大Q勒让德多项式

大q-勒让德多项式是一个以基本超几何函数定义的正交多项式：

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$$\displaystyle P_n(x;c;q)={}_3\phi_2(q^{-n},q^{n+1},x;q,cq;q,q)$$

## 正交性

大q-勒让德多项式满足下列正交关系

$$\int_{cq}^{q}P_m(x;c;q)P_n(x;c;q)d_{q}x=q(1-c)\frac{1-q}{1-q^{2n+1}}\frac{(c^{-1}q;q)_n}{(cq;q)_n}(-cq^2)^{n}q^{n \choose 2}\delta_{mn}$$

## 极限关系

大Q勒让德多项式→勒让德多项式：$$\displaystyle\lim_{q \to 1} P_n(x;0;q)=P_n(2x-1)$$

令大q勒让德项式中的$c=0$,并且q→1 即得勒让德多项式

验证

将c=0代人7阶(n=7)大q勒让德多项式得：

$$qL=P_n(x;0;q)=1+{\frac {q}{ \left( 1-q \right) ^{2}}}-{\frac {qx}{ \left( 1-q <pre> \right) ^{2}}}-{\frac {{q}^{9}}{ \left( 1-q \right) ^{2}}}+{\frac {x{ </pre> q}^{9}}{ \left( 1-q \right) ^{2}}}-{\frac {1}{{q}^{6} \left( 1-q <pre> \right) ^{2}}}+{\frac {x}{{q}^{6} \left( 1-q \right) ^{2}}}+{\frac {{ </pre> q}^{2}}{ \left( 1-q \right) ^{2}}}-{\frac {x{q}^{2}}{ \left( 1-q <pre> \right) ^{2}}}+ \left( 1-{q}^{-7} \right) \left( 1-{q}^{-6} \right) \left( 1-{q}^{8} \right) \left( 1-{q}^{9} \right) \left( 1-x \right) \left( 1-qx \right) {q}^{2} \left( 1-q \right) ^{-2} \left( </pre> 1-{q}^{2} \right) ^{-2}+ \left( 1-{q}^{-7} \right) \left( 1-{q}^{-6} <pre> \right) \left( 1-{q}^{-5} \right) \left( 1-{q}^{8} \right) \left( </pre> 1-{q}^{9} \right) \left( 1-{q}^{10} \right) \left( 1-x \right) <pre> \left( 1-qx \right) \left( 1-x{q}^{2} \right) {q}^{3} \left( 1-q \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{2} \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{3} \right) ^{-2}+ \left( 1-{q}^{-7} \right) \left( 1-{q}^{-6} \right) \left( 1-{q}^{-5} \right) \left( 1-{q}^{-4} \right) \left( 1-{q}^{8 </pre> } \right) \left( 1-{q}^{9} \right) \left( 1-{q}^{10} \right) <pre> \left( 1-{q}^{11} \right) \left( 1-x \right) \left( 1-qx \right) \left( 1-x{q}^{2} \right) \left( 1-x{q}^{3} \right) {q}^{4} \left( 1 </pre> -q \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{2} \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{3} <pre> \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{4} \right) ^{-2}+ \left( 1-{q}^{-7} \right) \left( 1-{q}^{-6} \right) \left( 1-{q}^{-5} \right) \left( 1-{q}^{-4} \right) \left( 1-{q}^{-3} \right) \left( 1-{q}^{8 </pre> } \right) \left( 1-{q}^{9} \right) \left( 1-{q}^{10} \right) <pre> \left( 1-{q}^{11} \right) \left( 1-{q}^{12} \right) \left( 1-x \right) \left( 1-qx \right) \left( 1-x{q}^{2} \right) \left( 1-x{q </pre> }^{3} \right) \left( 1-x{q}^{4} \right) {q}^{5} \left( 1-q \right) ^{ -2} \left( 1-{q}^{2} \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{3} \right) ^{-2} <pre> \left( 1-{q}^{4} \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{5} \right) ^{-2}+ \left( 1-{q}^{-7} \right) \left( 1-{q}^{-6} \right) \left( 1-{q}^{- </pre> 5} \right) \left( 1-{q}^{-4} \right) \left( 1-{q}^{-3} \right) <pre> \left( 1-{q}^{-2} \right) \left( 1-{q}^{8} \right) \left( 1-{q}^{9} \right) \left( 1-{q}^{10} \right) \left( 1-{q}^{11} \right) \left( 1-{q}^{12} \right) \left( 1-{q}^{13} \right) \left( 1-x \right) \left( 1-qx \right) \left( 1-x{q}^{2} \right) \left( 1-x{q </pre> }^{3} \right) \left( 1-x{q}^{4} \right) \left( 1-x{q}^{5} \right) {q }^{6} \left( 1-q \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{2} \right) ^{-2} \left( 1 -{q}^{3} \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{4} \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{5} <pre> \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{6} \right) ^{-2}+ \left( 1-{q}^{-7} \right) \left( 1-{q}^{-6} \right) \left( 1-{q}^{-5} \right) \left( 1-{q}^{-4} \right) \left( 1-{q}^{-3} \right) \left( 1-{q}^{- </pre> 2} \right) \left( 1-{q}^{-1} \right) \left( 1-{q}^{8} \right) <pre> \left( 1-{q}^{9} \right) \left( 1-{q}^{10} \right) \left( 1-{q}^{11 </pre> } \right) \left( 1-{q}^{12} \right) \left( 1-{q}^{13} \right) <pre> \left( 1-{q}^{14} \right) \left( 1-x \right) \left( 1-qx \right) \left( 1-x{q}^{2} \right) \left( 1-x{q}^{3} \right) \left( 1-x{q}^{ </pre> 4} \right) \left( 1-x{q}^{5} \right) \left( 1-x{q}^{6} \right) {q}^{ 7} \left( 1-q \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{2} \right) ^{-2} \left( 1-{q }^{3} \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{4} \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{5} <pre> \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{6} \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{7} \right) ^{-2}$$

- $$qL2=\lim_{q \to 1}qL=-1+56\,x+3432\,{x}^{7}-12012\,{x}^{6}+16632\,{x}^{5}-11550\,{x}^{4}+ 4200\,{x}^{3}-756\,{x}^{2}$$

另7阶勒让德多项式：

- $$P_7(2x-1)=-1+56\,x+3432\,{x}^{7}-12012\,{x}^{6}+16632\,{x}^{5}-11550\,{x}^{4}+ 4200\,{x}^{3}-756\,{x}^{2}$$

显然qL2=P_7(2x-1) QED.

## 图集

下列复数域三阶大q勒让德多项式:$\displaystyle P_n3(x+iy;-1.5;q)$的

一组三个虚数部、实数部与绝对值的复数三维动画图，以q为可变参数

一组三个虚数部、实数部与绝对值的复数密度动画图

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