勒貝格測度

在測度論中，勒貝格測度（Lebesgue measure）是歐幾里得空間上的標準測度。對維數為1，2，3的情況，勒貝格測度就是通常的長度、面積、體積。它廣泛應用於實分析，特別是用於定義勒貝格積分。可以賦予勒貝格測度的集合稱為勒貝格可測集；勒貝格可測集 A 的測度記作 λ (A)。一般來說，我們允許一個集合的勒貝格測度為，但是即使如此，在假設選擇公理成立時，Rn 仍有勒貝格不可測的子集。不可測集的「奇特」行為導致了巴拿赫-塔斯基悖論這樣的命題，它是選擇公理的一個結果。

勒貝格測度以法國數學家昂利·勒貝格命名。勒貝格於1901年首次提出這一測度，次年又給出勒貝格積分的定義，並收錄進他的學位論文中。

## 問題起源

人們知道，區間的長度可以定義為端點值之差。若干個不交區間的並的長度應當是它們的長度之和。於是人們希望將長度的概念推廣到比區間更複雜的集合。

我們想構造一個映射 m，它能將實數集的子集 E 映射到非負實數 m(E)，並稱這個數為集合 E 的測度。最理想的情況下，m 應該具有以下性質：

- m 對於實數集的所有子集 E 都有定義。
- 對於一個區間 a, b，m(a, b) 應當等於其長度 b − a。
- m 具有可數可加性。如果 (En) 是一列不相交的集合，並且 m 在其上有定義，那麼 $m\left(\bigcup_n E_n\right) = \sum_n m(E_n)$，其中 表示聯集。
- m 具有平移不變性。設集合 E 及 （即將 E 的每個元素各加上同一個實數 k 所得到的集合），則 m(E+k) = m(E)。

遺憾的是，這樣的映射是不存在的。人們只能退而求其次，尋找滿足其中部分條件的映射。勒貝格測度是滿足後三條性質的例子。另一個例子是若爾當測度，它只滿足有限可加性。

## 定義

區間$I=[a,b]$的長度定義為$|I|=b-a$。對$E\subseteq\mathbb{R}$，勒貝格外測度定義為

對每一列能覆蓋$E$的開區間$\{I_k\}_{k\in\mathbb{N}}$，作長度和$\mu=\sum_{k=0}^\infty{|I_k|}$。所有這些$\mu$組成一個有下界的數集，下確界稱為勒貝格外測度，記做$\lambda^*(E)$。

勒貝格測度定義在勒貝格σ代數上。若集合$E$滿足：

對所有$A\subseteq \mathbb R$，皆有$\lambda^*(A)=\lambda^*(A\cap E)+\lambda^*(A\cap E^c),$

則$E$為勒貝格σ代數的元素，稱為勒貝格可測集。對勒貝格可測集，其勒貝格測度$\lambda (E)$就定義為勒貝格外測度$\lambda^*(E)$。

不在勒貝格σ代數中的集合不是勒貝格可測的，這樣的集合確實存在，故勒貝格σ代數嚴格包含於$\mathbb{R}$的冪集。

## 例子

- 任何區間都是勒貝格可測的。閉區間$[a,b]$、開區間$(a,b)$的勒貝格測度都等於區間長度$b-a$。
- 如果 A 是區間 a, b 和 c, d的笛卡爾積，則它是一個長方形，測度為它的面積 (b−a)(d−c)。
- 博雷爾集都是勒貝格可測的。反之不然，存在不是博雷爾集的勒貝格可測集。
- 可數集的勒貝格測度為0。特別是，有理數集的勒貝格測度為0，儘管有理數集是稠密的。
- 康托爾集是一個勒貝格測度為零的不可數集的例子。
- 假設決定性公理成立，則實數集的所有子集都是勒貝格可測的。假設選擇公理成立，則可以構造出勒貝格不可測的集合，例如維塔利集。決定性公理與選擇公理是不相容的。
- 奧斯古德曲線（Osgood curve）是平面簡單曲線，但具有大於0的勒貝格測度。龍形曲線是另一個例子。

