重合几何

在数学里，重合几何（Incidence geometry）是研究重合结构的一门学科。欧氏平面之类的几何是一个复杂的数学物件，包含长度、角度、连续性、中间性与重合关系。当其他的概念都被去掉，剩下的就只有“重合结构”，有关哪个点会位于哪条线上的资讯。即使有这样严格的限制，还是有定理可被证明，而且存在着与此一结构有关之有趣事实。这样的基本结论在其他概念被加回来形成较丰富的几何时，仍然有效。有时，一些作者会搞混研究与研究的物件之间的不同之处，所以有些作者会将重合结构指为重合几何，这并不令人意外。

重合结构会自然地出现于各个不同的数学领域之内，并已被许多人研究过。因此，存在着许多不同的词汇用来描述此一物件。在图论里，重合结构被称为超图；而在组合设计理论里，则被称为区块设计。除了词汇的不同外，每个领域也以不同的方式处理此一物件，并对这些物件与该学科有关的一类问题感兴趣。使用几何的语言，如同在重合几何内一般，形状即时常会被作为主题与范例。不过，将其中一个学科里的结论转换成另一学科里的用词是可能的，虽然这往往会导致难以操作且令人费解的陈述，不像是该主题原本的一部分。在本条目里，只会选择使用能自然呈现几何语言的范例。

其中最令人感兴趣的例子为在欧氏平面上的有限点集合，可由重合结构决定线的数量与类型。因为只考虑重合性质，上述情形所得之部分结论可延伸至更一般的设定上。

## 重合结构

重合结构 (P, L, I)包含一个其元素被称为“点”的集合 P、一个其元素被称为“线”的不相交集合 L，以及两个集合间的“重合关系” I，即 P × L 的子集（其元素被称为“标记”）。若 (A, l) 是一个标记，则称 A 重合于 l 或 l 重合于 A（此一关系具对称性），且写作 A I l。直上，一个点与一条线在此一关系内，当且仅当该点位于该线上。给定一个点 B 与一条线 m，使其不组成一个标记，亦该点不位于该线上，则 (B, m) 被称为“非标记”。

### 重合结构里的距离

重合结构里并没有距离（度量）的概念。不过，组合度量可存在于相对应的重合图（勒维图）里，即为二分图内两个顶点间最短道路的长度。重合结构内两个物件（两个点、两条线或一个点与一条线）的距离，可被定义为与重合结构相对应之重合图内，对应之顶点间的距离。

另一种定义距离的方式，再度使用于图论中的概念，此次为与重合结构相对应之“共线图”。共线图的顶点为重合结构的点，且两个点互连，若存在一条线重合这两个点。重合结构内两个点的距离可定义为共线图内两个顶点的距离。

当于重合结构内考量距离时，有必要提及其定义方式。

## 部分线性空间

最常被研究的重合结构会附加上一些额外的性质（公理），如投影平面、仿射平面、广义多边形、部分几何与近多边形等。极为一般的重合结构可透过附加“温和”的条件取得，如：

部分线性空间为一重合结构，使得下列公理为真：

- 每对不同点至多决定一条线。
- 每条线至少包含两个不同的点。

在部分线性空间里，每对不同条线相交于至多一个点上。此一陈述不须作为公理的一部分，因为可由上述公理中简单地被证明出来。

此外，可更进一步加上正则条件之限制：

RLk：每条线会重合的点之数量均相同。若该数为有限，通常标记为 k。

RPr：每个点会重合的线之数量均相同。若该数为有限，通常标记为 r。

部分线性空间的第二个公理蕴涵着 k > 1。两个正则条件不会互相蕰涵，所以必须假定 r > 1。

有限部分线性空间若满足正则条件，且 有限部分线性空间若满足正则条件，且 k, r > 1，则称之为“策略配置”（tactical configuration）。一些作者会简单称之为配置，或“投影配置”。若一策略配置有 n 个线与 m 条线，则透过重复计算标记，可建立 nr = mk 此一关系式，通常标记为 (nr, mk) 配置。在 n = m （因此 r = k）时， (nk, nk) 通常简写为 (nk)。

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线性空间为一部分线性空间，使得：

- 每对不同点恰好决定一条线。

一些作者会在(部分)线性空间里加上“非退化”（或“非平凡”）公理，如：

- 存在至少两条不同的线。

这被用来排除一些非常小的例子（主要是集合 P 或 L 内少于2个元素之情形），这些例子通常会成为与重合结构有关之一般陈述的例外。另一种附加公理的方式为，将不符合公理的重合结构称为“平凡”的；符合的则称为“非平凡”的。

