里奇标量 (纽曼-彭罗斯形式)

在广义相对论的纽曼-彭罗斯形式体系中，四维时空的里奇张量的独立分量被编码为七个（或十个）里奇标量，这些标量由三个实标量组成$\{\Phi_{00}, \Phi_{11}, \Phi_{22}\}$、三个（或六个）复数标量$\{\Phi_{01}=\overline{\Phi}_{10}\,,\Phi_{02}=\overline{\Phi}_{20}\,,\Phi_{12}=\overline{\Phi}_{21}\}$和 NP 曲率标量$\Lambda$。物理上，由于爱因斯坦场方程，Ricci-NP 标量与时空的能量动量分布相关。

## 定义

给定一个复杂的零四分体$\{l^a, n^a, m^a, \bar{m}^a\}$并遵守公约$\{(-,+,+,+); l^a n_a=-1\,,m^a \bar{m}_a=1\}$，Ricci-NP标量定义为（上划线表示复共轭）

$$\Phi_{00}:=\frac{1}{2}R_{ab}l^a l^b\,, \quad \Phi_{11}:=\frac{1}{4}R_{ab}(\,l^a n^b+m^a\bar{m}^b)\,, \quad\Phi_{22}:=\frac{1}{2}R_{ab}n^a n^b\,, \quad\Lambda:=\frac{R}{24}\,;$$

$\Phi_{01}:=\frac{1}{2}R_{ab}l^a m^b\,, \quad\; \Phi_{10}:=\frac{1}{2}R_{ab}l^a \bar{m}^b=\overline{\Phi}_{01}\,,$ $\Phi_{02}:=\frac{1}{2}R_{ab}m^a m^b\,, \quad \Phi_{20}:=\frac{1}{2}R_{ab}\bar{m}^a \bar{m}^b=\overline{\Phi}_{02}\,,$ $\Phi_{12}:=\frac{1}{2}R_{ab}m^a n^b\,, \quad\; \Phi_{21}:=\frac{1}{2}R_{ab}\bar{m}^a n^b=\overline{\Phi}_{12}\,.$

备注一：在这些定义中， $R_{ab}$可以用其无痕部分代替$Q_{ab}=R_{ab}-\frac{1}{4}g_{ab}R$

或爱因斯坦张量$G_{ab}=R_{ab}-\frac{1}{2}g_{ab}R$由于规范化（即内积）关系

$$l_a l^a = n_a n^a = m_a m^a = \bar{m}_a \bar{m}^a=0\,,$$

$$l_a m^a = l_a \bar{m}^a = n_a m^a = n_a \bar{m}^a=0\,.$$

备注 II：具体针对电真空，我们有$\Lambda=0$，因此

$$24\Lambda\,=0=\,R_{ab}g^{ab}\,=\,R_{ab}\Big(-2l^a n^b+2m^a\bar{m}^b \Big)\; \Rightarrow \; R_{ab}l^a n^b\,=\,R_{ab}m^a\bar{m}^b\,,$$

因此$\Phi_{11}$简化为

$$\Phi_{11}:=\frac{1}{4}R_{ab}(\,l^a n^b+m^a\bar{m}^b)=\frac{1}{2}R_{ab}l^a n^b=\frac{1}{2}R_{ab}m^a\bar{m}^b\,.$$

备注三：如果采用惯例$\{(+,-,-,-); l^a n_a=1\,,m^a \bar{m}_a=-1\}$，定义$\Phi_{ij}$应取相反的值；也就是说， $\Phi_{ij}\mapsto-\Phi_{ij}$签名转换后。

