经典力学方程列表

经典力学或牛顿力学，是物理学描述宏观物体运动的分支是最熟悉的物理学理论。涵盖如常用和已知的加速度和力。本列表基于具固定轴的三维欧几里得空间参考系。三轴的交点称为此空间的原点。

经典力学概念包括微分方程、流形、李群和遍历理论。各种物理量相互关联。本列表总结了其中最重要的内容。

本文列出了经典力学的方程：“经典力学方程列表”（list of equations in classical mechanics）。其他有关经典力学（包括拉格朗日力学和哈密顿力学）的更基础原理与公式，请参阅分析力学。

## 经典力学

### 质量与惯量

通用名｜通用符号｜定义｜国际单位制｜量纲

线/表面/体积质量密度｜λ或μ用于线密度（μ主要用在声学），σ用于表面，ρ用于体积。｜$m = \int \lambda \, \mathrm{d} \ell$ $m = \iint \sigma \, \mathrm{d} S$ $m = \iiint \rho \, \mathrm{d} V$｜kg m−n, n = 1, 2, 3｜M L−n

质量矩｜m （没有通用符号）｜点质量： $$\mathbf{m} = \mathbf{r}m$$ 相对固定轴$x_i$的离散质量： $$\mathbf{m} = \sum_{i=1}^N \mathbf{r}_i m_i$$ 相对固定轴$x_i$的连续质量： $$\mathbf{m} = \int \rho \left ( \mathbf{r} \right ) x_i \mathrm{d} \mathbf{r}$$｜kg m｜M L

质心｜rcom （符号不一定）｜第i个质量 $\mathbf{m}_i = \mathbf{r}_i m_i$ 离散质量： $$\mathbf{r}_\mathrm{com} = \frac{1}{M} \sum_i \mathbf{r}_i m_i = \frac{1}{M} \sum_i \mathbf{m}_i$$ 连续质量： $$\mathbf{r}_\mathrm{com} = \frac{1}{M} \int \mathrm{d}\mathbf{m} = \frac{1}{M} \int \mathbf{r} \, \mathrm{d}m = \frac{1}{M}\int \mathbf{r} \rho \, \mathrm{d}V$$｜m｜L

二体约化质量｜m12, μ= m1 and m2｜$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$｜kg｜M

转动惯量（MOI）｜I｜离散质量： $$I = \sum_i \mathbf{m}_i \cdot \mathbf{r}_i = \sum_i \left | \mathbf{r}_i \right | ^2 m$$ 连续质量： $$I = \int \left | \mathbf{r} \right | ^2 \mathrm{d} m = \int \mathbf{r} \cdot \mathrm{d} \mathbf{m} = \int \left | \mathbf{r} \right | ^2 \rho \, \mathrm{d}V$$｜kg m2｜M L2

### 导出的运动学物理量

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通用名｜通用符号｜定义｜国际单位制｜量纲

速度｜v｜$\mathbf{v} = \frac{\mathrm{d} \mathbf{r}}{\mathrm{d} t}$｜m s−1｜L T−1

加速度｜a｜$\mathbf{a} = \frac{\mathrm{d} \mathbf{v}}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d}^2 \mathbf{r}}{\mathrm{d} t^2 }$｜m s−2｜L T−2

加加速度｜j｜$\mathbf{j} = \frac{\mathrm{d} \mathbf{a}}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d}^3 \mathbf{r}}{\mathrm{d} t^3}$｜m s−3｜L T−3

Jounce｜s｜$\mathbf{s} = \frac{\mathrm{d} \mathbf{j}}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d}^4 \mathbf{r}}{\mathrm{d} t^4}$｜m s−4｜L T−4

角速度｜ω｜$\boldsymbol{\omega} = \mathbf{\hat{n}} \frac{ \mathrm{d} \theta }{\mathrm{d} t}$｜rad s−1｜T−1

角加速度｜α｜$\boldsymbol{\alpha} = \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d} t} = \mathbf{\hat{n}} \frac{\mathrm{d}^2 \theta}{\mathrm{d} t^2}$｜rad s−2｜T−2

