雅可比矩陣

在向量分析中，雅可比矩陣（也稱作Jacobi矩陣，Jacobian matrix）是函數的一階偏導數以一定方式排列成的矩陣。

當其為方形矩陣時，其行列式稱為雅可比行列式（Jacobi determinant）。要注意的是，在英文中雅可比矩陣跟雅可比行列式都可稱作Jacobian。

其重要性在於，如果函數 $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ 在點 $x$ 可微的話，在點 $x$ 的雅可比矩陣即為該函數在該點的最佳線性逼近，也代表雅可比矩陣是單變數實數函數的微分在向量值多變數函數的推廣，在這種情況下，雅可比矩陣也被稱作函數 $f$ 在點 $x$ 的微分或者導數。

在代數幾何中，代數曲線的雅可比行列式表示雅可比簇：伴隨該曲線的一個代數群，曲線可以嵌入其中。

它們都以普魯士數學家卡爾·雅可比命名。

## 雅可比矩陣

假設某函數從 $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$，從 $x\in \mathbb{R}^n$ 映射到 向量 $f(x) \in \mathbb{R}^m$，其雅可比矩陣是一 $m \times n$ 的矩陣，換句話講也就是從 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^m$ 的線性映射，其重要意義在於它表現了一個多變數向量函數的最佳線性逼近。因此，雅可比矩陣類似於單變數函數的導數。

此函數 $f$ 的雅可比矩陣 $\mathbf{J}$ 為 $m \times n$ 的矩陣，一般由以下方式定義：

$$\mathbf J = \begin{bmatrix} <pre> \dfrac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_n} \end{bmatrix} </pre> = \begin{bmatrix} <pre> \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}$$

矩陣的分量可表示成：

$$\mathbf J_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial x_j}$$

雅可比矩陣的其他常用符號還有：

$Df$、 $\mathrm{D}\mathbf{f}$、$\mathbf J_{\mathbf f}(x_1,\ldots,x_n)$ 或者 $\frac{\partial(f_1,\ldots,f_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}$

此矩陣的第 $i$ 列是由函數 $f_i$ 的梯度函數所表示的，$1\le i\le m$。

如果 $p$是$\mathbb{R}^n$ 中的一點，$f$在 $p$點可微分，根據數學分析， $\mathbf J_{\mathbf f}(p)$是在這點的導數。在此情況下，$\mathbf J_{\mathbf f}(p)$這個線性映射即 $f$ 在點 $p$附近的最優線性逼近，也就是說當 $x$足夠靠近點 $p$時，我們有

$$f(x) \approx f(p) + \mathbf J_{\mathbf f}(p)\cdot (x-p)$$

講更詳細點也就是：

$$\mathbf f(\mathbf x) = \mathbf f(\mathbf p) + \mathbf J_{\mathbf f}(\mathbf p)(\mathbf x - \mathbf p) + o(\|\mathbf x - \mathbf p\|)$$

其中，$o$ 代表小o符號，$\lVert x-p \rVert$ 為 $x$ 與 $p$ 之間的距離。

## 例子

### 例一

由球坐標繫到直角坐標系的轉化由 $F: \mathbb{R}^+ \times [0,\pi) \times [0,2\pi) \rightarrow \mathbb{R}^3$ 函數給出，其分量為：

$$\begin{align} x &= r \sin \theta \cos \varphi ; \\ y &= r \sin \theta \sin \varphi ; \\ z &= r \cos \theta \end{align}$$

此坐標變換的雅可比矩陣是

$$\mathbf J_{\mathbf F}(r, \theta, \varphi) = \begin{bmatrix} <pre> \dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \theta} & \dfrac{\partial x}{\partial \varphi} \\[1em] \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta} & \dfrac{\partial y}{\partial \varphi} \\[1em] \dfrac{\partial z}{\partial r} & \dfrac{\partial z}{\partial \theta} & \dfrac{\partial z}{\partial \varphi}\end{bmatrix} </pre> = \begin{bmatrix} <pre> \sin \theta \cos \varphi & r \cos \theta \cos \varphi & - r \sin \theta \sin \varphi \\ \sin \theta \sin \varphi & r \cos \theta \sin \varphi & r \sin \theta \cos \varphi \\ \cos \theta & - r \sin \theta & 0 \end{bmatrix}$$

其雅可比行列式為 $r^2 \sin \theta$。以體積元變換爲例，由於 $\operatorname{d}\!V =\operatorname{d}\!x \ \operatorname{d}\!y \ \operatorname{d}\!z$，如果做變數變換，則其體積元（Volume element， $\operatorname{d}\!V$），會變成：$\operatorname{d}\!V =r^2 \sin \theta \operatorname{d}\!r \operatorname{d}\!\theta \operatorname{d}\!\varphi$。

### 例二

$F: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^4$，其各分量為

$$y_1 = x_1 \,$$

$$y_2 = 5x_3 \,$$

$$y_3 = 4x_2^2 - 2x_3 \,$$

$$y_4 = x_3 \sin x_1 \,$$

其雅可比矩陣為:

$$J_F(x_1,x_2,x_3) =\begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \frac{\partial y_1}{\partial x_2} & \frac{\partial y_1}{\partial x_3} \\[3pt] \frac{\partial y_2}{\partial x_1} & \frac{\partial y_2}{\partial x_2} & \frac{\partial y_2}{\partial x_3} \\[3pt] \frac{\partial y_3}{\partial x_1} & \frac{\partial y_3}{\partial x_2} & \frac{\partial y_3}{\partial x_3} \\[3pt] \frac{\partial y_4}{\partial x_1} & \frac{\partial y_4}{\partial x_2} & \frac{\partial y_4}{\partial x_3} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_2 & -2 \\ x_3\cos x_1 & 0 & \sin x_1 \end{bmatrix}$$

