珠算

珠算，指的是用算盤進行計算，一般特指用中式算盤進行計算。珠算領域對四則運算統整出了一套系統的計算規則，統稱珠算法則。其源於中國籌算，在東漢徐岳所著《數術記遺》記載上古十四種演算法，珠算為其一。不過，當時尚無現在的算盤，是把算珠放於以凹槽為檔的板上作為算盤。

2013年，聯合國教科文組織將其列入人類非物質文化遺產代表作名錄。

## 術語

珠算已發展成一系統，亦衍生出許多相關術語，為便於說明，參考國珠聯的《珠算統一用語表》略簡述之：

- 算盤術語
- 框
- 樑
- 上珠
- 下珠
- 運珠相關
- 算術術語
- 加算：即加法計算。
- 被加數： a
- 加數： b
- 和： $a + b = c$ 的 c
- 減算：即減法計算
- 被減數： a
- 減數： b
- 差： $a - b = c$ 的 c
- 乘算：即乘法計算
- 實、被乘數： a
- 法、乘數： b
- 積： $a \times b = c$ 的 c
- 除算：即除法計算
- 實、被除數： a
- 法、除數： b
- 商： $a \div b = c$ 的 c
- 餘： $a \div b = c..d$ 的 d

## 運珠

有兩種方式：

- 雙手撥珠，以中國大陸為主，另有俄羅斯、哈薩克、南非、烏茲別克、土耳其、摩洛哥及中東的伊朗、沙烏地阿拉伯、阿聯、約旦、黎巴嫩等。
- 單手運珠，以日本、韓國為主，另有馬來西亞、新加坡、泰國、美國、加拿大、巴西、澳洲等。

二五珠算盤

一般只用拇指、食指和中指撥珠（亦有極少數非常熟練的人五指全用），三個手指的基本分工是：

- 拇指撥下珠向上靠梁。
- 食指撥下珠向下離梁。
- 中指撥上珠靠梁和離梁。

一四珠算盤

（或一五珠算盤）：兩個手指的基本分工是：

- 食指撥上珠向下靠梁。
- 食指撥上珠向上離梁。
- 拇指撥下珠向上靠梁。
- 食指撥下珠向下離梁。

一五珠算盤

兩個手指的基本分工是：

- 食指撥上珠向下靠梁。
- 食指撥上珠向上離梁。應該是拇指
- 拇指撥下珠向上靠梁。
- 食指撥下珠向下離梁。

## 演算法

### 布數

布數是指表現數字的算珠擺放方式。

0｜1｜2｜3｜4｜5｜6｜7｜8｜9

0｜1｜2｜3｜4｜5｜6｜7｜8｜9

### 加算

方法為同位值相加，逢十進一，計算時由又高位檔向低位檔依次相加。

（例）1937+284

置數｜百位檔相加$+200$｜十位檔相加$+80$｜個位檔相加$+4$

→｜→｜→

$1937$｜$2137$｜$2217$｜$2221$

口訣

可輔助學習，熟練後亦可不用。

加數｜不進位加｜進位加

直加｜滿五加｜進十加｜破五進十加

一｜一上一｜一下五去四｜一去九進一

二｜二上二｜二下五去三｜二去八進一

三｜三上三｜三下五去二｜三去七進一

四｜四上四｜四下五去一｜四去六進一

五｜五上五｜五去五進一

六｜六上六｜六去四進一｜六上一去五進一

七｜七上七｜七去三進一｜七上二去五進一

八｜八上八｜八去二進一｜八上三去五進一

九｜九上九｜九去一進一｜九上四去五進一

以 +3 為例:

- 「三上三」是指「（若下珠夠加）直接上撥三顆」(=+3)。
- 「三下五去二」是指「（若下珠不夠加，且沒有上珠），則撥下一顆上珠，去掉兩夥下珠」（=+5-2）。
- 「三去七進一」是指「（若下珠不夠加，且有上珠），則去掉七，再高一位進一」（=+10-7）。

