集合论悖论

集合论悖论是指集合论中出现的各种悖论。与大多数数学悖论一样，它们通常揭示了令人惊讶和反直觉的数学结论，但并不构成现代公理化集合论中的真正逻辑矛盾。

集合论悖论大致可分为几类：朴素集合论因不受限制的概括原则而产生的悖论（如罗素悖论）；涉及无穷集合计数与大小的悖论（如Q2915190、希尔伯特旅馆悖论）；以及涉及可定义性和模型论的悖论（如斯科伦悖论、柯里悖论）。

## 基础概念

### 基数

格奥尔格·康托尔所创立的集合论假设了无穷集合的存在。这一假设通过无穷公理被引入公理化集合论，该公理断言自然数集合 N 存在。每个可以通过自然数枚举的无穷集合都与 N 具有相同的大小（基数），称为可数集。可数无穷集合的例子包括自然数、偶数、素数以及所有有理数。这些集合的共同基数为 |N| = $\aleph_0$（阿列夫零）。

### 序数

除了描述集合大小的基数外，有序集合也是集合论的研究对象。选择公理保证了每个集合都可以被良序化，即可以对其元素施加一种全序，使得每个非空子集都有最小元素。良序集合的顺序由序数描述。例如，3 是集合 {0, 1, 2} 在通常顺序 0 < 1 < 2 下的序数；ω 是所有自然数在通常顺序下的序数。忽略顺序后，剩下的基数为 |N| = |ω| = $\aleph_0$。

### 幂集

集合 S 的所有子集（即其元素的所有可能选择）构成S的幂集 P(S)。康托尔证明了幂集总是大于原集合，即 |P(S)| > |S|。康托尔定理的一个特例是所有实数 R 的集合不能由自然数枚举，即 R 是不可数的：|R| > |N|。

## 朴素集合论的悖论

朴素集合论假定任何可以通过一个性质描述的对象集合都存在。这一不受限制的概括原则导致了一系列经典悖论。

### 罗素悖论与理发师悖论

伯特兰·罗素在1902年的一封信中描述了罗素悖论：所有不包含自身的集合的集合 {x | x ∉ x} 不可能存在。如果它存在，那么无论是假设它包含自身还是不包含自身，都会导致矛盾。

罗素本人用名为理发师悖论的具体例子来阐释这一抽象思想：一位男性理发师为且只为所有不自己刮胡子的男人刮胡子。那么他是否应该自己刮胡子？如果他刮，则他属于“不自己刮胡子的人”；如果他不刮，则他又属于“自己刮胡子的人”——无论如何都矛盾。这个悖论揭示了不受限制的概括原则的问题：并非所有能被描述的集合都可以实际存在而不产生矛盾。

罗素悖论与格雷林-纳尔逊悖论（一个自然语言中的悖论）之间存在密切的相似性。

### 康托尔悖论

康托尔悖论（1899年）涉及所有基数的集合。如果所有基数的集合存在，则其幂集的基数必然大于该集合本身的基数。但幂集本身也是所有基数集合的一个子集，因此其基数不可能大于该集合的基数，导致矛盾。康托尔由此得出结论：不存在所有基数的集合。康托尔在给大卫·希尔伯特和理查德·戴德金的信中讨论了这种“不一致集合”（inconsistent set），其元素不能被看作全部同时存在。

### 布拉利-福尔蒂悖论

1897年，意大利数学家切萨雷·布拉利-福尔蒂发现了布拉利-福尔蒂悖论：所有序数的集合不存在。如果它存在，它将是一个良序集，从而自身决定一个序数 Ω，导致矛盾 Ω < Ω。这是最早被发现的集合论悖论之一。

## 无穷集合的悖论

### 伽利略悖论

在集合论诞生之前，集合的“大小”概念就一直存在问题。伽利略·伽利莱和伯纳德·波尔查诺等人都曾探讨过这一问题。自然数和自然数的平方数是否一样多？按枚举法：

- 答案是肯定的，因为对每个自然数 n 都有一个平方数 n²，反之亦然（即存在双射）。
- 答案是否定的，因为平方数是自然数的真子集：每个平方数都是自然数，但存在不是平方数的自然数（如 2）。

通过将集合的大小定义为基数，这一问题得到解决。由于两个集合之间存在双射，根据定义它们具有相同的基数。

### 希尔伯特旅馆悖论

大卫·希尔伯特提出的希尔伯特旅馆悖论生动地展示了可数无穷集合的计数悖论。假设一家旅馆有无穷多个房间（编号 1, 2, 3, …），且全部住满。此时来了一位新客人，旅馆仍可通过让每位客人搬到下一号房间（n 号客人搬到 n+1 号）来安排入住。即使来了无穷多位新客人，也可以通过让每位现有客人搬到编号为原编号两倍的房间来安排。这说明无穷集合可以与自身的真子集具有相同的大小。

