重整化群

在理论物理中，重整化群（renormalization group，简称RG）是一个在不同长度标度下考察物理系统变化的数学工具。

标度上的变化称为“标度变换”。重整化群与“标度不变性”和“共形不变性”的关系较为紧密。共形不变性包含了标度变换，它们都与自相似有关。在重整化理论中，系统在某一个标度上自相似于一个更小的标度，但描述它们组成的参量值不相同。系统的组成可以是原子，基本粒子，自旋等。系统的变量是以系统组成之间的相互作用来描述。

## 方程

基本想法就是耦合常数依赖长度缩放或能量标度，重整化群帮助陈述耦合数量和能量标度的关系。默里·盖尔曼和Francis E. Low于1954年提出了下面量子电动力学的重整化群方程：border

费恩曼、朱利安·施温格、朝永振一郎在1965年赢了物理学的诺贝尔奖，因为他们都把重整化以及正规化等想法应用于量子电动力学。

利奥·卡达诺夫在1966年推出块自旋的概念来解释重整化。

然后肯尼斯·威尔森使用重整化群解决近藤问题，以及描述临界现象和第二相变。他1982年赢了诺贝尔奖。

## 块自旋

这一节介绍重整化群的一个简单图像：块自旋重整化群。这是由利奥·卡达诺夫在1966年推导出来的。

首先考虑一个固体，如图所示，原子以二维正方形形式排列。假设每一个原子只与它最邻近的原子有相互作用，且这一系统的温度为$T$，相互作用的强度使用耦合常数$J$来描述。这一物理系统可以用一个特定的式子来表达，记为$H(T, J)$。

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现在，我们把这个系统分为有着$2\times 2$个方块的块区，进而用块变量来描述这个系统，这些变量可以是块内变量的平均数。我们假设这些块变量可以用相同的方程来描述，只不过参数$T$和$J$不同（事实上这一假设当然并不成立，但在实际应用中这一近似已足够好）。

原本这个系统内有较多的原子，现在，在问题重整化后，只有四分之一个原子需要求解。按照上面的方法再迭代一次后得到$H(T'', J'')$，这次只需要计算最初的十六分之一个原子。当然，最好是能够迭代直到只剩下一个最大的块区。一般来说，当迭代很多次后，重整化群变换将趋向于一个不动点上的数。

现在考虑一个具体的例子：铁磁-顺磁相变中的伊辛模型。在这个模型里，耦合常数$J$代表邻近电子自旋平行时候的相互作用力。这一模型中有三个不动点：

- $T=0$和$J\to\infty$。从宏观上来看，温度对系统的影响变得可以忽略不计。这时系统处于铁磁相。
- $T\to\infty$和$J\to 0$。与第1种情形正好相反，温度对系统的影响占据了主导，系统在宏观上变得无序。
- $T=T_c$且$J=J_c$。在这一特定的状态上，改变系统的标度不改变系统的物理性质，因为系统处于分形态上。这对应居里相变，这个点称为临界点。

## 基本理论

假设有一个可以用状态变量$\{s_i\}$和一组耦合常数$\{J_k\}$表示的函数$Z$。这个函数必须能够用来描述整个物理系统，比如某个配分函数、作用量、哈密顿量等等。

现在我们考虑状态变量上的块变换$\{s_i\}\to \{\tilde s_i\}$，$\tilde s_i$所包含的数目必须小于$s_i$。接下来我们可以把函数$Z$只用$\tilde s_i$来表示。如果$\{J_k\}\to \{\tilde J_k\}$也是可以实现的，那么就说这个物理系统是可重整化的。

最基本的物理理论都是可以重整化的，比如量子电动力学，量子色动力学，电弱相互作用等，但是引力是无法重整化的。此外，凝聚态物理中的大部分理论也是可以被重整化的，比如超导，超流。

变量的变换可以由一个β函数实现：$\{\tilde J_k\}=\beta(\{ J_k \})$。这一函数可以在$J$空间上导出流图。系统的宏观状态由流图上的不动点给出。

