平方根

在數學中，一個數$x$的平方根$y$指的是滿足$y^2 = x$的數，即平方結果等於$x$的數。例如，4和-4都是16的平方根，因為$4^2=(-4)^2=16$。

任意非負實數$x$都有唯一的非負平方根，稱為算術平方根或算術平方根（principal square root），記為$\sqrt x$，其中的符號$\sqrt{\quad}$稱作根號。例如，9的算術平方根為9，記作 $\sqrt 9 = 3$，因為$3^2=3 \times 3 =9$並且3非負。被求平方根的數稱作被開方數（radicand），是根號下的數字或者表達式，即例子中的數字9。

正數$x$有兩個互為相反數的平方根：正數$\sqrt x$與負數$-\sqrt x$，可以將兩者一起記為$\pm \sqrt x$。

負數的平方根在複數系中有定義。而實際上，對任何定義了開平方運算的數學物件都可考慮其「平方根」（例如矩陣的平方根）。

- 在Microsoft的試算表軟體Excel與大部分程式語言中以 "sqrt"表示求主平方根。

## 歷史

耶魯大學的巴比倫藏品YBC 7289是一塊泥板，製作於前1800年到前1600年之間。泥板上是一個畫了兩條對角線正方形，標註了$\sqrt 2$的六十進位數字 1;24,51,10。六十進位的 1;24,51,10 即十進位的 1.41421296，精確到了小數點後5位（1.41421356...）。

萊因德數學紙草書大約成書於前1650年，內容抄寫自更早年代的教科書。書中展示了埃及人使用反比法求平方根的過程。

古印度的《繩法經》大約成書於前800年到前500年之間，書中記載了將2的平方根的計算精確到小數點後5位的方法。

古希臘的《幾何原本》大約成書於前380年，書中還闡述了如果正整數不是完全平方數，那麼它的平方根就一定是無理數——一種無法以兩個整數的比值表示的數（無法寫作m/n，其中m和n是整數）。

中國的《書》成書於漢朝（約前202年到前186年之間），書中介紹了使用盈不足術求平方根的方法。

古代未有劃一的平方根符號時，人們通常使用他們語言內開方這個字的首個字母的變型作為開方號。

中世紀時，拉丁語中的latus（正方形邊）的首個字母「L」被不少歐洲人採用；亨利·布里格斯在其著作《Arithmetica Logarithmica》中則用橫線當成latus的簡寫，在被開方的數下畫一線。

最有影響的是拉丁語的radix（平方根），1220年Leconardo在《Practica geometriae》中使用℞（R右下角的有一斜劃，像P和x的合體）；⎷（沒有上面的橫劃）是由克里斯多福·魯登道夫在1525年的書Coss首次使用，據說是小寫r的變型；後來數學家笛卡爾給其加上線括號，但與前面的方根符號是分開的（即「⎷‾」），因此在複雜的式子中它顯得很亂。直至18世紀中葉，數學家盧貝將前面的方根符號與線括號一筆寫成，並將根指數寫在根號的左上角，以表示高次方根（當根指數為2時，省略不寫），從而形成了現在人們熟知的開方運算符號$\sqrt[n]{\,\,}$。

## 正數

$x$的平方根亦可用指數表示，如：

$$x^\frac 1 2 = \sqrt x$$

$x$的絕對值可用$x^2$的算數平方根表示：

$$|x| = \sqrt{x^2}\left( =\begin{cases} x &(x \ge 0) \\ -x &(x < 0) \end{cases}\right)$$

若正整數$x$是平方數，則其平方根是整數。若正整數$x$不是平方數，則其平方根是無理數。

對於正數$x$、$y$，以下式成立：

$$\begin{align} \sqrt{x} \sqrt{y} &= \sqrt{xy}\\ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} &= \sqrt{\frac{x}{y}} \end{align}$$

## 負數與複數

正數和負數的平方都是正數，0的平方是0，因此負數沒有實數平方根。然而，我們可以把我們所使用的數字集合擴大，加入負數的平方根，這樣的集合就是複數。首先需要引入一個實數集之外的新數字，記作$i$（也可以記作$j$，比如電學場景中$i$一般表示電流），稱之為虛數單位，定義即為$i^2 = -1$，故$i$是-1的平方根，而且$(-i)^2 = i^2 = -1$，所以$-i$也是-1的平方根。通常稱-1的算術平方根是$i$，如果$x$是任意非負實數，則$-x$的算術平方根就是：

