黎曼-刘维尔积分

数学上，黎曼-刘维尔积分（Riemann–Liouville integral）将定义域和值域均为实数集的实函数$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 与另一个同类型的函数 Iα f相关联，其中参数 α > 0。该积分是f的重复反导数（原函数）的一种推广形式，当α为正整数值时， Iα f就是f的α阶反导数。黎曼-刘维尔积分以伯恩哈德·黎曼和约瑟夫·刘维尔的名字命名，后者于1832年首次考虑分数微积分的可能性。当应用于解析函数时，该算符与莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler) 提出的欧拉变换一致。它被Marcel Riesz推广到任意维度，并引入了Riesz势。该算符也被称为黎曼-刘维尔微分积分（Riemann–Liouville differintegral），微分积分（differintegral）一词体现它是一种微分和积分的联合运算。

## 动机

黎曼-刘维尔积分源自柯西重复积分公式。对于在区间 a, x 上连续的函数f，柯西n重重复积分公式如下

$$I^n f(x) = f^{(-n)}(x) = \frac{1}{(n-1)!} \int_a^x\left(x-t\right)^{n-1} f(t)\,\mathrm{d}t.$$

现在，通过用α代替正整数n，这个公式可以推广到任何正实数，因此我们得到黎曼-刘维尔分数阶积分的定义

$$I^\alpha f(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_a^x\left(x-t\right)^{\alpha-1} f(t)\,\mathrm{d}t$$

## 定义

黎曼-刘维尔积分定义为

$$I^\alpha f(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_a^xf(t)(x-t)^{\alpha-1}\,dt$$

其中Γ是伽马函数， a是任意但固定的基点。如果f是局部可积函数，且α是半平面Re(α) > 0中的复数，则积分定义明确。其中对基点a的依赖往往被隐去，体现了积分常数的选取自由。显然， I1 f是f的（一阶）反导数，当α取正整数值时，根据柯西重复积分公式， Iα f是其α阶反导数。另一种强调基点的记法如下：

$${}_aD_x^{-\alpha}f(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_a^x f(t)(x-t)^{\alpha-1}\,dt.$$

如果1=a = −∞，且对f有适当的限制，上述式子也是适用的。

有以下基本关系成立：

$$\frac{d}{dx}I^{\alpha+1} f(x) = I^\alpha f(x),\quad I^\alpha(I^\beta f) = I^{\alpha+\beta}f,$$

后式表明其具有半群性质。这些性质不仅使得分数阶积分的定义成为可能，而且通过对Iα f取足够多的导数，还可以定义分数阶微分。

## 特性

对一个确定有界区间(a, b)。算子Iα将每个可积函数f在(a, b)上与函数Iα f在(a, b)上相关联。根据富比尼定理，函数Iα f也是可积的。因此Iα在L1(a,b)上定义了一个线性算子：

$$I^\alpha : L^1(a,b) \to L^1(a,b).$$

富比尼定理还表明，该算子关于L1上的Banach 空间结构是连续的，并且以下不等式成立：

$$\left \|I^\alpha f \right \|_1 \le \frac{|b-a|^{\Re(\alpha)}}{\Re(\alpha)|\Gamma(\alpha)|}\|f\|_1.$$

这里‖ · ‖1表示L1(a,b)上的范数。

更一般地，根据赫尔德不等式，如果f ∈ Lp(a, b)，则Iα f ∈ Lp(a, b)同样成立。下列类似的不等式

$$\left \|I^\alpha f \right \|_p \le \frac{|b-a|^{\Re(\alpha)/p}}{\Re(\alpha)|\Gamma(\alpha)|}\|f\|_p$$

成立。其中‖ · ‖p是区间(a, b)上的Lp范数。

因此我们有一个有界线性算子Iα : Lp(a, b) → Lp(a, b)。此外，当参数α沿实轴趋于0，在Lp意义上， Iα f → f。即对于所有p ≥ 1

$$\lim_{\alpha\to 0^+} \|I^\alpha f - f\|_p = 0$$

此外，通过估计I的最大函数，可以证明极限Iα f → f几乎处处逐点成立。

算子Iα在整个实数轴上的局部可积函数集上有明确定义$\mathbb{R}$。它定义了任意Banach 空间中指数型函数的有界变换$X_{\sigma} = L^1(e^{-\sigma|t|}dt)$，由局部可积函数组成，其范数

$$\|f\| = \int_{-\infty}^\infty |f(t)|e^{-\sigma|t|}\,dt$$

是有限的。对于f ∈ Xσ， Iα f的拉普拉斯变换形式特别简单

$$(\mathcal{L}I^\alpha f)(s) = s^{-\alpha}F(s)$$

其中Re(s) > σ。这里F(s)表示f的拉普拉斯变换，该性质表示Iα是傅里叶乘子。

## 分数阶导数

f的分数阶导数也可以定义为

$$\frac{d^\alpha}{dx^\alpha} f \, \overset{\text{def}}{=} \frac{d^{\lceil\alpha\rceil}}{dx^{\lceil\alpha\rceil}} I^{\lceil \alpha \rceil-\alpha}f$$

其中表示上限函数。通过定义

$$D^\alpha_x f(x) = \begin{cases} \frac{d^{\lceil\alpha\rceil}}{dx^{\lceil\alpha\rceil}} I^{\lceil\alpha\rceil-\alpha}f(x)& \alpha>0\\ f(x) & \alpha=0\\ I^{-\alpha}f(x) & \alpha<0. \end{cases}$$

