正规序

在量子场论中，一组创生及湮灭算符的乘积称为是按正规序排列的，如果所有的创生算符排列在所有的湮灭算符的左侧，相应的乘积称为正规乘积。类似地可以定义反正规序，在反正规序中，所有产生算符排列在湮灭算符的右侧。

## 记号

令$\hat{O}$为任意创生和湮灭算符之乘积，则我们将$\hat{O}$按照正规序重新排列之后得到的算符用$\mathcal{N}(\hat{O})$ 或 $\mathopen{:} \hat{O} \mathclose{:}$表示。注意正规序只对算符乘积有意义，因为正规序不是线性关系，将正规序用在算符和并无太大作用。

## 玻色子

玻色子符合玻色–爱因斯坦统计。

### 单个玻色子

单个玻色子有一个产生算符和一个湮灭算符：

- $\hat{b}^\dagger$：玻色子的产生算符
- $\hat{b}$：玻色子的湮灭算符

则有：

$$\left[\hat{b}^\dagger, \hat{b}^\dagger \right]_- = 0$$

$$\left[\hat{b}, \hat{b} \right]_- = 0$$

$$\left[\hat{b}, \hat{b}^\dagger \right]_- = 1$$

其中 $\left[ A, B \right]_- \equiv AB - BA$ 表示两个算符的对易子。

#### 例子

- 最简单的例子是 $\hat{b}^\dagger \hat{b}$ 的正规序，根据正规序的定义，可见这里的算符已经按照正规序排列，所以$\hat{b}^\dagger \hat{b}$的正规序就是它自身：

$${:\,}\hat{b}^\dagger \, \hat{b}{\,:} = \hat{b}^\dagger \, \hat{b}.$$

- 第二个例子是 $\hat{b} \, \hat{b}^\dagger$ 的正规序。

$${:\,}\hat{b} \, \hat{b}^\dagger{\,:} = \hat{b}^\dagger \, \hat{b}.$$

这里，按照正规序的要求，产生算符 $\hat{b}^\dagger$ 放到了湮灭算符 $\hat{b}$的左边。由玻色子算符的对易关系有：

$$\hat{b} \, \hat{b}^\dagger - {:\,}\hat{b} \, \hat{b}^\dagger{\,:} = 1.$$

在维克定理中，两个产生或湮灭算符的乘积与它们的正规序之间的差，称为这两个算符的收缩。

$${:\,}\hat{b}^\dagger \, \hat{b} \, \hat{b} \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b} \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b}{\,:} = \hat{b}^\dagger \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b} \, \hat{b} \, \hat{b} \, \hat{b} = (\hat{b}^\dagger)^3 \, \hat{b}^4.$$

### 多个玻色子

对于 $N$ 个不同的玻色子来说，有 $2 N$ 个算符：

- $\hat{b}_i^\dagger$：第 $i$ 个玻色子的产生算符
- $\hat{b}_i$：第 $i$ 个玻色子的湮灭算符

其中 $i = 1,\ldots,N$.

它们满足下列对易关系：

$$\left[\hat{b}_i^\dagger, \hat{b}_j^\dagger \right]_- = 0$$

$$\left[\hat{b}_i, \hat{b}_j \right]_- = 0$$

$$\left[\hat{b}_i, \hat{b}_j^\dagger \right]_- = \delta_{ij}$$

其中 $i,j = 1,\ldots,N$，$\delta_{ij}$ 是克罗内克函数。

#### 例子

1.对于两个玻色子 ($N=2$)，有：

$$: \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2$$

$$: \hat{b}_2 \, \hat{b}_1^\dagger : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2$$

- 对三个玻色子 ($N=3$)，有：

$$: \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \,\hat{b}_3 : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \,\hat{b}_3$$

