反余切

反余切（arccotangent，记为：$\arccot$、arcctg、ACOT或$\cot^{-1}$）又称为逆余切，是一种反三角函数，对应的三角函数为余切函数，是利用已知直角三角形的邻边和对边这两条直角边长度的比值求出其夹角大小的函数，但其输入值和反正切的输入值互为倒数，是高等数学中的一种。

反余切可以视为余切的反函数，但余切函数是周期函数且在实数上不具有一一对应的关系，所以不存在反函数，但也可以视为多值函数，因此我们必须限制余切函数的定义域使其成为单射和满射也是可逆的。

一般最常见的方式是限制余切函数的定义域在0到π（180°）之间，如下图所示（以红色曲线表示），此时反余切函数不是奇函数也不是偶函数，而是一个单调递减的有界函数，最大值为$\pi$（180°）、最小值为0且函数连续，但有两条渐近线。

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另外一种定义方式是限制余切函数的定义域在$\pm\frac{\pi}{2}$（±90°）之间，如下图所示（以红色曲线表示），这种限制方式与反正切相同，此时反余切函数是奇函数，值域与其他相关性质皆与反正切类似，但函数并不连续。

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由于余切是周期函数，而上述二种定义方式皆是取余切的一个周期，因此其定义域皆为实数集。但当将反余切函数扩展至复数时，会采用后者的定义方式。

但由于复变分析的定义方式会造成函数不连续，在$x=0$时有断点，因此应用在测量学上时会采用取最小同界角的方式避免断点。

反余切函数经常记为$\cot^{-1}$，在外文文献中常记为$\arccot$，在一些旧的教科书中也有人记为arcctg，但那是旧的用法。根据ISO 31-11，应将反余切函数记为$\arccot$，因为$\cot^{-1}$可能会与$\frac{1}{\cot}$混淆，$\frac{1}{\cot}$是正切函数。

## 定义

反余切表示余切的反函数，因此是一个多值函数。为了要符合函数定义，因此要对原函数加以限制，从而存在多种定义方式。最常见的定义方式有两种：

- 将余切函数限制在$[0 , \pi]$（0, 180°）的反函数，应用于测量学
- 将余切函数限制在$(-\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2}]$（$(-90^\circ , 90^\circ]$）的反函数，应用于复变分析

在复变分析中则是采用第二种定义延伸至复数，并存在等式：

$$\arccot x = \frac{i}{2}\left[\ln\left(\frac{x-i}{x}\right)-\ln\left(\frac{x+i}{x}\right)\right]$$

这个动作使反余切被推广到复数。

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此外，反余切函数也可以使用其他反三角函数进行定义：

$$\begin{align} \arccot(x) = \cot^{-1} (x) & = \begin{cases} \sec^{-1} \left( \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} \right) - \pi, & \mbox{for }x < 0 \\ \sec^{-1} \left( \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} \right) , & \mbox{for }x > 0 \end{cases} = \begin{cases} -\frac{\pi}{2}-\tan^{-1} x, & \mbox{for }x < 0 \\ \frac{\pi}{2}-\tan^{-1} x, & \mbox{for }x > 0 \lor x = 0 \end{cases} \\ & = \begin{cases} -\sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \right), & \mbox{for }x < 0 \\ \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \right) , & \mbox{for }x > 0 \end{cases} = \begin{cases} -\csc^{-1} \left( \sqrt{x^2+1} \right), & \mbox{for }x < 0 \\ \csc^{-1} \left( \sqrt{x^2+1} \right), & \mbox{for }x > 0 \end{cases} \\ & = \begin{cases} -\cos^{-1} \left( \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} \right) - \pi, & \mbox{for }x < 0 \\ \cos^{-1} \left( \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} \right) , & \mbox{for }x > 0 \end{cases} = \begin{cases} -\frac{\pi}{2}-\sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \right), & \mbox{for }x < 0 \\ \frac{\pi}{2}-\sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \right) , & \mbox{for }x > 0 \end{cases} \\ \end{align}$$

