绕固定轴旋转

绕固定轴旋转或轴向旋转是在三维空间中围绕旋转轴固定、静止不动，或静止等特殊情况的旋转运动。这种类型的运动排除了暂态旋转轴改变其指向的可能性，并且不能描述摆动或进动等现象。根据欧拉旋转定理，不可能同时沿着多个静止轴进行旋转；如果同时强制进行两次旋转，将产生一个新的旋转轴。

这个概念假设旋转也是稳定的，因此不需要扭矩来保持旋转。围绕刚体的固定轴旋转的运动学和动力学在数学上比刚体的自由旋转简单得多；它们完全类似于沿着单一固定方向的线性运动，这对于“刚体的自由旋转”是不正确的。物体的动能和物体各部分上的力的运算式，对于绕固定轴的旋转也比一般旋转运动更简单。由于这些原因，在学生掌握了线性运动之后，通常在物理入门课程中教授绕固定轴旋转；在物理学入门课上，通常不会普遍教授全部的旋转运动。

## 平移和旋转

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“刚体”是一个范围有限的物体，其中组成粒子之间的所有距离都是恒定的。外力可以使任何实体变形，所以不存在真正的刚体。因此，就我们的目的而言，刚体是一种需要很大的力才能使其明显变形的固体。

粒子在三维空间中的位置变化，可以完全由三个座标指定。刚体位置的变化更难描述。它可以被视为两种不同类型的运动的组合：平移运动和圆周运动。

当物体的每个粒子都具有与其它粒子相同的暂态速度时，就会发生纯粹的“平移运动”；那么任何粒子所追迹到的路径都与该物体中其它粒子所追迹的路径完全平行。在平移运动下，刚体位置的变化完全由三个座标指定，如“x”、“y”和“z”，给出固定到刚体的任何点，例如质心，的位移。

如果物体中的每个粒子都绕着一条线在一个圆圈内运动，就会发生纯粹的“旋转运动”。这条线被称为旋转轴。然后，从轴到所有粒子的半径向量同时经历相同的角位移。旋转轴不需要穿过该物体。通常，任何旋转都可以完全由相对于直角坐标轴“x”、“y”和“z”的三个角位移来指定。因此，刚体位置的任何变化都完全由三个平移座标和三个旋转座标来描述。

刚体的任何位移都可以通过首先使刚体经历位移然后旋转，或者相反地，经历旋转然后位移来实现。我们已经知道，对于任何一组粒子，无论是在静止状态下，如在刚体中，还是在相对运动中，如外壳的爆炸碎片，质心的加速度由下式给出$$F_{\mathrm{net}} = M a_{\mathrm{cm}}$$ 其中“M”是系统的总质量，“a”cm是质心的加速度。还有一个问题是描述物体绕质心的旋转，并将其与作用在物体上的外力联系起来。“绕单轴旋转运动”的运动学和动力学类似于平移运动的运动学和力学；围绕单轴的旋转运动甚至有一个类似于粒子动力学的功能定理。

## 运动学

### 角位移

给定一个粒子沿着半径为$r$的圆的圆周移动，并移动了一段弧长$s$，其角位置相对于其初始位置为$\ theta$，其中$\theta=\frac{s}{r}$.

在数学和物理学中，通常将平面角的单位弧度视为1，而通常省略它。单位转换如下：

$$360^\circ = 2\pi \text{ rad} \, , \quad <pre> 1 \text{ rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.27^\circ.$$

角位移是角位置的变化：

$$\Delta \theta = \theta_{2} - \theta_{1} ,$$ 其中$\Delta\theta$是角位移，$\theta_1$是初始角位置，$\theta_2$是最终角位置。

### 角速度

单位时间内角位移的变化称为沿旋转轴方向的角速度。角速度的符号为$\omega$，单位通常为rads−1。角速度是角速度向量的大小。

$$\overline{\omega} = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{\theta_2 - \theta_1}{t_2 - t_1}.$$

