引力波

在廣義相對論裡，重力波是時空的漣漪。當投擲石頭到池塘裡時，會在池塘表面產生漣漪，從石頭入水的位置向外傳播。當帶質量物體呈加速度運動時，也會在時空產生漣漪，從該物體位置向外傳播，這種時空的漣漪就是重力波。由於廣義相對論限制了引力相互作用的傳播速度為光速，因此兩個宇宙物體間萬有引力的感應會產生重力波的現象，我們可以想像在平面上放置一顆重球移動後，造成平面的時空扭曲波擴散出去要一段時間，之後才會對遠方的另一顆球產生影響。相反地說，牛頓重力理論中的交互作用是以無限的速度傳播，所以在這一理論下並不存在重力波。

由於重力波與物質彼此之間的相互作用非常微弱，重力波很不容易被傳播途中的物質所改變，因此重力波是優良的資訊載體，使人類能夠觀測從宇宙深處傳來的寶貴資訊。重力波天文學是觀測天文學的一門新興分支。重力波天文學利用重力波來收集對於劇烈天文事件的重力波波源資訊，如白矮星、中子星與黑洞一類的星體所組成的聯星，超新星與大爆炸也是劇烈天文事件的重力波波源。天文學家可以利用重力波觀測到超新星的核心，或者大爆炸的最初幾分之一秒，利用電磁波是不足以觀測到這些重要天文事件的。

1916年，阿爾伯特·愛因斯坦即根據廣義相對論預言了重力波的存在。1974年，拉塞爾·赫爾斯和約瑟夫·泰勒發現赫爾斯－泰勒脈衝雙星。這雙星系統在互相公轉時，由於不斷散發重力波而失去能量，因此逐漸相互靠近，這現象為重力波的存在提供了第一個間接證據。科學家也利用重力波探測器來觀測重力波現象，如簡稱LIGO的雷射干涉重力波天文台。2016年2月11日，LIGO科學團隊與處女座干涉儀團隊共同宣布於2015年9月14日首次直接觀察到重力波，其源自於雙黑洞合併。之後，又陸續多次觀察到重力波事件，例如2017年8月17日首次探測到源自於雙中子星合併的重力波事件GW170817。除了LIGO以外，另外還有幾所重力波天文台正在建造。2017年，萊納·魏斯、巴里·巴利許與基普·索恩因成功觀察到重力波，而獲得諾貝爾物理學獎。

## 概述

愛因斯坦廣義相對論所描述的重力，是時空扭曲所產生的一種現象。質量可以導致這種扭曲，質量越大所造成的時空扭曲也越大。當物質在時空中運動時，時空的扭曲也會跟著移動。這些有加速度的物體運動時所產生的扭曲變化會以光速像波一樣向外傳播。這一傳播現象就是重力波。

當重力波通過遠處的觀測者時，觀測者會因為觀察到形變而發現時空被彎曲了–兩個自由物體之間的距離會有節奏地波動，頻率與該重力波相同。然而，在這一過程中，這兩個自由物體並沒有受力，座標位置也沒有變化；改變的，是時空座標本身的距離。在觀測者處的重力波震幅和與波源間的距離呈反比。根據預測，螺旋形靠近的中子雙星系統由於質量大、加速度高，因此在合併時會發射出強大的重力波，但因為距離尺度之大，此重力波到達地球時已經低於波源處的10−20倍。科學家不斷使用更靈敏的偵測儀來偵測這種極細微的重力波存在。最為敏感的偵測器位於LIGO和VIRGO天文台，2012年時靈敏度為5×10^−22。歐洲太空總署正在發展一座用來探測重力波的太空天文台，雷射干涉太空天線，簡稱LISA。

重力波能夠穿透電磁波所無法穿透的空間，重力波能夠幫助了解黑洞合併或位於宇宙遠處的各種天體。重力波可讓我們探索無法用光學望遠鏡和無線電望遠鏡等傳統方式觀測的天體，因此重力波天文學使我們能夠用新的方式來了解宇宙的運行。宇宙學家還能夠利用重力波來觀測宇宙最早期狀態。傳統的天文學方法無法用來直接觀測早期宇宙，因為在復合之前，宇宙無法被電磁波所穿透。對重力波更精確的測量還能進一步驗證廣義相對論。

重力波理論上可以任何頻率存在，但頻率極低的幾乎無法探測，而極高頻率也沒有可觀測的已知波源。史蒂芬·霍金和維爾納·伊斯雷爾（Werner Israel）預測，可以被探測到的重力波頻率在10−7 Hz和1011 Hz之間。

## 歷史

1905年，昂利·龐加萊最先提出，如同有加速度的電荷會生成電磁波，有加速度的質量在重力的相對論場中運動也會生成重力波。1915年阿爾伯特·愛因斯坦發表廣義相對論時，則對於龐加萊的觀點抱持懷疑態度，因重力不似電荷有偶極子的概念，但他仍然使用了這個概念去推導重力波的樣貌。在1916年論文《重力場方程組的近似積分》裡，他闡明怎樣使用廣義相對論來推導出重力波，他並且給出三種不同的重力波，赫爾曼·外爾稱它們為「縱縱波」、「縱橫波」與「橫橫波」。

發表後，愛因斯坦所使用的近似與假設則引起了學界更多的疑問，甚至連愛因斯坦自己也對自己的推導出缺乏信心。1922年，亞瑟·愛丁頓指出在愛因斯坦的三種重力波中，有兩種在不同座標系統中推導出的傳播速度不相同，暗示著重力波能以任意速度傳播，愛丁頓詼諧地稱它們以「想像的速度」傳播。因此學界也開始質疑，對於剩下的橫橫波－愛丁頓所證不論任何座標系統下，橫橫波皆以光速傳播－是否具有物理意義。

1936年，愛因斯坦與納森·羅森在《物理評論》中發表的《重力波存在嗎？》一文中表示，重力波在廣義相對論中不存在，因為每一道場方程式的解都會出現奇點。《物理評論》的主編將原稿交給霍華德·羅伯遜同行審查，發現原稿提到的這些奇點是因用了圓柱形座標產生的座標奇點，對原本的理論不造成傷害。主編於是將這問題告知愛因斯坦。然而，因愛因斯坦不清楚「同儕評鑑」的概念，憤而撤回原稿，並從此再也不在《物理評論》發表論文。儘管如此，他的助理利奧波德·英費爾德與羅伯遜連絡後，成功地說服愛因斯坦相信同行批評，相反結論的文章改名為《論重力波》，轉發表於《富蘭克林會社期刊》。1956年，英國理論物理學者菲立克斯·皮拉尼，在論文《論黎曼張量的物理意義》裡，則補救了原理論中使用不同坐標系得到的不同結論，並將其改寫為可供觀察的黎曼曲率張量來表達重力波，此方法能夠迴避因座標系產生的難題，並且展示出，粒子會在重力波通過時來回震盪。

