香港高级程度会考应用数学科

香港高级程度会考应用数学（HKALE Applied Mathematics）是昔日一个在香港教育制度内的大学预科高等数学课程，公开考试在1980年至2013年间由香港考试及评核局举办。

## 历史及概述

课程前身为香港大学入学资格考试(University of Hong Kong Matriculation Examination)应用数学(Applied mathematics)。

1980年，第一届由香港考试局（今香港考试及评核局）举办的香港高级程度会考应用数学科考试举行。

2012年，最后一届开放予应届学校考生参加。

2013年，为自修生举行的最后一届香港高级程度会考举行。

## 课程设计及内容

<image>

高级程度应用数学科，设两卷，各三小时，内容大致如下：

卷一

- 向量
- 理论力学
- 微分方程

卷二

- 微分方程
- 数值分析
- 概率论与统计学

历史上，本科内容是以数学在理论力学的应用为主，单凭计算来分析各种各样机械系统，不作任何实验。理论力学部分可以分为只考虑物体的运动而不论其受力的运动学，考虑物体受力而运动的动力学和考虑物体受力处于平衡的静力学。课程的数学方法部分，包括微分方程及向量，都是应用在理论力学题中，故此应用数学的理论力学，比高级程度物理科更广阔而艰深得多。题中涉及多个物体的受力分析，有多个未知量，需设多个联立方程式，而资料又以字母而非数字给出，如以m, M表示质量，$\alpha, \theta$表示角度，$\mu_1, \mu_2$表示摩擦系数等，以致运算往往甚为复杂繁琐。

此科自设立起，便只有高级程度，而无普通程度版本，不同于纯粹数学科曾分为高级程度（Advanced Level, 简称 AL）和普通程度（Ordinary Level, 简称 O-Level)两个版本。

香港大学预科高级程度应用数学科两卷，每卷三小时，各为8选7条长题目。首两年全部为理论力学题，1956年至1964年，当中15题为理论力学题，仅有卷二最后1题为统计题。1965年至1982年，卷二的统计题逐渐增加。1965年至1967年，卷二有2题统计题，1968年至1975年有3题，1976年至1982年有4题（其中1965年和1966年每卷为8选7，1967年至1971年为9选7，1972年至1982年为8选6）。另外1975年至1977年及1982年，卷一有一条非力学的微分方程题。1982年有一条统计题结合了力学。

1983年高考，本科课程有较大改变，加入数值分析及在统计中加入假说检定。从该年开始，复杂多变的理论力学题只在卷一出现，而统计及数值方法则在卷二出现。而该届考生两年前所应考的香港中学会考附加数学科，也是第一年删去原本可选的卷三理论理论力学。

<image>

自香港高级程度会考改革，在1994年高考加入高级补充程度科目，本科该年也新增了高级补充程度的版本。初时本科高级补充程度包括部分高级程度卷一和卷二的内容，也加入两个变量的多元线性回归的新课题（不在此科高级程度或其他科目课程中），设一份独立试卷。此课程的指引称理论力学部分视作向量和微分方程的应用例子，只会用到香港中学会考物理科的力学知识，著教师无须特别操练学生。1998年中六起，本科高级补充程度课程，改为与高级程度的卷二相同，不再有向量、理论力学及线性回归部分。1998年修订的课程纲要，也将微分方程部分的所有理论力学例子删除。

学校通常安排持有大学物理或工程学位的教师，教授本科高级程度卷一理论力学，与其他数学科不同。教师和学生都感到理论力学艰深，又涉及物理知识、因此在教育界引起理论力学部分应否废除的议论。然而一直参与考试工作的香港大学数学系陈启元教授，曾经指出理论力学部分涉及的物理概念不多，仅以几条前提就形成一个自足的体系，正是数学模型的典范，范围和程度也适合高考。

在1994年改革之前，由于香港大学工程学院会为4科高级程度科目及格的学生额外加分，修读此科的学生人数与纯粹数学科相若。自1994年改革后，数学班的学生要在化学科和此科之间选择，因此修读此科的学生数目明显下降。

由于卷一理论力学的难度大，应考本科高级补充程度的考生，和应考高级程度的考生数目相若，且常常有更多考生应考高级补充程度。这一特点明显不同于其他同时有高级程度和高级补充程度的科目，其他科目高补程度的考生数目往往远低于高级程度。

### 特有的数学内容

应用数学科会教授在中学其他高等数学科没有教授的数学内容。没有修读本科的学生，只能在大学相关课程中才学到。在理论力学部分的内容中。

- 向量微积分，属于数学系的多元微积分课的内容。
- 微分方程，包括一阶和二阶微分方程，属于数学系的常微分方程课的内容。
- 将单变量的向量函数分解为径向和横截方向分量，属于数学系的微分几何课的内容。

