滥用符号

数学中，滥用符号（Abusing notation英文常用搭配为"by abuse of notation"，意即“藉滥用符号”。）虽然不严格，并非按数学符号的字面定义来运用，但有时能使数学论证更清晰，或引导读者明白其数学直觉，同时减少犯错和增进理解。不过，符号是否严格使用，或句法 (逻辑)上是否正确，很视乎时代和学科背景。某些用法，在某些场合算为滥用，在另一种背景下却是严格正确。某理论在严格化前，若已引入新的符号，则该些符号是否属滥用，就可能取决于时代，因为有时该理论发展后，逻辑根基得到巩固，统一符号用法，而使符号变成严格正确。滥用符号不等于误用符号，因为前者是表意与严格性两方面的取舍，而后者则仅是错误，应当避免。误用积分常数为后者一例。

相似的概念是滥用语文（abusing language）或滥用术语（abusing terminology），此时滥用的是词语，而非符号。例如，“表示”的正式含义，是由某个群 $G$ 到某向量空间 $V$ 上的一般线性群 $\mathrm{GL}(V)$ 的群同态，但经常会将 $V$ 称为 $G$ 的表示。另一个常见滥用，是称两个典范同构但不相等的物件为等同。类似还有：视常数函数与其值等同、视群（一个基集与其上二元运算组成的二元组）与其基集等同、视集合笛卡儿积$\mathbb R^3$与三维欧氏空间（配备几何结构）等同。

## 集合与映射例子

### 函数写法

许多教科书中，会写“设函数 $f(x)$ 为⋯⋯（填入关于 $x$ 的式子）”。此为滥用符号，因为函数的名称应为 $f$，而 $f(x)$ 应表示函数 $f$ 在其定义域中某处 $x$ 的取值。严格的写法为：“设 $f$ 为函数，在 $x$ 处取值为⋯⋯”或“设 $f$ 为函数 $x \mapsto \cdots$”此种滥用非常广泛，因为可简化写法，而严格的写法可能显得过于执着细节。

类似的滥用尚有“考虑函数 $x^2 + x + 1$⋯⋯”，因为 $x^2 + x+1$ 并非函数，真正的函数是将 $x$ 对应到 $x^2+x+1$ 的运算，用匿名函数的写法可将该函数写成 $x \mapsto x^2 + x + 1$。同样，此种滥用亦广泛出现，因为避免拘泥小节，同时一般不会造成混淆。

### 数学结构

许多数学物件是由一个集合（通常称为基集，underlying set）及其上的额外结构组成。此种结构可以是数学运算、关系或拓扑结构。经常滥用同一个符号，同时表示基集及整个数学结构（此现象称为“压参数”，suppression of parameters）。举例，$\mathbb Z$ 表示整数集，但同时可以表示整数集与加法组成的群，还可以是整数集连同加法、乘法组成的环。一般而言，此类用法中，若所指的物件为所熟知，则不会引起读者混淆；若刻意避免滥用，反而可能略嫌冗余，使数学论述更难理解。实在混淆时，可以写出整个结构以作区分，即以 $(\mathbb Z, +)$ 表示整数的加法群，$(\mathbb Z, +, \cdot)$ 表示整数环。

同理，拓扑空间由基集 $X$ 与拓扑结构 $\mathcal{T}$ 两部分构成，后者是 $X$ 若干子集构成的族，该些子集称为开集。通常，只考虑 $X$ 上某一个拓扑，于是一经指定，就无需再次提及，可用同一个符号 $X$ 同时表示基集及 $X$ 与拓扑结构 $\mathcal{T}$ 组成的二元组，而不引起混淆，即使严格而言，两者为不同的数学物件。不过，有时要同时考虑同一个基集上的两个拓扑（如拓扑向量空间上的强拓扑和弱拓扑，或实数线上的欧氏拓扑和下限拓扑），此时则须当心使用结构的全写，如 $(X, \mathcal{T})$ 和 $(X, \mathcal{T}')$，以作区分。

### 等价类

等价关系中，元素 $x$ 所在等价类严格地可记为 $[x]$，但有时亦滥用符号记为 $x$。此处等价类的意思是，若集合 $X$ 分划成等价关系 $\sim$ 的等价类，则对每个 $x \in X$，等价类 $\{y \in X : y \sim x\}$ 记为 $[x]$。但实用上，若取商集后，余下讨论仅关心等价类，而非原集合的元素，则常会弃用方括号。