### 直角坐标系中

在直角坐标系中，反余切函数可以视为已知直线垂线斜率的倾角，但是有可能差一个负号。

### 级数定义

反余切函数可以使用无穷级数定义：

$\begin{align} \arccot z & {}= \frac {\pi} {2} - \arctan z \\ & {}= \frac {\pi} {2} - ( z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots ) \\ & {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1} ; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i \end{align}$

对$x>0$时给出反余切函数的泰勒展开式为：

$$\arccot x= \frac\pi2-\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}= \frac\pi2-x+\frac{x^3}3-\frac{x^5}5+\frac{x^7}7-\cdots$$

以上等式也可以直接用来表示取最小同界角的反余切函数。

也可以用当$z=\infty$的洛朗级数来定义，对应$\left| z \right| > 1$的情形：

$\arccot z= \sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{z^{-(2k+1)}}{2k+1}= \frac{1}{z}-\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}-\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}-\cdots$

此外也有欧拉导出的无穷级数：

## 性质

反余切函数满足等式：

$$\arccot (-x) = \pi - \arccot x = 180^\circ - \arccot x \!$$

反余切函数是一个递减函数。

在复变分析中，反余切函数在当$x$不等于零时是一个奇函数，因此满足下面等式：

$$\arccot (-x) = - \arccot x \qquad(x\ne0)$$

反余切虽有多种定义方式，但其在$x=0$时值是一样的，为$\frac{\pi}{2}$（90°）。在复变分析中$x=0$时不连续左极和右极互为相反数，而反余切若是取最小同界角则在$x=0$时连续。

反余切函数的微分导数为：

$${\rm arccot}'x=-\frac{1}{1+x^2}$$

$${\rm arccot}''x=\frac{2x}{\left(1+x^2\right)^2\,}$$

$${\rm arccot}'''x=-\frac{8x^2}{\left(1+x^2\right)^3\,}+\frac{2}{\left(1+x^2\right)^2\,}$$

$${\rm arccot}''''x=\frac{ \; 48x^3 \; }{\;\left(1+x^2\right)^4\,}-\frac{ \; 24x \; }{\;\left(1+x^2\right)^3\,}$$

$$\cdots$$

除了反正切，反余切函数同样可以表示梅钦类公式：

$$\frac\pi4=4\arccot{5}-\arccot{239}$$

## 恒等式

下面恒等式均适用于函数2（取最小同界角的反余切函数）

$$\arccot x = \frac{\pi}{2} - \arctan x$$

$$\arccot (-x) = \pi - \arccot x \!$$

$\arccot \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \arccot x =\arctan x, \ $ 如果 $\ x > 0$

$\arccot \frac{1}{x} = \frac{3\pi}{2} - \arccot x = \pi + \arctan x,\ $ 如果 $\ x < 0$

### 和差

$$\arccot x + \arccot y =\arccot{\frac{xy-1}{x+y}}, x > -y$$

$$\arccot x + \arccot y =\arccot {\frac{xy-1}{x+y}}+\pi, x < -y$$

$$\arctan x + \arccot x =\frac{\pi}{2}$$

### 积分

$$\int \arccot \frac{x}{c} \ dx = x \arccot \frac{x}{c} + \frac{c}{2} \ln(c^2 + x^2)$$

$$\int x \arccot \frac{x}{c} \ dx = \frac{c^2 + x^2}{2} \arccot \frac{x}{c} + \frac{c x}{2}$$

$$\int x^2 \arccot \frac{x}{c} \ dx = \frac{x^3}{3} \arccot \frac{x}{c} + \frac{c x^2}{6} - \frac{c^3}{6} \ln(c^2 + x^2)$$

$$\int x^n \arccot \frac{x}{c} \ dx = \frac{x^{n + 1}}{n+1} \arccot \frac{x}{c} + \frac{c}{n + 1} \int \frac{x^{n + 1}}{c^2 + x^2} \ dx, \quad n \neq 1$$

## 参考文献

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