桁架 (工程)

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桁架（Truss），为建筑工程名词，是指“只由二力元件组成，组装后如同单一物体”的结构。二力元件（two-force member）是指只在二个端点上有受力的结构元件。在此严格的定义下允许用元件以稳定的组态组合出任意的形状，不过桁架一般会包括由直杆元件组合而成的结构，其中有五个或更多三角形单位，各元件的末端以结构节点相连接，称为顶点。

在此定义下，外力及因外力而产生的反作用力一般会视为只作用在端点上，而且只会让元件产生张力及压力，若都是直杆元件，不考虑各元件所受到的转矩，因为桁架中所有元件的结构节点都是旋转接点。一元件受到的转矩无法传递到其他元件。

平面桁架是指所有的节点都位于同一个二维平面以下，而空间桁架有元件及节点延伸出二维平面以外。桁架最上方的杆一般称为上弦杆（top chord），多半只承受压迫力。最下方的杆一般称为下弦杆（bottom chord），多半只承受张力。桁架中间的杆一般称为梁腹（web），梁腹之间形成的空间称为桁格（panel）。

## 词源

桁架的英文truss源自约1200年时的古法文trousse，意思是“许多连结在一起东西的集合”。truss一词还常常用来描述由许多元件组合的物体，例如曲木框架及屋顶的椽架，不过也常用来表达以下工程上的定义“桁架是由许多个别结构件组成的单一平面框架，结构件的末端互相连接，形成许多三角形，可以延伸很长的距离。”。

## 桁架的特点

桁架一般（但并非一定）会包括直杆结构件，彼此以接点相连，这些接点也称为panel points。桁架一般（但并非一定）会由三角形组成，因为三角形有其结构上的稳定性。三角形是最简单只要各边长度确定，其形状就不会改变的几何图形。相较起来，四边形的各边及各角都要确定才会确定其形状。

### 简易桁架

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三角形就是最简单的桁架，这类的桁架常出现在屋顶，由二根斜向的椽架及水平的托梁组成一个单元，像在自行车及飞机上也可以看到类似的架构。这类的桁架有形状的稳定性，且已有方法可以分析其各部分的受力，因此由三角形组成的桁架称为简易桁架。像传统由二个相邻三角形组成的钻石型自行车车架，就是简易桁架的例子。

### 平面桁架

平面桁架位在同一平面上，一般会用数个平面桁架平行排列，组成屋顶及桥梁。

平面桁架的深度，也就是平面桁架上方及下方的上弦杆及下弦杆之间的距离，是桁架之所以成为经济耐用的结构的原因。实心的梁或是梁不论是重量或是成本，都比相同强度的桁架要贵。跨度相同时，若桁架的深度越深，其上弦杆及下弦杆所需的材料越少，但垂直杆及对角线杆需要的材料会增加。因此若深度最佳化，桁架的成本也可以节省。

### 立体桁架

空间桁架是三维的框架，各杆的末端以旋转接点相接。四面体的外形是最简单的桁架，由六根杆组成，有四个接点。大型的平面结构也可以用四面体组成，在大型的独立输电杆塔中也有用到立体桁架。

## 桁架种类

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有二种基本的桁架：

- 坡顶桁架（pitched truss）或是一般桁架（common truss）特点是其三角形的外形，有些一般桁架会依其腹杆组态（web configuration）有不同的名称。其弦杆大小及腹杆组态会依其跨距、负载及其空间而不同。
- 平行弦桁架（parallel chord truss）或扁桁架（flat truss）其特点是其平行的上弦杆及下弦杆，会用在楼板结构中。

