微分表示法

在微分学中，微分并没有统一的表示方法。莱布尼茨、牛顿、拉格朗日和阿尔博加斯特等数学家提出了多种记号，表示函数或因变量的导数。实际使用中，视不同情况使用不同记号。专业领域，例如多元微积分、张量分析或向量微积分中的偏导数，则通常使用其特殊符号，例如下标符号或∇运算符。下面列出了最常用的微分符号（及其逆运算，即反微分或不定积分）。

## 莱布尼茨表示法

戈特弗里德·莱布尼茨的记号广泛运用于数学领域。当方程y = f(x)表示因变量y和自变量x之间的函数关系时，常常使用这种表示方法。莱布尼茨表示法表示y对x求导为 $\frac{dy}{dx}.$

此外，函数f在x处的导数可以写成

$$\frac{df}{dx}(x)\text{ 或 }\frac{d f(x)}{dx}\text{ 或 }\frac{d}{dx} f(x).$$

高阶导数可以写成：

$$\frac{d^2y}{dx^2}, \frac{d^3y}{dx^3}, \frac{d^4y}{dx^4}, \ldots, \frac{d^ny}{dx^n}.$$

上述记法是源于下面的简化：

$$\frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx} = \left(\frac{d}{dx}\right)^2y = \frac{d^2y}{dx^2}.$$

在莱布尼茨表示法中， y在点x = a处导数的值可以用如下两种方式表示：

$$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a} \text{ 或 } \frac{dy}{dx}(a).$$

莱布尼茨符号允许指定求导的变量（由分母指定）。这在偏导数中尤其有用。它也使得链式法则更易记忆、理解： $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.$

莱布尼茨的微分符号体系并没有严格定义dx或dy （称为微分记号）之类的记号，一些教科书的作者也并未给这些符号赋予含义。莱布尼茨将这些符号视为无穷小量。后来，一些学者赋予了它们其他含义。例如，非标准分析中它们被定义为无穷小量或外导数。在当下的研究中， dx通常不予定义，或等同于 $\Delta x$。其中， dy通过dx赋予了特定的含义，该定义由以下方程确定：

$$dy = \frac{dy}{dx} \cdot dx$$

也可以写成：

$$df = f'(x) \cdot dx$$

这也是某些文献中，导数被称为“微分系数”（dx的系数）的原因。

有些作者和期刊用罗马字体而非斜体表示微分符号d，比如 dx

ISO/IEC 80000科学格式指南推荐这种字体。

## 拉格朗日表示法

该记号现代最常用的微分记号之一，它以约瑟夫·路易·拉格朗日的名字命名。实际上，该记法是由欧拉发明、由拉格朗日推广的。在拉格朗日表示法中，撇号表示导数——它有时也被称为撇号符号。如果f 是一个函数，那么它在x 处的导数记为

$$f'(x).$$

它最早于1749 年在印刷品中出现。

高阶导数用多个撇号表示，例如： $f''(x)$表示二阶导数、$f'''(x)$表示三阶导数。高阶导数用撇号表示会很麻烦，因此有些作者使用罗马数字表示高阶导数（通常用小写形式），例如

$$f^{\mathrm{iv}}(x), f^{\mathrm{v}}(x), f^{\mathrm{vi}}(x), \ldots,$$

表示四阶、五阶、六阶及更高阶导数。也有作者使用阿拉伯数字，并用括号括住表示，例如：

$$f^{(4)}(x), f^{(5)}(x), f^{(6)}(x), \ldots.$$

这种符号也能描述n阶导数，其中n可以是变量。写成：

$$f^{(n)}(x).$$

与拉格朗日表示法相关的Unicode字符包括

当一个函数有两个自变量时（如$f(x,y)$），记号定义如下：

$$\begin{align} <pre> f^\prime &= \frac{\partial f}{\partial x} = f_x \\[5pt] f_\prime &= \frac{\partial f}{\partial y} = f_y \\[5pt] f^{\prime\prime} &= \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} = f_{xx} \\[5pt] f_\prime^\prime &= \frac{\partial ^2 f}{\partial y \partial x}\ = f_{xy} \\[5pt] f_{\prime\prime} &= \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2} = f_{yy} </pre> \end{align}$$

### 拉格朗日反微分表示法

求反导数时，拉格朗日记法遵循莱布尼茨表示法：

$$f(x) = \int f'(x)\,dx = \int y'\,dx.$$

由于积分是微分的逆运算，拉格朗日表示高阶导数的记号也适用于积分。函数f的多次积分可以写成如下形式：

$f^{(-1)}(x)$ 表示一次积分 (容易与 反函数 $f^{-1}(x)$混淆),

$f^{(-2)}(x)$ 表示二次积分,

$f^{(-3)}(x)$ 表示三次积分,

$f^{(-n)}(x)$ 表示 n次 积分.

