逆半群

群论中，逆半群 $S$ 为一类半群，其任意元 $x\in S$ 均具唯一逆 $y\in S$ 使得 $x=xyx$ 且 $y=yxy$, 即任意元均具唯一逆的正规半群。逆半群出现在不少领域，如用于研究部分对称群。

（本文遵循半群理论研究中的惯例，书函数名于参数右侧，函数复合亦从左至右，如 $x\ f$ 而非 $f(x)$.）

## 起源

逆半群分别由 Viktor Vladimirovich Wagner在苏联于 1952 年、Gordon Preston在英国于 1954 年独立引入。两位作者均通过研究集合上的偏双射得到逆半群：集合 $X$ 的偏变换 $\alpha$ 为从 $A$ 到 $B$ 的函数，其中 $A,\,B\subseteq X$. 令 $\alpha$, $\beta$ 为集合 $X$ 的偏变换，其能够（从左到右）在“有意义”组成它们的最大定义域上组成：

$\operatorname{dom}\alpha\beta=\left[\operatorname{im}\alpha\cap\operatorname{dom}\beta\right]\alpha^{-1}$,

其中 $\alpha^{-1}$ 表示 $\alpha$ 的原像。偏变换在伪群的背景下已有研究。首先是 Вагнер 注意到偏变换的复合是二元关系复合的特例，还认识到两个偏变换的复合，其定义域可能为空，因而引入空变换以考虑之。伴随空变换引入，集合偏变换的复合是处处定义的二元结合关系。依此复合，集合 $X$ 上全部偏一一变换的总体 $\mathcal I_X$ 即构成一逆半群，称 $X$ 上的对称逆半群或幺半群，其中逆定义作从像到定义域的函数逆。这就是“原型”逆半群了，同样地可以说对称群是“原型”群。举例，所有群均可嵌入对称群，所有逆半群均可嵌入对称逆半群（见下文的逆半群的同态与表示章节）。

## 基本叙述

逆半群 $S$ 中的元 $x$, 其逆常写作 $x^{-1}$. 逆半群中的逆，不少性质同乎群中的逆，例如 $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$. 在逆幺半群

$aa^{-1}=e$

中，$xx^{-1}$ 和 $x^{-1}x$ 均幂等。满足 $\forall x\in S,\,xx^{-1}=e=x^{-1}x$ 的逆幺半群 $S$ （一个“幂幺逆幺半群”）当然是群。

逆半群 $S$ 有如下等价特征：

- 任意元均具唯一逆当 $S$ 具幺。
- 任意元均具至少一个逆（$S$ 为正规半群）且幂等元交换（即 $S$ 的幂等元构成半格）。
- 任意 $\mathcal L$-类与 $\mathcal R$-类均具恰好一个幂等元，其中 $\mathcal L$ 和 $\mathcal R$ 是 格林关系其二。

$s$ 的 $\mathcal L$-类中的幂等元为 $s^{-1}s$, 而 $s$ 的 $\mathcal R$-类中的幂等元为 $ss^{-1}$.

因而在逆半群中的 Green 关系又一个简单特征：

$a\mathcal Lb\Longleftrightarrow a^{-1}a=b^{-1}b,\quad a\mathcal Rb\Longleftrightarrow aa^{-1}=bb^{-1}$.

除非另行说明，将以 $E(S)$ 指代逆半群 $S$ 幂等元构成的半格。

### 逆半群的例子

- 集合 $X$ 上的偏双射构成映射复合运算下的逆半群。
- 群均为逆半群。
- 双循环半群逆，有 (a, b)−1 = (b, a).
- 半格均为逆半群。
- 勃兰特半群逆。
- 穆恩半群逆。

以乘法表示例，逆半群可结合，且任意元均由 aba = a, bab = b 具其逆，但无幺且非交换。

$a$｜$b$｜$c$｜$d$｜$e$

$a$｜$a$｜$a$｜$a$｜$a$｜$a$

$b$｜$a$｜$b$｜$c$｜$a$｜$a$

$c$｜$a$｜$a$｜$a$｜$b$｜$c$

$d$｜$a$｜$d$｜$e$｜$a$｜$a$

$e$｜$a$｜$a$｜$a$｜$d$｜$e$

## 自然偏序

逆半群 $S$ 总具自然偏序 $\le$（有时写作 $\omega$），满足：

$$a \leq b \Longleftrightarrow a=eb,$$

对 $S$ 中的幂等元 $e\in S$. 此外有等价表述

$$a \leq b \Longleftrightarrow a=bf,$$

对一些（一般不同的）幂等元 $f\in S$. 实际上 $e$ 可视作 $aa^{-1}$, $f$ 可视作 $a^{-1}a$.

自然偏序同时兼容乘法与逆运算，即：

$$a\le b,\,c\le d \implies ac\le bd,$$

且

$$a\le b\implies a^{-1}\le b^{-1}.$$

群中的逆序则简单地退化为等价关系，因为幺元正是其唯一幂等元。在交换逆半群中，逆序退化为限制映射，即 $\alpha\le\beta$ 当且仅当 $\alpha$ 的定义域含于 $\beta$ 的定义域，且 $\forall x\in D_\alpha,\, x\alpha=x\beta$.

