算数数列中的质数

在数论中，算数数列中的质数的研究范围包括任何包含至少三个在等差数列中彼此相邻的质数的数列。一个这样的序列的例子是$(3, 7, 11)$，而这序列可由$a_n = 3 + 4n$在$0 \le n \le 2$时给出。

根据格林-陶定理，在质数构成的数列中，存在任意大的等差数列。

有时这概念也可用以指涉同时包含合数的等差数列中出现的质数，像例如说，这概念也可用以指称有着$an + b$这样形式且$a$与$b$互质的等差数列；而根据狄利克雷定理，这样的数列包含无限多的质数，也包含无限多的合数。

对于大于3的正整数$k$而言，AP-k（又作PAP-k）指的是任意等差数列中任意$k$个彼此相邻的质数。一个AP-k可写成$an + b$这样变数$n$为$k$个连续数值的形式，其中$a$（公差）与$b$是固定数。一般以$n=0$至$k$来表达一个AP-k，这总可借由将$b$给定义成算术数列中的第一个质数达成。

在本文中，以$q\#=2\times3\times5\times7\times\cdots\times q$代表对于质数$q$的质数阶乘，以$x\#=2\times3\times5\times7\times\cdots\times q$代表对于所有不大于$x$的质数（其中$q$是不大于$x$的最大质数）的质数阶乘。

## 性质

任何由质数构成的等差数列，其长度皆有限。在2004年，本·格林和陶哲轩借由证明格林-陶定理解决了一个悬宕多年的旧猜想，也就是质数集合中包含任意长度等差数列的猜想。由此可立即推得说，对于任意$k$而言，都存在有无限多个AP-k。

假若一个AP-k不以质数$k$起始，那其公差就是形如$k\#=2\times3\times5\cdots\times j$这样的质数阶乘，其中$j$不大于$k$的质数中最大的质数。

证明：设要证明的AP-k的形式为$an + b$，其中$n$是变数，其数值为$k$个连续正整数。若$a$不能为质数$p$除尽，那根据模算数，在这等差序列中，每隔$p$项就会有一项被$p$除尽。因此若AP对于连续$k$个值都是质数，那么$a$就必然为所有不大于$k$的质数$p \le k$所除尽。

这也显示了一个包含公差$a$的AP，其连续的质数项的数量，不能超过最小且不能除尽$a$的质数的值。

若$k$是一个质数，那么AP-k就可以$k$起始并包含大小仅为而$(k-1)\#$非$k\#$的公差。像例如包含$(3, 5, 7)$这三项的AP-3，其公差为$2\#=2$；而包含$(5, 11, 17, 23, 29)$这五项的AP-5，其公差为$4\#=6$。目前有猜想认为，对所有为质数的$k$，都有如此的例子。截至为止，已确认有此性质的最大质数是$k=19$，而相关的AP-19如下，由Wojciech Iżykowski于2013年发现：

$19 + 4244193265542951705\cdot 17\#\cdot n$，其中$n$的值为0到18。

这猜想可由迪克森猜想或质数k元组猜想等广泛认为正确的猜想得出，在其中，若$p > 2$是最小不能为$a$所除尽的数，那就存在有无限多公差为$a$的AP-$p-1$。像例如5是不能除尽6的最小质数，因此可期望说有无限多的AP-4，其公差为6，而这样的数组又称为六质数四胞胎；而当$a=2$且$p=3$时，这即是孪生质数猜想，在此情况下，此AP-2会包含$b$跟$b+2$这两个质数。

## AP中最小的质数

此处的最后项最小化

k｜从$n=0$到$k-1$间的质数形式

3｜$3 + 2n$

4｜$5 + 6n$

5｜$5 + 6n$

6｜$7 + 30n$

7｜$7 + 150n$

8｜$199 + 210n$

9｜$199 + 210n$

10｜$199 + 210n$

11｜$110437 + 13860n$

12｜$110437 + 13860n$

13｜$4943 + 60060n$

14｜$31385539 + 420420n$

15｜$115453391 + 4144140n$

16｜$53297929 + 9699690n$

17｜$3430751869 + 87297210n$

18｜$4808316343 + 717777060n$

19｜$8297644387 + 4180566390n$

20｜$214861583621 + 18846497670n$

21｜$5749146449311 + 26004868890n$

22｜$19261849254523 + 784801917900n$

23｜$403185216600637 + 2124513401010n$

## AP中最大已知的质数

为止，已知最长的AP-k是AP-27，同时也已知数个AP-26的例子。这些数列的第一个是由Benoît Perichon在2010年4月12日以一台PlayStation 3发现的，他用的软件由Jarosław Wróblewski及Geoff Reynolds所开发、由Bryan Little转平台到PlayStation 3上，并作为PrimeGrid计划的一部分发布。以下是他发现的质数序列：

