位力定理

位力定理（Virial theorem，又称维里定理、均功定理）是力学中描述稳定的多自由度孤立体系的总动能和总势能时间平均之间的数学关系。考虑一个有N个质点的体系，其数学表达式为：

$$\langle T \rangle = - \frac 1 2 \sum_{k=1}^N \langle \boldsymbol F_k \cdot \boldsymbol r_k \rangle$$

其中：角括号表示对时间取平均，$T$是系统内部的总动能，$\boldsymbol F_k$是第k个质点所受的力，$\boldsymbol r_k$是第k个质点的位置向量；等式右边称作均位力积（virial，简称位力），反映体系内相互作用强度。英语virial一词由德国物理学家鲁道夫·克劳修斯于1870年根据拉丁语单词vīs（意为力、能量）命名。

特别地，若系统内任何粒子两两之间的力来自与粒子间距离$r$的$n$次幂成正比的势能$V(r) = \alpha r^n$（其中$\alpha ,n$为常数），则定理简化为：

$$2 \langle T \rangle = n \langle V_\text{Total} \rangle$$

即：体系的总动能2倍等于总势能的n倍。对于引力势能，这里的$n = -1$。

位力定理的一个意义在于，它允许计算平均总动能，即便是对于那些无法精确解的非常复杂的系统，例如在统计力学中考虑的那些；根据能量均分定理，该平均总动能与系统温度有关。然而，维里定理不依赖于温度的概念，甚至适用于不处于热平衡的系统。维里定理已以各种方式推广，特别是张量形式。

## 命题推导

### 简单例子

考虑1=N = 2个质量相同的质点构成的孤立体系，它们受万有引力相互作用。假设两个质点分别以v1(t)和1=v2(t) = −v1(t)的速度（大小均为v，方向相反）围绕共同质心做匀速圆周运动，半径为r，两者分别受到作用力F1(t)和1=F2(t) = −F1(t)（大小均为F，方向相反）。则体系的时间平均縂动能为：

$$\langle T \rangle = \sum_{k=1}^N \frac12 m_k \left|\mathbf{v}_k \right|^2 = \frac12 m|\mathbf{v}_1|^2 + \frac12 m|\mathbf{v}_2|^2 = mv^2$$

以共同质心为原点，两者的位置向量分别为r1(t)及1=r2(t) = −r1(t)（大小均为常数r）。引力方向朝向原点，与位置向量方向相反，故。又，向心力大小等于万有引力大小：1=F = mv2/r。代入得：

$$-\frac12 \sum_{k=1}^N \bigl\langle \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{r}_k \bigr\rangle = -\frac12(-Fr - Fr) = Fr = \frac{mv^2}{r} \cdot r = mv^2 = \langle T \rangle$$

### 一般推导

预先知识

对于 Virial theorem 的推导, 将需要用到齐次函数的如下性质,

既当 $f(\vec{x})$ 为 $k$ 次 齐次函数时, 有:

$$\frac{d f(\alpha \vec{x})}{d(\alpha \vec{x})} \cdot \vec{x} = \frac{\partial}{\partial{\alpha}}[f(\alpha \vec{x})] = \frac{\partial[\alpha^k f(\vec{x})]}{\partial \alpha} = k \alpha^{k-1} f(\vec{x})$$

对于$a=1$时有:

$$\vec{x} \vec{ \nabla}f(\vec{x} )= k f(\vec{x})$$

具体推导

注意到动能$T$是一个关于速度$\vec{v}$的2次齐次函数:

$\vec{v}\cdot \frac{\partial T}{\partial \vec{v}} = 2T$ , 同时有 $\frac{\partial{T}}{\partial\vec{v}} = \vec{p}$, 从而得到

$$\ 2 T = \vec{v} \cdot \vec{p} = \frac{d}{d t}(\vec{p} \cdot \vec{x}) - \dot{\vec{p}} \cdot \vec{x}$$

计算上式对于时间$\Delta t$的平均:

$$<2T>_{\Delta t} = \frac{1}{\Delta t} \int_{0}^{\Delta t}(...)\text{( 等 式 右 邊 )}\ dt$$

我们关注$\Delta t \rightarrow \infty$ 的情况, 假设系统的运动是有限的 ($(\vec{p} \cdot \vec{x})$不会有$\infty$出现的情况), 此时等式右边的前半部分将趋近于$0$:

$$lim_{\Delta t \rightarrow \infty} \frac{1}{\Delta t} \int_{0}^{\Delta t}\frac{d}{dt}(\vec{p} \cdot \vec{x})dt = lim_{\Delta t \rightarrow \infty} \frac{(\vec{p}\cdot \vec{x})|_{(\Delta t)} - (\vec{p} \cdot \vec{x})|_{(0)}}{\Delta t} \rightarrow 0$$

