卡罗尔质数

在数论中卡罗尔质数（Carol number）是可以用$4^n - 2^{n + 1} - 1$或$(2^n - 1)^2 - 2$表示的质数，其中 $n \geq 1$。这类形式的数字最早由克莱图斯·埃马纽埃尔（Cletus Emmanuel）开始研究，并以其朋友卡罗尔·基蒙（Carol G. Kimon）的名字命名。这些数字最早是由克莱斯图斯·伊曼纽尔（Cletus Emmanuel）研究，他以以朋友卡罗尔·基农（Carol G. Kirnon）的名字命名。

前几个卡罗尔数是：-1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16127, 65023, 261119, 1046527, 1046527, 4190207, 16769023, 67092479, 268402687, 1073676287, 4294836223, 17179607039, 68718952447, 274876858367, 1099509530623, 4398042316799, 17592177655807, 70368727400447, 281474943156223, 1125899839733759。

## 二进制表示式

在 $n>2$ 时，第 $n$ 个卡罗尔数在二进制下，可以表示为 $n-2$ 个连续的1，中间一个零，$n+1$ 个连续的1，或者可以表示如下：

$$\sum_{i \ne n + 2}^{2n} 2^{i - 1}.$$

例如，47的二进制为101111，223的二进制是11011111，第2n个梅森数和第 $n$ 个卡罗尔数的间的差是$2^{n + 1}$，因此可得卡罗尔数的另一个等效表示式$(2^{2n} - 1) - 2^{n + 1}$。第 $n$ 个凯尼亚质数会比第 $n$ 个卡罗尔质数多2的n+2次方。

## 例子

- 前几个卡罗尔数如下：a(n) = (2^n-1)^2 - 2.

-1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16127, 65023, 261119, 1046527, 4190207, 16769023, 67092479, 268402687, 1073676287, 4294836223, 17179607039, 68718952447, 274876858367, 1099509530623, 4398042316799, 17592177655807, 70368727400447, 281474943156223, 1125899839733759, …

A093112

7, 47, 223, 3967, 16127, 1046527, 16769023, 1073676287, 68718952447, 274876858367, 4398042316799, 1125899839733759, 18014398241046527, 1298074214633706835075030044377087, …

A091516

它们被称为卡罗尔质数。

- 第七个卡罗尔数 $16127$ 同时是第五个卡罗尔质数，且将其数字反转后（即 $72161$）仍为质数。

这种数字被称为卡罗尔艾普斯隆质数（Carol-Mirpzahl）。

目前已知仅有两个卡罗尔艾普斯隆质数：

16127, 16769023

- 目前已知最大的卡罗尔质数是 $(2^{695631}-1)^2-2$，共有 $418812$ 位数。它是由马克·罗登克希（Mark Rodenkirch）于 2016 年 7月16日使用 CKSieve 和 PrimeFormGW 程式发现的。这是第 44 个卡罗尔质数。

## 特性

- 对于所有 $n>2$，形式为 $(2^n-1)^2-2$ 的卡罗尔数，其二进制表示长度为 $2n$ 位，开头为 $n-2$ 个“1”，中间有一个“0”，最后以 $n+1$ 个“1”结尾。换句话说：

$$(2^n-1)^2-2 = \sum_{i=1 \atop i \not= n+2}^{2n} 2^{i-1}$$

范例：

$$223=(2^4-1)^2-2= \underline{1} \cdot 2^7+\underline{1} \cdot 2^6+\underline{0} \cdot 2^5+\underline{1} \cdot 2^4+\underline{1} \cdot 2^3+\underline{1} \cdot 2^2+\underline{1} \cdot 2^1+\underline{1} \cdot 2^0=11011111_2$$

- 第 $2n$ 个梅森数（即 $2^{2n}-1$）与第 $n$ 个卡罗尔数之间的差值为 $2^{n+1}$。

因此，卡罗尔数也可以定义为 $(2^{2n}-1)-2^{n+1}$。

- 第 $n$ 个凯尼亚数 $(2^n+1)^2-2$ 与第 $n$ 个卡罗尔数之间的差值为 $2^{n+2}$。
- 如果从卡罗尔数 7 开始计数，每隔两个（即每第三个）卡罗尔数就是 $7$ 的倍数。

范例：

$65023=(2^8-1)^2-2$ 是继 7 之后出现的第六个卡罗尔数，且 $65023=9289 \cdot 7$ 确实是 7 的倍数。

- 当 $n=3k+2$（其中 $k>0$）时，卡罗尔数 $(2^n-1)^2-2$ 不可能是质数。

（此结论直接推导自上述关于 7 的倍数之特性）

## 推广

以 $b$ 为底的广义卡罗尔数（generalized Carol number to base $b$）是指形式为 $(b^n-1)^2-2$ 的数，其中 $n \geq 1$ 且底数 $b \geq 2$。

### 特性

- 底数为 $b \geq 4$ 的广义卡罗尔数，只有当 $b$ 为偶数时才可能是质数。

（若 $b$ 为奇数，则其任何次方 $b^n$ 亦为奇数。减去 $1$ 后变为偶数，该数的平方仍为偶数，再减去 $2$ 后依旧是偶数，因此在 $b \geq 4$ 的情况下绝对不会是质数。由此可同时证明本项与下一项特性。）

- 若底数 $b$ 为奇数，则广义卡罗尔数恒为偶数。
- 以 $b^n$ 为底数的广义卡罗尔数，同时也是以 $b$ 为底数的广义卡罗尔数。
- 使 $((2k)^n-1)^2-2$ 为质数（即底数 $b = 2k$）的最小 $n \geq 1$ 分别如下（针对 $k = 1, 2, 3, 4, \ldots, 100$）：

