黏塑性

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黏塑性是连续介质力学中的一种理论，用于描述固体在速率依赖下的不可恢复（非弹性，inelastic）行为。此处的速率依赖意味着材料的变形取决于施加荷重的速率。黏塑性所研究的不可恢复行为是塑性变形，即当载荷达到一定水平时材料发生不可恢复的变形。速率依赖的塑性对于瞬态塑性计算至关重要。速率无关塑性模型与黏塑性模型的主要区别在于：后者不仅在加载后表现出永久变形，而且在所施加载荷作用下随时间持续发生作为时间函数的蠕变流动。

黏塑性材料的弹性响应在一维中可用胡克弹簧元件表示。速率依赖性可类似于黏弹性，用非线性黏壶元件表示。塑性可通过在图1所示的模型中加入滑动摩擦元件来考虑。图中$E$为杨氏模量，$\lambda$为黏度参数，$N$为幂律型参数，表示非线性黏壶关系$[\sigma (\mathrm{d}\varepsilon/\mathrm{d}t) = \sigma = \lambda(\mathrm{d}\varepsilon/\mathrm{d}t)^{1/N}]$。滑动元件可具有一个与应变速率相关的或恒定的屈服应力$\sigma_y$。

黏塑性通常在三维中采用Perzyna或Duvaut-Lions类型的“超应力”（overstress）模型来建模。在这些模型中，施加载荷时允许应力超出速率无关的屈服面，然后随着时间松弛回屈服面。通常在此类模型中假定屈服面不随速率变化。另一种方法是向屈服应力添加应变速率依赖，并利用速率无关塑性技术来计算材料响应。

对金属与合金而言，黏塑性是由与晶粒中位错运动相关的机制引起的宏观行为，且常叠加晶间滑移的效应。该机制通常在温度高于绝对熔点的大约三分之一时占主导地位；然而某些合金在室温（300K）下亦表现出黏塑性。对于聚合物、木材和沥青，描述超出弹性或黏弹性极限后的行为需要黏塑性理论。

一般而言，黏塑性理论在以下领域有用：

- 永久变形的计算。
- 结构塑性破坏的预测。
- 稳定性研究。
- 碰撞/冲击仿真。
- 暴露于高温的系统（例如发电厂内的涡轮）。
- 动态问题及高应变率作用下的系统。

## 历史

对塑性理论的研究始于1864年，源自Henri Tresca的工作，以及Saint Venant（1870年）和Maurice Lévy（1871年）关于最大剪切判据（maximum shear criterion）的工作。1913年Von Mises提出的改进塑性模型现称为冯·米塞斯屈服判据。在黏塑性方面，数学模型的发展可追溯到1910年，用以表征初期蠕变的安德拉德定律（Andrade's law）。1929年，Norton发展了一维黏壶模型，将二级蠕变速率与应力联系起来。1934年，Odqvist将Norton定律推广到多轴情形。

诸如塑性流率法线性（流动方向垂直于屈服面）及塑性流动规则等概念由路德维希·普朗特（1924年）和Reuss（1930年）提出。1932年，Hohenemser与威廉·普拉格提出了首个慢速黏塑性流动模型，为不可压缩的宾汉流体建立了偏应力与应变速率之间的关系。然而这些理论在1950年前并未广泛应用，限值定理（limit theorems）的发现促使其应用开始扩大。

1960年，Hoff组织的第一届国际理论与应用力学联合会（IUTAM）研讨会“结构中的蠕变”为黏塑性带来了重要发展，Hoff、Rabotnov、Perzyna、Hult与Lemaitre在各向同性硬化定律方面的工作，以及Kratochvil、Malinini和Khadjinsky、Ponter与Leckie及Chaboche在运动学硬化定律方面的工作，均具有重大贡献。Perzyna在1963年引入了依赖温度与时间的黏性系数。所形成的模型以不可逆过程热力学和现象学观点为支撑，这些思想构成了后续大多数速率依赖塑性研究的基础。

