光线转换矩阵分析

光线转换矩阵分析(又称ABCD矩阵分析)，是用于某些光学系统，特别是激光领域的一种光线追踪技术。它包含一个描述光学系统的光线转化矩阵(ray transfer matrix)，这个矩阵与一代表光线的向量相乘之后，可以得到光线在该系统中的运行轨迹。这类的分析也被应用于加速器物理(accelerator physics)中，用以追踪通过粒子加速器中磁铁装置的粒子，详情请见电子光学。

以下介绍的技术使用了近轴逼近法，此逼近法意即假设所有光线相对于系统的光轴(optical axis)都处于小角度(θ为径度)、短距离(x)。

## 定义

光线追踪技术以两个平面为参考面，分别为输入平面与输出平面，这两个平面均垂直于系统的光轴。此外，为了理论的一般性，我们定义系统的光轴即直角坐标系的z轴。一光线与输入面呈θ1，从距离光轴 x1 的入射面进入系统，并在距光轴的x2的输出面呈θ2射出，而n1, n2分别是在输入面与输出面中介质的折射率。

这些参数可表成下列关系式:

$$\begin{bmatrix} x_2 \\ \theta_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ \theta_1 \end{bmatrix}$$

当

$$A = {x_2 \over x_1 } \bigg|_{\theta_1 = 0} \qquad B = {x_2 \over \theta_1 } \bigg|_{x_1 = 0}$$

且

$$C = {\theta_2 \over x_1 } \bigg|_{\theta_1 = 0} \qquad D = {\theta_2 \over \theta_1 } \bigg|_{x_1 = 0}$$

这个关系式以光线转化矩阵(RTM, M)将光线向量与输入、输出面互相连结，M代表的是在这两个平面之间的光学系统。根据折射定律与几何关系，可以证明RTM行列式值(determinant)即是两个折射率的比值。

$$\det(\mathbf{M}) = AD - BC = { n_1 \over n_2 }$$

因此，若是输入面与输出面在同一个介质中，或是在具有同一个折射率的不同介质中，M等于1，相似的技术可以应用于电路学上，见二埠网络。

## 范例

若两个面中有空间存在，光线转换矩阵可以表示成:

$$\mathbf{S} = \begin{bmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

其中d表示两参考平面的距离(沿着光轴测量)，此矩阵有下列关系:

$$\begin{bmatrix} x_2 \\ \theta_2 \end{bmatrix} = \mathbf{S} \begin{bmatrix} x_1 \\ \theta_1 \end{bmatrix}$$

两光线各别的参数可表示如下:

$$\begin{matrix} x_2 & = & x_1 + d\theta_1 \\ \theta_2 & = & \theta_1 \end{matrix}$$

另一个范例为一薄透镜，其光线转画矩阵为:

$$\mathbf{L} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{f} & 1 \end{bmatrix}$$

其中f为透镜的焦距。若遇表示依复合光学系统，光线转化矩阵可以交互相乘，形成一总括光线转化矩阵，以下范例唯为一长度为d的空间与薄透镜的复合系统:

$$\mathbf{L}\mathbf{S} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{f} & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & d \\ \frac{-1}{f} & 1-\frac{d}{f} \end{bmatrix}$$

注意，矩阵的乘法并没有交换率，因此下面的系统先为一薄透镜，后为一空间。

$$\mathbf{SL} = \begin{bmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{f} & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-\frac{d}{f} & d \\ \frac{-1}{f} & 1 \end{bmatrix}$$

因此，矩阵必须照顺序排好。不同的矩阵可以代表不同折射率的介质，或者是面镜的反射等等。

## 光线转化矩阵表格

简易的光学元素

成分元素｜矩阵｜注解

传输在具有常数折射率的空间｜$\begin{bmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$｜d为传输距离

折射在平坦的表面｜$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{n_1}{n_2} \end{bmatrix}$｜n1 为入射时的环境折射率 n2 为折射后的环境折射率

折射在曲面｜$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{n_1-n_2}{R \cdot n_2} & \frac{n_1}{n_2} \end{bmatrix}$｜R 为曲率半径，当 R > 0 为凸面 n1 为入射时的环境折射率 n2 为折射后的环境折射率

从平坦面镜反射｜$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

从曲面镜反射｜$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{2}{R} & 1 \end{bmatrix}$｜R 为曲率半径，当 R > 0 为凹面，可用于近轴近似法

薄透镜｜$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{f} & 1 \end{bmatrix}$｜f 为透镜的焦距，当 f > 0 为凸透镜 唯有在焦距远大于透镜厚度时成立

厚透镜｜$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{n_2-n_1}{R_2n_1} & \frac{n_2}{n_1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{n_1-n_2}{R_1n_2} & \frac{n_1}{n_2} \end{bmatrix}$｜n1 为透镜外的折射率 n2 为透镜内的折射率 R1 为第一表面的曲率半径 R2 为第二表面的曲率半径 t 为透镜的中心厚度

单直角棱镜｜$\begin{bmatrix} k & \frac{d}{nk} \\ 0 & \frac{1}{k} \end{bmatrix}$｜k = (cos$\psi$/cos$\phi$) 是beam expansion的因素, 当$\phi$ 为入射角, $\psi$ 为折射角, d 为棱镜的路径长, n 为棱镜的折射率。这个举证应用在orthogonal beam exit。

