单尾检验和双尾检验

在统计显著性检定，单双尾检定（One- and two-tailed tests）是数据集推断检定统计量数学参数的两种统计显著性方法。

当我们想要验证一组数据集的结果是否具有意义时，会计算出一个检定统计量。此时，单尾检定（one-tailed test）与双尾检定（two-tailed test）就是两种用来判断数学参数是否具备统计显著性的核心方法。简单来说，这两种方法都是用来帮助确认数据呈现的结果，是真的有明显差异，还是只是碰巧。

这两种方法也常被称为单双侧检定；使用“尾”（tail）这个术语是因为分布的极端部分（即导致拒绝虚无假说的观察值所在位置）面积很小，并且通常像呈黄色的常态分布或右图呈绿色的钟形曲线那样，朝着零的方向逐渐收敛（tail off）。

## 双尾检定

双尾检定或双侧检定（Two-tailed test）寻找两个方向的差异。

如果估计值大于或小于某个数值范围，则适合双尾。这个只关心估计值是否与标准值不同，可能变大，也可能变小。

例如，想知道甲教学法是否会影响应试者的成绩。不在乎成绩是退步还是进步，只要得分明显高于或低于特定的分数范围，都算是有影响。在虚无假说（假设没有差异）的检定中，极端结果的“临界区”会平均分配在钟形曲线的左右两端。如果估计值落入这两侧的任何一个临界区内，就会拒绝虚无假说，接受对立假说（即确认有显著差异）。

## 单尾检定

单尾检定或单侧检定（One-tailed test）寻找一个方向的差异。

如果估计值仅可能在一个方向（向左或向右，但不会同时）偏离参考值，则适合使用单尾。例如，甲生产的瑕疵品比例是否超过百分之一；或新药是否比旧药更有效。如果新药比旧药更差，在我们的研究中并没有实质意义。在这情况，如果估计值落入其中一个单侧临界区内（取决于感兴趣的方向是大于还是小于），则接受对立假说并拒绝虚无假说。

## 应用

单尾检定适用于具有单侧尾部的不对称分布，例如在测量拟合优度时常见的卡方分布；或者适用于具有双尾之分布的其中一侧，例如在估计位置时常见的常态分布；这对应于指定一个特定的方向。双尾检定仅适用于存在两个尾部的情况，例如在常态分布中，这对应于将任一方向皆视为具有显著性。

在罗纳德·爱尔默·费雪（Ronald Fisher）的方法中，当检定统计量的p值足够极端（相对于该检定统计量的抽样分布）以至于被认为不太可能是偶然的结果时，将会拒绝虚无假说 H0。在计算参数的统计显著性时，这通常是透过将算出的 p 值与指定的显著水准（以 $\alpha$ 表示）进行比较来完成的。

在单尾检定中，“极端”会被预先判定为代表“足够小”或“足够大”——而另一个方向的数值则被认为不具显著性。人们可以将左尾或右尾几率报告为单尾的 p 值，这最终对应于检定统计量偏离 H0 的方向。

在双尾检定中，“极端”意味着“足够小或足够大”，且任一方向的数值都会被认为具有显著性。对于给定的检定统计量，存在一个双尾检定以及两个单尾检定（分别对应两个方向）。

给定显著水准 $\alpha$ 时，对于双尾检定，临界区将存在于分布的两个尾端，每个尾端的面积为 $\alpha/2$。

相对地，对于单尾检定，临界区将仅存在于单一尾端，其面积为 $\alpha$。对于一个检定统计量在双尾检定中的给定显著水准，其对应的单尾检定会出现以下情况：如果资料落在检定所指定的方向上，将被认为具有两倍的显著性（即 p 值减半）；但如果资料落在与检定所指定的临界区相反的方向上，则完全不具显著性（p 值大于 $\alpha$）。

例如，在掷硬币时，检定硬币是否偏向正面是一种单尾检定，获得“全为正面”的数据将被视为具有高度显著性，而获得“全为反面”的数据则完全不具显著性（p = 1）。相比之下，检定硬币是否在任一方向上存在偏差则是一种双尾检定，此时无论是“全为正面”或“全为反面”，都会被视为高度显著的数据。

