格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理

代数几何中，格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理是关于相干层上同调的意义深远的结果。它是关于复流形的希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理的推广，其又是对紧黎曼曲面上线丛的经典黎曼-罗赫定理的推广。

黎曼-罗赫型定理将向量丛上同调的欧拉示性数与其拓扑度，或更一般地与其（上）同调中的示性类或其代数类似物联系起来。经典的黎曼-罗赫定理针对的是曲线和线丛，而希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理将其推广到流形上的向量丛。格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理将这两个定理置于两个流形（或更一般的概形）之间态射的相对情形中，并将该定理丛关于单一丛的陈述变为适用于层的链复形的陈述。

格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理对阿蒂亚-辛格指标定理的发展影响深远，反过来，格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理的复分析类比也可以用族的指标定理来证明。1957年，亚历山大·格罗滕迪克在一份后来出版的手稿中给出了首个证明。Armand Borel与让-皮埃尔·塞尔撰写并发表了他的证明（1958）。后来，格罗滕迪克与合作者对证明进行了简化与推广。

## 公式

令X为域上的光滑拟射影概形，凝聚层的有界复形的格罗滕迪克群$K_0(X)$规范同构（canonically isomorphic）于秩有限向量丛的有界复形的格罗滕迪克群。利用这种同构，将陈示性（陈类的有理组合）视作一种函子式变换：

$$\mathrm{ch} \colon K_0(X) \to A(X, \Q),$$

其中$A_d(X,\Q)$是d维的X上的循环的周群，模去有理等价，以有理数张开。若X定义在复数上，则后一个群映射到拓扑上同调群：

$$H^{2\dim(X) - 2d}(X, \Q).$$

现在考虑光滑拟射影概形与$X$上的层${\mathcal F^\bull}$的有界复形之间的真射$f \colon X \to Y$。

格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理涉及前推映射

$$f_{!} = \sum (-1)^i R^i f_* \colon K_0(X) \to K_0(Y)$$

（高阶直像的交替和）与前推

$$f_* \colon A(X) \to A(Y),$$

由公式

$$\mathrm{ch} (f_{!}{\mathcal F}^\bull) \mathrm{td}(Y) = f_* (\mathrm{ch}({\mathcal F}^\bull) \mathrm{td}(X) ).$$

其中$\mathrm{td}(X)$是X（的切丛）的Todd属。因此，该定理给出了衡量上述前推映射与陈特征之间交换性偏差的方法，并表明所需的修正函子只取决于X、 Y。事实上，由于Todd属在正合序列中是函子、乘法的，可以将格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式重写为

$$\mathrm{ch}(f_{!}{\mathcal F}^\bull) = f_* (\mathrm{ch}({\mathcal F}^\bull) \mathrm{td}(T_f) ),$$

其中$T_f$是f的相对切层，定义为元素$TX - f^*(TY)\in K_0(X)$。例如，当f是光滑态射时，$T_f$就只是向量丛，即沿f的纤维的切丛。

运用A1同伦论，将格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理推广到f是两光滑概形间的真映射。

## 泛化与特化

考虑组合$\mathrm{ch}(-)\mathrm{td}(X)$的适当推广，可将定理推广到非光滑情况；考虑具有紧支集的上同调，可将定理推广到非真（non-proper）情况。

算术黎曼-罗赫定理将格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理推广到算术概形（arithmetic scheme）。

希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理（本质上）是Y为点、域为复数域的特例。

有向上同调论的黎曼-罗赫定理由Ivan Panin与Alexander Smirnov提出。它涉及代数有向上同调论之间的乘法（如代数配边）。格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理是这结果的特殊情况，这时自然会出现陈示性。

