精度衰减因子

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在卫星导航领域，精度衰减因子（Dilution of precision）是一类衡量用户在进行GNSS测量时所具备的几何条件的定量指标，又简称为DOP值或精度因子。DOP值的大小取决各导航卫星在用户视场中的分布情况，反映了用户与卫星之间组成的几何图形对测距误差的放大作用：在相同测距精度的条件下，DOP值越低，表明该用户与卫星之间组成的几何图形越为健壮，对测距误差的放大作用越小，GNSS服务提供的导航精度越高。

精度衰减因子的概念最早用于20世纪中期问世的远距离无线电导航系统，自GPS问世后则更多地见于卫星导航领域。由于卫星导航系统采用交会测量的方式确定用户的位置，当测距误差相同时，两个方向上更加接近的发射天线，较两个在各方向分布更为均匀的发射天线会交会出更大的误差范围。两种情况下误差范围的差异并非源于用户自身的测距误差，而是源于几何图形的差异。对于用户来说，其自身的导航精度相较于理想情况发生了“衰减”，或者说被“稀释”了，“精度衰减因子”或“精度稀释因子”也因此得名。

## 数学定义

### 函数模型

在GNSS提供的标准定位服务下，用户获取自身位置的原理是观测各导航卫星播发出的导航信号，通过搭载在导航信号上的测距码获取卫星与用户接收机之间的距离，并通过同样搭载在导航信号上的导航电文获取卫星的位置，以及卫星的钟误差、电离层延迟等测距误差的改正信息。在测量过程中，接收机获得距离观测值受到钟误差以及传播过程中的大气延迟等因素的影响，与两者间的几何距离有所差异，因而又被称作“伪距”。设接收机 $\text{r}$ 观测到其与卫星 $\text{s}$ 之间的伪距为 $p^\text{s}_\text{r}$，并设两者间的几何距离为 $\rho^\text{s}_\text{r}$，两者间的关系由伪距观测方程描述：

$$p^\text{s}_\text{r} = \rho^\text{s}_\text{r} + (dt_\text{r}-dt_\text{s}) + I^\text{s}_\text{r} + T^\text{s}_\text{r} + \varepsilon^\text{s}_\text{r}$$

其中，$dt_\text{r}$ 和 $dt^\text{s}$ 分别表示接收机钟和卫星钟在引入的钟误差；$I^\text{s}_\text{r}$ 和 $T^\text{s}_\text{r}$ 分别表示导航信号在传播过程中经受的电离层延迟与对流层延迟；其他未改正的误差项则以 $\varepsilon^\text{s}_\text{r}$ 表示，在标准单点定位的模型下被假设为随机误差。

在伪距观测方程中，卫星的钟误差 $dt^\text{s}$、电离层延迟 $I^\text{s}_\text{r}$ 与对流层延迟 $T^\text{s}_\text{r}$ 可以通过导航电文及其他模型进行预先计算，而接收机的钟误差 $dt_\text{r}$ 则和用户的三维坐标 $(e_\text{r},n_\text{r},u_\text{r})$ 一起作为未知参数进行估计。当同时观测到 $n$ 颗导航卫星时，未知参数可由各伪距观测方程进行联立求解：

$$\begin{pmatrix} <pre> \hat{p}^\text{1}_\text{r} \\ \hat{p}^\text{2}_\text{r} \\ \vdots \\ \hat{p}^\text{n}_\text{r} </pre> \end{pmatrix} <pre> = \begin{pmatrix} \frac{\partial\rho^1_\text{r}}{\partial{e}_\text{r}} & \frac{\partial\rho^1_\text{r}}{\partial{n}_\text{r}} & \frac{\partial\rho^1_\text{r}}{\partial{u}_\text{r}} & 1 \\ \frac{\partial\rho^2_\text{r}}{\partial{e}_\text{r}} & \frac{\partial\rho^2_\text{r}}{\partial{n}_\text{r}} & \frac{\partial\rho^2_\text{r}}{\partial{u}_\text{r}} & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \frac{\partial\rho^n_\text{r}}{\partial{e}_\text{r}} & \frac{\partial\rho^n_\text{r}}{\partial{n}_\text{r}} & \frac{\partial\rho^n_\text{r}}{\partial{u}_\text{r}} & 1 </pre> \end{pmatrix} <pre> \cdot </pre> \begin{pmatrix} <pre> \hat{e}_\text{r} \\ \hat{n}_\text{r} \\ \hat{u}_\text{r} \\ \hat{dt}_\text{r} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -dt_\text{1} + I^\text{1}_\text{r} + T^\text{1}_\text{r} \\ -dt_\text{2} + I^\text{2}_\text{r} + T^\text{2}_\text{r} \\ \vdots \\ -dt_\text{n} + I^\text{n}_\text{r} + T^\text{n}_\text{r} </pre> \end{pmatrix}$$