## D 表示法

这种表示方法有时被称为欧拉表示法，虽然它是由路易·弗朗索瓦·安托万·阿尔博加斯特引入的

```
 </ref> 并且[[萊昂哈德·歐拉|莱昂哈德·欧拉]]似乎并没有使用过这种表示方法。 <sup class="noprint Inline-Template Template-Fact" style="white-space:nowrap;">&#x5B;''[[wikipedia:来源请求|<span title="This claim needs references to reliable sources. (May 2024)">需要来源</span>]]''&#x5D;</sup>
```

或D̃ （牛顿-莱布尼茨算子）。当该算子应用于函数f(x)时，它定义为

$$(Df)(x) = \frac{df(x)}{dx}.$$

高阶导数表示为D的“幂”（其中上标表示D的迭代复合），如下所示：

$D^2f$ 表示2阶导数,

$D^3f$ 表示3阶导数

$D^nf$ 表示n阶导数.

D 表示法隐含了被微分的变量。当然，也可以通过下标显式地标注被微分变量：如果f是变量x的函数，则可以写成如下形式

$D_x f$ 表示1阶导数,

$D^2_x f$ 表示2阶导数

$D^3_x f$ 表示3阶导数

$D^n_x f$ 表示n阶导数

当f是多元函数时，通常使用“ ∂ ”（一种花体小写字母 d）而不是“ D ”表示。如上所述，下标表示所求导数的变量。例如，函数的二阶偏导数$f(x,y)$是：

$$\begin{align} & \partial_{xx} f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \\[5pt] & \partial_{xy} f = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}, \\[5pt] & \partial_{yx} f = \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}, \\[5pt] & \partial_{yy} f = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}. \end{align}$$

参见

D 表示法在微分方程和微分代数的研究中很有用。

### 反导数的D表示法

D 表示法可以像拉格朗日表示法一样用于反导数，如下所示

$D^{-1}f(x)$ 表示1阶反导数,

$D^{-2}f(x)$ 表示2阶反导数

$D^{-n}f(x)$ 表示n阶反导数.

## 牛顿表示法

艾萨克·牛顿的微分表示法（也称为点表示法、流数表示法，有时也简称为“飞点记号 ”）是因变量上方加一个点。如果y是t的函数，那么y对t的导数为：

$$\dot y$$

高阶导数用多个点表示，例如：

$$\ddot y, \overset{...}{y}$$

牛顿扩展了这种记号体系：

$$\begin{align} <pre> \ddot{y} &\equiv \frac{d^2y}{dt^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dt}\right) = \frac{d}{dt}\Bigl(\dot{y}\Bigr) = \frac{d}{dt}\Bigl(f'(t)\Bigr) = D_t^2 y = f''(t) = y''_t \\[5pt] \overset{...}{y} &= \dot{\ddot{y}} \equiv \frac{d^3y}{dt^3} = D_t^3 y = f'''(t) = y'''_t \\[5pt] \overset{\,4}{\dot{y}} &= \overset{....}{y} = \ddot{\ddot{y}} \equiv \frac{d^4y}{dt^4} = D_t^4 y = f^{\rm IV}(t) = y^{(4)}_t \\[5pt] \overset{\,5}{\dot{y}} &= \ddot{\overset{...}{y}} = \dot{\ddot{\ddot{y}}} = \ddot{\dot{\ddot{y}}} \equiv \frac{d^5y}{dt^5} = D_t^5 y = f^{\rm V}(t) = y^{(5)}_t \\[5pt] \overset{\,6}{\dot{y}} &= \overset{...}{\overset{...}{y}} \equiv \frac{d^6y}{dt^6} = D_t^6 y = f^{\rm VI}(t) = y^{(6)}_t \\[5pt] \overset{\,7}{\dot{y}} &= \dot{\overset{...}{\overset{...}{y}}} \equiv \frac{d^7y}{dt^7} = D_t^7 y = f^{\rm VII}(t) = y^{(7)}_t \\[5pt] \overset{\,10}{\dot{y}} &= \ddot{\ddot{\ddot{\ddot{\ddot{y}}}}} \equiv \frac{d^{10}y}{dt^{10}} = D_t^{10} y = f^{\rm X}(t) = y^{(10)}_t \\[5pt] \overset{\,n}{\dot{y}} &\equiv \frac{d^ny}{dt^n} = D_t^n y = f^{(n)}(t) = y^{(n)}_t </pre> \end{align}$$

与牛顿表示法相关的Unicode字符包括：

- 20DB
- 20DC
- 030D
- 030E
- 25AD
- 20DE
- 1DE0

当自变量表示时间时，通常使用牛顿表示法。如果位置y是t的函数，那么$\dot y$表示速度、$\ddot y$表示加速度。这种表示方法在物理学和数学物理中很流行。它常用于与物理学相关的数学领域，例如用微分方程表示的物理定律方程。

