上升时间

在电子学中，若要描述一电路在电压（或电流）阶跃函数下的反应，可用上升时间（rise time）表示。上升时间是信号从特定低准位上升到特定高准位需要的时间，值可以用相对参考输入的比率或是百分比来表示。在模拟电路中，其较低百分比及较高百分比多半会是输出阶跃高度的10%及90%（或0.1及0.9）。不过，也常会使用其他的值若是在控制理论中，依照，上升时间定义为“响应从终值的x%上升到y%所需要的时间”，若是欠阻尼的二阶系统，常会以0%至100%的上升时间为准，若是临界阻尼系统，则会是5%至95%的，过阻尼系统会是10%到90%的上升时间。依照，上升时间可以用在阶跃上升或是阶跃下降的阶跃响应，不过阶跃下降的场合，有时也会称是下降时间，常用 $\scriptstyle t_f\,$表示。

## 简介

上升时间是高速电子电路中重要的类比参数，可以量测在高速输入信号时，系统响应的能力。针对电路、产生器、资料量测及传输设备的上升时间，已有许多的方法可以进行缩减。这些缩减也开始了更高速电子元件或电路的研究，以及研究如何减少电路中的杂散元件（多半是电感及电容）。不过在高速电子学的领域之外，有些应用会希望有较长的上升时间，例如灯光的调光器，其上升时间较长会延长灯泡的寿命，或是用数位信号控制类比开关，较长的上升时间表示流经杂散电容的量会比较少，因此耦合产生的噪音也会比较少。

### 影响上升时间的因素

针对给定系统的输出，其上升时间和输入信号的上升时间有关，也和系统特特性有关。

例如，电阻性电路的上升时间主要会和杂散电容及杂散电感有关。因为所有电路都不只有电路性的元件，也会有电容性或电感性的元件，在负载到达稳态之前，会有电压及（或）电流的延迟。若是纯RC电路，输出的上升时间（10%至90%）约是电阻值（单位为欧姆）和电容值（单位为法拉）乘积的2.2倍，2.2 RC。

### 其他定义

这些定义的差异不只是参考准位的不同，也有些有不同的算法。例如有一种上升时间的定义是考虑阶跃函数响应50%时的切线，再绘图计算和X轴的截距得到上升时间，偶尔会用到这种定义。另一种定义是由引入，用到概率论及统计学的概念。考虑阶跃响应 V(t)，重新定义传播延迟 tD为一次导数V′(t)的矩，也就是

$$t_D = \frac{\int_0^{+\infty}t V^\prime(t)\mathrm{d}t}{\int_0^{+\infty} V^\prime(t)\mathrm{d}t}.$$

最后，用以下的二次矩来定义上升时间tr

$$t_r^2 = \frac{\int_0^{+\infty}(t -t_D)^2 V^\prime(t)\mathrm{d}t}{\int_0^{+\infty} V^\prime(t)\mathrm{d}t} \quad \Longleftrightarrow \quad t_r =\sqrt{\frac{\int_0^{+\infty}(t -t_D)^2 V^\prime(t)\mathrm{d}t}{\int_0^{+\infty} V^\prime(t)\mathrm{d}t}}$$

## 典型系统的上升时间

### 符号及标示

所有分析用到的符号及假设条列如下：

- 根据，定义x%为低准位的百分比，y%为高准位的百分比，参考基准都以要量测上升时间信号的参考信号为准。
- t1是待分析系统的输出到达稳态值x%的时间，而t2是输出到达稳态值y%的时间，两者单位都是秒。
- tr是待分析系统的上升时间，单位也是秒。依照定义

$$t_r = t_2 - t_1.$$

- fL为待分析系统较低截止频率（-3 dB点）的值，单位为赫兹。
- fH为待分析系统较高截止频率的值，单位也是赫兹。
- h(t)是待分析系统在时域下的冲激响应。
- H(ω)是待分析系统在频域下的频率响应。
- 带宽定义为

$$BW = f_{H} - f_{L}\,$$

因为较低的截止频率fL往往远小于较高截止频率fH，因此

$$BW\cong f_H\,$$

- 所有分析的系统，其频率响应都延伸到0（低通系统），因此

$f_L=0\,\Longleftrightarrow\,f_H=BW$。

- 为了简化起见，所有“计算上升时间的简单范例”章节中分析的系统都是增益为1的电路，所有信号都假设是电压：输入是V0伏特的阶跃函数，因此

$$\frac{V(t_1)}{V_0}=\frac{x\%}{100} \qquad \frac{V(t_2)}{V_0}=\frac{y\%}{100}$$

- ζ是特定二阶微分方程的阻尼比，ω0则是自然频率。

### 计算上升时间的简单范例

此章节的目的是计算一些简单系统阶跃响应的上升时间。

#### 高斯响应系统

系统具有高斯响应的条件是其频率响应特征如下

$$|H(\omega)|=e^{-\frac{\omega^2}{\sigma^2}}$$

其中σ `>` 0为常数，和高截止频率有以下的关系：

$$f_H = \frac{\sigma}{2\pi} \sqrt{\frac{3}{20}\ln 10} \cong 0.0935 \sigma.$$

即使这类的频率响应无法用因果滤波器实现。其用途是因为其系统特性可以用多个一级低通滤波器级联连结而得，其精度会随着个数增加而变好。对应的冲激响应可以用频率响应的反傅里叶变换计算而得。

$$\mathcal{F}^{-1}\{H\}(t)=h(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} {e^{-\frac{\omega^2}{\sigma^2}}e^{i\omega t}} d\omega=\frac{\sigma}{2\sqrt{\pi}}e^{-\frac{1}{4}\sigma^2t^2}$$