## 现象学

为了进行定性分析，通常进行几种特征试验来描述黏塑性材料的唯象行为。这些试验包括：

- 恒定应力或应变率下的硬化试验
- 恒定力下的蠕变试验
- 恒定伸长下的应力松弛试验

### 应变硬化试验

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屈服的一个后果是，随着塑性变形的进行，需要增加应力才能产生额外的应变。这种现象被称为应变硬化或加工硬化。对于黏塑性材料，其硬化曲线与速率无关塑性材料没有显著差异，但可以观察到三个基本区别：

- 在相同应变下，应变率越高，应力越高。
- 试验过程中应变率的变化会导致应力-应变曲线立即发生变化。
- 塑料屈服极限的概念不再严格适用。

在小应变情况下，通过解耦弹性部分和塑性部分来划分应变的假设仍然适用，即：$$<pre> \boldsymbol{\varepsilon} = \boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{e}} + \boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{vp}}$$其中$\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{e}}$是弹性应变，$\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{vp}}$是黏塑性应变。图中蓝色曲线所示的应力-应变行为是通过初始以0.1/s的应变率加载，随后瞬间提高到100/s并保持，最后再降回0.1/s得到的。应变率变化与应力响应之间存在明显的滞后。过应力模型（如Perzyna模型）可以相当准确地模拟这种滞后，而具有速率相关屈服应力的速率无关塑性模型则无法做到。

### 蠕变试验

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蠕变是指固体材料在恒定应力下缓慢发生永久变形或移动的趋势。蠕变试验测量恒定应力下的应变响应。典型的蠕变曲线描述了在恒定温度下受单轴应力作用的材料中应变随时间演化的过程。通常，该曲线表现出三个阶段的行为：

- 初始蠕变阶段（又称瞬态蠕变）：开始阶段，材料的硬化导致流动速率降低，初始速率非常高（$0 \le \boldsymbol{\varepsilon} \le \boldsymbol{\varepsilon}_1$）。
- 稳态蠕变阶段（又称第二阶段）：应变率保持恒定（$\boldsymbol{\varepsilon}_1 \le \boldsymbol{\varepsilon} \le \boldsymbol{\varepsilon}_2$）。
- 加速蠕变阶段（又称第三阶段）：应变率逐渐增加，直至发生断裂（$\boldsymbol{\varepsilon}_2 \le \boldsymbol{\varepsilon} \le \boldsymbol{\varepsilon}_R$）。

### 松弛试验

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松弛试验定义为在一段时间内保持恒定应变所产生的应力响应。在黏塑性材料中，松弛试验展示了单轴加载下恒定应变时的应力松弛。事实上，这些试验表征了黏性，并可用于确定应力与黏塑性应变率之间的关系。应变率的分解式为：$$\cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon}}{\mathrm{d}t} = \cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{d}t} + \cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{vp}}}{\mathrm{d}t} ~$$应变率弹性部分为：$$\cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{d}t} = \mathsf{E}^{-1}~\cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\sigma}}{\mathrm{d}t} <pre>$$对于应变-时间曲线的平坦区域，总应变率为零。因此，我们有：$$</pre> \cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{vp}}}{\mathrm{d}t} = -\mathsf{E}^{-1}~\cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\sigma}}{\mathrm{d}t} <pre>$$因此，松弛曲线可用于确定黏塑性应变率，进而确定一维黏塑性材料模型中阻尼器的黏度。当应力在松弛试验结束时达到平台期所达到的残余值对应于弹性的上限。对于某些材料（如岩盐），这种弹性上限发生在极小的应力值下，松弛试验可以持续一年以上而观察不到任何明显的应力平台。

值得注意的是，松弛试验极难执行，因为在试验中维持 $\cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon}}{\mathrm{d}t} = 0$ 的条件需要相当高的精密程度。