皮拉尼的論文並未獲得重視，因為當時學界正專注於另一問題：重力波是否傳輸能量？在北卡羅萊納大學教堂山分校舉辦的「第一次廣義相對論大會」中，理查·費曼提出一個思想實驗，名為黏珠論點，其表明，假設在一根棍子上有兩粒自由滑動的珠子，而這根棍子垂直於重力波的傳播方向，則重力波會使得串珠沿著棍子震盪，串珠與棍子會因接觸摩擦而產生熱能，表示重力波在做機械功，因此重力波會傳輸能量。

教堂山會議之後，約瑟·韋伯設計並建成第一個重力波探測器，知名為韋伯棒。1969年，他聲稱，首度探測到重力波的信號。且於隔年表示，經常探測到源自於銀河系中心的重力波訊號。然而這引起學界質疑此實驗的合理性，因按其結果推算的能量損失速度，本銀河系的年齡應遠短於所推測的年齡。這些質疑到了70年代中期變得合理，因很多其他實驗團隊無法從自己的韋伯棒中證明實驗的再現性，因此到了1970年代晚期韋伯的實驗結果已被學界公認為是有謬誤的。

但，重力波存在的間接證據大約也在同時期出現，1974年，拉塞爾·赫爾斯和約瑟夫·泰勒發現赫爾斯－泰勒脈衝雙星，此也使得兩位物理學家在1993年獲得諾貝爾物理學獎。1979年，在脈衝星計時觀測中發現，這個雙星系統在互相公轉時，由於散發重力輻射而失去能量及角動量，導致彼此距離逐漸靠近，此與廣義相對論的預測相符合。

這個間接證據刺激了更多的研究，即使在韋伯的實驗失敗後，一些團隊致力於改良韋伯的實驗，另外有一些團隊則研究用其他方式來偵測，俄國物理學者麥可·葛特森希坦與弗拉基斯拉夫·普斯投沃特於1962年，發表使用干涉儀來探測重力波的方法。幾年後，約瑟·韋伯與萊納·魏斯分別獨立地發表類似點子。1971年，在休斯研究實驗室工作的羅伯特·弗爾沃德首先製成臂長8.5m的重力波干涉儀雛型，經過150小時的觀測以後，弗爾沃德報告，並未觀測到重力波。

在美國國家科學基金會催促下，加州理工學院與麻省理工學院於1984年簽署了一份合約，同意合作設計與建造雷射干涉重力波天文台（LIGO），並且由基普·索恩、朗納·德瑞福 與萊納·魏斯組織一個指導委員會共同主持這計畫。1990年，LIGO計畫獲得批准，在路易斯安那州的利文斯頓與在華盛頓州的漢福德分別建造相同的探測器，這是為了刪除缺乏關聯的信號。1994年開始動工， 1999年完工。2002年正式第一次探測重力波，2010年結束蒐集數據。在這段時間內，並未探測到重力波，但獲得了很多寶貴經驗。在2010年與2014年之間LIGO被重新設計與重新建造，改善靈敏度超過10倍以上，升級後被稱為「先進LIGO」，於2015年再次開啟運作。

2016年2月11日，LIGO科學團隊與VIRGO團隊共同宣布，已於2015年9月14日探測到重力波，其源自於離地球410 百萬秒差距（13億光年）之遠的由兩個質量分別為36+5倍太陽質量和294倍太陽質量的黑洞合併，最終形成質量為624倍太陽質量的黑洞。這事件稱為GW150914。2015年12月26日，再次探測到重力波，這次稱為GW151226的事件是源自於離地球440 百萬秒差距（14億光年）之遠的由兩個質量分別為14.28.3倍太陽質量、7.52.3倍太陽質量的黑洞合併成為質量為20.86.1倍太陽質量的黑洞。2017年1月4日，第三次探測到重力波，波源離地球有880 百萬秒差距（29億光年）之遠，是由兩個質量分別為31.28.4倍太陽質量、19.45.3倍太陽質量的黑洞合併後，形成質量為48.75.7倍太陽質量的黑洞。這事件稱為GW170104。

2017年8月14日，第四次探測到重力波，質量分別為太陽的30.55.7 倍和25.32.8 倍的兩個大型黑洞，在大約540130百萬秒差距（184億光年）處合併為一。這次的重力波訊號，是LIGO的兩台重力波探測器和Virgo歐洲重力波探測器，共三台史上第一次同時偵測到。這事件稱為GW170814，類型是雙黑洞合併。新生產的旋轉黑洞大約是我們太陽質量的53.23.2倍，這意味著大約2.70.4個太陽質量在合併過程中被轉化為重力波能量。由於是三台同時偵測到，所以可以精確定位訊號在天空中的位置（60平方度）。

2017年8月17日，LIGO與VIRGO首次探測到，在距離地球僅僅1.3億光年之處，兩個中子星因合併而產生的重力波事件GW170817。LIGO與VIRGO的三台干涉儀能夠將訊號在天空中的區域精確定位至28平方度。在重力波被偵測到的1.7秒之後，費米伽瑪射線空間望遠鏡（Fermi）也偵測到短暫的伽瑪射線暴GRB170817A。約11小時之後，位於智利的斯沃普望遠鏡在引力波源區域發現到光學瞬變天文事件AT 2017gfo，其位於長蛇座的星系NGC 4993。學者認為，兩個中子星相互碰撞，首先產生引力波事件GW170817，然後再產生短暫伽瑪射線暴GRB170817A與千新星AT 2017gfo。重力波與電磁波的首次同時被觀測到，象徵著多信使天文學的新時代已經來臨。

## 通過時的效應

要了解重力波通過觀測者時的作用，可以想像一個完全平坦的時空區域，裡面有一組靜止的試驗粒子形成一個平面。當重力波沿著垂直於該平面的方向通過這些粒子時，它們就會隨著扭曲了的時空而「十字形」擺動（見右邊動畫）。試驗粒子所包圍之面積不變，而且粒子不會沿波傳遞方向運動。當橫向粒子距離最大時，縱向的粒子距離就最小；相反，橫向離子距離最小時，縱向粒子距離就最大。

動畫大大誇大了粒子的擺動，重力波的振幅實際上是非常小的。兩個質量互相作圓周軌道運動，就可以產生這種效果。在這種情況下，重力波的振幅不變，但其偏振平面會以公轉週期的兩倍旋轉。所以重力波大小（週期性時空應變）會隨時間改變，如動畫所示。如果軌道呈橢圓形，則振幅本身也會隨時間變化。

正如其他波一樣，重力波也有幾項特徵屬性：

- 振幅：通常記作h，描述波大小的一個純量，是兩個粒子間距離的最大擠壓度佔原距離的比例。動畫中的振幅大約為h=0.5(50%)。兩個黑洞合併時所產生的重力波在通過地球時，振幅只有h~10−21。
- 頻率：通常記作f，波振動的頻率（1除以兩次最大擠壓之間的時間間隔，週期的倒數）。
- 波長：通常記作λ，波的兩個最大擠壓處之間的空間間隔。
- 速度：波傳播的速度。在廣義相對論中，重力波以光速c傳播。

