对偶系统

数学中，域$\mathbb{K}$上的对偶系统或对偶对是指三元组$(X, Y, b)$，包含$\mathbb{K}$上的2个向量空间X、Y，以及非退化双线性映射$b : X \times Y \to \mathbb{K}$。

对偶理论是对对偶系统的研究，在泛函分析中占有重要地位，并通过希尔伯特空间广泛应用于量子力学中。

## 定义、记号与惯例

### 配对

域$\mathbb{K}$上的配对（pairing或pair）是一个三元组$(X, Y, b)$，也可以用$b(X, Y)$表示，包含$\mathbb{K}$上的两个向量空间X、Y及双线性映射$b : X \times Y \to \mathbb{K}$，称作与配对关联的双线性映射，或配对的映射，或其双线性形式。简单起见，本文只涉及$\mathbb{K}$是实数$\R$或复数$\Complex$的例子。

$\forall x \subseteq X$，定义$$\begin{alignat}{4} b(x, \,\cdot\,) : \,& Y && \to &&\, \mathbb{K} \\ <pre> & y && \mapsto &&\, b(x, y) </pre> \end{alignat}$$ $\forall y \subseteq Y$，定义$$\begin{alignat}{4} b(\,\cdot\,, y) : \,& X && \to &&\, \mathbb{K} \\ <pre> & x && \mapsto &&\, b(x, y). </pre> \end{alignat}$$ $\forall b(x, \,\cdot\,)$是Y上的线性泛函，$\forall b(\,\cdot\,, y)$是X上的线性泛函。令$$b(X, \,\cdot\,) := \{ b(x, \,\cdot\,) : x \in X \} \qquad \text{ and } \qquad b(\,\cdot\,, Y) := \{ b(\,\cdot\,, y) : y \in Y \}$$ 其中每个集合构成一个线性泛函的向量空间。

通常记$\langle x, y \rangle$而非$b(x, y)$，这样配对不必写成$(X, Y, \langle \cdot, \cdot \rangle)$，而可以写成$\left\langle X, Y \right\rangle$。不过，本文将用$\langle \cdot, \cdot \rangle$表示求值映射（定义见下），以避免混淆。

### 对偶对

若双线性形式b是非退化的，则称配对$(X, Y, b)$是$\mathbb{K}$上的对偶系统或对偶对，满足下面两条分离公理：

- Y分离（区分）X的点：若$x \in X$使得$b(x, \,\cdot\,) = 0$，则$x = 0$；等价地，对所有非零的$x \in X$，映射$b(x, \,\cdot\,) : Y \to \mathbb{K}$不等同于$0$（即$\exists y \in Y$使得$\forall x \in X,\ b(x, y) \neq 0$）。
- X分离（区分）Y的点：若$y \in Y$使得$b(\,\cdot\,, y) = 0$，则$y = 0$；等价地，对所有非零的$y \in Y$，映射$b(\,\cdot\,, y) : X \to \mathbb{K}$不等同于$0$（即$\exists x \in X$使得$\forall y \in Y,\ b(x, y) \neq 0$）。

这样b是非退化的，可以说b将X、Y置于（分离）对偶中（places in (separated) duality），b是三元组$(X, Y, b)$的对偶配对（duality pairing）。

### 全子集

若$\forall x \in X$, $$b(x, s) = 0 \quad \forall s \in S$$能推出$x = 0$，则称$S\in Y$为全集。

X的全子集定义相似（见脚注）。

$S\in X$

$\forall y \in Y$

$$b(s, y) = 0 \quad \forall s \in S$$

$y = 0$

因此，当且仅当X是X的全子集，X分离Y中所有点，对Y亦然。

### 正交性

若$b(x, y) = 0$，称向量x、y正交，记作$x \perp y$。若$b(R, S) = \{ 0 \}$，称两子集$R \subseteq X$、$S \subseteq Y$正交，记作$R \perp S$；即$\forall r \in R$、$s \in S$，$b(r, s) = 0$。子集正交于向量的定义与之类似。

子集$R \subseteq X$的正交补或零化子是$$R^{\perp} := \{ y \in Y : R \perp y \} := \{ y \in Y : b(R, y) = \{ 0 \} \}$$.

于是，当且仅当$R^\perp=\{0\}$，R是X的全子集。

### 极集

给定在$\mathbb{K}$上定义了对偶对的三元组$(X, Y, b)$，子集$A\subseteq X$的绝对极集或极集是集合$$A^{\circ} := \left\{ y \in Y : \sup_{x \in A} |b(x, y)| \leq 1 \right\}.$$对称地，子集$B\subseteq Y$的绝对极集或极集记作$B^{\circ}$，定义为$$B^{\circ} := \left\{ x \in X : \sup_{y \in B} |b(x, y)| \leq 1 \right\}.$$

为了使用有助于跟踪对偶性两侧不对称的标记，子集$B\subseteq B$的绝对极也可以称为B的绝对预极（absolute prepolar）或预极（prepolar），可表为${}^{\circ} B$。

极$B^{\circ}$必然是凸集，包含$0 \in Y$，若B平衡，则$B^{\circ}$也平衡；若B是X的向量子空间，则$B^{\circ}$是Y的向量子空间。

若A是X的向量子空间，则$A^{\circ} = A^{\perp}$，还等于A的实极。若$A \subseteq X$，则A的双极（bipolar，记作$A^{\circ\circ}$）是A正交补的极，即集${}^{\circ}\left(A^{\perp}\right)$。相似地，若$B \subseteq Y$，则B的双极是$B^{\circ\circ} := \left({}^{\circ}B\right)^{\circ}$。

### 对偶的定义与结果

给定对$(X, Y, b)$，定义新对$(Y, X, d)$，其中$\forall x \in X,\ \forall y \in Y,\ d(y, x) := b(x, y)$。

