弱测量

在量子力学（以及量子计算、量子信息）中，弱测量是一种量子测量，其观察者平均来说只获得很少的有关系统的信息，但对状态的干扰也很小。根据的定理可知，系统必然会受到测量的干扰。在文献中，弱测量也被称为不清晰（unsharp）、模糊（fuzzy）、迟钝（dull）、噪声式（noisy）、渐进（approximate）或平和（gentle）的测量。此外，弱测量常常与一个不同但相关的概念“弱值”相混淆。

## 历史

弱测量最初是在量子系统的弱连续测量（即量子滤波和量子轨迹）的背景下考虑的。连续量子测量的物理学如下。考虑使用一个辅助系统（例如场或电流）来探测量子系统，系统和探测器之间的相互作用使两者相互关联。通常，相互作用仅使系统与辅助系统具有弱关联（具体而言，相互作用幺正算子仅需微扰展开到一阶或二阶）。通过测量辅助系统并利用量子测量理论，可以确定基于测量结果的系统状态。为了实现有效的测量，必须耦合进多个辅助系统并测量。在极限情况下，存在一系列辅助系统，使得测量过程可以在时间上是连续的。这一过程首先由以下学者表述：Michael B. Mensky; Viacheslav Belavkin; Alberto Barchielli, L. Lanz, GM Prosperi; Barchielli; Carlton Caves; Caves, Gerald J. Milburn. 后来 Howard Carmichael 和 Howard M.Wiseman 也为该领域做出了重要贡献。

弱测量的概念经常被错误地归于 Yakir Aharonov、 David Albert 和 Lev Vaidman。在他们的文章中，他们考虑了一个弱的测量的例子（也许也撞上了“弱测量”这个短语），并以此作为动机来定义弱值（他们在此首次定义了弱值）。

## 数学表述

对于弱测量，尚无普遍接受的定义。一种方法是将弱测量声明为这样一种广义测量，其克劳斯算子中的一些或全部接近于恒等算子。下面采用的方法是使两个系统发生弱相互作用，然后测量其中一个系统。详细介绍这种方法之后，我们将通过示例进行说明。

### 弱相互作用和辅助耦合测量

考虑一个系统，其初始的量子态为 $|\psi\rangle$，同时辅助系统处于 $|\phi\rangle$，联合的初始状态则为 $|\Psi\rangle = |\psi\rangle \otimes |\phi\rangle$。这两个系统依照哈密顿算子 $H = A \otimes B$ 相互作用，其生成的时间演化算子 $U(t) = \exp[-ixtH]$ （取 $\hbar = 1$ 的单位制），其中 $x$ 是“相互作用强度”且具有时间倒数的量纲。假设相互作用时间固定为 $t = \Delta t$ 且 $\lambda = x \Delta t$ 很小以至于 $\lambda^3 \approx 0$。$U$ 关于 $\lambda$ 的级数展开给出

$$\begin{align} <pre> U &= I \otimes I - i\lambda H - \frac 1 2 \lambda^2 H^2 + O(\lambda^3) \\ &\approx I \otimes I - i\lambda A \otimes B - \frac 1 2 \lambda^2 A^2 \otimes B^2. </pre> \end{align}$$

由于在微扰论中只需要将幺正算子展开到低阶，所以称其为一个弱的相互作用。此外，幺正算子的主要部分是恒等算子，因为 $\lambda$ 和 $\lambda^2$ 很小，这意味着相互作用后的状态与初始状态并没有太多区别。相互作用后系统的联合状态为

$$|\Psi'\rangle = \left(I \otimes I - i\lambda A \otimes B - \frac 1 2 \lambda^2 A^2 \otimes B^2\right) |\Psi\rangle.$$

现在我们对辅助系统进行测量来了解系统，这称为辅助系统耦合测量。我们将考虑（辅助系统上的）在基 $|q\rangle$ 下的测量，其中 $|q\rangle$ 满足 $\sum_q |q\rangle \langle q| = I$。两个系统上的测量都由到联合状态 $|\Psi'\rangle$ 的投影算子 $\Pi_q = I \otimes |q\rangle \langle q|$ 来描述。从量子测量理论可知测量后的条件状态是

$$\begin{align} <pre> |\Psi_q\rangle &= \frac{\Pi_q |\Psi'\rangle}{\sqrt{\langle\Psi'| \Pi_q |\Psi'\rangle}} \\ &= \frac{I \langle q|\phi\rangle - i\lambda A \langle q| B |\phi\rangle - \frac 1 2 \lambda^2 A^2 \langle q| B^2 |\phi\rangle}{\mathcal N} |\psi\rangle \otimes |q\rangle, </pre> \end{align}$$

