艾伦伯格–麦克莱恩空间

数学中，特别是代数拓扑中，艾伦伯格–麦克莱恩空间是具有单一非平凡同伦群的拓扑空间。

令G为群，n为正整数。连通拓扑空间X的第n同伦群$\pi_n(X)$若同构于G、其他同伦群都平凡，则称X是$K(G,n)$型艾伦伯格–麦克莱恩空间。设G在$n > 1$时是阿贝尔群，则$K(G,n)$型艾伦伯格–麦克莱恩空间总存在，且都是弱同伦等价的。因此，可以认为$K(G,n)$指空间的弱同伦等价类。通常将任何表示称作“一个$K(G,n)$”或“$K(G,n)$的模型”，此外通常假定这空间是CW复形（通过CW近似总是可能的）。

艾伦伯格–麦克莱恩空间得名于塞缪尔·艾伦伯格与桑德斯·麦克莱恩，他们在1940年代末引入了此类空间。

因此，艾伦伯格–麦克莱恩空间是一类特殊的拓扑空间，在同伦论中可视作通过波斯尼科夫塔中的纤维化构建CW复形的物件。这些空间在代数拓扑的很多方面都十分重要，如球面同伦群的计算、上同调运算的定义及与奇异上同调的紧密联系。

广义艾伦伯格–麦克莱恩空间是具有艾伦伯格–麦克莱恩空间$\prod_{m}K(G_m,m)$的拓扑积的同伦类的空间。

## 例子

- 单位圆$S^1$是$K(\Z,1)$。
- 无穷维复射影空间$\mathbb{CP}^{\infty}$是$K(\Z,2)$的模型。
- 无穷维实射影空间$\mathbb{RP}^{\infty}$是$K(\Z/2,1)$。
- k个单位圆的楔和$\textstyle\bigvee_{i=1}^k S^1$是$K(F_k,1)$，其中$F_k$是k个生成子上的自由群。
- 3维球$S^3$中任何连通结或图的补是$K(G,1)$型，这种现象被称作“结的非球面性”，是赫里斯托斯·帕帕基里亚科普洛斯于1957年提出的定理。
- 紧连通曲率非正流形M是$K(\Gamma,1)$，其中$\Gamma=\pi_1(M)$是M的基本群。这是嘉当–阿达马定理的结果。
- 无限透镜空间$L(\infty, q)$由$S^\infty$对自由作用$(z \mapsto e^{2\pi i m/q}z)$（$m \in \Z/q$）的商给出，是$K(\mathbb{Z}/q,1)$。这可以用覆叠空间理论和无穷维球体可收缩来证明。注意这包括作为$K(\Z/2,1)$的$\mathbb{RP}^{\infty}$。
- 平面上n个点的构型空间是$K(P_n,1)$，其中$P_n$是n股上的纯辫群。
- 相应地，$\mathbb{R}^2$的第n无序构型空间是$K(B_n,1)$，其中$B_n$表示n股辫群。
- n球的无穷对称积$SP(S^n)$是$K(\mathbb{Z},n)$。更一般地，$SP(M(G,n))$对所有摩尔空间$M(G,n)$是$K(G,n)$。

利用积$K(G,n) \times K(H,n)$是$K(G\times H,n)$的事实，可构造出更多基本例子，例如n维环面$\mathbb{T}^n$是$K(\mathbb{Z}^n, 1)$。

## 关于构造艾伦伯格–麦克莱恩空间的备注

对$n = 1$、任意群G，$K(G,1)$的构造与G的分类空间的构造相同。注意若G含扭元（torsion element），则K(G,1)型CW复形都是无穷维的。

构造高阶艾伦伯格-麦克莱恩空间有很多技术，如为阿贝尔群A构造摩尔空间$M(A,n)$：取n个球的楔，每个球代表一个A的生成子，并通过上述楔和的$\pi_n(\bigvee S^n)$中相应映射附加(n+1)个胞腔（cell），实现生成子之间的关系。注意低阶同伦群$\pi_{i < n} (M(A,n))$由构造是平凡的。现在通过附加大于$n + 1$维的胞腔，迭代杀死所有高阶同伦群$\pi_{i > n} (M(A,n))$，并定义$K(A,n)$为包含此迭代的直极限。

另一个有用技巧是运用单纯阿贝尔群的几何实现。这给出了代表艾伦伯格-麦克莱恩空间的单纯阿贝尔群的明确表述。

乔·彼得·梅的书从分类空间与通用丛角度给出了另一种简单构造。

由于闭路空间将同伦群降低了一圈（slot），我们有规范同伦等价$K(G,n)\simeq\Omega K(G,n+1)$，因此有纤维化序列

$K(G,n) \to * \to K(G,n+1)$.

