割圆连比例

割圆连比例是清代级数理论的几何学基础，最先由明安图在《割圜密率捷法》卷三、四《法解》中阐明，其后经董祐诚、项名达等数学家的工作而趋于完善。割圆连比例的中心问题是已知圆弧长度，如何求弦长及矢高，或已知弦长、矢高，如何求得弧长。割圆连比例中心方法是结合由西方传入的连比例方法，结合传统中算方法，将圆弧分割成多等分，画出多条矢，然后构造一系列相似三角形获得一系列连比例式，再将圆弧分割越细，以折线逼近弧线，求得弧长。

## 历史背景

1701年，法国耶稣会传教士杜德美（Pierre Jartoux 1668年至1720年）来到中国，他带来了由艾萨克·牛顿和J.格雷戈里创建的三个三角函数无穷级数

$$\pi=3\left(1+\frac{1}{4\cdot3!}+\frac{3^2}{4^2\cdot5!}+\frac{3^2\cdot5^2}{4^3\cdot7!}+\cdots\right)$$

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$$

$$\operatorname{vers} x=\frac{x^2}{2!}-\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots$$

这些计算Π的“捷法”只涉及乘法和加减运算，速度远超传统刘徽割圆术涉及的平方根计算，因而激起了中国数学家的极大兴趣。然而杜德美没有将推导这些无穷级数的方法带来中国。明安图怀疑西方人不愿分享他们的秘密，于是他着手进行这项工作，前后历时30年，完成了书稿《割圜密率捷法》，他在书中创建几何模型用于获得三角函数无穷级数，不仅推出杜德美的三个无穷级数，还发现了六个新的无穷级数。在这个过程中，他发现和应用卡塔兰数。

## 连比例

<image>

如图一 ABC,BCD,CDE,DEF,FDG…… 是一系列相似三角形，于是。

AB:BC=BC:CD=CD:EF=EF:DF=DF:DG;

- AB为第一率，以$\phi_1$表示
- BC为第二率，以$\phi_2$ 表示
- BC为第二率，以$\phi_2$ 表示
- CD为第三率，以$\phi_3$ 表示
- DE为第四率，以$\phi_4$ 表示
- EF为第五率，以$\phi_5$ 表示
- FG为第六率，以$\phi_6$ 表示
- 第m率：$\phi_m$

于是：

$$\phi_6 = k* \phi_5$$

$$\phi_5 = k* \phi_4$$

$$\phi_4 = k* \phi_3$$

$$\phi_3 = k* \phi_2$$

$$\phi_2 = k* \phi_1$$

$$\phi_m=k^{m-1}*\phi_1$$

$\phi_m$……$\phi_6:\phi_5:\phi_4:\phi_3:\phi_2:\phi_1=k^{m-1}:k^{m-2}$……$k^5:k^4:k^3:k^2:k:k^0$

又：

$$\frac{\phi_m*\phi_n}{\phi_p}=(m+n-p-q)*\phi_q$$

## 明安图割圆连比例

<image>

<image>

### 由二分弧通弦率数求全弧通弦率数法

如图BCD为全弧，AB=AC=AD=为半径,令半径=1；BD为通弦，BC、CD为1/2 分弧。作BG=BC=x,作直线CG;又作DH=DC,连CH直线。因此。

$BD=2*x-GH$

作EJ=EF,FK=FJ；延长BE直线至L，并令EL=BE;作BF=BE,使F在AE线上。连BF延长至M，并BF=MF；连LM，显然LM通过C点。将三角形BLM以BM为轴反转成三角形BMN,C点重合G，L点重合N。将三角形NGB以BN为轴反转至BMI；显然BI=BC。

$$AB:BC:CI=1:x:x^2$$

作CG之平分线BM，并令BM=BC；连GM、CM；作CO=CM交BM于O;作MP=MO；作NQ=NR，R为BN与AC之交点。∠EBC=1/2 ∠CAE=1/2 ∠EAB;$\therefore$ ∠EBM=∠EAB;于是得到一系列相似三角形：ABE,BEF,FJK,BLM,CMO,MOP,CGH,而且三角形CMO=三角形EFJ;于是得:

- 连比第一率:AB=AC=AD=AE
- 连比第二率：BE=BC=BF=C
- 连比第三率:EF=CM
- 连比第四率:FJ
- 连比第五率:JK=OP

$$AB:BE:EF:FJ:JK=1:p:p^2:p^3:p^4$$

1:BE=BE:EF；即$EF=BE^2$

$$1:BE^2=x:GH$$

于是$GH=x*BE^2=x*p^2$,

即$BD=2*x -x*p^2$

因为 风筝形ABEC 与BLIN相似。

$$EF=LC=CM=MG=NG=IN$$

$$LM+MN=CM+MN+IN=CI+OP=JK+CI$$

$\therefore AB:(BE+EC)=BL:(LM+MN)$ 即 $AB:BL=BL:(CI+JK)$

令$BL=q$

$$AB:BL:(CI+JK)=1:q:q^2$$

$$JK=p^4$$

$$CI=y^2$$

$$CI+JK=q^2=BL^2=(2BE)^2=(2p)^2=4p^2$$

由此得$q^2=4p^2$ 或$p=\frac{q}{2}$

又$CI+JK=x^2+p^4=q^2$,代人p值得：

$x^2+\frac{q^4}{16}=q^2$,于是

$$x^2=q^2-\frac{q^4}{16}$$

上式平方之，两边除以16：

$$\frac{(x^2)^2}{16}=\frac{(q^2-\frac{q^4}{16})^2}{16}=\sum_{j=0}^2 (-1)^j*{2 \choose j}*\frac{q^{2*(2+j)}}{16^j}$$

即$\frac{x^4}{16} = \frac{q^4}{16}-\frac{q^6}{128}+\frac{q^8}{4096}{16}$

依次类推

$\frac{x^{2n}}{16^{n-1}}= \sum_{j=0}^n (-1)^j*{n \choose j}*\frac{q^{2*(n+j)}}{16^{n+j-1}}$。

将下列二式相加，可以消去$q^4$项：

$$x^2=q^2-\frac{q^4}{16}$$

$$\frac{x^4}{16} = {\frac{q^4}{16}-\frac{2*q^6}{16^2}+\frac{q^8}{4096}}{16}$$

$$x^2+\frac{x^4}{16} = q^2-\frac{q^6}{128}+*\frac{q^8}{4096}$$

同理

$x^2+\frac{x^4}{16}+\frac{2*x^6}{16^2} = q^2-\frac{5*q^8}{4096}+\frac{3*q^{10}}{32768}-\frac{q^{12}}{524288}$,

.......

$$\begin{align} & x ^ 2 + \frac{x^4}{16} + \frac{2 x^6}{16^2} + \frac{5x^8}{16^3} + \frac{14 x^{10}}{16^4} + \frac{42x^{12}}{16^5} \\[10pt] {} & +\frac{132 x^{14}}{16^6} + \frac{429x^{16}}{16^7} + \frac{1430x^{18}}{16^8} + \frac{4862 x^{20}}{16^9} \\[10pt] & {} + \frac{16796 x^{22}}{16^{10}} + \frac{58786 x^{24}}{16^{11}} + \frac{208012 x^{26}}{16^{12}} \\[10pt] & {} + \frac{742900 x^{28}}{16^{13}} + \frac{2674440 x^{30}}{16^{14}} + \frac{9694845 x^{32}}{16^{15}} \\[10pt] & {} + \frac{35357670 x^{34}}{16^{16}} + \frac{129644790 x^{36}}{16^{17}} \\[10pt] & {} + \frac{477638700 x^{38}}{16^{18}} + \frac{1767263190 x^{40}}{16^{19}} + \frac{6564120420 x^{42}}{16^{20}} \\[10pt] & = q^2 + \frac{62985}{8796093022208} q^{24} \end{align}$$

展开式各项分子的系数 1，1，2，5，14，42，132……（见图二 明安图原图最后一行，由右至左读）乃是卡塔兰数,明安图是发现此数的世界第一人。

因而得到：

$q^2=\sum_{n=1}^\infty C_n*\frac{x^{2n}}{4^{2n-2}}$。

其中

$C_n = \frac{1}{n+1}{2n \choose n}$为明安图-卡塔兰数。

明安图利用他首创的递推关系：

$$C_n=\sum_k (-1)^k*{n-k \choose k+1}*C_{n-k}$$

$$\because BC:CG:GH=AB:BE:EF=1:p:p^2=x:px:p^2*x$$

$$\therefore GH:=p^2*x=(\frac{q}{2})^2*x=\frac{q^2*x}{4}$$

代人$BD=2x-GH$

最后得到。

$$BD=2x-\frac{x}{4}*q^2$$

$$y_2=2x-\sum_{n=1}^\infty C_n*\frac{x^{2n+1}}{4^{2n-1}}$$

#### 三角学意义

在图一中令BAE角=α，BAC角=2α

- x=BC=sinα
- q=BL=2BE=4sin(α/2)
- BD=2sin(2α)

明安图获得的 $BD=2*x -x*BE^2$

就是

$$\sin(2\alpha)=2\sin\alpha-\sum_{n=1}^\infty C_n*\frac{(\sin\alpha)^{2n+1}}{4^{n-1}}$$

$$=2*\sin(\alpha)-\frac{2*\sin(\alpha)^3}{1+\cos(\alpha)}$$

$$q^2=BL^2=\sum_{n=1}^\infty C_n*\frac{x^{2n}}{4^{2n-2}}$$

即$\sin(\frac{\alpha}{2})^2=\sum_{n=1}^\infty C_n*\frac{(sin\alpha)^{2n}}{4^{2n}}$

