自然密度

自然密度（natural density），又称渐进密度（asymptotic density），是数论中度量自然数子集大小的工具之一。

## 简介

以平方数集和自然数集的大小关系为例：

平方数集与自然数集都是可数无穷集，我们能够在两个集合间建立一一映射（对于任意的自然数$n$都可以找到对应的平方数$n^2$与之对应，反之亦然），即两个集合是等势的。

然而，这种基于基数的大小比较违反了自然数多于平方数的直观认识，因为所有平方数都是自然数，而却有许多自然数不是平方数，且随着自然数的增大平方数会变得越来越稀少。通过将这种度量集合大小的直觉严格化，可以得到自然密度这一概念。

考虑自然数的一个子集$A$和整数区间$[1,n]$：

如果从整数区间$[1,n]$中随机选取一个整数，那么这个整数属于$A$的概率应该等于$A$与整数区间$[1,n]$的交集中的所有元素在整数区间$[1,n]$中的占比。当$n$趋近于无穷时，若上述概率也趋近于某个极限，则将该极限定义为$A$的自然密度。

$A$的自然密度也可以被理解为：任取一个自然数，该自然数属于$A$的概率。

自然密度（以及一些其他类型的密度）也是概率数论的研究对象。

与施尼勒尔曼密度不同，并不是任何自然数的子集都有自然密度。这是自然密度的一个不足之处。

## 定义

对于一个自然数集的子集$A$，当$n$趋向于无穷时，若$A$中不大于$n$的元素个数与$n$的比值收敛到$\alpha$，则称$A$的自然密度为$\alpha$。

更进一步，若定义$a(n)$为$A$里不大于$n$的元素个数，那么命题“$A$的自然密度为$\alpha$”等效于：

$\frac{a(n)}{n}\to\alpha$，当$n\to\infty$

从定义中可以看出，若$\alpha$是某个集合$A$的自然密度，则一定有$0\le\alpha\le 1$。

### 上自然密度

设$A$ 是自然数集$\mathbb{N}=\{1,2,\ldots\}$的一个子集。对任何$n\in\mathbb{N}$，定义$A(n)=\{1,2,\ldots,n\} \cap A$，$a(n)=|A(n)|$。

则$A$的上自然密度（upper asymptotic density）为：

$$\overline{d}(A) = \limsup_{n \rightarrow \infty} \frac{a(n)}{n}$$

其中$\limsup$是上极限。$\overline{d}(A)$也可简称为$A$的上密度。

### 下自然密度

同样地，定义A的下自然密度（lower asymptotic density）为：

$$\underline{d}(A) = \liminf_{n \rightarrow \infty} \frac{ a(n) }{n}$$

### 自然密度的其他定义方法

- 由上自然密度和下自然密度的定义，我们也可以说$A$的自然密度$d(A)$是：

若$\overline{d}(A)=\underline{d}(A)$，则$d(A)$等于$\overline{d}(A)$（或$\underline{d}(A)$）。

$d(A)=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a(n)}{n}$（若极限存在）

- 可以证明，下述命题也是自然密度的定义：

若将自然数集$\mathbb{N}$的子集$A$写作一个递增数列：

$$A=\{a_1<a_2<\ldots<a_n<\ldots; n\in\mathbb{N}\}$$

那么

$$\underline{d}(A) = \liminf_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{a_n},$$

$$\overline{d}(A) = \limsup_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{a_n}$$

$d(A) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{a_n}$（若极限存在）

### 推广

一个稍弱的密度定义是 上Banach密度（upper Banach density）。对于$A \subseteq \mathbb{N}$，定义$d^*(A)$为：

$$d^*(A) = \limsup_{N-M \rightarrow \infty} \frac{| A \cap \{M, M+1, \ldots , N\}|}{N-M+1}$$

## 性质

- 若对于集合$A$存在$d(A)$，则对于其补集$A^\complement$，$d(A^\complement)=1-d(A)$成立。
- 若$d(A)$，$d(B)$及$d(A\cup B)$均存在，则$\max\{d(A),d(B)\} \leq d(A\cup B) \leq \min\{d(A)+d(B),1\}$成立。
- 自然数集的自然密度为$1$，即$d(\mathbb{N})=1$成立。
- 对于自然数集的任意有限子集$F$, 有$d(F)=0$成立。
- 对于平方数集$A=\{n^2; n\in\mathbb{N}\}$，有$d(A)=0$成立。
- 对于偶数集$A=\{2n; n\in\mathbb{N}\}$，有$d(A)=0.5$成立。更一般地，对于等差级数组成的集合$A=\{an+b; n\in\mathbb{N}\}$，有$d(A)=\frac1{a}$成立。
- 对于质数集合$P$，由质数定理知：$d(P)=0$成立。
- 无平方数因数的数的集合的自然密度为$\frac{6}{\pi^2}$。更一般地，无$n$次方因数的数的集合的自然密度为$\frac{1}{\zeta(n)}$，其中$\zeta(n)$是黎曼ζ函数。
- 过剩数集合具有非零的自然密度。Marc Deléglise在1998年证明了过剩数和完全数的集合的自然密度在0.2474与0.2480之间。
- 所有在二进制表示法中位数为奇数的自然数的集合，即$A=\bigcup\limits_{n=0}^\infty \{2^{2n},\ldots,2^{2n+1}-1\}$，不存在自然密度。这是因为该集合的上自然密度不等于下自然密度。

其上自然密度为：

$$\overline d(A)=\lim_{m \rightarrow \infty} \frac{1+2^2+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1} = \lim_{m \rightarrow \infty} \frac{2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)} = \frac 23$$

而其下自然密度为：

$$\underline d(A)=\lim_{m \rightarrow \infty} \frac{1+2^2+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}= \lim_{m \rightarrow \infty} \frac{2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}= \frac 13$$

- 同样，所有十进制表示法中以$1$开头的自然数的集合也不具有自然密度。其上自然密度为$\frac 59$而其下自然密度为$\frac 19$。
- 对区间0,1上的任意Equidistributed序列$\{\alpha_n\}_{n\in\N}$，定义单调集族$\{A_x\}_{x\in[0,1]}$:

$$A_x:=\{n\in\mathbb{N}\,:\, \alpha_n<x \}$$

则依定义有：

对于任意的$x$，$d(A_x)= x$。

- 若$S$有正的上自然密度，则塞迈雷迪定理表明$S$包含了任意长度的等差数列。Furstenberg–Sárközy定理表明，$S$内一定存在差为平方数的两个元素。

## 其他密度函数

用类似的方法可以定义出自然数集上的其他密度函数。例如，集合$A$的对数密度（logarithmic density）可以定义为：

$\mathbf{\delta}(A) = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{\log x} \sum_{n \in A, n \le x} \frac{1}{n}$（若极限存在）

同样也可以定义对应的上对数密度和下对数密度。