决定公理

在数学上，决定公理（Axiom of determinacy，常记做AD）是一个在1962年由扬·米切尔斯基和雨果·斯坦豪斯所提出的可能的集合论公理，这公理探讨的是特定类型且长度为ω的二人拓朴游戏，而决定公理声称，任何这类的游戏都是决定性，也就是这两个玩家中其中一人有必胜策略。

他们发展出决定公理的动机是这公理的有趣结果，他们并指出这公理可在集合论的最小自然模型L(R)中成立，这模型只接受较弱版本的选择公理，但包括了所有的实数和序数。决定公理的一些结果，可由早前由斯特凡·巴拿赫、斯坦尼斯瓦夫·马祖尔以及莫顿·戴维斯（Morton Davis）等人证明的定理得出；而米切尔斯基与斯坦豪斯两氏则证明了另一个结果，那就是在决定公理下，所有实数的集合都是勒贝格可测的。之后Donald A. Martin等人证明了更多重要的结果，尤其在描述集合论方面更是如此。在1988年，约翰·斯蒂尔与乌丁总结了一长串的研究，并证明说在类似$\alef_0$的不可数基数存在的状况下，米切尔斯基与斯坦豪斯两氏原先的猜想，也就是“决定公理在集合论的最小自然模型L(R)中成立”这点是对的。

## 具决定性的游戏

决定公理所谈论的游戏具有特定的定义，而其定义如次：

考虑所有自然数的无限序列组成的贝尔空间$\omega^{\omega}$的子集合$A$，而其中两个玩家1p与2p轮流选取自然数

$$n_0, n_1, n_2, n_3, ...$$

在经过无限步后，可得一序列$(n_i)_{i \in \omega}$，其中玩家1p获胜当且仅当这序列是$A$的元素。而决定公理讲的是任何这类的游戏都是决定的，也就是这两个玩家中其中一人有必胜策略。

不是所有的游戏的决定性，都需要动用决定公理来证明。在$A$是一个闭开集的情况下，那这游戏基本是有限的，也因此是决定的；相似地，若$A$是一个闭集，那这游戏是决定的。在1975年，唐纳德·A·马丁证明说若一个游戏必胜策略是一个博雷尔集的话，那这游戏是决定的；此外，在有足够大的基数存在的状况下，所有必胜策略是射影集的游戏都是决定的，而决定公理在L(R)中成立。

另外，决定公理蕴含说对于任何实数线的子空间$X$而言，巴拿赫－马祖尔游戏$BM(X)$是决定的（也因此所有的实数集合都具有贝尔性质）。

## 决定公理与选择公理的不相容性

在假定选择公理成立的状况下，我们可以构造决定公理的一个反例。集合$S_1$是$\omega$－游戏$G$中玩家一的所有策略，其大小与连续统相同；而类似地，$S_2$是同样游戏中玩家二的所有策略。设$SG$为$G$中所有可能序列的集合，并假定$A$是$SG$中使玩家一获胜的子序列，那么利用选择公理我们可以为连续统构造一个良序，且我们可以构造出一个任何真初始部分都小于连续统的排序，而我们可利用这样的良序集$J$来给$S_1$跟$S_2$上指标，并借此将$A$给构造成决定公理的一个反例。

我们从空集合$A$与$B$开始。设$\alpha \in J$是集合$S_1$跟$S_2$的指标，我们考虑玩家一的所有策略$S_1 = {s1(\alpha)}$及玩家二的所有策略$S_2 = {s2(\alpha)}$以确保对于任何策略，都会有另一个玩家的策略能将之胜过。对于任何玩家考虑的策略，我们都可生成一个序列，使得另一个玩家获胜。设$t$是时间轴，其长度为$\aleph_0$且这时间轴用于所有的游戏序列中，我们可以利用$A$上对$\alpha$的超限递归来生成反例：

