目视联星

目视联星是受到引力束缚，并且可以分解成两颗星的联星系统。根据开普勒第三定律，这些恒星的周期从几年到几千年不等。目视联星由两颗恒星组成，而且通常两者有不同的亮度。因此，较亮的那一颗恒星称为主星，较暗的恒星称为伴星。如果主星相对于伴星过于明亮，则会导致眩光，从而难以分辨出是两颗恒星。然而，如果对较亮恒星的观测显示它围绕质心摆动，就有可能分辨出这个系统。一般而言，如果一对联星之间的距离大于1弧秒，那么就可以用望远镜将其分辨出是两颗恒星。但用现代的专业望远镜、干涉仪或天基设备(太空望远镜)，可以分辨出距离更近的联星。

对于一对目视可见的联星系统，测量值需要以弧秒为单位来组织两者在天空中的视角间隔和位置角，即从北向东量测的伴星相对于主星的角度。在一段时间内，目视联星系统的视相对轨道将出现在天球上。对目视联星的研究揭露了许多有用的恒星特征：质量、密度、表面温度、光度和旋转速率。

## 距离

为了计算出目视联星系统各组成部分的质量，首先必须确定到该系统的距离。理论上，以三角测量的视差，天文学家可以直接计算出恒星的距离，并从观测中估算出两颗恒星的旋转周期和间隔，而成为直接计算出恒星质量的方法。但这种方法并不适用于目视联星系统，但它确实成为一种间接方法，称为动力视差法的基础。

### 三角视差

为了使用这种方法，必须在地球绕太阳公转轨道的相对侧，测量这一颗相对于较远的背景出现的相对位置移动。从下面的方程式中得知距离$d$：

$$d = \frac{1AU}{\tan(p)}$$

此处的$p$是视差，测量的单位是弧秒。

### 动力视差

这个方法仅适用于联星系统。先假设这个联星系统的质量是太阳的两倍。然后应用开普勒定律，确定两星之间的距离。一旦找到了这个距离，就可以利用天空中的弧找到与地球的距离，提供一个临时的距离量测。从这个距离的测量值和视星等，可以得到亮度（绝对星等），并利用质量-亮度关系，得到个别恒星的质量。利用这个质量重新计算分离的距离，经过多次的重复修正与计算，精确度可以高达5%以内。一种更复杂的计算方法是考虑恒星质量随时间的损失。

### 分光视差

分光视差是量测联星距离常用的另一种方法。这个名词只是强调距离倍估计的事实，并没有量测视差。在这种方法中，恒星的光度是根据其光谱来估计的。重要的是要注意，从一个给定类型的遥远恒星光谱被假定为与同一类型的近距离恒星光谱相同。然后根据恒星在其生命周期中所处的位置，在赫罗图上为其指定一个位置。恒星的光度可以通过比较附近恒星的光谱来估计。然后通过以下的平方反比定律确定距离：

$$b = \frac{L}{4\pi d^2}$$

其中的$b$是视亮度，$L$是光度。

以太阳为参照，我们可以写成：

$$\frac{L}{L_{\odot}} = (\frac{d^{2}_{\odot}}{b})(\frac{d^{2}}{b_{\odot}})$$

其中的下标$\odot$表示是与太阳相关的参数。

整理方程式将$d^2$重新排列，就可以估计距离。

$$d^2 = (\frac{L}{L_{\odot}})(\frac{b_{\odot}}{b})$$

## 开普勒定律

两颗彼此互绕着它们质心运行的恒星，也必须遵守开普勒定律。这意味着轨道是一个椭圆形，质心位于椭圆的两个焦点之一（开普勒第一定律）。轨道满足这样一个事实，即连接恒星和质心的一条直线在相等的时间内掠过相同的面积（开普勒第二定律）。轨道运动也必须满足开普勒第三定律。

