均轮和本轮

钧轮和本轮，或者本轮钧轮系统，是天文学中用来解释和描述天体运动的一套几何模型，在历史上的地心体系和日心体系中，他被用来解释月球、太阳和行星视运动的速度和方向。在这套体系里，本轮（epicycle，源自ἐπίκυκλος，字面是在圆之上）的意思在另一个圆圈之上运动的圆圈。本轮沿着运动的这个较大圆圈则被称之为钧轮（deferent）。本轮在数学和机械上也是一个重要概念。在那些领域，它更多的被称作周转圆。

本轮概念最初是由佩尔加的阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga）在纪元前3世纪末提出的。它由阿波罗尼奥斯和罗德岛的喜帕恰斯（Hipparchus）在纪元前2世纪发展并广泛的使用，然后在公元2世纪被底比斯的托勒密 （Claudius Ptolemy）正式收录在《天文学大成》之中。在喜帕恰斯和托勒密的地心体系中，本轮和钧轮的套用是解释行星与地球视距离变化和行星视逆行运动的关键假设。十六世纪时候，哥白尼发展了日心体系，在这一体系中，行星与地球的距离变化和行星的逆行都可以由地球的运动解释，不再需要本轮假设。但由于哥白尼体系保留了正圆形的行星轨道，所以仍然需要在轨道上加入本轮来保证行星位置的理论计算和天文观测数据相符。直到十七世纪初，开普勒发展了行星的椭圆轨道理论，本轮概念才被完全摈弃。

本轮-钧轮系统，尽管被证实错误，但历史上它在地心和日心体系中都较好的模拟了行星的真实轨道。在数学上运用傅立叶分析可以显示，足够数量的周转圆（本轮），可以以任意精度近似模拟任何平滑曲线。

## 概论

<image>

日心体系中的钧轮本轮模型，最早由阿波罗尼奥斯（公元前3世纪）提出，经由喜帕恰斯（公元前2世纪）发展，最终由公元2世纪的克劳狄乌斯·托勒密集大成，并在在其《天文学大成》（Almagest）中正式确立。

这一模型的核心概念包括：

- 本轮（Epicycles）：最初由阿波罗尼奥斯提出。这是行星运行的小型圆周，而本轮的中心则沿着以地球为中心的大圆（称为“均轮”）移动。这两个圆都大致平行于太阳的轨道平面（黄道）顺时针旋转。这解释了为什么行星在夜空中会变慢并“逆行”。
- 偏心圆（Eccentrics）：由喜帕恰斯引入并广泛应用。尽管这个系统是以地心为名，但每颗行星的钧轮运动其实不是以地球为中心，而是以地球稍远，称为偏心点（或偏心）的一个点为中心。在这个系统中，行星的轨道与外旋轮线相似。正因为地球不在钧轮的正中心，这可以解释行星运行速度在视觉上的变化：离地球最近时看似变快，最远时看似变慢。
- 均衡点（The Equant）：这是由托勒密引入的机制，用来进一步拟合行星的速度变化。托勒密发现旧有模型无法完全调和巴比伦的观测数据，特别是在可见的逆行形状和大小上的差别。他引入一个与均轮中心（偏心点）错开的点（均衡点）。均衡点在偏心点的另一边，与地球位置相对且等距，从这个点观察，本轮的运动速度是完全匀速的。托勒密通过均衡点将本轮中心点在钧轮上的运动和均轮自身的运动分离开来。钧轮是相对于偏心点匀速运动，但本轮中心在钧轮上的运动却是相对于均衡点匀速的。

托勒密在《天文学大成》中并没有计算行星均轮的相对大小，所以行星的排列顺序也没有完全确定下来。后来，他在《行星假设》一书中计算了距离，（见下表的第一列数据），并据此确定了行星在地心体系中的排列顺序。

