萊昂哈德·歐拉

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler，1707年4月15日－1783年9月18日），瑞士數學家、物理學家、天文學家、地理學家、邏輯學家和工程師。

歐拉在包括微積分和圖論在內的多個數學領域都做出過重大貢獻。他引進和推廣了許多數學術語和書寫格式，並一直沿用至今，例如函數的記法$f(x)$，虛數單位$\sqrt{-1}$的記法 $i$，圓周率的記法 $\pi$（該表示最先源自威廉·瓊斯），求和符號$\Sigma$，差分符號$\Delta$以及用小寫字母表示三角形的邊和用大寫字母表示三角形的角等。還給出了自然對數的底數$e$定義，其也稱為歐拉數（Euler's number）。此外，他還在力學、流體動力學、光學、天文學和樂理領域有突出的貢獻。

歐拉是18世紀傑出的數學家，同時也被認為是有史以來最偉大的數學家之一，其學術著作多達60-80冊。歐拉逝世後，幾位著名的數學家高度評價他對數學的貢獻：法國數學家拉普拉斯曾寫道：「讀歐拉的著作吧，在任何意義上，他都是我們的大師」。德國數學家高斯曾寫道：「對歐拉所有的著作的研究將永遠是數學各個領域最好的學習之所，沒有任何其他東西可以取代它」。他成年後的大部分時間是在聖彼得堡與柏林度過的。

## 生平

### 瑞士生涯（1707-1727）

1707年4月15日，萊昂哈德·歐拉出生於瑞士巴塞爾，父親保羅·歐拉（Paul Euler）是基督歸正宗的牧師，母親是瑪格麗特·布魯克（Marguerite Brucker），她的先祖中有許多著名的古典學者。歐拉是家中4個孩子中的長子，他有兩個妹妹安娜瑪麗亞（Anna Maria）和瑪麗亞·馬格達萊娜（Maria Magdalena），還有一個弟弟約翰·海因里希（Johann Heinrich）。在歐拉出生後不久，他們全家就從巴塞爾搬遷至郊外的里恩，在那裡歐拉度過了他童年的大部分時光。

自幼時起，歐拉就從父親那裡接觸和學習數學，他的父親曾在巴塞爾大學學習過瑞士數學家雅各布·伯努利的課程。大約8歲時，歐拉回到巴塞爾的外祖母家居住，並就讀於當地的拉丁學校。由於學校取消了數學課，父親安排一位對數學有濃厚興趣的年輕神學家約翰內斯（Johannes Burckhardt）給歐拉做私人輔導。

1720年，13歲的歐拉進入巴塞爾大學學習，以如此小的年紀上大學在當時並不少見。歐拉的父親想讓歐拉走他的老路，成為一名牧師，應父親的要求，歐拉在大學學習神學、希臘語和希伯來語。1723年歐拉取得哲學碩士學位，其學位論文的內容是笛卡爾哲學和牛頓哲學的比較研究。在此期間歐拉的初等數學的課程由雅各布·伯努利（曾教過歐拉父親）的弟弟約翰·伯努利講授，伯努利意識到了歐拉在數學上的非凡天賦，便不斷支持和幫助歐拉，同時他還說服了歐拉的父親，同意讓歐拉以數學而非牧師為以後的事業。伯努利對歐拉後來的科學生涯產生了深遠影響，從歐拉開始科學生涯直到約翰·伯努利去世，這大約二十年的時間裡，歐拉與他保持著友好的書信往來。

1726年，歐拉完成了一篇題為《De Sono》的博士學位論文，內容是研究聲音的傳播。1727年，歐拉參加了由法國科學院主辦的有獎競賽（從1720年開始每年舉辦一次，後來每兩年舉辦一次），當年的問題是找出船上的桅杆的最優放置方法。被譽為「艦船建造學之父」的皮埃爾·布格獲得第一名，歐拉獲得第二名。之後的一些年，歐拉15次參加這項賽事，一共12次贏得第一名。從1720年第一次舉辦到18世紀的大部分時間，這項競賽的獎項被認為是歐洲最重要的科學獎項。

