莫尔圆

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莫尔圆（Mohr's circle）得名自德国土木工程师克里斯汀·奥图·莫尔，是一种用二维方式表示柯西应力张量转换关系的图。

先针对假设为连续的物体进行应力应变分析，之后特定一点的柯西应力张量分量会和坐标系有关。莫尔圆是用图形的方法去确认一个旋转坐标系上的应力分量，也就是在同一点上，但是作用在不同方向平面上的分量。

圆上每一个点的横坐标$\sigma_\mathrm{n}$及纵坐标$\tau_\mathrm{n}$都是在这个旋转坐标系统上某一个方向的正应力及剪应力。换句话说，莫尔圆表示了在所有方向平面上应力状态的轨迹，而X轴和Y轴为应力元素的主轴。

卡尔·卡尔曼是第一个想到用图形来表示应力的人，他是在分析水平梁承受弯曲时的纵向应力及垂直应力时所想到的。莫尔的贡献不止是用莫尔圆表示二维及三维的应力，他也根据莫尔圆发展了结构失效判定的准则。

其他表示应力状态的方式有拉梅应力椭球及柯西应力二次曲线（Cauchy's stress quadric）。

莫尔圆可以扩展到对称的 2x2 张量，包括应变及转动惯量张量。

## 应力及莫尔圆

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考虑一个会变形的物体（假设为连续体），若受到外力（可能是表面力或是体积力），物体的内部就会有力的分布。物体内部的力会依循欧拉运动定律，正如物体受力依循牛顿运动定律一様。物体内部力的强度可以用应力来表示。因为物体假设为连续体，其内部的力也是会均匀分布在其体积中。

在工程中（例如结构工程、机械工程或土力工程）会透过应力－应变分析来分析一物体中应力的的分布，例如隧道中岩石的应力，飞机机翼的应力，或是建筑物中梁柱的应力等。计算应力分布也就表示要知道物体中每一点的应力。据奥古斯丁·路易·柯西的理论，（假设为连续体的）物体中任何一点的应力（图2），可以完全由二阶张量种类的张量中的九个应力元素 $\sigma_{ij}$完全决定，此二阶张量称为柯西应力张量, $\boldsymbol\sigma$:

$$\boldsymbol{\sigma}= \left[{\begin{matrix} \sigma _{11} & \sigma _{12} & \sigma _{13} \\ \sigma _{21} & \sigma _{22} & \sigma _{23} \\ \sigma _{31} & \sigma _{32} & \sigma _{33} \\ \end{matrix}}\right] \equiv \left[{\begin{matrix} \sigma _{xx} & \sigma _{xy} & \sigma _{xz} \\ \sigma _{yx} & \sigma _{yy} & \sigma _{yz} \\ \sigma _{zx} & \sigma _{zy} & \sigma _{zz} \\ \end{matrix}}\right] \equiv \left[{\begin{matrix} \sigma _x & \tau _{xy} & \tau _{xz} \\ \tau _{yx} & \sigma _y & \tau _{yz} \\ \tau _{zx} & \tau _{zy} & \sigma _z \\ \end{matrix}}\right]$$

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若确定了一物体在特定坐标系统$(x,y)$下的应力分布，有可能需要知道特定一点$P$相对另一个有旋转的坐标系统$(x',y')$下的应力张量，也就是在需要关注的点，在特定角度下的的应力张量。而此坐标系统$(x',y')$和原有的坐标系统$(x,y)$之间有一个角度差（图3）。例如，一般会需要知道最大的正向应力以及最大的剪应力，也需要知道其对应的方向。因此，需要发展一种张量转换的方式，可以配合坐标系统的旋转得到新坐标系统的张量。依照张量的定义，柯西应力张量遵守张量转换定律。应力的莫尔圆是用图解方式来说明柯西应力张量转换定律的方式。

## 二维张量下的莫尔圆

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在二维下，一点$P$相对于垂直方向的应力张量可以用三个应力向量完全表示。在垂直坐标系统$(x,y)$下，其应力分量为：法向应力$\sigma_x$及$\sigma_y$，以及剪应力$\tau_{xy}$。由于角动量守恒，柯西应力张量会有对称性，也就是$\tau_{xy}=\tau_{yx}$，因此柯西应力张量可以写成：

$$\boldsymbol{\sigma}= \left[{\begin{matrix} \sigma _x & \tau _{xy} & 0 \\ \tau _{xy} & \sigma _y & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}}\right] \equiv \left[{\begin{matrix} \sigma _x & \tau _{xy} \\ \tau _{xy} & \sigma _y \\ \end{matrix}}\right]$$

