重力位

在古典力学中，一个位置上的重力位（Gravitational potential）等于将每单位质量的物体从零位面移动到该位置所需的功（即此过程中转移给该单位质量的物体的能量）。重力位类似于电磁学中电位的概念，而质量可比拟为电荷在电磁学中扮演的角色。习惯上，重力位的零位面会取在无限远处。在这种约定下，任何有限距离处的重力位都小于零。

在数学上，重力位也称为牛顿位（Newtonian potential），是位能理论的基础。位能理论也可以用于解释由均匀带电或极化的椭圆体产生的静电场和静磁场。

## 位能

一个位置的重力位（$V$）等于每单位质量在该点拥有的位能（$U$）：

$$V = \frac{U}{m},$$

式中$m$表示物体的质量。一个位置的重力位能等于在将物体从无限远处移动到该点的路径上，重力场所做的正功。若物体的质量等于1公斤，那么该物体的位能的大小便会与重力位相等。

在某些情况下，可以假设重力场的强度与所在位置无关。此时上式可以被进一步化简。比方说，在接近地表附近的重力加速度$g$可以视为定值，因此不同位置间的位能差$\Delta U$能够与高度差$\Delta h$近似为简单的线性关系：

$$\Delta U \approx mg \Delta h.$$

## 数学形式

若令一质点的质量为$M$，则在与质点距离$\mathbf{r}$处的重力位$V$可被定义为：

$$V(\mathbf{r}) = - \frac{GM}{r}$$

### 推导

牛顿万有引力定律指出：

$$\mathbf{F} = - \frac{GMm}{r^2} \mathbf{\hat{r}}$$

其中

- $\mathbf{F}$：质量$m$的质点受到的万有引力
- $G$：万有引力常数
- $m$：质点1的质量
- $M$：质点2的质量
- $r$：两个物体之间的距离
- $\mathbf{\hat{r}}$：由$M$指向$m$的单位向量

式中的负号使得$m$往$M$方向吸引，因此万有引力是吸引力。

而重力场$g$则描述了空间中任意位置上，每单位质量的质点所受到的万有引力：

$$\mathbf{g} = \frac{\mathbf{F}}{m} = - G \frac{M}{r^2} \mathbf{\hat{r}}$$

当我们去考虑在重力场中每单位质量的物体由外力移动一段距离$\mathbf{dl}$所需做的功$\mathbf{d}W$，由于功等于力与位移的内积，所以$d\mathbf{d}W = - \mathbf{g} \cdot \mathbf{dl}$，式中的负号表示外力所做的功与重力场所做的功相反。如果将物体从点$\mathbf{a}$移动到点$\mathbf{b}$，则$W$等于沿着该路径的线积分

$$W = \int_\mathbf{a}^\mathbf{b} -\mathbf{g} \cdot \mathbf{dl}$$

在球座标系中$\mathbf{dl} = \mathbf{d}r \mathbf{\hat{r}} + r\mathbf{d}\theta \boldsymbol{\hat{\theta}} + r \sin{\theta} \mathbf{d}\phi \boldsymbol{\hat{\phi}}$，所以

$$\mathbf{g} \cdot \mathbf{dl} = -\frac{GM}{r^2} \mathbf{d}r$$

因此

$$<pre> \begin{aligned} W &= \int_\mathbf{a}^\mathbf{b} -\mathbf{g} \cdot \mathbf{dl} \\ &= \int_\mathbf{a}^\mathbf{b} \frac{GM}{r^2} \mathbf{d}r \\ &= GM(\frac{1}{r_a} - \frac{1}{r_b}) \end{aligned} </pre>$$

其中，$r_a$是从原点到点$\mathbf{a}$的距离，$r_b$是从原点到点$\mathbf{b}$的距离。对于任何两条具有相同起点和终点的路径，上式的积分一定具有相同的值。既然线积分与路径无关，我们可以就定义一个函数$V(\mathbf{r})$：

$$V(\mathbf{r}) = - \int^{\mathbf{r}}_{\mathcal{O}} \mathbf{g} \cdot \mathbf{dl}$$

$V(\mathbf{r})$就称为重力位。只要预先设定一个标准参考点$\mathcal{O}$，$V$的值就可以由$\mathbf{r}$来决定。

习惯上，我们将无限远处的重力位设为零。因此，在点$\mathbf{r}$的重力位$V$等于

$$V(\mathbf{r}) = GM(\frac{1}{\infty} - \frac{1}{r}) = -\frac{GM}{r}$$

此外，$W$可以用$V$重新写成：

$$<pre> \begin{aligned} W &= \int_\mathbf{a}^\mathbf{b} -\mathbf{g} \cdot \mathbf{dl} \\ &= - \int_\mathbf{\mathcal{O}}^\mathbf{b} \mathbf{g} \cdot \mathbf{dl} - \int_\mathbf{a}^\mathbf{\mathcal{O}} \mathbf{g} \cdot \mathbf{dl} \\ &= - \int_\mathbf{\mathcal{O}}^\mathbf{b} \mathbf{g} \cdot \mathbf{dl} + \int_\mathbf{\mathcal{O}}^\mathbf{a} \mathbf{g} \cdot \mathbf{dl} \\ &= V(\mathbf{b}) - V(\mathbf{a}) \end{aligned} </pre>$$

因此，在重力场中移动每单位质量的物体所需的功，等于两点之间重力位的差。如果想将物体移动到了离质点$M$更远的地方，则一定要做正功。上式也可以看做是将单位质量的物体从无限远处移到该点所需的功。

### 重力位的梯度

由上述的计算得知，$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$两点之间重力位的差等于

$$V(\mathbf{b}) - V(\mathbf{a}) = - \int_\mathbf{a}^\mathbf{b} \mathbf{g} \cdot \mathbf{dl}$$