式中，$\hat{p}^\text{s}_\text{r}$ 与 ${(\hat{e}_\text{r},\hat{n}_\text{r},\hat{u}_\text{r},\hat{dt}_\text{r})}^\text{T}$ 分别表示各伪距观测值和未知参数的无偏估计值，分别以向量 $\hat{\mathbf{p}}$ 和向量 $\hat{\mathbf{x}}$ 表示，在以 $\mathbf{l}$ 代表方程组中的常数项，该方程组亦可写作：

$$\hat{\mathbf{p}} = \mathbf{H}\hat{\mathbf{x}}+ \mathbf{l}$$

其中设计矩阵 $\mathbf{H}$ 代表方程组的各项系数，也是向量 $\hat{\mathbf{p}}$ 和向量 $\hat{\mathbf{x}}$ 之间函数关系的线性表示。

当上述方程组展开于原始观测值 $\mathbf{p}_0$ 和参数近似数 $\mathbf{x}_0$ 处时，两向量与其近似值的差异之间的数学关系亦由设计矩阵决定，即：

$$d\mathbf{p} = \mathbf{H}d\mathbf{x}$$

$$d\mathbf{p} = \hat{\mathbf{p}}-\mathbf{p}_0$$

$$d\mathbf{x} = \hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}_0$$

由于向量 $\mathbf{x}$ 的维数为4，当方程组中方程的数量 $n$ 满足 $n \ge 4$ 时，由该方程组组成的平差模型才有解。其中，当 $n = 4$ 时，该平差模型可得到唯一解 $d\mathbf{x}=\mathbf{H}^{-1}d\mathbf{p}$；而当 $n > 4$ 时，该平差模型有无数解，其中满足最小二乘准则的估计解为：

$$d\mathbf{x} = \left(\mathbf{H}^\text{T}\mathbf{H}\right)^{-1}\mathbf{H}^\text{T}d\mathbf{p}$$

式中的 $\left(\mathbf{H}^\text{T}\mathbf{H}\right)^{-1}\mathbf{H}^\text{T}$ 被称为设计矩阵 $\mathbf{H}$ 的伪逆。

### 随机模型

由于 $d\mathbf{p}$ 为随机误差，且 $d\mathbf{x}$ 与 $d\mathbf{p}$ 具有线性关系，因而 $d\mathbf{x}$ 亦可以随机误差进行描述，两者均具有方差、协方差和期望值等统计性质。$d\mathbf{x}$ 值的协因数阵 $\operatorname{cov}(d\mathbf{x})$ 可表示为：

$$\operatorname{cov}(d\mathbf{x}) <pre> = \begin{pmatrix} \sigma^2_{e_\text{r}} & \sigma^2_{e_\text{r}n_\text{r}} & \sigma^2_{e_\text{r}u_\text{r}} & \sigma^2_{e_\text{r}dt_\text{r}} \\ \sigma^2_{e_\text{r}n_\text{r}} & \sigma^2_{n_\text{r}} & \sigma^2_{n_\text{r}u_\text{r}} & \sigma^2_{n_\text{r}dt_\text{r}} \\ \sigma^2_{e_\text{r}u_\text{r}} & \sigma^2_{n_\text{r}u_\text{r}} & \sigma^2_{u_\text{r}} & \sigma^2_{u_\text{r}dt_\text{r}} \\ \sigma^2_{e_\text{r}dt_\text{r}} & \sigma^2_{n_\text{r}dt_\text{r}} & \sigma^2_{u_\text{r}dt_\text{r}} & \sigma^2_{dt_\text{r}dt_\text{r}} \\ \end{pmatrix}$$

其中，对角线上的元素为各参数的方差，非对角线上的元素为各参数与其他参数的协方差。

根据协因数传播定律， $d\mathbf{x}$ 与 $d\mathbf{p}$ 的协因数阵满足如下关系：

$$\begin{align} \operatorname{cov}(d\mathbf{x}) <pre> &= \operatorname{E}\left[d\mathbf{x}d\mathbf{x}^\text{T}\right] \\ &= \operatorname{E}\left[{\left(\mathbf{H}^\text{T}\mathbf{H}\right)}^{-1} \mathbf{H}^\text{T}d\mathbf{p}d\mathbf{p}^\text{T}\mathbf{H} {\left(\mathbf{H}^\text{T}\mathbf{H}\right)}^{-1}\right] \\ &= {\left(\mathbf{H}^\text{T}\mathbf{H}\right)}^{-1}\mathbf{H}^\text{T} \operatorname{cov}(d\mathbf{p}) \mathbf{H}{\left(\mathbf{H}^\text{T}\mathbf{H}\right)}^{-1} </pre> \end{align}$$

