冯·诺伊曼代数

数学中，冯·诺伊曼代数（Von Neumann algebra）或W*-代数（W*-algebra）是希尔伯特空间上有界算子的*-代数，在弱算子拓扑中封闭，并包含恒等算子，是一类特殊的C*-代数。

冯·诺伊曼代数由约翰·冯·诺依曼提出，源于对单算子、群表示论、遍历理论和量子力学的研究。冯·诺伊曼双连续定理表明，解析定义等同于作为对称性代数的纯代数定义。

冯·诺伊曼代数的两个基本例子：

- 实线上本质有界的可测函数环$L^\infty(\mathbb R)$是交换冯·诺伊曼代数，其元素在平方可积函数的希尔伯特空间$L^2(\mathbb R)$上通过逐点乘充当乘法算子。
- 希尔伯特空间$\mathcal H$上所有有界算子的代数$\mathcal B(\mathcal H)$是冯·诺伊曼代数，若希尔伯特空间维度至少为2，则是非交换的。

在1929年首次研究了冯·诺伊曼代数，他和Francis Murray在20世纪30、40年代撰写的一系列论文中称之为算子环，发展了冯·诺伊曼代数的基本理论，重印于。

关于冯·诺伊曼代数的介绍见、的注，及、等书。系列著作对冯·诺伊曼代数进行了百科全书式阐述。讨论了更高级的主题。

## 定义

冯·诺伊曼代数有3种常见定义。

- （希尔伯特空间上的）有界算子的弱闭*-代数（包含恒等）。这定义中，弱（算子）拓扑可换成其他常见拓扑，如强、超强、超弱算子拓扑。在范数拓扑下封闭的有界算子的*-代数是C*-代数，因此冯·诺伊曼代数都是C*-代数。
- 对对合（*-运算）封闭的有界算子的子代数，且等于其双交换子，或等价于在*下封闭的某子代数的交换子。冯·诺伊曼双交换定理von Neumann指出，前两个定义等价。
- 前两个定义将冯·诺伊曼代数描述为作用于某给定希尔伯特空间的算子集。指出，冯·诺伊曼代数也可抽象地定义为有预对偶的C*-代数；也就是说，冯·诺伊曼代数作为巴拿赫空间是另一些巴拿赫空间的对偶，称作预对偶。冯·诺伊曼代数的预对偶在同构意义上是唯一的。有人用“冯·诺伊曼代数”表示与希尔伯特空间作用匹配的代数，“W*-代数”表示抽象概念，于是，冯·诺伊曼代数是W*-代数、希尔伯特空间与其上合适的忠实酉作用构成的。冯·诺伊曼代数的具体定义和抽象定义同C*-代数类似，后者可定义为希尔伯特空间上算子的对范数封闭的*-代数，或满足$||aa^*||=||a||\ ||a^*||$的巴拿赫*-代数。

## 术语

冯·诺伊曼代数中一些术语可能令人困惑，且在本理论之外往往有不同含义。

- 因子（factor）是具有平凡中心的冯·诺伊曼代数，即中心只含标量算子。
- 有限冯·诺伊曼代数是有限因子的直积分（即冯·诺伊曼代数有忠实的正规迹态$\tau: M \rarr \mathbb{C}$）。同样，紧合无限（properly infinite）冯·诺伊曼代数是紧合无限因子的直积分。
- 作用于可分希尔伯特空间的冯·诺伊曼代数也可分，注意这类代数在范数拓扑中常常不再可分。
- 希尔伯特空间上有界算子集生成的冯·诺伊曼代数是包含所有算子的最小冯·诺伊曼代数。
- 两希尔伯特空间上各自冯·诺伊曼代数的张量积是由代数张量积生成的冯·诺伊曼代数，被视作希尔伯特空间的张量积上的算子。

遗忘冯·诺伊曼代数上的拓扑，就可将其看做（含幺）*-代数，或就只是一个环。冯·诺伊曼代数是半遗传的：射影模的每个有限生成子模也是射影的。冯·诺伊曼代数的底环有多次公理化尝试，如贝尔*-环、AW*-代数等。有限冯·诺伊曼代数的隶属算子的*-代数是冯·诺伊曼正则环。（冯·诺伊曼代数本身一般不是冯·诺伊曼正则的）

