巴拿赫-阿劳格鲁定理

泛函分析和邻近数学分支中，巴拿赫-阿劳格鲁定理或阿劳格鲁定理（Banach–Alaoglu theorem或Alaoglu's theorem）断言，任意赋范向量空间的连续对偶空间中，闭单位球在弱*拓扑中为紧。常见证明将弱*拓扑中的单位球看成一系列紧集之积的闭子集。根据吉洪诺夫定理，该些紧集的积拓扑空间仍为紧，故该球亦然。

定理在量子力学方面有应用。系统的可观测量是某个C*代数中的自伴算子，而量子态则是该代数上的线性泛函。此框架下，定理可以推出，每个量子态皆是纯态的凸线性组合。

## 历史

纳里奇（Narici）与贝肯斯坦（Beckenstein）书中，称阿劳格鲁定理为“非常重要的结果——也许是关于弱*拓扑唯一（the）最重要的事——回响传遍泛函分析。”1912年，赫利（Helly）证明，闭区间上连续函数的空间$C([a, b])$，其连续对偶空间的单位球，为弱*可数紧。1932年，斯特凡·巴拿赫证明，任何可分赋范向量空间的连续对偶中，闭单位球必为弱*序列紧（他仅考虑了序列紧）。

一般情况的证明，是由列奥尼达·阿劳格鲁于1940年发表。纳里奇与贝肯斯坦书中，引述Pietsch 2007指，至少有12个数学家可以主张自己证明此定理或某个重要前身。

布尔巴基-阿劳格鲁定理（Bourbaki–Alaoglu theorem）是尼古拉·布尔巴基将原定理推广到局部凸空间的对偶拓扑的结果。此定理亦称为巴拿赫-阿劳格鲁定理或弱*紧定理（weak-* compactness theorem），也常简称为阿劳格鲁定理（Alaoglu theorem）。

## 叙述

### 一般叙述

对于域$\mathbb{K}$上的向量空间$X$，以$X^{\#}$表示其代数对偶（所有线性泛函组成的空间）。两者由双线性求值映射$\left\langle \cdot, \cdot \right\rangle : X \times X^{\#} \to \mathbb{K}$所联系，该映射由

$$\left\langle x, f \right\rangle := f(x)$$

定义。所以，三元组$\left\langle X, X^{\#} \right\rangle$（两个空间及一个映射）组成对偶系，称为典范对偶系。

若$X$进一步具有拓扑，即为拓扑向量空间（TVS），则可分辨其上的函数连续与否，并定义其连续对偶$X^{\prime}$为代数对偶$X^{\#}$中，连续泛函组成的子集。以$\sigma\left(X^{\#}, X\right)$表示$X^{\#}$上的弱*拓扑。类似有$\sigma\left(X^{\prime}, X\right)$是$X^{\prime}$上的弱*拓扑。

弱*拓扑又称逐点收敛拓扑，因为给定映射$f$和一网映射$f_{\bull} = \left(f_i\right)_{i \in I}$，网$f_{\bull}$在弱*拓扑中收敛至$f$，当且仅当对定义域中每点$x$，函数值组成的网$\left(f_i(x)\right)_{i \in I}$收敛到$f(x)$。

阿劳格鲁定理

设$X$为任意拓扑向量空间（无需豪斯多夫或局部凸），$X^{\prime}$为其连续对偶，则对于$X$中原点的任何邻域$U$（$0 \in U \subseteq X$），其极集

$$U^{\circ} = \left\{ x^{\prime} \in X^{\prime} ~:~ \sup_{x \in U} \left| x^{\prime}(x) \right| \leq 1 \right\} \subseteq X',$$

在$X^{\prime}$上的弱拓扑更明确地说，子集$B^{\prime} \subseteq X^{\prime}$称为“弱*拓扑中的紧集”，意思是若$X^{\prime}$配备弱*拓扑，而子集$B^{\prime}$从空间$\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)$继承子空间拓扑，则$B^{\prime}$为紧空间。将“紧集”换成其他性质（如“完全有界”）亦同。$\sigma\left(X^{\prime}, X\right)$中，必为紧集。

此外，$U^{\circ}$亦是$U$相对于典范对偶系$\left\langle X, X^{\#} \right\rangle$的极集，在拓扑空间$\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)$同样为紧。

