朗道量子化

朗道量子化是指均匀磁场中带电粒子的回旋轨道发生的量子化。这些带电粒子能量在一系列分立的数值中取值，形成朗道能级。朗道能级是简并的，每一能级上电子的电子数量与外加磁场的强度成正比。由朗道量子化可以得出外磁场会导致材料中电子性质的振荡。这一理论是由苏联物理学家列夫·朗道于1930年提出的。

## 推导

朗道量子化可以通过准经典的方法部分导出。这里采用量子力学的方法进行推导：

考虑一个带电粒子组成的二维系统。这些粒子无内部相互作用，所带电荷为q，自旋量子数为S，并被限制在x-y平面内一个面积A = LxLy的区域内。

对这一系统施加一个沿z轴的均匀磁场$\mathbf{B} = \begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}$。由于自旋对于这个二维系统没有影响，因而在下面的推导中将忽略自旋。在CGS单位制下，这个系统的哈密顿算符为：

$$\hat{H}=\frac{1}{2m}(\hat{\mathbf{p}}-q\hat{\mathbf{A}}/c)^2.$$

式中$\mathbf{p}$为正则动量算符，$\hat{\mathbf{A}}$为磁场的磁矢势，与磁感应强度的关系为：

$$\mathbf{B}=\mathbf{\nabla}\times \hat{\mathbf{A}}. \,$$

给定磁场的磁矢势具有一定的规范自由度。当$\hat{\mathbf{A}}$被添加一个标量场的梯度时，波函数的整体相位也会随着标量场产生一定的变化，但由于哈密顿算符具有规范不变性，系统的物理性质并不受选定的规范影响。为了简便计算，这里选择朗道规范：

$$\hat{\mathbf{A}}= \begin{pmatrix}0\\Bx \\0 \end{pmatrix}.$$

式中B=|B|，x为位置算符x方向上的分量。

在这一规范下，系统的哈密顿算符为：

$$\hat{H} = \frac{\hat{p}_x^2}{2m} + \frac{1}{2m} \left(\hat{p}_y - \frac{qB\hat{x}}{c}\right)^2.$$

算符$\hat{p}_y$与这一哈密顿算符是对易的。这是因为在选定规范时，算符$\hat{y}$被忽略掉了，因而算符$\hat{p}_y$可被它的本征值ħky替代。

如果设定回旋频率ωc = qB/m，那么可以得出此时哈密顿算符为：

$$\hat{H} = \frac{\hat{p}_x^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega_c^2 \left( \hat{x} - \frac{\hbar k_y}{m\omega_c} \right)^2.$$

这与量子谐振子的哈密顿算符基本一致，但势能的最小值需要在位置表象中移动x0 = ħky/mωc。

注意到谐振子势能的平移并不会影响到系统的能量，也就是说这一系统的能量与标准的量子谐振子一致：

$$E_n=\hbar\omega_c\left(n+\frac{1}{2}\right),\quad n\geq 0~.$$

由于能量与量子数ky无关，因而会存在一定的简并态。

由于$\hat{p}_y$与哈密顿算符是对易的，因而系统的波函数可以表示为y方向上动量的本征值与谐振子本征矢$|\phi_n\rangle$的乘积，但$|\phi_n\rangle$也需要在x方向上移动x0，即：

