特征方程式

特征方程式（characteristic equation）或辅助方程式（auxiliary equation）为数学名词，是对应n阶微分方程或递回关系式的n多项式的次数代数方程式。只有线性齐次常系数的微分方程或差分方程才有特征方程式。考虑一微分方程，其因变量为 $y$，$a_n, a_{n-1}, \cdots, a_1, a_0$为常数

$$a_{n}y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_{1}y' + a_{0}y = 0,$$

其特征方程式如下

$$a_{n}r^{n} + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_{1}r + a_{0} = 0$$

根据其解 $r_1, r_2, \cdots, r_n$可以产生微分方程的通解。而一个线性差分方程

$$y_{t+n}=b_1y_{t+n-1} + \cdots + b_ny_{t}$$

也有其特征方程式

$$r^n - b_1r^{n-1} - \cdots - b_n =0,$$

特征方程式的根也可以提供动态方程的特性资讯。若是一个自变数为时间的微分方程，其应变数稳定的充份必要条件是每一个根的实部都是负值。若是差分方程，稳定的充份必要条件是每一个根的绝对值都小于1。针对这两种系统，若是有复数根，表示其解会振荡。

线性常系数常微分方程的积分求解法是由莱昂哈德·欧拉发现，他也发现了其解的特性和代数的“特征方程”有关。后来法国科学家奥古斯丁·路易·柯西及加斯帕尔·蒙日也提及欧拉的特征方程，而且提到不少细节。

## 推导

考虑常系数的线性齐次微分方程$a_n, a_{n-1}, \cdots, a_1, a_0$,

$$a_{n}y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_{1}y^\prime + a_{0}y = 0$$

假设 $y(x)=e^{rx}$，而指数函数 $e^{rx}$ 的导数是本身的倍数，$y'=re^{rx}$, $y''=r^2 e^{rx}$，$y^{(n)}=r^n e^{rx}$。因此上式中的每一项都会是 $e^{rx}$ 的倍数。若 $r$ 为特定值，可以让 $e^{rx}$ 的倍数变为0，这样即可求解齐次微分方程。为了求解 $r$，可以将 $y=e^{rx}$ 及其导数替换到微分方程中，可以得到

$a_{n}r^{n}e^{rx} + a_{n-1}r^{n-1}e^{rx} + \cdots + a_{1}re^{rx} + a_{0}e^{rx} = 0$。

因为 $e^{rx}$ 不会为零，因此其系数必须为零，可以得到以下的特征方程式

$$a_{n}r^{n} + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_{1}r + a_{0} = 0$$

求解特征方程式中的 $r$，可以求得微分方程的通解。例如，若 $r$ 为3，其通解为 $y(x)=ce^{3x}$，其中 $c$ 为积分常数。

## 有关通解的公式

找到特征方程式的根 $r_1, \cdots, r_n$，就可以找到微分方程的通解。特征方程式的根可能是实数或复数，可能都是不同的值，也可能会有相同的值（重根）。若特征方程式的根有相异的实根，另外有 $h$ 个重根，或是 $k$ 个复数的根，其解分别为$y_{\mathrm{D}}(x)$ , $y_{\mathrm{R}_1}(x), \cdots, y_{\mathrm{R}_h}(x)$ 及 $y_{\mathrm{C}_1}(x), \cdots, y_{\mathrm{C}_k}(x)$，因此通解为

$$y(x) = y_\mathrm{D}(x) + y_{\mathrm{R}_1}(x) + \cdots + y_{\mathrm{R}_h}(x) + y_{\mathrm{C}_1}(x) + \cdots + y_{\mathrm{C}_k}(x)$$

### 例子

以下是常系数的线性齐次微分方程

$$y^{(5)} + y^{(4)} - 4y^{(3)} - 16y'' -20y' - 12y = 0$$

其特征方程为

$$r^5 + r^4 - 4r^3 - 16r^2 -20r - 12 = 0$$

将特征方程因式分解，可得到

$$(r - 3)\left(r^2 + 2r + 2\right)^2 = 0$$

可以看到 $r$ 的解有一个单根，$r_1=3$ 以及重根的复数根 $r_{2,3,4,5}=-1\pm i$，因此其通解为

$$y(x) = c_1 e^{3x} + e^{-x}(c_2 \cos x + c_3 \sin x) + xe^{-x}(c_4 \cos x + c_5 \sin x)$$

