弯曲 (力学)

弯曲（bending）也称为屈曲（flexure），为材料力学的名词．是指一形状狭长的结构件固体，受到和其长轴垂直的外力时，固体变形的情形。

若结构件在某一方向长度很长，另外二方向的尺寸是该方向尺寸的1/10或更小，即满足上述形状狭长的定义，当其长度显著的大于其宽度及厚度，此结构件会称为梁。例如衣櫉中的横杆会因为衣架上衣服的总重量而变形，就是梁受力弯曲的例子。另外方面，壳层 (结构)是指另外一种结构，其长宽是相近的数量级，但其厚度较长宽要小很多。例如一个大直径、薄壁，长度和直径相当的管子横放，一侧固定，上方乘载重量，是壳层受力弯曲的例子之一。

若没有具体说明物体的形状，“弯曲”可以指任何外形物体的弯曲。在工程应用上，有时会说明弯曲物体的形状，例如“杆的弯曲”（bending of rods）、“梁的弯曲”（bending of beams）、平板弯曲（bending of plates）、壳层弯曲（bending of shells）等。

## 梁的准静弯曲（1919年）

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梁在受到侧向力时，其内部会变形，而且会产生应力。准静（quasi-static）弯曲是假设弯曲产生的形变以及应力不随时间而变化。若考虑一水平梁，两侧固定，中间受到往下的力，梁的上半部会受到压缩力，而梁的下半部会受到拉伸力。由于其侧向力，会产生以下两种内应力：

- 和侧向力平行的剪应力，以及和受力方向垂直的互补剪应力
- 梁上半部受到的直接压应力，以及梁下半部受到的直接拉伸应力。

后二个力会形成力偶或是矩 (物理)，两个力大小相等，方向相反。弯矩会抵抗梁受力弯曲时的变形特性。若一些简化的假设成立，可以精确估测梁上的应力分布。

### 欧拉-伯努力弯曲理论

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在细长梁的欧拉-伯努力栋梁方程中，重要的假设是“平面截面在受力后仍维持平面”，换句话说，不考虑剪力对截面的影响（无剪切形变）。而且线性的应力应力分布只适用于最大应力小于材料屈服强度情形。（条目塑性弯曲会探讨应力超过屈服强度的情形。）在材料屈服时，截面受到的最大应力（在离梁的中性轴最远的位置）定义为抗挠强度。

考虑以下条件成立的梁：

- 梁一开始是细长笔直的，就算有锥度，锥度也很小可以省略。
- 材料是各向同性（或是正交各向异性材料）、线性弹性，在任一截面都同质（不过沿着轴不一定要同质）。
- 只考虑小的形变。

此情形下，描述梁形变（$w$）可以近似为：

$$\cfrac{\mathrm{d}^2 w(x)}{\mathrm{d} x^2}=\frac{M(x)}{E(x) I(x)}$$

其形变相对$x$的二次导数可以视为曲率，$E$是杨氏模量，$I$是截面的截面二次轴矩，$M$是梁的内部弯矩。

若细长梁沿着其轴向也是同质，而且其截面不会沿着轴而变化，而且也因为侧向负荷$q(x)$而变形，可以得到：

$$EI~\cfrac{\mathrm{d}^4 w(x)}{\mathrm{d} x^4} = q(x)$$

这就是梁弯曲的欧拉-伯努力方程（欧拉-伯努力栋梁方程）。

若找到了梁形变位移的解，可以用下式计算弯矩（$M$）及剪力（$Q$）

$$M(x) = -EI~\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} ~;~~ Q(x) = \cfrac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x}.$$

简单的梁弯曲常用欧拉-伯努力栋梁方程来分计。可以适用简单弯曲理论的条件如下：

- 梁受到的力是纯弯曲。表示剪力为零，也没有轴向负载以及沿着轴旋转的负载。
- 材料为各向同性（或是正交各向异性材料），而且同质。
- 材料遵守胡克定律（在线性弹性范围内，不会有塑性形变）。
- 梁一开始是笔直的，截面不会随着轴而变化。
- 至少一个梁有在弯曲平面上的对称轴。
- 梁的组成成分适当，使其最后是因为弯曲而失效，不是因为破裂、皱折或挫曲而失效。
- 梁的截面在弯曲过程中仍维持平面。