## 共振稳定性

RTM在模拟光学共振系统的时候特别有用，像是激光。在最简单的情况下由两个完全相同，具100%反射率、曲率半径R相互距离为d的面镜组成。为了达到光学追踪的目的，上述的系统可以等同于由一系列焦距为R/2，彼此间的距离为d的薄透镜所组成的系统，此结构又被称为a lens equivalent duct或lens equivalent waveguide. 上述系统每一个波导下的RTM如下:

$$\mathbf{M} =\mathbf{L}\mathbf{S} = \begin{bmatrix} 1 & d \\ \frac{-1}{f} & 1-\frac{d}{f} \end{bmatrix}$$

光学转化矩阵分析此时就可以决定一个波导的稳定性(等同于共振器)，意即RTM可以找出光可以周期性地再聚焦，并待在波导内的状况。我们可以找到系统中所有光的”eigenrays”，入射向量在每个mentioned sections的波导乘上一个实数或是复数的 λ 将会等于1。使得：

$$\mathbf{M} \begin{bmatrix} x_1 \\ \theta_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_2 \\ \theta_2 \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} x_1 \\ \theta_1 \end{bmatrix}$$

此为一本征方程式：

$$\left[ \mathbf{M} - \lambda\mathbf{I} \right] \begin{bmatrix} x_1 \\ \theta_1 \end{bmatrix} = 0$$

其中I为一2x2单位矩阵。

我们可以进一步计算此转化矩阵的本征值：

$$\operatorname{det} \left[ \mathbf{M} - \lambda\mathbf{I} \right] = 0$$

可导出以下特征方程式：

$$\lambda^2 - \operatorname{tr}(\mathbf{M}) \lambda + \operatorname{det}( \mathbf{M}) = 0$$

其中

$$\operatorname{tr} ( \mathbf{M} ) = A + D = 2 - { d \over f }$$

是RTM的轨迹，且

$$\operatorname{det}(\mathbf{M}) = AD - BC = 1$$

是RTM行列式值的倒数，带入消去后我们可以得到:

$$\lambda^2 - 2g \lambda + 1 = 0$$

其中

$$g \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ { \operatorname{tr}(\mathbf{M}) \over 2 } = 1 - { d \over 2 f }$$

是稳定参数。本征值是本征方程式的解，由一元二次方程式可以解出:

$$\lambda_{\pm} = g \pm \sqrt{g^2 - 1} \,$$

现在，考虑一个光线通过系统N次:

$$\begin{bmatrix} x_N \\ \theta_N \end{bmatrix} = \lambda^N \begin{bmatrix} x_1 \\ \theta_1 \end{bmatrix}$$

如果此波导是稳定的，所有的光都不会被随意的引道到偏离主轴很远的地方，意即λN必须是有限的。吾人假设g2>1，则两本征值均为实数，又因为λ*λ- = 1，因此其中一个的绝对值必须大于1，这也暗示了代表本征向量的光线不会收敛。因此在依稳定的波导中，g2≤1，以及本征值可以用复数形式表示:

$$\lambda_{\pm} = g \pm i \sqrt{1 - g^2} = \cos(\phi) \pm i \sin(\phi) = e^{\pm i \phi}$$

以g=cos(φ)表示。

假设 $g^2 < 1$ 且 $r_+$, $r_-$是$\lambda_+$, $\lambda_-$的本征向量，此两向量横跨所有向量空间，因为他们是正交因此输入的向量可以被表示成:

$c_+ r_+ + c_- r_-$,

$c_+$ and $c_-$为某常数

再通过N个波导后，输出则为:

$$\mathbf{M}^N (c_+ r_+ + c_- r_-) = \lambda_+^N c_+ r_+ + \lambda_-^N c_- r_- = e^{i N \phi} c_+ r_+ + e^{- i N \phi} c_- r_-$$

这代表一个周期函数。

## 高斯光束的光线转化矩阵

光线转化矩阵的建立也可以用于描述高斯光束(Gaussian beams)，若有一高斯光束波长为λ0，曲率半径为R，光点大小w，折射率n，我们可以定义出一复数光束参数(complex beam parameter) q:

$$\frac{1}{q} = \frac{1}{R} - \frac{i\lambda_0}{\pi n w^2}$$

此光束可以转移至一具有下列光线转化矩阵的光学系统:

$$\begin{bmatrix} q_2 \\ 1 \end{bmatrix} = k \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} q_1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

其中k为标准化常数，此常数可以让光束向量的第二个成分为1，利用矩阵乘法:

$$q_2 = k(Aq_1 + B) \,$$

且

$$1 = k(Cq_1 + D) \ $$

由上式除以下式可得:

$$q_2 =\frac{Aq_1+B}{Cq_1+D}$$

此方程式常以倒数形式表示:

$${ 1 \over q_2 } = { C + D/q_1 \over A + B/q_1 }$$

### 范例：Free space

假设一光束通过一距离为d的空间，光线转化矩阵为:

$$\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}$$ 因此

$$q_2 =\frac{Aq_1+B}{Cq_1+D} = \frac{q_1+d}{1} = q_1+d$$

这表示，通过一空间会增加半径d。

### 范例：薄透镜

假设一光束通过一焦距为f的薄透镜，光线转化矩阵为:

$$\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\-1/f&1\end{bmatrix}$$

因此

$$q_2 =\frac{Aq_1+B}{Cq_1+D} = \frac{q_1}{-\frac{q_1}{f}+1}$$

$$\frac{1}{q_2} = \frac{-\frac{q_1}{f}+1}{q_1} =\frac{1}{q_1}-\frac{1}{f}$$

再次强调，只有q的实部会被影响，曲率半径会减少1/f。

## 外部链接

- Thick lenses (Matrix methods)
- ABCD Matrices Tutorial Provides an example for a system matrix of an entire system.
- ABCD Calculator An interactive calculator to help solve ABCD matrices.
- Simple Optical Designer (Android App) An application to explore optical systems using the ABCD matrix method.