每个非平凡线性空间包含至少三个点与三条线，因此最简单的非平凡线性空间为一三角形。

线性空间里若每条线上至少有三个点，则称之为西尔维斯特-加莱配置。

## 基本几何例子

重合几何里的一些基本概念与术语源自于几何之中，尤其是仿射平面与投影平面。

### 投影平面

“投影平面”是一个线性空间，使得：

- 每对不同的线会相交于恰好一个点上。

以及非退化条件：

存在四个点，使得不存在三个这些点共线。

在投影平面里，点 P 与线 L 间存在着对射。若 P 为一有限集合，该投影平面称之为“有限”投影平面。有限投影平面的阶为 n = k - 1，即线上的点之数量减一。所有已知的投影平面均有质数幂次的阶。n 阶投影平面为 ((n2 + n + 1)n + 1) 配置。

最小的投影平面有二阶，并被称为“法诺平面”。

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#### 法诺平面

此一著名的重合几何系由意大利数学家基诺·法诺研究而得。在证明 n 维投影空间公理之独立性的过程中，法诺发现了一个具15个点、35条线及15个平面的有限三维空间，其中每条线上有三个点。在这个空间里的平面包含7个点与7条线，并被称为法诺平面。

法诺平面无法于欧氏平面内只使用点与直线段来表示。这是西尔维斯特-加莱定理的结论。

一个完全四线形由四个点组成，没有任何三个点共线。在法诺平面里，除在完整四边形里的四个点外，另有三个完整四边形的对角点，且这三个点共线。这违反了“法诺公理”。该公理通常被用来作为欧氏平面的公理，表示一完整四边形的三个对角点绝不会共线。

### 仿射平面

“仿射平面”是一个线性空间，使得：

- 对任一点 A 与不与该点重合的线 l（非标记）恰有一条与 A 重合（即 A I m），但不与 l 相交的线 m（称之为普莱费尔公理）。

并满足非退化条件：

- 存在一个三角形，即三个非共线的点。

在普莱费尔公理里所述之线 l 与 m 被称为是平行的。每个仿射平面均可唯一地被扩展成投影平面。有限仿射平面的“阶”为 k，即一条线上点的数量。n 阶仿射平面为 ((n2)n + 1, (n2 + n)n) 配置。

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#### 黑塞配置

3阶仿射平面为 (94, 123) 配置。当嵌入一些周围的空间时，称之为黑塞配置。黑塞配置不可能在欧氏平面里实现，但可于复投影平面里实现，有9个椭圆曲线的反曲点及12条线，且每条线各与3个点重合。

这12条线可以分成4类，每类3条线。在各类中，线互不相交。这些类被称为线的“平行类”。加上4个新的点，于各个平行类中的所有线上（所以现在所有线都相交）；以及一条新的线，只包括这4个新的点，即可形成3阶投影平面，具 (134) 配置。相反地，从（唯一一种）3阶投影平面开始，移除任意一条线，以及所有在该线上的点，即可形成一个（唯一一种）3阶仿射平面。

移除一个点并通过该点的4条线（但不包括其他在这些线上的点）会形成 (83) 莫比乌斯-坎特配置。

## 部分几何

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给定一整数 α ≥ 1，策略配置若满足：

对每个非标记 (B, m)，存在 α 个标记，使得 B I l 与 A I m。

则称之为“部分几何”。若一条线上有 s+1 个点，且一个点上有 t+1 条线，则该部分几何标记为 pg(s, t, α)。

若 α = 1，该部分几何为广义四边形。

若 α = s + 1，该部分几何为斯坦纳系统。

## 广义多边形

对 n > 2,，广义 n 边形是一个部分线性空间，其重合图 Γ 具下列性质：

Γ 的周长（最短环的长度）是 Γ 的直径（两个顶点间最长的距离，在此为 n）的两倍。

“广义2边形”是一个重合结构，但不是部分线性空间，包括至少2个点与2条均与每个点重合的线。广义2边形的重合图为一完整二分图。

广义 n 边形不包含一般 m 边形，其中 2 ≤ m < n；且对每一对物件（两个点、两条线或一个点与一条线），总存在一包含这两个物件的一般 n 边形。

广义3边形为投影平面，广义4边形称为广义四边形。由范特-希格曼定理可知，具有每条线至少3个点与每个点至少3条线的有限广义 n 边形只有 n = 2、3、4、6 或 8 时的广义多边形。

