算法分析

在计算机科学中，算法分析（Analysis of algorithm）是分析执行一个给定算法需要消耗的计算资源数量（例如计算时间，存储器使用等）的过程。算法的效率或复杂度在理论上表示为一个函数。其定义域是输入数据的长度（通常考虑任意大的输入，没有上界），值域通常是执行步骤数量（时间复杂度）或者存储器位置数量（空间复杂度）。算法分析是计算复杂度理论的重要组成部分。

理论分析常常利用渐近分析估计一个算法的复杂度，并使用大O符号、大Ω符号和大Θ符号作为标记。举例，二分查找所需的执行步骤数量与查找列表的长度之对数成正比，记为 $O(\log n)$，简称为“对数时间”。通常使用渐近分析的原因是，同一算法的不同具体实现的效率可能有差别。但是，对于任何给定的算法，所有符合其设计者意图的实现，它们之间的性能差异应当仅仅是一个系数。

精确分析算法的效率有时也是可行的，但这样的分析通常需要一些与具体实现相关的假设，称为计算模型。计算模型可以用抽象机器来定义，比如图灵机。或者可以假设某些基本操作在单位时间内可完成。

假设二分查找的目标列表总共有 n 个元素。如果我们假设单次查找可以在一个时间单位内完成，那么至多只需要 $\log n + 1$ 单位的时间就可以得到结果。这样的分析在有些场合非常重要。

算法分析在实际工作中是非常重要的，因为使用低效率的算法会显著降低系统性能。在对运行时间要求极高的场合，耗时太长的算法得到的结果可能是过期或者无用的。低效率算法也会大量消耗计算资源。

## 时间资源消耗

时间复杂度分析和如何定义“一步操作”有紧密联系。作为算法分析成立的一项基本要求，单步操作必须能够在确定的常量时间内完成。

实际情况很复杂。举例，有些分析方法假定两个数相加是单个步骤，但这假定可能不成立。若被分析的算法可以接受任意大的数，则无法保证相加操作能够在确定的时间内完成。

通常有两种定义消耗的方法：

- 单一消耗：每一步操作的消耗定义为一个常量，与参与运算的数据的大小无关。
- 对数消耗：每一步操作的消耗，均与参与运算的数据的长度（位数）成正比。

后者更难以应用，所以只在必要时使用。一个例子是对接受任意精度数据的算法（比如密码学中用到的一些算法）的分析。

人们常常忽略一点：算法的效率的理论界限，通常建立在比实际情况更加严格的假定之上。因此在实际中，算法效率是有可能突破理论的界限的。

### 经验分析的缺陷

算法是平台无关的，也即一个算法可以在任意计算机、任意操作系统上、用任意编程语言实现。因此，算法性能的相对好坏，不能仅仅通过基于运行记录的经验来判断。

举例：一个程序在大小为 n 的有序数组中搜索元素。假设该程序在一台先进的电脑 A 上用线性搜索实现，在一台老旧的电脑 B 上用二分搜索实现。性能测试的结果可能会如下：

数组长度 n｜计算机 A 的运行时间（以纳秒计）｜计算机 B 的运行时间（以纳秒计）

15｜7｜100,000

65｜32｜150,000

250｜125｜200,000

1,000｜500｜250,000

通过这些数据，很容易得出结论说计算机 A 运行的算法比计算机 B 的算法要高效得多。但假如输入的数组长度显著增加的话，很容易发现这个结论的错误。

以下是另一组数据：

数组长度 n｜计算机 A 的运行时间（以纳秒计）｜计算机 B 的运行时间（以纳秒计）

15｜7｜100,000

65｜32｜150,000

250｜125｜200,000

1,000｜500｜250,000

...｜...｜...

1,000,000｜500,000｜500,000

4,000,000｜2,000,000｜550,000

16,000,000｜8,000,000｜600,000

...｜...｜...

63,072 × 1012｜31,536 × 1012纳秒，约等于 1 年｜1,375,000 纳秒，或 1.375 毫秒

计算机 A 运行的线性搜索算法具有线性时间。它的运行时间直接与输入规模成正比。输入大小若加倍，运行时间同样加倍。而计算机 B 运行的二分搜索算法具有对数时间。输入大小若加倍，运行时间仅仅增加一个常量，在此例中是 25,000 纳秒。即使计算机 A 明显性能更强，在输入不断增加的情况下，计算机 B 的运行时间终究也会比计算机 A 更短，因为它运行的算法的增长率小得多。

### 增长的阶

非正式地，如果一个关于 $n$ 的函数 $f(n)$，乘以一个系数以后，能够为某个算法在输入数据大小 $n$ 足够大的情况下的运行时间提供一个上界，那么称此算法按该函数的阶增长。一个等价的描述是，当输入大小 $n$ 大于某个 $n_0$ 时，存在某个常数 $c$，使得算法的运行时间总小于 $c\times f(n)$。常用大O符号对此进行描述。比如，插入排序的运行时间随数据大小二次增长，那么插入排序具有 $O(n^2)$ 的时间复杂度。大O符号通常用于表示某个算法在最差情况下的运行时间，但也可以用来表述平均情况的运行时间。比如，快速排序的最坏运行时间是 $O(n^2)$，但是平均运行时间则是 $O(n \log n)$。

$\log$

$\lg$

$\log_2$

### 运行时间复杂度的分析

分析一个算法的最坏运行时间复杂度时，人们常常作出一些简化问题的假设，并分析该算法的结构。以下是一个例子：

```
1    从输入值中获取一个正数
2    '''if''' n > 10
3        '''print''' "耗时可能较长，请稍候……"
4    '''for''' i = 1 '''to''' n
5        '''for''' j = 1 '''to''' i
6            '''print''' i * j
7    '''print''' "完成！"
```

