双摆

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双摆是将一根单摆连接在另一个单摆的尾部所构成的系统。双摆同时拥有着简单的构造和复杂的行为。高能量双摆的摆动轨迹表现出对于初始状态的极端敏感。两个初始状态差异极小的双摆在一段时间的运行后表现非常不同，是一种具有混沌性质的简单动力系统。

## 分析以及诠释

可以考虑许多不同种类的双摆：二个摆的长度及重量可能相同，也可能不同。二个摆可能都是单摆，也有可能是复摆（compound pendulum），其运动可能限制在二维空间，也可以在三维空间内进行。在以下的分析中，二个摆的摆长l及质量都相同m，运动限制在二维空间内。

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复摆的质量假设是延著其长度均匀分布，则其复摆的质心是在中点，复摆的臂对中点的转动惯量为I = 1ml2。

比较方便定义系统位形空间的方式是用复摆臂和垂直线之间的夹角为广义座标。角度名称为θ1及θ2。二杆质心的位置可以用二个座标表示。若笛卡尔坐标系的原点是在第一个摆（最上方摆）的固定点，则其第一个摆的质心在：

$$\begin{align} x_1 &= \frac{l}{2} \sin \theta_1 \\ y_1 &= -\frac{l}{2} \cos \theta_1 \end{align}$$

第二个摆的质心在：

$$\begin{align} x_2 &= l \left ( \sin \theta_1 + \tfrac{1}{2} \sin \theta_2 \right ) \\ y_2 &= -l \left ( \cos \theta_1 + \tfrac{1}{2} \cos \theta_2 \right ) \end{align}$$

上述资讯已经可以建立拉格朗日量（Lagrangian）。

### 拉格朗日力学

双摆系统的拉格朗日量为

$$\begin{align}L & = \text{kinetic energy} - \text{potential energy} \\ <pre> & = \tfrac{1}{2} m \left ( v_1^2 + v_2^2 \right ) + \tfrac{1}{2} I \left ( {\dot \theta_1}^2 + {\dot \theta_2}^2 \right ) - m g \left ( y_1 + y_2 \right ) \\ & = \tfrac{1}{2} m \left ( {\dot x_1}^2 + {\dot y_1}^2 + {\dot x_2}^2 + {\dot y_2}^2 \right ) + \tfrac{1}{2} I \left ( {\dot \theta_1}^2 + {\dot \theta_2}^2 \right ) - m g \left ( y_1 + y_2 \right ) \end{align} </pre>$$

第一项是质心的平移动能，第二项是摆延著质心旋转的转动动能，最后一项是双摆在均匀重心场下的势能。其点标示表示变数的时间导数。

将以上的座标代入，重组后可得

$$L = \tfrac{1}{6} m l^2 \left ( {\dot \theta_2}^2 + 4 {\dot \theta_1}^2 + 3 {\dot \theta_1} {\dot \theta_2} \cos (\theta_1-\theta_2) \right ) + \tfrac{1}{2} m g l \left ( 3 \cos \theta_1 + \cos \theta_2 \right ).$$

这里只有一个守恒量（能量），没有守恒的动量，二个广义的动量可以表示为

$$\begin{align} p_{\theta_1} &= \frac{\partial L}{\partial {\dot \theta_1}} = \tfrac{1}{6} m l^2 \left ( 8 {\dot \theta_1} + 3 {\dot \theta_2} \cos (\theta_1-\theta_2) \right ) \\ p_{\theta_2} &= \frac{\partial L}{\partial {\dot \theta_2}} = \tfrac{1}{6} m l^2 \left ( 2 {\dot \theta_2} + 3 {\dot \theta_1} \cos (\theta_1-\theta_2) \right ). \end{align}$$

上式可以求得

$$\begin{align} {\dot \theta_1} &= \frac{6}{ml^2} \frac{ 2 p_{\theta_1} - 3 \cos(\theta_1-\theta_2) p_{\theta_2}}{16 - 9 \cos^2(\theta_1-\theta_2)} \\ {\dot \theta_2} &= \frac{6}{ml^2} \frac{ 8 p_{\theta_2} - 3 \cos(\theta_1-\theta_2) p_{\theta_1}}{16 - 9 \cos^2(\theta_1-\theta_2)}. \end{align}$$

运动方程式为

$$\begin{align} {\dot p_{\theta_1}} &= \frac{\partial L}{\partial \theta_1} = -\tfrac{1}{2} m l^2 \left ( {\dot \theta_1} {\dot \theta_2} \sin (\theta_1-\theta_2) + 3 \frac{g}{l} \sin \theta_1 \right ) \\ {\dot p_{\theta_2}} &= \frac{\partial L}{\partial \theta_2} = -\tfrac{1}{2} m l^2 \left ( -{\dot \theta_1} {\dot \theta_2} \sin (\theta_1-\theta_2) + \frac{g}{l} \sin \theta_2 \right ). \end{align}$$

最后四个方程是有系统目前状态时，系统随时间演进的显式方程。不太可能再进一步求得方程的积分解析解，得到θ1和θ2时间显函数的解。不过利用龙格－库塔法或其他数值方式，可以进行数值积分来求解。

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## 混沌运动

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双摆的运动是混沌运动，且对初始条件非常敏感。右图是双摆在不同初始条件下，是否会翻倒（成为倒摆）的图。其θ1初始值的范围是在x方向的−3到3，而θ2初始值的范围是在y方向的−3到3。点的颜色说明摆在以下时间内会翻倒：

- 10l（绿色）
- 100l（红色）
- 1000l（紫色）
- 10000l（蓝色）

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若在10000l时间后，仍然不会翻倒，其颜色为白色。

中心白色区域的边界可以依能量守恒推得，为以下的曲线：

$$3 \cos \theta_1 + \cos \theta_2 = 2.$$

因此若

$$3 \cos \theta_1 + \cos \theta_2 > 2,$$

以能量的关系，双摆不可能翻倒。在此区域外，以能量来说，双摆有可能翻倒，但是否会翻倒本身是很复杂的问题。若双摆的末端是点质量，不是质量均匀分布的杆子，情形类似。

双摆没有自然共振频率，因此可用在大楼调谐质量阻尼器中，大楼本身是主要的倒摆，而上面又有一个质量，形成倒双摆。

## 参考资料

- Eric W. Weisstein, Double pendulum (2005), ScienceWorld (contains details of the complicated equations involved) and " Double Pendulum " by Rob Morris, Wolfram Demonstrations Project, 2007 (animations of those equations).
- Peter Lynch, Double Pendulum, (2001). (Java applet simulation.)
- Northwestern University, Double Pendulum , (Java applet simulation.)
- Theoretical High-Energy Astrophysics Group at UBC, Double pendulum, (2005).

## 外部链接

- 麻省理工学院TSG小组进行的双摆行为演示（实物）
- Youtube上的双摆轨迹演示（电脑模拟）