多体系统

多体系统（Multibody system）是力学与机械工程领域中的一个重要分支，主要研究由多个物体透过关节或连接件相互连结后，在受力状态下的动态行为。

多体动力学（Multibody Dynamics）的研究对象，范围从简单的滑块曲柄连杆，到复杂的汽车悬吊系统、机械手臂，甚至是人体的肌肉骨骼系统。现代的多体系统分析高度依赖电脑模拟技术，广泛应用于工程设计、机器人控制以及电脑图学中。

## 应用

单一组件的机械系统可以用有限元素法彻底研究，而多体系统的行为会用以下领域中的多体系统方法来探讨：

- 航空航天工程（直升机、起落架、不同重力条件下的机器行为）
- 生物力学
- 内燃机、传动系统、链轮、皮带轮
- 动态模拟
- 起重机 (装置)、传送系统、造纸厂
- 军事应用
- N体模拟（粒状物质、沙、分子）
- 物理引擎
- 机器人学
- 车辆模拟 (车辆动力学、车辆快速成型、稳定性提升、舒适度最佳化、效率提升...)

## 例子

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以滑块曲柄机构来说明多体系统，此机构透过转动的驱动杆、连接杆和滑块，将转动运动转换为线性运动。驱动杆、连接杆和滑块都是刚体，滑块不允许旋转，有三个转动接点连接各刚体。每个刚体在空间中有六个自由度，由于运动学的条件，整个系统只有一个自由度。

## 概念

多体系统是由多个组件所组成的系统。组件可能是刚体或是可挠件，像机器人的一节手臂、车辆的一个轮或是轴、或是人的一只前臂。各组件之间会有接头或是接点连接，也可能将组件和地面连接。接头或接点有特定的运动约束条件，因此限制了组件之间的相运动。常见的约束条件如下：

- 万向接头：四个运动学约束条件。
- 棱柱接点：允许沿着一个轴的相对移动，但不允许转动，五个运动学约束条件。
- 旋转接点：允许沿着一个轴的相对转动，但不允许移动，五个运动学约束条件。
- 球接头：允许沿着一个点的相对转动，但不允许移动，三个运动学约束条件。

多体系统中还有两个重要的词：自由度和约束条件。

### 自由度

自由度是指可以独立变动的运动可能性。换句话说，自由度就是要说明其在空间中完整位置时，所需的最少参数数量。

刚体在空间中，有六个自由度，其中有三个平移自由度，和三个转动自由度。若是平面运动，就只有三个自由度，其中有两个平移自由度，一个转动自由度。

平面运动的自由度可用鼠标来说明。其自由度有：左右、前后以及沿着垂直轴的转动。

### 约束条件

约束条件是指在单体或多体系统上运动自由度的限制。经典的约束条件是定义两物体平移或旋转的代数方程。也有些约束条件是有关两物体的相对速度，或是某物体本身的速度。以滚动的圆盘为例，其约束条件是接触地面的点其速度为零。此例中的速度限制条件无法积分成位置的约束条件，因此是非完整约束，一般的滚动约束条件也是如此。

除此之外，也有一些非经典的约束条件可能会导入新的未知座标，例如滑动接头，也就是某物体的一点可以在另一物体的表面上运动。若是接触的约束条件，其条件会用不等式表示，因此该限制不一定永远限制物体的自由度。

## 运动方程

多体系统的动态行为会用运动方程来描述。各种多体系统的公式，会以不同数学形式的运动方程表示，但其中的物理学是相同的。描述受约束多体运动的方程基本上是由牛顿第二运动定律所得的结果。其方程包括各单体的运动，加上约束条件。多半可以用牛顿-欧拉方程式或拉格朗日方程来推导。

刚体的运动可以用下式表示

$\mathbf{M(q)} \ddot{\mathbf{q}} - \mathbf{Q}_v + \mathbf{C_q}^T \mathbf{\lambda} = \mathbf{F},$ (1)

$\mathbf{C}(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}}) = 0$ (2)

这类方程组是建构在所谓的冗余座标系上，因为其方程组的座标数量比系统的自由度要多。广义座标会用$\mathbf{q}$表示，其质量矩阵会以$\mathbf{M}(\mathbf{q})$表示，会和其广义座标有关。

