演繹推理

演繹推理（Deductive Reasoning）、正向推理在傳統的亞里斯多德邏輯中是「結論，可從叫做『前提』的已知事實，『必然地』得出的推理」。如果前提為真，則結論必然為真。這區別於溯因推理和歸納推理：它們的前提可以預測出高機率的結論，但是不確保結論為真。

「演繹推理」還可以定義為結論在普遍性上不大於前提的推理，或「結論在確定性上，同前提一樣」的推理。

## 例子

任何三角形只可能是銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。——大前提

這個三角形既不是銳角三角形，也不是鈍角三角形。——小前提

所以，它是一個直角三角形。——結論

## 常用的基本論證形式

演算的基本論證形式

名稱｜相繼式｜描述

肯定前件論式｜$(p \rightarrow q) \land p \Rightarrow q$｜如果 $p$ 則 $q$；$p$，所以 $q$

否定後件論式｜$(p \rightarrow q) \land \neg q \Rightarrow \neg p$｜如果 $p$ 則 $q$；非 $q$；所以，非 $p$

假言三段論式｜$(p \rightarrow q) \land (q \rightarrow r) \Rightarrow (p \rightarrow r)$｜如果 $p$ 則 $q$；如果 $q$ 則 $r$；所以，如果 $p$ 則 $r$

選言三段論式｜$(p \lor q) \land \neg p \Rightarrow q$｜要麼 $p$ 要麼 $q$；非 $p$；所以，$q$

創造性二難論式｜$(p \rightarrow q) \land (r \rightarrow s) \land (p \lor r) \Rightarrow (q \lor s)$｜如果 $p$ 則 $q$；並且如果 $r$ 則 $s$；但是要麼 $p$ 要麼 $r$；所以，要麼 $q$ 要麼 $s$

破壞性二難論式｜$(p \rightarrow q) \land (r \rightarrow s) \land (\neg q \lor \neg s) \Rightarrow (\neg p \lor \neg r)$｜如果 $p$ 則 $q$；並且如果 $r$ 則 $s$；但是要麼非 $q$ 要麼非 $s$；所以，要麼非 $p$ 要麼非 $r$

簡化論式｜$(p \land q) \Rightarrow p$｜$p$ 與 $q$ 為真；所以，$p$ 為真

合取式｜$p, q \Rightarrow (p \land q)$｜$p$ 與 $q$ 分別為真；所以，它們結合起來是真

增加論式｜$p \Rightarrow (p \lor q)$｜$p$ 是真；所以析取式 ($p$ 或 $q$) 為真

合成論式｜$(p \rightarrow q) \land (p \rightarrow r) \Rightarrow p \rightarrow (q \land r)$｜如果 $p$ 則 $q$；並且如果 $p$ 則 $r$；所以，如果 $p$ 是真則 $q$ 與 $r$ 為真

德·摩根定律 (1)｜$\neg(p \land q) \Rightarrow (\neg p \lor \neg q)$｜($p$ 與 $q$) 的否定等價於 (非 $p$ 或非 $q$)

德·摩根定律 (2)｜$\neg(p \lor q) \Rightarrow (\neg p \land \neg q)$｜($p$ 或 $q$) 的否定等價於 (非 $p$ 與非 $q$)

交換律 (1)｜$(p \lor q) \Rightarrow (q \lor p)$｜($p$ 或 $q$) 等價於 ($q$ 或 $p$)

交換律 (2)｜$(p \land q) \Rightarrow (q \land p)$｜($p$ 與 $q$) 等價於 ($q$ 與 $p$)

結合律 (1)｜$p \lor (q \lor r) \Rightarrow (p \lor q) \lor r$｜$p$ 或 ($q$ 或 $r$) 等價於 ($p$ 或 $q$) 或 $r$

結合律 (2)｜$p \land (q \land r) \Rightarrow (p \land q) \land r$｜$p$ 與 ($q$ 與 $r$) 等價於 ($p$ 與 $q$) 與 $r$

