空间群

在数学和物理学中，空间群（space group）是空间中（通常是三维空间）一种形态的空间对称群。在三维空间中有219种不同的类型，或230种不同的手性类型。对超过三维的空间中的空间群也有研究，它们有时被称作路德维希·比贝尔巴赫群，并且是离散的紧群，具有欧氏空间的等距同构。它是由俄国结晶学家费多洛夫和德国结晶学家薛弗利斯（Artur Moritz Schoenflies，1853-1928）于1890至1891年间各自独立地先后推导得出来的。

在晶体学中，空间群也被称为叶夫格拉夫·费奥多罗夫群，是对晶体对称型的一种描述。三维空间群的权威参考文献是《国际晶体学表》。空间群可以分为两类：一类称为简单空间群或称点空间群；一类称为复杂空间群或称非点空间群。其中73种为简单空间群，余下的157种为复杂空间群。

## 三维的空间群

- ｜晶系（空间群数量）布拉维晶格｜点群｜空间群 (国际短符号)

国际标记法｜熊夫利标记法｜轨形｜考克斯特符号｜点群阶

1｜三斜晶系(2)

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｜1｜C1｜11｜ +｜1｜P1

2｜1｜Ci｜1×｜2+,2+｜2｜P1

3–5｜单斜晶系(13)

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｜2｜C2｜22｜2+｜2｜P2, P21C2

6–9｜m｜Cs｜、11｜ ｜2｜Pm, PcCm, Cc

10–15｜2/m｜C2h｜2、｜2,2+｜4｜P2/m, P21/mC2/m, P2/c, P21/cC2/c

16–24｜正交晶系(59)

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｜222｜D2｜222｜2,2+｜4｜P222, P2221, P21212, P212121, C2221, C222, F222, I222, I212121

25–46｜mm2｜C2v｜、22｜2｜4｜Pmm2, Pmc21, Pcc2, Pma2, Pca21, Pnc2, Pmn21, Pba2, Pna21, Pnn2Cmm2, Cmc21, Ccc2, Amm2, Aem2, Ama2, Aea2Fmm2, Fdd2Imm2, Iba2, Ima2

47–74｜mmm｜D2h｜、222｜2,2｜8｜Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, PnmaCmcm, Cmce, Cmmm, Cccm, Cmme, CcceFmmm, FdddImmm, Ibam, Ibca, Imma

75–80｜四方晶系(68)

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｜4｜C4｜44｜4+｜4｜P4, P41, P42, P43, I4, I41

81–82｜4｜S4｜2×｜2+,4+｜4｜P4, I4

83–88｜4/m｜C4h｜4、｜2,4+｜8｜P4/m, P42/m, P4/n, P42/nI4/m, I41/a

89–98｜422｜D4｜224｜2,4+｜8｜P422, P4212, P4122, P41212, P4222, P42212, P4322, P43212I422, I4122

99–110｜4mm｜C4v｜、44｜4｜8｜P4mm, P4bm, P42cm, P42nm, P4cc, P4nc, P42mc, P42bcI4mm, I4cm, I41md, I41cd

111–122｜42m｜D2d｜2、2｜2+,4｜8｜P42m, P42c, P421m, P421c, P4m2, P4c2, P4b2, P4n2I4m2, I4c2, I42m, I42d

123–142｜4/mmm｜D4h｜、224｜2,4｜16｜P4/mmm, P4/mcc, P4/nbm, P4/nnc, P4/mbm, P4/mnc, P4/nmm, P4/ncc, P42/mmc, P42/mcm, P42/nbc, P42/nnm, P42/mbc, P42/mnm, P42/nmc, P42/ncmI4/mmm, I4/mcm, I41/amd, I41/acd

143–146｜三方晶系(25)

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｜3｜C3｜33｜3+｜3｜P3, P31, P32R3

