費利克斯·克萊因

費利克斯·克里斯蒂安·克萊因（Felix Christian Klein k，1849年4月25日－1925年6月22日），德國數學家、數學教育家與數學史家，因其在群論、複分析、非歐幾何以及幾何與群論關聯方面的研究而聞名。他於1872年提出的愛爾蘭根綱領依據基本對稱群對幾何學進行分類，是對當時多個數學分支的一個綜合導向，影響深遠。

在哥廷根大學任職期間，克萊因通過開設新課程、設立教授職位和研究所，將這所大學打造為數學與科學研究的中心。他的研討會涵蓋了當時已知的數學領域及其應用。克萊因還為數學教育殫精竭慮，並推動德國及海外各級教育的數學改革。

## 生平

1849年4月25日，費利克斯出生於杜塞道夫。父母均為普魯士人：父親卡斯帕·克萊因（Caspar Klein, 1809–1889），是一名派駐萊茵省的普魯士政府官員秘書；母親本名為索菲·艾麗瑟·凱瑟（Sophie Elise Kayser, 1819–1890）。姓氏克萊因（Klein），在德語中意為「小」，克里斯蒂安（Christian）是聖名，費利克斯（Felix）則源於拉丁文，意為「幸運兒」。

在杜塞道夫當地的文理中學畢業後，克萊因於1865–1866年間進入波恩大學，攻讀數學和物理，其原目標是成為物理學家。他的老師尤利烏斯·普呂克本來是波恩大學的數學與實驗物理教授。但當克萊因1866年來當他的助手時，普呂克的研究興趣已主要轉向幾何學。1868年，在普呂克的指導下，克萊因獲得博士學位。

1868年，普呂克逝世，留下一本關於線式幾何的未完成遺著《新式空間幾何》（Neue Geometrie des Raumes）。當時看來，克萊因是完成此作第二部分的最佳人選。為此，克萊因次年去拜訪了轉到哥廷根大學任教的阿爾弗雷德·克萊布希，還遊歷了柏林和巴黎。1870年7月，普法戰爭爆發初期，尚在巴黎的他不得不離法；戰爭期間，他曾在普魯士陸軍短暫擔任醫療勤務員，隨後於1871年初被任命為哥廷根大學編外講師。

1872年，年僅23歲的克萊因被埃朗根大學聘為教授，此事由克萊布希支持促成——克萊布希認為，克萊因有望成為同時代最傑出的數學家。克萊因無意留在學生寥寥的埃朗根，直至1875年，獲得慕尼黑工業大學教授職位一事使他頗為欣喜。在慕尼黑，克萊因和亞歷山大·馮·布里爾一起為眾多優秀學生講授高階課程，這些學生包括阿道夫·赫維茲、瓦爾特·馮·戴克、卡爾·羅恩、卡爾·龍格、馬克斯·普朗克、路易吉·比安基和格雷戈里奧·里奇-庫爾巴斯托羅等。

1875年，克萊因與哲學家格奧爾格·黑格爾之孫女安妮·黑格爾結婚。

在慕工大任教五年後，克萊因被任命為萊比錫大學幾何學主任。其同事包括馮·戴克、羅恩、愛德華·施圖迪和弗里德里希·恩格爾。1880至1886年在萊比錫的歲月徹底改變了克萊因的人生。1882年，他的健康狀況惡化，此後兩年一直與抑鬱症抗爭。儘管如此，他的研究並未中斷，其關於超橢圓西格瑪函數的開創性研究，正是此時的成果。

1886年，克萊因獲得哥廷根大學教授職位。此後直至1913年退休，他致力於將哥廷根重新確立為全球數學研究之中心。其間，他教授多類課程，主要聚焦於數學與物理學的交叉領域，尤其是力學與位勢論。克萊因在哥廷根建立的研究機構成為全球同類頂尖研究機構的典範。他引入每周討論會，並創設數學閱覽室與圖書館。

在克萊因的主導下，《德國數學年刊》成長為全球最優秀的數學期刊之一。該期刊由克萊布希創辦，在克萊因的管理下不斷發展，最終超越了柏林大學的《克雷爾雜誌》。克萊因組建了一支小型編輯團隊，定期召開會議並以民主方式決策。該期刊最初專注於複分析、代數幾何與不變量理論，後來也為實變函數論及新興的群論提供了重要發表平台。

1892年，曼徹斯特文學與哲學學會授予克萊因榮譽會員稱號；1893年，倫敦數學學會向其頒發德摩根獎章。

1893年，克萊因在芝加哥世界哥倫布博覽會的國際數學家大會上擔任主要發言人。部分得益於克萊因的努力，哥廷根大學於1893年開始招收女學生。克萊因亦曾指導英國學生格蕾絲·奇斯霍姆·楊（阿瑟·凱萊的學生）完成哥廷根大學歷史上首篇由女性撰寫的數學博士論文。1897年，克萊因當選荷蘭皇家藝術與科學學院外籍院士。

