諾特定理

諾特定理是理論物理的中心結果之一，它表達了每個連續對稱性都有著相應的守恆定律。例如，物理定律不隨著時間而改變，這表示它們有關於時間的某種對稱性。舉例來說，若現實中重力的強度每天都有所改變，就會違反能量守恆定律，因為觀察者可以在重力弱的那天把重物舉起，然後在重力強的時候放下來，這樣就得到了比一開始輸入的更多的能量。

諾特定理對於所有基於作用量原理的物理定律是成立的。它得名於20世紀初的數學家埃米·諾特。諾特定理和量子力學深刻相關，因為它僅用經典力學的原理就可以認出和海森堡測不準原理相關的物理量（譬如位置和動量）。

## 定理的數學表述

對該定理一種比較完善的表述方法為：

對於每個局部作用下的可微對稱性，存在一個對應的守恆流。

### 解釋

上述命題中的「對稱性」一詞精確一點來說是指物理定律在滿足某種技術要求的一維李群作用下所滿足的協變性。物理量的守恆定律通常用連續性方程表達。

定理的形式化命題僅從不變性條件就導出和一個守恆的物理量相應的流的表達式。該守恆量稱為諾特荷，而該流稱為諾特流。諾特流至多相差一個無散度向量場。

## 應用

諾特定理的應用幫助物理學家在物理的任何一般理論中通過分析各種使得所涉及的定律的形式保持不變的變換而獲得深刻的洞察力。例如：

- 對於物理系統對於空間平移的不變性（換言之，物理定律不隨著空間中的位置而變化）給出了動量的守恆律。
- 對於轉動的不變性給出了角動量的守恆律。
- 對於時間平移的不變性給出了著名的能量守恆定律。

在量子場論中，和諾特定理相似，沃德-高橋恆等式（Ward-Takahashi）產生出更多的守恆定律，例如從電勢和向量勢的規範不變性得出電荷的守恆。

諾特荷也被用於計算靜態黑洞的熵1。

## 證明

設有一個n維流形M以及一個目標流形T。令$\mathcal{C}$為從M到T的光滑函數組成的位形空間。（更一般的情況下，可以有一個M上的纖維叢的光滑截面）

物理學中這樣的"M"的例子包括：

- 經典力學上，哈密頓表述中，M是一個一維流形R，代表時間而目標空間是廣義位置的空間的餘切叢。
- 場論中，M是時空流形，而目標空間是場在任何給定可取的值的集合。例如，如果有m個實值標量場，φ1,...,φm，則目標流形是Rm。若流形是一個實向量場，則目標流形同構於R3。

現在設有一個泛函

$$S:\mathcal{C}\rightarrow \mathbb{R},$$

稱為作用量。（注意它在$\mathbb{R}$中而非$\mathbb{C}$中取值；這是有物理原因的，並且並不影響本證明。）

要得到通常版本的諾特定理，需要對作用量作額外的限制。假設Sφ是M上的如下函數的積分

$$\mathcal{L}(\varphi,\partial_\mu\varphi,x)$$

稱為拉格朗日量，它依賴於φ，包括它在各點的導數和位置。換句話說。

對於$\mathcal{C}$中的φ

$$S[\varphi]\equiv\int_M d^nx \mathcal{L}[\varphi(x),\partial_\mu\varphi(x),x].$$

若能給出邊界條件，也即，在M為緊緻的情況下φ在邊界的取值，或者在x趨向∞時，φ的極限。則$\mathcal{C}$的由滿足如下兩個條件的φ組成的子空間就是在殼解的子空間，其一是φ的S的泛函導數為零，也即：

$$\frac{\delta}{\delta \phi(x)}S[\phi]=0$$

其二是φ滿足給定邊界條件。（參看穩定作用量原理）

現在，假設有一個無窮小變換，定義在$\mathcal{C}$上，它由一個泛函求導Q生成，滿足

$$Q\left[\int_N d^nx\mathcal{L}\right]=\int_{\partial N}ds_\mu f^\mu[\phi(x),\partial\phi,\partial\partial\phi,...]$$

對於所有緊緻子流形N成立，換句話講（散度定理）。

$$Q[\mathcal{L}(x)]=\partial_\mu f^\mu(x)$$

對於所有x成立，其中令$\mathcal{L}(x)=\mathcal{L}[\phi(x), \partial_\mu \phi(x),x]$。

若這在在殼和離殼都成立，則稱Q生成一個離殼對稱性。若只在在殼情況成立，稱Q生成在殼對稱性。

並且，稱Q是單參數對稱性李群的生成元。

現在，對於每個N，因為歐拉-拉格朗日方程，在殼（只有在殼）上，可以有

$Q\left[\int_N d^nx\mathcal{L}\right]$｜$=\int_Nd^nx\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}- \partial_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right]Q[\phi]+ \int_{\partial N}ds_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}Q[\phi]$

$$=\int_{\partial N}ds_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}Q[\phi].$$

