立方体堆砌

立方体堆砌（Cubic Honeycomb）是三维空间内唯一的正密铺，也是28个半正密铺之一，由立方体堆砌而成，其缩写为chon。它亦可被看作是四维空间中由无穷多个立方体胞组成的二胞角为180°的四维正无穷胞体，因此在许多情况下它被算作是四维的多胞体。

立方形家族里的多胞形二胞角总是90°，因此总能独自完成超平面密铺，这些密铺又构成了另一家族“立方形堆砌”，具有${\tilde{C}}_n$对称性，有施莱夫利符号形式4,3,……,3,4。

## 性质

立方体堆砌由立方体填满空间组成，每个顶点都是8个立方体的公共顶点、每条棱都是4个立方体的公共棱。

### 顶点坐标

(i, j, k)

对所有的i,j,k皆为立方体边长的整数倍

因此边长为1立方体堆砌也可以视为空间中的座标网格。

由于立方体堆砌是一个自身对偶多胞形，因此其几何中心位置同样可以构成另一个立方体堆砌，因此其几何中心座标也同样满足上述式子，而i,j,k值则为相邻立方体几何中心距离的整数倍。

## 正交投影

对称性｜p6m (、632)｜p4m (、442)｜pmm (、2222)

实体图｜

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框线图｜

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## 相关堆砌

立方体堆砌是平面正方形镶嵌{4,4}在三维空间的类比，他们的形式皆为{4,3,...,3,4}，为立方形堆砌家族的一部分，在这个系列的镶嵌都是自身对偶。他也是28种由凸均匀多面体组成的均匀镶嵌之一。

## 自然界中的立方体堆砌

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作为少有的三维半正堆砌，自然界中许多晶体都具有类似立方体堆砌的晶体结构，在固体物理学中被称为“立方晶系”，许多固体化合物，如氯化钠、硫化锌、氯化亚铜、萤石、三氧化铼和金属单质，如铝、钒、锂等，都具有这种晶系的结构。

### 简单立方晶格

简单立方晶格可以被扭曲成较低的对称性，通过较低的晶系代表：

晶系｜单斜三斜｜正交｜四方｜三方｜立方

胞单位晶格｜平行六面体｜长方体｜三方偏方面体｜正方体

点群阶旋转对称群｜ , (、)Order 2 +, (1)｜2,2, (、222)Order 82,2+, (222)｜4,2, (、422)Order 164,2+, (422)｜3, (、33)Order 63+, (33)｜4,3, (、432)Order 484,3+, (432)

图示｜

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空间群旋转对称群｜Pm (6)P1 (1)｜Pmmm (47)P222 (16)｜P4/mmm (123)P422 (89)｜R3m (160)R3 (146)｜Pm3m (221)P432 (207)

考克斯特式｜∞a×∞b×∞c｜4,4a×∞c｜4,3,4a

考克斯特符号｜node_1｜node_1｜node_1

## 表面着色

作为立方形堆砌家族其中一员，立方体堆砌有${\tilde{C}}_4$对称性，有施莱夫利符号{4,3,4}，考克斯特符号node_1，除此之外，作为一个空间堆砌，它有Pm3m空间平移对称性。

而然，立方体堆砌亦可以被看作是许多具有不同对称性的半正堆砌，它们所对应的对称性、施莱夫利符号、考克斯特符号见下表：

名称｜考克斯特标记空间群｜考克斯特—迪肯符号｜施莱夫利符号｜有限部分图像｜颜色组合（字母表示）

立方体堆砌｜4,3,4Pm3m｜node_1｜{4,3,4}｜1: aaaa/aaaa

三次截半半立方体堆砌｜4,31,1Fm3m｜node_1｜{4,31,1}｜2: abba/baab

截面立方体堆砌｜4,3,4Pm3m｜node_1｜t0,3{4,3,4}｜4: abbc/bccd

`[[`4,3,4Pm3m (229)｜branch｜t0,3{4,3,4}｜4: abbb/bbba

正四棱柱堆砌｜4,3,4,2,∞｜node_1｜{4,4}×t{∞}｜2: aaaa/bbbb

截棱正四棱柱堆砌｜4,3,4,2,∞｜node｜t1{4,4}×{∞}｜2: abba/abba

无穷次无穷次无穷边形｜∞,2,∞,2,∞｜node_1｜t{∞}×t{∞}×{∞}｜4: abcd/abcd

无穷次无穷次无穷边形｜∞,2,∞,2,∞｜node_1｜t{∞}×t{∞}×t{∞}｜8: abcd/efgh

## 相关多面体和镶嵌

立方体堆砌与四维超正方体施莱夫利符号{4,3,3}相似，但超正方体只存在四维空间，且每个边的周为只有三个正方体而立方体堆砌有四个。此外，也可以有每个边的周为有五个正方体，他称为五阶立方体堆砌，存在于双曲空间，施莱夫利符号为{4,3,5}。

