泰勒級數

在數學中，泰勒級數（Taylor series，Taylor expansion）用無限項連加式——級數來表示一個函數，這些相加的項由函數在某一點的導數求得。泰勒級數是以於1715年發表了泰勒公式和泰勒展開的英國數學家布魯克·泰勒（Sir Brook Taylor）來命名的。麥克勞林級數，以蘇格蘭數學家科林·麥克勞林（Colin Maclaurin）的名字命名。

拉格朗日在1797年之前，最先提出帶有餘項的現在形式的泰勒定理。實際應用中，泰勒級數需要截斷，只取有限項，可以用泰勒定理估算這種近似的誤差。一個函數的有限項的泰勒級數叫做泰勒多項式。一個函數的泰勒級數是其泰勒多項式的極限（如果存在極限）。即使泰勒級數在每點都收斂，函數與其泰勒級數也可能不相等。在開區間（或複平面上的開區間）上，與自身泰勒級數相等的函數稱為解析函數。

## 定義

在數學上，對於一個在實數或複數$a$鄰域上，以實數作為變量或以複數作為變量的函數，並且是無窮可微的函數$f(x)$，它的泰勒級數是以下這種形式的冪級數：

$$\sum_{n=0}^{\infty} \cfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}$$

這裡，$n!$表示$n$的階乘，而$f^{(n)}(a)\,\!$表示函數$f$在點$a$處的$n$階導數。如果$a=0$，也可以把這個級數稱為麥克勞林級數。

## 解析函數

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如果泰勒級數對於區間$(a-r,a+r)$中的所有$x$都收斂並且級數的和等於$f(x)$，那麼我們就稱函數$f(x)$為解析形的函數（analytic）。一個函數若且唯若（簡單地說，「只有在且只要在」）能夠被表示為冪級數的形式時，才是解析形的函數。通常會用泰勒定理來估計級數的餘項，這樣就能夠確定級數是否收斂於$f(x)$。上面給出的冪級數展開式中的係數正好是泰勒級數中的係數。

以下三個事實可以說明為什麼泰勒級數是十分重要的：

- 可以逐項對冪級數的計算微分和積分，因此求和函數相對比較容易。
- 數學家因此能夠在複數平面上研究函數，因為一個解析函數，也可以被定義為在複平面中一個開放的區間內的解析函數(在區間內每一個點上都能被微分的函數)。
- 可用泰勒級數估計，在某一點上函數會計算出什麼值。

對於一些無窮的可以被微分函數$f(x)$，雖然它們的展開式會收斂，但是並不等於$f(x)$。例如，分段函數$f(x) = \exp \left(- \cfrac{1}{x^2} \right)$，如果$x \ne 0$並且$f(0)=0$，則$x=0$時所有的導數都為零，所以這個$f(x)$的泰勒級數為零，且其收斂半徑為無窮大，不過函數$f(x)$僅在$x=0$處為零。但是，在以複數作為變量的函數中這個問題並不存在，因為當$z$沿虛軸趨於零，$\exp \left(- \cfrac{1}{z^2} \right)$並不趨於零。

如果一個函數在某處引發一個奇點，它就無法被展開為泰勒級數，不過如果變量$x$是負指數冪的話，我們仍然可以將其展開為一個級數。例如，雖然在$x=0$的時候，$f(x) = \exp \left(- \cfrac{1}{x^2} \right)$會引發奇點，但仍然能夠把這個函數展開為一個洛朗級數。

最近，專家們發現了一個用泰勒級數來求解微分方程的方法——Parker-Sochacki method。用皮卡反覆運算便可以推導出這個方法。

## 常用的函數:麥克勞林級數

下面我們給出了幾個重要的麥克勞林級數。當變量$x$是複數時，這些等式依然成立。

### 幾何級數

由無窮遞縮等比數列求和式:$\cfrac{1}{1-x} = \sum^{\infty}_{n=0} x^n= 1+ x +x^2+ \cdots +x^n +\cdots \quad \forall x: \left| x \right| < 1$

