滚动阻力

滚动阻力是一物体（例如球、轮胎或轮）在另一物体表面滚动时，所受到的阻力。主要是因为滚动体及其所在的滚动面或其他物体的接触面受压产生塑性变形所造成，也就是指在接触压力消失后，部分滚动体或滚动面形变的能量耗散，没有转换为动能。滚动阻力可分为两种：分别是迟滞损失，滚动体或滚动面（例如沙地）的塑性变形。若滚动体和滚动面之间滑动，也会有能量的损失。有些研究者认为这应当一并考虑到滚动阻力中，但也有研究者认为应当称为“滑动损失”（slip loss）或“滑动阻力”（slip resistance）。另外，只有滑动损失和摩擦力有关，其他和摩擦力无关，有些文献将滚动阻力称为滚动摩擦，但“滚动摩擦”其实不是准确的名称。

滚动阻力和滑动摩擦类似，可以表示为一个系数和正向力的乘积。滚动阻力系数一般会比滑动摩擦系数要小。

有轮子的载具在没有动力时，因为滚动阻力（也包括轴承的滚动阻力）会慢慢的减速，最后停止。但在铁路轨道上，有钢制胎的铁路列车，无动力行驶的距离会比相同重量，橡胶轮胎，行驶在道路上的公共汽车更远。前者的滚动阻力系数较后者低。会影响滚动阻力的因素包括有轮子的变形程度、路面的变形程度。其他的影响因素有轮径、轮上负载、表面粘性、滑动、接触表面相对的微滑动。因为迟滞现象产生的损失也和轮子和路面的材料特性有关。例如轮胎在柏油路上的滚动阻力比轮对在铁轨上的滚动阻力要小。路面上的沙也比混凝土的滚动阻力要大。滚动阻力和速度无关。

## 主要原因

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充气轮胎滚动阻力主要是因为迟滞现象：

可变形材料的一个特征是变形的能量比复原的能量要大。轮胎中的橡胶会有迟滞现象，当轮子负荷著车子的重量滚动时，轮子的各部分会反复的变形和复原，其迟滞能量会以热的形式散失。迟滞是滚动阻力能量损失的主要原因，和橡胶的黏弹性有关:— National Academy of Sciences

主要原理可以由滚动圆柱的图上看出。若二个大小相同的圆柱因压力贴在一起，其接触平面会是平的。在没有表面摩擦力的情形下，接触应力是正向的（和平面垂直）。考虑一个物体从右侧进入接触平面，延著接触路径行进，最后从左边离开。一开始其垂直变形量会增加，但增加量会因为迟滞现象而变的比较小，会产生额外的压力让这二个表面不会互相干涉，之后来垂直变形量会减少，这也会迟滞现象而受到影响。此例中，迟滞现象减少了让这二个圆柱分开所需要的压力。

所合成的压力分布是非对称的，右边会比较多。图中压力合成的作用线不会通过圆柱的中心，会产生力矩抵挡滚动运动。

有些材大（例如橡皮）的迟滞现象较大，反弹比较慢，其滚动阻力会比迟滞现象小的材料（例如石头或二氧化硅）要大，而迟滞现象小的材料其反弹比较快，反弹后也比较容易恢复原状。低滚动阻力胎中就会在其胎面胶中用二氧化硅代替碳黑，降低低频迟滞，但不影响车轮的牵引力。铁路因为其路面结构，也可能会有迟滞现象。

## 定义

广义的“滚动阻力”是指针对车辆的单位重量，需出力使车辆维持低速前进的力，其中的风阻省略，车辆的引擎和刹车都没有启动。换句话，若没有出力使车辆维持定速，车辆会惰行慢慢停止。这个广义的定义包括轨承阻力、路面和车辆因为振动所散失的能量，以及轮子在路面（或铁轨）上的滑动。

但更广义的“滚动阻力”包括因为力矩产生滑动，所带来的能量损耗。在滑动时，车轮切线速度比车辆速度要快。因为功等于力乘以速度，车轮速度变快，所需要的功率也对应的变大。

