新数学

新数学运动（New Math）是1960年代的中学数学教育的大改革，由美国率先带动。这次运动，起源于苏联在1957年将世界首枚人造卫星史普尼克1号送入太空，令美国大为震惊。美国认为苏联之所以在太空竞赛领先，是因苏联的工程师是优秀的数学家，于是美国改革教育，以加强民众的科学教育和数学能力，应对苏联的科技人才的威胁。欧美其他国家以至亚洲如日本、台湾和香港等地区也有跟随，而改革未如美国激烈。

## 美国

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传统中小学数学课程，把数学切割为算术、代数、几何、三角等部分，各部分分开在不同年级教授。学生用一年在数学课学习代数，把许多不同的机械操作背下，比如多项式加减乘除、指数运算、根式运算、因式分解等等；在第二年数学课却转到演绎平面几何，学习运用几何的基本公理，逐步推出各条定理，但学生此前未接触过逻辑证明，而定理的证明又往往有巧妙构想，对学生并不明显，于是学生只能把证明背下来；到第三年数学课，学生又回到高等代数，从逻辑演绎转回背诵更多更复杂的代数计算法。这种课程设计令数学科变为枯燥、机械、了无生气的科目，学生无法明白学习数学的目的。当时数学课本由教育学院训练出来的教师编写，他们没有深入理解数学，内容都是抄袭以往的课本，着重灌输他们在学生时代所学的规则，却吝于解释其意义。美国公众普遍没有从学校数学课中学到多少东西，也不关心学校数学教育。

原子弹令美国公众对物理学家和数学家改观，而苏联的史普尼克卫星发射，则令公众意识到美国的数学教育需要改革。

1951年，伊利诺伊大学向该州高中印发小册子，指出工程学院的大学新生数学基础太差，并列出高中应教授的数学课题，伊大的附属高中因此组成一个委员会，负责修订学校数学教学，称为“伊利诺伊大学学校数学委员会”（University of Illinois Committee on School Mathematics，简称UICSM），这是“新数学”的开端。1957年，美国国家科学基金会拨款资助各理科科目发展新课程，数学科也为其一，获拨款发展新数学课程的项目有：麦迪逊项目（Madison Project）、学校数学研究小组（School Mathematics Study Group，简称SMSG）、伊利诺伊大学学校数学委员会等。这些项目都是由数学教授主导，当中以学校数学研究小组得到官方最多支持，所获拨款数以百万美元计，其影响力也最广。SMSG编写了自一年级至十二年级的全套实验课本，在美国各地培训了不少中学教师使用这套课本教学，收集教师反馈来调整课本，也开放课本版权，鼓励教科书商模仿编写课本。

这些项目发展出的课程虽各有不同，但都强调理解。他们认为小学生要牢记算术的计算法，除了练习外，还要明白计算法背后的意思。因此在当时的小学算术中，会教授如二进制、十二进制等不以十为基底的记数系统，使学生在计算时不能只靠强记规则和不加思索地运用，比如在进行7进位数的加法时，学生要理解为何“百位数”的位值是49，才能正确计算，因此新数学课程强调学生要能够分辨数（numbers）与用以表达数的数码（numerals）的分别。由于现代数学以集合论为基础，新数学课本内容以朴素集合论为基本语言。此外，课本强调使用公理系统演绎数学内容，例如算术是先构造自然数，列出加法和乘法的各条公理，即结合律、交换律、分配律公理，以公理学习运算，然后构造出负数、分数、整数的开方等，按照公理将运算延伸到这些新的数系；在进行计算时也要清楚每步骤基于哪一条公理，例如求解一条代数方程式，要将用到的方程式转换公理平行并列。推动新数学的教育家强调，教授学童以公理化为基础的数学，可令学生日后容易应付数学系统中的定理。所有新数学课程也强调要采用发现式学习，让学生分为小组尝试自行发现数学理论，再由教师引导修正他们的理论。新数学所加入的其他课题有模算术、代数不等式、矩阵、符号逻辑、布林代数及抽象代数，是现代数学的基础课题。不过1960年代后，以上的课题除了代数不等式外，都降为次要或取消了。

教师和家长反对新数学，认为不应该用远离学生日常经验的课题，取代如算术等的传统课题。教师也要教他们没有完全明白的内容。家长担心他们不懂子女学的课程，无法帮助子女学习。很多家长为了弄懂新数学，甚至陪子女一同上课。结果新数学的试验被视为失败，在1960年代末新数学已失去各界支持，只有一些校区继续教授新数学多年。1970年代，美国教育界开展各科目的“回到基础”（Back to Basics）运动，数学科要重新强调计算和代数技巧的训练。1975年，美国的国家数学教育指导委员会（National Advisory Committee on Mathematical Education，简称NACOME）发表报告书，检视美国近20年来的中小学数学教育，建议不要对立看待“新数学”和“旧数学”，应结合两者的长处，在概念和技巧、具体和抽象间取得平衡。

