基尔霍夫积分定理

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基尔霍夫积分定理（Kirchhoff integral theorem）表明，假设点P在闭合曲面$\mathbb{S}$之外，只考虑单色波，则位于点P的波扰$\psi(\mathbf{r})$，可以以位于闭合曲面$\mathbb{S}$的所有波扰与其梯度表达为

$\psi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\oint_\mathbb{S} \left[\psi(\mathbf{r}')\nabla'\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right) -\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)\nabla'\psi(\mathbf{r}')\right] \cdot\,\mathrm{d}\mathbf{S}'$。

或者

$\psi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\oint_\mathbb{S} \left[\psi(\mathbf{r}')\frac{\partial}{\partial n'}\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right) -\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)\frac{\partial \psi(\mathbf{r}')}{\partial n'}\right] \,\mathrm{d}S'$。

其中，$\mathbf{R}=\mathbf{r}- \mathbf{r}'$是从闭合曲面$\mathbb{S}$的任意位置$\mathbf{r}'$到点P位置$\mathbf{r}$的位移向量，$R$是其数值大小，$k$是波数，$\nabla'$是对于源位置$\mathbf{r}'$的梯度，$\mathrm{d}\mathbf{S}'$是从闭合曲面$\mathbb{S}$向内指入的微小面元素向量，$\frac{\partial}{\partial n'}$是对于闭合曲面$\mathbb{S}$的法向导数。

基尔霍夫积分定理是因德国物理学者古斯塔夫·基尔霍夫而命名。这定理广泛地应用于光学领域。对于很多案例，这定理的方程式可以近似成一种更简单的形式，称为基尔霍夫衍射公式。惠更斯－菲涅耳原理的倾斜因子专门依方向的不同而调整由点波源所产生的次波朝着不同方向传播的波幅。从基尔霍夫衍射公式，可以推导出倾斜因子的确切形式。

## 导引

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根据格林第二恒等式，假若在体积$\mathbb{V}$内，函数$\phi$和$\psi$都是二次连续可微，则

$\int_\mathbb{V} \left( \psi \nabla^2 \phi - \phi \nabla^2 \psi\right)\, \mathrm{d}^3\mathbf{r} = \oint_{\mathbb{S}} \left( \psi \nabla\phi - \phi\nabla\psi\right)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}$。

其中，闭合曲面$\mathbb{S}$是体积$\mathbb{V}$的表面，$\mathrm{d}\mathbf{S}$是从闭合曲面$\mathbb{S}$向外指出的微小面元素向量。

这方程式的左手边是积分于体积$\mathbb{V}$，右手边是积分于这体积的闭合曲面$\mathbb{S}$。

设定函数$\psi(\mathbf{r})$满足单色波的亥姆霍兹波动方程式：

$(\nabla^2 +k^2)\psi(\mathbf{r})=0$。

设定$\phi(\mathbf{r},\mathbf{r}')$为一种格林函数，是可以描述传播于自由空间、满足数值在无穷远为零的边界条件的圆球面出射波：

$\phi(\mathbf{r},\mathbf{r}')=\frac{e^{ikR}}{4\pi R}$。

其中，$R=|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|$。

这函数$\phi(\mathbf{r},\mathbf{r}')$满足关系式

$(\nabla^2 +k^2)\phi(\mathbf{r},\mathbf{r}')=-\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')$。

其中，$\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')$是三维狄拉克δ函数。

将$\phi(\mathbf{r},\mathbf{r}')$、$\psi(\mathbf{r})$的满足式代入，则格林第二恒等式变为

$-\int_\mathbb{V} \psi(\mathbf{r}) \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\, \mathrm{d}^3\mathbf{r} =\frac{1}{4\pi} \oint_{\mathbb{S}} \left[ \psi(\mathbf{r}) \nabla\left(\frac{e^{ikR}}{R}\right) - \left(\frac{e^{ikR}}{R}\right)\nabla\psi(\mathbf{r})\right]\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}$。

为了标记原因，对换无单撇号与有单撇号的变量。这样，$\mathbf{r}$标记检验位置，$\mathbf{r}'$标记源位置：

$-\int_\mathbb{V} \psi(\mathbf{r}') \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\, \mathrm{d}^3\mathbf{r}' =\frac{1}{4\pi} \oint_{\mathbb{S}} \left[ \psi(\mathbf{r}') \nabla'\left(\frac{e^{ikR}}{R}\right) - \left(\frac{e^{ikR}}{R}\right)\nabla'\psi(\mathbf{r}')\right]\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}'$。

