CP破壞

CP破壞（CP violation），或譯CP破缺，又稱CP不守恆，是物理學，尤其是粒子物理學中的一個術語和定理。它說明在一個物理過程中所謂的CP對稱被破壞了。在宇宙學中它對解釋今天宇宙中物質的數量超過反物質的數量有極其重要的意義。1964年在CP破壞首先在中性K介子的衰變中被實驗證實。1980年詹姆斯·克羅寧和瓦爾·菲奇因此被授予諾貝爾物理學獎。至今為止對CP破壞的研究依然是一個在理論物理和實驗物理中非常活躍的領域。

## CP

CP是粒子物理學中兩個對稱運算的乘積：C對稱即電荷對稱，量子操作為電荷共軛運算，這個運算將一個帶電荷粒子轉化為其反粒子；P是宇稱，宇稱運算造成一個物理系統的鏡像。在強相互作用和電磁作用中CP轉化運算對整個物理系統不產生任何影響（CP對稱），但是在一定的弱相互作用中這個對稱被微小地打破。在1950年代時，人們發現宇稱破壞後曾經設想CP對稱可以補救這個破壞。

宇稱守恆的基本思想是在鏡像反演後粒子物理學的公式不變。也就是說一個系統裡的反應（比如化學反應或者放射性衰退）在一個鏡像系統中以同樣的速度進行。直到1940年代物理學家相信所有的反應全部是宇稱守恆的。1950年代物理學家發現了宇稱破壞的反應。一些放射性反應顯然不是宇稱守恆的：它們的鏡像系統裡的反應機率比原來的反應機率低。

在量子力學中一個系統中的一個對稱被破壞後往往可以通過另一個對稱來彌補，這兩個對稱的乘積依然守恆。在宇稱破壞被發現後不久物理學家就發現了希爾伯特空間結構中的這個很微妙的特性。當時有人猜測反粒子共軛運算是可以彌補宇稱破壞的對稱。

簡單地說反粒子共軛運算是粒子與反粒子之間的對稱，因此CP對稱被看作是物質與反物質間的對稱。

## 破壞

1964年詹姆斯·克羅寧和瓦爾·菲奇提供了明顯的CP對稱也被破壞的跡象。為此他們於1980年獲得諾貝爾獎。他們的發現顯示弱相互作用既破壞了反粒子共軛運算C，同時也破壞了宇稱P。這個發現對粒子物理學帶來了巨大的衝擊，至今為止它為粒子物理學和宇宙學的核心問題打開了大門。CP被微弱地破壞了，但是與此同時又幾乎保持了守恆是一個重要的未解之謎。

克羅寧、菲奇等在一個K介子衰變的實驗中發現了CP對稱的破壞，在這個物理現象中只有一個更弱的對稱被保存了，即CPT對稱。在CPT對稱中除C和P外還有一個第三個運算符號，即時間反演（T）也必須加入。時間反演與運動反演相應。在物理定理中時間反演對稱表示任何運動的反運動也同樣存在。因此CPT對稱被看作組成所有基本反應形式的精確對稱。由於CPT對稱任何破壞CP對稱的反應也破壞T對稱。也就是說任何破壞CP對稱的反應的逆反應發生的可能性與原反應不同。CPT對稱被看作是量子場論中的一個基本定理，在這裡反粒子共軛運算、宇稱和時間反演同時運用。

最近美國斯坦福直線加速器中心和日本高能加速器研究機構的一代新的試驗使用B介子也發現了CP破壞。此前至少理論上有可能CP破壞僅限於K介子。這些試驗無疑地證明了標準模型理論中的反應破壞CP。

2025年LHCb宣布首次在重子衰變過程中發現了CP破壞的跡象，統計顯著度為5.3σ。

通過在CKM矩陣中加入一個複數項標準模型理論可以包含CP破壞。而這個複數項的引入（也就是CP破壞的引入）則表明至少有三代夸克。

至今為止沒有任何發現量子色動力學破壞CP的試驗。

## 電弱標準模型中的CP破壞

CKM矩陣的電弱標準模型定義為 $\ \mathrm{V}_\mathsf{CKM} = \mathrm{U}_\mathsf{u}\ \cdot \mathrm{U}_\mathsf{d}^\dagger\ ,$ 此處的 $\ \mathrm{U}_\mathsf{u}\ $ 和 $\ \mathrm{U}_\mathsf{d}\ $ 分別為可以將上型夸克與下型夸克的質量矩陣$\ M_\mathsf{u}\ $和$\ M_\mathsf{d}\,$對角化的么正轉換矩陣(unitary transformation matrix)。

