格兰迪级数

格兰迪级数（Grandi's series），即$1-1+1-1+\cdots$，是由意大利数学家路易吉·圭多·格兰迪在1703年发表的。后来荷兰数学家丹尼尔·伯努利和瑞士数学家莱昂哈德·欧拉等人也都曾研究过它。格兰迪级数写作：

$$\sum_{n=0}^{\infin} (-1)^n$$

它是一个发散级数，也因此在一般情况下，这个无穷级数是没有和的。但若对该发散级数进行一些特别的求和处理时，就会有特定的和出现。格兰迪级数的欧拉和和切萨罗和均为$\,\frac{1}{2}$。

格兰迪级数与级数1 − 2 + 3 − 4 + …有紧密的联系。欧拉将这两个级数当作1 − 2n + 3n − 4n + …的特例（其中$n$为任意自然数），这个级数既直接扩展了他在巴塞尔问题上所做的工作，同时也引出了现在所知的狄利克雷η函数和黎曼ζ函数。

## 简介

针对以下的格兰迪级数

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …

一种求和方式是求它的裂项和：

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.

但若调整括弧的位置，会得到不同的结果：

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.

用不同的方式为格兰迪级数加上括弧进行求和，其级数和可以得到0或是1的值。

格兰迪级数为发散几何级数，若将收敛几何级数求和的方式用在格兰迪级数，可以得到第三个数值：

$S$ = 1 − 1 + 1 − 1 + …，因此

1 − $S$ = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 − 1 + 1 − 1 + … = $S$，即

2$S$ = 1。

可得到$S$ = $\tfrac{1}{2}$。

依照上述的计算，可以得到以下的二种结论：

- 格兰迪级数 1 − 1 + 1 − 1 + ... 的和不存在。
- 格兰迪级数的和为$\tfrac{1}{2}$。

上述二个答案都可以精确的证明，但需要用19世纪提出的一些良好定义的数学概念。从17世纪欧洲开始使用微积分起，一直到现在严谨的数学成型之前，上述二个答案已造成数学家们尖锐及无止尽的争论。

## 求和性

### 稳定性及线性

对于格兰迪级数$\,1-1+1-1+\cdots$，看似可以用以下的方式处理，得到数值$\;\tfrac{1}{2}$：

- 级数内的数两两相加或相减。
- 每一项乘以一个系数。
- 调整括弧顺序。
- 在级数前面增加新的项。

不过因为上述的处理方式只能适用在收敛的级数，而$\, 1-1+1-1+ \cdots \,$不是收敛级数，因此上述处理都不适用。

由于各项 1,−1,1,−1,1,−1,...... 以一种简单模式排列，格兰迪级数可以透过移项以及逐项求和，再透过解方程得出一数值。暂时假设$\, s=1-1+1-1+ \cdots \,$这样的写法有意义——其中的$\;s\;$为常数，那么以下的计算将说明$\;s=\frac{1}{2}$：

$$\begin{smallmatrix} 2s \ &=&\!&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots)&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots)\quad\, \\ <pre> \\ \ &=&\!&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots)&+\,1\,+&(\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,1\,\cdots)\quad\, </pre> \\ <pre> \\ \ &=&1\,\ +&[\,(\,\underbrace{1\,-\,1\,-\,1\,+\,1}_{0}\,)\quad &+\ \ \;\;\,&(\,\underbrace{-\,1\,+\,1\,+\,1\,-\,1}_{0}\,)\,+\,\cdots] </pre> \end{smallmatrix}$$

因此，$s=\tfrac{1}{2}$

$\, 1-1+1-1+ \cdots \,$。

再者，有许多的求和方式可以处理发散级数，并且可以对一些发散级数求和；其中相对简单的方法是切萨罗求和。

### 切萨罗和

恩纳斯托‧切萨罗在1890年第一个出版有关对发散级数求和的严谨方法，就是切萨罗和。基本概念类似莱布尼兹的几率法，一个级数的切萨罗和是其所有分项和的平均。也就是针对每个$\;n\;$，计算前$\;n\;$项的和$\; \sigma_n\;$的平均，当$\;n\;$趋近无限大时的极限值即为切萨罗和。

以格兰迪级数而言，而数列 $\tfrac{s_1+\cdots+s_n}{n}$的各项分别为

$\frac{1}{1}, \,\frac{1}{2}, \,\frac{2}{3}, \,\frac{2}{4}, \,\frac{3}{5}, \,\frac{3}{6}, \,\frac{4}{7}, \,\frac{4}{8}, \,\ldots$,

