正图形

正一百二十胞体是一个四维多胞体，是一个正图形，由120个正十二面体胞组成的四维正多胞形，其施莱夫利符号为{5,3,3}。（这里展示的是施莱格尔图像）

caption4=正方体堆砌是一个三维空间堆砌，可被看作是四维的无穷胞体，施莱夫利符号为{4,3,4}

caption5=八维超正方体的256个顶点和1024条棱可以用正交投影来展示。（皮特里多边形）

在几何学中，正图形或正几何形状（Regular Geometric Shape）是一类具有高度对称性的几何结构。其中，若该几何结构是由线段、平面或超平面的边界构成则又可称为正多胞形（Regular polytope）。

和正图形相对的概念为不规则图形（Irregular Geometric Shape）或不规则几何形状、非正几何形状，其对称性比正图形低或无对称性。在不规则图形中，依照对称性的高低又可以分为拟正图形（Quasiregular）、半正图形（Semiregular）、似正镶嵌图图形（Demiregular）、均匀图形（Uniform）等几何结构。

## 正多胞形

正多胞形是一种对称性对于标记可递的几何结构，且具有高度对称性，对于该几何体内所有同维度的元素（如：点、线、面）都完全具有相同的性质，并且每一个元素皆为一个正图形，例如，正方体所有的面的面积及形状皆相同，且皆为正方形，是一个二维正多胞形、所有边的长度也相同，所有角的角度及形式也相同，因此正方体是一个正图形或正多胞形。对于所有元素，或叫j维面（对所有的 0 ≤ j ≤ n，其中n是该几何体所在的维度） — 胞、面等等 — 也都对于多胞形的对称性可递，也是≤ n维的正图形。

正图形是正多边形（例如：正方形或者正五边形）和正多面体（例如立方体）的向任意维度的推广类比。正图形极强的对称性使它们拥有极强的审美价值，吸引着数学家和数学爱好者。

一般地，n维正图形被定义为有正维面(n − 1)-表面和正顶点图。这两个条件已经能充分地保证所有面、所有顶点都是相似的。但要注意的是，这一定义并不适用于抽象多胞形。

一个正图形能用形式为{a, b, c, ...., y, z}的施莱夫利符号代表，其正的面为{a, b, c, ..., y}，顶点图为{b, c, ..., y, z}。

## 分类和描述

正图形最基础的分类是按其维度。

它们能够按照对称性进一步分类。例如，正方体和正八面体有着相同的对称性，同样，正十二面体和正二十面体也是。事实上，对称群大多依照正图形命名，例如正四面体对称群和正二十面体对称群。

3种特殊类型的正图形存在于所有维度：

- 单纯形（正单形）
- 超方形（正测形）
- 正轴形（交叉形）

在二维，这里有无穷多个正多边形。在三维和四维这里有许多上述三种之外的正多面体和正多胞体。在五维及以上维，只存在这三种类型的正图形。另见正图形列表。

正图形的概念有时被扩展，使其包括了另外一些相关的几何对象。其中一些有正的例子，下面“历史发现”一章将会详细说明。

### 施莱夫利符号

施莱夫利符号是一个简洁有力的多面体表示法，是19世纪由路德维希·施莱夫利所发明的，一个改进了的版本随后成为了标准。这种记号可通过维度依次增加一获得最好的解释。

- 一个有n条边的凸正多边形可以标记为{n}。所以一个等边三角形是{3}，一个正方形是{4}......一个绕其中心旋转m圈的正星形多边形被标记为分式{n/m}，这里n和m是互质的，例如正五角星是{5/2}。
- 一个有着面{n}，并且一个顶点处有p个面相交的正多面体标记为{n, p}。九个正多面体是：{3, 3}、{3, 4}、{4, 3}、{3, 5}、{5, 3}、{3, 5/2}、{5/2, 3}、{5, 5/2}和{5/2, 5}。{p}就是这个正多面体的顶点图。
- 一个有着胞{n, p}，并且每一条棱处有q个胞相交的正多胞体标记为{n, p, q}。其顶点图为{p, q}。
- 一个五维正多胞体是{n, p, q, r}，等等。

### 正图形的对偶性

正图形的对偶形也是正图形。对偶图形的施莱夫利符号就是将原来的符号倒过来写：{3,3}为自身对偶，{3,4}与{4,3}对偶，{4,3,3}与{3,3,4}对偶，以此类推。