然而根据梯度定理（线积分基本定理），重力位的梯度$\mathbf{\nabla}V$沿曲线的积分，可用重力位在该曲线两端的值之差来计算：

$$V(\mathbf{b}) - V(\mathbf{a}) = \int_\mathbf{a}^\mathbf{b} (\mathbf{\nabla}V) \cdot \mathbf{dl}$$

所以

$$\int_\mathbf{a}^\mathbf{b} (\mathbf{\nabla}V) \cdot \mathbf{dl} = - \int_\mathbf{a}^\mathbf{b} \mathbf{g} \cdot \mathbf{dl}$$

由于对于任何点$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$都是如此，因此被积数必须相等：

$$\mathbf{g} = - \mathbf{\nabla}V$$

这是重力位的一个重要性质。

### 单位

在公制单位中，力的单位是牛顿，质量的单位是公斤，所以重力场的单位是牛顿/公斤而重力位的单位是牛顿米/公斤，或焦耳/公斤。

### 叠加

经典力学中，一个质量分布产生的重力位，等于各个点质量的重力位的叠加。如果一个质量分布由有限个点质量组成，点质量的位置为$\mathbf{r}_1, ..., \mathbf{r}_n$，质量为$m_1, ..., m_n$，那么其在点$\mathbf{r}$产生的重力位$V(\mathbf{r})$等于

$$V(\mathbf{r}) = \sum_{i=1}^n -\frac{Gm_i}{|\mathbf{r} - \mathbf{r_i}|}.$$

如果在三维欧氏空间$\mathbf{R}^3$上将质量分布以测度$\mathbf{d}m$给出，则重力位等于$-G/r$对$\mathbf{d}m$的卷积。在理想的情况下，这等价于积分

$$V(\mathbf{r}) = -\int_{\mathbf{R}^3} \frac{G}{|\mathbf{r} - \mathbf{r} \prime|}\,\mathbf{d}m(\mathbf{r} \prime),$$

式中$|\mathbf{r} - \mathbf{r} \prime|$代表点$\mathbf{r}$与点$\mathbf{r} \prime$的距离。如果该质量分布在点$\mathbf{r}$的密度为$\rho (\mathbf{r})$，那么$\mathbf{d}m$便等于密度$\rho (\mathbf{r})$与单位体积 $\mathbf{d}\tau$的乘积：$\mathbf{d}m=\rho (\mathbf{r})\mathbf{d}\tau$，而重力位就等于体积分

$$V(\mathbf{r}) = -\int_{\mathbf{R}^3} \frac{G}{|\mathbf{r}-\mathbf{r} \prime|}\,\rho(\mathbf{r} \prime)\mathbf{d}\tau(\mathbf{r} \prime).$$

## 泊松方程

如果有一个重力场$\mathbf{g}$由质量分布$\rho$产生，使用高斯定律（Gauss's law for gravity）的微分形式可以获得

$$\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{g} = -4\pi G\rho .$$

由于$\mathbf{g} = -\mathbf{\nabla} V .$，带入高斯定律后可得到重力的泊松方程式

$${\nabla}^2 V = 4\pi G \rho.$$

若密度处处为零，则上式便退化为拉普拉斯方程。泊松方程可以使用格林函数求解。

## 球形对称

根据壳层定理，若存在一个球形对称的质量分布，对对于处在分布外面的观察者而言，其行为就好像所有质量都集中在球心的个点质量，因此可以等效地作为点质量来处理。在地球表面，重力加速度g大约为9.8 m/s2，尽管该值随纬度和海拔高度略有变化（因为地球是扁球形，极点处的加速度大小略大于赤道处的加速度大小。）

在一个密度均匀的球体内，可以求出其重力位$V(r)$等于

$$V(r) = \frac {2}{3} \pi G \rho (r^2-3R^2),\qquad r\leq R.$$

## 广义相对论

在广义相对论中，重力位被度量张量取代。当重力场的来源较弱并且移动速度比光速慢很多时，广义相对论就会简化为牛顿万有引力理论，且在一阶度规张量可表示为重力位的函数。

## 多极展开

在计算空间中的重力位

$$V(\mathbf{r}) = -\int_{\mathbf{R}^3} \frac{G}{|\mathbf{r}-\mathbf{r} \prime|}\,\rho(\mathbf{r} \prime)\mathbf{d}\tau(\mathbf{r} \prime)$$

牵涉到计算$|\mathbf{r}-\mathbf{r} \prime|$的倒数的积分，这个积分的难易度虽著质量分布$\rho$而异。为了将计算化简，这时候可以使用多极展开，将式子化为$1/r$的幂级数，让积分变得容易得多。做理论运算时，在允许误差范围内，时常可以只取多极展开几个最低阶的非零项，忽略其它剩下的、数值超小的项。

## 数值

下表给出了关于来自地球，太阳和银河系的引力在不同位置上的重力位大小；换句话说，位于地球表面的物体需要60 MJ/kg的动能才能“脱离”地球的重力场，另外要有900 MJ/kg才能脱离太阳的重力场，而超过130 GJ/kg才能脱离银河系的重力场。重力位是逃离速度的平方的一半。

地点｜地球引力的重力位｜太阳引力的重力位｜银河系引力的重力位

地球表面｜60 MJ/kg｜900 MJ/kg｜≥ 130 GJ/kg

近地轨道｜57 MJ/kg｜900 MJ/kg｜≥ 130 GJ/kg

旅行者1号 (距离地球170亿公里)｜23 J/kg｜8 MJ/kg｜≥ 130 GJ/kg

距离地球 0.1 光年处｜0.4 J/kg｜140 kJ/kg｜≥ 130 GJ/kg