替代公理

在公理化集合論和使用它的邏輯、數學和電腦科學分支中，替代公理模式（axiom schema of replacement）是策梅洛-弗蘭克爾集合論（ZFC）的一個公理模式，它本質上斷言一個集合在一個映射（泛函謂詞）下的像也是一個集合。它對於構造特定的大集合是必需的。

## 陳述

假定 P 是一個雙變量謂詞，對於任何集合 x 有一個唯一的集合 y 使 P(x,y) 成立。接著我們可以形成一個單變量的泛函謂詞 F，使得 F(x) = y 若且唯若 P(x,y)。

替代公理聲稱，給定一個集合 A，我們可以找到一個集合 B，它的成員完全是 F 在 A 的成員上的值。注意對於每個這樣的謂詞 P 都有一個相對應的公理；所以，這是一個公理模式。

在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式語言中，這個公理模式讀做：

$$(\forall x, \exist!\, y: P(x, y)) \rightarrow \forall A, \exist B, \forall y: y \in B \iff \exist x \in A : P(x, y)$$

換句話說。

如果給定任何集合 x，有一個唯一的集合 y 使得 P 對 x 和 y 成立，那麼給定任何集合 A，有著一個集合 B 使得，給定任何集合 y，y 是 B 的一個成員，若且唯若有是 A 的成員的一個集合 x 使得 P 對於 x 和 y 成立。

如果允許在公理模式中使用導出的泛函謂詞，則這個公理模式可以寫為：

$$\forall A, \exist B, \forall y: y \in B \iff \exist x \in A : y = F(x)$$

對於每個導出的單變量的泛函謂詞 F。

換句話說：

給定任何集合 A，有一個集合 B 使得，給定任何集合 y，y 是 B 的成員，若且唯若有是 A 的成員的一個集合 x 使得 y 等於 F 在 x 上的值。

通過外延公理可知這個集合 B 是唯一的。我們稱這個集合 B 為 A 在 F 下的像，並指示它為 F(A) 或（使用集合建構式符號形式）{F(x):x∈A}。

有時引用這個公理不帶唯一性要求：

$$\forall A (\forall x \in A, \exist y: P(x, y)) \rightarrow \exist B, \forall x \in A, \exist y \in B: P(x, y)$$

就是說，謂詞 P 不被限制為泛函的：要應用它於一個集合 A，只需存在至少一個元素 y 對應於 A 的每個元素 x 就可以了；y 對每個 x 是唯一的不是必需的。在這種情況下，被斷言存在的像集合 B 將為 A 的每個 x 包含至少一個這樣的 y，不保證只包含唯一的一個。

有時陳述這個公理不對謂詞加任何限制：

$$\forall A, \exist B, \forall x \in A : ((\exist y : P(x, y)) \rightarrow \exist y \in B : P(x, y))$$

就是說，根本不要求 P 把集合 A 的一個元素映射到任何對象。但是如果對於 A 的一個元素 x 有至少一個 y 對應於它，則像集合 B 將包含至少一個這樣的 y。

這個不對謂詞作限制的公理，也叫做有界公理或搜集公理，看似比原先的替代公理更強，但是這兩個版本都可以從替代公理推導出來。另一方面，任何泛函謂詞都是謂詞，所以有界公理也蘊涵替代公理，因此兩個公理是等價的（在給定了其他 Zermelo-Fraenkel 公理的情況下）。

## 應用例子

序數 ω·2 = ω + ω（使用馮·諾伊曼的現代定義）是第一個不使用替代公理就不能構造的序數。無窮公理斷言無限序列 ω = {0, 1 ,2 ,...} 的存在，也只斷言了這個序列。我們希望定義 ω·2 為序列 {ω, ω + 1, ω + 2,...}，但是一般的序數的類不一定是集合（例如，所有序數的類不是集合）。替代公理允許你把在 ω 中每個有限數 n 替代為對應的 ω + n，並保證替代所得的類是集合。注意你可以輕易地構造序同構於 ω·2 的良序集合而不需用到替代公理：取 ω 的兩個復件的不交並，然後設第二個復件大於第一個便可。但這樣所得的集合並不是一個序數，因為它在屬於關係下不是一個全序。

