香港高级程度会考纯粹数学科

香港高级程度会考纯粹数学科(HKALE Pure Mathematics)是昔日一个在香港教育制度内的大学预科高等数学课程，公开考试在1980年至2013年间由香港考试及评核局(HKEAA)举办。

## 历史及概述

课程前身为香港大学入学资格考试(University of Hong Kong Matriculation Examination)纯粹数学。

1980年，第一届由香港考试局（今香港考试及评核局）举办的香港高级程度会考纯粹数学科考试举行。

2001年4月，发生试题误植事件，卷二第8题所提供的函数，把“$6-x$”误印成“$x-6$”，令题目无法算出。考试局在同月27日检讨补救方法后，决定以不重考但调整考生分数的方式处理该题为试卷二乙部第8题，是一条长题目，要求用微积分描绘一个给定函数的图像。考生须在乙部6题中选答4题，由于描绘曲线题目的解答方式较机械化，选答该题的考生比例达到98%。题目的(a)(iii)部分，要求考生证明该函数的二阶导数等于题目印出的数式，然而所印数式中“$6-x$”误印成“$x-6$”，以致考生误以为自己计算错误，令不少考生浪费时间检查。

2012年，最后一届开放予应届学校考生参加。

2013年，为自修生举行的最后一届香港高级程度会考举行。

## 课程纲要演变

根据香港数学教育学会(Hong Kong Association for Mathematics Education)的网志，由于不成文规定，香港大学入学资格考试纯粹数学科预科课程归香港大学管理，最早的考试纲要可追溯至1956年，并未有教学课程及评估指引纲要发布，任教老师只能参考历届试题来自制教材，部分学校出现教学课程内容过多过深的“超教”情况。

响应1986年《教育统筹委员会 第二号报告书》就预科课程所作的建议，香港课程发展议会于1992年制订《中学课程纲要－纯粹数学科 (高级程度) (1992)》，是本科首次有教学用的课程纲要，指出课程旨为将来继续修读数学、工程学、科学与科技的学生而设计，前设知识仅是会考程度的数学知识，而无需要修读附加数学。

香港课程发展议会成立全面检讨幼稚园至预科数学课程的专责委员会——“全面检讨数学课程专责委员会”，该委员会于2000年1月发表《数学课程全面检讨报告》指出，没有修读附加数学的学生在学习纯粹数学时会遇到极大困难。

教师和学生面临的困境引起后来2000年代香港数学教育的连串重大改革，包括2004年高级程度纯粹数学科的课程修订及重新整理2000年代高中及预科所有数学课程，旨为减轻师生负担，为2009年实施的三三四高中教育改革转型作准备。

2004年，香港课程发展议会编制及发布《数学教育学习领域－纯粹数学科课程及评估指引 (高级程度) (2004)》。

2009年9月，香港教育界实施三三四高中教育改革新学制课程，当中并没有纯粹数学科，教育局总课程发展主任（数学）李柏良在新闻报导上指出，纯粹数学科及香港高级补充程度会考数学与统计学的内容跟新学制的香港中学文凭考试数学科延伸部分接近。

2013年后，香港高级程度会考纯粹数学科连同香港高级程度会考应用数学科正式走入历史，其部分核心代数与微积分内容被整合至香港中学文凭考试数学科延伸部分（单元二 M2）中。

### 香港大学入学试纯粹数学科考试内容(1992年前)

拟题的数学领域｜拟题的数学概念

数理逻辑｜、数学叙述——定义、公设、定理、引理-推论、悖论、猜想、命题、逆命题及逆否命题、对称关系命题、不失一般性(w.l.o.g.)、或（$\lor$）、非（$\neg$）、与（$\land$）、真值表、逻辑等价、蕴涵（⇒）、反蕴涵（⇐）、当且仅当(⇔)、逻辑等价、充份条件、必要条件、充分必要条件、量化、全称量化(∀)、存在量化(∃)、唯一量化(∃!)、数学证明、直接证明、反证法——无理数的证明、反例

初等集合论｜、元素、属于关系 (∈)、集合及集合代数——并集、交集、补集、差集、笛卡儿积、德摩根定律、对称差、幂集、空集、文氏图、势、数系——自然数集($\mathbb{N}$)、整数集($\mathbb{Z}$)、有理数集($\mathbb{Q}$)、实数集(ℝ)和复数集(ℂ)之间的子集关系($\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}$)、数学归纳法、强数学归纳法

序列及级数｜、等差数列、等比数列；及其通项公式、裂项和、求和符号(Σ)；裂项积、求积符号 (Π)、序列的有限差分、递回关系式、封闭形式、特征方程式、生成函数

组合数学｜、乘法公式(交换律、结合律、分配律)、阶乘 (n!)、二项式定理、二项式系数$C^n_r$及其性质(递回性质、对称性、递增性、极值)；、组合恒等式、帕斯卡三角形、排列与组合的概率问题

函数及映射｜、定义域及值域、陪域、区间、单射、双射与满射、奇函数与偶函数、周期函数、复合函数、反函数、初等函数——代数函数、幂函数、有理函数、三角函数及反三角函数(三角恒等式)、指数函数及自然对数($ln$)、分段函数、对称函数、取整函数、符号函数

