以豪斯多夫维度排序的分形列表

据本华·曼德博所说：“分形的定义是豪斯多夫-贝西科维奇维度严格大于拓扑维度的集合。”

本文的分形列表以豪斯多夫维度升序排列，展示所谓分形维度的意义。

## 定分形

豪斯多夫维度（精确值）｜豪斯多夫维度（近似值）｜名称｜图片｜注释

计算得到｜0.538｜费根鲍姆吸引子｜

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｜费根鲍姆吸引子（见箭头之间）是临界参数值$\scriptstyle{\lambda_\infty = 3.570}$的逻辑斯谛映射连续迭代产生的点的集合，其周期减半是无限的。这个维度对任何可微函数和单峰函数都一样。

$\log_3(2)$｜0.6309｜康托尔集｜

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｜每次迭代都会去掉中间的三分之一。无处稠密集，不可数集。

$\frac{-\log(2)}{\log\left(\displaystyle\frac{1-\gamma}{2}\right)}$｜02 + 1/4的朱利亚集。

$2|\alpha|^{3s}+|\alpha|^{4s}=1$中s的解｜1.0933｜罗兹分形的边界｜

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｜G.Rauzy提出了与Tribonacci态射有关的动力学分形表示法：$1\mapsto12$、$2\mapsto13$、$3\mapsto1$。$\alpha$是$z^3-z^2-z-1=0$的共轭根之一。

$2\log_7(3)$｜1.12915｜高斯帕曲线｜

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｜高斯帕岛是高斯帕曲线的极限。

分格测量｜1.2｜树突朱利亚集｜

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｜f(z) = z2 + i的朱利亚集。

$3\frac{\log(\varphi)}{\log\left(\displaystyle\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right)}$｜1.2083｜斐波那契字分形60°｜

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｜从斐波那契字构建。另见标准斐波那契字分形 $\varphi = (1+\sqrt{5})/2$（黄金比例）。

$\begin{align}&2\log_2\left(\displaystyle\frac{\sqrt[3]{27-3\sqrt{78}}+\sqrt[3]{27+3\sqrt{78}}}{3}\right),\\ &\text{or root of }2^x-1=2^{(2-x)/2}\end{align}$｜1.2108｜tame twindragon的边界｜

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｜平面上6个2-rep-tile之一（可分为2片更小的自相似子图）

1.26｜厄农映射｜

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｜规范厄农映射（参数a = 1.4；b = 0.3）的豪斯多夫维度为1.261 ± 0.003。不同参数会产出不同维度。

$\log_3(4)$｜1.2619｜Triflake｜

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｜Three anti-snowflakes arranged in a way that a koch-snowflake forms in between the anti-snowflakes.

$\log_3(4)$｜1.2619｜科赫曲线｜

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｜3片反雪花的排列方式是在反雪花之间形成科赫曲线。

$\log_3(4)$｜1.2619｜Terdragon曲线的边界｜

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｜L系统：与龙兴曲线相同，角度= 30°。Fudgeflake基于三角形中的3条初始线段。

$\log_3(4)$｜1.2619｜2D康托尔集｜

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$\log_3(4)$｜1.2619｜2DL系统分支｜

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｜L系统，分支图案有4个1/3大的新片段。以统计而非精确自相似生成图案，可得到相同的分形维度。

计算得到｜1.2683｜z2 − 1的朱利亚集｜

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｜f(z) = z2 - 1的朱利亚集。

1.3057｜阿波罗分形垫｜

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｜从3个相切的圆开始，反复将新的圆填入互补的间隙。也是由4个互切圆的反射产生的极限集。见

1.328｜5反演圆分形｜

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｜相对于5个互切圆（红色）的迭代反演产生的极限集。也是阿波罗分形垫。见

$\log_5(9)$｜1.36521｜平方科赫岛，生成自一型曲线｜

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｜也称为闵可夫斯基香肠

计算得到｜1.3934｜杜阿迪兔｜

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｜f(z) = -0.123 + 0.745i的朱利亚集。