1725年，約翰·伯努利的兩個兒子尼古拉·伯努利（長子）和丹尼爾·伯努利（次子）進入位於聖彼得堡的俄國皇家科學院工作，同時他們向歐拉保證，稱如果職位有空缺，他們會推薦歐拉去擔任。1726年7月31日，尼古拉因闌尾炎去世，這時他在俄國僅度過了不到一年的時間。之後丹尼爾便接替了他哥哥在數學和物理學部門的職位，同時推薦歐拉來接替他自己在生理學所空出的職位。歐拉於1726年11月欣然接受了邀請，但由於他未能成功地申請巴塞爾大學的物理學教授職位，因此他推遲了前往聖彼得堡的行程。

### 在聖彼得堡（1727-1741）

1727年5月17日，歐拉抵達聖彼得堡，不久他從原來的醫學部門的初級職位晉升至數學部門的職位。他與丹尼爾住在一起，並且與之保持著密切的合作關係。歐拉也很快掌握了俄語，適應了在聖彼得堡的生活，同時他還另外擔任了俄國海軍軍醫的職務。

俄國皇家科學院由彼得大帝於1724年創建，旨在提升俄國的教育水平，縮小其與西歐在科學領域領先地位之間的差距。在凱薩琳一世繼續推行其已故丈夫的進步政策和支持下，學院擁有充足的財力和一個規模龐大的圖書館，這其中包括有彼得大帝和其他貴族們的私人圖書。同時為了減輕教授們的教學負擔，學院只招收較少數量的學生。學院非常重視研究，並為其成員給予時間和自由來探究科學問題。因此，學院對於像歐拉這樣的來自外國的學者具有特別的吸引力。但凱薩琳一世在歐拉抵達聖彼得堡之前已經去世。隨後12歲的彼得二世即位，保守派貴族奪得權利，這些貴族們對學院中外國科學家心存疑慮和敵意，削減了對歐拉及其同事的資助，同時阻止外國和非貴族學生進入中學和大學。

1730年彼得二世去世後，這種被敵視的情況有所好轉。歐拉在學院的地位迅速提升，並於1731年獲得物理學教授的職位。他還離開了俄國海軍，拒絕晉升為海軍上尉。兩年後，丹尼爾·伯努利厭惡了在聖彼得堡受到的種種審查和敵視，重新返回巴塞爾，歐拉於是接替他成為數學部門的主任。

1734年1月7日，歐拉與瑞士畫家格奧爾格·格塞爾的女兒凱薩琳娜·格塞爾（Katharina Gsell，1707–1773）結婚，兩人在涅瓦河邊上買了一套房子，共育有13個子女，其中僅有3個兒子和2個女兒活到成年。

### 在柏林（1741-1766）

考慮到俄國持續的動亂，歐拉於1741年6月19日離開聖彼得堡，前往柏林科學院就職，職位由腓特烈二世提供。他在柏林生活了25年，並寫下了數百篇文章。1748年，歐拉出版了關於函數方面的著作《無窮小分析引論》；1755年，他出版了關於微分的著作《微分學基礎》，同年他當選為瑞典皇家科學院和法國科學院的外籍院士。歐拉在柏林的著名學生包括魯莫夫斯基，他後來被認為是俄國第一位天文學家。1748 年，巴塞爾大學邀請歐拉接替彼時去世的約翰·伯努利的職位，但他拒絕了。1753年，他在夏洛滕堡買了一棟房子，在此與家人和喪偶的母親一同居住。

歐拉成為腓特烈二世的侄女普魯士公主的講師。歐拉在1760年代初給她寫了200多封信，這些信後來被彙編為題為《歐拉寫給德國公主的關於物理和哲學不同主題的信》的一卷。這部著作包含了歐拉對數學和物理的各個主題的闡述，同時也是探究歐拉個性和宗教信仰的珍貴資料。這部著作被翻譯成多種語言在歐洲和美國出版，它比歐拉其他任何數學著作都更為廣泛地被大眾閱讀。這些信件的受歡迎程度，也證明了歐拉向普羅大眾科普科學問題的能力，這對於專注於研究的科學家來說是一種罕見的能力。

