三维点群

几何学中，三维点群是三维空间中，任何一个固定原点的对称群。等价的说法是，其为球面的对称群。此类群皆为正交群$O(3)$的子群，即固定原点的全体等距同构组成的群，亦可视为全体正交矩阵的乘法群。$O(3)$本身则是全体等距同构的欧氏群$E(3)$的子群。

立体的对称群必由等距同构组成，反之，要分析等距对称构成的群，就是分析所有可能的对称。有界三维立体的全体等距同构，必存在共同的不动点，不妨设其中之一为原点。

立体的对称群，有时称为全体对称群作强调，用以突显与旋转群（或真对称群）的分别。立体的旋转群是其全体对称群与三维空间本身的旋转群$SO(3)$之交。立体的旋转群等于全体对称群，当且仅当立体具手性 (数学)。

三维点群在化学广泛用于描述分子的对称，及组成共价键的分子轨域的对称。此背景下，也称分子对称群。

有限考克斯特群是一族特殊的点群，仅由过原点的若干个镜射生成。$n$阶考克斯特群是由$n$个镜射生成，可以考克斯特－丹金图表示。考克斯特符号则改为用方括号和数字描述，并设有其他标记，用以表示旋转群或其他子群。

## 群结构

$SO(3)$是直接欧氏群$E^+(3)$的子群，其元素皆是直接等距同构，即保持定向的等距变换。$SO(3)$仅含保持原点不变的直接等距同构。

$O(3)$则是$SO(3)$与点反演生成的群$\{I, -I\}$的直积：（此处点反演以其矩阵$-I$表示，即单位矩阵$I$乘上$-1$。）

$$O(3) = SO(3) \times \{I, -I\}.$$

所以，三维空间中，藉点反演，可以得到直接与间接等距变换之间的一一对应，此外，$O(3)$中仅由直接等距变换组成的子群$H$（必包含在$SO(3)$中，亦与$O(3)$中含有点反演的子群$K$一一对应。对应关系如下：

$$K = H \times \{I, -I\},$$

$$H = K \cap SO(3).$$

例如，若$H$为$C_2$，则$K$为$C_\mathrm{2h}$；若$H$为$C_3$，则$K$为$S_6$。（定义载于下文。）

若直接等距同构群$H$有子群的指数为$2$的子群$L$，则除以上含点反演的子群外，还有另一个对应的子群

$$M = L \cup \left(( H \setminus L) \times \{-I\} \right),$$

含有间接等距变换，但不含点反演。式中$(A, I)$与$A$视为等同。举例$H$为$C_4$，而$M$为$S_4$。

换言之，$M$是将$H \setminus L$中的变换，乘上$-I$得到。此群$M$作为抽象群与$H$同构。反之，任意对称群，若有间接等距变换，但无点反演，则可以将所有间接变换反演，而变成旋转群。等距群的分类（见下文）中，可以用此性质化简问题。

二维情况下，$k$重旋转的循环群$C_k$皆是$O(2)$和$SO(2)$的正规子群。在三维中，固定旋转轴，则相应有绕该轴的$k$重循环群$C_k$，是绕该轴的全体旋转群的正规子群。此外，由于指数为$2$的子群必正规，$C_n$在$C_{n\mathrm{v}}$中正规，也在$C_{n\mathrm{h}}$中正规。此处$C_{n\mathrm{v}}$是向$C_n$添加过旋转轴的反射面生成，而$C_{n\mathrm{h}}$则是向$C_n$添加与轴垂直的反射面生成。

## 固定原点的三维等距变换

$\mathrm R^3$的等距变换中，固定原点的变换，组成正交群$O(3, \mathbb R)$，简记为$O(3)$。其元素分类如下：

- 单位（恒等变换）。
- 绕过原点某轴的旋转，且角度不为$180^\circ$。
- 绕过原点某轴的旋转，且角度为$180^\circ$。
- 及以上变换但额外乘上点反演（将向量$x$映去$-x$），即：
- 点反演。
- 绕过原点的某轴，作角度不为$180^\circ$的旋转，后再作一次镜射，镜射面过原点，且与旋转轴垂直。
- 关于过原点某平面的镜射。

后三种元素又称瑕旋转。（视乎定义，末一种未必算。）

连同平移变换的简介，见欧几里得群。

## 共轭

比较两件立体的对称类时，原点可以分别选取，即两件立体的中心不必相同。更甚者，两件立体具有相同对称类，意思是其对称群$H_1, H_2$在$O(3)$中为共轭子群，即存在$g \in O(3)$，使$H_1 = g^{-1} H_2 g$。

举例：

- 两件立体各仅有镜射对称，即使并非关于同一镜面，仍属同样的对称类。
- 同样，若各仅有三重旋转对称，即使轴向不同，仍属同样的对称类。

若立体的对称群有多条旋转轴或多个镜面，或两者皆有，则两个对称群同属一类，当且仅当有另一个旋转$g$，将前一个对称群的整个结构，变换成后一个对称群。（此种旋转会多于一个，但不会是无穷多个。仅有一条旋转轴或一个镜面时，此种旋转方会有无穷多个。）按定义，上文的$g$不必为旋转，也可以为镜射，然而，由于对称群的结构不具手性，祇需取$g$为旋转。（但空间群则不然，有$11$对空间群具有手性，因为有螺旋变换。）

## 无穷等距变换群

有许多无穷等距变换群，如绕任意轴转任意无理角度（即圈数或度数为无理数，或弧度数为$\pi$的无理数倍）的旋转，所生成的无穷循环群；若加入绕同一轴的其他旋转，还可以组成许多非循环的交换群。取不共轴的旋转，则生成非交换群。一般性质，此等非交换群皆为自由群。仅有特别选取的旋转，方能得到有限群，否则一般皆是无穷群。

