周环

代数几何中，代数簇的周环（得名于周炜良）是簇作为拓扑空间的上同调环的替代品：子簇（所谓代数圈）构成了它的元素，而其乘法结构来自子簇的相交。事实上，两环间有一自然映射，它保持了二者都有的几何概念（例如陈类、相交配对以及庞加莱对偶）。周环的优势在于其几何定义不需使用非代数概念。并且，使用了纯拓扑情况下不可用的代数工具后，某些两环都有的构造在周环中更简单。

## 有理等价

定义周环前，我们需先定义“有理等价”。如名字所暗示，它是一个等价关系。假定X是一代数簇，Y、Z是其子簇，若存在一包含于积族P1×X中，且以P1参数化的平坦族，使得Y和Z是它的两个纤维，我们就称Y和Z有理等价。用古典语言来说，我们想要一个积族的子簇，Y和Z是其两纤维，且其所有纤维有相同的希尔伯特多项式。若我们将P1当作一条线，则此概念就是配边的代数模拟。

## 周环的定义

有理等价的定义隐含了有理等价的两子簇维数相同。为了构造周环，我们将采用余维数（X本身与子簇的维数差），这样乘积才运行良好。对满足$0 \leq k \leq \dim{X}$的整数k，我们定义群Ak(X)为余维数k的子簇的形式和，再模掉有理等价。

周环自身是它们的直和，即：

$$A^*(X) = \bigoplus_{k = 0}^{\dim{X}} A^k(X)$$

环的结构以簇的相交给出：如果两个等价类$[Y]$和$[Z]$分别在Ak(X)和Al(X)中，我们定义它们的积为

$$[Y] \cdot [Z] = [Y \cap Z]$$

此定义有一系列技术细节，我们将在下面讨论。可以肯定地说，在最好的情形（在有理等价下总成立），此交有余维数k + l，因而在Ak + l(X)中。这使得周环成为分次环。周环的元素常被称为“圈”

## 几何解释

周环的几何内涵混合了有理等价和相交积，这使得似乎形式的数字系数得以被解释为子簇的度。例如，射影空间Pn的周环是

$$A^*(\mathbb{P}^n) = \mathbb{Z}[\omega]/(\omega^{n + 1})$$

$\omega$是超平面（单个线性函数的零点轨迹）的有理等价类。更进一步，任何度为d而余维数为k的子簇都有理等价于$d \omega^k$。这意味着，如果有两个子簇有互补的维数（它们维数和为n）且度数分别为d、e，则它们的积就是

$$[Y] \cdot [Z] = de \; \omega^n$$

$\omega^n$是单点的等价类。至少在Y和Z横截相交时（参见此处），这说明它们恰有de个交点。这实则是贝祖定理。类似于此的观察被极大地推广，产生了计数几何。

## 函子性

圈的函子性，即定义在代数圈群Z*(X)层面上的平坦拉回和适当前推可扩展至周环，这给出群同态

$f^* \colon A^k(X') \to A^k(X) \,\!$和$f_* \colon A_k(X) \to A_k(X') \,\!$

事实上,$f^*$给出在整个周环上的环同态（遵从相交积，至少在集合论层面上这是显然的），但$f_*$不行（因为集合论层面上它就不行：我们并不总有$f_*$）。但是我们有所谓“投影公式”：对X的子簇Y和X′的子簇Y′。

$$f_*([Y] \cdot f^*([Y'])) = f_*([Y]) \cdot [Y']$$

## 上同调联系

周环非常像X上的整值上同调。事实上，有显然的映射

$$f \colon A^*(X) \to H^{2*}(X)\,\!$$

（以上记号代表在偶维数生成的上同调环）。它将每个有理等价类$[Y]$先送到由闭子簇Y决定的同调类，再送到它的庞加莱对偶（这解释了偶维数：复代数簇总有偶实维数，因此决定了偶维数的同调类）。可以证明，同一个有理等价类被送到同一个上同调类。更进一步，庞加莱对偶性的一部分说明同调类的相交积对应于上同调类的杯积，因此这映射是环同态。

有不少事实对周环和上同调环有完全相同的形式。例如推拉公式在同调和上同调中都成立。进一步，一基本结果声称，Pn的上同调环和以上给出的周环是一样的，乃至$\omega$的解释都一样（这说明，对射影空间，实际上上一段定义的映射$\omega$是同构）。但是对此结果，上同调证明技巧性颇高。相反，对周环我们给出一个相当简单的几何证明：

