波前集

在数学分析中，特别是微局部分析中，一个分布 $f$ 的波前集 $\text{WF}(f)$ 在奇异支集 $\text{singsupp}(f)$ 的基础上进一步刻画了 $f$ 的奇异性。作为底空间余切丛的一个锥子集，一个分布的波前集不仅描述了这个分布的奇异点，并且同时描述了在每一点这个分布奇异的方向。“波前集”这个术语是由拉尔斯·霍尔曼德尔在1970年左右引入的。实解析版本的波前集，定义在超函数上，称为“奇异支集”或“奇异谱”，稍早由佐藤干夫引入。

## 定义

在欧式空间的一个区域 $X\subset\mathbb{R}^n$ 中，一个分布 $u\in\mathcal{D}'(X)$ 在一个点 $x\in X$ 处的奇异纤维 $\Sigma_x(u)$，作为 $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$的一个子集，是在这一点所有奇异方向的余集。严格的定义用到傅里叶变换，$\xi\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ 不属于 $\Sigma_x(u)$ 当且仅当存在紧支集光滑函数 $\phi\in C_0^\infty(X)$ 以及 $\xi$ 的一个锥邻域（在正实数乘法下不变） $\Gamma$ 使得 $\phi(x)\neq0$，并且在 $\Gamma$ 中有如下估计：对于任意正整数 $N$，存在正常数 $C_N$ 使得

$$|\widehat{(\phi u)}(\eta)| \leq C_N(1+|\eta|)^{-N} \;\;\;\forall\;\eta\in\Gamma.$$

（我们经常将这个估计写为$|\widehat{\phi u}(\eta)|=O(\langle\eta\rangle^{-\infty})$。）

$f$ 的波前集 $\text{WF}(u)$ 定义为

$$\text{WF}(u)=\{(x,\xi)\in\mathbb{R}^n\times(\mathbb{R}^n\setminus\{0\}):\xi\in\Sigma_x(u)\}.$$

由下面波前集在坐标变化下的性质，可以定义光滑流形 $X$ 上的分布 $f$ 的波前集 $\text{WF}(f)$ 为余切丛去掉零截面 $T^\ast X\setminus0$ 的一个锥子集。

如果 $B:C_0^\infty(X)\to\mathcal{D}'(Y)$有Schwarz核 $K_B\in\mathcal{D}'(Y\times X)$，定义

$$\text{WF}'(B)=\{(y,\eta,x,\xi)\in T^\ast Y\times T^\ast X:(y,\eta, x,-\xi)\in\text{WF}(K_B).$$

对于拟微分算子 $A\in\Psi^m(X)$，可以验证 $\text{WF}'(A)$ 包含于 $(T^\ast X\setminus0)\times(T^\ast X\setminus0)$ 的对角线 $\Delta(T^\ast X\setminus0)=\{(x,\xi,x,\xi):(x,\xi)\in T^\ast X\setminus0\}$中。并且如果我们定义 $\text{WF}(A)\subset T^\ast X\setminus0$ 如下：$(x_0,\xi_0)\not\in\text{WF}(A)$ 当且仅当在$(x_0,\xi_0)$的一个锥邻域中，$A$ 的象征满足估计

$$\sigma(A)(x,\xi)=O(\langle\xi\rangle^{-\infty})$$

那么我们有 $(x,\xi)\in\text{WF}(A)$ 当且仅当 $(x,\xi,x,\xi)\in\text{WF}'(A)$。

### 等价定义

Hormander最早的定义用到了拟微分算子在分布上的作用：$\text{WF}(u)$ 是所有满足如下性质的点 $(x,\xi)$在$T^\ast X\setminus0$ 中的补集：

存在 $(x,\xi)$ 的锥邻域 $\Gamma$ 使得对于任意的满足 $\text{WF}(A)\subset\Gamma$ 的拟微分算子 $A\in\Psi^0(X)$，有 $Au\in C^\infty$。

另一个有用的等价定义用到FBI变换。

## 性质

（1）如果记 $\pi:T^\ast X\setminus0\to X$ 为余切丛上自然投影，则 $\pi(\text{WF}(u))=\text{sing supp}(u)$。

（2）对于拟微分算子 $A\in\Psi^m$， $\text{WF}(Au)\subset\text{WF}(A)\cap\text{WF}(u)$。特别的，我们有对于任意的光滑系数微分算子$a(x,D)$，$\text{WF}(a(x,D)u)\subset\text{WF}(u)$。

（3）如果 $f:X\to Y$ 是一个光滑映射，记 $N_f=\{(f(x);\eta)\in T^\ast Y, {}^Tf(x)'\eta=0\}$ 为 $f$ 的法丛。如果 $u\in\mathcal{D}'(Y)$满足 $\text{WF}(u)\cap N_f=\emptyset$，那么我们可以“唯一的”定义 $u$ 在 $f$ 下的拉回 $f^\ast u\in\mathcal{D}'(X)$。并且我们有 $\text{WF}(f^\ast u)\subset f^\ast\text{WF}(u)$。特别的，如果 $f$ 是一个微分同胚，$\text{WF}(f^\ast u)=f^\ast\text{WF}(u)$。所以波前集定义在余切丛上是不取决于坐标的。

（4）令 $B:C_0^\infty(X)\to\mathcal{D}'(Y)$ 如果将 $\text{WF}'(B)$ 视作从 $T^\ast X$ 到 $T^\ast Y$ 的一个关系，并且记$\text{WF}'_X(B)=WF'(B)^{-1}(0_Y),\;\;\text{WF}'_Y(B)=WF'(B)(0_X)$。这里$0_X$和$0_Y$分别是$X$和$Y$上余切丛的零截面。则如果 $u\in\mathcal{D}'(X)$满足 $\text{WF}(u)\cap\text{WF}'_X(B)=\emptyset$，那么我们可以“唯一的”定义$Bu\in\mathcal{D}'(Y)$。并且我们有 $\text{WF}(Bu)\subset\text{WF}'(B)(\text{WF}(u))\cup\text{WF}'_Y(B)$。

（5）如果 $A:C_0^\infty(X)\to\mathcal{D}'(Y)$ 和 $B:C_0^\infty(Y)\to\mathcal{D}'(Z)$ 满足 $\text{WF}'_Y(A)\cap\text{WF}'_Y(B)=\emptyset$，那么我们可以“唯一的”定义复合算子 $B\circ A:C_0^\infty(X)\to\mathcal{D}'(Z)$。并且我们有

$$\text{WF}'(B\circ A)\subset(\text{WF}'_Z(B)\times(0_X))\cup(0_Z\times\text{WF}'_X(A))\cup(\text{WF}'(B)\circ\text{WF}'(A))$$

这里最后一项是将波前集视为关系下的复合。

## 推广

以上所定义的波前集描述的是分布的关于 $C^\infty$ 正则性的奇异性，类似的可以定义关于实解析性的波前集 $\text{WF}_A$，关于Gevery类 $G^s$ 的波前集，关于Sobolev空间 $H^s$ 的波前集等等。在使用FBI变换的定义中，这些波前集有一个很好的统一的描述。

## 参考来源

- Lars Hörmander, Fourier integral operators I, Acta Math. 127 (1971), pp. 79-183.
- Chapter VIII, Spectral Analysis of Singularities