曲率

在數學中，曲率（curvature）即「彎曲度」，是描述幾何體彎曲程度的量；直觀地說，曲率是曲線偏離直線的量（程度），或是曲面偏離平面的量（程度）。

在不同的幾何學領域中，曲率的具體定義不完全相同。曲率可分為外在曲率和內蘊曲率，二者有重要的區別。前者的定義需要把幾何體嵌入到歐氏空間中，後者則是直接定義在黎曼流形上。

曲線的曲率通常是標量，但也可以定義曲率向量。對於更複雜的對象，曲率要用更複雜的線性代數來描述，例如一般的黎曼曲率張量。

## 平面曲線的曲率

曲率有多種等價的定義

- 圓上每一點處的彎曲程度都相同，半徑越小彎曲得越厲害，所以可以用半徑的倒數來定量描述圓的彎曲程度。直線可以看作半徑無限大的圓，所以直線的曲率為0。對於任意形狀的曲線，每一點處的彎曲程度一般是不同的。對曲線$C$上任一點$P$，在其附近再找$C$上的兩個點$P_1,P_2$，這三點總能確定一個圓（三點共線時確定一條直線，但可以把直線看作半徑無限大的廣義的圓）。當$P_1,P_2$無限接近於點$P$時，相應的圓也有一個極限，這個極限圓就是在點$P$處最接近曲線$C$的圓，稱為密切圓。密切圓的曲率就是曲線$C$在點$P$處的曲率。
- 柯西這樣定義密切圓和曲率：對曲線$C$上任一點$P$，在其附近再找$C$上的兩個點$P_1,P_2$，分別過$P_1,P_2$作出曲線$C$的法線，兩條法線會有一個交點。當$P_1,P_2$無限接近於點$P$時，相應的交點有一個極限，以這個極限點為圓心，過點$P$作圓，就是曲線$C$在點$P$處的密切圓，密切圓的半徑的倒數就是曲率。
- 當曲線上一點沿著曲線以單位速率運動時，過這一點處的切線的方向在轉動。曲線彎曲程度越高，切線旋轉得越快。設曲線$C$的參數方程為$\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)$，其中s是弧長參數。則$\boldsymbol{\alpha}(s)=\dot{\boldsymbol{r}}(s)$是單位切向量。設切向量$\boldsymbol{\alpha}(s)$與$\boldsymbol{\alpha}(s+\Delta s)$的夾角為$\Delta \theta$，則曲率$\kappa=|\dot{\boldsymbol{\alpha}}(s)|=\lim_{\Delta s\to 0}{\left|\frac{\Delta\theta}{\Delta s}\right|}.$

### 局部表達式

對於一個以參數化形式給出的平面曲線由此可知，反函數的曲率與原函數相同（具有對稱性）。$c(t) = (x(t),y(t))\,$，其曲率為

$$\kappa= \frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{(x'^2(t)+y'^2(t))^{3/2}}.$$

### 函數圖像的曲率

若曲線 $y = f(x)\,$，其曲率為

$$\kappa= \frac{|f''(x)|}{(1+f'^2(x))^{3/2}}.$$

對於極坐標方程給出的曲線 $r=r(\theta)$，其曲率為

$$\kappa(\theta)=\frac{|r^2+2r'^2-rr''|}{(r^2+r'^2)^{3/2}}.$$

### 隱式方程曲線

對於隱式給出的平面曲線 $F(x,y)=0\,$，其曲率為

$$\kappa = \frac{1}{(F_x^2+F_y^2)^{3/2}}\begin{vmatrix} F_{xx} & F_{xy} & F_x \\ F_{yx} & F_{yy} & F_y \\ F_x & F_y & 0\end{vmatrix}=\frac{-F_y^2F_{xx}+2F_xF_yF_{xy}-F_x^2F_{yy}}{(F_x^2+F_y^2)^{3/2}}.$$