在数值法部分的内容中。

- 泰勒展开式与误差估计，属于数学系的数学分析课逼近理论的内容。
- 多项式插值、方程式求根算法和数值积分算法与误差估计，属于数学系的数值分析课的内容。

## 课程纲要演变

早期的香港大学入学资格考试应用数学的课程内容，是香港大学数学系按照英国大学的传统设计，主要教授数学在力学的应用，包括静力学、动力学、流体静力学、天文学。除了数学系，工程学院的学生也要修读两年的应用数学课。

1950年代中，香港大学从四年制改为三年制时，将数学系应用数学课的中期考试(Intermediate Examination)第一学年课程，改作新设立的高级程度考试的应用数学科考试课程。

响应1986年《教育统筹委员会第二号报告书》就中六、七课程所作的建议，香港课程发展议会于1991年制订《中学课程纲要 应用数学科 高级程度 一九九二》，指出“高级补充程度应用数学科主要是要为有意修读工程学，科学及科技科目的学生而设计。修读本课程的学生须具备香港中学会考程度的数学知识，而且，三角学的一些课题(如复角公式，和积互变公式等)，指数及对数函数，复数的基础运算及初等微积分等亦应有一定的认识”，并无提及香港中学会考附加数学科为课程前设知识。

1994年高级补充程度应用数学科首次开考。

2000年起，高级补充程度应用数学科，与高级程度卷二共用试卷。

按照香港课程发展议会“全面检讨数学课程专责委员会”2000年1月公布的《数学课程全面检讨报告》，及因应在2002年中四实行的香港中学会考附加数学科课程删减，本科的高级程度课程在2004年被删减，在2004年的中六实行。

在2012年开考的香港中学文凭考试中，香港高级程度会考应用数学科的卷二统计部分，及“香港高级补充程度会考数学与统计学”内容整合到香港中学文凭考试数学科延伸部分单元一（M1，微积分与统计），而应用数学科卷一的向量及理论力学部分被完全删除。

### 香港大学入学试应用数学科考试课程

- 向量加法和减法。一个或数个物体在共面力或平行力作用下的平衡。光滑连接的无重棒组成的框架，包括图解。简单情况的质量中心的性质和计算。摩擦力。虎克定律。
- 相对速度和加速度，其分解和合成。位移、速度、加速度和时间关系的图像表示。
- 质量、动量、力、冲量、功、能量和功率。直接碰撞及斜向碰撞。可变力作用下的直线运动。互连质点的直线运动。抛体运动的简单问题。等速圆周运动。锥摆。简谱迟动。在重力下的垂直圆周运动。惯性矩。刚体绕一固定轴的运动；复摆。单位转换。量纲。
- 统计学的基本概念。频率图。平均值计算。标准差。中位数及半四分位距。

### 香港高级程度会考早期应用数学科考试课程

数学方法｜、单实变量的（代数、三角、指数、对数）函数的微分，函数的和、积、商的微分，反函数、复合函数、简单隐函数的微分。、简单积分的计算，分部积分和简单代换。、从物理情况建立微分方程。微分方程的求解及应用： :#一阶可分离变量微分方程 :#$a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = f(x)$类型的线性微分方程，其中$a,b,c$是常数，$f(x)$是函数$x^n,\cos px, \sin px, e^{px}$的线性组合。（只需知道待定系数法）、二维和三维的直角坐标，二维极坐标。、二维和三维向量，其加法、减法、分量和分解，纯量积和向量积，单变量向量值函数的微分和简单积分。

统计方法｜、统计数据的列表和图像表达。、位置量数：平均数，众数，几何平均数，加权平均数。、变异量数：全距，标准差，方差。、概率基本思想：集合表示事件，概率论的三条公理，条件概率，概率的加法规则和乘法规则。、二项分布：平均数，标准差，简单应用。、正态分布：平均数，标准差，标准正态分布曲线下的面积表的使用。

理论力学｜、力系，约化为一合力和一力偶，简单力图。、平衡条件，一个或多个物体的平衡。、摩擦：静摩擦和动摩擦定律，摩擦角，平衡的极限位置。、相对于参照坐标系的位置、速度和加速度，其分解和合成。、动力学的基本概念：时间、质量、力。动量、角动量、动能和位能。、牛顿运动定律，惯性参考系。、线动量守恒，角动量守恒，能量守恒，当适当时用向量表示。、一个自由度的动力系统：在可变力下的直线运动，等速圆周运动，在重力下的垂直圆周运动、两个自由度的动力系统：无阻力的抛体运动，简谐运动，阻尼振荡，强迫振荡。、刚体作为质点的集合：质心，对一轴的惯性矩，平行于固定面的运动。、直接碰撞，斜向碰撞，恢复定律。