此例子說明雅可比矩陣不一定為方陣。

## 在動力系統中

考慮形為 $x^\prime=F(x)$的動力系統，$F: \mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$。如果 $F(x_0)=0$，那麼 $x_0$是一個臨界點。系統接近臨界點時的行為跟 $J_F(x_0)$的特徵值相關。

## 雅可比行列式

如果 $m=n$，那麼 $F$ 是從 $\mathbb{R}^n$ 映射到 $\mathbb{R}^n$ 的函數，且它的雅可比矩陣是一個方陣。於是我們可以取它的行列式，稱為雅可比行列式。

在某個給定點的雅可比行列式提供了 F 在接近該點時的表現的重要資訊。例如，如果連續可微函數 $F$ 在 $p$ 點的Jacobi行列式不等於零，那麼它在該點附近有 $F$ 的反函數。這稱為反函數定理。更進一步，如果 $p$ 點的Jacobi行列式是正數，則 $F$ 在 $p$ 點保持定向（preserves orientation）；如果是負數，則 $F$ 逆轉定向（reverses orientation）。而從Jacobi行列式的絕對值，就可以知道函數 $F$ 在 $p$ 點附近是放大或縮小體積；這就是它出現在換元積分法中的原因。

### 例子一

設有函數 $F: \mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3$，其分量為：

$$y_1 = 5x_2 \,$$

$$y_2 = 4x_1^2 - 2 \sin (x_2x_3) \,$$

$$y_3 = x_2 x_3 \,$$

則它的Jacobi行列式為：

$$\begin{vmatrix} 0 & 5 & 0 \\ 8x_1 & -2x_3\cos(x_2 x_3) & -2x_2\cos(x_2 x_3) \\ 0 & x_3 & x_2 \end{vmatrix}=-8x_1\cdot\begin{vmatrix} 5 & 0\\ x_3&x_2\end{vmatrix}=-40x_1 x_2$$

從中我們可以看到，當 $x_1$ 和 $x_2$ 同號時，$F$ 逆轉定向；該函數處處具有反函數，除了在 $x_1=0$ 或 $x_2=0$ 的點。

### 例子二

這是一個與巴塞爾問題$\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6$較為相似的級數$\sum_{n=0}^\infty\frac1{(2n+1)^2}=\frac{\pi^2}8$的求解方法，首先可以轉化為二重積分（在這裡 $D_1$ 指 $x$ 與 $y$ 皆為從 0 到 1 的正方形區域）：

$$\sum_{n=0}^\infty\frac1{(2n+1)^2}=\iint\limits_{D_1}\sum_{n=1}^\infty(xy)^{2n}\mathrm dx\mathrm dy=\iint\limits_{D_1}\frac{\mathrm dx\mathrm dy}{1-x^2y^2}$$

此時定義映射 $F: \mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$，滿足：

$$\begin{cases}u=\arctan\left(x\sqrt{\dfrac{1-y^2}{1-x^2}}\right)\\v=\arctan\left(y\sqrt{\dfrac{1-x^2}{1-y^2}}\right)\end{cases}\iff\begin{cases}x=\dfrac{\sin u}{\cos v}\\y=\dfrac{\sin v}{\cos u}\end{cases}$$

於是有相應的雅可比行列式：

$$\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u}&\dfrac{\partial x}{\partial v}\\\dfrac{\partial y}{\partial u}&\dfrac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\dfrac{\cos u}{\cos v}&\dfrac{\sin u\sin v}{\cos^2v}\\\dfrac{\sin u\sin v}{\cos^2u}&\dfrac{\cos v}{\cos u}\end{vmatrix}=1-\frac{\sin^2u\sin^2v}{\cos^2u\cos^2v}=1-x^2y^2$$

因此$\mathrm dx\mathrm dy=(1-x^2y^2)\mathrm du\mathrm dv$，並且將正方形 $D_1$ 映射成 $u>0$、$v>0$、$u+v<\frac{\pi}{2}$ 的等腰直角三角形，記為 $D_2$，得到：

$$\iint\limits_{D_1}\frac{\mathrm dx\mathrm dy}{1-x^2y^2}=\iint\limits_{D_2}\mathrm du\mathrm dv=\int_0^\frac\pi2\left(\int_0^{\frac\pi2-v}\mathrm du\right)\mathrm dv=\frac{\pi^2}8$$

## 逆矩陣

根據反函數定理，一個可逆函數（存在反函數的函數）的雅可比矩陣的逆矩陣即為該函數的反函數的雅可比矩陣。即，若函數 $F: \mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$在點 $p\in\mathbb{R}^n$的雅可比矩陣是連續且可逆的，則 $F$在點 $p$的某一鄰域內也是可逆的，且有

$$J_{F^{-1}}\circ f=J^{-1}_{F}$$

成立。相反，倘若雅可比行列式在某一個點不為零，那麽該函數在這個點的某一鄰域內可逆（存在反函數）。

一個多項式函數的可逆性與未經證明的雅可比猜想有關。其斷言，如果函數的雅可比行列式為一個非零實數（相當於其不存在複零點），則該函數可逆且其反函數也為一個多項式。雅可比猜想於2026年7月因證實存在反例而遭證偽。

## 外部連結

- Ian Craw的本科教學網頁 雅可比行列式的通俗解釋
- Mathworld 更技術型的雅可比行列式的解釋