2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 159, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 4, 3, 1, 12, 1, 1, 2, 9, 1, 88, 2, 1, 1, 12, 4, 1, 1, 183, 1, 1, 320, 24, 4, 3, 2, 1, 3, 1, 5, 2, 4, 2, 1, 2, 1, 705, 2, 3, 29, 1, 1, 1, 4836, 20, 1, 135, 1, 4, 1, 6, 1, 15, 3912, 1, 2, 8, 3, 24, 1, 14, 4, 1, 2, 321, 11, 1, 174, 1, 6, 1, 42, 310, 1, 2, 27, 2, 1, 29, 3, 103, 20, …

范例：

对于 $k=3$，可以从上述列表的第 3 个位置得知 $n=6$。

事实上，$((2 \cdot 3)^6-1)^2-2=2176689023 \in \mathbb P$ 是一个质数。

下表列出了以 $b$ 为底的最小广义卡罗尔质数：

$b$｜形式｜使底数为 $b$ 的广义卡罗尔数（即 $(b^n-1)^2-2$）为质数的指数 $n \geq 1$｜OEIS 数列

$2$｜$(2^n-1)^2-2$｜2, 3, 4, 6, 7, 10, 12, 15, 18, 19, 21, 25, 27, 55, 129, 132, 159, 171, 175, 315, 324, 358, 393, 435, 786, 1459, 1707, 2923, 6462, 14289, 39012, 51637, 100224, 108127, 110953, 175749, 185580, 226749, 248949, 253987, 520363, 653490, 688042, 695631, …｜A091515

$3$｜$(3^n-1)^2-2$｜1 （导致偶质数 $p=2$；不存在更多的指数 $n$）

$4$｜$(4^n-1)^2-2$｜1, 2, 3, 5, 6, 9, 66, 162, 179, 393, 3231, 19506, 50112, 92790, 326745, 344021, …

$6$｜$(6^n-1)^2-2$｜1, 2, 6, 7, 20, 47, 255, 274, 279, 308, 1162, 2128, 3791, 9028, 9629, 10029, 13202, 38660, 46631, 48257, 117991, …｜A100901

$8$｜$(8^n-1)^2-2$｜1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 43, 44, 53, 57, 105, 108, 131, 145, 262, 569, 2154, 4763, 13004, 33408, 58583, 61860, 75583, 82983, 217830, 231877, …

$10$｜$(10^n-1)^2-2$｜1, 8, 21, 123, 4299, 6128, 11760, 18884, 40293, …｜A0100903

$12$｜$(12^n-1)^2-2$｜3, 29, 51, 7824, 15456, 22614, 28312, 47014, 68835, …

$14$｜$(14^n-1)^2-2$｜1, 6, 13, 45, 74, 240, 553, 12348, 13659, 50603, …｜A0100905

$16$｜$(16^n-1)^2-2$｜1, 3, 33, 81, 9753, 25056, 46395, …

$18$｜$(18^n-1)^2-2$｜2, 8, 30, 98, 110, 185, 912, 2514, 4074, 10208, 15123, 19395, 69354, …

$20$｜$(20^n-1)^2-2$｜1, 2, 53, 183, 1281, 1300, 8041, 29936, 72820, …

$22$｜$(22^n-1)^2-2$｜1, 8, 35, 88, 503, 8643, 8743, 14475, 92539, …｜(A0100907)

$24$｜$(24^n-1)^2-2$｜2, 27, 92, 4950, 20047, 46309, 55716, …

$26$｜$(26^n-1)^2-2$｜159, 879, 4744, 5602, 74387, …

$28$｜$(28^n-1)^2-2$｜1, 22, 127, 165, 2520, 6492, 6577, 22960, 25528, …

$30$｜$(30^n-1)^2-2$｜1, 6, 19, 30, 166, 495, 769, 826, 1648, 3993, …

$32$｜$(32^n-1)^2-2$｜2, 3, 5, 11, 35, 63, 87, 37116, 130698, …

$34$｜$(34^n-1)^2-2$｜1, 4, 258, …

$36$｜$(36^n-1)^2-2$｜1, 3, 10, 137, 154, 581, 1064, 4514, 6601, 19330, …

$38$｜$(38^n-1)^2-2$｜1, 2, 13, 560, 28933, …

$40$｜$(40^n-1)^2-2$｜4, 15, 39, 138, 2153, 4084, 5639, …

$42$｜$(42^n-1)^2-2$｜3, 6, 14, 15, 29, 78, 195, 255, 272, 713, 2526, 4852, 10573, …

$44$｜$(44^n-1)^2-2$｜1, 7, 30, 90, 1288, 1947, 12909, 25786, …

$46$｜$(46^n-1)^2-2$｜12, 269, 1304, 5172, …

$48$｜$(48^n-1)^2-2$｜1, 2, 4, 6, 12, 13, 3882, 6123, 15067, 15085, …

$50$｜$(50^n-1)^2-2$｜1, 3, 4, 9, 31, 66, 115, 430, 1233, 2546, 2674, 6360, 53351, 69033, 69157, …

目前已知最大的广义卡罗尔质数为 $(290^{124116}-1)^2-2$，共有 $611246$ 位数。该数字由卡斯滕·博纳斯（Karsten Bonath）于 2019 年 3 月 1 日发现。它是该底数下的第三个凯尼亚质数。

## 其他推广

形式为 $(2^n-1)^3+2$ 的正整数称为诺迪数（Noddy number）。

最小的诺迪质数如下：

0, 1, 2, 6, 10, 16, 48, 70, 1196, 3958, 57096, 59556, 62440, 70362, … (A0100899)

## 外部链接

- Mark Rodenkirch, Gary Barnes, Karsten Bonath: Carol and Kynea Prime Search.
- Carol- und Kynea-Primzahlen