而

$$\lim_{n\to\infty} \frac{s_1 + \cdots + s_n}{n} =\frac{1}{2}$$

因此，格兰迪级数的切萨罗和为 $\tfrac{1}{2}$。

也可以用广义的切萨罗和$\;\left(C,a\right)\;$来计算。

## 发散性

这个级数的部分和如下：

$$\begin{cases} S_1=1\\ S_2=1-1=0\\ S_3=1-1+1=1\\ S_4=1-1+1-1=0\\ \quad\;\,\vdots \end{cases}$$

由此得出另一个无穷序列：

$S_1, S_2, S_3, S_4, \cdots = 1, 0, 1, 0, \cdots$。

根据无穷级数的定义。

$$\sum_{n=0}^{\infin}\,(-1)^n = \lim_{n\to\infty}S_n$$

但是$\;S_n\;$的无穷序列无法收敛到某个固定值（不断在0和1之间来回变动），所以$\;\lim_{n\to\infty}S_n\;$发散。

因此$\;\sum_{n=0}^{\infin}\,(-1)^n\;$这个级数也发散。

## 格兰迪级数的应用

### 幂级数

以下的幂级数和格兰迪级数有关，也是其母函数：

$$f(x) = 1-x+x^2-x^3+\cdots = \frac{1}{1+x}$$

### 狄拉克梳

格兰迪级数在另一个重要的级数中出现：

$$\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cdots = \sum_{k=1}^\infty\cos(kx).$$

若x = π，其上述级数化简为−1 + 1 − 1 + 1 − · ·，欧拉认为其值符合以下的关系式Σ cos kx = −1⁄2，不过达朗贝尔不同意此关系式，而拉格朗日认为这可以用类似欧拉对格兰迪级数的理解来延伸说明。

欧拉的声明推测

$$1 +2\sum_{k=1}^\infty\cos(kx) = 0?$$

针对所有的x，此级数都发散，不过对于几乎所有的x，切萨罗和均为0。不过在x = 2πn时，其级数发散，而且是狄拉克梳的傅立叶级数。其一般和、切萨罗和及阿贝尔和分别和狄利克雷核、费耶核及泊松核的极限有关。

### 狄利克雷级数

将格兰迪级数各项乘以1/nz可以得到以下的狄利克雷级数

$$\eta(z)=1-\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z}-\frac{1}{4^z}+\cdots=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n^z},$$

上述级数只有在实部大于0的复数z才会收敛，若令z = 0，即为格兰迪级数。

不同于几何级数，狄利克雷级数对于1 − 1 + 1 − 1 + · · · 的求和没有什么帮助。即使在右半平面上，上述的$\eta(z)$也无法用初等函数来表示，也没有直接证据可以证明当z趋近0时，$\eta(z)$的极值。

另一方面，若使用其他较强的求和法，则上述的$\eta(z)$可定义一个在整个复数平面的函数－狄利克雷η函数，而且此函数为解析函数。若z的实部> −1，就可以用切萨罗和进行求和，因此η(0) = 1⁄2。

狄利克雷η函数和另一个著名的狄利克雷级数及函数有关：

$$\begin{array}{rcl} \eta(z) & = &\displaystyle 1+\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z}+\frac{1}{4^z}+\cdots - \frac{2}{2^z}\left(1+\frac{1}{2^z}+\cdots\right) \\[1em] <pre> & = & \displaystyle \left(1-\frac{2}{2^z}\right)\zeta(z), </pre> \end{array}$$

其中ζ为黎曼ζ函数。若将格兰迪级数的和再配合上述公式，可以得到ζ(0) = −1⁄2。参照1 + 1 + 1 + 1 + …。

上述的关系式也可以推得一些更重要的性质。由于黎曼ζ函数可表示为η(z)和(1 − 21−z)相除的结果，二个函数在整个复数平面均为解析函数，而后者的零点是在z = 1的简单零点，因此可得ζ(z)为亚纯函数，只在z = 1有一个极点。

### 物理学

格兰迪级数及其衍生的级数常在物理学的各领域中出现，最典型的是量子化的费米子场，其中同时有正的及负的特征值，例如手征口袋模型（chiral bag model）。不过这些级数也出现在玻色子的相关研究中，例如卡西米尔效应。

在光谱非对称性领域也会用到由格兰迪级数衍生的级数，而其求和方式是正规化的一部分，例如ζ函数正规化就是其中的一种。