## 法国

法国的新数学运动（mathématiques modernes，意为“现代数学”），受到法国布尔巴基学派的影响。他们认为从各种公理系统所建立的抽象数学结构，成为了现代数学的崭新的核心，而从自然科学到人文和社会科学，许多研究对象都可以化为这些抽象结构，现代数学就成为共同语言和概念工具。布尔巴基所编著的《数学原本》系列书籍，以结构的概念统一数学的各个分支。另一方面，瑞士心理学家尚·皮亚杰认为儿童认知数学时所形成的潜在心智结构，与布尔巴基提出的母结构（即序结构、代数结构、拓扑结构）类似。这就支持了在数学课中引入布尔巴基的数学结构思想。

二战后的经济发展，需要有良好数学基础的科学家和工程师，而中小学的数学课程内容陈旧，高中数学都是1800年之前的知识，和现代数学有鸿沟，课程改革是当务之急。1959年，欧洲经济合作组织在巴黎附近的Royaumont举办研讨会，讨论中学数学课程和教学法改革。会议中布尔巴基成员让·迪厄多内发言时喊出口号：“打倒欧几里得”（À bas Euclide !）。1967年，法国教育部成立由法兰西公学院教授，微分几何学家André Lichnerowicz作主席的委员会，开始改革幼稚园和中小学的数学课程，制订新课程纲要。

法国的新数学课程，引入朴素集合论、形式逻辑、关系和映射，介绍以公理定义的代数结构如群、环、域、向量空间，将传统几何用线性代数取代。新课程强调定义、定理、证明中的严谨性，不再强调数字、代数、三角等的计算。欧几里得几何利用了图像和几何直觉，被视为不严谨（希尔伯特曾经尝试提出希尔伯特公理系统将之严谨化）；新数学的课本不使用图像，例如夹角概念迟至高中第二年（Première）的数学课本中才定义，而且是抽象地在所有射线二元组的集合上，用旋转变换定义一个等价关系，然后将其等价类称为夹角。

推行新数学课程遇到两大困难：一方面，二战后的婴儿潮令学生急增，中小学需要大量数学教师，所以8成数学教师都没有数学教育专业资格，未受过高等数学训练，难以教授新数学课程。另一方面，当时法国推行中学教育普及化，延长强制教育至16岁，导致中学生的社会背景和能力差异扩大，但是所有学生都要学同一个课程，对准备初中毕业后工作的学生来说，新数学课程太脱离现实。

1970年代初，改革的危机出现。许多数学家和物理学家，批评新数学的课程过于形式化和抽象，对大部分缺乏准备的学生和教师没有好处。委员会的工作停止，Lichnerowicz在1973年辞职。到1970年代末，大部分的改革也被放弃，欧几里得几何重新纳入，计算训练受重视，但是其后的数学课程纲要，被视为组织松散，不够连贯，愈来愈多课题被删除以减低难度，对学生的想像和推理能力要求甚低。

## 香港

时任香港大学数学系系主任的黄用诹教授，于1961年访问英国的南安普敦大学，参加了“新数学”讲座，便将“新数学”带到香港。在1962年暑假，香港大学举办“新数学”讲座，向中学教师介绍“新数学”运动，参加的教师有数百位。同年香港大学也将逻辑及集合论，加入其入学资格考试的普通程度（英文中学的中六级考试，1965年最后一届之后取消）及高级程度纯粹数学的考试课程，于1964年首次考核。其后，约在1962—1963年间，香港教育司署数学组成立委员会，研究在中学试行“新数学”课程。此时香港数学教育跟从英国，把中学数学划分成算术、三角、几何（有理论部分及尺规作图部分）、代数四个互相独立的范围。课程较注重掌握繁杂的运算，如英制单位及旧制英国货币的换算，及笔算立方根等。而新数学运动强调数学内在的结构及逻辑推理，着重现代数学各领域间的统一性，故受到当时香港数学教育界重视，期待新数学能令数学教育现代化。虽然原本中学数学课程的平面几何也有逻辑训练，但新数学利用符号逻辑和集合论等课题，将逻辑独立出来教授，因此教育界认为比起从平面几何中学习逻辑，新数学以代数推理学习逻辑较为直接，应更易训练学生逻辑思维。所以新数学将原来课程中平面几何较难的部分删除。当时香港称原来的中学数学课程为“旧数”，将新数学课程称为“新数”。

