泊松求和公式

泊松求和公式（英文：Poisson Summation Formula）由法国数学家泊松所发现，它陈述了一个连续时间的信号，做无限多次的周期复制后，其傅立叶级数与其傅立叶转换之间数值的关系，亦可用来求周期信号的傅立叶转换。

## 公式

设无周期函数$s(x)$具有傅里叶变换：

$$S(f) \triangleq \int_{-\infty}^{\infty} s(x)\ e^{-i2\pi fx}\, dx$$

这里的$S(f)$也可以替代表示为$\hat s(f)$和 $\mathcal{F}\{s\}(f)$。有如下基本的泊松求和公式：

$$\sum_{n=-\infty}^\infty s(n)=\sum_{k=-\infty}^\infty S(k)$$

对于二者通过周期求和而得到的周期函数：

$$s_{_P}(x) \triangleq \sum_{n=-\infty}^{\infty} s(x + nP), \quad n \in \mathbb{Z}$$

$$S_{1/T}(f) \triangleq \sum_{k=-\infty}^{\infty} S(f + k/T), \quad k,T \in \mathbb{Z}$$

这里的参数$T>0$并且$P>0$，它们有着同$x$一样的单位。有如下普遍的泊松求和公式：

$$s_{_P}(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \underbrace{\frac{1}{P}\cdot S(k/P)}_{S[k]}\ e^{i 2\pi \frac{k}{P} x }, \quad k \in \mathbb{Z}$$

这是一个傅里叶级数展开，其系数是函数$S(f)$的采样。还有：

$$S_{1/T}(f) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \underbrace{T\cdot s(nT)}_{s[n]}\ e^{-i 2\pi n Tf}, \quad n,T \in \mathbb{Z}$$

这也叫做离散时间傅里叶变换。

## 推导泊松求和公式所需的先备公式

考虑狄拉克δ函数$\delta(t)$，制作一个有无限多个$\delta(t)$，且间隔为$T_0$的周期函数$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)$。

其傅立叶转换为①$\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi nT_0f}=$②$\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(f-\frac{n}{T_0}\right)$

### 证明①转换对

$\mathcal{F}\left\{\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)\right\}$=$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\mathcal{F}\left\{\delta(t-nT_0)\right\}$=$\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi nT_0f}$。

### 证明②转换对

设$c_n$为周期函数$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)$的傅立叶级数。

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)$可表示为$\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n{e^{j2\pi{n\frac{t}{T_0}}}}$。

由傅立叶级数得:

$c_n=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\delta(t-mT_0)e^{-j2\pi{n}\frac{t}{T_0}}dt=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}\delta(t)e^{-j2\pi{n}\frac{t}{T_0}}dt=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}\delta(t)e^{-j2\pi{n}\frac{0}{T_0}}dt=\frac{1}{T_0}$。

因此，$\mathcal{F}\left\{\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)\right\}=\mathcal{F}\left\{\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n{e^{j2\pi{n\frac{t}{T_0}}}}\right\}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{T_0}\mathcal{F}\left\{e^{j2\pi{n\frac{t}{T_0}}}\right\}=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(f-n\frac{1}{T_0})$。

得到等式:$\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi nT_0f}=$ $\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(f-\frac{n}{T_0}\right)$。

经由适当的变量代换，$T_0$以$\frac{1}{T_0}$代换，$f$以$t$代换，得$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(t-nT_0\right)=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi n\frac{1}{T_0}t}=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{j2\pi n\frac{1}{T_0}t}$(因为n从负无限大到正无限大)

## 推导泊松求和公式

### 从对频域做取样寻找关系式

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(t-nT_0)$$

$$=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(t)*\delta(t-nT_0)$$

$$=x(t)*\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)$$

$$=x(t)*\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{j2\pi n\frac{1}{T_0}t}$$

$$=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(t)*e^{j2\pi n\frac{1}{T_0}t}$$

$$=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)e^{j2\pi n\frac{1}{T_0}(t-\tau)}d\tau$$

$$=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left\{[\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)e^{-j2\pi n\frac{1}{T_0}\tau}d\tau ]e^{j2\pi n\frac{1}{T_0}t}\right\}$$

$$=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(\frac{n}{T_0})e^{j2\pi n\frac{1}{T_0}t}$$

当$t=0$时，得$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_0)=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(\frac{n}{T_0})$。

表示一个信号的在时域以$T_0$为间隔做取样，在频域以$\frac{1}{T_0}$为间隔做取样，则两者的所有取样点的总和会有$T_0$倍的关系。

### 从对时域做取样寻找关系式

$$\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(f-\frac{n}{T_0})$$

$$=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(f)*\delta(f-\frac{n}{T_0})$$

$$=X(f)*[\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(f-\frac{n}{T_0})]$$

$$=X(f)*\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi nT_0f}$$

$$=\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(f)*e^{-j2\pi nT_0f}$$

$$=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}X(\lambda)e^{-j2\pi nT_0(f-\lambda)}d\lambda$$

$$=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left\{[\int_{-\infty}^{\infty}X(\lambda)e^{j2\pi nT_0\lambda}d\lambda]e^{-j2\pi nT_0f}\right\}$$

$$=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_0)e^{-j2\pi nT_0f}$$

当$f=0$时，得$\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(\frac{n}{T_0})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_0)$。

表示一个信号的在时域以$T_0$为间隔做取样，在频域以$\frac{1}{T_0}$为间隔做取样，则两者的所有取样点的总和会有$T_0$倍的关系。

---------------------------------------------------------------综合上述，若时域取样间隔$T_0=1$时，同样地，频域取样间隔$\frac{1}{T_0}=1$时，得泊松求和公式$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(k)$。

## 周期信号的傅立叶转换

考虑一个周期为${T_0}$的周期信号$g(t)$，$G(f)$为$g(t)$的傅立叶转换，取出g(t)在区间$[-\frac{T_0}{2},\frac{T_0}{2}]$的一个完整周期$x(t)$，亦即$x(t)=g(t)rect(\frac{t}{T_0})$，$X(f)$是$x(t)$的傅立叶转换，其中$rect(t)$是矩形函数。$a_n$是$g(t)$的傅立叶级数。

则$G(f)$

$$=\mathcal{F}\left\{\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_ne^{j2\pi n\frac{1}{T_0}t}\right\}$$

$$=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n \delta(f-\frac{n}{T_0})$$

$$=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{T_0}X(\frac{n}{T_0})\delta(f-\frac{n}{T_0})$$

得出一周期信号的傅立叶转换与其傅立叶级数之间的关系。