重力波的速度、波長和頻率之間的關係為c = λ f，這與電磁波的對應方程相同。例如，動畫中的粒子大約每2秒擺動一次，即頻率為0.5 Hz，並可計算出波長約為600,000 km，即大約地球直徑的47倍。

以上例子假設了波具有「十字型」線性偏振，記作$h_+$。和光波的偏振不同的是，重力波的偏振之間呈45度角，而非90度。如果偏振為「交叉型」$h_\times$，那麼試驗粒子的波動十分相似，只是方向旋轉了45度，正如第二幅動畫所示。和光波一樣，重力波偏振還可以以圓偏振波表示。重力波的偏振取決於波源的性質和角度。

### 振幅上限的估算

重力波的光度為一個四極矩對時間作三階導數的函數。

一個典型系統的四極矩分量$Q_{ij}$具有$MR^2$的量級，M是指系統的質量，R是系統的半徑，因此可以認為這一分量對時間的二階導數具有$Mv^2$的量級，其中$v^2$是系統內部引起引力輻射的運動速度的平方。則代入四極矩公式可得輻射的重力波強度為：

$$h < \phi_{int}\phi_{ext}$$

$h \sim \frac{2Mv^2}{r}$。

注意到這裡$\frac{M}{r}$就是波源外部距離為r處的牛頓引力勢，重力波強度與外部引力勢$\phi_{ext}$的比值$\epsilon$為

$\epsilon \sim 2 v^2$。

根據自引力系統的位力定理，這個比值不能大于波源內部牛頓引力勢的最大值$\phi_{int}$。這樣得到了一個很方便實用的估算重力波振幅上限的方法。

對於一個在室女座星系團內放出引力輻射的中子星，可估算出其引力輻射的上限為5-22。幾十年來，科學家都利用這種方法來估算重力波探測器靈敏度的最低要求。

### 頻率上限的估算

對某些特殊的重力波源而言，其引力輻射頻率是受波源運動直接制約的，例如一個自轉的脈衝星的引力輻射頻率是其自轉頻率的兩倍。但對大多數雙星系統，引力輻射頻率和其自然頻率相關，自然頻率定義為

$$f_0 = \sqrt{\bar{\rho} \over 4\pi}$$

這裡$\bar{\rho}$是波源的能量-質量的平均密度。在雙星系統中這個頻率和其軌道頻率有相同的數量級。

很顯然波源的質量M和尺寸半徑R決定了它的自然頻率，對球體而言有$\bar{\rho} = \frac{3M}{4\pi R^3}$。對一個質量為1.4倍太陽質量，半徑為10千米的中子星，其自然頻率為1.9千赫茲；對一個質量為10倍太陽質量，視界半徑為30千米的黑洞，其自然頻率為1千赫茲；而對於質量為2.56倍太陽質量，位於銀河系中心的超大質量黑洞，其自然頻率為4毫赫茲，因為其密度反而更低。從自然頻率估計的引力輻射頻率一般來說在數量級上是正確的，本質上是一個快捷但很粗略的估計，得到是其真實頻率的上限。

## 波源

重力波的產生，是由於加速度運動及其加速度的變化，且此不可為完美球形對稱之運動（如擴張或收縮中的球體）或對稱之旋轉（如旋轉中的圓盤或球體）。例如，一個啞鈴以其把手鐵桿作為對稱軸旋轉，則不會產生重力波，但如果將其置於地面，以其質心作為圓心旋轉（即旋轉軸垂直於連接啞鈴兩端的把手），則會產生重力波，一支鉛筆的旋轉會否產生重力波，要看其旋轉軸，如果啞鈴的兩端質量極高，就可以模擬中子星或黑洞雙星系統；又例如，一支鉛筆的旋轉會否產生重力波，要看其旋轉軸，沿著鉛筆則無，垂直於鉛筆則有。非對稱系統的質量越高，運動速度越高，其散發的重力波就會越強。

以下提供一些例子：

- 兩個天體互相繞行，如行星繞行恆星運動，會輻射重力波。
- 非軸向對稱之小行星的自轉－意即若其赤道處有許多坑洞或顛簸－會輻射重力波。
- 超新星通常會產生重力波，除非其爆炸之形狀為完美對稱，而這幾乎不可能。
- 一個不會自轉的固態天體以等速度運動時不會產生重力波。（此即動量守恆定律）
- 一個旋轉中的圓盤不會輻射重力波。（此即角動量守恆定律，但其會有重力磁性）
- 球形脈動的球狀星體（單極矩或質量不為0，但四極矩為0）不會輻射重力波。（詳細請見Birkhoff's theorem）

重力波的頻率取決於動態系統的特徵時間尺度。對於雙星系統，兩個天體相互公轉的頻率就是重力波的頻率。重力波源一般以頻帶分類。1至10 kHz的歸為高頻波源，來自於中子雙星、雙黑洞、超新星等等，這一頻率段在地基重力波探測器的偵測精度範圍以內。1 mHz至1 Hz的歸為低頻波源，來自於超大質量黑洞、矮雙星、白矮雙星等等，能用太空雷射干涉儀和太空飛行器都卜勒跟蹤方法來偵測。1 nHz至1 mHz的歸為甚低頻波源，來自於超大質量黑洞、宇宙弦尖點（cosmic string cusp）等等，這是脈衝星計時實驗所研究的頻帶。最後10−18至10−15 Hz的歸為極低頻波源，對應於宇宙微波背景中所能探測到的重力波特徵。

### 聯星

能夠輻射可觀測量級重力波的密近聯星包括白矮星、中子星和黑洞等緻密恆星組成的雙星系統，例如黑洞雙星、黑洞-中子星、雙中子星、雙白矮星等等。它們具有很大且隨時間變化的四極矩，對LIGO等地面探測器和空間探測器LISA而言都是重要的重力波源，也是至今唯一由間接觀測證實的重力波源（脈衝雙星系統PSR 1913+16）。從總體上看，雙星系統的引力輻射過程實際是一個雙星逐漸接近結合的過程，這一過程按順序分為旋近、合併、自轉減緩三相。

引力輻射會使在旋近態中的雙星損失動能，造成其軌道以很緩慢的速度發生衰減，兩顆恆星逐漸接近。換句話說，它們發生引力輻射的時間尺度遠大於其公轉周期，因此這一過程被認為是絕熱的，最常用的預測波形的方法是後牛頓近似方法。從重力波的頻率估算方法可知，雙星系統的輻射頻率與其自身密度的平方根成正比關係。地面探測器可探測的雙星包括中子星和恆星質量黑洞，LISA則負責探測白矮星等未知雙星和超大質量黑洞。

