环索线

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环索线（strophoid）是几何学中的一种曲线，由给定曲线C、点A（固定点）及点O（极点），依以下方式产生：令L是通过O，和曲线C的交点为K的变动直线。令P1和P2是直线L上的两点，这两点到K的距离和A到K的距离相同（因此A、P1、P2在圆心为K为圆上）。P1、P2的轨迹即为曲线C的环索线，相对于极点O及固定点A。

其中AP1和AP2会呈直角。

若C是直线，A在C上，而O不在C上，此曲线称为斜环索线（oblique strophoid）。若OA和C垂直，此曲线则称为正环索线（right strophoid），正环索线也称为logocyclic curve或叶状线（foliate）。

## 方程式

### 极坐标

令曲线C的极坐标方程为$r = f(\theta)$，其中原点为O，令A的直角坐标为(a, b)，若$K = (r \cos\theta,\ r \sin\theta)$是曲线上的一点。

$d = \sqrt{(r \cos\theta - a)^2 + (r \sin\theta - b)^2} = \sqrt{(f(\theta) \cos\theta - a)^2 + (f(\theta) \sin\theta - b)^2}$.

在OK线上的点，其极座标角度为$\theta$，线上和点K距离为d的点，和原点的距离为$f(\theta) \pm d$。因此，环索线的方程如下

$$r = f(\theta) \pm \sqrt{(f(\theta) \cos\theta - a)^2 + (f(\theta) \sin\theta - b)^2}$$

### 另一种极座标公式

若C是极点为O和A的麦克劳林分角线时，可以用以下的极座标公式。

令O为原点，A为点(a, 0)，令K为曲线上一点，线OK和X轴的夹角为$\theta$，而 $\vartheta$是线AK和和X轴的夹角。假设$\vartheta$可以表示为$\theta$的函数，假设$\vartheta = l(\theta)$。令$\psi$是K的角度，则$\psi = \vartheta - \theta$。可以用正弦定律，将r用l来表示。因为

${r \over \sin \vartheta} = {a \over \sin \psi},\ r = a \frac {\sin \vartheta}{\sin \psi} = a \frac {\sin l(\theta)}{\sin (l(\theta) - \theta)}$。

令P1和P2是OK线上和K点的距离等于AK的点，调整编号使$\psi = \angle P_1KA$，且$\pi-\psi = \angle AKP_2$。$\triangle P_1KA$是顶角为$\psi$的等腰三角形，剩下的两角$\angle AP_1K$和$\angle KAP_1$角度为$(\pi-\psi)/2$。AP1线和x轴角度为

$l_1(\theta) = \vartheta + \angle KAP_1 = \vartheta + (\pi-\psi)/2 = \vartheta + (\pi - \vartheta + \theta)/2 = (\vartheta+\theta+\pi)/2$。

同理可得AP2和x轴的角度为

$l_2(\theta) = (\vartheta+\theta)/2$.

环索线的极座标式可以表示以下有l1及l2的式子：

$$r_1=a \frac {\sin l_1(\theta)}{\sin (l_1(\theta) - \theta)} = a \frac {\sin ((l(\theta)+\theta+\pi)/2)}{\sin ((l(\theta)+\theta+\pi)/2 - \theta)} = a \frac{\cos ((l(\theta)+\theta)/2)}{\cos ((l(\theta)-\theta)/2)}$$

$$r_2=a \frac {\sin l_2(\theta)}{\sin (l_2(\theta) - \theta)} = a \frac {\sin ((l(\theta)+\theta)/2)}{\sin ((l(\theta)+\theta)/2 - \theta)} = a \frac{\sin((l(\theta)+\theta)/2)}{\sin((l(\theta)-\theta)/2)}$$

若l是$q \theta + \theta_0$，曲线C是极点为O和A的麦克劳林分角线，此时，l1和l2会有相同的型式，因此环索线可以是另一个麦克劳林分角线，或是一对这类的曲线。若原点往右移a的位置，也会有较简单的极座标方程。

## 特例

### 斜环索线

令C是通过A点的直线。依照上式的表示法，$l(\theta) = \alpha$，其中$\alpha$为常数，则$l_1(\theta) = (\theta + \alpha + \pi)/2$且$l_2(\theta) = (\theta + \alpha)/2$。相对原点O点环索线的极座标（斜环索线）方程为

$$r = a \frac{\cos ((\alpha+\theta)/2)}{\cos ((\alpha-\theta)/2)}$$

以及

$r = a \frac{\sin ((\alpha+\theta)/2)}{\sin ((\alpha-\theta)/2)}$.

可以确定上式二式描述的是同一条直线。

将原点移到A点，用−a代替a，可得

$r=a\frac{\sin(2\theta-\alpha)}{\sin(\theta-\alpha)}$,

旋转角度$\alpha$后可得

$r=a\frac{\sin(2\theta+\alpha)}{\sin(\theta)}$.

在直角坐标系，调整常数的参数，可得

$y(x^2+y^2)=b(x^2-y^2)+2cxy$.

是三次曲线，在极座标下是有理函数，其叉点在(0, 0)，渐近线为直线y=b。

### 正环索线

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将$\alpha = \pi/2$代入下式

$$r=a\frac{\sin(2\theta-\alpha)}{\sin(\theta-\alpha)}$$

可得

$r=a\frac{\cos 2\theta}{\cos \theta} = a(2\cos\theta-\sec\theta)$.

此即为正环索线，对应直线C为y轴，A点为原点，O点为点(a,0)的情形。

笛卡尔坐标系方程为

$y^2 = x^2(a-x)/(a+x)$.

此曲线为笛卡儿叶形线，直线x = −a是二个分支的渐近线。此曲线还有二条渐近线，分别是复数平面上的

$x\pm iy = -a$。

### 圆

令圆C是通过O和A的圆，其中O为原点，A的座标为(a, 0)。依以上的表示法，$l(\theta) = \alpha+\theta$，其中$\alpha$是常数。则$l_1(\theta) = \theta + (\alpha + \pi)/2$以及$l_2(\theta) = \theta + \alpha/2$，所得相对于圆O环索线（oblique strophoid）的极座标方程为

$$r = a \frac{\cos (\theta+\alpha/2)}{\cos (\alpha/2)}$$

及

$r = a \frac{\sin (\theta+\alpha/2)}{\sin (\alpha/2)}$.

这是二个通过O和A，在C点形成角度$\pi/4$的圆。