泊肃叶定律

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泊肃叶定律（Poiseuille's law）也称为泊谡叶方程、帕醉定律、哈根-泊肃叶定律（Hagen-Poiseuille's law）、哈根-帕醉方程（Hagen-Poiseuille's equation），是描述流体流经细管（如血管和导尿管等）所产生的压力损失，压力损失和体积流率、动黏度和管长的乘积成正比，和管径的四次方成反比例。此定律适用于不可压缩、不具有加速度、层流稳定且长于管径的牛顿流体。泊肃叶定律是让·泊肃叶于1838年和戈特希尔夫·哈根于1838和1839年分别实验独立发现的，并于1840年和1846年发表。

泊肃叶定律的应用前提有七：

- 假设液体是不可压缩流体。
- 假设液体是牛顿流体，即它的粘滞系数不随流速而改变。
- 假设液体的流动是层流，而不是湍流，即管的直径不能太大。
- Fully Develop，液体在管内速度场为全展开
- Steady state, 稳定流态
- Circular pipe, 流体在圆形管内流动
- 忽略End effect 终端效应

## 公式

### 标准流体力学的表示法

以下是用标准流体力学表示法下的泊肃叶定律：

$$\Delta P = \frac{8 \mu L Q}{ \pi r^4}$$

或

$$\Delta P = \frac{128 \mu L Q}{ \pi d^4}$$

其中

$\Delta P$是压力损失

$L$是细管长度

$\mu$是黏度

$Q$是体积流率

$r$是半径

$d$是直径

### 物理表示法

$$\Phi = \frac{dV}{dt} = v \pi R^{2} = \frac{\pi R^{4}}{8 \eta} \left( \frac{- \Delta P}{\Delta x}\right) = \frac{\pi R^{4}}{8 \eta} \frac{ |\Delta P|}{L}$$

其中的单位如下，单位则是以相容的单位为主（例如国际单位制）

$\Phi$是体积流率（标准流体力学表示法中的$Q$）

$V(t)$是流过的液体体积函数，参数为时间$t$

$v$是沿着细管的平均流体速度

$x$是沿着流体流动方向的距离

$R$是细管的内半径

$\Delta P$是细管两端的压力损失

$\eta$是动黏度，SI制单位为Pa·s

$L$是细管的长度

此公式在细管进口段的误差较大。

此公式不适用在低黏度、短管、宽管或流体流速高的条件下。低黏度、高流速或宽管的条件会产生紊流，导致该流体的压力差较此定律所预测的值为大。因此需要用到像是达西-韦史巴赫方程之类较复杂的模型。若管子太短，泊肃叶定律会计算出不实际的高体积流率。此公式所计算出的流体流率，被限制在较宽松条件的伯努利定律结果之内：

$$\Phi_{max} = \pi R^2 \sqrt{2 \Delta P / \rho}$$

## 推导

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泊肃叶定律可以由纳维－斯托克斯方程推导而来，但若已知管子中的层流，其速度分布呈抛物线：

$$v = - \frac{1}{4 \eta} \frac{\Delta P}{\Delta x} (R^2 - r^2)$$

在相同直径处的速度也会相同，因此将相同直径处的流体视为一薄层，流过薄层流体的体积流量等于速度乘以薄层的截面积：

$$\Phi (r)dr = \frac{1}{4 \eta} \frac{|\Delta P|}{\Delta x} (R^2 - r^2) 2 \pi rdr = \frac{\pi}{2 \eta} \frac{|\Delta P|}{\Delta x} (rR^2 - r^3)dr$$

再将上述的量对半径r积分，即可得到总流量。

$$\Phi = \frac{\pi}{2 \eta} \frac{|\Delta P|}{\Delta x} \int_{0}^{R} (rR^2 - r^3)\, dr = \frac{|\Delta P| \pi R^4}{8 \eta \Delta x}$$

## 和达西-韦史巴赫方程的关系

泊肃叶定律不只是有关压力损失和流速的公式，也和管子中的层流，其速度分布呈抛物线有关。不过只要推定紊流下的有效紊流黏度，也可以将上述压力损失的公式延伸到紊流的情形，即使紊流速度分布已不呈抛物线也没关系。在层流和紊流的情形下，压力损失都和管壁的应力有关，由管壁应力可以定义所谓的摩擦因数。在水力学的领域中，管壁应力可以用达西-韦史巴赫方程求得，其中摩擦因数表示为和雷诺数和其他物理量的函数。若在层流的情形下：

$$\Lambda = {64\over {\it \mathrm{Re}}} \; , \quad\quad \mathrm{Re} = {2\rho v r\over \eta} \; ,$$

其中

$\Lambda$为摩擦因数

$Re$为雷诺数

$\rho$为流体密度

$v$为平均流体速度，在层流的情形下会是最大流体速度的一半

上述式子用平均流体速度来定义雷诺数，因此其实用性提高。因为在紊流其最大流体速度很难计算。此公式可以近似达西摩擦因数。$\Lambda$是圆型管子下流速很低的层流下的摩擦因数。韦德曼（Wiedman）曾在1856年独立的进行和此定律型式稍微不同的定律的推导，诺伊曼和哈根巴赫（E. Hagenbach）也曾在1858年推导过型式不完全一様的定律。哈根巴赫是第一个称此定律为泊肃叶定律的人。

泊肃叶定律在生理学中的血液流变学和血液动力学中非常的重要。

1891年时L. R. Wilberforce以哈根巴赫的研究为基础，将泊肃叶定律扩展到紊流的领域中。

## 可压缩流体下的泊肃叶定律

若管中的是可压缩流体，其体积流率及线速度会延著管子变化。流体一般会以出口处的压力来表示，当流体压缩或是膨胀时，流体会作功，温度可能上升或是下降，因此流体流率和流体与外界的热交换有关。若是在等温过程下的理想气体，也就是气体温度和外界平衡时，而且管子两端的压力差很小时，其出口处的体积流率可以表示如下式：

$$\Phi = \frac{dV}{dt} = v \pi R^{2} = \frac{\pi R^{4} \left( P_{i}-P_{o} \right)}{8 \eta L} \times \frac{ P_{i}+P_{o}}{2 P_{o}} = \frac{\pi R^{4}}{16 \eta L} \left( \frac{ P_{i}^{2}-P_{o}^{2}}{P_{o}} \right)$$

其中

$P_{i}$为入口压力

$P_{o}$为出口压力

$L$为管长

$\eta$为动黏度

$R$为半径

$V$为出口处的流体体积

$v$为出口处的流体速度

当流体的马赫数小于0.3时，可以用上式近似实际的体积流率。

上式可以视为是增加一修正系数$\frac{P_{i}+P_{o}}{2} \times \frac{1}{P_{o}}$的泊肃叶定律，修正系数是考虑平均压力相对于出口压力的比例。

## 和电路的类比

电子一开始也是当作一种流体来了解，水力类比的概念在了解电子电路上仍十分有用。这种类比方式也用来研究流体机械网络的频率响应，其中流体机械网络会以液压回路来表示。

泊肃叶定律对应电路中的欧姆定律（$V=IR$），其中压力差$\Delta P$对应电压$V$，而体积流率$\Phi$对应电流，则以下的物理量对应电阻

$$R = \frac{ 8 \eta \Delta x}{\pi r^4}.$$

一个管子的有效阻力和半径倒数的四次方成正比，因此管子的半俓减半会使管子的阻力变为原来的16倍。

欧姆定律和泊肃叶定律都是对于输运现象的描述。