$43142746595714191 + 23681770\cdot23\#\cdot n$，其中$n$的值为0到25。

在发现第一个AP-26时，PrimeGrid将整个搜寻分成131,436,182个段落，并交由全球各地的32跟64位元CPA、Nvidia CUDA GPU以及Cell微处理器等进行搜寻。

在此之前，已知最长的数列是由Raanan Chermoni和Jarosław Wróblewski在2008年5月17日发现的一个AP-25：

$6171054912832631 + 366384\cdot23\#\cdot n$，其中$n$的值为0到24。（另外$23\# = 223092870$）

对这AP-25的搜寻是在一台CPU为Athlon 64的电脑上进行的，搜寻的部分首先分成段落，并花了大约3分钟。对此Wróblewski说道：“我认为Raanan搜寻的段落少于10,000,000个。”（而用Athlon 64的CPU大概要花57个CPU年才能完成完整的搜寻）

更早以前的纪录，是一个由在2007年1月18日由Jarosław Wróblewski独自发现的AP-24：

$468395662504823 + 205619\cdot23\#\cdot n$，其中$n$的值为0到23。

对此Wróblewski回报说他用了75台电脑，其中15台装载64位元的Athlon中央处理器，15台装载64位元的Pentium D 805中央处理器；30台装载32位元的Athlon 2500中央处理器，以及15台装载Duron 900中央处理器。

下表显示了历来最大已知的AP-k及其发现年分和末项质数的数字位数。

应当注意的是，最大已知的AP-k可能会以已知的AP-(k+1)结尾。

一些记录创造者首先先计算大量形如$c\cdot p\# + 1$且$p$固定的质数然后再开始对不同的$c$寻找能生出质数的AP。这反映在一些纪录的表现形式中，而这些纪录可轻易地重写成$a\cdot n+b$的形式。

k｜从$n=0$的值为0到$n=k-1$的质数形式｜位数｜年分｜发现者

3｜(503·21092022−1) + (1103·23558176 − 503·21092022)·n｜1071122｜2022｜Ryan Propper, Serge Batalov

4｜(263093407 + 928724769·n)·299901−1｜30083｜2022｜Serge Batalov

5｜(440012137 + 18195056·n)·30941#+1｜13338｜2022｜Serge Batalov

6｜(1445494494 + 141836149·n)·16301# + 1｜7036｜2018｜Ken Davis

7｜(2554152639 + 577051223·n)·7927# + 1｜3407｜2022｜Serge Batalov

8｜(48098104751 + 3026809034·n)·5303# + 1｜2271｜2019｜Norman Luhn, Paul Underwood, Ken Davis

