雷诺传输定理

雷诺传输定理也称为莱布尼兹-雷诺传输定理或雷诺输运定理，是以积分符号内取微分闻名的莱布尼兹积分的三维推广。

雷诺传输定理得名自奥斯鲍恩·雷诺（1842–1912），用来调整积分量的微分，用来推导连续介质力学的基础方程。

考虑在时变的区域$\Omega(t)$积分$\mathbf{f} = \mathbf{f}(\mathbf{x},t)$，其边界为$\partial \Omega(t)$，考虑上式对时间的微分：

$$\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{\Omega(t)} \mathbf{f}~\text{dV} ~.$$

若要求上述积分的导数，会有两个问题，$\mathbf{f}$的时间相依性，及因$\Omega$动态的边界而增加或减少的空间，雷诺传输定理提供了必要的框架。

## 通用型式

雷诺传输定理可表为以下形式是：

$$<pre> \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{\Omega(t)} \mathbf{f}~\text{dV} = \int_{\Omega(t)} \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial t}~\text{dV} + \int_{\partial \Omega(t)} (\mathbf{v}_{b}\cdot\mathbf{n})\mathbf{f}~\text{dA} ~ </pre>$$

其中$\mathbf{n}(\mathbf{x},t)$为向外的单位法向量，$\mathbf{x}$为区域中的一点，也是积分变数，$\text{dV}$ 及$\text{dA}$是位于$\mathbf{x}$的体积元素及表面元素，$\mathbf{v}_{b}(\mathbf{x},t)$为面积元素的速度而非流速。函数$\mathbf{f}$可以是张量、向量或纯量函数。注意等式左边的积分只是时间的函数，所以采用全微分符号。

## 针对流体块的形式

在连续介质力学中，此定理常用在没有物质进来或离开的流体块或固体中。若$\Omega(t)$为一流体块，则存在速度函数$\mathbf{v}=\mathbf{v}(\mathbf{x},t)$及边界元素符合下式

$$\mathbf{v}^{b}\cdot\mathbf{n}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}.$$

上式在替代后，可以得到以下的定理

$$<pre> \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\int_{\Omega(t)} \mathbf{f}~\text{dV}\right) = \int_{\Omega(t)} \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial t}~\text{dV} + \int_{\partial \Omega(t)} (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\mathbf{f}~\text{dA} ~. </pre>$$

