逗号范畴

在数学中，逗号范畴（特例：切片范畴）为范畴论的一类构造，提供了看待态射的一个不同的角度：不仅是简单地从范畴的一个对象联系到另一个对象，态射本身亦是另一个对象。这一记号由 F. W. Lawvere 在 1963 年引入，最开始并不广为人知。多个数学概念可处理为逗号范畴，逗号范畴本身亦确保部分极限和余极限存在。逗号范畴这一名称来自 Lawvere 的原始记号，使用了逗号表示该结构，不过现已由于视觉上易混淆而不采用该记号，而 Lawvere 本人亦不喜欢不提供额外信息的命名 “逗号范畴”。

## 定义

最一般的逗号范畴结构涉及同一上域的两个函子。通常，其中一个函子的域是 $\mathbf 1$, 即单对象单态射的范畴。范畴论中的一些情形仅考虑一些特殊情形，但逗号范畴实际上宽泛得多。

### 一般形式

给定范畴 $\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$, $\mathcal{C}$, 和函子 $S$, $T$:

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可按如下形式构建逗号范畴 $(S \downarrow T)$:

- 所有三元组 $(A, B, h)$ 汇得对象类，其中 $A\in\operatorname{Ob}\mathcal{A},\,B\in\operatorname{Ob}\mathcal{B}$, 而有所有 $h : S(A)\rightarrow T(B)$ 汇得分别的态射类 $h\in\operatorname{Hom}_\mathcal{C}(A,\,B)$.
- 从 $(A, B, h)$ 到 $(A', B', h')$ 的态射为所有特定的有序对 $(f, g)$, 其中 $f : A \rightarrow A'$ 和 $g : B \rightarrow B'$ 分别为 $\mathcal A$ 和 $\mathcal B$ 中的态射，使得下图交换：

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态射复合取 $(f', g') \circ (f, g)$ 作 $(f' \circ f, g' \circ g)$, 只要后者有定义. 特定对象 $(A,\, B,\,h)$ 的单位态射即 $({\rm id}_A,\,{\rm id}_B)$.

### 切片范畴

首先注意到 $\mathcal{C} = \mathcal{A}$ 时的特例, 函子 $S$ 即恒等函子, 而 $\mathcal{B}=\textbf{1}$, 具唯一对象 $*$ 与唯一态射. 则对 $\mathcal{A}$ 中的某对象$A_*$ 有 $T(*) = A_*$.

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此时, 逗号范畴写作 $(\mathcal{A} \downarrow A_*)$, 常称作 $A_*$ 上的切片范畴, 或对象在 $A_*$ 上的范畴. 对象 $(A, *, h)$ 可简化为有序对 $(A, h)$, 其中 $h : A \rightarrow A_*$. 有时 $h$ 亦记作 $\pi_A$. 切片范畴中从 $(A, \pi_A)$ 到 $(A', \pi_{A'})$ 的态射 $(f,\mathrm{id}_*)$ 此时可简化作使得下图交换的箭头 $f : A \rightarrow A'$:

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### 余切片范畴

切片范畴的对偶即余切片范畴. 此时, $\mathcal{C} = \mathcal{B}$, $S$ 的域为 $\textbf{1}$, 而 $T$ 为恒等函子.

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此时, 逗号范畴写作 $(B_*\downarrow \mathcal{B})$, 其中 $B_*=S(*)$ 为据 $S$ 选定的 $\mathcal{B}$ 的对象, 称作 $B_*$ 下的切片范畴, 或对象在 $B_*$ 下的范畴. 其对象为有序对 $(B, \iota_B)$, 其中 $\iota_B : B_* \rightarrow B$. 给定 $(B, \iota_B)$ 和 $(B', \iota_{B'})$, 余切片范畴中的态射为使得下图交换的对象 $g : B \rightarrow B'$:

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### 箭头范畴

$S$ 和 $T$ 为 $\mathcal{C}$ 上的单位函子 (此时 $\mathcal{A} = \mathcal{B} = \mathcal{C}$).

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此时, 逗号范畴为箭头范畴 $\mathcal{C}^\rightarrow$, 其对象为 $\mathcal{C}$ 中的态射, 而其态射为 $\mathcal{C}$ 中的形状如下的交换图.

