同态滤波

同态滤波是一种广泛用于信号和图像处理的技术，将原本的信号经由非线性映射，转换到可以使用线性滤波器的不同域，做完运算后再映射回原始域。同态的性质就是保持相关的属性不变，而同态滤波的好处是将原本复杂的运算转为效能相同但相对简单的运算。这个概念在1960年代由Thomas Stockham，Alan V. Oppenheim和Ronald W. Schafer在麻省理工学院提出。

## 基本原理

在线性非时变系统中，常见的讯号合成方式为折积（Convolution）。同态讯号处理透过一系列的数学转换，将折积运算转化为加法运算。此转换过程通常包含以下步骤：

- 将原始讯号 $x[n]$ 进行傅立叶转换（FT）或 Z转换。
- 取其频谱结果的对数（Logarithm）。
- 进行反傅立叶转换（IFT）或反 Z转换，得到“倒频谱”（Cepstrum） $\hat{x}[n]$。

举例而言，若观察讯号为两讯号的折积 $y[n] = x[n] * h[n]$：

- 经过傅立叶转换后，频域变为相乘：$X(F) \times H(F)$。
- 取对数后，变为相加关系：$\hat{X}(F) + \hat{H}(F)$。
- 经过反傅立叶转换后，在倒频谱域中成为相加：$\hat{x}[n] + \hat{h}[n]$。

## 专有名词

同态讯号处理衍生出一套将频谱相关名词重新组合的特殊术语：

- 倒频谱（Cepstrum）：由频谱（Spectrum）的字首重组而来，表示讯号经过对数傅立叶转换后的结果。
- 倒频率（Quefrency）：由频率（Frequency）的字首重组而来，做为倒频谱的横轴单位。
- 倒滤波器（Lifter）：由滤波器（Filter）重组而来，指在倒频谱域中对讯号进行滤除或保留特定成分的操作。

## 倒频谱的计算方法

计算复数倒频谱（Complex Cepstrum）主要有以下几种数学方法：

- 反离散时间傅立叶转换法：直接将 $\hat{X}(F) = \log|X(F)| + j \arg[X(F)]$ 进行反转换。然而这种方法在处理对数的虚部时，容易遭遇相位模糊（Phase ambiguity）的问题。
- Z转换极点与零点法：将 Z转换 $X(Z)$ 表示为极点与零点的连乘积，取对数后展开为泰勒级数（Taylor series expansion）进行逆转换。
- 递回算法：利用对数的微分特性 $Z \cdot \hat{X}'(Z) = Z \cdot \frac{X'(Z)}{X(Z)}$ 推导出 $x[n]$ 与 $\hat{x}[n]$ 之间的递回公式。此方法相当适合处理最小相位（Minimum phase）序列或最大相位（Maximum phase）序列。

### 倒频谱的数学特性

- 倒频谱 $\hat{x}[n]$ 随着 $|n|$ 的增加，其数值衰减速度至少与 $\frac{1}{n}$ 一样快。
- 若输入讯号 $x[n]$ 是长度有限的序列，其倒频谱 $\hat{x}[n]$ 通常具有无限长的持续时间（IIR 特性）。
- 对于最小相位序列，其倒频谱在 $n < 0$ 时全为 0；对于最大相位序列，其倒频谱在 $n > 0$ 时全为 0。

## 技术比较

同态滤波利用对数变换将卷积操作转换为加法操作。例如，对于信号$x[n] * h[n]$，其傅立叶变换为$X(F) \times H(F)$，经对数变换后成为$\hat{X}(F) + \hat{H}(F)$。这种特性使其在同类型技术上，如处理乘性噪声或非线性信号时具有独特优势和劣势。

### 同态滤波的优点

- 处理乘性噪声: 同态滤波擅长处理乘性噪声，这是传统线性滤波无法有效应对的场景。通过对数变换，乘性噪声被转换为加性噪声，便于后续处理。
- 增强信号对比度: 在图像处理中，同态滤波能有效增强对比度，特别适用于光照不均的图像。它通过调整高频和低频成分的比例，改善视觉效果。
- 保留信号细节: 由于在对数域操作，同态滤波能在去除噪声的同时保留信号的细节，这在语音处理和生物信号分析中尤为重要。

### 同态滤波的缺点

- 计算复杂度高: 同态滤波涉及对数变换、傅立叶变换及其逆变换，计算成本较高，尤其在处理大规模数据时效率较低。
- 参数选择困难: 滤波器的性能依赖于参数设置（如高频增益和低频增益），这些参数需根据具体应用场景调整，增加了使用难度。
- 可能引入伪影: 在某些情况下，同态滤波可能产生伪影（如图像中的光晕效应），影响信号质量。

### 与其他滤波技术的比较

#### 线性滤波(Linear filter)

同态滤波优势:

