萬有引力定律

牛頓的萬有引力定律（Newton's Law of universal gravitation）將重力描述為一種力，指出宇宙中任意兩個質點彼此之間必相互吸引，且作用力與它們的質量乘積成正比，並與它們之間的距離成平方反比。

萬有引力定律是由牛頓所謂的從他歸納推理的經驗觀察中得出的一般物理規律。它是經典力學的一部分，1687年間其於《自然哲學的數學原理》中被首次發表，並於1687年7月5日首次出版。當牛頓的書在1686年被提交至英國皇家學會時，羅伯特·胡克宣稱牛頓從他身上得到了距離平方反比律。

此定律若按照現代語文，明示了：每一點質量都是通過指向沿著兩點相交線的力量來吸引每一個其它點的質量。力與兩個質量的乘積成正比，與它們之間的距離平方成反比。關於牛頓所明示的質量之間的萬有引力理論的第一個實驗，是英國科學家亨利·卡文迪什於1798年進行的卡文迪許實驗。這個實驗發生在《自然哲學的數學原理》出版111年後，也是在他去世大約71年之後。

庫侖定律類似於牛頓的引力定律，用於計算兩個帶電體之間產生的電力的大小。同時，兩者都是平方反比定律，其中作用力與物體之間的距離平方成反比。然而，庫侖定律是用兩個電荷來代替質量的乘積，用靜電常數代替引力常數。

儘管牛頓定律的理論基礎，在現代的學術界已經被愛因斯坦的廣義相對論所取代，但它在大多數應用中仍然被用作重力效應的經典近似，而且只有在需要極度精確的時候，或者在處理非常強大的引力場的時候，比如那些在極其密集的物體上，又或者在非常近的距離（比如水星繞太陽的軌道）時，才需要相對論。

## 定律定義

### 基本定義

牛頓的萬有引力定律可以表示如下：

任意兩個質點由通過連心線方向上的力相互吸引。該吸引力的大小與它們的質量乘積成正比，與它們距離的平方成反比，與兩物體的化學本質或物理狀態以及中介物質無關。

### 標量式

其標量式方程表示為：$F=G\frac{m_1m_2}{r^2}$。

其中。

- $F$:兩個物體之間的萬有引力
- $G$: 萬有引力常數
- ${{m}_{1}}$:物體1的質量
- ${{m}_{2}}$:物體2的質量
- $r$:兩個物體之間的距離

依照國際單位制，$F$的單位為牛頓(N)，${{m}_{1}}$、${{m}_{2}}$的單位為千克(kg)，$r$的單位為米(m)，常數$G$大約為6.67×10−11 N m2 kg−2（牛頓米的平方每千克的平方）。

### 向量式

牛頓萬有引力定律亦可通過向量方程的形式更加準確地進行表述，而用以計算萬有引力的方向和大小。

在下列公式中，以粗體顯示的量代表向量。

$<pre> \mathbf{F}_{12} = G {m_1 m_2 \over r^2} \, \mathbf{\hat{{r}}_{21}} </pre>$或$<pre> \mathbf{F}_{12} = - G {m_1 m_2 \over r^2} \, \mathbf{\hat{{r}}_{12}} </pre>$。

其中，：$\mathbf{F}_{12}$:物體2作用於物體1的萬有引力

$G$: 萬有引力常數，其值約等於$6.67408 \times 10^{-11} \ \mbox{m}^3 \ \mbox{kg}^{-1} \ \mbox{s}^{-2}$

${{m}_{1}}$與${{m}_{2}}$:分別為物體1和物體2的質量

$r$:物體2和物體1之間的距離

$\mathbf{\hat{r}} \equiv \frac{\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1}{\vert\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1\vert}$:物體1到物體2的單位向量

可以看出向量式方程的形式與之前給出的標量式方程相類似，區別僅在於在向量式中的F是一個向量，以及在向量式方程的右端被乘上了相應的單位向量。而且，我們可以看出：F12 = − F21.

## 引力加速度

### 標量式方程

假設質點的引力加速度為$a_1$。根據牛頓第二定律，$F= m_1\ a_1$，即$a_1=F/m_1$。將這表達式代入牛頓萬有引力方程，則可得到

$a_1 = G \frac{m_2}{r^2}$。

類似地，亦可得到$a_2$。

依照國際單位制，引力加速度（同其他一般加速度）的單位被規定為米每平方秒 (記作$\rm m/s^2$或$\rm m\cdot s^{-2}$)。

請注意上述方程中的$a_1$，質量$m_1$的加速度，在實際上並不取決於$m_1$的取值，即引力加速度大小僅與$m_2$和$r$有關。

### 向量式方程

同樣，引力加速度的向量式方程與其標量式方程相類似：

$\mathbf{a}_1 =G {m_2 \over r^2} \, \mathbf{\hat{r}}$。

## 引力場

引力場是用於描述在任意空間內某一點的物體每單位質量所受萬有引力的矢量場。而在實際上等於該點物體所受的引力加速度。

### 矢量式

以下是一個普適化的矢量式，可被應用於多於兩個物體的情況（例如在地球與月球之間穿行的火箭）的計算。對於兩個物體的情況（比如說物體1是火箭，物體2是地球）來說，引力場$\mathbf g(\mathbf r)$表示為：

