斯坦豪斯-莫泽表示法

斯坦豪斯-莫泽表示法，又称斯坦豪斯-莫泽记号、斯坦豪斯-莫泽多边形记号、多边形记号，为利用多边形来表示大数的一种表示法。此表示法由雨果·斯坦豪斯发明，后来李奥·莫泽扩展了该表示法。

## 斯坦豪斯的多边形记号

斯坦豪斯多边形记号的定义如下：

-

<image>

= nn
-

<image>

= “n放进n个三角形中”
-

<image>

= “n放进n个正方形中”

斯坦豪斯使用这个符号定义了一些数：

-

<image>

被称为Mega数。
-

<image>

被称为Megiston数。

## 莫泽的多边形记号

莫泽多边形记号是斯坦豪斯多边形记号的扩张，这个记号不使用圆形，而使用一般的多边形。

-

<image>

、

<image>

与斯坦豪斯的记号相同。
-

<image>

= “n放进n个正方形中”（=

<image>

）
- 一般来说，“n放进m边形中”=“n放进n个m - 1边形中”

而“2放进

<image>

边形中”则被称为莫泽数。

## 中括号表示法

纽约大学的苏珊·史蒂芬教授在自己的网站中使用以下替代符号：

- “n放进p边形中”使用$n[p]\,$来表示。（请注意：在本条目中，$[n]$都是表示某个数字放进正$n$边形中，并不是第$n$级的超运算，为了避免搞混，第$n$级的超运算在本条目中是使用$n-2$个向上的箭号表示，请见高德纳箭号表示法）
- $[\ldots]$可以重复使用。例如，“‘n放进q边形中’放进p边形中”可以表示为$(n[q])[p]\,$。
- “n放进k个p边形中”表示为$n[p]_k\,$。换句话说，$n[p]_k$可以定义为$n \underbrace{ [p][p]...[p] }_k$。

多边形记号可以使用这种表示法来定义：

-

<image>

$= n[3] = n^n=n\uparrow\uparrow 2 \,$
-

<image>

$= n[4] = n[3]_n \,$
-

<image>

$=\,$

<image>

$= n[5] = n[4]_n \,$
- 一般来说，$n[m] = n[m-1]_n = n \underbrace{[m-1][m-1]...[m-1]}_n \,$。

上面所使用的↑为高德纳箭号表示法中的记号。

其他例子：

-

<image>

$= n[3]_4$

斯坦豪斯和莫泽所定义的大数可如下表示：

-

<image>

（Mega数）$= 2[5]$
-

<image>

（Megiston数）$= 10[5]$
- 莫泽数 = $2[2[5]]$

## 一些例子的计算

### 简单的例子

- 23 = 22 = 4
- 24 = 232 = 233 = 43 = 44 = 256

### Mega数

<image>

= 25

= 242

= 244

= 2564

= 2563256

2563n所代表的值如下（n从1开始）：

$$256[3]=256^{256}$$

$256[3]_2=256[3][3]= \left( 256^{256} \right) ^{256^{256}}=256^{256} \uparrow\uparrow 2=256^{256\times 256^{256}}= 256^{256^{257}} = (256 \uparrow) ^2 257$,

$$256[3]_3=256[3]_2[3]= 256[3]_2\uparrow\uparrow 2 = \left( 256^{256^{257}} \right) ^{256^{256^{257}}}=256^{ \left( 256^{257}\times 256^{256^{257}} \right) }=256^{256^{(257 + 256^{257})}} = (256 \uparrow) ^2 \left( 257 + 256^{257} \right)$$

这个数字可以“近似”如下：

$$256[3]_3= 256^{256^{257 + 256^{257}}} \risingdotseq 256^{256^{256^{257}}} = (256 \uparrow) ^3 257$$

这个近似值跟$256[3]_3$实际上差了非常多倍：

$$256^{256^{257 + 256^{257}}} = \left( 256^{256^{256^{257}}} \right) ^ {256 ^ {257}} \gg 256^{256^{256^{257}}}$$

通常人们会感觉这两个数很近，其实差很远。

类似地。

$$256[3]_4 \risingdotseq \left( 256^{256^{256^{257}}} \right) ^ {256^{256^{256^{257}}}} = 256^{ \left( 256^{256^{257}} \times 256^{256^{256^{257}}} \right) } = 256^{256^{(256^{257} + 256^{256^{257}})}} \risingdotseq 256^{256^{256^{256^{257}}}} = (256 \uparrow) ^4 257$$

$$256[3]_5 \risingdotseq 256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}} = (256 \uparrow) ^5 257$$