## 黏塑性的流变模型

基于弹簧-阻尼器-滑块元件的黏塑性一维本构模型包括完全黏塑性固体、弹性完全黏塑性固体和硬化弹黏塑性固体。这些元件可以串联或并联连接。在元件串联的模型中，应变具有加和性，而每个元件中的应力相等。在并联连接中，应力具有加和性，而每个元件中的应变相等。许多此类一维模型可以推广到小应变范围内的三维情况。在随后的讨论中，应变率和应力率分别记为$\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}$和$\dot{\boldsymbol{\sigma}}$。

### 完全黏塑性固体（Norton-Hoff模型）

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在完全黏塑性固体（也称为黏塑性的Norton-Hoff模型）中，应力（与黏性流体类似）是永久应变率的函数。该模型忽略了弹性的影响，即$\boldsymbol{\varepsilon}_e = 0$，因此不存在初始屈服应力，即$\sigma_y = 0$。黏性阻尼器的响应由下式给出：$$<pre> \boldsymbol{\sigma} = \eta~\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\!\mathrm{vp}} \implies \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\!\mathrm{vp}} = \frac{\boldsymbol{\sigma}}{\eta}$$其中$\eta$是阻尼器的黏度。在Norton-Hoff模型中，黏度$\eta$是施加应力的非线性函数，由下式给出：$$\eta = \lambda\left(\frac{\lambda}{\|\boldsymbol{\sigma}\|}\right)^{N-1}$$其中$N$是拟合参数，$\lambda$是材料的运动黏度，且$\|\boldsymbol{\sigma}\| = \sqrt{\boldsymbol{\sigma}:\boldsymbol{\sigma}} = \sqrt{\sigma_{ij} \sigma_{ij}}$。则黏塑性应变率由以下关系式给出：$$\cfrac{\boldsymbol{\sigma}}{\eta} = \cfrac{\boldsymbol{\sigma}}{\lambda}\left[\cfrac{\|\boldsymbol{\sigma}\|}{\lambda}\right]^{N-1}$$在一维形式中，Norton-Hoff模型可以表示为：$$\sigma = \lambda~\left(\dot{\varepsilon}_{\!\mathrm{vp}}\right)^{1/N}$$当$N = 1.0$时，该固体为黏弹性体。

如果我们假设塑性流动是等容过程（体积守恒），那么上述关系可以表示为更常见的形式：$$<pre> \boldsymbol{s} = 2 K~\left(\sqrt{3}\dot{\varepsilon}_{\mathrm{eq}}\right)^{m-1}~\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\mathrm{vp}}$$其中$\boldsymbol{s}$是偏应力张量，$\dot{\varepsilon}_{\mathrm{eq}}$是冯·米塞斯等效应变率，$K$，$m$是材料参数。等效应变率定义为：$$\dot{\bar{\epsilon}} = \sqrt{\frac{2}{3} \dot{\bar{\bar{\epsilon}}}:\dot{\bar{\bar{\epsilon}}} }$$这些模型可应用于温度高于绝对熔点（以开尔文为单位）三分之二的金属和合金，以及高温下的聚合物/沥青。此类材料对应变硬化、蠕变和松弛试验的响应如图所示。

### 弹性完全黏塑性固体（Bingham–Norton模型）

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可以使用两种基本的途径来构建弹性完全黏塑性模型。在第一种情况下，滑动摩擦元件和阻尼器并联布置，然后与弹性弹簧串联，如图所示。该模型被称为Bingham–Maxwell模型（类比麦克斯韦模型和宾汉模型）或 Bingham–Norton模型。在第二种情况下，所有三个元件都并联布置。此类模型被称为Bingham–Kelvin模型（类比于开尔文-沃伊特模型）。

