拉普拉斯變換

拉普拉斯變換（Laplace transform）是應用數學中常用的一種積分變換，又名拉氏轉換，其符號為$\displaystyle\mathcal{L} \left\{f(t)\right\}$。拉氏變換是一個線性變換，可將一個有實數變量$t(t \ge 0)$的函數轉換為一個變量為複數$s$的函數：

$$F(s) = \int_0^\infty f(t) e^{-st}\,\mathrm{d}t.$$

拉氏變換在大部份的應用中都是對射的，最常見的$f(t)$和$F(s)$組合常印製成表，方便查閱。拉普拉斯變換得名自法國天文學家暨數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon marquis de Laplace），他在機率論的研究中首先引入了拉氏變換。

拉氏變換和傅立葉變換有關，不過傅立葉變換將一個函數或是信號表示為許多弦波的疊加，而拉氏變換則是將一個函數表示為許多矩的疊加。拉氏變換常用來求解微分方程及積分方程。在物理及工程上常用來分析線性非時變系統，可用來分析電子電路、諧振子、光學儀器及機械設備。在這些分析中，拉氏變換可以作時域和頻域之間的轉換，在時域中輸入和輸出都是時間的函數，在頻域中輸入和輸出則是複變角頻率的函數，單位是弧度每秒。

對於一個簡單的系統，拉氏變換提供另一種系統的描述方程，可以簡化分析系統行為的時間。像時域下的線性非時變系統，在頻域下會轉換為代數方程，在時域下的捲積會變成頻域下的乘法。

## 正式定義

對於所有實數$t \ge 0$，函數$f(t)$的拉普拉斯變換是函數$F(s)$，定義為：

$$F(s) =\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,\mathrm{d}t$$

其中頻率參數$s$是一個複數：

$s = \sigma + i \omega, \,$ $\sigma$和$\omega$為實數。

除了$F$，有時我們也使用 $\displaystyle\mathcal{L}f$ 或 $\displaystyle\mathcal{L}_t\left\{f(t)\right\}$ 來表示拉普拉斯變換。$\mathcal{L}$ 是一個運算符號。

這個積分的具體含義取決於被積函數的類型。它存在的一個必要條件是在 $f$ 在 $[0, \infty)$ 上局部可積。對於在無窮大處衰減的局部可積函數或指數型函數，這積分可以被理解成（恰當）勒貝格積分。然而，在很多應用中，我們有必要將其視作在 $\infty$ 處條件收斂的反常積分。更一般的，這個積分可以在較弱的意義上理解，在下面會去處理。

可以用勒貝格積分定義拉普拉斯變換為一個有限博雷爾測度 $\mu$

$$\mathcal{L}\{\mu\}(s) = \int_{[0,\infty)} e^{-st}\, \mathrm{d}\mu(t).$$

以上定義的一個特殊情況是 $\mu$ 為機率測度，或者更具體地說，是狄拉克δ函數時。在運算微積分中，拉普拉斯變換的測度常常被視作由分布函數 $f$ 帶來的測度。在這種情況下，為了避免混淆，一般寫作

$$\mathcal{L}\{f\}(s) = \int_{0^-}^\infty e^{-st}f(t)\, \mathrm{d}t,$$

其中積分下限 $0^-$ 是

$$\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_{-\varepsilon}^\infty$$

簡化符號。

這個極限強調任何位於 0 的質點都被拉普拉斯變換完全捕獲。雖然在使用勒貝格積分時，我們沒有必要取這個極限，但它讓我們更自然地與拉普拉斯–斯蒂爾吉斯變換建立聯繫。

### 雙邊拉普拉斯轉換

更廣義地，對於定義於整個實數軸上的實值函數或複值函數 $f(t)$，其雙邊拉普拉斯轉換為

$$\mathcal{B}\left\{f\right\}(s) =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} f(t) \,\mathrm{d}t$$

### 拉普拉斯逆變換

兩個相異的可積函數，只有其在勒貝格測度為零的集合上具有不同的值時，才會有相同的拉普拉斯變換。因此以轉換的角度而言，存在其反轉換。包括可積分函數在內，拉普拉斯變換是單射映射，將一個函數空間映射到其他的函數空間。典型的函數空間包括有界連續函數、函數空間L∞(0, ∞)、或是更廣義，在 (0, ∞) 區間內的緩增廣義函數（函數的最壞情形是多項式成長）。