$\log_3(5)$｜1.4649｜维则克分形｜

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｜每个方格由5个交叉方格反复交换而成。

$\log_3(5)$｜1.4649｜平方科赫曲线（1型）｜

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｜可以看出维则克分形的结构（如上）。

$\log_{\sqrt{5}}\left(\frac{10}{3}\right)$｜1.4961｜四角十字架｜

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｜

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每个方格由5个交叉方格反复交换而成。

$2-\log_2(\sqrt{2})=\frac{3}{2}$｜1.5000｜魏尔施特拉斯函数：$\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2^k x)}{\sqrt{2}^k}$｜

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｜魏尔施特拉斯函数$f:[0,1]\to\mathbb{R}$图像的豪斯多夫维度由$f(x)=\sum_{k=1}^\infty a^{-k}\sin(b^k x)(\frac{1}{b}<a<1;\ b>1;\ 2 +\log_b(a))$定义。

$\log_4(8)=\frac{3}{2}$｜1.5000｜平方科赫曲线（2型）｜

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｜也称为“闵可夫斯基香肠”。

$\log_2\left(\frac{1+\sqrt[3]{73-6\sqrt{87}}+\sqrt[3]{73+6\sqrt{87}}}{3}\right)$｜1.5236｜龙形曲线的边界｜

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｜cf. Chang & Zhang.

$\log_2\left(\frac{1+\sqrt[3]{73-6\sqrt{87}}+\sqrt[3]{73+6\sqrt{87}}}{3}\right)$｜1.5236｜双龙曲线的边界｜

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｜可由两条龙兴曲线构造。平面上6个2-rep-tile之一（可由两个大小相等的自相似部分组成）。

$\log_2(3)$｜1.5850｜3支树｜

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｜每个树枝都有3个分支（此处为 90°和 60°）。整棵树的分形维度就是末端树枝的分形维度。注意：2支树的分形维度只有1。

$\log_2(3)$｜1.5850｜谢尔宾斯基三角形｜

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｜是帕斯卡三角模2的极限形。

$\log_2(3)$｜1.5850｜谢尔宾斯基曲线｜

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｜极限与上方的三角相同，但由一维曲线构建。

$\log_2(3)$｜1.5850｜T方形分形的边界｜

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｜分形本身的维度（不是边界）是$\log_2(4)=2$

$\log_{\sqrt[\varphi]{\varphi}}(\varphi)=\varphi$｜1.61803｜黄金龙形曲线｜

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｜由相似比为$r$、$r^2(r = 1 / \varphi^{1/\varphi})$构造。维度等于$\varphi$，因为$({r^2})^\varphi+r^\varphi = 1$。$\varphi = (1+\sqrt{5})/2$（黄金比例）。

$1+\log_3(2)$｜1.6309｜帕斯卡三角模3｜

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｜对于k模三角形，若k为质数，则分形维度为$\scriptstyle{1 + \log_k\left(\frac{k+1}{2}\right)}$（参史蒂芬·沃尔夫勒姆）。

$1+\log_3(2)$｜1.6309｜谢尔宾斯基六边形｜

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｜以谢尔宾斯基地毯的方式，在六边形网格上绘制的6个相似比为1/3的模拟图。科赫曲线见于所有尺度。

$3\frac{\log(\varphi)}{\log (1+\sqrt{2})}$｜1.6379｜斐波那契词分形｜

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｜基于斐波那契词Sloane A005614的分形。图片为23步后的分形曲线（F23 = 28657组分）。$\varphi = (1+\sqrt{5})/2$（黄金比例）。

$(1/3)^s + (1/2)^s + (2/3)^s = 1$的解｜1.6402｜有1/3、1/2、2/3 三种相似比的迭代函数系统｜

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｜推广：只要开集条件成立，由比率$c_n$的n个相似图形组成的迭代函数系统的吸引子具有豪斯多夫维度$s$，满足的方程与欧几里得缩放因子的迭代函数重合：$\sum_{k=1}^n c_k^s = 1$。

$\log_{8}(32)=\frac{5}{3}$｜1.6667｜32段四边形分形（1/8比例）｜

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｜

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每次迭代将32段生成线段（见图）缩放1/8，并用整个生成线段的缩放拷贝替换前一个结构的每一段。所示结构由4个生成单元组成，并迭代3次。理论结构的分形维度为log 32/log 8 = 1.6667。

$1+\log_5(3)$｜1.6826｜帕斯卡三角模5｜

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｜对于k模三角形，若k为质数，则分形维度为$\scriptstyle{1 + \log_k\left(\frac{k+1}{2}\right)}$（参史蒂芬·沃尔夫勒姆）。