方程理论｜、整系数多项式、多项式次数、因式分解、因式定理、余式定理、不可约多项式、艾森斯坦判别法、多项式除法、综合除法、多项式辗转相除法及最大公因数、代数方程、代数基本定理、根、解析解、重根、共轭复根、有理数根定理、根与系数、判别式、笛卡儿符号法则、多项式变换、配方法、一元多项式方程求解——二次方程、三次方程、四次方程、介值定理、费马引理、次方和对称多项式、牛顿恒等式、有理函数及垂直渐近线、部分分式分解、黑维塞分式拆解法

抽象代数｜、等价关系（$\sim$）、等价类、定义良好、群(群论)、环、域、矩阵群

复数代数｜、复数四则运算及其代数性质(封闭性、结合性、交换性、存在单位元、存在逆元和分配性)、虚数单位、实部、虚部、共轭复数、辐角、复数模、复数平面上的几何表达及移动点的轨迹集合、复数模不等式——三角不等式、柯西-施瓦茨不等式、cis函数、棣莫弗公式及其应用——解一元n次方程、n次单位根、三角恒等式

初等微积分学｜、极限的直观概念（不包括极限严谨定义ε-δ语言）、左极限及右极限、自然对数函数的底数$e$、实数数列极限、无穷级数(几何级数、幂级数)、无穷序列、无穷乘积、敛散性(收敛、发散，不包括审敛法）、单调性(递增、递减）、有界性、单调收敛定理、夹挤定理、不定式及洛必达法则、函数极限、连续函数、左导数、右导数及可微函数、求导法则——导数列表、四则运算(微分的线性、乘积法则、除法定则、倒数定则)、反函数的微分、复合函数的微分(链式法则)、隐函数的微分、参数方程和极坐标系方程的微分、对数微分法、高阶导数及莱布尼兹法则、罗尔定理、拉格朗日中值定理、微分应用——曲线上某点的切线斜率及法线、函数图形描绘(截距、渐近线、拐点、驻点、极值)、微积分基本定理、黎曼积分及可积函数、积分上限函数、不定积分（原函数）及积分常数、反常积分、积分第一中值定理、积分表、三角函数积分表、三角换元法、正切半角公式换元法、降次积分法、换元积分法、分部积分法、部分分式积分法、定积分应用——曲线弧长、平面面积、旋转体的体积(圆盘法和外壳法)及旋转曲面面积

平面解析几何｜、笛卡尔坐标系、极坐标系、弦、切线及法线、圆锥曲线——圆、椭圆、抛物线、双曲线、退化圆锥曲线的各标准方程及参数方程，几何特征——离心率、焦点、准线、对称轴，齐次坐标的矩阵表示及其行列式的判别式

线性代数｜、线性方程组、行向量与列向量、初等变换、阶梯形矩阵、高斯消去法、克莱姆法则、矩阵代数运算(矩阵加法)及其代数性质、矩阵乘法及其不可交换性、零矩阵、转置矩阵、方阵及行列式、萨吕法则、拉普拉斯展开、奇异方阵及非奇异方阵、逆矩阵、单位矩阵、n次幂、线性映射及$\mathbb{R}^2$上的仿射变换及其变换矩阵——平移、旋转(旋转矩阵)、反射、缩放、错切

向量代数及立体解析几何｜、实数域$\mathbb{R}$的向量空间及其代数性质、维度、零空间、$\mathbb{R}^n$欧几里得空间、内积空间的向量运算(向量加法定律——三角形定律、平行四边形定律及多边形定律、纯量乘法)及其代数性质(结合性、存在单位元、存在逆元)、单位向量、零向量、范数、方向余弦、向量截点公式、、点积(纯量投影)、叉积及其反交换律(其范数为平行四边形的面积)、纯量三重积$\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})$(平行六面体的体积)、向量三重积$\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})$、欧几里得度量、向量恒等式、平行四边形恒等式、向量范数不等式——三角不等式、柯西-施瓦茨不等式、线性组合、线性相关性、直线方程表示——一般式、斜截式、二点式(行列式)、参数式、向量式，一点与直线的距离，两条相交直线的相交点、两条相交直线的夹角、两条直线的距离、平面方程表示——一般式、点坐标及法向量、行列式，一点与平面的距离、两个平面的夹角

不等式｜、三分律、放缩法、绝对值、绝对值不等式、三角不等式、分式不等式、对称多项式不等式、代数不等式——算术-几何平均值不等式(反向归纳法的证明)、柯西-施瓦茨不等式

### 1992年

《中学课程纲要–纯粹数学科(高级程度)1992》发布。

《中学课程纲要–纯粹数学科(高级程度)1992》

范畴A : 代数｜、单元A1 数学语言、单元A2 函数、单元A3 数学归纳法、单元A4 不等式、单元A5 正整指数的二项式定理、单元A6 多项式及方程、单元A7 $\mathbb{R}^2$及$\mathbb{R}^3$的向量、单元A8 矩阵、单元A9 二元及三元线性方程组、单元A10 复数

