高斯复合律

在数学中，在数论中，高斯合成律是由卡尔·弗里德里希·高斯发明的一种规则，用于对整系数二元二次型（IBQF）执行二元运算。高斯在其1801年出版的数论教科书《算术研究》（Disquisitiones Arithmeticae）第234至244条中给出了这一法则。高斯合成律是整系数二元二次型理论中最深刻的结果之一，且高斯给出的法则表述及其性质的证明通常被认为极其复杂和困难。后来的一些数学家简化了合成律的表述，并以适合数值计算的形式呈现。该概念也在多个方向上得到了推广。

## 整系数二元二次型

形如 $Q(x,y)=\alpha x^2 + \beta xy + \gamma y^2$，其中 $\alpha, \beta, \gamma, x, y$ 均为整数的表达式，称为整系数二元二次型（IBQF）。如果 $\alpha, \beta, \gamma$ 互素，则称此IBQF为本原的。量 $\Delta = \beta^2-4\alpha\gamma$ 称为IBQF $Q(x,y)$ 的判别式。整数 $\Delta$ 是某个IBQF的判别式当且仅当 $\Delta \equiv 0, 1 (\mathrm{mod}\,\, 4)$。称 $\Delta$ 为基本判别式，当且仅当下列条件之一成立：

- $\Delta \equiv 1\,\, (\mathrm{mod}\,\, 4)$ 且是无平方因子整数。
- $\Delta = 4m$，其中 $m=2 \text{ 或 } 3\,\, (\mathrm{mod}\,\, 4)$ 且 $m$ 无平方因子。

若 $\Delta<0$ 且 $\alpha>0$，则称 $Q(x,y)$ 为正定的；若 $\Delta<0$ 且 $\alpha<0$，则称 $Q(x,y)$ 为负定的；若 $\Delta>0$，则称 $Q(x,y)$ 为不定的。

### IBQF的等价

两个IBQF $g(x,y)$ 和 $h(x,y)$ 称为等价的（或称正常等价），如果存在整数 α, β, γ, δ 使得

$\alpha\delta - \beta\gamma = 1$ 且 $g(\alpha x + \beta y, \gamma x + \delta y) = h(x,y).$

记号 $g(x,y) \sim h(x,y)$ 用来表示这两个形式等价。关系“$\sim$”在所有IBQF的集合中是一个等价关系。IBQF $g(x,y)$ 所属的等价类记为 $[g(x,y)]$。

两个IBQF $g(x,y)$ 和 $h(x,y)$ 称为不正常等价的，如果

$\alpha\delta - \beta\gamma = -1$ 且 $g(\alpha x + \beta y, \gamma x + \delta y) = h(x,y).$

IBQF集合中不正常等价的关系也是一个等价关系。

容易看出，等价（正常或不正常）的IBQF具有相同的判别式。

## 高斯对合成律的表述

### 历史背景

下面的恒等式，称为婆罗摩笈多恒等式，为印度数学家婆罗摩笈多（598–668）所知，他利用它来计算正整数平方根的逐次更好的分数近似：

$$(x^2 +D y^2)(u^2 + D v^2) = (xu+Dyv)^2 + D(xv - yu)^2$$

记 $f(x,y)=x^2+Dy^2$，此恒等式可写成形式

$f(x,y)f(u,v)=f(X,Y)$，其中 $X = xu+Dyv, Y=xv-yu$。

高斯的IBQF合成律将此恒等式推广为形如 $g(x,y)h(u,v)=F(X,Y)$ 的恒等式，其中 $g(x,y), h(x,y), F(X,Y)$ 均为IBQF，而 $X,Y$ 是乘积 $xu, xv, yu, yv$ 的线性组合。

### IBQF的合成律

考虑以下IBQF：

$$g(x,y) = ax^2+bxy+cy^2$$

$$h(x,y) = dx^2+exy+ fy^2$$

$$F(x,y) = Ax^2 + Bxy + Cy^2$$

若能找到整数 $p,q,r,s$ 和 $p^\prime, q^\prime, r^\prime, s^\prime$ 使得以下六个数

$$pq^\prime - qp^\prime, pr^\prime - rp^\prime, ps^\prime - sp^\prime, qr^\prime - rq^\prime, qs^\prime - sq^\prime, rs^\prime - sr^\prime$$