若桁架结合二者的特色，称为截断桁架，用在庑殿顶（屋顶二侧倾斜，但最上方平坦）的建筑。金属板连接的木桁架是指屋顶或楼板的桁架，其中木头部分和金属桁架连接板相连。

### 普拉特桁架

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普拉特桁架（Pratt truss）是由二位波士顿铁路工程师在1844年申请专利，他们是Caleb Pratt及他的儿子Thomas Willis Pratt。其设计用垂直杆件来承受压缩力，水平垂直杆件来承受张力，现今这仍是常用的桁架型式，只是原有的木头换成铁，最后再换成钢。普拉特桁架持续受欢迎的原因也许也因为较长的对角杆件只承受因为重力效应产生的张力，因为对角细长杆件若承受压力下，比较容易会挫曲，这在设计上也不易控制。因为若针对固定深度的平面桁架，承受静态、垂直的荷重，普拉特桁架也许是最有效的桁架。

亚利桑那州坦佩的南太平洋铁路桥全长393米，是1912年兴建的长桁架桥，由九段长度不同的普拉特桁架组成，此桥现今还在使用。

莱特飞行器的机翼结构也使用普拉特桁架，其受压杆件的最小化可以降低风阻。

### 弓弦桁架

弓弦桁架（Bowstring truss）因其外型得名，最早用在有拱的桁架桥，常和系拱桥混淆。弓弦桁架桥的桥拱和桥面是以杆件相连，而系拱桥是用绳索或钢索连接桥拱和桥面。

在二次大战时时兴建了上千座弓弦桁架，目的是为了飞机库或是其他军用建筑的曲线。连结上弦杆和下弦杆之间的杆有许多不同的变化，从接近等腰三角形到类似普拉特桁架的变体。

### 单柱桁架

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单柱桁架（king post truss）是桁架中最简单的一种，有一个垂直的柱子支撑，两侧则有斜的杆件。

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双柱桁架（queen post truss）类似单柱桁架，但中间是二根垂直柱子，之间用梁连接，以提供其结构稳定性，这类桁架只适用在跨距较短的应用中。

### 透镜桁架桥

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透镜桁架桥（Lenticular trusses）是由威廉·道格拉斯在1878年申请专利，不过1823年的Gaunless桥是第一座透镜桁架桥，其上弦板及下弦板都是拱形的，因此整体像透镜一样。

### 格构桁架

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美国建筑师 Ithiel Town设计了格构桁架，取代用粗重木头作的桥，他的设计在1820年及1835年申请专利，利用易于处理的木板，对角线的固定在上弦板及下弦板之间。

## 桁架的静力学

若桁架是用杆件构成，杆件以间的末端以旋转接点相连，而且只有二个支撑点，结构是铰接或是滚筒，此桁架是静定的。用牛顿运动定律可以应用在整个桁架上，也可以用在每一个接点或是组件。为了让每一个接点在受外力下仍可以维持静止，需满足以下的条件：接点所有的合力（水平方向及垂直方向）以及所有的转矩都要为零。利用每一个接点满足上述条件，可以得到组件的压迫力（或张力）的大小。

若桁架的支撑点不只二个，此桁架是静不定，无法只用牛顿运动定律来判断杆件的受力。

桁架若是由旋转接点相连的组件构成，桁架本身不一定要全部由三角形组成。在数学上，简单桁架力学平衡的必要条件如下：

$$m \ge 2j - r \qquad \qquad \mathrm{(a)}$$

其中

m为桁架杆件个数

j为接点个数

r为支撑点反力的数量（在二维结构下多半是3）。

若 $m=2j - 3$，桁架称为静定，因为只要知道桁架外形及外加的荷重，2j个力学平衡方程式可以完全决定(m+3)个杆件的内力及支撑点反力。若针对某固定数量的接点，这是最少的杆件数，若移除任何一个杆件（或是杆件断裂）。整个桁架就会倒塌。上述的条件(a)是必要条件，但不是稳定的充份条件，还要视桁架的几何结构、支撑点条件以及元件的乘载能力而定。

