三角形

三角形，又稱三邊形，是由三條線段順次首尾相連，或不共線的三點兩兩連接，所組成的一個閉合的平面幾何圖形，是最基本和最少邊的多邊形。

一般用大寫英語字母$A$、$B$和$C$為三角形的頂點標號；用小寫英語字母$a$、$b$和$c$表示邊；用$\alpha$、$\beta$和$\gamma$給角標號，又或者以$\angle ABC$這樣的頂點標號來表示。

## 分類

### 以角度分類

銳角三角形｜鈍角三角形｜直角三角形

#### 銳角三角形

銳角三角形的所有內角均為銳角。

#### 鈍角三角形

鈍角三角形是其中一角為鈍角的三角形，其餘兩角均小於90°。

#### 直角三角形

有一個角是直角（90°）的三角形為直角三角形。成直角的兩條邊稱為「直角邊」（cathetus），直角所對的邊是「斜邊」（hypotenuse）；或最長的邊稱為「弦」，底部的一邊稱作「勾」（又作「句」），另一邊稱為「股」。斜邊乘上斜邊上的高÷2=勾股相乘÷2=此直角三角形面積（ch=ab）

#### 三角函數

直角三角形各邊與角度的關係，可以三角比表示。

### 以邊長分類

不等邊三角形｜等邊三角形｜等腰三角形

#### 不等邊三角形

三條邊邊長皆不相等的三角形稱為不等邊三角形。

#### 等邊三角形

等邊三角形（又稱正三角形），為三邊相等的三角形。其三個內角相等，均為60°。它是銳角三角形的一種。設其邊長是 $a$，則其面積公式為 $\frac{a^2\sqrt3}{4}$。

等邊三角形是正四面體、正八面體和正二十面體這三個正多面體面的形狀。六個邊長相同的等邊三角形可以拼成一個正六邊形。

#### 三角形的對邊

對邊是指一個角對面的那條邊。比如∠A的對邊就是BC，∠B的對邊就是AC，∠C的對邊就是AB。

對邊測量是全站儀的一種專項測量功能，它可以間接測量兩個不可通視點之間的水平距離。該方法設站靈活，操作簡單，但它的測量精度沒有標註，需要通過計算求得。

#### 等腰三角形

等腰三角形是三條邊中有兩條邊相等（或是其中兩隻內角相等）的三角形。等腰三角形中的兩條相等的邊被稱為「腰」，而另一條邊被稱為「底邊」，兩條腰交叉組成的那個點被稱為「頂點」，它們組成的角被稱為「頂角」。

等邊三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。

令其底邊是 $b$，腰是 $a$，則其面積公式為 $\frac{1}{4}{b\sqrt{4a^2-b^2}}$ 等腰三角形的對應高，角平分線和中線重合。

#### 退化三角形

退化三角形是指面積為零的三角形。滿足下列條件之一的三角形即可稱為退化三角形：三個內角的度數為(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°)；三邊其中一條邊的長度為0；一條邊的長度等於另外兩條之和。有人認為退化三角形並不能算是三角形，這是由於它介乎於三角不等式之間，在一些資料中已否定了其中一條邊等於其餘兩條邊之和的情況。

## 勒洛三角形

勒洛三角形（Reuleaux triangle），也譯作萊洛三角形或弧三角形，又被稱為劃粉形或曲邊三角形，是除了圓形以外，最簡單易懂的勒洛多邊形，一個定寬曲線。將一個曲線圖放在兩條平行線中間，使之與這兩平行線相切，則可以做到：無論這個曲線圖如何運動，只要它還是在這兩條平行線內，就始終與這兩條平行線相切。這個定義由十九世紀的德國工程師弗朗茨·勒洛命名。

## 一般性質

### 三角不等式

- 三角邊長不等式
- 三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差的絕對值小於第三邊。如果兩者相等，則是退化三角形。
- 三角內外角不等式
- 三角形任意一個外角大於不相鄰的一個內角。

