莱布尼兹-牛顿微积分之争

在微积分史上，微积分争议（Prioritätsstreit，直译为“优先权纠纷”）是莱布尼兹和牛顿两人关于谁先发现微积分的论战。这个是一场重大的知识争论，始于1699年，在1712年达到顶峰。牛顿将微积分的思想运用到《自然哲学的数学原理》中，但是他并未公开发表他的发现。莱布尼茨首先发表了他的微积分著作，而牛顿的支持者指责莱布尼茨抄袭了牛顿未发表的思想。现代的共识是，这两个人独立发展了他们的想法。他们对微积分的发现被称为“自阿基米德时代以来数学上最伟大的进步”。

到牛顿和莱布尼茨时代，欧洲数学家已经为数学分析思想的形成做出了重大贡献。由于物理学与工程学的实际需要，微积分或与其类似的数学思想被诸多数学家提出并应用。

## 17世纪的科学优先权

在17世纪的科学家眼中，科学优先权是非常重要的问题。但此时科学期刊的概念才刚出现；当时各科学家间，也还没确立“谁先发现某个科学现象”的机制。当时的科学家通常会用很多方法，来确保是自己先发现的：比如玩文字游戏、把内容以信封密封，并放在安全的地方、与其他科学家交流、或传送私人资讯等。这个时代下，给法国科学院创办人马兰·梅森或英国皇家学会首任秘书亨利·奥尔登伯格写封个人发现的信，就等同将科学发现公诸于世。发现者可以“标记”他发现的时刻，证明他在信件封存时，就知道这件事，而非抄袭自后来发表的材料；但如果某个想法，在发表时有某种很有应用价值的背景，那这个人的优先发现权，会重于最早发现这个想法、但没有提出明确应用的人。而如果有数学家，主张自己最早发现某某现象时，常会碰上有人驳斥其优先权的风险：驳斥方能回应说，某个主张只是透过已知事实和他人想法为基础，做出没什么技巧的改进，而不是真的有发明出某个想法。

美国科学史家D. Meli称17世纪为“科学家们针对优先权争相泼粪的黄金年代”：当时的莱布尼兹就卷入一连串引人侧目的科学优先权争议。首起事件发生在1673年，当时他首度前往伦敦，参访当时著名的数学家约翰·佩尔，并展示如何以差分法估算近似级数。佩尔则回应表示︁其发现早就在1670年由Gabriel Mouton于里昂发表了。莱布尼兹则回称他是独立发现这个近似级数，而且方法还不同。莱布尼兹在给奥尔登伯格的信中写道，虽然佩尔说Gabriel Mouton确实先他一步发现，但他可以提供自己的笔记草稿，并证明一些Renault与Mouton没有发现的细节，从而证明他的原创性。但随后遭到推翻。1673年2月1日，莱布尼兹第二次前往伦敦向英国皇家学会展演机械计算器时，却碰上截然相反的窘境：当时罗伯特·胡克担任学会的实验管理员。他仔细检查了莱布尼兹的计算机，甚至拆开了后盖。几天后，胡克就批评他的作品，并声称他可以做出更简单的模型。莱布尼茨得知此事后返回巴黎，并在写给奥尔登堡的信中，断然驳斥胡克的说法、并阐述他对科学行为原则的看法：“须知，有教养而知自持者，每于自己所知与他人成果相符之时，必将其改进和贡献归诸先发之人，以免指摘学术不端。其人所求，当为真确慷慨，而非虚伪与不义之利。”︁莱布尼兹在信中提到了Nicolas-Claude Fabri de Peiresc与皮埃尔·伽桑狄在天文观测的实例，以说明何谓正当的科学行为原则：他们分别进行了与伽利略·伽利莱和约翰·赫维留早期类似的观测。当前两者在发现自己的观察晚于后两者时，就把自己的资料转交给后两者。

牛顿处理优先权的方法则不尽相同。以引力相关的平方反比定律的发现为例，胡克以透过开普勒定律分析与个人计算，认为物体运动应沿着类似椭圆的轨道行进；由于无法严谨证明，胡克和牛顿报告了自己的假设与猜想。牛顿之后未再与胡克进一步通信，便自行解决了该问题及其逆问题、证明了反平方基于轨道的椭圆率。他在其著作《自然哲学的数学原理》中阐述了，却未提及胡克。经手两者手稿的天文学家爱德蒙·哈雷坚持要求把“开普勒第一定律吻合平方反比定律”的验证写为“经雷恩、胡克与哈雷独立核可”。弗拉基米尔·阿诺德表示牛顿在“拒绝发表个人发现”与“持续争夺优先权”之间选择两个都要，而没有二选一。

## 背景

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在︁牛顿与莱布尼兹的时代，欧洲数学分析思想就已经取得巨大进展：当时的西蒙·斯泰芬（1548–1620）、卢卡·巴列里奥（1553–1618）、约翰内斯·开普勒（1571–1630）就已研究源流古老、计算图形面积的穷竭法。其思想透过伽利略·伽利莱影响了博纳文图拉·卡瓦列里（1598–1647）促其发展出祖暅原理。

