连续函数演算

在数学中，特别是在算子理论和C*-代数理论中，连续函数演算是一种允许将连续函数作用于C*-代数中的正规元的函数演算。

在进阶的理论中，这种函数演算的应用非常自然，以至于往往它甚至不会被提及。毫不夸张地说，连续函数演算将C*-代数与更一般的巴拿赫代数区分了开来，对于后者只能定义全纯函数演算。

## 动机

对于巴拿赫代数 $\mathcal{A}$ 中的成员 $a$，若要将其谱 $\sigma(a)$ 上的多项式函数演算推广到谱上的连续函数，似乎有一个明显的思路：依照魏尔施特拉斯逼近定理用多项式来逼近连续函数，然后将多项式中的数换成 $\mathcal{A}$ 中成员 $a$，再证明这些 $a$ 的多项式序列收敛为 $\mathcal A$ 中元素。

谱集 $\sigma(a) \subset \C$ 上的连续函数由 $z$ 和 $\overline{z}$ 的形如 $p(z, \overline{z}) = \sum_{k,l=0}^N c_{k,l} z^k\overline{z}^l \; \left( c_{k,l} \in \C \right)$ 的多项式来逼近，其中 $\overline{z}$ 表示 $z$ 的复共轭，而复共轭是复数上的一个对合。在将 $z$ 替换为 $a$ 时，为使 $\overline{z}$ 也有对应，须考虑 $\mathcal{A}$ 为巴拿赫*-代数，即配备了一个对合运算 $*$ 的巴拿赫代数，这时 $\overline{z}$ 就被替换为 $a^*$。由于多项式环 $\C[z,\overline{z}]$ 是交换环，为得到一个 ${\mathbb C}[z,\overline{z}]\rightarrow\mathcal{A}$ 的代数同态，须限制在 $\mathcal A$ 中的正规元（即满足 $a^*a = aa^*$ 的成员）上。

须保证：若多项式序列 $(p_n(z,\overline{z}))_n$ 在 $\sigma(a)$ 上一致收敛于一连续函数 $f$，则 $\mathcal{A}$ 上的序列 $(p_n(a,a^*))_n$ 收敛于 $f(a)\in\mathcal{A}$。对这个收敛性的问题进行细致分析之后，就会发现有必要采用C*-代数。这些考量最终将导向所谓的连续函数演算。

## 定义

设有单位元 $e$ 的C*-代数 $\mathcal{A}$ 中有一正规元 $a$，而 $\mathcal C (\sigma(a))$ 是 $a$ 谱集 $\sigma(a)$ 上的连续函数所构成的交换C*-代数。于是存在唯一一个*-同态 $\Phi_a \colon \mathcal C (\sigma(a)) \rightarrow \mathcal{A}$ 满足 $\Phi_a (\boldsymbol{1}) = e$ 和 $\Phi_a(\operatorname{Id}_{\sigma(a)}) = a$，其中常值函数 $\boldsymbol{1}$ 满足 $\boldsymbol{1}(z) = 1$， $\operatorname{Id}$ 是恒等映射。

该*-同态 $\Phi_a$ 称为正规元 $a$ 的连续函数演算，通常也记作 $f(a) := \Phi_a(f)$。

由于*-同态性质，有以下对任意函数 $f,g \in \mathcal C(\sigma(a))$ 与标量 $\lambda,\mu \in \C$ 有效的计算规则：

- $(\lambda f + \mu g)(a) = \lambda f(a) + \mu g(a) \qquad$｜（线性）
- $(f \cdot g)(a) = f (a) \cdot g(a)$｜（乘法）
- $\overline{f}(a) =\colon \; (f^*)(a) = (f(a))^*$｜（对合）

因此，可以同寻常连续函数那样看待连续函数在正规元上的推广，它的上述代数运算性质同寻常的连续复函数情况没有区别。

对于单位元的要求并不是一个强的限制。如果需要，可以添加一个单位元，得到一个扩大了的C*-代数 $\mathcal{A}_1$。对于 $a \in \mathcal{A}$ 和满足 $f(0) = 0$ 的 $f \in \mathcal C(\sigma (a))$，有 $0 \in \sigma (a)$ 和 $f(a)\in \mathcal{A} \subset \mathcal{A}_1$。

