超积

数学上，超积（ultraproduct）是常见于抽象代数和数理逻辑（尤其模型论和集合论）的构造。超积是一族无穷多个结构之直积的商结构，不过要求该族结构具有相同的表征 (逻辑)。超幂（ultrapower）则是超积中各因子为同一个结构的特殊情况。

举例，给定一个域，可以用超幂构造出新的域。超实数域便是实数域的超幂之一。

超积有一些出奇的应用。用超积，可以写出紧致性定理与完备性定理的优雅证明。杰尔姆·开斯勒的超幂定理，从代数角度刻划了“初等等价”此种语义概念。亚伯拉罕·鲁滨逊和埃利亚斯·扎孔（Elias Zakon）用超结构及其单同态的表示来构造分析的非标准模型，使非标准分析理论得以发展。鲁滨逊正是用紧致性定理开拓此分支。

## 定义

超积的一般定义中，先选定指标集$I$、对应每个下标$i \in I$的结构$\mathcal M_i$（具相同的表征 (逻辑)），以及$I$上的超滤子$\mathcal U$。通常仅考虑$I$为无穷集，且$\mathcal U$不为主超滤子的情况，即$\mathcal U$的元素有齐$I$的全部余有限子集，但无任何有限子集。原因是，在主超滤子的情况下，所得的超积只会与其中一个因子同构，并无新的性质。

笛卡儿积

$$\prod_{i \in I} \mathcal M_i$$

上的代数运算，是逐点计。例如，对于二元运算$+$，$(\boldsymbol a + \boldsymbol b)_i = a_i + b_i$。然后，在笛氏积上，定义等价关系$\sim$，使$\boldsymbol a \sim \boldsymbol b$当且仅当

$$\left\{ i \in I: a_i = b_i \right\}\in \mathcal U$$

（应当理解为“$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$在大多数位置相等”）。

最后，所得的超积，是模$\sim$的商集。所以，该超积有时记为

$$\prod_{i\in I}\mathcal M_i / \mathcal U .$$

另一种看法是，在指标集$I$上，定义一个有限可加的测度$m$（弱于一般可数可加的条件），仅取$0, 1$二值，若$A \in \mathcal U$则称$m(A) = 1$，否则称$m(A) = 0$。然后在笛氏积中，两个元素若在几乎每个下标处皆相等，则视为等同。超积是如此生成的等价类的集合。

其他关系 (数学)同理可作引申：

$$R([\boldsymbol a^1],\ldots,[\boldsymbol a^n]) \iff \left\{ i \in I: R^{\mathcal M_i}(a^1_i,\ldots,a^n_i) \right\}\in \mathcal U,$$

其中$[\boldsymbol a]$表示$\boldsymbol a$模$\sim$所属的等价类。

特别地，若每个$\mathcal M_i$皆为有序域，则所得的超积亦然。

所谓超幂，意思是所有因子$\mathcal M_i$皆相等的超积：

$$\mathcal M^I/\mathcal U=\prod_{i\in I} \mathcal M/\mathcal U.\,$$

也可以推广到$\mathcal U$不为超滤子，而仅为$I$上普通一个滤子的情况。此时所得的模型$\prod_{i\in I}\mathcal M_i / \mathcal U$称为约化积（reduced product）。

## 例子

超实数系是可数无穷多个（以自然数集编号）实数系的超积，其中所选的超滤子含有全部余有限集。超实数系的大小次序扩展了实数之间的大小次序。例如，$\omega_n = n$的序列$(\omega_n)$所在的等价类，记为超实数$\omega$，比任意实数都要大，因为对于任意实数$r$，$(\omega_n)$除有限项外皆比$r$大。于是，$\omega$可以理解成无穷大数。

类似地，可以定义非标准整数、非标准复数系等，为相应标准结构的超积。

又考虑以下例子，以便理解超积中关系的定义。设超实数$\psi$为序列$\psi_n = 2n$所在的等价类。由于对每个$n$都有$\psi_n > n = \omega_n$，在超积中，有$\psi > \omega$，所以$\psi$是较原先构造出的$\omega$更大的无穷大数。又考虑与$\omega_n = n$类似的序列$(\chi_n)$，令$n \neq 7$时，$\chi_n = n$，但$\chi_7 = 8$。则虽然两个序列$(\chi_n) \neq (\omega_n)$，但两者仅在有限个下标处不相等，故两者相等的下标集合是超滤子的元素（因为是余有限集），从而作为等价类，有$\omega = \chi$。

