失效率

失效率（Failure rate），也称故障率，是一个工程系统或零件失效的频率，单位通常会用每小时的失效次数，一般会用希腊字母λ表示，是可靠度工程中的重要参数。

系统的失效率一般会随着时间及系统的生命周期而改变。例如车辆在第五年时的失效率会比第一年要高很多倍，一般新车是不会需要换排气管、检修刹车，也不会有重大传动系统的问题。

实务上，一般会使用平均故障间隔（MTBF, 1/λ）而不使用失效率。若是失效率假设是定值的话，此作法是有效的（定值失效率的假设一般常用在复杂元件/系统，军事或航天的一些可靠度标准中的也接受此假设），不过只有在浴缸曲线中平坦的部分（这也称为“可用生命期”）才符合失效率是定值的情形，因此不适合将平均故障间隔外插去预估元件的生命期，因为当时会碰到浴缸曲线的损耗阶段，失效率会大幅提高，生命期会较依失效率推算的时间要少。

失效率一般会用固定时间（例如小时）下的失效次数表示，原因是这样的用法（例如2000小时）会比很小的数值（例如每小时0.0005次）容易理解及记忆。

在一些需要管理失效率的系统（特别是安全系统）中，平均故障间隔是重要的系统参数。平均故障间隔常出现在工程设计要求中，也决定了系统维护及检视的频率。

失效率是保险、财务、商业及管制行业中的一个重要因子，也是安全系统设计的基础，应用在许多不同的场合中。

风险率（Hazard rate）及故障发生率（rate of occurrence of failures, ROCOF）的定义和失效率不同，常误认为和失效率定义相同。

## 离散定义下的失效率

失效率可以用以下的方式定义：

在一特定的测试条件及测试时间下，统计群体内失效次数总和，除以统计群体在失效前的测试时间总和。

虽然失效率$\lambda (t)$常被视为假设时间$t$前没有失效的情形下，在一段特定时间内出现失效的几率，但失效率可能会大于1，因此其实不是几率。若错误的将失效率以%表示，也很容易造成对于失效率不正确的认知。失效率可以用可靠度函数来定义，可靠度函数也称为生存函数，是在时间$t$之前没有失效的几率。

$\lambda(t) = \frac{f(t)}{R(t)}$，其中$f(t)$为（第一次）失效发生时间的分布（失效密度函数），而$R(t)=1-F(t)$.

$$\lambda(t) = \frac{R(t_1)-R(t_2)}{(t_2-t_1) \cdot R(t_1)} <pre> = \frac{R(t)-R(t+\triangle t)}{\triangle t \cdot R(t)} \!$$

在从时间$t_1$ (或$t$)到$t_2$之间时间区间$(t_2-t_1)$，而$\Delta t$定义为$(t_2-t_1)$。

## 连续定义下的失效率

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计算较短时间区间下的失效率，可以得到风险率（或风险函数）$h(t)$，是$\scriptstyle\Delta t$趋近于零时的瞬时失效率：

$$h(t)=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{R(t)-R(t+\Delta t)}{\Delta t \cdot R(t)}.$$

连续的失效率和失效分布$\scriptstyle F(t)$有关，失效分布是描述失效几率的累积分布函数：

$$\operatorname{Pr}(T\le t)=F(t)=1-R(t),\quad t\ge 0. \!$$

其中${T}$失效时间。

失效分布函数是几率密度函数f(t)的积分

$$F(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\, d\tau. \!$$

风险函数可以定义为

$$h(t)=\frac{f(t)}{1-F(t)}=\frac{f(t)}{R(t)}.$$

许多几率分布可以用来做为失效分布的建模，常见的模型是指数失效分布：

$$F(t)=\int_{0}^{t} \lambda e^{-\lambda \tau}\, d\tau = 1 - e^{-\lambda t}, \!$$

是以指数分布为基础的失效分布，风险函数为：

$$h(t) = \frac{f(t)}{R(t)} = \frac{\lambda e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}} = \lambda .$$