### 康托尔的“我看见了，但我不能相信”

康托尔在证明了正方形的点的集合与正方形一条边上的点的集合具有相同的基数（即连续统的基数）之后，在给戴德金的信中写道：“我看见了，但我不能相信。”（Je le vois, mais je ne crois pas）这表明仅凭基数来定义集合的“大小”并非唯一有用的比较方式。测度论提供了更精细的大小理论，符合我们对长度和面积不可通约的直觉。

### 巴拿赫-塔斯基悖论

1904年恩斯特·策梅洛通过选择公理证明了每个集合都可以被良序化。然而，良序化的能力允许进行某些被称为悖论的构造。巴拿赫-塔斯基悖论是一个广为认为反直觉的定理：可以将一个固定半径的球体分解为有限数量的碎片，然后通过普通的平移和旋转重新组合成两个与原来完全相同的球体。这些碎片的构造需要选择公理。

## 超任务的悖论

在集合论中，无穷集合不被视为通过诸如“添加一个元素”然后“重复无穷多次”的数学过程来创建，而是被假定为已经存在。但思考那些实际需要在无穷多个离散步骤之后才能完成的物理动作仍是一个自然的哲学问题，以此产生的悖论被称为超任务悖论。

### 特里斯舛姆·项狄的日记

劳伦斯·斯特恩小说中的主人公特里斯舛姆·项狄以如此一丝不苟的方式撰写自传，以至于记录一天的事件就需要一年的时间。如果他是凡人，他将永远无法完成；但如果他永生不死，日记中的每一天都将被记录下来，因为他的生命中的每一天都对应着一年用于描述该天的工作。

### 罗斯-利特尔伍德悖论

这个悖论将无穷远的完成时间移到有限时间之内。从一个水库开始，依次加入编号 1 至 10 的球，然后取出 1 号球；再加入 11 至 20 号球并取出 2 号球；依此类推。让每次操作的时间减半（第一次半小时，第二次一刻钟……），则一小时后所有操作完成。球的数量虽然不断增加，但一小时后水库里却没有任何球，因为每个球的取出时间都是已知的。如果改变取球的顺序，一小时后水库中可能会有无穷多个球。

## 可定义性与证明的悖论

### 柯尼希悖论

1905年，匈牙利数学家尤利乌斯·柯尼希发表了一个基于有限定义只有可数多个这一事实的悖论。将实数视为一个良序集，那些可以被有限定义的实数构成一个子集。在这个良序中应该存在第一个不能被有限定义的实数。但这一描述本身恰恰构成了对该实数的有限定义，导致矛盾。该悖论在公理化集合论中通过塔斯基不可定义定理得以避免。

### 理查德悖论

同年，法国数学家朱尔·理查德使用康托尔对角线论证的变体得到了朴素集合论中的另一个矛盾。考虑所有有限词组的集合 A。所有实数有限定义的集合 E 是 A 的子集。由于 A 是可数的，E 也是可数的。设 p 为 E 中第 n 个实数的第 n 位小数；构造一个数 N，其整数部分为 0，第 n 位小数为 p+1（若 p 不为 8 或 9）或 1（若 p 为 8 或 9）。数 N 不在 E 中（因为它与任何有限定义实数在第 n 位不同），但它本身已被有限定义，矛盾。与柯尼希悖论一样，该悖论不能在公理化集合论中形式化。

### 斯科伦悖论

基于德国数学家利奥波德·勒文海姆的工作，挪威逻辑学家托拉尔夫·斯科伦在1922年证明了每个一致的一阶谓词演算理论（如集合论）都有一个至多可数的模型。然而，康托尔定理证明存在不可数集合。这一表面矛盾的根源在于：集合的可数性并非总是绝对的，而可能取决于度量基数的模型。一个集合在集合论的一个模型中可能是不可数的，但在一个更大的模型中却是可数的（因为建立可数性的双射存在于更大的模型中而不存在于较小的模型中）。

### 柯里悖论

柯里悖论（Curry's paradox）以美国逻辑学家哈斯凯尔·柯里命名，与罗素悖论密切相关但使用了不同的逻辑机制。该悖论展示了自指的条件句如何导致任何命题都可以被证明。具体而言，对于任意命题 Y，考虑集合 X = {x | x ∈ x → Y}。通过朴素概括原则，可以推导出 Y 成立。由于 Y 可以是任何命题（包括假命题），这构成了一个悖论。柯里悖论对不使用排中律的逻辑系统（如直觉主义逻辑）同样有效，因此在逻辑学和集合论的基础研究中具有重要意义。

## 外部链接

- Definability paradoxes by 蒂莫西·高尔斯