针对一流体块的证明令$\Omega_0$为区域$\Omega(t)$的参考组态，令其运动及形变梯度为 :$\mathbf{x} = \boldsymbol{\varphi}(\mathbf{X}, t)~; \qquad\implies\qquad \boldsymbol{F}(\mathbf{X},t) = \boldsymbol{\nabla}_{\circ} \boldsymbol{\varphi} ~.$ 令$J(\mathbf{X},t) = \det[\boldsymbol{F}(\mathbf{X},t)]$. 则目前组态及参考组态的积分有以下的关系 :$\int_{\Omega(t)} \mathbf{f}(\mathbf{x},t)~\text{dV} = \int_{\Omega_0} \mathbf{f}[\boldsymbol{\varphi}(\mathbf{X},t),t]~J(\mathbf{X},t)~\text{dV}_0 = \int_{\Omega_0} \hat{\mathbf{f}}(\mathbf{X},t)~J(\mathbf{X},t)~\text{dV}_0 ~.$ That this derivation is for a material element is implicit in the time constancy of the reference configuration: it is constant in material coordinates. 针对体积积分的微分定义为 :$\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \int_{\Omega(t)} \mathbf{f}(\mathbf{x},t)~\text{dV}\right) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \cfrac{1}{\Delta t} \left(\int_{\Omega(t + \Delta t)} \mathbf{f}(\mathbf{x},t+\Delta t)~\text{dV} - \int_{\Omega(t)} \mathbf{f}(\mathbf{x},t)~\text{dV}\right) ~.$ 将上式转换为对参考组态的积分，可得 :$\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \int_{\Omega(t)} \mathbf{f}(\mathbf{x},t)~\text{dV}\right) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \cfrac{1}{\Delta t} \left(\int_{\Omega_0} \hat{\mathbf{f}}(\mathbf{X},t+\Delta t)~J(\mathbf{X},t+\Delta t)~\text{dV}_0 - \int_{\Omega_0} \hat{\mathbf{f}}(\mathbf{X},t)~J(\mathbf{X},t)~\text{dV}_0\right) ~.$ 因为$\Omega_0$和时间无关，可得 :$\begin{align} \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \int_{\Omega(t)} \mathbf{f}(\mathbf{x},t)~\text{dV}\right) & = \int_{\Omega_0} \left[\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \cfrac{ \hat{\mathbf{f}}(\mathbf{X},t+\Delta t)~J(\mathbf{X},t+\Delta t) - \hat{\mathbf{f}}(\mathbf{X},t)~J(\mathbf{X},t)}{\Delta t} \right]~\text{dV}_0 \\ & = \int_{\Omega_0} \frac{\partial }{\partial t}[\hat{\mathbf{f}}(\mathbf{X},t)~J(\mathbf{X},t)]~\text{dV}_0 \\ & = \int_{\Omega_0} \left( \frac{\partial }{\partial t}[\hat{\mathbf{f}}(\mathbf{X},t)]~J(\mathbf{X},t)+ \hat{\mathbf{f}}(\mathbf{X},t)~\frac{\partial }{\partial t}[J(\mathbf{X},t)]\right) ~\text{dV}_0 \end{align}$ 现在，$\det\boldsymbol{F}$的时间导数为 :$\frac{\partial J(\mathbf{X},t)}{\partial t} = \frac{\partial }{\partial t}(\det\boldsymbol{F}) = (\det\boldsymbol{F})(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{v}) = J(\mathbf{X},t)~\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{v}(\boldsymbol{\varphi}(\mathbf{X},t),t) = J(\mathbf{X},t)~\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{v}(\mathbf{x},t) ~.$ 因此 :$\begin{align} \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \int_{\Omega(t)} \mathbf{f}(\mathbf{x},t)~\text{dV}\right) & = \int_{\Omega_0} \left( \frac{\partial }{\partial t}[\hat{\mathbf{f}}(\mathbf{X},t)]~J(\mathbf{X},t)+ \hat{\mathbf{f}}(\mathbf{X},t)~J(\mathbf{X},t)~\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{v}(\mathbf{x},t)\right) ~\text{dV}_0 \\ & = \int_{\Omega_0} \left(\frac{\partial }{\partial t}[\hat{\mathbf{f}}(\mathbf{X},t)]+ \hat{\mathbf{f}}(\mathbf{X},t)~\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{v}(\mathbf{x},t)\right)~J(\mathbf{X},t) ~\text{dV}_0 \\ & = \int_{\Omega(t)} \left(\dot{\mathbf{f}}(\mathbf{x},t)+ \mathbf{f}(\mathbf{x},t)~\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{v}(\mathbf{x},t)\right)~\text{dV} \end{align}$ 其中$\dot{\mathbf{f}}$为$\mathbf{f}$的材料导数，现在材料导数为 :$\dot{\mathbf{f}}(\mathbf{x},t) = \frac{\partial \mathbf{f}(\mathbf{x},t)}{\partial t} + [\boldsymbol{\nabla} \mathbf{f}(\mathbf{x},t)]\cdot\mathbf{v}(\mathbf{x},t) ~.$ 因此 :$\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \int_{\Omega(t)} \mathbf{f}(\mathbf{x},t)~\text{dV}\right) = \int_{\Omega(t)} \left( \frac{\partial \mathbf{f}(\mathbf{x},t)}{\partial t} + [\boldsymbol{\nabla} \mathbf{f}(\mathbf{x},t)]\cdot\mathbf{v}(\mathbf{x},t) + \mathbf{f}(\mathbf{x},t)~\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{v}(\mathbf{x},t)\right)~\text{dV}$ 或者 :$\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \int_{\Omega(t)} \mathbf{f}~\text{dV}\right) = \int_{\Omega(t)} \left( \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \mathbf{f}\cdot\mathbf{v} + \mathbf{f}~\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{v}\right)~\text{dV} ~.$ 利用以下的恒等式 :$\boldsymbol{\nabla} \cdot (\mathbf{v}\otimes\mathbf{w}) = \mathbf{v}(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{w}) + \boldsymbol{\nabla}\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}$ 可得 :$\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \int_{\Omega(t)} \mathbf{f}~\text{dV}\right) = \int_{\Omega(t)} \left(\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot (\mathbf{f}\otimes\mathbf{v})\right)~\text{dV} ~.$ 利用高斯散度定理及恒等式 $(\mathbf{a}\otimes\mathbf{b})\cdot\mathbf{n} = (\mathbf{b}\cdot\mathbf{n})\mathbf{a}$，可得 :${ \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \int_{\Omega(t)} \mathbf{f}~\text{dV}\right) = \int_{\Omega(t)}\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial t}~\text{dV} + \int_{\partial \Omega(t)}(\mathbf{f}\otimes\mathbf{v})\cdot\mathbf{n}~\text{dA} = \int_{\Omega(t)}\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial t}~\text{dV} + \int_{\partial \Omega(t)}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\mathbf{f}~\text{dA} \qquad \square }$

## 错误的引用

此定理常被错误的引用为只针对物质体积（material volume）的形式，若将只针对物质体积应用于物质体积以外的区域中，就会出现问题。

## 特别形式

若$\Omega$不随时间改变，则$\mathbf{v}_b=0$，且恒等式化简为以下的形式

$$<pre> \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{\Omega} f~\text{dV} = \int_{\Omega} \frac{\partial f}{\partial t}~\text{dV} ~, </pre>$$

不过若用了不正确的雷诺传输定理，无法进行上述的简化。

### 在一维下的诠释及简化

此定理是积分符号内取微分的高维延伸，有些情形下可以简化为积分符号内取微分。假设$f$和$y$和$z$无关，且$\Omega(t)$为$y-z$平面的单位方块，且有$a(t)$及$b(t)$的极限，雷诺传输定理会简化为

$$<pre> \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{a(t)}^{b(t)} f~\text{dx} = \int_{a(t)}^{b(t)} \frac{\partial f}{\partial t}~\text{dx} + </pre> \frac{\partial b(t)}{\partial t} f(b(t),t) -\frac{\partial a(t)}{\partial t} f(a(t),t) ~,$$

上述是由积分符号内取微分来的表示式，但x及t变数已经对调。