质数间隙

<image>

质数间隙是指两个相邻质数间的差值。第n个质数间隙，标记为gn 或g(pn)，指第n个质数和第n+1个质数间的差值，即

$$g_n = p_{n + 1} - p_n.\ $$

可知，g1 = 1、g2 = g3 = 2，以及g4 = 4。由质数间隙组成的数列(gn) 已被广泛地研究，但仍有许多问题及猜想尚未获得解答。

前30个质数间隙为：

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14 .

由gn 的定义，可得gn 及第n+1个质数的关系式如下：

$p_{n+1} = 2 + \sum_{i=1}^n g_i$ .

张益唐在2013年证明：存在有无限多对质数，其间隙小于七千万；之后于同年十一月，詹姆斯·梅纳德用精进版的GPY筛法将间隙改进至600，而由陶哲轩发起的Polymath计划将这数字降到246。

## 简单观察

第1个、最小，且唯一为奇数的质数间隙为1，是在“唯一一个偶质数2”与“第一个奇质数3”之间的质数间隙。剩下的其他质数间隙均为偶数。在3个相邻的质数间的1对质数间隙均为质数，只有在质数3、5及7之间的g2 及g3 一种而已。

对任一质数P，可定义一质数乘积P#，为所有小于等于P的质数之乘积。若Q为P之后的质数，则数列

$$P\#+2, P\#+3,\ldots,P\#+(Q-1)$$

为由相邻的Q-2个合数组成的数列，亦即存在一个长度至少为Q-1的质数间隙。因此，质数间的间隙可以是任意大的，亦即对任一质数P，总存在一个整数n，使得gn ≥ P。（可选定n，使得pn为小于P# + 2 的最大质数）另外，依据《质数定理》，质数的密度会随着数值增大而趋近于0，亦可知存在任意大的质数间隙。实际上，依《质数定理》，P# 的值约略为 exp(P)的大小，且于 exp(P)附近，相邻质数的“平均”间隙为 P。

实际上，质数间隙为P 的数可能会远小于P#。例如，由71个相邻合数组成的最小数列介于31398至31468间，但71#有“27个数位”，其完整的十进制表示为 557940830126698960967415390。

孪生质数猜想主张存在无限多个整数n，使得 gn = 2。

## 数值结果

一般将$\frac{g_n}{\ln(p_n)}$给称作$g_n$的努力值（merit）。非正式地，一个质数间隙$g_n$的努力值可视为一个质数间隙和$p_n$附近的平均间隙大小之间的比值。

目前最大的、和一个可能质数相关的间隙，其大小为16,045,848，和一个385,713位的可能质数有关，而其努力值$M=18.067$。这数由Andreas Höglund在2024年3月发现。而最大的和确认的质数相关的质数间隙，其大小为1,113,106，努力值为25.90，和一个18,662位的质数有关，发现者是P. Cami, M. Jansen和J. K. Andersen。

为止，已知最大的及第一个超过40的努力值由Gapcoin网络所发现，其数值为41.93878373，和一个87位的质数有关2，这个质数和下一个质数之间的间隙的大小为8350。

努力值｜$g_n$｜位数｜$p_n$｜日期｜发现者

41.938784｜8350｜0087｜见上｜2017｜Gapcoin

39.620154｜15900｜175｜3483347771 × 409#/0030 − 7016｜2017｜Dana Jacobsen

38.066960｜18306｜209｜650094367 × 491#/2310 − 8936｜2017｜Dana Jacobsen

38.047893｜35308｜404｜100054841 × 953#/210 − 9670｜2020｜Seth Troisi

37.824126｜8382｜0097｜512950801 × 229#/5610 − 4138｜2018｜Dana Jacobsen

Cramér–Shanks–Granville比值指的是$g_n/(\ln{p_n})^2$这个比值。若不计2、3及7的异常高的值的话，那这比值已知最大的数值是1693182318746371的0.9206386。其他已知的数值可见。