对偶理论有个一贯的主题：任何对$(X, Y, b)$都有相应的对偶对$(Y, X, d)$。

约定与定义：给定配对$(X, Y, b)$的任何定义，将其应用于配对$(Y, X, d)$，就能得到对偶定义。这约定也适用于定理。

例如，若X分离Y的点（或者说S是Y的全子集）定义如上，则此约定立即产生了对偶定义：Y分离X的点（或者说S是X的全子集）。

下面的写法几乎无处不在，可让我们不用为d指定符号。

约定与记号：若配对$(X, Y, b)$的定义及其记号取决于X和Y的顺序（例如，X上的麦奇拓扑$\tau(X, Y, b)$），那么交换X、Y顺序就意味着定义适用于$(Y, X, d)$（接上例，拓扑$\tau(Y, X, b)$实际上是拓扑$\tau(Y, X, d)$）。

再比如，一旦定义了X上的弱拓扑$\sigma(X, Y, b)$，则此对偶定义就会自动应用到配对$(Y, X, d)$，从而得到Y上弱拓扑的定义——$\sigma(Y, X, b)$而非$\sigma(Y, X, d)$。

#### $(X, Y)$及$(Y, X)$的识别

虽然从技术上将这是不正确的，也是对符号的滥用，但本文将遵守几乎普遍的管理，及将配对$(X, Y, b)$与$(Y, X, d)$互换处理，并用$(Y, X, b)$表示$(Y, X, d)$。

## 例子

### 配对的限制

设$(X, Y, b)$是配对，M是X的向量子空间，N是Y的向量子空间。则，$(X, Y, b)$对$M \times N$的限制就是配对$\left(M, N, b\big\vert_{M \times N}\right)$。若$(X, Y, b)$是对偶，则限制就有可能不对偶（如，若$Y \neq \{ 0 \}$、$N = \{ 0 \}$）。

本文将使用通常做法，用$(M, N, b)$表示限制$\left(M, N, b\big\vert_{M \times N}\right)$。

### 向量空间上的规范对偶

设X是向量空间，令$X^{\#}$表示X的代数对偶空间（即，X上所有线性泛函的空间）。则有规范对偶$\left(X, X^{\#}, c\right)$，其中$c\left(x, x^{\prime}\right) = \left\langle x, x^{\prime} \right\rangle = x^{\prime}(x)$，称之为$X \times X^{\#}$上的求值映射或自然/规范双线性泛函。

注意$\forall x^{\prime} \in X^{\#}$，$c\left(\,\cdot\,, x^{\prime}\right)$只是表示$x^{\prime}$的另一种方式，即$c\left(\,\cdot\,, x^{\prime}\right) = x^{\prime}(\,\cdot\,) = x^{\prime}.$

若N是$X^{\#}$的一个向量子空间，则$\left(X, X^{\#}, c\right)$对$X \times N$的限制称作规范配对。若此配对是对偶，则称为规范对偶。显然X总是分离N的点，因此当且仅当N分离X中的点，规范配对是对偶系统。

下列记号现在在对偶理论中几乎无处不在。

求值映射记作$\left\langle x, x^{\prime} \right\rangle = x^{\prime}(x)$（而非c），将$(X, N, c)$改为$\langle X, N \rangle$。

假设：按惯例，若X是向量空间，N是X上线性泛函的向量空间，则除非另有说明，否则将假定它们同规范配对$\langle X, N \rangle$相关联。

若N是$X^{\#}$的向量子空间，则当且仅当N分离X的点（或等价地，N是全的，$\forall n \in N,\ n(x) = 0$能推出$x = 0$），X分离N的点（或等价地，$(X, N, c)$是对偶）。

### 拓扑向量空间上的规范对偶

设X是拓扑向量空间，有连续对偶空间$X^{\prime}$。

则，规范对偶$\left(X, X^{\#}, c\right)$对$X\times X^{\prime}$的限制确定了配对$\left(X, X^{\prime}, c\big\vert_{X \times X^{\prime}}\right)$，其中X分离$X^{\prime}$的点。

若$X^{\prime}$分离X的点（例如，若X是豪斯多夫局部凸空间，则恒为真），则此配对形成了对偶。

假设：正如通常所作，只要X是拓扑向量空间，则除非另有说明，否则将假定其与规范配对$\left\langle X, X^{\prime} \right\rangle$相关联，无需注释。

### 拓扑向量空间的极与对偶

下列结果表明，拓扑向量空间上的连续线性泛函恰是在原点邻域上有界的线性泛函。

令X是拓扑向量空间，有代数对偶$X^{\#}$，并令$\mathcal{N}$为X在原点邻域的基。

在规范对偶$\left\langle X, X^{\#} \right\rangle$下，X是连续对偶空间是所有$N^{\circ}$的并，因为N的范围是$\mathcal{N}$（其中极位于$X^{\#}$）。

### 内积空间与复共轭空间

预希尔伯特空间$(H, \langle \cdot, \cdot \rangle)$，当且仅当H是$\R$上的向量空间，或H是0维，$(H, \langle \cdot, \cdot \rangle)$是对偶对。这里假定半双线性形式$\langle \cdot, \cdot \rangle$在第二坐标上是共轭齐次的，在第一坐标上是齐次的。

- 若$(H, \langle \cdot, \cdot \rangle)$是实希尔伯特空间，则$(H, H, \langle \cdot, \cdot \rangle)$形成对偶系统。
- 若$(H, \langle \cdot, \cdot \rangle)$是复希尔伯特空间，则当且仅当$\operatorname{dim} H = 0$，$(H, H, \langle \cdot, \cdot \rangle)$形成对偶系统。若H非平凡，则$(H, H, \langle \cdot, \cdot \rangle)$甚至不是配对，因为内积是半双线性的，而非双线性的。

设$(H, \langle \cdot, \cdot \rangle)$是复预希尔伯特空间，标量乘法用并列或$\cdot$表示。

定义映射$$\,\cdot\, \perp \,\cdot\, : \Complex \times H \to H \quad \text{ by } \quad c \perp x := \overline{c} x,$$ 其中右式使用了H的标量乘法。令$\overline{H}$表示H的复共轭向量空间，其中$\overline{H}$表示加群$(H, +)$（所以$\overline{H}$中的向量加法与H中的相同），但$\overline{H}$中的标量乘法是映射$\,\cdot\, \perp \,\cdot\,$（而非H被赋予的标量乘法）。

映射$b : H \times \overline{H} \to \Complex$定义为$b(x, y) := \langle x, y \rangle$，在两个坐标中都是线性的

