最佳投影方程

最佳投影方程（optimal projection equations）是控制理论中，建构局部最佳降阶LQG控制器的充分必要条件。

LQG控制（线性二次高斯控制）问题是最优控制领域中最基础的问题之一，这问题包括了存在不确定性的线性系统，受到加性高斯白噪声的影响，没有完整的状态资讯（无法量测到所有的状态变数，也无法透过回授得知），对应二次的成本泛函。不过存在唯一解，而且可以建构线性动态回授的控制律，易于计算以及实现。而LQG控制器也是非线性系统中最佳扰动控制的基础。

LQG控制器的架构会类似要控制的系统，两者会有相同的维度。因此若系统本身就是高维度，要实现（全阶）LQG控制器会很困难。降阶LQG问题（固定阶LQG问题）事先固定LQG控制器的阶数，因此克服了这个困难。不过在全阶LQG控制器中适用的分离原理，在降阶LQG问题中已无法适用，因此这方面会更困难，而且其解也不唯一。不过可以找到数值分析的算法来求解对应的最佳投影方程。

## 问题的数学表示以及其解

### 连续时间

降阶的LQG控制问题几乎和全阶的LQG控制问题相同。令$\hat{\mathbf{x}}_r(t)$表示降阶LQG控制器的状态，唯一的差异是LQG控制器的状态维度$n_r=dim(\hat{\mathbf{x}}_r(t))$是事先定义好的值，比受控系统的状态维度$n=dim({\mathbf{x}}(t))$要少。

降阶LQG控制器可以表示为下式：

$$\dot{\hat{\mathbf{x}}}_r(t) = A_r(t)\hat{\mathbf{x}}_r(t) + B_r(t){\mathbf{u}}(t)+K_r(t) \left( {\mathbf{y}}(t)-C_r(t)\hat{\mathbf{x}}_r(t) \right),\hat{\mathbf{x}}_r(0)={\mathbf{x}}_r(0),$$

$${\mathbf{u}}(t)= -L_r(t) \hat{\mathbf{x}}_r(t).$$

上述公式刻意写的类似传统全阶LQG控制器的形式，降阶的LQG控制问题也可以改写为下式：

$$\dot{\hat{\mathbf{x}}}_r(t) = F_r(t)\hat{\mathbf{x}}_r(t) + K_r(t) {\mathbf{y}}(t),\hat{\mathbf{x}}_r(0)={\mathbf{x}}_r(0),$$

$${\mathbf{u}}(t)= -L_r(t) \hat{\mathbf{x}}_r(t),$$

其中

$$F_r(t)=A_r(t)-B_r(t)L_r(t)-K_r(t)C_r(t).$$

降阶LQG控制器的矩阵$F_r(t), K_r(t), L_r(t)$和${\mathbf{x}}_r(0)$是由所谓的最佳投影方程（optimal projection equations、OPE）来决定。

$n$维的最佳投影方阵$\tau(t)$是OPE的核心。此矩阵的秩在所有状态下几乎都等于$n_r$。相关投影为斜投影（oblique projection）：$\tau^2(t)=\tau(t)$。最佳投影方程包括四个矩阵微分方程。前二个是LQG控制器对应的矩阵Riccati微分方程的扩展。在方程式中$\tau_\perp(t)$表示$I_n-\tau(t)$，而$I_n$为$n$维的单位矩阵

$$\begin{align} \dot{P}(t) = {} & A(t)P(t)+P(t)A'(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t) C(t)P(t)+V(t) \\[6pt] & {} +\tau_\perp (t)P(t)C'(t)W^{-1}(t) C(t)P(t)\tau'_\perp (t), \\[6pt] P(0)= {} & E \left({\mathbf{x}}(0){\mathbf{x}}'(0) \right), \\[6pt] & {} -\dot{S}(t) = A'(t)S(t)+S(t)A(t)-S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)+Q(t) \\[6pt] & {} + \tau'_\perp (t)S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t) \tau_\perp (t), \end{align}$$

$$S(T) = F.$$

若LQG的维度没有减少，也就是$n=n_r$，则$\tau(t)=I_n, \tau_\perp(t)=0$，上述二个方程就是二个没有耦合的矩阵Riccati微分方程，对应全阶的LQG控制器。若$n_r<n$，则两个方程会有斜投影项$\tau(t).$。这也是为何降阶的LQG控制器无法分离的原因，斜投影$\tau(t)$是由另外二个矩阵微分方程所决定，其中也和秩的条件（rank conditions）有关。这四个矩阵微分方程组成了最佳投影方程。为了要列出另外二个矩阵微分方程，先定义以下二个矩阵：

$$\Psi_1(t)=(A(t)-B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t))\hat{P}(t)+\hat{P}(t) (A(t)-B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t))'$$

$${}+P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)P(t),$$

$$\Psi_2(t)=(A(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t) C(t))'\hat{S}(t)+\hat{S}(t)(A(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t))$$

$${}+S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t).$$

则最后二个矩阵微分方程如下：

$\dot{\hat{P}}(t)=1/2 \left(\tau(t)\Psi_1(t)+\Psi_1(t)\tau'(t) \right),\hat{P}(0)=E({\mathbf{x}}(0))E({\mathbf{x}}(0))', \operatorname{rank}(\hat{P}(t))=n_r$ almost everywhere,

$-\dot{\hat{S}}(t)=1/2 \left(\tau'(t)\Psi_2(t)+\Psi_2(t)\tau(t) \right),\hat{S}(T)=0, \operatorname{rank}(\hat{S}(t))=n_r$ almost everywhere,

其中

$$\tau(t)= \hat{P}(t) \hat{S}(t) \left( \hat{P}(t) \hat{S}(t) \right)^*.$$

此处的 * 表示群广义逆矩阵（group generalized inverse）或Drazin逆矩阵，是唯一的，定义如下

$$A^*=A(A^3)^+A.$$

其中 + 是摩尔－彭若斯广义逆.