- 在处理乘性噪声方面，同态滤波通过对数变换将乘性噪声转为加性噪声，能有效去除，而线性滤波对此无能为力。
- 在保留信号细节方面，同态滤波在对数域操作，能更好地保留图像或语音的细节，而线性滤波常导致细节模糊。

同态滤波劣势:

- 在计算效率方面，线性滤波实现简单，计算速度快，适合实时应用，而同态滤波因涉及多次变换，计算复杂度高。
- 在参数调整方面，线性滤波参数设置较简单，而同态滤波需精细调整高低频增益，增加了使用难度。

#### 傅立叶变换(Fourier transform)

同态滤波优势:

- 在处理乘性噪声方面，同态滤波通过对数变换将乘性噪声转为加性噪声，而傅立叶变换无法直接处理乘性噪声。
- 在非平稳信号处理方面，同态滤波能适应信号的非线性特性，而傅立叶变换对非平稳信号效果较差。

同态滤波劣势:

- 在计算效率方面，傅立叶变换（特别是快速傅立叶变换）计算速度快，而同态滤波因额外的对数和逆变换，效率较低。
- 在频域分析方面，傅立叶变换直接分解信号为频率成分，分析更直观，而同态滤波需额外步骤，操作较复杂。

#### 去噪滤波(Noise reduction)

同态滤波优势:

- 在处理乘性噪声方面，同态滤波能有效将乘性噪声转为加性噪声进行处理，而去噪滤波对乘性噪声无效。
- 在图像对比度增强方面，同态滤波能同时去除噪声和增强对比度，而去噪滤波主要聚焦于噪声去除，无法改善对比度。

同态滤波劣势:

- 在加性噪声处理方面，去噪滤波（如均值滤波或高斯滤波）对加性噪声有更好的针对性，而同态滤波需额外变换，效率较低。
- 在实现简单性方面，去噪滤波算法简单，易于实现，而同态滤波涉及复杂的变换和参数调整。

### 小结

同态滤波在处理乘性噪声、增强对比度和保留细节方面表现优异，特别适用于图像增强、语音处理和非线性信号分析。然而，其高计算复杂度、参数调整难度和潜在伪影问题使其在效率和简单性上不如其他滤波技术。因此，同态滤波在特定应用场景中虽具有优势，但选择滤波技术时需根据信号特性和应用需求权衡利弊。

## 相关算法与变体

除了传统的复数倒频谱，同态讯号处理中还有其他两种极为重要的变体形式：

### 差分倒频谱（Differential Cepstrum）

差分倒频谱在数学上定义为 $\hat{x}_d[n] = Z^{-1}\left[\frac{X'(Z)}{X(Z)}\right]$。

其最大优点在于运算中不需要求取相角，直接避开了对数运算中恼人的相位模糊问题。此外，差分倒频谱具有平移与尺度不变性（Shift & scaling invariant），使其不仅适用于多重路径问题，也非常适合应用于模式识别（Pattern recognition）。

### 梅尔频率倒频谱（Mel-Frequency Cepstrum, MFCC）

梅尔频率倒频谱是在频率轴上套用一连串呈等比级数增加的滤波器组（Mel-filter bank），模拟人类听觉的频率响应再取对数。

相较于原始的倒频谱，梅尔频率倒频谱更接近人耳对语音的区别特性。在语音分析与语音辨识领域中，通常只需提取前 13 个梅尔倒频谱系数（$c_x[1]$ 到 $c_x[13]$）即足以充分描述语音的主要特征。

## 实际应用

同态解折积（Homomorphic Deconvolution）在工程领域有许多经典且重要的应用：

- 回音消除（Echo Cancellation / Equalization for Echo）：若接收讯号包含回音 $y[n] = x[n] + \alpha x[n-N_p]$，在倒频谱域中，回音成分会转化为在延迟时间 $N_p$ 及其整数倍处的独立脉冲。只要设计适当的倒滤波器（Lifter）将这些特定位置的脉冲滤除，便能还原出毫无回音的原始讯号。
- 声学工程：可用于分离并分析建筑物空间的残响效应（例如罗马大教堂的脉冲响应），或是将合成音乐与特定空间效应折积以达到音效处理的目的。
- 语音分析（Speech Analysis）：人类语音可视为全局声波形状（Global wave shape）、声道脉冲响应（Vocal tract impulse）与音高（Pitch）三者的折积结果。在倒频谱域中，可以轻易将低频的声道包络线与高频的音高成分分离开来。
- 多重路径分析：可被广泛应用于分析地震波讯号（Seismic Signals）或任何具有多重路径波传递特性的物理问题。

## 图像增强

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同态滤波利用去除乘性噪声(multiplicative noise)，可以同时增加对比度以及标准化亮度，借此达到图像增强的目的。