由于重整化群变换是有损的，这一变换不可逆，所以这一变换实际上是数学上的半群。

## 举例计算

参见Phi fourth theory（四次交互论； $\phi^4$论）。欧几里得空间的拉氏量是$\mathcal{L}(\phi) = {m^2 \over 2} \phi^2 + {1 \over 2} (\partial _\mu \phi)^2 + {\lambda \over 4!} \phi^4 .$配分函数或泛函积分是：$Z=\int \mathcal{D}\phi \exp\left[-\int d^{(d)} x \left({m^2 \over 2} \phi^2 + {1 \over 2} (\partial _\mu \phi)^2 + {\lambda \over 4!} \phi^4\right) \right].$通过重正化以及正规化 $\Lambda$：

$[D \phi]_\Lambda = \prod _{|p|<\Lambda} d \phi (p)$ $Z=\int \left[\mathcal{D}\phi \right]_\Lambda \exp\left[-\int d^{(d)} x \left({m^2 \over 2} \phi^2 + {1 \over 2} (\partial _\mu \phi)^2 + {\lambda \over 4!} \phi^4\right) \right].$若 $0<b<1$：$\hat{\phi}(p) = \begin{cases} <pre> \phi (p), & \mbox{if } b \Lambda \leqslant |p| < \Lambda \\ 0, & \mbox{if } |p|<b \Lambda </pre> \end{cases}$ $\phi(p) = \begin{cases} <pre> 0, & \mbox{if } b \Lambda \leqslant |p| < \Lambda \\ \phi (p), & \mbox{if } |p|<b \Lambda </pre> \end{cases}$所以$Z=\int \left[\mathcal{D}\phi \right]_{b \Lambda} \int \mathcal{D}\hat{\phi} \exp\left[-\int d^{(d)} x \left({m^2 \over 2} (\phi+\hat{\phi})^2 + {1 \over 2} (\partial _\mu \phi + \partial _\mu \hat{\phi})^2 + {\lambda \over 4!} (\phi+\hat{\phi})^4\right) \right].$介绍 $\phi \hat{\phi}$：$Z=\int \left[\mathcal{D}\phi \right]_{b \Lambda} e^{-\int d^{(d)} x \mathcal{L}(\phi)} \int \mathcal{D}\hat{\phi} \exp\left[-\int d^{(d)} x \left({m^2 \over 2} \hat{\phi}^2 + {1 \over 2} (\partial _\mu \hat{\phi})^2 + \lambda ({1 \over 6}\phi^3 \hat{\phi}+{1 \over 4}\phi^2 \hat{\phi}^2+{1 \over 6}\phi \hat{\phi}^3+{1 \over 4!}\hat{\phi}^4)\right) \right].$所以新的拉氏量是$\mathcal{L}_\textrm{eff} (\phi)$以及$Z=\int \left[ \mathcal{D}\phi \right]_{b \Lambda} \exp{\left[ -\int d^{(d)} x \mathcal{L}_\textrm{eff}(\phi) \right]} ,$ $\mathcal{L}_\textrm{eff} (\phi)$ 不同于$\mathcal{L} (\phi)$，因为$\lambda , \phi$ 改变了。上面的 Z 陈述一个effective field theory。若 $x'= b x, p'={p \over b}, |p|<\Lambda$.$\int d^{(d)} x \mathcal{L}_\textrm{eff} (\phi) = \int d^{(d)} x' b^{-d} \left[{1 \over 2}(1+\Delta Z)b^2(\partial' _\mu \phi)^2 +{1 \over 2}(m^2+\Delta m^2) \phi^2 + {1 \over 4!}(\lambda+\Delta \lambda)\phi^4 + \Delta B b^4 (\partial' _\mu \phi)^4 + \Delta C \phi^6 + ... \right]$假设$\phi'=[b^{(2-d)}(1+\Delta Z)]^{1/2} \cdot \phi$ $m'^2=(1+\Delta Z)^{-1}(m^2+\Delta m^2)b^{-2}$ $\lambda'=(1+\Delta Z)^{-2}(\lambda+\Delta\lambda)b^{d-4}$ $B'=(1+\Delta Z)^{-2}(B+\Delta B)b^{d}$ $C'=(1+\Delta Z)^{-3}(C+\Delta C)b^{2d-6}$所以$\int d^{(d)} x \mathcal{L}_\textrm{eff} (\phi) = \int d^{(d)} x' \left[{1 \over 2}(\partial' _\mu \phi')^2 +{1 \over 2}m'^2 \phi'^2 + {1 \over 4!}\lambda' \phi^4 + \Delta B (\partial' _\mu \phi')^4 + \Delta C' \phi'^6 + ... \right]$耦合常数的变量为 $\Delta m^2, \Delta Z, \Delta \lambda$。耦合常数的演进是动力系统的临界点：$m'^2=m^2b^{-2}, \lambda'=\lambda b^{d-4}, B'=B b^d, C'=C b^{2d-6}$