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在承受弯曲负荷时，沿着梁的轴上会产生压缩力及伸张力。这些力会造成梁内部的应力。最大压缩应力出现在梁的最上方，最大拉伸应力出现在梁的最下方。在中间的应力会呈线性变化，因此在梁内部，有一些点的弯曲应力为零。这些点的轨迹的轨迹称为中性轴（neutral axis）。因为中性轴不受应力，中性轴附近的应力也比较小，若截面中的各个位置都是均质的，在中性轴附近的材料利用率较低，比较不经济。宽缘梁（如工字梁）及桁架箱梁在应力较少的部分减少材料使用，因此可以减少总材料使用。

在纯弯曲下，决定弯曲应力的公式如下：

$$\sigma_x = \frac{M_z y}{I_z} = \frac{M_z}{W_z}$$

其中

- ${\sigma_x}$为弯曲应力
- $M_z$ – 相对中性轴z的矩
- $y$ – 相对中性轴的垂直距离
- $I_z$ – 相对中性轴的截面二次轴矩
- $W_z$ - 相对中性轴的阻力矩（Resistance Moment）。$W_z = I_z / y$

### 欧拉-伯努力弯曲理论的延伸

#### 塑性弯曲

方程式$\sigma = \tfrac{M y}{I_x}$只在最大应力（离中性轴最远的位置）小于材料降伏应力的情形下。若负荷更大，则应力分布就会是非线性分析，延展性材料最后会进入“塑性铰链”（plastic hinge）的情形，也就是在梁的各处应力大小都等于降伏应力，在中性轴的位置出现应力的不连续，从压应力转变成拉伸压力。塑性铰链状态一般会用在钢结构设计时的极限状态。

#### 复合或非对称的弯曲

上述推导只用在截面对称的条件。针对非对称截面的均质梁，梁的最大弯曲应力如下：

$\sigma_x(y,z) = \frac {M_z~I_y - M_y~I_{yz}} {I_y~I_z - I_{yz}^2}y + \frac {M_y~I_z - M_z~I_{yz}} {I_y~I_z - I_{yz}^2}z$

其中$y,z$是截面上一点的坐标$M_y$及$M_z$是相对位于几何中心y轴和z轴的弯轴。$I_y$和$I_z$是相对y轴和z轴的截面二次轴矩，$I_{yz}$是面积乘积矩（Product moment of area）。用这些公式可以计算任意截面、任意弯矩下，在截面任意点的弯曲应力。其中$M_y, M_z, I_y, I_z, I_{yz}$不会随截面上的不同位置而改变。

#### 大弯曲形变

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针对梁的大幅形变，可以用以下延伸版本的公式来计算。其假设如下：

- 假设截面维持平面，在弯曲前和弯曲后的截面都维持平面
- 和截面法向量垂直的剪应力和正向应力没有影响平行截面的正向应力。

若弯曲半径$\rho$不到截面高度h的十倍时，需以大变形来考虑：

$$\rho < 10 h.$$

配合上述假设，大弯曲形变的应力为：

$$\sigma = \frac {F} {A} + \frac {M} {\rho A} + {\frac {M} {{I_x}'}}y{\frac {\rho}{\rho +y}}$$

其中

$F$为正向力

$A$为截面积

$M$为弯矩

$\rho$为局部的弯曲半径（目前部分的弯曲半径）

${{I_x}'}$是沿x轴的面积惯量矩，在$y$位置（参考平行轴定理）

$y$是计算$\sigma$的点，在y轴上的位置。

若弯曲半径$\rho$接近无限大，且$y\ll\rho$，又回到原来的公式：

$\sigma = {F \over A} \pm \frac {My}{I}$.

