二面体

在几何学中，二面体是指由2个面组成的多面体，但由于三维空间中的多面体至少要具有4个面，因此少于四个面的多面体只能是退化的，换句话说，小于4个面的多面体无法具有非零的体积。二面体中最常见的就是多边形二面体，即由两个全等的平面图型封闭出的零体积空间所形成的退化多面体。最简单的二面体是一种球面镶嵌：一角形二面体，它的对偶是一面形。另外二面体也可以以环形多面体或正则地区图的形式存在。

二面体中不存在任何柱体，因为如果柱体要仅有两个面，代表其不存在侧面，而这样的立体就不是柱体了。

## 常见的二面体

### 平面图形

任何平面图形都可以视为一个二面体，并且属于二面体群。

若将一封闭的平面图形放置于三维空间也可以视为一个二面体，如多边形二面体。他们皆属于二面体群，是透镜空间的基本域。

### 球面镶嵌

二面体可以以球面镶嵌的方式存在，最简单的例子是二面形。

名称｜二面形｜一角形二面体｜多边形二面体

图像｜

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施莱夫利符号｜{2,2}｜{1,2}h{2,2}｜{n,2}

考克斯特记号｜node_1｜node_h｜node_1

#### 二面形

一个二面形，是一种由二个镶嵌在球体上的球弓形组成的多面形，施莱夫利符号中利用{2,2}来表示，该符号表达了二面形的结构——每个顶点都是2个二角形的公共顶点。

#### 一角形二面体

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一角形二面体，又称为双一角形（dimonogon）是一种退化的多边形二面体，由2个一角形组成，这个几何结构只有1个顶点，该顶点为2个一角形的公共顶点，在施莱夫利符号中用{1,2}表示，其具有2个面、1条边和1个顶点，对偶多面体是一个一面体：一面形。

在球面几何学中，一角形二面体是一个球面上的一个圆上任一顶点。这形成了一个二面体，施莱夫利符号中利用{1,2}来表示，与的两个半球形一角形面，共用一个360°的边和一个顶点。它的对偶是一面形，施莱夫利符号中利用{2,1}来表示，具有一个二角形面（一个完整的360°弓形），一个180°的边缘，和两个顶点，因此属于一面体。

一角形二面体可以截角为三面形。

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作为正则地区图的一角形二面体。两个面分别以蓝色和黄色表示｜

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截角的一角形二面体，红色为截角的截面，所形成的立体为三面形

### 一角锥

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一角锥是指底面为一角形的锥体，由于其底面为一角形，因此在欧几里得空间中，其已经退化无法拥有体积。在球面几何学中，其可以作为球面镶嵌，此时的一角锥由1个球面一角形和1个球面三角形构成。这种一角锥共有2个面、2条边和2个顶点。一角锥的对偶多面体同样是一角锥，因此是一种自身对偶的多面体。

### 双一角锥

双一角锥是以一角形为底的双锥体，为一角柱的对偶多面体。由于其以一角形为底，因此在欧几里得空间中，其已经退化无法拥有体积。在球面几何学中，其可以作为球面镶嵌，这种双一角锥由2个面、3条边和3个顶点组成，其两个面都是三角形，但拓扑结构与三角形二面体不同，其中的两个顶点为对跖点，剩下的一个顶点位于赤道面上连结与对跖点相连的两条边。双一角锥的对偶多面体为一角柱。

### 环形多面体

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部分的环形多面体也是二面体，例如{4,4}1,1是一种环形二面体，为环面上的两个四边形面共用2个顶点和4条边；以及{3,6}1,0也是一种环面二面体，为环面上两个三角形共用一个顶点和三条边。

### 正则地区图

部分的正则地区图由两个面组成，可以视为二面体的一种，例如亏格为2的二面正则地区图有S2:{8,4}、S2:{6,6}和S2:{5,10}。其中S2:{8,4}为由两个八边形面共用4个顶点和8条边，并且八边形在顶点周围自我重复相邻两次，也就是顶点周围围绕着4个八边形，且对应的皮特里多边形为八边形，因此其在施莱夫利符号中可以用{8,4}8来表示；S2:{6,6}为由两个六边形共用两个顶点和6条边，并且六边形在顶点周围自我重复相邻三次，也就是其顶点周围围绕着六个六边形，且对应的皮特里多边形为二角形，因此在施莱夫利符号中可以用{6,6}2来表示；S2:{5,10}为由两个五边形共用一个顶点和5条边，并且五边形在顶点周围自我重复相邻五次，也就是其顶点周围围绕着10个五边形，且对应的皮特里多边形为二角形，因此在施莱夫利符号中可以用{5,10}2来表示。