一副图像可以表示为其照度(illumination)分量和反射(reflectance)分量的乘积，虽然在时域上这两者是不可分离的，但是经由傅立叶转换两者在频域中可以线性分离。由于照度可视为环境中的照明，相对变化很小，可以看作是图像的低频成分；而反射率相对变化较大，则可视为高频成分。通过分别处理照度和反射率对像元灰度值的影响，通常是借由高通滤波器(high-pass filter)，让图像的照明更加均匀，达到增强阴影区细节特征的目的。

### 做法

对于一副图像，可表示为照射分量和反射分量的乘积，即

$$m(x,y)=i(x,y)\cdot{r(x,y)}$$

其中，m为图像，i为照度分量，r为反射分量。

为了在频域中使用高通滤波器，我们必须进行傅立叶转换，但由于上式是一个乘积式，不能直接对照度和反射的频率分量进行操作，因此对上式取对数

$$\ln\{{m(x,y)}\}=\ln\{{i(x,y)}\}+\ln\{{r(x,y)}\}$$

然后再对上式两边做傅立叶转换。

$$\mathcal{F}\{\ln\{{f(x,y)}\}\}=\mathcal{F}\{\ln\{{i(x,y)}\}\}+\mathcal{F}\{\ln\{{r(x,y)}\}\}$$

并将$\mathcal{F}\{\ln\{{f(x,y)}\}\}$定义为$M(u,v)$

接下来对图像进行高通滤波，如此可以使图像的照明更均匀，高频分量增加且低频分量减少

$$N(u,v)=H(u,v)\cdot{M(u,v)}$$

其中，N是频域中滤波后的图像，H是高通滤波器。

为了将图像从频域转回时域，我们对N做傅立叶逆转换

$$n(x,y)=\mathcal{F^{-1}}\{N(u,v)\}$$

最后，对n使用指数函数(exponential)来复原我们一开始取的自然对数

$$m'(x,y)=\exp\{n(x,y)\}$$

其中m'为做完同态滤波的新图像。

## 音频和语音分析

在对数谱域中使用同态滤波来将滤波效应(filter effect)与激励效应(excitation effect)分开，例如在表示声音的倒频谱(cepstrum)计算中，对数谱域中的增强可以提高声音清晰度，可以应用于助听器。

## 表面肌电图讯号

同态滤波用于消除源自sEMG信号的随机脉冲串的影响。通过这种方式，只保留有关运动单元动作电位（MUAP）形状和振幅的信息，如此用于估计MUAP本身的时域模型参数。

## 新兴发展与改进方向

同态滤波作为一种非线性滤波技术，近年来在信号处理和图像处理领域持续发展。随着技术的进步，研究学者不断探索同态滤波的新应用和改进方法。

其中，Nian等人在2025年的论文，提出了一种基于频域滤波的同态滤波算法，专门用于校正沥青混合料X射线CT图像中的不均匀照明问题。该研究针对CT图像中由于辐射硬化导致的亮度不均匀现象，提出了一种创新的方法。技术应用：

- 通过极坐标矩形表示对原始CT图像进行转换，使不均匀照明沿着图像的极轴方向变得更为集中。
- 随后，应用同态滤波进行频域滤波，通过压缩低频照明分量并增强高频反射分量，实现图像的均匀照明校正。
- 该方法有效解决了传统同态滤波在处理圆形截面CT图像时难以区分高低频信息的问题，为沥青混合料CT图像的处理提供了新的滤波方法。

另外，Zubair Rahman等人在2024年的论文，他们提出基于AI的脑肿瘤检测方法，结合了EfficientNetB2深度学习架构和同态滤波技术。技术应用：

- 研究者使用同态滤波作为图像预处理的一部分，通过增强MRI图像的高频分量并抑制低频分量，提高图像质量。
- 经过同态滤波处理的MRI图像被输入到EfficientNetB2模型中，进行脑肿瘤的自动检测。
- 该方法在多个数据集上取得了显著的性能提升，验证准确率分别达到99.83%、99.75%和99.2%。

除了以上的技术应用外，同态滤波在未来研究中亦有以下潜在方向:

- 跨领域应用: 将同态滤波应用于更多领域的图像处理任务，如遥感图像、显微镜图像等，探索其在不同类型图像中的效果。
- 参数优化与自动化: 开发自动化的参数选择算法，减少人工干预，提高同态滤波的效率和普适性。
- 与深度学习的深度融合: 探索同态滤波与深度学习模型的更紧密结合，如将同态滤波作为神经网络的一部分，实现端到端的图像处理和分析。
- 实时处理能力: 研究如何在保持滤波效果的同时，降低同态滤波的计算复杂度，以实现实时或近实时的图像处理，特别是在医疗诊断和工业检测等场景中。
- 多模态数据融合: 探索同态滤波在多模态数据中的应用，以提供更全面的图像信息，增强诊断准确性。

## 参考资料

- Jian-Jiun Ding (2025), Advanced Digital Signal Processing