## 交换冯·诺伊曼代数

交换冯·诺伊曼代数和测度空间的关系类似于交换C*-代数和局部紧豪斯多夫空间的关系。对度量空间$(X,\ \mu)$，交换冯·诺伊曼代数都同构于$L^{\infty}(X)$；反之，对σ-有限度量空间，*-代数$L^{\infty}(X)$都是冯·诺伊曼代数。

于是，冯·诺伊曼代数理论也称作非交换测度论，C*-代数理论也称作非交换拓扑Connes。

## 投影

冯·诺伊曼代数中，满足$E=EE=E^*$的算子E称作投影，是H在某闭子空间上的正交投影算子。若希尔伯特空间H的子空间是M中某投影的像，则称其属于冯·诺伊曼代数M，这建立了M的投影和属于M的子空间之间建立了一一对应关系。非正式地说，子空间是可用M的元素来描述的闭空间。

可以证明，M中任意算子的像的闭包和M中任意算子的核都属于M；另外，属于M的任何子空间在M的算子下的像的闭包也属于M（这些是极分解的结果）。

### 投影比较理论

投影的基本理论由提出。属于M的两子空间若存在属于冯·诺伊曼代数的部分等距映射，将一者同构地映射到另一者，则称它们（穆雷-冯·诺伊曼）等价。若相应子空间等价，或有H的部分等距，将E的像同构映射到F的像，且是冯·诺伊曼代数的元素，则称E等价于F。另一种说法是，若对M中某部分等距u，满足$E=uu^*,\ F=u^*u$，则称E等价于F。

由此定义的等价关系~是可加的：设$E_1\sim F_1,\ E_2\sim F_2$。若$E_1\perp E_2,\ F_1\perp F_2$，则$E_1+E_2\sim F_1+F_2$。若在~的定义中要求酉等价（对幺元u，若$u^*Eu=f$，则$E\sim F$），那么可加性一般不成立。薛定谔-伯恩斯坦定理给出了穆雷-冯·诺伊曼等价的充分条件。

属于M的子空间通过包含而部分有序，产生了投影的偏序≤。在投影的等价类集上还有一个自然偏序，来自投影的偏序≤。若M是因子，则≤是投影等价类上的总阶，下详。

若不存在等价于E的投影F < E（即$F\le E,\ F\neq E$），则称投影（或属于M的子空间）E为有限投影。例如，有限维投影（或子空间）都有限（因为希尔伯特空间之间的等距性使维数固定不变），而无限维希尔伯特空间上的恒等算子在其上所有有界算子的冯·诺伊曼代中并不是有限的，因为其与自身的一个适当子集同构。不过，无限维子空间也有可能有限。

正交投影是$L^{\infty}(\mathbb{R})$中指示函数的非交换类似物。$L^{\infty}(\mathbb{R})$是由指示函数生成的子空间的$||\cdot||_{\infty}$闭包。同样，冯·诺伊曼代数有其投影生成，这是自伴算子谱定理的结果。

有限因子的投影形成连续几何。

## 因子

冯·诺伊曼代数N的中心只由恒等算子的倍数组成，称作因子。证明，可分希尔伯特空间上的冯·诺伊曼代数都同构于因子的直积分，这一分解是本质唯一的。因此，可分希尔伯特空间上冯·诺伊曼代数同构类的分类可转化为因子同构类的分类问题。

指出，因子可分3类。类型分类可推广到非因子的冯·诺伊曼代数。若冯·诺伊曼代数可分解为X型因子的直积分，则就是X型的，例如交换冯·诺伊曼代数都是I1类。冯·诺伊曼代数都可唯一地写成I、II、III类冯·诺伊曼代数之和。

还有其他几种分类因子的方法：

- 若因子是I类，则称其离散；若是II类或III类，则称其连续。
- 若因子是I或II类，则称其半无限；若因子是II类，则称其纯无限。
- 若投影1是有限的，则称因子有限，否则称紧合无限。I、II类因子可能有限也可能紧合无限，III类因子总是紧合无限的。

