敏感度编码技术

敏感度编码技术（SENSitivity Encoding，SENSE）是磁振造影（Magnetic Resonance Imaging）领域中，一种相当经典的平行造影方法，为克拉斯·普鲁士曼（Klass Pruessmann）在1999年所提出。

## 核磁共振影像的成像原理

根据核磁共振和拉莫尔进动两个理论的描述，人体内的氢原子在外加高磁场的状况下将会对着外加磁场方向产生进动，而其进动的角频率将和外加磁场的强度成正比。以数学来描述则可写成拉莫尔方程式（Larmor Equation）：

$$\omega = \gamma B$$

若对进动的氢原子施以一个与进动频率相同、方向和主磁场$B_{0}$垂直的电磁脉冲$B_{1}$，则原子核的磁矩同样受拉莫尔方程式的支配，对$B_{1}$磁场的方向产生进动。若是脉冲时间控制得当，则磁矩将能落在横断面（Transverse Plane）上，被线圈收取到信号。

然而，要进一步的透过这些磁矩的电磁讯号创造出一张影像，必须加入空间编码的概念。由于氢原子在不同的磁场下会有不同的共振频率，因此若是可以创造随位置而改变的磁场，则空间的位置便可以被“编码”在电磁讯号的频率上。目前核磁共振影像的编码方式是透过在三个正交（Orthogonal）的方向上配备梯度磁场线圈（Gradient Coil），并透过脉冲序列（Pulse Sequence）控制这些磁场的开关时机，来达到空间编码。

值得注意的是，若是同时对两个方向都进行频率上的编码，则会造成频率判读上的困扰。举例而言，在x方向做两单位的频率移动，和在x方向及y方向各做一单位频率移动，两者的结果是无法分辨的。因此，以二维影像来说，一个方向的资讯会透过讯号的频率来编码，而另一个方向则会透过事先开启梯度磁场来累积相位差异，达到编码的效果。前者被称为“频率编码”（Frequency Encoding），后者被称为“相位编码”（Phase Encoding）。惯例上，频率编码方向会是二维影像的x方向，相位编码则是二维影像的y方向，若做三维影像时，z方向也会做相位编码。

最后，透过傅里叶变换处理这些编码资讯，便可还原这些空间频率的资讯成为一张影像。

## 加速影像的基本概念

一张核磁共振影像的扫描时间（Scan Time）可以由下列的式子进行描述：

$$Scan Time = NEX \times \# \mbox{ phase encoding} \times TR$$

其中，NEX（Number of Excitation）代表本影像是透过几次的讯号撷取平均而来；$\# \mbox{ phase encoding }$表示相位编码的数量；TR（Repetition Time，重复时间）则代表一次射频激发到下一次射频激发所需的时间。因此根据这个关系式，我们可以透过减少平均次数、降低相位编码的数量、或是减短重复时间（TR）来加速影像的撷取。而以SENSE来说，其基本精神是透过减少相位编码的数量，并辅助以线圈敏感度的资讯，使重建的影像和原始影像得以有相似的品质，但扫描时间却大幅的下降。以下将针对SENSE的技术做进一步的描述。

## 线圈敏感度、阵列线圈与平行造影

若把所欲成像的物体切割成一个一个的体素（Voxel），则线圈敏感度（Coil Sensitivity）描述的是射频接收线圈在某一个体素上的讯号接收能力。线圈敏感度映射图（Coil Sensitivity Map）则把每个体素的敏感度集结起来，描绘一个线圈在某空间范围的线圈敏感度。一般来说，表面线圈（Surface Coil）的敏感度映射图呈现较不均匀的分布，越靠近的线圈表面敏感度越高，而越远离线圈的地方敏感度越低；体线圈（Volume Coil）的敏感度分布则较为均匀，其线圈敏感度在内部的任一处都有差不多的表现。

值得注意的是，表面线圈虽不均匀，在敏感度较高的区域，却有着比体线圈更好的敏感度表现。因此，将数个表面线圈合成一组的“阵列线圈”（Phased Array Coil），目前也成为机器上必备的设备。阵列线圈中的每一个表面线圈都是独立的，有自己的一套信号处理电路，因此可以同时对一个物体收集讯号。进一步推论，既然多个线圈都在对同一个目标收集讯号，那么让每个线圈都少收一点资讯，总资讯量大致得以不变，但撷取速度却可以大幅提升。这样的思维正是平行造影的基本脉络，而SENSE也是建立在阵列线圈和平行造影的一项技术。

## SENSE的理论基础

### 数学描述

直觉地来说，核磁共振影像中像素（Pixel）亮暗的程度将反映该位置的原始电磁讯号强度。然而，因为射频线圈有其敏感度的分布，因此我们实际得到的影像其实是电磁讯号强度和线圈敏感度相乘的结果，以数学式子来描述的话，可写成：

$I(x,y) = C(x,y)M(x,y)$

若考虑平行造影下，每个线圈对影像的贡献是独立的，则上式可改写成：

$I_{j}(x,y) = C_{j}(x,y)M(x,y) \mbox{ , subscript j means j-th coil}$

假如在相位编码方向上，影像的的宽度为$L$、共有$c$个线圈，而每个线圈都降低它们的相位编码数量，以每$R$个频率单位做一次编码、其余舍弃不编码（也就是每$R$条$k_{y}$线只取一条，详情请参阅条目：k空间），则根据取样定理，必然会发生混叠的现象。由于这些混叠的影像只会发生在相位编码的方向，且根据每个线圈的敏感度不同，混叠的鬼影（Ghost）将会乘上不同的比重，因此SENSE方法所收到的影像在相位编码上的关系将为：

$I_{j}(y) = \sum_{n = 0}^{N_{A}-1} C_{j}(y+\frac{nL}{R})M(y+\frac{nL}{R}) \mbox{ , } N_{A} \mbox{ is the number of replicates on position y }$

写成矩阵的话则会是：

$I = CM$

其中

$I = \begin{bmatrix} I_{0}(y) \\ I_{1}(y) \\ \vdots \\ I_{c-1}(y) \end{bmatrix}$

$M = \begin{bmatrix} M(y) \\ M(y+\frac{L}{R}) \\ \vdots \\ M(y+(N_{A}-1)\frac{L}{R}) \end{bmatrix}$

$C = \begin{bmatrix} C_{0}(y) & \cdots & C_{0}(y+(N+{A}-1)\frac{L}{R}) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{N_{c}-1}(y) & \cdots & C_{N_{c}-1}(y+(N+{A}-1)\frac{L}{R}) \end{bmatrix}$

以线性代数的角度来说，若方程组要可解，则线圈的数量至少要比影像混叠的次数（最多会混叠$R$次）来的多。换言之，加速倍率$R$最快不能超过$N_{c}$倍。若满足这个条件，则可用Moore–Penrose pseudoinverse来反解$M$矩阵，得到原始的影像。

### 线圈敏感度映射图

前述的反矩阵运算必须建立在线圈敏感度映射图$C$的存在，而影像重建的品质好坏，更是取决于映射图$C$的品质。最简单快速的映射图估算，是让每一个线圈都收取一张仅涵盖k空间低频成分（靠近原点的格子点）的影像。因为k空间的低频成分决定了影像的对比，所以收取低频的成分，就相当于大致描绘线圈的敏感度。这样的作法虽快，但品质未必够好。品质比较好的做法是先让每一个线圈都收取完整的影像，再利用体线圈也收一个。因为体线圈的敏感度相对均匀许多，因此两种影像一相除，就可以把线圈敏感映射图描绘出来。