作为拓扑群$O(3)$的子群，上述无穷子群皆非闭子群。以下讨论$O(3)$的拓扑闭子群：

<image>

- 整个$O(3)$是球对称群。
- 相应的旋转群是$SO(3)$。
- 其他无穷等距变换群有五个，皆含有过原点的某轴，绕该轴的所有旋转，另外可以：
- 添加或不添加过轴的各镜面反射。
- 另添加或不添加过原点与轴垂直的镜面反射。（共四个）
- 最后，若以上两种反射都无添加，则可以只添加两者的复合，相当于添加与原旋转轴垂直的轴上的$180^\circ$旋转。（一个）

添加过轴的各镜面反射的群，不论有否添加过原点与轴垂射的镜面反射，称为两种圆柱对称性。注意若物理实体有无穷旋转对称，则亦必关于过轴的镜面对称。

此七个连续群，称为极限点群或居里极限群，得名自最早研究此种群的皮埃尔·居里。轴向群可以分成七列无穷序列，其极限给出五个轴向极限群（有两个重复），而$O(3)$、$SO(3)$则不是轴向群的极限。国际记号中，此七个群记为$\infty,\ \infty 2,\ \infty/\mathrm{m},\ \infty \mathrm{mm},\ \infty/\mathrm{mm},\ \infty\infty,\ \infty\infty\mathrm{m}$，次序在下文明确给出。

## 有限等距变换群

三维空间的对称中，保持原点不动，等价于保持以原点为球心的球面。关于有限的三维点群，亦可参见球面有限对称群列表。

不别共轭之异，三维有限点群只有：

- $7$个无穷列，此七类群中，每个群至多一条旋转轴有多于两重旋转。该些群皆是圆柱面的对称群（的有限子群），其中圆柱面有限长或无限长是等价的，有时称为轴向点群（axial point groups）或棱柱点群（prismatic point groups）。
- $7$个其他点群，每个有至少两条至少三重的旋转轴；也可以等价写成有至少两条三重旋转轴，因为全部七个都有多条三重旋转轴。若数出其三重以上的旋转轴，所有可能组合有：
- $4$条三重轴。
- $4$条三重轴及$3$条四重轴。
- $10$条三重轴及$6$条五重轴。

根据晶体学限制定理，仅得很少点群与离散平移对称相容：七列轴向点群中，有$27$个；七个其他点群中，有$5$个，合共$32$个，称为晶体学点群。

## 七类轴向点群

有七列轴向点群。每列有无穷多个群，各可用正整数$n$标示。每列第$n$个群，含绕某轴的$n$重旋转，即旋转$360^\circ / n$，故$n=1$对应转一整圈，即不旋转。七列轴向点群中，四列无其他旋转轴（称三维循环对称），另三列有其他二重旋转轴（称二面对称）。该些群可以视为二维点群添加轴向坐标和关于轴的反射而成，也与带群相关。可以将轴向点群理解为带群的图案在绕柱面恰好重复$n$次。

下表列出点群的几种记号：晶体学的赫尔曼–莫甘记号、分子对称性的熊夫利记号、轨形记号、考克斯特记号。后三者不仅方便读出群的性质，还与群的阶数密切相关。轨形记号同时通用于墙纸群与带群。晶体群的$n$仅能取$1, 2, 3, 4, 6$（晶体学限制定理），而若移除该限制，则$n$可取任意正整数。七列轴向点群为：

赫－莫｜熊夫利记号｜轨形记号｜考克斯特记号｜带群｜抽象结构（对称数）｜例子｜备注

$n$偶｜$n$奇｜（圆柱）

$n$｜$C_n$｜$nn$｜$[n]^+$node_h2｜p1｜循环群$Z_n$（$n$）｜

<image>

｜$n$重旋转对称

$\overline{2n}$｜$\overline n$｜$S_{2n}$｜$n\times$｜$[2n^+, 2^+]$node_h2｜p11g｜$Z_{2n}$（$2n$）｜

<image>

｜$n$重旋转反射对称勿与$2n$次抽象对称群混淆

$n/\mathrm{m}$｜$\overline{2n}$｜$C_{n\mathrm h}$｜$n ^*$｜$[n^+, 2]$node_h2｜p11m｜$Z_n \times Z_2$（$2n$）｜

<image>

$n \mathrm{mm}$｜$n\mathrm m$｜$C_{n \mathrm v}$｜${}^* nn$｜$[n]$node｜p1m1｜二面体群$\mathrm{Dih}_n$（$2n$）｜

<image>

｜棱锥对称生物学又称双辐射状对称

$n22$｜$n2$｜$D_n$｜$22n$｜$[n,2]^+$node_h2｜p211｜$\mathrm{Dih}_n$（$2n$）｜

<image>

｜三维二面体对称

$\overline{2n}2\mathrm m$｜$\overline{n}\mathrm{m}$｜$D_{n \mathrm{d}}$｜$2^* n$｜$[2n,2^+]$node｜p2mg｜$\mathrm{Dih}_{2n}$（$4n$）｜

<image>

｜反棱柱对称

$n/\mathrm{mmm}$｜$\overline{2n}2\mathrm m$｜$D_{n\mathrm h}$｜${}^*22n$｜$[n,2]$node｜p2mm｜$\mathrm{Dih}_n \times Z_2$（$4n$）｜

<image>

｜棱柱对称

对奇数$n$，有抽象群同构$Z_{2n} \cong Z_n \times Z_2$及$\mathrm{Dih}_{2n} \cong \mathrm{Dih}_n \times Z_2$。

群$C_n$（包括平凡群$C_1$）及$D_n$有手性，其他则无手性。

术语水平（horizontal, h）与竖直（vertical, v）描述反射面的方向，以旋转轴为竖直，故反射面水平即垂直于与旋转轴，反射面竖直即包含为旋转轴。相应下标用字母h和v。

最简单的非平凡轴向群皆同构于抽象群$Z_2$，但是$O(3)$的不同子群（即不共轭）：

- $C_\mathrm i$（等同$S_2$）——点反演对称
- $C_2$——二重旋转对称
- $C_\mathrm s$（等同$C_{1\mathrm h}$和$C_{1 \mathrm v}$）——反射对称，生物学的对称性又称两侧对称（bilateral symmetry）。

