电子磁偶极矩

电子磁偶极矩 是在原子物理学中由电子自身自旋特性所引起的电子的磁矩。电子磁偶极矩的值为−9284.764 × 10−27 J.T-1。最近量测到的电子磁偶极矩的精确度为1.3×10-13。

## 单一电子磁矩

电子是带 (−1e) 的 带电粒子，单位为基本电荷，他的角动量来自两种方向，自旋和轨道方向。从经典电磁学中知，电荷会产生磁偶极矩，并产生磁极，而两端产生的磁极性几率是一样的。这个电子就有如一个磁铁一样。其中一个结果是当外加一个磁场时，而产生一个转矩，磁矩方向是依据场的方向。

如果电子被视为一个古典的带电粒子，透过转动可知角动量L，和磁偶极矩μ 得下式:

$$\boldsymbol{\mu} = \frac{-e}{2m_e}\, \mathbf{L}.$$

me代表的是电子的不变质量，请注意角动量L在此可以是自旋角动量，轨道角动量，或是总角动量。古典自旋磁矩的结果受比例因子的影响，因此，古典的结果需要乘上一个无量纲量的 g因子进行校正。

$$\boldsymbol{\mu} = g \frac{-e}{2m_e} \mathbf{L}.$$

这个磁矩通常会以约化普朗克常数 ħ和 波耳磁元μB来表示:

$$\boldsymbol{\mu} = -g \mu_B \frac{\mathbf{L}}{\hbar}.$$

由于量化磁矩的单位为μB，相对应的角量子数的单位为ħ。

### 旋转磁偶极矩

自旋磁矩是电子固有存在的

$$\boldsymbol{\mu}_S=- g_S \mu_B \frac{\mathbf{S}}{\hbar}.$$

这里的S代表的是电子的自旋角动量。自旋的 g因子接近2: gs ≈ 2。在古典的机制中，电子的磁矩约两次。两次的意义代表着电子似乎是2的倍数，可利用磁矩推论出古典电学下正确的带电体。自旋的磁偶极矩约为一个μB，因为g ≈ 2而电子自旋为二分之一粒子，而 S = ħ/2。

$$\mu_S\approx 2\frac{e}{2m_e}\frac{\hbar}{2}=\mu_B.$$

电子磁矩的z部分为:

$$(\boldsymbol{\mu}_S)_z=-g_S \mu_B m_S$$

其中mS 是自旋量子数。要注意该μ为一负常数乘上自旋，所以磁矩和自旋角动量是反平行的。

自旋g因子gs = 2 计算来自狄拉克方程式是电子的自旋，为其电磁特性的基本公式。在磁场中的电子狄拉克方程式还原至其非相对论并限制修正项，再考虑电子固有的磁矩并在正确的能量和磁场下相互作用产生薛定谔方程。

对电子自旋而言，目前最准确的实验量测g因子为：

2.00231930419922 ± (1.5 × 10−12).

要注意的是，只有高于千分之二的值是得自于狄拉克方程，千分之二以下的修正值则是源自于电子的异常磁偶极矩：这个修正是由电子和虚光子(virtual photons)之间的量子电动力学交互作用所产生。事实上，对电子的g因子精准预测，可以说是量子电动力学的伟大成就之一。目前电子磁矩最准确的值为：

-928.476377 × 10−26 ± 0.000023 × 10−26 J·T−1.

### g值的古典理论

狄拉克的理论对于电子中求g值是没有必要的。电子g值的偏差可以用质量分布解释，电子内部的电荷分布是不同的。电子仍可以视为一个刚性体。

例如假设最简单的高斯球分布下的电荷质量差别:

$$\rho_e(r)=e N_e e^{-r^2/r_e^2}$$

和

$$\rho_m(r)=m_e N_m e^{-r^2/r_m^2}$$

其中$r_m$是质量半径的电子和$r_e$则是可以调整g值参数和比率的电荷半径。

$g=\left ( \frac{r_e}{r_m} \right )^8$.

对于电子来说$g=2$之间的差距是很小的意即

$\left ( \frac{r_e}{r_m} \right )\approx 1.09051$。

### 轨道磁偶极矩

电子转到另一轴上，产生轨道的磁偶极矩。先假设轨道运动的角动量为L。然后轨道上的磁偶极矩为

$$\boldsymbol{\mu}_L = -g_L\mu_B \frac{\mathbf{L}}{\hbar}.$$

而在这gL是电子轨道的g因子而μB是波耳磁元。而gL的价值是在于一体性，以量子力学的说法是类似旋磁比。

### 总磁偶极矩

电子产生一个由自旋磁偶极矩和轨道磁偶极矩有关的总角动量，产生一名为J的公式

$$\boldsymbol{\mu}_J =g_J \mu_B \frac{\mathbf{J}}{\hbar}.$$

g值 gJ是著名的朗德g因子，和gL 即 gS 有关的相关内容请看朗德g因子。

## 实例: 氢原子

对于氢原子，其原子轨域被电子占据，Ψn, ℓ, m，而磁偶极矩的算法如下:

$$\mu_L=-g_L\frac{\mu_B}{\hbar}\langle\Psi_{n,\ell,m}|L|\Psi_{n,\ell,m}\rangle=-\mu_B\sqrt{\ell(\ell+1)}.$$