火车上的纯“滚动阻力”是指在车轮和铁轨接触的位置，因为形变以及少许滑动而造成的阻力。针对橡皮胎，也会有类似的能量损失，是出现在整个车轮上，不过仍称为“滚动阻力”。广义的“滚动阻力”还包括轴承的阻力、因为路面（以及下方土地）振动造成的损失、车辆本身振动造成的损失，以及车轮和路面／铁轨接触点的滑动。轨道车辆的教科书中会将这些损失都加总，但不会像此条目所作的，都一并称为（广义的）“滚动阻力”。轨道车辆的教科书还会加上风阻，一并称为火车基本阻力。

广义的“滚动阻力”会是纯滚动阻力的几倍，因此不同资料上的“滚动阻力”可能会因为定义不同，而有很大的差异。火车在行驶时，引擎需要提供能量来克服广义的“滚动阻力”。

轮胎的滚动阻力定义为使轮胎前进单位距离所需要的力。也称为滚动摩擦。车辆前进的过程中，会受到和前进方向相反的力，滚动阻力即为其中之一。滚动阻力主要的原因是因为在轮胎转动，并且和地面接触时，轮胎所产生的形变。

若是在高速公路上的车辆，能量还会透过行驶时造成的路面振动、车辆本身的振动以及轮胎的滑动所消耗。不过除了车轮轴承的摩擦力，以及因为加速而需要的动力之外，其他需要的力几乎都是纯滚动阻力，可能是因为轮胎纯滚动阻力的大小是其他阻力的几倍。

## 滚动阻力系数

滚动阻力系数（rolling resistance coefficient）可以用下式来定义：

$$\ F = C_{rr} N$$

其中

$F$是滚动阻力

$C_{rr}$是无因次的滚动阻力系数（rolling resistance coefficient）

$N$为正向力，轮子所在滚动的表面所给予的力，方向和表面垂直。

$C_{rr}$相当于是要推动有轮子的车辆往前（在平面上以定速前进，没有空气阻力）每单位车辆重量需要出的力。假设四个轮胎都相同，且承受相同的重量。若$\ C_{rr} = 0.01$，表示针对重一磅的车辆，只需要0.01磅的力即可推动。若是一千磅的车辆，只需要10磅的力即可推动。可以说$C_{rr}$的单位是磅（推力的单位）除以磅（车重的单位），因此$C_{rr}$是无因次量。若乘以100，可以得到在慢的定速下推动车辆，所需施力相对车重的百分比。$C_{rr}$也常乘以1000，相当于每公吨（一千公斤）的车重要花多少公斤重的力去推动，也相当于每一千磅的车重要花多少磅重的力去推动。针对美国的火车，以往会使用lb/ton的单位，因此会是$2000 C_{rr}$。这些都是考虑单位车重下的阻力，因此其实都是“比阻力”（单位重量下的阻力），有时会简称为阻力。若是用磅重或是公斤重为力的单位，质量和重量的量值相等，因此可以说$C_{rr}$也是每单位质量下的阻力。SI制会用牛顿/公吨（N/T, N/t）的单位，相当于$1000 g C_{rr}$，是单位质量下的力，其中g是国际标准制的重力加速度（米每秒平方）。

以上可以看出阻力和$C_{rr}$成正比，但看不出随着速度、负载、力矩、表面粗糙度、直径、轮胎充气或摩损程度的关系，这些的影响会直接的影响$C_{rr}$。另外，上述的计算中看似滚动阻力和车重成正比，但$C_{rr}$会略为随车重而变化，因此滚动阻力和车重不是单纯的正比关系。

## 测量

在计算滚动阻力上，至少有二种常用的作法。

- “滚动阻力系数”（Rolling resistance coefficient）简称RRC。这是滚动阻力的值除以车辆载重后的值。国际汽车工程师学会（SAE）有订定轮胎RRC值的测试方式。测试（SAE J1269和SAE J2452）多半是针对新轮胎进行测试。新轮胎用这些标准测试的数值约在0.007到0.014。”若是针对自行车，数值约在0.0025到0.005之间。量测系数的方式是在大型滚筒上，也有可能配合功率计在路面上测试，或是进行惰行测试（coast-down test），若是后面两项，需另外去除风阻的影响，或是在非常低的速度下进行测试。
- 另一种单位为长度的滚动阻力系数（coefficient of rolling resistance）b，近似于（因为$\cos(\theta) = 1$的小角度近似）滚动阻力乘以车输半径后，除以车轮载重后的值。
- ISO 18164:2005是欧洲测量滚动阻力的标准。

