快度

在相对论中，快度通常被用来衡量相对论效应下的速度。在数学上，快度可以被定义成一个双曲角，这个角能够反映两个存在相对运动的参考座标系之间的差异——它们的时空坐标为洛仑兹变换所联系。

对于一维运动，快度可以简单相加，而速度必须套用爱因斯坦的速度加成式。在低速的情况下，快度和速度是成比例的，但是对于更高速的状况下，快度将增长得更快。特别地，光的速度为光速，而光的快度是无限大。

我们使用反双曲函数artanh来定义快度，当速度为v时，其对应的快度w是w = artanh(v / c)，其中c是光速。速度较慢时，w约为v / c。由于在相对论中，速度v被局限于区间−c < v < c，因此比率v / c将满足−1 < v / c < 1。反双曲正切函数的定义域为(−1, 1)，而值域为整条实数线，所以可以将区间−c v c映射到−∞ w w即为快度，同时w也是从点$( 1 , 1 )$ 到点$( e^w , \ e^{-w} )$与原点所构成的双曲线扇形面积。也有许多笔者在讨论标准闵考斯基图时，会使用单位双曲线$x^2 - y^2$，将快度作为参数曲线的参数。而此时的坐标可以用时钟和米尺来测量，并选用更加常见的基准，这也是时空理论的基础。所以快度作为光束空间的双曲参数，这样的描述是参考了十七世纪时超越函数理论的发展，以及闵考斯基图。

## 在一维空间中

快度w出现在劳伦兹变换的线性表示法中，此时劳伦兹变换被表示为向量－矩阵乘积

$$<pre> \begin{pmatrix} c t' \\ x' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh w & -\sinh w \\ -\sinh w & \cosh w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct \\ x \end{pmatrix} = \mathbf \Lambda (w) \begin{pmatrix} ct \\ x \end{pmatrix}$$

矩阵Λ(w)为$\begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}$的形式，其中p和q满足关系p2 - q2 = 1，因此(p, q)将会落在上。这样的矩阵形成了不定正交群 O(1,1)，伴随着由单位反对角矩阵所张出的一维李代数，显示出快度是这个李代数上的座标，这个作用可在闵考斯基图上被描绘出来。

在矩阵指数表示法中，Λ(w)可以被表示为$\mathbf \Lambda (w) = e^{\mathbf Z w}$，其中Z是矩阵

$$\mathbf Z = <pre> \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$

不难证明

$$\mathbf{\Lambda}(w_1 + w_2) = \mathbf{\Lambda}(w_1)\mathbf{\Lambda}(w_2)$$

这显现出了快度实用的求和性质：若A，B和 C为参考座标系，则

$$w_{\text{AC}}= w_{\text{AB}} + w_{\text{BC}}$$

其中 wPQ 表示了参考座标系Q相对于参考座标系P的快度。与速度加成式相比，这个式子更为简洁。

我们可以从上述的劳伦兹转换看出，劳伦兹因子等同于cosh w

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} \equiv \cosh w$$

因此快度w作为一个双曲角，隐含在劳伦兹转换中的γ和β中。我们将快度与速度加成式联系在一起

$$u=(u_1+u_2)/(1+u_1u_2/c^2)$$

借由

$$\beta_i = \frac{u_i}{c} = \tanh{w_i}$$

从而得到

$$<pre> \begin{align} \tanh w &= \frac{\tanh w_1 +\tanh w_2}{1+\tanh w_1\tanh w_2} \\ &= \tanh(w_1+ w_2) \end{align} </pre>$$

β和γ的乘积时常出现，从先前的讨论可知

$$\beta \gamma = \sinh w \,$$

固有加速度（一个加速物体实质感受到的加速度）是快度对于固有时间（一个加速物体本身所量测到的时间）的变化率。假想在物体的运动过程中，与加速中的物体保持相对静止的一系列“非物理的”参考系，若在这个非物理的惯性系中非相对论性地计算物体的速度，则计算结果将是这个物体的快度。

### 指数和对数关系

由上述的表达式可以得到

$$e^{w} = \gamma(1+\beta) = \gamma \left( 1 + \frac{v}{c} \right) = \sqrt \frac{1 + \tfrac{v}{c}}{1 - \tfrac{v}{c}}$$

因此

$$e^{-w} = \gamma(1-\beta) = \gamma \left( 1 - \frac{v}{c} \right) = \sqrt \frac{1 - \tfrac{v}{c}}{1 + \tfrac{v}{c}}$$