除了±1之外没有公因子，并且令

$$X = pxu + qxv + ryu+syv$$

$$Y = p^\prime xu + q^\prime xv + r^\prime yu+s^\prime yv$$

使得下列关系恒成立

$g(x,y)h(u,v) = F(X,Y)$。

则称形式 $F(x,y)$ 是形式 $g(x,y)$ 和 $h(x, y)$ 的合成。可以注意到，两个IBQF的合成如果存在，则不唯一。

### 例子

考虑下列二元二次型：

$$g(x,y) = 2x^2+3xy-10y^2$$

$$h(x,y) = 5x^2 + 3xy-4y^2$$

$$F(x,y) = 10x^2 +3xy - 2 y^2$$

令

$$[p, q, r, s] = [1, 0, 0, 2], \quad [p^\prime, q^\prime, r^\prime, s^\prime] =[0, 2, 5, 3]$$

我们有

$pq^\prime - qp^\prime=2, pr^\prime - rp^\prime=5, ps^\prime - sp^\prime=3, qr^\prime - rq^\prime=0, qs^\prime - sq^\prime=4, rs^\prime - sr^\prime=10$。

这六个数除±1外没有公因子。

令

$X = pxu + qxv + ryu+syv = xu+2yv$。

$Y = p^\prime xu + q^\prime xv + r^\prime yu+s^\prime yv = 2xv+5yu+3yv$。

那么可以验证

$g(x,y)h(u,v) = F(X,Y)$。

因此 $F(x,y)$ 是 $g(x,y)$ 与 $h(x, y)$ 的合成。

## 求两个IBQF的合成的算法

以下算法可用于计算两个IBQF的合成。

### 算法

给定以下判别式同为 $\Delta$ 的IBQF：

$$f_1(x,y) = a_1x^2+b_1xy+c_1y^2$$

$$f_2(x,y) = a_2x^2 + b_2xy + c_2y^2$$

$$\Delta=b_1^2-4a_1c_1=b_2^2-4a_2c_2$$

- 计算 $\beta = \frac{b_1+b_2}{2}$
- 计算 $n = \gcd (a_1,a_2,\beta)$
- 计算 $t,u,v$ 使得 $a_1t+a_2 u+\beta v = n$
- 计算 $A = \frac{a_1a_2}{n^2}$
- 计算 $B = \frac{a_1b_2t + a_2b_1u + v(b_1b_2+\Delta)/2}{n}$
- 计算 $C = \frac{B^2 - \Delta}{4A}$
- 计算 $F(x,y) = Ax^2 + Bxy + Cy^2$
- 计算

$$X = nx_1x_2 + \frac{(b_2-B)n}{2a_2} x_1y_2 + \frac{(b_1-B)n}{2a_1} y_1 x_2+ \frac{[b_1b_2+\Delta - B(b_1+b_2)]n}{4a_1a_2} y_1y_2$$

$$Y = \frac{a_1}{n} x_1y_2 + \frac{a_2}{n}y_1 x_2+ \frac{b_1+b_2}{2n} y_1y_2$$

那么 $F(X,Y) = f_1(x_1,y_1)f_2(x_2,y_2)$，因此 $F(x,y)$ 是 $f_1(x,y)$ 与 $f_2(x,y)$ 的合成。

## 合成律的性质

### 合成的存在性

两个IBQF的合成存在当且仅当它们具有相同的判别式。

### 等价形式与合成律

设 $g(x,y), h(x,y), g^\prime(x,y), h^\prime(x,y)$ 为IBQF，并有如下等价关系：

$$g(x,y) \sim g^\prime (x,y)$$

$$h(x,y) \sim h^\prime (x,y)$$

如果 $F(x,y)$ 是 $g(x,y)$ 与 $h(x,y)$ 的合成，且 $F^\prime(x,y)$ 是 $g^\prime(x,y)$ 与 $h^\prime(x,y)$ 的合成，则

$$F(x,y) \sim F^\prime (x,y).$$

### 二元运算

设 $D$ 是一个固定整数，并考虑判别式为 $D$ 的所有可能本原IBQF的集合 $S_D$。令 $G_D$ 为该集合在等价关系“$\sim$”下的等价类集合。设 $[g(x,y)]$ 与 $[h(x,y)]$ 为 $G_D$ 的两个元素，并令 $F(x,y)$ 为 $S_D$ 中IBQF $g(x,y)$ 和 $h(x,y)$ 的一个合成。则下列等式

$$[g(x,y)] \circ [h(x,y)] = [F(x,y)]$$

定义了 $G_D$ 中的一个良定义的二元运算“$\circ$”。

### 群 GD

- 集合 $G_D$ 在二元运算 $\circ$ 下构成有限阿贝尔群。
- 群 $G_D$ 中的单位元为 $\begin{cases} [x^2-(D/4)y^2] & \text{若 } D \equiv 0\,(\mathrm{mod}\,\, 4)\\[1mm] [x^2+xy+((1-D)/4)y^2] & \text{若 } D \equiv 1\, (\mathrm{mod}\,\, 4) \end{cases}$
- 在 $G_D$ 中，$[ax^2+bxy+cy^2]$ 的逆元是 $[ax^2 -bxy+cy^2]$。