### 二項式級數

$$(1+x)^\alpha = \sum^{\infty}_{n=0} \binom{\alpha}{n} x^n= 1+ \alpha x + \cfrac{\alpha (\alpha -1)}{2!} x^2 + \cdots + \cfrac{\alpha (\alpha -1) \cdots (\alpha - n +1)}{n!} x^n + \cdots$$

$$\forall x: \left| x \right| < 1, \forall \alpha \in \mathbb{C}$$

廣義二項式係數$\binom{\alpha}{n}= \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$。

### 指數函數和自然對數

以$e$為底數的指數函數的麥克勞林級數是

$e^{x} = \sum^{\infty}_{n=0} \cfrac{x^n}{n!}= 1 + x + \cfrac{x^2}{2!} + \cfrac{x^3}{3!} + \cdots +\cfrac{x^n}{n!} +\cdots \quad \forall x$ （對所有$x$都成立）

以$e$為底數的自然對數的麥克勞林級數是

$\ln(1-x) = - \sum^{\infty}_{n=1} \frac{x^n}n = -x - \frac{x^2}2 - \frac{x^3}3 - \cdots \quad \forall x\in [-1,1)$ （對於在區間-1,1)內所有的$x$都成立）

$\ln(1+x) = \sum^{\infty}_{n=1} {(-1)^{n+1}}\cfrac {x^n}n = x - \cfrac{x^2}2 + \cfrac{x^3}3 - \cdots + (-1)^{n+1} \cfrac{x^n} n +\cdots \quad \forall x\in (-1,1]$ （對於在區間(-1,1內所有的$x$都成立）

### 三角函數

常用的三角函數可以被展開為以下的麥克勞林級數：

$$\begin{align} \sin x &= \sum^{\infty}_{n=0} \cfrac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} &&= x - \cfrac{x^3}{3!} + \cfrac{x^5}{5!} - \cdots && \forall x\\[6pt] \cos x &= \sum^{\infty}_{n=0} \cfrac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} &&= 1 - \cfrac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots && \forall x\\[6pt] \tan x &= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n \left(1-4^n\right)}{(2n-1)!} x^{2n-1} &&= x + \cfrac{x^3}{3} + \cfrac{2 x^5}{15} + \cdots && \forall x:|x| < \cfrac{\pi}{2}\\[6pt] \sec x &= \sum^{\infty}_{n=0} \cfrac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} &&=1+\cfrac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+\cdots && \forall x:|x| < \cfrac{\pi}{2}\\[6pt] \arcsin x &= \sum^{\infty}_{n=0} \cfrac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} &&=x+\cfrac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+\cdots && \forall x:|x| \le 1\\[6pt] \arccos x &=\cfrac{\pi}{2}-\arcsin x\\&=\cfrac{\pi}{2}- \sum^{\infty}_{n=0} \cfrac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}&&=\cfrac{\pi}{2}-x-\cfrac{x^3}{6}-\cfrac{3x^5}{40}+\cdots&& \forall x:|x| \le 1\\[6pt] \arctan x &= \sum^{\infty}_{n=0} \cfrac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} &&=x-\frac{x^3}{3} + \cfrac{x^5}{5}-\cdots && \forall x:|x| \le 1,\ x\neq\pm i \end{align}$$

在$\tan(x)$展開式中的Bk是伯努利數。在$\sec(x)$展開式中的Ek是歐拉數。

### 雙曲函數

$$\sinh x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad \forall x$$

$$\cosh x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad \forall x$$

$$\tanh x = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad \forall x: \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$$

$$\sinh^{-1} x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad \forall x: \left| x \right| < 1$$

$$\tanh^{-1} x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad \forall x: \left| x \right| < 1$$

$\tanh(x)$展開式中的Bk是伯努利數。

### 朗伯W函數

$$W_0(x) = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad \forall x: \left| x \right| < \frac{1}{e}$$

## 多元函數的展開

泰勒級數可以推廣到有多個變量的函數：

$$\sum_{n_1=0}^{\infty} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infty} \frac{\partial^{n_1+\cdots+n_d}}{\partial x_1^{n_1}\cdots\partial x_d^{n_d}} \frac{f(a_1,\cdots,a_d)}{n_1!\cdots n_d!} (x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}$$