下面给出连续函数演算的存在性和唯一性的证明概要：

设 $C^*(a,e)$ 是 $a$ 和 $e$ 所生成的C*-子代数， $a$ 在 $C^*(a,e)$ 中的谱和在 $\mathcal{A}$ 中时是一样的，于是证明了 $\mathcal{A} = C^*(a,e)$。实际的构造几乎直接可从盖尔范德表示中得出：只需设 $\mathcal{A}$ 是某个紧空间 $X$ 上的连续函数所构成的C*-代数并定义 $\Phi_a(f) = f \circ x$。

考虑到 $\Phi_a(\boldsymbol{1})$ 和 $\Phi_a(\operatorname{Id}_{\sigma(a)})$ 已被固定，由于要求 $\Phi_a$ 为*-同态，它对于所有的多项式 $p(z, \overline{z}) = \sum_{k,l=0}^N c_{k,l} z^k\overline{z}^l \; \left( c_{k,l} \in \C \right)$ 来说已经唯一定义。根据魏尔施特拉斯逼近定理，它们构成了 $\mathcal C(\sigma(a))$ 的一个稠密子代数。因此 $\Phi_a$ 是唯一的。

在泛函分析中，常对正规算子 $T$ 的连续函数演算感兴趣，即 $\mathcal{A}$ 是希尔伯特空间 $H$ 上的有界算子所构成的C*-代数 $\mathcal{B}(H)$ 的情况。在文献中，通常仅对此情况的自伴算子的连续函数演算作了证明。在这种情况下，证明不需要用到盖尔范德表示。

## 性质

### 到子代数的等距同构

连续函数演算 $\Phi_a$ 是到 $a$ 和 $e$ 所生成的C*-子代数 $C^*(a,e)$ 的等距同构，即：

- $$\forall f \in \mathcal C(\sigma(a)),\quad\left\| \Phi_a(f) \right\| = \left\| f \right\|_{\sigma(a)} .$$于是 $\Phi_a$显然是连续的。
- $$\Phi_a\left( \mathcal C(\sigma(a)) \right) = C^*(a, e) \subseteq \mathcal{A},$$ 也就是说 $C^*(a,e)$ 是连续函数演算的值域。

由于 $a$ 是 $\mathcal{A}$ 中的正规元，由 $a$ 和 $e$ 生成的C*-子代数是一个交换代数。特别地， $f(a)$ 也是一个正规元，且函数演算的所有成员间都对易。

### 与其他函数演算的关系

全纯函数演算可无歧义地扩张为连续函数演算。因此，连续函数演算在多项式 $p(z,\overline{z})$ 上重合于多项式函数演算：

$$\forall c_{k,l} \in \C,\quad\Phi_a(p(z, \overline{z})) = p(a, a^*) = \sum_{k,l=0}^N c_{k, l} a^k(a^*)^l,$$ 其中 $p(z, \overline{z}) = \sum_{k,l=0}^N c_{k,l} z^k\overline{z}^l$。

对于 $\sigma(a)$ 上一致收敛于函数 $f \in \mathcal C(\sigma(a))$ 的函数序列 $f_n \in \mathcal C(\sigma(a))$， $f_n(a)$ 收敛于 $f(a)$。对于 $\sigma(a)$ 上绝对且一致地收敛的幂级数 $f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n z^n$，就有 $f(a) = \sum_{n=0}^\infty c_na^n$。

### 反函数的连续函数演算

若有 $f \in \mathcal{C}(\sigma(a))$ 和 $g\in \mathcal{ C}(\sigma(f(a)))$，那么它们的函数演算的复合满足 $(g \circ f)(a) = g(f(a))$。

