广群

在数学中，尤其在范畴论和同伦论中，广群（groupoid，或勃兰特广群，Brandt groupoid）是对群的概念的抽象化。广群可被视为：

- 以偏函数取代二元运算的群。
- 所有态射都可逆的范畴。这一类范畴可被视作增加了一种一元运算，与群论中的逆元相对应。只有一个对象的广群一般是群。

在存在依赖类型的情况下，一般来说，一个范畴可视作是类型化的幺半群；广群也可简单视作类型化的群。对象到对象的态射形成类型的依赖族，于是态射可以是类型化的$g:A \rightarrow B$、$h:B \rightarrow C$。于是组合是全函数：$\circ : (B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow A \rightarrow C$，于是$h \circ g : A \rightarrow C$。

广群的特例包括：

- 集合体（Setoid），即带有等价关系的集合。
- G-集合，即带有G 的作用的集合。

广群常用于研究流形等几何物体。广群最先由海因里希·勃兰特于1927年引入，其思想暗含在勃兰特半群的概念中。

## 定义

广群指的是代数结构$(G,\ast)$，包含非空集G与定义在G上的二元偏函数'$\ast$'。

### 代数定义

广群是具备一元运算${}^{-1}:G\to G,$与偏函数$*:G\times G \rightharpoonup G$的集合G，当中的*不是二元运算，因为其不一定定义在G中所有的元素对上。这里不阐述定义*的确切条件，这些条件因情况而异。

运算*、−1有以下公理性质：$\forall a,\ b,\ c\in G$：

- 结合律：若定义了$a*b,\ b*c$，则$(a * b) * c=a * (b * c)$。
- 逆元：$a^{-1} * a$、$a*{a^{-1}}$总有定义。
- 单位元：若定义了$a*b$，则$a*b*{b^{-1}} = a;\ {a^{-1}} * a * b = b$。（由前两条性质可推知。）

从中可得到两个简单方便的性质：

- $(a^{-1})^{-1} = a$。
- 若定义了$a*b$，则$(a*b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}$。

$a^{-1}=a^{-1}*a*a^{-1};\ (a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}*(a^{-1})*(a^{-1})^{-1}.$

$(a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}*a^{-1}*a*a^{-1}*(a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}*a^{-1}*a=a.$

$a*b$

$(a*b)^{-1}*a*b.$

$(a*b)^{-1}*a*b*b^{-1}=(a*b)^{-1}*a$

$a*b$

$a*b*b^{-1}=a,\ a*b*b^{-1}*a^{-1}$

$(a*b)^{-1}=(a*b)^{-1}*a*a^{-1}=(a*b)^{-1}*a*b*b^{-1}*a^{-1}=b^{-1}*a^{-1}.$

### 范畴论定义

广群是小范畴，其中每个态射都可逆，即是同构。更明确地说，广群G是对象集合$G_0$，其中

- 每对对象x、y，都有从x到y的态射（或箭头）的（可能是空）集合$G(x,\ y)$，其中的元素写作$f:\ x\to y;$
- 每个对象x，$G(x,\ x)$的指定元素$\mathrm{id}_x;$
- 对任意三个元素x、y、z都有函数$\mathrm{comp}_{x,y,z} : G(y, z)\times G(x, y) \rightarrow G(x, z): (g, f) \mapsto gf;$
- 对任意两个元素x、y都有函数$\mathrm{inv}: G(x, y) \rightarrow G(y, x): f \mapsto f^{-1},\ \forall f:\ x\to y,\ g:\ y\to z,\ h:\ z\to w;$
- $f\ \mathrm{id}_x = f$、$\mathrm{id}_y\ f = f;$
- $$(h g) f = h (g f);$$
- $f f^{-1} = \mathrm{id}_y$、$f^{-1} f = \mathrm{id}_x.$

若$f\in G(x,\ y)$则称x为f的源，记作$s(f)$；y称作f的目标，记作$t(f)$。广群G有时记作$G_1 \rightrightarrows G_0$，当中$G_1$是所有态射的集合，两个箭头$G_1 \to G_0$代表源和目标。

