临界点 (数学)

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在数学上，一个可微的实函数或复函数$f$的临界点（Critical point）是指在$f$的定义域中导数为0的点。对于一个多变数实函数而言，临界点是在定义域中所有偏导数为0的点。一个函数的临界点的函数值称为临界值。

这个概念重要的地方在于函数的局部极值会发生在临界点上。

这个定义可以延伸到$\mathbb{R}^m$与$\mathbb{R}^n$之间的函数上，在这个情况下，临界点是雅可比矩阵的秩不是最大的点。更进一步可以再延伸到微分流形之间的可微函数，在这个情况下临界点也可以被称为歧点。

特别的，假设$C$是一条由隐函数$f(x,y)=0$定义的平面曲线。把$C$平行y轴投影到x轴的临界点是$C$上所有满足${\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0$的点。换句话说，临界点是不能套用隐函数定理的点。

临界点这个概念能够使用数学来描述哥白尼时代之前无法解释的天文学现象，一个星球的轨迹的留点是一个在天球的星球轨迹上星球转向其他方向前看起来停止的点，因为它是在黄道圆上轨迹投影的临界点。

## 单变数函数的临界点

一个可微实函数$f$的临界点$x_0$是一个在$f$的定义域中导数为0的点:$f'(x_0)=0$，临界值是临界点在$f$之下的像，这些概念可以借由$f$的函数图形来具象化:函数图形在临界点的位置会有水平切线而且函数的导数为0。虽然临界点可以借由函数图形来具现化，但函数临界点的概念和曲线在某些方向上的临界点的概念并不能混为一谈。如果$g(x,y)$是一个两变数可微函数，$g(x,y)=0$则是一个曲线的隐式方程，这样的曲线对于平行 y 轴的投影(映射$(x,y)\rightarrow x$)的临界点，是曲线上满足$\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=0$的点，也就是说在那个点，曲线的切线会平行y轴，而且 $g$ 不能定义成一个从 $x$ 映射到 $y$ 的隐函数（参考隐函数定理）。如果$(x_0,y_0)$是临界点，$x_0$则是对应的临界值。这样的临界点也可以被称为歧点，而且当 $x$ 变动时，在 $x_0$的一侧有两个曲线的分支而另一侧没有。

如果$f(x)$有临界点$x_0$和对应的临界值$y_0$，当且仅当$(x_0,y_0)$是$f$的函数图形平行x轴投影的临界点，且对应的临界值是$y_0$。

例如，方程式 $x^2+y^2=1$定义出单位圆，将单位圆平行 y 轴投影到 x 轴的临界点是 $(0, 1)$ 和 $(0, -1)$；将单位圆平行 x 轴投影到 y 轴的临界点是 $(1, 0)$和 $(-1, 0)$。上半圆是 $f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$的函数图形，$f$有唯一一个临界点 0，其临界值是 1。单位圆平行 y 轴的投影的临界值则是对应到 $f$的导数不存在的点。

有些作者会将函数 $f$的临界点定义为$f$的函数图形平行 x 轴和 y 轴的投影的临界点，以上述的上半圆的例子，-1、0、1 都是$f$的临界点。然而，此定义大多只出现在基础的课本，而且在定义的前面章节时候并未提到函数图形以外的曲线，并且只限于单变数的情形，因为该定义不能推广到多变数。

### 例子

- 函数$f(x)=x^2+2x+3$处处可微分，且导函数为$f'(x)=2x+2$。此函数拥有唯一一个临界点-1，因为它是唯一满足$2x_0+2=0$的数$x_0$。这个点是一个最小值，且对应到的临界值为$f(-1)=2$。$f$的函数图形是一个凹向上的抛物线，其临界点是在切线为水平线的顶点的横坐标，而临界值则是顶点纵坐标，或者是说，切线与y轴的交点。
- 函数$f(x)=x^{\frac{2}{3}}$对所有 $x$ 都有定义，在$x\neq0$可微分，且其导数为$f'(x)=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$。因为$x\neq0$则$f'(x)\neq0$，所以$f$的临界点只可能发生在 $x=0$ 上。因为$f$在 0 这点上是不可微的，所以不同的作者的定义会给出 0 是或不是临界点不同的结果。$f$的图形在 $x=0$ 的位置是有一个尖点，且切线是铅垂方向。如果视 0 为临界点，则它对应到的临界值是 $f(0)=0$。
- 函数$f(x)=x^3-3x+1$处处可微分，且导函数为$f'(x)=3x^2-3$。它有两个临界点，分别在 $x=1$ 和 $x =-1$。对应的两个临界值，分别是$f$的极大值$f(-1)=3$和极小值$f(1) = -1$。这个函数并没有最大值或最小值。因为$f(2)=3$，所以我们可以发现在非临界点的函数值也可以是临界值。在几何上，这表示在函数图形上一个点（$x =-1$）的水平切线会与函数图形相交于另一个点（$x=2$），且交角为锐角。
- 函数$f(x)=\frac{1}{x}$。点 $x=0$ 看似临界点，但它不在函数的定义域中。

