量子上同调

辛拓扑和代数几何中，量子上同调环是闭辛流形的普通上同调环的推广。有“小环”和“大环”两种定义，一般来说后者更复杂，包含的信息也更多。系数环（一般是诺维科夫环）的选择也会对其结构产生重大影响。

普通上同调的上积描述了子流形如何相交，而量子上同调的量子上积则描述了子空间如何以“模糊”“量子”的方式相交。更确切地说，若它们通过伪全纯曲线相连接，就是相交的。计算曲线的格罗莫夫-威滕不变量在量子上积的展开式中作为系数出现。

量子上同调表达了格罗莫夫-威滕不变量的结构或模式，因此对枚举几何有重要意义，还与数学物理和镜像对称中的许多观点相关。特别是，它与辛弗洛尔同调是环同构的。

本文中X是闭辛流形，具有辛形式ω。

## 诺维科夫环

X的量子上同调的系数环有多种选择，通常我们会选择能编码X的第二同调信息的环，这样下面定义的量子上积就能记录X中仿全纯曲线的信息。例如，令

$$H_2(X) = H_2(X, \mathbf{Z}) / \mathrm{torsion}$$

为第二同调模其挠（torsion）。令R为任意有单位元的交换环，Λ是形式为

$$\lambda = \sum_{A \in H_2(X)} \lambda_A e^A,$$

形式幂级数的环，其中

- 系数$\lambda_A$来自R。
- $e^A$为形式变量，服从关系$e^A e^B = e^{A + B}$。
- 对每个实数C，只有有限多个ω(A)小于等于C的A具有非零系数$\lambda_A$。

变量$e^A$的度数为$2 c_1(A)$，其中$c_1$是切丛TX的第一陈类，通过选择任意与ω相配的殆复结构，可将其视为复向量丛。因此，Λ是分次环，称作ω的诺维科夫环（其他定义亦常见）。

## 小量子上同调

令

$$H^*(X) = H^*(X, \mathbf{Z}) / \mathrm{torsion}$$

为X模挠（torsion）的上同调。系数为Λ的小量子上同调定义为

$$QH^*(X, \Lambda) = H^*(X) \otimes_\mathbf{Z} \Lambda.$$

其元素是形式为

$$\sum_i a_i \otimes \lambda_i$$

有限和。小量子上同调是分次R模：

$$\deg(a_i \otimes \lambda_i) = \deg(a_i) + \deg(\lambda_i).$$

普通上同调$H^*(X)$通过$a \mapsto a \otimes 1$嵌入$QH^*(X,\ \Lambda)$，后者由$H^*(X)$作为Λ模生成。

对$H^*(X)$中任意两个纯度（pure degree）的上同调类a、b，以及$H_2(X)$中任意的A，定义$(a*b)_A$为$H^*(X)$的唯一元素，使得

$$\int_X (a * b)_A \smile c = GW_{0, 3}^{X, A}(a, b, c).$$

（右式是0亏格3点格罗莫夫-威滕不变量。）接着，定义

$$a * b := \sum_{A \in H_2(X)} (a * b)_A \otimes e^A.$$

根据线性关系，可以推广为定义良好的Λ双射

$$QH^*(X, \Lambda) \otimes QH^*(X, \Lambda) \to QH^*(X, \Lambda)$$

即小量子上积（small quantum cup product）。

## 几何解释

类$A=0$中唯一的仿全纯曲线是常值映射，其像是点。因此

$$GW_{0, 3}^{X, 0}(a, b, c) = \int_X a \smile b \smile c;$$

即

$$(a * b)_0 = a \smile b.$$

于是量子上积包含普通上积；也就是说，这定义将普通上积推广到了非零类A。

一般来说，$(a*b)_A$的庞加莱对偶对应着通过a、b的庞加莱对偶的类A的仿全纯曲线空间。所以，普通上同调认为只有当a、b在一定的点上相遇才算做相交，而量子上同调则记录了a和b的非零相交，只要有仿全纯曲线相连接即可。诺维科夫环仅仅提供了足够大的记录系统，可以记录所有类A的相交信息。

