二十四面体

在几何学中，二十四面体是指有24个面的多面体，在二十四面体当中没有任何一个形状是正多面体，换言之即正二十四面体并不存在，但仍有许多由正多边形组成的二十四面体，例如三侧锥正十二面体和五角锥球状屋顶，也有一些接近球状但并非由正多边形组成的二十四面体，其中对称性较高的是三角化八面体和鸢形二十四面体等卡塔兰立体、对称性较低的是部分詹森多面体的对偶多面体，例如双四角帐塔反角柱的对偶和异相双四角帐塔柱的对偶。此外要构成二十四面体至少要有14个顶点。

## 常见的二十四面体

常见的二十四面体中有一些柱体与锥体以及部分的詹森多面体和卡塔兰立体。

### 二十三角锥

二十三角锥是一种底面为二十三边形的锥体，为二十四面体的一种，具有24个面、46条边和24个顶点，其对偶多面体是自己本身。正二十三角锥是一种底面为正二十三边形的二十三角锥，在施莱夫利符号中可以用{}∨{23}来表示。底边长为$s$、高为$h$的正二十三角锥体积$V$和表面积$S$为：

$$V=\frac{23 h s^2 \cot{\frac{\pi}{23}}}{12}\approx 13.9448 h s^2$$

$$S=\frac{23s\left(\sqrt{4h^2+s^2\cot^{2}{\frac{\pi}{23}}}+s\cot{\frac{\pi}{23}}\right)}{4}\approx 5.75s\left(\sqrt{4h^2+52.9335s^2}+7.27554s\right)$$

### 二十二角柱

二十二角柱是一种底面为二十二边形的柱体，是二十四面体的一种，由24个面和66条边和44个顶点组成。正二十二角柱代表每个面都是正多边形的二十二角柱，其每个顶点都是2个正方形和1个二十二边形的公共顶点，顶点图以$4{.}4{.}22$表示。其在施莱夫利符号中可以用{22}×{}或t{2,22}来表示，在考克斯特-迪肯符号中可以用node_1来表示，在威佐夫符号中可以利用2 22 | 2来表示，在康威多面体表示法中可以利用P22来表示。底边长为$s$、高为$h$的正二十二角柱体积$V$和表面积$S$为：

$$V=\frac{11 h s^2 \cot{\frac{\pi}{22}}}{2}\approx 38.2533 h s^2$$

$$S=11s\left( 2h+s\cot{\frac{\pi}{22}}\right)\approx 11s\left(2h+6.95515s\right)$$

### 十一角反棱柱

<image>

十一角反棱柱是指底面为十一边形的反棱柱，由24个面、44条边和22个顶点组成。正十一角反棱柱代表每个面都是正多边形的十一角反棱柱，其每个顶点都是3个三角形和1个十一边形的公共顶点，顶点图以3.3.3.11表示。

### 十二方偏方面体

十二方偏方面体是一种以十二边形为底的偏方面体，由24个全等的鸢形组成，为十二角反角柱的对偶多面体，同时也是鸢形多面体，是偏方面体系列的第十个成员。所有十二方偏方面体都有24个面、48条边和26个顶点，其中，顶点有两种，分别为12个鸢形的公共顶点和3个鸢形的公共顶点。

十二方偏方面体是一个等面图形，即面可递多面体，其所有面都相等。更具体来说，其不仅所有面都全等，且面与面必须能在其对称性上传递，也就是说，面必须位于同一个对称性轨道内。这种凸多面体是能做成公正的骰子的形状。

十二方偏方面体在施莱夫利符号中可以用{ }⨁{12}来表示，在考克斯特符号中可以用或来表示，在康威多面体表示法中可以用dA12来表示。

### 詹森多面体

在二十四面体中，有2个是詹森多面体，它们分别为：五角锥球状屋顶和三侧锥正十二面体。

名称｜种类｜图像｜编号｜顶点｜边｜面｜面的种类｜对称性｜展开图

五角锥球状屋顶｜球状屋顶变体｜

<image>

｜J90｜16｜38｜24｜20个正三角形

<image>

4个正方形

<image>

｜D2d｜

<image>

三侧锥正十二面体｜侧锥正多面体｜

<image>

｜J61｜23｜45｜24｜15个正三角形

<image>

9个五边形

<image>

｜C3v｜

<image>

### 卡塔兰立体

在二十四面体中，有5种拓朴结构明显不同的卡塔兰立体，分别为三角化八面体、四角化六面体、鸢形二十四面体和五角化二十四面体，其中五角化二十四面体具有2个手性镜像，因此几何上只包含了四种不同的卡塔兰立体。

