剪切小波

在应用数学的分析方面，剪切小波(Shearlet)是一个多尺度的架构，且在多变量问题中能高效率编码有各向异性的特点。起初，为了分析及稀疏近似多维方程式$f \in L^2(\R^2)$，剪切小波在2006年被提出。剪切小波是小波分析的自然延伸，可以适应有各向异性特点的多元方程式，像是影像的轮廓、边缘。然而，各向同性的小波是不能得到此现象。

把抛物线的缩放、剪切、平移施加在数个生成函数后可建构出剪切小波。虽然所建构出的剪切小波不能建构出在空间$L^2(\R^2)$中的正交基底，它们仍然可以形成一个架构（Frame），且能允许任意函数的稳定展开。

剪切小波具有以下几个重要性质：

- 良好的局部性。它在空间中具有快速的衰减性，在频域内是紧支撑的。
- 灵敏的方向性。通过一个剪切矩阵来控制方向，随着尺度逐渐精细化，其方向性也会逐渐变得更灵敏。
- 良好的稀疏逼近性。其逼近率与曲波变换和轮廓波变换一样，最高能达到$C N^{-2} (\log N)^3$。其中常数$C$只根据奇数曲线的最大曲率和$f$, $f^{'}$及$f^{''}$的最大振幅。这个逼近率显著提高只使用$O(N^{-1})$这类函数的小波分析的最佳$N$项估计率。
- 多方辨性。它是由一个或一组函数的缩放平移生成的一个仿射系统，能设计出快速分解重设法。
- 一致性。能一致处理连续和离散的情况，剪切小波不仅克服了轮廓波和典型小波的不足，也继承了它们的优点。它既能接近最佳的表示一类高维函数，如类卡通图像和其他高维分段平滑函数，又能有效地描述函数的几何讯息。

剪切小波是迄今为止唯一有方向性且提供各向异性特点的稀疏估计的表现系统，可扩展至$L^2(\R^d), d \ge 2$的剪切小波系统。理论的全面介绍和剪切小波的应用可以在中看到。

## 定义

### 连续剪切小波系统

连续剪切小波系统的架构是基于抛物线缩放矩阵

$$A_a = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & a^{1/2} \end{bmatrix}, \quad a > 0$$

为一个改变分辨率的方法。剪切矩阵

$$S_s = \begin{bmatrix} 1 & s \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad s \in \R$$

为一个改变方向的方法。最后再用平移去改变位置。相较于曲波变换，剪切小波利用剪切的方法取代旋转的方法，其优点在于如果$s \in \Z$，剪切运算子$S_s$会让整数格不改变。例如二维情况下，当$s\in\mathbb{Z}$，对坐标$\mathbf{x}=\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, x, y \in \mathbb{Z}$进行剪切操作：

$$S_s\mathbf{x}=\begin{bmatrix} x-sy \\ y \end{bmatrix} \in \mathbb{Z}^2$$

结果依然在整数采样点上。

给定一个$\psi \in L^2(\R^2)$，由$\psi \in L^2(\R^2)$产生的连续剪切小波系统被定义成：

$$\operatorname{SH}_{\mathrm{cont}}(\psi) = \{ \psi_{a,s,t} = a^{3/4} \psi(S_s A_a (\cdot - t)) \mid a > 0, s \in \R, t \in \R^2 \},$$

其对应的连续剪切小波转换：

$$f \mapsto \mathcal{SH}_\psi f(a, s, t) = \langle f, \psi_{a,s,t} \rangle, \quad f \in L^2(\R^2), \quad (a, s, t) \in \R_{>0} \times \R \times \R^2.$$

### 离散剪切小波系统

离散的剪切小波系统可以直接从$\operatorname{SH}_{\mathrm{cont}}(\psi)$并借由将参数集合$\R_{>0} \times \R \times \R^2.$离散化导出。有很多方法可以实现，但最常见是由下式导出：

$$\{ (2^j, k, A_{2^j}^{-1} S_k^{-1} m) \mid j \in \Z, k \in \Z, m \in \Z^2\} \subseteq \R_{>0} \times \R \times \R^2.$$

从这个式子，与剪切运算子有关的离散剪切小波系统被定义为：

$$\operatorname{SH}(\psi) = \{ \psi_{j,k,m} = 2^{3j/4} \psi(S_k A_{2^j} \cdot{} - m) \mid j \in \Z, k \in \Z, m \in \Z^2 \},$$

其相关的离散剪切小波转换被定义为：

$$f \mapsto \mathcal{SH}_\psi f(j, k, m) = \langle f, \psi_{j,k,m} \rangle, \quad f \in L^2(\R^2), \quad (j, k, m) \in \Z \times \Z \times \Z^2.$$

## 范例

设$\psi_1 \in L^2(\R)$为一个满足离散卡尔德龙条件（discrete Calderón condition）的函数，即：

$$\sum_{j \in \Z} |\hat\psi_1(2^{-j} \xi)|^2 = 1, \text{for a.e. } \xi \in \R,$$

$\hat\psi_1 \in C^\infty(\R)$， $\operatorname{supp}\hat\psi_1 \subseteq [-\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{16}] \cup [\tfrac{1}{16}, \tfrac{1}{2}]$，其中$\hat\psi_1$ 为 $\psi_1$ 的 傅立叶变换。例如，可以选择$\psi_1$为一个梅尔小波。此外，设$\psi_2 \in L^2(\R)$而且$\hat\psi_2 \in C^\infty(\R),$ $\operatorname{supp}\hat\psi_2 \subseteq [-1, 1]$

$$\sum_{k= -1}^{1} |\hat\psi_2(\xi + k)|^2 = 1, \text{for a.e. } \xi\in\left[-1, 1\right].$$