### 赋范特例

若$X$为赋范向量空间，则原点邻域的极集，在对偶空间中为闭，且其范数有上界。特别地，若$U$为$X$的开（或闭）单位球，则$U$的极集为连续对偶空间$X^{\prime}$的闭单位球（对偶空间配备平常的对偶范数）。此时，定理化为以下特例：

巴拿赫-阿劳格鲁定理

若$X$为赋范空间，则连续对偶空间$X^{\prime}$中，算子范数的闭单位球，为弱*拓扑中的紧集。

当$X$的连续对偶$X^{\prime}$是无穷维赋范空间时，$X^{\prime}$中的闭单位球，不可能是平常范数拓扑的紧集。原因是，范数拓扑的闭单位球为紧，当且仅当空间为有限维（见F·里斯定理）。此定理显示出，在同一个向量空间上，考虑不同的拓扑，到㡳有何用。

但注意，巴拿赫-阿劳格鲁定理并不推出弱*拓扑为局部紧，因为仅知闭单位球在强拓扑中为原点的邻域，在弱*拓扑中则不一定。弱*拓扑中，单位球的内部可能为空，除非空间为有限维。实际上，韦伊证明，局部紧的豪斯多夫拓扑向量空间必为有限维。

## 证明

### 对偶理论证明

记$X$的基域为$\mathbb{K}$，此处为实数域$\R$或复数域$\Complex$。证明会用到极集、对偶系、连续线性算子的基本性质，可参见该些条目，以下亦会简单提及。

先列举一些常见定义和性质。当代数对偶$X^{\#}$配备弱*拓扑$\sigma\left(X^{\#}, X\right)$时，为一个豪斯多夫局部凸拓扑向量空间拓扑向量空间，记为$\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)$。空间$\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)$总是完备拓扑向量空间，但连续对偶$\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)$则不一定，此即证明需牵涉$\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)$的原因。具体而言，本证明用到的性质是：完备豪斯多夫空间的子集为紧，当且仅当其为闭，且完全有界。注意$X^{\prime}$从$\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)$继承的子空间拓扑，等于弱*拓扑$\sigma\left(X^{\prime}, X\right)$。为验证此事，只需检查对每个$x^{\prime} \in X^{\prime}$，$X^{\prime}$中的网在其中一个拓扑中收敛到$x^{\prime}$，当且仅当在另一个拓扑中亦然（因为两个拓扑结构相等，当且仅当其具有的收敛网完全一样）。

三元组$\left\langle X, X^{\prime} \right\rangle$也是对偶系（有双线性映射$(x, f) \mapsto f(x)$），但与$\left\langle X, X^{\#} \right\rangle$不同，前者一般而言未必是对偶系。以下定义极集时，会注明是对于何种对偶而言。

设$U$为$X$原点的邻域，又设：

- $U^{\circ} = \left\{ f \in X^{\prime} ~:~ \sup_{u \in U} | f(u) | \leq 1 \right\}$为$U$相对$\left\langle X, X^{\prime} \right\rangle$的极集。
- $U^{\circ\circ} = \left\{ x \in X ~:~ \sup_{f \in U^{\circ}} | f(x) | \leq 1 \right\}$为$U$相对$\left\langle X, X^{\prime} \right\rangle$的极集。
- $U^{\#} = \left\{ f \in X^{\#} ~:~ \sup_{u \in U} | f(u) | \leq 1 \right\}$为$U$相对$\left\langle X, X^{\#} \right\rangle$的极集。