空间｜S3｜E3｜Hyperbolic space

来源｜有限｜仿射｜紧凑｜仿紧｜非紧

施式｜{3,3,4}node_1node_1｜{4,3,4}node_1node_1labelinfin｜四阶十二面体堆砌node_1node_1｜四阶正六边形镶嵌蜂巢体node_1node_1node｜{7,3,4}node_1node_1｜{8,3,4}node_1node_1｜... {∞,3,4}node_1node_1

图像｜

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胞｜

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{3,3}node_1｜

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{4,3}node_1｜

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{5,3}node_1｜

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{6,3}node_1｜

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{7,3}node_1｜

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`{`8,3`}`node_1｜

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`{`∞,3`}`node_1

考克斯特群4,3,4、node产生15个排列均匀的镶嵌中，9个具有独特的的几何形状，包括交替立方体堆砌、扩展立方堆砌是几何上相同的立方体堆砌。

空间群｜纤维流形｜扩展对称群｜扩展标记｜阶｜蜂巢体（堆砌）

Pm3m(221)｜4−:2｜4,3,4｜node_c1｜×1｜node_1 1, node 2, node_1 3, node_1 4,node_1 5, node_1 6

Fm3m(225)｜2−:2｜1+,4,3,4↔ 4,31,1｜node_h1↔ nodes_10ru｜Half｜node_h1 7, node_h1 11, node_h1 12, node_h1 13

I43m(217)｜4o:2｜`[[`(4,3,4,2+)｜branch｜Half × 2｜branch (7),

Fd3m(227)｜2+:2｜`[[`1+,4,3,4,1+↔ `[[`34｜branch↔ branch_11｜Quarter × 2｜branch 10,

Im3m(229)｜8o:2｜`[[`4,3,4｜branch_c2｜×2｜branch (1), branch_11 8, branch_11 9

考克斯特群4,31,1, node, 考克斯特群产生 9个排列均匀的镶嵌中，其中4个具有独特的的几何形状，包括交替立方体堆砌。

空间群｜纤维流形｜扩展对称群｜扩展标记｜阶｜蜂巢体（堆砌）

Fm3m(225)｜2−:2｜4,31,1↔ 4,3,4,1+｜node_c1↔ node_c1｜×1｜node 1, node_1 2, node 3, node_1 4

Fm3m(225)｜2−:2｜↔ ｜node_h1↔ node_1｜×2｜node_h1 (1), node_h1 (3)

Pm3m(221)｜4−:2｜node_c3｜×2｜node_1 5, node 6, node_1 7, node (6), node_1 9, node 10, node_1 11

立方体堆砌是${\tilde{A}}_3$考克斯特群中的五个结构特别的均匀堆砌之一，其对称性可以乘以环在考克斯特-迪肯符号的对称性：

空间群｜纤维流形｜方形对称群｜扩展对称群｜扩展标记｜扩展阶｜蜂巢体（堆砌）

F43m(216)｜1o:2｜a1｜34｜node｜×1｜(None)

Fd3m(227)｜2+:2｜p2｜`[[`34｜branch_11↔ node_h1｜×2｜branch_11 3

Fm3m(225)｜2−:2｜d2｜↔ 4,3,31,1｜node_c3↔ node｜×2｜node 1,node_1 2

Pm3m(221)｜4−:2｜d4｜234↔ 4,3,4｜node_c1↔ node｜×4｜node 4

Im3m(229)｜8o:2｜r8｜434↔ 4,3,4｜branch_c1↔ branch_c1｜×8｜branch_11 5, branch_hh (、)

## 参考

- H.S.M.考克斯特 Regular Polytopes, (第三版, 1973), Dover参与编辑, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II:正堆砌
- George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) （包含11个凸半正镶嵌、28个凸半正堆砌、和143个凸半正四维砌的全表）
- Branko Grünbaum, 三维正镶嵌. Geombinatorics 4(1994), 49 - 56.
- Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication参与编辑, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
- (22页) H.S.M.考克斯特, Regular and Semi Regular Polytopes I, Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10 (1.9 半正空间镶嵌)
- A. Andreini, Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (On the regular and semiregular nets of polyhedra and on the corresponding correlative nets), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
- flat.htm
- Uniform Honeycombs in 3-Space: 01-Chon

## 基本资料

- 名称：立方体堆砌、立方蜂巢体
- 类型：正堆砌
- 家族：立方形堆砌
- 参考索引：J11,15, A1、W1, G22
- Index_references_ref：For cross-referencing, they are given with list indices from Andreini (1-22), Williams(1-2,9-19), Johnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51-52, 61-65), and Grünbaum(1-28).
- 维度：3
- 胞：{4,3}

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、棱处相交胞：4×{4,3}、顶点处相交胞：8×{4,3}
- 面：{4}

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、棱处相交面：4×{4}、顶点处相交面：12×{4}
- 边：∞、顶点处相交棱：6
- 顶点图：

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、（正八面体）
- 欧拉示性数：0
- 类比：正方形镶嵌
- 对称群：${\tilde{C}}_4$
- 空间群：Pm3m
- 纤维流形记号：4−:2
- Coxeter_notation：4,3,4
- 考克斯特群：${\tilde{C}}_3$, 4,3,4
- 属性：顶点正