例如，模算术中，有等价关系 $\sim$，其定义中，$x \sim y$ 当且仅当 $x \equiv y \pmod n$。将整数集按 $\sim$ 划分，可以得到等价类 $[0], [1], \ldots, [n-1]$，关于加法组成一个 $n$ 阶循环群，但实用上，该群的元素常简记为 $0, 1, \ldots, n-1$。

另一个例子是，某测度空间上，可测函数（类）组成的向量空间，或勒贝格可积函数（类）组成的向量空间。此处等价关系为“几乎处处相等”。

### 相等抑或同构

许多数学构造是以某性质来刻划其定义（经常是泛性质），如直积、张量积、自由积。选定所需性质后，可能有多种方法构造出具该性质的结构，各结构严格而言，固然是不同的物件，但因为性质完全一样（“同构”），不能藉其性质区分各同构物件，即使实际不等亦常迳称“相等”。

以笛卡儿积为例，常以为可结合：

$$(E \times F) \times G = E \times (F \times G) = E \times F \times G,$$

实则不然，因为若 $x \in E, y \in F, z \in G$，则有序对之间的等式 $((x, y), z) = (x, (y, z))$ 会推出 $(x, y) = x$ 和 $z = (y, z)$，而 $((x, y), z) = (x, y, z)$ 甚至不合式，是句法错误。不过，在范畴论中，得以自然变换的概念，将上述“结合律”修正。

类似滥用亦常见于谈论结构“个数”的句子。举例“恰有两个8阶非交换群”严格而言可写作“8阶非交换群的同构类恰有两个”或“不别同构之异，恰有两种8阶非交换群”。

## 微积分例子

### 导数

数学分析中，导函数的莱布尼兹记法$\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}$，算是滥用了分数符号。此种写法的好处是，形式上得以沿用分数的运算法则，方便计算，例如复合函数求导的连锁律，按莱布尼兹记法为：

$$\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x} = \frac{\mathrm d y}{\mathrm d u} \cdot \frac{\mathrm d u}{\mathrm d x} ,$$

状似分数乘法。

类似滥用出现于解微分方程的分离变数法，常将方程 $\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x} = \frac{g(x)}{h(y)}$ 左边的导数，如分数般“移项”写成 $h(y) \mathrm d y = g(x) \mathrm d x$，然后两边积分。还有积分记号中，将 $\int \frac{1}{x} \mathrm d x$ 的 $\mathrm d x$ 看成因子，与 $\frac{1}{x}$ 的分子相乘，写成

$$\int {dx \over x} .$$

但在微分形式理论中，有 $\mathrm d y$ 和 $\mathrm d x$ 的严格定义，此时，上述写法不再是滥用。

### 向量叉积

设实向量 $\boldsymbol a = (a_1, a_2, a_3)$，$\boldsymbol b = (b_1, b_2, b_3)$，则两者的叉积可用形式行列式定义为：

$$\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\left| \begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix}\right|,$$

其中顶行的三项是三个方向的单位向量，沿该行用余子式展开可得结果。此种滥用有助记忆，实际计算亦有用。其所以为滥用，是因为一般仅定义环上某矩阵的行列式，但向量 $\mathbf i \in \mathbb R^3$ 与纯量 $a_1 \in \mathbb R$ 等不在同一环内（除非考虑几何代数）。

### 倒三角算子

倒三角算子 $\nabla$ 是将偏微分算子组装成类似向量的形式：

$$\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\,\frac{\partial}{\partial y},\,\frac{\partial}{\partial z}\right),$$

以便用向量运算表示梯度 $\nabla f$、散度 $\nabla \cdot \boldsymbol v$、旋度 $\nabla \times \boldsymbol v$。但是，倒三角算子并未齐备向量的全部性质，例如与其他向量的内积不可换。此观点下，是滥用向量符号。

### 大O记号

使用大O符号时，常以 $f(x) = O(g(x))$ 表示“当 $x$ 充分大时，$f(x)$ 至多为 $g(x)$ 的常数倍”。这可以看成滥用了等号，因为如尼古拉斯·霍弗特·德布鲁因所言，$O(x) = O(x^2)$ 但 $O(x^2) \neq O(x)$。

## 主观性

一种用法是否属滥用符号，视乎学科背景和上下文。大部分数学科目中，以 $f : A \to B$ 表示偏函数，皆算为滥用，但范畴论中则不一定，因为 $f$ 在集合和偏函数构成的范畴中，确实是态射。

## 评价

尼古拉·布尔巴基在《数学原本》起首的“本书用法”中，称任何数学书若不滥用语文或符号，则易拘于小节（pédantesque）甚至不堪卒读（illisible）。陶哲轩认为，论文的严格论证中，所用符号应当明确而不含糊，但即使如此，仍允许一定程度的滥用符号。