$$\Psi(x,y)=e^{ik_y y} \phi_n(x-x_0)~.$$

总之，电子的状态可以通过n与ky这两个量子数表征。

## 朗道能级

朗道量子化所造成的效应只能在平均内能小于能级间差值，即kT ≪ ħωc时才能被观测到。简单来说就是温度较低，外磁场较强。

每个朗道能级都具有一定的简并度，因为量子数ky的取值情况为：

$k_y = \frac{2 \pi N}{L_y}$,

式中N为整数。N所允许的取值受到振子的运动中心坐标x0的影响。振子的运动必须在系统范围内，也就是说0 ≤ x0 < Lx。这给出了N的取值范围：

$$0 \leq N < \frac{m \omega_c L_x L_y}{2\pi\hbar}.$$

对于带电量q = Ze的粒子来说，N的上限可以表记为磁通量的比值：

$$\frac{Z B L_x L_y}{(hc/e)} = Z\frac{\Phi}{\Phi_0},$$

式中 Φ0 = h/e为磁通量的基本量子，Φ = BA是系统的磁通量，面积A = LxLy。

因而对于自旋为S的粒子，每个朗道能级的简并度的最大值D为：

$$D = Z (2S+1) \frac{\Phi}{\Phi_0}~.$$

上述讨论只是在有限尺度内给出的粗略的结果，严格来说，谐振子解只对在x方向上不受限的系统有效，如果系统尺度Lx是有限的，那个方向上的束缚态条件会导致磁场中的非标准量子化情况。原则上，两个都是埃尔米特方程的解。多电子对于朗道能级的填充仍是研究热点之一。

一般来说，朗道能级可以在电子系统中被观察到，其中Z=1，S=1/2。随着磁场增强，越来越多的电子会占据朗道能级。最高的朗道能级的占据情况会导致多种电子性质振荡，如德哈斯-范阿尔芬效应及舒布尼科夫-德哈斯效应。

如果考虑到塞曼效应的话，那么每个朗道能级都会分裂为一对能级：一个为自旋向上的电子占据的能级，一个是自旋向下的电子占据的能级。此时每个自旋朗道能级的简并度就会是磁通量的比率：D = Φ/Φ0。两个能级与分裂前的能级间隔是相同的：2μBB = ħω。然而在多个能级被占满时，系统的费米能与基态的能量却是大致相同的，因为塞曼效应造成的影响，在这些能级相加时会被抵消掉。

## 讨论

在上面的推导过程中，x与y似乎并不对称。然而，考虑到系统的对称性，并没有物理量能表征这两个坐标的区别。在对x与y进行适当的内部变换后，可以得到相同的结果。

此外，上述推导中电子在z方向上运动受限的情形尽管在实验中确实存在，如二维电子气。但这一假设并不基本。如果电子在z方向上可以自由移动，那么波函数还需要乘以一个因子exp(ikzz)，能量对应地需要加上(ħ kz)2/(2m)。这一项会“填入”能级间隙，从而减小量子化的效果。但在垂直于磁场的平面x-y上的运动仍是量子化的。

## 对称规范中的朗道能级

选定对称规范：

$$\hat{\mathbf{A}} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -By\\ Bx \\0 \end{pmatrix}$$

对于哈密顿算符进行去量纲化：

$$\hat{H} = \frac{1}{2} \left[\left(-i\frac{\partial}{\partial x} - \frac{y}{2}\right)^2 + \left(-i \frac{\partial}{\partial y} + \frac{x}{2}\right)^2 \right]$$

实际值可以通过引入$q$、$c$、$\hbar$、$\mathbf{B}$及$m$等常数得出。

引入算符

$$\hat{a} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\left(\frac{x}{2} + \frac{\partial}{\partial x}\right) -i \left(\frac{y}{2} + \frac{\partial}{\partial y}\right)\right]$$

$$\hat{a}^{\dagger} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\left(\frac{x}{2} - \frac{\partial}{\partial x}\right) +i \left(\frac{y}{2} - \frac{\partial}{\partial y}\right)\right]$$

$$\hat{b} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\left(\frac{x}{2} + \frac{\partial}{\partial x}\right) +i \left(\frac{y}{2} + \frac{\partial}{\partial y}\right)\right]$$

$$\hat{b}^{\dagger} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\left(\frac{x}{2} - \frac{\partial}{\partial x}\right) -i \left(\frac{y}{2} - \frac{\partial}{\partial y}\right)\right]$$

这些算符的对易关系为：

$[\hat{a}, \hat{a}^{\dagger}] = [\hat{b},\hat{b}^{\dagger}] = 1$.