### 临界点的位置

根据高斯-卢卡斯定理，在复平面上所有多项式函数的临界点会落在函数的根所构成的凸包内。所以对于一个只有实数解的多项式函数，所有的临界点会是实数且落在最大的根和最小的根之间。

森多夫猜想声称，在复平面上如果一个函数所有的根都落在单位圆中，那么对于任意给定的根，至少有一个临界点与其的距离不超过1。

## 隐曲线的临界点

在由隐函数定义出的平面曲线的研究上，临界点扮演重要的角色，特别是在描绘曲线与决定拓朴结构方面。在本节中，临界点定义由以下段落给出，它可能看起来与前面的定义完全不同，但事实上，它是前面定义的一个特殊情形。我们考虑一个落在二维平面上的曲线 $C$，曲线上点的笛卡尔座标满足由双变数可微函数 $f$定义的隐式方程 $f(x,y)=0$。设$\pi_x$、$\pi_y$分别是将曲线 $C$ 投影到x、y轴上的标准投影，也就是$\pi_x(x,y)=x$和$\pi_y(x,y)=y$，$\pi_x$、$\pi_y$分别被称作平行y轴方向和平行x轴方向的投影。

如果 C 在某个点上的切线存在，并且平行y轴，则称该点是$\pi_y$的一个临界点。此时，整条切线，包含该点，在$\pi_y$下的像都是同样的值，称为临界值。所以$\pi_y$的临界点就是座标满足方程组$f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0$的点，下面将说明为何上述定义是原本定义的特殊情况。

类似的，我们有$\pi_x$的临界点的定义，因此，如果 $C$ 是 $y=g(x)$的函数图形，则$(x,y)$是$\pi_x$的临界点当且仅当$x$是$g$的临界点，而且他们有相同的临界值。

有些作者将平面曲线 $C$ 的临界点定义为 $\pi_x$ 和 $\pi_y$ 的临界点，但是要注意到这个定义会依赖于坐标轴的选取。也有一些作者会将曲线的奇点也定义做临界点，其中奇点是那些满足方程式

$$f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0$$

点。在这个定义之下，$\pi_y$的临界点就是那些不适用隐函数定理的点。

### 判别式的使用

如果一个曲线$C$是代数的，也就是它可以被一个双变数多项式函数 $f$ 所定义，这时候判别式会是一个计算临界点的有用工具。

## 可微分函数的临界点

给定一个从 $\mathbb{R}^m$ 送到 $\mathbb{R}^n$ 的可微分函数 $f$，则 $f$ 的临界点是那些满足 f 的雅可比矩阵的秩小于 $n$ 的点。而临界点在 $f$ 之下所对应到的像称为临界值。如果一个点，位于所有临界值所形成的集合的补集之中，便称之为正则值。根据萨尔德定理，一个光滑函数的临界值所形成的集合是零测集。特别在 $n = 1$ 时，在每个有界的区间中有有限个临界值。

这个定义可以延伸到微分流形上的可微函数。

## 拓扑上的应用

临界点是微分流形的拓扑结构与实代数几何相关研究的基础，特别的，它是莫尔斯理论和突变理论中的基本工具。

临界点与拓扑学的关系在非常具体的情形终究可以体现出来。例如，令$V$是$\mathbb R^n$中的子流形，$P$是$V$外面的一点，$f \colon V \rightarrow \mathbb R$是一个光滑函数将$V$中的点映射到与$P$的距离平方，很明显的，$f$在$V$的每个连通部分都至少有一个临界点，就是距离最近的点。因此$f$的临界点个数是$V$的连通部分个数的上界。

在实代数几何，上述观察变成多项式的次数是由它所定义出来的代数簇的联通部分个数的上界。