扎里斯基拓扑

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在代数几何和交换代数中，扎里斯基拓扑是定义在代数簇上的拓扑。其由奥斯卡·扎里斯基首先提出，及后用作给出一般交换环的素理想集的拓扑结构，称为环的谱。

有了扎里斯基拓扑，无论一个代数簇的基域是否一个拓扑域（即一个域，其上可定义一个拓扑，使得加法和乘法都是连续函数），都可应用拓扑学的工具到代数簇的研究上。这是概形论的基本思想，有了它才允许将多个仿射簇黏合，而成一个一般的代数簇，正如流形理论中，流形由多个坐标卡（实仿射空间的开集）黏合而成一样。

将一个代数簇的代数子集定义为闭集，就得到该代数簇的扎里斯基拓扑。若该代数簇定义在复数上，则扎里斯基拓扑比通常的拓扑结构更粗糙，因为每一个代数集在通常的拓扑中也都是闭集。

扎里斯基拓扑在交换环的素理想集上的推广可从希尔伯特零点定理得到，因为该定理说，代数闭域上的仿射簇的点，与该仿射簇的坐标环的极大理想一一对应。因此可如下定义一个交换环的极大理想集上的扎里斯基拓扑：若干极大理想的集合是闭集，当且仅当该些极大理想就是包含某一理想的所有极大理想。格罗滕迪克的概形论中还有另一个基本思想，就是不单考虑对应某个极大理想的点，还要考虑任意（不可约的）代数簇，即对应素理想的点。所以交换环的素理想集（称为“谱”）上的扎里斯基拓扑满足：若干素理想的集合为闭集，当且仅当该些素理想就是包含某一理想的所有素理想。

## 代数簇的扎里斯基拓扑

在古典的（即格罗滕迪克尚未于约 1960 年提出概形概念前）代数几何，扎里斯基拓扑是定义在代数簇上的。扎里斯基拓扑定义该代数簇的代数子集为闭集。由于最简单的代数簇就是仿射簇和射影簇，有必要先明确给出其上扎里斯基拓扑的详细定义。以下取定 k 为一个代数闭域（古典代数几何的 k 几乎总是复数域）。

### 仿射簇

首先定义仿射空间 $\mathbb{A}^n$（即 k 上的 n 维向量空间）上的拓扑。这个拓扑是通过指定其闭集，而非指定其开集来定义的。其所有闭集就是

$$V(S) = \{x \in \mathbb{A}^n \mid f(x) = 0, \forall f \in S\}$$

其中 S 是 k 上任意的若干个 n 元多项式的集合。可以验证：

- V(S) = V((S)), 其中 (S) 是由 S 的元素生成的理想。
- 对任意两个由多项式组成的理想 I, J, 有
- $$V(I) \cup V(J)\,=\,V(IJ);$$
- $$V(I) \cap V(J)\,=\,V(I + J).$$

因此，形如 V(S) 的集合，其有限并和任意交亦将具有此种形式，从而以该些集合为闭集，可以定义一个拓扑结构。（这等价于，它们的补集就是该拓扑的所有开集。记 V(S) 的补集为 D(S)，称为主开集）此谓之 $\mathbb{A}^n$ 上的扎里斯基拓扑。

若 X 是一个仿射代数集（不论可约与否），则可将 X 视为某 $\mathbb{A}^n$ 的子空间，并定义 X 上的扎里斯基拓扑为 $\mathbb{A}^n$ 的扎里斯基拓扑的子空间拓扑。等价地，可以验证：

- 坐标环

$$A(X)\,=\,k[x_1, \dots, x_n]/I(X)$$

元素作用在 X 上，正如 $k[x_1, \dots, x_n]$ 的元素作用在 $\mathbb{A}^n;$

- 对任何的多项式集 S, 设 T 为其在 A(X) 的像，则 X 的子集

$$V'(T) = \{x \in X \mid f(x) = 0, \forall f \in T\}$$

等于 X 与 V(S) 的交。

这就说明可以在任意仿射簇上定义一个扎里斯基拓扑。

### 射影簇

在 $\mathbb{A}^{n+1}$ 中，视任两个相差 k 中的标量倍的点为等同，这样得到的等价类的集合称为 n 维射影空间 $\mathbb{P}^n.$ 多项式环 $k[x_0, \dots, x_n]$ 中的元素不都是 $\mathbb{P}^n$ 上的函数，因为即使是同一点，也能以不同的坐标表示，而代入一个多项式时便会得到不同的值；但是却可以确定一个齐次多项式在某点是否为零，因为如果一点能以两组坐标表示，则一组为另一组的标量倍，而该标量可以在齐次多项式各项中提取出来。所以若 S 为若干个齐次多项式的集合，则可定义

