完整群

微分几何中，一个微分流形上的联络的完整（holonomy，又译和乐），描述向量绕闭圈平行移动一周回到起点后，与原先相异的现象。平联络的和乐是一种单值性现象，其于全域有定义。曲联络的和乐则有非平凡的局域和全域特点。

流形上任意一种联络，都可由其平行移动映射给出相应的和乐。常见的和乐由具有特定对称的联络给出，例如黎曼几何中列维-奇维塔联络的和乐（称为黎曼和乐）。向量丛联络的和乐、嘉当联络的和乐，以及主丛联络的和乐。在该些例子中，联络的和乐可用一个李群描述，称为和乐群。联络的和乐与其曲率密切相关，见安布罗斯-辛格定理。

对黎曼和乐的研究导致了若干重要的发现。其最早由引入，以用于对称空间的分类上。然而，很久以后，和乐群才用于更一般的黎曼几何上。1952年，乔治·德拉姆证明了德拉姆分解定理：若黎曼流形的切丛可分解成局域和乐群作用下不变的子空间，则该流形分解为黎曼流形的笛卡儿积。稍后，于1953年，马塞尔·伯格 给出所有不可约和乐的分类。黎曼和乐的分解和分类适用于物理和弦论。

## 定义

### 向量丛联络的和乐

设 M 为光滑流形，E 为其上的 k 维向量丛，∇ 为 E 上的联络。给定 M 上一点 x 和以 x 为基点的分段光滑环圈 γ : 0,1 → M, 该联络定义了一个平行移动映射 Pγ : Ex → Ex. 该映射是可逆线性映射，因此是一般线性群 GL(Ex) 的元素。∇ 以 x 为基点的和乐群定义为

$$\operatorname{Hol}_x(\nabla) = \{P_\gamma \in \mathrm{GL}(E_x) \mid \gamma \text{ 为 以} \ \ x\text{ 为 基 点 的 环 圈 }\}.$$

以 x 为基点的限制和乐群是由可缩环圈 γ 给出的子群$\operatorname{Hol}^0_x(\nabla)$.

若 M 连通，则不同基点 x 的和乐群 仅相差 GL(k, R) 的共轭作用。更具体说，若 γ 为 M 中由 x 到 y 的路径，则

$$\operatorname{Hol}_y(\nabla) = P_\gamma \operatorname{Hol}_x(\nabla) P_\gamma^{-1}.$$

选取 Ex 的另一组基（即以另一种方式将 Ex 视为与 Rk 等同）同样会使和乐群变成 GL(k, R) 中另一个共轭子群。非完全严格的讨论中（下同），可将基点略去，但倘如此行，则和乐群仅在共轭意义下有良好定义。

和乐群的重要性质包括：

- $\operatorname{Hol}^0(\nabla)$ 是 GL(k, R) 的连通李子群。
- $\operatorname{Hol}^0(\nabla)$ 是 $\operatorname{Hol}(\nabla)$ 的单位连通支。
- 存在自然的满群同态 $\pi_1(M) \to \operatorname{Hol}(\nabla)/ \operatorname{Hol}^0(\nabla),$ 其中 $\pi_1(M)$ 是 M 的基本群。该同态将同伦类 $[\gamma]$ 映到陪集 $P_{\gamma}\cdot\operatorname{Hol}^0(\nabla).$
- 若 M 单连通，则 $\operatorname{Hol}(\nabla) = \operatorname{Hol}^0(\nabla).$
- ∇ 为平（即曲率恒零）当且仅当 $\operatorname{Hol}^0(\nabla)$ 为平凡群。

