极点分离

极点分离（Pole splitting）是在放大器电路中进行频率补偿时，可能会出现的现象。若在放大器的输入侧和输出侧加上电容器，希望将最低频率的极点（多半在输入侧）时，极点分离会使次低的极点频率提高。此极点的移动会提升放大器的稳定性，也会改善其阶跃响应，但其速度会变慢。

## 举例

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这些例子可以看出在图1的运算放大器中加入电容器CC，有两个目的：使得放大器最低频的极点频率再降低，并且将次低频率的极点频率提高。图1的放大器其低频的极点是因为加入的输入阻抗Ri以及电容Ci，其时间常数是Ci ( RA

Ri )。因为密勒定理的缘故，此极点的频率会降低。此放大器有一个频率较高的极点，是因为负载电阻RL和电容CL，其时间常数是CL ( Ro

RL )。此极点的频率会因为密勒放大的补偿电容器CC影响了输出电压分压器的频率相依关系，因此频率会提高。

第一个目的，也就是将最低频率极点的频率调低，可以用类似密勒效应条目中的作法。依照密勒定理中所述的程序，图1的电路可以转换为图2的电路，两者在电气上是等效的。将基尔霍夫电路定律应用在图2的输入侧，可以找到给理想运算放大器的电压是信号电压$\ v_a$的函数

$$<pre> \frac {v_i} {v_a} = \frac {R_i} {R_i+R_A} \frac {1} {1+j \omega (C_M+C_i) (R_A\|R_i)} \ ,$$

其滚降从频率f1开始

$$\begin{align} <pre> f_{1} & = \frac {1} {2 \pi (C_M+C_i)(R_A\|R_i) } \\ & = \frac {1} {2 \pi \tau_1} \ , \\ </pre> \end{align}$$

其中的$\tau_1$是最低极点的时间常数，比原始的时间常数要低，原始的时间常数对应CC = 0 F时，是$\frac {1} {2 \pi C_i (R_A\|R_i)}$。

若考虑第二个目的，让较高频率的极点频率再往上增加，需要看电路的输出侧，输出侧为整体增益增加了第二个因子，也有额外的频率相依性，电压$\ v_o$是由理想放大器的增益决定的

$$\ v_o = A_v v_i \ .$$

利用这个关系，再在输出侧应用基尔霍夫电路定律，可以得到负载电压$v_{\ell}$相对于运算放大器输入电压$\ v_{i}$的函数：

$\frac {v_{\ell}} {v_i} = A_v \frac {R_L} {R_L+R_o}\,\!$ $\sdot \frac {1+j \omega C_C R_o/A_v } {1+j \omega (C_L + C_C ) (R_o\|R_L) } \ .$

这个运算式可以结合输入侧电路的增益，得到整体增益是

$$\frac {v_{\ell}} {v_a} = \frac {v_{\ell}}{v_i} \frac {v_i} {v_a}$$

$= A_v \frac {R_i} {R_i+R_A}\sdot \frac {R_L} {R_L+R_o}\,\!$ $\sdot \frac {1} {1+j \omega (C_M+C_i) (R_A\|R_i)} \,\!$ $\sdot \frac {1+j \omega C_C R_o/A_v } {1+j \omega (C_L + C_C ) (R_o\|R_L) } \ .$

增益公式中是一个单纯的二阶响应，有二个时间常数（其中也有一个零点，假设放大器增益Av很大的话，此零点只有在很高频率才需要考虑，目前的讨论可以假设分子是1）。不过，虽然放大器看似二极的行为，但这二个时间常数比上述的要复杂，因为密勒电容中有藏着一个频率相依性，在较高频时就需要考虑。假设输出R-C乘积CL ( Ro

RL )，对应一个比低频极点频率要高很多的频率。那么密勒电容的值就不能用密勒近似的公式，需要用精确值。根据密勒定理，密勒电容为

$$\begin{align} C_M & = C_C \left( 1 - \frac {v_{\ell}} {v_i} \right) \\ <pre> & = C_C \left( 1 - A_v \frac {R_L} {R_L+R_o} \frac {1+j \omega C_C R_o/A_v } {1+j \omega (C_L + C_C ) (R_o\|R_L) } \right ) \ . \\ </pre> \end{align}$$

（针对一个正的密勒电容，Av为负值）。将此结果代入增益公式中，增益可以改写如下：

$$\frac {v_{\ell}} {v_a} = A_v \frac {R_i} {R_i+R_A} \frac {R_L} {R_L+R_o} \frac {1+j \omega C_C R_o/A_v } {D_{ \omega }} \ ,$$

其中Dω是ω的二次式：

$D_{ \omega }\,\!$ $= [1+j \omega (C_L+C_C) (R_o\|R_L)] \,\!$ $\sdot \ [ 1+j \omega C_i (R_A\|R_i)] \,\!$ $\ +j \omega C_C (R_A\|R_i)\,\!$ $\sdot \left( 1-A_v \frac {R_L} {R_L+R_O} \right) \,\!$ $\ +(j \omega) ^2 C_C C_L (R_A\|R_i) (R_O\|R_L) \ .$

上述的二次式可以改写如下：

$$\ D_{ \omega } =(1+j \omega { \tau}_1 )(1+j \omega { \tau}_2 )$$

$$= 1 + j \omega ( {\tau}_1+{\tau}_2) ) +(j \omega )^2 \tau_1 \tau_2 \ , \ $$

其中$\tau_1$ and $\tau_2$是Dω公式中结合了电阻和电容的值。可以对应放大器二个极点的时间常数。其中一个是比较大，假设$\tau_1$是较大的时间常数，对应最低的极点，另外再假设$\tau_1$ >> $\tau_2$（若要有良好的阶跃响应，会需要$\tau_1$ >> $\tau_2$，可以看以下的如何选择CC章节）

