卡诺热机

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卡诺热机是卡诺循环的理论机器。这台机器的基本模型是由尼古拉·卡诺在1824年所提出的。卡诺热机模型由埃米尔·克拉佩龙在1834年进行了扩展，并由鲁道夫·克劳修斯在1857年进行了数学探索，产生了熵的基本热力学概念。

每个热力学系统都存在于特定的状态。当一个系统经过一系列不同的状态，最终回到它的初始状态时，完成一个热循环。热机系统在经历这个循环的过程中，可以对其周围环境做功。

热机的作用是将能量从高温的区域转移到低温区域，并在此过程中将部分能量转换为机械功。循环也可以逆向进行。该系统可能会受到外力的作用，且在此过程中，它可以将热能从较冷的系统传递到较热的系统，进而作为冷机或热泵而非热机。

## 卡诺循环图

右图源自卡诺1824年的著作《论火的动力》，其中描述了“两个物体A和B，每个都保持恒温，且A温度高于B。我们可以在不改变这两个物体的温度下给予或去除热量，作为两个无限热量库。我们将第一个称为热库，第二个称为冷库。”卡诺接着解释了我们如何透过将一定量的热量从“A”物体传送到“B”物体来获得动力，即“功”。此外，它还可以作为冷却器，亦即冷机。

## 近代卡诺循环图

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右图为卡诺在讨论理想热机时使用的原始活塞和气缸图。右图显示了通用热机的简图，例如卡诺热机。在图中，克劳修斯在1850年引入的术语“working body”（系统）可以是任何流体或蒸汽体，通过它时可以引入或流出热量 Q 以产生功。卡诺假设流体可以是任何能够膨胀的物质，例如水蒸气、酒精蒸气、汞蒸气、永久性气体、空气等。尽管在早期，热机有多种配置，通常 QH 由锅炉供应，QC 通常由位于发动机单独部件上的冷凝器以冷水形式去除。输出功“W”通过活塞的运动传递，因为它用于转动曲柄臂，而曲柄臂通常用于为滑轮提供动力，以便将水从盐矿场中提出。卡诺将作功定义为“将物体提升某高度所需的能量”。

## 卡诺循环

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热机的卡诺循环包含以下步骤：

- 气体在温度TH 下的可逆等温膨胀（等温加热）。
- 在此步骤中（A 到 B）气体膨胀并且它对周围环境作功。温度不会发生变化，因此膨胀是等温的。气体膨胀是通过吸收热能 QH，气体熵 $\Delta S_\text{H}=Q_\text{H}/T_\text{H}$ 变大。
- 等熵过程（可逆绝热）气体膨胀（等熵功输出）。
- 在此步骤中（B 到 C）假设活塞和气缸是绝热的，因此它们既不会获得热量，也不会失去热量，气体继续膨胀，对周围环境做功，并失去等量的内能。气体膨胀使其冷却到“冷”温度，TC。熵保持不变。
- 气体在温度 TC下的可逆等温压缩（等温散热）。
- 在此步骤中（C 到 D）气体暴露在低温冷库中，而周围环境通过压缩气体对气体做功（压缩活塞），同时产生一定量的废热 QC < 0，流入冷库，气体熵 $\Delta S_\text{C}=Q_\text{C}/T_\text{C} < 0$ 减少。（就数值而言，这与在步骤1中吸收的熵量相同。由于系统的多重性随着体积的增加而减少，熵在等温压缩中减少。在此步骤中由周围环境进行再压缩所作的功小于步骤1中对周围环境所做的功，因为它在温度较低且低压力下发生（即步骤3下的抗压缩性低于步骤1下的膨胀力）。
- 等熵过程（可逆绝热）气体压缩（等熵功输入）。
- 在此步骤中（D 到 A）再次假设活塞和气缸是绝热的，并且移除了冷库。在此步骤中，周围环境继续做功以进一步压缩气体。由于冷库已被移除，温度和压力都会升高，这种额外的作功增加了气体的内能，气体被压缩并导致温度升高到 TH。熵保持不变。此时气体处于与步骤1开始时相同的状态。

## 卡诺定理

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卡诺定理是对这一事实的正式陈述：“在两个储热器之间运行的发动机不会比在相同储热器之间运行的卡诺发动机更有效率。”

$$\eta_{I}=\frac{W}{Q_{\mathrm{H}}}=1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}$$

