李群

李群（Lie group，ˈ）是一個數學概念，指具有群結構的光滑微分流形，其群作用與微分結構相容。李群的名字源於挪威數學家索菲斯·李的姓氏，以其為連續變換群奠定基礎。1893年，法文名詞groupes de Lie首次出現在李的學生亞瑟·特雷斯（Arthur Tresse）的論文第三頁中。

粗略地說，李群是連續的群，也即其元素可由幾個實參數描述。因此，李群為連續對稱性的概念提供了一個自然的模型，例如三維旋轉對稱性。李群被廣泛應用於現代數學和物理學。索菲斯·李引入李群的最初動機是為微分方程的連續對稱性建模，就像有限群被用於伽羅瓦理論對代數方程的離散對稱性建模一樣。

## 總覽

李群是光滑可微流形，因而可以用微分學來研究，這點與更一般的拓撲群不同。李群理論中的關鍵是替換掉「全局」的對象，也即群本身，而代之以其「局部」或線性化的版本。這個局部版本被索菲斯·李本人稱為該李群的「無窮小群」，而後來以「李代數」為人熟知。

李群在現代幾何學中在多個層面扮演了重要的角色。費利克斯·克萊因在他的愛爾蘭根綱領中認為，可以通過選定適當的保持某種幾何性質不變的變換群來考察各種「幾何」。例如，歐氏幾何對應於歐式空間R3中保距變換構成的歐幾里得群E(3)；共形幾何對應於把群擴大到共形群；而在射影幾何中引起人們興趣的是射影群的不變屬性。這個觀念後來發展為G-結構的概念，其中G是流形"局部"對稱性形成的李群。

李群（以及與之關聯的李代數）在現代物理學中起到了重要作用，並通常扮演了物理系統中的對稱性。這裡，李群表示或相應的李代數表示尤為重要。表示理論在粒子物理中被頻繁使用。一些具有較為重要的表示的群包括旋轉群SO(3)（或其雙覆蓋特殊酉群SU(2))，特殊酉群SU(3)以及龐加萊群。

## 定義與樣例

- $G$為有限維實解析流形
- 兩個解析映射，二元運算$G \times{} G \rightarrow{} G$，和逆映射$G \rightarrow{} G$滿足群公理，從而具有群結構。

實李群是一個滿足下列條件的群：它也是一個有限維實光滑流形，其中群的乘法和求逆操作是光滑映射。群乘法的光滑性

$$\mu:G\times G\to G\quad \mu(x,y)=xy$$

意味著$\mu$是一個從積流形$G \times G$到$G$的光滑映射。這兩個條件可以合併成一條，即映射

$$(x,y)\mapsto x^{-1}y$$

是一個從積流形$G \times G$到$G$的光滑映射。

### 初步的樣例

- 所有$2\times 2$實可逆矩陣構成了一個乘法群，記作$GL(2, \R)$或$GL_2(\R)$:

$$\operatorname{GL}(2, \R) = \left\{A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}: \det A=ad-bc \ne 0\right\}.$$

這是一個非緊緻的四維實李群；它是$\mathbb \R^4$的一個開子集。這個群是非連通的；它有兩個連通分量，對應於行列式的正負兩種情況。

- 旋轉矩陣構成了$GL(2, \mathbf{R})$的一個子群，記為$SO(2, \mathbf{R})$。它自己本身也是一個李群：具體地說，它是一個與圓微分同胚的一維緊緻連通李群。使用旋轉角$\varphi$ 作為參數，這個群可以被參數化為如下形式：

$$\operatorname{SO}(2, \mathbf{R}) =\left\{\begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{pmatrix}: \varphi\in\mathbf{R}/2\pi\mathbf{Z}\right\}.$$

其中，角度的加法對應於$SO(2, \mathbf{R})$中元素的乘法，角度的相反數對應於逆元。因此，乘法和求逆操作也都是可微映射。

- 一維仿射群是一類二維上三角陣組成的李群，其中第一個對角線上的元素為正，第二個對角線上的元素為1。因此，該群包含了如下形式的矩陣：

$$A= \left( \begin{array}{cc} a & b\\ 0 & 1 \end{array}\right),\quad a>0,\, b\in\mathbb{R}.$$