$\mathbf g(\mathbf r) = G {m_2 \over r^2} \, \mathbf{\hat{r}}$。

因此可以得到

$\mathbf{F}( \mathbf r) = m_1 \mathbf g(\mathbf r)$。

該公式不受產生引力場的物體的限制。引力場的單位為力除以質量的單位；在國際單位制上，被規定為N·kg−1（牛頓每千克）。

## 適用範圍

如果被討論的物體具有空間廣度（遠大於理論上的質點），它們之間的萬有引力可以以物體的各個等效質點所受萬有引力之和來計算。在極限上，當組成質點趨近於「無限小」時，將需要求出兩物體間的力在空間範圍上的積分。

從這裡可以得出：如果物體的質量分布呈現均勻球狀時，其對外界物體施加的萬有引力吸引作用將同所有的質量集中在該物體的幾何中心時的情況相同。（這不適用於非球狀對稱物體）。

## 存在的問題

儘管牛頓對萬有引力的描述對於眾多實際運用案例來說十分地精確，但它也遭遇到一些理論難題，而且被證實不符合一些重要觀測結果。

### 理論難題

- 沒有任何徵兆表明萬有引力的傳送媒介可以被識別出，牛頓自己也對這種無法說明的超距作用感到不滿意（參看後文條目「定律局限性」）。
- 牛頓的理論需要定義萬有引力可以瞬時傳播。因此給出了古典自然時空觀的假設，這樣亦能使約翰內斯·克卜勒所觀測到的角動量守恆成立。但是，這與愛因斯坦的狹義相對論理論有直接的衝突，因為狹義相對論定義了速度的極限——真空中的光速——在此速度下信號可以被傳送。

### 與觀測結果不符

牛頓的理論並不能完全地解釋出水星在沿其軌道運動到近日點時出現的進動現象。牛頓學說的預言（由其它行星的引力拖曳產生）與實際觀察到的進動相比每世紀會出現43弧秒的誤差。

牛頓理論預言，在萬有引力作用下，光線的偏折只有實際觀測結果的一半。廣義相對論則與觀察結果更為接近。

牛頓理論不能解釋為什麼所有物體的引力質量與慣性質量相同這一觀測現象。廣義相對論則將它作為一個基本條件。更多內容，請參閱條目等效原理。

### 定律局限性

當牛頓的非凡工作使萬有引力定律能夠以數學公式來表達後，他仍然不滿於公式中所隱含的超距作用觀點。他從來沒有在他的文字中給出產生這種能力的原因。在其它情況下，他使用運動的現象來解釋物體受到不同力的作用的原因，但是對於萬有引力這種情況，他卻無法用實驗方法來確認運動產生了萬有引力。此外，他甚至還拒絕對這個由地面產生的力的起因提出假設，而這一切都違背了科學證據的原則。

牛頓對萬有引力的發現埋葬了「哲學家至今仍在徒勞無功地試圖探索自然」(philosophers have hitherto attempted the search of nature in vain)這句所謂的真理，就同他深信著的「有各種因素」使得「各種迄今未知的原因」是所有「自然現象」的基礎。這些基本的現象至今仍在研究中，而且，雖然存在著許多種的假設，最終答案仍然沒有找出。雖然愛因斯坦的假設的確比牛頓的假設更能精確地解釋確定案例中萬有引力的作用效果，他也從來沒有在他的理論中為這種能力賦予一個原因。在愛因斯坦的方程式中，「物質告訴空間怎麼彎曲，空間告訴物質怎麼移動」。但是這個完全異於牛頓世界的新的思想，仍不足使愛因斯坦所給出「產生這種能力的原因」比萬有引力定律使牛頓所賦予的原因更能使空間彎曲。牛頓自己說：

我還沒有能力去從現象中發現產生這些引力特性的原因，而且我無法臆測……我所解釋的定律和豐富的天體運動的計算已經足夠於說明引力的確存在並能產生效果。一個物體可以不通過任何介質穿過真空間的距離對另一個物體產生作用，在此之上它們的活動和力可以傳送自對方，這對於我來說簡直就是一個天大的謬論。因此，我相信，任何有足夠的哲學思維能力的人都不會沉溺於此。

(I have not yet been able to discover the cause of these properties of gravity from phenomena and I feign no hypotheses... It is enough that gravity does really exist and acts according to the laws I have explained, and that it abundantly serves to account for all the motions of celestial bodies. That one body may act upon another at a distance through a vacuum without the mediation of anything else, by and through which their action and force may be conveyed from one another, is to me so great an absurdity that, I believe, no man who has in philosophic matters a competent faculty of thinking could ever fall into it.)

如果人類的科學最終能夠發現萬有引力是如何產生（製造）的，牛頓的夢想也將隨之實現。

需要注意的是，這裡使用的單詞「原因(cause)」並不是「起因(cause)和影響」或者「被告導致(cause)受害者死亡」中所表示的意義。何況，當牛頓使用單詞「原因(cause)」時，他（明顯地）意指為一種「解釋」。或者說，像「牛頓學說的萬有引力是行星運動的原因」這個短語的意思就是牛頓學說的萬有引力解釋了行星的運動。參看條目因果。

### 賓利的悖論

賓利的悖論是一個關於宇宙整體的悖論，指出當牛頓的引力理論應用於宇宙學時，會出現問題。牛頓導出了他的萬有引力公式後，他在寫給當時的劍橋哲學家理察·本特利的一封信中說，如果所有的恆星都由萬有引力相互吸引的話，那麼一個會被吸引到另一個；恆星之間的距離將逐漸地縮短，最後它們應該會合併成為一個點。牛頓認為，宇宙中的每顆恆星都應該被其它恆星所吸引，它們之間不會維持固定的距離，而是應該全部疊落在一起，變成單一個恆星。牛頓在信中承認了這一點。他宣稱上帝會「不斷地微調」來防止萬有引力應用上預見的結果。