若对于所有的$m < n$而言，都有$g_m < g_n$，则称$g_n$是最大间隙。已知最大的最大间隙其值是1724，发现者为Martin Raab，而他是用Brian Kehrig写的计算机程序发现这点的。这是第84个最大间隙，出现于68068810283234182907这质数之后。

其他已知的最大间隙可见于，而与之相关的质数$p_n$可见于，相关的n则可见于。目前猜想，不大于第n个质数的最大间隙组成的数列大约有$2\ln n$ 项。

- ｜gn｜pn｜n 1｜1｜2｜1 2｜2｜3｜2 3｜4｜7｜4 4｜6｜23｜9 5｜8｜89｜24 6｜14｜113｜30 7｜18｜523｜99 8｜20｜887｜154 9｜22｜1,129｜189 10｜34｜1,327｜217 11｜36｜9,551｜1,183 12｜44｜15,683｜1,831 13｜52｜19,609｜2,225 14｜72｜31,397｜3,385 15｜86｜155,921｜14,357 16｜96｜360,653｜30,802 17｜112｜370,261｜31,545 18｜114｜492,113｜40,933 19｜118｜1,349,533｜103,520 20｜132｜1,357,201｜104,071 21｜148｜2,010,733｜149,689 22｜154｜4,652,353｜325,852 23｜180｜17,051,707｜1,094,421 24｜210｜20,831,323｜1,319,945 25｜220｜47,326,693｜2,850,174 26｜222｜122,164,747｜6,957,876 27｜234｜189,695,659｜10,539,432 28｜248｜191,912,783｜10,655,462｜#｜gn｜pn｜n 29｜250｜387,096,133｜20,684,332 30｜282｜436,273,009｜23,163,298 31｜288｜1,294,268,491｜64,955,634 32｜292｜1,453,168,141｜72,507,380 33｜320｜2,300,942,549｜112,228,683 34｜336｜3,842,610,773｜182,837,804 35｜354｜4,302,407,359｜203,615,628 36｜382｜10,726,904,659｜486,570,087 37｜384｜20,678,048,297｜910,774,004 38｜394｜22,367,084,959｜981,765,347 39｜456｜25,056,082,087｜1,094,330,259 40｜464｜42,652,618,343｜1,820,471,368 41｜468｜127,976,334,671｜5,217,031,687 42｜474｜182,226,896,239｜7,322,882,472 43｜486｜241,160,624,143｜9,583,057,667 44｜490｜297,501,075,799｜11,723,859,927 45｜500｜303,371,455,241｜11,945,986,786 46｜514｜304,599,508,537｜11,992,433,550 47｜516｜416,608,695,821｜16,202,238,656 48｜532｜461,690,510,011｜17,883,926,781 49｜534｜614,487,453,523｜23,541,455,083 50｜540｜738,832,927,927｜28,106,444,830 51｜582｜1,346,294,310,749｜50,070,452,577 52｜588｜1,408,695,493,609｜52,302,956,123 53｜602｜1,968,188,556,461｜72,178,455,400 54｜652｜2,614,941,710,599｜94,906,079,600 55｜674｜7,177,162,611,713｜251,265,078,335 56｜716｜13,829,048,559,701｜473,258,870,471｜#｜gn｜pn｜n 57｜766｜19,581,334,192,423｜662,221,289,043 58｜778｜42,842,283,925,351｜1,411,461,642,343 59｜804｜90,874,329,411,493｜2,921,439,731,020 60｜806｜171,231,342,420,521｜5,394,763,455,325 61｜906｜218,209,405,436,543｜6,822,667,965,940 62｜916｜1,189,459,969,825,483｜35,315,870,460,455 63｜924｜1,686,994,940,955,803｜49,573,167,413,483 64｜1,132｜1,693,182,318,746,371｜49,749,629,143,526 65｜1,184｜43,841,547,845,541,059｜1,175,661,926,421,598 66｜1,198｜55,350,776,431,903,243｜1,475,067,052,906,945 67｜1,220｜80,873,624,627,234,849｜2,133,658,100,875,638 68｜1,224｜203,986,478,517,455,989｜5,253,374,014,230,870 69｜1,248｜218,034,721,194,214,273｜5,605,544,222,945,291 70｜1,272｜305,405,826,521,087,869｜7,784,313,111,002,702 71｜1,328｜352,521,223,451,364,323｜8,952,449,214,971,382 72｜1,356｜401,429,925,999,153,707｜10,160,960,128,667,332 73｜1,370｜418,032,645,936,712,127｜10,570,355,884,548,334 74｜1,442｜804,212,830,686,677,669｜20,004,097,201,301,079 75｜1,476｜1,425,172,824,437,699,411｜34,952,141,021,660,495 76｜1,488｜5,733,241,593,241,196,731｜135,962,332,505,694,894 77｜1,510｜6,787,988,999,657,777,797｜160,332,893,561,542,066 78｜1,526｜15,570,628,755,536,096,243｜360,701,908,268,316,580 79｜1,530｜17,678,654,157,568,189,057｜408,333,670,434,942,092 80｜1,550｜18,361,375,334,787,046,697｜423,731,791,997,205,041 81｜1,552｜18,470,057,946,260,698,231｜426,181,820,436,140,029 82｜1,572｜18,571,673,432,051,830,099｜428,472,240,920,394,477 83｜1,676｜20,733,746,510,561,442,863｜477,141,032,543,986,017 84｜1,724｜68,068,810,283,234,182,907｜1,524,717,378,371,224,128