### I类因子

若存在最小的投影$E\neq 0$，使得不存在投影F满足$0<F<E$，则称其为I类因子。I类因子都同构于某希尔伯特空间上所有有界算子的冯·诺伊曼代数，因为每个基数都有希尔伯特空间，I类因子的同构类是与基数完全对应的。很多学者只考虑可分希尔伯特空间上的冯·诺伊曼代数，因此习惯上把有限n维希尔伯特空间上的有界算子称作${\rm I}_n$型因子，可分无限维希尔伯特空间上的有界算子则是${\rm I}_{\infty}$型因子。

### II类因子

若不存在最小投影，但存在非零有限投影，则称其为II类因子。这意味着每个投影E都可以“平分”，即有两个穆雷-冯·诺伊曼等价的投影F、G，且满足$E=F+G$。若II类因子中的恒等算子有限，则是${\rm II}_1$型因子；否则是${\rm II}_{\infty}$型因子。最易理解的II型因子是发现的超无限${\rm II}_1$型因子、超无限${\rm II}_{\infty}$型因子，是${\rm II}_1$、${\rm II}_{\infty}$型中唯一的超无限因子。这类因子还有很多，都值得深入研究。证明了一个基本结果：${\rm II}_1$型因子具有唯一的有限迹态，投影的迹集为0,1。

${\rm II}_{\infty}$型因子具有半无限迹，在缩放意义上唯一，投影的迹集为0,∞。${\rm II}_{\infty}$型因子的基本群是实数λ集合，使得存在自同态，缩放迹λ倍。

${\rm II}_1$型因子与无限I型因子的张量积是${\rm II}_{\infty}$型，反之，任何${\rm II}_{\infty}$型因子都可这样构造。${\rm II}_1$型因子的基本群是因子与I型无限（可分）因子的张量积的基本群。多年来，人们一直在寻找基本群不是正实数群的II型因子，阿兰·科纳随后证明，具有卡日丹性质 (T)的可数离散群（平凡表示在对偶空间中孤立）（如${\rm SL}(3,\ \mathbb{Z})$）的冯·诺伊曼群代数具有可数基本群。后来，索林·波帕证明，特定群的基本群可能是平凡的，如${\rm SL}(2,\ \mathbb{Z})$对$\mathbb{Z}^2$的半直积。

${\rm II}_1$型因子的一个例子是可数无限离散群的冯·诺伊曼群代数，使每个非平凡共轭类都无限。

发现了一个具有非同构冯·诺伊曼群代数的不可数族，从而显示了不可数多个可分${\rm II}_1$型因子的存在。

### III型因子

不含任何非零有限投影的因子是III型因子。在第一篇论文中无法确定是否存在，发现了第一个例子。由于恒等算子在这些因子中总是无限的，因此过去也称作${\rm III}_{\infty}$，最近改做${\rm III}_{\lambda}$，其中λ是0, 1中的实数。更确切地说，若（其模群的）科纳谱是1，则是${\rm III}_0$型因子；若科纳谱为λ（$0<\lambda<1$）的所有整数幂，则是${\rm III}_{\lambda}$型；若科纳谱是所有正实数，则是${\rm III}_1$型（科纳谱是正实数的闭子群，因此只有这些可能）。III型因子的唯一迹在所有正元素上取值为∞，任何两个非零投影都等价。III型因子曾一度被认为是很棘手的对象，但富田–竹崎理论带来了很好的结构理论。特别是，任何III型因子都可用正规方式写成${\rm II}_{\infty}$型因子与实数的叉积。

## 预对偶

冯·诺伊曼代数M都有预对偶$M_*$，是M上所有超弱连续线性泛函的巴拿赫空间。顾名思义，M（作为巴拿赫空间）是其预对偶的对偶。预对偶是唯一的，因为对偶为M的任何其他巴拿赫空间都与$M_*$同构。证明了预对偶的存在是C*-代数中冯·诺伊曼代数的特征。

上文给出的预对偶定义似乎取决于M作用于的希尔伯特空间的选择，因为它决定了超弱拓扑。不过也可定义为M上所有正正规线性泛函生成的空间（此处“正规”指应用于自伴算子的递增网时保上界；或等价于投影的递增序列）。

预对偶$M_*$是对偶$M^*$的闭子空间（包含M上所有范数连续线性泛函），通常小些。$M_*$不同于$M^*$的证明是非构造性的，用很重要的方式使用了选择公理。要展示在$M^*$而不在$M_*$中的元素非常困难，例如，冯·诺伊曼代数$I^{\infty}(Z)$上的奇特正线性形式由自由超滤子给出，对应于进入C的奇特*-同态，并描述了Z的斯通-切赫紧化。