## 歷史

希臘哲學家芝諾在考慮了利用無窮級數求和來得到有限結果的問題，得出不可能的結論 - 芝諾悖論。後來，亞里斯多德對芝諾悖論在哲學上進行了反駁，但德謨克利特以及後來的阿基米德進行研究，此部分數學內容才得到解決。正是用了阿基米德的窮竭法才使得一個無窮級數被逐步的細分，得到了有限的結果。幾個世紀之後，中國數學家劉徽也獨立提出了類似的方法。

進入14世紀，馬德哈瓦最早使用了泰勒級數以及相關的方法。儘管他的數學著作沒有流傳下來，但後來印度數學家的著作表明他發現了一些特殊的泰勒級數，這些級數包括正弦、餘弦、正切、和反正切三角函數等等。之後，喀拉拉學派在他的基礎上進行了一系列的延伸與合理逼近，這些工作一直持續到16世紀。

到了17世紀，詹姆斯·格雷果里同樣繼續著這方面的研究並且發表了若干麥克勞林級數。但是直到1715年，布魯克·泰勒 提出了一個通用的方法來構建適用於所有函數的此類列級數。這就是後來被人們所熟知的泰勒級數。

麥克勞林級數是泰勒級數的特例，是愛丁堡大學的科林·麥克勞林教授在18世紀發表的，並以其名字命名。

## 與牛頓插值公式的淵源

牛頓插值公式也叫做牛頓級數，由「牛頓前向差分方程」的項組成，得名於伊薩克·牛頓爵士，最早發表為他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編「宇宙體系」的引理五，此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續「泰勒展開」的離散對應。

### 差分

對於x值間隔為非一致步長，牛頓計算均差，對x值間隔為單位步長1或一致但非單位量的情況，計算差分，前向差分的定義為：

$$\begin{align} \Delta_h^1[f](x) &= f(x + h) - f(x) \\ \Delta^n_h[f](x) &= \Delta_h^{n-1}[f](x+h) -\Delta_h^{n-1}[f](x) \\ \end{align}$$

### 插值公式

牛頓前向差分插值公式為：

$$\begin{align} f(x) &= f(a) + \cfrac {x-a} {h} \left( \Delta_h^1[f](a) + \frac {x-a-h} {2h}\left(\Delta_h^2[f](a) + \cdots \right) \right) \\ <pre> &= f(a) + \sum_{k=1}^n \frac{\Delta_h^k[f](a)}{k!h^k} \prod_{i=0}^{k-1} ((x-a)-ih) \\ </pre> \end{align}$$

這成立於任何多項式函數和大多數但非全部解析函數。

### 無窮級數

牛頓在1665年得出並在1671年寫的《流數法》中發表了$\ln(1+x)$的無窮級數，在1666年得出了$\arcsin(x)$和$\arctan(x)$的無窮級數，在1669年的《分析學》中發表了$\sin(x)$、$\cos(x)$、$\arcsin(x)$和$e^x$的無窮級數；萊布尼茨在1673年大概也得出了$\sin(x)$、$\cos(x)$和$\arctan(x)$的無窮級數。布魯克·泰勒在1715年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa》中研討了有限差分法，其中論述了他在1712年得出的泰勒定理，這個成果此前詹姆斯·格雷果里在1670年和萊布尼茨在1673年已經得出，而約翰·伯努利在1694年已經在《教師學報》發表。

他對牛頓的均差分的步長取趨於$0$的極限，得出：

$$\begin{align} f(x) &= f(a) + \lim_{h \to 0}\sum_{k=1}^\infty \frac{\Delta_h^k[f](a)}{k!h^k} \prod_{i=0}^{k-1} ((x-a)-ih) \\ <pre> &= f(a) + \sum_{k=1}^\infty \frac{d^k}{dx^k}f(a) \frac{(x-a)^k}{k!} \\ </pre> \end{align}$$