极集的基本性质有$U^{\circ\circ\circ} \subseteq U^{\circ}$。

下证巴拿赫-阿劳格鲁定理，分若干步：

- 先证$U^{\#}$在拓扑$\sigma\left(X^{\#}, X\right)$中为$X^{\#}$的闭子集：设$f \in X^{\#}$，又假设$f_{\bull} = \left(f_i\right)_{i \in I}$为$U^{\#}$中的网，在$\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)$中收敛到$f$。欲证$f \in U^{\#}$，即$|f(u)| \leq 1$对任意$u \in U$皆成立。因为在纯量域$\mathbb{K}$中，$f_i(u) \to f(u)$，而每个值$f_i(u)$皆属于（$\mathbb{K}$的）闭子集$\left\{ s \in \mathbb{K} : |s| \leq 1 \right\}$，故网的极限$f(u)$亦必在该子集中。于是$|f(u)| \leq 1$。
- 其次，欲证$U^{\#} = U^{\circ}$，以推出$U^{\circ}$既是$\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)$的闭子集，亦是$\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)$的闭子集：有包含关系$U^{\circ} \subseteq U^{\#}$，因为连续线性泛函尤其是线性泛函。反之，欲证$\,U^{\#} \subseteq U^{\circ}$，设$f \in U^{\#}$满足$\;\sup_{u \in U} | f(u) | \leq 1$，换言之线性泛函$f$在邻域$U$上有界，而泛函有界等价于连续，故$f \in X^{\prime}$，从而$f \in U^{\circ}$，即所求证。用第1步，结合交集$U^{\#} \cap X^{\prime} = U^{\circ} \cap X^{\prime} = U^{\circ}$在$X^{\prime}$的子空间拓扑中为闭，推得$U^{\circ}$为闭。
- 欲证$U^{\circ}$对$X^{\prime}$的$\sigma\left(X^{\prime}, X\right)$拓扑而言是完全有界子集：由二重极集定理，$U \subseteq U^{\circ\circ}$，又因为邻域$U$为$X$中的吸收集，$U^{\circ\circ}$亦同。可以证明，此结论推出$U^{\circ}$是$X^{\prime}$对$\sigma\left(X^{\prime}, X\right)$而言的有界集 (拓扑向量空间)。由于$X$对偶系$X^{\prime}$各点，$X^{\prime}$的子集在$\sigma\left(X^{\prime}, X\right)$意义下有界，当且仅当在同样意义下完全有界。所以，尤其有$U^{\circ}$在$\sigma\left(X^{\prime}, X\right)$意义下完全有界。
- 欲证$U^{\circ}$亦为$X^{\#}$在$\sigma\left(X^{\#}, X\right)$拓扑下的完全有界子集：已知$X^{\prime}$上，$\sigma\left(X^{\prime}, X\right)$拓扑等于$X^{\prime}$从$\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)$继承的子空间拓扑，结合第3步与“完全有界”的定义，即推出$U^{\circ}$为$X^{\#}$在$\sigma\left(X^{\#}, X\right)$拓扑下的完全有界子集。
- 最后，欲证$U^{\circ}$为$X^{\prime}$在$\sigma\left(X^{\prime}, X\right)$拓扑下的紧子集：因为$\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)$为完备拓扑向量空间，又$U^{\circ}$为其闭（第2步）而完全有界（第4步）的子集，所以$U^{\circ}$为紧。定理证毕。

### 较初等的证明

以下证明，仅用到集合论、点集拓扑、泛函分析的基本概念。拓扑方面，需要熟悉使用拓扑空间中的网、积拓扑、两者与逐点收敛的关联（为方便起见，证明中也会给出部分细节）。同时也要了解，线性泛函为连续，当且仅当其在原点的某个邻域上有界（见次线性泛函）。

设向量空间$X$的基域为$\mathbb{K}$，为实数系$\R$或复数系$\Complex$两者之一。对任意实数$r$，以

$$B_r := \{ s \in \mathbb{K} : |s| \leq r \}$$

表示以原点为球心，半径为$r$的闭球。在$\mathbb K$中，此为紧的闭集。

#### 极集的等价表示

由于$U$是$X$中原点的邻域，可知$U$亦是$X$的吸收集，即对每个$x \in X$，皆有正实数$r_x > 0$使$x \in r_x U := \left\{ r_x u : u \in U \right\}$。以

$$U^{\#} := \left\{ f \in X^{\#} ~:~ \sup_{u \in U} | f(u) | \leq 1 \right\} ~=~ \left\{ f \in X^{\#} ~:~ f(U) \subseteq B_1 \right\}$$

表示$U$相对典范对偶系$\left\langle X, X^{\#} \right\rangle$的极集。将证明，此极集$U^{\#}$，与定理提到，$U$相对$\left\langle X, X^{\prime} \right\rangle$的极集$U^{\circ}$，两者相等。

$U^{\circ} \subseteq U^{\#}$成立，是因为连续线性泛函按定义必是线性泛函。反之，欲证$U^{\#} \subseteq U^{\circ}$，设$f \in U^{\#}$满足$\sup_{u \in U} | f(u) | \leq 1$，即线性泛函$f$在邻域$U$上有界。所以$f$是连续线性算子（换言之$f \in X^{\prime}$），从而有$f \in U^{\circ}$，即所求证。

