三角测量

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三角测量在三角学与几何学上是一借由测量目标点与固定基准线的已知端点的角度，测量目标距离的方法。而不是直接测量特定位置的距离（三边量测法）。当已知一个边长及两个观测角度时，观测目标点可以被标定为一个三角形的第三个点。

三角量测亦可意指为超大三角形系统的精确测量，称作三角量测网络。这源自于威理博·司乃耳于1615-17的作品，他展现出一个点如何能够从附属于三个已知点的角度来被定位，是在新的一未知点上量测而不是在先前固定的点上，这样的问题叫做重新区块化。调查误差可被最小化，当大量三角形已建立在最大适当的规模。借此参考方法，所有在三角内的点皆可被准确地定位。直至1980年代全球卫星导航系统崛起之前，此三角量测方法被用来准确化大规模的土地测量。

## 应用

光学3D量测系统亦使用这个原理来定义一个物体的空间维度及几何形状。基本上，此构造包含两个感测器以量测物体。其中一个感测器主要是一个数位摄影装置，另一个则可以是摄影机或光投影机。这两个感测器的中心点以及对焦于物体表面的同一点，形成一个空间上的三角。于此三角形内，两感测器间的距离是一必须是已知的基准值。借由找出两感测器投射线与基准线间的夹角，便可用三角测量法得知两投射线交点的3D座标。

## 基于两固定角度之距离量测

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假设一量测目标点及两个已知座标的参考点可形成一个三角形，则借由计算三角形其中参考边的长度，量测两参考点与目标点形成的角度，即可找出目标点的距离及座标。

以下公式应用于平面或欧几里得几何上。如果量测距离远到会受地球曲度的影响，这些公式将变得不准确，但可使用球面三角学推导出的复杂式子来取代。

### 计算

$$\ell = \frac{d}{\tan \alpha} + \frac{d}{\tan \beta}$$

根据三角恒等式$\tan \alpha =\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$和$\sin\left ( \alpha+\beta \right )=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$，此式可等于：

$$\ell= d \left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos \beta}{\sin \beta}\right)$$

$$\ell = d\ \frac{ \sin(\alpha + \beta)}{\sin\alpha \sin\beta }$$

因此。

$$d = \ell\ \frac{ \sin\alpha \sin\beta }{ \sin(\alpha + \beta)}$$

由此便可简单定义出一未知点与观察点间的距离，以及与观察点往东西、南北向相差的位移量，终得完整座标。

## 历史

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当今三角测量有诸多用途，如土地测量、航海、计量学、天文测量学、双眼视觉、火箭模型以及武器的弹道方向。

使用三角测量估测距离可追溯到古代。公元前六百多年，希腊哲学家泰勒斯借由测量自己及金字塔的影子长度，以及自己的身高，并运用相似形的原理（截线定理）来测量金字塔的高度。泰勒斯亦根据此原理推算自己与海上船只的距离，以及推算悬崖的高度。这类技术对于古埃及人来说并不陌生。一千多年前，莱因德数学纸草书中的第57道题，定义了叫谢特的单位来表示跑多少能增加多少斜率的比率，如同现在所使用坡度的倒数。古希腊人以一个叫戴普锉的视线棒来量测斜率与角度，可谓使用照准仪的先驱。使用此仪器来远距测量长度及尺规作图的细节被保存至现代，记载于希罗的戴普锉（公元10–70年），但此一技术后来在欧洲失传。在中国，裴秀（公元224年－271年）提出“制图六体”的第五条：方邪（测量直角锐角），做为精确地测量距离的必要条件。同时期的中国数学家刘徽（公元263年）则提出了一个计算方法，以测量无法到达的地点之直角距离。在此时空领域中，三角测量明显没有被罗马的地理调查专家们（agromensores）所使用，但随着具有伊斯兰几何学及制图学的星盘传入中世纪的西班牙，当时著名的天象学家如伊本·沙法尔（公元1035年）。比鲁尼（公元1048年）亦推出了使用三角测量法来测量地球的大小及不同地点间的距离。而罗马人使用的简化技术似乎与当时欧洲地理调查专家使用的复杂技术同时存在。但此类技术在12世纪的文艺复兴中鲜少被翻译成拉丁文，并且以缓慢速度为欧洲人熟悉。记载于公元1300年之中古世纪，专门用来测量角度的雅各伯棍，以及最早存在纪录是公元1296年间的波特兰型海图中，准确的海岸线样貌调查与绘制，显示可能有更多此类技术被发掘及使用于西班牙。

### 赫马·弗里修斯与三角量测于地图测绘的之应用

法兰德斯地图制作者赫马·弗里修斯提出使用三角测量来准确地定位远方地点以制作地图，在公元1533年所编写关于描述地点方法的小册子，并附录于一个1524年畅销新版的彼得鲁斯·阿皮亚努斯的皮革制宇宙志之附录。此技术后来变得非常有影响力，并流传于德国、奥地利、以及新西兰。