### 铁木辛柯梁理论

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斯蒂芬·铁摩辛柯在1921年以欧拉-伯努力弯曲理论为基础，在方程式中加入了剪力的影响。铁摩辛柯（Timoshenko）理论的动力假设如下：

- 梁中性面的法向在弯曲之后仍为直线
- 梁的厚度不会随着形变而改变。

不过，中性面的法向在弯曲后不一定会和中性面垂直。

线性弹性、各向同性、均质、等截面积的梁，在上述假设下，准静弯曲的方程如下：

$$<pre> EI~\cfrac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d} x^4} = q(x) - \cfrac{EI}{k A G}~\cfrac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d} x^2} </pre>$$

其中$I$是截面的截面二次轴矩、$A$是截面积、$G$是剪切模量、是$k$剪力修正系数（shear correction factor）、$q(x)$是施加的负载。针对泊松比$\nu$接近0.3的材料，长方形截面的剪力修正系数近似为

$$<pre> k = \cfrac{5 + 5\nu}{6 + 5\nu}$$

法向量的转动$\varphi(x)$可以用以下方程描述：

$$<pre> \cfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = -\cfrac{\mathrm{d}^2w}{\mathrm{d}x^2} -\cfrac{q(x)}{kAG}$$

弯矩（$M$）及剪力（$Q$）为

$$<pre> M(x) = -EI~ \cfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} ~;~~ Q(x) = kAG\left(\cfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x}-\varphi\right) = -EI~\cfrac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}x^2} = \cfrac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x}$$

## 梁的动态弯曲

梁的动态弯曲（dynamic bending），也称为梁的弯曲振动（flexural vibration），最早是由丹尼尔·伯努利在18世纪中所提出的。伯努利的振动梁运动方程容易高估梁的自然频率，约翰·斯特拉特，第三代瑞利男爵在1877年多加入了中间平面的旋转项，有些微改善。1921年斯蒂芬·铁摩辛柯在弯曲梁的动态响应中多考虑了剪力的影响，大幅提升准确度。因此此定理可以用在有高频振动，不适用动态丹尼尔·伯努利方程场合。欧拉-伯努力以及铁摩辛柯的弯曲梁动态方程仍广泛在工程界使用。

### 欧拉-伯努力理论

针对细长、各向同性、均质、截面积不变的梁，在受到动态侧向负载$q(x,t)$时，其欧拉-伯努力方程如下

$$<pre> EI~\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^4} + m~\cfrac{\partial^2 w}{\partial t^2} = q(x,t)$$

其中$E$是杨式模数、$I$是截面的面积转动惯量、$w(x,t)$是梁中心轴的形变，而$m$是梁单位长度的质量。

#### 无外力振动

若梁没有侧向力时，其振动方程如下

$$<pre> EI~\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^4} + m~\cfrac{\partial^2 w}{\partial t^2} = 0$$

梁不受力下的简谐振动可以表示如下

$$<pre> w(x,t) = \text{Re}[\hat{w}(x)~e^{-i\omega t}] \quad \implies \quad \cfrac{\partial^2 w}{\partial t^2} = -\omega^2~w(x,t)$$

其弯曲方程为

$$<pre> EI~\cfrac{\mathrm{d}^4 \hat{w}}{\mathrm{d}x^4} - m\omega^2\hat{w} = 0$$

上式的通解为

$$<pre> \hat{w} = A_1\cosh(\beta x) + A_2\sinh(\beta x) + A_3\cos(\beta x) + A_4\sin(\beta x)$$

其中$A_1,A_2,A_3,A_4$是常数，且$$<pre> \beta := \left(\cfrac{m}{EI}~\omega^2\right)^{1/4} </pre>$$

悬臂工字梁的振动模态

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### 铁木辛柯﹣瑞利理论

瑞利在1877年修正了欧拉-伯努力弯曲理论，多考虑了梁的截面的转动惯量造成的效应。铁木辛柯在1922年进一步的修正，多考虑了剪力的影响。铁木辛柯﹣瑞利理论中允许梁的中表面之法向的剪力形变。

