挂谷集合

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在数学中，挂谷集合（Kakeya set）或者贝西科维奇集合，是一个在欧几里德空间中的点的集合，包含了在任何方向上的单位线段。例如，欧几里德平面中的一个半径为 $\dfrac12$ 的圆盘，或在三维空间中一个半径为 $\dfrac12$ 的球，形成了一个挂谷集。许多在此方面的研究已经研究了这样的点集可以有多小。贝西科维奇证明了贝西科维奇集之测度可以为 $0$。

挂谷转针集合（有时也称为挂谷集合）是一个要求更强的挂谷集，单位线段在其中可以连续旋转 $180^\circ$，以颠倒的方位回到原来的位置。半径为的 $\dfrac12$ 圆盘也是挂谷转针集合的一个例子。

## 挂谷转针问题

挂谷转针问题，询问在平面上是否有一个面积最小的区域 $D$，在其中针可以旋转 $360^\circ$。挂谷宗一于 1917 年首次对于凸集提出此问题。朱拉·帕尔的研究显示，凸集的最小面积可以通过一个高为 $1$ 且面积为 $\dfrac1{\sqrt{3}}$ 的 等边三角形达到。

挂谷似乎认为面积最小的没有凸性限制的挂谷集 $D$ 将是一个三尖瓣线。然而这是错误的；还有更小的非凸挂谷集合。

## 贝西科维奇集合

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亚伯兰·贝西科维奇成功证明，容许单位长度的针旋转一周的区域 $D$，其面积没有一个大于 $0$ 的下界。也许是说，对任何 $\varepsilon>0$，存在面积为 $\varepsilon$ 的区域，可供针在里面连续的移动并将其方向旋转 $360^\circ$。这个结论建立于他早期对于包含各向单位线段之平面集的研究，这样的集合现在被称作贝西科维奇集合。贝西科维奇在 1919 年的工作证明了，这样的点集可以有无限小的面积。在此之前，分析学家可能已经考虑过这个问题。

奥斯卡·佩龙简化了贝西科维奇构造贝西科维奇集合的方法，此法被称之为“佩龙树”（相关图形见图右）：作一个高为 $1$ 的三角形，分为两个小三角形，将其中一部分平移到另一部分上，使底部分重合。此新图形有更小的面积。

现在，把三角形分成八个三角形。对于每对相邻的三角形，重演如上所述的重叠过程，获得四个新图形，每个包括两个重叠的三角形。接着，将相邻的新图形移动，使其底部分重合，所以我们只剩下两个图形，最后用同样方法将这两个图形重合。最后得到一个看上去像是树之类的图形，但面积远小于原来的三角形。

为了构造更小的点集，将三角形细分为 $2^n$ 个三角形，每个三角形的底长度为 $2^{-n}$，并执行与我们之前相同的操作。如果我们在每个三角形上所做的重叠量足够小，并且我们三角形的细分区域的大小 $n$ 足够大，我们就可以形成一棵我们想要的面积最小的树。一个贝西科维奇集合可以由等边三角形产生的佩隆树的三个旋转组合而成。

进一步采用该方法，我们可以构造一个集合序列，其交集是一个度量零的贝西哥维奇集合。这样做的一种方法是观察，如果我们有一个平行四边形，两个边在 $x=0$ 和 $x=1$ 线上，那么我们就可以找到一个平行四边形的并集，这些平行四边形的边也在这些线上，它们的总面积是任意小的，并且包含了平行四边形中将 $x=0$ 上的一个点连接到 $x=1$ 上的一个点的所有直线的平移。这可由贝西奥维奇的构造方法稍变化而得。重复以上，我们可以找到一个集合序列

$$K_0\supseteq K_1 \supseteq K_2 \cdots$$

每一个直线 $x=0$ 和 $x=1$ 之间的平行四边形的有限并集，其面积趋向于零，并且每一条都包含单位面积中连接 $x=0$ 和 $x=1$ 的所有直线的平移。这些集合的交集是一个包含所有这些线的转换的度量零集，因此这个交集的两个副本的并集是一个度量零的贝西科维奇集。

除了“萌芽”方法之外，还有其他方法可以构造贝西科维奇的度量零集。例如让·皮埃尔·卡汉使用康托尔集在二维平面中构造一个贝西科维奇测量零点集。

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## 挂谷转针集合

通过使用帕尔的技巧，即所谓的帕尔连接（给定两条平行线，任何单位线段都可以在任意小尺寸的集合上从一个连续移动到另一个），可以从由佩龙树组成的贝西科维奇集合创建一个单位线段可以在其中连续旋转 $180^\circ$ 的集合。

