数学原本

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《数学原本》（Éléments de mathématique）是布尔巴基小组编写的数学丛书，署名N. Bourbaki，共十一卷，每卷分作多章。开首数卷由埃尔曼出版社（Éditions Hermann）1940年开始出版，初时以分册发行，后来出合订本。因为与出版商意见不合，1970年代起改由CCLS（Centre commercial du livre specialisé）出版，1980年代起由马松出版社（Éditions Masson）出版。2006年起，施普林格出版社重新印行所有分册。2016年出版全新的一卷，是将近50年来首次新增书卷。2023年有新增的3章出版，2026年出版新的2章。

《数学原本》丛书的一群作者特意用单数的mathématique命名丛书，不用正常的复数mathématiques，是想表达出数学是统一的整体。与此相对，同一群作者所编写的另一本书Éléments d'histoire des mathématiques（数学史大要），使用了复数，以示在布尔巴基之前，数学是多个分散的学科的集合，靠着现代的数学结构概念，使这些学科能够统一。

布尔巴基小组原本计划编写一本分析学教材，以代替当时法国过时的分析学教材，最初用《分析论》（Traité d'analyse）为暂时书名，后来计划范围扩大至涵盖数学的各分支领域，书名亦改为现名。丛书的第一部分有六卷，依从严格的逻辑顺序，并有统一的副标题《分析的基本结构》；第二部分是关于比较现代的领域，这部分各卷都依靠于首六卷为基础，但不依靠同部分的其他卷，也没有统一的标题。每一卷可以合作一册或分为数册出版。

尽管范畴论已成为现代数学的基础，但在《数学原本》开始编写时尚未出现，后来也没有补回，因此《数学原本》不能使用范畴的语言。在最新一卷《代数拓扑》首次提到范畴，但甚为简略，仅给出范畴和函子的定义，用作定义广群，并无建立范畴论。在《谱理论》卷新出版的两本分册中，预告了正在准备《范畴论》等三卷。

本丛书有大部分已译为英文、俄文和日文，截至2026年未有中文译本。

## 丛书目录

### 第一部分：分析的基本结构（Les Structures fondamentales de l'analyse）

- 卷I：集合论（Théorie des Ensembles），记为E，4章：
- 形式数学的描述
- 集合论
- 有序集、基数、整数
- 结构

结果概述

- 卷II：代数（Algèbre），记为A，10章：
- 代数结构
- 线性代数
- 张量代数、外代数和对称代数
- 多项式和有理分式
- 交换域
- 有序群和有序域
- 主理想整环上的模
- 半单模和半单环
- 半双线性型和二次型
- 同调代数
- 卷III：一般拓扑学（Topologie générale），记为TG，10章：
- 拓扑结构
- 一致结构
- 拓扑群
- 实数
- 单参数群
- 数空间和射影空间
- 加法群Rn
- 复数
- 实数在一般拓扑学中的使用
- 函数空间

结果概述

- 卷IV：单实变函数（Fonctions d'une variable réelle），记为FVR，7章：
- 导数
- 原函数和积分
- 初等函数
- 微分方程
- 函数的局部研究
- 广义泰勒发展，欧拉-麦克劳林求和公式
- 伽马函数

字典

- 卷V：拓扑向量空间（Espaces vectoriels topologiques），记为EVT，7章：
- 赋值域上的拓扑向量空间
- 凸集和局部凸空间
- 连续线性映射的空间
- 拓扑向量空间中的对偶性
- 希尔伯特空间（初等理论）
- 拓扑张量积
- 核型映射和核型空间

字典

结果概述

- 卷VI：积分（Intégration），记为INT，9章：
- 凸不等式
- 里斯空间
- 局部紧空间的测度
- 测度的扩张和Lp空间
- 测度的积分
- 向量积分
- 哈尔测度
- 卷积和表示
- 豪斯多夫拓扑空间上的积分

### 第二部分

- 交换代数（Algèbre commutative），记为AC，10章：
- 平坦模
- 局部化
- 分次、滤过和拓扑
- 相伴素理想和准素分解
- 整元
- 赋值
- 除子
- 维数
- 完全诺特局部环
- 深度、正则性、对偶性
- 微分及解析流形（Variétés différentielles et analytiques），记为VAR：

