沙普利-福克曼引理

<image>

沙普利-福克曼引理是凸几何的一条引理，其于数理经济学有应用。引理描述向量空间子集的闵可夫斯基和有何性质。若干个集合的闵可夫斯基和，即从各集合分别取一个元素相加，组成的集合：例如，将整数$0$和$1$组成的集合，与自身相加，得到由$0,\ 1,\ 2$组成的集合，以符号可写成：

$$\{0, 1\} + \{0, 1\} = \{0, 1, 2\}.$$

“许多个集合的闵氏和，是否必定近似凸集？”沙普利-福克曼引理和相关的结果表明，问题的答案为肯定。集合称为凸，意思是连接其中任意两点的线段，必为该集合的子集：举例，实心圆盘 $\bullet$ 为凸集，但圆 $\circ$ 则不然，因为连接相异两点的线段 $\oslash$ 并不是圆的子集。沙普利-福克曼引理大致断言，若求和项的数目超出向量空间的维数，则其闵氏和将近凸。

沙普利-福克曼引理引入时，是作为证明沙普利-福克曼定理的一步，该定理断言闵氏和与其凸包的距离不超过某个上界。所谓集合$Q$的凸包，是包含$Q$的最小凸集。而当且仅当和为凸时，上述距离为零。定理中，距离的上界取决于维数$D$及求和项的形状，但不取决于求和的项数$N$，而只需$N > D$。只要其中$D$个求和项的形状，就足以确定$N$个集合的闵可夫斯基平均集

$$\frac{1}{N}\left(Q_1 + Q_2 + \cdots + Q_N\right)$$

与其凸包的距离的上界。当$N$趋向无穷时，该上界递减至零（需要各求和项的大小一致有界）。斯塔（Starr）的推论将沙普利-福克曼定理的上界压得更低，故又称为沙普利-福克曼-斯塔定理。

劳埃德·沙普利和强·福克曼的引理，最先由经济学家罗斯·斯塔发表，其时斯塔正在肯尼斯·阿罗门下，研究经济均衡的存在性。斯塔在论文中，研究凸化（convexified）经济体，即将非凸集换成其凸包。斯塔证明，凸化之后，有些均衡由原经济体的“准均衡”（quasi-equilibria）逼近；还证明，每个准均衡都具有真均衡的许多最优性质，而凸经济体中则必定存在真均衡。斯塔1969年的论文发表后，沙普利-福克曼-斯塔的结果得到广泛应用，用作证明（凸）经济理论的若干核心结果，尽管不适用于有非凸部分的大经济体，但在此等经济体中，仍是良好的近似。罗歇·盖内里评论：“这些结论的一般形式的推导，是战后经济理论的重大成就。”许多诺贝尔奖得主都曾研究非凸性 (经济学)，除了前述的劳埃德·沙普利（2012年获奖）外，还有：阿罗（1972）、罗伯特·约翰·奥曼（2005）、杰拉德·德布鲁（1983）、特亚林·科普曼斯（1975）、保罗·克鲁曼（2008）、保罗·萨缪尔森（1970）。至于互补的主题“经济学中的凸性”，除以上得主着重外，还有里奥尼德·赫维克兹、列昂尼德·维塔利耶维奇·康托罗维奇（1975）、罗伯特·索洛（1987）都着重。

沙普利-福克曼引理在优化论和概率论皆有应用。优化论中，可以引理解释，在求多个函数之和的最小值时，为何一些解法可以成功。概率论中，引理适用于证明随机几何的“大数定律”。此定理先前仅在凸集的情况得证。

## 简单例子

考虑凸的实数区间$[0, 1]$，其包含整数子集$\{0, 1\}$，且是其凸包（添加了两点所连线段上的所有点）。仅得两个元素的集合$\{0, 1\}$，复制成三份，并按元素求和，得到

$$\{0, 1\} + \{0, 1\} + \{0, 1\} = \{0, 1, 2, 3\}.$$

（此处集合的和，是从各集合分别取一个元素相加，得到的可能结果的集合，称为闵氏和。）和集的凸包则为区间$[0, 3]$。

区间$[0, 3]$中，每个数$x$都可以写成区间$[0, 1]$中某三个实数（允许重复）之和，例如将$x$等分成三份即可。但使用沙普利-福克曼引理，则有更强的结论：$[0, 3]$的每个数，都可以写成$\{0, 1\}$中某两个整数（允许重复），与$[0, 1]$中某一个实数之和。

