可控制性格拉姆矩阵

控制理论中，可控制性格拉姆矩阵（Controllability Gramian）是用来判断线性动态系统是否可控制的格拉姆矩阵。

若针对以下的线性时变系统

$$\dot{x}(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t)$$

$$y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t) \,$$

可控制性格拉姆矩阵为

$W_{c}(t_{0},t_{1})=\int_{t_{0}}^{t_{1}}\Phi(\tau,t_{0})B(\tau)B^{T}(\tau)\Phi^T(\tau,t_{0}) d\tau$ ,

其中$\Phi$为状态转换矩阵

系统在$t\in[t_{0},t_{1}]$具有可控制性，当且仅当$W_{c}(t_{0},t_{1})$为非奇异矩阵。

## 连续时间，线性非时变系统

若在连续时间的线性非时变系统中，也可以定义可控制性格拉姆矩阵（不过也有其他判断可观测性的方法）。

若考虑以下的系统

$$\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t)$$

$$y(t) = C x(t) + D u(t) \,$$

其可控制性格拉姆矩阵是以下$n\times n$的方阵

$$\boldsymbol{W_{c}}(t)=\int_{0}^{t}e^{\boldsymbol{A}\tau}\boldsymbol{B}\boldsymbol{B^{T}}e^{\boldsymbol{A}^{T}\tau}d\tau$$

$\boldsymbol{A}$若稳定（所有的特征值实部均为负），可控制性格拉姆矩阵也是以下李亚普诺夫方程的唯一解

$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{W}_{c}+\boldsymbol{W}_{c}\boldsymbol{A^{T}}=-\boldsymbol{BB^{T}}$$

$\boldsymbol{A}$若稳定（所有的特征值实部均为负），而且$\boldsymbol{W}_{c}$也是正定矩阵，则此系统具有可控制性，也就是$(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B})$矩阵对具有可控制性。

此一定义也和以下其他可控制性的定义等效：

- $n\times np$的可控制性矩阵

$${\mathcal{C}}=[\begin{array}{ccccc} \boldsymbol{B} & \boldsymbol{AB} & \boldsymbol{A^{2}B} & ... & \boldsymbol{A^{n-1}B}\end{array}]$$

秩为n。

- $n\times(n+p)$矩阵

$$[\begin{array}{cc} \boldsymbol{A}\boldsymbol{-\lambda}\boldsymbol{I} & \boldsymbol{B}\end{array}]$$

对于每个$\boldsymbol{A}$的特征值$\lambda$，都有满秩。

## 和李亚普诺夫方程的关系

可控制性格拉姆矩阵是以下李亚普诺夫方程的解

$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{W}_{c}+\boldsymbol{W}_{c}\boldsymbol{A^{T}}=-\boldsymbol{BB^{T}}$$

假若令

$$\boldsymbol{W_{c}}=\int_{0}^{\infty}e^{\boldsymbol{A}\tau}\boldsymbol{BB^{T}}e^{\boldsymbol{A}^{T}\tau}d\tau$$

为一个解，可得：

$$\begin{array}{ccccc} \boldsymbol{A}\boldsymbol{W}_{c}+\boldsymbol{W}_{c}\boldsymbol{A^{T}} & = & \int_{0}^{\infty}\boldsymbol{A}e^{\boldsymbol{A}\tau}\boldsymbol{BB^{T}}e^{\boldsymbol{A}^{T}\tau}d\tau & + & \int_{0}^{\infty}e^{\boldsymbol{A}\tau}\boldsymbol{BB^{T}}e^{\boldsymbol{A}^{T}\tau}\boldsymbol{A^{T}}d\tau\\ <pre> & = & \int_{0}^{\infty}\frac{d}{d\tau}(e^{\boldsymbol{A}\tau}\boldsymbol{B}\boldsymbol{B}^{T}e^{\boldsymbol{A}^{T}\tau})d\tau & = & e^{\boldsymbol{A}t}\boldsymbol{B}\boldsymbol{B}^{T}e^{\boldsymbol{A}^{T}t}|_{t=0}^{\infty}\\ & = & \boldsymbol{0}-\boldsymbol{BB^{T}}\\ & = & \boldsymbol{-BB^{T}} </pre> \end{array}$$

其中用到了对于稳定$\boldsymbol{A}$，在$t=\infty$时，$e^{\boldsymbol{A}t}=0$的事实（所有的特征值实部均为负），因此$\boldsymbol{W}_{c}$确实是李亚普诺夫方程的解。

### 格拉姆矩阵的性质

因为 $\boldsymbol{BB^{T}}$ 是对称矩阵，因此$\boldsymbol{W}_{c}$也是对称矩阵。

若$\boldsymbol{A}$是稳定矩阵（所有的特征值实部均为负），可以证明$\boldsymbol{W}_{c}$是唯一的。利甪反证法，先假设以下方程有二个不同解

$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{W}_{c}+\boldsymbol{W}_{c}\boldsymbol{A^{T}}=-\boldsymbol{BB^{T}}$$

分别是$\boldsymbol{W}_{c1}$和$\boldsymbol{W}_{c2}$，因此可得：

$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{(W}_{c1}-\boldsymbol{W}_{c2})+\boldsymbol{(W}_{c1}-\boldsymbol{W}_{c2})\boldsymbol{A^{T}}=\boldsymbol{0}$$

