正常重力

正常重力或理论重力（Normal gravity 或 Theoretical gravity）是正常椭球体在其外部空间所产生的重力，由意大利数学物理学家卡洛·索米里安在1929年引入，在大地测量学与地球物理学的研究中常用于对真实地球所产生的重力进行近似。在正常重力场中，正常椭球所产生的重力位和能够以较为简单的函数关系表达，且与真实的地球重力位相接近，而正常重力即为这一正常重力位所对应的重力。根据不同的定义方式，真实重力与正常重力之间的差异被称为重力异常或重力扰动。正常重力与真实重力之间的比例约为 $99.995\%$。

由于正常重力能够被精确计算，其在高程系统中也用于代替真实重力来作为正常高系统所采用的测量值。

## 分布情况

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正常重力值在两极最大，在赤道处最小，随纬度降低呈递减趋势，相对于赤道面对称而与经度无关。椭球面上几个特殊的重力值分别为：

符号｜数值｜含义｜参考文献

$\gamma_e$｜$9.780\,326\,7715 \,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$｜椭球赤道处的正常重力值

$\gamma_p$｜$9.832\,186\,3685 \,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$｜椭球极点处的正常重力值

$\gamma_{45}$｜$9.806\,199\,203 \,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$｜椭球45°纬线处的正常重力值

$\bar{\gamma}$｜$9.797\,644\,656 \,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$｜整个椭球面上的平均正常重力值

## 数学表达

设正常椭球体在其外部空间产生的正常重力位为 $U$，则正常重力矢量被定义为该正常重力位的梯度：

$$\boldsymbol{\gamma} = \nabla U$$

在椭球坐标系 $(u, \beta, \lambda)$其中 $u$ 表示椭球的半短轴，$\beta$ 表示归化纬度，$\lambda$ 表示经度 中，正常重力矢量的三个分量具体表示为：

- $$\gamma_u = {1 \over w}{\partial U \over \partial u}$$
- $$\gamma_\beta = {1 \over w\sqrt{u^2+E^2}}{\partial U \over \partial \beta}$$
- $$\gamma_\lambda = {1 \over \sqrt{u^2+E^2} \cos \beta}{\partial U \over \partial \lambda} = 0$$

上式中的 $w = \sqrt{u^2+E^2\sin^2\beta \over u^2+E^2}$ 是为简化公式而引入的辅助量，$E$ 是椭球的半焦距。又因正常重力位 $U$ 与经度无关，所以正常重力矢量的经度分量为零。

## 计算公式

由正常重力的数学表达式可以得出，正常重力的值可以根据正常重力位 $U$ 的偏导数，以及正常椭球体本身的几何性质得到。而正常椭球体的确定只需要四个基本参数：椭球的半长轴 $a$、几何扁率 $f$、赤道上的正常重力值 $\gamma_e$，以及地球自转的角速度 $\omega$，其他的几何参数可以由上述基本参数确定：

- 椭球的半短轴 $b = a(1-f)$
- 椭球的第一偏心率 $e = \sqrt{a^2 - b^2}/a = 2f - f^2$
- 椭球的第二偏心率 $e = \sqrt{a^2 - b^2}/b$

亦有一些坐标系统会选择其他的基本参数，例如GRS80椭球选用的是地心引力常数 $GM$、地球动力学形状因子 $J_2$、地球自转角速度 $\omega$ 和椭球的半长轴 $a$，但其他的椭球参数仍能由这些基本参数计算而得。

### 克莱罗定理

法国数学家克莱罗在其发表于1743年的著作中给出了地球的几何扁率 $f$ 与重力扁率 $f^*$ 之间的对应关系，即克莱罗定理。在顾及至扁率的平方项的情况下，该定理可表述为：

$$f + f^* = {5\over2}{\omega^2 b \over \gamma_e} (1+{9\over35}{e'}^2)$$

重力扁率 $f^*$ 的定义与几何扁率类似，其由椭球赤道处的重力 $\gamma_e$ 和椭球极点处的重力 $\gamma_p$ 决定：

- $$f^*= {\gamma_p - \gamma_e \over \gamma_e}$$
- $$\gamma_e = {GM \over a^2}\left(1+m+{3\over7}{e'}^2m\right)$$
- $$\gamma_p = {GM \over ab}\left(1-{3\over2}m-{3\over14}{e'}^2m\right)$$

