測度

在數學中，測度（measure）是一種將幾何空間的度量（長度、面積、體積）和其他共識（普通觀念、共有概念，如大小、質量和事件的機率）廣義化和形式化後產生的概念（concept）。

在資訊技術、辦公機械中，測度是通過執行一次測量，以測量結果來賦值（賦予對象屬性）的變量（數或類別）。

傳統的黎曼積分是在區間上進行的，為了把積分推廣到更一般的集合上，人們就發展出測度的概念。一個特別重要的例子是勒貝格測度，它從 $n$ 維歐式空間 ${\R}^n$ 出發，概括了傳統長度、面積和體積等等的概念。

研究測度的學問被統稱為測度論（measure theory），因為指定的數值通常是非負實數，所以測度論通常會被視為實分析的一個分支，它在數學分析和機率論有重要的地位。

## 正式定義

$(X,\,\Sigma)$ 為可測空間，函數 $\mu:\Sigma\to[0,\,\infty)$ 若滿足：

- $\mu(\varnothing) = 0$ (空集合的測度為零)
- 可數可加性( $\sigma$-可加性)：若集合序列 $\{E_n\in\Sigma\}_{n\in\N}$ 對所有不相等正整數 $i\neq j$ 都有 $E_i\cap E_j=\varnothing$，則

$\mu\left(\bigcup_{n\in\N} E_n\right) = \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n)$。

那 $\mu$ 被稱為定義在 $\Sigma$ 上的一個非負測度，或簡稱為測度。為了敘述簡便起見，也可稱 $(X,\,\Sigma,\,\mu)$ 為一測度空間。

直觀上，測度是「體積」的推廣；因為空集合的「體積」當然為零，而且互相獨立的一群（可數個）物體，總「體積」當然要是所有物體「體積」直接加總（的極限）。而要定義「體積」，必須先要決定怎樣的一群子集合，是「可以測量的」，詳細請見σ-代數。

如果將 $\mu$ 的值域擴展到複數，也就是說 $\mu:\Sigma\to\C$，那 $\mu$ 會被進一步稱為複數測度。

### 定義的分歧

若照著上述定義，根據可數可加性，不少母集合本身的測度值會變成無窮大（如對 ${\R}^n$ 本身取勒貝格測度），所以實際上不存在。但某些書籍會形式上將無窮大視為一個數，而容許測度取值為無窮大；這樣定義的書籍，會把只容許有限實數值的測度稱為（非負）有限測度。但這樣"定義"，會造成可數可加性與數列收斂的定義產生矛盾。

所以要延續體積是一種＂度量＂的這種直觀概念（也就是嚴謹的定義勒貝格測度），那就必須把σ-代數換成條件比較寬鬆的半集合環，然後以此為基礎去定義一個對應到＂體積＂的前測度。

更進一步的，如果對測度空間 $(X,\,\Sigma,\,\mu)$ 來說，母集合 $X$ 可表示為 $\Sigma$ 內的某可測集合序列 $\{E_n\in\Sigma\}_{n\in\N}$ 的併集：

$$X = \bigcup_{n\in\N} E_n$$

若 $E_n$ 皆為有限測度集，則 $\mu$ 會被進一步的稱為（非負）σ-有限測度。

## 性質

### 單調性

測度$\mu\ $的單調性：

若$E_1\ $和$E_2\ $為可測集，而且$E_1 \subseteq E_2$，則$\mu(E_1) \leq \mu(E_2)$。

### 可數個可測集的併集的測度

若$E_1, E_2, E_3\cdots$為可測集（不必是兩兩不交的），則集合$E_n\ $的併集是可測的，且有如下不等式（「次可列可加性」）：

$$\mu(\bigcup_{i=1}^\infty E_i) \leq \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)$$

如果還滿足並且對於所有的$n\ $，$E_n\ $⊆$E_{n+1}\ $，則如下極限式成立：

$$\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i).$$

### 可數個可測集的交集的測度

若$E_1,E_2,\cdots$為可測集，並且對於所有的$n\ $，$E_{n+1}\ $⊆$E_n\ $，則$E_n\ $的交集是可測的。進一步說，如果至少一個$E_n\ $的測度有限，則有極限：

$$\mu(\bigcap_{i=1}^\infty E_i) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i)$$

如若不假設至少一個$E_n\ $的測度有限，則上述性質一般不成立。例如對於每一個$n\in \mathbb{N}$，令

$$E_n = [n, \infty) \subseteq \mathbb{R}$$

這裡，全部集合都具有無限測度，但它們的交集是空集。

## 完備性

$(X,\,\Sigma,\,\mu)$ 是測度空間，若$N \in \Sigma$ 且 $\mu(N)=0\ $，則 $N$ 被稱為零測集（null set）。

若所有零測集的子集都可測，則 $\mu$ 稱為完備的（complete）。

直觀上，因為測度的單調性，只要包含於零測集的集合，也「應該」是零測集，完備測度的定義體現了這個直觀的想法。更進一步的，任意測度可以按如下的定理擴展為完備測度：

$(X,\,\Sigma,\,\mu)$ 是測度空間，若取：

$$\Sigma^\star := \bigg\{ S \,\bigg|\, (S \subseteq X) \wedge (\exists A)(\exists B)\{ <pre> (A,\, B \in \Sigma) \wedge (A \subseteq S \subseteq B) \wedge [\mu(B-A) = 0] </pre> \} \bigg\}$$

那 $\Sigma^\star$ 是一個Σ-代數，此時若定義：

$$\mu^\star := \bigg\{ \langle S,\,r \rangle \,\bigg|\, (S \subseteq X) \wedge (\exists A)(\exists B)\{ <pre> (A,\, B \in \Sigma) \wedge (A \subseteq S \subseteq B) \wedge [\mu(B-A) = 0] \wedge [r = \mu(A)] </pre> \} \bigg\}$$

那 $\mu^\star$ 是定義在 $\Sigma^\star$ 上的完備測度，且有：

$$(\forall S \in \Sigma)[\mu^\star(S) = \mu(S)]$$

證明

## 例子

下列是一些測度的例子（順序與重要性無關）。

- 計數測度 定義為$\mu(S) = S\ $的「元素個數」。
- 一維勒貝格測度是定義在$\mathbb{R}$的一個含所有區間的σ代數上的、完備的、平移不變的、滿足$\mu([0,1])=1\ $的唯一測度。
- Circular angle測度是旋轉不變的。
- 局部緊拓撲群上的哈爾測度是勒貝格測度的一種推廣，而且也有類似的刻劃。
- 恆零測度定義為$\mu(S) = 0\ $，對任意的$S\ $。
- 每一個機率空間都有一個測度，它對全空間取值為1（於是其值全部落到單位區間0,1中）。這就是所謂機率測度。見機率論公理。

其它例子，包括：狄拉克測度、波萊爾測度、若爾當測度、遍歷測度、歐拉測度、高斯測度、貝爾測度、拉東測度。

## 相關條目

- 外測度（Outer measure）
- 幾乎處處（Almost everywhere）
- 勒貝格測度（Lebesgue measure）
- 勒貝格積分
- 法圖引理(Fatou's lemma)
- 富比尼定理(Fubini's theorem)
- 可測基數

## 外部連結

- Tutorial: Measure Theory for Dummies（為初學者準備的測度論教學）