卜瓦松分布

$$k \in \{0, 1, 2, 3, \cdots\}$$

$$\frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$$

$\frac{\Gamma(\lfloor k+1\rfloor, \lambda)}{\lfloor k\rfloor !}$，或$e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{\lfloor k\rfloor} \frac{\lambda^i}{i!}\ $，或$Q(\lfloor k+1\rfloor,\lambda)$ (對於$k\ge 0$，其中$\Gamma(x, y)$是不完全Γ函數，$\lfloor k\rfloor$是高斯符號，Q是規則化Γ函數)

$$\lambda$$

$$\approx\lfloor\lambda+1/3-0.02/\lambda\rfloor$$

$$\lambda$$

$$\lambda^{-1/2}$$

$$\lambda^{-1}$$

$$\lambda[1 - \log(\lambda)] + e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\log(k!)}{k!}$$ （假設$\lambda$較大）

$\frac{1}{2}\log(2 \pi e \lambda) - \frac{1}{12 \lambda} - \frac{1}{24 \lambda^2} -$ $\qquad \frac{19}{360 \lambda^3} + O\left(\frac{1}{\lambda^4}\right)$

$$\exp(\lambda(z - 1))$$

$$\exp(\lambda (e^{t} - 1))$$

$$\exp(\lambda (e^{it} - 1))$$

泊松分布（loi de Poisson；Poisson distribution）又稱Poisson分布、泊松分布、布瓦松分布、布阿松分布、普阿松分布、波以松分布、卜氏分布、帕松小數法則（Poisson law of small numbers），是一種統計與機率學裡常見到的離散機率分布，由法國數學家西莫恩·德尼·泊松在1838年時發表。

泊松分布適合於描述單位時間內隨機事件發生的次數的機率分布。如某一服務設施在一定時間內受到的服務請求的次數，電話交換機接到呼叫的次數、汽車站台的候客人數、機器出現的故障數、自然災害發生的次數、DNA序列的變異數、放射性原子核的衰變數、雷射的光子數分布等等。（單位時間內發生的次數，可以看作事件發生的頻率，類似物理的頻率$f$）。

泊松分布的機率質量函數為：

$$P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$$

泊松分布的參數$\lambda$是隨機事件發生次數的數學期望值。

## 記號

若$X$服從參數為$\lambda$的泊松分布，記為$X \sim \pi(\lambda)$，或記為$X \sim \text{Poisson}(\lambda)$.

## 假設

如果以下假設成立，則適用泊松分布：

- k是一個非負整數，是某個事件在某個時間間隔內發生的次數。
- 一個事件的發生不會影響第二個事件的機率。
- 事件發生的平均速率與任何事件的發生無關。
- 兩個事件不可能在同一時刻發生。

如果這些條件成立，則k是泊松隨機變量；k的分布是泊松分布。

## 性質

- 服從泊松分布的隨機變量，其數學期望與方差相等，同為參數$\lambda$ : $E(X) = V(X)= \lambda$
- 兩個獨立且服從泊松分布的隨機變量，其和仍然服從泊松分布。更精確地說，若 $X \sim \text{Poisson}(\lambda_1)$且 $Y \sim \text{Poisson}(\lambda_2)$，則$X+Y \sim \text{Poisson}(\lambda_1+\lambda_2)$。反過來若兩個獨立隨機變量的和服從卜瓦松分布，則這兩個隨機變量經平移後皆服從卜瓦松分布（Raikov定理）。

$$M_X(t)=E[e^{tX}]=\sum_{x=0}^\infty e^{tx}\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}=e^{-\lambda}\sum_{x=0}^\infty\frac{({e^t}\lambda)^x}{x!}=e^{{\lambda}(e^t-1)}$$

