阿尔哈森问题

阿尔哈森问题是光学中的一个关于球面镜中反射的数学问题。问题是找到从一个给定点出发，反射后到达另一个给定点的光线与镜面的交点。凹球面镜的特殊情况也称为阿尔哈森弹子问题，因为它可以等效表述为圆形台球桌上找到让台球在桌子边缘一个点反弹撞到另一个台球的路径。其他等效表述有求从一点到另一点的经过圆周上一点的最短路径，或者求以给定点为焦点且与圆相切的椭圆。

虽然托勒密在2世纪中研究了这个问题的特殊情况，但它是以11世纪的阿拉伯数学家阿尔哈森（伊本·海什木）的名字命名的，他更一般地表述了这个问题，并在他的光学之书中提出了一个解法。它没有尺规作图构造；相反，阿尔哈森和包括克里斯蒂安·惠更斯在内的其他人找到了涉及圆锥曲线交点的解决方案。根据罗伯托·马尔科隆戈，达芬奇发明了一种机械装置来解决这个问题。后来的数学家杰克·M·埃尔金在1965年将该问题转化为求一个四次方程的解，并利用该方程证明了尺规作图解法的不可能性。

21世纪的研究人员已经将这个问题以及其解法推广到其他形状的镜子和非欧几里德几何，并应用快速计算方法来模拟土卫六湖泊的光反射。

## 问题表述

问题包括从两点画线，交于圆周上的第三点，并与该点的法线成的夹角相等(镜面反射)。它属于几何光学和反射光学，可用于找到光线的路径，该路径从空间的一点开始，从球面镜上反射，并穿过第二点。虽然这是一个三维问题，但它可以被简化为平面内圆形镜面反射的二维问题，因为它的解完全位于两点和球心形成的平面内。

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同样的问题可以用圆内而不是圆外的两个给定点来表述。对于圆内靠近的两点，一般会有两个解，而相距较远的点有四个解。所有解都描述了台球在圆形台球桌内反射的路径，正如刘易斯·卡罗尔曾经建议的台球游戏那样。如果两段反射路径延伸为圆的弦，则两条弦长度相等。因此，它们形成了一个圆内接等腰三角形两条相等的边，两个给定点在这个三角形的两条边上。阿尔哈森问题的另一个等价形式要求构造一个满足这些性质的三角形。

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对于圆内或圆外的点，描述该问题的另一种方式是寻找一个以两个给定点为焦点的椭圆，其与给定的圆相切。切点就是阿尔哈森问题的答案。从椭圆的一个焦点到该切点的射线将被椭圆反射到另一个焦点(椭圆的光学性质)。此外，因为给定的圆在切点处的角度相同，所以它将以相同的方式反射同一条光线。在椭圆中，从一个焦点到另一个焦点的所有单反射路径具有相等的长度，因此与圆相切的最小椭圆产生从一个给定点到圆然后到另一个点的最短路径。更一般地，正如詹姆斯·格雷果里所观察到的，对于任何类似的三维反射问题，反射点也是一个椭球体的切点，该椭球体以光线的源头和目的地为焦点。

托勒密在他的《光学 (托勒密)》（写于公元二世纪）中包括了圆镜反射的问题，但只能解决某些特殊情况；阿尔哈森更一般地阐述并解决了这个问题。阿尔哈森受到托勒密著作的启发，以托勒密的著作为蓝本创作了自己的书，但在一些重要方面与托勒密有所不同；例如，托勒密认为眼睛主动向外发出“视觉射线”传播到物体上使它被看到，而阿尔哈森推翻了这一模型，提出了到今天仍然被认可的模型，即光线从物体传播到眼睛。

