拉东变换

数学上，拉东变换（又称雷登变换）是一种积分变换，这个变换将二维平面函数$f$变换成一个定义在二维空间上的一个线性函数${\cal R} f$(${\cal R} f$的意思是对$f$做拉东变换)，而${\cal R} f$的值为函数$f$对该条线${\cal R} f$做积分的值。以右图为例，黄色区域即是$f$，$A$线则是代表${\cal R} f$。

拉东变换是约翰·拉东在公元1917年提出，他也同时提出拉东变换的反变换公式，以及三次空间的拉东变换公式。

三次空间拉东变换，是对一个平面积分(对线积分则是X射线变换)。而在不久之后，更高维度的欧几里得空间的拉东变换被提出，更详尽的广义拉东变换要参见积分几何。

在复数上有和拉东变换相似的彭罗斯变换，拉东变换被广泛的应用在断层扫描，拉东反变换可以从断层扫描的剖面图重建出投影前的函数。

## 简介

若函数$f$表示一个未知的密度，对$f$做拉东变换，相当于得到$f$投影后的讯号，举例来说：$f$相当于人体组织，断层扫描的输出讯号相当于经过拉东变换的$f$。

因此，可以用拉东反变换从投影后的密度函数，重建原始的密度函数，它也是重建断层扫描的数学理论基础，另一个被广为人知名词的是三维重建。

拉东变换后的讯号称作正弦图（sinogram），因为一个偏离中心的点的拉东变换是一条正弦曲线。所以对一些小点的拉东变换，会看起来像很多不同振福、相位的正弦函数重叠在一起。

拉东变换可以应用在：X射线电脑断层扫描、条码扫描器、大分子装配（Macromolecular assembly）的电子显微镜（例如：病毒、蛋白质复合体）、反射地震学，而且也是双曲线偏微分方程的解。

## 定义

令密度函数$f({\bf x})=f(x,y)$是一个的定义域为 ${\bf R}^2$ 的紧支撑。令${\cal R}$为拉东变换的运算子(operator)，则${\cal R} f(x,y)$是一个定义在${\bf R}^2$空间中的直线$L$，它的定义如下

$${\cal R} f(L) = \int_L f({\bf x}) |d {\bf x}|$$

可以把直线 $L$改写成一个弧长$z$的参数式

$$(x(z), y(z)) = \Big( (z\sin\alpha+s\cos\alpha), (-z\cos\alpha+s\sin\alpha) \Big) \,$$

$s$是直线$L$和原点的距离，而$\alpha$是垂直于$L$的法线和$x$轴的夹角。

接下来，我们可以令$(\alpha, s)$当作${\bf R}^2$平面上的新座标系统，把这个座标变换带入到拉东变换得到

$$\begin{align}{\cal R} f(\alpha,s) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x(z),y(z))\, dz\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f\big( (z\sin\alpha+s\cos\alpha), (-z\cos\alpha+s\sin\alpha) \big)\, dz\end{align}$$

更进一步，我们可以把${\bf R}^2$推广到${\bf R}^n$的欧几里得空间，对一个紧支撑的连续函数$f$做拉东变换后的函数${\cal R} f$是定义在$\Sigma_n$的超平面上。

$${\cal R} f(\xi) = \int_\xi f(\mathbf{x})\, d\sigma(\mathbf{x}),\quad {\rm for} \quad \xi \in \Sigma_n$$

积分的对象是自然超平面测度(natural hypersurface measure)，而$d \Delta$是原本的$|d {\bf x}|$的高维推广。可以观察到对$\Sigma_n$里的任意元素。

都是某个轨迹方程式的解

$${\bf x} \cdot \alpha = s .$$

而$\alpha$是一个单位向量且属于${\rm S}^{n-1}$，$s \in \mathbb{R}$，n维的拉东变换可以改写成定义在 ${\rm S}^{n-1} \times {\bf R}$上的函数

$${\cal R} f(\alpha,s) = \int_{\mathbf{x}\cdot\alpha = s} f(\mathbf{x})\, d\sigma(\mathbf{x})$$

也可以借由其他方式将拉东变换推广，也就是对${\bf R}^n$的k维仿射子空间作(k-dimensional affine subspaces)积分。

而这种推广拉东变换的特殊情况被广泛应用在X射线电脑断层扫描，他的做法是对一条直线积分。

## 与傅立叶变换的关系

拉东变换和傅立叶变换之间有很强的关联性。单变数的傅立叶变换的定义是

$$\hat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx$$

而双变数$({\bf x}) = (x, y)$的傅立叶变换是

$$\hat{f}(\mathbf{w})=\int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty }^{\infty} f(\mathbf{x})e^{-2\pi i\mathbf{x}\cdot\mathbf{w}}\,dx\, dy$$

把拉东变换的运算子的表记从${\cal R}[f](s)$ 改成 ${\cal R}[f](\alpha, s)$。根据投影切片定理学说。

$$\widehat{\mathcal{R}_{\alpha}[f]}(\sigma)=\hat{f}(\sigma\mathbf{n}(\alpha)), \quad \mathbf{n}(\alpha)= (\cos \alpha,\sin\alpha)$$

