博雷尔求和

博雷尔, 在他还是一个默默无名的年轻人时，就发现了他的求和方法，而且还可以对许多经兴的发散级数给出“正确”的答案。于是，他决心到斯德哥尔摩拜会当时走在复分析领域前沿的哥斯塔·米塔-列夫勒。米塔-列夫勒礼貌地接见了他，听完博雷尔的说话，然后按手在他老师魏尔斯特拉斯完整的文稿上，用拉丁语说：“大师禁止了它。”

在数学上，博雷尔求和（Borel summation）是一种发散级数的求和方法。这种求和法是由提出的，在处理发散的渐近展开时尤其有用。博雷尔和有时也会以其他形式出现，它的一般推广是米塔-列夫勒和。

## 定义

博雷尔求和大致上有两种形式，它们仅在适用范围上有差异；但整体上两个方法是一致的，意思是，只要能适用于同一级数，则它们必定得到同样的答案。

设A(z)是z的一个形式幂级数

$A(z) = \sum_{k = 0}^\infty a_kz^k$。

则定义A的博雷尔变换为其等价幂级数

$\mathcal{B}A(t) \equiv \sum_{k=0}^\infty \frac{a_k}{k!}t^k$。

### 博雷尔指数求和

设An(z)为下列部分和：

$A_n(z) = \sum_{k=0}^n a_k z^k$。

博雷尔和的一种较弱的形式定义A的博雷尔和为

$\lim_{t\rightarrow\infty} e^{-t}\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}A_n(z)$。

若此极限在某个z ∈ C时收敛至a(z)，则称A的弱博雷尔和收敛于z，并记为${\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{wB})$.

### 博雷尔积分求和

假设上述的博雷尔变换在实数上收敛，且下列的反常积分有意义，则A的博雷尔和定义为

$$\int_0^\infty e^{-t} \mathcal{B}A(tz) \, dt.$$

若积分在某个z ∈ C时收敛于a(z)，则称A的博雷尔和在z收敛，并记为 ${\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \,(\boldsymbol B)$。

实际上，积分求和法的条件中，博雷尔变换无需对所有t都收敛，只需在0附近收敛为t的一个解析函数，且它在正半轴上解析连续即可。

## 基本性质

### 正定性

(B)和(wB)两者都是正定的求和法，意味着若A(z)收敛，则博雷尔和与弱博雷尔和两者都会收敛，并且其值等于原级数的值，亦即：

$\sum_{k=0}^\infty a_k z^k = A(z) < \infty \quad \Rightarrow \quad {\textstyle \sum} a_kz^k = A(z) \,\, (\boldsymbol{B},\,\boldsymbol{wB})$。

(B)的正定性容易由下式看出，若A(z)在z收敛，则

$A(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k = \sum_{k=0}^\infty a^k \left( \int_{0}^\infty e^{-t}t^k dt \right) \frac{z^k}{k!} = \int_{0}^\infty e^{-t} \sum_{k=0}^\infty a_k \frac{(tz)^k}{k!}dt$。

其中最右式正是原级数在z处的博雷尔和。

(B)和(wB)的正定性代表了此方法可以提供A(z)的解析延拓。

### 博雷尔和与弱博雷尔和的等价性

对任意的级数A(z)，若它在z ∈ C处是弱博雷尔可求和的，则必定是博雷尔可求和的。然而，可以构造 一个例子，使得其弱博雷尔和发散，但博雷尔和收敛。以下的定理表明了两者的等价性。

定理 Hardy

设A(z) 是一个形式幂级数，并限定z ∈ C，则：

- 若${\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{wB})$，则${\textstyle \sum}a_kz^k = a(z), (\boldsymbol{B})$。
- 若${\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{B})$，且$\lim_{t \rightarrow \infty} e^{-t}\mathcal B A(zt) = 0$，则${\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{wB})$。

### 与其他求和法的关联

- (B) 是米塔-列夫勒求和法在α = 1时的特殊情况。
- (wB) 可视为广义欧拉求和法(E,q) 一个有限制的形式，其中$q \rightarrow \infty$。

