數學物理

數學物理是數學和物理學的交叉領域，指應用特定的數學方法來研究物理學的某些部分。對應的數學方法也叫數學物理方法。數學和物理學的發展在歷史上一直密不可分，許多數學理論是在物理問題的基礎上發展起來的；很多數學方法和工具通常也只在物理學中找到實際應用。不過，也只是互相參考而已，沒有所謂的一定。

## 範圍

數學物理有多個分支，大致對應特定歷史時期。

### 經典力學

將數學物理技術應用於經典力學，通常涉及用拉格朗日力學和哈密頓力學（包括有約束時的兩種方法）對牛頓力學進行嚴格抽象的重新表述。這兩種表述都體現在分析力學中，使人們理解動力系統動態演化過程中對稱性與守恆定律間的深刻相互作用，體系拿在諾特定理的最基本表述中。這些方法與思想已經推廣到物理學的其他領域，如統計力學、連續介質力學、經典場論、量子場論等。此外，它們還為微分幾何提供了很多例子與見解（如辛幾何與向量叢中的多個概念）。

### 偏微分方程

數學中，偏微分方程、變分法、傅立葉分析、位勢論、向量分析等也許與數學物理的聯繫最密切。18世紀下半葉（如讓·勒朗·達朗貝爾、萊昂哈德·歐拉、約瑟夫·拉格朗日）到1930年代，這些領域得到了蓬勃發展。發展的物理應用如流體力學、天體力學、連續介質力學、彈性理論、聲學、熱力學、電學、磁學與空氣動力學。

### 量子理論

原子光譜理論（及後來的量子力學）幾乎與線性代數、算子譜理論、算子代數、更廣泛的泛函分析等領域的某些部分同時發展。非相對論量子力學包括薛丁格算，與原子分子物理學有關。量子資訊理論是另一個分支學科。

### 相對論和量子相對論

狹義相對論和廣義相對論需要相當不同類型的數學，這就是群論，在量子場論和微分幾何中發揮重要作用。宇宙學和量子場論現象的數學描述中，拓撲學和泛函分析逐漸對其進行了補充。同調代數和範疇論的一些概念也很重要。

### 統計力學

統計力學是獨立領域，包括相變理論，依賴於哈密頓力學（或其量子版本），並與更數學的遍歷理論及機率論的某些部分密切相關。組合學與物理學，特別是統計物理學之間的互動日益頻繁。

## 用途

「數學物理」一詞的用法有時很特殊。最早來自物理學的一些數學部分並不被視作數學物理的一部分，例如常微分方程和辛幾何通常歸為純數學學科，動力系統與哈密頓力學之類則歸入數學物理。

### 數學物理與理論物理

「數學物理」有時用來指在數學嚴謹框架內研究物理問題與思想實驗的研究，這樣，數學物理涵蓋了非常廣的學術領域。雖然數學物理與理論物理學有關，這個意義上，數學物理強調類似於數學的物理嚴謹性。

另一方面，理論物理強調與觀測和實驗物理學的聯繫，往往要求理論物理學家（及更一般意義的數學物理學家）使用啟發式、直覺或近似的論證。而數學家並不認為這種論證是嚴謹的。

這種數學物理學家關注物理理論的推廣與闡述。由於對數學嚴謹性的要求，他們常常要處理理論物理學家認為已解決的問題，不過也能指出現有解決方法的不完善。例子如從統計力學推斷熱力學第二定律，狹義與廣義相對論中同步過程的微妙處（薩格納克效應與愛因斯坦同步法）。

將物理理論建立於嚴格數學基礎上的努力不僅發展了物理學，也影響了很多數學領域，例如量子力學的發展與泛函分析的很多方面並行不悖。量子力學、量子場論和量子統計力學的數學研究推動了算子代數的成果，對量子場論進行嚴格數學表述的嘗試也在表示論等領域取得進展。