因此一个初始函数沿着一条线倾角$\alpha$的二维的傅立叶变换，相当于对拉东变换做一维的傅立叶变换。这个结果可以推广到n维

$$\hat{f}(r\alpha) = \int_{-\infty}^\infty \mathcal{R}f(\alpha,s)e^{-2\pi i sr}\, ds$$

## 对偶变换

对偶拉东变换是拉东变换的埃尔米特伴随。令在空间$\Sigma_n$上的函数$g$，而对偶拉东变换的运算子定义为${\cal R}^*$。作用在$g$上

$$\mathcal{R}^*g(x) = \int_{x\in\xi} g(\xi)\,d\mu(\xi)$$

积分的范围是所有和$x \in {\bf R}^2$相交的超平面集合，而测度(measure)$d \mu$是集合$\xi | x \in \xi$特殊的几率测度(Probability measure)。

当对着$x$旋转时，$d \mu$的值不会改变

对于一个二维的拉东变换，其对偶变换是

$$\mathcal{R}^*g(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{\alpha=0}^{2\pi}g(\alpha,\mathbf{n}(\alpha)\cdot\mathbf{x})\,d\alpha$$

在影像处理的文章中，对偶变换经常被称作反向投影(back-projection)，因为它将平面中每条线上定义的函数 投影到该线上，从而生成图像。

交结性质

根据拉普拉斯算子$\Delta$在 ${\bf R}^n$的定义是

$$\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+\cdots+\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}$$

这是一个旋转不变性的二阶微分算子，在空间$\Sigma_n$，半径的二阶导数

$$Lf(\alpha,s) \equiv \frac{\partial^2}{\partial s^2} f(\alpha,s)$$

也是旋转不变性。

而拉东变换与其对偶变换属于交结运算子(intertwining operator)，是因为

$$\mathcal{R}(\Delta f) = L (\mathcal{R}f),\quad \mathcal{R}^* (Lg) = \Delta(\mathcal{R}^*g)$$

## 重建方法

重建处理是指从投影影像重建一个影像，或是一个函数$f$。重建处理是一种逆问题(inverse problem)。

拉东反变换公式

对于二维拉东变换，最常被使用的解析公式(analytical formula)$f$，是Filtered Backprojection Formula或拉东反变换公式，反变换公式为

$f(\mathbf{x})=\int^{\pi}_{0}(\mathcal{R}f(\cdot,\theta)*h)(\left\langle\mathbf{x},\mathbf{n}_{\theta} \right\rangle) d\theta$

函数$h$满足$\hat{h}(k) = |k|$，卷积核 (convolution kernel) $h$在一些文章中称作Ramp filter。

不适定问题 (ill-posedness)

直觉上，反变换公式应该和微分类似，$\widehat{\frac{d}{dx}} f(x) = i k \hat{f}(k)$。我们可以看的出来反变换公式的行为类似微分。大致上来说，这个反变换公式把目标奇异化(singular)；要如何量化拉东反转化的不适定问题 (ill-posedness)呢？首先可以写出

$$\widehat{\mathcal{R}^*\mathcal{R}g}(k)=\frac{1}{||\mathbf{k}||}\hat{g}(\mathbf{k})$$

${\cal R}^*$即是前面定义的反变换运算子，且伴随着(adjoint to)拉东变换，因此$g({\bf x}) = e^{i \langle {\bf k}_0, {\bf x} \rangle}$，上式变成

$${\cal R}^* {\cal R} g = \frac{1}{||{\bf k}||} e^{i \langle {\bf k}_0, {\bf x} \rangle }$$

复数指数函数$e^{i \langle {\bf k}_0, {\bf x} \rangle }$，是${\cal R}^* {\cal R}$的固有函数 (eigenfunction)。

而特征值 (eigenvalue)为$\frac{1}{||{\bf k}||}$。${\cal R}$的奇异值 (singular values) 是$\sqrt{\frac{1}{||{\bf k}||}}$。

因为这些奇异值 (singular values)会趋近于0，所以${\cal R}^{-1}$是无界的(unbounded)。

## 反变换公式

外显(explicit)且计算效率好的拉东反变换公式，以及他的对偶是存在的。n维的反拉东变换可以由

$$c_n f = (-\Delta)^{(n-1)/2} {\cal R}^* \{ {\cal R} f \}$$

其中

$$c_n = (4\pi)^{(n-1)/2}\frac{\Gamma(n/2)}{\Gamma(1/2)}$$

而$\Delta$是拉普拉斯算子(Laplacian)，$(-\Delta)^{(n-1)/2}$是伪微分算子(pseudodifferential operator)

$$\mathcal{F}\left[(-\Delta)^{(n-1)/2}\phi\right](\xi) = |2\pi\xi|^{n-1}\mathcal{F}\phi(\xi).$$

$\mathcal{F}$是傅立叶变换的运算子(operator)。