## 解法

### 几何

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到了公元4世纪，希腊数学家已经将几何解分为三种类型:尺规作图，使用圆锥曲线的作图，和二刻尺作图。阿尔哈森的解决方案是第二种，使用了双曲线，通过这种方法，他提出了一种二刻尺作法。在马库斯·贝克1881年对这个问题的调查中，他称阿尔哈森的解决方案“过于冗长和复杂”，并引用艾萨克·巴罗的类似观点。11世纪后期，西班牙萨拉戈萨泰法国国王优素福·穆塔曼·伊本·胡德稍微简化了阿尔哈森的引理，但没有在这个问题上取得重大进展。阿尔哈森的作品在12世纪或13世纪通过拉丁手稿翻译而在欧洲其他地方广为人知，1572年在巴塞尔发表了一个译本。后来由克里斯蒂安·惠更斯、勒内-弗朗索瓦·德·斯卢斯和纪尧姆·德·洛必达提出的几何解法同样使用了辅助的圆锥曲线：惠更斯使用双曲线，斯卢斯以及洛必达的两种方法使用抛物线。贝克将惠更斯的解决方案称之为“这个问题有史以来最优雅的解决方案”。

在阿尔哈森的解决方法中，双曲线被用在反射角的构造，在此之后很容易找到反射点。阿尔哈森根据反射图像的数量(凸面镜一个，凹面镜最多四个)进一步将问题划分为多种情况，并分别解决每种情况。惠更斯找到了一条在所有情况下都能直接解决问题的双曲线，反射点是这条双曲线与给定圆的交点。这条双曲线可以用许多方法来描述；一种方式涉及反演。由到定点的两条线与定点同心的圆以相等的角度相交的点的轨迹 $L$，是包含两个给定点的三次曲线。$L$关于给定圆的反演像是一条等轴双曲线，它穿过两个反演点，并以它们的中点为中心。它的两条渐近线分别平行于和垂直于两给定点在圆心处张成的角的角平分线。该双曲线与给定圆的交点就是答案，可能是一个点，也可能是多个点。

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对于圆内的点，解的数量也可以用几何方法确定。一般来说，在圆内彼此接近且靠近圆心的给定点对有两个反射点；离中心很远的点对有四个反射点。如果一个给定点是固定的，则有两个可能反射点的另一个点的位置与有四个可能反射点的位置被固定点处光源反射产生的焦散面分开。在焦散线上，远离它的尖点时，有三个反射点。在尖点处只有两个可能反射点。

1965年，杰克 M.埃尔金用代数方法证明了尺规作图解决方案的不可能性。类似的不可能性证明在1997年被牛津数学家彼得 M.诺伊曼重新发现。二刻尺作图构造也可以依据折纸公理，用折纸来实现，Roger C. Alperin通过代数方法论证了该问题可以通过直尺、圆规和角度三分器来解决，但没有提供明确的构造。

### 机械

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根据罗伯托·马尔科隆戈，在莱昂纳多·达·芬奇未能找到数学解决方案后，他提出了一种机械解决方案。马尔科隆戈重新构建的解决方案采用了连杆机构的形式，当将其顶端固定在圆心上，并且允许两个给定点沿其臂滑动时，这些点与两个臂的铰接点形成的角度始终保持相等。因此，如果移动机构将该铰链点放置在给定的圆上，则该点即为所求。

### 代数

后来的数学家，如詹姆斯·格雷果里和许多其他人试图找到这个问题的代数解，使用了各种方法，包括解析几何和通过复数的推导.。1965年，埃尔金终于找到了这个问题的代数解法，其包含一个四次多项式。

其他解决方案后来被重新发现:1989年，哈拉尔德·里德； 1990年(1988年提交)，Miller和Vegh 1992年，约翰 D.史密斯先生和Jörg Waldvogel。

Waldvogel通过将问题转化到单位圆和复平面中两个给定点$a$和$b$来简化代数。借助惠更斯的双曲线，Waldvogel导出关于反射点$\zeta$的四次方程，即$$\overline{ab}\zeta^4-(\overline a +\overline b)\zeta^3+(a+b)\zeta-ab=0,$$，其中$\overline a$和$\overline b$是$a$和$b$的复共轭。这个方程的某些根可能不在单位圆上，或者不能给出有效的反射路径，但是有效的解都在根中。使到给定点的总距离$|a-\zeta|+|\zeta-b|$最小的处于单位圆上的根总是有效的解。通过一些进一步的操作，其可以重新表述为一个仅包含实数而不含复数的方程。埃尔金则是用给定点和给定单位圆的圆心之间的平方欧几里德距离来表述问题，并找到了从一个给定点到反射点的平方距离的“不优雅的、不对称的”四次方程，其系数包含其他平方距离的组合。

