Noiselet

Noiselet是一种具有类似噪声性质的函数。在数学结构上，它们与Haar 小波 (Haar Wavelet) 基底之间存在一种特殊的对偶关系，既两者是完全不相干(Perfectly Incoherent)的。

这意味着，Noiselet 函数在Harr 小波包分析（Wavelet Packet Analysis）中会表现出“最差情况”——换言之，Noiselet 在 Haar 小波域中是完全不可压缩的，其能量会最大限度地分散。这种关系可以类比于“傅立叶级数基底”与“时域讯号”或是“标准基底”之间的关系：正如在时域上极为集中的脉冲讯号，在频域(傅立叶域)上是均匀分布的一样；如果一个信号在小波域具有紧致支集(Compact Support）或稀疏性(Sparsity)，那么该信号在 Noiselet 域中就能被完全展开(Expanded)。

凭借这种与 Haar 基底的完全不相干性，加上 Noiselet 本身具有能够高效实作的快速算法，使其成为压缩感知(Compressed Sensing)应用中极为理想的工具，特别适合作为那些在 Haar 域中呈现稀疏特性的信号之采样基底（Sampling Basis)。

## 定义

Noiselet的基底函数$\chi(x)$定义如下：$\chi(x) = \begin{cases} 1, & x\in[0,1) \\ 0, & otherwise \end{cases}$Noiselet函数族 (The family of noiselets) 是透过以下方式递回地 (Recursively) 建构而成：$f_1(x) = \chi(x)$

$$f_{2n}(x) = (1-i)f_n(2x) + (1 + i)f_n(2x - 1)$$

$f_{2n+1}(x) = (1+i)f_n(2x) + (1 - i)f_n(2x - 1)$其中 i 为虚数单位。

### $f_n$的性质

集合$\{f_j |j = 2^N,...,2^{N+1}-1\}$构成空间$V_n$的一组正交基底 (Orthogonal basis)。

- 这里的$V_n$指的是在分辨率$2^N$下，对$L^2[0,1)$空间中函数的所有可能逼近空间 (Space of approximations)。

对于所有$n \geq 1$的，满足以下积分性质：$\displaystyle \textstyle \int\limits_{0}^{1}f_n(x)dx = 1$对于所有$n \geq 1$的，函数$f_n(x)$也可以表示为以下乘积形式：${\prod_{i=1}^{\ell (n)-1}} \tilde{\tau }_v{_{j(n)}}(2^jx)\in[0,1]$

## Noiselet 的矩阵建构

Noiselet 可以被扩展并离散化。扩展函数 (extended function)$f_m(k,l)$定义如下：$f_m(1,l) = \begin{cases} 1 & l = 0,...,2^m-1 \\ 0, & otherwise \end{cases}$

$$f_m(2k,l) = (1-i)f_m(k,2l) + (1 + i)f_m(k,2l-2^m)$$

$f_m(2k+1,l) = (1+i)f_m(k,2l) + (1 - i)f_m(k,2l-2^m)$利用扩展的 Noiselet $f_m(k,l)$，我们可以生成 $n \times n$ 的 Noiselet 矩阵 $N-n$，其中 n 为 2 的幂次$(n = 2^q)$：$N_1 = [1]$

$N_2n = 1/2 \begin{pmatrix} 1-i & 1+i \\ 1+i & 1-i \end{pmatrix}\otimes N_n$ 在此，$\otimes$表示克罗内克积 (Kronecker product)。

假设$2^m > n$，我们可以发现矩阵元素$N_n(k,l)$等于$f_m(n+k,2^m*l/n)$。

Noiselet 矩阵的元素取值是离散的，并来自于两个四元素集合之一（取决于 q 的奇偶性）：

$\sqrt{n} N_n(j,k)\in\{1,-1,i,-i\}$ 当q为偶数

$\sqrt{2n} N_n(j,k)\in\{1+i,1-i,-1+i,-1-i\}$ 当q为奇数

### 二维 Noiselet 变换 (2D noiselet transform)

二维 Noiselet 变换是透过一维 Noiselet 变换的克罗内克积获得的：${N_{n\times k}^{2D}} = N_k \otimes N_n$

## 应用

由于 Noiselet 与小波之间的互补性（Complementarity），Noiselet 可被应用于压缩感知 (Compressed Sensing) 中，用来重建在小波域中具有紧致表示（Compact representation）的信号（例如图像）。具体而言，可以在 Noiselet 域中获取MRI数据，随后利用压缩感知重建算法，从欠采样（Undersampled）的数据中还原出清晰的图像。