凸包$[0,1]$中的点，到$\{0, 1\}$的距离，至多为$1/2$：

$$\frac{1}{2} = \left|\frac{1}{2}- 0\right| = \left| \frac{1}{2} -1 \right|,$$

然而，考虑三个区间$[0, 1]$的闵氏平均

$$\frac{1}{3}\left(\{0, 1\} + \{0, 1\} + \{0, 1\}\right) = \left\{0,\frac{1}{3},\frac{2}{3},\ 1\right\},$$

与其凸包$[0,1]$的距离，仅为$1/6$，即未平均前$\{0, 1\}$与$[0, 1]$距离（$1/2$）的三分之一。越多个集合相加，其闵氏平均就将凸包填得越满：由闵氏平均至凸包的最远距离，随被加项数增加，而趋向于零。此为沙普利-福克曼定理的结论。

## 前置概念

沙普利-福克曼引理需要用到凸几何的若干定义和定理，本节将作简介。

### 实向量空间

二维的实向量空间上，有笛卡儿坐标系，将每点视为一对实数，称为“坐标”，按惯例记为$x,\ y$。笛卡儿平面上的两点，可以逐个坐标相加：

$$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1+x_2, y_1+y_2).$$

此外，点也可以逐个坐标与实数$\lambda$相乘：

$$\lambda (x, y) = (\lambda x, \lambda y).$$

更一般而言，任何$D$维（有限维）实向量空间，均可视为$D$个实数组成的D元组的集合$\{ (v_1, v_2, \ldots, v_D)\}$，并配备两种运算：向量加法和标量乘法。有限维实空间的此两种运算，皆定义成逐个坐标运算，与笛卡儿平面上的运算类似。

### 凸集

凸集$Q$中，连接任意两点的线段仍是$Q$的子集。

非凸集$Q$中，连接某两点的线段上，有一点不再是$Q$的元素。

实向量空间中，非空子集$Q$称为凸集，意思是，对于$Q$的任意两个点，连接两点成一线段，其上的所有点仍在$Q$中。例如，实心圆盘 $\bullet$ 为凸，但圆 $\circ$ 则不然，因为连接相异两点的线段 $\oslash$ 并不是圆的子集。三个整数的集合$\{0, 1, 2\}$非凸，但其为区间$[0, 2]$的子集，而该区间为凸。又例如，实心立方体为凸，然而任何空心或凹陷的图形，如弯月形，则非凸。空集也是凸集，视乎作者偏好，这可能是专门的定义，也可能是因为要满足的条件是空真命题。

更严谨而言，集合$Q$称为凸，意思是，对$Q$中任意两点$v_0, v_1$，和单位区间$[0, 1]$中的任意实数$\lambda$，点

$$(1 - \lambda) v_0 + \lambda v_1$$

仍是$Q$的元素。

由数学归纳法，集合$Q$为凸，当且仅当其任意多个元素的凸组合仍在$Q$中。所谓向量空间子集$\{ v_0, v_1, \ldots, v_D\}$的凸组合，是其元素的任意加权平均$\lambda_0 v_0 + \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_D v_D$，而各$\lambda_i$可以是总和为$1$的任意非负实数，即只需$\lambda_0 + \lambda_1 + \cdots + \lambda_D = 1$。