軌道運動輻射的能量會造成軌道的收縮，其結果是觀測到發射的重力波頻率隨時間增加而變大，這種波叫做啁啾（chirp）信號。如果能夠觀測到啁啾的時間尺度，就可以推算出雙星的啁啾質量；進而可以從啁啾質量和觀測到的重力波振幅推算出雙星到地球的距離，這意味著將有可能進一步藉此測量哈勃常數和其他宇宙學常數。

隨著雙星系統的軌道衰減逐漸加快，絕熱近似不再適用，這樣雙星系統進入合併態：兩顆恆星接近後發生猛烈的接觸合併成一個黑洞，並有相當部分的質量以重力波的形式釋放（但也有很大一部分質量由於角動量守恆的制約無法離開黑洞視界，從而在黑洞附近形成吸積盤，一般說法認為這有可能會導致伽瑪射線暴的形成），這裡後牛頓近似方法不適用（參見恆星質量黑洞一節）；這個合併形成的黑洞隨後進入自轉減緩態，隨著引力輻射黑洞的自轉頻率逐漸降低，最後穩定成一個克爾黑洞。

本質上，雙中子星在宇宙中的數量相對稀少，在可觀測的範圍內它們的數量要少於中子星-白矮星組成的雙星系統，更少於宇宙中廣泛存在的低頻（10−5至10−1 Hz）的雙白矮星系統。這些雙白矮星在數量上和壽命上都要遠大於像PSR B1913+16這樣處於軌道收縮態的雙中子星。這是由於大多數恆星都具有較小的質量，而大多數恆星又都是雙星。據估計，LISA有可能發現上千個這樣的雙白矮星系統，其發現機率遠大於地面探測器對雙中子星的探測期望。不過事實上，銀河系內太多的雙白矮星系統會形成頻率低於1毫赫茲的背景噪聲，這種背景噪聲叫做「迷惑噪聲」，它將高於LISA本身的儀器噪聲，但這些噪聲不會影響對較強的黑洞信號的探測。而河外星系的雙白矮星則由于振幅太低，儘管也能夠形成高至1赫茲頻率的背景噪聲，其程度仍然遠在LISA的儀器噪聲之下。

### 脈衝星

對於一顆獨立自轉的中子星（脈衝星）而言，要成為重力波射源，其質量（或質量流）分布必須存在不對稱性。非對稱性的來源機制包括兩類。

第一種情形是相對於星體固定的非對稱性，可能的機制包括：

- 星體本身即是非完全對稱的類球體（例如球狀星團Terzan 5內部的脈衝星PSR J1748-2446ad，自轉頻率716赫茲，是已知自轉最快的脈衝星）
- 脈衝星的磁場方向與其自轉軸方向不一致（例如PSR 1828-11）
- 恆星吸積導致的非對稱性（典型例子即低質量X射線雙星，例如天鵝座X-1）

現在一般認為中子星的殼層不足以支持質量超過10−5倍太陽質量的非對稱性。例如，根據估算，LIGO的預期波源PSR J2124-3358的非對稱性上限佔總質量的1.1-7。從這一點估算出的自轉減慢態的時間尺度比實際長得太多。因此看來引力輻射並不足以成為中子星自轉減慢的主要原因。以蟹狀星雲內部的年輕脈衝星PSR J0534+2200為例，其非對稱性小於總質量的3-4，重力波的振幅上限約為6-25；而對於較老的毫秒脈衝星，非對稱性只有總質量的10−9左右，如果距離地球1秒差距，估算得到的振幅上限量級為10−28。雖然這些典型的振幅都遠低於LIGO的靈敏度，但只要長時間進行測量，就可以找到其對應的相關信號。

第二種情形是非對稱的部分相對於星體是運動的，典型的例子即是中子星r模式的不穩定性，也被稱作中子星上的羅斯比波（Rossby Wave），這個名稱來源於其機制類似於地球表面的科里奧利力。這種情形下，理論計算所得的引力輻射頻率為自轉頻率的4/3倍。

### 引力坍縮和伽瑪射線暴

中子星的形成來源於超新星的引力坍縮，超新星內核的坍縮速率可達每秒七萬千米。這種引力坍縮並不是高度對稱的，這一點已經在對超新星SN 1987A的觀測中得到證實。因此這種引力坍縮會產生一種持續時間很短且無周期性的重力波突發信號，並伴隨電子捕獲和中微子輸運的過程。但引力輻射的波形和振幅都很難從理論上預測，一般認為只能運用數值模擬的方法。這種突發信號的頻帶可能很寬，中心頻率在1千赫茲；或者有可能是在100赫茲到10千赫茲之間任意一個頻率的周期性啁啾信號。理論上估計，如果在室女座星系團之內發生超新星坍縮，而且其發射的能量要大於0.01倍太陽質量，那麼現在的地面探測器就有可能觀測到這類事件。但事實上到底有多大比例的能量以輻射的方式釋放出來仍然是一個未能解決的問題，現在一般認為輻射能量不會超過超新星總質量的10−6，當前的重力波探測器還沒有能力探測到河外星系內的超新星爆發。這類事件在銀河系內的發生機率大概有幾十年一次，根據計算，來自10千秒差距外引力坍縮的引力輻射振幅約為10−20，持續時間為幾個毫秒。新一代地面探測器的靈敏度應該可以達到相應的水平。

伽瑪射線暴是短時間（幾毫秒至幾分鐘）內極高強度的伽瑪射線輻射突然爆發事件，按持續時間分為長短兩類。根據大多數觀測所得出的結論來看，伽瑪射線暴很可能是高速自轉的黑洞誕生時所產生的。果真如此的話，相對於引力坍縮來說，這種高速自轉的非對稱性結構會形成高度穩定的引力輻射，因而有可能在觀測到其電磁輻射爆發的同時探測到相應的引力輻射。不過這種事件應該並不多見，所以需要一個很廣的觀測距離（至少約3吉秒差距），以及相當比例的輻射能量。然而，2007年2月發生了一次來自仙女座星系方向的GRB 070201短伽瑪射線暴，而LIGO並沒有探測到引力輻射的存在。這可能是因為GRB 070201發生地點比仙女座星系更為遙遠，但也可能暗示伽瑪射線暴並非源於黑洞或中子星的形成過程，而是來自如磁星這樣帶有極強磁場的軟伽瑪射線復發源。

### 恆星質量黑洞

天文學家現在認識到宇宙中存在數量豐富的黑洞，根據質量可分為恆星質量黑洞和位於河外星系中心的超大質量黑洞。這兩類黑洞的質量非常不同，因此它們的引力輻射的機制和頻率存在很大差別：恆星質量黑洞一般具有10倍左右太陽質量，形成於紅巨星或超新星爆發時內部的引力坍縮；大質量和超大質量黑洞的質量則在105至1010倍太陽質量範圍內，其形成機制至今還不十分清楚。黑洞雙星的自然頻率和其質量成反比。這表明恆星質量黑洞的重力波頻率在地面探測器的偵測範圍內，而超大質量黑洞的重力波只能用LISA這樣的空間探測器捕捉到。

