埃雷斯曼聯絡

微分幾何中，埃雷斯曼聯絡（Ehresmann connection）是應用於任意纖維叢的聯絡概念的一個版本。

特別的是，它可以是非線性的，因為一般的纖維叢上沒有合適的線性的概念。

它適用於主叢這一類特殊的纖維叢，通過聯絡形式表述，在這種情況聯絡至少是在一個李群的作用下等變。

埃雷斯曼聯絡以法國數學家夏爾·埃雷斯曼命名。

## 簡介

微分幾何中經典的協變導數是一個線性微分算子，它以協變的方式取向量叢中截面的方向導數，也能用來闡述在在特定向量方向上叢中截面為平行的概念：截面s沿著向量V平行，如果∇Vs = 0。所以一個協變導數提供了兩個觀念：微分算子以及各個方向上的平行。埃雷斯曼聯絡完全放棄了微分算子，並用截面在各個方向平行的含義來公理化一個聯絡。精確一點講，埃雷斯曼聯絡將纖維叢中的切叢的某些子空間指定為「水平空間」。如果 ds(V )處於水平空間中，則截面 s 是在 V 方向上是水平的（也即平行的）。在這裡，我們把 s 視為從底空間 M 映射到向量叢 E 的函數 s : M → E，且 ds : TM → s*TE 是向量的前推。水平空間組成 TE 的一個子向量叢。

如此一來直接的好處是它可以用於比向量叢一般得多的場合。特別是，它對於一般的纖維叢都是有定義的。而且，很多協變導數的特色得到了保留：平行移動，曲率和和樂。

然而此定義除了線性之外還失去了協變性。在經典協變導數中，協變性乃是導數的後驗特性。在構造過程中，要先指定「非協變」克氏記號的變換法則，才能給出符合協變的導數。對埃雷斯曼聯絡而言，可藉由引入作用在纖維叢裡纖維上的李群，來強加一個推廣的協變原則。恰當的條件就是要求水平空間在某種意義下對應於群作用等變。

埃雷斯曼聯絡的點睛之筆是它可以表達為一個微分形式，和聯絡形式的情況類似。若一個群作用在纖維上，並且聯絡等變，則該形式也是等變的。而且，該聯絡形式也允許用曲率形式來定義曲率。

## 纖維叢上的埃雷斯曼聯絡

令π : E → M為纖維叢。E上的埃雷斯曼聯絡由如下數據組成：

- 對於每一點x ∈ E，給定E在x點的切空間向量子空間 Hx ⊂ TxE。Hx稱為x點的水平空間。
- 隨著x的變化，Hx必須定義出一個E的切叢的光滑子叢。（特別是，H必須有常數維度。）
- 令V = ker(dπ : TE → TM)為由所有沿著E的纖維方向的切向量組成的鉛直叢。則Hx ∩ Vx = {0} 對於x ∈ E成立。
- 任何E的切向量必須可以分解為水平和鉛直分量: TE = H + V。（特別是，根據上面第3條，這是一個直和分解。）

用更加看似深奧的術語來講，滿足屬性1－4的這樣的一個對水平空間的設定，精確地對應於給定一個射叢 JE → E的光滑截面。

等價的有，令Φ為到鉛直叢V的投影。這可以由上述TE到水平和鉛直分量的直和分解得到。則Φ滿足：

- Φ2 = Φ
- Φ : TE → V是一個叢的滿射。

反過來，若Φ是滿足1和2的向量叢映射，則H = ker Φ定義了上述的一個埃雷斯曼聯絡的結構。

### 曲率

令Φ為一埃雷斯曼聯絡。則Φ的曲率為

$$R = \frac{1}{2}[\Phi,\Phi]$$

其中-,-表示Φ ∈ Ω1(E,TE)和它自己的Frölicher-Nijenhuis括號。這樣R ∈ Ω2(E,TE)就是一個E上取值在TE中的2－形式，定義為

$R(X,Y) = \Phi\left([(Id - \Phi)X,(Id - \Phi)Y]\right)$,

或者說

$R(X,Y) = [X_H,Y_H]_V$,

其中X = XH + XV代表到H和V分量的分解。從上式可以看出，曲率為0若且唯若水平子叢是弗羅貝尼烏斯可積的。這樣，曲率是否為0就是水平子叢能否構成纖維叢E → M的橫截面的可積性條件。

