盖尔曼–劳定理

盖尔曼–劳定理（Gell-Mann and Low theorem）是量子场论中的重要定理，它说明了有相互作用的多体系统的基态（真空态）与相应的无相互作用多体系统之间的关系。1951年由默里·盖尔曼和弗朗西斯·劳证明。该定理的重要意义在于，它将有相互作用系统的格林函数和无相互作用系统的格林函数联系起来。尽管一般用于基态，盖尔曼–劳定理实际上可以应用于体系哈密顿量的任一个本征态。其原始证明用到微扰理论，它将多体系统中的相互作用视为微扰，并通过无限慢的过程（绝热过程）引入该微扰，从而将有相互作用的多体系统与对应的无相互作用的系统联系起来。

## 原理的表述

设 $|\Psi_0\rangle$ 是 $H_0$ 的一个本征态，能量为 $E_0$。定义相互作用的哈密顿量为 $H=H_0 + gV$，其中 $g$ 是耦合常数， $V$ 是相互作用项，定义带参量的哈密顿 $H_\epsilon=H_0 + e^{-\epsilon |t|}gV$，可以看到，当 $|t|\rightarrow\infty$ 时，$H_\epsilon=H_0$。而当$t=0$时，$H_\epsilon=H$。令 $U_{\epsilon I}$ 为对应于$H_\epsilon$的相互作用绘景（用下标I表示）下的时间演化算符。盖尔曼–劳定理说的是，若 $\epsilon\rightarrow 0^+$ 时。

$$|\Psi^{(\pm)}_\epsilon \rangle = \frac{ U_{\epsilon I} (0,\pm\infty) |\Psi_0 \rangle}{\langle \Psi_0 | U_{\epsilon I}(0,\pm\infty)|\Psi_0\rangle}$$

极限存在，则 $|\Psi^{(\pm)}_\epsilon \rangle$ 就是 $H$ 的本征态。

注意当$\epsilon\rightarrow 0^+$时，随着时间t的增加，相互作用项实际上是以无限慢的速度引入的，这称为绝热连续过程，此时称$H_\epsilon$构成$H_0$与$H$之间的一个绝热连接。

盖尔曼–劳定理本身并没有说当$|\Psi_0\rangle$是基态时，$|\Psi^{(\pm)}_\epsilon \rangle$也是基态，也就是说，没有排除能级在绝热连接时发生交叉的可能。不过，在微扰论的条件满足的前提下，一般认为当$|\Psi_0\rangle$为基态时，$|\Psi^{(\pm)}_\epsilon \rangle$也是基态。

## 证明

原始的论文是通过演化算符的戴森展开式来完成证明的，而Molinari则将其有效性推广到微扰论成立的范围之外。下面介绍Molinari的方法。在 $H_\epsilon$ 中令 $g=e^{\epsilon \theta}$，由时间演化算符满足的薛定谔方程

$$i\hbar \partial_{t_1} U_\epsilon(t_1,t_2) = H_\epsilon(t_1) U_\epsilon(t_1,t_2)$$

及条件 $U_\epsilon(t,t)=1$，可以写出方程的形式解

$$U_\epsilon(t_1,t_2) = 1+ \frac{1}{i\hbar} \int_{t_2}^{t_1} dt' (H_0 + e^{\epsilon(\theta -|t'|)} V) U_\epsilon(t',t_2).$$

先集中考虑 $0\geq t_2\geq t_1$ 的情形，换元后得到。

$$U_\epsilon(t_1,t_2) = 1+ \frac{1}{i\hbar} \int_{\theta +t_2}^{\theta+t_1} dt' (H_0 + e^{\epsilon t'} V) U_\epsilon(t'-\theta,t_2).$$

于是有

$$\partial_\theta U_\epsilon(t_1,t_2) = \epsilon g \partial_g U_\epsilon(t_1,t_2) = \partial_{t_1} U_\epsilon(t_1,t_2) + \partial_{t_2} U_\epsilon(t_1,t_2).$$

将上式与前面提到的薛定谔方程及其伴式

$$-i\hbar \partial_{t_1} U_\epsilon(t_2,t_1) = U_\epsilon(t_2,t_1) H_\epsilon(t_1)$$

