卡拉比-丘流形

代數幾何與微分幾何中，卡拉比-丘流形（Calabi–Yau manifold）是第一陳類為0的緊n維凱勒流形（Kähler manifolds），也叫做卡拉比-丘 n-流形。其是里奇平坦流形，在理論物理學中有應用；特別是在超弦理論中，時空的額外維度有時被猜測為6維卡拉比-丘流形的形式，從中產生了鏡像對稱等想法。「卡拉比-丘流形」的名稱最早見於，得名於猜想這種曲面存在的，與證明了卡拉比猜想的。

卡拉比-丘流形是複流形，是K3曲面在任意復維度（即任意偶實數維度）上的推廣。它們最初被定義為緊凱勒流形，第一陳類為0、具有里奇平坦的度量，有時也會用其他類似但不等價的定義。

## 定義

丘成桐給出的激勵性定義是第一陳類為0的緊凱勒流形，且是里奇平坦的。

不同學者對卡拉比-丘流形還有不同定義，其中一些不等價。本節總結了一些較常用定義及它們間的關係。

卡拉比-丘（復）$n$維流形有時被定義為滿足下列等價條件之一的$n$維緊凱勒流形$M$：

- $M$的規範叢平凡。
- $M$具有完整$n$形式，無處為0。
- $M$切叢的結構群可從$U(n)$簡化為$SU(n)$。
- $M$具有凱勒度量，其整體的完整性包含在$SU(n)$中。

這些條件意味著$M$的第一積分陳類$c_1(M)$為0。而反過來不成立，最簡單的反例是超橢圓面，它是復維度為2的復環面的有限商，第一積分陳類為0，但有非平凡的規範叢。

對緊$n$維凱勒流形$M$，下列條件兩兩等價，但比上面的弱，不過有時也會用作卡拉比-丘流形的定義：

- $M$的第一實陳類為0。
- $M$具有里奇曲率為0的凱勒度量。
- $M$具有凱勒度量，其局部完整性包含於$SU(n)$中。
- $M$的規範叢的正冪是平凡的。
- $M$具有有限覆蓋，其具有平凡的規範叢。
- $M$具有有限覆蓋，其是環面與單連通流形的積，後者具有平凡的規範叢。

若緊凱勒流形是單連通的，則上述弱定義等價於強定義。恩里克斯面給出了具有里奇平坦度量的複流形的例子，但其規範叢不是平凡的，因此不符合第一類定義。另一方面，根據這兩個定義，它們的二次覆蓋都是卡拉比-丘流形（實際上是K3曲面）。

到目前，證明上述性質間等價的主要困難在於證明存在里奇平坦度量。這來自丘成桐對卡拉比猜想的證明，意味著第一實陳類為0的緊凱勒流形的凱勒測度與里奇曲率為0的在同一類中。（凱勒測度的類是其相關2形式的上同調類。）卡拉比證明了這種度量唯一。

卡拉比-丘流形還有許多不等價定義，有時也會用到：

- 第一陳類可作為積分類或實數類，為0。
- 大多數定義都斷言：卡拉比-丘流形是緊的，也有些定義允許非緊。在到非緊流形的推廣中，差值$(\Omega\wedge\bar\Omega - \omega^n/n!)$須漸進於0。當中$\omega$是與凱勒度量$g$相關聯的凱勒形式。
- 部分定義對卡拉比-丘流形的基本群做了限制，例如要求它是有限群或平凡群。卡拉比-丘流形都有有限覆蓋，是環面與單連通卡拉比-丘流形的積。
- 部分定義要求完整完全等於$SU(n)$而非其子群，意味著霍奇數$h^{i,0}$對於$0 < i < \dim(M)$時為0。阿貝爾面具有里奇平坦度量，其完整嚴格小於$SU(2)$（實際上是平凡的），據此它們不是卡拉比-丘流形。
- 大多數定義嘉定卡拉比-丘流形具有黎曼度量，也有定義將其視為無度量的複流形。
- 大多數定義假定流形是非奇異的，有些定義允許「輕度奇異」。對奇異卡拉比-丘流形來說，陳類不能很好地定義，但若所有奇異點都是戈倫斯坦的，則仍可定義規範叢和規範類。因此可用於將光滑卡拉比-丘流形推廣到可能的卡拉比-丘簇。

