能量-动量关系式

在物理学中，能量动量关系，或称相对论色散关系，是将总能量（也称为相对论能量）与不变质量（也称为静止质量）和动量联系起来的相对论方程。它是质能等价关系在非零动量的物体或系统中的推广。

它可以表述为：

$$E^2 = (p c)^2 + \left(m_0 c^2\right)^2\,$$

该方程适用于一个物体或系统，例如一个或多个粒子，其总能量为E，质量m0，动量大小为p；常数c为光速。它假设狭义相对论中平坦时空的情况，并且粒子是自由的。总能量是静止能量的总和$E_0 = m_0 c^2$和相对论动能： $$E_\text{K} = E - E_0 = \sqrt{(p c)^2 + \left(m_0 c^2\right)^2}- m_{0}c^2$$不变质量是在动量中心坐标系中测量的质量。对于动量为零的物体或系统，它简化为质能方程$E_0 = m_0 c^2$，其中在这种情况下总能量等于静止能量。

用于预测反物质存在的狄拉克海模型与能量动量关系密切。

## 与 E = mc 2 的联系

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能量动量关系在两种解释中都与我们熟悉的质量能量关系一致： E = mc2将总能量E与（总）相对论质量m （或者表示为mrel或mtot）联系起来，而E0 = m0c2将静止能量E0与（不变的）静止质量m0联系起来。

与上述任何一个方程不同，能量动量方程 ( 1 ) 将总能量与静止质量m0联系起来。这三个方程同时成立。

## 特殊情况

- 如果物体是一个无质量粒子（m0 = 0），则（1）式简化为E = pc。对于光子来说，这是19世纪经典电磁学中发现的辐射动量（导致辐射压）与辐射能量之间的关系。
- 如果物体的速度v远小于c，则 ( 1 ) 简化为 E = 1m0v2 + m0c2; 也就是说，物体的总能量就是它的经典动能 1m0v2 加上其静止能量。
- 如果物体处于静止状态（v = 0），即在其动量中心系中（p = 0），我们有 E = E0 且 m = m0；因此，能量-动量关系式和（上文提到的）两种形式的质能关系式都将变得相同。

关系 ( 1 ) 的更一般形式适用于广义相对论。

不变质量（或静止质量）是所有参考系的不变量（因此得名），不仅适用于平坦时空的惯性系，也适用于在弯曲时空中运动的加速系（见下文）。然而，粒子的总能量E及其相对论动量p是与参考系相关的；两个参考系之间的相对运动会导致这两个参考系中的观察者测量到不同的粒子能量和动量值；一个参考系测量到E和p，而另一个参考系测量到E和p′，其中E ≠ E且p′ ≠ p，除非观察者之间没有相对运动，在这种情况下每个观察者测量到的能量和动量相同。尽管在平坦时空中我们仍然有：

$${E'}^2 - \left(p'c\right)^2 = \left(m_0 c^2\right)^2\,.$$

E、 p、 E、 p′这些量都通过洛伦兹变换关联起来。该关系允许人们在仅确定能量和动量的大小时，通过使不同参考系中的关系相等，从而避开洛伦兹变换。同样在平坦时空中，这转化为：

$${E}^2 - \left(pc\right)^2 = {E'}^2 - \left(p'c\right)^2 = \left(m_0 c^2\right)^2\,.$$

由于m0在各个参考系中保持不变，因此能量动量关系用于相对论力学和粒子物理计算，因为能量和动量是在粒子的静止参考系中给出的（即，与粒子一起移动的观察者会得出的E和p），并在实验室参考系中测量（即， E和p由粒子物理学家在实验室中确定，而不是与粒子一起移动）。

在相对论量子力学中，它是构建相对论波动方程的基础，因为如果描述粒子的相对论波动方程与该方程一致，则它与相对论力学一致，并且是洛伦兹不变的。在相对论量子场论中，它适用于所有粒子和场。

## 方程的起源和推导

能量动量关系可以追溯到马克斯·普朗克1906 年发表的文章。1926 年，沃尔特·戈登 (Walter Gordon)使用了它，1928 年，保罗·狄拉克 (Paul Dirac)又使用了它，其形式为$E=\sqrt{c^2p^2+(m_0c^2)^2} + V$其中V是势能的总量。

