劳斯–赫尔维茨稳定性判据

劳斯–赫尔维茨稳定性判据（Routh–Hurwitz stability criterion）是控制理论中的一个数学判据，是线性时不变系统（LTI）稳定的充分必要条件。劳斯测试是由英国数学家爱德华·劳斯在1876年提出的快速算法，可以判断一线性系统其特征方程式的根是否都有负的实部。德国数学家阿道夫·赫维兹在1895年独立的提出将多项式的系数放到一个方阵中（此方阵称为赫维兹矩阵），证明多项式稳定当且仅当赫维兹矩阵的主要子矩阵其行列式形成的数列均为正值。二个程序是等价的，而劳斯测试提供一个有效计算赫维兹行列式的方法。满足劳斯–赫尔维茨稳定性判据的多项式称为赫尔维茨多项式。

此稳定性判据之所以重要，是因为若线性系统之特征方程式的根p均有负的实部，表示其解ept为稳定的（BIBO稳定）。因此稳定性判据提供了方式，可以在不求解线性系统的运动方程的情形下，判断其是否只有稳定解。对于离散系统，对应稳定性的测试可以由Schur–Cohn判据、Jury稳定性判据及Bistritz稳定性判据来判断。随着电脑的进步，此稳定性判据变的较少使用，另一种判断的方式则是用数值方法直接求解多项式，得到其解的近似值。

劳斯测试可以由辗转相除法以及在计算柯西指标时用施图姆定理来推导。赫尔维茨利用另一种方式来推导其稳定性判据。

## 利用辗转相除法求解

劳斯–赫尔维茨稳定性判据和劳斯–赫尔维茨定理有关。由定理的陈述，可得$p-q=w(+\infty)-w(-\infty)$其中：

- p为多项式ƒ(z)的根中实部为负值的个数。
- q为多项式ƒ(z)的根中实部为正值的个数。（此假设ƒ(z)的根都不在虚轴上）
- w(x)为由 $P_0(y)$及$P_1(y)$由施图姆定理得到的变号数（中间利用连续的辗转相除法），其中$f(iy)=P_0(y)+iP_1(y)$，y为实数。

根据代数基本定理，每个n次的多项式在复数平面上会有n 个根（也就是，对于根都不在虚轴上的ƒ，p + q = n）。因此可得到ƒ为（稳定的）赫尔维茨多项式当且仅当p − q = n。利用劳斯–赫尔维茨定理，可以将p和q的条件改为以广义施图姆链组成的条件，也就是以ƒ的系数组合而成的条件。

## 使用矩阵

令 f(z) 为一个复多项式。过程如下：

- 计算多项式 $P_0(y)$ 和 $P_1(y)$ 使得 $f(iy)=P_0(y)+iP_1(y)$ 其中 y 为一实数。
- 计算与 $P_0(y)$ 和 $P_1(y)$ 相关的西尔维斯特矩阵。
- 重新排列每一行，让奇数行和其下一行起始地零数量相同。
- 计算该矩阵的每个主子式。
- 如果这些子式中至少一个为负（或零），则多项式 f 是不稳定的。

### 范例

- 令 $f(z)=az^2+bz+c$ (为了简单起见，此处取实系数），其中 $c\neq 0$（为了避免一根为零，可以利用劳斯–赫尔维茨定理）。首先，要计算实多项式 $P_0(y)$ 与 $P_1(y)$：

$$f(iy)=-ay^2+iby+c=P_0(y)+iP_1(y)=-ay^2+c+i(by).$$

接下来，将多项式辗转相除来得到广义施图姆链：

- $P_0(y)=((-a/b)y)P_1(y)+c,$ 得到 $P_2(y)=-c,$
- $P_1(y)=((-b/c)y)P_2(y),$ 得到 $P_3(y)=0$，于是辗转相除法结束。

注意在第一次除法中，必须假设 b 不为零。在此情形下，广义施图姆链为 $(P_0(y),P_1(y),P_2(y))=(c-ay^2,by,-c)$。令 $y=+\infty$，$c-ay^2$ 的符号与 a 相反，而 by 的符号与 b 相同。当令 $y=-\infty$ 时，该链的第一部分符号也与 a 相反，而 by 的符号与 b 相反。最终，-c 的符号总与 c 相反。

现在假设 f 是赫尔维茨稳定的。这意味着 $w(+\infty)-w(-\infty)=2$（f 的阶数）。由函数 w 的性质，这与 $w(+\infty)=2$ 及 $w(-\infty)=0$ 相同。因此，a, b 和 c 必须符号相同。因此找到了二阶多项式稳定的必要条件.