其目的是在另一个通过$P$点，但存在角度差的坐标系统$(x',y')$下，找到应力分量$\sigma_\mathrm{n}$及$\tau_\mathrm{n}$（图4）。坐标系统$(x',y')$和原坐标系统$(x,y)$的角度差即为$\theta$。

### 莫尔圆的方程

要推导二维平面应力及平面应变的莫尔圆方程，先考虑一个位在位置$P$的二维的无限小方形元素（图4），和$y$-$z$平面平行。

利用无限小元素上的力平衡，正向应力$\sigma_\mathrm{n}$及剪应力$\tau_\mathrm{n}$的大小为：

$$\sigma_\mathrm{n} = \frac{1}{2} ( \sigma_x + \sigma_y ) + \frac{1}{2} ( \sigma_x - \sigma_y )\cos 2\theta + \tau_{xy} \sin 2\theta$$

$$\tau_\mathrm{n} = -\frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y )\sin 2\theta + \tau_{xy}\cos 2\theta$$

莫尔圆参数式的推导－利用力平衡利用$\sigma_\mathrm{n}$方向（$x'$轴）的力平衡（图4），而且假设$\sigma_\mathrm{n}$ 作用的面积为$dA$，可得： :$\ \begin{align} \sum F_{x'} &= \sigma_\mathrm{n} dA - \sigma_x dA \cos ^2 \theta - \sigma_y dA \sin ^2 \theta - \tau_{xy} dA \cos \theta \sin \theta - \tau_{xy} dA \sin \theta \cos \theta = 0 \\ \sigma_\mathrm{n} &= \sigma_x \cos ^2 \theta + \sigma_y \sin ^2 \theta + 2\tau_{xy} \sin \theta \cos \theta \\ \end{align}$ 再考虑以下的关系 :$\cos ^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}, \qquad \sin ^2 \theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2} \qquad$ 及 $\qquad \sin 2\theta= 2\sin\theta\cos\theta$ 可以得到 :$\sigma_\mathrm{n} = \frac{1}{2} ( \sigma_x + \sigma_y ) + \frac{1}{2} ( \sigma_x - \sigma_y )\cos 2\theta + \tau_{xy} \sin 2\theta$ 再考虑$\tau_\mathrm{n}$方向（$y'$轴）的力平衡（图4），再假设 $\tau_\mathrm{n}$作用的面积是$dA$，可得： :$\ \begin{align} \sum F_{y'} &= \tau_\mathrm{n} dA + \sigma_x dA \cos \theta \sin \theta - \sigma_y dA \sin \theta \cos \theta - \tau_{xy} dA \cos ^2 \theta + \tau_{xy} dA \sin ^2 \theta = 0 \\ \tau_\mathrm{n} &= -(\sigma_x-\sigma_y) \sin\theta\cos\theta + \tau_{xy} \left( \cos^2 \theta -\sin^2 \theta \right) \\ \end{align}$ 再考虑以下的关系 :$\cos ^2 \theta - \sin^2\theta=\cos 2\theta \qquad$ 及 $\qquad \sin 2\theta= 2\sin\theta\cos\theta$ 可以得到 :$\tau_\mathrm{n} = -\frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y )\sin 2\theta + \tau_{xy}\cos 2\theta$

