合流超几何函数

在特殊函数中，合流超几何函数（confluent hypergeometric function）定义为合流超几何方程的解。它是高斯超几何函数的极限情形，相当于超几何方程中的两个正则奇点 1 和 ∞ 合流为一个非正则奇点 ∞，因而得名。

根据所选择的参变量与宗量的不同，合流超几何函数有多种标准形式，常见的有：

- Kummer 函数（第一类合流超几何函数）M(a,b,z) 是 Kummer 方程的解。注意有另一个相异且无关的函数也被称为 Kummer 函数。
- Tricomi 函数（第二类合流超几何函数）U(a,b,z)是 Kummer 方程的另一个线性无关的解，有时会写成 Ψ(a,b,z)。
- 惠泰克函数 是惠泰克方程的解，惠泰克方程里的参数与 Kummer 方程的参数所对应的李代数参数相关。

## Kummer 方程

根据广义超几何函数的性质，超几何函数 w(z)=1F1(a;b;z) 满足的微分方程为：

$z\left(z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} + a\right)w = z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z}\left(z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} + b-1\right)w$.

展开后就得到 Kummer 方程。

$z\frac{\mathrm d^2w}{\mathrm dz^2} + (b-z)\frac{\mathrm dw}{\mathrm dz} - aw = 0$,

它在正则奇点 0 附近的一个正则解为 Kummer 函数：

$$M(a,b,z)=\,{}_1F_1(a;b;z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)^{(n)}}{(b)^{(n)}}\frac{z^n}{n!}$$

式中 (a)(n) 是升阶乘的 Pochhammer 记号。

Kummer 函数是高斯超几何函数的极限情形：

$${}_1F_1(a;c;z)=\lim_{b\rightarrow\infty}\,{}_2F_1(a,b;c;\tfrac zb)$$

高斯超几何方程在正则奇点 0 附近的另一个正则解为：

$$z^{1-c} \, _2F_1(1+a-c,1+b-c;2-c;z)$$

按照相同的极限过程，可知 Kummer 方程的另一个正则解为（这里的 b 等同于上式的 c）：

$$z^{1-b} \, _1F_1(1+a-b;2-b;z)$$

但是，传统上并不把这个正则解定义为第二类合流超几何函数。Tricomi 函数定义为它们的线性组合：

$$U(a,b,z)=\frac{\Gamma(1-b)}{\Gamma(a-b+1)}M(a,b,z)+\frac{\Gamma(b-1)}{\Gamma(a)}z^{1-b}M(a-b+1,2-b,z).$$

它与另一个广义超几何函数有下列关系：

$$U(a,b,z)=z^{-a}\cdot{}_2F_0(a,a-b+1;;-z^{-1})$$

但此时上面的超几何函数对应的级数不收敛，需要通过另外的方式来定义（如积分表达式）。更常见的是下面的表述，它将 2F0 对应的超几何级数视为渐近级数。

$$U(a,b,z)\approx z^{-a}\cdot{}_2F_0(a,a-b+1;;-z^{-1}),\quad z\rightarrow\infty, |\arg z|<\frac{3\pi}2$$

Kummer 函数是整函数，而 Tricomi 函数一般有奇点 0。

### 可转化为 Kummer 方程的二阶线性常微分方程

大部分系数为自变量 z 的一次函数的二阶线性常微分方程都可以通过变量代换转换成 Kummer 方程。对方程

$$(A+Bz)\frac{d^2w}{dz^2} + (C+Dz)\frac{dw}{dz} +(E+Fz)w = 0$$

先将 A+Bz 用一个新的 z 代换，就可以将二阶项前面的系数化为 Kummer 方程的形式：

$$z\frac{d^2w}{dz^2} + (C+Dz)\frac{dw}{dz} +(E+Fz)w = 0$$

这里的 C,D,E,F 是作代换后得到的新的值。然后将 z 用 (D2-4F)-1/2z 代换，并将整个式子乘以相同的常数，得到：

$$z\frac{d^2w}{dz^2}+\left(C+\frac{D}{\sqrt{D^2-4F}}z\right)\frac{dw}{dz}+\left(\frac{E}{\sqrt{D^2-4F}}+\frac{F}{D^2-4F}z\right)w=0$$

它的解为。

$$w(z)=\exp[-(1+\tfrac D{\sqrt{D^2-4F}})\tfrac z2]f(z),\quad f(z)=k_1M(a,C,z)+k_2U(a,C,z),\quad a=(1+\tfrac D{\sqrt{D^2-4F}})\tfrac C2-\tfrac E{\sqrt{D^2-4F}}, k_1,k_2\in\mathbb C$$