### 角度

- 三角形外角
- 三角形兩內角之和，等於第三角的外角。
- 三角形內角和
- 在歐幾里德平面內，三角形的內角和等於180°。

### 勾股定理

勾股定理，又稱畢氏定理或畢達哥拉斯定理。其斷言，若直角三角形的其中一邊 $c$ 為斜邊，即 $c$ 的對角 $\gamma =90^\circ$，則

$a^2 + b^2 = c^2$。

勾股定理的逆定理亦成立，即若三角形滿足

$a^2 + b^2 = c^2$。

則

$$\gamma =90^\circ$$

### 正弦定理

設 $R$ 為三角形外接圓半徑，則

$$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}=2R$$

### 餘弦定理

對於任意三角形：

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cdot\cos\alpha,$$

$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cdot\cos\beta,$$

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot\cos\gamma.$$

勾股定理是本定理的特殊情況，即當角 $\alpha=90^\circ\,$ 時， $\cos\alpha=0$，於是 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cdot\cos\alpha$ 化簡為 $a^2 = b^2 + c^2$。

## 全等及相似

### 全等三角形

三角形具有穩定性，若二個三角形有以下的邊角關係確定後，它的形狀、大小就不會改變，二個三角形即為全等三角形。全等三角形的判斷準則有以下幾種：

- SSS（Side-Side-Side，邊、邊、邊）：各三角形的三條邊的長度都對應地相等。
- SAS（Side-Angle-Side，邊、角、邊）：各三角形的其中兩條邊的長度都對應地相等，且兩條邊夾著的角都對應地相等。
- ASA（Angle-Side-Angle，角、邊、角）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且兩個角夾著的邊都對應地相等。
- RHS（Right Angle-Hypotenuse-Side，直角、斜邊、邊）：在直角三角形中，斜邊及一條直角邊對應地相等。
- AAS（Angle-Angle-Side，角、角、邊）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且其中一組對應角的對邊也對應地相等。

SSA（Side-Side-Angle、邊、邊、角）不能保證兩個三角形全等，除非該角大於等於90°，此時可以保證全等。

### 相似三角形

- AA（Angle-Angle，角、角）：各三角形的其中兩個角的都對應地相等。（或稱AAA（Angle-Angle-Angle，角、角、角））
- 三邊成比例（3 sides proportional）：各三角形的三條邊的長度都成同一比例。
- 兩邊成比例且夾角相等（ratio of 2 sides, inc.∠）：各三角形的兩條邊之長度都成同一比例，且兩條邊之夾角都對應地相等。（或稱 2 sides proportional, inc. ∠ equal）

## 特殊線段

三角形中有著一些特殊線段，是三角形研究的重要對象。

- 中線（median）：三角形一邊中點與這邊所對頂點的連線段。
- 高線（altitude）：從三角形一個頂點向它的對邊所作的垂線段。
- 角平分線（angle bisector）：平分三角形一角、一個端點在這一角的對邊上的線段。
- 垂直平分線（perpendicular bisector）：通過三角形一邊中點與該邊所垂直的線段，又稱中垂線。

以上特殊線段，每個三角形均有三條，且三線共點。

### 中線長度

設在$\Delta ABC\,$中，若三邊$a$、$b$、$c \,$的中線分別為$m_a$、$m_b$、$m_c$，則：

$$m_a = \sqrt{\frac{1}{2} b^2 + \frac{1}{2} c^2 - \frac{1}{4} a^2}$$

$$m_b = \sqrt{\frac{1}{2} a^2 + \frac{1}{2} c^2 - \frac{1}{4} b^2}$$

$$m_c = \sqrt{\frac{1}{2} a^2 + \frac{1}{2} b^2 - \frac{1}{4} c^2}$$

### 高線長度

設在$\Delta ABC\,$中，連接三個頂點$A$、$B$、$C$上的高分別記作$h_a$、$h_b$、$h_c$，則：

$$h_a=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{a}$$

$$h_b=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{b}$$

$$h_c=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{c}$$

其中 $s=\frac{a+b+c}{2}$。

### 角平分線長度

設在$\Delta ABC\,$中，若三個角$A$、$B$、$C$的角平分線分別為$t_a$、$t_b$、$t_c$，則：

$$t_a=\frac{1}{b+c}\sqrt{\left(b+c+a \right)\left(b+c-a \right)bc}$$

$$t_b=\frac{1}{a+c}\sqrt{\left(a+c+b\right)\left(a+c-b \right)ac}$$

$$t_c=\frac{1}{a+b}\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(a+b-c \right)ab}$$