<image>

第一组单轴循环群中，$C_n$的阶为$n$（二维情况同样适用），是由单一个角度为$360^\circ / n$的旋转生成。若向此群加入一个与轴垂直的镜面（的反射），则生成$C_{n \mathrm h}$，阶为$2n$。若不加入与轴垂直的镜面，但加入$n$块通过轴的镜面，则得到$C_{n\mathrm v}$，阶亦为$2n$。后者是正$n$棱锥的对称群。具$C_n$或$D_n$的典型物体是螺旋桨。

若上述两种镜面皆加入，则水平镜面与竖直镜面相交得到$n$条轴，而镜射的复合生成绕该些轴的$180^\circ$旋转，故群不再单轴。新群的阶为$4n$，记为$D_{n \mathrm h}$。其旋转子群为$2n$个元素的二面体群$D_n$，仍有与主（$n$重）旋转轴垂直的二重旋转轴，但不再有镜面。

注意，在二维，$D_n$包括镜射，但镜射也可以视为将不辨前后之别的扁平物体翻转得到。但在三维，镜射与翻转不再相同：群$D_n$有翻转但无镜射。

余下一类是$D_{n \mathrm d}$（或$D_{n \mathrm v}$），其有包含主旋转轴的竖直镜面，但没有水平镜面，取而代之的操作是先水平镜射，再旋转$180^\circ / n$。$D_{n \mathrm h}$是正$n$棱柱和双棱锥的对称群。$D_{n\mathrm d}$则是正$n$角反棱柱的对称群，亦是正$n$方偏方面体的对称群。最后，$D_n$是稍稍扭过的正$n$棱柱的对称群。

$D_2$及$D_{2\mathrm h}$较特殊，因为并无特别的主旋转轴：三条互相垂直的旋转轴皆为二重轴。$D_2$是下节所有多面体对称群的子群，而$D_{2\mathrm h}$则是多面体群$T_\mathrm h$与$O_\mathrm h$的子群。$D_2$可以作为下列化学品的对称群：

- 刀豆蛋白A等同四聚体。
- 四个相同手性配位基的四面体形配合物。
- 四个同手性氟氯甲基的四(氟氯甲基)甲烷。

$D_2$的元素，与利普希茨四元数的可逆元表示的旋转，有一对二的关系。

群$S_n$由“先关于水平面作镜射，再旋转$360^\circ / n$”生成。对于奇数$n$，是等于前述两个操作分开执行，生成的群$C_{n \mathrm h}$，阶为$2n$，故不必用到记号$S_n$。然而，对偶数$n$，两个群有差异，且$S_n$仅有$n$个元素。与$D_{n \mathrm d}$类似，其包含若干瑕旋转，但不包含对应的旋转。

七列轴向群的元素仅有下列四对重复：

- $C_{1 \mathrm h}$及$C_{1 \mathrm v}$：阶数为$2$，由独一个镜射生成。又称$C_\mathrm s$。
- $D_1$与$C_2$：阶数为$2$，由独一个$180^\circ$旋转生成。
- $D_{1 \mathrm h}$与$C_{2 \mathrm v}$：阶数为$4$，由一个镜射与镜面上一条轴的$180^\circ$旋转生成。
- $D_{1 \mathrm d}$与$C_{2 \mathrm h}$：阶数为$4$，由一个镜射与一条垂直于镜面的轴的$180^\circ$旋转生成。

$S_2$是由独一个点反演生成的$2$阶群，又记为$C_\mathrm i$。

此处“重复”是指作为$O(3)$的子群共轭，是强于作为抽象群代数同构的条件。例如，前一种意义下，有三个不同的$2$阶群，但祇有一个$2$阶抽象群。类似，也有$S_{2n}$与$Z_{2n}$抽象同构。

群的构造亦可描述如下：

- $C_n$是由独一个元素生成，生成元亦称为$C_n$，是绕轴转$2 \pi /n$。群的元素是：$E$（单位元），$C_n, C_n^2, \ldots, C_n^{n-1}$，对应旋转角$0,\ 2\pi / n,\ 4\pi / n,\ \ldots,\ 2(n-1)\pi / n$。该轴视为竖直轴。
- $S_{2n}$由独一个元素$C_{2n}\sigma_\mathrm h$生成，其中$\sigma_\mathrm h$是水平面的镜射。群的元素是$C_n$的元素，另加$C_{2n} \sigma_\mathrm h,\ C_{2n}^3 \sigma_\mathrm h,\ C_{2n}^5 \sigma_\mathrm h,\ \ldots,\ C_{2n}^{2n-1} \sigma_\mathrm h$。
- $C_{n\mathrm h}$由$C_n$与反射$\sigma_\mathrm h$生成。群的元素是$C_n$的元素，另加$\sigma_\mathrm h,\ C_{n} \sigma_\mathrm h,\ C_{n}^2 \sigma_\mathrm h,\ \ldots,\ C_{n}^{n-1} \sigma_\mathrm h$。
- $C_{n \mathrm v}$由$C_n$与竖直镜面的反射$\sigma_\mathrm v$生成。群的元素是$C_n$的元素，另加$\sigma_\mathrm v,\ C_n \sigma_\mathrm v,\ C_n^2 \sigma_\mathrm v,\ \ldots,\ C_n^{n-1} \sigma_\mathrm v$。
- $D_n$是由$C_n$与绕水平面上某轴$180^\circ$的旋转$U = \sigma_\mathrm h \sigma_\mathrm v$，其元素是$C_n$的元素，另加$U,\ C_n U,\ C_n^2 U,\ \ldots,\ C_n^{n-1} U$。
- $D_{n \mathrm d}$由元素$C_{2n} \sigma_\mathrm h$与$\sigma_\mathrm v$生成。元素是$C_n$的元素，加上$S_{2n}$与$C_{n \mathrm v}$的额外元素，再加上$C_{2n}\sigma_\mathrm h \sigma_\mathrm v,\ C_{2n}^3\sigma_\mathrm h \sigma_\mathrm v,\ C_{2n}^5\sigma_\mathrm h \sigma_\mathrm v,\ \ldots,\ C_{2n}^{2n-1}\sigma_\mathrm h \sigma_\mathrm v$。
- $D_{n \mathrm h}$由元素$C_n,\ \sigma_\mathrm h,\ \sigma_\mathrm v$生成。其元素为$C_n$的元素，再加上$C_{n \mathrm h},\ C_{n \mathrm v},\ D_n$的所有额外元素。

