余调

在同调论与代数余链中，余调（Cohomology）表示由与拓朴空间相关的阿贝尔群组成的序列，经常由余链复形定义。余调可以被视为给予空间（比同调）更丰富的代数不变量的方式。某些余调是将同调的建构对偶化产生的。换言之，余链是同调论中链群上的函数。

这个概念一开始是在拓扑学中，到20世纪后半变成数学的一个主要方法。从原先将同调作为建构拓朴空间的代数不变量的方法，现今同调与余调理论的应用已遍布几何与代数。余调是个反变的理论，而在很多应用中比同调更自然，但术语使上述事实变得不明显。基础地看，这与几何的情况中的函数与拉回有关：给定空间 X、Y、 Y 上的某种函数 F，对任何映射 f : X → Y，与 f 的复合会产生在 X 上的函数 F ∘ f。最重要的一些余调论有一种积，称为杯积，使其具有环的结构。所以，余调常是比同调更强的不变量。

广义上的同调理论（其他代数或几何结构的不变式，而不是拓扑空间的不变式）包括：代数K理论，李代数同调，晶体同调等。

## 奇异上同调

奇异上同调是拓扑学中一个强大的不变量，将分次交换环同任意拓扑空间联系起来。每个连续映射$f:\ X\to Y$都决定了从Y的上同调环到X的上同调环的同态，这对X到Y的可能映射施加了强有力的限制。上同调环不同于同伦群等更微妙的不变式，对于感兴趣的空间来说，实际上往往是可以计算的。

对拓扑空间X，奇异上同调的定义始于奇异链复形：

$$\cdots \to C_{i+1}\stackrel{\partial_{i+1}}{\to} C_i \stackrel{ \partial_i}{\to}\ C_{i-1} \to \cdots$$ 由定义，X的奇异同调是这链复形的同调（一个同态的核对前一个的像取模）。更详细地说，$C_i$是从标准i单纯形到X（称作“X中的奇异i单形（simplice）”）的连续映射集的自由阿贝尔群；$\partial_i$是第i个边界同态。i为负数时，群$C_i$为零。

现固定一个阿贝尔群A，把每个群Ci换成其对偶群$C_i^* := \mathrm{Hom}(C_i,A),$；把$\partial_i$换成对偶同态$$d_{i-1}: C_{i-1}^* \to C_{i}^*.$$

这会把原复形的“所有箭头都逆转”，留下上链复形$$\cdots \leftarrow C_{i+1}^* \stackrel{d_i}{\leftarrow}\ C_{i}^* \stackrel{d_{i-1}}{\leftarrow} C_{i-1}^* \leftarrow \cdots$$

对任意整数i，X的第i个系数在A中的上同调群定义为${\rm ker}(d_i)/{\rm im}(d_{i-1}),$记作$H^i(X,\ A).$i为负数时，群为零。$C_i^*$的元素称作奇异i上链，系数在A中。（等价地，X上的i上链可从X中到A的奇异i单形集函数中辨别出来）ker(d)、im(d)中的元素分别称作上循环和上边界（coboundary），${\rm ker}(d)/{\rm im}(d)=H^i(X,\ A)$的元素则称作上同调类（因为是上循环的等价类）。

下文时而省略系数群A不写。通常取A为交换环R，则上同调群为R模。标准的选择是整数环Z。

上同调的一些形式性质与同调基本一致：

- 连续映射$f: X \to Y$决定了同调上的前推同态$f_*:H_i(X) \to H_i(Y)$与上同调上的拉回同态$f^*: H^i(Y) \to H^i(X)$，这使上同调成为从拓扑空间到阿贝尔群（或R模）的反变函子。
- X到Y的两个同伦映射会在上同调引起相同的同态（如在同调上）。
- 迈尔–维托里斯正合列是同调与上同调中重要的计算工具。注意边界同态增加（而非减少）了上同调的度；即，若空间X是开子集U与V的交，则有长正合序列：$$\cdots \to H^i(X) \to H^i(U)\oplus H^i(V) \to H^i(U\cap V) \to H^{i+1}(X) \to \cdots$$
- 对空间X的任意子空间Y，有相关上同调群$H^i(X,Y;A).$由长正合序列与通常的上同调群相关联：$$\cdots \to H^i(X,Y) \to H^i(X) \to H^i(Y) \to H^{i+1}(X,Y) \to \cdots$$
- 泛系数定理用Ext群描述了上同调，即有短正合序列$$0 \to \operatorname{Ext}_{\Z}^1(\operatorname{H}_{i-1}(X, \Z), A) \to H^i(X, A) \to \operatorname{Hom}_{\Z}(H_i(X,\Z), A)\to 0.$$相关的说法是，对域F，$H^i(X,F)$正是向量空间$H_i(X,F)$的对偶空间。
- 若X是拓扑流形或CW复形，则对大于X的维度的i，上同调群$H^i(X,A)$为零。1a1=Hatcher若X是紧流形（可能有界），或是在每个维度都有有限多单元的CW复形，且R是交换诺特环，则R模$H^i(X,\ R)$对每个i都是有限生成模。

