级数列表

本表 列出基本或常见的有限级数与无限级数的计算公式。

- 规定$0^0=1$。
- $B_n(x)$表示Bernoulli多项式。
- $B_n$表示Bernoulli数，其中，$B_1=-\frac{1}{2}$。
- $E_n$表示Euler数。
- $\zeta(s)$表示黎曼ζ函数。
- $\Gamma(z)$表示Γ函数。
- $\psi_n(z)$表示多伽玛函数。
- $\operatorname{Li}_s(z)$表示多重对数函数。

## 幂求和

参见等幂求和。

- $$\sum_{k=0}^m k^{n-1}=\frac{B_n(m+1)-B_n}{n}$$

其中，一次方项、平方项及立方项之和的公式如下︰

- $$\sum_{k=1}^m k=\frac{m(m+1)}{2}$$
- $$\sum_{k=1}^m k^2=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}=\frac{m^3}{3}+\frac{m^2}{2}+\frac{m}{6}$$
- $$\sum_{k=1}^m k^3=\left[\frac{m(m+1)}{2}\right]^2=\frac{m^4}{4}+\frac{m^3}{2}+\frac{m^2}{4}$$

参见ζ常数.

- $$\zeta(2n)=\sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{k^{2n}}=(-1)^{n+1} \frac{B_{2n} (2\pi)^{2n}}{2(2n)!}$$

其中，前几项为︰

- $\zeta(2)=\sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$ （巴塞尔问题）
- $$\zeta(4)=\sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{k^4}=\frac{\pi^4}{90}$$
- $$\zeta(6)=\sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{k^6}=\frac{\pi^6}{945}$$

## 幂级数

### 低次数多重对数函数

有限项求和︰

- $\sum_{k=0}^{n} z^k = \frac{1-z^{n+1}}{1-z}$, (等比数列求和公式)
- $$\sum_{k=1}^n k z^k = z\frac{1-(n+1)z^n+nz^{n+1}}{(1-z)^2}$$
- $$\sum_{k=1}^n k^2 z^k = z\frac{1+z-(n+1)^2z^n+(2n^2+2n-1)z^{n+1}-n^2z^{n+2}}{(1-z)^3}$$
- $$\sum_{k=1}^n k^m z^k = \left(z \frac{d}{dz}\right)^m \frac{1-z^{n+1}}{1-z}$$

无限项求和，其中$|z|<1$（参见多重对数函数）︰

- $$\operatorname{Li}_n(z)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{z^k}{k^n}$$

以下是递归计算低整数次幂的多重对数函数以得出解析解时所用到的一个性质︰

- $$\frac{d}{dz}\operatorname{Li}_n(z)=\frac{\operatorname{Li}_{n-1}(z)}{z}$$

前几项分别为︰

- $$\operatorname{Li}_{1}(z)=\sum_{k=1}^\infty \frac{z^k}{k}=-\ln(1-z)$$
- $$\operatorname{Li}_{0}(z)=\sum_{k=1}^\infty z^k=\frac{z}{1-z}$$
- $$\operatorname{Li}_{-1}(z)=\sum_{k=1}^\infty k z^k=\frac{z}{(1-z)^2}$$
- $$\operatorname{Li}_{-2}(z)=\sum_{k=1}^\infty k^2 z^k=\frac{z(1+z)}{(1-z)^3}$$
- $$\operatorname{Li}_{-3}(z)=\sum_{k=1}^\infty k^3 z^k =\frac{z(1+4z+z^2)}{(1-z)^4}$$
- $$\operatorname{Li}_{-4}(z)=\sum_{k=1}^\infty k^4 z^k =\frac{z(1+z)(1+10z+z^2)}{(1-z)^5}$$

