输入-状态稳定性

输入-状态稳定性（Input-to-state stability）简称ISS，是在有外部输入时，非线性的控制理论中探讨其稳定性的方式。简单来说，控制系统具有输入-状态稳定性也就是指在没有外在输入时，系统会渐近稳定，而且在足够长的时间后，系统轨迹会限制在和输入大小有关的函数中。

输入-状态稳定性之所以重要，是因为此概念连接了输入-输出稳定性以及状态空间法，这二个都是控制系统研究者常常使用的工具。输入-状态稳定性的标示方式是由Eduardo Sontag在1989年开始使用。

## 定义

考虑非时变常微分方程，其形式如下

$$\dot{x} = f(x,u), \ x(t) \in \mathbb{R}^n,$$

其中$u:\mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}^m$是勒贝格测度有本质确界的外部输入，且 $f$是利普希茨连续函数。这可以确保系统(1)有唯一绝对连续的解。

若要定义ISS以及其他相关的性质，需要引入以下的比较函数分类。令$\mathcal{K}$（K类函数）为连续递增函数$\gamma:\R_+ \to \R_+$，且$\gamma(0)=0$形成的集合，令$\mathcal{K}_{\infty}$为无界函数$\gamma \in \mathcal{K}$，再令$\beta \in \mathcal{K}\mathcal{L}$（KL类函数）为若$\beta(\cdot,t) \in \mathcal{K}$在所有的$t \geq 0$都成立，而且针对所有的$r > 0$，$\beta(r,\cdot)$连续，且严格递减至0。

系统(1)称为在原点全域渐近稳定（0-GAS），若对应的零输入系统$$\dot{x} = f(x,0), \ x(t) \in \mathbb{R}^n,$$ 是全域李雅普诺夫稳定，也就是存在$\beta \in \mathcal{K}\mathcal{L}$使得针对所有的初值$x_0$以及任意时间$t \geq 0$，以下有关(WithoutInputs)解的估计都有效＞：

$$|x(t)| \leq \beta(|x_0|,t).$$

系统(1)称为输入-状态稳定性（ISS）若存在函数$\gamma \in \mathcal{K}$且$\beta \in \mathcal{K}\mathcal{L}$使得针对所有初值$x_0$，所有可行的输入$u$以及任意时间$t \geq 0$，以下的不等式都成立$$|x(t)| \leq \beta(|x_0|,t) + \gamma(\|u\|_{\infty}).$$

上述不等式中的函数$\gamma$称为增益（gain）。

很明显的，ISS系统是0-GAS系统，也有有界输入有界输出稳定性（若令输出等于状态），不过0-GAS系统不一定是ISS系统。

也可以证明若在$t \to \infty$时，$|u(t)| \to 0$，则在$t \to \infty$时，$|x(t)| \to 0$。

## 输入-状态稳定性质的特点

为了要了解输入-状态稳定性，需要用其他的稳定性术语来重新说明。

系统(1)为全域稳定（GS），若存在$\gamma, \sigma \in \mathcal{K}$，使得对于$\forall u$、$\forall t \geq 0$及$\forall x_0$，下式都成立

$$|x(t)| \leq \sigma(|x_0|) + \gamma(\|u\|_{\infty}).$$

系统(1)满足渐近增益（AG）特性，若存在$\gamma \in \mathcal{K}$，使得对于$\forall x_0$, $\forall u$，下式都成立

$$\limsup_{t \to \infty}|x(t)| \leq \gamma(\|u\|_{\infty}).$$

以下的描述都是等效的：

- (1)有ISS（输入-状态稳定性）
- (1)是GS（全域稳定），且有AG（渐近增益）特性
- (1)是0-GAS（在原点全域渐近稳定），且有AG（渐近增益）特性

在论文中可以找到以上论述的证明，以及许多输入-状态稳定性的特性。

## ISS-李亚普诺夫函数

ISS-李亚普诺夫函数是验证输入-状态稳定性时的重要工具。

光滑函数$V: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}_+$是系统(1)的ISS-李亚普诺夫函数，若$\exists \psi_1,\psi_2 \in \mathcal{K}_{\infty}$, $\chi \in \mathcal{K}$，以及正定函数 $\alpha$，使得下式成立：

$$\psi_1(|x|) \leq V(x) \leq \psi_2(|x|), \quad \forall x \in \mathbb{R}^n$$

以及$\forall x \in \mathbb{R}^n, \; \forall u\in \mathbb{R}^m$，下式成立：

$$<pre> |x| \geq \chi(|u|) \ \Rightarrow \ \nabla V \cdot f(x,u) \leq -\alpha(|x|), </pre>$$