另一方面，上同调有同调没有的重要结构：对任意拓扑空间X与交换环R，有称作上积的双线性映射：

$$H^i(X,R)\times H^j(X,R) \to H^{i+j}(X,R),$$ 从奇异上链的明确公式定义。上同调类u与v的积写作u ∪ v或只是uv，这个积使得直和$$H^*(X,R)=\bigoplus_i H^i(X,R)$$ 变为分次环，称作X的上同调环，在如下意义上是分次交换环：

$$uv=(-1)^{ij}vu, \qquad u \in H^i(X,R), v \in H^j(X,R).$$

对任意连续映射$f\colon X\to Y,$，拉回$f^*: H^*(Y,R) \to H^*(X, R)$是分次R代数的同态。可见，若两空间同伦等价，则它们的上同调环就同构。

下面是上积的一些几何解释。除非另有说明，否则默认流形无界。闭流形是（不含边界）紧流形，而流形M的闭子流形N是M的闭子集的子流形，不必是紧流形（不过，若M紧，则N必紧）。

- 令X为n维闭有向流形，则庞加莱对偶性给出同构$H^iX\cong H_{n-i}X$。于是，X中余维度为i的闭有向子流形决定了$H^iX$中的上同调类，称作$[S].$在这些术语中，上积描述了子流形的相交：若S、T是余维度为i、j的子流形，并横截地相交，则$$[S][T]=[S\cap T]\in H^{i+j}(X),$$当中的交S ∩ T是余维度为i+j的子流形，方向由S、T、X的方向确定。在光滑流形的情形下，若S、T不横截着相交，则这公式仍可计算上积$[S][T]$，方法是扰动S或T使其横截相交。更一般地，X不需有向，其闭子流形与法丛上的方向决定了X上的一个上同调类。若X是非紧流形，则闭子流形（不需是紧的）决定了X上的上同调类。两种情形下，上积仍可用子流形之交来描述。注意勒内·托姆在光滑14维流形上构造了度为7的积分上同调类，不是任何光滑子流形的类。另一方面，他证明了光滑流形上所有度为正的积分上同调类都有正倍数，其是光滑子流形的类。而且，流形上的所有积分上同调类都可用“伪流形”（即单纯形，在余维度至少为2的闭子集之外是流形）表示。
- 对光滑流形X，德拉姆定理表明，具有实系数的X的奇异上同调与X的德拉姆上同调同构，由微分形式定义。上积对应微分形式的积。这解释的优点在于微分形式的积是分次交换的，而奇异上链的积只在链同伦意义上分次交换。事实上，对系数在整数$\Z$或$\Z/p$（p为使积在鼻上分次交换的素数）中的奇异上链，无法修改其定义。上链层面上分次交换性失效，导致了模p上同调上的斯廷罗德运算。

非常不正式地说，对任意拓扑空间X，$H^i(X)$的元素都可认为是可在X上自由移动的余维度为i的子空间。举例来说，定义元素的一种方法是给出从X到流形M的连续映射f，以及M的余维度为i的闭子流形N，且在法丛上有向。形式上说，可将结果类$f^*([N]) \in H^i(X)$视为位于X的子空间$f^{-1}(N)$上；这是合理的，因为类$f^*([N])$在开子集$X-f^{-1}(N)$的上同调中限制为零。上同调类$f^*([N])$可在X上自由移动，即N可被M内N的任意连续变形所代替。