### 李代数参数与惠泰克方程

Kummer 方程的李代数参数定义为

$$\alpha=b-1, \theta=2a-b,$$

其中第一个李代数参数是 z=0 处两个正则解的指标之差。而第二个李代数参数对于 z=0 处的两个正则解给出相同的值。这时 z=0 处的两个正则解可以表示为

$$F_{\alpha,\theta}(z) \text{ and } z^{-\alpha}F_{-\alpha,\theta}(z)$$

惠泰克方程的形式为：

$$\frac{\mathrm d^2w}{\mathrm dz^2}+\left(-\frac{1}{4}+\frac{\kappa}{z}+\frac{1/4-\mu^2}{z^2}\right)w=0.$$

它的两个线性无关的解为惠泰克函数，与第一类、第二类合流超几何函数有下列关系：

$$M_{\kappa,\mu}\left(z\right) = \exp\left(-z/2\right)z^{\mu+\tfrac{1}{2}}M\left(\mu-\kappa+\frac{1}{2}, 1+2\mu; z\right)$$

$$W_{\kappa,\mu}\left(z\right) = \exp\left(-z/2\right)z^{\mu+\tfrac{1}{2}}U\left(\mu-\kappa+\frac{1}{2}, 1+2\mu; z\right)$$

注意到

$$M_{\kappa,\mu}\left(z\right) = \exp\left(-z/2\right)z^{\mu+\tfrac{1}{2}}F_{2\mu,-2\kappa}(z)$$

故惠泰克方程中的参数实际上与 Kummer 方程对应的李代数参数等价，两者之间只差一个常数倍。

## 积分表示

合流超几何函数的很多性质可以通过高斯超几何函数得到，高斯超几何函数的积分表示为：

$$\Beta(a,c-a)\,{}_2F_1(a,b;c;\tfrac zb)=\int_1^\infty t^{b-c}(t-1)^{c-a-1}(t-\tfrac zb)^{-b}\mathrm dt =\int_1^\infty t^{-c}(t-1)^{c-a-1}(1-\tfrac z{bt})^{-b}\mathrm dt, \Re(c)>\Re(a)>0, |\arg(1-\tfrac zb)|<\pi$$

式中的 Β 是beta函数。

两边取极限后就得到（第一类）合流超几何函数的积分表示：

$$\Beta(a,c-a)\,{}_1F_1(a;c;z)=\int_1^\infty t^{-c}(t-1)^{c-a-1}e^{\tfrac zt}\mathrm dt, \Re(c)>\Re(a)>0$$

第二类合流超几何函数的积分表示为：

$$\Gamma(a)U(a,b,z) = \int_0^\infty e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}\,dt, \quad \Re(a)>0$$

## 变换公式

高斯超几何函数的 Pfaff 变换公式为：

$${}_2F_1(a,b;c;\tfrac zb) =(1-\tfrac zb)^{-b} \, {}_2F_1(c-a,b;c; \tfrac 1b\tfrac{bz}{z-b}),\quad |\arg(1-\tfrac zb)|<\pi$$

两边取极限得到（第一类）合流超几何函数的 Kummer 变换公式：

$${}_1F_1(a;c;z) = e^z\, {}_1F_1(c-a;c;-z)$$

第二类合流超几何函数的 Kummer 变换公式为：

$U(a,b,z)=z^{1-b} U\left(1+a-b,2-b,z\right)$.

## 特殊情形

很多特殊函数都是合流超几何函数的特殊情形。

### 柱函数

第一类、第二类虚宗量贝塞尔函数可以分别表示为：

$$I_\nu(z)=\frac{z^\nu}{2^\nu e^z\Gamma(\nu+1)}M(\nu+\frac12,2\nu+1,z)$$

$$K_\nu(z)=\sqrt{\pi}(2z)^\nu e^{-z}U(\nu+\frac12,2\nu+1,z)$$

### Γ, 误差函数

不完全伽玛函数可以表示为：

$$\gamma(a,z)=\frac{z^a}aM(a,a+1,-z),\quad a\notin\mathbb Z_0^-$$

$$\Gamma(a,z)=e^{-z}U(1-a,1-a,z)$$

误差函数可以表示为：

$$\operatorname{erf}(z)=\frac{2z}{\sqrt\pi}M(\frac12,\frac32,-z^2)$$

### 正交多项式及相关函数

拉盖尔函数可以表示为：

$$L_n^{(\alpha)}(z)= {n+ \alpha \choose n} M(-n,\alpha+1,z),\quad \alpha\notin\mathbb Z^-$$

其中的二项式系数用贝塔函数来定义。

（物理学上的）厄米多项式可以表示为：

$$H_n(z)=2^nU(-\frac n2,\frac 12,z^2),\quad n\in\mathbb Z_0^+,\Re(z)>0$$

## 外部链接

- Wolfram 函数大全上的 Kummer 超几何函数
- Wolfram 函数大全上的 Tricomi 超几何函数