## 更多结果

### 上界

1852年得到证明的伯特兰-切比雪夫定理显示，在$k$跟$2k$之间，总有一个质数，特别地，$p_{n+1} < 2p_n$，因此$g_n < p_n$。

1896年得证的质数定理显示说对足够大的质数而言，一个质数$p$和下一个质数之间的间隙，会渐近地接近$\ln{p}$，也就是$p$的自然对数，而实际的质数间隙可能远大或远小于此。

然而我们可以从质数定理推出说质数间隙跟质数的比会变得任意小，如下式所示：

$$\lim_{n\to\infty}\frac{g_n}{p_n}=0.$$

以极限的定义来说，对于任意的$\epsilon > 0$，存在一个数$N$，使得对于所有的$n > N$而言，有

$$g_n < p_n\epsilon$$

基多·何海赛尔在1930年首次证明了以下的非线性关系，他证明了说，存在一个常数$\theta < 1$，使得下式成立：

$$\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\log(x)} \text{ as } x \to \infty,$$

由此他证明了，对于足够大的n，有以下关系：

$$g_n < p_n^\theta$$

何海赛尔证明说$\theta$小于等于32999/33000；之后汉斯·海尔布龙将之给改进到249/250；而尼古拉·胡打科夫证明了说对于任意的$0 < \varepsilon$而言，$\theta = \frac{3}{4} + \varepsilon$。

一个主要的改进由阿尔伯特·英厄姆做出，他证明了说存在一个正的常数$c$，使得下式成立：

if $\zeta(1/2 + it) = O(t^c)$ then $\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\log(x)}$ for any $\theta > (1 + 4c)/(2 + 4c).$

此处，$O$代表大O符号，$\zeta$代表黎曼ζ函数，而$\pi$是质数计数函数。由于$\frac{1}{6} < c$是可行的数之故，因此可知$\theta$可以是任何大于$\frac{5}{8}$的数。

英厄姆结果的一个立即的推论是，在n足够大时，在$n^3$及$(n+1)^3$之间总有一个质数；此外在2016年，Dudek给英厄姆结果证明了一个有明确数值版本，他证明了说对于任意的$n > e^{e^{33.217}}\approx1.01\cdot10^{115809466034000}$而言，两个立方数之间必有一个质数。

