邏輯

邏輯（logic）是研究有效邏輯推理的學科，其主要分為形式邏輯與非形式邏輯兩大分支：前者通過形式化語言研究推論的有效性與邏輯真理，其結論完全取決於論證結構；後者則側重於分析自然語言中的論證，涉及非形式謬誤、批判性思維及論證理論。當「邏輯」一詞作為可數名詞（即「一套邏輯」）使用時，特指一個具備完整證明系統的形式化體系。此外，作為基礎學科，邏輯在哲學、數學、電腦科學和語言學等領域均不可或缺。

邏輯的核心研究對象是論證，而論證由前提與結論構成。例如，前提為「今天是星期天」和「如果今天是星期天，那麼我不需要工作」，由此可推導出結論「我不需要工作」。前提與結論表達的均是具有真值的命題。而命題的一個重要特徵是其結構性：複雜命題通過「且」、「或」、「若……則……」等邏輯運算符構建而成；而簡單命題同樣具有內部成分，如前例中的「星期天」與「工作」。通常情況下，命題的真假依賴於其組成部分的具體含義。然而，邏輯真理（邏輯上必然為真的命題）則不同，它們的真實性僅取決於其邏輯結構，而與其組成部分的具體語義無關。

論證既可能是有效的，也可能是無效的。如果論證的前提能為其結論提供邏輯支撐，該論證即具有效性。演繹推理是最強的推理形式：若前提為真，則結論必然為真。然而，這一邏輯閉環並不適用於擴大論證。擴展性論證提供了前提中未曾包含的全新資訊，其廣泛存在於日常交流與科學探索中。並且也可進一步分為歸納論證與溯因論證：前者是對觀察事實的統計性概括（如由「觀察到黑烏鴉」推導出「烏鴉皆黑」）；後者則是尋求最合理解釋的過程（如醫生根據症狀診斷病因）。凡偏離正確推理標準的論證往往包含謬誤，而邏輯系統正是為評估論證的有效性提供了理論判准。

邏輯學自古以來便是哲學與思維的核心研究領域。早期邏輯體系涵蓋了亞里斯多德邏輯、斯多葛派邏輯、古印度的正理論以及古中國的墨家邏輯。其中，亞里斯多德邏輯著重於三段論形式的推理，並在西方世界占據主導地位，直至被現代形式邏輯取代。現代形式邏輯的基礎源於19世紀末以弗雷格為代表的數學家的工作。如今，最廣泛應用的體系是經典邏輯，包括命題邏輯與一階邏輯：前者聚焦於命題間的邏輯關係，後者則深入探討命題內部的構成要素，如謂詞 (數理邏輯)與量詞。此外，擴展邏輯在保留經典邏輯核心準則的基礎上，將其應用於形上學、倫理學等多個領域；而變異邏輯則挑戰並拒絕某些經典邏輯直覺，為邏輯基本法則提供了替代性的解釋框架。

## 詞源

「邏輯」來自古希臘語「λογική」，意為有理據的、知識的、辯證的、論辯的；此詞又與邏各斯（λόγος）同源，意為詞語、思想、概念、理念、論據、論點、說明、理由、原則、推理。此後「logikḗ」傳入拉丁語（logica），演化為法語（logique）後再借入英語（logic）。其他歐洲諸語拼法亦承襲自拉丁語而形近，如德語「logik」，意、西語「logica」，葡語「lógica」等。

李之藻（1565-1630）與人翻譯了一本邏輯學著作，譯為《名理探》。清朝末年，有著作《辯學啟蒙》。1902年嚴復譯《穆勒名學》時，將其意譯為「名」，但這不合名家或者名教之名學中「名」的本意。同時在本作中第一次作為註解提到「邏輯」一詞，但他並不提倡。

梁啓超在《墨子之論理學》提倡採用和製漢語的意譯「論理」。

1919年孫文在《孫文學說·以作文為證》提倡意譯為「理則」。

1917年章士釗在《邏輯指要》第一次將「邏輯」作為著作的譯名。他認為，意譯無法精確表達原詞所蘊含的意義。由於意譯的分歧很大，最終「邏輯」作為「logic」的譯名流傳下來。

## 概論

邏輯本身是指是推論和證明的思想過程，而邏輯學是研究「有效推論和證明的原則與標準」的一門學科。作為一個形式科學，邏輯透過對推論的形式系統與自然語言中的論證等來研究並分類命題與論證的結構。

邏輯的範圍是非常廣闊的，從對謬論與悖論的研究之類的核心議題，到利用機率來推論及包含因果論的論證等專業的推理分析。邏輯在今日亦常被使用在論辯理論之中（參見：非形式邏輯）。

傳統上，邏輯被作為哲學的一個分支來研究，和文法與修辭一同被稱為古典三藝。古希臘亞里斯多德系統的研究了邏輯系統，介紹於其著作集《工具論》中。《工具論》是亞里斯多德學派的傳人們（即逍遙學派）將他的六篇關於邏輯的著作彙編成的一部著作集，並定為此名。這六篇著作分別是《範疇篇》、《解釋篇》、《前分析篇》、《後分析篇》、《論辯篇》和《辨謬篇》。

