质光关系

质光关系是天文物理中显示恒星光度与质量之间关系的方程式。以公式表示的关系是：

$$\frac{L}{L_{\odot}} = \left(\frac{M}{M_{\odot}}\right)^a$$

此处的L⊙和M⊙是太阳的光度和质量，并且1 < a < 6。在主序带上的恒星，通常 a = 3.5。这个方程式使用a = 3.5 的值只适用于主序带上质量在2M⊙ < M < 20M⊙，并且不适用于红巨星和白矮星。

总之，不同质量范围的恒星使用下面的关系式会得到更好的近似值：

$$\frac{L}{L_{\odot}} \approx .23\left(\frac{M}{M_{\odot}}\right)^{2.3} \qquad (M < .43M_{\odot})$$

$$\frac{L}{L_{\odot}} = \left(\frac{M}{M_{\odot}}\right)^4 \qquad\qquad (.43M_{\odot} < M < 2M_{\odot})$$

$$\frac{L}{L_{\odot}} \approx 1.5\left(\frac{M}{M_{\odot}}\right)^{3.5} \qquad (2M_{\odot} < M < 20M_{\odot})$$

$$\frac{L}{L_{\odot}} \approx 3200 \frac{M}{M_{\odot}} \qquad \qquad (M > 20M_{\odot})$$

对质量低于 .43M⊙的恒星，对流是唯一的能量传输程序，这使得关系发生重大的改变。对质量M > 20M⊙的恒星，这关系变得平坦的L ∝ M。这可以显示这样的变化是因为大质量恒星辐射压力的增加。这些关系是凭借著观测距离经由标准的视差或其他方法正确测量出的联星所得到的经验方程式。在绘制出足够的恒星之后，恒星会呈现对数函数图，有着一定斜率的线对应于特定的a值。

质光关系是很重要的，因为它可以用来发现距离遥远而不能使用视差测量出的联星距离，这种技术称为" 动力视差 "。使用这种技术，可以估计出这一对联星以太阳质量表示出的总质量。然后，使用天体力学的开普勒定律，可以计算出这两颗恒星之间的距离。一旦得到这段距离，就可以经由在天空中所占扇形的弧度初步的估计出要测量的距离。从这种测量及恒星的视星等这两者，可以得到光度，然后利用质光关系就可以得到恒星个别的质量。用这个质量在计算分离的距离。重复这样的程序，经过多次的反复运算之后，可以取得物差少于5%的精确度。质光关系也可以用来测量恒星的寿命，这指出恒星的寿命正比于M/L。一个发现是质量越大的恒星寿命越短，但恒星的质量随着时间流逝，会使计算更为复杂。

## 推导

在理论上推导出更精确的质光关系，须要发现能量产生的方程式和建立恒星内部的热力学模型。但是，使用一些物理和简化的假设，可以推导出L ∝ M3的基本关系。天文物理学家亚瑟·爱丁顿在1924年完成第一次这样的推导。这次的推导表明恒星可以当成理想气体，这在当时是一种新的、激进的思想。接下来是非常类似爱丁顿的方法，使用了随机运动分析但并未考虑不透明度。

对第一个近似值，将恒星当成黑体的辐射体，它的表面面积是4πR2。因此，从史蒂芬-波兹曼定律我们发现光度 (每秒中辐射的能量) 是

$$L = 4\pi R^2\sigma T_E^4$$

此处的σ是 史蒂芬-波兹曼常数，其值为 5.67 × 10−8W m−2 K−4。

在流体静力平衡的条件下。

$$\frac{dP}{dr}=-\frac{Gm(r)\rho (r)}{r^2}$$

对两边同时积分，这个关系式从r = 0至r = R，一达到维里定理的一种型式：

$$\langle P \rangle = - \frac{1}{3}\frac{E_{GR}}{V}$$

球体质量的位能分布是$E_{GR} =- \frac{3}{5}\frac{GM^2}{R}$。这和体积取代之后给出：

$$\langle P \rangle \approx \frac{GM^2}{4\pi R^4}$$

简化之后，我们下一步使用理想气体定律 (PV = nkT) 解出温度。

$$\langle P \rangle = \frac{\langle \rho \rangle}{\bar m}kT$$

$kT = \frac{GM\bar m}{3R}$.