解释

最大效率 $\eta_\text{I}$ 的定义如上：

W 系统所作的功。

$Q_\text{H}$ 为进入系统的热能。

$T_\text{C}$ 为冷库的绝对温度。

$T_\text{H}$ 为热库的绝对温度。

卡诺定理的一个推论是：在相同温度的热库和冷库之间运行的可逆热机效率相同。

当整个循环过程为可逆过程时，效率 η 为最大值。这意味着当“工作流体”完成一个循环并返回其原始状态时，系统和环境的总熵（热库的熵、热机的“工作流体”和冷库的熵）保持不变（在不可逆过程和更现实的情况下，整个系统和周围环境的总熵会增加）

由于“工作流体”经过一个循环后又回到原来的状态，系统的熵是一个状态函数，所以“工作流体”系统的熵变化为 0。因此热库和冷库的总熵变化为零，过程可逆，发动机效率最大化。此推导将在下一节中进行。

热机的性能系数（COP）是其效率的倒数。

## 真实热机效率

对于真正的热机，整个热力学过程通常是不可逆的。工作流体经过一个循环后又回到初始状态，因此流体系统的熵变为0，但在这一循环过程中冷热库的熵变化之和大于0。

流体的内能也是一个状态变数，所以它在一个循环内的总变化量为0。所以系统作的总功 W 等于进入系统的净热量, 吸收热量 $Q_\text{H}$ > 0，且散出热量 $Q_\text{C}$ < 0 的废热:

$$W=Q=Q_\text{H}+Q_\text{C}$$

对于真正的热机，卡诺循环的第 1 阶段和第 3 阶段，热量分别被来自热储器的“工作流体”吸收并释放到冷储器，不再保持理想可逆，并且在进行热交换时，冷热库温度与流体温度之间存在温差。

在热从温度$T_\text{H}$的热库流入液体期间，液体温度略低于$T_\text{H}$，且流体可能不保持等温。

令$\Delta S_\text{H}$ 为流体在吸热过程中的总熵变化。

$$\Delta S_\text{H}=\int_{Q_\text{in}} \frac{\text{d}Q_\text{H}}{T}$$

其中流体的温度T 总是略少于 $T_\text{H}$。

因此，我们得到：

$$\frac{Q_\text{H}}{T_\text{H}}=\frac{\int \text{d}Q_\text{H}}{T_\text{H}} \leq \Delta S_\text{H}$$

类似地，在从流体向冷库注入热量时，排热过程中的流体总熵变化$\Delta S_\text{C}$< 0 :

$$\Delta S_\text{C}\geqslant\frac{Q_\text{C}}{T_\text{C}}< 0$$

在热量传递到冷库的过程中，液体温体T 总是略大于 $T_\text{C}$.

我们这里只考虑了熵变化的数值。由于循环过程的流体系统的总熵变为 0，我们必须有

$$\Delta S_\text{H}+\Delta S_\text{C} = \Delta S_\text{cycle} = 0$$

将前面三个方程合并得到：

$$-\frac{Q_\text{C}}{T_\text{C}}\geqslant\frac{Q_\text{H}}{T_\text{H}}$$

合并方程 (2) 和 (7) 得到

$$\frac{W}{Q_\text{H}} \leq 1- \frac{T_\text{C}}{T_\text{H}}$$

因此。

$$\eta \leq \eta_\text{I}$$

其中 $\eta = \frac{W}{Q_\text{H}}$ 是真实热机的效率，$\eta_\text{I}$ 是卡诺热机在温度$T_\text{H}$ 和 $T_\text{C}$的冷热库运转的效率。对于卡诺热机，整个过程为“可逆的”，方程(7) 等号成立。因此，真实引擎的效率总是低于理想的卡诺引擎。

公式 (7) 表示对于真实引擎系统和周围环境（流体和冷热库）的总熵会增加，因为当 $Q_\text{C}$ 在固定温度$T_\text{C}$流入冷库，其熵增加量为大于热库在固定温度$T_\text{H}$，流出热量$Q_\text{H}$ 所损失的熵。不等式(7) 基本上就是 克劳修斯定理。

根据第二定理，“卡诺热机的效率与工作物质的性质无关”。

## 参考资料

- ( First Edition 1824) and ( Reissued Edition of 1878)
- ( full text of 1897 ed.) ( Archived HTML version)