本构方程

本构方程（constitutive equation）是描述介质或场的两个或多个物理量性质的方程，常涉及与运动学量相关的动理学量；此类反映介质或场特定性质的关系与数学模型，称为本构关系（constitutive relation），其近似地描述了物理量对外部刺激（通常为施加的场或力）的响应。在字面上，“本” 是物理量的本质属性，“构” 是对于物理量受刺激产生响应的构建。

在电磁学的宏观马克士威方程组应用中，必须分别找到$\mathbf{D}$场与$\mathbf{E}$场之间，和$\mathbf{H}$场与$\mathbf{B}$场之间的关系。这些称为本构关系的物理性质，设定了束缚电荷和束缚电流对于外场的响应。它们实际地对应于，一个物质响应外场作用而产生的电极化或磁化。

本构关系式的基础建立于$\mathbf{D}$场与$\mathbf{H}$场的定义式：

$\mathbf{D}(\mathbf{r}, t)\ \stackrel{def}{=}\ \epsilon_0 \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) + \mathbf{P}(\mathbf{r}, t)$。

$\mathbf{H}(\mathbf{r}, t)\ \stackrel{def}{=}\ \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) - \mathbf{M}(\mathbf{r}, t)$。

其中，$\mathbf{P}$是电极化强度，$\mathbf{M}$是磁化强度。

本构关系式的一般形式为

$\mathbf{D}=\mathbf{D}(\mathbf{E}, \mathbf{B})$。

$\mathbf{H}=\mathbf{H}(\mathbf{E}, \mathbf{B})$。

在解释怎样计算电极化强度与磁化强度之前，最好先检视一些特别案例。

## 自由空间案例

假设，在自由空间（即理想真空）里，就不用考虑介电质和磁化物质，本构关系式变得很简单：

$\mathbf{D} = \varepsilon_0\mathbf{E}$。

$\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu_0$。

将这些本构关系式代入宏观马克士威方程组，则得到的方程组很像微观马克士威方程组，当然，在得到的高斯定律方程式和马克士威-安培方程式内，总电荷密度和总电流密度分别被自由电荷密度和自由电流密度替代。这符合期待的结果，因为，在自由空间里，没有束缚电荷、束缚电流和极化电流。

## 线性物质案例

对于线性、各向同性物质，本构关系式也很直接：

$\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}$。

$\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu$。

其中，$\varepsilon$是物质的电容率，$\mu$是物质的磁导率。

将这些本构关系式代入宏观马克士威方程组，可以得到方程组

名称｜微分形式｜积分形式

高斯定律｜$\nabla \cdot(\varepsilon \mathbf{E}) =\rho_f$｜$\iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset(\varepsilon \mathbf{E})\cdot\mathrm{d}\mathbf{s} = Q_f$

高斯磁定律｜$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$｜$\iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathbf B\cdot\mathrm{d}\mathbf{s} = 0$

马克士威-法拉第方程(法拉第电磁感应定律)｜$\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$｜$\oint_{\mathbb{L}}\ \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= - \frac {\mathrm{d} \Phi_{\mathbf{B}}}{\mathrm{d} t}$

安培定律(含马克士威加法)｜$\nabla \times (\mathbf{B}/\mu) = \mathbf{J}_f + \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ $｜$\oint_{\mathbb{L}}\ (\mathbf{B}/\mu) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= I_f + \frac {\mathrm{d} \Phi_{\varepsilon\mathbf{E}}}{\mathrm{d} t}$

除非这物质是均匀物质，不能从微分式或积分式内提出电容率和磁导率。通量$\Phi_{\varepsilon\mathbf{E}}$的方程式为

$\Phi_{\varepsilon\mathbf{E}}=\iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\varepsilon\mathbf{E} \cdot\mathrm{d}\mathbf{s}$。

这方程组很像微观马克士威方程组，当然，在得到的高斯定律方程式和马克士威-安培方程式内，自由空间的电容率和磁导率分别被物质的电容率和磁导率替代；还有，总电荷密度和总电流密度分别被自由电荷密度和自由电流密度替代。这符合期待的结果，因为，在均匀物质内部，没有束缚电荷、束缚电流和极化电流，虽然由于不连续性，可能在表面会有面束缚电荷、面束缚电流或面极化电流。

## 一般案例

对于实际物质，本构关系并不是简单的线性关系，而是只能近似为简单的线性关系。从$\mathbf{D}$场与$\mathbf{H}$场的定义式开始，要找到本构关系式，必需先知道电极化强度和磁化强度是怎样从电场和磁场产生的。这可能是由实验得到（建立于直接测量），或由推论得到（建立于统计力学、传输力学（transport phenomena）或其它凝聚态物理学的理论）。所涉及的细节可能是宏观或微观的。这都要视问题的层级而定。

