白金汉π定理

白金汉π定理是因次分析中的重要定理，在工程、应用数学及物理中都会用到。白金汉π定理可以视为是形式化的雷诺因次分析法。简单的说，白金汉π定理指出若有一个物理上有意义的方程，其中有n个物理量，而这些物理量共有k个独立的因次，则原方程式可以写成由p = n − k 个无因次的参数Π1, Π2, ..., Πp 组成的方程式（此处的k可以用特定矩阵的秩而得），而这些无因次的参数是由原方程式中的物理量所组成。

白金汉π定理可以视为是一种无因次化的框架，其中提供方法，从已知的物理量中找到一组无因次的参数，甚至此时方程式的具体形式还不清楚也没有关系。

例如在流体中运动的物体，其阻力方程中包括以下五个物理量：速度 u、流体密度 ρ。

动黏滞系数 ν、物体截面大小A以及阻力 FD

f1(u, ρ, ν, A, FD)= 0。

利用白金汉π定理，可以将阻力方程简化为由阻力系数 CD及雷诺数 Re组成的方程

f2(CD, Re)= 0。

而这二个物理量是由上述物理量组合而成。

## 历史

白金汉π定理得名自美国物理学家埃德加·白金汉，不过最早是由法国数学家约瑟·伯特兰证明，伯特兰在1878年时只考虑到一些由电动力学及热传导而来的一些问题，不过他的文章中包括所有现在证明此定理会用到的基本概念，而且清楚的指出此定理可以用在物理现象的建模。使用此定理的相关技术（因次法）因为约翰·斯特拉特，第三代瑞利男爵的贡献而广为人知（他是第一位将π定理“应用在通用情形上”的人，他在研究流体通过管子的压降的统御参数时用到此方法，日期可能可以追溯到1892年，而在1894年有一个启发式的证明，再配合数列展开）。

可以针对任意多参数的π定理是由A. Vaschy在1892年提出，1911年分别由A. Federman及俄国物理学家Dimitri Riabouchinsky独立发现，1914年又由埃德加·白金汉发现。白金汉在他的文章中用符号Πi表示无因次量，这也成为这定理的名称。

## 定理描述

白金汉π定理中，无因次量的个数p等于方程式中因次矩阵的零化度（nullity），而k是因次矩阵的秩。在实验上，若不同的系统其无因次量的描述相同，则这二个系统是等效的。

在数学上，若有以下在物理上有意义的方程式

$$f(q_1,q_2,\ldots,q_n)=0,$$

其中qi为n个物理量，而这些物理量以k个独立变数表示，则上式可以重组为以下的方程式

$$F(\pi_1,\pi_2,\ldots,\pi_p)=0,$$

其中Πi为无因次的参数，由qi组合而成，而会有 p = n − k个无因次的方程式（称为Pi群）如下

$$\pi_i=q_1^{a_1}\,q_2^{a_2}\cdots q_n^{a_n},$$

其中的指数ai为有理数，多半情形会是整数。

## 重要性

白金汉π定理提供方式可以针对一些物理现象的物理量计算无因次量，就算还不知方程式的具体形式也没关系。不过无因次量的选择不是唯一的，白金汉π定理只提供一个方式找出一组无因次量，不表示这些无因次量是“物理上最有意义”的。

二个系统若有相同的参数，则称为“相似”（就算相似三角形一样，相似三角形之间只是大小不同而已）。在方程式上是等效的，因此想要确认方程式形式的实验者可以选择最合适，最方便的系统进行。而且白金汉π定理提供了变数及基础因次个数之间的关系。

## 定理说明

### 简述

会假设基本物理量及衍生物理量的空间会形成一个有理数的向量空间，基本物理量为单位向量，而物理量之间的相乘变成向量的加法，而物理量的次幂变成向量的纯量乘法：

用基本物理量及其次幂表示现象中有关的物理量（若某一基本物理量没有出现在物理量的表示式中，基本物理量的次幂写0即可）。例如标准重力 g 的单位为$D/T^2=D^1T^{-2}$（距离除以时间平方），因此若基本物理量为（距离, 时间），标准重力会用向量$(1,-2)$表示。

因此找到物理量可组成的无因次量，就变成在物理单位的向量空间中处理线性限制的问题。

### 因次矩阵及无因次量

假设一个系统，其中有n个有因次的参数，其基本因次有k个。即可定义其因次矩阵，其各行为基本因次，而各列是有因次的参数：(i, j)个元素是第j个参数在第i个基本因次中的幂次项。矩阵可以视为是将所有变数在各基本因次上的幂次项整合到一个矩阵中。

