同調

數學上（特別是代數拓撲和抽象代數），同調 （homology，在希臘語中homos = 同）是一類將一個可換群或者模的序列和特定數學對象（例如拓撲空間或者群）聯繫起來的過程。背景知識請參看同調論。

對於一個特定的拓撲空間，同調群通常比同倫群要容易計算得多，因此通常來講用同調來輔助空間分類要容易處理一些。

## 同調群的構造

其過程如下：給定對象$X$，首先定義鏈復形，它包含了$X$的資訊。一個鏈復形是一個由群同態聯繫起來的可換群或者模$A_0,A_1,A_2,\dots$的序列，群同態$d_n : A_n \rightarrow A_{n-1}$滿足任何兩個相連的同態的複合為0: $d_n \circ d_{n+1} = 0$對於所有$n$成立。這意味著第$n+1$個映射的像包含在第$n$個映射的核中，我們定義$X$的$n$階同調群為商群（商模）

$$H_n(X) = \mathrm{ker}(d_n) / \mathrm{im}(d_{n+1}).$$

鏈復形稱為正合的，如果（$n+1$）階映射的像總是等於$n$階映射的核。因此$X$的同調群是衡量$X$所關聯的鏈復形離正合有「多遠」的障礙。

## 非正式的例子

非正式地，拓撲空間X的同調是X的拓撲不變量的集合，用其同調群來表示

$$H_0(X), H_1(X), H_2(X), \ldots$$

其中第$k$個同調群$H_k(X)$描繪了$X$中的$k$維圈 (cycle)，實現為$k+1$維圓盤邊界 (boundary) 的障礙。0維同調群刻畫了兩個零維圈，也即點，實現成一維圓盤，也即線段的邊界的障礙，因此$H_0(X)$刻畫了$X$中的道路連通分支。

一維球面 $S^1$是一個圓。它有一個連通分支和一個一維圈，但沒有更高維圈。其對應的同調群由下式給出

$$H_k(S^1) \cong \begin{cases} \mathbb Z & k=0, 1 \\ 0 & k \neq 0, 1 \end{cases}$$

其中$\mathbb Z$表示整數加群，$0$表示平凡群。$H_1(S^1) \cong \mathbb Z$表示$S^1$的一階同調群為由一個元素生成的有限生成阿貝爾群，其唯一的生成元表示圓中包含的一維圈。

二維球面$S^2$有一個連通分支，零個一維圈，一個二維圈（即球面），無更高維的圈，其對應的同調群為

$$H_k(S^2) \cong \begin{cases} \mathbb Z & k=0, 2 \\ 0 & k \neq 0, 2 \end{cases}$$

一般地，對$n$維球面$S^n$，其同調群為

$$H_k(S^n) \cong \begin{cases} \mathbb Z & k=0, n \\ 0 & k \neq 0, n \end{cases}$$

二維實心球$B^2$有一個道路連通分支，但與圓不同的是，$B^2$沒有一維或更高維的圈，其對應的同調群除了零階同調群$H_0(B^2) \cong \mathbb Z$以外，其餘階的同調群均為平凡群。

環面被定義為兩個圓$T^2 = S^1 \times S^1$的笛卡爾積。環面有一個道路連通分支，兩個獨立的一維圈（在圖中以紅圈和藍圈分別標出），以及一個二維圈（環面的內部）。其對應的同調群為

$$H_k(T^2) \cong \begin{cases} \mathbb Z & k=0, 2 \\ \mathbb Z\times \mathbb Z & k=1 \\ 0 & k \geq 3 \end{cases}$$

兩個獨立的一維圈組成了一組有限生成阿貝爾群的獨立生成元，表示為笛卡爾積群$\mathbb Z\times \mathbb Z$.