## 著名數學物理學家

### 牛頓之前

對自然現象進行數學分析的傳統可追溯到古希臘時代，如歐幾里得《光學》、阿基米德《平面圖形的平衡或其重心》《論浮體》、托勒密《光學》《諧和論》等。後來伊斯蘭、拜占庭學者們在這些著作基礎上加以發展，L最終在12世紀和文藝復興重新引入了歐洲。

16世紀前十年，業餘天文學家尼古拉斯·哥白尼提出了日心說，並在1543年發表了相關論文，保留了托勒密的本輪，只構建更簡單的本輪軌道以簡化天文學。本輪包含很多個圓，而根據亞里斯多德物理學，圓是運動的完美形式，是亞里斯多德第五元素（以太）的內在運動，也是天體的純淨成分。第谷·布拉厄的助手約翰內斯·克卜勒（1571–1630）將哥白尼軌道修正為橢圓，形式化為克卜勒定律。

伽利略·伽利雷是狂熱的原子論者，在《試金者》（The Assayer，1623）中斷言「自然之書是用數學寫成的」。他在1632年出版的關於望遠觀測的書中支持日心說。引入實驗後，伽利略又通過反駁亞里斯多德物理學本身來駁斥地心宇宙學。《關於兩門新科學的論述》（1638）中確立了等距自由落體定律和慣性運動原理，為今日的經典力學奠定了核心概念。根據伽利略慣性定律和伽利略不變性原理（也稱伽利略相對論），對任何有慣性的物體，只能從經驗知道是處於相對靜止還是相對運動（相對於另一物體）。

勒內·笛卡爾以渦旋運動原理為基礎，發展出一套完整的日心宇宙學體系，這就是笛卡爾物理學，導致了亞里斯多德物理學的消亡。笛卡爾試圖將科學中的數學推理形式化，發展了笛卡爾坐標系以在三維空間中幾何地繪製位置圖，並在時間流中標記位置變化。

與牛頓同時代的克里斯蒂安·惠更斯是第一個通過一組參數將物理問題理想化的人，也是第一個將不可觀測物理現象的力學解釋完全數學化的人。因此，惠更斯被認為是第一位理論物理學家和現代數學物理的奠基人。

### 牛頓與後牛頓

微積分的重要概念（如微積分基本定理，1668年由蘇格蘭數學家詹姆斯·格雷果里證明、用費馬定理由微分求函數極值）在牛頓和萊布尼茨之前就已為人所知。艾薩克·牛頓（1642–1727）提出了微積分的一些概念（戈特弗里德·萊布尼茨在物理學之外也提出了類似概念），和解決物理問題用的牛頓法。將微積分應用於運動理論的嘗試取得了巨大成功，載於《自然哲學的數學原理》（1687），其中將三個伽利略運動定律和牛頓萬有引力定律建立在絕對空間的框架上——牛頓將其假定為歐氏結構向所有方向無限延伸的物理實體；還假定了絕對時間，假定絕對運動（物體相對於絕對空間的運動）合理。伽利略不變性/相對性隱含在牛頓運動理論中。表面上看，牛頓將克卜勒的天體運動和伽利略的地面運動歸結為一種統一的運動，從而實現了數學嚴謹，而在理論上顯得鬆懈。

18世紀，瑞士丹尼爾·伯努利（1700–1782）在流體力學和弦振動方面做出了貢獻。瑞士萊昂哈德·歐拉（1707–1783）在變分法、動力學、流體力學等領域做出了突出貢獻。法國籍義大利裔約瑟夫·拉格朗日（1736–1813）在分析力學（提出拉格朗日力學）和變分法方面的工作也很突出。愛爾蘭物理學家、天文學家與數學家威廉·哈密頓（1805-1865）提出了哈密頓力學，在現代物理理論（包括場論與量子力學）的形成中發揮了重要作用。法國數學物理學家約瑟夫·傅立葉（1768 – 1830）引入了傅立葉級數求解熱傳導方程式，從而產生了一種用積分變換求解偏微分方程的新方法。