公元1579年在斯堪的纳维亚的天文学家，第谷·布拉赫在瑞典汶岛上应用赫马·弗里修斯的方法完成一详尽的三角测量，他在岛上使用松德海峡两侧为关键参考地标来观测距离，于1584年产出了该岛的地产平面图。

在英格兰赫马·弗里修斯的方法被收录在越来越多的地理调查书籍，从中世纪起，包括威廉·克尼厄姆的《宇镜世界》（公元1559年），贝伦谭·雷（Valentine Leigh）的《陆地测量总论》（公元1562年），威廉·伯恩的《航海守则》（公元1571年），托马斯·迪格斯的《几何学练习》（Pantometria）（公元1571年），以及 约翰·诺登的《调查家的对话》（公元1607年）。

有人认为克里斯多福·萨克斯顿也许有使用过粗浅的三角测量来放置特征点在他1570年的郡地图，不过也有其他人认为，当从有利的观察点获得粗略的特征间的关系，他可能只是用简单的猜测来估计距离。

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### 威理博·司乃耳与现代三角测量网络

现代系统化的三角测量网络源自于荷兰数学家威理博·司乃耳，他在公元1615年使用一个包含33个三角形的多角形链接，测查了从阿尔克马尔到贝亨奥普佐姆的距离，趋近于70英里（110公里）。这两个镇相隔一个经度，因此根据他的测量，可以计算出一个地球圆周长的值。威理博·司乃耳发表于1617年的著作《Eratosthenes Batavus》（荷兰埃拉托斯特尼）专门描述这项方法与创举。司乃耳计算平面公式如何被修正以合乎地球曲率。他亦展示如何使用一未知点与三角顶点连线交错的角度来重切或计算，一个三角内的未知点座标，相较于仰赖罗盘上顶点的转动，这些座标点可被量测地更精确，建构此方法的关键想法：先调查大范围主要网络的控制点，再接者定位主要网络中的次要点位。

金‧皮卡于1669-1670年间使用司乃耳的方法，以十三个三角串链来调查延著巴黎子午线，从巴黎往北延伸至邻近亚眠市之苏尔东钟楼的一纬度。裨益于仪器及精度的演进，皮卡的量测被认为是第一个合理地准确量测的地球半径。经过一个世纪，卡西尼家族将这样的技术做了最显著的延伸：公元1683年至1718年间，乔瓦尼·多梅尼科·卡西尼以及他的儿子杰可斯·卡西尼（Jacques Cassini）考查了从敦克尔克到佩皮尼昂的整段经线，且在公元1733与1740年间，杰可斯以及他的儿子科科·卡西尼承办了第一个全国性的三角测量计划，包含一个经度的重新考查，直至1745发表第一个基于严谨规则的法国制地图。

至此，三角量测法被良好地建立及运用在区域性的地图制作，但只有到了18世纪末，其他国家才开始建立详细的三角量测网络调查，以建立全国性地图。公元1853年，英国地形测量局开始编撰大英三角量测学，直至1853年才完成；此外，始于1801，在印度进行的大三角地理调查，最终命名且标注了圣母峰，以及其他喜马拉雅山脉的高峰。于法国的拿破伦时代，自1801年开始，金‧乔斯夫‧全寇特将法国的三角量测学推广至德国莱茵兰，接续由普鲁士将军卡尔堋‧莫福英在1815年完成。同时间，著名的数学家卡尔·弗里德里希·高斯据信从1821年至1825年，根据汉诺威王国的三角量测学,他发展出最小平方法以求得大型系统方程组问题的最佳解，增进了更多量测的真实性。

直至今日，建立于1980年代的卫星导航系统，已广泛地取代用于定位的大型三角量测网络。但许多早期三角量测的控制点依然被保留下来，成为历史特色的地标，例如，建立于大英三角量测重测期间（公元1936年–1962年），用混凝土修筑的三角点，或是斯特鲁维测地弧（公元1816–1855年）的众多三角点，至今被联合国教科文组织（UNESCO）列为世界遗产。

## 延伸阅读

- Bagrow, L.（1964）History of Cartography; revised and enlarged by R.A. Skelton. Harvard University Press.
- Crone, G.R.（1978 1953）Maps and their Makers: An Introduction to the History of Cartography（5th ed）。
- Tooley, R.V. & Bricker, C.（1969）A History of Cartography: 2500 Years of Maps and Mapmakers
- Keay, J.（2000）The Great Arc: The Dramatic Tale of How India Was Mapped and Everest Was Named. London: Harper Collins. ISBN 0-00-257062-9.
- Murdin, P.（2009）Full Meridian of Glory: Perilous Adventures in the Competition to Measure the Earth. Springer. ISBN 978-0-387-75533-5.