李導數

在微分幾何中，李導數（Lie derivative）是一個以索甫斯·李命名的算子，作用在流形上的張量場，向量場或函數，將該張量沿著某個向量場的流做方向導數。因為該作用在座標變換下保持不變，因此，該李導數在一般的流形上都是定義良好的。

所有李導數組成的向量空間對應於如下的李括號構成一個無限維李代數。

$$[A,B]\overset{def}{=} \mathcal{L}_A B - \mathcal{L}_B A$$

李導數用向量場表示，這些向量場可看作M上的流（flow, 也就是時變微分同胚）的無窮小生成元。從另一角度看，M上的微分同胚組成的群，有其對應的李導數的李代數結構，在某種意義上和李群理論直接相關。

## 定義

李導數有幾種等價的定義。在本節，為簡便起見，我們用標量場和向量場的李導數的定義開始。李導數也可定義在一般的張量上，如後面的章節所述。

李導數的定義可以從函數的微分開始。這樣，給定一個函數$f:M\rightarrow \mathbb{R}$和一個M上的向量場X , f在點$p\in M$的李導數定義為

$$\mathcal{L}_Xf(p)=df(p)\, [X(p)]$$

其中$df$是f的微分。也就是，$df:M\rightarrow T^*M$是由下式給出的1-形式

$df = \frac{\partial f} {\partial x^a} dx^a$.

這裡，$dx^a$是餘切叢$T^*M$的基向量。這樣，記號$df(p)\, [X(p)]$表示取f（在M中的點p）的微分和向量場X（在點p）的內積。

或者，可以先表明M上的光滑向量場X定義了一個M上的單參數曲線族。也就是，可以表明存在曲線$\gamma(t)$在M上使得

$$\frac{d\gamma}{dt}(t)=X(\gamma(t))$$

其中$p=\gamma(0)$對於所有M中的點p成立。這個一階常微分方程的解的存在性由皮卡-林德洛夫定理給出（更一般的，這種曲線的存在性是弗羅貝尼烏斯定理給出）。然後可以定義李導數為

$\mathcal{L}_Xf(p)=\frac{d}{dt} f(\gamma(t)) \vert_{t=0}$.

第三個可能的定義可以通過先定義一對向量場的李括號給出。首先注意到切空間的基向量可以寫為$\frac{\partial}{\partial x^a}$，所以一個向量場，用一組選定的基向量可以表示為

$$X=X^a \frac{\partial}{\partial x^a}$$

定義李括號$[X,Y]$為

$$[X,Y]= X^a \frac{\partial Y^b}{\partial x^a} \frac{\partial}{\partial x^b} - Y^a \frac{\partial X^b}{\partial x^a} \frac{\partial}{\partial x^b}$$

然後定義向量場Y的李導數等於X和Y的李括號，也就是。

$\mathcal{L}_X Y = [X,Y]$.

根據上面任選的一個定義，其他的定義可被證明為其等價形式。

例如，可以證明，對於一個可微函數f。

$$\mathcal{L}_X (f) = df(X) = X(f)$$

並且

$[X,Y]f = X(Y( f )) - Y(X( f ))$.

我們用在1-形式$\omega = \omega_a dx^a$上的李導數的定義來結束本節：

$\mathcal{L}_X \omega = \left(\frac{\partial \omega_b} {\partial x^a} X^a + \frac{\partial X^a} {\partial x^b} \omega_a \right) dx^b$.

## 性質

李導數有一些屬性。令$\mathcal{F}(M)$為流形M上的函數組成的代數。則

$$\mathcal{L}_X : \mathcal{F}(M) \rightarrow \mathcal{F}(M)$$

是一個在代數$\mathcal{F}(M)$上的導數。也就是。

$\mathcal{L}_X$是R-線性的，並且

$\mathcal{L}_X(fg)=(\mathcal{L}_Xf) g + f\mathcal{L}_Xg$.