直接代入阶跃响应的定义

$$V(t) = V_0{H*h}(t) = \frac{V_0}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\frac{\sigma t}{2}}e^{-\tau^2}d\tau = \frac{V_0}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{2}\right)\right] \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{V(t)}{V_0} = \frac{1}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{2}\right)\right].$$

为了要确认系统由10%上升到90%需要的时间，需要求解以下方程：

$$\frac{V(t_1)}{V_0} = 0.1 = \frac{1}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{\sigma t_1}{2}\right)\right] \qquad \frac{V(t_1)}{V_0} = 0.9= \frac{1}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{\sigma t_2}{2}\right)\right],$$

利用误差函数的定义，可以找到t`&nbsp;=&nbsp;` - t1 `=` t2的数值，因为tr `=` t2 - t1 `=` 2t,

$$t_r=\frac{4}{\sigma}{\mathrm{erf}^{-1}(0.8)}\cong\frac{0.3394}{f_H},$$

因此

$t_r\cong\frac{0.34}{BW}\quad\Longleftrightarrow\quad BW\cdot t_r\cong 0.34.$

#### 一阶低通RC电路

针对一阶低通RC电路，10%至90%的上升时间和网络时间常数τ `=` RC成正比：

$$t_r\cong 2.197\tau\,$$

比例常数可以用输入信号为V0的阶跃函数时，系统的阶跃反应而得：

$$V(t) = V_0 \left(1-e^{-\frac{t}{\tau}} \right)$$

求解时间

$$\frac{V(t)}{V_0}=\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right) \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{V(t)}{V_0}-1=-e^{-\frac{t}{\tau}} \quad \Longleftrightarrow \quad 1-\frac{V(t)}{V_0}=e^{-\frac{t}{\tau}},$$

最后可得

$$\ln\left(1-\frac{V(t)}{V_0}\right)=-\frac{t}{\tau} \quad \Longleftrightarrow \quad t = -\tau \; \ln\left(1-\frac{V(t)}{V_0}\right)$$

而t1及t2满足以下条件

$$\frac{V(t_1)}{V_0}=0.1 \qquad \frac{V(t_2)}{V_0}=0.9,$$

求解方程可得t1和t2的解析式

$$t_1 = -\tau\;\ln\left(1-0.1\right) = -\tau \; \ln\left(0.9\right) = -\tau\;\ln\left(\frac{9}{10}\right) = \tau\;\ln\left(\frac{10}{9}\right) = \tau({\ln 10}-{\ln 9})$$

$$t_2=\tau\ln{10}\,$$

上升时间和时间常数成正比：

$$t_r = t_2-t_1 = \tau\cdot\ln 9\cong\tau\cdot 2.197$$

另外，根据

$$\tau = RC = \frac{1}{2\pi f_H},$$

则

$$t_r=\frac{2\ln3}{2\pi f_H}=\frac{\ln3}{\pi f_H}\cong\frac{0.349}{f_H},$$

因为上截止频率等于带宽

$t_r\cong\frac{0.35}{BW}\quad\Longleftrightarrow\quad BW\cdot t_r\cong 0.35.$

另外，若考虑20%至80%的上升时间，tr会变成：

$$t_r = \tau\cdot\ln\frac{8}{2}=(2\ln2)\tau \cong1.386\tau\quad\Longleftrightarrow\quad t_r=\frac{\ln2}{\pi BW}\cong\frac{0.22}{BW}$$

#### 一阶低通LR电路

等于一个简单的一阶低通RL电路，其10%至90%的上升时间和电路时间常数τ `=` L成正比。其和RC电路的差异只在于不同电路中时间常数τ的表示方式不同。因此可得到下式

$$t_r=\tau\cdot\ln 9 = \frac{L}{R}\cdot\ln 9\cong \frac{L}{R} \cdot 2.197$$

### 阻尼二阶系统

根据，控制系统中欠阻尼系统的上升时间定义为输出从0%到达终值100%的时间。二阶欠阻尼系统的上升时间如下：

$$t_r \cdot\omega_0= \frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}}\left [ \pi - \tan^{-1}\left ( {\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}} \right )\right ]$$

没有零点的二阶系统，其阶跃响应下的正规上升时间可以二次函数近似如下：

$$t_r \cdot\omega_0= 2.230\zeta^2-0.078\zeta+1.12\,$$

中ζ是阻尼比，ω0是电路的自然频率。

### 级联模组的上升时间

考虑n个非交联的级联模组组成的系统，每一个的上升时间为tri, i `=` 1,...,n，其阶跃响应没有过冲，假设第一个模组的输入信号的上升时间为trS.。其输出的上升时间tr0为

$$t_{r_O}=\sqrt{t_{r_S}^2+t_{r_1}^2+\dots+t_{r_n}^2}$$

依照，此结果可以用中心极限定理来说明，已由证明。此问题的详细分析可以参考,，他指出Elmore是第一个用比较严谨的基础证明上述公式的人。