注意这不是上纤维化序列：空间$K(G,n+1)$不是$K(G,n) \to *$的同伦上纤维。

这个纤维化序列可用于从$K(G,n)$用勒雷谱序列研究$K(G,n+1)$的上同调，让-皮埃尔·塞尔在利用波斯尼科夫塔和谱序列研究球面同伦群时利用了这一点。

## 性质

### 映射与上同调的同伦类间的双射

$K(G, n)$的一个重要性质是，对任何阿贝尔群G、任何基CW复形X，X到$K(G,n)$的基映射的基同伦类集$[X, K(G,n)]$，同空间X的第n奇异上同调群$H^n(X, G)$是自然双射。因此可以说$K(G,n)'s$是系数在G中的奇异上同调的表示空间。由于

$$\begin{array}{rcl} H^n(K(G,n),G) &=& \operatorname{Hom}(H_n(K(G,n);\Z), G) \\ &=& \operatorname{Hom}(\pi_n(K(G,n)), G) \\ &=& \operatorname{Hom}(G,G), \end{array}$$

有一个区别元素$u \in H^n(K(G,n),G)$，对应幺元。上述双射由元素的拉回$f \mapsto f^*u$给出，这与范畴论中的米田引理很相似。

此定理的构造性证明可见参考文献，另一个利用Omega谱与广义既约上同调关系的证明可见参考文献，主要思想也将在后面略述。

### 闭路空间/Omega谱

艾伦伯格–麦克莱恩空间的闭路空间还是艾伦伯格–麦克莱恩空间：$\Omega K(G,n) \cong K(G,n-1)$。此外，在闭路空间与既约纬悬之间还有伴随关系：$[\Sigma X, Y] = [X,\Omega Y]$，使$[X,K(G,n)] \cong [X,\Omega^2K(G,n+2)]$有阿贝尔群的结构，其中的运算是闭路的链接。这使得上面提到的双射$[X, K(G,n)] \to H^n(X, G)$是群同构。

这个性质还意味着不同n的艾伦伯格–麦克莱恩空间构成Omega谱，称作艾伦伯格–麦克莱恩空间谱。这个谱通过$X \mapsto h^n(X):= [X, K(G,n)]$定义了基于CW复形的既约上同调论，对任何CW复形上的既约上同调论$h^*$（$h^n(S^0) = 0$，$n \neq 0$），有自然同构$h^n(X) \cong \tilde{H}^n(X, h^0(S^0)$，其中$\tilde{H^*}$表示既约奇异上同调。因此，这两个上同调论重合。

在更广义的语境中，布朗可表性定理指出，基CW复形上的既约上同调论来自Omega谱。

### 与同调的关系

对给定阿贝尔群G，有稳定同伦群

$$\pi_{q+n}^s(X \wedge K(G,n)) \cong \pi_{q+n+1}^s(X \wedge \Sigma K(G,n)) \to \pi_{q+n+1}^s(X \wedge K(G,n+1))$$

上由映射$\Sigma K(G,n) \to K(G,n+1)$导出的映射。取它们的直极限，可验证这在CW复形上定义了既约同调论

$$h_q(X) = \varinjlim _{n} \pi_{q+n}^s(X \wedge K(G,n))$$

由于$h_q(S^0) = \varinjlim \pi_{q+n}^s(K(G,n))$（$q \neq 0$）为零，$h_*$与CW复形上系数在G中的既约奇异同调$\tilde{H}_*(\cdot,G)$一致。

### 函子性

从上同调的万有系数定理可以看出，艾伦伯格–麦克莱恩空间是群的准函子，即对每个正整数n，若$a\colon G \to G'$是阿贝尔群的任何同态，则有非空集

$$K(a,n) = \{[f]: f\colon K(G,n) \to K(G',n), H_n(f) = a\},$$

满足$K(a \circ b,n) \supset K(a,n) \circ K(b,n) \text{ and } 1 \in K(1,n),$

其中$[f]$表示连续映射f、$S \circ T := \{s \circ t: s \in S, t \in T \}$的同伦类。

### 与波斯尼科夫/怀特海塔的关系

连通CW复形X都有波斯尼科夫塔，即空间的逆系：

$$\cdots \to X_3 \xrightarrow{p_3} X_2 \xrightarrow{p_2} X_1 \simeq K(\pi_1(X), 1)$$

