切比雪夫偏差

在数论上，切比雪夫偏差（Chebyshev's bias）指的是说在多数时候，在给定的界限下，除4余3的质数个数，会多于除4余1的质数的现象。这现象最早由帕夫努季·切比雪夫于1853年观察到。

## 叙述

设$\pi(x;n,m)$为不大于x且形如$nk+m$的质数的数量，那么根据质数定理在算术数列上的推广，有以下关系：

$$\pi(x;4,1)\sim\pi(x;4,3)\sim \frac{1}{2}\frac{x}{\log x}.$$

也就是说，大约一半的质数除4余1，另外一半则是除4余3的。因此一个合理的猜测是$\pi(x;4,1) > \pi(x;4,3)$跟$\pi(x;4,3) > \pi(x;4,1)$的发生率大约相等；然而这点并不受数据支持，实际上，$\pi(x;4,3) > \pi(x;4,1)$远远更常发生。像例如说对于所有小于26833且不等于5、17、41及461的x而言，$\pi(x;4,3) > \pi(x;4,1)$，而在x等于5、17、41及461的状况下，则有$\pi(x;4,3) = \pi(x;4,1)$；而第一个使得$\pi(x;4,1) > \pi(x;4,3)$的x是26861，也就是说，对于任意的x < 26861而言，$\pi(x;4,3) \ge \pi(x;4,1)$。

更一般地，若$0 < a,b < n$是整数，其彼此的最大公因数有$\gcd(a,n)=\gcd(b,n)=1$这样的关系，且a为模n的二次剩余a为模n的二次非剩余，那么$\pi(x;n,b) > \pi(x;n,a)$是更常发生的。这点只有在假定强形式的黎曼猜想成立的状况下得证。

Stanisław Knapowski和图兰两氏曾提出更强的猜想，认为使得$\pi(x;4,3) > \pi(x;4,1)$成立的x的密度为一，也就是说$\pi(x;4,3) > \pi(x;4,1)$对几乎所有的x成立；然而这两氏提出的猜想已被否证；而实际上使之成立的数的对数密度大约为。

## 推广

相关的问题可转化成对于$k=-4$而言，使得$\sum_{q \le p,\ q\ \text{is prime}}\left(\frac{k}{q}\right)>0$成立的最小质数p，其中$\left(\frac{m}{n}\right)$是克罗内克符号；然而对于任意给定的不为零的k（不仅是$k=-4$），也能找使上式成立的最小质数p。从质数定理可知，对于任意非零的整数k，有无限多个质数p满足此条件。

对于正整数$k=1,2,3,\cdots$而言，最小质数p如下所示：

2, 11100143, 61981, 3, 2082927221, 5, 2, 11100143, 2, 3, 577, 61463, 2083, 11, 2, 3, 2, 11100121, 5, 2082927199, 1217, 3, 2, 5, 2, 17, 61981, 3, 719, 7, 2, 11100143, 2, 3, 23, 5, 11, 31, 2, 3, 2, 13, 17, 7, 2082927199, 3, 2, 61463, 2, 11100121, 7, 3, 17, 5, 2, 11, 2, 3, 31, 7, 5, 41, 2, 3, ... A326615

对于负整数$k=1,2,3,\cdots$而言，最小质数p如下所示：

2, 3, 608981813029, 26861, 7, 5, 2, 3, 2, 11, 5, 608981813017, 19, 3, 2, 26861, 2, 643, 11, 3, 11, 31, 2, 5, 2, 3, 608981813029, 48731, 5, 13, 2, 3, 2, 7, 11, 5, 199, 3, 2, 11, 2, 29, 53, 3, 109, 41, 2, 608981813017, 2, 3, 13, 17, 23, 5, 2, 3, 2, 1019, 5, 263, 11, 3, 2, 26861, ... A392284

对于实二次域的判别式$k=1, 5, 8, 12, 13, 17, 21, 24, 28, 29, 33, 37, 40, 41, 44, 53, 56, 57, 60, 61, \cdots$ A003658，最小质数p如下所示：

2, 2082927221, 11100143, 61463, 2083, 2, 1217, 5, 3, 719, 2, 11, 3, 2, 7, 17, 11, 2, 7, 5, 2, 13, 2, 3, 23, 7, 3, 2, 13, 19, 2, 23, 17, 2, 5, 2, 7, 3, 2, 13, 3, 2, 19, 7, 2, 31, 31, 5, 17, 2, 13, 13, 3, 47, 2, 5, 3, 2, 37, 2, 47, 2, 5, 7, 2, 43, 2, 3, 11, 5, 3, 2, 29, ... A306499

对于虚二次域的判别式$k = -3, -4, -7, -8, -11, -15, -19, -20, -23, -24, -31, -35, -39, -40, -43, -47, -51, -52, -55, -56, -59, \cdots$A003657，最小质数p如下所示：

608981813029, 26861, 2, 3, 5, 2, 11, 3, 2, 5, 2, 11, 2, 11, 53, 2, 13, 17, 2, 3, 5, 163, 3, 2, 2, 11, 5, 2, 31, 31, 2, 2, 3, 23, 2, 41, 3, 2, 13, 47, 2, 5, 19, 7, 11, 2, 191, 2, 3, 19, 2, 15073, 3, 2, 29, 5, 2, 41, 109, 2, 11, 2, 31, 59, 3, 2, 19, 2, 11, 53, 2, 1019, 137, ... A306500

对于任意非平方整数k而言，多数时候，在给定的界限下，使得$\left(\frac{k}{p}\right)=-1$的质数p会多于使得$\left(\frac{k}{p}\right)=1$质数p。

## 延伸至高次剩余

设m和n是两个彼此互质的正整数，那么可定义以下函数：

$$f(m,n)=\sum_{p \text{ is prime, } p\,\mid\,\varphi(n),\ x^p \,\equiv\, m \pmod n \text{ has a solution }} \left(\frac{1}{p}\right)$$

其中$\varphi$是欧拉函数。

这函数的一些数值如次：$f(1, 5) = f(4, 5) = 1/2, f(2, 5) = f(3, 5) = 0, f(1, 6) = 1/2, f(5, 6) = 0, f(1, 7) = 5/6, f(2, 7) = f(4, 7) = 1/2, f(3, 7) = f(5, 7) = 0, f(6, 7) = 1/3, f(1, 8) = 1/2, f(3, 8) = f(5, 8) = f(7, 8) = 0, f(1, 9) = 5/6, f(2, 9) = f(5, 9) = 0, f(4, 9) = f(7, 9) = 1/2, f(8, 9) = 1/3$。

目前有猜想认为，若若$0 < a,b < n$是整数，其彼此的最大公因数有$\gcd(a,n)=\gcd(b,n)=1$这样的关系，且同时$f(a,n) > f(b,n)$成立，那么$\pi(x;n,b) > \pi(x;n,a)$是更常发生的。

## 参考资料

- P.L. Chebyshev: Lettre de M. le Professeur Tchébychev à M. Fuss sur un nouveaux théorème relatif aux nombres premiers contenus dans les formes 4n + 1 et 4n + 3, Bull. Classe Phys. Acad. Imp. Sci. St. Petersburg, 11 (1853), 208.
- J. Kaczorowski: On the distribution of primes (mod 4), Analysis, 15 (1995), 159–171.
- S. Knapowski, Turan: Comparative prime number theory, I, Acta Math. Acad. Sci. Hung., 13 (1962), 299–314.

## 外部链接

- A007350─给出除4余3的质数个数和除4余1的质数相对个数彼此交换的点的列表
- A007352─给出除3余1的质数个数和除3余2的质数相对个数彼此交换的点的列表