## 例子

下面默认上同调系数为整数。

- 点的上同调环是度为0的环Z。根据同伦不变性，这也是任何可紧空间的上同调环，如欧氏空间Rn。
-

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对正整数n，N维球面$S^n$的上同调环是$\mathbb{Z}[x]/(x^2)$（多项式环对给定理想的商环），x的度为n。根据上述庞加莱对偶性，x是球面上一点的类。
- 环面$(S^1)^n$的上同调环是度为1的n个生成器上的Z的外代数。例如，令P表示圆$S^1$中的点，Q为2维环面$(S^1)^2$中的点(P,P)。则，$(S^1)^2$的上同调有如下形式的自由Z模基：度为0的元素1、度为1的$x\mathrel{\mathop:}=[P\times S^1]$及$y\mathrel{\mathop:}=[S^1\times P]$、度为2的$xy=[Q].$（此处隐含地固定了环面和两个圆的方向）注意由分次交换性可知，$yx=-xy=-[Q].$
- 更一般地，令R为交换环、令X与Y为使$H^*(X,\ R)$为所有度都是有限生成自由R模的任意拓扑空间（Y不需要假设）。则据克奈定理，积空间$X\times Y$的上同调环是R代数的张量积： $$H^*(X\times Y,R)\cong H^*(X,R)\otimes_R H^*(Y,R).$$
- 实射影空间$\mathbb{RP}^n$的上同调环（系数位于$\mathbb{Z}/2$）是$\mathbb{Z}/2[x]/(x^{n+1})$，x的度为1。当中x是$\mathbb{RP}^n$中的超平面$\mathbb{RP}^{n-1}$的类，即使$\mathbb{RP}^j$（j为正偶数）无向也成立，因为$\mathbb{Z}/2$系数的庞加莱对偶性适于任意流形。若系数是整数，就比较复杂了。$\mathbb{RP}^{2a}$的Z上同调具有度为2的元素y，使整个上同调是度为0的元素1张成的Z与$y^i\ (i=1,\ \ldots,\ a)$张成的Z/2的直和。$\mathbb{RP}^{2a+1}$的Z上同调也如此，只是多了一份度为2a+1的Z。
- 复射影空间$\mathbb{CP}^n$的上同调环是$\mathbb{Z}[x]/(x^{m+1})$，其中x的度为2。x是$\mathbb{CP}^n$中超平面$\mathbb{CP}^{n-1}$的类；更一般地说，$x^j$是$\mathbb{CP}^n$中线性子空间$\mathbb{CP}^{n-j}$的类。
- 亏格g ≥ 0的闭有向面X的上同调环有如下形式的自由Z模的基：度为0的元素1、度为1的$A_1,\ \ldots,\ A_g$及$B_1,\ \ldots,\ B_g$、度为2的点的类P。积由下面的定义给出：$A_iA_j=B_iB_j= 0,\ \forall i,\ j;\quad A_iB_j=0\ (i\ne j);\quad A_iB_j=0\ (i\ne j),\ A_iB_i=P,\ \forall i.$由分次交换性，可知有1=BiAi = −P
- 在任意拓扑空间上，上同调环的分次交换性都表明，对任意度为奇的上同调类x都有$2x^2=0.$因此，对包含1/2的环R，$H^*(X,\ R)$中所有度为奇的元素的平方都是零。另一方面，若R是$\mathbb{Z}/2$或$\mathbb{Z}$，则度为奇的元素不必有平方零，正如例子$\mathbb{RP}^2$（系数$\mathbb{Z}/2$）或$\mathbb{RP}^4\times\mathbb{RP}^2$（系数$\mathbb{Z}$）。

## 对角

上积可视作来自对角映射$\Delta:\ X\to X\times X,\ x\mapsto(x,\ x).$也就是说，对于具有上同调类$u\in H^i(X,\ R),\ v\in H^j(Y,\ R)$的任意空间X、Y，有外积（或叉积）上同调类$u\times v\in H^{i+j}(X\times Y,\ R).$类$u\in H^i(X,\ R),\ v\in H^j(X,\ R)$的上积可定义为外积的对角线拉回：

$$uv=\Delta^*(u\times v)\in H^{i+j}(X,R).$$

另外，外积也可用上积定义。对空间X、Y，将两投影分别写作$f:\ X\times Y\to X,\ g:\ X\times Y\to Y$，则$u\in H^i(X,\ R),\ v\in H^j(Y,\ R)$两类的外积就是$$u\times v=(f^*(u))(g^*(v))\in H^{i+j}(X\times Y,R).$$

