指數函數

指數函數（exponential function）是形式為$b^x$的數學函數，其中$b$是底數（或稱基數，base），而$x$是指數（index / exponent）。

現今指數函數通常特指以$\mbox{e}$為底數的指數函數（即$\mbox{e}^x$），為數學中重要的函數，也可寫作$\exp(x)$。這裡的$\mbox{e}$是數學常數，也就是自然對數函數的底數，近似值為$2.718281828$，又稱為歐拉數。

作為實數變量$x$的函數，$y=\mbox{e}^x$的圖像總是正的（在$x$軸之上）並遞增（從左向右看），它不觸及$x$軸，儘管它可以任意程度的靠近它，即$x$軸是這個圖像的水平漸近線。一般的說，變量$x$可以是任何實數或複數，甚至是完全不同種類的數學對象。它的反函數是定義在所有正數$x$上的自然對數$\ln{x}$。

本文集中於帶有底數為歐拉數$\mbox{e}$的指數函數。有時，特別是在科學中，術語指數函數更一般性的用於形如$kb^x$的函數，這裡的$b$稱為底數，是不等於$1$的任何正實數。

## 概要

最簡單的說，指數函數按恆定速率翻倍。例如細菌培養時細菌總數（近似的）每三個小時翻倍，和汽車的價值每年減少10%都可以被表示為一個指數。特別是複利，事實上就是它導致了雅各布·伯努利在1683年介入了現在叫做$e$的數：

$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$$

後來約翰·伯努利在1697年研究了指數函數的微積分。

設1份借貸有$x$年利率，逐月複利的話，則每月增加當前值的$\frac{x}{12}$倍，每月總值都要乘以$(1+\frac{x}{12})$，一年的總值為$(1+\frac{x}{12})^{12}$，逐日複利的話，就是$(1+\frac{x}{365})^{365}$。設年中時段數可為無限，則有如下最初由歐拉提出的指數函數定義：

$$\exp(x) = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}$$

指數函數有基本的指數恆等式。

$$\exp(x + y) = \exp(x) \cdot \exp(y)$$

這是它寫為$e^x$的原因

$\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n} = \lim_{n \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{\frac{n}{x}}\right)^{\frac{n}{x}}\right)^x = \lim_{n\to\infty}\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}\right)^x$。

在雅各布·伯努利之前，約翰·納皮爾在1614年以及約斯特·比爾吉在6年後，分別發表了獨立編制的對數表，當時通過對接近1的底數的大量乘冪運算，來找到指定範圍和精度的對數和所對應的真數，當時還沒出現有理數冪的概念，直到1742年威廉·瓊斯才發表了現在的冪指數概念

$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^x=\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right)^{\frac {x}{n}}$。按後世的觀點，約翰·納皮爾的底數0.999999910000000相當接近$\frac{1}{e}$，而約斯特·比爾吉的底數1.000110000相當接近自然對數的底數$e$。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，約翰·納皮爾用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，亨利·布里格斯建議納皮爾改用10為底數未果，他用自己的方法

$10^{\frac{1}{2^{54}}}$

於1624年部份完成了常用對數表的編制。

## 形式定義

指數函數$e^x$可以用各種等價的方式定義。特別是它可以定義為冪級數：

$$e^x = \sum_{n = 0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots,$$ 其中$n!$表示$n$的階乘，或序列的極限：

$$e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n.$$ 在這些定義中，$x$可以是任何實數、複數和巴拿赫代數的元素。

給定非負實數$x$。定義$$t_n=\left(1+\frac{x}{n}\right)^n,\ s_n = \sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}.$$ 根據二項式定理。

$$\begin{align} t_n &= \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} \frac{x^k}{n^k} = \sum_{k = 0}^n \frac{n!}{k!(n - k)!} \frac{x^k}{n^k} \\[8pt] &= 1 + x + \frac{x^2(n - 1)}{2! \cdot n} + \sum_{k = 3}^n \frac{x^k}{k!} \frac{n(n - 1) \cdots [n - (k - 1)]}{n^k} \\[8pt] &= 1 + x + \frac{x^2}{2!}\left(1 - \frac{1}{n}\right) + \cdots + \frac{x^n}{n!}\left(1 - \frac{1}{n}\right)\left(1 - \frac{2}{n}\right) \cdots \left(1 - \frac{n - 1}{n}\right) \\ &\le s_n. \end{align}$$

