标量场论

理论物理学中，标量场论可以指相对论不变的经典或量子的标量场理论。标量场在任何洛伦兹变换下都是不变的。

自然界中唯一观测到的基本标量量子场是希格斯场。标量量子场也出现在很多物理现象的有效场论描述中，例如π介子，实际上是伪标量。

由于不涉及极化的复杂问题，标量场往往最容易理解二次量子化。所以，标量场论常用于介绍新概念和新技术。

下面所用的度量的符号为。

## 经典标量场论

本节的一般参考文献是Ramond, Pierre (2001-12-21). Field Theory: A Modern Primer (Second Edition). USA: Westview Press. , Ch 1.

### 线性（自由）理论

最基本的标量场论是线性理论。通过场的傅立叶分解，可表示无穷多耦合谐振子的简正模，其中谐振子的序号i的缩放极限现表示为x。则，相对论不变的标量场论的作用量可写作

$$\begin{align} <pre> \mathcal{S} &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \mathcal{L} \\ &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \left[\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi - \frac{1}{2} m^2\phi^2\right] \\[6pt] &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \left[\frac{1}{2}(\partial_t\phi)^2 - \frac{1}{2}\delta^{ij}\partial_i\phi \partial_j\phi -\frac{1}{2} m^2\phi^2\right], </pre> \end{align}$$

其中$\mathcal{L}$称作拉格朗日密度；${\rm d}^{4-1}x\equiv {\rm d}x\cdot{\rm d}y\cdot{\rm d}z\equiv{\rm d}x^1\cdot{\rm d}x^2\cdot{\rm d}x^3$表示三个空间坐标；$\delta_{ij}$是克罗内克δ函数；$\partial_{\rho}=\partial/\partial x^{\rho}$表示第$\rho$个坐标$x^{\rho}$。

这是二次作用量的一个例子，因为每项都是场φ的二次项。与$m^2$成比例的项有时称作质量项，这是因为它在量子化版本中被解作粒子质量。

理论的运动方程由极限化上述作用得到，形式如下，与φ呈线性关系：

$$\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\phi+m^2\phi=\partial^2_t\phi-\nabla^2\phi+m^2\phi=0 ~,$$

其中∇2是拉普拉斯算子。这就是克莱因-戈尔登方程，被解释为经典场方程，而非量子力学波动方程。

### 非线性（相互作用）理论

上述线性理论最常见的推广是在拉格朗日量中加入标量势$V(\Phi)$，通常除了质量项之外，V还是$\Phi$的多项式。这种理论有时被称作相互作用理论，因为欧拉-拉格朗日方程现在是非线性的，意味着自相互作用。最一般的此类理论的作用量是

$$\begin{align} <pre> \mathcal{S} &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t \mathcal{L} \\[3pt] &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \left[\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi - V(\phi) \right] \\[3pt] &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t \left[ \frac{1}{2}(\partial_t\phi)^2 - \frac{1}{2}\delta^{ij}\partial_i\phi\partial_j\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2 - \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n!} g_n\phi^n \right] </pre> \end{align}$$

如下所述，在量子理论的费曼图展开中，引入n!因子是有用的。

相应的欧拉-拉格朗日方程是

$$\eta^{\mu\nu} \partial_\mu \partial_\nu\phi + V'(\phi) = \partial^2_t \phi - \nabla^2 \phi + V'(\phi) = 0.$$

### 维度分析与缩放

这些标量场论中的物理量可能具有长度、时间或质量维度，或三者的某种组合。

不过，相对论中，任何具有时间维度的量t都可用光速c轻易转换为长度$l=ct$；任何长度l也可由普朗克常数$\hbar$表示为$\hbar=lmc$。自然单位制中，可以将时间看做长度，将它们看做质量的倒数。

总之可以认为，任何物理量的维度都由一个独立的维度定义，而非由所有三个维度定义，这通常称为物理量的质量维。知道了每个量的维度，就可从自然单位表达式中唯一地恢复常规维度，重新插入维度一致所需的$\hbar$与c的幂即可。