### 指数函数

- $$\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} = e^z$$
- $\sum_{k=0}^\infty k\frac{z^k}{k!} = z e^z$ （参见Poisson分布的数学期望）
- $\sum_{k=0}^\infty k^2 \frac{z^k}{k!} = (z + z^2) e^z$ （参见Poisson分布的二阶矩）
- $$\sum_{k=0}^\infty k^3 \frac{z^k}{k!} = (z + 3z^2 + z^3) e^z$$
- $$\sum_{k=0}^\infty k^4 \frac{z^k}{k!} = (z + 7z^2 + 6z^3 + z^4) e^z$$
- $$\sum_{k=0}^\infty k^n \frac{z^k}{k!} = z \frac{d}{dz} \sum_{k=0}^\infty k^{n-1} \frac{z^k}{k!}\,\! = e^z T_{n}(z)$$

其中，$T_{n}(z)$表示图沙德多项式。

### 三角函数、反三角函数、双曲函数及反双曲函数

- $$\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k z^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sin z$$
- $$\sum_{k=0}^\infty \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sinh z$$
- $$\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k z^{2k}}{(2k)!}=\cos z$$
- $$\sum_{k=0}^\infty \frac{z^{2k}}{(2k)!}=\cosh z$$
- $$\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}(2^{2k}-1)2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}=\tan z, |z|<\frac{\pi}{2}$$
- $$\sum_{k=1}^\infty \frac{(2^{2k}-1)2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}=\tanh z, |z|<\frac{\pi}{2}$$
- $$\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}=\cot z, |z|<\pi$$
- $$\sum_{k=0}^\infty \frac{2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}=\coth z, |z|<\pi$$
- $$\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k-1}(2^{2k}-2)B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}=\csc z, |z|<\pi$$
- $$\sum_{k=0}^\infty \frac{-(2^{2k}-2)B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}=\operatorname{csch} z, |z|<\pi$$
- $$\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kE_{2k}z^{2k}}{(2k)!}=\sec z, |z|<\frac{\pi}{2}$$
- $$\sum_{k=0}^\infty \frac{E_{2k}z^{2k}}{(2k)!}=\operatorname{sech} z, |z|<\frac{\pi}{2}$$
- $\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1} z^{2k}}{(2k)!}=\operatorname{ver}z$（正矢）
- $\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1} z^{2k}}{2(2k)!}=\operatorname{hav}z$（半正矢）
- $$\sum_{k=0}^\infty \frac{(2k)!z^{2k+1}}{2^{2k}(k!)^2(2k+1)}=\arcsin z, |z|\le1$$
- $$\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k(2k)!z^{2k+1}}{2^{2k}(k!)^2(2k+1)}=\operatorname{arcsinh} {z}, |z|\le1$$
- $$\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kz^{2k+1}}{2k+1}=\arctan z, |z|<1$$
- $$\sum_{k=0}^\infty \frac{z^{2k+1}}{2k+1}=\operatorname{arctanh} z, |z|<1$$
- $$\ln2+\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}(2k)!z^{2k}}{2^{2k+1}k(k!)^2}=\ln\left(1+\sqrt{1+z^2}\right), |z|\le1$$

### 修正的分母阶乘

- $\sum^{\infty}_{k=0} \frac{(4k)!}{2^{4k} \sqrt{2} (2k)! (2k+1)!} z^k = \sqrt{\frac{1-\sqrt{1-z}}{z}}, |z|<1$
- $\sum^{\infty}_{k=0} \frac{2^{2k} (k!)^2}{(k+1) (2k+1)!} z^{2k+2} = \left(\arcsin{z}\right)^2, |z|\le1$
- $$\sum^{\infty}_{n=0} \frac{\prod_{k=0}^{n-1}(4k^2+\alpha^2)}{(2n)!} z^{2n} + \sum^{\infty}_{n=0} \frac{\alpha \prod_{k=0}^{n-1}[(2k+1)^2+\alpha^2]}{(2n+1)!} z^{2n+1} = e^{\alpha \arcsin{z}}, |z|\le1$$