## 三角形的心

三角形的內心(Incenter)、外心(Circumcenter)、垂心(Orthocenter) 及形心(Centroid)稱為三角形的四心，定義如下：

名稱｜定義｜圖示｜備註

內心｜三個內角的角平分線的交點｜該點為三角形內切圓的圓心。

外心｜三條邊的中垂線的交點｜該點為三角形外接圓的圓心。

垂心｜三條高線的交點

形心（重心）｜三條中線的交點｜被交點劃分的線段比例為1:2（靠近角的一段較長）。

關於三角形的四心，有這樣的一首詩：

垂心（藍）、形心（黃）和外心（綠）能連成一線，且成比例1:2，稱為歐拉線，與九點圓的圓心（紅）四點共線，為垂心和形心線段的中點。

連同以下的旁心，合稱為三角形的五心：

名稱｜定義｜圖示｜備註

旁心｜外角的角平分線的交點｜有三個，為三角形某一邊上的旁切圓的圓心。

## 外接圓和內切圓半徑

設外接圓半徑為$R$，內切圓半徑為$r$，則：

$$R=\frac{abc}{\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(b+c-a \right)\left(a+c-b \right)\left(a+b-c \right)}}=\frac{abc}{4 \triangle}$$

$$r=\frac{\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(b+c-a \right)\left(a+c-b \right)\left(a+b-c \right)}}{2 \left(a+b+c \right)}=\frac{\triangle}{s}$$

其中$\triangle$為三角形面積；$s$為三角形半周長，$s=\frac{a+b+c}{2}$

## 面積

### 基本公式

三角形的面積 $A$ 是底邊 $b$ 與高 $h$ 乘積的一半，即：

$A=\frac{1}{2}bh$。

其中的高是指底邊與對角的垂直距離。

從右圖可知，將兩個全等三角形相拼，可得一平行四邊形。而將該平行四邊形分割填補，正好能得到一個面積等於 $bh$ 的長方形。

$A=\frac{1}{2}bh$。

證畢。

### 已知兩邊及其夾角

設 $a$ $b$ 為已知的兩邊， $\gamma$ 為該兩邊的夾角。

$A=\frac{1}{2}ab\sin{\gamma}$。

觀察右圖，根據正弦的定義：

$\sin \gamma = \frac{h}{a}$。

因此：

$h = a \sin \gamma$。

將此式代入基本公式，可得：

$A = \frac{1}{2} b (a \sin \gamma) = \frac{1}{2}ab\sin{\gamma}$。

證畢。

### 已知兩角及其夾邊

$\beta$、 $\gamma$ 為已知的兩角， $a$ 為該兩角的夾邊。

$A=\frac{a^2 \sin \beta \sin \gamma}{2 \sin (\beta + \gamma)}$。

從正弦定理可知：

$$\begin{align} \frac{b}{\sin \beta} & = \frac{a}{\sin \alpha} \\ b & = \frac{a \sin \beta}{\sin \alpha} \\ \end{align}$$

代入 $A=\frac{1}{2}ab\sin \gamma$，得：

$A = \frac{a^2 \sin \beta \sin \gamma}{2 \sin \alpha}$。

注意到$\alpha + \beta + \gamma= 180^\circ$，因此：

$$\begin{align} A & =\frac{a^2 \sin \beta \sin \gamma}{2 \sin [180^\circ - (\beta + \gamma)]} \\ & =\frac{a^2 \sin \beta \sin \gamma}{2 \sin (\beta + \gamma)} \\ \end{align}$$

