达朗贝尔佯谬

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在流体动力学中，达朗贝尔佯谬（英语：d'Alembert's paradox，又称为流体动力学佯谬）是法国数学家让·勒朗·达朗贝尔在1752年提出的矛盾。达朗贝尔证明，对于不可压缩和无粘性的势流，当物体相对于流体以恒定速度移动时，物体将不会受到任何阻力。但是实际上所观测到相对于流体（比如空气和水）运动的物体，尤其在与高雷诺数相对应的高速情形，阻力却相当可观，这点与零阻力的证明直接矛盾。而这也是可逆性佯谬的具体例子。

达朗贝尔于1749年在柏林学院对流动阻力问题的研究中得出结论：“在我看来，这个尽可能以严谨态度发展起来的理论（势流），至少在一些情况下，给出了一个完全消失的阻力，这个奇异的佯谬，我留待未来的几何学家来阐明。（几何学家即为数学家，在当时这两个术语可以互换使用）”物理上的悖论指出该理论存在着缺陷。

因此，流体力学从一开始就被工程师们质疑，以诺贝尔奖获得者西里尔·欣谢尔伍德爵士的话来说，这导致了理论流体力学领域（解释无法观察到的现象）与水力学（观察无法解释的现象）领域之间不幸发生分裂。

根据科学共识，佯谬的成因是由于忽略了粘度效应。随着与科学实验结合，粘性流体摩擦理论在19世纪取得了巨大的进步。1904年，路德维希·普朗特发现并描述了薄边界层，从而解决了该佯谬。即使在非常高的雷诺数下，粘滞力依然会产生薄边界层。对于流线型物体，这些粘滞力会产生皮肤摩擦，对于钝体（bluff body），还会额外导致流体分离以及物体背后的低压尾流，进而造成形状阻力（Form drag）。

流体力学学界的普遍观点是，从实际的角度来看，这个佯谬是按照普朗特提出的思路解决的。但就像许多其他涉及纳维-斯托克斯方程（用于描述粘性流动）的流体问题一样，该佯谬的正式数学证明仍付之阙如，且难以给出。

## 粘性摩擦力：圣维南、纳维和斯托克斯

圣维南初步提出佯谬的解决方案，他对粘性流体的摩擦力进行了建模。圣维南在1847年陈述道：

但是，如果人们不使用理想流体（上世纪几何学界的计算对象），而是使用由有限数量的分子组成的真实流体，且其运动状态有着不等量、与表面元素相切的压力或力，那么人们就发现了另一个结果。我们把这作用力的切分量称为流体摩擦力，从笛卡尔和牛顿开始，到文丘里为止，就一直使用这名字。

不久之后，在1851年，斯托克斯计算出一颗球体在斯托克斯流中所受到的阻力，被称为斯托克斯定律。斯托克斯流指的是，用于描述粘性液体运动的纳维-斯托克斯方程在低雷诺数的极限情形。

然而，当以无因次形式来研究流动问题时，粘性纳维-斯托克斯方程会增加雷诺数，从而收敛至无粘性欧拉方程。这表明流动应收敛于势流理论的无粘性解，即具有达朗贝尔佯谬的零阻力。关于这点，在阻力和流体观察的实验测量中，没有发现这方面的证据。在19世纪下半叶，这又再度引发了流体力学的应用性问题。

## 非黏性分离流体：克希荷夫和瑞利

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在19世纪下半叶，焦点再次转回使用非粘性流理论来描述流体阻力(假设粘度在高雷诺数下变得不那么重要)。克希荷夫 和瑞利 提出了一种模型，基于亥姆霍兹 的自由流线理论以及在物体背后充满着稳定尾流。尾流区域的假设包括：“流速等于物体速度”和“压力恒定”。该尾流区域与物体外的势流隔离，在交界处，因为切线速度不连续所产生的漩涡带（vortex sheets）引发了尾流。为了在物体上产生非零阻力，尾流区域必须无穷延伸。而克希荷夫流垂直于平板确实满足了这个条件。该理论正确地指出阻力与速度的平方成正比。起初，该理论只适用于与尖锐边缘分离的流动。后来，在1907年，列维 - 齐维塔将其扩展为与平滑弯曲边界分离的流动。

