香港中学会考附加数学科

香港中学会考附加数学科（HKCEE Additional Mathematics，简称附加数，A. Maths）是昔日的香港中学会考中，一门高等数学课程，目的是在提升学生在中学的普通数学科之外的数学水平。

## 历史及概述

本科在1967年香港英文中学会考开设，一般会分类在中四及中五的理科的课程中。本科是独立的选修科目，本科的考生应掌握会考数学科的内容，但报考本科毋须同时报考数学科，本科也不能代替数学科。

1967年本科设两卷，1968年再增加一卷理论力学。1968年到1980年的考试，设有三卷，每卷2小时。卷一必考，卷二或卷三选考一卷。卷一和卷二为纯粹数学，卷三为理论力学。

1974年，中文中学与英文中学会考合并为单一中学会考，因为中文中学该届未采用本科课程，本科用“课程乙”名义开设，只可用英文应考；而“课程甲”则为原来中文中学会考的高级数学科。1975年起，本科合并完成，首次可以用中文或英文应考，而课程的纯粹数学部分，就加入了复数，包括复数模、阿根图和共轭，并由中文中学会考高级数学科（前名“甲组数学”）加入不等式及解析几何的内容，包括加入圆锥曲线。

自1981年至2000年会考，设有两卷，每卷2小时，两卷都是必考，卷三理论力学课程删除，而香港高级程度会考应用数学科卷一部分仍保留理论力学，内容较为进阶。

1989年《检讨附加数学课程的建议》提出。

1990年，香港课程发展议会的中学数学科科目委员会编订《附加数学教学注释》，作为暂时的教学辅助。

1992年本科首次有教学用的课程纲要，香港课程发展议会编制及发布附加数学科学习领域指引，此前只有考试课程。

自2001年会考至最后一届2011年香港中学会考，只设一卷，时间2小时30分钟。

因应2000年的《数学课程全面检讨报告》，本科内容遭删减，特别是复数单元被完全删除，2002年中四级开始实行。这意味着学生只能在香港高级程度会考纯粹数学科学习到复数。后来的香港中学文凭考试中，即使必修部分有复数，但课程编排仅有复数的四则运算，两个延伸部分也无补充复数的课程。国际著名数学家丘成桐曾指出，复数是数学的重点课题，批评附加数学科删除复数，令学生知识水平不足，影响日后升学发展。

在2012年起，本科及香港高级程度会考纯粹数学科部分内容整合到香港中学文凭考试数学科延伸部分单元二(M2)，少部分内容新增至必修部分。

## 课程设计及内容

### 附加数学科早期考试课程

试卷一：纯数I

- 排列、组合、概率简单问题。
- 数学归纳法简单问题。
- 正整指数的二项式定理及其应用于估计（问题不涉及最大项、系数的和及性质）。
- 单变量函数及图像，直线方程，$dy/dx$的意义和简单计算，函数$mx+c,kx^n$的形式、图像和导数。
- 计算函数的和及积与复合函数的微分。
- 应用于微增量、变率、速率、极大及极小值问题（问题不需二阶导数）。
- 定积分和其以面积表达，作为微分逆运算的积分。简单函数的积分（不包括$x^{-1}$的积分和分部积分，变量代换只限$x=at+b$），应用于平面面积和旋转立体体积和速度－时间问题。
- 弧度法，任意角的三角函数，简单三角函数的图像，三角形求解和面积计算（只需正弦和余弦的公式，及$\frac 1 2 b c \sin A$和$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$海伦公式）。三维的简单三角问题。可能有数学科课程甲之中任何内容的较难问题。

试卷二：纯数II

- 指数、对数、根式。余式定理。
- 算术和几何级数。
- 不多于3个未知数的联立线性方程组。2个未知数的联立方程组，其中一条是线性方程。
- 二次方程和函数的基本性质。
- 简单代数和三角函数的图像和导数（包括函数的和、积、商，复合函数、隐函数，但不包括反三角函数）。
- 积分的简单变量代换（不包括分部积分）。
- 基本二维直角坐标几何，例如长度、角度、三角形面积。
- 直线方程，一点至一直线的垂直距离。简单轨迹题。圆的方程。简单曲线描绘。曲线的切线方程。
- $\sin(A\pm B),\cos(A\pm B),\tan(A\pm B)$公式，其应用于多倍角问题和简单恒等式。简单三角方程的一般解。