拉普拉斯逆變換有許多不同的名稱，如維奇積分、傅立葉-梅林積分、梅林逆公式，是一個複數積分：

$$f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F\}(t) = \frac{1}{2 \pi i} \lim_{T\to\infty}\int_{\gamma - i T}^{\gamma + i T} e^{st} F(s)\, \mathrm{d}s$$

其中$\gamma$是一個使$F(s)$的積分路徑在收斂域內的實數。另一個拉普拉斯逆變換的公式是由Post反演公式而來。

在實務上一般會配合查表，將函數的拉普拉斯變換分換為許多已知函數的拉普拉斯變換，再利用觀察的方式產生其拉普拉斯逆變換。在微分方程中會用到拉普拉斯逆變換，會比用傅利葉轉換的處理方式要簡單。

## 性質和定理

函數$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯變換分別為$F(s)$和$G(s)$：

$$\begin{align} <pre> f(t) &= \mathcal{L}^{-1} \{ F(s) \} \\ g(t) &= \mathcal{L}^{-1} \{ G(s) \} </pre> \end{align}$$

下面的表格是一系列單邊拉普拉斯變換的性質：

時域｜s域｜注釋

線性疊加｜$a f(t) + b g(t) \ $｜$a F(s) + b G(s) \ $｜可以用積分的基本規則證明。

s域一階微分｜$t f(t) \ $｜$-F'(s) \ $｜$F'$是$F$的一階導數。

s域一般微分｜$t^{n} f(t) \ $｜$(-1)^{n} F^{(n)}(s) \ $｜更一般的形式是$F(s)$的$n$階導數。

時域一階微分｜$f'(t) \ $｜$s F(s) - f(0) \ $｜$f$是一個可微函數，並且其導數為指數類型。這條性質可以通過分部積分得到。

時域二階微分｜$f''(t) \ $｜$s^2 F(s) - s f(0) - f'(0) \ $｜$f$為二階可微且二階導數是指數型的。通過對$f(t)$應用微分性質可得。

時域一般微分｜$f^{(n)}(t) \ $｜$s^n F(s) - \sum_{k=1}^{n} s^{k-1} f^{(n - k)}(0) \ $｜$f$為$n$階可微，其$n$階導數是指數型的。通過數學歸納法證明。

s域積分｜$\frac{1}{t}f(t) \ $｜$\int_s^\infty F(\sigma)\, \mathrm{d}\sigma \ $｜這是由s域微分和條件收斂推導出來的。

時域積分｜$\int_0^t f(\tau)\, \mathrm{d}\tau = (u * f)(t)$｜${1 \over s} F(s)$｜$u(t)$是階躍函數，注意到$(u * f)(t)$是$u(t)$和$f(t)$的卷積。

時間標度｜$f(at)$｜$\frac{1}{a} F \left ( {s \over a} \right )$｜$a > 0 \ $

s域平移｜$e^{at} f(t) \ $｜$F(s - a) \ $

時域平移｜$f(t - a) u(t - a) \ $｜$e^{-as} F(s) \ $｜$u(t)$表示階躍函數

乘法｜$f(t)g(t)$｜$\frac{1}{2\pi i}\lim_{T\to\infty}\int_{c - iT}^{c + iT}F(\sigma)G(s - \sigma)\,\mathrm{d}\sigma \ $｜積分沿完全處在$F$收斂域內的豎直線$Re(\sigma) = c$。

卷積｜$(f * g)(t) = \int_{0}^{t} f(\tau)g(t - \tau)\,\mathrm{d}\tau$｜$F(s) \cdot G(s) \ $

復共軛｜$f^*(t)$｜$F^*(s^*)$

互相關｜$f(t)\star g(t)$｜$F^*(-s^*)\cdot G(s)$

周期函數｜$f(t)$｜${1 \over 1 - e^{-Ts}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,\mathrm{d}t$｜$f(t)$是一個周期為$T$的周期函數，於是對所有$t \ge 0$，有$f(t) = f(t + T)$。這條性質是時域平移和幾何級數的結果。