例子：

- $\mathbb{R}$上本质有界函数的冯·诺伊曼代数$L^{\infty}(\mathbb{R})$的预对偶是可积函数的巴拿赫空间$L^1(\mathbb{R})$。$L^{\infty}(\mathbb{R})$的对偶严格大于$L^1(\mathbb{R})$，例如，在$L^{\infty}(\mathbb{R})$上推广了有界连续函数$C^0_b(\mathbb{R})$的闭子空间上的狄拉克测度$\delta_0$的泛函不能表为$L^1(\mathbb{R})$中的函数。
- 希尔伯特空间H上有界算子的冯·诺伊曼代数$B(H)$的预对偶是所有迹类算子（迹范数为$||A||={\rm Tr}(|A|)$）的巴拿赫空间。迹类算子的巴拿赫空间本身是紧算子的C*-代数的对偶（自身不是冯·诺伊曼代数）。

## 权、状态、迹

权、特殊状态与迹在Takesaki中有详细讨论。

- 冯·诺伊曼代数上的权 ω是从正元素（形式$a^*a$）集到0, ∞的线性映射。
- 正线性泛函是ω(1)有限的权（或说是ω通过线性，到整个代数的扩张）。
- 状态是$\omega(1)=1$的权。
- 迹是$\forall a,\ \omega(aa^*)=\omega(a^*a)$的权。
- 迹状态是$\omega(1)=1$的迹。

因子都有迹，即非零投影的迹也非零，并且当且仅当投影无限时，投影的迹才是无限的。这样的迹在重缩放的意义上是唯一的。对可分或有限的因子，当且仅当两投影具有相同的迹时，它们等价。因子类型可从迹在因子投影上的可能值获得，如下：

- ${\rm I}_n$型：对正数x，$0,\ x,\ 2x,\ \ldots,\ nx$（一般归一化为$x=1/n$或1）。
- ${\rm I}_{\infty}$型：对正数x，$0,\ x,\ 2x,\ \ldots,\ \infty$（一般归一化为x = 1）。
- ${\rm II}_1$型：对正数x，$[0,\ x]$（一般归一化为x = 1）。
- ${\rm II}_{\infty}$型：$[0,\ \infty].$
- III型：$\{0,\ \infty\}.$

若冯·诺伊曼代数作用于含范数为1的向量v的希尔伯特空间，则泛函$a\to (av,\ v)$是正规状态。这种构造可反过来从正规状态给出对希尔伯特空间的作用，就是正规状态的GNS构造。

## 因子上的模

给定抽象可分因子，可要求对其模（即其所作用的可分希尔伯特空间）进行分类。结果如下：每个模H都可给定一个M维的${\rm dim}_M(H)$（而非作为复向量空间的维度），这样，当且仅当它们有同样的M维时，模相互同构。M维是可加的，当且仅当一个模m的M维不大于另一模n时，m与n的子空间同构。

若模有循环可分向量，则称其是标准的。因子都有标准表示，在同构意义上唯一。标准表示有反线性对合J使$JMJ=M'$。对有限因子，标准模由应用于唯一正规迹态的GNS构造给出，M维被归一化，因此标准模的M维为1，而对无限因子，标准模是M维无穷大的模。

模的可能M维数如下：

- ${\rm I}_n$（n有限）型：M维可以是$0/n,\ 1/n,\ 2/n,\ 3/n,\ \ldots,\ \infty$。标准模的M维数为1（复维数为2）。
- ${\rm I}_{\infty}$型：M维可以是$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \ldots,\ \infty$。$B(H)$的标准表示是$H\otimes H$，其M维数无穷大。
- ${\rm II}_1$型：M维可以是0, ∞中的任意数。归一化后，标准模的M维数为1。M维也称作模H的耦合常数。
- ${\rm II}_{\infty}$型：M维可以是0, ∞中的任意数。一般来说没有规范方法归一化，因子可能有外自同构，将M维乘以常数。标准表示是M维数无穷大的表示。
- III型：M维可以是0或∞。任意两个非零模都同构，所有非零模都是标准的。