在柏林期間，歐拉仍與俄國皇家科學院保持著密切聯繫。他還幫助來自該學院的學生，有時會在自己家中接待這些來自俄羅斯學生。1760年，正值七年戰爭爆發，歐拉在夏洛滕堡的農場遭到俄羅斯軍隊的洗劫。伊萬·彼得羅維奇·薩爾蒂科夫將軍得知此事後，為歐拉的財產損失支付了賠償金。隨後伊莉莎白女皇追加4000盧布的賠償金，這筆賠償金在當時是一筆巨款。1766年歐拉決定離開柏林重返俄國。

在歐拉的科學生涯中，他的視力一直在惡化。1738年，也就是一次患重病後的第三年（從當時歐拉醫生的筆記中並不清楚是哪種病），他的右眼近乎失明，但他把這歸咎於他為聖彼得堡科學院進行的繁瑣的地圖學工作，真正失明的原因至今仍眾說紛紜。在柏林期間，他的右眼視力仍不斷惡化，以至於腓特烈二世稱其為「獨眼巨人」。歐拉談到其視力喪失時說：「現在我的干擾會更少了」。

在柏林的時間（1741–1766），歐拉處於其創作力的巔峰，他一共撰寫了380篇著作，其中有275篇被出版。所有著作包括在柏林科學院發表的125篇論文，以及逾100篇送至俄國皇家科學院的論文，後者保留了歐拉的成員身份，並每年向他支付津貼。1748年，歐拉分兩部分出版了《無窮小分析引論》。他除了專注於自己的研究，還負責管理圖書館、天文台、植物園，參與日曆和地圖的製作，這些都使得柏林科學院從中獲得收益。他還參與了國王的夏宮無憂宮的噴泉的設計。

### 重返聖彼得堡（1766-1783）

葉卡捷琳娜二世即位後，俄國政局趨於穩定，於是歐拉於1766年接受了俄國皇家科學院的邀請，重返聖彼得堡。歐拉也提出一些條件：年薪3000盧布、給予他妻子撫恤金（如果他逝世）以及承諾將他的三個兒子任命到學院高職位等。這些要求也都被滿足。

1766年，歐拉再次抵達聖彼得堡後，僅有的可以看清東西的左眼被診斷患有白內障，後來很快也失明了。1771年，應葉卡捷琳娜二世的邀請，德國著名眼科醫生溫澤爾（Michael Johann Baptist von Wenzel）爵士前往聖彼得堡為歐拉治療眼睛。溫澤爾為歐拉做手術，將左眼的白內障摘除了，歐拉的視力有所恢復能看清東西了，但手術幾天過後，他又幾乎失明了，眼部還時常感到疼痛。儘管眼睛失明，歐拉憑藉著極強的心算能力和記憶力，他的生產力幾乎沒有被影響。他將自己的研究成果口授給一位助手，助手再用德語記錄下來。在助手的幫助下，歐拉的出版頻率甚至有所增加，1775年，他平均每周就完成一篇數學論文。歐拉一生中近一半的作品，都是在重返聖彼得堡後這一時期所創作的。

除了眼睛失明，1771年還發生了一件嚴重的事件，一場火災燒毀了歐拉的屋子和幾乎其他所有的財產，其本人也差點喪命。不過，歐拉的大部分手稿倖免於難，另外有一篇關於月球理論的著作部分被毀壞，憑藉著自身超強的記憶力，很快就完善了這篇損壞的著作。

1773年，歐拉的第一任妻子凱薩琳娜逝世。之後歐拉再婚，1776年，他與其第一任妻子同父異母的妹妹莎樂美·阿比蓋爾·格塞爾（Salome Abigail Gsell，1723-1794）結婚。這段婚姻直至歐拉逝世。

#### 逝世

1783年9月18日，歐拉與家人共進晚餐後，與瑞典天文學家安德斯·約翰·萊克塞爾討論新發現的行星天王星及其軌道時，突然因腦溢血而暈倒，幾小時後的大約11點，歐拉被確認去世。雅各布·馮·斯塔林為俄羅斯科學院寫了一篇簡單的訃告，師從於歐拉的俄羅斯數學家尼古拉斯·福斯寫了一篇長文悼詞，並在歐拉的追悼會上發表。在法國科學院寫的悼詞中，法國數學家兼哲學家孔多塞侯爵寫道：