## 性質

設集合 A 與 B 是在 Rn 上的集合。勒貝格測度有如下的性質：

- 如果 A 是一列區間 (In) 的笛卡爾積 $\prod_n I_n$，則 A 是勒貝格可測的，並且 $\lambda (A)= \prod_n \left|I_n\right|$，其中 表示區間 I 的長度。
- 如果 A 是有限個或可數個兩兩互不相交的勒貝格可測集 (En) 的併集，則 A 也是勒貝格可測的，並且 $\lambda\left(A\right) = \sum_n \lambda(E_n)$。
- 如果 A 是勒貝格可測的，那麼它相對於$\mathbb{R}^n$的補集也是可測的。
- 對於每個勒貝格可測集 A， $\lambda(A)\ge0$。
- 如果 A 與 B 是勒貝格可測的，且 A ⊆ B，則 $\lambda(A)\le\lambda(B)$。
- 可數多個勒貝格可測集的交集或者併集，仍然是勒貝格可測的。
- $\mathbb{R}^n$上的博雷爾集（即由開集經可數多次交、並、差運算得到的集合）都是勒貝格可測的。
- 勒貝格可測集「幾乎」是開集，也「幾乎」是閉集。具體來說，$E$是勒貝格可測集若且唯若對任意的$\varepsilon>0$存在開集$G$與閉集$F$使得$F\subset E\subset G$且$\lambda(G\setminus F)<\varepsilon$。此性質曾用來定義勒貝格可測性。（見勒貝格測度的正則性定理）
- 勒貝格測度既是局部有限的，又是內正則的，所以是拉東測度。
- 非空開集的勒貝格測度嚴格大於0，所以勒貝格測度的支集是全空間$\mathbb{R}^n$。
- 如果 A 是勒貝格零測集，即 $\lambda(A)=0$，則 A 的任何一個子集也是勒貝格零測集。
- 如果 A 是勒貝格可測的，且 （即將 A 平移 k 個單位），則 B 也是勒貝格可測的，並且 $\lambda(B)=\lambda(A)$。
- 如果 A 是勒貝格可測的，且 （即將 A 縮放 k 倍，$k>0$），則 B 也是勒貝格可測的，並且 $\lambda(B)=k^n\cdot\lambda(A)$。
- 更一般地，設 T 是一個線性變換，det(T) 為其行列式。如果 A 是勒貝格可測的，則 T(A) 也是勒貝格可測的，並且 $\lambda(T(A))=|\det(T)|\lambda(A)$。
- 設 f 是一個從 A 到$\mathbb{R}^n$上的連續單射函數。如果 A 是勒貝格可測的，則 f(A) 也是勒貝格可測的。

簡要地說，$\mathbb{R}^n$的勒貝格可測子集組成一個包含所有區間的笛卡爾積的σ-代數，且 λ 是其上唯一的完備的、平移不變的、滿足$\lambda([0,1]\times [0, 1]\times \cdots \times [0, 1])=1$ 的測度。

勒貝格測度是σ-有限測度。

## 零測集

$\mathbb{R}^n$的子集 A 是零測集，如果對於任意$\varepsilon>0$，A 都可以用可數多個盒（即 n 個區間的乘積）來覆蓋，且其總體積最多為$\varepsilon$。所有可數集都是零測集。

如果$\mathbb{R}^n$的子集的豪斯多夫維數小於$n$，那麼它是關於$n$維勒貝格測度的零測集。在這裡，豪斯多夫維數是相對於$\mathbb{R}^n$上的歐幾里得度量（或任何與其利普希茨等價的度量）而言。另一方面，一個集合可能拓撲維數小於$n$，但具有正的$n$維勒貝格測度。一個這樣的例子是史密斯-沃爾泰拉-康托爾集，它的拓撲維數為0，但1維勒貝格測度為正數。

為了證明某個集合A是勒貝格可測的，我們通常嘗試尋找一個「較好」的集合B，與A 的對稱差是零測集，然後證明B可以用開集或閉集的可數交集和併集生成。

## 勒貝格測度的構造

勒貝格測度的現代構造基於外測度，並應用卡拉西奧多里擴張定理。

固定$n\in\mathbb N.$ $\R^n$中的盒子是形如$B=\prod_{i=1}^n [a_i,b_i]$的集合，其中$b_i\ge a_i$，連乘號代表笛卡爾積。盒子的體積定義為$\operatorname{vol}(B)=\prod_{i=1}^n (b_i-a_i)$

對於$\mathbb{R}^n$的任何子集A，可以定義它的外測度$\lambda^*(A):$

$\lambda^*(A) = \inf \Bigl\{\sum_{B\in \mathcal{C}}\operatorname{vol}(B):\mathcal{C}$是可數個盒子的集合，它們的併集覆蓋了$A\Bigr\}.$

然後定義集合A為勒貝格可測的，如果對於所有集合$S\subset \R^n$，都有：

$$\lambda^*(S) = \lambda^*(A \cap S) + \lambda^*(S \setminus A).$$

這些勒貝格可測的集合形成了一個σ代數。對於任何勒貝格可測的集合A, 其勒貝格測度定義為$\lambda(A)=\lambda^*(A)$

勒貝格不可測集合的存在性是選擇公理的結果。根據維塔利定理，存在實數R的一個勒貝格不可測的子集。如果A是$\R^n$的子集，且其測度為正，那麼A便有勒貝格不可測的子集。

1970年，羅伯特·M·梭羅維證明了，在不帶選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論中，勒貝格不可測集的存在性是不可證的（見梭羅維模型）。

## 與其他測度的關係

若 A 博雷爾可測，則其博雷爾測度與勒貝格測度一致；然而，更多的勒貝格可測集是博雷爾不可測的。博雷爾測度是平移不變的，但不是完備的。

哈爾測度可以定義在任何局部緊群上，是勒貝格測度的一個推廣（帶有加法的$\mathbb{R}^n$是一個局部緊群）。

豪斯多夫測度（參見豪斯多夫維數）是勒貝格測度的一個推廣，對於測量$\mathbb{R}^n$的維數比n低的子集是很有用的，例如R³上的曲線、曲面，以及分形集合。注意不能把豪斯多夫測度與豪斯多夫維數混淆。

可以證明，無法在無窮維空間上定義類似的勒貝格測度。