阿貝爾群

阿貝爾群（Abelian group），又稱交換群（commutative group）或加群，是運算滿足交換律且不依賴於其元素的次序（交換律公理）的群。阿貝爾群推廣了整數集合的加法運算。阿貝爾群以挪威數學家尼爾斯·阿貝爾命名。

阿貝爾群的概念是抽象代數的基本概念之一。其基本研究對象是模和向量空間。阿貝爾群的理論比其他非阿貝爾群簡單。有限阿貝爾群的結構已基本明晰，相關理論較為成熟；而無限阿貝爾群由於元素無限性，其分類與性質仍具複雜性，是當前群論研究的前沿領域。

## 定義

一個群 $(A, \circ)$，若對任意 $a,\,b\in A$，滿足 $a \circ b = b \circ a$ （交換律），則稱 $(A, \circ)$ 為「阿貝爾群」（或「交換群」），反之被稱爲「非阿貝爾群」（或「非交換群」）。

$(A, \circ)$想符合阿貝爾群的定義，則集合$A$及其運算需滿足以下核心性質：

閉合性: 對任意 $a,\,b\in A$，運算 $a \cdot b\in A$。

結合律: 對任意 $a,\,b,\,c\in A$，有 $(a \cdot b)\cdot c = a \cdot (b \cdot c)$。

單位元: 存在 $e\in A$，使得對任意 $a\in A$，有 $a \cdot e = e \cdot a = a$。

逆元: 對任意 $a\in A$，存在 $a^{-1}\in A$，使得$a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e$。

交換律: 對任意 $a,\,b\in A$，有 $a \cdot b = b \cdot a$。

## 定理

設 $(G, \circ)$是一個群，則 $(G, \circ)$是阿貝爾群的充要條件是對任意 $a,\,b\in G$，有 $(a \cdot b)\cdot (a\cdot b) = (a \cdot a)\cdot (b\cdot b)$。

### 符號

阿貝爾群有兩種主要運算符號——加法和乘法。

運算｜表示法｜單位元｜冪｜逆元

加法運算｜$x + y$｜0｜$nx$｜$-x$

乘法運算｜$x \cdot y$ 或 $xy$｜1｜$x^n$｜$x^{-1}$

群論常用乘法符號，環與模的理論則慣例使用加法符號。但需特別說明的是，為突顯其性質，當同時涉及交換群與非交換群時，會優先用加號表示交換群——此規則在近環與偏序群論中存在特例：即便群結構非交換，其運算仍被強制寫成加法形式。

### 乘法表

欲證有限群是阿貝爾群，可構造凱萊表，一種類似乘法表的表格（即矩陣）。若一個群 $G = \{g_1 = e, g_2, \dots, g_n \}$ 在乘法運算下，其乘法表中第 $(i, j)$ 元素即為 $g_i \cdot g_j$。

一個群 $G$ 是阿貝爾群，若且唯若其乘法表關於主對角線對稱（或說這個矩陣是對稱矩陣）。這一結論源於阿貝爾群的定義要求群運算滿足交換律：對於任意元素$g_i,\,g_j\in G$，均有 $g_i \cdot g_j = g_j \cdot g_i$，即表格中 $(i, j)$ 項與 $(j, i)$ 項的值必須相等。詳見下表：

$e$｜$\cdots$｜$g_j$｜$\cdots$

$e$｜$e$

$$\vdots$$

$g_i$｜$g_i \cdot g_j$

$$\vdots$$

## 舉例

- 整數集與加法運算構成阿貝爾群，記為$(\mathbb{Z}, +)$。兩個整數相加仍是整數，且加法有結合律和交換律。$0$ 是加法單位元，所有整數 $n$ 都有加法逆元 $-n$。
- 所有循環群 $G=\langle g \rangle$ 都是阿貝爾群。如果 $x,y\in G$，則 $xy = g^m g^n = g^{m+n} = g^ng^m = yx$。因此整數集 $\mathbb{Z}$ 形成了在加法下的阿貝爾群，整數模$n$ $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$亦同。
- 所有環都是關於它的加法運算的阿貝爾群。交換環中的可逆元形成了阿貝爾乘法群。特別是實數集是在加法下的阿貝爾群，非零實數集在乘法下是阿貝爾群。
- 所有阿貝爾群的子群都是正規子群，因此每個子群均可生成對應的商群。阿貝爾群的子群、商群和直和均保持阿貝爾性質，即這些結構本身仍為阿貝爾群。