网格测量法｜1.7｜池田函数吸引子｜

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｜池田函数$z_{n+1} = a + bz_n \exp\left[i\left[k - p/\left(1 + \lfloor z_n \rfloor^2\right)\right]\right]$参数取a=1、b=0.9、k=0.4、p=6时的图案。其来自光学环形激光器中平面波相互作用场的模型。不同的参数会产生不同的值。

$1+\log_{10}(5)$｜1.6990｜50段四边形分形（1/10比例）｜

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｜每次迭代将50段生成线段（见图）缩放1/10，并用整个生成线段的缩放拷贝替换前一个结构的每一段。所示结构由4个生成单元组成，并迭代3次。理论结构的分形维度为log 50/log 10 = 1.6990。

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$4\log_5(2)$｜1.7227｜针轮分形｜

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｜由康威的针轮平铺构建而来。

$\log_3(7)$｜1.7712｜斯芬克斯分形｜

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｜由斯芬克斯六联钻石构建而来，去除了9个子部分中的2个。

$\log_3(7)$｜1.7712｜六联雪花｜

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｜由7个六边形组分迭代交换每个六边形而成，其边界为科赫片，包含无穷多科赫雪花（黑或白）。

$\log_3(7)$｜1.7712｜Fractal H-I de Rivera｜

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｜从单位正方形开始，将其三等分，形成九个自相似正方形。在未消除的7个小正方形中，再去掉上下中间的两个，这样无限重复。

$\frac{\log(4)}{\log(2+2\cos(85^\circ))}$｜1.7848｜科赫曲线85°｜

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｜科赫曲线的推广，角度a在0到90°之间。分形维度为$\frac{\log(4)}{\log(2+2\cos(a))} \in [1,2]$。

$\log_2\left(3^{0.63}+2^{0.63}\right)$｜1.8272｜自仿射分形集｜

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｜从正方形上的$p \times q(p \le q)$矩阵迭代而来，豪斯多夫维度等于$\log_p\left(\sum_{k=1}^p n_k^a\right)(a=\log_q(p))$，且$n_k$是第$k$th列的元素个数。计盒维数给出的公式不一样，因此值也不同。不同于自相似集，自仿射分形集的豪斯多夫维度取决于迭代元素的位置，到目前还没有一般公式。

$\frac{\log(6)}{\log(1+\varphi)}$｜1.8617｜五联雪花｜

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｜通过交替迭代6个五边形中的每个五边形构建。$\varphi = (1+\sqrt{5})/2$（黄金比例）。

$6(1/3)^s+5{(1/3\sqrt{3})}^s=1$的解｜1.8687｜猴子树｜

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｜见于本华·曼德博的《自然分形几何》（1983），基于相似比为$1/3$的6个图和相似比为$1/3\sqrt{3}$的5个图。

$\log_3(8)$｜1.8928｜谢尔宾斯基地毯｜

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｜门格海绵的每个面都是谢尔宾斯基地毯，与三维平方科赫曲面（1型）的底面一样。

$\log_3(8)$｜1.8928｜3D 康托尔集｜

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$\log_3(4)+\log_3(2)=\frac {\log(4)} {\log(3)}+\frac {\log(2)} {\log(3)}=\frac {\log(8)} {\log(3)}$｜科赫曲线与康托尔集的笛卡儿积｜

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｜推广：令F×G为分形集F、G的笛卡儿积，则$\dim_H(F \times G) = \dim_H(F) + \dim_H(G)$。另见2D康托尔集和康托尔体。

$2\log_2(x)$，其中$x^9-3x^8+3x^7-3x^6+2x^5+4x^4-8x^3+$ $8x^2-16x+8=0$｜1.9340｜莱维C形曲线的边界｜

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｜Duvall & Keesling (1999)估计。曲线本身的分形维度为2。

2｜彭罗斯密铺｜

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｜参见Ramachandrarao, Sinha & Sanyal。

$2$｜2｜曼德博集合的边界｜

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｜边界与集合本身有相同的豪斯多夫维度。

$2$｜2｜朱利亚集合｜

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｜对于确定的c值（包括属于曼德博集边界的c），朱利亚集的维度为2.

