數列

數列（Number sequence）是由數字組成的序列。另一種略為抽象的說法是——以正整數為定義域、值域是一個數系的函數。級數也是一種數列，不過它的每一項是另外一個數列的部份和。在微積分的教材中經常討論的數列是實數序列和實數級數。一般的「序列」則範圍更廣，可以由有序的一系列數字、一系列函數、一系列向量、一系列矩陣或一系列張量等等所組成。而在計算理論中，數列以及相關術語常用於有關遞推規律的研究。

## 正式定義

由於最一般的數為複數，可以作如下的定義：

一個 $a:\N\to\C$ 的函數被稱為無窮數列，可記為 ${\left\{ a_i \right\}}_{i\in\N}$、 ${\left\langle a_i \right\rangle}_{i\in\N}$ 或 ${\left( a_i \right)}_{i\in\N}$，而 $a(i)$ 會被簡記為 $a_i$。

若 $I_n = \left\{ 1,\,2,\,\cdots,\,n \right\}$，則一個 $a:I_n\to\C$ 的函數被稱為有限數列，可記為 ${\left\{ a_k \right\}}^{n}_{k=1}$、 ${\left\langle a_k \right\rangle}^{n}_{k=1}$ 或 ${\left( a_k \right)}^{n}_{k=1}$。

在教學上常會如下標示有限數列，來增進對定義的直觀理解：

$$\left \langle a_k \right \rangle_{k=1}^n= \left \langle a_1,\, a_2,\, a_3,\, \cdots ,\,a_n \right \rangle$$

以上表達式中的每一個數被稱為這個數列的「項」。$a_1$ 為數列的「第一項」、$a_2$ 為「第二項」，以此類推。$n$ 被稱為有限數列的項數。數列中的第一項常稱為「首項」，最後一項則稱為「末項」。注意有限數列也可以設為 $\left \langle a_k \right \rangle_{k=0}^n$，換句話說，把 $0$ 包含在數列的定義域中，並以第零項 $a_0$ 作為首項。無窮數列只有首項，沒有末項，但類似的，也可不將$0$包含在無窮數列的定義域中，讓無窮數列的首項為 $a_1$。

由數列中各個項的和組成的數列稱為「級數」，換句話說

一個數列 ${\left\{ a_i \right\}}_{i\in\N}$ 的級數是另外一個數列 ${\left\{ s_i \right\}}_{i\in\N}$，具有以下特性：

- $$s_0 = a_0$$
- 對所有的 $n\in\N$ 有 $s_{n+1} = s_n + a_n$

一般會將 $s_n$ 寫為 $\sum^{n}_{i=0} a_i$，甚至更直觀的 $a_0 + a_1 + \cdots + a_n$ 來凸顯級數源於求和的直觀概念。

級數的概念可以推廣至數列以外的序列，比如說函數序列的函數級數。

## 分類

### 單調性

- 若對所有 n ∈ Z+，an+1 ≥ an，則稱數列 ⟨ak⟩ 為「遞增數列」。把 換成，則稱為「嚴格遞增數列」。
- 若對所有 n ∈ Z+，an+1 ≤ an，則稱數列 ⟨ak⟩ 為「遞減數列」。把 換成，則稱為「嚴格遞減數列」。
- 若對所有 n ∈ Z+，an+1 = an，則稱數列 ⟨ak⟩ 為「常數數列」。

### 有限性

- 若數列 $\left \langle a_k \right \rangle_{k=1}^n$ 的項數有限，則 ⟨ak⟩ 為「有限數列」。
- 若數列 $\left \langle a_k \right \rangle_{k=1}^\infty$ 的項數無限，則 ⟨ak⟩ 為「無窮數列」。

### 有界性

- 若對所有 n ∈ Z+，M ≤ an ≤ N，則稱數列 ⟨ak⟩ 為「有界數列」。M 稱為「下界」， N 稱為「上界」。
- 若對數列 ⟨ak⟩，上述的 M、 N 不存在，則稱數列 ⟨ak⟩ 為「無界數列」。

## 收斂性與極限

收斂性是數列的一個重要性質。如果一個數列逐漸趨近於某一個值，就稱該數列為收斂數列，否則稱為發散數列。

簡單的說，一個數列$\{x_n\}$有極限，便是它的數列中的元素逐漸地越來越靠近$L$（稱為極限值），但是它們仍然任意得很靠近極限值$L$，而不一定恰好相等。

舉例來說：當 $a_n=\frac{1}{n}$ 時，隨著n的數字增加，可以看到它逐漸趨向於0。當 $a_n=5 - \frac{3n^2-9}{n^2+1}$時，隨著n的數字增加，可以看到它逐漸趨向於2。

此外，值得注意的是，當一個數列有極限值時，它的極限值一定是唯一的。一般來說，當數列收斂，我們會記$\lim_{n \to \infty }a_{n} = L$。

### 收斂的嚴格定義

我們說一個實數數列$\{a_n\}$收斂於實數$L$；如果對任意的$\epsilon>0$，存在一個正整數$N \in \N$，使得對所有的$n \geq N$，有$|a_{n}-L|<\epsilon$。

## 重要的特殊數列

- 等差數列：是一種特殊數列。數列中，從第二項起，每一項與前一項的差相等。

例如數列$1,3,5,7,9,\cdots,9995,9997,9999,\cdots$。

這就是一個等差數列，因為第二項與第一項的差和第三項與第二項的差相等，都等於$2$；$9999$與$9997$的差也等於2。我們把像2這樣的後一項與前一項的差稱之為公差，符號為$d$，並且$d$可為0。

