最小相位

最小相位（minimum-phase）是控制理论及信号处理中有特殊性质的系统，对于线性时不变系统，若本身为因果系统且稳定，且其逆系统也是稳定的因果系统，此系统即为最小相位系统。

相反的，非最小相位（non-minimum phase）系统可以用最小相位系统串接全通滤波器，使部分的零点移到右半面。若有零点在右半面，表示其逆系统不稳定。全通滤波器加入了“额外的相位”（有些可能是传送迟延），这也是为何所得系统称为非最小相位的原因。

例如一个离散系统，其有理传递函数若其所有的极点都在单位圆内，此系统为符合因果性的稳定系统。不过此系统的零点可以在单位圆内或是圆外的任意位置。若离散系统的零点也都在单位圆内，则这个系统也是最小相位的系统。以下会说明为何这様的系统会称为最小相位系统。

## 逆系统

一系统$\mathbb{H}$可逆的条件是可以由其输出找到唯一对应的输入，也就是可以找到系统$\mathbb{H}_{inv}$使得若将$\mathbb{H}$及$\mathbb{H}_{inv}$二个系统连接，可以得到单位系统$\mathbb{I}$（可以参反矩阵）。

$$\mathbb{H}_{inv} \, \mathbb{H} = \mathbb{I}$$

假设$\tilde{x}$为系统$\mathbb{H}$的输入，其输出为$\tilde{y}$

$$\mathbb{H} \, \tilde{x} = \tilde{y}$$

将$\tilde{y}$作为逆系统的输入，可得：

$$\mathbb{H}_{inv} \, \tilde{y} = \mathbb{H}_{inv} \, \mathbb{H} \, \tilde{x} = \mathbb{I} \, \tilde{x} = \tilde{x}$$

因此可以用逆系统$\mathbb{H}_{inv}$，找到输出$\tilde{y}$对应的唯一输入$\tilde{x}$。

### 离散时间的例子

假设系统$\mathbb{H}$是离散时间的线性非时变系统（LTI），可以用冲激响应$h(n)$（n为整数）表示。而且，假设系统$\mathbb{H}_{inv}$的 冲激响应为$h_{inv}(n)$。二个线性非时变系统的级联为卷积。上述的关系可以以下式表示：

$$(h * h_{inv}) (n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} h(k) \, h_{inv} (n-k) = \delta (n)$$

其中$\delta (n)$为克罗内克函数或是离散时间下的单位矩阵。注意其逆系统$\mathbb{H}_{inv}$不一定要是唯一的。

## 最小相位系统

若系统再加上因果性且稳定性的条件时，其逆系统就是唯一的，而且系统$\mathbb{H}$和逆系统$\mathbb{H}_{inv}$都是最小相位系统。离散系统下因果性及稳定性的条件如下（针对非时变系统，其中的h为系统的冲激响应）：

### 因果性

$$h(n) = 0 \,\, \forall \, n < 0$$

及

$$h_{inv} (n) = 0 \,\, \forall \, n < 0$$

### 稳定性

$$\sum_{n = -\infty}^{\infty}{\left|h(n)\right|} = \| h \|_{1} < \infty$$

及

$$\sum_{n = -\infty}^{\infty}{\left|h_{inv}(n)\right|} = \| h_{inv} \|_{1} < \infty$$

在有界输入有界输出稳定性条目会看到对应连续系统的条件。

## 频域分析

### 离散时间系统的频域分析

将最小相位应用在离散时间系统中可以看出一些其中的特性，其时域方程式如下。

$$(h * h_{inv}) (n) = \,\! \delta (n)$$

进行Z转换后可以得到以下的关系。

$$H(z) \, H_{inv}(z) = 1$$

由于上述关系，可得

$$H_{inv}(z) = \frac{1}{H(z)}$$

为了简单起见，只考虑有理传递函数 H (z)。因果性及稳定性表示所有的H (z)极点都需要严格的在单位圆内（参照有界输入有界输出稳定性）。假设

$$H(z) = \frac{A(z)}{D(z)}$$

其中A (z)及D (z)是z的多项式。因果性及稳定性会使得D (z)的零点（根）需要严格的在单位圆内（不能在边界上）。而

$$H_{inv}(z) = \frac{D(z)}{A(z)}$$

因此$H_{inv}(z)$的因果性及稳定性也会使得为A (z)的零点需要严格的在单位圆内，上述二个条件下，最小相位系统的零点及极点都需要在严格的在单位圆内。

### 连续时间系统的频域分析

连续时间系统的分析和离散系统类似，不过会使用拉普拉斯变换，其时域的方程式如下。

$$(h * h_{inv}) (t) = \,\! \delta (t)$$

其中$\delta(t)$为狄拉克δ函数。狄拉克δ函数是连续时间下的恒等算子，因为其和任意信号x (t)都会有筛选性质。

$$\delta(t) * x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t - \tau) x(\tau) d \tau = x(t)$$

