电阻率与电导率

$\mathsf M \mathsf L^3 \mathsf T^{-3} \mathsf I^{-2}$ $\rho = R \frac{A}{\ell}$ $\mathsf M^{-1} \mathsf L^{-3} \mathsf T^3 \mathsf I^2$ $\sigma = \frac{1}{\rho}$电阻率（resistivity），也称为体积电阻率或比电阻，是材料的特性，用于测量其电阻或抵抗电流的能力。低电阻率表示材料容易通过电流。电阻率通常用希腊字母ρ表示。电阻率的SI单位是欧姆·米（Ω· m）。例如，如果1m3实心立方体材料在两个相对面上具有片状触点，这些触点之间的电阻为1Ω，则材料的电阻率为1Ω·m。

电导率（conductivity），或比电导，是电阻率的倒数，代表材料传导电流的能力。通常用希腊字母σ表示（西格玛），但特别在电气工程中，有时会用到字母κ（kappa）和γ（gamma）。电导率的SI单位是西门子每米（S/m）。电阻率和电导率是材料的内含性质。电阻和电导是相对应的外延属性，它们表现特定物体对电流相反的反应。

## 定义

### 理想情况

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在理想情况下，被测材料的横截面和物理成分在整个样品中都是均匀的，电场和电流密度在各处都是平行且恒定的。事实上，许多电阻器和导体都具有均匀的横截面和均匀的电流，并且由单一材料制成，是很好的模型。(在这种情况下，导体的电阻与其长度成正比，与其横截面积成反比，其中电阻率ρ是比例常数。写为： $$R \propto \frac\ell A$$ $$\begin{align} <pre> R &= \rho \frac\ell A \\[3pt] {}\Leftrightarrow \rho &= R \frac A \ell, </pre> \end{align}$$其中

- * $R$ 是材料均匀样本的电阻 * $\ell$ 是样本的长度 * $A$ 是样本的横截面积电阻率可以使用SI单位欧姆·米（Ω·m）来表示，即欧姆乘以平方米（对横截面积），然后除以米（对长度）。

“电阻”和“电阻率”都描述了使电流流过材料的困难程度，但电阻率与电阻不同，是一种固有属性，不依赖材料的几何属性。这表示所有纯铜（Cu）线（其晶体结构等未受到扭曲），无论其形状和尺寸如何，都具有相同的电阻率，但又长又细的铜线比粗而短的铜线具有更 大的电阻。每种材料都有其自身的电阻率特性。

在液压类比中，使电流通过高电阻率材料就像将水推过装满沙子的管道一样。让电流通过低电阻率材料就像将水推过空管一样。如果管道尺寸和形状相同，则充满沙子的管道具有更高的流动阻力。然而，阻力不仅取决于沙子的存在与否。它还取决于管道的长度和宽度，短或宽的管道比窄或长的管道具有更低的阻力。

将上式转置即可得到普耶定律（以克劳德·普耶命名）：$$R = \rho \frac{\ell}{A}.$$给定元件的电阻与长度成正比，但与横截面积成反比。例如，如果A = 1m2, $\ell$ = 1m（形成一个在相对面上具有完美导电触点的立方体），则该元件的电阻（以欧姆为单位）在数值上等于其构成材料的电阻率（以Ω·m为单位）。

电导率σ是电阻率的倒数：$$\sigma = \frac{1}{\rho}.$$电导率的SI单位为西门子每米（S/m）。

### 一般标量

对于非理想状况，例如更复杂的几何形状，或当电流和电场在材料的不同部分变化时，有必要使用更通用的表达式，其中特定点的电阻率定义为电场到它在该点产生的电流密度：$$\rho = \frac{E}{J},$$其中：

- * $\rho$ 是导体材料的电阻率，* $E$ 是电场的大小，* $J$ 是 电流密度 的大小，$E$和$J$位于导体内部。

电导率是电阻率的倒数：$$\sigma = \frac{1}{\rho} = \frac{J}{E}$$例如，橡胶是一种ρ大、σ小的材料，即使橡胶中存在非常大的电场，也几乎没有电流流过。另一方面，铜是一种ρ小、σ大的材料，即使是很小的电场也会吸引大量电流通过。

