正多面体

在几何学中，正多面体是同时具有等边、等角和等面特性的多面体。在经典语境中，有许多描述上不同但实际上等价的定义存在，最常见的定义是每个面都是全等的正多边形，且每个顶点都是相同数量且相同种类之正多边形的公共顶点。例如立方体是一种正多面体，其每个面都是正方形，且每个顶点都是3个正方形的公共顶点。在中文环境中，一般被大众认知的正多面体通常代表只有五种的凸正多面体，又称为柏拉图立体，其包括了正四面体、立方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。然而在定义上，正多面体仅指每个面是正多边形、每条边等长每个角等角且每面全等的多面体，而符合上述定义的多面体不一定是凸多面体，也可能是星形多面体、抽象多面体或扭歪多面体等。这些多面体除了五种凸正多面体外，还有四种非凸正多面体（开普勒－庞索立体）、五种抽象正多面体和五种复合正多面体。

## 概述

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在几何学中，正多面体是一类对称性可以在其各维度元素的集合（或称标记多面体标记是一系列多面体元素的集合，这个集合中会包括1个多面体的主体、多面体的其中一个面、前者提到的面中的其中一条棱、前者提到的棱中的其中一个顶点和一个空多胞形。）上传递的多面体。正多面体通常具有高度对称性，其同时具有边可递，点可递和面可递的性质在多面体中，某种元素的“可递”性质代表这立体上的任意两个同类元素A和B，透过在该立体的对称性下旋转或镜射这个立体，使A移动到B原来的位置时，其元素仍然占据了相同的空间区域。换句话说，即正多面体是同时具有等边、等角和等面特性的多面体。在经典语境中，有许多描述上不同但实际上等价的定义存在，最常见的定义是每个面都是全等的正多边形，且每个顶点都是相同数量且相同种类之正多边形的公共顶点。例如立方体是一种正多面体，其每个面都是正方形，且每个顶点都是3个正方形的公共顶点。

所有正多面体皆可以使用施莱夫利符号来表示，其可以计为$\{n,m\}$。其中$n$表示构成面的顶点数，$m$则表示与顶点相邻的多边形数量。在中文语境中，一般被大众认知的正多面体通常代表只有五种的凸正多面体，又称为柏拉图立体，其包括了正四面体、立方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。然而在定义上，正多面体仅指每个面是正多边形、每条边等长每个角等角且每面全等的多面体，而符合上述定义的多面体不一定是凸多面体，也可能是星形多面体、抽象多面体或扭歪多面体等。这些多面体除了五种凸正多面体外，还有四种非凸正多面体（克普勒–庞索立体）、五种抽象正多面体和五种复合正多面体。

## 正多面体

一般常见的正多面体为五种正凸多面体，又称为柏拉图立体。除了这种凸多面体外，亦有非凸的正多面体，为四种星形正多面体，又称为克普勒–庞索立体；以及五种正多面体的复合体。

### 柏拉图立体

广泛地出现在文化中的五种正多面体。

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正四面体 $\{3,3\}$｜立方体$\{4,3\}$｜正八面体$\{3,4\}$｜正十二面体$\{5,3\}$｜正二十面体 $\{3,5\}$

$\chi=2$｜$\chi=2$｜$\chi=2$｜$\chi=2$｜$\chi=2$

### 克普勒–庞索立体

开普勒－庞索立体的面同样由正多边形组成，但其面或边有自我相交的情形，即非凸多面体。由于外观如同星状，因此又称为星形正多面体。

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小星形十二面体$\left \{ \frac{5}{2},5 \right \}$｜大十二面体$\left \{ 5, \frac{5}{2} \right \}$｜大星形十二面体$\left \{ \frac{5}{2}, 3 \right \}$｜大二十面体$\left \{ 3,\frac{5}{2} \right \}$

$\chi=-6$｜$\chi=-6$｜$\chi=2$｜$\chi=2$

### 复合正多面体

由多个同一种正多面体组合而成且具有高度对称性的结构也可以视为正多面体的一种。例如两个正四面体组成的星形八面体，其类似于由两个正三角形组成的大卫之星在三维空间中的类比。多个正多面体的复合结构也可以有其他种类，然而其未必会符合标记可递的特性，因此不能算是正多面体，例如三复合正八面体。