或是更加清楚地表示为

$$w = \ln \left[\gamma(1+\beta)\right] = -\ln \left[\gamma(1-\beta)\right] \,$$

相对论性都普勒效应因子与快度w的关系为$k = e^w$。

## 在多维空间中

相对论性速度$\boldsymbol \beta$与快度$\mathbf{w}$为下列关系所联系

$$\mathfrak{so}(3,1) \supset \mathrm{span}\{K_1, K_2, K_3\} \approx \mathbb{R}^3 \ni \mathbf{w} = \boldsymbol{\hat{\beta}} \tanh^{-1}\beta, \quad \boldsymbol{\beta} \in \mathbb{B}^3,$$

其中的向量$\mathbf w$是劳仑兹群对应的李代数$\mathfrak{o}(3, 1) \approx \mathfrak{so}(3, 1)$中，由三个$K_1, K_2, K_3$张成的三维线性子空间上的座标。而这可以完全类比至上述一维情况时的$\mathfrak{o}(1, 1)$。因为光速$c$是速度量值的上限（选用单位使得$c = 1$），所以速度符合条件$|\beta| < 1$，因此速度空间可以用一个半径为$1$的开球$\mathbb B^3$表示。

一般性的快度求和公式为

$\mathbb R^3$

$$\mathbf w = \boldsymbol{\hat \beta}\tanh^{-1}\beta, \quad \boldsymbol \beta = \boldsymbol \beta_1 \oplus \boldsymbol \beta_2,$$

其中$\boldsymbol \beta_1 \oplus \boldsymbol \beta_2$对应到速度加成式，$\boldsymbol \hat \beta$是$\boldsymbol \beta$方向上的单位向量。这个运算不符合交换律与结合律。斜向角度为$\theta$的快度$\mathbf w_1, \mathbf w_2$之和的模$w \equiv |\mathbf w|$（欧氏空间中的长度）由给出

$$\cosh w=\cosh w_1\cosh w_2 +\sinh w_1\sinh w_2 \cos \theta$$

快度空间上的几何结构，透过对应的映射继承了速度空间上的双曲几何。相应地，这个几何结构可以从相对论性速度的求和公式来推得。因此，二维空间中的快度空间可以有效地透过庞加莱圆盘模型来想像，其上的测地线会对应到匀加速运动。三维空间中的快度空间，可以透过同样的方法，与双曲面模型建立。闵考斯基时空的几何条目中有更多相关的细节。

两个快度的相加变换并非只是获得一个新的快度值，整体的变换是由上述求和式给出的快度、透过向量$\boldsymbol \theta$来参数化的旋转，两者组合而成。

$$\Lambda = e^{-i\boldsymbol \theta \cdot \mathbf J}e^{-i\mathbf w \cdot \mathbf K}$$

这里使用到了物理学家惯用的指数映射。

这是交换法则所致的结果

$$[K_i,K_j] = -i\epsilon_{ijk}J_k$$

其中$J_k$是旋转群的生成元，$(k = 1, 2, 3)$，这与汤玛斯进动现象有关。连结中的文章有关于参数$\boldsymbol \theta$的计算方法。

## 在粒子物理中

一个非零（静止）质量m粒子的能量E以及动量的大小 为：

$$E = \gamma mc^2$$

$$| \mathbf p | = \gamma mv$$

透过快度w的定义

$$w = \operatorname{artanh} \frac{v}{c}$$

并且

$$\cosh w = \cosh \left( \operatorname{artanh} \frac{v}{c} \right) = \frac {1}{ \sqrt { 1- \frac{v^2}{c^2} }} = \gamma$$

$$\sinh w = \sinh \left( \operatorname{artanh} \frac{v}{c} \right) = \frac {\frac{v}{c}}{ \sqrt { 1- \frac{v^2}{c^2} }} = \beta \gamma$$

能量和动量大小可以被表示为

$$E = m c^2 \cosh w$$

$$| \mathbf p | = m c \, \sinh w$$

所以快度可以用测量到的能量与动量大小透过下式来计算得出：

$$w = \operatorname{artanh} \frac{| \mathbf p | c}{E}= \frac{1}{2} \ln \frac{E + | \mathbf p | c}{E - | \mathbf p | c}$$

然而实验粒子物理学家常使用修改过的、相对于粒子束的快度定义

$$y = \frac{1}{2} \ln \frac{E + p_z c}{E - p_z c}$$

其中pz是沿着粒子束方向的动量分量。这是从“实验室参考系”到一个“粒子运动方向与粒子束方向垂直的参考系”的劳伦兹变换所对应的快度，相关的概念可以参考条目赝快度。