取$n$趋向$\infty$的极限，则得到连续轴向群（或无穷阶轴向群）：

赫－莫｜熊夫利记号｜轨形记号｜考克斯特记号｜是何序列的极限｜抽象群

$\infty$｜$C_\infty$｜$\infty\infty$｜$[\infty]^+$｜node_h2｜$C_n$｜$Z_\infty$｜$SO(2)$

$\overline{\infty},\ \infty/\mathrm m$｜$C_{\infty \mathrm h}$｜$\infty^*$｜$[2,\infty^+]$｜node｜$C_{n \mathrm h},\ S_{2n}$｜$Z_2 \times Z_\infty$｜$Z_2 \times SO(2)$

$\infty \mathrm m$｜$C_{\infty \mathrm v}$｜${}^* \infty \infty$｜$[\infty]$｜node｜$C_{n \mathrm v}$｜$\mathrm{Dih}_{\infty}$｜$O(2)$

$\infty 2$｜$D_\infty$｜$22\infty$｜$[2,\infty]^+$｜node_h2｜$D_n$｜$\mathrm{Dih}_\infty$｜$O(2)$

$\overline{\infty}\mathrm m,\ \infty /\mathrm {mm}$｜$D_{\infty \mathrm h}$｜${}^*22\infty$｜$[2,\infty]$｜node｜$D_{n \mathrm h},\ D_{n \mathrm d}$｜$Z_2 \times \mathrm{Dih}_\infty$｜$Z_2 \times O(2)$

## 七个其他点群

余下七个点群又称为高度对称或多面体对称，因为有多于一条旋转轴的重数大于二。下表中，$C_n$表示一条$n$重轴，即旋转角为$360^\circ / n$，$S_n$则表示同样旋转角的瑕旋转轴。所用记号，首先是字母表示的熊夫利记号，然后括号内为轨形记号，然后为考克斯特记号及图，最后是赫尔曼–莫甘记号及倘有的简写。

$T,\ (332)$ $[3,3]^+$（node_h2）$23$阶为$12$｜手性四面体对称｜有四条$C_3$轴，是立方体的四条体对角线，也可以看成正四面体四个顶点分别到对面中心的连线。另有三条$C_2$轴，是立方体三组对面的中心连线，也是正四面体三组对边的中点连线。$T$同构交错群$A_4$，即四个元素的偶排列的群。本群为正四面体的旋转群，也是$T_\mathrm d,\ T_\mathrm h$及以下两种八面体对称群的正规子群。本群的$12$个元素，与赫维兹四元数的$24$个可逆元，有一对二的关系，而后者又称为二元四面体群。

$T_\mathrm d,\ (^*332)$ $[3,3]$（node）$\overline {4}3\mathrm m$阶为$24$｜全四面体对称｜本群与$T$有相同的旋转轴，但另有六块镜面，每块经过立方体的两条不在同一面的平行边，也是正四面体六条棱各自的垂直平分面。每块镜面包含一条$C_2$轴，两条$C_3$轴。原$C_2$轴，加入镜射后，变成$S_4$轴。本群是正四面体的对称群。$T_\mathrm d$同构于$4$个元素的对称群$S_4$，因为$T_\mathrm d$的元素，会将$4$条$C_3$轴重新排列，而元素与此四条轴的排列一一对应。若一件物体绕其中一条三重轴，有$C_{3\mathrm v}$对称，则在$T_\mathrm d$作用下，轨道有四件同样的物体，$T_\mathrm d$就对应此四件物体的排列的集合。$T_\mathrm d$是$O_\mathrm h$的正规子群。

$T_\mathrm h,\ (3^*2)$ $[3^+,4]$（node_h2）$2/\mathrm m \overline{3},\ \mathrm m\overline{3}$ 阶为$24$｜五角十二面体对称｜

<image>

本群与$T$的旋转轴相同，另有与立方体的面平行的镜面。四条$C_3$轴变成$S_6$轴，并有关于中心的反演对称。$T_\mathrm h$同构于$A_4 \times Z_2$（因为$T$与$C_\mathrm i$皆是正规子群），而与对称群$S_4$不同构。若在立方体的每个面上，各画一条线段，将该面分成两个全等的长方形，且使得新增的线段不会相交于棱上，则所得的图形的对称群为$T_\mathrm h$。该些对称是：立面体四条体对角线的偶排列，及该等偶排列与中心反演的复合。本群亦是五角十二面体的对称群。五角十二面体与前述的（面经分割的）立方体类似，但其中每个长方形换成有四边等长，具一条对称轴的五角形，而五角形余下一条不同长度的边，对应立方体的面上新增的线段。换言之，可以想像立方体的面在分割线隆起，并在该处变窄（即分割线变短）。本群为全二十面体对称群的子群（但不正规），且是作为等距变换群的子群，而不仅是抽象子群。全二十面体对称群有十条三重轴，而本群有其中四条。本群亦为$O_\mathrm h$的正规子群。虽然记作$T_\mathrm h$，本群并非任何四面体（Tetrahedron）的对称群。