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二复合正四面体星形八面体$2\{3,3\}$｜五复合正四面体$5\{3,3\}$｜十复合正四面体$10\{3,3\}$｜五复合立方体$5\{4,3\}$｜五复合正八面体$5\{3,4\}$

$\chi=4$｜$\chi=10$｜$\chi=0$｜$\chi=-10$｜$\chi=10$

## 性质

正多面体最基本的特性就是每个面都是全等的正多边形、每条边等长且每角等角。

### 等价性质

在定义中，每个顶点周围有相似的面排布的性质可以替换成下列的等价条件：

- 此多面体的每个顶点都坐落在同一个球上（即存在外接球）
- 每个二面角皆相等
- 所有顶点图（顶点的截面）皆为正多边形
- 所有立体角皆相等

### 同心球

正多面体具有三个相关的球体（其他非正多面体至少缺少一种），其球心位于同一个点上：

- 与所有面相切的内切球
- 与所有棱相切的中分球
- 过所有顶点的外接球

## 广义的正多面体

20世纪出现了一系列关于正多面体概念的概括，导致了正多面体出现了几个新的种类。

### 正扭歪无限面体

在20世纪最初的几十年，考克斯特和皮特里考虑了顶点的排布以及角呈现马鞍形样式的多面体类型，并找到了三种由正多边形组成且无限延伸的折叠形几何结构，被命名为正扭歪无限面体。

三维空间中的正扭歪无限面体的局部

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四角六片四角孔扭歪无限面体$\{4,6|4\}$｜

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六角四片四角孔扭歪无限面体$\{6,4|4\}$｜

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六角六片三角孔扭歪无限面体$\{6,6|3 \}$

### 正扭歪多面体

如同扭歪多边形的定义（不共面的多边形），有限面数的扭歪多面体则为其无法所有面或顶点皆位于同一个三维空间的多面体，因此会需要四维或以上的空间来构造限面数的扭歪多面体，就如同皮特里多边形为正多面体上的一个不共面封闭路径，有限面数的扭歪多面体可以从四维正多胞体中取一个不共三维空间的封闭区域来构造。

平行考克斯特平面投影｜球极平面投影

A4｜F4

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四角六片三角孔扭歪正三十面体$\{ 4, 6 | 3\}$｜$\{ 6, 4|3 \}$｜$\{ 4, 8|3\}$｜$\{8,4|3\}$｜$\{4,4|n\}$

30个正方形面60条边20个顶点｜20个正六边形面60条边30个顶点｜288个正方形面576条边144个顶点｜144个正八边形面576条边288个顶点｜$n^2$个正方形面$2n^2$条边$n^2$个顶点

### 位于非欧空间或其他空间的正多面体

在非欧几里德空间（双曲空间、椭圆空间等）以及诸如复数空间或四元数空间等其他空间被发现之后，对于这些空间几何学的研究导致了更多新种类的正多面体被发现，如复正多面体等，但这些正多面体只能在特定空间中维持其正的特性。

#### 复数空间的正多面体

在几何中，复数空间的多面体是实数空间中的多面体在复数空间的推广。

名称｜黑塞二十七面体｜双黑塞二十七面体｜截半黑塞二十七面体

施莱夫利符号｜$_3 \{3\} _3 \{3\} _3$｜$_2 \{4\} _3 \{3\} _3$｜$_3 \{3\} _3 \{4\} _2$

(顶点$v$、边$e$、面$f$)｜$(27, 72, 27)$｜$(54, 216, 72)$｜$(72, 216, 54)$

面｜27个3{3}3

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｜72个三角三角柱体柱#相关复多边形

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｜54个3{3}3

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图像蓝色表示其中一面｜

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#### 四元数空间的正多面体

在几何中，四元数空间的多面体是实数空间中的多面体在四元数空间的推广。其与复数空间类似，点不具有序性，因此没有“位于...之间”的相互关系，因此一个四元数空间多面体可以被理解为一组点、线和面等的排布关系，其中，点为多条线的连接点、线连接了多个面。由于四元数的乘法不具有交换率，因此必须透过纯量与向量相乘来构建乘法系统，通常会使用左乘法。