因為這對於所有N成立，所以有

$$\partial_\mu\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}Q[\phi]-f^\mu\right]=0.$$

但這無非就是對於如下的流的連續性方程

$$J^\mu\equiv\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}Q[\phi]-f^\mu$$

這被稱為和該對稱性相關的諾特流（Noether current）。該連續性方程說明如果對這個流在空間式切片上積分，就可以得到稱為諾特荷的守恆量（當然，必須假定M非緊緻時，該流趨向無窮遠處時下降足夠快）。

### 評論

諾特定理實際上是邊界條件和變分原理的關係的反映。假設作用量沒有邊界項，諾特定理意味著

$$\int_{\partial N}ds_\mu J^\mu=0.$$

諾特定理是一個在殼定理。諾特定理的量子化版本是沃德-高橋恆等式。

假定有兩個對稱性求導Q1和Q2。則Q1,Q2也是一個對稱性求導。顯式地來看

$$Q_1[\mathcal{L}]=\partial_\mu f_1^\mu$$

及

$$Q_2[\mathcal{L}]=\partial_\mu f_2^\mu$$

(這個是否離殼或僅僅在殼成立無關緊要）。則。

$$[Q_1,Q_2][\mathcal{L}]=Q_1[Q_2[\mathcal{L}]]-Q_2[Q_1[\mathcal{L}]]=\partial_\mu f_{12}^\mu$$

其中f12=Q1f2μ-Q2f1μ。所以。

$$j_{12}^\mu=\left(\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu\phi)}\mathcal{L}\right)(Q_1[Q_2[\phi]]-Q_2[Q_1[\phi]])-f_{12}^\mu.$$

這表明可以（簡單地）將諾特定理擴張到更大的李代數上。

### 證明的一般化

這個推理可以應用到任何求導過程Q，不只是對稱性求導，也可以是更一般的泛函微分作用，包括拉格朗日量依賴於場的更高階的導數以及非局部作用量的情況。令ε為任意時空（或時間）流形的光滑函數，滿足其支撐的閉包和邊界不交。ε是一個測試函數。則根據變分原理（附帶說一下，它不適用於邊界），由qεφ(x)=ε(x)Qφ(x)生成的求導分布q滿足qεS=0對於任何在殼的ε成立，或者可以簡寫為q(x)S對於所有不在邊界上的x（注意q(x)是求導分布的簡寫，通常不是用x參數化的求導）。這就是諾特定理的一般化。

要看出這個一般化和上面的版本如何對應，可以假設作用量就是只依賴於φ及其一階導數的時空積分。並且，假設

$$Q[\mathcal{L}]=\partial_\mu f^\mu$$

（離殼或僅僅在殼都可以）。則。

$$q[\epsilon][S]=\int d^dx q[\epsilon][\mathcal{L}]$$

$$=\int d^dx \left(\frac{\partial}{\partial \phi}\mathcal{L}\right) \epsilon Q[\phi]+ \left[\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu \phi)}\mathcal{L}\right]\partial_\mu(\epsilon Q[\phi])$$

$$=\int d^dx \epsilon \partial_\mu \Bigg\{f^\mu-\left[\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu\phi)}\mathcal{L}\right]Q[\phi]\Bigg\}$$

對於所有ε成立。

更一般地講，如果拉格朗日量依賴於高階導數，則

$$\partial_\mu\left[f^\mu-\left[\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu\phi)}\mathcal{L}\right]Q[\phi]-2\left[\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu \partial_\nu \phi)}\right]\partial_\nu Q[\phi]+\partial_\nu\left[\left[\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu \partial_\nu \phi)}\mathcal{L}\right] Q[\phi]\right]-\,\cdots\right]=0.$$

## 例子

### 例1：能量守恆

考慮一個特殊情況：

設有一個質量為m，坐標為x，在勢能V影響下運動，坐標為t的牛頓粒子。其作用量S為：

$S[x]\,$｜$=\int \mathcal{L}[x(t),\dot{x}(t)] dt$

$$=\int \left\{\frac{m}{2}g_{ij}\dot{x}^i(t)\dot{x}^j(t)-V[x(t)]\right\} dt$$

（也即，在一個彎曲黎曼空間（但不是彎曲時空）中運動的一個牛頓質點，該空間度量為g，質點勢能為V）。

取Q為時間平移的生成元。換句話說，$Q[x(t)]=\dot{x}(t)$。量子場理論學家經常在方程右邊加上一個因子i。注意

$$Q[\mathcal{L}]=m g_{ij}\dot{x}^i\ddot{x}^j-\frac{\partial}{\partial x^i}V(x)\dot{x}^i.$$

