快速选择

在计算机科学中，快速选择（Quickselect）是一种从无序列表找到第k小元素的选择算法。它从原理上来说与快速排序有关。与快速排序一样都由托尼·霍尔提出的，因而也被称为霍尔选择算法。同样地，它在实际应用是一种高效的算法，具有很好的平均时间复杂度，然而最坏时间复杂度则不理想。快速选择及其变种是实际应用中最常使用的高效选择算法。

快速选择的总体思路与快速排序一致，选择一个元素作为基准来对元素进行分区，将小于和大于基准的元素分在基准左边和右边的两个区域。不同的是，快速选择并不递归访问双边，而是只递归进入一边的元素中继续寻找。这降低了平均时间复杂度，从O(n log n)至O(n)，不过最坏情况仍然是O(n2)。

与快速排序一样，快速选择一般是以原地算法的方式实现，除了选出第k小的元素，数据也得到了部分地排序。

## 算法

快速排序中，有一个子过程称为分区，可以在线性时间里将一个列表分为两部分（`left`和`right`），分别是小于基准和大于等于基准的元素。下面是以`list[pivotIndex]`进行分区的伪代码：

```
 '''function''' partition(list, left, right, pivotIndex)
     pivotValue := list[pivotIndex]
     swap list[pivotIndex] and list[right]  ''// Move pivot to end''
     storeIndex := left
     '''for''' i '''from''' left '''to''' right-1
         '''if''' list[i] < pivotValue
             swap list[storeIndex] and list[i]
             increment storeIndex
     swap list[right] and list[storeIndex]  ''// Move pivot to its final place''
     '''return''' storeIndex
```

在快速排序中，我们递归地对两个分支进行排序，导致最佳时间复杂度为O(n log n)。然而，在快速选择中，虽然大部分元素仍是乱序的，但是基准元素已经在最终排序好的位置上，所以我们知道想找的元素在哪个分区中。因此，一个递归循环分支就能帮助我们定位想找的元素，从而得到快速选择的算法：

```
  ''// Returns the k-th smallest element of list within left..right inclusive''
  ''// (i.e. left <= k <= right).''
  ''// The search space within the array is changing for each round - but the list''
  ''// is still the same size. Thus, k does not need to be updated with each round.''
  '''function''' select(list, left, right, k)
     '''if''' left = right        ''// If the list contains only one element,''
         '''return''' list[left]  ''// return that element''
     pivotIndex  := ...     ''// select a pivotIndex between left and right,''
                            ''// e.g.,'' left + floor(rand() % (right - left + 1))
     pivotIndex  := partition(list, left, right, pivotIndex)
     ''// The pivot is in its final sorted position''
     '''if''' k = pivotIndex
         '''return''' list[k]
     '''else if''' k < pivotIndex
         '''return''' select(list, left, pivotIndex - 1, k)
     '''else'''
         '''return''' select(list, pivotIndex + 1, right, k)
```

注意到与快速排序的相似之处：就像基于寻找最小值的选择算法是部分选择排序，这可以认为是部分快速排序，只进行O(n log n)而不是O(n)次分区。这个简单的过程具有预期的线性时间复杂度，并且如快速排序一样有相当良好的实际表现。这也是一个原地算法，只需要栈内常数级的内存，或者可以用循环来去掉尾递归：

```
 '''function''' select(list, left, right, k)
     '''loop'''
         '''if''' left = right
             '''return''' list[left]
         pivotIndex := ...     ''// select pivotIndex between left and right''
         pivotIndex := partition(list, left, right, pivotIndex)
         '''if''' k = pivotIndex
             '''return''' list[k]
         '''else if''' k < pivotIndex
             right := pivotIndex - 1
         '''else'''
             left := pivotIndex + 1
```

## 时间复杂度

与快速排序类似，快速选择算法在平均状况下有着不错的表现，但是对于基准值的选择十分敏感。如果基准值选择上佳，搜索范围每次能够指数级减少，这样一来所耗时间是线性的(即O(n))。但如果基准值选择非常不好，使得每次只能将搜索范围减少一个元素，则最糟的总体时间复杂度是平方级的(O(n2))：例如对一个升序排列的数组搜索其最大值，而每次都选择第一个元素作为基准值。

## 算法变体

最简单的快速排序变化是每次随机选择基准值，这样可以达到近乎线性的复杂度。更为确定的做法是采用“取三者中位数”的基准值选择策略，这样对已部分排序的数据依然能够达到线性复杂度。但是，特定人为设置的数组在此方法下仍然会导致最差时间复杂度，如大卫·穆塞尔所描述的“取三者中位数杀手”数列，这成为他发表反省式选择算法的动机。

利用中位数的中位数算法，可以在最坏情形下依然保证线性时间复杂度。但是这一方法中的基准值计算十分复杂，实际应用中并不常见。改进方法是在快速选择算法的基础上，使用“中位数的中位数”算法处理极端特例，这样可以保证平均状态与最差情形下的时间复杂度都是线性的，这也是反省式选择算法的做法。

精确计算下，随机选择基准值策略最差会导致$n(2+2\log 2+o(1)) \leq 3.4n + o(n)$复杂度。采用Floyd–Rivest算法可以使这一常数进一步减少，在最坏情形下达到 $1.5 n + O(n^{1/2})$。