暂态角速度由下式给出$$\omega(t) = \frac{d\theta}{dt}.$$

使用角位置的公式并让$v = \frac{ds}{dt}$，我们也有$$\omega=\frac{d\theta}{dt} = \frac{v}{r},$$ 其中$v$是粒子的平移速度。

角速度和频率的关系如下$$\omega= {2 \pi f} \,.$$

### 角加速度

角速度的变化表明刚体中存在角加速度，通常以rads−2为单位量测。经历一段时间Δt上的平均角加速度$\overline{\alpha}$由下式给出：

$$\overline{\alpha} = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{\omega_2 - \omega_1}{t_2 - t_1}.$$

暂态加速度α(t) 由下式给定：

$$\alpha(t) = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2}.$$

因此，正如加速度是速度的变化速率一样，角加速度是角速度的变化率。

旋转物体上任一点的平移加速度由下式给出$$a = r\alpha,$$ 其中的“r”是到旋转轴的半径或距离。这也是加速度的切向分量：它与点的运动方向相切。如果该分量为0，则运动为等速率圆周运动，并且速度仅在方向上变化。

径向加速度（垂直于运动方向）由下式给出$$a_{\mathrm{R}} = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r\,.$$ 它指向旋转运动的中心，通常被称为“向心加速度”。

角加速度是由转矩引起的，根据正负角频率的约定，转矩可以具有正值或负值。扭矩和角加速度之间的关系（启动、停止或以其它方向改变旋转的难度）由惯性矩给出：$T = I\alpha$.

### 运动学方程

当角加速度恒定时，角位移的五个量$\theta$、初始角速度$\omega_1$、最终角速度$\omega_2$、角加速度$\alpha$、和时间$t$可以通过四个运动学方程来关联：

$$\begin{align} <pre> \omega_2 &= \omega_1 + \alpha t \\ \theta &= \omega_1 t + \tfrac{1}{2} \alpha t^2 \\ \omega_2^2 &= \omega_1^2 + 2 \alpha\theta \\ \theta &= \tfrac{1}{2} \left(\omega_2 + \omega_1\right) t </pre> \end{align}$$

## 动力学

### 惯性矩

物体的惯性矩，以$I$表示，是衡量物体对其旋转变化的阻力。惯性矩以千克-米²（kg m2）为单位量测。它取决于物体的质量：增加物体的质量会增加惯性矩。它还取决于质量的分布：距离旋转中心越远的质量分布会在更大程度上增大惯性矩。对于质量为$m$，且距离旋转轴$r$的单颗粒子，惯性矩由下式给出

$$I = m r^2.$$

### 扭矩

扭矩$\boldsymbol{\tau}$是施加在旋转物体上的力“F”的扭曲效应，该旋转物体位于距离其旋转轴“r”的位置。

在数学上。

$$\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F},$$ 其中，×表示叉积。作用在物体上的净转矩将根据$$\boldsymbol{\tau} = I\boldsymbol{\alpha},$$ 就像线性动力学中的F = ma一样

作用在物体上的扭矩所做的功等于扭矩的大小乘以施加扭矩的角度$$W = \tau\theta.$$

扭矩的功率等于扭矩每单位时间所做的功，因此：

$$P = \tau\omega.$$

### 角动量

角动量$\mathbf{L}$是衡量旋转物体促其静止难易度的量。它由下式给定：

$$\mathbf{L} = \sum \mathbf{r} \times \mathbf{p},$$ 其中的总和是取对象中所有粒子的总和。

角动量是惯性矩和角速度的乘积：

$$\mathbf{L}=I\boldsymbol{\omega},$$ 就像线性动力学中的p = mv。

旋转运动中的搅动量类似于线性运动中的动量。旋转物体（如陀螺）的角动量越大，其继续旋转的趋势就越大。

旋转物体的角动量与其质量和旋转速度成正比。此外，角动量取决于质量相对于旋转轴的分布方向：质量离旋转轴越远，角动量就越大。与质量和旋转速度相同的空心圆柱体相比，像唱片转盘这样的平板具有更小的角动量。