證畢。

### 已知三邊長

海倫公式，其表示形式為：

$A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}$。

其中 $s$ 等於三角形的半周長，即：

$$s=\frac{a+b+c}{2}$$

秦九韶亦求過類似的公式，稱為三斜求積法：

$$A = \sqrt{\frac{1}{4} {\left[c^2a^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2}\right)^2\right]}}$$

也有用冪和來表示的公式：

$$\begin{align} A &= \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}\\ &= \frac{1}{4} \sqrt{2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}\\ \end{align}$$

將海倫公式略為變形，知

$$16 A^2=[(a+b)+c][(a+b)-c] \times [c+(a-b)][c-(a-b)]$$

多次使用平方差公式，得

$$\begin{align} 16 A^2 &=[(a+b)^2-c^2] \times [c^2-(a-b)^2]\\ &=[2ab+(a^2+b^2-c^2)]\times[2ab-(a^2+b^2-c^2)]\\ &=(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2\\ &=4a^2b^2-(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2-2b^2c^2-2a^2c^2)\\ &=(2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)\\ &=2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)\\ \end{align}$$

等號兩邊開根號，再同除以4，得

$$\begin{align} A &=\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}\\ <pre> &=\frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}\\ </pre> \end{align}$$

亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式：

$$16 \cdot A^2 =- \begin{vmatrix} <pre> 0 & a^2 & b^2 & 1\\ a^2 & 0 & c^2 & 1\\ b^2 & c^2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 0\\ </pre> \end{vmatrix}$$

基於海倫公式在三角形擁有非常小的角度時並不數值穩定，有一個變化的計法。設 $a \ge b \ge c$。

$A = \frac{1}{4} \sqrt{[a+(b+c)][c-(a-b)][c+(a-b)][a+(b-c)]}$。

設 $a$、 $b$、$c$為三角形三條邊， $\alpha$、 $\beta$、 $\gamma$ 為相應邊的對角。從餘弦定理可知：

$$\cos \gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$

以畢氏三角恆等式可得：

$\sin \gamma = \sqrt{1-\cos^2 \gamma} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}$。

將此式代入$A=\frac{1}{2}ab\sin{\gamma}$，得：

$A = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}$。

因式分解及簡化後可得：

$$A = \frac{1}{4} \sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}$$

代入$s=\frac{a+b+c}{2}$，即可證畢。

### 已知坐標系中三頂點坐標

由 $(x_1,y_1)$、 $(x_2,y_2)$ 及 $(x_3,y_3)$ 三個頂點構成的三角形，其面積可用行列式的絕對值表示：

$$A = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix}x_1 & y_1 & 1 \\x_2 & y_2 & 1 \\x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} \right|$$

無論三角形的頂點位置如何，該三角形總可以用一個直角梯形（或矩形）和兩個直角三角形面積的和差來表示，而在直角坐標系中，已知直角梯形（或矩形）和直角三角形的頂點的坐標，該三角形的面積容易求出，即用上述的行列式表示。

若三個頂點設在三維坐標繫上，即由 $(x_1,y_1,z_1)$、 $(x_2,y_2,z_2)$ 及 $(x_3,y_3,z_3)$ 三個頂點構成三角形，其面積等於各自在主平面上投影面積的畢氏和，即：

$$A = \frac{1}{2} \sqrt {\begin{vmatrix}x_1 & y_1 & 1 \\x_2 & y_2 & 1 \\x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix}y_1 & z_1 & 1 \\y_2 & z_2 & 1 \\y_3 & z_3 & 1 \end{vmatrix} ^2 + \begin{vmatrix}z_1 & x_1 & 1 \\z_2 & x_2 & 1 \\z_3 & x_3 & 1 \end{vmatrix}^2 }$$

### 已知周界及內切圓或外接圓半徑

設三角形三邊邊長分別為 $a$、 $b$ 及 $c$，三角形半周長（$\frac{a+b+c}{2}$）為 $s$，內切圓半徑為 $r$，則：

$$A = sr$$

若設外接圓半徑為 $R$，則：

$$A =\frac{abc}{4R}$$

內切圓半徑公式

根據右圖，設 $\overline{AB} = c$， $\overline{AC}=b$， $\overline{BC} = a$，則三角形面積可表示為：

$$\begin{align} A & = \frac{1}{2} ar + \frac{1}{2} br + \frac{1}{2} cr \\ & = \frac{r(a+b+c)}{2} \\ & = rs \end{align}$$