1895年，克萊因從柯尼斯堡大學招募大衛·希爾伯特。這一任命意義重大——希爾伯特持續鞏固著哥廷根在數學領域的主導地位，直至其1932年退休。1915年，克萊因與希爾伯特共同邀請埃米·諾特加入哥廷根大學，她在此向愛因斯坦介紹了群論以及對稱性與守恆原理的關聯。

約1900年起，克萊因開始關注數學教育。1905年，他參與制定了一項教育計劃，建議中學階段開設解析幾何、微積分學基礎及函數概念課程。這一建議在全球多國逐步得到落實。

1908年，在羅馬舉行的第四屆國際數學家大會上，他當選為國際數學教育委員會首任主席。在其領導下，委員會的德國分部出版了多部關於德國各級數學教育的專著。1885年，他當選英國皇家學會會員，並於1912年獲頒科普利獎章。次年，他因健康原因退休，但仍在家中繼續教授數學。

1914年，克萊因與其餘92位德國科學家、學者等一同發布《九三宣言》，旨在支持德國入侵比利時。

1925年，克萊因在哥廷根逝世，享年76歲。

## 學術成果

博士論文中，克萊因聚焦於線幾何及其在力學中的應用，利用魏爾斯特拉斯初等因子理論對二次線叢進行了分類。

克萊因最早的重要數學發現是在1870年，他與索菲斯·李合作，揭示了庫默爾曲面上漸近線的基本性質。二人隨後研究了W曲線。正是李將群的概念引入克萊因的研究，這一概念在其後期工作中發揮了重要作用。克萊因亦從卡米耶·若爾當那裡接觸到了群論的相關知識。

1882年，克萊因設計了以其名字命名的「克萊因瓶」，這是一種單側閉曲面，無法嵌入三維歐幾里得空間，但可通過將圓柱自身迴繞、使其一端從「內部」與另一端連接的方式組成。它能夠嵌入四維及以上的歐幾里得空間。克萊因瓶的概念源於對三維莫比烏斯帶的拓展，其構造方法之一是將兩個莫比烏斯帶的邊緣粘合。

19世紀90年代起，克萊因更深入地研究數學物理，與阿諾·索末菲共同撰寫了關於陀螺儀的著作。1894年，他提出編纂一部涵蓋數學及其應用的百科全書的構想，這一計劃最終發展為《數學科學百科全書》。該項目延續至1935年，為學界提供了具有持久價值的重要標準參考著作。

### 複分析

克萊因將自己關於複分析的研究視為其對數學的主要貢獻，具體體現在以下領域：

- 黎曼某些思想與不變量理論的關聯。
- 數論與抽象代數。
- 群論。
- 三維以上幾何與微分方程。

克萊因指出，模群通過移動複平面的基本區域實現對平面的密鋪。1879年，他研究了被視為模群像的PSL(2,7)的作用，得到一個如今叫做「克萊因四次曲面（Klein quartic）」的黎曼曲面的顯式表示。克萊因證實，這是射影空間中的一條復曲線，其方程為 $x^3y + y^3z +z^3x =0$，且其對稱群為168階的PSL(2,7)群。他的著作《論黎曼的代數函數及其積分理論》（1882年）以幾何方法處理複分析，將位勢論與保角映射聯繫起來，這一工作借鑑了流體動力學的概念。

克萊因關注四次以上方程，尤其致力於通過超越方法求解五次一般方程。基於夏爾·埃爾米特與利奧波德·克羅內克的方法，他取得了與布里奧斯奇相似的結果，並最終藉助二十面體群徹底解決了這一問題。這些成果讓他得以撰寫一系列關於橢圓模函數的論文。

克萊因與羅伯特·弗里克（Robert Fricke）耗時約20年合著的四卷本專著，系統總結了他關於自守函數與橢圓模函數的研究。

## 思想與教育

在1884年關於正二十面體的著作中，克萊因建立了自守函數理論，將代數與幾何相聯結。龐加萊已於1881年發表其自守函數理論的概要，這引發了二人之間友好的學術競爭。他們都試圖提出並證明一個宏大的單值化定理，以更全面地確立這一新理論。克萊因成功構建了這樣的定理，並闡述了證明的策略。他的證明構思於1882年3月23日凌晨2點30分的一次哮喘發作期間。

克萊因自從在與法國數學家亨利·龐加萊的競爭中累倒後，就逐漸將工作側重點轉移到數學教育和學校建設上來。他把許多一流人才都吸引到哥廷根大學來，定期舉辦名家雲集的高水平研討會，延續了高斯、黎曼時代「哥廷根學派」在科學領域的輝煌。世界數學中心沒有因為龐加萊的迅速崛起而被法國重新搶去。與由自己招到哥廷根任職的學生大衛·希爾伯特不同，克萊因認為應用數學與理論數學應該並重地發展，在哥廷根大學一度被邊緣化的應用科學家如西奧多·馮·卡門等人都曾受到克萊因的積極鼓勵。

