定量相位成像

定量相位成像（Quantitative Phase Imaging, 简称 QPI），是一种无标记（Label-free）的显微成像技术，能够量化光波穿透或反射样品时产生的相位延迟（Phase delay）。由于许多生物细胞或透明材料（如相位标靶）在光学上属于相位物体（Phase objects），传统的明视野显微镜难以观察其内部对比。QPI 借由干涉测量术撷取光波的振幅与相位资讯，并高度仰赖数字信号处理（DSP）技术将干涉图转换为具备物理意义的二维或三维厚度与折射率分布，广泛应用于生医影像分析、奈米材料检测与空间生物学等领域。

## 核心原理与数位重建流程

在 QPI 系统中（例如：离轴数位全像显微镜或共光径数位全像显微镜 CP-DHM），硬件仅负责撷取带有高频空间条纹的原始干涉图（Raw hologram），后续的影像生成完全是一连串的数字信号处理过程。

以一个标准的相位标靶（Phase target）重建流程为例，其运算可分为以下五个步骤：

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- 步骤一：原始全像图撷取（Raw Hologram）

物光与参考光发生干涉，在感光元件上形成干涉图样。如图(a)所示，放大观察可以看见密集的干涉条纹，这些条纹的形变量编码了样品的相位资讯，此时的讯号属于空间域（Spatial domain）。

物光 $O(x,y)$ 与参考光 $R(x,y)$ 在感光元件上发生干涉。假设参考光为带有空间载波频率 $(k_x, k_y)$ 的平面波，感光元件所记录的干涉强度 $I(x,y)$ 可表示为：

$$I(x,y) = |O(x,y) + R(x,y)|^2 = a(x,y) + c(x,y)e^{i(k_x x + k_y y)} + c^*(x,y)e^{-i(k_x x + k_y y)}$$

其中，$a(x,y)$ 为零级的背景直流项（DC term），$c(x,y)$ 则包含了我们所需的物光复数振幅与相位资讯（即 $+1$ 级讯号），$c^*(x,y)$ 为其共轭项（$-1$ 级讯号）。

- 步骤二：二维离散傅立叶变换（2D Fourier Transform）

为了分离所需的讯号，利用快速傅立叶变换（FFT）将影像从空间域转换至空间频域$(f_x, f_y)$：

$$\hat{I}(f_x, f_y) = \mathcal{F}\{I(x,y)\} = \hat{A}(f_x, f_y) + \hat{C}(f_x - f_{cx}, f_y - f_{cy}) + \hat{C}^*(-(f_x + f_{cx}), -(f_y + f_{cy}))$$

在二维频谱中，$\hat{A}$ 位于频谱中心，而 $\hat{C}$ 与 $\hat{C}^*$ 则因空间载波频率的调变，分别平移至 $(f_{cx}, f_{cy})$ 与其对称位置。

如图(b)所示，二维频谱中会呈现三个主要成分：中央的零级光（Zero-order，即背景强光）、以及分布在两侧的正负一级共轭讯号（+1 与 -1 orders）。其中一级讯号包含了完整的样品复数振幅资讯。

- 步骤三：数位空间滤波与中心化（Filtering & Centering）

在频域中设计一个数位带通滤波器（通常为圆形或二维高斯视窗），将图(b)中带有黄色虚线圈起的 +1 级讯号独立滤出，形成图(c)的滤波频谱。接着，执行中心化（Centering）操作，将该频谱平移回频域的中心原点。此 DSP 步骤在物理上的意义是移除离轴干涉系统所引入的空间载波频率（Spatial carrier frequency）。

设计一个遮罩$M(f_x, f_y)$，将 $+1$ 级讯号 $\hat{C}$ 独立滤出。接着，将频谱平移回原点以移除硬件引入的载波频率，此过程即为数位解调（Digital Demodulation）：

$$\hat{O}(f_x, f_y) = \hat{I}(f_x + f_{cx}, f_y + f_{cy}) \cdot M(f_x, f_y)$$

- 步骤四：逆傅立叶变换与相位计算（2D inverse Fourier Transform）

将中心化后的频谱执行二维逆傅立叶变换（2D iFFT），即可得到样品的复数光场（Complex optical field）$U(x, y)$。透过对该复数场取反正切函数（Arctangent），便能计算出包裹相位（Wrapped phase）。