其中，「三下五去二」亦是成語中「三下五除二」的由來。

### 減算

方法為同位值相減，不夠借位，計算時由高位檔向低位檔依次相減。

（例）2756-957

置數｜百位檔相減$-900$｜十位檔相減$-50$｜個位檔相減$-7$

→｜→｜→

$2756$｜$1856$｜$1806$｜$1799$

口訣

可輔助學習，熟練後亦可不用。

減數｜不退位減｜退位減

直減｜破五減｜退位減｜退十補五減

一｜一去一｜一上四去五｜一退一還九

二｜二去二｜二上三去五｜二退一還八

三｜三去三｜三上二去五｜三退一還七

四｜四去四｜四上一去五｜四退一還六

五｜五去五｜五退一還五

六｜六去六｜六退一還四｜六退一還五去一

七｜七去七｜七退一還三｜七退一還五去二

八｜八去八｜八退一還二｜八退一還五去三

九｜九去九｜九退一還一｜九退一還五去四

以 -3 為例:

「三去三」是指「（若下珠夠減）直接撥去三顆」(=-3)。

「三上二去五」是指「（若下珠不夠減，且有上珠），則撥去上珠，並加上二顆下珠」（=-5＋2）。

「三退一還七」是指「（若下珠不夠減，且沒有上珠），則更高一位減一，並加上七」（=-10+7）。

負數

遇到小數減大數時，可以用到一種技巧叫作懸珠來代表負數。懸珠是指將算珠移到不靠樑，也不靠框。其觀念同電腦中的二補數。

### 乘算

基本原則就是，將乘數分解為每分數，分別乘上被乘數後相加。如：要計算 32×97

$$32 * 97$$

$$= 32 * (90+7)$$

$$= 32 * 90 + 32 * 7$$

更進一步分解。

$$= (30+2)*90+(30+2)*7$$

$$= 30*90+2*90+30*7+2*7$$

計算時，不用考慮位值，則只需計算一位×一位，如：30×90，只需計算 3×9，再加至百位即可。如此，可以先將每個一位×一位的結果先計算出來，此即為乘法口訣——九九歌。

而使用珠算計算時，因為數字都在盤面上，所以要考慮是否要將實（被乘數）、法（乘數）放置盤面上，放的位置（因計算結果會愈來愈長，可能會與原本被乘數、乘數放置的地方重疊而影響）、計算順序、如何定位等。而根據計算方法，主要有兩大類：

- 看頭乘法，被乘數、乘數放置盤面上。
- 看頭乘法，又稱見乘法，乘法速算法。
- 破頭乘法，被乘數、乘數不放置盤面上。
- 破頭乘法，又稱頭乘法
- 破頭乘法別法，又稱新頭乘法，或稱隔位乘法。

此外，另有一種技巧 湊倍乘法，古稱金蟬脫殻，又稱迭皮乘、加減乘法、變積乘法、倍數乘法、加乘法。可將乘法轉為加減算，從而不需要九九乘法。

其基本想法為：「因為將每個乘數分解成多個一位數，最多只有 9 種可能（0 不用計算）」，而這 9 種可能，都可以改為「×1、×2、×5的某種組合」如：被乘數×8 相當於 被乘數x(10-2)。而「×1、×2、×5」這三種運算是容易心算的。

看頭乘法

破頭乘法

新頭乘法

（例）32×97

2｜→｜0｜→｜0｜→｜0

32｜算「2」字｜2×90

→｜0｜→｜2｜→｜3

算「3」字｜=3104

湊倍乘法

### 除算

方法跟長除法類似，即逐位（由高位向低位）來決定適合的商。計算方式主要分兩步驟估商（或試商）和減積。

計算方法有：商除法、歸除法、湊倍除法。

#### 商除法

以約率為例。為簡單起見，先以兩個算盤（一個記錄商，一個記錄餘）說明之。

（例）$22 \div 7$

- 第一位

置數｜估商估為 $\bold{\color{Red}3}$｜減積$- 3 \times 7 = -\bold{\color{Blue}21}$

0｜→｜300｜→｜300｜0

$000$($3.00$)｜$\bold{\color{Red}22}00$($22.00$)｜$\bold{\color{Red}3}00$($3.00$)｜$2200$($22.00$)｜$300$($3.00$)｜$\bold{\color{Red}01}00$($1.00$)

$\begin{array}{lr} & \\ 7 \!\!\!\!\!\! & \overline{)\bold{\color{Red}22}} \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & \bold{\color{Red}3} \\ 7 \!\!\!\!\!\! & \overline{)22} \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3 \\ 7 \!\!\!\!\!\! & \overline{)22} \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}21}} \\ & \bold{\color{Red}1}\\ \end{array}$