凸集的定义推出，两个凸集的交集仍是凸集。更甚者，任意一族凸集的交也是凸集。作为特例，若取两个不交的凸集，则其交集为空集，故应当称空集为凸。

### 凸包

<image>

对于实向量空间的每个子集$Q$，其凸包$\mathrm{Conv}(Q)$是包含$Q$的最小凸集。所以，$\mathrm{Conv}(Q)$是所有覆盖$Q$的凸集的交。等价地，可以将$\mathrm{Conv}(Q)$定义成$Q$的点的所有凸组合的集合。作为例子，整数集合$\{0, 1\}$的凸包，是实数闭区间$[0, 1]$，其两端为原有的整数$0, 1$。单位圆的凸包则是闭单位圆盘，其包含单位圆。

### 闵可夫斯基和

<image>

在任何向量空间（或有定义加法的代数结构）$X$中，两个非空子集$A, B\subseteq X$的闵可夫斯基和，定义为其元素之和的集合，即 $A+B := \{x+y\mid x\in A,~y\in B\}$（参见)。例如：

$$\{0,1\}+\{0,1\}=\{0+0,0+1,1+0,1+1\}=\{0,1,2\}.$$

此运算定义在非空子集族上，且满足结合律和交换律。既然有结合律和交换律，就可以递归定义多个被加项的运算结果$\sum_{n=1}^{N}Q_{n}=Q_{1}+Q_{2}+\cdots+Q_{N}$。由数学归纳法，可见

$$\sum_{n=1}^{N}Q_{n}= \left\{\left.\sum_{n=1}^{N}q_{n}\right| q_{n}\in Q_{n},~1\leq n\leq N\right\}.$$

### 闵可夫斯基和的凸包

闵可夫斯基和与凸包运算可以交换。具体而言，对实向量空间$X$的任意子集$A,B\subseteq X$，其闵氏和的凸包等于其凸包的闵氏和。换言之。

$$\mathrm{Conv}(A+B) = \mathrm{Conv}(A)+\mathrm{Conv}(B).$$

故由数学归纳法得

$$\mathrm{Conv}(\sum_{n=1}^{N}Q_{n}) = \sum_{n=1}^{N}\mathrm{Conv}(Q_{n})$$

对任意$N\in\mathbb{N}$和非空子集$Q_{n}\subseteq X$（$1\leq n\leq N$）成立。

## 各命题的叙述

<image>

由前一段的恒等式，对和的凸包中的每点$x\in\mathrm{Conv}\left(\sum_{n=1}^{N}Q_{n}\right)$，都存在各凸包的$q_{n}(x)\in\mathrm{Conv}(Q_{n})$（$n$取遍$1$至$N$），使得$\sum_{n=1}^{N}q_{n}(x)=x$。各点$q_n(x)$的位置取决于$x$。

### 引理

<image>

有了以上背景，沙普利-福克曼引理断言，$x$的表示法

$$x=\sum_{n=1}^{N}q_{n}(x)$$

中，仅需要不多于$D$个被加项$q_{n}(x)$取自凸包，而其他被加项，则只需取自原来的集合$Q_n$。以符号复述，即有以上方法表示$x$，且满足$|\{l\leq n\leq N\mid q_{n}(x)\in\mathrm{Conv}(Q_{n})\setminus Q_{n}\}|\leq D$。不妨将下标重新排序，然后就有

$$x = \sum_{n=1}^{D}q_{n}(x) + \sum_{n=D+1}^{N} q_n(x)$$

其中对$1\leq n\leq D$，有$q_{n}\in\mathrm{Conv}(Q_{n})$，而对$D+1\leq n\leq N$，则有$q_{n}\in Q_{n}$。注意，倘若重排，则排序的方式也取决于点$x$。再精简，沙普利-福克曼引理可以写成

$$\mathrm{Conv}(\sum_{n=1}^{N}Q_{n})\subseteq\bigcup_{I\subseteq\{1,2,\ldots N\}:~|I|=D}\sum_{n\in I}\mathrm{Conv}(Q_{n})+\sum_{n\notin I}Q_{n}.$$

举例，集合$[0,2]=[0,1]+[0,1]=\mathrm{Conv}(\{0,1\})+\mathrm{Conv}(\{0,1\})$中的每个点，根据引理，必定可以写成$\{0,1\}$的某个元素，与$[0,1]$的某个元素之和。