1941 年，H. J. 范·阿尔芬（H. J. van Alphen）证明在半径为 $2+\varepsilon$（任意 $\varepsilon \geq 0$）的圆内存在任意小的挂谷转针集合。1965 年，人们发现了面积比三尖瓣线小的单连通的挂谷转针集合。梅尔文·布鲁姆（Melvin Bloom）和艾萨克·雅各布·舍恩贝格各自独立证明了挂谷转针集合的面积趋近于布卢姆·勋伯格数 $\dfrac{\pi}{24}(5 - 2\sqrt{2})$。勋伯格推测这个数字是单连通挂谷转针集合面积的下限。然而，在 1971 年，F. 坎宁安（F. Cunningham）指出，当 $\epsilon \geq 0$ 时，半径为 $1$ 的圆内存在一个面积小于 $\varepsilon$ 的单连通的挂谷转针集合。

虽然有测量为任意小正数的挂谷转针集合和测度为 $0$ 的贝西科维奇针组，但没有测度为 $0$ 量的卡基亚针组。

## 挂谷猜想

### 猜想叙述

贝西科维奇集合可以有多小的问题，也可以在更高维度中探究。此问题衍生了一系列猜想，统称为挂谷猜想，并开拓了几何测度论这个数学领域。特别是，如果存在测度为零的贝西科维奇集，那么若要求它们的 $s$ 维豪斯多夫测度为零，$s$ 是否可以小于原空间的维度？这个问题产生了以下猜想：

挂谷集合猜想：定义 $\mathbb{R}^n$ 中的贝西科维奇集合为包含每个方向的单位线段的集合。此集合的豪斯多夫维数的维度必为 $n$.

已知这对于 $n = 1, 2$ 是正确的，但是在更高维度中仅知道部分结果。

2025年2月26日，王虹和乔舒亚·札尔（Joshua Zahl）的一篇论文，声称证明了挂谷集合猜想在三维空间中的情形，被视为几何测度论中的重大突破。

### 挂谷最大值函数

一种解决这个问题的现代方法，是考虑一种特别的最大函数，我们将其构造如下：将 $\mathbb S^{n-1}\subset\mathbb R^n$ 表示为 $n$ 维空间中的单位球。定义$T_{e}^{\delta}(a)$为长度为 $1$，半径 $\delta > 0$的圆柱体，并以点 $a\in\mathbb R^n$ 为中心，其长边平行于单位矢量 $e\in\mathbb S^{n-1}$ 的方向。然后对于局部可积函数 $f$，我们定义 $f$ 的挂谷极大值函数

$$f_{*}^{\delta}(e)=\sup_{a\in\mathbf{R}^{n}}\frac{1}{m(T_{e}^{\delta}(a))}\int_{T_{e}^{\delta}(a)}|f(y)|dm(y)$$

其中 $m$ 表示 $n$ 维勒贝格测度。请注意$f_{*}^{\delta}$只定义在球体 $\mathbb S^{n-1}$ 中的向量 $e$ 上。

然后对这些函数进行猜想，如果猜想是真的，将推得更高维度的挂谷集猜想：

挂谷极大函数猜想：对于所有 $\varepsilon \geq 0$，存在一个常数 $C_\varepsilon > 0$，使得对于任何函数 $f$ 和所有 $\delta \geq 0$，（参见Lp 空间的符号）

$$\left \|f_{*}^{\delta} \right \|_{L^n(\mathbb{S}^{n-1})} \le C_{\varepsilon} \delta^{-\varepsilon}\|f\|_{L^n(\mathbb{R}^{n})}.$$

### 成果

以下是一些有利于证明挂谷猜想的成果：

- 挂谷猜想在 $n = 1$ (平凡地)和 $n = 2$ (戴维斯)时成立。
- 汤玛斯·沃尔夫表明在任何 $n$ 维空间中，挂谷集的维数必须至少为 $\dfrac{n+2}2$。
- 2000 年，内茨·卡茨、伊莎贝拉·拉巴和陶哲轩证明挂谷集合的闵科夫斯基维数在维数为3时严格地大于 $\dfrac52$。
- 2000 年，让·布尔甘将挂谷问题与算术组合学联系起来，其中包括谐波分析和加法理论。
- 2002 年，卡茨和陶哲轩范围缩小到了$(2-\sqrt{2})(n-4)+3$，在 $n > 4$ 时优于沃尔夫给出的下限。
- 2017 年，卡茨和札尔 将 $3$ 维中贝西科维奇集合的豪斯多夫维数的下限推进到 $\dfrac52+\varepsilon$，其中 $\varepsilon$ 为一绝对且 $>0$ 的常数。
- 2025 年，王虹与札尔 在arXiv发表了 $n=3$ 时的挂谷猜想研究。