从林德勒夫猜想可推出，英厄姆的公式对于任意正数$c$都成立；然而这两者都不足以推出勒让德猜想，也就是在$n^2$及$(n+1)^2$之间总有一个质数这猜想。要证明这点，像是克拉梅尔猜想等更强的结果会是必要的。

马丁·赫胥黎在1972年证明说，$\theta=\frac{7}{12}=0.583\cdots$是可能的。

贝克、格林·哈曼和平茨·亚诺什在2001年正明说$\theta\cdots$可以缩小到0.525。

上述的结果适用于“所有的”间隙，而人们对“最小的”间隙也感兴趣。孪生质数猜想说，有无限多的质数，其间隙为2。在2005年，丹尼尔·哥德斯顿、雅诺·品茨和谢姆·伊尔迪里姆三氏证明了以下关系：

$$\liminf_{n\to\infty}\frac{g_n}{\log p_n} = 0$$

两年后他们又将之改进如下： to

$$\liminf_{n\to\infty}\frac{g_n}{\sqrt{\log p_n}(\log\log p_n)^2}<\infty.$$

2013年，张益唐证明了以下关系：

$$\liminf_{n\to\infty} g_n < 7\cdot 10^7,$$

这表示说，有无限多的质数间隙，其大小不超过七千万。之后Polymath计划的集体努力，在2013年7月20日，将张益唐界限给降到了4680。

在2013年11月，詹姆斯·梅纳德改进了GPY筛法，并以之将上界给降到600，并证明了说两个彼此间隔$m$个质数的质数，其间隙有上限。也就是说，对于任意的正整数$m$，总存在一个界限$\Delta_m$，使得对于无穷多的n而言，$p_{n+m}-p_n \le\Delta_m$。利用梅纳德的想法，Polymath计划将上界给降到了246，并证明了说在假定埃利奥特–哈尔伯斯坦猜想和其推广的状况下，分别可将上界给降到12和6。

### 下界

1931年，埃里克·韦斯钦蒂乌斯（Erik Westzynthius）证明质数间隙成长速度快过对数，也就是说。

$$\limsup_{n\to\infty}\frac{g_n}{\log p_n}=\infty.$$

罗伯特·亚历山大·兰金在1938年改进了韦斯钦蒂乌斯和艾狄胥·帕尔的结果，证明了说存在一个常数$c > 0$，使得以下不等式对无限多个n成立：

$$g_n > \frac{c\ \log n\ \log\log n\ \log\log\log\log n}{(\log\log\log n)^2}$$

之后他又证明了说上式对任何的$c < e^{\gamma}$都成立，其中$\gamma$是欧拉-马斯刻若尼常数。常数$c$的值在1997年改进至$c < 2e^{\gamma}$。

艾狄胥·帕尔提供了10,000美元的奖金给任何能证明或否证上述的常数$c$可以任意大的人。这点在2014年由凯文·福特 (数学家)、本·格林 (数学家)、谢尔盖·科尼亚金和陶哲轩四人组以及詹姆斯·梅纳德分别独立证出。

之后这结果被上述五人改进成对无限多个n而言，以下不等式成立：

$$g_n > \frac{c\ \log n\ \log\log n\ \log\log\log\log n}{\log\log\log n}$$

做为向艾狄胥原始奖金精神的致意，陶哲轩提供了10,000美元的奖金给任何能证明或否证上述的常数$c$可以任意大的人。

目前也已知关于质数链的下界。

## 关于质数间隙的猜想

如上所言，目前已知最好的关于质数间隙的结果是对于足够大的n而言，$g_n < p_n^{0.525}$（因此诸如$5 - 3 > 3^{0.525}$或$29 - 23 > 23^{0.525}$这样的情况是不考虑的）但目前观察到的结果是，即使最大的间隙，也远小于此，也因此生出了一系列未证明的猜想。