至此，已证明$U^{\circ} = U^{\#}$若$\tau$表示$X$原有的拓扑，则等式$U^{\circ} = U^{\#}$说明，$U$的极集$U^{\circ} = \left\{ x^{\prime} \in X^{\prime} ~:~ \sup_{x \in U} \left| x^{\prime}(x) \right| \leq 1 \right\}$，仅取决于$U$和$X^{\#}$，其余拓扑结构$\tau$可忽略不理。更明确说，假设$\sigma$是$X$上另一个向量空间拓扑，使得$(X, \sigma)$为拓扑向量空间，且集合$U$在$(X, \sigma)$仍为原点的邻域。记$(X, \sigma)$的连续对偶为$(X, \sigma)^{\prime}$，并记$U$相对$(X, \sigma)$的极集为 :$U^{\circ, \sigma} := \left\{ x^{\prime} \in (X, \sigma)^{\prime} ~:~ \sup_{x \in U} \left|x^{\prime}(x)\right| \leq 1 \right\}.$ （此定义下，$U^{\circ, \tau}$祇是旧的$U^{\circ}$。）则$U^{\circ, \tau} = U^{\circ, \sigma}$，因为两者分别等于$U^{\#}$。换言之，极集$U^{\circ, \sigma}$的定义条件中，“$U^{\circ, \sigma}$是连续对偶空间$(X, \sigma)^{\prime}$子集”一项可以无视，因为对所得的线性泛函集合毫无影响。然而，若$\nu$是$X$上另一个向量空间拓扑 is a TVS topology on $X$，令$U$不是$(X, \nu)$原点的邻域，则$U$相对$(X, \nu)$的极集$U^{\circ, \nu}$，不保证等于$U^{\#}$，所以不能如此无视拓扑$\nu$。余下的证明中，需理解笛卡儿积$\prod_{x \in X} \mathbb{K}$与所有$X \to \mathbb{K}$的映射构成的空间$\mathbb{K}^X$等同。仍需证明以下两个命题：

- $U^\circ$为$\mathbb{K}^X$的闭子集。
- 此处$\mathbb{K}^X = \prod_{x \in X} \mathbb{K}$配备的是逐点收敛拓扑，等同于积拓扑。
- $$U^\circ \subseteq \prod_{x \in X} B_{r_x}.$$
- 其中$B_{r_x} \subseteq \mathbb{K}$表示以原点$0$为球心，$r_x$为半径的闭球。本证明开始时，对每个$x \in X$，已定义$r_x$为使$x \in r_x U$的任意一个实数$r_x > 0$。特别地，对于$u \in U$，可以选$r_u := 1$。

以上命题推出，$U^\circ$为$\prod_{x \in X} B_{r_x}$的闭子集，而由吉洪诺夫定理，该积空间为紧由于每个$B_{r_x}$也是豪斯多夫空间，只用到吉洪诺夫定理的紧豪斯多夫情况，便足以说明$\prod_{x \in X} B_{r_x}$为紧。该特殊情况等价于超滤子引理，而比选择公理严格弱。（因为每个闭球$B_{r_x}$皆为紧）。因为紧空间的闭子集仍为紧，所以有$U^{\circ}$为紧集，从而证毕巴拿赫-阿劳格鲁定理的主要结论。

#### 极集为闭

以下证明前述命题1。代数对偶$X^{\#}$总是积空间$\mathbb{K}^X = \prod_{x \in X} \mathbb{K}$ 的闭子集“线性泛函”的要求，可以写成许多条等式如$f(x+y) = f(x) + f(y)$之合取。每个要求皆是闭条件，即其对应的子集为闭集。而闭集的任意交仍为闭，所以线性泛函组成的集合为闭集。要证明$U^\circ$在$\mathbb{K}^X$中为闭，祇需证明集合

$$\widetilde{U}^\circ ~:=~ \left\{ f \in \mathbb{K}^X ~:~ \sup_{u \in U} |f(u)| \leq 1 \right\}$$

是$\mathbb{K}^X$的闭子集，因为若有此结论，则$\widetilde U^\circ \cap X^{\#} = U^{\#} = U^\circ$是$\mathbb{K}^X$中两闭集之交，故亦为闭集。