$$\sqrt{-x} = i \sqrt{x}$$

例如-5的平方根有兩個，它們分別為$\sqrt{5}i$和$-\sqrt{5}i$。

之所以等式右側（包括其對應的負值）是$-x$的算術平方根，是因為：

$$(i\sqrt{x})^2 = i^2(\sqrt{x})^2 = (-1)x = -x$$

負數的兩個平方根為一對共軛的純虛數。

對於負數$x$、$y$，以下式成立：

$$\begin{align} \sqrt{x} \sqrt{y} &= \sqrt{-x}\,i \times \sqrt{-y}\,i = \sqrt{xy}\,i^2 = -\sqrt{xy}\\ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} &= \frac{\sqrt{-x}i}{\sqrt{-y}i} = \sqrt{\frac{-x}{-y}} = \sqrt{\frac{x}{y}} \end{align}$$

### 虛數的算術平方根

虛數$i$的算術平方根可以根據以下公式計算：

$$\sqrt{i} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$$

這個公式可以通過用代數方法推導，只需找到特定的實數$a$和$b$，滿足

$$\begin{align} i &= (a + bi)^2 \\ &= a^2 + 2abi - b^2 \end{align}$$

就可以得到方程組

$$\begin{cases} 2ab = 1 \\ a^2 - b^2 = 0 \end{cases}$$

解：

$$a = b = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$

其中，算術平方根即為

$$a = b = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

這個公式還可以通過棣莫弗公式得到，設

$$i = \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$$

就可以推出

$$\begin{align} \sqrt{i} &= \left[\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)\right]^{\frac{1}{2}} \\ &= \cos \left(\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i) \end{align}$$

### 複數的算術平方根

對於任何一個非零的複數$z$都存在兩個複數$w$使得$w^2 = z$。

首先，我們將複數$x + iy$ 看作是平面上的點，即笛卡爾坐標系中的$(x, y)$點。這個點也可以寫作極坐標的$(r, \varphi)$，其中$r \geq 0$，是該點到坐標原點的距離，$\varphi$則是從原點到該點的直線與實數坐標軸（$x$軸）的夾角。複分析中，通常把該點記作$re^{i \varphi}$。如果

$$z = r e^{i \varphi}, -\pi < \varphi \le \pi$$

那麼我們將$z$的算術平方根定義為：

$$\sqrt{z} = \sqrt{r} e^{\frac{i \varphi}{2}}$$

因此，平方根函數除了在非正實數軸上以外是處處全純的。$\sqrt{1+x}$ 的泰勒級數也適用於複數$x (\left \vert x \right \vert < 1)$。

上面的公式還可以用三角函數的形式表達：

$$\sqrt{r \left(\cos \varphi + i \sin \varphi \right)} = \sqrt{r} \left(\cos \frac{\varphi}{2} + i \sin \frac{\varphi}{2}\right)$$

### 代數公式

如果使用笛卡爾坐標的形式表達複數 z，其算術平方根可以使用如下公式：

$$\sqrt{z} = \sqrt{\frac{|z| + \Re(z)}{2}} \pm i \sqrt{\frac{|z| - \Re(z)}{2}}$$

其中，方根虛部的符號與被開方數虛部的符號相同（為0時取正）；主值實部永遠非負。

在虛數，平方根函數的值不是連續的，以下等式不一定成立：

- $$\sqrt{zw} = \sqrt{z} \sqrt{w}$$
- $$\frac{\sqrt{w}}{\sqrt{z}} = \sqrt{\frac{w}{z}}$$
- $$\sqrt{z^*} = \left(\sqrt{z}\right)^*$$

所以這是錯誤的：

$$-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1$$

## 多項式

例：若$x\in\mathbb{R}$，$\sqrt{x^4+2x^2+1}=\sqrt{(x^2+1)^2}=|x^2+1|=x^2+1\,\!$

## 2的算術平方根

數學史中，最重要的平方根可以說是$\sqrt{2}$，它代表邊長為1的正方形的對角線長，是第一個公認的無理數，也叫畢達哥拉斯常數，其值到小數點14位約為2。

$\sqrt{2}$是無理數，可由歸謬法證明：

- 設$\sqrt{2}$為有理數，可表示為${\frac{p}{q}}$，其中$p$、$q$為互質之正整數。
- 因為$\left( \sqrt 2 \right) ^{2} = {\frac{p^2}{q^2}} = 2$，故$p^2$是2的倍數，$p$也是2的倍數，記為$2k$，其中$k$為正整數。
- 但是$2q^2 = p^2 = 4k^2$，故$q^2 = 2k^2$，$q^2$是2的倍數，$q$也是2的倍數。
- 依上兩式，$p$、$q$都是2的倍數，和$p$、$q$為互質之正整數的前題矛盾。依歸謬法，得證$\sqrt{2}$不是有理數，即$\sqrt{2}$是無理數。