- 第二位

估商估為 $\bold{\color{Red}1}$｜減積$- 1 \times 7 = - \bold{\color{Blue}7}$

300｜0｜→｜310｜0｜→｜310｜0

$300$($3.00$)｜$0100$($1.00$)｜$3\bold{\color{Red}1}0$($3.10$)｜$0100$($1.00$)｜$310$($3.10$)｜$0\bold{\color{Red}03}0$($0.30$)

$\begin{array}{lr} & 3_.\ \ \ \\ 7 \!\!\!\!\!\! & \overline{)22\ \ \ \ } \\ & \underline{-21\ \ \ \ } \\ & 10\ \ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3_.\bold{\color{Red}1}\\ 7 \!\!\!\!\!\! & \overline{)22\ \ \ } \\ & \underline{-21\ \ \ } \\ & 10\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3_.1\\ 7 \!\!\!\!\!\! & \overline{)22\ \ \ } \\ & \underline{-21\ \ \ } \\ & 10\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}7}\ } \\ & \bold{\color{Red}3}\ \\ \end{array}$

- 第三位

估商估為 $\bold{\color{Red}4}$｜減積$- 4 \times 7 = \bold{\color{Red}28}$

310｜0｜→｜314｜0｜→｜314｜2

$310$($3.10$)｜$0030$($0.30$)｜$31\bold{\color{Red}4}$($3.14$)｜$0030$($0.30$)｜$314$($3.14$)｜$00\bold{\color{Red}02}$($0.02$)

$\begin{array}{lr} & 3_.1\ \ \\ 7 \!\!\!\!\!\! & \overline{)22\ \ \ \ \ } \\ & \underline{-217\ \ \ } \\ & 30\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3_.1\bold{\color{Red}4}\ \\ 7 \!\!\!\!\!\! & \overline{)22\ \ \ \ \ } \\ & \underline{-217\ \ \ } \\ & 30\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3_.14\ \\ 7 \!\!\!\!\!\! & \overline{)22\ \ \ \ \ } \\ & \underline{-217\ \ \ } \\ & 30\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}28}\ } \\ & \bold{\color{Red}2}\ \\ \end{array}$

得到 $22 \div 7 = 3.14 .. 0.02$。

而實際在計算時，會使用一個算盤同時放置商數和餘數，就是分區放。要如何有效利用有限的檔位，又不影響計算，其規律就是夠除，隔位置商；不夠除，挨位置商。

以密率為例，說明完整的商除法。

以 $355 \div 113$ 為例

- 第一位

置數｜估商估為 $\bold{\color{Red}3}$。夠除，隔位置商。｜減積$- 3 \times 113 = -\bold{\color{Blue}339}$

0｜→｜→

$00$"$355000000$｜$\bold{\color{Red}3}0$"$355000000$｜$30$"$\bold{\color{Red}016}000000$

$\begin{array}{lr} & \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)\bold{\color{Red}355}} \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & \bold{\color{Red}3} \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355} \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3 \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355} \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}339}} \\ & \bold{\color{Red}16}\\ \end{array}$

- 第二位

前次結果｜估商估為 $\bold{\color{Red}1}$。夠除，隔位置商。｜減積$- 1 \times 113 = - {\color{Blue}113}$

→｜→

$310$"$16000000$｜$3\bold{\color{Red}1}0$"$16000000$｜$310$"$\bold{\color{Red}047}00000$

$\begin{array}{lr} & 3\ \ \ \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ } \\ & \underline{-339\ \ \ } \\ & 16\ \ \ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.\bold{\color{Red}1} \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ }\\ & \underline{-339\ \ \ }\\ & 160\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.1 \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ }\\ & \underline{-339\ \ \ }\\ & 160\\ & \underline{-\bold{\color{Blue}113}}\\ & \bold{\color{Red}47}\\ \end{array}$

- 第三位

前次結果｜估商估為 $\bold{\color{Red}4}$。夠除，隔位置商。｜減積$- 4 \times 113 = - {\color{Blue}452}$

→｜→

$3100$"$4700000$｜$31\bold{\color{Red}4}0$"$4700000$｜$3140$"$\bold{\color{Red}018}0000$