如下所示，当材料中的电场和电流密度恒定时，该表达可简化。

组合三个方程式。第一个是并联电流和电场的电阻率：$$\rho = \frac{E}{J},$$如果电场恒定，则电场由总电压V除以长度ℓ：$$E = \frac{V}{\ell}.$$如果电流密度恒定，则等于总电流除以横截面积：$$J = \frac{I}{A}.$$将E和J的值代入第一个表达式，我们得到： Plugging in the values of E and J into the first expression, we obtain:$$\rho = \frac{V A}{I\ell}.$$最后应用到欧姆定律1=V/I = R：$$\rho = R\frac{A}{\ell}.$$

### 张量电阻率

当材料的电阻率具有方向性成分时，必须使用电阻率的最一般定义。它以欧姆定律的张量-矢量形式为起点，将材料内部的电场与电流流联系起来。这个等式是完全通用的，这意味着它适用于所有情况，包括上述情况。不过，这个定义最为复杂，因此只直接用于各向异性的情况，在这种情况下无法应用更简单的定义。如果材料不是各向异性的，则可以忽略张量矢量定义，而使用更简单的表达式。

各向异性是指材料在不同方向上有不同的性质。例如，石墨晶体在微观上由一堆薄片组成，电流很容易流过每个薄片，但从一个薄片流向相邻的薄片就不容易了。在这种情况下，电流的流动方向与电场的方向不完全相同。因此，适当的方程式被推广到三维张量形式：$$<pre> \mathbf{J} = \boldsymbol\sigma \mathbf{E} \,\,\rightleftharpoons\,\, \mathbf{E} = \boldsymbol\rho \mathbf{J}, </pre>$$其中电导率σ和电阻率ρ是2阶张量，电场E和电流密度J是向量。这些张量可以用3×3矩阵、带有 3×1矩阵的向量表示，并且在这些方程式的右边使用矩阵乘法。以矩阵形式，电阻率关系由下式给出：$$<pre> \begin{bmatrix} E_x \\ E_y \\ E_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \rho_{xx} & \rho_{xy} & \rho_{xz} \\ \rho_{yx} & \rho_{yy} & \rho_{yz} \\ \rho_{zx} & \rho_{zy} & \rho_{zz} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} J_x \\ J_y \\ J_z \end{bmatrix}, </pre>$$其中

- * $\mathbf{E}$ 是电场向量，其分量为 (Ex, Ey, Ez); * $\boldsymbol{\rho}$ 是电阻率张量，一般是一个三乘三的矩阵；* $\mathbf{J}$ 是电流密度向量，其分量为 (Jx, J y, Jz)。或者$$\mathbf{E}_i = \boldsymbol\rho_{ij} \mathbf{J}_j ~.$$在任一情况下，每个电场分量的结果表达式为：

$$\begin{align} E_x &= \rho_{xx} J_x + \rho_{xy} J_y + \rho_{xz} J_z, \\ E_y &= \rho_{yx} J_x + \rho_{yy} J_y + \rho_{yz} J_z, \\ E_z &= \rho_{zx} J_x + \rho_{zy} J_y + \rho_{zz} J_z. \end{align}$$

由于座标系的选择是自由的，通常的约定是透过选择与目前方向平行的 x轴来简化表达式，因此1=Jy = Jz = 0，得到：$$<pre> \rho_{xx} = \frac{E_x}{J_x}, \quad \rho_{yx} = \frac{E_y}{J_x}, \text{ and } \rho_{zx} = \frac{E_z}{J_x}. </pre>$$电导率的定义形式类似：$$<pre> \begin{bmatrix} J_x \\ J_y \\ J_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} E_x \\ E_y \\ E_z \end{bmatrix} </pre>$$或者$$\mathbf{J}_i = \boldsymbol{\sigma}_{ij} \mathbf{E}_{j},$$得到$$\begin{align} J_x &= \sigma_{xx} E_x + \sigma_{xy} E_y + \sigma_{xz} E_z \\ J_y &= \sigma_{yx} E_x + \sigma_{yy} E_y + \sigma_{yz} E_z \\ J_z &= \sigma_{zx} E_x + \sigma_{zy} E_y + \sigma_{zz} E_z \end{align}.$$对比两式，$\boldsymbol{\rho}$和$\boldsymbol{\sigma}$互为逆矩阵。然而，在最一般的情况下，各个矩阵元素不一定是彼此的倒数；例如， σxx不一定等于1/ρxx。这可以从$\rho_{xy}$是非零的霍尔效应中看出，由于绕z轴的旋转不变性，$\rho_{yy}=\rho_{xx}$和$\rho_{yx}=-\rho_{xy}$，因此电阻率和电导率之间的关系简化为：$$<pre> \sigma_{xx} = \frac{ \rho_{xx}}{\rho_{xx}^2 + \rho_{xy}^2}, \quad \sigma_{xy} = \frac{-\rho_{xy}}{\rho_{xx}^2 + \rho_{xy}^2}. </pre>$$如果电场与施加的电流平行，$\rho_{xy}$和$\rho_{xz}$为零。当它们为零、或一个数时，$\rho_{xx}$足以描述电阻率。然后简单地写成$\rho$，这简化为更简单的表达式。