自十九世紀中葉，形式邏輯已被作為數學基礎而被研究，當中經常被稱之為符號邏輯。1903年，阿弗烈·諾夫·懷海德與伯特蘭·羅素寫成了《數學原理》，試圖將邏輯形式地建立成數學的基石。不過，除了些基本的以外，當時的系統已不再被使用，大部份都被集合論所取代掉了。當對形式邏輯的研究漸漸地擴張了之後，研究也不再只侷限於基礎的議題，之後的各個數學領域被合稱為數理邏輯。形式邏輯的發展和其在電腦上的應用是電腦科學的基礎。戈特弗里德·萊布尼茨、喬治·布爾、戈特洛布·弗雷格、大衛·希爾伯特、庫爾特·哥德爾，等等，都在這個過程中非常重要。

## 分類

### 經典邏輯

經典邏輯的邏輯系統基於公理化的傳統邏輯的四個基本思維規律：同一律、排中律、無矛盾律和充足理由律，和其它經典邏輯特有的特徵（見:經典邏輯#特徵）。經典邏輯是19和20世紀的創新，它比亞里斯多德的傳統邏輯具有更廣泛的應用，並且能夠將亞里斯多德的傳統邏輯表述為一個特例。同一律、排中律、無矛盾律由亞里斯多德提出，也是伯特蘭·羅素在他的著作《哲學問題》中確立了三個思維規律。

### 非經典邏輯

非經典邏輯是與經典邏輯公理化假設（見：經典邏輯#特徵）有矛盾的邏輯系統。例如：拒絕無矛盾律的所有種類的次協調邏輯，包括相干邏輯、雙面真理說等等。這些的形式化次協調邏輯既屬於非經典邏輯也屬於形式邏輯。

### 形式邏輯

形式邏輯是對命題、陳述或斷然使用的句子和演繹論證的抽象研究。是研究純形式內容的推論的一門學科，這種內容是很明確的。若一個推論可以被表達成一個完全抽象的規則（即不只是和任一特定事物或性質有關的規則）的一個特定應用，則這個推論擁有純形式內容。形式邏輯的規則由亞里斯多德最先寫成。在許多邏輯的定義中，邏輯推論與帶有純形式內容的推論會是同一種概念。但這不表示非形式邏輯的概念是空洞的，因為沒有任何一種形式語言可以捕捉到自然語言語義間所有的微細差別。形式是邏輯的核心，但在「形式邏輯」中對「形式」使用時常不很明確，因而使其闡述變得很費解。其中，符號邏輯僅為形式邏輯的一種類型，而和形式邏輯的另一種類型－只處理直言命題的三段論不同。

#### 符號邏輯

符號邏輯留存了邏輯推論的形式特徵，並將其抽象化為符號的研究。符號邏輯通常分為兩個分支：命題邏輯和謂詞邏輯。「形式邏輯」通常作為符號邏輯的同義詞。但廣義地來說，形式邏輯是古老的，可追溯至兩千年以前，而符號邏輯則相對較新，只有一個世紀左右的歷史而已。

#### 數理邏輯

數理邏輯是符號邏輯在其他領域中的延伸，特別是對模型論、證明論、集合論和遞歸論的研究。

### 非形式邏輯

非形式邏輯是研究自然語言論證的一門學科，也被認為與批判性思維相關聯，被理解為不包含符號抽象化的任何一種邏輯推論；這是由「形式語言」和「形式理論」中類推而來的用法。

沒有任何一種形式語言可以捕捉到自然語言語義間所有的微細差別，這說明了非形式邏輯研究存在的必要性。但非形式邏輯典型特徵是不如形式邏輯善於做嚴密分析。柏拉圖的作品是非形式邏輯的一重要例子。對謬論的研究是非形式邏輯中尤其重要的一個分支，其歷史可追尋於古希臘時期亞里斯多德的著作《辨謬篇》。

### 哲學邏輯

哲學邏輯是指傳統上使用公認的邏輯方法來解決或推進哲學問題討論的哲學領域，是對邏輯更特定於哲學的方面的研究。該術語被理解為包含並專注於非經典邏輯，儘管還有其他含義。約翰·P·伯吉斯的《哲學邏輯》介紹了非經典邏輯的五個中心分支（時間邏輯、模態邏輯、條件邏輯、相干邏輯和直覺邏輯），重點關注形式化模型和直覺動機之間有時存在問題的關係。進一步的介紹可見其它有關文獻。

## 概念

### 邏輯學基本公理

#### 形式邏輯學

經典邏輯的四個基本公理：

同一律（the law of identity）：事物跟其自身相等同，「自己」不能「不是自己」。

無矛盾律（the law of non-contradiction）：事物不能同時「是」跟「不是」。是就是，不是就不是。

排中律（the law of excluded middle）：事物只能有「是」或「不是」兩種狀態，不存在其他中間狀態。

充足理由律（the law of sufficient reason）：任何事物都有其存在的充足理由。

#### 非形式邏輯學

只與非經典邏輯有關的公理：

函中律（the law of included middle）：事物不僅有「是」或「不是」兩種狀態，還存在「非是」及「非不是」的P狀態（possibly true),其值屬於區間0,1。

