向量算子

向量算子是指向量分析中使用的微分算子。向量算子使用Nabla算符定义，包括梯度、散度和旋度。

$$\operatorname{grad} \equiv \nabla$$

$$\operatorname{div} \ \equiv \nabla \cdot$$

$$\operatorname{curl} \equiv \nabla \times$$

拉普拉斯算符表示为：

$$\nabla^2 \equiv \operatorname{div}\ \operatorname{grad} \equiv \nabla \cdot \nabla$$

向量算子必须写在它们所运算的标量场或向量场的左侧，例如：

$$\nabla f$$

得到f的梯度，但是

$$f \nabla$$

是另一个向量算子，没有对任何量进行运算。

一个向量算子可对另一个向量算子进行运算，得到一个复合向量算子，例如上面的拉普拉斯算符。

## 三维空间中的纯量函数与向量函数

### 纯量函数

令 $U$ 为空间位置 $(x, y, z)$ 的多变数函数，例如：

$$U(x,y,z) = x^2 + y^2+z^2 = r^2$$

表示了一个球面，这是一个标量场，其中每点的值等于该球半径的平方。

### 向量函数

令 $V$ 为空间位置 $(x, y, z)$ 的向量函数，它可以被拆成三个分量，写成以下的向量形式：

$$V(x,y,z)=V_x(x,y,z)\hat{i}+V_y(x,y,z)\hat{j}+V_z(x,y,z)\hat{k}$$

## 梯度与Nabla算子的定义

纯量函数 $U(x, y, z)$ 在三维笛卡儿坐标系的各个座标轴上有以下变率：

$$\frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial z}$$

因为是沿着座标轴的变率，所以可以写成分量形式：

$$\frac{\partial U}{\partial x}\hat{i}, \frac{\partial U}{\partial y}\hat{j}, \frac{\partial U}{\partial z}\hat{k}$$

其加总即为 $U$ 的组合变率：

$$\frac{\partial U}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial U}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial U}{\partial z}\hat{k}$$

如同微分算子 $D$ 被用来表示某函数的导数，例如 $D(f)$ 或 $Df$，我们使用 $\nabla$ 来表示组合变率：

$$\nabla U = \frac{\partial U}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial U}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial U}{\partial z}\hat{k}= V(x,y,z)$$

其中 $V$ 为一向量函数。组合变率 $\nabla U$ 称为 $U$ 的导数（derivative），$U$ 则称为 $\nabla U$ 的本原（primitive）。

$\nabla U$ 本身是一个向量函数。在几何与物理上，它指向变化速率最大的那个方向，在这个意义上，它被称为 $U$ 的梯度、或斜率。

### Nabla算子的单独使用

我们可以把 $\nabla$ 当作一个函数，念为 $del$，记为 $\operatorname{grad}$，它接受一个纯量函数，并传回一个向量函数。其运算式为：

$\nabla = \frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}$，因此：

$$\nabla U = \left(\frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}\right)(U) = \frac{\partial U}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial U}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial U}{\partial z}\hat{k} = \operatorname{grad} U$$

将 $\nabla$ 当作一个形式上的向量，则可以用向量的内积与叉积导出散度与旋度。

## 散度：Nabla算子与向量函数的内积

将 $\nabla$ 当作一个形式向量，与向量函数 $V$ 做内积：

$$\nabla \cdot V = \left(\frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}\right)\cdot \left(V_x\hat{i}+V_y\hat{j}+V_z\hat{k}\right)=\frac{\partial V_x}{\partial x} + \frac{\partial V_y}{\partial y} + \frac{\partial V_z}{\partial z} = U(x,y,z)$$

这里得到一个纯量函数 $U$，称为 $V$ 的散度。

我们也可以将 $\nabla \cdot$ 当作一个算子，念为 $del\ dot$，记为 $\operatorname{div}$，它接受一个向量函数，但是传回一个纯量函数：

$$\nabla \cdot V = \operatorname{div} V = \hat{i}\cdot\frac{\partial V}{\partial x} + \hat{j}\cdot\frac{\partial V}{\partial y} + \hat{k}\cdot\frac{\partial V}{\partial z}$$

## 旋度：Nabla算子与向量函数的叉积

将 $\nabla$ 当作一个形式向量，与向量函数 $V$ 做叉积：

$$\begin{align} \nabla \times V &= \left(\frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}\right)\times \left(V_x\hat{i}+V_y\hat{j}+V_z\hat{k}\right) \\ &= \hat{i} \left( \frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z} \right) + \hat{j} \left( \frac{\partial V_x}{\partial z} - \frac{\partial V_z}{\partial x} \right) + \hat{k} \left( \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \right) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ V_x & V_y & V_z \end{vmatrix} \end{align}$$

这里得到一个向量函数，称为 $V$ 的旋度。

我们也可以将 $\nabla \times$ 当作一个算子，念为 $del\ cross$，记为 $\operatorname{curl}$，它接受一个向量函数，并传回一个向量函数：

$$\nabla \times V = \operatorname{curl} V = \hat{i}\times\frac{\partial V}{\partial x} + \hat{j}\times\frac{\partial V}{\partial y} + \hat{k}\times\frac{\partial V}{\partial z}$$

## 拉普拉斯算子

对一个纯量函数做梯度运算，可以得到一个向量函数，再对该向量函数做散度运算，又得回一个纯量函数，称为梯度的散度：

$$\nabla \cdot \nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}\right) \cdot \left(\frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}\right) = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$$

这称为拉普拉斯算子，记为 $\nabla^2$ 或者 $\Delta$，它接受一个纯量函数，并传回一个纯量函数。

## 延伸阅读

- H. M. Schey (1996) Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, ISBN 0-393-96997-5.