偏微分方程

偏微分方程（partial differential equation，縮寫作PDE）指含有未知函數及其偏導數的方程。描述自變量、未知函數及其偏導數之間的關係。符合這個關係的函數是方程的解。

偏微分方程分為線性偏微分方程式與非線性偏微分方程式，常常有幾個解而且涉及額外的邊界條件。

## 記號及例子

方程式中常以u為未知數及偏微分，如下：

$$u_{xy} = {\partial^2 u \over \partial y\, \partial x}$$

用於空間偏微分的梯度運算子$\nabla=({\partial \over \partial_x}, {\partial \over \partial_y}, {\partial \over \partial_z})$

時間偏微分$\dot u= {\partial u \over \partial t}$，線性偏微分方程式的例子如下：

### 拉普拉斯方程

$$u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = 0$$

適用於重力場問題的求解。

### 泊松方程

$$u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = f(x,y,z)$$

適用於所有物質的重力場或電荷的靜電場。

### 波動方程式

未知函數u(x,y,z,t):

$$u_{tt} = c^2( u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} )$$

$$\ddot u=c^2\nabla^2u$$

### 熱傳導方程式

$$u_t = k ( u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} )$$

其中k代表該材料.

## 適定問題

偏微分方程解中任意函數的出現必然產生解的各種差異，考慮到幾乎不知道這些解的詳情，在大多數問題中慣常的目標是找滿足合適的和確定的條件（例如在空間的邊界處和某固定時刻）的那些解，要求這些條件可以確定唯的解是自然的要求。

如果要說一個PDE是適定的，則必須要有:

- 存在性:至少存在一個解$u(x,y)$滿足初始條件還有其他輔助條件
- 唯一性:存在最多一個解$u(x,y)$滿足初始條件還有其他輔助條件
- 穩定性:唯一的解$u(x,y)$不會因為初始條件的微小變動，產生巨大的變化。或是說，當初始資料變化微小，解的變化也很微小。

法國數學家阿達馬強調後一方面，當解不連續地依賴於原始數據變化時稱此問題是不適定的或提得不正確的

- 不適定的例子

對於雙變量的Laplace方程：

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0 (y>0)$$

在邊界條件

$z(x,0)=0$ 和 $\frac{\partial z(x,0)}{\partial y}=\frac{1}{n}\cos nx$

之下，符合條件的解為

$$z(x,y)=\frac{1}{n^2}\sinh (ny) \cos (nx)$$

當$n\rightarrow +\infty$時其數據在$y=0$處$z$和$\frac{\partial z}{\partial y}$的指定值趨於0，而$z(x,y)$的值在無窮大的範圍內震盪，所以這個解不適定。

## 分類

一些線性二階偏微分方程可以分為：拋物線方程，雙曲線方程和橢圓方程。其他的像Euler–Tricomi方程在不同應用領域中也有不同的形式。這種分類便於在解偏微分方程時尋找初始條件提供依據。

### 一階偏微分方程

一階偏微分方程是指和未知數的一階導數有關的偏微分方程，表示式為：

$$Au_{x} + Bu_{y} + \cdots = 0,$$

其中參數A,B是x,y的變數。

### 二階偏微分方程

表示式為：

$$Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + \cdots = 0,$$

其中參數$A$, $B$, $C$是$x$, $y$的變數。如果在$xy$平面上有$A^2 +B^2 + C^2 > 0$，該偏微分方程在該平面上為二階偏微分方程。二階偏微分方程類似以下的圓錐方程：

$$Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + \cdots = 0.$$

該二階偏微分方程可分類為：拋物線方程，雙曲線方程和橢圓方程，其分類方式為：

- $B^2 - AC \, < 0$ 且 $(A,B,C)\neq (0,0,0)$：橢圓方程。
- $B^2 - AC = 0\,$ 或 $(A,B,C)=(0,0,0)$：拋物線方程。
- $B^2 - AC \, > 0$：雙曲線方程;

若有$n$個獨立變量$x_{1},x_{2},\ldots x_{n}$，則此二階線性偏微分方程為:

$$L u =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{i,j} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} \quad$$

我們可以依靠係數矩陣$a_{i,j}$的特徵值的正負號去區分方程的種類:

- 橢圓方程：特徵值為全正或是全負。
- 拋物線方程：特徵值其中有一個是0，然後其他的都是全正或是全負。
- 雙曲線方程：特徵值一個為正數，其他為負數，或是一個為負數，其他為正數。
- 超雙曲線方程：正數的特徵值與負數的特徵值的個數都大於一，且沒有一個特徵值為0的數。

### 混合形式方程

如果偏微分方程的係數不是一個常數，該偏微分方程可能不屬於以上幾種類別之一，而可能是混合形式方程。一個簡單的例子為Euler–Tricomi方程：

$$u_{xx} \, = xu_{yy}$$

該方程稱為橢圓雙曲線方程。因為當$x < 0$時是橢圓形式，當$x > 0$時是雙曲線形式。

## 解析法解偏微分方程

一些有效的解析法解偏微分方程方法：

### 分離變量法

通過分離變量法減少偏微分方程中的變量，將一個偏微分方程分解成若干個常微分方程。

### 特徵線法

沿著一階偏微分方程的特徵線，偏微分方程簡化為一個常微分方程。沿著特徵線求出對應常微分方程的解就可以得到偏微分方程的解。

### 積分變換

利用積分法，將偏微分方程變換為可分離的偏微分方程，方便求解。一般為傅立葉變換分析。

### 變量變換

通過適當的變量變換，可以簡化偏微分方程的求解。一個典型的例子為Black–Scholes方程：

$$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0$$

可以簡化為熱力方程：

$$\frac{\partial u}{\partial \tau} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

通過如下變換：

$$V(S,t) = K v(x,\tau)\,$$

$$x = \ln(S/K)\,$$

$$\tau = \frac{1}{2} \sigma^2 (T - t)$$

$$v(x,\tau)= e^{-\alpha x-\beta\tau} u(x,\tau).\,$$

### 基本解

非齊次偏微分方程可通過尋找基本算子，然後通過帶有初始條件的卷積來解答。

該法常用於信號處理中通過衝激響應來求解濾波器。

### 疊加原理

因為一個線性齊次偏微分方程解的重疊也可看做一個解，所以可以通過交叉重疊這些解得到偏微分方程的一個解。

## 數值法解偏微分方程

在眾多求解偏微分方程的數值方法中，三種應用最廣的方法為有限元素法（Finite Element Method, FEM）、有限體積法（Finite Volume Method, FVM）和有限差分法（Finite Difference Method, FDM）。其中，有限元法占主要地位，尤其是它的高效高階版本—hp-FEM。其它版本的有限元法還有：廣義有限元法（Generalized Finite Element Method, FFEM）、擴展有限元法（eXtended Finite Element Method, XFEM）、無網格有限元法（Meshfree Finite Element Method）、離散迦遼金有限元法（Discontinuous Galerkin Finite Element Method, DGFEM）等。