吉洪诺夫正则化

吉洪诺夫正则化得名于安德烈·尼古拉耶维奇·吉洪诺夫，是在自变量高度相关的情景下估计多元回归模型系数的方法。它已被用于许多领域，包括计量经济学、化学和工程学。吉洪诺夫正则化为非适定性问题的正则化中最常见的方法。在统计学中，本方法被称为脊回归回归或岭回归（ridge regression）；在机器学习领域则称为权重衰减或权值衰减（weight decay）。因为有不同的数学家独立发现此方法，此方法又称做吉洪诺夫－米勒法（Tikhonov–Miller method）、菲利浦斯－图米法（Phillips–Twomey method）、受限线性反演（constrained linear inversion method），或线性正规化（linear regularization）。此方法亦和用在非线性最小二乘法的莱文伯格-马夸特方法相关。它对于缓解线性回归中的多重共线性问题特别有用，这常见于有大量参数的模型中。总的来说，这种方法提高了参数估计的效率，但也有可容忍的偏差（见偏差-方差权衡）。

该理论于 1970 年由 Hoerl 与 Kennard 发表在《技术计量学》上的文章《岭回归：非正交问题的偏估计》及《岭回归：非正交问题中的应用》中首次提出。这是对脊分析领域进行十年研究的结果。

岭回归是通过创建岭回归估计量（RR）实现的。当线性回归模型具有多重共线（高度相关）的自变量时，岭回归对于最小二乘估计的不精确性是一种可能的解决方案。这提供了更精确的岭参数估计，因为它的方差和均方估计量通常小于先前推导的最小二乘估计量。

当求解超定问题（即 $A_{m \times n}x=b, m > n$）时，矩阵 $A$ 的协方差矩阵 $A^H A$ 奇异或接近奇异时，利用最小二乘方法求出的结果 $\hat{x}_{LS}=(A^H A)^{-1} A^H b$ 会出现发散或对 $x$ 不合理的逼近。为了解决这一问题，吉洪诺夫于 1963 年提出了利用正则化项修改最小二乘的代价函数的方法，修改后的代价函数如下：

$$J(x)=\frac{1}{2}(\lVert Ax-b \rVert^2_2 + \lambda \lVert x \rVert _2^2)$$

式中 $\lambda \ge 0$ 称为正则化参数，这种方法被称为吉洪诺夫正则化。

## 概览

在最简单的情况下，向主对角线添加正元素可以缓解近奇异矩量矩阵 $(\mathbf{X}^\mathsf{T}\mathbf{X})$ 问题，减少条件数。类似于最小二乘估计量，简单岭估计量可定义为

$$\hat{\beta}_{R} = (\mathbf{X}^{\mathsf{T}} \mathbf{X} + \lambda \mathbf{I})^{-1} \mathbf{X}^{\mathsf{T}} \mathbf{y}$$

其中 $\mathbf{y}$ 是回归子，$\mathbf{X}$ 是设计矩阵，$\mathbf{I}$ 是单位矩阵，岭参数 $\lambda \geq 0$ 则是矩量矩阵对角线的恒定位移。

$\lambda$

可以证明这个估计量是约束为 $\beta^\mathsf{T}\beta = c$ 的最小二乘问题的解，可表达为拉格朗日形式：

$$\min_{\beta} \, (\mathbf{y} - \mathbf{X} \beta)^\mathsf{T}(\mathbf{y} - \mathbf{X} \beta) + \lambda (\beta^\mathsf{T}\beta - c)$$

其说明，$\lambda$ 不过是约束的拉格朗日乘数。通常要根据启发式准则选择 $\lambda$，以便不完全满足约束。特别是在约束 $\lambda = 0$，即非约束约束（non-binding constrain），岭估计量退化为普通最小二乘法。下面讨论一种更通用的吉洪诺夫正则化方法。

## 历史

吉洪诺夫正则化是在许多不同背景下独立发明的。安德烈·吉洪诺夫和 David L. Phillips 最早使用了这种方法。有限维情形由采用统计方法的 Arthur E. Hoerl 和 Manus Foster 完成，后者将其解释为克里金法滤子。自 Hoerl 之后，这种方法在统计学文献中被称为岭回归，以沿单位矩阵对角线的形状命名。

