LOCC

LOCC 是 Local Operations（局域操作）and Classical Communications（经典通讯）的缩写，它是一种用在量子信息上、对量子态进行操作的方法。简单的说，当一个量子系统被分成许多部分，每个部分的测量和操作只限制在该部分上，各个部分之间允许经典通讯，例如：打电话。许多量子信息的工作必须借由 LOCC 来完成，例如：假设某次实验室制备了一个贝尔态，但是却不能确定这个贝尔态是 $|\psi_1\rangle$ 还是 $|\psi_2\rangle$，其中 $|\psi_1\rangle$ 和 $|\psi_2\rangle$ 是

<image>

$$<pre> |\psi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle_A\otimes|0\rangle_B + |1\rangle_A\otimes|1\rangle_B\right) </pre>$$

$$<pre> |\psi_2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle_A\otimes|1\rangle_B + |1\rangle_A\otimes|0\rangle_B\right) </pre>$$

A和B两个量子位元是分隔两地的，并且由爱丽丝对量子位元A进行操作，由鲍勃对量子位元B进行操作。首先爱丽丝测量量子位元A并得到结果0，此时我们仍不知道当初实验室制备的贝尔态是 $|\psi_1\rangle$ 还是 $|\psi_2\rangle$。这时候爱丽丝借由打电话把结果告诉鲍勃，接着鲍勃对量子位元B进行测量并得到结果0，现在鲍勃得知波函数塌缩成 $|0\rangle_A\otimes|0\rangle_B$，所以推得实验室制备的贝尔态是 $|\psi_1\rangle$。

## 纠缠转换

将一个量子系统分成两部分，利用 LOCC 操作，把一个纠缠态转换成另一个纠缠态。

举例说明：爱丽丝和鲍勃分别拥有一个纠缠态(纯态)的一部分，例如 $\frac{1}{\sqrt{2}}(\mid\uparrow\downarrow\rangle-\mid\downarrow\uparrow\rangle )$。爱丽丝和鲍勃都只能对各自的自旋进行操作，也就是Local Operation的意思。当然这个操作也包含测量，当爱丽丝进行Sz的测量后，得到本征值+ħ/2，波函数塌缩成 $\mid\uparrow\downarrow\rangle$，然后爱丽丝透过电话告诉鲍勃结果，这就是Classical Communications，鲍勃知道结果后也相应做了一个Local Operation，现在鲍勃做σx操作，于是波函数变为 $\mid\uparrow\uparrow\rangle$。如果刚才爱丽丝测得本征值-ħ/2，波函数塌缩成 $\mid\downarrow\uparrow\rangle$，则爱丽丝立即进行σx操作，然后经由电话告诉鲍勃，要求鲍勃不做任何操作，结果仍然可将波函数透过利用LOCC转换成 $\mid\uparrow\uparrow\rangle$。

显然利用 LOCC 把某个态 $|\psi\rangle$ 转换成 $|\phi\rangle$，A与B之间的纠缠只能变小或维持不变。但是并不是只要 $|\phi\rangle$ 的纠缠熵比 $|\psi\rangle$ 的纠缠熵还小就必定能透过 LOCC 作转换。要判断可不可转，首先，可以把 $|\psi\rangle$ 和 $|\phi\rangle$ 分别做施密特分解：

$$|\psi\rangle=\sum_{i=1}^D\sqrt{\omega_i}|a_i\rangle |b_i\rangle$$

$$|\phi\rangle=\sum_{i=1}^D\sqrt{\omega_i'}|a_i'\rangle |b_i'\rangle$$

将Schmidt值由大至小排列然后进行比较。尼尔森(Nielsen)在1999年提出定理:

若Majorization

$\sum_{i=1}^k\omega_i\le\sum_{i=1}^k\omega_i'$,

对于所有 $k$ 都成立，则 $|\psi\rangle$ 可利用LOCC转换成 $|\phi\rangle$。

然而若上述条件不成立，并不表示 LOCC 转换必定不成立。如果允许引入催化态，LOCC 转换仍有可能的。

### 催化转换

Jonathan 和 Plenio 在尼尔森定理发表不久即给出一个催化转换的例子：考虑

$$|\psi\rangle=\sqrt{0.4}|00\rangle+\sqrt{0.4}|11\rangle+\sqrt{0.1}|22\rangle+\sqrt{0.1}|33\rangle$$

$$|\phi\rangle=\sqrt{0.5}|00\rangle+\sqrt{0.25}|11\rangle+\sqrt{0.25}|22\rangle$$

$$|c\rangle=\sqrt{0.6}\mid\uparrow\uparrow\rangle+\sqrt{0.4}\mid\downarrow\downarrow\rangle$$

以上三个态已经过施密特分解且系数皆由大至小排列，以下进行 $|\psi\rangle$ 和 $|\phi\rangle$ 验算系数的前 $k$ 项之和：

$k$｜$|\psi\rangle$｜$|\phi\rangle$

0｜0.4｜0.5

1｜0.8｜0.65

2｜0.9｜1.0

3｜1.0｜1.0

以上表格中，若“$|\psi\rangle$ 的前 $k$ 项之和”比“$|\phi\rangle$ 的前 $k$ 项之和”小的话，填入绿色；大的话，填入红色；相等则是留下白色。如此一来，观察 $k$ 方向的颜色便一目了然。如果所有颜色皆为绿色，则表示 $|\psi\rangle$ 可经由LOCC转换成 $|\phi\rangle$；如果所有颜色皆为红色，则表示 $|\phi\rangle$ 可经由LOCC转换成 $|\psi\rangle$；如果颜色既有红色又有绿色，则说明若无催化态便不可转换。

那么什么是“催化转换”和“催化态”呢？我们考虑直积态 $|\psi\rangle |c\rangle$ 和 $|\phi\rangle |c\rangle$：

$$\begin{align}|\psi\rangle |c\rangle &= \sqrt{0.24}|00\rangle\mid\uparrow\uparrow\rangle+\sqrt{0.24}|11\rangle\mid\uparrow\uparrow\rangle+ \sqrt{0.16}|00\rangle\mid\downarrow\downarrow\rangle+\sqrt{0.16}|11\rangle\mid\downarrow\downarrow\rangle\\ &+\sqrt{0.06}|22\rangle\mid\uparrow\uparrow\rangle+\sqrt{0.06}|33\rangle\mid\uparrow\uparrow\rangle+ \sqrt{0.04}|22\rangle\mid\downarrow\downarrow\rangle+\sqrt{0.04}|33\rangle\mid\downarrow\downarrow\rangle\end{align}$$

$$\begin{align}|\phi\rangle |c\rangle &= \sqrt{0.30}|00\rangle\mid\uparrow\uparrow\rangle+\sqrt{0.20}|00\rangle\mid\downarrow\downarrow\rangle+ \sqrt{0.15}|11\rangle\mid\uparrow\uparrow\rangle+\sqrt{0.15}|22\rangle\mid\uparrow\uparrow\rangle\\ &+\sqrt{0.10}|11\rangle\mid\downarrow\downarrow\rangle+\sqrt{0.10}|22\rangle\mid\downarrow\downarrow\rangle\end{align}$$

以上各项已按照由大至小排列，接着同样进行制作表格计算前 $k$ 项之和：

$k$｜$|\psi\rangle |c\rangle$｜$|\phi\rangle |c\rangle$

0｜0.24｜0.30

1｜0.48｜0.50

2｜0.64｜0.65

3｜0.80｜0.80

4｜0.86｜0.90

5｜0.92｜1.00

6｜0.96｜1.00

7｜1.00｜1.00

表格做完马上看出所有颜色皆为绿色，因此根据尼尔森定理，$|\psi\rangle |c\rangle$ 透过LOCC转换成 $|\phi\rangle |c\rangle$ 是可以的。由于 $|c\rangle$ 只是从直积态中直接加入然后转换完毕便可取走，很像化学反应中的催化剂，因此可称 $|c\rangle$ 是催化态。

### 塔库定理

2007年塔库（Turgut）证明了定理