其中有常数 $c_1, \cdots, c_5$。

### 相异实根

根据应用在常系数线性齐次微分方程的叠加原理，若 $u_1, \cdots, u_n$是特定微分方程的 $n$ 个线性无关的解，则 $c_1u_1 + \cdots + c_nu_n$ 也是其解，其中 $c_1, \cdots, c_n$ 为任意常数。因此，若特征方程有相异实根 $r_1, \cdots, r_n$，则通解为

$y_\mathrm{D}(x) = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x} + \cdots + c_n e^{r_n x}$。

### 重根实根

若特征方程式中有重复 $k$ 次的根 $r_1$，可以确定 $y_{\mathrm{p}}(x)=c_1 e^{r_1 x}$ 会是微分方程的解，不过这个解没有针对其他 $k-1$ 的根提供线性独立的解。因为 $r_1$ 为 $k$ 次重根，可以将微分方程改写为

$\left ( \frac{d}{dx} - r_1 \right )^k y = 0$.

因为 $y_{\mathrm{p}}(x)=c_1 e^{r_1 x}$ 为其中的一个解，因此可以令通解为以下的形式 $y(x)=u(x)e^{r_1 x}$，其中 $u(x)$ 是待确认的函数。将 $ue^{r_1 x}$ 代入后可得

$$\left ( \frac{d}{dx} - r_1 \right ) ue^{r_1 x} = \frac{d}{dx}\left(ue^{r_1 x}\right) - r_1 ue^{r_1 x} = \frac{d}{dx}(u)e^{r_1 x} + r_1 ue^{r_1 x}- r_1 ue^{r_1 x} = \frac{d}{dx}(u)e^{r_1 x}$$

其中 $k=1$。上述的式子应用 $k$ 次，可以得到

$$\left ( \frac{d}{dx} - r_1 \right )^k ue^{r_1 x} = \frac{d^k}{dx^k}(u)e^{r_1 x} = 0$$

除以 $e^{r_1 x}$ 后可得

$$\frac{d^k}{dx^k}(u) = u^{(k)} = 0$$

上述式子当且仅当 $u(x)$ 是 $k-1$ 次的多项式，因此 $u(x)=c_1 + c_2 x + c_3 x^2 + \cdots + c_k x^{k-1}$.。因为 $y(x)=ue^{r_1 x}$，因此通解中对应 $r_1$ 的解会是

$$y_\mathrm{R}(x) = e^{r_1 x}\left(c_1 + c_2 x + \cdots + c_k x^{k-1}\right)$$

### 复数根

若二阶微分方程有共轭复数根 $r_1=a+bi$ 及 $r_2=a-bi$，其对应的通解为 $y(x)=c_1 e^{(a+bi)x}+c_2 e^{(a-bi)x}$。利用欧拉公式（$e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$），可以将通解改写如下：

$$\begin{align} y(x) &= c_{1}e^{(a + bi)x} + c_{2}e^{(a - bi)x}\\ <pre> &= c_{1}e^{ax}(\cos bx + i \sin bx) + c_{2}e^{ax}( \cos bx - i \sin bx ) \\ &= \left(c_{1} + c_{2}\right)e^{ax} \cos bx + i(c_{1} - c_{2})e^{ax} \sin bx </pre> \end{align}$$

其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是系数，不过可能不是实数，而且随初始条件而不同（因为 $y(x)$ 是实数，$c_1-c_2$ 需要是虚数或是零，$c_1+c_2$ 为实数，为了要让等号右边为实数）

例如，若 $c_1=c_2=\frac{1}{2}$，可以得到特解 $y_1(x)=e^{ax}\cos bx$，另外，若 $c_1=\frac{1}{2i}$ 及 $c_2=-\frac{1}{2i}$，可以得到另一个独立的解 $y_2(x)=e^{ax}\sin bx$。利用重叠原则，有 $r=a\pm bi$ 复根的常系数线性齐次微分方程，其通解如下：

$$y_\mathrm{C}(x) = e^{ax}\left(c_{1} \cos bx +c_{2} \sin bx \right)$$

上述的分析也可以应用在高阶微分方程，其特征方程式中也可能有非实数的共轭根。