二维傅立叶变换

傅立叶转换（英语：Fourier transform）是一种帮助我们分析讯号频域成分的积分变换，详细内容详见傅立叶转换一文。一般教科书所教的通常是一维的傅立叶转换，但我们也可以将傅立叶转换推广到多维的空间。而二维傅立叶转换即是由一维傅立叶转换推广而来，近几十年来常被运用在影像处理上。其他相关的数学工具，例如二维余弦转换、二维滤波器……等等，均是建立在二维傅立叶转换的概念上而得到的。

## 二维傅立叶级数

考虑一个信号二维的信号，$s(t_1,t_2)$，其中$t_1,t_2$为两个独立变数，且$s(t_1,t_2)$满足下列方程式:

$s(t_1,t_2) = s(t_1+kT_1,t_2+lT_2),$ for all $t_1,t_2$, 其中k,l为整数

也就是说$s(t_1,t_2)$在$t_1-t_2$平面为周期函数，在$t_1$方向的周期为$T_1$，在$t_2$方向的周期为$T_2$，而信号的傅立叶级数为

$$s(t_1,t_2) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}a_{mn}e^{j(m\omega_1t_1+n\omega_2t_2)},\ \omega_1 = 2\pi/T_1, \omega2 = 2\pi/T_2$$

而$a_{mn}$可借由积分求得

$$a_{mn} = \frac{1}{T_1T_2}\int_{0}^{T_2}\int_{0}^{T_1}s(t_1,t_2)e^{-jm\omega_1t_1}e^{-jn\omega_2t_2}\,dt_1\,dt_2$$

## 二维连续傅立叶变换

对于平面上的连续周期信号，我们可以使用二维傅立叶级数来分析，但对于平面上的连续非周期信号$s(t_1,t_2)$，我们则需使用二维连续傅立叶变换。

二维连续傅立叶变换定义为

$$S(j\omega_1,j\omega_2) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}s(t_1,t_2)e^{-j(\omega_1t_1+\omega_2t_2)}\,dt_1\,dt_2$$

二维连续傅立叶逆变换定义为

$$s(t_1,t_2) =\frac{1}{4\pi^{2}} \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}S(j\omega_1,j\omega_2)e^{j(\omega_1t_1+\omega_2t_2)}\,d\omega_1\,d\omega_2$$

为了方便，我们会将一些变数以向量的形式表示

$$\overrightarrow{t} = (t_1,t_2)^t, \overrightarrow{\omega} = (\omega_1,\omega_2)^t, \overrightarrow{\omega}^t\overrightarrow{t} = \omega_1t_1+\omega_2t_2$$

则上述两式则可表示为

$$S(j\overrightarrow{\omega}) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}s(\overrightarrow{t})e^{j\overrightarrow{\omega}^t\overrightarrow{t}}\,d\overrightarrow{t},\ \ $$ $$s(\overrightarrow{t}) =\frac{1}{4\pi^{2}} \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}S(j\overrightarrow{\omega})e^{j\overrightarrow{\omega}^t\overrightarrow{t}}\,d\overrightarrow{\omega}$$

## 二维离散傅立叶变换

一般在作影像处理的影像大多不是连续信号，而对于平面上的不连续信号，我们则需使用二维离散傅立叶变换。

假设输入的影像sn,m水平方向长度是N，垂直方向长度是M

二维离散傅立叶变换定义为

$$S(j\omega_1,j\omega_2) = \sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}s[n,m]e^{-j(\omega_1n+\omega_2m)}$$

二维离散傅立叶逆变换定义为

$$s[n,m] = \frac{1}{4\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}S(j\omega_1,j\omega_2)e^{j(\omega_1n+\omega_2m)}\,d\omega_1\,d\omega_2$$

同样为了方便，我们可将上述两式改为向量形式

$$S(j\overrightarrow{\omega}) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}s(\overrightarrow{n})e^{j\overrightarrow{\omega}^t\overrightarrow{n}}\,d\overrightarrow{n},\ \ $$ $$s(\overrightarrow{n}) =\frac{1}{4\pi^{2}} \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}S(j\overrightarrow{\omega})e^{j\overrightarrow{\omega}^t\overrightarrow{n}}\,d\overrightarrow{\omega}$$

其中,$\overrightarrow{n} = (n,m)^t$。

## 基本性质

下列为二维连续傅立叶变换的性质，大致与一维傅立叶变换的性质相似

### 分离性(Separability)

假如$s(t_1,t_2)$可分解为$f(t_1)g(t_2)$，因为自然指数部分也可分解，则

$$S(j\omega_1,j\omega_2) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}s(t_1,t_2)e^{j(\omega_1t_1+\omega_2t_2)}\,dt_1\,dt_2 <pre> = \int_{-\infty}^{\infty}f(t_1)e^{j\omega_1t_1}\,dt_1\int_{-\infty}^{\infty}g(t_2)e^{j\omega_2t_2}\,dt_2 = F(j\omega_1)G(j\omega_2) = \mathcal{F}\{f(t_1)\}\mathcal{F}\{g(t_2)\}$$