使对每个n都有：

- 有交换映射$X \to X_n$，导出$\pi_i$（$i \leq n$）上的同态。
- $\pi_i(X_n) = 0$（$i > n$）。
- 映射$X_n \xrightarrow{p_n} X_{n-1}$是具有纤维$K(\pi_n(X),n)$的纤维化。

对偶地，还有怀特海塔，是CW复形的序列：

$$\cdots \to X_3 \to X_2 \to X_1 \to X$$

使对每个n都有：

- 映射$X_n \to X$导出$\pi_i$（$i > n$）上的同态。
- $X_n$是n连通的。
- 映射$X_n \to X_{n-1}$是具有纤维$K(\pi_n(X), n-1)$的纤维化。

在塞尔谱序列的帮助下，可计算出球面的高阶同伦群。例如，$\pi_4(S^3)$、$\pi_5(S^3)$用$S^3$的怀特海塔，可见参考文献；更一般地说，使用波斯尼科夫系统的$\pi_{n+i}(S^n) \ i \leq 3$可见参考文献。

### 上同调运算

对不变的自然数m,n、阿贝尔群G,H，存在所有上同调运算集$\Theta :H^m(\cdot,G) \to H^n(\cdot,H)$与$H^n(K(G,m),H)$之间的双射，定义为$\Theta \mapsto \Theta(\alpha)$（$\alpha \in H^m(K(G,m),G)$是基本类）。

因此，上同调运算不能降低同调群的度，保度上同调运算对应系数同态$\operatorname{Hom}(G,H)$。这源于上同调的万有系数定理与$K(G,m)$的(n-1)连通性。

$G=H$是有限循环群时，上同调运算的一些有趣例子是斯廷罗德平方与幂。研究这些时，系数在$\Z /p$中的$K(\Z /p ,n)$的上同调变得非常重要，有关这些组别的详细列表，请参此处。

### 群（上）同调

可以定义群G的系数在群A中的（上）同调为艾伦伯格–麦克莱恩空间$K(G,1)$的奇异（上）同调，系数在A中。

### 进一步应用

上述闭路空间构造在弦论中用于得到弦群等等，如由短正合列

$$0\rightarrow K(\Z,2)\rightarrow \operatorname{String}(n)\rightarrow \operatorname{Spin}(n)\rightarrow 0$$

产生的怀特海塔，其中$\text{String}(n)$是弦群，$\text{Spin}(n)$是旋量群。$K(\Z,2)$的相关性在于存在分类空间$B\Z$（且$K(\Z,2) \simeq BU(1)$）的同伦等价关系

$$K(\mathbb{Z},1) \simeq U(1) \simeq B\Z$$

注意，由于复旋量群是群扩张

$0\to K(\Z,1) \to \text{Spin}^\Complex(n) \to \text{Spin}(n) \to 0$,

弦群在高阶群理论中可看做“高阶”复旋量群的扩张，因为空间$K(\Z,2)$就是高阶群的一个例子。它可看做是对象为单点、态射为群$U(1)$的广群$\mathbf{B}U(1)$的拓扑实现。由于这些同伦性质，这个构造可以推广：任何给定空间$K(\Z,n)$都可以用来启动一个短正合列，可在拓扑群中去除同伦群$\pi_{n+1}$。

## 另见

- 分类空间，$n = 1$情形
- 布朗可表性定理，关于表示空间
- 摩尔空间，同调中的类似物

## 参考文献

### 基础文章

- On the groups $H(\Pi,n)$. III. Operations and obstructions

### 嘉当研讨会与应用

嘉当研讨会（Cartan seminar）包含很多余艾伦伯格-麦克莱恩空间的基本结果，包括其同调与上同调、计算球面同伦群的应用等。

- http://www.numdam.org/volume/SHC_1954-1955__7/

### 计算整上同调环

- Derived functors of the divided power functors
- Integral Cohomology of Finite Postnikov Towers
- (Co)homology of the Eilenberg-MacLane spaces K(G,n)

### 其他百科参考文献

- Encyclopedia of Mathematics