五点模版

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数值分析中，假定是一维或二维的正方形格点，五点模版的点是由其四个邻点所组成的模版。会用五点模版来将格点上的导数用有限差分来近似。这是数值微分的应用。

## 一维

一维下，假设各点之间的距离是h，则五点模板的五个点会是

$$\{x-2h, x-h, x, x+h, x+2h\}.$$

### 一维一阶导数

实变数函数 f在点x的一阶导数可以用五点模版近似如下：

$$f'(x) \approx \frac{-f(x+2 h)+8 f(x+h)-8 f(x-h)+f(x-2h)}{12 h}$$

上式中，没有用到中心点位置的值f(x)，只有用到其他四点。

#### 推导

此公式可以用$f(x \pm h)$和$f(x \pm 2h)$在$a$的四个泰勒级数求得，泰勒级数写到h3项，计算在$a = x \mp h$和$a = x \mp 2h$的级数，找到共同项$f^{(k)}(x)$的资讯，再用四个方程f ′(x)，可以得到在x + h点和x − h点时：

$$f(x \pm h) = f(x) \pm h f'(x) + \frac{h^2}{2}f''(x) \pm \frac{h^3}{6} f^{(3)}(x) + O_{1\pm}(h^4). \qquad (E_{1\pm}).$$

计算$(E_{1+})-(E_{1-})$可以得到

$$f(x+h) - f(x-h) = 2hf'(x) + \frac{h^3}{3}f^{(3)}(x) + O_1(h^4). \qquad (E_1).$$

剩余项O1(h4)阶数必定是h5，不会是h4，因为若h4项已经写成(E1+)和(E1−)，会透过以下计算f(x + h) − f(x − h)而消去，而更高次的剩余项没有处理，会留下来（如下）。

类似的，也可以得到下式

$$f(x \pm 2h) = f(x) \pm 2h f'(x) + \frac{4h^2}{2!} f''(x) \pm \frac{8h^3}{3!} f^{(3)}(x) + O_{2\pm}(h^4). \qquad (E_{2\pm})$$

计算$(E_{2+}) - (E_{2-})$可得

$$f(x+2h) - f(x-2h) = 4hf'(x) + \frac{8h^3}{3}f^{(3)}(x) + O_2(h^5). \qquad (E_2).$$

为了消去ƒ(3)(x)，计算8 × (E1) − (E2)

$$8f(x+h) - 8f(x-h) - f(x+2h) + f(x-2h) = 12h f'(x) + O(h^5)$$

可以得到上式。注意：公式中f的系数(8, -8,-1,1)是更通用Savitzky–Golay滤波器的例子。

#### 误差估计

此近似的误差的阶数是 h 4，可以用下式展开求得

$$\frac{-f(x+2 h)+8 f(x+h)-8 f(x-h)+f(x-2h)}{12 h}=f'(x)-\frac{1}{30} f^{(5)}(x) h^4+O(h^5)$$

可以用泰勒级数的的左边展开求得。另外，对格点上$f'(x)$的中心差分近似，间距是2h和h，应用理查森外推法也可得到类似结果。

### 一维更高阶导数

可以用五点模版的中心差分公式，求得更高阶的导数如下

$$\begin{align} <pre> f''(x) &\approx \frac{-f(x+2 h)+16 f(x+h)-30 f(x) + 16 f(x-h) - f(x-2h)}{12 h^2} \\[1ex] f^{(3)}(x) &\approx \frac{f(x+2 h)-2 f(x+h) + 2 f(x-h) - f(x-2h)}{2 h^3} \\[1ex] f^{(4)}(x) &\approx \frac{f(x+2 h)-4 f(x+h)+6 f(x) - 4 f(x-h) + f(x-2h)}{h^4} </pre> \end{align}$$

上述近似的误差分别是O(h4)、O(h2)和O(h2)。

### 和拉格朗日插值多项式的关系

另一个推导的方式，是用拉格朗日多项式的微分求得

$$\ell_j(\xi) = \prod_{i=0,\, i\neq j}^{k} \frac{\xi-x_i}{x_j-x_i},$$

其插值点是

$$x_0 = x-2h,\quad x_1 = x-h,\quad x_2 = x,\quad x_3 = x+h,\quad x_4 = x+2h.$$

而在这五点插值f(x)的四次多项式$p_4(x)$是

$$p_4(x) = \sum_{j=0}^4 f(x_j) \ell_j(x)$$

导数是

$$p_4'(x) = \sum_{j=0}^4 f(x_j) \ell'_j(x).$$

因此，f ′(x)在中点1=x = x2的有限差分近似为

$$f'(x_2) = \ell_0'(x_2) f(x_0) + \ell_1'(x_2) f(x_1) + \ell_2'(x_2) f(x_2) + \ell_3'(x_2) f(x_3) + \ell_4'(x_2) f(x_4) + O(h^4)$$

计算五个拉格朗日多项式在1=x = x2的导数可以得到一样的加权系数。若要延伸到非均匀格点，此方式会更加直接。

## 二维

二维下，若方格的长宽都是h，一个点(x, y)的五点模版为

$$\{(x-h, y), (x, y), (x+h, y), (x, y-h), (x, y+h)\},$$

形成一个称为梅花形（quincunx）的形状，此模版可以近似双变数函数的拉普拉斯算子

$$\nabla^2 f(x,y) \approx \frac{f(x-h,y) + f(x+h,y) + f(x,y-h) + f(x,y+h) - 4f(x,y)}{h^2}.$$

此近似的误差为O(h 2)，说明如下：

用函数对x和y的三点模版二阶导数可得：

$$\begin{align} \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} &= \frac{f\left(x + \Delta x,y\right) + f\left(x - \Delta x,y\right) - 2f(x,y)}{\Delta x^2} - 2\frac{f^{(4)}(x,y)}{4!} \Delta x^2 + \cdots \\[1ex] \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2} &= \frac{f\left(x, y + \Delta y\right) + f\left(x, y - \Delta y\right) - 2f(x,y)}{\Delta y^2} - 2\frac{f^{(4)}(x,y)}{4!} \Delta y^2 + \cdots \end{align}$$

若假设$\Delta x = \Delta y = h$:

$$\begin{align} \nabla^2 f &= \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2} \\[1ex] <pre> &= \frac{f\left(x + h,y\right) + f\left(x - h,y\right) + f\left(x, y + h\right) + f\left(x, y - h\right) - 4f(x,y)}{h^2} - 4 \frac{f^{(4)}(x,y)}{4!}h^2 + \cdots \\[1ex] &= \frac{f\left(x + h,y\right) + f\left(x - h,y\right) + f\left(x, y + h\right) + f\left(x, y - h\right) - 4f(x,y)}{h^2} + O\left(h^2\right)\\ </pre> \end{align}$$

## 参考资料

- . Ninth printing. Table 25.2.