伪多边形

$\frac{i\pi}{\lambda}$ $\infty$

$$\left[\frac{i \pi}{\lambda}\right]$$ 在几何学中，伪多边形（pseudogon）又称为超无限边形，是一种位于双曲平面上的无限边形，具有伪多边形群（pseudogonal group）的对称性，诺曼·约翰逊 (数学家)将一般的发散镜射形式的无限边形称为伪多边形，其外接圆为极限圆，正伪多边形在施莱夫利符号中用$\left\{ \frac{i\pi}{\lambda} \right\}$表示，其中$\lambda$表示发散垂直镜射的周期距离，用来表示其拓扑结构具有比无限边形更多的边与顶点，换句话说，若其不为发散镜射形式则只能看做为普通的无限边形，也因此伪多边形无法在平面上存在。此外，伪多边形也可以解释为未完全具备多边形性质的多边形，此种情况下未必需要位于双曲面，这种伪多边形其英文也可以写为pseudo polygon。

## 正伪多边形

<image>

正伪多边形（regular pseudogon）又称双曲正无限边形，是双曲线$H^1$（并非欧几里得线）分割为每段长度为$2\lambda$线段形成的无限边形，为具有$\left[\frac{i\pi}{\lambda}\right]$考克斯特群的罗氏无限边形，可以视为正无限边形的一种类似物。依据其考克斯特群，其边数和顶点数将会是$\frac{i\pi}{\lambda}$个，事实上它顶点数为正无穷大，边长为$2\lambda$，其中$\frac{i\pi}{\lambda}$用来表示超平形（ultraparallel）的镜射，虚数值使镜射变换的角度以一个双曲线的形式，而存在等式$\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) = \cos\left(\frac{\pi\lambda}{i\pi}\right) = \cosh(2\lambda)$，而$\lambda \in \left\{ \frac{\pi}{n} \mid n \in \Bbb{Z} \right\}$。

其亦可以视为二维空间的双曲密铺，和三维双曲密铺如：正七边形镶嵌、七阶三角形镶嵌等，做类比。其属于非紧凑空间。

正伪多边形无法在平面上存在，但可以构造在双曲面。其可以拥有外接圆和内切圆，但他们必须是双曲超圆形。

## 扭歪伪多边形

扭歪伪多边形（Skew pseudogon）是伪多边形对应的扭歪多边形，即位于非紧双曲空间的双曲扭歪无限边形。

<image>

围绕着伪多边形的三角形也可以构造出等边扭歪伪多边形

{3,7}的皮特里多边形｜t{3,7}的皮特里多边形

<image>

正扭歪｜

<image>

半正扭歪

## 镶嵌与密铺

正伪多边形不能构成平面镶嵌，但可以构成双曲镶嵌，如三阶伪多边形镶嵌，其考克斯特记号计为node_1。该镶嵌可以视为伪多边形在三维空间的类比，称为伪多面体（pseudohedron）。

二个伪多边形即可完全镶嵌整个双曲平面，称为二阶伪多边形镶嵌。

正｜半正

∞.∞｜2∞｜4.4.∞｜3.3.3.∞

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

{iπ/λ, 2}node_1｜{2, iπ/λ}node_1｜t{2, iπ/λ}node_1｜sr{2, iπ/λ}node_h

对称群：iπ/λ,iπ/λ, (、iπ/λ iπ/λ 2)｜iπ/λ,iπ/λ+, (iπ/λ iπ/λ 2)

node_1｜node_1｜node｜node｜node｜node_1｜node_1｜node_h

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

{9i,9i}超无限阶伪多边形镶嵌｜t{9i,9i}截角超无限阶伪多边形镶嵌｜r{9i,9i}截半超无限阶伪多边形镶嵌｜2t{9i,9i}=t{9i,9i}截角超无限阶伪多边形镶嵌｜2r{9i,9i}={9i,9i}超无限阶伪多边形镶嵌｜rr{9i,9i}小斜方截半超无限阶伪多边形镶嵌｜tr{9i,9i}大斜方截半超无限阶伪多边形镶嵌｜sr{9i,9i}扭棱超无限阶伪多边形镶嵌

对称群：iπ/λ,3, (、∞32)｜iπ/λ,3+(∞32)｜1+,iπ/λ,3(、∞33)｜iπ/λ,3+(3、∞)

考克斯特记号｜node_1｜node_1｜node｜node｜node｜node_1｜node_1｜node_h｜node_h1｜node_h1｜node

node_h0= branchu_11｜node_h0= branchu_11｜node_h0= branchu｜node_1｜node_h1 =branchu_10ru or branchu_01rd｜node_h1 =branchu_10ru or branchu_01rd｜node_h0= branchu_hh

图像｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

顶点图｜∞.∞.∞｜3.∞.∞｜3.∞.3.∞｜∞.6.6｜3∞｜3.4.∞.4｜4.6.∞｜3.3.3.3.∞｜3.∞.3.∞.3.∞

类比｜{∞,3}｜t{∞,3}｜r{∞,3}｜t{3,∞}｜{3,∞}｜rr{∞,3}｜tr{∞,3}｜sr{∞,3}｜h{∞,3}｜h2{∞,3}｜s{3,∞}

半正对偶

考克斯特记号｜node_f1｜node_f1｜node｜node｜node｜node_f1｜node_f1｜node_fh｜node_fh｜node

图像｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

顶点布局类比｜V∞3｜V3.∞.∞｜V(3.∞)2｜V6.6.∞｜V3∞｜V4.3.4.∞｜V4.6.∞｜V3.3.3.3.∞｜V(3.∞)3｜V3.3.3.3.3.∞

## 高维类比

<image>

伪多面体（pseudohedron）是伪多边形在三维空间的类比，即在三维非紧双曲空间中的无限面体，又称为超无限面体。例如三阶七边形镶嵌蜂巢体中的正七边形镶嵌，由于要使每个顶点都是3个正七边形镶嵌的公共顶点使得图形被变换到非紧双曲空间中，即几何中心跑到庞加莱模型外，其外接球为三维双曲极限球。

伪多胞体（pseudotope）则为非紧双曲镶嵌在四维或更高维度类比，例如四阶一百二十胞体堆砌。

但严格来说，伪多胞形（pseudotope）只会在二维双曲空间讨论，由于二维的考克斯特群表达到无穷之后仍为平面，因此只能用双曲镜射的方式以虚数表达双曲几何图形。

群｜赫尔曼莫金记号｜轨道流形｜考克斯特｜考克斯特图｜阶

有限

Zn｜n｜n•｜n+｜node_h2｜n

Dn｜nm｜、n•｜n｜node｜2n

仿射

Z∞｜∞｜∞•｜∞+｜node_h2｜∞

Dih∞｜∞m｜、∞•｜∞｜node｜∞

双曲

Z∞｜πi/λ+｜node_h2｜∞

Dih∞｜πi/λ｜node｜∞

## 基本资料

- 施莱夫利符号：伪多边形、超无限边形
- 类型：正多边形、二维双曲镶嵌
- 边：$\frac{i\pi}{\lambda}$、$\infty$
- 施莱夫利符号：$\left\{ \frac{i\pi}{\lambda} \right\}$、$\{\infty\}$
- 对称群：$\left[\frac{i \pi}{\lambda}\right]$
- 内角（度）：双曲平角
- 对偶：自身对偶
- 特性：非严格凸, 圆内接多边形, 等边多边形, 等角多边形, 双曲线, 发散