角加加速度｜ζ｜$\boldsymbol{\zeta} = \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\alpha}}{\mathrm{d} t} = \mathbf{\hat{n}} \frac{ \mathrm{d}^3 \theta}{\mathrm{d} t^3}$｜rad s−3｜T−3

### 导出的动力学物理量

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通用名｜通用符号｜定义｜国际单位制｜量纲

动量｜p｜$\mathbf{p} = m\mathbf{v}$｜kg m s−1｜M L T−1

力｜F｜$\mathbf{F} = \mathrm{d} \mathbf{p}/\mathrm{d} t$｜N = kg m s−2｜M L T−2

冲量｜J, Δp, I｜$\mathbf{J} = \Delta \mathbf{p} = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F} \, \mathrm{d} t$｜kg m s−1｜M L T−1

相对一点r0的角动量｜L, J, S｜$\mathbf{L} = \left ( \mathbf{r} - \mathbf{r}_0 \right ) \times \mathbf{p}$ 若各质点的旋转轴均相交在同一点，可以设定r0 = 0。｜kg m2 s−1｜M L2 T−1

力相对一点r0的力矩｜τ, M｜$\boldsymbol{\tau} = \left ( \mathbf{r} - \mathbf{r}_0 \right ) \times \mathbf{F} = \frac{\mathrm{d} \mathbf{L}}{\mathrm{d} t}$｜N m = kg m2 s−2｜M L2 T−2

角冲量｜ΔL （没有通用符号）｜$\Delta \mathbf{L} = \int_{t_1}^{t_2} \boldsymbol{\tau} \, \mathrm{d} t$｜kg m2 s−1｜M L2 T−1

### 一般能量定义

通用名｜通用符号｜定义｜国际单位制｜量纲

合力产生的功｜W｜$W = \int_C \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r}$｜J = N m = kg m2 s−2｜M L2 T−2

力学系统所作的功｜WON, WBY｜$\Delta W_\mathrm{ON} = - \Delta W_\mathrm{BY}$｜J = N m = kg m2 s−2｜M L2 T−2

势能｜φ, Φ, U, V, Ep｜$\Delta W = - \Delta V$｜J = N m = kg m2 s−2｜M L2 T−2

机械功率｜P｜$P = \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}$｜W = J s−1｜M L2 T−3

每一个保守力都有对应的势能。根据以下二个原理，可以设定势能U的值：

- 保守力为零的时候，势能也定义为零。
- 保守力作功时，势能减少。

### 广义力学

通用名｜通用符号｜定义｜国际单位制｜量纲

广义座标｜q, Q｜不一定｜不一定

广义速度｜$\dot{q},\dot{Q}$｜$\dot{q}\equiv \mathrm{d}q/\mathrm{d}t$｜不一定｜不一定

广义动量｜p, P｜$p = \partial L /\partial \dot{q}$｜不一定｜不一定

拉格朗日量｜L｜$L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t) = T(\mathbf{\dot{q}}) - V(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)$ 其中$\mathbf{q} = \mathbf{q}(t)$以及 p = p(t) 分别是广义座标以及动量的向量，是时间的函数。｜J｜M L2 T−2

哈密顿量｜H｜$H(\mathbf{p},\mathbf{q},t) = \mathbf{p}\cdot\mathbf{\dot{q}} - L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)$｜J｜M L2 T−2

作用量，哈密顿主函数｜S, $\scriptstyle{\mathcal{S}}$｜$\mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t) \mathrm{d}t$｜J s｜M L2 T−1

## 运动学

在以下转动的定义中，角度是对应转动轴的位意角度。一般常用θ，不过不一定要是极座标下的极角。单位轴向量

$$\mathbf{\hat{n}} = \mathbf{\hat{e}}_r\times\mathbf{\hat{e}}_\theta$$

定义转动轴$\scriptstyle \mathbf{\hat{e}}_r$为r方向上的单位向量，$\scriptstyle \mathbf{\hat{e}}_\theta$是和角呈切线的单位向量。