矩阵$P(t),S(t),\hat{P}(t),\hat{S}(t)$都需要是非负对称矩阵。可以建构最佳投影方程的解，而此解可以决定降阶LQG控制器矩阵$F_r(t), K_r(t), L_r(t)$和${\mathbf{x}}_r(0)$：

$$F_r(t)=H(t)\left( A(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t) C(t)-B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t) \right)G(t)+\dot{H}(t)G'(t),$$

$$K_r(t)=H(t)P(t)C'(t)W^{-1}(t),$$

$$L_r(t)=R^{-1}(t)B'(t)S(t)G'(t),$$

$${\mathbf{x}}_r(0)=H(0)E({\mathbf{x}}(0)).$$

上式中的矩阵$G(t),H(t)$是符合以下性质的矩阵：

$G'(t)H(t)=\tau(t),G(t)H'(t)=I_{n_r}$几乎在所有状态下。

可以由$\hat{P}(t)\hat{S}(t)$的投影分解中得到：

若降阶LQG问题中的所有矩阵都是非时变的，且最终时间（horizon）$T$趋近无限大，则最佳降阶LQG控制器和最佳投影方程也都会是非时变的。此情形下，最佳投影方程左侧的微分项会为零。

### 离散时间

离散时间的情形类似连续时间的例子，要处理的是将$n$阶传统离散时间全阶LQG问题转换为事先已知固定阶数的$n_r<n$阶降阶LQG控制器。为了要表示离散时间的OPE，先引入以下二个矩阵：

$$\Psi^1_i=\left(A_i-B_i(B'_iS_{i+1}B_i+R_i)^{-1}B'_iS_{i+1}A_i)\right)\hat{P}_i \left(A_i-B_i(B'_iS_{i+1}B_i+R_i)^{-1}B'_iS_{i+1}A_i)\right)'$$

$${}+A_iP_iC'_i(C_iP_iC'_i+W_i)^{-1}C_iP_iA'_i$$

$$\Psi^2_{i+1}=\left(A_i-A_iP_iC'_i(C_iP_{i}C'_i+W_i)^{-1}C_i\right)'\hat{S}_{i+1} \left(A_i-A_iP_iC'_i(C_iP_{i}C'_i+W_i)^{-1}C_i\right)$$

$${}+A'_iS_{i+1}B_i(B'_iS_{i+1}B_i+R_i)^{-1}B'_iS_{i+1}A_i$$

则离散时间OPE为

$P_{i+1} = A_i \left( P_i - P_i C'_i \left( C_i P_i C'_i+W_i \right)^{-1} C_i P_i \right) A'_i+V_i+\tau_{\perp i+1}\Psi^1_i \tau'_{\perp i+1}, P_0=E \left( {\mathbf{x}}_0{\mathbf{x'}}_0 \right)$.

$S_i = A'_i \left( S_{i+1} - S_{i+1}B_i \left( B'_iS_{i+1}B_i+R_i \right)^{-1} B'_i S_{i+1} \right) A_i+Q_i+\tau'_{\perp i}\Psi^2_{i+1} \tau_{\perp i}, S_N=F$.

$\hat{P}_{i+1}=1/2(\tau_{i+1}\Psi_i^1+\Psi_i^1\tau'_{i+1}),\hat{P}_0=E({\mathbf{x}}(0)) E({\mathbf{x}}(0))', \operatorname{rank}(\hat{P}_i)=n_r$ almost everywhere,

$\hat{S}_{i}=1/2(\tau'_i \Psi_{i+1}^2+\Psi_{i+1}^2\tau_i),\hat{S}_N=0, \operatorname{rank}(\hat{S}_i)=n_r$ almost everywhere.

斜投影（oblique projection）矩阵为

$$\tau_i=\hat{P}_i\hat{S}_i \left(\hat{P}_i\hat{S}_i \right)^*.$$

非负对称矩阵$P_i,S_i,\hat{P}_i,\hat{S}_i$是离散时间OPE的解，也决定了降阶LQG控制器的矩阵$F_i^r, K_i^r, L_i^r$ and ${\mathbf{x}}_0^r$：

$$F_i^r=H_{i+1}\left( A_i-P_i C'_i \left( C_i P_i C'_i+W_i \right)^{-1}C_i-B_i\left( B'_iS_{i+1}B_i+R_i \right)^{-1} B'_i S_{i+1}\right)G'_i,$$

$$K_i^r=H_{i+1}P_i C'_i \left( C_i P_i C'_i+W_i \right)^{-1},$$

$$L_i^r=\left( B'_iS_{i+1}B_i+R_i \right)^{-1} B'_i S_{i+1}G'_i,$$

$${\mathbf{x}}_0^r=H_0E({\mathbf{x}}_0).$$

在上述的方程中，矩阵$G_i,H_i$是有以下性质的矩阵：

$G'_iH_i=\tau_i, G_iH'_i=I_{n_r}$几乎在所有状态下。

这些矩阵可以从$\hat{P}_i\hat{S}_i$的投影因式分解中求得。

如同在连续时间中的例子一样，若问题中所有的矩阵都是非时变，且且最终时间（horizon）$T$趋近无限大，降阶LQG控制器就会是非时变的。因此离散时间OPE会收敛到稳态解，决定非时变的降阶LOG控制器。

离散时间OPE也可以应用在状态维度，输入维度或是输出维度可变的离散时间系统（具有时变维度的离散时间系统）。若在数位控制器中的取样是不同步的，就可能会出现这类的系统。