范畴B : 微积分与解析几何｜、单元B1 序列、级数及其极限、单元B2 极限、连续性及可微性、单元B3 微分法、单元B4 微分法的应用、单元B5 积分法、单元B6 积分法的应用、单元B7 解析几何

### 2004年

《数学教育学习领域－纯粹数学科课程及评估指引 (高级程度) (2004)》发布。

## 拟题

根据香港数学教育学会(Hong Kong Association for Mathematics Education)的期刊《数学教育》(EduMath)，1970年代开始，纯粹数学科公开考试以结构式问题(Structured Question)形式拟题(Problem Posing)考核考生对数学基础的理解、应用及解难(Problem Solving)能力，例如证明命题，推导定理或引理，并着重融会各数学领域之间的关连和数学之美。

早年只有英文版本试题，以下列表以英文为主:

拟题的数学领域｜拟题的数学概念｜试题题号｜备注

正交多项式及多项式序列｜、埃尔米特多项式、勒让德多项式、切比雪夫多项式｜*

序列及级数｜、Fibonacci polynomials、斐波那契数列、比内公式｜*

实分析｜、上极限和下极限、利普希茨连续、函数项级数、麦克劳林级数、泰勒级数、泰勒公式拉格朗日型余项、泰勒公式积分型余项｜*

数学分析｜、富比尼定理｜*

渐近分析｜、渐近分析#渐近等价、史特灵公式｜*

圆周率｜、高斯-勒让德算法、巴塞尔问题、Π的莱布尼茨公式、沃利斯乘积、Viète's formula、梅钦类公式、证明22/7大于π｜*

特殊函数｜、高斯积分、欧拉积分、伽玛函数、Β函数、符号函数 * *｜*

Inequality｜、加权算术－几何平均值不等式、伯努利不等式、切比雪夫总和不等式、Weierstrass product inequality｜*

李代数及李代数｜、$GL(2, \R)$、李氏括号｜*

算术｜、Nearest integer function｜*

函数方程(Functional Equation)｜、柯西函数方程｜*

数值分析｜、拉格朗日多项式、牛顿法｜*

傅里叶分析｜、帕塞瓦尔恒等式、正交函数｜*

复分析｜、莫比乌斯变换(Möbius transformation)｜*

无理数｜、证明π是无理数、证明e是无理数(Proof that e is irrational)｜*

超越数｜、E的π次方、黄金分割率｜*

组合数学｜、帕斯卡法则、朱世杰恒等式、范德蒙恒等式、多项式定理｜*

Calculus｜、Steiner's calculus problem、积分第一中值定理、积分第二中值定理、Mean of a function、Symmetric derivative、Frullani integral、柯西中值定理、Integral of inverse functions、杨氏不等式、调和级数、欧拉-马斯刻若尼常数、Euler–Maclaurin formula、P-series、积分判别法｜*

分数微积分｜、Cauchy formula for repeated integration｜*

泛函分析｜、Lp空间、Lp范数 (Lp-Norm)、赫尔德不等式、闵可夫斯基不等式｜*

Operational calculus｜、单位阶跃函数｜*

线性代数｜、Vector projection、格拉姆-施密特正交化、极化恒等式｜*

矩阵理论(Matrix Algebra)｜、幂零矩阵、反对称矩阵、对称矩阵、正交矩阵、三角矩阵、范德蒙德行列式、迹、相似矩阵、Commuting matrices、凯莱–哈密顿定理、克罗内克积、可对角化矩阵、特征分解、特征值和特征向量、特征多项式、矩阵多项式｜*

方程理论｜、Cubic equation#Cardano's formula、四次方程、牛顿恒等式、Eisenstein's criterion、高斯-卢卡斯定理｜*

代数曲线｜、心脏线、帕斯卡蜗线、星形线、三尖瓣线、阿基米德螺线｜*

统计学｜、矩｜*

凸分析｜、凸集、凸函数、简森不等式｜*

## 另见

- 香港中学会考附加数学科
- 香港高级补充程度会考数学与统计学
- 香港高级程度会考应用数学科
- 香港中学文凭考试数学科延伸部分
- 香港高等程度会考高级数学：香港中文大学入学试中的高等数学科
- 梁鉴添：香港高级程度会考纯粹数学科参考书作者，香港高级程度会考数学科科务委员会主席
- 郭宇权：香港高级程度会考纯粹数学科参考书作者

## 外部链接

- Pure Mathematics Curriculum and Assessment Guide
- 纯粹数学科课程及评估指引（高级程度）
- 香港教育局 中学课程纲要－纯粹数学科 (高级程度) (1992)
- Education Bureau Syllabuses for Secondary Schools - Pure Mathematics (Advanced Level) (1992)
- 香港考试及评核局 高级程度会考纯粹数学
- HKEAA ADVANCED LEVEL PURE MATHEMATICS
- 香港公共图书馆数码馆藏: 香港会考及高考试题特藏 香港高级程度会考 Pure Mathematics 纯粹数学