147–148｜3｜S6｜3×｜2+,6+｜6｜P3, R3

149–155｜32｜D3｜223｜2,3+｜6｜P312, P321, P3112, P3121, P3212, P3221R32

156–161｜3m｜C3v｜、33｜3｜6｜P3m1, P31m, P3c1, P31cR3m, R3c

162–167｜3m｜D3d｜2、3｜2+,6｜12｜P31m, P31c, P3m1, P3c1R3m, R3c

168–173｜六方晶系(27)

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｜6｜C6｜66｜6+｜6｜P6, P61, P65, P62, P64, P63

174｜6｜C3h｜3、｜2,3+｜6｜P6

175–176｜6/m｜C6h｜6、｜2,6+｜12｜P6/m, P63/m

177–182｜622｜D6｜226｜2,6+｜12｜P622, P6122, P6522, P6222, P6422, P6322

183–186｜6mm｜C6v｜、66｜6｜12｜P6mm, P6cc, P63cm, P63mc

187–190｜6m2｜D3h｜、223｜2,3｜12｜P6m2, P6c2, P62m, P62c

191–194｜6/mmm｜D6h｜、226｜2,6｜24｜P6/mmm, P6/mcc, P63/mcm, P63/mmc

195–199｜立方晶系(36)

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｜23｜T｜332｜3,3+｜12｜P23, F23, I23P213, I213

200–206｜m3｜Th｜3、2｜3+,4｜24｜Pm3, Pn3, Fm3, Fd3, Im3, Pa3, Ia3

207–214｜432｜O｜432｜3,4+｜24｜P432, P4232F432, F4132I432P4332, P4132, I4132

215–220｜43m｜Td｜、332｜3,3｜24｜P43m, F43m, I43mP43n, F43c, I43d

221–230｜m3m｜Oh｜、432｜3,4｜48｜Pm3m, Pn3n, Pm3n, Pn3mFm3m, Fm3c, Fd3m, Fd3cIm3m, Ia3d

注: e 面是双滑移面，是在两个不同方向的滑移，存在于七个正交群，五个四方群和五个立方群中，都具有含有中心的晶格，官方的符号为e

## 二维的空间群

二维的空间群有17个，属于四种晶系，有由五种点阵形式与十种点群组合而成。

- ｜晶系（空间群数量）布拉维晶格｜点群｜空间群 (国际短符号)

国际标记法｜熊夫利标记法｜点群阶

1｜单斜晶系(2)｜1｜C1｜1｜P1

2｜2｜C2｜2｜P2

3–5｜正交晶系(7)｜m｜Cs｜2｜Pm, PgCm

6–9｜2mm｜C2v｜4｜P2mm, P2mg, P2ggC2mm

10｜正方晶系(3)｜4｜C4｜4｜P4

11–12｜4mm｜C4v｜8｜P4m, P4g

13｜六方晶系(5)｜3｜C3｜3｜P3

14–15｜3m｜C3v｜6｜P31m, P3m1

16｜6｜C6｜6｜P6

17｜6mm｜C6v｜12｜P6m

## 零维和一维的空间群

零维就是一个点，故仅有一晶系一点阵形式一点群一空间群为P1。一维则为仅有一晶系一点阵形式两点群和两个空间群，分别为P1和P1，分别指无对称性和关于中点或顶点对称。

## 比贝尔巴赫群

比贝尔巴赫群指的是四维及以上维度的空间群。据计算，四维空间群有4894个，五维空间群有222097个，六维空间群有28934974个。（不考虑手性下分别有4783，222018，28927922个）

## 外部链接

- International Union of Crystallography
- Point Groups and Bravais Lattices
- Bilbao Crystallographic Server
- Space Group Info (old)
- Space Group Info (new)
- Crystal Lattice Structures: Index by Space Group
- Full list of 230 crystallographic space groups
- Interactive 3D visualization of all 230 crystallographic space groups
- The Geometry Center: 2.1 Formulas for Symmetries in Cartesian Coordinates (two dimensions)
- The Geometry Center: 10.1 Formulas for Symmetries in Cartesian Coordinates (three dimensions)