式中运算符 $\operatorname{cov}(\cdot)$ 和 $\operatorname{E}(\cdot)$ 分别表示取协因数与取期望值。

### DOP值的定义

为构建一个符合DOP值定义的简单模型，假设各观测值包含的测距误差是相互独立且大小相等的，这样的测距误差通常以用户等效测距误差（User Equivalent Range Error，缩写：UERE）$\sigma_\text{UERE}$ 表示，即：

$$\operatorname{cov}(d\mathbf{p}) = I_{n{\times}n}\sigma^2_\text{UERE}$$

式中 $I_{n{\times}n}$ 为 $n$ 维的单位矩阵。

根据协因数传播律，有：

$$\operatorname{cov}(d\mathbf{x}) = \left(\mathbf{H}^\text{T}\mathbf{H}\right)^{-1}\sigma^2_\text{UERE}$$

此时，用户总的定位和授时误差以各参数的方差描述，以几何误差 $\sigma_\text{G}$ 为例，其大小等于参数的方差之和的平方根，也即矩阵 $\operatorname{cov}(d\mathbf{x})$ 的迹 $\operatorname{tr}\left[\operatorname{cov}(d\mathbf{x})\right]$ 的平方根：

$$\sigma_\text{UERE} = \sqrt{\sigma^2_{e_\text{r}}+\sigma^2_{n_\text{r}}+\sigma^2_{u_\text{r}}+\sigma^2_{dt_\text{r}}} <pre> = \sqrt{\operatorname{tr}\left[\operatorname{cov}(d\mathbf{x})\right]}$$

因而，可定义精度衰减因子为该几何误差 $\sigma_\text{G}$ 和测距误差 $\sigma_\text{UERE}$ 的比值：

$$\text{(G)DOP} = \frac{\sigma _{\text{G}}}{\sigma_\text{UERE}} <pre> = \frac{\sqrt{\operatorname{tr}\left[\operatorname{cov}(d\mathbf{x})\right]}}{\sigma_\text{UERE}} = \sqrt{\operatorname{tr}\left[\left(\mathbf{H}^\text{T}\mathbf{H}\right)^{-1}\right]}$$

该DOP值也被称作几何精度衰减因子（Geometric Dilution of Precision），简称GDOP值。

若将矩阵 $\left(\mathbf{H}^\text{T}\mathbf{H}\right)^{-1}$ 展开作：

$${\left(\mathbf{H}^\text{T}\mathbf{H}\right)}^{-1} <pre> = \begin{pmatrix} D_{11} & D_{12} & D_{13} & D_{14} \\ D_{21} & D_{22} & D_{23} & D_{24} \\ D_{31} & D_{32} & D_{33} & D_{34} \\ D_{41} & D_{42} & D_{43} & D_{44} \\ \end{pmatrix}$$

GDOP值亦可表示为：

$$\text{GDOP} = \sqrt{D_{11}+D_{22}+D_{33}+D_{44}} = \sqrt{\operatorname{tr}\left[\left(\mathbf{H}^\text{T}\mathbf{H}\right)^{-1}\right]}$$

类似地，还可定义与其他误差项关联的精度衰减因子，如与点位误差 $\sigma _{\text{P}}$ 相关的点位精度衰减因子（Position Dilution of Precision，缩写：PDOP）、与平面误差 $\sigma _{\text{H}}$ 相关的平面精度衰减因子（Horizontal Dilution of Precision，缩写：HDOP）、与高程误差 $\sigma _{\text{V}}$ 相关的高程精度衰减因子（Vertical Dilution of Precision，缩写：VDOP）、与接收机钟差误差 $\sigma _{\text{T}}$ 相关的时间精度衰减因子（Time Dilution of Precision，缩写：TDOP）等等：

- $$\text{PDOP} = \frac{\sigma _{\text{P}}}{\sigma_\text{UERE}} <pre> = \frac{\sqrt{\sigma^2_{e_\text{r}}+\sigma^2_{n_\text{r}}+\sigma^2_{u_\text{r}}}}{\sigma_\text{UERE}} = \sqrt{D_{11}+D_{22}+D_{33}}$$
- $$\text{HDOP} = \frac{\sigma _{\text{H}}}{\sigma_\text{UERE}} <pre> = \frac{\sqrt{\sigma^2_{e_\text{r}}+\sigma^2_{n_\text{r}}}}{\sigma_\text{UERE}} = \sqrt{D_{11}+D_{22}}$$
- $$\text{VDOP} = \frac{\sigma _{\text{V}}}{\sigma_\text{UERE}} <pre> = \frac{\sigma^2_{u_\text{r}}}{\sigma_\text{UERE}} = \sqrt{D_{33}}$$
- $$\text{TDOP} = \frac{\sigma _{\text{T}}}{\sigma_\text{UERE}} <pre> = \frac{\sigma^2_{dt_\text{r}}}{\sigma_\text{UERE}} = \sqrt{D_{44}}$$