针对细长、各向同性、均质、截面积不变的梁，在受到动态侧向负载下，铁木辛柯﹣瑞利理论的动态弯曲方程为

$$\begin{align} & EI~\frac{\partial^4 w}{\partial x^4} + m~\frac{\partial^2 w}{\partial t^2} - \left(J + \frac{E I m}{k A G}\right)\frac{\partial^4 w}{\partial x^2~\partial t^2} + \frac{J m}{k A G}~\frac{\partial^4 w}{\partial t^4} \\[6pt] = {} & q(x,t) + \frac{J}{k A G}~\frac{\partial^2 q}{\partial t^2} - \frac{EI}{k A G}~\frac{\partial^2 q}{\partial x^2} \end{align}$$

其中$J = \tfrac{mI}{A}$是截面的极惯性矩，$m = \rho A$ 是梁单位长度下的质量，$\rho$是梁的密度，$A$是截面积，$G$是剪力模量，$k$是剪力修正系数（shear correction factor）。针对帕松比$\nu$接近0.3的材料，剪力修正系数近似为

$$<pre> \begin{align} k &= \frac{5 + 5\nu}{6 + 5\nu} \quad \text{rectangular cross-section}\\[6pt] &= \frac{6 + 12\nu + 6\nu^2}{7 + 12\nu + 4\nu^2} \quad \text{circular cross-section} \end{align}$$

#### 无外力振动

若梁没有侧向力时，铁木辛柯﹣瑞利理论的简谐振动方程如下

$$<pre> EI~\cfrac{\mathrm{d}^4 \hat{w}}{\mathrm{d} x^4} + m\omega^2\left(\cfrac{J}{m} + \cfrac{E I}{k A G}\right)\cfrac{\mathrm{d}^2 \hat{w}}{\mathrm{d} x^2} + m\omega^2\left(\cfrac{\omega^2 J}{k A G}-1\right)~\hat{w} = 0$$

此式求解时，考虑$w$的各阶导数需要是相同形式（才能互相抵消），因此其解为$e^{kx}$的形式。因此可以导出特征方程式

$$<pre> \alpha~k^4 + \beta~k^2 + \gamma = 0 ~;~~ \alpha := EI ~,~~ \beta := m\omega^2\left(\cfrac{J}{m} + \cfrac{E I}{k A G}\right) ~,~~ \gamma := m\omega^2\left(\cfrac{\omega^2 J}{k A G}-1\right)$$

此四次方程的解为

$$<pre> k_1 = +\sqrt{z_+} ~,~~ k_2 = -\sqrt{z_+} ~,~~ k_3 = +\sqrt{z_-} ~,~~ k_4 = -\sqrt{z_-}$$

其中

$$<pre> z_+ := \cfrac{-\beta + \sqrt{\beta^2 - 4\alpha\gamma}}{2\alpha} ~,~~ z_-:= \cfrac{-\beta - \sqrt{\beta^2 - 4\alpha\gamma}}{2\alpha}$$

无外力振动下，铁木辛柯﹣瑞利梁方程的通解为

$$<pre> \hat{w} = A_1~e^{k_1 x} + A_2~e^{-k_1 x} + A_3~e^{k_3 x} + A_4~e^{-k_3 x}$$

## 准静平板弯曲

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梁的特点是其中一个方向的尺寸远大于另外二个方向的尺寸。一结构若其中一个方向的尺寸远小于另外二个方向的尺寸，则称为平板。有许多理论要描述平板在受力下的形变以及应力分布（板理论），其中有二种理论比较常用，分别是

- 克希荷夫–勒夫平板理论（Kirchhoff–Love theory of plates，也称为经典平板理论）
- 明德林–赖斯纳平板理论（Mindlin–Reissner plate theory，也称为一阶平板理论）