因此 $\limsup_{n\to\infty}t_n \le \limsup_{n\to\infty}s_n$。

可證明當$n$趨於無限大時上述二定義等價。這些定義的進一步解釋和它們的等價性的證明，參見文章指數函數的特徵描述。

## 性質

從指數函數的定義：

$$e^x = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}$$

可得出它有冪運算的「指數定律」：

$$\!\, e^0 = 1$$

$$\!\, e^1 = e$$

$$\!\, e^{x + y} = e^x e^y$$

$$\!\, e^{x y} = \left( e^x \right)^y$$

$$\!\, e^{-x} = {1 \over e^x}$$

它們對所有實數$x$與$y$都是有效的。

因為在指數函數的定義中$x$是實數，可以使用自然對數，把更一般的指數函數，即正實數的實數冪函數定義為

$$\!\, b^x=(e^{\ln b})^x=e^{x \ln b}.$$

定義於所有的$b>0$，和所有的實數$x$。它叫做「底數為$b$的指數函數」。從而拓展了通過乘方和方根運算定義的正實數的有理數冪函數：

$$b^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{b^m}.$$

而方根運算可通過自然對數和指數函數來表示（單位根）

$$\sqrt[n]{x} = x^\frac{1}{n} = e^{\frac {\ln x}{n}}.$$

介入數$e$的根本動機，特別是在微積分中，是通過指數函數和對數來進行導數和積分運算。一般指數函數$y=b^x$有極限形式的導數:

$$\frac{d}{dx}b^x=\lim_{h\to 0}\frac{b^{x+h}-b^x}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{b^{x}b^{h}-b^x}{h}=b^x\left(\lim_{h\to 0}\frac{b^h-1}{h}\right).$$

最右端的極限無關於變量$x$：它依賴於底數$b$而是常量

$\begin{align} \lim_{h\to 0}\left(b^h-1\right)\frac{1}{h} &= \lim_{\frac {1}{n}\to 0} \left( b^{\frac{1}{n}}-1 \right) n \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} n(b^{1/n} - 1) \\ &= \ln(b). \\ \end{align}$。根據求導的鏈式法則：

$$\frac{d}{dx} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n-1}.$$

當這個底數是$e$時，這個常量等於1

$\frac{d}{dx} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = \frac {n}{n+x} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}.$

因此有:

$$\frac{d}{dx}e^x = e^x.$$

## 導數和微分方程

指數函數在數學和科學中的重要性主要源於它的導函數的性質。特別是

$${d \over dx} e^x = e^x$$

就是說，$e^x$是它自己的導函數。這可以用泰勒級數證明：

$$\begin{align} \frac{d}{dx}e^x & = \frac{d}{dx} \left(1+\sum_{n=1}^\infty \frac {x^n}{n!} \right) = \sum_{n=1}^\infty \frac {nx^{n-1}}{n!} =\sum_{n=1}^\infty \frac {x^{n-1}}{(n-1)!} \\[6pt] & =\sum_{k=0}^\infty \frac {x^k}{k!}, \text{ where } k=n-1 \\[6pt] & =e^x \end{align}$$

對於常數$K$的形如$Ke^x$的函數是唯一有這個性質的函數（這得出自皮卡-林德洛夫定理

$y(t) = e^t, y(0)=K$

$f(t,y(t)) = y(t)$

）。其他等價說法有：

- 函數的圖像的在任何一點上的斜率是這個函數在這一點上的高度。
- 函數在$x$的增長速率等於在這個函數在$x$上的值。
- 這個函數是微分方程$y'=y$的解。
- exp是泛函導數的不動點。

事實上，很多不同的方程引發指數函數，包括薛丁格方程和拉普拉斯方程和簡單諧波運動的方程。

對於有其他底數的指數函數：

$${d \over dx} b^x = (\ln b) b^x$$

所以任何指數函數都是它自己導數的常數倍。

如果一個變量的增長或衰減速率是與它的大小成比例的，比如生物學中的人口增長模型、金融中的複利計算和物理學的放射性衰變，則這個變量可以寫為常數倍的時間的指數函數。

進一步的，對任何可微函數$f(x)$，我們可以通過鏈式法則找到：

${d \over dx} e^{f(x)} = f'(x)e^{f(x)}$.

