克莱布希-高登系数

在量子力学中，克莱布希－高登系数（Clebsch–Gordan coefficients，简称 CG 系数，又称向量耦合系数等）是两个角动量耦合时，它们的本征函数的组合系数。

从数学的角度，克莱布希－高登系数出现在紧李群的表示论中，它研究的是两个不可约表示的张量积如何分解成不可约表示的直和。

克莱布希－高登系数因阿尔弗雷德·克莱布什和保罗·哥尔丹而得名。

## 记号

在本文中，在不引起混淆的情况下，省略算符上的尖号。用粗体来表示向量（算符），用非粗体表示标量（算符）。

## 角动量耦合的一般理论

本文的讨论从角动量的一般量子理论出发，以角动量算符的对易关系为基础，不涉及角动量算符在某个具体表象下的表示。相关内容可参见角动量算符对易关系一文。

给定了 j 之后，本征函数组

$$|jm\rangle,\quad m=-j,-j+1,\dots,j-1,j$$

张开成一个 2j+1 维的函数空间。

现在给定两个量子数 j1 和 j2，则其本征函数组张开的空间分别有 2j1+1 维与 2j2+1 维。现考虑这两个函数空间的张量积

$$V=V_1\otimes V_2=\operatorname{span}(\{|j_1m_1\rangle|m_1=-j_1,-j_1+1,\dots,j_1-1,j_1\})\otimes \operatorname{span}(\{|j_2m_2\rangle|m_2=-j_2,-j_2+1,\dots,j_2-1,j_2\})$$

显然有

$$V=\operatorname{span}(\{|j_1m_1\rangle|\otimes|j_2m_2\rangle|m_1=-j_1,-j_1+1,\dots,j_1-1,j_1; m_2=-j_2,-j_2+1,\dots,j_2-1,j_2\})$$

下面为简便起见，定义新的记号

$$|j_1m_1j_2m_2\rangle=|j_1m_1\rangle\otimes|j_2m_2\rangle$$

一般地，若 f, g 分别是这两个空间里的算符，则在积空间上可以定义下列算符：

$$f\otimes g: V_1\otimes V_2\rightarrow V_1\otimes V_2, u\otimes v\rightarrow (fu)\otimes(gv)$$

另一方面，定义在这两个空间上的算符可以自然地嵌入到积空间中，只需取

$$f\rightarrow f\otimes 1,g\rightarrow 1\otimes g$$

其中 1 表示恒等操作（算符）。

在这样的定义下，两个角动量算符的的耦合表达为：

$$j_\alpha=j_{1,\alpha}+j_{2,\alpha}=j_{1,\alpha}\otimes 1+1\otimes j_{2,\alpha},\quad \alpha\in\{x,y,z\}$$

$$\mathbf j=\mathbf j_1+\mathbf j_2=\mathbf j_1\otimes 1+1\otimes \mathbf j_2,\quad \alpha\in\{x,y,z\}$$

容易验证这样定义的 j 满足角动量的基本对易关系，因此是一个角动量算符，称为总角动量算符。

根据角动量的一般理论，总角动量算符也有自己的本征函数组，它可以用积空间里的基来表示

$$|jm\rangle=\sum_{m_1,m_2}\langle j_1m_1j_2m_2|jm\rangle|j_1m_1j_2m_2\rangle$$

这里的线性组合系数

$$\langle j_1m_1j_2m_2|jm\rangle$$

就被称为克莱布希－高登系数。在正交归一性的要求下，克莱布希－高登系数仍然具有相位不确定性。本文中取 Condon-Shortley 惯例，使所有克莱布希－高登系数为实数。

## 耦合表象中量子数的取值

$$j_z=j_{1,z}+j_{2,z}$$

上式两边取矩阵元，就得到：

$$\langle j_1m_1j_2m_2|jm\rangle=\delta_{m_1+m_2,m}\langle j_1m_1j_2m_2|jm_1+m_2\rangle$$

故在克莱布希－高登系数的表达式中可以省略 m 的值。

下面考虑耦合表象中量子数 j 的取值，根据上式，有

$$j_\max=m_\max=m_{1,\max}+m_{2,\max}=j_1+j_2$$

故 j 最大的可能取值是 j1 与 j2 的和，且它只出现一次。此时

$$m=-j_\max,-j_\max+1,\dots,j_\max-1,j_\max$$

考虑下一个可能的 j，显然第二大的 m=mmax-1，它可以通过两种方式组合而来。

$$m_1=j_1-1,m_2=j_2 \text{ or } m_1=j_1,m_2=j_2-1$$

它们张开成一个二维的空间，但 j=jmax 的本征函数组里面已经出现过 m=jmax-1，这里占用了一维，因此下一个可能的 j 只能是 jmax-1，它同样只出现一次。