人们很快就发现，这种稳流并不稳定，因为漩涡带会产生所谓的开尔文 - 亥姆霍兹不稳定性。但这种稳流模型仍被进一步研究，希望能给出一个合理的阻力估计。瑞利问道：“.....阻力的计算是否会受到这种情况的实质性影响，亦即，所承受的压力必须几乎独立于障碍物后部某一段距离所发生的事情，而那边是不稳定性最早浮现的地方。”

然而，此方法招致了对其基本原理的异议：开尔文观察到，如果一个板子在流体中以恒速运动（除尾流之外，其余部分均远离该板），尾流速度等于板子速度。从理论得出，尾流的无穷延伸（随着与板子的距离增加而扩大）会导致尾流产生无穷动能，这一点必须从物理学的角度予以否定。

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Reprinted in: ''Mathematical and Physical Papers'' '''4''': 215–230.</ref>此外，观察到的板子的正面和背面之间的压力差以及产生的阻力遠比预测來得大：对于垂直于流动的平板，预测的[[阻力係數|阻力系数]]是C<sub>D</sub> = 0.88，而在實驗中發現C<sub>D</sub>= 2.0。這主要是源自於平板尾流側的吸力，由真實尾流中的非穩流所引起（與流速恆定，與平板速度等速的理論假設矛盾）。<ref name="Batchelor_500">Batchelor (2000), p. 500.</ref> 
```

## 薄边界层：普朗特

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德国物理学家路德维希·普朗特在1904年提出，这种可观阻力可能是源于薄粘性边界层的影响。普朗特提出的观点是，在高速及高雷诺数的情况，由于无滑动条件，在靠近体壁的薄层流速有着很大的差异。这导致边界层中涡量的产生以及动能的粘性耗散。对于在分离流中的钝体，最终会导致无粘性理论中所缺乏的能量耗散。尾流区域中的低压会引起形状阻力，并且由于壁面的粘性剪应力，形状阻力可能还比摩擦阻力大。

有证据表明普朗特所说的情况发生在高雷诺数流动中的钝体，可以从围绕圆柱体的突然被启动之流动（impulsively started flow）中看到。流体最初类似于势流，接着在后滞点附近分离。此后，分离点向上移动，形成低压分离流区域。

普朗特提出这样的假设：粘性效应在靠近固体边界的薄层（边界层）中很重要，在边界层外，粘度不会造成任何影响。当粘度降低时，边界层厚度会随之变小。由非线性纳维-斯托克斯方程描述的完整粘性流动问题通常在数学上是不可解的。然而，使用他的假设（并透过实验支持），普朗特能够推导出边界层内部流动的近似模型，称为“边界层理论”；而边界层外的流动可以用非粘性流理论处理。边界层理论适用于匹配渐近展开的方法，用于推导近似解。最简单的例子是与入射流平行的平板，由边界层理论可得出（摩擦）阻力，而所有无粘流理论将预测零阻力。对于航空领域来说，普朗特理论的重要之处在于可以直接应用到如翼型之类的流线型机体，这些机体除了受到表面摩擦力之外，还受到形状阻力的影响。形状阻力产生的主因在于，翼型周围的压力分布会受到边界层和稀薄的尾流的影响。

## 开放性问题

要验证普朗特所建议的方案是否正确，也就是小原因（对于大雷诺数来说，粘度非常小）是否会产生大影响（实质上的阻力），可能是非常困难的一件事。

数学家加勒特·伯克霍夫（Garrett Birkhoff）在其1950年出版的《流体动力学》一书的开篇章节中论述了流体力学的一些佯谬（包括达朗贝尔佯谬），并在其正式解决方法中明确表达了一个疑惑：

“再者，我认为将这些都归咎于对粘度的忽视，是无根据过度简化，根本就在于更深层次，缺乏精确的演绎严谨性，而这个重要性经常被物理学家和工程师轻视。”

特别是在达朗贝尔佯谬上，他考虑了另一种产生阻力的可能途径：欧拉方程势流解的不稳定性。伯克霍夫说：

“无论如何，前面的段落清楚地表明非粘性流动的理论并不完善。实际上，导致‘稳定流动’概念的推理是不确定的；没有严格的理由来消除作为独立变量的时间。因此，尽管狄利克雷流动（势流解）以及其他稳态流动在数学上是可能的，但没有理由去假设任何稳态流动都是固定不变的。”

1951年，数学家斯托克( James J. Stoker)在对伯克霍夫的书的评论中，对该书的第一章提出尖锐的批评：

“评论家发现很难理解第一章是为哪一类读者写的。对于熟悉流体动力学的读者来说，被引用为佯谬的大多数情况要么属于错误范畴，早已被纠正，要么属于理论与实验之间存在差异的范畴，其原因也已经得到了很好的理解。另一方面，外行人很可能会因为阅读本章节，对流体动力学中一些重要和有用的成就产生错误观点。”

在1960年的伯克霍夫《流体动力学》第二版和修订版中，上面两个陈述不再出现。

三十年后，斯图尔特森审查了对达朗贝尔佯谬主题所取得的成就的重要性和实用性。他在1981年长篇调查文章开篇道：

