- {∅,{a},{a,b},X},{∅,{a},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},X},{∅,{b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},X},{∅,{c},{b,c},X}
- {∅,{a},{a,b},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},{b,c},X}
- {∅,{a},{b},{a,b},X},{∅,{a},{c},{a,c},X},{∅,{b},{c},{b,c},X}
- {∅,{a},{b},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{a},{c},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{c},{a,c},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,b},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,c},{b,c},X}
- {∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},X}

## 拓撲空間的構造

- 拓撲空間的任何一個子集都可以被賦予一個子空間拓撲，子空間拓撲中的開集是全空間上的開集和子空間的交。
- 對任何非空的拓撲空間族，我們可以構造出這些拓撲空間的積上的拓撲，這種拓撲稱為積拓撲。對於有限積來說，積空間上的開集可以由空間族中各個空間的開集的積生成出來。
- 商拓撲可以被如下地定義出來：若X是一個拓撲空間，Y是一個集合，如果f : X → Y是一個滿射，那麼Y獲得一個拓撲；該拓撲的開集可如此定義，一個集合是開的，若且唯若它的逆像也是開的。可以利用f自然投影確定下X上的等價類，從而給出拓撲空間X上的一個等價關係。
- Vietoris拓撲

## 拓撲空間的分類

依據點和集合分離的程度、大小、連通程度、緊性等。可以對拓撲空間進行各種各樣的分類。並且由於這些分類產生了許多不同的術語。

以下假設X為一個拓撲空間。

### 分離公理

詳細資料請參照分離公理以及相關條碼。有些術語在老的文獻中採用了不同地定義方式，請參照分離公理的歷史。

拓撲不可區分性：X中兩個點x，y稱為拓撲不可區分的，若且唯若如下結論之一成立：

- 對X中每個開集U，或者U同時包含x，y兩者，或者同時不包含它們。
- x的鄰域系和y的鄰域系相同。
- $x\in\overline{\{y\}}$，且$y\in\overline{\{x\}}$。

### 可數公理

可分的：X稱為可分的，若且唯若它擁有一個可數的稠密子集。

第一可數：X稱為第一可數的，若且唯若其任何一個點都有一個可數的局部基。

第二可數：X稱為第二可數的，若且唯若其擁有一個可數的基。

### 連通性

連通：X稱為連通的，若且唯若它不是兩個無交的非空開集的並。（或等價地，該空間的閉開集（既開又閉的集合）只有空集和全空間兩者）。

局部連通：X稱為局部連通的，若且唯若它的每個點都存在一個特殊的局部基，這個局部基由連通集構成。

完全不連通：X稱為完全不連通的，若且唯若不存在多於一個點的連通子集。

道路連通：X稱為道路連通的，若且唯若其任意兩點x和y，存在從x到y的道路p，也即，存在一個連續映射p: 0,1 → X，滿足p（0）= x 且p（1）= y。道路連通的空間總是連通的。

