三相 (电学)

在电子工程学中，三相交流电一般是将可变的电压通过三组不同的导体。这三组电压幅值相等、频率相等、彼此之间的相位差为120度。

通常来说，三相交流电分三角形接法（Δ）和星型接法（Y）两种。三角形接法即为将各相电源或负载依次首尾相连，形成一个三角环；而星型接法则是将各相电源或负载的一端连接在一点，形成一个中性点，这种接法又称为三相三线制。如果从该中性点再引出一条中性线，则整个结构变为三相四线制。其中星型接法允许对各相加上不同的电压。例如常见的230/400伏三相交流电，就是在中性点和任意一相上加上230伏，余下的两相各加上400伏的电压。三角形接法由于各相首尾相连，只能存在一种电压，但是其优点在于即使三相中有一相失去作用，整个系统仍然可以运作（效率为原来的57.7%）。

## 定义

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假设有一台使用星型接法的发电机，将其三个负载的加入点命名为L1、L2、L3,则加在三相上的电压分别为：

$$V_{L1-N}=\sin \left(\theta\right) * V_P\,\!$$

$$V_{L2-N}=\sin \left(\theta -\frac{2}{3} \pi\right) * V_P = \sin \left(\theta +\frac{4}{3} \pi\right) * V_P$$

$$V_{L3-N}=\sin \left(\theta-\frac{4}{3} \pi\right) * V_P = \sin \left(\theta+\frac{2}{3} \pi\right) * V_P$$

其中：

$V_P$代表最大电压,

$\theta=2\pi ft\,\!$代表相位角

$t$代表时间，单位为秒

$f$代表频率，单位为转/秒

$V_{L1-N}$、$V_{L2-N}$和$V_{L3-N}$则分别代表L1到中性点（N）、L2到中性点和L3到中性点的电压。

## 电压和电流

线电压（Line to Line Voltage, Line Voltage）为两条相线间的电压。相电压（Vph）为负载端所获得的电压，随连接方式而异。

线电流（IL）为相线上的电流大小。相电流（Iph）为负载端的电流大小。

星形接法

在星形接法，线电压是相电压的√3倍，线电流等于相电流。

$$V_L = \sqrt3 V_{ph}$$

$$I_L = I_{ph}$$

三角形接法

在三角形接法，线电压等于相电压，线电流是相电流的√3倍。

$$V_L = V_{ph}$$

$$I_L = \sqrt3 I_{ph}$$

### 功率

星形接法和三角形接法的总功率，都可使用同一公式计算：

$$P=3 P_{ph}=3 V_{ph}I_{ph} \cos\phi = \sqrt 3 V_L I_L \cos\phi$$

$$P_{\Delta}=3 \times P_{Y}$$

开三角形接法

三角形接法其中一个绕阻被移除，则变成开三角形（Open Delta）。

假设单相变压器可以输出电压V及电流I，两个变压器的功率为

$$S = 2\ V I$$

用作三相变压器时，功率为

$$S = \sqrt 3\ V I$$

换言之，两个变压器可使用的功率为原来的86.6%。

对比三个变㱘器，整个系统的功率变成原来的57.7%。因为两个变压器的功率因素不同，其中一个提供无功功率，另一个消耗无功功率，所以可用输出并不是66.7%。

## 稳定输出

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一般在三相的电力系统中，每一相负载的做功的大小均相同。通常会先论证电动机在稳定输出的情况下运作，再考虑不稳定的情况。

### 恒定功率转化

三相发电机的特性在于，当各相的负载具有电阻性质时，其输出功率$\scriptstyle P \,=\, V I \,=\, \frac{1}{R}V^2$是恒定的。

$$P_{Li} = \frac{V_{Li}^{2}}{R}$$

$$P_{TOT} = \sum_i P_{Li}$$

为了使计算更方便，先定义一个无量纲的功率值$\scriptstyle p \,=\, \frac{1}{V_P^2}P_{TOT} R$作为中间量，则：

$$p=\sin^{2} \theta+\sin^{2} \left(\theta-\frac{2}{3} \pi\right)+\sin^{2} \left(\theta-\frac{4}{3} \pi\right)=\frac{3}{2}$$

代回：

$$P_{TOT}=\frac{3 V_P^2}{2R}$$

最终结果中不含$\theta$（相位角）由此可见发电机动率的输出不会随着时间的变化而变化。对于大型发电机来说，这点尤为重要。

实际上，发电机的负载不一定要带有电阻的性质，只需各个相位相等即可，设：

$$Z=|Z|e^{j\varphi}$$

因此最大电流为：

$$I_P=\frac{V_P}{|Z|}$$

所有相位上的瞬时电流大小为：

$$I_{L1}=I_P\sin\left(\theta-\varphi\right)$$

$$I_{L2}=I_P\sin\left(\theta-\frac{2}{3}\pi-\varphi\right)$$

$$I_{L3}=I_P\sin\left(\theta-\frac{4}{3}\pi-\varphi\right)$$

这时各个相位的功率输出为：

$$P_{L1}=V_{L1}I_{L1}=V_P I_P\sin\left(\theta\right)\sin\left(\theta-\varphi\right)$$

$$P_{L2}=V_{L2}I_{L2}=V_P I_P\sin\left(\theta-\frac{2}{3}\pi\right)\sin\left(\theta-\frac{2}{3}\pi-\varphi\right)$$

$$P_{L3}=V_{L3}I_{L3}=V_P I_P\sin\left(\theta-\frac{4}{3}\pi\right)\sin\left(\theta-\frac{4}{3}\pi-\varphi\right)$$

