莱布尼茨表示法

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在微积分中，莱布尼茨表示法（名字源于17世纪德国哲学家和数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨）使用符号dx和dy分别表示x和y的无穷小增量，类似于用Δx和Δy分别表示x和y的有限增量。

考虑y是变量x的函数，即y = f(x)。y对x的导数（后来被视为极限）：

$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x},$$

根据莱布尼茨的说法，它是y的无穷小增量与x的无穷小增量的商（即 微商），记为

$$\frac{dy}{dx}=f'(x),$$

其中等式右侧是拉格朗日记号下函数f在x处的导数。诸如dy和dx等无穷小增量称为微分。与此相关的是积分，即对无穷小增量的求和。莱布尼茨也为积分提供了对应的记号（内含微分记号）。这种记号十分高效，为后来欧陆数学发展奠定基础。

微积分中的导数和积分可以被纳入现代微分形式理论，在该理论中，导数实际上是两个微分的比值，积分也同样完全符合莱布尼茨记号的含义。然而，该理论需要先用其他方式定义导数和积分。因此，微分形式理论仅证明了莱布尼茨记号的自洽性和计算效率，并未为其提供新的理论基础。

## 历史

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牛顿-莱布尼兹无穷小微积分方法于17世纪提出。牛顿以流数与流量研究微积分，而莱布尼兹则以求和与差分的推广为基础。

莱布尼兹的积分符号 $\textstyle \int$ 源于拉丁字母 ſumma (求和) 的长 s。他认为差分是求和的逆运算，故采用d（differentia，做差）表示微分。莱布尼兹对符号选择十分严谨，花费了数年时间调整符号体系，并与其他数学家交流。他曾使用过 ω, l, 和y表示微分，最后选择了。

十九世纪末，维尔斯特拉斯学派不再遵循莱布尼兹微积分符号的原始定义，他们认为无穷小量的定义并不自洽。十九世纪，以维尔斯特拉斯为代表的数学家通过极限等更严谨的手段，替代了无穷小量。柯西则同时使用无穷小量和极限(参见分析教程).

尽管如此，莱布尼兹记号仍因其简洁的优势流行于数学界。尽管记号字面上已失去原有含义，但这种（有缺陷的）定义在分离变量等技巧中非常实用。

在物理中，如下例子能明显感受到莱布尼兹表示法的表达力：f(t) 单位为m/s，那么f(t) dt 单位就是m。因此这种表示方法对量纲分析十分有帮助。

## 莱布尼茨微分表示法

假设因变量y表示自变量x的函数，即。

$$y=f(x).$$

那么，函数f的导数，用莱布尼茨的微分表示法可以写成：

$$\frac{dy}{dx}\,\text{ 或 }\frac{d}{dx}y\,\text{ 或 }\frac{d\bigl(f(x)\bigr)}{dx}.$$

莱布尼茨表示法（有时也写作dy/dx）是表示导数和导函数的表示方法之一（另外还有拉格朗日表示法，如下所示）。

$$\frac{dy}{dx}\, = y' = f'(x).$$

另一种表示方法是牛顿表示法，它常用于表示对时间的导数（例如速度），需要在因变量（在本例中为x）上加一个点：

$$\frac{dx}{dt} = \dot{x}.$$

拉格朗日的“撇号”表示法在讨论导函数时特别有用，因为它更容易表示某点的导数值。

在现代定义中，dy 不能理解为无穷小量之比（虽然莱布尼兹是这么定义的），而应该将其视为一个独立的符号，即以下极限的简写形式：

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

（注意Δ与d的关系，其中Δ表示差分）。

dy也可以看成 微分算子 d (作为一个整体) 作用于 一个关于x的函数y。D-表示法中，该算子被记为 D.

在标准分析中，莱布尼兹的微分记号确实是一个整体（参见非标准分析），但将其视为除法在实践中很有用。在许多情况下，导数算子确实有类似除法的性质，将其当成除法可以辅助很多结论的理解与记忆。这种符号之所以经久不衰，在于它触及了微积分在几何和力学的核心。

## 莱布尼茨积分表示法

莱布尼茨引入了积分符号 （“反微分”），即如今广泛使用的长S： $\displaystyle \int$

莱布尼兹于1675年在他的私人著作中首次引入该符号；该记号首次公开出现在文章《关于不可分数和无穷的隐藏几何和分析》（“ De Geometria Recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum ”）中。该符号基于 ſ（长 s）字符。莱布尼茨认为积分是无穷小项的无穷和（Sum），因此选择了长 s。

## 在公式中的多种运用

莱布尼茨微积分符号之所以能沿用至今，一个原因是它们便于记忆微分和积分的相应公式。例如，链式法则——假设函数g在x处可微，且1=y = f(u)在1=u = g(x)处可微。那么复合函数1=y = f(g(x))在x处可微，其导数可以用莱布尼茨符号表示为

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.$$

这可以推广到处理几个适当定义且相关的函数u1, u2, ..., un u1, u2, ..., un的复合函数，并可表示为：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du_1} \cdot \frac{du_1}{du_2} \cdot \frac{du_2}{du_3}\cdots \frac{du_n}{dx}.$$

此外，换元积分公式可表示为

$$\int y \, dx = \int y \frac{dx}{du} \, du,$$

其中x被视为新变量u的函数，左边的函数y以x为变量，而右边的函数 y 以u为变量。

如果1=y = f(x)其中f是一个可微且可逆的函数，则反函数的导数（如果存在）可由下式给出：

$$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\left( \frac{dy}{dx} \right)},$$

添加括号是为了强调导数不是分数这一事实。

然而，在求解微分方程时，将dy和dx视为可分离变量更有助于计算。最简单的微分方程类型之一是

$$M(x) + N(y) \frac{dy}{dx} = 0,$$

其中M和N是连续函数。可以通过考察方程的微分形式来（隐式地）求解这样的方程。

$$M(x) dx + N(y) dy = 0$$

并进行积分以获得

$$\int M(x) \, dx + \int N(y) \, dy = C.$$

将微分方程改写成这种形式，并应用上述论证，这种方法被称为分离变量法，用于求解此类方程。

在这些例子中，莱布尼茨导数符号看起来就像一个分式，尽管在现代分析学中，它并不是一个分式。

## 莱布尼茨的其他记号

莱布尼茨在数学的各个领域尝试了许多不同的记号。他认为，良好的表示方法是数学研究的基础。他在1693年写给洛必达的一封信中说：

分析学的奥秘之一在于“特征”（characteristic），即巧妙运用现有符号的艺术。先生，您从随信附上的关于行列式的小文中定会发现，维耶特（Viète）和笛卡尔并未洞悉所有的奥秘。

随着时间的推移，他不断完善对良好记号的评判标准，并逐渐意识到“记号与字体大小匹配”的价值。例如，在莱布尼兹早期的作品中，他大量使用连线来表示符号的组合，但后来他将其替换为了括号，简化了排版，也使页面看起来更加美观。

莱布尼茨引入的200多个新记号中，许多至今仍在使用。除了前面提到的微分符号、和积分符号（∫）之外，他还引入了表示除法的冒号（:）、表示乘法的点号（⋅）、表示相似（~）和全等（≅）的几何符号、用于表示比例的雷科德等号（=）（取代了奥特雷德的::符号）以及双下标行列式记号。