局部道路連通：X稱為局部道路連通的，若且唯若其每個點都有一個特殊的局部基，這個局部基由道路連通集構成。一個局部道路連通空間是連通的，若且唯若它是道路連通的。

單連通：X稱為單連通的，若且唯若它是道路連通且每個連續映射$f: \mathbb{S}^1 \rightarrow X$都與常數映射同倫。

可縮：X稱為可縮的，若且唯若它同倫等價到一點。

超連通：X稱為超連通的，若且唯若任兩個非空開集的交集非空。超連通蘊含連通。

極連通：X稱為極連通的，若且唯若任兩個非空閉集的交集非空。極連通蘊含道路連通。

平庸的：X稱為平庸的，若且唯若其開集只有本身與空集。

### 緊性

（詳細資料請參照緊集）

緊性：X稱為緊的，若且唯若其任意開覆蓋都有有限開覆蓋的加細。

林德洛夫性質：X稱為擁有林德洛夫性質，若且唯若其任意開覆蓋都有可數開覆蓋的加細。

仿緊：X稱為仿緊的，若且唯若其任意開覆蓋都有局部有限開覆蓋的加細。

可數緊：X稱為可數緊的，若且唯若其任意可數開覆蓋都有限開覆蓋的加細。

列緊：X稱為可數緊的，若且唯若其任意點列都包含收斂子列。

偽緊：X稱為偽緊的，若且唯若其上的任意實值連續函數都有界。

### 可度量化

可度量性意味著可賦予空間一個度量，使之給出該空間的拓撲。目前已有許多版本的度量化定理，其中最著名的是Urysohn度量化定理：一個第二可數的正則豪斯多夫空間可被度量化。由此可導出任何第二可數的流形皆可度量化。

## 擁有代數結構的拓撲空間

對於任一類代數結構，我們都可以考慮其上的拓撲結構，並要求相關的代數運算是連續映射。例如，一個拓撲群$G$乃是一個拓撲空間配上連續映射$m: G \times G \rightarrow G$（群乘法）及$i: G \rightarrow G$（反元素），使之具備群結構。

同樣地，可定義拓撲向量空間為一個賦有拓撲結構的向量空間，使得加法與純量乘法是連續映射，這是泛函分析的主題；我們可以類似地定義拓撲環、拓撲域等等。

結合拓撲與代數結構，往往可以引出相當豐富而實用的理論，例如微分幾何探究的主齊性空間。在代數數論及代數幾何中，人們也常定義適當的拓撲結構以簡化理論，並得到較簡明的陳述；如數論中的局部域（一種拓撲域），伽羅瓦理論中考慮的Krull拓撲（一種特別的拓撲群），以及定義形式概形所不可少的I-進拓撲（一種拓撲環）等等。

## 擁有序結構的拓撲空間

拓撲空間也可能擁有自然的序結構，例子包括：

- 譜空間（spectral space）上的序結構。
- 特殊化預序：定義$x \leq y \Leftrightarrow \mathrm{cl}(x) \sub \mathrm{cl}(y)$。常見於電腦科學。

## 參考書目

- John L. Kelley, General Topology (GTM 27). Springer-Verlag. ISBN 0387901256.
- James R. Munkres, Topology (second edition). Prentice Hall; ISBN 0131816292.
- 點集拓撲學初步 / 江澤涵著. - 上海: 上海科學技術出版社, 1979年1月。
- 點集拓撲學基礎 / 吳東興著. - 北京: 科學出版社, 1981年3月。
- 點集拓撲學原理 / 鮑姆著;蒲思立譯. - 北京: 人民教育出版社, 1981年6月。
- 一般拓撲學 / 李普舒茨著;陳昌平等譯. - 上海: 華東師大出版社, 1982年1月。
- 一般拓撲學 / 凱萊著;吳叢，吳讓泉譯. - 北京: 科學出版社, 1982年5月。
- 拓撲學引論 / 本特·門德爾森著;陳明蔚譯. - 南寧: 廣西人民出版社, 1983年1月。
- 基礎拓撲學 / 阿姆斯特朗著;孫以豐譯. - 北京: 北京大學出版社, 1983年1月。
- 點集拓撲學 / 方嘉琳編著. - 瀋陽: 遼寧人民出版社, 1983年4月。
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- 拓撲學初步 / 蘇步青著. - 上海: 復旦大學出版社, 1986年4月。
- 拓撲學基礎教程 / 曼克勒斯著;羅嵩齡等譯. - 北京: 科學出版社, 1987年8月。
- 基礎拓撲學 / 何伯和，廖公夫著. - 北京: 高等教育出版社, 1991年1月。
- 一般拓撲學專題選講 / 蔣繼光著. - 成都: 四川教育出版社, 1991年3月。
- 拓撲學導論 / 鮑里索維奇等著;盛立人等譯. - 北京: 高等教育出版社, 1992年9月。
- 基礎拓撲學講義 / 尤承業編著. - 北京: 北京大學出版社, 1997年. ISBN 7-301-03103-3.