#### 实向量空间的维数

反之，沙普利-福克曼引理刻划了有限维实向量空间的维数。具体而言，若某向量空间，对于某个自然数$D$满足引理的结论，但对小于$D$的数不满足，则其维数恰好为$D$。引理仅对有限维向量空间成立。

### 沙普利-福克曼定理及斯塔的推论

<image>

沙普利与福克曼运用其引理，证明沙普利-福克曼定理，给出集合的闵氏和与其凸包（称为凸化（convexified）和）的距离上界。定理的叙述如下：凸化和$\mathrm{Conv}\left(\sum Q_n\right)$的任一点，到（未凸化）和集$\sum Q_n$的欧氏距离平方，不超过各集合$Q_n$的外接半径中，最大$D$个的平方和。(所谓外接半径，定义为包围该集合的最小球面的半径。）此上界与求和项数$N$无关（但要求$N > D$，且集合不能越来越大）。上述定理给出闵氏和及其凸包之间距离的上界。当且仅当闵氏和为凸集时，此距离为零。该上界取决于维数$D$及各被加项的形状，但只要$N > D$，就不取决于项数$N$。

通常，外接半径会大于内半径，而无论如何，外接半径总不能小于内半径。集合$Q_n$的内半径定义为：

最小的正实数$r$，满足：若$q$在$Q_n$凸包中，则$q$在$Q_n$若干点的凸包中，而该些点皆在同一个半径为$r$的球内。

斯塔将沙普利-福克曼定理中的外接半径换成内半径，从而压低沙普利-福克曼定理的上界：

沙普利-福克曼定理的斯塔推论：

凸化和$\mathrm{Conv}\left(\sum Q_n\right)$的任一点，到（未凸化）和集$\sum Q_n$的欧氏距离平方，不超过各集合$Q_n$的内半径中，最大$D$个的平方和。

斯塔的推论确定，$N$个集合的闵氏和与其凸包之间，欧氏距离的上界。此距离可以衡量闵氏和非凸的程度，故为简单起见，下文称为非凸度。于是，斯塔对非凸度的上界，仅取决于$D$个最大内半径之值，但不取决于求和的项数$N$（假设$N > D$）。

例如，非凸集$\{0, 1, 2\}$的非凸度为$1/2$，因为与其凸包（区间$[0, 2]$）的距离为$\frac{1}{2} = \left|1 - \frac{1}{2}\right| = \left|0 - \frac{1}{2}\right| = \left|2 - \frac{3}{2}\right| = \left|1 - \frac{3}{2}\right|.$所以，既然$\sum Q_n$的非凸度有不取决于项数$N$的上界，就知平均集

$$\frac{1}{N}\left(\sum Q_n\right)$$

非凸度上界，会随$N$增加而递减。例如，平均集

$$\frac{1}{2} \left(\{0, 1\} + \{0, 1\}\right) = \{0,\ 1/2,\ 1\}$$

和其凸包$[0, 1]$的距离仅为$1/4$，等于被加项$\{0, 1\}$与其凸包$[0, 1]$的距离（$1/2$）之半。仅要最大$D$个求和项的形状，已足以计算和集与凸包的距离的上界，故除以$N$后，平均集与凸包的距离，在$N$趋向无穷时，会递减至零（对均匀有界的求和项成立，即各个求和项的大小需有同一个上界）。若使用斯塔的上界，则前一句结论的条件可以放宽，只需各求和项的内半径有同一个上界。

### 证明和计算

沙普利-福克曼引理的原证明，仅确定存在该种表示法，而无说明如何构造。阿罗与哈恩、约翰·盖士利、斯奈德（Schneider）和其他人都曾给出类似的证明。阿特斯泰因（Artstein）扩展了伊瓦尔·埃科兰德的简洁抽象证明。也有未经出版的另证。1981年，斯塔发表一种迭代法，可以计算给定点的表示法，然而，此计算方法给出的上界，较非构造性证明的上界差。博赛卡斯的书有讲述有限维空间沙普利-福克曼引理的初等证明，并将引理应用于估计可分优化（separable optimization）问题与零和赛局的对偶间隙。

