正態分布

$\mu$數學期望（實數）$\sigma^2>0$方差（實數）

$$x \in (-\infty;+\infty)\!$$

$$\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!$$

$$\frac12 \left(1 + \operatorname{erf} \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!$$

$$\mu$$

$$\mu$$

$$\mu$$

$$\sigma^2$$

$$\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!$$

$$M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\sigma^2 \frac{t^2}{2}\right)$$

$$\phi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$$

$$N(\mu, \sigma^2)$$

常態分布（normal distribution），物理學中通稱高斯分佈（Gaussian distribution），是一個非常常見的連續機率分布。正態分布在統計學上十分重要，經常用在自然和社會科學來代表一個不明的隨機變量。

若隨機變數$X$服從一個平均數為$\mu$、標準差為$\sigma$的正態分布，則記為：

$X \sim N(\mu,\sigma^2),$

則其機率密度函數為$f(x) = \frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} } \!$

正態分布的數學期望值或期望值$\mu$,可解釋為位置參數，決定了分布的位置；其方差$\sigma^2$的平方根或標準差$\sigma$可解釋尺度參數，決定了分布的幅度。

中心極限定理指出，在特定條件下，一個具有有限均值和方差的隨機變量的多個樣本(觀察值)的平均值本身就是一個隨機變量，其分布隨著樣本數量的增加而收斂於正態分布。因此，許多與獨立過程總和有關的物理量，例如測量誤差，通常可被近似為正態分布。

正態分布的機率密度函數曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為鐘形曲線（類似於寺廟裡的大鐘，因此得名）。我們通常所說的標準正態分布是位置參數$\mu = 0$，尺度參數$\sigma^2 = 1$的正態分布（見右圖中紅色曲線）。

## 概要

正態分布是自然科學與行為科學中的定量現象的一個方便模型。各種各樣的心理學測試分數和物理現象比如光子計數都被發現近似地服從正態分布。儘管這些現象的根本原因經常是未知的，理論上可以證明：如果把許多小作用加起來看做一個變量，那麼這個變量服從正態分布（在R.N.Bracewell的Fourier transform and its application中可以找到一種簡單的證明）。正態分布出現在許多區域統計：例如，採樣分布均值是近似正態分布的，即使被採樣的樣本的原始群體分布並不服從正態分布。另外，正態分布資訊熵在所有的已知均值及方差的分布中最大，這使得它作為一種均值以及方差已知的分布的自然選擇。正態分布是在統計以及許多統計測試中最廣泛應用的一類分布。在機率論，正態分布是幾種連續以及離散分布的極限分布。

### 歷史

正態分布最早由棣莫弗於1733年在研究二項分布時提出，相關內容後收錄於其著作《機會論》（1718年初版，後續版本增補）。當二項隨機變數的位置參數n很大及形狀參數 $p$ 為 $\frac{1}{2}$ 時，則所推導出二項分布的近似分布函數就是正態分布。拉普拉斯在1812年發表的《分析機率論》（Theorie Analytique des Probabilites）中對棣莫佛的結論作了擴展到二項分布的位置參數為 $n$ 及形狀參數為 $1>p>0$ 時。現在這一結論通常被稱為棣莫佛－拉普拉斯定理。

拉普拉斯在誤差分析試驗中使用了正態分布。勒讓德於1805年引入最小二乘法這一重要方法；而高斯則宣稱他早在1794年就使用了該方法，並通過假設誤差服從常態分布給出了嚴格的證明。

將正態分布稱作「鐘形曲線」的習慣可以追溯到Jouffret他在1872年首次提出此術語（Bell curve）用來指代二元常態分布。正態分布這個名字也在1875分別被查爾斯·皮爾士、法蘭西斯·高爾頓、威爾赫姆·萊克希斯獨立地使用。然而這個術語具有誤導性，因為它反映和鼓勵了一種謬誤，即很多機率分布都是常態的。（請參考下面的「實例」）