## 在分析学的应用

有些令人惊讶的是，这些猜想已经被证明与其他领域的一些问题有关，特别是在谐波分析中。例如，在 1971 年，查尔斯·费夫曼能够使用贝西科维奇集构造来证明，在大于 $1$ 的维度中，当 $p\neq 2$ 时，在球心在原点，半径趋近无穷大的球上做截断傅立叶积分，其 Lp 范数不需要收敛（这与一维情况相反，在这种情况下，截断的积分确实收敛）。

## 挂谷问题的类比和推广

### 包含圆和球体的集合

挂谷问题的一个类推，是要求集合包含其他形状，例如圆形或球面，而非原问题的线段。

- 在 1997 年和 1999 年，沃尔夫证明了：若一个集合包含每个半径的球面，则该集合的维度必须等于等于它所处的空间的维度。其证明方式是先给出圆形最大函数（类似挂谷最大函数）的一个界限。
- 有人猜想，存在一个零测集，其包含以每个点为中心的球面。然而，埃利亚斯·施泰因的结果证明，当 $n\ge3$ 时，所有这些集合必须具有正测度，而对于 $n = 2$ 的情况，约翰·马斯特兰（John Marstrand）证明了同样的结论。

### 包含k维圆盘的集合

挂谷猜想的一个推广是考虑包含每个k维子空间的一部分的集合，而不是每个方向的线段。定义 $(n, k)$-贝西科维奇集 $K$ 为 $\mathbb R^n$ 中的紧致集，其勒贝格测度为零，且包含每个方向的 $k$ 维单位圆盘的平移，即：若以 $B$ 表示以零为中心的单位球，则对于每个 $k$ 维子空间 $P$，存在 $x\in\mathbb R^n$ 使得 $P\cap B + x\subseteq K$。因此，$(n, 1)$-贝西科维奇集就是前面描述的标准贝西科维奇集。

$(n, k)$-贝西科维奇猜想：对于 $k>1$，不存在 $(n, k)$-贝西科维奇集。

1979年，马斯特兰证明了不存在 $(3, 2)$-贝西科维奇集。大约在同一时间，肯尼斯·福尔科纳证明了当 $2k > n$ 时，不存在 $(n, k)$-贝西科维奇集。截至2020年，最优的成果是，让·布尔甘证明了当 $2^{k-1}+k>n$ 时，不存在这样的集。

### 在有限域的向量空间的挂谷集

1999年，沃尔夫提出了挂谷问题的有限域模拟，希望解决这一猜想的技术可以推广到欧几里德情形。

有限域挂谷猜想：令 $\mathbb F$为有限域，令 $K\subseteq\mathbb F^n$为挂谷集，即对于每个向量 $y\in\mathbb F^n$ 存在 $x\in\mathbb F^n$ 使 $K$ 包含一条直线 $\left\{x+ty\colon t\in\mathbb F\right\}$。集合 $K$ 的大小至少为 $c_n\left|\mathbb F\right|^n$，其中 $c_n>0$ 是只与 $n$ 有关的常量。

泽夫-德维尔在 2008 年证明了这个猜想，并说明此叙述对 $c_n=\dfrac1{n!}$ 成立。在他的证明中，他观察到 $n$ 元且次数低于 $\left|\mathbb F\right|$ 的多项式，若在挂谷集上值为零，则此多项式必为零。另一方面，次数低于 $\left|\mathbb F\right|$ 的 $n$ 元多项式，形成的向量空间有维数 $k$：

$$k={|\mathbb{F}|+n-1\choose n}\ge \frac{|\mathbb{F}|^n}{n!}.$$

因此，至少有一个次数小于 $\left|\mathbb F\right|$ 的非平凡多项式，在任何点数小于 $k$的集合上为零。结合这两个观察结果，挂谷集必须至少有$\dfrac{\left|\mathbb F\right|^n}{n!}$ 个点。

现在仍未清楚这些证明技巧是否可延伸到证明原始挂谷猜想，但这一证明确实使基本代数反例不太可能，从而为原始猜想提供了可信度。德维尔撰写了一篇关于有限域挂谷问题及其与随机抽取器关系的综述文章。

## 参考文献

- An improved bound on the Minkowski dimension of Besicovitch sets in $\mathbf{R}^3$

## 外部链接

- Kakeya at University of British Columbia
- Besicovitch at UCLA
- Kakeya needle problem at mathworld
- Dvir’s proof of the finite field Kakeya conjecture at Terence Tao's blog
- An Introduction to Besicovitch-Kakeya Sets