平移｜转动

速度｜平均： $$\mathbf{v}_{\mathrm{average}} = {\Delta \mathbf{r} \over \Delta t}$$ 瞬时： $$\mathbf{v} = {d\mathbf{r} \over dt}$$｜角速度$$\boldsymbol{\omega} = \mathbf{\hat{n}}\frac{{\rm d} \theta}{{\rm d} t}$$转动刚体：$$\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$$

加速度｜平均： $$\mathbf{a}_{\mathrm{average}} = \frac{\Delta\mathbf{v}}{\Delta t}$$ 瞬时： $$\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}$$｜角加速度 $$\boldsymbol{\alpha} = \frac{{\rm d} \boldsymbol{\omega}}{{\rm d} t} = \mathbf{\hat{n}}\frac{{\rm d}^2 \theta}{{\rm d} t^2}$$ 转动刚体： $$\mathbf{a} = \boldsymbol{\alpha} \times \mathbf{r} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}$$

加加速度｜平均： $$\mathbf{j}_{\mathrm{average}} = \frac{\Delta\mathbf{a}}{\Delta t}$$ 瞬时： $$\mathbf{j} = \frac{d\mathbf{a}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{v}}{dt^2} = \frac{d^3\mathbf{r}}{dt^3}$$｜角加加速度 $$\boldsymbol{\zeta} = \frac{{\rm d} \boldsymbol{\alpha}}{{\rm d} t} = \mathbf{\hat{n}}\frac{{\rm d}^2 \omega}{{\rm d} t^2} = \mathbf{\hat{n}}\frac{{\rm d}^3 \theta}{{\rm d} t^3}$$ 转动刚体： $$\mathbf{j} = \boldsymbol{\zeta} \times \mathbf{r} + \boldsymbol{\alpha} \times \mathbf{a}$$

## 动力学

平移｜转动

动量｜$$\mathbf{p} = m\mathbf{v}$$ 针对转动刚体： $$\mathbf{p} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{m}$$｜角动量 $$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{I} \cdot \boldsymbol{\omega}$$ 此外积为赝矢量，若r和p都反向（变号），L不会变号。一般来说，I是二维张量，·表示张量缩并。

力和牛顿第二运动定律｜作用在系统质心上的合力，等于动量的变化率： $$\begin{align} \mathbf{F} & = \frac{d\mathbf{p}}{dt} = \frac{d(m\mathbf{v})}{dt} \\ & = m\mathbf{a} + \mathbf{v}\frac{{\rm d}m}{{\rm d}t} \\ \end{align}$$ 针对许多质点的系统，质点i的运动方程式为： $$\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_i}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F}_{E} + \sum_{i \neq j} \mathbf{F}_{ij}$$ 其中pi是第i个质点的动量，Fij，是粒子j作用在粒子i上的力，FE是合外力（来自系统以外的物体）。粒子i不会产生给自身的力。｜力矩 力矩（torque）τ也称为moment of a force，是转动系统中对应力的物理量： $$\boldsymbol{\tau} = \frac{{\rm d}\mathbf{L}}{{\rm d}t} = \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \frac{{\rm d}(\mathbf{I} \cdot \boldsymbol{\omega})}{{\rm d}t}$$ 若是刚体，牛顿第二转动定律的形式类似平移运动下的形式： $$\begin{align} \boldsymbol{\tau} & = \frac{{\rm d}\mathbf{L}}{{\rm d}t} = \frac{{\rm d}(\mathbf{I}\cdot\boldsymbol{\omega})}{{\rm d}t} \\ & = \frac{{\rm d}\mathbf{I}}{{\rm d}t}\cdot\boldsymbol{\omega} + \mathbf{I}\cdot\boldsymbol{\alpha} \\ \end{align}$$ 若针对许多质点，质点i的运动方程为： $$\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{\tau}_E + \sum_{i \neq j} \boldsymbol{\tau}_{ij}$$

