经验模态分解

经验模态分解 （Empirical Mode Decomposition，缩写EMD）是由黄锷（N. E. Huang）与其他人在美国国家宇航局于1998年创造性地提出的一种新型自适应信号时频处理方法，特别适用于非线性非平稳信号的分析处理。

## 简介

经验模态分解（Empirical Mode Decomposition，简称EMD）方法被认为是自2000年来，以傅立叶变换为基础的线性和稳态频谱分析的一个重大突破1，该方法是依据数据自身的时间尺度特征来进行信号分解，无须预先设定任何基函数。这一点与建立在先验性的谐波基函数和小波基函数上的傅里叶分解与小波分解方法具有本质性的差别。正是由于这样的特点，EMD 方法在理论上可以应用于任何类型的信号的分解，因而在处理非平稳及非线性数据上具有非常明显的优势，适合于分析非线性、非平稳信号序列，具有很高的信噪比。

所以，EMD方法一经提出后，就在不同的工程领域得到了迅速有效的应用，例如在海洋、大气、天体观测资料与地震记录分析、机械故障诊断、密频动力系统的阻尼识别以及大型土木工程结构的模态参数识别方面。

该方法的关键是经验模式分解，它能使复杂信号分解为有限个本征模函数（Intrinsic Mode Function，简称IMF），所分解出来的各IMF分量包含了原信号的不同时间尺度的局部特征信号。经验模态分解法能使非平稳数据进行平稳化处理，再进行希尔伯特变换获得时频谱图，得到有物理意义的频率。与短时傅立叶变换、小波分解等方法相比，这种方法是直观的、直接的、后验的和自适应的，因为基函数是由数据本身所分解得到。由于分解是基于信号序列时间尺度的局部特性，因此具有自适应性。

## 基本原理

对数据信号进行EMD分解就是为了获得本征模函数，因此，在介绍EMD分析方法的具体过程之前可先介绍EMD分解过程中所涉及的基本概念的定义：本征模函数，这是掌握EMD方法的基础。在物理上，如果瞬时频率有意义，那么函数必须是对称的，局部均值为零，并且具有相同的过零点和极值点数目。在此基础上，有人提出了本征模函数（Intrinsic Mode Function，简称IMF）的概念。本征模函数任意一点的瞬时频率都是有意义的。任何信号都是由若干本征模函数组成，在任何时候，一个信号都可以包含若干个本征模函数，如果本征模函数之间相互重叠，便形成复合信号。EMD分解的目的就是为了获取本征模函数，再对各个本征模函数进行希尔伯特变换，得到希尔伯特谱。

一个本征模函数必须满足以下两个条件：

⑴l函数在整个时间范围内，局部极值点和过零点的数目必须相等或最多相差一个。

⑵在任意时刻点，局部最大值的包络（上包络线）和局部最小值的包络（下包络线）平均必须为零。

第一个条件是很明显的，它与传统的平稳高斯信号的窄带要求类似。对于第二个条件，是一个新的概念，它把经典的全局性要求修改为局部性要求，使瞬时频率不再受不对称波形所形成的不必要的波动所影响。实际上，这个条件应为“数据的局部均值是零”。但是对于非平稳数据来说，计算局部均值涉及到“局部时间尺度”的概念，而这是很难定义的。因此，在第二个条件中使用了局部极大值包络和局部极小值包络的平均为零来代替，使信号的波形局部对称。研究表明，在一般情况下，使用这种代替，瞬时频率还是符合所研究系统的物理意义。本征模函数表征了数据的内在的振动模式。由本征模函数的定义可知，由过零点所定义的本征模函数的每一个振动周期，只有一个振动模式，没有其他复杂的奇波；一个本征模函数没有约束为是一个窄带信号，并且可以是频率和幅值的调制，还可以是非稳态的；单由频率或单由幅值调制的信号也可成为本征模函数。

## 筛选程序 (The Sifting Process)

EMD 的核心在于透过“筛选”将讯号分解为 IMF。由于单纯的极值包络平均往往无法一次就满足 IMF 的两个条件（特别是零均值条件），因此需要迭代进行。具体算法步骤如下：

初始化：设定原始讯号 $r_0(t) = X(t)$，计数器 $i = 1$。

提取第 i 个 IMF：

初始化 $h_{i,0}(t) = r_{i-1}(t)$，筛选计数器 $k = 1$。

寻找极值：找出 $h_{i,k-1}(t)$ 的所有局部极大值与局部极小值。

包络线拟合：利用三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）分别连接所有局部极大值形成上包络线 $U_{i,k-1}(t)$，连接所有局部极小值形成下包络线 $L_{i,k-1}(t)$。