更一般地，可以考虑任意范畴中的广群对象，其允许有限的纤维积。

### 定义比较

代数定义与范畴论定义等价，下面证明。给定范畴论定义广群，令G为所有集合$G(x,\ y)$的不交并（即x到y的态射的集合）；则$\mathrm{comp}$、$\mathrm{inv}$就成了G上的偏运算，而$\mathrm{inv}$事实上在任意地方都可被定义。我们定义*为$\mathrm{comp}$、−1为$\mathrm{inv}$，这样就得到了代数定义的广群。可以不再明确提及$G_0$（及$\mathrm{id}$）。

反过来，给定代数定义的广群G，用$\sim$定义其元素上的等价关系：

$a \sim b$，若$a*a^{-1}=b*b^{-1}.$令G0为$\sim$的等价类集合，即$G_0:=G/\!\!\sim$。若$a\in G$且$x\in G_0$，用$1_x$记a ∗ a−1。

现在定义$G(x, y)$为所有使$1_x*f*1_y$存在的f的集合。给定$f \in G(x,y),\ g \in G(y, z),$其组合定义为$gf:=f*g \in G(x,z).$这是良定义的，因为可观察到$(1_x*f)*1_y$、$1_y*(g*1_z)$都存在，$(1_x*f*1_y)*(g*1_z)=f*g$也存在。这样，x的恒等态射就是$1_x$，f的范畴论逆是f−1。

上述定义中的集合可用类代替，这在范畴论中很常见。

### 顶点群与轨道

给定广群G，其中的顶点群或迷向群或轨道群是$G(x,\ x)(x\in G)$的子群。从上述公理不难看出，它们确实是群，因为每对元素都可组合，且逆元都在同一个群中。

广群G在点$x \in X$处的轨道由集合$s(t^{-1}(x)) \subseteq X$给出，当中包含了可用G中的态射连接到x的每个点。若x、y两点在相同的轨道上，则它们的顶点群G(x)、G(y)群同构：若$f:\ x\to y$，则同构由$g\to fgf^{-1}$给出。

轨道构成了集合X的一部分。若广群只有一个轨道（等价地是连通的），则称之为传递的。那么，所有顶点群都同构（另一方面，这不是传递性的充分条件，反例下详）。

### 子广群与态射

$G \rightrightarrows X$的子广群是子范畴$H \rightrightarrows Y$，其本身是一个广群。若它是宽或满的子范畴，即$\forall x,y \in Y$都有$X = Y$或$G(x,y)=H(x,y)$，则也称其为宽或满。

广群映射简单说就是两个（范畴论）广群间的函子。

有几种特殊的广群态射值得关注。若$\forall x\in E,\ \forall b\in B:\ p(x)\to,$都有$e\in E:\ x\to$，使得$p(e)=b$，则广群的态射$p: E \to B$称作纤维化。若这样的e是唯一的，则纤维化称作覆盖态射或广群的覆盖。广群的覆盖态射很有用，可用来模拟空间的覆盖映射。

同样，给点广群B的覆盖态射范畴，等同于广群B对对集合的作用范畴。

## 例子

### 拓扑

给定拓扑空间X，令$G_0$为集合X。从点p到点q的态射是p到q的连续路径的等价类，若两条路径同伦，就称它们等价。

先沿第一条路径，再沿第二条路径，两个这样的态射便组合到一起；同伦等价性保证这种组符合结合律。这样的广群称作X的基本广群，记作$\pi_1(X)$（有时是$\Pi_1(X)$）。通常的基本群$\pi_1(X,x)$于是就是点x的顶点群。

基本广群$\pi_1(X)$的轨道是X的路径连通成分。相应地，路径连通空间的基本广群是传递的，我们恢复了已知的事实，即任意基点上的基本群是同构的。此外，基本广群和基本群这时作为范畴是等价的（一般理论见下文）。

这一思想的重要推广是考虑基本广群$\pi_1(X,A)$，其中$A\subset X$是选定的基点集合。当中$\pi_1(X,A)$是$\pi_1(X)$的（宽）子广群，这里只考虑端点属于A的路径。集合A可据当前情况的几何形状来选择。

### 等价关系

若X是集合体，即具有等价关系$\sim$的集合，则“表示”这等价关系的广群可由如下构成：

- 广群对象是X的元素。
- $\forall x,\ y\in X,$有单态射$(y,x):\ x\to y$，当且仅当$x\sim y$。
- $(z,y)$与$(y,x)$的组合是$(z,x)$。