$O,\ (432)$ $[4,3]^+$（node_h2）$432$阶为$24$｜手性八面体对称｜本群与$T$类似，但各$C_2$轴现改成$C_4$轴，并有额外六条$C_2$轴，是过正方体中心与（六对）棱中点的直线。本群与$S_4$同构，因为其元素与四条三重轴的$24$个排列一一对应，与$T$类似。若物体绕某条三重轴有$D_3$对称，则在$O$作用下，轨道有四件同样的物体，而$O$的元素也一一对应此四件物体的排列。本群是立方体与正八面体的旋转群。若用四元数表示旋转，则$O$对应$24$个赫维兹四元数的可逆元及范数平方为$2$的$24$个利普希茨四元数，各除以$\sqrt{2}$。与$T$类似，此为一对二的关系。

$O_\mathrm h,\ (^*432)$ $[4,3]$（node）$4/\mathrm m \overline{3}2/\mathrm m,\ \mathrm m\overline{3}\mathrm m$阶为$48$｜全八面体对称｜本群与$O$有同样的旋转轴，但也有镜射，有齐$T_\mathrm d$与$T_\mathrm h$的所有镜面。本群同构于$S_4 \times Z_2$（因为$O$与$C_\mathrm i$皆为正规子群），且是立方体与正八面体的对称群。见八面体对称。

$I, (532)$ $[5,3]^+$（node_h2）$532$阶为$60$｜手性二十面体对称｜本群为正二十面体与正十二面体的旋转群，亦是全正二十面体对称群$I_\mathrm h$的子群指标$2$正规子群。本群的子群中，有十个$D_3$与六个$D_5$（即棱柱或反棱柱的旋转群）。本群也包含五个$T$子群（见五复合正四面体）。抽象而言，$I$同构于$5$次交错群$A_5$，因为其元素作用在五个$T$子群上，与其偶排列一一对应。等价地，可以考虑$I$对前述五复合正四面体的五个单体的作用。以四元数表示旋转，则$I$对应$120$个二十数可逆元。与先前一样，此为一对二的关系。

$I_\mathrm h,\ (^*532)$ $[5,3]$（node）$\overline{53}2/\mathrm m,\ \overline{53}\mathrm m$阶为$120$｜全二十面体对称｜本群为正二十面体与正十二面体的对称群。$I_\mathrm h$与抽象群$A_5 \times Z_2$同构，因为$I$与$C_\mathrm i$皆是正规子群。本群的子群中，有十个$D_{3 \mathrm d}$、六个$D_{5 \mathrm d}$（反棱柱的对称）、五个$T_\mathrm h$。

相关的连续群有：

- 旋转群$SO(3)$，即所有旋转的群，亦记作$\infty \infty$或$K$。
- 正交群$O(3)$，所有旋转和镜射生成的群，亦记作$\infty \infty \mathrm m$或$K_\mathrm h$。

如无穷等距变换群一节所言，任何物理实体，若有$K$对称性，则必有$K_\mathrm h$对称性。

## 轨形记号与阶

若已知群的轨形记号，则可计算其阶数，等于$2$除以轨形的欧拉示性数。轨形的欧拉示性数是将$2$减去轨形记号中，各符号特征数的总和：

- 无${}^*$或在${}^*$之前的$n$，值为$(n-1)/n$。
- 在${}^*$之后的$n$，值为$(n-1)/(2n)$。
- ${}^*$与$\times$计为$1$。

此公式同样适用于壁纸群与带群：对该等群，特征数之和为$2$，所以阶数是无穷大。亦见壁纸群条目。

## 反射考克斯特群

$A_3,\ [3,3],$ node｜$B_3,\ [4,3],$ node｜$H_3,\ [5,3],$ node

<image>

$6$块镜｜

<image>

$3+6$块镜｜

<image>

$15$块镜

$2A_1,\ [1,2],$ node｜$3A_1,\ [2,2],$ node｜$A_1A_2,\ [2,3],$ node

<image>

$2$块镜｜

<image>

$3$块镜｜

<image>

$4$块镜

$A_1,\ [1],$ node｜$2A_1,\ [2],$ node｜$A_2,\ [3],$ node

<image>

$1$块镜｜

<image>

$2$块镜｜

<image>

$3$块镜

三维反射点群又称为考克斯特群，能以考克斯特－邓肯图表示，是交于同一个中心点的若干镜面反射生成的群。该些镜面将球面分割成球面三角形区域。若考克斯特群能以少于三个镜射生成，则该球面三角形退化，变成球面二角形或半球面。在考克斯特记号，该些群是正四面体对称$[3,3]$、正八面体对称$[4,3]$、正二十面体对称$[5,3]$、三维二面体对称$[p,2]$。不可约群的镜面数是$nh/2$，其中$h$是群的考克斯特数，而$n$是反射方向的秩（维数），等于符号的下标。

熊夫利记号｜考克斯特－邓肯图标签｜考克斯特记号｜群阶｜考克斯特数（$h$）｜镜数（$m$）

多面体群

$T_\mathrm d$｜$A_3$｜node｜$[3,3]$｜$24$｜$4$｜$6$

$O_\mathrm h$｜$B_3$｜node｜$[4,3]$｜$48$｜$6$｜$3+6$

$I_\mathrm h$｜$H_3$｜node｜$[5,3]$｜$120$｜$10$｜$15$

三维二面体群

$D_{1\mathrm h}$｜$2A_1$｜node｜$[1,2]$｜$4$｜$1+1$

$D_{2\mathrm h}$｜$3A_1$｜node｜$[2,2]$｜$8$｜$2+1$

$D_{p\mathrm h}$｜$I_2(p)A_1$｜node｜$[p,2]$｜$4p$｜$p+1$

三维循环对称

$C_{2\mathrm v}$｜$2A_1$｜node｜$[2]$｜$4$｜$2$

$C_{p\mathrm v}$｜$I_2(p)$｜node｜$[p]$｜$2p$｜$p$｜$p$

单镜面

$C_{1\mathrm v}$｜$A_1$｜node｜$[\ ]$｜$2$｜$1$

## 旋转群

有限旋转群，即$SO(3)$的有限子群，仅有：循环群$C_n$（正棱锥的旋转群）、二面体群$D_n$（正棱柱或双锥体的旋转群）、$T$（正四面体的旋转群）、$O$（正八面体或正六面体的旋转群）、$I$（正二十面体或正十二面体的旋转群）。