虽然如此，本构关系式通常仍旧可以写为

$\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}$。

$\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu$。

不同的是，$\varepsilon$和$\mu$不再是简单常数，而是函数。例如。

- 色散或吸收：$\varepsilon$和$\mu$是频率的函数。因果论不允许物质具有非色散性，例如，克拉莫-克若尼关系式。场与场之间的相位可能不同相，这导致$\varepsilon$和$\mu$为复值，也导致电磁波被物质吸收。
- 非线性：$\varepsilon$和$\mu$都是电场与磁场的函数。例如，克尔效应和波克斯效应（Pockels effect）。
- 各向异性：例如，双折射或二向色性（dichroism）。$\varepsilon$和$\mu$都是二阶张量：

$D_i = \sum_j \epsilon_{ij} E_j$。

$B_i = \sum_j \mu_{ij} H_j$。

- 双耦合各向同性（Bi-isotropy）或双耦合各向异性（Bi-anisotropy）：在双耦合各向同性物质里，$\mathbf{D}$场与$\mathbf{H}$场分别各向同性地耦合于$\mathbf{E}$场与$\mathbf{B}$场：

$\mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E}+\xi \mathbf{H}$。

$\mathbf{B}= \mu \mathbf{H} + \zeta \mathbf{E}$。

其中，$\xi$与$\zeta$是耦合常数，每一种介质的内禀常数。

在双耦合各向异性物质里，$\mathbf{D}$场与$\mathbf{H}$场分别各向异性地耦合于$\mathbf{E}$场与$\mathbf{B}$场，系数$\epsilon$、$\mu$、$\xi$、$\zeta$都是张量。

- 在不同位置和时间，$\mathbf{P}$场与$\mathbf{M}$场分别跟$\mathbf{E}$场、$\mathbf{B}$场有关：这可能是因为“空间不匀性”。例如，一个磁铁的域结构、异质结构或液晶，或最常出现的状况是多种材料占有不同空间区域。这也可能是因为随时间而改变的物质或磁滞现象。对于这种状况，$\mathbf{P}$场与$\mathbf{M}$场计算为

$\mathbf{P}(\mathbf{r}, t) = \varepsilon_0 \int d^3 \mathbf{r}' d t'\; \chi_{\mathrm{e}} (\mathbf{r}, \mathbf{r}', t, t'; \mathbf{E})\, \mathbf{E}(\mathbf{r}', t')$。

$\mathbf{M}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{\mu_0} \int d^3 \mathbf{r}' d t' \; \chi_{\mathrm{m}} (\mathbf{r}, \mathbf{r}', t, t'; \mathbf{B})\, \mathbf{B}(\mathbf{r}', t')$。

其中，$\chi_{\mathrm{e}}$是电极化率，$\chi_{\mathrm{m}}$是磁化率。

实际而言，在某些特别状况，一些物质性质给出的影响微乎其微，这允许物理学者的忽略。例如，在低场强度状况，光学非线性性质可以被忽略；当频率局限于狭窄带宽内时，色散不重要；对于能够穿透物质的波长，物质吸收可以被忽略；对于微波或更长波长的电磁波，有限电导率的金属时常近似为具有无穷大电导率的完美金属（perfect metal），形成电磁场穿透的趋肤深度为零的硬障碍。

随着材料科学的进步，材料专家可以设计出具有特定的电容率或磁导率的新材料，像光子晶体。

## 本构关系的演算

通常而言，感受到局域场施加的劳仑兹力，介质的分子会有所响应，从相关的理论计算，可以得到这介质的本构关系式。除了劳仑兹力以外，可能还需要给出其它作用力的理论模型，像涉及晶体内部晶格振动的键作用力，将这些作用力纳入考量，一并计算。

在介质内部任意分子的位置$\mathbf{r}$，其邻近分子会被电极化和磁化，从而造成其局域场会与外场或宏观场不同。更详尽细节，请参阅克劳修斯-莫索提方程式。真实介质不是连续性物质，其局域场在原子尺度的变化相当剧烈，必需经过空间平均，才能形成连续近似。

这连续近似问题时常需要某种量子力学分析，像应用于凝聚态物理学的量子场论。请参阅密度泛函理论和格林-库波关系式（Green–Kubo relations）等等案例。物理学者研究出许多近似传输方程式，例如，波兹曼传输方程式（Boltzmann transport equation）、佛克耳-普朗克方程式（Fokker–Planck equation）和纳维-斯托克斯方程式。这些方程式已经广泛地应用于流体动力学、磁流体力学、超导现象、等离子模型（plasma modeling）等等学术领域。一整套处理这些艰难问题的物理工具已被成功地发展出来。另外，从处理像砾岩（conglomerate）或叠层材料（laminate）一类物质的传统方法演变出来的“均质化方法”，是建立于以“均质有效介质”来近似“非均质介质”的方法。当激发波长超大于非均质性的尺度时，这方法正确无误。

理论得到的答案必须符合实验测量的数据。许多真实物质的连续近似性质，是靠着实验测量而得到的。例如，应用椭圆偏振技术得到的薄膜的介电性质。