首先，有猜想认为，对于上述何海赛尔的结果，有$\theta = 0.5$。

勒让德猜想认为，在两个完全平方数之间，都总有一个质数，而这意味着说，$g_n = O(\sqrt{p_n})$；安德里卡猜想则指出说：

$$g_n < 2\sqrt{p_n} + 1$$

奥珀曼猜想意味着更强的结果，就是对于任意足够大的n而言（或许对任何的$n > 30$而言），总有以下关系：

$$g_n < \sqrt{p_n}.$$

上述的关系都未得证明，而哈拉尔德·克拉梅尔证明了说若黎曼猜想成立，那在用大O符号表述的状况下，质数间隙$g_n$会满足以下关系：

$$g_n = O(\sqrt{p_n} \log p_n),$$

（实际上，如果允许任意大的指数的话，这结果只需要较弱的林德勒夫猜想）

Dudek在假定黎曼猜想成立的状况下，对克拉梅尔上述的结果给出一个有明确值的版本，也就是若黎曼猜想成立，那么对任意的$n\ge 2$而言，有如次不等式：

$$g_n < \frac{4}{\pi}\sqrt{p_n}\log p_n$$

此外Dudek指出，对于足够大的n而言，不等式装的常数项$4/\pi$可替换为任意大于一的常数。

<image>

与此同时，克拉梅尔也猜想说质数间隙远小于此，而他的猜想即是克拉梅尔猜想，克拉梅尔猜想表示说：

$$g_n = O\!\left((\log p_n)^2\right)\!,$$

也就是说，其成长率是一个小于任何指数$\theta > 0$的多对数函数。

克拉梅尔猜想符合观察到的质数间隙，此外也有其他类似的猜想。菲鲁兹巴赫特猜想稍强于此，菲鲁兹巴赫特猜想认为，$p_{n}^{1/n}\!$是个对n的严格递减函数，也就是说，对于任意的$n\ge 1$而言，有以下关系：

$$p_{n+1}^{1/(n+1)} \!< p_n^{1/n}$$

若这猜想成立，就表示说对于任意的$n > 9$而言，有$g_n < (\log p_n)^2 - \log p_n - 1$从该猜想可推出强克拉梅尔猜想，而这与安德鲁·格兰维尔、平茨·亚诺什等人的猜测不一致。他们的猜测认为，对于$\varepsilon>0,$而言，有无限多质数间隙，使得$g_n > \frac{2-\varepsilon}{e^\gamma}(\log p_n)^2 > (1.1229-\varepsilon)(\log p_n)^2$，其中$\gamma$是欧拉-马斯刻若尼常数。

波利尼亚克猜想表示说，对于任何的正偶数k，都总有无限多个质数间隙等于k。$k=2$的情况即孪生质数猜想。目前尚未对这猜想任何特定的k成立或不成立，但如上所言，由于张益唐以及随后的改进，目前已知这猜想对至少一个$k \le 246$成立。

## 作为数论函数

表示第n个质数及其之后的质数间隙的$g_n$是数论函数的一个例子，在将之视为数论函数的状况下，一般都把质数间隙给记做$d_n$并称之为质数差函数。这函数非积性函数，也非加性函数。

## 外部链接

- Thomas R. Nicely, Some Results of Computational Research in Prime Numbers -- Computational Number Theory. This reference web site includes a list of all first known occurrence prime gaps.
- Armin Shams, Re-extending Chebyshev's theorem about Bertrand's conjecture , does not involve an 'arbitrarily big' constant as some other reported results.
- Chris Caldwell, Gaps Between Primes ; an elementary introduction
- www.primegaps.com A study of the gaps between consecutive prime numbers
- Andrew Granville, Primes in Intervals of Bounded Length ; overview of the results obtained so far up to and including James Maynard's work of November 2013.