李超代数

李超代数是李代数的推广，包含了Z2‑分次代数。李超代数在理论物理中十分重要，用于描述超对称的数学理论。其中，超代数的偶元素大多对应玻色子，奇元素大多对应费米子（也有相反者，如BRST超对称）。

## 定义

形式上看，李超代数是交换环（一般是R或C）上的非结合Z2-分次代数，或“超代数”，其积为·, ·，称作李超括号或超交换子，满足两个条件（与分次的通常李代数类似）：

超反对称性（skew-symmetry）：

$$[x,y]=-(-1)^{|x| |y|}[y,x].\ $$

超雅可比恒等式：

$$(-1)^{|x||z|}[x, [y, z]] + (-1)^{|y||x|}[y, [z, x]] + (-1)^{|z||y|}[z, [x, y]] = 0,$$

其中x、y、z在Z2分次中为纯。|x|表示x的度（0或1）。x,y的度是x、y度之和模2。

有时，还会在$|x|=0$时添加公理$[x,x]=0$（若2可逆，则公理自动成立）；对$|x|=1$时，有$[[x,x],x]=0$（若3可逆，则公理自动成立）。当基环是整数或李超代数是自由模时，这些条件等同于庞加莱–伯克霍夫–威特定理成立的条件（一般而言是定理成立的必要条件）。

正如对李代数一样，李超代数的泛包络代数可被赋予霍普夫代数结构。

反交换、在分次意义上雅可比的分次李代数（按Z或N分次）也有$Z_2$分次（称作将代数“卷”为奇偶部分），但不称作“超”。

## 性质

令$\mathfrak g = \mathfrak g_0 \oplus \mathfrak g_1$为李超代数。通过观察雅可比恒等式，可发现有8种情况取决于参数的奇偶。以奇元素个数为索引，分成4类：

- 无奇元素。即$\mathfrak g_0$为平凡李代数。
- 1个奇元素。则$\mathfrak g_1$是作用$\mathrm{ad}_a: b \rightarrow [a, b], \quad a \in \mathfrak g_0, \quad b, [a, b] \in \mathfrak g_1$的$\mathfrak g_0$模。
- 2个奇元素。雅可比恒等式说明括号$\mathfrak g_1 \otimes \mathfrak g_1 \rightarrow \mathfrak g_0$是对称$\mathfrak g_1$映射。
- 3个奇元素。对所有$b \in \mathfrak g_1$，都有$[b,[b,b]] = 0$。

因此，李超代数的偶超代数$\mathfrak g_0$形成（正常）李代数，因为所有符号都消失了，超括号变为普通李括号；而$\mathfrak g_1$是$\mathfrak g_0$的线性表示，存在对称$\mathfrak g_0$等变线性映射$\{\cdot,\cdot\}:\mathfrak g_1\otimes \mathfrak g_1\rightarrow \mathfrak g_0$使得

$$[\left\{x, y\right\},z]+[\left\{y, z\right\},x]+[\left\{z, x\right\},y]=0, \quad x,y, z \in \mathfrak g_1.$$

条件(1)–(3)是现行的，都可以用普通李代数来理解。条件(4)是飞现行的，且是在从普通李代数（$\mathfrak g_0$）和表示（$\mathfrak g_1$）开始构造李超代数时最难验证的条件。

## 对合

∗李超代数是配备自身到自身的对合反线性映射的复李超代数，映射反映Z2分次且对李超代数中所有x、y都有$[x,\ y]^*=[y^*,\ x^*]$（有人更喜好约定$[x,\ y]^*=(-1)^{|x||y|}[y^*,\ x^*]$；将*改为−*可在两种约定之间切换）。其泛包络代数将是普通对合代数。

## 例子

给定结合超代数$A$，可通过以下方式定义齐次元素上的超交换子：

$$[x,y] = xy - (-1)^{|x||y|}yx\ $$

然后线性延伸到所有元素。代数$A$与超交换子共同构成李超代数。这个过程最简单的例子也许是当$A$为超向量空间$V$中所有线性函数$\mathbf {End}(V)$的空间。$V = \mathbb K^{p|q}$时，该空间可表为$M^{p|q}$或$M(p|q)$。用上述李括号，空间可表为$\mathfrak {gl}(p|q)$。

同伦群上的怀特海德积给出了许多整数上的李超代数的例子。

超庞加莱代数生成了平面超空间的等距。

## 分类

维克托·卡茨对简单复有限维李超代数进行了分类：（不包括李代数）

特殊线性李超代数 $\mathfrak{sl}(m|n)$.