该方程可以通过多种方式推导出来，其中最简单的两种方式包括：

- 从大质量粒子的相对论动力学来看。
- 通过计算系统四维动量的模。该方法适用于有质量和无质量粒子，并且可以相对轻松地扩展到多粒子系统（参见下面的）。

### 大质量粒子的启发式方法

对于一个以三速度u = (ux, uy, uz)运动且星等u = u大质量物体，在实验室坐标系中：

$$E=\gamma_{(\mathbf{u})}m_0c^2$$

是实验室坐标系中运动物体的总能量。

$$\mathbf{p} = \gamma_{(\mathbf{u})} m_0\mathbf{u}$$

是物体在实验室坐标系中的三维相对论动量，其量级为p = p。相对论能量E和动量p包含洛伦兹因子，其定义为：

$$\gamma_{(\mathbf{u})} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{u}{c}\right)^2}}$$

一些作者使用相对论质量来定义：

$$m = \gamma_{(\mathbf{u})} m_0$$

尽管静止质量m0具有更基本的意义，并且在本文中将主要使用它来代替相对论质量m。

$$p^2 = \mathbf{p}\cdot\mathbf{p} = \frac{m_0^2 \mathbf{u}\cdot \mathbf{u}}{1 - \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}{c^2}} = \frac{m_0^2 u^2}{1 - \left(\frac{u}{c}\right)^2}$$

然后解出u2代入洛伦兹因子，得到其以 3-动量和质量（而不是 3-速度）表示的替代形式：

$$\gamma = \sqrt{1 + \left(\frac{p}{m_0 c}\right)^2}$$

将这种形式的洛伦兹因子代入能量方程可得：

$$E = m_0c^2\sqrt{1 + \left(\frac{p}{m_0 c}\right)^2}$$

经过进一步的重新排列，得到公式 ( 1 )。洛伦兹因子的消除也消除了公式 ( 1 ) 中粒子的隐式速度依赖性，以及任何对大质量粒子“相对论质量”的推论。这种方法并不具有普遍性，因为它没有考虑无质量粒子。简单地设定m0 = 0意味着E = 0和p = 0，从而无法推导出能量动量关系，这是不正确的。

### 四动量模

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#### 狭义相对论

在闵可夫斯基空间中，能量（除以c）和动量是闵可夫斯基四维矢量的两个分量，即四维动量。

$$\mathbf{P} = \left(\frac{E}{c}, \mathbf{p}\right)\,,$$

（这些是逆变分量）。

该向量与自身的Minkowski 内积⟨, ⟩给出了该向量范数的平方，它与物体的静止质量m的平方成正比：

$$\left\langle\mathbf{P}, \mathbf{P}\right\rangle = |\mathbf{P}|^2 = \left(m_0 c\right)^2\,,$$

是洛伦兹不变量，因此与参考系无关。使用闵可夫斯基度量η其度量特征为，内积为

$$\left\langle\mathbf{P},\mathbf{P}\right\rangle = |\mathbf{P}|^2 = - \left(m_0 c\right)^2\,,$$

和

$<pre> \left\langle\mathbf{P},\mathbf{P}\right\rangle$ $= P^\alpha\eta_{\alpha\beta}P^\beta$ $= \begin{pmatrix} \frac{E}{c} & p_x & p_y & p_z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{E}{c} \\ p_x \\ p_y \\ p_z \end{pmatrix}$ $= -\left(\frac{E}{c}\right)^2 + p^2\,, </pre>$

所以

$$-\left(m_0 c\right)^2 = -\left(\frac{E}{c}\right)^2 + p^2$$

或者，以c = 1 的自然单位表示。

$$|\mathbf{P}|^2 + (m_0)^2=0 .$$

#### 广义相对论

在广义相对论中，4-动量是定义在局部坐标系中的四向量，尽管根据定义，其内积与狭义相对论的内积类似。

$$\left\langle\mathbf{P},\mathbf{P}\right\rangle = |\mathbf{P}|^2 = \left(m_0 c\right)^2\,,$$

其中，闵可夫斯基度量η被度量张量场g代替：

$$\left\langle\mathbf{P}, \mathbf{P}\right\rangle = |\mathbf{P}|^2 = P^\alpha g_{\alpha\beta}P^\beta \,,$$