对解调后的频谱执行二维逆傅立叶变换 $\mathcal{F}^{-1}$，即可得到样品的复数光场 $U(x,y)$：

$$U(x,y) = \mathcal{F}^{-1}\{\hat{O}(f_x, f_y)\} = A(x,y)e^{i\phi(x,y)}$$

透过对该复数场的虚部与实部取反正切函数，可计算出相位分布：

$$\phi_{\text{wrapped}}(x,y) = \arctan\left(\frac{\operatorname{Im}[U(x,y)]}{\operatorname{Re}[U(x,y)]}\right)$$

由于反正切函数的数学特性，此时求得的相位 $\phi_{wrapped}$ 会被包裹（Wrapped）在 $[-\pi, \pi)$ 之间。

- 步骤五：相位补偿与展开（Phase Compensation & Unwrapping）

实际光学系统（特别是显微物镜）会引入球面像差或背景相位畸变。如图(d)所示，必须透过数位相位补偿（Phase compensation）算法（如多项式拟合或数值参考波相减）来消除这些物理像差，最终获得准确定量的重建相位图（Reconstructed phase）。此时影像的数值直接对应于样品的物理厚度与折射率变化。

透过相位展开（Phase unwrapping）算法，在相位跳变处加上整数倍的 $2\pi$ 以还原连续的物理相位，同时扣除系统像差 $\phi_{aberration}(x,y)$：

$$\phi_{\text{real}}(x,y) = \phi_{\text{wrapped}}(x,y) + 2\pi k(x,y) - \phi_{\text{aberration}}(x,y)$$

其中 $k(x,y)$ 为整数的相位包裹阶数。最终得到的 $\phi_{real}$ 即为真实定量相位，其数值与样品的折射率及物理厚度呈正比关系。

## 数字信号处理在 QPI 中的关键角色

QPI 的发展与现代 DSP 理论及计算硬件的进步密不可分。除了上述的基础流程之外，进阶的 QPI 系统常引入以下算法：

- 相位展开算法（Phase Unwrapping Algorithm）：由于反正切函数计算出的相位会被限制在 $-\pi$ 到 $\pi$ 之间，导致影像出现不连续的跳跃。必须利用诸如品质导向（Quality-guided）、最小平方法（Least-squares）或网络流图等算法来还原真实的连续相位。
- 自动背景校正：透过影像分割（Image segmentation）与区域扩展（Region expansion）等形态学操作，精准识别无细胞或无样品的背景区域，将其相位基准归零以提升定量准确度。
- 批次运算与硬件加速：在处理大量三维医学影像资料时，高度依赖 GPU 平行运算来加速 2D/3D FFT 及矩阵运算，以实现即时的批次推论（Batch inference）。

## 应用领域

定量相位成像的非破坏性与无标记特性，使其在诸多领域展现极高价值：

- 空间生物学与肿瘤学：无需萤光染剂即可进行细胞三维结构与干质量的测量，对于观察癌细胞的空间分布、肿瘤微环境以及活体细胞的动态行为具有重要意义。
- 超颖表面与平面光学检测：在奈米级光学元件（如超颖透镜、超颖双棱镜）的设计与制造中，QPI 可用于精确量测奈米柱（Nanopillars）阵列所产生的相位延迟分布，验证全波段电磁模拟的准确性。
- 医学影像与人工智能：重建后的高对比相位影像可作为深度学习模型的优质输入特征（Ground truth），结合 3D 卷积神经网络（CNN）等 AI 框架，应用于微小病灶（如脑微出血）的自动化分割与检测。

## 参考文献

- Chu CH, Tsai CM, Yamaguchi T, Wang YX, Tanaka T, Chen HW, Luo Y, Tsai DP. Quantitative Phase Imaging with a Meta-Based Interferometric System. ACS Appl Mater Interfaces. 2025 Apr 30;17(17):26023-26031. doi: 10.1021/acsami.5c02901. Epub 2025 Apr 15. PMID 40233216; PMCID: PMC12051180.

- Chen-Ming Tsai, Sunil Vyas, and Yuan Luo, "Common-path digital holographic microscopy based on a volume holographic grating for quantitative phase imaging," Opt. Express 32, 7919-7930 (2024)