李超代数$\mathfrak{sl}(m|n)$是$\mathfrak{gl}(m|n)$的超代数，包含超迹为0的矩阵。$m\not=n$时是简单的；$m=n$时，单位矩阵$I_{2m}$产生一个理想。对理想取商，可得 $\mathfrak{sl}(m|m) / \langle I_{2m} \rangle$，对$m \geq 2$是简单的。

正交辛李超代数 $\mathfrak{osp}(m|2n)$.

考虑$\mathbb{C}^{m|2n}$上的偶、非退化、超对称双射形式$\langle \cdot, \cdot \rangle$，则正交辛李超代数是$\mathfrak{gl}(m|2n)$的超代数，包含的矩阵满足下式不变：$$\mathfrak{osp}(m|2n) = \{ X \in \mathfrak{gl}(m|2n) \mid \langle X u,v \rangle + (-1)^{|X||u|} \langle u, X v\rangle =0 \text{ for all } u,v \in \mathbb{C}^{m|2n} \}.$$其偶部由$\mathfrak{so}(m) \oplus \mathfrak{sp}(2n)$给出。

例外李超代数 $D(2,1;\alpha)$.

有一族取决于参数$\alpha$的(9∣8)维李超代数，它们是$D(2,1)=\mathfrak{osp}(4|2)$的变形。若$\alpha\not=0$、$\alpha\not=-1$，则D(2,1,α)是简单的；若$\alpha$、$\beta$在映射$\alpha \mapsto \alpha^{-1}$、$\alpha \mapsto -1-\alpha$的作用下处于同一轨道，则$D(2,1;\alpha) \cong D(2,1;\beta)$。

例外李超代数 $F(4)$.

具有维度(24|16)。偶部由$\mathfrak{sl}(2) \oplus \mathfrak{so}(7)$给出。

例外李超代数 $G(3)$.

具有维度(17|14)。偶部由$\mathfrak{sl}(2) \oplus G_2$给出。

还有2个所谓“奇异”序列，分别叫做$\mathfrak{pe}(n)$、$\mathfrak{q}(n)$.

Cartan类型。可分为4族：$W(n)$、$S(n)$、$\widetilde{S}(2n)$、$H(n)$。对于简单李超代数的Cartan类型，奇部在偶部的作用下不再完全可还原。

## 无穷维简单线性紧李超代数的分类

分类包含10个系列W(m, n), S(m, n) ((m, n) ≠ (1, 1)), H(2m, n), K(2m + 1, n), HO(m, m) (m ≥ 2), SHO(m, m) (m ≥ 3), KO(m, m + 1), SKO(m, m + 1; β) (m ≥ 2), SHO ∼ (2m, 2m), SKO ∼ (2m + 1, 2m + 3)及5个例外代数：

E(1, 6), E(5, 10), E(4, 4), E(3, 6), E(3, 8)

最后两个特别有趣（据Kac所说），因为它们的零级代数是标准模型规范群SU(3)×SU(2)×U(1)。无穷维（仿射）李超代数是超弦理论中重要的对称，具体来说，具有$\mathcal{N}$超对称的Virasoro代数是$K(1, \mathcal{N})$，其只有中心扩展到$\mathcal{N} = 4$。

## 范畴论定义

范畴论中，李超代数可定义为非结合超代数，其积满足

- $$[\cdot,\cdot]\circ ({\operatorname{id}}+\tau_{A,A})=0$$
- $$[\cdot,\cdot]\circ ([\cdot,\cdot]\otimes {\operatorname{id}} \circ({\operatorname{id}}+\sigma+\sigma^2)=0$$

其中σ是循环包络辫$({\operatorname{id}} \otimes\tau_{A,A}) \circ (\tau_{A,A}\otimes {\operatorname{id}})$。以图表示：

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## 外部链接

- Irving Kaplansky + Lie Superalgebras