该问题的代数解使得可以用伽罗瓦理论来证明，对于某些易于构造的输入，解点的坐标不是规矩数，因此该问题没有尺规作图解法。埃尔金考虑了两个给定点，这两个点距离单位圆的圆心的平方距离分别为$\tfrac12$和$\tfrac13$，彼此之间的平方距离为$\tfrac12$，并使用代数解的三次预解式来表明它是不可构造的。表明两个给定点$(-\tfrac{1}{10},-\tfrac{1}{10})$、$(\tfrac{1}{6},-\tfrac{1}{6})$在单位圆上有反射点，这些反射点的坐标是多项式$x^4-x-1$的根，该多项式的伽罗瓦群是四元素对称群。由此可见，反射点不能用尺规来构造。Carréga和Haddad将这个例子推广到有理点对，这些有理点对的反射点给出“Stewart多项式”$x^4-rx-1$的根，并且表明当$r$是素数时，这产生不可构造的点。

### 三角函数和数值

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艾萨克·巴罗在1669年的一系列讲座中，运用极坐标下的三角方程描述了与惠更斯双曲线互为反演的三次曲线$L$。该曲线具有与双曲线相同的特性：它在求解问题的反射点处与给定圆相交。

推导出一个复杂方程，其中涉及三角函数多项式的平方根，用于求解反射点在圆周上的角度。他们建议采用牛顿法数值求解该方程，但这涉及求解方程单侧的导数，他们指出显式推导出导数“绝非可行之策”。因此该部分改用自动微分技术。

当从某给定点到反射点的线段与另一给定点到圆心的线段垂直时，惠更斯双曲线会退化为两条直线。这种退化现象可能导致阿尔哈森问题的某些数值解在这些输入点附近变得不稳定。当圆半径远小于其到两个给定点的距离时，还会产生其他形式的不稳定性。为规避这些问题，将该问题重新表述为三角方程，虽然通常具有16个解，但可预先确定所需解。由此获得的迭代数值解法快速与稳健兼具。该团队将其应用于行星科学领域，用于模拟土卫六湖泊的光反射现象。

基于反射定律或费马原理同样可构建迭代数值解法。

## 特例

某些特殊情况存在更简单的解法。对于两个距圆心等距的给定点，反射点在两点连线的垂直平分线与圆相交处。若两个给定点位于圆的同一条直径上，则反射点为该直径与圆相交处的一点或两点。

此外，当直径上的两点位于圆内时，可能存在另外两个反射点，即当给定圆与圆心所过的阿波罗尼斯圆的交点。该圆是到两给定点距离之比恒定的点轨迹。若阿波罗尼斯圆与给定圆相交，则交点即为反射点；但若其完全位于给定圆内，则反射点仅有直径的端点。

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当某给定点到圆的距离远大于可忽略距离时，反射点存在。

## 推广

除了球面镜，阿尔哈森还研究了锥面镜和柱面镜，这些镜面可通过与球面镜相同的方式，归结为平面内圆形镜面的反射问题。研究者将阿尔哈森的问题推广至具有旋转对称性的二次曲面镜面，涵盖双曲面、抛物面及椭圆面镜。他们证明在最一般情况下，可通过求解八次方程计算镜面反射点。若将相机（或人眼）置于镜面轴线上，方程次数将降为六次。

阿尔哈森问题亦可推广至球体表面的多重折射。当已知光源与特定折射率的球体时，通过求解十次方程可确定光线折射至观测者眼睛经过球体上的点。

另一种推广方向是非欧几里得几何。在双曲平面中，如同欧几里得平面，仅凭直尺和圆规无法解决该问题。