這個分布被稱為「常態」或者「高斯」正好是史蒂格勒名字由來法則的一個例子，這個法則說「沒有科學發現是以它最初的發現者命名的」。

## 正態分布的定義

有幾種不同的方法用來說明一個隨機變量。最直觀的方法是機率密度函數，這種方法能表示隨機變量每個取值有多大的可能性。累積分布函數是一種機率上更加清楚的方法，請看下邊的例子。還有一些其他的等價方法，例如cumulant、特徵函數、動差生成函數以及cumulant-生成函數。這些方法中有一些對於理論工作非常有用，但是不夠直觀。請參考關於機率分布的討論。

### 機率密度函數

正態分布的機率密度函數均值為$\mu$ 方差為$\sigma^2$ (或標準差$\sigma$)是高斯函數的一個實例：

$f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \, \exp \left( -\frac{(x- \mu)^2}{2\sigma^2} \right)$。

(請看指數函數以及$\pi$.)

如果一個隨機變量$X$服從這個分布，我們寫作$X$ ~ $N(\mu, \sigma^2)$.

如果$\mu = 0$並且$\sigma = 1$，這個分布被稱為標準正態分布，這個分布能夠簡化為

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \, \exp\left(-\frac{x^2}{2} \right)$。

右邊是給出了不同參數的正態分布的函數圖。

正態分布中一些值得注意的量：

- 密度函數關於平均值對稱
- 平均值與它的眾數（statistical mode）以及中位數（median）同一數值。
- 函數曲線下68.268949%的面積在平均數左右的一個標準差範圍內。
- 95.449974%的面積在平均數左右兩個標準差$2 \sigma$的範圍內。
- 99.730020%的面積在平均數左右三個標準差$3 \sigma$的範圍內。
- 99.993666%的面積在平均數左右四個標準差$4 \sigma$的範圍內。
- 函數曲線的拐點（inflection point）為離平均數一個標準差距離的位置。

### 累積分布函數

累積分布函數是指隨機變數$X$小於或等於$x$的機率，用機率密度函數表示為

$$F(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x <pre> \exp \left( -\frac{(t - \mu)^2}{2\sigma^2} </pre> \ \right)\, dt.$$

正態分布的累積分布函數能夠由一個叫做誤差函數的特殊函數表示：

$$\Phi(z)= \frac12 \left[1 + \operatorname{erf}\left(\frac{z-\mu}{\sigma\sqrt2}\right)\right] .$$

標準正態分布的累積分布函數習慣上記為$\Phi$，它僅僅是指$\mu=0$，$\sigma=1$時的值。

$$\Phi(x) =F(x;0,1)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x \exp\left(-\frac{t^2}{2}\right) \, dt.$$

將一般正態分布用誤差函數表示的公式簡化，可得：

$$\Phi(z) = \frac{1}{2} \left[ 1 + \operatorname{erf} \left( \frac{z}{\sqrt{2}} \right) \right] .$$

它的反函數被稱為反誤差函數，為：

$$\Phi^{-1}(p) = \sqrt2 \; \operatorname{erf}^{-1} \left(2p - 1 \right) .$$

該分位數函數有時也被稱為probit函數。probit函數已被證明沒有初等原函數。

正態分布的分布函數$\Phi(x)$沒有解析表達式，它的值可以通過數值積分、泰勒級數或者漸進序列近似得到。

### 生成函數

#### 動差母函數

動差生成函數，或稱動差母函數被定義為$\exp(tX)$的期望值。

正態分布的動差產生函數如下：

$M_X(t)\,$｜$= \mathrm{E} \left( e^{tX} \right)$

$$= \int_{-\infty}^{\infty} \frac {1} {\sigma \sqrt{2\pi} } e^{\left( -\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right)} e^{tx} \, dx$$ $$= e^{ \left( \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right)}$$

可以通過在指數函數內配平方得到。

#### 特徵函數

特徵函數被定義為$\exp (i t X)$的期望值，其中$i$是虛數單位。對於一個常態分布來講，特徵函數是：

$\phi_X(t;\mu,\sigma)\!$｜$= \mathrm{E} \left[ \exp(i t X) \right]$

$$= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp \left(- \frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right) \exp(i t x) \, dx$$ $$= \exp \left( i \mu t - \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right) .$$