1964年新数学首先在伊利沙伯中学试行，随后几年增至约十间中学。初时用的是外国教科书，其后在香港也有人编写新数学教科书，其中以半群学社（Mathematics Study Monoid）的教科书较多人采用。随后其他学校也争相开设新数学。教育司署数学组也为新数学编订会考课程，作为会考数学科的另选课程，称为“课程乙”（Syllabus B），在1969年香港英文中学会考首次施行。“旧数”课程在早两年的会考已称为“课程甲”，虽然1967年和1968年仍只有一个会考数学课程。罗富国教育学院也设立培训课程，训练中学教师教授新数学。至于香港中文中学会考，就在1973年开设新数学考试，称为“普通数学”科的“课程二”，原有课程自1971年会考起称为“课程一”。次年会考合并，此两课程中文与英文中学尚未合并，中文中学的“新数”“旧数”分别称为数学科的“课程甲”和“同等课程甲”，英文中学两者分别称为“课程乙”和“同等课程乙”（Alternative Syllabus B）。1975年起，中文中学与英文中学合并课程，“新数”和“旧数”分别名为“数学”和“数学（同等课程）”。

新数学推行初期一般学生对新数学的学习困难未出现，因为当时新数学只在初中实行，学生即使不明白新数学中的抽象概念，也可以模仿教科书的例题作答。（例如解方程得出答案是x=3，但要求学生写“解集合是{3}”。）而当时香港实行精英教育，只有成绩好的学生才能升读中学，故此其学习能力也较好。要到新数学推行了几年后，学生升到高年班，教师教较难的课题时，才发觉学生的新数学的知识基础薄弱。由于新数学在香港很快就广泛推行，师资培训未能配合，而资深教师也不愿意转教新课程。另外香港的新数学教科书过度形式化，只顾引入抽象概念，忽视其后的实质，使得教学中也出现同样问题，甚至令人误以为新数学就是集合论。

1970年代初，有中学放弃新数学，转回教授“旧数”课程，有些较好的中学则新旧兼教。教育司署也每年修改“新数”和“旧数”会考课程，直到后来两者课程已改得差不多，教育当局于是在1977年宣布，将两者合成一个会考课程，称为“合并数”，于1983年会考推行，称为“课程乙”。新数学中获保留的课题，多为应用性较强者，如统计、概率、线性规划等。

有关社会转变，在当时的电视剧也有反映。例如有一集《狮子山下》，剧中的爸爸拿着儿子的数学书问：“为什么一加一会等于十？”然后儿子回答：“你明什么？这叫做新数！”

## 批评

莫里斯·克莱因在1973年出版《Why Johnny Can't Add: the Failure of the New Math》（中译本《新数学为何失败》）他指出一些新数学的支持者忽略了数学的成果是累积出来的，学生不可能在未知道早期数学前就去学近代数学。他评论新数学强调抽象性时，指出数学的抽象化不是数学发展的第一步，而是最后一步。

著名日本数学家小平邦彦，亲历两名女儿在美国的中学学习新数学。他指出新数学错误在于混淆了现代数学的基本概念和数学发展的初等概念：历史发展由初级至高级，愈早出现的数学愈初级，学生愈容易学会。集合虽然是数学的基本概念，但是在19世纪末才出现，并非初等概念，因此学生难以明白。而且新数学为迁就学生认知能力，只教有限集合，又教“一一对应”概念比较有限集合大小；但集合论原是为了处理无穷集合，一一对应也是用于比较无穷集合的大小，全无必要用于有限集合。新数学教学生从公理系统看普通代数运算，设若干公理证明别的性质，例如ab = ba和a(b+c) = ab + ac是公理，用来证明(b+c)a = ba + ca，但它们都是不证自明的，学生不明白公理的意义。数学理论的形式公理主义，是20世纪初出现，用以建立非欧几何，抽象代数结构等，这些都是中小学生没接触到的。而欧几里得几何是有着二千年历史的初等数学，直到18世纪仍是数学中唯一的公理系统，且是由不证自明的公理逐渐推出不平凡的定理，因此最适合用来给学生思考公理构造。新数学只教学生现代数学最无趣的部分，学生不理解其目的何在，只觉得数学把无聊内容复杂化，因而鄙视数学。

## 参考书目

- 黄毅英编，香港近半世纪漫漫“数教路”：从“新数学”谈起，香港数学教育学会，2001年。