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### 其他变体

在切片与余切片范畴的情形中, 单位函子有时由其他某个函子替代, 这产生了一定程度上在伴随函子研究中有用的范畴族. 例如, 若 $T$ 为将Abel群范畴投射到其基集合范畴的遗忘函子, 而 $s$ 为某给定集 (视作从 $\textbf{1}$ 出发的范畴), 则逗号范畴 $(s\downarrow T)$ 以从 $s$ 到某群的基集合的映射为对象. 这亦关联到 $T$ 的左伴随, 即投射集合到以该集为基集合的自由 Abel 群的函子. 某种程度上, $(s\downarrow T)$ 的始对象为典范内射 $s\to T(G)$, 其中 $G$ 为 $s$ 生成的自由群.

$(s\downarrow T)$ 的对象称作从 $s$ 到 $T$ 的态射或有域 $s$ 的 $T$-结构化箭头.$(S \downarrow t)$ 的对象称从 $S$ 到 $t$ 的态射或有上域 $t$ 的 $S$-结构化箭头.

另一特例聚焦于 $S$ 和 $T$ 均为域为 $\textbf{1}$ 的函子. 若有 $S(*)=A$ 和 $T(*)=B$, 逗号范畴 $(S \downarrow T)$, 记作 $(A\downarrow B)$, 为离散范畴, 其对象为从 $A$ 到 $B$ 的态射.

插入子范畴为逗号范畴的 (非满) 子范畴, 要求 $\mathcal{A} = \mathcal{B}$ 且 $f = g$. 逗号范畴亦可视作 $S \circ \pi_1$ 和 $T \circ \pi_2$ 的插入子, 其中 $\pi_1$ 和 $\pi_2$为积范畴 $\mathcal{A} \times \mathcal{B}$ 的投射函子.

## 性质

对每个逗号范畴, 总存在如下的遗忘函子:

- 域函子, $S\downarrow T \to \mathcal A$, 其映射:
- 对象: $(A, B, h)\mapsto A$;
- 态射: $(f, g)\mapsto f$;
- 上域函子, $S\downarrow T \to \mathcal B$, 其映射:
- 对象: $(A, B, h)\mapsto B$;
- 态射: $(f, g)\mapsto g$.
- 箭头函子, $S\downarrow T\to {\mathcal C}^{\rightarrow}$, 其映射:
- 对象: $(A, B, h)\mapsto h$;
- 态射: $(f, g)\mapsto (Sf,Tg)$;

## 用例

### 一些值得注意的范畴

一些有趣的范畴存在按照逗号范畴完成的自然定义.

- 基点集范畴为逗号范畴, $(\cdot\downarrow \mathsf{Set})$, 其中 $\cdot$ 为 (由函子选定的) 任意单元集, 而 $\mathsf{Set}$ 即集合范畴 (的单位函子). 该范畴的所有对象都是集合, 以一个函数选择集合中的部分元素, “基点”. 态射为将基点投射到基点的集合函数. 按近似的风格亦可构建基点空间 $(\cdot\downarrow\mathsf{Top})$.
- 环 $R$ 上的结合代数范畴为余切片范畴 $(R\downarrow\mathsf{Ring})$, 因为任意环同态 $f\colon\, R\to S$ 均诱导一个 $S$ 上的结合 $R$-代数结构, 反之亦然. 态射则为使图交换的映射 $h\colon\, S\to T$.
- 图范畴为 $(\mathsf{Set}\downarrow D)$, 其中 $D\colon\,\mathsf{Set}\to\mathsf{Set}$ 为从 $s$ 到 $s\times s$ 的函子. 对象 $(a,\,b,\,f)$ 含两个集合与一个函数, 其中 $a$ 为索引集, $b$ 为节点集, 而 $f\colon\,a\to b^2$ 用以选定 $b$ 中由索引输入的有序对. 也就是说 $f$ 标出了集合 $b^2$ 所有可能边中的特定边. 该范畴的态射由两个函数组成, 其中一个于索引集上, 另一个于节点集上. 对上面的一般定义, 它们必须 “同意”, 这意味着 $(g, h) : (a, b, f) \rightarrow (a', b', f')$ 必须满足 $f' \circ g = D(h) \circ f$. 换言之, 边对应于索引集中的具体元, 映射结果中, 同样的边亦须对应.
- 许多 “增强” 或 “标签” 运算均可以逗号范畴表示. 令 $S$ 为投射所有图到其边集合的函子, 并令 $A$ 为 (由函子选定的) 特定集, 此时 $(S\downarrow A)$ 即图范畴, 其边由 $A$ 中的元标记. 这种形式的逗号范畴通常称为 $S$-覆盖 $A$ 的对象——与前述 “$A$ 上对象” 的概念密切相关. 这里, 对象均采取结构 $(B, \pi_B)$, 其中 $B$ 为图, $\pi_B$ 为从 $B$ 到 $A$ 的边. 该图的节点可以相同方式标记.
- 范畴称局部 Cartesian 闭,若其所有切片均 Cartesian 闭 (见前文切片之陈述). 局部 Cartesian 闭范畴为依赖类型理论的分类范畴.

