一致有界性原理

数学上，一致有界性原理，又称巴拿赫–斯坦豪斯定理、共鸣定理，是泛函分析的重要结果。定理断言，对于任意一族定义在巴拿赫空间上的连续线性算子，该族算子逐点有界，当且仅当其在算子范数意义下一致有界。

定理最早由斯特凡·巴拿赫和胡戈·斯坦豪斯于1927年发表，亦由汉斯·哈恩独立证出。

## 定理内容

设 X 和 Y 为两个巴拿赫空间。假设 F 为由 X 映向 Y 的若干个连续线性算子的集合。若对于 X 中的任意一个 x，都有

$$\sup\nolimits_{T \in F} \|T(x)\|_Y < \infty,$$

则

$$\sup\nolimits_{T \in F,\|x\|=1} \|T(x)\|_Y=\sup\nolimits_{T \in F} \|T\|_{B(X,Y)} < \infty.$$

### 证明

由于 X 完备，利用贝尔纲定理可以得到以下简短的证明。

假定对于 X 中的任意一个 x, 都有

$$\sup\nolimits_{T \in F} \|T(x)\|_Y < \infty.$$

对任意整数 $n \in \mathbb{N},$记

$$X_n = \left \{x \in X \ : \ \sup\nolimits_{T \in F} \|T (x)\|_Y \le n \right \}.$$

则 $X_n$ 为闭集，且由假设有

$$\bigcup\nolimits_{n \in \mathbf{N}} X_n = X \neq \varnothing.$$

贝尔纲定理适用于非空的完备空间 X, 故存在 m 使得 $X_m$ 的内部非空，即存在 $x_0 \in X_m$ 和 ε > 0 使得

$$\overline{B_\varepsilon (x_0)} := \{x \in X \,:\, \|x - x_0\| \le \varepsilon \} \subseteq X_m.$$

设 u ∈ X 满足 ǁuǁ ≤ 1 和 T ∈ F, 则有：

$$\begin{align} \|T(u) \|_Y &= \varepsilon^{-1} \left \|T \left( x_0 + \varepsilon u \right) - T(x_0) \right \|_Y & [T \text{ 為 線 性 } ] \\ &\leq \varepsilon^{-1} \left ( \left\| T (x_0 + \varepsilon u) \right\|_Y + \left\| T (x_0) \right\|_Y \right ) \\ &\leq \varepsilon^{-1} (m + m). & [ \text{ 因 為 } \ x_0 + \varepsilon u, \ x_0 \in X_m ] \\ \end{align}$$

使 u 历遍 X 的单位球，并取遍 $T\in F,$ 得到

$$\sup\nolimits_{T \in F} \|T\|_{B(X,Y)} \leq 2 \varepsilon^{-1} m < \infty.$$

因此定理成立。

也有无需贝尔纲定理的简单证明，例如 Sokal.

## 推论

该定理可以推出：若一列有界算子 (Tn) 逐点收敛，即对 X 的任意元素 x, 序列 (Tn(x)) 都收敛，则该列有界算子的逐点极限定义了另一个有界算子 T.

注意上述推论并未断言 Tn 在算子范数的意义下收敛到 T, 即：在有界集上一致收敛。然而，由于 (Tn) 在算子范数意义下有界，且其极限算子为一个连续算子 T, 可以利用标准的 "3-ε" 技巧证明，在任意紧集上，均有 Tn 一致收敛到 T.

另一推论为：赋范空间 Y 的弱有界子集 S 必然有界。

理由是，可以将 S 看成巴拿赫空间 X = Y* (Y的连续对偶）上逐点有界的一族连续线性算子。由一致有界性原理，S 的元素（视为 X 的线性泛函）的算子范数（即双对偶 Y** 上的范数）有界，但由哈恩－巴拿赫定理可知，S 的任意元素 s 在双对偶空间的范数，等于其于原空间 Y 的范数。

记 L(X, Y) 为自 X 映向 Y 的连续线性算子空间（赋以算子范数）。若族 F 为 L(X, Y) 的无界子集，则由一致有界性原理，有：

$$R = \left \{ x \in X \ : \ \sup\nolimits_{T \in F} \|Tx\|_Y = \infty \right \} \neq \varnothing$$

更甚者，R 在 X 中稠密。原因是，R 在 X 中的补集是 ∪Xn, 故为闭集 Xn 的可数并。按照定理的证明过程，每个 Xn 都无处稠密，故 ∪Xn 为第一纲集。所以 R 是贝尔空间中一个第一纲集的补集。根据贝尔空间的定义，这样的集（称为剩余集）是稠密的。如此推理可得奇点凝聚原理，即：

