明渠流

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明渠流（open-channel flow）是水力学的分支，是液体在管道或水路中的流动，而且液体存在自由表面，包括未全满的液体在管道中流动，则称为管流。流体的重量是这种流体的主要驱动来源。

## 流的状态

明渠流的行为是由粘滞力和重力以及流体本身的惯性所控制。表面张力有一些影响，不过在大部分的应用中，表面张力不是主要影响因素。由于流体有自由表面，明渠流中重力多半是最重要影响明渠流的因素。惯力和重力的比例就是明渠流里最重要旳无因次量，此无因次量称为福禄数，定义为$$\text{Fr} = {U\over{\sqrt{gD}}}$$

其中

- $U$是平均速度
- $D$是表示渠深度的特征长度
- $g$为重力加速度。

粘滞力相对惯性力的影响可以用雷诺数表示，流体可以分为层流、湍流和过渡流。不过一般会假设其雷诺数够大，流体的粘滞力可以忽略，流体本身会是湍流。

## 公式

可以用针对质量、动量和能量的守恒定律来描述明渠流。其统御方程可以从考虑流速向量场${\bf v}$（分量${\bf v} = \begin{pmatrix} u & v & w \end{pmatrix}^{T}$）的动态方程求得。在笛卡儿坐标系下，这些分量对应x轴、y轴和z轴的流速。

为了简化最后的公式，会进行以下的假设：

- 流是不可压缩流（若是快速变化的流，此假设就不合适)
- 雷诺数够大，粘滞扩散可以忽略
- 流是沿着x轴的一维流

### 连续性方程式

通用的连续性方程式描述质量的守恒，其形式如下：$${\partial \rho\over{\partial t}} + \nabla \cdot (\rho {\bf v}) = 0$$其中$\rho$是流体密度，$\nabla \cdot()$是散度算子。假设不可压缩流，有固定的控制体积 $V$，方程可以表示为$\nabla \cdot {\bf v} = 0$。不过，明渠流的截面$A$可能会随着时间和位置而变化。若从连续性方程式的积分形开始：$${d\over{dt}}\int_{V}\rho \; dV = -\int_{V} \nabla\cdot(\rho {\bf v}) \; dV$$可以将体积积分分解成截面和长度，因此可以得到下式：$${d\over{dt}}\int_{x}\left(\int_{A}\rho \; dA \right) dx = -\int_{x}\left[\int_{A}\nabla\cdot(\rho {\bf v}) \; dA \right] dx$$在流体不可压缩、一维流的假设下，方程式可以写成：$${d\over{dt}}\int_{x}\left(\int_{A}dA \right) dx = -\int_{x}{\partial\over{\partial x}}\left(\int_{A} u \; dA \right) dx$$利用$\int_{A}dA = A$并且定义体积流率 $Q = \int_{A}u \; dA$, 方程式可以简化如下：$$\int_{x}{\partial A\over{\partial t}} \; dx = -\int_{x}{\partial Q\over{\partial x}} dx$$最后，可以得到不可压缩、一维明渠流的方程：${\partial A\over{\partial t}} + {\partial Q\over{\partial x}} = 0$