进行拉普拉斯变换可得到以下S平面的关系。

$$H(s) \, H_{inv}(s) = 1$$

也可以得到下式

$$H_{inv}(s) = \frac{1}{H(s)}$$

为简化起见，此处也只考虑有理传递函数H(s)。因果性及稳定性表示H (s)的所有极点都要严格的在左半S平面（参考有界输入有界输出稳定性）。假设

$$H(s) = \frac{A(s)}{D(s)}$$

其中A (s)及D (s)是s的多项式。$H(s)$的因果性及稳定性表示D (s)的所有零点都在左半S平面内，而

$$H_{inv}(s) = \frac{D(s)}{A(s)}$$

$H(s)$的因果性及稳定性表示A (s)的所有零点都在左半S平面内，因此最小相位系统的最有极点及零点都需要严格的在左半S平面内。

### 增益响应及相位响应的关系

不论是连续时间或是离散时间的最小相位系统，都有一个常会用到的性质：增益频率响应的自然对数（增益的对数单位为奈培，和分贝成正比），和频率响应的相角（单位为弧度）有关，两者的关系是希尔伯特转换。在连续时间系统下，令

$$H(j \omega) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ H(s) \Big|_{s = j \omega} \ $$

是系统H(s)的复数频率响应。在最小相位系统下，系统H(s)的相位响应和增益响应的关系为

$$\arg \left[ H(j \omega) \right] = -\mathcal{H} \lbrace \log \left( |H(j \omega)| \right) \rbrace \ $$

以及

$\log \left( |H(j \omega)| \right) = \log \left( |H(j \infty)| \right) + \mathcal{H} \lbrace \arg \left[H(j \omega) \right] \rbrace \ $.

若用较精简的方式表示，令

$$H(j \omega) = |H(j \omega)| e^{j \arg \left[H(j \omega) \right]} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ e^{\alpha(\omega)} e^{j \phi(\omega)} = e^{\alpha(\omega) + j \phi(\omega)} \ $$

其中$\alpha(\omega)$和$\phi(\omega)$都是实数下的实函数，则

$$\phi(\omega) = -\mathcal{H} \lbrace \alpha(\omega) \rbrace \ $$

及

$\alpha(\omega) = \alpha(\infty) + \mathcal{H} \lbrace \phi(\omega) \rbrace \ $.

希尔伯特转换算子定义为

$\mathcal{H} \lbrace x(t) \rbrace \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \widehat{x}(t) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x(\tau)}{t-\tau}\, d\tau \ $ .

在离散时间系统中也有等效的对应关系。

## 时域下的最小相位

针对所有有相同增益响应的因果稳定系统，最小相位系统的能量最集中在冲激响应的开始处，也就是说最小相位系统最小化了以下的函数（可以视为是冲激响应能量的延迟）。

$$\sum_{n = m}^{\infty} \left| h(n) \right|^2 \,\,\,\,\,\,\, \forall \, m \in \mathbb{Z}^{+}$$

## 最小相位及最小群延迟

在所有增益响应相同的因果稳定系统中，最小相位系统的群延迟最小。以下证明可以说明为何该系统有最小的群延迟。

假设考虑传递函数$H(z)$中的一个零点 $a$，先让零点$a$在单位圆内（$\left| a \right| < 1$），看对群延迟的影响。

$$a = \left| a \right| e^{i \theta_a} \, \mbox{ where } \, \theta_a = \mbox{Arg}(a)$$

