微分叠

微分叠是代数几何中的代数叠在微分几何中的类似物，可描述为微分流形上的叠，也可描述为森田等价下的李群胚。

微分叠很适合处理有奇点的空间（如轨形、叶空间、商），它们自然出现在微分几何中，且不是可微流形。例如，微分叠在叶状结构、泊松流形和扭K理论中都有应用。

## 定义

### 定义1（由广群纤维化）

回想在广群中纤维化的范畴（或称广群纤维化），包含范畴$\mathcal{C}$、到微分流形范畴的函子$\pi: \mathcal{C} \to \mathrm{Mfd}$，并满足

- $\mathcal{C}$是纤维范畴，即对任意对象$u\in\mathcal{C}$和任意箭头$V \to U\ \in\mathrm{Mfd}$，都有箭头$v \to u$，在$V \to U$上。
- 对$\mathrm{Mfd}$中的任意交换三角$W \to V \to U$及$W \to U$上的任意箭头$w \to u$、$V \to U$上的$v \to u$，在$W \to V$上存在唯一的箭，使三角$w \to v \to u$交换。

这些性质确保$\forall U\in \mathrm{Mfd}$，都可以定义其纤维$\pi^{-1}(U)$或$\mathcal{C}_U$，作为$\mathcal{C}$的子范畴，由$\mathcal{C}$在U上的所有对象和在$id_U$上的所有态射组成。根据这构造，$\pi^{-1}(U)$是广群。叠是满足胶合性质的广群纤维，用下降表述。

任何流形X都定义了其顶范畴 $F_X = \mathrm{Hom}_{\mathrm{Mdf}} (-, X)$，对象是流形U与光滑映射$f: U \to X$组成的对子$(U,f)$；则$F_X \to \mathrm{Mdf}, (U,f) \mapsto U$是广群纤维，实际上也是叠。广群纤维的态射$\mathcal{C} \to \mathcal{D}$若满足以下条件，则称作可表浸没：

- 对流形U和任意态射$F_U \to \mathcal{D}$，纤维积$\mathcal{C} \times_{\mathcal{D}} F_U$可表，即（对某个流形Y）与作为广群纤维的$F_V$同构。
- 诱导光滑映射$V \to U$是浸没。

对流形X，微分叠是叠$\pi: \mathcal{C} \to \mathrm{Mfd}$与特殊的可表浸没$F_X \to \mathcal{C}$（上述每个浸没$V \to U$都需要是满射）。映射$F_X \to \mathcal{C}$称作叠X的图集、呈现或覆叠。

### 定义2（由2-函子）

回想范畴$\mathcal{C}$上（广群的）预叠（也称作2-预层），是2-函子 $X: \mathcal{C}^\text{opp} \to \mathrm{Grp}$，其中$\mathrm{Grp}$是（集合论）广群的2-范畴、及其间的态射和自然变换。叠是满足胶合性质的预叠（类似层满足的胶合性质）。要精确说明这性质，需要定义景上的（预）叠，即配备了格罗滕迪克拓扑的范畴。

所有对象$M \in \mathrm{Obj}(\mathcal{C})$定义了叠$\underline{M} := \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(-,M)$，与另一对象$N \in \mathrm{Obj}(\mathcal{C})$关联，形成态射$N\to M$的广群$\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(N,M)$。现有叠$X: \mathcal{C}^\text{opp} \to \mathrm{Grp}$，若有对象$M \in \mathrm{Obj}(\mathcal{C})$与叠的态射$\underline{M} \to X$（常称作叠X的图集、呈现或覆叠）满足以下性质，则称其几何的：

- 态射$\underline{M} \to X$可表，即$\forall Y\in \mathcal{C}$和任何态射$Y \to X$，纤维积$\underline{M} \times_X \underline{Y}$同构于作为叠的$\underline{Z}$（对某对象Z）。
- 诱导态射$Z \to Y$满足取决于范畴$\mathcal{C}$的范畴（如对流形，是要满足浸没。

微分叠是$\mathcal{C} = \mathrm{Mfd}$（微分流形范畴，视作具有通常开覆叠拓扑的景）上的叠，即2-函子$X: \mathrm{Mfd}^\text{opp} \to \mathrm{Grp}$，其也满足几何性，即承认上面定义的图集$\underline{M} \to X$。

注意，将$\mathrm{Mfd}$换成仿射概形范畴，就恢复到标准代数叠概念。相似地，把$\mathrm{Mfd}$换成拓扑空间范畴，就得到拓扑叠定义。

### 定义3（由森田等价）

回想李群胚，包含两微分流形G、M、两满射浸没$s,t: G \to M$、偏乘法映射$m: G \times_M G \to G$、单位映射$u: M \to G$、逆映射$i: G \to G$，满足类似群的相容性。

两个李群胚$G \rightrightarrows M$、$H \rightrightarrows N$间若有主双丛P，即有主右H丛$P \to M$、主左G丛$P \to N$，使得对P的两作用交换，则称G、H森田等价。森田等价是李群胚间的等价，比同构弱，但足以保留许多几何性质。