## 推導

期望值：(倒數第三至第二是使用泰勒展開式)

$$\begin{align} \Epsilon(X) & =\sum_{i=0}^\infty \displaystyle i P(X = i) \\ & = \sum_{i=1}^\infty \displaystyle i {e^{-\lambda} \lambda^i \over i!} \\ & = \lambda e^{-\lambda} \sum_{i=1}^\infty \displaystyle {\lambda^{i-1} \over (i-1)!} \\ & = \lambda e^{-\lambda} \sum_{i=0}^\infty \displaystyle {\lambda^i \over i!} \\ & = \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda} \\ & = \lambda \end{align}$$

$$\begin{align} \Epsilon(X^2) & =\sum_{i=0}^\infty \displaystyle i^2 P(X = i) \\ & = \sum_{i=1}^\infty \displaystyle i^2 {e^{-\lambda} \lambda^i \over i!}\\ & = \lambda e^{-\lambda} \sum_{i=1}^\infty \displaystyle {i \lambda^{i-1} \over (i-1)!}\\ & = \lambda e^{-\lambda} \sum_{i=1}^\infty \displaystyle {1 \over (i-1)!} {d \over d \lambda}(\lambda ^ i)\\ & = \lambda e^ {- \lambda}{d \over d \lambda}\left[\sum_{i=1}^\infty \displaystyle {\lambda^i \over (i-1)!}\right]\\ & = \lambda e^ {- \lambda}{d \over d \lambda}\left[\lambda \sum_{i=1}^\infty \displaystyle {\lambda^{i-1} \over (i-1)!}\right]\\ & = \lambda e^ {- \lambda}{d \over d \lambda} (\lambda e^{\lambda}) = \lambda e^ {- \lambda} (e^ {\lambda} + \lambda e ^{\lambda}) = \lambda + \lambda^2 \end{align}$$

我們可以得到：$Var(X) = (\lambda + \lambda ^2) - \lambda ^2 = \lambda$

如同性質：$E(X) = Var(X) = \lambda$、$\sigma_X = \sqrt{\lambda}$

相互獨立的卜瓦松分佈隨機變數之和仍服從卜瓦松分佈：

$$X\sim \text{Poisson}(\lambda_1), Y\sim \text{Poisson}(\lambda_2).$$

$$P(X=k_1)=\dfrac{\lambda_1^{k_1}e^{-\lambda_1}}{k_1!}, P(Y=k_2)=\dfrac{\lambda_2^{k_2}e^{-\lambda_2}}{k_2!}.$$

$$\begin{align} P(X+Y=k) & = \sum_{i=0}^k P(X=i)P(Y=k-i) \\ & = \sum_{i=0}^k \frac{\lambda_1^i \lambda_2^{k-i}e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}}{i! (k-i)!}\\ & = \frac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}}{k!} \sum_{i=0}^k C_k^i \lambda_1^i \lambda_2^{k-i}\\ & = \frac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}(\lambda_1+\lambda_2)^k}{k!} \end{align}$$

$$X+Y\sim \text{Poisson}(\lambda_1+\lambda_2)$$

## 泊松分布的來源（泊松小數定律）

在二項分布的伯努利試驗中，如果試驗次數$n$很大，二項分布的機率$p$很小，且乘積$\lambda= np$比較適中，則事件出現的次數的機率可以用泊松分布來逼近。事實上，二項分布可以看作泊松分布在離散時間上的對應物。

證明如下。首先，回顧自然對數$e$的定義：

$$\lim_{n\to\infty}\left(1-{\lambda \over n}\right)^n=e^{-\lambda},$$

二項分布的定義：

$P(X=k)={n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}$。

如果令$p = \frac{\lambda}{n}$， $n$趨於無窮時$P$的極限：

$$\begin{align} \lim_{n\to\infty} P(X=k)&=\lim_{n\to\infty}{n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} \\ <pre> &=\lim_{n\to\infty}{n! \over (n-k)!k!} \left({\lambda \over n}\right)^k \left(1-{\lambda\over n}\right)^{n-k}\\ </pre> &=\lim_{n\to\infty} \underbrace{\left[\frac{n!}{n^k\left(n-k\right)!}\right]}_F \left(\frac{\lambda^k}{k!}\right) \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n}_{\to\exp\left(-\lambda\right)} \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}}_{\to 1} \\ &= \lim_{n\to\infty} \underbrace{\left[ \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \ldots \left(1-\frac{k-1}{n}\right) \right]}_{\to 1} \left(\frac{\lambda^k}{k!}\right) \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n}_{\to\exp\left(-\lambda\right)} \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}}_{\to 1} \\ &= \left(\frac{\lambda^k}{k!}\right)\exp\left(-\lambda\right) \end{align}$$

