藏本模型

藏本模型（Kuramoto model）是一种用来描述同步的数学模型，由日本物理学家藏本由纪（Kuramoto Yoshiki）首先提出。具体说来，它描述了大量耦合振子的同步行为。这个模型原本是为了描述化学振子、生物振子而构建，后发现具有广泛的应用，例如神经振荡，以及振荡火焰的动力学。惊人的是，一些物理系统的行为也符合这个模型，比如耦合约瑟夫森结的阵列。

这个模型假设，所有振子都是完全相同的或几乎完全相同的，相互之间的耦合很弱、并且任意两个振子之间的相互作用强度取决于它们相位差的正弦。

## 定义

在藏本模型最常见的版本中，每个振子都有一个固有的自然频率$\omega_i$，并与所有其它振子以相同的强度耦合。惊人的是，在$N\to\infty$的极限下，通过巧妙的变换并使用平均场方法，这个完全非线性的模型是可以精确求解的。

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这个模型最常见的形式由以下方程组给出：

$$\frac{d\theta_i}{dt}=\omega_i+\frac KN\sum_{j=1}^N{\sin{(\theta_j-\theta_i)}},\quad i=1,\cdots,N$$

系统由$N$个极限环振子组成，$\theta_i$是第$i$个振子的相位，$K$是耦合强度。

也可以在系统中加入噪声。这种情况下，方程变为

$$\frac{d\theta_i}{dt}=\omega_i+\frac KN\sum_{j=1}^N{\sin{(\theta_j-\theta_i)}}+\zeta_i,\quad i=1,\cdots,N$$

其中$\zeta_i$是涨落，并且是时间的函数。如果考虑白噪声的情况，则：

$$\langle\zeta_i(t)\rangle=0,$$

$$\langle\zeta_i(t)\zeta_j(t')\rangle=2D\delta_{ij}\delta(t-t')$$

其中$D$代表噪声强度。

## 变换

使得这个模型（至少在$N\to\infty$的极限下）能够精确求解的变换如下所示：

定义“序”参量

$$Re^{i\psi}=\frac 1N\sum_{j=1}^N{e^{i\theta_j}}$$

$R$表征了这群振子的相位相关性，$\psi$是平均相位。方程两边乘以$e^{-\text{i}\theta_i}$，只考虑虚部得到：

$$\frac{d\theta_i}{dt}=\omega_i+KR\sin{(\psi-\theta_i)}$$

因此振子的方程组就不是显式耦合的；相反，序参量支配了系统的行为。通常还会做进一步的变换，变换到一个转动的坐标系，其中所有振子相位的统计平均为零（即$\psi=0$）。最终，方程变为：

$$\frac{d\theta_i}{dt}=\omega_i-KR\sin{\theta_i}$$

## 大N极限

在热力学极限下，即考虑$N\to\infty$的情况。自然频率的分布记为$g(\omega)$（假设已经归一化）。设在时刻$t$，在所有自然频率为$\omega$的振子中，相位为$\theta$的振子所占比例为$\rho(\theta,\omega,t)$。归一化要求

$$\int_0^{2\pi}{\rho(\theta,\omega,t)d\theta}=1$$

振子密度的连续性方程为

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial(\rho v)}{\partial\theta}=0$$

其中$v=\omega+KR\sin{(\psi-\theta)}$是振子的漂移速度。

最终，在连续统极限下重新写出序参量。$\theta_i$应该用系综平均来代替，求和替换为积分，得到

$$Re^{i\psi}=\int_0^{2\pi}{\int_{-\infty}^\infty{\rho(\theta,\omega,t)g(\omega)e^{i\theta}d\omega}d\theta}$$

## 解

所有振子随机漂移的不相关态对应均匀分布解$\rho=\frac 1{2\pi}$。这种情况$R=0$，振子之间没有关联。系统整体处于统计稳定态，尽管每个振子单独来看都在以自然频率不停运动。

当耦合足够强时，可能会出现完全同步的解。在完全同步态中，所有振子以相同频率运动，但相位可以不同。

部分同步是只有一些振子同步，而另一些振子自由漂移的状态。从数学上来说，对锁相的振子

$$\rho=\delta\left(\theta-\psi-\arcsin{\frac\omega{KR}}\right)$$

对漂移的振子。

$$\rho\propto\frac 1{\omega-KR\sin{(\theta-\psi)}}$$

## 与哈密顿系统的联系

耗散的藏本模型包含在某些保守的哈密顿系统中，哈密顿量具有形式：

$$\mathcal{H}=\sum_{i=1}^N{\frac 12\omega_i(q_i^2+p_i^2)}+\frac K{4N}\sum_{i,j=1}^N{(q_ip_j-q_jp_i)(q_j^2+p_j^2-q_i^2-p_i^2)}$$

用正则变换变成作用量-角度的形式，作用量为$I_i=\frac 12(q_i^2+p_i^2)$，角度（相位）$\theta_i=\arctan{\frac{q_i}{p_i}}$，在作用量$I_i\equiv I$为常数的不变流形上就是藏本动力学。变换后的哈密顿量

$$\mathcal{H}=\sum_{i=1}^N{\omega_i I_i}-\frac KN\sum_{i=1}^N{\sum_{j=1}^N{\sqrt{I_jI_i}(I_j-I_i)\sin{(\theta_j-\theta_i)}}}$$

哈密顿运动方程为

$$\frac{dI_i}{dt}=-\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial\theta_i}=-\frac {2K}N\sum_{j=1}^N{\sqrt{I_jI_i}(I_j-I_i)\cos{(\theta_j-\theta_i)}}$$

$$\frac{d\theta_i}{dt}=\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial I_i}=\omega_i+\frac KN\sum_{j=1}^N{\sqrt{I_j/I_i}(I_i+I_j)\sin{(\theta_j-\theta_i)}}$$

因为$\frac{dI_i}{dt}=0$，所以$I_i=I$确定的流形是不变的，并且相位动力学$\frac{d\theta_i}{dt}$就是藏本模型的动力学。这类哈密顿系统描述了某些量子-经典系统，包括玻色-爱因斯坦凝聚。

## 模型的变体

模型有两种类型的变体，一种改变模型的拓扑结构，另一种改变耦合函数的形式。

### 改变拓扑

除了具有全连拓扑的原始模型，足够稠密的复杂网络拓扑也可以用同样的平均场处理。而对于局域的行为，例如链形或环形网络上的情况，不能再使用经典的平均场方法，所以只能具体问题具体分析，尽可能利用对称性获取解的信息。

### 改变相位的相互作用

藏本把两个振子之间的相位相互作用用第1个傅里叶分量来近似，即$\Gamma(\phi)=\sin\phi$，其中$\phi=\theta_j-\theta_i$。通过把高阶傅里叶分量包括进来，可以得到更好的近似

$$\Gamma(\phi)=\sin\phi+a_1\sin{(2\phi+b_1)}+\cdots+a_n\sin{(2n\phi+b_n)}$$

例如，对于弱耦合霍奇金-赫胥黎模型的网络，其同步行为可以用一些振子来表示，这些振子的相互作用函数保留前四阶傅里叶分量。高阶项的引入也能带来有趣的同步现象，例如异宿环、部分同步态、以及奇美拉态。