秩 (J编程语言)

秩（Rank），是对非面向阵列的标量编程语言中循环的广泛化。它还是Lisp语言中的mapcar，及现代函数式编程语言中的map高阶函数的广泛化，以及对APL\360中标量扩展、矩阵的内积和外积的广泛化。秩的正规实现，是在J语言中，但也可获得于APL语言实现如Dyalog APL、ISO标准ISO/IEC 13751:2001的扩展APL和NARS2000。

## 简介

秩有一些不同的含义。一般的说，秩的概念用于依据它们的子阵列来处理正交阵列。例如，二维阵列可以在秩为2之下，按一个完整的矩阵进行处理；或者在秩为1之下，对它所包含的诸个一维列向量或行向量进行处理；或者在秩为0之下，对它所包含的诸个单独元素进行处理。J语言中有三种秩：

- 名词秩，名词的秩是非负整数。
- 动词秩，动词的秩是三个整数的列表。
- 秩连词，秩连词`"`用来导出具有指定秩的一个动词。

## 名词秩

在J语言中，名词是阵列数据类型。名词的秩是这个阵列的维数。尽管有时存在争论，人们通常用如下名字称谓低维阵列：

名字｜秩

原子｜标量｜0

列表｜向量｜1

表格｜矩阵｜2

立体｜张量｜3

一个N维整数阵列可以通过`i.`建立，它接受一个整数向量作为参数。其中整数的数目定义了维数，而每个整数的绝对值定义对应维的长度。可以使用派生动词`#@$`来确定一个名词的秩。

```J
   i. 3
0 1 2
   >:i. 3
1 2 3
   i. 2 3
0 1 2
3 4 5
   i. 2 3 4
 0  1  2  3
 4  5  6  7
 8  9 10 11

12 13 14 15
16 17 18 19
20 21 22 23
   #@$ i. 2 3 4
3
```

## 动词秩

在J语言中，动词是接受名词参数产生名词结果的函数。动词的秩，控制着如何将动词应用到秩大于`0`的名词。采用副词`u b. 0`来确定动词`u`的秩。例如：

```J
   * b. 0
0 0 0
   +/ b. 0
_ _ _
```

这里的`_`“无穷”，指示将参数作为整体处理。动词的秩被表达为三个数：

- 一元情况的秩
- 二元情况用于左参数的秩
- 二元情况用于右参数的秩

例如，`&minus;y`使用`&minus;`作为单子（monad），是一元情况；`x&minus;y`使用`&minus;`作为双子（dyad），是二元情况。在所有情况下，有一些底层动词被应用于“单元”（cell），它是有指示秩的子阵列。如果参数没有动词指示的那么多维，在这种退化的情况下，动词的秩会有效的缩减为参数实际的秩。

在动词中，负数秩被解释为，将提供为参数的名词的秩，减少指示正值，但永不会变得小于零。例如，一个动词具有一元秩负1，在给它一个秩为3的参数的时候，将参数分解成秩为2的阵列的一个列表。将动词的主体，应用到这些二维子阵每个之上一次。

在特定动词和特定名词的上下文下，将名词的诸维，划分成前缀诸维的序列，称为框架（frame）；和后缀诸维的序列，称为单元（cell）。正数动词秩，指示单元诸维的数目，负数动词秩，指示框架诸维的数目。

## 秩连词

秩连词`"`，接受一个动词左参数和一个名词右参数来建立一个新动词。

名词右参数构成自三个数，分别指定一元秩、二元左秩和二元右秩。如果右参数只有两个数，第一个数是二元左秩，而第二个数是一元秩和二元右秩。如果右参数只有一个数，它被接受为所有三种情况下的秩。如果右参数是个动词，就复制使用它的秩。例如：

```J
   (*"1 1 1) b. 0
1 1 1
   (*"0 _) b. 0
_ 0 _
   (*"1) b. 0
1 1 1
   (*"<) b. 0
_ 0 0
```

如果给秩连词的左参数是个名词，建立一个常量动词。这个动词的主体忽略任何参数的值，并总是生成这个名词的结果。

## 框架一致

在二元运算的情况下，左右两个参数，都有自己的框架，二者必须达成一致（agreement）。左右两框架经常是共同的。如果左右两框架不是同一的，有三种可以运算的情况：

两参数中一个的形状序列，是另一个的形状序列的前缀，例如：

```J
   (i. 2 3) * i. 2 3 4
  0   0   0   0
  4   5   6   7
 16  18  20  22

 36  39  42  45
 64  68  72  76
100 105 110 115
```

这里左侧参数的短框架`2 3`，是右侧参数的长框架`2 3 4`的前缀。求值这个动词的结果，跟随着前缀诸维序列`2 3`，是二元动词应用到两个有关单元的结果，即将左参数的每个0维标量，乘以右参数的每个1维阵列。

两参数中一个的形状序列，是另一个的形状序列的后缀，可以通过秩连词，指定动词秩为维数少参数的秩，从而对它按整体处理，例如：

```J
   (i. 3 4) *"2 i. 2 3 4
  0   1   4   9
 16  25  36  49
 64  81 100 121

  0  13  28  45
 64  85 108 133
160 189 220 253
```

这里左侧参数的短框架`3 4`，是右侧参数的长框架`2 3 4`的后缀。求值这个动词的结果，跟随着前缀诸维序列`2`，是二元动词应用到两个有关单元的结果，即将左参数的作为整体的1个2维阵列，乘以右参数相同形状的每个2维阵列。