称为分离性。

### 对称性

假设$s(\overrightarrow{t})$为实数，则$S(j\overrightarrow{\omega}) = S^*(-j\overrightarrow{\omega})$

假设$s(\overrightarrow{t})$为实数且偶对称，则$S(j\overrightarrow{\omega})$为实数且偶对称

假设$s(\overrightarrow{t})$为实数且奇对称，则$jS(j\overrightarrow{\omega})$为实数且奇对称

### 平移特性

$$\mathcal{F}\{s(\overrightarrow{t}-\overrightarrow{t_0})\} = e^{-j\overrightarrow{\omega}^t\overrightarrow{t_0}}S(\overrightarrow{\omega})$$

一维傅立叶变换的平移概念是让信号在时间轴上延迟、提前，相对的，二维傅立叶变换的平移概念是让影像在空间域作位移，但两者对应在频域的概念却是相同的，也就是将频域作相位位移。

### 微分

$$\mathcal{F}\{\frac{\partial ^ns(\overrightarrow{t})}{\partial t_i^n}\} = (j\omega_i)^nS(j\overrightarrow{\omega})$$

原函数n阶偏微分的傅立叶变换，为原函数的傅立叶变换乘上$(j\omega_i)^n$。

### 线性特性

由于二维傅立叶变换与一维傅立叶变换同为积分运算，所以仍有线性特性。

$$\mathcal{F}\{af(\overrightarrow{t})+bg(\overrightarrow{t})\} = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}[af(\overrightarrow{t})+bg(\overrightarrow{t})]e^{j\overrightarrow{\omega}^t\overrightarrow{t}}\,d\overrightarrow{t} = a\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(\overrightarrow{t})e^{j\overrightarrow{\omega}^t\overrightarrow{t}}\,d\overrightarrow{t} + b\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g(\overrightarrow{t})e^{j\overrightarrow{\omega}^t\overrightarrow{t}}\,d\overrightarrow{t}$$

$$=a\mathcal{F}\{f(\overrightarrow{t})\}+b\mathcal{F}\{g(\overrightarrow{t})\}$$

### 线性比例调整

$$S(j\overrightarrow{\omega}) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}s(\overrightarrow{t})e^{j\overrightarrow{\omega}^t\overrightarrow{t}}\,d\overrightarrow{t},\ \ $$

$$\mathcal{F}\{s(a\overrightarrow{t})\} = \frac{1}{|a|}S(\frac{j\overrightarrow{\omega}}{a})$$

一维傅立叶变换的线性比例调整是让信号在时间轴上加速或减速，相对的，二维傅立叶变换的线性比例调整则是让影像在空间域以某个点放大或缩小，但不论是在时域或空间域作线性比例调整，均也会在频域产生线性比例调整。

### 卷积特性

$$\mathcal{F}\{f(\overrightarrow{t})*g(\overrightarrow{t})\} = \mathcal{F}\{f(\overrightarrow{t})\}\mathcal{F}\{g(\overrightarrow{t})\}$$

卷积特性大至与一维傅立叶变换相同。

## 空间频率

声音是只有时间一个维度的信号，而静态的平面影像则是具有两个维度的信号。一维傅立叶转换常被用来分析随时间变化的信号，将信号变换至频域并得到信号的频域成分强度与相位。然而，对一张的静态的平面影像而言，虽然没有时间的概念在里面，取而代之的是二维空间域的观念。二维傅立叶变换的目的是将信号由空间域转到频域，除此之外，我们也引入了空间频率这个新的概念来取代传统一维空间中的频率。

对传统随时间变化的信号而言，以声音为例，低频成分的物理意义即为声音的低音，而高频成分的物理意义则是声音的高音。但对空间频率而言，空间频率中的低频成分指的是图片中颜色缓慢变化的部分。相对的，空间频率中的高频成分则是指图片中颜色迅速变化的部分，比方说物体的边线。

我们可以用二维的滤波器分别将图片的低频与高频成分滤掉以帮助我们了解空间频率的概念。我们可以发现，当图片通过低通滤波器后，被滤出来的图片是一个模糊的影像，这就是图片的低频成分。而当图片通过高通滤波器后，被滤出来的图片仅剩下边缘，这就是图片的高频成分，一般而言，图片在频域的能量大多集中在低频，离散傅立叶余弦转换变是利用这个特性来进行有损压缩。

## 应用

二维傅立叶变换的作用是将影像由空间域变换到频域，并对于影像不同频段的成分进行分析与处理，所以二维傅立叶变换在影像处理领域有着举足轻重的地位，其主要的应用为

- 影像分析
- 影像滤波
- 影像重建
- 影像压缩