切比雪夫函数

在数学上，切比雪夫函数（Chebyshev Function）可指一个标量化函数（切比雪夫加权标量化函数），或两个彼此相关的函数的其中之一。

切比雪夫第一函数（First Chebyshev Function）在文献中一般记做$\vartheta(x)$或$\theta(x)$，其形式如下：

$$\vartheta(x) = \sum_{p \le x} \log p$$

其中$\log$是自然对数，而切比雪夫第一函数就是所有小于等于x的质数p的自然对数的总和。

切比雪夫第二函数（Second Chebyshev Function）在文献中一般记做$\psi(x)$，其定义类似，为所有小于等于x的质数p的幂的自然对数的总和，而其形式如下：

$$\psi(x) = \sum_{k \in \mathbb{N}}\sum_{p^k \le x}\log p = \sum_{n \leq x} \Lambda(n) = \sum_{p \le x}\left\lfloor\log_p x\right\rfloor\log p,$$

其中$\Lambda$是冯·曼戈尔特函数。切比雪夫函数，尤其切比雪夫第二函数$\psi(x)$，经常出现于与质数相关的数学证明中，而这是因为这些函数比质数计数函数$\pi(x)$还容易处理之故。可见下等式一节说明。

切比雪夫第一及第二函数都与x呈现渐近关系，而这点等价于质数定理。

除了上述的切比雪夫第一及第二函数外，还有个与上述无关无关的切比雪夫加权标量化函数（Tchebycheff function或weighted Tchebycheff scalarizing function）或切比雪夫效用函数（Chebyshev utility function），其形式如下：

$f_{Tchb}(x,w) = \max_i w_i f_i(x).$

借由最小化这方程式不同$w$的数值，可得到帕累托前沿的每个点，甚至是非凸性的部分。很多时候，要最小化的不是$f_i$，而是在给定标量$z_i^*$的状况下$|f_i-z_i^*|$的数值，而在这种状况下有$f_{Tchb}(x,w) = \max_i w_i |f_i(x)-z_i^*|.$。

这三个函数皆以帕夫努季·利沃维奇·切比雪夫为名，唯本文的主题是数论上的切比雪夫第一及第二函数，切比雪夫加权标量化函数与这两函数无关，也不会出现在接下来的讨论中。

## 切比雪夫第一及第二函数的关系

切比雪夫第一及第二函数彼此相关，要验证这点，可先将切比雪夫第二函数写成如下形式：

$$\psi(x) = \sum_{p \le x}k \log p$$

其中k是使得$p^k \le x < p^{k+1}$的唯一整数，而k的值可参见。一个更直接的关系如下：

$$\psi(x) = \sum_{n=1}^\infty \vartheta\big(x^{\frac{1}{n}}\big).$$

注意的是和的后半段只有有限多个非零数值，而这是因为有下式之故：

$$\vartheta\big(x^{\frac{1}{n}}\big) = 0\quad \text{for}\quad n>\log_2 x = \frac{\log x}{\log 2}.$$

切比雪夫第二函数是从1到n所有数的最小公倍数的自然对数：

$$\operatorname{lcm}(1,2,\dots,n) = e^{\psi(n)}.$$

对于n而言，lcm(1, 2, ..., n)的值可参见。

以下定理将$\frac{\psi(x)}{x}$及$\frac{\vartheta(x)}{x}$这两个分数给联系起来。

定理：若$x>0$则有

$$0 \leq \frac{\psi(x)}{x}-\frac{\vartheta(x)}{x}\leq \frac{(\log x)^2}{2\sqrt{x}\log 2}.$$

注意：从此不等式可推出

$$\lim_{x\to\infty}\!\left(\frac{\psi(x)}{x}-\frac{\vartheta(x)}{x}\right)\! = 0.$$

