哥德尔度规

哥德尔度规，又称哥德尔解或哥德尔宇宙，是爱因斯坦场方程的一个精确解，由库尔特·哥德尔于 1949 年发现，其中应力-能量张量包含两项：第一项表示旋转尘埃粒子均匀分布的物质密度（参见尘埃解），第二项与负宇宙常数相关（参见Λ真空解）。

这个解具有许多不寻常的性质——特别是存在闭合类时曲线，这使得在由该解描述的宇宙中可以进行时间旅行。它的定义在某种程度上是人为的，因为宇宙常数的值必须经过仔细选择以对应于尘埃颗粒的密度，但这个时空是一个重要的教学示例。

## 定义

与其他洛伦兹时空一样，哥德尔解用局部坐标图表示度规张量。使用柱坐标系（见下文）可能最容易理解哥德尔宇宙，但本文采用哥德尔最初使用的坐标图。在该坐标图中，度规（或等价地，线元）是

$$g = \frac{1}{2\omega^2} \left[ -(dt + e^x \, dy)^2 + dx^2 + \tfrac{1}{2} e^{2x} \, dy^2 +dz^2\right]$$

这里$\omega$是一个非零实常数，表示周围尘埃颗粒绕y轴的角速度，由一个“不旋转”的观察者（位于其中一个尘埃颗粒上）测量得到。“不旋转”意味着观察者感受不到离心力，但在该坐标系中，它会绕平行于y轴的轴旋转。在这个旋转坐标系中，尘埃颗粒的x、 y和z值保持不变。它们在该坐标系中的密度随x 的增大而增大，但在它们自身的参考系中，它们的密度处处相同。

## 特性

为了研究哥德尔解的性质，可以假设框架场（与上面给出的从度规中读出的余框架对偶）。

$$\vec{e}_0 = \sqrt{2} \omega \, \partial_t$$

$$\vec{e}_1 = \sqrt{2} \omega \, \partial_x$$

$$\vec{e}_2 = \sqrt{2} \omega \, \partial_y$$

$$\vec{e}_3 = 2 \omega \, \left( \exp(-x) \, \partial_z - \partial_t \right).$$

该框架定义了一族与尘埃颗粒“同向运动”的惯性观测者。通过计算关于$\vec{e}_0$的费米-沃克导数表明，空间框架正绕着$\vec{e}_2$以角速度 -\omega旋转，与尘埃粒子一起运动的“非旋转惯性系”是

$$\vec{f}_0 = \vec{e}_0$$

$$\vec{f}_1 = \cos(\omega t) \, \vec{e}_1 - \sin(\omega t) \, \vec{e}_3$$

$$\vec{f}_2 = \vec{e}_2$$

$$\vec{f}_3 = \sin(\omega t) \, \vec{e}_1 + \cos(\omega t) \, \vec{e}_3.$$

### 爱因斯坦张量

爱因斯坦张量的分量（相对于上述任一参考系）为：

$$G^{\hat{a}\hat{b}} = \omega^2 \operatorname{diag} (-1,1,1,1) + 2 \omega^2 \operatorname{diag} (1,0,0,0).$$

这里，第一项是Λ真空解的特征，第二项是无压完美流体或尘埃解的特征。宇宙常数经过精心选择，以部分抵消尘埃的物质密度。

### 拓扑

哥德尔时空是爱因斯坦场方程的正则（无奇点）解的一个罕见例子。哥德尔的原始坐标图是测地完备的，且无奇点。因此，它是一个全局坐标图，并且该时空与R⁴同胚，因此是单连通的。

### 曲率不变量

在任何洛伦兹时空中，四阶黎曼张量在四维切向量空间上（在某个时刻）是一个多线性算子，但在六维双向量空间上（在该时刻）是一个线性算子。因此，它有一个特征多项式，其根即为特征值。在哥德尔时空中，这些特征值非常简单：

- 三重特征值为零。
- 双特征值$-\omega^2$。
- 单个特征值$\omega^2$。

### 基灵矢量场

这个时空允许存在一个由Killing向量构成的五维李代数，该李代数可以通过“时间平移”生成。$\partial_t$两个“空间转换” $\partial_y, \; \partial_z$加上另外两个 Killing 向量场：

$$\partial_x - y \, \partial_y$$

和

$$-2 \exp(-x) \, \partial_t + y \, \partial_x + \left( \exp(-2x) -y^2/2 \right) \, \partial_y.$$

这个等距群具有“传递性”（因为我们可以变换成 $t,y,z$, 并且利用第四个向量我们可以沿着$x$移动），因此时空是“均匀的”。然而，正如我们所看到的，它并非“各向同性的”。

