时频分析转换关系

在时间与频率的分析领域中，有不少的讯号的单纯使用频域或时域表示，而是同时使用时域与频域来表示。

有几种方法或转换被里昂·柯恩统整组织被称为"时频分析"，最常被使用的方法称为“二次”或“双线性时频分析”，而此类方法中，最被广泛使用的方法中以韦格纳分布为其中之一，其他的时频分布则被称为维格纳分布的折积版。另一个被广泛使用的方法为频谱图，为“短时距傅立叶转换”的平方，频谱图有着平方必为正的优点，容易由图理解，但有着不可逆的缺点，如短时距傅立叶转换不可逆计算，无法从频谱图找回原信号。而验证这些理论与定义验证可以参考“二次式时频分布理论”。

本文主题虽是讯号处理领域，但是借由量子力学的相空间来推导某些分布从A分布转换至B分布的过程。一个信号在相同的状况下，给与不同的时频分布表示方式，透过简单的平滑器或滤波器，计算出其他分布。

## 一般化

如果我们用变数ω=2πf，然后，借用量子力学领域中使用的符号，就可以显示该时间-频率表示，如维格纳分布函数和其它双线性时间-频率分布，可表示为

$C(t,\omega) = \dfrac{1}{4\pi^2}\iiint s^*\left(u-\dfrac{1}{2}\tau\right)s\left(u+\dfrac{1}{2}\tau\right)\phi(\theta,\tau)e^{-j\theta t-j\tau\omega+j\theta u}\, du\,d\tau\,d\theta ,$ (1)

$\phi(\theta,\tau)$为一定义其分布及特性之二维函数。

维格纳分布的核为一。但在一般型式里任何分布的核为一没有任何的意义，在其他状况下维格纳分布的核应为其他结果。

## 特征方程式

特征方程式为双傅立叶转换，从方程式(1)可以得到

$C(t,\omega) = \dfrac{1}{4\pi^2}\iint M(\theta,\tau)e^{-j\theta t-j\tau\omega}\, d\theta\,d\tau$ (2)

$\begin{alignat}{2} <pre> M(\theta,\tau) & = \phi(\theta,\tau)\int s^*\left(u-\dfrac{1}{2}\tau\right)s\left(u+\dfrac{1}{2}\tau\right)e^{j\theta u}\,du \\ & = \phi(\theta,\tau)A(\theta,\tau) \\ \end{alignat}$ (3)

$A(\theta,\tau)$ 为对称模糊函数，特征方程式也可易被称为广义模糊函式。

## 分布之间转换关系

假设有两个分布 $C_1$ and $C_2$,个别对应核为 $\phi_1$ and $\phi_2$，特征方程式为

$M_1(\phi,\tau) = \phi_1(\theta,\tau)\int s^*\left(u-\dfrac{1}{2}\tau\right)s\left(u+\dfrac{1}{2}\tau\right)e^{j\theta u}\, du$ (4)

$M_2(\phi,\tau) = \phi_2(\theta,\tau)\int s^*\left(u-\dfrac{1}{2}\tau\right)s\left(u+\dfrac{1}{2}\tau\right)e^{j\theta u}\, du$ (5)

方程式(4)、(5)相除得

$M_1(\phi,\tau) = \dfrac{\phi_1(\theta,\tau)}{\phi_2(\theta,\tau)}M_2(\phi,\tau)$ (6)

方程式(6)相当重要，其结果使其连接特征方程式在有线区域内之核不为零。

欲获得两分布之间的关系，需使用双傅立叶转换并使用方程式(2)

$C_1(t,\omega) = \dfrac{1}{4\pi^2}\iint \dfrac{\phi_1(\theta,\tau)}{\phi_2(\theta,\tau)}M_2(\theta,\tau)e^{-j\theta t-j\tau\omega}\, d\theta\,d\tau$ (7)

用$C_2$来表示$M_2$

$C_1(t,\omega) = \dfrac{1}{4\pi^2}\iiiint \dfrac{\phi_1(\theta,\tau)}{\phi_2(\theta,\tau)}C_2(t,\omega^')e^{j\theta(t^'-t)+j\tau(\omega^'-\omega)}\, d\theta\,d\tau\,dt^'\,d\omega^'$ (8)

可改写成

$C_1(t,\omega) = \iint g_{12}(t^'-t,\omega'-\omega)C_2(t,\omega')\,dt^'\,d\omega'$ (9)

其中。

$g_{12}(t,\omega) = \dfrac{1}{4\pi^2}\iint \dfrac{\phi_1(\theta,\tau)}{\phi_2(\theta,\tau)}e^{j\theta t+j\tau\omega}\, d\theta\, d\tau$ (10)

## 频谱与其他双线性相互关系

我们专注于其中一个从任意代表性的频谱转换的情况，在方程式(9)中，$C_1$为频谱图而$C_2$ 为任意数，为了简化符号使用以下表示，$\phi_{SP} = \phi_1$, $\phi = \phi_2$, $g_{SP} = g_{12}$，可被表示为

$C_{SP}(t,\omega) = \iint g_{SP}(t^'-t,\omega^'-\omega)C(t,\omega^')\,dt^'\,d\omega^'$ (11)

频谱图的核为

$\begin{alignat}{3} <pre> g_{SP}(t,\omega) & = \dfrac{1}{4\pi^2}\iint \dfrac{A_h(-\theta,\tau)}{\phi(\theta,\tau)}e^{j\theta t+j\tau\omega}\, d\theta\,d\tau \\ & = \dfrac{1}{4\pi^2}\iiint \dfrac{1}{\phi(\theta,\tau)}h^*(u-\dfrac{1}{2}\tau)h(u+\dfrac{1}{2}\tau)e^{j\theta t+j\tau\omega-j\theta u}\, du\,d\tau\,d\theta \\ & = \dfrac{1}{4\pi^2}\iiint h^*(u-\dfrac{1}{2}\tau)h(u+\dfrac{1}{2}\tau)\dfrac{\phi(\theta,\tau)}{\phi(\theta,\tau)\phi(-\theta,\tau)}e^{-j\theta t+j\tau\omega+j\theta u}\, du\,d\tau\,d\theta \\ \end{alignat}$ (12)

令$\phi(-\theta,\tau)\phi(\theta,\tau) = 1$, $g_{SP}(t,\omega)$为窗函数，然而在$-\omega$状况下得

$g_{SP}(t,\omega) = C_h(t,-\omega)$ (13)

使其核满足 $\phi(-\theta,\tau)\phi(\theta,\tau) = 1$

$C_{SP}(t,\omega) = \iint C_s(t^',\omega^')C_h(t^'-t,\omega^'-\omega)\,dt^'\,d\omega^'$ (14)

其核亦满足$\phi(-\theta,\tau)\phi(\theta,\tau) = 1$

其证明可见Janssen4. 当$\phi(-\theta,\tau)\phi(\theta,\tau)$不等于1时。

$C_{SP}(t,\omega) = \iiiint G(t^{''},\omega^{''})C_s(t^',\omega^')C_h(t^{''}+t^'-t,-\omega^{''}+\omega-\omega^')\,dt^'\,dt^{''}\,d\omega^\,d\omega^{''}$ (15)

$G(t,\omega) = \dfrac{1}{4\pi^2}\iint \dfrac{e^{-j\theta t-j\tau\omega}}{\phi(\theta,\tau)\phi(-\theta,\tau)}\, d\theta\,d\tau$ (16)