## 例子

引入同調的概念可以用單純復形$X$的單純同調：設$C_n$為$X$中的$n$維可定向單純形生成的自由交換群或者模，映射$\partial_n:C_n\rightarrow C_{n+1}$映射稱為邊緣映射 (boundary map)，它將$n$維單純形

$$\sigma:\Delta^n\rightarrow X$$

映射為如下交錯和

$$\sum_{i=0}^n (-1)^i\sigma|_{[e_0,\ldots,e_{i-1},e_{i+1},\ldots,e_n]}.$$

其中$\sigma|_{[e_0,\cdots,e_{i-1},e_{i+1},\cdots,e_n]}$表示$\sigma$限制在$e_0,\cdots,e_{i-1},e_{i+1},\cdots,e_n$對應的面 (face)上。如果我們將模取在一個域上，則$X$的$n$階同調的維數就是$X$中$n$維圈的個數。

仿照單純同調群，可以定義任何拓撲空間$X$的奇異同調群。我們定義$X$的上同調的鏈復形中的空間為$A_n$為自由交換群（或者自由模），其生成元為所有從$n$為單純形到$X$的連續函數。同態$d_n$從單純形的邊緣映射得到。

同調代數中，同調用於定義導出函子，例如，Tor函子。這裡，我們可以從某個可加協變函子$F$和某個模$X$開始。$X$的鏈復形定義如下：首先找到一個自由模$F_1$和一個滿同態$p_1 : F_1 \rightarrow X$。然後找到一個自由模$F_2$和一個滿同態$p_2 : F_2 \rightarrow \mathrm{ker}(p_1)$。以該方式繼續，得到一個自由模$F_n$和同態$p_n$的序列。將函子$F$應用於這個序列，得到一個鏈復形；這個復形的同調$H_n$僅依賴於$F$和$X$，並且按定義就是$F$作用於$X$的n階導出函子。

## 同調函子

鏈復形構成一個範疇：從鏈復形$(d_n : A_n \rightarrow A_{n-1})$到鏈復形$(e_n : B_n \rightarrow B_{n-1})$的態射是一個同態的序列$(f_n : A_n \rightarrow B_n)$，滿足$f_{n-1} \circ d_n = e_{n-1} \circ f_n$對於所有$n$成立。$n$階同調 $H_n$可以視為一個從鏈復形的範疇到可換群（或者模）的範疇的協變函子。

若鏈復形以協變的方式依賴於對象$X$（也就是任何態射$X \rightarrow Y$誘導出一個從$X$的鏈復形到$Y$的鏈復形的態射），則$H_n$是從$X$所屬的範疇到可換群（或模）的範疇的函子。

同調和上同調的唯一區別是上同調中的鏈復形以逆變方式依賴於$X$，因此其同調群（在這個情況下稱為上同調群並記為$H^n$）構成從$X$所屬的範疇到可換群或者模的範疇的逆變函子。

## 性質

若$(d_n : A_n \rightarrow A_{n-1})$是鏈復形，滿足出有限個$A_n$外所有項都是零，而非零的都是有限生成可換群（或者有限維向量空間），則可以定義歐拉示性數

$$\chi = \sum (-1)^n \,\mathrm{rank}(A_n)$$

（可換群採用階而向量空間的情況採用哈默爾維數）。事實上在同調水平上也可以計算歐拉示性數:

$$\chi = \sum (-1)^n \,\mathrm{rank}(H_n)$$

特別地，在代數拓撲中，歐拉示性數$\chi$是拓撲空間的重要不變量。

此外，每個鏈復形的短正合序列

$$0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0$$

誘導一個同調群的長正合序列

$$\cdots \rightarrow H_n(A) \rightarrow H_n(B) \rightarrow H_n(C) \rightarrow H_{n-1}(A) \rightarrow H_{n-1}(B) \rightarrow H_{n-1}(C) \rightarrow H_{n-2}(A) \rightarrow \cdots \,$$

這個長正合序列中的所有映射由鏈復形間的映射導出，除了映射$H_n(C) \rightarrow H_{n-1}(A)$之外。後者稱為連接同態，由蛇引理給出。

## 參考文獻

- 有仔細討論單複形、流形的同調論、奇異同調等。