包络

物理学和工程学中，振荡信号的包络是一条勾勒出极值的光滑曲线。因此，包络将恒定振幅的概念推广为瞬时振幅。下图展示了在上包络与下包络之间振荡的调制正弦曲线。包络函数可以是时间、空间、角度或任何变量的函数。

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## 拍频波

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在空间x和时间t中产生包络函数的常见情况是波长和频率几乎相同的两个波的叠加：

$$\begin{align} F(x, \ t) & = \sin \left[ 2 \pi \left( \frac {x}{\lambda - \Delta \lambda } - ( f + \Delta f )t \right) \right] + \sin \left[ 2 \pi \left( \frac {x}{\lambda + \Delta \lambda } - ( f - \Delta f )t \right) \right] \\[6pt] & \approx 2\cos \left[ 2 \pi \left( \frac {x} {\lambda_{\rm mod}} - \Delta f \ t \right) \right] \ \sin \left[ 2 \pi \left( \frac {x}{\lambda} - f \ t \right) \right] \end{align}$$

其中使用了两个正弦波相加的三角函数，以及近似值Δλ ≪ λ：

$$\frac{1}{\lambda \pm \Delta \lambda}=\frac {1}{\lambda}\ \frac{1}{1\pm\Delta \lambda / \lambda }\approx \frac{1}{\lambda}\mp \frac {\Delta \lambda}{\lambda^2} .$$

此处调制波长λmod来自下式：

$$\lambda_{\rm mod} = \frac {\lambda^2}{\Delta \lambda}\ .$$

调制波长是包络波长的两倍，因为余弦波的每半个波长都控制着正弦波的正负值。同样，拍频是包络波的频率，是调制波频率的两倍，即2Δf。

如果这种波是声波，耳朵听到的是与f有关的频率，振幅随拍频的变化而变化。

### 相速度与群速度

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除2Π之外，上述正弦波的参数是：

$$\xi_C =\left( \frac {x}{\lambda} - f \ t \right)\ ,$$

$$\xi_E=\left( \frac {x} {\lambda_{\rm mod}} - \Delta f \ t \right) \ ,$$

下标C、E分别指载波和包络。同样的振幅F来自相同的ξC、ξE值，在适当相关的x、t选择下，每个本身都可能返回到相同的值。这种不变性意味着可以在空间中追踪波形，并找到固定振幅的位置在时间中传播时的速度；要使载波参数保持不变，条件为：

$$\left( \frac {x}{\lambda} - f \ t \right) = \left( \frac {x+\Delta x}{\lambda} - f (t + \Delta t) \right)\ ,$$

这表明，要保持恒定振幅，距离Δx与时间间隔Δt的关系是相速度 vp

$$v_{\rm p} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \lambda f \ .$$

另一方面，同样的考虑表明包络线是群速度 vg:

$$v_{\rm g} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \lambda_{\rm mod}\Delta f =\lambda^2 \frac{\Delta f}{\Delta \lambda} \ .$$

引入波向量k，可得更常见的群速度表达式：

$$k=\frac{2\pi}{\lambda} \ .$$

注意到，对于微小变化Δλ而言，相应的波向量小变化Δk为：

$$\Delta k = \left|\frac{dk}{d\lambda}\right|\Delta \lambda = 2\pi \frac{\Delta \lambda}{\lambda^2} \ ,$$

于是群速度可重写为：

$$v_{\rm g}= \frac {2\pi\Delta f}{\Delta k} =\frac {\Delta \omega}{\Delta k}\ ,$$

其中ω是以弧度/秒为单位的频率：ω = 2Πf。在所有介质中，频率和波向量都与色散关系ω = ω(k)有关，群速度可以写成：

$$v_{\rm g} =\frac{d\omega (k)}{dk} \ .$$

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在经典真空等介质中，电磁波的色散关系为：

$$\omega = c_0 k$$

其中c0是经典真空中的光速。这种情况下，相速度和群速度都是c0。

在所谓色散介质中，色散关系可能是波向量的复杂函数，相速度和群速度也不尽相同。例如，对于GaAs中原子振动（声子）表现出的几种波，不同波向量k方向的色散关系如图所示。一般而言，相速度和群速度的方向可能不同。

## 函数近似

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凝聚态物理学中，晶体中移动电荷载流子的能量本征函数可表为布洛赫波：

$$\psi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})=e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) \ ,$$

其中n是带的编号（如导带或价带），r是空间位置，k是波矢。指数是正弦变化函数，对应一个缓慢变化的包络，调制波函数un, k的快速变化部分，描述波函数在晶格原子核心附近的行为。包络只限于晶体布里渊区限定范围内的k值，这就限制了它随位置r变化的速度。

用量子力学确定载流子行为时，通常使用包络近似法。其中薛定谔方程被简化到仅指包络的行为，边界条件直接应用于包络函数，而非完整的波函数。例如，被困在杂质附近的载流子波函数受包络函数F支配，函数是布洛赫函数的叠加：

$$\psi( \mathbf r )= \sum_{\mathbf k } F( \mathbf k ) e^{i\mathbf{k\cdot r}}u_{\mathbf {k}}(\mathbf r ) \ ,$$

其中包括F(k)的傅立叶分量由近似薛定谔方程求得。在某些应用中，周期部分uk被带缘附近的值取代，如k=k0，接着：

$$\psi( \mathbf r )\approx \left( \sum_{\mathbf k } F( \mathbf k ) e^{i\mathbf{k\cdot r}}\right)u_{\mathbf{k}=\mathbf{k}_0}(\mathbf r ) = F( \mathbf r )u_{\mathbf{k}=\mathbf{k}_0}(\mathbf r ) \ .$$

## 衍射图样

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多缝衍射图样的包络由单缝衍射图样决定，后者的包络线如下：

$$I_1=I_0 \sin^2\left(\frac {\pi d \sin \alpha}{\lambda}\right) / \left(\frac {\pi d \sin \alpha }{\lambda}\right)^2 \ ,$$

其中α是衍射角，d是狭缝宽度，λ是波长。对多个狭缝，图样为

$$I_q = I_1 \sin^2 \left( \frac {q\pi g \sin \alpha} {\lambda} \right) / \sin^2 \left( \frac{ \pi g \sin \alpha}{\lambda}\right) \ ,$$

其中q为狭缝数量，g是光栅常数。第一个因子即单缝结果I1，调制着第二个变化更快的因子，取决于狭缝数量与间距。

## 估计

包络检波器是从信号中提取包络的电子电路。

在数字信号处理中，可用希尔伯特变换或滑动平均RMS振幅估计包络。