天体｜平均距离（地球半径）｜现代值（半长轴地球半径）｜比率（现代/托勒密）｜比率（现代/托勒密以太阳=1做标准）

月球｜00,048.0｜000,060.3｜1.26｜0.065

水星｜00,115.0｜009,090.0｜79.0｜4.100

金星｜00,622.5｜16,980.0｜27.3｜1.400

太阳｜1,210.0｜23,480.0｜19.4｜1

火星｜5,040.0｜35,780.0｜7.10｜0.37

木星｜11,504.0｜122,200.0｜10.6｜0.55

土星｜17,026.0｜225,000.0｜13.2｜0.68

恒星层｜20,000.0｜不适用｜不适用｜不适用

托勒密的模型能较为准确地预测行星位置，并统治了天文学界一千多年，直到哥白尼提出日心说，将行星运动所环绕的中心从地球移到太阳。哥白尼依旧坚持天体的匀速圆周运动观念，这导致他的模型不得不继续采用均轮与本轮系统，以保证模型预测符合观测数据。

和托勒密体系相比，哥白尼日心体系下的钧轮本轮系统有以下特点：

- 体系的中心是太阳，而非地球。地球和其他行星同样围绕太阳运转，而月亮则围绕地球运转。
- 对逆行的解释不再需要本轮的存在。日心体系认为逆行是视觉效应，由地球和行星在不同轨道上的公转速度差导致（行星被地球“超车”）。
- 使用更小的本轮。哥白尼称其为“小轮”（epicyclets）。
- 废除了均衡点。哥白尼认为均衡点违背了真正的均匀圆周运动。

直到17世纪初，约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler）证明行星轨道其实是椭圆形，抛弃匀速圆周运动，才真正简化了宇宙模型，彻底终结了长达千年的钧轮本轮系统。

## 历史

当古代的天文学家注视天空时，他们看见太阳、月球和星星在头顶上以规律的型式运动，他们也看见“漫游者”，即我们所谓的行星。行星在空间中的运动更加复杂但并非无规可循。古巴比伦人的观测表明，外侧行星在夜空中的移动速度通常会比恒星慢。每天晚上，这颗行星似乎都落后于恒星，这称为顺行运动。在靠近冲的附近时，行星会出现相反方向的运动，并且在夜空中移动得比恒星快，这称之为逆行，之后会再次反转并恢复向前的运动。内侧行星则永远在太阳的附近，只在日出前不久或日落后不久短暂的出现在夜空。它们的逆行运动发生在穿越地球和太阳之间，即昏星与晨星转换的过程。

行星在运动上的规律表明，它们的位置可能也是可以预测的。预测天体运动问题最直观的方法是根据星场绘制它们的位置，然后使用数学函数与不断变化的位置拟合，换句话说，就是为行星的运动建立模型。

<image>

最初的行星运动模型是公元前4世纪的古希腊哲学家亚里士多德的同心球模型。在这个模型中，太阳，月亮和习惯行星都以地球为中心，以多层同心球的方式环绕地球运动。为了解释逆行，一个行星被配以多个不同转动方向和速度的同心球。

公元前3世纪的阿波罗尼奥斯意识到行星的逆行和运动速度的变化可以通过小圆形轨道（本轮）在较大的圆形轨道（均轮）上旋转来解释。公元前2世纪的希腊天文学家喜帕恰斯发展了这一理论，并引入了偏心点的概念来拟合行星视运动速度的变化。

公元2世纪的克劳狄乌斯·托勒密进一步完善了均轮和本轮的模型，并引入了均衡点来改善对行星运动速度变化的计算。经他完善的本轮模型，在当时被证明是相当准确的，并且直到哥白尼时代都仍在使用。

<image>

到了16世纪，随着天文观测水平的提高，托勒密模型和实际观测数据之间的差别开始被注意到。根据欧文·金格瑞契的叙述，哥白尼在1504年通过对一次行星合的观测，发现相对于以托勒密模型编纂的标准星表，"火星的位置超出2度以上，土星则落后了1.5度。"使用现代的计算机程序计算，金格瑞契证实在那次合的时刻，土星确实落后表中数值1.5度，火星则超前约2度。