结果概述

- 李群及李代数（Groupes et algèbres de Lie），记为LIE，9章：
- 李代数
- 自由李代数
- 李群
- 考克斯特群和蒂茨系统
- 由反射生成的群
- 根系
- 嘉当子代数和正则元
- 分裂半单李代数
- 紧实李群
- 谱理论（Théories spectrales），记为TS，5章：
- 赋范代数
- 局部紧交换群
- 紧算子和扰动
- 希尔伯特谱理论
- 酉表示
- 代数拓扑（Topologie algébrique），记为TA，4章：
- 覆叠
- 广群
- 同伦和庞加莱广群
- 闭路可去（délaçable）空间

在内文中以简写引用的待出版卷（未公开全名）：

- 复变函数，记为FVC
- 模形式，记为FM
- 范畴论，记为CAT

### 数学史大要（Éléments d'histoire des mathématiques）

本书将《数学原本》各卷中的历史注记汇集成一卷。

## 各卷间依赖关系

在首六卷中，每道命题只假定已知道在同一章中已经讨论的结果，或在其前各章的结果，按照下列顺序：

- 集合论
- 代数第1至3章
- 一般拓扑学第1至3章
- 代数第4章起
- 一般拓扑学第4章起
- 单实变函数
- 拓扑向量空间
- 积分

其后各卷假定有首六卷的知识，与丛书其他卷的关系在开首指出。

## 计划演变

《数学原本》丛书第一本出版在1939年，是《集合论》卷的《结果概述》（Fascicule de résultats）。之后出版的分册并非依照丛书顺序。丛书出版历程时断时续，至今仍未完成。

丛书的初稿可以在网上下载。丛书中很多书籍绝版多年，但是施普林格出版社从2006年开始，重新印行了各本书籍。近期的新作，有1998年出版《交换代数》卷第10章，2012年出版《代数》卷的第8章重新编写扩充的第二版，2016年出版新卷《代数拓扑》的首4章。这新的一卷原本计划作为《一般拓扑学》卷的第11章。2019年出版全面修订的《谱理论》卷第1至2章第二版，2023年出版新编写的《谱理论》第3至5章，2026年出版新编写的《拓扑向量空间》第6至7章。

### 各卷出版年份

以下是丛书各卷的分册的初版和改版的年份。有些分册最初再分作几小册出版，后来才合为一册，因此出版年份是一段时期。

- 卷I《集合论》：1939年—1957年
- 卷II《代数》：1942年—2012年

第1至3章：1942年—1948年

第4至7章：1950年—1952年

第8章：1958年第一版，2012年第二版

第9章：1959年

第10章：1980年

- 卷III《一般拓扑学》：1940年—1953年

第1至4章：1940年—1942年

第5至10章：1947年—1949年

结果概述：1953年

- 卷IV《单实变函数》：1949年—1951年
- 卷V《拓扑向量空间》：1953年—2026年

第1至5章：1953年—1955年

第6至7章：2026年

结果概述：1955年

- 卷VI《积分》：1952年—1969年

第1至4章：1952年第一版，1965年第二版

第5章：1956年第一版，1967年第二版

第6章：1959年

第7及8章：1963年

第9章：1969年

- 《李群及李代数》：1960年—1982年

第1章：1960年第一版，1971年第二版

第2及3章：1972年

第4至6章：1968年第一版，1981年第二版

第7及8章：1969年第一版，1975年第二版

第9章：1982年

- 《交换代数》：1961年—1998年

第1至4章：1961年

第5至7章：1964年—1965年

第8及9章：1983年

第10章：1998年

- 《谱理论》：1967年—2023年

第1及2章：1967年第一版，2019年第二版

第3至5章：2023年

- 《微分及解析流形》：1967年—1971年
- 《代数拓扑》：2016年

## 参考

### 书籍

- 布尔巴基合作者协会网站。
- 施普林格出版社丛书
- 施普林格出版社丛书