四维梯度

在微分几何中，四维梯度（或4-梯度，4-gradient） ${\displaystyle \mathbf {\partial } }$是向量微积分中的梯度${\displaystyle {\vec {\mathbf {\nabla } }}}$ 在四维矢量中的推广。

在狭义相对论和量子力学中，4-梯度用于定义各种4-向量和张量形式的物理量之间的性质和关系。

## 记号说明

使用四维梯度时应注明度规。下文使用的度规号差是 (+,-,-,-)。

缩写 SR 和 GR 分别代表狭义相对论和广义相对论。

c表示真空中的光速。

$${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$$ 是 SR 的平坦时空度规。

物理学中表记含有4-矢量的表达式，通常有下列两种写法：

- 4-矢量样式：${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }$。通常更紧凑，可以使用一般的向量记号（例如内积“点”），始终使用粗体大写字母表示4-矢量量，用粗体小写字母表示三维空间矢量，如${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}}$。多数三维空间矢量的规则在四矢量数学中都有其对应。
- 里奇代数的样式：${\displaystyle A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }}$。它使用张量的抽象指标记号，便于书写更复杂的表达式，尤其是对于涉及多个指标维度的张量表达式，如${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}$ .

这里，用带拉丁字母张量指标的字母表示三维空间向量，指标取值范围是{1, 2, 3}, 如${\displaystyle A^{i}=\left(a^{1},a^{2},a^{3}\right)={\vec {\mathbf {a} }}}$ .

用带希腊字母的张量指标的字母表示4-矢量，指标取值范围在{0, 1, 2, 3}, 如${\displaystyle A^{\mu }=\left(a^{0},a^{1},a^{2},a^{3}\right)=\mathbf {A} }$ .

在 SR 中，为了简洁，通常会混用以上两种样式，如写作${\displaystyle \mathbf {A} =\left(a^{0},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$，用${\displaystyle a^{0}}$表示时间分量，却用${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}}$表示空间的三维分量。

SR 中的张量通常是4维 (m,n)-张量，具有 m 个上指标和 n 个下指标，每个指标的取值范围有四个值。

Minkowski度规中使用的张量缩并可以写在任意一边（参见爱因斯坦求和约定）： :

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }=A_{\nu }B^{\nu }=A^{\mu }B_{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b^{0}-\sum _{i=1}^{3}a^{i}b^{i}=a^{0}b^{0}-{\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}}$$

## 定义

4-梯度的协变分量用4-矢量和里奇代数表示法中的简略写法有：

$${\displaystyle {\dfrac {\partial }{\partial X^{\mu }}}=\left(\partial _{0},\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3}\right)=\left(\partial _{0},\partial _{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z}\right)=\partial _{\mu }={}_{,\mu }}$$

上式最后一部分中，逗号${\displaystyle {}_{,\mu }}$指的是关于 4-位置${\displaystyle X^{\mu }}$的偏微分 .

它的逆变分量是：

$${\displaystyle \mathbf {\partial } =\partial ^{\alpha }=\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\beta }=\left(\partial ^{0},\partial ^{1},\partial ^{2},\partial ^{3}\right)=\left(\partial ^{0},\partial ^{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)}$$

${\displaystyle \partial _{\alpha }}$也写作${\displaystyle \Box }$或者D （不过${\displaystyle \Box }$也有可能表示达朗贝尔算子${\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }}$）。

在 GR 中，必须使用更通用的度规张量${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$，以及张量协变导数${\displaystyle \nabla _{\mu }={}_{;\mu }}$ （不要与矢量的3-梯度 ${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$ 混淆）。这里，协变导数${\displaystyle \nabla _{\nu }}$是4-梯度${\displaystyle \partial _{\nu }}$加上时空曲率效应（用Christoffel 符号${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }}$表出）。

强等效原理可以表述为：

“SR 中任意可用张量记号表示的物理定律，在弯曲时空的局部惯性系中，都具有完全相同的形式。” 其中需要把 SR 中的 4-梯度逗号 替换成 GR 中的协变导数分号，这两格微分算符之间可以通过Christoffel 符号相互变换。在相对论物理学中称之为“逗号换成分号规则”。

所以，例如，如果在 SR 中有${\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0}$，那么在 GR 中有${\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0}$。

对于 (1,0)-张量或 4-矢量，此规则化简为：

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\beta }V^{\alpha }&=\partial _{\beta }V^{\alpha }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }\\V^{\alpha }{}_{;\beta }&=V^{\alpha }{}_{,\beta }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }\end{aligned}}}$$

对于 (2,0)-张量，该规则化简为：

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }&=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }\\T^{\mu \nu }{}_{;\nu }&=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }\end{aligned}}}$$

## 用途

4-梯度在狭义相对论（SR）中有多处应用：

下面的公式都是针对SR的平直时空闵氏时空坐标所写，对于广义相对论GR中推广了的弯曲时空坐标，需要加以调整修改。

### 用作 4-散度以及守恒律中的源

散度这个矢量算符作用在矢量场上时就给出一个区分正负号的标量场，大小是矢量场在空间个点上的流的源或者汇。

4-位置 $X^\mu = \left(ct, \vec{\mathbf{x}}\right)$ 的4-散度给出了时空的维度：

$$\mathbf{\partial} \cdot \mathbf{X} = \partial^\mu \eta_{\mu\nu} X^\nu = \partial_\nu X^\nu = \left(\frac{\partial_t}{c}, -\vec{\nabla}\right) \cdot (ct,\vec{x}) = \frac{\partial_t}{c}(ct) + \vec{\nabla}\cdot \vec{x} = (\partial_t t) + (\partial_x x + \partial_y y + \partial_z z) = (1) + (3) = 4$$