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对于弹性完全黏塑性材料，弹性应变不再被视为可以忽略不计，但塑性应变率仅是初始屈服应力的函数，且不受硬化的影响。当超过弹性极限时，无论应变如何，滑动元件都代表恒定的屈服应力。该模型可以表示为：$$<pre> \begin{align} & \boldsymbol{\sigma} = \mathsf{E}~\boldsymbol{\varepsilon} & & \mathrm{for}~\|\boldsymbol{\sigma}\| < \sigma_y \\ & \dot{\boldsymbol{\varepsilon}} = \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\mathrm{e}} + \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\mathrm{vp}} = \mathsf{E}^{-1}~\dot{\boldsymbol{\sigma}} + \cfrac{\boldsymbol{\sigma}}{\eta}\left[1 - \cfrac{\sigma_y}{\|\boldsymbol{\sigma}\|}\right] & & \mathrm{for}~\|\boldsymbol{\sigma}\| \ge \sigma_y \end{align}$$其中$\eta$是阻尼器元件的黏度。如果阻尼器元件具有Norton形式的响应：$$\cfrac{\boldsymbol{\sigma}}{\eta} = \cfrac{\boldsymbol{\sigma}}{\lambda}\left[\cfrac{\|\boldsymbol{\sigma}\|}{\lambda}\right]^{N-1}$$我们得到Bingham–Norton模型：$$\dot{\boldsymbol{\varepsilon}} = \mathsf{E}^{-1}~\dot{\boldsymbol{\sigma}} + \cfrac{\boldsymbol{\sigma}}{\lambda}\left[\cfrac{\|\boldsymbol{\sigma}\|}{\lambda}\right]^{N-1}\left[1 - \cfrac{\sigma_y}{\|\boldsymbol{\sigma}\|}\right] \quad \mathrm{for}~\|\boldsymbol{\sigma}\| \ge \sigma_y$$

文献中也可以观察到应变率的其他表达式，其通用形式为：$$<pre> \dot{\boldsymbol{\varepsilon}} = \mathsf{E}^{-1}~\dot{\boldsymbol{\sigma}} + f(\boldsymbol{\sigma}, \sigma_y)~\boldsymbol{\sigma} \quad \mathrm{for}~\|\boldsymbol{\sigma}\| \ge \sigma_y$$此类材料对应变硬化、蠕变和松弛试验的响应如图所示。

### 硬化型弹黏塑性固体

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具有应变硬化特性的弹黏塑性材料由类似于具有完全塑性的弹黏塑性材料方程来描述。然而，在这种情况下，应力既取决于塑性应变率，也取决于塑性应变本身。对于弹黏塑性材料，应力在超过屈服应力后，继续增加并超过初始屈服点。这意味着滑动元件中的屈服应力随应变而增加，该模型可用通用术语表示为：$$<pre> \begin{align} & \boldsymbol{\varepsilon} =\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{e}} = \mathsf{E}^{-1}~\boldsymbol{\sigma} = ~\boldsymbol{\varepsilon} & & \mathrm{for}~\|\boldsymbol{\sigma}\| < \sigma_y \\ & \dot{\boldsymbol{\varepsilon}} = \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\!\mathrm{e}} + \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\!\mathrm{vp}} = \mathsf{E}^{-1}~\dot{\boldsymbol{\sigma}} + f(\boldsymbol{\sigma}, \sigma_y,\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{vp}})~\boldsymbol{\sigma} & & \mathrm{for}~\|\boldsymbol{\sigma}\| \ge \sigma_y \end{align}$$当金属和合金处于中高温以及木材处于高载荷下时，采用该模型。此类材料对应变硬化、蠕变和松弛试验的响应如图所示。

