时频分析的测不准原理

在讯号分析中，讯号的时间分布 $x(t)$ 与频率分布 $X(\omega)$之间是有关连的，如果其中一个是宽的，另一个必定是窄的，这是傅立叶转换的基本观念，同时也是物理学中测不准原理的精神。不论是物理学或是讯号分析，测不准原理必须讨论两个变量之间的关系，且这两个变量在希尔伯特空间中必须是不可交换的运算子，而在讯号分析当中，经常讨论的两个变量是时间与频率。

## 测不准原理在讯号分析中的形式

### 基本形式的测不准原理

形式跟物理学一样，不过在此定义讯号在时间与频率上的标准差:

$$\sigma_t^2 = \int (t-\langle t\rangle )^2 |x(t)|^2 dt$$

$$\sigma_{\omega}^2 = \int (\omega-\langle\omega\rangle )^2 |X(\omega)|^2 dt$$

其中 $\langle t\rangle$ 与 $\langle\omega\rangle$ 代表平均值，$x(t)$ 与 $X(\omega)$ 互为讯号的傅立叶转换与反转换，两者的标准差相乘就是测不准原理:

$$\sigma_t\sigma_{\omega} \ge\frac{1}{2}$$

由上式可知 $x(t)$ 与 $X(\omega)$ 不可能同时任意宽或任意窄。

### 推广形式的测不准原理

另外对一个讯号的相位 $\phi(t)$ 作微分，可以得到该讯号的瞬时频率 $\omega$。现在定义一个讯号的共变异数 $COV = \langle t\phi'(t)\rangle - \langle t\rangle \langle\omega\rangle$，在此讨论的共变异数是看时间与频率有怎样的关系，若明显两者无关，则 $COV = 0$。

有了共变异数的概念，现在可以把测不准原理的形式推广至如下:

$\sigma_t\sigma_{\omega}\ge\frac{1}{2}$ $\sqrt{1+4COV^2}$

## 证明

假设讯号的形式为 $x(t) = A(t)e^{j\phi(t)}$ 且能够被归一化。现在考虑一个新讯号$x_{new}(t)$与一个旧讯号$x_{old}(t)$，其中新讯号的平均时间与平均频率皆为零，而旧讯号与新讯号的形状一样，但有特定的平均时间与平均频率，即:

$$x_{old} (t) = e^{j\langle\omega\rangle t} x_{new} \left(t - \langle t\rangle \right)$$

其中这个讯号的带宽为:

$$\sigma_{\omega}^2 = \int |x'(t)|^2 dt$$

以及时间宽度为:

$$\sigma_t^2 = \int t^2|x(t)|^2 dt$$

两者相乘为:

$$\sigma_t^2\sigma_{\omega}^2 = \int |x'(t)|^2 dt \times \int |tx(t)|^2 dt$$

现在考虑柯西-施瓦茨不等式,有:

$$\int |f(x)|^2dx\int |g(x)|^2dx \ge \left|\int f^*(x)g(x)dx\right|^2$$

若取 $f = tx(t)$ 且 $g = x'(t)$ 并搭配柯西-施瓦茨不等式就能把 $\sigma_t^2\sigma_{\omega}^2 = \int |x'(t)|^2 dt \times \int |tx(t)|^2 dt$ 整理成:

$$\sigma_t^2\sigma_{\omega}^2 \ge \left|\int tx^*(t)x'(t)dt\right|^2$$

上式中的被积分函数 $tx^*(t)x'(t) = tA'A + jt\phi'(t)A^2 = \frac{1}{2} \frac{d}{dt}tA^2 - \frac{1}{2}A^2 + jt\phi'(t)$

上式第一项是全微分，积分为零。第二项积分后是1/2，第三项积分后是j乘上一个讯号的共变异数。所以:

$$\sigma_t^2\sigma_{\omega}^2 \ge \left|-\frac{1}{2}+jCOV\right|^2 = \frac{1}{4} + COV^2$$

上式就是讯号分析当中推广形式的测不准原理，故得证。若把上式中的 $COV^2$ 略去，就能得到基本形式的测不准原理。

## 基本范例

### 最小测不准乘积讯号

得到了测不准原理的形式，接下来的问题是:什么样的讯号能得到乘积的最小值1/2?在推导过程中可以发现，在柯西-施瓦茨不等式当中的两个函数成正比时等号会成立，取 $g(x)=-cf(x)$，其中c是任意常数，所以得到

$$-ctx(t) = x'(t)$$

另外在测不准原理的推广形式中有共变异数，为了消灭这一项，取 $c=c_1-jc_2$ 再代入上式可得到解为:

$$x(t)=e^{-(c_1-jc_2)t^2/2}$$

在将上式代入共变异数 $COV = \langle t\phi'(t)\rangle - \langle t\rangle \langle\omega\rangle$ 而有:

$$COV =-\int tc_2t|x(t)|^2dt-\langle\omega\rangle \langle t\rangle =-c_2\int t^2e^{-c_1t^2}dt$$

若能使上式为零，就能消灭共变异数这一项，明显c必须是实数才能满足。若c取a/2，则讯号为:

$$x(t)=(a/\pi)^{\frac{1}{4}}e^{-at^2/2}$$

上式讯号的形式为平均时间与平均频率皆为零的状况，若讯号为任一特定的平均时间与平均频率，则有:

$$x(t)=(a/\pi)^{\frac{1}{4}}e^{-a(t-\langle t\rangle )^2/2+j\langle\omega\rangle t}$$

