非结合代数

非结合代数（或分配代数，distributive algebra）是域上的代数，其中乘法不必遵循结合律。即，有代数结构A、域K，若A是K上配备K-双线性乘法$A \times A\to A$（不必符合结合律）的向量空间，则称其为K上的非结合代数。例如李代数、约尔丹代数、八元数、具备叉积的3维欧氏空间。由于乘法不必结合，须用括号表示乘法的顺序，比如(ab)(cd)、(a(bc))d、a(b(cd))的含义是不一样的。

这里的“非结合”是说不必结合，而非必不结合，就像非交换环的“非交换”是说“不必交换”。

若代数有单位元e，使得$\forall x,\ ex=x=xe$，则称代数是含幺的或酉的。例如，八元数是含幺的，而李代数绝不含幺。

A的非结合代数结构可与A的K-自同态的全代数的子代数（是结合代数）相关联，作为K-向量空间研究。两个例子是微分代数与（结合）包络代数，后者有“包含A的最小结合代数”的意味。

更一般地，有人提出交换环R上非结合代数的概念：具备R-双线性乘法的R-模。若一结构服从除结合律外所有环的公理（如R代数），则就自然是$\mathbb{Z}$-代数，所以有人称非结合$\mathbb{Z}$-代数为非结合环。

## 满足恒等式的代数

具有两种二元运算、无其他限制的类环结构分很多种类，难以一同研究。所以，最为人所知的非结合代数要满足一些恒等式（即性质），这样稍微简化了乘法。一般来说有如下这些。

### 一般性质

令x, y, z表示域K上代数A的任意元素。

正整数次幂可以递归地定义为$x^1:= x;\ x^{n+1}:= x^nx$（右幂）或$x^{n+1}:= xx^n$（左幂）。

- 含幺：存在元素e使得$ex=x=xe$；这时可以定义$x^0:= e.$
- 结合性：$(xy)z=x(yz).$
- 交换性：$xy=yx.$
- 反交换性：$xy=-yx.$
- 雅可比恒等式：$(xy)z+(yz)x+(zx)y=0;\ x(yx)+y(zx)+z(xy)=0.$
- 约尔丹恒等式：$(x^2y)x=x^2(yx);\ (xy)x^2=x(yx^2).$
- 交替性：$(xx)y=x(xy)$（左交替）；$(yx)x=y(xx)$（右交替）。
- 柔性：$(xy)x=x(yx)$。
- n次幂结合性（n ≥ 2）：$\forall k,\ (0<k<n),\ x^{n-k}x^k=x^n$，其中k是整数。
- 三次幂结合性：$x^2x=xx^2.$
- 四次幂结合性：$x^3x=x^2x^2=xx^3$（比较下面的“四次幂交换性”）。
- 幂结合性：任意元素生成的子代数结合，即对n ≥ 2，有n次幂结合。
- n次幂交换性，其中n ≥ 2：$\forall k\ (0<k<n),\ x^{n-k}x^k=x^kx^{n-k}$，其中k是整数。
- 三次幂交换性：$x^2x=xx^2$。
- 四次幂交换性：$x^3x=xx^3$（比较上面的“四次幂结合性”'）。
- 幂交换性：任意元素生成的子代数交换，即n次幂交换（n ≥ 2）。
- 索引n ≥ 2的幂零：任意n个元素之积，在任意结合次序下为零，但n−1个元素时不总成立：$x_1x_2\ldots x_n=0,\ \exists n-1$个元素y使得在某结合次序下$y_1y_2\ldots y_{n-1}\neq 0.$
- 索引n ≥ 2的零：幂结合性、$x^n=0$，存在元素y使得$y^{n-1}\neq 0.$