$\begin{array}{lr} & 3.1\ \ \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ }\\ & \underline{-3503\ \ \ }\\ & 470\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.1\bold{\color{Red}4}\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ }\\ & \underline{-3503\ \ \ }\\ & 470\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.14\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ }\\ & \underline{-3503\ \ \ }\\ & 470\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}452}}\\ & \bold{\color{Red}18}\\ \end{array}$

- 第四位

前次結果｜估商估為 $\bold{\color{Red}1}$。夠除，隔位置商。｜減積$- 1 \times 113 = - {\color{Blue}113}$

→｜→

$31400$"$180000$｜$314\bold{\color{Red}1}0$"$180000$｜$31410$"$\bold{\color{Red}067}000$

$\begin{array}{lr} & 3.14\ \ \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ }\\ & \underline{-354.82\ \ }\\ & 180\\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.14\bold{\color{Red}1}\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ }\\ & \underline{-354.82\ \ }\\ & 180\\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.141\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ }\\ & \underline{-354.82\ \ }\\ & 180\\ & \underline{-\bold{\color{Blue}113}}\\ & \bold{\color{Red}67}\\ \end{array}$

- 第五位

前次結果｜估商估為 $\bold{\color{Red}5}$。夠除，隔位置商。｜減積$- 5 \times 113 = - {\color{Blue}565}$

→｜→

$314100$"$67000$｜$3141\bold{\color{Red}5}0$"$67000$｜$314150$"$\bold{\color{Red}105}00$

$\begin{array}{lr} & 3.141\ \ \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ & \underline{-354.933\ \ }\\ & 67\ \ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.141\bold{\color{Red}5}\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ & \underline{-354.933\ \ }\\ & 670\\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.1415\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ & \underline{-354.933\ \ }\\ & 670\\ & \underline{-565}\\ & 105\\ \end{array}$

- 第六位。注意，這位是不夠除，挨位置商。

前次結果｜估商估為 $\bold{\color{Red}9}$。不夠除，挨位置商。｜減積$- 9 \times 113 = - {\color{Blue}1017}$

→｜→

$314150$"$10500$｜$31415\bold{\color{Red}9}$"$10500$｜$314159$"$\bold{\color{Red}0033}0$

$\begin{array}{lr} & 3.1415\ \ \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ & \underline{-354.9895\ \ }\\ & 105\ \ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.1415\bold{\color{Red}9}\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ & \underline{-354.9895\ \ }\\ & 1050\\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.14159\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ & \underline{-354.9895\ \ }\\ & 105\ \ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}1017}}\\ & \bold{\color{Red}33}\\ \end{array}$

- 第七位。

前次結果｜估商估為 $\bold{\color{Red}2}$。夠除，隔位置商。｜減積$- 2 \times 113 = - {\color{Blue}226}$

→｜→

$31415900$"$330$｜$314159\bold{\color{Red}2}0$"$330$｜$31415920$"$\bold{\color{Red}104}$

$\begin{array}{lr} & 3.14159\ \ \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ & \underline{-354.99967\ \ }\\ & 33\ \ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.14159\bold{\color{Red}2}\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ & \underline{-354.99967\ \ }\\ & 330\\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.141592\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ & \underline{-354.99967\ \ }\\ & 330\\ & \underline{-\bold{\color{Blue}226}}\\ & \bold{\color{Red}104}\\ \end{array}$