## 可均冯·诺伊曼代数

等人证明，可分希尔伯特空间H上的冯·诺伊曼代数M的下列条件等价：

- M是超无限或近似有限维（AFD）或近似有限的：代数包含有限维子代数的递增序列的，具有稠密的交（注意有人用“超有限”表示“AFD且有限”）。
- M是可均的（amenable）：在正规巴拿赫双模中取值的M的导子都是内的。
- M具有施瓦茨性质P：对H上任意有界算子T，元素$uTu^*$的弱算子闭凸包包含与M交换的元素。
- M 是半离散的：恒等映射$M\to M$是秩有限的完全正映射的弱点极限。
- M具有性质E或羽毛田–富山扩张性：从H上的有界算子到M '，有范数为1的投影。
- M是单射：从任意含幺C*-代数A的任意含1自伴闭子空间到M的任何完全正映射，都可推广为A到M的完全正映射。

上面这类代数没有公认的术语，科纳建议用可均。

可均因子已被分类：在$0<\lambda\le 1$的条件下，${\rm I}_n,\ {\rm I}_{\infty},\ {\rm II}_1,\ {\rm II}_{\infty},\ {\rm III}_{\lambda}$各有一个，${\rm III}_0$的对应某些遍历流。（对${\rm III}_0$型，称其为分类有点误导，因为众所周知，并没有简单的遍历流分类方法。）I型与${\rm II}_1$型由分类，${\rm III}_1$由Haagerup分类，其余的由分类。

所有可均因子都能用穆雷和冯·诺伊曼对单一遍历变换的群测度空间构造得到。事实上，它们正是Z或Z/nZ在阿贝尔冯·诺伊曼代数$L^{\infty}(X)$上的自由遍历作用的叉积产生的因子。测度空间X是原子的，且作用是传递的，则出现I型因子；X是扩散的或非原子的，则等价于0,1的测度空间。X具有等价有限（${\rm II}_1$）或无限（${\rm II}_{\infty}$）测度，且在Z的作用下不变时，出现II型因子；若无不变测度，只有不变测度类，则出现III型因子，称作克里格因子（Krieger factor）。

## 冯·诺伊曼代数的张量积

两希尔伯特空间的张量积是其代数张量积的完备化。可定义冯·诺伊曼代数的张量积（代数视作环的代数张量积的完备化），所得也是冯·诺伊曼代数，并作用于对应希尔伯特空间的张量积。两有限代数的张量积有限，无限代数和非零代数的张量积无限。冯·诺伊曼代数张量积的类型取较大值。张量积交换定理指出

$$(M\otimes N)^\prime = M^\prime\otimes N^\prime,$$

其中M' 表示M的交换子。

无穷多冯·诺伊曼代数的张量积通常是个大得离谱的不可分代数。指出，应在每个冯·诺伊曼代数上选取一个状态，以定义代数张量积上的一个状态，从而产生希尔伯特空间与（较小的）冯·诺伊曼代数。研究了所有因子都是有闲矩阵代数的情形，这些因子称作Araki–Woods因子或ITPFI因子（ITPFI表示“有限I型因子的无限张量积”）。无限张量积的类型可随着状态改变发生巨大变化，如无限多${\rm I}_2$型因子的无限张量积可具有任意类型，取决于状态的选择。特别是对${\rm I}_2$型因子进行无限张量积，发现了$0<\lambda<1$时不可数的非同构超无限${\rm III}_{\lambda}$型因子不可数族，称作Powers因子，每个因子的状态如下：

$$x\mapsto {\rm Tr}\begin{pmatrix}{1\over \lambda+1}&0\\ 0&{\lambda\over \lambda+1}\\ \end{pmatrix} x.$$

所有不是${\rm III}_0$的超无限冯·诺伊曼代数都同构于Araki–Woods因子，有不可数多的${\rm III}_0$型超无限冯·诺伊曼代数不同构。

## 双模与子因子

双模（或对应）是有两个交换冯·诺伊曼代数的模作用的希尔伯特空间H。双模的结构比模丰富得多。两因子上的双模总给出子因子，因为其中一因子总包含于另一因子的交换子中。此外，科纳在双模上发现了一种微妙的相对张量积运算。沃恩·琼斯提出的子因子理论调和了这两种看似迥异的观点。

