铁木辛柯梁理论

铁木辛柯梁是20世纪早期由美籍乌克兰裔科学家与工程师斯蒂芬·铁木辛柯提出并发展的力学模型。模型考虑了剪应力和转动惯性，使其适于描述短梁、层合梁以及波长接近厚度的高频激励时梁的表现。结果方程有4阶，但不同于一般的梁理论，如欧拉-伯努利梁理论，还有一个2阶空间导数呈现。实际上，考虑了附加的变形机理有效地降低了梁的刚度，结果在一稳态载荷下挠度更大，在一组给定的边界条件时预估固有频率更低。后者在高频即波长更短时效果更明显，反向剪力距离缩短时也有同样效果。

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如果梁材料的剪切模量接近无穷，即此时梁为剪切刚体，并且忽略转动惯性，则铁木辛柯梁理论趋同于一般梁理论。

## 控制方程

### 准静态铁木辛柯梁

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在静力学中铁木辛柯梁理论没有轴向影响，假定梁的位移服从于

$$<pre> u_x(x,y,z) = -z~\varphi(x) ~;~~ u_y(x,y,z) = 0 ~;~~ u_z(x,y) = w(x) </pre>$$

式中$(x,y,z)$是梁上一点的坐标，$u_x, u_y, u_z$是位移矢量的三维坐标分量，$\varphi$是对于梁的中性面的法向转角，$w$是中性面的在$z$方向的位移。

控制方程是以下常微分方程的解耦系统：

$$<pre> \begin{align} & \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2}\left(EI\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} x}\right) = q(x,t) \\ & \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} x} = \varphi - \frac{1}{\kappa AG} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(EI\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} x}\right). \end{align} </pre>$$

静态条件下的铁木辛柯梁理论，若在以下条件成立时，等同于欧拉-伯努利梁理论

$$\frac{EI}{\kappa L^2 A G} \ll 1$$

此时，可忽略上面控制方程的最后一项，得到有效的近似，式中$L$是梁的长度。

对于等截面均匀梁，合并以上两个方程。

$$<pre> EI~\cfrac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d} x^4} = q(x) - \cfrac{EI}{\kappa A G}~\cfrac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d} x^2}$$

### 动态铁木辛柯梁

在铁木辛柯梁理论中若不考虑轴向影响，则给出梁的位移

$$<pre> u_x(x,y,z,t) = -z~\varphi(x,t) ~;~~ u_y(x,y,z,t) = 0 ~;~~ u_z(x,y,z,t) = w(x,t) </pre>$$

式中$(x,y,z)$是梁内一点的坐标，$u_x, u_y, u_z$是位移矢量的三维坐标分量，$\varphi$是对于梁的中性面的法向转角，$w$是中性面$z$方向的位移.

从以上假设，铁木辛柯梁，考虑到振动，要用线性耦合偏微分方程描述：

$$\rho A\frac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}} - q(x,t) = \frac{\partial}{\partial x}\left[ \kappa AG \left(\frac{\partial w}{\partial x}-\varphi\right)\right]$$

$$\rho I\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}\left(EI\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)+\kappa AG\left(\frac{\partial w}{\partial x}-\varphi\right)$$

其中因变量是梁的平移位移$w(x,t)$和转角位移$\varphi(x,t)$。注意不同于欧拉-伯努利梁理论，转角位移是另一个变量而非挠度斜率的近似。此外。

- $\rho$是梁材料的密度（而非线密度）。
- $A$是截面面积。
- $E$是弹性模量。
- $G$是剪切模量。
- $I$是轴惯性矩。
- $\kappa$，称作铁木辛柯剪切系数，由形状确定，通常矩形截面$\kappa = 5/6$。
- $q(x,t)$是载荷分布（单位长度上的力）。
- $$m := \rho A$$
- $$J := \rho I$$

这些参数不一定是常数。

对于各向同性的线弹性均匀等截面梁，以上两个方程可合并成

$$<pre> EI~\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^4} + m~\cfrac{\partial^2 w}{\partial t^2} - \left(J + \cfrac{E I m}{k A G}\right)\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^2~\partial t^2} + \cfrac{m J}{k A G}~\cfrac{\partial^4 w}{\partial t^4} = q(x,t) + \cfrac{J}{k A G}~\cfrac{\partial^2 q}{\partial t^2} - \cfrac{EI}{k A G}~\cfrac{\partial^2 q}{\partial x^2}$$