## 例子

### 曲线上的向量丛

域$k$的光滑射影曲线上秩为$n$、度为$d$（定义为其行列式；或等价地，其第一陈类的度）的向量丛$E \to C$有类似于线丛的黎曼-罗赫形式的公式。若取点$X = C$、$Y = \{*\}$，则格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式可理解为

$$\begin{align} \mathrm{ch}(f_{!}{\mathcal F}^\bull) &= h^0(C,E) - h^1(C,E) \\ f_*(\mathrm{ch}(E)\mathrm{td}(X))&= f_*((n + c_1(E))(1 + (1/2)c_1(T_C))) \\ &= f_*(n + c_1(E) + (n/2)c_1(T_C)) \\ &= f_*(c_1(E) + (n/2)c_1(T_C)) \\ &= d + n(1-g); \end{align}$$

于是

$\chi(C,E) = d + n(1-g).$

此式也适于秩为$n$、度为$d$的相干层。

### 光滑真射

格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式的优点之一是可解释为希策布鲁赫-黎曼-罗赫公式的相对版本。例如，光滑态射$f\colon X \to Y$的纤维都是等维的（在基变为$\Complex$时作为拓扑空间是同构的）。在模理论中考虑由模空间$\mathcal{M}$对光滑真空间进行参数化时，这事实非常好用。例如，戴维·芒福德用它推导了代数曲线模空间上的周环关系。

#### 曲线的模

对$g$属曲线（且无标记点）的模叠$\overline{\mathcal{M}}_g$，有通用曲线$\pi\colon\overline{\mathcal{C}}_g \to \overline{\mathcal{M}}_g$，其中$\overline{\mathcal{C}}_g = \overline{\mathcal{M}}_{g,1}$是属$g$曲线和一个标记点的模叠。然后定义重言类

$$\begin{align} K_{\overline{\mathcal{C}}_g/\overline{\mathcal{M}}_g} &= c_1(\omega_{\overline{\mathcal{C}}_g/\overline{\mathcal{M}}_g})\\ \kappa_l &= \pi_*(K^{l+1}_{\overline{\mathcal{C}}_g/\overline{\mathcal{M}}_g}) \\ \mathbb{E} &= \pi_*(\omega_{\overline{\mathcal{C}}_g/\overline{\mathcal{M}}_g}) \\ \lambda_l &= c_l(\mathbb{E}) \end{align}$$

其中$1 \leq l \leq g$与$\omega_{\overline{\mathcal{C}}_g/\overline{\mathcal{M}}_g}$是相关的对偶化层。注意$\omega_{\overline{\mathcal{C}}_g/\overline{\mathcal{M}}_g}$在点$[C] \in \overline{\mathcal{M}}_g$上的纤维，这就是对偶化层$\omega_C$。可利用格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理找到光滑轨迹的周环$A^*(\mathcal{M}_g)$上的$\kappa_i$之和 (corollary 6.2)，从而找到描述$\lambda_i$的$\lambda_i$、$\kappa_i$间的关系。由于$\overline{\mathcal{M}}_g$是光滑德利涅-芒福德叠，可考虑由概形$\tilde{\mathcal{M}}_g \to \overline{\mathcal{M}}_g$的覆盖，对某个有限群$G$可给出$\overline{\mathcal{M}}_g = [\tilde{\mathcal{M}}_g/G]$。对$\omega_{\tilde{\mathcal{C}}_g/\tilde{\mathcal{M}}_g}$应用格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理，可得

$$\mathrm{ch}(\pi_!(\omega_{\tilde{\mathcal{C}}/\tilde{\mathcal{M}}})) = \pi_*(\mathrm{ch}(\omega_{\tilde{\mathcal{C}}/ \tilde{\mathcal{M}}}) \mathrm{Td}^\vee(\Omega^1_{\tilde{\mathcal{C}}/\tilde{\mathcal{M}}}))$$

因为

$$\mathbf{R}^1\pi_!({\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}}) \cong \mathcal{O}_{\tilde{M}},$$

由上式可知

$$\mathrm{ch}(\mathbb{E}) = 1 + \pi_*(\text{ch}(\omega_{\tilde{\mathcal{C}}/\tilde{\mathcal{M}}}) \text{Td}^\vee (\Omega^1_{\tilde{\mathcal{C}}/\tilde{\mathcal{M}}})).$$