$$V(S) = \{x \in \mathbb{P}^n \mid f(x) = 0, \forall f \in S\}.$$

上一节的几个结论，把“理想”一词换成本节的“齐次理想”之后，将继续适用。于是，对任意的齐次多项式集 S, 以 V(S) 为闭集，可以定义 $\mathbb{P}^n.$ 同样以 D(S) 表示 V(S) 的补集，但当可能引起误会时，改为用 D′(S).

要定义射影代数集上的射影扎里斯基拓扑，正如定义仿射代数集上的仿射扎里斯基拓扑，将之定义为相应的射影空间的子空间拓扑即可。又或者，这个拓扑是射影坐标环内蕴的：根据仿射簇一节的等式，可以仅用坐标环的子集定义出一个射影代数集上的扎里斯基拓扑。

### 性质

此种拓扑都具有一组基，该组基由对应每个多项式（对于射影簇，则为齐次多项式）f 的 D(f) 组成。要证明这些形式的元素组成一组基，可以考虑 (S) 的各生成元所生成的主理想，并反复运用两个闭集的交的公式。这些 D(f) 称为 特异 (distinguished) 开集或 基 (basic) 开集。

由希尔伯特基定理和诺特环的基本性质，每个仿射或射影坐标环都是诺特环。于是，具有扎里斯基拓扑的仿射或射影空间都是诺特拓扑空间，故其中每一个闭集都是紧的。

然而，除了有限代数集，并无代数集是豪斯多夫空间。某些旧文献要求紧空间必须是豪斯多夫的，而代数几何通常沿用这个定义。于是，现今较常见的“紧”的意思，在代数几何学表达为“拟紧”(quasicompact)。不过因为每个点 (a1, ..., an) 都是多项式 x1 - a1, ..., xn - an 的零点集的唯一元素，单点集是闭集，所以每个簇都满足T1 公理。

簇之间的正则映射相对其上的扎里斯基拓扑是连续的。而且，假如要求单点集均为闭集，又要保持正则映射的连续性，则扎里斯基拓扑是最弱（最少开集）而仍满足要求的拓扑。原因是，扎里斯基拓扑的闭集就是若干个多项式函数对 {0} 的原像的交，而多项式函数可视为映到$\mathbb{A}^1$ 的正则函数。

## 环的谱

现代代数几何里，一个代数簇经常用其对应的概形表示。这是一种局部同胚于一个环的谱的拓扑空间（此外还具有其他结构）。交换环Ａ 的 谱 记为 Spec(A)，是配备了扎里斯基拓扑的 A 的素理想集，其中闭集具有形式

$$V(I) = \{P \in \operatorname{Spec}\,(A) \mid I \subseteq P\}$$

当中 I 是一个理想。

这个定义与古典的定义有很大关系。根据希尔伯特零点定理，V(S) （按旧定义）有点 (a1, ..., an) 当且仅当理想 (x1 - a1, ..., xn - an) 包含 S；此外，由“弱”零点定理可知，该些理想均为极大理想，且任何仿射坐标环中的极大理想均具有此种形式。所以，V(S) 与包含 S 的所有极大理想的集合是一样的。格罗滕迪克定义 Spec 的创新之处，是他将极大理想换成素理想。这样也可自然地定义环的谱上的闭集。

