实数的构造

在数学里，实数系统可以透过不同方式被定义。其中，基本方法通过一些公理将实数系统定为一个完备的有序数域。通过集合论公理，可以证明基本方法中给定的公理是绝对的，即是说如果有两个模型都符合那些公理，那么这两个模型必然是同构的。这样的模型须是从更基础的对象构建而成的，而多数的模型的建立都是借助于有理数域。

## 基本方法

一个实数系统由一个集合$R$，$R$当中的两个不同元素 0 和 1，$R$上的两种二元运算 $+ , \times$ （分别叫做加法与乘法），以及$R$上的一个二元关系$\leq$（即序关系）构成。

而且这个模型符合以下性质：

- $(R, +, \times)$ 是一个域。即
- $\forall x , y , z \in R , x + ( y + z ) = ( x + y ) + z , x \times ( y \times z ) = ( x \times y ) \times z$（加法与乘法的结合性）
- $\forall x , y \in R , x + y = y + x , x \times y = y \times x$（加法与乘法的交换性）
- $\forall x , y ,z \in R , x \times (y + z) = (x \times y) + (x \times z)$（乘法对加法有分配律）
- $\forall x \in R , x + 0 = x$（存在加法单位元）
- $\forall x \in R , x \times 1 = x$（存在乘法单位元）
- $\forall x \in R , \exists -x \in R , x + (-x) = 0$（存在加法逆元）
- $\forall x \in R , x \neq 0 \Rightarrow \exists x^{-1} \in R , x \times x^{-1} = 1$（存在乘法逆元）
- $( R , \leq )$ 是一个全序集。即
- $\forall x \in R , x \leq x$(自反性)
- $\forall x , y \in R ,$若 $x \leq y$ 且 $y \leq x$，则有$x = y$（反对称性）
- $\forall x , y , z \in R,$若 $x \leq y$且,$y \leq z$，则有$x \leq z$（传递性）
- $\forall x , y \in R , x \leq y$ 或$y \leq x$（完全关系性）
- $R$上的两个运算$+ , \times$ 均与序关系$\leq$相容。即
- $\forall x , y \in R$,若$x \leq y ,$则$x + z \leq y + z$（加法下保持次序）
- $\forall x , y \in R$,若 $0 \leq x$ 且$0 \leq y$，则$0 \leq x \times y$（乘法下保持次序）
- 序关系$\leq$符合戴德金完备性: 若$R$的一个非空子集$A$有上界，那么$A$也有上确界。换言之。
- 若 $A$ 是 $R$的一个非空子集，而且$A$有上界，那么$A$有一上确界$u$，使得对$A$的任何上界$v$，均有 $u \leq v.$

有理数域 $\mathbf{Q}$符合前三条公理，也就是说$\mathbf{Q}$是一个有序域（同时$\mathbf{Q}$还满足阿基米德性，所以$\mathbf{Q}$是一个阿基米德有序域），但$\mathbf{Q}$ 不符合最后一条公理。所以戴德金完备性这一点在实数的定义中是不可或缺的。戴德金完备性蕴含了阿基米德性质。若有两个模型符合公理1-4的话，它们必然是同构的，所以在同构意义下只有一个戴德金完备的阿基米德有序域。

附注：当我们说符合以上公理的两个模型： $(R, 0_R , 1_R , +_R , \times _R , \leq _R )$ 和 $(S , 0_S , 1_S , +_S , \times _S , \leq _S)$是同构时，即是指存在一个保持运算和序的双射。

确切地说存在$f : R \rightarrow S$满足

- $f$是一个双射
- $f(0_R) = 0_S$ 及 $f(1_R) = 1_S$.
- $\forall x,y \in R , f(x +_R y) = f(x) +_S f(y)$ 及 $f(x \times _R y ) = f(x) \times _S f(y).$
- $\forall x , y \in R , x \leq _R y$ 当且仅当 $f(x) \leq _S f(y).$

### 塔斯基实数公理

另外一种公理化实数的方法由阿尔弗雷德·塔斯基提供，只需要如下所示的8条公理以及4个基本概念：一个称之为实数集的集合（记作$\mathbb R$）、一个称之为序的二元关系（记作$<$）、一个称之为加法的二元运算（记作$+$）和常数$1$。

序相关公理 $(\mathbb R,<)$：

- 公理一：如果$x<y$成立，那么$y<x$不成立，即“$<$”为非对称关系。
- 公理二：如果$x<z$成立，那么存在$y$使得$x<y$与$y<z$同时成立，即“$<$”在实数集稠密。
- 公理三：“$<$”满足戴德金完备性，即对所有$X,Y\subset\mathbb R$，如果对所有$x\in X$以及$y\in Y$均满足$x<y$，那么存在$z$使得对所有$x\in X$以及$y\in Y$并且有$z\ne x$以及$z\ne y$，总有$x<z$与$z<y$成立。

