升余弦滤波器

升余弦滤波器是一种经常用于数位调变的脉冲整形滤波器，它能够最大限度地减少符码间干扰（ISI）。之所以会如此命名是因为，该滤波器的最简形式频谱（$\beta = 1$）的非零部分为余弦函数，且被“抬升”至水平轴$f$上方。

## 数学描述

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升余弦滤波器是一种低通奈奎斯特滤波器的实作，即具有残对称性的滤波器，这表示它的频谱呈现约$\frac{1}{2T}$的奇对称，$T$是通讯系统的符元周期。

其频域描述为分段定义传递函数，由下式给出：

$$H(f) = \begin{cases} <pre> 1, & |f| \leq \frac{1 - \beta}{2T} \\ \frac{1}{2}\left[1 + \cos\left(\frac{\pi T}{\beta}\left[|f| - \frac{1 - \beta}{2T}\right]\right)\right], & \frac{1 - \beta}{2T} < |f| \leq \frac{1 + \beta}{2T} \\ 0, & \text{otherwise} </pre> \end{cases}$$

或以余的半正矢表示：

$$H(f) = \begin{cases} <pre> 1, & |f| \leq \frac{1 - \beta}{2T} \\ \operatorname{hvc}\left(\frac{\pi T}{\beta}\left[|f| - \frac{1 - \beta}{2T}\right]\right), & \frac{1 - \beta}{2T} < |f| \leq \frac{1 + \beta}{2T} \\ 0, & \text{otherwise} </pre> \end{cases}$$

$$0 \leq \beta \leq 1$$

以两个值为特征；滚降系数 $\beta$ 和符元率的倒数$T$。

这种滤波器的脉冲响应由下式给出：

$$h(t) = \begin{cases} \frac{\pi}{4T} \operatorname{sinc}\left(\frac{1}{2\beta}\right), <pre> & t = \pm\frac{T}{2\beta} \\ </pre> \frac{1}{T}\operatorname{sinc}\left(\frac{t}{T}\right)\frac{\cos\left(\frac{\pi\beta t}{T}\right)}{1 - \left(\frac{2\beta t}{T}\right)^2}, <pre> & \text{otherwise} </pre> \end{cases}$$

以归一化的sinc函数表示。这里使用的是通讯领域的定义$\sin(\pi x)/(\pi x )$，而非数学领域所用的定义。

### 滚降系数

滚降系数$\beta$是对滤波器带宽过量（excess bandwidth）的度量，即所占带宽超过奈奎斯特带宽$\frac{1}{2T}$的部分，有些作者会使用$\alpha$ 表示.

若我们将多余的带宽表示为$\Delta f$，则：

$$\beta = \frac{\Delta f}{\left(\frac{1}{2T}\right)} = \frac{\Delta f}{R_S/2} = 2T\,\Delta f$$

$R_S = \frac{1}{T}$是符元率。

该图显示为$\beta$在0和1之间变化的振幅响应，以及对脉冲响应的相应作用。可以看出，时域的涟波准位会随着$\beta$减少而增加，这可以减少滤波器的频寛过量，但只能以伸长脉冲响应为代价。

$$\beta = 0$$

当$\beta$靠近0时，滚降区变得无限窄，因此：

$$\lim_{\beta \rightarrow 0}H(f) = \operatorname{rect}(fT)$$

$\operatorname{rect}(\cdot)$是矩形函数，所以脉冲响应会趋近$h(t)=\frac{1}{T}\operatorname{sinc}\left(\frac{t}{T}\right)$ .因此，在这种情况下，它会收敛到理想或砖墙滤波器。

$$\beta = 1$$

当$\beta = 1$，频谱的非零部分是纯粹的升余弦，可化简为：

$$H(f)|_{\beta=1} = \left \{ \begin{matrix} <pre> \frac{1}{2}\left[1 + \cos\left(\pi fT\right)\right], & |f| \leq \frac{1}{T} \\ 0, & \text{otherwise} </pre> \end{matrix} \right.$$

或

$$H(f)|_{\beta=1} = \left \{ \begin{matrix} <pre> \operatorname{hvc}\left(\pi fT\right), & |f| \leq \frac{1}{T} \\ 0, & \text{otherwise} </pre> \end{matrix} \right.$$

### 带宽

升余弦滤波器的带宽通常定义为其频谱的非零正频率部分的宽度，即：

$$BW = \frac{R_S}{2}(\beta+1),\quad(0<\beta<1)$$

### 自相关函数

升余弦函数的自相关函数如下：

$$R\left(\tau\right) = T \left[\operatorname{sinc}\left( \frac{\tau}{T} \right) \frac{\cos\left( \beta \frac{\pi \tau}{T} \right)}{1 - \left( \frac{2 \beta \tau}{T} \right)^2} - \frac{\beta}{4} \operatorname{sinc}\left(\beta \frac{\tau}{T} \right) \frac{\cos\left( \frac{\pi \tau}{T} \right)}{1 - \left( \frac{\beta \tau}{T} \right)^2} \right]$$

自相关分析可用于分析各种取样偏移量结果。

## 应用

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当用于过滤符元流时，奈奎斯特滤波器具有消除 ISI 的特性，因为除了$n = 0$ 的情形之外，所有$nT$ （$n$是整数）的脉冲响应都是零。

因此，如果传输的波形在接收端被正确采样，原本的符元值就可以完全恢复。

然而，在许多实际的通讯系统，由于受白噪声之影响，会在接收器中使用匹配滤波器。对于零 ISI，发射和接收滤波器的净响应必须等于$H(f)$：

$$H_R(f)\cdot H_T(f) = H(f)$$

因此：

$$|H_R(f)| = |H_T(f)| = \sqrt{|H(f)|}$$

这些滤波器称为根升余弦滤波器。

升余弦是一种常用于布拉格光纤光栅的变迹滤波器。

## 参考文献

- Glover, I.; Grant, P. (2004). Digital Communications (2nd ed.). Pearson Education Ltd. .
- Proakis, J. (1995). Digital Communications (3rd ed.). McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-113814-5.
- Tavares, L.M.; Tavares G.N. (1998) Comments on "Performance of Asynchronous Band-Limited DS/SSMA Systems" . IEICE Trans. Commun., Vol. E81-B, No. 9

## 外部链接

- Technical article entitled "The care and feeding of digital, pulse-shaping filters" originally published in RF Design, written by Ken Gentile.