孿生素數

孿生素數（twin prime），也稱為孿生素數、雙生質數，是指一對素數，它們之間相差2。例如3和5，5和7，11和13，2999和3001,10016957和10016959等等都是孿生素數。

關於孿生素數有著名的孿生素數猜想，即是否存在無窮多對孿生素數。這是數論中未解決的一個重要問題。哈代-李特爾伍德猜想是孿生素數猜想的一個增強形式，猜測孿生素數的分布與素數定理中描述的素數分布規律相類似。

與之相關的，兩者相差為1的素數對只有 (2, 3)；兩者相差為3的素數對只有 (2, 5)。

## 簡介

素數在自然數中的分布是不規則的。歐幾里得在他的著作《幾何原本》中首次證明了素數有無窮多個。十九世紀後，素數定理的證明給出了素數在自然數中大致的分布情況。根據素數定理，在前$N$個自然數裡，素數的個數大約是$\frac{N}{\ln N}$。也就是說前$N$個自然數裡，素數的比例是$\frac{1}{\ln N}$。因此，隨著$N$增大，前$N$個自然數裡，素數的比例會越來越小。事實上，給定一個自然數$n >1$，那麼連續的$n$個自然數：

$$(n+1)! + 2, (n+1)! + 3, \cdots (n+1)!+ (n+1)$$

都是合數。

是否越大的素數，兩兩之間就隔得越遠呢？實際上不然。在某些時候，兩個連續的素數之間只相差2。這樣的素數對就是孿生素數。

以下列出了最小的35對孿生素數（1000以內的孿生素數）（A001359及A006512)：

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109),

(137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313),

(347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661),

(809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

即使是大的素數，也有可能成為孿生素數。通過窮舉式的計算發現：在小於$10^{15}$的29,844,570,422,669個素數中，有1,177,209,242,304對孿生素數，占了3.94%。而且這些孿生素數並沒有表現出停止在某一個上限的趨勢。

截至2016年9月為止，已知最大的孿生素數為$2\ 996\ 863\ 034\ 895 \times 2^{1\ 290\ 000} \pm 1$，此數有388342位。

素數定理說明了素數在趨於無窮大時變得稀少的趨勢。而孿生素數，與素數一樣，也有相同的趨勢，並且這種趨勢比素數更為明顯。直覺上可以作如下的估計：在前$N$個自然數裡找一個數，它是素數的可能性大約是$\frac{1}{\ln N}$；所以在前$N$個自然數裡找一個數$p$，$p$和$p+2$都是素數的可能性大約是$\frac{1}{\ln^2 N}$。當然，這種推算只能是直覺上的猜測，而不是嚴謹的證明，因為素數的排列是已知的，而不是機率上的事件。

### 哈代-李特爾伍德猜測

1921年，英國數學家哈代和李特爾伍德也做出了類似的猜測。他們提出以下的猜想：設$\pi_2(N)$為前$N$ 個自然數裡孿生素數的個數。那麼

$$\pi_2(N) \approx \int_{2}^{N}\frac{dt}{(\ln t)^2} \approx 2 C_{twin} \ \frac{N}{\ln^2 N}$$

其中的常數$C_{twin}$是所謂的孿生素數常數：

$$\begin{align} C_{twin} &= \left( 1 - \frac{1}{2^2} \right) \left( 1 - \frac{1}{4^2} \right) \left( 1 - \frac{1}{6^2} \right) \left( 1 - \frac{1}{10^2} \right) \cdots \ = \prod_{p > 2} \left[ 1 - \frac{1}{(p-1)^2} \right] \\ &= 0.6601618158468695739278121 \ldots \end{align}$$

其中的$p$表示素數。

### 孿生素數猜想

哈代和李特爾伍德的猜測實際上是存在已久的孿生素數猜想的加強版。孿生素數猜想是指「孿生素數有無窮多個」。這個猜想至今仍未被證明。然而，哈代和李特爾伍德的猜測並不是需要建立在孿生素數猜想成立的前提上。很多時候，對於無法證明的命題，數學家會嘗試證明比它更強或更為廣泛的命題，從而解決原來的命題。例如數學家安德魯·懷爾斯就是證明了比費馬最後猜想更廣泛的命題，從而完成了費馬最後猜想的證明。

2013年5月14日，《自然》雜誌報導，數學家張益唐證明存在無窮多個素數對相差（上界）都小於7000萬。論文已被《數學年刊》（Annals of Mathematics）接受。, 素數對之差被縮小為$\leq 246$。

## 性質

孿生素數猜想也可以用另一種形式表達：

自然數2可以表示為無窮多個素數對（$p_1, p_2$）的差：$2=p_1-p_2$。

1920年代，通過使用著名的篩法，也就是基於埃拉托斯特尼篩法的技巧，挪威的瑋哥·布朗證明了2能表示成兩個最多有9個素數因子的數的差。這個結論已經有些近似於孿生素數猜想了。可以看到，只要將這個證明中的「最多有9個素數因子的數」改進到「最多有1個素數因子的數」，就可以證明孿生素數猜想了。利用同樣的方法，布朗證明了所有偶數都能表達成兩個最多有9個素數因子的數的和，也就是所謂的「9+9」。這個思路被不少數學家沿用，1966年陳景潤利用篩法證明了「1+2」。基於陳景潤的工作，也可以證明2有無限多種方法表示成一個素數和一個最多有兩個素數因子的數的差。