此处$\bar m$ 是恒星内部气体粒子的平均质量。现在，我们可以用此公式取代进入初始光度方程式，代换成

$R=\Big(\frac{3}{4}\frac{1}{\rho \pi}M\Big)^{\frac{1}{3}}$ to arrive at

$$L \varpropto M^{3.33}$$

考虑对上面的方程式基于平均压力提供平均温度，可已有稍微更精确的结果，但真正需要的是表面温度。因为恒星中心的温度远比表面为高，接下来，我们需要估际表面温度和内部温度之间的关系。由于能量须要很长的时间才能逃逸，因此中心的温度非常的高，换言之，热力学平衡会非常迅速的完成，而毫心的温度示趋近于一致的。我们可以使用随机运动分析来估计"衰减因子"，也就是能量逃逸所需要的时间。我们让$l$代表在太阳内部光子的平均自由程。在实务上，平均自由程取决于密度和温度，但此处将近似为常数。在N交互作用之后，N向量在随机方向上移动的结果。

$$\mathbf{D = l_1 + l_2 + \cdots + l_n}$$

净移动量的平方是：

$$D^2 = l_1^2 + l_2^2 + \cdots + l_n^2 + 2(\mathbf{l_1\cdot l_2 + l_1\cdot l_3 + \cdots)}$$

如果我们全面平均许多的随机方向变化，则因为是随机的，这些项目中包含的纯量积将会被删除。因此，对够大量的$N$。

$$D^2 = l_1^2 + l_2^2 + \cdots + l_n^2 = Nl^2$$

因此，要从太阳逃逸出，平均需要$\frac{R^2}{l^2}$部的步骤，时间是$t\approx\frac{R^2}{cl}$。与此相反，从中心直接逃逸出太阳的时间是$\frac{R}{c}$，这个因子$\frac{l}{R}$是很短的。

因此，将这个系数带入数史蒂芬-波兹曼定律，我们发现

$T_E\approx \Big[ \frac{l}{R}\Big]^{\frac{1}{4}}T_I$.

因此，综合上述的方程式，我们发现

$$L \approx 4\pi R^2\sigma T_I^4\frac{l}{R}\approx \frac{(4\pi)^2}{3^5}\frac{\sigma}{k^4}G^4\bar m^4 \langle \rho \rangle l M^3$$

但是平均自由程是反比于产品的横截面和数值密度，因此

$$l \varpropto \langle\rho\rangle^{-1}$$

此处得到

$$L \varpropto M^3$$

### 大质量恒星和低质量恒星的区别

一个可能区分大质量和低质量恒星的方法是使用上述结果衍生出来的辐射压力。在这种情况下，很容易使用光的不透明度$\kappa$和直接考虑内部的温度 TI；更确切的说，我们考虑辐射层的平均温度。

我们开始注意到辐射压力Prad和光度的关系。辐射压力的梯度等于从辐射吸收转换成的动能，给的是：

$$\frac{dP_{rad}}{dr} = -\frac {\kappa\rho}{c}\frac{L}{4\pi r^2}$$

此处的c是光速。注意$1/\kappa\rho = l$，光子的平均自由径。

辐射压力与温度的关系是$P_{rad} = \frac{4\sigma}{3c}{T_I}^4$，所以我们有

$${T_I}^3\frac{T_I}{dr} = -\frac {3\kappa\rho}{16\sigma}\frac{L}{4\pi r^2}$$

从此处可以直接导出

$$L \varpropto {T_I}^4 \frac {R}{\rho} \varpropto {T_I}^4 \frac {R^4}{M}$$

在辐射区重力平衡来自气体本身的压力 (近似于理想气体压力) 和来自辐射的压对质量足够小的恒星可以忽略后者，而得到

$$T_I \varpropto \frac {M}{R}$$

如同前面，更精确的，因此我们从0到R积分，在左边得到$T_I-T_E$，但是我们可能忽略了表面温度TE相对于内部的温度TI。

从这里可以直接得到

$$L \varpropto M^3$$

对质量够大的恒星，在辐射区的辐射压力大于气体的压力。填入辐射压力取代理想气体压力，使用上式我们得到：

$${T_I}^4\varpropto \frac{M^2}{R^4}$$

因此

$$L \varpropto M$$