熵权法

熵权法（Entropy Weight Method，EWM），又称熵值法，是一种客观赋权方法，常用于多属性决策分析（Multi-Criteria Decision Making, MCDM）中。它基于信息论中的熵概念来确定各个指标（或属性）的权重。该方法通过度量各评价指标在样本中的离散程度来确定权重：同一指标的样本差异越大，则其熵值越小，该指标的权重就越大；同一指标的样本差异越小，则其熵值越大，该指标的权重就越小。熵权法常用于风险评估、综合评价、系统优化等领域。

## 背景

在多指标综合评价问题中，确定指标权重是关键步骤。传统方法如层次分析法和德尔菲法依赖专家判断，存在一定主观性。熵权法属于客观赋权法，它直接利用数据分布特征计算权重，避免了完全依赖专家经验。熵权法的理论基础来自克劳德·香农（Claude E. Shannon, 1948）提出的信息熵公式。

## 方法原理

假设有一个评论体系有$m$个样本（对象），$n$个指标。原始数据矩阵为：

$X = [x_{ij}]_{m{\times}n}$，$i = 1,2,...,m$；$j = 1,2,...,n$

其中$x_{ij}$是第$i$个样本在第$j$个指标下的值。

### 1、数据标准化（Normalization）

原始数据可能单位不同、量纲不同，需要标准化处理。标准化分为正向指标（越大越好）和负向指标（越小越好）。

正向指标标准化：$y_{ij} = \frac{x_{ij}-min(x_{*j})}{max(x_{*j})-min(x_{*j})}$

负向指标标准化：$y_{ij} = \frac{max(x_{*j})-x_{ij}}{max(x_{*j})-min(x_{*j})}$

其中，$min(x_{*j})$和$max(x_{*j})$是第$j$行的最小值和最大值。标准化后，$y_{ij} \in [0,1]$，得到标准化矩阵$Y = [y_{ij}]_{m{\times}n}$。

注意：如果所有值相同，会导致分母为0，此时可直接赋权重为0。

### 2、计算每个指标的比例（Proportion）

计算每个样本在该指标下的比例值$p_{ij}$：

$$p_{ij} = \frac{y_{ij}}{\sum_{i=1}^m y_{ij}}$$

这类似于概率分布，确保$\sum_{i=1}^m p_{ij} = 1$。

### 3、计算每个指标的熵值（Entropy）

使用信息熵公式计算第$j$个指标的熵$e_j$：

$$e_j = -k\sum_{i=1}^m p_{ij}ln(p_{ij})$$

其中，$k = \frac{1}{lnm}$是常数，确保$e_j \in [0,1]$。如果$p_{ij} = 0$，则$p_{ij}ln(p_{ij}) = 0$（极限值）。

熵值范围：当所有$p_{ij}$相等（$p_{ij} = \frac{1}{m}$），熵最大$e_j = 1$（不确定性最大）；当差异极大，熵最小接近0。

### 4、计算每个指标的差异系数（Divergence）

差异系数$d_j$表示指标的信息效用：

$$d_j = 1 - e_j$$

$d_j$越大，指标越重要。

### 5、计算权重（Weight）

第$j$个指标的权重$w_j$：

$$w_j = \frac{d_j}{\sum_{j=1}^n d_j}$$

确保$\sum_{j=1}^n w_j = 1$，权重向量$W = (w_1,w_2,...,w_n)$。

### 6、综合评价（Optional）

加权求和得到样本得分：

$$s_i = \sum_{j=1}^n w_jy_{ij}$$

然后根据$s_i$排序或决策。

## 示例

### 题目

假设有3个城市，根据以下指标进行综合评价：

城市（编号）｜GDP（亿元）｜污染指数（指数）｜教育水平（%）

1｜5000｜80｜90

2｜3000｜50｜85

3｜4000｜70｜95

### 1、分析题目

分析可得：样本$m = 3$，指标$n = 3$；GDP、教育水平为正向指标；污染指数为负向指标。

得到原始数据矩阵$X$：

$$X=\begin{bmatrix} 5000 & 80 & 90 \\ 3000 & 50 & 85 \\ 4000 & 70 & 95 \\ \end{bmatrix}$$