这种“近似”方法也可以推展到所求的Mega数：

<image>

$= 256[3]_{256} \risingdotseq (256 \uparrow) ^{256} 257$

如果再采用更简化的“近似值”，可以推得：

<image>

$\risingdotseq 256\uparrow\uparrow 257$

实际上。

<image>

$\gg (256 \uparrow) ^{256} 257 \gg 256\uparrow\uparrow 257$

如果以10为底，则可表示成：

<image>

$\approx(10\uparrow)^{255} \left( 1.99\times 10^{619} \right) \approx(10\uparrow)^{256} \left( 6.19\times 10^{2} \right) \approx(10\uparrow)^{257} \left(2.79 \right)$

因此Mega数的范围为：

$10\uparrow\uparrow 257 <$

<image>

$< 10\uparrow\uparrow 258$

### Megiston数

<image>

= 105 = 10410 = (1049)4

通过类似于Mega数近似值的近似方法，可得：

$$a[4]=a[3]_a\risingdotseq a\uparrow\uparrow (a+1)$$

$a[4]\risingdotseq a\uparrow\uparrow (a+1) \risingdotseq a\uparrow\uparrow a \quad \mathrm{ when } \ a \gg 1$ (*)

将a换成10，可得：

$$10[4]=10[3]_{10} \risingdotseq 10\uparrow\uparrow 11$$

$$10[4]_2 = 10[4][4] \risingdotseq (10\uparrow\uparrow 11)\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11)$$

下式为把开头的10换成a，11换成b，后面的$10 \uparrow\uparrow 11$换成n之后的计算（其中a↑b = ab）：

$$\begin{align} (a\uparrow\uparrow b)\uparrow\uparrow n & = (a\uparrow\uparrow b)\uparrow ((a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1)) \\ & = (a\uparrow (a\uparrow\uparrow (b-1)))\uparrow ((a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1)) \\ & = a\uparrow ((a\uparrow\uparrow (b-1)) \times (a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1)) \\ \end{align}$$

当a, b皆足够大时：

$$a\uparrow\uparrow (b-1) \ll (a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1)$$

所以

$$(a\uparrow\uparrow b)\uparrow\uparrow n \risingdotseq a\uparrow ((a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1))$$

这是一个近似值。

此时重复上面的操作，直到n = 1为止：

$$\begin{align} (a\uparrow\uparrow b)\uparrow\uparrow n &\risingdotseq \underbrace{a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a}_{n-1} \uparrow ((a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow 1) \\ &= \underbrace{a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a}_{n-1} \uparrow (a\uparrow\uparrow b) \\ &\risingdotseq a\uparrow\uparrow ((n-1) + b) \end{align}$$

因此，当$n\gg b$时

$(a\uparrow\uparrow b)\uparrow\uparrow n \risingdotseq a\uparrow\uparrow n$ (**)

这是一个近似值。

使用(**)式，可得$10[4]_2$的近似值：

$$10[4]_2 \risingdotseq 10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11)$$

以下的近似值使用(*)和(**)式：

$$10[4]_3 = 10[4]_2[4] \risingdotseq (10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11)) \uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11)) \risingdotseq 10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11))= 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 11 = (10 \uparrow\uparrow)^3 11$$

$$10[4]_4 = 10[4]_3[4] \risingdotseq 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 11= (10 \uparrow\uparrow)^4 11$$

$$10[4]_5 = 10[4]_4[4] \risingdotseq 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 11 = (10 \uparrow\uparrow)^5 11$$

因此。

$$10[4]_{10} \risingdotseq 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 11= (10 \uparrow\uparrow)^{10} 11$$

所以Megiston数大致等于：

<image>

$\risingdotseq 10\uparrow\uparrow\uparrow 11$

然而，实际上近似值远小于真正的Megiston数：

<image>

$\gg (10 \uparrow\uparrow)^{10} 11 \gg 10\uparrow\uparrow\uparrow 11$

### 莫泽数

莫泽数代表$2[$

<image>

$] = 2[2[5]]$。由于

<image>

是相当巨大的数字，

<image>

边形几乎跟圆没有差别，因此采用莫泽多边形记号是不可能画出莫泽数的。

尽管

<image>

是非常巨大的，跟

<image>

相比来说仍是微不足道的。

提姆·周在1998年证明了下式，可见莫泽数远远小于葛立恒数（因为下式中后者还比葛立恒数小很多）：

$$M < 3 \rightarrow 3 \rightarrow ((3 \rightarrow 3 \rightarrow 5)\times 2 - 1)$$

利用高德纳箭号表示法来准确表示莫泽数几乎是不可能的，但是可以用近似值来表示。莫泽数近似于$3 \uparrow \uparrow \! \cdots \! \uparrow 3$（

<image>

-2个箭号）。

## 外部链接

- Susan Stepney's Big Numbers