這有如下形式

$$\frac{d}{dt}\left[\frac{m}{2} g_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j-V(x)\right]$$

所以可以令

$$f=\frac{m}{2} g_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j-V(x).$$

則。

$j\,$｜$=\left(\frac{\partial}{\partial \dot{x}^i}\mathcal{L}\right)Q[x]-f$

$$=m g_{ij}\dot{x}^j\dot{x}^i-\left[\frac{m}{2} g_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j-V(x)\right]$$ $$=\frac{m}{2}g_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j+V(x).$$

可以認出右邊就是能量，而諾特定理就是說$\dot{j}=0$ （也即，能量守恆就是時間平移的不變性的結果）。

更一般的來講，若拉格朗日量不顯式依賴於時間，如下物理量

$$\sum_i \left (\frac{\partial}{\partial \dot{x}^i}\mathcal{L}\right )\dot{x^i}-\mathcal{L}$$

（稱為哈密頓量）是守恆的。

### 例2：線性動量守恆

繼續使用一維時間。這次，令

$S[\vec{x}]\,$｜$=\int dt \mathcal{L}[\vec{x}(t),\dot{\vec{x}}(t)]$

$$=\int dt \left [\sum^N_{\alpha=1} \frac{m_\alpha}{2}(\dot{\vec{x}}_\alpha)^2 -\sum_{\alpha<\beta} V_{\alpha\beta}(\vec{x}_\beta-\vec{x}_\alpha)\right]$$

也即N個勢能只依賴於兩兩相對位移的牛頓質點。

對於$\vec{Q}$，考慮平移變換的生成元（也即坐標系的變換）。換句話說。

$$Q_i[x^j_\alpha(t)]= \delta^j_i.$$

注意

$$Q_i[\mathcal{L}]=0$$

所以令

$$\vec{f}=0.$$

則。

$$\vec{J_i}=\sum_\alpha \left(\frac{\partial}{\partial \dot{\vec{x}}_\alpha}\mathcal{L}\right)\cdot\vec{Q}[\vec{x}_\alpha]-\vec{f}$$

$$=\sum_\alpha m_\alpha \dot{\vec{x}}_\alpha^i$$

諾特定理表明$\dot{\vec{J_i}}=0$ (說明每個方向上的總動量守恆來自該方向上的平移不變性).

### 例3

上面的兩個例子都是在一維流形（時間）上的。下面來探討一個時空中的例子，若考慮(3＋1)-閔可夫斯基時空中的無質量有一個四次勢的標量場的共形變換。

$S[\phi]\,$｜$=\int d^4x \mathcal{L}[\phi (x),\partial_\mu \phi (x)]$

$$=\int d^4x \left( \frac{1}{2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi -\lambda \phi^4\right )$$

取Q為時空縮放的生成元。換句話說。

$$Q[\phi(x)]=x^\mu\partial_\mu \phi(x)+\phi(x).$$

右手邊的第二項是由於φ的「共形權重」。注意

$$Q[\mathcal{L}]=\partial^\mu\phi\left(\partial_\mu\phi+x^\nu\partial_\mu\partial_\nu\phi+\partial_\mu\phi\right)-4\lambda\phi^3\left(x^\mu\partial_\mu\phi+\phi\right).$$

這有以下形式（其中進行了空指標的變換）

$$\partial_\mu\left[\frac{1}{2}x^\mu\partial^\nu\phi\partial_\nu\phi-\lambda x^\mu\phi^4\right]=\partial_\mu\left(x^\mu\mathcal{L}\right)$$

並令以下

$$f^\mu=x^\mu\mathcal{L}.\,$$

則。

$$j^\mu=\left[\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu\phi)}\mathcal{L}\right]Q[\phi]-f^\mu$$

$$=\partial^\mu\phi\left(x^\nu\partial_\nu\phi+\phi\right)-x^\mu\left(\frac{1}{2}\partial^\nu\phi\partial_\nu\phi-\lambda\phi^4\right).$$

諾特定理表明$\partial_\mu j^\mu=0$ （可以直接將歐拉－拉格朗日方程代入左邊驗證）。

（註：如果要找出該方程的沃德-高橋版本，會遇到異常問題。）

## 參考

- 諾特論文的英文譯本
- 關於諾特定理的文章（英文），作者John Baez
- 諾特關於對稱性和守恆定律之間的深刻關係的發現，作者Nina Byers
- 1 計算靜態黑洞的熵（英文）
- 2 只用諾特定理得出麥克斯韋，楊－米爾斯和理論中的對稱能動張量