把矩生成函數中的$t$換成$i t$就能得到特徵函數。

## 性質

常態分布的一些性質：

- 線性變換不變性：若$X \sim N(\mu, \sigma^2) \,$且$a$與$b$是實數，那麼$aX+b\sim N(a\mu+b,a^2\sigma^2)$ (參見期望值和方差).
- 獨立可加性：如果$X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$與$Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$是統計獨立的常態隨機變量，那麼：
- $$X+Y\sim N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$$
- 特別地，若 $X$ 與 $Y$ 的方差相等，則$U = X + Y$與$V = X - Y$相互獨立。
- 如果$X \sim N(0, \sigma^2_1)$和$Y \sim N(0, \sigma^2_2)$是獨立常態隨機變量，那麼：
- 它們的積$X Y$服從機率密度函數為$p$的分布
- $p(z) = \frac{1}{\pi\,\sigma_1\,\sigma_2} \; K_0\left(\frac{|z|}{\sigma_1\,\sigma_2}\right),$其中$K_0$是修正貝塞爾函數（modified Bessel function）
- 它們的比符合柯西分布，滿足$X/Y \sim \mathrm{Cauchy}(0, \sigma_1/\sigma_2)$.
- 如果$X_1, \cdots, X_n$為獨立標準常態隨機變量，那麼$X_1^2 + \cdots + X_n^2$服從自由度為n的卡方分布，記作$X_1^2 + \cdots + X_n^2\ \sim\ \chi^2(n) \,$。

### 動差（moment）

一些常態分布的一階動差如下：

階數｜原動差｜中心矩｜累積量

0｜1｜0

1｜$\mu$｜0｜$\mu$

2｜$\mu^2 + \sigma^2$｜$\sigma^2$｜$\sigma^2$

3｜$\mu^3 + 3\mu\sigma^2$｜0｜0

4｜$\mu^4 + 6 \mu^2 \sigma^2 + 3 \sigma^4$｜$3 \sigma^4$｜0

標準常態的所有二階以上的累積量為零。

### 中央極限定理

常態分布有一個非常重要的性質：在特定條件下，大量統計獨立的隨機變量的平均值的分布趨於正態分布，這就是中央極限定理。中央極限定理的重要意義在於，根據這一定理的結論，其他機率分布可以用正態分布作為近似。

- 參數為$n$和$p$的二項分布，在$n$相當大而且$p$接近0.5時近似於正態分布（有的參考書建議僅在$n p$與$n(1 - p)$至少為5時才能使用這一近似）。

近似正態分布平均數為$\mu = n p$且方差為$\sigma^2 = n p (1 - p)$.

- 一泊松分布帶有參數$\lambda$當取樣樣本數很大時將近似正態分布$\lambda$.

近似正態分布平均數為$\mu = \lambda$且方差為$\sigma^2 = \lambda$.

這些近似值是否完全充分正確取決於使用者的使用需求

### 無窮可微性

正態分布是無窮可微的機率分布。

### 穩定性

正態分布是嚴格穩定的機率分布。

### 標準偏差

在實際應用上，常考慮一組數據具有近似於常態分布的機率分布。若其假設正確，則約68.3%數值分布在距離平均值有1個標準差之內的範圍，約95.4%數值分布在距離平均值有2個標準差之內的範圍，以及約99.7%數值分布在距離平均值有3個標準差之內的範圍。稱為「68-95-99.7法則」或「經驗法則」。

數字比率標準差值｜機率｜包含之外比例

百分比｜百分比｜比例

0.318639σ｜25%｜75%｜3 / 4

0.674490σ｜50%｜50%｜1 / 2

0.994458σ｜68%｜32%｜1 / 3.125

1σ｜68.2689492%｜31.7310508%｜1 / 3.1514872

1.281552σ｜80%｜20%｜1 / 5

1.644854σ｜90%｜10%｜1 / 10

1.959964σ｜95%｜5%｜1 / 20

2σ｜95.4499736%｜4.5500264%｜1 / 21.977895

2.575829σ｜99%｜1%｜1 / 100

3σ｜99.7300204%｜0.2699796%｜1 / 370.398

3.290527σ｜99.9%｜0.1%｜1 / 1000

3.890592σ｜99.99%｜0.01%｜1 / 10000

4σ｜99.993666%｜0.006334%｜1 / 15787

4.417173σ｜99.999%｜0.001%｜1 / 100000

4.5σ｜1 / 147159.53583.4 / 1000000 (每一邊)