一個埃雷斯曼的曲率也滿足比安基恆等式（Bianchi identity）的一個擴展版本：

$$[\Phi, R] = 0$$

其中-,-仍然是Φ ∈ Ω1(E,TE)和R ∈ Ω2(E,TE)的Frölicher-Nijenhuis括號。

### 水平提升

埃雷斯曼聯絡也給出了將曲線從基流形 M 提升到纖維叢 E 的總空間並且使得曲線得切向量為水平向量的方式。這些水平提升是其它版本的聯絡表述中的平行移動的直接對應。

精確來講，設 γ(t) 為 M 中穿過點 P = γ(0) 的光滑曲線。令 e ∈ EP 為 P 上的纖維中的一點。γ 穿過 e 的一個提升就是一條曲線 $\tilde{\gamma}(t)$，它位於 E 中，並滿足

$\tilde{\gamma}(0)=e$，與 $\pi(\tilde{\gamma}(t)) = \gamma(t).$

提升是水平的，當曲線的每個切向量位於 TE 的水平子叢中：

$$\tilde{\gamma}'(t) \in H_{\gamma(t)}.$$

對π和Φ利用秩-零化度定理可以證明每個向量v ∈ TPM有唯一的水平提升$\tilde{v}\in T_eE$。特別是，γ的切向量場在拉回叢 γ-1E的總空間上產生一個水平向量場。利用皮卡定理，這個向量場是可積的。這樣，對於每個曲線γ和γ(0)的纖維上的一點e，對於足夠小的時間t總是存在唯一的穿過e的γ的水平提升。

### 完備性

埃雷斯曼聯絡允許曲線有局部水平提升。對於一個完備埃雷斯曼聯絡，曲線可以在整個定義域上水平提升。

### 和樂群

聯絡的平坦性局部對應於水平空間的弗羅貝尼烏斯可積性。在另一個極端，非零曲率表示了聯絡的和樂群的存在。

## 主叢

對於主G-叢 $E\to B$，每個$x\in E$，令$T_x(E)$代表在x的切空間，用$V_x$代表和纖維相切的鉛直子空間。則聯絡是對$T_x(E)$的水平子空間 $H_x$的指定，並要滿足

- $T_x(E)$是$V_x$和$H_x$的直和。
- $H_x$的分布在G在E上的作用下不變，也即$H_{ax}=D_x(R_a)H_{x}$對於任何$x\in E$

和$a\in G$成立，這裡$D_x(R_a)$代表a在x的群作用的微分。

- 分布$H_x$光滑地依賴於x。

使用射叢 $JE \rightarrow E$可以更加優美地表達這個定義。指定水平空間無非就是指定該射叢的一個光滑截面。

G的單參數子群鉛直作用於E上。該作用的微分允許我們可以講子空間$V_x$和G群的李代數g等同起來，譬如通過映射$\iota:V_x\to g$。

然後，聯絡形式就是$E$上的在g中取值的微分形式$\omega$，其定義為$\omega(X)=\iota\circ v(X)$ 其中$v$代表在$x \in E$的從$X \in T_x$到$V_x$的投影，且其核空間為$H_x$。

聯絡形式滿足如下兩個屬性：

- 聯絡在G作用下等變：$R_h^*\omega=\hbox{Ad}(h^{-1})\omega$ 對於所有h∈G成立。
- 聯絡將鉛直向量場映射為相應的李代數的元素：$\omega(X)=\iota(X)$對於所有X∈V成立。

反過來，可以證明這樣一個g-值1－形式在一個主叢上產生一個水平分布，滿足前面所說的屬性。

給定一個局部平凡化，可以將$\omega$（在該平凡化中）簡化為水平向量場。它通過拉回在B上定義了一個形式$\omega'$。該形式$\omega'$完全確定了$\omega$，但是它依賴於平凡化的選擇。（這個形式經常也稱為聯絡形式並也記為$\omega$。）

## 進階閱讀

- Bott, R. (1970) "Topological obstruction to integrability", Proc. Symp. Pure Math., 16 Amer. Math. Soc., Providence, RI.

## 參見條目

- 嘉當聯絡
- 仿射聯絡
- 曲率形式