### 二项式系数

- $(1+z)^\alpha = \sum_{k=0}^\infty {\alpha \choose k} z^k, |z|<1$ （参见二项式定理）
- $\sum_{k=0}^\infty {{\alpha+k-1} \choose k} z^k = \frac{1}{(1-z)^\alpha}, |z|<1$
- $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k+1}{2k \choose k} z^k = \frac{1-\sqrt{1-4z}}{2z}, |z|\leq\frac{1}{4}$（卡塔兰数的母函数）
- $\sum_{k=0}^\infty {2k \choose k} z^k = \frac{1}{\sqrt{1-4z}}, |z|<\frac{1}{4}$（中心二项式系数的母函数）
- $\sum_{k=0}^\infty {2k + \alpha \choose k} z^k = \frac{1}{\sqrt{1-4z}}\left(\frac{1-\sqrt{1-4z}}{2z}\right)^\alpha, |z|<\frac{1}{4}$

### 调和数

- $$\sum_{k=1}^\infty H_k z^k = \frac{-\ln(1-z)}{1-z}, |z|<1$$
- $$\sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k+1} z^{k+1} = \frac{1}{2}\left[\ln(1-z)\right]^2, \qquad |z|<1$$
- $\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1} H_{2k}}{2k+1} z^{2k+1} = \frac{1}{2} \arctan{z} \log{(1+z^2)}, \qquad |z|<1$
- $\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^{2n} \frac{(-1)^k}{2k+1} \frac{z^{4n+2}}{4n+2} = \frac{1}{4} \arctan{z} \log{\frac{1+z}{1-z}},\qquad |z|<1$

## 二项式系数

- $$\sum_{k=0}^n {n \choose k} = 2^n$$
- $$\sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} = 0, \text{ 其中 }n>0$$
- $$\sum_{k=0}^n {k \choose m} = { n+1 \choose m+1 }$$
- $\sum_{k=0}^n {m+k-1 \choose k} = { n+m \choose n }$ （参见多重集）
- $\sum_{k=0}^n {\alpha \choose k}{\beta \choose n-k} = {\alpha+\beta \choose n}$（参见Vandermonde恒等式）

## 三角函数

正弦及余弦的求和详见Fourier级数。

- $$\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(k\theta)}{k}=\frac{\pi-\theta}{2}, 0<\theta<2\pi$$
- $$\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos(k\theta)}{k}=-\frac{1}{2}\ln(2-2\cos\theta), \theta\in\mathbb{R}$$
- $$\sum_{k=0}^\infty \frac{\sin[(2k+1)\theta]}{2k+1}=\frac{\pi}{4}, 0<\theta<\pi$$
- $B_n(x)=-\frac{n!}{2^{n-1}\pi^n}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^n}\cos\left(2\pi kx-\frac{\pi n}{2}\right), 0<x<1$
- $$\sum_{k=0}^n \sin(\theta+k\alpha)=\frac{\sin\frac{(n+1)\alpha}{2}\sin(\theta+\frac{n\alpha}{2})}{\sin\frac{\alpha}{2}}$$
- $$\sum_{k=1}^{n-1} \sin\frac{\pi k}{n}=\cot\frac{\pi}{2n}$$
- $$\sum_{k=1}^{n-1} \sin\frac{2\pi k}{n}=0$$
- $\sum_{k=0}^{n-1} \csc^2\left(\theta+\frac{\pi k}{n}\right)=n^2\csc^2(n\theta)$
- $$\sum_{k=1}^{n-1} \csc^2\frac{\pi k}{n}=\frac{n^2-1}{3}$$
- $$\sum_{k=1}^{n-1} \csc^4\frac{\pi k}{n}=\frac{n^4+10n^2-11}{45}$$

## 有理函数

- $\sum_{n=a+1}^{\infty} \frac{a}{n^2 - a^2} = \frac{1}{2} H_{2a}$
- $$\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n^2+a^2}=\frac{1+a\pi\coth (a\pi)}{2a^2}$$
- $$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac {1}{n^4+4a^4} = \dfrac{1 + a \pi \coth (a \pi)}{8a^4}$$

使用部分分式分解方法，能够将任何关于$n$的有理函数的无限项级数都被化简为一个多伽玛函数的有限项级数。这个方法也被应用于有理函数的有限项级数中，使得即便所求级数的项数极多，其计算也能在常数时间内完成。

## 参阅

- 级数
- 积分表
- 求和符号
- 泰勒级数
- 二项式定理
- Gregory级数
- 整数数列线上大全