$2$｜2｜谢尔宾斯基曲线｜

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｜所有能填满平面的空间填充曲线的豪斯多夫维度都是2。

$2$｜2｜希尔伯特曲线｜

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$2$｜2｜皮亚诺曲线｜

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｜还有以类似方法构建的曲线族，如Wunderlich曲线。

$2$｜2｜摩尔曲线｜

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｜可扩展到3维。

2｜勒贝格曲线或Z阶曲线｜

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｜与前几种不同的是，这种空间填充曲线几乎处处可导。另一种类型可定义在二维中。与希尔伯特曲线一样，也可扩展到三维空间。

$\log_\sqrt{2}(2)=2$｜2｜龙形曲线｜

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｜其边界的分形维度为1.5236270862。

2｜双龙曲线｜

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｜L系统：F → F + F – F, angle = 120°.

$\log_2(4)=2$｜2｜高斯帕曲线｜

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｜曲边界为高斯帕岛。

$7({1/3})^s+6({1/3\sqrt{3}})^s=1$的解｜2｜填充科赫曲线的曲线｜

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｜曼德博提出于1982年，填充了科赫曲线。基于7个相似比为1/3的部分和6个相似比为$1/3\sqrt{3}$的部分。

$\log_2(4)=2$｜2｜谢尔宾斯基四面体｜

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｜每个四面体都被替代为4个更小的四面体。

$\log_2(4)=2$｜2｜H树｜

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｜与之有相似模式的有曼德博树。

$\frac{\log(2)}{\log(2/\sqrt{2})}=2$｜毕达哥拉斯树｜

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｜每个正方形都以$1/\sqrt{2}$的比例扩张出两个小正方形。

$\log_2(4)=2$｜2｜2D希腊十字分形｜

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｜每段由4段组成的十字形取代。

测量得到｜2.01 ±0.01｜若斯叻吸引子｜

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｜若斯叻吸引子的分数维度略大于2，在a=0.1、b=0.1、c=14时大约位于2.01到2.02之间。

测量得到｜2.06 ±0.01｜洛伦茨吸引子｜

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｜对于参数$\rho=40,\ \sigma,\ \beta=4$。见McGuinness (1983)

$4+c^D+d^D=(c+d)^D$｜2（精确值）｜豪斯多夫维度（近似值）｜名称｜图片｜注释

1/2｜0.5｜维纳过程的零点｜

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｜维纳过程（布朗运动）的零点是勒贝格测度为0的无处稠密集，带分形结构。

$E(C_1^s + C_2^s)=1(E(C_1)=0.5,\ E(C_2)=0.3)$的解｜0.7499｜随机康托尔集（50% - 30%）｜

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｜推广：每次迭代，左侧间隙的长度为随机变量$C_1$，与原间隙长度之比随机。右侧间隙同理，随机变量$C_2$。其豪斯多夫维度$s$满足：$E(C_1^s + C_2^s)=1$($E(X)$是$X$的期望）。

$s+1=12\cdot2^{-(s+1)}-6\cdot3^{-(s+1)}$的解｜1.144...｜间隔随机的科赫曲线｜

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｜中间间隙的长度是随机变量，服从间隙的(0,1/3)上的均匀分布。

测量得到｜1.22±0.02｜爱尔兰岛海岸线｜

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｜爱尔兰岛全部海岸线的分形维度由阿尔斯特大学与都柏林三一学院理论物理系学生McCartney、Abernethy、Gault在S. Hutzler指导下测得。注意爱尔兰岛西部海岸线较曲折（分形维度约1.26），东部较平滑（分形维度约1.10）。

测量得到｜1.25｜大不列颠岛海岸线｜

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｜大不列颠岛西海岸海岸线，的分形维度，由刘易斯·弗赖伊·理查森测得，本华·曼德博引用。

$\frac {\log(4)} {\log(3)}$｜1.2619｜随机转向的科赫曲线｜

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｜在这里，我们引入了一个不影响维度的随机因素，即在每次迭代时选择将等边三角形置于曲线的上方或下方。

$\frac {4}{3}$｜1.333｜布朗运动的边界｜

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｜（参曼德博、Lawler、Schramm、维纳）。

$\frac {4}{3}$｜1.333｜2D聚合物｜与二维不自交布朗运动相似。

$\frac {4}{3}$｜1.333｜2D渗流前沿、2D腐蚀前沿｜

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｜渗流前沿（包括外缘）的分形维度，于逾渗阈值（59.3%）。也是腐蚀前沿的分形维度。