到19世紀初，法國、德國與英國數學家相繼對數學物理做出貢獻。法國皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（1749–1827）在數學天文學、位勢論方面做出了重大貢獻。西梅翁·德尼·泊松（1781–1840）致力於分析力學和位勢論。在德國，卡爾·弗里德里希·高斯（1777–1855）對電學、磁學、力學和流體力學做出重要貢獻。在英國，喬治·格林（1793-1841）的《數學分析在電磁理論中的應用》（1828）除了對數學的重大貢獻，還在電學與磁學的數學基礎上取得了早期進展。

在牛頓發表光的粒子論前幾十年，荷蘭克里斯蒂安·惠更斯（1629–1695）提出了光的波動論（1690）。1804年，托馬斯·楊的雙縫實驗發現光的衍射，成為波動說的重要論據，惠更斯的以太說得到接受。奧古斯丁·菲涅耳對以太的假設行為進行了建模。英國物理學家麥可·法拉第引入了場的理論概念（而非遠距離作用）。19世紀中葉，蘇格蘭詹姆斯·克拉克·麥克斯韋（1831–1879）將電學和磁學歸結為麥克斯韋電磁場理論，後來精簡為麥克斯韋方程組。最初，人們發現光學是麥克斯韋場的結果，後來發現輻射與今日所謂電磁波譜也是這個電磁場的結果。

英國物理學家約翰·斯特拉斯（1842–1919）研究了聲音。愛爾蘭威廉·哈密頓（1805–1865）、喬治·斯托克斯（1819–1903）與開爾文勳爵（1824–1907）完成了多部重要著作：斯托克斯是光學和流體力學的領軍人物；開爾文在熱力學方面做出了重大發現；哈密頓在分析力學領域做出突出貢獻，開發出了哈密頓力學。他的德國同事數學家卡爾·雅可比（1804–1851）對這方法做出了非常重要的共線，特別是在正則變換方面。德國赫爾曼·馮·亥姆霍茲（1821–1894）在電磁學、波、流體、聲學領域做出重大貢獻。在美國，喬賽亞·威拉德·吉布斯（1839–1903）的開創性工作成為統計力學的基礎。德國路德維希·玻爾茲曼（1844-1906）取得了這領域的基礎理論成果，共同奠定了電磁理論、流體力學與統計力學的基礎。

### 相對論

到1880年代，出現了一個突出的悖論：麥克斯韋電磁場中的觀察者以近似恆定速度測量電磁場，而與觀察者相對於場中其他物體的速度無關。因此，雖然相對於電磁場，觀察者的速度會不斷丟失，但相對於電磁場中的其他物體，觀察者的速度卻保持不變。然而，在物體間的相互作用中，並沒有違反伽利略不變性的現象。由於麥克斯韋電磁場被模擬為以太的振動，時人推斷，在以太內運動會產生以太漂移，扭曲電磁場，這就解釋了觀察者速度的流失。伽利略變換是將參照系中位置轉換為另一參照系位置的數學過程，都發生於笛卡爾坐標系中；這過程被洛倫茲變換取代，得名於荷蘭亨德里克·洛倫茲（1853–1928）。

1887年，實驗家Michelson和Morley沒能探測到以太漂移。有人假設，進入以太的運動也會使以太縮短，如洛倫茲變換所模擬。據此假設，以太使電磁場在所有慣性系中都符合伽利略不變性，而牛頓運動定律則倖免。

奧地利物理學家、哲學家恩斯特·馬赫批評了牛頓假設的絕對空間。數學家亨利·龐加萊（1854–1912）甚至對絕對時間也提出質疑。1905年，皮埃爾·迪昂發表了對牛頓運動理論基礎的毀滅性批判。同年，阿爾伯特·愛因斯坦（1879–1955）發表了狹義相對論，通過摒棄以太，對電磁場不變性與伽利略不變性做出了新闡述。與牛頓的絕對時空相對，狹義相對論考慮的是相對時空，物體在運動過程中長度收縮、時間膨脹。