在物理学中，威尔森循环是 tr(P)（特征标理论的迹）。

### 主丛联络的和乐

主丛联络的和乐与向量丛相仿。设 G 为李群，P 为仿紧光滑流形 M 上的主 G 丛。设 ω 为 P 上的联络。给定 M 中一点 x, 以 x 为基点的分段光滑环圈 γ : 0,1 → M, 以及 x 纤维上一点 p, 该联络定义了唯一的水平提升 $\tilde\gamma : [0,1] \to P$ 使得 $\tilde\gamma(0) = p.$ 水平提升的终点 $\tilde\gamma(1)$ 未必是 p, 因为其可为 x 纤维上的另一点 p·g. 若两点 p 和 q 之间有分段光滑的水平提升路径连接，则称 p ~ q. 如此，~ 是 P 上的等价关系。

ω 以 p 为基点的和乐群定义为

$$\operatorname{Hol}_p(\omega) = \{ g \in G \mid p \sim p\cdot g\}.$$

若在定义中仅允许可缩环圈 γ 的水平提升，则得到以 p 为基点的受限和乐群 $\operatorname{Hol}^0_p(\omega)$. 其为和乐群$\operatorname{Hol}_p(\omega)$ 的子群。

若 M 和 P 皆连通，则不同基点 p 的和乐群仅在 G 互为共轭。更具体说，若 q 是另一个基点，则有唯一的 g ∈ G 使得 q ~ p·g. 于是。

$$\operatorname{Hol}_q(\omega) = g^{-1} \operatorname{Hol}_p(\omega) g.$$

特别地。

$$\operatorname{Hol}_{p\cdot g}(\omega) = g^{-1} \operatorname{Hol}_p(\omega) g,$$

再者，若 p ~ q, 则 $\operatorname{Hol}_p(\omega) = \operatorname{Hol}_q(\omega).$ 因此，有时可省略基点不写，但须留意这会使得和乐群仅在共轭意义下有良好定义。

和乐群的若干性质包括：

- $\operatorname{Hol}^0_p(\omega)$ 是 G 的连通李子群。
- $\operatorname{Hol}^0_p(\omega)$ 是 $\operatorname{Hol}_p(\omega)$ 的单位连通支。
- 存在自然的满群同态$\pi_1 (M) \to \operatorname{Hol}_p(\omega)/\operatorname{Hol}^0_p(\omega).$
- 若 M 单连通，则 $\operatorname{Hol}_p(\omega) = \operatorname{Hol}^0_p(\omega).$
- ω 为平（即曲率恒零）当且仅当 $\operatorname{Hol}^0_p(\omega)$ 为平凡群。

### 和乐丛

同上，设 M 为连通仿紧流形，P 为其上的主 G 丛，ω 为 P 上的联络。设 p ∈ P 为主丛上的任意一点。以 H (p) 表示 P 中可与 p 用水平曲线相连的点的集合。则可证明 H (p) 连同其到 M 的投影也构成 M 上的主丛，且具有结构群 $\operatorname{Hol}_p(\omega)$（即 H (p) 是主 $\operatorname{Hol}_p(\omega)$ 丛）。此主丛称为该联络 ω 经过 p 的和乐丛。ω 限制到 H (p) 上也是一个联络，因为其平行移动映射保持 H (p) 不变。故 H (p) 是该联络的约化主丛。此外，H (p) 任何真子丛都不被平行移动保持，所以其在该类约化主丛之中为最小。

与和乐群类似，和乐丛在环绕它的主丛 P 中等变。具体说，若 q ∈ P 是另一个基点，则有 g ∈ G 使得 q ~ p g（按假设，M 是路连通的）。故 H (q) = H (p) g. 于是，两者在和乐丛上导出的联络是相容的，即：两个联络的平行移动映射恰好相差了群元素 g.

