變分法

變分法是數學分析中的一個分支，它通過研究函數與泛函的微小變分，來求解泛函的極大值與極小值。有些曲線上的經典問題採用這種形式表達：一個例子是最速降線，在重力作用下一個粒子沿著該路徑可以在最短時間從點A到達不直接在它底下的一點B。在所有從A到B的曲線中必須極小化代表下降時間的表達式。

變分法的關鍵定理是歐拉－拉格朗日方程。它對應於泛函的臨界點。在尋找函數的極大和極小值時，在一個解附近的微小變化的分析給出一階的一個近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。

變分法在理論物理中非常重要：在拉格朗日力學中，以及在最小作用量原理在量子力學的應用中。變分法提供了有限元方法的數學基礎，它是求解邊界值問題的強力工具。它們也在材料學中研究材料平衡中大量使用。而在純粹數學中的例子有，黎曼在調和函數中使用狄利克雷原理。

同樣的材料可以出現在不同的標題中，例如希爾伯特空間技術，莫爾斯理論，或者辛幾何。變分一詞用於所有極值泛函問題。微分幾何中的測地線的研究是很顯然的變分性質的領域。極小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，稱為普拉托問題。

## 歷史

變分法可能是從約翰·伯努利（1696）提出最速曲線（brachistochrone curve）問題開始出現的。它立即引起了雅各布·伯努利和洛必達（Marquis de l'Hôpital）的注意。但歐拉首先詳盡的闡述了這個問題。他的貢獻始於1733年，他的《變分原理》（Elementa Calculi Variationum）寄予了這門科學這個名字。歐拉對這個理論的貢獻非常大。

勒讓德（1786）確定了一種方法，但在對極大和極小的區別不完全令人滿意。牛頓和萊布尼茨也是在早期關注這一學科，對於這兩者的區別Vincenzo Brunacci（1810）、高斯（1829）、泊松（1831）、Mikhail Ostrogradsky（1834）、和雅可比（1837）都曾做出過貢獻。Sarrus（1842）的由柯西（1844）濃縮和修改的是一個重要的具有一般性的成就。Strauch（1849）、Jellett（1850）、Otto Hesse（1857）、Alfred Clebsch（1858）、和Carll（1885）寫了一些其他有價值的論文和研究報告，但可能那個世紀最重要的成果是Weierstrass所取得的。他關於這個理論的著名教材是劃時代的，並且他可能是第一個將變分法置於一個穩固而不容置疑的基礎上的。1900年希爾伯特發表的23個問題中的第20和23個問題促進了其更深遠的發展。

在20世紀希爾伯特、埃米·諾特、列奧尼達·托內利、昂利·勒貝格和雅克·阿達馬等人做出重要貢獻。Marston Morse將變分法應用在莫爾斯理論中。Lev Pontryagin、Ralph Rockafellar和Clarke廣義變分法最優控制理論發展了新的數學工具。

## 歐拉-拉格朗日方程

在理想情形下，一函數的極大值及極小值會出現在其導數為$0$的地方。同樣地，求解變分問題時也可以先求解相關的歐拉-拉格朗日方程。以下以尋找連接平面上兩點$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$最短曲線的例子，說明求解的過程。

$$A[f] = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + [ f'(x) ]^2} \, dx$$

其中

$f'(x) = \frac{df}{dx}, \,$ $f(x_1)=y_1, \,$ $f(x_2)=y_2 \,$。

函數$f$至少需為一階可微的函數。若$f_0$是一個局部最小值，而$f_1$是一個在端點$x_1$及$x_2$取值為零並且至少有一階導數的函數，則可得到以下的式子

$$A[f_0] \le A[f_0 + \epsilon f_1]$$

其中$\epsilon$為任意接近$0$的數字。

因此$A[f_0 + \epsilon f_1]$對$\epsilon$的導數（A的一階導數）在$\epsilon=0$時必為$0$：

$$\frac{d}{d\epsilon} \int_{x_1}^{x_2} \left. \sqrt{1 + [ f_0'(x) + \epsilon f_1'(x)]^2} dx \right|_{\epsilon =0} = \int_{x_1}^{x_2} \left. \frac{(f_0'(x) + \epsilon f_1'(x)) f_1'(x)}{\sqrt{1 + [ f_0'(x) + \epsilon f_1'(x)]^2}}\right|_{\epsilon =0} dx = \int_{x_1}^{x_2} \frac{ f_0'(x)f_1'(x) } {\sqrt{1 + [ f_0'(x) ]^2}}\,dx = 0$$

此條件可視為在可微分函數的空間中，$A[f_0]$在各方向的導數均為$0$。若假設$f_0$二階可微（或至少弱微分存在），則利用分部積分法可得

$$\int_{x_1}^{x_2} f_1 (x) \frac{d}{dx}\left[ \frac{ f_0'(x) } {\sqrt{1 + [ f_0'(x) ]^2}} \right] \, dx =0,$$

其中$f_1$為在兩端點皆為0的任意二階可微函數。這是變分法基本引理的一個特例：

$I =\int_{x_1}^{x_2} f_1 (x) H (x) dx =0$。

其中$f_1$為在兩端點皆為$0$的任意可微函數。

若存在$x = \hat x$使$H (x) > 0$，則在$\hat x$周圍有一區間的H也是正值。可以選擇$f_1$在此區間外為$0$，在此區間內為非負值，因此$I >0$，和前提不合。若存在$x = \hat x$使$H (x) < 0$，也可證得類似的結果。因此可得到以下的結論：