哈密顿算符可记为：

$$\hat{H} = \hat{a}^{\dagger}\hat{a} + \frac{1}{2}$$

朗道能级序数$n$是$\hat{a}^{\dagger}\hat{a}$的本征值。

角动量z方向上的分量为：

$$\hat{L}_z = -i \hbar \frac{\partial}{\partial \theta} = - \hbar (\hat{b}^{\dagger}\hat{b} - \hat{a}^{\dagger}\hat{a})$$

利用其与哈密顿算符可对易，即$[\hat{H}, \hat{L}_z] = 0$，我们选定$\hat{L}_z$的本征值$- m \hbar$为使$\hat{H}$与 $\hat{L}_z$对角化的本征函数。易见，在第$n$个朗道能级上存在$m \ge -n$。然而$m$的值可能非常大。在下面将推导系统表现出的有限简并度。

使用$\hat{b}^{\dagger}$可以使$m$减小一个单位同时使$n$保持不变，而$\hat{a}^{\dagger}$则可以使$n$增大一个单位，同时令$m$减小一个单位。类比量子谐振子，可以得到：

$$\hat{H} |n,m\rangle = E_n |n,m\rangle$$

$$E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)$$

$$|n,m\rangle = \frac{(\hat{b}^{\dagger})^{m+n}}{\sqrt{(m+n)!}} \frac{(\hat{a}^{\dagger})^{n}}{\sqrt{n!}}|0,0\rangle$$

在朗道规范与对称规范下，每个朗道能级上的简并轨道分别以量子数ky及$m$表征，每个朗道能级上单位面积的简并度是相同的。

可以证明选定下面这个波函数时，也可以得到上面得到的结果：

$$\psi_{n,m}(x, y) = \left( \frac{\partial}{\partial w} - \frac{\bar{w}}{4} \right)^n w^{n + m} e^{-|w|^2 / 4}$$

式中$w = x + i y$。

特别地，对于最低的朗道能级，即$n = 0$时，波函数为任意一个解析函数与高斯函数的乘积：$\psi(x,y) = f(w) e^{-|w|^2/4}$。

## 规范变换的影响

进行这样的规范变换：

$$\vec{A} \to \vec{A}' = \vec{A} + \vec{\nabla} \lambda(\vec{x})$$

运动学动量的定义为：

$$\hat{\pi} = \hat{\mathbf{p}}-q\hat{\mathbf{A}}/c$$

式中$\hat{\mathbf{p}}$为正则动量。哈密顿算符是规范不变的，因而$\langle\hat{\pi}\rangle$与$\langle \hat{x}\rangle$也会在规范变换后保持不变，但$\langle\hat{\mathbf{p}}\rangle$会受到规范变换的影响。

为了考察规范变换带来的影响，设磁矢势为$A$与$A'$时的量子态为$|\alpha\rangle$与$|\alpha'\rangle$。

由于$\langle \hat{x}\rangle$和$\langle\hat{\pi}\rangle$是规范不变的，可以得到：

$$\langle\alpha|\hat{x}|\alpha\rangle = \langle\alpha'|\hat{x}|\alpha'\rangle$$

$$\langle\alpha|\hat{\pi}|\alpha\rangle = \langle\alpha'|\hat{\pi'}|\alpha'\rangle$$

$$\langle\alpha|\alpha\rangle = \langle\alpha'|\alpha'\rangle$$

设算符$\mathcal{G}$会使$|\alpha'\rangle = \mathcal{G} |\alpha\rangle$，则：

$$\mathcal{G}^{\dagger}\hat{x}\mathcal{G} = \hat{x}$$

$$\mathcal{G}^{\dagger}\left(\hat{p} - \frac{e\hat{A}}{c} - \frac{e\vec{\nabla} \lambda(x)}{c}\right)\mathcal{G} = \hat{p} - \frac{e\hat{A}}{c}$$

$$\mathcal{G}^{\dagger}\mathcal{G} = 1$$

综上所述：

$$\mathcal{G} = \exp\left(\frac{ie\lambda(\vec{x})}{\hbar c}\right)$$