三段論

三段論在傳統邏輯中，是在其中一個命題（結論）必然地從另外兩個命題（叫做前提）中得出的一種推論。這個定義是傳統的，可以寬鬆地從亞里斯多德的《前分析》Book I, c. 1中推出來。希臘語「sullogismos」的意思是「演繹」。對傳統意義上的三段論的詳細描述參見直言三段論。

三段論由三個部分組成：大前提、小前提和結論。邏輯上，結論是於小前提之上應用大前提得到的。大前提是一般性的原則，小前提是一個特殊陳述。

在古代，存在兩種相互競爭的三段論理論：亞里斯多德式三段論（直言三段論）與斯多葛式三段論。自中世紀以降，「直言三段論」與「三段論」通常被視為同義。本條目關注的正是這一歷史用法。三段論是歷史上演繹推理的核心——透過組合既有陳述來確定事實，有別於歸納推理（即通過反覆觀察預測事實）。在部分學術語境中，三段論已被一階謂詞邏輯所取代，這主要歸功於戈特洛布·弗雷格的工作，尤其是其1879年的著作《概念文字》。作為一種有效邏輯推理的方法，三段論在大多數情況下仍具有實用價值，並廣泛用於面向普通讀者的邏輯學與清晰思維入門教育。

## 正式定義

在數理邏輯裡，三段論證可以能代表：(若 $\mathcal{A}$、 $\mathcal{B}$、 $\mathcal{C}$ 都為合式公式)

$$\mathcal{A} \Rightarrow \mathcal{B},\, \mathcal{B} \Rightarrow \mathcal{C} \vdash \mathcal{A} \Rightarrow \mathcal{C}$$

也就是一個元定理，事實上是演繹定理的直截結果。

但另一方面，若

$$\mathcal{A},\,\mathcal{B}\vdash\mathcal{C}$$

成立，則也會被稱為以 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 為前提，$\mathcal{C}$ 為結論的三段論證。

## 範例

亞里斯多德給出的經典的「Barbara」三段論：

如果所有人（M）都是必死的（D），（大前提）：$\forall x[M(x)\Rightarrow D(x)]$

並且所有希臘人（G）都是人（M），（小前提）：$\forall x[G(x)\Rightarrow M(x)]$

那麼所有希臘人（G）都是必死的（D）。（結論）：$\forall x[G(x)\Rightarrow D(x)]$

嚴謹地說，這段論證宣稱

$$\forall x[M(x)\Rightarrow D(x)],\,\forall x[G(x)\Rightarrow M(x)]\vdash \forall x[G(x)\Rightarrow D(x)]$$

這個論證會正確，是基於

$$\forall x \mathcal{A}\vdash \mathcal{A}$$

和

$$\mathcal{A} \Rightarrow \mathcal{B},\, \mathcal{B} \Rightarrow \mathcal{C} \vdash \mathcal{A} \Rightarrow \mathcal{C}$$

還有普遍化：（若變數$x$在$\Gamma$裡的所有合式公式中，都不自由）

若 $\Gamma \vdash \mathcal{A}$，那就會有 $\Gamma \vdash \forall x\mathcal{A}$

另一方面，含常數符號(特殊個體)的例子如

所有人（M）都是必死的（D），（大前提）：$\forall x[M(x)\Rightarrow D(x)]$

蘇格拉底（S）是人（M），（小前提）：$M(S)$

蘇格拉底是必死的。（結論）：$D(S)$

上面的例子也可以抽換成

(所有)金屬可以導電，（大前提）

銅是金屬，（小前提）

銅可以導電。（結論）

## 歷史

### 亞里斯多德

亞里斯多德對三段論的定義為：

「一種論述，在其中某些（特定的）事物被假定之後，由於這些事物之所是，某種不同於被假定事物的東西必然地得出。」

儘管這一定義極為寬泛，亞里斯多德在《前分析篇》中仍將自身限定於由三個直言命題構成的直言三段論，包括直言模態三段論。

將三段論作為認知工具加以運用，可追溯至亞里斯多德的邏輯推理討論。在12世紀中葉以前，中世紀邏輯學家僅熟悉亞里斯多德著作的部分內容，包括《範疇篇》和《論詮釋》等，這些著作對當時盛行的「舊邏輯」（logica vetus）貢獻良多。新邏輯（logica nova）的興起，則伴隨著《前分析篇》的重新面世——正是在這部著作中，亞里斯多德建立了他的三段論理論。

《前分析篇》重被發現後，立即被邏輯學家視為「一套封閉而完整的學說體系」，幾乎沒有留給後人加以辯論和重組的空間。亞里斯多德關於斷言命題三段論的理論尤受推崇，這一概念在此後僅經歷了細微的系統性調整。這套三段論理論直至14世紀中葉讓·布里丹等人對邏輯學進行全面改造之後，才真正進入更為廣泛的結果邏輯語境之中。