Yank｜Yank是力的变化率： $$\begin{align} \mathbf{Y} & = \frac{d\mathbf{F}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{p}}{dt^2} = \frac{d^2(m\mathbf{v})}{dt^2} \\[1ex] & = m\mathbf{j} + \mathbf{2a}\frac{{\rm d}m}{{\rm d}t} + \mathbf{v}\frac{{\rm d^2}m}{{\rm d}t^2} \end{align}$$ 若是固定质量，会变成下式： $$\mathbf{Y} = m\mathbf{j}$$｜Rotatum Rotatum Ρ也称为moment of a Yank，因为是是转动系统中对应Yank的物理量： $$\boldsymbol{\Rho} = \frac{{\rm d}\boldsymbol{\tau}}{{\rm d}t} = \mathbf{r}\times\mathbf{Y} = \frac{{\rm d}(\mathbf{I} \cdot \boldsymbol{\alpha})}{{\rm d}t}$$

冲量｜冲量是动量的变化： $$\Delta \mathbf{p} = \int \mathbf{F} \, dt$$ 针对固定力F： $$\Delta \mathbf{p} = \mathbf{F} \Delta t$$｜Twirl或是角冲量是角动量的变化： $$\Delta \mathbf{L} = \int \boldsymbol{\tau} \, dt$$ 针对固定力矩τ： $$\Delta \mathbf{L} = \boldsymbol{\tau} \Delta t$$

### 进动

陀螺的进动角速度为：

$$\boldsymbol{\Omega} = \frac{wr}{I\boldsymbol{\omega}}$$

其中w是自旋物体的重量。

## 能量

系统以外事物对系统所作的机械功等于系统的动能变化：

### 通用功—能定理（平移及转动）

系统以外事物，对曲线路径C上的质点产生力F（在 r的位置）以及力矩τ，所做成的功W为：

$$W = \Delta T = \int_C \left ( \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} + \boldsymbol{\tau} \cdot \mathbf{n} \, {\mathrm{d} \theta} \right )$$

其中θ是相对单位向量n所定义轴的转动角度。

### 动能

物体一开始的速度为$v_0$，后来的速度为$v$，其动能变化为：

$$\Delta E_k = W = \frac{1}{2} m(v^2 - {v_0}^2)$$

### 弹性势能

遵守胡克定律的弹簧，若一端固定，拉长后，其弹性势能为

$$\Delta E_p = \frac{1}{2} k(r_2-r_1)^2$$

其中r2和r1是弹簧未固定端，在拉长后以及拉长前的共线座标，方向是往拉长／压缩的方向，k是弹簧常数。

## 刚体运动的欧拉方程

莱昂哈德·欧拉也像牛顿一様，发表了运动定律，可以参见欧拉运动定律。这些定律将牛顿运动定律扩展到刚体的运动上，不过本质是相同的。以下是欧拉提出新的运动方程式：

$$\mathbf{I} \cdot \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\omega} \times \left ( \mathbf{I} \cdot \boldsymbol{\omega} \right ) = \boldsymbol{\tau}$$

其中I是转动惯量张量.

## 通用平面运动

前面平面运动的方程可以用在此处，应用上述的定义即可推出动量、角动量等。针对在平面上路径移动的物体。

$$\mathbf{r} = \mathbf{r}(t) = r\mathbf{\hat{e}}_r$$

以下的结果可应用在质点上。

运动学｜动力学

位置 $$\mathbf{r} =\mathbf{r}\left ( r,\theta, t \right ) = r \mathbf{\hat{e}}_r$$

速度 $$\mathbf{v} = \mathbf{\hat{e}}_r \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d}t} + r \omega \mathbf{\hat{e}}_\theta$$｜动量 $$\mathbf{p} = m \left(\mathbf{\hat{e}}_r \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d}t} + r \omega \mathbf{\hat{e}}_\theta \right)$$ 角动量 $$\mathbf{L} = m \mathbf{r}\times \left(\mathbf{\hat{e}}_r \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d}t} + r \omega \mathbf{\hat{e}}_\theta \right)$$

