杰恩斯-卡明斯模型

杰恩斯-卡明斯模型（Jaynes–Cummings model (JCM)）是一个量子光学的理论模型。这是一个描述双态系统和量子化光腔(optical cavity)交互作用的模型，这种交互作用和光子的存在与否无关(在电磁辐射能造成光子自发性的放射与吸收)。它主要被运用在原子物理学、量子光学、固态量子信息电路的理论与实验上。

## 公式

系统哈密顿量

$$\hat{H} = \hat{H}_{\text{field}} +\hat{H}_{\text{atom}} +\hat{H}_{\text{int}}$$

由自由场哈密顿量，原子激发态哈密顿量，JCM哈密顿量组成：

$$\begin{array}{lcl} \hat{H}_\text{field} &=& \hbar \omega_c \hat{a}^{\dagger}\hat{a}\\ \hat{H}_\text{atom} &=& \hbar \omega_a \frac{\hat{\sigma}_z}{2}\\ \hat{H}_\text{int} &=& \frac{\hbar \Omega}{2} \hat{E} \hat{S}. \end{array}$$

为方便起见，设真空场能量为 $0$.

其中：

- $\begin{smallmatrix}\hat{E} = \hat{a} +\hat{a}^{\dagger}\end{smallmatrix}$场运算符，目的是把量化辐射场转化为玻色子的模型，另外双态原子是能被三维布洛赫球面所描述的半自旋粒子
- $\begin{smallmatrix}\hat{a}^{\dagger}\end{smallmatrix}$是玻色子的创生算符
- $\begin{smallmatrix}\hat{a}\end{smallmatrix}$ 是玻色子的湮灭算符
- $\begin{smallmatrix}\hat{S} = \hat{\sigma}_+ +\hat{\sigma}_-\end{smallmatrix}$是原子耦合区的偏振运算符
- $\begin{smallmatrix}\hat{\sigma}_+ = |e \rangle \langle g |\end{smallmatrix}$与$\begin{smallmatrix}\hat{\sigma}_- = |g \rangle \langle e |\end{smallmatrix}$ 是原子的阶梯算符
- $\begin{smallmatrix}\hat{\sigma}_z = |e \rangle \langle e | - |g \rangle \langle g |\end{smallmatrix}$ 是原子反转运算符
- $\begin{smallmatrix}\omega_a\end{smallmatrix}$是原子的跃迁频率
- $\begin{smallmatrix}\omega_c\end{smallmatrix}$ 是模型的角频率

### JCM哈密顿量

通过把薛定谔绘景转换为相互作用绘景(又名旋转框架(rotating frame))，使得$\begin{smallmatrix}H_0 = \hat{H}_{\text{field}} +\hat{H}_{\text{atom}}\end{smallmatrix}$，可以得到：

$$\hat{H}_\text{int}(t) = \frac{\hbar \Omega}{2} \left(\hat{a}\hat{\sigma}_{-} e^{-i(\omega_c+\omega_a)t} +\hat{a}^{\dagger}\hat{\sigma}_{+}e^{i(\omega_c+\omega_a)t} +\hat{a}\hat{\sigma}_{+}e^{i (-\omega_c+\omega_a) t} +\hat{a}^{\dagger}\hat{\sigma}_{-}e^{-i (-\omega_c+\omega_a) t}\right).$$

这个哈密顿量同时包含了两个部分：

- $\begin{smallmatrix}(\omega_c + \omega_a)\end{smallmatrix}$ 是快速震荡。
- $\begin{smallmatrix}(\omega_c - \omega_a)\end{smallmatrix}$ 是慢速震荡。

为了求解这个方程，简化模型是再所难免的。注意到，当 $\begin{smallmatrix}|\omega_c - \omega_a| \ll \omega_c+\omega_a\end{smallmatrix}$ 的时候，快速振荡的 “反向旋转”项（也就是快速震荡项）可被忽略，这被称为旋波近似。再将之转换回薛定谔绘景，JCM哈密顿量就变成了：

$$\hat{H}_{\text{JC}} = \hbar \omega_c \hat{a}^{\dagger}\hat{a} +\hbar \omega_a \frac{\hat{\sigma}_z}{2} +\frac{\hbar \Omega}{2} \left(\hat{a}\hat{\sigma}_+ +\hat{a}^{\dagger}\hat{\sigma}_-\right).$$

