离散微积分

离散微积分（discrete calculus）或离散函数微积分（calculus of discrete functions）、和分差分学，是数学中研究“增量”变化的领域，如同几何学研究形状、代数学研究算术运算的推广。Calculus 这一词源自拉丁文，原意是“小石子”；由于过去人们用小石子来计算，这个词的意义逐渐演变，现今通常指一种计算方法。同时，微积分（原称“无穷小微积分（infinitesimal calculus）”或“无穷小量的微积分（the calculus of infinitesimals）”）则是研究“连续”变化的学问。

离散微积分的切入点有两个：差分微积分（differential calculus）和 求和微积分（integral calculus）。差分微积分关注增量变化率和分段线性曲线的斜率；求和微积分则关注数量的累积以及分段常数曲线下的面积。两种观点透过离散微积分基本定理相互关联。

变化概念的研究从其离散形式开始。其发展取决于一个参数，即独立变量的增量 $\Delta x$。如果我们选择让这个增量越来越小，就可以将这些概念的连续对应物视为极限来找到。非正式地说，当 $\Delta x\to 0$ 时，离散微积分的极限就是无穷小微积分。尽管离散微积分是连续微积分的离散基础，但其主要价值体现在实际应用中。

## 两种初始建构

离散差分微积分专门研究函数的差商（difference quotient）的定义、性质与应用。寻找差商的过程称为微分（differentiation）。给定一个在实数线上多个点有定义的函数，某点的差商是一种表达该函数在小范围内（即从该点到下一个点）行为的方式。

透过找出函数在其定义域中每对连续点的差商，我们可以得到一个新函数，称为差商函数（difference quotient function），或简称原函数的差商。严格来说，差商是一个线性映射，将一个函数作为输入，并产生另一个函数作为输出。

这比初等代数中研究的许多过程更为抽象，在初等代数中，函数通常输入一个数字并输出另一个数字。例如，如果给定输入三，倍增函数输出六；如果给定输入三，平方函数输出九。然而，导数（或在离散微积分中叫做差商）可以将平方函数作为输入。这表示差商会接收平方函数的所有资讯——例如二对应四、三对应九、四对应十六等等——并利用这些资讯来产生另一个函数。对平方函数求差分后所产生的函数，结果会非常接近倍增函数（doubling function）。

假设函数定义在间隔为 $\Delta x=h>0$ 的点上：

$$a,a+h,a+2h,\ldots,a+nh,\ldots$$

“倍增函数”可以表示为 $g(x)=2x$，而“平方函数”表示为 $f(x)=x^2$。差商是函数在区间 $[x,x+h]$ 上的变化率，定义其公式为：

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

它将函数 $f$ 作为输入，即所有资讯——例如二对应四，三对应九，四对应十六等等——并利用这些资讯输出另一个函数，也就是函数 $g(x)=2x+h$，就如之后将会证明的一样。为了方便起见，这个新函数可以在上述区间的中点定义：

$$a+h/2,a+h/2,a+2h+h/2,\ldots,a+nh+h/2,\ldots$$

由于变化率是针对整个区间 $[x,x+h]$ 而言，任何区间内的点都可以作为参考，甚至整个区间都可以作为参考，使得差商成为一个 1-上链 (1-cochain)。

差商最常见的记法是：

$$\frac{\Delta f}{\Delta x}(x+h/2)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

如果函数的输入表示时间，那么差商就表示相对于时间的变化。例如，若 $f$ 是一个以时间为输入并给出球在该时间位置的函数，则 $f$ 的差商就是球的位置随时间变化的情况，也就是球的速度。

如果一个函数是线性的（即如果函数图形上的点位于一条直线上），则该函数可以写成 $y=mx+b$，其中 $x$ 是自变数，$y$ 是应变数，$b$ 是 $y$ 截距，且：

$$m= \frac{\text{rise}}{\text{run}}= \frac{\text{change in } y}{\text{change in } x} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

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正是直线的斜率。

然而，若函数不是线性的，则 $y$ 的变化量除以 $x$ 的变化量就会有所不同。差商赋予了“输出变化相对于输入变化”这一概念的确切意义。具体来说，令 $f$ 为一个函数，并固定 $f$ 的定义域中一点 $x$，则$(x, f(x))$ 为函数图形上的一个点。若 $h$ 是 $x$ 的增量，则 $x + h$ 是 $x$ 的下一个值。因此，$(x+h, f(x+h))$ 是 $(x, f(x))$ 的增量。这两个点连成的直线之斜率为：

$$m = \frac{f(x+h) - f(x)}{(x+h) - x} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.$$

故 $m$ 是 $(x, f(x))$ 和 $(x+h, f(x+h))$ 所连成的直线斜率。

这里有个更具体的例子，平方函数的差商。令 $f(x)=x^2$ 为平方函数。则：

$$\begin{align}\frac{\Delta f}{\Delta x}(x) &={(x+h)^2 - x^2\over{h}} \\ &={x^2 + 2hx + h^2 - x^2\over{h}} \\ &={2hx + h^2\over{h}} \\ &= 2x + h . \end{align}$$