1908年，愛因斯坦的前數學教授赫爾曼·閔可夫斯基將三維空間與一維時間模型化，將時間軸視作第四個空間維度。愛因斯坦最初稱其為「多餘的學問」，但後來在廣義相對論中非常優雅地使用了閔可夫斯基時空，將不變性推廣到所有參考系，並將此歸功於當時已去世的閔可夫斯基。廣義相對論用廣義坐標取代了笛卡爾坐標，用引力場取代了牛頓假設的歐氏空間假想引力（即時超距作用）。引力場就是閔可夫斯基時空本身，即愛因斯坦以太的4維拓撲，以洛倫茲流形為模型，根據黎曼曲率張量幾何地彎曲。牛頓引力的概念：「兩質量相互吸引」代以幾何論證：在質能附近，「質量改變了時空曲率，有質量的自由粒子沿時空間的測地線運動」。（1850年代，高斯和伯恩哈德·黎曼為尋找內蘊幾何與非歐幾何，已經提出了黎曼幾何。）狹義相對論下，即便是無質能量也會通過質能等價局部扭曲4維時空，產生引力效應。

### 量子

20世紀另一革命性進展是量子理論，源於馬克斯·普朗克（1856–1947）關於黑體輻射的開創性貢獻與愛因斯坦對光電效應的研究。1912年，數學家亨利·龐加萊發表了《量子理論研究》（Sur la théorie des quanta）。他在這篇論文中首次提出了量子化的形式定義。早期量子物理的發展遵循阿諾爾德·索末菲（1868–1951）和尼爾斯·玻爾（1885–1962）設計的啟發式框架，很快被馬克斯·玻恩（1882–1970）、維爾納·海森堡（1901–1976）、保羅·狄拉克（1902–1984）、埃爾溫·薛丁格（1887–1961）、薩特延德拉·納特·玻色（1894–1974）、沃爾夫岡·泡利（1900–1958）發展的量子力學所取代。這一革命性理論框架基於對狀態、演化與測量的機率解釋，即無限維向量空間上的自伴算子。這空間稱作希爾伯特空間（數學家大衛·希爾伯特（1862–1943）、埃哈德·施密特（1876–1959）、里斯·弗里傑什（1880–1956）為尋求歐氏空間的推廣與研究積分方程而引入）。約翰·馮·諾依曼在《量子力學的數學基礎》中嚴格定義了公理化的現代版本，並建立了希爾伯特空間現代泛函分析的相關部分——譜理論（大衛·希爾伯特引入，研究了無窮多變量的二次型。多年後，人們發現譜理論與氫原子光譜有關，他對這應用非常驚訝）。保羅·狄拉克用代數構造為電子建立了相對論模型，預言了電子的磁矩及其反粒子——正電子的存在。

## 主要內容

- 微分方程的解算：很多物理問題，比如在經典力學和量子力學中求解運動方程，都可以被歸結為在一定邊界條件下的對微分方程的求解。因此求解微分方程成為數學物理的最重要組成部分。相關的數學工具包括：
- 常微分方程的求解
- 偏微分方程的求解
- 特殊函數
- 積分變換
- 複變函數論
- 場的研究（場論）：場是現代物理的主要研究對象。電動力學研究電磁場；廣義相對論研究引力場；規範場論研究規範場。對不同的可使用不同的數學工具，包括：
- 矢量分析
- 張量分析
- 微分幾何
- 代數幾何
- 拓樸學
- 對稱性的研究：對稱性是物理中的重要概念。它是守恆律的基礎，在晶體學和量子場論中都有重要應用。對稱性由對稱群或相關的代數結構描述，研究它的數學工具是：
- 群論
- 表示論
- 作用量（action）理論：作用量理論被廣泛應用於物理學的各個領域，例如分析力學和路徑積分。相關的數學工具包括：
- 變分法
- 泛函分析

## 閱讀更多

### 本科生教材

- , ( Mathematical Methods for Physicists, Solutions for Mathematical Methods for Physicists (7th ed.), archive.org)
- Hassani, Sadri (2009), Mathematical Methods for Students of Physics and Related Fields, (2nd ed.), New York, Springer, eISBN 978-0-387-09504-2