换句话说，若$\psi(x)/x$或$\vartheta(x)/x$其中一个趋近某个极限，则另一个也是如此，也就是两者的极限相等。

证明：由于$\psi(x)=\sum_{n \leq \log_2 x}\vartheta(x^{1/n})$，因此有

$$0 \leq \psi(x)-\vartheta(x)=\sum_{2\leq n \leq \log_2 x}\vartheta(x^{1/n}).$$

而由$\vartheta(x)$的定义，可得以下明显的不等式：

$$\vartheta(x)\leq \sum_{p\leq x}\log x\leq x\log x$$

因此有

$$\begin{align} 0\leq\psi(x)-\vartheta(x)&\leq \sum_{2\leq n\leq \log_2 x}x^{1/n}\log(x^{1/n})\\ &\leq(\log_2 x)\sqrt{x}\log\sqrt{x}\\ &=\frac{\log x}{\log 2}\frac{\sqrt{x}}{2}\log x\\ &=\frac{\sqrt{x}\,(\log x)^2}{2\log 2}. \end{align}$$

最后，将此不等式两边除以$x$，即可得定理的不等式。

## 渐近关系及上下界

对于切比雪夫函数，有以下已知的界线。其中pk是第k个质数，也就是p1 = 2、p2 = 3等等：

$$\begin{align} \vartheta(p_k) &\ge k\left( \log k+\log\log k-1+\frac{\log\log k-2.050735}{\log k}\right)&& \text{for }k\ge10^{11}, \\[8px] \vartheta(p_k) &\le k\left( \log k+\log\log k-1+\frac{\log\log k-2}{\log k}\right)&& \text{for }k \ge 198, \\[8px] |\vartheta(x)-x| &\le 0.006788\,\frac{x}{\log x}&& \text{for }x \ge 10\,544\,111, \\[8px] |\psi(x)-x|&\le0.006409\,\frac{x}{\log x}&& \text{for } x \ge e^{22},\\[8px] 0.9999\sqrt{x} &< \psi(x)-\vartheta(x)<1.00007\sqrt{x}+1.78\sqrt[3]{x}&& \text{for }x\ge121. \end{align}$$

Ghosh在2019年证明了以下和切比雪夫第一函数$\vartheta(x)$相关的陈述：

对于任意的$n\ge6$，有以下关系：

$$n(1-\frac{1}{\log{n}}+\frac{\log{\log{n}}}{4\log^2{n}}) < \frac{\vartheta(p_n)}{\log{p_{n+1}}} < n(1-\frac{1}{\log{n}}+\frac{\log{\log{n}}}{\log^2{n}})$$

使用小o符号，则可表如下式：

$$\frac{\vartheta(p_n)}{\log{p_{n+1}}} = n(1-\frac{1}{\log{n}}+\frac{\log{\log{n}}}{\log^2{n}}(1+o(1)))$$

若$p_n$为第n个质数，则切比雪夫第一函数$\vartheta(x)$为质数阶乘的对数，也就是说，若$N_n=\prod_{i=1}^{n}p_i$是最初n个质数的质数阶乘，则$\vartheta(x)=\log{N_n}$。

此外，若n是一个超过剩数，且n最大的质因数为p，那么切比雪夫第二函数$\psi(x)$与超过剩数之间有以下关系式：

$$\psi(p) < \log{n}$$

以及

$$\lim_{n\to\infty}\frac{\psi(p)}{\log{n}}=1$$

此外，若黎曼猜想成立，则对于任意的$\varepsilon > 0$而言，有以下关系式：

$$\begin{align} |\vartheta(x)-x| &= O\Big(x^{\frac12+\varepsilon}\Big) \\ |\psi(x)-x| &= O\Big(x^{\frac12+\varepsilon}\Big) \end{align}$$

Schoenfeld在1976年证明了在黎曼猜想成立的状况下，有以下关系式：

$$\begin{align} |\vartheta(x)-x| &< \frac{1}{8\pi}\sqrt{x}\log^2{x}, \forall 599\le x\\ |\psi(x)-x| &< \frac{1}{8\pi}\sqrt{x}\log^2{x}, \forall 73.2\le x \end{align}$$

对任意的$x > 0$而言，切比雪夫第一函数$\vartheta(x)$及第二函数$\psi(x)$有以下的上界：

$$\begin{align} \vartheta(x)&<1.000028x \\ \psi(x)&<1.03883x \end{align}$$

对于1.03883这常数的解释，可见的说明。

## 等式

1895年，汉斯·冯·曼戈尔特证明了$\psi(x)$有以下作为黎曼ζ函数非平凡零点和的L函数的解析解：

$$\psi_0(x) = x - \sum_{\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho} - \frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)} - \tfrac{1}{2} \log (1-x^{-2}).$$

