二阶导数

微积分中，函数 $f$ 的二阶导数（second derivative或second order derivative）是其导数的导数。粗略而言，某量的二阶导数，描述该量的变化率本身是否变化得快。例如，物体位置对时间的二阶导数是瞬时加速度，即该物体的速度随时间的变化率。用莱布尼兹记法：

$$\boldsymbol{a} = \frac{\mathrm d\boldsymbol{v}}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d^2\boldsymbol{x}}{\mathrm dt^2},$$

其中 $\boldsymbol a$ 为加速度，$\boldsymbol v$ 为速度，$t$ 为时间，$\boldsymbol x$ 为位置，而 $\mathrm d$ 表示瞬时的差值（又称“delta”值）。最后一式 $\tfrac{\mathrm d^2\boldsymbol{x}}{\mathrm dt^2}$ 是位置 $\boldsymbol x$ 对时间的二阶导数。

绘制函数图形时，二阶导数描述曲线的曲率或凹凸性。若函数的二阶导数为正，则其图像是向上弯，像只杯（$\cup$）。反之，若其二阶导数为负，则向下弯，像顶帽（$\cap$）。

## 二阶导数的幂法则

连续两次用一阶导数的幂法则，则会推导出二阶导数的幂法则，如下所示：

$$\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left[x^n\right] = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[x^n\right] = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[nx^{n-1}\right] = n\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[x^{n-1}\right] = n(n - 1)x^{n-2}.$$

公式对任意实数 $n$ 成立。

## 记法

函数 $f$ 的二阶导函数常记为 $f''$，其于 $x$ 处取值为 $f''(x)$。换言之。

$$f'' = \left(f'\right)',$$

其中 $'$ 表示一阶求导。若用莱布尼兹记法表示导数，则因变数 $y$ 关于自变数 $x$ 的二阶导数记为

$$\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}.$$

此种写法的理由是，$\tfrac{\mathrm d}{\mathrm d x}$ 表示对 $x$ 求导，从而求导两次应写成：

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right) \,=\, \frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2} .$$

### 其他记法

如前段所记，二阶导数标准的莱布尼兹记法为 $\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}$。然而，无法视之为纯代数符号作运算。意思是，虽然看似两个微分相除组成的分数，但是无法拆分、抵销等。相对之下，一阶导数的记法可以较好地“当成”分数作代数运算，如链式法则中的抵销。不过，可藉另一种记法补救前述问题。此记法是基于一阶导数的商法则。倘若视 $\frac{\mathrm d y}{\mathrm dx}$ 为两微分之商，则求导时，根据商法则应有：

$$\begin{align} y''(x) &= \left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)' \\ &= \frac{ (\mathrm d y)' \cdot \mathrm dx - \mathrm dy \cdot (\mathrm dx)'}{(\mathrm d x)^2}\\ &= \frac{ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} (\mathrm d y) \cdot \mathrm dx - \mathrm dy \cdot \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm dx }{(\mathrm d x)^2}\\ &= \frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2} - \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dx^2}.\end{align}$$

上式中，$y''(x)$ 为二阶导数，但 $\tfrac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}$ 则不然。$\mathrm du$ 表示微分算子施用于 $u$ 的结果，即 $\mathrm d(u)$，而 $\mathrm d^2u$ 表示微分算子迭代两次的结果，即 $\mathrm d(\mathrm d(u))$。最后 $\mathrm du^2$ 是先微分再平方，即 $(\mathrm d(u))^2$。

若采此写法（并依上段解读各符号含义），则二阶导数各项可以自由操作，与其他代数项作运算。例如，二阶导数的反函数公式，可自上式经一轮代数运算而得。二阶导数的链式法则亦然。不过，运算上的方便，与更换符号的不便，孰轻孰重，仍待定论。

## 例

考虑

$$f(x) = x^3,$$

运用幂法则，$f$ 的导数 $f'$ 由下式给出：

$$f^{\prime}(x) = 3x^2.$$

$f$ 的二阶导数即是对导数 $f'$ 再次求导的结果，由下式给出：

$$f^{\prime\prime}(x) = 6x.$$

另一个例子，考虑正弦函数 $\sin$。有

$$\sin'(x) = \cos (x),$$

而再次求导后，得到

$$\sin''(x) = \cos'(x) = -\sin (x).$$

换言之，正弦函数的二阶导数是自身的相反数。

## 与图像的关系

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### 凹向

函数 $f$ 的二阶导数，描述其图像凹的方向和程度，即凹性（concavity）。若二阶导数在某区间恒正，则函数在该区间向上凹（向上弯，又称为凸函数或下凸函数），意即其切线总位于图像下方“承托”。反之，若二阶导数在某区间恒负，则函数在该区间向下凹（向下弯，又称为凹函数或上凸函数），其切线总位于图像的上方“压制”着。

### 拐点

若函数的二阶导数在某点的左右异号，则图像由向上弯转变成向下弯，或反之。此种点称为拐点（inflection point）。假设二阶导数连续，则在该点处必取零值，故可用“二阶导数为零”之条件，筛选出可能的拐点。不过，二阶导数为零的点不一定是拐点，如 $f(x) = x^4$ 有 $f''(0) = 0$，但 $f$ 在实数系上为凸，无拐点。