### 1983年经更改的应用数学科考试课程

- 单实变量的代数、三角、指数、对数函数的微分，函数的和、积、商的微分，反函数、复合函数、简单隐函数的微分。*从给定情况建立微分方程（不要求对该等情况有预备知识）。微分方程的求解及应用： :#一阶可分离变量微分方程 :#$a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = f(x)$类型的线性微分方程，其中$a,b,c$是常数，$f(x)$是函数$x^n,\cos px, \sin px, e^{px}$的线性组合。（只需知道待定系数法）
- 二维和三维向量，其加法、减法、分量和分解，纯量积和向量积，与纯量的乘法，单变量向量值函数的微分和简单积分。应用：相对运动、功和力矩、力系约化为一合力和一力偶，简单力图，受共面力作用的质点和刚体的平衡。
- 摩擦：静摩擦和动摩擦定律，摩擦角，平衡的极限位置。
- 牛顿运动定律：惯性参考系，线动量、角动量及能量守恒定律，在可变力下的直线运动，一个质点在平面上的运动，无阻力的抛体运动，简谐运动，阻尼振荡，强迫振荡，速度和加速度的径向和横向分量，直接碰撞和斜向碰撞。
- 刚体：质心，对一轴的惯性矩，平行轴定理，平行于固定面的运动。
- 泰勒展开式的使用。用梯形法则和辛普森法则作数值积分，简单误差估计。用简单迭代法估计函数的零点，包括二分法，假位法，逐次代换法和牛顿法，包括收敛性的简单考虑。算法的思想和数值方法的简单流程图。
- 简单统计量度：平均数，中位数，百分位数，全距，标准差，方差。
- 初等概率论：事件概率，条件概率，概率加法规则和乘法规则，期望值。
- 二项分布和正态分布，其平均数和标准差，概率表的使用。显著性检定和置信界限的基础概念应用于一条只涉及正态或二项分布的简单题目。

### 1992年编订的高级程度应用数学科课程纲要（1994年高考开始施行）

范畴一：向量与力学｜、单元1：向量、单元2：静力学和摩擦力、单元3：运动学、单元4：牛顿运动定律、单元5：动量、功、能、功率及其守恒定律、单元6：碰撞、单元7：在重力下的抛射运动、单元8：圆周运动、单元9：简谐运动、单元10：质点的平面运动、单元11：刚体运动

范畴二：微分方程｜、单元12：一阶微分方程及其应用、单元13：二阶微分方程及其应用

范畴三：数值法｜、单元14：插值法及拉格朗日插值多项式、单元15：近似、单元16：数值积分、单元17：方程的数值解

范畴四：概率与统计｜、单元18：初级概率理论、单元19：基本统计量度、单元20：随机变量、离散及连续概率分布、单元21：统计推论

### 1994年高级程度考试课程更动

单元｜更动

对纯量变量的积分｜不包括线积分

运动学：质点在平面运动｜不包括速度和加速度沿切线和法线的分量

牛顿运动定律：直线运动｜不包括涉及可变质量的问题

抛射运动｜不包括阻尼介质中的二维运动

碰撞｜不涉及冲量张力的问题

摩擦：平衡的极限位置｜不包括平衡稳定性

二阶微分方程｜增加可用消去法约化为二阶微分方程的二元一阶微分方程组

数值法｜不要求算法系统和简易流向图概念

### 1991年编订的高级补充程度应用数学科课程纲要（1994年至1999年高考施行）

简介：基础知识｜、三角函数、指数函数、对数函数、复数、初等微积分

范畴1：向量｜、基本知识、向量加法 ::三角形定律及平行四边形定律 ::向量加法的性质：交换律；结合律、零向量，负向量及向量减法、纯量乘法及其性质 ::结合律 ::分配律、向量分量 ::向量分解 ::单位向量$\vec{i}$,$\vec{j}$和$\vec{k}$（亦可写作$\hat{i}$,$\hat{j}$和$\hat{k}$）与向量在直角坐标系的分解 ::方向比与方向余弦、位置向量和直线的向量方程、纯量积 ::定义 ::纯量积的性质 ::笛卡儿分量的纯量积 ::正交性、向量积 ::定义 ::向量积的性质 ::笛卡儿分量的向量积 ::垂直向量与平行向量、三重积 ::纯量三重积 ::向量三重积、向量函数，微分及积分 ::纯变量向量函数 ::向量函数对纯变量的微分 ::向量函数对纯变量的积分、极坐标向量、向量在$R^2$运动学上的应用 ::位移，速度及加速度 ::相对运动、力表为向量

