喷丛 (数学)

在微分几何中，喷丛是切从TM上的向量场H，它编码了底流形M上的拟线性二阶常微分方程组。喷丛（spray）通常要求满足齐次性条件，即其积分曲线t →Φ H t (ξ)∈ TM满足如下重参数化规则：

Φ H t (λξ)=Φ H λt (ξ) （其中 λ > 0）。

如果去掉这个要求，则称 H 为半喷丛（semi-spray）。

在黎曼几何与芬斯勒几何中，喷丛自然表现为测地喷丛——其积分曲线恰为局部长度最小化曲线的切曲线。而在拉格朗日力学中，半喷丛则表现为作用量积分的极值曲线。一般地，流形M上的任意非线性联络可诱导一个半喷丛H；反之，任意半喷丛H亦可诱导M上的一个无挠非线性联络。若原联络无挠，则其与H诱导的联络一致；此外，齐次无挠联络与完全喷丛构成一一对应。

## 正式定义

令M为可微流形，( TM ,π TM, M ) 为其切束。则TM上的矢量场H （即双切束TTM的一个截面）为M上的半喷丛，若下列三个等价条件中有任意一个成立：

- （πTM） * Hξ =ξ。
- JH = V，其中J是TM上的切结构， V是TM \0上的正则矢量场。
- j ∘ H = H，其中j : TTM → TTM是规范翻转，而H被视为映射TM → TTM。

如果满足下列任一等效条件，则M上的半喷丛H为(全) 喷丛：

- H λξ = λ * (λ H ξ )，其中 λ * : TTM → TTM是将 λ: TM → TM与正标量 λ>0 相乘后推。
- H沿标准向量场V的李导数满足 V, H = H。
- H的积分曲线t →Φ H t (ξ)∈ TM \0 满足 Φ H t (λξ)=λΦ H λt (ξ) (其中 λ>0)。

让$(x^i,\xi^i)$是本地坐标$TM$与当地坐标相关$(x^i$）在$M$使用每个切线空间上的坐标基。然后$H$是半喷式$M$如果它有以下形式的局部表示

$$H_\xi = \xi^i\frac{\partial}{\partial x^i}\Big|_{(x,\xi)} - 2G^i(x,\xi)\frac{\partial}{\partial \xi^i}\Big|_{(x,\xi)}.$$

在TM上的每个相关坐标系上。半喷丛H为（全）喷丛，当且仅当喷丛系数G i满足

$$G^i(x,\lambda\xi) = \lambda^2G^i(x,\xi),\quad \lambda>0.\,$$

## 拉格朗日力学中的半喷丛

在拉格朗日力学中，物理系统由某个构型空间M的切丛上的拉格朗日函数L : TM → R建模。动力学定律由哈密顿原理得出，该原理指出，系统状态的时间演化 γ: a, b → M对于作用积分是平稳的

$\mathcal S(\gamma) := \int_a^b L(\gamma(t),\dot\gamma(t))dt$。

在TM上的相关坐标中，作用积分的第一个变体为

$$\frac{d}{ds}\Big|_{s=0}\mathcal S(\gamma_s) = \Big|_a^b \frac{\partial L}{\partial\xi^i}X^i - \int_a^b \Big(\frac{\partial^2 L}{\partial \xi^j\partial \xi^i} \ddot\gamma^j + \frac{\partial^2 L}{\partial x^j\partial\xi^i} \dot\gamma^j - \frac{\partial L}{\partial x^i} \Big) X^i dt,$$

其中X : a, b → R是与围绕 γ( t )= γ0 ( t )的变化γs : a, b → M相关的变化矢量场。通过引入以下概念，可以将第一个变体公式重新表述为更具信息量的形式：

- 余向量$\alpha_\xi = \alpha_i(x,\xi) dx^i|_x\in T_x^*M$和$\alpha_i(x,\xi) = \tfrac{\partial L}{\partial \xi^i}(x,\xi)$是共轭动量$\xi \in T_xM$。
- 对应的单形式$\alpha\in\Omega^1(TM)$和$\alpha_\xi = \alpha_i(x,\xi) dx^i|_{(x,\xi)}\in T^*_\xi TM$是与拉格朗日量相关的希尔伯特形式。
- 双线性形式$g_\xi = g_{ij}(x,\xi)(dx^i\otimes dx^j)|_x$和$g_{ij}(x,\xi) = \tfrac{\partial^2 L}{\partial \xi^i \partial \xi^j}(x,\xi)$是拉格朗日量的基本张量$\xi \in T_xM$。
- 如果基本张量$\displaystyle g_\xi$在每个$\xi \in T_xM$。然后逆矩阵$\displaystyle g_{ij}(x,\xi)$表示为$\displaystyle g^{ij}(x,\xi)$。
- 与拉格朗日量相关的能量是$\displaystyle E(\xi) = \alpha_\xi(\xi) - L(\xi)$。

若满足勒让德条件，则dα∈Ω2 ( TM )为辛形式，且存在唯一的TM上的哈密顿向量场H，对应于哈密顿函数E，使得

$\displaystyle dE = - \iota_H d\alpha$。

令 ( X i, Y i ) 为TM上相关坐标的哈密顿矢量场H的分量。然后

$$\iota_H d\alpha = Y^i \frac{\partial^2 L}{\partial\xi^i\partial x^j} dx^j - X^i \frac{\partial^2 L}{\partial\xi^i\partial x^j} d\xi^j$$