$b(x, c \perp y) = b\left(x, \overline{c} y\right) = \langle x, \overline{c} y \rangle = c \langle x, y \rangle = c b(x, y)$

因此$\left(H, \overline{H}, \langle \cdot, \cdot \rangle\right)$形成对偶对。

### 其他例子

- 设$X = \R^2,\ Y = \R^3,\ \forall\left(x_1, y_1\right) \in X \text{ and } \left(x_2, y_2, z_2\right) \in Y,$令$$b\left(\left(x_1, y_1\right), \left(x_2, y_2, z_2\right)\right) := x_1 x_2 + y_1 y_2.$$则$(X, Y, b)$是配对，使X区分Y的点，但Y不区分X的点。此外，$X^{\perp} := \{y \in Y : X \perp y\} = \{(0, 0, z) : z \in \R\}.$
- 令$0 < p < \infty,\ X := L^p(\mu),\ Y := L^q(\mu)$（其中q满足$\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1$），$b(f, g) := \int f g \, \mathrm{d}\mu.$则$(X, Y, b)$是对偶系统。
- 令X、Y是同一域$\mathbb{K}$上的向量空间，则双线性形式$b\left(x \otimes y, x^* \otimes y^*\right) = \left\langle x^{\prime}, x \right\rangle \left\langle y^{\prime}, y \right\rangle$使$X \times Y$与$X^{\#} \times Y^{\#}$对偶。
- 序列空间X及其Beta-对偶空间$Y := X^{\beta}$，双线性映射定义为$\forall x \in X,\ y \in X^{\beta},\ \langle x, y \rangle := \sum_{i=1}^{\infty} x_i y_i$形成对偶系统。

## 弱拓扑

设$(X, Y, b)$是$\mathbb{K}$上一对向量空间。若$S \subseteq Y$，则X上由S（和b）诱导的弱拓扑是X上最弱的拓扑向量空间拓扑，记作$\sigma(X, S, b)$或$\sigma(X, S)$，使y在S上取值时所有映射$b(\,\cdot\,, y) : X \to \mathbb{K}$连续。若S在语境中不明确，则应假定是Y的全部，这时称之为X上（由Y诱导的）的弱拓扑。

$X_{\sigma(X, S, b)},\ X_{\sigma(X, S)},$或（若无混淆）$X_{\sigma}$用于表示赋有弱拓扑$\sigma(X, S, b)$的X。

重要的是，弱拓扑完全取决于函数b、$\Complex$上的通常拓扑与X上的向量空间结构，而与Y的代数结构无关。

同样，若$R \subseteq X$，则Y上由R（和b）诱导的弱拓扑的对偶定义记作$\sigma(Y, R, b)$或$\sigma(Y, R)$（细节见脚注）。

$b(x, \,\cdot\,) : Y \to \mathbb{K}$

$(Y, \sigma(Y, R, b)),\ (Y, \sigma(Y, R)),$

$(Y, \sigma)$

$\sigma(Y, R, b)$

定义与符号：若$\sigma(X, Y, b)$附在一个拓扑定义上（如$\sigma(X, Y, b)$-收敛、$\sigma(X, Y, b)$-有界、$\operatorname{cl}_{\sigma(X, Y, b)}(S)$等等），则就意味着当定义的第一个空间（即X）携带$\sigma(X, Y, b)$拓扑。若无混淆，可以不提及b甚至X、Y。例如，若Y中序列$\left(a_i\right)_{i=1}^{\infty}$“$\sigma$-收敛”或“弱收敛”，这意味着它收敛于$(Y, \sigma(Y, X, b))$，而若它是X中的序列，则意味着它收敛于$(X, \sigma(X, Y, b))$）。

拓扑$\sigma(X, Y, b)$是局部凸的，因为它由$p_y(x) := |b(x, y)|$定义的半范数族$p_y : X \to \R$确定，其中y在Y上取值。

若$x \in X,\ \left(x_i\right)_{i \in I}$是X中的网，则若$\left(x_i\right)_{i \in I}$在$(X, \sigma(X, Y, b))$中收敛到x，$\left(x_i\right)_{i \in I}$ $\sigma(X, Y, b)$-收敛于x。网$\left(x_i\right)_{i \in I}$，当且仅当$\forall y \in Y,\ b\left(x_i, y\right)$收敛到$b(x, y)$，$\sigma(X, Y, b)$-收敛到x。

若$\left(x_i\right)_{i=1}^{\infty}$是希尔伯特空间中的正交规范向量列，则$\left(x_i\right)_{i=1}^{\infty}$弱收敛到0，但不会规范收敛（norm-convergence）到0（或任意向量）。

若$(X, Y, b)$是配对，N是Y的一个适当的向量子空间，使得$(X, N, b)$是对偶对，则$\sigma(X, N, b)$比$\sigma(X, Y, b)$严格粗。

### 有界子集

子集$S\subseteq X$，当且仅当$$\sup_{} |b(S, y)| < \infty \quad \text{ for all } y \in Y,$$，其中$|b(S, y)| := \{ b(s, y) : s \in S \}$，称S$\sigma(X, Y, b)$-有界。

### 豪斯多夫性

若$(X, Y, b)$是配对，则下列条件等价：

- X分离Y的点。
- 映射$y \mapsto b(\,\cdot\,, y)$定义了Y到X的代数对偶空间的单射。
- $\sigma(Y, X, b)$是豪斯多夫空间。

### 弱表示定理

下列定理对对偶理论至关重要，因为它完全表征了$(X, \sigma(X, Y, b))$的连续对偶空间。

令$(X, Y, b)$是域$\mathbb{K}$上的配对，则$(X, \sigma(X, Y, b))$的连续对偶空间是$$b(\,\cdot\,, Y) := \{b(\,\cdot\,, y) : y \in Y\}.$$另外。

- 若f是$(X, \sigma(X, Y, b))$上的连续线性泛函，则$\exists y \in Y$使$f = b(\,\cdot\,, y)$；若这样的y存在，则当且仅当X分离Y的点时，这样的y是唯一的。
- 注意，X是否分离Y中的点并不取决于y的特定选择。
- $(X, \sigma(X, Y, b))$的连续对偶空间可以视作商空间$Y / X^{\perp}$，其中$X^{\perp} := \{y \in Y : b(x, y) = 0 \ \ \forall x \in X\}$。
- 无论X是否分离Y的点，或Y是否分离X中的点，这都是正确的。