9｜(65502205462 + 6317280828·n)·2371# + 1｜1014｜2012｜Ken Davis, Paul Underwood

10｜(20794561384 + 1638155407·n)·1050# + 1｜450｜2019｜Norman Luhn

11｜(16533786790 + 1114209832·n)·666# + 1｜289｜2019｜Norman Luhn

12｜(15079159689 + 502608831·n)·420# + 1｜180｜2019｜Norman Luhn

13｜(50448064213 + 4237116495·n)·229# + 1｜103｜2019｜Norman Luhn

14｜(55507616633 + 670355577·n)·229# + 1｜103｜2019｜Norman Luhn

15｜(14512034548 + 87496195·n)·149# + 1｜68｜2019｜Norman Luhn

16｜(9700128038 + 75782144·(n+1))·83# + 1｜43｜2019｜Norman Luhn

17｜(9700128038 + 75782144·n)·83# + 1｜43｜2019｜Norman Luhn

18｜(33277396902 + 139569962·(n+1))·53# + 1｜31｜2019｜Norman Luhn

19｜(33277396902 + 139569962·n)·53# + 1｜31｜2019｜Norman Luhn

20｜23 + 134181089232118748020·19#·n｜29｜2017｜Wojciech Izykowski

21｜5547796991585989797641 + 29#·n｜22｜2014｜Jarosław Wróblewski

22｜22231637631603420833 + 8·41#·(n + 1)｜20｜2014｜Jarosław Wróblewski

23｜22231637631603420833 + 8·41#·n｜20｜2014｜Jarosław Wróblewski

24｜230885165611851841 + 297206938·23#·n｜19｜2023｜Rob Gahan, PrimeGrid

25｜290969863970949269 + 322359616·23#·n｜19｜2024｜Rob Gahan, PrimeGrid

26｜233313669346314209 + 331326280·23#·n｜19｜2024｜Rob Gahan, PrimeGrid

27｜605185576317848261 + 155368778·23#·n｜19｜2023｜Michael Kwok, PrimeGrid

## 等差数列中的相邻质数

等差数列中的相邻质数（Consecutive primes in arithmetic progression）一般涉及的是三个彼此相邻，在等差数列中也彼此为相邻项的质数。和AP-k不同的是，在此所有其他相邻质数中间的所有其他的、那些不在等差数列中的数，都必须是合成数。像是$(3, 7, 11)$这个AP-3数列就不合定义，因为5也是质数。

对于大于3的正整数$k$而言，CPAP-k指的是等差数列中$k$个彼此在等差数列外也相邻的质数。目前有猜想认为存在有任意长度的CPAP，也就是说，对于任意的$k$都有无限多个CPAP-k。CPAP-3的中间项又称为平衡质数，为止，已知最大的平衡质数有15004位数。

第一个已知的CPAP-10在1998年由Manfred Toplic在参与分布式计算计划CP10时发现，而CP10这项分布式计算计划是由Harvey Dubner、Tony Forbes、Nik Lygeros、Michel Mizony和Paul Zimmermann等人组织发起的。这个CP10有着最小可能的公差$7\#=210$；而为止，只有另一个CPAP-10是已知的，且是由同一人在2008年发现的。

若CPAP-11存在，则其公差必然为$11\#=2310$的倍数，也因此其中第一项和最后一项质数的差会是23100的倍数，这代表在这11个质数之间，至少会有23090个合成数，因此要找到CPAP-11会是极为困难的。Dubner和Zimmermann估计说，找到CPAP-11的难度，至少会是找到CPAP-10的$10^{12}$倍。

## AP中最小的相邻质数

目前只知道当$k \le 6$时，相应的CPAP-k的首次出现处。A006560

k｜从$n=0$的值为0到$n=k-1$的质数形式

3｜3 + 2n

4｜251 + 6n

5｜9843019 + 30n

6｜121174811 + 30n

## AP中已知最大的相邻质数

此表显示等差数列中已知最大的$k$个相邻质数，分别从$k=3$到$k=10$。

k｜从$n=0$的值为0到$n=k-1$的质数形式｜位数｜年分｜发现者

3｜17484430616589 · 254201 - 7 + 6n｜16330｜2024｜Serge Batalov

4｜35734184537 · 11677#/3 - 9 + 6n｜5002｜2024｜Serge Batalov

5｜2738129459017 · 4211# + 3399421517 + 30n｜1805｜2022｜Serge Batalov

6｜533098369554 · 2357# + 3399421517 + 30n｜1012｜2021｜Serge Batalov

7｜145706980166212 · 1069# + x253 + 420 + 210n｜466｜2021｜Serge Batalov

8｜8081110034864 · 619# + x253 + 210 + 210n｜272｜2021｜Serge Batalov

9｜7661619169627 · 379# + x153 + 210n｜167｜2021｜Serge Batalov

10｜189382061960492204 · 257# + x106 + 210n｜121｜2021｜Serge Batalov

$x_d$指的是一个在上述纪录用以保证在不寻常多地、依条件要求的合成数中都会有小因数的d位数字。

- $$x_{106} = 115376 22283279672627497420 78637565852209646810 56709682233916942487 50925234318597647097 08315833909447378791$$
- $$x_{153} = 9656383640115 03965472274037609810 69585305769447451085 87635040605371157826 98320398681243637298 57205796522034199218 09817841129732061363 55565433981118807417 = x_{253} % 379\#$$
- $$x_{253} = 1617599298905 320471304802538356587398499979 836255156671030473751281181199 911312259550734373874520536148 519300924327947507674746679858 816780182478724431966587843672 408773388445788142740274329621 811879827349575247851843514012 399313201211101277175684636727$$

## 参考资料

- Chris Caldwell, The Prime Glossary: arithmetic sequence, The Top Twenty: Arithmetic Progressions of Primes and The Top Twenty: Consecutive Primes in Arithmetic Progression, all from the Prime Pages.
- Jarosław Wróblewski, How to search for 26 primes in arithmetic progression?
- P. Erdős and P. Turán, On some sequences of integers, J. London Math. Soc. 11 (1936), 261–264.