直线运动

直线运动，是轨迹为直线的一维运动。直线运动有两种类型：具有恒定速度或零加速度的匀速直线运动，具有变化速度或非零加速度的变速直线运动。一个粒子的直线运动可以用位移$x$描述，随时间$t$的变化而变化。运动员沿直线跑100米就是一个直线运动的典型例子。

直线运动是最基本的运动。根据牛顿第一运动定律，不受任何净力作用的物体会做匀速直线运动或保持静止，直到它们受到合力作用。通常，引力、摩擦力等外力会改变物体的运动方向，物体的运动从而不能被描述为直线运动。

比较直线运动与一般的运动。在一般运动中，粒子的位移和速度由矢量描述，矢量具有大小和方向。在直线运动中，描述系统的所有矢量的方向相等且恒定，这意味着物体沿同一轴运动且不改变方向。因此，可以忽略所涉及矢量的方向而仅处理大小来简化对此类系统的分析。

## 位移

物体的所有粒子在同一时间内通过相同距离的运动称为平移运动。平移运动分为两种：直线运动、曲线运动。由于直线运动是单一维度的运动，因此物体在特定方向上移动的距离和位移相同。位移的国际单位制单位是米。如果$x_1$是物体的起点，$x_2$是终点，那么位移由下式得出：

$$\Delta x = x_2 - x_1$$

位移在旋转运动中的等价物是角位移$\theta$，单位为弧度。物体的位移不可能大于距离，因为位移也是距离而且是最短的。一个人每天早上走路去上班，下午回家后他的总位移是零，因为他回到了起点，但走过的距离显然不是零。

## 速度

速度是相对于时间的位移，它是位移相对于时间的变化率。速度是一个矢量，表示运动的方向和大小。速度的大小叫作速率，速率的国际单位是$\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$，即米每秒。

### 平均速度

运动物体的平均速度是它的总位移与运动用的总时间的比值，它粗略地表示物体在一段时间内的运动情况。由下式得出：

$$\mathbf{\overline{v}} = \frac {\Delta \mathbf{x}}{\Delta t} = \frac {\mathbf{x}_2 - \mathbf{x}_1}{t_2 - t_1}$$

其中。

$t_1$是物体位移为$\mathbf{x}_1$时的时间。

$t_2$是物体位移为$\mathbf{x}_2$时的时间。

平均速度的大小$\left|\mathbf{\overline{v}}\right|$叫作平均速率。

### 瞬时速度

相对于平均速度表现有限时间间隔内的整体运动，瞬时速度描述了特定时间点的物体的运动状态。定义中，时间变化量$\Delta t$趋于零，即速度是位移随时间变化的时间导数。

$$\mathbf{v} = \lim_{\Delta t \to 0} {\Delta \mathbf{x} \over \Delta t}$$

瞬时速度的大小$|\mathbf{v}|$叫作瞬时速率。

## 加速度

加速度定义为速度相对于时间的变化率。加速度是位移的二阶导数，加速度可以通过将位移和时间二次微分或将速度和时间一次微分求出。加速度的国际单位制单位是$\text{m}\cdot \text{s}^{-2}$，即米每二次方秒。

若$\mathbf{\overline{a}}$表示平均加速度，$\Delta \mathbf{v} = \mathbf{v}_2 - \mathbf{v}_1$是速度在时间变化量$\Delta t$中的变化，那么。

$$\mathbf{\overline{a}} = \frac {\Delta \mathbf{v}}{\Delta t} = \frac {\mathbf{v}_2 - \mathbf{v}_1}{t_2 - t_1}$$

瞬时加速度是$\Delta t$趋近零时的$\Delta \mathbf{v}$和$\Delta t$的比值，即

$$\mathbf{a} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t} = \frac {d\mathbf{v}}{dt} = \frac {d^2\mathbf{x}}{dt^2}$$