## 电导率和载流子

### 电流密度与电流速度的关系

电流是电荷的有序运动。

## 导电率的原因

### 能带理论的简化

根据基本量子力学，原子或晶体中的电子只能具有一定的精确能阶；这些水平之间的能量是不可能的。当大量这样的允许能阶具有紧密间隔的能量值时——即具有仅微小差异的能量——这些接近的能阶组合被称为“能带”。材料中可能存在许多这样的能带，取决于组成原子的原子序数及其在晶体内的分布。

材料的电子试图透过进入低能态来最小化材料中的总能量；然而，泡利不相容原理意味着每种这样的状态只能存在一个。因此电子从底部开始“填充”能带结构。电子所填充的特征能阶称为费米能级。费米能阶相对于能带结构的位置对于电传导非常重要：只有能阶接近或高于费米能级的电子才能在更广泛的材料结构内自由移动，因为电子可以轻松地在部分占据的电子之间跳跃。相较之下，低能态始终完全充满电子数量的固定限制，而高能态始终没有电子。

电流由电子流组成。在金属中，有许多电子能阶接近费米能阶，因此有许多电子可移动。这就是金属具有高电子导电性的原因。

能带理论的一个重要部分是可能存在能量禁带：不包含能阶的能量区间。在绝缘体和半导体中，电子的数量刚好可以填满一定整数个低能带，刚好达到边界。在这种情况下，费米能阶落在带隙内。由于费米能阶附近没有可用的态，且电子不能自由移动，因此电子电导率非常低。

### 金属

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金属由原子晶格组成，每个原子都有一个电子外壳，电子可以自由地从其母原子中解离并穿过晶格。这也叫正离子晶格。这种可离解电子的“海洋”使金属能够传导电流。当在金属上施加电位差（电压）时，产生的电场导致电子向正极漂移。电子的实际漂移速度通常很小，约为每小时米的数量级。然而，由于移动电子的数量庞大，即使很慢的漂移速度也会导致很大的电流密度。该机制类似牛顿摆中，球的动量传递，但电能沿着导线的快速传播不是由于机械力，而是由导线引导的载能电磁场的传播。

大多数金属都具有电阻。在更简单的模型（非量子力学模型）中，这可以透过用波状结构取代电子和晶格来解释。当电子波穿过晶格时，波会发生干涉，从而产生电阻。晶格越规则，发生的干扰越少，因此阻力越小。因此，阻力的大小主要由两个因素所引起。首先，它是由温度以及晶格的振动量引起的。较高的温度会导致更大的振动，从而导致晶格不规则。其次，金属的纯度也很重要，因为不同离子的混合物也是不规则的。纯金属熔化时电导率的小幅下降是由于长程晶序的损失。短程有序仍然存在，并且离子位置之间的强相关性导致相邻离子衍射的波之间的相干性。

### 半导体和绝缘体

金属中，费米能级位于导带，产生自由传导电子。然而，半导体中，费米能级的位置位于带隙内，大约在导带最小值（未填充电子能级的第一能带的底部）和价带最大值（充满电子能阶的导带下方的带顶）。这适用于本征（未掺杂）半导体，这意味着在绝对零温度下，不会有自由传导电子，并且电阻无穷大。然而，随着导带中电荷载流子密度（即在不引入进一步复杂性的情况下的电子密度）增加，电阻减小。在外在（掺杂）半导体中，掺杂原子透过向导带提供电子或在价带中产生电洞来增加多数电荷载子浓度。（“电洞”是缺少电子的位置；此类电洞的行为方式与电子类似。）对于这两种类型的施主或受主原子，增加掺杂剂密度会降低电阻。因此，高掺杂半导体表现出金属性。在非常高的温度下，热产生的载子的贡献超过掺杂剂原子的贡献，且电阻随着温度呈指数下降。

