中国数学史

中国数学史是指中国的数学发展史。中国传统数学称为算学，起源于仰韶文化，距今有五千余年历史，在周公时代，数乃是六艺之一。在春秋时代十进位制的筹算已经普及。著名日本数学史家三上义夫指出，中国算学的发展有二三千年之久，如此长久的发展历史，世界各国未曾有过，希腊自公元前6世纪到公元4世纪，仅一千年历史；阿拉伯数学限于公元8世纪到13世纪。“中国之算学史，其有长期之发展，不能不谓之为世界中稀有之例也”。

## 上古至西汉

### 上古时代几何图形

中国古代猿人已有初步的几何形状的认识。中国考古学家在陕西发现的几十万年前蓝田猿人遗留的不规则的石球。几万年前山西原始人制作的石球形状规则。到了新石器时代，出现空心陶球。七千年前河姆渡人遗址中发现圆筒，圆珠等形状。新石器时代陶器上出现有规则的图案。

### 上古时代的数字概念

半坡出土文物中有双耳陶器，三足陶器，有的陶器上刻有四叶纹，说明上古时代已有1，2，3，4等数字概念。1963年中国考古学家在山西省朔县峙峪村出土二万八千年前的兽骨，上有不同数目的刻痕。从一万多年前山顶洞人遗址中出土的骨管，上刻有可能表示十进位制的圆形、长形刻符，圆形的表示单位数，长形的可能代表十位数。

西安半坡和姜寨出土的新石器时代陶器上有代表一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、二十、三十的数字符号。

### 十进位制与筹算

<image>

<image>

1974年－1978年中国考古学家从青海乐都县出土数万件新石器时代的遗物，其中有些骨片上有不同数目的刻纹，表示1到8之数，未发现有10道以上刻纹，与存在十进位制相符。

十进位制起源于中国，至少在公元前1400年的中国商代就已经出现。李约瑟指出：“在商代甲骨文，十进位制已经明显可见，也比同时代的巴比伦和埃及的数字系统更为先进。巴比伦和埃及的数字系统，虽然也有进位，唯独商代的中国人，能用不多于9个算筹数字，代表任意数字，不论多大，这是一项巨大的进步”。

筹算至少在战国初年筹算已然出现。它使用中国商代发明的十进位制计数，利用九九表可以很方便地进行四则运算以及乘方，开方等较复杂运算，并可以对零、负数和分数作出表示与计算。

### 九数

春秋战国时代已经形成数学的九个分支-九数：

郑玄引《周礼注》：“九数：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、盈不足、旁要。”

- 方田：田地测算。
- 粟米：粮食换算比率
- 差分：赋税的分配。
- 少广：田亩面积和长阔。
- 商功：工程土方估计。
- 均输：运输费用的分配。
- 方程：方程式。
- 盈不足：盈亏问题。
- 旁要：勾股问题。

### 算数书

算数书是一本中国古代数学教科书，约七千字，载于190竹编上。1983年，当考古学家在湖北省张家山挖掘一个坟墓（247号汉墓）时，它和其他一些文献一起出土。从该墓的文档证据看，它关闭于公元前186，属于西汉代早期。它和九章算术的关系尚在学者的讨论中，但其一些内容明显和九章算术平行。有学者认为算数书可能是九章算术的母本。

### 九章算术

九章算术是中国古代数学著作，成书于大约1世纪，但也可能早在公元前200年就已存在。多数学者相信直到九章算术定形时中国的数学和古代地中海世界的数学多少是独立的发展的。《九章算术》中的开平方、开立方、算术应用、正负数、联立一次方程组、二次方程等都领先世界几个世纪

### 汉代

<image>

西汉的张苍、耿寿昌增补和整理《九章算术》，写成定本，详细说明开平方、开立方、和求解线性方程组的算法。

张衡 (78年－139年）发明$\sqrt{10}$、$\frac{92}{29}$、$\frac{730}{232}$作为圆周率的值。

## 魏晋南北朝

此一时期(220-581)，中国数学在四方面有长足进展，分别为直角三角形三边关系的确认、测量学、平面面积和立体体积的计算，以及推算圆周率，由赵爽、刘徽、祖冲之与祖暅父子4人个别或相继完成。

