巴拿赫代数

泛函分析中，得名于斯特凡·巴拿赫的巴拿赫代数是实数或复数（或非阿基米德完备赋范域）上的结合代数A，同时也是巴拿赫空间，即在范数导出的度量中完备的赋范空间。范数要满足$$\|x \, y\| \ \leq \|x\| \, \|y\| \quad \forall x, y \in A.$$

这确保了乘法运算连续。

若巴拿赫代数对乘法有范数为1的单位元，则称其是含幺的（unital）。若其乘法是可交换的，则称其可交换。任意巴拿赫代数A（无论有无单位元）都可等距同构地嵌入含幺巴拿赫代数$A_e$，从而形成$A_e$的闭理想。通常会先验地假设所考虑的代数是含幺的：因为可以先考虑$A_e$，再在原始代数中应用结果，来发展许多理论。不过并非总如此，例如无法在巴拿赫代数中定义不含单位元的三角函数。

实巴拿赫代数的理论可能异于复巴拿赫代数，例如非平凡复巴拿赫代数中元素的谱不会是空的，而实巴拿赫代数中，某些元素的谱可能是空的。

巴拿赫代数也可以定义在P进数域上。这是P进数分析的一部分。

## 例子

巴拿赫代数的典型例子是$C_0(X)$，即定义在局部紧豪斯多夫空间X上在无穷远处消失的（复值）连续函数空间。当且仅当X是紧空间，$C_0(X)$含幺。共轭复数是对合，因此$C_0(X)$实际上是C*-代数。更一般地说，C*-代数都是巴拿赫代数。

- 实数（或复数）集是巴拿赫代数，范数为绝对值。
- 若给所有实数或复数n阶方阵集合配备服从乘法范数，就成为含幺巴拿赫代数。
- 取巴拿赫空间$\R^n$（或$\Complex^n$），范数为$\|x\| = \max_{} |x_i|$，并定义乘法分量形式：$\left(x_1, \ldots, x_n\right) \left(y_1, \ldots, y_n\right) = \left(x_1 y_1, \ldots, x_n y_n\right).$
- 四元数形成了4维实巴拿赫代数，范数为四元数的绝对值。
- 定义在某集合（具有逐点乘和上确范数）上的有界实值或复值函数的代数是含幺巴拿赫代数。
- 某局部紧空间（具有逐点乘和上确范数）上的有界连续实值或复值函数的代数是巴拿赫代数。
- 巴拿赫空间E（以函数复合为乘法，以算子范数为范数）上的连续线性算子的代数是含幺巴拿赫代数。E上所有紧算子的集合是巴拿赫代数，也是闭理想。若$\dim E = \infty$，则没有单位元。
- 若G是局部紧豪斯多夫拓扑群，$\mu$是其哈尔测度，则G上所有$\mu$可积函数的巴拿赫空间$L^1(G)$在卷积$x y(g) = \int x(h) y\left(h^{-1} g\right) d \mu(h),\ \forall x, y \in L^1(G)$下成为巴拿赫代数。
- 一致代数：巴拿赫代数，是复代数$C(X)$的子代数，具有上确范数，包含常数并分离了X的点（必须是紧豪斯多夫空间）。
- 自然巴拿赫函数代数：一致代数，其所有特征都在X的点上取值。
- C*-代数：某希尔伯特空间上有界算子的代数的闭*-子代数，是巴拿赫代数。
- 测度代数：包含某局部紧群上所有拉东测度的巴拿赫代数，测度之积由卷积给出。
- 四元数代数$\H$是实巴拿赫代数，不是复代数，因为四元数的中心是实数。
- 仿射体代数（affinoid algebra）是非阿基米德域上的一种巴拿赫代数，是刚性解析几何的基本构件。

## 性质

一些由幂级数定义的初等函数可在任意含幺巴拿赫代数中定义，如指数函数和三角函数，及更一般的任意整函数（特别地，指数映射可用于定义抽象索引群）。几何级数公式在一般含幺巴拿赫代数中仍有效。二项式定理对巴拿赫代数中两个交换元也成立。

任何含幺巴拿赫代数中的可逆元集合都是开集，其上的逆运算是连续的（因此是同胚），所以形成了乘法下的拓扑群。

若巴拿赫代数有幺元$\mathbf{1}$，则$\mathbf{1}$不可能是交换子；即$xy - yx \neq \mathbf{1},\ \forall x, y \in A$。这是因为$x y,\ y x$若不是$0$，则具有相同的谱。

上述例子给出的各种函数代数具有与标准代数（如实数）迥异的性质，例如：

- 是除代数的实巴拿赫代数同构于实数、复数或四元数。因此，只有是除代数的复巴拿赫代数是复形。（这就是盖尔范德-马祖尔定理）
- 没有零除子的含幺实巴拿赫代数的主理想都是闭的，代数同构于实数、复数与四元数。
- 没有零除子的交换实含幺诺特巴拿赫代数同构于实数或复数。
- 交换实含幺诺特巴拿赫代数（可有零除子）是有限维的。
- 巴拿赫代数中的永久奇异元是零的拓扑除子，也就是说，考虑巴拿赫代数A的扩张B，使一些在给定代数A中奇异的元素，在B中有乘法逆元。A中零的拓扑除子在A的任意巴拿赫扩张B中都是永久奇异的。