若结构架设时，其杆件的数量比上述的最小数量还要多，若特定杆件移除或断裂，结构可能还不会倒塌。其杆件受力的计算除了上述的力学平衡外，还要考虑杆件之间的相对刚度。

## 桁架的分析

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因为桁架上两桁架梁上的力基本上是在一平面上，桁架一般会用二维的方式建模，不过若有超过平面的力，就会以三维的方式建模。

桁架的分析一般会假设力只施加在节点上，不施加在杆件的中间。杆件的重量远比荷重轻很多，因此可以忽略。若有需要考虑杆件的重量，可以在让其二个端点各分担一半的重量。若杆件均为细长形的外形，在节点上传递的转矩可以忽略，可以将接点视为铰链接点，桁架上各杆件的受力即为纯压迫力或是纯拉伸力。剪应力、弯矩或是其他较复杂的应力在实务上都接近零。因此桁架的分析会比较简单，而且桁架在物理上会比用其他方式布置的结构要坚固，因为几乎所有材料可以承受的纯压迫力或是纯拉伸力都远大于可承受的剪力、弯矩、扭转或是其他的施力。

任一种桁架的结构分析都可以用矩阵法求解，像是直接刚度法、挠度法及有限元素法。

### 杆件的受力

杆件的受力也可以用以下的绘图方式求解：

- 克雷莫图
- 库尔曼图（Culmann diagram）
- 解析利特法（断面法）

### 杆件的设计

桁架可以视为是一个梁，只是其中不是一块连续的平面，而是由许多结构件组成。在桁架最上方的杆件（上弦板）及最下方的杆件（下弦板）会承受压迫力及张力，就像工字梁的凸缘一样。弦板所承受的是压迫力还是张力视整体弯矩的方向而定。

桁架中对角及垂直的杆件会形成梁腹，会承受剪力。个别来看，梁腹也会承受压迫力及张力，实际情形视桁架的种类以及整体弯矩的方向而定。

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除了乘载静力外，这些杆件也有额外的功用，杆件可以稳定结构，避免细长件受压时常见的挫曲情形。

桁架的内含物主要是根据经济考量的的工程决定，会根据原物料的成本、异地制造、材料运输、现场安装、可机械加工程度以及劳工成本进行整体考量。有时结构的外观相当重要，甚至会超过经济层面的考量。像预力混凝土及自动焊接等加工方式，大幅的影响了现代桥梁的设计。

若杆件受力已经确定，下一步是确定各杆件的截面，若是受张力的杆件，其截面积A可以用以下公式求得A = F × γ / σy，其中F为杆件受力，γ为安全系数（一般而言是1.5，但依建筑规范而不同），σy 为 材料的屈服强度。若是受压缩力的杆件，需额外考虑如何避免挫曲。

杆件的重量直接和其截面积有关，其重量某程度也会影响其他杆件，若一杆件变粗，其下方的杆件可能也要变粗。因此会利用迭代计算的方式，经过几次计算来找到所有杆件的粗细。若之前的计算已完成，但将杆件变细，若不作迭代计算，只会让其他杆件的安全系数变的比较高（也比较不经济），无其他影响。

大型的桁架（如桥梁）本身的重量多半会远小于需乘载的荷重。

### 节点的设计

在决定了元件的截面后，桁架设计的最后一步是处理螺栓节点的细部设计，包括螺栓节点上的剪力及剪应力。依专案的不同，桁架的内部节点可以设定为全固定、半固定或是铰链型。全固定节点会传递扭矩给杆件，也会产生杆件的二次扭矩。

## 图集

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- 奥克兰海湾大桥下方的支持结构

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- 由奥克兰海湾大桥西边看到的景像

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- 香港中银大厦外部有明显可见的桁架结构

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- 香港汇丰总行大厦外部有明显可见的桁架结构

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- 香港知专设计学院明显采用桁架结构建筑技术

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- 法国克吕尼隐修院配楼的屋架

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- 木材屋架中的一部分

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- 输电杆塔

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