设有两个正规元 $a,b \in \mathcal{A}_N$ 满足 $f(a) = f(b)$，且无论限制在 $\sigma(a)$ 还是 $\sigma(b)$ 上时 $g$ 都是 $f$ 的反函数，那么必然有 $a = b$，因为 $a = (f \circ g) (a) = f(g(a)) = f(g(b)) = (f \circ g) (b) = b$。

### 谱映射定理

谱映射定理 $$\forall f \in \mathcal C(\sigma(a)),\quad\sigma(f(a)) = f(\sigma(a))$$ 也成立。

对于 $b \in \mathcal{A}$，若有 $ab = ba$，那么也有$$\forall f \in \mathcal C ( \sigma (a)),\quad f(a)b = bf(a).$$ 也就是说若 $b$ 与 $a$ 对易，则它也与 $a$ 的在连续函数下的像 $f(a)$ 对易。

### 与*-同态相容

设 $\Psi \colon \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$ 是C*-代数 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 间的保单位元的*-同态，那么 $\Psi$ 与连续函数演算间的复合是对易的。也就是说：

$$\forall f \in C(\sigma(a)),\quad\Psi(f(a)) = f(\Psi(a)).$$ 特别地，连续函数演算与盖尔范德表示是对易的。

### 函数性质与像的性质间的关系

利用谱映射定理，具有某些性质的函数可以直接关联到C*-代数成员的某些性质：

- $f(a)$ 是可逆元当且仅当 $f$ 在 $\sigma(a)$ 上没有零点。于是有 $f(a)^{-1} = \tfrac{1}{f} (a)$。
- $f(a)$ 是自伴元当且仅当 $f$ 是实值函数，也就是$\sigma(a) \subseteq \{ 0,1 \}$说 $f(\sigma(a)) \subseteq \R$.
- $f(a)$ 是正元（$f(a) \geq 0$）当且仅当 $f \geq 0$，也就是说 $f(\sigma(a)) \subseteq [0,\infty )$.
- $f(a)$ 是幺正元，若 $f$ 的值落在复单位圆中。也就是说， $f(\sigma(a)) \subseteq \mathbb{T} = \{ \lambda \in \C \mid \left\| \lambda \right\| = 1 \}.$
- $f(a)$ 是一个投影，若 $f$ 仅取值 $0$ 或 $1$，也就是说 $f(\sigma(a)) \subseteq \{ 0, 1 \}$.

这些断言的基础是关于特定元素的谱的结论，这些结论会在一节中展示。

### 有界算子代数的谱

在 $\mathcal{A}$ 是希尔伯特空间 $H$ 上的有界算子所构C*-代数 $\mathcal{B}(H)$ 的特殊情况下，正规算子 $T \in \mathcal{B}(H)$ 的对应特征值 $\lambda \in \sigma(T)$ 的特征向量 $v \in H$ 也将是算子 $f(T)$ 关于特征值 $f(\lambda) \in \sigma(f(T))$ 的特征向量。设 $Tv = \lambda v$，则 $\forall f \in \sigma(T),\quad f(T)v = f(\lambda)v$。

## 应用

下面给出连续函数演算的众多应用中一些典型且非常简单的例子。

### 谱

设 $\mathcal{A}$ 是一个C*-代数而 $a \in \mathcal{A}_N$ 为其中一个正规元，则对于谱 $\sigma(a)$ 有以下结论：

- $a$ 是自伴元当且仅当 $\sigma(a) \subseteq \R.$
- $a$ 是幺正元当且仅当 $\sigma(a) \subseteq \mathbb{T} = \{ \lambda \in \C \mid \left\| \lambda \right\| = 1 \}.$
- $a$ 是一个投影当且仅当 $\sigma(a) \subseteq \{ 0, 1 \}$.