大基数论中，有个标准构造是小心选取超滤子$\mathcal U$，然后取整个集合论全类关于$\mathcal U$的超积。此时，$\mathcal U$的性质，对于所得超积的（高阶）性质影响很大。例如，若$\mathcal U$可数完备，则相应的超积仍是良基的。该范例在可测基数#定义有提及。

## 沃希定理

沃希定理（Łoś's theorem），又称超积基本定理，由耶日·沃希所证。定理断言，任何一条一阶逻辑式在超积$\prod \mathcal M_i/ \mathcal U$中为真，当且仅当使该公式在$\mathcal M_i$中成立的指标$i$的集合，是$\mathcal U$的元素。后一个条件，可以直观理解为“大多数”$\mathcal M_i$皆认为该公式为真。严谨叙述如下：

设有表征$\sigma$，指标集$I$，其上的超滤子$\mathcal U$，且对每个$i \in I$，有$\sigma$结构$\mathcal M_i$。又设$\mathcal M$为$\mathcal M_i$关于$\mathcal U$之超积，即$\mathcal M = \prod_{i \in I} \mathcal M_i / \mathcal U$。则对任意$n$个多元组$a^{1}, \ldots, a^{n} \in \prod \mathcal M_{i}$，其中$a^{k} = (a^k_i)_{i \in I}$，以及对任意$\sigma$公式$\varphi$。

$$\mathcal M \models \varphi(a^1, \ldots, a^n) \iff \left\{ i \in I : \mathcal M_{i} \models \varphi(a^1_{i}, \ldots, a^n_{i} )\right\} \in \mathcal U.$$

定理对公式$\varphi$的复杂度归纳得证。$\mathcal U$为超滤子（而不仅是滤子）的性质，在加入否定的一步用到。而在加存在量词的一步，要用到选择公理。应用定理可得超实域的转移原理。

### 实例

设$R$为结构$\mathcal M$上的一元关系，并构造$\mathcal M$的超幂。则集合$S=\{x \in \mathcal M:\mathcal M \models R x\}$在超幂中有对应的子集${}^*S$，而在$\mathcal M$中，对$S$量化且为真的一阶公式，将$S$换成${}^*S$后，仍在超幂中成立。例如，设$\mathcal M = \mathbb R$为实数集。设$Rx$表示“$x$为有理数”。则在$\mathcal M$中，对每对有理数$x < y$，总有无理数$z$介于两者之间。即：

$$\mathcal M \models (\forall x) (\forall y)(Rx \wedge Ry \wedge (x < y) \implies (\exists z) (\neg Rz \wedge x < z < y)).$$

既然有理数集$S$此一性质可以写成一阶命题，沃希定理推出，超有理数集${}^*S$仍有同一性质，即任意两个超有理数之间，有一个不为超有理数的超实数（“超无理数”）。更一般地，超有理数集与有理数集具有完全一样的一阶性质。

然而，考虑实数的阿基米德性质，即不存在实数$x$同时满足$x > 1,\ x> 1+1,\ x>1+1+1,\ \ldots$此列无穷多条不等式。阿基米德性质无法用一阶逻辑表示，所以，沃希定理不适用于此性质，不能推导出超实数满足阿基米德性质。正好相反，超实数不满足阿基米德性质，例如前一节构造的超实数$\omega$，就比$1,\ 1+1,\ 1+1+1,\ \ldots$都要大。

## 超幂的正极限（超极限）

模型论和集合论中，常考虑一列超幂的正极限（范畴论的余极限）。模型论中，此构造称为超极限（ultralimit）或极限超幂（limiting ultrapower）。

从某结构$\mathcal A_0$和超滤子$\mathcal U_0$开始，构造出超幂$\mathcal A_1$，并重复，得到$\mathcal A_2$等。对每个$n$，有典范对角嵌入$\mathcal A_n\hookrightarrow \mathcal A_{n+1}$。在极限阶段，如$\mathcal A_\omega$，取此前所有结构的正极限，如此便可取超限多次超幂。