$f(0^+)=\lim_{s\to \infty}{sF(s)}$，要求 ${F(s)}$ 為真分式，即分子的最高次小於分母的最高次，否則使用多項式除法將${F(s)}$分解

$f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)}$，要求 $s F(s)$ 的所有極點都在左半複平面或原點為單極點。

由於終值定理無需經過部分分式分解或其他困難的代數就能給出長期的行為，它就很有用。如果 $F(s)$ 在右側面或虛軸上有極點，如當 $f(t) = e^t$ 或 $f(t) = \sin(t)$ 時，這個公式的行為就是未定義的。

### 與冪級數的關係

拉普拉斯變換可以看成是冪級數的一個連續模擬。如果 a(n) 是正整數 n 的一個離散函數，那麼與 a(n) 相關的冪級數為

$$\sum_{n=0}^{\infty} a(n) x^n$$

其中 x 是實變量（參見Z變換）。將對 n 的加和替換成對 t 的積分，則此冪級數的連續形式為

$$\int_{0}^{\infty} f(t) x^t \,\mathrm{d}t$$

其中離散型函數 a(n) 被替換成連續型的 f(t)。（參見下文梅林變換。）改變冪的基底 x 為 e 得

$$\int_{0}^{\infty} f(t) \left(e^{\log{x}}\right)^t \,\mathrm{d}t$$

要使這個積分對任何有界函數 f 都收斂，就需要滿足$\log{x} < 0$。使用−s = log x代換就能得到拉普拉斯變換：

$$\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} \,\mathrm{d}t$$

換句話說，拉普拉斯變換是冪級數的一個連續模擬，只是把離散參數 n 換成了連續變量 t， x 換成了 e−s。

### 與矩的關係

函數 f 的矩為

$$\mu_n = \int_0^\infty t^nf(t)\,\mathrm{d}t$$

如果 f 的前 n 階矩絕對收斂，則通過反覆在積分符號內取微分，就得到$(-1)^n(\mathcal L f)^{(n)}(0) = \mu_n$。這在機率論里是有特別重要的意義的，其中隨機變量 X 的矩是$\mu_n=E[X^n]$。下面的關係成立：

$$\mu_n = (-1)^n\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}s^n}E\left[e^{-sX}\right].$$

### 證明函數導數的拉普拉斯變換

很方便用拉普拉斯變換的微分性質來求函數導數的變換。從拉普拉斯變換的基本表達式就可以推導如下：

$$\begin{align} <pre> \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} &= \int_{0^-}^{\infty} e^{-st} f(t)\,\mathrm{d}t \\ &= \left[\frac{f(t)e^{-st}}{-s} \right]_{0^-}^{\infty} - \int_{0^-}^\infty \frac{e^{-st}}{-s} f'(t) \, \mathrm{d}t\quad \text{(by parts)} \\ &= \left[-\frac{f(0^-)}{-s}\right] + \frac{1}{s}\mathcal{L}\left\{f'(t)\right\}, </pre> \end{align}$$

導出

$$\mathcal{L}\left\{ f'(t) \right\} = s\cdot\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\}-f(0^-),$$

而在雙邊的情形下。

$$\mathcal{L}\left\{ { f'(t) } \right\} = s \int_{-\infty}^\infty e^{-st} f(t)\,\mathrm{d}t = s \cdot \mathcal{L} \{ f(t) \}.$$

一般化的結果是

$$\mathcal{L} \left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n \cdot \mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} - s^{n - 1} f(0^-) - \cdots - f^{(n - 1)}(0^-),$$

其中 f(n) 表示 f 的 n階導數，可以由歸納假設得出。

### 計算廣義積分

令$\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=F(s)$，則（參見上面的表格）

$$\mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t}\right\}=\int_{s}^{\infty}F(p)\, \mathrm{d}p,$$

或

$$\int_{0}^{\infty}\frac{f(t)}{t}e^{-st}\, \mathrm{d}t=\int_{s}^{\infty}F(p)\, \mathrm{d}p.$$

