四维多胞体

在四维几何学中，四维多胞体又称4-多胞形是一种位于四维空间中的多胞形。

其为由多个多面体作为维面所构成的封闭几何结构。

这些多胞体的组成元素可分为顶点、边、面（多边形）、胞（多面体）。

每个面都与两个胞相邻。

四维多胞体最早由瑞士数学家路德维希·施莱夫利在1853之前发现。Coxeter 1973, p. 141, §7-x. Historical remarks.

四维多胞体在二维空间的类比是多边形、在三维空间的类比是多面体。

从拓朴学的观点来看，四维多胞体与三维堆砌体密切相关，如立方体堆砌，其为三维空间的空间填充；类似地，三维立方体也与二维的正方形镶嵌有关。

凸四维多胞体可以切割并展开维三维空间的展开图。

## 定义

四维多胞体是一个封闭的四维几何结构。其由顶点（角点）、边、面和胞组成。胞是面的三维类比，也就是多面体。每个面必须正好连接两个胞，类似于多面体的每条边必须正好连接两个面。另外，也像多面体不能被分为2个或多个同样是多面体的子部件一样，四维多胞体不能被分为2个或多个同样属于四维多胞体的集合的子部件，也就是说，其不能为复合体。

## 几何

四维凸正多胞体是三维柏拉图立体在四维空间的类比。最常见的就是超立方体，立方体的四维类比。

四维凸正多胞体可以在相同半径的条件下，依其大小（超体积）排序。序列中每一个几何结构都比前一个更圆、更接近超球体，在相同的半径范围内包围着更大的空间。正五胞体是最小的情况，而正一百二十胞体是最大的情况。其结构复杂度（透过比较排布 (多胞形)或简单的顶点数量来衡量）也依照这个顺序排列。

四维凸正多胞体

对称群｜A4｜超八面体群｜F4 (数学)｜H4多胞形

名称｜正五胞体 超四面体｜正十六胞体 超八面体｜四维超正方体 超立方体｜正二十四胞体｜正六百胞体 超二十面体｜正一百二十胞体 超十二面体

施莱夫利符号｜{3, 3, 3}｜{3, 3, 4}｜{4, 3, 3}｜{3, 4, 3}｜{3, 3, 5}｜{5, 3, 3}

考克斯特图｜node_1｜node_1｜node_1｜node_1｜node_1｜node_1

镜像二面角｜𝝅 𝝅 𝝅 𝝅 𝝅 𝝅｜𝝅 𝝅 𝝅 𝝅 𝝅 𝝅｜𝝅 𝝅 𝝅 𝝅 𝝅 𝝅｜𝝅 𝝅 𝝅 𝝅 𝝅 𝝅｜𝝅 𝝅 𝝅 𝝅 𝝅 𝝅｜𝝅 𝝅 𝝅 𝝅 𝝅 𝝅

图｜

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顶点｜5个正四面体状｜8个正八面体状｜16个正四面体状｜24个立方体状｜120个正二十面体状｜600个正四面体状

边｜10个正三角形分布｜24个正方形分布｜32个正三角形分布｜96个正三角形分布｜720个正五边形分布｜1200个正三角形分布

面｜10个正三角形｜32个正三角形｜24个正方形｜96个正三角形｜1200个正三角形｜720个正五边形

胞｜5个正四面体｜16个正四面体｜8个立方体｜24个正八面体｜600个正四面体｜120个正十二面体

Tori｜1个5-四面体｜2个8-四面体｜2个4-立方体｜4个6-八面体｜20个30-四面体｜12个10-十二面体

大多边形｜2 𝝅 3个正方形｜4 𝝅 3个矩形｜4 𝝅 4个正六边形｜12 𝝅 6个十边形｜50 𝝅 4个十二边形

皮特里多边形｜1个五边形｜1个八边形｜2个八边形｜2个十二边形｜4个三十边形｜20个三十边形

长半径｜$1$｜$1$｜$1$｜$1$｜$1$｜$1$

边长｜$\sqrt{\tfrac{5}{2}} \approx 1.581$｜$\sqrt{2} \approx 1.414$｜$1$｜$1$｜$\tfrac{1}{\phi} \approx 0.618$｜$\tfrac{1}{\phi^2\sqrt{2}} \approx 0.270$

短半径｜$\tfrac{1}{4}$｜$\tfrac{1}{2}$｜$\tfrac{1}{2}$｜$\sqrt{\tfrac{1}{2}} \approx 0.707$｜$\sqrt{\tfrac{\phi^4}{8}} \approx 0.926$｜$\sqrt{\tfrac{\phi^4}{8}} \approx 0.926$

面积｜$10\left(\tfrac{5\sqrt{3}}{8}\right) \approx 10.825$｜$32\left(\sqrt{\tfrac{3}{4}}\right) \approx 27.713$｜$24$｜$96\left(\sqrt{\tfrac{3}{16}}\right) \approx 41.569$｜$1200\left(\tfrac{\sqrt{3}}{4\phi^2}\right) \approx 198.48$｜$720\left(\tfrac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{8\phi^4}\right) \approx 90.366$

