兰道问题

1912年，德国数学家爱德蒙·兰道于国际数学家大会就黎曼ζ函数与质数理论的发展发表演说。演说中他列举了当时数论中经典且悬而未决的四个质数问题，并形容这些问题是“在当前科学水平下无法攻克的（welche ich für unangreifbar beim gegenwärtigen Stande der Wissenschaft halte）”。

这四个问题后来被统称为兰道问题（Landau's problems）：

- 哥德巴赫猜想：是否所有大于 $2$ 的偶数都可以写成两个质数的和？
- 孪生质数猜想：是否存在无穷多个质数 $p$，使得 $p + 2$ 也是质数？
- 勒让德猜想：是否对所有的正整数 $n$，区间 $\left(n^2, (n + 1)^2\right)$ 中都存在质数？
- 近平方质数问题：是否存在无穷多个形如 $x^2 + 1$ 的质数？

上述四个问题都仍未得到解决。

## 解答进度

### 哥德巴赫猜想

又称强哥德巴赫猜想、“$\boldsymbol{1 + 1}$”问题，也是希尔伯特第八问题之一，其原始陈述为：

等式$m = p + p'$是否对任何偶数$m > 2$都有解？

猜想大于5的奇数都可以表示成3个质数之和的弱哥德巴赫猜想是哥德巴赫猜想的一个结果。1937年，苏联数学家伊万·维诺格拉多夫证明了每个充分大的奇数n都可以表示成3个质数之和；2013年，秘鲁数学家哈洛德·贺欧夫各特推广此结果，并完全证明了弱哥德巴赫猜想。

陈氏定理是哥德巴赫猜想的另一个弱化形式，这定理指称任意大的正整数n都可表示成$2n = p + q$的形式，其中p是质数而q是质数或半质数，Bordignon、Johnston和Starichkova三氏之后对山田的结果进行修正和改进，并证明了陈氏定理的明确形式：任意大于$e^{e^{32.7}} \approx 1.4 \times 10^{69057979807814}$的偶数，都可表示成一个质数和一个至多是两个质数的乘积的自然数的和。

在假定狄利克雷L函数上的广义黎曼猜想成立的状况下，Bordignon和Starichkova两氏将这下界给改进至$e^{e^{15.85}} \approx 3.6 \times 10^{3321634}$；另外Johnston和Starichkova两氏在将“至多是两个质数的乘积的自然数”换成“至多是369个质数的乘积的自然数”的前提下，给出了一个对任意$4\le n$都成立的版本，在广义黎曼猜想成立的状况下，可将369降至33。

Hugh Montgomery (mathematician)和Robert Charles Vaughan (mathematician)两氏证明了说不能表示成两个质数的和的例外偶数的自然密度为零，但目前未能证明说这集合是有限的。

目前对这例外集合大小最好的结果为对充分大的x而言，有$E(x) < x^{0.72}$，由雅诺·品茨得出；而在假定黎曼猜想成立的状况下，丹尼尔·哥德斯顿证明了说$E(x) \ll x^{0.5}\log^3 x$。

Yuri Linnik证明了说足够大的偶数可表示成两个质数和（某个非有效的）K个2的幂的总和。在做了许多改进后，雅诺·品茨和Imre Z. Ruzsa两氏证明了说$K=8$，且在广义黎曼猜想成立的状况下可将之改进至$K=7$。

### 孪生质数猜想

又称双生质数猜想、双胞胎质数猜想，也是希尔伯特第八问题之一，其原始陈述为：

等式$2 = p - p'$是否存在无穷多组质数解？

2013年张益唐证明了说有无限多对质数，其彼此的间隙小于七千万，之后在Polymath计划的合作者努力下，这数值降至246。

在广义埃利奥特–哈尔伯斯坦猜想成立的状况下，可借由詹姆斯·梅纳德和丹尼尔·哥德斯顿、雅诺·品茨和谢姆·伊尔迪里姆三氏的结果，将这数值改进至6。

1966年陈景润证明了说有无限多个质数p，使得p+2是质数或半质数。这类的质数后来被人称为陈质数。

### 勒让德猜想

又称勒让德素数猜想，其原始陈述为：

是否对于所有的正整数$n$，皆存在一个质数位于$n^2$和$(n + 1)^2$两数之间？

可以验证说，p的质数间隙小于$2 \sqrt p$。利用最大质数间隙表，可知此猜想对至少大到$2^{64}\approx1.8\times10^{19}$的质数成立。一个接近如此大小的反例，其质数间隙至少是平均间隙的一亿倍。

在改进Heath-Brown和Matomäki结果的基础下，Järviniemi证明了说至多只有$x^{7/100+\varepsilon}$个例外质数，会出现在大于$\sqrt{2p}$的质数间隙之后；特别地，以下关系式成立：

$$\sum_{\stackrel{p_{n+1}-p_n > \sqrt{p_n}^{1/2}}{p_n \leq x}}p_{n+1}-p_n\ll x^{0.57+\varepsilon}.$$

