模层

数学中，赋环空间$(X,\ O)$上O-模的层或O-模是层F，使得对开的$U\subseteq X$，$F(U)$是$O(U)$-模，$F(U)\to F(V)$的限制映射与$O(U)\to O(V)$的限制映射相容：$\forall f\in O(U),\ s\in F(U)$，fs的限制是f的限制乘以s的限制。

标准情况是当X是概形，O是其结构层。若O是常层$\underline{\mathbf{Z}}$，则O-模的层等同于阿贝尔群层（即阿贝尔层）。

若X是环R的主谱，则R-模会自然地确定一个$O_X$-模，称作相关层。相似地，若R是分次环，X是R的射影构造，则分次模会自然地确定一个$O_X$-模。这样产生的$O_X$-模是准凝聚层的例子，事实上在仿射与射影概形上，所有准凝聚层都可这样生成。

赋环空间上的模层形成阿贝尔范畴。而且这范畴有足内射（enough injective），因此定义了层上同调$\operatorname{H}^i(X, -)$，为全局截面函子$\Gamma(X, -)$的第i右导出函子。

## 例子

- 给定赋环空间$(X,\ O)$，若F是O的O-子模，则称之为O的理想层，因为对开的$U\subseteq X$，$F(U)$是环$O(U)$的理想。
- 设X为n维光滑簇，则X的切层是余切层$\Omega_X$的对偶，规范层$\omega_X$是$\Omega_X$的n次外幂。
- 代数层是模层，也是环层。

## 运算

设$(X,\ O)$为赋环空间。若F和G都是O-模，则它们的张量积

$F \otimes_O G$ or $F \otimes G$,

也是O-模，与预层$U \mapsto F(U) \otimes_{O(U)} G(U)$相关联（计算$O(1) \otimes O(-1) = O$的全局截面，其中$O(1)$是射影空间上的塞尔扭曲层，如此可知层化是不可避免的）。

同样，若F、G都是O-模，则

$$\mathcal{H}om_O(F, G)$$

表示作为层$U \mapsto \operatorname{Hom}_{O|_U}(F|_U, G|_U)$的O-模。

$$\mathcal{H}om_O(F, O)_x \to \operatorname{Hom}_{O_x} (F_x, O_x),$$

特别地，O-模

$$\mathcal{H}om_O(F, O)$$

称作F的对偶模，记作$\check F$。注意：对任意O-模E、F，都有规范同态

$\check{E} \otimes F \to \mathcal{H}om_O(E, F)$,

若E是秩有限的局部自由层，则就是同构。特别地，若L局部自由且秩为1（称这样的L是可逆层或线丛）。

$F \otimes G \simeq O$

则有

$$\check{L} \otimes L \simeq O,$$

这意味着可逆层的同构类构成群，称作X的皮卡第群，规范等同于第一上同调群$\operatorname{H}^1(X, \mathcal{O}^*)$（由标准的切赫上同调论证）。

若E是秩有限的局部自由层，则有配对给出的O-线性映射$\check{E} \otimes E \simeq \operatorname{End}_O(E) \to O$，称作E的迹映射。

对任意O-模F，其张量代数、外代数和对称代数的定义方式类似。例如，k次外幂

$$\bigwedge^k F$$

是与预层$U \mapsto \bigwedge^k_{O(U)} F(U)$相关联的层。若F是秩为n的局部自由层，则$\bigwedge^n F$称作F的行列式（determinant）线丛（严格说是可逆层），记作${\rm det}(F)$。有自然的完美配对：

$$\bigwedge^r F \otimes \bigwedge^{n-r} F \to \det(F).$$

设$f(X,\ O)\to(X',\ O')$是赋环空间之间的态射。若F是O-模，则直像层$f_* F$通过自然映射$O'\to f_* O$是O-模（这样的自然映射是赋环空间态射数据的一部分）。

若G是O-模，则G的模逆像$f^* G$是作为模的张量积的O-模：

$$f^{-1} G \otimes_{f^{-1} O'} O$$

其中$f^{-1} G$是G的逆像层，$f^{-1} O' \to O$由伴随从$O' \to f_* O$得到。

$f_*$和$f^*$之间有伴随关系：对任意O-模F、O-模G。

$$\operatorname{Hom}_{O}(f^* G, F) \simeq \operatorname{Hom}_{O'}(G, f_*F)$$

是阿贝尔群。还有射影公式：对O-模F、秩有限的局部自由O-模E。

$$f_*(F \otimes f^*E) \simeq f_* F \otimes E.$$

## 性质

令$(X,\ O)$是赋环空间。O-模F，若有O-模的满射：

$$\bigoplus_{i \in I} O \to F \to 0.$$

则称F是由全局截面生成的。明确地说，这意味着存在F的全局截面$s_i$使得$s_i$在每个茎$F_x$中的像生成了作为$O_X$-模的$F_x$。

代数几何中，R-模M（R是任意交换环）与环的谱${\rm Spec}(R)$相关联，就是这种层的一个例子。

另一个例子：据嘉当定理A，施坦流形上的凝聚层都是由全局截面张成的（参下列塞尔定理A）。在概形论中，一个相关概念是充足线丛（ample line buldle，例如若L是充足线丛，那么它的某个幂是由全局截面生成的）。