上述二个方程也可以用柯西应力张量的张量变换定律来求得，这和在$\sigma_\mathrm{n}$及$\tau_\mathrm{n}$方向用力平衡计算是等效的。

莫尔圆参数式的推导－利用张量变换应力张量变换定律可以表示为 :$\begin{align} \boldsymbol{\sigma}' &= \mathbf A \boldsymbol{\sigma} \mathbf A^T \\ \left[{\begin{matrix} \sigma_{x'} & \tau_{x'y'} \\ \tau_{y'x'} & \sigma_{y'} \\ \end{matrix}}\right] &=\left[{\begin{matrix} a_{x} & a_{xy} \\ a_{yx} & a_{y} \\ \end{matrix}}\right] \left[{\begin{matrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} \\ \tau_{yx} & \sigma_{y} \\ \end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix} a_{x} & a_{yx} \\ a_{xy} & a_{y} \\ \end{matrix}}\right] \\ &= \left[{\begin{matrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \\ \end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} \\ \tau_{yx} & \sigma_{y} \\ \end{matrix}}\right] \left[{\begin{matrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \\ \end{matrix}}\right] \end{align}$ 将等号右侧展开，再配合$\sigma_{x'}=\sigma_\mathrm{n}$及$\tau_{x'y'}=\tau_\mathrm{n}$，可得： :$\sigma_\mathrm{n} = \sigma_x \cos ^2 \theta + \sigma_y \sin ^2 \theta + 2\tau_{xy} \sin \theta \cos \theta$ 再加上以下的条件 :$\cos ^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}, \qquad \sin ^2 \theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2} \qquad$ 及$\qquad \sin 2\theta= 2\sin\theta\cos\theta$ 可得 :$\sigma_\mathrm{n} = \frac{1}{2} ( \sigma_x + \sigma_y ) + \frac{1}{2} ( \sigma_x - \sigma_y )\cos 2\theta + \tau_{xy} \sin 2\theta$ $\tau_\mathrm{n} = -(\sigma_x-\sigma_y) \sin\theta\cos\theta + \tau_{xy} \left( \cos^2 \theta -\sin^2 \theta \right)$ 再加上以下的条件 :$\cos ^2 \theta - \sin^2\theta=\cos 2\theta \qquad$ 及$\qquad \sin 2\theta= 2\sin\theta\cos\theta$ 可得 :$\tau_\mathrm{n} = -\frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y )\sin 2\theta + \tau_{xy}\cos 2\theta$ 此时不需要计算$\sigma_{x'}$垂直的应力成分$\sigma_{y'}$，因为在推导莫尔圆时还不需要此成分

这二个方程是莫尔圆的参数式。在方程中，$2\theta$为参数，而$\sigma_\mathrm{n}$和$\tau_\mathrm{n}$为坐标，因此表示若选择适当的坐标系统，使$\sigma_\mathrm{n}$为横轴，$\tau_\mathrm{n}$纵轴，给定参数$\theta$，会给定在莫尔圆上的一点。

若从参数式中消去参数$2\theta$，可以得到非参数式的莫尔圆方程。可以用重组$\sigma_\mathrm{n}$及$\tau_\mathrm{n}$的方程来达到。先将第一式等号右侧的第一项移到等号左边，二式平方后相加，可得

$$\begin{align} \left[ \sigma_\mathrm{n} - \tfrac{1}{2} ( \sigma_x + \sigma_y )\right]^2 + \tau_\mathrm{n}^2 &= \left[\tfrac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y)\right]^2 + \tau_{xy}^2 \\ (\sigma_\mathrm{n} - \sigma_\mathrm{avg})^2 + \tau_\mathrm{n}^2 &= R^2 \end{align}$$

其中

$$R = \sqrt{\left[\tfrac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y)\right]^2 + \tau_{xy}^2} \quad \text{and} \quad \sigma_\mathrm{avg} = \tfrac{1}{2} ( \sigma_x + \sigma_y )$$

这就是圆（莫尔圆）的方程

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

在$(\sigma_\mathrm{n},\tau_\mathrm{n})$坐标系统中，其半径$r=R$，圆心在坐标$(a,b)=(\sigma_\mathrm{avg}, 0)$处。

### 符号体系

在使用莫尔圆时，需考虑两组分别的符号体系，一个是针对实体空间下应力分量的符号体系，另一个是针对“莫尔圆空间”下应力分量的符号体系。此外，工程力学（结构工程及机械工程）文献用的体系和地质力学用的符号体系不同。没有所有系统都适用的标准符号体系，是否要使用特定的符号体系取决于计算及诠释特定问题的方便程度。

上述图4的莫尔圆推导都是使用工程力学的符号体系，以下也会继续使用工程力学的符号体系。

#### 实体空间符号体系

为了描述柯西应力张量的方便（图3及图4），应力分量的第一个下标表示应力分量作用的面，第二个下标表示应力分量的方向。因此$\tau_{xy}$是作用在以$x$轴正向为其法向量的平面上，而方向是往$y$轴的正方向。