1.40｜2D凝聚体｜受到扩散限制时，凝聚体会逐渐聚合为维度1.4的特殊凝聚体。

$2-\frac{1}{2}$｜1.5｜规则分维布朗运动函数（维纳过程）图像｜

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｜函数$f$，对任意两正实数$x,\ x+h$，像之差$f(x+h)-f(x)$服从中心方差分布，方差$= h$。推广：$\alpha$分维布朗运动的方差为$= h^{2\alpha}$，豪斯多夫维度$=2-\alpha$。

测量得到｜1.52｜挪威海岸线｜

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｜见J. Feder。

测量得到｜1.55｜自避行走｜

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｜方格中的随机行走，不重复到达同一格点，有“返回”过程避免掉进死胡同。

$\frac {5} {3}$｜1.66｜3D聚合物｜与体格中的布朗运动相似，但没有自避。

1.70｜2D扩散限制凝聚体｜

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｜二维中形成的扩散限制凝聚体，分形维度约为1.70。

$\frac {\log(9\cdot0.75)} {\log(3)}$｜1.7381｜概率为75%的分形渗流｜

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｜分形渗流模型可由以下过程构建：将每个方格划为$3\times3$的网格，在其中随机放置一组正方形，正方形保留的概率为p。豪斯多夫维度趋近于$\textstyle{\frac {\log(9p)} {\log(3)}}$。

7/4｜1.75｜二维渗流簇壳｜

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｜渗流簇的边界。也可通过生成簇壳游走或Schramm-Loewner演化形成。

$\frac {91} {48}$｜1.8958｜二维渗流簇｜

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｜方格中，在场地渗流阈值（59.3%）下，渗漏壳的分形维度为91/48。在阈值之上，壳层将无限延伸，91/48则变为“空地”的分形维度。

$\frac {\log(2)} {\log(\sqrt{2})} = 2$｜2｜布朗运动｜

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｜或随机游走。多维情况的豪斯多夫维度=2（K.Falconer“分形集几何”）。

测量得到｜约2｜星系团分布｜

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｜数据来自斯隆数字巡天（2005）。

2.5｜废纸团｜

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｜将不同尺寸、同种、同长宽比的纸张（如ISO 216的A系列）揉成一团，则纸张面积大致会与纸团直径的2到3之间某数的次方成正比。无论什么尺寸都会形成褶皱（见普遍性 (物理学)）。

2.50｜3D扩散限制凝聚体｜

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｜三维中形成的扩散限制凝聚体，分形维度约为2.50。

2.50｜利希滕贝格图｜

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｜其出现与生长似乎与扩散限制凝聚过程有关。

$3-\frac{1}{2}$｜2.5｜规则布朗面｜

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｜函数$f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$给出点$(x,y)$的高度，使得任给两个正增量$h,\ k$，则$f(x+h,y+k)-f(x,y)$服从中心正态分布，方差= $\sqrt{h^2+k^2}$。推广：$\alpha$分维布朗面方差为$=(h^2+k^2)^\alpha$，豪斯多夫维度$=3-\alpha$。

测量得到｜2.52｜3D渗流团｜

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｜体格中，在背景逾渗阈值（31.1%）下，3D渗流团的分形维度约为2.52。Beyond that threshold, the cluster is infinite.

测量、计算得到｜~2.7｜西蓝花表面｜

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｜金山勋利用直接扫描法与交叉截面分析，得到西蓝花表面分形维度~2.7。

测量得到｜~2.8｜人脑表面｜

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｜高分辨三维MRI成像得到

测量、计算得到｜~2.8｜花椰菜｜

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｜金山勋利用直接扫描法与交叉截面分析，得到花椰菜表面分形维度~2.8。

2.97｜肺表面｜

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｜肺泡形成的分形面接近3。

计算得到｜$\in(0,2)$｜乘阶｜

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｜多分形分布的例子。通过挑选特定参数，可以使分布变为单分形。

## 外部链接

- The fractals on Mathworld
- Other fractals on Paul Bourke's website
- Soler's Gallery
- Fractals on mathcurve.com
- 1000fractales.free.fr - Project gathering fractals created with various software
- Fractals unleashed
- IFStile - software that computes the dimension of the boundary of self-affine tiles