扰动位

扰动位（Disturbing potential），也称异常位（Anomalous potential），指地球的真实重力位与正常重力位之间的差异。

扰动位是建立地球重力场模型过程中的关键变量，与大地水准面高和高程异常有着紧密的关系。在求解地球形状和地球重力位的问题的过程中，可以先定义一个简单的、能够直接计算得到的正常重力位和正常椭球体，再通过求解扰动位得到大地水准面或似大地水准面与正常椭球体之间的差距（如大地水准面高和垂线偏差），从而得到地球的近似形状和真实重力位。在选取正常椭球体时，通常定义其与大地水准面密合，扰动位的量级很小（仅占真实重力位的百万分之五），对真实重力位起到改正项的作用，通常可以用线性近似和球面近似的方法进行求解。

## 数学表达

从数学上的定义来看，扰动位 $T$ 通常表达成真实重力位 $W$ 与正常重力位 $U$ 之间的差距：

$$T = W - U$$

其中，两个重力位都由引力位部分和离心力位的部分组成，且两者的离心力位部分可以视作是相同的，因此扰动位表现的是两者的引力位差，具有引力位满足拉普拉斯方程的性质：

$$\nabla T \equiv 0$$

### 球谐函数

因此，扰动位 $T$ 在边界面的外部（$r>R$）展开为球谐函数：

$$T(r,\theta,\lambda) = \sum_{n=0}^{\infin}\left({R \over r}\right)^{n+1}T_n(\theta,\lambda)$$

其中球坐标 $(r,\theta,\lambda)$ 表示外部空间某一点的径向距离、极角和经度。$T_n(\theta,\lambda)$ 则表示 $n$ 阶面谐函数，且有完全形式：

$$T_n(\theta,\lambda) = {GM \over R}\sum_{m=0}^{n}\left(\Delta C_{nm}\cos{m\lambda}+\Delta S_{nm}\sin{m\lambda}\right)P_{nm}(\cos{\theta})$$

上式中各项的含义如下：

- $GM$ 地心引力常数
- $n$为面谐函数的阶数
- $R$ 为用以近似的地球半径
- $P_{nm}$ 是 $n\ $阶 $m\ $次的缔合勒让德多项式
- $\Delta C_{nm}$ 和 $\Delta S_{nm}$ 是真实重力位与正常重力位所采用的球谐系数的差值

又根据正常椭球体的定义，其产生的正常重力位应当与真实重力位在球谐展开式的最大项上相同，且具有一阶系数为零的性质，所以扰动位也常写为：

$$T(r,\theta,\lambda) = \sum_{n=2}^{\infin}\left({R \over r}\right)^{n+1}T_n(\theta,\lambda)$$

## 径向导数

由扰动位的球谐表达式，可以求出其一阶和二阶径向导数的相应表达式：

$${\partial T\over\partial r} = -{1 \over r}\sum_{n=2}^{\infin}(n+1)\left({R \over r}\right)^{n+1}T_n(\theta,\lambda)$$

$${\partial^2 T\over\partial r^2} = {1 \over r^2}\sum_{n=2}^{\infin}(n+1)(n+2)\left({R \over r}\right)^{n+1}T_n(\theta,\lambda)$$

利用缩写 $T'_n(\theta,\lambda) = (n+1)(n+2)T_n(\theta,\lambda)$，可以得到调和函数 $r^2{\partial^2 T\over\partial r^2}$的球谐展开式：

$$r^2{\partial^2 T\over\partial r^2} = \sum_{n=2}^{\infin}\left({R \over r}\right)^{n+1}T'_n(\theta,\lambda)$$

## 球面近似

在球近似的条件下，以下三个偏微分被视作相同：

$${\partial\over\partial n} = {\partial\over\partial h} = {\partial\over\partial r}$$

$n$、$h$ 和 $r$ 分别表示重力矢量的方向、高程方向和地心方向。

### 大地水准面上的扰动位及其径向导数

以球面对大地水准面进行近似（即假设 $r = R$），不考虑球谐函数是否收敛的问题，则大地水准面上的扰动位可以表达为：

$$T = T(R,\theta,\lambda) = \sum_{n=2}^{\infin}T_n(\theta,\lambda)$$

## 与其他物理量的关系

### 重力扰动

重力扰动是指大地水准面上的一点 $\mathbf{P}$ 处，真实重力 $\vec{\text{g}}_P$ 与同一位置上的正常重力 $\vec{\gamma}_P$ 的差异，即

$$\delta \vec{\text{g}} = \vec{\text{g}}_P - \vec{\gamma}_P$$

利用球面近似，重力扰动可以通过扰动位的一阶径向导数来表述：

$$\delta \text{g} = -({\partial W\over\partial n}-{\partial U\over\partial n'}) \longrightarrow \delta \text{g} = -({\partial W\over\partial n}-{\partial U\over\partial n}) = -{\partial T\over\partial n} \longrightarrow \delta \text{g} = -{\partial T\over\partial r}$$

其中 $n$ 和 $n'$ 分别表示真实重力与正常重力方向，即铅垂线方向和椭球的法线方向。

将其展开作级数，得：

$$\delta \text{g} = {1 \over r}\sum_{n=2}^{\infin}(n+1)\left({R \over r}\right)^{n+1}T_n(\theta,\lambda)$$

### 重力异常

重力异常与重力扰动的区别在于，重力异常比较的重力是点 $\mathbf{P}$ 处的真实重力 $\vec{\text{g}}_P$ 和其在椭球面上的投影 $\mathbf{Q}$ 处的正常重力 $\vec{\gamma}_Q$，即

$$\Delta \vec{\text{g}} = \vec{\text{g}}_P - \vec{\gamma}_Q$$

其与重力扰动和扰动位的一阶径向导数的关系由重力测量基本微分方程给出，这一方程的球面近似形式为：

$${\partial T\over\partial r} + {2 \over r}T + \Delta \text{g} = 0 \longrightarrow \Delta \text{g} = -{\partial T\over\partial r}-{2 \over r}T$$

将其展开作级数，得：

$$\Delta\text{g} = {1 \over r}\sum_{n=2}^{\infin}(n-1)\left({R \over r}\right)^{n+1}T_n(\theta,\lambda)$$

### 斯托克斯公式

通过泊松积分公式，可以在表达出大地水准面上的重力异常 $\Delta\text{g}$ 和扰动位 $T$ 之间的关系，即：

$$T = {R\over4\pi}\iint\limits_{\sigma}\Delta g \,S(\psi)\operatorname{d}\!\sigma$$

这一公式由爱尔兰数学物理学家斯托克斯在1849年给出，又称为斯托克斯公式。其中的 $S(\psi)$ 被称为斯托克斯函数，该项由单位球面上的被计算点与重力异常观测值所在的角元素之间的夹角 $\psi$ 决定：

$$S(\psi) = {1 \over \sin(\psi/2)} - 6\sin{\psi \over 2} + 1 - 5\cos{\psi} - 3\cos{\psi}\ln{(\sin{\psi \over 2} + \sin^2{\psi \over 2})}$$