### 离子液体、电解质

$$n_\text{e} \propto \exp\left(e\Phi/k_\text{B} T_\text{e}\right).$$电解质中，导电不是透过带状电子或洞发生，而是透过完整的原子种类（离子）移动，每个原子都携带电荷。离子溶液（电解质）的电阻率随浓度变化很大－蒸馏水几乎是绝缘体，而盐水是合理的电导体。离子液体中的传导也由离子的运动控制，但这里我们讨论的是熔盐而不是溶剂化离子。生物膜中，电流由离子盐携带。细胞膜上的小孔称为离子通道，对特定离子具有选择性并决定膜电阻。

液体（例如水溶液）中离子的浓度取决于溶解物质的离解程度，用离解系数$\alpha$来表征，是离子浓度$N$和溶解物质的分子浓度$N_0$的比率：$$N = \alpha N_0 ~.$$比电导率（$\sigma$ ) 等于：$$\sigma = q\left(b^+ + b^-\right)\alpha N_0 ~,$$其中$q$是离子电荷的模数，$b^+$和$b^-$是带正电和负电离子的迁移率。

### 超导

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金属导体的电阻率随着温度降低而逐渐降低。在普通（即非超导）导体中，例如铜或银，这种下降受到杂质和其他缺陷的限制。即使接近绝对零度，普通导体的真实样本也会显示出一定的电阻。在超导体中，当材料冷却到其临界温度以下时，电阻突然降至零。在普通导体中，电流由电压梯度驱动，而在超导体中，没有电压梯度，电流与超导序参数的相位梯度有关。结果在超导线环中流动的电流可以在没有电源的情况下无限持续。

在第二类超导体的超导体中，包括所有已知的高温超导体，当电流与强磁场结合使用时，在低于标称超导转变太远的温度下会出现极低但非零的电阻率，这可能是由电流引起的。这是由于电子超流体中磁涡流的运动，它消耗了电流携带的部分能量。与非超导材料相比，这种效应产生的电阻很小，但在敏感实验中必须考虑到这一点。然而，当温度降低到远低于标称超导转变时，这些涡流可能会冻结，使材料的电阻真正为零。

### 等离子体

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等离子体是非常好的导体，电势起着重要的作用。

电位均匀存在于带电粒子之间的空间中的，与如何测量它的问题无关，被称为等离子体电位或空间电位。如果将电极插入等离子体中，由于所谓的德拜鞘，其电位通常远低于等离子体电位。等离子体良好的导电性使其电场非常小。这就产生了准中性的重要概念，即在大量等离子体中负电荷的密度大约等于正电荷的密度（1=ne = ⟨Z⟩ > ni )，但在德拜长度范围内可能存在电荷不平衡。在形成双层的特殊情况下，电荷分离可以延伸数十个德拜长度。

电势和电场的大小必须通过简单地求净电荷密度以外的方法来确定。一个常见的例子是假设电子满足玻尔兹曼关系：$$n_\text{e} \propto \exp\left(e\Phi/k_\text{B} T_\text{e}\right).$$区分这种关系提供了一种根据密度计算电场的方法：$$\mathbf{E} = -\frac{k_\text{B} T_\text{e}}{e}\frac{\nabla n_\text{e}}{n_\text{e}}.$$（∇ 是向量梯度运算符；有关详细信息，请参阅nabla 符号和梯度。）

在天体物理等离子体中，电场屏蔽可防止电场直接影响大距离（即大于德拜长度）的等离子体。然而，带电粒子的存在导致等离子体产生磁场并受到磁场影响。这可能并且确实会导致极其复杂的行为，例如等离子体双层的产生，这是一种将电荷分离到数十个德拜长度的物体。磁流体动力学学科研究等离子体与外部磁场和自生磁场相互作用的动力学。

