交错八边形镶嵌

在几何学中，交错八边形镶嵌是一种半正双曲面镶嵌，由三角形和正方形组成，在施莱夫利符号中用(4,3,3)或h{8,3}表示。交错八边形镶嵌是指正八边形镶嵌经过交错变换产生的镶嵌图。

交错八边形镶嵌也可以算是一种双曲面上的三角形-正方形镶嵌。

交错八边形镶嵌具有(4,3,3), (*433)的对称性，在约翰·康威的轨形符号中以433表示。

## 几何

虽然每一条边都是直线（曲面上的直线），但由于曲面不易制作或绘制，因此需要投影如同球面的地球的地形要在平面上需要地图投影，而此处使用的庞加莱双曲投影就如同地图投影的方位投影。然投影过程扭曲了直线成了曲线，因此要检视其形状可以透过平移此处的平移应视为超平移，即双曲平面上的平移。所需要的点到庞加莱双曲圆盘可以视为改变投影的点，有如改变地图投影方位投影的投影地点，或是将整个几何图形在双曲平面上平移。中心来检视其几何结构，此时曲线会接近直线就如同地图投影，投影中心附近几乎不会被扭曲。

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三角形在中心双曲面直边｜

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边在中心双曲面直边｜

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顶点在中心双曲面直边

## 表面涂色

不同的表面涂色表面涂色即在几何体的每一个面上有规律地涂上不同或相同的颜色方式可以得到不同的对称性，并代表着不同的几何结构，例如：

一种颜色交错正八边形镶嵌label4｜二种颜色截半交错八边形镶嵌label4｜四种颜色扭棱八阶正方形镶嵌3

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## 对偶镶嵌

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## 在艺术中

圆极限III中包含了交错八边形镶嵌的结构。圆极限III是一个M. C. Escher在1959年制作的木刻版画作品，鱼串就像从无限远射出来的火箭strings of fish shoot up like rockets from infinitely far away，然后又再次降落回他们的出发地fall back again whence they came，并与边界垂直the fish move "perpendicularly to the boundary"。图中白色曲线通过每一条鱼的中间，划分成正方形和三角形在交错八边形镶嵌的图案。然而，在交错八边形镶嵌中，每个曲线都是双曲面上的线段因为要将双曲面投影在平面上，所以会使的直线被扭曲成曲线。而在艾雪的木刻中，曲线是超圆形的弧。

## 相关多面体及镶嵌

交错八边形镶嵌是一系列交错三阶正多边形镶嵌和多面体的其中之一，该系列只包含偶数边的正多边形，因为只有偶数边形才可进行交错变换，由于交错变换会使边数减半，例如本例正八边形交错变成正方形，所以正七边形不能交错，因为没有正三点五边形。

球面镶嵌｜多面体｜欧式镶嵌｜紧凑双曲镶嵌｜仿紧空间｜非紧空间

n｜1｜2｜3｜4｜5｜6｜∞

2n边形镶嵌｜{2,3}｜{4,3}｜{6,3}｜{8,3}｜{10,3}｜{12,3}｜{∞,3}

交错2n边形镶嵌｜

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h{2,3}node h1｜

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h{8,3}node h1｜

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h{∞,3}node h1｜

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交错八边形镶嵌可以透过截角操作或其他康威变换得到一系列与之相关的半正镶嵌，其与交错八边形镶嵌拥有相似的对称性(4,3,3), (*433)或(4,3,3)+, (433)：

对称群：(4,3,3), (、433)｜(4,3,3)+, (433)

3｜3｜3｜3｜3｜3｜3｜3

label4｜label4｜label4｜label4｜label4｜label4｜label4｜label4

node_h1｜node_h0｜node_h1｜node_h1｜node_h0｜node_h1｜node_h0｜node_h0

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h{8,3}t0{(4,3,3)}{(4,3,3)}｜r{8,3}t0,1{(4,3,3)}r{(3,4,3)}｜h{8,3}t1{(4,3,3)}{(3,3,4)}｜h2{8,3}t1,2{(4,3,3)}r{(4,3,3)}｜{3,8}t2{(4,3,3)}{(3,4,3)}｜h2{8,3}t0,2{(4,3,3)}r{(3,3,4)}｜t{3,8}t0,1,2{(4,3,3)}t{(3,4,3)}｜s{3,8} s{(3,4,3)}

半正对偶

3｜3｜3｜3｜3｜3｜3｜3

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V(3.4)3｜V3.8.3.8｜V(3.4)3｜V3.6.4.6｜V(3.3)4｜V3.6.4.6｜V6.6.8｜V3.3.3.3.3.4

交错八边形镶嵌也可以从八阶正方形镶嵌以考克斯特结构(4,4,4)透过截角操作或其他康威变换得到的半正镶嵌，由于对应的镶嵌是八阶正方形镶嵌，因此与八阶正方形镶嵌拥有相似的对称性(4,4,4), (*444)或(4,4,4)+(444)：

对称群：(4,4,4), (、444)｜(4,4,4)+(444)｜(1+,4,4,4)(、4242)｜(4+,4,4)(4、22)

3｜3｜3｜3｜3｜3｜3｜3｜3｜3

label4｜label4｜label4｜label4｜label4｜label4｜label4｜label4｜label4｜label4

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t0{(4,4,4)}｜t0,1{(4,4,4)}｜t1{(4,4,4)}｜t1,2{(4,4,4)}｜t2{(4,4,4)}｜t0,2{(4,4,4)}｜t0,1,2{(4,4,4)}｜s{(4,4,4)}｜h{(4,4,4)}｜hr{(4,4,4)}

半正对偶

3｜3｜3｜3｜3｜3｜3｜3｜3｜3

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V(4.4)4｜V4.8.4.8｜V(4.4)4｜V4.8.4.8｜V(4.4)4｜V4.8.4.8｜V8.8.8｜V3.4.3.4.3.4｜V88｜V(4,4)3

## 参考文献

- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
- Douglas Dunham Department of Computer Science University of Minnesota, Duluth
- Examples Based on Circle Limits III and IV , 2006: More “Circle Limit III” Patterns , 2007: A “Circle Limit III” Calculation , 2008: A “Circle Limit III” Backbone Arc Formula

## 外部链接

- Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery
- KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings
- Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch

## 基本资料

- 类型：双曲半正镶嵌、双曲镶嵌
- Coxeter_diagram：label4
- 面的种类：三角形、正方形
- 施莱夫利符号：{(4,3,3)}、s{(4,4,4)}

- Face_configuration：V4.8.12
- 对称群：(4,3,3), (*433)、(4,4,4)+, (444)
- 双处理器芯片组：Order-4-3-3_t0 dual tiling
- 旋转对称群：(4,4,4)+, (444)
- 属性：点可递