正扭歪无限面体

在几何学中，正扭歪无限面体（Regular skew apeirohedron），又称扭歪正多面体（ねじれ正多面体）是一种顶点并非全部共面的正无限面体，即每个面都全等、每个角也相等的扭歪无限面体。通常扭歪无限面体会具有正扭歪的面或扭歪的顶点图。

## 历史

关于考克斯特，1926年时，约翰·弗林德斯·皮特里将扭歪多边形（非平面多边形）的概念推广到四维空间的扭歪多面体和三维空间的扭歪无限面体。

考克斯特找到了三种形式，他们具有平的面和扭歪的顶点图，两者彼此互补。它们都可以用施莱夫利符号的扩展符号{l,m|n}来表示。这个扩展符号{l,m|n}表示每个顶点都是$m$个正$l$边形的公共顶点，且存在正$n$边形的空洞。

若一扭歪无限面体是一个正扭歪无限面体，则其施莱夫利符号存在下列等式：

- 2 sin(Π/l) · sin(Π/m) = cos(Π/n)

## 三维空间的正扭歪无限面体

三维空间中有三种扭歪无限面体，分别为四角六片四角孔扭歪无限面体、六角四片四角孔扭歪无限面体和六角六片三角孔扭歪无限面体。约翰·康威将他们称为多立方体（Mucube）、多八面体（Muoctahedron）和、多四面体（Mutetrahedron），英文中的字首mu-表示“多”（multiple）的意思，其意义分别代表“很多立方体”、“很多八面体”以及“很多四面体”。

- 四角六片四角孔扭歪无限面体（多立方体、Mucube）：{4,6|4}：每个顶点都是六个正方形的公共顶点
- 六角四片四角孔扭歪无限面体（多八面体、Muoctahedron）：{6,4|4}：每个顶点都是四个六边形的公共顶点
- 六角六片三角孔扭歪无限面体（多四面体、Mutetrahedron）：{6,6|3}：每个顶点都是六个六边形的公共顶点

考克斯特给予这些 {2q,2r|p} 形式的扭歪无限面体与抽象群 (2q,2r|2,p) 同构的(p,q,p,r)+的手征对称性。与之相关的堆砌就具有(p,q,p,r)`]]`的扩展对称性。

考克斯特群对称性｜无限面体{p,q|l}｜图像｜面{p}｜洞{l}｜顶点图｜相关堆砌

branch4,3,44,3,4+｜{4,6|4}四角六片四角孔扭歪无限面体多立方体｜

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动画｜

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｜扭歪六边形

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（黄色部分）｜brancht0,3{4,3,4}｜

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{6,4|4}六角四片四角孔扭歪无限面体多八面体｜

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动画｜

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｜扭歪四边形

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（绿色部分）｜branch_112t{4,3,4}｜

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branch3434+｜{6,6|3}六角六片三角孔扭歪无限面体多四面体｜

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动画｜

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｜扭歪六边形

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（绿色部分）｜branch_11过截角交错立方体堆砌｜

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## 三维双曲空间的正扭歪无限面体

1967年时，C. W. L. Garner以类似于在欧式三维空间寻找正扭歪无限面体的方式，发现了31种双曲空间中具有扭歪多边形顶点图的正扭歪无限面体。

### 14种紧空间正扭歪无限面体

branch5,3,5｜{6,4|5}｜

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｜branch_11五阶截角二十面体堆砌｜

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｜{4,6|5}｜

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｜branch截面五阶十二面体堆砌｜

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label4(4,3,3,3)｜{8,6|3}｜

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｜label4ct{(4,3,3,3)}｜

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｜{6,8|3}｜

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｜label4ct{(3,3,4,3)}｜

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label5(5,3,3,3)｜{10,6|3}｜

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｜label5ct{(5,3,3,3)}｜

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｜{6,10|3}｜

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｜label5ct{(3,3,5,3)}｜

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label4(5,3,4,3)｜{8,10|3}｜

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｜label4ct{(4,3,5,3)}｜

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｜{10,8|3}｜

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｜label4ct{(5,3,4,3)}｜

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label5(5,3,5,3)｜{10,10|3}｜

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｜label5环截角十二面体二十面体堆砌｜

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｜{6,6|5}｜

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｜label5环截角二十面体十二面体堆砌｜

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### 17种仿紧空间正扭歪无限面体

label44,4,4｜{8,4|4}｜

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｜label4四阶截角正方形镶嵌蜂巢体｜

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｜{4,8|4}｜

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｜label4截面四阶正方形镶嵌蜂巢体｜

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label63,6,3｜{12,4|3}｜

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｜label6过截角三角形镶嵌蜂巢体｜

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｜{4,12|3}｜

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｜label6截面三角形镶嵌蜂巢体｜

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branch6,3,6｜{6,4|6}｜

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｜branch_11过截角六阶六边形镶嵌蜂巢体｜

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｜{4,6|6}｜

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｜branch截面六阶六边形镶嵌蜂巢体｜

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label4(4,4,4,3)｜{8,6|4}｜

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｜label4ct{(4,4,3,4)}｜

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｜{6,8|4}｜

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｜label4ct{(3,4,4,4)}｜

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label4(4,4,4,4)｜{8,8|4}｜

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｜label4四阶正方形镶嵌蜂巢体｜

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label6(6,3,3,3)｜{12,6|3}｜

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｜label6ct{(6,3,3,3)}｜

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｜{6,12|3}｜

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｜label6ct{(3,3,6,3)}｜

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label6(6,3,4,3)｜{12,8|3}｜

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｜label6ct{(6,3,4,3)}｜

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｜{8,12|3}｜

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｜label6ct{(4,3,6,3)}｜

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label6(6,3,5,3)｜{12,10|3}｜

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｜label6ct{(6,3,5,3)}｜

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｜{10,12|3}｜

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｜label6ct{(5,3,6,3)}｜

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label6(6,3,6,3)｜{12,12|3}｜

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｜label6ct{(6,3,6,3)}｜

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｜{6,6|6}｜

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｜label6ct{(3,6,3,6)}｜

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