歐拉被安葬在瓦西里島上的斯摩棱斯克公墓，位置與其第一任妻子凱薩琳娜相鄰。1837年，俄羅斯科學院為他修建了一座新的墓碑，取代原先已經雜草叢生的舊墓碑。1957年，為紀念歐拉誕辰250周年，他的墳墓被遷至亞歷山大·涅夫斯基修道院的拉扎列夫斯科耶公墓。

## 貢獻

歐拉的研究的廣度十分大。他幾乎涉足數學的所有領域，包括幾何學、微積分學、三角學、代數和數論。他研究的物理學領域有連續介質力學和月球運動論等。他的著作的彙編《歐拉全集》共有74卷。他一共發表了866篇論汶萊昂哈德出版物。據統計，他的所有著作約占18世紀數學、物理學、力學、天文學和航海學總產出的四分之一。歐拉被認為是最多產的數學家之一，他的名字出現在眾多科學門類中。

### 數學符號

歐拉引入許多數學符號，並通過他的許多教科書而廣為流傳。其中最為著名的是他引進了「函數」的概念，並且第一個用$f(x)$表示以$x$為自變量的函數。他引入了三角函數現代符號表示法，以$e$表記自然對數的底（現在也稱作歐拉數），用希臘字母$\Sigma$表記累加求和和以$i$表示虛數單位。用希臘字母$\pi$來表示圓周率也由歐拉推廣普及，這一表示法最先源自英國數學家威廉·瓊斯。

### 分析學

18世紀微積分學取得了巨大進步，歐拉的家族朋友伯努利家族在該領域的早期進展中貢獻良多。得益於他們的影響，研究微積分成為了歐拉工作的主要重點。儘管歐拉的一些證明不符合現代數學的嚴謹標準，但這些證明仍為數學帶來了巨大的進步。歐拉因頻繁使用冪級數（將函數表示為無限多項之和）和推進其應用和發展而在分析領域聞名。例如：

$$e^x = \sum_{n=0}^\infty {x^n \over n!} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{0!} + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\right)$$

歐拉對冪級數的運用使他能夠在1735年解決著名的巴塞爾問題，由於這個問題於1644年提出，還難倒了眾多數學家，他也因此名聲大噪。起初他給出了錯誤的證明，後來在1741年給出了嚴密的證明。巴塞爾問題即求全體正整數平方的倒數之和：

$$\sum_{n=1}^\infty {1 \over n^2} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}\right) = \frac{\pi ^2}{6}$$ 歐拉在1735年引入了常數：

$$\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} ... + \frac{1}{n} - \ln(n) \right)\approx0.5772$$

現在稱之為歐拉常數或歐拉-馬斯刻若尼常數，這一公式在計算難於計算的積分、求和與級數的時候極為有效。他還研究了該常數與調和級數、伽馬函數以及黎曼zeta函數的值之間的關係。

歐拉定義了複數的指數函數，並發現了它與三角函數的關係，這一關係式稱為歐拉公式：對於任意實數$x$（視為弧度），$e$為自然對數的底數，$i$為虛數單位，滿足

$$e^{ix} = \cos( x ) + i\sin( x ) \,$$

美國理論物理學家理察·費曼稱這一公式為「最卓越的數學公式」。

上述公式當$x$等於$\pi$時得到一個特例，稱為歐拉恆等式，該等式將自然常數、圓周率、虛數單位、乘法單位元（指1）和加法單位元（指0）聯繫在了一個等式中：

$e^{i \pi} + 1=0 \,$或$e^{i \pi} = -1 \,$

歐拉建立了彈性體的力矩定律：作用在彈性細長杆上的力矩正比於物質的彈性和透過質心軸和垂直於兩者的截面的轉動慣量。

他還直接從牛頓運動定律出發，建立了流體力學裡的歐拉方程。這些方程組在形式上等價於粘度為0的納維-斯托克斯方程。人們對這些方程的主要興趣在於它們能被用來研究衝擊波。

他對微分方程理論作出了重要貢獻。他還是歐拉近似法的創始人，這些計算法被用於計算力學中。此中最有名的被稱為歐拉方法。

在數論里他引入了歐拉函數。自然數$n$的歐拉函數$\phi(n)$被定義為小於$n$並且與$n$互質的自然數的個數。例如，$\phi(8) = 4$，因為有四個自然數1，3，5和7與8互質。

