比例

在數學上，要定義「比例」，必須先定義「比」。比（ratio）是兩個非零數量 $y$ 與 $x$ 之間的比較關係，記為 $y:x \; (x, y \in \mathbb{R})$，在計算時則常寫作：$\frac{y}{x}$ 或 $y/x$。

比例（proportion）或比例式、等比式，是「兩個比」相等的式子；表示同類型（相同單位）的「兩個比之間」的關係。因此，比值相等的兩個比才能組成比例，且比例必須以等式的形式呈現。例如：$\frac{y}{x} = \frac{b}{a}$ 或 $y:x = b:a$ 才能稱作比例，而 $\frac{y}{x}$ 或 $y:x$ 只能稱作比。

比值（ratio value，ratio）強調比的數值，是由比的關係所導引出的前項除以後項的數值（即「商」）；在某些語境下，比值也稱占比（proportion，share）、比例、比率。比值按字面的原義，是兩者的倍數關係，進而引申為一個數或變量除以另一個數或變量的商值。由於比的數學的定義是數或同類量相除，所以所得之商——比值——無單位。

組成比例的四個數，稱為比例的項；等式最兩端的兩項稱為外項，等式中央的兩項稱為內項。與比不同的是：比由兩個陣列成；比例由四個陣列成。

若兩個變量的關係符合：其中一個量等於另一個量乘以一個常數 $k$（$y=kx$，$k$ 稱為 比例常數 或 比例係數），或等價地表達為：兩變數的比值為一個定值（此定值或商，稱為 比（ratio），但比的定義不限於定值），則稱兩者是「成比例的」，或稱兩者「成正比」。

若幾對變量共享相同的直接比例常數，則表示這些比值相等的方程稱為比例式（proportion）或等比關係。例如：1=b = y = ⋯ = k。比例性（proportionality）則與線性關係（linearity）密切相關。

## 定義

若存在一常數 $k$，使：$y = kx$，（$y$ 是因變量，$x$ 是自變量，$k$ 是常數，且 $k$ $\neq$ $0$）。

則稱變量 $y$ 與變量 $x$ 成比例（有時也稱為「成正比」）。當 $x$ 和 $y$ 成正比關係時，當$x$ 變為原來 $k$ 倍時，$y$ 也會變為原來的 $k$ 倍；此時 $x, y$ 兩個變量成線性函數關係或正比例函數關係。這種函數是一次函數 $y=kx+b$ 取 $b = 0$ 的特殊情況；該關係通常用數學符號 $\propto$（正比號）表示為：$y \propto x$，並稱該常數$k$ （$= \frac{y}{x}$）為 比例常數 或 比例係數 或 比例關係中的常數。

在日常生活中，正比這個詞的使用並不嚴格局限於線性函數，一般來說，一個變量隨著另一個變量的增大而增大（或因一個變量的減小而減小），近似地滿足線性關係時，我們就可以說這兩個變量成正比。

### 符號和術語

數$A$和$B$的「比」可以表示為：

- $A$與$B$之比
- $A$比$B$
- $$A : B$$
- $A$除以$B$商的分數形式（有理數）
- $$\frac{A}{B}$$

當「兩組比」相等時，表達$A : B$與$C : D$相等的形式為$A : B = C : D$或$A : B :: C : D$；口頭或書面的表達形式也可以為「$A$比$B$等於$C$比$D$」。而$A, B, C, D$有特定的名稱：$A, D$稱為比例的外項，$B, C$稱為比例的內項。

## 等比關係

兩個比例之間也可以互相比較，若兩個比例相等（即其比值相同），則稱這個相等關係為等比關係。

例如，$y:x=u:o$是等比關係，則：$xu=yo$。

需要注意的是：如果第二項等於第三項，例如：$y:x=x:z$ $(x,z\neq0)$，則：$x^2 = yz \rightarrow x = \sqrt{yz}$，或$x =- \sqrt{yz}$，$x$稱為$y$與$z$的幾何平均數（geometric mean）。

## 通約性

如果$y$與$x$是可通約的（或稱「可通分的」），那麼它們之間存在一個公約數（common measure），用$m \; (m \in \mathbb{R})$表示。使：$y = mp, x = mq \; (p, q \in \mathbb{Z})$。

此時，$y:x$就相等於$p,q$的比，即：$y:x = mp:mq = p:q$。

那麼，$y:x$就稱為可通約比（commensurable ratio）（或稱「可通分比」），$\frac{p}{q}$稱為分數，其比值稱為有理數；反之，若不存在公約數，$y:x$就稱為不可通約比（incommensurable ratio）（或稱「不可通分比」），其比值稱為無理數，即「無法表示為分數的數。」

## 用法與歷史

現代數學對於比例的用法並沒有嚴格限制，例如，在一個班級裡面，我們可以說：「男孩與女孩的比例是2比1」。然而，在古希臘數學中，由於比例是用來表示倍數關係，所以必須是相同種類的數量才能構成比例，例如，歐幾里得在《幾何原本》第五冊中如此定義比例：

λόγος ἐστὶ δύο μεγεθῶν ὁμογενῶν ἡ κατὰ πηλικότητά ποια σχέσις.