这样，$\mathrm{ch}(\mathbb{E})$的计算可以进一步减少。在偶数维$2k$。

$$\text{ch}(\mathbb{E})_{2k} = 0.$$

另外在1维。

$$\lambda_1 = c_1(\mathbb{E}) = \frac{1}{12}(\kappa_1 + \delta),$$

其中$\delta$是边界上的一个类。$g=2$时，在光滑轨迹$\mathcal{M}_g$上有如下关系

$$\begin{align} \lambda_1 &= \frac{1}{12}\kappa_1 \\ \lambda_2 &= \frac{\lambda_1^2}{2} = \frac{\kappa_1^2}{288} \end{align}$$

可通过分析$\mathbb{E}$的陈示性推得。

### 闭嵌入

闭嵌入$f\colon Y \to X$也可用格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式描述，其显示了公式成立的另一种非平凡情形。对$n$维光滑簇$X$及余维为$k$的子簇$Y$，有

$$c_k(\mathcal{O}_Y) = (-1)^{k-1}(k-1)![Y]$$

由短正合序列

$0 \to \mathcal{I}_Y \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Y \to 0$,

有下式

$$c_k(\mathcal{I}_Y) = (-1)^k(k-1)![Y]$$

for the ideal sheaf since $1 = c(\mathcal{O}_X) = c(\mathcal{O}_Y)c(\mathcal{I}_Y)$.

## 应用

### 模空间的准射影性

过两天都是-黎曼-罗赫公式可用于证明粗糙模空间$M$（如有尖代数曲线的模空间$M_{g,n}$）可嵌入到射影空间，因此是准射影簇。这可以通过观察$M$上的规范相伴层（canonically associated sheaf）、研究相伴线丛的度实现。例如，$M_{g,n}$

$M_{g,n}$

$\bar{M}_{g,n}$

有曲线族

$$\pi\colon C_{g,n} \to M_{g,n}$$

有截面

$$s_i\colon M_{g,n} \to C_{g,n}$$

对应标记点。由于每根纤维都有规范丛$\omega_{C}$，有相伴线丛$$\Lambda_{g,n}(\pi) = \det(\mathbf{R}\pi_*(\omega_{C_{g,n}/M_{g,n}}))$$ 及$$\chi_{g,n}^{(i)} = s_i^*(\omega_{C_{g,n}/M_{g,n}}) .$$ 于是

$$\Lambda_{g,n}(\pi) \otimes \left(\bigotimes_{i=1}^n \chi_{g,n}^{(i)}\right)$$

是丰沛线丛，因此粗糙模空间$M_{g,n}$是准射影的。

## 历史

亚历山大·格罗滕迪克的黎曼-罗赫定理最初是在1956–1957年左右写给让-皮埃尔·塞尔的一封信中提出的。1957年，在第一届波恩工作会议（Bonn Arbeitstagung）上公开发表，随后塞尔和Armand Borel在普林斯顿大学组织了一次研讨会来理解它。最后发表的论文实际上就是Borel–塞尔的论述。

格罗滕迪克方法的意义在于以下几点。首先，格罗滕迪克改变了陈述本身：此前人们认为黎曼-罗赫定理是关于单个代数簇的性质，而格罗滕迪克将其重新阐释为两个代数簇之间态射的相对性质。他找到了正确的推广，使证明变得简单，而结论变得更宽泛。简言之，格罗滕迪克将一种强范畴方法一项艰巨的分析。此外，如上所述，格罗滕迪克引入了K-群，为代数K-理论铺平了道路。

## 外部链接

- The Grothendieck-Riemann-Roch Theorem
- The thread "Applications of Grothendieck-Riemann-Roch?" on MathOverflow.
- The thread "how does one understand GRR? (Grothendieck Riemann Roch)" on MathOverflow.
- The thread "Chern class of ideal sheaf" on Stack Exchange.

## 基本资料

- 领域：代数几何
- 最初证明者：亚历山大·格罗滕迪克
- 最初证明年：1957
- 推广：阿蒂亚-辛格指标定理
- 可得结果：希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理、曲面的黎曼-罗赫定理、黎曼-罗赫定理