初等代數

初等代數是一個初等且相對簡單形式的代數，教導對象為還沒有數學和算術方面較深知識的中小學生，大學學習的則稱為高等代數。當在算術中只有數字與其運算（如：加、減、乘、除）出現時，在代數中也會使用字母符號諸如 $x$、$y$ 或 $a$、$b$ 等表示數字，習慣上用前者表示未知數與變數，用後者表示任意的已知數。

## 概述

初等代數中還會使用諸如 $f(x)$、$g(x)$、$f(g(x))$、$f(x_1, x_2)$ 等映射符號來表示關於某個字母符號的代數式。

- 它使得算術等式（或不等式）可以被描述成命題或定理（如：$\forall$ 實數 $a$ 和 $b$，$a + b = b + a$），因此這是系統化學習實數性質的第一步。
- 它允許涉及未知的數字。在一個問題的內容裡，變數或許代表某一還不確定，但可能可以經由方程的規劃及操縱來解開的數值。
- 它允許探究數量之間的數學關係的可能（如「若你賣了 $x$ 張票，你的收益將有 $(3x+10)$ 元」）。

這三個是初等代數的主要組成部份，以區隔其與目的為教導大學生更高深主題的抽象代數的不同。

在初等代數裡，表示式包含有數字、變數及運算。它們通常把較高次項（習慣上）寫在表示左邊（參考多項式），舉幾個例子來說：

$$x + 3$$

$$y^{2} + 2x - 3$$

$z^{7} + a(b + x^{3}) + \frac{42}{y} - \pi$。

在更進階的代數裡，表示式也會包含有初等函數。

一個等式表示其等號兩邊的表示式是相等的。某些等式對於其中變數的所有取值都成立（如 $a + b = b + a$）；這種等式稱為恆等式。而其他只有變數在某些值時才正確（如 $x^{2} - 1 =4$），此一使等式成立的變數值則稱為這等式的解。

## 定理

### 與代數運算相關的定理

- 加法是一可交換的運算（兩個數不論順序為何，它加起來的總和都一樣）。
- 減法是加法的逆運算。

$$a - b = a + (-b)$$

例如：若 $5 + x = 3$，則 $x = -2$。

- 乘法是一可交換的運算。
- 除法是乘法的逆運算。

$${a \over b} = a \cdot {1 \over b}$$

例如：若 $3 x = 2$，則 $x = \frac{2}{3}$。

- 冪不是一可交換的運算。
- 但冪卻有兩個逆運算：對數 和 開方（如平方根）。
- 例如：若 $3^x = 10$，則 $x = \log_3 10$。
- 例如：若 $x^{2} = 10$，則 $x = {\sqrt {10}}_\C$，即 $x_1 = {\sqrt {10}}_\R$，$x_2= -{\sqrt {10}}_\R$。
- 負數的平方根不存在於實數內。（參考：複數）
- 加法的結合律性質：$(a + b) + c = a + (b + c)$。
- 乘法的結合律性質：$(ab)c = a(bc).$。
- 對應加法的乘法分配律性質：$c(a + b) = ca + cb$。
- 對應乘法的冪分配律性質：$(a b)^c = a^c b^c$。
- 冪的乘法：$a^b a^c = a^{b+c}$。
- 冪的冪：$(a^b)^c = a^{bc}$。

### 與「等於」相關的定理

- $a = a$ （等於的自反性）。
- 若 $a = b$，則 $b = a$ （等於的對稱性）。
- 若 $a = b$ 且 $b = c$，則 $a = c$ （等於的遞移律）。
- 若 $a - b = n$，則 $a^2 - b^2 = na+nb$。

### 其他定理

- 若 $a = b$ 且 $c = d$，則 $a + c = b + d$。
- 若 $a = b$，則對任一 c，$a + c = b + c$（等於的可加性）。
- 若 $a = b$ 且 $c = d$，則 $ac$ = $bd$。
- 若 $a = b$，則對任一 c，$ac = bc$（等於的可乘性）。
- 若兩個符號相等，則一個總是能替換另一個（替換原理）。
- 若 $a > b$ 且 $b > c$，則 $a > c$（不等式的遞移律）。
- 若 $a > b$，則對任一 c，$a + c > b + c$。
- 若 $a > b$ 且 $c > 0$，則 $ac > bc$。
- 若 $a > b$ 且 $c < 0$，則 $ac < bc$。