### 三种耦合

- 无关耦合（irrelevant）：耦合减少了
- 相关耦合（relevant）：耦合增加了
- 边缘耦合（marginal）：耦合不变

若 $d=4$，因为$b<1$所以B和C是无关的，m是相关的，并且$\lambda$是边缘的。

而且$\phi^4$论是可重整化的。

## 动力系统的重整化

米切尔·费根鲍姆使用重整化群计算费根鲍姆常数，而且将重整化应用于分岔理论。

阿图尔·阿维拉（巴西数学家）也将重整化群应用于动力系统、费根鲍姆常数等

其他应用包括：

- 混沌理论
- 湍流
- 分形
- 随机微分方程、Kardar–Parisi–Zhang equation、参见马丁·海雷尔的研究
- 渗流理论

等

## 扩展阅读

### 入门教程与历史回顾

- S. R. White (1992): Density matrix formulation for quantum renormalization groups, Phys. Rev. Lett. 69, 2863. 有人说这是最成功的variational RG办法
- N. Goldenfeld (1993): Lectures on phase transitions and the renormalization group. Addison-Wesley.
- D. V. Shirkov (1999): Evolution of the Bogoliubov Renormalization Group. arXiv.org:hep-th/9909024 . A mathematical introduction and historical overview with a stress on group theory and the application in high-energy physics.
- B. Delamotte (2004): A hint of renormalization. American Journal of Physics, Vol. 72, No. 2, pp. 170\u2013184, February 2004 . A pedestrian introduction to renormalization and the renormalization group. For nonsubscribers see arXiv.org:hep-th/0212049
- H.J. Maris, L.P. Kadanoff (1978): Teaching the renormalization group. American Journal of Physics, June 1978, Volume 46, Issue 6, pp. 652-657 . A pedestrian introduction to the renormalization group as applied in condensed matter physics.
- K. Huang 黄克孙 (2013): A Critical History of Renormalization. arXiv:1310.5533

### 相关著作

- T. D. Lee 李政道; Particle physics and introduction to field theory, Harwood academic publishers, 1981, ISBN 3-7186-0033-1. 是总结
- L. Ts. Adzhemyan, N.V.Antonov and A. N. Vasiliev; The Field Theoretic Renormalization Group in Fully Developed Turbulence; Gordon and Breach, 1999. ISBN 90-5699-145-0.
- Vasil'ev, A. N.; The field theoretic renormalization group in critical behavior theory and stochastic dynamics; Chapman & Hall/CRC, 2004. ISBN 9780415310024 (Self-contained treatment of renormalization group applications with complete computations);
- Zinn-Justin, Jean; Quantum field theory and critical phenomena, Oxford, Clarendon Press (2002), ISBN 0-19-850923-5 (a very thorough presentation of both topics);
- The same author: Renormalization and renormalization group: From the discovery of UV divergences to the concept of effective field theories, in: de Witt-Morette C., Zuber J.-B. (eds), Proceedings of the NATO ASI on Quantum Field Theory: Perspective and Prospective, June 15–26, 1998, Les Houches, France, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, 375-388 (1999) ISBN . Full text available in PostScript .
- Kleinert, H. and Schulte Frohlinde, V; Critical Properties of φ4-Theories, World Scientific (Singapore, 2001); Paperback ISBN 981-02-4658-7. Full text available in PDF .