梅森素数与完全数集合

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梅森素数与完全数是数论里关系密切的自然数。梅森素数以数学家、神学家、修士马兰·梅森命名，是能以1=2甲－1表示、且甲为正整数的质数，如梅森素数3就能写成1=22－1。梅森素数在上述表达式对应的数1=甲一定是质数，但1=甲是质数不代表得出的结果就是梅森素数，如1=211－1＝2047＝23×89。完全数是等于真因数之和的自然数，真因数即自然数除自身外的因数。如6就是完全数，因数分别是1、2、3、6且1=1＋2＋3＝6。

根据欧几里得部分证明、莱昂哈德·欧拉完全证明的欧几里得－欧拉定理可知梅森素数与已知完全数一一对应：只有能换算成公式1=2甲－1×（2甲－1），且1=2甲 − 1是梅森素数的偶数是完全数。以1=甲＝2为例，1=22－1＝3为质数，1=22－1×（22－1）＝2×3＝6为完全数。

梅森素数与完全数是否无穷尽目前还是未解决的数学问题，伦斯特拉－波默朗斯－瓦格斯塔夫猜想的主题便是梅森素数频率，推断比x小的梅森素数期望个数为（eγ/log2）×log log x，其中e是欧拉数，γ是欧拉常数，是自然对数。已经发现的完全数都是偶数，但尚未排除存在奇数完全数的可能。已证明奇完全数必满足某些条件，如不小于101500。

下表列出所有已知梅森素数、完全数及对应指数甲。截至2021年10月共发现51个梅森素数（及对应完全数），最大17个均由互联网梅森素数大搜索分布式计算项目发现。新梅森素数是用卢卡斯－莱默检验法发现，这种梅森素数素性测试可用于二进制计算机。

数字按从小到大排列，如果新发现比现有结果小的梅森素数则插入中间。序号后面的问号说明尚待验证。截至2021年10月，互联网梅森素数大搜索已经计算至1=甲＝5820万4879，即第48个梅森素数以前的所有自然数均已验证。发现时间和发现人均指梅森素数，完全数按欧几里得－欧拉定理计算。发现人列为“互联网梅森素数大搜索：姓名”说明此人拥有的设备采用互联网梅森素数大搜索找到该数。除前八个不超过十位外，后面的结果都非常长，最长的已有数千万位；下表仅列出前后各六位，中间以省略号表示。

## 梅森素数与完全数集合

下表列出了所有已知的梅森素数：A000668

下表列出了所有已知的梅森素数指数：A000043

序｜甲｜梅森素数｜梅森素数位数｜对应完全数｜完全数位数｜发现时间｜发现人｜发现方法｜参考

1｜2｜3｜1｜6｜1｜100古代尼科马库斯100年左右记下前四个完全数，欧几里得的《几何原本》便有完全数、梅森素数的定义和实例，但具体发现年代已不可考。｜古希腊数学家已经知晓｜人手计算

2｜3｜7｜1｜28｜2

3｜5｜31｜2｜ 496｜3

4｜7｜127｜3｜8128｜4

5｜13｜8191｜4｜33550336｜8｜约1456年伊斯兰数学家伊斯梅尔·伊本·易卜拉欣·伊本·费卢斯等人可能比欧洲人更早发现第五到第七个完全数。｜不明手稿注明年份1456至1461但没有署名，现存巴伐利亚国立图书馆，编码“Clm 14908”。｜试除法

6｜17｜131071｜6｜8589869056｜10｜皮特罗·卡塔尔迪

7｜19｜524287｜6｜137438691328｜12

8｜31｜21亿4748万3647｜10｜230584……952128｜19｜莱昂哈德·欧拉

9｜61｜230京5843兆0092亿1369万3951｜19｜265845……842176｜37｜1883年11月｜伊万·波佛辛｜卢卡斯数列

10｜89｜618970……562111｜27｜191561……169216｜54｜1911年6月｜拉尔夫·欧内斯特·鲍尔斯｜卢卡斯数列

11｜107｜162259……288127｜33｜131640……728128｜65｜1914年6月

12｜127｜170141183460469231731687303715884105727｜39｜144740……152128｜77｜1876年1月｜爱德华·卢卡斯｜卢卡斯数列

13｜521｜686479……057151｜157｜235627……646976｜314｜1952年1月｜拉斐尔·米切尔·罗宾逊｜计算机采用卢卡斯－莱默检验法

14｜607｜531137……728127｜183｜141053……328128｜366

15｜1279｜104079……729087｜386｜541625……291328｜770｜1952年6月

16｜2203｜147597……771007｜664｜108925……782528｜1327｜1952年10月

17｜2281｜446087……836351｜687｜994970……915776｜1373

18｜3217｜259117……315071｜969｜335708……525056｜1937｜1957年9月｜汉斯·黎瑟尔

19｜4253｜190797……484991｜1281｜182017……377536｜2561｜1961年11月｜亚历山大·赫维茨

20｜4423｜285542……580607｜1332｜407672……534528｜2663

21｜9689｜478220……754111｜2917｜114347……577216｜5834｜1963年5月｜唐纳德·吉利斯｜计算机采用卢卡斯－莱默检验法

22｜9941｜346088……463551｜2993｜598885……496576｜5985

23｜11213｜281411……392191｜3376｜395961……086336｜6751｜1963年6月

24｜19937｜431542……041471｜6002｜931144……942656｜12003｜1971年3月｜计算机采用卢卡斯－莱默检验法｜布莱恩特·塔克曼

