动力系统理论

动力系统理论（Dynamical Systems Theory），是数学领域中的一部分．主要在描述复杂的动力系统，一般会用微分方程或差分方程来表示。若用微分方程来表示，会称为“连续动态系统”，若用差分方程来表示，则称为“离散动态系统”。若其时间只在一些特定区域连续，在其余区域离散，或时间是任意的时间集合（像康托尔集），需要用时标微积分来处理。有时也会需要用混合的算子来处理，像微分差分方程。

动态系统理论处理动态系统长期的量化特性．及研究一些自然界基本的运动方程系统的解，包括卫星的运动方程，电路的特性．以及生物学中出现偏微分方程的解。许多当代的研究集中在混沌理论的研究。

此领域有时也称为动力系统、系统理论、数学动态系统理论或是动态系统的数学理论等。

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## 简介

动力系统理论处理动力系统长期的量化特性，因此其重点一般不是找出描述动态系统方程式的精确解（多半也很难找到精确解），而是希望可以回答类似以下的问题：“系统会收敛到一个稳定状态吗？若会的话，其稳定状态是什么？”或是“其长期特性和系统的初始值有关吗？”

动态系统理论的重要目的是要找到动态系统的不动点或是稳态，也就是一些使系统状态可以维持定值，不随时间改变的数值。有些不动点称为吸引子，是指若系统的初始值在这些点附近，系统会慢慢趋近吸引子。

另一个常见的是周期点，是指系统状态在若干时间之后会重复先前的状态。周期点也可能是吸引子。沙可夫斯基定理是一个有趣的定理．和一维离散动态系统的周期点个数有关。

即使是简单的非线性动态系统，也会出现看似随机的，完全无法预测的情形，此情形称为混沌。动力系统理论中的混沌理论会为混沌有清楚定义及分析其特性。

## 历史

动态系统理论的概念起源自牛顿力学，如同其他自然科学及工程法则一様，动态系统是找出系统此一时刻的状态和未来状态之间的关系。

在电脑发明之前，求解动态系统需要复杂的数学技巧，而且可能只能求解某些特定的动态系统。

## 概念

### 动态系统

动态系统的概念是一个固定规则的数学形式系统，而此规则可用来描述一个点的位置和其环绕空间的时间相依性。例如描述单摆摆动的数学模型、描述管子中水流的数学模型、以及描述每年春天湖中鱼类数量的数学模型。

动态系统有由一组实数组成的状态，或更普遍的是在适当状态空间中点的集合。系统状态的微小变化对应这些数值的微小变动。这些数也是一个几何空间（流形）的座标。动态系统的演化定律是一个描述如何由现在状态转变为未来状态的函数。此函数是确定性的，若目前状态不变，在特定未来时间下只会有一种状态。

### 动态性

动态性也称为“动态假说”、“认知科学的动态假说”或“动态认知”，是由哲学家冯·盖尔德提出的的认知科学新领域。动态假说认为微分方程比传统的电脑模型更适合为认知建模。

### 非线性系统

数学上的非线性系统是指不满足叠加原理的系统。若动态系统为线性系统，则系统方程任意两个解的线性叠加仍然是方程的一个解。但非线性系统没有这项特性，因此在求解上会比较困难。

## 相关领域

### 算术动态系统

算术动态系统是在1990年代提出的数学理论．整合了动态系统及数论。传统的离散动态系统会探讨迭代函数在复数平面或是实数中的性质。算术动态系统是探讨多项式或有理函数在整数、有理数、p进数及几何点中的迭代特性。

### 混沌理论

混沌理论是描述一些特定动态系统的特性，这些动态系统的状态会随时间而变化，而且和对其初始状态有高度的敏感性（称为蝴蝶效应），由于初始状态的微扰会使状态的误差随着时间呈指数的成长，因此混沌系统看似是随机，但其实混沌系统是一个确定系统，其未来的动态特性是由初始状态所完全决定，没有随机的因素在内。