分配律 (1)｜$p \land (q \lor r) \Rightarrow (p \land q) \lor (p \land r)$｜$p$ 與 ($q$ 或 $r$) 等價於 ($p$ 與 $q$) 或 ($p$ 與 $r$)

分配律 (2)｜$p \lor (q \land r) \Rightarrow (p \lor q) \land (p \lor r)$｜$p$ 或 ($q$ 與 $r$) 等價於 ($p$ 或 $q$) 與 ($p$ 或 $r$)

雙重否定律｜$p \Rightarrow \neg\neg p$｜$p$ 等價於非 $p$ 的否定

換位律｜$(p \rightarrow q) \Rightarrow (\neg q \rightarrow \neg p)$｜如果 $p$ 則 $q$ 等價於如果非 $q$ 則非 $p$

實質蘊涵律（蘊析律）｜$(p \rightarrow q) \Rightarrow (\neg p \lor q)$｜如果 $p$ 則 $q$ 等價於要麼非 $p$ 要麼 $q$

實質等價律 (1)｜$(p \leftrightarrow q) \Rightarrow (p \rightarrow q) \land (q \rightarrow p)$｜($p$ 當且僅當 $q$) 意味著，(如果 $p$ 是真則 $q$ 是真) 與 (如果 $q$ 是真則 $p$ 是真)

實質等價律 (2)｜$(p \leftrightarrow q) \Rightarrow (p \land q) \lor (\neg q \land \neg p)$｜($p$ 當且僅當 $q$) 意味著，要麼 ($p$ 與 $q$ 都是真) 要麼 ($p$ 和 $q$ 都是假)

輸出律｜$(p \land q) \rightarrow r \Rightarrow p \rightarrow (q \rightarrow r)$｜從 (如 $p$ 與 $q$ 是真則 $r$ 是真) 可推出 (如果 $q$ 是真則 $r$ 為真的條件是 $p$ 為真)

輸入律｜$p \rightarrow (q \rightarrow r) \Rightarrow (p \land q) \rightarrow r$｜如果 $p$，則 ($q$ 為真時，$r$ 為真) 可推出如果 ($p$ 與 $q$) 為真，則 $r$ 為真

重言式｜$p \Rightarrow (p \lor p)$｜$p$ 是真等價於 $p$ 是真或 $p$ 是真

排中律｜$(p \lor \neg p) \Rightarrow \text{True}$｜$p$ 或非 $p$ 是真

不分可識別性定律｜$(p = q) \land (p \rightarrow r) \Rightarrow (q \rightarrow r)$｜$p = q$ 且 (如果 $p$ 則 $r$) 等價於 (如果 $q$ 則 $r$)

吸收律｜$(p \rightarrow q) \Rightarrow (p \rightarrow (p \land q))$｜如果 $p$ 則 $q$，可以推出如果 $p$ 則 $p$ 且 $q$

## 公理化

更形式化地說，演繹是陳述的序列，每個陳述都可以從它前面的陳述推導出來。本質上，這導致了如何證明第一個句子的公開問題（因為它不能從任何事物得到）。公理化命題邏輯透過要求證明滿足下列條件來解決這個問題：

來自 wff 的全體 $\Sigma$ 的證明 $\alpha$ 是一個 wff 的有限序列：

$\beta_1, \dots, \beta_i, \dots, \beta_n$。

這裡的

$\beta_n = \alpha$。

並且對於每個 $\beta_i$ ($1 \le i \le n$)。

要麼 $\beta_i \in \Sigma$。

要麼 $\beta_i$ 是一個公理。

要麼 $\beta_i$ 是兩個前面的 $\beta_{i-g}$ 和 $\beta_{i-h}$ 的肯定前件之輸出。

不同版本的公理化命題邏輯都包含一些公理，通常是三個或多於三個，除了單個或更多的推理規則之外。例如弗雷格公理化的命題邏輯，它也是這種嘗試的第一個實例，有六個命題公理和兩個規則。伯特蘭·羅素和阿爾弗雷德·諾思·懷特黑德也提議了一個有五個公理的系統。