假若波扰$\mathbf{r}$的位置在体积$\mathbb{V}$内，即点P被包围在闭合曲面$\mathbb{S}$内，则$\psi(\mathbf{r})$写为

$\psi(\mathbf{r})=-\ \frac{1}{4\pi} \oint_{\mathbb{S}} \left[ \psi(\mathbf{r}') \nabla'\left(\frac{e^{ikR}}{R}\right) - \left(\frac{e^{ikR}}{R}\right)\nabla'\psi(\mathbf{r}')\right]\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}'$。

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上述公式应用于点P被包围在闭合曲面内的物理案例，即从位于闭合曲面的次波源所发射出的次波，在闭合曲面内的点P所产生的波扰。大多数衍射案例计算，从延伸尺寸波源发射出的波，其波前所形成的闭合曲面，在闭合曲面的所有次波源，所发射出的次波，在闭合曲面外的点P所产生的波扰；对于这些案例，点P在闭合曲面之外，延伸波源在闭合曲面之内。这公式也可以推导为点P在闭合曲面外，波源在闭合曲面之内的物理案例。如右图所示，假设闭合曲面$\mathbb{S}$是由闭合曲面$\mathbb{S}_1$与闭合曲面$\mathbb{S}_2$共同组成，曲面$\mathbb{S}_1$被包围在曲面$\mathbb{S}_2$的内部。点P处于曲面$\mathbb{S}_2$之内，曲面$\mathbb{S}_1$之外。

让曲面$\mathbb{S}_2$的半径趋于无穷大，则对于曲面$\mathbb{S}_2$的任意点Q，$R\to r'$、$\hat{\mathbf{R}}\to -\hat{\mathbf{r}'}$，被积函数趋向于零，快过$r'$平方反比的趋向于零，满足“索莫菲辐射条件”（Sommerfeld radiation condition），因此在曲面$\mathbb{S}_2$的总贡献为零。所以，在点P的波扰为

$\psi(\mathbf{r})=-\ \frac{1}{4\pi} \oint_{\mathbb{S}_1} \left[ \psi(\mathbf{r}') \nabla'\left(\frac{e^{ikR}}{R}\right) - \left(\frac{e^{ikR}}{R}\right)\nabla'\psi(\mathbf{r}')\right]\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}'$。

注意到微小面元素向量$\mathrm{d}\mathbf{S}'$的方向是从曲面$\mathbb{S}_1$向内指入。现在，将微小面元素向量$\mathrm{d}\mathbf{S}'$的方向改为与原本方向相反：$\mathrm{d}\mathbf{S}'\to-\mathrm{d}\mathbf{S}'$，即从闭合曲面$\mathbb{S}_1$向外指出，则可得到基尔霍夫积分定理的表达式：

$\psi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi} \oint_{\mathbb{S}_1} \left[ \psi(\mathbf{r}') \nabla'\left(\frac{e^{ikR}}{R}\right) - \left(\frac{e^{ikR}}{R}\right)\nabla'\psi(\mathbf{r}')\right]\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}'$。

假设$\hat{\boldsymbol{\eta}}$是与$\mathrm{d}\mathbf{S}'$同方向的单位向量，是垂直于闭合曲面$\mathbb{S}_1$的法向量。那么，法向导数与梯度的关系为

$\frac{\partial}{\partial n'}= \hat{\boldsymbol{\eta}}\cdot\nabla'$。

所以，基尔霍夫积分定理的另一种表达式为

$\psi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\oint_{\mathbb{S}_1} \left[\psi(\mathbf{r}')\frac{\partial}{\partial n'}\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right) -\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)\frac{\partial \psi(\mathbf{r}')}{\partial n'}\right] \,\mathrm{d}S'$。

总结，只考虑单色波，位于点P的波扰$\psi(\mathbf{r})$，可以以位于闭合曲面$\mathbb{S}_1$的所有波扰$\psi(\mathbf{r}')$与其梯度$\nabla'\psi(\mathbf{r}')$来表达。