## 近多边形

对一非负整数 d，近 2d 边形是一重合结构，使得：

- 两个点的最大距离（如在共线图内量测）为 d，且
- 对每个点 X 与 线 l，存在唯一个在 l 上且最接近 X 的点。

近 0 边形为一个点，近 2 边形为一条线。近 2 边形的共线图为一完全图。近 4 边形为一（可能退化的）广义四边形。每个广义多边形都是个近多边形。任何连通二分图均是近多边形，且任一每条线上恰有2个点的近多边形也都是连通二分图。此外，所有的对偶极空间都是近多边形。

一些近多边形与有限简单群有关。

## 莫比乌斯平面

抽象莫比乌斯平面（或称为反演平面）是一个重合结构，并为避免与传统平面中的术语产生混淆，将之中的线称之为“环”或“区块”。

具体来说，莫比乌斯平面是一个点与环的重合结结，使得：

- 每三个不同点恰与一个环重合。
- For any flag (P, z) and any point Q not incident with z there is a unique cycle z∗ with P I z∗, Q I z∗ and }. (The cycles are said to touch at P.)
- 对任一标记 (P, z) 与任一不重合于 z 的点 Q，存在唯一个环 z∗，使得 P I z∗、Q I z∗，及 }（即这两个环相交于 P）。
- 每个环有至少3个点，且至少存在一个环。

对莫比乌斯平面上的任一点 P，取 P 以外的其他所有点为点，以及仅包括 P 的环（并移除 P）为线，所得出之重合结构为一仿射平面。此一结构在设计理论中称之为在 P 的“剩余”。

m 阶有限莫比乌斯平面具一策略配置，使得每个为 3-设计（具体来说，为 3-(m2 + 1, m + 1, 1) 区块设计）的环有 1=k = m + 1 个点。

## 欧氏平面里的重合定理

### 西尔维斯特-加莱定理

西尔维斯特-加莱定理是詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特提出一个与欧氏平面里有限点集合之重合关系有关的问题，并由蒂博尔·由加莱提出解答。

西尔维斯特-加莱定理：欧氏平面上取一组有限多个点，这些点不是共线，就是存在一条线恰与其中的两个点重合。

该条恰与其中的两个点重合的线，在此称为“一般线”。西尔维斯特在思索黑塞配置的嵌入性时，几乎快解出这个问题。

### 迪布恩-艾狄胥定理

相关的结论为迪布恩-艾狄胥定理。尼古拉斯·霍弗特·迪布恩与保罗·艾狄胥于更一般设定的投影平面上证明出此一结论，但于欧氏平面中亦仍然成立。该定理为：

于一投影平面上，每组非共线的 n 个点，可至少决定 n 条不同的线。

正如作者所指出的一般，因为他们的证明是组合的，此一结论在更大的设定，且实际上在任一重合几何内均会成立。他们还提到，在欧氏平面上的定理可利用数学归纳法由西尔维斯特-加莱定理证得。

### 塞迈雷迪-托特定理

一组有限的点与线所具有的标记数量之概估可由下列定理给出：

塞迈雷迪-托特定理：给定平面上的 n 个点与 m 条线，其标记（重合的对线对）之数量为：

$$O \left ( n^{\frac{2}{3}} m^{\frac{2}{3}} + n + m \right ),$$

而且，此一概估无法再更加精确。

此一结论可用来证明贝克定理。

### 贝克定理

贝克定理表示，平面上任意有限多个点不是大部分的点会位于单一条线上，就是需要大量的线来连接所有的点。

该定理断言，存在正实数 C、K，使得给定平面上任意 n 个点，下列陈述至少一个为真：

- 存在一条线包含至少n个这些点。
- 存在至少 n2 条线，使得每条线都包含至少两个这些点。

在贝克原本的证明中，C 为100，而 K 则为一不确定的常数；但不知何值才是 C 与 K 的最优解。

## 更多例子

- 投影几何
- 谋芳多边形
- 施莱夫利双六
- 雷伊配置
- 克雷莫纳-里奇蒙配置
- 库默尔配置
- 克莱因配置
- 非笛沙格平面

## 参考资料

- Buekenhout, Francis (1995), Handbook of Incidence Geometry: Buildings and Foundations, Elsevier B.V.

## 外部链接

- incidence system at the Encyclopedia of Mathematics