等离子体通常被称为继固体、液体和气体之后的第四种物质状态。与这些和其他低能物质状态不同，尽管等离子体与气相密切相关，因为它也没有确定的形式或体积，但它在许多方面有所不同，包括以下方面：

特征｜气体｜等离子体

电导率｜非常低：空气是极好的绝缘体，直到电场强度超过 30 kV/cm 时才会分解成等离子体。｜通常非常高：对于许多用途，等离子体的电导率可以被视为无限大。

独立行动类型｜一：所有气体粒子的行为方式都相似，受到重力和相互碰撞的影响。｜两个或三个：电子、离子、质子和中子可以通过其电荷的符号和值来区分，以便它们在许多情况下独立运行，具有不同的体速度和温度，从而允许诸如新型波和不稳定性等现象。

速度分布｜麦克斯韦式：碰撞通常会导致所有气体粒子的麦克斯韦速度分布，只有极少数相对较快的粒子。｜通常是非麦克斯韦式的：热等离子体中的碰撞相互作用通常很弱，外力可以使等离子体远离局部平衡，并导致大量异常快速的粒子。

互动｜二元：双粒子碰撞是规则，三体碰撞极为罕见。｜集体：波或等离子体的有组织运动非常重要，因为粒子可以通过电力和磁力在远距离相互作用。

## 各种材料的电阻率和电导率

- 诸如金属之类的导体具有高电导率和低电阻率。
- 玻璃等绝缘体具有低电导率和高电阻率。
- 半导体的电导率通常处于中等水平，但在不同条件下变化很大，例如材料暴露于电场或特定频率的光，最重要是，也随着半导体材料的温度和成分的变化。

半导体掺杂程度使电导率差异很大。某种程度上，掺杂更多会提高电导率。水、水溶液的电导率很大程度取决于其溶解盐的浓度以及在溶液中电离的其他化学物质。水样的电导率可用作样品无盐、无离子或无杂质程度的指标；水越纯净，电导率越低（电阻率越高）。水中的电导率测量通常以比电导的形式报告。EC计通常用于测量溶液中的电导率。粗略总结如下：

材料｜电阻率， ρ (Ω·m)

超导体｜0

金属｜10 -8

半导体｜多变的

电解质｜多变的

绝缘子｜10 16

超级绝缘体｜无穷大

此表显示了各种材料在20C的电阻率 ( ρ )、电导率和温度系数。

Material｜Resistivity, ρ, at 20°C (Ω·m)｜Conductivity, σ, at 20°C (S/m)｜Temperature coefficient (K−1)｜Reference