牛顿在 曲线X ( ⵋ ) 侧边加点定义了以下偏微分算子。

$$\begin{align} <pre> \mathcal{X} \ &=\ f(x,y) \,, \\[5pt] \cdot\mathcal{X} \ &=\ x\frac{\partial f}{\partial x} = xf_x\,, \\[5pt] \mathcal{X}\!\cdot \ &=\ y\frac{\partial f}{\partial y} = yf_y\,, \\[5pt] \colon\!\mathcal{X}\,\text{ or }\,\cdot\!\left(\cdot\mathcal{X}\right) \ &=\ x^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = x^2 f_{xx}\,, \\[5pt] \mathcal{X}\colon\,\text{ or }\,\left(\mathcal{X}\cdot\right)\!\cdot \ &=\ y^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = y^2 f_{yy}\,, \\[5pt] \cdot\mathcal{X}\!\cdot\ \ &=\ xy\frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y} = xy f_{xy}\,, </pre> \end{align}$$

### 牛顿积分表示法

牛顿在《曲线求积》 （1704 年）和后来的著作中发明了许多积分记号：在因变量上方写一个小竖线或撇号（y̍）、前面加上一个矩形（▭y）、用矩形框住（y）来表示流积分或时间积分（位移积分）。

$$\begin{align} <pre> y &= \Box \dot{y} \equiv \int \dot{y} \,dt = \int f'(t) \,dt = D_t^{-1} (D_t y) = f(t) + C_0 = y_t + C_0 \\ \overset{\,\prime}{y} &= \Box y \equiv \int y \,dt = \int f(t) \,dt = D_t^{-1} y = F(t) + C_1 </pre> \end{align}$$

为了表示多次积分，牛顿使用两个小竖线或撇号（y̎），或者组合使用符号（▭y̍ 或 y̍），来表示二阶时间积分。

$$\overset{\,\prime\prime}{y} = \Box \overset{\,\prime}{y} \equiv \int \overset{\,\prime}{y} \,dt = \int F(t) \,dt = D_t^{-2} y = g(t) + C_2$$

高阶时间积分表示形式如下：

$$\begin{align} <pre> \overset{\,\prime\prime\prime}{y} &= \Box \overset{\,\prime\prime}{y} \equiv \int \overset{\,\prime\prime}{y} \,dt = \int g(t) \,dt = D_t^{-3} y = G(t) + C_3 \\ \overset{\,\prime\prime\prime\prime}{y} &= \Box \overset{\,\prime\prime\prime}{y} \equiv \int \overset{\,\prime\prime\prime}{y} \,dt = \int G(t) \,dt = D_t^{-4} y = h(t) + C_4 \\ \overset{\;n}\overset{\,\prime}{y} &= \Box \overset{\;n-1}\overset{\,\prime}y \equiv \int \overset{\;n-1}\overset{\,\prime}y \,dt = \int s(t) \,dt = D_t^{-n} y = S(t) + C_n </pre> \end{align}$$

由于印刷困难，这种数学符号并未得到广泛应用。参见莱布尼茨-牛顿微积分之争

## 偏导数

在多元微积分或张量分析等多变量分析中，需要表示更具体的微分类型时，通常使用其他记号。

对于一个只包含自变量x的函数f，我们可以用自变量的下标来表示其导数：

$$\begin{align} <pre> f_x &= \frac{df}{dx} \\[5pt] f_{x x} &= \frac{d^2f}{dx^2}. </pre> \end{align}$$

这种表示方法对于求多元函数的偏导数尤其有用。

表示求偏导数时，通常用符号“ ∂ ”代替微分算子d。例如，我们可以用符号“∂”表示函数f(x, y, z)关于x，但不关于y或z的导数：

$$\frac{\partial f}{\partial x} = f_x = \partial_x f.$$

区分出符号“∂”的重要原因是，非偏导数记号（例如$\textstyle \frac{df}{dx}$）有时会考虑其他变量的同时变化，比如全导数。而偏导数（例如$\textstyle \frac{\partial f}{\partial x}$），则明确了只能有一个变量发生变化。

该记号可见于数学、物理学和工程学的各个子领域：例如，热力学的麦克斯韦关系式中 $\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{\!S}$是在保持熵（下标） S不变的情况下，温度T对体积V的导数，而$\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{\!P}$是在压力P保持不变的情况下，温度对体积的导数。当变量数量超过自由度时，就需要用到上述记号，用于确定不变的量。

对一个变量的高阶偏导数表示为

$$\begin{align} & \frac{\partial^2f}{\partial x^2} = f_{xx}, \\[5pt] & \frac{\partial^3f}{\partial x^3} = f_{xxx}, \end{align}$$

