貝爾曼-福特演算法

$$O \left (|V| |E|\right )$$

$$O (|V|)$$

貝爾曼-福特演算法（Bellman–Ford algorithm），求解單源最短路徑問題的一種演算法，由理察·貝爾曼和小萊斯特·倫道夫·福特創立。有時候這種演算法也被稱為貝爾曼-福特-摩爾演算法（Bellman–Ford–Moore algorithm），因為愛德華·F·摩爾也為這個演算法的發展做出了貢獻。它的原理是對圖進行$|V|-1$次鬆弛操作，得到所有可能的最短路徑。其優於戴克斯特拉演算法的方面是邊的權值可以為負數、實現簡單，缺點是時間複雜度過高，高達$O (|V| |E|)$。但演算法可以進行若干種優化，提高了效率。

## 演算法

貝爾曼-福特演算法與戴克斯特拉演演算法類似，都以鬆弛操作為基礎，即估計的最短路徑值漸漸地被更加準確的值替代，直至得到最優解。在兩個演算法中，計算時每個邊之間的估計距離值都比真實值大，並且被新找到路徑的最小長度替代。然而，戴克斯特拉演演算法以貪心法選取未被處理的具有最小權值的節點，然後對其的出邊進行鬆弛操作；而貝爾曼-福特演算法簡單地對所有邊進行鬆弛操作，共$|V|-1$次，其中$|V|$是圖的點的數量。在重複地計算中，已計算得到正確的距離的邊的數量不斷增加，直到所有邊都計算得到了正確的路徑。這樣的策略使得貝爾曼-福特演算法比戴克斯特拉演演算法適用於更多種類的輸入。

貝爾曼-福特演算法的最多運行$O(|V|\cdot|E|)$（大O符號）次，$|V|$和$|E|$分別是節點和邊的數量）。

### 偽代碼

```
BellmanFord(G, source):

    for each vertex v in G: \\初始化
        dist[v] = infinity
        parent[v] = null

    dist[source] = 0

    for i = 1 to |V| - 1:   \\遍历
        for each edge (u, v) with weight w:
            if dist[u] + w < dist[v]:
                dist[v] = dist[u] + w
                parent[v] = u

    for each edge (u, v) with weight w:
        if dist[u] + w < dist[v]:
            return "存在负权环" \\检查负权环

    return dist, parent
```

## 原理

### 循環

每次循環操作實際上是對相鄰節點的訪問，第$n$次循環操作保證了所有深度為n的路徑最短。由於圖的最短路徑最長不會經過超過$|V|-1$條邊，所以可知貝爾曼-福特演算法所得為最短路徑。

### 負邊權操作

與戴克斯特拉演演算法不同的是，戴克斯特拉演演算法的基本操作「拓展」是在深度上尋路，而「鬆弛」操作則是在廣度上尋路，這就確定了貝爾曼-福特演算法可以對負邊進行操作而不會影響結果。

### 負權環判定

因為負權環可以無限制的降低總花費，所以如果發現第$n$次操作仍可降低花銷，就一定存在負權環。

## 尋找負迴路

當使用這個算法尋找最短路徑時，有負迴路會使演算法找不到正確的答案。但是，由於在找到負迴路後會中止演算法，所以可以被用來尋找目標，例如在網路流分析中的消圈演演算法(Cycle Cancellation Algorithms)

## 優化

### 循環的提前跳出

在實際操作中，貝爾曼-福特算法經常會在未達到$|V| - 1$次前就出解，$|V| - 1$其實是最大值。於是可以在循環中設置判定，在某次循環不再進行鬆弛時，直接退出循環，進行負權環判定。

### 隊列優化

西南交通大學的段凡丁於1994年提出了用隊列來優化的演算法。鬆弛操作必定只會發生在最短路徑前導節點鬆弛成功過的節點上，用一個隊列記錄鬆弛過的節點，可以避免了冗餘計算。原文中提出該演算法的複雜度為$O(k|E|)$，$k$是個比較小的係數，但該結論被證明不適于于所有情況。

Pascal語言示例

```pascal
Begin
  initialize-single-source(G,s);
  initialize-queue(Q);
  enqueue(Q,s);
  while not empty(Q) do
    begin
      u:=dequeue(Q);
      for each v∈adj[u] do
        begin
          tmp:=d[v];
          relax(u,v);
          if (tmp<>d[v]) and (not v in Q) then
            enqueue(Q,v);
        end;
    end;
End;
```

C++語言示例

```c++
int SPFA(int s) {
	std::queue<int> q;
	bool inq[maxn] = {false};
	for(int i = 1; i <= N; i++) dis[i] = 2147483647;
	dis[s] = 0;
	q.push(s); inq[s] = true;
	while(!q.empty()) {
		int x = q.front(); q.pop();
		inq[x] = false;
		for(int i = front[x]; i !=0 ; i = e[i].next) {
			int k = e[i].v;
			if(dis[k] > dis[x] + e[i].w) {
				dis[k] = dis[x] + e[i].w;
				if(!inq[k]) {
					inq[k] = true;
					q.push(k);
				}
			}
		}
	}
	for(int i =  1; i <= N; i++) std::cout << dis[i] << ' ';
	std::cout << std::endl;
	return 0;
}
```

## 樣例

例：

$V=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}, E=\{(v_1,v_2),(v_1,v_3),(v_2,v_4),(v_4,v_3)\}$，$weight(v_1,v_2)=-1,weight(v_1,v_3)=3,weight(v_2,v_4)=3,weight(v_4,v_3)=-1$。

運行如表： $D:\texttt{Dist}[v],P:\texttt{Pred}[v]$

點｜$v_1$｜$v_2$｜$v_3$｜$v_4$

$D/P$｜$D/P$｜$D/P$｜$D/P$

初始化｜$0/\texttt{null}$｜$\infty/\texttt{null}$｜$\infty/\texttt{null}$｜$\infty/\texttt{null}$

循環第一次｜$0/\texttt{null}$｜$-1/v_1$｜$3/v_1$｜$\infty/\texttt{null}$

循環第二次｜$0/\texttt{null}$｜$-1/v_1$｜$3/v_1$｜$2/v_2$

循環第三次｜$0/\texttt{null}$｜$-1/v_1$｜$1/v_4$｜$2/v_2$

## 基本資料

- 車輛類別：最短路徑問題（針對帶權有向圖）
- data：圖
- 時間：$O \left (|V| |E|\right )$
- 容積、佔地面積：$O (|V|)$