## 应用

有沙普利-福克曼引理，学者就得将有关凸集闵氏和的结果，套用到（无需凸的）一般集合之和。此种和见于经济学、最优化理论、概率论。此三领域的应用中，非凸性起到重要作用。

### 经济学

<image>

经济学中，消费者对每一“篮子”商品（basket，即商品的组合）有其偏好程度。每篮子可用一个非负向量表示，其坐标为篮中各商品的量。所有篮子组成的集合中，每个消费者有自己的一族无差异曲线，满足：在同一条曲线上的各篮子，对该消费者是等价的，即消费者并不觉该曲线上有篮子胜于另一个篮子。每篮子恰好处于一条无差异曲线上。消费者相对于一条无差异曲线的偏好集，定义为该无差异曲线与其更偏好的区域的并集。称消费者的偏好为凸，意思是其所有偏好集皆为凸。

如图所示，消费者认为的最优篮子，是在预算线支撑某个偏好集时取到，因为此时，所选的篮子是整条预算线上，达到最高的无差异曲线的一点。所谓预算线，是由商品的价格向量与消费者的收入计算得出的限制，消费者无足够收入购买高于此线的篮子。所以，最优篮子的集合是各价格的函数，称为消费者的需求。若偏好集为凸，则不论价格为何，消费者认为的最优篮子总是组成凸集，例如可能是单元集，或是一条线段。

#### 非凸偏好

<image>

然而，若有偏好集非凸，则某些价格确定的预算线，可能在两个分开的最优篮子支撑该偏好集。例如，可以设想，动物园购买狮子或鹰的价钱一样，且其预算恰好够买一只狮子或一只鹰。此外，假设园主亦认为两只动物价值相同，则动物园有可能买狮子，也可能买鹰，但当然不可能买半只狮子加半只鹰（狮鹫）。所以，园主的偏好非凸：买两只动物中的任一只，胜于两者的严格凸组合。

若消费者有非凸偏好集，则对于某些价格，需求不连通。不连通的需求，会导致消费者的行为出现不连续的间断。引述哈罗德·霍特林的话（宜配合所附动图理解）：

若考虑波浪形的无差异曲线，即在某些区域向原点凸，而在其他区域向原点凹，则我等被迫推论，仅有向原点凸的部分需要理会，因为几乎不可能观测到其他部分。要侦测该些部分，唯一方法是，观察价格之比率变化时，需求的不连续变化。此变化的效果是，当直线旋转时，切点会突然跃过某凹陷。虽然此种不连续的表现，揭示有凹陷，但却不可能量度缺口的深度。倘若无差异曲线，或其高维推广，有凹陷部分，则定必因永远无法测量，而不为人知。

瓦尔特·迪韦尔特书中，称赫尔曼·沃尔德有强调研究非凸偏好的困难，也引述保罗·萨缪尔森称凹陷处“被永恒的黑暗遮蔽”。

尽管有上述困难，《政治经济期刊》（JPE）在1959年至1961年间，刊登一系列的论文，解明非凸偏好。投稿人包括：法雷尔（Farrell）、巴托尔·费伦茨、科普曼斯、罗森博格（Rothenberg）。其中，罗森博格讨论非凸集和的近似凸性。该些JPE论文，促使劳埃德·沙普利和马丁·舒比克也合著论文，研究凸化的消费者偏好，并引入“近似均衡”（approximate equilibrium）的概念。JPE论文和沙普利-舒比克论文又启发了罗伯特·奥曼提出另一个概念，称为“准均衡”（quasi-equilibrium）。

#### 斯塔1969年的论文与当代经济学

<image>

肯尼斯·阿罗收集前人研究非凸性 (经济学)的文献，列成表，并加入注解，交给罗斯·斯塔。斯塔当时仍是本科生，但已在修读阿罗开设的高等数理经济学（研究生）课程。斯塔在学期论文中，考虑将非凸偏好换成其凸包所得的假想经济体，研究其一般均衡。凸化经济体中，在每个价位，总需求皆是各消费者需求的凸包之和。斯塔的想法吸引数学家劳埃德·沙普利和强·福克曼参与，两人“在私人通信中”证明现以两人命名的引理和定理，到1969年，斯塔才于论文报告此事。