由爱因斯坦场方程求解。则：

$$P^\alpha g_{\alpha\beta}P^\beta = \left(m_0 c\right)^2\,.$$

## 能量、质量和动量的单位

在c = 1自然单位中，能量动量方程简化为

$$E^2 = p^2 + m_0^2 \,.$$

在粒子物理学中，能量通常以电子伏特(eV) 为单位，动量以 eV· c −1为单位，质量以 eV· c −2为单位。

理论上，能量也可以用克为单位来表示，但实际上，要达到这个范围内的质量，需要很大的能量。例如，第一颗原子弹释放了约1克的热量，最大的热核炸弹产生的热量可达一公斤或更多。热核炸弹的能量通常以数十千吨和百万吨来表示，指的是爆炸相同重量的三硝基甲苯(TNT) 所释放的能量。

## 特殊情况

### 动量中心框架（一个粒子）

对于处于静止坐标系的物体，动量为零，因此该方程简化为

$$E_0 = m_0 c^2 \,,$$

其中m0是身体的静止质量。

### 无质量粒子

如果物体没有质量，就像光子的情况一样，那么方程就简化为

$$E = pc \,.$$

这是一个有用的简化。它可以使用德布罗意关系以其他方式重写：

$$E = \frac{hc}{\lambda} = \hbar c k \,.$$

如果给定波长λ或波数k。

### 对应原理

将大质量粒子的关系重写为：

$$E = m_0 c^2 \sqrt{1 + \left(\frac{p}{m_0c}\right)^2}\,,$$

并根据二项式定理展开为幂级数（或泰勒级数）：

$$E = m_0 c^2 \left[1 + \frac{1}{2}\left(\frac{p}{m_0c}\right)^2 - \frac{1}{8}\left(\frac{p}{m_0c}\right)^4 + \cdots \right]\,,$$

在u ≪ c极限下，我们有γ(u) ≈ 1因此动量具有经典形式p ≈ m0u，然后到一阶(p)

$$E \approx m_0 c^2 \left[1 + \frac{1}{2}\left(\frac{m_0u}{m_0c}\right)^2 \right]\,,$$

或者

$$E \approx m_0 c^2 + \frac{1}{2} m_0 u^2 \,,$$

其中第二项是经典动能，第一项是粒子的静能量。这种近似不适用于无质量粒子，因为膨胀需要动量除以质量。顺便说一句，经典力学中不存在无质量粒子。

## 多粒子系统

### 四个动量的加法

对于具有相对论动量pn和能量En的许多粒子的情况，其中n = 1, 2, ... （最多为粒子总数），只需标记粒子，如在特定框架中测量的那样，就可以添加该框架中的四动量。

$$\sum_n \mathbf{P}_n = \sum_n \left(\frac{E_n}{c} , \mathbf{p}_n\right) = \left( \sum_n \frac{E_n}{c}, \sum_n \mathbf{p}_n \right)\,,$$

然后取范数；得到多粒子系统的关系：

$$\left|\left(\sum_n \mathbf{P}_n \right)\right|^2 = \left(\sum_n \frac{E_n}{c}\right)^2 - \left(\sum_n \mathbf{p}_n\right)^2 = \left(M_0 c\right)^2\,,$$

其中M0是整个系统的不变质量，除非所有粒子都处于静止状态，否则它不等于所有粒子的静止质量之和（参见狭义相对论中的质量（更多细节）。代入并重新排列，得到 1 的推广。

$$\left(\sum_n E_n \right)^2 = \left(\sum_n \mathbf{p}_n c\right)^2 + \left(M_0 c^2\right)^2$$

方程中的能量和动量都与框架有关，而M0与框架无关。

### 动量中心框架

在动量中心框架（COM框架）中，根据定义我们有：

$$\sum_n \mathbf{p}_n = \boldsymbol{0}\,,$$

由 ( 2 ) 式可知，除了c2之外，不变质量也是动量中心 (COM) 质能：

$$\left(\sum_n E_n \right)^2 = \left(M_0 c^2\right)^2 \Rightarrow \sum_n E_{\mathrm{COM}\,n} = E_\mathrm{COM} = M_0 c^2 \,,$$

由于M0与参考系无关，因此所有参考系都适用。能量ECOM n是 COM 参考系中的能量，而不是Lab 参考系中的能量。然而，许多常见的束缚系统将 Lab 参考系视为 COM 参考系，因为系统本身不运动，因此动量全部抵消为零。一个例子是一个简单的物体（其中原子的振动动量抵消）或一个处于静止状态的气体容器。在这样的系统中，系统的所有能量都以质量来衡量。例如，物体在秤上的热量，或容器中气体在秤上的总动能，都由秤测量为系统的质量。

