大津算法

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在计算机视觉和图像处理领域，大津二值化法（Otsu's method）是由大津展之命名的一种用于自动图像阈值分割的方法。该方法用于对基于聚类的图像进行二值化，即将一个灰度图像转化为二值图像。算法假定图像根据双模直方图（前景像素和背景像素）包含两类像素，并计算出能将这两类像素分开的最佳阈值，使得类内方差最小，或等效地，类间方差最大。

因此，大津二值化法是一种一维离散的费舍尔判别分析的类似方法，与Jenks优化方法相关，并且等同于在强度直方图上执行的全局最优k-means算法。

原始论文中还描述了多级阈值扩展方法，并且后来提出了计算效率高的实现方法。

## 方法

在大津算法中，我们穷举搜索能使类内方差最小的阈值，定义为两个类的方差的加权和：

$$\sigma^2_w(t)=\omega_1(t)\sigma^2_1(t)+\omega_2(t)\sigma^2_2(t)$$

权重 $\omega_i$ 是被阈值 $t$ 分开的两个类的概率，而 $\sigma^2_ i$ 是这两个类的方差。

大津证明了最小化类内方差和最大化类间方差是相同的：

$$\sigma^2_b(t)=\sigma^2-\sigma^2_w(t)=\omega_1(t)\omega_2(t)\left[\mu_1(t)-\mu_2(t)\right]^2$$

用类概率 $\omega_i$ 和类均值 $\mu_i$ 来表示。

类概率 $\omega_1(t)$ 用阈值为 $t$ 的直方图计算：

$$\omega_1(t)=\Sigma_0^t p(i)$$

而类均值 $\mu_1(t)$ 为：

$$\mu_1(t)=\left[\Sigma_0^t p(i)\,x(i)\right]/\omega_1$$

其中 $x(i)$ 为第 $i$ 个直方图面元中心的值。

同样的，你可以对大于 $t$ 的面元求出右侧直方图的 $\omega_2(t)$ 与 $\mu_2$。

类概率和类均值可以迭代计算。这个想法会产生一个有效的算法。

大津算法得出了0:1范围上的一个阈值。这个阈值用于图像中出现的像素强度的动态范围。例如，若图像只包含155到255之间的像素强度，大津阈值0.75会映射到灰度阈值230（而不是192，因为图像包含的像素不是0–255全范围的）。常见的摄影图像往往包含全范围的像素强度，就会让这一点有争论，但其他应用会对这点区别很敏感。

### 算法

- 计算每个强度级的直方图和概率
- 设置 $\omega_i(0)$ 和 $\mu_i(0)$ 的初始值
- 遍历所有可能的阈值 $t = 1 \ldots$ 最大强度
- 更新 $\omega_i$ 和 $\mu_i$
- 计算 $\sigma^2_b(t)$
- 所需的阈值对应于最大的 $\sigma^2_b(t)$
- 你可以计算两个最大值（和两个对应的）。$\sigma^2_{b1}(t)$ 是最大值而 $\sigma^2_{b2}(t)$ 是更大的或相等的最大值
- 所需的阈值 = $\frac{\text{threshold}_1 + \text{threshold}_2 }{2}$

### JavaScript实现

注：输入参数total是给定图像中的像素数。输入参数histogram是灰度图像不同灰度级（典型的8位图像）的256元直方图。此函数输出图像的阈值。

```javascript
function otsu(histogram, total) {
    var sum = 0;
    for (var i = 1; i < 256; ++i)
        sum += i * histogram[i];
    var sumB = 0;
    var wB = 0;
    var wF = 0;
    var mB;
    var mF;
    var max = 0.0;
    var between = 0.0;
    var threshold1 = 0.0;
    var threshold2 = 0.0;
    for (var i = 0; i < 256; ++i) {
        wB += histogram[i];
        if (wB == 0)
            continue;
        wF = total - wB;
        if (wF == 0)
            break;
        sumB += i * histogram[i];
        mB = sumB / wB;
        mF = (sum - sumB) / wF;
        between = wB * wF * (mB - mF) * (mB - mF);
        if ( between >= max ) {
            threshold1 = i;
            if ( between > max ) {
                threshold2 = i;
            }
            max = between;            
        }
    }
    return ( threshold1 + threshold2 ) / 2.0;
}
```

