非线性系统

在物理科学中，如果描述某个系统的方程其输入（自变数）与输出（应变数）不成正比，则称为非线性系统。由于自然界中大部分的系统本质上都是非线性的，因此许多工程师、物理学家、数学家和其他科学家对于非线性问题的研究都极感兴趣。非线性系统和线性系统最大的差别在于，非线性系统可能会导致混沌、不可预测，或是不直观的结果。

一般来说，非线性系统的行为可以用一组非线性联立方程来描述。非线性方程里含有由未知数构成的非线性函数；换句话说，一个非线性方程并不能写成其未知数的线性组合。非线性微分方程，则是指方程里含有未知函数及其导函数的乘幂不等于一的项。在判定一个方程是线性或非线性时，只需考虑未知数（或未知函数）的部分，不需要检查方程中是否有已知的非线性项。例如在微分方程中，若所有的未知函数、未知导函数皆为一次，即使出现由某个已知变数所构成的非线性函数，仍称它是线性微分方程。

由于非线性方程非常难解，因此常常需要以线性方程来近似一个非线性系统（线性近似）。这种近似对某范围内的输入值（自变数）是很准确的，但线性近似之后反而会无法解释许多有趣的现象，例如孤波、混沌和奇点。这些奇特的现象，也常常让非线性系统的行为看起来违反直觉、不可预测，或甚至混沌。虽然“混沌的行为”和“随机的行为”感觉很相似，但两者绝对不能混为一谈；也就是说，一个混沌系统的行为绝对不是随机的。

举例来说，许多天气系统就是混沌的，微小的扰动即可导致整个系统产生各种不同的复杂结果。就目前的科技而言，这种天气的非线性特性即成了长期天气预报的绊脚石。

某些书的作者以非线性科学来代指非线性系统的研究，但也有人不以为然：

“在科学领域里使用‘非线性科学’这个词，就如同把动物学里大部分的研究对象称作‘非大象动物’一样可笑。”

## 定义

在数学上，一个线性函数（映射）$f(x)$ 拥有以下两个性质：

- 叠加性：$\textstyle f(x + y)\ = f(x)\ + f(y)$。
- 齐次：$\textstyle f(\alpha x)\ = \alpha f(x)$。

在 α 是有理数的情况下，一个可叠加函数必定是齐次函数（在讨论线性与否时，齐次函数专指一次齐次函数）；若 $f(x)$ 是连续函数，则只要 α 是任意实数，就可以从叠加性推出齐次。然而在推广至任意复数 α 时，叠加性便再也无法导出齐次了。也就是说，在复数的世界里存在一种反线性映射，它满足叠加性，但却非齐次。叠加性和齐次这两个条件常会被合并在一起，称之为叠加原理：

$f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \,$。

对于一个表示为

$$f(x) = C\,$$

方程，如果 $f(x)$ 是一个线性映射，则称为线性方程，反之则称为非线性方程。另外，如果 $C = 0$，则称此方程齐次（齐次在函数和方程上的定义不同，齐次方程指方程内没有和 x 无关的项 C，即任何项皆和 x 有关）。

这里 $f(x) = C$ 的定义是很一般性的，$x$ 可为任何数字、向量、函数等，而 $f(x)$ 可以指任意映射，例如有条件限制（给定初始值或边界值）的微分或积分运算。如果 $f(x)$ 内含有对 $x$ 的微分运算，此方程即是一个微分方程。

## 非线性代数方程

代数方程又称为多项式方程。令某多项式等于零可得一个多项式方程，例如：

$x^2 + x - 1 = 0\,$。

利用勘根法可以找出某个代数方程的解；但若是代数方程组则较为复杂，有时候甚至很难确定一个代数方程组是否具有复数解（见希尔伯特零点定理）。即使如此，对于一些具有有限个复数解的多项式方程组而言，我们已经找到解的方法，并且也已充分了解这种系统的行为。代数方程组的研究是代数几何里重要的一环，而代数几何正是现代数学里的其中一个分枝。

## 非线性递回关系

若将一个序列前项和后项之间的关系定义成某个非线性映射，则称为非线性递回关系，例如单峰映射和。由非线性递回关系构成的非线性离散模型，在实际应用中包括 NARMAX（Nonlinear AutoRegressive Moving Average with eXogenous inputs，外部输入非线性自回归移动平均）模型、非线性系统辨识和分析程序等。这些方法可以用来分析时域、频域和时空域（spatio-temporal domains）里复杂的非线性行为。

## 非线性微分方程

若描述一个系统的微分方程是非线性的，则称此系统为非线性系统。含有非线性微分方程的问题，系统彼此间的表现差异极大，而每个问题的解法或是分析方法也都不一样。非线性微分方程的例子如流体力学的纳维-斯托克斯方程，以及生物学的洛特卡－沃尔泰拉方程。

解非线性问题最大的难处在于找出未知的解：一般来说，我们无法用已知的解来拼凑出其他满足微分方程的未知解；而在线性的系统里，却可以利用一组线性独立的解，透过叠加原理组合出此系统的通解。例如满足狄利克雷边界条件的一维热传导问题，其解（时间的函数）可以写成许多不同频率之正弦函数的线性组合，而这也让它的解很弹性、具有很大的变化空间。通常我们可以找到非线性微分方程的特解，但由于此时叠加原理并不适用，故无法利用这些特解来建构出其他新的解。

