居里定律

居里定律是指在顺磁性材料中，材料的磁化强度大致与施加的磁场强度成正比。然而，若加热材料，则比值减小。对于固定场强的磁场，磁化率大致与温度成反比。

$$\mathbf{M} = C \cdot \frac{\mathbf{B}}{T},$$

其中

$\mathbf{M}$是磁化强度

$\mathbf{B}$是磁感应强度

$T$是温度，以开尔文为单位

$C$是材料的居里常数

居里定律是在实验中由皮埃尔·居里得到的，它适用于相对高温及弱磁场的条件下。而从其物理本源上推导，则能得到在低温和强磁场条件下，磁化强度趋于饱和的结果，而非由定律预言的持续增加。

## 用量子力学推导

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顺磁体简单的数学模型可以看作由没有相互作用的粒子组成。每一个粒子都有磁矩$\vec{\mu}$。磁场中磁矩的能量由下式给出：

$$E=-\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}.$$

### 双态 (自旋-½)粒子

为简化计算，可将顺磁体内的粒子看作是双态粒子：其磁矩与磁场的方向要么平行要么相反。因此，磁矩的可能值只能是$\mu$或者$-\mu$。如果是这样，那么这样的粒子只有两种可能的能量

$$E_0 = - \mu B$$

以及

$$E_1 = \mu B.$$

顺磁体的磁化强度一般意味着粒子磁矩与磁场同向的可能性。换句话说，就是磁化强度$\mu$的期望值：

$$\left\langle\mu\right\rangle = \mu P\left(\mu\right) + (-\mu) P\left(-\mu\right) <pre> = {1 \over Z} \left( \mu e^{ \mu B\beta} - \mu e^{ - \mu B\beta} \right) = {2\mu \over Z} \sinh( \mu B\beta),$$

其中，每一种情况的概率由其玻尔兹曼因子给出，配分函数$Z$为概率提供必要的归一化（即所有这些概率的总和是归一的）。

一个粒子的配分函数是

$$Z = \sum_{n=0,1} e^{-E_n\beta} = e^{ \mu B\beta} + e^{-\mu B\beta} = 2 \cosh\left(\mu B\beta\right).$$

因此，在双态粒子简单的情形中，下式会成立

$$\left\langle\mu\right\rangle = \mu \tanh\left(\mu B\beta\right).$$

这是单个粒子的磁化强度，固体的总磁化强度由下式给出

$M = n\left\langle\mu\right\rangle = n \mu \tanh\left({\mu B\over k T}\right)$

其中n是磁矩的数密度。上式被称为朗之万顺磁方程。

皮埃尔·居里（Pierre Curie）在实验中发现：当顺磁体处于相对较高的温度和较低的磁场中，这个定律的近似成立。在$T$值较大且$B$值较小时，上式中双曲正切的自变量减少，即：

$$\left({\mu B\over k T}\right) \ll 1$$

上式有时被称为 居里区间. 同时，如果$|x| \ll 1$，那么$\tanh x \approx x$，因此

$\mathbf{M}(T\rightarrow\infty)={n\mu^2\over k}{\mathbf{B}\over T},$

因此磁化强度也很小，有$B \approx \mu_0 H$，可以得到

$$M \approx \frac{\mu_0 \mu^2 n}{k} \frac{H}{T},$$

更重要的一点是，磁化率由下式给出

$$\chi = \frac{\partial M}{\partial H} \approx \frac{M}{H}$$

即

$$\chi(T \to \infty) = \frac{C}{T},$$

其中 居里常数 $C = \mu_0 n\mu^2/k$，其单位是开尔文 (K)。

在低温或高场的情况下，$M$趋向于$n\mu$的最大值，对应于所有粒子与场完全对齐。由于这个计算没有描述嵌入费米表面深处的电子，泡利不相容原理禁止其自旋翻转，所以它没有举例说明这个问题在低温下的量子统计。根据费米-狄拉克分布，在低温下$M$线性依赖于磁场，因此磁化率饱和到一个常数。

### 一般情况

当粒子具有任意自旋（任意数量的自旋状态）时，公式有点复杂。

在低磁场或高温下，自旋遵循居里定律，居里常数

$C = \frac{\mu_B^2}{3 k_B}n g^2 J(J+1)$

其中 $J$是总角动量量子数，$g$ 是 自旋的$g$因子 (例如 $\mu = g J \mu_B$ 是磁量子数)。

对于更一般的公式及其推导（包括高场强，低温），请参阅文章：布里渊函数。当自旋接近无穷大时，磁化公式接近下一节中推导的经典值。

## 用经典统计力学推导

当顺磁子被想象为经典的、自由旋转的磁矩时，适用另一种处理方法。在这种情况下，它们的位置将由它们在球坐标中的角度确定，其中一个粒子的能量是

$$E = - \mu B\cos\theta,$$

其中 $\theta$ 是磁矩和磁场之间的角度（假设磁场指向$z$轴）。对应的配分函数为

$$Z = \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi}d\theta \sin\theta \exp( \mu B\beta \cos\theta).$$

可以看出上式中被积函数对 $\phi$ 角没有依赖性，令 $y=\cos\theta$ 以获得

$$Z = 2\pi \int_{-1}^ 1 d y \exp( \mu B\beta y) = 2\pi{\exp( \mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta }= {4\pi\sinh( \mu B\beta ) \over \mu B\beta .}$$

现在，磁化强度的$z$分量的预期值（另外两个被视为零，由于在$\phi$上的积分），由下式给出

$$\left\langle\mu_z \right\rangle = {1 \over Z} \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi}d\theta \sin\theta \exp( \mu B\beta \cos\theta) \left[\mu\cos\theta\right] .$$

为简化计算, 可以将其写作$Z$微分：

$$\left\langle\mu_z\right\rangle = {1 \over Z \beta} \frac{\partial Z}{\partial B} = {1 \over \beta} \frac{\partial \ln Z}{\partial B}$$

（这种方法也可以用于上面的模型，但计算非常简单，所以没有那么有用。）

继续推导发现

$$\left\langle\mu_z\right\rangle = \mu L(\mu B\beta),$$

其中 $L$ 是郎之万函数:

$$L(x)= \coth x -{1 \over x}.$$

对于小 $x$，此函数似乎是奇异的，但事实并非如此，因为两个奇异项相互抵消。事实上，它对小参数的极限是$L(x) \approx x/3$，因此居里极限也适用，但在这种情况下，居里常数要小三倍。同样，对于其参数的较大值，函数在 $1$ 处饱和，并且同样会恢复相反的极限。