在实体空间符号体系，正的正向应力是由作用平面往外（张力），负的正向应力是由作用平面往内（压缩力）（图5）。

在实体空间符号体系中，正剪应力在法向量为正的材料元素平面上，其作用方向会往轴的正方向，同样的，正剪力在法向量为负的材料元素平面上，其作用方向会往轴的负方向。例如作用在正向平面的剪应力$\tau_{xy}$和$\tau_{yx}$为正，因为这二个剪应力的作用方向往$y$轴及$x$轴的正方向（图3）。而相对应的作用在负向平面的剪应力$\tau_{xy}$和$\tau_{yx}$，其作用方向往$y$轴及$x$轴的负方向，因此这二个剪应力也为正。

#### 莫尔圆空间符号体系

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在莫尔圆空间符号体系中，应力的符号体系和实体空间符号体系中的相同：正的正向应力是由作用平面往外（张力），负的正向应力是由作用平面往内（压缩力）

不过剪应力的符号体系和实体空间符号体系中的不同。在莫尔圆空间符号体系中，正的剪应力会使材料往逆时针方向旋转，而负的剪应力会使材料往顺时针方向旋转。因此在莫尔圆空间中，剪应力分量$\tau_{xy}$为正，而$\tau_{yx}$为负。这和实体空间符号体系中$\tau_{xy}$和$\tau_{yx}$符号相同的情形不同。

在绘制莫尔圆时，有二个作法可以绘制在数学上正确的莫尔圆：

- 将正的剪应力画在上方（图5，符号体系#1）
- 将正的剪应力画在下方，也就是$\tau_\mathrm n$轴倒置（图5，符号体系#2）

将正的剪应力画在上方会让莫尔圆上的$2\theta$角为正值时，旋转方向是顺时针旋转，这和实体空间符号体系中的相反。因此有些作者会选择让正的剪应力画在下方，这会让莫尔圆上的$2\theta$角为正值时，旋转方向是逆时针旋转，类似实体空间符号体系的情形。

为了克服剪应力轴往下才是正向的问题，有另外一种“替代的”符号体系，其中正的剪应力假设为将材料将顺时针方向旋转，而负的剪应力假设为将材料将逆时针方向旋转（图5，符号体系#3）。在“替代”体系下，正的剪应力轴往上，而且在莫尔圆上$2\theta$为正值时，旋转方向为逆时针。此符号体系产生的莫尔圆和图5，符号体系#2中的相同，因为正的剪应力$\tau_\mathrm n$也是会逆时针旋转的剪应力，也画在下方。而负的剪应力$\tau_\mathrm n$也是会顺时针旋转的剪应力，也画在上方。

此条目在实体空间符号体系中，会依照工程力学的符号体系，而在莫尔圆空间中，会使用“替代的”符号体系（图5，符号体系#3）。

### 绘制莫尔圆

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假设已知待研究物体上的点$P$的应力分量$\sigma_x$、$\sigma_y$及$\tau_{xy}$，如图4所示。以下方法可以绘制点$P$的莫尔圆，以表示其应力状态。

- 绘制笛卡尔坐标系统$(\sigma_\mathrm{n},\tau_\mathrm{n})$，横轴为$\sigma_\mathrm{n}$，纵轴为$\tau_\mathrm{n}$。
- 在$(\sigma_\mathrm{n},\tau_\mathrm{n})$空间中，画出二点$A(\sigma_y, \tau_{xy})$及$B(\sigma_x, -\tau_{xy})$，分别是作用在二垂直平面$A$平面和 $B$平面上的应力分量（图4及图6），需依照选择的符号体系。
- 用线段$\overline{AB}$连接$A$点和$B$点，此即为圆的直径。
- 绘制莫尔圆，其圆心$O$是线段$\overline{AB}$的中点，也就是此线和$\sigma_\mathrm{n}$轴的交点。

### 找主要正向应力

主要应力的大小是点$C$和点$E$（图6中圆和 $\sigma_\mathrm n$轴的交点）中的横坐标。最大正向应力$\sigma_1$的大小恒为这二个横坐标中最大的那一个，而$\sigma_2$最小正向应力的大小恒为这二个横坐标中最小的那一个。这二个点的纵坐标为0，对应在主要平面上的剪应力为零，主要应力的大小也可以表示为

$$\sigma_1 = \sigma_\max = \sigma_\text{avg}+R$$

$$\sigma_2 = \sigma_\min = \sigma_\text{avg}-R$$

其中平均正向应力$\sigma_\text{avg}$的大小是圆心$O$的横坐标，为

$$\sigma_\text{avg} = \tfrac{1}{2}(\sigma_x+ \sigma_y)$$

其半径的长度$R$为

$$R = \sqrt{\left[\tfrac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y)\right]^2 + \tau_{xy}^2}$$