在此的 L是轨道角动量n, ℓ 及 m则是主量子数、角量子数和磁量子数。用磁量子数 mℓ配合电子轨道的磁偶极矩用z分量算出下式:

$$(\mathbf{\mu_L})_z=-\mu_B m_\ell.\,$$

## 包利和狄拉克理论的电子自旋

开始使用半整数的自旋要追溯到斯特恩－革拉赫实验。发现一原子束穿过非均匀磁场，会受到角动量而分成N个部分。在银原子做一样实验时，光束会分成两个基态，而无法而合为一，在内在角动能尽可能小的状态下，到约等于1，光束会分割成3部分，相对应的原子Lz = −1, 0, 和 +1。最后得出结论银原子的净角动量为1。沃尔夫冈·包立使用双组分的波函数和哈密顿算符配合le|半古典|First quantization和归一条件写出的理论。算式如下:

$$H = \frac{1}{2m} \left [ \boldsymbol{\sigma}\cdot \left ( \mathbf{p} - \frac{e}{c}\mathbf{A} \right ) \right ]^2 + e\phi.$$

在此A做为磁矢势而ϕ做为电势呈现出电磁场，而σ = (σx, σy, σz)则代表包立矩阵。平方算式的第一项代表磁场交互作用的发现，而古典的哈密顿是在表示带电粒子的相互作用:

$$H = \frac{1}{2m}\left ( \mathbf{p} - \frac{e}{c}\mathbf{A} \right )^2 + e\phi - \frac{e\hbar}{2mc}\boldsymbol{\sigma}\cdot \mathbf{B}.$$

而这哈密顿现为一2X2矩阵，因此必须建立在薛定谔方程上用一种双组分的波函数。包利已经已经使用sigma矩阵做为纯粹的现象(phenomenology)，而后狄拉克有一理论上的说法，指出自旋的结果透过相对论套入量子力学中。在导入电磁四维势到狄拉克方程式中的方式，被称为le|最小耦合|Minimal coupling而产生(自然单位制ħ = c = 1)

$$\left [ -i\gamma^\mu\left ( \partial_\mu + ieA_\mu \right ) + m \right ] \psi = 0\,$$

在此$\scriptstyle \gamma^\mu$被称为狄拉克矩阵，而i是虚数单位。第二个狄拉克方程式的运用，和包利的术语和用法完全一样，因为空间中的狄拉克矩阵乘上i，和包利矩阵有相同的平方运算和特性。更重要的是，电子的旋磁比是在包利之前解释第一原理的理论。狄拉克方程的成功和正确性带给了物理学家极大的信心。以下的狄拉克方程在低能条件下可视为包利理论:

$$\begin{pmatrix} (mc^2 - E + e \phi) & c\sigma\cdot \left (\mathbf{p} - \frac{e}{c}\mathbf{A} \right ) \\ -c\boldsymbol{\sigma}\cdot \left ( \mathbf{p} - \frac{e}{c}\mathbf{A} \right ) & \left ( mc^2 + E - e \phi \right ) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi_+ \\ \psi_- \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$$

所以

$$(E - e\phi) \psi_+ - c\boldsymbol{\sigma}\cdot \left( \mathbf{p} - \frac{e}{c}\mathbf{A} \right) \psi_{-} = mc^2 \psi_+$$

$$-(E - e\phi) \psi_{-} + c\boldsymbol{\sigma}\cdot \left( \mathbf{p} - \frac{e}{c}\mathbf{A} \right) \psi_+ = mc^2 \psi_{-}$$

假设弱磁场下和电子做非相对论运动，电子的总能大约等于静止能量:

$$E - e\phi \approx mc^2$$

$$p \approx m v$$

也就能推出第二方程

$$\psi_- \approx \frac{1}{2mc} \boldsymbol{\sigma}\cdot \left ( \mathbf{p} - \frac{e}{c}\mathbf{A} \right ) \psi_+$$

为了v/c 因此在典型的能量和速度上，狄拉克旋量表示，将这个表达式代入第一方程重排后。

$$( E - mc^2 ) \psi_+ = \frac{1}{2m} \left [ \boldsymbol{\sigma}\cdot \left ( \mathbf{p} - \frac{e}{c}\mathbf{A} \right ) \right ]^2 \psi_+ + e\phi \psi_+$$

运算式代表粒子的能量，降低其静止能量，但仅是古典能量，所以我们恢复包利的理论，并假定我们确定2-旋量和狄拉克旋量在非相对论下相似。进一步逼出薛定谔方程对包利理论的限制。因此可看作非相对论的狄拉克方程近似薛定谔方程时可忽略自旋和做功在低能量和低速下进行。这是一个伟大的方程，用以探讨虚数单位i，并透过狄拉克方程回到一个复杂的波函数。这也强调出为什么薛定谔方程看似扩散方程式但其实是波的传递。

应大力强调狄拉克旋量的方式，分离的方式并明确采用低能量近似的方式。我们刚达到了包利的理论并且创造新的局面有关于相对论，反物质想法的产生和湮灭粒子的产生。

一般情况下(如果某个线性函数电磁场不同时消失的话)，三四个组成狄拉克方程的旋量可以代数消除，而重新组成一相当于四阶偏微分的方程。

## 量测

电子的异常磁矩的存在是借由实验上的磁共振法所侦测到的。透过量测几个跃迁的共振频率这可以用来决定氢和氘的电子壳层的超精细分裂。

用单电子回旋加速器和量子非破坏性光谱可以测得电子的磁矩大小。