### 单延拓群

和乐丛 H (p) 是主 $\operatorname{Hol}_p(\omega)$ 丛，因此受限和乐群 $\operatorname{Hol}^0_p(\omega)$（作为全个和乐群的正规子群）也作用在 H (p) 上。离散群 $\operatorname{Hol}_p(\omega)/\operatorname{Hol}^0_p(\omega)$ 称为联络的单延拓群。其作用在商丛 $H(p)/ \operatorname{Hol}^0_p(\omega)$ 上。存在满同态$\varphi: \pi_1 \to \operatorname{Hol}_p(\omega)/\operatorname{Hol}^0_p(\omega),$ 使得 $\varphi(\pi_1(M))$ 作用在 $H(p)/ \operatorname{Hol}^0_p(\omega)$ 上。基本群的这个群作用称为基本群的单延拓表示。

### 局域及无穷小和乐

若 π: P → M 为主丛，ω 为 P 的联络，则 ω 的和乐可限制到 M 的开集的纤维上。若 U 为 M 的连通开集，则将 ω 限制到 U 上可得丛 π−1U 的联络。该丛的和乐群记为 $\operatorname{Hol}_p(\omega, U),$ 而受限和乐群则记为 $\operatorname{Hol}^0_p(\omega, U),$ 其中 p 为满足 π(p) ∈ U 的点。

若 U ⊂ V 为包含 π(p) 的两个开集，则有包含关系

$$\operatorname{Hol}_p^0(\omega, U)\subset\operatorname{Hol}_p^0(\omega, V).$$

p 点的局域和乐群定义为

$$\operatorname{Hol}_p^*(\omega) = \bigcap_{k=1}^\infty \operatorname{Hol}_p^0(\omega,U_k),$$

其中 Uk 为任意一族满足 $\bigcap_k U_k = \pi(p)$ 的递降（即 $U_k \subset U_{k+1} \ \forall k$）连通开集。

局域和乐群有以下性质：

- 其为受限和乐群 $\operatorname{Hol}^0_p(\omega)$ 的连通李子群。
- 每点 p 都有邻域 V 使得 $\operatorname{Hol}^*_p(\omega) = \operatorname{Hol}^0_p(\omega, V).$ 局域和乐群仅取决于 p, 而非序列 Uk 的选取。
- 局域和乐群在结构群 G 的作用下等变，即对任意 g ∈ G, $\operatorname{Hol}^*_{pg}(\omega) = \operatorname{Ad} (g^{-1}) \operatorname{Hol}^*_p(\omega).$（注意由性质 1, 局域和乐群是 G 的连通李子群，故伴随 Ad 有定义。

局域和乐群不一定有全域的良好性质，例如流形的不同点上的局域和乐群不一定具有相同的维数。然而，有以下的定理：

- 若局域和乐群的维数恒定，则局域和乐群与受限和乐群相等，即$\operatorname{Hol}^*_p(\omega) = \operatorname{Hol}^0_p(\omega).$

## 词源

英文Holonomy与“全纯”（Holomorphic）相似，"Holomorphic"一词由柯西的两个学生夏尔·布里奥（1817–1882）和让-克劳迪·波桂（1819–1895）引入，来自希腊文ὅλος（holos）和μορφή（morphē），意思分别是“全”、“形态”。

"Holonomy"与"holomorphic"的前半（holos）一样。至于后半：

非常难在网络上找出holonomic（或holonomy）的词源。我找到（鸣谢普林斯顿的约翰·康威）：

我相信潘索（Louis Poinsot）最早在他对刚体运动的分析用到它。这个理论中，若某种意义下，能够从一个系统的局域资讯得悉其全局资讯，就叫一个和乐的 （"holonomic"）系统，所以它的意思“整体法则”（"entire-law"）很贴切。球在桌上滚动并不和乐，因为沿不同的路径滚到同一点，可以使球的方向不同。然而，将“和乐”理解成“整体法则”恐怕有点过于简化。希腊文的"nom"词根有多层互相交织的意思，可能更多时解“数算”（counting）。它与我们的词数字"number"来自同一个印欧词根。

——S. Golwala

参见νόμος（nomos）和-nomy。

## 安布罗斯－辛格定理

安布罗斯－辛格定理（得名自）描述主丛联络的和乐与该联络的曲率形式之间的关系。为理解此定理，先考虑较熟知的情况，如仿射联络、切丛联络（或其特例列维－奇维塔联络）。沿无穷小平行四边形的边界走一圈，就会感受到曲率。