混合偏导数可以表示为

$$\frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x} = f_{xy}.$$

两种表示法中变量的顺序相反：

$$\begin{align} & (f_x)_y = f_{xy}, \\[5pt] & \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2f}{\partial y \, \partial x}. \end{align}$$

当上述表示方法过于冗长时，则会使用多重指标。考虑定义在 $\R^n$ 上的函数, 我们定义一个长度为$n$的有序数列（$n \in \mathbb{N}$）: $\alpha = (\alpha_1,\ldots,\alpha_n), \ \alpha_i \in \Z_{\geq 0}$. 对于函数 $f:\R^n \to X$, 多重指标微分定义为

$$\partial^\alpha f = \frac{\partial^{\alpha_1}}{\partial x_1^{\alpha_1}} \cdots \frac{\partial^{\alpha_n}}{\partial x_n^{\alpha_n}} f$$

这样，一些用其他方式写起来很繁琐的结果（例如莱布尼茨规则）就可以简洁地表达出来——多重指标条目中有相应例子。

## 向量微积分中的记号

向量微积分是研究向量场或标量场的微分和积分。这类记号通常定义在三维欧几里得空间中。

假设(x, y, z)是笛卡尔坐标系，其中有一个具有分量的向量场$\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)$、一个标量场 $\varphi = \varphi(x,y,z)$。

微分算子，记为∇，也称为del或nabla，定义为一个向量：

$$\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)\!,$$

该等式象征性地反映了运算符∇也被视为普通向量。该记号最早由威廉·罗文·汉密尔顿发明。

- 梯度：标量场$\varphi$的梯度 $\mathrm{grad\,} \varphi$ 是一个向量，其符号表示为 ∇ 与标量场 $\varphi$ 的乘积

$$\begin{align} <pre> \operatorname{grad} \varphi &= \left( \frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial z} \right) \\ &= \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \varphi \\ &= \nabla \varphi </pre> \end{align}$$

- 散度：向量场A的散度$\mathrm{div}\,\mathbf{A}$是一个标量，可以用 ∇ 与向量A的点积来表示。

$$\begin{align} <pre> \operatorname{div} \mathbf{A} &= {\partial A_x \over \partial x} + {\partial A_y \over \partial y} + {\partial A_z \over \partial z} \\ &= \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot \mathbf{A} \\ &= \nabla \cdot \mathbf{A} </pre> \end{align}$$

- 拉普拉斯算子：标量场$\varphi$的拉普拉斯算子$\operatorname{div} \operatorname{grad} \varphi$是一个标量，其符号表示为 ∇ 2与标量场φ的标量乘法。

$$\begin{align} <pre> \operatorname{div} \operatorname{grad} \varphi &= \nabla \cdot (\nabla \varphi) \\ &= (\nabla \cdot \nabla) \varphi \\ &= \nabla^2 \varphi \\ &= \Delta \varphi \\ </pre> \end{align}$$

- 旋度：向量场A的旋度$\mathrm{curl}\,\mathbf{A}$ （或$\mathrm{rot}\,\mathbf{A}$）是一个向量，可以用 ∇ 与向量A的叉积来符号表示

$$\begin{align} <pre> \operatorname{curl} \mathbf{A} &= \left( {\partial A_z \over {\partial y} } - {\partial A_y \over {\partial z} }, {\partial A_x \over {\partial z} } - {\partial A_z \over {\partial x} }, {\partial A_y \over {\partial x} } - {\partial A_x \over {\partial y} } \right) \\ &= \left( {\partial A_z \over {\partial y} } - {\partial A_y \over {\partial z} } \right) \mathbf{i} + \left( {\partial A_x \over {\partial z} } - {\partial A_z \over {\partial x} } \right) \mathbf{j} + \left( {\partial A_y \over {\partial x} } - {\partial A_x \over {\partial y} } \right) \mathbf{k} \\ &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \cfrac{\partial}{\partial x} & \cfrac{\partial}{\partial y} & \cfrac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix} \\ &= \nabla \times \mathbf{A} </pre> \end{align}$$

许多导数的运算法则，可以通过梯度算子直接推广。例如，单变量乘法法则可以通过应用梯度算子，直接类比成标量场的乘法，如下所示。

$$(f g)' = f' g+f g' ~~~ \Longrightarrow ~~~ \nabla(\phi \psi) = (\nabla \phi) \psi + \phi (\nabla \psi).$$

单变量微积分中的许多其他规则，在向量微积分中都有对应的梯度、散度、旋度和拉普拉斯算子。

针对特殊的空间类型，人们发展出了其他符号。在闵可夫斯基空间中进行计算时，常使用达朗贝尔算子（也称为达朗贝尔算子、波算子或盒算子），其表示为$\Box$、或者$\Delta$（当不与拉普拉斯算子冲突时）。