大气质量 (天文学)

大气质量（airmass），在天文学是指来自天体的光穿过大气层的路径长度。当光穿过大气层时，会被散射和吸收而造成衰减；经过的大气层越厚，衰减就越大。因此，在地平线上的天体不如在天顶时那么明亮。这种衰减称为大气消光，可以通过比尔-朗伯定律定量表述。

大气质量通常以相对于天顶抵达海平面的路径做比较的相对大气质量来表示。因此，定义路径由天顶抵达海平面的大气质量为1。随着光源和天顶之间的夹角增大，大气质量也会增加。在地平线时，其值约可以达到38。在高于海平面之处，大气质量可以小于1；然而，大多数大气质量的解析解不包括海拔高度的影响，因此通常必须经由其它的手段完成调整。

在一些领域，例如太阳能和光伏，大气质量以首字母的缩写AM表示；此外，大气质量的值通常会通过附加其它的价值，因此会以AM1、AM2等等，表示不同附加值的大气质量。在地球的大气层之上的区域，没有大气造成太阳辐射的衰减，其大气质量表示为AM0。

许多研究者者都曾发表大气质量表，包括Bemporad (1904)、Allen (1976),

```
[[#CITEREFBemporad1904 |Bemporad (1904)]]。
```

和Kasten and Young (1989)。

## 计算大气质量

<image>

### 天顶角和高度

天体与天顶的距离是" 天顶角 "（在天文学，通常称为" 天顶距离"）。物体的角位置也可以用高度角，在几何地平上的角度；因此，高度$h$和天顶角$z$的关系为：

$$h = 90^\circ - z \,.$$

### 大气折射

大气折射导致光跟随着地球圆弧的路径比几何路径稍长，因此大气质量必须考虑更长的路线（Young 1994）。另外，折射使出现在地平线附近时的位置比实际的更高；在地平线上，实际真天顶角和视天顶角的差别大约是34角分。大多数大气质量公式是基于视天顶角，但有些是基于真天顶角。所以，重要的是要确保使用正确的值，特别是在地平线附近。

### 平面-平行大气层

当天顶角足够小时，可以很好的假设一个均匀的平面平行大气（即密度恒定，而且地球的曲率被忽略），就可以给出很好的近似。大气质量$X$就可以简化成仅仅是天顶角的正割：

$$X = \sec\, z \,.$$

在天顶角60°时，大气质量大约是2。然而，因为地球不是平的，这个公式只适用于天顶角大约在60°至75°（取决于对精度的要求）。在更大的天顶角时，准确度迅速将低，随着趋近于地平，$X = \sec\, z$将变得无限大；在更加真实的球形大气中，地平线的大气质量通常小于40。

### 插值公式

已经发展出许多公式以调适大气质量表格的值，其一是 Young and Irvine (1967)列出的插值公式，包含一个简单的修正项：

$$X = \sec\,z_\mathrm t \, \left [ 1 - 0.0012 \,(\sec^2 z_\mathrm t - 1) \right ] \,,$$

此处$z_\mathrm t$是真天顶角。这可以适用至大约80°，但它的准确性在更大的角度时会迅速的衰退。计算的大气质量在86.6°时是11.13，但在88°时其值为0，而在地平线时的数值为负无穷大。在绘制这个公式的伴随图时，会包括大气折射的修正，使计算所得的大气质量是以视天顶角取代真天顶角。

Hardie (1962)引入多项式$\sec\,z - 1$：

$$X = \sec\,z \,-\, 0.0018167 \,(\sec\,z \,-\, 1) \,-\, 0.002875 \,(\sec\,z \,-\, 1)^2 <pre> \,-\, 0.0008083 \,(\sec\,z \,-\, 1)^3 \,$$

它给定的天顶角可以适用至大约85°。与前面的公式一样，计算出的大气质量会达到一个极大值，然后在地平线上时逼近负无穷大。

Rozenberg (1966)建议：

$$X = \left (\cos\,z + 0.025 e^{-11 \cos\, z} \right )^{-1} \,,$$

为高天顶角提供了合理的结果，在地平的大气质量为40。

Kasten and Young (1989)发展的

$\gamma$

$$X = \frac{1} { \sin\, \gamma + 0.50572 \,(\gamma + 6.07995^\circ )^{-1.6364}}\;;$$

$$X = \frac{1} { \cos\, z + 0.50572 \,(6.07995^\circ + 90^\circ - z)^{-1.6364}} \,,$$

为天顶角提供了合理的结果，适用至90°。在地平的大气质量大约为38。此处的 $z$项是角度。

Young (1994)发展的：

$$X = \frac { 1.002432\, \cos^2 z_\mathrm t + 0.148386 \, \cos\, z_\mathrm t + 0.0096467 } { \cos^3 z_\mathrm t + 0.149864\, \cos^2 z_\mathrm t + 0.0102963 \, \cos\, z_\mathrm t + 0.000303978 } \,$$