得 $355 \div 113 = 3.141592 .. 0.000104$

修正商

計算過程中，若發現所估的商過大，則要退商；若估商太小，則要補商。

#### 歸除法

其基本想法是，將一些可能的除算先計算出結果，並將商與除數化作口訣，來加速計算除法。

除數為一位的稱為單歸法，除數為多位的，則為歸除法。

##### 九歸訣

目前可知最早的記載為朱世傑所撰《算學啟蒙》卷上《歸除歌訣》：「一歸如一進、見一進成十。

二一添作五、逢二進成十、四進二十、六進三十、八進四十。

三一三十一、三二六十二、逢三進成十、六進二十、九進三十。

四一二十二、四二添作五、四三七十二、逢四進成十、八進二十。

五歸添一倍、逢五進成十。

六一下加四、六二三十二、六三添作五、六四六十四、六五八十二、逢六進成十。

七一下加三、七二下加六、七三四十二、七四五十五、七五七十一、七六八十四、逢七進成十。

八一下加二、八二下加四、八三下加六、八四添作五、八五六十二、八六七十四、八七八十六、逢八進成十。

九歸隨身下、逢九進成十」

整個歌訣的作用為，「羅列所有被除數及除數的首數的可能，得出商數和餘數」。

以三一三十一為例，第一個數字為三，是除數的首數為三，第二個數字為一，是被除數首數為一，數字雖為 1，但計算的是 $1 \times 10$。

而三十一意指商為 3，餘為 1。同樣的，三二六十二是指$20 \div 3 = 6..2$。逢三進成十是指$30 \div 3 = 10..0$。

有些語句是用下加幾來表示，是指商數不變（與被除數首數相同），餘數則為那個幾。以七二下加六為例，$20 \div 7 = 2..6$。

五歸添一倍是指「用 5 去除一個數，相當於此數加倍」（如：$30 \div 5 = 6$）

其中，部分口訣，也成了成語。如二一添作五意味兩者平分，三一三十一意味三者平分。

其他版本

也有幾種不同的版本，如簡化版：「一歸如一進，見一進成十。

二一添作五，逢二進成十。

三一三十一，三二六十二，逢三進成十。

四一二十二，四二添作五，四三七十二，逢四進成十。

五歸添一倍，逢五進成十。

六一下加四，六二三十二，六三添作五，六四六十四，六五八十二，逢六進成十。

七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六八十四，逢七進成十。

八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四添作五，八五六十二，八六七十四，八七八十六，逢八進成十。

九歸隨身下，逢九進成十。

」

或者，改為更易理解的語句，如將「三一三十一」改為「三一三餘一」，「逢三進成十」改為「逢三進一」。如：「一歸：逢一進一，逢二進二，逢三進三，逢四進四，逢五進五，逢六進六，逢七進七，逢八進八，逢九進九。

二歸：逢二進一，逢四進二，逢六進三，逢八進四，二一添作五。

三歸：逢三進一，逢六進二，逢九進三，三一三餘一，三二六餘二。

四歸：逢四進一，逢八進二，四二添作五，四一二餘二，四三七餘二。

五歸：逢五進一，五一倍作二，五二倍作四，五三倍作六，五四倍作八。

六歸：逢六進一，逢十二進二，六三添作五，六一下加四，六二三餘二，六四六餘四，六五八餘二。

七歸：逢七進一，逢十四進二，七一下加三，七二下加六，七三四餘二，七四五餘五，七五七餘一，七六八餘四。

八歸：逢八進一，八四添作五，八一下加二，八二下加四，八三下加六，八五六餘二，八六七餘四，八七八餘六。

九歸：逢九進一，九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加六，九七下加七，九八下加八。

」

##### 單歸法（除數為一位）

以約率為例。

（例） $22 \div 7$

置數｜七二下加六 商設為 $2$ 下一檔 $+6$｜逢七進一 商$+1$ 本檔$-1$。｜七一下加三 商設為 $1$ 下一檔 $+3$｜七三四餘二 商設為 $4$ 下一檔 $+2$

→｜→｜→｜→

"$2200$｜$\bold{\color{Red}2}$"$\bold{\color{Red}8}00$｜$\bold{\color{Red}31}$"$00$｜$3\bold{\color{Red}1}$"$\bold{\color{Red}3}0$｜$31\bold{\color{Red}4}$"$\bold{\color{Red}2}$

$\begin{array}{lr} 7 \!\!\!\!\!\! & \overline{)22} \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & \bold{\color{Red}2} \\ 7 \!\!\!\!\!\! & \overline{)22} \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}14}} \\ & \bold{\color{Red}8}\\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & \bold{\color{Red}3} \\ 7 \!\!\!\!\!\! & \overline{)22} \\ & -14 \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}7}} \\ & \bold{\color{Red}1}\\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.\bold{\color{Red}1} \\ 7 \!\!\!\!\!\! & \overline{)22\ \ } \\ & \underline{-21\ \ } \\ & 10\\ & \underline{-\bold{\color{Blue}7}} \\ & \bold{\color{Red}3}\\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.1\bold{\color{Red}4} \\ 7 \!\!\!\!\!\! & \overline{)22\ \ \ \ } \\ & \underline{-21.7\ \ } \\ & 30\\ & \underline{-\bold{\color{Blue}28}} \\ & \bold{\color{Red}2}\\ \end{array}$