恆星質量黑洞的引力輻射一般認為來源於雙星系統（其中至少有一個是黑洞）的旋近-合併-自轉減緩這一系列過程，這和雙中子星等其他雙星系統的重力波輻射機制是相同的。在旋近態中，兩個黑洞的距離相當遠（$r\gg 4M$），並以很緩慢的速度逐漸接近。這時和所有雙星系統一樣，後牛頓近似完全足夠解決此類問題。不過當黑洞雙星的距離逐漸拉近，直到其軌道縮減為最內穩定圓軌道（Innermost Stable Circular Orbit，簡稱ISCO）時，黑洞掉入彼此的事件視界之內，雙星從旋近態向合併態轉變。這種相變完全是一種相對論性效應，因此後牛頓近似在這裡完全不適用。黑洞的合併必然會伴隨著重力波信號的突然發射，目前這種信號只能採用數值相對論模擬的方法來分析，並且有很多實際計算上的困難。而且對於質量超過50倍太陽質量的黑洞，旋近態終止時的頻率是最後穩定軌道的公轉頻率，這個值大概只有黑洞自然頻率的0.06倍，約30赫茲。這個頻率已經接近地面探測器的低頻極限，即使僅是探測到此類事件也需要對波形進行一些預測，因而黑洞合併數值模擬的結果對這種重力波的探測有重要意義。合併後系統進入自轉減緩態，兩個黑洞的視界合併成一個，黑洞雙星以類似阻尼振動的形式放出引力輻射，逐漸穩定為一個單獨的克爾黑洞，此過程的時空度規可以用對克爾時空的線性微擾理論解出。自轉減緩態的一個特徵是它具有在數學上為複數的自轉頻率，即複數頻率的實部是特徵頻率，虛部是阻尼因子。理論上克爾黑洞的質量和角動量完全決定了所有可能的複數頻率，這些頻率是離散的並且有無窮多個，統稱為黑洞的准簡正模式（Quasi-normal modes），而黑洞的自轉則可用這些准簡正模式的線性疊加來描述。

雖然宇宙間黑洞的數量要低於中子星，但據估計在空間尺度上兩個黑洞構成的雙星系統數量反而要比中子星的雙星系統多，主要是因為中子星的雙星系統相對黑洞雙星系統而言不容易形成。有說法認為球狀星團是以高效率形成黑洞雙星的地方，如果事實如此，那麼宇宙間黑洞雙星的數量可能會比中子星雙星的數量高十倍左右。由於球狀星團內部的黑洞質量大於恆星的平均質量，黑洞會逐漸向星團中心運動，在中心三體的相互作用是雙星形成的主要機制。值得注意的是，這類雙星系統與球狀星團的引力束縛並不強，其結果就是雙星有可能脫離星團開始獨立演化，其穩定時間一般在1010年之內。現在的研究對於恆星質量黑洞的合併機率還不很確定，但一般認為在15兆秒差距的範圍內每年至少會發生幾次。

### 大質量和超大質量黑洞

來自大質量和超大質量黑洞（即「星系質量」）的引力輻射存在兩種形式：一種是超大質量黑洞的合併，另一種情形是大質量黑洞對小質量緻密天體的俘獲所釋放的引力輻射。兩者的合併模式不同，因此所發出的重力波形、理論的預測能力以及偵測方法都有所不同。

#### 星系合併

兩個超大質量黑洞的合併，就是恆星質量黑洞合併的加強版。由於參與的質量很大，其引力輻射的頻率很低，但振幅卻相當高。因為有效信號振幅和黑洞質量基本成近似線性關係，在相同距離下質量為106倍太陽質量的大質量黑洞的引力輻射振幅約為10倍太陽質量的黑洞引力輻射的105倍（h ~ 10−17）。這意味著空間探測器對於這類信號會具有非常高的信噪比，無論這類波源位於宇宙間哪個角落。現在一般認為在大多數星系中心都存在質量至少在106倍太陽質量以上的大質量或超大質量黑洞，並有證據表明超大質量黑洞的質量與其宿主星系核的質量成正比關係。與恆星不同的是，星系之間發生碰撞的機率相當高，例如蛇夫座的星系碰撞殘留物NGC 6240，當中含有兩個分別來自原星系的超大質量黑洞。在兩個星系合併後，兩者中心的黑洞會逐漸向新形成的星系中心漂移並最終發生碰撞，這一機制說明宇宙間超大質量黑洞合併的機率是相當高的。

#### 極端質量比例旋

超大質量黑洞與白矮星、中子星、恆星質量黑洞和中等質量黑洞等較小質量緻密天體合併，這被稱作極端質量比例旋（Extreme Mass Ratio Inspiral，簡稱EMRI）。當一個緻密星體碰巧接近星系中心的超大質量黑洞時它有可能被俘獲，在圍繞著超大質量黑洞公轉的同時放出引力輻射，因此這也是一種旋近態。不過由於兩者質量比例懸殊，這種旋近態的變化比一般的雙星系統更為緩慢，從觀測的角度來說，這意味著可以用長達數年的時間觀測到同一種波形。這種引力輻射可近似為從一個克爾黑洞附近的一個質點放射出的啁啾信號，而質點的軌道有可能是高度偏心的（偏心率接近1）。隨著引力輻射系統動能不斷減少，這使得軌道的偏心率逐漸降低，在旋近態的後期有可能降低到0.4左右，在這段時間內EMRI的輻射頻率穩定在LISA的測量頻域之內。其波形包含了黑洞附近的時空幾何資訊，尤其有可能通過對黑洞質量和自旋的觀測來驗證黑洞無毛定理。

EMRI的發生率與星系的構成方式關係不大，所以LISA在一年的時間內有能力觀測到這類事件上百次。距離最近的事件有可能在紅移小於0.1之內，前提是理論研究能夠對質點運動的軌道在數十個周期內做出較為精確的預測。但在理論上預測這種軌道並不那麼容易，主要原因在於圍繞克爾黑洞的高度偏心軌道有可能是混沌的，如果質點的運動軌跡遠離黑洞的赤道平面軌道將變得非常複雜，有可能在整個視界內高速遊蕩。想要準確預測數十個周期內的軌道運動，需要定義好的初始條件以及多達14個用來區分不同運動且足夠精確的參數，這就導致探測篩選這種信號需要一組數量非常龐大的波形模板，完全計算這些模板甚至超越了現有電腦的計算能力，這導致單純的模式匹配演算法很可能並不適用於此。至今最常見的EMRI波形的數值解法是由康乃爾大學的索爾·圖科斯基於1970年代創立的圖科斯基方程。

### 大爆炸

重力波自誕生起在宇宙中的傳播至今就幾乎沒有衰減或散射，從引力子的角度看，是因為引力子具有非常小的散射截面.。宇宙微波背景輻射揭示了大爆炸之後105年的宇宙狀況，對太初核合成的研究揭示了大爆炸之後幾分鐘內的宇宙狀況，而重力波的誕生則可以追溯到大爆炸之後小於10−24秒的時間範圍之內。對這種引力隨機背景輻射的觀測是重力波天文學最重要的課題之一。