引入更多细节，若$\sigma : [0, 1]\times [0, 1] \to M$是$M$中某曲面的坐标表示，则向量$V$可以沿$\sigma$的边界平行移动，由原点出发，先沿$(x, 0)$，再沿$(1,y)$，再$(x, 1)$（$x$反方向，即由$1$递减至$0$），最后$(0, y)$，回到原点。此为和乐环圈的特例，因为向量$V$沿该圈平行移动的结果，相当于$\sigma$边界的提升，对应的和乐群元素，作用在$V$上。当平行四边形缩至无穷小时（即沿更小的平行四边形圈，对应$\sigma$坐标中的区域$[0, x] \times [0, y]$，而$x, y$趋向于$0$），就会明确得到曲率。换言之，取平行移动映射于$x = y = 0$处的导数：

$$\frac{D}{dx}\frac{D}{dy}V - \frac{D}{dy}\frac{D}{dx}V = R\left(\frac{\partial\sigma}{\partial x}, \frac{\partial\sigma}{\partial y} \right)V$$

其中$R$为曲率张量。所以，粗略而言，曲率给出闭环圈（无穷小平行四边形）上的无穷小和乐。更严格地，曲率是和乐作用于和乐群单位元处的导数。换言之，$R(X, Y)$是$\operatorname{Hol}_p(\omega)$的李代数的元素。

一般来说，考虑结构群为$G$的主丛$P \to M$某联络的和乐。以$\mathfrak g$表示$G$的李代数，则联络的曲率形式是$P$上的$\mathfrak g$值2-形式$\Omega$。安布罗斯－辛格定理断言：

$\operatorname{Hol}_p(\omega)$的李代数，是由$\mathfrak g$中所有形如$\Omega_q(X,Y)$的元素线性张成，其中$q$取遍所有可以用水平曲线$(q \sim p)$与$p$连接的点，而$X, Y$皆是$q$处的水平切向量。

亦可用和乐丛的说法，复述如下：

$\operatorname{Hol}_p(\omega)$的李代数，是$\mathfrak g$中形如$\Omega_q(X, Y)$的元素张成的线性子空间，其中$q$取遍$H(p)$的元素，而$X, Y$取遍$q$处的水平向量。

## 黎曼和乐

### 可约和乐与德拉姆分解

设$x \in M$为任意一点，则和乐群$\mathrm{Hol}(M)$作用在切空间$T_x M$上。视之为群的表示，则可能不可约，亦可能可约，即可以将$T_x M$分解成正交子空间的直和

$$T_x M = T'_x M \oplus T''_x M,$$

而两个子空间皆在$\mathrm{Hol}(M)$作用下不变。此时亦称$M$可约。

设$M$为可约流形。上式说明，在每一点$x$处，切空间可以约化分解成$T'_x M$和$T''_x M$，所以当$x$变动时，就定义出向量丛$T' M$和$T'' M$，两者皆光滑分布，且是弗比尼斯可积。两个分布的积分流形皆为完全测地子流形，换言之，子流形的测地线皆为原流形的测地线。所以局部观察$M$，是笛卡尔积$M' \times M''$。重复上述分解，直到切空间完全约化，则得到（局部）德拉姆同构：

设$M$为单连通黎曼流形，又设在和乐群的作用下，$T M = T^{(0)} M \oplus T^{(1)}M \oplus \cdots \oplus T^{(k)} M$为切丛的完全约化分解，而和乐群在$T^{(0)} M$上的作用平凡（恒等映射），则$M$局部等距同构于乘积

$$V_0\times V_1\times \cdots\times V_k,$$

其中$V_0$是欧氏开集，而每个$V_i$是$T^{(i)} M$的积分流形。更甚者，$\mathrm{Hol}(M)$是$\mathrm{Hol}(M_i)$的直积（$M_i$是$T^{(i)}$过某点的极大积分流形）。