因此，要得到一個帶有複數的CKM矩陣需有以下兩個必要但非充分條件:

- $U_u$ 和 $U_d$ 其中至少須有一個帶有複數，否則CKM矩陣必為純實數。
- 即使兩者皆帶有複數， $U_u$ 和 $U_d$ 不可以相同，亦即 $U_u \neq U_d$，否則CKM矩陣必為單位矩陣$\mathbf{1}$。

以一個有三代費米子的標準模型來說，費米子質量矩陣(夸克與輕子都適用)的最通用形式可以寫成如下樣式:

$$M= \begin{bmatrix} A_1 +i D_1 & B_1 +i C_1 & B_2+i C_2 \\ B_4+i C_4 & A_2+i D_2 & B_3+i C_3 \\ B_5+i C_5 & B_6+i C_6 & A_3+i D_6 \end{bmatrix}.$$

這樣的非赫米爾特(non-Hermitian)M矩陣有9個複數元素以及18個參數，因為每個複數元素各有2個參數，一個是實數部的係數，一個是虛數部的係數。這樣的3X3矩陣顯然難以被直接對角化。然而，$\mathbf{M^2} = M \cdot M^+$這樣的矩陣卻是自然為赫米爾特的，而且它和原來的非赫米爾特M矩陣擁有相同的U矩陣，這個矩陣可以表為

< $\mathbf{M^2}= \begin{bmatrix} <pre> \mathbf{A_1} & \mathbf{B_1}+ i \mathbf{C_1} & \mathbf{B_2} + i \mathbf{C_2} \\ \mathbf{B_1}- i \mathbf{C_1} & \mathbf{A_2} & \mathbf{B_3}+ i \mathbf{C_3} \\ \mathbf{B_2}- i \mathbf{C_2}& \mathbf{B_3}- i \mathbf{C_3}& \mathbf{A_3} </pre> \end{bmatrix},$

這個矩陣中的參數可以寫為M矩陣中的參數(=湯川偶合的對應參數*希格氏偶的真空期望值)的各種組合如下:

$$\mathbf{ A_1} = A_1^2 + D_1^2 + B_1^2 + C_1^2 + B_2^2 + C_2^2,$$

$$\mathbf{ A_2} = A_2^2 + D_2^2 + B_3^2 + C_3^2 + B_4^2 + C_4^2,$$

$$\mathbf{ A_3} = A_3^2 + D_3^2 + B_5^2 + C_5^2 + B_6^2 + C_6^2,$$

$$\mathbf{ B_1} = A_1 B_4 + D_1 C_4 + B_1 A_2 + C_1 D_2 + B_2 B_3 +C_2 C_3,$$

$$\mathbf{ B_2} = A_1 B_5 + D_1 C_5 + B_1 B_6 + C_1 C_6 + B_2 A_3 +C_2 D_3,$$

$$\mathbf{ B_3} = B_4 B_5 + C_4 C_5 + B_6 A_2 + C_6 D_2 + A_3 B_3 +D_3 C_3,$$

$$\mathbf{ C_1} = D_1 B_4 -A_1 C_4 +A_2 C_1 -B_1 D_2 +B_3 C_2 -B_2 C_3,$$

$$\mathbf{ C_2} = D_1 B_5 -A_1 C_5 +B_6 C_1 -B_1 C_6 +A_3 C_2 -B_2 D_3,$$

$$\mathbf{ C_3} = C_4 B_5 -B_4 C_5 +D_2 B_6 -A_2 C_6 +A_3 C_3 -B_3 D_3.$$

既然對角化一個有9個參數的矩陣結果跟對角化一個有18個參數的M矩陣一樣，那以$\mathbf{M^2}$ 為對象就是很自然而合理的選擇。

這個問題的理想解法自然是將M和$\mathbf{M^2}$矩陣直接對角化求得其本徵值跟本徵向量(或相當於轉換矩陣U)。只是，即使是只有9個參數的$\mathbf{M^2}$ 矩陣還是太複雜。所以，假設$\mathbf{M^2}$的實數部$\mathbf{M_R^2}$跟虛數部$\mathbf{M_I^2}$可以分別被同一個U矩陣對角化，那這個假設會引進底下這個關係式並進一步將參數由9個減少至5個

$$\mathbf{M_R^2}} \cdot \mathbf{M_I^{2+}} - \mathbf{M_I^2} \cdot \mathbf{M_R^{2+} =0$$