加速度 $$\mathbf{a} =\left ( \frac{\mathrm{d}^2 r}{\mathrm{d}t^2} - r\omega^2\right )\mathbf{\hat{e}}_r + \left ( r \alpha + 2 \omega \frac{\mathrm{d}r}{{\rm d}t} \right )\mathbf{\hat{e}}_\theta$$｜向心力为 $$\mathbf{F}_\bot = - m \omega^2 R \mathbf{\hat{e}}_r= - \omega^2 \mathbf{m}$$ 其中的m是质量矩（mass moment），科里奥利力为 $$\mathbf{F}_c = 2\omega m \frac{{\rm d}r}{{\rm d}t} \mathbf{\hat{e}}_\theta = 2\omega m v \mathbf{\hat{e}}_\theta$$ 科里奥利加速度以及科里奥利也可以写成： $$\mathbf{F}_c = m\mathbf{a}_c = -2 m \boldsymbol{ \omega \times v}$$

### 连心力运动

针对质量较大的物体，而且因为其他物体所施加的连心力而运动，连心力只和二物体质心的距离有关，其运动方程为：

$$\frac{d^2}{d\theta^2}\left(\frac{1}{\mathbf{r}}\right) + \frac{1}{\mathbf{r}} = -\frac{\mu\mathbf{r}^2}{\mathbf{l}^2}\mathbf{F}(\mathbf{r})$$

## 定加速度运动方程

仅当加速度恒定时才能使用这些方程式。如果加速度会变化，则必须使用上面的一般微积分学方程，透过积分位置、速度和加速度的定义来找到（见上文）。

线性运动｜旋转运动

$\mathbf{v-v_0}=\mathbf at$｜$\omega - \omega_0 = \alpha t$

$\mathbf{x - x_0} = \tfrac{1}{2}(\mathbf{v_0+v})t$｜$\theta - \theta_0 = \tfrac{1}{2}(\omega_0 + \omega)t$

$\mathbf{x - x_0} = \mathbf v_0t+\tfrac{1}{2}\mathbf at^2$｜$\theta - \theta_0 = \omega _0 t + \tfrac{1}{2} \alpha t^2$

$\mathbf x_{n^{th}} = \mathbf v_0+\mathbf a(n-\tfrac{1}{2})$｜$\theta_{n^{th}} =\omega_0+\alpha(n-\tfrac{1}{2})$

$v^2 - v_0^2 = 2\mathbf{a(x-x_0)}$｜$\omega^2 - \omega_0^2 = 2\alpha(\theta-\theta_0)$

## 伽利略座标系变换

在古典（伽利略-牛顿）力学里，将物理定律从一个惯性或加速（包括旋转）坐标系（参考坐标系是以定速移动，其中包括零速）变换到另一个坐标系的变换即为伽利略变换。

以下标示r, v, a 的物理量是在坐标系F的位置、速度、加速度物理量，而标示r’, v’, a’ 的物理量是在以相对坐标系F移动速度V或是角速度Ω的坐标系F’的的位置、速度、加速度物理量。相对的，F是以相反的速度(—V or —Ω) 相对于F'移动。此情形类似相对加速度。

运动方式｜惯性坐标系｜加速坐标系

移动 V = 两个惯性坐标系F和F'之间的相对定速度 A = 两个加速坐标系F和F'之间的相对（变）加速度｜相对位置 $$\mathbf{r}' = \mathbf{r} + \mathbf{V}t$$ 相对速度 $$\mathbf{v}' = \mathbf{v} + \mathbf{V}$$ 等效加速度 $$\mathbf{a}' = \mathbf{a}$$｜相对加速度 $$\mathbf{a}' = \mathbf{a} + \mathbf{A}$$ 假想力 $$\mathbf{F}' = \mathbf{F} - \mathbf{F}_\mathrm{app}$$