四元数空间的正多面体与实数空间的正多面体和复数空间的正多面体一样，其对称性皆可以被描述为反射群。例如，一个正的四元数空间直线可以与U1(H)的有限子群一一对应：二元循环群、二元二面体群（参阅一般四元数群章节一般四元数群#二元二面体群）

二元四面体群、二元八面体群和二元二十面体群。

#### 双曲空间的正多面体

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在H3的双曲仿紧空间中的正堆砌体或蜂巢结构体通常具有正镶嵌图的胞或顶点图。在这样的结构中，这些镶嵌图可以视为存在角亏并在封闭于一个无穷远点。若当双曲正堆砌体或蜂巢结构体位于非紧空间时则其会封闭于2个或以上个无穷远点甚至是发散。

#### 实射影平面的正多面体

另一组正多面体为实射影平面的镶嵌结构，其包括了立方体半形、八面体半形、十二面体半形和二十面体半形。其皆为（全域）投影多面体，并且对应到四个柏拉图立体的投影结构。由于正四面体不像其他四个柏拉图立体一样拥有相对面，因此正四面体无法形成多面体半形。

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立方体半形$\{4,3\}$｜

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八面体半形$\{3,4\}$｜

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十二面体半形$\{3,5\}$｜

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二十面体半形$\{5,3\}$

### 抽象正多面体

到目前为止，多面体皆被认为是任意维度之多胞形在三维空间的例子。在20世纪下半叶出现了抽象代数概念的发展，如多面体组合学，最终形成抽像多胞形作为元素偏序关系的概念。抽像多面体的元素包括了它的主体（最大元素）、面、边、顶点和空多胞形。这些抽像元素可以映射到普通空间或具体化成一个几何形状。一些抽象多面体具有良好具像化实例，但不一定所有的抽象多面体都能找到对应的具像化实例。抽象多面体与一般的多面体同样可以定义标记。若一抽象多面体的组合对称性可以在其标记上传递，则这个抽象多面体为抽象正多面体，换句话说，即任何标记都可以在多面体的对称性下映射到任何其他标记上。

在考克斯特于1977年出版的著作《正多胞形 (书籍)》中列出了五种不存在良好具像化实例的抽象正多面体。后来在1987年耶尔格·迈克尔·威利的论文又再次的确定了共存在五种有这种性质的抽象正多面体。这五种抽象多面体都具有$C_2 \times S_5$对称性，但只能具像化出一半的对称性，即$C_2 \times A_5$或二十面体群对称性。

多面体｜

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内侧菱形三十面体｜

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截半大十二面体｜

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内侧三角六边形二十面体｜

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双三斜十二面体｜

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凹五角锥十二面体

种类｜$\{4,5\}_6$｜$\{5,4\}_6$｜$\{6,5\}_4$｜$\{5,6\}_4$｜$\{6,6\}_6$

顶点图｜$\{5\}, \left \{ \frac{5}{2} \right \}$

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｜$\left ( \frac{5.5}{2} \right )^2$

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｜$\{5\}, \left \{ \frac{5}{2} \right \}$

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｜$\left ( \frac{5.5}{3} \right )^3$

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面｜30个菱形

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｜12个五边形12个五角星

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｜20个六边形

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｜12个五边形12个五角星

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｜20个六边形

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镶嵌｜

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{4, 5}｜

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{5, 4}｜

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{6, 5}｜

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{5, 6}｜

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{6, 6}

χ｜−6｜−6｜−16｜−16｜−20

#### 皮特里对偶

柏拉图立体的皮特里对偶是一种正则地区图，其顶点和边对应于原始多面体的顶点和边，其面是扭歪皮特里多边形的集合。

名称｜皮特里正四面体｜皮特里立方体｜皮特里正八面体｜皮特里正十二面体｜皮特里正二十面体

施莱夫利符号｜$\{ 3,3 \}^\pi$、$\{ 4,3 \}_3$｜$\{ 4,3 \}^\pi$、$\{ 6,3 \}_4$｜$\{ 3,4 \}^\pi$、$\{ 6,4 \}_3$｜$\{ 5,3 \}^\pi$、$\{ 10,3 \}$｜$\{ 3,5 \}^\pi$、$\{ 10,5 \}$