因此对于指数失效分布，风险函数对时间为定值（分布为无记忆性）。但对于像韦伯分布或对数正态分布等其他分布，风险函数对时间可能不是定值。

## 失效率递减

失效率递减（DFR）是指一零件或系统在一段特定时间内，失效率会随着时间而减小的现象。像早期失效已被移除或是修正后，就会有一段时间有失效率递减的情形，此时的λ(t)为递减函数。

DFR的随机变数混合后仍为DFR，而指数分布的随机变数混合后也是为DFR。

### 应用

失效率递增是因为零件老化所造成，失效率递减则是指一个系统会随着时间而渐渐强化。

在太空船的生命期中有发现失效率递减的情形，Baker和Baker的注解是“这太空船会一直一直维持下去。”。太空船空调系统的可靠度发现符合指数分布，因此也会满足失效率递减的情形。

### 变异系数

当失效率递减时，其变异系数⩾ 1，当失效率递增时，其变异系数 ⩽ 1.，不过这只在失效率是定义在整个t ⩾ 0的时间下才有效，而且无法由变异系数去反推失效率。

## 失效率资料

失效率资料可以由许多方式求得，常见的有以下几种方式：

待确认系统或设备的历史资料:许多组织都对于生产设备或产品的故障有内部的数据库，可以用来计算设备或系统的失效率。对于新的设备或是系统，则可以先用类似设备或是系统的失效率做为估计值。

政府或商用的失效率数据库:政府及商业组织会有许多零件的失效率手册。MIL-HDBK-217F（电子元件的可靠度预估）是有许多军用电子零件失效率的军用规范。也有许多商用的失效率数据库，主要针对商用的零件，甚至包括一些非电子的元件。

测试:最准确的方式是用实际的设备或是系统进行测试，以得到失效率资料。但此作法常有成本极其高昂或是不可行的缺点，因此会改用上述的作法。

### 单位

失效率一般会用固定时间（例如小时）下的失效次数表示，不过也可以用其他的单位，像是公里数、旋转圈数……等来代替固定的时间。

在工程应用上，因为失效率一般很低，个别零件失效率常以PPM表示，也就是每百万工作小时的失效次数。

失效率也会以菲特（FIT, Failures In Time）表示，是109设备-小时下（例如一千个零件运转百万小时，一百万个零件运转一千小时……等）预期的失效次数，一般用在半导体产业中。

菲特和失效间隔时间（MTBF）之间的关系是MTBF = 1,000,000,000 x 1/FIT。

### 加成性

在一定的工程假设下（例如固定的失效率，以及考虑的系统没有明显的冗余），复杂系统的失效率可以表示为个别元件失效率的和，但各元件的失效率需要有一致的单位，例如每百万工作小时等。因此可以测试每个别的元件或子系统，将其失效率加总后即可以得到整体的失效率。

### 举例

假设要估计特定元件的失效率，可以用以下的测试方式测试其失效率。用十个完全相同的元件测试到损坏或是满1000小时为止，（此例中不考虑统计的信赖区间），记录测试的总时间，以及总共损坏元件的个数，其结果如下：

$$\frac{6\text{ failures}}{7502\text{ hours}} = 0.0007998 \frac{\text{failures}}{\text{hour}} = 799.8 \times 10^{-6} \frac{\text{failures}}{\text{hour}},$$

或是每百万工作小时会有799.8次失效。

## 估计

尼尔森-艾伦估测子可以用来估计累积危险率函数。

## 外部链接

- Reliability Prediction of Electronic Equipment, MIL-HDBK-217F(2), (DOD download site.)
- Bathtub curve issues by ASQC.
- Fault Tolerant Computing in Industrial Automation by Hubert Kirrmann, ABB Research Center, Switzerland
- Usenet FAQ about MTBF
- Reliability and Availability Basics
- Product failure behavior and wear out