可以预想反对意见：这理论是经典理论，因此普朗克常数的地位不明显。我们确实可以无质量维地重构它，但这会稍微模糊语量子标量场的关系。鉴于有质量维，普朗克常数这里被认为是本质上随机地固定的作用参考量（不一定与量子化有关），于是其维度适于在质量和逆长度之间转换。

#### 缩放维度

φ的经典缩放维度或质量维度Δ描述了坐标缩放变换下的场变换：

$$x\rightarrow\lambda x$$

$$\phi\rightarrow\lambda^{-\Delta}\phi ~.$$

作用量单位与ħ的单位相同，因此作用量本身的质量维为零。这就将场φ的缩放维度固定为

$$\Delta =\frac{D-2}{2}.$$

#### 标度不变性

某些标量场论在某种意义上是标度不变的。虽然上述作用都被构造为零质量维，但并非所有作用都在缩放变换

$$x\rightarrow\lambda x$$

$$\phi\rightarrow\lambda^{-\Delta}\phi ~$$

下不变。

并非所有作用量都不变，这是因为人们常把参数m、$g_n$视作定值，在上述变换下不变。因此，标量场论具有标度不变性的条件非常明显：作用量的所有参数都应是无量纲量。即，标度不变理论就是没有任何固定尺度的理论。

对D维时空的标量场论，唯一的无量纲参数$g_n$满足$n=\frac{2D}{D-2}$。例如，D=4维时空中，只有$g_4$是经典无量纲的，因此D=4时空中唯一经典标度不变的标准标量场论是无质量的φ4理论。

不过，由于涉及重整化群，经典标度不变通常不意味着量子标度不变，详见下文贝塔函数的讨论。

#### 共形不变性

变换

$$x\rightarrow \tilde{x}(x)$$

若对某函数$\lambda(x)$，满足

$$\frac{\partial\tilde{x^\mu}}{\partial x^\rho}\frac{\partial\tilde{x^\nu}}{\partial <pre> x^\sigma}\eta_{\mu\nu}=\lambda^2(x)\eta_{\rho\sigma}$$

则称作共形的。

共形群包含度量$\eta_{\mu\nu}$的等距子群（庞加莱群），以及上文提到的标度变换（或标度不变性）。事实上，前述标度不变理论也是共形不变的。

### φ4理论

φ4理论说明了标量场论中的许多有趣现象。拉格朗日密度为

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_t\phi)^2 -\frac{1}{2}\delta^{ij}\partial_i\phi\partial_j\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2-\frac{g}{4!}\phi^4.$$

#### 自发对称破缺

这拉格朗日量在变换$\varphi\to-\varphi$下有$\mathbb{Z}_2$对称性。这是内部对称性的一个例子，与时空对称性不同。

若$m^2$为正，势

$$V(\phi)=\frac{1}{2}m^2\phi^2 +\frac{g}{4!}\phi^4$$

在原点有单一极小值。解$\varphi=0$在$\mathbb{Z}_2$对称下显然是不变的。

反之，若$m^2$为负，则很容易看到势

$$\, V(\phi)=\frac{1}{2}m^2\phi^2+\frac{g}{4!}\phi^4\!$$

有两个极小值。这就是所谓双阱势，这种理论中，最低能态（量子场论称作空穴）在$\mathbb{Z}_2$对称下并不是不变的（实际上会将两个空穴映射到对方）。这时，$\mathbb{Z}_2$对称发生自发破缺。

#### 扭状解

具有负$m^2$的φ4理论也有扭状解（kink solution），是孤波的典型例子。这种解的形式为

$$\phi(\vec{x}, t) = \pm\frac{m}{2\sqrt{\frac{g}{4!}}}\tanh\left[\frac{m(x - x_0)}{\sqrt{2}}\right]$$