我们得到:

$$2<T>_{t} = -<\dot{\vec{p}} \cdot \vec{x}>_t$$

$\dot{\vec{p}}$可以通过系统的势能 $V(\vec{x})$ 写出: $\dot{\vec{p}} = - \vec{\nabla}V(\vec{x})$; 另外我们最终假设势能 $V(\vec{x})$ 为,$k$次齐次函数, 并利用预先知识中$a=1$时的等式 就能够得到位力定理:

$$2 <T>_t = -<\dot{\vec{p}}\cdot \vec{x}>_t = <\vec{x}\cdot \vec{\nabla}V(\vec{x})>_t = k<V(\vec{x})>_t$$

## 各学科中的应用

### 天体物理学

#### 太阳模型

$$\frac{dP}{dr} = -\frac{Gm(r)\rho(r)}{r^2} \Rightarrow dP=-\frac{Gm(r)\rho(r)}{r^{2}}dr.$$

考虑恒星的位力定理在天体物理学中的应用。如果将恒星的物质视为流体，则可以使用流体静力平衡条件来考虑恒星。这个假设条件允许将恒星的引力与其内部的压力建立关系，从而将引力势能与内能联系起来，即位力定理。基于引力势能 $\Omega \propto r^{-1}$，我们期待内能与势能之间的关系为 $E_{\text{int}} = -\frac{1}{2}\Omega$。

下面是更详细的推导过程：将恒星视为正球体来简化推导过程。气压 $P$ 是半径 $r$ 的函数：

$$\frac{dP}{dr} = -\frac{Gm(r)\rho(r)}{r^2} \Rightarrow dP=-\frac{Gm(r)\rho(r)}{r^{2}}dr.$$

对于理想气体，内能 $E_{\text{int}}$ 为：

$$E_{\text{int}} = \frac{3}{2}Nk_{B}T = \frac{3}{2}\frac{M}{m_g}k_{B}T,$$

其中 $m_g$ 是粒子的平均质量，$M$ 是恒星的质量，$k_{B}$ 是玻尔兹曼常数，$T$ 是温度。

考虑恒星的静力平衡条件，同时乘以体积 $V=\frac{4\pi r^3}{3}$，并积分，得到：

$$\int_0^R Vdp = -\frac{1}{3}\int_0^R \frac{Gm(r)}{r}\rho(r)4\pi r^2 dr = -\frac{1}{3}\int_0^R \frac{Gm(r)}{r}dm(r).$$

右侧积分包含了恒星的重力势能 $\Omega = -\int_0^R \frac{Gm(r)}{r}dm(r)$，所以我们可以得到：

$$\int_0^R Vdp = \frac{1}{3}\Omega.$$

对左侧积分使用分部积分可得：

$$\int_0^R VdP = PV|_0^R - \int_0^R PdV = -\int_0^R PdV,$$

其中 $PV|_0^R = 0$，因为恒星最外层压强为0，最内侧体积为0。对于理想气体，$PV = Nk_{b}T$，将其与理想气体内能公式结合，得到单位体积内的内能：

$$U = \frac{E_{\text{int}}}{V} = \frac{3}{2}P \Rightarrow P = \frac{2}{3} U,$$

将其应用到上面的积分，得到：

$$-\int_0^R PdV = -\frac{2}{3} \int_0^R UdV = -\frac{2}{3}E_{\text{int}}.$$

将两侧积分结果相等，得到：

$$-\frac{2}{3}E_{\text{int}} = \frac{1}{3}\Omega \Rightarrow E_{\text{int}} = -\frac{1}{2} \Omega.$$

这就是恒星在流体静力平衡下的位力定理。

通过这个公式，可以推算太阳的平均温度 $\langle T_{\odot} \rangle$ 大约为 $10^6$ 开尔文，对应的内能大约为 $1 \text{ keV}$。太阳的表面温度仅在 $5774$ 开尔文左右，因此可以认为太阳的内部温度比表面高很多。由于电子的结合能仅为 $1 \text{ eV}$，而太阳的平均内能远大于这个数值，因此可以认为太阳是离子气体。

### 统计物理

在统计物理中，：

$$\mathbf{p}=\frac 2 V \left ( \frac 1 2 \left \langle \sum_{i=1}^N m_i \mathbf{v}_i \otimes \mathbf{v}_i \right \rangle + \frac 1 2 \left \langle \sum_{i<j} \boldsymbol r_{ij} \otimes \boldsymbol F_{ij} \right \rangle \right)$$

亦即体系压强为（与动能相关的）动理压强和（与相互作用相关的）内压强之和。上式中的第二项即为均位力积相关项。