由于 $\hat{b}_2 \,\hat{b}_3 = \hat{b}_3 \,\hat{b}_2$ （参见对易关系），湮灭算符之间的顺序并不重要。

## 费米子

费米子服从费米-狄拉克统计。

### 单个费米子

单个费米子有一个产生算符和一个湮灭算符：

- $\hat{f}^\dagger$：费米子的产生算符
- $\hat{f}$：费米子的湮灭算符

它们满足下面的反对易关系：

$$\left[\hat{f}^\dagger, \hat{f}^\dagger \right]_+ = 0$$

$$\left[\hat{f}, \hat{f} \right]_+ = 0$$

$$\left[\hat{f}, \hat{f}^\dagger \right]_+ = 1$$

其中 $\left[A, B \right]_+ \equiv AB + BA$ 是反对易子。

与玻色子不同的是，对于费米子的正规序，每当重新排序引起两个算符的前后顺序发生变化时，需要额外引入一个负号。

#### 例子

$$: \hat{f}^\dagger \, \hat{f} : \,= \hat{f}^\dagger \, \hat{f}$$

由于算符已经按正规序排列，所以其正规序就是它本身。反过来，若是产生算符排列在后面，则如前文所说，其正规序需要引入一个负号，即：

$$: \hat{f} \, \hat{f}^\dagger : \,= -\hat{f}^\dagger \, \hat{f}$$

由费米子算符的反对易关系有：

$$\hat{f} \, \hat{f}^\dagger - : \hat{f} \, \hat{f}^\dagger : = 1.$$

与玻色子的情形一样，上式用于定义维克定理里面的收缩。

- 其它情形下的正规序都是零，因为此时同一个湮灭算符或产生算符至少连续出现了两次。根据费米子的性质，此时结果为零，例如：

$$: \hat{f}\,\hat{f}^\dagger \, \hat{f} \hat{f}^\dagger : \,= \hat{f}^\dagger \,\hat{f}^\dagger \,\hat{f}\,\hat{f} = 0$$

### 多个费米子

$N$ 个费米子有 $2 N$ 个产生湮灭算符，设：

- $\hat{f}_i^\dagger$为第 $i$ 个费米子的产生算符
- $\hat{f}_i$为第 $i$个费米子的湮灭算符

其中 $i = 1,\ldots,N$.

它们满足下列反对易关系：

$$\left[\hat{f}_i^\dagger, \hat{f}_j^\dagger \right]_+ = 0$$

$$\left[\hat{f}_i, \hat{f}_j \right]_+ = 0$$

$$\left[\hat{f}_i, \hat{f}_j^\dagger \right]_+ = \delta_{ij}$$

其中 $i,j = 1,\ldots,N$， $\delta_{ij}$ 是克罗内克函数。

#### 例子

- 对两个费米子 ($N=2$)，有：

$$: \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 : \,= \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2$$

由于算符已经按正规序排列，所以其正规序就是它本身。

$$: \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger : \,= -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2$$

由于两个算符的顺序发生了交换，所以要引入一个负号。

$$: \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}^\dagger_2 : \,= \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}_2^\dagger \,\hat{f}_2 = -\hat{f}_2^\dagger \, \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2$$

与玻色子的情形不同，此时产生算符之间的顺序是有关系的。

- 对三个费米子 ($N=3$)，有：

$$: \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}_2 \, \hat{f}_3 : \,= \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 \,\hat{f}_3 = -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_3 \,\hat{f}_2$$

类似地有：

$$: \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}_3 : \,= -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 \, \hat{f}_3 = \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_3 \, \hat{f}_2$$

$$: \hat{f}_3 \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger : \,= \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_3 \, \hat{f}_2 = -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 \, \hat{f}_3$$

## 量子场论中的应用

任意算符的正规序的真空期望值为零。这是因为对于真空态来说，$\langle 0 | \hat{a}^\dagger$以及$\hat{a} |0\rangle$都是0。

这里 $\hat{a}^\dagger$ 和 $\hat{a}$ 分别是（玻色子或费米子的）产生和湮灭算符。将正规序的这一性质与维克定理结合起来，便能大大简化场算符的真空期望值的计算。

## 参考文献

- F. Mandl, G. Shaw, Quantum Field Theory, John Wiley & Sons, 1984.
- S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields (Volume I) Cambridge University Press (1995)
- T.S. Evans, D.A. Steer, Wick's theorem at finite temperature, Nucl. Phys B 474, 481-496 (1996) arXiv:hep-ph/9601268