加法相关公理 $(\mathbb R,<,+)$：

- 公理四：$x+(y+z)=(x+z)+y$。
- 公理五：对所有$x$与$y$，总存在$z$满足$x+z=y$。
- 公理六：如果$x+y<z+w$成立，那么$x<z$或$y<w$成立。

常数$1$相关公理 $(\mathbb R,<,+,1)$

- 公理七：$1\in\mathbb R$。
- 公理八：$1<1+1$。

## 模型的具体构造

### 柯西序列

首先我们需要一个定义。设$(x_n)$是一个有理数列，如果对于任何正有理数$r > 0$，存在一个正整数$N$使得对于所有的整数$m , n > N$，都有$|x_m - x_n|< r$，则称$(x_n)$为有理数的柯西序列。

有理数集$\mathbf{Q}$配备上度量$|x-y|$（即一般的绝对值）后便是一个度量空间。而透过一个叫作完备化的过程，可以往度量空间加进新点，从而使得度量空间中的所有柯西序列都收敛到某点。

以下说明实数集$\mathbf{R}$可定义为$\mathbf{Q}$对于度量$|x-y|$的完备化。（关于$\mathbf{Q}$在其他度量下的完备化，参见p进数。）

记$R$为由有理数的柯西序列组成的集合。定义两个柯西序列的加法和乘法为：

$$(x_n) + (y_n) = (x_n + y_n)$$

$$(x_n) \times (y_n) = (x_n \times y_n).$$

运算得到的序列依然会是柯西序列。

称两个柯西序列是等价的，如果它们之间的差收敛到0。这样便在$R$上定义了一个等价关系。以$[(x_n)]$表示包含序列$(x_n)$的等价类。

设$\mathbf{R}$为包含所有等价类的集合，然后也在$\mathbf{R}$上定义加法和乘法：

$$[(x_n)] + [(y_n)] = [(x_n) + (y_n)]$$

$$[(x_n)] \times [(y_n)]= [(x_n) \times (y_n)]$$

同样地，这两个运算是良好定义的。

可以证明$(\mathbf{R},+,\times)$是一个域。我们可以把$\mathbf{Q}$嵌入到$\mathbf{R}$——只要把有理数$r$对应于$(r)$便可。

实数大小的比较也是透过在柯西序列上的定义而达成的：

称一个实数是正的，即$[(x_n)] > [(0)]$，当且仅当存在自然数$N$和正有理数$r$，使得对一切$n > N$有 $x_n > r$。称$[(x_n)] > [(y_n)],$当且仅当$[(x_n)] - [(y_n)] > [(0)]$。

较难推导的是$\leq$的完备性，具体可以参考。

常用的小数记法可以自然地理解为柯西序列，比如说， $\pi = 3.1415926...$的记法意味着 $\pi$ 是柯西序列 $(3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...)$的等价类。等式$[(0.999...)] = [(1)]$则断定了序列$(0, 0.9, 0.99, 0.999,...)$ 和$(1, 1, 1, 1,...)$是等价的，即它们之间的差收敛到$0$。

把$\mathbf{R}$作为$\mathbf{Q}$的完备化有一个好处，那就是这种方法并不限于此例；对于其他度量空间也是适用的。

### 戴德金分割

实数可定义为有理数集上的戴德金分割，即是有理数集的一个划分$(A, B)\,$，其中$A, B$都非空，而且A的每个元素都小于B的任意元素。为方便起见，不妨把划分$(A, B)\,$以其下组 $A$来代表，因为给定了 $A$ 就唯一确定了 $B$。所以直观上，实数$r$能被$\{ x\in \textbf{Q}:x<r\}$所代表。