其中 $m = {\omega^2a^2b \over GM}$，且有 ${\omega^2 b \over \gamma_e} = m + {3\over2}m^2$。

### 正常重力公式

#### 对称形式

克莱罗定理给出了椭球赤道处的正常重力值和极点处的正常重力值，而椭球面上其他纬度的正常重力则可由正常重力公式计算得到，这一公式由索米里安在1929年给出：

$$\gamma = {a\gamma_p\sin^2\beta+b\gamma_e\cos^2\beta \over \sqrt{a^2\sin^2\beta+b^2\cos^2\beta}}$$

其中 $\beta$ 是椭球面上某点的归化纬度，顾及到大地纬度 $\varphi$ 与归化纬度 $\beta$ 存在如下转换关系：

$$\tan\beta = {b \over a}\tan\varphi$$

则正常重力公式也可以表达成大地纬度 $\varphi$ 的函数：

$$\gamma = {a\gamma_e\cos^2\varphi+b\gamma_p\sin^2\varphi \over \sqrt{a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi}}$$

#### 截断形式

正常重力公式也可以展开为几何扁率 $f$ 的级数，其截断形式为：

$$\gamma = \gamma_e(1+f_2\sin^2\varphi+f_4\sin^4\varphi)$$

其中的系数为：

- $$f_2 = -f+{5\over2}m+{1\over2}f^2-{26\over7}fm+{15\over4}m^2$$
- $$f_4 = -{1\over2}f^2+{5\over2}fm$$

这一公式也可写为：

$$\gamma = \gamma_e(1+f^*\sin^2\varphi-{1\over4}f_4\sin^4 2\varphi)$$

其中的 $f^* = f_2+f_4$ 为上述提到的重力扁率。

#### 闭合形式

正常重力公式还可以闭合形式表达：

$$\gamma = \gamma_e{1+k\sin^2\varphi \over \sqrt{1-e^2sin^2\varphi}}$$

其中的系数 $k$ 为：

$$k = {b\gamma_p-a\gamma_e \over a\gamma_e}$$

#### 数值形式

采用不同的椭球参数和不同的表达形式，正常重力公式可以有不同的数值计算形式，常用的几条公式包括：

说明｜时间｜公式｜精度｜参考文献

由国际大地测量协会推荐使用｜1930年｜$\gamma = 9.780\,490\,(1 + 0.005\,2884\sin^2\varphi - 0.000\,0059 \sin^4 2\varphi)\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$

由国际大地测量与地球物理联合会推荐使用 使用于GRS80坐标系｜1979年｜$\gamma = 9.780\,327\,(1 + 0.005\,3024\sin^2\varphi - 0.000\,0058 \sin^4 2\varphi)\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$｜$0.1\,\text{mgal}$

使用于WGS84坐标系｜1984年｜$\gamma = 9.780\,325\,3359\left[\frac{1+0.001\,931\,852\,646\,396\sin^2\varphi} {\sqrt{1-0.006\,694\,379\,990\,141\sin^2\varphi}}\right]\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$

### 向上延拓公式

在椭球面外部不远处，其正常重力 $\gamma_h$ 可以在其沿法线到椭球面上投影处展开为正常高 $h$ 的级数：

$$\gamma_h = \gamma + {\partial\gamma \over \partial h}h + {1\over2}{\partial^2\gamma \over \partial h^2}h^2 + \cdots$$

由广义布隆斯方程，椭球面的外部空间的重力梯度与椭球面（水准面）的平均曲率半径 $J$ 的关系为：

$${\partial\gamma \over \partial h} = -2\gamma J-2\omega^2 = -{2\gamma \over a}\left(1+f+m-2f\sin^2\varphi\right)$$

又二次导数 $\partial^2\gamma/\partial h^2$是微小量，可以将其近似近似于在球面外部微分（即以半长轴 $a$ 代替 $r$），得到：

$${\partial^2\gamma \over \partial h^2} = {6GM \over a^4} = {6\gamma \over a^2}$$

得到正常重力的向上延拓公式为：

$$\gamma_h = \gamma\left[1-{2 \over a}\left(1+f+m-2f\sin^2\varphi\right)h+{3 \over a^2}h^2 \right]$$

上式的数值形式近似为：

$$\gamma_h = \gamma-0.3086h+0.72\times10^{-7}h^2$$