指定动词左右秩中的一个为`_`，即按整体处理，例如：

```J
   $ (i.2 3) (*"0 _) i.3 4
2 3 3 4
   $ (i.2 3) (*"_ 0) i.3 4
3 4 2 3
   $ (i.2 3) (*"1 _) i.3 4
2 3 4
   $ (i.2 3) (*"_) i.2 3 4
2 3 4
```

这里第一个运算的左秩为`0`，而右秩为按整体处理；求值的结果中跟随着左参数的诸维序列`2 3`的，是将左参数的每个`0`维标量，乘以右参数的作为整体的`2`维阵列的结果。第二个运算的左右秩与第一个运算相反，其结果中来自二者的诸轴的前后次序也与之相反。第三个运算的左秩为`1`，而右秩为按整体处理；跟随着左参数的诸维序列`2`的，是将左参数的每个`1`维向量，乘以右参数的作为整体的`2`维阵列的结果。第四个运算的左右秩都按整体处理，则同于前缀情况。

## 秩作为循环的泛化

理解秩要求知道一些非常基础的面向阵列编程概念。在大多数基于阵列的语言中，归约（reduction）用前向斜杠`/`来指示。在J语言中，斜杠接受一个函数左参数，和要被这个函数归约的阵列作为右参数。将加法归约应用到一个1维阵列：

```J
   +/ 1 2 3
6
```

预期的结果是`1 + 2 + 3`。

将加法归约应用到一个2维阵列：

```J
   +/ i. 2 3
3 5 7
```

预期结果是`0 1 2 + 3 4 5`。`+/`的秩为`_`“无穷”，即将参数作为整体来运算，`+`算符被映射到这个阵列的最高秩之上。对2个向量进行归约，参数名词的形状从`2 3`变为`1 3`即`3`，结果是合计了每行元素的长度为3的1维阵列。这个代码对应如下APL2及其派生者的代码：

```apl
      +⌿ 2 3⍴⍳6
3 5 7
```

还对应于如下C语言代码片段：

```c
for(j = 0; j < 3; ++j) {
    sum[j] = 0;
}
for(i = 0; i < 2; ++i) {
    for(j = 0; j < 3; ++j) {
        sum[j] += array[i][j];
    }
}
```

假定需要合计每列元素，而得到长度为2的1维阵列，在C语言代码中如下这样写：

```c
for(i = 0; i < 2; ++i) {
    sum[i] = 0;
    for(j = 0; j < 3; ++j) {
        sum[i] += array[i][j];
    }
}
```

在APL中不需要用到循环构造，这个代码写为：

```apl
      +/ 2 3⍴⍳6
3 12
```

在J语言中使用秩连词可以写为：

```J
   +/"1 i. 2 3
3 12
   +/"_1 i. 2 3
3 12
```

为了进一步展示在J语言中秩是如何工作的，以3维阵列上的加法归约为例子：

```J
   a=: i. 2 3 4
   +/ a
12 14 16 18
20 22 24 26
28 30 32 34
   +/"_1 a
12 15 18 21
48 51 54 57
   (+/"_1 a) -: +/"2 a
1
   +/"1 a
 6 22 38
54 70 86
   (+/"1 a) -: +/"_2 a
1
```

## 延伸阅读

- Backus, J.W., Can Programming be Liberated from the von Neumann Style? A Functional Style and Its Algebra of Programs (https://www.thocp.net/biographies/papers/backus_turingaward_lecture.pdf ), Communications of the ACM, Volume 21, Number 8, 1978-08.; §11.3.3.
- Bernecky, R., An Introduction to Function Rank (https://dl.acm.org/citation.cfm?id=55632), APL88 Conference Proceedings, APL Quote Quad, Volume 18, Number 2, 1987-12.
- Brown, J.A., The Principles of APL2 (http://www.softwarepreservation.org/projects/apl/Papers/PRINCIPLESOFAPL2 ), TR 03.247, IBM Santa Teresa Laboratory, San Jose, California, 1984-03; §20.0.
- Dyalog, Dyalog APL Version 14.0 Release Notes (http://www.dyalog.com/dyalog-version-140.htm ), Dyalog Limited, 2015.
- Hui, R.K.W., Rank and Uniformity (http://www.jsoftware.com/papers/rank.htm ), APL95 Conference Proceedings, APL Quote Quad, Volume 25, Number 4, 1995-06.
- Hui, R.K.W., Remembering Ken Iverson (https://web.archive.org/web/20191220153001/http://keiapl.org/rhui/remember.htm), 2004-11.
- Hui, R.K.W., Inner Product—An Old/New Problem (http://www.jsoftware.com/papers/innerproduct/ip.htm ), British APL Association Conference 2009, 2009-06-08.
- Iverson, K.E., Operators and Functions (http://www.jsoftware.com/papers/opfns.htm ), Research Report #RC7091, IBM, 1978-04-26.
- Iverson, K.E., A Dictionary of APL (http://www.jsoftware.com/papers/APLDictionary.htm ), APL Quote Quad, Volume 18, Number 1, 1987-09.
- Iverson, K.E., A Personal View of APL (http://www.jsoftware.com/papers/APLPersonalView1.htm ), IBM Systems Journal, Volume 30, Number 4, 1991-12.
- Slepak,Justin; Shivers, Olin; Manolios, Panagiotis, An array-oriented language with static rank polymorphism (http://www.ccs.neu.edu/home/jrslepak/typed-j.pdf ).

## 外部链接

- J Dictionary entry for "rank"
- Rank in "Learning J"