晚年（1710-1716）的︁莱布尼兹与约翰·凯尔和牛顿等人长期争论是谁发现了微积分——其主要争论莱布尼兹是独立于牛顿发现了微积分，抑或著只是用另一种符号表达牛顿发现的想法。争议各方并不质疑莱布尼茨开始研究微分学时，牛顿就已发展出流数法的事实——虽然这只出于牛顿的一面之词。牛顿曾发表过关于切线的计算并附注：“这仅是某种通用方法的特例，我借此得以计算曲线并确定极值、极小值及重心。”二十年后，当莱布尼茨的论文已广为流传之际，他才向一名学生解释了具体的推导过程。牛顿的手稿直到他去世后才得以问世。

微积分既可用流数符号表达，亦可用微分符号表达；如前所述，牛顿曾以几何形式阐述，例如在1687年的《自然哲学的数学原理》中。牛顿早在1666年便已运用流数，但直至1693年才发表其符号系统的论述。莱布尼兹笔记中最早使用微分的记载可追溯至1675年。他在1677年致牛顿的信函中便已采用此符号系统。微分符号亦见于莱布尼兹1684年的论文中。

牛顿｜︁ 莱布尼兹

函数｜$f(x)$｜$y$

微分｜$\dot y$ or $f'(x)$｜${dy \over dx}$ or $\frac{\Delta y}{\Delta x}$

积分｜$\bar{x}$ or $\begin{bmatrix} x \\ \end{bmatrix}$｜$\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$

莱布尼茨独立于牛顿发明微积分的说法基于莱布尼茨：

- 在牛顿出版任何关于流数法的著作之前几年，他就已经发表了对其方法的描述。
- 他总是表示这一发现是他自己的发明，而这一说法多年未被质疑
- 他享有强烈信任，同僚们都认为他出于善意行事
- 在他的私人文件中展示了他以独立于牛顿路线的方式发展微积分思想。

据莱布尼茨的反对者说，莱布尼茨的主张多年未被质疑这点并不重要。要反驳本案，只需证明他：

- 看过牛顿在1675年或之前，或至少1677年发表的一些相关论文。
- 从那些论文中获得了微积分的基本思想

莱布尼茨的笔记首先涉及积分，他认为积分是对无限级数求和的推广，而牛顿则从导数出发。然而，将微积分的发展看作两人完全独立的工作是片面的，忽略了两人都一定程度上了解对方的方法（尽管牛顿在莱布尼茨开始之前确实发展了大部分基础知识），并且在若干方面合作的事实，特别是幂级数。这一点在1676年10月24日写给亨利·奥尔登伯格的信中有所体现。牛顿提到莱布尼茨开发了多种方法，其中一种对他来说是新的。莱布尼茨和牛顿都能看出对方在微积分发明方面走得很远。

莱布尼茨很有可能看到过牛顿的一些手稿。1849年，C. I. 格哈特在翻阅莱布尼茨手稿时，发现了牛顿De analysi per aequationes numero terminorum infinitas一书的摘录（该书于1704年作为《曲线方程论》的一部分出版，且此前也曾在数学界流传，始于牛顿于1669年将一份副本赠予艾萨克·巴罗，巴罗将其寄给约翰·柯林斯），这些手稿是真迹，并附有用莱布尼茨微分符号重新表达这些摘录内容的注释。但是，手稿的时间未被确定，可能的时间从1675年一直到1704年之后。

## 发展

这场争吵是事后回顾的。1696年，争端事件发生多年后，双方的立场仍和平：牛顿和莱布尼茨各自有限度地承认对方的工作。洛皮塔尔1696年从莱布尼茨视角出版的微积分著作也承认牛顿1680年代出版的著作“几乎全是关于微积分的”（presque tout de ce calcul）。同时更偏好莱布尼茨符号的便利性。

起初，没有理由怀疑莱布尼茨的善意。1699年，瑞士数学家尼古拉·法蒂奥·丢勒公开指责莱布尼茨抄袭牛顿，尽管他私下曾两次在1692年写给克里斯蒂安·惠更斯的信中指控莱布尼茨抄袭。直到1704年一篇匿名评论刊登，指出牛顿借用了莱布尼茨的流量微积分思想，才有负责任的数学家怀疑两人发明的独立性。

## 参考来源

- W. W. Rouse Ball (1908) A Short Account of the History of Mathematics, 4th ed.
- Richard C. Brown (2012) Tangled origins of the Leibnitzian Calculus: A case study of mathematical revolution, World Scientific
- Ivor Grattan-Guinness (1997) The Norton History of the Mathematical Sciences. W W Norton.
- Stephen Hawking (1988) A Brief History of Time From the Big Bang to Black Holes. Bantam Books.
- Kandaswamy, Anand. The Newton/Leibniz Conflict in Context .

## 外部链接

- Gottfried Wilhelm Leibniz, Sämtliche Schriften und Briefe, Reihe VII: Mathematische Schriften, vol. 5: Infinitesimalmathematik 1674-1676, Berlin: Akademie Verlag, 2008, pp. 288–295 ("Analyseos tetragonisticae pars secunda", 29 October 1675) and 321–331 ("Methodi tangentium inversae exempla", 11 November 1675).
- Gottfried Wilhelm Leibniz, "Nova Methodus pro Maximis et Minimis...", 1684 (Latin original) (English translation)
- Isaac Newton, "Newton's Waste Book (Part 3) (Normalized Version)": 16 May 1666 entry (The Newton Project)
- Isaac Newton, "De Analysi per Equationes Numero Terminorum Infinitas (Of the Quadrature of Curves and Analysis by Equations of an Infinite Number of Terms)", in: Sir Isaac Newton's Two Treatises, James Bettenham, 1745.