GPY筛法

GPY筛法（Goldston-Pintz-Yıldırım sieve）是一种筛法，这种筛法是塞尔伯格筛法的一种带有一般、多维筛选权重的变体。这种筛法已为解析数论的研究带来多项突破。

这种筛法以丹尼尔·哥德斯顿、雅诺·品茨和谢姆·伊尔迪里姆这三位数学家为名。他们在2005年时以此筛法证明说根据质数定理，可推出存在有无限多的质数组，其间隔任意地小于质数的平均间隔。

张益唐后来修改此筛法，以证明说两个相隔质数间出现无限多次的最小间隔的有限界限为何。之后詹姆斯·梅纳德（他把上述的界限降到$600$）及陶哲轩都曾修改此筛法。

## GPY筛法

### 表记

首先固定$k\in \N$，之后定义以下表记：

- $\mathbb{P}$是质数集合，且$1_{\mathbb{P}}(n)$是这集合的特征方程。
- $\Lambda(n)$是冯·曼戈尔特函数。
- $\omega(n)$是用以计算$n$的不同质因数个数的质因数计数函数。
- $\mathcal{H}=\{h_1,\dots,h_k\}$是一组相异的非负整数$h_i\in\Z_+\cup \{0\}$的集合。
- $\theta(n)$是另一个关于质数的特征函数，其定义如下：

$$\theta(n)=\begin{cases} \log(n) & \text{if }n\in \mathbb{P}\\ 0 & \text{else.}\end{cases}$$

其中$\theta(n)=\log((n-1)1_{\mathbb{P}}(n)+1)$。

对于$\mathcal{H}$有以下定义：

- $\mathcal{H}(n):=(n+h_1,\dots,n+h_k)$。
- $$P_{\mathcal{H}}(n):=(n+h_1)(n+h_2)\cdots (n+h_k)$$
- $\nu_p(\mathcal{H})$是$\mathcal{H}$模$p$的相异同余类个数。像例如因为$\{0,2,4\}\stackrel{\pmod{3}}{=}\{0,1,2\}$且$\{0,2\}\stackrel{\pmod{3}}{=}\{0,2\}$之故，因此有$\nu_3(\{0,2,4\})=3$以及$\nu_3(\{0,2\})=2$。

假若对所有的$p\in \mathbb{P}$而言，都有$\nu_p(\mathcal{H})<k$的话，则称$\mathcal{H}$为“可及的”（admissible）。

### 构造

设$\mathcal{H}=\{h_1,\dots,h_k\}$为“可及的”，并考虑以下筛函数（sifting function）：

$$\mathcal{S}(N,c;\mathcal{H}):=\sum\limits_{n=N+1}^{2N}\left(\sum\limits_{h_i\in \mathcal {H}}1_{\mathbb{P}}(n+h_i)-c\right)w(n)^2,\quad w(n)\in \R,\quad c>0.$$

那么对任意的$n\in [N+1,2N]$而言，这函数即是计算扣掉某个门槛$c$之后，形如$n+h_i$的质数的个数的函数，故在$\mathcal{S}>0$的情况下，有某数$n$使得至少$\lfloor c \rfloor +1$是$\mathcal{H}(n)$中的质数。

由于$1_{\mathbb{P}}(n)$的解析性质没那么好之故，因此可改用下列的筛函数：

$$\mathcal{S}(N;\mathcal{H}):=\sum\limits_{n=N+1}^{2N}\left(\sum\limits_{h_i\in \mathcal{H}}\theta(n+h_i)-\log(3N)\right)w(n)^2.$$

由于$\log(N)<\theta(n+h_i)<\log(2N)$且$c=\log(3n)$之故，我们仅在存在$n+h_i$及$n+h_j$这两个质数的状况下，有$\mathcal{S}>0$。我们接下来要做的，就是寻找权重函数$w(n)$以便能测得质数k元组。

#### 权重的派生

一个权重函数的可能候选，是一般化的冯·曼戈尔特函数：

$$\Lambda_k(n)=\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)\left(\log\left(\frac{n}{d}\right)\right)^k,$$

这函数有如次的性质：若$\omega(n)>k$，则$\Lambda_k(n)=0$。虽说这函数也会测得形式为质数幂的因子，但在应用中，这些因子可在仅造成可忽略误差的状况下移除。

