物理空间代数

物理学中，物理空间代数 （APS）是用三维欧氏空间的克利福德代数或几何代数${\rm Cl}_{3,\ 0}(\mathbb{R})$作为(3+1)维时空的模型，通过副向量（3维向量加1维标量）表示时空中的一个点。

克利福德代数${\rm Cl}_{3,\ 0}(\mathbb{R})$在旋量表示$\mathbb{C}^2$上有由泡利矩阵生成的忠实表示；此外，${\rm Cl}_{3,\ 0}(\mathbb{R})$同构于克利福德代数${\rm Cl}_{3,\ 1}(\mathbb{R})$的偶子代数${\rm Cl}_{3,\ 1}^{[0]}(\mathbb{R})$。

APS可为经典力学与量子力学构建一个紧凑、统一的几何形式。

注意APS与时空代数（STA）不同，后者涉及4维闵氏时空的克利福德代数${\rm Cl}_{1,\ 3}(\mathbb{R})$。

## 狭义相对论

### 时空位置副向量

APS中，时空位置可表为副向量$$x = x^0 + x^1 \mathbf{e}_1 + x^2 \mathbf{e}_2 + x^3 \mathbf{e}_3,$$

其中时间由标绿部分$x^0=t$给出，$\vec{e}_1,\ \vec{e}_2,\ \vec{e}_3$是位置空间的标准基。整个过程中使用的单位是$c=1$，称作自然单位制。在泡利矩阵表述中，单位基向量被泡利矩阵代替，标量部分被单位矩阵代替，这意味着时空位置的泡利矩阵表述为$$x \rightarrow \begin{pmatrix} x^0 + x^3 && x^1 - ix^2 \\ x^1 + ix^2 && x^0-x^3\end{pmatrix}$$

### 洛伦兹变换与转子

保时间方向、包含旋转与递升的受限洛伦兹变换，可用对时空旋转双副向量W进行指数化实现：

$$L = e^{\frac{1}{2}W} .$$

在矩阵表示中，洛伦兹转子被看作是${\rm SL}(2,\ \mathbb{C})$群（复数上度为2的特殊线性群）的一个例子，其是洛伦兹群的双覆盖。洛伦兹转子的幺模性可由以下条件，转为洛伦兹转子与其克利福德共轭之积：

$$L\bar{L} = \bar{L} L = 1 .$$

此洛伦兹转子总可以分解为两个因子，是厄米的$B=B^\dagger$与幺正的$R^\dagger=R^{-1}$，使得$$L = B R .$$

酉元R称作转子，因为其编码了旋转，厄米元B则编码了递升。

### 四维速度副向量

四维速度也称原速，定义为时空位置副向量对原时τ的导数：

$$<pre> u = \frac{d x }{d \tau} = \frac{d x^0}{d\tau} + \frac{d}{d\tau}(x^1 \mathbf{e}_1 + x^2 \mathbf{e}_2 + x^3 \mathbf{e}_3) = \frac{d x^0}{d\tau}\left[1 + \frac{d}{d x^0}(x^1 \mathbf{e}_1 + x^2 \mathbf{e}_2 + x^3 \mathbf{e}_3)\right]. </pre>$$

定义普通速度为$$\mathbf{v} = \frac{d}{d x^0}(x^1 \mathbf{e}_1 + x^2 \mathbf{e}_2 + x^3 \mathbf{e}_3) ,$$

回想伽马因子的定义：

$$\gamma(\mathbf{v}) = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{|\mathbf{v}|^2}{c^2}}} ,$$

于是原速的更紧凑定义是：

$$u = \gamma(\mathbf{v})(1 + \mathbf{v}).$$

原速是正幺模副向量，意味着下列克利福德共轭条件：

$$u \bar{u} = 1 .$$

在洛伦兹转子L作用下，原速变换为$$u \rightarrow u^\prime = L u L^\dagger.$$

### 四维动量副向量

APS中的四维动量可通过将原速与质量相乘得到：

$$p = m u,$$ 质壳条件转化为$$\bar{p}p = m^2 .$$

## 经典电动力学

### 电磁场、电势与电流

电磁场可表为双副向量F：

$$F = \mathbf{E}+ i \mathbf{B} ,$$ 其中厄米部分代表电场E，反厄米部分代表磁场B。在标准泡利矩阵表示中，电磁场为$$F \rightarrow \begin{pmatrix} E_3 & E_1 -i E_2 \\ E_1 +i E_2 & -E_3 \end{pmatrix} + i \begin{pmatrix} B_3 & B_1 -i B_2 \\ B_1 +i B_2 & -B_3 \end{pmatrix}\,.$$

场F的源是电磁四维电流$$j = \rho + \mathbf{j}\,,$$ 其中标量部分等于电荷密度ρ，向量部分等于电流密度j。引入电磁势副向量：

$$A=\phi+\mathbf{A}\,,$$ 当中标量部分等于电势ϕ，向量部分等于磁势A。则电磁场为$$F = \partial \bar{A} .$$ 此场也可分为电部分$$E = \langle \partial \bar{A} \rangle_V$$ 与磁部分$$B = i \langle \partial \bar{A} \rangle_{BV}$$ 当中$$\partial = \partial_t + \mathbf{e}_1 \, \partial_x + \mathbf{e}_2 \, \partial_y + \mathbf{e}_3 \, \partial_z$$ 且F在下列规范变换下不变：

$$A \rightarrow A + \partial \chi \,,$$ 其中$\chi$是标量场。

电磁场在洛伦兹变换下是协变的，规律是$$F \rightarrow F^\prime = L F \bar{L}\,.$$

### 麦克斯韦方程组与洛伦兹力

麦克斯韦方程组可用单一方程表示：

$$\bar{\partial} F = \frac{1}{ \epsilon} \bar{j}\,,$$ 其中上横线表示克利福德共轭。

洛伦兹力方程形式为$$\frac{d p}{d \tau} = e \langle F u \rangle_{R}\,.$$

### 电磁拉格朗日量

电磁拉格朗日量是$$L = \frac{1}{2} \langle F F \rangle_S - \langle A \bar{j} \rangle_S\,,$$ 是实标量不变量。

## 相对论量子力学

对质量为m、电荷为e的带电粒子，其狄拉克方程的形式为$$i \bar{\partial} \Psi\mathbf{e}_3 + e \bar{A} \Psi = m \bar{\Psi}^\dagger ,$$ 其中$\vec{e}_3'$是任意酉向量，A是如上所述的电磁副向量。电磁相互作用通过最小耦合包含在势A中。

## 经典旋量

与洛伦兹力一致的洛伦兹转子的微分方程为$$\frac{d \Lambda}{ d \tau} = \frac{e}{2mc} F \Lambda,$$ 这样，原速可通过静止时的洛伦兹变换计算出来：

$$u = \Lambda \Lambda^\dagger,$$ 积分之，就可得到时空轨迹$x(\tau)$，同时还能使用$$\frac{d x}{ d \tau} = u .$$