法捷耶夫-波波夫鬼粒子

在物理学中，法捷耶夫-波波夫鬼粒子（Faddeev–Popov ghost），是一种为了保持路径积分表述的一致性而引入规范量子场论的附加场，以路德维希·法捷耶夫和维克多·波波夫的名字命名。

## 历史和路径积分

法捷耶夫-波波夫鬼粒子之所以是必须要引入的，是因为在路径积分表述中，量子场论必须给出明确、非奇异的解，而由于规范对称性的存在，我们无法从大量的因规范变换而相关的物理上等价的不同解挑选出唯一的解。这个问题起源于路径积分重复考虑的规范对称相关的场组态，这些其实对应于相同的物理态；路径积分的测度包含一个系数，其不允许我们直接用一般的方法（例如费恩曼图方法）从原始的作用量得到各种结果。但是，如果我们修改原始作用量，添加进去一个额外的场，打破规范对称性，那么一般方法就可以使用了。这种场就叫做鬼场。这一方法被称作“法捷耶夫-波波夫方法”（见BRST量子化）。这种鬼场只是一种计算工具，对外部来说并不对应于任何一种实际粒子：鬼粒子在费恩曼图中只作为虚粒子出现——或者说，只对应于某些规范组态的缺失。但是它对于维持幺正性是至关重要的。

描述鬼粒子的公式和其具体形式与所选择的具体规范有关，但对于所有规范得到的实际结果是相同的。费恩曼-胡夫特规范（Feynman-t'Hooft gauge，库仑规范）是用于这个目的时最简单的规范，所以在这篇文章中我们都采用这种规范。

## 法捷耶夫-波波夫方法

设A是规范联络形式，$F = dA + A^2$是曲率形式。杨-米尔斯场论的作用量是

$$S = \int YM = \int tr(F\wedge *F) = \int F^a_{\mu\nu}F^{a\mu\nu}$$

泛函积分是

$$Z = \int DA \exp(iS(A))$$

设

$$\alpha = \sum_a \alpha^a t^a \in TG$$

属于规范群G的李代数TG。则$g = e^{i\alpha} \in G$以及

$$A \to A_{\alpha} = g(d+A)g^{-1} \approx A + d_D \alpha$$

$d_D$是外共变导数。若$f(A)$是规范固定函数，则

$$\int D\alpha \ \delta(f(A_{\alpha})) \det(\frac{\delta f(A_{\alpha})}{\delta \alpha}) = 1$$

这是有限维公式的推广，也参看狄拉克δ函数和雅可比行列式。然后

$$Z = \int DA \ D\alpha \ \delta(f(A_{\alpha})) \det(\frac{\delta f(A_{\alpha})}{\delta \alpha}) e^{iS(A)}$$

通过变量的变化$A \to A_{\alpha}$，拉氏量YM和作用量是规范不变：$S(A) = S(A_{\alpha})$。而且测度不变$DA_{\alpha} = DA$。所以因为泛函的富比尼定理：

$$Z = (\int D\alpha) \ \int DA \ \delta(f(A)) \det(\frac{\delta f(A_{\alpha})}{\delta \alpha}) e^{iS(A)}$$

### 电磁理论

若$G=U(1)$，这是电磁理论，规范变换成为$A_{\alpha} = A + d\alpha$，可以选择

$$f(A) = \partial A - \omega$$

$$\frac{\delta f(A_{\alpha})}{\delta \alpha} = \partial^2$$

上面不依赖$\alpha$或A。则泛函积分等于

$$Z = \det(\partial^2) (\int D\alpha) \int DA \ \delta(\partial A - \omega) e^{iS(A)} = C \int DA \ \delta(\partial A - \omega) e^{iS(A)} = Z_{\omega}$$

注意配分函数 Z 不依赖 $\omega$，所以可以使用线性组合表述Z。通过泛函的富比尼定理：

$$Z = N(\xi)\int D\omega \ \exp(-i\int \omega^2 / 2\xi) \ Z_{\omega}$$

$$= C' \int DA \ e^{iS(A)} \int D\omega \ \exp(-i\int \omega^2 / 2\xi) \ \delta(\partial A - \omega)$$

$$= C' \int DA \ \exp(iS(A)-i\int (\partial A)^2 / 2\xi)$$

在电磁理论中，杨米作用量成为

$$S(A) = -\int (dA)^2 = -\int (\partial A)^2 / 4 = \int A\partial^2 A / 4$$

所以传播子是

$$D_{\mu \nu}(k) = \frac{-i}{k^2 + i\epsilon} (g_{\mu \nu} - (1-\xi)\frac{k_{\mu}k_{\nu}}{k^2})$$

- $\xi = 0$是朗道规范
- $\xi = 1$是费恩曼规范

上文是法捷耶夫-波波夫方法（Faddeev-Popov method，FP办法），这个办法在其他数学和物理分支有应用。量子电动力学没有FP鬼子。

### 杨-米尔斯场论

但是非阿贝尔群的杨米尔斯场论有FP鬼子。选择

$$f(A^a) = \partial^{\mu} A_{\mu}^a - \omega^a$$

像上文的冒险一样，格林函数（correlation函数）是

$$\langle A_{\mu}^a(x)A_{\nu}^b(y)\rangle =D_{\mu \nu}(x-y)^{ab} = \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{-ie^{-ik(x-y)}}{k^2 + i\epsilon} \delta^{ab}(g_{\mu \nu} - (1-\xi)\frac{k_{\mu}k_{\nu}}{k^2})$$

$\xi = 1$是费恩曼-特·胡夫特规范（Feynman-t' Hooft gauge）。但是这一次雅可比行列式是

$$\det(\frac{\delta f(A_{\alpha})}{\delta \alpha}) = \det(\partial^{\mu} D_{\mu})$$

依赖规范场A。其中规范导数是

$$d_D = D_{\mu} dx^{\mu}$$

可以使用费米积分（高斯积分）表述

$$\det(\partial^{\mu} D_{\mu}) = \int Dc D\bar{c} \exp(i\int \bar{c}(-\partial^{\mu} D_{\mu})c) = \int Dc D\bar{c} \exp(iS(c, \bar{c}))$$

设李代数TG是n维的，则其中$c(x) = (c_a(x), c_b(x), \ldots) \in \Complex^n$是n维旋量，描述鬼粒子。$D_{\mu}^{ab}$是矩阵算子。则鬼子作用量是

$$S(c, \bar{c}) = \int \bar{c}_a(-\partial^{\mu} D^{ab}_{\mu})c_b = \int \bar{c}_a(-\delta^{ac}\partial^{\mu} \partial_{\mu} - g\partial^{\mu} f^{abc}A^b_{\mu})c_c$$

鬼子传播子是

$$\langle c_a(x) \bar{c}_b(y) \rangle = \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{i}{k^2} \delta_{ab} e^{-ik(x-y)}$$

也有高价相互作用费恩曼图（若耦合常数g很小）。终于的拉氏量是

$$\mathcal{L} = -\frac{1}{4}(F^a_{\mu\nu})^2 + \frac{1}{2\xi} (\partial A)^2 + \bar{\psi}(iD\!\!\!\!\big / - m)\psi + \bar{c}(-\partial^{\mu} D_{\mu})c$$

## 相关

- BRST量子化
- 量子场论
- 巴塔林-维尔可维斯基代数

## 延伸阅读

- L. D. Faddeev and V. N. Popov, "Feynman Diagrams for the Yang-Mills Field", Phys. Lett. B25 (1967) 29.
- Peskin Schroeder. Intro to QFT. Ch 9, 16.
- Anthony Zee. QFT in Nutshell.