由各表达式可以得出，上述DOP间满足如下关系：

$$\text{GDOP} = \sqrt{\text{PDOP}^2+\text{TDOP}^2} = \sqrt{\text{HDOP}^2+\text{VDOP}^2+\text{TDOP}^2}$$

## 数值大小

由于设计矩阵 $\mathbf{H}$ 中仅包含了站星矢量在各坐标轴方向上的投影，DOP值的大小也仅取决于接收机观测到的各导航卫星在天空中的分布情况。假设在没有任何遮挡的情况下，用户可以观测到整个天球中的卫星，此时若用户处于 $n$ 颗卫星所构成的均匀多面体的中心，能取得的最小GDOP值为 $\sqrt{10/n}$。而当设置有大于零度的截止高度角 $E$，即用户只能观测到该截止高度角以上的卫星时，最小的GDOP值出现在有一颗或多颗卫星位于天顶，其余卫星均匀分布在截止高度角 $E$ 定义的等高圈处。受到截止高度角的限制，DOP值的大小通常在1以上。但对于低轨卫星等具有负截止高度角视野的用户，DOP值的大小有可能小于1，对用户的测距误差起到削弱的作用。

### 四颗卫星的情况

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当卫星数量为4时，设计矩阵 $\mathbf{H}$ 是一个方阵。取一颗卫星位于天顶处，其他三颗卫星围绕截止高度角 $E$ 所在的等高圈间隔120°均匀分布，此时设计矩阵 $\mathbf{H}$ 中的各项元素为：

$$H = <pre> \begin{pmatrix} \cos{E} & 0 & \sin{E} & 1 \\ -\displaystyle{\frac{1}{2}}\cos{E} & \displaystyle{\sqrt{\frac{3}{4}}}\cos{E} & \sin{E} & 1 \\ -\displaystyle{\frac{1}{2}}\cos{E} & -\displaystyle{\sqrt{\frac{3}{4}}}\cos{E} & 1 & 1 \\ 0 & 0 & \sin{E} & 1 \\ \end{pmatrix}$$

可计算出矩阵 $\left(\mathbf{H}^\text{T}\mathbf{H}\right)^{-1}$ 中，对角线上的各项元素为：

- $$D_{11} = D_{22} = \frac{2}{3}\sec^2{E}$$
- $$D_{33} = \frac{4}{3}\left(\cos^2\frac{E}{2}-\sin^2\frac{E}{2}\right)^{-4}$$
- $$D_{44} = \frac{1}{6}\left(\cos^2\frac{E}{2}-\sin^2\frac{E}{2}\right)^{-4}\left(5-3\cos{2E}\right)$$

该条件下计算出各DOP值的函数图像如右图所示。当 $E>0$ 时，GDOP值和PDOP值的随 $E$ 的下降而逐渐减小，这一趋势一直维持到 $E = \sin^{-1}(-1/3) = -19.47^\circ$ 时。当 $E = -19.47^\circ$ 时，位于同一平面上的三颗卫星与天顶处的卫星组成了一个正四面体，其体积相较于其他情况下组成的图形是最大的，此时最小的GDOP值为 $\sqrt{5/2} = 1.5811$。当 $E$ 继续下降时，GDOP值与PDOP值逐渐缓慢增大，而VDOP与TDOP值继续减小。HDOP值则在 $E = 0^\circ$ 处取得最小值 $\sqrt{4/3} = 1.154$。

## 应用情况

在实际应用中，DOP值常用于GNSS测量时间段的规划，或者是在接收机能观测的最大卫星数量受限时挑选视场中的卫星以构成更佳的几何图形。在使用GNSS进行工程测量等应用时，通常也会对DOP值的最大值作出要求，如中国大陆使用的国家标准GB 50026-2007《工程测量规范》中即要求：“四等及以上等级限定为 PDOP≤6，一、二级限定为 PDOP≤8”。

DOP值｜等级｜含义

1｜理想｜置信度水平高

2－4｜优秀｜置信度水平满足所有的应用需求

4－6｜良好｜置信度水平满足高精度应用需求

6－8｜中等｜置信度水平满足大部分应用需求

8－20｜一般｜置信度水平较低，应评估应用风险

20－50｜很差｜置信度水平很差，基本无法满足应用需求