帕斯卡矩阵

帕斯卡矩阵是以组合数为元素的矩阵。

5阶帕斯卡上三角矩阵（$U_5$）｜5阶帕斯卡下三角矩阵（$L_5$）｜5阶帕斯卡对称矩阵（$S_5$）

$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\0 & 0 & 1 & 3 & 6 \\0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$｜$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\1 & 3 & 3 & 1 & 0 \\1 & 4 & 6 & 4 & 1\end{pmatrix}$｜$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\1 & 3 & 6 & 10 & 15 \\1 & 4 & 10 & 20 & 35 \\1 & 5 & 15 & 35 & 70\end{pmatrix}$

其中$S_n=L_n U_n$

## 性质

帕斯卡对称矩阵$S_n$的元素为：

$$S_{ij} = \binom {i+j-2}{i-1}$$

$S_n$的迹为：

$tr(S_n) = \sum^n_{i=1} \frac{ [ 2(i-1) ] !}{[(i-1)!]^2} = \sum^{n-1}_{k=0} \frac{ (2k) !}{(k!)^2}$ （OEIS:A006134）

帕斯卡下三角矩阵$L_6$的逆为：

$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 3 & 3 & 1 & 0 & 0\\1 & 4 & 6 & 4 & 1 & 0\\1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1\end{pmatrix}^{-1} =\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0\\-1 & 3 & -3 & 1 & 0 & 0\\1 & -4 & 6 & -4 & 1 & 0\\-1 & 5 & -10 & 10 & -5 & 1\end{pmatrix}$$

帕斯卡矩阵可从超对角矩阵的指数构造出来：

$$\begin{array}{lll} & L_7=\exp \left ( \left [ \begin{smallmatrix} . & . & . & . & . & . & . \\ 1 & . & . & . & . & . & . \\ . & 2 & . & . & . & . & . \\ . & . & 3 & . & . & . & . \\ . & . & . & 4 & . & . & . \\ . & . & . & . & 5 & . & . \\ . & . & . & . & . & 6 & . \end{smallmatrix} \right ] \right ) = \left [ \begin{smallmatrix} 1 & . & . & . & . & . & . \\ 1 & 1 & . & . & . & . & . \\ 1 & 2 & 1 & . & . & . & . \\ 1 & 3 & 3 & 1 & . & . & . \\ 1 & 4 & 6 & 4 & 1 & . & . \\ 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 & . \\ 1 & 6 & 15 & 20 & 15 & 6 & 1 \end{smallmatrix} \right ] ;\quad \\ \\ & U_7=\exp \left ( \left [ \begin{smallmatrix} . & 1 & . & . & . & . & . \\ . & . & 2 & . & . & . & . \\ . & . & . & 3 & . & . & . \\ . & . & . & . & 4 & . & . \\ . & . & . & . & . & 5 & . \\ . & . & . & . & . & . & 6 \\ . & . & . & . & . & . & . \end{smallmatrix} \right ] \right ) = \left [ \begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ . & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ . & . & 1 & 3 & 6 & 10 & 15 \\ . & . & . & 1 & 4 & 10 & 20 \\ . & . & . & . & 1 & 5 & 15 \\ . & . & . & . & . & 1 & 6 \\ . & . & . & . & . & . & 1 \end{smallmatrix} \right ] ; \\ \\ & S_7 =\exp \left ( \left [ \begin{smallmatrix} . & . & . & . & . & . & . \\ 1 & . & . & . & . & . & . \\ . & 2 & . & . & . & . & . \\ . & . & 3 & . & . & . & . \\ . & . & . & 4 & . & . & . \\ . & . & . & . & 5 & . & . \\ . & . & . & . & . & 6 & . \end{smallmatrix} \right ] \right ) \exp \left ( \left [ \begin{smallmatrix} . & 1 & . & . & . & . & . \\ . & . & 2 & . & . & . & . \\ . & . & . & 3 & . & . & . \\ . & . & . & . & 4 & . & . \\ . & . & . & . & . & 5 & . \\ . & . & . & . & . & . & 6 \\ . & . & . & . & . & . & . \end{smallmatrix} \right ] \right ) = \left [ \begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 1 & 3 & 6 & 10 & 15 & 21 & 28 \\ 1 & 4 & 10 & 20 & 35 & 56 & 84 \\ 1 & 5 & 15 & 35 & 70 & 126 & 210 \\ 1 & 6 & 21 & 56 & 126 & 252 & 462 \\ 1 & 7 & 28 & 84 & 210 & 462 & 924 \end{smallmatrix} \right ]. \end{array}$$

映射出正负相间的伯努利数：

$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0\\1 & 2 & 1 & 0\\1 & 3 & 3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\-1/2\\1/6\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\1/2\\1/6\\0\end{pmatrix}$$

## 应用

利用帕斯卡矩阵的逆求解线性方程与等幂求和问题，例如：

$$\sum_{i=1}^{n} i^{3} = \begin{pmatrix} C^n_1 & C^n_2 & C^n_3 & C^n_4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1^3 \\ 2^3 \\ 3^3 \\ 4^3 \end{pmatrix}= C^n_1+7C^n_2+12C^n_3+6C^n_4$$