## 例子

一個基本事實是：任何嵌入射影空間的光滑代數簇都是凱勒流形，因為射影空間上有自然的富比尼–施圖迪度量，可將其限制在代數簇上。根據定義，若ω是代數簇X上的凱勒度量，且規範叢$K_X$是平凡的，則X是卡拉比-丘的。此外，X上存在唯一的凱勒度量ω使$[\omega_0]=[\omega]\in H^2(X,\ \mathbb{R})$，這就是丘成桐證明了的卡拉比猜想。

### 卡拉比-丘代數曲線

在1復維中，唯一緊的例子是形成1參數族的環面。環面上的里奇平坦度量實際上是平坦度量，所以完整群是平凡群SU(1)。1維卡拉比-丘流形是復橢圓曲線，特別地也是代數的。

### CY代數曲面

在2復維中，K3曲面是唯一緊的單連通卡拉比-丘流形。它們可構造為$\mathbb{P}^3$中的四次曲面，如由下列方程的趨零軌跡定義的復代數簇

$x_0^4 + x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 = 0$ for $[x_0:x_1:x_2:x_3] \in \mathbb{P}^3$

其他例子可由橢圓纖維、阿貝爾面之商或完全交來構造。

非單連通的例子由阿貝爾面給出，它們是具有複流形結構的實4環面$\mathbb{T}^4$。恩里克斯面和超橢圓曲面的第一陳類作為實上同調群的元素為0，但作為整上同調群的元素則不是，因此關於里奇平坦度量的存在性丘成桐定理仍對其有效，但有時不被視為卡拉比-丘流形。阿貝爾面有時會被排除在卡拉比-丘之外，因為其完整群（是平凡群）是SU(2)的正規子群，而不是與SU(2)同構。不過，恩里克斯面子集並不完全符合弦理論圖景中的SU(2)子群。

### CY3維流形

在3復維中，可能的卡拉比-丘流形的分類尚未完成，丘成桐懷疑存在有限多的族（比20年前自己的估計大得多）。Miles Reid則猜想卡拉比-丘3維流形的拓撲種類有無限多，且都可以連續地相互變換（通過某些溫和的奇異化，如錐形），像黎曼曲面那樣。3維卡拉比-丘流形的例子是$\mathbf{CP}^4$上的非奇異五次三維流形，其是由$\mathbf{CP}^4$的所有齊次坐標中的齊次5次多項式組成的代數簇。另一個例子是巴爾斯-涅托五次空間（Barth–Nieto quintic）的光滑模型。由各種$\mathbf{Z}_5$作用得到的五次空間的一些離散商也是卡拉比-丘流形，並在文獻中得到廣泛關注，其中之一通過鏡像對稱與原五次空間相關。

對每個正整數n，$n+2$簇的非奇異齊次$n+2$次多項式在復射影空間$\mathbf{CP}^{n+1}$的齊次坐標中的零集是緊卡拉比-丘n維流形。$n=1$情形描述的是橢圓曲線，$n=2$情形描述的是K3曲面。

更一般地說，卡拉比-丘簇/軌形可作為加權射影空間中的加權完全交。尋找此類空間的主要工具是伴隨公式。

所有超凱勒流形都是卡拉比-丘流形。

#### 由代數曲線構造

可由代數曲線$C$構造准射影卡拉比-丘3維流形為總空間$V = \text{Tot}(\mathcal{L}_1\oplus\mathcal{L}_2)$，其中$\mathcal{L}_1\otimes\mathcal{L}_2 \cong \omega_C$。對正規投影$p: V \to C$，可發現相關切叢$T_{V/C}$是$p^*(\mathcal{L}_1\oplus\mathcal{L}_2)$，使用相關切序列

$0 \to T_{V/C} \to T_V \to p^*T_C \to 0$

並觀察到纖維中唯一不屬於$p^*T_C$之前像的切向量與切叢的纖維正規相關。於是，可用相對餘切序列

$0 \to p^*\Omega_C \to \Omega_V \to \Omega_{V/C} \to 0$

以及楔冪的性質：

$\omega_V = \bigwedge^3\Omega_V \cong f^*\omega_C\otimes\bigwedge^2\Omega_{V/C}$

以及$\Omega_{V/C} \cong \mathcal{L}_1^*\oplus\mathcal{L}_2^*$，一起給出了$\omega_V$的平凡性。

#### 由代數曲面構造

使用與曲線類似的論證，代數曲面$S$的規範層$\omega_S$的總空間$\text{Tot}(\omega_S)$形成了卡拉比-丘3維流形。簡單例子如射影空間上的$\text{Tot}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(-3))$。