## 谱理论

复数域上的含幺巴拿赫代数为谱理论提供了一个一般环境。元素$x \in A$的谱记作$\sigma(x)$，包含所有使$x - \lambda \mathbf{1}$在A中不可逆的复标量$\lambda$。任意元素x的谱是$\Complex$中半径为$\|x\|$、圆心在$0$的闭圆盘的闭子集，于是也是紧的。另外，元素x的谱$\sigma(x)$也非空，满足谱半径公式：

$$\sup \{|\lambda| : \lambda \in \sigma(x)\} = \lim_{n \to \infty} \|x^n\|^{1/n}.$$

给定$x \in A$，全纯函数微积分允许为在$\sigma(x)$的邻域全纯的任意函数f定义$f(x) \in A$；此外，谱映射定理成立：

$$\sigma(f(x)) = f(\sigma(x)).$$

若巴拿赫代数A是复巴拿赫空间X上的有界线性算子的代数$L(X)$（例如方阵的代数），则A中的谱与算子理论中的谱重合。对$f \in C(X)$（紧豪斯多夫空间X），可见：

$$\sigma(f) = \{f(t) : t \in X\}.$$

C*-代数的正规元素x的范数与谱半径重合，这推广了正规算子的类似事实。

令A为复含幺巴拿赫代数，当中非零元x都可逆（是除代数）。$\forall a \in A$，都有$\lambda \in \Complex$使$a - \lambda \mathbf{1}$不可逆（因为a的谱非空），于是$a = \lambda \mathbf{1}:$代数A自然同构于$\Complex$（盖尔范德-马祖尔定理的复数情形）。

## 理想与特征

令A为$\Complex$上的含幺交换巴拿赫代数。由于A是含幺交换环，A的不可逆元属于A的某极大理想。由于极大理想$\mathfrak m\in A$是闭的，$A / \mathfrak m$是巴拿赫代数且是域，且由盖尔范德-马祖尔定理，A的最大理想集与非零同胚$A\to\Complex$集$\Delta(A)$之间有双射。集合$\Delta(A)$称作A的“结构空间”或“特征空间”，元素为“特征”。

特征$\chi$是A上的线性泛函，是乘法函数（$\chi(a b) = \chi(a) \chi(b)$且满足$\chi(\mathbf{1}) = 1$。）每个特征都是$A\to\Complex$且自动连续，因为特征的核是最大理想，是闭的；而且范数（即算子范数）为1。装备了A上逐点收敛拓扑（即由$A^*$的弱*-拓扑诱导的拓扑）后，特征空间$\Delta(A)$是豪斯多夫紧空间。

$$\forall x \in A,$$ $$\sigma(x) = \sigma(\hat x)$$ q在$\hat x$是x的盖尔范德表示，定义如下：$\hat x$是连续函数$\Delta(A)\to \Complex$，由$\hat x(\chi) = \chi(x)$给出。$\hat x$的谱也是作为紧空间$\Delta(A)$上复连续函数的代数$C(\Delta(A))$的元素的谱。显式地写。

$$\sigma(\hat x) = \{\chi(x) : \chi \in \Delta(A)\}.$$

作为代数，当且仅当含幺交换巴拿赫代数的盖尔范德表示具有平凡核，其是半单的（即其雅各布森根为零）。这种代数的重要例子是交换C*-代数。事实上，若A是交换含幺C*-代数，则其盖尔范德表示是$A,\ C(\Delta(A))$间的等距*-同构。证明：由于交换C*-代数的元素都是正规的，所以盖尔范德表示是等距的；特别是，其是单射，像是闭的。盖尔范德表示的像由魏尔施特拉斯逼近定理是稠密的。

## 巴拿赫*-代数

巴拿赫*-代数A是复数域上的巴拿赫代数，以及映射${}^* : A \to A$，满足如下性质：

- $\forall x \in A,\ \left(x^*\right)^* = x$（于是映射是对合）
- $$\forall x, y \in A,\ (x + y)^* = x^* + y^*$$
- $\forall \lambda \in \Complex,\ x \in A,\ (\lambda x)^* = \bar{\lambda}x^*$，其中$\bar{\lambda}$表示$\lambda$的共轭复数
- $$\forall x, y \in A,\ (x y)^* = y^* x^*$$

也就是说，巴拿赫*-代数是$\Complex$上的巴拿赫代数，也是*-代数。

在大多数自然例子中，还需要对合是等距的，即$$\|x^*\| = \|x\| \quad \text{ for all } x \in A.$$ 有人把这性质纳入了巴拿赫*-代数的定义。

巴拿赫*-代数满足$\|x^* x\| = \|x^*\| \|x\|$是C*-代数。