全通滤波器

全通滤波器（All-pass filter）是一种信号处理滤波器，其通过之信号增益响应在各频率下皆相同，而相位响应则随不同频率有异。大多数的滤波器会使通过的信号之振幅在某些特定的频带减弱，而全通滤波器则使全频域的信号在振幅不变的情况下通过。

## 应用

在电子音乐中，“相位效果器”即是将数个全通滤波器连接在一起，并把通过滤波器的音乐信号和原始信号混合输出的一种特效生成工具。其实际作法是将相位偏移设为频率之函数，而在一般情况下，一个全通滤波器的特性可由其相位差响应跨越90°的频率值描述之（亦即当输入与输出信号间恰好存在四分之一倍波长之延迟的频率）。

一般而言，全通滤波器可用于补偿系统中出现非预期的相位偏移，或是与未经偏移的原始信号混合以实作一个凹口梳状滤波器。

它们也可用于将混合相位滤波器转换为最小相位滤波器，或是将不稳定滤波器转换为稳定滤波器，且转换前后之增益响应相同。

## 实作方法

### 类比主动元件法

#### 低通滤波器实作

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右图所示之运算放大器电路为一单极点主动全通滤波器之实作方式，其非反向输入端为一低通滤波器。该全通滤波器之递移函数可表示为

$$H(s) = - \frac{ s - \frac{1}{RC} }{ s + \frac{1}{RC} } = \frac {1-sRC} {1+sRC} \,$$

其中$H(s)$位于$-1/RC$处有一极点、位于$1/RC$处有一零点（亦即其极点与零点相对于复数平面上的虚数轴彼此互为镜射点）。对于某角频率$\omega$而言，$H(i\omega)$的振幅和相位分别为

$$|H(i\omega)|=1 \quad \text{及} \quad \angle H(i\omega) = - 2\arctan( \omega RC ) \,$$

此滤波器之增益响应对于所有角频率$\omega$而言皆为单位增益（即增益值为1）。其输出讯号在不同频率下有不同的相位延迟，且当$\omega=1/RC$（即相位偏移为90°）时，滤波器之输入与输出讯号将恰好互为同相与正交分量。

这项实作方法乃是透过运算放大器之非反向输入端的低通滤波器产生相位偏移和负回馈。

- 在高频率下，电路中的电容器为短路，故等同于一具有单位增益之反相放大器（即相位偏移为180°）。
- 在低频率及直流下，电路中的电容器为开路，故等同于一具有单位增益之电压随耦器（即无相位偏移）。
- 在低通滤波器之截止频率$\omega=1/RC$（即输入讯号之频率为$1/2\pi RC$）下，电路将产生一90°之相位偏移，即输入与输出讯号间互为正交分量，而输出讯号恰为输入讯号延迟四分之一周期后的结果。

事实上，透过此方法实作的全通滤波器之相位偏移恰好为非反向输入端之低通滤波器的两倍。

##### 纯延迟之帕德近似解释

纯延迟（pure delay）之拉普拉斯转换结果为

$$e^{-sT}$$

其中$T$为延迟时间（秒）、$s\in\mathbb{C}$为复数频率。此式可由帕德近似法近似为

$$e^{-sT} =\frac{ e^{-sT/2}}{e^{sT/2} } \approx \frac{1-sT/2}{1+sT/2}$$

其中最后一步可透过将分子及分母的一阶泰勒级数展开得到。若将$RC$之值设为$T/2$，即可得到前述的$H(s)$。

#### 高通滤波器实作

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右图所示之运算放大器电路为一单极点主动全通滤波器之实作方式，其非反向输入端为一高通滤波器。该全通滤波器之递移函数可表示为

$H(s) = \frac{ s - \frac{1}{RC} }{ s + \frac{1}{RC} } \,$

其中$H(s)$位于$-1/RC$处有一极点、位于$1/RC$处有一零点（亦即其极点与零点相对于复数平面上的虚数轴彼此互为镜射点）。对于某角频率$\omega$而言，$H(i\omega)$的振幅和相位分别为

$$|H(i\omega)|=1 \quad \text{及} \quad \angle H(i\omega) = \pi - 2\arctan( \omega RC ) \,$$

此滤波器之增益响应对于所有角频率$\omega$而言皆为单位增益（即增益值为1）。其输出讯号在不同频率下有不同的相位延迟，且当$\omega=1/RC$（即相位偏移为90°）时，滤波器之输入与输出讯号将恰好互为正交分量。