若設首項$a_1 = a$，則等差數列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$。

- 多階等差數列：又稱高階等差數列，中國則稱之為「質數相關數列」。

把一個數列的所有後項與前一項之差組成一個新的數列，如果這個新的數列是普通等差數列，原數列就稱為二階等差數列。

由此類推，把一個數列的所有後項與前一項之差組成一個新的數列，再把這個新的數列的所有後項與前一項之差組成另一個新的數列，如此進行下去，直到最後的數列如果是普通等差數列，那麼原數列就是多階等差數列。

普通等差數列可以視為一階等差數列，因而常數數列實際就是零階等差數列。

- 等比數列：是一種特殊數列。它的特點是：從第2項起，每一項與前一項的比都是一個常數。

例如數列$2,4,8,16,32,\cdots,2^{197},2^{198},2^{199},\cdots$。

這就是一個等比數列，因為第二項與第一項的比和第三項與第二項的比相等，都等於2，$2^{198}$與$2^{197}$的比也等於2。我們把像2這樣的後一項與前一項的比稱之為公比，符號為$r$。

若設首項$a_1 = a$，則等比數列的通項公式為$a_n=ar^{n-1}$。

- 斐波那契數列：是一種特殊數列。它的特點是：首兩項均是1，從第3項起，每一項均為前兩項的和。

以數學符號表示，即$a_1=a_2=1$，且對於$n\ge 3$，$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。

斐波那契數列的通項公式為$a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left({\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)^n-\left({\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\right)^n\right]$。

- 質數數列：目前找不到規律的特殊數列，即：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,............
- 正負相間：$(-1)^n$或$(-1)^{n-1}$
- 隔項有零：$\frac{1}{2} [(-1)^n+1]$或$\frac{1}{2} [(-1)^{n-1}+1]$

## 數列的求和

通常對第1項到第$n$項求和，記為$S_n=\sum_{k=1}^n a_k$。此求和符號是由瑞士數學家萊昂哈德·歐拉使用和推廣的。

一個特殊數列求和：奇數數列。1，3，5，7，9，...。其和為項數$n$的平方。例如：1+3=22,1+3+5=32。

## 通項公式的求解

通常，從實際問題中會先得到一個遞推關係式，但是可能會難以觀察出數列中某一項的項數和具體大小之間的規律。所以需要求出這個數列的通項公式。以下是一些常見的遞推式化簡方法。通項公式的求解在積分學、線性代數、機率論、組合數學、趣味數學、數學物理、數學建模、數值分析、分形等領域中都會遇到。並不存在一種通用的解法。求不出通項公式或只能進行估算的情形也可能出現。

### 數學歸納法

求出該數列的前數項，歸納其通項公式，然後用數學歸納法證明公式正確。

數學歸納法是最基本的方法，但對觀察和歸納的能力要求比較高。如果猜不出規律，則不能使用此方法。

### 逐差全加

給定數列差$d_n$時逐差全加，例如：

$a_1=1$，$d_n=a_n-a_{n-1}=2n$, 求$a_n$

$$a_n=a_1+\sum_{k=2}^n d_k=n^2+n-1$$

### 逐商全乘

給定數列比$r_n$時逐差全乘，例如：

$a_1=1$，$r_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n}{n-1}$，求$a_n$

$$a_n=a_1\prod_{k=2}^n r_k=n$$

### 從和式求通項

如果已知數列和的公式，那麼通項的求解非常容易。由$S_n=\sum_{k=1}^n a_n$可知$S_n-S_{n-1}=a_n$

把$S_n$看成一個數列，可以先對$S_n$進行求解，然後得出$a_n$。

### 換元法

換元法用於從形式上簡化表達式，以突出問題的本質。換元法一般不單獨使用，而是和其它方法結合使用。中學數學中常用的有對數換元法、三角函數換元法，還有用得很少的雙曲函數換元法。

### 不動點法

對於形如齊次分式的遞推關係，可利用不動點來推導。

已知$Aa_{n+1}+Ba_n+C=0$，其中$A$、$B$、$C$都是常數，求$a_n$。

求這類數列的通項公式，一般的方法就是將之化成一個新的等比數列。

- 如果$A\ne-B$，那麼這個式子就可以化成下面的形式：

$A(a_{n+1}+k)=-B(a_n+k)$。

求出$k$，那麼數列${a_n+k}$就是一個等比數列，從而求出通項公式。

- 如果$A=-B$，這個遞推關係就不能化為等比數列。如果$A=-B$，那麼它就是等差數列。另外，當$A=B$的時候，它是一個等和數列。從這個問題我們可以看到，等和數列也可以化成一個等比數列。

$Aa_{n+1}+Ba_n+C=0$ $Aa_n+Ba_{n-1}+C=0$ 兩邊相減就有：$A(a_{n+1}-a_n)+B(a_n-a_{n-1})=0$，如此就化成了一個等比數列。

已知$Aa_{n+1}+Ba_n+Ca_{n-1}+D=0$,其中$A$、$B$、$C$、$D$都為常數，求$a_n$。

與上述數列一樣，它們一定可以化成下面的形式：

$Aa_{n+1}+Ea_n=k(Aa_n+Ea_{n-1})-D$ 求出對應係數，於是就轉化成了前面那種形式，然後就可以求出數列${Aa_n+Ea_{n-1}}$的通項公式，然後求出$a_n$的通項公式。實際上這是一種逐步化簡的方法。

### 其它方法

其它常用方法包括導數求通項法、組合數學中的母函數方法、特徵方程法，這些一般是在大學課程或是部分高中的進階課程中學到。其中特徵方程法專門用於線性遞推關係式的化簡，與求解線性微分方程的特徵方程法非常類似。