兰道尔原理

物理学定律兰道尔定律（Landauer's Principle）理论上刻画了计算过程至少须消耗多少能量，指出“任何对资讯逻辑上不可逆的操作，例如抹除位元，或两计算过程路径交汇，必增加资讯处理仪器——或其环境——不携资讯自由度的熵。”

另一种表述是，如果观测者丧失一物理系统的资讯，他亦无法使其做功。

计算过程若无资讯损耗，即所谓逻辑上可逆，则理论上可以不耗散热能。这兴起了可逆计算研究。确实，不可逆计算下，每耗散一焦耳能执行的计算次数是有上限的。若库米定律维持，则兰道尔定律推导出的上限将于2050年左右达到。

20摄氏度下（约为室温，即293.15 K），兰道尔限界为大概0.0175 eV或2.805 zJ。理论上，在室温的兰道尔限界下，电脑内存可以在每秒只向介质耗散2805 皮瓦（2.805 pJ）热能的前提下，处理10亿位元（1 Gbit）。现代电脑执行时散热为这个下限的百万倍。

有界物理系统的最大熵是有限的。（如果全像原理成立，则有限表面积的物理系理有有限的最大熵；但无论全像原理成立与否，量子场论的贝肯斯坦上限勒令有限半径及能量的系统的有限性。）为免于冗长的计算过程中达到这个上限，熵始终需要被排除到外界去。

## 历史

罗夫·兰道尔于IBM任职时提出该定律。他赞同约翰·冯·诺伊曼早前猜想，并指出了其中重要的下限。因此，有时又简称定律为兰道尔界限。

研究者于2011年将定律推广，提出了虽然抹除资讯会导致熵增，但该熵增不一定体现于能量损耗上。取而代之，代价可以是别的守恒量，例如角动量的损耗。

2012年《自然》的学术论文中，里昂高等师范学校、奥格斯堡大学及凯撒斯劳滕工业大学的物理学家报告了人类第一次对抹除单独位元时耗散的微量热能的测量实验。

2014年，物理实验验证了兰道尔原理及其预测。

2016年，研究人员使用激光仪测量纳米磁铁上位元激活时能量的耗散。翻转该位元使用了26毫电子伏特（4.2 zJ）。

《自然-物理学》一篇2018年的研究则表演了低温（约1开尔文）场合下，对一批高自旋（S = 10）量子单分子磁铁阵列的兰道尔抹除实验。该阵列寄存自旋，每个纳米磁铁编码一位元。实验铺设了将兰道尔定律推广到量子领域的基础。实验里单自旋具备高动态及低“惯性”的特性，令研究人员可以同时展示了如何快速地在热力学最低能耗（即兰道尔界限）上实现抹除操作。

## 原理阐述

首先，兰道尔原理框架内，“不可逆地擦除一位元信息”是指如果一个逻辑门有两位元输入，输出一位元，而另一位元的信息被擦除，则输出的信息不足以重构输入状态：计算过程中信息已不可逆转地丢失。例如，如果一个与非门产生输出1，则不再可能从输出重构输入，因为三个输入值(0,1)、(1,0)和(0,0)都是可能的。

考虑两个输入和一个输出的逻辑门，此系统中，可能的输入状态数为$\Omega = 2^2$；它的熵是$S=k \ln(\Omega)= 2k\ln(2)$。逻辑操作后，输出只能取两个值，门的熵变成$k\ln(2)$；因此，末态和始态之间熵变是$-k\ln(2)$。热力学第二定律要求逻辑门的熵与外部的熵变之和大于等于0，所以外熵$S_e$至少增加$k\ln(2)$。如果系统浸入温度为 T 的恒温池中，则门释放的热量大于或等于 $\Delta Qe = T\Delta S_e = kT\ln(2)$。

<image>

“状态已知”的情况下，兰道尔原理不适用。实际上，对于由诸如图1所描述的圆柱体组成的内存，如果擦除存储器是将其切换到状态0，则可能有两种情况：存储器已处于状态0而不需任何操作，或者存储器处于状态1，此时可以在准静态兼可逆的前提下，将圆柱体旋转180°，这就足以擦除它。这两种情况下，擦除都是在没有熵变化的情况下完成的。