这个广群的顶点群总是平凡的；此外，这个广群一般不传递，其轨道正是等价类。有两个极端例子：

- X每个元素若都与X的其他元素有联系，则就得到了X的对广群，其以整个$X \times X$作为箭头集，且是传递的。
- X每个元素若只与自身有关系，就得到了单位广群，其以X为箭头集，$s = t = id_X$，是完全不传递的（每个单子$\{x\}$都是轨道）。

#### 例子

- 若$f: X_0 \to Y$是光滑流形的光滑满射浸没，则$X_0\times_YX_0 \subset X_0\times X_0$是等价关系，因为在拓扑空间的满射下，Y与$X_0$的商拓扑拓扑同构。若记$X_1 = X_0\times_YX_0$则可得广群$X_1 \rightrightarrows X_0$有时称为光滑流形的满射浸没的平庸广群。
- 若放宽自反性要求、考虑偏等价关系，则就可考虑关于集合的可计算实现子上的半可决定概念。这使得广群可用于集合论的可计算近似，称作PER模型。作为一个范畴，PER模型是具有自然数对象与子对象分类子的笛卡儿闭范畴，从而产生了马丁·海兰德所谓有效拓扑斯。

### 切赫广群

切赫广群5是一类特殊的广群，与某个流形X的开覆盖$\mathcal{U} = \{U_i\}_{i\in I}$所给出的等价关系相关联。其对象由不交并$\mathcal{G}_0 = \coprod U_i$ 给出，其箭头是相交$\mathcal{G}_1 = \coprod U_{ij}$.

源映射与目标映射由诱导映射给出$\begin{align} s = \phi_j: U_{ij} \to U_j\\ t = \phi_i: U_{ij} \to U_i \end{align}$包含映射$\varepsilon: U_i \to U_{ii}$则给出了广群的结构。实际上，还可设置$\mathcal{G}_n = \mathcal{G}_1\times_{\mathcal{G}_0} \cdots \times_{\mathcal{G}_0}\mathcal{G}_1$为n次迭代的纤维积来进一步扩展，其中$\mathcal{G}_n$表示n个可组合箭头的多元组。纤维积的结构映射隐含了目标映射，因为$\begin{matrix} U_{ijk} & \to & U_{ij} \\ \downarrow & & \downarrow \\ U_{ik} & \to & U_{i} \end{matrix}$是笛卡儿图，其中到$U_i$的映射是目标映射。这种构造可看作是某些∞-广群的模型；此外，这种构造的另一个产物是k-上循环$[\sigma] \in \check{H}^k(\mathcal{U},\underline{A})$对某个阿贝尔群之常数层可表为函数$\sigma:\coprod U_{i_1\cdots i_k} \to A$给出了上同调类的明确表示。

### 群作用

若群G作用于集合X，则可由如下方式组成代表群作用的作用广群或变换广群：

- 对象是X的元素。
- $\forall x,\ y\in X$，态射$x\to y$对应$g\in G$，使得$gx = y$。
- 态射的复合解释了G的二元运算。

更明确地说，作用广群是小范畴$\mathrm{ob}(C)=X$、$\mathrm{hom}(C)=G\times X$，源映射和目标映射分别为$s(g,x) = x$、$t(g,x) = gx$。通常表示为$G \ltimes X$（对于右作用记为$X\rtimes G$）。广群中的乘法（或组合）就是$(h,y)(g,x) = (hg,x)$，定义条件是$y=gx$。

$\forall x\in X$，顶点群由$gx=x$的$(g,x)$组成，这只是给定作用在x处的迷向子群（这就是顶点群称为迷向子群的原因）。同样，作用广群的轨道是群作用的轨道，广群是传递的当且仅当群作用也有传递性。

另一种描述G集合的方法是函子范畴$[\mathrm{Gr},\mathrm{Set}]$，当中$\mathrm{Gr}$是1个元素的广群（范畴），同构于群G。事实上，这个范畴的每个函子F都定义了集合$X=F(\mathrm{Gr});\ \forall g\in G$（即对$\mathrm{Gr}$中的每个态射）诱导了双射$F_g$：$X\to X$。函子F的范畴结构保证了F定义了集合G上的G作用。（唯一）可表函子F：$\mathrm{Gr} \to \mathrm{Set}$是G的凯莱表示。事实上，这个函子与$\mathrm{Hom}(\mathrm{Gr},-)$同构，因此将$\mathrm{ob}(\mathrm{Gr})$送到集合$\mathrm{Hom}(\mathrm{Gr},\mathrm{Gr})$，后者的定义就是“集合”G和$\mathrm{Gr}$的态射g（即G的元素g）到集合G的置换$F_g$。由米田嵌入推导出：群G同构于G的置换群的子群$\{F_g\mid g\in G\}$。