另一个诠释现代定义的方法更贴近旧有的。以下将给出一种方法，使 A 的元素可以作为 A 的素理想集上的函数，因此也是 Spec A 上的函数。注意每个素理想 P 都对应一个剩余域，即整环 A/P 的分式域。此外，P 的元素正是那些映到 A/P 会变成 0 的元素，所以对应 A 的每个元素 a，可以定义以下映射：

$$e_a \colon \bigl(P \in \operatorname{Spec}(A)\bigr) \mapsto \left(\frac{a \; \bmod P}{1} \in \operatorname{Frac}(A/P)\right)$$

（“对 a 求值”），其将每个素理想映到 a 在该素理想的剩余域的像。如此，定义了 Spec A 上的函数（尽管其取值不都在同一个域上），且有

$$e_a(P)=0 \Leftrightarrow P\in V(a)$$

一般来说，对任意的理想 I, V(I)是使 I 中所有“函数”都取零值的点的集合，与古典的定义具有同样形式。若 A 为代数闭域 k 上的多项式环，则 A 中的极大理想与 k 的元素的 n 元组一一对应，且其剩余域就是 k, 而“求值”运算正是将该 n 元组代入多项式中求值。从而本段的定义与古典的定义一致，即古典定义就是只考虑极大理想的现代定义，而当现代定义和古典定义两者皆适用时，也可将现代定义理解成“若干函数的零点集”。

正如 Spec 取代了仿射簇，Proj构造在现代代数几何中取代了射影簇。如同古典的情况，从仿射到射影，只须把理想皆换成齐次理想即可，不过此时要额外考虑无关极大理想(irrelevant maximal ideal) 带来的特殊情况。

### 例子

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- Spec k, 域 k 的谱，是只有一个元素的拓扑空间。
- Spec ℤ, 整数环的谱，其内对应每个素数 p 有一个闭点，因为 ℤ 有极大理想 (p) ⊂ ℤ，还有一个不是闭的泛点（即闭包为整个空间的点）对应零理想 (0). 所以 Spec ℤ 中的闭集有且只有整个空间，以及有限个闭点组成的集合。
- Spec kt, 域 k 上多项式环的谱。该环是一个主理想整环，而不可约多项式为其中的质元素。若 k 是一个代数闭域，例如复数域，则一个非常数的多项式不可约当且仅当其为一次多项式，形如 t − a, 其中 a 是 k 的某个元素。所以，谱中对应 k 的每个元素 a 有一个闭点，还有一个泛点对应零理想。可以证明闭点组成的集合与具备扎里斯基拓扑的仿射直线 k 同胚。因此，一些作者也称 Spec kt 为仿射直线。若 k 不是代数闭域，例如实数域，kt 中就有不可约也非一次的多项式，这使情况变得复杂。ℝt 的谱有闭点 (x − a), 其中 a 为 ℝ 的任意元素，也有闭点 (x2 + px + q), 其中 p, q 为 ℝ 的元素，且须满足判别式 p2 − 4q < 0，最后还有泛点 (0). 对任何域，Spec kt 中的闭集有且只有整个空间，以及有限个闭点组成的集合。（本段仅证明了结论对代数闭域成立。一般情况的证明需要用到交换代数的一个结果：kt 的克鲁尔维数为 1。也参见克鲁尔主理想定理）

### 性质

新的扎里斯里拓扑跟古典的最大分别在于，新拓扑中的点无须为闭点。格罗滕迪克引入了泛点，以扩展此定义。泛点即有最大闭包的点，其对应包含零理想的最小素理想。而闭点则对应 A 的极大理想。不过注意，谱和射影谱也是 T0 空间，因为给定任意两点 P, Q, 其对应 A 中的两个互异的素理想，故必一个不包含另一个，假设 P 不包含 Q, 则 D (Q) 包含 P，但不包含 Q.

正如在古典代数几何所见，任何谱或射影谱都是（拟）紧的，且若该环为诺特环，则其谱是诺特空间。但是，这与一般直觉有所抵触。平常若一个开集是紧的，则其为空间的某个连通分支，而对仿射空间（例如欧几里得空间）来说，整个空间并非紧的。可见扎里斯基拓扑在几何上有其不当之处。格罗滕迪克引入了正常性的概念，用来描述概形和概形间的态射，使得紧的概念回复直观。其中 Proj 是正常的，但 Spec 不是。