A ratio is a sort of relation in respect of size between two magnitudes of the same kind.

比例是兩個同類數量之間的大小關係。

阿基米德使用這個定義來敘述均勻運動（uniform motion）的等比關係在一個均勻運動中，兩段距離的比例相等於它們所需時間的比例。

阿基米德所要描述的，就是勻速運動，但是古希臘數學並不接受距離與時間的比例 （亦即速率），因為它們是不一樣的數量，所以他沒有辦法直接說：「均勻運動就是每一點上的速率皆相等」。當採用古希臘的比例論來敘述時，必須取兩段距離$L_1$與$L_2$以及所需時間$T_1$與$T_2$，均勻運動（勻速運動）就是$L_1 : L_2 = T_1 : T_2$。

## 舉例

- 假設某人以勻速運動，則其運動的距離是和運動的時間成正比的，所以速度就是當中的比例常數。
- 圓的周長與其直徑成正比，當中的比例常數就是π。
- 在按比例尺繪製的地圖上，地圖上任意兩點間的距離是和該兩點所代表的實際地點之間的距離成比例的，當中的比例常數即是繪製該地圖所使用的比例尺係數。
- 物理學中，地球的重力對在海平面上的某物體的作用力的數值與該物體的質量成正比，當中的比例常數是地球的重力加速度。

## 性質

因為： $y = kx$，等同於 $x = \frac{y}{k} ,(k\neq0)$；因此可推出，若 $y$ 與 $x$ 之間存在正比關係，則 $x$ 與 $y$ 之間也存在正比關係。$y$ 與 $x$ 的正比關係也可以被解讀為一條在二維直角坐標系穿過原點的直線，其斜率為比例常數$k$。

比例關係中，位於兩端的兩數（外項）之積等於位於中間的兩數（內項）之積。即：$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff ad = bc$

## 反比關係

在上面定義中，我們說有時稱兩個成比例的變量成正比例，這是為了和反比例關係相對應：

如果兩變量中，一個變量和另外一個變量的倒數成正比；或同樣的：若這兩變量的乘積是一個常數，則稱這兩個變量成反比例（或相反地變化)的，從而可繼續推出：若存在一非零常數$k$，使：$y = \frac{k}{x}$ $(x\neq0)$，則變量$y$和變量$x$成反比。

反比例關係的概念基本上說明的是這樣一種關係，即：當一個變量的值變大時，另一變量的值相應變小，且兩者之積總是保持為一常數（即比例常數）。舉例來說：運動中的車輛走完一段路程所花費的時間是和這輛車運動的速度成反比的；在地上挖個坑所花的時間也（大致地）和雇來挖坑的人數成反比的。

在笛卡爾坐標平面上，兩個具有反比例關係的變量的圖形是一對雙曲線，該圖線上的每一點的 X 和 Y 坐標值之積總是等於比例常數$k$。由於$k$非零，所以圖線不會與坐標軸相交。

## 指數比例和對數比例

若變量$y$與變量$x$的指數函數成正比，即：若存在非零常數$k$，使：$y = k a^x$，則稱$y$與$x$成指數比例。

類似地，若變量$y$與變量$x$的對數函數成正比，即：若存在非零常數$k$，使：$y = k \log_a{x}$，則稱$y$與$x$成對數比例。

## 確定比例關係的實驗方法

用實驗方法確定兩個物理量是否具有正比關係，可採用這樣的辦法：

即進行多次測量，並在笛卡爾坐標系中將這些測量結果用多個點來表示，以此繪製出這些點的分布圖形。

如果所有點完全（或接近）地落在一條穿過原點$(0, 0)$的直線上，則這兩個變量（很有可能）具有比例常數等於該直線斜率的正比關係。

## 擴展閱讀

- "Ratio" The Penny Cyclopædia vol. 19 , The Society for the Diffusion of Useful Knowledge (1841) Charles Knight and Co., London pp. 307ff
- "Proportion" New International Encyclopedia, Vol. 19 2nd ed. (1916) Dodd Mead & Co. pp270-271
- "Ratio and Proportion" Fundamentals of practical mathematics, George Wentworth, David Eugene Smith, Herbert Druery Harper (1922) Ginn and Co. pp. 55ff
- D.E. Smith, History of Mathematics, vol 2 Dover (1958) pp. 477ff
- Development of Multiplicative Reasoning in the Learning of Mathematics, p.189, Ratio vs. Rate

## 外部連結

- Khan Academy: Ratios and rational expressions, free online micro lectures