因此，$(X, \sigma(X, Y, b))$的连续对偶空间是$$(X, \sigma(X, Y, b))^{\prime} = b(\,\cdot\,, Y) := \left\{ b(\,\cdot\,, y) : y \in Y \right\}.$$

关于规范配对，若X是拓扑向量空间，其连续对偶空间$X^{\prime}$分离X的点（即使$\left(X, \sigma\left(X, X^{\prime}\right)\right)$豪斯多夫，这可推出X也必豪斯多夫），则$\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)$的连续对偶空间等于x在X中取值时所有“点x处得值”的映射集合（即将$x^{\prime} \in X^{\prime}$送到$x^{\prime}(x)$的映射）。

通常写成$$\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)^{\prime} = X \qquad \text{ or } \qquad \left(X^{\prime}_{\sigma}\right)^{\prime} = X.$$ 这一重要事实就是为什么连续对偶空间上极拓扑的成果（如$X^{\prime}$上的强对偶拓扑$\beta\left(X^{\prime}, X\right)$）能应用到原拓扑向量空间X的。例如，将X视作$\left(X^{\prime}_{\sigma}\right)^{\prime}$意味着$\left(X^{\prime}_{\sigma}\right)^{\prime}$上的拓扑$\beta\left(\left(X^{\prime}_{\sigma}\right)^{\prime}, X^{\prime}_{\sigma}\right)$可被视作X上的拓扑。

此外，若$X^{\prime}$被赋予比$\sigma\left(X^{\prime}, X\right)$更细的拓扑，那么$X^{\prime}$的连续对偶空间必然包含$\left(X^{\prime}_{\sigma}\right)^{\prime}$（作为子集）。

例如，$X^{\prime}$被赋予强对偶拓扑（于是记作$X^{\prime}_{\beta}$），则$$\left(X^{\prime}_{\beta}\right)^{\prime} ~\supseteq~ \left(X^{\prime}_{\sigma}\right)^{\prime} ~=~ X$$

这允许X被赋予由强对偶拓扑$\beta\left(\left(X^{\prime}_{\beta}\right)^{\prime}, X^{\prime}_{\beta}\right)$在X上诱导的子空间拓扑（此拓扑也称作强双对偶拓扑，见于自反空间理论：豪斯多夫局部凸拓扑向量空间X，若$\left(X^{\prime}_{\beta}\right)^{\prime} = X$则称其是半自反空间，若在此之外，其在X上的强双对偶拓扑$\beta\left(\left(X^{\prime}_{\beta}\right)^{\prime}, X^{\prime}_{\beta}\right)$还等于X的原/初拓扑，则称其是自反空间。

### 正交、商与子空间

若$(X, Y, b)$是配对，则对X的任意子集S：

- $S^{\perp} = (\operatorname{span} S)^{\perp} = \left(\operatorname{cl}_{\sigma(Y, X, b)} \operatorname{span} S\right)^{\perp} = S^{\perp\perp\perp}$，且此集合是$\sigma(Y, X, b)$-闭的。
- $S \subseteq S^{\perp\perp} = \left(\operatorname{cl}_{\sigma(X, Y, b)} \operatorname{span} S\right)$。
- 因此，若S是X的$\sigma(X, Y, b)$-闭向量子空间，则$S \subseteq S^{\perp\perp}.$
- 若$\left(S_i\right)_{i \in I}$是X的$\sigma(X, Y, b)$-闭向量子空间族，则

$$\left(\bigcap_{i \in I} S_i\right)^{\perp} = \operatorname{cl}_{\sigma(Y, X, b)} \left(\operatorname{span} \left(\bigcup_{i \in I} S_i^{\perp}\right)\right).$$

- 若$\left(S_i\right)_{i \in I}$是X的子集族，则

$$\left(\bigcup_{i \in I} S_i\right)^{\perp} = \bigcap_{i \in I} S_i^{\perp}.$$

若X是赋范空间，则根据规范对偶性，$S^{\perp}$在$X^{\prime}$中对范是封闭的，$S^{\perp\perp}$在X中对范是封闭的。

### 子空间

设M是X的向量子空间，并令$(M, Y, b)$表示$(X, Y, b)$对$M \times Y$的限制。

M上的弱拓扑$\sigma(M, Y, b)$与M从$(X, \sigma(X, Y, b))$继承的子空间拓扑相同。

另外，$\left(M, Y / M^{\perp}, b\big\vert_M\right)$是配对空间（paired space）（其中$Y / M^{\perp}$是$Y / \left(M^{\perp}\right)$），其中$b\big\vert_M : M \times Y / M^{\perp} \to \mathbb{K}$定义为$$\left(m, y + M^{\perp}\right) \mapsto b(m, y).$$

拓扑$\sigma\left(M, Y / M^{\perp}, b\big\vert_M\right)$等于M继承自$(X, \sigma(X, Y, b))$的子空间拓扑。

此外，若$(X, \sigma(X, Y, b))$是对偶系统，则$\left(M, Y / M^{\perp}, b\big\vert_M\right)$也是。

### 商

设M是X的向量子空间，则$\left(X / M, M^{\perp}, b / M\right)$是配对空间，其中$b / M : X / M \times M^{\perp} \to \mathbb{K}$定义为$$(x + M, y) \mapsto b(x, y).$$

拓扑$\sigma\left(X / M, M^{\perp}\right)$等同于$(X, \sigma(X, Y, b))$在$X / M$上诱导的一般的商拓扑。

### 极与弱拓扑

弱X是局部凸空间，且若H是连续对偶空间$X^{\prime}$的子集，则当且仅当对X中某桶B，有$H \subseteq B^{\circ}$时，H是$\sigma\left(X^{\prime}, X\right)$-有界的。