开普勒第三定律可以表述为："行星轨道周期的平方与其半长轴的立方成正比。"

$$T^2 \propto a^3$$

其中，$T$是行星的轨道周期，$a$是轨道的半长轴。

### 牛顿的概括化

考虑一个联星系统。它由两颗恒星组成，质量分别为$m_1$和$m_2$，围绕着它们质心运行的$m_1$具有相对于质心的位置向量$r_1$和轨道速度$v_1$，$m_2$具有相对于质心的位置向量$r_2$和轨道速度$v_2$。两颗恒星之间的间隔表示为$r$，并假定为常数。由于引力沿着两颗恒星中心的一条直线作用，我们可以假设两颗恒星围绕其质量中心有一个相等的时间周期，因此彼此之间的间隔是恒定的。

为了得到开普勒第三定律的牛顿版本，我们可以考虑从牛顿第二定律勘使。该定律指出："作用在物体上的净力与物体的质量和合成的加速度成正比。"

$$F_{net} = \sum \, F_{i} = ma$$

式中的$F_{net}$是作用在物体$m$上的净力， $a$是物体的加速度。

将向心加速度的定义用于牛顿第二定律，得到

$F = \frac{mv^2}{r}$

然后利用轨道速度

$v = \frac{2\pi r}{T}$

我们可以将每颗恒星上的力表示为

$F_{1} = \frac{4\pi^2 m_{1}r_{1}}{T^2}$ 和 $F_{2} = \frac{4\pi^2 m_{2}r_{2}}{T^2}$

如果们利用牛顿第三定律："每一个作用力都有一个相等的反作用力"

$F_{12} = -F_{21}$

我们可以使每一颗恒星上的力相等。

$$\frac{4\pi^2 m_{1}r_{1}}{T^2} = \frac{4\pi^2 m_{2}r_{2}}{T^2}$$

这将简化为

$$r_{1}m_{1} = r_{2}m_{2}$$

如果我们假设两颗恒星的质量不同，那么这个方程式告诉我们：质量较小的恒星距离质量中心较质量大的恒星更远。两颗恒星分离的距离$r$是

$$r = r_{1}+r_{2}$$

因为$r_1$和$r_2$会形成一条从相反的方向开始，在质量中心连结的直线。

现在我们可以将这个运算式代入一个描述恒星受力的方程式中，从心排列组合，找到一个关于恒星位置与两颗恒星质量，以及它们之间距离的运算式。同样的，对于$r2$，这个问题也可以得到解决。我们发现

$$r_{1} = \frac{m_{2}a}{(m_{1}+m_{2})}$$

把这个方程式带入其中一颗恒星上力的方程式，使之等于牛顿万有引力定律（即$F=Gm_{1}m_{2}/a^2$），和解出周期平方得到所需的结果：

$T^2 = \frac{4\pi^2 a^3}{G(m_{1}+m_{2})}$

这是牛顿版的开普勒第三定律。除非$G$是非标准单位，也就是如果质量不是用太阳质量来衡量，轨道周期不是用年来衡量，轨道半长轴不是用天文单位（即不使用地球的轨道参数），这将不起作用。但如果，在整个计算过程中都使用国际单位制，它依然有作用。

## 确定恒星质量

联星系统在这儿特别重要：因为它们彼此环绕轨道运行，通过观察和研究它们彼此围绕质心的轨道和参数，可以了解它们相互作用的引力。在应用开普勒第三定律之前，必须考虑目视联星轨道的倾角。相对于地球上的观测者，轨道通常是倾斜的。如果是0°，这些平面将被视为重合；如果是90°，它们将被视为侧面。由于这种倾斜，椭圆的真轨道将在天球平面上投射一个椭圆的视轨道。开普勒第三定律仍然成立，但比例常数随着椭圆视轨道的变化而变化。

