局部紧

拓扑学及数学的相近分支中，局部紧拓扑空间的每小块，单独看来，都很类似紧空间的一小块。准确而言，其每点周围都有一个紧邻域。

数学分析尤其关注豪斯多夫的局部紧空间，常以“局部紧豪斯多夫”（Locally Compact Hausdorff）的首字母简称为LCH空间。

## 严格定义

设$X$为拓扑空间。通常称$X$局部紧的意思是，$X$的每点$x$，都有紧邻域，即开集$U$和紧集$K$，令$x \in U \subseteq K$。

也有其他常见定义。下列定义在$X$豪斯多夫（预正则空间亦然）时皆等价，但一般则不一定：

- $X$的每点皆有紧邻域。

- $X$的每点皆有闭的紧邻域。

2′. $X$的每点皆有相对紧邻域。

2″. $X$的每点皆有相对紧邻域组成的局部基。

- $X$的每点皆有紧邻域组成的局部基。

3′. 对$X$的每点$x$，$x$的每个邻域都包含其一个紧邻域。

- $X$为豪斯多夫，且满足前述以上全部条件。

上述条件中的逻辑关系有：

- 条件2、2′、2″等价。
- 条件3、3′等价。
- 条件2、3互不推出对方。
- 全部皆推出条件1。
- 紧空间必定满足条件1、2，条件3则不必。

条件1或较常用作定义，因为最易满足，且当$X$豪斯多夫时，全部条件皆与条件1等价。要证明等价，用到两个性质：其一，豪斯多夫空间的紧子集必为闭；其二，紧空间的闭子集必为紧。

由于条件2′、2″用相对紧集定义，满足该条件的空间可以更明确称为局部相对紧，而与局部紧空间区分。斯蒂恩（Steen）及泽巴赫（Seebach）称条件2、2′、2″为强局部紧，而称条件1为局部紧。

采用条件4的例子有布尔巴基。应用中，局部紧空间通常的确豪斯多夫，从而无需区分上述定义。本条目主要讨论此种局部紧豪斯多夫（LCH）空间。

## 例子与反例

### 紧豪斯多夫空间

紧豪斯多夫空间必然局部紧，此种例子见于条目紧空间，略举三例如下：

- 单位区间$[0, 1]$。
- 康托尔集。
- 希尔伯特立方。

### 局部紧但不紧的豪斯多夫空间

- 欧氏空间$\mathbb R^n$（特例有数轴$\mathbb R$）为局部紧（海涅-博雷尔定理的推论）。
- 拓扑流形的局部性质与欧氏空间一样，故亦为局部紧，甚至长直线之类的非仿紧的流形亦然。
- 离散空间皆局部紧及豪斯多夫（其为零维流形）。仅当离散空间为有限集时，该空间为紧。
- 任意局部紧豪斯多夫空间的开或闭子集，在子空间拓扑的意义下，皆为局部紧。由此有欧氏空间局部紧子集的若干例子，如单位圆盘（不论开或闭）。
- p进数空间$\mathbb Q_p$为局部紧，因为同胚于康托尔集删去一点。因此，局部紧空间不只在古典数学分析中有用，在P进数分析亦然。

### 非局部紧的豪斯多夫空间

若豪斯多夫空间为局部紧，则必为吉洪诺夫空间，详见下节。条目吉洪诺夫空间中，可以找到若干例子，是豪斯多夫空间但非吉洪诺夫，故必不局部紧。

此外，也有吉洪诺夫空间非局部紧，例如：

- 有理数空间$\mathbb Q$（配备$\mathbb R$的子空间拓扑），因为每个邻域都有柯西序列收敛到无理数，而不在$\mathbb Q$中，从而不是紧邻域。
- $\mathbb{R}^2$的子空间$\{(0, 0)\} \cup ((0, \infty) \times \mathbf{R})$，因为原点并无紧邻域。
- 实数集$\mathbb R$的下限拓扑（上限拓扑亦同），适用于研究单边极限。
- 任何无穷维拓扑向量空间，但要柯尔莫果洛夫（T0，从而豪斯多夫），例如无穷维的希尔伯特空间。

首两个例子说明，局部紧空间的子集不必局部紧，与前节开（或闭）子集的情况相对。末一个例子，则与前节欧氏空间的情况相对；具体言之，豪斯多夫拓扑向量空间为局部紧，当且仅当其为有限维（等同欧氏空间）。此例亦与希尔伯特立方作为紧空间的情况相对，但并无矛盾，因为希尔伯特立方不能是希尔伯特空间某点的邻域。