令 s → 0，假定可以改變取極限順序，就得到性質

$$\int_{0}^{\infty}\frac{f(t)}{t}\, \mathrm{d}t=\int_{0}^{\infty}F(p)\, \mathrm{d}p.$$

即便在不可以交換，此計算依然有暗示性。例如，形式上按此計算得到

$$\int_{0}^{\infty}\frac{\cos at-\cos bt}{t}\, \mathrm{d}t = <pre> \int_{0}^{\infty}\left(\frac{p}{p^{2} + a^{2}}-\frac{p}{p^{2} + b^{2}}\right)\, \mathrm{d}p = \frac{1}{2}\left.\ln\frac{p^{2} + a^{2}}{p^{2} + b^{2}} \right|_{0}^{\infty} = \ln b - \ln a. </pre>$$

這個性質的正確性可以用其他方法證明。它是傅汝蘭尼積分（Frullani integral）的一個例子。

例子還有狄利克雷積分。

### 與其他變換的聯繫

#### 與傅立葉變換關係

連續傅立葉變換相當於計算令 $s = \imath \omega$ 或 $s = 2 \pi f \imath$ 的雙邊拉普拉斯變換：

$$\begin{align} \hat{f}(\omega) & = \mathcal{F}\left\{f(t)\right\} \\[1em] & = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}|_{s = i\omega} = F(s)|_{s = i \omega}\\[1em] & = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t.\\ \end{align}$$

#### 與z變換的聯繫

z 變換表達式為：

$$X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}$$

其中 $z \leftarrow e^{s T} \ $。比較兩者表達式有：

$$X_q(s) = X(z) \Big|_{z=e^{sT}}.$$

## 拉普拉斯變換簡表

下表提供了許多常用單變量函數的拉普拉斯變換。對於定義和解釋，請參見表末的注釋。

由於拉普拉斯變換是一個線性算子：

- 和的拉普拉斯變換等於各項拉普拉斯變換的和。

$$\mathcal{L}\left\{f(t) + g(t) \right\} = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} + \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}$$

- 一個函數的常數倍拉普拉斯變換等於其拉普拉斯變換的常數倍。

$$\mathcal{L}\left\{a f(t)\right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t)\right\}$$

使用這個線性性質，以及各種三角、雙曲、和複數 （等）的性質，可以從其他拉普拉斯變換得到一些拉普拉斯變換，這會比直接通過使用定義更快。

單邊拉普拉斯變換取時域為非負實數的函數作為輸入，這就是下表中所有時域函數都乘以單位階躍函數 u(t) 的原因。表中涉及時間延遲 τ 的條目必須是因果的 （即 τ > 0）。因果系統是 t = 0 之前的衝激響應 h(t) 都為零的一個系統。在一般情況下，因果系統的收斂區域和反因果系統是不相同的。

函數｜時域 $f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s) \right\}$｜拉普拉斯s域 $F(s) = \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\}$｜收斂區域｜參考

單位脈衝函數｜$\delta(t) \ $｜$1$｜所有 $s$｜檢驗

延遲脈衝函數｜$\delta(t - \tau) \ $｜$e^{-\tau s} \ $｜單位脈衝函數的時移

單位階躍函數｜$u(t) \ $｜${ 1 \over s }$｜$\Re(s) > 0$｜對單位衝激函數積分

延遲單位階躍函數｜$u(t - \tau) \ $｜$\frac{1}{s} e^{-\tau s}$｜$\Re(s) > 0$｜單位階躍函數的時移

斜坡函數｜$t \cdot u(t)\ $｜$\frac{1}{s^2}$｜$\Re(s) > 0$｜兩次積分單位脈衝函數

n次冪（n 為整數）｜$t^n \cdot u(t)$｜${ n! \over s^{n + 1} }$｜$$\Re(s) > 0 \text{ for } n > -1$$｜n次積分單位階躍函數

q次冪（q 為複數）｜$t^q \cdot u(t)$｜${ \Gamma(q + 1) \over s^{q + 1} }$｜$\Re(s) > 0$ Re(q) > −1

n次方根｜$\sqrt[n]{t} \cdot u(t)$｜${ 1 \over s^{\frac{1}{n}+1} } \Gamma\left(\frac{1}{n} + 1\right)$｜$\Re(s) > 0$｜由前一條性質中令 q = 1/n 得到。

