格罗莫夫–威滕不变量

辛拓扑和代数几何中，格罗莫夫–威滕（GW）不变量是有理数，某些情形下可计算在给定辛流形中符合给定条件的伪全纯曲线。GW不变量可打包为适当空间中的同调或上同调类，或量子上同调的上积。这些不变量可用于区分辛流形（以前无法区分），在闭IIA型弦论中起着至关重要的作用。它们得名于米哈伊尔·格罗莫夫和爱德华·威滕。

格罗莫夫-威滕不变量的严格数学定义冗长而困难，在稳定映射条目中单独讨论。本文的重点在直观解释不变量的含义、计算方法及其重要性。

## 定义

考虑：

- X：2k维闭辛流形。
- A：X中的2维同调类。
- g：非负整数。
- n：非负整数。

现在定义与4元组$(X,\ A,\ g,\ n)$相关的格罗莫夫–威滕不变量。令$\overline{\mathcal{M}}_{g, n}$为亏格为g、有n个标记点的曲线的德利涅-芒福德模空间，令$\overline{\mathcal{M}}_{g, n}(X, A)$表示对X上某与其辛形式相容的殆复结构J，到X的A类稳定映射的模空间。$\overline{\mathcal{M}}_{g, n}(X, A)$的元素具有如下形式：

$$(C, x_1, \ldots, x_n, f),$$

其中C是（不必稳定）曲线，有n个标记点$x_1,\ \dots,\ x_n$与伪全纯的$f:\ C\to X$。模空间的实维度为

$$d := 2 c_1^X (A) + (2k - 6) (1 - g) + 2 n.$$

令

$$\mathrm{st}(C, x_1, \ldots, x_n) \in \overline{\mathcal{M}}_{g, n}$$

表示曲线的稳定化。置

$$Y := \overline{\mathcal{M}}_{g, n} \times X^n,$$

具有实维度$6g- 6 + 2(k + 1)n$。有求值映射

$$\begin{cases} \mathrm{ev}: \overline{\mathcal{M}}_{g, n}(X, A) \to Y \\ \mathrm{ev}(C, x_1, \ldots, x_n, f) = \left(\operatorname{st}(C, x_1, \ldots, x_n), f(x_1), \ldots, f(x_n) \right). \end{cases}$$

求值映射将$\overline{\mathcal{M}}_{g, n}(X, A)$的基本类送到Y中的d维有理同调类，记作

$$GW_{g, n}^{X, A} \in H_d(Y, \Q).$$

从某种意义上说，这个同调类就是对于X，数据为g、n、A的格罗莫夫–威滕不变量，是辛流形X的辛同痕类的不变量。

要从几何角度解释格罗莫夫–威滕不变量，令β为$\overline{\mathcal{M}}_{g, n}$中的同调类，$\alpha_1, \ldots, \alpha_n$为X中的同调类，使$\beta, \alpha_1, \ldots, \alpha_n$的余维之和为d。根据克奈公式，这些都会在Y中产生同调类。置

$$GW_{g, n}^{X, A}(\beta, \alpha_1, \ldots, \alpha_n) := GW_{g, n}^{X, A} \cdot \beta \cdot \alpha_1 \cdots \alpha_n \in H_0(Y, \Q),$$

其中$\cdot$表示Y的有理同调中的交积。这是一个有理数，即给定类的格罗莫夫–威滕不变量。这个数字给出了伪全纯曲线（A类中，亏格为g，域位于德利涅-芒福德空间的β部分，有n个标记点映射到表示$\alpha_i$的循环）的“虚拟”计数。

简单说，GW不变量就是计算有多少条曲线同X的n个选定子流形相交。然而，由于计数的“虚拟”性，它不一定是自然数。因为稳定映射的空间是轨形，其各向同性点可为不变量贡献非整数值。

这种构造有多种变体，如用上同调取代同调，用积分取代交，从德利涅-芒福德空间拉回的陈类也被积分，等等。

## 计算技巧

格罗莫夫–威滕不变量通常很难计算。虽然它们是为任何一般殆复结构J定义的，其中$\bar \partial_{j, J}$算子的线性化D是满射，但实际上必须针对特定的选定J计算。事实上，计算通常是在凯勒流形上利用代数几何技术进行的。

然而，特殊的J可能诱导非满射的D，从而使得伪全纯曲线的模空间大于预期。粗略地说，我们可以通过从D的余核形成向量丛（称作阻碍丛，obstruction bundle），然后将GW不变量变为阻碍丛的欧拉类的积分，以纠正这种影响。要精确化这一思想，需要利用仓西结构进行大量技术论证。

主要的计算技术是局部化，适用于X是环面的状况，即它是由复环面作用的，或至少是局部环面的。然后，我们可以利用阿蒂亚-博特定点定理将GW不变量的计算简化（局部化）为对作用定点轨迹的积分。

另一种手法是利用辛技术，将X同其他空间联系起来，其GW不变量更容易计算。当然，必须首先了解不变量在辛技术中的表现。这时，我们常用更复杂的相对GW不变量，即沿着X的实维度为2的辛子流形，计算满足切线条件的曲线。

## 相关不变量与其他构造

GW不变量与几何中许多其他概念密切相关，如辛范畴中的唐纳森不变量与塞伯格-威滕不变量、代数范畴中的唐纳森-托马斯理论等。对紧辛4-流形，克利福德·陶布斯证明，GW不变量的一个变体等价于塞伯格-威滕不变量。人们猜想代数3-流形包含与整数值唐纳森-托马斯不变量相同的信息。物理方面的考虑也产生了戈帕库马尔-瓦法不变量，目的是为典型的有理GW理论提供底层整数计数。戈帕库马尔-瓦法不变量目前还没有严格的数学定义，这也是该课题的主要问题之一。

光滑射影簇的GW不变量可完全定义在代数几何中。平面曲线与齐次空间有理曲线的经典枚举几何都可用GW不变量来捕捉。不过，GW不变量与经典枚举计数的主要优势在于，其在目标的复结构变形时是不变的。GW不变量还提供了辛流形或射影流形上同调环中积结构的变形，可被组织起来构造流形X的量子上同调环，则是普通上同调的变形。变形积的结合性，本质上来自用于定义不变量的稳定映射的模空间的自相似。

众所周知，量子上同调环同构于辛弗洛尔同调及其裤对积（pair-of-pants product）。

## 在物理学中的应用

GW不变量在弦论中很热门。弦论试图统一广义相对论与量子力学。其中万事万物都是由微小的弦构成的。弦在时空中穿行时，会描绘出一个面，称作弦的世界面。不幸的是，这种参数化面的模空间是无穷维的（至少先验地是）；其上没有已知的适当测度，于是这种理论的路径积分表述缺乏严格定义。

在称作闭A模型的变体中，情况有所改善。这里有6个时空维度，构成了辛流形，而可证明世界面必由伪全纯曲线参数化，其模空间是有限维的。作为模空间上的积分，GW不变量就是这种理论的路径积分。特别是，A模型在亏格为g时的自由能是亏格为g的GW不变量的母函数。

## 参考文献

- An analytically flavoured overview of Gromov–Witten invariants and quantum cohomology for symplectic manifolds, very technically complete

## 阅读更多

- Moduli Spaces of Genus-One Stable Maps, Virtual Classes and an Exercise of Intersection Theory - Andrea Tirelli
- A nice introduction with history and exercises to the formal notion of moduli space, treats extensively the case of projective spaces using the basics in the language of schemes.
- Notes on stable maps and quantum cohomology

### 研究论文

- Gromov-Witten theory of schemes in mixed characteristic