## 庞加莱对偶性

庞加莱对偶性的另一种解释是，闭有向流形的上同调环在强意义上是自对偶的。也就是说，令X为n维闭紧有向流形，F为域。则$H^n(X,\ F)$同构于F，积

$$H^i(X,F)\times H^{n-i}(X,F)\to H^n(X,F)\cong F$$

对每个整数i是完美配对。特别地，向量空间$H^i(X,\ F),\ H^{n-i}(X,\ F)$具有相同的（有限）维度。同样，积分上同调模挠、在$H^n(X,\ \mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$中取值的积是Z上的完美配对。

## 示性类

拓扑空间X上秩为r的有向实向量丛E决定了X上的上同调类，即欧拉类$\xi(E)\in H^r(X,\ \mathbb{Z})$χ。非正式地说，欧拉类是E的一般截面的零集类。E若是光滑流形X上的光滑向量丛E，这种解释会更明确，因为此时X的一般光滑截面会在X的r余维子流形上归于零。

在上同调取值的向量丛还有其他几种示性类，如陈类、施蒂费尔–惠特尼类、庞特里亚金类等。

## 艾伦伯格–麦克兰恩空间

对任意阿贝尔群A与自然数j，有空间$K(A,j)$，其第j个同伦群同构于A，其他同伦群均为零。这样的空间叫做艾伦伯格–麦克兰恩空间，对上同调是分类空间：有$H^j(K(A,j),A)$的自然元素u，每个空间X上每个度为j的上同调类都是u对某连续映射$X\to K(A,j)$的拉回。更确切地说，类u的拉回对每个具有CW复形上同调类型的空间X给出了双射

$$[X, K(A,j)] \stackrel{\cong}{\to} H^j(X,A)$$

当中$[X,Y]$表示X到Y的连续映射的同伦类集合。

例如，空间$K(\Z,1)$（同伦等价意义上）可看作是圆$S^1$，所以上面的描述说，$H^1(X,\Z)$的每个元素都是通过某映射$X\to S^1$从$S^1$是哪个一点的类u拉回的。

对系数在任意阿贝尔群A（如CW复形X）中的第一上同调，都有相关的描述：$H^1(X,A)$与具有群A的X的伽罗瓦覆叠空间的同构类集（也称为X上的主A丛）一一对应。对连通的X，$H^1(X,A)$同构于$\operatorname{Hom}(\pi_1(X),A)$，曲线$\pi_1(X)$是X的基本群。例如，$H^1(X,\Z/2)$分类了X的双覆叠空间，元素$0\in H^1(X,\Z/2)$对应平凡双覆叠，即两个X的不交并。

## 下积

对任意拓扑空间X、任意整数i、j、任意交换环R，下积是双线性映射

$$\cap: H^i(X,R)\times H_j(X,R) \to H_{j-i}(X,R)$$

得到映射

$$H^*(X,R)\times H_*(X,R) \to H_*(X,R)$$

使X的奇异上同调成为X的奇异上同调环上的模。

$i=j$时，下积给出了自然同态

$$H^i(X,R)\to \operatorname{Hom}_R(H_i(X,R),R),$$

其是R域的同构。

例如，令X是有向流形，不必是紧的。则其余维为i的闭有向子流形Y（不必紧）确定了$H^i(X,\ R)$中的一个元素，X的紧有向j维子流形Z确定了$H_j(X,\ R)$中的一个元素。下积$[Y]\cap[Z]\in H_{j-i}(X,\ R)$可通过扰动Y、Z使其横截相交，再取交集的类（即j-i维紧有向子流形）进行计算。

n维闭有向子流形X在$H_n(X,\ R)$中具有基本类$[X]$。庞加莱对偶同构$$H^i(X,R)\overset{\cong}{\to} H_{n-i}(X,R)$$ 可通过与X的基本类的下积定义。