## 例子

### 一元一次方程

最簡單的方程為一元一次方程，它們是含有一個常數和一沒有冪的變數。例如：

$$2x + 4 = 12. \,$$

其中心解法為在等式的兩邊同時以相同數字做加、減、乘、除，以使變數單獨留在等式的一側。一旦變數獨立了，等式的另一邊即是此變數的值。例如，將上面式子兩邊同時減去4：

$2x + 4 - 4 = 12 - 4 \,$。

簡化後即為

$$2x = 8. \,$$

再同時除以2：

$$\frac{2x}{2} = \frac{8}{2} \,$$

再簡化後即為答案：

$$x = 4. \,$$

一般的情形

$$ax+b=c$$

也可以依同樣的方式得出答案來：

$$x=\frac{c-b}{a}$$

【這就是一元一次方程簡單的說明】

### 一元二次方程

一元二次方程可以表現成 $ax^{2} + bx + c = 0$，在這 $a$ 不等於零（假如 $a$ 等於零，則此方式為一次方程式，而非二次方程式）。二次方程式必須保持二次的形態，如 $ax^{2}$，二次方程式可以通過因式分解求解（多項式展開的逆過程），或者一般地使用二次方程求根公式。因式分解的舉例：

$$x^{2} + 3x = 0. \,$$

這相當於

$$x(x + 3) = 0. \,$$

0 和 -3 是它的解，因爲把 $x$ 置為 0 或 -3 便使上述等式成立。

所有二次方程式在複數體系中都有兩個解，但是在實數系統中卻不一定，例如：

$$x^{2} + 1 = 0 \,$$

沒有實數解，因爲沒有實數的平方是 -1。

有時一個二次方程式會有2重根，例如：

$$(x + 1)^{2} = 0. \,$$

在這個方程中，-1是2重根。

### 線性方程組

在線性方程組內，如兩個變數的方程組內有兩個方程式的話，通常可以找出可同時滿足兩個方程式的兩個變數。

下面為線性方程組的一個例子，有兩個求解的方法：

$$4x + 2y = 14 \,$$

$$2x - y = 1. \,$$

#### 求解的第一種方法

將第2個等式的左右項各乘以2。

$$4x + 2y = 14 \,$$

$$4x - 2y = 2. \,$$

再將兩式相加。

$$\, 8x = 16,$$

上式可化簡為

$$x = 2. \,$$

因爲已知$x=2$，於是就可以由兩式中的任意一個推斷出$y=3$。所以這個問題的完整解為

$$\begin{cases} x = 2 \\ y = 3. \end{cases}\,$$

注意：這並不是解這類特殊情況的唯一方法；$y$ 也可以在 $x$ 之前求得。

#### 求解的第二種方法

另一種求解的方法為替代。

$$\begin{cases}4x + 2y = 14 \\ 2x - y = 1.\end{cases} \,$$

$y$ 的等值可以由兩個方程式中的其中一種推出。我們使用第二個方程：

$$2x - y = 1 \,$$

由方程的兩邊減去 $2x$：

$$2x - 2x - y = 1 - 2x \,$$

$$- y = 1 - 2x \,$$

再乘上 -1：

$$y = 2x - 1. \,$$

將此 $y$ 值放入原方程組的第一個方程式：

$$4x + 2(2x - 1) = 14 \,$$

$$4x + 4x - 2 = 14 \,$$

$$8x - 2 = 14 \,$$

在方程的兩端加上 2：

$$8x - 2 + 2 = 14 + 2 \,$$

$$8x = 16 \,$$

此可簡化成

$x = 2 \,$。

將此值代回兩個方程式中的一個，可求得和上一個方法所求得的相同解答。

$$\begin{cases} x = 2 \\ y = 3. \end{cases}\,$$

注意：這並不是解這類特殊情況的唯一方法；在這個方法裡也是一樣的，$y$ 也可以在 $x$ 之前求得。

## 參考

- Charles Smith, A Treatise on Algebra, in Cornell University Library Historical Math Monographs.
- Beginning Algebra Tutorials and Reviews for basic algebra review and practice..
- Feferman, Anita Burdman and Solomon Feferman (1990) "Alfred Tarski- Life and Logic." Cambridge University Press. p.74-76. ISBN 0-521-80240-7.
- Algebra lessons in PowerPoint Algebra 2 in PowerPoint.All lessons introduce mathematical concepts, step by step, with animations of text, points, lines and figures in general. Solution of problems is also given step by step. Colors are used to give hints and clues to follow the concept or the solution of the problems.