林德勒夫猜想

林德勒夫猜想（Lindelöf hypothesis）是一个由芬兰数学家恩斯特·雷纳德·林德勒夫提出一个关于黎曼ζ函数在临界线上增长率的猜想。这猜想可由黎曼猜想导出，其形式以大O符号表述如下：

对于任意的$\varepsilon > 0$而言，在$t$趋近于无穷时，有$\zeta\!\left(\frac{1}{2} + it\right)\! = O(t^\varepsilon)$

由于$\varepsilon$可由一个较小的值取代之故，因此这猜想可重述如下：

对于任意的$\varepsilon > 0$而言，有$\zeta\!\left(\frac{1}{2} + it\right)\! = o(t^\varepsilon)$

## μ函数

设$\sigma$是一个实数，则可定义$\mu(\sigma)$为所有使得$\zeta(\sigma+iT)=O(T^a)$的实数$a$当中的最小数。在这种定义下，易见对于任意的$\sigma > 1$，有$\mu(\sigma)=0$，而从黎曼ζ函数的函数方程可导出说$\mu(\sigma)=\mu(1-\sigma)-\sigma+\frac{1}{2}$。另一方面，由夫拉门–林德勒夫定理可导出说$\mu$是一个凸函数。林德勒夫猜想基本就是说，$\mu(\frac{1}{2})=0$，将此点和上述的性质结合，这猜想也意味着说在$\sigma \ge \frac{1}{2}$时，$\mu(\sigma)=0$；而在$\sigma \le \frac{1}{2}$时，$\mu(\sigma)=\frac{1}{2}-\sigma$

由于$\mu(1)=0$且$\mu(0)=\frac{1}{2}$，因此从林德勒夫对这函数的凸性可导出说$0\le\mu(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$。之后G·H·哈代借由将外尔估计指数和的方式用于近似函数方程的做法，将这上界降至$\frac{1}{6}$。在那之后数名研究者用长且技术性的数学证明，将之降到稍微低于$\frac{1}{6}$的数值。下表显示了对于这数值的改进：

μ(1/2) ≤｜μ(1/2) ≤｜研究者

1/4｜0.25｜Lindelöf｜凸性上界

1/6｜0.1667｜Hardy & Littlewood

163/988｜0.1650｜Walfisz 1924

27/164｜0.1647｜Titchmarsh 1932

229/1392｜0.164512｜Phillips 1933

0.164511｜Rankin 1955

19/116｜0.1638｜Titchmarsh 1942

15/92｜0.1631｜Min 1949

6/37｜0.16217｜Haneke 1962

173/1067｜0.16214｜Kolesnik 1973

35/216｜0.16204｜Kolesnik 1982

139/858｜0.16201｜Kolesnik 1985

9/56｜0.1608｜Bombieri & Iwaniec 1986

32/205｜0.1561｜Huxley

53/342｜0.1550｜Bourgain

13/84｜0.1548｜Bourgain

## 和黎曼猜想间的关系

Backlund在1918至1919年间，证明了说林德勒夫猜想和下述与黎曼ζ函数的零点相关的叙述等价：在$T$趋近于无穷时，实部至少为$\frac{1}{2}+\varepsilon$且虚部介于$T$和$T+1$之间的零点，其数量会趋近于$o(\log{T})$。

由于黎曼猜想指称在这区域中没有任何零点之故，因此黎曼猜想会导出林德勒夫猜想。目前已知虚部介于$T$和$T+1$之间的零点的数量为$O(\log{T})$，因此林德勒夫猜想似乎只稍强于已知的结果，但尽管如此，人们迄今依旧无法证明林德勒夫猜想。