Silver｜1.59×10^-8｜6.30×10^7｜3.80×10^-3

Copper｜1.68×10^-8｜5.96×10^7｜4.04×10^-3

Annealed copper｜1.72×10^-8｜5.80×10^7｜3.93×10^-3

Gold｜2.44×10^-8｜4.11×10^7｜3.40×10^-3

Aluminium｜2.65×10^-8｜3.77×10^7｜3.90×10^-3

Brass (5% Zn)｜3.00×10^-8｜3.34×10^7

Calcium｜3.36×10^-8｜2.98×10^7｜4.10×10^-3

Rhodium｜4.33×10^-8｜2.31×10^7

Tungsten｜5.60×10^-8｜1.79×10^7｜4.50×10^-3

Zinc｜5.90×10^-8｜1.69×10^7｜3.70×10^-3

Brass (30% Zn)｜5.99×10^-8｜1.67×10^7

Cobalt｜6.24×10^-8｜1.60×10^7｜7.00×10^-3

Nickel｜6.99×10^-8｜1.43×10^7｜6.00×10^-3

Ruthenium｜7.10×10^-8｜1.41×10^7

Lithium｜9.28×10^-8｜1.08×10^7｜6.00×10^-3

Iron｜9.70×10^-8｜1.03×10^7｜5.00×10^-3

Platinum｜10.6×10^-8｜9.43×10^6｜3.92×10^-3

Tin｜10.9×10^-8｜9.17×10^6｜4.50×10^-3

Phosphor Bronze (0.2% P / 5% Sn)｜11.2×10^-8｜8.94×10^6

Gallium｜14.0×10^-8｜7.10×10^6｜4.00×10^-3

Niobium｜14.0×10^-8｜7.00×10^6

Carbon steel (1010)｜14.3×10^-8｜6.99×10^6

Lead｜22.0×10^-8｜4.55×10^6｜3.90×10^-3

Galinstan｜28.9×10^-8｜3.46×10^6

Titanium｜42.0×10^-8｜2.38×10^6｜3.80×10^-3

Grain oriented electrical steel｜46.0×10^-8｜2.17×10^6

Manganin｜48.2×10^-8｜2.07×10^6｜0.002×10^-3

Constantan｜49.0×10^-8｜2.04×10^6｜0.008×10^-3

Stainless steel｜69.0×10^-8｜1.45×10^6｜0.94×10^-3

Mercury｜98.0×10^-8｜1.02×10^6｜0.90×10^-3

Bismuth｜129×10^-8｜7.75×10^5

Manganese｜144×10^-8｜6.94×10^5

Plutonium (0 °C)｜146×10^-8｜6.85×10^5

Nichrome｜110×10^-8｜6.70×10^5｜0.40×10^-3

Carbon (graphite)parallel to basal plane｜250×10^-8 to 500×10^-8｜2×10^5 to 3×10^5

Carbon (amorphous)｜0.5×10^-3 to 0.8×10^-3｜1.25×10^3 to 2.00×10^3｜-0.50×10^-3

Carbon (graphite)perpendicular to basal plane｜3.0×10^-3｜3.3×10^2

GaAs｜to ｜to

Germanium｜4.6×10^-1｜2.17｜-48.0×10^-3

Sea water｜2.1×10^-1｜4.8

Swimming pool water｜3.3×10^-1 to 4.0×10^-1｜0.25 to 0.30

Drinking water｜2×10^1 to 2×10^3｜5×10^-4 to 5×10^-2

Silicon｜2.3×10^3｜4.35×10^-4｜-75.0×10^-3

Wood (damp)｜to｜to

Deionized water｜1.8×10^5｜4.2×10^-5

Ultrapure water｜1.82×10^9｜5.49×10^-10

Glass｜to｜to

Carbon (diamond)｜~

Hard rubber

Air｜to｜~ to

Wood (oven dry)｜to｜to

Sulfur

Fused quartz｜7.5×10^17｜1.3×10^-18

PET

PTFE (teflon)｜to｜to

有效温度系数随材料的温度和纯度等级而变化。20°C 值在其他温度下使用时，只是一个近似值。例如，铜的温度越高，系数就越低，且值0.00427 通常指定为0°C。

银的极低电阻率（高导电率）是金属的特性。乔治·伽莫夫在他的科普书One, Two, Three...Infinity中简洁地总结了金属与电子相互作用的本质：广泛认为木材是一种极好的绝缘体，但其电阻率敏感地取决于水分含量，潮湿的木材的绝缘性比烘干的木材差至少。足够高的电压（例如雷击或某些高压电线中的电压）可能会导致绝缘击穿和触电风险，即使是明显干燥的木材也是如此。

## 温度依赖性

### 线性近似

大多数材料的电阻率随温度变化。如果温度T变化不大，通常使用线性近似：$$\rho(T) = \rho_0[1 + \alpha (T - T_0)],$$其中$\alpha$称为电阻率温度系数， $T_0$是固定的参考温度（通常是室温），并且$\rho_0$是温度$T_0$下的电阻率。参数$\alpha$是根据测量资料拟合的经验参数。线性近似只是一个近似，$\alpha$对不同的参考温度来说不同。因此，通常会指定温度$\alpha$测量时带有后缀，例如$\alpha_{15}$，表示该关系仅在参考值附近的温度范围内成立。当温度在很大的温度范围内变化时，线性近似不够，应该更详细分析和理解。

### 金属

一般来说，金属的电阻率随温度升高而增大。电子与声子的相互作用起到了关键作用。在高温下，金属的电阻随温度呈线性增长。随着金属温度的降低，电阻率的温度依赖性遵循温度的幂律函数。在数学上，金属电阻率 ρ 的温度依赖性可通过Bloch–Grüneisen公式近似表示：$$\rho(T) = \rho(0) + A\left(\frac{T}{\Theta_R}\right)^n \int_0^{\Theta_R/T} \frac{x^n}{(e^x - 1)(1 - e^{-x})} \, dx ,$$其中$\rho_0$是由于缺陷散射而产生的残余电阻率，A 是取决于费米表面电子速度、德拜半径和金属中电子数密度的常数。$\Theta_R$是从电阻率测量获得的德拜温度，与从比热测量获得的德拜温度值非常匹配。n是一个整数，取决于交互作用的性质：