### 静止质量和不变质量

在某些框架中测量的粒子的能量或动量可以通过使用每个粒子的能量动量关系来消除：

$$E^2_n - \left(\mathbf{p}_n c\right)^2 = \left(m_n c^2\right)^2 \,,$$

允许M0用能量与静止质量，或动量与静止质量来表示。在特定参考系中，平方和可以重写为平方和（及乘积）的和：

$$<pre> \left(\sum_n E_n \right)^2 = \left(\sum_n E_n \right)\left(\sum_k E_k \right) = \sum_{n,k} E_n E_k = 2\sum_{n<k} E_n E_k + \sum_n E_n^2\,, </pre>$$

$$<pre> \left(\sum_n \mathbf{p}_n \right)^2 = \left(\sum_n \mathbf{p}_n \right)\cdot\left(\sum_k \mathbf{p}_k \right) = \sum_{n,k} \mathbf{p}_n \cdot \mathbf{p}_k = 2\sum_{n<k} \mathbf{p}_n \cdot \mathbf{p}_k + \sum_{n}\mathbf{p}_n^2\,, </pre>$$

因此代入这些和，我们可以在 ( 2 ) 式中引入它们的静止质量mn：

$$\sum_n \left(m_n c^2\right)^2 + 2\sum_{n<k}\left(E_n E_k - c^2 \mathbf{p}_n \cdot \mathbf{p}_k\right) = \left(M_0 c^2\right)^2 \,.$$

可以通过以下方式消除这些能量：

$$E_n = \sqrt{\left(\mathbf{p}_n c\right)^2 + \left(m_n c^2\right)^2} \,,\quad E_k = \sqrt{\left(\mathbf{p}_k c\right)^2 + \left(m_k c^2\right)^2} \,,$$

类似地，动量可以通过以下方式消除：

$$<pre> \mathbf{p}_n \cdot \mathbf{p}_k = \left|\mathbf{p}_n\right|\left|\mathbf{p}_k\right| \cos\theta_{nk}\,,\quad |\mathbf{p}_n| = \frac{1}{c}\sqrt{E_n^2 - \left(m_n c^2\right)^2}\,,\quad |\mathbf{p}_k| = \frac{1}{c}\sqrt{E_k^2 - \left(m_k c^2\right)^2}\,, </pre>$$

其中θnk是动量矢量pn和pk之间的角度。

$$\left(M_0 c^2\right)^2 -\sum_n \left(m_n c^2\right)^2 = 2\sum_{n<k}\left(E_n E_k - c^2 \mathbf{p}_n \cdot \mathbf{p}_k\right) \,.$$

由于系统的不变质量和每个粒子的静止质量与框架无关，因此右侧也是不变量（即使能量和动量都是在特定框架中测量的）。

利用物质波的能量和动量的德布罗意关系。

$$E = \hbar \omega \,, \quad \mathbf{p} = \hbar\mathbf{k}\,,$$

其中ω是角频率， k是波矢，其幅值k = k，等于波数，能量-动量关系可以用波量来表示：

$$\left(\hbar\omega\right)^2 = \left(c \hbar k\right)^2 + \left(m_0 c^2\right)^2 \,,$$

并通过除以(ħc)2来整理：

$\left(\frac{\omega}{c}\right)^2 = k^2 + \left(\frac{m_0c}{\hbar}\right)^2 \,.$这也可以从四波矢的大小推导出来

$$\mathbf{K} = \left(\frac{\omega}{c}, \mathbf{k}\right)\,,$$

与上面的四动量类似。

由于约化普朗克常数ħ和光速c同时出现并使方程变得复杂，因此自然单位就显得尤为重要。将它们归一化，使ħ = c = 1，可得：

$$\omega^2 = k^2 + m_0^2 \,.$$

## 超光速粒子和奇异物质

具有相对论能量动量关系的慢子速度

$$E^2 = p^2 c^2 + m_0^2 c^4\,.$$

永远不会超过c。相反，对于能量动量方程为的快子来说，它总是大于c

$$E^2 = p^2 c^2 - m_0^2 c^4\,.$$

相比之下，假设的奇异物质具有负质量，其能量动量方程为

$$E^2 = -p^2 c^2 + m_0^2 c^4\,.$$