对一般大众而言，不太容易取得上述测试的结果，因为制造商比较希望宣传有关舒适以及性能的资讯。

## 物理公式

一个的刚体轮子在完全弹性的表面上缓慢滚动，不考虑速度的影响时，其滚动阻力系数（rolling resistance coefficient）$\ C_{rr}$如下：

$$\ C_{rr} = \sqrt {z/d}$$

其中

$z$是表面的下沉深度

$d$是刚体轮子的直径

针对矿车的铸铁轮子，在钢轨上行驶的经验公式如下：

$$\ C_{rr} = 0.0048 (18/D)^{\frac{1}{2}}(100/W)^{\frac{1}{4}} = \frac{0.0643988}{\sqrt[4]{WD^{2}}}$$

where

$D$是轮子的直径，单位为英寸

$W$是轮子的载重，单位为磅力。

除了使用$\ C_{rr}$外，也可以使用$\ b$作为滚动阻力系数（coefficient of rolling friction），但其量纲为长度。其定义如下：

$$\ F = \frac{N b}{r}$$

其中

$F$是滚动阻力

$r$是轮子的半径

$b$是因次为长度的滚动阻力系数

$N$是表面所提供的正向力。

在上式中，阻力和半径r成反比，有时会误称为“库仑定律”（不是库仑平方反比定律，也不是库仑摩擦力定律）可以参考和轮径的关系。配合滚动阻力系数（rolling resistance coefficient）Crr的公式计算，可以求得b = Crr·r。若有参考资料提供无因次的滚动阻力系数Crr，也有轮子的半径r，就可以计算因次为长度的滚动阻力系数b，将Crr和轮子半径r相乘即可。

## 滚动阻力系数的例子

以下是一些滚动阻力系数的例子

Crr｜b｜说明

0.0003 至 0.0004｜火车的钢轮在铁轨上行驶（纯滚动阻力）

0.0010 至 0.0015｜0.1 mm｜硬化钢珠轨承在钢上滚动

0.0010 至 0.0024｜0.5 mm｜火车的钢轮在铁轨上行驶。若是客运轨道车，约为0.0020

0.0019 至 0.0065｜矿车的铸铁轮在铁轨上行驶

0.0022 至 0.0050｜量产的自行车胎，胎压在120psi，速度为50km/h，用滚轮量测

0.0025｜特殊的米其林solar car/环保马拉松用胎

0.0050｜脏的电车轨道（标准）

0.0045 至 0.0080｜大型卡车（半挂车）车胎

0.0055｜solar car上用的一般BMX自行车车胎

0.0062 至 0.0150｜车胎量测

0.0100 至 0.0150｜一般车胎在混凝土路面上行驶

0.0385 至 0.0730｜（十九世纪）土路上的公共马车。最坏的情形是路上有软雪的时候

0.3000｜一般车胎在沙上行驶

举例来说，1000 kg的车在柏油路面上，要让车轮滚动的力大约需要100 牛顿（1000 kg × 9.81 m/s2 × 0.01 = 98.1 N）。

## 和轮径的关系

### 驿马车和铁路

依照Dupuit（1837）的研究，外圈包覆着铁胎的马车木头车轮，其滚动阻力约和轮子直径的平方根成反比。此公式有在铁轨上用铸铁轮子（直径8至24英寸）实验确认过，也有用十九世纪的车轮验证过，不过也有其他针对车轮的实验，结果和上述的公式不同。若用理论分析圆柱在有弹性的路面滚动，也可以得到和公式相同的结果。这和1785年库仑用滚动木柱所作的测试结果不同，库仑的测试结果是滚动阻力和直径成反比（也会误称为“库仑定律”）。这个错误的名称仍会出现在一些教科书上。

### 充气轮胎

若是充气轮胎在硬路面上，在实务常用的车轮直径范围内，直径对滚动阻力的影响几乎可以忽略。

## 和力矩的关系

为了要抵抗滚动阻力$R_{r}$，并且在路面上维持定速（不考虑风阻）的驱动力矩$T$可以由下式求得：

$$T = \frac{V_{s}}{\Omega} R_r$$

其中

$V_s$是车轴的线速度

$\Omega$是车轮的旋转速度

特别需要说明的因为是车轮滑动的影响，$V_{s}/\Omega$一般不会等于车轮的半径。无论轮上有驱动车前进的转矩，或是刹车转矩，车轮和地面还是会有速度差的情形。因此，车子的线速度和车轮的圆周速度不同。另外，车子的从动轮因为没有使车辆前进的传动力矩，除了刹车以外，不会有速度差。因此，滚动阻力（也称为迟滞损失）是从动轮上能量耗散的主要原因，不过在驱动轮上，滑动损失和滚动阻力一样的重要。滑动阻力和滚动阻力的大小会大幅地受到牵引力、摩擦系数、正向力等因素影响。