设$f \in \mathbb{K}^X$，又设$f_{\bull} = \left(f_i\right)_{i \in I}$为$\widetilde{U}^\circ$中的网，在$\mathbb{K}^X$中收敛到$f$。需要证明$f \in \widetilde{U}^\circ$。换言之，要证对每个$u \in U$，$|f(u)| \leq 1$（或等价写成$f(u) \in B_1$）。由于在纯量域$\mathbb{K}$中，$\left(f_i(u)\right)_{i \in I} \to f(u)$，且每项$f_i(u)$皆属于$\mathbb{K}$中的闭子集$B_1 = \left\{ s \in \mathbb{K} : |s| \leq 1 \right\}$，此网的极限$f(u)$亦必属于该闭集，即$f(u) \in B_1$。证毕命题1。

上述证明可以推广，以论证以下命题：

设$U \subseteq X$为任意集合，$B \subseteq Y$为拓扑空间$Y$的闭子集，则在$Y^X$的逐点收敛拓扑中，$P_U := \left\{ f \in Y^X ~:~ f(U) \subseteq B \right\}$为闭子集。

命题1为其特殊情况，取$Y := \mathbb{K}$和$B := B_1$便得。

#### 极集包含于紧空间之积

以下证明前述命题2。对任意$z \in X$，以$\Pr{}_z : \prod_{x \in X} \mathbb{K} \to \mathbb{K}$表示到第$z$个坐标的投影 (集合论)。欲证$U^\circ \subseteq \prod_{x \in X} B_{r_x}$。换言之，欲对每个$x \in X$，证明$\Pr{}_x(U^\circ) \subseteq B_{r_x}$。

于是选定$x \in X$，设$f \in U^\circ$；要证$\Pr{}_x(f) := f(x) \in B_{r_x}$。由$r_x$的定义，$x \in r_x U$，故$\,u_x := \left(\frac{1}{r_x}\right) x \in U$。因为$f \in U^\circ = U^{\#}$，线性泛函$f$满足$\;\sup_{u \in U} | f(u) | \leq 1$，所以由$u_x \in U$，可知

$$\frac{1}{r_x}| f(x) | = \left|\frac{1}{r_x} f(x)\right| = \left|f\left(\frac{1}{r_x} x\right)\right| = \left|f\left(u_x\right)\right| \leq \sup_{u \in U} |f(u)| \leq 1.$$

所以$| f(x) | \leq r_x$，即$f(x) \in B_{r_x}$，证毕命题2。

## 序列版本

巴拿赫-阿劳格鲁定理有个特殊情况，对可分空间使用，并将“紧”换成“序列紧”。此时定理断言：

可分赋范向量空间的对偶中，闭单位球在弱*拓扑下是序列紧。

### 可度量

实际上，可分空间的对偶的闭单位球上，弱*拓扑可度量，故紧与序列紧等价。

明确而言，设$X$为可分赋范向量空间，而$B$为连续对偶$X^{\prime}$中的闭单位球。根据$X$可分的定义，有某个可数稠密子集，列举为$x_{\bull} = \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}$。则下式定义一个度量：对于$x, y \in B$。

$$\rho(x,y) = \sum_{n=1}^\infty \, 2^{-n} \, \frac{\left|\langle x - y, x_n \rangle\right|}{1 + \left|\langle x - y, x_n \rangle\right|,}$$

其中$\langle\cdot,\cdot\rangle$表示$X^{\prime}$与$X$的对偶匹配，即将后一个元素代入到前一个元素求值。此度量下，$B$为序列紧之事，用类似阿尔泽拉-阿斯科利定理的对角线证法，即可证明。

由于证明本质为构造性（而非如一般情况，用到非构造性的选择公理），在偏微分方程学中，有时使用序列巴拿赫-阿劳格鲁定理，构造偏微分方程或变分问题的解。举例，若有某个可分赋范空间$X$，其对偶上有泛函$F : X^{\prime} \to \R$，欲求最小值，则常见策略是先构造序列$x_1, x_2, \ldots \in X^{\prime}$，使$F$的泛函值趋向下确界，然后诉诸序列巴拿赫-阿劳格鲁定理，取出子序列$(x_{n_k})_k$，在弱*拓扑下收敛到极限$x$，并确定$x$使$F$取最小值。最后一步通常要求$F$在弱*拓扑下为（序列）下半连续。

考虑另一个例子，设$X = C_0(\R)$为实轴上，在无穷远处消失的连续函数组成的空间，则由里斯-马可夫表示定理，$X^{\prime}$为实轴上全体有限拉东测度的空间。此时序列巴拿赫-阿劳格鲁定理等价于赫利选择定理。