名称｜图像｜展开图｜对偶｜面｜边｜顶点｜顶点布局｜点群

三角化八面体｜

<image>

(动画)｜

<image>

｜截角立方体｜24｜36｜14｜等腰三角形V3.8.8｜Oh群

四角化六面体｜

<image>

(动画)｜

<image>

｜截角八面体｜24｜36｜14｜等腰三角形V4.6.6｜Oh群

鸢形二十四面体｜

<image>

(动画)｜

<image>

｜小斜方截半立方体｜24｜48｜26｜鸢形V3.4.4.4｜Oh群

五角二十四面体(有两种手性镜像)｜

<image>

(动画)

<image>

(动画)｜

<image>

｜扭棱立方体｜24｜60｜38｜不等边五边形V3.3.3.3.4｜O群

### 均匀星形多面体

部分的均匀星形多面体也具有24个面：

名称｜图像｜威佐夫符号｜顶点图｜对称性｜C#｜W#｜U#｜K#｜顶点｜边｜面｜欧拉｜密度_(多胞形)｜面种类

双三斜十二面体｜

<image>

｜3 | 5/3 5｜

<image>

(5/3.5)3｜Ih｜C53｜W080｜U41｜K46｜20｜60｜24｜-16｜4｜12{5}+12{5/2}

截半大十二面体｜

<image>

｜3 | 5/3 5｜

<image>

(5/3.5)3｜Ih｜C53｜W080｜U41｜K46｜20｜60｜24｜-16｜4｜12{5}+12{5/2}

截角大十二面体｜

<image>

｜2 5/2 | 5｜

<image>

10.10.5/2｜Ih｜C47｜W075｜U37｜K42｜60｜90｜24｜-6｜3｜12{5/2}+12{10}

小星形截角十二面体｜

<image>

｜2 5 | 5/3｜

<image>

10/3.10/3.5｜Ih｜C74｜W097｜U58｜K63｜60｜90｜24｜-6｜9｜12{5}+12{10/3}

### 二十四面体列表

名称｜种类｜图像｜符号｜顶点｜边｜面｜χ｜面的种类｜对称性｜展开图

二十二角柱｜棱柱体｜t{2,22}{22}x{}node_1｜44｜66｜24｜2｜2个Q303377922个矩形｜D22h, 22,2, (、22 2 2), order 88

二十三角锥｜棱锥体｜∨{23}｜24｜46｜24｜2｜1个二十三边形23个三角形｜C23v, 23, (、23 23)

二十二角锥台｜锥台｜44｜66｜24｜2｜2个二十二边形22个梯形｜D22h, 22,2, (、22 2 2), order 88

双十二角锥｜双锥体｜{ } + {12}node_f1｜14｜36｜24｜2｜12个三角形

<image>

｜D12h, 12,2, (、2 2 12), order 48

十二方偏方面体｜偏方面体｜

<image>

｜{ }⨁12｜26｜48｜24｜2｜24个鹞形｜D12d, 2+,12, (2、12)

十一角反棱柱｜反棱柱｜

<image>

｜s{2,22}sr{2,11}node_hnode_h｜22｜44｜24｜2｜2个十一边形22个三角形｜D11d, 2+,22, (2、11), order 44

十一角帐塔｜帐塔｜33｜55｜24｜2｜11个正三角形

<image>

11个正方形

<image>

1个正十一边形

<image>

1个正二十二边形

<image>

｜D11d, 2+,22, (2、11), 44阶

异相双四角帐塔柱的对偶伪鸢形二十四面体｜詹森多面体对偶｜

<image>

｜26｜48｜24｜2｜24个鸢形

<image>

｜D4d｜

<image>