锂离子电池等效电路模型

锂离子电池等效电路模型，常简称等效电路模型（equivalent circuit model）或ECM，是锂离子电池的集总电路模型。等效电路模型用电阻及电容等被动元件以及电压源组成的等效电路，来模拟锂离子电池的端电压特性。等效电路模型可以用在许多的领域，因为结构简单、计算需求低、容易表现其电池特性，以及在结构上的灵活度，可以用在计算机模拟上。等效电路模型的特点也适合用在实时的电池管理系统（BMS）上，用来检测电量状态（SoC）、电池健康状态（SoH）等资讯，也可以用在电池热管理上。

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## 模型结构

等效电路模型是用来模拟电池充电或是放电时，电池上对应的电压。最常见的电路是由三个电件串联组成：表示电池开路电压（OCV）的可变电压源、表示电池欧姆内阻的电阻、表示电池动态电压降的RC电路。

### 开路电压

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锂离子电池的开路电压是指在平衡条件（没有负载电流，静置很长一段时间之后）下量测的电压。开路电压是其电量状态的递减非线性函数，和电池阳极（多半是石墨）和阴极（LFP、NMC、NCA、LCO等）有关。开路电压在等效电路中是由电荷产生电压的元件，是电路中电压的主要提供者，也是电池电量状态最有效的指标。

### 内阻

内阻在电路中是以一个电阻来表示，用来表示电池因为欧姆效应产生的电压降，其中包括电极的电阻率、电解质的电导率，以及接触电阻（例如固态电解质界面 solid-electrolyte interface以及集电体的接触电阻）。

内阻会受到许多因素所影响，例如：

- 温度：在低温时内阻会明显上升，这也是锂电池在低温时效能较差的原因。
- 电量状态：内阻会受到电量状态的影响，造成其值显著变化。特别是在低电量状态（接近完全放电）以及满电量状态（接近完全充电）时，内阻会增加。
- 电池老化：随着锂电池老化，其内阻会渐渐增加。电阻增加的主因是因为固态电解质界面（solid-electrolyte interface，简称SEI）的产生，这是在阴极表面自然生成，有保护作用的固态物质，其成分是电解液成分衍生的化合物。

### RC并联电路

在模型中会加入一个或是多个RC并联电路，模拟其动态的电压变化。并联电路的数量是建模时可以决定的：一般而言，RC电路越多，模型会越精准，但其识别流程的复杂度会增加，而且会增加运算上的负担，而RC电路少，在计算上的负担较少，较容易找到特征，但其动态电压估测会较不精准。一般来说，最佳作法是使用一个或二个RC并联电路。

## 模型方程式

等效电路模型可以用状态空间表示，以电流（$i$）为输入，电池电压（$V$）为输出。考虑有数个RC并联电路的通用等效电路模型$N$。模型状态（微分方程中随时间变化的变数）是电量状态（$SoC$）以及各RC并联电路上的电压（$V_{c,1}, V_{c,2} \dots V_{c,N}$）。

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电量状态一般会用对电池充电电流以及电池放电电流积分而得，此方法称为库仑计数（Coulomb Counting）：

$$SoC(t)= SoC(t_0) + \int_{t_0}^t\dfrac{1}{3600Q}i(t) dt$$

其中$Q$是电池额定容量（以安培小时表示）。每一个RC并联电路上的电压可以用以下方式模拟：

$$\dfrac{dV_{c,i}}{dt}(t)=-\dfrac{1}{R_iC_i}V_{c,i}(t) + \dfrac{1}{C_i}i(t)$$

其中$R_i$和$C_i$是极化电阻和电容。在知道开路电压和电量状态关系$V_{OC}(SoC)$，以及电池内阻$R_0$后，可以用以下方式计算电池端电压：

$$V(t) = V_{OC}(SoC(t)) + R_0i(t) + \sum_{i=1}^NV_{c,i}(t)$$

## 应用

以下是一些可以用到等效电池模型的应用：

- 电池管理系统的线上状态估测：等效电池模型常用在预测电池内不可量测状态（例如电量状态、电池健康状态），以模型为基础的估测器。例如可以使用各种阶数的等效电池模型，配合扩展卡尔曼滤波器（EKF）来进行电量状态的线上估测。
- 模拟以及系统设计：等效电池模型常用在电池组的设计阶段。模拟电池芯的电子负载分布可以依容量和电压来定义系统尺寸。而且等效电池模型也可以用来模拟电池产生的热，以此设计电池冷却系统。

## 实验识别的简介

等效电路模型的实验识别是另外对电池进行实验，来识别未知的参数，特别是电池容量$Q$，开路电压曲线$V_{OC}(SoC)$、被动元件$R_0$、$R_i$和$C_i$。一般来说，识别会有几个不同的步骤。

### 电池容量评估

电池容量$Q$多半会透过定电流的完全放电来侦测。电池容量测试一般会从电池电压上限$V_{max}$放到电池电压下限$V_{min}$，以放电速率0.5C或1C的电流量进行放电（0.5C／1C是指在额定电量下，二小时/一小时可以从电池满电将电完全放完），再将其完全充电（会依照定电流-定电压的策略）。电池容量可以用下式计算：$Q= \int_{t\mid_{V(t)=V_{max}}}^{t\mid_{{V(t)=V_{min}}}}\dfrac{1}{3600}i(t) dt$。

### 开路电压特征化

要找到开路电压的特征，主要会用以下两种实验方式：

- 脉冲测试：用连续电流脉冲，将电池完全放电/充电。每一次脉冲放电时会放掉电池一部分的电量，因此让电池到新的$SoC$点。在每次电流脉冲之后，电池会静置数小时不充电也不放电，以便量测其开路电压。最后会将记录的$SoC$, $V_{OC}$资料，用任意选定的函数（一般是多项式）进行曲线拟合，以找到$V_{OC}=f(SoC)$曲线。一般认为此方法快而且有效，但其结果准确性取决于实验设计，以及要进行多久的实验。
- 慢恒电流放电（Slow galvanostatic discharge）：另一种评估电池开路电压的方式，就是小的恒电流条件下充电或是放电。在小电流下，以下的近似成立：$V = V_{OC}(SoC) + R_0i + \sum_{i=1}^NV_{c,i} \; \underset{i \rightarrow0}{\simeq}\; V_{OC}(SoC)$。在此作法中，估测的精准度取决于所充电/放电电流有多小，而估测结果的好坏也取决于要花多久进行实验。

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### 动态响应特征化

动态响应的参数，像是欧姆电阻$R_0$、RC电路相关参数$R_i$,$C_i$多半可以用以下两种方式来识别：

- 时域识别：提供指定的电流波形，分析电池电压的波形，以此找到最合适的参数。例如，脉波测试可以提供以下的功能：在施加或移取电流的瞬间，可以量测其电压变化，求得不同电量状态下的$R_0$，而$R_i$ 和$C_i$可以用电池电压动态变化的资料进行最佳化来求得
- 频域识别：分析电池的频率响应来找到参数。为此会在电池中注入不同频率的交流电压（或电流）信号，再计算所得电流（或电压）的振幅和相位。此分析称为电化学交流阻抗法（EIS），需要专门的实验室仪器，可以产生高可靠度的结果。EIS结果一般会用奈奎斯特图来评估，可以识别出电池不同的阻抗成分（$R_0$、$R_i$和$C_i$）。

## 外部链接

- Li-ion battery modeling through equivalent circuit models
- Equivalent circuit models for Li-ion cells
- Matlab tool for equivalent circuit models development
- Introduction to EIS methodology