在電腦領域中廣泛使用的RSA公鑰密碼演算法也是以歐拉函數為基礎。

在分析領域，是歐拉綜合了戈特弗里德·威廉·萊布尼茨的微分與艾薩克·牛頓的流數

歐拉還發現了公式的 V - E + F = 2 的數量與頂點(Vertex, V)，邊(Edge, E)和面(Face, F)的凸多面體，因此，對一個平面圖形。此公式中的常數是現在被稱為歐拉示性數的圖形（或其他數學對象），是有關屬的對象。研究和推廣這一公式，特別是通過柯西和歐萊雅Huillier，是在原點的拓撲結構。

歐拉在1736年解決了柯尼斯堡七橋問題，並且發表了論文《關於位置幾何問題的解法》（Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis），對一筆畫問題進行了闡述，是最早運用圖論和拓撲學的典範。

在1739年，歐拉寫下了《音樂新理論的嘗試（Tentamen novae theoriae musicae）》，書中試圖把數學和音樂結合起來。一位傳記作家寫道：這是一部「為精通數學的音樂家和精通音樂的數學家而寫的」著作。

在經濟學方面，歐拉證明，如果產品的每個要素正好用於支付它自身的邊際產量，在固定規模報酬的情形下，總收入和產出將完全耗盡。

在幾何學和代數拓撲學方面，歐拉公式給出了單連通多面體的邊、頂點和面之間存在的關係：

$$F - E + V = 2 \,$$

其中，F為給定多面體的面數之和，E為邊數之和，V為頂點數之和。這個定理也可用於平面圖。對非平面圖，歐拉公式可以推廣為：如果一個圖可以被嵌入一個流形$M$，則：

$$F - E + V = \chi(M) \,$$

其中χ為此流形的歐拉示性數，在流形的連續變形下是不變量。單連通流形（例如球面或平面）的歐拉特徵值是2。對任意的平面圖，歐拉公式可以推廣為：$F - E + V - C = 1$，其中$C$為圖中連通分支數。

數獨是歐拉發明的拉丁方的概念，在當時並不流行，直到20世紀由日本上班族鍛治真起帶起流行。

## 紀念

歐拉在柏林居住過的房子被保存了下來，門前還有一塊於1907年修建的牌匾。

歐拉的肖像被印在第六系列和第七系列瑞士10法郎的鈔票，這同樣還出現在眾多德國和俄羅斯的郵票上，通常還帶有歐拉生前所涉及的科學問題。

月球撞擊坑歐拉隕石坑和小行星2002均以歐拉命名。

日內瓦大學在智利拉西拉天文台建立的口徑1.2米望遠鏡命名為萊昂哈德·歐拉望遠鏡。

2013年4月15日谷歌以首頁塗鴉紀念歐拉306周年誕辰，展示了歐拉角、歐拉公式、歐拉恆等式、歐拉示性數和七橋問題等。

- 第六版10元瑞士法郎紙幣正面
- 第六版10元瑞士法郎紙幣背面，內容是水輪機、太陽系示意圖和光線穿過透鏡
- 第七版10元瑞士法郎正面的歐拉肖像，還有多面體和柯尼斯堡大橋
- 第七版10元瑞士法郎背面，內容是伽瑪函數、數字計算表和太陽系示意圖
- 2007年，俄羅斯發行的硬幣，其上有巴塞爾問題的結果

## 基本資料

- 日語原文：萊昂哈德·歐拉
- 原文名：Leonhard Euler
- 原文名：de
- 出生日期：1707年4月15日
- 出生地：舊瑞士邦聯巴塞爾
- 逝世日期：1783年9月18日
- 逝世地：俄羅斯帝國聖彼得堡
- 居住地：普魯士王國、俄羅斯帝國、舊瑞士邦聯
- 研究領域：數學、物理學
- 機構：俄國皇家科學院、普魯士科學院
- 母校：巴塞爾大學
- 博士導師：約翰·白努利
- 博士生：約瑟夫·拉格朗日
- 簽名：Euler's signature.svg