库塔-儒可夫斯基定理

库塔-儒可夫斯基定理（Kutta–Joukowski theorem）是空气动力学的基本定理，计算机翼或是二维物体（例如圆柱）在均匀流体中的升力，且此流场的速度够快，使物体的速度场是稳定及无分离的。定理显示出，机翼产生的升力与机翼通过流体的速度、流体密度以及环量有所关联。库塔-儒可夫斯基定理得名自德国科学家马丁·威尔海姆·库塔及俄国科学家尼古拉·叶戈罗维奇·茹科夫斯基，他们在二十世纪初首次提出这様的概念。库塔-儒可夫斯基定理是考虑压力及升力的无粘性理论，不过在典型的空气动力学应用中，可以用来模拟实际的黏性流。

对于围绕机翼的流体，环量被定义为与闭合回路相切的“流体切线速度的线积分”，其速度的大小及方向会沿着路径而改变。

库塔-儒可夫斯基定理建立升力和环量的关系，类似马格努斯效应建立旋转和侧向力的关系一样。不过此处的环量不是因为机翼的旋转而产生，而是因为以下提及的机制而产生。由于机翼的存在，气流的变化可以视为平移流场及旋转流场（涡旋）的叠加。此旋转流是由翼型的外倾角、攻角及锐利的后缘角所产生，不同于外形像龙卷风的涡旋。若离机翼够远时，旋转流可以视为是由涡旋所引发的，涡旋的中心线平行二维平面。在描述机翼的库塔-儒可夫斯基定理时，一般会假设机翼是圆柱形或是其他的茹科夫斯基翼型。

## 升力公式

此定理和在二维流场中的翼型（或是翼展无穷大的圆柱）有关，可以计算单位翼展下的升力。当环量$\Gamma\,$已知，其升力$L\,$除以翼展下的单位翼展升力（或表示为$L'\,$）可以表示为以下的方程式：

$$L^\prime = -\rho_\infty V_\infty\Gamma,\,$$ 其中

$\rho_\infty\,$及$V_\infty\,$分别为流体密度及在翼型上游，远离翼型位置的流体速度。

$\Gamma\,$为以下线积分定义的环量（逆时针为正值）

$$\Gamma= \oint_{C} V \cdot d\mathbf{s}=\oint_{C} V\cos\theta\; ds\,$$

上述环量是沿着一个封闭围道$C$进行，此围道包覆着翼型或是圆柱，且沿着其正方向（逆时针）进行。其路径需在位流的范围内，不能在圆柱的边界层内。被积分式$V\cos\theta\,$是局部流体速度沿着曲线$C\,$切线方向的分量，且$ds\,$为曲线$C\,$的无穷小面积。方程式1是库塔-儒可夫斯基定理中的一个形式。

Kuethe和Schetzer用以下的话描述库塔-儒可夫斯基定理：

任意截面积的柱形物体，其单位长度的受力等于$-\rho_\infty V_\infty \Gamma$，方向和$V_\infty.$垂直。

在使用库塔-儒可夫斯基定理时，需注意环量$\Gamma$的计算。

## 环量和库塔条件

一个产生升力的翼型或者具有弯度，或者是在均匀的流体中以一定攻角$\alpha>0\,$（机翼弦线和平移方向的角度）平移。而且翼型需要有一个锐利的后缘。上述条件类似鸟的翅膀，有锐利的后缘，有弯度，在天空中有一定的攻角。

实际的流体是有黏性的，流体速度在翼型边缘为零，因此若考虑黏性流体，且以翼型形状为围道计算环量，其环量也为零。甚至由翼形上方及下方的流体会在后缘相会，而黏滞耗散会使流体不旋转。这称为真实流场的库塔条件。普朗特发现若雷诺数$Re=\frac{\rho V_{\infty}c_A}{\mu}\,$够大，攻角够小，翼型够薄，则流场可以分为靠近机翼小区域的黏滞层（称为边界层），以及其他区域的非黏性流。

库塔和儒可夫斯基发现在计算雷诺数够大，攻角够小，厚度够薄的翼型之压力和升力时，若假定已考虑库塔条件，可以假设整个流场是非黏性流。这称为位流理论，在实务上结果相当接近。在非黏性流施加库塔条件相当于计算环量。

简单来说，类似鸟翅膀的机翼自然会产生升力，在飞行中的流场满足库塔条件。若使用位流理论（在计算压力及升力时假设是非黏性流及无旋转流，计算阻力时用普朗特边界层来近似），要求飞行时间符合库塔条件，会得到一个由=库塔-儒可夫斯基定理和环量产生的升力，和实际的升力非常接近。