克萊因認為中學教師應該多接觸高等數學，以保證培養出來的學生的知識面不會出現斷層；並認為當時出現的中學教師不關心高等數學發展的風氣並不可取。為中學教師普及高等數學的思想就是他創作《高觀點下的初等數學（Elementary Mathematics from a Higher Standpoint）》的初衷。其次，克萊因認為精確數學和近似數學應該並重，不應該因為近似數學聽起來不夠完美化而忽視它的重要性，更不能對發展應用類的數學加以貶低。為此，他在《高觀點下的初等數學》叢書中專門花了1冊書的篇幅討論近似數學。而且在第3冊里提及當時新出現的電影技術時，他曾設想現實世界所發生的一切有可能和電影畫面一樣是由一個個不連續的片段所組成的。值得注意的是，這本書問世的時候，馬克斯·普朗克已經提出了量子化假說。

克萊因的另一名作《數學在19世紀的發展》（Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19）是後人研究19世紀數學思潮發展的重要著作之一。

## 個人生活

大衛·希爾伯特自稱與克萊因保持著「完全的信賴和共同的興趣」，但是希爾伯特對克萊因晚年關心的技術發展、中小學教育、行政管理等許多雜事興趣不大。

克萊因的女兒索菲（Sophie Klein）嫁給了法學家埃伯哈德·哈格曼（Eberhard Hagemann），後者曾擔任漢諾瓦省省長及韋爾登地方法院院長。

### 軼聞

- 哥廷根大學的學生們喜歡講這樣一個取材自理髮師悖論的邏輯學笑話：在哥廷根有兩類數學家，一類數學家做他們自己要做但不是克萊因要他們做的事，另一類數學家則做克萊因要做但不是他們自己要做的事。克萊因既不屬於前一類，也不屬於後一類，因此克萊因不是數學家。

## 影響與紀念

為紀念克萊因的貢獻，歐洲數學學會與弗勞恩霍夫工業數學研究所（Fraunhofer ITWM，位於凱撒斯勞滕）聯合頒發「費利克斯·克萊因獎」；國際數學教育委員會則頒發「費利克斯·克萊因獎章」，以表彰取得數學教育終身成就的人。

此外，多所機構與建築以克萊因的名字命名：弗利克斯·克萊因數學中心（Fraunhofer ITWM與凱撒斯勞滕工業大學數學系的合作機構）、哥廷根的弗利克斯·克萊因文理中學、杜塞道夫的海因里希·海涅大學內的弗利克斯·克萊因講堂，以及萊比錫大學的弗利克斯·克萊因講堂。

2000年，小行星12045以其姓氏命名。

## 基本資料

- 原文名：Felix Klein
- 出生：費利克斯·克里斯蒂安·克萊因、Felix Christian Klein
- 出生日期：1849年4月25日
- 出生地：普魯士王國萊茵省杜塞道夫
- 逝世日期：1925年6月22日
- 逝世地：魏瑪共和國普魯士邦漢諾瓦省哥廷根
- 研究領域：數學、（抽象代數、非歐幾何、複分析）
- 機構：埃朗根-紐倫堡大學、慕尼黑工業大學、萊比錫大學、哥廷根大學
- 母校：波恩大學
- 博士導師：尤利烏斯·普呂克和魯道夫·利普希茨
- 博士生：路德維希·比伯巴赫、馬克西姆·博謝、奧斯卡·博爾扎、馬克斯·布魯克納、弗朗克·尼爾森·科爾、弗雷德里希·丁格爾代、亨利·伯查德·法恩、埃爾溫·芬萊-弗羅因德利希、羅伯特·弗里克、菲利浦·富特文勒、卡爾·古斯塔夫·阿克塞爾·哈納克、梅倫·伍德曼·哈斯凱爾、阿道夫·赫維茲、愛德華·卡斯納、費迪南德·馮·林德曼、亞歷山大·奧斯特洛夫斯基、胡利奧·雷伊·帕斯托爾、赫爾曼·羅瑟、弗雷德里希·施鈴、維吉爾·斯奈德、威廉·愛德華·史都瑞、埃德瓦·伯爾·范·弗萊克、瓦爾特·馮·戴克、阿道夫·韋勒、亨利·斯利·懷特、亞歷山大·威廷、格蕾絲·奇斯霍姆·楊
- 施影響於：大衛·希爾伯特、西奧多·馮·卡門
- 知名於：愛爾蘭根綱領、克萊因j不變量、克萊因瓶、克萊因群、凱萊-克萊因模型、克萊因百科全書
- 獲獎：德摩根獎章（1893年）、科普利獎章（1912年）、阿克曼-托伊布納紀念獎（1914年）