$\frac{d}{dx}\left[ \frac{ f_0'(x) } {\sqrt{1 + [ f_0'(x) ]^2}} \right] =0$。

由結論可推得下式：

$\frac{d^2 f_0}{dx^2}=0$。

因此兩點間最短曲線為一直線。

在一般情形下，則需考慮以下的計算式

$A[f] = \int_{x_1}^{x_2} L(x,f,f') dx$。

其中$f$需有二階連續的導函數。在這種情形下，拉格朗日量$L$在極值$f_0$處滿足歐拉-拉格朗日方程

$-\frac{d}{dx} \frac{\part L}{\part f'} + \frac{\part L}{\part f}=0$。

不過在此處，歐拉-拉格朗日方程只是有極值的必要條件，並不是充分條件。

## 費馬原理

費馬原理指出：光會沿著兩端點之間所需光程最短的路徑前進。假設$y=f (x)$為光的路徑，則光程可以下式表示：

$A[f] = \int_{x=x_0}^{x_1} n(x,f(x)) \sqrt{1 + f'(x)^2} dx$。

其中折射率$n(x,y)$依材料特性而定。

若選擇$f (x) = f_0 (x) + \epsilon f_1 (x)$，則$A$的一階導數（$A$對$\epsilon$的微分）為：

$\delta A[f_0,f_1] = \int_{x=x_0}^{x_1} \left[ \frac{ n(x,f_0)f_0'(x)f_1'(x)}{\sqrt{1 + f_0'(x)^2}} + n_y(x,f_0) f_1\sqrt{1 + f_0'(x)^2} \right] dx$。

將括號中的第一項用分部積分處理，可得歐拉-拉格朗日方程

$-\frac{d}{dx} \left[\frac{ n(x,f_0)f_0'}{\sqrt{1 + f_0'^2}} \right] + n_y(x,f_0) \sqrt{1 + f_0'(x)^2} =0$。

光線的路徑可由上述的積分式而得。

### 斯乃爾定律

當光進入或離開透鏡面時，折射率會有不連續的變化。考慮

$n(x,y) = n_- \quad \hbox{if} \quad x<0$。

$n(x,y) = n_+ \quad \hbox{if} \quad x>0$。

其中$n_-$和$n_+$是常數。在$x<0$或$x>0$的區域，歐拉-拉格朗日方程均和以上描述的相同。因為折射率在二個區域均為定值，在二個區域光都以直線前進。而在$x=0$的位置，$f$必須連續，不過$f'$可以不連續。在上述二個區域用分部積分的方式解歐拉-拉格朗日方程，則其變分量為

$\delta A[f_0,f_1] = f_1 (0)\left[ n_-\frac{f_0'(0_-)}{\sqrt{1 + f_0'(0_-)^2}} -n_+\frac{f_0'(0_+)}{\sqrt{1 + f_0'(0_+)^2}} \right]$。

和$n_-$相乘的係數是入射角的正弦值，和$n_+$相乘的係數則是折射角的正弦值。若依照斯涅爾定律，上述二項的乘積相等，因此上述的變分量為0。因此斯涅爾定律所得的路徑也就是要求光程一階變分量為0的路徑。

### 費馬原理在三維下的形式

費馬原理可以用向量的形式表示：令$X=(x_1,x_2,x_3)$，而t為其參數，$X (t)$是曲線$C$參數化的表示，而令$\dot X (t)$為其法線向量。因此在曲線上的光程長為

$A[C] = \int_{t=t_0}^{t_1} n (X) \sqrt{ \dot X \cdot \dot X} dt$。

上述積分和$t$無關，因此也和$C$的參數表示方式無關。使曲線最短的歐拉-拉格朗日方程有以下的對稱形式

$\frac{d}{dt} P = \sqrt{ \dot X \cdot \dot X} \nabla n$。

其中

$P = \frac{n (X) \dot X}{\sqrt{\dot X \cdot \dot X} }$。

依P的定義可得下式

$P \cdot P = n (X)^2$。

因此上述積分可改為下式

$A[C] = \int_{t=t_0}^{t_1} P \cdot \dot X \, dt$。

依照上式，若可以找到一個函數$\psi$，其梯度為$P$，則以上的積分$A$就可以由在積分端點上$\psi$的差求得。以上求解曲線使積分量不變的問題就和$\psi$的level surface有關。為了要找到滿足此條件的函數$\psi$，需要對控制光線傳動的波動方程式進行進一步的研究。

## 應用

最優控制的理論是變分法的一個推廣。

## 參考

- Fomin, S.V. and Gelfand, I.M.: Calculus of Variations, Dover Publ., 2000
- Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1-98
- Charles Fox: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987
- Forsyth, A.R.: Calculus of Variations, Dover, 1960
- Sagan, Hans: Introduction to the Calculus of Variations, Dover, 1992
- Weinstock, Robert: Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering, Dover, 1974
- Clegg, J.C.: Calculus of Variations, Interscience Publishers Inc., 1968
- Elsgolc, L.E.: Calculus of Variations, Pergamon Press Ltd., 1962

## 外部連結

- 變分法線上影音教學by PengTitus
- Chapter III: Introduction to the calculus of variations by Johan Byström, Lars-Erik Persson, and Fredrik Strömberg
- PlanetMath.org: Calculus of variations
- Wolfram Research's MathWorld: Calculus of Variations
- Example problems in the calculus of variations