4.891638σ｜99.9999%｜0.0001%｜1 / 1000000

5σ｜99.9999426697%｜0.0000573303%｜1 / 1744278

5.326724σ｜99.99999%｜0.00001%｜1 / 10000000

5.730729σ｜99.999999%｜0.000001%｜1 / 100000000

6σ｜99.9999998027%｜0.0000001973%｜1 / 506797346

6.109410σ｜99.9999999%｜0.0000001%｜1 / 1000000000

6.466951σ｜99.99999999%｜0.00000001%｜1 / 10000000000

6.806502σ｜99.999999999%｜0.000000001%｜1 / 100000000000

7σ｜0.000000000256%｜1 / 390682215445

## 相關分布

- $R \sim \mathrm{Rayleigh}(\sigma)$是瑞利分布，如果$R = \sqrt{X^2 + Y^2}$，這裡$X \sim N(0, \sigma^2)$和$Y \sim N(0, \sigma^2)$是兩個獨立正態分布。
- $Y \sim \chi_{\nu}^2$是卡方分布具有$\nu$自由度，如果$Y = \sum_{k=1}^{\nu} X_k^2$這裡$X_k \sim N(0,1)$其中$k=1,\dots,\nu$是獨立的。
- $Y \sim \mathrm{Cauchy}(\mu = 0, \theta = 1)$是柯西分布，如果$Y =\frac{X_1}{X_2}$，其中$X_1 \sim N(0,1)$並且$X_2 \sim N(0,1)$是兩個獨立的正態分布。
- $Y \sim \mbox{Log-N}(\mu, \sigma^2)$是對數正態分布如果$Y = e^X$並且$X \sim N(\mu, \sigma^2)$.
- 與Lévy skew alpha-stable分布相關：如果$X\sim \textrm{Levy-S}\alpha\textrm{S}(2,\beta,\frac{\sigma}{\sqrt{2}},\mu)$因而$X \sim N(\mu,\sigma^2)$.

## 估計

### 母數的最大概似估計

#### 概念一般化

多元正態分布的協方差矩陣的估計的推導是比較難於理解的。它需要瞭解譜原理（spectral theorem）以及為什麼把一個標量看做一個1×1矩陣的跡（trace）而不僅僅是一個標量更合理的原因。請參考協方差矩陣的估計（estimation of covariance matrices）。

## 常見實例

### 計量誤差

#### 飲料裝填量不足與超量的機率

某飲料公司裝瓶流程嚴謹，每罐飲料裝填量符合平均600毫升，標準差3毫升的常態分配法則。隨機選取一罐，求（1）容量超過605毫升的機率；（2）容量小於590毫升的機率。

容量超過605毫升的機率 $=p(X>605)=p(\frac{X-\mu}{\sigma}>\frac{605-600}{3})=p(Z>\frac{5}{3})=p(Z>1.67)=1-0.9525=0.0475$

容量小於590毫升的機率$=p(X<590)=p(\frac{X-\mu}{\sigma}<\frac{590-600}{3})=p(Z<- \frac{10}{3})=p(Z<-3.33)=0.0004$

6-標準差(6-sigma或6-σ)的品質管制標準

6-標準差(6-sigma或6-σ)，是製造業流行的品質管制標準。在這個標準之下，一個標準常態分配的變數值出現在正負三個標準差之外，只有$2\times 0.0013= 0.0026$ （$p (Z < -3) = 0.0013$ 以及 $p(Z > 3) = 0.0013$）。也就是說，這種品質管制標準的產品不良率只有萬分之二十六。假設例中的飲料公司裝瓶流程採用這個標準，而每罐飲料裝填量符合平均600毫升，標準差3毫升的常態分配。那麼預期裝填容量的範圍應該多少？

6-標準差的範圍$=p(-3<Z<3)=p(-3< \frac{X-\mu}{\sigma}<3)=p(-3< \frac{X-600}{3} <3)=p(-9<X-600<9)=p(591<X<609)$ 因此，預期裝填容量應該介於591至609毫升之間。

