最小偏向角

在棱镜中，偏向角（δ）随着入射角（i）的增加而减小，直到达到特定角度。棱镜中偏向角最小的入射角称为棱镜的“最小偏向位置”，而该偏向角称为最小偏向角（由“δ”min、Dλ或Dm)。

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最小偏向角与折射率的关系如下：

$$n_{21} = \dfrac{\sin \left(\dfrac{A + D_{m}}{2}\right)}{\sin \left(\dfrac{A}{2}\right)}$$

这对于计算材料的折射率很有用。彩虹和光晕出现在最小偏向处。此外，薄棱镜始终设定为最小偏向。

## 公式

在最小偏向下，棱镜中的折射光线平行于其底部。换句话说，光线对于棱镜的对称轴是对称的。

此外，折射角是相等的，即1=r1 = r2。入射角和出射角彼此相等（1=i = e）。这在下图中清晰可见。

通过利用棱镜的几何形状，可以推导出最小偏向的公式。该方法涉及通过使用上述内容，在偏向和棱镜角度方面替换司乃耳定律中的变数。

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从角度之和$\triangle OPQ$。

$$A + \angle OPQ + \angle OQP = 180^\circ$$ $$\implies A = 180^\circ - (90 - r) - (90 - r)$$ $$\implies r = \frac{A}{2}$$

使用外角定理$\triangle PQR$。

$$D_{m} = \angle RPQ + \angle RQP$$ $$\implies D_{m} = i - r + i - r$$ $$\implies 2r + D_{m}= 2i$$ $$\implies A + D_{m} = 2i$$ $$\implies i = \frac{A + D_{m}} {2}$$

这也可以通过以下管道得出1=i = e 在棱镜公式中：1=i + e = A + δ

根据司乃耳定律。

$$n_{21} = \dfrac{\sin i}{\sin r}$$

$$\therefore n_{21} = \dfrac{\sin \left(\dfrac{A + D_{m}}{2}\right)}{\sin \left(\dfrac{A}{2}\right)}$$。

$$\therefore D_m = 2 \sin^{-1} \left(n \sin \left(\frac{A}{2}\right)\right) - A$$

（此处n是折射率，A是棱柱的角度，Dm 是最小偏向角。）

这是一种方便的方法，用于量测才料（液体或气体）的折射率，方法是将光线以最小偏向穿过填充有材料的棱镜或浸入其中的玻璃棱镜，棱镜的厚度可以忽略不计。

举个例子：

玻璃的折射率为1.5。等边棱镜的最小偏向角以及相应的入射角是理想的。

答案：37°, 49°

解决方案：

在这里，1=A = 60°, 1=n = 1.5

将它们代入上述公式。

$$\frac{\sin \left(\frac{60 + \delta}{2} \right)}{\sin \left(\frac{60}{2} \right)}= 1.5$$

$$\implies \frac{\sin \left(30 + \frac{\delta}{2} \right)}{\sin(30)}= 1.5$$

$$\implies \sin \left(30 + \frac{\delta}{2} \right) = 1.5 \times 0.5$$

$$\implies 30 + \frac{\delta}{2} = \sin^{-1}(0.75)$$

$$\implies \frac{\delta}{2} = 48.6 - 30$$

$$\implies \delta = 2 \times 18.6$$

$$\therefore \delta \approx 37^\circ$$

此外。

$$i = \frac{(A + \delta)}{2} = \frac{60 + 2 \times 18.6}{2} \approx 49^\circ$$

这在下图中也很明显。

如果折射率为1.4的棱镜的最小偏向角等于其折射角，则棱镜需要的角度。

答案：60°

解决方案：

在这里。

$$\delta = r$$

$$\implies \delta = \frac{A}{2}$$

使用上述公式。

$$\frac{\sin \left(\frac{A + \frac{A}{2}}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2} \right)}= 1.4$$

$$\implies \frac{\sin \left(\frac{3A}{4} \right)}{\sin \left(\frac{A}{2} \right)}= \frac{\frac{1}{2}}{ \frac{1}{\sqrt 2}}$$

$$\implies \frac{\sin \left(\frac{3A}{4} \right)}{\sin \left(\frac{A}{2} \right)}= \frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}$$

$$\therefore A = 60^\circ$$

此外，偏向角随任意入射角的变化，可以概括为一个方程式，通过将δ表示为 i，在使用司乃耳定律的棱镜公式中：

$$\delta = i - A + \sin^{-1} \left(n \cdot \sin\left(A - \sin^{-1}\left(\frac{\sin i}{n}\right)\right)\right)=f(i)(say)$$

找到该方程的最小值也将给出与上述最小偏向相同的关系。

放$f'(i)=0$，我们得到。

$\frac{\cos\left(A-\sin^{-1}\left(\frac{\sin i}{u}\right)\right)\cos i}{\sqrt{\left(1-u^{2}\sin^{2}\left(A-\sin^{-1}\left(\frac{\sin i}{u}\right)\right)\right)\left(1-\frac{\sin^{2}i}{u^{2}}\right)}}=1$，通过求解该方程，我们可以得到棱镜角度一定值的入射角值和棱镜的相对折射率值，从而得到最小偏向角。给出了方程和描述 here。

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### 适用于薄棱镜

在薄或小角度棱镜中，随着角度变得非常小，角度的正弦几乎等于角度本身，这产生了许多有用的结果。

因为Dm和A都非常小。

$$\begin{align} n & \approx \dfrac{\frac{A + D_{m}}{2}}{\frac{A}{2}}\\ n & = \frac{A + D_m}{A}\\ D_m & = An - A \end{align}$$

$$\therefore D_{m} = A(n - 1)$$

对于一般的薄棱镜，使用司乃耳定律和棱镜公式的类似方法，最终得到的偏向角结果非常相同。

因为i、e和r都非常小。

$$n \approx \frac{i}{r_1}, n \approx \frac{e}{r_2}$$

根据棱镜公式。

$$\begin{align} \delta & = n r_1 + n r_2 - A \\ & = n(r_1 + r_2) - A \\ & = nA - A \\ & = A(n - 1) \end{align}$$

因此，可以说薄棱镜总是处于最小偏向。

## 实验测定

最小偏向角可以手动或使用光谱仪找到。要么保持棱镜固定并调整入射角，要么旋转棱镜以保持光源固定。

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## 最小色散角

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白光的最小色散角是通过棱镜的红光和紫光之间光线的最小偏向角的差

对于薄棱镜，紫光的偏向$\delta_v$是$(n_v-1)A$，以及红光$\delta_r$是$(n_r-1)A$。红光和紫光之间的偏向差异$(\delta_v-\delta_r)=(n_v-n_r)A$称为棱镜产生的色散角。

## 应用

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导致彩虹的成因之一是光线以接近彩虹角（42°）的最小偏向角聚集。

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它还负责光晕和幻日等现象，这些现象是由六角冰晶迷你棱镜中的太阳光在空气弯曲光中的偏向产生的，最小偏向为22°。

## 外部链接

- Minimum Deviation Part 1 and Part 2 at Khan Academy
- Refraction through a Prism in NCERT Textbook
- Minimum Deviation by Prism by Mark A Peterson, Mount Holyoke College