### 极限与万有态射

逗号范畴中的极限与余极限可能具 “遗传性”. 若 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 完全, $T : \mathcal{B} \rightarrow \mathcal{C}$ 为连续函子, 而 $S \colon \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{C}$ 为其他函子 (不必连续), 此时引出逗号范畴 $(S \downarrow T)$ 亦完全, 且投射函子 $(S\downarrow T) \rightarrow \mathcal{A}$ 和 $(S\downarrow T) \rightarrow \mathcal{B}$ 均连续. 类似地, 若 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 余完全, 而 $S \colon \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{C}$ 余连续, 则 $(S \downarrow T)$ 亦余完全, 投射函子亦余连续.

例如, 沿用前述图范畴之记号, 视其作逗号范畴, 则集合范畴完全且余完全, 而其单位函子连续且余连续. 因此图范畴完全且余完全.

抵达于选定余极限或出发于选定极限的万有态射, 可以逗号范畴的形式表示. 本质上是创建对象为锥, 且极限锥为终对象的范畴, 然后, 极限的每个万有态射即到终对象的态射. 这一工作在对偶情形中, 即对象为拥有始对象的余锥的范畴. 例如, 令 $\mathcal{C}$ 为范畴, 且函子 $F : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C} \times \mathcal{C}$ 递送每个对象 $c$ 到 $(c,\,c)$, 每个箭头 $f$ 到 $(f,\,f)$. 从 $(a,\,b)$ 到 $F$ 的万有态射据定义含对象 $(c,\,c)$ 与携万有性质的态射 $\rho\colon\,(a,\,a)\to(b,\,b)$, 使得对任意态射 $\rho\colon\,(a,\,b)\to(d,\,d)$ 总存在唯一态射 $\sigma : c \rightarrow d$ 满足 $F(\sigma) \circ \rho = \rho'$. 换言之, 这是在逗号范畴 $((a, b) \downarrow F)$ 中的对象, 到该范畴中的任何其他对象均存在态射, 即始对象. 这也用于定义 $\mathcal{C}$ 中的余积, 只要其存在.

### 伴随

William Lawvere 证明, 函子 $F : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$ 与 $G : \mathcal{D} \rightarrow \mathcal{C}$ 为伴随对, 当且仅当分别以 $id_\mathcal D$ 和 $id_\mathcal C$ 为单位函子的逗号范畴 $(F \downarrow id_\mathcal{D})$ 和 $(id_\mathcal{C} \downarrow G)$ 同构, 而改逗号范畴中的等价元可投射于 $\mathcal{C} \times \mathcal{D}$ 中的相同元. 这使得伴随得以不必涉及集合来序数, 而实际上这也是引入逗号范畴的最初动机.

### 自然变换

若 $S, T$ 的域相同, 则在 $S\downarrow T$ 中以 $A=B, A'=B', f=g$ 定义的图将与定义自然变换 $S\to T$ 的图同一. 两个极好的不同在于, 自然变换是结构 $S(A)\to T(A)$ 型态射的特定总体, 而逗号范畴的对象涵盖所有如此结构形态射. 到达逗号范畴的函子选定这一特定态射总体. 这也由 S.A. Huq 的观点描述为, 给定 $S, T:\mathcal A \to \mathcal C$, 自然变换 $\eta:S\to T$ 相当于映射每个元 $A$ 到 $(A, A, \eta_A)$, 每个态射 $f=g$ 到 $(f, g)$ 的函子 $\mathcal A \to (S\downarrow T)$, 这是自然变换 $S\to T$ 和函子 $\mathcal A \to (S\downarrow T)$ 间的双射对应, 这是从 $S\downarrow T$ 出发的两个遗忘函子的截面.

## 参考文献

- Lawvere, W (1963). "Functorial semantics of algebraic theories" and "Some algebraic problems in the context of functorial semantics of algebraic theories". http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/5/tr5.pdf

## 外部链接

- J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats
- Interactive Web page which generates examples of categorical constructions in the category of finite sets.