特殊直角三角形

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特殊直角三角形是一些有特殊性质的直角三角形，其特殊性质可能是使三角形的计算更加方便，或是存在一些较简单的公式。例如有些三角形的内角有一些简单的关系，例如45–45–90度三角形，这是各角有特殊关系的直角三角形。也有些直角三角形的各边有特殊关系，例如各边的比例可以用自然数表示，例如3 : 4 : 5，或是可以用黄金比例表示等。若在处理这些三角形时知道其特殊的边关系或角关系，可以快速的计算一些几何问题而不需用到一些较复杂的公式。

## 各角有特殊关系

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直角三角形的各角有其基本关系：最大角（直角）为90度，也等于另外二角的和。但有些直角三角形的各角还有其他特殊关系。

直角三角形的边长一般会用单位圆或其他几何方式推导而成，若角度为30°, 45°或60°，其三角函数的数值计算会比其他的角度会简单很多。

以下是一些特殊角的三角函数

角度｜弧度｜sin｜cos｜tan

0｜0｜$\tfrac{\sqrt{0}}{2}=0$｜$\tfrac{\sqrt{4}}{2}=1$｜$0$

30｜$\tfrac{\pi}{6}$｜$\tfrac{\sqrt{1}}{2}=\tfrac{1}{2}$｜$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$｜$\tfrac{1}{\sqrt{3}}$

45｜$\tfrac{\pi}{4}$｜$\tfrac{\sqrt{2}}{2}=\tfrac{1}{\sqrt{2}}$｜$\tfrac{\sqrt{2}}{2}=\tfrac{1}{\sqrt{2}}$｜$1$

60｜$\tfrac{\pi}{3}$｜$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$｜$\tfrac{\sqrt{1}}{2}=\tfrac{1}{2}$｜$\sqrt{3}$

90｜$\tfrac{\pi}{2}$｜$\tfrac{\sqrt{4}}{2}=1$｜$\tfrac{\sqrt{0}}{2}=0$｜$\infty$

45–45–90度三角形、30–60–90度三角形以及正三角形是平面上的三种莫比乌斯三角形，任一内角都可以找到对应整数，使内角和整数的乘积为180，参照三角形群。

### 45–45–90度三角形

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在平面几何中，将正方形绘制一条对角线会产生一个角度比例为$1:1:2$的三角形，而内角和为180度（或是$\pi$弧度），因此各角角度为45° （$\frac{\pi}{4}$）、45° （$\frac{\pi}{4}$）和90° （$\frac{\pi}{2}$）。依毕氏定理可得其边长比例为$1:1:\sqrt{2}$，因此45–45–90度三角形为等腰直角三角形。若绘制45–45–90度三角形斜边的中线，中线会将45–45–90度三角形分割为另外二个较小的45–45–90度三角形，边长是原来的$\frac{1}{\sqrt{2}}$。

45–45–90度三角形为等腰直角三角形，在平面几何中，这也是唯一是等腰三角形的直角三角形。不过在球面几何学或双曲几何中，有无限种也是等腰三角形的直角三角形。

### 30–60–90 度三角形

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若三角形各角的比例是$1:2:3$，其各角角度会是30°、60°和90°。各边的比例会是$1:\sqrt{3}:2$。

使用三角函数可以证明上述的事实．利用几何学的证明如下：

绘制边长为2的正三角形$ABC$，并令$D$点为线段$BC$的中点。连接线段$AD$，则三角形$ABD$为 30–60–90度三角形，其斜边长度为2，一股$BD$长度为1。

另一股$AD$的长度为$\sqrt{3}$，可以由毕氏定理求得。

30–60–90度三角形是平面几何中唯一一个角度呈等差数列的直角三角形。其证明很简单：假设三个角的角度为等差数列，可以表示为为$\alpha$, $\alpha + \delta$, $\alpha + 2\delta$，因为内角和为180°，可得$3\alpha + 3\delta = 180^\circ$，其中有一角会是60度，而且最大角需为90度，因此最小角会是30度。

### 角度呈等比数列的直角三角形

在平面几何中，30–60–90度三角形是唯一一个角度呈等差数列的直角三角形，角度呈等比数列的直角三角形也只有一种，其角度为$\frac{\pi}{2\varphi ^2}$、$\frac{\pi}{2\varphi}$、$\frac{\pi}{2}$，其中公比为黄金比例$\varphi$。三个内角的比例为$1:\varphi:\varphi^2.\,$。