体积（超表面积）｜$5\left(\tfrac{5\sqrt{5}}{24}\right) \approx 2.329$｜$16\left(\tfrac{1}{3}\right) \approx 5.333$｜$8$｜$24\left(\tfrac{\sqrt{2}}{3}\right) \approx 11.314$｜$600\left(\tfrac{\sqrt{2}}{12\phi^3}\right) \approx 16.693$｜$120\left(\tfrac{15 + 7\sqrt{5}}{4\phi^6\sqrt{8}}\right) \approx 18.118$

超体积｜$\tfrac{\sqrt{5}}{24}\left(\tfrac{\sqrt{5}}{2}\right)^4 \approx 0.146$｜$\tfrac{2}{3} \approx 0.667$｜$1$｜$2$｜$\tfrac{\text{Short}\times\text{Vol}}{4} \approx 3.863$｜$\tfrac{\text{Short}\times\text{Vol}}{4} \approx 4.193$

## 拓朴特征

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四维多胞体的拓朴特征由贝蒂数和扭转系数定义。

用于描述多面体的欧拉特征数并不能有效地推广到更高的维度，对于所有四维多胞体而言，无论其有合拓朴结构，欧拉特征数的值都是零。由于欧拉特征数无法有效地区分高维空间中不同的拓朴结构，因此导致了更复杂的贝蒂数的发现。

同样地，多面体的定向性也不足以描述四维多胞体表面的扭曲情况，因此需要使用扭转系数来描述。

## 分类

### 标准

四维多胞体可以依照其特性进行分类，例如凹凸性和对称性。

- 凸的四维多胞体代表其边界（包含胞、面和边）不会自我相交，且任两点连线皆位于整个几何结构内部或正好落在其边界上，若无法满足上述条件则这个四维多胞体就是非凸的。自我相交的四维多胞体又被称为四维星形多胞体，其可以视为星形多边形和星形多面体在四维空间的类比。
- 正的四维多胞体代表其标记可以在其对称性上传递，这意味着该四维多胞体所有胞全等、所有面全等、所有边等长所有顶点图全等，其可以视正多面体的类比。
- 半正的四维多胞体代表其具有一个所有顶点皆等价的对称性（点可递），且其胞都是正多面体。半正四维多胞体可以有不只一种的胞，但前提是其皆要由同一种面来构成。索罗德·戈塞特在1900年只发现了三种半正四维多胞体，分别为截半正五胞体、截半六百胞体和扭棱二十四胞体。
- 均匀的四维多胞体代表其具有一个所有顶点皆等价的对称性，且其胞都是均匀多面体，其面也要是正多边形。
- 三维空间的堆砌体是将三维欧几里得空间划分为以多面体为胞的重复性网格。这样的空间填充是无限的，且并不具有四维超体积，是四维无限胞体的例子。均匀三维堆砌体是指顶点图全等并与某个空间群相关联，且其胞为均匀多面体。

### 类别

下面列出了依上述标准分类的四维多胞体：

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四维均匀多胞体（点可递）

- 四维凸均匀多胞体（64个加2个无限集合）
- 47个非柱状四维均匀多胞体，当中包括：
- 6个四维凸正多胞体
- 柱状四维均匀多胞体
- {} × {p,q}：18个四维均匀多胞体#多面体柱体 （包括四维超正方体）
- 基于反棱柱的柱体（无限集合）
- {p} × {q}：四维柱体柱（无限集合）
- 四维非凸均匀多胞体（10个已知其余数量未知）
- 10个（正）施莱夫利-赫斯多胞体
- 57 个基于星形均匀多面体的四维柱。
- 未知总数的四维非凸均匀多胞体：诺曼·詹森 (数学家)和其他合作者已经确定有2189个已知的四维非凸均匀多胞体（凸和星形，不含无限集合）皆由Stella (软件)透过顶点图构造。

其他凸四维多胞体

- 多面体锥
- 多面体双锥
- 多面体柱

基于欧几里得三维堆砌体的四维均匀无限胞体

- 28个凸均匀堆砌：凸均匀多面体的空间填充，也包括：
- 1个正空间填充，立方体堆砌：{4,3,4}

基于双曲空间三维堆砌体的四维均匀无限胞体

- 76个威佐夫双曲空间填充，也包括：
- 4个正紧凑双曲空间填充：{3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}

均匀四维多胞体对偶（胞可递）

- 41个不相同的凸四维多胞体对偶
- 17个不相同的均匀多面体柱对偶
- 无限集合的四维柱体柱对偶（不规则四面体胞）
- 27个不相同的均匀堆砌对偶，包括：
- Q7321274
- Q5282593

其他

- 韦尔—费伦结构

抽象多胞形

- 四维正十一胞体
- 四维正五十七胞体