外接圓半徑公式

根據正弦定理：

$$\begin{align} \frac{c}{\sin \gamma} & = 2R \\ \sin \gamma & = \frac{c}{2R} \\ \end{align}$$

因此：

$$\begin{align} A & = \frac{1}{2}ab \sin \gamma \\ & = \frac{1}{2}ab \left( \frac{c}{2R} \right) \\ & = \frac{abc}{4R} \end{align}$$

### 已知兩邊向量

設從一角出發，引出兩邊的向量為 $\mathbf{a}$ 及 $\mathbf{b}$。

$$A = \frac{1}{2} |\mathbf{a} \times \mathbf{b} |$$

根據向量積定義，$|\mathbf{a} \times \mathbf{b} | = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin \gamma$。

其中 $\gamma$ 是兩支向量的夾角。

因此：

$$\frac{1}{2} |\mathbf{a} \times \mathbf{b} | = \frac{1}{2} |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin \gamma = A$$

證畢。

## 半角定理

在三角形$ABC\,$中，三個角的半角的正切和三邊有如下關係：

$$\begin{align} \tan{\frac{A}{2}} & = \sqrt{\dfrac{(a+c-b)(a+b-c)}{(a+b+c)(b+c-a)}} \\ \tan{\frac{B}{2}} & = \sqrt{\dfrac{(a+b-c)(b+c-a)}{(a+b+c)(a+c-b)}} \\ \tan{\frac{C}{2}} & = \sqrt{\dfrac{(b+c-a)(a+c-b)}{(a+b+c)(a+b-c)}} \\ \end{align}$$

以正弦及餘弦之比表示正切：

$$\tan\frac{A}{2}=\frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos\frac{A}{2}}$$

因為

$$\sin \frac{A}{2}>0$$

$$\tan \frac{A}{2}>0$$

所以

$$\sin \frac{A}{2}=\sqrt{ \frac{1-\cos{A}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}$$

$$=\sqrt{ \frac{a^2-{\left(b-c\right)}^2 }{4bc}}$$

$$=\sqrt{ \frac{\left(a+b-c\right) \left(a+c-b\right)}{4bc}}$$

而

$$\cos \frac{A}{2}=\sqrt{ \frac{1+\cos{A}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}$$

$$=\sqrt{ \frac{{\left(b+c\right)}^2-a^2 }{4bc}}$$

$$=\sqrt{ \frac{\left(b+c+a\right) \left(b+c-a\right)}{4bc}}$$

所以

$$\begin{align} \tan\frac{A}{2}&=\frac{\sin\frac{A}{2}}{\cos\frac{A}{2}}\\ &=\frac{\sqrt{\cfrac{(a+b-c)(a+c-b)}{4bc}}}{\sqrt{\cfrac{(b+c+a)(b+c-a)}{4bc}}}\\ &=\sqrt{\frac{(a+b-c)(a+c-b)}{(b+c+a)(b+c-a)}} \end{align}$$

同理可得

$$\tan \frac{B}{2}=\sqrt{\dfrac{(a+b-c)(b+c-a)}{(a+b+c)(a+c-b)}}$$

$$\tan \frac{C}{2}=\sqrt{\dfrac{(b+c-a)(a+c-b)}{(a+b+c)(a+b-c)}}$$

## 其他有關三角形的定理

- 外角定理
- 拿破崙三角形
- 費馬點
- 歐拉線
- 梅涅勞斯定理
- 樞紐定理
- 維維亞尼定理
- 莫雷角三分線定理

## 基本資料

- 邊：3
- 施萊夫利符號：{3}（正三角形時）
- 面積：有各種求面積的公式、見#面積一節
- 內角和：一百八十度