辅助函数

在数学上，辅助函数（auxiliary functions）是超越数论中重要的建构物。这些函数出现在这类领域多数的证明中，并具有特定且理性的性质，如在许多论证中，这类函数会等于零，或者会有高次值等于零的点。

## 定义

辅助函数并非一类严格定义的函数，而更多是特别建构出来，或至少被证明存在，并被引用来显示某些假设会导出矛盾，或证明问题中的结果的函数。为了证明结果而在证明过程中建构某个函数的作法，并不仅限于超越数论的研究，然而“辅助函数”一词通常都用以描述在超越数论的情境下建构出来的这类函数。

## 特定例子

### 刘维尔的超越数条件

由于上述的命名常规之故，因此可借由简单地检视超越数论的最早结果，认为辅助函数和超越数的研究同时出现。辅助函数最早的结果之一就是刘维尔对于超越数存在性的证明，在其中，他证明了说刘维尔数这类数字是超越数。他借由发现这类数满足的超越数条件证明此点。在给出这样的条件时，他首先从一般的代数数$\alpha$开始，并找出这些数字必须满足的条件。他用来证明这条件的辅助函数就是$\alpha$的极小多项式，而这多项式即是满足$f(\alpha)=0$的整系数不可约多项式。这多项式可用以估计$\alpha$可多好地为有理数$p/q$所估计，特别地，在$\alpha$的次数$d$至少为2的状况下，他证明了说

$$\left|f\left(\frac{p}{q}\right)\right|\geq\frac{1}{q^d}$$

此外，他利用了中值定理证明说存在一个取决于$\alpha$的常数$c(\alpha)$，使得下式成立：

$$\left|f\left(\frac{p}{q}\right)\right| \leq c(\alpha)\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|$$

将这些结果结合，就可得到一个代数数必须满足的性质，因此任何不满足这条件的数，都必然是超越数。

刘维尔证明中用到的辅助函数非常简单，就单单是会在给定的代数数处消失的多项式。这样的性质一般是辅助函数所要满足的性质，也就是这函数会在特定点消失或变得非常小，而将这点与“这些函数在这样的点不能消失或变得非常小”这假设相结合，就可得出结果。

### 傅立叶对e不是有理数的证明

另一个早期且简单的例子，出现于傅立叶对$e$不是有理数的证明中，尽管所用的表记使这件事实不显著。傅立叶的证明使用了指数函数的幂级数：

$$e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}.$$

在截取此幂级数的一些项，如$N+1$项后，可得出一个次数为$N$的有理系数多项式，而这多项式在一定意义上会接近$e^x$。特别地若检视以余项定义的辅助函数

$$R(x)=e^x-\sum_{n=0}^{N} \frac{x^n}{n!}$$

那这作为指数多项式的函数的值，在$x$很小时就当趋近于零。若$e$是一个有理数，那么在$x=1$的情况下，$R(1)$也应当是个有理数；而傅立叶借由消去所有可能分母的方式，证明了$R(1)$不可能是有理数。因此$e$不可能是有理数。

### 埃尔米特对er不是有理数的证明

埃尔米特借由以作为两个多项式比值得有理函数而非多项式逼近$e^x$的方式，拓展了傅立叶的结果；特别地，他选取了多项式$A(x)$和$B(x)$，使得如下的辅助函数$R(x)$可以在$x=0$附近取任意小的值：

$$R(x)=B(x)e^x-A(x)$$

若$e^r$是个有理数，那么$R(r)$也应当是个有特定整数分母的有理数；而埃尔米特证明说$R(r)$可以任意小，以致无法取任何的整数分母，并因此得到矛盾。

### 埃尔米特对e是超越数的证明

在证明$e$是超越数时，埃尔米特将他的结果推进一步，在其中他不只估计$e^x$的值，同时也估计了在$k=1,\cdots,m$等整数时$e^{kx}$的值，在证明中，他假定$e$是$m$次代数数。

为了估计$e^{kx}$的值，他以下式定义了辅助函数$R_k(x)$，其中$A_k(x) / B(x)$是分母相同的整系数有理函数：

$$R_k(x)=B(x)e^{kx}-A_k(x)$$

在导出矛盾方面，埃尔米特首先假定说$e$满足整系数多项式等式$a_0+a_1 e + \cdots +a_me^m=0$，将此表达式乘以$B(1)$，他注意到说这会推导出下式：

$$R=a_0+a_1 R_1(1) + \cdots +a_m R_m(1)=a_1 A_1(1)+ \cdots +a_m A_m(1).$$

其中右手边的部分会是一个整数，因此借由估计辅助函数的值并证明$0 < \left| R \right| < 1$以得到需要的矛盾。

## 起自鸽巢原理的辅助函数

上述的辅助函数都可特地构造出来并加以计算和运用；不过在二十世纪，阿克塞尔·图厄和卡尔·路德维希·西格尔做出了突破，显示说不一定要将相关函数构造出来，有时知道有这样的函数，且这些函数有特定性质就够了。利用鸽巢原理，图厄和西格尔先后证明了说会有辅助函数有特定性质，像例如会有在许多不同点为零，或在较小的点集合之上有高次零的辅助函数；不仅如此，他们还证明了说构造这样的函数而不至于让函数变得太大，是有可能的。他们的辅助函数并非特地构造出来的，但借由知道某些带有特定性质的函数存在这点，他们简化了许多十九世纪的超越性证明，并给出了一些新的结果。