像线性动量一样，角动量也是向量，其守恒意味着自旋轴的方向往往保持不变。由于这个原因，旋转的陀螺保持直立，而静止的陀螺则立即翻转

角动量方程可用于将物体绕轴的合力矩（有时称为力矩）与绕该轴的旋转速率联系起来。

扭矩和角动量根据$$\boldsymbol{\tau} = \frac{d\mathbf{L}}{dt},$$ 正如线性动力学中的F = dp/dt。在没有外部力矩的情况下，物体的角动量保持不变。角动量守恒在花样滑冰中得到了显著的证明：在旋转过程中，当将手臂拉近身体时，惯性矩会减小，因此角速度会增加。

### 动能

由物体旋转引起的动能$K_\text{rot}$由下式给出：

$$K_\text{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2,$$ 就像线性动力学中的$K_\text{trans} = \tfrac{1}{2}mv^2$。

动能是运动的能量。在两个变数中发现的平移动能的量：

物体的质量（$m$）和物体的速度（$v$），如上述方程所示。动能必须始终为零或正值。

## 向量运算式

上述发展是一般旋转运动的一个特殊情况。在一般情况下，角位移、角速度、角加速度和转矩被认为是向量。

角位移被认为是沿着轴指向的向量，其大小等于$\Delta\theta$的大小。使用右手定则来找出它沿轴指向的方向；如果右手的手指以物体旋转的方向卷曲指向，那么右手的拇指指向向量的方向。

角速度向量也以与其引起的角位移沿着旋转轴指向相同的方向。如果从上方看，圆盘逆时针旋转，其角速度向量指向上方。类似地，角加速度向量沿着旋转轴指向与角速度相同的方向，如果角加速度保持很长时间，则角速度将指向该方向。

转矩向量的指向倾向于引起旋转的轴转矩。为了保持围绕固定轴的旋转，总转矩向量必须沿着轴，这样它只会改变角速度向量的大小，而不会改变方向。在铰链的情况下，只有扭矩向量沿轴线的分量对旋转有影响，其它力和扭矩由结构补偿。

## 示例和应用

### 恒定角速度

绕固定轴旋转的最简单情况是角速度不变，那么总扭矩为零。以地球绕其轴线旋转为例，摩擦力很小。对于风扇，电机施加扭矩以补偿摩擦。与风扇类似，在制造业中发现大规模生产的设备可以有效地演示围绕固定轴的旋转。例如，多轴车床用于在其轴线上旋转资料，以有效提高切割、变形和车削操作的生产率。旋转角是时间的线性函数，模360°是周期函数。

这方面的一个例子是具有圆形轨道的二体问题。

### 向心力

内部应力提供使旋转物体保持在一起的向心力。刚体模型忽略了伴随的应变 (材料科学)。如果物体不是刚性的，这种应变将导致它改变形状。这表示为物体由于“离心力”而改变形状。

绕彼此旋转的天体通常有椭圆轨道，圆轨道的特殊情况是绕固定轴旋转的一个例子：该轴是垂直于运动平面，穿过质心的线。向心力由重力提供，另见二体问题。这通常也适用于旋转的天体，因此，除非角速度相对于其密度太高，它不需要是固体才能保持在一起（然而，它将倾向于变成扁球体。）。例如，一个旋转的水天体，无论大小，其旋转周期都必须高于3小时18分钟才能，否则水就会分离。如果流体的密度更高，则时间可以更短。参见轨道周期。

## 参考资料

- Fundamentals of Physics Extended 7th Edition by Halliday, Resnick and Walker.
- Concepts of Physics Volume 1, by H. C. Verma, 1st edition,