然而，《前分析篇》並未包含一套完善的模態三段論理論——所謂模態三段論，是指至少包含一個模態化前提（即含有「必然」、「可能」或「偶然」等模態詞）的三段論。亞里斯多德在這一方面的術語被認為含糊不清，在許多情況下甚至與他在《論詮釋》中的某些陳述相矛盾。他在這一具體問題上的原始主張引發了大量討論，各家註疏者提出了形形色色的解決方案。亞里斯多德所建立的模態三段論體系最終被認定不適於實際應用，並被新的概念區分和新的理論所取代。

### 中世紀三段論

#### 波愛修斯

波愛修斯（約475–526年）致力於使古代亞里斯多德邏輯更易為人所理解。儘管他的《前分析篇》拉丁譯本在12世紀以前幾乎未被採用，但他關於直言三段論的教科書對拓展三段論的討論居功至偉。波愛修斯的邏輯學遺產並不在於他對該領域的個人貢獻，而在於他有效地將早先的理論傳遞給了後世邏輯學家，並對亞里斯多德的貢獻作出了清晰而大體準確的闡述。

#### 彼得·阿伯拉爾

彼得·阿伯拉爾（1079–1142年）是拉丁西方中世紀邏輯學的另一位早期貢獻者，他在《辯證法》（Dialectica）中——這是一部以波愛修斯的註疏與專著為基礎的邏輯學論著——對三段論概念及其附隨理論作出了深入的評述。他對三段論的見解亦見於其他著作，例如《邏輯學入門》（Logica Ingredientibus）。藉助阿伯拉爾對指稱模態命題（de dicto）與實質模態命題（de re）的區分，中世紀邏輯學家開始形成對亞里斯多德模態三段論模型更為連貫的理解。

#### 讓·布里丹

法國哲學家讓·布里丹（約1300–1361年）被一些人視為中世紀晚期最重要的邏輯學家，他貢獻了兩部重要著作：《結果論》（Treatise on Consequence）與《辯證法大全》（Summulae de Dialectica），書中討論了三段論的概念、組成部分與各種區分，以及擴展其邏輯能力的方法。布里丹之後長達200年間，三段論邏輯幾乎無人問津。邏輯史學家評估認為，中世紀後期的主要變化在於：公眾對原始文獻的了解程度、對該邏輯體系之精妙與複雜性的欣賞能力，以及邏輯素養本身的水平均有所下降——以至於20世紀初的邏輯學家竟將整個體系視為荒謬可笑。

### 近現代

亞里斯多德式三段論主導西方哲學思想長達數百年。三段論本身是關於從假設（公理）推導出有效結論的學問，而非關於驗證這些假設的方法。然而，人們日漸只專注於邏輯推演的層面，遺忘了驗證假設的重要性。

17世紀，弗朗西斯·培根強調，公理的實驗驗證必須嚴格進行，三段論本身並非在自然界得出結論的最佳方式。培根提倡一種更具歸納精神的自然觀察方法，包括實驗，並以此發現和積累公理，以求得出更具普遍性的結論。不過，在自然界得出結論的完整方法並不在邏輯學或三段論的範疇之內，歸納法在亞里斯多德的後續著作《後分析篇》中已有所論述。

19世紀，為處理選言（「A或B」）與條件（「若A則B」）命題，三段論的修正版本相繼問世。伊曼努爾·康德在其《邏輯學》（1800年）中著名地宣稱，邏輯學是一門已完成的科學，亞里斯多德邏輯已大體涵蓋了邏輯學的全部知識。（這部著作未必能代表康德的成熟哲學，後者本身常被視為對邏輯學的創新。）康德的這一觀點在西方世界無人挑戰，直至1879年戈特洛布·弗雷格發表其《概念文字》，引入了一種演算——一種藉助量詞和變量來表示直言命題（及三段論所不能涵蓋的命題）的方法。

值得注意的例外是伯納德·博爾扎諾在其著作《科學理論》（Wissenschaftslehre，1837年）中發展的邏輯學，其原則被應用為對康德的直接批判，見於遺著《新反康德論》（New Anti-Kant，1850年）。博爾扎諾的工作長期被忽視，其原因之一是他所處的波希米亞（當時隸屬奧地利帝國）的學術環境。近二十年來，博爾扎諾的著作重獲重視，成為翻譯和當代研究的對象。一個值得注意的例外，是亞里斯多德邏輯在信理部官員以及使徒法庭羅馬聖輪中的持續應用——該法庭至今仍要求訴訟代理人以三段論形式呈遞論點。

