等谐数列

等谐数列，又名调和数列（英文：harmonic sequence 或 harmonic progression），是数列的一种。在等谐数列中，任何相邻两项倒数的差相等，该差值的倒数称为公谐差（common harmonic difference）。

例如数列：

就是一个等谐数列。在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公谐差都等于 1/2。

## 性质

如果一个等谐数列的首项记作 a，公谐差记作 h，那么该等谐数列第 n 项 an 的一般项为：

$$a_n=\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{n-1}{h}}$$

换句话说，任意一个等谐数列 都可以写成

$$\{a\,,\,\,\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{h}}\,,\,\,\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{2}{h}}\,,\,\cdots\,,\,\,\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{n-1}{h}}\}$$

在一个等谐数列中，给定任意两相连项 an+1 和 an，可知公谐差

$$h=\frac{1}{\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}}$$

给定任意两项 am 和 an，则有公谐差

$$h=\frac{m-n}{\frac{1}{a_m}-\frac{1}{a_n}}$$

此外，在一个等谐数列中，选取某一项，该项的前一项与后一项之倒数和，为原来该项倒数的两倍。举例来说，$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_3} = \frac{2}{a_2}$。

更一般地说，有：

$$\frac{1}{a_{n-1}}+\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{2}{a_n}$$

证明如下：

$$\begin{align}\frac{1}{a_{n-1}}+\frac{1}{a_{n+1}} & = \left(\frac{1}{a}+\frac{n-2}{h}\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{n}{h}\right) \\ & = \frac{2}{a}+\frac{2n-2}{h} \\ & = 2\left(\frac{1}{a}+\frac{n-1}{h}\right) \\ & = \frac{2}{a_n} \\ \end{align}$$

证毕。

从另一个角度看，等谐数列中的任意一项，是其前一项和后一项的调和平均：

$$a_n=\frac{2}{\frac{1}{a_{n-1}}+\frac{1}{a_{n+1}}}$$

此结果从上面直接可得。

如果有正整数 m, n, p, q，使得 $m+n=p+q$，那么则有：

$$\frac{1}{a_m}+\frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_p}+\frac{1}{a_q}$$

证明如下：

$$\begin{align} \frac{1}{a_m}+\frac{1}{a_n} &=\left(\frac{1}{a}+\frac{m-1}{h}\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{n-1}{h}\right) \\ &=\frac{2}{a}+\frac{m+n-2}{h} \\ &=\frac{2}{a}+\frac{p+q-2}{h} \\ &=\left(\frac{1}{a}+\frac{p-1}{h}\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{q-1}{h}\right) \\ &=\frac{1}{a_p}+\frac{1}{a_q} \\ \end{align}$$

由此可将上面的性质一般化成：

$$\frac{1}{a_{n-k}}+\frac{1}{a_{n+k}} = \frac{2}{a_n}$$

$$a_n=\frac{2}{\frac{1}{a_{n-k}}+\frac{1}{a_{n+k}}}$$

其中 k 是一个小于 n 的正整数。

给定一个等谐数列 $\{a_n\}$，则有：

- $\{b\cdot a_n\}$ 是一个等谐数列。
- $\{\frac{b}{a_n}\}$ 是一个等差数列。

## 等谐数列和

一个等谐数列的首 n 项之和，称为等谐数列和（sum of harmonic sequence）或调和级数（harmonic series），记作 Sn。

举例来说，等谐数列 的和是 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 = 248/315。

等谐数列并没有简单的求和公式。但使用以下反常积分，可对数列和以数值积分作估算：

$$S_n = a\int_0^1{\left(\frac{1-x^{\frac{a}{h}\cdot n}}{1-x^{\frac{a}{h}}}\right)}\mathrm{d}x$$

公式证明如下：

$$\begin{align} S_n & = a+\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{h}} + \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{2}{h}} + \cdots + \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{n-1}{h}} \\ & = a+\frac{a}{1+\frac{a}{h}} + \frac{a}{1+\frac{2a}{h}} + \cdots + \frac{a}{1+\frac{(n-1)a}{h}} \\ & = a\left(1+ \frac{1}{\frac{a}{h}+1} + \frac{1}{\frac{2a}{h}+1} + \cdots + \frac{1}{\frac{(n-1)a}{h} + 1} \right) \\ & = a\left[x+\frac{x^{\frac{a}{h}+1}}{\frac{a}{h}+1} + \frac{x^{\frac{2a}{h}+1}}{\frac{2a}{h}+1} + \cdots + \frac{x^{\frac{(n-1)a}{h}+1}}{\frac{(n-1)a}{h} + 1}\right]_{x=0}^{x=1} \\ & = a\int_0^1 \left(1+ x^{\frac{a}{h}} + x^{\frac{2a}{h}} + \cdots + x^{\frac{(n-1)a}{h}} \right) \mathrm{d}x \\ & = a \int_0^1 \left( \frac{1-x^{\frac{a}{h}\cdot n}}{1-x^{\frac{a}{h}}} \right)\mathrm{d}x \\ \end{align}$$

最后一步，使用了等比数列的求和公式。

使用上面的例子，对于数列：

$$\begin{align} S_4 & = \frac{1}{3} \int_0^1 \left( \frac{1-x^{\frac{2}{3}\cdot 4}}{1-x^{\frac{2}{3}}} \right)\mathrm{d}x \\ & = \frac{1}{3} \int_0^1 \left( \frac{1-x^{\frac{8}{3}}}{1-x^{\frac{2}{3}}} \right)\mathrm{d}x \\ & \approx 0.7873 \end{align}$$

结果相等。

从这公式中容易看出，等谐级数是发散的。

## 等谐数列积

一个等谐数列的首 n 项之积，称为等谐数列积（product of harmonic sequence），记作 Pn。

举例来说，等谐数列 的积是 1/3 × 1/5 × 1/7 × 1/9 = 1/945。

等谐数列积的公式可以Γ函数表示：

$$P_n =h^n \cdot \frac{\Gamma(\frac{h}{a})}{\Gamma(\frac{h}{a}+n)}$$

证明如下：

$$\begin{align} P_n&=a\cdot\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{h}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{2}{h}} \cdot \cdots \cdot \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{n-1}{h}} \\ &=\frac{1}{\frac{1}{h^n} \cdot \frac{\Gamma(\frac{h}{a}+n)}{\Gamma(\frac{h}{a})}} \\ &=h^n \cdot \frac{\Gamma(\frac{h}{a})}{\Gamma(\frac{h}{a}+n)} \\ \end{align}$$

这里使用了等差数列的求积公式。

使用上面的例子，对于数列：

$$\begin{align} P_4&=\frac{1}{2^4} \cdot \frac{\Gamma(\frac{3}{2})}{\Gamma(\frac{3}{2}+4)} \\ &=\frac{1}{16}\cdot\frac{0.88622\dots}{52.342\dots} \\ &=\frac{1}{945} \\ \end{align}$$

结果相等。

## 参考文献

- Weisstein, Eric W. "Harmonic Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HarmonicSeries.html .
- Yadav, A., Pi, H, G., Mukhopadhyay, S., et al. "Harmonic Progressions." From Brilliant. https://brilliant.org/wiki/harmonic-progression/ .