哥白尼开始对托勒密体系进行改造，将基于地球观测的结果转为日心座标。哥白尼依旧不能摆脱古希腊哲学的传统观念，即天体必须进行“完美的圆形轨道”运动，并且天体的运动应该是匀速的，这导致他的模型依然不能准确的描述行星的运动。根据过去的经验，哥白尼在他的理论中继续使用均轮和本轮来实现更好的数据拟合，不同的是他的本轮很小，被称为 "小轮"（epicyclets）。

相比于托勒密体系，哥白尼的模型体现出很多优势。哥白尼的理论至少和托勒密的一样准确，但它对行星逆行的解释完全不需要本轮概念。哥白尼模型为拟合轨道数据而使用的本轮较小，而且数目也较少。（对后者历史上有所争议，参见下节“本轮数目的争议”。）哥白尼根据他的模型，可以计算出各个行星的轨道大小，并以此行星的排列顺序。他对行星轨道大小的估算和今天我们知道的数据非常接近。

<image>

托勒密和哥白尼的理论证明了用均轮和本轮来拟合行星的运动是非常有效的。（参见后面“本轮拟合的有效性”一节。）年顿在1702年出版的《月球运动理论》一书，仍然运用了一些本轮，以使星历表精度可以达到弧分；一些地区对本轮的使用持续了到19世纪以后。

第一个没有本轮的行星模型是在西班牙安达鲁斯的伊本·巴哲（阿文佩斯）在12世纪提出的，但直到17世纪，开普勒的椭圆轨道模型逐渐取代了哥白尼基于完美圆圈的模型，欧洲才彻底消除了均轮和本轮的运用。

牛顿的经典力学为行星轨道的计算提供了更优越的理论。通过牛顿的万有引力定律推导出的运动方程式，可以非常精确地计算行星的轨道和预测位置。特别是海王星的发现说明了牛顿力学解决轨道力学问题的能力。天文学家通过对天王星轨道中观察到的扰动进行分析，预言了新行星的存在，并估算出这颗新行星的位置，并最终导致了海王星的发现，这是不可能由均轮和本轮系统来实现的。本轮系统的拟合，无论其精度有多高，也无法预测未知行星的轨道。

## 本轮数目的争议

天文学史上一个比较通行的看法是，人们通过长期累绩的更加精确的天文学观测，发现原始的托勒密系统存在缺陷。于是天文学家开始在模型中增加更多的本轮（本轮上嵌套本轮﹚，以期得到对行星运动观测数据的更准确匹配。到16世纪，增加的环圈越来越多，导致一个行不通而几乎无法运作的系统，而哥白尼创造的日心系统，简化了当时的托勒密天文学，从而成功的大量减少环圈的数量。比如下面的论述：

随着更精确地观测，更多的环圈和偏心被用来解释新观测到的现象。到了中世纪后期，宇宙成为一个球体与许多中心和偏心泛滥的轨道，循环和周转圆充斥在天球的轨道上。

1960年代的《大英百科全书》，也引用了13世纪的卡斯提尔的国王阿方索十世（阿方索星历表被认为是他创建的。﹚的话：

到这个时候，每颗行星都需要40到60个周转圆，才能描述它在星空之间复杂的运动。阿方索对这个项目的困难感到惊讶，他感叹的说，如果由他来创造，他可能会给更佳的建议。

一般认为，以复杂性作为衡量的标准，托勒密的环圈数多达80个，哥白尼只有34个。

但也有历史学家对这一叙述提出了质疑。他们指出在研究中世纪文艺复兴时期的托勒密天文学书籍时，并没有发现天文学家大规模增加嵌套本轮的历史记录。而且在均轮和本轮的模型本身来看，整体部分是相互关联的。参数的更改，可以改善在一个位置的拟合，但在某些地方又会不合，过多增加本轮并不能提高模型的有效性，托勒密的最初模型可能是综合效能最佳的。有经验的天文学家会认识到这点。他们的研究表明，阿方索星历表显然是使用了托勒密最初未经修饰的方法计算的。