4-电流密度 $J^\mu = \left(\rho c, \vec{\mathbf{j}}\right) = \rho_o U^\mu = \rho_o \gamma\left(c, \vec{\mathbf{u}}\right) = \left(\rho c, \rho \vec{\mathbf{u}}\right)$ 的4-散度给出一个守恒律，即电荷守恒律：

$$\mathbf{\partial} \cdot \mathbf{J} = \partial^\mu \eta_{\mu\nu} J^\nu = \partial_\nu J^\nu = \left(\frac{\partial_t}{c},-\vec{\nabla}\right)\cdot (\rho c,\vec{j}) = \frac{\partial_t}{c}(\rho c) + \vec{\nabla}\cdot \vec{j} = \partial_t \rho + \vec{\nabla}\cdot \vec{j} = 0$$

这就是说，电荷密度的时间变化率必定等于负的电流密度的空间散度： $\partial_t \rho = -\vec{\nabla}\cdot \vec{j}$.

换言之，任取一个方盒区域，其中的电荷量的变化必须通过进出盒子的电流，而不能凭空变化。上述方程属于是连续性方程。

4-粒子数通量（4-number flux，4-dust） $N^\mu = \left(nc, \vec{\mathbf{n}}\right) = n_o U^\mu = n_o \gamma\left(c, \vec{\mathbf{u}}\right) = \left(nc, n\vec{\mathbf{u}}\right)$ 的4-散度可用于粒子数守恒：

$$\mathbf{\partial} \cdot \mathbf{N} = \partial^\mu \eta_{\mu\nu} N^\nu = \partial_\nu N^\nu = \left(\frac{\partial_t}{c}, -\vec{\nabla}\right) \cdot \left(nc, n\vec{\mathbf{u}}\right) = \frac{\partial_t}{c}\left(nc\right) + \vec{\nabla} \cdot n\vec{\mathbf{u}} = \partial_t n + \vec{\nabla}\cdot n\vec{\mathbf{u}} = 0$$

这是粒子数密度的守恒律，典型的比如重子数密度。

电磁4-势 $A^\mu = \left(\frac{\phi}{c},\vec{\mathbf{a}}\right)$ 的4-散度则用于洛伦兹规范条件：

$$\mathbf{\partial} \cdot \mathbf{A} = \partial^\mu \eta_{\mu\nu} A^\nu = \partial_\nu A^\nu = \left(\frac{\partial_t}{c}, -\vec{\nabla}\right)\cdot \left(\frac{\phi}{c}, \vec{a}\right) = \frac{\partial_t}{c}\left(\frac{\phi}{c}\right) + \vec{\nabla} \cdot \vec{a} = \frac{\partial_t \phi}{c^2} + \vec{\nabla}\cdot \vec{a} = 0$$

这等价于电磁4-势对应的守恒律。

弱场极限（即，远离场源的自由传播条件）下的引力辐射可以表示为一个横向无迹的4D (2,0)-张量 $h^{\mu\nu}_{TT}$，它的4-散度

$\mathbf{\partial} \cdot h^{\mu\nu}_{TT} = \partial_\mu h^{\mu\nu}_{TT} = 0$：横向条件

等价于自由传播的引力波的守恒方程。

应力-能量张量 $T^{\mu \nu}$ 的4-散度是与时空有关的守恒的诺特流，在SR中，它给出四条守恒律：

能量守恒（时间方向）和线性动量的守恒（三个独立的空间方向）：

$$\mathbf{\partial} \cdot T^{\mu \nu} = \partial_{\nu} T^{\mu \nu} = T^{\mu \nu}{}_{,\nu} = 0^\mu = (0,0,0,0)$$

这通常写作：

$$\partial_{\nu} T^{\mu \nu} = T^{\mu \nu}{}_{,\nu} = 0$$

当然，这里的0是指一个4-矢量 $0^\mu = (0,0,0,0)$。

把理想流体的应力-能量张量守恒（$\partial_{\nu} T^{\mu \nu} = 0^\mu$）与粒子数守恒（$\mathbf{\partial} \cdot \mathbf{N} = 0$）结合起来，可以推出相对论性欧拉方程，用来研究流体力学和天体物理学中的狭义相对论效应。

在流体的三维空间速度远小于光速、压强远小于能量密度、能量密度主要由静止质量密度贡献的经典极限下，上述方程退化为经典欧拉方程。

在平直时空下，用笛卡尔坐标，结合压强-能量张量的对称性，即可证明相对论性角动量也是守恒的：

$$\partial_\nu\left(x^{\alpha} T^{\mu \nu} - x^{\mu} T^{\alpha \nu}\right) = \left(x^{\alpha} T^{\mu \nu} - x^{\mu} T^{\alpha \nu}\right)_{,\nu} = 0^{\alpha \mu}$$

这里的零是(2,0)-张量的零。

## 延伸阅读

- S. Hildebrandt, "Analysis II" (Calculus II), , 2003
- L.C. Evans, "Partial differential equations", A.M.Society, Grad.Studies Vol.19, 1988
- J.D. Jackson, "Classical Electrodynamics" Chapter 11, Wiley 0-471-30932-X