对 $E(S)$ 来说

$E(S)$

自然偏序变成了：

$$e\le f\Longleftrightarrow e=ef,$$

故而由于幂等元构成乘积运算下的半格，$E(S)$ 的乘积给出了关系 $\le$ 的最小上界。

若 $E(S)$ 有限且构成链（即 $E(S)$ 按 $\le$ 构成全序），则 $S$ 为群的并。若 $E(S)$ 为无穷链，亦可能据 $S$ 和 $E(S)$ 的假设获得类似结果。

## 逆半群的同态与表示

逆半群的同态（或态射）以与对其他半群那样完全相同的方式定义：对逆半群 $S,\,T$, 函数 $\vartheta\colon\, S\to T$ 是同态，当且仅当 $\forall s,\,t\in S,\,(s\vartheta)(t\vartheta)=(st)\vartheta$. 可用控制条件 $(s\vartheta)^{-1}=s^{-1}\vartheta$ 加强上述定义以阐明逆半群的态射，但并不必要，因为这一性质可由上面的定义导出，有定理：

逆半群的同态像仍是逆半群，元的逆总通过映到其像的逆。关于逆半群，最早的结果之一由 Wagner-Prestion 定理证明，这是群论中 Cayley 定理的类推：

设 $S$ 为逆半群，则由: $\operatorname{dom}(a\varphi)=Sa^{-1}\ \text{and}\ x(a\varphi)=xa$给出的函数 $\varphi\colon\, S\to\mathcal I_S$ 为 $S$ 的忠实表示。因此，任意逆半群可嵌入交换逆半群，而偏双射的像对取逆封闭。反过来说，任意交换逆半群的子半群是逆半群，若对逆运算封闭。故而半群 $S$ 同构于交换逆半群对逆运算封闭的子半群当且仅当 $S$ 是逆半群。

## 逆半群的同余

逆半群的同余实际与其他半群的如出一辙：同余 $\varrho$ 为兼容半群乘法的等价关系：

$a\ \varrho\ b,\, c\ \varrho\ d \implies ac\ \varrho\ bd$.

特别值得关注的是定义在逆半群 $S$ 上的关系 $\varsigma$:

$a\ \varsigma\ b\implies\exists c\in S, c\le a,\,b$.

可以证明 $\varsigma$ 为同余，而且实际上是群同余，这意味着因子半群 $S/\varsigma$ 是群。半群 $S$ 上的所有群同余构成的集合中的极小元（就由集合包含给出的偏序而言）不一定是最小元。特别当 $S$ 为逆半群时，$\varsigma$ 是使得 $S/\varsigma$ 是群的 $S$ 上的最小同余，换言之，给定群同余 $\tau\ne\varsigma$, $\varsigma$ 必包含于 $\tau$. 称同余 $\varsigma$ 为 $S$ 上的极小群同余。极小群同余可用于给出 $E$-纯逆半群的一个表征（见下文）。

逆半群 $S$ 的同余 $\varrho$ 称幂等纯若

$a\in S,\,e\in E(S),\,a\ \varrho\ e\implies a\in E(S).$

## $E$-纯逆半群

一类常年广受关注的逆半群是 $E$-纯逆半群：称逆半群 $S$（有幂等元半格 $E$） $E$-纯当且仅当 $\forall e\in E,\,\forall s\in S,$

$$es\in E\implies s\in E.$$

条件等价于

$se\in E\implies s\in E.$

以下是 $E$-纯逆半群 $S$ 更深刻的一个表征：$\forall s\in S,\,\forall e\in E\left(e\le s\implies s\in E\right)$.

令 $S$ 为逆半群，有幂等元半格 $E$ 及极小群同余 $\varsigma$，则下列叙述等价：# $S$ $E$-纯；# $\varsigma$ 幂等纯；# $\sim= \varsigma$,其中 $\sim$ 为 $S$ 上的*相容关系*，定义为：: $a\sim b\Longleftrightarrow ab^{-1},\,a^{-1}b$ 幂等。每个逆半群 $S$ 均具一个 $E$-纯覆盖，即存在幂等的从 $E$-纯半群 $T$ 到 $S$ 的分离满同态。

$E$-纯逆半群研究的核心为下述构造。

令 $\mathcal X$ 为序关系 $\le$ 的偏序集，令子集 $\mathcal Y\subseteq\mathcal X$ 具性质：

- $\mathcal Y$ 为下半格，即 $\forall A,\,B\in\mathcal Y,$ 存在（对于 $\le$ 来说的）下确界 $A\land B\in\mathcal Y$。
- $\mathcal Y$ 为 $\mathcal X$ 的序理想，即 $\forall A,\,B\in\mathcal X,(A\in\mathcal Y,\,B\le A)\implies (B\in\mathcal Y)$.