矩陣，哪怕是可逆矩陣，在乘法運算下通常不構成阿貝爾群，因為矩陣乘法普遍不滿足交換律——例如兩個不同階數的矩陣相乘時，交換操作會導致結果不同。然而，存在某些特殊矩陣群在乘法運算下仍保持阿貝爾性質，典型例子是二維旋轉矩陣構成的群：所有 2×2 旋轉矩陣在合成旋轉操作時滿足交換律，其對應的乘法表關於主對角線對稱，從而形成阿貝爾群結構。這一特性源於二維旋轉操作的角度可疊加性，即連續旋轉兩個不同角度的結果與順序無關。

## 命名意義

阿貝爾群是卡米耶·若爾當以挪威數學家尼爾斯·阿貝爾命名的，這是因為阿貝爾曾發現：若一個多項式方程根的對稱群滿足交換性，則該多項式的根可通過根式求解（即有限次加、減、乘、除及開方運算）。這一發現揭示了群論與多項式方程可解性之間的深刻聯繫，並成為抽象代數發展史上的里程碑。阿貝爾的成果不僅為群論的命名提供了歷史淵源，也推動了後續數學家對群結構的系統性研究。

## 性質

如果 $n$ 是一個自然數，而 $x$ 是阿貝爾群 $(G,+)$ 的一個元素，則 $nx$ 可以定義為 $x + x + \cdots + x$（$n$個數相加）並且 $(-n)x = -(nx)$。以這種方式，$G$ 變成在整數的環 $\mathbb{Z}$ 上的模。事實上，在 $\mathbb{Z}$ 上的模都可以被識別為阿貝爾群。

關於阿貝爾群（比如在主理想整環 $\mathbb{Z}$ 上的模）的定理，常常可以推廣到在任意主理想整環上的模。典例是，有限生成阿貝爾群的分類是在主理想整環上的有限生成模的結構定理的特殊情況。在有限生成阿貝爾群的情況下，這個定理保證阿貝爾群可以分解為撓群和自由阿貝爾群的直和。前者可以被寫為形如 $\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}$ 對於素數 $p$ 的有限多個群的直和，而後者是有限多個 $\mathbb{Z}$ 的復本的直和。

如果 $f, g: G \to H$ 是在阿貝爾群之間的兩個群同態，則兩者之和 $f + g$，定義為 $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$，也是阿貝爾同態。（若 $H$ 是非阿貝爾群，則不成立）所有從 $G$ 到 $H$ 的群同態的集合 $\text{Hom}(G,H)$ 因此本身就是阿貝爾群。

某種程度上類似於向量空間的維度，所有阿貝爾群都有秩。它定義為群的線性無關元素最大集合的勢。整數集、有理數集和所有的有理數集的子群都有秩。

阿貝爾群的所有子群都是正規子群，反之則不成立——四元群 $Q_8$ 就是一個例子——它不是一個交換群，但它的所有子群都是正規子群。所有子群都是正規子群的群叫做戴德金群。

## 有限阿貝爾群

整數模以 $n$ 的循環群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是最常見的群。已被證實的是，任意有限阿貝爾群都同構於素數階的有限循環群的直和，且這些階數是唯一確定的，形成了一個不變量的完備系統。有限阿貝爾群的自同構群可用這些不變量來直接描述。有關理論最初發展自費迪南德·格奧爾格·弗羅貝尼烏斯和Ludwig Stickelberger在1879年的論文，後來被簡化和推廣到在主理想整環上的有限生成模，形成了線性代數的一個重要組成部分。

### 分類

有限阿貝爾群的基本定理稱，所有有限阿貝爾群 $G$ 都可表示為質數冪階循環子群的直和。以下是有限生成阿貝爾群的基本定理在 $G$ 有零秩時的特殊情況。

$mn$階的循環群$\mathbb{Z}_{mn}$同構於$\mathbb{Z}_m$與$\mathbb{Z}_n$的直和，當且僅當$m$與$n$互素。藉此，可推出任何有限阿貝爾群 $G$ 同構於如下形式的直和：

$$\mathbb{Z}_{k_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{k_u}$$

採用下列任何一種規范方式為準：

- 數 $k_1, k_2, \dots, k_u$ 是素數的冪
- $k_1$ 整除 $k_2$，它又整除 $k_3$，如此直到 $k_u$。

例如，$\mathbb{Z}_{15}$可被表達為3階和5階兩個循環群的直和：$\mathbb{Z}_{15} \cong \{0,5,10\} \oplus \{0,3,6,9,12\}$。對於任何15階的阿貝爾群同樣成立，因此很明顯，所有15階阿貝爾群都是同構。