### 应变速率相关塑性模型

经典的微小应变唯象黏塑性模型通常分为两类：

- Perzyna公式
- Duvaut–Lions公式

#### Perzyna公式

在Perzyna公式中，假设塑性应变率由如下形式的本构方程给出：$$<pre> \dot{\varepsilon}_{\mathrm{vp}} = \cfrac{\left\langle f(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{q})\right\rangle}{\tau} \cfrac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}} = \begin{cases} \cfrac{f(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{q})}{\tau} \cfrac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}}& \text{if}~f(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{q}) > 0 \\ 0 & \text{otherwise} \\ \end{cases}$$其中 $f(.,.)$ 是屈服函数，$\boldsymbol{\sigma}$是柯西应力，$\boldsymbol{q}$是一组内部变量（如塑性应变$\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{vp}}$），$\tau$是松弛时间。符号$\langle \dots \rangle$表示麦考利括弧。在各版本的 Chaboche 模型中使用的流动法则（flow rule）是 Perzyna 流动法则的一个特例，形式如下：$$\dot{\varepsilon}_{\mathrm{vp}} = \left\langle \frac{f}{f_0} \right\rangle^n \sgn (\boldsymbol{\sigma} - \boldsymbol{\chi})$$其中$f_0$是$f$的准静态值，而$\boldsymbol{\chi}$是一个“背应力”（backstress）。若干个关于背应力的模型也冠以“Chaboche模型”之名。

#### Duvaut–Lions公式

Duvaut–Lions公式等价于Perzyna公式，可以表示为：$$<pre> \dot{\varepsilon}_{\mathrm{vp}} = \begin{cases} \mathsf{C}^{-1}:\cfrac{\boldsymbol{\sigma} - \mathcal{P}\boldsymbol{\sigma}}{\tau} & \text{if}~f(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{q}) > 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$其中$\mathsf{C}$是弹性刚度张量，$\mathcal{P}\boldsymbol{\sigma}$是应力状态向界定所有可能弹性应力状态区域边界上的最近点投影。量值$\mathcal{P}\boldsymbol{\sigma}$通常通过塑性问题的速率无关解求得。

### 流动应力模型

量值$f(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{q})$代表屈服面的演化。屈服函数$f$通常表示为一个由某种应力不变量和屈服应力（或塑性流动应力）模型组成的方程。例如von Mises应力判据或$J_2$塑性。在这些情况下，塑性应变率的计算方式与速率无关塑性相同。在其他情况下，屈服应力模型提供了计算塑性应变率的直接手段。

计算塑性力学中使用了大量的经验和半经验流动应力模型。以下随温度和应变率变化的模型提供了当前使用的模型示例：

- Johnson-Cook模型
- Steinberg-Cochran-Guinan-Lund模型
- Zerilli-Armstrong模型
- 机械阈值应力（MTS）模型
- Preston-Tonks-Wallace（PTW）模型

Johnson-Cook（JC）模型是纯经验性的，且在上述五种模型中应用最广。然而，该模型在高温下表现出不切实际的微小速率相关性。Steinberg-Cochran-Guinan-Lund（SCGL）模型是半经验性的。该模型在低应变率下是纯经验的且与速率无关。在低应变率下使用了基于的位错扩展模型。SCGL模型被冲击物理学界广泛使用。Zerilli–Armstrong（ZA）模型是一个简单的基于物理的模型，已被广泛使用。一个基于位错动力学思想的更复杂的模型是机械阈值应力（MTS）模型。该模型已用于模拟铜、钽、钢合金、以及铝合金的塑性变形。然而，MTS模型仅限于应变率低于约107/s的情况。Preston-Tonks-Wallace（PTW）模型同样具有物理基础，其形式类似于MTS模型。然而，PTW模型具有可以模拟超驱动冲击范围内（应变率大于107/s）塑性变形的分量。因此，在五种流动应力模型中，该模型适用于最广泛的应变率范围。

#### Johnson-Cook流动应力模型

Johnson-Cook（JC）模型是纯经验性的，给出了如下流动应力（$\sigma_y$）的关系式：$$\text{(1)} \qquad <pre> \sigma_y(\varepsilon_{\text{p}},\dot{\varepsilon}_\text{p},T) = \left[A + B \left(\varepsilon_{\text{p}}\right)^n\right] \left[1 + C \ln \dot{\varepsilon}_{\!\text{p}}^{*} \right] \left[1 - (T^*)^m\right] </pre>$$其中$\varepsilon_{\text{p}}$是等效塑性应变，$\dot{\varepsilon}_\text{p}$是塑性应变速率，而$A, B, C, n, m$是材料常数。