辯證邏輯和對立統一規律：

在辯證邏輯中，允許矛盾的存在，並接納對立統一規律。在辯證邏輯中認為，社會和思想領域中的任何事物以及事物之間都包含著矛盾性，事物矛盾雙方又統一又鬥爭推動事物的運動、變化和發展。對立統一規律認為，矛盾雙方的同一性與鬥爭性；矛盾的普遍性與特殊性;事物發展過程中的矛盾以及矛盾雙方發展的不平衡性。辯證法是解決矛盾的方法論。

### 邏輯系統的性質

形式邏輯系統可以具有的重要屬性包括：

有效性（validity）：依系統的推理規則，若所有前提皆為真則結論必為真（保真）。所有命題之前提皆語義蘊涵（semantic consequence）結論。

自洽性（consistency）：系統中任一定理都不與其他定理相矛盾。不存在命題P，P和非P皆可在系統中證明。

可靠性（soundness）：系統中所有定理（有效且可證明的命題）皆為真。可靠性與完備性互為逆命題。

完備性（completeness）：系統中不存在無法證明或證否的有效命題。系統中真命題皆可證明（真命題皆為定理）且假命題皆可證否。

表達性 (computer science)（Expressivity）：系統中可以表達哪些概念。

一些邏輯系統不擁有上述所有性質，比如庫爾特·哥德爾的哥德爾不完備定理證明了，沒有任何一個蘊涵皮亞諾公理的算術形式系統可以同時滿足自洽性和完備性。同時他的針對沒有通過特定公理擴展為帶有等式的算術形式系統的一階謂詞邏輯的定理，證實了它們可以同時滿足自洽性和完備性。

### 對於邏輯的不同理解

邏輯產生於對論證正確性的關注。邏輯是對論證的研究，這個概念在歷史上是很基本的，而這也是不同邏輯傳統的創立者如柏拉圖和亞里斯多德所設想的。現代的邏輯學家通常會希望確保對邏輯的研究只侷限於由適度一般化了的推論中所產生出來的論證；所以如《斯坦福哲學百科》所稱，「邏輯並不涵蓋有效推理的整個課題，那是理性理論的工作。更明確地說，邏輯處理一種推論，其有效性可追溯至推論中的表述的形式特徵，這可以是語言的，心理的，或其他的表述。」(Hofweber 2004).

相對地，伊曼努爾·康德引入了另一種概念來闡述什麼是邏輯。他主張邏輯應當被設想為判斷的科學，這種想法被戈特洛布·弗雷格採納，寫入他的邏輯與哲學著作之中，其中，思維（Gedanke）這一詞取代了康德的判斷（Urteil）。在此觀點下，有效的邏輯推論是源於判斷或思維的結構特徵。

### 演繹和歸納

演繹推理關注於從給定的前提下有什麼是可得出的。而歸納推理（從觀察中推論出可靠廣義化的過程）有時也被包含在對邏輯的研究中。相對應地，必須要區分出演繹有效性和歸納有效性。一個推論是演繹有效的，若且唯若不可能存在所有前提皆為真但結論為假的狀況。對於形式邏輯的系統，演繹有效性的概念可以用語義學中已明確理解的概念嚴格地陳述出來。另一方面，歸納的有效性則要求必須定義對某一觀察集合的「可靠廣義化」。此定義可以用各種不同的方式來達成，有的方式會比其他的方式不那麼形式化；有些定義也許會用到機率的數學模型。

## 發展歷史

許多文化都採用複雜的推理系統，最初僅有三個地方把邏輯學作為對推理方法的明確分析，並且有持續的發展，那就是前6世紀的印度、前5世紀的中國和前4世紀與前1世紀間的希臘。

現代邏輯的形式複雜處理明顯源自希臘傳統，但是有人提出布爾邏輯的先驅可能知道印度邏輯（Ganeri 2001）。希臘傳統自身來自亞里斯多德邏輯的傳播，伊斯蘭哲學家和中世紀邏輯學家對它的評論。歐洲以外的傳統沒有存活到現代時期：在中國，對邏輯的學術研究傳統在韓非的法家哲學之後就被秦朝壓制；在伊斯蘭世界，艾什爾里派（Ash'ari）的崛起壓制了邏輯的原始工作。

但是在印度，經院學派正理派的創新持續到18世紀早期。它沒有存活到殖民地時期。在20世紀，西方哲學家如Stanislaw Schayer和Klaus Glashoff探究了印度傳統邏輯學的某些方面。

中世紀時期，在亞里斯多德的想法顯示與信仰大量兼容之後，他的邏輯被給予更大強調。在中世紀的後期，邏輯成為一部分哲學家的關注焦點，他們專注於對哲學論證的邏輯分析。

## 外部連結

- 倪梁康： 〈現象學與邏輯學〉 （2004年）
- 倪梁康： 〈《邏輯研究》中的觀念對象和觀念直觀〉 （2009年）
- History of Logic in Relationship to Ontology Annotated bibliography on the history of logic