斯塔1969年的论文中，应用沙普利-福克曼-斯塔定理，证明“凸化”经济体有一些一般均衡，只要参与者足够多，能以原经济体的“准均衡”近似。具体而言，斯塔证明，至少存在一个价格向量为$p_\mathrm{opt}$的准均衡，满足下列条件：

- 对每个准均衡$p_\mathrm{opt}$，所有消费者都可以选到其最优的篮子（在预算限制内，且最偏好）。
- 在该价格$p_\mathrm{opt}$，凸化经济体中，每种商品的市场皆均衡，即供给等于需求。
- 每个准均衡的价格，皆“几乎出清”原经济体的市场：凸化经济体均衡组成的集合，与原经济体的准均衡集合，两者的距离有上界。此结论是根据沙普利-福克曼定理的斯塔推论得到。

斯塔确立以下结论：

“总体中，［取各消费及生产集的凸包］所得的假想经济体的分配，与真实经济体的某个分配，两者的差异，有不取决于参与者数目的上界。因此，当参与者数目趋向无穷时，平均参与者感受到，与拟作行动的偏差，近乎可以忽略不计。”

斯塔1969年论文发表后，沙普利-福克曼-斯塔的结论，在经济理论获广泛应用。罗歇·盖内里如此总结该结论对经济学的意义：“假设凸性，所得的若干重要结果，在不具凸性的情况下，仍（近似）适用。例如，若经济体具有大消费侧，则偏好的非凸性不影响适用标准结果”，还称“这些结论的一般形式的推导，是战后经济理论的重大成就。”许多诺贝尔奖得主都曾研究非凸性 (经济学)，除了前述的劳埃德·沙普利（2012年获奖）外，还有：阿罗（1972）、罗伯特·约翰·奥曼（2005）、杰拉德·德布鲁（1983）、特亚林·科普曼斯（1975）、保罗·克鲁曼（2008）、保罗·萨缪尔森（1970）。至于互补的主题“经济学中的凸性”，除以上得主着重外，还有里奥尼德·赫维克兹、列昂尼德·维塔利耶维奇·康托罗维奇（1975）、罗伯特·索洛（1987）都着重。

沙普利-福克曼-斯塔的结论，在经济学各分支的文献都经常出现，包括微观经济学、一般均衡理论、公共经济学（包括市场失灵）、博弈论、数理经济学、经济学中的应用数学。沙普利-福克曼-斯塔的结论，也使经济学更多使用测度论和积分理论。

### 最优化理论

<image>

沙普利-福克曼引理可以解释，为何大规模的最小化问题，即使非凸，仍可用迭代法近似求解（仅对于凸问题，有证明迭代法收敛到最优解）。沙普利-福克曼引理，促使学者将凸优化方法，用于优化多个（无需凸的）函数之和。

#### 最优化理论的前置概念

非线性规划依赖下列有关函数的若干定义：

- 函数$f$（定义在集合$D$上）的图像，是所有参数$x$与相应取值$f(x)$组成的二元组的集合：

$$\mathrm{Graph}(f) = \{(x, f(x)): x \in D\}.$$

<image>

$$\mathrm{Epi}(f) = \{(x, u): f(x) \le u\}.$$

- 实值函数称为凸函数，意思是其盖图为凸集。

举例，二次函数$f: x \mapsto x^2$为凸，而绝对值函数$g: x \mapsto |x|$亦然，但正弦函数$\sin$（如图）则不然，因为在区间$(0, \pi)$的盖图非凸（而有向上的凹陷）。

#### 加性优化问题

许多优化问题中，目标函数$f$可分离变数（可分），即$f$是多个函数之和，而各个函数的参数不同，如：

$$f(\boldsymbol x) = f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_n f_n(x_n).$$