得 $22 \div 7 = 3.14 .. 0.02$

##### 歸除法（除數為多位）

跟單歸法類似，也是藉助九歸歌。可以理解成使用九歸歌來估商。

以 $12345 \div 321$ 為例，可以先用 300 來估商，因此使用口訣中的三歸口訣。口訣已完成了 300 的減積（如「三一三餘一」中，餘一的部分已加入下一檔）。但 21 的部分仍未減積。因此歸除法區分兩個觀念：除數的首數稱為歸，除數的首數以外的數稱為除。除數為 321 的話，稱作3歸21除，意味著用 3歸求商及其減積，再以 21 來完成乘下的減積。

減積後，有可能發現的估商需要調整。若過小，需要增商，這部分口訣中已包含「逢 n 進為十」；若過大，則需退商，則有退商口訣：

- 一歸：無除起一下還一
- 二歸：無除起一下還二
- 三歸：無除起一下還三
- 四歸：無除起一下還四
- 五歸：無除起一下還五
- 六歸：無除起一下還六
- 七歸：無除起一下還七
- 八歸：無除起一下還八
- 九歸：無除起一下還九

這口訣有明顯規律：「無除起（也有作「退」）一下還 n」，無需特別記憶。

另外，也有可能發現在某些情況（即除數、被除數差不多大，卻又不夠除時）下，無法估商，則使用撞歸口訣：

- 一歸：見一無除撞九一
- 二歸：見二無除撞九二
- 三歸：見三無除撞九三
- 四歸：見四無除撞九四
- 五歸：見五無除撞九五
- 六歸：見六無除撞九六
- 七歸：見七無除撞九七
- 八歸：見八無除撞九八
- 九歸：見九無除撞九九

這口訣也有明顯規律：「見 n 無除撞（也有作「作」）九 n」，無需特別記憶。它的意思是，在「除數、被除數的首數同為 n，卻又不夠除，直接估商為 9，下一檔要 +n」時。當首數相同，卻又無法進 1 （代表 10），則估商就從 9 開始。減積後，需要在下一檔 +n。

以密率為例，因為除數為 $113$，故稱之為「一歸十三除」，相關口訣如下：

- 九歸口訣：逢一進一，逢二進二，逢三進三，逢四進四，逢五進五，逢六進六，逢七進七，逢八進八，逢九進九。
- 退商口訣：無除起一下還一。
- 撞歸口訣：見一無除撞九一。

（例）$355 \div 113$

- 第一位

置數｜逢三進三 商為 $\bold{\color{Red}3}$｜以十三除減積 $-3 \times 13 = -\bold{\color{Blue}39}$。

0｜→｜→

$0$"$3550000000$｜$\bold{\color{Red}3}$"$\bold{\color{Red}0}550000000$｜$3$"$0\bold{\color{Red}16}0000000$

$\begin{array}{lr} & \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)\bold{\color{Red}355}} \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & \bold{\color{Red}3} \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355} \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}300}} \\ & \bold{\color{Red}55}\\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3 \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355} \\ & -300 \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}39}} \\ & \bold{\color{Red}16}\\ \end{array}$

- 第二位

前次結果｜逢一進一 商為 $\bold{\color{Red}1}$｜以十三除減積 $-1 \times 13 = -\bold{\color{Blue}13}$。

→｜→

$30$"$160000000$｜$3\bold{\color{Red}1}$"$\bold{\color{Red}0}60000000$｜$31$"$0\bold{\color{Red}47}000000$

$\begin{array}{lr} & 3\ \ \ \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ } \\ & \underline{-339\ \ \ }\\ & 16\ \ \ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.\bold{\color{Red}1} \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ } \\ & \underline{-339\ \ \ }\\ & 160\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}100}} \\ & \bold{\color{Red}0}60\\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.1 \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ } \\ & \underline{-339\ \ \ }\\ & 160\ \\ & -100\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}13\ }} \\ & \bold{\color{Red}47\ }\\ \end{array}$

- 第三位

前次結果｜逢四進四 商為 $\bold{\color{Red}4}$｜以十三除減積 $-4 \times 13 = -\bold{\color{Blue}52}$。

→｜→

$310$"$4700000$｜$31\bold{\color{Red}4}$"$\bold{\color{Red}0}700000$｜$314$"$0\bold{\color{Red}18}0000$