结合就有。

$$i\hbar \epsilon g \partial_g U_\epsilon(t_1,t_2) = H_\epsilon(t_1)U_\epsilon(t_1,t_2)- U_\epsilon (t_1,t_2)H_\epsilon (t_2).$$

$H_{\epsilon I}$与$U_{\epsilon I}$ 之间的关系式形式上与上式相同，事实上，将上式两边各左乘 $e^{i H_0 t_1/\hbar}$，右乘 $e^{i H_0 t_2/\hbar}$，并利用关系

$$U_{\epsilon I} (t_1,t_2) = e^{i H_0 t_1/\hbar} U_{\epsilon}(t_1,t_2) e^{-i H_0 t_2 /\hbar}.$$

就可以得到$H_{\epsilon I}$与$U_{\epsilon I}$ 之间的关系式。

现在，令$t_1=0, t_2=+\infty$，等式两边作用在$|\Psi_0\rangle$上，并注意到$|\Psi_0\rangle$是$H_\epsilon(+\infty)=H_0$的本征态，就有

$$\left(H_{\epsilon, t=0}-E_0 + i \hbar \epsilon g \partial_g\right) U_{\epsilon I}(0,\infty) |\Psi_0\rangle = 0.$$

对于时间为负值的情况，证明完全类似，最后就得到。

$$\left(H_{\epsilon, t=0}-E_0 \pm i \hbar \epsilon g \partial_g\right) U_{\epsilon I}(0,\pm\infty) |\Psi_0\rangle = 0.$$

下面以时间为负值为例继续证明，为清晰起见，先把算符写成简略形式，即将$U_{\epsilon I}(0,-\infty)$简写作$U$。

$$i \hbar \epsilon g \partial_g \left(U|\Psi_0\rangle\right) = (H_\epsilon-E_0)U|\Psi_0\rangle.$$

下面计算 $i \hbar \epsilon g \partial_g | \Psi_\epsilon^- \rangle$，把$| \Psi_\epsilon^- \rangle$的定义式代入，并利用上面的关系式，可得。

$$\begin{align} i \hbar \epsilon g \partial_g | \Psi_\epsilon ^-\rangle &= \frac{1}{\langle\Psi_0| U |\Psi_0 \rangle} (H_\epsilon-E_0) U|\Psi_0\rangle - \frac{U|\Psi_0\rangle }{{\langle\Psi_0 |U| \Psi_0 \rangle}^2} \langle \Psi_0 | H_\epsilon-E_0 | \Psi_0\rangle \\ &= (H_\epsilon-E_0)|\Psi_\epsilon^-\rangle - |\Psi_\epsilon^-\rangle \langle \Psi_0 |H_\epsilon-E_0|\Psi_\epsilon^-\rangle \\ & = \left[ H_\epsilon - E^- \right] |\Psi_\epsilon^-\rangle. \end{align}$$

式中 $E^- = E_0 + \langle\Psi_0 | H_\epsilon-H_0 | \Psi_\epsilon^-\rangle$.

即

$$\left[ H_\epsilon - E^- -i\hbar \epsilon g \partial_g \right] |\Psi_\epsilon^-\rangle=0.$$

类似地可证明 $|\Psi_\epsilon^+\rangle$的关系式，综合起来可写成：

$$\left[ H_\epsilon - E^\pm \pm i\hbar \epsilon g \partial_g \right] |\Psi_\epsilon^\pm\rangle=0$$

然后取$\epsilon\rightarrow0^+$的极限，即可证明$|\Psi_\epsilon^\pm\rangle$是$H$的本征函数，本征值分别为$E^\pm$。

## 参考文献

- K. Hepp: Lecture Notes in Physics (Springer-Verlag, New York, 1969), Vol. 2.
- G. Nenciu and G. Rasche: "Adiabatic theorem and Gell-Mann-Low formula", Helv. Phys. Acta 62, 372 (1989).
- A.L. Fetter and J.D. Walecka: "Quantum Theory of Many-Particle Systems", McGraw–Hill (1971)