正规元 $a \in \mathcal{A}$ 的连续函数演算 $\Phi_a$ 是一个保单位元的*-同态，因此若 $\operatorname{Id} \in \mathcal C( \sigma(a))$ 是自伴的/幺正的/投影，则 $a$ 也相应地成为自伴元/幺正元/投影。

- $\operatorname{Id}$ 自伴的充要条件是 $$\forall z \in \sigma(a),\quad z = \text{Id}(z) = \overline{\text{Id}}(z) = \overline{z},$$ 即 $\sigma(a)$ 是实的。
- $\text{Id}$ 幺正的充要条件是 $$\forall z \in \sigma(a),\quad 1 = \text{Id}(z) \overline{\operatorname{Id}}(z) = z \overline{z} = |z|^2,$$ 即 $\sigma(a) \subseteq \{ \lambda \in \C \ | \ \left\| \lambda \right\| = 1 \}$。
- $\text{Id}$ 成为投影的充要条件是 $$(\operatorname{Id}(z))^2 = \operatorname{Id}}(z) = \overline{\operatorname{Id}(z),$$ 即 $$\forall z \in \sigma(a),\quad z^2 = z = \overline{z},$$ 或者说 $\sigma(a) \subseteq \{ 0,1 \}$。

### 开方

设 $a$ 是 C*-代数 $\mathcal{A}$ 中的正元，那么对于每一个 $n \in \mathbb{N}$ 存在一个唯一确定的正元 $b \in \mathcal{A}_+$ 满足 $b^n =a$，即唯一的 $n$ 次方根。

对于每个 $n \in \mathbb{N}$，开方函数 $$f_n \colon \R_0^+ \to \R_0^+\colon x \mapsto \sqrt[n]x$$ 是 $\sigma (a) \subseteq \R_0^+$ 上的连续函数。若通过连续函数演算来定义 $b \; \colon = f_n (a)$，那么根据连续函数演算的性质有 $$b^n = (f_n(a))^n = (f_n^n)(a) = \operatorname{Id}_{\sigma(a)}(a)=a.$$

根据谱映射定理可知 $$\sigma(b) = \sigma(f_n(a)) = f_n(\sigma(a)) \subseteq [0,\infty),$$ 也就是说 $b$ 是正元。

设有另一正元 $c \in \mathcal{A}_+$ 满足 $c^n = a = b^n$，则有 $c = f_n (c^n) = f_n(b^n) = b$，因为正实数上的开方函数是函数 $z \mapsto z^n$ 的反函数。

若 $a \in \mathcal{A}_{sa}$ 是自伴元，则至少有：对于每个奇数 $n \in \N$，存在唯一确定的自伴元 $b \in \mathcal{A}_{sa}$ 满足 $b^n = a$。

类似地，对于C*-代数 $\mathcal{A}$ 中正元 $a$ 和任意 $\alpha \geq 0$， $a^\alpha$ 唯一定义了一个 $C^*(a)$ 中的正元，并满足 $$\forall\alpha, \beta \geq 0,\quad a^\alpha a^\beta = a^{\alpha + \beta}.$$ 若 $a$ 是可逆元，则还可以推广到取负值的 $\alpha$。

### 绝对值

若 $a \in \mathcal{A}$ 且 $a^*a$ 是正元，那么绝对值可由连续函数演算定义为 $|a| = \sqrt{a^*a}$，因为它在正实数上连续。

设 $a$ 是C*-代数 $\mathcal{A}$ 中的自伴元，则存在正元 $a_+,a_- \in \mathcal{A}_+$，使得 $a = a_+ - a_-$ 和 $a_+ a_- = a_- a_+ = 0$ 成立。$a_+$ 和 $a_-$ 也被称为正部和负部。此外还有 $|a| = a_+ + a_-$。

函数 $f_+(z) = \max(z,0)$ 和 $f_-(z) = -\min(z, 0)$ 是 $\sigma(a) \subseteq \R$ 上的连续函数且满足

- $$\operatorname{Id} (z) = z = f_+(z) -f_-(z),$$
- $$f_+(z)f_-(z) = f_-(z)f_+(z) = 0.$$

设 $a_+ = f_+(a), a_- = f_-(a)$，由谱映射定理可知 $a_+$ 和 $a_-$ 是正元，且有：

- $$a = \operatorname{Id}(a) = (f_+ - f_-) (a) = f_+(a) - f_-(a) = a_+ - a_-,$$
- $$a_+ a_- = f_+(a)f_-(a) = (f_+f_-)(a) = 0 = (f_-f_+)(a) = f_-(a)f_+(a) = a_- a_+.$$