## 奇异上同调简史

上同调是现代代数拓扑的基础，但在同调论发展了40余年后，人们才意识到其重要性。亨利·庞加莱证明庞加莱对偶定理用的“对偶单元结构”概念即是上同调思想的雏形，但后来才被发现。

- 上同调的前身多种多样。20世纪20年代中期，詹姆斯·韦德尔·亚历山大和所罗门·莱夫谢茨创立了流形上循环的相交理论。在闭有向n维流形M上，若i循环与j循环在一般位置有非空交，则其交就是(i+j-n)循环。这产生了同调类的乘法

$$H_i(M) \times H_j(M) \to H_{i+j-n}(M),$$

这与M的上同调的上积很相似。

- 1930年，亚历山大首次定义了上链，将空间X上的i上链看作是$X^{i+1}$中对角线小邻域上的函数。
- 1931年，乔治·德拉姆将同调与微分形式联系起来，证明了德拉姆定理。这一结果可以更简单地用上同调表述。
- 1934年，列夫·庞特里亚金证明了庞特里亚金对偶性定理，这是关于拓扑群的一个结果。这（在相当特殊的情形下）提供了用群特征解释庞加莱对偶和亚历山大对偶的方法。
- 1935年的莫斯科一次学术会议上，安德雷·柯尔莫哥洛夫和亚历山大引入了上同调，并试图建立上同调积结构。
- 1936年，诺曼·斯廷罗德通过对偶化切赫同调，构造了切赫上同调。
- 1936至1938年，哈斯勒·惠特尼与爱德华·切赫发展了上积（使上同调变为分次环）和下积，意识到庞加莱对偶性可用下积表示。他们的理论仍局限于有限多胞腔的复形。
- 1944年，塞缪尔·艾伦伯格克服了技术限制，给出了奇异同调和奇异上同调的现代定义。
- 1945年，艾伦伯格和斯廷罗德提出了艾伦伯格-斯廷罗德公理，下详。在1952年他们合著的《代数拓扑基础》（Foundations of Algebraic Topology）一书中，他们证明了现有的同调和上同调确实满足他们的公理。
- 1946年，让·勒雷定义了层上同调。
- 1948年，埃德温·斯潘尼尔在亚历山大和柯尔莫哥洛夫的基础上，提出了亚历山大–斯潘尼尔上同调。

## 层上同调

层上同调是奇异上同调的丰富推广，允许更一般的系数，而不限于阿贝尔群。对拓扑空间X上任意的阿贝尔群层，有上同调群$H^i(X,\ E)$（i为整数）。特别地，X上的常层与阿贝尔群A相关联的情形下，所得的群$H^i(X,\ A)$与X的奇异上同调（流形或CW复形）重合（并非对任意X都成立）。20世纪50年代开始，层上同调成为了代数几何与复分析的核心部分，部分原因是正则函数层或全纯函数层的重要性。

亚历山大·格罗滕迪克用同调代数优雅地定义、描述了层上同调。其要点在于固定空间X，并将层上同调视作从X上的阿贝尔范畴层到阿贝尔群的函子。首先，取从X上的层E到其在X上的非局部截面的阿贝尔群的函子，即E(X)，它是左正合函子，而不必右正合。格罗滕迪克定义层上同调群为左正合函子$E\mapsto E(X)$的右导出函子。

这定义可以有很多推广。例如，可定义拓扑空间X的上同调，其系数可以在层的任意复形中，早先称作超上同调（现在则只叫做“上同调”）。从这角度来看，层上同调成了从X上的层导出范畴到阿贝尔群的函子序列。

更广义地讲，“上同调”常用作阿贝尔范畴上的左正合函子的右导出函子，而“同调”则是右正合函子的左导出函子。例如，对于环R，Tor群${\rm Tor}_i^R(M,\ N)$在每个簇形成“同调”，即R模的张量积$M\otimes_RN$的左导出函子。同样，Ext群${\rm Ext}^i_R(M,\ N)$可视作是每个簇中的“上同调”，c即Hom函子${\rm Hom}_R(M,\ N)$的右导出函子。

层上同调与一种Ext群相关：对拓扑空间X上的层E，$H^i(X,\ E)$同构于${\rm Ext}^i(\mathbb{Z}_X,\ E)$，当中$\mathbb{Z}_X$表示与整数Z相关联的常层，Ext取X上的层的阿贝尔范畴。

