谢尔宾斯基空间

在数学上，谢尔宾斯基空间（Sierpiński space，又称两点连通空间（connected two-point set））是一个包含两个元素的有限拓朴空间，其中只有一个元素是闭合的。这个空间是所有非密着且非离散的拓朴空间中最小的，而这空间以波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基的姓氏为名。

因为谢尔宾斯基空间在斯科特拓朴当中，是开集的分类空间（classifying space）之故，因此这集合在可计算性理论和语意处理上有重要的应用。

## 定义及基本性质

谢尔宾斯基空间$S$是一个其点集合为$\{0,1\}$的拓朴空间，其所有的开集如下：

$$\{\varnothing,\{1\},\{0,1\}\}.$$

其所有的闭集如下：

$$\{\varnothing,\{0\},\{0,1\}\}.$$

也就是说，其单点集$\{0\}$是闭集，而其单点集$\{1\}$是开集，另外此处的$\varnothing$代表空集合。

此空间的闭包如下：

$$\overline{\{0\}} = \{0\},\qquad\overline{\{1\}} = \{0,1\}.$$

一个有限的拓朴空间亦可由其特殊化预序唯一定义，当中，这预序是一个偏序，其形式如下：

$$0\leq 0,\qquad 0\leq 1,\qquad 1\leq 1.$$

## 拓朴性质

谢尔宾斯基空间$S$是特定点拓朴（particular point topology）（谢尔宾斯基空间的特定点为1）和排除点拓朴（excluded point topology）（谢尔宾斯基空间的排除点为0）的一个特殊例子，因此谢尔宾斯基空间和这两类拓朴空间有许多共通之处。

### 分离性

- 在谢尔宾斯基空间中，0和1这两点是拓扑可区分的，这是因为$\{1\}$是一个只包含这两者其中一点的开集之故，因此谢尔宾斯基空间是一个柯尔莫果洛夫空间（$T_0$空间）。
- 然而谢尔宾斯基空间不是一个$T_1$空间，这是因为$\{1\}$这个单点集不是闭集之故，也因此谢尔宾斯基空间不是豪斯多夫空间或$T_n$空间（其中$n \ge 1$）。
- 然而谢尔宾斯基空间不是正则空间或完全正则空间，这是因为1这个点及其不相交集合$\{0\}$不能以邻域分离之故（另外点能以邻域分离的$T_0$空间是豪斯多夫空间）。
- 然而谢尔宾斯基空间可视为正规空间和完全正规空间，这是因为这空间中没有非空的分离集合所致。
- 然而谢尔宾斯基空间不是完美正规空间，这是因为其彼此不相交的闭合$\varnothing$和$\{0\}$无法由函数完全分离所致。事实上，谢尔宾斯基空间的$\{0\}$不能是任何连续函数$S \to R$的零集（zero set），而这是因为任何这样的连续函数都是常函数所致。

### 连通性

- 谢尔宾斯基空间同时是个超连通空间（Hyperconnected space）（这是因为其所有的非空开集都包含1所致）和特连通空间（Ultraconnected space）（这是因为其所有的非空闭集都包含0所致）。
- 谢尔宾斯基空间是个连通空间和道路连通空间。
- 一条连通谢尔宾斯基空间当中的0和1的道路$f: I \to S$可定义如次：$f(0)=0$且对于所有的$t > 0$而言$f(t)=1$，这个函数是连续的，因为$f^{-1}(1)=(0,1]$在$I$是开集。
- 和所有的有限拓朴空间一样，谢尔宾斯基空间是个局部道路连通空间。
- 谢尔宾斯基空间是个可压缩空间（contractible space），因此其基本群是个当然群（这点对高阶同伦群（higher homotopy groups）也成立）。

### 紧致性

- 和所有有限拓朴空间一样，谢尔宾斯基空间是个紧致空间和第二可数空间。
- 谢尔宾斯基空间的紧子集$\{1\}$不是闭集，而这显示了$T_0$空间的紧集不必然是闭集。
- 任何谢尔宾斯基空间的开覆盖都必然包含谢尔宾斯基空间本身，这是因为谢尔宾斯基空间为0的唯一的开邻域之故，因此任何的谢尔宾斯基空间的开覆盖都有包含一个集合的子覆盖，就是$\{S\}$。
- 而这表示说谢尔宾斯基空间是个满正规空间（fully normal space，仿紧空间的一个子类）。

$T_4$

### 收敛性

- 任何谢尔宾斯基空间当中的序列都收敛至0，这是因为在谢尔宾斯基空间当中，0唯一的邻域是谢尔宾斯基空间本身。
- 在谢尔宾斯基空间当中一个序列收敛至1，当且仅当该序列仅有有限多项为0。
- 在谢尔宾斯基空间当中，1是某序列的一个聚集点，当且仅当该序列包含无限多项的1。
- 1不是$(0,0,0,0,...)$这序列的聚集点。
- 1是$(0,1,0,1,0,1,...)$这序列的聚集点1，但并非极限点。
- $(1,1,1,1,...)$这序列同时收敛至0和1。