赵爽是魏晋时人，著有《周髀算经注》，其中“勾股圆方图注”附有图示，列出有关直角三角形三边关系的命题21条，分属“勾股”定理、“弦图”定理、“勾实之矩”定理与“股实之矩”定理。当中唯有“勾股”定理已见于《周髀算经》。

稍后的刘徽亦魏晋时人，著有《九章算术注》，为《九章算术》各种算法提出简括证明。他并在注文中提出割圆术，以内接正六边形开始，逐次倍加边数的方法，逐步逼近圆周率。《九章算术》仅以π=3，刘徽则先求得$\pi=\frac{157}{50}=3.14$，和晋武库王莽铜律嘉量比较，觉得“此术微小”，于是再用圆周率捷法求得π=$\frac{3927}{1250}=3.1416$。前三世纪，希腊数学家阿基米德已用正多边形逐渐增加边数的方法求圆周率，但他兼用内接和外切两种计算，得到出的估计值:${223 \over 71}<\pi<\frac{22}{7}$；也就是 $3.140845 < \pi < 3.142857$。

刘徽的割圆术相比更为简便，刘徽所得的π=3.1416也优于阿基米德。

刘徽并在《九章算术注》提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，以多达4次的观测，测量山高水深等数值。在唐代，有关重差术的注文被抽出单行，题为《海岛算经》，成为《算经十书》之一。刘徽创造的四次重差观测术，“使中国测量学达到登峰造极的地步”，使“中国在数学测量学的成就，超越西方约一千年”（美国数学家弗兰克·斯委特兹语）

刘徽的注释兼用图形和模型作说明，以图形相互拼凑方法解决各种面积计算问题，相当于一般平面几何学中所用的平移与叠合的方法；并用直截面积的方法来计算立体体积。他指出《九章算术》计算球体体积方法错误，但亦未能提出更准确方法。这个疑问须留待祖冲之解决。

祖冲之(429-500)与祖暅父子使中国数学发展创一高峰。祖冲之著有《缀术》、《九章术义注》及《重差注》（一说《缀术》乃祖暅所作），惜俱失佚。

数学上祖冲之的最大贡献有二：推算圆周率及计算球体体积（一说后者乃祖暅之法）。他继承刘徽的割圆术，计算圆周率准确至小数点后7位数(3.1415926<π<3.1415927)，这个记录保持了900多年，至15世纪方为阿拉伯数学家阿尔．卡西(al-Kashi)打破。祖冲之还采用了两个分数值的圆周率：“约率”$\tfrac{22}{7}$以及“密率”$\tfrac{355}{113}$。日本数学家三上义夫说，“约率$\pi=\tfrac{22}{7}$，无非是几百年前希腊数学家阿基米德已经得到的数值，但是$\pi=\tfrac{355}{113}$ 这个分数，却是翻遍古希腊，古印度和阿拉伯的数学文献都找不到的分数，希腊人肯定不知道它；在欧洲直到1586年才由荷兰人安托尼斯宗（Adriaan Anthoniszoon）求出了$\tfrac{355}{113}$这个比值。因此，中国人掌握这个非凡的圆周率分数比欧洲早出整整一千年之久”。为纪念这位伟大的中国古代数学家，三上义夫要求把$355 \over 113$称为“祖率”。

祖冲之（或祖暅）并以直截面积相比的方法，解决球体体积问题（在西方，球体体积问题前三世纪阿基米德已解决），其法今存于唐代李淳风的《九章算术注》中。祖冲之计算方法巧妙，应用现今所谓“卡瓦列里定理”：“等高处的截面面积相等，则二立体的体积相等。”此定理今人公认是意大利数学家卡瓦列里(Gavalieri)所创，因而命名，其实早已为祖冲之所应用。

历法方面，祖冲之编定“大明历”，在身故后10年为梁朝所采用，取代何承天(370-447)欠准确的旧历。

## 宋朝

秦九韶的 《数书九章》发展了一元高次方程求数值解的程序化、机械化算法。

## 金元

元代朱世杰的 《四元玉鉴》发展了多至四元的多项式方程组的消元和求解的算法。

## 明清

明代朱载堉发明十二平均律时，使用80档大算盘，计算开平方，开立方到小数点后25位。

- 算学宝鉴

## 近代

随着西学东渐，中国数学逐渐与西方数学体系合流，并做出显著的贡献，但传统算学仍然用于日常生活，如使用算盘的珠算仍然用于日常商业买卖中，尤其是传统货品的店铺。