若同时假设$M$测地完备（每点每个方向的测地线皆可无限延伸），则定理不仅局部成立，而是全域成立，且各$M_i$本身也是测地完备流形。

### 伯格分类

1955年，马塞尔·伯格将不可约（并非局部等同积空间）、非对称（并非局部地黎曼对称空间）、单连通的黎曼流形，可能具有的和乐群，完全分类。伯格分类表如下：

$\mathrm{Hol}(g)$｜$\mathrm{dim}(M)$｜流形类型｜备注

正交群$SO(n)$｜$n$｜可定向流形

酉群$U(n)$｜$2n$｜凯勒流形｜凯勒

特殊酉群$SU(n)$｜$2n$｜卡拉比–丘流形｜里奇平、凯勒

辛群$\mathrm{Sp}(n)$｜$4n$｜超凯勒流形｜里奇平、凯勒

$\mathrm{Sp}(n)\cdot \mathrm{Sp}(1)$｜$4n$｜四元数凯勒流形｜爱因斯坦流形

G2 (数学)$G_2$｜$7$｜G2流形｜里奇平

旋量群$\mathrm{Spin}(7)$｜$8$｜Spin(7)流形｜里奇平

1965年，爱德蒙·博南及Vivian Yoh Kraines同时研究和乐群为$\mathrm{Sp}(n)\cdot \mathrm{Sp}(1)$的流形，构造出其平行4形式。

爱德蒙·博南于1966年最早引入和乐群为$G_2$或$\mathrm{Spin}(7)$的流形，他构造出全部平行形式，并证明该些流形皆为里奇平。

伯格原先的表中，未排除$\mathrm{Spin}(9)$（作为$SO(16)$的子群）。后来，迪米特里·阿列克谢耶夫斯基（Dmitri V. Alekseevsky）一人，与布朗（Brown）、格雷（Gray）二人，分别证明具此和乐群的黎曼流形必然局部对称，即与凯莱平面$F_4/\mathrm{Spin}(9)$局部等距同构，或局部平坦，故上表不列。上表列出的各可能，现已确实知道是某黎曼流形的和乐群。末尾两个例外情况的流形最难发现，见G2流形和Spin(7)流形。

注意$\mathrm{Sp}(n)\subset SU(2n) \subset U(2n) \subset SO(4n)$，故超凯勒流形必为卡拉比－丘，卡拉比－丘流形必为凯勒，而凯勒流形必可定向。

以上看似奇怪的列表（伯格定理），可由西蒙斯（Simons）的证明解释。另有一个简单几何证明，由卡洛斯·奥尔莫斯（Carlos E. Olmos）于2005年给出。第一步要证，若黎曼流形并非局部对称空间，而约化和乐在切空间上的作用不可约，则递移地作用在单位球面上。但已知有何种李群递移作用于球面：上表所列各项，以及两个额外情况，分别是$\mathrm{Spin}(9)$（作用于$\mathbb R^{16}$），以及$U(1) \cdot \mathrm{Sp}(m)$（作用于$\mathbb R^{4m}$）。最后，要验证前者只能作为局部对称空间（局部同构于的凯莱射影平面）的和乐群，而后者则根本不能作为和乐群出现。