## ex的連分數

通過歐拉連分數公式得到$e^x$的連分數：

$$<pre> e^x = 1 + \cfrac{x}{1 - \cfrac{x}{x + 2 - \cfrac{2x}{x + 3 - \cfrac{3x}{x + 4 - \ddots}}}} </pre>$$

$e^z$的廣義連分數收斂更快速:

$$<pre> e^z = 1 + \cfrac{2z}{2 - z + \cfrac{z^2}{6 + \cfrac{z^2}{10 + \cfrac{z^2}{14 + \ddots}}}} </pre>$$

或者，替換$z=\frac{x}{y}$:

$$<pre> e^\frac{x}{y} = 1 + \cfrac{2x}{2y - x + \cfrac{x^2} {6y + \cfrac{x^2} {10y + \cfrac{x^2} {14y + \ddots}}}} </pre>$$

有特殊情況$z=2$:

$$<pre> e^2 = 1 + \cfrac{4}{0 + \cfrac{2^2}{6 + \cfrac{2^2}{10 + \cfrac{2^2}{14 + \ddots\,}}}} = 7 + \cfrac{2}{5 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{9 + \cfrac{1}{11 + \ddots\,}}}} </pre>$$

## 在複平面上

如同在實數情況下，在複平面的指數函數可以用多種等價方式定義。比如冪級數形式的:

$$e^z = \sum_{n = 0}^\infty\frac{z^n}{n!}$$

或者序列的極限：

$$e^z = \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^n$$

它帶有虛數周期$2 \pi i$

$e^{i\pi} = \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{\pi}{n}i\right)^n$

$\left(1+\frac{\pi}{n}i\right)^n$

$e^{i \pi} +1 = 0.\,\!$

它可以寫為

$$\!\, e^{a + bi} = e^a (\cos b + i \sin b)$$

這裡的$a$和$b$是實數值。參見歐拉公式，這個公式把指數函數和三角函數與指數函數聯繫起來。

在考慮定義在複平面上的函數的時候，指數函數擁有重要的性質

- $$\!\, e^{z + w} = e^z e^w$$
- $$\!\, e^0 = 1$$
- $$\!\, e^z \ne 0$$
- $$\!\, {d \over dz} e^z = e^z$$
- $$\,(e^z)^n = e^{nz}, n \in \mathbb{Z}$$

對於所有的$z$和$w$。

它是周期的全純函數。我們看到除了多項式的所有初等函數都以某種方式起源於指數函數。

擴展自然對數到復平面上的多值函數$\ln z$，我們可以接著定義更一般性的指數函數：

$$\!\, z^w = e^{w \ln z}$$

對於所有複數$z$和$w$，這也是多值函數，即使是在$z$為實數的情況下。前面關於正實數情況下的指數乘積規則在多值函數情況下必須改為:

$(e^z)^w \ne e^{z w}$，而是 $(e^z)^w = e^{(z + 2\pi i n) w}\,$ 多值於整數n 之上。

指數函數把在複平面上任何直線映射到在複平面中以原點為中心的對數螺線。要注意兩個特殊情況：當最初的線平行於實軸的時候，結果的螺線永不遮蓋（close in on）自身；當最初的線平行於虛軸的時候，結果的螺線是某個半徑的圓。

## 矩陣和巴拿赫代數

上面給出的指數函數的定義可以用於所有巴拿赫代數，特別是對於方塊矩陣（在這種情況函數叫做矩陣指數）。在這種情況下我們有

$$\ e^{x + y} = e^x e^y \mbox{ if } xy = yx$$

$$\ e^0 = 1$$

$\ e^x$與$\ e^{-x}$是互倒的

$\ e^x$在點$\ x$的導數是從$\ u$到$\ ue^x$的線性映射。

在非交換巴拿赫代數的上下文中，比如矩陣代數或在巴拿赫空間或希爾伯特空間上的算子，指數函數經常被認做實數參數的函數：

$$\ f(t) = e^{t A}$$

這裡的A是這個代數的固定元素而t是任何實數。這個函數有重要的性質

$$\ f(s + t) = f(s) f(t)$$

$$\ f(0) = 1$$

$$\ f'(t) = A f(t)$$

## 在李代數上

從李代數到李群的「指數映射」有著上述性質。事實上因為R是帶有乘法的所有正實數的李群的李代數，實數參數的常規指數函數是李代數下的特殊情況。類似的，因為所有方塊實數矩陣的李代數M (n, R)屬於所有正可逆方塊矩陣的李群，方塊矩陣的指數函數是李代數指數映射的特殊情況。

## 外部連結

- Complex Exponential Function Module by John H. Mathews
- Taylor Series Expansions of Exponential Functions at efunda.com
- Complex exponential interactive graphic