### 布爾對亞里斯多德邏輯的接受

邏輯史學家約翰·科科倫在為《思維規律》撰寫的導言中，著重強調了喬治·布爾對亞里斯多德邏輯的堅定認同。科科倫亦撰文對《前分析篇》與《思維規律》進行了逐點比較。科科倫認為，布爾完全接受並認可亞里斯多德的邏輯學。布爾的目標是「在亞里斯多德之下、之上與之外」進行推進，具體而言：

- 以涉及方程的數學基礎為其奠基。
- 擴展其所能處理的問題範圍——解方程被添加至有效性評估之中。
- 拓展其應用範圍——例如將僅含兩個項的命題擴展至含任意多項的命題。

更具體地說，布爾同意亞里斯多德所說的內容；布爾的「異議」（若可如此稱之）針對的是亞里斯多德未曾言及之處。首先，在基礎層面，布爾將亞里斯多德的四種命題形式化約為一種形式——方程形式，這本身已是一個革命性的觀念。其次，在邏輯問題層面，布爾將解方程引入邏輯學——另一個革命性的觀念——涉及布爾的主張：亞里斯多德的推論規則（「完全三段論」）必須以解方程的規則加以補充。第三，在應用層面，布爾的系統可以處理多項命題與論證，而亞里斯多德只能處理兩項主謂命題與論證。例如，亞里斯多德的系統無法從「沒有作為四邊形的正方形是作為菱形的矩形」或「沒有作為矩形的菱形是作為四邊形的正方形」推演出「沒有作為正方形的四邊形是作為菱形的矩形」。

## 類型

三段論由三個部分組成：兩個前提與一個結論。這三個部分的相互關係因三段論的類型而異。三段論的三種主要類型為直言三段論、假言三段論與選言三段論。複合三段論則是由多個相互重疊的三段論所構成的擴展論證，其中一個三段論的結論成為下一個三段論的前提。

### 直言三段論

最常見的三段論類型是直言三段論，由三個部分組成：

- 大前提
- 小前提
- 結論

每個部分都是一個直言命題，每個直言命題包含兩個直言項。在亞里斯多德的體系中，每個前提的形式為「所有S是P」、「有些S是P」、「沒有S是P」或「有些S不是P」，其中「S」為主項，「P」為謂項：

- 「所有S是P」與「沒有S是P」稱為全稱命題。
- 「有些S是P」與「有些S不是P」稱為特稱命題。

每個前提都有一項與結論共有：在大前提中，這是大項（即結論的謂項）；在小前提中，這是小項（即結論的主項）。例如：

大前提：所有人都是必死的。

小前提：所有希臘人都是人。

結論：所有希臘人都是必死的。

三個不同的項各代表一個類別：此例中為「人」、「必死的」和「希臘人」——「必死的」是大項，「希臘人」是小項。兩個前提還有一個共同項，稱為中項；此例中為「人」。

大多數邏輯學家認為單稱命題是全稱命題的一種子類型，其類別只限於單個成員。因此，含單稱命題的三段論仍被大多數邏輯學家視為直言三段論。例如「蘇格拉底是人」雖含單稱小項，但可改寫為邏輯等值的全稱形式：「蘇格拉底——其自身類別的全體成員——是必死的」。部分邏輯學家將含單稱命題的三段論稱為準三段論。

### 假言三段論

假言三段論（亦稱條件三段論）是指至少一個前提為條件句的三段論。條件句的形式為「若P則Q」。純粹假言三段論的兩個前提均為條件句；混合假言三段論僅有一個前提為條件句。

### 選言三段論

選言三段論包含一個選言陳述作為其前提之一。選言陳述的形式為「P或Q」。

### 複合三段論

複合三段論（或稱連鎖三段論，sorites）是一種包含多個相互重疊之三段論的擴展論證形式。在複合三段論中，一個三段論的結論成為下一個三段論的前提，最後一個三段論提供整個論證的最終結論。中間各三段論的結論可以不明示；在此情形下，一系列三段論被排列成每個前提的謂項成為下一個前提的主項，直至第一個前提的主項與最後一個前提的謂項在結論中結合。例如，若論證「所有獅子都是大型貓科動物，所有大型貓科動物都是掠食者，所有掠食者都是肉食動物」，從而得出「因此所有獅子都是肉食動物」，即構成一個連鎖三段論論證。