在左右分别乘以$e^{\boldsymbol{A}t}$和$e^{\boldsymbol{A}^{T}t}$，可得：

$$e^{\boldsymbol{A}t}[\boldsymbol{A}\boldsymbol{(W}_{c1}-\boldsymbol{W}_{c2})+\boldsymbol{(W}_{c1}-\boldsymbol{W}_{c2})\boldsymbol{A^{T}}]e^{\boldsymbol{A^{T}}t}=\frac{d}{dt}[e^{\boldsymbol{A}t}[(\boldsymbol{W}_{c1}-\boldsymbol{W}_{c2})e^{\boldsymbol{A^{T}}t}]=\boldsymbol{0}$$

从$0$积分到$\infty$：

$$[e^{\boldsymbol{A}t}[(\boldsymbol{W}_{c1}-\boldsymbol{W}_{c2})e^{\boldsymbol{A^{T}}t}]|_{t=0}^{\infty}=\boldsymbol{0}$$

再利用此一事实，当$t\rightarrow\infty$时，$e^{\boldsymbol{A}t}\rightarrow0$：

$$\boldsymbol{0}-(\boldsymbol{W}_{c1}-\boldsymbol{W}_{c2})=\boldsymbol{0}$$

因此，$\boldsymbol{W}_{c}$是唯一的。

也可以看出

$$\boldsymbol{x^{T}W_{c}x}=\int_{0}^{\infty}\boldsymbol{x}^{T}e^{\boldsymbol{A}t}\boldsymbol{BB^{T}}e^{\boldsymbol{A}^{T}t}\boldsymbol{x}dt=\int_{0}^{\infty}\left\Vert \boldsymbol{B^{T}e^{\boldsymbol{A}^{T}t}\boldsymbol{x}}\right\Vert _{2}^{2}dt$$

在任何t时都为正，因此$\boldsymbol{W}_{c}$是正定矩阵。

可控制性系统的其他特性在中，以及可控制性中都有描述。

## 离散时间，线性非时变系统

若考虑以下的离散时间系统

$$\begin{array}{c} \boldsymbol{x}[k+1]\boldsymbol{=Ax}[k]+\boldsymbol{Bu}[k]\\ \boldsymbol{y}[k]=\boldsymbol{Cx}[k]+\boldsymbol{Du}[k] \end{array}$$

其离散可控制性格拉姆矩阵是以下$n\times n$的方阵

$$\boldsymbol{W}_{dc}=\sum_{m=0}^{\infty}\boldsymbol{A}^{m}\boldsymbol{BB}^{T}(\boldsymbol{A}^{T})^{m}$$

$\boldsymbol{A}$若稳定（所有的特征值绝对值均小于1），也是以下离散李亚普诺夫方程的解

$$W_{dc}-\boldsymbol{A}\boldsymbol{W}_{dc}\boldsymbol{A^{T}}=\boldsymbol{BB^{T}}$$

$\boldsymbol{A}$若稳定（所有的特征值绝对值均小于1），而且$\boldsymbol{W}_{dc}$也是正定矩阵，则此系统有可控制性。

更多相关的性质及证明在。

## 线性时变系统（LTV）

考虑以下的线性时变系统（LTV）：

$$\begin{array}{c} \dot{\boldsymbol{x}}(t)\boldsymbol{=A}(t)\boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{B}(t)\boldsymbol{u}(t)\\ \boldsymbol{y}(t)=\boldsymbol{C}(t)\boldsymbol{x}(t) \end{array}$$

其中矩阵$\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$和$\boldsymbol{C}$的元素会随时间而变化。其可控制性格拉姆矩阵为$n\times n$矩阵，定义如下：

$$\boldsymbol{W}_{c}(t_{0},t_{1})=\int_{_{0}}^{^{\infty}}\boldsymbol{\Phi}(t_{1},\tau)\boldsymbol{B}(\tau)\boldsymbol{B}^{T}(\tau)\boldsymbol{\Phi}^{T}(t_{1},\tau)d\tau$$

其中$\boldsymbol{\Phi}(t,\tau)$为$\boldsymbol{\dot{x}}=\boldsymbol{A}(t)\boldsymbol{x}$的状态转移矩阵。

系统$(\boldsymbol{A}(t),\boldsymbol{B}(t))$有可控制性的充份必要条是存在$t_{1}>t_{0}$，使得可控制性格拉姆矩阵$\boldsymbol{W}_{c}(t_{0},t_{1})$为非奇异矩阵。

### 格拉姆矩阵的性质

可控制性格拉姆矩阵$\boldsymbol{W}_{c}(t_{0},t_{1})$有以下的性质：

$$\boldsymbol{W}_{c}(t_{0},t_{1})=\boldsymbol{W}_{c}(t_{0},t)+\boldsymbol{\Phi}(t,t_{0})\boldsymbol{W}_{c}(t,t_{0})\boldsymbol{\Phi}^{T}(t,t_{0})$$

可以由$\boldsymbol{W}_{c}(t_{0},t_{1})$的定义，以及以下的状态转移矩阵性质来推导：

$$\boldsymbol{\Phi}(t_{0},t_{1})=\boldsymbol{\Phi}(t_{1},\tau)\boldsymbol{\Phi}(\tau,t_{0})$$

其他有关可控制性格拉姆矩阵的性质可以参考。

## 外部链接

- Mathematica function to compute the controllability Gramian