试卷三：理论力学

- 作用在一个质点上的共面力的平衡力及合力。力三角形和力平行四边形。力多边形简单例子。用力的分解和合成求解。拉密定理。
- 力矩，反作用力，平行力，力偶，重心。倾倒。受共面力作用的一个刚体的平衡。
- 滑轮，轮轴及差动轴，差动滑轮。
- 摩擦。斜面。
- 速度，加速度。合速度及相对速度，用向量和计算求解。等加速度的直线运动的方程及图像解。水平面上的抛体运动。
- 牛顿运动定律，重力单位制及绝对单位制。功，能量，功率。能量守恒。相连的质点的运动。匀速圆周运动，包括向心加速度和离心力。锥摆，简单调速器。滚动。转矩，旋转中所做的功。
- 冲量。动量守恒。非弹性体的碰撞。

### 1974年附加数学科课程甲（原中文中学会考高级数学科）

试卷一：大代数及三角（二小时）

- 大代数
- 分式及分式方程。
- 二次方程式之根，根之和与根之积，二次方程式之图解，高次方程式而可用二次方程式解者。
- 联立方程式：一为一次，一为二次之联立方程式，二元二次联立方程式，三元一次联立方程式，文字联立方程式。
- 指数定律，分指数，零指数及负指数。
- 根式，根式之应用，有理化因式，二项根式之根，无理方程式。
- 对数原理，底之变换，指数方程式。
- 比及比例，变数。
- 常数及变数，函数关系，函数，函数表示法。
- 多项式。
- 余式定理。
- 恒等式，待定系数法。
- 部分分式。
- 绝对对称及轮换对称函数及其因子分解。
- 顺序。级数，等差级数，等比级数，调和级数，几何级数之收敛。
- 排列与组合，或然率。
- 正整指数之二项定理。
- 无穷级数之总和，递差法。
- $\sum n, \sum n^2, \sum n^3$
- 数学归纳法原理及应用。
- 不等式，正数之等差中项及等比中项之比较，含绝对之简单不等式。
- 二次式，二次式之符号，正或负之有限二次式。
- 分指数或负指数之二项定理应用（无需证明）。

- 三角
- 正弦及余弦。
- 直角三角形解法及简单应用题。
- 三角函数表用法。
- 简易应用题可用直角三角形及对数解者。
- 三角函数之关系，简单恒等式。
- 倒数比。
- 弧度；弧长；扇形面积。
- $\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin \theta}{\theta}$之极限。
- 恒等式。
- 任意角，正或负。
- 简易方程式（由0°-180°）。
- 简单三角函数之图解。
- 三角形正弦定律及余弦定律。
- 三角形面积公式$\frac 1 2 bc \sin A$，$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$（后者无需证明）。
- 三角形外接圆，内切圆及旁切圆之半径公式。
- 三角形边与角之关系。
- 任意三角形解法。
- 复角公式，倍角及半角公式。
- 和与积公式。
- 高及距离，包括立体之简易习题。
- 三角方程式解法（由0°-360°）。
- 18°，36°，54°，72°之三角函数（可用复角及根式）
- 恒等式及简单消去法。

试卷二：几何及解析几何（二小时）

- 几何
- 圆之对称性质。
- 三角形之外接圆。
- 圆心角及圆周角。
- 共圆点之检验。
- 三角形外接圆半径。
- 等弧及等弦。
- 弧长，扇形面积。
- 切线性质。
- 弦切角。
- 圆之相切。
- 切线作法。
- 设充分已知条件作圆。
- 正多边形。
- 三角形之性质。
- 轨迹。
- 恒等式之几何解释。
- 投影及坐标。
- 余弦定律。
- 毕氏(Pythagoras)定理之推广。
- 阿氏(Apollonius)定理。
- 比及比例，比例线段。
- 三角形两边成比例线定理及其逆定理。
- 分角线定理及其逆定理。
- 比及比例之作图。
- 相似三角形定理。
- 比例中项定理及作图。
- 相交弦定理及其逆定理。
- 切线性质定理及其逆定理。
- 有关相交弦定理之作图。
- 相似形面积。
- 相似多边形作图。
- 西氏(Ceva)定理及其逆定理。
- 孟氏(Menelaus)定理及其逆定理。
- 西氏定理及孟氏定理之三角式。
- 西摩松线(Simson's Line)。
- 九点圆。
- 位似多边形，内外位似中心。