### 证明

下证序列版本的巴拿赫-阿劳格鲁定理。

对每个$x \in X$，设

$$D_x = \{ z \in \Complex : | z | \leq \|x\| \},$$

以及

$$D = \prod_{x \in X} D_x.$$

因为$D_x$是复平面的紧子集，$D$在积拓扑中亦为紧（根据吉洪诺夫定理）。

$X^{\prime}$中的闭单位球$B_1\left(X^{\prime}\right)$，可以自然地看成$D$的子空间：考虑映射

$$f \in B_1\left(X^{\prime}\right) \mapsto (f(x))_{x \in X} \in D,$$

其为单射，且对于$B_1\left(X^{\prime}\right)$的弱*拓扑和$D$的积拓扑而言，是连续映射。在像集上，映射的逆也连续。

欲完成定理的证明，只需证明映射的像为闭集。给定网$D$中的网

$$\left(f_{\alpha}(x)\right)_{x \in X} \to \left(\lambda_x\right)_{x \in X},$$

等式$g(x) = \lambda_x$定义的泛函$g$，也在$B_1(X^{\prime})$中。定理证毕。

## 推论

### 赋范空间

假设$X$为赋范空间，则其连续对偶空间$X^{\prime}$具有对偶范数。

- $X^{\prime}$中的闭单位球为弱*紧。相比之下，若$X^{\prime}$为无穷维，则其闭单位球在范数拓扑中必不为紧（F·里斯定理）。
- 某巴拿赫空间自反，当且仅当其闭单位球在弱拓扑$\sigma\left(X, X^{\prime}\right)$下为紧。
- 若$X$为自反巴拿赫空间，则$X$中每个有界序列，都有弱收敛子列。（此为对$X$某个弱可度量子空间应用巴拿赫-阿劳格鲁定理的结果。更简洁而言，是应用埃伯莱恩-什穆良定理。）举例，设$X$为Lp空间$L^p(\mu)$，其中$1 < p < \infty$。设$(f_n)_n$为$X$中函数组成的有界序列。则存在子列$(f_{n_k})_k$，且有$f \in X$使得$$\int f_{n_k} g\,\mathrm d\mu \to \int f g\,\mathrm d\mu$$对于$X^{\prime}= L^q(\mu)$中的任意函数$g$成立，其中$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$。对于$p= 1$，没有相应的结论，因为$L^1(\mu)$不自反。

### 希尔伯特空间

- 任意希尔伯特空间中，闭有界集必然弱相对紧，即其在弱拓扑的闭包为弱紧，故每个有界网必有弱收敛子网（希尔伯特空间皆自反）。
- 由哈恩－巴拿赫定理，范数拓扑中的闭凸集，在弱拓扑中也是闭集，故希尔伯特空间或自反巴拿赫空间中，凸有界集的范数闭包必为弱紧。
- 设$H$为希尔伯特空间，$B(H)$为其上有界算子的空间，则$B(H)$可以配备以下两种不同的拓扑：一则超弱拓扑，即$B(H)$作为迹类算子空间$B_1(H)$的对偶所具备的弱*拓扑；二则弱算子拓扑，是使形如$T \mapsto \langle Tx, y\rangle$的映射皆连续的最弱的拓扑，此拓扑比超弱拓扑更弱。此定义下，$B(H)$中的闭有界子集，关于弱算子拓扑为相对紧。所以，算子的有界序列必有某个弱极限点。其推论是，$B(H)$配备弱算子拓扑或超弱拓扑时，满足海涅-博雷尔性质。

## 与选择公理的关系

通常，会用到吉洪诺夫定理来证明巴拿赫-阿劳格鲁定理，所以要依赖于ZFC公理系统，尤其是选择公理。主流泛函分析中，许多结果皆依赖选择公理。然而，本定理在可分空间的情况（见#序列版本）并不依赖选择公理，该情况下有构造性证明。对于不可分的情况，超滤子引理比选择公理严格弱，但亦足以证明巴拿赫-阿劳格鲁定理。反之，巴拿赫-阿劳格鲁定理也推出超滤子引理，所以两者等价。

## 参考资料

- 见§20.9。
- 见Theorem 23.5，p. 264。
- 见Theorem 3.15，p. 68。