### 度量化可能性

- 谢尔宾斯基空间不是可度量化的空间，甚至也不是可伪度量化的空间，这是因为任何伪度量化的空间都必须是完全正则空间，而谢尔宾斯基空间就连正则空间都不是之故。
- 谢尔宾斯基空间可由伪拟度量生成，其中$d(0,1)=0$且$d(1,0)=1$。

### 其他性质

- 谢尔宾斯基空间只有三个映至自身的连续函数：恒等函数、两个分别映至0和1的常函数。
- 而这表示说谢尔宾斯基空间的同胚群（英语：homeomorphism group）是当然群。

## 映至谢尔宾斯基空间的连续函数

设$X$是一个任意集合，那么一般会将所有从$X$映至$\{0,1\}$的函数的集合给记做$2^X$，这些函数即是$X$的指示函数，所有的指示函数都有如下的形式：

$$\chi_U(x) = \begin{cases}1 & x \in U \\ 0 & x \not\in U\end{cases}$$

在其中$U$是$X$的一个子集。换句话说$2^X$这个函数的集合和$X$的幂集$P(X)$间，有着双射的关系。每个$X$的子集$U$都有自己的指示函数$\chi_U$，而每个从$X$映至$\{0,1\}$的函数都有如此的形式。

现在假定$X$是个拓朴空间，而$\{0,1\}$有着谢尔宾斯基拓朴，那么$\chi_U: X \to S$是个连续函数，当且仅当$\chi_U^{-1}(U): X \to S$在$X$中是个开集；然而根据定义，我们有

$$\chi_U^{-1}(1) = U.$$

因此$\chi_U$是个连续函数，当且仅当$U$在$X$中是个开集。

假定$C(X,S)$是所有从$X$映至$S$的连续函数的集合，并假定$T(X)$是$X$的拓朴（也就是所有开集的集族），那么就存在一个从$T(X)$映至$C(X,S)$的双射，这映射会将$U$映至$\chi_U$之上。

$$C(X,S)\cong \mathcal{T}(X)$$

也就是说，假若将$2^X$和$P(X)$对等，那么其连续映射的子集$C(X,S) \subset 2^X$会是$T(X) \subset P(X)$的拓朴。

一个特别值得注意的例子是在对偏序集合的斯科特拓朴中，谢尔宾斯基空间会在指示函数保持定向连接（directed join）的状况下，成为其开集的分类空间。

### 范畴论的描述

上述的结构可以用范畴论的语言很好地表达。有个从拓扑空间范畴到集合范畴的反变函子$T: Top \to Set$将每个拓朴空间$X$给指派给其开集的集合$T(X)$，并将每个连续函数$f: X \to Y$给指派给其原像：

$$f^{-1} : \mathcal{T}(Y) \to \mathcal{T}(X).$$

而相关叙述如下：$T$这个函子由$(S, \{1\})$表示，其中$S$为谢尔宾斯基空间，也就是说，$T$和同态函子（Hom functor）$Hom(-,S)$间有着自然同构，而这自然同构由泛元素$\{1\} \in T(S)$决定，而这可由预层的概念一般化。

### 初拓扑

任何的拓朴空间$X$都有由映至谢尔宾斯基空间的连续函数的集族$C(X,S)$所引致的初拓扑。事实上，若要将$X$的拓朴变得更加粗糙，那就必须将一些开集给移除；然而若将开集$U$给移除，那么$\chi_U$这个函数就会变得不连续，因此在$C(X,S)$当中的每个函数都连续的情况下，$X$有着最粗糙的拓朴。

函数的集族$C(X,S)$区分$X$上的点，当且仅当$X$是个$T_0$空间。$x$和$y$这两点可由指示函数$\chi_U$区分，当且仅当开集$U$包含其中一点但不同时包含两者。这也就是$x$和$y$拓朴可区分的确实含意。

也就是说，若$X$是个$T_0$空间，那就可以将$X$给嵌入谢尔宾斯基空间的积空间中，在其中对于每个$X$的开集$U$而言，都有一个$S$的复本与之对应。其嵌入函数

$$e : X \to \prod_{U\in \mathcal{T}(X)}S = S^{\mathcal{T}(X)}$$

可由下列函数得出：

$$e(x)_U = \chi_U(x).\,$$

由于$T_0$空间的子空间和积空间还是$T_0$空间之故，因此一个拓朴空间是$T_0$空间，当且仅当其与谢尔宾斯基空间的积空间的某个子空间同胚。

## 在代数几何中

在代数几何中，谢尔宾斯基空间会作为$\mathbb{Z}_p$（整数在质数$p$生成的素理想上的局部化）之类的离散赋值环（Discrete valuation ring）$R$的谱$Spec(R)$出现。其中$Spec(R)$起自零理想的一般点（generic point）会对应至开集点1；而$Spec(R)$起自极大理想的特殊点（special point）会对应至闭集点0。

## 参见

- 有限拓朴空间（Finite topological space）
- 拓朴列表（List of topologies）
- 伪圆（Pseudocircle）

## 参考

- Michael Tiefenback (1977) "Topological Genealogy", Mathematics Magazine 50(3): 158–60