(顶点数,边数,面数), χ｜$(4,6,3),\chi=1$｜$(8,12,4),\chi=0$｜$(6,12,4),\chi=-2$｜$(20,30,6),\chi=-4$｜$(12,30,6),\chi=-12$

面｜3个正扭歪四边形

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｜4个正扭歪六边形｜6个正扭歪十边形

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图像｜

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旋转动画｜

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相关图｜

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{4,3}3 = {4,3}/2 = {4,3}(2,0)｜

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{6,3}3 = {6,3}(2,0)｜

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{6,4}3 = {6,4}(4,0)｜

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{10,3}5｜{10,5}3

### 球面多面体

五个凸正多面体和四个星形多面体皆可以表示成球面多面体，或球面镶嵌：

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正四面体{3,3}｜

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立方体{4,3}｜

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正八面体{3,4}｜

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正十二面体{5,3}｜

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正二十面体{3,5}

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小星形十二面体{5/2,5}｜

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大十二面体{5,5/2}｜

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大星形十二面体{5/2,3}｜

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大二十面体{3,5/2}

#### 只能存于球面的正多面体

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二角形二面体{2,2}｜

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正三角形二面体{3,2}｜

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正方形二面体{4,2}｜

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正五边形二面体{5,2}｜

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正六边形二面体{6,2}｜...｜{n,2}

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正二面形{2,2}｜

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正三面形{2,3}｜

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正四面形{2,4}｜

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正五面形{2,5}｜

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正六面形{2,6}｜...｜{2,n}

## 相关多面体

部分多面体虽然不是正多面体，但与正多面体有一定的关连。

### 正多边形多面体

正多边形多面体或称正多边形面多面体（Regular-faced Polyhedron）是指所有面都是正多边形的多面体。在三维空间中，所有面都是正多边形不一定能满足正多面体的定义，例如92种詹森多面体虽然所有面都是正多边形但都不是正多面体。正多边形多面体可以分为以下几类：

凸多面体｜等面｜等角｜种类｜数量

是｜是｜是｜凸正多面体（柏拉图立体）｜5

是｜是｜否｜凸正三角面多面体（正四面体、正八面体、正二十面体除外，因为此三者为柏拉图立体，是等角图形）｜5（凸正三角面多面体有8个，但是扣掉3个）

正角柱、正反角柱｜∞

阿基米德立体｜13

是｜否｜否｜詹森多面体（J12、J13、J17、J51、J84除外，因为此五者为三角面多面体，所有面全等）｜87（詹森多面体有92个，但是扣掉5个）

否｜是｜是｜星形正多面体（开普勒－庞索立体）｜4

否｜是｜否｜非凸正三角面多面体（含多连正四面体）、多连立方体（正方形面不共面的情况）、多连正十二面体｜∞

正星形柱、正星形反柱（皆属于柱状均匀多面体）｜∞

星形均匀多面体｜53

否｜否｜否｜其他由正多边形组成的非凸多面体（例如侧锥七角柱）｜∞

有$n$个面的凸正多边形多面体的个数为（从$n=1$开始）：

000123273647313254619261418421311013124312191212221219121212121912... A180916

有$n$个顶点的凸正多边形多面体的个数为（从$n=1$开始）：

00012336574101656060814184203090302320205020212030502024202010020212... A333660

### 稀有多面体

稀有多面体是指同时具备面可递和点可递的立体，也就是说这类立体既是等面的也是等角的，由于三维空间的复杂性，要满足此特性并不容易，因此称稀有多面体。稀有多面体不一定是正多面体，因为稀有多面体不一定满足等边（边可递）的特性，但所有正多面体都是稀有多面体。

## 参考文献

- Bertrand, J. (1858). Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 46, pp. 79–82.
- Haeckel, E. (1904). Kunstformen der Natur. Available as Haeckel, E. Art forms in nature, Prestel USA (1998), , or online at mpiz-koeln.mpg.de
- Smith, J. V. (1982). Geometrical And Structural Crystallography. John Wiley and Sons.
- 邓肯·萨默维尔 (1930). An Introduction to the Geometry of n Dimensions. E. P. Dutton, New York. (Dover Publications edition, 1958). Chapter X: The Regular Polytopes.
- Coxeter, H.S.M.; Regular Polytopes (third edition). Dover Publications Inc.