范畴2：微分方程｜、基本概念、微分方程的形式 一阶微分方程、可分变量微分方程的解、线性微分方程$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$的解、可化简为可分变量或线性形式方程的解 二阶微分方程、分类、叠合原理、常系数齐次方程$a\frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=0$的解、常系数非齐次方程$a\frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=f(x)$的解 ::余函数与特别积分 ::待定系数法、将方程约简为常系数的二阶微分方程、一阶微分方程组、实际的应用

范畴3：数值法｜插值法、插值多项式、拉格朗日插值多项式的构造、应用拉格朗日插值多项式逼近函数及计算其函数值、插值多项式的误差估计 近似计算、量度误差的处理 ::误差来源：在科学研究中的系统误差及随机误差；舍入误差及截断误差 ::绝对及相对误差 ::误差的合成、利用泰勒展开式逼近函数值 ::函数的泰勒展开式 ::误差的估计 数值积分、梯形法则 ::梯形法则的推导 ::误差的估计 ::梯形法则的应用、森逊法则 ::森逊法则的推导 ::误差的估计 ::森逊法则的应用 方程的数值解、定点迭代法 ::迭代法的算法 ::收敛的条件 ::误差的估计、牛顿方法 ::牛顿方法的算法 ::收敛条件及误差计算 ::牛顿方法的应用、正割法 ::正割法的推导 ::正割法的应用 数据的图表处理、将两变数的关系化简成线性形式、利用最小二乘法求最佳拟合直线 ::最小二乘法的意义及最佳拟合的观念 ::最佳拟合直线的斜率及y轴截距 ::在已求出的图像中插值 ::最佳拟合直线在不同问题上的应用

范畴4：初级概率理论｜基本概念、基本定义、计数法、概率定理、贝叶斯定理、递推关系 概率分布、随机变量 ::离散概率函数 ::概率密度函数、预期值及方差、二项分布 ::伯努利试验，二项概率 ::二项分布 ::应用、常态分布 ::基本定义 ::标准常态曲线和常态表的使用 ::应用 ::逼近常态分布的二项分布

### 2004年高级程度课程更动（2006年高考起施行）

单元｜删去课题

向量｜向量的三重积

作用于$\mathbb{R}^3$中的一直线的力矩

简谐运动｜受迫振动

二阶微分分程及其应用

刚体运动｜刚体的一般运动

## 统计资料

学校考生报考应用数学科百分率

年份｜高级程度｜高级补充程度

男生｜女生｜男生｜女生

1981年｜34.5%｜4.3%

1982年｜36.0%｜3.2%

1983年｜36.6%｜4.1%

1984年｜36.6%｜3.8%

1985年｜34.5%｜4.3%

1986年｜34.9%｜4.2%

1987年｜35.6%｜4.6%

1988年｜35.4%｜4.6%

1989年｜34.0%｜4.9%

1990年｜35.0%｜5.6%

1991年｜35.4%｜5.7%

1992年｜33.9%｜6.4%

1993年｜31.9%｜6.0%

1994年｜11.3%｜1.9%｜10.2%｜2.2%

1995年｜9.5%｜1.9%｜9.6%｜2.1%

1996年｜9.6%｜1.9%｜8.9%｜2.4%

1997年｜9.2%｜1.7%｜8.2%｜2.0%

1998年｜7.8%｜1.6%｜8.5%｜2.5%

1999年｜7.3%｜1.7%｜8.4%｜2.1%

2000年｜7.2%｜1.7%｜8.0%｜2.6%

2001年｜7.0%｜1.6%｜7.5%｜2.2%

## 外部链接

- Syllabuses for Secondary Schools Applied Mathematics Advanced Level 1992
- Syllabuses for Secondary Schools Applied Mathematics Advanced Supplementary Level 1998
- 中学课程纲要应用数学科高级程度一九九二
- 中学课程纲要 应用数学科高级补充程度 1998
- 香港教育局 中学课程纲要－应用数学 (高级程度) (1992)
- Education Bureau Syllabuses for Secondary Schools - Applied Mathematics (Advanced Level) (1992)
- HKEAA ADVANCED LEVEL APPLIED MATHEMATICS
- 香港考试及评核局 高级程度会考应用数学
- 香港公共图书馆数码馆藏: 香港会考及高考试题特藏 香港高级程度会考 Applied Mathematics 应用数学