特别地，二面体群$D_3$、$D_4$等，是平面正多边形嵌入到三维空间后的旋转群。此种薄片也可以视为退化的正棱柱，或称为二面体，二面体群因而得名。

- 若物体的对称类为$C_n,\ C_{n \mathrm h},\ C_{n \mathrm v},\ S_{2n}$，则旋转群为$C_n$。
- 若物体的对称类为$D_n,\ D_{n \mathrm h},\ D_{n \mathrm d}$，则旋转群为$D_n$。
- 若物体的对称类属其他七种多面体对称，则旋转群是相应无下标的群，即$T,\ O,\ I$之一。

当且仅当物体有手性 (数学)时，其旋转群等于整个对称群。换言之，手性物体就是对称群在旋转群列表中的物体。

用熊夫利记号、考克斯特记号，及括号内的轨形记号表示，旋转群是：

反射｜反射/旋转｜瑕旋转｜旋转

$C_{n \mathrm v},\ [n],\ (^*nn)$｜$C_{n \mathrm h},\ [n^+,2],\ (n^*)$｜$S_{2n},\ [2n^+,2^+],\ (n\times)$｜$C_n,\ [n]^+,\ (nn)$

$D_{n \mathrm h},\ [2,n],\ (^*n22)$｜$D_{n \mathrm d},\ [2^+,2n],\ (2^*n)$｜$D_n,\ [2,n]^+, (n22)$

$T_\mathrm d,\ [3,3],\ (^*332)$｜$T,\ [3,3]^+,\ (332)$

$O_\mathrm h,\ [4,3],\ (^*432)$｜$T_\mathrm h,\ [3^+,4],\ (3^*2)$｜$O,\ [4,3]^+,\ (432)$

$I_\mathrm h,\ [5,3],\ (^*532)$｜$I,\ [5,3]^+,\ (532)$

## 旋转群与其他群的对应

下列群有点反演：

- $n$为偶数时，$C_{n \mathrm h}$及$D_{n \mathrm h}$。
- $n$为奇数时，$S_{2n}$及$D_{n \mathrm d}$（特别地，$S_2 = C_\mathrm i$是仅由点反演生成的群，另有$D_{1 \mathrm d} = C_{2 \mathrm h}$属于前项）。
- $T_\mathrm h, \ O_\mathrm h,\ I_\mathrm h$。

如上文所述，此种群与所有旋转群之间，有一一对应：

- $C_{n \mathrm h}$（$n$为偶）及$S_{2n}$（$n$为奇）对应$C_n$。
- $D_{n \mathrm h}$（$n$为偶）及$D_{n \mathrm d}$（$n$为奇）对应$D_n$。
- $T_\mathrm h, \ O_\mathrm h,\ I_\mathrm h$分别对应$T, O, I$。

下列群具有间接（不保定向）的等距变换，但无点反演：

- $C_{n \mathrm v}$。
- $n$为奇数时，$C_{n \mathrm h}$及$D_{n \mathrm h}$。
- $n$为偶数时，$S_{2n}$及$D_{n \mathrm d}$。
- $T_{\mathrm d}$。

上述各群分别对应一个旋转群$H$及其指标$2$的子群$L$，使得该群是由$H$的元素，加上$H \setminus L$经点反演后的元素得到，如上文所述：

- $C_n$是$D_n$的指标$2$子群，对应$C_{n \mathrm v}$。
- $C_n$是$C_{2n}$的指标$2$子群，$n$为奇时对应$C_{n \mathrm h}$，$n$为偶时则对应$S_{2n}$。
- $D_n$是$D_{2n}$的指标$2$子群，$n$为奇时对应$D_{n \mathrm h}$，$n$为偶时对应$D_{n \mathrm d}$。
- $T$是$O$的指标$2$子群，对应$T_\mathrm d$。

## 极大对称群

离散点群中，$O_\mathrm h$和$I_\mathrm h$并非任何其他离散点群的真子群，故谓极大。其公共子群中，最大的是$T_{\mathrm h}$。由此，可以将二重旋转对称改成四重而得$O_{\mathrm h}$，亦可加入五重旋转对称而得$I_\mathrm h$。

类似地，有两个晶体学点群并非任何其他晶体学点体的真子群：$O_\mathrm h$与$D_{6 \mathrm h}$。视乎方向，其极大公共子群为$D_{3 \mathrm d}$或$D_{2 \mathrm h}$。

## 按抽象群同构分类

下列若干个表，将前述诸群，按抽象群同构分类。

最小几个不能表示成三维对称群的抽象群为：$8$阶的四元群、$9$阶的$Z_3 \times Z_3$、$12$阶的双循环群$\mathrm{Dic}_3$，以及十四个$16$阶群的其中十个。

下表中，“$2$阶元素数”一列，数算$C_2, C_\mathrm i, C_\mathrm s$三类等距变换子群的总数，是有助分辨抽象群类型的特征数，而该总数之内，各类等距变换子群的数目，则有助辨别属同一类抽象群的不同等距变换群。

### 循环群

$n$重旋转对称的对称群为$C_n$。其抽象同构类是循环群$Z_n$，亦可记作$C_n$。然而，另有两列对称群同构于循环群：

- 对于偶阶数$2n$，瑕旋转群$S_{2n}$（熊夫利记号），生成元为绕某轴$180^\circ / n$的旋转后关于与轴垂直的镜面反射。$S_2$也记为$C_\mathrm i$，由点反演生成。
- 对于奇数$n$，有阶数$2n$的群$C_{n \mathrm h}$。该群有一条$n$重旋转轴，另有与该轴垂直的镜射。换言之，群由两种变换生成，即绕轴$360^\circ / n$的旋转，及该镜射。$C_{1 \mathrm h}$又可记作$C_\mathrm s$，仅由一个镜射生成。

