海倫公式

海龍公式（Heron's formula或Hero's formula），又譯希羅公式。由古希臘數學家亞歷山大港的希羅發現，並在其於公元60年所著的《Metrica》中載有數學證明，原理是利用三角形的三條邊長求取三角形面積。亦有認為更早的阿基米德已經了解這條公式，因為《Metrica》是一部古代數學知識的結集，該公式的發現時間很有可能先於希羅的著作。

假設有一個三角形，邊長分別為$a, b ,c$，三角形的面積$A$可由以下公式求得：

$A=\sqrt{s (s-a)(s-b)(s-c)}$，其中$s=\frac{a+b+c}{2}$

中國南宋末年數學家秦九韶發現或知道等價的公式，其著作《數書九章》卷五第二題即三斜求積。「問沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知為田幾何？」答曰：「三百十五頃．」其術文是：「以小斜冪併大斜冪，減中斜冪，餘半之，自乘於上；以小斜冪乘大斜冪，減上，餘四約之，爲實，一為從隅，開平方，得積。」若以大斜記為$a$，中斜記為$b$，小斜記為$c$，秦九韶的方法相當於下面的一般公式：

$A=\sqrt{\frac1{4} \left[ a^2 c^2 - \left( \frac{a^2+c^2-b^2}{2} \right)^2 \right]}$，其中$a \ge b \ge c$

像其他中國古代的數學家一樣，他的方法沒有證明。根據現代數學家吳文俊的研究，秦九韶公式可由出入相補原理得出。

由於任何$n$邊的多邊形都可以分割成$n-2$個三角形，所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說測量土地的面積的時候，不用測三角形的高，只需測兩點間的距離，就可以方便地導出答案。

## 證明

### 利用三角公式和代數式變形來證明

與希羅在他的著作《Metrica》中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設三角形的三邊$a, b ,c$的對角分別為$A, B ,C$，則餘弦定理為

$$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$

利用和平方、差平方、平方差等公式，從而有

$$\begin{align} \sin C & = \sqrt{1-\cos^2 C} \\ & = \sqrt{(1+\cos C)(1-\cos C)} \\ & = \sqrt{\left( 1+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right) \left( 1-\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right)} \\ & = \sqrt{\left( \frac{2ab+(a^2+b^2-c^2)}{2ab} \right) \left( \frac{2ab-(a^2+b^2-c^2)}{2ab} \right)} \\ & = \sqrt{\left( \frac{(2ab+a^2+b^2)-c^2}{2ab} \right) \left( \frac{c^2-(a^2+b^2-2ab)}{2ab} \right)} \\ & = \sqrt{\left[ \frac{(a+b)^2-c^2}{2ab} \right] \left[ \frac{c^2-(a-b)^2}{2ab} \right]} \\ & = \frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)}}{2ab} \\ & = \frac{\sqrt{(2s)(2s-2c)(2s-2b)(2s-2a)}}{2ab} \\ & = \frac{2}{ab} \sqrt{s(s-c)(s-b)(s-a)} \end{align}$$

$$\begin{align} A & = \frac{1}{2}ab \sin C \\ & = \frac{ab}{2} \cdot \frac{2}{ab} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ & = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{align}$$

### 利用勾股定理和代數式變形來證明

$$b^2=h^2+d^2$$

$$a^2=h^2+(c-d)^2$$

$$a^2-b^2=c^2-2cd$$

$$d=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}$$

$$\begin{align} h^2 & = b^2-\left(\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}\right)^2\\ & = \frac{(2bc-a^2+b^2+c^2)(2bc+a^2-b^2-c^2)}{4c^2}\\ & = \frac{((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)}{4c^2}\\ & = \frac{(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^2}\\ & = \frac{2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^2}\\ & = \frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2} \end{align}$$

$$\begin{align} A & = \frac{ch}{2}\\ & = \sqrt{\frac{c^2}{4}\cdot \frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2}}\\ & = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{align}$$

### 用旁心來證明

設$\bigtriangleup ABC$中，$\overline{A B}=c,\overline{B C}=a, \overline{C A}=b$。

$I$為內心，$I_a, I_b, I_c$為三旁切圓。

$$\because \angle I_aBI= \angle I_aCI=90^\mathsf{o}$$

$\therefore I_aCIB$四點共圓，並設此圓為圓$O$。

- 過$I$做鉛直線交$\overline{B C}$於$P$，再延長$\overleftrightarrow{IP}$，使之與圓$O$交於$Q$點。再過$I_a$做鉛直線交$\overline{BC}$於$R$點。
- 先證明$\Box I_aQPR$為矩形：$\because \angle QPR=90^\mathsf{o}, \angle I_aRP=90^\mathsf{o}$，又$\angle I_aQI=\angle I_aBI=90^\mathsf{o}$(圓周角相等)。$\therefore \Box I_aQPR$為矩形。因此，$\overline{I_aR}=\overline{QP}$。
- $\overline{PI}=$內切圓半徑$=\frac{\bigtriangleup}{\frac{a+b+c}{2}}$，$\overline{I_aR}=$旁切圓半徑$= \frac{\bigtriangleup}{\frac{b+c-a}{2}}$。且易知$\overline{BP}=\frac{c+a-b}{2}, \overline{PC}=\frac{a+b-c}{2}$。由圓冪性質得到：$\overline{PC}\times \overline{PB}= \overline{PQ}\times \overline{PI}=\overline{I_aR}\times \overline{PI}$。故$\frac{a+b-c}{2}\times \frac{c+a-b}{2} = \frac{\bigtriangleup}{\frac{a+b+c}{2}}\times \frac{\bigtriangleup}{\frac{b+c-a}{2}}$ $\Rightarrow \bigtriangleup=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\times \frac{b+c-a}{2}\times \frac{a+c-b}{2}\times \frac{a+b-c}{2}}$

## 其他形式

海倫公式可改寫成以冪和表示：

$$\begin{align} A &= \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}\\ &= \frac{1}{4} \sqrt{2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}\\ \end{align}$$

將海倫公式略為變形，知

$$16 A^2=[(a+b)+c][(a+b)-c] \times [c+(a-b)][c-(a-b)]$$

多次使用平方差公式，得

$$\begin{align} 16 A^2 &=[(a+b)^2-c^2] \times [c^2-(a-b)^2]\\ &=[2ab+(a^2+b^2-c^2)]\times[2ab-(a^2+b^2-c^2)]\\ &=(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2\\ &=4a^2b^2-(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2-2b^2c^2-2a^2c^2)\\ &=(2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)\\ &=2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)\\ \end{align}$$

等號兩邊開根號，再同除以4，得

$$\begin{align} A &=\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}\\ <pre> &=\frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}\\ </pre> \end{align}$$

## 參見

- 婆羅摩笈多公式：海倫公式對圓內接四邊形的推廣。