已知最大质数

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已知最大质数为2136,279,841 − 1，十进制时有41,024,320位数，由互联网梅森素数大搜索（GIMPS）的志愿者卢克 · 杜兰特（Luke Durant）于2024年发现。

质数，又名素数，是一个除1与自身之外没有其他正因数的正整数。欧几里得定理说明质数没有上限，不少数学家与嗜好者故一直寻找大质数。

不少大质数为梅森素数，定义为2的幂减去1的正整数。首七个已知大质数皆为梅森素数。近十八次最大质数纪录皆为梅森素数。所有梅森素数的二进制表示中，所有数字皆为1。

卢卡斯-莱默检验法的快速傅里叶变换比起其他方式能更快速寻找到梅森素数。

## 现时纪录

截至2024年，已知最大质数为2136,279,841 − 1，共有41,024,320位数，由互联网梅森素数大搜索于2024年10月12日发现。其数值为：

上面只显示首尾各120位数。

## 奖金

互联网梅森素数大搜索现为下载其软件并成功寻找新梅森素数的参与者提供3,000美元奖金，该梅森素数的数位应少于一亿位。

电子前哨基金会亦为大质数的找寻设立了数个奖项，互联网梅森素数大搜索亦有协调一亿数位以上的质数搜索，并与成功寻找者分享电子前哨基金会所提供的150,000元美金奖金。

1999年发现首个超过一百万数位的质数，并取得50,000美元奖金。2008年发现了超过一千万数位的质数，并取得100,000美元奖金。时代杂志称之为2008年第29名最佳发现两项奖金皆为互联网梅森素数大搜索的参加者。电子前哨基金会现为首个一亿及十亿数位的质数提供奖金。

## 已知最大质数历史

下表列出已知最大质数沿革，并按时序排列。此处Mn = 2n − 1，为2的n次方。时间最长的纪录保持者为M19 = 524,287，为已知最大质数共计144年。1456年之前未存有关最大质数的纪录。

数字｜数字展开（仅限小于M5000的数字）｜数位｜发现年份｜发现者

M13｜8,191｜4｜1456｜佚名

M17｜131,071｜6｜1588｜伯多禄·卡塔迪

M19｜524,287｜6｜1588｜伯多禄·卡塔迪

$\tfrac{2^{32}+1}{641}$｜6,700,417｜7｜1732｜莱昂哈德·欧拉欧拉并未正式发表此数，但他于232 + 1的因式分解中已完成此质数的大部分证明过程，故部分专家认为欧拉知道此为质数

M31｜2147483647｜10｜1772｜莱昂哈德·欧拉

$\tfrac{2^{64}+1}{274177}$｜67,280,421,310,721｜14｜1855｜汤马斯·克劳森

M127｜170,141,183,460,469,231,731,687,303,715,884,105,727｜39｜1876｜爱德华·卢卡斯

$\tfrac{2^{148}+1}{17}$｜20,988,936,657,440,586,486,151,264,256,610,222,593,863,921｜44｜1951｜Aimé Ferrier使用机械计算机发现，非使用电脑发现的最大质数

180×(M127)2+1｜5210644015679228794060694325390955853335898483908056458352183851018372555735221｜79｜1951｜J. C. P.米勒与大卫·惠勒使用剑桥大学数学实验室的EDSAC电脑

M521｜6864797660130609714981900799081393217269435300143305409394463459185543183397656052122559640661454554977296311391480858037121987999716643812574028291115057151｜157｜1952

M607｜531137992816767098689588206552468627329593117727031923199444138200403559860852242739162502265229285668889329486246501015346579337652707239409519978766587351943831270835393219031728127｜183｜1952

M1279｜104079321946...703168729087｜386｜1952

M2203｜147597991521...686697771007｜664｜1952

M2281｜446087557183...418132836351｜687｜1952

M3217｜259117086013...362909315071｜969｜1957

M4423｜285542542228...902608580607｜1,332｜1961

M9689｜478220278805...826225754111｜2,917｜1963

M9941｜346088282490...883789463551｜2,993｜1963

M11213｜281411201369...087696392191｜3,376｜1963

M19937｜431542479738...030968041471｜6,002｜1971

M21701｜448679166119...353511882751｜6,533｜1978

M23209｜402874115778...523779264511｜6,987｜1979

M44497｜854509824303...961011228671｜13,395｜1979

M86243｜536927995502...709433438207｜25,962｜1982

M132049｜512740276269...455730061311｜39,751｜1983

M216091｜746093103064...103815528447｜65,050｜1985

391581×2216193−1｜148140632376...836387377151｜65,087｜1989｜群组发现，包括约翰·布朗、蓝登·克特·诺尔、B. K. 柏拉狄、哲恩·史密夫、乔尔·史密夫、沙治奥，为已知最大质数历史中最大的非梅森素数。

