五角六十面体

在几何学中，五角六十面体是一种卡塔兰立体，为由60个不等边五边形组成的六十面体，并且是阿基米德立体扭棱十二面体的对偶多面体。这种立体是一个等面图形，也就是说它每个面都全等，但组成面不是正多边形。五角六十面体有两种不同的形式，它们互为镜像（或“对映体”），是为手性镜像，两种手性镜像的面、顶点、边数皆相同，共有60个面、150个边、92个顶点。五角六十面体是顶点数最多的卡塔兰立体。在卡塔兰立体和阿基米德立体中，五角六十面体的顶点数为第二多，仅次于具有120个顶点的大斜方截半二十面体。

## 性质

五角六十面体是一个手性 (数学)，也就是说，该多面体镜射之后会跟原本的形状不同，无法借由旋转半周再回到原本的形状。这两种形式互为镜像（或“对映体”），又称为手性镜像，且其面、顶点、边数皆相同，共有60个面、150个边、92个顶点。在其92个顶点中，有80个顶点是三阶顶点，即3个五边形的公共顶点和12个顶点是五阶顶点，即5个五边形的公共顶点。

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五角六十面体的旋转透视图｜

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五角六十面体的另一个手性镜像的旋转透视图

### 构造

五角六十面体是扭棱十二面体的对偶多面体。事实上，五角六十面体可以不经由对偶变换而从扭棱十二面体构造。首先在扭棱十二面体的所有12个五边形面上加入五角锥，再将扭棱十二面体的所有不与五边形面相邻的20个三角形面上加入三角锥，并调整加入之锥体的锥高，使加入的锥体之侧面与其余60个三角形面共面则形成五角六十面体，然而这种方式构造的五角六十面体会稍微有点形变。

### 二面角

五角六十面体只有一种二面角，约为153.18度：

$\arccos{\left(-\frac{2\left(x+\frac{2}{x}\right)\left(1+15\varphi\right)+\left(15+16\varphi\right)}{209}\right)}\approx$2.67347322717678$\approx$153.178732558°

其中$\varphi$为黄金比例、$x$为$\sqrt[3]{\tfrac{\varphi+\sqrt{\varphi-\tfrac{5}{27}}}{2}}+\sqrt[3]{\tfrac{\varphi-\sqrt{\varphi-\tfrac{5}{27}}}{2}}$

### 面的组成

五角六十面体60个全等的五边形面组成，每个五边形都具有3条短边和2条长边，若令$x$为$\sqrt[3]{\tfrac{\varphi+\sqrt{\varphi-\tfrac{5}{27}}}{2}}+\sqrt[3]{\tfrac{\varphi-\sqrt{\varphi-\tfrac{5}{27}}}{2}}$，则短边与长边的比为：

$\frac{1}{x} : \frac{x\left( 2+7\varphi\right)+\left( 5\varphi-3\right)+\frac{2\left( 8-3\varphi\right)}{x}}{31}\approx$0.582899534744982414 : 1.019988247022845898

其中$\varphi=\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}$为黄金比例。

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若令$\xi\approx 0.943\,151\,259\,24$为多项式$x^3+2x^2-\varphi^2$的根，则长边与短边的比值$l$为：

$l=\frac{1+\xi}{2-\xi^2}\approx 1.749\,852\,566\,74$.

也就是说，若短边为单位长，则长边的长度约为1.74985单位长。

组成五角六十面体的五边形有4个相等的钝角和一个锐角（两个长边的夹角）。其中钝角的角度为$\arccos(-\xi/2)\approx 118.136\,622\,758\,62^{\circ}$，约118度8分，而反余弦内的值是多项式$64x^6-128x^5+64x^4+24x^3-24x^2+1$的第一个实根；锐角的角度为$\arccos(-\varphi^2\xi/2+\varphi)\approx 67.453\,508\,965\,51^{\circ}$，约67度28分，而反余弦内的值是多项式$64x^6-384x^5+384x^4+888x^3+168x^2-128x-31$的第4个根。

### 几何

扭棱十二面体的面心不能直接作为五角六十面体的顶点，因为4个三角形的面心位于同一个平面上，但五边形的面心则否，它需要被径向推出以使其与三角形中心共面。因此，五角六十面体的顶点并不都位于同一个球面上，因此根据定义，五角六十面体不是一个环带多面体。

若其对偶多面体的边长为单位长，则对应的五角六十面体八十个三阶顶点所在的球面之半径为：

$\frac{\sqrt{3\left(x\varphi+1+\varphi+\frac{1}{x}\right)}}{2}\approx$2.1172098986

十二个五阶顶点所在的球面之半径为：

$\frac{\sqrt{x^2\left(1009+1067\varphi\right)+x\left(1168+2259\varphi\right)+\left(1097+941\varphi\right)}}{62}\approx$2.220000699

### 体积与表面积

若要计算五角六十面体的体积和表面积，则需要将其中一个五边形面的短边表示为$b$，并令常数$t$为：

$t=\frac{\sqrt[3]{44+12\varphi(9+\sqrt{81\varphi-15})}+\sqrt[3]{44+12\varphi(9-\sqrt{81\varphi-15})}-4}{12}\approx0.471\,575\,629\,622$ .

则短边长为$b$的五角六十面体表面积（A）为：

$A=\frac{30b^2\cdot(2+3t)\cdot\sqrt{1-t^2}}{1-2t^2}\approx162.698\,964\,198b^2$.

体积（V）为：

$V=\frac{5b^3(1+t)(2+3t)}{(1-2t^2)\cdot\sqrt{1-2t}}\approx189.789\,852\,067b^3$.

使用以上这些数值，可以计算此形状的球形度量值：

$$\Psi = \frac{\pi^{\frac{1}{3}}(6V)^{\frac{2}{3}}}{A} \approx 0.98163$$

## 用途

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由于五角六十面体是一个等面多面体，因此可以制成骰子。

## 参考文献

- (Section 3-9)
- (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 29, Pentagonal hexecontahedron)

## 基本资料

- 域：（按这里观看旋转模型）
- 类型：卡塔兰立体、六十面体
- 面：60
- 边：150
- 顶点：92
- 顶点的种类：80个3阶顶点、12个5阶顶点
- Face_configuration：V3.3.3.3.5、V34.5
- 面的种类：

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、不等边五边形
- 康威表示法：gD
- 名称：sapedit
- 对称群：Ih, 1H3, 5,3+, (532)
- 旋转对称群：I, 5,3+, (532)
- 双处理器芯片组：扭棱十二面体
- 二面角：153° 10′ 43′′