## 黎曼ζ函数的幂的平均值

林德勒夫猜想与以下陈述等价：

对于任意的正整数$k$和正实数$\varepsilon$而言，有以下等式：

$$\frac{1}{T} \int_0^T|\zeta(1/2+it)|^{2k}\,dt = O(T^{\varepsilon})$$

目前已证明这等式对$k=1$及$k=2$成立，但$k=3$的情况似乎困难许多，且依旧是个未解决的问题。

对于这积分的渐近行为，有着下列更加精确的猜想：

一般认为，对某些常数$c_{k,j}$而言，有以下等式：

$$\int_0^T|\zeta(1/2+it)|^{2k} \, dt = T\sum_{j=0}^{k^2}c_{k,j}\log(T)^{k^2-j} + o(T)$$

李特尔伍德证明了$k=1$的情况，而希斯-布朗借由推广英厄姆（Ingham）找到首项系数的结果，证明了$k=2$的情况。

Conrey和Ghosh推测，在$k=6$时首项系数应当为

$$\frac{42}{9!}\prod_ p \left((1-p^{-1})^4(1+4p^{-1}+p^{-2})\right)$$

而Keating和Snaith利用随机矩阵理论，对$k$更大的情况的系数的值做出了一些猜测。目前猜想这积分的首项系数的值是某个初等因子、质数的某种乘积，和由下列数列给出的$n\times n$杨表的数字彼此间的乘积：

1, 1, 2, 42, 24024, 701149020, ...

## 其他后果

设$p_n$为第$n$个质数，并设$g_n = p_{n + 1} - p_n.\ $为质数间隙，则一个由阿尔伯特·英厄姆证明的结果显示，若林德勒夫猜想成立，则对于任意的$\varepsilon > 0$而言，当$n$最终地 (数学)时，有以下不等式：

$$g_n\ll p_n^{1/2+\varepsilon}$$

对于质数间隙，一个比英厄姆的结果更强的猜想是克拉梅尔猜想，其陈述如下：

$$g_n = O\!\left((\log p_n)^2\right).$$

### 密度假说

<image>

密度假说指称$N(\sigma,T)\le N^{2(1-\sigma)+\varepsilon}$，其中$N(\sigma,T)$是$\zeta(s)$的零点$\rho$在$\mathfrak{R}(s)\ge \sigma$以及$|\mathfrak{I}(s)|\le T$所构成的范围内的数量，且这假说可由林德勒夫猜想得出。

更一般地，设$N(\sigma,T)\le N^{A(\sigma)(1-\sigma)+\varepsilon}$，则已知这界限大致和长度为$x^{1-1/A(\sigma)}$的短区间当中的质数的渐进公式相合。

阿尔伯特·英厄姆在1940年证明说$A_I(\sigma)=\frac{3}{2-\sigma}$，马丁·赫胥黎在1971年证明说$A_H(\sigma)=\frac{3}{3\sigma-1}$。

而拉里·古斯及梅纳德在2024年的一篇预印本中证明说$A_{GM}(\sigma)=\frac{15}{5\sigma+3}$并证明说这些公式和$\sigma_{I,GM}=7/10<\sigma_{H,GM}=8/10<\sigma_{I,H}=3/4$相契合。因此古斯和梅纳德近期的成果给出了已知最接近$\sigma=1/2$、符合一般对黎曼猜想期望的数值，并将其界限改进至$N(\sigma,T)\le N^{\frac{30}{13}(1-\sigma)+\varepsilon}$，或等价地，渐近地和$x^{17/30}$成比例。

在理论上，贝克、格林·哈曼和平茨·亚诺什三氏对勒让德猜想的估计的改进、对没有西格尔零点的区域的估计，以及其他的事情也是可期待的。

## L函数

黎曼ζ函数属于一类被称为L函数的一类更加一般的函数。

在2010年，约瑟夫·伯恩斯坦及安德烈·瑞斯妮可夫（Andre Reznikov）给出了估计定义在$PGL(2)$之上的L函数的次凸性值的方法；同一年，阿克沙伊·文卡泰什及飞利浦·麦可给出了估计定义在$GL(1)$和$GL(2)$之上的L函数的次凸性值的方法；而在2021年，保罗·尼尔森（Paul Nelson）估计定义在$GL(n)$之上的L函数的值的方法。

## 注解和参考资料

- 2001 pbk reprint