## 吉洪诺夫正则化

假设对已知矩阵 $A$ 和向量 $\mathbf{b}$，我们希望找到向量 $\mathbf{x}$ 使

$$A\mathbf{x} = \mathbf{b}.$$

标准方法是普通最小二乘法线性回归。但若没有 $\mathbf{x}$ 满足方程或超过一个 $\mathbf{x}$ 满足（即解不唯一），则待研究问题为不适定问题，普通最小二乘估计会导致方程组过定或欠定。大多数现实世界的现象在前向问题中都具有低通滤性质，其中 $A$ 将 $\mathbf{x}$ 映射到 $\mathbf{b}$。因此在解决逆问题时，逆映射作为高通滤波器，具有放大噪声的不良趋势（特征值/奇异值在逆映射中最大，在正映射中最小）。此外，普通最小二乘隐式地消除了位于 $A$ 的零空间的 $\mathbf{x}$ 的重建版本的每个元素，而非允许将模型用作 $\mathbf{x}$ 的先验。普通最小二乘寻找最小化残差平方和，可以紧凑地写作

$$\|A\mathbf{x} - \mathbf{b}\|_2^2,$$

其中 $\|\cdot\|_2$ 是欧几里得范数。

为优先选择具有所需性质的特定解，可在最小化中包含正则化项：

$$\|A\mathbf{x} - \mathbf{b}\|_2^2 + \|\Gamma \mathbf{x}\|_2^2$$

其中吉洪诺夫矩阵 $\Gamma$ 需要适当选取，许多时候选为单位矩阵的标量倍数（$\Gamma = \alpha I$），并优先考虑范数较小的解；这叫做 L2 正则化。这之外，若认为基础向量几乎连续，则可使用高通运算（如递推关系式或加权离散傅里叶变换）以实现平滑。这种正则化改进了问题条件，从而实现了直接的数值求解。显式解表示为 $\hat{x}$，是这样得到：

$$\hat{x} = (A^\top A + \Gamma^\top \Gamma)^{-1} A^\top \mathbf{b}.$$

正则化的效果可能因矩阵 $\Gamma$ 的尺度而异。若择 $\Gamma = 0$，如 $(A^{\top}A)^{-1}$ 存在，则简化为非正则化最小二乘解。

除线性回归外，L2 正则化还有许多应用场景，如逻辑斯谛回归或支持向量机分类，以及矩阵分解。

### 广义吉洪诺夫正则化

对于 $x$ 和数据误差的多元正态分布，可以应用变量的变换来简化上述情况。等价地，可以寻求最小化 $x$：

$$\|Ax - b\|_P^2 + \|x - x_0\|_Q^2,$$

其中 $\|x\|_Q^2$ 表示加权范数平方 $x^\top Q x$（比较马哈拉诺比斯距离）。在贝叶斯解释中，$P$ 是 $b$ 的逆协方差矩阵；$x_0$ 是 $x$ 的期望；$Q$ 是 $x$ 的逆协方差矩阵。吉洪诺夫矩阵为矩阵 $Q = \Gamma^\top \Gamma$ 的分解（如科列斯基分解），可视作白化变换器。

这个推广问题有最优解 $x^*$，可以使用公式显式地写为

$$x^* = (A^\top PA + Q)^{-1} (A^\top Pb + Qx_0),$$

或等效地，当 $Q$ 非空：

$$x^* = x_0 + (A^\top PA + Q)^{-1} (A^\top P(b - Ax_0)).$$

## 拉夫连季耶夫正则化

有时可以避免使用 $A^\top$，这由米哈伊尔·拉夫连季耶夫指出。例如，若 $A$ 是对称正定矩阵，即 $A = A^\top > 0$，则其逆 $A^{-1}$ 可以用来在广义吉洪诺夫正则化中构造加权范数平方 $\|x\|_P^2 = x^\top A^{-1} x$，则有最小化

$$\|Ax - b\|_{A^{-1}}^2 + \|x - x_0\|_Q^2$$

或等价地由常数项。

$x^\top (A+Q)x - 2 x^\top (b + Qx_0)$.