因此在$\mathcal{H}(n)$是质数k元组的状况下，以下方程不会消失：

$$\Lambda_k(n;\mathcal{H})=\frac{1}{k!}\Lambda_k(P_{\mathcal{H}}(n))$$

其中$1/k!$这因子仅仅是因方便计算而选取。

（古典）冯·曼戈尔特函数可以截形冯·曼戈尔特函数来估计：

$$\Lambda(n)\approx \Lambda_R(n):=\sum\limits_{\begin{array}{c} d\mid n\\ d\leq R \end{array}}\mu(d)\log\left(\frac{R}{d}\right),$$

其中$R$不再表示$\mathcal{H}$的长度，但用以决定截取点。类似地我们可以下式估计$\Lambda_k(n;\mathcal{H})$：

$$\Lambda_R(n;\mathcal{H})=\frac{1}{k!}\sum\limits_{\begin{array}{c} d\mid P_{\mathcal{H}}(n)\\ d\leq R \end{array}}\mu(d)\left(\log\left(\frac{R}{d}\right)\right)^k$$

因为技术理由，我们会希望估计在多个部分中带有质数的数组，而非再引入另一个参数$0\leq \ell \leq k$的状况下仅仅估计质数组，因此我们可选取$k+\ell$或较不相异的质因数。而这引出了下列的最终形式：

$$\Lambda_R(n;\mathcal{H},\ell)=\frac{1}{(k+\ell)!}\sum\limits_{\begin{array}{c} d\mid P_{\mathcal{H}}(n)\\ d\leq R \end{array}}\mu(d)\left(\log\left(\frac{R}{d}\right)\right)^{k+\ell}$$

在不引入$\ell$这额外参数的状况下，对不同的$d=d_1d_2\cdots d_k$有$d_1\leq R, d_2\leq R, \dots ,d_k\leq R$这样的限制；但借由引入此参数，我们可得到更宽松的限制$d_1d_2\dots d_k\leq R$。

故对于$k$维的筛法问题，我们有$k+\ell$维的筛法。

### GPY筛法

GPY筛法有下列形式：

$$\mathcal{S}(N;\mathcal{H},\ell):=\sum\limits_{n=N+1}^{2N}\left(\sum\limits_{h_i\in \mathcal{H}}\theta(n+h_i)-\log(3N)\right)\Lambda_R(n;\mathcal{H},\ell)^2,\qquad |\mathcal{H}|=k$$

其中

$\Lambda_R(n;\mathcal{H},\ell)=\frac{1}{(k+\ell)!}\sum\limits_{\begin{array}{c} d\mid P_{\mathcal{H}}(n)\\ d\leq R \end{array}}\mu(d)\left(\log\left(\frac{R}{d}\right)\right)^{k+\ell},\quad 0\leq \ell\leq k$.

### Goldston、Pintz及Yıldırım三氏对主定理的证明

在考虑$(\mathcal{H}_1,\ell_1, k_1)$、$(\mathcal{H}_2,\ell_2, k_2)$以及$1\leq h_0\leq R$并定义$M:=k_1+k_2+\ell_1+\ell_2$的情况下，Goldston、Pintz及Yıldırım三氏在他们的论文中，以两个定理证明了在合适的条件下，以下两个渐近形式成立。这两个形式分别为

$$\sum\limits_{n\leq N}\Lambda_R(n;\mathcal{H}_1,\ell_1)\Lambda_R(n;\mathcal{H}_2,\ell_2) = C_1\left(\mathcal{S}(\mathcal{H}^{i})+o_M(1)\right)N$$

以及

$$\sum\limits_{n\leq N}\Lambda_R(n;\mathcal{H}_1,\ell_1)\Lambda_R(n;\mathcal{H}_2,\ell_2)\theta(n+h_0) = C_2\left(\mathcal{S}(\mathcal{H}^j)+o_M(1)\right)N$$

其中$C_1,C_2$是两个常数，$\mathcal{S}(\mathcal{H}^{i})$及$\mathcal{S}(\mathcal{H}^{j})$是两个奇异级数（singular series），其描述在此省略。

最后我们可将此结果套用在$\mathcal{S}$之上，以得到Goldston、Pintz及Yıldırım三氏“存在有无限多的质数组，其间隔任意地小于质数的平均间隔”的结果。