其中。

- $\begin{smallmatrix}\hbar \Omega/2 = d (\omega_a/\hbar V \epsilon_0)^{1/2}\end{smallmatrix}$是原子场的耦合常数。
- $\begin{smallmatrix}d\end{smallmatrix}$是原子跃迁时刻。
- $\begin{smallmatrix}V\end{smallmatrix}$是腔模的体积。

### 本征态

一般情况下，将哈密顿量拆分为2部分有助于对其进行求解:

$$\hat{H}_\text{JC} = \hat{H}_I +\hat{H}_{II},$$

其中，$\begin{array}{lcl} \hat{H}_{I} &=& \hbar \omega_c \left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a} +\frac{\hat{\sigma}_z}{2}\right)\\ \hat{H}_{II} &=& \hbar \delta \frac{\hat{\sigma}_z}{2} +\frac{\hbar \Omega}{2} \left(\hat{a}\hat{\sigma}_+ +\hat{a}^{\dagger}\hat{\sigma}_-\right) \end{array}$ $\begin{smallmatrix}\delta = \omega_a - \omega_c\end{smallmatrix}$ 称之为场与双态系统的失谐量（频率）。为了更好地求解哈密顿量，把$\begin{smallmatrix}\begin{smallmatrix}\hat{H}_{I}\end{smallmatrix}\end{smallmatrix}$的本征态转换成张量积 $\begin{smallmatrix}|n,g\rangle, |n,e\rangle\end{smallmatrix}$（$\begin{smallmatrix}n \in \mathbb{N}\end{smallmatrix}$，表示模型中辐射量子的数量。）

对位任意正整数n，状态$\begin{smallmatrix}|\psi_{1n}\rangle := |n,e\rangle\end{smallmatrix}$ 与状态$\begin{smallmatrix}|\psi_{2n}\rangle := |n+1,g\rangle\end{smallmatrix}$ 会退化为$\begin{smallmatrix}\hat{H}_{I}\end{smallmatrix}$，$\begin{smallmatrix}\hat{H}_{\text{JC}}\end{smallmatrix}$ 足以在子空间$\begin{smallmatrix}\text{span} \{ |\psi_{1n}\rangle ,|\psi_{2n}\rangle\}\end{smallmatrix}$对角化。$\begin{smallmatrix}\hat{H}_{\text{JC}}\end{smallmatrix}$的元素属于$\begin{smallmatrix}{H}^{(n)}_{ij} := \langle\psi_{in}|\hat{H}_{\text{JC}}|\psi_{jn}\rangle\end{smallmatrix}$的子空间，表示为：

$$H^{(n)} = \hbar \begin{pmatrix} n \omega_c +\frac{\omega_a}{2} & \frac{\Omega}{2} \sqrt{n+1} \\[8pt] \frac{\Omega}{2} \sqrt{n+1} & (n+1)\omega_c -\frac{\omega_a}{2} \end{pmatrix}$$

对于任意正整数n，能量本征态$\begin{smallmatrix}H^{(n)}\end{smallmatrix}$为：

$$E_{\pm}(n) = \hbar\omega_c \left(n+\frac{1}{2}\right) \pm \frac{1}{2} \hbar\Omega_n(\delta),$$

其中，$\begin{smallmatrix}\Omega_n(\delta) = \sqrt{\delta^2 +\Omega^2(n+1)}\end{smallmatrix}$ 是拉比频率特殊的失谐参数。

含能量本征态 $\begin{smallmatrix}|n,\pm\rangle~\end{smallmatrix}$的特征值是：

$$|n,+\rangle= \cos \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|\psi_{1n}\rangle+\sin \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|\psi_{2n}\rangle$$

$$|n,-\rangle= -\sin \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|\psi_{1n}\rangle+\cos \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|\psi_{2n}\rangle$$

其中，$\begin{smallmatrix}\angle\alpha_n = \tan^{-1}\left(\frac{\Omega \sqrt{n+1}}{\delta}\right)\end{smallmatrix}$