$\begin{array}{lr} & 3.1 \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ } \\ & \underline{-3503}\\ & 47\\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.1\bold{\color{Red}4} \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ } \\ & \underline{-3503\ \ \ }\\ & 470\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}4}00\ }\\ & 70\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.14 \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ } \\ & \underline{-3503\ \ \ }\\ & 470\ \\ & -400\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}52}\ }\\ & \bold{\color{Red}18}\ \\ \end{array}$

- 第四位

前次結果｜逢一進一 商為 $\bold{\color{Red}1}$｜以十三除減積 $-1 \times 13 = -\bold{\color{Blue}13}$。

→｜→

$3140$"$180000$｜$314\bold{\color{Red}1}$"$\bold{\color{Red}0}80000$｜$3141$"$0\bold{\color{Red}67}000$

$\begin{array}{lr} & 3.14 \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ } \\ & \underline{-35482\ }\\ & 18\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.141\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-35482\ \ \ }\\ & 180\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}100}}\\ & \bold{\color{Red}0}80\\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.141\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-35482\ \ \ }\\ & 180\ \\ & -100\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}13\ }}\\ & \bold{\color{Red}67}\ \\ \end{array}$

- 第五位

前次結果｜逢六進六 商為 $\bold{\color{Red}6}$｜以十三除減積 $\begin{array}{ll} -6 \times 13 &= -6 \times (10+3)\\ &= -\bold{\color{Blue}60} -\bold{\color{Purple} 18} \\ \end{array}$｜加回減積｜退商 無除起一下還一 商$-1$為 $\bold{\color{Red}5}$，下一檔$+1$｜以十三除減積 $-5 \times 13 = -\bold{\color{Blue}65}$。

→｜→｜→｜→｜→

$31410$"$67000$｜$3141\bold{\color{Red}6}$"$\bold{\color{Red}0}7000$｜$31416$"$0\bold{\color{Red}1}000$｜$31416$"$0\bold{\color{Red}7}000$｜$3141\bold{\color{Red}5}$"$\bold{\color{Red}1}7000$｜$31415$"$1\bold{\color{Red}05}00$

$\begin{array}{lr} & 3.141\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-354933\ }\\ & 67\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.141\bold{\color{Red}6}\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-354933\ \ \ }\\ & 670\ \\ & \underline{-600\ }\\ & \bold{\color{Red}0}70\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.1416\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-354933\ \ \ }\\ & 670\ \\ & \underline{-600\ }\\ & 70\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}60}\ }\\ & \bold{\color{Red}10}\ & \bold{\color{Purple}< 18}\\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.1416\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-354933\ \ \ }\\ & 670\ \\ & \underline{-600\ }\\ & 70\ \\ & -60\ \\ & \underline{+\bold{\color{Blue}60}\ }\\ & \bold{\color{Red}70}\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.141\bold{\color{Red}5}\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-354933\ \ \ }\\ & 670\ \\ & \underline{-500\ }\\ & \bold{\color{Red}1}70\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.141\bold{\color{Red}5}\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-354933\ \ \ }\\ & 670\ \\ & -500\ \\ & \underline{-65\ }\\ & 1\bold{\color{Red}05}\ \\ \end{array}$

- 第六位

前次結果｜見一無除撞九一 商為 $\bold{\color{Red}9}$，下一檔 $+1$｜以十三除減積 $-9 \times 13 = -\bold{\color{Blue}117}$。

→｜→

$31415$"$10500$｜$31415\bold{\color{Red}9}$"$\bold{\color{Red}1}500$｜$314159$"$\bold{\color{Red}033}0$

$\begin{array}{lr} & 3.1415\ \ \ \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-3549895\ \ \ }\\ & 105\ \ \ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.1415\bold{\color{Red}9}\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-3549895\ \ \ }\\ & 1050\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}9}00\ }\\ & \bold{\color{Red}1}50\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.14159\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-3549895\ \ \ }\\ & 1050\ \\ & -900\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}117}\ }\\ & \bold{\color{Red}33}\ \\ \end{array}$

- 第七位

前次結果｜逢三進三 商為 $\bold{\color{Red}3}$｜以十三除減積 $\begin{array}{ll} -3 \times 13 &= -3 \times (10+3)\\ &= -\bold{\color{Blue}30} -\bold{\color{Purple} 9} \\ \end{array}$｜加回減積｜退商 無除起一下還一 商$-1$為 $\bold{\color{Red}2}$，下一檔$+1$｜以十三除減積 $-5 \times 13 = -\bold{\color{Blue}65}$。

