克拉克变换

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克拉克变换（Clarke transformation）也称为$\alpha\beta\gamma$变换，是电机工程学里简化三相电分析的数学变换 (数学)，常用在三相逆变器的控制上，可以将平衡的三相系统转换为互相垂直的二相系统，方便信号的处理。

克拉克变换和派克变换（park transform）都是简化三相电分析用的数学变换，在电机控制时也常一起使用。

## 历史

伊迪丝·克拉克在1937年和1938年发表了应用在不平衡三相电力系统的变换及计算，此方法可以简化计算。

## 定义

伊迪丝·克拉克用在三相电流的克拉克变换如下：

$$i_{\alpha\beta\gamma}(t) = Ti_{abc}(t) = \frac{2}{3}\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\\i_c(t)\end{bmatrix}$$

其中

$i_{abc}(t)$是一般的三相电流

$i_{\alpha\beta\gamma}(t)$是经$T$变换后所得的电流

逆变换为：

$$i_{abc}(t) = T^{-1}i_{\alpha\beta\gamma}(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1\\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}i_\alpha(t)\\i_\beta(t)\\i_\gamma(t)\end{bmatrix}.$$

上述的克拉克变换保持了电机变数的量值。考虑以下对称的三相电流信号

$$\begin{align} i_a(t)=&\sqrt{2}I\cos\theta(t),\\ i_b(t)=&\sqrt{2}I\cos\left(\theta(t)-\frac23\pi\right),\\ i_c(t)=&\sqrt{2}I\cos\left(\theta(t)+\frac23\pi\right), \end{align}$$

其中

$I$是$i_a(t)$、$i_b(t)$和$i_c(t)$的平方平均数

$\theta(t)$是随时间变化的角度，可以表示为$\omega t$。

将上述三相电流信号进行变换，可得

$$\begin{align} i_{\alpha}=&\sqrt2 I\cos\theta(t),\\ i_{\beta}=&\sqrt2 I\sin\theta(t),\\ i_{\gamma}=&0, \end{align}$$

变换后的电流量值和变换前相同。

### 功率不变变换

电机系统的电压和电流，经过上述的变换后，实功和虚功会和原系统会差一个系数，原因是因为$T$不是酉矩阵（unitary matrix）。若要让实功和虚功的值在变换前后相同，需要用以下的变换

$$i_{\alpha\beta\gamma}(t) = Ti_{abc}(t) = \sqrt{\frac{2}{3}}\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\\i_c(t)\end{bmatrix},$$

变换矩阵是酉矩阵，而且其逆矩阵恰好为其转置矩阵不过在此例中，变换后电流的量值就和变换前不同了，变换后的电流如下

$$\begin{align} i_{\alpha}=&\sqrt3 I\cos\theta(t),\\ i_{\beta}=&\sqrt3 I\sin\theta(t),\\ i_{\gamma}=&0. \end{align}$$

其逆变换为

$$i_{abc}(t) = \sqrt{\frac{2}{3}}\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_\alpha(t)\\i_\beta(t)\\i_\gamma(t)\end{bmatrix}.$$

### 简化的变换

在平衡系统中，$i_a(t)+i_b(t)+i_c(t)=0$，因此，$i_\gamma(t)=0$。以下是简化版的变换

$$\begin{align} i_{\alpha\beta}(t) &= \frac23 \begin{bmatrix} 1 & -\frac12 & -\frac12\\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\\i_c(t)\end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{3}} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\end{bmatrix} \end{align}$$

是只考虑前二个方程的克拉克变换，其逆变换如下

$$i_{abc}(t) = \frac32\begin{bmatrix} \frac23 & 0 \\ -\frac{1}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\ -\frac{1}{3} & -\frac{\sqrt{3}}{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}i_\alpha(t)\\i_\beta(t)\end{bmatrix}$$

## 几何诠释

克拉克变换可以视为是将三个相量（电压或电流）投影到二个固定的座标轴（alpha轴和beta轴）上。若三相平衡的话，所有资讯都可以保留，因为方程$I_a+I_b+I_c=0$和变换后的$I_{\gamma}$的方程等效。若系统不平衡，则在投影后$I_{\gamma}$项会有误差量。因此，$I_{\gamma}$为0表示三相系统平衡，可以只考虑二个座标下的运算。这是克拉克变换的优雅之处，在三相平衡的假设下，将三个分量的系统变换为二个分量的系统。

另一种理解的方式是方程$I_a+I_b+I_c=0$定义了一个在三维空间下的平面，alpha-beta座标空间可以理解为该平面上的座标，也就这二个座标轴都在$I_a+I_b+I_c=0$定义的平面上。

上图是$\alpha\beta\gamma$变换应用在三个相差120度的对称电流上。三个电流和对应电压相量的角度差为$\delta$。图中The $\alpha$-$\beta$轴的标示方式是让$\alpha$轴和A相重合，电流向量$I_{\alpha\beta\gamma}$以角速度$\omega$旋转，因为是三相平衡系统，没有$\gamma$分量。