十一面体

在几何学中，十一面体（Hendecahedron）是指具有十一个面的多面体。没有任何十一面体是正十一面体，也就是说找不到面由正多边形组成且每个面全等、每个角相等的十一面体。

## 命名

十一面体的英文是Hendecahedron，其命名方式为Hen-代表一，deca代表十，然后结合多面体字尾-hedron，就得到十一面体Hendecahedron。

## 常见的十一面体

在所有凸十一面体中，包含镜射像共有440,564种拓朴结构明显差异的凸十一面体。拓朴结构有明显差异意味着两种多面体无法透过移动顶点位置、扭曲或伸缩来相互变换的多面体，例如五角锥柱和九角柱无论如何变形都无法互相变换，因此拓朴结构不同，但九角柱和九角锥台可以透过伸缩其中一个九边形面来彼此互换，因此三角柱和三角锥台在拓朴上并无明显差异。

常见的十一面体有锥体和柱体、部分的詹森多面体和半正多面体，此处的半正多面体并非阿基米德立体，而是正九角柱。

其他十一面体还有九角柱、十角锥、正五角锥反角柱的对偶、双对称十一面体等多面体，其中双对称十一面体可以密铺空间。

### 三角罩帐

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三角罩帐是指以三角形为底的罩帐，是一种十一面体，由1个三角形顶面、1个六边形底面、3个五边形侧面和6个三角形侧面组成，共有11个面、21条边和12个顶点，其中顶面的三角形与底面的六边形互相平行，侧面的三角形与五边形交错地围绕轴分布在周围。

以正三角形为底的三角罩帐称为正三角罩帐，其仅有顶面和底面为正多边形，分别为顶面的正三边形和底面的正六边形，侧面可能可以存在正三角形或存在正五边形，但有正三角形面时，五边形最多仅能是等边不等角的非正五边形；有正五边形面时，三角形会出现等腰三角形，故不属于詹森多面体。唯一属于詹森多面体的罩帐仅有正五角罩帐。

正三角罩帐的对称群为三维空间的二面体群群，阶数为6阶。

### 截半三角柱

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在几何学中，截半三角柱是指经过截半变换后的三角柱，是一种十一面体，其侧面是正方形、底面是正三角形，另外还有6个等腰三角形面。

截半三角柱可由三角柱将边的中点当作新的顶点，旧的顶点消失，来构造，换句话说，即是用三角柱由一条棱斩到另一条棱的中点（即斩去三角柱的顶点，但不是截角）而成。

其具有D3h二面体群的对称性。

### 詹森多面体

在十一面体中，有3个是詹森多面体，它们分别为:正五角锥柱、二侧锥三角柱、侧锥六角柱。

名称｜种类｜图像｜编号｜顶点｜边｜面｜面的种类｜对称性｜展开图

正五角锥柱｜角锥柱｜

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｜J9｜11｜20｜11｜5个正三角形

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5个正方形

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1个正五边形

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｜C5v, 5, (、55)｜

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二侧锥三角柱｜锥体与柱体的组合｜

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｜J50｜8｜17｜11｜10个正三角形

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1个正方形

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｜C2v｜

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侧锥六角柱｜锥体与柱体的组合｜

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｜J54｜8｜17｜11｜4个正三角形

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5个正方形

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2个六边形

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｜C2v｜

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### 九角柱

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九角柱是一种底面为九边形的柱体，是十一面体的一种，由11个面、27条边和18个顶点组成，对偶多面体为双九角锥。正九角柱代表每个面都是正多边形的九角柱，其每个顶点都是2个正方形和1个九边形的公共顶点，因此具有每个角等角的性质，可以归类为半正十一面体。而顶点都是2个正方形和1个九边形的公共顶点的这种顶角，在顶点图中以$4{.}4{.}9$表示。正九角柱在施莱夫利符号中可以利用{9}×{} 或 t{2, 9}来表示；在考克斯特—迪肯符号中可以利用node_1来表示；在威佐夫符号中可以利用2 9 | 2来表示；在康威多面体表示法中可以利用P9来表示。若一个正九角柱底边的边长为$s$、高为$h$，则其体积$V$和表面积$S$为：

$$V=\frac{9 h s^2 \cot{\frac{\pi}{9}}}{4}\approx 6.18182 h s^2$$

$$S=9s\left(h+\frac{1}{2}s\cot{\frac{\pi}{9}}\right)\approx 9s\left(h+1.37374s\right)$$