“由于经典的无粘性理论导致了一个明显荒谬的结论，即刚体穿过均匀速度的流体所受到的阻力为零，在过去的一百多年来，人们作出了巨大的努力，提出了各种不同的理论，并解释了流体中极小的摩擦力是如何对流动特性产生重大影响。所用的方法是实验观察，经常性的大规模计算，以及对于摩擦趋于零时的解，对其进行渐近形式结构分析。尤其在过去十年里，这种三管齐下的进攻取得了相当大的成功，所以现在佯谬可以被视为基本上解决了。”

对于物理学中的许多佯谬，解决方案通常超前现有理论。就达朗贝尔佯谬的例子而言，普朗特透过粘性边界层（在高雷诺数下不会消失）的发现和建模，提供了解决佯谬的基本机制。

霍夫曼和约翰逊于2010年8月在《数学流体力学期刊》上 发表了新的解决方案，该解析与上面第二个伯克霍夫的引言有关，完全不同于 普朗特 基于边界层理论的解析。新的解决方案基于数学的分析和计算，发现零阻力势流是欧拉方程是非物理且不稳定的形式数学解，作为从根本上不稳定的物理流（满足滑动边界条件），在分离处会产生湍流尾流，进而形成阻力。新的解决方案对普朗特的解释（基于边界层的概念，由无滑动边界条件引起）提出了质疑，并为霍夫曼和约翰逊在其著作《计算湍流不可压缩流》（Springer，2007年）所探讨的计算流体力学，开辟了新的可能性。新解决方案也导致 全新的飞行理论 诞生。

## 稳态势流中的零阻力证明

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推导达朗贝尔悖论有三个主要假设，分别是稳流的不可压缩性、无粘性和无旋性。无粘性流体是由欧拉方程所描述，连同其它两个条件列出如下

$$\begin{align} & \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{u} = 0 && \text{(incompressibility)} \\ & \boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{u}=0 && \text{(irrotational)} \\ & \frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{u} + \left(\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{\nabla}\right) \boldsymbol{u} = - \frac{1}{\rho} \boldsymbol{\nabla} p && \text{(Euler equation)} \end{align}$$

其中u表示流速，p表示压力，ρ表示密度，∇是梯度算子。

我们修改欧拉方程中的第二项如下：

$$\left(\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{\nabla}\right) \boldsymbol{u} = \tfrac12 \boldsymbol{\nabla} \left(\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{u}\right) - \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{u} = \tfrac12 \boldsymbol{\nabla} \left(\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{u}\right) \qquad (1)$$

其中第一个等式为向量恒等式，第二个等式则使用无旋性条件。此外，对于每一个无旋流，存在一个速度位φ，使得u =∇φ。将这些代入动量守恒方程后

$$\boldsymbol{\nabla} \left( \frac{\partial\varphi}{\partial t} + \tfrac12 \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{u} + \frac p\rho \right) = \boldsymbol{0}.$$

因此，括号之间的数量必定是常数（透过重新定义φ可以消除任何t-依赖性）。假设流体在无穷远处静止并将那里的压力定义为零，则该常数为零，因此

$$\frac{\partial\varphi}{\partial t} + \tfrac12 \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{u} + \frac p\rho = 0, \qquad (2)$$

上式即为非稳态势流的伯努利方程。

### 零阻力

现在，假设一个物体以恒速v随着流体移动，流体在无穷远处静止。然后流体的速度场必须随着物体位置而调整，所以它的形式为u(x, t) = u(x − v t, 0)，其中x是空间坐标向量，因此：

$$\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} + \left( \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{\nabla} \right) \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}.$$