又例如，线性规划问题就可分离变数。考虑一个可分问题，及一个最优解

$$\boldsymbol x_\mathrm{min} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)_\mathrm{min},$$

在该点取到最小值$f(\boldsymbol x_\mathrm{min})$。对此可分问题，同时考虑其“凸化问题”的最优解，即将每个求和项$f_n$的图像换成其凸包。此种最优解，会是凸化问题的某点列$(\boldsymbol x_j, f(\boldsymbol x_j))_{j=1}^\infty$的极限，其中

$(\boldsymbol x_j, f(\boldsymbol x_j)) \in \sum_{n=1}^N \mathrm{Conv}(\mathrm{Graph}(f_n)).$

$\mathrm{Cl}$

$$\mathrm{Cl}(P) + \mathrm{Cl}(Q) \subseteq \mathrm{Cl}(P+Q),$$

当然，因为此点是$N$个图像凸包的点之和，由沙普利-福克曼引理，就可以写成原图像的点与少数图像凸包的点之和。

以上分析，1974年由伊瓦尔·埃科兰德发表，以解释为何可分问题有许多项时，即使各项非凸，总问题仍看似凸。对非线性最小值问题而言，对偶问题的解，不一定就是原问题的解（但若已知原问题为凸，且满足特定条件，则两者的的最优解相等），但是，1973年，青年数学家克劳德·勒马雷沙尔诧异，对已知非凸的问题使用凸问题的方法，竟然也成功。勒马雷沙尔的问题，正是上段加性可分离变数的形式，而每个和项皆非凸函数，但对偶问题的解，仍近似原问题的最优解。埃科兰德的分析说明，“大而可分”的最小值问题，即使各和项有凹陷，仍可运用凸优化的方法。埃科兰德及其后的作者主张，因为变数可以加性分离，所得的总问题近似凸。该等著作以沙普利-福克曼引理为关键一步。沙普利-福克曼引理促使学者将凸优化方法，应用到目标函数为多个函数之和的情况。

```
Proceedings of 1981 IEEE Conference on Decision and Control, San Diego,&nbsp;CA, December 1981, pp.&nbsp;432–443.</ref><ref name="Aubin" >: </ref><ref name="Bertsekas99" >: </ref>
```

$d$

$Q$

$Q$

$d + 1$

$Q$

$Q$

$Q$

反之，藉期望值与凸包之间的联系，概率论亦能用作研究凸集，尤其可用作分析沙普利-福克曼-斯塔的结果。沙普利-福克曼-斯塔的结果，广泛用于随机几何，例如证明随机集的大数定律、中央极限定理、大离差理论。要证明前列概率极限定理，可以使用沙普利-福克曼-斯塔的结果，来避免假设随机集为凸。

概率测度是有限的测度，而沙普利-福克曼引理还可以应用到非概率的测度论，如体积或向量测度的理论。沙普利-福克曼引理可以加强布伦-闵可夫斯基不等式。该不等式断言，闵氏和的体积，相较于各和项的体积不能太大，即闵氏和的体积有上界，以各和项的体积的表示。欧氏空间子集的体积，此处定义为其勒贝格测度。

高等测度论中，沙普利-福克曼引理适用于证明李亚普诺夫定理，即向量测度的值域为凸。值域（或像集）是函数所有可能取值的集合，而向量测度则将测度推广到允许取向量值。例如，若某测度空间有两种概率测度$p_1$和$p_2$，则可定义一个向量测度$(p_1, p_2)$，是对每个事件$\omega$，将其两个概率结合为一个二元组，即

$$(p_1, p_2) (\omega) = (p_1(\omega), p_2(\omega)).$$

李亚普诺夫定理在经济学、(砰砰)控制论、统计理论皆有应用。李亚普诺夫定理是沙普利-福克曼引理的连续版，而沙普利-福克曼引理是李亚普诺夫定理的离散类比。

## 参考文献

- 1970年 Princeton Mathematical Series 28的重印版。