所给出的项表明，切片 $x=x_0$ 容许一个传递的阿贝尔三维变换群，因此该解的商空间可以被重新解释为一个平稳柱对称解。切片$y=y_0$允许SL(2, R )作用，而切片$t=t_0$允许存在 Bianchi III 型（参见第四 Killing 向量场）。这可以改写为：该对称群包含 Bianchi I、III 和 VIII 型的三维子群。在五个 Killing 矢量中，有四个矢量以及曲率张量都不依赖于坐标 y。哥德尔解是实数集R与三维洛伦兹流形的笛卡尔积（符号−++）。

可以证明，除了局部等距解之外，哥德尔解是爱因斯坦场方程唯一具有五维李代数的Killing向量的完美流体解。

### Petrov 型和 Bel 分解

哥德尔解的Weyl张量具有Petrov `<b id="mwig">D</b>`型。这意味着对于适当选择的观察者，潮汐力与牛顿引力中点质量所感受到的潮汐力非常接近。

为了更详细地研究潮汐力，可以将黎曼张量的贝尔分解计算为三部分：潮汐或电引力张量（代表潮汐力）、磁引力张量（代表自旋测试粒子上的自旋-自旋力和其他类似于磁性的引力效应）和拓扑引力张量（代表空间截面曲率）。

与尘埃粒子同向运动的观测者会观测到潮汐张量（相对于$\vec{u} = \vec{e}_0$ （其中哪些组件在我们的框架中被评估）具有以下形式

$${E\left[ \vec{u} \right]}_{\hat{m}\hat{n}} = \omega^2 \operatorname{diag}(1,0,1).$$

也就是说，它们测量的是垂直于特定方向的各向同性潮汐张力。$\partial_y$。

引力磁张量恒等于零

$${B\left[ \vec{u} \right]}_{\hat{m}\hat{n}} = 0.$$

这是该时空不寻常对称性的产物，意味着尘埃的所谓“旋转”并不具有通常与旋转物质产生的引力场相关的引力磁效应。

黎曼张量的主要洛伦兹不变量是

$$R_{abcd} \, R^{abcd} = 12 \omega^4, \; R_{abcd} {{}^\star R}^{abcd} = 0.$$

第二不变量的消失意味着某些观测者无法测量到引力磁效应，这与刚才所述一致。第一不变量（克雷奇曼不变量）为常数这一事实反映了哥德尔时空的均匀性。

### 刚性旋转

上述给出的参考系场均为惯性场， $\nabla_{\vec{e}_0} \vec{e}_0 = 0$但是，由类时单位矢量定义的类时测地线全等的涡度矢量是

$$-\omega \vec{e}_2$$

这意味着附近尘埃粒子的世界线彼此扭曲。此外，全等性的剪切张量$\vec{e}_0$消失后，尘埃粒子呈现刚性旋转。

### 光学效应

如果研究给定观测者的过去光锥，可以发现垂直于该光锥运动的零测地线$\partial_y$尘埃颗粒向内螺旋式地朝向观察者，因此，如果沿径向观察，可以看到其他尘埃颗粒的位置逐渐滞后。然而，该解是静止的，所以看起来，站在尘埃颗粒上的观察者似乎看不到其他颗粒围绕自身旋转。但是，请记住，虽然上面给出的第一个参考系（$\vec{e}_j$虽然图中看起来是静止的，但费米-沃克导数表明它相对于陀螺仪在自旋。第二帧（$\vec{f}_j$图中看起来好像在旋转，但实际上它是陀螺仪稳定的，一个不旋转的惯性观察者如果骑在一粒尘埃上，确实会看到其他尘埃颗粒以角速度顺时针旋转。$\omega$围绕他的对称轴。结果表明，此外，光学图像还会沿旋转方向发生扩展和剪切。

如果一个不旋转的惯性观察者沿着他的对称轴观察，他会看到与自己同轴的不旋转的惯性同伴相对于自己显然是不旋转的，正如预期的那样。

### 绝对未来的形态

根据霍金和埃利斯的说法，这种时空的另一个显著特征是，如果忽略无关紧要的y坐标，从给定尘埃粒子世界线上的事件发出的光会螺旋式地向外传播，形成一个圆形尖点，然后螺旋式地向内传播，并在同一尘埃粒子世界线上的后续事件处重新汇聚。这意味着，垂直于该尘埃粒子世界线方向观察的观测者…… $\vec{e}_2$方向只能看到有限的距离，也只能看到自己过去的某个时刻。