### 找最大和最小剪应力

最大剪应力和最小剪应力对应圆上最大及最小的纵坐标。这二个点是圆和通过圆心$O$的垂直线的交点。因此，最大和最小剪应力的大小为圆的半径$R$

$$\tau_{\max,\min}= \pm R$$

### 找任意平面的应力分量

如前面所述，在二维应力分析后，可以知道在材料某一点$P$上的应力分量$\sigma_x$、$\sigma_y$及 $\tau_{xy}$。这些应力分量作用在通过$P$点的二垂直平面 $A$ 及 $B$，如图5及图6所述。莫尔圆也可以计算在莫尔圆上$D$的应力分量$\sigma_\mathrm{n}$及$\tau_\mathrm{n}$，事实是作用在$D$平面上，此平面也通过$P$点，和$B$平面有夹角$\theta$，计算应力分量有二种方式：倍角法以及平面原点法（origin of planes）

#### 倍角法

如图6所示，若平面$D$是平面$B$再逆时针旋转角度$\theta$后的平面，要找到在平面$D$上的应力分量$(\sigma_\mathrm{n}, \tau_\mathrm{n})$，可以在莫尔圆上从已知应力点 $B(\sigma_x, -\tau_{xy})$同样以逆时针旋转，但旋转角度 $2\theta$，旋转到点$D(\sigma_\mathrm{n}, \tau_\mathrm{n})$，也就是让$\overline {OB}$线和$\overline {OD}$线之间的夹角是$2\theta$。

倍角法的作法源自于通过$P$点的二实际平面之间的夹角$\theta$（图4），是其对应应力点 $(\sigma_\mathrm{n}, \tau_\mathrm{n})$在莫尔圆上和圆心连线形成夹角的一半。

倍角关系是因为莫尔圆的参数式是$2\theta$的函数。也可以从在材料点 $P$上的平面$A$和$B$夹角是90度，而在莫尔圆上其应力点夹角为180度看出（90度的两倍）。

#### 极点法（或平面原点法）

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第二种方式和要找到莫尔圆上的一个点，称为极点（pole）或是平面原点（origin of planes）。从极点画的任何直线都会和莫尔圆相交，交点表示在和直线相同角度的平面上的应力状态。因此若知道任何特定平面上的应力分量$\sigma$及$\tau$，可以画一条线通过莫尔圆上的 $\sigma_\mathrm{n}$和$\tau_\mathrm{n}$，且和平面平行，找到莫尔圆上这些线的交点，即为极点。例如，假设有应力状态如圆7所示，其分量是$\sigma_x,\!$, $\sigma_y,\!$及$\tau_{xy},\!$。首先先从$B$点画一条线，平行$\sigma_x$的作用平面，或是从$A$点画一条线，平行$\sigma_y$的作用平面，任一条线都会和莫尔圆交会，交会的点即为极点。在找到极点后，若要找到和垂直有$\theta$夹角的平面上的应力，可以从极点画一条平行该平面的线（见图7）。可以根据直线和莫尔圆的交点找到平面上的正向应力以及剪应力。

### 找主要平面的方向

最大主要应力及最小主要应力所在的平面方向也称为主要平面（principal planes），可以用莫尔圆中的∠BOC及∠BOE判断，然后将二个角度都取一半。因此$\overline{OB}$和$\overline{OC}$之间的夹角是角∠BOC，是$\theta_p$（主要平面和平面$B$夹角）角度的二倍。

而$\theta_{p1}$和$\theta_{p2}$也可以用以下的方程取得

$$\tan 2 \theta_\mathrm{p} = \frac{2 \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}$$

此方程的解会是二个角度，彼此相差$90^\circ$。可以直接用圆的几何求解此方程，或是用圆的参数式，并且让$\tau_\mathrm n$等于零（主要平面上的剪应力为0）。

## 一般三维应力下的莫尔圆

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若要绘制三维应力下的莫尔图，需要先量测其主应力的大小$\left(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \right)$以及方向$\left(n_1, n_2, n_3 \right)$。