例如揚·武卡謝維奇版本的公理化命題邏輯，有接受如下公理的公理集合 $A$：

- PL1 $p \rightarrow (q \rightarrow p)$
- PL2 $(p \rightarrow (q \rightarrow r)) \rightarrow ((p \rightarrow q) \rightarrow (p \rightarrow r))$
- PL3 $(\neg p \rightarrow \neg q) \rightarrow (q \rightarrow p)$

並且它有一個規則的推理規則集合 $R$，這個規則就是下面的肯定前件：

- MP 從 $\alpha$ 與 $\alpha \rightarrow \beta$，推出 $\beta$。

推理規則允許我們從公理或給定的全體 $\Sigma$ 的 wff 推導出陳述。

## 自然演繹邏輯

在 E.J. Lemmon 提出的我們稱為系統 L 的一個版本的自然演繹邏輯中，我們首先沒有任何公理。我們只有支配證明的語法的九個基本規則。

系統 L 的九個基本規則是:

- 假定規則 (A)
- 肯定前件規則 (MPP)
- 雙重否定規則 (DN)
- 條件證明規則 (CP)
- ∧-介入規則 (∧I)
- ∧-除去規則 (∧E)
- ∨-介入規則 (∨I)
- ∨-除去規則 (∨E)
- 反證法規則 (RAA)

在系統 L 中，證明的定義有下列條件:

- 有一個 wff(合式公式)的有限序列
- 它的每行都被系統 L 的一個規則所證明
- 證明的最後一行是想要的(Q.E.D., quod erat demonstrandum, 是拉丁語: 這就是要證明的)，並且證明的最後一行只使用給出的前提；或者沒有前提（如果什麼都沒有給出的話）。

如果沒有前提給出，則相繼式叫做定理。所以在系統 L 中定理的定義是:

- 定理是在系統 L 中使用空的假定集合能證明的相繼式。

或者換句話說:

- 定理是在系統 L 中從假定的空集可以證明的相繼式。

相繼式的證明的一個例子(這裡是否定後件):

p → q, ¬q ├ ¬p 否定後件(MTT)

假定號｜行號｜公式(wff)｜使用的行和理由

1｜(1)｜(p → q)｜A

2｜(2)｜¬q｜A

3｜(3)｜p｜A (for RAA)

1,3｜(4)｜q｜1,3,MPP

1,2,3｜(5)｜q ∧ ¬q｜2,4,∧I

1,2｜(6)｜¬p｜3,5,RAA

Q.E.D.

相繼式證明的一個例子(這裡是一個定理):

├p ∨ ¬p

假定號｜行號｜公式(wff)｜使用的行和理由

1｜(1)｜¬(p ∨ ¬p)｜A (for RAA)

2｜(2)｜¬p｜A (for RAA)

2｜(3)｜(p ∨ ¬p)｜2, ∨I

1, 2｜(4)｜(p ∨ ¬p) ∧ ¬(p ∨ ¬p)｜1, 2, ∧I

1｜(5)｜¬¬p｜2, 4, RAA

1｜(6)｜p｜5, DN

1｜(7)｜(p ∨ ¬p)｜6, ∨I

1｜(8)｜(p ∨ ¬p) ∧ ¬(p ∨ ¬p)｜1, 7, ∧I

(9)｜¬¬(p ∨ ¬p)｜1, 8, RAA

(10)｜(p ∨ ¬p)｜9, DN

Q.E.D.

系統 L 的每行都有自己對輸入或進入的類型的要求，它可以接受並且擁有它自己的處理和計算於是它的輸入使用的假定的方式。

## 引用

- Jennings, R. E., Continuing Logic, the course book of Axiomatic Logic in Simon Fraser University, Vancouver, Canada
- Zarefsky, David, Argumentation: The Study of Effective Reasoning Parts I and II, The Teaching Company 2002