从艾伯特·英厄姆对质数间隙的结果可得出，对于足够大的$n$而言，在完全立方数$n^3$及$(n+1)^3$之间总有一个质数。

### 近平方质数问题

又称$\boldsymbol{x^2 + 1}$质数问题、兰道第四问题，其原始陈述为：

函数$u^2 + 1$在$u$取整数值时，能否给出无穷多个质数？

或者问：是否存在无穷多个形如$x^2 + 1$的质数？此问题依旧开放。

数值

形如$x^2 + 1$的质数被记录为A002496，其中小于$10000$的质数（前$19$项）为：$2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837$。

而所有的费马质数（$2^{2^n} + 1$），也都是近平方质数（$x = 2^{2^{n - 1}}$）。

推广

设$f(x) = ax^2 + bx + c \in \mathbb{Z}[x]$，可以证明：若存在无穷多个正整数$n$，使得$f(n) \in \mathbb{P}$，则$a, b, c$三数须满足：

- $a > 0$，这使得$\lim_{x \to \infty}f(x) = \infty$。
- $\Delta = b^2 - 4ac$不是完全平方数，这使得$f$为不可约多项式。
- $\gcd(a, b, c) = 1$，这使得$f$为本原多项式，确保不存在质数$p \ge 3$，对所有正整数$m$，都有$p \mid f(m)$。
- $(a + b), c$不能同为偶数，这使得对所有正整数$m$，都有$2 \nmid f(m)$。

而数学界猜测上述条件具充分性：若$f(x)$的系数满足上述条件，则存在无穷多个正整数$n$，使得$f(n) \in \mathbb{P}$（$f(x) = x^2 + 1$亦是其中之一）。此猜想为布尼亚科夫斯基猜想和Bateman–Horn猜想在二次多项式上的特例。

历史进程

1912年，德国数学家兰道于国际数学家大会发表演说，其中提出四个关于质数的问题，第一个（就纪录的顺序）便是近平方质数问题。

1920年，挪威数学家布朗利用布朗筛法，得到形如$x^2+1$的质数数量的上界：对于不大于$N$的正整数，有$O(\sqrt N)$个形如$x^2+1$的数，而其中只有至多$O\left(\textstyle\frac{\sqrt N}{\log N}\right)$个质数。

1923年，英国数学家哈代与李特尔伍德提出了著名的“猜想F”（是哈代-李特尔伍德猜想的一部分），给出了形如$x^2 + 1$的质数数量的渐近公式估计：

$$\#\left\{x \le \sqrt{N} : x^2 + 1 \in \mathbb{P}\right\} \sim C \frac{\sqrt{N}}{\ln N}.$$ 其中常数$C = \frac{1}{2} \prod_{p > 2} \left[1 - \frac{1}{p - 1}\left(\frac{-1}{p}\right)\right] \approx 0.68641$（$\left(\textstyle\frac{-1}{p}\right)$为勒让德符号）。

1952年和1955年，美国数学家Nesmith Ankeny和立陶宛数学家Jonas Kubilius分别证明：在对赫克特征的L函数的扩展黎曼猜想成立的状况下，存在无穷多个形如$p = x^2 + y^2$且$y = O(\log p)$的质数。而兰道的问题追求的是更强的$y = 1$的情况。

1978年，波兰裔数学家伊万尼克利用筛法证明：存在无穷多个正整数$x$，使得$x^2 + 1$为至多两个质数的乘积。

1997年，加拿大数学家弗里德兰德与波兰裔数学家伊万尼克证明了弗里德兰德-伊万涅茨定理，指出存在无穷多个形如$a^2 + b^4$的质数（若取$b = 1$时，则退化为$a^2 + 1$的形式）。

2001年，英国数学家Harman和美国数学家菲利普·路易斯在无特别假设下，证明了存在无穷多个形如$p = x^2 + y^2$且$y = O(p^{0.119})$的质数。

2006年，德国数学家史蒂芬·拜尔与中国数学家赵良轶证明：存在无穷多个形如$p = an^2 + 1$的质数，其中$a < p^{\frac{5}{9} + \varepsilon}$。若广义黎曼猜想成立，可将$a$上界改进至$p^{\frac{1}{2} + \varepsilon}$；若类似埃利奥特–哈尔伯斯坦猜想的猜想成立，则可更进一步至$p^\varepsilon$。

2022年，芬兰数学家梅里科斯基在改进前人结果的基础下，证明了存在无穷多个形如$n^2 + 1$的数，其最大质因数的大小至少为$n^{1.279}$。若能将此指数项改进为2，即可证明兰道的猜想。