### 复杂系统

复杂系统是一门研究自然、社会及科学中有复杂特性系统的共通点，也称为“复杂系统理论”、“复杂科学”或“复杂系统研究”。这些系统的主要问题是他们难以建模及模拟。以这个观点来看，不同的研究文本会依不同的属性定义何为复杂系统。

在许多科学领域中．化约论的策略己无法适用，复杂系统的研究为这些领域带来新的活力。复杂系统常用来作为一个广义的词语，用在不同的学科中，包括神经科学、社会科学、气象学、物理、化学、电脑科学、心理学、人工生命、进化计算、地震预测、分子生物学等。

### 控制理论

控制理论是工程学与数学的跨领域分支，其主要处理动态系统的行为。

### 遍历理论

遍历理论是研究有不变测度的动态系统及其相关问题的一个数学分支。遍历理论的发展一开始是因为统计物理中的问题。

### 泛函分析

泛函分析是数学中数学分析的一个分支，主要在研究向量空间在作用在其中的运算子。泛函分析源自函数空间的研究，特别是一些函数的转换（像是傅立叶转换）以及有关微分方程及积分方程的研究。“泛函”一词是来自变分学，是指一个输入值也是函数的函数，泛函一词是由数学家斯特凡·巴拿赫所创，因着数学家及物理家维多·沃尔泰拉而广为人知。

### 图动态系统

图动态系统（GDS）的概念可用在许多发生在图及网络上的过程。在图动态系统的数学分析及电脑分析中．主要的是其结构性质（网络连接性）及其产生的动态。

### 投影动力系统

投影动力系统探讨一个解限制在一个拘束集合中的动态系统。这领域和最佳化及平衡问题中的静态特性有关，也和常微分方程中的动态特性有关，且会同时应用到上述二者的特质。投影动力系统是由投影微分方程的流所决定。

### 符号动力学

符号动力学是将一个拓扑或光滑的动态系统用一个离散空间来建模，而离散空间包括了抽象符号组成的无穷序列，其中每一个符号对应了系统的一个状态，而其动态是由位移运算符来产生。

### 系统动力学

系统动力学是研究复杂系统随着时间的变化，其中也研究内在的反馈回路及时间延迟等会影响整个系统特性的因素。系统动力学和其他研究复杂系统方法的不同处是使用反馈回路及存量和流量的概念，这些元素有助于说明为何看似简单的系统会出现难以理解的非线性。

### 拓扑动力学

拓扑动力学是以点集拓扑学的观点来研究动态系统的质化特性及渐近特性。

## 应用

### 生物学

在运动生物力学中，运动科学和动态系统理论结合，成为一个运动表现１建模的可行框架。以动态系统的观点来看，人类的运动系统是一个高度复杂的系统，由许多彼此相关的子系统构成（如呼吸系统、循环系统、骨骼肌肉系统及知觉系统），而各子系统又是由大量彼此相关的组件（像血球、氧分子、肌肉组织、代谢酶，结缔组织和骨）所构成。在动态系统理论中，运动模型融合了这些物理系统及生物系统中自组织的过程。

### 认知科学

动态系统理论已应用在神经动力学及认知科学中，尤其是在新皮亚杰学派。此学派认为认知科学最适合用物理理论来表示．而不是用以语法学及人工智能为基础的理论，此学派也认为微分方程是最适合为人类行为建模的数学工具，可以表示在状态空间中的认知轨迹。换句话说．此学派认为心理学应该是描述人在特定环境及内在压力下的认知及反应（并且是用微分方程来描述），其中也常用到混沌理论来描述。

在动态系统理论中，当旧的学习模式被破坏时．学习者的心智会到一个不平衡的状态，即为认知发展的相变期，活动水平会以自组织的方式互相连结，新形成的微观及巨观结构互相支持，加速形成的过程。新的状态是渐进的，离散的，异质的及不可预测的。

近来动态系统理论也用来解释A非B错误，是儿童发展学中一个长久未能解答的问题。

## 外部链接

- Dynamic Systems Encyclopedia of Cognitive Science entry.
- Definition of dynamical system in MathWorld.
- DSWeb Dynamical Systems Magazine