與一般情形下的重力波用平均振幅描述不同，重力波的隨機背景輻射通常用波場的能量密度描述，這種隨機背景輻射可以來自任何天體（例如雙白矮星等雙星發出的迷惑噪聲），也可以來自大爆炸。對於宇宙學中的場，一般要將這個場的能量密度歸一化到宇宙的臨界密度由此定義 :$\Omega_{GW} \equiv \frac{1}{\rho_c}\frac{d\rho_{GW}(f)}{d \ln f}$這個量描述了隨機重力波的能量密度按頻率分布情況，則引力背景輻射的總能流密度由對$\Omega_{GW}$從頻率0至正無窮的積分給出。$\rho_c = 3 H^2/8 \pi G$是弗里德曼方程下得到的宇宙臨界密度值；H是哈勃常數，如果以千米/秒·兆秒差距為單位，現在一般認為這個值在50到65之間。儘管現在還不確定重力波場的能量密度的具體數值，但在當代宇宙學的框架下，背景輻射的能量密度受到太初核合成、微波背景輻射以及脈衝星計時的約束：太高的能流密度會破壞太初核合成理論的成立，太高的能量漲落則與實際各向異性非常小的微波背景輻射不符，而對毫秒脈衝星計時的觀測證實了重力波的背景輻射強度不足以高到使脈衝星信號間隔發生可觀測變化的程度。

在描述早期宇宙的暴脹模型中，引力子在普朗克時期內產生，並有可能按照引力場和其他場的自由度均分，這就形成了其溫度相當於微波背景輻射的重力波的熱背景輻射。其後宇宙進入暴脹時期，暴脹對最初質量密度的形成提供了足夠大的微擾，這種機制使星系能夠形成。而這些微擾則以引力場微擾的形式傳播至整個宇宙形成了隨機背景輻射。重力波形成的隨機背景輻射被認為是各向同性、靜態且無偏振的。而暴脹理論預言下的頻譜是平坦的，即能量密度與頻率無關。宇宙背景探測者（COBE）通過對微波背景輻射的觀測得到在頻率為10−18赫茲處的能量密度上限為3-14。如果暴脹理論是正確的，這意味著對所有頻率的背景輻射都具有相同的能量密度。這樣低的能量密度導致現有的任何探測器都無法捕捉到暴脹的重力波信號。在不同於暴脹的其他模型下，例如宇宙弦（cosmic string）的振動也會產生能量密度與頻率無關的引力輻射，而宇宙弦預言下的能量密度達到了當前可觀測的量級。

對於這種信號LIGO在頻率100赫茲的靈敏度為10−5，但通過對兩個探測器（例如LHO和LLO，或者LIGO和VIRGO，GEO600等）符合測量得到的結果進行互相關計算可提高到10−6，因此互相關是搜尋此信號的重要手段。而Advanced LIGO在這個頻率上的靈敏度預計可達到10−9；LISA在頻率1毫赫茲的靈敏度可達10−8，但在實際觀測中能否達到這個數值取決於雙白矮星等產生的背景噪聲是否會將隨機宇宙背景輻射淹沒。除此之外，r模式的中子星、雙中子星和黑洞以及某些超新星爆發都有可能將頻率高於0.1毫赫茲的宇宙背景輻射淹沒。一般認為來自雙星的背景噪聲在低於10微赫茲的頻率下快速降低，因此微赫茲量級的空間探測器可能是探測宇宙隨機背景輻射的最佳手段。

## 探測

### 重力波天文學

重力波天文學自20世紀中葉以來逐漸興起，與傳統的電磁波天文學不同的是，它通過測量重力波來研究各類相對論性天體及宇宙現象。重力相互作用對於電磁相互作用來說極為微弱，所以它的直接觀測對現有技術而言還是一個很大的挑戰。1916年阿爾伯特·愛因斯坦發表廣義相對論，在理論上預言了重力波的存在，但之後百年中都未被直接觀測到。然而通過各種間接手段，科學家已經為重力波的實際存在定下了強大的理論和實驗基礎。最著名的例子是普林斯頓大學的拉塞爾·赫爾斯和約瑟夫·泰勒所發現的赫爾斯－泰勒脈衝雙星（PSR 1913+16）。這一系統的相互旋近現象是重力輻射能夠使系統能量衰減的最佳證據，而兩人也因此獲得了1993年的諾貝爾物理學獎。2014年3月17日，哈佛－史密松天體物理中心的天文學家宣佈利用BICEP2探測器在宇宙微波背景中觀測到B模偏振，但在後來的分析驗證中發現無法排除星際塵埃的可能，該研究團隊並於2015年1月30日承認資料判讀有誤。若後續實驗（例如BICEP3）能確切得到重力波效應的成果，將成為宇宙暴脹和大爆炸理論的強烈證據。2016年2月11日，愛因斯坦預言重力波百年之際，雷射干涉重力波天文台（LIGO）團隊在華盛頓宣布於2015年9月14日9時51分許完成人類對於重力波的首次直接探測。

重力波和電磁波所攜帶的有關波源的資訊非常不同。重力波與波源整體的宏觀運動直接相關，而非像電磁波一樣來自於單個原子或電子的運動之疊加。例如對於一個雙星系統，對重力波偏振的測量可以讓科學家得知其軌道傾斜度，而這類有關波源運動的宏觀資訊是無法從電磁輻射觀測中取得的。重力波波長一般是波源尺寸的幾個數量級以內，而不像電磁波一樣波長比波源尺寸小很多。這使得重力波天文學通常不能像電磁波天文學那樣對波源進行拍照成相，而是類似聲波直接從波形分析波源的性質。許多重力波源很難或根本無法通過電磁輻射直接觀測到（例如黑洞），反之亦然。由於暗物質佔星系物質的絕大部份，而且不發出任何電磁波，所以重力波天文學對這些暗物質的觀測和研究具有重要意義。重力波的另一特點在於它幾乎不與物質進行交互作用。來自遠方天體甚至是宇宙誕生時所產生的重力波至今幾乎沒有發生衰減或散射，這意味著重力波可以作為研究宇宙深處的重要工具。宇宙形成後38萬年，電磁波才開始能夠穿透宇宙的物質，因此在這一堵「墻」以前的宇宙是無法通過電磁波來直接觀測的，重力波也就成為了直接觀測大爆炸的僅有工具。

### 探測器

劇烈事件所發出的重力波經過天文距離，在到達地球後，強度已降至很低的水平，振幅的數量級在10−21以下。再加上各種來自儀器內外的雜訊，實際重力波信號的探測變得非常困難。因此在探測重力波時，儀器須有極高的精確度和降噪能力。