计算均值：计算上下包络线的平均值 $m_{i,k-1}(t) = \frac{U_{i,k-1}(t) + L_{i,k-1}(t)}{2}$。

提取细节：将原讯号减去均值包络，得到新的原形分量 $h_{i,k}(t) = h_{i,k-1}(t) - m_{i,k-1}(t)$。

检查停止准则：检查 $h_{i,k}(t)$ 是否满足 IMF 的定义以及筛选的停止准则（见下节）。

- * 若不满足，令 $k = k + 1$，重复步骤 2.2 至 2.6。##: * 若满足，则认定 $h_{i,k}(t)$ 为第 $i$ 个本质模态函数，记为 $c_i(t) = h_{i,k}(t)$。

分离剩余讯号：从目前的剩余讯号中减去刚提取的 IMF：$r_i(t) = r_{i-1}(t) - c_i(t)$。

终止判断：检查 $r_i(t)$ 是否为单调函数（Monotonic function）或其振幅小于预设误差。若否，令 $i = i + 1$，重复步骤 2。

最终，原始讯号可表示为所有 IMF 与最终剩余量（Residue）的总和： :$X(t) = \sum_{i=1}^{n} c_i(t) + r_n(t)$ 其中 $r_n(t)$ 代表讯号的平均趋势（Mean Trend）。

## 停止准则 (Stopping Criterion)

在筛选过程中，决定何时停止迭代至关重要。若筛选次数过少，IMF 可能尚未满足零均值条件；若筛选次数过多，则会破坏讯号的物理意义，使 IMF 变成纯粹的调频讯号（恒定振幅）。常见的停止准则包括：

- 标准差准则 (Standard Deviation, SD) : 黄锷等人最早提出的准则，计算连续两次筛选结果的正规化平方差： :$SD = \sum_{t=0}^{T} \frac{|h_{k-1}(t) - h_k(t)|^2}{h_{k-1}^2(t)}$ : 一般建议当 SD 值小于 0.2 到 0.3 之间时停止筛选。

- S 数准则 (S Number Criterion) : 为了改善 SD 准则可能导致过度筛选的问题，后来提出了 S 数准则。该准则规定，当连续 $S$ 次筛选过程中，极值点数量与零交越点数量皆保持不变，即可停止。通常 $S$ 设定为 3 到 5。这能确保 IMF 的拓扑结构稳定，同时保留适度的振幅变化。

- 阈值准则 (Threshold Method) : Rilling 等人引入了双阈值 $\theta_1, \theta_2$ 与容许比例 $\alpha$，针对包络线均值 $m(t)$ 与包络线振幅 $a(t)$ 的比值进行限制，以确保全域与局部的误差皆在控制范围内。

## EMD 的主要问题与解决方案

尽管 EMD 具有强大的自适应能力，但在实际应用中仍面临两大挑战：

- 端点效应 (End Effects) : 由于 EMD 依赖三次样条插值来绘制包络线，而样条函数在讯号的两端（端点）无法确定其发散方向，容易产生巨大的震荡与误差。随着筛选次数增加，这种误差会向内传播，污染整个数据序列。: 解决方法： :* 镜像扩充法 (Mirror Extension)：利用讯号在端点附近的极值特征，将讯号做镜像对称延伸，使样条插值在边界处平滑过渡。:* 特征波形扩充法：根据端点附近的波形频率与振幅，预测并人造出端点外的极值点。

- 模态混叠 (Mode Mixing) : 这是 EMD 最严重的问题之一。当讯号中含有间歇性讯号（Intermittency）或噪声干扰时，会导致同一个 IMF 分量中包含极其不同的频率尺度，或者同一个频率尺度的讯号被分解到不同的 IMF 中。这会破坏 IMF 的物理意义。: 解决方法：总体经验模态分解 (EEMD) : 为了解决混模问题，黄锷与吴兆华于 2009 年提出了 Ensemble EMD (EEMD)。:* 原理：利用白噪声（White Noise）频谱均匀分布的特性。在原始讯号中加入适量的白噪声，白噪声会均匀地填满整个时频空间，辅助讯号在分解时能自动对应到正确的尺度。:* 步骤： :# 将原始讯号加入一组白噪声。:# 对加入噪声后的讯号进行 EMD 分解。:# 重复上述步骤多次（加入不同的白噪声序列）。:# 将每次得到的对应 IMF 取总体平均（Ensemble Mean）。:* 由于白噪声是零均值的，经过多次平均后，加入的噪声会相互抵消，留下的就是解决了混模问题的稳定 IMF。

## 正交性 (Orthogonality)

在理论上，理想的分解方法应产生彼此正交的基底函数（如傅立叶级数）。对于 EMD，虽然没有理论保证分解出的 IMF 彼此正交，但在实务上，不同 IMF 往往对应不同的频谱频带，因此具备近似正交性。

我们可以透过正交性指标 (Index of Orthogonality, IO) 来评估分解的品质： :$IO = \sum_{t=0}^{T} \left( \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=j+1}^{n+1} c_j(t) c_k(t) \right) / \sum_{t=0}^{T} X^2(t)$ 一般而言，若 IO 值很小（如小于 0.01），则可视为该次分解具有良好的正交性，各分量之间没有严重的讯息泄漏或混叠。