另一個例子，所有8階段阿貝爾群都同構於 $\mathbb{Z}_8$(整數0到7在模8加法下)，$\mathbb{Z}_4\oplus \mathbb{Z}_2$（奇數1到15在模16乘法下），或 $\mathbb{Z}_2\oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$。

小於或等於16階的有限阿貝爾群可參見小群列表。

### 自同構

基本定理可用於計算並給定有限阿貝爾群 $G$ 的自同構：易知 $G$ 分為互素階子群的直和 $H\oplus K$，則 $\operatorname{Aut}(H\oplus K) \cong \operatorname{Aut}(H)\oplus \operatorname{Aut}(K)$。這種方法證實，要計算$G$的自同構群，只須分別計算西羅 $p$-子群的自同構群就足夠（亦即所有循環子群的直和，每個都有 $p$ 的冪的階）。設素數 $p$，並設西羅 $p$-子群的循環因子指數 $e_i$ 以遞增排序：

$$e_1\leq e_2 \leq\cdots\leq e_n$$

對於某個 $n > 0$，需尋到

$$\mathbf{Z}_{p^{e_1}} \oplus \cdots \oplus \mathbf{Z}_{p^{e_n}}$$

自同構。一個特殊情況是，$n=1$ 時，西羅 $p$-子群 $P$ 中只有唯一的循環素數冪因子。在這個情況下，可以使用有限循環群的自同構理論。而另一個特殊情況，是在 $n$ 取任意值，且 $e_i = 1$ 對於 $1 \le i \le n$ 時，這里不妨考慮 $P$ 為：

$$\mathbf{Z}_p \oplus \cdots \oplus \mathbf{Z}_p$$

所以，這個子群的元素可視作構成在 $p$ 元素的有限域 $\mathbb{F}_p$ 上的 $n$ 維向量空間，其自同構也因此得出，為可逆線性變換：

$$\mathrm{Aut}(P)\cong\mathrm{GL}(n,\mathbb{F}_p)$$

其早先已證明有階：

$$\left|\operatorname{Aut}(P)\right|=(p^n-1)\cdots(p^n-p^{n-1})$$

在最一般情況下，這里的$e_i$和$n$可取任意值，自同構群則更難確定。但已知的是，如果定義：

$$d_k=\max\{r\mid e_r = e_k^{\,}\}$$

且

$$c_k=\min\{r\mid e_r=e_k\}$$

則可得 $k \le d_k$，$c_k \le k$，且

$\left|\operatorname{Aut}(P)\right| = \prod_{k=1}^n (p^{d_k}-p^{k-1}) \prod_{j=1}^n (p^{e_j})^{n-d_j} \prod_{i=1}^n (p^{e_i-1})^{n-c_i+1}.$。

可以驗證的是，這會產生特殊前例的階。

## 無限阿貝爾群

最簡單的無限阿貝爾群是整數加法群$\mathbb{Z}$。

任何有限生成阿貝爾群$A$均可分解為$r$個整數加法群的直和與一個有限阿貝爾群的直和，其中$r$稱為$A$的秩。該有限阿貝爾群本身可進一步分解為有限個素數冪階循環群的直和。儘管這種分解方式不唯一，但秩$r$以及構成有限部分的素數冪階數在忽略排列順序後是唯一確定的。這一結論源於有限生成阿貝爾群的基本定理，其核心思想是通過不變因子分解和初等因子分解（素數冪的排列組合）實現群結構的完全分類。

一般無限阿貝爾群的分類問題遠未解決，但可除群（即滿足對任意自然數$n$和元素$a\in A$，方程$nx=a$均有解$x\in A$的阿貝爾群）構成了其中一類可完全刻畫的特殊類型。每個可除群均同構於有理數群$\mathbb{Q}$與若干素數$p$對應的普呂弗群$\mathbb{Q}_p/Z_p$的直和，且各類直和項的基數在忽略排列順序後唯一確定。進一步地，若可除群$A$是阿貝爾群$G$的子群，則$A$必存在直補子群$C\subseteq G$，使得 $G = A \oplus C$。這一性質表明，可除群在阿貝爾群範疇中是內射模，反之根據貝爾準則，所有內射阿貝爾群必為可除群。若一個阿貝爾群不含非零可除子群，則稱其為約化群。

無限阿貝爾群理論中，兩種性質截然相反的重要特殊類別是撓群（torsion groups）與無撓群（torsion-free groups）。撓群是指群中每個元素均具有有限階的阿貝爾群，其典型例子是周期群$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$，該群中每個元素的階均為素數或可除整數；而撓自由群則指不含非平凡撓元素的阿貝爾群，例如有理數加法群$\mathbb{Q}$，其所有元素均具有無限階。