根據以上想法，$\mathbf{M^2}$可以進一步簡化為以下樣貌:

$$\mathbf{M^2} = \begin{bmatrix} \mathbf{ A} + \mathbf{B (x y- {x \over y})} & \mathbf{ y B} &\mathbf{ x B} \\\mathbf{y B} & \mathbf{A +B ({y \over x}-{x \over y})} & \mathbf{ B} \\ \mathbf{ x B} & \mathbf{ B} & \mathbf{ A} \end{bmatrix} + i \begin{bmatrix} 0 & \mathbf{ C \over y} & - \mathbf{C \over x} \\ - \mathbf{ C \over y} & 0 & \mathbf{ C} \\ i \mathbf{C \over x} & - \mathbf{C} & 0 \end{bmatrix} \equiv \mathbf{ M^2_R}+ i \mathbf{ M^2_I}$$

在此令$\mathbf{A \equiv A_3}, \mathbf{ B \equiv B_3}, \mathbf{ C \equiv C_3}, \mathbf{x \equiv B_2 / B_3},$ and $\mathbf{ y \equiv B_1 / B_3}$。

$\mathbf{M^2}$ 有解析解(analytical solutions)，其本徵值如下:

$$\mathbf{m^2_1} = \mathbf{ A-B {x \over y} -C {\sqrt {\mathbf{ x^2 +y^2 +x^2 y^2} \over {x y}}}},$$

$$\mathbf{ m^2_2} = \mathbf{A-B{x \over y} + C{\sqrt \mathbf{ x^2 +y^2 +x^2 y^2} \over {x y}}},$$

$$\mathbf{ m^2_3} = \mathbf{ A+B{{(x^2+1) y} \over x}},$$

而其對應的U矩陣則如下:

$$\mathbf{U^u} = \begin{bmatrix} {-\sqrt{\mathbf{x^2+y^2}} \over \sqrt{\mathbf{2(x^2+y^2+x^2 y^2)}}} & {\mathbf{{x(y^2-i \sqrt{\mathbf{x^2+y^2+x^2 y^2}})}} \over {\sqrt{2} \sqrt{\mathbf{x^2+y^2}} \sqrt{\mathbf{x^2+y^2+x^2 y^2}}} } & {\mathbf{{y(x^2+i \sqrt{\mathbf{x^2+y^2+x^2 y^2}})}} \over {\sqrt{2} \sqrt{\mathbf{x^2+y^2}} \sqrt{\mathbf{x^2+y^2+x^2 y^2}}}} \\ {-\sqrt{\mathbf{x^2+y^2}} \over \sqrt{ \mathbf{2(x^2+y^2+x^2 y^2)}}} & {\mathbf{x(y^2+i \sqrt{\mathbf{x^2+y^2+x^2 y^2}})} \over {\sqrt{ 2} \sqrt{ \mathbf{ x^2+y^2} \sqrt{ \mathbf{ x^2+y^2+x^2 y^2}}}}} & {\mathbf{y(x^2-i \sqrt{\mathbf{x^2+y^2+x^2 y^2})} \over {\sqrt{\bf 2} \sqrt{\bf x^2+y^2} \sqrt{\bf x^2+y^2+x^2 y^2}}}} \\ {\mathbf{x y} \over \sqrt{\mathbf{x^2+y^2+x^2 y^2}}} & {\mathbf{y \over \sqrt{\mathbf{x^2+y^2+x^2 y^2}}} } & {\mathbf{x \over \sqrt{\mathbf{x^2+y^2+x^2 y^2}}}} \end{bmatrix}.$$

