索末菲展开

索末菲展开是由阿诺德·索末菲发展的一种近似计算方法，专门用于计算在凝聚态物理和统计物理中出现的一类特定的积分。在物理中，这类积分表示的是采用费米-狄拉克分布计算的统计平均。

在热力学beta的值较大的情况下，我们可以把以下形式的积分关于$\beta$展开为：

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{H(\varepsilon)}{e^{\beta(\varepsilon - \mu)} + 1}\,\mathrm{d}\varepsilon = \int_{-\infty}^\mu H(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon + \frac{\pi^2}{6}\left(\frac{1}{\beta}\right)^2H^\prime(\mu) + O \left(\frac{1}{\beta\mu}\right)^4$$

上式即为索末菲展开的一般形式。其中$H(\varepsilon)$表示一个任意函数，$H^\prime(\mu)$表示$H(\varepsilon)$在 $\varepsilon = \mu$ 处的导数；$O(x^n)$指$x$的n阶最小量（参见大O符号），表示此展开中所有不大于$x^n$的项。只有当$H(\varepsilon)$在$\varepsilon \rightarrow -\infty$时趋向于零，且$\varepsilon \rightarrow +\infty$时$H(\varepsilon)$的增长速度不快于任意多项式，我们才能运用这个展开做近似计算。

## 在自由电子模型中的应用

此类积分常常在计算固体的自由电子模型时出现。在这些计算中，上述积分表示的是$H(\varepsilon)$的期望值。通过计算这些积分，我们可以进一步确定 $\beta$ 和化学势 $\mu$ 的关系。

考虑在一给定空间中相互独立运动且处于热力学平衡的一群全同粒子。如果这群粒子满足泡利不相容原理，能量为 $\varepsilon$ 的单粒子量子态的占据概率遵循费米-狄拉克分布：

$f(\varepsilon, \mu, T) = \frac{1}{e^{\beta(\varepsilon - \mu)} + 1}$

假设 $D(\varepsilon)$ 为单粒子的状态密度，N为导带电子的总数。则

$$N = \int_{-\infty}^\infty D(\varepsilon)f(\varepsilon, \mu, T)\mathrm{d}\varepsilon$$

对于任意的状态密度函数$D(\varepsilon)$，我们可能无法直接计算出此积分。但如果我们应用索末菲展开，我们可以得到以下近似结果：

$$N = \int_{-\infty}^\mu D(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon + \frac{\pi^2}{6}\left(\frac{1}{\beta}\right)^2D^\prime(\mu) + O \left(\frac{1}{\beta\mu}\right)^4$$

对于自由电子气体，我们有$D(\varepsilon) \propto \varepsilon^{1/2}$。由此经过一系列计算，我们可以得到：

$\mu(T) = \mu_{0}[1 - \frac{\pi^2}{12}\left(\frac{1}{\mu_{0}\beta}\right)^2]$

其中$\mu_{0} = \mu(T = 0)$。

根据此近似计算所需的假设，索末菲展开常被用于对低温系统的近似计算。

## 索末菲展开的推导

在此章节中，我们需要对我们研究的积分关于$\tau^2$作二阶展开，其中$\beta ^{{-1}}=\tau =k_{B}T$是温度和玻尔兹曼常数的乘积。

我们先作变量代换$\tau x=\varepsilon -\mu$：

$$I=\int_{-\infty}^\infty \frac{H(\varepsilon)}{e^{\beta(\varepsilon - \mu)} + 1}\,\mathrm{d}\varepsilon = \tau\int_{-\infty}^\infty \frac{H(\mu+\tau x)}{e^{x} + 1}\,\mathrm{d}x \,$$

将积分范围划分成两部分，$I=I_{1}+I_{2}$，并对$I_{1}$作变量代换$x\rightarrow -x$:

$$I= \underbrace{\tau\int_{-\infty}^0 \frac{H(\mu+\tau x)}{e^{x} + 1}\,\mathrm{d}x}_{I_1} + <pre> \underbrace{\tau\int_{0}^\infty \frac{H(\mu+\tau x)}{e^{x} + 1}\,\mathrm{d}x}_{I_2}\,$$

$$I_1=\tau\int_{-\infty}^0 \frac{H(\mu+\tau x)}{e^{x} + 1}\,\mathrm{d}x =\tau\int_0^\infty \frac{H(\mu-\tau x)}{e^{-x} + 1}\,\mathrm{d}x\,$$

接下来，通过使用以下等式

$$\frac{1}{e^{-x}+1} = 1-\frac{1}{e^x+1}\,,$$

$I_{1}$可被化为下述形式：

$$I_1=\tau\int_{0}^\infty H(\mu-\tau x)\,\mathrm{d}x -\tau\int_0^{\infty} \frac{H(\mu-\tau x)}{e^{x} + 1}\,\mathrm{d}x\,$$