他们认为传统的历史叙述夸大了托勒密体系的本轮数量，缩小了哥白尼体系的本轮数量。在16世纪，哥白尼和托勒密模型使用的本轮数量实际上是大致相等的。哥白尼系统34个本轮的数字，来自他自己一份未经发表，名为《评论》的文章中的陈述。但当他出版《天体运行论》时，哥白尼增加了更多的圆圈，创造了一个同样复杂的系统。柯斯特勒（Koestler）在他《人类对宇宙的视觉史》中提到，在哥白尼体系中，等同于本轮的环有48个。而托勒密体系80个本轮的说法，可能是来自于在1898年流行的欧多克索斯系统，使用77或79个球体，但该系统受到非托勒密系统的吉罗拉莫·弗拉卡斯托罗的影响。有证据表明，在哥白尼的年代，普尔巴赫（Purbach）已将托勒密系统简化为40个本轮；因此，哥白尼系统和托勒密系统在复杂性上是相似的。

## 本轮拟合的有效性

本轮-钧轮系统，尽管被证实错误，但历史上它在地心和日心体系中都较好的模拟了行星的真实轨道。

历史学家诺伍德·罗素·汉森曾说过：

在天体物理学或观测天文学的中，没有任何一个双边对称或者偏心周期的曲线，不可以用有限数目，相互嵌套，围绕钧轮运转的本轮系统平滑地模拟出来。

在数学上运用傅立叶分析可以显示，足够数量的周转圆（本轮），可以以任意精度近似模拟任何平滑曲线。任何路径，无论有无周期、封闭或开放，都可以用无限数量的周转圆表示。

这是因为周转圆可以表示为复杂的傅立叶级数；因此，对于大量的周转圆，复杂的路径，可以在复平面中表示

让复数$$z_0=a_0 e^{i k_0 t}\,,$$ 此处的a0和k0 是常数， i = −1是虚数单位，和t是时间，对应于以复平面的原点为中心，半径为a0的均轮和角速度为$$k_0=\frac{2\pi}{T}\,,$$ 此处T是周期。

如果z1是一个周转圆的路径，然后均轮加上本轮表示为总和$$z_2=z_0+z_1=a_0 e^{i k_0 t}+a_1 e^{i k_1 t}\,.$$ 这是一个概周期函数，并且当比率常数kj是一个有理数时，则是一个周期函数。归纳为N个周转圆，则概周期函数$$z_N=\sum_{j=0}^N a_j e^{i k_j t}\,,$$ 当每个kj都是有理数时，这就是周期性的。寻找到合适的系数aj在复平面上与时间相关的路径z = f(t)，就能够复制均轮和本轮的轨道，这是一个科学模式的应用。

古希腊的天文计算设备安提基特拉机械使用多个个齿轮的组合来计算月球的位置和相位，这其中就运用了本轮（周转圆）的运动理论。

## 外部链接

- Ptolemaic System – at Rice University's Galileo Project
- Eccentrics, Deferents, Epicycles, and Equants at MathPages

### 动画、插图

- Java simulation of the Ptolemaic System – at Paul Stoddard's Animated Virtual Planetarium, Northern Illinois University
- Epicycle and Deferent Demo – at Rosemary Kennett's website at the University of Syracuse
- A flash animation showing epicycles with adjustable parameters and presets for various planets.
- An Applet showing the principle of the epicycle, with a side-by-side comparison of the geocentric and heliocentric models.
- An excellent presentation on Ptolemy, Copernicus, Brahe and Kepler, based on Kepler's writings. Part 1 examines the different systems and their equivalence, Parts 2 and onwards examine Kepler's derivation of his laws.
- Ptolemy and Homer (Simpson) Reconstruction of a planet's bizarre orbit with Ptolemy's system of epicycles and deferents.