行列式的莱布尼茨公式

在代数中，为纪念戈特弗里德·莱布尼茨而得名的莱布尼茨公式，用矩阵元素的排列表示了方块矩阵的行列式。若 $A$ 为 $n\times n$，以 $a_{ij}$ 表示 $A$ 的第 $i$ 行（row）与第 $j$ 列（column），则莱布尼茨公式为： $$\det\left(A\right)=\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\right)\prod_{i=1}^{n}a_{i\sigma\left(i\right)}=\sum_{\tau\in S_n}\sgn\left(\tau\right)\prod_{i=1}^{n}a_{\tau\left(i\right)i}$$ 其中 $\sgn$ 为置换群 $S_n$ 中的置换的符号，当其中为偶置换时给出 $+1$，而当其中是奇置换时给出 $-1$。

另一种常见的，物理学家可能更熟悉的记号是依据列维-奇维塔符号并利用爱因斯坦求和约定将公式表示为 $$\det\left(A\right)=\varepsilon_{i_1,\dots,i_n}a_{1,i_1}\cdots a_{n,i_n}.$$

因为 $n!$ 是 $n$ 阶置换的数量，直接根据定义计算莱布尼茨公式一般需要 $\Omega\left(n!\cdot n\right)$ 步。换言之，运算次数与 $n$ 的阶乘渐进成比例。即使对较小的 $n$ 来说，此方法也是困难、不明智且不可行的。另一策略是通过高斯消元法或类似方法利用LU分解 $A=LU$ 在 $\Omicron\left(n^3\right)$ 步内计算行列式，此时 $\det\left(A\right)=\det\left(L\right)\cdot\det\left(U\right)$，并且三角阵 $L$ 和 $U$ 的行列式仅为其对角项之积。（但是在数值线性代数的实际应用中很少需要显式计算行列式）。参见脚注。通过矩阵乘法算法可以简化行列式的计算，使其用少于 $\Omicron\left(n^3\right)$ 步就可以计算，但是这些算法中的大多数是不实用的。

## 正式陈述和证明

存在唯一的映射 $F:M_n\left(\mathbb{K}\right)\mapsto\mathbb{K}$ 关于列是交替多线性映射且 $F\left(I\right)=1$。

证明如下：

### 唯一性

令 $F$ 为定理中所言的映射，$A=\begin{pmatrix}a_{ij}\end{pmatrix}_{i,j=1,2,\dots,n}$ 是 $n\times n$ 矩阵。用 $A_j$ 表示 $A$ 的第 $j$ 列，换言之 $A_j=\left(a_{1j},a_{2j},\dots,a_{nj}\right)^T$，因此 $A=\left(A_1,A_2,\dots,A_n\right)$。

同时，令 $e_k$ 表示 $\left(0,\dots,1,\dots,0\right)^T$，其中 $1$ 在第 $k$ 位，也就是单位矩阵的第 $k$ 个列向量。

现在用 $e_k$ 表示 $A_j$ 的项：$$A_j=\sum_{k=1}^{n}a_{kj}e_k\quad j=1,2,\dots,n.$$

由于 $F$ 是多线性的，可得 $$F\left(A\right)=F\left(\sum_{k=1}^{n}a_{k1}e_{k},\dots,\sum_{k=1}^{n}a_{kn}e_{k}\right)=\sum_{k_1=1}^{n}\cdots\sum_{k_n=1}^{n}F\left(e_{k_1},\dots,e_{k_n}\right)\prod_{i=1}^{n}a_{k_i i}.$$

由交替性，上式中求和指标相同（即存在 $1\le p<q\le n$ 使 $k_p=k_q$）的项皆为零。因此该和的求和指标一定是无重复的元组，即置换：$$F\left(A\right)=\sum_{\sigma\in S_n}F\left(e_{\sigma\left(1\right)},\dots,e_{\sigma\left(n\right)}\right)\prod_{i=1}^{n}a_{\sigma\left(i\right) i}.$$

因为 $F$ 是交替的，因此可以通过对换列 $e_k$ 得到单位矩阵。符号 $\sgn\left(\sigma\right)$ 定义为必要的对换的数量和由此产生的符号变化。最终得到：$$\begin{aligned} F\left(A\right)=&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\right)F\left(I\right)\prod_{i=1}^{n}a_{\sigma\left(i\right) i}\\ =&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\right)\prod_{i=1}^{n}a_{\sigma\left(i\right) i}\\ \end{aligned}$$ 因为 $F\left(I\right)=1$。