25｜21701｜448679……882751｜6533｜100656……605376｜13066｜1978年10月｜蓝登·克特·诺尔、劳拉·尼克尔

26｜23209｜402874……264511｜6987｜811537……666816｜13973｜1979年2月｜蓝登·克特·诺尔

27｜44497｜854509……228671｜13395｜365093……827456｜26790｜1979年4月｜计算机采用卢卡斯－莱默检验法｜哈里·尼尔森、大卫·斯洛文斯基

28｜86243｜536927……438207｜25962｜144145……406528｜51924｜1982年9月｜大卫·斯洛文斯基

29｜11万0503｜521928……515007｜33265｜136204……862528｜66530｜1988年1月｜计算机采用卢卡斯－莱默检验法｜沃尔特·科尔奎特、卢克·韦尔什

30｜13万2049｜512740……061311｜39751｜131451……550016｜79502｜1983年9月｜计算机采用卢卡斯－莱默检验法｜大卫·斯洛文斯基等人（克雷公司）

31｜21万6091｜746093……528447｜65050｜278327……880128｜13万0100｜1985年9月

32｜75万6839｜174135……677887｜22万7832｜151616……731328｜45万5663｜1992年2月

33｜85万9433｜129498……142591｜25万8716｜838488……167936｜51万7430｜1994年1月

34｜125万7787｜412245……366527｜37万8632｜849732……704128｜75万7263｜1996年9月

35｜139万8269｜814717……315711｜42万0921｜331882……375616｜84万1842｜1996年11月｜计算机采用卢卡斯－莱默检验法｜互联网梅森素数大搜索：乔尔·阿蒙古德

36｜297万6221｜623340……201151｜89万5932｜194276……462976｜179万1864｜1997年8月｜互联网梅森素数大搜索：戈登·斯彭斯

37｜302万1377｜127411……694271｜90万9526｜811686……457856｜181万9050｜1998年1月｜互联网梅森素数大搜索：罗兰·克拉克森

38｜697万2593｜437075……193791｜209万8960｜955176……572736｜419万7919｜1999年6月｜互联网梅森素数大搜索：纳扬·哈吉拉特瓦拉

39｜1346万6917｜924947……259071｜405万3946｜427764……021056｜810万7892｜2001年11月｜互联网梅森素数大搜索：迈克尔·卡梅隆

40｜2099万6011｜125976……682047｜632万0430｜793508……896128｜1264万0858｜2003年11月｜互联网梅森素数大搜索：迈克尔·谢弗

41｜2403万6583｜299410……969407｜723万5733｜448233……950528｜1447万1465｜2004年5月｜互联网梅森素数大搜索：乔希·芬德利

42｜2596万4951｜122164……077247｜781万6230｜746209……088128｜1563万2458｜2005年2月｜互联网梅森素数大搜索：马丁·诺瓦克

43｜3040万2457｜315416……943871｜915万2052｜497437……704256｜1830万4103｜2005年12月｜互联网梅森素数大搜索：柯蒂斯·库珀、史蒂文·布恩

44｜3258万2657｜124575……967871｜980万8358｜775946……120256｜1961万6714｜2006年9月

45｜3715万6667｜202254……220927｜1118万5272｜204534……480128｜2237万0543｜2008年9月｜互联网梅森素数大搜索：汉斯－迈克尔·埃尔维尼奇

46｜4264万3801｜169873……314751｜1283万7064｜144285……253376｜2567万4127｜2009年6月｜互联网梅森素数大搜索：奥德·麦格纳·斯特林莫

47｜43112609｜316470……152511｜1297万8189｜500767……378816｜2595万6377｜2008年8月｜互联网梅森素数大搜索：埃德森·史密斯

48｜5788万5161｜581887……285951｜1742万5170｜169296……130176｜3485万0340｜2013年1月｜互联网梅森素数大搜索：柯蒂斯·库珀

不适用｜6868万9253｜最低未验证里程碑（截至公元2024年6月23日）截至2021年10月。

49？｜7420万7281｜300376……436351｜2233万8618｜451129……315776｜4467万7235｜2016年1月｜互联网梅森素数大搜索：柯蒂斯·库珀｜计算机采用卢卡斯－莱默检验法

50？｜7723万2917｜467333……179071｜2324万9425｜109200……301056｜4649万8850｜2017年12月｜互联网梅森素数大搜索：乔纳森·佩斯

51？｜8258万9933｜148894……902591｜2486万2048｜110847……207936｜4972万4095｜December 2018｜互联网梅森素数大搜索：帕特里克·拉罗什

不适用｜1亿1748万5899｜最低未测试里程碑（截至公元2024年6月23日）

## 外部链接

- 整数数列线上大全：完全数
- 整数数列线上大全：梅森素数
- 整数数列线上大全：对应指数
- 互联网梅森素数大搜索：梅森素数集合，列出完整数字
- 梅森素数史技术报告，盖伊·霍沃斯著