大反屈扭棱截半二十面体

大反屈扭棱截半二十面体（great retrosnub icosidodecahedron）又称大逆反屈扭棱截半二十面体（great inverted retrosnub icosidodecahedron）是一种星形均匀多面体，由80个正三角形和12个正五角星组成，索引为U74，对偶多面体为Q5600371，具有二十面体群对称性。并且与扭棱十二面体、扭棱大星形十二面体和反扭棱大星形十二面体拓朴同构。

## 性质

大反屈扭棱截半二十面体共由92个面、150条边和60个顶点组成，在其92个面中，有80个正三角形面和12个正五角星面，在其80个正三角形面中又可以分为60个一般的正三角形面（施莱夫利符号：3）和20个反向相接的正三角形面（施莱夫利符号：3/2），当中的60个正三角形面是在扭棱的过程产生的。

### 顶角的组成

在大反屈扭棱截半二十面体的60个顶点中，每个顶点都是4个正三角形面和1个正五角星面的公共顶点，并且这些面在构成顶角的多面角时，以正五角星、正三角形、正三角形、正三角形和正三角形的顺序排列，在顶点图中可以用(5/2.3.3.3.3)/2来表示，并以“/2”来表示整个顶角的周边面绕了顶点两圈。

另一种表示方式则是将反向相接的正三角形也考虑进来，此时三角形在顶点周围的分布方式则为正三角形与反向相接的正三角形交错出现，即面在顶点周围排列的顺序是依照：正三角形、反向相接的正三角形、正三角形、正五角星和正三角形来排列，这种顶角的结构在顶点图中可以用(3.3/2.3.5/3.3)来表示。

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将大反屈扭棱截半二十面体的顶角视觉化的图形

### 表示法

大反屈扭棱截半二十面体在考克斯特—迪肯符号中可以表示为node_h，在施莱夫利符号中可以表示为sr3,5，在威佐夫记号中可以表示为或

### 尺寸

若大反屈扭棱截半二十面体的边长为单位长，则其外接球半径为：

$$R = \frac12\sqrt{\frac{2-x}{1-x}} = 0.580002\dots$$

其中$x$是$x^3+2x^2=\Big(\tfrac{1\pm\sqrt5}2\Big)^2$的实根。

以$R^2$为变数的六次方程

$$4096R^{12} - 27648R^{10} + 47104R^8 - 35776R^6 + 13872R^4 - 2696R^2 + 209 = 0$$

共有4个实根，分别是扭棱十二面体、扭棱大星形十二面体、反扭棱大星形十二面体和大反屈扭棱截半二十面体的外接球半径。

边长为单位长的二十面化截半大十二面体，中分球半径为方程式

$$4096 x^6-21504 x^5+16384 x^4-4672 x^3+624 x^2-40 x+1=0$$

较小正实跟（约为0.086401745）的平方根，约为0.293941738。

### 二面角

大反屈扭棱截半二十面体有两种二面角，分别为三角形面和三角形面的二面角、以及五角星面和三角形面的二面角。

其中三角形面和三角形面的二面角约21.724655212度，实际上是为方程式

$$729 x^6-486 x^5-729 x^4+756 x^3+63 x^2-270 x+1=0$$

较小非零正实根（约为0.928973378）的反余弦值。

而五角星面和三角形面的二面角约67.31029488度，实际上是为方程式

$$91125 x^6-668250 x^5+2006775 x^4-2735100 x^3+1768275 x^2-502410 x+43681=0$$

较小正实根（约为0.14879556）之平方根的反余弦值。

$\arccos\left(\sqrt{\operatorname{root}\left(91125 x^6-668250 x^5+2006775 x^4-2735100 x^3+1768275 x^2-502410 x+43681\right)}\right)$ $\approx 1.174786266\approx 67.310294880^\circ$

### 顶点座标

大反屈扭棱截半二十面体的顶点座标为下列座标的偶置换：

$\left(\pm 2\alpha, \pm 2, \pm 2\beta\right)$。

$\left(\pm\left(\alpha-\beta\tau-\frac{1}{\tau}\right), \pm\left(\frac{\alpha}{\tau}+\beta-\tau\right), \pm\left(-\alpha\tau-\frac{\beta}{\tau}-1\right)\right)$。

$\left(\pm\left(\alpha\tau-\frac{\beta}{\tau}+1\right), \pm\left(-\alpha-\beta\tau+\frac{1}{\tau}\right), \pm\left(-\frac{\alpha}{\tau}+\beta+\tau\right)\right)$。

$\left(\pm\left(\alpha\tau-\frac{\beta}{\tau}-1\right), \pm\left(\alpha+\beta\tau+\frac{1}{\tau}\right), \pm\left(-\frac{\alpha}{\tau}+\beta-\tau\right)\right)$和

$\left(\pm\left(\alpha-\beta\tau+\frac{1}{\tau}\right), \pm\left(-\frac{\alpha}{\tau}-\beta-\tau\right), \pm\left(-\alpha\tau-\frac{\beta}{\tau}+1\right)\right)$。

带有偶数个正号，其中

$$\alpha = \frac{\xi-1}{\xi}$$

且

$$\beta = -\frac{\xi}{\tau}+\frac{1}{\tau^2}-\frac{1}{\xi\tau}$$

其中$\tau = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$为黄金比例。

$\xi$是方程式$\xi^3-2\xi=-\frac{1}{\tau}$的较小正实根，其值为：

$$\xi=\frac{\left(1+i \sqrt3\right)\left(\frac1{2 \tau}+\sqrt{\frac{\tau^{-2}}4-\frac8{27}}\right)^\frac13+ \left(1-i \sqrt3\right)\left(\frac1{2 \tau}-\sqrt{\frac{\tau^{-2}}4-\frac8{27}}\right)^\frac13}2 \approx 0.3264046$$

若上述座标使用奇置换并带有奇数个正号的话，则会得到大反屈扭棱截半二十面体的另一种形式，即另一种形式的手性对映体，将两种手性对映体组合起来可以得到一种均匀复合体——二复合大反屈扭棱截半二十面体。

## 相关多面体

两个大反屈扭棱截半二十面体的手性镜像可以复合成均匀复合体，称为二复合大反屈扭棱截半二十面体。

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二复合大反屈扭棱截半二十面体

## 基本资料

- 名称：great retrosnub icosidodecahedron、great inverted retrosnub icosidodecahedron
- 类型：均匀星形多面体
- 面：92
- 边：150
- 顶点：60
- 面的种类：(20+60)个正三角形、12个正五角星
- 顶点图：(34.5/2)/2
- Wythoff：2 3/2 5/3、3/2 5/3 2
- 对称群：Ih, 5,3+, 532
- 参考索引：U74, C90, W117
- 名称：girsid