- 解析几何
- 卡氏正坐标。
- 两点间之距离。
- 分点坐标。
- 三角形面积。
- 直线之方程式。
- 直线方程式之特殊式，求直线方程式满足已知条件。
- 两线交角，平行及垂直。
- 已知圆心及半径，求圆之方程式。
- 圆之普通方程式，求圆之方程式满足已知条件，如已知直径两端点及一圆过三点等。
- 过圆上一点所作之切线。
- 抛物线，椭圆及双曲线轨迹。
- 方程式$y^2=4ax$
- 过抛物线上一点所作之切线及法线，次切线及次法线。

### 1975年课程合并后的附加数学科

卷一：纯敷

- 六三角函数及其图像，任意角之函数，正弦定律及余弦定律，$\sin(A\pm B)$，$\cos(A\pm B)$，$\tan(A\pm B)$之公式（此等公式不须证明）及其于倍角及半角之应用，平面及空间之应用题，简易三角方程之通解。
- 基本原理微分法，多项式及三角函数之微分（反三角函数之微分除外）。
- $af(x)+bg(x)$之微分，二重导数。微分之应用：微增量，切线方程，变速，极大与极小等问题及简易曲线之绘画。
- 不定积分作为微分之倒算法。
- 平面之直角坐标系，两点距离，分线段为定比之点，直线方程，直线斜率。
- 二直线之交角，点与线之距离，二直线之交点，直线系，三角形之面积。
- 单变元之一次及二次不等式$|ax+b|\le c$及$|ax^2+bx+c|\le d$二不等式及其代数解法与实线上之图解法。
- 二次方程，判别式，复根。复数之算术运算，阿根图，共轭，模数。

卷二：纯数

- 正整指数之二项式定理及其在计算简易近似值及增长率等应用。（求最大项，系数和，及系数性质等问题不包括在内。）
- 复数：极式及弟美弗定理。
- 积及商之微分，复函数及隐函数之微分。
- 简易函数之积分（$\frac 1 x$除外）。简易代入法积分，定积分作为和之极限，定积分之性质。计算面积及体积之应用。（注：分部积分不包括在内）
- 圆之方程，圆心坐标，半径长、直线与圆之交点。
- 抛物线椭圆及双曲线标准式之认识。简易轨迹问题。

卷三：力学

- 纯量与向量，向量之合成与分解，向量问题之解法：图解法及计算法。
- 同平面力施于一质点时之平衡力与合力。平行四边形及三角形定律。拉密定理(Lami's theorem)，简易多边形定律问题。
- 力矩，平行力，力偶，重心。刚体在数同平面力下之平衡。
- 摩擦系数及摩擦角；斜面。
- 速度、加速度、合速度和相对速度，直线等加速运动方程，包括其图解法。简易抛物体问题。
- 牛顿运动定律。质量与重量、功能及功率。能量不灭定律，连系质点运动。
- 简单机械，包括滑轮组，轮轴，差动滑轮，机械利益，速度比，机械效率。
- 冲量，线动量不灭定律，非弹性物体之撞击。

### 附加数学科课程纲要（1992年颁布）

单元｜内容

单元1：数学归纳法原理｜数学归纳法的概念，步骤，应用

单元2：正整指数的二项式定理｜$n!$及$C^n_r$的符号，帕斯卡三角形，利用帕斯卡三角形展开二项式，正整指数的二项式定理

单元3：二次方程及二次函数｜二次方程的解法，根的性质，二次函数

单元4：三角学｜弧度法，任意角的六个三角函数及其图形，复角，补助角的形式，三角方程的通解，三角形的解法，二维及三维空间问题

单元5：极限和微分｜极限，导数，微分法（第一原理，简单代数函数和微分法的法则，复合函数和隐函数的微分，三角函数的微分，高阶导数），微分的应用（曲线的斜率、切线及法线，极大及极小、简易曲线的描绘，变率，微增量）