第一架實際投入應用的重力波探測器是1960年代美國馬里蘭大學的約瑟夫·韋伯（Joseph Weber）製造的鋁質實心圓柱，通常稱為共振質量探測器或棒狀探測器。各國科學家利用該探測器，並沒有取得能令人信服的重力波信號證據。

1970年代後，同樣來自韋伯的雷射干涉重力波探測器開始興起。隨著雷射和鏡面工藝的進步，這種新型的大型重力波探測器在世界各地甚至計劃在太空建造起來，包括：雷射干涉重力波天文台（LIGO）、GEO600、TAMA300、VIRGO以及美國和歐洲合作計劃中的雷射干涉空間天線（LISA），中國規劃中的太極計劃和天琴計劃等等。最為敏感的探測器位於LIGO和VIRGO天文台，靈敏度高達5×10^22分之一。

邁克耳孫干涉儀應用雷射光束來測量兩條相垂直的干涉臂的長度差變化，可以說是最直接的重力波探測器。最大的雷射干涉重力波天文台LIGO主要由加州理工學院和麻省理工學院負責運行，也是美國國家科學基金會資助的最大科研項目之一。其精確度數量級已經達到10−22。VIRGO位於義大利比薩附近，是一架雙臂長度為3千米的地面雷射干涉探測器，自2007年起開始進行科學觀測，並具有和LIGO相媲美的靈敏度。GEO600位於德國漢諾瓦，雙臂長度為600米，其工作帶寬為50赫茲至1.5千赫茲。一個稱為Einstein@Home（愛因斯坦在你家）的分佈式計算計劃使公眾能在個人電腦上通過此軟體幫助分析LIGO和GEO600所採集的脈衝星數據。

為了避免地球上眾多的雜訊來源，可通過人造衛星和太空飛行器以高精度測量重力波。例如，科學家通過監測行星際太空飛行器（如圍繞木星和土星的太空飛行器）的通信信號返回時間來觀測重力波的特徵影響。歐洲空間局正在研究中的LISA項目將由三個相同的太空飛行器組成一個邊長為500萬公里的等邊三角形，整體沿地球軌道繞太陽公轉。這個系統會監測重力波通過任意一個組成衛星時所造成的雷射干涉上的變化。

許多脈衝星可以作為極為精確的時鐘。低頻重力波通過地球和脈衝星之間時會造成時空擾動，使地球上的時鐘和脈衝星的計時之間產生偏差。科學家由此已經推導出一些有關隨機背景重力波的資訊。

### 直接探測

2016年2月11日，愛因斯坦提出廣義相對論並預言重力波的存在100周年之際，LIGO團隊在華盛頓特區召開新聞發布會，宣布LIGO在經過五年的系統升級之後完成人類歷史上首個重力波直接探測結果，GW150914。這束重力波的信號於2015年9月14日9時51分（UTC）許被位於利文斯頓和漢福德的兩架LIGO雷射干涉儀幾乎同時捕捉到。根據探測信號，這束重力波來自位於南天的距地球約13億光年的雙黑洞。兩個黑洞的質量分別約為太陽質量的29和36倍。它們經過互相旋近後合併為質量約為太陽62倍的黑洞，有約3倍太陽質量的能量在不到1秒的時間內以重力波的形式釋出，其峰值功率達到了全宇宙的所有可見光功率的50倍。這次合併發生在約6億至18億年前。他們的探測結果的顯著性大於5.1σ。

## 進階理論

閱讀本節需要了解電動力學和廣義相對論的基本概念，可直接參閱有關書籍。

### 線性愛因斯坦方程

廣義相對論預言下的重力波是以波形式傳播的時空擾動，被形象地稱為「時空漣漪」。廣義相對論下的弱引力場可寫作對平直時空的線性微擾：（以下採用自然單位，引力常數G和光速c都設為1）

$g_{\alpha \beta} = \eta_{\alpha \beta} + h_{\alpha \beta}$，其中$|h_{\alpha \beta}|\ll 1$

這裡$\eta_{\alpha \beta} = \text{diag}(-1, 1, 1, 1)$是平直時空的閔可夫斯基度規，$h_{\alpha \beta}$是弱引力場帶來的微擾。在這個度規下計算得到的黎曼張量為

$$R_{\alpha \beta \mu \nu} = \frac{1}{2}\left( \partial_\mu \partial_\beta h_{\alpha \nu} - \partial_\mu \partial_\alpha h_{\beta \nu} + \partial_\nu \partial_\alpha h_{\beta \mu} - \partial_\nu \partial_\beta h_{\alpha \mu} \right)$$

愛因斯坦張量為

$$G_{\alpha \beta} = -\frac{1}{2} \left( \partial_\mu \partial^\mu \bar{h}_{\alpha \beta} + \eta_{\alpha \beta} \partial^\mu \partial^\nu \bar{h}_{\mu \nu} - \partial_\beta \partial^\mu \bar{h}_{\alpha \mu} - \partial_\alpha \partial^\mu \bar{h}_{\beta \mu} \right)$$

這裡$\bar{h}_{\alpha \beta} = h_{\alpha \beta} - \frac{1}{2}\eta_{\alpha \beta}h$，$h = \eta^{\alpha \beta} h_{\alpha \beta}$，$\bar{h}_{\alpha \beta}$被稱作跡反轉度規微擾（trace-reverse metric perturbation）。

如果採用洛倫茨規範，愛因斯坦張量的後三項將為零，這裡洛倫茨規範的形式為

$$\partial^\beta \bar{h}_{\alpha \beta} = 0$$

事實上總可以選擇這樣的規範條件，並且洛倫茨規範不是唯一的，意味著坐標在一個無窮小的線性坐標變換下仍滿足洛倫茨規範，關於這一點請參考有關規範變換的內容。

在洛倫茨規範下，愛因斯坦張量為

$$G_{\alpha \beta} = -\frac{1}{2}\partial_\mu \partial^\mu \bar{h}_{\alpha \beta} = -\frac{1}{2} \Box^2 \bar{h}_{\alpha \beta}$$

代入愛因斯坦引力場方程$G_{\alpha \beta} = 8\pi T_{\alpha \beta}$。

$$\Box^2 \bar{h}_{\alpha \beta} = -16\pi T_{\alpha \beta}$$

這個方程又叫弱引力場中的線性愛因斯坦方程。在遠源（$T_{\alpha \beta} = 0$）的情形下，得到帶有達朗貝爾算符的四維波方程：

$$\Box^2 \bar{h}_{\alpha \beta} = 0$$

### 傳播

上面波方程的一般解為如下本徵函數的線性疊加：

$$\bar{h}_{\alpha \beta} = A_{\alpha \beta}\exp{\left(i \mathbf{k \cdot x}\right)}$$