此外。

$$f_+(z) + f_-(z) = |z| = \sqrt{z^* z} = \sqrt{z^2},$$ 故$$a_+ + a_- = f_+(a) + f_-(a) = |a| = \sqrt{a^* a} = \sqrt{a^2}.$$

### 幺正元

若 $a$ 是有单位元 $e$ 的C*-代数 $\mathcal{A}$ 中的自伴元，那么 $u = \mathrm{e}^{\mathrm{i} a}$ 是幺正元，其中 $\mathrm{i}$ 表示虚数单位。反过来，若 $u \in \mathcal{A}_U$ 是一个幺正元且其谱是复单位圆的真子集（即 $\sigma(u) \subsetneq \mathbb{T}$），那么存在一个自伴元 $a \in \mathcal{A}_{sa}$ 满足 $u = \mathrm{e}^{\mathrm{i} a}$。

定义函数 $f \colon \R \to \C,\ x \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i}x}$，由于 $a$ 的自伴性使得 $\sigma(a) \subset \R$，那么 $f$ 在 $a$ 的谱上有定义。取 $u = f(a)$，由于 $f\cdot \overline{f} = \overline{f}\cdot f = 1$，根据函数演算性质可知 $uu^* = u^*u = e$，也就是说 $u$ 是幺正元。

对于第二个命题，现在将 $f \colon \R \to \C,\ x \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i}x}$ 限制到区间 $[z_0,z_0+2\pi)$ 上（其中 $z_0 \in \R$），从而可以定义其反函数 $g:\mathbb T \to [z_0,z_0+2\pi):\ g(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x})=x$，且 $g$ 在谱集 $\sigma(u)$ 上有定义，且是其上的实值连续函数。那么它的连续函数函数演算就会将 $u$ 映为自伴元 $a=g(u)$。

### 谱分解定理

设 $\mathcal{A}$ 是一个有单位元的C*-代数，其中有一个正规元 $a \in \mathcal{A}_N$。假设谱由 $n$ 个两两不相交的闭子集 $\sigma_k \subset \C,\ (1\leq k\leq n)$ 构成，也就是说 $\sigma(a)=\sigma_1 \sqcup \cdots \sqcup \sigma_n$。那么就存在投影 $p_1, \ldots, p_n \in \mathcal{A}$，使得下面的命题对任意 $j\geq1,k \leq n$ 都成立：

- 投影的谱满足 $\sigma(p_k)=\sigma_k.$
- 投影与 $a$ 对易，即 $p_ka=ap_k.$
- 投影是正交的，即 $p_jp_k=\delta_{jk} p_k.$
- 投影之和为单位元，即 $\sum_{k=1}^n p_k = e.$

特别是，有分解 $a = \sum_{k=1}^n a_k$，其中 $\forall 1 \leq k \leq n,\sigma(a_k) = \sigma_k.$

由于 $\sigma_k$ 是闭的，故其指示函数 $\chi_{\sigma_k}$ 在 $\sigma(a)$ 上连续，可以定义其连续函数演算。

令 $p_k := \chi_{\sigma_k} (a)$。

由于 $\sigma_k$ 两两不交，有

- $$\chi_{\sigma_j} \chi_{\sigma_k} = \delta_{jk} \chi_{\sigma_k},$$
- $$\sum_{k=1}^n \chi_{\sigma_k} = \chi_{\cup_{k=1}^n \sigma_k} = \chi_{\sigma(a)} = \textbf{1},$$

从而由指示函数的连续函数演算所得的 $p_k$ 满足性质3、4。

性质2则可由 $$a_k = a p_k = \operatorname{Id} (a) \cdot \chi_{\sigma_k} (a) = (\operatorname{Id} \cdot \chi_{\sigma_k}) (a)$$ 证明。

## 参考资料

- English translation of

## 外部链接

- Continuous functional calculus - PlanetMath