L系統

Lindenmayer系統，簡稱L系統，是由荷蘭烏特勒支大學的生物學和植物學家，匈牙利裔的阿里斯蒂德·林登麥伊爾（Aristid Lindenmayer）於1968年提出的有關生長發展中的細胞交互作用的數學模型，尤其被廣泛應用於植物生長過程的研究。

L-system是一系列不同形式的正規語法規則，多被用於植物生長過程建模，但是也被用於模擬各種生物體的形態。L-system也能用於生成自相似的分形，例如迭代函數系統。

## 起源

作為一位生物學家，Lindenmayer工作的內容是酵母菌和絲狀真菌，並研究多種類型的海藻的生長模式，例如藍綠細菌項圈藻（Anabaena catenula，淡水藻類的一種）。最初，L系統被設計成用於提供一種關於簡單多細胞生物體生長的正規描述，並且試圖證明植物細胞之間的緊密關係。不久以後，這個系統被擴展成描述高等植物及其複雜枝杈結構。

## L-system 結構

L-system的自然遞歸規則導致自相似性，也因此使得分形一類形式可以很容易的使用L-system描述。植物模型和自然界的有機結構生成，非常相似並很容易被定義，因此通過增加遞歸的層數，可以緩慢生長並逐漸變得更複雜。L-system同樣在製造人造生命領域。

L-system 語法與Chomsky語法非常相似，說到L-system通常指的是帶參數的L-system，定義如下：

G＝｛V,S,ω,P},

V:變量符號集合

S：常量符號集合

ω：初始狀態串

P：產生式規則

自初始狀態開始迭代套入L-system的文法規則，和正規文法所產生的語言不同處在於，L-system在一次迭代中可同時套用許多不同的文法規則。如果在一次迭代中只能夠套用一個文法規則，產生出來的結果被稱為語言而不是L-system。由此可知，L-system為正規文法所產生出的語言的子集合。

## L系統的例子

### 例1：海藻的生長

Lindenmayer研究海藻生長模式時提出的最早的L-系統：

變量 : A B

常量 : 無

公理 : A

規則 : (A → AB), (B → A)

迭代過程：

n = 0 : A

n = 1 : AB

n = 2 : ABA

n = 3 : ABAAB

n = 4 : ABAABABA

n = 5 : ABAABABAABAAB

n = 6 : ABAABABAABAABABAABABA

n = 7 : ABAABABAABAABABAABABAABAABABAABAAB

### 例1的解釋

```
n=0:         A           开始 (公理/起始点)
            / \
n=1:       A   B         根据规则(A → AB)起始点A拓展成AB，由于起始点没有B，规则(B → A)没有被用到
          /|    \
n=2:     A B     A       AB中的A拓展成AB，B变成A，于是得到了ABA
        /| |     |\
n=3:   A B A     A B     可以看到每个A都是一个新的子树的根，由此引发出和整体结构同构的子结构。
      /| | |\    |\ \
n=4: A B A A B   A B A   
```

如果我們觀察這個序列的長度就會發現這是一個斐波那契數列——1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ...

（因為我們選擇從A開始，故第一個1少掉了）

如果我們把A看成一隻成年兔子，B看成未成年兔子，那麼這個構造和那個著名的兔生兔的構造是一致的。

即每個月B會成長成A，而A每個月又會生出一個B。

## 開放問題

許多涉及L-systems研究的問題有待解決，比如：

- 描述所有那些確定的局部連鎖的上下文無關L-systems（目前已知完成解決的只有包含兩個變量的這一種情況）。
- 給定一個結構，找出生成此結構的L-systems文法。

## 外部連結

- David J. Wright's article on L-systems
- Algorithmic Botany at the University of Calgary
- Branching: L-system Tree A Java applet of the botanical tree growth simulation using the L-system.
- Fractint L-System True Fractals
- "An introduction to Lindenmayer systems", by Gabriela Ochoa。Brief description of L-systems and how the strings they generate can be interpreted by computer.
- "powerPlant" an open-source landscape modelling software
- Fractint home page
- L-Systems in Architecture
- A simple L-systems generator (Windows)
- Lyndyhop: another simple L-systems generator (Windows & Mac)
- An evolutionary L-systems generator (anyos*)
- "LsystemComposition". Page at Pawfal ("poor artists working for a living") about using L-systems and genetic algorithms to generate music.
- eXtended L-Systems (XL), Relational Growth Grammars, and open-source software platform GroIMP.
- A JAVA applet with many fractal figures generated by L-systems.
- Another L-system applet, supporting programming, with explanation and examples.
- L-systems in Architecture; genetic housing.
- L-systems in Plant Growth,Simulation and Visualization (PlantVR).
- Musical L-systems: Theory and applications about using L-systems to generate musical structures, from waveforms to macro-forms.
- L-system digital sound synthesis: 'Do Digital Monkeys Inhabit Virtual Trees?' Electronic music piece composed with L-systems.
- LSys/JS - Interactive L-System interpreter using the Canvas HTML element。
- Lindenmayer System for plant visualisation (Java Applet)。
- Fractal Grower: Free Java paper folding L-System intended for elementary and middle school students.
- Programmatic animations in actionscript showing various L-systems.
- Java applet showing random L-Systems while driving down Lindenmayer Boulevard
- Magic Garden - Artificial Plants Laboratory - free plants generator using L-Systems
- Inkscape a free software vector graphics program which implements, among its plugins, an L-system generator
- Garabatos，an interactive evolutionary image generator based in L-Systems
- Online experiments with L-Systems using JSXGraph (JavaScript)