## 合成律的现代处理

以下基于Duncan A. Buell的专著对IBQF合成律的现代处理进行概述。可查阅该书了解更多细节及下述所有陈述的证明。

### 二次代数数与代数整数

令 $\mathbb Z$ 为整数集。此后，在本节中，$\mathbb Z$ 中的元素将被称为有理整数，以区别于下面将要定义的代数整数。

一个复数 $\alpha$ 若满足形如

$ax^2+bx+c=0$（其中 $a,b,c \in \mathbb Z$）

方程，则称其为二次代数数。

$\alpha$ 称为二次代数整数，若其满足形如

$x^2+bx+c=0$（其中 $b, c \in \mathbb Z$）

方程。

二次代数数是形如

$\alpha = \frac{-b +e\sqrt{d}}{2a}$ （其中 $a,b,d,e \in \mathbb Z$ 且 $d$ 除 $1$ 外无平方因子）

数。

整数 $d$ 称为代数整数 $\alpha$ 的被开方数。二次代数数 $\alpha$ 的范数定义为

$N(\alpha) = (b^2+e^2d)/4a^2$。

令 $\mathbb Q$ 为有理数域。包含 $\mathbb Q$ 和二次代数数 $\alpha$ 的最小域是包含 $\alpha$ 的二次域，记为 $\mathbb Q (\alpha)$。可以证明该域为

$$\mathbb Q (\alpha) = \mathbb Q (\sqrt{d}) = \{ t+u\sqrt{d}\,|\, t,u \in \mathbb Q\}$$

域 $\mathbb Q(\sqrt{d})$ 的判别式 $\Delta$ 定义为

$$\Delta = \begin{cases} 4d & \text{若 } d \equiv 2 \text{ 或 } 3 \,\, (\mathrm{mod}\,\, 4 )\\[1mm] d & \text{若 } d \equiv 1 \,\, (\mathrm{mod}\,\, 4 ) \end{cases}$$

设 $d \ne 1$ 为无平方因子（除1外）的有理整数。被开方数为 $d$ 的二次代数整数集记为 $O(\sqrt{d})$。该集合由下式给出

$$O(\sqrt{d}) = \begin{cases} \{ a+ b \sqrt{d}\, |\, a,b \in \mathbb Z\} & \text{若 } d \equiv 2\text{ 或 }3 \,\,(\mathrm{mod}\,\,4)\\[1mm] \{ (a+ b \sqrt{d})/2\, |\, a,b \in \mathbb Z, a\equiv b \,\,\mathrm{mod}\,\, 2)\} & \text{若 } d \equiv 1 \,\,(\mathrm{mod}\,\,4)\} \end{cases}$$

$O(\sqrt{d})$ 在普通加法和乘法下构成一个环。若令

$$\delta = \begin{cases} -\sqrt{d} & \text{若 } \delta \text{ 为偶数}\\[1mm] (1-\sqrt{d})/2 & \text{若 } \delta \text{ 为奇数} \end{cases}$$

则

$O(\sqrt{d}) = \{ a + b\delta\,|\, a,b \in \mathbb Z\}$。

### 二次域中的理想

设 $\mathbf a$ 为整数环 $O(\sqrt{d})$ 中的一个理想；即设 $\mathbf a$ 是 $O(\sqrt{d})$ 的非空子集，使得对任意 $\alpha,\beta \in \mathbf a$ 及任意 $\lambda, \mu \in O(\sqrt{d})$，有 $\lambda\alpha + \mu\beta \in \mathbf a$。（这里定义的理想有时称为整理想，以区别于下面将要定义的分式理想。）若 $\mathbf a$ 是 $O(\sqrt{d})$ 中的一个理想，则可以找到 $\alpha_1, \alpha_2 \in O(\sqrt{d})$，使得 $\mathbf a$ 中的任何元素都可唯一地表示为 $\alpha_1 x + \alpha_2 y$，其中 $x,y\in \mathbb Z$。这样的一对元素称为理想 $\mathbf a$ 的基，记作 $\mathbf a = \langle \alpha_1, \alpha_2 \rangle$。理想 $\mathbf a = \langle \alpha_1, \alpha_2 \rangle$ 的范数定义为