### 性质之间的关系

对特征任意的K：

- 结合性推出交替性。
- 左交替、右交替、柔性知二推三。
- 因此交替性推出柔性。
- 交替性推出约尔丹恒等式。
- 交换性导出柔性。
- 反交换性导出柔性。
- 交替性导出幂结合性。
- 柔性导出三次幂结合性。
- 二次幂结合和二次幂交换为真。
- 三次幂结合和三次幂交换等价。
- n次幂结合推出n次幂交换。
- 索引2的零推出反交换性。
- 索引2的零推出约尔丹恒等式。
- 索引3的幂零推出雅可比恒等式。
- 索引n的幂零推出索引N的零，其中2 ≤ N ≤ n。
- 含幺与索引n的零不相容。

若$K\neq {\rm GF}(2)$或${\rm dim}(A)\le 3:$

- 约尔丹恒等式与交换性共同推出幂结合性。

若${\rm char}(K)\neq 2:$

- 右交替性推出幂结合性。
- 相似地，左交替性推出幂结合性。
- 含幺与约尔丹恒等式共同推出柔性。
- 约尔丹恒等式与柔性共同推出幂结合性。
- 交换性与反交换性共同推出索引2的幂零。
- 反交换性推出索引2的零。
- 含幺与反交换不相容。

若${\rm char}(K)\neq 3$：

- 含幺和雅克比恒等式不相容。

若${\rm char}(K)\notin\{2,3,5\}:$

- 交换性与$x^4=x^2x^2$（定义四次幂结合性的两等式之一）共同推出幂结合性。

若${\rm char}(K)=0:$

- 三次幂结合性与$x^4=x^2x^2$（定义四次幂结合性的两等式之一）共同推出幂结合性。

若${\rm char}(K)=2:$

- 交换性与反交换性等价。

### 结合子

A上的结合子是K-线性映射$[\cdot,\cdot,\cdot] : A \times A \times A \to A$：

$$[x,\ y,\ z]=(xy)z-x(yx)$$

它度量了A非结合的程度，可以很方便地表示一些A满足的式子。

令x, y, z表示域代数的任意元素。

- 结合律：$[x,\ y,\ z]=0.$
- 交替性：$[x,\ x,\ y]=0$（左交替）及$[y,\ x,\ x]=0$（右交替）。
- 这意味着交换任意两项都会变号：$[x,\ y,\ z]=-[x,\ z,\ y]=-[z,\ y,\ x]=-[y,\ x,\ z].$反例仅当${\rm char}(K)\neq 2.$
- 柔性：$[x,\ y,\ x]=0.$
- 可知，交换极值项将变号：$[x,\ y,\ z]=-[z,\ y,\ x].$反例仅当${\rm char}(K)\neq 2.$
- 约尔丹恒等式：$[x^2,\ y,\ x]=0$或$[x,\ y,\ x^2]=0$，取决于学者。
- 三次幂结合性：$[x,\ x,\ x]=0.$

核是与其他元素结合的元素的集合，即$n\in A$，使得

$$[n,\ A,\ A]=[A,\ n,\ A]=[A,\ A,\ n]=0.$$

核是A的结合子环。

### 中心

A的中心是与A中所有元素都交换、结合的元素的集合，即

$$C(A) = \{ n \in A \ | \ nr=rn \, \forall r \in A \, \}$$

与核之交。对C(A)中的元素，$([n,A,A], [A,n,A] , [A,A,n])$中两个集合若是$\{0\}$，则第三个集合也是零集。

## 例子

- 欧几里得空间$\mathbb{R}^3$，乘法由叉积给出。这是反交换、非结合代数的例子。叉积还满足雅可比恒等式。
- 李代数是满足反交换与雅可比恒等式的代数。
- 微分流形上的向量场代数（若K是R或C）或代数簇（对一般的K）。
- 约尔丹代数是满足交换律与约尔丹恒等式的代数。
- 结合代数都可通过以交换子为李括号，给出李代数。实际上，李代数要么可以这样构造，要么是这样构造的李代数的子代数。
- 定义新的乘法$x^*y=(xy+yx)/2$，则特征不是2的域上的结合代数给出约尔丹代数。与李代数不同，只有一部分约尔丹代数能这样构造，称作特殊约尔丹代数。
- 交替代数是满足交替性的代数。最重要的例子是八元数（实数上的代数），以及八元数在其他域上的推广。结合代数都交替。在同构意义上，仅有的有限维实交替除代数（下详）是实数、复数、四元数和八元数。
- 幂结合代数，是满足幂结合恒等式的代数。例如所有结合代数、所有交替代数、GF(2)以外任意域上的约尔丹代数（上详）与十六元数。
- R上的双曲四元数代数，是为解释狭义相对论而引入闵可夫斯基时空前的实验性代数。