#### 轴向影响

如果梁的位移由下式给出

$$<pre> u_x(x,y,z,t) = u_0(x,t)-z~\varphi(x,t) ~;~~ u_y(x,y,z,t) = 0 ~;~~ u_z(x,y,z) = w(x,t) </pre>$$

其中$u_0$是$x$方向的附加位移，则铁木辛柯梁的控制方程成为

$$<pre> \begin{align} </pre> m \frac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}} & = \frac{\partial}{\partial x}\left[ \kappa AG \left(\frac{\partial w}{\partial x}-\varphi\right)\right] + q(x,t) \\ J \frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}} & = N(x,t)~\frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial x}\left(EI\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)+\kappa AG\left(\frac{\partial w}{\partial x}-\varphi\right) <pre> \end{align} </pre>$$

其中$J = \rho I$，$N(x,t)$是外加轴向力。任意外部轴向力的平衡依靠应力

$$<pre> N_{xx}(x,t) = \int_{-h}^{h} \sigma_{xx}~dz$$

式中$\sigma_{xx}$是轴向应力，梁的厚度设为$2h$。

包含轴向力的梁方程合并为

$$<pre> EI~\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^4} + N~\cfrac{\partial^2 w}{\partial x^2} + m~\frac{\partial^2 w}{\partial t^2} - \left(J+\cfrac{mEI}{\kappa AG}\right)~\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^2 \partial t^2} + \cfrac{mJ}{\kappa AG}~\cfrac{\partial^4 w}{\partial t^4} = q + \cfrac{J}{\kappa AG}~\frac{\partial^2 q}{\partial t^2} - \cfrac{EI}{\kappa A G}~\frac{\partial^2 q}{\partial x^2} </pre>$$

#### 阻尼

如果，除轴向力外，也考虑与速度成正比的阻尼力，形如

$$<pre> \eta(x)~\cfrac{\partial w}{\partial t}$$

铁木辛柯梁的耦合控制方程成为

$$m \frac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}} + \eta(x)~\cfrac{\partial w}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left[ \kappa AG \left(\frac{\partial w}{\partial x}-\varphi\right)\right] + q(x,t)$$

$$J \frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}} = N\frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial x}\left(EI\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)+\kappa AG\left(\frac{\partial w}{\partial x}-\varphi\right)$$

合并方程为

$$<pre> \begin{align} EI~\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^4} & + N~\cfrac{\partial^2 w}{\partial x^2} + m~\frac{\partial^2 w}{\partial t^2} - \left(J+\cfrac{mEI}{\kappa AG}\right)~\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^2 \partial t^2} + \cfrac{mJ}{\kappa AG}~\cfrac{\partial^4 w}{\partial t^4} + \cfrac{J \eta(x)}{\kappa AG}~\cfrac{\partial^3 w}{\partial t^3} \\ & -\cfrac{EI}{\kappa AG}~\cfrac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\eta(x)\cfrac{\partial w}{\partial t}\right) + \eta(x)\cfrac{\partial w}{\partial t} = q + \cfrac{J}{\kappa AG}~\frac{\partial^2 q}{\partial t^2} - \cfrac{EI}{\kappa A G}~\frac{\partial^2 q}{\partial x^2} \end{align} </pre>$$

## 切变系数

确定切变系数不是直接的，一般它必须满足：

$$\int_A \tau dA = \kappa A G \varphi\,$$

切变系数由泊松比确定。更严格的表达方法由多位科学家完成，包括斯蒂芬·铁木辛柯、雷蒙德·明德林（Raymond D. Mindlin）、考珀（G. R. Cowper）和约翰·哈钦森（John W. Hutchinson）等。工程实践中，斯蒂芬·铁木辛柯的表达一般状况下足够好。

对于固态矩形截面：

$$\kappa = \cfrac{10(1+\nu)}{12+11\nu}$$

对于固态圆形截面：

$$\kappa = \cfrac{6(1+\nu)}{7+6\nu}$$