完全星形二十面体

在几何学中，完全星形二十面体（Final stellation of the icosahedron或complete stellation of the icosahedron）、完全二十面体（かんぜんにじゅうめんたい）或针鼹二十面体（Echidnahedron）是一种星形二十面体。它是星形二十面体的最外层，也因为包括星形二十面体的所有胞，因此是“完全”和“最后”的星形二十面体。温尼尔在他的书中列出的各种星形多面体模型中，也包含了完全星形二十面体，并给予编号W42。其也收录于哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特的书《五十九种二十面体》中，编号为8。

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几何形状上，完全星形二十面体有两种形式，其在外观上无法区别：

- 一种是非正的星形（自相交）多面体，由二十个九角星（边自相交九边形）、90条边和60个顶点组成。
- 另一种是由180个三角形组成的简单多面体，其中包含60个等腰三角形、120个不等边三角形、270条边和92个顶点。以这种多面体结构来建构完全星形二十面体的模型会比较容易。

## 历史

关于星形二十面体的研究最早可以追朔到1619年出版的《世界的和谐》中，约翰内斯·开普勒已针对二十面体的星形化体进行了一些研究，当中列出了属于正多面体的大星形十二面体与小星形十二面体。1809年路易斯·庞索重新发现了开普勒先前发现的星形二十面体并另外发现了两个星形多面体：大二十面体与大十二面体，因此这四个立体现今合称为开普勒－庞索立体。1812年奥古斯丁-路易·柯西进一步列举了星形多面体并证明星形正多面体只有4个。而到了1900年马克斯·布吕克纳，将星形多面体推广到了不限于正多面体的情况，并列出了十种星形二十面体，当中包括了完全星形二十面体。1924年由学者A.H. Wheeler发表的著作中列举的20种星形二十面体（其共列举了22种，但有些互为镜像）中亦包含了完全星形二十面体。1938年，哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特、帕特里克·杜·瓦尔、H·T·夫雷勒和J·F·皮特里在其著作《五十九种二十面体》中为正二十面体的星形化体提供了一个系统性的规则，并列出了59种符合规则的星形二十面体，完全星形二十面体在本书中被称为第八星形二十面体。1974年，温尼尔亦在其著作《多面体模型》中收录、编号并描述了完全星形二十面体，其将完全星形二十面体编号为W42。

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马克斯·布吕克纳的完全星形二十面体模型Brückner, Max (1900)(Taf. XI, Fig. 14, 1900)｜

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针鼹

1995年，完全星形二十面体被收录于Netlib函式库的多面体数据库中，并命名为针鼹二十面体（echidnahedron），其因外型类似于蜷缩成球的针鼹而得名（针鼹是一种全身覆盖着粗糙的毛发和刺的小型哺乳动物，当其遇到危险时会卷成球状保护自己）。关于完全星形二十面体的对偶多面体较少有文献专门探讨，仅有2000年时，英奇博德·盖在其著作中描述了其面的组成，对于其更详细的性质尚未被有效地探讨及解决。

## 性质

### 作为正二十面体的星形化体

将正二十面体的原有的面延伸成无穷平面，并由其向外延伸的相交点构成的立体称为正二十面体的星形化体，或简称为星形二十面体。书籍《五十九种二十面体》为正二十面体的星形化体提供了一个系统性的规则，并根据其规则给予了一套表示系统，称为杜瓦表示法。其列举了正二十面体向外延伸后有可能相交出的面，称为星形二十面体的胞。杜瓦表示法主要以星形二十面体所占据的胞来命名。完全星形二十面体正好占据了最外层“h”层的所有胞，因此完全星形二十面体在杜瓦表示法中可以用H来表示。

### 作为一个简单多面体

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简单多面体是指这个多面体中的面不会与同一个多面体的另一个面相交的多面体。若完全星形二十面体要成为一个简单多面体，则需要在这多面体中相交的面上放置新的顶点和边，并将原本的九角星面分割成9个三角形面。这样的多面体共有180个面、270条边和92个顶点，且欧拉示性数为2。

其92个顶点分别位于3个同心的球面上。最内层有20个顶点，来自一个正十二面体；中间那层有12顶点，来自一个正二十面体；最外层的60个顶点来自一个不均匀的截角二十面体。这三层的半径比为：

$$\sqrt {\frac {3}{2} \left (3 + \sqrt{5} \right ) } \, : \, \sqrt {\frac {1}{2} \left (25 + 11\sqrt{5} \right ) } \, : \, \sqrt {\frac {1}{2} \left (97 + 43\sqrt{5} \right ) } \,$$

内层｜中层｜外层｜全部

20个顶点｜12个顶点｜60个顶点｜92个顶点

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正十二面体｜

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正二十面体｜

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不均匀截角二十面体｜

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完全星形二十面体

在上述条件下将完全星形二十面体重建成面不会自我相交的三维立体结构后，其边长将变为$a$、$a\varphi$、$a\varphi^2$与$a\varphi^2\sqrt{2}$（其中$\varphi$为黄金比例）。而上述3个分层（内层正十二面体、中层正二十面体、外层不均匀截角二十面体）分别的外接球半径（内层$R_{12}$、中层$R_{20}$、外层$R_{60}$）为：

$$R_{12}=\sqrt{\frac{3\left( 3+\sqrt{5}\right) }{2}}\,a$$

$$R_{20}=\sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{2}}\,a$$

$$R_{60}=\sqrt{\frac{97+43\sqrt{5}}{2}}\,a$$

其表面积$S$和体积$V$为：

$$S=\frac{1}{20}(13211 + \sqrt{174306161})a^2\,$$

$$V=(210+90\sqrt{5})a^3\,$$

### 作为一个星形多面体

当完全星形二十面体作为一个星形多面体时，其是一个面自我相交的非凸多面体，共有20面、90个边和60个顶点。其每个面都是与施莱夫利符号为 {9/4} 的九角星相近的形状。

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20个与施莱夫利符号为 {9/4}的九角星形状相近的面将其中一个以黄色表示｜

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完全星形二十面体中九角星面的形状

#### 面的组成

完全星形二十面体由20个九角星面组成，由于完全星形二十面体的面有跟其他的面相交的性质，因此，会导致面有部分隐没在图形内部，如下图，露在外面的部分以蓝色表示、隐没于形状内部的部分以白色表示，黑线为与其他面的交线。

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### 构造方式

完全星形二十面体可由其九角星面构造，构造方式为以其对应星状图的中心胞之正三角形建构一个正二十面体，并透过该正二十面体边旋转九角星面构造完全星形二十面体中的一半面数，剩余部分可透过将前面完成的部分以中心点对称方式来完成整个完全星形二十面体的构造。

## 对偶多面体

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完全星形二十面体的对偶多面体又称为大稀有三角六十面体（great noble triangular hexecontahedron）由60个面、90条边和20个顶点所组成，其中60个面都是等腰三角形，且每个顶点都是9个等腰三角形的公共顶点。完全星形二十面体的对偶多面体组成的顶点排列方式与正十二面体相同，但顶点间的相连关系与正十二面体不同，因此其可以视为是正十二面体的一种刻面结果。

## 基本资料

- 域：

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- 类型：星形二十面体、收录于《五十九种二十面体》中、稀有多面体
- 面：20
- 边：90
- 顶点：60
- Duval：H
- 面的种类：九角星、

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- 顶点图：等腰三角形
- Vertice_configuration：(9/4)3
- 参考索引：W42, 8/59
- Stdg：h层
- core：正二十面体
- Convex_hull：不均匀截角二十面体