其中x是空间变量之一（φ、t及其他空间变量彼此无关）。解在双阱势的两个不同空穴之间插值。若没有能量无穷大的解，就无法将扭变形为恒定解，因此扭状解也称作稳定解。对D>2（即具有多个空间维度的理论），这种解称作畴壁（domain wall）。

另一个具有扭状解的标量场论的著名例子是正弦-戈尔登方程理论。

### 复标量场论

在复标量场论中，标量场在复数中取值。复标量场表示自旋为零的粒子和带点和的反粒子。通常考虑的作用形式为

$$\mathcal{S}=\int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t \mathcal{L} = \int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t \left[\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi^*\partial_\nu\phi -V(|\phi|^2)\right]$$

具有U(1)对称性，等价于O(2)对称性，对场空间的作用是旋转$\phi\rightarrow e^{i\alpha}\phi$，相角α为实数。

而实标量场，若$m^2$为负，就会发生自发对称破缺。这产生了戈德斯通的墨西哥帽势，是实标量场的双阱势绕$V(\phi)$轴旋转2π弧度。对称性破缺发生在更高维度，即空穴的选择，打破了连续的U(1)对称性，而非离散的。标量场的两分量被重构为大规模模型（massive mode）与无质量戈德斯通玻色子。

### O(N)理论

可用两个实场表示复标量场论：$\varphi^1={\rm Re}\varphi,\ \varphi^2={\rm Im}\varphi$，在U(1) = O(2)内部对称的向量表示下进行变换。虽然这些场在内部对称下转换为向量，但仍是洛伦兹标量。

这可以推广到在O(N)对称的向量表示下变换的N个标量场。O(N)不变的标量场论的拉格朗日量通常是以下形式的：

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\cdot\partial_\nu\phi -V(\phi\cdot\phi)$$

内积需要是适当O(N)不变的。该理论也可用复向量场表示，即$\forall\phi\in\Complex^n$，这时对称群是李群SU(N)。

### 规范场耦合

标量场论以一种规范不变的方式与杨-米尔斯作用耦合，就得到了超导的金兹堡-朗道方程。这理论的拓扑孤子对应超导体中的涡流；墨西哥帽势的极小值对应超导体的阶参数。

## 量子标量场论

本节的一般参考文献为Ramond, Pierre (2001-12-21). Field Theory: A Modern Primer (Second Edition). USA: Westview Press. , Ch. 4

量子场论中，场与所有可观测量都表示为希尔伯特空间上的量子算子。这希尔伯特空间建立在真空态上，动力学受到量子哈密顿算符支配，是湮灭真空的正定算符。量子标量场的构造详见正则量子化条目，依赖于场之间的正则对易关系。根本上，在标量场中作为其（解耦）简正模组合成的经典谐振子现在以标准方式进行了量子化，于是相应的量子算符场描述了作用于相应福克空间的量子谐振子。

总之，基本变量是量子场φ及其正则动量π。这两个算子值场都是厄米的。在空间点$\vec{X},\ \vec{y}$、时间相等时，其正则对易关系为

$$\begin{align} <pre> \left[\phi\left(\vec{x}\right), \phi\left(\vec{y}\right)\right] = \left[\pi\left(\vec{x}\right), \pi\left(\vec{y}\right)\right] &= 0,\\ \left[\phi\left(\vec{x}\right), \pi\left(\vec{y}\right)\right] &= i \delta\left(\vec{x} - \vec{y}\right), </pre> \end{align}$$

而自由哈密顿算符则与之相似。

$$H = \int d^3x \left[{1 \over 2}\pi^2 + {1 \over 2}(\nabla \phi)^2 + {m^2 \over 2}\phi^2\right].$$

空间傅立叶变换产生动量空间场

$$\begin{align} <pre> \widetilde{\phi}(\vec{k}) &= \int d^3x e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}\phi(\vec{x}),\\ \widetilde{\pi}(\vec{k}) &= \int d^3x e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}\pi(\vec{x}) </pre> \end{align}$$