- 首先，考虑玩家一的策略$s1(\alpha)$。
- 将这策略套用于$\omega$－游戏上，（连同玩家一的策略$s1(\alpha)$一起）可生成$\{a(1), b(2), a(3), b(4)...a(t), b(t+1),...\}$这序列，而这序列不属于$A$，这是可能的，而这可能性是因为$\{b(2), b(4), b(6)...\}$这些选项的数量与连续统相同，而这数量比$J$的真初始部分$\{ \beta \in J | \beta < J \}$还要大所致。
- 现在（若这序列还不在$B$之内的话）将这序列加入$B$之中以表示$s1(\alpha)$失败。（输给$\{b(2), b(4), b(6)...\}$）
- 现在，考虑玩家二的策略$s2(\alpha)$。
- 将这策略套用于$\omega$－游戏上，（连同玩家二的策略$s2(\alpha)$一起）可生成$\{a(1), b(2), a(3), b(4)...a(t), b(t+1),...\}$这序列，而这序列不属于$B$，这是可能的，而这可能性是因为$\{a(1), a(3), a(5)...\}$这些选项的数量与连续统相同，而这数量比$J$的真初始部分$\{ \beta \in J | \beta < J \}$还要大所致。
- 现在（若这序列还不在$A$之内的话）将这序列加入$A$之中以表示$s2(\alpha)$失败。（输给$\{a(1), a(3), a(5)...\}$）
- 利用对$\alpha$的超限归纳法，对$S_1$跟$S_2$的所有可能策略如是操作，对于所有在这之后不在$A$或$B$中的策略，将之任意分派给$A$或$B$，使得$B$为$A$的补集。

当这一切完成后，准备$\omega$－游戏$G$，而在这游戏中，对于任何玩家一的策略$s1$，存在一个$\alpha \in J$使得$s1 = s1(\alpha)$，而$A$的构造方式保证$s1(\alpha)$失败（输给$\{b(2), b(4), b(6)...\}$），因此$s1$失败；类似地，任何玩家的任何其他策略都会失败，因此决定公理与选择公理不相容。

## 无穷逻辑与决定公理

在二十世纪晚期，人们提出多种不同的无穷逻辑，其中一个认为决定公理为真的理由是因为这公理可（在某种无穷逻辑当中）写成以下形式：

$$\forall G \subseteq Seq(S):$$

$\forall a \in S: \exists a' \in S: \forall b \in S: \exists b' \in S: \forall c \in S: \exists c' \in S ... : (a,a',b,b',c,c'...) \in G$ OR

$$\exists a \in S: \forall a' \in S: \exists b \in S: \forall b' \in S: \exists c \in S: \forall c' \in S ... :(a,a',b,b',c,c'...) \notin G$$

注：$Seq(S)$是$S$的所有$\omega$－序列。此处的句子长度无限，且在省略号出现处，有可数无穷多的量化词序列。

## 大基数与决定公理

决定公理的相容性，与大基数相关公理的相容性息息相关。根据乌丁的一个定理，不带有选择公理而带有决定公理的策梅洛-弗兰克尔集合论的相容性，等价于带有选择公理并带有乌丁基数的策梅洛-弗兰克尔集合论的相容性。由于乌丁基数是强不可达基数之故，因此若决定公理是相容的，那不可达基数的无限性也是相容的。

此外，若假设有无穷多个乌丁基数，且其上还存在一个可测基数，大于该些乌丁基数，则可得到一个非常强的、关于勒贝格可测的实数集合的理论，而这是因为可以证明决定公理在L(R)中成立，因此所有在L(R)中的实数集合都是决定的之故。

## 延伸阅读

- Philipp Rohde, On Extensions of the Axiom of Determinacy, Thesis, Department of Mathematics, University of Bonn, Germany, 2001
- Telgársky, R.J. Topological Games: On the 50th Anniversary of the Banach-Mazur Game , Rocky Mountain J. Math. 17 (1987), pp. 227–276. (3.19 MB)
- "Large Cardinals and Determinacy" at the Stanford Encyclopedia of Philosophy