### 针对各种车轮

车轮的施加力矩可以指从马达透过传动系统提供的传动力矩，或是由刹车（包括再生制动）产生的刹车力矩。这些力矩会额外产生能量的耗损。其原因是因为车轮会有一些对地面的滑动，橡胶胎也会有因为力矩产生的侧边弯曲。滑动的滑差（Slip）定义如下：2%的滑差是指驱动轮的圆周速度会比车辆行驶速度多2%。

小比例的滑差增加会造成比基本滚动阻力大很多的滑动阻力。例如针对充气胎，5%的滑差会让阻力变成滚动阻力的三倍。其中部分原因是因为在滑动时所施加的牵引力比滚动阻力大许多倍，因此单位速度需提供的功率也会增加（功率是力和速度的乘积，因此单位速度要提供的功率就是力）。因此因为滑差造成小幅的圆周速度增加，可以带来大量的牵引功率损失，甚至会大于基本的滚动阻力。若在铁路上，因为铁轨的低滚动阻力，其现象会更加严重。

在轿车上，若牵引力是最大牵引力的40%，滑动阻力和基本的滚动阻力相同。但若牵引力是最大牵引力的70%，滑动阻力会比基本滚动阻力大十倍。

### 铁轨车轮

为了在车轮上提供牵引力，车轮上需要有一些滑差。俄国火车要爬坡时，滑差约为1.5%到2.5%。

滑差（slip，也称为creep）一般大约和牵引力成正比。但若牵引力太大，车轮有严重的打滑（比上述的数值大一些），其滑差会随着牵引力快速变大，不再是线性关系。当施加的牵引力再大一些，车轮会失去控制，而车轮转更快时，车轮的铁轨黏着力会下降。这是可以用肉眼观察到的打滑。至于2%的滑动只能透过仪器来观测，快速的打滑会产生磨损。

### 充气胎

充气胎的滚动阻力会随施加力矩而大幅增加。大力矩时，在路面上的切线力约为车重的一半，其滚动阻力可能会增加到原来的三倍。有部分原因是因为在约5%的滑差下，滚动阻力和施加力矩的关系已不线性，力矩越大时其增加速度也更快。

## 和轮子负载的关系

### 铁轨车轮

针对铁轨车轮，滚动阻力系数$\ C_{rr}$会显著的随着轮子负载的增加而减少

```
were claiming about the same value as Астахов</ref>。例如，空車廂的<math>\ C_{rr}</math>會是滿載車廂的2倍（分別是<math>\ C_{rr}</math>=0.002和<math>\ C_{rr}</math>=0.001）。類似的「規模經濟」也出現在鐵軌礦車的測試上<ref>Hersey, Table 6., p. 267</ref>。剛體輪子在彈性路面上滾動的<math>\ C_{rr}</math>理論值，會隨負載的平方根反比變化<ref name=Williams />。
```

$\ C_{rr}$

$F=k N^{0.5}$

$F$

$N$

$k$

$F$

$N$

${\operatorname{d}N\over N}=2{\operatorname{d}F\over F}$

### 充气胎

针对充气胎，滚动阻力系数$\ C_{rr}$的增减要看轮胎的膨胀程度是否随负载增加而增加而定。根据文献，若膨胀压力随负载增加，负载增加20%，滚动阻力系数会减少3%，但若膨胀压力不变，负载增加20%，滚动阻力系数会增加4%。上述是只考虑滚动阻力系数的变化，若是考虑滚动阻力本身，会因为负载增加20%，滚动阻力就会增加20%，但膨胀压力不变的情形下，滚动阻力会增加24.8%，其中20%是负载的增加，另外的4.8%是因为滚动阻力系数的增加（1.2 x 4%）。

