双体模型

在统计力学和图论中，双体模型（dimer model）是二维空间密铺的模型，也称为骨牌密铺（Domino tiling，多米诺密铺）或随机密铺模型（random tiling model）。这也是平方格子的完美匹配。

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## 介绍

若有 $m \times n$ 平方格子G、以及$mn/2$ 把骨牌，覆盖数量或密铺数量是

$$Z = \sqrt{|\det K|} = \prod_{j=1}^{\lceil\frac{m}{2}\rceil} \prod_{k=1}^{\lceil\frac{n}{2}\rceil} \left ( 4\cos^2 \frac{\pi j}{m + 1} + 4\cos^2 \frac{\pi k}{n + 1} \right ).$$

K是G的邻接矩阵。Z也是统计力学的配分函数。

例如：

- $2 \times n$ 格子：$Z_n$是斐波那契数列
- $m = n = 2k = 0, 2, 4, \ldots$，可以使用普法夫值计算Z

若G是环面，则

$\lim_{m,n\to \infty}Z(m, n) / (mn) = C / \pi$。

其中Z依赖同调、C是卡塔兰常数。

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## 阿兹特克钻石与北极圈现象

Z也依赖格子的边界（参看阿兹特克钻石）。

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- 阿兹特克钻石（Aztec diamond）密铺，有1024个密铺

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- 一个可能的密铺

阿兹特克钻石表示所谓的“北极圈的现象”（Arctic circle phenomena），即边界看起来很同质（冰冻地区），但是中间的“北极圈”不同质（非冰冻地区）。可以使用高度函数解释这个现象。

这些文章有更多阿兹特克图：

http://faculty.uml.edu/jpropp/tiling/www/intro.html

## 高度函数

一个密铺定义一个0微分形式（函数）：

$$s(v) = \pm 1$$

s是自旋（参看易辛模型）、v是顶点。那么可以定义一个1-形式：

$$ds(e=uv) = s(u) - s(v) = \pm 2$$

这个形式是闭形式。注意上面的形式不等于0因为G是二分图。也定义密铺函数

$$\delta(e) = 0, 1$$

若双体e存在，$\delta(e) = 1$，不然等于0。高度差函数是

$$dh(e) = h(u) - h(v) = (1+\delta(e))ds(e) = \pm 3$$

这个函数定义一个$\Z^2 \to \Z$的随机函数。这也是闭形式。确威廉·瑟斯顿表示了若$\delta(e)$真的是密铺函数，这是一个必要条件。h是高度函数。

NxN平方格子的高度函数在中间逼近O(N)。但是阿兹特克钻石的高度函数逼近h的平均值。确，CKP定理说h最小化一个熵（或热力学自由能）的泛函（变分法）：

$$F = \log Z$$

## 共形场论

### 高斯自由场

双体模型的缩放极限（即高度函数的缩放极限是高斯自由场），高斯自由场是一种二维布朗运动。所以$h(x) \to \phi(x)$成为二维纯量场。

若G是一定的加权图，K的缩放极限是反全纯导数 $\bar{\partial}$。若

$$Kf = f(w+1) - f(w-1) + if(w+i) - if(w-i)= 0$$

f是“反全纯函数”。再说 f 是调和函数（和谐函数）。这是因为$KK^* = L$是调和矩阵（harmonic matrix）。

非冰冻地区描述一个极限形（limit shape），比如这张文章描述一个心脏线：（跟代数几何有关）。高斯自由场也许描述这些极限形。2020年这还是未解决的问题。

数学家知道极限形满足一个类似伯格斯方程（$\phi_x - \phi \phi_y = 0$）的椭圆型偏微分方程。这些极限形可以相似极小曲面的魏尔斯特拉斯-恩内佩尔参数化。

### 传播子

邻接矩阵的反函数$K^{-1}(x, y)$是一种格林函数。

$$D(x, y) = \langle h(x) h(y) \rangle$$

是传播子（量子场论）。可以表示这等于狄利克雷问题的核子

$$D(u, v) = -\frac{1}{2\pi} \log(v-u)$$

$$d_u D(u, v) = \frac{1}{2\pi} (\frac{du}{v-u} - \frac{d\bar{u}}{v-\bar{u}})$$

由于维克定理。

$$\langle h(x_1)\ldots h(x_{2k})\rangle \propto \sum_{\text{对 }} D(x_{i_1}x_{i_2}) \ldots D(x_{i_{2k-1}}x_{i_{2k}})$$

## 阅读

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- Olivier Bodini, Matthieu Latapy. Generalized Tilings with Height Functions // Morfismos. — 2003. — Т. 7, вып. 1. — С. 47–68. — ISSN 1870-6525.
- F. Faase. On the number of specific spanning subgraphs of the graphs G X P_n // Ars Combin.. — 1998. — Т. 49. — С. 129–154.
- J. L. Hock, R. B. McQuistan. A note on the occupational degeneracy for dimers on a saturated two-dimenisonal lattice space // Discrete Appl. Math.. — 1984. — Т. 8. — С. 101–104. — DOI:10.1016/0166-218X(84)90083-0.
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