上式就是高斯函数，高斯函数的时间宽度与带宽的乘积能达到最小，高斯函数也作为加伯转换的窗函数，在时频分析中具有重要的地位。

### 正弦波调变

现在对高斯函数进行正弦波调变，讯号为 $x(t)=(a/\pi)^{\frac{1}{4}}e^{-at^2/2+jm\sin\omega_mt+j\omega_0t}$，其中有:

$$\langle t\rangle =\sqrt{\frac{a}{\pi}}\int te^{-a(t-t_0)^2}dt=t_0$$

$$\langle t^2\rangle =\sqrt{\frac{a}{\pi}}\int t^2e^{-a(t-t_0)^2}dt=t_0^2+\frac{1}{2a}$$

$$\sigma_t^2=\langle t^2\rangle -\langle t\rangle ^2=\frac{1}{2a}$$

$$\begin{align} \langle\omega\rangle &=\int \omega|X(\omega)|^2d\omega=\int x^*(t)\frac{1}{j}\frac{d}{dt}x(t)dt\\ &=\sqrt{\frac{a}{\pi}}\int (jat+m\omega_m\cos\omega_m t+\omega_0)e^{-at^2}dt\\ &=m\omega_m e^{-\omega_m^2 /4a} +\omega_0 \end{align}$$

$$\begin{align} \langle \omega^2\rangle &=\int \omega^2|X(\omega)|^2d\omega\\ &=\int x^*(t)\left(\frac{1}{j}\frac{d}{dt}\right)^2x(t)dt\\ &=\int \left|\frac{d}{dt}x(t)\right|^2dt\\ &=\frac{a}{2}+\omega_0^2+2m\omega_m\omega_0 e^{-\omega_m^2/4a}+\frac{m^2\omega_m^2}{2}\left(1+e^{-\omega_m^2/a}\right) \end{align}$$

$$\sigma_\omega^2=\langle \omega^2\rangle -\langle\omega\rangle ^2=\frac{a}{2}+\frac{m^2\omega_m^2}{2}\left(1-e^{-\omega_m^2/2a}\right)^2$$

$$\begin{align} \sigma_t\sigma_\omega&=\sqrt{\frac{1}{2a}}\sqrt{\frac{a}{2}+\frac{m^2\omega_m^2}{2}\left(1-e^{-\omega_m^2/2a}\right)^2}\\ &=\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{m^2\omega_m^2}{a}\left(1-e^{-\omega_m^2/2a}\right)^2} \end{align}$$

上式就是高斯函数加入正弦波调变后的测不准乘积。

## 短时傅立叶转换的测不准原理

人们研究讯号特性经常使用的方法是在考虑的时间范围内只取一小段讯号来分析，并且先忽略其他部分，还可以对那一小段的讯号进行傅立叶转换来计算那段时间的频率，这样的讯号处理方式就叫作短时傅立叶转换。现在就来分析这一小段时间的测不准原理与原讯号有什么关系?以及有什么样的性质。

为了理解短时傅立叶转换，先定义原讯号$x(t)$在极短时间内的形式，可以考虑一个窗函数乘上考虑的时间t的范围，而且这个窗函数在时间t附近达到最大值，然后急速下降。所以用以下的方程式来定义短时间讯号:

$$\eta_t(\tau)=\frac{x(\tau)h(\tau-t)}{\sqrt{\int |x(\tau)h(\tau-t)|^2d\tau}}$$

上式中的$h(t)$是窗函数，t为考虑的固定时间，$\tau$为执行时间。另外还让上式归一化:

$$\int |\eta_t(\tau)|^2d\tau=1$$

现在让这样的短时间讯号作傅立叶转换:

$$F_t(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int e^{-j\omega\tau}\eta_t(\tau)d\tau$$

上式$F_t(\omega)$代表在时间t的频谱含量，它可以拿来定义更多相关的量，例如平均时间、持续时间、带宽。

对于一个与时间相关的讯号，平均时间和持续时间是:

$$\langle\tau\rangle _t=\int \tau|\eta_t(\tau)|^2d\tau=\frac{\int \tau|x(\tau)h(\tau-t)|^2}{\int |x(\tau)h(\tau-t)|^2}$$

$$T_t^2=\int (\tau-\langle t\rangle )^2|\eta_t(\tau)|^2d\tau=\frac{\int (\tau-\langle\tau\rangle _t)^2|x(\tau)h(\tau-t)|^2}{\int |x(\tau)h(\tau-t)|^2}$$

再来考虑平均频率与带宽:

$$\langle\omega\rangle _t=\int \omega|F_t(\omega)|^2d\omega=\int \eta_t^*(\tau)\frac{1}{j}\frac{d}{d\tau}\eta_t(\tau)d\tau$$

$$B_t^2=\int (\omega-\langle\omega\rangle _t)^2|F_t(\omega)|^2d\omega$$

### 时间相关与窗函数相关的测不准原理

现在可以写出短时傅立叶转换的测不准原理:

$$B_tT_t\ge\frac{1}{2}$$

它与时间、讯号和窗函数相关，必须提醒的事情是它只对短时傅立叶转换做出了限制，与原本讯号的测不准原理无关。可以预测，随着窗函数变窄，$B_t\to\infty$。原讯号的测不准原理没有变化，这是因为借由加入窗函数而改变了它。