拓扑斯

数学中, Grothendieck 拓扑斯（topos, ˈ, 复数形式 topoi, ˈ）为一类范畴, 行为类似拓扑空间(或者更一般地, 景上集合的层范畴. 拓扑斯的行为也与集合范畴相当相似, 并具有局部化的概念.Grothendieck 拓扑斯应用于代数几何, 其由基本拓扑斯所推广, 后者应用于逻辑中.

研究拓扑斯的数学领域即称拓扑斯理论.

## 简介

20 世纪 40 年代数学引入层论以降, 经由研究空间上的层来研究空间本身便跻身核心课题之一. Alexander Grothendieck 通过引入 "拓扑斯" 系统阐述了该思想. 此概念的主要价值在于, 数学中, 大量情景缺乏严格意义上的拓扑空间, 但拓扑启发式方法却极为有效: 此时往往得以构造一个拓扑斯以形式化此般启发式思想. 这一纲领性概念存在一个重要范例, 概型中的平展拓扑斯. Grothendieck 拓扑斯得以具象化不同不同数学情景的 "本质", 另一明证在于它们可作为 "桥梁" 连接不同理论: 这些理论或许以迥异的语言写就, 却共享着相同的数学内核.

## 等价定义

Grothendieck 拓扑斯为范畴 $C$, 装配以下三条公理之任一 (按照 Jean Giraud 的定理, 三者等价):

- 存在小范畴 $D$ 及嵌入 $C\hookrightarrow \operatorname{Presh}(D)$, 后者具有一个保持有限极限的左伴随.
- $C$ 是 Grothendieck 景上的层范畴.
- $C$ 契合下文所述 Giraud 公理.

这里 $\operatorname{Presh}(D)$ 表示从 $D$ 到 $\mathsf{Set}$ 的反变函子范畴, 此种反变函子常称之一预层.

### Giraud 公理

范畴 $C$ 上的 Giraud 公理指:

- $C$ 具有小集规模的生成元, 且容许全部小余极限. 此外, 纤维积对余积满足分配律. 即, 给定集合 $I$、一个以 $I$ 为指标集而映射到 $A$ 的余积、一个态射 $A'\to A$, 分之以指标集 $I$, 诸余积之拉回同构于诸拉回之余积:$$\left(\coprod_{i\in I}B_i\right)\times_A A'\cong \coprod_{i\in I}\left(B_i\times_AA'\right).$$
- $C$ 中的和是无交的. 换言之, $X$ 和 $Y$ 于其和上的纤维积为 $C$ 中的始对象.
- 全部 $C$ 中的等价关系均有效.

最后一条公理有必要进一步阐释. 若 $X$ 为 $C$ 中的对象, 则 $X$ 上的 "等价关系" $R$ 即 $C$ 中的态射 $R\to X\times X$, 使得对任意对象 $Y$, 诱导映射 $\operatorname{Hom}(Y, R)\to \operatorname{Hom}(Y, X)\times \operatorname{Hom}(Y,X)$ 在集合 $\operatorname{Hom}(Y, X)$ 上给出一个通常的等价关系. 鉴于 $C$ 具有余极限, 可构造上述两个映射 $R\to X$ 的余等化子, 记之以 $X/R$. 称该等价关系 "有效", 若典范映射$$R\to X\times_{X/R} X$$为同构.

## 例子

Giraud 定理已然将 "景上的层" 列作完备的范例. 但有必要注意, 不等价的景经常携有等价的拓扑斯. 同简介所述, 普通拓扑空间上的层理论为拓扑斯理论的诸多基本定义和结论提供了原型.

### 集合范畴与 $G$-集合范畴

集合范畴为一个重要特例, 其在拓扑斯理论中扮演点这一角色. 事实上, 集合可被视作点上的层, 定义在仅含单个对象与恒等态射的单点范畴上的函子恰为集合范畴中的特定集合.

类似地, 对任意群 $G$, 存在等价于 $G$-集范畴的拓扑斯 $BG$. 我们将其构造为单对象范畴上的预层范畴, 此时态射集由群 $G$ 给出. 任何函子必然在目标上产生 $G$-作用, 这便给出了 $G$-集的范畴. 类似地对于群胚 $\mathcal G$, 其上的预层范畴给出一个由 $\mathcal G$ 中对象集索引的集族, 且其中对象的自同构由对函子目标的作用.