依据真天顶角$z_\mathrm t$，作者声称最大误差（在地平线上）只有0.0037大气质量。

Pickering (2002)发展的：

$$X = \frac{1} { \sin (h + {244}/(165+47 h^{1.1}) ) } \,,$$

此处$h$是视高度$(90^\circ - z)$，以角度为单位。皮克林宣称它的公式在靠近地平的误差只有Schaefer (1998)的十分之一

### 大气模型

插值公式试图用极少的计算为大气质量表提供一个良好的适应。然而，表格中的数值必须从地球及其大气的几何和物理考量，得出的测量或大气模型来确定。

#### 非折射径向对称大气

<image>

如果可以忽略折射，它就可以简单地用几何来考虑（舍恩伯格1929，173）天顶角为$z$，大气对称径向高度为$y$的光线路径$s$：

$$<pre> s = \sqrt {R_\mathrm {E}^2 \cos^2 z + 2 R_\mathrm {E} y_\mathrm{atm} + y_\mathrm{atm}^2} - R_\mathrm {E} \cos\, z \,$$

或是二择一的替代

$$<pre> s = \sqrt {\left ( R_\mathrm {E} + y_\mathrm{atm} \right )^2 - R_\mathrm {E}^2 \sin^2 z} - R_\mathrm {E} \cos\, z \,$$

此处的$R_\mathrm E$是地球半径。

#### 均质的大气层

如果大气层是均质 (物理)（也就是说密度是恒定的），天顶的路径单纯的只是大气高度$y_{\mathrm {atm}}$的变数，相对的大气质量是：

$$<pre> X = \frac s {y_\mathrm{atm}} = \frac {R_\mathrm {E}} {y_\mathrm{atm}} \sqrt {\cos^2 z + 2 \frac {y_\mathrm{atm}} {R_\mathrm {E}} + \left ( \frac {y_\mathrm{atm}} {R_\mathrm {E}} \right )^2 } - \frac {R_\mathrm {E}} {y_\mathrm{atm}} \cos\, z \,. </pre>$$

如果密度是恒定的，流体静力学与大气高度的关系是：

$$y_\mathrm{atm} = \frac {kT_0} {mg} \,,$$

此处的$k$是波兹曼常数，$T_0$是海平面的温度， $m$是大气的分子质量，并且$g$重力加速度。虽然这与等温大气的大气标高相同，但本质略有不同。在等温大气中，37%的大气压力高于大气标高；在均质大气中，在大气标高之上没有大气层。

让$T_0$ = 288.15 K，$m$ = 28.9644×1.6605×10−27 kg，并且$g$ = 9.80665 m/s2，得到$y_\mathrm{atm}$ ≈ 8435 m。取地球的半径值为 6371 km，在地平的海平面大气质量为：

$$<pre> X_\mathrm{horiz} = \sqrt {1 + 2 \frac {R_\mathrm {E}} {y_\mathrm{atm}}} \approx 38.87 \,. </pre>$$

均质球面模型略为低估了地平线附近空气质量增加的速度，从更严谨的模型中给出的值有着合理的整体拟合，可以设定大气质量与天顶角小于90°的值匹配。大气质量的方程式可以重新排列成：

$$\frac {R_\mathrm{E}} {y_\mathrm{atm}} <pre> = \frac {X^2 - 1} {2 \left ( 1 - X \cos z \right )} \,;$$

当取$R_\mathrm{E} / y_\mathrm{atm}$ ≈ 631.01 and $X_\mathrm{horiz}$ ≈ 35.54，在$z$ = 88°，可以吻合Bemporad的数值：19.787。此处，$R_\mathrm{E}$的值与前述相同， $y_\mathrm{atm}$ ≈ 10,096 m。

虽然均质大气不是逼真的物理模型，但只要大气标高的高度相较于行星的半径是微小的，这样的近似是合理的。

这个模型在所有的天顶角度，包括大于90°（参见下文：Homogeneous spherical atmosphere with elevated observer），都是可用的（亦即它不会趋近于无穷大或0）。

这个模型需要的计算量相对较小，如果不需要高精度，它足以给出合理的结果。

然而，对于天顶角小于90°，有几个插值公式可以给出更好、更合适的大气质量。,

## 参考资料

- Optical Telescopes of Today and Tomorrow

## 外部链接

- Reed Meyer’s downloadable airmass calculator, written in C (notes in the source code describe the theory in detail)
- NASA Astrophysics Data System A source for electronic copies of some of the references.