机械利益

机械利益（mechanical advantage）又称机械效益，指工具、机械设备或机械系统将力放大的比例。设备需在输入的力及以位移之间取舍，最后得到输出力的理想放大比例。此模型称为“杠杆定律”。有些机械零件是为了转换力以及位移，这种零件称为机构。假设Fin是输入的力，Fout是输出的力，则机械利益MA为：

$$\mathit{MA} = \frac{F_{out}}{F_{in}}.$$

机械利益为正数，若大于一，表示输出的力比输入的力大，若小于一，表示输出的力比输入的力小，但输出位移比输入位移要大。

## 杠杆

<image>

杠杆以支点为中心而转动，离支点越近的地方移动的越慢，离支点越远的地方移动的越快。输入杠杆及输出杠杆的功率相等，而功率是力和速度的乘积，因此离支点越远的地方，施的力就越小，离支点越近的地方，施的力就越大。

若a和 and b是点A和B距支点的距离，而FA是在A点的输入力，FB是在B点的输出力，A点和B点速度的比值为a/b，因此输出力和输入力的比值（机械利益）如下：

$$\mathit{MA} = \frac{F_b}{F_a} = \frac{a}{b}.$$

这就是杠杆原理，是阿基米德利用对几何的理解所证明的。

静力学分析中，利用速度来分析杠杆的力，也是虚功定理的应用。

## 速比

理想机构输入功率等于输出功率，因此可以用系统输入—输出的速比（speed ratio）来计算机械利益。

若针对齿轮组，以ωA的角速度给TA的转矩，其输入功率为P=TAωA。

因为输入功率和输出功率相等，输出转矩TB和输出角速度ωB乘积会满足以下关系

$$P = T_A \omega_A = T_B \omega_B, \!$$

因此

$$\mathit{MA} = \frac{T_B}{T_A} = \frac{\omega_A}{\omega_B}.$$

速比的定义就是输出角速度和输入角速度的比值，因此针对理想机构的速比会等于机械利益，这应用在从机器人一直到连杆机构的所有机器。

## 齿轮系

由于齿轮的设计方式，齿轮的齿数会和其节圆的半径成正比，因此二个相互啮合的齿轮，可以由一个齿轮带动另一个旋转，不会滑动。一组齿轮的速比可以用其其节圆的半径比来计算，也可以用二个齿轮齿数的比例（齿比）来计算。

<image>

二个齿轮在节圆上接触点的速度v相等，因此可得

$$v = r_A \omega_A = r_B \omega_B,\!$$

其中输入齿轮A的半径是rA，和半径为rB的输出齿轮啮合因此

$$\frac{\omega_A}{\omega_B} = \frac{r_B}{r_A} = \frac{N_B}{N_A}.$$

其中NA是输入齿轮的齿数，NB是输出齿轮的齿数。

由输入齿轮齿数NA，输出齿轮齿数NB组成的啮合齿轮，其机械利益为

$$\mathit{MA} = \frac{r_B}{r_A} = \frac{N_B}{N_A}.$$

因此若输出齿轮GB比输入齿轮GA要大，此齿轮系可以放大力矩，但会让转速变慢，若输出齿轮GB比输入齿轮GA要小，此齿轮系可以缩小力矩，会让转速变快。

## 链轮或皮带轮

不论是由链条连接两个链轮的机构，或是由皮带连接两个皮带轮的机构，其目的都是为了在传动系统中改变其机械利益。

两个链轮和链条接触点的速度v会相等，两个皮带轮和皮带接触点的速度亦同：

$$v = r_A \omega_A = r_B \omega_B,\!$$

其中链轮或皮带轮A是输入端，其半径是rA，输出链轮或皮带轮B的半径是rB。

因此

$$\frac{\omega_A}{\omega_B} = \frac{r_B}{r_A} = \frac{N_B}{N_A}.$$

其中NA是输入链轮的齿数，NB是输出链轮的齿数。若是齿形带的皮带轮机构，也可以使用其齿数。若是只用摩擦力的皮带轮，一定要使用输入轮和输出轮半径的资讯。

若链轮机构（或齿形带皮带轮机构），输入轮齿数为NA，输出轮齿数为NB，其机械利益是：

$$\mathit{MA} = \frac{T_B}{T_A} = \frac{N_B}{N_A}.$$

针对只使用摩擦力的皮带轮，其机械利益是：

$$\mathit{MA} = \frac{T_B}{T_A} = \frac{r_B}{r_A}.$$

链条和皮带在传输功率时会有摩擦力、伸长及磨损的情形，因此输出功率会小于输入功率，实际系统的机械利益会小于理论值。链轮机构或皮带轮机构大约损失5%的功率，是因为摩擦生热、形变或磨损所产生的热，此时的效率约为95%。