## 計算方法

### 因數計算

$\sqrt{24}=\sqrt{2^2\cdot 6}=\sqrt{2^2}\sqrt{6}=2\sqrt{6}$。

注意，6 的質因數分解為 2 × 3，不能寫成某個數的平方，因此 $2\sqrt{6}$ 就是最簡結果。

### 中算開方

《九章算術》和《孫子算經》都有籌算的開方法。宋代數學家賈憲發明、增乘開平方法；明代數學家，程大位發明，而朱載堉《算學新說》首創用81位算盤開方，精確到25位數字。

### 長除式演算法

長除式算平方根的方式也稱為直式開方法，原理是$. (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=a^2+(2a+b)b$。

- 首先將要開平方根的數從小數點分別向右及向左每兩個位一組分開，如98765.432內小數點前的65是一組，87是一組，9是一組，小數點後的43是一組，之後是單獨一個2，要補一個0而得20是一組。如1 04.85 73得四組，順序為1' 04. 85' 73'。
- 將最左的一組的數減去最接近又少於它的平方數，並將該平方數的開方（應該是個位數）記下。
- 將上一步所得之差乘100，和下一組數加起來。
- 將記下的數乘20，然後將它加上某個個位數，再乘以該個個位數，令這個積不大於但最接近上一步所得之差，並將該個個位數記下，且將上一步所得之差減去所得之積。
- 記下的數一次隔兩位記下。
- 重覆第3步，直到找到答案。
- 可以在數字的最右補上多組的00'以求得理想的精確度為止。

下面以$\sqrt{200}$為例子：

$$\begin{array}{ll} \quad{\color{Red}1}~~{\color{Green}4}.~~{\color{Blue}1}~~{\color{Purple}4}~~{\color{Orange}2}\\ \sqrt{2|00.00|00|00}\\ \quad\underline{1\quad~}&\quad{\color{Red}1}\times{\color{Red}1}\le2\\ \quad1~00&a={\color{Red}1}0,b={\color{Green}4}\\ \quad\underline{~~\,96\quad~}&\quad\Rightarrow(2a+b)b=2{\color{Green}4}\times{\color{Green}4}=96\le100\\ \qquad~4~00&a={\color{Red}1}{\color{Green}4}0,b={\color{Blue}1}\\ \qquad~\underline{2~81\quad~}&\quad\Rightarrow(2a+b)b=28{\color{Blue}1}\times{\color{Blue}1}=281\le400\\ \qquad~1~19~00&a={\color{Red}1}{\color{Green}4}{\color{Blue}1}0,b={\color{Purple}4}\\ \qquad~\underline{1~12~96\quad~}&\quad\Rightarrow(2a+b)b=282{\color{Purple}4}\times{\color{Purple}4}=11296\le11900\\ \qquad\quad~~6~04~00&a={\color{Red}1}{\color{Green}4}{\color{Blue}1}{\color{Purple}4}0,b={\color{Orange}2}\\ \qquad\quad~~\underline{5~65~64}&\quad\Rightarrow(2a+b)b=2828{\color{Orange}2}\times{\color{Orange}2}=56564\le60400\\ \qquad\quad\quad~\,38~36\\ \end{array}$$

$$\sqrt{200} \approx 14.14213562373095048801668872421$$

四捨五入得答案為14.14。

事實上，將演算法稍作改動，可以開任何次方的根，詳見。

利用高精度長式除法可以計算出1至20的平方根如下：

$\sqrt {1}$｜$=\,$｜1

$\sqrt {2}$｜$\approx$｜1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462

$\sqrt {3}$｜$\approx$｜1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909

$\sqrt {4}$｜$=\,$｜2

$\sqrt {5}$｜$\approx$｜2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638

$\sqrt {6}$｜$\approx$｜2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457

$\sqrt {7}$｜$\approx$｜2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230

$\sqrt {8}$｜$\approx$｜2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924

$\sqrt {9}$｜$=\,$｜3

$\sqrt {10}$｜$\approx$｜3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639

$\sqrt {11}$｜$\approx$｜3.3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609

$\sqrt {12}$｜$\approx$｜3.4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818

$\sqrt {13}$｜$\approx$｜3.6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293

$\sqrt {14}$｜$\approx$｜3.7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307

$\sqrt {15}$｜$\approx$｜3.8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937

$\sqrt {16}$｜$=\,$｜4

$\sqrt {17}$｜$\approx$｜4.1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338