尖点是一条非测地线闭合零曲线。（详见下文使用另一种坐标图的讨论。）

### 闭合类时曲线

在平坦时空中，围绕类时轴（正交地）绘制的圆本身就是一个类空环。在哥德尔时空中，对于足够小的圆，这一规律也成立。但如果我们增大圆的尺寸，它们就会转移到更远的参考系，这些参考系相对于邻近的参考系发生了扭曲。这种扭曲最终会将（原本类空的）环的方向转变为时间锥，因此更大的环就变成了闭合类时曲线（CTC）。由于哥德尔时空是均匀的，这意味着其中发生的每一个事件都存在闭合类时曲线。这种因果异常似乎被哥德尔本人视为该模型的核心所在。他显然试图证明爱因斯坦的时空方程与我们直觉上对时间的理解并不一致（即时间流逝，过去不再存在，哲学家称之为“现在主义”，而哥德尔似乎更倾向于永恒主义哲学）。

爱因斯坦知道哥德尔的解法（他们二人是好朋友），并在《阿尔伯特·爱因斯坦：哲学家-科学家》中评论说，如果存在一系列因果相关的事件，其中“该序列本身是封闭的”（换句话说，是一条封闭的类时曲线），那么这表明没有好的物理方法来定义序列中给定的事件是比序列中的另一个事件“更早”还是“更晚”发生：在这种情况下，对于在宇宙学意义上相距遥远的世界点，“早-晚”的区分就被放弃了，并且出现了哥德尔先生所说的关于因果联系方向的悖论。

哥德尔先生已经找到了引力方程的这类宇宙学解（其中A常数不为零）。从物理学的角度来权衡这些解是否应该被排除，将会是一件很有趣的事情。

### 全局非双曲

如果哥德尔时空允许任何无边界的时间超切片（例如柯西曲面），那么任何这样的连续时间连续曲面都必须与它相交奇数次，这与时空是单连通的这一事实相矛盾。因此，这个时空不是全局双曲的。

## 圆柱形图表

在本节中，我们介绍哥德尔解的另一个坐标图，其中更容易看到上面提到的一些特征。

### 推导

哥德尔没有解释他是如何找到答案的，但有很多种可能的推导方法。我们在此简要介绍其中一种，并同时验证上文提出的一些论断。

首先，在圆柱形图表中绘制一个简单的框架，其中包含径向坐标的两个未定函数：

$$\vec{e}_0=\partial_t, \; \vec{e}_1=\partial_z, \; \vec{e}_2=\partial_r, \, \vec{e}_3=\frac{1}{b(r)} \, \left( -a(r) \, \partial_t + \partial_\varphi \right)$$

这里，我们考虑类时单位矢量场。$\vec{e}_0$与尘埃粒子的世界线相切，它们的世界线通常会表现出非零涡旋，但膨胀和剪切为零。我们要求爱因斯坦张量包含一个尘埃项和一个真空能量项。这等价于要求它与理想流体相符；也就是说，我们要求相对于我们的参考系计算的爱因斯坦张量的分量具有以下形式：

$$G^{\hat{i}\hat{j}} = \mu \operatorname{diag}(1,0,0,0) + p \operatorname{diag}(0,1,1,1)$$

这给出了条件

$$b^{\prime\prime\prime} = \frac{b^{\prime\prime} \, b^{\prime}}{b}, \; \left( a^\prime \right)^2 = 2 \, b^{\prime\prime} \, b$$

将这些代入爱因斯坦张量，我们发现实际上我们现在有$\mu = p$显然，我们以此方式构造的最简单的非平凡时空，其系数将是径向坐标的某个非零常数函数。具体来说，我们预先设想一下，选择$\mu = \omega^2$这使得

$$b(r) = \frac{\sinh(\sqrt{2} \omega \,r)}{\sqrt{2} \omega}, \; a(r) = \frac{\cosh(\sqrt{2} \omega r)}{\omega} + c$$

最后，我们要求这个框架满足

$$\vec{e}_3 = \frac{1}{r} \, \partial_\varphi + O \left( \frac{1}{r^2} \right)$$

这给出了$c=-1/\omega$而我们的框架变成了

$$\vec{e}_0=\partial_t, \; \vec{e}_1=\partial_z, \; \vec{e}_2=\partial_r, \; \vec{e}_3 = \frac{ \sqrt{2} \omega }{ \sinh( \sqrt{2} \omega r ) } \, \partial_\varphi - \frac{\sqrt{2}\sinh(\sqrt{2} \omega r)}{1+\cosh(\sqrt{2} \omega r)} \, \partial_t$$

### 光锥的外观

我们发现矢量场$\partial_\varphi$，在小半径处是类空（spacelike）的，但在$r = r_c$处变为零性（null，或称光性），其中

$$r_c = \frac{\operatorname{arccosh}(3)}{\sqrt{2} \omega}$$

这是因为在该半径处我们发现$\tfrac{ \omega }2 \, \partial_\varphi = \vec{e}_3+\vec{e}_0$因此为空。圆$r = r_c$在给定的t时刻，是一条闭合的零曲线，但不是一条零测地线。