- n = 5 表示电阻由声子对电子散射造成（简单金属）
- n = 3 表示电阻由于s-d 电子散射造成（过渡金属）
- n = 2 表示电阻是由电子-电子相互作用引起的。

Bloch-Grüneisen公式假设所研究的金属具有内接于第一布里渊区和德拜声子谱的球形费米面而获得的近似值。

如果同时存在多个散射源，Matthiessen规则（由 Augustus Matthiessen 在 1860 年代首次提出）指出，可以透过将几个不同的项相加来近似总电阻，每个项都有适当的 n 值。

当金属的温度充分降低（从而“冻结”所有声子）时，电阻率通常达到恒定值，称为残余电阻率。该值不仅取决于金属的类型，还取决于其纯度和热历史。金属的残余电阻率的值由其杂质浓度决定。由于超导效应，一些材料在足够低的温度下失去所有电阻率。

对金属低温电阻率的研究是海克·卡末林·昂内斯实验的动机，该实验于1911年发现了超导性。详细信息请参阅超导的历史。

#### 维德曼-弗朗茨定律

维德曼-弗朗兹定律指出，对于热和电荷传输由电子主导的材料，热导率与电导率之比与温度成正比：$${\kappa \over \sigma} = {\pi^2 \over 3} \left(\frac{k}{e}\right)^2 T,$$其中$\kappa$是热导率， $k$是玻尔兹曼常数， $e$是电子电荷， $T$是温度，并且$\sigma$是电导率。rhs上的比率称为洛伦兹数。

### 半导体

一般来说，本征半导体电阻率随着温度的升高而降低。电子透过热能撞击到导带，在那里自由流动，并在此过程中在价带留下空穴，这些空穴也自由流动。典型本征（非掺杂）半导体的电阻随温度呈指数下降，遵循阿伦尼乌斯模型：$$\rho = \rho_0 e^{\frac{E_A}{k_B T}}.$$Steinhart-Hart方程给出了半导体电阻率与温度关系的更好近似值：$$\frac{1}{T} = A + B \ln\rho + C (\ln\rho)^3,$$其中A、 B和C是Steinhart-Hart 系数。

该方程用于校准热敏电阻。

非本征（掺杂）半导体的温度分布就复杂得多。随着温度从绝对零度开始升高，当载子离开供体或受体时，它们的电阻首先急剧下降。在大多数施主或受主失去载子后，由于载子迁移率的降低（与金属中的情况非常相似），电阻开始再次略有增加。在较高温度下，它们的行为类似于本征半导体，因为与热产生的载子相比，来自施主、受主的载子变得微不足道。

在非晶态半导体中，传导可以通过从一个局部位置到另一个局部位置的电荷量子隧道发生。这称为可变范围跳变，其特征形式为$$\rho = A\exp\left(T^{-1/n}\right),$$其中 n = 2, 3, 4，取决于系统的维度。

### 近藤绝缘子

近藤绝缘体是电阻率遵循以下公式的材料

$$\rho(T) = \rho_0 + aT^2 + bT^5 + c_m \ln\frac{\mu}{T}$$

其中$a$, $b$, $c_m$和$\mu$是常数参数， $\rho_0$是残余电阻率， $T^2$是费米液体贡献， $T^5$是晶格振动项和$\ln\frac{1}{T}$近藤效应。

## 复电阻率和电导率

在分析材料对交变电场（介电谱）的响应时，在电阻抗断层扫描等应用中，用称为阻抗的复数（类似于电阻抗）代替电阻率很方便。阻抗是实部电阻率和虚部电抗性的总和（类似于电抗）。阻抗的大小是电阻率和电抗性大小的平方和的平方根。

