广义超几何函数

广义超几何函数（generalized hypergeometric function），有时也称超几何函数，是一个用幂级数定义的函数，其中幂级数的系数由若干个升阶乘的积和商给出。下文中用“超几何函数”一词代指广义超几何函数，而用“高斯超几何函数”一词代指 p=2、 q=1 时的广义超几何函数。

## 定义与记号

超几何函数是用幂级数定义的：

$$\beta_0 + \beta_1 \frac z{1!} + \beta_2 \frac{z^2}{2!} + \dots = \sum_{n \geqslant 0} \beta_n \frac{z^n}{n!}$$

其中相邻两项的系数之比 βn+1/βn 是关于 n 的有理函数，分子和分母都可以表示成若干个一次函数的乘积。一般要求分子和分母的多项式的最高次系数均为 1，并取 β0=1，于是

$$\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n}=\frac{A(n)}{B(n)}=\frac{\prod_{i=1}^p(a_i+n)}{\prod_{i=1}^q(b_i+n)},\quad\forall n\geqslant0$$

于是用阶乘幂可以将 βn 表示为

$$\beta_n=\frac{\prod_{i=1}^p(a_i)^{(n)}}{\prod_{i=1}^q(b_i)^{(n)}}$$

一般用下面的记号来表示超几何函数：

$$_pF_q(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_p;b_1,b_2,b_3,\ldots,b_q;z)=\ _pF_q\left[ \begin{matrix}a_1&a_2&a_3&\ldots&a_p\\b_1&b_2&b_3&\ldots&b_q\end{matrix};z\right]= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\prod_{i=1}^p(a_i)^{(n)}}{\prod_{i=1}^q(b_i)^{(n)}}\frac{z^n}{n!}$$

为了保证在所有的 βn中分母不为零，会有如下限制：

- 当 ai 都不是非正整数（即负整数和 0）时，要求所有的 bi 都不是非正整数。
- 当有至少一个 ai 是非正整数，且其中最大（绝对值最小）者为 k 时，超几何函数将截断为 -k 次多项式，这时允许 bi 中存在非正整数，但要求这些非正整数都小于 k。

## 敛散性

下面讨论用来定义超几何函数的幂级数以零为中心的收敛半径。

当超几何函数截断为多项式时，显然收敛半径是无穷大。

除去这种特殊情况之外，用比值审敛法可知，当 p0 时，级数在单位圆上绝对收敛。

- 当 0≥r>-1 时，级数在单位圆上除 z=1 外收敛，但不绝对收敛。
- 当 -1≥r 时，级数在单位圆上发散。

## 积分表达式

复平面上的路径积分可以用来定义所有 ak 都不是非正整数时的广义超几何函数，包括上面说到的 p≥q+1 的情形。

下面只介绍 p+1>q 且级数不截断为多项式的情形（其它情形下，上面的幂级数定义已经是良好的定义，而下面的积分不收敛），这时超几何函数可以定义为：

$$\left(\prod_{k=1}^p\Gamma(a_k)\right/\left.\prod_{k=1}^q\Gamma(b_k)\right)\,{}_pF_q\left[ \begin{matrix}a_1&a_2&a_3&\ldots&a_p\\b_1&b_2&b_3&\ldots&b_q\end{matrix};z\right]=\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{+i\infty} \left(\prod_{k=1}^p\Gamma(a_k+s)\right/\left.\prod_{k=1}^q\Gamma(b_k+s)\right)\Gamma(-s)(-z)^s\mathrm ds$$

当 p=q 且级数不截断为多项式时，超几何函数既可以用上面的积分来定义，也可以用超几何级数定义。可以证明，两种定义是等价的，且定义出来的超几何函数都是整函数。

当 p=q+1 且级数不截断为多项式时，超几何函数既可以用上面的积分来定义，也可以用超几何级数定义，但级数定义只在 |z|<1 时有效，在这个区域内，两种定义是等价的，上式提供了级数定义的一个解析延拓。

当 p>q+1 且级数不截断为多项式时，超几何函数只能通过积分表达式定义，对应的超几何级数只在 z =0 处收敛，其它情况均发散，它是积分定义的超几何函数在 z=0 处的渐近级数，即

$$_pF_q\left[\begin{matrix}a_1&a_2&a_3&\ldots&a_p\\b_1&b_2&b_3&\ldots&b_q\end{matrix};z\right]\approx \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\prod_{i=1}^p(a_i)^{(n)}}{\prod_{i=1}^q(b_i)^{(n)}}\frac{z^n}{n!},\quad p>q+1, z\rightarrow 0, |\arg z|<(p+1-q)\frac\pi2$$