利用三角恒等式里的积化和差与和差化积公式：

$$P_{L1}=\frac{V_P I_P}{2}\left[\cos\varphi-\cos\left(2\theta-\varphi\right)\right]$$

$$P_{L2}=\frac{V_P I_P}{2}\left[\cos\varphi-\cos\left(2\theta-\frac{4}{3}\pi-\varphi\right)\right]$$

$$P_{L3}=\frac{V_P I_P}{2}\left[\cos\varphi-\cos\left(2\theta-\frac{8}{3}\pi-\varphi\right)\right]$$

得出瞬时功率输出为：

$$P_{TOT}=\frac{V_P I_P}{2}\left\{3\cos\varphi-\left[\cos\left(2\theta-\varphi\right)+\cos\left(2\theta-\frac{4}{3}\pi-\varphi\right)+\cos\left(2\theta-\frac{8}{3}\pi-\varphi\right)\right]\right\}$$

中括号中的三项互相抵消，得出最终的结果为：

$$P_{TOT}=\frac{3V_P I_P}{2}\cos\varphi$$

或者

$$P_{TOT}=\frac{3V_P^2}{2|Z|}\cos\varphi$$

### 中线电流

当一个星形接法是平衡负载，即使接上中线也没有电流。流过中性点的电流即三相电流的向量之和，参见基尔霍夫定律。

$$\begin{align} I_{L1} &= \frac{V_{L1-N}}{R},\; I_{L2}=\frac{V_{L2-N}}{R},\; I_{L3}=\frac{V_{L3-N}}{R}\\ 0&= I_{L1} + I_{L2} + I_{L3}+I_{N} \end{align}$$

定义一个非无量纲量的电流，大小为$i=\frac{I_{N}R}{V_P}$:

$$\begin{align} i &=\sin \theta+\sin(\theta-\frac{2\pi}{3})+\sin(\theta+\frac{2\pi}{3})\\ <pre> &=\sin \theta+2 \sin \theta \cos \frac{2\pi}{3}\\ &=\sin \theta -\sin \theta\\ &=0 </pre> \end{align}$$

流过中线的电流大小为零。因此将中线拿掉而不影响电路本身，证明输出的功率是恒定的。一般三相三线制只有在三相的电源或者负荷都连接在同一个电路上（例如三相电动机），否则各相的输入电压的波动会造成输出功率的不稳定。

## 不稳定输出

在实际的应用中，很少出现理论上输出功率很稳定的情况。利用对称分量法来简化电路，一个不恒定输出的系统可以看作是三个电压分别为正、零、负的恒定输出系统的叠加。

在一个限定的三相电路中，只需要知道三相的模量和流过中性点电流的大小。中性点电流的计算一般先求三相电流的复数之和，在代换回极坐标系的形式。假设三相内的电流分别为$I_{L1}$, $I_{L2}$和$I_{L3}$，则流经中性点的电流大小为：

$$I_{L1} + I_{L2} * \cos\frac{2}{3}\pi + j * I_{L2} * \sin\frac{2}{3}\pi + I_{L3} * \cos\frac{4}{3}\pi + j * I_{L3} * \sin\frac{4}{3}\pi$$

$$I_{L1} - I_{L2}*0.5 - I_{L3}*0.5 + j*\frac{\sqrt{3}}{2}*\left(I_{L2} - I_{L3}\right)$$

最后的极坐标系中的三相和的模量：

$\sqrt{I_{L1}^2 + I_{L2}^2 + I_{L3}^2 - I_{L1}*I_{L2} - I_{L1}*I_{L3} - I_{L2}*I_{L3}}$

### 非线性负载

在线性的情况下，只有在三相的电源或者负载不均衡的情况下，中性点的电流才不等于零。但是当在实际的使用中，接入的用电器中会使用饱和电抗，光敏、压敏电阻等非线性的电路元件，由于用电器本身电抗的变化，也会造成输出功率的不平衡。

## 旋转磁场

任何一个多相的电路，根据电流随着时间的变化，通过旋转即可生成磁场，这也是异步电动机的工作原理。感应电动机是异步电动机的一种，指的是仅有一套绕组联接电源的异步电动机。

### 励磁磁动势

定子三相对称绕组流过三相对称电流时，产生合成基波旋转磁动势。将该磁动势用空间矢量F0表示，其幅值为

$$F_0=\frac{m_1}{2} \frac{4}{\pi} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{N_1 k_{dp1}}{p} I_0$$

式中，N1和kdp1分别为定子绕组的每相串联匝数和基波绕组因数；p为极对数；m1为定子绕组相数，对于三相异步电动机，m1=3。

## 对于其他多相系统的转化

任意两个随着时间t变化的电压之间一定存在着相互位移的关系，同样，一个三相的电源通过变压器可以转化为多相。例如，利用特殊的变压器，能将三相的电源转变为一个二相电源。此类变压器一般称为相位转换器。当三相的电力通过高压线传输到用户的社区在传输到每一户家中时，一般利用角接电容或星接电容将三相变为单项，为家庭用户提供电力。但是相应的，输出功率会有所下降。

## 输出功率的测量

用传感器可以测量三相电路的输出功率，无中线要用到两个传感器，有中性线要用到三个。需要使用传感器的数量总是比测量的电路的数量少一个。若采用高压计量，则需要两个电压互感器及两个电流互感器(2VT+2CT)分别用来量度电压及电流。

若使用功率分析仪用来分析谐波电流，宜使用四个电流互感器测量所有带电导体的电流，以提高准确度。因为每个电流互感器都有误差，利有三个测量值计算剩下的未知值，误差也变成了三倍。