解析为湮灭与创生算子

$$\begin{align} <pre> a(\vec{k}) &= \left(E\widetilde{\phi}(\vec{k}) + i\widetilde{\pi}(\vec{k})\right),\\ a^\dagger(\vec{k}) &= \left(E\widetilde{\phi}(\vec{k}) - i\widetilde{\pi}(\vec{k})\right), </pre> \end{align}$$

其中$E = \sqrt{k^2 + m^2}$。

算子满足对易关系

$$\begin{align} <pre> \left[a(\vec{k}_1), a(\vec{k}_2)\right] = \left[a^\dagger(\vec{k}_1), a^\dagger(\vec{k}_2)\right] &= 0,\\ \left[a(\vec{k}_1), a^\dagger(\vec{k}_2)\right] &= (2\pi)^3 2E \delta(\vec{k}_1 - \vec{k}_2). </pre> \end{align}$$

被所有算子a湮灭的状态$| 0\rangle$称作裸真空，对真空施加$a^\dagger(\vec{k})$就会产生动量为$\vec{k}$的粒子。

将所有可能创生算子组合应用于真空，就能构建出相关的希尔伯特空间：这种构造称作福克空间。真空由哈密顿算符

$$H = \int {d^3k\over (2\pi)^3}\frac{1}{2} a^\dagger(\vec{k}) a(\vec{k})$$

湮灭，其中零点能被Wick排序消除。（见正则量子化）

相互作用可由相互作用哈密顿量实现。对φ4理论，这相当于给哈密顿量添加Wick有序项$g:\ \varphi^4:/4!$，并对x积分。散射振幅可用相互作用绘景中的哈密顿量计算，是由戴森级数在微扰理论中构建的，戴森级数给出了时间有序积或n粒子格林函数$\langle 0|\mathcal{T}\{\phi(x_1) \cdots \phi(x_n)\}|0\rangle$。格林函数也可从求解施温格-戴森方程所构建的生成函数中获得。

### 费曼路径积分

费曼图展开也可从费曼路径积分表述中获得。φ多项式的时序真空期望值，即n粒子格林函数，是对所有可能的场进行积分，并以无外场时的真空期望值归一化得到的：

$$\langle 0|\mathcal{T}\{\phi(x_1)\cdots \phi(x_n)\}|0\rangle = <pre> \frac {\int \mathcal{D}\phi \phi(x_1) \cdots \phi(x_n) e^{i\int d^4x \left({1 \over 2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi - {m^2 \over 2}\phi^2 - {g \over 4!}\phi^4\right)}} {\int \mathcal{D}\phi e^{i\int d^4x \left({1 \over 2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi - {m^2 \over 2}\phi^2 - {g \over 4!}\phi^4\right)}}. </pre>$$

所有这些格林函数都可通过扩展生成函数中$J(x)\varphi(x)$的指数来获得：

$$<pre> Z[J] = \int \mathcal{D}\phi e^{i\int d^4x \left({1 \over 2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi - {m^2 \over 2}\phi^2 - {g \over 4!}\phi^4 + J\phi\right)} = Z[0] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{i^n}{n!} J(x_1) \cdots J(x_n) \langle 0|\mathcal{T}\{\phi(x_1) \cdots \phi(x_n)\}|0\rangle. </pre>$$

可用威克转动将时间变为虚数。将符号变为(++++)后，费曼积分即变为欧氏空间中的配分函数：

$$Z[J] = \int \mathcal{D}\phi e^{-\int d^4x \left[{1 \over 2}(\nabla\phi)^2 + {m^2 \over 2}\phi^2 + {g \over 4!}\phi^4 + J\phi\right]}.$$

通常，这适于定动量粒子的散射，这时傅立叶变换往往有用，可得

$$\tilde{Z}[\tilde{J}]=\int \mathcal{D}\tilde\phi e^{-\int {d^4p \over (2\pi)^4} \left({1\over 2}(p^2+m^2)\tilde\phi^2-\tilde{J}\tilde\phi+{g \over 4!}{\int {d^4p_1 \over (2\pi)^4}{d^4p_2 \over (2\pi)^4}{d^4p_3 \over (2\pi)^4}\delta(p-p_1-p_2-p_3)\tilde\phi(p)\tilde\phi(p_1)\tilde\phi(p_2)\tilde\phi(p_3)}\right)}.$$

