柄分解

数学中，m-流形M的柄分解（handle decomposition）是并

$$\emptyset = M_{-1} \subset M_0 \subset M_1 \subset M_2 \subset \dots \subset M_{m-1} \subset M_m = M$$ 其中$M_i$都由$M_{i-1}$附加一个i-柄（handle）而来。柄分解之于流形就像CW分解之于拓扑空间—在很多方面，柄分解的目的是得到一种适用于光滑流形情形的类CW复形的语言。因此，i-柄就是i-胞腔的光滑类似物。流形的柄分解是从莫尔斯理论自然产生的。并结构的修改与瑟夫理论密切相关。

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## 动机

考虑n-球的标准CW分解，其中有一个零胞腔与一个n-胞腔。从光滑流形的角度来看，这是球面的退化分解，因为没有自然方法从分解的角度来看$S^n$的光滑结构—尤其是0-胞腔附近的光滑结构取决于特征映射$\chi : D^n \to S^n$在$S^{n-1} \subset D^n$的邻域中的行为。

CW分解的问题在于，胞腔的附着映射不属于流形间的光滑映射。管状邻域定理是纠正这一缺陷的萌芽。给定流形M中的点p，其闭管状邻域$N_p$微分同胚于$D^m$，因此我们将M分解为沿$N_p$、$M \setminus \operatorname{int}(N_p)$的共同边界胶合的不交并。这里的关键问题是，胶合映射是微分同胚映射。同样，取$M \setminus \operatorname{int}(N_p)$中的光滑嵌入弧，其管状邻域微分同胚于$I \times D^{m-1}$。这样就可以把M写成三个流形的并，沿它们一部分边界胶合：1) $D^m$ 2) $I \times D^{m-1}$ 3) $M \setminus \operatorname{int}(N_p)$中弧的开管状邻域的补。注意所有胶合映射都是光滑的，特别是将$I \times D^{m-1}$胶合至$D^m$时，等价关系由$(\partial I)\times D^{m-1}$在$\partial D^m$中的嵌入生成，根据管状邻域定理它是光滑的。

柄分解是斯蒂芬·斯梅尔的发明。他的最初表述中，将j-柄附着到m-流形M的过程假定有$f : S^{j-1} \times D^{m-j} \to \partial M$的光滑嵌入。令$H^j = D^j \times D^{m-j}$，流形$M \cup_f H^j$（即M沿f并上一个j-柄）是指M与$H^j$的不交并，$S^{j-1} \times D^{m-j}$与其在$\partial M$中的像相等，即$$M \cup_f H^j = \left( M \sqcup (D^j \times D^{m-j}) \right) / \sim$$ 其中等价关系$\sim$由$(p,x) \sim f(p,x)$生成，$\forall (p,x) \in S^{j-1} \times D^{m-j} \subset D^j \times D^{m-j}$。

若M的并具有有限多个j-柄，且微分同胚于流形N，则称N来自在M上附着j-柄。则柄分解的定义与概述中相同。于是，若流形微分同胚于球的不交并，则流形的柄分解将只有0-柄。连通流形只含有两种柄（即0-柄与j-柄，其中j为定值），也称作柄体。

## 术语

M并上j-柄$H^j$时。

$$M \cup_f H^j = \left( M \sqcup (D^j \times D^{m-j}) \right) / \sim$$

$f(S^{j-1} \times \{0\}) \subset M$称作被附着球面（attaching sphere）。

f有时也称作被附着球面的框架（framing），因为它将其法丛平凡化。

$\{0\}^j \times S^{m-j-1} \subset D^j \times D^{m-j} = H^j$是柄$H^j$在$M \cup_f H^j$中的带球（belt sphere）。

将g个k-柄附着到圆盘$D^m$所得的流形是亏格为g的(m,k)-柄体。

## 配边演示

配边W的柄演示中有$\partial W = M_0 \cup M_1$，且有渐进并$$W_{-1} \subset W_0 \subset W_1 \subset \cdots \subset W_{m+1} = W$$ 其中M是m维的，W是m+1维的，$W_{-1}$微分同胚于$M_0 \times [0,1]$，$W_i$来自$W_{i-1}$附着以i-柄。若说柄分解之于流形好比胞腔分解之于拓扑空间，择配边的柄演示之于有界流形就好比相关胞腔分解之于空间对。

## 莫尔斯理论观点

给定紧无界流形M上的莫尔斯函数$f : M \to \R$，使f的临界点$\{p_1, \ldots, p_k\} \subset M$满足$f(p_1) < f(p_2) < \cdots < f(p_k)$，并有

$$t_0 < f(p_1) < t_1 < f(p_2) < \cdots < t_{k-1} < f(p_k) < t_k ,$$ 则$\forall j,\ f^{-1}[t_{j-1},t_{j}]$微分同胚于$(f^{-1}(t_{j-1}) \times [0,1]) \cup H^{I(j)}$，其中$I(j)$是临界点$p_{j}$的指标，是黑塞矩阵为负定的切空间$T_{p_j}M$的最大子空间的维度。

令指标满足$I(1) \leq I(2) \leq \cdots \leq I(k)$，则这是M的柄分解；由于流形上必有这样的莫尔斯函数，所以它们都有柄分解。相似地，给定配边W满足$\partial W = M_0 \cup M_1$、函数$f: W \to \R$，其在内部是莫尔斯的，在边界为常数，且满足指标递增，则配边W有诱导柄演示。

若f是M上的莫尔斯函数，则-f也是莫尔斯函数。相应的柄分解/演示称作对偶分解。

## 主要定理与观察

- 闭有向3-流形的希加德分裂将3-流形分解为两(3,1)-柄体沿共同边界之并，公共边界称作希加德分裂面。3-流形的希加德分裂有好几种自然的产生方式：给定3-流形的柄分解，0、1-柄之交是(3,1)-柄体，3、2-柄的并也是(3,1)-柄体（从对偶分解的角度来看），于是是希加德分裂。若3-流形有三角化T，则有诱导希加德分裂，其中第一个(3,1)-柄体是1-骨架（skeleton）$T^1$的正则邻域，其他(3,1)-柄体是对偶1-骨架的正则邻域。
- 相继附着两个柄$(M \cup_f H^i) \cup_g H^j$时，有可能切换附着的阶，使得$j \leq i$，即此流形微分同胚于形式为$(M \cup H^j) \cup H^i$的流形。
- $M \cup_f H^j$的边界与沿有框架球f的边界$\partial M$是微分同胚。这是割补、柄与莫尔斯函数之间的主要联系。
- 因此，当且仅当可通过对$S^m$中的有框架链接（framed link）集进行割补，得到m维流形M时，M是m+1维流形W的边界。举例，由从René Thom关于配边的研究，我们知道每个3-流形都是某4-流形的边界（相似地，有向、有旋的3-流形分别是有向、有旋的4-流形的边界）。于是，3-流形都可从3-球中有框架链接的割补得到。在有向情形，常规做法是将这种有框架链接简化为圆的不交并的有框架嵌入。
- h-配边定理通过简化光滑流形的柄分解证明。

## 参考文献

### 通用文献

- A. Kosinski, Differential Manifolds Vol 138 Pure and Applied Mathematics, Academic Press (1992).
- Robert Gompf and Andras Stipsicz, 4-Manifolds and Kirby Calculus, (1999) (Volume 20 in Graduate Studies in Mathematics), American Mathematical Society, Providence, RI