然而，這些本徵值的排列順序和物理上的夸克質量順序並無必然對應關係，所以同一型夸克的3個本徵值和3代夸克的對應方式有6種可能，上下夸克各6種，總共可以組合出36種CKM矩陣樣態

在36種可能中，以下這4個在和實驗數據比對時最接近。在0階(tree level)時可以達到差異小於$\lambda^{1/2}$的程度

$V[52]= V \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} = V[52]^*=V^* \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s & p^* & r^* \\ p^{\prime *} & q & p^{\prime} \\ r & p & s^* \end{bmatrix}$ and

$$V[22]= V \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} = V^*[55]=V^*\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r & p & s^* \\ p^{\prime *} & q & p^{\prime} \\ s & p^* & r^* \end{bmatrix},$$

此處$\lambda$ 為Wolfenstein參數之一。

求得$p, q, r, s,$和$p^{\prime}$ 的完整樣貌如下:

$$<pre> r = {{(x^2+y^2)(x'^2+y'^2)+(x x' +y y')(x y x' y' +\sqrt{x^2+y^2+x^2 y^2} \sqrt{x'^2+ y'^2 +x'^2 y'^2})} \over {2 \sqrt{ x^2+y^2} \sqrt{ x'^2+y'^2}\sqrt{x^2+y^2+x^2 y^2} \sqrt{x'^2+y'^2+x'^2 y'^2} }}$$

$$+ i {{ (x y' -x' y)(x' y' \sqrt{x^2+y^2+x^2 y^2} +x y \sqrt{x'^2 +y'^2 +x'^2 y'^2})} \over {2 \sqrt{ x^2+y^2} \sqrt{ x'^2+y'^2}\sqrt{x^2+y^2+x^2 y^2}\sqrt{x'^2+y'^2+x'^2 y'^2}}},$$

$$s= {{(x^2+y^2)(x'^2+y'^2)+(x x' +y y')(x y x' y' -\sqrt{x^2+y^2+x^2 y^2} \sqrt{x'^2+ y'^2 +x'^2 y'^2})} <pre> \over {2 \sqrt{ x^2+y^2} \sqrt{ x'^2+y'^2}\sqrt{x^2+y^2+x^2 y^2} \sqrt{x'^2+y'^2+x'^2 y'^2} }}$$

$$+ i {{ (x y' -x' y)(x' y' \sqrt{x^2+y^2+x^2 y^2} -x y \sqrt{x'^2 +y'^2 +x'^2 y'^2})} \over {2 \sqrt{ x^2+y^2} \sqrt{ x'^2+y'^2}\sqrt{x^2+y^2+x^2 y^2}\sqrt{x'^2+y'^2+x'^2 y'^2}}},$$

$$p = {{[y' y^2(x-x')+ x' x^2 (y-y')]+ i (x y' -x' y) \sqrt{x^2+y^2+x^2 y^2}} <pre> \over {\sqrt{2} \sqrt{ x^2+y^2} \sqrt{x^2+y^2+x^2 y^2}\sqrt{x'^2+y'^2+x'^2 y'^2}}},$$

$$p^{\prime} ={{[y y'^2 (x'-x)+ x x'^2 (y'-y)]+ i (x y' -x' y) \sqrt{x'^2+y'^2+x'^2 y'^2}} <pre> \over {\sqrt{2} \sqrt{ x^2+y^2+x^2 y^2} \sqrt{ x'^2+y'^2}\sqrt{x'^2+y'^2+x'^2 y'^2}} },$$

$$q = {{x x'+y y' +x y x' y'}\over {\sqrt{ x^2+y^2+x^2 y^2} \sqrt{x'^2+y'^2+x'^2 y'^2}}},$$

和實驗所得的CKM矩陣各元素比較得到的最佳結果為

$$|V_{ud} |=|V_{tb} | \sim 0.9925,$$

$$|V_{ub} |=|V_{td} | \sim 0.0075,$$

$$|V_{us} |=|V_{ts} | =|V_{cd} |=|V_{cb} | \sim 0.122023,$$

$$|V_{cs} |\sim 0.9845.$$

自從1964年CP破壞被發現以來，物理學家相信在標準模型的框架下，只要找到適當的湯川偶合矩陣(乘上希格式偶的真空期望值v即為質量矩陣)並將之對角化，即可以產生帶有複數(亦即CP是不對稱)的CKM矩陣。以上論述具體指出了甚麼樣的質量矩陣能夠產生CP不守恆，填補了標準模型在這方面的空缺。

