极值点

数学中，极值点（arguments of the maxima/minima，分别缩写为arg max/arg min或argmax/argmin）是使函数输出值取得极值的输入点。函数的自变量在定义域上，因变量则在到达域上。

## 定义

给定任意集合X、全序集Y与函数$f\colon X \to Y$，则某子集$S\subseteq X$上的$\operatorname{argmax}$定义为

$$\operatorname{argmax}_S f := \underset{x \in S}{\operatorname{arg\,max}}\, f(x) := \{x \in S ~:~ f(s) \leq f(x),\ \forall s \in S \}.$$

若$S = X$或S在语境中明确，则通常省略S，如$\underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\, f(x) := \{ x ~:~ f(s) \leq f(x),\ \forall s \in X \}.$也就是说，$\operatorname{argmax}$是点x的集合，使$f(x)$到达函数最大值（若存在）。$\operatorname{Argmax}$可以是空集、单元集，或包含多个元素。

在凸分析与变分分析中，$Y = [-\infty,\infty] = \mathbb{R} \cup \{ \pm\infty \}$（是广义实数）的情形时的定义略有不同。这时，若f等同于S上的$\infty$，则$\operatorname{argmax}_S f := \varnothing$（即$\operatorname{argmax}_S \infty := \varnothing$），否则$\operatorname{argmax}_S f$定义如上，这时$\operatorname{argmax}_S f$也可以写成

$$\operatorname{argmax}_S f := \left\{ x \in S ~:~ f(x) = \sup {}_S f \right\}$$

这里要强调的是，这个涉及$\sup {}_S f$的等式只有当f在S上不等同于$\infty$时才成立。

### Arg min

$\operatorname{argmin}$（或$\operatorname{arg\,min}$）表示极小值点，定义与之类似。例如

$$\underset{x \in S}{\operatorname{arg\,min}} \, f(x) := \{ x \in S ~:~ f(s) \geq f(x) \text{ for all } s \in S \}$$

是使函数值$f(x)$取得极小值的点x。它是$\operatorname{arg\,max}$的补算子。

在$Y = [-\infty,\infty] = \mathbb{R} \cup \{ \pm\infty \}$（是广义实数）的情形时，若f在S上等同于$-\infty$，则$\operatorname{argmin}_S f := \varnothing$（即$\operatorname{argmin}_S -\infty := \varnothing$），否则$\operatorname{argmin}_S f$定义如上，这时它也满足

$$\operatorname{argmin}_S f := \left\{ x \in S ~:~ f(x) = \inf {}_S f \right\}.$$

## 例子与性质

例如，若$f(x)=1 - |x|$，则f只有在$x = 0$这一点上取最大值1。因此

$$\underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\, (1 - |x|) = \{ 0 \}.$$

$\operatorname{argmax}$算子与$\max$不同，给定相同的函数时，后者返回函数极大值，而不是使函数取得极大值的点。也就是说

$\max_x f(x)$ is the element in $\{ f(x) ~:~ f(s) \leq f(x) \text{ for all } s \in S \}.$

max可以是空集（这时极大值未定义），这与$\operatorname{argmax}$相同；不同的是$\operatorname{max}$可能不含多个元素。

$\leq$

例如，取$f(x)=4 x^2 - x^4,$则$\underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\, \left( 4 x^2 - x^4 \right) = \left\{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\right\},$但$\underset{x}{\operatorname{max}}\, \left( 4 x^2 - x^4 \right) = \{ 4 \}$因为函数在$\operatorname{argmax}$的每个元素上都取相同的值。

等价地，若M是f的极大值，则$\operatorname{argmax}$是极大值的水平集：

$$\underset{x}{\operatorname{arg\,max}} \, f(x) = \{ x ~:~ f(x) = M \} =: f^{-1}(M).$$

可以将其重排，得到简单的等式

$$f\left(\underset{x}{\operatorname{arg\,max}} \, f(x) \right) = \max_x f(x).$$

若极大值点只有一个，那么$\operatorname{argmax}$应被视为一个点，而非点集。例如

$$\underset{x\in\mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, (x(10 - x)) = 5$$

（而非单元集$\{ 5 \}$），因为$x (10 - x)$的极大值25仅在$x = 5$时取到。

$x (10 - x) = 25 - (x-5)^2 \leq 25$

$x - 5 = 0$

而若在多个点上都取得极大值，$\operatorname{argmax}$就应被视为点集。例如

$$\underset{x \in [0, 4 \pi]}{\operatorname{arg\,max}}\, \cos(x) = \{ 0, 2 \pi, 4 \pi \}$$

因为maximum value of $\cos x$的极大值1在$x = 0, 2 \pi,\ 4 \pi$时取到。在整条实数线上

$\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, \cos(x) = \left\{ 2 k \pi ~:~ k \in \mathbb{Z} \right\},$因此是无限集。

函数不必达到极大值，因此$\operatorname{argmax}$有时是空集。例如$\underset{x\in\mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, x^3 = \varnothing$，因为$x^3$在实数线上无界。再举个例子，$\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, \arctan(x) = \varnothing$，虽然$\arctan$有界（$\pm\pi/2$），但由极值定理，闭区间上的连续实值函数必有极大值，因此有非空的$\operatorname{argmax}$。