其中ζ (0)的数值为log(2π)、ρ遍历黎曼ζ函数的所有非平凡零点，而ψ0是一个与ψ类似的函数，但差别是其在跳跃不连续点（质数的幂）的取值为其左边与右边值的中间：

$$\psi_0(x) = \frac{1}{2}\!\left( \sum_{n \leq x} \Lambda(n)+\sum_{n < x} \Lambda(n)\right) =\begin{cases} \psi(x) - \tfrac{1}{2} \Lambda(x) & x = 2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\ [5px] \psi(x) & \mbox{otherwise.} \end{cases}$$

就自然对数的泰勒展开式而言，解析解的最后一项可理解为xω对黎曼ζ函数平凡零点ω = −2, −4, −6, ...的求和。也就是说。

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{-2k}}{-2k} = \tfrac{1}{2} \log \left( 1 - x^{-2} \right).$$

类似地，此公式第一项x = x1对应到黎曼ζ函数在1的单纯极点。这部分作为极点而非零点的事实，说明了项的变号。

## 性质

一个由埃哈德·施密特证明的结果指称，对于某个特定的正常数K，存在有无限多个正整数x使得

$$\psi(x)-x < -K\sqrt{x}$$

同时有无限多个正整数x使得

$$\psi(x)-x > K\sqrt{x}.$$

使用小o符号，可将上式重述为

$$\psi(x)-x \ne o\left(\sqrt{x}\,\right).$$

哈代与李特尔伍德证明了一个更强的结果，表述如下：

$$\psi(x)-x \ne o\left(\sqrt{x}\,\log\log\log x\right).$$

也就是说有无限多的正整数x，使得$\psi(x)$与x之间的差的绝对值超过$\sqrt{x}\,\log\log\log x$。

## 与质数阶乘的关系

切比雪夫第一函数也是x的质数阶乘x #的对数：

$$\vartheta(x) = \sum_{p \le x} \log p = \log \prod_{p\le x} p = \log\left(x\#\right).$$

这说明了质数阶乘x #渐近地等于e(1 + o(1))x，其中o是小o符号（见大O符号一文的说明），而这点与质数定理共同确立了pn #的渐近行为。

## 与质数计数函数间的关系

切比雪夫函数可透过下式与与质数计数函数发生关系。定义

$$\Pi(x) = \sum_{n \leq x} \frac{\Lambda(n)}{\log n}.$$

那么有

$$\Pi(x) = \sum_{n \leq x} \Lambda(n) \int_n^x \frac{dt}{t \log^2 t} + \frac{1}{\log x} \sum_{n \leq x} \Lambda(n) = \int_2^x \frac{\psi(t)\, dt}{t \log^2 t} + \frac{\psi(x)}{\log x}.$$

从Π到质数计数函数π间的转换可由下式表示：

$$\Pi(x) = \pi(x) + \tfrac{1}{2} \pi\left(\sqrt{x}\,\right) + \tfrac{1}{3} \pi\left(\sqrt[3]{x}\,\right) + \cdots$$

由于很明显地，有π (x) ≤ x之故，因此为了估计的目的，最后的关系式可重述如下：

$$\pi(x) = \Pi(x) + O\left(\sqrt{x}\,\right).$$

## 黎曼猜想

黎曼猜想指称说黎曼ζ函数任意的非显著零点的实部的值为1。在这种状况下，有x ρ = x，且可证明说

$$\sum_{\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho} = O\!\left(\sqrt{x}\, \log^2 x\right).$$

由上式可推得

$$\pi(x) = \operatorname{li}(x) + O\!\left(\sqrt{x}\, \log x\right).$$

## 平滑化函数

平滑化切比雪夫函数定义如下：

$$\psi_1(x) = \int_0^x \psi(t)\,dt.$$

显然有$\psi_1(x) \sim \frac{x^2}{2}.$

## 外部链接

- Riemann's Explicit Formula , with images and movies