## 強CP問題

為什麼在量子色動力學中CP不被破壞是粒子物理學中的一個謎。這個問題被稱為強CP問題。

量子色動力學不像電弱相互作用那麼容易破壞CP。電弱相互作用中，規範場與費米子場組成的手性流相關；量子色動力學中，膠子則與矢量流相關。至今為止沒有任何顯示量子色動力學破壞CP的試驗跡象。比如假如強相互作用廣泛破壞CP的話那麼中子電偶極矩將相當於$10^{-18}em$（em是電子乘米），而試驗數據證明中子電偶極矩比這個數據至少小上十億倍。

問題在於在量子色動力學中有一些公式理論上允許破壞CP。

$${\mathcal L} = -\frac{1}{4} {\mathrm {tr}\,} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\frac{n_f g^2\theta}{32\pi^2} {\mathrm {tr}\,}F_{\mu\nu}\tilde F^{\mu\nu}+\bar \psi(i\gamma^\mu D_\mu - m e^{i\theta'\gamma_5})\psi$$

在上面的量子色動力學公式中假如角$\theta$和手性夸克質量相$\theta'$不為零的話則CP可以被破壞。一般認為$\theta'$可以被轉化為$\tilde\theta$的一部分。為什麼這個角的值在自然界裡無限小，而不是一個比較大的值至今沒有任何解釋。$\theta$被選擇為近乎零是物理學中精調的一個例子。

強CP問題最著名的解決方案是帕西-奎恩理論，這個理論引入了一個新的名為軸子的標量粒子。

## 物質-反物質不平衡

宇宙物理學中的一個未解的理論問題是為什麼在宇宙中物質比反物質多，而不是兩者大致一樣多。通過一系列有理的假設宇宙學家可以顯示在宇宙誕生的大爆炸後數秒內的極端狀況下由於CP破壞所導致的不對稱可以產生現在觀察到的物質-反物質比。不包含CP破壞的解釋均不十分可信，因為它們依靠初始狀態，而且還與宇宙膨脹說相背，因為宇宙膨脹說稀釋這個假設的初始狀態。

假如CP對稱的話大爆炸應該產生同樣多的物質和反物質，兩者應該相互完全抵消。這將導致一個沒有物質，只有光子的宇宙。這顯然不是這樣的，因此在大爆炸時或大爆炸後物質與反物質的反應顯然不同。由於CP對稱表明物質與反物質的反應應該相同，因此顯然不是在所有情況下CP均對稱。

因此有人猜測有一個使得重子數與輕子數不相同的力。標準模型理論中只有兩種破壞CP的方法。一個方法是上面提到的量子色動力學的強CP破壞。但是這個理論的結果是要麼沒有CP破壞，要麼CP破壞應該比現在觀察到的強許多許多數量級。另一個方法是弱相互作用所導致的很小的CP破壞，但是這個方法預言的破壞所導致的物質-反物質差只留下能夠組成一個單個星系的物質。

由於標準模型理論對這個物質差做不出精確的預言，這似乎說明標準模型理論有缺陷或者有錯誤。而且確定這些與CP有關的缺陷不需要巨大的、實際上無法達到的加速器和能量。因此試驗粒子物理學對這些問題非常感興趣，而且一些天體物理學的不同理論（比如宇宙膨脹說和重子生成）需要解釋CP破壞的理論基礎。

## 參考資料

- 收集了眾多關於這個問題的小品文，重點在試驗結果
- 編輯了關於這個問題的許多重要發表前論文
- I. Bigi, CP violation, an essential mystery in Nature's grand design. 1997年2月18日至27日在俄羅斯莫斯科召開的第25屆ITEP冬校、1997年5月11日至16日在美國納什維爾范德堡大學的「當今物理學前鋒」和1997年7月8日至18日在義大利瓦倫納的國際費米物理學校上的邀請報告。hep-ph/9803479.
- Davide Castelvecchi, What is direct CP-violation?，斯坦福直線加速器中心