根据正弦定律，各边的比例会是$\sin{\frac{\pi}{2\varphi^2}}:\sin{\frac{\pi}{2\varphi}}:1$。因为各边长的关系也要满足毕氏定理，因此可得$\sin^2{\frac{\pi}{2\varphi^2}}+\sin^2{\frac{\pi}{2\varphi}}=1$根据黄金比例的定义，$\frac{1}{\varphi}=\varphi-1$，由于$\sin \frac{\pi}{2\varphi}=\cos\left( \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2\varphi} \right)=\cos\left( \frac{\varphi \pi}{2 \varphi}-\frac{\pi}{2\varphi} \right)=\cos \frac{(\varphi-1) \pi}{2 \varphi}=\cos \frac{\frac{1}{\varphi} \pi}{2 \varphi}=\cos \frac{\pi}{2 \varphi^2}$，因此原式成立。

## 各边有特殊关系

若三角形各边为整数，三角形的三边称为勾股数，其各角的角度不会是整数。这类的直角三角形容易记忆，而且三角形的各边比例只要一様，即为相似三角形，就会有一様的特质。利用欧几里得产生勾股数的公式，勾股数的比例比必定满足以下的关系

$$m^2-n^2 : 2mn : m^2+n^2\,$$

其中$m$和$n$均为正整数，而且$m>n$。

### 常见的勾股数

以下是前五个勾股数：

3:｜4｜:5

5:｜12｜:13

8:｜15｜:17

7:｜24｜:25

9:｜40｜:41

其中$3:4:5$三角形是唯一边长呈等差数列的直角三角形，在埃及称为“埃及三角形”。由勾股数的有理数组成的三角形都是海伦三角形，表示其边长和面积都是有理数。

以下是所有二股都小于256的互质勾股数组：

3:｜4｜:5

5:｜12｜:13

8:｜15｜:17

7:｜24｜:25

9:｜40｜:41

11:｜60｜:61

12:｜35｜:37

13:｜84｜:85

15:｜112｜:113

16:｜63｜:65

17:｜144｜:145

19:｜180｜:181

20:｜21｜:29

20:｜99｜:101

21:｜220｜:221

24:｜143｜:145

28:｜45｜:53

28:｜195｜:197

32:｜255｜:257

33:｜56｜:65

36:｜77｜:85

39:｜80｜:89

44:｜117｜:125

48:｜55｜:73

51:｜140｜:149

52:｜165｜:173

57:｜176｜:185

60:｜91｜:109

60:｜221｜:229

65:｜72｜:97

84:｜187｜:205

85:｜132｜:157

88:｜105｜:137

95:｜168｜:193

96:｜247｜:265

104:｜153｜:185

105:｜208｜:233

115:｜252｜:277

119:｜120｜:169

120:｜209｜:241

133:｜156｜:205

140:｜171｜:221

160:｜231｜:281

161:｜240｜:289

204:｜253｜:325

207:｜224｜:305

### 斐波那契三角形

从5开始，斐波那契数列中的第6项、第8项、第10项……等偶数项（假设0为第1项）{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...} 为边长为整数的直角三角形的斜边，也就是勾股数中最大的一项。二股中较长的一股为上一个斐波那契三角形的三边和，较短一股为跳过的斐波那契数减去上一个斐波那契三角形的最短边。

第一个斐波那契三角形边长为5, 4和3。跳过数字8，下一个斐波那契三角形边长为13, 12（5 + 4 + 3）和5（8 − 3）。跳过数字21，下一个三角形边长为34, 30（13 + 12 + 5）和16（21 − 5）。此数列会一直延伸，最后会趋近以下的比值：

$$1:2:\sqrt{5}.$$

Andrew Clarke建议将长度比例为$1:2:\sqrt{5}$的三角形称为dom，因为此三角形可以由二格骨牌（domin）延对角线切割而成，此三角形是约翰·何顿·康威及查尔斯·雷丁提出的非周期性贴砖风车贴砖的基础。

### 几乎等腰的直角三角形

等腰直角三角形的三边不可能都是整数，但存在无限个“几乎等腰”的直角三角形，也就是直角三角形的边长为整数，而且二股长度只差一。这类几乎等腰的直角三角形可以用佩尔方程递回求解而得：

$a_0=1$, $b_0=2$

$$a_n=2b_{n-1}+a_{n-1}$$

$$b_n=2a_n+b_{n-1}$$

$a_n$为斜边的长度，$n=1,2,3,\cdots$。最小的几个三角形如下

3 :｜4｜: 5

20 :｜21｜: 29

119 :｜120｜: 169

696 :｜697｜: 985

4059 :｜4060｜: 5741

23660 :｜23661｜: 33461

### 各边呈等比数列的三角形

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开普勒三角形是特殊的直角三角形，它的三边之比等于$1:\sqrt\phi:\phi$，为等比数列，其中$\phi$是黄金比，$\phi=\frac{\sqrt5+1}{2}$。德国数学家及天文学家开普勒最早提出三边满足此比例的三角形。