以下是 Noiselet 已被实际实作的一些应用案例：

### 磁振造影 (Magnetic Resonance Imaging, MRI):

Noiselet 编码是一种应用于磁振造影（MRI）的技术，旨在减少图像采集所需的时间。在传统的 MRI 中，成像过程通常涉及使用梯度场对空间资讯进行编码。传统的采集方式依赖于笛卡尔编码 (Cartesian encoding)，即在笛卡尔网格上对空间资讯进行逐行采样。然而，这种方法非常耗时，特别是在需要高分辨率或动态成像的情况下。作为压缩感知技术的一部分，利用了图像本身的稀疏性（Sparsity）来实现更高效的数据获取。在压缩感知中，其核心理念是：如果潜在的信号或图像在某个变换域中是稀疏的，则可以采集远少于奈奎斯特-香农采样定理 (Nyquist-Shannon sampling theorem) 所要求的样本数。在 MRI 中的应用概述如下：使用 Noiselet 变换矩阵对信号进行编码，产生的系数能有效地将信号能量分散到整个尺度和时间域中。因此，这些变换系数的每一个子集（Subset）都捕捉到了原始信号的整体特征资讯。当仅使用部分系数（其余补零）进行独立重建时，每一个子集都能以较低的分辨率还原出原始信号。由于 Noiselet 编码并非依序采样所有的空间频率分量，这种欠采样策略允许使用更少的测量次数来重建图像，从而在不显著牺牲图像品质的前提下，实现更高效的成像。

### 单像素成像 (Single-pixel Imaging):

单像素成像是利用单个侦测器（而非百万像素的感光元件阵列）来测量光强度的技术。样本会被一系列图样照明，透过测量反射或透射的总光强来获取资讯。Noiselet 被应用于此领域以提高计算效率，其原理同样基于压缩感知。

Noiselet 带来的主要优势包括：

- 减少测量次数：计算所需的测量次数显著减少。
- 数据压缩：图像的压缩表示减少了传输时间与储存需求。
- 快速成像：整体的采集时间显著缩短，使得单像素成像适用于需要快速反应的应用场景。

这些特性使独Noiselet 在单像素成像中有以下应用：将 Noiselet 变换矩阵应用于结构光照明 (Structured illumination) 图样中，这会将物体的空间资讯扩散到测量空间中。这些结构化图样导致信号资讯的稀疏表示。这允许从一组缩减的测量数据中重建图像，同时仍能封装重建高品质图像所需的核心资讯

### 数位影像加密:

如同将照片化为无形的数位噪声Noiselet 变换在资讯安全领域展现了独特的价值，特别是在影像加密上，它扮演着一种极高效率的“数学碎纸机”角色。不同于传统加密仅仅是移动像素的位置，Noiselet 利用其全域性的能量扩散特性，能将原本清晰的照片瞬间转换成看似随机、毫无意义的白噪声画面。这种过程在数学上被称为“雪崩效应（Avalanche Effect）”，意即原始影像中哪怕只有一个像素的微小变动，都会导致加密后的结果产生翻天覆地的变化。这意味着攻击者若试图透过统计分析来破解图像（例如分析色彩分布）将会徒劳无功，因为原始的视觉特征已被 Noiselet 函数彻底打散并隐藏在复数域的随机性之中，唯有持有正确密钥的人才能将这些噪声重新聚拢回原本的影像。

### 强健数位浮水印:

全息图般的版权保护在版权保护方面，Noiselet 提供了一种近乎“全息图（Holographic）”式的解决方案。当我们利用 Noiselet 技术将浮水印（如版权标志）植入图片时，这并不是像盖章一样盖在图片的某个角落，而是将浮水印的能量均匀地“溶解”在整张图片的每一个像素里。这种特性使得浮水印对肉眼完全不可见，不会影响图片的美观；更重要的是，它赋予了浮水印极强的强健性（Robustness）。即便这张图片遭到恶意裁切、遮挡或遗失了一半的数据，由于浮水印的资讯散布在全域，版权持有者依然能从剩余的残片中，透过逆变换提取出完整的浮水印资讯。这正是利用了 Noiselet 与小波变换之间的互补不相干性，让版权资讯能在最恶劣的环境下生存。

### 雷达与声纳波形设计:

藏木于林的匿踪讯号虽然 Noiselet 最初是为了解析影像而生，但其数学构造却意外地适合用于设计“低截获率（LPI）”的雷达或声纳波形。在战场或复杂的侦测环境中，发出的探测波如果太有规律，很容易被敌方锁定或干扰。Noiselet 产生的波形具有平坦的频谱，在频域上看起来就像是毫无规律的背景噪声。使用这种波形进行探测，就像是在吵杂的派对中用只有自己人懂的“密码语”轻声交谈；对于敌方的侦测设备而言，这只是无意义的环境噪音，但对于发送者来说，透过其优异的正交特性，却能精准地从回波中解析出目标的距离与速度。这种“藏木于林”的特性，使得 Noiselet 成为现代隐形侦测技术中极具潜力的波形选择。