方程 (1) 中的归一化应变率和温度定义为：$$<pre> \dot{\varepsilon}_{\!\text{p}}^{*} := \frac{\dot{\varepsilon}_{\!\text{p}}}{\dot{\varepsilon}_{\!\text{p0}}} \qquad\text{and}\qquad T^* := \frac{T - T_0}{T_m-T_0} </pre>$$其中$\dot{\varepsilon}_\text{p0}$是用于确定屈服和硬化参数A、B和n的准静态试验的有效塑性应变率。这并不像人们通常认为的那样仅仅是一个使$\dot{\varepsilon}_\text{p}^{*}$无量纲化的参数。$T_0$是参考温度，而$T_m$是参考熔点。对于$T^* < 0$的情况，我们假设$m = 1$。

#### Steinberg-Cochran-Guinan-Lund流动应力模型

Steinberg–Cochran–Guinan–Lund（SCGL）模型是一个半经验模型，由Steinberg等针对高应变率情况开发，并由Steinberg和Lund扩展到低应变率和bcc材料。该模型中的流动应力由下式给出：$$\text{(2)} \qquad <pre> \sigma_y(\varepsilon_{\text{p}}, \dot{\varepsilon}_{\!\text{p}}, T) = \left[\sigma_a f(\varepsilon_{\text{p}}) + \sigma_t (\dot{\varepsilon}_{\!\text{p}}, T)\right] \frac{\mu(p,T)}{\mu_0}; \quad \sigma_a f \le \sigma_{\text{max}} ~~\text{and}~~ \sigma_t \le \sigma_p </pre>$$其中$\sigma_a$是流动应力的非热分量，$f(\varepsilon_{\text{p}})$是代表应变硬化的函数，$\sigma_t$是流动应力的热激活分量，$\mu(p,T)$是随压力和温度变化的剪切模量，而$\mu_0$是标准温度和压力下的剪切模量。非热应力的饱和值为$\sigma_{\text{max}}$。热激活应力的饱和值是Peierls应力（$\sigma_p$）。该模型的剪切模量通常使用Steinberg-Cochran-Guinan剪切模量模型计算。

应变硬化函数（$f$）的形式为：$$<pre> f(\varepsilon_{\text{p}}) = [1 + \beta(\varepsilon_{\text{p}} + \varepsilon_{\text{p}}i)]^n </pre>$$其中$\beta, n$是加工硬化参数，而$\varepsilon_{\text{p}}i$是初始等效塑性应变。

热分量（$\sigma_t$）使用二分算法从以下方程计算：$$<pre> \dot{\varepsilon}_\text{p} = \left[\frac{1}{C_1}\exp\left[\frac{2U_k}{k_\text{B} T} \left(1 - \frac{\sigma_t}{\sigma_p}\right)^2\right] + \frac{C_2}{\sigma_t}\right]^{-1}; \quad \sigma_t \le \sigma_p </pre>$$其中$2 U_k$是在长度为$L_d$的位错线段中形成一个扭结对所需的能量，$k_b$是波兹曼常数，$\sigma_p$是Peierls应力。常数$C_1, C_2$由如下关系式给出：$$<pre> C_1 := \frac{\rho_d L_d a b^2 \nu}{2 w^2}; \quad C_2 := \frac{D}{\rho_d b^2} </pre>$$其中$\rho_d$是位错密度，$L_d$是位错线段的长度，$a$是Peierls谷之间的距离，$b$是Burgers矢量的大小，$\nu$是德拜频率，$w$是扭结环的宽度，而$D$是阻力系数。