一台给定的电脑执行每一条指令的时间是确定的，并可以用 DTIME 描述。

假设第 1 步操作需时 T1，第 2 步操作需时 T2，如此类推。

步骤 1、2、7 只会运行一次。应当假设在最坏情况下，步骤 3 也会运行。步骤 1 至 3 和步骤 7 的总运行时间是：

$$T_1 + T_2 + T_3 + T_7$$

步骤 4、5、6 中的循环更为复杂。步骤 4 中的最外层循环会执行 (n + 1) 次（需要一次执行来结束 for 循环，因此是 (n + 1) 次而非 n 次），因此会消耗 T4 × (n + 1) 单位时间。内层循环则由 i 的值控制，它会从 1 迭代到 n。

第一次执行外层循环时，j 从 1 迭代到 1，因此内层循环也执行一次，总共耗时 T6 时间。以及内层循环的判断语句消耗 3T5 时间。

所以，内层循环的总共耗时可以用一个等差级数表示：

$$T_6 + 2T_6 + 3T_6 + \cdots + (n-1) T_6 + n T_6$$

上式可被因式分解

$1 + 2 + 3 + \cdots + (n-1) + n = \frac{n(n+1)}{2}$

为：

$$T_6 \left[ 1 + 2 + 3 + \cdots + (n-1) + n \right] = T_6 \left[ \frac{1}{2} (n^2 + n) \right]$$

类似地，可以分析内层循环的判断语句：

$$2T_5 + 3T_5 + 4T_5 + \cdots + (n-1) T_5 + n T_5 + (n + 1) T_5$$

$$= T_5 + 2T_5 + 3T_5 + 4T_5 + \cdots + (n-1)T_5 + nT_5 + (n+1)T_5 - T_5$$

上式可被分解为：

$$T_5 \left[ 1+2+3+\cdots + (n-1) + n + (n + 1) \right] - T_5$$

$$= \left[ \frac{1}{2} (n^2 + n) \right] T_5 + (n + 1)T_5 - T_5$$

$$= T_5 \left[ \frac{1}{2} (n^2 + n) \right] + n T_5$$

$$= \left[ \frac{1}{2} (n^2 + 3n) \right] T_5$$

因此该算法的总运行时间为：

$$f(n) = T_1 + T_2 + T_3 + T_7 + (n + 1)T_4 + \left[ \frac{1}{2} (n^2 + n) \right] T_6 + \left[ \frac{1}{2} (n^2+3n) \right] T_5$$

改写一下：

$$f(n) = \left[ \frac{1}{2} (n^2 + n) \right] T_6 + \left[ \frac{1}{2} (n^2 + 3n) \right] T_5 + (n + 1)T_4 + T_1 + T_2 + T_3 + T_7$$

通常情况下，一个函数的最高次项对它的增长率起到主导作用。在此例里，n² 是最高次项，所以有结论 $f(n) = O(n^2)$。

严格证明如下：证明 $\left[ \frac{1}{2} (n^2 + n) \right] T_6 + \left[ \frac{1}{2} (n^2 + 3n) \right] T_5 + (n + 1)T_4 + T_1 + T_2 + T_3 + T_7 \le cn^2,\ n \ge n_0$

$$\left[ \frac{1}{2} (n^2 + n) \right] T_6 + \left[ \frac{1}{2} (n^2 + 3n) \right] T_5 + (n + 1)T_4 + T_1 + T_2 + T_3 + T_7$$

$$\le ( n^2 + n )T_6 + ( n^2 + 3n )T_5 + (n + 1)T_4 + T_1 + T_2 + T_3 + T_7 \ (n \geq 0)$$

令 k 为一个常数，其大于从 T1 到 T7 所有的数。

$$T_6( n^2 + n ) + T_5( n^2 + 3n ) + (n + 1)T_4 + T_1 + T_2 + T_3 + T_7 \le k( n^2 + n ) + k( n^2 + 3n ) + kn + 5k$$

$$= 2kn^2 + 5kn + 5k \le 2kn^2 + 5kn^2 + 5kn^2 \, (n \geq 1) = 12kn^2$$

因此有

$\left[ \frac{1}{2} (n^2 + n) \right] T_6 + \left[ \frac{1}{2} (n^2 + 3n) \right] T_5 + (n + 1)T_4 + T_1 + T_2 + T_3 + T_7 \le cn^2, n \ge n_0$，其中 $c = 12k, n_0 = 1$

还可以假定所有步骤全部消耗相同的时间，它的值比 T1 到 T7 中任意一个都大。这样的话，这个算法的运行时间就可以这样来分析：

$$4+\sum_{i=1}^n i\leq 4+\sum_{i=1}^n n=4+n^2\leq5n^2 \, (n \geq 1) =O(n^2).$$

## 其他运算资源的增长率分析

运用与分析时间相同的方法可以分析其他运算资源的消耗情况，比如存储器空间的消耗。例如，考虑以下一段管理一个文件的内存使用的伪代码：

```
'''while''' (''文件打开'')
    '''令''' n = ''文件大小''
    '''for''' ''n 每增长 100kb''
        ''为该文件分配多一倍的内存空间''
```

在这个例子里，当文件大小 n 增长的时候，内存消耗会以指数增长，或 $O(2^n)$。这个速度非常快，很容易使得资源消耗失去控制。