### 反例

現在我們給出一個群的例子，它擁有不可數的元素，並且在某種拓撲下不是李群。我們給定如下群：

$$H = \left\{\left .\left(\begin{matrix}e^{2\pi i\theta} & 0\\0 & e^{2\pi ia\theta}\end{matrix}\right) \right| \theta \in \mathbb{R}\right\} \subset \mathbb{T}^2 = \left\{\left .\left(\begin{matrix}e^{2\pi i\theta} & 0\\0 & e^{2\pi i\phi}\end{matrix}\right)\right| \theta, \phi \in \mathbb{R}\right\},$$

其中$a \in \mathbb P = \mathbb R\setminus\mathbb Q$是一個固定的無理數。這是一個環面 $\mathbb T^2$ 的子群，它在子空間拓撲下不是李群。比如說，如果我們取$H$中的一個點$h$的任意小鄰域$U$，那麼$H$在 $U$中的部分是不連通的。群$H$在環面上反覆纏繞，形成了一個$\mathbb T^2$的稠密子群。

另一方面，我們可以給群$H$指定另一個拓撲，使得兩點$h_1,h_2\in H$之間的距離被定義為群H中連結 $h_1$和$h_2$的最短路徑長度。在這個拓撲下，$H$通過其元素中對應的$\theta$與實直線同胚。在這種拓撲下，$H$僅僅是加法意義下的實數群，因此也是李群。

群$H$是李群的一個非閉"李子群"的樣例。可參見下面基本概念部分關於李子群的討論。

### 矩陣李群

用GL(n; C)表示複數域上的n × n可逆矩陣。GL(n, C)的任何閉子群也是一個李群；這類李群被稱為矩陣李群。

由於李群中大多數有趣的例子都可以用矩陣李群實現，一些教科書把注意力限制在這類李群上，包括Hall以及 Rossmann等，這樣可以簡化李代數和指數映射的定義。下面是一些矩陣李群的標準樣例：

- 定義在R和C上的特殊線性群SL(n, R)和SL(n, C)，分別包括了元素屬於R或C的、行列式為1的n × n矩陣。
- 酉群U(n)（以及特殊酉群SU(n)）, 包含了滿足$U^*=U^{-1}$（對於特殊酉群而言，還需滿足$\mathrm{det}(U)=1$）的n × n復矩陣。
- 正交群O(n)（以及特殊正交群SO(n)），包含了滿足$R^\mathrm{T}=R^{-1}$ （對於特殊正交群而言，還需滿足$\mathrm{det}(R)=1$）的n × n實矩陣。

以上列舉的群均為經典群。

### 相關概念

與實李群相對應，復李群是在複流形上定義的（例如SL(2, C)）。類似地，使用一種Q的度量完備化我們可以在 p-進數上定義p-進數李群，一種滿足每個點都有一個p-進數鄰域的拓撲群。

## 更多李群的樣例

李群經常出現在數學和物理學中。矩陣群或代數群（大部分情況下）是由矩陣構成的群（例如正交群和辛群），而這些也是李群最常見的例子。

### 一維李群

一維情況下唯二的連通李群是實直線$\mathbb{R}$ （其群操作為加法）和由絕對值為1的複陣列成的圓群 $S^1$ （其群操作為乘法）。$S^1$也常被記作$U(1)$，即$1\times 1$酉群。

### 二維李群

在二維情況下，如果我們只考慮簡單連通群，那麼可以通過它們的李代數來分類。若把同構的情況歸為一類，那麼此時只存在兩種李代數。與這兩種李代數關聯的簡單連通李群分別是$\mathbb{R}^2$（其群操作為向量加法）以及一維仿射群（在前面的小節"初步的樣例"中有介紹）。

## 解析李群與光滑李群

部份書籍在定義李群時假設了解析性，本條目採相同定義。另一種進路則是定義李群為實光滑（簡記為$C^\infty$）流形，並具有光滑的群二元運算與逆元運算。解析條件看似較強，實則兩者等價：