下列结果对定义极拓扑非常重要。

若$(X, Y, b)$是配对，$A \subseteq X,$则

- A的极$A^{\circ}$是$(Y, \sigma(Y, X, b))$的闭子集。
- 下列集合的极相同：(a) A；(b) A的凸壳；(c) A的平衡壳；(d) A的$\sigma(X, Y, b)$-闭合；(e) A的凸平衡壳的$\sigma(X, Y, b)$-闭合。
- 双极定理：A的双极$A^{\circ\circ}$等于A的凸平衡壳的$\sigma(X, Y, b)$-闭合。
- 双极定理“是处理对偶性时不可或缺的工具”。
- 当且仅当$A^{\circ}$吸收于Y时，A是$\sigma(X, Y, b)$-有界的。
- 若Y还分离X的点，则当且仅当A是$\sigma(X, Y, b)$-全有界时，A是$\sigma(X, Y, b)$-有界的。

若$(X, Y, b)$是配对，$\tau$是X上与对偶一致的局部凸拓扑，则当且仅当B是Y的某$\sigma(Y, X, b)$-有界子集的极时，$B\subseteq X$是$(X, \tau)$中的桶。

## 转置

### 线性映射关于配对的转置

令$(X, Y, b)$和$(W, Z, c)$是$\mathbb{K}$上的配对，并令$F : X \to W$是线性映射。

$\forall z \in Z,$令$c(F(\,\cdot\,), z) : X \to \mathbb{K}$是由$x \mapsto c(F(x), z)$定义的映射。

若满足以下条件，就可以说F的转置或伴随是良定的（well-defined）：

- X分离Y中的点（或等价地，从Y抵达代数对偶$X^{\#}$的映射$y \mapsto b(\,\cdot\,, y)$是单射），且
- $c(F(\,\cdot\,), Z) \subseteq b(\,\cdot\,, Y),$其中$c(F(\,\cdot\,), Z) := \{ c(F(\,\cdot\,), z) : z \in Z \},\ b(\,\cdot\,, Y) := \{ b(\,\cdot\,, y) : y \in Y \}.$

这样，$\forall z \in Z$存在（由条件2）唯一的（由条件1）$y \in Y$，使$c(F(\,\cdot\,), z) = b(\,\cdot\,, y)$，其中Y的这个元素将表为${}^t F(z)$。这定义了线性映射$${}^t F : Z \to Y$$

称作F的转置或关于$(X, Y, b)$和$(W, Z, c)$的伴随（注意不要与厄米伴随混淆）。不难看出，上述两个条件（即“转置良定义”）也是${}^t F$良定的必要条件。

$\forall z \in Z$，${}^t F(z)$的定义条件是$$c(F(\,\cdot\,), z) = b\left(\,\cdot\,, {}^t F(z)\right),$$ 即。

$$\forall x \in X,\ c(F(x), z) = b\left(x, {}^t F(z)\right).$$

根据本文开头提到的约定，这也定义了形式为$Z \to Y,$

$G : Z \to Y$

$b(X, G(\,\cdot\,)) \subseteq c(W, \,\cdot\,)$

${}^t G : X \to W$

$\forall x \in X$

${}^t G(x)$

$c(x, G(\,\cdot\,)) = c\left({}^t G(x), \,\cdot\,\right).$

$X \to Z,$

$H : X \to Z$

$c(W, H(\,\cdot\,)) \subseteq b(\,\cdot\,, Y)$

${}^t H : W \to Y,$

$\forall w \in W$

${}^t H(w)$

$c(w, H(\,\cdot\,)) = b\left(\,\cdot\,, {}^t H(w)\right).$

$W \to Y,$

$H : W \to Y$

$b(X, H(\,\cdot\,)) \subseteq c(\,\cdot\,, Z)$

${}^t H : X \to Q,$

$\forall x \in X$

${}^t H(x)$

$c(x, H(\,\cdot\,)) = b\left(\,\cdot\,, {}^t H(x)\right).$

$Y \to W,$

$H : Y \to W$

$c(H(\,\cdot\,), Z) \subseteq b(X, \,\cdot\,)$

${}^t H : Z \to X,$

$\forall z \in Z$

${}^t H(z)$

$c(H(\,\cdot\,), z) = b\left({}^t H(z), \,\cdot\,\right)$

等的线性映射的转置（见脚注）。

### 转置的性质

$(X, Y, b)$和$(W, Z, c)$是$\mathbb{K}$上的配对，$F : X \to W$是线性映射，其转置${}^t F : Z \to Y$是良定义的。

- 当且仅当F的范围在$\left(W, \sigma\left(W, Z, c\right)\right)$中稠密时，${}^t F : Z \to Y$是单射（即$\operatorname{ker} {}^t F = \{ 0 \}$）。
- 若除了${}^t F$良定义外，${}^t F$的转置也良定义，则${}^{tt} F = F$。
- 设$(U, V, a)$是$\mathbb{K}$上的配对，$E : U \to X$是线性映射，其转置${}^t E : Y \to V$是良定义的，则$F \circ E : U \to W$的转置${}^t (F \circ E) : Z \to V$也是良定义的，且${}^t (F \circ E) = {}^t E \circ {}^t F.$
- 若$F : X \to W$是向量空间同构，则${}^t F : Z \to Y$是双射，$F^{-1} : W \to X$的转置${}^t \left(F^{-1}\right) : Y \to Z$是良定义的，且${}^t \left(F^{-1}\right) = \left({}^t F\right)^{-1}$
- 令$S \subseteq X$，$S^{\circ}$表示A的绝对极，则
- $[F(S)]^{\circ} = \left({}^t F\right)^{-1}\left(S^{\circ}\right)$。
- 若$\forall T \subseteq W,\ F(S) \subseteq T$，则${}^t F\left(T^{\circ}\right) \subseteq S^{\circ}$。
- 若$T \subseteq W$使得${}^t F\left(T^{\circ}\right) \subseteq S^{\circ}$，则$F(S) \subseteq T^{\circ\circ}$。
- 若$T \subseteq W$，$S \subseteq X$是弱闭圆盘，则当且仅当$F(S) \subseteq T$时，${}^t F\left(T^{\circ}\right) \subseteq S^{\circ}$。
- $$\operatorname{ker} {}^t F = [ F(X) ]^{\perp}.$$