#### 有限集

考虑$\mathbb{Z}/2$在有限集$X = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$上的群作用，其将每个数取负，于是$-2 \mapsto 2$、$1 \mapsto -1$。商广群$[X/G]$是这个群作用的等价类集合$\{[0],[1],[2]\}$，$[0]$在其上有群作用$\mathbb{Z}/2$。

#### 商簇

任何映射到$GL(n)$的有限群G都会在仿射空间$\mathbb{A}^n$上产生群作用（由于这是自同构群）。于是，商广群的形式可以是$[\mathbb{A}^n/G]$，有一点的稳定子G位于原点。这样的例子构成了轨形理论的基础。另一个常研究的轨形族是加权射影空间$\mathbb{P}(n_1,\ldots, n_k)$及其子空间，如卡拉比-丘轨形。

### 广群的纤维积

给定具有广群态射的广群图

$$\begin{align} <pre> & & X \\ & & \downarrow \\ </pre> Y &\rightarrow & Z \end{align}$$

其中$f:X\to Z$、$g:Y\to Z$，可组成广群$X\times_ZY$，其对象为三元组$(x,\phi,y)$，其中$x \in \text{Ob}(X),\ y \in \text{Ob}(Y),\ \phi: f(x) \to g(y),\ \in Z$。态射可定义为一对态射$(\alpha,\beta)$，其中$\alpha: x \to x',\ \beta: y \to y'$，使得对三元组$(x,\phi,y), (x',\phi',y'),\ Z$中有$f(\alpha):f(x) \to f(x'),\ g(\beta):g(y) \to g(y'),\ \phi,\phi'$的交换图。

### 同调代数

具体阿贝尔范畴中对象的二项复形

$$C_1 \overset{d}{\rightarrow}C_0$$

可形成广群。其对象是集合$C_0$，箭头是集合$C_1\oplus C_0$；源映射只是到$C_0$的映射，目标映射是对$C_1$与d的组合跟到$C_0$的映射的加法。也就是说，给定$c_1 + c_0 \in C_1\oplus C_0$，有

$$t(c_1 + c_0) = d(c_1) + c_0.$$

当然，若阿贝尔范畴是概形上的凝聚层范畴，则这种构造可用于形成广群的预层。

### 游戏

魔方可用群论来建模（见魔方群），也有些游戏更适合用广群建模。

数字推盘游戏的变换就是广群（不是群，因为并非所有移动都能复合）。这一广群作用作用于构型。

### 马蒂厄广群

马蒂厄广群是约翰·何顿·康威提出的作用于13个点的群，这样固定一个点的元素就构成了马蒂厄群M12的一个副本。

## 与群的关系

若广群只有一个对象，则其态射集构成群。由代数定义，这样的广群实际上就是群。群论的许多概念都能推广到广群，用函子概念取代群同态。

每个传递/连通的广群（即如上所述，任意两对象都由至少一个态射相连）都与作用广群（如上定义）$(G, X)$同构。根据传递性，这个作用下只有一个轨道。

注意刚才提到的同构不唯一，也没有自然的选择。为一个传递广群选择这样的同构实际上等于选择对象$x_0$、群同构$h:\ G(x_0)\to G$、$\forall x\ne x_0,\ $态射$\in G:\ x_0\to x$。

若广群没有传递性，则就同构于上述类型的广群的不交并，也称作其连通成分（每个连通成分可能具有不同的群G与集合X）。

用范畴论的术语来说，广群的每个连通成分都等价（但不同构）于只有1个对象的广群，即单群。因此，任何广群都等价于无关群的多重集；换句话说，对等价（而非同构），我们不需要指定集合X，而只需指定群G。例如。

- X的基本广群等价于X的每个路径连通成分的基本群的集合，但同构要指定每个成分的点集。
- 具有等价关系$\sim$的集合X等价（作为广群）于每个等价类的平凡群的一个副本，但同构需要说明每个等价类。
- 具备群G的作用的集合X等价（作为广群）于作用的每个轨道的G的一个副本，但同构需要说明每个轨道是什么集合。