#### Zerilli-Armstrong流动应力模型

Zerilli-Armstrong（ZA）模型基于简化的位错力学。流动应力方程的一般形式为：$$\text{(3)} \qquad <pre> \sigma_y(\varepsilon_{\text{p}},\dot{\varepsilon}_\text{p},T) = \sigma_a + B\exp(-\beta T) + B_0\sqrt{\varepsilon_{\text{p}}}\exp(-\alpha T) ~.$$

在该模型中，$\sigma_a$是由下式给出的流动应力的非热分量：$$<pre> \sigma_a := \sigma_g + \frac{k_h}{\sqrt{\ell}} + K\varepsilon_{\text{p}}^n, </pre>$$其中$\sigma_g$是由于溶质和初始位错密度产生的贡献，$k_h$是显微结构应力强度，$\ell$是平均晶粒直径，对于fcc材料$K$为零，$B, B_0$是材料常数。

在热激活项中，指数$\alpha$和$\beta$的函数形式为：$$<pre> \alpha = \alpha_0 - \alpha_1 \ln(\dot{\varepsilon}_{\!\text{p}}); \quad \beta = \beta_0 - \beta_1 \ln(\dot{\varepsilon}_{\!\text{p}}); </pre>$$其中$\alpha_0, \alpha_1, \beta_0, \beta_1$是取决于材料类型（fcc、bcc、hcp、合金）的材料参数。为了在高温下获得更好的表现，Abed等对Zerilli-Armstrong模型进行了修正。

#### 机械阈值应力流动应力模型

机械阈值应力（MTS）模型 具有以下形式：$$\text{(4)} \qquad <pre> \sigma_y(\varepsilon_{\text{p}},\dot{\varepsilon},T) = \sigma_a + (S_i \sigma_i + S_e \sigma_e)\frac{\mu(p,T)}{\mu_0} </pre>$$其中$\sigma_a$是机械阈值应力的非热分量，$\sigma_i$是由于热激活位错运动的本征阻碍和位错-位错相互作用产生的流动应力分量，$\sigma_e$是由于随变形量增加显微结构演化(应变硬化)产生的流动应力分量，（$S_i, S_e$）是随温度和应变率变化的比例因子，而$\mu_0$是0 K和环境压力下的剪切模量。

比例因子采用阿伦尼乌斯方程形式：$$\begin{align} <pre> S_i & = \left[1 - \left(\frac{k_\text{B} T}{g_{0i}b^3\mu(p,T)} \ln\frac{\dot{\varepsilon}_{\!0}}{\dot{\varepsilon}}\right)^{1/q_i} \right]^{1/p_i} \\ S_e & = \left[1 - \left(\frac{k_\text{B} T}{g_{0e}b^3\mu(p,T)} \ln\frac{\dot{\varepsilon}_{\!0}}{\dot{\varepsilon}}\right)^{1/q_e} \right]^{1/p_e} </pre> \end{align}$$其中$k_b$是波尔兹曼常数，$b$是伯格斯矢量的大小，（$g_{0i}, g_{0e}$）是归一化激活能，（$\dot{\varepsilon}, \dot{\varepsilon}_0$）是应变率和参考应变率，而（$q_i, p_i, q_e, p_e$）是常数。

