函数极限

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尽管函数$\frac{\sin x}{x}$的定义域中不包括“0”，但当$x$无限接近于零时，$\frac{\sin x}{x}$就无限接近于 1，换句话说，$x$接近于零时，$\frac{\sin x}{x}$的极限是 1。

在数学中，函数极限（Limit of a function）是微积分的一个基本概念。它描述函数在接近某一给定自变量时的特征。函数 $f$ 于 $a$ 的极限为 $L$，直观上意为当 $x$ 无限接近 $a$ 时，$f(x)$ 便无限接近 $L$。

## 正式定义

### 动机

如果取 $\delta$ 为＂ $x$ 与 $a$ 差距的上限＂；类似地，取 $\epsilon$ 为＂ $f(x)$ 与 $L$ 差距的上限＂，那根据直观，可以将函数极限定义为：

若对所有的 $\delta >0$，存在 $0 < \epsilon \leq \delta$，使得对所有的 $x \in D_f$，只要 $0<\left|x-a\right|<\delta$ 就有 $\left|f(x)-L\right|<\epsilon$

其中 $\epsilon \leq \delta$ 是要确保 $\delta$ 越来越小时， $\epsilon$ 也会越来越小； $0<\left|x-a\right|<\delta$ 是为了凸显 $x$ 是逼近而非等于 $a$，但对应的 $f(x)$ 是可以等于 $L$ 的。

但对于实函数 $f(x) = x^2$ 逼近 $a = 0$ 时，考虑到 $\delta \geq 1$ 的部分；在 ${\left|x-0\right|}^2<\delta^2$ 下是没有这样的 $\epsilon$ 使得 $0 < \epsilon \leq \delta$ 且 $\left|x^2-0\right|<\epsilon$ 的，但数值上 $f(x) = x^2$ 的确在 $a = 0$ 时很靠近 $0$，也就是 $\epsilon \leq \delta$ 的部分局限了定义能覆盖的范围。

上面的例子表明以 $x$ 的变化去限制 $f(x)$ 的变化通常是很困难的，但如果反过来从 $\epsilon$ 出发，去找怎样的 $x$ 会让 $f(x)$ 与 $L$ 的差距小于 $\epsilon$，也就是从＂若对所有的 $\epsilon >0$ 存在 $\delta >0$ ＂出发的话，显然上面 $f(x) = x^2$的例子只要取 $\delta = \sqrt{\epsilon}$ 即可；而且在这个定义被满足的情况下，若进一步取 $\epsilon$ 和 $\delta$ 的最小值为 $x$ 与 $a$ 差距的上限，还是会有 $\left|f(x)-L\right|<\epsilon$，这样就可以用 $\epsilon$ 控制 $x$ 的变化，而满足＂ $x$ 趋近于 $a$ 时 $f(x)$ 趋近于 $L$ ＂的直观想法。

但实际上无法确保对所有 $\delta >0$，都有 $x \in D_f$ 使得 $0<\left|x-a\right|<\delta$，所以定义函数极限之前必须要求 $a$ 为 $D_f$ 的极限点。但大部分的情况会退而求其次的假设存在 $r >0$ 使得 $f(x)$ 在 $0<\left|x-a\right|<r$ 都有定义，也就是存在 $a$ 的去心邻域使 $f(x)$ 都有定义，这样的话 $a$ 会自动成为 $D_f$ 的极限点。

### 自变量趋于有限值时函数的极限

$f$ 为实函数， $a\in\mathbb{R}$ 为 $D_f$ 的极限点且 $L\in\mathbb{R}$，若＂对所有的$\epsilon >0$，存在$\delta >0$，使得对所有的 $x \in D_f$ 只要 $0<\left|x-a\right|<\delta$ 就有 $\left|f(x)-L\right|<\epsilon$ ＂，或以正式的逻辑符号表述为$$(\forall \epsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in D_f) [\, (\, 0 < \left| x - a \right| < \delta \,) \Rightarrow (\, \left| f(x) - L \right| < \epsilon \,) \,]$$ 则以 $\lim_{x\to a}f(x)= L$ 表示，称 $L$ 为实函数 $f$ 于 $a$ 的极限。