故可总结出下表：（十个循环晶体学点群以粗体标出，其满足晶体学限制。）

阶数｜等距变换群｜抽象群｜$2$阶元素数｜环图

$1$｜$\boldsymbol {C_1}$｜$Z_1$｜$0$｜

<image>

$2$｜$\boldsymbol {C_2, C_\mathrm i, C_\mathrm s}$｜$Z_2$｜$1$｜

<image>

$3$｜$\boldsymbol {C_3}$｜$Z_3$｜$0$｜

<image>

$4$｜$\boldsymbol {C_4, S_4}$｜$Z_4$｜$1$｜

<image>

$5$｜$C_5$｜$Z_5$｜$0$｜

<image>

$6$｜$\boldsymbol{C_6, S_6, C_{3 \mathrm h}}$｜$Z_6 \cong Z_3 \times Z_2$｜$1$｜

<image>

$7$｜$C_7$｜$Z_7$｜$0$｜

<image>

$8$｜$C_8, S_8$｜$Z_8$｜$1$｜

<image>

$9$｜$C_9$｜$Z_9$｜$0$｜

<image>

$10$｜$C_{10}, S_{10}, C_{5 \mathrm h}$｜$Z_{10} \cong Z_5 \times Z_2$｜$1$｜

<image>

$$\vdots$$

### 二面群

二维二面体群$D_n$有旋转和反射，但二维反射亦可视为在三维空间中，将不区分正反面的薄片翻转。

然而在三维，反射与翻转须作区分。以$D_n$表示的对称群，有$n$条二重轴，与$n$重的主旋转轴垂直，但无反射。$D_n$是正$n$棱柱、正双$n$角锥、正$n$角反棱柱、$n$方偏方面体的旋转群。若略作改动，如在每面加上相同的手性 (数学)标记，或稍为改变形状，则可以使物体具有手性，从而令$D_n$为其全对称群。

相应的抽象群类型是二面体群$\mathrm{Dih}_n$，亦可照样记为$D_n$。但除$D_n$外，还有三个无穷序列的对称群，同构于二面体群：

- $C_{n \mathrm v}$，阶为$2n$，是正$n$棱锥的对称群。
- $D_{n \mathrm d}$，阶为$4n$，是正$n$角反棱柱的对称群。
- 对应奇数$n$的群$D_{n \mathrm h}$，其阶为$4n$。当$n = 1$时，等同$D_2$，已于上文讨论，故此处可取$n \ge 3$。

注意有以下同构：

$$\mathrm{Dih}_{4n+2} \cong\mathrm{Dih}_{2n+1} \times Z_2.$$

于是可以整理出下表：（有$12$个晶体学点群用粗体标示，另$D_{1\mathrm d}$写成等价的$C_{2 \mathrm h}$）

阶数｜等距变换群｜抽象群｜$2$阶元素数｜环图

$4$｜$\boldsymbol{D_2, C_{2\mathrm v}, C_{2\mathrm h}}$｜$\mathrm {Dih}_2 \cong Z_2 \times Z_2$｜$3$｜

<image>

$6$｜$\boldsymbol{D_3, C_{3\mathrm v}}$｜$\mathrm{Dih}_3$｜$3$｜

<image>

$8$｜$\boldsymbol{D_4, C_{4\mathrm v}, D_{2 \mathrm d}}$｜$\mathrm{Dih}_4$｜$5$｜

<image>

$10$｜$D_5, C_{5 \mathrm v}$｜$\mathrm{Dih}_5$｜$5$｜

<image>

$12$｜$\boldsymbol{D_6, C_{6 \mathrm v}, D_{3 \mathrm d}, D_{3 \mathrm h}}$｜$\mathrm{Dih}_6\cong \mathrm{Dih}_3 \times Z_2$｜$7$｜

<image>

$14$｜$D_7, C_{7 \mathrm v}$｜$\mathrm{Dih}_7$｜$7$｜

<image>

$16$｜$D_8, C_{8 \mathrm v}, D_{4 \mathrm d}$｜$\mathrm{Dih}_8$｜$9$｜

<image>

$18$｜$D_9, C_{9\mathrm v}$｜$\mathrm{Dih}_9$｜$9$

$20$｜$D_{10}, C_{10 \mathrm v}, D_{5 \mathrm h}, D_{5 \mathrm d}$｜$\mathrm{Dih}_{10} \cong \mathrm{Dih}_5 \times Z_2$｜$11$｜

<image>

$$\vdots$$

### 其他

$C_{2n \mathrm h}$的阶数为$4n$，同构于抽象群$Z_{2n}\times Z_2$。在$n = 1$时，$C_{2n \mathrm h}$等同$\mathrm{Dih}_2$，已于上小节讨论，故本小节仅考虑$n \ge 2$的情况。

此系列的群可以整理成下表：（其中两个晶体学点群以粗体强调）

阶数｜等距变换群｜抽象群｜$2$阶元素数｜环图

$8$｜$\boldsymbol{C_{4\mathrm h}}$｜$Z_4 \times Z_2$｜$3$｜

<image>

$12$｜$\boldsymbol{C_{6 \mathrm h}}$｜$Z_6 \times Z_2 \cong Z_3 \times Z_2^2 \cong Z_3 \times \mathrm{Dih}_2$｜$3$｜

<image>

$16$｜$C_{8\mathrm h}$｜$Z_8 \times Z_2$｜$3$｜

<image>

$20$｜$C_{10\mathrm h}$｜$Z_{10} \times Z_2 \cong Z_5 \times Z_2^2 \cong Z_5 \times \mathrm{Dih}_2$｜$3$｜

<image>

$$\vdots$$

$D_{n \mathrm h}$的阶数为$4n$，同构于抽象群$\mathrm{Dih}_n \times Z_2$。对于奇数$n$，已于上小节讨论，故此处仅考虑阶数为$8n$的群$D_{2n \mathrm h}$，其抽象群类别为$\mathrm{Dih}_{2n} \times Z_2$。（$n \ge 1$）

