哈代悖论

哈代悖论是卢西安·哈代 在 1992 年至 1993 年期间提出的量子力学思想实验，其中粒子和它的反粒子可以相互作用而不会相互湮灭。

实验 使用弱测量技术研究了偏振光子的相互作用，并证明了这种现象确实存在。然而，这些实验的结果仅仅是，过去的事件可以在它们发生后推断为概率波坍缩。这些弱测量本身被认为是一种观察，因此是波坍缩原因的一部分，使得客观结果只是一个概率函数，而不是固定的现实。这证实了，要与实验一致，隐变量量子理论必须是非局域的（在贝尔意义上）和情境化的。

## 设置描述和结果

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哈代思想实验的基本构建模块是两台分别用于量子粒子和反粒子的马赫-曾德尔干涉仪。我们将以电子和正电子为例进行说明。每台干涉仪由弯曲路径和两个分束器（在附图中分别标记为BS 1和BS 2）组成，并经过调整，使得在单独运行时，粒子始终从同一个粒子探测器（图中标记为c 的探测器； c代表“相长干涉”， d代表“相消干涉”）射出。例如，对于右侧的干涉仪，在单独运行时，进入的电子（标记为e −）会变成由沿路径v − 的电子和沿路径w − 的电子组成的量子叠加态（图中， w −路径的后半部分标记为u −），但它们会发生相长干涉，因此始终从c −臂射出：

$$\left|e^-\right\rangle \to \frac{\left|v^-\right\rangle + i \left|w^-\right\rangle}{\sqrt{2}} \to i \left|c^-\right\rangle.$$

类似地，正电子（标记为e +）总是在c +处被检测到。

在实际实验中，干涉仪的布置使得它们的部分路径重叠，如图所示。如果一臂中粒子的振幅，比如说 w-, 被 w + 中的第二个粒子碰撞而阻碍，那么只有 v 振幅会到达第二个分束器，并分裂成振幅相等的 c + 和 d + 臂。因此，在 d + 中检测到粒子将表明阻碍粒子的存在，但不会发生湮灭。因此，这种方案被称为无相互作用测量。

如果（从经典角度来说）电子和正电子在各自的干涉仪中都采用w路径，它们将湮灭并产生两束伽马射线： $\left|w^+\right\rangle \left|w^-\right\rangle \to \left|\gamma\right\rangle \left|\gamma\right\rangle$发生这种情况的概率是四分之一。我们可以将最终分束器之前的系统状态表示为

$$\frac{1}{2}\left(\left|v^+\right\rangle \left|v^-\right\rangle + i \left|v^+\right\rangle \left|w^-\right\rangle + i \left|w^+\right\rangle \left|v^-\right\rangle - \left|\gamma\right\rangle \left|\gamma\right\rangle\right).$$

自$|c\rangle$探测器点击$\frac{1}{\sqrt{2}}(|v\rangle + i |w\rangle)$，以及$|d\rangle$探测器$\frac{1}{\sqrt{2}}(|v\rangle - i |w\rangle)$，这就变成了

$$\left|e^+ e^-\right\rangle \to \frac{1}{4} \left(3\left|c^+\right\rangle \left|c^-\right\rangle + \left|c^+\right\rangle \left|d^-\right\rangle + \left|d^+\right\rangle \left|c^-\right\rangle - \left|d^+\right\rangle \left|d^-\right\rangle - 2\left|\gamma\right\rangle \left|\gamma\right\rangle\right).$$

由于概率是这些振幅绝对值的平方，这意味着每个粒子在其各自的c探测器中被探测到的概率为 9/16；一个粒子在其 c 探测器中被探测到，另一个在其d探测器中被探测到，或者两个粒子在其 d探测器中都被探测到的概率均为1/16；电子和正电子湮灭的概率为 4/16（1/4），因此两者都未被探测到。注意，在两个d探测器中都探测到的概率表示为

$$\frac{|v^+\rangle - i |w^+\rangle}{\sqrt{2}} \frac{|v^-\rangle - i |w^-\rangle}{\sqrt{2}} = \frac 1 2\left(|v^+\rangle |v^-\rangle - i |v^+\rangle |w^-\rangle - i |w^+\rangle |v^-\rangle - |w^+\rangle |w^-\rangle\right).$$

这与上文中最终分束器之前状态的表达式并不正交。它们之间的标量积是 1/4，这表明发生这种情况的概率为 1/16，这很矛盾。

这种情况可以用两个同时进行的无相互作用测量来分析：从左侧干涉仪的角度来看，在 d + 处的咔嗒声意味着阻尼电子存在于 u - 中。类似地，对于右侧干涉仪来说，在 d - 处的咔嗒声意味着正电子存在于 u + 中。事实上，每当在 d+(或 d-) 处记录到一次咔嗒声时，另一个粒子就分别存在于 u-(或 u+) 中。如果我们假设这些粒子是独立的 (由局部隐变量描述), 我们就得出结论，它们永远不可能同时出现在 d + 和 d - 中。这将意味着它们存在于 u + 和 u - 中，但由于湮灭过程，这种情况不可能发生。

这时就会出现一个悖论，因为有时粒子确实会在d +和d −同时出现（概率为p = 1/16）。从量子力学角度来看， $\left|d^+\right\rangle \left|d^-\right\rangle$事实上，该项源于最终分束器之前状态的非最大纠缠性质。

Yakir Aharonov及其同事在 2001 年发表的一篇文章指出，每个分支中的电子或正电子的数量在理论上是可观测的，在w分支中为 0，在v分支中为 1。然而，任何组合中的电子-正电子对的数量也是可观测的，并且不是由单粒子值的乘积给出的。因此，我们发现ww对（两个粒子都在w路径上）的数量为 0，每个wv对的数量为 1，而vv 组合中的数量为 −1！他们提出了一种物理观测方法，即将v路径中的电子和正电子暂时囚禁在盒子中，并观察它们之间静电吸引的影响。他们指出，人们实际上会发现盒子之间存在排斥力。

2009年， Jeff Lundeen和Aephraim M. Steinberg发表了论文，利用光子建立了“哈代悖论”系统。A 405 纳米激光穿过硼酸钡晶体，产生 810 对 纳米级光子，偏振方向相互正交。这些光子随后撞击分束器，分束器以50%的概率将光子送回硼酸钡晶体。405 纳米泵浦光束也会从镜子反射回来，回到硼酸钡。如果810 纳米级的光子返回晶体后，会因与返回的泵浦光束相互作用而湮灭。无论如何，穿过晶体的光子束和穿过分束器的光子束都会被分离成“垂直偏振”和“水平偏振”光束，分别对应于哈代方案中的“电子”和“正电子”。两束“电子”（具有一种偏振的光子）在分束器处汇合，并进入一个或两个探测器，“正电子”（另一种光子）也是如此。经典情况下，在作者所谓的“暗端口”处应该检测不到任何光子，因为如果光子从第一个分束器向两个方向传播，它们会发生自身干涉；而如果光子只沿一条路径传播，则由于悖论的存在，在暗端口处无法同时检测到它们。通过引入20°偏振旋转，并在某些光束上使用半波片，然后在探测器上测量重合率，他们能够进行微弱的测量，从而计算出不同臂（路径）和组合的“占据率”。正如Aharonov及其同事所预测的那样，他们发现，当两个光子都选择外部（无湮灭）路径时，组合的数值为负。结果与预期并不完全一致，他们将其归因于不完美的切换（湮灭）和无相互作用的测量。

## 外部链接

- Aephraim Steinberg 的讲座，2012年