### 二阶、三阶、四阶多项式的劳斯–赫尔维茨判据

在下面，假设最高阶的系数（例如二阶多项式中的 $a_2$）为正。如果有必要，总可以将该多项式乘以 $-1$ 得到。

- 对于二阶多项式 $P(s) = a_2s^2 + a_1s + a_0 = 0$，如果所有系数都满足 a_1，2.....n 符号相同，则所有根都在左半平面（特征方程为 $P(s)$ 的系统稳定）.
- 对于三阶多项式 $P(s) = a_3s^3 + a_2s^2 + a_1s + a_0 = 0$，所有系数都满足 $a_n > 0$，并且 $a_2a_1 > a_3a_0$
- 对于四阶多项式 $P(s) = a_4s^4 + a_3s^3 + a_2s^2 + a_1s + a_0 = 0$，所有系数都满足 $a_n > 0$，并且 $a_3a_2 > a_4a_1$ 且 $a_3a_2a_1 > a_4a_1^2 + a_3^2a_0$
- 一般地，劳斯稳定性判据要求劳斯表的第一列所有元素符号相同。

满足上述判据的系统称为闭环稳定系统，否则会由于第一列元素符号改变而不稳定。

### 高阶的例子

当难以求得高阶特征多项式的根的时候，可以用表格的方法来确定稳定性。对一个 n 阶多项式

- $$D(s)=a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0$$

该表格由 n + 1 行，结构如下：

$a_n$｜$a_{n-2}$｜$a_{n-4}$｜$\dots$

$a_{n-1}$｜$a_{n-3}$｜$a_{n-5}$｜$\dots$

$b_1$｜$b_2$｜$b_3$｜$\dots$

$c_1$｜$c_2$｜$c_3$｜$\dots$

$\vdots$｜$\vdots$｜$\vdots$｜$\ddots$

其中元素 $b_i$ 和 $c_i$ 可以计算如下：

- $$b_i=\frac{a_{n-1}\times{a_{n-2i}}-a_n\times{a_{n-2i-1}}}{a_{n-1}}.$$
- $$c_i=\frac{b_1\times{a_{n-2i-1}}-a_{n-1}\times{b_{i+1}}}{b_1}.$$

算完之后，第一列中的符号数的变化将是非负极点的数目。

0.75｜1.5｜0｜0

3｜0｜0｜0

6｜0｜0｜0

在第一列中，有2个符号的变化（0.75 → −3，以及 −3 → 3），因此，有2个非负的根，系统是不稳定的。

有时虚轴上的极点会造成临界稳定的情形。在那种情形中，“劳斯表”的系数一整行都会变为零，因而不能进一步求解出符号的改变了。然后另一种方法可以发挥作用。含有零的这一行的上面一行叫做“辅助多项式”。

- $$s^6+2s^5+8s^4+12s^3+20s^2+16s+16=0.\,$$

可得以下的表格：

1｜8｜20｜16

2｜12｜16｜0

2｜12｜16｜0

0｜0｜0｜0

在这个例子中，辅助多项式为 $A(s)=2s^4+12s^2+16.\,$ 仍为零。下一步是对上面的方程求导，得到下面的多项式。$B(s)=8s^3+24s^1$。包含零的行现在变为 "8" 和 "24"。使用这些值继续建立劳斯表，就会得出虚轴上的两个点。这两个虚轴上的点是边缘稳定性的主要原因。

## 参考文献

- Felix Gantmacher (J.L. Brenner translator) (1959) Applications of the Theory of Matrices, pp 177–80, New York: Interscience.

## 外部链接

- A MATLAB script implementing the Routh-Hurwitz test