再对第一项作变量代换$-\tau {\mathrm {d}}x={\mathrm {d}}\varepsilon$ 将$x$变换回原来的变量。结合$I=I_{1}+I_{2}$，我们可以得到：

$$I=\int_{-\infty}^\mu H(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon +\tau\int_0^{\infty} \frac{H(\mu+\tau x)-H(\mu-\tau x)}{e^{x} + 1}\,\mathrm{d}x\,$$

若 $\tau$ 足够小，$H(\varepsilon )$足够平滑，第二项的分子可以被如下近似到第一阶导数：

$$\Delta H= H(\mu+\tau x)-H(\mu-\tau x) \approx 2\tau x H'(\mu)+\cdots \, ,$$

代入前式可得：

$$I=\int_{-\infty}^\mu H(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon +2\tau^2 H'(\mu)\int_0^{\infty} \frac{x\mathrm{d}x}{e^{x} + 1}\,$$

已知第二项定积分的值为：

$\int_0^{\infty} \frac{x\mathrm{d}x}{e^{x} + 1}=\frac{\pi^2}{12}$.

因此。

$$I=\int_{-\infty}^\infty \frac{H(\varepsilon)}{e^{\beta(\varepsilon - \mu)} + 1}\,\mathrm{d}\varepsilon \approx\int_{-\infty}^\mu H(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon +\frac{\pi^2}{6\beta^2} H'(\mu)\,$$

## 母函数

费米分布的矩的母函数是：

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d\epsilon}{2\pi} e^{\tau\epsilon/2\pi} \left\{ \frac{1}{1+e^{\beta(\epsilon-\mu)}}-\theta(-\epsilon)\right\}= \frac 1{\tau}\left\{ \frac{(\frac{\tau T}{2})}{\sin(\frac{\tau T}{2})} e^{\tau\mu/2\pi}-1\right\}, \quad 0<\tau T/2\pi< 1.$$

这里，${\displaystyle k_{\rm {B}}T=\beta ^{-1}}$，且我们通过减去一个单位阶跃函数${\displaystyle \theta (-\epsilon )}$ 去掉了温度为零的情况下发散的函数值。关于$\tau$，计算其各次展开后可以得到以下结果：

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{d\epsilon}{2\pi}\left\{ \frac{1}{1+e^{\beta(\epsilon-\mu)}}-\theta(-\epsilon)\right\} =\left(\frac{\mu}{2\pi}\right),$$

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{d\epsilon}{2\pi}\left(\frac{\epsilon}{2\pi}\right)\left\{ \frac{1}{1+e^{\beta(\epsilon-\mu)}}-\theta(-\epsilon)\right\} =\frac{1}{2!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^2+\frac{T^2}{4!},$$

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{d\epsilon}{2\pi}\frac 1{2!}\left(\frac{\epsilon}{2\pi}\right)^2\left\{ \frac{1}{1+e^{\beta(\epsilon-\mu)}}-\theta(-\epsilon)\right\} =\frac{1}{3!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^3+\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)\frac{T^2}{4!},$$

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{d\epsilon}{2\pi}\frac1{3!}\left(\frac{\epsilon}{2\pi}\right)^3\left\{ \frac{1}{1+e^{\beta(\epsilon-\mu)}}-\theta(-\epsilon)\right\} =\frac{1}{4!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^4+\frac{1}{2!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^2\frac{T^2}{4!}+\frac 78\frac{T^4}{6!},$$

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{d\epsilon}{2\pi}\frac 1{4!} \left(\frac{\epsilon}{2\pi}\right)^4\left\{ \frac{1}{1+e^{\beta(\epsilon-\mu)}}-\theta(-\epsilon)\right\} =\frac{1}{5!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^5+\frac{1}{3!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^3\frac{T^2}{4!}+\left(\frac{\mu}{2\pi}\right) \frac 78\frac{T^4}{6!},$$

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{d\epsilon}{2\pi}\frac 1{5!}\left(\frac{\epsilon}{2\pi}\right)^5\left\{ \frac{1}{1+e^{\beta(\epsilon-\mu)}}-\theta(-\epsilon)\right\}=\frac{1}{6!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^6+\frac{1}{4!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^4\frac{T^2}{4!}+\frac{1}{2!} \left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^2 \frac 78\frac{T^4}{6!}+ \frac{31}{24} \frac{T^6}{8!}.$$

对于玻色函数的奇矩（odd moment），我们有相似的母函数：$\int_0^\infty \frac{d\epsilon}{2\pi}\sinh(\epsilon \tau/\pi) \frac {1}{e^{\beta\epsilon}-1} = \frac 1{4\tau}\left\{1- \frac{\tau T}{\tan \tau T}\right\}, \quad 0< \tau T<\pi$