### 克希荷夫–勒夫平板理论

克希荷夫–勒夫平板理论的假设是

- 和中表面垂直的直线在形变后仍然是直线
- 和中表面垂直的直线在形变后仍然和中表面直线垂直
- 在形变前后，平板的厚度不会变化。

上述的假设意味着

$$<pre> \begin{align} u_\alpha(\mathbf{x}) & = - x_3~\frac{\partial w^0}{\partial x_\alpha} = - x_3~w^0_{,\alpha} ~;~~\alpha=1,2 \\ u_3(\mathbf{x}) & = w^0(x_1, x_2) \end{align} </pre>$$

其中$\mathbf{u}$是板上一点的形变，而$w^0$是中表面上的位移。

应变和位移的关系如下

$$<pre> \begin{align} \varepsilon_{\alpha\beta} & = - x_3~w^0_{,\alpha\beta} \\ \varepsilon_{\alpha 3} & = 0 \\ \varepsilon_{33} & = 0 \end{align} </pre>$$

平衡方程式为

$$<pre> M_{\alpha\beta,\alpha\beta} + q(x) = 0 ~;~~ M_{\alpha\beta} := \int_{-h}^h x_3~\sigma_{\alpha\beta}~dx_3 </pre>$$

其中$q(x)$是和平板表面垂直的力

若以位移来表示，在没有外力下，各向同性、线弹性平板的平衡方程为

$$<pre> w^0_{,1111} + 2~w^0_{,1212} + w^0_{,2222} = 0$$

若以直接张量表示法，可以表示如下

$$<pre> \nabla^2\nabla^2 w = 0$$

### 明德林–赖斯纳平板理论

明德林–赖斯纳平板理论的假设类似克希荷夫–勒夫平板理论，和中表面垂直的直线在形变后仍然是直线，而且不会延展。但是和克希荷夫–勒夫平板理论不同的是：表面垂直的直线在形变后不一定仍和中表面垂直。平板的位移为

$$<pre> \begin{align} u_\alpha(\mathbf{x}) & = - x_3~\varphi_\alpha ~;~~\alpha=1,2 \\ u_3(\mathbf{x}) & = w^0(x_1, x_2) \end{align} </pre>$$

其中$\varphi_\alpha$是法向的旋转量。

依照以上假设，应变和位移之间的关系是

$$<pre> \begin{align} \varepsilon_{\alpha\beta} & = - x_3~\varphi_{\alpha,\beta} \\ \varepsilon_{\alpha 3} & = \cfrac{1}{2}~\kappa\left(w^0_{,\alpha}- \varphi_\alpha\right) \\ \varepsilon_{33} & = 0 \end{align} </pre>$$

其中$\kappa$是剪力修正系数。

平衡方程为

$$<pre> \begin{align} & M_{\alpha\beta,\beta}-Q_\alpha = 0 \\ & Q_{\alpha,\alpha}+q = 0 \end{align}$$

其中

$$<pre> Q_\alpha := \kappa~\int_{-h}^h \sigma_{\alpha 3}~dx_3 </pre>$$

## 平板的动态弯曲

### 克希荷夫平板的动态弯曲

平板的动态理论会决定在平板上震波的传播，以及其驻波以及振动模态。克希荷夫平板动态弯曲的统御方程如下

$$<pre> M_{\alpha\beta,\alpha\beta} - q(x,t) = J_1~\ddot{w}^0 - J_3~\ddot{w}^0_{,\alpha\alpha} </pre>$$

其中（假设板的密度为$\rho = \rho(x)$）

$$<pre> J_1 := \int_{-h}^h \rho~dx_3 ~;~~ J_3 := \int_{-h}^h x_3^2~\rho~dx_3 </pre>$$

以及

$$<pre> \ddot{w}^0 = \frac{\partial^2 w^0}{\partial t^2} ~;~~ \ddot{w}^0_{,\alpha\beta} = \frac{\partial^2 \ddot{w}^0}{\partial x_\alpha\, \partial x_\beta} </pre>$$

以下是一些圆形平板的振动模态。

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- mode k = 0, p = 1

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- mode k = 0, p = 2

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- mode k = 1, p = 2

## 外部链接

- Flexure formulae
- Beam flexure, stress formulae and calculators