内射O-模是弛的（flasque，即所有限制映射$F(U)\to F(V)$都是满射）。由于弛层在阿贝尔层范畴中是非周期性的，所以O-模范畴中的全局截面函子$\Gamma(X, -)$的第i右导出函子与通常的阿贝尔层范畴中的第i层上同调相重合。

## 与模相关联的层

令M是环A上的模。置$X=\operatorname{Spec}(A)$ and write $D(f) = \{ f \ne 0 \} = \operatorname{Spec}(A[f^{-1}])$。对每对$D(f) \subseteq D(g)$，根据局部化的泛性质，有自然映射

$$\rho_{g, f}: M[g^{-1}] \to M[f^{-1}]$$

有性质$\rho_{g, f} = \rho_{g, h} \circ \rho_{h, f}$。则

$$D(f) \mapsto M[f^{-1}]$$

是对象为集合$D(f)$、态射为集合包含的范畴，到阿贝尔群范畴的反变函子。可以证明它实际上是B-层（即其满足胶合公理），于是定义了X上的层$\widetilde{M}$，称作与M相关联的层。

最基本的例子是X上的结构层，即$\mathcal{O}_X = \widetilde{A}$。此外，$\widetilde{M}$具有$\mathcal{O}_X = \widetilde{A}$-模的结构，因此可得到A上模范畴${\rm Mod}A$到$\mathcal{O}_X$上模范畴的正合函子$M \mapsto \widetilde{M}$。其定义了${\rm Mod}A$到X上准凝聚层范畴的等价，其逆$\Gamma(X, -)$是全局截面函子。X是诺特概形时，函子是从有限生成A-模到X上凝聚层范畴的等价。

此构造有以下性质：对任意A-模M、N与任意态射$\varphi:M\to N$。

- $M[f^{-1}]^{\sim} = \widetilde{M}|_{D(f)}$.
- 对A的任意素理想，$\widetilde{M}_p \simeq M_p$作为$O_p=A_p$-模。
- $(M \otimes_A N)^{\sim} \simeq \widetilde{M} \otimes_{\widetilde{A}} \widetilde{N}$.
- 若M是有限表示模，$\operatorname{Hom}_A(M, N)^{\sim} \simeq \mathcal{H}om_{\widetilde{A}}(\widetilde{M}, \widetilde{N})$.
- 由于${\rm Mod}_A$与X上准凝聚层范畴间的等价关系，$\operatorname{Hom}_A(M, N) \simeq \Gamma(X, \mathcal{H}om_{\widetilde{A}}(\widetilde{M}, \widetilde{N}))$。
- $(\varinjlim M_i)^{\sim} \simeq \varinjlim \widetilde{M_i}$;特别是，取直和与~交换。
- 当且仅当$\sim$的诱导序列正合，称A-模序列正合。特别地，$(\ker(\varphi))^{\sim}=\ker(\widetilde{\varphi}), (\operatorname{coker}(\varphi))^{\sim}=\operatorname{coker}(\widetilde{\varphi}), (\operatorname{im}(\varphi))^{\sim}=\operatorname{im}(\widetilde{\varphi})$.

## 与分次模相关联的层

上一节中的构造与等价有一个分次类似物。令R是由$R_0$-代数（$R_0$表示度为0的元素）的度为1的元素生成的分次环，M是分次R-模。令X是R的射影构造（于是若R不是诺特环，则X是射影概形），则有O-模$\widetilde{M}$，使得对R的度数为正的任意齐次元f，有自然同构

$$\widetilde{M}|_{\{f \ne 0\}} \simeq (M[f^{-1}]_0)^{\sim}$$

作为仿射概形$\{f \ne 0\} = \operatorname{Spec}(R[f^{-1}]_0)$上的模层；实际上，这通过胶合定义了$\widetilde{M}$。

例子：令$R(1)$为分次R-模：$R(1)_n=R_{n+1}$，则$O(1) = \widetilde{R(1)}$称作塞尔扭曲层，若R次数为1、是有限生成的，则塞尔扭曲层是重言线丛的对偶。