### 由三分弧通弦率求全弧通弦率

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如图，BE为全弧通弦，BC=CE=DE=a为三等分弧。AB=AC=AD=AE=1 为半径。连BC、CD、DE、BD、EC；作BG、EH=BC，Bδ=Eα=BD,于是三角形Cαβ=Dδγ；又三角形Cαβ与三角形BδD相似。

因此：

$AB:BC=BC:CG=CG:GF$,$BC:FG=BD:\delta\gamma$

$$2*BD=BE+\delta\alpha$$

$$2*BD-\delta\gamma=BE+BC$$

$$\therefore 2*BD-\delta\gamma-BC=BE$$

依次类推，最后得：

$y_3=3*a-a^3$。

### 四分弦

<image>

$y_4=4*a-\frac{10*a^3}{4}+\frac{14*a^5}{4^3}-\frac{12*a^7}{4^5}$+……

$=4a-10*a^3/4+\sum_{n=1}^\infty (16C_n-2C_{n+1})*\frac{a^{2n+1}}{4^{2n-1}}$。

几何意义：

$$\sin(4*\alpha)=4*sin(\alpha)-10*sin^3\alpha$$ $+\sum_{n=1}^\infty(16*C_n-2C_{n+1})*\frac{\sin^{2n+3}(\alpha)}{4^n}$。

### 五分弦

<image>

$$y_5=5a-5a^3+a^5$$

几何意义：

$\sin(5\alpha)=5\sin(\alpha)-20\sin^3(\alpha)+16\sin^5(\alpha)$。

### 十分弦

<image>

从十分弦开始，明安图不再作几何模型，而是对无穷级数进行代数运算

显然十分弦等于五分弦和二分弦的组合，即

$$y_{10}=y_5(y_2)$$

$y_{10}=5*y_2-5*(y_2)^3+(y_2)^5$;

展开即得：

$y_{10}(a)=10*a-\frac{165*a^3}{4}+\frac{3003*a^5}{4^3}-\frac{21450*a^7}{4^5}$+……。

### 百分弧

同理。

$y_{100}=y_{10}(y_{10})$,展开后即得：

$y_{100}=100*a-166650*\frac{a^3}{4}+333000030*\frac{a^5}{4*16}-316350028500*\frac{a^7}{4*16^2}+17488840755750*\frac{a^9}{4*16^3}+$……。

### 千分弧

$y_{1000}=1000*a-1666666500*\frac{a^3}{4}+33333000000300*\frac{a^5}{4*16}-3174492064314285000\frac{a^7}{4*16^2}+$……。

### 万分弦

$y_{10000}=10000*a-\frac{166666665000*a^3}{4}+\frac{33333330000000300*a^5}{4^3}+$…………。

### 弧背求通弦

y100,y1000 and y10000 可表为:

$y100=100a-\frac{(100a)^3}{24.002400240024002400}+\frac{(100a)^5}{24.024021859697730358*80}+$..........

$y1000:=1000a-\frac{(1000a)^3}{24.000024000024000024}+\frac{(1000a)^5}{24.000240002184019680*80}+$..............

$y10000:=10000a-\frac{(10000a)^3}{24.000000240000002400}+\frac{(10000a)^5}{24.000002400000218400*80}+$..................

分弦数越大，分母24.000000240000002400、24.000002400000218400*80越接近24、 24*80；当分弦数n趋向无穷大， n*a, 就变成 弧背，于是

令c 为弦，a 为弧背。

$c= a -\frac{a^3}{4*3!}+\frac{a^5}{4^2*5!}-\frac{a^7}{4^3*7!}+$.....

$$=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}*a^{2*n-1}}{(4^{n-1}*(2*n-1)!)}$$

### 通弦求弧背

明安图求得上述无穷级数的反逆，将弧表示为弦的无穷级数:

$a := c+\frac{c^3}{24}+\frac{3*c^5}{640}+\frac{5*c^7}{7168}+$............

## 正弦的无穷级数展开

$\because sin(\alpha)=\frac{c}{2}$,

令 r=1

$\therefore sin \alpha =a-\frac{a^3}{3}+\frac{a^5}{5}-\frac{a^7}{7}+\frac{a^9}{9}+$…………

$=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}*\frac{a^{2n-1}}{2n-1}$。

## 参考文献

- 明安图原著 罗见今译注 《割圆密率捷法译注》内蒙古教育出版社 1998 ISBN 7-5311-3584-1
- Yoshio Mikami, Development of Mathematics in China and Japan
- 李俨 《中算史论丛》第三集 《明清算家的割圆术研究》《李俨钱宝琮科学史全集》第7卷