布朗為了證明孿生質猜想而開發了布朗篩法，這種篩法對篩法的發展及質數研究都造成了深遠的影響。

### 布朗常數

布朗的另一個結論，是發現所有孿生素數的倒數之和收斂，即收斂到布朗常數$B_2$：

$$\left( \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{11} + \frac{1}{13} \right) + \left( \frac{1}{17} + \frac{1}{19} \right) + \cdots = B_2$$

$B_2$的值大約在1.9與2之間。與之相對的，所有素數的倒數之和是發散的。由於孿生素數的倒數之和收斂，所以無法依此證明孿生素數有無限個。

布朗還發現了孿生素數數量的一個上限。他證明了：

$$\pi_2(x) < \frac{100 x }{\ln^2 x}$$

也就是說，當$x$足夠大的時候，小於$x$的孿生素數的數量比起小於$x$的素數的數量是可以忽略不計的。1987年的一個結果改進了這個上限：

$$\pi_2(x) < \frac{7.1 C_{twin} x }{\ln^2 x \left( \frac{1 + C' \ln\ln x }{\ln x} \right)}$$

其中$C'$是一個常數。1998年上限中的7.1被改進為6.833。

### 必要條件

孿生素數還必須滿足一些必要的條件，比如：

- 大於3的孿生素數可以表示成$(6n-1, 6n+1)$，其中$n$為一個自然數。除了$n=1$的情形，$n$必須以0，2，3，5，7或8結尾。
- 可以證明：$(m,m+2)$是孿生素數，若且唯若

$4[(m-1)! + 1] +m = 0 \mod [m(m+2)]$

### 統計分析

統計分析所有小於$4.35 \times 10^{15}$的孿生素數，可以得到小於$x$的素數對的個數是$\frac{x\cdot f(x)}{(\log x)^2}$。當$x$較小時，$f(x)$大約為 1.7，當$x$較大時大約為 1.3。這個值和$2 C_{twin}= 1.3203236 \ldots$相近。

## 多元組

孿生素數的概念可以擴展到多元組，即由多個間隔為2的素數構成的序列。由於三個相鄰奇數總有一個能被3整除，不可能是素數，因此 (3, 5, 7) 是唯一的孿生素數三元組。而且由於更多元素構成的孿生素數多元組必定包含三元組的結構，因此多於三個元素的孿生素數多元組不存在。

### 多項式公式

以下的多項式時由維也納大學數學系教授克里斯多夫·巴薩（Christoph Baxa）提出的，基於丟番圖不定方程理論。

$$\begin{align} P &= (k+2) \left[ 1 - (wz+h+j-q)^2 - \left( (g+1)(h+j) + h - z \right)^2 - (p + q + z + 2n - e)^2 \right. \\ &- \left( e^3 (e+2)(a+1)^2 +1 - o^2 \right)^2 - \left( (a^2 - 1)(n+v+l)^2 +1 - x^2 \right)^2 \\ &- \left( ((a+u^2(u^2 - a))^2 - 1)(n +4d(n+l+v))^2 +1 - (x+cu)^2 \right)^2 - \left( (a^2 - 1)l^2 +1 - m^2 \right)^2 \\ &- \left( p + l(a - n - 1) + b(2a(n+1) - (n+1)^2 - 1) - m \right)^2 - \left( 16(a^2 - 1)(n+v+l)^2 +1 - x^2 \right)^2\\ &- \left( q + (n+l+v)(a - p - 1) + s(2a(p+1) - (p+1)^2 - 1) - x \right)^2 \\ &- \left( z + pl(a - p) + t(2ap - p^2 - 1) - pm \right)^2 - \left( 16(k + 1)^3(k+2)(n + 1)^2 + 1 - f^2 \right)^2 \\ &- \left. \left(k + 1 - ia - i - l \right)^2 - \left( 4g + k +10 - y(k + 2)(k + 4) \right)^2 \right] \end{align}$$

其中有二十六個不定量$a, b, c, \cdots , y, z$。當這二十六個變量取遍所有的自然數的時候，這個多項式的取值中正數的部分就會取遍所有孿生素數對$(p, p+2)$中的$p$。

## 大眾文化

義大利作家保羅·裘唐諾的小說《質數的孤獨》即是以孿生質數現象，比喻故事中相愛的男女主角牽攣乖隔的處境。

1994年10月，美國弗吉尼亞州林奇堡大學數學系教授托馬斯·尼科利（Thomas Nicely）在研究布朗常數時曾使用包括66 MHz Intel Pentium處理器的電腦對布朗常數進行計算，但用包括66 MHz Intel Pentium處理器的電腦處理長除法時一直出錯。他用一個數字去除以824,633,702,441時，答案一直是錯誤的，而這使得奔騰浮點除錯誤受到揭發，進而造成Intel的公關災難，並導致英特爾在1994年受到4.75億美元的損失。