顯然，若要確保可以指派一個序數給任意的良序集合，也要用到替代公理。類似地，若要確保可以指派一個基數給任意集合（馮·諾伊曼基數指派），我們也需要替代公理，以及選擇公理。

所有的可數的極限序數的構造也要求替代公理，就像 ω·2 的構造那樣。較大的序數則不那麼直接地依賴於替代公理。例如 ω1 是第一個不可數序數，可以構造如下：由全體可數良序組成的集合，會是 ℘(N×N) 的一個子集，這點通過分離公理和冪集公理可知（在 A 上的關係是 A×A 的一個子集，因此是冪集 ℘(A×A) 的一個元素。關係的集合因此是 ℘(A×A) 的子集）。把每個良序集合替代為它的序數。這是可數序數 ω1 的集合，它自身可以被證明是不可數的。這個構造使用了替代公理兩次；第一次確保對每個良序集合的一個序數指派，第二次把良序集合替代為其對應的序數。這是哈特格斯引理的特殊情況，而一般情況可以類似證明。

不帶替代公理但帶選擇公理的ZC集合論不足以證明博雷爾集是確定的；為此你需要替代公理。

## 歷史和哲學

多數可以應用替代公理的應用實際上不需要它。例如，假設 f 是從集合 S 到集合 T 的函數。接著我們可以構造一個泛函謂詞 F 使得在 x 是 S 的成員的時候有 F(x) = f(x)，在其他時候隨意設 F(x) 為某個對象（這裡的指派方式不要緊）。然後，給定 S 的一個子集 A，應用替代公理模式於 F，構造子集 A 在函數 f 下的像 f(A) 為 $\{ F(x) : x \in A \}$（或表示為 F(A)）。但是這裡實際上不需要替代公理，因為 f(A) 是 T 的子集，所以我們可以使用分類公理模式來構造這個像為集合 $\{ y \in T : \exists x \in A, y = f(x) \}$。一般的說，當 F 在 A 的成員上的值都屬於某個預先構造的集合 T 時，使用分類公理就足夠了；只在不能獲得這樣的 T 的時候，才需要替代公理，比如定義在真類的子集上的運算。

按某些哲學家的說法，在上述例子中最好應用分類公理於集合 T，因為分類公理在邏輯上弱於替代公理。實際上，在普通數學中不需要替代公理，只是需要它作為特定公理化集合論的特徵。例如，你需要替代公理來從 ω·2 向上構造馮·諾伊曼序數，而馮·諾伊曼序數對特定集合論的結果是必需的。在良序集合的理論就足夠應用的情況下，你不需要用替代公理構造這些序數。對於某些鑽研數學基礎的數學家，特別是那些專注於類型論而非集合論的人，他們或認為這個公理在各種意義上都是不需要的，因此在其工作中不包括這個公理（以及其相對應的類型論版本）。通常在基於 拓撲斯 理論建造的基礎理論上，都難以表達出替代公理，所以一般不包括它。然而，替代公理的爭論不在於有人認為它的推論必然是假的（如選擇公理的爭論）；只是有部分人認為它是沒有必要的。

替代公理模式不是 恩斯特·策梅洛 在 1908年所公理化的集合論（Z）的一部分；它由 亞伯拉罕·弗蘭克爾 在 1922 年引入，從而得到了現代的 Zermelo-Fraenkel 集合論 (ZF)。陶拉爾夫·斯科倫 在同一年晚些時候獨立的發現了這個公理，實際上我們今天使用的公理列表是Skolem的最終版本—通常不提及他的貢獻是因為每個單獨的公理都是 Zermelo 或 Fraenkel 早先發現的。從證明論的觀點看，增加替代公理形成了很大的差異；把這個公理模式加進Zermelo 公理使系統在邏輯上更強，允許你證明更多的陳述。特別是，在ZF 中你可以通過構造馮·諾伊曼全集 Vω2 為模型，證明 Z 的相容性。（當然，哥德爾第二不完備定理表明這兩個理論都不能證明自身的相容性，如果它自身是相容的。）