原因是，R 的补集可以写成第一纲集的可数并

$$\bigcup\nolimits_{n,m} \left \{ x \in X \ : \ \sup\nolimits_{T \in F_n} \|Tx\|_{Y_n} \le m \right \}.$$

因此其剩余集 R 稠密。

## 例子：傅立叶级数的逐点收敛

设 $\mathbb{T}$ 为单位圆，$C(\mathbb{T})$ 为 $\mathbb{T}$ 上连续函数在一致范数意义下组成的巴拿赫空间。由一致有界性原理，可以证明 $C(\mathbb{T})$ 中有一个元素，其傅立叶级数不逐点收敛。

对 $f \in C(\mathbb{T}),$ 其傅立叶级数定义为

$$\sum_{k \in \mathbf{Z}} \hat{f}(k) e^{ikx} = \sum_{k \in \mathbf{Z}}\frac{1}{2\pi} \left (\int_0 ^{2 \pi} f(t) e^{-ikt} dt \right) e^{ikx},$$

而级数的第 N 阶对称部分和为

$$S_N(f)(x) = \sum_{k=-N}^N \hat{f}(k) e^{ikx} = \frac{1}{2 \pi} \int_0 ^{2 \pi} f(t) D_N(x - t) \, dt,$$

其中 DN 为第 N 阶狄利克雷核。选定 $x \in \mathbb{T},$ 然后考虑序列 (SN(f)(x)) 的收敛性。以下式定义泛函 $\varphi_{N,x} : C(\mathbb{T})\rightarrow \mathbb{C}$：

$$\varphi_{N, x} (f) = S_N(f)(x), \qquad f \in C(\mathbb{T}),$$

则 φN,x 有界。而 φN,x 于 $C(\mathbb{T})$ 的对偶空间的范数，是带号测度 (2π)−1DN(x−t) dt 的范数，故

$$\left \| \varphi_{N,x} \right \| = \frac{1}{2 \pi} \int_0 ^{2 \pi} \left | D_N(x-t) \right | \, dt = \frac{1}{2 \pi} \int_0 ^{2 \pi} \left | D_N(s) \right | \, ds = \left \| D_N \right \|_{L^1(\mathbb{T})}.$$

可以验证

$$\frac{1}{2 \pi} \int_0 ^{2 \pi} | D_N(t) | \, dt \ge \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{\left |\sin\left ( (N+\tfrac{1}{2})t \right )\right|}{t/2} \, dt \to \infty.$$

故族 {φN,x} 是 $C(\mathbb{T})^\ast$ ($C(\mathbb{T})$ 的对偶）的无界子集。因此，由一致有界性原理可知，对任意 $x \in \mathbb{T},$傅立叶级数于 x 发散的连续函数在 $C(\mathbb{T})$ 中稠密。

也可运用奇点凝聚原理来得出更强的结论。设 (xm) 为 $\mathbb{T}$ 中的稠密序列。如上定义 φN,xm. 则由奇点凝聚原理，傅立叶级数于每一个 xm 都发散的连续函数在 $C(\mathbb{T})$ 中稠密。（然而要注意，根据卡尔松定理，一个连续函数 f 的傅立叶级数，几乎于每一点 $x \in \mathbb{T}$ 都收敛到 f(x).

## 推广

受最少限制，而类似结论仍然适用的空间，是桶型空间。其上的一致有界性原理为Bourbaki:

给定桶型空间 X 和局部凸空间Y, 则任意一族由 X 映向 Y 的逐点有界的连续线性算子都等度连续。

若把 X 换成一个贝尔空间而保持 Y 为局部凸的，则结论同样成立。Shtern

```
證明了 Fréchet 空間上一個較弱的結論：
```

若 X 为 Fréchet 空间， Y 为赋范空间，H 为由 X 映向 Y 的若干连续线性算子组成的集合，其满足对 X 中的任意元素 x。

$$\sup\nolimits_{u\in H}\|u(x)\|<\infty,$$

则族 H 等度连续。

## 参见

- 桶型空间是具有最少条件，而使巴拿赫–斯坦豪斯定理成立的拓扑向量空间。

## 参考文献

- Banach–Steinhaus theorem.

泛函分析中的定理阿尔泽拉-阿斯科利定理 • 贝尔纲定理 • 巴拿赫-阿劳格鲁定理 • 巴拿赫-马祖尔定理 • 开映射定理 • 一致有界性原理 • 闭图像定理 • 哈恩-巴拿赫定理 • 拉克斯-米尔格拉姆定理