### 自变量趋于无穷大时函数的极限

由于＂无穷大＂不能直接定义成定义域 $D_f$ 的极限点，可以退而求其次假设＂对所有的 $\delta >0$ 存在 $x \in D_f$ 使得 $x > \delta$ ＂。也就是直观上可以用定义域 $D_f$ 里的点去逼近＂无穷大＂。那在这种条件下，$L\in\mathbb{R}$，且若＂对所有 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得对所有的 $x \in D_f$ 只要 $x > \delta$ 时，有$\left|f(x)-L\right|<\epsilon$ ＂，或以正式的逻辑符号表述为$$(\forall \epsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in D_f) [\, (\, x > \delta \,) \Rightarrow (\, \left| f(x) - L \right| < \epsilon \,) \,]$$ 则称 $L$ 为实函数 $f$ 于正无穷大（$\infty$）的极限，记作 $\lim_{x\to \infty}f(x)= L$

类似的，若假设＂对所有的 $\delta < 0$ 存在 $x \in D_f$ 使得 $x < \delta$ ＂，那在这种条件下，$L\in\mathbb{R}$，且若＂对所有 $\epsilon >0$，存在 $\delta < 0$，使得对所有的 $x \in D_f$ 只要 $x < \delta$ 时，有$\left|f(x)-L\right|<\epsilon$ ＂，或以正式的逻辑符号表述为$$(\forall \epsilon > 0)(\exists \delta < 0)(\forall x \in D_f) [\, (\, x < \delta \,) \Rightarrow (\, \left| f(x) - L \right| < \epsilon \,) \,]$$ 则称 $L$ 为实函数 $f$ 于负无穷大（$-\infty$）的极限，记作$\lim_{x\to -\infty}f(x)= L$

## 制限极限

直观上来讲，从数线左边逼近或右边逼近应该会得到一样的极限，为了把这个概念推广，需要函数限制的极限（也就是缩小定义域后的极限）：

定理

若 $A\cup B = D_f$ 且 $a$ 同时为 $A$ 和 $B$ 的极限点，则

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

等价于

$\lim_{x \to a} f|_A(x) = L$ 且 $\lim_{x \to a} f|_B(x) = L$上述定理的证明只须注意到 $a$ 也必为 $D_f$ 的极限点，然后把函数极限的定义展开，考虑到 $A\cup B = D_f$，还有对 $x \in A$ 取 $\delta_A$ 的和 $x \in B$ 取的 $\delta_B$，那只要取 $\delta$ 为 $\delta_A$ 和 $\delta_B$ 的最小值，对所有 $x \in D_f$ 就有 $(\, 0 < \left| x - a \right| < \delta \,) \Rightarrow (\, \left| f(x) - L \right| < \epsilon \,)$；反过来由原函数 $f$ 推出 $f|_A$ 和 $f|_B$ 的状况是非常显然的。

### 左右极限

若取

$$A = \big\{ x \in D_f \,|\, x \geq a \big\}$$

$$B = \big\{ x \in D_f \,|\, x \leq a \big\}$$

如果假设 $a$ 同时为 $A$ 和 $B$ 的极限点，那 $A$ 和 $B$ 显然符合上面定理的要求的，而这时

$$\lim_{x\to a}f|_A(x)=L$$

这个表达式会被别称为＂ $L$ 是实函数 $f$ 于 $a$ 的右极限＂，也可以用 $\lim_{x\to a^+}f(x)=L$ 表示。

类似的

$$\lim_{x\to a}f|_B(x)=L$$

这个表达式会被别称为＂ $L$ 是实函数 $f$ 于 $a$ 的左极限＂，也可以用 $\lim_{x\to a^-}f(x)=L$ 表示。

## 常用公式

### 有理函数

以下公式中，$n>0, a>1$。

- $$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0$$
- $$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{a^x} = 0$$
- $$\lim_{x \to 0^{+}}{1\over x} = +\infty$$
- $$\lim_{x \to 0^{-}}{1\over x} = -\infty.$$

### 无理函数

- $$\lim_{x \to \infty}\sqrt[x]{x} = 1$$
- $$\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$$

### 三角函数

- $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x} {x} = 1$$
- $$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x} {x} = 0$$

### 指数函数

- $$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x} \right)^{x} = \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$$
- $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x -1}{x} = 1$$
- $$\lim_{x \to 0^{+}} x^{x} = 1$$

### 对数函数

- $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$$
- $$\lim_{x \to 0^{+}} \ln x = - \infty$$
- $$\lim_{x \to +\infty} \ln x = + \infty$$