### 十角锥

十角锥是一种底面为十边形的锥体，是十一面体的一种，由11个面、20条边和11个顶点组成，其对偶多面体是自己本身。正十角锥是一种底面为正十边形的十角锥。若一个正十角锥底边的边长为$s$、高为$h$，则其体积$V$和表面积$S$为：

$$V=\frac{5\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{6} h s^2\approx 2.56474 h s^2$$

$$S=\frac{5s\left(\sqrt{4h^2+\left(5+2\sqrt{5}\right)s^2}+\sqrt{5+2\sqrt{5}}s\right)}{2}\approx 2.5s\left(\sqrt{4h^2+9.47214s^2}+3.07768s\right)$$

### 十一面体列表

名称｜种类｜图像｜符号｜顶点｜边｜面｜χ｜面的种类｜对称性｜展开图

九角柱｜棱柱体｜

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｜t{2,9}{9}x{}node_1｜18｜27｜11｜2｜2个九边形

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9个矩形

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｜D9h, 9,2, (、922), order 36

十角锥｜棱锥体｜

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｜∨10｜11｜20｜11｜2｜1个十边形

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10个三角形

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｜C10v, 10, (、10 10)

五角锥柱｜角锥柱詹森多面体｜

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｜P5+Y5｜11｜20｜11｜2｜5个三角形

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5个正方形

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1个五边形

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｜C5v, 5, (、55)

五角锥台锥｜截角双锥｜

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｜11｜20｜11｜2｜1个五边形

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5个梯形

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5个三角形

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｜C5v, 5, (、55)｜

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三角罩帐｜罩帐｜

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｜12｜21｜11｜2｜1个三角形顶面1个六边形底面3个五边形侧面6个三角形侧面｜三维空间的二面体群, 3, (、33), order 6

截顶角五方偏方面体｜截顶角偏方面体｜

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｜16｜25｜11｜2｜1个五边形底面 5个五边形侧面5个鹞形侧面｜C5v, 5, (、55)｜

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截半三角柱｜

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｜9｜18｜11｜2｜2个三角形

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3个正方形

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6个等腰三角形

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｜D3h, 3,2, (、322), order 12｜

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截半双三角锥｜9｜18｜11｜2｜3个正方形

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8个三角形

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｜D3h, 3,2, (、223) order 12

双对称十一面体｜空间充填多面体｜

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｜11｜20｜11｜2｜4个筝形

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2个菱形

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4个等腰三角形

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1个正方形

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## 在化学中

在化学中，将十八面体硼烷离子(B11H112−)的氢全部去掉后，可以得到一个结构，它是十八面体，再将每个硼原子做垂直于重心到硼原子的面，可构造成新的多面体，即为十八面体硼烷结构的对偶多面体，也是十一面体之一。

## 双对称十一面体

双对称十一面体（Bisymmetric Hendecahedron）是十一面体的一种多面体

柏拉图和阿基米德立体，只有少数可以密铺于空间，也就是说堆砌在一起，不留空隙，以填补空间。Guy Inchbald描述了一个有趣的多面体，可以以令人惊讶的方式利用11面体完成空间的密铺。

图像｜旋转动画｜展开图

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曾有人提出一个十一面体，它的面数和顶点数是相同的，经过扭曲后，会得到不同的特性。最对称的自身对偶十一面体是双对称十一面体，它之所以会称为双对称是因为它有两个对称面。