轨道倾角可以通过量测主星和视焦点之间的距离来确定。一旦知道了这些资讯，就可以算出真实的偏心率和真实的半长轴。因为若倾角大于0°，视轨道将比真实轨道短，这种影响可以用简单的几何图形来修正

$$a=\frac{a''}{p''}$$

其中$a''$是真正的半长轴，$p''$是视差。

一旦知道了真实轨道，就可以应用开普勒第三定律。我们用可观测的量来重写它，成为

$$(m_{1}+m_{2})T^2 = \frac{4\pi^2 (a''/p'')^3}{G}$$

从这个方程式中，我们得到了联星系统的质量和。记得我们之前推导的方程式。

$$r_{1}m_{1} = r_{2}m_{2}$$

此处

$$r_{1} + r_{2} = r$$

我们可以求出半长轴的比值，从而得到两者质量的比值

$$\frac{a_{1}''}{a_{2}''} = \frac{a_{1}}{a_{2}}$$

并且

$$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{m_{2}}{m_{1}}$$

恒星个别的质量遵循这个比率，并知道个别恒星和系统的质量中心之间的间隔。

## 质光关系

为了找到恒星的光度，必须观察辐射能的流动速率，也就是辐射通量。当以观察到的光度和质量作图时，就得到了质光关系。这个关系是阿瑟·艾丁顿在1924年发现的。

$$\frac{L}{L_{\odot}} = \left(\frac{M}{M_{\odot}}\right)^\alpha$$

其中，L是恒星的光度，M是它的质量。L⊙和M⊙是太阳的光度和质量。对主序星而言，$\alpha$的值通常是3.5。这个方程式和通常的值3.5仅适用于质量为2M⊙ < M < 20M⊙的主序星，并且不适用于红巨星和白矮星。对于这些恒星，因为这些恒星有不同的质量，这个方程式适用不同的常数。对于不同的质量范围，质光关系的适当形式是

$$\frac{L}{L_{\odot}} \approx .23\left(\frac{M}{M_{\odot}}\right)^{2.3} \qquad (M < .43M_{\odot})$$

$$\frac{L}{L_{\odot}} = \left(\frac{M}{M_{\odot}}\right)^4 \qquad\qquad (.43M_{\odot} < M < 2M_{\odot})$$

$$\frac{L}{L_{\odot}} \approx 1.5\left(\frac{M}{M_{\odot}}\right)^{3.5} \qquad (2M_{\odot} < M < 20M_{\odot})$$

$$\frac{L}{L_{\odot}} \varpropto \frac{M}{M_{\odot}} \qquad (M > 20M_{\odot})$$

恒星的光度越大，质量就越大。一颗恒星的绝对星等或光度可以通过它的视星等和已知的距离来得到。恒星的全波段星等是以太阳质量为单位，根据其质量绘制的。这可以通过观测来确定，然后通过质光关系得出恒星的质量。巨星和主序星适用于这样的关系，但超巨星和白矮星不适用。质光关系非常有用，因为通过观察联星，特别是目视联星，许多恒星的质量都是通过这样的关系找到的。因为天文学家已经深入了解恒星的演化，包括它们是如何诞生的。

## 光谱分类

一般而言，目视联星可以依据分成三类，主要是通过考虑两颗恒星的颜色来确定。

"1.由一颗恒色或微红的主星，和一颗蓝色的伴星组成，而伴星通常是星等较暗的那一颗……

2.大小和颜色差异都很小的系统……

3.系统中较暗的恒星是红色的……"

第一类联星的光度大于第三类联星。联星的颜色差异与其自行的差异缩小有关。

在1921年，利克天文台的Frederick C. Leonard写道：

"1.伴星是矮星时，光谱通常比主星更红；而巨星是主星，其较暗伴星的光谱通常比较亮的主星更蓝。在这两种情况下，光谱类别的绝对差异似乎通常与成分之间的差异有关……。

2.除了一些例外，双星各成员的光谱相互关联，符合恒星的赫罗图的构型……"

当目视联星的一个成员或两者都不在主序列上时，就会出现很有趣的情况。如果一颗恒星比主序星更明亮，那么它不是非常年轻，因此还在重力收缩的阶段，就是处与演化的主序星之后的阶段。因为对联星的研究在这里很有用，与单独恒星不同的是，可以确定是哪个原因造成的。如果主星是在引力收缩的，因为质量较大的恒星成为主序星的速度会比质量脚小的伴星更快，因此伴星将比主星更慢成为主序星，也就是会比主星更晚进入主序带。