具体而言，一个实数$r$是$\textbf{Q}$ 的符合以下条件的一个子集：

- $r$ 是非空集合
- $$r \neq \textbf{Q}$$
- $r$ 是向下封闭的，即：$\forall x, y \in \textbf{Q} x < y, y \in r \rightarrow x \in r$
- $r$ 没有最大元。也就是说，不存在$x \in r$，使得对任何$y \in r$有$y \leq x$
- 记$\textbf{R}$ 为所有实数的集合，也就是说它包含了所有$\textbf{Q}$上的戴德金分割。然后在$\textbf{R}$上定义这样一个全序：$x \leq y\Leftrightarrow x \subseteq y$
- 有理数可以嵌入到$\textbf{R}$里，透过把$q$ 对应于集合$\{ x \in \textbf{Q} : x < q \}$。因为有理数在有理数集内是稠密的，所以这个集合没有最大元，并满足上述的各条件。
- 加法：$A + B := \{a + b: a \in A \land b \in B\}$
- 减法：$A - B := \{a - b: a \in A \land b \in ( \textbf{Q} \setminus B ) \}$，其中$\textbf{Q} \setminus B$ 代表$B$在$\textbf{Q}$里的补集，即$\{ x : x \in \textbf{Q} \land x \notin B \}$
- 负号是减法的特例： $-B := \{a - b: a < 0 \land b \in ( \textbf{Q} \setminus B ) \}$
- 若$A, B \geq 0$，那么$A \times B := \{ a \times b : a \geq 0 \land a \in A \land b \geq 0 \land b \in B \} \cup \{ x \in \mathrm{Q} : x < 0 \}$
- 若$A\,$ 和 $B\,$ 中有一个是负的，可以透过$A \times B = -(A \times -B) = -(-A \times B) = (-A \times -B) \,$这定义式，把$A$, $B$转化为正数的情况，再采用上面的定义来计算。
- 若$A \geq 0,\ B > 0$，则$A / B := \{ a / b : a \in A \land b \in ( \textbf{Q} \setminus B ) \}$
- 若$A\,$ 和 $B\,$ 中有一个是负的，可以借助 $A / B = -(A / {-B}) = -(-A / B)= -A / {-B} \,$ 的定义式，把 $A$换成非负数，以及把$B\,$换成正数，再采用上面的定义来计算。
- 上确界：如果$\textbf{R}$的非空子集$S$ 有上界的话，那么可以证明$\bigcup S$便是其上确界。

以下示范如何以戴德金分割代表根号2：设$A = \{ x \in \textbf{Q} : x < 0 \lor x^2 < 2 \}$。

首先，对于任何自乘小于2的正有理数 $x\,$，都存在一个大于x的有理数$y\,$，而且有$y \times y <2\,$。选择$y=\frac{2x+2}{x+2}\,$ 便可。所以我们证明了$A$ 是一个实数。

要证明$A \times A \le 2$成立，只需指出如果$r\,$是小于2的有理数，那么存在正的 $x\in A$，且 $r<x \times x\,$。

这种方法的好处是每个实数都对应于唯一的分割。

### 小数记法

西蒙·斯蒂文 首先提出了以小数来代表一切数（即现今的实数）的想法。具体地，可以将无限小数展开式作为实数的定义，然后规定像0.9999... 和1.0000... 这样的两种展开式是等价的，再形式化地定义好四则运算和大小次序。这种方法跟柯西序列和戴德金分割这两种构造是等价的，而且它还给出了明确的收敛模。这种方法不限于十进制，其他的进位制也是适用的。

用小数来构造的好处是，这跟我们对于实数的基本印象相符。一个证明“完全有序域的所有模型都同构”的标准做法便是，说明任意模型都同构于这个模型，因为我们可以系统地给每个元素建立小数展开式。

### 超实数

首先，透过超滤子从有理数构造出超有理数域*Q。此处的超有理数之定义为两个超整数的比。考虑由*Q里所有有界（或者说有限）元素所组成的环B。B 有着唯一的极大理想 I，即无穷小量。商环 B/I 给出了实数域 $R$。注意B 并不是*Q的一个内在集合。

此外，这种构造在自然数集上使用了非主超滤子，而其存在性是依赖于选择公理的。

这个极大理想 I保持了*Q本身的次序。所以形成的域是一有序域。完备性的证明跟柯西序列一节中的论证类同。

### 超现实数

每个有序域都可以嵌入到超现实数系统内。而实数组成了一个符合阿基米德性质的极大子域（意味着没有实数是无穷大量）。这种嵌入方式并不是唯一的，尽管有标准的一种方式。

### 通过整数集（欧多克索斯实数）

一个较不为人知的构造方法只需用到整数的加法群。这种方法已由IsarMathLib project正式验证了。Shenitzer和Arthan将此构造称为欧多克索斯实数。

设$f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$为一函数，若然$\{f(n+m)-f(m)-f(n): n,m\in\mathbb{Z}\}$是有限集，则称f为殆同态。称两个殆同态$f,g$ 是 几乎相等的，如果集合$\{f(n)-g(n): n\in \mathbb{Z}\}$是有限集。如此便在殆同态上定义了一等价关系。实数被定义为各个等价类，可简单记为f。实数的加法，对应于殆同态的加法运算；实数的乘法，则对应于殆同态的复合运算。最后，称$0\leq [f]$，若$f$ 是有界的，或者$f$ 在$\mathbb{Z}^+$上无限多次取正值。这样便在实数上建立了全序。