### 無撓群

與撓群相反，無撓群被定義為所有非零元素均具有無限階的群。此類群的研究主要聚焦於以下幾類典型結構：自由阿貝爾群（即由整數加法群$Z$通過任意直和生成的群）、余撓群、代數緊群以及纖細群，其特性表現為任何可數直和僅包含有限個非平凡同態像。這些分類體系揭示了無撓阿貝爾群在結構複雜性上的多樣性，同時為研究其同構分類、秩理論及表示理論提供了重要框架。

### 不變量及歸類

無限阿貝爾群的最基本不變量之一是秩，即群中極大線性無關子集的基數。秩為0的阿貝爾群必為周期群（即每個元素均有有限階），而秩為1的無撓阿貝爾群必為有理數域$\mathbb{Q}$的子群，其結構可被完全刻畫。更一般地，有限秩$r$的無撓阿貝爾群可嵌入到$\mathbb{Q}_r$中。然而此不變量並非萬能：例如，$p$-進整數群$\mathbb{Z}_p$ 是秩為無限的無撓阿貝爾群，而不同素數冪次$\mathbb{Z}_p^n$（$n$可以不同）雖同為無撓群卻非同構，說明秩無法完全捕捉某些熟悉群的全部特性。

有限生成、可除、可數周期及秩1無撓阿貝爾群的分類定理均於20世紀上半葉前確立，構成了更一般的無限阿貝爾群分類基礎。這些成果依賴於純子群與基本子群等關鍵技術工具。近年來，通過引入無撓阿貝爾群的各類新不變量，分類理論得以進一步深化。

### 環的加法群

作為阿貝爾群的特殊子類，環的加法群本質特徵在於繼承環的加法運算結構，但並非所有阿貝爾群均可通過賦予非平凡乘法運算構成環。該領域包括以下方向：張量積理論揭示了環加法群與其他代數結構間的關聯；A.L.S. Corner在可數無撓群分類方面取得的突破性成果；Shelah通過引入新的基數理論框架消除了傳統分類中的基數限制；而Burnside ring的構造則為研究有限生成環加法群的表示理論提供了重要工具。這些成果共同推動了環加法群結構分類的深化，特別是在處理無限生成情形時，通過結合同調代數與模型論方法，實現了對複雜群結構的精確刻畫。

## 與其它數學分支的聯繫

許多大型阿貝爾群具有自然拓撲結構，因此它們也是拓撲群。

全體阿貝爾群與其間的群同態構成的範疇$\textbf{Ab}$（即由所有阿貝爾群作為對象、群同態作為態射構成的範疇），是阿貝爾範疇的原型。這一範疇不僅滿足加法結構（態射集合具有阿貝爾群運算）、零對象存在性及有限積/余積存在性，更通過嚴格態射性質成為同調代數研究的核心框架。作為最最基礎的阿貝爾範疇實例，其結構特性（如正合序列的短五引理、九引理等）為一般阿貝爾範疇提供了範式基礎。

在現代阿貝爾群理論研究中，以下方向仍存在活躍的探索空間：

- 有限秩無撓阿貝爾群中，僅有限生成情形與秩1情形被充分刻畫，更高秩的一般情形仍缺乏系統性理論框架。
- 無限秩無撓阿貝爾群的分類問題存在諸多未解難題，其結構複雜性遠超有限秩情形。
- 可數撓阿貝爾群通過簡單表示與烏爾姆不變量（Ulm invariants）已實現完全分類，但可數混合群（含非平凡撓子群的無撓群）的理論體系尚未成熟。
- 阿貝爾群一階理論的若干溫和擴張（如引入模條件或拓撲學約束）已被證實不可判定，這揭示了群論與數理邏輯的深層關聯。
- 有限阿貝爾群在計算群論中持續受到關注，尤其在群表示、同調計算及密碼學應用中展現新活力。

## 引用

- Fuchs, László（1970）Infinite abelian groups, Vol. I. Pure and Applied Mathematics, Vol. 36. New York-London: Academic Press. xi+290 pp.
- ------（1973）Infinite abelian groups, Vol. II. Pure and Applied Mathematics. Vol. 36-II. New York-London: Academic Press. ix+363 pp.
- Hillar, Christopher and Rhea, Darren (2007), Automorphisms of finite abelian groups. Amer. Math. Monthly 114, no. 10, 917-923. .
- Szmielew, Wanda (1955) "Elementary properties of abelian groups," Fundamenta Mathematica 41: 203-71.