## 簇的上同调

有很多构造可计算代数簇的上同调。最简单的情形是确定$0$特征域上光滑射影簇的上同调。霍奇理论有叫做霍奇结构的工具，有助于计算这些簇类的上同调（增加了更精细的信息）。最简单的情形下，$\mathbb{P}^n$中的光滑超平面的上同调可仅根据多项式的度确定。

考虑有限或特征为$p$的域上的簇，需要更有力的工具，因为同调/上同调的经典定义被打破了：有限域上的簇只能是有限点集。格罗滕迪克提出了运用格罗滕迪克拓扑的想法，并用平展拓扑上的层上同调定义有限域上的簇的上同调论。利用特征$p$域上的簇的平展拓扑，可构造$\ell$进上同调（$\ell\neq p$）：

$$H^k(X;\Q_\ell) := \varprojlim H^k_{et}(X;\Z/(\ell^n)) \otimes_{\Z_\ell} \Q_\ell$$

若有有限类型的概形

$$X = \text{Proj} \left( \frac{\Z \left[x_0,\ldots,x_n \right]}{ \left (f_1,\ldots,f_k \right )} \right)$$

则只要簇在两个域上都光滑，$X(\Complex)$的贝蒂上同调和$X(\mathbb{F}_q)$的$\ell$进上同调的维度就相等。此外，还有韦尔上同调论，与奇异上同调的行为类似。有一种猜想，其理论动机是所有韦尔上同调论的基础。

另一个有用的计算工具是爆破序列（blowup sequence）。给定余维度$\geq 2$的子概形$Z \subset X$，有笛卡儿平方

$$\begin{matrix} E & \longrightarrow & Bl_Z(X) \\ \downarrow & & \downarrow \\ Z & \longrightarrow & X \end{matrix}$$

由此，有相关的长正合序列

$$\cdots \to H^n(X) \to H^n(Z) \oplus H^n(Bl_Z(X)) \to H^n(E) \to H^{n+1}(X) \to \cdots$$

若子簇$Z$光滑，则连通态射均平凡，因此

$$H^n(Bl_Z(X))\oplus H^n(Z) \cong H^n(X) \oplus H^n(E)$$

此外，利用法丛$N_{Z/X}$的陈类，爆破的上同调环很容易计算，公式为

$$H^*()$$

## 公理与广义上同调论

拓扑空间的上同调有多种定义（如奇异上同调、切赫上同调、亚历山大–斯潘尼尔上同调或层上同调）（此处层上同调只考虑系数在常层中）。这些理论对某些空间给出了不同结果，但对一大类空间都是一致的，这从公理上最容易理解：有一系列属性称作艾伦伯格-斯廷罗德公理，任意两个满足其的构造至少在所有CW复形上都一致。同调论和上同调论都有公理版本。有些理论可作为计算特殊拓扑空间的奇异上同调的工具，如单纯复形的单纯上同调、CW复形的胞腔上同调、光滑流形的德拉姆上同调。

上同调论的艾伦伯格-斯廷罗德公理之一是维度公理：若P是单点，则$H^i(P)=0,\ \forall i\ne 0.$1960年左右，George W. Whitehead发现，完全省略维度公理很有意义：这就产生了广义（上）同调论（定义如下）。K理论或复配边之类的广义上同调论，提供了拓扑空间的丰富信息，且是奇异上同调无法直接提供的（这时，奇异上同调通常叫做“普通上同调”）。

由定义，广义同调论是从CW-拓扑对范畴$(X,\ A)$（于是X是CW复形，A是子复形）到阿贝尔群范畴的函子序列$h_i$（i是整数），以及自然变换$\partial_i:\ h_i(X,\ A)\to h_{i-1}(A)$，称作边界同态（其中$h_{i-1}(A)$是$h_{i-1}(A,\ \emptyset)$的简写）。公理如下：