### C实现

```c
unsigned char otsu_threshold( int* histogram, int pixel_total )
{
    unsigned int sumB = 0;
    unsigned int sum1 = 0;
    float wB = 0.0f;
    float wF = 0.0f;
    float mF = 0.0f;
    float max_var = 0.0f;
    float inter_var = 0.0f;
    unsigned char threshold = 0;
    unsigned short index_histo = 0;

    for ( index_histo = 1; index_histo < 256; ++index_histo )
    {
        sum1 += index_histo * histogram[ index_histo ];
    }

    for (index_histo = 1; index_histo < 256; ++index_histo)
    {
        wB = wB + histogram[ index_histo ];
        wF = pixel_total - wB;
        if ( wB == 0 || wF == 0 )
        {
            continue;
        }
        sumB = sumB + index_histo * histogram[ index_histo ];
        mF = ( sum1 - sumB ) / wF;
        inter_var = wB * wF * ( ( sumB / wB ) - mF ) * ( ( sumB / wB ) - mF );
        if ( inter_var >= max_var )
        {
            threshold = index_histo;
            max_var = inter_var;
        }
    }

    return threshold;
}
```

### MATLAB实现

total为给定图像中的像素数。

histogramCounts为灰度图像不同灰度级（典型的8位图像）的256元直方图。

level为图像的阈值（double）。

```matlab
function level = otsu(histogramCounts, total)
%% OTSU automatic thresholding method
sumB = 0;
wB = 0;
maximum = 0.0;
threshold1 = 0.0;
threshold2 = 0.0;
sum1 = sum((1:256).*histogramCounts.'); % the above code is replace with this single line
for ii=1:256
    wB = wB + histogramCounts(ii);
    if (wB == 0)
        continue;
    end
    wF = total - wB;
    if (wF == 0)
        break;
    end
    sumB = sumB +  ii * histogramCounts(ii);
    mB = sumB / wB;
    mF = (sum1 - sumB) / wF;
    between = wB * wF * (mB - mF) * (mB - mF);
    if ( between >= maximum )
        threshold1 = ii;
        if ( between > maximum )
            threshold2 = ii;
        end
        maximum = between;
    end
end
level = (threshold1 + threshold2 )/(2);
end
```

另一种方法是用向量化方法（可以很容易地转换为便于GPU处理Python矩阵数组版本）

```matlab
function  [threshold_otsu] = Thredsholding_Otsu( Image)
%Intuition:
%(1)pixels are divided into two groups
%(2)pixels within each group are very similar to each other 
%   Parameters:
%   t : threshold 
%   r : pixel value ranging from 1 to 255
%   q_L, q_H : the number of lower and higher group respectively
%   sigma : group variance
%   miu : group mean
%   Author: Lei Wang
%   Date  : 22/09/2013
%   References : Wikepedia, 
%   for multi children Otsu method, please visit : https://drive.google.com/file/d/0BxbR2jt9XyxteF9fZ0NDQ0dKQkU/view?usp=sharing
%   This is my original work

nbins = 256;
counts = imhist(Image,nbins);
p = counts / sum(counts);

for t = 1 : nbins
   q_L = sum(p(1 : t));
   q_H = sum(p(t + 1 : end));
   miu_L = sum(p(1 : t) .* (1 : t)') / q_L;
   miu_H = sum(p(t + 1 : end) .* (t + 1 : nbins)') / q_H;
   sigma_b(t) = q_L * q_H * (miu_L - miu_H)^2;
end

[~,threshold_otsu] = max(sigma_b(:));
end
```

该实现有一点点冗余的计算。但由于大津算法快速，这个实现版本是可以接受，并且易于理解的。因为在一些环境中，如果使用向量化的形式，可以更快地运算循环。大津二值化法使用架构最小的堆－孩子标签（heap-children label）可以很容易地转变成多线程的方法。

## 外部链接

- Lecture notes on thresholding – covers the Otsu method.
- A plugin for ImageJ using Otsu's method to do the threshold.
- A full explanation of Otsu's method with a working example and Java implementation.
- Implementation of Otsu's method in ITK
- Otsu Thresholding in C# A straightforward C# implementation with explanation.
- Otsu's method using MATLAB