解析信号

在数学和信号处理中，解析信号（analytic signal）是没有负频率分量的复值函数。解析信号的实部和虚部是由希尔伯特转换相关联的实值函数。

实值函数的解析表示是解析信号，包含原始函数和它的希尔伯特变换。这种表示促进了许多数学变换的发展。基本的想法是，由于频谱的埃尔米特对称，实值函数的傅里叶变换（或频谱）的负频率成分是多余的。若是不介意处理复值函数的话，这些负频率分量可以丢弃而不损失信息。这使得函数的特定属性更易理解，并促进了调制和解调技术的衍生，如单边带。只要操作的函数没有负频率分量（也就是它仍是“解析函数”），从复数转换回实数就只需要丢弃虚部。解析表示是向量概念的一个推广：向量限制在时不变的振幅、相位和频率，解析信号允许有时变参数。

## 定义

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若 $s(t)$ 是一个实值函数，其傅里叶变换为 $S(f)$，$S(f)$为一于 $f = 0$ 埃尔米特对称之函数：

$S(-f) = S(f)^*,$ 其中，$S(f)^*$为 $S(f)$ 的复共轭。

函数：

$$\begin{align} S_\mathrm{a}(f) &\stackrel{\mathrm{def}}{{}={}} \begin{cases} 2S(f), &\text{for}\ f > 0,\\ S(f), &\text{for}\ f = 0,\\ 0, &\text{for}\ f < 0 \end{cases}\\ &= \underbrace{2 \operatorname{u}(f)}_{1 + \sgn(f)}S(f) = S(f) + \sgn(f)S(f), \end{align}$$

其中：

- $\operatorname{u}(f)$ 是单位阶跃函数。
- $\sgn(f)$ 是符号函数。

仅包含 $S(f)$ 的非负频率分量。而且由于 $S(f)$ 的埃尔米特对称性，该运算是可逆的：

$$\begin{align} S(f) &= \begin{cases} \frac{1}{2}S_\mathrm{a}(f), &\text{for}\ f > 0,\\ S_\mathrm{a}(f), &\text{for}\ f = 0,\\ \frac{1}{2}S_\mathrm{a}(-f)^*, &\text{for}\ f < 0\ \text{(Hermitian symmetry)} \end{cases}\\ &= \frac{1}{2}[S_\mathrm{a}(f) + S_\mathrm{a}(-f)^*]. \end{align}$$

$s(t)$ 的解析信号是 $S_\mathrm{a}(f)$ 的傅里叶逆变换：

$$\begin{align} s_\mathrm{a}(t) &\stackrel{\mathrm{def}}{{}={}} \mathcal{F}^{-1}[S_\mathrm{a}(f)]\\ &= \mathcal{F}^{-1}[S (f)+ \sgn(f) \cdot S(f)]\\ &= \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{S(f)\}}_{s(t)} + \overbrace{ \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{\sgn(f)\}}_{j\frac{1}{\pi t}} * \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{S(f)\}}_{s(t)} }^{convolution}\\ &= s(t) + j\underbrace{\left[{1 \over \pi t} * s(t)\right]}_{\operatorname{\mathcal{H}}[s(t)]}\\ &= s(t) + j\hat{s}(t), \end{align}$$

其中

- $\hat{s}(t) \stackrel{\mathrm{def}}{{}={}} \operatorname{\mathcal{H}}[s(t)]$ 是 $s(t)$ 的希尔伯特转换。
- $*$ 是卷积符号。
- $j$ 是虚数单位。

## 例子

### 例1

$s(t) = \cos(\omega t),$ 其中 $\omega > 0.$

于是：

$$\hat{s}(t) = \cos(\omega t - \pi/2) = \sin(\omega t),$$

$s_\mathrm{a}(t) = s(t) + j\hat{s}(t) = \cos(\omega t) + j\sin(\omega t) = e^{j\omega t}.$ 第三个等式为欧拉公式。

欧拉公式的一个推论是 $\cos(\omega t) = \tfrac{1}{2} (e^{j\omega t} + e^{j (-\omega) t}).$ 一般来说，简单正弦曲线的解析表示是通过用复指数表示它，丢弃负频率分量，并对正频率分量加倍得到的。正弦曲线之和的解析表示等于单个正弦波的解析表示之和。

### 例2

这里我们使用欧拉公式来识别并丢弃负频率。

$$s(t) = \cos(\omega t+\theta) = \tfrac{1}{2} (e^{j (\omega t+\theta)} + e^{-j (\omega t+\theta)})$$

于是：

$$s_\mathrm{a}(t) = \begin{cases} e^{j(\omega t + \theta)} \ \ = \ e^{j |\omega| t}\cdot e^{j\theta} , & \text{if} \ \omega > 0, \\ e^{-j(\omega t + \theta)} = \ e^{j |\omega| t}\cdot e^{-j\theta} , & \text{if} \ \omega < 0. \end{cases}$$

### 例3

这是使用希尔伯特变换方法去除负频率分量的另一个例子。我们注意到，对于复值函数 $s(t)$，没有什么能阻止我们计算 $s_\mathrm{a}(t)$。但它可能不是一种可逆的表示，因为原频谱不总是对称的。所以除了此例以外，一般讨论都假设 $s(t)$ 为实值函数。

$s(t) = e^{-j\omega t}$, 其中 $\omega > 0$.