机械阈值应力的应变硬化分量（$\sigma_e$）由经验修正的Voce定律给出：$$\text{(5)} \qquad <pre> \frac{d\sigma_e}{d\varepsilon_{\text{p}}} = \theta(\sigma_e) </pre>$$其中$$\begin{align} <pre> \theta(\sigma_e) & = \theta_0 [ 1 - F(\sigma_e)] + \theta_{IV} F(\sigma_e) \\ \theta_0 & = a_0 + a_1 \ln \dot{\varepsilon}_{\!\text{p}} + a_2 \sqrt{\dot{\varepsilon}_{\!\text{p}}} - a_3 T \\ F(\sigma_e) & = \cfrac{\tanh\left(\alpha \frac{\sigma_e}{\sigma_{es}}\right)} {\tanh(\alpha)}\\ \ln\cfrac{\sigma_{es}}{\sigma_{0es}} & = \frac{k_\text{B} T}{g_{0es} b^3 \mu(p,T)} \ln \cfrac{\dot{\varepsilon}_{\!\text{p}}}{\dot{\varepsilon}_{\!\text{p}}} </pre> \end{align}$$且$\theta_0$是由于位错积累产生的硬化，$\theta_{IV}$是由于阶段IV硬化产生的贡献，（$a_0, a_1, a_2, a_3, \alpha$）是常数，$\sigma_{es}$是应变硬化率为零时的应力，$\sigma_{0es}$是0 K变形时的饱和阈值应力，$g_{0es}$是常数，而$\dot{\varepsilon}_\text{p}$是最大应变率。请注意，最大应变率通常被限制在约107/s。

#### Preston-Tonks-Wallace流动应力模型

Preston–Tonks–Wallace（PTW）模型旨在提供一个适用于极端应变率（高达1011/s）和直至熔点温度的流变应力模型。模型中使用了线性Voce硬化定律。PTW流变应力由下式给出：$$\text{(6)} \qquad <pre> \sigma_y(\varepsilon_{\text{p}},\dot{\varepsilon}_\text{p},T) = \begin{cases} 2\left[\tau_s + \alpha\ln\left[1 - \varphi \exp\left(-\beta-\cfrac{\theta\varepsilon_{\text{p}}}{\alpha\varphi}\right)\right]\right] \mu(p,T) & \text{thermal regime} \\ 2\tau_s\mu(p,T) & \text{shock regime} \end{cases} </pre>$$其中$$<pre> \alpha := \frac{s_0 - \tau_y}{d}; \quad \beta := \frac{\tau_s - \tau_y}{\alpha}; \quad \varphi := \exp(\beta) - 1 </pre>$$其中$\tau_s$是归一化加工硬化饱和应力，$s_0$是0 K时$\tau_s$的值，$\tau_y$是归一化屈服应力，$\theta$是Voce硬化定律中的硬化常数，而$d$是修正Voce硬化定律的无量纲材料参数。

饱和应力和屈服应力由下式给出：$$\begin{align} <pre> \tau_s & = \max\left\{s_0 - (s_0 - s_{\infty}) \text{erf}\left[\kappa \hat{T}\ln\cfrac{\gamma\dot{\xi}}{\dot{\varepsilon}_\text{p}}\right], \, s_0\left(\cfrac{\dot{\varepsilon}_\text{p}}{\gamma\dot{\xi}}\right)^{s_1}\right\} \\ \tau_y & = \max\left\{y_0 - (y_0 - y_{\infty}) \text{erf}\left[\kappa \hat{T}\ln\cfrac{\gamma\dot{\xi}}{\dot{\varepsilon}_\text{p}}\right], \, \min\left\{ y_1\left(\cfrac{\dot{\varepsilon}_\text{p}}{\gamma\dot{\xi}}\right)^{y_2}, \, s_0\left(\cfrac{\dot{\varepsilon}_\text{p}}{\gamma\dot{\xi}}\right)^{s_1}\right\}\right\} </pre> \end{align}$$其中$s_{\infty}$是接近熔点温度时的$\tau_s$值，（$y_0, y_{\infty}$）分别是0 K时和接近熔点时的$\tau_y$ 值，（$\kappa, \gamma$）是材料常数，$\hat{T} = T/T_m$，（$s_1, y_1, y_2$）是高应变率范围的材料参数，且：$$<pre> \dot{\xi} = \frac{1}{2}\left(\cfrac{4\pi\rho}{3M}\right)^{1/3} \left(\cfrac{\mu(p,T)}{\rho}\right)^{1/2} </pre>$$其中$\rho$是密度，而$M$是原子量。

## 相关

- 黏弹性
- 宾汉流体
- 黏壶
- 蠕变
- 塑性变形
- 连续介质力学