这方法为其他数学家所用，其中亚历山大·格尔丰德和西奥多·施耐德利用这方法，独立证明了格尔丰德-施奈德定理。艾伦·贝克也在1960年代以此方法证明了他在对数线性型式方面的工作，而这即是贝克定理。

其他一些1960年代后用此方法的例子如下：

### 辅助多项式定理

设$\beta$为等式$ax^3+bx^3=c$中$b/a$的立方根，并设$m$为满足$m+1 > 2n/3 \ge m \ge 3$的整数，其中$n$为一个正整数。

那么有

$$F(X,Y) = P(X) + Y*Q(X)$$

使得

$$\sum_{i=0}^{m+n} u_i X^i = P(X)$$

且

$$\sum_{i=0}^{m+n} v_i X^i = Q(X)$$

辅助多项式定理则表明

$$\max_{0 \le i \le m+n} {(|u_i|,|v_i|)}\le 2b^{9(m+n)}$$

### 兰氏定理

1960年代，塞尔日·兰利用非特定构造出来的辅助函数证明了一个结果。从这结果可同时推得林德曼-魏尔斯特拉斯定理和格尔丰德-施奈德定理。这定理关乎数域$\mathrm{K}$和阶至多为$\rho$的亚纯函数$f_1,\cdots,f_N$，且其中至少两个函数彼此代数独立，且其中若对其中一个函数进行微分，那其结果对所有的函数都会是一个多项式。

在这些假设下，这定理指称若有$m$个相异的复数$\omega_1,\cdots,\omega_m$使得对于任意的$i$和$j$而言，$f_i(\omega_j)$都在$\mathrm{K}$中，那么$m$会有以下上界：

$$m\leq 20\rho [K:\mathbb{Q}]$$

为了证明此点，兰氏从$\omega_1,\cdots,\omega_m$中选出两个彼此代数独立的函数$f$和$g$，并因此构造出一个以$f$和$g$表示的多项式$F$作为辅助函数。这个辅助函数无法被明确地表明，而这是因为$f$和$g$的形式也并非明确已知的之故；然而利用西格尔引理，兰氏证明了如何构造出一个在$m$个复数$\omega_1,\cdots,\omega_m$上会高次消失的的函数。由于这高次消失的性质之故，因此可证明说$F$的高次微分的数值会取决于$\omega_i$中某个“大小”较小的数字。此处的“大小”指的是一个数的代数性质。利用最大模原理，兰氏也发现了一个估计$F$的微分的绝对值的独立方法；同时借由以标准结果来比较一个数及其绝对值得方式，他证明了说除非$m$满足上述界限，不然这些估计会彼此矛盾。

## 插值行列式

在使用存在但不被明确构造出来的辅助函数的方法获得了许多成功后，在1990年代，Michel Laurent引介了插值行列式的想法。这些行列式是交替行列式（alternant），也就是有如下形式的行列式：

$$\mathcal{M}=\left(\varphi_i(\zeta_j)\right)_{1\leq i,j\leq N}$$

其中$\varphi_i$是一组以$\xi_i$这组点插值的函数。

由于行列式本质就仅仅是以矩阵表示的多项式之故，因此这些辅助方程可以解析方法研究。此方法的一个问题是在可对相关矩阵动工前，要如何选择基底，而Jean-Benoît Bost使用Arakelov理论对此做出的发展解决了这问题，而这领域的研究当今依旧进行中。以下例子给出了如何使用此方法的想法：

### 埃尔米特-林德曼定理的证明

一个此方法较简单的应用，是以此证明实数版的林德曼-魏尔斯特拉斯定理，也就是“若$\alpha$是一个非零的实代数数，那么$e^\alpha$会是一个超越数”的定理。

首先，设$k$为自然数，并设$n$为$k$的大倍数。此状况下所考虑的插值行列式，是一个衍生自如下$n^4\times n^4$矩阵的行列式$\Delta$：

$$\left(\{\exp(j_2x)x^{j_1-1}\}^{(i_1-1)}\Big|_{x=(i_2-1)\alpha}\right)$$

这矩阵横行的元素的指标为$1\le i_1 \le n^4/k$以及$1\le i_2 \le k$；而其直列的指标则为$1\le j_1 \le n^3$以及$1\le j_2 \le n$。故矩阵中的函数为$x$和$e^x$的单项式及其微分，并在$0,\alpha,2\alpha,\cdots,(k-1)\alpha$等$k$个点进行插值。

假定$e^\alpha$是一个代数数，那就可构造一个有理数$\mathrm{Q}$上次数为$m$的数域$\mathrm{Q}(\alpha, e^\alpha)$，之后将$\Delta$及其所有将$\mathrm{Q}(\alpha, e^\alpha)$这个域嵌入到$\mathrm{C}$中的映射的像全数乘以适当的分母。由于代数理由，这乘积必然是一个整数，之后用朗斯基行列式相关的论证，可证明说这数不会是零，故其绝对值$\Omega\ge1$会是一个整数。

利用中值定理在矩阵上的版本，可得$\Omega$的解析界限，实际上若用大O符号表示，有

$$\Omega=O\left(\exp\left(\left(\frac{m+1}{k}-\frac{3}{2}\right)n^8\log n\right)\right).$$

$m$的值取决于数域$\mathrm{Q}(\alpha, e^\alpha)$的次数，但$k$是插值点的个数，因此可自由增减；而在$k > 2(m+1)/3$的状况下，可得$\Omega\to0$，但这与先前得出的条件$\Omega\ge1$相矛盾，故$e^\alpha$不能是一个代数数。