阿诺索夫微分同胚

在数学中，尤其是动力系统与几何拓扑中，流形M上的阿诺索夫映射（Anosov map）是M到自身的一种映射。阿诺索夫系统是A公理系统的特例。

阿诺索夫微分同胚（Anosov diffeomorphism）由德米特里·维克托罗维奇·阿诺索夫引入，他证明了这种微分同胚的行为在某种意义上是普遍的。

## 概述

有三个相互联系但又有区别的定义：

- 若M上的可微映射f在切丛上有双曲结构，则称f是一个阿诺索夫映射。例子有伯努利映射，以及阿诺尔德猫映射。
- 若这个映射还是一个微分同胚，则称为阿诺索夫微分同胚。
- 若流形上的一个流把切丛分成三个不变子丛，其中一个子丛呈指数衰减，一个指数增大，第三个不增大也不减小，则这个流称为阿诺索夫流。

阿诺索夫证明了阿诺索夫微分同胚是结构稳定的，并且组成了全体映射（流）的开子集（$\mathcal{C}^1$拓扑）。

并非每个流形上都可以有阿诺索夫微分同胚；例如，球面上就没有这样的微分同胚。容许有阿诺索夫微分同胚的最简单的紧流形是环面：上面有所谓的线性阿诺索夫微分同胚，这是没有模1特征值的同构。可以证明环面上其他的阿诺索夫微分同胚都与这种同胚拓扑共轭。

对容许有阿诺索夫微分同胚的流形进行分类是非常困难的问题，截至2012年仍然没有解决。

另外，也不清楚是否每个$\mathcal{C}^1$且保持体积的阿诺索夫微分同胚都是遍历的。阿诺索夫证明了把$\mathcal{C}^1$换成$\mathcal{C}^2$的条件下是成立的。

## 黎曼曲面（的切丛）上的阿诺索夫流

负曲率黎曼曲面的切丛上的阿诺索夫流。这个流可以理解为双曲几何的庞加莱半平面模型的切丛上的流。负曲率黎曼曲面可以用福克斯模型来定义，即上半平面与福克斯群的商。设$\mathbb{H}$为上半平面，$\Gamma$为福克斯群，$M=\mathbb{H}/\Gamma$为负曲率黎曼曲面，$T^1M$为流形M上的单位向量的切丛，$T^1\mathbb{H}$是$\mathbb{H}$的单位向量的切丛。注意曲面上单位向量的丛是复直线丛的主丛。

### 李向量场

注意$T^1\mathbb{H}$同构于李群$\text{PSL}(2,\mathbb{R})$。这个群是上半平面的保向等距同构组成的群。$\text{PSL}(2,\mathbb{R})$的李代数是$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$，由以下矩阵表示

$$J=\begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & -1/2 \end{pmatrix} \quad X=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad Y=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

$$[J,X]=X,\quad [J,Y]=-Y,\quad [X,Y]=2J$$

指数映射

$$g_t=\exp{tJ}=\begin{pmatrix} e^{t/2} & 0 \\ 0 & e^{-t/2} \end{pmatrix}\quad h^*_t=\exp{tX}=\begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\quad h_t=\exp{tY}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ t & 1 \end{pmatrix}$$

定义了流形$T^1\mathbb{H}=\text{PSL}(2,\mathbb{R})$上的右不变流，而$T^1M$与此类似。定义$P=T^1\mathbb{H},Q=T^1M$，这些流定义了P和Q上的向量场。

### 阿诺索夫流

$g_t$是P和Q上的测地流。根据定义李向量场在群元素的作用下是左不变的，可以得到这些场在$g_t$下是左不变的。换句话说，空间$TP$和$TQ$分成了三个一维空间，或子丛，每一个都在测地流作用下不变。最后注意到其中一个子丛的向量场呈指数扩大，另一个不变，第三个呈指数缩小。

精确地说，切丛$TQ$可以写成直和

$$TQ=E^+\oplus E^0\oplus E^-$$

这些空间在测地流的作用下不变；即，在群元素$g=g_t$的作用下不变。

要比较不同点q处$T_qQ$的向量的长度，需要有度量。$T_eP = \mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$上的任何内积都可扩张成P上的左不变黎曼度量，进而得到Q上的黎曼度量。向量$v\in E^+_q$的长度在$g_t$的作用下指数增大。向量$v\in E^-_q$的长度在$g_t$的作用下指数衰减。$E^0_q$中的向量不变。测地流是不变的

$$g_sg_t=g_tg_s=g_{s+t}$$

但另外两个分别是衰减和增大的：

$$g_sh^*_t=h^*_{t\exp{(-s)}}g_s$$

$$g_th_t=h_{t\exp{s}}g_s$$

其中$E^+_q$中的切向量由曲线$h_t$在$t=0$处的导数给出。

### 阿诺索夫流的几何解释

当作用在上半平面的点$z=i$时，$g_t$对应了上半平面的一条过点$z=i$的测地线。这个作用就是$\text{SL}(2,\mathbb{R})$在上半平面的标准莫比乌斯变换，所以

$$g_t\cdot i=\begin{pmatrix} \exp{(t/2)} & 0 \\ 0 & \exp{(-t/2)} \end{pmatrix}\cdot i=i\exp{t}$$

一般的测地线

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\cdot i\exp{t}=\frac{ai\exp{t}+b}{ci\exp{t}+d}$$

式中$a,b,c,d$是实数，且$ad-bc=1$。曲线$h^*_t$与$h_t$称为极限圆。极限圆对应于极限球面的法向量在上半平面的运动。

## 参考资料

- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) 1994, " Y-system,U-system, C-system ", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
- Anthony Manning, Dynamics of geodesic and horocycle flows on surfaces of constant negative curvature, (1991), appearing as Chapter 3 in Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces, Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, Eds. Oxford University Press, Oxford (1991). ISBN 0-19-853390-X (Provides an expository introduction to the Anosov flow on SL(2,R).)
- This article incorporates material from Anosov diffeomorphism on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.
- Toshikazu Sunada(砂田 利一), Magnetic flows on a Riemann surface, Proc. KAIST Math. Workshop (1993), 93–108.