差商的差商称为二阶差商（second difference quotient）且定义在：

$$a+h, a+2h, a+3h, \ldots, a+nh,\ldots$$

等点上。

离散积分学（discrete integral calculus）主要探讨黎曼和的定义、性质与应用。其中，找到黎曼和其值的过程称为积分（integration）。以术语来说，积分学研究的是一种特定的线性运算子。

黎曼和的输入为一个函数，而输出也是一个函数，此输出函数代表了输入函数的图形与 x 轴之间的区域的面积代数和。

最佳的例子就是计算在给定时间内的移动距离。

距离 = 速度·时间

若速度不变，只需要简单的乘法即可计算距离。但若是速度随时间变化，就需要将总时间分割成许多时间的小区间，将每小段区间所代表的时间乘以该时间段内的速度得到该区间移动的距离，最后将所有距离加总（即黎曼和）得到总移动距离。

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当速度不变，在给定时间区间内移动的总距离可以透过速度乘以时间计算。例如，以每小时 50 英里的稳定速度行驶 3 小时，总移动距离为 150 英里。如左图所示，当恒定的速度和时间被绘制时，这两个值形成一个矩形，其高度等于速度的值，而宽度等于经过的时间。因此，速度和时间的乘积也同时计算了（恒定）速度曲线下的面积。曲线下面积与移动距离之间的关系可以扩展到任何给定的时间段内，速度逐渐变化的不规则形状区域。若右图的每个长条形状表示速度从一个区间到下一个区间的变化，那么在时间 $a$ 到 $b$ 之间移动的距离即阴影区域 $s$ 的面积。

因此，从 $a$ 到 $b$ 的区间被分割成若干个等长的小段，每小段的长度以 $\Delta x$ 表示。对于每小段，我们有函数 $f(x)$ 的一个值，将此值称为 $v$。则以 $\Delta x$ 为宽、$v$ 为高的矩形面积就表示了该小段内行驶的距离（时间 $\Delta x$ 乘以速度 $v$）。每小段都对应其上方的函数值 $f(x) = v$。所有这些矩形面积的总和，就构成了常数曲线与 x 轴之间的面积，即总移动距离。

设有个函数定义在等长区间 $\Delta x=h>0$ 的中点：

$$a+h/2, a+h+h/2, a+2h+h/2,\ldots, a+nh-h/2,\ldots$$

则 $a$ 到 $b=a+nh$ 的黎曼和以求和符号表示为：

$$\sum_{i=1}^n f(a+ih)\, \Delta x.$$

当此计算针对每个 $n$ 执行时，新函数会定义在以下这些点上：

$$a, a+h, a+2h, \ldots, a+nh,\ldots$$

微积分基本定理指出，微分和积分是逆运算。更精确一点地来说，它将差商与黎曼和联系起来。

微积分基本定理：若函数 $f$ 定义在 $[a, b]$ 的分割上，$b=a+nh$，且若 $F$ 是一个其差商为 $f$ 的函数，则：

$$\sum_{i=0}^{n-1} f(a+ih+h/2)\, \Delta x = F(b) - F(a).$$

此外，对于每个 $m=0,1,2,\ldots,n-1$，我们有：

$$\frac{\Delta}{\Delta x}\sum_{i=0}^m f(a+ih+h/2)\, \Delta x = f(a+mh+h/2).$$

这也是差分方程式（difference equation）的一个原型解。差分方程式将未知函数与其差分或差商联系其来，在科学领域中无处不在。

## 历史

离散微积分的早期历史与传统微积分的历史密不可分。像差商和黎曼和这样的基本概念，无论是隐含还是明确地，都出现在定义和证明中。然而一旦取了极限，这些概念就不再显现。尽管如此，克希荷夫电压定律（1847 年）可以透过一维离散外导数来表达。

在 20 世纪，离散微积分仍然与无穷小微积分（特别是微分形式）紧密相连，但也开始从代数拓扑中汲取所需，两者共同发展。主要的贡献者包括：

- 亨利·庞加莱：三角测量（重心重分、对偶三角剖分）、庞加莱引理、首次证明了广义的斯托克斯定理，及许多其他贡献
- 勒伊岑·布劳威尔：单纯逼近定理
- 埃利·嘉当、乔治·德拉姆：提出了微分形式的概念、将外微分视为独立于坐标的线性运算子，以及形式的精确性/闭合性
- 埃米·诺特、海因茨·霍普夫、维托里斯、迈尔：研究了链模（modules of chains）、边界运算子、链复形
- 詹姆斯·韦德尔·亚历山大、所罗门·莱夫谢茨、列夫·庞特里亚金、安德烈·科摩哥洛夫、诺曼·斯廷罗德、爱德华·切赫：发展了早期的上链概念
- 赫尔曼·外尔：用边界和上边界算子来阐述了克希荷夫定律
- 威廉·瓦伦斯·道格拉斯·霍奇：提出了霍奇星算子、霍奇分解
- 塞缪尔·艾伦伯格、桑德斯·麦克兰恩、诺曼·斯廷罗德、J·H·C·怀特海德：严谨地发展了同调和余调理论，包括链和上链复形、杯积
- 哈斯勒·惠特尼：将上链视为积分因子

离散微积分的近期发展，从惠特尼开始，主要是由应用建模的需求所推动的。