将绝对极换成实极，这些结果不变。

若X、Y是规范对偶下的赋范空间、$F : X \to Y$是连续线性映射，则$\|F\| = \left\|{}^t F\right\|$。

#### 弱连续性

线性映射$F : X \to W$，若$F : (X, \sigma(X, Y, b)) \to (W, (W, Z, c))$连续，则称其（关于$(X, Y, b)$和$(W, Z, c)$）弱连续。

下面的结果表明，转置映射的存在与弱拓扑密切相关。

设X分离Y的点，$F : X \to W$是线性映射。

则下列条件等价：

- F是弱连续的（即$F : (X, \sigma(X, Y, b)) \to (W, (W, Z, c))$连续）。
- $c(F(\,\cdot\,), Z) \subseteq b(\,\cdot\,, Y)$。
- F的转置是良定义的。

若F是弱连续的，则

- ${}^t F : Z \to Y$是弱连续的，即${}^t F : (Z, \sigma(Z, W, c)) \to (Y, (Y, X, b))$连续。
- 当且仅当Z分离W的点，转置${}^t F$良定义，这时${}^{tt} F = F$。

### 弱拓扑与规范对偶

设X是向量空间，$X^{\#}$是其代数对偶。则X的所有$\sigma\left(X, X^{\#}\right)$-有界子集包含于有限维向量子空间，X的所有向量子空间是$\sigma\left(X, X^{\#}\right)$-闭的。

#### 弱完备性

若$(X, \sigma(X, Y, b))$是完备拓扑向量空间，例如X是$\sigma(X, Y, b)$-完备或（若无歧义）弱完备的情形。

存在不弱完备的巴拿赫空间（尽管在其范拓扑中是完备的）。

若X是向量空间，则在规范对偶下，$\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)$是完备的。

相反，若Z是豪斯多夫局部凸拓扑向量空间，且有连续对偶空间$Z^{\prime}$，则当且仅当$Z = \left(Z^{\prime}\right)^{\#}$时，$\left(Z, \sigma\left(Z, Z^{\prime}\right)\right)$是完备的；即，当且仅当将$z \in Z$发送到z处求值映射（即$z^{\prime} \mapsto z^{\prime}(z)$）的映射$Z \to \left(Z^{\prime}\right)^{\#}$是双射。

特别地，就规范对偶而言，若Y是$X^{\#}$的向量子空间，使Y分离X中的点，则当且仅当$Y = X^{\#}$，$(Y, \sigma(Y, X))$是完备的。

换句话说，$X^{\#}$不存在紧合向量子空间$Y \neq X^{\#}$使得$(X, \sigma(X, Y))$是豪斯多夫空间，且Y在弱-*拓扑（即逐点收敛的拓扑）中完备。

因此，若豪斯多夫局部凸拓扑向量空间X的连续对偶空间$X^{\prime}$ 被赋以弱*-拓扑，当且仅当$X^{\prime} = X^{\#}$（即X上所有线性泛函都连续）时，$X^{\prime}_{\sigma}$是完备的。

#### Y与代数对偶的子空间的等同

若X分离Y的点、Z表示单射$y \mapsto b(\,\cdot\,, y)$的范围，则Z是X的代数对偶空间的向量子空间，且配对$(X, Y, b)$与规范配对$\langle X, Z \rangle$（其中$\left\langle x, x^{\prime} \right\rangle := x^{\prime}(x)$是自然求值映射）是规范等同（canonically identify）的。

特别地，这时我们将不失一般性地假设Y是X代数对偶的向量子空间，而b是求值映射。

约定：通常，只要$y \mapsto b(\,\cdot\,, y)$是单射（尤其当$(X, Y, b)$形成对偶对），通常不失一般性地假设Y是X的代数对偶空间的向量子空间，且b是自然求值映射，Y还可记作$X^{\prime}$。

完全类似的是，若Y分离X中的点，则X就有可能等同于Y的代数对偶空间的向量子空间。

#### 代数伴随

在对偶是规范对偶$\left\langle X, X^{\#} \right\rangle$和$\left\langle W, W^{\#} \right\rangle$的特例下，线性映射$F : X \to W$的转置总是良定义的。

此转置称作F的代数伴随，记作$F^{\#}$。

即$F^{\#} = {}^t F : W^{\#} \to X^{\#}.$ 这样，$\forall w^{\prime} \in W^{\#},\ F^{\#}\left(w^{\prime}\right) = w^{\prime} \circ F$其中$F^{\#}\left(w^{\prime}\right)$的定义条件是$$\left\langle x, F^{\#}\left(w^{\prime}\right) \right\rangle = \left\langle F(x), w^{\prime} \right\rangle \quad \forall >x \in X,$$ 或等价地$F^{\#}\left(w^{\prime}\right)(x) = w^{\prime}(F(x)) \quad \forall x \in X.$

若对整数n，$X = Y = \mathbb{K}^n$，$\mathcal{E} = \left\{ e_1, \ldots, e_n\right\}$是X的基，其对偶基$\mathcal{E}^{\prime} = \left\{ e_1^{\prime}, \ldots, e_n^{\prime} \right\},\ F : \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^n$是线性算子，F关于$\mathcal{E}$的矩阵表示是$M := \left(f_{i,j}\right)$，则M的转置是$F^{\#}$关于$\mathcal{E}^{\prime}$的矩阵表示。

#### 弱连续性与开性

设$\left\langle X, Y \right\rangle$，$\langle W, Z \rangle$是对偶系统的规范配对（所以$Y \subseteq X^{\#},\ Z \subseteq W^{\#}$），并令$F : X \to W$是线性映射。则当且仅当$F : X \to W$满足下列等价条件之一，F是弱连续的：

- $F : (X, \sigma(X, Y)) \to (W, \sigma(W, Z))$连续。
- $$F^{\#}(Z) \subseteq Y$$
- F的转置${}^t F : Z \to Y$相对于$\left\langle X, Y \right\rangle$和$\langle W, Z \rangle$是良定义的。

若F是弱连续的，则${}^t F : : (Z, \sigma(Z, W)) \to (Y, \sigma(Y, X))$是连续的，于是${}^{tt} F = F$

拓扑空间之间的映射$g : A \to B$，若$g : A \to \operatorname{Im} g$是开映射（$\operatorname{Im} g$是g的范围），则称之是相对开的。