考虑以主应力轴为坐标系统，而不是用$x_1$, $x_2$, $x_3$坐标系统，并且假设$\sigma_1 > \sigma_2 > \sigma_3$，则在一法向量为 $\mathbf n$的平面，其应力向量$\mathbf T^{(\mathbf n)}$的应力分量及剪力分量会满足下式

$$\begin{align} \left( T^{(n)} \right)^2 &= \sigma_{ij}\sigma_{ik}n_jn_k \\ \sigma_\mathrm{n}^2 + \tau_\mathrm{n}^2 &= \sigma_1^2 n_1^2 + \sigma_2^2 n_2^2 + \sigma_3^2 n_3^2 \end{align}$$

$$\sigma_\mathrm{n} = \sigma_1 n_1^2 + \sigma_2 n_2^2 + \sigma_3 n_3^2.$$

由于$n_i n_i = n_1^2+n_2^2+n_3^2 = 1$，可以用高斯消去法求解$n_1^2$, $n_2^2$, $n_3^2$：

$$\begin{align} n_1^2 &= \frac{\tau_\mathrm{n}^2+(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_2)(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_3)}{(\sigma_1 - \sigma_2)(\sigma_1 - \sigma_3)} \ge 0\\ n_2^2 &= \frac{\tau_\mathrm{n}^2+(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_3)(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_1)}{(\sigma_2 - \sigma_3)(\sigma_2 - \sigma_1)} \ge 0\\ n_3^2 &= \frac{\tau_\mathrm{n}^2+(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_1)(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_2)}{(\sigma_3 - \sigma_1)(\sigma_3 - \sigma_2)} \ge 0. \end{align}$$

因为$\sigma_1 > \sigma_2 > \sigma_3$及$(n_i)^2$都不是负值，因此其分子满足

$\tau_\mathrm{n}^2+(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_2)(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_3) \ge 0$ 因为其分母$\sigma_1 - \sigma_2 > 0$而且$\sigma_1 - \sigma_3 > 0$

$\tau_\mathrm{n}^2+(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_3)(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_1) \le 0$ 因为其分母$\sigma_2 - \sigma_3 > 0$而且$\sigma_2 - \sigma_1 < 0$

$\tau_\mathrm{n}^2+(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_1)(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_2) \ge 0$ 因为其分母$\sigma_3 - \sigma_1 < 0$而且$\sigma_3 - \sigma_2 < 0.$

方程式可以写成

$$\begin{align} \tau_\mathrm{n}^2 + \left[ \sigma_\mathrm{n}- \tfrac{1}{2} (\sigma_2 + \sigma_3) \right]^2 \ge \left( \tfrac{1}{2}(\sigma_2 - \sigma_3) \right)^2 \\ \tau_\mathrm{n}^2 + \left[ \sigma_\mathrm{n}- \tfrac{1}{2} (\sigma_1 + \sigma_3) \right]^2 \le \left( \tfrac{1}{2}(\sigma_1 - \sigma_3) \right)^2 \\ \tau_\mathrm{n}^2 + \left[ \sigma_\mathrm{n}- \tfrac{1}{2} (\sigma_1 + \sigma_2) \right]^2 \ge \left( \tfrac{1}{2}(\sigma_1 - \sigma_2) \right)^2 \\ \end{align}$$

是三个应力莫尔圆$C_1$, $C_2$和$C_3$的方程，其半径分别是$R_1=\tfrac{1}{2}(\sigma_2 - \sigma_3)$, $R_2=\tfrac{1}{2}(\sigma_1 - \sigma_3)$及$R_3=\tfrac{1}{2}(\sigma_1 - \sigma_2)$，而其圆心分别在$\left[\tfrac{1}{2}(\sigma_2 + \sigma_3), 0\right]$, $\left[\tfrac{1}{2}(\sigma_1 + \sigma_3), 0\right]$, $\left[\tfrac{1}{2}(\sigma_1 + \sigma_2), 0\right]$。

有了上述三个应力莫尔圆的方程，所有可能的应力点$(\sigma_\mathrm{n}, \tau_\mathrm{n})$都会在三个应力莫尔圆之间的阴影区域（见图10）。应力点$(\sigma_\mathrm{n}, \tau_\mathrm{n})$ 可能满足圆$C_1$的方程，或是在圆$C_1$的外面，可能满足圆$C_2$的方程，或是在圆$C_2$的里面，可能满足圆$C_3$的方程，或是在圆$C_3$的外面。

## 外部链接

- Mohr's Circle and more circles by Rebecca Brannon
- DoITPoMS Teaching and Learning Package- "Stress Analysis and Mohr's Circle"