## 例子

令X为具有标准辛形式（对应富比尼–施图迪度量）和复结构的复射影平面。令$\ell \in H^2(X)$为线L的庞加莱对偶，则

$$H^*(X) \cong \mathbf{Z}[\ell] / \ell^3.$$

唯一非零的格罗莫夫-威滕不变量是类$A=0$或$A=L$的不变量。可得

$$\int_X (\ell^i * \ell^j)_0 \smile \ell^k = GW_{0, 3}^{X, 0}(\ell^i, \ell^j, \ell^k) = \delta(i + j + k,2)$$

及

$$\int_X (\ell^i * \ell^j)_L \smile \ell^k = GW_{0, 3}^{X, L}(\ell^i, \ell^j, \ell^k) = \delta(i + j + k, 5),$$

其中δ是克罗内克δ函数。于是。

$$\ell * \ell = \ell^2 e^0 + 0 e^L = \ell^2,$$

$$\ell * \ell^2 = 0 e^0 + 1 e^L = e^L.$$

这时，可以方便地将$e^L$重命名为q，并使用更简单的系数环$\mathbf{Z}[q]$，其中的q之度为$6 = 2 c_1(L)$。则

$$QH^*(X, \mathbf{Z}[q]) \cong \mathbf{Z}[\ell, q] / (\ell^3 = q).$$

## 小量子上积的性质

对纯度（pure degree）的a、b。

$$\deg (a * b) = \deg (a) + \deg (b)$$

且

$$b * a = (-1)^{\deg (a) \deg (b)} a * b.$$

小量子上积满足分配律，是Λ双线性的。单位元$1 \in H^0(X)$也是小量子同调的幺元。

小量子上积还满足结合律，这是格罗莫夫-威滕不变量的胶合定律（gluing law）的结果。这相当于，格罗莫夫-威滕势（0亏格格罗莫夫-威滕不变量的母函数）满足特定的三阶微分方程，即WDVV方程。

相交对

$$QH^*(X, \Lambda) \otimes QH^*(X, \Lambda) \to R$$

定义为

$$\left\langle \sum_i a_i \otimes \lambda_i, \sum_j b_j \otimes \mu_j \right\rangle = \sum_{i, j} (\lambda_i)_0 (\mu_j)_0 \int_X a_i \smile b_j.$$

（下标0表示$A=0$系数。）其满足结合律

$$\langle a * b, c \rangle = \langle a, b * c \rangle.$$

## 杜布罗温联络

基环R是C时，可将向量空间$QH^*(X,\ \Lambda)$的均匀分次部分H看做复流形。小量子上积限制为H上良定义的交换积。在较温和的假设下，具有相交对$\langle,\ \rangle$的H是弗罗贝尼乌斯代数。

量子上积可视作是切丛TH上的联络，称作杜布罗温联络。则，量子上积的交换性和结合性对应这个联络上的零挠率和零曲率条件。

## 大量子上同调

存在$0\in H$的邻域U，使$\langle , \rangle$和杜布罗温联络赋予U以弗罗贝尼乌斯流形的结构。$\forall a\in U$有量子上积

$$*_a : H \otimes H \to H,$$

定义为

$$\langle x *_a y, z \rangle := \sum_n \sum_A \frac{1}{n!} GW_{0, n + 3}^{X, A}(x, y, z, a, \ldots, a).$$

H上的积统称为大量子上同调（big quantum cohomology）。所有0亏格格罗莫夫-威滕不变量都可从中恢复；但一般来说，更简单的小量子上同调并非如此。

小量子上同调只有3点格罗莫夫-威滕不变量的信息，大量子上同调则有所有n点（n ≧ 4）格罗莫夫-威滕不变量的信息。为获得某些流形的枚举几何信息，需要用到大量子上同调。小量子上同调对应物理学中的3点相关函数，大量子上同调则对应所有n点相关函数。

## 参考文献

- McDuff, Dusa & Salamon, Dietmar (2004). J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology, American Mathematical Society colloquium publications. .
- Piunikhin, Sergey; Salamon, Dietmar & Schwarz, Matthias (1996). Symplectic Floer–Donaldson theory and quantum cohomology. In C. B. Thomas (Ed.), Contact and Symplectic Geometry, pp. 171–200. Cambridge University Press.