于是：

$$\hat{s}(t) = je^{-j\omega t},$$

$$s_\mathrm{a}(t) = e^{-j\omega t} + j^2 e^{-j\omega t} = e^{-j\omega t} - e^{-j\omega t} = 0.$$

## 负频率分量

由于 $s(t) = \operatorname{Re}[s_\mathrm{a}(t)]$，恢复负频率分量就是简简单单丢弃 $\operatorname{Im}[s_\mathrm{a}(t)]$ 这件事可能与直觉不太一致。我们还可以注意到复共轭 $s_\mathrm{a}^*(t)$ 仅由负频率分量构成。因此 $\operatorname{Re}[s_\mathrm{a}^*(t)]$ 恢复了被减弱的正频率分量。

## 应用

### 包络和瞬时相位

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解析信号也可以表示在其随时间变化的幅度和相位（极坐标）：

$$s_\mathrm{a}(t) = s_\mathrm{m}(t)e^{j\phi(t)},$$

其中：

- $s_\mathrm{m}(t) \stackrel{\mathrm{def}}{{}={}} |s_\mathrm{a}(t)|$ 称作瞬时振幅或包络 (波)。
- $\phi(t) \stackrel{\mathrm{def}}{{}={}} \arg\!\left[s_\mathrm{a}(t)\right]$ 称作瞬时相位。

在附图中，蓝色曲线描绘 $s(t)$，红色曲线描绘对应的 $s_\mathrm{m}(t)$。

解缠的瞬时相位的时间导数的单位为rad/s，称作瞬时角频率：

$$\omega(t) \stackrel{\mathrm{def}}{{}={}} \frac{d\phi}{dt}(t).$$

因此，瞬时频率（单位赫兹）为：

$f(t)\stackrel{\mathrm{def}}{{}={}} \frac{1}{2\pi}\omega(t).$

瞬时振幅、瞬时相位与频率在一些应用中用于测量和检测的信号的局部特征。信号的解析表示的另一个应用与调制信号的解调有关。极坐标方便将振幅调变和相位（或频率）调制的影响分开，对解调某些种类的信号很有效。

### 复包络/基带

解析信号通常都会在频率上移位（下转换）到 0 Hz，可能会产生非对称负频率分量：

$$\underline{s_\mathrm{a}}(t) \stackrel{\mathrm{def}}{{}={}} s_\mathrm{a}(t)e^{-j\omega_0 t} = s_\mathrm{m}(t)e^{j(\phi(t) - \omega_0 t)},$$

其中 $\omega_0$ 是任意参考角频率。

这个函数有不同的名称，如复包络和复基带。复包络不是唯一的；它是由 $\omega_0$ 的选取决定的。这个概念通常用于处理通带。如果 $s(t)$ 是调制信号，$\omega_0$ 可能会等于它的载波频率。

在其他情况下，$\omega_0$ 选在所需通带的中间。因此简单的实系数低通滤波器就可以去除感兴趣的部分。另一个动机是减少最高频率，从而降低最小的无混叠采样率。频移不加大复信号表示的数学处理难度。因此从这个意义上说，下转换的信号仍然是解析信号。但是恢复实值表示不再是简简单单提取实部的问题了。为了避免混叠可能需要上转换，若信号已被（离散时间）采样，还可能需要插值（升采样）。

若选取的 $\omega_0$ 大于 $s_\mathrm{a}(t)$ 的最高频率，则 $\underline{s_\mathrm{a}}(t)$ 没有正频率。在这种情况下，提取实部并恢复它们，但顺序要相反；低频分量现在变为高频分量，反之亦然。这可用于解调一种叫做下边带的单边带信号。

参考频率的其他选择：

有时 $\omega_0$ 的选取是要最小化

$$\int_{0}^{+\infty}(\omega - \omega_0)^2|S_\mathrm{a}(\omega)|^2\, d\omega.$$

另外， $\omega_0$ 选取还可以是要最小化线性逼近解缠的瞬时相位 $\phi(t)$ 的均方误差：

$$\int_{-\infty}^{+\infty}[\omega(t) - \omega_0]^2 |s_\mathrm{a}(t)|^2\, dt$$

再或者（对最佳 $\theta$）：

$$\int_{-\infty}^{+\infty}[\phi(t) - (\omega_0 t + \theta)]^2\, dt.$$

在信号处理领域，维格纳–威利分布定义中需要解析信号，因此该方法在实际应用中具有理想特性。

有时复包络与复振幅同义。

其他时候它作为一种时间无关的推广形式。它们的关系并不像实值的情形那样；变化的包络 (波)产生恒定的振幅。

## 外部链接

- Analytic Signals and Hilbert Transform Filters