→｜→｜→｜→｜→

$3141590$"$330$｜$314159\bold{\color{Red}3}$"$\bold{\color{Red}0}30$｜$3141593$"$0\bold{\color{Red}0}0$｜$3141593$"$0\bold{\color{Red}3}0$｜$314159\bold{\color{Red}2}$"$\bold{\color{Red}1}30$｜$3141592$"$1\bold{\color{Red}04}$

$\begin{array}{lr} & 3.14159\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-35499967\ }\\ & 33\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.14159\bold{\color{Red}3}\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-35499967\ \ \ }\\ & 330\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}3}00\ }\\ & \bold{\color{Red}0}30\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.141593\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-35499967\ \ \ }\\ & 330\ \\ & -300\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}3}0\ }\\ & 0\bold{\color{Red}0}0\ & \bold{\color{Purple}< 9}\\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.141593\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-35499967\ \ \ }\\ & 330\ \\ & -300\ \\ & -30\ \\ & \underline{+\bold{\color{Blue}3}0\ }\\ & 0\bold{\color{Red}3}0\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.14159\bold{\color{Red}2}\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-35499967\ \ \ }\\ & 330\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}2}00\ }\\ & \bold{\color{Red}1}30\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.14159\bold{\color{Red}2}\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-35499967\ \ \ }\\ & 330\ \\ & -200\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}26}\ }\\ & 1\bold{\color{Red}04}\ \\ \end{array}$

得 $355 \div 113 = 3.141592 .. 0.000104$。

#### 湊倍除法

或稱累減除法、大扒皮，首見於《九章詳註比類演算法大全》，是一種不用九九乘法而用累減的計算方式。

### 開平方

開平方必須至少三副都是至少十三檔算盤, 一副是根, 一副是廉, 一副是隅

## 驗算

還原驗演算法

一、交換律

```
   加法算式:被加數+加數=和數
   驗算公式:加數+被加數=和數
   減法算式:被減數-減數=差數
   驗算公式:被減數-差數=減數
   乘法算式：被乘數*乘數=積
   驗算公式：乘數*被乘數=積
```

二、逆運算

```
   加法算式:被加數+加數=和數
   驗算公式:和數-加數=被加數  或  和數-被加數=加數
   減法算式:被減數-減數=差數
   驗算公式:差數+減數=被減數
   乘法算式：被乘數*乘數=積
   驗算公式：積/被乘數=乘數
   除法算式：被除數/除數=商(及餘數)
   驗算公式：(除數*商)+餘數=被除數
```

三、尾錯復尾

```
   只再計算最後幾位數一次
```

九餘數法

只能驗加法,減法,乘法和乘冪

範例一、 123+456=599

```
        123=1+2+3=6(mod 9)
        456=4+5+6=6(mod 9)
        599=5+9+9=5(mod 9)
       因6+6=3(mod 9)不等於5(mod 9), 所以計算錯誤,正確答案是579
```

範例二、 123*456=68934

```
         123=1+2+3=6(mod 9)
         456=4+5+6=6(mod 9)
         68934=6+8+9+3+4=3(mod 9)
       因6*6=0(mod 9)不等於3(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是56088
```

範例三、 22*68*53=369780

```
         22=4(mod 9)
         68=5(mod 9)
         53=8(mod 9)
         369780=3+6+9+7+8+0=6(mod 9)
        因4*5*8=7(mod 9)不等於6(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是79288
```

範例四、 23^4=367981

```
         23^4=(-4)^4=4(mod 9)
         367981=34=7(mod 9)
       因4(mod 9)不等於7(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是279841

   九餘數法不能查到答案是換位錯誤(error of transposition)的問題, 例如計算岀567, 但正確答案是576便會顯示正確。勿過度倚賴九餘數法。
```

九除法

十一除法

二除法

## 珠算競技

珠算競技可分為珠算競技和心算競技兩大類，心算競技是運用珠算式心算技巧。

## 外部連結

- 珠算全球資訊網
- 中華民國兒童珠算協會／中華珠算心算教育協會
- 世界珠心算網

## 基本資料

- 官方名稱：中國珠算——運用算盤進行數學計算的知識與實踐
- 中國：APA
- 入選年份：2013
- 入選年份：8
- 名錄：RL