類似的，它是$\mathcal{F}(M) \times \mathcal{X}(M)$上的一個導數，其中$\mathcal{X}(M)$是M上的向量場的集合：

$$\mathcal{L}_X(fY)=(\mathcal{L}_Xf) Y + f\mathcal{L}_X Y$$

也可寫為等價形式

$$\mathcal{L}_X(f\otimes Y)= (\mathcal{L}_Xf) \otimes Y + f\otimes \mathcal{L}_X Y$$

其中張量積符號$\otimes$用於強調函數和向量場的積在整個流形上取。

另外的性質和李括號的一致。所以，例如，作為向量場的導數。

$$\mathcal{L}_X [Y,Z] = [\mathcal{L}_X Y,Z] + [Y,\mathcal{L}_X Z]$$

容易發現上面就是雅可比恆等式。這樣，就可以得到「裝備了李括號的M上的向量空間是李代數」的重要結果。

## 和外導數的關係、微分形式的李導數

李導數和外導數密切相關，因此和埃里·嘉當的微分流形理論相關。

兩個都試圖給出導數的思想，其差別幾乎只是記號上的。這個區別可以通過引入反導數或等效的內積來消除。

這之後，兩者的關係就體現在一組恆等式上。

令M為一個流形，X為M上一個向量場。令$\omega \in \Lambda^{k+1}(M)$為一k+1-形式。

X和ω的內積為

$$i_X\omega (X_1,\ldots,X_k) = \omega (X,X_1,\ldots,X_k)$$

注意

$$i_X:\Lambda^{k+1}(M) \rightarrow \Lambda^k(M)$$

以及$i_X$是$\wedge$-反導數。也就是，$i_X$是R-線性的，並且

$$i_X (\omega \wedge \eta) = (i_X \omega) \wedge \eta + (-1)^k \omega \wedge (i_X \eta)$$

對於$\omega \in \Lambda^k(M)$和另一個微分形式η成立。另外，對於一個函數$f \in \Lambda^0(M)$，那是一個實或復值的M上的函數，有

$$i_{fX} \omega = fi_X\omega$$

外導數和李導數的關係可以總結為以下這些。對於一般函數f，李導數就是外導數和向量場的內積：

$$\mathcal{L}_Xf = i_X df$$

對於一般的微分流形，李導數類似於內積，加上X的變化：

$\mathcal{L}_X\omega = i_Xd\omega + d(i_X \omega)$.

當ω為1-形式，上述恆等式經常寫作

$$d\omega(X,Y)=X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y]).$$

導數的乘積是可分配的

$$\mathcal{L}_{fX}\omega = f\mathcal{L}_X\omega + df \wedge i_X \omega$$

## 張量場的李導數

在微分幾何中，如果我們有一個$(p,q)$階可微張量場（我們可以把它當作餘切叢$T^*M$的光滑截面$\alpha, \beta, \ldots$和切叢$TM$的截面$X, Y, \ldots$的線性映射$T (\alpha, \beta, \ldots, X, Y, \ldots )$），使得對於任何函數$f_1,\ldots,f_p,f_{p+1},\ldots,f_{p+q}$有

$T(f_1\alpha,f_2\beta,\ldots,f_{p+1}X,f_{p+2}Y,\ldots) = f_1 f_2 \cdots f_{p+1} f_{p+2} \cdots f_{p+q} T(\alpha,\beta,\ldots,X,Y,\ldots)$),

而且如果進一步有一個可微向量場（也就是切叢的一個光滑截面）$A$，則線性映射

$$(\mathcal{L}_{A}T)(\alpha, \beta, \ldots, X, Y, \ldots) \equiv \nabla_A T(\alpha,\beta,\ldots,X,Y,\ldots) - \nabla_{T(\cdot, \beta, \ldots, X, Y, \ldots)} \alpha(A) - \ldots + T(\alpha, \beta, \ldots, \nabla_X A, Y, \ldots) + \ldots$$

獨立於聯絡∇；只要它是無撓率的，事實上，這個映射是一個張量。這個張量稱為$T$關於$A$的李導數。

換句話說，如果你有一個張量場$T$和一個由向量場$U$給出的微分同胚的無窮小生成元，則$\mathcal{L}_{U} T$就是$T$在這個無窮小微分同胚下的無窮小變化。

或者，給定向向量場$U$，令ψ為$U$的積分曲線族，向上面那樣。注意ψ是一個局部單參數局部微分同胚群。令$\psi^*$為由ψ誘導的拉回（pullback）。則張量$T$在$p$點的李導數如下

$\mathcal{L}_U T = \frac{d}{dt}\left(\psi^*_t T\right) \vert_{\psi(t)=p}$.

## 參考

- Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2 See section 1.6.
- Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 2.2.
- David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, (1981), Addison-Wesley Publishing, ISBN 0-201-10096-7. See Chapter 0.