由于u = ∇φ，因此这可以对x进行积分：

$$\frac{\partial\varphi}{\partial t} = -\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{\nabla} \varphi + R(t) = -\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{u} + R(t).$$

流体施加在物体上的力F由面积分给出

$$\boldsymbol{F} = - \int_A p\, \boldsymbol{n}\; \mathrm{d} S$$

其中A表示物体表面积， n表示物体表面积上的法向量。但它从（2）得出

$$p = - \rho \Bigl( \frac{\partial\varphi}{\partial t} + \tfrac12 \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{u} \Bigr) = \rho \Bigl( \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{u} - \tfrac12 \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{u} - R(t) \Bigr),$$

因此

$$\boldsymbol{F} = - \int_A p\, \boldsymbol{n}\; \mathrm{d} S = \rho \int_A \left(\tfrac12 \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{u} - \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{u}\right) \boldsymbol{n}\; \mathrm{d} S,$$

关于R(t)的部分，其对积分的贡献等于零。

此时，以向量分量来运算会变得更加容易。该等式的第k个分量为

$$F_k = \rho \int_A \sum_i (\tfrac12 u_i^2 - u_i v_i) n_k \, \mathrm{d} S. \qquad (3)$$

设V是流体占据的体积。散度定理说明

$$\frac12 \int_A \sum_i u_i^2 n_k \, \mathrm{d} S = - \frac12 \int_V \frac{\partial}{\partial x_k} \left( \sum_i u_i^2 \right) \,\mathrm{d} V.$$

右侧是无限体积的积分，所以这边需要一些证明，可以诉诸势能理论来表明速度u必须作为r−3下降（在三维物体大小有限的情形下，对应于偶极势场）其中r是到物体中心的距离。体积分中的被积函数可重写如下：

$$\frac12 \frac{\partial}{\partial x_k} \left( \sum_i u_i^2 \right) = \sum_i u_i \frac{\partial u_k}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial(u_iu_k)}{\partial x_i}$$

这边使用了第一个等式（1）以及流体的不可压缩性。将其代回体积分，并再次使用散度定理。这就产生了

$$- \frac12 \int_V \frac{\partial}{\partial x_k} \left( \sum_i u_i^2 \right) \,\mathrm{d} V = -\int_V \sum_i \frac{\partial(u_iu_k)}{\partial x_i} \,\mathrm{d} V = \int_A u_k \sum_i u_i n_i \,\mathrm{d} S.$$

将其代入（3）之中，我们发现

$$F_k = \rho \int_A \sum_i (u_k u_i n_i - v_i u_i n_k) \, \mathrm{d} S.$$

由于液体不能穿透物体，因此在物体表面n · u = n · v。所以,$\sum_i n_i\, v_i = \sum_i n_i\, u_i$

加上

$$F_k = \rho \int_A \sum_i (u_k v_i n_i - v_i u_i n_k) \, \mathrm{d} S.$$

最后，阻力是在物体移动方向的力，所以

$$\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{F} = \sum_k v_k F_k = 0.$$

因此阻力消失了，此即为达朗贝尔佯谬。

## 外部链接

- Potential Flow and d'Alembert's Paradox at MathPages