在医学试验中，通常关心某种疗法的结果是否优于随机几率（这暗示应使用单尾检定）；但更差的结果对科学领域来说同样具有研究价值，因此应该使用双尾检定，以检定该疗法的结果是否与随机几率不同（无论是更好还是更差）。在经典的女士品茶实验中，费雪（Fisher）检定的是该位女士分辨两种茶水冲泡方式的能力是否优于随机猜测，而非她的能力是否与随机猜测不同，因此他使用的是单尾检定。

## 掷硬币范例

在掷硬币的例子中，虚无假说是一连串几率为 0.5 的伯努利试验，产生一个随机变数 X（正面为 1，反面为 0），而常见的（正面次数的平均）为检定统计量 $\bar X.$ 如果要检定硬币是否偏向正面，将使用单尾检定——只有出现大量的正面才具显著性。在这种情况下，五次皆为正面（HHHHH）且样本平均数为 1 的数据集，发生的几率为 $1/32 = 0.03125 \approx 0.03$（连续 5 次掷硬币，每次有 2 种结果 - ((1/2)^5 = 1/32)）。这表示 $p \approx 0.03$，如果在显著水准 $\alpha = 0.05$（对应于截断边界的显著水准）下分析该检定，此结果将具有显著性（拒绝虚无假说）。

然而，如果要检定硬币是偏向正面还是反面，则会使用双尾检定，此时五次皆为正面（样本平均数为 1）的数据集与五次皆为反面（样本平均数为 0）的数据集同样极端。因此，p 值将为 $2/32 = 0.0625 \approx 0.06$；如果在显著水准 $\alpha = 0.05$ 下分析该检定，此结果将不具显著性（不拒绝虚无假说）。

## 历史

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p 值是由卡尔·皮尔森（Karl Pearson）在皮尔森卡方检定中引入的，他将 P（原始符号）定义为统计量等于或大于给定水准的几率。这是一个单尾的定义，且卡方分布是不对称的，仅取正值或零，并且只有一个尾部（即上尾）。它衡量了数据与理论分布的拟合优度，其中零对应于与理论分布完全一致；因此，p 值衡量的是拟合结果达到这种糟糕程度或更糟情况的可能性。

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单尾与双尾检定之间的区别是由罗纳德·费雪（Ronald Fisher）在其深具影响力的著作（Statistical Methods for Research Workers）中普及的，在书中他特别将其应用于常态分布，这是一种具有两个相等尾部的对称分布。常态分布是位置（location）的常见测量方式，而非拟合优度（goodness-of-fit），且具有两个尾部，对应于位置估计值高于或低于理论位置的情况（例如，样本平均数与理论平均数的比较）。在常态分布等对称分布的情况下，单尾的 p 值恰好是双尾 p 值的一半：

有时候会产生一些混淆，原因在于：在某些情况下，我们想知道已知为正的偏差超过某个观察值的几率；而在其他情况下，我们需要知道的是，同样经常为正和为负的偏差超过某个观察值的几率；后者的几率总是前者的一半。

费雪在其1935年的著作（The Design of Experiments）中强调了测量尾部（即检定统计量的观察值以及所有更极端的值）的重要性，而不仅仅是单纯计算特定结果本身发生的几率。他解释道，这是因为一组“特定”的数据（在虚无假说下）发生的几率可能很低，但更极端的结果却是有可能发生的；因此，从这个角度来看，特定但非极端且低几率的数据不应被视为具有显著性。

## 特定检定

如果检定统计量在虚无假说下服从司徒顿t分布——这在潜在变数服从具有未知尺度参数的常态分布时很常见——则该检定被称为单尾或双尾t检定。如果检定是使用实际的母体平均数和变异数，而不是使用来自样本的估计值来进行，则它被称为单尾或双尾Z检定。

t 和 Z 的统计表提供了单尾与双尾检定的临界值。也就是说，它们提供了在抽样分布的某一端截断一整块区域的临界值，以及在抽样分布的两端截断区域（面积各为一半）的临界值。