转动 Ω = 两个惯性坐标系F和F'之间的相对定角速度 Λ = 两个加速坐标系F和F'之间的相对（变）角加速度｜相对角位置 $$\theta' = \theta + \Omega t$$ 相对速度 $$\boldsymbol{\omega}' = \boldsymbol{\omega} + \boldsymbol{\Omega}$$ 等效加速度 $$\boldsymbol{\alpha}' = \boldsymbol{\alpha}$$｜相对加速度 $$\boldsymbol{\alpha}' = \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\Lambda}$$ 假想力矩 $$\boldsymbol{\tau}' = \boldsymbol{\tau} - \boldsymbol{\tau}_\mathrm{app}$$

将向量T转换到旋转座标系 $$\frac{{\rm d}\mathbf{T}'}{{\rm d}t} = \frac{{\rm d}\mathbf{T}}{{\rm d}t} - \boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{T}$$

## 机械谐振子

物理情况｜术语｜平移方程｜角方程

简谐运动（SHM）｜、x = 横向位移、θ = 角位移、A =横向振幅、Θ = 角振幅 ｜$$\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = - \omega^2 x$$ 解： $$x = A \sin\left ( \omega t + \phi \right )$$｜$$\frac{\mathrm{d}^2 \theta}{\mathrm{d}t^2} = - \omega^2 \theta$$ 解： $$\theta = \Theta \sin\left ( \omega t + \phi \right )$$

非受迫阻尼振动｜、b = 阻尼常数、κ = 扭转常数 ｜$$\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} + b \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \omega^2 x = 0$$ 解（见下文ω）： $$x=Ae^{-bt/2m}\cos\left ( \omega' \right )$$ 谐振频率： $$\omega_\mathrm{res} = \sqrt{\omega^2 - \left ( \frac{b}{4m} \right )^2 }$$ 阻尼率： $$\gamma = b/m$$ 激发的预期寿命（Expected lifetime of excitation）： $$\tau = 1/\gamma$$｜$$\frac{\mathrm{d}^2 \theta}{\mathrm{d}t^2} + b \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} + \omega^2 \theta = 0$$ 解： $$\theta=\Theta e^{-\kappa t/2m}\cos\left ( \omega \right )$$ 谐振频率： $$\omega_\mathrm{res} = \sqrt{\omega^2 - \left ( \frac{\kappa}{4m} \right )^2 }$$ 阻尼率： $$\gamma = \kappa/m$$ 激发的预期寿命（Expected lifetime of excitation）： $$\tau = 1/\gamma$$

物理情况｜术语｜方程

线性无阻尼非受迫简谐振子｜、k = 弹簧常数、m = 钟摆质量 ｜$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

线性非受迫阻尼谐振子｜、k = 弹簧常数、b = 阻尼系数 ｜$\omega' = \sqrt{\frac{k}{m}-\left ( \frac{b}{2m} \right )^2 }$

低振幅角简谐振子｜、I = 相对摆动轴转动惯量、κ = 扭转常数 ｜$\omega = \sqrt{\frac{\kappa}{I}}$

低振幅单摆｜、L = 摆锤长度、g = 重力加速度、Θ = 角振幅 ｜近似值 $$\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$$ 精确值可以表示成： $$\omega = \sqrt{\frac{g}{L}} \left [ 1 + \sum_{k=1}^\infty \frac{\prod_{n=1}^k \left ( 2n-1 \right )}{\prod_{n=1}^m \left ( 2n \right )} \sin^{2n} \Theta \right ]$$

物理情况｜术语｜方程

简谐运动能量｜、T = 动能、U = 势能、E = 总能量 ｜势能： $$U = \frac{m}{2} \left ( x \right )^2 = \frac{m \left( \omega A \right )^2}{2} \cos^2(\omega t + \phi)$$ 在x = A处的最大值： $$U_\mathrm{max} \frac{m}{2} \left ( \omega A \right )^2$$ 动能： $$T = \frac{\omega^2 m}{2} \left ( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \right )^2 = \frac{m \left ( \omega A \right )^2}{2}\sin^2\left ( \omega t + \phi \right )$$ 总能量： $$E = T + U$$

阻尼谐振子能源｜$E = \frac{m \left ( \omega A \right )^2}{2}e^{-bt/m}$