因此除了莱布尼茨公式定义的映射，其余映射皆不是$F\left(I\right)=1$的交替多线性映射。

这一定义方式也称为行列式的公理化定义。

### 存在性

现在证明由莱布尼茨公式定义的 $F$ 有以下三条性质。

#### 多线性

设 $A=\begin{pmatrix}a_{ij}\end{pmatrix}_{i,j=1,2,\dots,n}$，并设 $A_k=\lambda' A'_k+\lambda''A''_k$，其中撇号指出了辅助矩阵 $$A'=\left(A_1,\dots,A_{k-1},A'_k,A_{k+1},\dots,A_n\right),$$ $$A''=\left(A_1,\dots,A_{k-1},A''_k,A_{k+1},\dots,A_n\right).$$ 根据条件 $$a_{jk}=\lambda' a'_{jk}+\lambda''a''_{jk},\quad j=1,2,\dots,n.$$ $F\left(A\right)$ 关于第 $k$ 列的元素的线性可以给出下述论断。由定义 $$F\left(A\right)=\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\right) a_{\sigma\left(1\right) 1}\cdots a_{\sigma\left(k\right) k}\cdots a_{\sigma\left(n\right) n}=\sum_{\sigma\in S_n}p_{\sigma}a_{\sigma\left(k\right) k},$$ 其中 $p_{\sigma}$ 不依赖于列 $A_k$ 的元素。将求和指标满足 $\sigma\left(k\right)=j, \sigma\in S_n$ 的 $p_{\sigma}$ 合并同类项，并设 $\alpha_j=\sum_{\sigma\left(k\right)=j}p_{\sigma}$，我们就得到了所需的多线性 $$\begin{aligned} F\left(\dots,A_k,\dots\right)=&\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}a_{jk},\\ F\left(\dots,\lambda'A'_k+\lambda''A''_k,\dots\right)=&\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}\left(\lambda'a'_{jk}+\lambda''a''_{jk}\right)\\ =&\lambda'\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}a'_{jk}+\lambda''\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}a''_{jk}\\ =&\lambda'F\left(\dots,A'_k,\dots\right)+\lambda''F\left(\dots,A''_k,\dots\right).\\ \end{aligned}$$ 简言之：$$F\left(A\right)=\lambda'F\left(A'\right)+\lambda''F\left(A''\right).$$

因此 $F$ 满足多线性。

#### 交替性

设 $A'$ 是由 $A$ 交换列 $A_s,A_t$ 得到的矩阵，也就是说 $A'_s=A_t, A'_t=A_s$，若 $j\ne s,t$ 则 $A'_j=A_j$。将任意置换 $\pi\in S_n$ 写成 $\pi=\sigma\tau$ 的形式，其中 $\tau=\left(st\right)$ 是一个对换（参见），我们有$$\begin{aligned} F\left(A'\right)=&\sum_{\pi\in S_n}\sgn\left(\pi\right)a'_{\pi\left(1\right) 1}\cdots a'_{\pi\left(n\right) n}\\ =&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\tau\right)a'_{\sigma\tau\left(1\right) 1}\cdots a'_{\sigma\tau\left(s\right) s}\cdots a'_{\sigma\tau\left(t\right) t}\cdots a'_{\sigma\tau\left(n\right) n}\\ =&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\tau\right)a'_{\sigma\left(1\right) 1}\cdots a'_{\sigma\left(t\right) s}\cdots a'_{\sigma\left(s\right) t}\cdots a'_{\sigma\left(n\right) n}\\ =&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\tau\right)a_{\sigma\left(1\right) 1}\cdots a_{\sigma\left(t\right) t}\cdots a_{\sigma\left(s\right) s}\cdots a_{\sigma\left(n\right) n}\\ =&-\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\right)a_{\sigma\left(1\right) 1}\cdots a_{\sigma\left(t\right) t}\cdots a_{\sigma\left(s\right) s}\cdots a_{\sigma\left(n\right) n}\\ =&-F\left(A\right)\\ \end{aligned}$$

进一步地，若 $A_s,A_t$ 两列相同，则将其交换后有 $A'=A$。于是 $F\left(A\right)=F\left(A'\right)=-F\left(A\right)$，因此 $F\left(A\right)=0$。因此 $F$ 满足交替性。

#### 单位矩阵的行列式为一

最后，$F(I)=1$：$$\begin{aligned} F\left(I\right)=&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\right)\prod_{i=1}^{n}I_{\sigma\left(i\right) i}\\ =&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\right)\prod_{i=1}^{n} \delta_{i,\sigma\left(i\right)}\\ =&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\right) \delta_{\sigma,\operatorname{id}_{\left\{1\ldots n\right\}}}\\ =&\sgn\left(\operatorname{id}_{\left\{1\ldots n\right\}}\right)\\ =&1 \end{aligned}$$

### 小结

因此唯一满足 $F\left(I\right)=1$ 交替多线性映射刻画了莱布尼茨公式定义的映射，并且该映射实际上也具有这三条性质。因此行列式可以定义为具有这三条性质的唯一映射 $M_n\left(\mathbb{K}\right)\mapsto\mathbb{K}$。