### 常微分方程

一阶常微分方程常常可以利用分离变数法来解，特别是自守方程

$\frac{d u}{d x} = f(u)\,$。

例如

$$\frac{d u}{d x} = -u^2\,$$

这个方程式的通解为 $u=\frac{1}{x+C}$，特解为 u = 0（即通解在 C 趋近于无限大时的极限）。此方程是非线性的，因为它可以被改写为

$\frac{du}{d x} + u^2=0\,$。

而等号左边并不是 u 的线性映射。若把此式的 u2 换成 u，则会变成线性方程（指数衰减）。

二阶和高阶非线性常微分方程组的解几乎无法表示成解析解，反而较常表为隐函数或非初等函数积分的形式。

分析常微分方程常用的方法包括：

- 检查是否有任何守恒量（特别是在处理哈密顿系统的时候）。
- 检查有没有类似守恒量的耗散量（见李亚普诺夫函数）。
- 利用泰勒展开式作线性近似。
- 利用变数变换法，改写成较易分析的方程。
- 分岔理论。
- 微扰法（也可应用在代数方程上）。

### 偏微分方程

研究非线性偏微分方程最常见也最基础的方法就是变数变换，变换以后的方程会较简单，甚至有可能会变成线性方程。有时候，变数变换后的方程可能会变成一个或两个以上的常微分方程（如同用分离变数法解偏微分方程），不管这些常微分方程可不可解，都能帮助我们了解这个系统的行为。

另一个流体力学和热力学里常用的方法（但数学性较低），是利用尺度分析来简化一个较一般性的方程，使它仅适用在某个特定的边界条件上。例如，在描述一个圆管内一维层流的暂态时，我们可以把非线性的纳维-斯托克斯方程简化成一个线性偏微分方程；这时候尺度分析提供了两个特定的边界条件：一维和层流。

其他分析非线性偏微分方程的方法还有特征线法，以及上述分析常微分方程时常用的方法。

### 单摆

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非线性问题的一个典型的例子，就是重力作用之下单摆的运动。单摆的运动可由以下的方程来描述（用拉格朗日力学可以证明）：

$\frac{d^2 \theta}{d t^2} + \sin(\theta) = 0\,$。

这是一个非线性且无因次的方程，$\theta$ 是单摆和它静止位置所夹的角度，如动画所示。此方程的一个解法是将 $\frac{d\theta}{dt}$ 视为积分因子，积分以后得

$\int{\frac{d \theta}{\sqrt{C_0 + 2 \cos(\theta)}}} = t + C_1\,$。

上述的解是隐解的形式，同时也包含了椭圆积分。这个解通常没有什么用，因为非初等函数积分（即使 $C_0 = 0$ 仍然是非初等函数）把解的各种特性隐藏了起来，使我们不易看出单摆系统的行为。

另一个解法是把这个非线性方程作线性近似：利用泰勒展开式将非线性的 sine 函数线性化，并在某些特定的点附近讨论解的情形。例如，若在 $\theta = 0$ 的点附近作线性近似（又称小角度近似），$\theta \approx 0$ 时，$\sin(\theta) \approx \theta$，故原方程可以改写为

$\frac{d^2 \theta}{d t^2} + \theta = 0\,$。

近似后的方程变成了简谐振荡，因此当单摆运动到底部附近时，可以对应到一个简谐振子。而若在 $\theta = \pi$（即当单摆运动到圆弧的最高点时）附近作线性近似，$\sin(\theta) = \sin(\pi - \theta) \approx \pi - \theta$，故原方程可以改写为

$\frac{d^2 \theta}{d t^2} + \pi - \theta = 0\,$。

这个方程的解含有双曲正弦函数，因此和小角度近似不同，这个近似是不稳定的，也就是说 $|\theta|$ 会无限制地增加（但此近似方程的解也可能是有界的）。当我们把解对应回单摆系统后，就可以了解为什么单摆在圆弧的最高点时不能达到稳定平衡，也就是说，单摆在最高点时是不稳定的状态。

另一个有趣的线性近似是在 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 附近，此时 $\sin(\theta) \approx 1$，故原方程可以改写为

$\frac{d^2 \theta}{d t^2} + 1 = 0\,$。

这个近似后的方程可以对应到自由落体。

若把以上线性近似的结果合在一起看，就能大致了解单摆的运动情形。利用其他解非线性微分方程的方法，可以进一步帮助我们找到更精确的相图，或是估算单摆的周期。

## 非线性表现（列举）

- 古典混沌（和量子混沌相对）—— 指系统里无法预测的行为。
- 多稳态 —— 指系统在两个或多个互斥的状态之间切换。
- 非周期振荡 —— 指一个函数在任何周期上都不会固定重复其函数值（也称作混沌振荡）。
- —— 指系统内的某振荡因系统的自回馈或受其他系统影响而停止的现象。
- 孤波 —— 指行进中能自我增强而不消散的孤立波。

## 非线性方程（列举）

- 代数黎卡提方程
- 最佳策略的贝尔曼方程
- 波兹曼方程
- 广义相对论
- 金兹堡－朗道方程
- 流体力学的纳维－斯托克斯方程
- KdV 方程
- 非线性光学
- 未饱和层水流的
- Sine-Gordon 方程
- 朗道-利夫希兹-吉尔伯特方程
- 范德波尔方程

## 分析非线性系统

- interalg —— OpenOpt 和 FuncDesigner 架构下的求解器，可用来检查一个非线性代数方程系统是否有任何解，或甚至找出其所有解。
- 非线性模型及其模拟展示（连结至蒙纳许大学的虚拟实验室）
- FyDiK —— 可模拟非线性动态系统的软件。

## 外部链接

- 命令与控制研究计划（Command and Control Research Program, CCRP）
- 新英格兰复杂系统研究所 —— 复杂系统的概念（Concepts: Linear and Nonlinear）
- 麻省理工开放式课程 —— 非线性动力学一：混沌（Nonlinear Dynamics I: Chaos）
- 非线性模型 —— 物理系统的非线性模型数据库（MATLAB）
- 洛斯阿拉莫斯国家实验室的 非线性研究中心（The Center for Nonlinear Studies）