其中$A_{\alpha \beta}$是四維振幅，$\mathbf{k}$是四維波矢，滿足條件

$\eta_{\alpha \beta} k^{\alpha} k^{\beta} = 0$，這表明重力波傳播經過的測地線是零性的，即其傳播速度是光速。

四維波矢$k^{\alpha} = \left(\omega_{\vec k}, \vec k \right)$，其中$\omega_{\vec k}$是波的角頻率，$\vec k$是經典的三維波矢。由於洛倫茨規範並不唯一，此時坐標還不是完全確定的。如果再加上條件：

$$\bar{h}_{t i} = 0$$

$$\eta_{\alpha \beta}\bar{h}^{\alpha \beta} = 0$$

第一個條件表示重力波張量中所有與時間t有關的分量都為零，第二個條件表示重力波張量矩陣的跡為零。因此這組規範條件叫做橫向無跡規範（transverse traceless gauge），簡稱TT規範。在TT規範下，$\bar{h}_{\alpha \beta} = h_{\alpha \beta}$。

由洛倫茨規範和TT規範共同決定下的重力波張量只有兩個分量是獨立的，它們實際對應著重力波的兩種偏振態。對於在z方向傳播的波矢$k^{\alpha} = \left(\omega, 0, 0, \omega \right)$，這兩個振動分量垂直於傳播方向，這表明重力波和電磁波一樣是橫波，其張量形式寫作

$h_{\alpha \beta} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & h_{+} & h_{\times} & 0\\ 0 & h_{\times} & -h_{+} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。

其中$h_{+}$和$h_{\times}$分別為重力波的「十字型」和「交叉型」兩種偏振態，上文重力波通過時的效應一節的兩幅動畫示意了兩種偏振各自不同的振動形式。

### 輻射

有源的線性愛因斯坦方程解釋了波源的運動如何產生引力輻射：

$$\Box^2 \bar{h}^{\alpha \beta} = -16\pi T^{\alpha \beta}$$

類似用泊松方程求解牛頓引力勢，運用格林函數可得到帶有推遲勢的一般解：

$$\bar{h}^{\alpha \beta} \left( t, \vec x \right) = 4 \int \operatorname{d}^3 x^\prime \frac{T^{\alpha \beta} \left( t - |\vec x - \vec x^\prime|, \vec x^\prime \right)}{|\vec x - \vec x^\prime|}$$

這裡$T^{\alpha \beta}$所處在的時間是$t - |\vec x - \vec x^\prime|$，表示重力波從源點$\vec x^\prime$傳播到場點$\vec x$經過了時間為$|\vec x - \vec x^\prime|$的延遲。

在遠場近似和長波極限下，格林函數解近似為

$$\bar{h}^{\alpha \beta} \left( t, \vec x \right) \approx \frac{4}{r} \int \operatorname{d}^3 x^\prime T^{\alpha \beta}\left( t - r, \vec x^\prime \right)$$

其中標量$r = |\vec x - \vec x^\prime| \approx |\vec x|$是源點到場點的距離。

相對論中波源的質能守恆和動量守恆合起來寫作

$$T^{\alpha \beta}_{, \beta} = 0$$

因此動量-能量張量$T^{\alpha \beta}$中的$T^{tt}$（質量-能量密度）和其他所有和時間t有關的分量$T^{i t}$（動量密度）對時間的偏導數都為零，代入後方程的解可進一步化簡為

$$\bar{h}^{\alpha \beta} = \frac{2}{r}\frac{\operatorname{d}^2 Q^{\alpha \beta}\left( t -r \right)} {\operatorname{d} t^2}$$

這即是引力輻射的四極矩近似公式，描述了一個弱相對論系統引力輻射的最基本情形。其中$Q^{\alpha \beta}$描述了波源的質量-能量分布

$$Q^{\alpha \beta} = \int \rho x^{\prime\alpha} x^{\prime\beta}\operatorname{d}^3 x^\prime$$

這裡張量$Q^{\alpha \beta}$即是系統的質量四極矩（轉動慣量張量），而$\rho \equiv T^{tt}$是波源的質量-能量密度，積分範圍是整個波源內部。

四極矩公式的物理意義是引力輻射起始於隨時間二階變化（例如諧振）的四極矩，這一點與電磁輻射不同：電磁輻射起始於隨時間二階變化的偶極矩。這一區別的來源是：一個隨時間二階變化的電偶極矩或磁偶極矩對應著電荷密度中心的振動，這一振動是隨意不受限制的；而一個隨時間二階變化的質量的偶極矩對應著質心的振動，這一振動不能滿足動量守恆定律，因此不存在這樣對時間二階偏導不為零的質量偶極矩。由於四極矩是偶極矩的更高階項，這也是引力輻射要遠弱於電磁輻射的原因。

### 能量

四極矩近似下重力波的光度（總輻射功率）為

$$L_{GW} = \frac{1}{5} \left( \sum_{i, j} \frac{\operatorname{d}^3 Q_{i j}} {\operatorname{d} t^3} \frac{\operatorname{d}^3 Q_{i j}} {\operatorname{d} t^3} - \frac{1}{3} \left( \frac{\operatorname{d}^3 Q} {\operatorname{d} t^3} \right)^2 \right)$$

這裡Q是張量矩陣$Q_{i j}$的跡。

重力波的能量通量（單位面積的輻射功率）近似為

$$F_{GW} \sim |\dot h|^2 \sim f^2 h^2$$

這裡f是單色重力波的頻率。

思考一個地面探測器可以感測到的微弱輻射暴，其頻率為1000赫茲，到達地球時的引力強度為10-22的重力波，則其能量通量約為$3 \times 10^{-3} W/m^2$，這相當於滿月時地球從月球接收到的電磁輻射能量通量的兩倍，大約有1ms之久，這重力波源是夜間天空最亮的星體。這表明重力波實際可以攜帶很大的能量，但與物質相互作用力非常小，這才是重力波難以被探測的根本原因。

## 外部連結

- The LISA Brownbag，所有有關LISA科學研究的最重要的電子文獻之選錄
- Astroparticle.org，收錄包括重力波在內一切有關天體粒子學的資訊
- Caltech's Physics 237-2002 Gravitational Waves by Kip Thorne，由基普·索恩所給的有關重力波的講座系列，研究生水平，但不須先擁有廣義相對論、張量分析或微分幾何的固有知識。第1部份：理論（10堂講座），第2部份：探測（9堂講座）
- www.astronomycast.com January 14, 2008 Episode 71: Gravitational Waves
- Laser Interferometer Gravitational Wave Observatory （雷射干涉儀重力波天文台）LIGO實驗室，由加州理工學院和麻省理工學院運作
- The LIGO Scientific Collaboration （LIGO科學合作團隊）
- Einstein's Messengers（愛因斯坦的信使）有關LIGO的影片，由美國國家科學基金會製作
- TED：What the discovery of gravitational waves means TED Talks: Allan Adams有關重力波演講
- TED：How LIGO discovered gravitational waves TED Talks: Gabriela González解釋LIGO探測重力波
- Home page for Einstein@Home project，LIGO的一項分佈式計算計劃，旨在尋找重力波
- Resource Letter GrW-1: Gravitational waves，為研究重力波而彙編成的一系列書籍、刊物和網路資源