首先，设H为一超平面，从而同构于Pn − 1。任何另外的超平面J有理等价与它，因为若它们分别由线性形式L和M定义，我们可以把它们当成Pn中的点（通过其系数），由此可得它们间唯一的线。线上的点都是线性形式，从而定义了一族超平面，且由构造H和J皆在其中。$H \cap J$是H中的超平面，且由定义它的等价类为$\omega^2$。这样我们便有一族超平面，其中每个都嵌在前一个中，依次同构与对应的射影空间且等价于$\omega$的幂。

鉴于这些发现，我们考察任意余维数k度数d的子簇。如果k=0，那么Y必须等于Pn本身，因为射影空间不可约。如果k不是0，不妨假定H由令最后一个座标为0定义，且$P = [0 : \dots : 0 : 1]$不在Y中。对每个P1中不是$[0 : 1]$的点$t = [t_0 : t_1]$，定义映射

$$f_t \colon \mathbb{P}^n \setminus \{P\} \to \mathbb{P}^n \setminus \{P\}, f_t([a_0 : \dots : a_{n - 1}: a_n]) = [t_0 a_0 : \dots : t_0 a_{n - 1} : t_1 a_n]$$

Y在这些映射下的像形成了一个在P1除去一点上的簇族。我们在 P1 × Pn中取闭包来得到Y的有理等价（这是一个等价关系得自一个非平凡但标准的事实：取闭包对应于取“平坦极限”）。如此，无穷远点处的纤维就是Y到超平面H上的投影，因此有与Y相同的度和维数。因为H本身就是射影空间，我们可重复此过程直到Y维数过大不能继续。由此可得Y有理等价与$d \omega^k$，而且我们已经找到了积结构。

一个类似的证明建立此定理的推广，在上同调中以勒雷-赫希定理闻名。它用对应纤维丛的陈类和底空间的周环计算了射影空间丛的周环。上同调的证明则要用到谱序列。

某些事实在周环中不成立，但在上同调环中成立。尤其是Künneth公式不成立，尽管勒雷-赫希定理对射影空间的积重建了它。进一步，尽管周环在簇上有逆变函子性，但在代数拓扑的意义下它构不成上同调理论，因为没有“相对周群”的概念。确，在代数簇中，没有边界的概念，因此正面考虑替代品是无望的。

## 构造的细节

上面所给Ak(X)的构造需要一些关于“模掉有理等价”的说明。相关的技术细节是，就像在计算射影空间周环时一样，有时两个并非簇对应的圈有理等价，尽管有理等价似乎仅仅与集合结构有关。解法是由概形理论而来，即一个由理想层定义的子簇可以被认为有重数d如果我们代理想$I$以$I^d$。这样有理等价的古典陈述便不够了，且我们必须密切关注平坦族的细节。最后，等价类的形式和，例如aY + bZ，应该被认为是“有度的簇”aY和bZ的不交并，一旦建立了这些约定，我们就可借有理等价为圈的自由阿贝尔群上的等价关系来得到周环。

相交积的定义有点更加复杂。主要问题是在相交中保持正确的维数。如果Y和Z是两个余维数为k和l的子簇，它们的交并非总有余维数k+l。就如平凡的例子，两簇可能完全相同。为了克服此难处，我们可以证明“移动引理”。它断定在任何两个有理等价类中，我们总可以找到一般横截的两代表元，此时它们的交表现良好。子簇的横截性定义类似于流形的：先定义子簇的扎利斯基切空间，它们自然是X的切空间的子空间。如果这些子空间张成X的切空间，那么此交是横截的。如果横截性在它的一个稠密子集上成立，那么它是一般横截的。

某种意义上，对于可对上同调环证明的事实，声称周环可给出更简单的证明有些狡猾。特别是概形论的构造、平坦族和平坦极限，以及移动引理都解决了大量隐藏于周环下的技术困难。但是，这些技术细节大都是理论的基础，一旦它们被建立，几何上的优势就很明显了。

## 发展

周群被拓展至高阶周群，这平行于从K0 (零阶代数K-理论)到高阶代数K-理论的拓展。

算术周群是Q上代数簇的周群与记录阿基洛夫理论信息——即有关复流形结构的信息——部分的混合。

## 历史

有理等价和环A*在20世纪初由意大利代数几何学派定义，且被Severi和他的学派使用(可参考Severi的论文，他本质上研究了代数曲面S的群A0(S)；也可参阅芒福德论文开头的评论）。

Serge在他1930年的论文中用了对奇异曲线的环A0更精细的研究来描述P2中代数曲面的支线。在1956年周炜良写了一篇重要的论文后，环A*被称作周环。有些几何学家坚持是格罗滕迪克提出将此环命名为周环。