即使从范畴论的角度来看，把广群坍缩为单纯的群集合也会失去一些信息，因为是不自然的。因此，当广群以其他结构出现时，保持整个广群是有帮助的；否则就必须选择一种方法，以从单群的角度看待每个$G(x)$，而这一选择是任意的。在拓扑学的例子中，必须连贯地选择路径（或路径的等价类），从相同路径连通成分的每个p点到每个q点。

一个更有启发性的例子是，有自同态的广群的分类并不能归结为单纯的群论考虑。这类似于有一个自同态的向量空间的分类并不平凡。

广群的态射比群的更多样：例如，有纤维化、覆盖态射、泛态射、商态射。因此，群G的子群H会产生G对G中H的陪集集的作用，从而产生K到G的覆盖态射p，其中K是顶点群与H同构的广群。这样，群G的表示就可以“提升”到广群K的表示，这是获取子群H的表现信息的有用方法。

## 广群范畴

对象是广群、态射是广群态射的范畴称作广群范畴，记作Grpd。

Grpd与小范畴相似，是笛卡儿闭范畴：对任意广群$H,K$，我们都可以构造广群$\operatorname{GPD}(H,K)$，其对象是态射$H \to K$、箭头是态射的自然等价。于是，若$H,K$只是群，则这些箭头就是态射的共轭。主要结果是，对任何广群$G,H,K$都有自然双射

$$\operatorname{Grpd}(G \times H, K) \cong \operatorname{Grpd}(G, \operatorname{GPD}(H,K)).$$

即使所有广群$G,H,K$都只是群，这个结果也有意义。

Grpd既是完全范畴，又是余完全范畴。

### 与Cat的关系

包含态射$i : \mathbf{Grpd} \to \mathbf{Cat}$有左右伴随函子：

$$\hom_{\mathbf{Grpd}}(C[C^{-1}], G) \cong \hom_{\mathbf{Cat}}(C, i(G))$$

$$\hom_{\mathbf{Cat}}(i(G), C) \cong \hom_{\mathbf{Grpd}}(G, \mathrm{Core}(C))$$

当中，$C[C^{-1}]$表示反转每个态射的范畴局部化，$\mathrm{Core}(C)$表示所有同构的子范畴。

### 与sSet的关系

神经函子$N : \mathbf{Grpd} \to \mathbf{sSet}$将Grpd嵌入为单纯集范畴的子范畴。广群的神经总是阚复形。

神经有左伴随

$$\hom_{\mathbf{Grpd}}(\pi_1(X), G) \cong \hom_{\mathbf{sSet}}(X, N(G))$$

当中$\pi_1(X)$表示单纯集X的基本广群。

### Grpd中的广群

广群范畴内部的范畴还可派生一种额外结构，即双重广群。因为Grpd是2范畴，这些对象构成了2范畴，比1范畴有额外的结构。本质上说，这些对象是具有函子$s,t: \mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_0$的广群$\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_0$，以及由恒等函子$i:\mathcal{G}_0 \to\mathcal{G}_1$给出的嵌入。思考这些2广群的一种方法是其包含对象、态射与可以纵横组合的方块。例如，给定方块$\begin{matrix} \bullet & \to & \bullet \\ \downarrow & & \downarrow \\ \bullet & \xrightarrow{a} & \bullet \end{matrix}$与$\begin{matrix} \bullet & \xrightarrow{a} & \bullet \\ \downarrow & & \downarrow \\ \bullet & \to & \bullet \end{matrix}$其中$a$是同一个态射，则可以垂直相连，得到图$\begin{matrix} \bullet & \to & \bullet \\ \downarrow & & \downarrow \\ \bullet & \xrightarrow{a} & \bullet \\ \downarrow & & \downarrow \\ \bullet & \to & \bullet \end{matrix}$可将垂直箭头转置，得到另一个方块。方块的横向连接也有类似规律。

## 具有几何结构的广群

研究几何对象时，产生的广群通常带有拓扑，使其成为拓扑广群；一些微分结构还能将其变为李广群。最后这些对象也可根据其相关的李代数胚进行研究，这与李群和李代数之间的关系类似。

从几何产生的广群通常具有与群乘法相互作用的结构。例如，泊松几何中有辛广群的概念，后者是具有相容辛形式的李广群。同样，也可拥有具备相容黎曼度量或复流形等结构的广群。

## 参考文献

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