$\mathbf{C}$表示约束条件，矩阵$\mathbf{C_q}$（有时称为雅可比矩阵）是约束条件对座标的导数。此矩阵是用来将约束力$\mathbf{\lambda}$施加在对应的方程式中。向量$\mathbf{\lambda}$的元素也称为拉格朗日乘数（Lagrange multiplier）。刚体的可能座标可以分为以下两部分。

$$\mathbf{q} = \left[ \mathbf{u} \quad \mathbf{\Psi} \right]^T$$

其中$\mathbf{u}$代表平移，而$\mathbf{\Psi}$代表旋转。

上式中的二次速度向量（Quadratic velocity vector）$\mathbf{Q}_v$是由来描述运动方程中和科氏力和向心力有关的部分，其名称是因为$\mathbf{Q}_v$包括速度的二次项，以及因为刚体动能偏微分而出现的结果。

拉格朗日乘数 $\lambda_i$和约束条件$C_i=0$有关，一般是用力或是力矩来表示，作用在自由度受约束的座标上。外力会改变物体的势能，相较起来，拉格朗日乘数不会对系统作功。

### 最简座标

运动方程(1,2)是用冗余座标表示，各座标之间不是完全独立。若以滑块曲柄机构为例子，每个物体都有六个自由度，但大部分的座标都和其他物体的运动有关。用18个座标和17个约束条件可以描述由三个刚体组成的滑块曲柄机构，不过只有一个自由度，其运动方程也可以用只有一个自由度的单一方程表示，例如以驱动杆的角度当成唯一的自由度。后者的方程有可以描述系统的最简座标，称为最简座标公式。

从冗余座标转换到最简座标的步骤有时会很麻烦，而且只在满足完全约束，且没有机构封闭回路的情形下才可能达到。针对将冗余座标转换到最简座标，已开发了许多算法。仅举一个所谓的递归公式为例，所得的方程没有约束条件，较容易计算，可以用准备的时间积分法来将运动方程对时间积分来求解。简化系统可能可以非常有效率的求解，但座标的转换可能在运算上会非常的耗资源。在很一般的通用多体系统公式以及软件系统中，使用冗余系统会让系统更容易使用，也比较有弹性。

## 柔性多体

有些情形需考虑物体的柔性（可挠性，flexibility）。像在运动学和柔性机构中，可挠性就相当的重要。

可以用几种不同方式来考量柔性，主要有三种作法：

- 离散的柔性多体。柔性体可分成许多刚体，彼此有类似弹簧的弹性连接，这也是此物体的弹性。
- 模态凝聚法（Modal condensation），透过利用与模态振幅相关的自由度，以有限数量的振动模态来描述物体的弹性。
- 完全柔性模型（Full flex），考虑系统的所有柔性，将系统离散化为子单元，每个子单元的位移都与弹性材料属性有关。

## 参考资料

- J. Wittenburg, Dynamics of Systems of Rigid Bodies, Teubner, Stuttgart (1977).
- J. Wittenburg, Dynamics of Multibody Systems, Berlin, Springer (2008).
- K. Magnus, Dynamics of multibody systems, Springer Verlag, Berlin (1978).
- P.E. Nikravesh, Computer-Aided Analysis of Mechanical Systems, Prentice-Hall (1988).
- E.J. Haug, Computer-Aided Kinematics and Dynamics of Mechanical Systems, Allyn and Bacon, Boston (1989).
- H. Bremer and F. Pfeiffer, Elastische Mehrkörpersysteme, B. G. Teubner, Stuttgart, Germany (1992).
- J. García de Jalón, E. Bayo, Kinematic and Dynamic Simulation of Multibody Systems - The Real-Time Challenge, Springer-Verlag, New York (1994).
- A.A. Shabana, Dynamics of multibody systems, Second Edition, John Wiley & Sons (1998).
- M. Géradin, A. Cardona, Flexible multibody dynamics – A finite element approach, Wiley, New York (2001).
- E. Eich-Soellner, C. Führer, Numerical Methods in Multibody Dynamics, Teubner, Stuttgart, 1998 (reprint Lund, 2008).
- T. Wasfy and A. Noor, "Computational strategies for flexible multibody systems," ASME. Appl. Mech. Rev. 2003;56(6):553-613. .
- B. Brogliato, "Nonsmooth Mechanics. Models, Dynamics and Control," Springer International Publishing Switzerland, 3rd Edition, 2016.