亏格｜名称｜施莱夫利符号｜顶点｜边｜面｜组成面｜顶点图｜皮特里多边形｜对偶

2｜S2:{8,4}｜{8,4}8｜4｜8｜2｜八边形｜四边形（4个八边形的公共顶点）｜八边形｜S2:{4,8}（4个面）

S2:{6,6}｜{6,6}2｜2｜6｜2｜六边形｜六边形（6个六边形的公共顶点）｜二角形｜自身对偶

S2:{5,10}｜{5,10}2｜1｜5｜2｜五边形｜十边形（10个五边形的公共顶点）｜二角形｜S2:{10,5}（1个面）

3｜S3:{12,4}｜{12,4}6｜6｜12｜2｜十二边形｜四边形（4个十二边形的公共顶点）｜六边形｜S3:{4,12}（6个面）

S3:{8,8}4｜{8,8}4｜2｜8｜2｜八边形｜八边形（8个八边形的公共顶点）｜四边形｜自身对偶

S3:{8,8}2｜{8,8}2｜二角形

S3:{7,14}｜{7,14}2｜1｜7｜2｜七边形｜十四边形（14个七边形的公共顶点）｜二角形｜S3:{14,7}（1个面）

4｜S4:{16,4}｜{16,4}16｜8｜16｜2｜十六边形｜四边形（4个十六边形的公共顶点）｜十六角形｜S4:{4,16}（8个面）

S4:{12,6}｜{12,6}4｜4｜12｜2｜十二边形｜六边形（6个十二边形的公共顶点）｜四边形｜S4:{6,12}（4个面）

S4:{10,10}｜{10,10}2｜2｜10｜2｜十边形｜十边形（10个十边形的公共顶点）｜二角形｜自身对偶

S4:{9,18}｜{9,18}2｜1｜9｜2｜九边形｜十八边形（18个九边形的公共顶点）｜二角形｜S4:{18,9}（1个面）

### 圆锥

在不严谨的情况下，圆锥也能算是一种二面体，因为它可以看做是只有两个面的几何体，由一曲面（侧面）和一圆形平面（底面）所组成。

### 二面体列表

名称｜种类｜图像｜符号｜顶点｜边｜面｜χ｜面的种类｜对称性

一角形二面体｜多边形二面体｜

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｜{1,2}node_1｜1｜1｜2｜2｜2个一角形

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｜C1v（、22）

二面形｜多面形多边形二面体｜

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｜{2,2}node_1｜2｜2｜2｜2｜2个二角形

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｜D2h（、222）

一角锥｜角锥退化多面体球面多面体｜

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｜∨1｜2｜2｜2｜2｜1个一角形1个三角形｜C1v, 1

双一角锥｜双锥体退化多面体球面多面体｜

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｜ +1｜3｜3｜2｜2｜2个三角形｜D1h, 1,2, (、221) order 4

四面形半形（hemi-4-hosohedron）｜多面形多面体半形｜{2,4}4/2｜1｜2｜2｜1｜2个二角形

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三维多边形｜多边形二面体｜

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｜{n,2}node_1｜n｜n｜2｜2｜2个全等的多边形

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｜Dnh（、n22）

二阶无限边形镶嵌｜镶嵌图｜

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｜{∞,2}node_1node_1｜∞｜∞｜2｜2｜2个无限边形

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｜∞,2, (、∞22)

{4,4}1,1｜环形多面体｜

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｜{4,4}1,1｜2｜4｜2｜0｜2个正方形

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{3,6}1,0｜环形多面体｜

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｜{3,6}1,0｜1｜3｜2｜0｜2个正三角形

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S2:{8,4}｜正则地区图｜{8,4}8｜4｜8｜2｜-2｜2个八边形

S2:{6,6}｜正则地区图｜{6,6}2｜2｜6｜2｜-2｜2个六边形

S2:{5,10}｜正则地区图｜{5,10}2｜1｜5｜2｜-2｜2个五边形

圆锥体｜非严格多面体曲面柱体｜

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｜1｜1｜2｜2｜1个曲面1个圆形