最後的公式也給出了在歐幾里得空間中的超曲面的平均曲率（可以差一個常數）。

### 範例

考慮拋物線 $x^2=2py$。代入公式直接計算

$$\kappa(x)=\frac{p^2}{(p^2+x^2)^{3/2}}.$$

在原點處取得最大曲率，相應的曲率半徑就等於准焦距 $p$。

頻率比為 $3:2$ 的利薩如曲線 $\gamma(t)=(\cos{3t},\sin{2t})$，其曲率為

$$k(t)=\frac{6\cos{t}(8\cos^4{t}-10\cos^2{t}+5)}{(232\cos^4{t}-97\cos^2{t}+13-144\cos^6{t})^{3/2}}.$$

## 空間曲線的曲率

### 局部表達式

對於一個以參數化形式給出的空間曲線$\boldsymbol{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))\,$其曲率為

$$\kappa=\frac{|\boldsymbol{r}'\times\boldsymbol{r}''|}{|\boldsymbol{r}'|^3}=\frac{\sqrt{(z''y'-y''z')^2+(x''z'-z''x')^2+(y''x'-x''y')^2}}{(x'^2+y'^2+z'^2)^{3/2}}$$

$$\kappa=\frac{\sqrt{\det{(\boldsymbol{r}',\boldsymbol{r}'')^T(\boldsymbol{r}',\boldsymbol{r}'')}}}{|\boldsymbol{r}'|^3}=\frac{\sqrt{|\boldsymbol{r}'|^2|\boldsymbol{r}''|^2-(\boldsymbol{r}'\cdot\boldsymbol{r}'')^2}}{|\boldsymbol{r}'|^3}$$

### 用弧長和弦長計算曲率

給定曲線$C$上的兩點$P,Q$ $P,Q$兩點之間的弧長為$s$，弦長為$d$。則曲線$C$在點$P$處的曲率

$$\kappa=\lim_{Q\to P}{\sqrt{\frac{24(s-d)}{s^3}}}$$

分子中的$s^3$也可以替換為$d^3$。這個公式對任意維空間中的曲線都成立。

## 曲面上曲線的曲率

當曲線位於三維空間中的二維曲面上時，可以定義法曲率、測地曲率和測地撓率。設曲面上的曲線在某一點處的切向量為$\boldsymbol{\tau}$，曲面在這一點處的法向量為$\boldsymbol{n}$。則曲線的法曲率就是曲線在$\boldsymbol{\tau}$和$\boldsymbol{n}$張成的平面上的投影曲線的曲率；測地曲率就是曲線在曲面的切平面上的投影的曲率。

## 三維空間中的曲面曲率

對於嵌入在歐幾里得空間$\textbf{R}^3$中的二維曲面，有兩種曲率存在：高斯曲率和平均曲率。為計算在曲面給定點的曲率，考慮曲面和由在該點的法向量和某一切向量所確定的平面的交集。這個交集是一個平面曲線，所以有一個曲率；如果選擇其它切向量，這個曲率會改變，並且有兩個極值-最大和最小曲率，稱為主曲率$k_1$和$k_2$，極值方向稱為主方向。這裡我們採用在曲線向和曲面選定法向的相同方向繞轉的時候把曲率置為正數，否則為負的約定。

### 高斯曲率

曲線沒有內蘊的曲率，只有外在的曲率（即只有把曲線嵌入到具體的空間中才能定義曲率）。相比之下，曲面可以有不依賴於嵌入的內蘊曲率。高斯曲率，以高斯命名，等於主曲率的乘積$k_1k_2$。它的量綱為長度−2，對於球面、橢球、雙葉雙曲面的一葉、橢圓拋物面為正，對於偽球面、單葉雙曲面、雙曲拋物面為負，對平面、圓柱面為0。它決定了曲面是局部凸（正的時候）還是局部鞍形（負的時候）。

上面給出的高斯曲率的定義是外在的，因為它用了曲面在$\textbf{R}^3$中的嵌入，法向量，外部平面等等。但是高斯曲率實際上是曲面的內在屬性，也就是它不依賴於曲面的特定嵌入；直觀的講，這意味著活在曲面上的螞蟻可以確定高斯曲率。例如，生活在球面上的螞蟻能夠測量三角形的內角和，發現它大於180度，表明這個曲面是正曲率的。而生活在圓柱面上的螞蟻則不會發現對歐氏幾何的任何背離。