通常会选择一个冲击函数作为$\hat \psi_2$，然后$\psi \in L^2(\R^2)$就会是：

$$\hat\psi(\xi) = \hat\psi_1(\xi_1) \hat\psi_2\left( \tfrac{\xi_2}{\xi_1} \right), \quad \xi = (\xi_1, \xi_2) \in \R^2,$$

这被称作一个典型的剪切小波。其对应的离散剪切小波系统$\operatorname{SH}(\psi)$在$L^2(\R^2)$空间中构成一个紧框架，且其中包含频带限制的函数。

另外一个例子是紧支撑的剪切小波系统，其中要选定紧支撑函数$\psi \in L^2(\R^2)$让$\operatorname{SH}(\psi)$形成一个$L^2(\R^2)$的框架。

既然这样，在$\operatorname{SH}(\psi)$中所有剪切小波的元素是紧支撑且相较于频带限制的典型剪切小波有优越的空间定位。虽然紧支撑的剪切小波系统没有形成一个Parseval框架，但任意一个$f \in L^2(\R^2)$的函数可以被剪切小波展开。

## 自适应锥形剪切小波

上述所定义的剪切小波有其缺陷，那就是剪切小波元素的方向性偏差与大的剪切参数有关联。在典型剪切小波的频率拼接(在#范例中的图可见)中可以看到这个影响，当剪切参数$s$趋近无限大时，剪切小波的频率支撑越来越贴近$\xi_2$轴，这在分析傅立叶变换集中分布在$\xi_2$轴的函数时造成很严重的问题。

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为了解决这个问题，频域被分成一个低频部分和两个锥形部分(如图所示)：

$$\begin{align} \mathcal{R} &= \left\{ (\xi_1, \xi_2) \in \R^2 \mid |\xi_1|, |\xi_2| \leq 1 \right\}, \\ \mathcal{C}_{\mathrm{h}} &= \left\{ (\xi_1, \xi_2) \in \R^2 \mid | \xi_2 / \xi_1 | \leq 1, |\xi_1| > 1 \right\}, \\ \mathcal{C}_{\mathrm{v}} &= \left\{ (\xi_1, \xi_2) \in \R^2 \mid | \xi_1 / \xi_2 | \leq 1, |\xi_2| > 1 \right\}. \end{align}$$

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这个自适应性剪切小波系统是由三个部分组成，每个部分都对应到这些频域之一，这个系统是由三个函数$\phi, \psi, \tilde\psi \in L^2(\R^2)$和晶格取样因子$c = (c_1, c_2) \in (\R_{> 0})^2$所产生：

$$\operatorname{SH}(\phi, \psi, \tilde\psi; c) = \Phi(\phi; c_1) \cup \Psi(\psi; c) \cup \tilde\Psi(\tilde\psi; c),$$

其中：

$$\begin{align} \Phi(\phi; c_1) &= \{ \phi_m = \phi(\cdot{} - c_1 m) \mid m \in \Z^2 \}, \\ \Psi(\psi; c) &= \{ \psi_{j,k,m} = 2^{3j/4} \psi(S_k A_{2^j} \cdot{} - M_c m) \mid j \geq 0, |k| \leq \lceil 2^{j/2} \rceil, m \in \Z^2 \}, \\ \tilde\Psi(\tilde\psi; c) &= \{ \tilde{\psi}_{j,k,m} = 2^{3j/4} \psi(\tilde{S}_k \tilde{A}_{2^j} \cdot{} - \tilde{M}_c m) \mid j \geq 0, |k| \leq \lceil 2^{j/2} \rceil, m \in \Z^2 \}, \end{align}$$

式子中的一些变数定义如下。

$$\begin{align} & \tilde{A}_a = \begin{bmatrix} a^{1/2} & 0 \\ 0 & a \end{bmatrix}, \; a > 0, \quad \tilde{S}_s = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ s & 1 \end{bmatrix}, \; s \in \R, \quad M_c = \begin{bmatrix} c_1 & 0 \\ 0 & c_2 \end{bmatrix}, \quad \text{and} \quad \tilde{M}_c = \begin{bmatrix} c_2 & 0 \\ 0 & c_1 \end{bmatrix}. \end{align}$$

系统$\Psi(\psi)$ 和 $\tilde\Psi(\tilde\psi)$ 基本上不同点在于$x_1$ 和 $x_2$的角色互换。因此，它们分别对应到锥形区域$\mathcal{C}_{\mathrm{h}}$ 和 $\mathcal{C}_{\mathrm{v}}$，而缩放函数$\phi$则对应到低频区域$\mathcal{R}$。

## 应用

- 图像处理及计算机科学
- 去噪
- 逆问题
- 图像增强
- 边缘检测
- 图像修复
- 图像分离
- 偏微分方程
- 波前集合的分辨率
- 转换方程式
- 微分几何: 流形学习

## 外部链接

- Shearlet homepage
- Shearlab homepage
- Homepage of Gitta Kutyniok
- Homepage of Demetrio Labate