无因次变数是指在各基本因次上的幂次均为0（向量空间中的零向量），也等于矩阵的核。

根据秩－零化度定理，有n向量（矩阵的列）且有k个线性独立向量的系统，其零化度p会满足(p = n − k)，其中零化度是额外因次的个数，可以选为无因次量。

无因次量可以用因次量的整数次乘积及除法表示。在数学上没有哪一种无因次量的选择是比较自然的，不过有些无因次量会比较有物理意义，理想上也会以这类选择为主。

## 例子

### 速度

以下的例子很简单，但已足以说明白金汉π定理。

假设一部车以时速100 km/h的速度行驶，行驶200 km需要多少时间？

问题中有三个因次：距离D、时间T及速度V。这些因次可以用二个基本因次组成：时间T及距离D，因此会有3 − 2 = 1个无因次量。

其因次矩阵为

$$M=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}.$$

其各行对应基本因次D及T，而列对应三个因次D、T及V。例如第三列(1, −1)，所以因次V（速度）用基本因次表示时，为 $D^1 T^{-1} = D/T$。

为了要求得无因次的常数$\pi=D^{a_1}T^{a_2}V^{a_3}$，需找到一个向量$a=[a_1,a_2,a_3]$使得矩阵M和向量a的乘积是零向量0,0。在线性代数中，向量a称为矩阵M的核，可以生成矩阵的零空间，在此例中，零空间是一维的。以上写的矩阵是为行规范形矩阵，因此可以计算得到向量a如下，顶多再加一个和向量相乘的系数：

$$a=\begin{bmatrix} -1\\ 1\\ 1\\ \end{bmatrix}.$$

若因次矩阵还不是行规范形矩阵，也可以用高斯消去法得到因次矩阵的核，因此要求的无因次数可以写成下式：

$\pi = D^{0}T^0V^0 = D^{-1}T^1(D^1T^{-1}) = D^{-1}T^1V^1 = TV/D$.

根据因次分析，可以得到有关上述三个物理量之间的关系式：

$$f(\pi)=0,$$

可以写成：

$$T=\frac{C D}{V},$$

其中C是使$C=f^{-1}(0)$成立的常数。若刚刚的向量a有再加上系数，所求得的C也会随之不同，是原来C值的乘幂。

这三个变数之间的关系其实是$D=VT$，因此实际的无因次量方程（$f(\pi)=0$）为：

$$f(\pi)=\pi-1 = VT/D - 1 = 0.$$

换句话说C只有一个值，就是1，不过这个资讯不是靠因次分析所能得到的。

### 单摆

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第二个问题是要确认单摆在小幅度振动情形下的周期T，假设周期是长度L、质量M以及地表重力加速度g的函数。其模型如下

$$f(T,M,L,g) = 0.\,$$

（此处写成四个物理量之间的关系，不是直接将周期T写成另M, L及g的函数）

在上式中有三个基本物理量：时间t、质量m以及长度l，以及四个有因次的物质量。因此只会有4 − 3 = 1个无因次量，称为π，模型可以改写为

$$f(\pi) = 0,$$

其π为

$$\pi =T^{a_1}M^{a_2}L^{a_3}g^{a_4}$$

而a1, ..., a4为待确定的数值

上述物理量的因次为：

$$T = t, M = m, L = \ell, g = \ell/t^2.$$

因次矩阵为：

$$M=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}.$$

（行表示基本因次t、m及l，而列表示物理量T, M, L和g。例如第四行为(−2, 0, 1)表示变数g的因次为$t^{-2}m^0 \ell^1$）

计算的目的是要找核向量a = a1, a2, a3, a4 使得矩阵M和向量a的乘积为零向量0,0,0。上述的因次矩阵为列规范形矩阵，因此可以得到核向量a如下：

$$a=\begin{bmatrix}2\\ 0 \\ -1 \\ 1\end{bmatrix}.$$

因此无因次量为：

$$\begin{align}\pi &= T^2M^0L^{-1}g^1\\ <pre> &= gT^2/L\end{align}.$$

若只考虑基本因次：

$$\pi=(t)^2(m)^0(\ell)^{-1}(\ell/t^2)^1 = 1,$$

也是无因次量。

这个例子比较简单，因为四个物理量中有三个是基本单位，因此最后一个（g）的单位可以从前三个单位转换而来。注意若a2不为零，没有其他的方式可以将M的单位消去，因此a2需为零。因次分析允许单摆的周期不是质量的函数。（在质量、时间及距离三维组成的三维空间中，质量的向量和其他三个单位的因次向量是线性独立的，因此若不考虑比例的系数，只有$\vec g + 2 \vec T - \vec L$是唯一可组成无因次参数的非显然解。）

因此模型可以用下式表示：

$$f(gT^2/L) = 0.\ $$

假设f只有有限个零点，即可令gT2/L = Cn，其中Cn为第n个零点。若只有一个零点，则gT2/L = C。需要更多物理的概念或是实验才能确认此函数只有一个零点，因此C = 4π2。

若单摆的振幅较大，分析会比较复杂，需要导入额外的因次变数（最大摆动角度）。上述的分析在摆动角度接近零时有很好的近似效果。

## 延伸阅读

- Mike Sheppard, 2007 Systematic Search for Expressions of Dimensionless Constants using the NIST database of Physical Constants

## 外部链接

- Some reviews and original sources on the history of pi theorem and the theory of similarity (in Russian)