双模对离散群Γ的冯·诺伊曼群代数M也很重要。事实上，若V是Γ的任意酉表示，将Γ视作Γ × Γ的对角子群，$I^2(\Gamma,\ V)$上相应的诱导表示自然就是M的两个交换副本的双模。Γ的重要表示论性质完全可用双模表述，因此对冯·诺伊曼代数本身也有意义。例如，科纳和琼斯以这种方式给出了冯·诺伊曼代数的卡日丹性质 (T)的类似定义。

## 不可均因子

I型冯·诺伊曼代数可均，其他类型则有不可数多种不可均因子，似乎很难分类，甚至很难相互区分。Voiculescu证明，来自群测度空间构造的不可均因子类与来自自由群的冯·诺伊曼代数群不相交。后来小泽登高证明，双曲群的冯·诺伊曼代数群会产生素的${\rm II}_1$型因子，即不能作为${\rm II}_1$型因子的张量积进行分解，这结果最早由Leeming Ge利用Voiculescu的自由熵，对自由群因子进行了证明。波帕关于不可均因子基本群的研究是另一项重大进展。目前“超无限之外”的因子理论正在迅速扩展，并取得了许多令人惊讶的成果，与几何群论和遍历理论中的刚性现象有密切关系。

## 例子

- σ有限测度空间上的本质有界函数构成了作用于$L^2$函数的交换（${\rm I}_1$型）冯·诺伊曼代数。对一些通常认为病态的非σ有限测度空间，$L^{\infty}(X)$不是冯·诺伊曼代数，如可测集的σ代数可能是不可数集上的可数-余可数代数。基本近似定理可用卡普兰斯基稠密性定理表示。
- 任意希尔伯特空间上的有界算子构成冯·诺伊曼代数，实际上是I型因子。
- 若在希尔伯特空间H上的群G我们有任意酉表示，则与G交换的有界算子形成冯·诺伊曼代数G'，其投影精确对应H在G下不变的闭子空间。等价子表示对应G' 中的等价投影。G的双交换G' ' 也是冯·诺伊曼代数。
- 离散群G的冯·诺伊曼群代数是$H=I^2(G)$上所有与G在H上的作用通过右乘交换的有界算子的代数。可以证明，这就是由与$g\in G$的左乘相对的算子生成的冯·诺伊曼代数。若G的非平凡共轭类都无限（例如非阿贝尔自由群），则它就是（${\rm II}_1$型）因子；若G是有限子群的并（如固定了除有限多元素外所有整数的置换群），则就是${\rm II}_1$型超无限因子。
- 如上一节所述，两冯·诺伊曼代数的张量积或有状态的可数张量积是冯·诺伊曼代数。
- 可定义冯·诺伊曼代数与离散（更一般地，局部紧）群的叉积，也是冯·诺伊曼代数。特殊情形是穆雷合冯·诺伊曼的群测度空间构造，以及克里格因子。
- 可定义可测等价关系的冯·诺伊曼代数和可测广群。这些例子概括了冯·诺伊曼群代数和群测度空间构造。

## 应用

冯·诺伊曼代数在纽结理论、统计力学、量子场论、局部量子力学、自由概率、非交换几何、表示论、微分几何与动力系统等领域都有应用。

例如，C*-代数为概率论提供了另一种公理化方法，称作GNS构造。这类似于测度和积分的两种方法，可以先构造集合的测度，再定义积分；或者先构造积分，再将集合度量定义为特征函数的积分。

## 参考文献

- (A translation of , the first book about von Neumann algebras.)
- incomplete notes from a course.
- A historical account of the discovery of von Neumann algebras.
- . This paper gives their basic properties and the division into types I, II, and III, and in particular finds factors not of type I.
- . This is a continuation of the previous paper, that studies properties of the trace of a factor.
- . This studies when factors are isomorphic, and in particular shows that all approximately finite factors of type II1 are isomorphic.
- . The original paper on von Neumann algebras.
- . This defines the ultrastrong topology.
- . This discusses infinite tensor products of Hilbert spaces and the algebras acting on them.
- . This shows the existence of factors of type III.
- . This shows that some apparently topological properties in von Neumann algebras can be defined purely algebraically.
- . This discusses how to write a von Neumann algebra as a sum or integral of factors.
- . Reprints von Neumann's papers on von Neumann algebras.