伯格的原分类，尚有涵盖非正定的伪黎曼度量，其给出非局部对称和乐的可能列表为：

和乐群｜度量符号

$SO(p, q)$｜$(p, q)$

$U(p, q)$｜$(2p, 2q)$

$SU(p, q)$｜$(2p, 2q)$

$\mathrm{Sp}(p, q)$｜$(4p, 4q)$

$\mathrm{Sp}(p, q)\cdot \mathrm{Sp} (1)$｜$(4p, 4q)$

$SO(n, \mathbb C)$｜$(n, n)$

$SO(n, \mathbb H)$｜$(2n, 2n)$

分裂$G_2$｜$(4, 3)$

$G_2(\mathbb C)$｜$(7, 7)$

$\mathrm{Spin}(4, 3)$｜$(4, 4)$

$\mathrm{Spin}(7, \mathbb C)$｜$(7, 7)$

$(*)\ \mathrm{Spin}(5, 4)$｜$(8, 8)$

$(*)\ \mathrm{Spin}(9, \mathbb C)$｜$(16, 16)$

但是，标$(*)$的两种和乐群（分裂$\mathrm{Spin}(9)$及复化$\mathrm{Spin}(9)$），如同正定的情况，只能在局部对称空间出现，故应予删去。至于复化和乐群$SO(n, \mathbb C), G_2(\mathbb C), \mathrm{Spin}(7, \mathbb C)$三种，可以将实解析黎曼流形复化得到。而和乐群为$SO(n, \mathbb H)$子群的流形，R. McLean证明其为局部平。

对称黎曼空间，因为局部与齐性空间$G/H$同构，其局部和乐群同构于$H$，经已分类完毕。

最后，伯格的论文亦有列举仅得无挠仿射联络的流形的可能和乐群，见下节。

### 特殊和乐及旋量

一些流形具特殊的和乐，该性质亦可藉平行旋量是否存在来刻划（平行旋量即协变导数为零的旋量场），尤其有以下各项命题成立：

- $\mathrm{Hol}(\omega) \subseteq U(n)$，当且仅当$M$上存在平行的射影纯旋量场。
- 若$M$为旋量结构，则$\mathrm{Hol}(\omega)\subseteq SU(n)$，当且仅当$M$具有至少两个线性独立的平行纯旋量场。事实上，平行纯旋量场足以确定由结构群到$SU(n)$的典范归约。
- 若$M$是七维旋量流形，则$M$具有非平凡平行旋量场，当且仅当和乐群是$G_2$的子群。
- 若$M$为八维旋量流形，则$M$具有非平凡平行旋量场，当且仅当和乐群是$\mathrm{Spin}(7)$的子群。

幺正与特殊幺正和乐经常连带扭量理论、殆复流形一同研究。

### 应用

#### 弦论

具特殊和乐的黎曼流形，对弦论紧化很重要。原因是，特殊和乐流形上，存在共变常值（即平行）旋量，于是保一部分超对称。较重要的紧化是在具$SU(2)$或$SU(3)$和乐的卡拉比–丘流形上，以及G2流形上。

#### 机器学习

在机器学习，尤其流形学习方面，曾有人提出，藉计算黎曼流形的和乐，得出数据流形的结构。由于和乐群包含数据流形的全域结构，其适用于判断数据流形可能如何分解成子流形之积。由于取样有限，无法完全准确计算出和乐群，但利用来自谱图论的思想（类似向量扩散映射），有可能构造出数值近似。所得的算法“几何流形分量估计量”（Geometric Manifold Component Estimator，简写GeoManCEr“探地者”），能给出德拉姆分解的数值近似，并应用于现实数据。

## 仿射和乐

仿射和乐群（affine holonomy groups），是无挠仿射联络的和乐群；其中一些不能作为（伪）黎曼和乐群出现，称为非度量和乐群（non-metric holonomy groups）。德拉姆分解定理不适用于仿射和乐群，所以离完成分类尚有很远，但仍可以将不可约的仿射和乐分类。

伯格在证明黎曼和乐分类定理的过程中，发现对于对称空间的无挠仿射联络而言，和乐群的李代数必定符合两个条件。伯格第一准则（Berger's first criterion）是安布罗斯－辛格定理（即曲率张量生成和乐的李代数，见前节）的后果；而第二准则，来自联络非局部对称的条件。伯格列举了满足此两个准则，且作用不可约的群，可以视之为不可约仿射和乐群的可能情况表。