### 2、标准化

GDP：$min(x_{*1}) = 3000$，$max(x_{*1}) = 5000$。

$y_{11}=\frac{5000-3000}{5000-3000}=1$；$y_{21}=\frac{3000-3000}{5000-3000}=0$；$y_{31}=\frac{4000-3000}{5000-3000}=0.5$

污染指数：$min(x_{*2})=50$，$max(x_{*2})=80$。

$y_{12}=\frac{80-80}{80-50}=0$；$y_{22}=\frac{80-50}{80-50}=1$；$y_{32}=\frac{80-70}{80-50}\approx0.333$

教育水平：$min(x_{*3})=85$；$max(x_{*3})=95$。

$y_{13}=\frac{90-85}{95-85}=0.5$；$y_{23}=\frac{85-85}{95-85}=0$；$y_{33}=\frac{95-85}{95-85}=1$

得到标准化矩阵$Y$：

$$Y=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0.5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0.5 & 0.333 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

### 3、比例计算

GDP：$\sum_{i=1}^3 y_{i1}=1+0+0.5=1.5$。

$p_{11}=\frac{1}{1.5}\approx0.667$；$p_{21}=\frac{0}{1.5}=0$；$p_{31}=\frac{0.5}{1.5}\approx0.333$

污染指数：$\sum_{i=1}^3 y_{i2}=0+1+0.333=1.333$。

$p_{12}=\frac{0}{1.333}=0$；$p_{22}=\frac{1}{1.333}\approx0.75$；$p_{32}=\frac{0.333}{1.333}\approx0.25$

教育水平：$\sum_{i=1}^3 y_{i3}=0.5+0+1=1.5$。

$p_{13}=\frac{0.5}{1.5}\approx0.333$；$p_{23}=\frac{0}{1.5}=0$；$p_{33}=\frac{1}{1.5}\approx0.667$

### 4、熵计算

$$k = \frac{1}{\ln 3}\approx0.91$$

$$e_1 = -0.91 \sum_{i=1}^3 p_{i1} \ln(p_{i1})\approx0.666$$

$$e_2 = -0.91 \sum_{i=1}^3 p_{i2} \ln(p_{i2})\approx0.78$$

$$e_3 = -0.91 \sum_{i=1}^3 p_{i3} \ln(p_{i3})\approx0.666$$

### 5、差异计算

$$d_1=1-0.666=0.334$$

$$d_2=1-0.78=0.22$$

$$d_3=1-0.666=0.334$$

### 6、权重计算

$$\sum_{j=1}^3 d_j=0.334+0.22+0.334=0.888$$

$$w_1=\frac{0.334}{0.888}\approx0.376$$

$$w_2=\frac{0.22}{0.888}\approx0.248$$

$$w_3=\frac{0.334}{0.888}\approx0.376$$

### 7、得分计算

$$s_1 = \sum_{j=1}^3 w_j y_{1j}=0.564$$

$$s_2 = \sum_{j=1}^3 w_j y_{2j}=0.248$$

$$s_3 = \sum_{j=1}^3 w_j y_{3j}\approx0.647$$

### 结论

城市3得分较高，城市2得分最低，城市1得分居中。

## 应用

熵权法广泛应用于以下领域：

社会经济评价：区域发展水平测度、城市竞争力评价。

环境科学：环境质量评价、可持续发展指数计算。

工程与管理：风险评估、项目优选、供应链管理。

金融与保险：投资组合评价、信用风险分析。

教育与科研：高校绩效考核、科研产出综合评价。

## 优缺点

### 优点

基于客观数据，避免了主观赋权偏差。

计算过程规范，结果可重复。

能有效反映指标间差异性与信息量大小。

### 缺点

完全依赖样本数据，若样本不足或失真，结果可能不合理。

对归一化方法敏感，不同标准化方式可能影响结果。

忽略了专家经验与实际背景因素。