利奥·西拉德在1929年提出的思想实验有助于理解这最后一个断言。西拉德考虑密封于气缸的单原子气体，该气缸与恒温器接触，保持温度为T，这个气缸由隔板M分成两个相等的部分。气缸两侧由两个活塞封住（参见图1）。

如果关于粒子位置的有用信息是它所在的隔间，那么一个位元就足以描述它。我们协定按粒子是分别在左边还是右边来选择将其值设置为0或1。

假设粒子的位置是已知，且它在左侧，可以通过执行以下循环从圆柱体中提取功：

- 将右活塞移向气缸中心；这个动作不须做功，因为隔间是空的。
- 拆除分隔墙M；体积变化为零，因此也不须做功。
- 左侧部分所含气体所施加的压力会将右侧活塞推回其初始位置，从而对外提供功。
- 一旦活塞回到初始位置，放回分隔墙。

假设活塞准静态地运动，对外做功为$\int_{V/2}^{V} PdV=\int_{V/2}^{ V} \frac{kT}{V}dV = kT\ln(2)$。

虽然气体仅由单粒子组成，但热力学概念仍有意义，因为在这种情况下，遍历假设指出时间平均值可代替粒子系综平均值。例如，在活塞的两个无穷小位移之间，如果在足够时长内计算速度平方的时间平均值，其值将趋于$3kT/m$。

将分隔壁放回原位，圆柱体回复初始配置后，但因为粒子随机运动粒子在圆柱体中的速度是恒定的，但每次与构成壁的原子碰撞后，速度会根据麦克斯韦速度分布定律随机改变。它有1/2的概率处于两个隔间之一：不作新测量的话，将遗失有关圆柱体中粒子位置的信息。换言之，上述循环已经将一信元信息转化为$k T \ln(2)$大小的功。

另一方面，如果在循环开始时选择包含气体的隔间，则外部必须做功才能压缩气体。因此，没有事先知道粒子位置的情况下，随机选择活塞推动循环时提取正功的概率为 1/2。重复操作 N 次时，没有每个循环粒子起始位置信息的情况下，不可能平均情况下作正功。

## 公式

兰道尔原理指出，抹除一位元所须能量有最小值，称为“兰道尔界限”。

$$E = k_\text{B} T \ln 2,$$

其中$k_\text{B}$是波尔兹曼常数（约为1.38×10−23 J/K），$T$是散热器的开尔文温度，$\ln 2$是2的自然对数（约0.69315）。令$T$等于室温20 °C（293.15 K），可得到每抹消一位元，损耗0.0175eV（2.805zJ）的界限。

该方程可以用波兹曼熵公式($S = k_\text{B} \ln W$)导出，考虑到$W$是系统可能状态数目，这对于位元来说即是2，而熵$S$定义成$E/T$。所以抹除一个位元的操作将熵变大至少$k_\text{B} \ln 2$，即向环境耗散出至少$k_\text{B} T \ln 2$的能量。

## 挑战

该原理被广泛接受为物理定律，但近年来受到了使用循环论证及错误假设的质疑。值得一提的质疑有1998年的Earman和Norton，及随后的2000年的Shenker，2004年及2011年的Norton，以及2003年查尔斯·H·本内特的辩护和2007年Ladyman等人的辩护，及2019年Jordan和Manikandan等。

另一方面，非平衡态统计物理学近期的发展发现，逻辑及热力学可逆性不存在先天的关系。物理现象可能逻辑可逆但热力学不可逆，亦可能逻辑不可逆但热力学可逆。用可逆系统去实现计算过程的优势即使有，亦很微妙。

2016年佩鲁贾大学的研究人员声称展现了违反兰道尔定律的现象。但根据2016年拉兹洛·基什的说法，这个结论不成立，因为他们“忽视了能量耗散的主要来源，亦即输入电极电容的充电电能”。

## 外部链接

- Maroney, O.J.E. " Information Processing and Thermodynamic Entropy " The Stanford Encyclopedia of Philosophy.
- Eurekalert.org: "Magnetic memory and logic could achieve ultimate energy efficiency" , July 1, 2011