## 非单色波

对于非单色波，必须使用更广义的形式。以傅立叶积分来表达非单色波的分解：

$\Psi(\mathbf{r},t)= \frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \psi_ \omega(\mathbf{r}) e^{-i \omega t}\mathrm{d} \omega$。

其中，$\omega=kc$是角速度，$c$是光速。

根据傅立叶反演公式（Fourier inversion formula）：

$\psi_\omega(\mathbf{r})= \frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \Psi(\mathbf{r},t) e^{i \omega t}\mathrm{d}t$。

对于每一个傅立叶分量$\psi_\omega$，应用基尔霍夫积分定理，可以得到

$\psi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\oint_\mathbb{S} \left[\psi_\omega(\mathbf{r}')\frac{\partial}{\partial n'}\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right) -\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)\frac{\partial \psi_\omega(\mathbf{r}')}{\partial n'}\right] \,\mathrm{d}S'$。

将这公式代入$\Psi(\mathbf{r},t)$的傅立叶积分公式：

$\Psi(\mathbf{r},t)= \frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d} \omega\ e^{-i \omega t}\left\{ \frac{1}{4\pi}\oint_\mathbb{S}\mathrm{d}S' \left[\psi_\omega(\mathbf{r}')\frac{\partial}{\partial n'}\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right) -\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)\frac{\partial \psi_\omega(\mathbf{r}')}{\partial n'}\right]\right\}$。

设定$k=\omega/c$，注意到推迟时间$t_r=t-R/c$出现在相位因子里，必须将光波传播的时间纳入计算。更换积分次序，公式变为

$$\begin{align}\Psi(\mathbf{r},t) & = \frac{1}{4\pi}\oint_\mathbb{S}\mathrm{d}S' \left\{ <pre> \frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d} \omega </pre> \left[\psi_\omega(\mathbf{r}')\frac{\partial}{\partial n'}\left(\frac{e^{-i\omega t_r}}{R} \right) -\left( \frac{e^{-i\omega t_r}}{R} \right)\frac{\partial \psi_\omega(\mathbf{r}')}{\partial n'}\right]\right\} \\ <pre> & =\frac{1}{4\pi}\oint_\mathbb{S}\mathrm{d}S' </pre> \left\{ \frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d} \omega \left[\psi_\omega(\mathbf{r}')\frac{\partial}{\partial n'}\left(\frac{1}{R} \right) +\psi_\omega(\mathbf{r}')\left(\frac{i\omega}{Rc} \right)\frac{\partial R}{\partial n'} -\left(\frac{1}{R}\right)\frac{\partial \psi_\omega(\mathbf{r}')}{\partial n'}\right] e^{-i\omega t_r} \right\} \\ \end{align}$$

在时间$t$，位于点P的波扰$\Psi(\mathbf{r},t)$，可以以位于闭合曲面$\mathbb{S}$的所有波扰在其推迟时间$t_r$的数值$\Psi(\mathbf{r}',t_r)$与其法向导数$\partial \Psi(\mathbf{r}',t_r)/\partial n'$来表达：

$\Psi(\mathbf{r},t)= \frac{1}{4\pi}\oint_\mathbb{S}\mathrm{d}S' \left\{ \Psi(\mathbf{r}',t_r)\frac{\partial}{\partial n'}\left(\frac{1}{R} \right) +\Psi(\mathbf{r}',t_r)\left(\frac{i\omega}{Rc} \right)\frac{\partial R}{\partial n'} -\left(\frac{1}{R}\right)\frac{\partial \Psi(\mathbf{r}',t_r)}{\partial n'} \right\}$。

这就是推广后的基尔霍夫积分定理。

## 纯量理论

光波是传播于空间的电磁辐射，理当被视为一种电磁场向量现象。但是，基尔霍夫的理论是纯量理论，将光波当作纯量处理，这可能会造成偏差。因此，物理学者做了很多实验来检查结果是否准确。他们发现，只要孔径尺寸比波长大很多、孔径与观察屏之间的距离不很近，则使用纯量理论可以得到相当准确的答案。但是对于某些问题，例如高分辨率光栅衍射，纯量理论就不适用，必须使用向量理论。

## 参阅

- 衍射
- 帕松光斑
- 推迟势
- 黎纳-维谢势