## 推导

以下有二种推导方式，第一个是基于物理的直觉，较启发式的推导，第二种是比较正式及技术式的推导，需要用到向量分析及复变分析的知识。

### 启发式的推导

以较启发式的说法，考虑一个薄的机翼，其翼弦为$c$，有无限长的翼展，在密度为$\rho$的空气中移动。令翼和气流有一个攻角，使翼的一侧的气流速度为$V$，另一侧的气流速度为$V + v$，因此其环流为

$$\Gamma = Vc-(V+ v)c = -v c.\,$$

机翼两侧的压力差$\Delta P$可以由伯努利定律求得

$$\frac {\rho}{2}(V)^2 + (P + \Delta P) = \frac {\rho}{2}(V + v)^2 + P,\,$$

$$\frac {\rho}{2}(V)^2 + \Delta P = \frac {\rho}{2}(V^2 + 2 V v + v^2),\,$$

$$\Delta P = \rho V v \qquad \text{(ignoring } \frac{\rho}{2}v^2),\,$$

因此单位翼展的浮力为

$$L = c \Delta P = \rho V v c =-\rho V\Gamma.\,$$

此理论的微分版本可应用在机翼中的每一个元素，也是薄翼理论（thin-airfoil theory）的基础。

### 正式的推导

库塔-儒可夫斯基定理的正式推导首先先计算任何截面积、单位长度的长条物体在流体中的受力。先令单位长度的力（以下简称为力）为$\mathbf{F}\,$，因此总受力为： : $\mathbf{F}=-\oint_C p \mathbf{n}\, ds,$ 其中C为长条物体的边缘、$p$为流体的静压、$\mathbf{n}\,$为和长条物体表面垂直的单位向量、ds是截面积边缘的弧状元素。令$\phi$为法向量和垂直的夹角，上述力的分量为： : $F_x= -\oint_C p \sin\phi\, ds \quad, \qquad F_y= \oint_C p \cos\phi\, ds.$ 以下是重要步骤：将上述的二维空间当作复数平面，每个向量可以用复数表示，第一个分量对应其实部数值，第二个分量对应其虚部数值，因此上述的力可以表示为： : $F=F_x+iF_y=-\oint_Cp(\sin\phi-i\cos\phi)\,ds .$ 下一步是取力$F$的共轭复数，再做一些处理： : $\bar{F}=-\oint_C p(\sin\phi+i\cos\phi)\,ds=-i\oint_C p(\cos\phi-i\sin\phi)\, ds=-i\oint_C p e^{-i\phi}\,ds.$ 表面元素ds和dz的变化有关： : $dz=dx+idy=ds(\cos\phi+i\sin\phi)=ds\,e^{i\phi} \qquad \Rightarrow \qquad d\bar{z}=e^{-i\phi}ds.$ 将这些代入积分中，可得： : $\bar{F}=-i\oint_C p \, d\bar{z}.$ 接下来为了将压力移出积分以外，应用伯努利定律。假设没有其他外在的力场，流体的质量密度为$\rho.$，压力$p$和速度$v=v_x+iv_y$有以下的关系： : $p=p_0-\frac{\rho |v|^2}{2}.$ 将上式代入力的积分式，可得： : $\bar{F}=-ip_0\oint_C d\bar{z} +i \frac{\rho}{2} \oint_C |v|^2\, d\bar{z} = \frac{i\rho}{2}\oint_C |v|^2\,d\bar{z}.$ 还剩下一个步骤要进行：引入$w=f(z),$，流场的复变势函数，和速度分量的关系是$w'=v_x-iv_y=\bar{v},$，其中撇号表示对复数变数z的微分。速度会相切于边缘C，因此$v=\pm |v| e^{i\phi}.$，则$v^2d\bar{z}=|v|^2dz, \,$，受力的表示式可以改写为下式： : $\bar{F}=\frac{i\rho}{2}\oint_C w'^2\,dz,$ 称为布拉乌斯-恰普雷金公式（Blasius–Chaplygin formula）。若要得到库塔-儒可夫斯基定理，需计算上述积分的值，根据复变分析可知，一个全纯函数可以用洛朗级数来表示，根据此问题的物理特性，复变势函数$w$的微分会如以下所示： : $w'(z)=a_0+\frac{a_1}{z}+\frac{a_2}{z^2}+\dots .$ 因为在无穷远处的速度为有限值，此函数没有其他高阶项。因此$a_0\,$即为此函数在无穷远处的导数：$a_0=v_{x\infty}-iv_{y\infty}\,$. 下一个任务是找出$a_1\,$的意义，根据留数定理可得 : $a_1=\frac{1}{2\pi i} \oint_C w'\, dz.$ 再计算以下的积分： : $\oint_C w'(z)\,dz =\oint_C (v_x-iv_y)(dx+idy)= \oint_C (v_x\,dx+v_y\,dy)+i\oint_C(v_x\,dy-v_y\,dx)=\oint_C \mathbf{v}\,{ds} +i\oint_C(v_x\,dy-v_y\,dx).$ 第一个积分即为环量，可以用$\Gamma.$表示，第二个积分可以用以下方式计算： : $\oint_C(v_x\,dy-v_y\,dx)=\oint_C\left(\frac{\partial \psi}{\partial y}dy+\frac{\partial\psi}{\partial x}dx\right)=\oint_C d\psi=0.$ 此处$\psi\,$为流函数，因为边界C本身即为流线，因此在上面流函数不会变化，即$d\psi=0 \,$，因此第二个积分为零，因此： :$a_1=\frac{\Gamma}{2\pi i}.$ 复变势函数取平方： : $w'^2(z)=a_0^2+\frac{a_0\Gamma}{\pi i z} +\dots.$ 将上式代入布拉乌斯-恰普雷金公式中，利用留数定理算积分： : $\bar{F}=\frac{i\rho}{2}\left[2\pi i \frac{a_0\Gamma}{\pi i}\right]=i\rho a_0 \Gamma = i\rho \Gamma(v_{x\infty}-iv_{y\infty})=\rho\Gamma v_{y\infty}+ i\rho\Gamma v_{x\infty}=F_x-iF_y.$ 因此库塔-儒可夫斯基定理为： : $F_x=\rho \Gamma v_{y\infty} \quad, \qquad F_y= -\rho \Gamma v_{x\infty}.$