M756839｜174135906820...328544677887｜227,832｜1992

M859433｜129498125604...243500142591｜258,716｜1994

M1257787｜412245773621...976089366527｜378,632｜1996

M1398269｜814717564412...868451315711｜420,921｜1996｜互联网梅森素数大搜索，乔尔·阿孟较得

M2976221｜623340076248...743729201151｜895,932｜1997｜互联网梅森素数大搜索，戈登·斯彭斯

M3021377｜127411683030...973024694271｜909,526｜1998｜互联网梅森素数大搜索，罗兰·克拉克森

M6972593｜437075744127...142924193791｜2,098,960｜1999｜互联网梅森素数大搜索，拿恩·哈拉华拉

M13466917｜924947738006...470256259071｜4,053,946｜2001｜互联网梅森素数大搜索，米高·卡梅伦

M20996011｜125976895450...762855682047｜6,320,430｜2003｜互联网梅森素数大搜索，米高·沙夫

M24036583｜299410429404...882733969407｜7,235,733｜2004｜互联网梅森素数大搜索，乔许·芬德利

M25964951｜122164630061...280577077247｜7,816,230｜2005｜互联网梅森素数大搜索，马田·诺或

M30402457｜315416475618...411652943871｜9,152,052｜2005｜互联网梅森素数大搜索，柯蒂斯·库珀与史提夫·布恩

M32582657｜124575026015...154053967871｜9,808,358｜2006｜互联网梅森素数大搜索，柯蒂斯·库珀与史提夫·布恩

M43112609｜316470269330...166697152511｜12,978,189｜2008｜互联网梅森素数大搜索，埃德森·史密夫

M57885161｜581887266232...071724285951｜17,425,170｜2013｜互联网梅森素数大搜索，柯蒂斯·库珀

M74207281｜300376418084...391086436351｜22,338,618｜2016｜互联网梅森素数大搜索，柯蒂斯·库珀

M77232917｜467333183359...069762179071｜23,249,425｜2017｜互联网梅森素数大搜索，强纳森·佩斯

M82589933｜148894445742...325217902591｜24,862,048｜2018｜互联网梅森素数大搜索，派翠克·拉罗次

M136279841｜881694327503...219486871551｜41,024,320｜2024｜互联网梅森素数大搜索，卢克·杜兰特

互联网梅森素数大搜索发现了近十五个最大质数纪录。

## 二十大已知质数

克里斯·科德韦尔设有一列表，内共有已知最大的五千个质数，其中最大二十个列于下表。

排名｜数字｜发现日期｜数位｜种类｜参考资料

1｜2136279841 − 1｜2024-10-12｜41,024,320｜梅森质数

2｜282589933 − 1｜2018-12-07｜24,862,048｜梅森质数

3｜277232917 − 1｜2017-12-26｜23,249,425｜梅森质数

4｜274207281 − 1｜2016-01-07｜22,338,618｜梅森质数

5｜257885161 − 1｜2013-01-25｜17,425,170｜梅森质数

6｜243112609 − 1｜2008-08-23｜12,978,189｜梅森质数

7｜242643801 − 1｜2009-06-04｜12,837,064｜梅森质数

8｜Φ3(−5166931048576)（5166932097152−5166931048576+1）｜2023-10-02｜11,981,518｜广义唯一素数

9｜Φ3(−4658591048576)（4658592097152−4658591048576+1）｜2023-05-31｜11,887,192｜广义唯一素数

10｜237156667 − 1｜2008-09-06｜11,185,272｜梅森质数

11｜232582657 − 1｜2006-09-04｜9,808,358｜梅森质数

12｜10223 × 231172165 + 1｜2016-10-31｜9,383,761｜普罗斯数

13｜230402457 − 1｜2005-12-15｜9,152,052｜梅森质数

14｜4 × 511786358 + 1｜2024-10-01｜8,238,312｜广义普洛斯数

15｜225964951 − 1｜2005-02-18｜7,816,230｜梅森质数

16｜69 × 224612729 − 1｜2024-08-13｜7,409,102

17｜224036583 − 1｜2004-05-15｜7,235,733｜梅森质数

18｜107347 × 223427517 − 1｜2024-08-03｜7,052,391

19｜3 × 222103376 − 1｜2024-09-30｜6,653,780｜塔别脱数

20｜19637361048576 + 1｜2022-09-24｜6,598,776｜广义费马数