函数$\chi$称为李亚普诺夫增益（Lyapunov gain）。

若系统(1)没有输入（也就是$u \equiv 0$），则最后一式可以简化如下

$$\nabla V \cdot f(x,u) \leq -\alpha(|x|),\ \forall x \neq 0,$$

因此$V$也是（一般定义的）李亚普诺夫函数。

E. Sontag和Y. Wang得到的重要结论是系统(1)为ISS，当且仅当存在光滑ISS李亚普诺夫函数。

## 例子

考虑一系统

$$\dot{x}=-x^3+ux^2.$$

定义候选的ISS-李亚普诺夫函数$V:\R \to \R_+$如下$$V(x)=\frac{1}{2}x^2, \quad \forall x \in \R.$$

$$\dot{V}(x)=\nabla V \cdot (-x^3+ux^2) = -x^4 + ux^3.$$

选择李亚普诺夫增益$\chi$为

$\chi(r):= \frac{1}{1-\epsilon}r$.

可以得到在$x,u:\ |x| \geq \chi(|u|)$的条件下，下式成立

$$\dot{V}(x) \leq -|x|^4 + (1-\epsilon)|x|^4 = -\epsilon|x|^4.$$

可得$V$是该系统的ISS-李亚普诺夫函数，李亚普诺夫增益为$\chi$。

## 其他相关概念

### 积分输入-状态稳定性（iISS）

系统(1)为积分输入-状态稳定性（integral input-to-state stable，iISS）若存在函数$\alpha, \gamma \in \mathcal{K}$及$\beta \in \mathcal{K}\mathcal{L}$，使得针对所有初值$x_0$，所有可行的输入$u$及任意时间$t \geq 0$下，以下不等式都会成立：

$$\alpha(|x(t)|) \leq \beta(|x_0|,t) + \int_0^t \gamma(|u(s)|)ds.$$

积分输入-状态稳定性（iISS）系统和ISS系统不同，若系统是iISS系统，在有界输入下其轨迹仍可能会成长到无限大。例如，在所有$r \geq 0$，令$\alpha(r)=\gamma(r)=r$，且令$u \equiv c= const$，则估计(3)会变成以下的形式

$$|x(t)| \leq \beta(|x_0|,t) + \int_0^t cds = \beta(|x_0|,t) + ct,$$

随着$t \to \infty$，等号右侧会趋近无限大 $t \to \infty$。

### 局部输入-状态稳定性（LISS）

局部输入-状态稳定性也是一种输入-状态稳定性的特性。系统(1)为局部输入-状态稳定性（locally ISS、LISS）若存在常数$\rho>0$、函数 $\gamma \in \mathcal{K}$及$\beta \in \mathcal{K}\mathcal{L}$使得：针对所有$x_0 \in \mathbb{R}^n: \; |x_0| \leq \rho$，所有可行的输入$u: \|u\|_{\infty} \leq \rho$及任意时间$t \geq 0$，下式都成立

$$|x(t)| \leq \beta(|x_0|,t) + \gamma(\|u\|_{\infty}).$$

可以观察到0-GAS系统会有LISS系统的特性。

### 其他的稳定性

也有其他人提出和输入-状态稳定性有关的稳定性特性，例如增量输入-状态稳定性（incremental ISS）、输入至输出动态稳定性（input-to-state dynamical stability、ISDS）、输入至输出实务稳定性（input-to-state practical stability、ISpS）、输入至输出稳定性（input-to-output stability、IOS）等。

## 时滞系统的ISS

考虑非时变的时滞微分方程

$$\dot{x}(t)=f(x^t,u(t)), \quad t > 0.$$

其中$x^t\in C([-\theta,0];\R^N)$是系统(TDS)在时间$t$的状态，$x^t(\tau)=x(t+\tau),\ \tau\in[-\theta,0]$及$f:C([-\theta,0];\R^N) \times \R^m$需满足特定假设，以确保系统(TDS)的解存在且唯一。

系统(TDS)为ISS，当且仅当存在函数$\beta\in \mathcal{KL}$及$\gamma\in\mathcal{K}$，使得针对所有$\xi\in C(\left[-\theta,0\right],\R^N)$，所有可行的输入，在任意时间$t\in\R_+$下，下式都成立

$$\left|x(t)\right|\leq \beta(\left\|\xi\right\|_{\left[-\theta,0\right]},t) + \gamma(\left\|u\right\|_{\infty}).$$

在时滞系统的ISS理论中，提出了二个不同的李亚普诺夫型的充份条件：透过ISS Lyapunov-Razumikhin函数及ISS Lyapunov-Krasovskii泛函。有些论文有提到有关时滞系统的逆李亚普诺夫定理。

## 其他类型系统的输入-状态稳定性

以非时变常微分方程为基础的输入-状态稳定性是已有相当发展的理论。也有研究者将此理论应用在其他的系统中，例如时变系统、混合系统。近来也有人提出，将输入-状态稳定性的一些概念扩展到无限维系统的想法。