### 二阶导数检验

二阶导数与凹凸性的关系，有助判断函数 $f$ 的驻点（即满足 $f'(x)=0$ 的点 $x$）是否为局部极大点或极小点。具体言之：

- 若 $f^{\prime\prime}(x) < 0$，则 $f$ 于 $x$ 点取得局部极大值。
- 若 $f^{\prime\prime}(x) > 0$，则 $f$ 于 $x$ 点取得局部极小值。
- 若 $f^{\prime\prime}(x) = 0$，则二阶导数检验无定论。该点或许是拐点，也可能是极大或极小点。

直观理解，考虑一架赛车高速前进，但正在减速（加速度为负），则当速度降至零的一刻，赛车所在位置即为自起点出发，能达到的前方最远处，因为此后速度降至负值，赛车会倒车。同样，若考虑高速后退但加速度为正的赛车，则相应得到关于极小值的结论。

## 极限

二阶导数若存在，则可以只用一个极限写出：

$$f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2}.$$

以上极限称为二阶对称导数。但是，有时二阶对称导数存在，则函数仍没有（平常的）二阶导数。

右侧欲求极限的分式，可理解成差商的差商：

$$\frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2} = \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h}.$$

故其极限可视作序列二阶差分的连续版本。

然而，上述极限存在并不推出函数 $f$ 二阶可导。该极限仅是二阶导数存在时，计算该导数的一种方法，但并非其定义。反例有符号函数 $\sgn$，其定义为：

$$\sgn(x) = \begin{cases} -1, & \text{若 }\ x < 0, \\ 0, & \text{若 }\ x = 0, \\ 1, & \text{若 }\ x > 0. \end{cases}$$

符号函数在原点不连续，从而不可导，尤其并非二阶可导。但是，在 $x=0$ 处，二阶对称导数存在：

$$\begin{align} \lim_{h \to 0} \frac{\sgn(0+h) - 2\sgn(0) + \sgn(0-h)}{h^2} &= \lim_{h \to 0} \frac{\sgn(h) - 2\cdot 0 + \sgn(-h)}{h^2} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\sgn(h) + (-\sgn(h))}{h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h^2} = 0. \end{align}$$

## 二次近似

正如导数与线性近似密切相关，二阶导数也与二次近似如影随形。某函数 $f$ 于某点的二次近似，是一个二次函数，与 $f$ 在该点处具有一样的一、二阶导数。函数 $f$ 于 $a$ 附近的二次近似可写成：

$$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \tfrac12 f''(a)(x-a)^2.$$

函数的二次近似就是第二阶的泰勒多项式。

## 本征值与本征函数

因为求导运算为线性，所以求导两次亦可视为函数空间上的线性算子，从而可以研究其谱。换言之，可求微分方程 $v'' = \lambda v$ 的函数解 $v$（本征向量）与常数 $\lambda$（本征值）。对于许多种边界条件，可以明确求出二阶导数的本征值与本征向量。

举例，以闭区间 $[0,L]$ 为定义域，边界采用齐次狄利克雷条件（即 $v(0)=v(L)=0$），则诸本征值为 $\lambda_j = -\tfrac{j^2 \pi^2}{L^2}$，对应本征向量（亦称本征函数）$v_j$ 由

$$v_j(x) = \sqrt{\tfrac{2}{L}} \sin\left(\tfrac{j \pi x}{L}\right)$$

给出。此处 $v''_j(x) = \lambda_j v_j(x)$，$j$ 为任意正整数。

其他情况的解，见二阶导数的本征值与本征向量。

## 高维推广

### 黑塞方阵

二阶导数的高维推广，其一是同时考虑全体二阶偏导数 $\tfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}$。对于三元函数 $f: \mathbb R^3 \to \mathbb R$，二阶偏导数包括

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \; \frac{\partial^2 f}{\partial y^2},\; \frac{\partial^2 f}{\partial z^2},$$

以及混合偏导数

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}, \; \frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial z}, \; \frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial z}.$$

还有其他次序的混合偏导数，如 $\tfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}$，但由二阶导数的对称性，只要 $f$ 满足特定条件（如二阶偏导数处处连续），则其他次序的混合偏导数等于上述已列出的偏导数。于是，各方向的二阶偏导数可以砌成一个对称方阵，称为黑塞方阵（Hessian或Hessian matrix）。该方阵的本征值适用于多变量情况的二阶导数检验（称为二阶偏导数检验）。

### 拉普拉斯算子

另一种常见推广，则是只考虑对同一个变量的二阶导数，再求和，得到拉普拉斯算子（Laplace operator或Laplacian）。拉氏微分算子记作 $\nabla^2$ 或 $\Delta$。以三维情形为例，定义为

$$\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.$$

函数的拉氏算子等于梯度的散度，亦是前述黑塞方阵之迹。

## 参见

- 啁啾度——某讯号瞬时相位的二阶导数（瞬时频率的一阶导数）。