弗罗比尼乌斯内积

在数学中，弗罗比尼乌斯内积（Frobenius inner product）是一种基于两个矩阵的二元运算，结果是一个数值。它常常被记为$\langle \mathbf{A},\mathbf{B} \rangle_\mathrm{F}$。这个运算是一个将矩阵视为向量的逐元素内积。参与运算的两个矩阵必须有相同的维度、行数和列数，但不局限于方阵。

## 定义

给定两个n×m维复矩阵 A和B：

$$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}} \,, \quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1m}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{n1}&B_{n2}&\cdots &B_{nm}\\\end{pmatrix}}$$

弗罗比尼乌斯内积定义为如下的矩阵元素求和

$$\langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} =\sum_{i,j}\overline{A_{ij}} B_{ij} = \mathrm{tr}\left(\overline{\mathbf{A}^T} \mathbf{B}\right)$$

其中上划线表示复数和复矩阵的共轭操作。若将定义详细写出，则有

$$\begin{align} \langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} = & \overline{A}_{11} B_{11} + \overline{A}_{12} B_{12} + \cdots + \overline{A}_{1m} B_{1m} \\ <pre> & + \overline{A}_{21} B_{21} + \overline{A}_{22} B_{22} + \cdots + \overline{A}_{2m} B_{2m} \\ & \vdots \\ & + \overline{A}_{n1} B_{n1} + \overline{A}_{n2} B_{n2} + \cdots + \overline{A}_{nm} B_{nm} \\ </pre> \end{align}$$

此计算与点积十分相似，所以是一个内积的范例。

### 性质

弗罗比尼乌斯内积是半双线性形式。给定复矩阵A, B, C, D, 以及复数a和b，我们有

$$\langle a\mathbf{A}, b\mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} = \overline{a}b\langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F}$$

$$\langle \mathbf{A}+\mathbf{C}, \mathbf{B} + \mathbf{D} \rangle_\mathrm{F} = \langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} + \langle \mathbf{A}, \mathbf{D} \rangle_\mathrm{F} + \langle \mathbf{C}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} + \langle \mathbf{C}, \mathbf{D} \rangle_\mathrm{F}$$

并且，交换复矩阵的次序所得到的是原来结果的共轭矩阵：

$$\langle \mathbf{B}, \mathbf{A} \rangle_\mathrm{F} = \overline{\langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F}}$$

对于相同的矩阵，有

$$\langle \mathbf{A}, \mathbf{A} \rangle_\mathrm{F} \geq 0 \,.$$

## 样例

### 实矩阵

给定实矩阵：

$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 6 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 8 & -3 & 2 \\ 4 & 1 & -5 \end{pmatrix}$$

则：

$$\begin{align}\langle \mathbf{A} ,\mathbf{B}\rangle_\mathrm{F} & = 2\cdot 8 + 0\cdot (-3) + 6\cdot 2 + 1\cdot 4 + (-1)\cdot 1 + 2\cdot(-5) \\ & = 16 + 12 + 4 - 1 - 10 \\ & = 21 \end{align}$$

### 复矩阵

给定复矩阵

$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1+i & -2i \\ 3 & -5 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} -2 & 3i \\ 4-3i & 6 \end{pmatrix}$$

那么它们的共轭 (非转置) 矩阵为

$$\overline{\mathbf{A}} = \begin{pmatrix} 1-i & +2i \\ 3 & -5 \end{pmatrix} \,,\quad \overline{\mathbf{B}} = \begin{pmatrix} -2 & -3i \\ 4+3i & 6 \end{pmatrix}$$

因此。

$$\begin{align} \langle \mathbf{A} ,\mathbf{B}\rangle_\mathrm{F} & = (1-i)\cdot (-2) + (+2i)\cdot 3i + 3\cdot (4-3i) + (-5)\cdot 6 \\ & = (-2+2i) + -6 + 12-9i + -30 \\ & = -26 -7i \end{align}$$

但注意

$$\begin{align} \langle \mathbf{B} ,\mathbf{A}\rangle_\mathrm{F} & = (-2)\cdot (1+i) + (-3i)\cdot (-2i) + (4+3i)\cdot 3 + 6 \cdot (-5) \\ & = -26 + 7i \end{align}$$

A、B与其本身的弗罗比尼乌斯内积分别为

$$\langle \mathbf{A}, \mathbf{A} \rangle_\mathrm{F} = 2 + 4 + 9 + 25 = 40$$

$$\langle \mathbf{B}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} = 4 + 9 + 25 + 36 = 74$$

## 弗罗比尼乌斯范数

从弗罗比尼乌斯内积我们可以诱导出弗罗比尼乌斯范数

$$\|\mathbf{A}\|_\mathrm{F} = \sqrt{\langle \mathbf{A}, \mathbf{A} \rangle_\mathrm{F}} \,.$$