## 替代推导

根据上述定义，在通过与相应四元组向量的收缩计算 Ricci-NP 标量之前，应该先找出Ricci 张量。然而，这种方法未能充分体现纽曼-彭罗斯形式体系的精神，另一种方法是，计算自旋系数，然后导出 Ricci-NP 标量$\Phi_{ij}$通过相关的NP 场方程

$$\Phi_{00}=D\rho -\bar{\delta}\kappa-(\rho^2+\sigma\bar{\sigma})-(\varepsilon+\bar{\varepsilon})\rho+\bar{\kappa}\tau+\kappa(3\alpha+\bar{\beta}-\pi)\,,$$

$$\Phi_{10}=D\alpha-\bar{\delta}\varepsilon-(\rho+\bar{\varepsilon}-2\varepsilon)\alpha-\beta\bar{\sigma}+\bar{\beta}\varepsilon+\kappa\lambda+\bar{\kappa}\gamma-(\varepsilon+\rho)\pi\,,$$

$$\Phi_{02}=\delta\tau-\Delta\sigma-(\mu\sigma+\bar{\lambda}\rho)-(\tau+\beta-\bar{\alpha})\tau+(3\gamma-\bar{\gamma})\sigma+\kappa\bar{\nu}\,,$$

$$\Phi_{20}=D\lambda-\bar{\delta}\pi-(\rho\lambda+\bar{\sigma}\mu)-\pi^2-(\alpha-\bar{\beta})\pi+\nu\bar{\kappa}+(3\varepsilon-\bar{\varepsilon})\lambda\,,$$

$$\Phi_{12}=\delta\gamma-\Delta\beta-(\tau-\bar{\alpha}-\beta)\gamma-\mu\tau+\sigma\nu+\varepsilon\bar{\nu}+(\gamma-\bar{\gamma}-\mu)\beta-\alpha\bar{\lambda}\,,$$

$$\Phi_{22}=\delta\nu-\Delta\mu-(\mu^2+\lambda\bar{\lambda})-(\gamma+\bar{\gamma})\mu+\bar{\nu}\pi-(\tau-3\beta-\bar{\alpha})\nu\,,$$

$$2\Phi_{11}=D\gamma-\Delta\varepsilon+\delta\alpha-\bar{\delta}\beta-(\tau+\bar{\pi})\alpha-\alpha\bar{\alpha}-(\bar{\tau}+\pi)\beta-\beta\bar{\beta}+2\alpha\beta+(\varepsilon+\bar{\varepsilon})\gamma-(\rho-\bar{\rho})\gamma+(\gamma+\bar{\gamma})\varepsilon-(\mu-\bar{\mu})\varepsilon-\tau\pi+\nu\kappa-(\mu\rho-\lambda\sigma)\,,$$

而 NP 曲率标量$\Lambda$可以通过以下方式直接轻松计算$\Lambda=\frac{R}{24}$和$R$是时空度量的普通标量曲率$g_{ab}=-l_a n_b - n_a l_b +m_a \bar{m}_b +\bar{m}_a m_b$。

## 电磁 Ricci-NP 标量

根据 Ricci-NP 标量的以上定义 $\Phi_{ij}$ 且在定义替换 $R_{ab}$ 为 $G_{ab}$， $\Phi_{ij}$ 与爱因斯坦场方程的能量动量分布有关$G_{ab}=8\pi T_{ab}$。在最简单的情况下，即真空时空没有物质场， $T_{ab}=0$，我们将有$\Phi_{ij}=0$。此外，对于电磁场，除了上述定义外， $\Phi_{ij}$可以更具体地通过来确定

$$\Phi_{ij}=\,2\,\phi_i\,\overline{\phi}_j\,,\quad (i,j\in\{0,1,2\})\,,$$

这里 $\phi_i$ 表示三个复数麦克斯韦-NP 标量，它们编码了法拉第-麦克斯韦 2 形式的六个独立分量$F_{ab}$ （即电磁场强度张量）

$$\phi_0:= -F_{ab}l^a m^b \,,\quad \phi_1:= -\frac{1}{2} F_{ab}\big(l^an^a-m^a\bar{m}^b \big)\,, \quad \phi_2 := F_{ab} n^a \bar{m}^b\,.$$

备注：方程$\Phi_{ij}=2\,\phi_i\, \overline{\phi}_j$但对于电磁场来说，这不一定对其他类型的物质场也有效。例如，对于杨-米尔斯场，将有$\Phi_{ij}=\,\text{Tr}\,(\digamma_i \,\bar{\digamma}_j)$在哪里$\digamma_i (i\in\{0,1,2 \})$是杨–米尔斯-NP标量。