## 滑轮组

滑轮组是绳子和许多滑轮组合，移动物品的机构。一般来说会有固定不移动的定滑轮，以及随物品移动的动滑轮，绳子会绕在动滑轮和定滑轮上，以提供机械利益，在滑轮组的输入端施力，再透过滑轮组将力放大，来移动物品。

为了计算滑轮组的机械利益，考虑最简单的起重滑车，由一个定滑轮和一个动滑轮组成。绳子绕在定滑轮上，垂下的一端可以施力往下拉，垂下的另一端绕在乘载重物的动滑轮上，绕过动滑轮后固定在定滑轮的支架上。

<image>

令S是从定滑轮轴心到绳子末端的长度，这是A，是施力的位置。令R是定滑轮轴心到动滑轮轴心的位置，这是B，是放重物的位置。

绳子的总长L可以写成

$$L = 2R + S + K, \!$$

其中K是绳子绕过定滑轮及动滑轮需要的长度，此长度不随滑轮位置而变化。

A点和B点的速度VA和VB的关系和绳子的总长有关，绳子的总长为固定值，因此

$$\dot{L}=2\dot{R} + \dot{S}=0,$$

或者

$$\dot{S} = -2\dot{R}.$$

其中的负号表示重物速度的方向和施力的方向相反，施力往下，重物会向上移动。

令VA向下为正，VB向上为正，因此其关系可以表示为速比

$$\frac{V_A}{V_B} = \frac{\dot{S}}{-\dot{R}} = 2,$$

其中的2是支持动滑轮及重物重量的绳索数量。

令FA是在A点的施力，令FB是动滑轮在B点的受力。其正负号也是FA往下为正，FB往上为正。

若是理想的滑轮组，滑轮没有摩擦力，绳子也不会形变或磨损，因此输入功率FAVA会等于输出功率FBVB，也就是

$$F_A V_A = F_B V_B.\!$$

输出力和输入力的比值即为理想起重滑车系统的机械利益

$$\mathit{MA} = \frac{F_B}{F_A} = \frac{V_A}{V_B} = 2.\!$$

此分析可以扩展到理想的滑车组，其动滑轮及重物的重量是由n段绳子所支持

$$\mathit{MA} = \frac{F_B}{F_A} = \frac{V_A}{V_B} = n.\!$$

可以证明理想的滑车组对重物的输出力是输入力的n倍，其中n是支持动滑轮及重物重量的绳子数量。

## 效率

在计算机械利益时，会假设能量不会因为形变、摩擦力或是磨损所损失，机械可以以其最佳性能输出，此情形下计算的机械利益会称为是理想机械利益（ideal mechanical advantage、IMA）。实际上，形变、摩擦力或是磨损都会降低机械利益。实际机械利益（actual mechanical advantage、AMA）和理想机械利益之间的比值是效率，可以透过实验求得。

例如有六段绳子支持动滑车的滑车组，有300kg的重物，若是在理想的滑车组，工人需要的施力会是50kg，若要让重物上移1米，工人需要拉6米。Fout / Fin和Vin / Vout都可以说明理想机械利益是6。第一个比值是输出力300kg和输入力50kg所得的比值。但在真实系统中，输入力50kg，因此摩擦力、绳子形变等因素的损失，输出力会小于300kg，因此其实际机械利益会小于6。

### 理想机械利益

理想机械利益（ideal mechanical advantage、IMA）或理论机械利益（theoretical mechanical advantage）是假设没有能量损失的情形下所得的机械利益。是用设备的实际尺寸计算的，也是实际机械利益的上限。

理想机械的假设也就表示机械本身不会储存能量，也不会耗散能量。输入的功率等于输出的功率。因此，机械的功率是定值，等于力乘以速度，可以得到下式

$$P = F_{in}v_{in}= F_{out}v_{out}.$$

理想机械利益是输出力和输入力的比值

$$\mathit{IMA} = \frac {F_{out}} {F_{in}}.$$

若考虑功率守恒的关系式，可得机械利益和速比之间的关系：

$$\mathit{IMA} = \frac {F_{out}} {F_{in}} = \frac {v_{in}} {v_{out}}.$$

机械的速比可以用其几何尺寸来计算，因此可以用速比求得理想机械利益，也就是实际机械利益的上限。

### 实际机械利益

实际机械利益 (actual mechanical advantage、AMA）是在直接量测输入力及输出力所得的机械利益，其中有考虑因为形变、摩擦及磨损产生的能量损失。

机器的AMA可以用量测到的输入力及输出力来计算

$$\mathit{AMA} = \frac {F_{out}} {F_{in}},$$

实际机械利益和机械利益之间的比例即为机械效率η

$$\eta =\frac\mathit{AMA}\mathit{IMA}.$$

## 外部链接

- Gears and pulleys
- Nice demonstration of mechanical advantage
- Mechanical advantage — video