### 非豪斯多夫的局部紧空间

- 有理数空间$\mathbb Q$的单点紧化是紧空间，从而在意义1及2下是局部紧，但在意义3下则不然。
- 任何无穷集上的特定点拓扑在意义1及3下是局部紧，但在意义2下则不然，因为任何邻域的闭包皆是整个空间，故不为紧集。实轴上的上拓扑也同样。
- 所以，若取前两项例子的不交并 (拓扑)，则在意义1下局部紧，但在意义2及3下不然。
- 谢尔宾斯基空间在意义1、2、3下皆局部紧，且是紧空间，但不是豪斯多夫空间（甚至并不预正则），故不是意义4下的局部紧空间。可数多个谢尔宾斯基空间的不交并（同胚于亚尔马·埃克达尔拓扑（Hjalmar Ekdal topology））非紧，但仍是意义1、2、3下的局部紧空间，而不是意义4下的局部紧空间。

## 性质

局部紧的预正则空间必为吉洪诺夫空间（完全正则）。由此推论，局部紧的豪斯多夫空间亦为吉洪诺夫空间。由于“正则”比“预正则”（通常稍弱）或“完全正则”（通常稍强）更常用，文献一般称此类空间为局部紧正则空间。同理，局部紧的吉洪诺夫空间一般称局部紧豪斯多夫空间。

局部紧豪斯多夫空间必为贝尔空间。换言之，贝尔纲定理适用于此类空间：取任意可数多个无处稠密集，其并集的内部必为空集。

局部紧豪斯多夫空间$Y$的拓扑子空间$X$也是局部紧，当且仅当$X$是$Y$某两个闭子集之差。由此推论，局部紧豪斯多夫空间$Y$的子空间$X$为局部紧当且仅当$X$是开子集。若将$Y$放宽成任意豪斯多夫空间，则由子空间$X$局部紧，仍能推出$X$为$Y$某两个闭子集之差，反之则不然。

局部紧空间的商空间必为紧生成。反之，紧生成空间必为某个局部紧豪斯多夫空间的商。

对局部紧空间而言，局部均匀收敛与紧收敛等价。

### 无穷远点

设$X$为局部紧豪斯多夫空间，则$X$作为吉洪诺夫空间，固然能藉斯通－切赫紧化，嵌入到紧豪斯多夫空间$b(X)$，但有了局部紧的特殊性质，则有更简单的方法嵌入到紧豪斯多夫空间，称为单点紧化。新空间$a(X)$仅比$X$多一点。（单点紧化适用于其他空间，但所得的$a(X)$为豪斯多夫，当且仅当$X$本身是局部紧且豪斯多夫。）所以，局部紧豪斯多夫空间也可以刻划成紧豪斯多夫空间的开子集。

$a(X)$多出的一点可直观视为无穷远点，此点不在$X$的任何紧子集中。因此，所谓趋向无穷之事，有一些可借此以局部紧豪斯多夫空间阐明。

举例，定义在$X$上的连续实值或复值函数$f$称为消失于无穷远，是指给定任意正实数$\varepsilon$，$X$皆有紧子集$K$，使$|f(x)| < \varepsilon$对$K$外的一切点$x$成立。前述定义适用于任意拓扑空间$X$，而在$X$为局部紧豪斯多夫的特例，等价于$f$能延拓成单点紧化$a(X) = X \cup \{ \infty \}$上的连续函数$g$，使$g(\infty) = 0$。

消失于无穷远的连续复值函数之集合$C_0(X)$是C*代数。反之，可交换的C*代数必同构于某个局部紧豪斯多夫空间$X$的$C_0(X)$，其中$X$在同胚意义下唯一。以范畴言之，局部紧空间范畴与交换C*代数范畴对偶，其证法用到盖尔范德表示。前一范畴中，$X$加入无穷远点，变成$a(X)$之事，在后一范畴对应向$C_0(X)$添加单位元。

### 局部紧群

拓扑群论中，局部紧是重要概念，因为每个豪斯多夫局部紧群$G$都自然配备哈尔测度，因而在$G$上定义可测函数的积分。实数轴$\R$的勒贝格测度为其特例。

拓扑交换群$A$的庞特里亚金对偶为局部紧，当且仅当$A$是局部紧。又以范畴言之，庞特里亚金对偶是局部紧交换群范畴的自对偶。研究局部紧交换群，为调和分析奠下基础。此领域现也研究非交换的局部紧群。