## 例子

### 几何级数

考虑几何级数

$$y(z) = \sum_{k = 0}^\infty z^k$$

当 |z| < 1时，收敛到 1/(1 − z)。它的博雷尔变换为

$$\mathcal{B}y(t) \equiv \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}t^k = e^t$$

因此，上述级数的博雷尔和为

$$\int_0^\infty e^{-t}\mathcal{B}y(tz) \, dt = \int_0^\infty e^{-t} e^{tz} \, dt =\frac{1}{1-z}$$

然而，这个积分能在更大的范围 Re(z) < 1 内收敛到 1/(1 − z)，也就是原级数的和。

另外，对原级数使用弱博雷尔求和法，则其部分和为AN(z) = (1-zN+1)/(1-z)，因此其弱博雷尔和为

$\lim_{t \rightarrow \infty}e^{-t} \sum_{n=0}^\infty \frac{1 -z^{n+1}}{1-z} \frac{t^n}{n!} = \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{e^{-t}}{1-z} \big( e^t - z e^{tz} \big) = \frac{1}{1-z}$。

同样在Re(z) < 1时收敛。这个结论可以由等价定理的第二部分看出，因为对Re(z) < 1。

$\lim_{t \rightarrow \infty} e^{-t} (\mathcal{B} A)(zt) = e^{t(z-1)} = 0$。

### 一个交替级数

级数

$$y(z) = \sum_{k = 0}^\infty k!\left(-1 \cdot z\right)^k$$

对任意非零的 z 都发散。它的博雷尔变换为

$$\mathcal{B}y(t) \equiv \sum_{k=0}^\infty \left(-1 \cdot t\right)^k = \frac{1}{1+t}$$

对任意的|t| < 1 都成立，且于 t ≥ 0 上解析连续。

因此，上述级数的博雷尔和为

$$\int_0^\infty e^{-t}\mathcal{B}y(tz) \, dt = \int_0^\infty \frac{e^{-t}} {1+tz} \, dt = \frac 1 z \cdot e^\frac 1 z \cdot \Gamma\left(0,\frac 1 z \right)$$

（其中Γ是指不完全Γ函数）

这个广义积分对任意的 z ≥ 0 都收敛，所以原来的发散级数是对任意这样的 z 博雷尔可求和的. 这个函数实际上是当 z 趋近于 0 时，原发散级数的一个渐近展开。从这个例子可见，一些发散的级数，亦有可能以博雷尔求和的方式求出“正确”的发散渐近展开式。

### 不满足等价性的例子

以下是Hardy所给出的例子的一个扩展。考虑

$$A(z) = \sum_{k = 0}^\infty \left( <pre> \sum_{l=0}^\infty \frac{(-1)^l(2l + 2)^k}{(2l+1)!} \right) </pre> z^k.$$

交换求和的顺序后，上式的博雷尔变换为

$$\begin{align} \mathcal B A(t)&= \sum_{l = 0}^\infty \left( \sum_{k=0}^\infty \frac{\big((2l+2) t\big)^k}{k!} \right) \frac{(-1)^l}{(2l+1)!} \\ &= \sum_{l=0}^\infty e^{(2l+2)t}\frac{(-1)^l}{(2l+1)!} \\ &= e^t \sum_{l=0}^\infty \big(e^t\big)^{2l+1} \frac{(-1)^l}{(2l+1)!} \\ & = e^t \sin\left( e^t \right). \end{align} <pre>$$

在 z = 2 处，可求得博雷尔和为

$$\int_{0}^\infty e^t \sin(e^{2t})dt = \int_{1}^\infty \sin(u^2)du = \frac{\sqrt{\pi}}{8} - S(1) < \infty,$$

其中 S(x) 表示菲涅耳积分。于是上述博雷尔积分对任意z ≤ 2 都收俭（但显然积分对 z > 2发散）。

至于求弱博雷尔和时，注意到

$$\lim_{t \rightarrow \infty} e^{(z-1)t}\sin \left( e^{zt} \right) = 0$$

仅对 z < 1 成立，因此，实际上求得的弱博雷尔和只在一个较小的范围内收敛。