相反，在这种情况下，电导率必须表示为复数（或者在各向异性材料的情况下甚至表示为复数矩阵），称为导纳率。介电常数是称为电导率的实部和称为磁化率的虚部的总和。

对交流电响应的另一种描述使用实数（但与频率相关）电导率以及实数介电常数。电导率越大，交流信号被材料吸收的速度越快（即材料越不透明）。有关详细信息，请参阅opacity的数学描述。

## 复杂几何形状中的电阻与电阻率

即使材料的电阻率已知，在某些情况下，计算由其制成的物体的电阻可能比公式复杂得多$R = \rho \ell /A$多于。一个例子是扩散电阻分析，其中材料不均匀（不同地方的电阻率不同），电流的确切路径并不明显。

在这种情况下，公式$$J = \sigma E \,\, \rightleftharpoons \,\, E = \rho J$$替换为$$\mathbf{J}(\mathbf{r}) = \sigma(\mathbf{r}) \mathbf{E}(\mathbf{r}) \,\, \rightleftharpoons \,\, \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \rho(\mathbf{r}) \mathbf{J}(\mathbf{r}),$$其中E和J现在是向量场。该方程与J的连续性方程和E的泊松方程一起形成一组偏微分方程。在特殊情况下，可以手动计算出这些方程式的精确或近似解，但为了在复杂情况下获得非常准确的答案，可能需要有限元分析等计算方法。

## 电阻率-密度乘积

在一些物品重量非常重要的应用中，电阻率和密度的乘积比绝对低电阻率更重要－通常可以使导体更厚以弥补更高的电阻率；然后需要低电阻率密度产品材料（或等效地高电导率与密度比）。例如，对于长距离架空电力线，经常使用铝而不是铜 (Cu)，因为在相同的电导率下铝更轻。

银虽然是已知电阻最小的金属，但具有高密度，以此标准衡量其性能与铜相似，但价格昂贵得多。钙和碱金属具有最佳的电阻率密度乘积，但由于它们与水和氧的高反应性（并且缺乏物理强度）而很少用于导体。铝更加稳定。毒性排除了铍的选择。（纯铍也很脆）因此，当导体的重量或成本是主要考虑因素时，铝通常是首选金属。

材料｜电阻率( nΩ·m )｜密度(g/cm3 )｜电阻率×密度｜相对于Cu的电阻率，即提供相同电导所需的横截面积｜大约价格

( g·mΩ/m2 )｜相对Cu｜（美元每公斤）｜相对Cu

钠｜47.7｜0.97｜46｜31%｜2.843

锂｜92.8｜0.53｜49｜33%｜5.531

钙｜33.6｜1.55｜52｜35%｜2.002

钾｜72.0｜0.89｜64｜43%｜4.291

铍｜35.6｜1.85｜66｜44%｜2.122

铝｜26.50｜2.70｜72｜48%｜1.579｜2.0｜0.16

镁｜43.90｜1.74｜76｜51%｜2.616

铜｜16.78｜8.96｜150｜100%｜1｜6.0｜1

银｜15.87｜10.49｜166｜111%｜0.946｜456｜84

金｜22.14｜19.30｜427｜285%｜1.319｜39,000｜19,000

铁｜96.1｜7.874｜757｜505%｜5.727

## 相关

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- Chemiresistor
- Classification of materials based on permittivity
- Conductivity near the percolation threshold
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- Electrical resistivities of the elements (data page)
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- Sheet resistance
- SI electromagnetism units
- Skin effect
- Spitzer resistivity
- Dielectric strength

## 进一步阅读

- Measuring Electrical Resistivity and Conductivity

## 外部链接

- Comparison of the electrical conductivity of various elements in WolframAlpha

## 基本资料

- 日语原文：Resistivity
- 国际单位：ohm metre (Ω⋅m)
- 基本单位：kg⋅m3⋅s−3⋅A−2
- 单位因次：$\mathsf M \mathsf L^3 \mathsf T^{-3} \mathsf I^{-2}$
- 从其他物理量的推衍：$\rho = R \frac{A}{\ell}$
- 日语原文：Conductivity
- 国际单位：siemens per metre (S/m)
- otherunits：z
- 货币符号：σ, κ, γii
- 单位因次：$\mathsf M^{-1} \mathsf L^{-3} \mathsf T^3 \mathsf I^2$
- 从其他物理量的推衍：$\sigma = \frac{1}{\rho}$