$\sqrt {18}$｜$\approx$｜4.2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386

$\sqrt {19}$｜$\approx$｜4.3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203

$\sqrt {20}$｜$\approx$｜4.4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276

### 牛頓法

如果要求$S\,(S>1)$的平方根，選取$1\,<\,x_0\,<\,S$

$$x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{S}{x_n}\right)$$

例子：求$\sqrt{125348}$至6位有效數字。

$$x_0 = 3^6 = 729.000\,\!$$

$$x_1 = \frac{1}{2} \left(x_0 + \frac{S}{x_0}\right) = \frac{1}{2} \left(729.000 + \frac{125348}{729.000}\right) = 450.472$$

$$x_2 = \frac{1}{2} \left(x_1 + \frac{S}{x_1}\right) = \frac{1}{2} \left(450.472 + \frac{125348}{450.472}\right) = 364.365$$

$$x_3 = \frac{1}{2} \left(x_2 + \frac{S}{x_2}\right) = \frac{1}{2} \left(364.365 + \frac{125348}{364.365}\right) = 354.191$$

$$x_4 = \frac{1}{2} \left(x_3 + \frac{S}{x_3}\right) = \frac{1}{2} \left(354.191 + \frac{125348}{354.191}\right) = 354.045$$

$$x_5 = \frac{1}{2} \left(x_4 + \frac{S}{x_4}\right) = \frac{1}{2} \left(354.045 + \frac{125348}{354.045}\right) = 354.045$$

因此$\sqrt{125348} \approx 354.045$.

### 連分數

平方根可以簡便地用連分數的形式表示，關於連分數請見連分數，其中1至20的算術平方根分別可用連分數表示為：

$\sqrt {1}=1$ $\sqrt {2}=[1;2,2,2,2...]$ $\sqrt {3}=[1;1,2,1,2...]$ $\sqrt {4}=2$ $\sqrt {5}=[2;4,4,4,4...]$ $\sqrt {6}=[2;2,4,2,4...]$ $\sqrt {7}=[2;1,1,1,4,1,1,1,4...]$ $\sqrt {8}=[2;1,4,1,4...]$ $\sqrt {9}=3$ $\sqrt {10}=[3;6,6,6,6...]$ $\sqrt {11}=[3;3,6,3,6...]$ $\sqrt {12}=[3;2,6,2,6...]$ $\sqrt {13}=[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6...]$ $\sqrt {14}=[3;1,2,1,6,1,2,1,6...]$ $\sqrt {15}=[3;1,6,1,6...]$ $\sqrt {16}=4$ $\sqrt {17}=[4;8,8,8,8...]$ $\sqrt {18}=[4;4,8,4,8...]$ $\sqrt {19}=[4;2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8...]$ $$\sqrt {20}=[4;2,8,2,8...]$$

連分數部分均循環，省略號前為2或4個循環節。

### 巴比倫方法

巴比倫求平方根的演算法實際上很簡單：（假設要求一個數N的平方根）

- 預測一個平方根$x$，初始另一個值$y$，且$xy=N$
- 求預測值與初始值的均值：$x=\frac{x+y}{2}$, $y=\frac{N}{x}$
- 比較$x$和$y$的差值是否達到精度，如果無，繼續步驟

### 重複的算術運算

這個方法是從佩爾方程演變過來的，它通過不斷減去奇數來求得答案。

### 尺規作圖

#### 問題

給定線段AB和1，求一條長為$\sqrt{AB}$的線段。

#### 解法

- 畫線AB，延長BA至C使$AC=1$
- 以BC的中點為圓心，OC為半徑畫圓
- 過A畫BC的垂直線，垂直線和圓弧交於D，AD即為所求之長度

#### 證明

將整個過程搬到直角座標上，已知AC=1，設

- O=$(0,0)$
- AB=$n$
- 直徑為BC的圓就是$x^2 + y^2 = \left({\frac{n+1}{2}}\right)^2$（圓的方程式：$x^2+y^2=r^2$）（其中$r$表示半徑。）
- 將$\left({\frac{n+1}{2}} -1 \right)$（A,D所在的x座標）代入上面的方程式
- $$\left({\frac{n+1}{2}} -1 \right)^2 + y^2 = \left({\frac{n+1}{2}}\right)^2$$
- 解方程，得$y=\sqrt{n}$。

另也可參見射影定理。

## 外部連結

- Earliest Uses of Symbols of Operation
- The History of Mathematical Symbols: The radical symbol
- 開方公式的推導
- 平方根計算器