设$\langle X, Y \rangle,\ \langle W, Z \rangle$是对偶系统，$F : X \to W$是弱连续线性映射。则下列条件等价：

- $F : (X, \sigma(X, Y)) \to (W, \sigma(W, Z))$是相对开的。
- ${}^t F$的范围在Y中$\sigma(Y, X)$-闭。
- $$\operatorname{Im} {}^t F = (\operatorname{ker} F)^{\perp}$$

此外

- 当且仅当${}^t F$是满射（或双射），$F : X \to W$是单射（或双射）。
- 当且仅当${}^t F : : (Z, \sigma(Z, W)) \to (Y, \sigma(Y, X))$是相对开单射，$F : X \to W$是满射。

##### 拓扑向量空间之间映射的转置

当且仅当F是弱连续的，两拓扑向量空间之间映射的转置才被定义。

设$F : X \to Y$是两豪斯多夫局部凸拓扑向量空间之间的线性映射，则

- 若F连续，则其是弱连续的，且${}^t F$是麦基连续的，也是强连续的。
- 若F是弱连续的，则其是麦基连续的，也是强连续的（定义见下）。
- 若F是弱连续的，则当且仅当${}^t F : ^{\prime} \to X^{\prime}$将$Y^{\prime}$的等度连续子集映射到$X^{\prime}$的等度连续子集时，F才是连续的。
- 若X和Y是赋范空间，则当且仅当F是弱连续的（这时$\|F\| = \left\|{}^t F\right\|$），F连续。
- 若F连续，则当且仅当$F : X \to Y$是弱相对开的（即$F : \left(X, \sigma\left(X, X^{\prime}\right)\right) \to \left(Y, \sigma\left(Y, Y^{\prime}\right)\right)$是相对开的）、且$\operatorname{Im} {}^t F = {}^t F\left(Y^{\prime}\right)$的等度连续子集都是$Y^{\prime}$的某等度连续子集的像时，F是相对开的。
- 若F是连续单射，则当且仅当$X^{\prime}$的等度连续子集都是$Y^{\prime}$的某等度连续子集的像，$F : X \to Y$是拓扑向量空间嵌入（或等价的拓扑嵌入）。

#### 可度量化性与可分性

令X是局部凸空间，有连续对偶空间$X^{\prime}$，并令$K \subseteq X^{\prime}$。

- 若K是等度连续或$\sigma\left(X^{\prime}, X\right)$-紧的，且$D \subseteq X^{\prime}$使得$\operatorname{span} D$在X中稠密，则K从$\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, D\right)\right)$继承的子空间拓扑等同于K从$\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)$继承的子空间拓扑。
- 若X是可分的、K是等度连续的，则K被赋予由$\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)$诱导的子空间拓扑后是可度量化的。
- 若X是可分、可度量化的，则$\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)$是可分的。
- 若X是赋范空间，则当且仅当给定由$\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)$诱导的子空间拓扑，X的连续对偶空间的封闭单元（X的连续对偶空间）可度量时，X是可分的。
- 若X是赋范空间，其连续对偶空间可分（给定通常的范拓扑）时，X可分。

## 极拓扑与同配对相容的拓扑

从弱拓扑开始，极基的使用会产生一系列局部凸拓扑。这样的拓扑称作极拓扑，弱拓扑是其中最弱的。

$(X, Y, b)$将是$\mathbb{K}$上的配对，$\mathcal{G}$将是X的$\sigma(X, Y, b)$-有界子集的非空集合。

### 极拓扑

给定X子集的集合$\mathcal{G}$，Y上由$\mathcal{G}$（与b）定义的极拓扑（或Y上的$\mathcal{G}$-拓扑）是Y上唯一的拓扑向量空间拓扑，其中$$\left\{ r G^{\circ} : G \in \mathcal{G}, r > 0 \right\}$$ 形成了原点邻域的子基。

Y被赋予这$\mathcal{G}$-拓扑时，就表示为$Y_{\mathcal{G}}$。极拓扑都需要是局部凸的。

$\mathcal{G}$是关于子集包含的有向集合时（即若$\forall G, K \in \mathcal{G}$，$\exists K \in \mathcal{G}$使得$G \cup H \subseteq K$），则此0处的邻域子基实际上形成了0处的邻域基。

下面列出了一些较重要的极拓扑。

符号：若$\Delta(X, Y, b)$表示Y上的极拓扑，则呗赋予此拓扑的Y将记作$Y_{\Delta(Y, X, b)},\ Y_{\Delta(Y, X)}$或$Y_{\Delta}$（如对$\sigma(Y, X, b)$我们有$\Delta = \sigma$，这样$Y_{\sigma(Y, X, b)},\ Y_{\sigma(Y, X)}$和$Y_{\sigma}$都表示赋予了$\sigma(X, Y, b)$的Y）。

$\mathcal{G} \subseteq \mathcal{P}X$ （“…上一致收敛的拓扑”）｜记作｜名称（“…的拓扑”）｜又称

X的有限子集（或X有限子集的$\sigma(X, Y, b)$-闭圆盘化壳）｜$\sigma(X, Y, b)$ $s(X, Y, b)$｜逐点/简单收敛｜弱/弱-、拓扑

$\sigma(X, Y, b)$-紧圆盘｜$\tau(X, Y, b)$｜麦基拓扑

$\sigma(X, Y, b)$-紧凸子集｜$\gamma(X, Y, b)$｜紧凸收敛

$\sigma(X, Y, b)$-紧子集（或平衡$\sigma(X, Y, b)$-紧子集）｜$c(X, Y, b)$｜紧收敛

$\sigma(X, Y, b)$-有界子集｜$b(X, Y, b)$ $\beta(X, Y, b)$｜有界收敛｜强拓扑最强的极拓扑

#### 与极拓扑有关的定义

连续性若$F : (X, \tau(X, Y, b)) \to (W, \tau(W, Z, c))$连续，则线性映射$F : X \to W$是（关于$(X, Y, b)$和$(W, Z, c)$）麦基连续的。

若$F : (X, \beta(X, Y, b)) \to (W, \beta(W, Z, c))$是连续的，则线性映射$F : X \to W$是（关于$(X, Y, b)$和$(W, Z, c)$）强连续的。