定理.任意$C^\infty$李群上具有唯一的實解析流形結構，使得群二元運算及逆元運算皆為解析映射。此時指數映射亦為解析映射。

## 同態和同構

$G,H$均為李群，二者之間的一個同態：$f\,:G\rightarrow H$為群同態並且是解析映射（事實上，可以證明這裡解析的條件只需滿足連續即可）。顯然，兩個同態的複合是同態。所有李群的類加上同態構成一個範疇。

兩個李群之間存在一個雙射，這個雙射及其逆射均為同態，就稱之為同構。

## 李代數

李代數刻劃了李群在單位元附近的局部性狀；藉助指數映射或源自李代數的葉狀結構，可以將李代數的性質提昇到李群的層次。

設$G$為李群，其李代數$\mathfrak{g}$定義為$G$在單位元的切空間。$\mathfrak{g}$自然具備了矢量空間結構，$\mathfrak{g}$上的李括積$[,]: \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}$定義如下：

- 定義$G$對自身的伴隨作用為 $\mathrm{Ad}(x)(y) := x y x^{-1}$，$x,y \in G$。
- 取Ad對變元$y \in G$在單位元上的微分，得到李代數上的伴隨作用，通常記為$\mathrm{Ad}(x)(Y) = x Y x^{-1}$，$x \in G, Y \in \mathfrak{g}$。
- 再對變元$x \in G$微分，得到映射$\mathrm{ad}: \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}$。定義李括積為$[X,Y] := \mathrm{ad}(X)(Y)$。

不難驗證$[,]$滿足李代數的抽象定義。李括積蘊含了群乘法的無窮小性質，例如：連通李群$G$是交換群若且唯若$\mathfrak{g}$是交換李代數。

李括積也可以用左不變矢量場及泊松括號定義，或者取定局部坐標，用群乘法映射在原點的泰勒級數定義。

## 李群對應李代數

若$G$是李群，$H \subset G$是其子群，並帶有李群結構，使得包含映射$H \to G$為浸入（不一定是閉的），則可得到子李代數$\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g}$。反之，任意子李代數$\mathfrak{h}$透過左平移定義了$G$上的葉狀結構，取含單位元的極大積分流形，便得到滿足前述條件的子群$H \subset G$。此子群未必是閉子群，它可能是$G$的稠密子集（考慮環面的例子）。

李代數的映射$\mathfrak{g}_1 \to \mathfrak{g}_2$未必能提昇至李群的映射$G_1 \to G_2$，但可提昇至映射$\tilde{G}_1 \to G_2$，其中$\tilde{G}_1$是$G_1$的萬有覆疊空間。

## 指數映射

對於任意矢量$X \to \mathfrak{g}$，根據常微分方程式的基本理論，存在$G$中的單參數子群$c_X(t), c_X(0)=e$使得$c_X'(t) = c_X(t) \cdot X$。由此得到的映射

$$\mathrm{exp}: \mathfrak{g} \to G$$

$$X \mapsto c_X(1)$$

稱為指數映射。它總是解析映射。

若$G$為$\mathrm{GL}(n)$的子群，則$\mathrm{exp}(X) = \sum_{i=0}^\infty \frac{X^i}{i!}$，這是指數映射一詞的緣由。

當$G$連通且非交換時，指數映射$\mathfrak{g} \to G$並非同態；局部上，$\mathrm{exp}(X)\mathrm{exp}(Y)$可以由Campbell-Baker-Hausdorff公式表成涉及括積的無窮級數。

## 一般體上的李群

在任意體、環乃至於概形上，都可以定義群概形；這是概形範疇中的群對象。群概形具有深刻的幾何與數論意義，然而李群未必是代數簇。

另一方面，若域$F$對某個絕對值是完備域，其特徵為零，則可照搬解析李群的定義以定義體$F$上的李群、李代數與指數映射。較常見的例子是$F=\mathbb{C}$；至於數論方面，特別涉及自守表示的研究上，則須用到$F$為p進數體的情形。

## 參考條目

- 李型群

## 參考文獻

### 來源

- D. Montgomery and L. Zippin, Topological Transformation Groups (1955), Interscience.
- Anthony W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction (2004), Birkhäuser. ISBN 0817642595 .
- Jean-Pierre Serre, Lie algebras and Lie groups (2005), Lecture Notes in Mathematics 1500, Springer-Verlag. ISBN 3540550089 .