## 直言三段論的形式

直言三段論共有無限多種可能形式，但邏輯上不同的類型僅有256種，其中有效的僅24種（詳見直言三段論）。前提和結論各有四種類型，依照慣例以字母標記：

代碼｜量詞｜主項｜繫詞｜謂項｜類型｜例子

A｜所有｜S｜是｜P｜全稱肯定｜所有人都是必死的。

E｜沒有｜S｜是｜P｜全稱否定｜沒有人是完美的。

I｜有些｜S｜是｜P｜特稱肯定｜有些人是健康的。

O｜有些｜S｜不是｜P｜特稱否定｜有些人不是年老的。

中項（M）的位置不同，形成四種「格」：

第一格｜第二格｜第三格｜第四格

大前提｜M–P｜P–M｜M–P｜P–M

小前提｜S–M｜S–M｜M–S｜M–S

256種可能形式中，絕大多數無效。24種有效形式以拉丁助記名稱命名（如 Barbara、Celarent 等），其中名稱中的元音字母依次代表大前提、小前提與結論的命題類型。其中若干有效形式在涉及空類別時可能犯存在謬誤，以斜體標示。

## 有效性

與之相對的是隱喻，它組織叫做肯定後件的一種形式的三段論，是邏輯謬論：

草（P）會死（M）.

人（S）會死（M）.

人（S）是草（P）.

Barbara三段論涉及文法和邏輯類型；它有一個主詞（比如蘇格拉底）和一個謂詞（必死的）。肯定後件，是隱喻的基礎。這種形式的三段論是邏輯上無效的。

三段論也可以是無效的，如果它們有四個項或者中項不周延。

歸納論證（epagoge）是依賴於歸納推理的弱三段論。

## 三段論謬誤

人們在進行三段論推理時往往容易犯錯。所謂形式謬誤（亦稱無效推論或三段論謬誤），是指推理模式在邏輯結構上存在缺陷，即前提與結論之間的關係有誤。舉例來說，面對「有些A是B，有些B是C」的前提，人們往往傾向於得出「因此有些A是C」的確定結論。然而，這一結論在古典邏輯規則下並不成立。例如，雖然有些貓（A）是黑色的東西（B），有些黑色的東西（B）是電視機（C），但並不能從中得出有些貓（A）是電視機（C）。原因在於，所採用的三段論結構（III-1格）中，中項在大前提和小前提中均未周延，這一模式稱為「不周延中項謬誤」。正因如此，遵循形式邏輯並不容易，需要更加審慎地檢驗一個論證是否確實有效。

確定三段論是否有效，需要判斷各陳述中每個項的周延情況，即是否涵蓋了該項的所有成員。在直言三段論中，形式謬誤包括：

- 不周延中項謬誤：兩個前提均未涵蓋中項的全部成員，導致中項無法聯繫大項與小項。
- 大項不當謬誤：結論涵蓋大項（P）的全部成員（即命題為否定式），但大前提並未如此（即P在大前提中為肯定謂項或特稱主項）。
- 小項不當謬誤：與上述相同，但針對小項（S——即命題為全稱式）和小前提（S在小前提中為特稱主項或肯定謂項）。
- 排它前提謬誤：兩個前提均為否定，導致大項與小項之間無法建立聯繫。
- 從否定前提得肯定結論謬誤：若任一前提為否定，結論亦必須為否定。
- 從肯定前提得否定結論謬誤：若兩個前提均為肯定，結論亦必須為肯定。

假言三段論與選言三段論則會犯稱為「命題謬誤」的形式謬誤。假言三段論中的此類謬誤包括：

- 肯定後件——在條件句中，因後件為真而宣稱前件為真；「若A則B；B，故A」。
- 否定前件——在條件句中，因前件為假而宣稱後件為假；「若A則B；非A，故非B」。

在選言三段論中，若肯定析取支——因邏輯析取的一個析取支為真而推論另一個析取支必定為假——則構成謬誤；「A或B；A，故非B」。

## 24論式圖示

下表以文氏圖展示24個有效直言三段論，不同欄表示不同的前提，不同外框顏色表示不同的結論，需要存在性預設的推理以虛線與斜體字標示。

格｜A ∧ A｜A ∧ E｜A ∧ I｜A ∧ O｜E ∧ I

AAA｜AAI｜AEE｜AEO｜EAE｜EAO｜AII｜IAI｜AOO｜OAO｜EIO

1｜Barbara｜Barbari｜Celarent｜Celaront｜Darii｜Ferio

2｜Camestres｜Camestros｜Cesare｜Cesaro｜Baroco｜Festino

3｜Darapti｜Felapton｜Datisi｜Disamis｜Bocardo｜Ferison

4｜Bamalip｜Calemes｜Calemos｜Fesapo｜Dimatis｜Fresison

## 其他類型

- Q422913 — 含有一個未明示前提的「截短」三段論
- Q336462 — 在法律推理語境中使用的三段論
- Q7250662
- Q7604417 — 並非真正的演繹三段論，而是一種類似三段論的歸納推理形式

## 外部連結

- Abbreviatio Montana article by Prof. R. J. Kilcullen of Macquarie University on the medieval classification of syllogisms.
- The Figures of the Syllogism is a brief table listing the forms of the syllogism.
- Stanford Encyclopedia of Philosophy entry on Medieval Theories of Syllogisms