动量映射

在数学，尤其在辛几何中，动量映射是一个与辛流形上的李群的哈密顿作用有关的工具，可用于构造作用的守恒量。动量映射推广了经典的 动量和角动量。它在各种辛流形的建立中是一个重要的部分，包括将会在后面讨论的symplectic (Marsden–Weinstein) quotients，以及symplectic cuts和sums。

## 正式定义

令 M 是一个配有辛形式 ω 的流形。假定一个李群 G 通过辛同胚作用在 M 上（也就是每个 G 中的 g 保持 ω）。令 $\mathfrak{g}$ 是 G 上的李代数，$\mathfrak{g}^*$ 是它的对偶，且令

$$\langle, \rangle : \mathfrak{g}^* \times \mathfrak{g} \to \mathbf{R}$$

是两者间的pairing。任一$\mathfrak{g}$中的ξ诱导了 M 上的一个向量场 ρ(ξ) 以描述ξ的无限小作用。更精确地说，向量场 $\rho(\xi)_x$ 在M上一点x是

$$\left.\frac{d}{dt}\right|_{t = 0} \exp(t \xi) \cdot x,$$

其中 $\exp : \mathfrak{g} \to G$ 是指数映射并且 $\cdot$ 表示 M 上的 G-作用。令 $\iota_{\rho(\xi)} \omega \,$ 表示 向量场与 ω 的缩并。由于 G 通过辛同胚作用，它意味着对于 $\mathfrak{g}$ 中所有的ξ，$\iota_{\rho(\xi)} \omega \,$ 是闭形式。

一个在(M，ω)上的 G-作用的动量映射是一个映射 $\mu : M \to \mathfrak{g}^*$，对于 $\mathfrak{g}$ 中所有的ξ满足

$$d(\langle \mu, \xi \rangle) = \iota_{\rho(\xi)} \omega$$。这里 $\langle \mu, \xi \rangle$ 是通过 $\langle \mu, \xi \rangle(x) = \langle \mu(x), \xi \rangle$ 定义的从 M 到 R 的函数。动量映射在差一个积分的常数的程度上是唯一定义的。

一个动量映射经常也要求是 G-等价的，这里 G 通过余伴随作用作用在 $\mathfrak{g}^*$ 上。如果群是紧的或半单的，那么总是选择积分常数使动量映射是余伴随等价的; 但是通常余伴随作用必须被修正以使映射等价(this is the case for example for the Euclidean group). The modification is by a 1-cocycle on the group with values in $\mathfrak{g}^*$，as first described by Souriau (1970).

## 哈密顿群作用

动量映射的定义要求 $\iota_{\rho(\xi)} \omega$是闭形式。在实际中一个更强的假定是有用的。G-作用被称作是哈密顿的当且仅当当以下的条件满足。首先，对于 $\mathfrak{g}$ 中的每一个ξ，1-形式 $\iota_{\rho(\xi)} \omega$ 是恰当的，这意味着它对于一些光滑函数

$$H_\xi : M \to \mathbf{R}.$$

等于 $dH_\xi$。

如果这成立，那么我们可以选择 $H_\xi$ 使映射 $\xi \mapsto H_\xi$ 为线性。第二个使G-作用是哈密顿的要求是映射 $\xi \mapsto H_\xi$ 是一个从 $\mathfrak{g}$ 到 M 在泊松括号下的光滑函数的代数的李代数同态。

如果 G 在(M，ω)上的作用在这个意义上是哈密顿的，那么一个动量映射是映射 $\mu : M\to \mathfrak{g}^*$，这样 $H_\xi = \langle \mu, \xi \rangle$ 定义了一个李代数同态 $\xi \mapsto H_\xi$ 满足 $\rho(\xi) = X_{H_\xi}$. 这里 $X_{H_\xi}$ 是一个由哈密顿函数 $H_\xi$ 通过

$$\iota_{X_{H_\xi}} \omega = d H_\xi.$$

定义的向量场。

## 例子

In the case of a Hamiltonian action of the circle G = U(1)，the Lie algebra dual $\mathfrak{g}^*$ is naturally identified with R，and the 动量映射 is simply the Hamiltonian function that generates the circle action.

Another classical case occurs when M is the cotangent bundle of R3 and G is the Euclidean group generated by rotations and translations. That is，G is a six-dimensional group，the semidirect product of SO(3) and R3. The six components of the 动量映射 are then the three angular momenta and the three linear momenta.

## Symplectic quotients

Suppose that the action of a compact Lie group G on the symplectic manifold (M，ω) is Hamiltonian，as defined above，with 动量映射 $\mu : M\to \mathfrak{g}^*$. From the Hamiltonian condition it follows that $\mu^{-1}(0)$ is invariant under G.

Assume now that 0 is a regular value of μ and that G acts freely and properly on $\mu^{-1}(0)$. Thus $\mu^{-1}(0)$ and its quotient $\mu^{-1}(0) / G$ are both manifolds. The quotient inherits a symplectic form from M; that is，there is a unique symplectic form on the quotient whose pullback to $\mu^{-1}(0)$ equals the restriction of ω to $\mu^{-1}(0)$. Thus the quotient is a symplectic manifold，called the Marsden–Weinstein quotient，symplectic quotient or symplectic reduction of M by G and is denoted $M/\!\!/G$. Its dimension equals the dimension of M minus twice the dimension of G.