其中$\delta(x)$是狄拉克δ函数。

评估这泛函积分的标准技巧是将其写成指数因子之积，即

$$\tilde{Z}[\tilde{J}]=\int \mathcal{D}\tilde\phi \prod_p \left[e^{-(p^2+m^2)\tilde\phi^2/2} e^{-g/4!\int {d^4p_1 \over (2\pi)^4}{d^4p_2 \over (2\pi)^4}{d^4p_3 \over (2\pi)^4}\delta(p-p_1-p_2-p_3)\tilde\phi(p)\tilde\phi(p_1)\tilde\phi(p_2)\tilde\phi(p_3)} e^{\tilde{J}\tilde\phi}\right].$$

后两个指数因子可展开为幂级数，这种展开的组合可用四次相互作用的费曼图表示。

g = 0的积分可视作无穷多基本高斯积分之积：结果可用费曼图之和表示，计算时使用以下费曼法则：

- n点欧氏格林函数中的每个场$\sim\varphi(p)$都由图中的一条外线（半边）表示，并与动量p相关联。
- 每个顶点用因子−g表示。
- 在给定阶$g^k$时，所有具有n条外线和k个顶点的图都是这样构造的：流入顶点的动量均为零。每条内线表示为传播子$1(q^2+m^2)$，其中q是流经线的动量。
- 任何无约束动量都对所有值积分。
- 结果除以对称性系数，即在不改变连通性的前提下，重排图的线与顶点的方式数。
- 不包括函“真空泡”的图，即无外线的联通子图。

最后一条规则考虑了除以$\sim Z[0]$的影响。闵氏空间的费曼法则与此类似，只是顶点用−ig表示，内线用传播子$i/(q^2-m^2+i\varepsilon)$表示，$\varepsilon$项代表使{闵氏空间高斯积分收敛的微小威克旋转。

### 重整化

费曼图中对无约束动量的积分（称为“环路积分”，loop integral）通常会发散。这一般用重整化处理，即在拉格朗日量中加入发散的相反项，从而使原拉格朗日量和反项构建的图收敛。这过程中必须引入重整化标度，耦合常数与质量都取决于它。

耦合常数g在标度$\lambda$上的依赖由β函数$\beta(g)$编码，定义是

$$\beta(g) = \lambda\,\frac{\partial g}{\partial \lambda} ~.$$

这种对能量标度的依赖称作“耦合参数的运行”，量子场论中这种系统标度依赖的理论由重整化群描述。

β函数通常用近似方法计算，最常见的是微扰理论，即假定耦合常数很小。然后，便可以对耦合参数进行幂级数展开，并截去高阶项（也称为高环贡献。与相应费曼图的环数有关）。

φ4理论的一环β函数（第一微扰贡献）是

$$\beta(g) = \frac{3}{16\pi^2}g^2 + O\left(g^3\right) ~.$$

最低阶项前面的符号为正，表明耦合常数随着能量增加。这种行为在大规模耦合时若也存在，将表明在有限能量下存在朗道极点，是由量子平凡性引起的。然而，这问题只能以非微扰形式回答，因为涉及强耦合。

当由β函数计算得重整化耦合在紫外截止被移除后归零时，称相应的量子场论是平凡的。这样，传播子变成了自由粒子的，场不再相互作用。

Michael Aizenman证明，在时空维度D ≥ 5的情形下，φ4相互作用理论是平凡的。

对D = 4，平凡性尚未得到严格证明，但晶格计算为此提供了有力证据。这一事实非常重要，因为量子平凡性可用于约束、甚至预测希格斯玻色子质量等量的参数。这也可以导致在渐进安全情形下的可预测希格斯玻色子质量。