## 最大似然估計（MLE）

給定$n$個樣本值$k_i$，希望得到從中推測出總體的泊松分布參數$\lambda$的估計。為計算最大似然估計值，列出對數似然函數：

$$\begin{align} L(\lambda) & = \ln \prod_{i=1}^n f(k_i \mid \lambda) \\ & = \sum_{i=1}^n \ln\!\left(\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k_i}}{k_i!}\right) \\ & = -n\lambda + \left(\sum_{i=1}^n k_i\right) \ln(\lambda) - \sum_{i=1}^n \ln(k_i!). \end{align}$$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda} L(\lambda) = 0 \iff -n + \left(\sum_{i=1}^n k_i\right) \frac{1}{\lambda} = 0. \!$$

解得λ從而得到一個駐點（stationary point）：

$$\widehat{\lambda}_\mathrm{MLE}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n k_i. \!$$

檢查函數$L$的二階導數，發現對所有的$\lambda$與$k_i$大於零的情況二階導數都為負。因此求得的駐點是對數似然函數$L$的極大值點：

$$\frac{\partial^2 L}{\partial \lambda^2} = \sum_{i=1}^n -\lambda^{-2} k_i$$

## 例子

對某公共汽車站的客流做調查，統計了某天上午10:30到11:47來到候車的乘客情況。假定來到候車的乘客各批（每批可以是1人也可以是多人）是互相獨立發生的。觀察每20秒區間來到候車的乘客批次，共觀察77分鐘*3=231次，共得到230個觀察記錄。其中來到0批、1批、2批、3批、4批及4批以上的觀察記錄分別是100次、81次、34次、9次、6次。使用極大似真估計（MLE），得到$\lambda$的估計為$\frac{81\times 1+34\times 2+9\times 3+6\times 4}{230}\approx 0.87$。

## 生成泊松分布的隨機變量

一個用來生成隨機泊松分布的數字（偽隨機數抽樣）的簡單演算法，已經由高德納給出（見下文參考）：

```
'''algorithm''' ''poisson random number (Knuth)'':
    '''init''':
         '''Let''' L ← ''e''<sup>−λ</sup>, k ← 0 and p ← 1.
    '''do''':
         k ← k + 1.
         Generate uniform random number u in [0,1] and '''let''' p ← p×u.
    '''while''' p > L.
    '''return''' k − 1.
```

儘管簡單，但複雜度是線性的，在返回的值$k$，平均是$\lambda$。還有許多其他演算法來克服這一點。有些人由Ahrens和Dieter給出，請參閱下面的參考資料。同樣，對於較大的$\lambda$值，$e^{-\lambda}$可能導致數值穩定性問題。對於較大$\lambda$值的一種解決方案是拒絕採樣，另一種是採用泊松分布的高斯近似。

對於很小的$\lambda$值，逆變換取樣簡單而且高效，每個樣本只需要一個均勻隨機數u。直到有超過$u$的樣本，才需要檢查累積機率。

```
'''algorithm''' ''Poisson generator based upon the inversion by sequential search'':<ref>Luc Devroye, ''Non-Uniform Random Variate Generation''（Springer-Verlag, New York, 1986）, chapter 10, page 505 http://luc.devroye.org/rnbookindex.html </ref>
    '''init''':
         '''Let''' x ← 0, p ← ''e''<sup>−λ</sup>, s ← p.
         Generate uniform random number u in [0,1].
    '''do''':
         x ← x + 1.
         p ← p * λ / x.
         s ← s + p.
    '''while''' u > s.
    '''return''' x.
```