该最小化问题有最优解 $x^*$，可以紧凑地写作公式

$x^* = (A + Q)^{-1} (b + Qx_0)$,

是广义吉洪诺夫问题的解，其中 $A = A^\top =P^{-1}$。

拉夫连季耶夫正则化对原吉洪诺夫正则化有利，因为拉夫连季耶夫矩阵 $A + Q$ 的条件数比吉洪诺夫矩阵 $A^\top A + \Gamma^\top \Gamma$ 小。

## 希尔伯特空间中的正则化

典型的离散线性非适定问题由积分方程的离散化引起，可以在原始的无穷维背景中实现吉洪诺夫正则化。上面，我们可以将 $A$ 解释为希尔伯特空间上的紧算子，$x$、$b$ 为 $A$ 的域与范围上的元素。$A^* A + \Gamma^\top \Gamma$ 是自伴随有界可逆运算。

## 与奇异值分解和维纳滤波器的关系

有 $\Gamma = \alpha I$ 这个最小二乘解可用奇异值分解以特殊的方式分析。给定奇异值分解

$$A = U \Sigma V^\top$$

奇异值 $\sigma _i$，则吉洪诺夫正则解可表为

$$\hat{x} = V D U^\top b,$$

其中 $D$ 的对角值为

$$D_{ii} = \frac{\sigma_i}{\sigma_i^2 + \alpha^2}$$

其余地方都是 0。这表明吉洪诺夫参数对正则化问题条件数的影响。对于广义情况，可以使用广义奇异值分解推导出类似的表示。

最后，其与维纳滤波有关：

$$\hat{x} = \sum _{i=1}^q f_i \frac{u_i^\top b}{\sigma_i} v_i,$$

其中维纳权为 $f_i = \frac{\sigma _i^2}{\sigma_i^2 + \alpha^2}$；$q$ 是 $A$ 的秩。

## 确定吉洪诺夫因子

最佳正则化参数 $\alpha$ 一般未知，在实践中常常临时确定。一种可能的方法依赖于下面描述的贝叶斯解释。其他方法包括偏差原理、交叉验证、L 曲线法、约束最大似然法和无偏预测风险估计。Grace Wahba 证明，这种最优参数用留一交叉验证最小

$$G = \frac{\operatorname{RSS}}{\tau^2} = \frac{\|X \hat{\beta} - y\|^2}{[\operatorname{Tr}(I - X(X^T X + \alpha^2 I)^{-1} X^T)]^2},$$

其中 $\operatorname{RSS}$ 是残差平方和，$\tau$ 是自由度。

用前面的 SVD 分解，可以简化上述表达式：

$$\operatorname{RSS} = \left\| y - \sum_{i=1}^q (u_i' b) u_i \right\|^2 + \left\| \sum _{i=1}^q \frac{\alpha^2}{\sigma_i^2 + \alpha^2} (u_i' b) u_i \right\|^2,$$

$$\operatorname{RSS} = \operatorname{RSS}_0 + \left\| \sum_{i=1}^q \frac{\alpha^2}{\sigma_i^2 + \alpha^2} (u_i' b) u_i \right\|^2,$$

$$\tau = m - \sum_{i=1}^q \frac{\sigma_i^2}{\sigma_i^2 + \alpha^2} = m - q + \sum_{i=1}^q \frac{\alpha^2}{\sigma _i^2 + \alpha^2}.$$

## 与概率表述的关系

逆问题的概率公式引入了（当所有不确定量都为正态量时）表示模型参数先验不确定性的协方差矩阵 $C_M$，以及表示观测参数不确定性的协方差矩阵 $C_D$。当它们都是对角各向同性矩阵（$C_M = \sigma_M^2 I$），且 $C_D = \sigma_D^2 I$，则逆理论方程简化为上述方程，且 $\alpha = {\sigma_D}/{\sigma_M}$。

## 贝叶斯解释

虽然选择这个正则化问题的解可能看起来是人为的，而且矩阵 $\Gamma$ 似乎相当武断，但从贝叶斯的角度来看，这个过程是合理的。注意，不适定问题必须引入额外假设才能得到唯一解。在统计学中，$x$ 的先验分布有时被认为是多元正态分布。为简单起见，此处做出以下假设：均值为零；组分独立；组分标准差均为 $\sigma _x$。数据也受误差影响，并且假设 $b$ 中的误差独立，均值为零，标准差为 $\sigma _b$。在这些假设下，根据贝叶斯定理，吉洪诺夫正则化解是给定数据和 $x$ 的先验分布的最可能的解。

若正态性假设被同方差和无关误差假设代替，且若假设均值仍是零，则高斯-马尔可夫定理意味着解是最小无偏线性估计量。

## 另见

- Lasso 算法是统计学中另一种正则化方法。
- 弹性网络正则化
- 矩阵正则化