这样分析下去，就会知道 j 的所有可能取值只能是

$$j_\min,j_\min+1,\dots,j_\max-1,j_\max$$

其中每个 j 恰好出现一次，且

$$j_\max-j_\min\in\mathbb Z$$

但积空间的维数应该等于两个空间维数之积，即

$$\sum_{n=j_\min}^{j_\max}(2n+1)=(2j_1+1)(2j_2+1)$$

故有

$$j_\min=|j_1-j_2|$$

## 一个例子

以 $j_1=j_2=\frac{1}{2}$ 为例。

对任意一个算符 $f$，本节中的矩阵元表示

$$\langle j_1m_1j_2m_2|f|j_1m_1j_2m_2\rangle$$

值。

$$j_z=\frac12\left(\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}\right) =\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}$$

$$j_+=\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&1&0\end{bmatrix}=j_-^\dagger$$

$$\mathbf j^2=\frac12[j_+,j_-]_++j_z^2=\begin{bmatrix}2&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&2\end{bmatrix}$$

计算最后一个矩阵的本征值和本征向量，得到

$$\begin{bmatrix}2&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0&0&1&0\\-2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0&0&1&0\\-2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}\operatorname{diag}\{0,2,2,2\}$$

于是可知克莱布希－高登系数为：

$m_1, m_2 =$

1 1/2, 1/2｜$1\!\,$

m1, m2=

1｜0 1/2, -1/2｜$\sqrt{\frac{1}{2}}\!\,$｜$\sqrt{\frac{1}{2}}\!\,$ -1/2, 1/2｜$\sqrt{\frac{1}{2}}\!\,$｜$-\sqrt{\frac{1}{2}}\!\,$

m1, m2=

1 -1/2, -1/2｜$1\!\,$

从上面的例子可以看到，对于一般的情况，用矩阵来求克莱布希－高登系数将是十分繁琐的。一般可以采用下面的 Racah 表达式计算，更多的情况是直接查表。

## Racah 表达式

Racah 用代数方法得出了克莱布希－高登系数的有限级数表达式。

$$\begin{array}{cl}&\langle j_1m_1j_2m_2|j_3m_3\rangle\\ =&\delta_{m_3,m_1+m_2}\left[(2j_3+1)\frac{(j_1+j_2-j_3)!(j_2+j_3-j_1)!(j_3+j_1-j_2)!}{(j_1+j_2+j_3+1)!} \times\prod_{i=1,2,3}(j_i+m_i)!(j_i-m_i)!\right]^{1/2}\\ \times&\sum_\nu[(-1)^\nu\nu!(j_1+j_2-j_3-\nu)!(j_1-m_1-\nu)!(j_2+m_2-\nu)!(j_3-j_1-m_2+\nu)!(j_3-j_2+m_1+\nu)!]^{-1}\end{array}$$

其中， ν 的求和限制在使得所有的阶乘因子中的数非负的范围内。

## 对称性

克莱布希－高登系数有下列的对称性

$$\begin{align} \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M\rangle & = (-1)^{j_1+j_2-J} \langle j_1\, {-m_1} j_2 \, {-m_2}|J \, {-M}\rangle \\ & = (-1)^{j_1+j_2-J} \langle j_2 m_2 j_1 m_1|J M\rangle \\ & = (-1)^{j_1 - m_1} \sqrt{\frac{2 J +1}{2 j_2 +1}} \langle j_1 m_1 J \, {-M}| j_2\,{-m_2} \rangle \\ & = (-1)^{j_2 + m_2} \sqrt{\frac{2 J +1}{2 j_1 +1}} \langle J \, {-M} j_2 m_2| j_1 \, {-m_1} \rangle \\ & = (-1)^{j_1 - m_1} \sqrt{\frac{2 J +1}{2 j_2 +1}} \langle J M j_1 \, {-m_1} | j_2 m_2 \rangle \\ & = (-1)^{j_2 + m_2} \sqrt{\frac{2 J +1}{2 j_1 +1}} \langle j_2 \, {-m_2} J M | j_1 m_1 \rangle \end{align}$$

## 与维格纳 3-j 符号的关系

克莱布希－高登系数与维格纳 3-j 符号有下列关系：

$$\begin{pmatrix} <pre> j_1 & j_2 & j_3\\ m_1 & m_2 & m_3 </pre> \end{pmatrix} \equiv \frac{(-1)^{j_1-j_2-m_3}}{\sqrt{2j_3+1}} \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 \, {-m_3} \rangle.$$

后者可以用于计算下列形式的球谐函数积分：

$$\begin{align} & {} \quad \int Y_{l_1m_1}(\theta,\varphi)Y_{l_2m_2}(\theta,\varphi)Y_{l_3m_3}(\theta,\varphi)\,\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi \\ & = \sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)(2l_3+1)}{4\pi}} \begin{pmatrix} <pre> l_1 & l_2 & l_3 \\[8pt] 0 & 0 & 0 </pre> \end{pmatrix} \begin{pmatrix} <pre> l_1 & l_2 & l_3\\ m_1 & m_2 & m_3 </pre> \end{pmatrix} \end{align}$$

由球谐函数的正交归一性，上面的结果也可以用来对球谐函数作展开。