## 超弦理論中的應用

卡拉比-丘流形對超弦理論非常重要。從本質上講，卡拉比-丘流形的形狀滿足弦論中6個「隱藏」空間維度的空間要求，可能比目前可觀測的最小長度還小。膜宇宙學模型常見的流行代替也稱為「宏觀額外維度」，認為卡拉比-丘流形是宏觀的，但我們被限制到與D膜相交的小子集上。目前正在探索更高維的推廣，這將對廣義相對論產生影響。

在最傳統的超弦模型中，弦論的10個假想維度應是我們熟知的4維，外加某種纖維化，其纖維維度為6。在卡拉比-丘n維流形上的緊化十分重要，因為它們保留了一些原有的超對稱破缺；更確切地說，在沒有通量的情況下，若完整群是完整的SU(3)，則卡拉比-丘3維流形（實維度為6）上的緊化會使四分之一的原超對稱不破缺。

更一般地說，具有完整群為SU(n)的n維流形上的無通量緊化會留下21−n個原超對稱不破缺，對應第二類超引力緊化的26−n超荷，或第一類緊化的25−n超荷。包含通量時，超對稱條件則意味著緊化流形是廣義卡拉比-丘流形，這是提出的概念。這些模型被稱為通量緊化。

各種卡拉比-丘4維流形上的F理論緊化為物理學家提供了一種在所謂弦理論圖景中尋找大量經典解的方法。

與卡拉比-丘空間的每個洞相連的是一組低能弦振動模式。由於弦論認為我們熟悉的基本粒子對應低能弦振動，因此多個洞的存在會導致弦模式分為多個組或代。下面的敘述經過簡化，但表達了論證邏輯：若卡拉比-丘空間有3個洞，則試驗中就會觀測到3族振動模式，從而觀測到3代粒子。

邏輯上講，由於弦會在所有維度上振動，捲曲的弦的形狀會影響其振動，從而影響觀測到的粒子的基本性質。例如安德魯·施特羅明格和愛德華·威滕已經證明，粒子質量取決於卡拉比-丘空間中各種孔的交叉方式；也就是說，他們發現孔間及孔與卡拉比-丘空間物質的相對位置會以某種方式影響粒子質量，且所有粒子的性質都如此。

## 例子

在復一維的情況，唯一的例子就是環面族。注意環上里奇平坦的度量就是一個平坦度量，所以和樂群（holonomy）是平凡群，也叫SU(1)。

在復二維的情形，環T4和K3曲面組成了僅有的實例。T4有時不被算作卡拉比–丘流形，因為其和樂群（也是平凡群）是SU(2)的子群而不是同構於SU(2)。從另一方面講，K3曲面的和樂群是整個SU(2)，所以可以真正稱為2維的卡拉比–丘流形。

在復三維的情況，可能的卡拉比–丘流形的分類還是未解決的問題。3維卡拉比–丘流形的一個例子是復射影空間CP4中的非奇異的五次超曲面。

## 在弦論中的應用

卡拉比–丘流形對於超弦理論很重要。在最常規的超弦模型中，弦論中有十個猜想中的維度，作為我們所知的4個維度出現，在加上某種纖維化，纖維的維度為6。卡拉比–丘n-流形的緊緻化很重要，因為他們保持一些原有的超對稱性不被破壞。更精確地說，卡拉比–丘 3-流形（實維度6）的緊緻化保持四分之一的原有超對稱性不變。

## 卡拉比-丘代數

卡拉比-丘代數（Calabi–Yau algebra）是由俄裔美國數學家維克托·金茨堡引入，要將卡拉比-丘流形的幾何轉換到非交換代數幾何中。

## 參考文獻

### 入門文章

- An overview of Calabi-Yau Elliptic fibrations
- Lectures on the Calabi-Yau Landscape
- Fibrations in CICY Threefolds - (complete intersection Calabi-Yau)
- Introductory book " The Calabi-Yau Landscape " by Yang-Hui He .

### 書目

- Im, Mee Seong (2008) " Singularities-in-Calabi-Yau-varieties.pdf Singularities in Calabi–Yau varieties"
- Yau, Shing-Tung and Nadis, Steve; The Shape of Inner Space, Basic Books, 2010.

## 外部連結

- Calabi–Yau Homepage is an interactive reference which describes many examples and classes of Calabi–Yau manifolds and also the physical theories in which they appear.
- Spinning Calabi–Yau Space video.
- Calabi–Yau Space by Andrew J. Hanson with additional contributions by Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project.
- (similar to Yau)
- Calabi-Yau Home Page