此系列的群可以整理成下表：（其中三个晶体学点群以粗体强调）

阶数｜等距变换群｜抽象群｜$2$阶元素数｜环图

$8$｜$\boldsymbol{D_{2 \mathrm h}}$｜$\mathrm{Dih}_2 \times Z_2\cong Z_2^3$｜$7$｜

<image>

$16$｜$\boldsymbol{D_{4 \mathrm h}}$｜$\mathrm{Dih}_4 \times Z_2$｜$11$｜

<image>

$24$｜$\boldsymbol{D_{6 \mathrm h}}$｜$\mathrm{Dih}_6 \times Z_2 \cong \mathrm{Dih}_3 \times Z_2^2$｜$15$

$32$｜$D_{8 \mathrm h}$｜$\mathrm{Dih}_8\times Z_2$｜$19$

$$\vdots$$

余下七个多面体群是：（其中五个晶体学点群以粗体强调）

阶数｜等距变换群｜抽象群｜$2$阶元素数｜环图

$12$｜$\boldsymbol{T}$｜$A_4$｜$3$｜

<image>

$24$｜$\boldsymbol{T_\mathrm d, O}$｜$\definecolor{linkblue}{rgb}{0.0235,0.2706, 0.6784}\color{linkblue}{S_4}$｜$9$｜

<image>

$24$｜$\boldsymbol{T_\mathrm h}$｜$A_4 \times Z_2$｜$7$｜

<image>

$48$｜$\boldsymbol{O_\mathrm h}$｜$S_4 \times Z_2$｜$19$

$60$｜$I$｜$A_5$｜$15$

$120$｜$I_\mathrm h$｜$A_5\times Z_2$｜$31$

## 基本域

<image>

｜

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二十面体对称的反射面与单位球面交于若干大圆，将球面分成$120$个球面直角三角形的基本域。

点群的基本域是锥体。若物体有给定的对称群，则指明物体的某一个基本域变换至哪个基本域，就足以确定该变换。另外，仅从该件物体在一个基本域内的形状，就足以确定整件物体的形状。若物体是曲面，则可由其被一个基本域截得的部分确定，该部分亦是（有边界的）曲面，下称“基本面”，延伸至基本域的径向边界面（即锥体的侧面）。但是，若基本面与其他基本面（即基本面在其他基本域的复制），两者的边界未能贴合，则需要添加径向的面或其他曲面，以使各基本面连接成一个整体。若基本面以反射面为界，则必然贴合。

基本面可以取为任意平面被基本域所截的部分，如此得到一个多面体，具有给定的对称群，如四角化菱形三十面体的每一个面，即为全二十面体对称的一个基本面。若调整该面的方向，则有时可以使相邻的若干个基本面共面，而合并成同一个面，得到具同样对称群的其他多面体，如正十二面体和正二十面体。若基本面的边界能够贴合，且基本面的法向量是在基本域内，则所得的多面体为凸多面体。

基本面也可以取为其他形状，不必在同一平面内，例如可取为若干个不同平面的区域连接而成的曲面。

## 二元多面体群

考虑三维旋量群$\mathrm{Spin}(3)$到旋转群$SO(3)$的二重复叠投映。由于$\mathrm{Spin}(3)$已是单连通，故为$SO(3)$仅有的非平凡连通覆叠。

由对应定理 (群论)，$\mathrm{Spin}(3)$与$SO(3)$的子群（即旋转点群）之间有伽罗瓦连接：$\mathrm{Spin}(3)$子群投映到$SO(3)$，必为旋转子群，而反之，旋转子群的原像亦必为是$\mathrm{Spin}(3)$的子群。注意$\mathrm{Spin}(3)$可以等价描述成特殊酉群$SU(2)$，或是单位四元数群，亦属李群，拓扑上同胚于三维球面$S^3$。

有限点群的原像称为二元多面体群，记作$\langle l, n, m \rangle$，与多面体群$(l, m, n)$对应，而名称则是相应点群的名称加上“二元”前缀，阶数为点群阶数的两倍。例如，二十面体群$(2,3,5)$的原像，便是二元二十面体群$\langle 2, 3, 5\rangle$。

二元多面体群为：

- $A_n$: 正$n$边形的二元循环群，阶数$2n$。
- $D_n$: 正$n$边形的二元二面体群$\langle 2, 2, n\rangle$，阶数$4n$。
- $E_6$: 二元四面体群$\langle 2, 3, 3\rangle$，阶数$24$。
- $E_7$: 二元八面体群$\langle 2, 3, 4\rangle$，阶数$48$。
- $E_8$: 二元二十面体群$\langle 2, 3, 5\rangle$，阶数$120$。

该些群能按ADE分类，而$\mathbb C^2$在二元多面体群作用下的商空间，是杜瓦尔奇点。

对于不保定向的点群，情况较复杂，因为有两个Pin群，所以对应给定的点群，有两个可能的二元群。

注意前述“覆叠”仅是群的覆叠，而不是多面体空间的覆叠：球面本身单连通，并无非平凡覆叠。所以，并无所谓“二元多面体”覆叠原有的多面体。二元多面体群是旋量群的离散子群，所以若选定旋量群的表示，作用于一个向量空间，则该二元多面体群在该表示下，可能将某个多面体映到自身，例如在$\mathrm{Spin}(3)\to SO(3)$映射下，二元多面体群作用为旋转，与底下的（非二元）群是同一个多面体的等距变换，然而，在旋量表示或其他表示下，二元多面体群可以作用在不同的多面体上。

二元多面体群不是射影多面体的对称群。球面确实覆叠射影空间（以及透镜空间），故可以考虑射影空间的密铺，视之为另一种“多面体”，即射影多面体，但是，考虑二元多面体群时，并非取多面体所覆叠的空间，而是取覆叠对称群的群，所以两件事不相同。

## 外部链接

- ——显示七个无穷序列的前几项（跳过$n = 5$），以及其余七个多面体群之五。