更多种类代数：

- 分次代数，包括大部分对多重线性代数具有重大意义的代数，如张量代数、对称代数、给定向量空间上的外代数等等。分次代数可推广到滤子代数。
- 除代数，其中存在乘法逆元。实数域上有限维交替除代数的分类已完成。有实数（1维）、复数（2维）、四元数（4维）、八元数（8维）。四元数和八元数不交换；八元数不结合。
- 二次代数要求$xx=re+sx$，其中r、s属于底域（ground field），e是代数的单位。例子如有限维交替代数、实2阶方阵代数。在同构的意义上，没有零的除子的交替、二次实代数只有实数、复数、四元数和八元数。
- 凯莱–迪克森代数（其中K是R），始于：
- C（交换结合代数）。
- 四元数H（结合代数）。
- 八元数（交替代数）。
- 十六元数及凯莱-迪克森代数的无限序列（幂结合代数）。
- 超复数代数都是有限维含幺R-代数，于是包含凯莱-迪克森代数等等。
- 泊松代数见于几何量子化。其中有2个乘法，以不同方式将其变为结合代数与李代数。
- 遗传代数是非结合代数，在数学遗传中使用。
- 三元系

## 性质

环论与结合代数中的性质，对非结合代数来说不总成立，例如有（双边）乘法逆元的元素也可能是零除子：十六元数所有非零元都有双边逆，而其中有些是零除子。

## 自由非结合代数

域K上集合X上的自由非结合代数定义为基包含所有非结合单项式的代数，X的元素的有限形式积写出圆括号，例如单项式u、v之积只是$(u)(v).$若取空积为单项式，则代数含幺。

Kurosh证明，自由非结合代数的子代数都是自由的。

## 结合代数

域K上的代数A若是K-向量空间，可考虑A的K-线性向量空间内自同态的结合代数${\rm End_K(A)}$。可将${\rm End_K(A)}$的两子代数关联到A上的代数结构：微分代数与（结合）包络代数。

### 微分代数

A上的导子是映射D，具有性质

$$D(x \cdot y) = D(x) \cdot y + x \cdot D(y) \ .$$

A上的导子形成了子空间${\rm Der}_K(A)\in{\rm End_K(A)}$。两导子的交换子仍是导子，所以李括号给出${\rm{Der}}_K (A)$，具有李代数结构。

### 包络代数

代数A的元素a都附有线性映射L、R：

$$L(a) : x \mapsto ax ; \ \ R(a) : x \mapsto xa \ .$$

A的结合包络代数或乘法代数是由左右线性映射生成的结合代数。A的中心体（centoid）是自同态代数${\rm End}_K(A)$中的包络代数的中心化子。若代数的中心体包含单位元的K-标量乘，则称代数是中心的。

非结合代数满足的部分可能等式可用线性映射方便地表示：

- 交换性：L(a)等于相应的R(a)。
- 结合性：L与任意R交换。
- 柔性：L(a)都与相应的R(a)交换。
- 约尔丹：L(a)与$R(a^2)$交换。
- 交替：$L(a)^2=L(a^2)$，右式亦如此。

二次表示Q定义为

$Q(a) : x \mapsto 2a \cdot (a \cdot x) - (a \cdot a) \cdot x \ $,

等价地

$$Q(a) = 2 L^2(a) - L(a^2) \ .$$

泛包络代数条目描述了包络代数的规范构造，及它们的PBW型定理。对于李代数，这样的包络代数具有泛性质，但对其他非结合代数通常不成立。最知名的例子可能是阿尔伯特代数，是一种特殊的约尔丹代数，不能用约尔丹代数的包络代数的规范结构来包络。