### 动量方程

明渠流的动量方程可以从不可压缩的纳维-斯托克斯方程开始：$$\overbrace{\underbrace{{\partial {\bf v}\over{\partial t}}}_{\begin{smallmatrix} \text{Local} \\ \text{Change} \end{smallmatrix}} + \underbrace{{\bf v}\cdot\nabla {\bf v}}_{\text{Advection}}}^{\text{Inertial Acceleration}} = -\underbrace{{1\over{\rho}}\nabla p}_{\begin{smallmatrix} \text{Pressure} \\ \text{Gradient} \end{smallmatrix}} + \underbrace{\nu \Delta {\bf v}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{\nabla \Phi}_{\text{Gravity}} + \underbrace{{\bf F}}_{\begin{smallmatrix} \text{External} \\ \text{Forces} \end{smallmatrix}}$$其中$p$是压强，$\nu$是动黏度，$\Delta$是拉普拉斯算子，而$\Phi = gz$ 是重力位。配合高雷诺数以及一维流的假设，可得以下方程：$$\begin{aligned} {\partial u\over{\partial t}} + u{\partial u\over{\partial x}} &= -{1\over{\rho}}{\partial p\over{\partial x}} + F_{x} \\ -{1\over{\rho}}{\partial p\over{\partial z}} - g &= 0 \end{aligned}$$第二个方程中有流体静压$p = \rho g \zeta$，而渠深度$\eta(t,x) = \zeta(t,x) - z_{b}(x)$ 是自由表面$\zeta$和渠底$z_{b}$的距离。将此代入第一个方程，可得：$${\partial u\over{\partial t}} + u{\partial u\over{\partial x}} + g{\partial \zeta\over{\partial x}} = F_{x} \implies {\partial u\over{\partial t}} + u{\partial u\over{\partial x}} + g{\partial \eta\over{\partial x}} - gS = F_{x}$$where the channel bed slope $S = -dz_{b}/dx$。若要考虑渠道上的剪应力,可以定义受力项为：$$F_{x} = -{1\over{\rho}}{\tau\over{R}}$$其中$\tau$为剪应力，$R$为水力半径。定义摩擦斜率$S_{f} = \tau/\rho g R$，是量化摩擦损失的方式，可以得到以下的动量方程式：${\partial u\over{\partial t}} + u{\partial u\over{\partial x}} + g{\partial \eta\over{\partial x}} + g(S_{f}- S) = 0$

### 能量方程式

若要推导能量方程式，考虑平流加速度项${\bf v}\cdot\nabla {\bf v}$可以分解如下：$${\bf v}\cdot\nabla {\bf v} = \omega \times {\bf v} + {1\over{2}}\nabla\|{\bf v}\|^{2}$$其中$\omega$是流的涡量，$\|\cdot\|$是欧几里得范数。这可以得到一个不考虑外部力的动量方程，为：$${\partial {\bf v}\over{\partial t}} + \omega \times {\bf v} = -\nabla\left({1\over{2}}\|{\bf v}\|^{2} + {p\over{\rho}} + \Phi \right )$$将方程两侧对${\bf v}$进行点积，可得：$${\partial\over{\partial t}}\left({1\over{2}}\|{\bf v}\|^{2} \right ) + {\bf v}\cdot \nabla \left({1\over{2}}\|{\bf v}\|^{2} + {p\over{\rho}} + \Phi \right ) = 0$$其中有利用三重积 ${\bf v}\cdot (\omega \times {\bf v}) = 0$。定义$E$为能量密度：$$E = \underbrace{{1\over{2}}\rho\|{\bf v} \|^{2} }_{\begin{smallmatrix} \text{Kinetic} \\ \text{Energy} \end{smallmatrix}} + \underbrace{\rho\Phi}_{\begin{smallmatrix} \text{Potential} \\ \text{Energy} \end{smallmatrix}}$$注意其中的 $\Phi$是非时变的。可以得到下式：$${\partial E\over{\partial t}} + {\bf v}\cdot\nabla (E+p) = 0$$假设能量密度是非时变的，且流是一维流，可以简化如下：$$E + p = C$$with $C$为常数，这和伯努利定律等效。明渠流中特别关注的是比能 $e = E/\rho g$，可以计算扬程 $h$，定义如下：$\begin{aligned} h &= e + {p\over{\rho g}} \\ &= {u^{2}\over{2g}} + z + {p\over{\gamma}} \end{aligned}$其中 $\gamma = \rho g$是比重量。不过，实际系统需加上扬程损失项 $h_{f}$，这是考虑因为摩擦力和湍流产生的能量耗散，之前因为在动量方程不考虑外力，这些被省略了。