小角度近似

小角度近似（small-angle approximations）可以在角度以弧度表示，且角度很小的情形下，近似部分三角函数的值：

$$\begin{align} \sin \theta &\approx \theta \\ \cos \theta &\approx 1 - \frac{\theta^2}{2} \approx 1\\ \tan \theta &\approx \theta \end{align}$$

上述的近似常用在物理学和工程学的各分支学科中，包括力学、电磁学、光学、地图学、天文学和计算机科学。近似的一个理由是可以大幅简化微分方程的计算，可以用在不需要精确解的情形下。

小角度近似可以用许多的方式说明，最直接的是用三角函数的马克劳林级数，依照逼近的阶数不同，$\textstyle \cos \theta$可以近似为$1$或$1-\frac{\theta^2}{2}$.。

## 理由

### 绘图

图1和图2可以看出此近似的精度。在角度趋近零时，原始函数和近似函数的差也趋近零。

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- 图1：基本的奇三角函数的比较，当角度θ趋近0时，近似函数很接近原函数。

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- 图2：cos θ和1 − θ2的比较。当角度θ趋近0时，两函数相当接近。

### 几何学

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右图中红色部分d，是斜边长度H和邻边长度A的差。如图所示，H和A几乎一样长，意思是cos θ接近1，利用θ2可以减去红色的部分

$\cos{\theta} \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$。

其对边O长度近似于蓝色圆弧的长度s。根据几何学，s = Aθ，根据三角函数，sin θ = O和tan θ = O，根据图上O ≈ s且H ≈ A可得：

$$\sin \theta = \frac{O}{H}\approx\frac{O}{A} = \tan \theta = \frac{O}{A} \approx \frac{s}{A} = \frac{A\theta}{A} = \theta.$$

简化后可得

$$\sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta.$$

### 微积分

利用夹挤定理，可以证明$\lim_{\theta\to 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} = 1,$这是在小角度θ时，$\sin(\theta) \approx \theta$近似式的正式叙述。

比较小心的应用夹挤定理可得 $\lim_{\theta\to 0} \frac{\tan(\theta)}{\theta} = 1,$，因此可以得到在小角度θ时，$\tan(\theta) \approx \theta$。

最后，利用洛必达法则可得$\lim_{\theta\to 0} \frac{\cos(\theta)-1}{\theta^2} = \lim_{\theta\to 0} \frac{-\sin(\theta)}{2\theta} = -\frac{1}{2},$可以整理为$\cos(\theta) \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$，在小角度θ时成立。也可以用倍角公式$\cos 2A \equiv 1-2\sin^2 A$。令$\theta = 2A$，可得$\cos\theta=1-2\sin^2\frac{\theta}{2}\approx1-\frac{\theta^2}{2}$。

### 代数

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将正弦函数进行马克劳林展开（在零附近的泰勒展开）可得

$$\begin{align} \sin \theta &= \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \theta^{2n+1} \\ &= \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots \end{align}$$

其中θ是以弧度表示的角度，上式也可以改写如下：

$$\sin \theta = \theta - \frac{\theta^3}{6} + \frac{\theta^5}{120} - \frac{\theta^7}{5040} + \cdots$$

可以看出在θ很小时，第二项（三次方项）会非常小。用θ为0.01为例，第二项的数量级为第一项的 0.000001或。因此可以单纯的近似为：

$$\sin \theta \approx \theta$$

另外，因为小角度的余弦函数接近1，因此正切函数（正弦函数除以余弦函数）可以表示如下

$\tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta$,

## 近似的误差

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图3是小角度近似的误差，若以误差在1%为准，以下是各近似函数误差超过1%的角度：

- cos θ ≈ 1，约为 0.1408 弧度 (8.07°)
- tan θ ≈ θ，约为 0.1730 弧度 (9.91°)
- sin θ ≈ θ，约为 0.2441 弧度 (13.99°)
- cos θ ≈ 1 − θ2，约为 0.6620 弧度 (37.93°)

## 和角和差角

三角恒等式中的和角公式和差角公式，当其中一个角度很小时（β ≈ 0），可以简化为下式：

cos(α + β)｜≈ cos(α) − β sin(α),

cos(α − β)｜≈ cos(α) + β sin(α),

sin(α + β)｜≈ sin(α) + β cos(α),

sin(α − β)｜≈ sin(α) − β cos(α).

## 应用

### 天文学

在天文学上，天体的角直径多半只有几个角秒，其角度很小，因此可以用小角度近似。线性大小（D）和角直径（X）以及与观察者距离（d）之间有以下的公式：

$$D = X \frac{d}{206\,265}$$

其中X是用角秒表示。

数字206265是圆用角秒表示的值（1296000），除以2π。

精确的公式是

$$D = d \tan \left( X \frac{2\pi}{1\,296\,000} \right)$$

若tan X改为X，上式也适用。

### 摆的运动

在计算摆的势能时，二次余弦近似非常的好用，可以应用在拉格朗日力学上，找到运动的间接方程（能量方程）。

在计算摆的频率时，可以用正弦函数的小角度近近，将摆的微分方程转换为简谐运动的微分方程。

### 光学

在光学上，小角度近似是近轴近似的基础。

### 波干涉

正弦和正切的小角度近似可以用在双缝实验或衍射光栅中，以简化计算。

### 结构力学

小角度近似常用在结构力学上，特别是和稳定性和分岔分析上（主要是轴向受压力的柱，是否会产生挫曲的分析）。这部分简化的程度很大。不过不过用在精确的分析上。

### 导航

空中导航中的1 in 60 rule就是以小角度近似为基础，加上一个弧度近似于60度的事实。

### 内插

小角度的和角和差角公式可以在三角函数表的插值：

例如：sin(0.755)

sin(0.755)｜= sin(0.75 + 0.005)

≈ sin(0.75) + (0.005) cos(0.75)

≈ (0.6816) + (0.005)(0.7317)｜sin(0.75)和cos(0.75)的值是由三角函数表求得

≈ 0.6853.