和

$$dE = \Big(\frac{\partial^2 L}{\partial x^i \partial \xi^j}\xi^j - \frac{\partial L}{\partial x^i}\Big)dx^i + \xi^j \frac{\partial^2 L}{\partial\xi^i\partial x^j} d\xi^i$$

因此我们看到哈密顿矢量场H是位形空间M上的半喷丛，喷丛系数为

$$G^k(x,\xi) = \frac{g^{ki}}{2}\Big(\frac{\partial^2 L}{\partial\xi^i\partial x^j}\xi^j - \frac{\partial L}{\partial x^i}\Big).$$

现在第一个变分公式可以重写为

$$\frac{d}{ds}\Big|_{s=0}\mathcal S(\gamma_s) = \Big|_a^b \alpha_i X^i - \int_a^b g_{ik}(\ddot\gamma^k+2G^k)X^i dt,$$

并且我们看到，当且仅当其切线曲线 γ': a, b → TM是哈密顿矢量场H的积分曲线时，路径 γ: a,b→M 是作用量积分在固定端点下的驻定曲线。因此，力学系统的动力学可由作用量积分导出的半喷丛来描述。

## 测地线喷丛

黎曼流形和芬斯勒流形的局部长度最小化曲线称为测地线。利用拉格朗日力学框架，可以用喷丛结构描述这些曲线。在TM上定义拉格朗日函数

$$L(x,\xi) = \tfrac{1}{2}F^2(x,\xi),$$

其中F : TM → R是芬斯勒函数。在黎曼情形下，使用F 2 ( x ,ξ)= g ij ( x )ξ i ξ j。现在介绍上面部分中的概念。在黎曼情形下，基本张量g ij ( x ,ξ) 只不过是黎曼度量g ij ( x )。在一般情形下，同质性条件

$$F(x,\lambda\xi) = \lambda F(x,\xi), \quad \lambda>0$$

芬斯勒函数蕴含以下公式：

$$\alpha_i=g_{ij}\xi^i, \quad F^2=g_{ij}\xi^i\xi^j, \quad E = \alpha_i\xi^i - L = \tfrac{1}{2}F^2.$$

就经典力学而言，最后一个方程表明系统 ( M, L ) 中的所有能量都为动能形式。此外，还获得了同质性

$$g_{ij}(\lambda\xi) = g_{ij}(\xi), \quad \alpha_i(x,\lambda\xi) = \lambda \alpha_i(x,\xi), \quad G^i(x,\lambda\xi) = \lambda^2 G^i(x,\xi),$$

其中最后一个表示该机械系统的哈密顿矢量场H是满喷丛。由于以下原因，底层芬斯勒（或黎曼）流形的恒速测地线由此喷丛描述：

- 由于g ξ对于芬斯勒空间来说是正定的，因此长度函数的每个足够短的平稳曲线都是长度最小化的。
- 作用积分的每个平稳曲线都是恒定速度的$F(\gamma(t),\dot\gamma(t))=\lambda$，因为能量自动成为运动常数。
- 对于任意曲线$\gamma:[a,b]\to M$恒定速度的作用积分和长度函数的关系为

$$\mathcal S(\gamma) = \frac{(b-a)\lambda^2}{2} = \frac{\ell(\gamma)^2}{2(b-a)}.$$

因此，一条曲线𝛾:𝑎,𝑏→𝑀是作用量积分的驻点曲线，当且仅当其具有恒定速率且是长度泛函的驻点曲线。该哈密顿向量场H被称为芬斯勒流形(M,F)的测地喷丛，其对应的流ΦHt(ξ)则称为测地流。

## 非线性连接的对应性

半喷丛$H$在光滑流形上$M$定义一个 Ehresmann 连接$T(TM\setminus 0) = H(TM\setminus 0) \oplus V(TM\setminus 0)$通过其水平和垂直投影在狭缝切线束上

$$h:T(TM\setminus 0)\to T(TM\setminus 0) \quad ; \quad h = \tfrac{1}{2}\big( I - \mathcal L_H J \big),$$

$$v:T(TM\setminus 0)\to T(TM\setminus 0) \quad ; \quad v = \tfrac{1}{2}\big( I + \mathcal L_H J \big).$$

TM \0 上的这个联络始终有一个消失的扭转张量，它被定义为 Frölicher-Nijenhuis 括号T = J, v。更简单的术语来说，扭转可以定义为

$$\displaystyle T(X,Y) = J[hX,hY] - v[JX,hY] - v[hX,JY].$$

引入TM \0 上的正则矢量场V和诱导联络的伴随结构Θ，半喷丛的水平部分可以写成hH =Θ V。半喷丛的垂直部分ε= vH称为第一喷丛不变量，半喷丛H本身份解为

$$\displaystyle H = \Theta V + \epsilon.$$

第一个喷丛不变量与张力有关

$$\tau = \mathcal L_Vv = \tfrac{1}{2}\mathcal L_{[V,H]-H} J$$

通过常微分方程诱导的非线性联系

$$\mathcal L_V\epsilon+\epsilon = \tau\Theta V.$$

因此，第一个喷丛不变量 ε（以及整个半喷丛H）可以通过非线性连接恢复

$$\epsilon|_\xi = \int\limits_{-\infty}^0 e^{-s}(\Phi_V^{-s})_*(\tau\Theta V)|_{\Phi_V^s(\xi)} ds.$$

从这个关系中还可以看出，当且仅当H是全喷丛时，诱导连接才是同质的。