色散关系

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在物理科学和电机工程学中，色散关系描述波在介质中传播的色散现象的性质。色散关系将波的波长或波数与其频率建立了联系。由这组关系，波的相速度和群速度有了方便的确定介质中折射率的表达式。克拉莫-克若尼关系式可以描述波的传播、衰减的频率依赖性，这关系比与几何相关和与材料相关的色散关系更具一般性。

色散的原因可能是几何边界条件（波导、浅水）或是波与传输介质间的相互作用。基本粒子（被认为是物质波）即使在没有集合约束和其他介质存在下也会有非平凡的色散关系。

在存在色散的情况下，波速不再唯一定义，从而产生了相速度和群速度的区别。

## 色散

当不同波长的平面波表现出不同的传播速度时，色散会发生，如此造成混合各种波长的波包渐渐地在空间中扩展开来。平面波的速率v为波长$\lambda$的函数：

$v = v(\lambda) \,$。

波速、波长、频率f之间具有恒等式：

$v(\lambda) = \lambda\ f(\lambda) \,$。

函数f(λ)指出了该介质中的色散关系。色散关系更常用角频率$\omega=2\pi f$与波数$k=2 \pi /\lambda$来表示。上述式子可改写为

$\omega(k)= v(k)\ k \,$。

在此ω成为k的函数。使用ω(k)来描述色散关系已经成为一种标准写法，因为相速度 ω/k 与群速度 ∂ω/∂k 可以轻松地从这样写法的色散关系中求得。

因此所关注的平面波可写为如下数学式：

$A(x, t) = A_0e^{2 \pi i \frac{x - v t}{\lambda}}= A_0e^{i (k x - \omega t)}$。

其中

A是波的振幅。

A0 = A(0,0)。

x是波传递方向上的任一特定位置，以及

t是描述波的任一特定时间。

## 真空中的平面波

真空中的平面波是波传递最简单的例子：无几何上的限制，无传导介质的交互作用。

### 电磁波

对真空中的电磁波而言，角频率与波数呈正比：

$\omega = c k\,$。

这是“线性”的色散关系。在此情形下，相速度与群速度乃是相同的：

$v = \frac{\omega}{k} = \frac{d\omega}{d k} = c$。

两者皆为c，真空中的光速，为与频率无关的常数。

### 德布罗意色散关系

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粒子的总能量、动量与质量透过如下相对论关系连结：

$E^2 = (mc^2)^2+(pc)^2\,$

其中$m$是静质量。

当静质量m为零时，比如光子的例子：

$E = p c\,$。

又静质量不为零的粒子，当其接近光速时，pc项远大于mc2项，因此关系式可趋近于E = pc。其在非相对论极限，也就是速度远小于光速c的情形，可趋近于如下关系式：

$$E = m c^2 + \frac{p^2}{2m}$$

此情形下，$m c^2$是常数，而$p^2/2 m$是常见的动能，可以动量$p = m v$来写出关系式。

从近光速的例子过渡到低速度极限，可看到E与p的关系是从p转成p2，在垂直轴跟水平轴皆取对数log的色散关系图中可看出斜率的改变。

基本粒子、原子核、原子，甚至是分子，皆有物质波的波动表现。根据描述物质波的“德布罗意关系”，能量E与角频率ω之间以及动量p与波数k之间皆为正比关系，比值为约化普朗克常数ħ：

$E=\hbar\omega,\quad p=\hbar k$。

相应地，角频率与波数之间也可透过色散关系连结。在非相对论极限（低速度极限的牛顿力学）条件下，利用能量（动能）与动量的关系式：

$$E= \frac{p^2}{2m}$$

此处省去常数mc2的效应。等式左右分别代入德布罗意关系，可得色散关系：

$\omega=\frac{\hbar k^2}{2m}$。

动画：电子的相速度与群速度

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此动画描绘了三颗（慢速度）自由电子以德布罗意相速度与群速度行经了宽度为0.4Å的区域。每单位质量的动量，称为固有速度。中间电子的固有速度为光速c，其群速度则为0.707 c；上方电子则有中间电子的两倍动量，下方电子则有中间电子的一半动量。注意到：当动量增加时，相速度下降到c，而群速度增加到c，而波包与相位峰值两者以接近c的速度一同移动；在此同时，波长的下降则无下限值。实验室中，这类高能电子的横向与纵向的同调宽度（波包大小）可比此处粒子大上好几个数量级。

## 频率与波数的关系

当讨论到介质的折射性质而不是吸收性质，亦即关注焦点为折射率的实部，则常会提及“色散关系”—角频率与波数的函数关系。在粒子的情形，改由相对应的能量与动量的函数关系来描述。

### 波动与光学

“色散关系”一词源自于光学。让光穿过折射率不为常数的介质则有办法使得光速与波长相依；另外的方法是使用非均匀介质中的光，比如波导。在此情形下，波形会随着时间扩展开来，窄脉冲波会变成较宽的脉冲波。在这些材料中，$\frac{\partial \omega}{\partial k}$为群速度，对应到脉冲包络线峰值的传递速度，并与相速度$\frac{\omega}{k}$不同。

### 深水波

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深水波的色散关系常写为

$\omega = \sqrt{g k}$。

其中g是重力造成的加速度。深水的常见定义为水深大于波长之半。在此情形下，相速度为

$v_p = \frac{\omega}{k} = \sqrt{\frac{g}{k}}$。

而群速度为

$$v_g = \frac{d{\omega}}{dk} = \frac{1}{2} v_p.$$

### 弦波

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对一条理想弦而言，色散关系可写为

$\omega = k \sqrt{\frac{T}{\mu}}$。

其中T为弦的张力，μ为弦每单位长度的质量。

如同真空中的电磁波，理想弦为非色散介质，其相速度与群速度相等，并且与振动频率无关。

至于非理想弦则需考量到硬度的影响，色散关系变为

$\omega^{2} = \frac{T}{\mu}k^{2} + \alpha k^{4}$。

其中$\alpha$是与弦有关的常数。

### 固态物理

在固态物理领域，电子的色散关系占有重要的角色。晶体的周期性意味着：对一给定的动量存在有多种可能的能阶，而有些则是不论什么样的动量都不可能会具有的能量。所有可能的能量与动量的组合即为一物质的能带结构。能带结构的性质定义了一物质是绝缘体、半导体，抑或是导体。

### 声子

声子之于声波一如光子之于光波：其为携带波动能量的量子。声子的色散关系也是重要且非平凡的。许多系统都显示出声子存在于两个分离的能带。声子尚可分为光学声子支与声学声子支。

### 电子显微术

关于穿透式电子显微镜中的高能电子（例如200 keV），收敛束电子绕射（Convergent beam electron diffraction, CBED）型态在高阶劳厄区（higher order Laue zone, HOLZ）谱线的能量相依性，允许研究者能对晶体三维色散表面的横断面做直接“成像”。这种绕射的动态理论可用于晶格参数的准确测量、电子束能量，近期更应用在电子业上。

## 历史

艾萨克·牛顿研究过棱镜的折射现象。然而牛顿却没有认出色散关系与不同材料的相关性；假使有认出，他则可能发明出消色差透镜。

水波的色散关系是由皮埃尔-西蒙·拉普拉斯于1776年研究得到。

在几篇举足轻重的论文中，色散关系与各种波及粒子散射理论中的因果律被连系了起来，使得克拉莫-克若尼关系式（1926年－1927年间）的通则变得重要。

## 外部链接

- Poster on CBED simulations to help visualize dispersion surfaces, by Andrey Chuvilin and Ute Kaiser
- Angular frequency calculator