頻移的 n 次方｜$t^{n} e^{-\alpha t} \cdot u(t)$｜$\frac{n!}{(s+\alpha)^{n+1}}$｜Re(s) > −α｜對單位階躍函數積分，應用頻移

延遲的頻移的 n 次方｜$(t-\tau)^n e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau)$｜$\frac{n! \cdot e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}}$｜Re(s) > −α｜對單位階躍函數積分，應用頻移，應用時移

指數衰減｜$e^{-\alpha t} \cdot u(t)$｜${ 1 \over s+\alpha }$｜Re(s) > −α｜單位階躍函數的頻移

雙側指數衰減（僅對於雙邊變換）｜$e^{-\alpha|t|} \ $｜${ 2\alpha \over \alpha^2 - s^2 }$｜−α < Re(s) < α｜單位階躍函數的頻移

指數趨近｜$( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \ $｜$\frac{\alpha}{s(s+\alpha)}$｜$\Re(s) > 0$｜單位階躍函數減去指數衰減

正弦｜$\sin(\omega t) \cdot u(t) \ $｜${ \omega \over s^2 + \omega^2 }$｜$\Re(s) > 0$

餘弦｜$\cos(\omega t) \cdot u(t) \ $｜${ s \over s^2 + \omega^2 }$｜$\Re(s) > 0$

雙曲正弦｜$\sinh(\alpha t) \cdot u(t) \ $｜${ \alpha \over s^2 - \alpha^2 }$｜Re(s) > |α|

雙曲餘弦｜$\cosh(\alpha t) \cdot u(t) \ $｜${ s \over s^2 - \alpha^2 }$｜Re(s) > |α|

指數衰減正弦波｜$e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \ $｜${ \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$｜Re(s) > −α

指數衰減餘弦波｜$e^{-\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \ $｜${ s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$｜Re(s) > −α

自然對數｜$\ln (t) \cdot u(t)$｜$- { 1 \over s}\, \left[ \ln(s)+\gamma \right]$｜$\Re(s) > 0$

n 階第一類貝塞爾函數｜$J_n( \omega t) \cdot u(t)$｜$\frac{ \left(\sqrt{s^2+ \omega^2}-s\right)^{n}}{\omega^n \sqrt{s^2 + \omega^2}}$｜$\Re(s) > 0$ (n > −1)

誤差函數｜$\mathrm{erf}(t) \cdot u(t)$｜$\frac{1}{s}e^{\frac{1}{4}s^2} \left(1 - \operatorname{erf} \frac{s}{2}\right)$｜$\Re(s) > 0$

注釋：

另外，數學家田士弘透過解析延拓的方式計算出了laplace(1/t)的值。已知laplace(1)=laplace(t*1/t)=-d/ds(laplace(1/t)，將兩邊做積分，即可得出laplace(1/t)=-lns+c。

## 變換及其性質的應用實例

拉普拉斯變換在物理學和工程中是常用的；線性時不變系統的輸出可以通過卷積單位脈衝響應與輸入信號來計算，而在拉氏空間中執行此計算將卷積通過轉換成乘法來計算。後者是更容易解決，由於它的代數形式。

拉普拉斯變換也可以用來解決微分方程，這被廣泛應用於電氣工程。拉普拉斯變換把線性差分方程化簡為代數方程，這樣就可以通過代數規則來解決。原來的微分方程可以通過施加逆拉普拉斯變換得到其解。英國電氣工程師奧利弗·黑維塞第一次提出了一個類似的計劃，雖然沒有使用拉普拉斯變換；以及由此產生的演算被譽為黑維塞演算。

## 在工程學上的應用

應用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程，可以將微分方程化為代數方程，使問題得以解決。在工程學上，拉普拉斯變換的重大意義在於：將一個信號從時域上，轉換為復頻域（s域）上來表示，對於分析系統特性，系統穩定有著重大意義；在線性系統，控制自動化上都有廣泛的應用。

## 參考書目、資料來源

- 電機電子類科《工程數學》，ISBN 957-584-377-0，作者陳錫冠、胡曦、周禎暉老師，高立出版社。