因为零点 $a$ 在传递函数中贡献了$1 - a z^{-1}$的因子，因此其对相位的贡献如下：

$$\phi_a \left(\omega \right) = \mbox{Arg} \left(1 - a e^{-i \omega} \right)$$

$$= \mbox{Arg} \left(1 - \left| a \right| e^{i \theta_a} e^{-i \omega} \right)$$

$$= \mbox{Arg} \left(1 - \left| a \right| e^{-i (\omega - \theta_a)} \right)$$

$$= \mbox{Arg} \left( \left\{ 1 - \left| a \right| cos( \omega - \theta_a ) \right\} + i \left\{ \left| a \right| sin( \omega - \theta_a ) \right\}\right)$$

$$= \mbox{Arg} \left( \left\{ \left| a \right|^{-1} - \cos( \omega - \theta_a ) \right\} + i \left\{ \sin( \omega - \theta_a ) \right\} \right)$$

$\phi_a (\omega)$所贡献的相延迟如下。

$$-\frac{d \phi_a (\omega)}{d \omega} = \frac{ \sin^2( \omega - \theta_a ) + \cos^2( \omega - \theta_a ) - \left| a \right|^{-1} \cos( \omega - \theta_a ) }{ \sin^2( \omega - \theta_a ) + \cos^2( \omega - \theta_a ) + \left| a \right|^{-2} - 2 \left| a \right|^{-1} \cos( \omega - \theta_a ) <pre> }$$

$$-\frac{d \phi_a (\omega)}{d \omega} = \frac{ \left| a \right| - \cos( \omega - \theta_a ) }{ \left| a \right| + \left| a \right|^{-1} - 2 \cos( \omega - \theta_a ) <pre> }$$

若将零点$a$移到单位圆外的对应点，也就是$(a^{-1})^{*}$，上式的分母和$\theta_a$都不会变化，而分子的$\left| a \right|$大小增加，因此让$a$在单位圆内可以让群延迟中$1 - a z^{-1}$的贡献最小化。可以将上述结果延伸到超过一个零点的情形，因为$1 - a_i z^{-1}$的相位是各项次相位相加的结果，因此，对于有$N$个零点的传递函数。

$$\mbox{Arg}\left( \prod_{i = 1}^N \left( 1 - a_i z^{-1} \right) \right) = \sum_{i = 1}^N \mbox{Arg}\left( 1 - a_i z^{-1} \right)$$

一个所有零点都在单位圆内的最小相位系统可以让群延迟降到最小，因为每个零点对群延迟的贡献都降到最小。

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## 非最小相位系统

若系统本身是因果稳定系统，其逆系统具有因果性，但不稳定，原系统即为非最小相位系统（non-minimum-phase）。非最小相位系统和最小相位系统有相同的增益响应，但非最小相位系统的相位贡献会比最小相位系统要大。

### 最大相位系统

最大相位系统（maximum-phase）是和最小相位系统有相反特性的系统，最大相位系统也是非最小相位系统（系统本身是因果稳定系统，其逆系统具有因果性，但不稳定），而且

- 离散时间系统下的零点都在单位圆外。
- 连续时间系统下的零点都在复数平面的右半边。

也就是其逆系统所有的极点都不稳定。

此系统称为最大相位系统的原因是在所有有相同增益响应的系统中，最大相位系统有最大的群延迟。在等增益响应的系统的系统中，最大相位系统有最大的能量延迟。

例如以下是二个连续时间LTI系统的传递函数

$$\frac{s + 10}{s + 5} \qquad \text{and} \qquad \frac{s - 10}{s + 5}$$

这二个系统的增益响应相同，但第二个系统相位移的贡献较大，因此第二个系统是最大相位系统，而第一个系统为最小相位系统。

### 混合相位系统

离散时间下的混合相位系统（mixed-phase）有些零点在单位圆内，有些零在单位圆外，其群延迟不是最小值，也不是最大值。连续时间下的混合相位系统则是有些零点在右半平面内，有些零点在右半平面。

例如连续时间系统

$$\frac{ (s + 1)(s - 5)(s + 10) }{ (s+2)(s+4)(s+6) }$$

是因果稳定系统，但有零点在左半平面，也有零点在右半平面，因此是混合相位系统。

### 线性相位

线性相位系统的群延迟是定值。非平凡的线性相位系统或是接近线性相位系统都是混合相位系统。

## 相关条目

- 全通滤波器：一种特殊的非最小相位系统
- 克拉莫-克若尼关系式：物理上的最小相位系统