其中 $\mathcal N = \sqrt{\langle\Psi'| \Pi_q |\Psi'\rangle}$ 是归一化因子。注意辅助系统状态记录了测量的结果。$M_q := I \langle q|\phi\rangle - i\lambda A \langle q| B |\phi\rangle - \frac 1 2 \lambda^2 A^2 \langle q| B^2 |\phi\rangle$ 是系统的希尔伯特空间上的算子，称为克劳斯算子。

在这些克劳斯算子对应的测量后，联合系统的状态为

$$|\Psi_q\rangle = \frac{M_q |\psi\rangle}{\sqrt{\langle \psi|M_q^\dagger M_q|\psi\rangle}} \otimes |q\rangle.$$

算子 $E_q = M_q^\dagger M_q$ 是所谓的正算子测量的元素，其须满足 $\sum_q E_q = I$ 从而使得相应的概率之和为一： $\sum_q \Pr(q|\psi) = \sum_q \langle\psi| E_q |\psi\rangle = 1$。由于辅助系统不再关联于主系统，它只是记录测量的结果，我们可以迹掉它。这做法将给出主系统本身的条件状态：

$$|\psi_q\rangle = \frac{M_q |\psi\rangle}{\sqrt{\langle \psi|M_q^\dagger M_q|\psi\rangle}},$$

这里仍用 $q$ 标记测量结果。事实上，这些考虑使得人们得以导出量子轨迹。

### 克劳斯算子示例

我们将使用 Barchielli, Lanz, Prosperi以及 Caves, Milburn给出的高斯型克劳斯算子的典型例子。取 $H = x \otimes p$，其中两个系统的位置和动量算子满足通常的正则对易关系 $[x, p] = i$。取辅助系统的初态为一高斯分布

$$|\Phi\rangle = \frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{1/4}} \int dq' \exp[-q'^2/(4\sigma^2)] |q'\rangle.$$

辅助系统的位置波函数为

$$\Phi(q) = \langle q|\Phi\rangle = \frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{1/4}} \exp[-q^2/(4\sigma^2)].$$

前文的克劳斯算子（在前文的表达式中取 $\lambda = 1$）为

$$\begin{align} <pre> M(q) &= \langle q| \exp[-ix \otimes p] |\Phi\rangle \\ &= \frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{1/4}} \exp[-(q - x)^2/(4\sigma^2)], </pre> \end{align}$$

而相应的正算子测量的元素是

$$\begin{align} <pre> E(q) &= M_q^\dagger M_q \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp[-(q - x)^2/(2\sigma^2)], </pre> \end{align}$$

且服从 $\int dq\, E(q) = I$。在文献中经常能看到另一种表现形式。使用位置算子的谱表示 $x = \int x'dx' |x'\rangle \langle x'|$，有

$$\begin{align} <pre> M(q) &= \frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{1/4}} \int dx' \exp[-(q - x')^2/(4\sigma^2)] |x'\rangle \langle x'|, \\ E(q) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int dx' \exp[-(q - x')^2/(2\sigma^2)] |x'\rangle \langle x'|. </pre> \end{align}$$

注意 $\lim_{\sigma \to 0} E(q) = |x = q\rangle \langle x = q|$。也就是说，在特定的极限下，这些算子趋于对位置的强测量；对于 $\sigma$ 的其他值，这种测量则称为是有限强度的；对于 $\sigma \to \infty$ 的极限情况，则说测量是弱的。

## 信息获取与状态扰动的得失交换

如前所述，Busch的定理阻止了免费午餐的出现：没有对态的扰动就无法取得信息。然而，信息获取和态的扰动间的得失交换已被许多作者刻画，其中包括 C.A. Fuchs 和 Asher Peres; Fuchs; Fuchs, KA. Jacobs; K. Banaszek.

最近，人们在所谓的“温和测量引理”的语境下检验了信息获取与态的扰动间的交换关系。

## 应用

从很早以前就已经很清楚，弱测量的主要用途是用于量子系统的反馈控制或自适应测量。事实上，这是 Belavkin 大部分工作的动机，而 Caves 和 Milburn 也给出了一个明确的例子。自适应弱测量的一个早期应用是Dolinar接收器，该接收器已在实验上实现。弱测量的另一个有趣的应用是使用弱测量，然后跟一个幺正算子（可能依赖于弱测量的结果）来合成其他广义测量。Wiseman 和 Milburn 的书是关于许多现代发展的良好参考资料。