正图形的顶点图的对偶即是其对偶图形的维面。例如{3,3,4}的顶点图是{3,4}，其对偶即是{4,3} — {4,3,3}的一个胞。

任何维的超方形和正轴形都是互相对偶的。

如果其施莱夫利符号是回文，即正反读都一样，那么这个正图形就是自身对偶的。自身对偶正图形包括：

- 点
- 线段，{}。
- 所有的正多边形，{a}。
- 所有的n-正单纯形，{3,3,3,...,3,3,3}。
- 四维正多胞形正二十四胞体，{3,4,3}。
- 所有n维超方形堆砌，{4,3,3,...,3,3,4}。这些在多胞形学中被看作无穷多胞形。

### 正单纯形

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线段｜正三角形｜正四面体｜正五胞体

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我们从点A开始。标下与A相距r的点B，并连接它们，形成线段。在垂直与它的第二维度标下与A、B都相距r的第三点C，并连接AC、BC，形成正三角形。在垂直与它的第三维度标下与三点都相距r的第四点D，连接四点，便形成正四面体。用同样的方法，我们可以得到更高维的类似正图形。

这些就是正单纯形。以维度来排序，它们是：

- 点

- 线段

- 正三角形（正三边形）

- 正四面体

- 正五胞体 或 4-单纯形

- 五维正六胞体 或 5-单纯形

... n-单纯形有n+1个顶点。

### 超方形

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正方形｜立方体｜超正方体

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从一个点A开始。连一条线到距离为r的B，形成一条线段。延伸第二条长为r的线，垂直于AB，将B连接到C，同样链接A到D，形成一个正方形ABCD。从每个顶点同样延伸出长为r的线，同时垂直于AB和BC，标记点E、F、G、H形成立方体ABCD-EFGH。用同样的方法，我们可以得到更高维的类似正图形。

它们就是超方形或称正测形。以维度来排序，它们是：

- 点

- 线段

- 正方形（正四边形）

- 立方体（正六面体）

- 四维超正方体（正八胞体）或4-超方体

- 五维超正方体（五维正十胞体）或5-超方体

...一个n-超方体有2n个顶点。

### 正轴形

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正方形｜正八面体｜正十六胞体

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从一个点O开始。从O向两个相反的方向延出两条线到距O点距离为r的A和B，互相之间距离为2r，形成一条线段。同样再画线段COD，长度为2r，以O为中点而垂直于AB。连接4个顶点形成正方形ACBD。再画线段EOF，同样长度为2r，中点为O，同时垂直于AB和CD（即上下方向）。将其顶点与正方形顶点一一相连得到正八面体。用同样的方法，我们可以得到更高维的类似正图形。

这样得到的图形称为正轴形或交叉形。以维度来排序，它们是：

- 点

- 线段

- 正方形（正四边形）

- 正八面体

- 正十六胞体或4-正轴形

- 正三十二超胞体（五维正三十二胞体）或5-正轴形

...n-正轴形有2n个顶点。

## 参见

- 正图形列表
- 詹森多面体
- Bartel Leendert van der Waerden

## 参考文献

- (Coxeter, 1948) Coxeter, H. S. M.; Regular Polytopes, (Methuen and Co., 1948).
- (Coxeter, 1974) Coxeter, H. S. M.; Regular Complex Polytopes, (Cambridge University Press, 1974).
- (Coxeter, 1982) Coxeter, H. S. M.; Ten Toroids and Fifty-Seven hemi-Dodecahedra Geometrica Dedicata 13 pp87–99.
- (Coxeter, 1984) Coxeter, H. S. M.; A Symmetrical Arrangement of Eleven hemi-Icosahedra Annals of Discrete Mathematics 20 pp103–114.
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- (Cromwell, 1997) Cromwell, Peter R.; Polyhedra (Cambridge University Press, 1997)
- (Euclid) Euclid, Elements, English Translation by Heath, T. L.; (Cambridge University Press, 1956).
- (Grünbaum, 1977) Grünbaum, B.; Regularity of Graphs, Complexes and Designs, Problèmes Combinatoires et Théorie des Graphes, Colloquium Internationale CNRS, Orsay, 260 pp191–197.
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- D. M. Y. Sommerville, An Introduction to the Geometry of n Dimensions. New York, E. P. Dutton, 1930. 196 pp. (Dover Publications edition, 1958) Chapter X: The Regular Polytopes
- Stella: Polyhedron Navigator Tool for exploring 3D polyhedra, 4D polytopes, and printing nets
- Ernst Haeckel's Kunstformen der Natur online (German)
- Interesting fold-out nets of the cube, octahedron, dodecahedron and icosahedron