偶极子天线

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偶极子天线（Dipole antenna或doublet）是在无线电通信中，使用最早、结构最简单、应用最广泛的一类天线。它由一对对称放置的导体构成，导体相互靠近的两端分别与馈电线相连。用作发射天线时，电信号从天线中心馈入导体；用作接收天线时，也在天线中心从导体中获取接收信号。常见的偶极子天线由两根共轴的直导线构成，这种天线在远处产生的辐射场是轴对称的，并且在理论上能够严格求解。偶极子天线是共振天线，理论分析表明，细长偶极子天线内的电流分布具有驻波的形式，驻波的波长正好是天线产生或接收的电磁波的波长。因而制作偶极子天线时，会通过工作波长来确定天线的长度。最常见的偶极子天线是半波天线，它的总长度近似为工作波长的一半。除了直导线构成的半波天线，有时也会使用其他种类的偶极子天线，如直导线构成全波天线、短天线，以及形状更为复杂的笼形天线、蝙蝠翼天线等。历史上，海因里希·赫兹在验证电磁波存在的实验中使用的天线就是一种偶极子天线。

## 直天线的理论分析

在洛仑兹规范下，任意电流电荷体系在场点$r$产生的矢势由推迟势公式给出：

$$\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\ =\ \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'$$

其中$t_r$是推迟时刻。

### 积分方程法

对于一般的偶极子天线，天线上变化的电流会产生辐射场，辐射场也会影响天线上的电流分布。求解一般的偶极子天线产生的辐射场是一个复杂的边值问题。对于导体构成的直天线，设其内部的电场的切向分量为$E_z$。这样在天线内部，矢势的切向分量$A_z$满足方程：

$$\frac{\partial^{2}A_z}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^{2}A_z}{\partial t^2}=-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial z \partial t}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^{2}A_z}{\partial t^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial E_z}{\partial t}$$

将推迟势公式代入，即可得到天线内部的电流密度$J_z$满足的积分方程：

$$\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'}(\frac{\partial^{2}}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^{2}}{\partial t^2})( \frac{J_z (\mathbf{r}',\,t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|})\, d^3\mathbf{r}'=\frac{1}{c^2}\frac{\partial E_z}{\partial t}$$

如果使用单频交流电馈电，利用分离变量法，可以将方程转化为：

$$\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'}J_z (\mathbf{r}')(\frac{\partial^{2}}{\partial z^2}+k^{2})( \frac{\exp{(-ik|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|)}}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|})\, d^3\mathbf{r}'=\frac{ik}{c}E_z$$

该方程被称为波克灵顿（Pocklington）积分方程。它需要在适当的边界条件（如天线末端$J_z=0$）下求解。

如果天线由良导体构成，则$E_z$只在天线中心的空气隙中（$z=0$）明显地不为零，而在导体中近似为零，可以用狄拉克δ函数$U\delta (z)$代替。此时$A_z$满足一维波动方程，具有驻波形式，满足：

$$\int_{\mathbb{V}'}J_z (\mathbf{r}')( \frac{\exp{(-ik|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|)}}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|})\, d^3\mathbf{r}'=C \cos{(kz)} - i\frac{\omega \epsilon_0}{2k}U\sin{(k|z|)}$$

待定系数C由边界条件给出。此为海伦(Hallen)积分方程。利用矩量法可以求得两个方程的数值解。

### 细空心圆柱形天线

对于截面为圆形，半径远小于工作波长的细空心天线，可以近似认为其上的电流成轴对称分布，可对角度变量进行积分，方程转化为：

$$\int_{-L/2}^{L/2}I (z')( \frac{\exp{(-ik|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|)}}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|})\, d^3\mathbf{r}'=C \cos{(kz)} - i\frac{\omega \epsilon_0}{2k}U\sin{(k|z|)}$$

如果进一步假定天线的半径远小于其长度(两者之比小于1/60)，可以近似认为在积分中，只有z附近的$I (z')$才对$A_z$有贡献，$I$与$A_z$具有类似的形式。这样天线内部的电流强度也近似满足一维波动方程。电流在天线上的分布近似为驻波形式：

$$I(z,t)=I_0cos(\frac{2\pi}{\lambda}(L/2-|z|))\cos(\omega t)$$

其中$L$是天线全长，$\omega$是交流电的频率。这种情形下，天线在场点$r$处产生的矢势为：

$$\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\ =\ \frac{\mu_0 I_0 \mathbf{\hat z}}{4\pi}\int_{-L/2}^{L/2} \frac{\cos(k(L/2-|z|'))\cos(\omega t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, dz'$$

如果场点离天线的距离足够远，以至于下列三个条件同时满足时，场点处于辐射区：

$$r>>L$$

$$r>>\lambda$$

$$r>>L^2/\lambda$$

此时推迟势公式可近似为：

$$\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\ =\ \frac{\mu_0 I_0 \mathbf{\hat z}}{4\pi r}\int_{-L/2}^{L/2} \cos(k(L/2-|z|'))\cos(\omega t-kr+kz'\cos{\theta})dz'= \frac{\mu_0 I_0 \cos(\omega t-kr) \mathbf{\hat z}}{2\pi k r}(\frac{\cos{(kL/2 \cos{\theta})-\cos{(kL/2)}}}{\sin^{2}{\theta}})$$

略去不属于辐射场的高阶项，场点的磁感应强度$\mathbf{B}$满足：

$$\mathbf{B}=\mathbf{\nabla} \times \mathbf{A} \approx \frac{\mu_0 I_0 \sin{(\omega t-kr)} \mathbf{\hat \phi}}{2\pi r}(\frac{\cos{(kL/2 \cos{\theta})-cos{(kL/2)}}}{\sin{\theta}})$$

辐射功率的角分布为：

$$\frac {d P}{d \Omega} =\frac{\mu_0 c I_0^2}{8 \pi^2}(\frac{\cos{(kL/2 \cos{\theta})-cos{(kL/2)}}}{\sin{\theta}})^2$$

对上式积分，利用三角积分函数，可以给出辐射总功率以及辐射阻抗的表达式:

$$P = \frac{\mu_0 c I_0^2}{2 \pi \sin^2(kL/2)} <pre> \{\gamma + \ln(kL) - \operatorname{Ci}(kL) + \tfrac{1}{2}\sin(kL) \operatorname{Si}(2kL)- 2\operatorname{Si}(kL) + \tfrac{1}{2}\cos(kL)[ \gamma + \ln(kL/2) + \operatorname{Ci}(2kL) - 2\operatorname{Ci}(kL)]\} =R_\mathrm{dipole} I_0^2$$

若天线的半径与长度之比$a/L$并不小，使用“电流驻波分布”的近似并不准确：有限的$a/L$会为这一定律引入$(\ln{a/L})^{-1}$量级的相对修正。

### 短天线

长度远小于工作波长的天线为短天线。