$N(\mathbf a) = |\alpha_1\overline{\alpha_2} - \overline{\alpha_1}\alpha_2|/\sqrt{\Delta}$。

范数与基的选择无关。

### 某些特殊理想

- 两个理想 $\mathbf a = \langle \alpha_1, \alpha_2 \rangle$ 与 $\mathbf b = \langle \beta_1, \beta_2 \rangle$ 的乘积，记为 $\mathbf a \mathbf b$，是由 $\alpha_1\beta_1, \alpha_1\beta_2, \alpha_2\beta_1, \alpha_2\beta_2$ 的 $\mathbb Z$-线性组合生成的理想。
- 分式理想是二次域 $\mathbb Q(\sqrt{\Delta})$ 的子集 $I$，满足以下两个性质：
- 对任意 $\alpha, \beta \in I$ 及任意 $\lambda, \mu \in O(\sqrt{d})$，有 $\lambda \alpha + \mu \beta \in I$。
- 存在一个固定的代数整数 $\nu$，使得对每个 $\alpha \in I$，有 $\nu \alpha \in O(\sqrt{d})$。
- 若存在一个代数整数 $\alpha$ 使得 $\mathbf a = \{ \lambda \alpha\, | \, \lambda \in O(\sqrt{d}) \}$，则称理想 $\mathbf a$ 为主理想。该主理想记为 $(\alpha)$。

有一个重要结果：“任给一个理想（整的或分式的）$\mathbf a$，存在一个整理想 $\mathbf b$ 使得乘积理想 $\mathbf{ab}$ 是一个主理想。”

### 理想集上的等价关系

两个（整的或分式的）理想 $\mathbf a$ 和 $\mathbf b$ 称为等价的，记作 $\mathbf a \sim \mathbf b$，如果存在主理想 $(\alpha)$ 使得 $\mathbf a = (\alpha)\mathbf b$。如果 $\alpha$ 的范数为正，则称这两个理想窄等价。理想集合中等价或窄等价的关系确实是等价关系。

二次代数整数环 $O(\sqrt{d})$ 的分式理想的等价类（相应地，窄等价类）在理想乘法下构成阿贝尔群。群的单位元是所有主理想构成的类（相应地，范数 $N(\alpha)>0$ 的所有主理想 $(\alpha)$ 构成的类）。理想类构成的群和理想窄类构成的群分别称为 $\mathbb Q(\sqrt{d})$ 的类群和窄类群。

### 二元二次型与理想类

连接IBQF与理想类的主要结果可陈述如下：

“判别式为 $\Delta$ 的二元二次型的类群同构于二次域 $\mathbb Q(\sqrt {\Delta})$ 的窄类群。”

## 巴尔加瓦对合成律的处理

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加拿大裔美国菲尔兹奖得主曼朱尔·巴尔加瓦引入了一种称为巴尔加瓦立方体的构型，由八个整数 $a,b,c,d,e,f$（见图）组成，用于研究二元二次型和其他型的合成律。定义与该立方体相对的面相关联的矩阵如下：

$M_1=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix},N_1=\begin{bmatrix} e & f \\ g & h\end{bmatrix}, M_2=\begin{bmatrix} a & c \\ e & g\end{bmatrix},N_2=\begin{bmatrix} b & d \\ f & h\end{bmatrix}, M_3=\begin{bmatrix} a & e \\ b & f\end{bmatrix},N_3=\begin{bmatrix} c & g \\ d & h\end{bmatrix}$。

巴尔加瓦构造了如下三个IBQF：

$$Q_1=-\det(M_1x+N_1y), \,\,Q_2=-\det(M_2x+N_2y)\,\,Q_3=-\det(M_3x+N_3y)$$

巴尔加瓦建立了如下结果，将巴尔加瓦立方体与高斯合成律联系起来：

“如果一个立方体 A 产生三个本原二元二次型 Q1、Q2、Q3，则 Q1、Q2、Q3 具有相同的判别式，且这三个型的乘积在高斯合成所定义的群中是单位元。反之，若 Q1、Q2、Q3 是任意三个判别式相同且其乘积在高斯合成下为单位元的本原二元二次型，则存在一个立方体 A 产生 Q1、Q2、Q3。”