单元6：不等式｜不等式的基本法则，一元一次不等式，一元二次不等式，形式如$\frac{ax+b}{cx+d} \ge k$的不等式，绝对值，含绝对值的不等式，绝对不等式。

单元7：解析几何｜平面直角坐标及两点间的距离，直线图形的面积，直线的倾角及斜率，两直线的交角，直线的方程，法线式，直线族，轨迹的概念，圆的方程，圆与直线的交点，圆的切线方程，圆族，标准位置上的抛物线、椭圆及双曲线，简易的参数方程及轨迹问题

单元8：二维空间的向量｜纯量及向量、向量相等、零向量及单位向量，向量的和及差、纯量与向量相乘，向量在直角坐标系的表示法，两向量的纯量积，向量的应用、线段分点、平行及垂直

单元9：积分法｜不定积分，函数的积分法及简易应用，积分法基本技巧，定积分，其计算及应用

单元10：复数｜复数的标准式，复数的加、减、乘及除法运算，复数的极形式，复数在极形式的乘法及除法，简单轨迹与复数，棣美弗定理，1的n次方根

### 2002年课程更动

单元｜更动

单元1：数学归纳法原理｜删去证明简易不等式的应用。

单元3：二次方程及二次函数｜判别二次方程的根是实数或复数，改为判别是实数或非实数。

单元4：三角学｜删去三倍角及半角公式。

单元5：极限和微分｜删去三阶或以上的高阶导数。删去用微增量求函数近似值和估计误差。

单元6：不等式｜删去解$\frac{ax+b}{cx+d} \ge k$形式的不等式，含绝对值的一次及二次不等式，及证明简单的绝对不等式。

单元7：解析几何｜删去标准位置上的抛物线、椭圆及双曲线的方程。

单元9：积分法｜删去用代换法求积分，改为记忆$(ax+b)^n$．$\sin (ax+b)$，$\cos (ax+b)$积分公式。求旋转体体积只限于绕x轴或y轴旋转，删去绕平行于坐标轴直线的旋转体，及删去用圆柱外壳法求旋转体体积。

单元10：复数｜完全删去。

## 考核形式

自1981年至2000年，此科设两卷，卷一上午8:30—上午10:30，卷二上午11:15—下午1:15。每卷都分为两部，甲部短题目，都是必答题，乙部长题目，设五题，选三题作答。1983年以前，甲部占40分，乙部占60分，每题20分；自1984年至1988年，甲部占39分，乙部占60分，每题20分；1989年至2000年，甲部占42分，乙部占48分，每题16分。

自2001年至2011年，此科设一卷，上午8:30—上午11:00，分为两部，甲部短题目，占62分，都是必答题，乙部长题目，占48分，设六题，选四题作答，每题12分。

### 统计数字

年份｜数学科｜附加数学科（与数学科人数百分比）

1996｜61968｜17311 (27.94%)

1997｜62638｜17584 (28.07%)

1998｜65568｜18454 (28.14%)

1999｜66210｜18374 (27.75%)

2000｜66476｜18531 (27.88%)

2001｜65090｜18145 (27.88%)

2002｜64021｜17689 (27.63%)

2003｜62425｜17088 (27.37%)

2004｜63137｜17568 (27.83%)

2005｜68226｜18394 (26.96%)

2006｜67814｜18367 (27.08%)

2007｜68406｜18184 (26.58%)

2008｜69396｜18053 (26.01%)

2009｜71129｜18090 (25.43%)

2010｜72692｜18091 (24.89%)

## 外部链接

- Syllabuses for Secondary Schools - Mathematics (Secondary 1-5) (1999)
- Mathematics Education Key Learning Area Additional Mathematics Curriculum Guide (S4-S5)
- 数学教育学习领域 附加数学课程指引（中四至中五）
- 附加数学课程指引(中四至中五)
- 香港考试及评核局 附加数学
- HKEAA Additional Mathematics
- 香港公共图书馆数码馆藏: 香港会考及高考试题特藏 香港中学会考 Additional Mathematics 附加数学1974-2011