这项实作方法乃是透过运算放大器之非反向输入端的高通滤波器产生相位偏移和负回馈。

- 在高频率下，电路中的电容器为短路，故等同于一具有单位增益之电压随耦器（即无相位偏移）。
- 在低频率及直流下，电路中的电容器为开路，故等同于一具有单位增益之反相放大器（即相位偏移为180°）。
- 在低通滤波器之截止频率$\omega=1/RC$（即输入讯号之频率为$1/2\pi RC$）下，电路将产生一90°之相位偏移，即输入与输出讯号间互为正交分量，而输入讯号恰为输出讯号延迟四分之一周期后的结果。

事实上，透过此方法实作的全通滤波器之相位偏移恰好为非反向输入端之高通滤波器的两倍。

#### 可控电压实作

以上实作方法中的电阻皆可替换为欧姆模式（亦称线性模式）下的场效晶体管，如此一来便成为可由电压调控的相位偏移器，其中晶体管闸极处的电压高低将可控制相位偏移的大小。在电子音乐中，相位效果器一般由二、四或六个由此法实作之可控电压相位偏移器串联而成，并与原始讯号加总后输出。此外，低频振荡则常用于控制此类相位效果器的电压值，以产生特殊音效。

### 类比被动元件法

使用前述如运算放大器之主动元件法实作全通滤波器的好处之一乃是不须用到在积体电路设计中成本较高且体积庞大的电感器。在电感器较易取得且无体积限制考量的应用情况下，吾人也可在完全不使用到主动元件的情况下实作全通滤波器。目前已有数个电路布局可实作全通滤波器，其中较常见者举例如下。

#### 格状滤波器

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格状相位等化器，又称为格状滤波器，是由类似晶格状或桥形电路所组成的滤波器。此种实作方法可以单元件分支电路产生最多180°的相位偏移、或以共振分支产生最多360°的相位偏移。此种滤波器即是定电阻电路的一种（即其影像阻抗在各频率下皆为定值）。

#### T-节滤波器

以T-节形电路实作的相位等化器即是前述格状滤波器的非平衡版本，两者之相位响应完全相同。它的电路与一般的低通滤波器外观相似，差别在于其中的两个电容器分支彼此间有耦合；这使得两个电容器起到变压器效应，且即使在高频率下也能够得到全通的响应。

#### 桥接T形滤波器

桥接T形延迟等化器常应用于延迟等化，特别是用于处理两条固网之间的差分延迟以提供立体声的广播讯号。此应用要求滤波器在较广的频率范围下须有线性相位响应（即群延迟为定值），也因此桥接T形电路较常被选用。

### 数位法

一个位于$z_0$有复数极点的全通滤波器可由下式的Z转换实作：

$$H(z) = \frac{z^{-1}-\overline{z_0}}{1-z_0z^{-1}} \ $$

上式于$1/\overline{z_0}$有一零点，其中$\overline{z}$代表$z$之共轭复数。它的极点和零点所在的角度相同，但振幅互为倒数（亦即它们相对于复数平面上之单位圆圆周恰为反射点）。在$z_0$为给定的情况下，上述这对极点和零点可以在复数平面上旋转至任意角度，而其振幅响应的全通特性仍然不变。该对点的位置则决定出现相位偏移的频率值。

如欲以实系数实作全通滤波器，则可将两个复系数之全通滤波器串联，并将其一之 $z_0$替换为 $\overline{z_0}$。如此一来，串连后之Z转换为：

$$H(z) = \frac{z^{-1}-\overline{z_0}}{1-z_0z^{-1}} \times \frac{z^{-1}-z_0}{1-\overline{z_0}z^{-1}} = \frac {z^{-2}-2\Re(z_0)z^{-1}+\left|{z_0}\right|^2} {1-2\Re(z_0)z^{-1}+\left|z_0\right|^2z^{-2}} \ $$

等同于如下的微分方程式：

$$y[k] - 2\Re(z_0) y[k-1] + \left|z_0\right|^2 y[k-2] = x[k-2] - 2\Re(z_0) x[k-1] + \left|z_0\right|^2 x[k] \,$$

其中$y[k]$和$x[k]$分别代表在时间点$k$下的输出和输入讯号值。

如上的滤波器可和不稳定或混合相位滤波器彼此串联，以转换为稳定或最小相位滤波器，且过程中不会更动整个系统的振幅响应。举例而言，在选择一个合适的$z_0$后，一个不稳定系统中的极点若位于单位圆之外，则会被消除并反射至单位圆内。

## 外部链接

- JOS@Stanford on all-pass filters
- ECE 209 Phase-Shifter Circuit