若F是X上的O-模，则$F(n) = F \otimes O(n)$就有规范同态：

$$\left(\bigoplus_{n \ge 0} \Gamma(X, F(n))\right)^{\sim} \to F,$$

当且仅当F是准凝聚层时，它是同构。

## 计算层上同调

层上同调以难以计算而闻名。正因如此，下面的一般事实对任何实际计算都是重要的：

令X是拓扑空间，F是其上的阿贝尔层，$\mathfrak{U}$是X的开覆盖，使得$\forall i,\ p,\ U_{i_j}\in \mathfrak{U},\ \operatorname{H}^i(U_{i_0} \cap \cdots \cap U_{i_p}, F) = 0$。则对任意i。

$$\operatorname{H}^i(X, F) = \operatorname{H}^{i}(C^{\bullet}(\mathfrak{U}, F))$$

其中右式是第i切赫上同调。

塞尔消失定理指出，若X是射影簇、F是其上的凝聚层，则对足够大的n，塞尔扭曲$F(n)$由有限多全局截面生成。此外。

- $\forall i,\ H^i(X,\ F)$是在$R_0$上有限生成的。
- 有取决于F的整数$n_0$使得

$$\operatorname{H}^i(X, F(n)) = 0, \, i \ge 1, n \ge n_0.$$

## 层扩张

令$(X,\ O)$是赋环空间，F、H是X上O-模的层。H对F的扩张是O-模的短正合列

$$0 \rightarrow F \rightarrow G \rightarrow H \rightarrow 0.$$

与群扩张一样，若固定F、H，则H对F扩张的所有等价类构成阿贝尔群（参Baer和），其与Ext群$\operatorname{Ext}_O^1(H,F)$同构，当中$\operatorname{Ext}_O^1(H,F)$中的幺元对应平凡扩张。

H是O的情形下，有：$\forall i\ge 0,$

$$\operatorname{H}^i(X, F) = \operatorname{Ext}_O^i(O,F),$$

因为两侧是同一个函子$\Gamma(X, -) = \operatorname{Hom}_O(O, -)$的右导出函子。

注: Hartshorne等学者不写下标O。

设X是诺特环上的射影概形。令F、G是X上的凝聚层，i是整数，则存在$n_0$使得

$\operatorname{Ext}_O^i(F, G(n)) = \Gamma(X, \mathcal{E}xt_O^i(F, G(n))), \, n \ge n_0$.

### 局部自由消解

$\mathcal{Ext}(\mathcal{F},\mathcal{G})$对任何凝聚层$\mathcal{F}$都可用局部自由消解轻松计算：给定复形

$$\cdots \to \mathcal{L}_2 \to \mathcal{L}_1 \to \mathcal{L}_0 \to \mathcal{F} \to 0$$

则

$$\mathcal{RHom}(\mathcal{F},\mathcal{G}) = \mathcal{Hom}(\mathcal{L}_\bullet,\mathcal{G})$$

于是

$$\mathcal{Ext}^k(\mathcal{F},\mathcal{G}) = h^k(\mathcal{Hom}(\mathcal{L}_\bullet,\mathcal{G}))$$

### 例子

#### 超曲面

考虑度数为d的光滑超曲面X，则可计算消解

$$\mathcal{O}(-d) \to \mathcal{O}$$

并发现

$$\mathcal{Ext}^i(\mathcal{O}_X,\mathcal{F}) = h^i(\mathcal{Hom}(\mathcal{O}(-d) \to \mathcal{O}, \mathcal{F}))$$

#### 光滑完全交的并

考虑概形

$$X = \text{Proj}\left( \frac{\mathbb{C}[x_0,\ldots,x_n]}{(f)(g_1,g_2,g_3)} \right) \subseteq \mathbb{P}^n$$

其中$(f,g_1,g_2,g_3)$是光滑完全交，$\deg(f) = d,\ \deg(g_i) = e_i$。则有复形

$$\mathcal{O}(-d-e_1-e_2-e_3) \xrightarrow{\begin{bmatrix} g_3 \\ -g_2 \\ -g_1 \end{bmatrix}} \begin{matrix} \mathcal{O}(-d-e_1-e_2) \\ \oplus \\ \mathcal{O}(-d-e_1-e_3) \\ \oplus \\ \mathcal{O}(-d-e_2-e_3) \end{matrix} \xrightarrow{\begin{bmatrix} g_2 & g_3 & 0 \\ -g_1 & 0 & -g_3 \\ 0 & -g_1 & g_2 \end{bmatrix}} \begin{matrix} \mathcal{O}(-d-e_1) \\ \oplus \\ \mathcal{O}(-d-e_2) \\ \oplus \\ \mathcal{O}(-d-e_3) \end{matrix} \xrightarrow{\begin{bmatrix} fg_1 & fg_2 & fg_3 \end{bmatrix}} \mathcal{O}$$

消解了$\mathcal{O}_X$，可用于计算$\mathcal{Ext}^i(\mathcal{O}_X,\mathcal{F})$。