### 薛定谔绘景动量

为了得到动量的一般情况。首先考虑一个场叠加态的初态 $\begin{smallmatrix}~|\psi_\text{field}(0)\rangle=\sum_n{C_n|n\rangle}~\end{smallmatrix}$，若置一激发态原子于场内，则系统初态为：

$$|\psi_\text{tot}(0)\rangle= \sum_n C_n \left[ \cos \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|n,+\rangle-\sin \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|n,-\rangle\right].$$

其中 $\begin{smallmatrix}~|n,\pm\rangle~\end{smallmatrix}$ 是该系统的定态, 含时状态向量是：

$$|\psi_\text{tot}(t)\rangle = e^{-i\hat{H}_{\text{JC}}t/\hbar}|\psi_\text{tot}(0)\rangle = \sum_n C_n \left[ \cos \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|n,+\rangle e^{-iE_+(n)t/\hbar}- \sin \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|n,-\rangle e^{-iE_-(n)t/\hbar}\right] , t > 0$$

### 相互作用绘景动量

可以直接通过海森堡记法（Heisenberg notation）来确定幺正演化算符（unitary evolution operator） :

$$\begin{matrix}\begin{align} \hat{U}(t) &= e^{-i\hat{H}_{\text{JC}}t/\hbar}\\ &= \begin{pmatrix} e^{- i \omega_c t (\hat{a}^{\dagger} \hat{a} + \frac{1}{2})}\left( \cos t \sqrt{\hat{\varphi} + g^2} - i \delta/2 \frac{\sin t \sqrt{\hat{\varphi} + g^2}}{\sqrt{\hat{\varphi} + g^2}}\right) & - i g e^{- i \omega_c t (\hat{a}^{\dagger} \hat{a} + \frac{1}{2})} \frac{\sin t \sqrt{\hat{\varphi} + g^2}}{\sqrt{\hat{\varphi} + g^2}} \,\hat{a} \\ -i g e^{- i \omega_c t (\hat{a}^{\dagger} \hat{a} - \frac{1}{2})}\frac{\sin t \sqrt{\hat{\varphi}}} {\sqrt{\hat{\varphi}}}\hat{a}^{\dagger} & e^{- i \omega_c t (\hat{a}^{\dagger} \hat{a} - \frac{1}{2})} \left( \cos t \sqrt{\hat{\varphi}} + i \delta/2 \frac{\sin t \sqrt{\hat{\varphi}}}{\sqrt{\hat{\varphi} }}\right) \end{pmatrix} \end{align}\end{matrix}$$

其中，定义算符$~\hat{\varphi}~$为

$$\hat{\varphi} = g^2 \hat{a}^{\dagger} \hat{a} + \delta^2/4$$

$~\hat{U}~$的幺正(unitary )被恒等定义：

$$\frac{\sin t\,\sqrt{\hat{\varphi} + g^2}}{\sqrt{\hat{\varphi} + g^2}}\; \hat{a} = \hat{a}\; \frac{\sin t\,\sqrt{\hat{\varphi}}}{\sqrt{\hat{\varphi}}} ,$$

$$\cos t\, \sqrt{\hat{\varphi} + g^2}\; \hat{a} = \hat{a}\; \cos t \sqrt{\hat{\varphi}},$$

幺正算符可以计算被密度矩阵$~\hat{\rho}(t)~$所描述的含时系统状态的演变，幺正算符包含了所有可观测量。给定初态$~\hat{\rho}(0)~$，则有：

$\hat{\rho}(t)=\hat{U}^{\dagger}(t)\hat{\rho}(0)\hat{U}(t)$。

$\langle\hat{\Theta}\rangle_{t}=\text{Tr}[\hat{\rho}(t)\hat{\Theta}]$。

其中，$~\hat{\Theta}~$ 是表示可观测量的算符。

## 量子震荡的崩塌和复兴

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原子反转的量子震荡图像（二次反比失谐参数 $\begin{smallmatrix}a = (\delta/(2g))^2 = 40\end{smallmatrix}$，其中$\delta$是失谐参数），基于 A.A. Karatsuba 和 E.A. Karatsuba 取得的基本公式。

## 延伸阅读

- C.C. Gerry and P.L. Knight (2005). Introductory Quantum Optics, Cambridge: Cambridge University Press.
- M. O. Scully and M. S. Zubairy (1997), Quantum Optics, Cambridge: Cambridge University Press.
- D. F. Walls and G. J. Milburn (1995), Quantum Optics, Springer-Verlag.