倒数伽玛函数

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在数学中，倒数伽玛函数（英语：Reciprocal gamma function）是指伽玛函数的倒数：

$$f(z) = \frac{1}{\Gamma(z)}$$

其中，Γ(z)代表伽玛函数。由于伽玛函数在整个复数平面上皆非零且为亚纯函数，因此其倒数是一个整函数。

倒数伽玛函数是一个1阶整函数，其表示了log log 1/Γ(z)的成长速度不会高过log 1/Γ(z)。虽为1阶整函数但属无穷型，也就是说log 1/Γ(z)的增长速度比任何z的倍数都快，因为它的增长与左手平面上的z log z大致成比例。

由于倒数伽玛函数不像伽玛函数快速成长，在程式计算上较伽玛函数容易，例如其泰勒级数，因此部分软件使用倒数伽玛函数作为计算伽玛函数的起点，一些软件除了计算伽玛函数外，会额外提供倒数伽玛函数。

魏尔斯特拉斯将倒数伽玛函数称为“factorielle”表示阶乘的倒数，并用于魏尔施特拉斯分解定理的发展。

## 无穷乘积展开

根据莱昂哈德·欧拉以及卡尔·魏尔斯特拉斯给出的伽玛函数无穷乘积定义，可以推得倒数伽玛函数即伽玛函数之倒数的无穷乘积：

$$\begin{align} \frac{1}{\Gamma(z)} &= z \prod_{n=1}^\infty \frac{1+\frac{z}{n}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^z} \\ \frac{1}{\Gamma(z)} &= z e^{\gamma z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right) e^{-\frac{z}{n}} \end{align}$$

其中$\gamma\approx0.577216...$是欧拉-马斯刻若尼常数。这个乘积展开式对所有复数z都有效。

## 泰勒级数

倒数伽玛函数从零展开的泰勒级数为：

$$\frac{1}{\Gamma(z)} = z + \gamma z^2 + \left(\frac{\gamma^2}{2} - \frac{\pi^2}{12}\right)z^3 + \cdots$$

其中γ是欧拉-马斯刻若尼常数。对n > 2的情形，其zn的系数an可由递回定义求出：

$$a_n = \frac{{a_2 a_{n-1} - \sum_{j=2}^{n-1} (-1)^j \, \zeta(j) \, a_{n-j}}}{n-1}$$

其中ζ(s)代表黎曼ζ函数。2014年，Fekih-Ahmed发现这些系数可以用积分表示：

$$a_n = \frac{(-1)^n}{\pi n!}\int_0^\infty e^{-t}\Im[(\log(t)-i\pi)^n]dt.$$

其前几项的值为：

n｜an

1｜+1.0000000000000000000000000000000000000000

2｜+0.5772156649015328606065120900824024310422

3｜−0.6558780715202538810770195151453904812798

4｜−0.0420026350340952355290039348754298187114

5｜+0.1665386113822914895017007951021052357178

6｜−0.0421977345555443367482083012891873913017

7｜−0.0096219715278769735621149216723481989754

8｜+0.0072189432466630995423950103404465727099

9｜−0.0011651675918590651121139710840183886668

10｜−0.0002152416741149509728157299630536478065

11｜+0.0001280502823881161861531986263281643234

12｜−0.0000201348547807882386556893914210218184

13｜−0.0000012504934821426706573453594738330922

14｜+0.0000011330272319816958823741296203307449

15｜−0.0000002056338416977607103450154130020573

16｜+0.0000000061160951044814158178624986828553

17｜+0.0000000050020076444692229300556650480600

18｜−0.0000000011812745704870201445881265654365

19｜+0.0000000001043426711691100510491540332312

20｜+0.0000000000077822634399050712540499373114

21｜−0.0000000000036968056186422057081878158781

22｜+0.0000000000005100370287454475979015481323

23｜−0.0000000000000205832605356650678322242954

24｜−0.0000000000000053481225394230179823700173

25｜+0.0000000000000012267786282382607901588938

26｜−0.0000000000000001181259301697458769513765

27｜+0.0000000000000000011866922547516003325798

28｜+0.0000000000000000014123806553180317815558

29｜−0.0000000000000000002298745684435370206592

30｜+0.0000000000000000000171440632192733743338

而an的近似值为：

$$a_n\approx(-1)^n\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{\sqrt n}{n!}\Im\left(e^{-nz_0}\frac{z_0^{1/2-n}}{\sqrt{1+z_0}}\right),$$

其中，$z_0=\frac{e^{W_{-1}(-n)}}{-n}$

而$W_{-1}$是分支为负一的朗伯W函数。

## 渐近展开

当z在arg(z)为一固定值的情形下趋于无穷，则有：

$$\ln (1/\Gamma(z)) \sim -z \ln (z) + z + \tfrac{1}{2} \ln \left (\frac{z}{2\pi} \right ) - \frac{1}{12z} + \frac{1}{360z^3} -\frac{1}{1260 z^5}\qquad \qquad \text{for}\quad |\arg(z)| < \pi$$

## 以围线积分表示

倒数伽玛函数可使用围线积分（contour integration）表示，此表示法由赫尔曼·汉克尔所提出，其为：

$$\frac{1}{\Gamma(z)} = \frac{i}{2\pi} \oint_H (-t)^{-z} e^{-t} \, dt,$$

其中，H为汉克尔围线。

## 阶乘倒数

阶乘倒数是指阶乘的倒数。其等于所有小于及等于该数的正整数之倒数的积：

$$\prod_{k=1}^n \frac{1}{k} = \frac{1}{n!} \quad\forall n\ge1$$

其无穷级数收敛在e：

$$\sum_{n=0}^\infty \prod_{k=1}^n \frac{1}{k} = e$$

由于阶乘可以用伽玛函数来定义，因此阶乘倒数也可以表示为：

$\frac{1}{n!} = \frac{1}{\Gamma(z+1)}$.

对于$n \geq 1$的正整数，其阶乘倒数可以用一个积分表示：

$\frac{1}{n!} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{-n\imath\vartheta} e^{e^{\imath\vartheta}}\ d\vartheta$.

同理，倒数伽玛函数也可以用类似的方法表示。对所有的实数$c > 0$ 且 $z \in \mathbb{C}$，我们可以写出倒数伽玛函数沿着实轴的积分表示式

$1/\Gamma(z)$

$$\frac{1}{\Gamma(z)} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} (c+\imath t)^{-z} e^{c+\imath t} dt,$$

其中在$z := n + 1/2$的特定情况下，则可获得双阶乘的倒数与倒数伽玛函数之关系：

$$\frac{1}{(2n-1)

} = \frac{\sqrt{\pi}}{2^n \cdot \Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)}$$

## 积分

将倒数伽玛函数在实轴上从零积到无穷的瑕积分为：

$$\int_{0}^\infty \frac{1}{\Gamma(x)}\, dx \approx 2.80777024,$$

这个值又称为弗朗桑－罗宾逊常数。

## 参考文献

- Thomas Schmelzer & Lloyd N. Trefethen, Computing the Gamma function using contour integrals and rational approximations
- Mette Lund, An integral for the reciprocal Gamma function
- Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
- Eric W. Weisstein, Gamma Function, MathWorld