微分叠记作$[M/G]$，是某李群胚$G \rightrightarrows M$的森田等价类。

### 定义1、2的等价性

任何纤维范畴$\mathcal{C} \to \mathrm{Mdf}$都定义了2-层$X: \mathrm{Mdf}^{opp} \to \mathrm{Grp}, U \mapsto \pi^{-1}(U)$。反过来，任何预叠$X: \mathrm{Mdf}^\text{opp} \to \mathrm{Grp}$给出了范畴$\mathcal{C}$，其对象是流形U与对象$x \in X(U)$的对子$(U,x)$，态射是映射$\phi: (U,x) \to (V,y)$，使$X (\phi) (y) = x$。这样的$\mathcal{C}$配备函子$\mathcal{C} \to \mathrm{Mdf}, (U,x) \mapsto U$后，成为纤维范畴。

定义1、2中叠的胶合性质等价，同样，定义1中的图集诱导了定义2中的图集，反之亦然。

### 定义2、3的等价性

李群胚$G \rightrightarrows M$给出了微分叠$BG: \mathrm{Mfd}^\text{opp} \to \mathrm{Grp}$，将任何流形N发送到N上的G-旋子的范畴（即G-主丛）。$G \rightrightarrows M$的森田类中，任何其他李群胚都诱导了一个同构叠。

反过来，任何微分叠$X: \mathrm{Mfd}^\text{opp} \to \mathrm{Grp}$都是$BG$形式，即可由李群胚表示。更精确地说，若$\underline{M} \to X$是叠X的图集，则可定义李群胚$G_X:= M \times_{X} M \rightrightarrows M$，并检查$BG_X$是否同构于X。

Dorette Pronk提出的一个定理指出，定义1的微分叠与李群胚之间的双范畴具有森田等价性。

## 示例

- 任何流形M定义了微分叠$\underline{M} := \mathrm{Hom}_{\mathrm{Hom}}(-,M)$，由恒等映射$\underline{M} \to \underline{M}$平凡地表示。叠$\underline{M}$对应单位广群$u(M) \rightrightarrows M$的森田等价类。
- 李群G定义了微分叠$BG$，将任意流形N发送到N上的G-主丛的范畴，由平凡叠态射$\underline{pt} \to BG$表示，将一点发送到G的分类空间上的通用G-丛。叠$BG$对应$G \rightrightarrows \{ *\}$的森田等价类，视作点上的李群胚（即任意具有迷向群G的传递李群胚的森田等价类）。
- 流形M上的叶状结构$\mathcal{F}$由其叶空间定义了微分叠，对应完整广群$\mathrm{Hol} (\mathcal{F}) \rightrightarrows M$的森田等价类。
- 轨形都是微分叠，因为其是具有离散迷向的紧合李群胚（紧合李群胚的迷向是紧的，所以有限）的森田等价类。

### 商微分叠

给定M上的李群作用$a: M \times G \to M$，其商（微分）叠是代数几何中商（代数）叠的可微部分。其定义为与流形X、主G-丛范畴$P \to X$和G-等价映射$\phi: P \to M$相联系的叠$[M/G]$，是由叠态射$\underline{M} \to [M/G]$表示的微分叠，在任意流形X上的定义如下：

$$\underline{M}(X) = \mathrm{Hom}(X,M) \to [M/G](X), \quad f \mapsto (X \times G \to X, \phi_f)$$

其中$\phi_f: X \times G \to M$是G-等价映射$\phi_f = a \circ (f \circ \mathrm{pr}_1, \mathrm{pr}_2): (x,g) \mapsto f(x) \cdot g$。

叠$[M/G]$对应作用广群$M \times G \rightrightarrows M$的森田等价类。于是，可得到下列特殊情形：

- 若M是点，则微分叠$[M/G]$与$BG$重合
- 若作用是半正则紧合作用（于是商$M/G$是流形），则微分叠$[M/G]$与$\underline{M/G}$重合
- 若作用是紧合作用（于是商$M/G$是轨形），则微分叠$[M/G]$与轨形定义的叠重合

## 微分空间

微分空间（differentiable space）是具有平凡稳定子的微分叠。例如，若李群半正则作用（不必紧合）于流形，则对其的商一般不是流形，而是微分空间。

## 配备格罗滕迪克拓扑

微分叠X可以某种方式配备格罗滕迪克拓扑，这给出了X上的层概念。例如，X上微分p形式的层$\Omega_X^p$可由流形U上$\forall x\in X$给出，使$\Omega_X^p(x)$为U上p形式的空间。层$\Omega_X^0$称作X上的结构层，表示为$\mathcal{O}_X$。$\Omega_X^*$带有外微分，因此是X上向量空间的复层：于是有了X的德拉姆上同调的概念。

## 束

现有微分叠间的满态射$G \to X$，若$G \to G \times_X G$也是满态射，则前者称作X上的束。例如，若X是叠，则$BS^1 \times X \to X$是束。Giraud提出的一条定理称，$H^2(X, S^1)$一一对应于局部同构于$BS^1 \times X \to X$的X上的束集，束有其带（band）的平凡化。