但伯格的列表，其后证实并未齐全。罗伯特·布莱恩特（1991）和Q. Chi、S. Merkulov、L. Schwachhöfer（1996）找到未在列表的例子，有时称为“怪和乐”（exotic holonomies）。努力搜索例子之后，最终由Merkulov和Schwachhöfer（1999年）完成不可约仿射和乐群的分类，而反方向的结果则由布莱恩特（2000年）证明，即列表上所有群皆确实能作为仿射和乐群。

观察到表中的群和埃尔米特对称空间、四元数凯勒对称空间之间有联系之后，Merkulov–Schwachhöfer分类会变得更清晰。此种联系在复仿射和乐的情况尤其明确，见于Schwachhöfer（2001）。

设$V$为有限维复向量空间，$H \subseteq \mathrm{Aut}(V)$为不可约半单复连通李子群，又设$K\subseteq H$为极大紧子群。

- 若有不可约埃尔米特对称空间形如$G/(U(1) \cdot K)$，则$H$和$\mathbb C^* \cdot H$两者皆为非对称不可约仿射和乐群，其中$V$为$K$的切表示。
- 若有不可约四元数凯勒对称空间形如$G/(\mathrm{Sp}(1) \cdot K)$，则$H$为非对称不可约仿射和乐群，而当$\dim V = 4$时，$\mathbb C^* \cdot H$亦然。此时，$\mathrm{Sp}(1) \cdot K$的复化切表示是$\mathbb C^2 \otimes V$，而$H$保$V$上某个复辛形式。

上述两族已涵盖大部分非对称不可约复仿射和乐群，例外仅有：

$$\begin{align} <pre> \mathrm{Sp}(2, \mathbb C) \cdot \mathrm{Sp}(2n, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^{2} \otimes\mathbb C^{2n}\right),\\ G_2(\mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^7\right),\\ \mathrm{Spin}(7, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^8\right). </pre> \end{align}$$

利用埃尔米特对称空间的分类，第一族的复仿射和乐群有：

$$\begin{align} <pre> Z_{\mathbb C} \cdot SL(m, \mathbf C) \cdot SL(n, \mathbf C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^m\otimes\mathbb C^n\right),\\ Z_{\mathbb C} \cdot SL(n, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\wedge^2\mathbb C^n\right),\\ Z_{\mathbb C} \cdot SL(n, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(S^2\mathbb C^n\right),\\ Z_{\mathbb C} \cdot SO(n, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^n\right),\\ Z_{\mathbb C} \cdot \mathrm{Spin}(10, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\Delta_{10}^+\right) \cong \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^{16}\right),\\ Z_{\mathbb C} \cdot E_6(\mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^{27}\right), </pre> \end{align}$$

其中$Z_{\mathbb C}$可取平凡群，亦可取为$\mathbb C^*$。

同样，用四元数凯勒对称空间的分类，第二族复辛和乐群有：

$$\begin{align} <pre> \mathrm{Sp}(2, \mathbb C) \cdot SO(n, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^2\otimes\mathbb C^n\right),\\ (Z_{\mathbb C}\,\cdot)\, \mathrm{Sp}(2n, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^{2n}\right),\\ Z_{\mathbb C} \cdot SL(2, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(S^3\mathbb C^2\right),\\ \mathrm{Sp}(6, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\wedge^3_0\mathbb C^6\right)\cong \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^{14}\right),\\ SL(6, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\wedge^3\mathbb C^6\right),\\ \mathrm{Spin}(12, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\Delta_{12}^+\right) \cong \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^{32}\right),\\ E_7(\mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^{56}\right).\\ </pre> \end{align}$$

（第二行中，$Z_{\mathbb C}$必须取为平凡群，除非$n = 2$，此时可取为$\mathbb C^*$。）

从以上各列表，可以观察出一个结论，类似西蒙斯断言黎曼和乐群递移作用于球面：复和乐表示皆为预齐性向量空间。但是，未知此事实的概念性证明。

不可约实仿射和乐的分类，用“实仿射和乐复化成复仿射和乐”此结论，结合上表，仔细分析便得。