无穷小应变理论

无穷小应变理论（infinitesimal strain theory）也称为无限小应变理论，是连续介质力学中描述固体形变的数学分析法，适用在其形变量远小于物体尺寸（无穷小量）的情形，因此若是均质材料，可以假设材料每一点的结构性质（密度及刚度）都相等，不会随变形而不同。

在此假设下，连续介质力学的方程可以简化。此作法也称为是小形变理论、小位移理论或小位移梯度理论。无穷小应变理论和有限应变理论的假设恰好相反，后者假设形变量没有远小于物体尺寸。

无穷小应变理论常用在土木工程及机械工程中，其中会进行结构的应力分析，而材料是用强度较高的混凝土及钢制成，而结构设计的目标也是在一般结构荷重下，希望其形变量可以降到最小。不过若分析的结构物是较细较薄，较容易变形的元件（例如杆、平板及薄壳），用无限小应变理论来分析就不可靠了。

## 无穷小应变张量

在连续体的无限小变形中（位移梯度张量远小于1，也就是$\|\nabla \mathbf u\| \ll 1$），可以用有限应变理论中的任何一个有限应变张量（例如拉格朗日有限应变张量$\mathbf E$，或是尤拉有限应变张量$\mathbf e$）进行线性化。在线性化中，可以省略有限应变张量中的二次项或是非线性项，因此可得

$$\mathbf E = \frac{1}{2} \left(\nabla_{\mathbf X}\mathbf u + (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^T + (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^T\nabla_{\mathbf X}\mathbf u\right)\approx \frac{1}{2}\left(\nabla_{\mathbf X}\mathbf u + (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^T\right)$$ 或$$E_{KL}= \frac{1}{2} \left(\frac{\partial U_K}{\partial X_L} +\frac{\partial U_L}{\partial X_K}+ \frac{\partial U_M}{\partial X_K} \frac{\partial U_M}{\partial X_L}\right)\approx \frac{1}{2}\left(\frac{\partial U_K}{\partial X_L}+\frac{\partial U_L}{\partial X_K}\right)$$ 以及$$\mathbf e =\frac{1}{2} \left(\nabla_{\mathbf x}\mathbf u + (\nabla_{\mathbf x}\mathbf u)^T - \nabla_{\mathbf x}\mathbf u(\nabla_{\mathbf x}\mathbf u)^T\right)\approx \frac{1}{2}\left(\nabla_{\mathbf x}\mathbf u + (\nabla_{\mathbf x}\mathbf u)^T\right)$$ 或$$e_{rs}=\frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_r}{\partial x_s} +\frac{\partial u_s}{\partial x_r} -\frac{\partial u_k}{\partial x_r} \frac{\partial u_k}{\partial x_s}\right)\approx \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_r}{\partial x_s} +\frac{\partial u_s}{\partial x_r}\right)$$

线性化意味着连续体中特定点的物质坐标（material coordinate）和空间坐标（spatial coordinate）差异很小，拉格朗日描述和尤拉描述近似相等。因此，物质位移梯度张量和空间位移梯度张量的分量也相近相等。可得$$\mathbf E \approx \mathbf e \approx \boldsymbol \varepsilon = \frac{1}{2}\left((\nabla\mathbf u)^T + \nabla\mathbf u\right)$$ 或$$E_{KL}\approx e_{rs}\approx\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)$$ 其中 $\varepsilon_{ij}$是无穷小应变张量（也称为柯西应变张量、线性应变张量、小应变张量）的分量。

$$\begin{align} \varepsilon_{ij} &= \frac{1}{2}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right) \\ &= \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\ \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} <pre> \frac{\partial u_1}{\partial x_1} & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_1}{\partial x_2}+\frac{\partial u_2}{\partial x_1}\right) & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_1}{\partial x_3}+\frac{\partial u_3}{\partial x_1}\right) \\ \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_2}{\partial x_1}+\frac{\partial u_1}{\partial x_2}\right) & \frac{\partial u_2}{\partial x_2} & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_2}{\partial x_3}+\frac{\partial u_3}{\partial x_2}\right) \\ \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_3}{\partial x_1}+\frac{\partial u_1}{\partial x_3}\right) & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_3}{\partial x_2}+\frac{\partial u_2}{\partial x_3}\right) & \frac{\partial u_3}{\partial x_3} \\ \end{bmatrix} </pre> \end{align}$$ 或者使用不同的表示方式：

$$\begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\ <pre> \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\ \varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz} \\ \end{bmatrix} </pre> = \begin{bmatrix} <pre> \frac{\partial u_x}{\partial x} & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_x}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial x}\right) & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_x}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial x}\right) \\ \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_y}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial y}\right) & \frac{\partial u_y}{\partial y} & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_y}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial y}\right) \\ \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_z}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial z}\right) & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_z}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial z}\right) & \frac{\partial u_z}{\partial z} \\ \end{bmatrix}$$

进一步来说，因为形变梯度可以表示成$\boldsymbol{F} = \boldsymbol{\nabla}\mathbf{u} + \boldsymbol{I}$ 其中$\boldsymbol{I}$是二阶单位张量，可得$$\boldsymbol\varepsilon = \frac{1}{2} \left(\boldsymbol{F}^T+\boldsymbol{F}\right)-\boldsymbol{I}$$

另外，根据拉格朗日有限应变张量及尤拉有限应变张量的通用表示法，可得$$\begin{align} \mathbf E_{(m)}& =\frac{1}{2m} (\mathbf U^{2m}-\boldsymbol{I}) = \frac{1}{2m} [(\boldsymbol{F}^T\boldsymbol{F})^m - \boldsymbol{I}] \approx \frac{1}{2m} [\{\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u}+(\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u})^T + \boldsymbol{I}\}^m - \boldsymbol{I}]\approx \boldsymbol{\varepsilon}\\ \mathbf e_{(m)}& = \frac{1}{2m} (\mathbf V^{2m}-\boldsymbol{I})= \frac{1}{2m} [(\boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T)^m - \boldsymbol{I}]\approx \boldsymbol{\varepsilon} \end{align}$$