## 和曲率的关系

若车辆（机动车辆或铁路列车）在曲线上行驶时，其滚动阻力会增加。若曲线不是向心力恰好可以克服离心力的无阻力倾斜转弯，会在车辆上有无法平衡的侧向力。这会造成滚动阻力的上升。在铁路上称为曲线阻力，若针对一般的道路，算是因为转弯力而产生的滚动阻力。

## 声音

滚动阻力会产生声音（振动）的能量，因着摩擦，机械能转换为振动的能量。其中一个常见的例子是路上车辆的行进，会产生副产物交通噪音。汽车和卡车轮胎产生的噪音（尤其是高速时）主要是因为轮胎胎面受到撞击，以及轮胎胎面中空气的受压缩及减压。

## 影响轮胎滚动阻力的因素

以下是一些影响轮胎滚动阻力的因素：

- 如序言所述，轮径、轮上负载、表面粘性、滑动、接触表面相对的微滑动。
- 材料：轮胎成分中不同的填充料及聚合物可以减少迟滞，增加抓地力。常见降低滚动阻力的方式是用高价的硅烷来代替轮胎中的碳黑。在高性能橡胶胎中使用像奈米粘土之类的奇异材料已证实可以减少滚动阻力。溶剂也可以让实心轮胎膨胀，减少滚动阻力。
- 尺寸：滚动阻力和轮胎侧壁的弯曲程度，轮胎的接触面积有关。例如，若压力相同，较宽的自行车胎侧壁弯曲程度较小，因此滚动阻力较小（不过空气阻力较大）。
- 充气程度：轮胎压力较低，侧壁的弯曲程度较大，阻力也会比较大。侧壁的能量守恒会让阻力增加，也会导致过热，这可能也是不名誉的福特探险者汽车泛世通和福特轮胎的争议的原因之一。
- 过度充气的轮胎（例奴自行车胎），可能会让轮胎在路面上跳动，因此不会降低总滚动阻力。抓地力会下降，因为转动速度变化，而且出现滑差，因此总滚动阻力不会下降。
- 侧壁形变（Sidewall deflection）不是直接量测滚动阻力的工具。高品质的轮胎及高品质（且比较软）的轮胎外胎可以让相同能力损失下，形变量更大。自行车上有高品质轮胎及较软的轮胎外胎，比较容易使其维持转动。固特异卡车轮胎部门曾提过，有省油功能的外胎可以在更换数次胎面后仍有省油效果。有省油功能的胎面在胎面摩损后就没有效果。
- 输胎胎面的厚度和形状也和滚动阻力有很大的关系。胎面越厚，胎面轮廓更清晰，滚动阻力越大。因此最快的自行车车轮只有一点胎面，载重物的卡车在轮胎胎面磨损掉时最省油。
- 若路面是硬的，轮径在一定范围内，轮径的影响可以忽略，可以参考和轮径的关系。
- 事实上，速度最快的世界纪录都是由较窄的车轮创下的，可能是因为其高速时的空气阻力影响，这在一般速度下比较不重要。
- 温度：不论是实心轮或是充气胎，温度上升时滚动阻力都会下降（温度要在一定范围内，因此此效应的温度有其上限。）。若温度从30 °C上升到70 °C，滚动阻力会下降20-25%。赛车手会在赛车前加热轮胎，不过这原意是要增加轮胎的摩擦力，不是要降低滚动阻力。

## 铁轨上滚动阻力的组成

广义的滚动阻力是以下几项的和：

- 轮子轴承力矩的损失。
- 纯滚动阻力。
- 轮子在铁轨上的滑动.
- 传到铁轨（和地面）的能量损失
- 车厢振动造成的能量损失

轮子轴承力矩可以用轮子外缘的滚动阻力来计算。火车一般会使用滚动轴承，滚动元件可能是圆柱形（俄罗斯）或锥形（美国）。轴承的滚动阻力和轮子的负重以及车辆速度有关。若轴负重大，速度在中等速度60–80 km/h，滚动阻力最小，Crr为0.00013（轴负重21吨）。若空车厢（轴负重5.5吨），速度为60 km/h时，Crr为0.00020，但若是低速20 km/h时，会上升到0.00024，而在高速120 km/h时为0.00028。上述和Crr会和其他因素一起影响滚动阻力。

## 外部链接

- Rolling Resistance and Fuel Saving
- temperature vs rolling resistance
- Simple roll-down test to measure Crr in cars and bikes
- Rolling Resistance Thresholds