## 加加速度

加速度的变化率、位移的三阶导数称作加加速度。加加速度的国际单位制单位是$\text{m}\cdot \text{s}^{-3}$。

## 加加加速度

加加速度的变化率、位移的四阶导数称作加加加速度。加加加速度的国际单位制单位是$\text{m}\cdot \text{s}^{-4}$。

## 运动学方程

在加速度恒定的情况下，四个物理量加速度、速度、时间和位移有如下的运动方程。

$$\mathbf{v_{f}} = \mathbf{v_{i}} + \mathbf{a} \mathbf{t}\;\!$$

$$\mathbf{d} = \mathbf{v_{i}} \mathbf{t} + \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \mathbf{a} \mathbf{t}^2$$

$${\mathbf{v_{f}}}^2 = {\mathbf{v_{i}}}^2 + 2 {\mathbf{a}} \mathbf{d}$$

$$\mathbf{d} = \tfrac{1}{2} \left(\mathbf{v_{f}} + \mathbf{v_{i}}\right) \mathbf{t}$$

其中，$\mathbf{v_{i}}$是初速度，$\mathbf{v_{f}}$是末速度，$\mathbf{a}$是加速度，$\mathbf{d}$是位移，$\mathbf{t}$是时间。

这些关系也可以用图像表示。位移–时间图像上直线的斜率表示速度，而速度–时间图像上直线的斜率表示加速度，直线和x轴围成的面积是位移。加速度–时间图像直线和x轴围成的的面积是速度。

## 与旋转运动的比较

下表是比较了质点的直线运动和刚体的定轴旋转：定轴旋转一栏中，$\mathbf s$是某一点运动轨迹的弧长，$\mathbf r$是旋转轴到该点的距离，$\mathbf{a}_\mathbf{t}$是该点的切向加速度，即平行于运动方向的加速度分量；$\mathbf{a}_\mathbf{c}=\frac{v^2}{r}=\omega^2 r$为垂直于运动方向的向心加速度。平行于运动方向的力的分量，或等效地垂直于连接作用点和轴的线的分量是$\mathbf{F}_\perp$。求和遍历粒子或作用点$\mathbf j \ = 1$到$N$。

直线运动｜定轴旋转｜定义方程

位移 = $\mathbf{x}$｜角位移 = $\theta$｜$\theta = \mathbf{s}/\mathbf{r}$

速度 = $\mathbf{v}$｜角速度 = $\omega$｜$\omega= \mathbf{v}/\mathbf{r}$

加速度 = $\mathbf{a}$｜角加速度 = $\alpha$｜$\alpha= \mathbf{a_\mathbf{t}}/\mathbf{r}$

质量 = $\mathbf{m}$｜转动惯量 = $\mathbf{I}$｜$\mathbf{I}=\sum \mathbf{m_j}\mathbf{r_j}^2$

力 = $\mathbf{F} = \mathbf{m} \mathbf{a}$｜扭矩 = $\tau = \mathbf{I} \alpha$｜$\tau = \sum\mathbf{r_j} \mathbf{F}_\perp\mathbf{_j}$

动量 = $\mathbf{p} = \mathbf{m} \mathbf{v}$｜角动量 = $\mathbf L = \mathbf{I} \omega$｜$\mathbf L = \sum\mathbf{r_j}\mathbf{p}\mathbf{_j}$

动能 = $\frac 1 2\mathbf{m} \mathbf{v}^2$｜动能 = $\frac 1 2\mathbf{I} \omega^2$｜$\frac 1 2 \sum\mathbf{m_j}\mathbf{v}^2 = \frac 1 2 \sum\mathbf{m_j}\mathbf{r_j}^2\omega^2$

## 参考书目

- Resnick, Robert and Halliday, David (1966), Physics, Chapter 3 (Vol I and II, Combined edition), Wiley International Edition, Library of Congress Catalog Card No. 66-11527
- Tipler P.A., Mosca G., "Physics for Scientists and Engineers", Chapter 2 (5th edition), W. H. Freeman and company: New York and Basing stoke, 2003.