可以得到微分和积分之间的微分积分插值。

1967 年，卡普托 (Caputo) 提出了一种分数阶导数，由此产生的导数具有与前者不同的性质：这种导数对常数函数求导得到零，更重要的是，拉普拉斯变换的初值项是用该函数的值及其整数阶导数来表示的，而不是像黎曼-刘维尔导数那样用分数阶导数来表示。以x为基点的 Caputo 分数阶导数为：

$$D_x^{\alpha}f(y)=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_x^y f'(y-u)(u-x)^{-\alpha}du.$$

另一种表示是：

$${}_a\tilde{D}^\alpha_x f(x)=I^{\lceil \alpha\rceil-\alpha}\left(\frac{d^{\lceil \alpha\rceil}f}{dx^{\lceil \alpha\rceil}}\right).$$

## 基本幂函数的分数阶导数

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假设f(x)是单项式，形式如下：

$$f(x) = x^k\,.$$

一阶导数与通常情形一致：

$$f'(x) = \frac{d}{dx}f(x) = k x^{k-1}\,.$$

重复此过程可得到更一般的结果

$$\frac{d^a}{dx^a}x^k = \dfrac{k!}{(k-a)!}x^{k-a}\,,$$

用伽马函数代替阶乘后，得到

$$\frac{d^a}{dx^a}x^k = \dfrac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k-a+1)}x^{k-a}, \quad\ k > 0.$$

对于1=k = 1和1=a = 1

$$\frac{d^\frac12}{dx^\frac12}x=\frac{\Gamma(1+1)}{\Gamma\left(1-\frac12 + 1\right)} x^{1-\frac12}=\frac{\Gamma(2)}{\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}x^\frac12 = \frac{1}{\frac{\sqrt{\pi}}{2}}x^\frac12.$$

为了证明这就是真正的“半导数”（其中H满足1=H2f(x) = Df(x)），我们重复该过程得到：

$$\dfrac{d^\frac12}{dx^\frac12} \dfrac{2x^{\frac12}}{\sqrt{\pi}} =\frac{2}{\sqrt{\pi}}\dfrac{\Gamma(1+\frac12)}{\Gamma(\frac12-\frac12+1)}x^{\frac12-\frac12} =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \frac{\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}{\Gamma(1)} x^0 =\frac{2 \frac{\sqrt{\pi}}{2} x^0}{\sqrt{\pi}}=1\,,$$

（因为$\Gamma\!\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$且1=Γ(1) = 1 )，这确实是预期的结果

$$\left(\frac{d^\frac12}{dx^\frac12} \frac{d^\frac12}{dx^\frac12}\right)\!x = \frac{d}{dx} x = 1\,.$$

对于负整数幂k，1/ $\Gamma$为 0，因此使用以下关系很方便：

$$\frac{d^a}{dx^a}x^{-k} = \left(-1\right)^a\dfrac{\Gamma(k+a)}{\Gamma(k)}x^{-(k+a)} \quad\text{ for } k \ge 0.$$

上述微分算子的扩展不仅限于实数幂；它也适用于复数幂。例如， (1 + i)次导数的(1 − i)次导数得出二阶导数。将a设为负值会得到积分。

对于一般函数f(x)且0 < α < 1，完全分数阶导数为

$$D^\alpha f(x)=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{d}{dx} \int_0^x \frac{f(t)}{\left(x-t\right)^\alpha} \, dt.$$

对于任意α，由于伽马函数对于负（实）整数是无限的，因此有必要在进行整数导数之后应用分数阶导数。例如。

$$D^\frac32 f(x) = D^\frac12 D^1 f(x)=D^\frac12 \frac d {dx} f(x).$$

## 拉普拉斯变换

我们也可以通过拉普拉斯变换来解决这个问题。已知

$$\mathcal L \left\{Jf\right\}(s) = \mathcal L \left\{\int_0^t f(\tau)\,d\tau\right\}(s) = \frac1 s \bigl(\mathcal L\left\{f\right\}\bigr)(s)$$

和

$$\mathcal L \left\{J^2f\right\}=\frac1s\bigl(\mathcal L \left\{Jf\right\} \bigr)(s)=\frac1{s^2}\bigl(\mathcal L\left\{f\right\}\bigr)(s)$$

等等，我们断言

$J^\alpha f=\mathcal L^{-1}\left\{s^{-\alpha}\bigl(\mathcal L\{f\}\bigr)(s)\right\}$。

例如。

$$J^\alpha(t^k) = \mathcal L^{-1}\left\{\frac{\Gamma(k+1)}{s^{\alpha+k+1}}\right\} = \frac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(\alpha+k+1)} t^{\alpha+k}$$

正如预期的那样。事实上，考虑到卷积规则

$$\mathcal L\{f*g\}=\bigl(\mathcal L\{f\}\bigr)\bigl(\mathcal L\{g\}\bigr)$$

并且为了清楚起见，我们将p(x)简写为1=p(x) = xα − 1，由此可得

$$\begin{align} \left(J^\alpha f\right)(t) &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\mathcal L^{-1}\left\{\bigl(\mathcal L\{p\}\bigr)\bigl(\mathcal L\{f\}\bigr)\right\}\\ &=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}(p*f)\\ &=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t p(t-\tau)f(\tau)\,d\tau\\ &=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t\left(t-\tau\right)^{\alpha-1}f(\tau)\,d\tau\\ \end{align}$$

这就是上面柯西推导的式子。

拉普拉斯变换对相对较少的函数起作用，但它们通常对求解分数阶微分方程很有用。