现令 $G$ 为左作用于 $\mathcal X$ 上的群，有

- $$\forall g\in G,\,\forall A,\,B\in\mathcal X,\,gA=gB\iff A=B;$$
- $$\forall g\in G,\,\forall B\in\mathcal X,\,\exists A\in\mathcal X(gA=B);$$
- $$\forall A,\,B\in\mathcal X,\,A\le B\iff gA\le gB;$$
- $$\forall g,\,h\in G,\,\forall A\in\mathcal X,\,g(hA)=(gh)A.$$

三元组 $(G,\,\mathcal X,\,\mathcal Y)$ 亦假设拥有如下性质：

- $$\forall X\in\mathcal X,\,\exists g\in G,\exists A\in\mathcal Y(gA=X);$$
- $$\forall g\in G,\,g\mathcal Y\cap\mathcal Y\ne\varnothing.$$

如此的 $(G,\,\mathcal X,\,\mathcal Y)$ 称 McAlister 三元组。McAlister 三元组用于定义如下:

$$P(G,\,\mathcal X,\,\mathcal Y)=\left\{(A,\,g)\in\mathcal Y\times G\colon\, g^{-1}A\in\mathcal Y\right\}$$

通过乘法规则

$$(A,\,g)(B,\,h)=(A\land gB,\,gh).$$

此时 $P(G,\,\mathcal X,\,\mathcal Y)$ 构成该乘法规则下的逆半群，有 $(A,\,g)^{-1}=(g^{-1}A,\,g^{-1})$. $E$-纯逆半群研究的主要结果之一是 McAlister $P$-定理：

令 $(G, \mathcal{X}, \mathcal{Y})$ 为 McAlister 三元组，则 $P(G, \mathcal{X}, \mathcal{Y})$ 为 $E$-纯逆半群。另一方面，$E$-纯逆半群同构于上述类型之一。

McAlister $P$ 定理

### $F$-逆半群

逆半群称 $F$-逆半群若任意元在自然偏序意义下均拥有唯一极大元，即所有 $\varsigma$-类均拥有极大元。$F$-逆半群均为 $E$-纯幺半群。McAlister 覆盖定理由 M. V. Lawson 精简叙述如下：

逆半群均具 $F$-覆盖。

McAlister $P$-定理能够良好表征 $F$-逆半群。McAlister 三元组 $(G,\,\mathcal X,\,\mathcal Y)$ 为 $F$-逆半群，当且仅当 $\mathcal Y$ 为 $\mathcal X$ 的主理想且 $\mathcal X$ 为半格。

## 与范畴论的联系

上文中集合上偏变换的复合得到了交换逆半群，下面阐述另一种复合偏变换的形式，约束力更强：两偏变换 $\alpha,\,\beta$ 可复合当且仅当 $\alpha$ 的像完全等于 $\beta$ 的定义域，否则称复合 $\alpha\beta$ 未定义。

采用替换后的复合定义，所有集合上的偏一一变换总体不构成逆半群，而在范畴意义上构成诱导群胚。

逆半群和到处群培之间的密切联系体现于 Ehresmann-Schein-Nambooripad 定理，该定理指明，导出群胚总能经由逆半群构造，反之亦然。更准确地说，逆半群严格地是偏序集范畴中的一个群胚，这是关于其（对偶）Alexandrov 拓扑的 étale 群胚，且其对象的偏序集为交半格。

## 逆半群的推广

按前述记号，逆半群 $S$ 限制于：

- $S$ 为正则半群。
- $S$ 中的幂等元交换。

对逆半群来说，这就引出两条不同的推广方式，即保留其中一个限制而取消另一个。

逆半群的正则推广有下例：

- 正则半群：半群 $S$ 正则，当其任意元均有逆。或者符号化叙述为 $\forall a\in S,\,\exists x\in S(axa=a)$.
- 局部逆半群：正则半群 $S$ 局部逆，若对某个幂等元 $e$ 有 $eSe$ 为逆半群。
- 保守半群：正则半群 $S$ 保守，若其幂等元子集构成子半群。
- 广义逆半群：正则半群称广义逆半群，若其幂等元构成正规带，即对任意幂等元 $x,\,y,\,z,$ 有 $xyzx=xzyx$.

广义逆半群类为局部逆半群类与保守半群类的交。

逆半群的非正则推广有：

- 左/右/双边 适半群。
- 左/右/双边 充半群。
- 左/右/双边 半适半群。
- 弱 左/右/双边 充半群。

### 逆范畴

逆运算这一记号亦可拓展到范畴上。逆范畴即其任意态射 $f\in\operatorname{Hom}(X,\,Y)$, 均对应唯一逆 $g\in\operatorname{Hom}(Y,\,X)$, 使得 $fgf=f,\,gfg=g=g$. 易知逆范畴自对偶。典例即集合范畴及其上的偏双射。

逆范畴在理论计算机科学里已有部分应用。