在放大器最低极点还低的频段，ω的线性项比二次项影响更大，因此Dω的低频特性为：

$$\begin{align} \ D_{ \omega } & = 1+ j \omega [(C_M+C_i) (R_A\|R_i) +(C_L+C_C) (R_o\|R_L)] \\ <pre> & = 1+j \omega ( \tau_1 + \tau_2) \approx 1 + j \omega \tau_1 \ , \ \\ </pre> \end{align}$$

其中的CM会用密勒效应重新定义为

$$C_M= C_C \left( 1 - A_v \frac {R_L}{R_L+R_o} \right) \ ,$$

就是之前低频计算的密勒电容。以此基础下，假设$\tau_1$ >> $\tau_2$，可以确定$\tau_1$。因为CM很大，时间常数${\tau}_1$远大于其原始值Ci ( RA

Ri ).

$\tau_1$

在高频时平方项影响较小，假设上述有关$\tau_1$ 的结果有效，对应较高频率的第二个时间常数，可以由Dω的二次项求得，为

$$\tau_2 = \frac {\tau_1 \tau_2} {\tau_1} \approx \frac {\tau_1 \tau_2} {\tau_1 + \tau_2}\ .$$

将平方项系数的公式代到$\tau_1 \tau_2$，再加上 $\tau_1$的估计值，可以得到第二个极点的估计位置：

$$\begin{align} <pre> \tau_2 & = \frac {(C_C C_L +C_L C_i+C_i C_C)(R_A\|R_i) (R_O\|R_L) } {(C_M+C_i) (R_A\|R_i) +(C_L+C_C) (R_o\|R_L)} \\ & \approx \frac {C_C C_L +C_L C_i+C_i C_C} {C_M} (R_O\|R_L)\ , \\ </pre> \end{align}$$

因为CM很大，$\tau_2$会比原来的值CL ( Ro

RL )要小，也就是说，较高频率的极点其频率会因为CC而提高.。

简单来说，导入CC降低低频极点，提高高频极点。因此符合“极点分离”字面上的意思。

### 如何选择CC

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在一般的应用中，传统放大器设计（称为“主极点”或“单极点补偿”）会要求放大器增益在转角频率处以20 dB/decade的斜率下降，降到0 dB增益，甚至更低。在此设计下，放大器会稳定，而且有近乎最佳的阶跃响应，类似增益为1的电压缓冲器。而二极点补偿是更冒险的作法。

在设计中选择f2的方式如图3所示。在最低极点f1处，波德增益图开始以20 dB/decade的斜率下降。其目的是要维持20 dB/decade的下降斜率，一直到0dB为止，并且取20 log10 Av增益（以dB）表示的下降量，除以希望的频率变化（在log频率尺度上），( log10 f2 − log10 f1 ) = log10 ( f2 / f1），就是这段的斜率

斜率 $=20 \frac {\mathrm{log_{10}} ( A_v )} {\mathrm{log_{10}} (f_2 / f_1 ) } \ ,$

若f2 = Av f1，上述的值会是是20 dB/decade。若f2没有这么大，波德图的第二个转折会发生在增益降到0 dB之前，这会让稳定性变差，而且阶跃响应也会不好。

图3也说明了正确的增益和频率的关系，第二个极点至少要是第一个极点的Av倍。此增益会因为放大器输入和输出的电压分配定则而减少一点，因此要修正输入和输出电压分配下的Av，使用良好阶跃响应下的“极点—比例条件”（pole-ratio condition）可得：

$$\frac {\tau_1} {\tau_2} \approx A_v \frac {R_i} {R_i+R_A}\sdot \frac {R_L} {R_L+R_o} \ ,$$

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利用上述时间常数的近似，可以得到

$$\frac {\tau_1} {\tau_2} \approx \frac {(\tau_1 +\tau_2 ) ^2} {\tau_1 \tau_2} \approx A_v \frac {R_i} {R_i+R_A}\sdot \frac {R_L} {R_L+R_o} \ ,$$

或

$\frac {[(C_M+C_i) (R_A\|R_i) +(C_L+C_C) (R_o\|R_L)]^2} {(C_C C_L +C_L C_i+C_i C_C)(R_A\|R_i) (R_O\|R_L) } \,\!$ ${\color{White}\sdot} = A_v \frac {R_i} {R_i+R_A}\sdot \frac {R_L} {R_L+R_o} \ ,$

这是一个可以求得CC近似值的二次式。图4是此式的图形。在低增益时放大器在没有补偿时就满足极点－增益条件（在图中低增益时的补偿电容器CC很小），但增益增加时，因为需要的极点增益快速上升，补偿电容器就越来越重要（在图4时，补偿电容器随频率迅速的增加）。若增益更大时，因为CC的密勒放大作用，会随着增益而增加（可以参考密勒方程式），因此必要的CC会随着增益增加而减少。

若考虑设计的不确定性，保留较多的安全预度，Av会设计成等式右边Av值的两倍或三倍。可以参考Sansen或Huijsing的参考资料

### 回转率

上述都是小信号分析。不过若用在大信号时，因为补偿电容器需要充电和放电，会对放大器的回转率有不良的影响。而且因为需要为CC充电，会限制斜坡函数输入下的响应。