### 測試和智力分布

#### 計算學生智商高低的機率

假設某校入學新生的智力測驗平均分數與標準差分別為100與12。那麼隨機抽取50個學生，他們智力測驗平均分數大於105的機率？小於90的機率？

本例沒有常態分配的假設，還好中央極限定理提供一個可行解，那就是當隨機樣本長度超過30，樣本平均數$\bar{x}$近似於一個常態變數。

因此標準常態變數$Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$。

平均分數大於105的機率 $P(Z>\frac{105-100}{\frac{12}{\sqrt{50}}}) =P(Z>\frac{5}{1.7}) =P(Z>2.94) =0.0016$

平均分數小於90的機率 $P(Z<\frac{90-100}{\frac{12}{\sqrt{50}}}) =P(Z<-5.88) =0.0000$

## 計算統計應用

### 生成正態分布隨機變量

在電腦模擬中，經常需要生成正態分布的數值。最基本的一個方法是使用標準的正態累積分布函數的反函數。除此之外還有其他更加高效的方法，Box-Muller變換就是其中之一。另一個更加快捷的方法是ziggurat演算法。下面將介紹這兩種方法。一個簡單可行的並且容易編程的方法是：求12個在（0,1）上均勻分布的和，然後減6(12的一半)。這種方法可以用在很多應用中。這12個數的和是Irwin-Hall分布；選擇一個方差12。這個隨即推導的結果限制在（-6,6）之間，並且密度為12，是用11次多項式估計正態分布。

Box-Muller方法是以兩組獨立的隨機數U和V，這兩組數在(0,1上均勻分布，用U和V生成兩組獨立的標準常態分布隨機變量X和Y:

$$X = \sqrt{- 2 \ln U} \, \cos(2 \pi V) ,$$

$Y = \sqrt{- 2 \ln U} \, \sin(2 \pi V)$。

這個方程的提出是因為二自由度的卡方分布（見性質4）很容易由指數隨機變量（方程中的lnU）生成。因而通過隨機變量V可以選擇一個均勻環繞圓圈的角度，用指數分布選擇半徑然後變換成（正態分布的）x,y坐標。

## 參考文獻

- John Aldrich. Earliest Uses of Symbols in Probability and Statistics.網上材料，2006年6月3日存在.(See "Symbols associated with the Normal Distribution".)
- Abraham de Moivre (1738年). The Doctrine of Chances.
- Stephen Jay Gould (1981年). The Mismeasure of Man. First edition. W. W. Norton. ISBN 978-0-393-01489-1.
- R. J. Herrnstein and Charles Murray (1994年). The Bell Curve: Intelligence and Class Structure in American Life. Free Press. ISBN 978-0-02-914673-6.
- Pierre-Simon Laplace (1812年). Analytical Theory of Probabilities.
- Jeff Miller, John Aldrich, et al. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics. In particular, the entries for "bell-shaped and bell curve", "normal" (distribution), "Gaussian", and "Error, law of error, theory of errors, etc.".網上材料，2006年6月3日存在
- S. M. Stigler (1999年). Statistics on the Table, chapter 22. Harvard University Press. (History of the term "normal distribution".)
- Eric W. Weisstein et al. Normal Distribution at MathWorld.網上材料，2006年6月3日存在。
- Marvin Zelen and Norman C. Severo (1964年). Probability Functions. Chapter 26 of Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, ed, by Milton Abramowitz and Irene A. Stegun. National Bureau of Standards.

## 外部連結

- Interactive Distribution Modeler (incl. Normal Distribution) .
- basic tools for sixsigma
- PlanetMath: normal random variable
- GNU Scientific Library – Reference Manual – The Gaussian Distribution
- Distribution Calculator – Calculates probabilities and critical values for normal, t, chi-square and F-distribution.
- Inverse Cumulative Standard Normal Distribution Function
- Is normal distribution due to Karl Gauss? Euler, his family of gamma functions, and place in history of statistics
- Maxwell demons: Simulating probability distributions with functions of propositional calculus
- Normal distribution table
- The Doctrine of Chance at MathPages.
- 正態分布的前世今生(上)
- 正態分布的前世今生(下)
- 在線計算器 正態分布
- Binomial Distribution Calculator