形式地說，高斯曲率只依賴於曲面的黎曼度量。這就是高斯著名的絕妙定理，在他研究地理測繪和地圖製作時發現。

高斯曲率在一點$P$的內在定義的一種：想像把一隻螞蟻綁在一條長為$r$的短線一端，線的另一端綁在$P$。這隻螞蟻在線拉直的時候繞$P$點跑並測量繞$P$點的一圈的周長$C(r)$。如果曲面是平的，則有$C(r) = 2 \pi r$。在彎曲的曲面上，$C(r)$的公式不同，$P$點的高斯曲率$K$可以這樣計算：

$$K = \lim_{r \to 0^+}{(2\pi r - C(r)) \cdot \frac{3}{\pi r^3}}.$$

高斯曲率在整個曲面上的積分和曲面的歐拉示性數有密切關聯；參見高斯-博內定理。

### 平均曲率

平均曲率等於主曲率的算術平均數$\frac{k_1 + k_2}{2}$。量綱為長度−1。平均曲率和曲面面積的第一變分密切相關。特別的，像肥皂膜這樣的極小曲面平均曲率為0，而肥皂泡平均曲率為常數。不像高斯曲率，平均曲率依賴於嵌入，例如，圓柱和平面是局部等距的，但是平面的平均曲率為0，而圓柱的非零。

### 第二基本形式

曲面的外在曲率與內在曲率可以在第二基本形式中結合起來。用符號來表示

$$\mathrm{II}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x})=\boldsymbol{n}\cdot\nabla_\boldsymbol{x} \boldsymbol{x}$$

其中$\boldsymbol{n}$是曲面的單位法向量。對單位切向量$\boldsymbol{x}$，第二基本形式分別在主方向$\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2$處取得最大值$k_1$與最小值$k_2$。因此第二基本形式也可表示為

$$\mathrm{II}=k_1(\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{u}_1)^2+k_2(\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{u}_2)^2$$

### 形狀算子

形狀算子是與曲率相關的一個概念，是切空間到自身的線性算子。主曲率是形狀算子的特徵值，事實上形狀算子與第二基本形式關於切平面的一對正交基的矩陣表示相同。於是高斯曲率等於形狀算子的行列式，而平均曲率等於形狀算子的跡的一半。

## 空間的曲率

上文提到曲線沒有內蘊曲率，而曲面則可以。更一般地，三維以上的空間都可以有內蘊曲率。曲率的內蘊定義與非歐幾何緊密相關，許多數學家與科學家懷疑實際的物理空間可能也是彎曲的。在描述引力和宇宙學的廣義相對論中，這個想法推廣為「時空的彎曲」；在相對論中時空是偽黎曼流形。

儘管任意彎曲的空間的描述是很複雜的，局部各向同性和齊性的空間可以只用高斯曲率來描述，就像曲面那樣；從數學上來說這些是很強的條件，但從物理上來說是合理的假設。正曲率對應曲率半徑的倒數平方，例如球面或超球面。雙曲幾何是負曲率的彎曲空間的例子。零曲率的空間或時空稱為平坦的。例如，歐氏空間是平坦的空間，而閔可夫斯基空間是平坦的時空。可以給環面和圓柱面賦予平坦的度量，但它們的拓撲是不同的。

## 另見

- 曲率形式 包含對於有聯絡的向量叢和主叢的曲率的正確描述。
- 黎曼流形曲率 有高斯曲率在高維黎曼流形上的推廣。
- 曲率向量和測地曲率 黎曼曲面上的曲線的曲率的描述。
- 高斯-博內定理有曲率的基本應用
- 高斯映射有高斯曲率的更多幾何屬性。
- 曲面上一點處的平均曲率
- 最小曲線半徑
- 曲率半徑
- 超曲面的第二基本形式
- 曲線的撓率