## 超几何函数的性质

### 特殊值

$${}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_1,\ldots,a_p \\ b_1,\dots,b_q\end{array} ;0\right]=1$$

### 欧拉积分变换

$${}_{p+1}F_{q+1}\left[ \begin{array}{c} a_{1},\ldots ,a_p,c \\ b_{1},\ldots ,b_q,d \end{array} ;z\right] =\frac{\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)} \int_{0}^{1}t^{c-1}(1-t)_{{}}^{d-c-1}\ {}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_{1},\ldots ,a_p \\ b_{1},\ldots ,b_q \end{array} ; tz\right] dt$$

### 导函数

$$\begin{align} \left (z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} + a_j \right ){}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_1,\dots,a_j,\dots,a_p \\ b_1,\dots,b_q\end{array} ;z\right] &= a_j \; {}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_1,\dots,a_j+1,\dots,a_p \\ b_1,\dots,b_q \end{array} ;z\right] \\ \left (z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} + b_k - 1 \right ){}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_1,\dots,a_p \\ b_1,\dots,b_k,\dots,b_q\end{array} ;z\right] &= (b_k - 1) \; {}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_1,\dots,a_p \\ b_1,\dots,b_k-1,\dots,b_q \end{array} ;z \right] \\ \frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} \; {}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_1,\dots,a_p \\ b_1,\dots,b_q \end{array} ;z \right] &= \frac{\prod_{i=1}^p a_i}{\prod_{j=1}^q b_j}\; {}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_1+1,\dots,a_p+1 \\ b_1+1,\dots,b_q+1 \end{array} ;z \right] \end{align}$$

由上面三个关系式可以得到超几何函数满足的微分方程：

$z\prod_{n=1}^{p}\left(z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} + a_n\right)w = z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z}\prod_{n=1}^{q}\left(z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} + b_n-1\right)w,\quad w(z)={}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_1,\dots,a_p \\ b_1,\dots,b_q\end{array} ;z\right]$.

## 特例

### 0F0

就是指数函数。

$${}_0F_0(;;z) = e^z$$

### 1F0

$${}_1F_0(a;;z) = (1-z)^{-a}.$$

### 0F1

称为合流超几何极限函数（confluent hypergeometric limit functions），与贝塞尔函数有密切关联。

$$J_\alpha(x)=\frac{(\tfrac{x}{2})^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)}\cdot{}_0F_1\left (;\alpha+1; -\tfrac{1}{4}x^2 \right ).$$

### 1F1 和 2F0

1F1 就是（第一类）合流超几何函数，也称 Kummer 函数。

$${}_1F_1(a;b;z)=M(a;b;z)$$

另一方面，2F0 （此函数的级数表达式不收敛，因此必须通过积分表达式定义）与第二类合流超几何函数（又称Tricomi 函数）有如下关系：

$$U(a,b,z)=z^{-a}\cdot{}_2F_0(a,a-b+1;;-z^{-1})$$

事实上，它们都可以表示为高斯超几何函数的极限。

$${}_1F_1(a;c;z)=\lim_{b\rightarrow\infty}{}_2F_1(a,b;c;z/b)$$

$${}_2F_0(a,b;;z)=\lim_{c\rightarrow\infty}{}_2F_1(a,b;c;cz)$$

类似地，pFq 都可以表示成 p+1Fq 或 pFq+1 的极限。

不完全伽玛函数与这两个函数有关联：

$$\gamma(a,z)=\frac{z^a}aM(a,a+1,-z),\quad a\notin\mathbb Z_0^-$$

$$\Gamma(a,z)=e^{-z}U(1-a,1-a,z)$$

### 2F1

就是高斯超几何函数，一般又简称超几何函数。

### 多重对数函数

当 s 为非负整数时，多重对数函数 Lis 可以用超几何函数表示：

$$\mathrm{Li}_s(z)=z\cdot{}_{s+1}F_s\left[ \begin{array}{c} 1,\ldots,1 \\ 2,\dots,2\end{array} ;z\right]$$