匹配滤波器

在信号处理中，匹配滤波器可以用来解调基频带脉波信号，基频带脉波信号意指信号内容为同一波形信号乘上一个常数，在每个周期出现，每个周期中代表着或多或少的资讯量。匹配滤波器解调出来的结果其SNR (Signal Noise Ratio)为最大的，匹配滤波器需要事先知道传送的讯号和讯号的同步才能解调出传送的信号。

此外，匹配滤波器也可用于模式识别、相似度测试（similarity measure）。

## 最高SNR证明

假设g(t)：传送讯号

w(t)：可加性高斯白噪声

x(t) = g(t) + w(t)

h(t)：未知波形

y(t)：解调结果

$$1. x(t) = g(t) + w(t)$$

$$2. y(t) = [g(t) + w(t)] \ast h(t)$$

$$= g(t) \ast h(t)+ w(t) \ast h(t)$$

$$= G(t) + N(t)$$

$$3. SNR = |G(T)|^2 / E[N^2(T)]|$$

SNR = 信号瞬间功率 / 噪声平均功率

信号瞬间功率

$$|G(T)|^2 = \int_{-\infty}^{\infty} H(f) G(f) e^{j2\pi fT} \, df$$

噪声平均功率

$$E[N^2 (T)]= \frac{N_0}{2} \int_{-\infty}^{\infty} |H(f)|^2 \, df$$

$$SNR = \frac{\int_{-\infty}^{\infty} H(f) G(f) e^{j2\pi fT} \, df}{\frac{N_0}{2} \int_{-\infty}^{\infty} |H(f)|^2 \, df}$$

$$\le \frac{\int_{-\infty}^{\infty} |H(f)|^2 e^{j2\pi fT} \, df \int_{-\infty}^{\infty} |G(f) e^{j2\pi fT}|^2 \, df }{\frac{N_0}{2} \int_{-\infty}^{\infty} |H(f)|^2 \, df}$$

$$= \frac{2}{N_0} \int_{-\infty}^{\infty} |G(f)|^2 \, df$$

- 当

$H_{opt}(f) = k[G(f)e^{j2\pi fT}]^*$ , $SNR_{max} = \frac{2} {N_0} \int_{-\infty}^{\infty} |G(f)|^2 \, df$

所以

$$h_{opt}(t) = k \int_{-\infty}^{\infty} G(-f)e^{-j2\pi fT} e^{j2\pi ft} \, df$$

$$= k \int_{-\infty}^{\infty} G(z)e^{-j2\pi f(T-t)} \, dz$$

$$= kg(T-t)$$

(备注) 柯西-施瓦茨不等式

若

$\int_{-\infty}^{\infty} |A(x)|^2 \, dx < \infty$ 且 $\int_{-\infty}^{\infty} |B(x)|^2 \, dx < \infty$

则

$$|\int_{-\infty}^{\infty} A(x)B(x) \, dx|^2 \le \int_{-\infty}^{\infty} |A(x)|^2 \, dx \int_{-\infty}^{\infty} |B(x)|^2 \, dx$$

当 $A=kB^*$时，等号成立。

## 匹配滤波器频率响应

$$\ x = s + v,\,$$

$$\ R_v = E\{vv^\mathrm{H}\}.\,$$

$$\mathrm{SNR} = \frac{|y_s|^2}{ E\{|y_v|^2\} }.$$

$$\ |y_s|^2 = {y_s}^\mathrm{H} y_s = h^\mathrm{H} s s^\mathrm{H} h.\,$$

$$\ E\{|y_v|^2\} = E\{ {y_v}^\mathrm{H} y_v \} = E\{ h^\mathrm{H} v v^\mathrm{H} h \} = h^\mathrm{H} R_v h.\,$$

$$\mathrm{SNR} = \frac{h^\mathrm{H} s s^\mathrm{H} h}{ h^\mathrm{H} R_v h }.$$

如果我们限制分母为1, 最大化 $\mathrm{SNR}$ 的问题可以被简化为最大化分子.

于是可以使用 拉格朗乘数

$$\ h^\mathrm{H} R_v h = 1$$

$$\ \mathcal{L} = h^\mathrm{H} s s^\mathrm{H} h + \lambda (1 - h^\mathrm{H} R_v h )$$

$$\ \nabla_{h^*} \mathcal{L} = s s^\mathrm{H} h - \lambda R_v h = 0$$

$$\ (s s^\mathrm{H}) h = \lambda R_v h$$

$$\ h^\mathrm{H} (s s^\mathrm{H}) h = \lambda h^\mathrm{H} R_v h.$$

因为 $s s^\mathrm{H}$ 是一维, 他只有一个非零特征值. 此特征值=

$$\ \lambda_{\max} = s^\mathrm{H} R_v^{-1} s,$$

$$\ h = \frac{1}{\sqrt{s^\mathrm{H} R_v^{-1} s}} R_v^{-1} s.$$

## 匹配滤波器模式辨识

若欲侦测一特定信号 hn，我们可以将hn时域反向并取共轭，当做滤波器。

一维信号

$$y[n] = x[n]*h^*[-n] = \sum_{\tau=\tau_1}^{\tau_2} x[n-\tau]h^*[-\tau] = \sum_{\tau=\tau_1}^{\tau_2} x[n+\tau]h^*[\tau]$$

xn :数入信号，hn：欲侦测的特定信号，且假设当$\tau_1\leq n \leq\tau_2$ 时， hn≠0

二维信号

$$y[m,n] = x[m,n]*h^*[-m,-n] = \sum_{\tau=\tau_1}^{\tau_2}\sum_{\rho=\rho_1}^{\rho_2}x[m+\tau,n+\rho]h^*[\tau,\rho]$$

假设当$\tau_1\leq m \leq\tau_2 , \rho_1\leq m \leq\rho_2$时， hm,n≠0

模拟结果：

<image>

但由于卷积是线性的，当信号能量大，算出来的值也会跟着变大而有误差，因此我们需要标准化。

标准化公式

一维信号

当 $\sum_{s=n+\tau_1}^{n+\tau_2} |x[s]|^2$ ≠0

$y[n] =$ ${\sum_{\tau=\tau_1}^{\tau_2} x[n+\tau]h^*[\tau]} \over \sqrt{\sum_{s=n+\tau_1}^{n+\tau_2} |x[s]|^2\sum_{s=\tau_1}^{\tau_2} |h[s]|^2}$

当 $\sum_{s=n+\tau_1}^{n+\tau_2} |x[s]|^2$ =0

$$y[n] = 0$$

二维信号

当 $\sum_{s=m+\tau_1}^{m+\tau_2}\sum_{v=n+\rho_1}^{n+\rho_2} |x[s,v]|^2$ ≠0

$y[m,n] =$ ${\sum_{\tau=\tau_1}^{\tau_2} \sum_{\rho=\rho_1}^{\rho_2} x[m+\tau,n+\rho]h^*[\tau,\rho]} \over \sqrt{\sum_{s=m+\tau_1}^{m+\tau_2}\sum_{v=n+\rho_1}^{n+\rho_2} |x[s,v]|^2\sum_{s=\tau_1}^{\tau_2}\sum_{v=\rho_1}^{\rho_2} |h[s,v]|^2}$

当 $\sum_{s=m+\tau_1}^{m+\tau_2}\sum_{v=n+\rho_1}^{n+\rho_2} |x[s,v]|^2$ = 0

$$y[m,n] = 0$$

标准化后的模拟结果：

<image>