- 同伦：若$f:(X,A) \to (Y,B)$同伦于$g: (X,A) \to (Y,B)$，则同调上的诱导同态相同。
- 正合性：由结论f: A → X、g: (X,∅) → (X,A)，每对(X,A)都在同调上诱导了长正合序列：$$\cdots \to h_i(A) \overset{f_*}{\to} h_i(X) \overset{g_*}{\to} h_i (X,A) \overset{\partial}{\to} h_{i-1}(A) \to \cdots.$$
- 切除：若X是子复形A、B的并，则对每个i，包含$f:\ (A,\ A\cap B)\to(X,\ B)$会诱导同构$$h_i(A, A\cap B) \overset{f_*}{\to} h_i(X,B)$$
- 可加性：若(X,A)是一组对$(X_\alpha,\ A_\alpha)$的不交并，则对每个i，包含$(X_\alpha,\ A_\alpha)\to(X,\ A)$会诱导从直积出发的同构：$$\bigoplus_{\alpha} h_i(X_\alpha,A_\alpha)\to h_i(X,A)$$

广义上同调论的公理大致是通过翻转箭头得到的。更详细地说，广义上同调论是一系列从CW-拓扑对范畴到阿贝尔群范畴的反变函子序列$h^i$（i是整数），及自然变换d: hi(A) → hi+1(X,A)，称作边界同态 （其中$h^i(A)$表示$h^i(A,\ \emptyset)$。公理如下：

- 同伦：同伦映射在上同调诱导相同的同态。
- 正合性：由结论f: A → X、g: (X,∅) → (X,A)，每对(X,A)都在上同调上诱导了长正合序列：$$\cdots \to h^i(X,A) \overset{g_*}{\to} h^i(X) \overset{f_*}{\to} h^i (A) \overset{d}{\to} h^{i+1}(X,A) \to \cdots.$$
- 切除：若X是子复形A、B的并，则对每个i，包含$f:\ (A,\ A\cap B)\to(X,\ B)$会诱导同构$$h^i(X,B) \overset{f_*}{\to} h^i(A,A\cap B)$$
- 可加性：若(X,A)是一组对$(X_\alpha,\ A_\alpha)$的不交并，则对每个i，包含$(X_\alpha,\ A_\alpha)\to(X,\ A)$会诱导到达积群的同构：$$h^i(X,A)\to \prod_\alpha h^i(X_\alpha,A_\alpha)$$

谱决定了广义（上）同调论。Brown、Whitehead、Adams得到的一个基本结果是：所有广义同调论都来自一个谱，所有广义上同调论也来自一个谱。这推广了艾伦伯格–麦克兰恩空间对普通上同调的可表性。

一个微妙问题是，从稳定同调范畴（谱的同伦范畴）到CW-拓扑对上的广义同调论的函子，虽然给出了同构类上的双射，但是不等价；在稳定同伦范畴中，有非零映射（即幻影映射），其诱导了CW-拓扑对上同伦论间的零映射。同样，从稳定同伦范畴到XW-拓扑对上的广义上同调论的函子也不等价。正是稳定同伦范畴具有三角化之类良好性质。

要将（上）同调论的定义域从CW复形推广到任意拓扑空间，一种标准方法是加入公理：所有弱同伦等价都会在（上）同调诱导一个同构（对奇异（上）同调是正确的，但层上同调等则不然）。由于每个空间都可从CW复形得到弱同伦等价，这公理将所有空间的（上）同调论还原为CW复形的相应理论。

广义上同调论的一些例子：

- 稳定上同伦群$\pi_S^*(X).$相应的同调论更常用：稳定同伦群$\pi^S_*(X).$
- 各种配边群，从空间到流形的所有映射的角度研究空间：无向配边$MO^*(X)$有向配边$MSO^*(X),$复配边$MU^*(X),$等等。复配边在同伦论中尤为强大，经由丹尼尔·奎伦的定理，同形式群密切相关。
- 拓扑K理论的各种形式，从空间上所有向量丛的角度研究空间：$KO^*(X)$（实周期K理论）、$ko^*(X)$（实连通K理论）、$K^*(X)$（复周期K理论）、$ku^*(X)$（复连通K理论），等等。
- 布朗-彼得森上同调、莫拉瓦K理论、莫拉瓦E理论等等由复配边建立的理论。
- 各种椭圆上同调。

其中许多理论比普通上同调的信息更丰富，但更难计算。

上同调论E若满足$E^*(X)$对每个空间X都具有分次环的结构，则称E具有乘性。用谱的语言来说，有几个更精确的环谱概念，如E∞环谱，其中的积在很强的意义上是交换、结合的。