### 有界子集

X的子集，若在$(X, \sigma(X, Y, b))$（或$(X, \tau(X, Y, b))$、$(X, \beta(X, Y, b))$）中有界，则称X是弱有界（或麦基有界、强有界）。

### 同配对相容的拓扑

弱$(X, Y, b)$是$\mathbb{K}$上的配对，$\mathcal{T}$是X上的向量拓扑，则$\mathcal{T}$是配对的拓扑，且若其局部凸、$\left(X, \mathcal{T}\right)$的连续对偶空间$= b(\,\cdot\,, Y)$，则称之与配对$(X, Y, b)$相容或一致。

若X分离Y的点，则Y可视作X的代数对偶的向量子空间，定义条件变为$\left(X, \mathcal{T}\right)^{\prime} = Y.$有人（如Trèves 2006、Schaefer 1999）要求配对的拓扑也要是豪斯多夫的，若Y分离X的点（这些学者假设），则必须是豪斯多夫的。

弱拓扑$\sigma(X, Y, b)$同配对$(X, Y, b)$相容（如弱表示定理所示），事实上是最弱的拓扑。还有一种与这种配对相容的最强拓扑，即麦基拓扑。

若N是非自反的赋范空间，则其连续对偶空间上通常的范拓扑同对偶$\left(N^{\prime}, N\right)$不相容。

#### 麦基–阿伦定理

下面是对偶理论中最重要的定理之一。

令$(X, Y, b)$是配对，使X分离Y的点，并令$\mathcal{T}$是X上的局部凸拓扑（不必豪斯多夫）。

则，当且仅当$\mathcal{T}$是由某覆盖了Y的

$\mathcal{S}$

$\mathcal{S}$

$\mathcal{S}$

$\sigma(Y, X, b)$-紧圆盘集合$\mathcal{G}$确定的极拓扑时，称$\mathcal{T}$与配对$(X, Y, b)$相容。

由此可见，麦基拓扑$\tau(X, Y, b)$是由Y中所有$\sigma(X, Y, b)$-紧圆盘生成的极拓扑，是X上与配对 $(X, Y, b)$相容的最强局部凸拓扑。

给定拓扑与麦基拓扑相同的局部凸空间称作麦基空间。

上述麦基-阿伦定理的一下结果也称作麦基-阿伦定理。

令$(X, Y, b)$是配对，使得X分离Y的点，并且$\mathcal{T}$是X上的局部凸拓扑。则，当且仅当$\sigma(X, Y, b) \subseteq \mathcal{T} \subseteq \tau(X, Y, b)$，$\mathcal{T}$与配对相容。

### 麦基定理、桶与闭凸集

若X是（$\Reals$或$\Complex$上的）拓扑向量空间，则半空间（half-space）是形式为$\{ x \in X : f(x) \leq r \}$的集合。（r是实数，f是X上的连续实值线性泛函）

若X是（$\Reals$或$\Complex$上的）局部凸空间、C是X的非空闭凸子集，则$C$等于包含它的所有闭半空间的交。

上述定理说明，局部凸空间的闭子集和凸子集完全取决于连续对偶空间。于是，在任何与配对相容的拓扑中，闭子集和凸子集都相同；即，若$\mathcal{T}$、$\mathcal{L}$是X上的任意局部凸拓扑，且有同样的连续对偶空间，则当且仅当X的凸子集在$\mathcal{L}$拓扑中封闭，此子集也在$\mathcal{T}$拓扑中封闭。

这说明，X任意凸子集的$\mathcal{T}$-闭等同于其$\mathcal{L}$-闭，对X中任意$\mathcal{T}$-闭圆盘A，$A = A^{\circ\circ}$。

特别地，若B是X的一个子集，则当且仅当B是$(X, \mathcal{L})$中的桶时，B也是$(X, \mathcal{L})$中的桶。

下面的定理说明，桶（即闭吸收圆盘）恰是弱有界子集的极。

令$(X, Y, b)$是配对，使得X分离Y的点，并令$\mathcal{T}$为配对的某拓扑。

则当且仅当X的子集等于Y的某$\sigma(Y, X, b)$-有界子集的极时，此子集是X中的桶。

若X是拓扑向量空间，则

- X的闭吸收平衡子集B吸收X的所有凸紧子集（即存在正实数r使得$r B$包含此集）。
- 若X是豪斯多夫局部凸的，则X中每个桶都吸收X的每个凸有界完备子集。

所有这些都引出了麦基定理，这是对偶系统理论的核心定理之一。简言之，定理支出，对符合相同对偶性的两豪斯多夫局部凸拓扑，有界子集是相同的。

设$(X, \mathcal{L})$是豪斯多夫局部凸空间，有连续对偶空间$X^{\prime}$，并考虑规范对偶$\left\langle X, X^{\prime} \right\rangle$。

若$\mathcal{L}$是X上任意与对偶$\left\langle X, X^{\prime} \right\rangle$相容的拓扑，则$(X, \mathcal{L})$的有界子集与$(X, \mathcal{L})$的有界子集相同。

### 有限序列空间

令X表示标量$r_{\bull} = \left(r_i\right)_{i=1}^{\infty}$的所有序列的空间，且对所有足够大的i都有$r_i = 0$。

令$Y = X$，定义双线性映射$b : X \times X \to \mathbb{K}$为$$b\left(r_{\bull}, s_{\bull}\right) := \sum_{i=1}^{\infty} r_i s_i.$$ 则$\sigma(X, X, b) = \tau(X, X, b)$。

此外，当且仅当存在正实数序列$m_{\bull} = \left(m_i\right)_{i=1}^{\infty}$，使得$\left|t_i\right| \leq m_i,\ \forall t_{\bull} = \left(t_i\right)_{i=1}^{\infty} \in T$、及所有指标i（或还有$m_{\bull} \in X$）时，子集$T \subseteq X$是$\sigma(X, X, b)$-有界（或$\beta(X, X, b)$-有界）的。

由此可见，X的子集中有弱有界（即$\sigma(X, X, b)$-有界）的，但没有强有界（即无$\beta(X, X, b)$-有界）的。