观察上面的坐标系，我们可以看到坐标$z$并非必要；我们的时空是因子R与符号 −++ 三流形的直接乘积。抑制$z$为了将我们的注意力集中在这个三维流形上，让我们来考察一下当我们从对称轴向外移动时，光锥的外观是如何变化的。$r = 0$:

<image>

当达到临界半径时，圆锥体与闭合零曲线相切。

### 闭合类时曲线的全等性

在临界半径处$r = r_c$向量场$\partial_\varphi$变为零。对于更大的半径，它是类时的。因此，对应于我们的对称轴，我们有一个由圆组成的类时全等，并且对应于某些观察者。然而，这个全等仅在圆柱体外部定义。$r=r_c$。

这并非测地线全等；相反，该族中的每个观测者都必须保持恒定的加速度才能维持其运动轨迹。半径较小的观测者必须获得更大的加速度；因为$r \rightarrow r_c$加速度的大小出现发散，这正符合预期，因为…… $r=r_c$是一条零曲线。

### 零测地线

如果我们观察事件沿对称轴的过去光锥，我们会发现如下图像：

<image>

回想一下，我们图表中的垂直坐标线代表尘埃粒子的世界线，但尽管它们在图表中看起来是直线，这些曲线构成的全等线具有非零涡度，因此这些世界线实际上是相互扭转的。零测地线以上述方式向内螺旋，这意味着当我们的观察者沿径向向外观察时，看到的不是附近尘埃粒子的当前位置，而是它们之前的位置。如果尘埃粒子确实相互旋转，那么这就是我们所预期的结果。

零测地线在几何上是直线；在图中，它们看起来像螺旋线，只是因为坐标在“旋转”，以便使尘埃粒子看起来静止不动。

### 绝对未来

根据霍金和埃利斯（见下文引用的专著）的说法，从对称轴上的事件发出的所有光线都会在轴上的后续事件处重新汇聚，零测地线形成一个圆尖点（这是一个零曲线，但不是零测地线）：

<image>

这意味着在哥德尔 lambda 尘埃解中，每个事件的绝对未来都具有与我们可能天真地预期截然不同的特征。

## 宇宙学解释

按照哥德尔的思路，我们可以将尘埃粒子解释为星系，这样哥德尔解就成了一个旋转宇宙的宇宙学模型。除了旋转之外，这个模型没有哈勃膨胀，因此它并非我们所处宇宙的真实模型，但可以被视为一个替代宇宙的例证，原则上，广义相对论允许存在这样的宇宙（如果承认负宇宙常数的合理性）。哥德尔一些不太为人所知的解同时展现了旋转和哈勃膨胀，并具有他第一个模型的其他特征，但无法穿越到过去。根据斯蒂芬·霍金的说法，这些模型很可能是对我们观测到的宇宙的一种合理描述；然而，观测数据仅与极低的旋转速率相符。直到哥德尔去世，这些观测的质量一直在不断提高，他总是问“宇宙开始旋转了吗？”，得到的回答总是“不，它没有”。

我们已经看到，位于y轴（原始图表中）上的观察者会看到宇宙的其他部分绕着该轴顺时针旋转。然而，时空的均匀性表明，这个“轴”的方向是可区分的，但其位置却无法区分。

有些人将哥德尔宇宙解释为爱因斯坦希望广义相对论能够展现某种马赫原理的反例，理由是物质以足以确定一个优先方向的方式旋转（世界线相互扭曲），尽管没有明显的旋转轴。

其他的将马赫原理理解为某种物理定律，该定律将每次事件中非旋转惯性系的定义与宇宙中各处物质的全局分布和运动联系起来，并指出，由于非旋转惯性系与尘埃的旋转完全按照马赫原理所暗示的方式联系在一起，因此该模型确实符合马赫的思想。

还有许多其他精确解可以被解释为旋转宇宙的宇宙学模型。

## 参见

- van Stockum 尘埃，是另一种具有（真正）圆柱对称性的旋转尘埃解。
- 尘埃解，一篇关于广义相对论中尘埃解的文章。

## 笔记

- See section 12.4 for the uniqueness theorem.
- See section 5.7 for a classic discussion of CTCs in the Gödel spacetime. Warning: in Fig. 31, the light cones do indeed tip over, but they also widen, so that vertical coordinate lines are always timelike; indeed, these represent the world lines of the dust particles, so they are timelike geodesics.
- Vukovic R. (2014): Tensor Model of the Rotating Universe, Exercise in Special Relativity .

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