## 较复杂情形下的升力

库塔-儒可夫斯基定理预测的升力是以无粘性流的势流理论为基础，但若流场是稳定且无分离的，库塔-儒可夫斯基定理的结果很接近实际的黏性流。

在推导库塔-儒可夫斯基定理时，有假设流场是无旋转流，若在物体外有自由涡流，就像许多不稳定流的情形，此流场为旋转流，在推导升力时就需要一些更复杂的理论。

- 小攻角下突然启动的流场：若是机翼突然加速，或是攻角较小的情形下突然启动的流场，在机翼后缘会连续的出现涡片泄离，此时的升力是时变不稳定的。若是小攻角下启动的流场，涡片会延著平面的路径，升力系数的曲线会随时间而变化，其形式会是Wagner函数。此时最终升力会如同库塔-儒可夫斯基定理所预测的一样，但初升力只有最终升力的一半。当机翼前进七倍翼弦的距离时，其升力才会达到最终升力的90%。
- 大攻角下突然启动的流场：若攻角够大的话，机翼后缘的涡片一开始会是螺旋形的，理论升力在一开始会是无限大。一般认为升力的曲线是随时间单调递增的，但在大攻角下，会有一段很短暂的时间会有升力下降的情形。
- 大攻角下启动，有锐利的机翼前缘：若针对一片平粄，也有锐利的前缘，涡片泄离会出现在前缘，而前缘的涡片泄离有二种不同的效果：

1.若仍接近前缘，可以提升Wagner升力曲线，可以增加升力。

2.若前缘的涡片泄离和后缘有关，引入新的后缘螺旋形涡片，延著升力增加的方向移动，则会破坏升力。

对于这种流场，涡升力线（VFL）图可以用来了解不同情形下涡流带来的效果（包括流场启动及其他的条件），也可以控制涡流以增强或降低升力。涡升力线图是一个二维的图，其中会绘出涡升力线，其对升力的贡献和其速度、环量及涡升力线和流线的余弦成正比，因此涡升力线可以看出涡流对升力的提升或破坏程度。

- Lagally定理：若在机翼外面有固定的涡源，其对升力的修正可以表示为涡源的强度，及因其他因素造成涡源处诱导速度，这称为Lagally定理。

针对二相的非黏性流，传统的库塔-儒可夫斯基定理预测阻力为零，不过若机翼外有涡源，会产生阻力，其形成原因类似升力。

## 参考资料

- Batchelor, G. K. (1967) An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press
- Clancy, L.J. (1975), Aerodynamics, Pitman Publishing Limited, London ISBN 0-273-01120-0
- A.M. Kuethe and J.D. Schetzer (1959), Foundations of Aerodynamics, John Wiley & Sons, Inc., New York ISBN 0-471-50952-3