### 源自赋环空间的拓扑斯

一个更奇特的例子, 同时也是拓扑斯理论存在的根本缘由, 源自代数几何. 拓扑斯的基本粒子来源于概型的 Зари́сский 拓扑斯. 对每个概型 $X$, 总存在一个景 $\operatorname{Open}(X)$ (其中对象由开子集给出, 态射由嵌入给出), 其预层范畴构成 Зари́сский 拓扑斯. 而一旦我们考虑特定的态射类, 即可产生多种推广, 继而引出不平凡的数学. 此外, 拓扑斯为纯粹地将概型作为代数范畴上的函子进行研究奠定了基础.

对一个概型乃至一个栈, 可关联一个平展拓扑斯、一个 fppf 拓扑斯, 或者一个 Nisnevich 拓扑斯. 拓扑斯的另一个重要例子来自晶体景. 就平展拓扑斯而论, 它们构成了远 Abel 几何的基本研究对象, 该学科研究代数几何中那些完全由其平展基本群的结构所决定的对象.

### 病态

某种意义上讲, 拓扑斯为经典点集拓扑的推广. 因此, 应当预期看到各种新旧病态行为的实例. 例如, Pierre Deligne 曾给出一个非平凡拓扑斯却无点的例子 (其中拓扑斯点的定义见后文).

## 几何态射

若 $X$ 和 $Y$ 是拓扑斯, 则几何态射 $u\colon X\to Y$ 为伴随函子对 $\left(u^*,u_*\right)$ (其中 $u^*\colon Y\to X$ 左伴随于 $u_*\colon X\to Y$), 使得 $u^*$ 保持有限极限. 注意, $u^*$ 因拥有右伴随而自动保持余极限.

依 Freyd 伴随函子定理, 给定几何态射 $X\to Y$ 等价于给出保持有限极限和所有小余极限的函子 $u^*\colon Y\to X$. 因此, 拓扑斯之间的几何态射可视作场 (locale)的映射的类似物.

若 $X$ 和 $Y$ 是拓扑空间, 且 $u$ 为二者之间的连续映射, 则层上的拉回和前推操作会在关联于景 $\operatorname{Open}(X)$, $\operatorname{Open}(Y)$ 的拓扑斯间产生一个几何态射.

### 拓扑斯的点

拓扑斯 $X$ 的点定义为从集合的拓扑斯到 $X$ 的几何态射.

若 $X$ 为普通拓扑空间, 而 $x$ 为 $X$ 的点, 则将层 $F$ 映至其茎 $F_x$ 的函子具有又伴随("摩天大楼层" 函子), 因而 $X$ 通常意义下的点同样确定了拓扑斯理论意义下的点. 这些点可构造为沿着连续映射 $x\colon \mathit{1}\to X$ 的拉回-前推.

对空间 $X$ 的平展拓扑斯 $(X)_{et}$, 其点为更精细的对象. 给定概型 $X$ 的点 $x\colon\operatorname{Spec}(\kappa(x))\to X$, 拓扑斯 $(X)_{et}$ 的点 $x'$ 则经由 $\kappa(x)$ 的一个可分扩张 $k$ 给出, 使得关联映射 $x'\colon \operatorname{Spec}(k)\to X$ 穿过原始点 $x$. 如此, 分解映射$$\operatorname{Spec}(k)\to\operatorname{Spec}(\kappa(x))$$即为概型的平展态射.

更准确的说, 这些是全局点. 其本身不足以展示拓扑斯类似空间的性质, 因为非平凡拓扑斯可能根本不存在全局点. 广义点为从拓扑斯 $Y$ (定义阶段) 到 $X$ 的几何态射. 这些广义点足以展示类似空间的性质. 例如, 若 $X$ 为几何理论 $T$ 的分类拓扑斯 $S[T]$, 那么泛性质biomass其点恰为 $T$ 的模型 (在定义阶段 $Y$ 中).

### 本质几何态射

称几何态射 $\left(u^*,u_*\right)$ 为本质的, 若 $u^*$ 拥有一个进一步的左伴随 $u_!$, 或等价地 (依伴随函子定理) 若 $u^*$ 同时保持有限极限和所有小极限.

## 赋环拓扑斯

赋环拓扑斯为有序对 $(X, R)$, 分别为拓扑斯和其中的一个交换环对象. 赋环空间的大部分构造都适用于赋环拓扑斯. $X$ 中的 $R$-模对象范畴为具有足够多内射对象的 Abel 范畴. 一个更有用的 Abel 范畴, 拟凝聚 $R$-模的子范畴: 其为容许展示的 $R$-模.

除赋环空间外, Deligne-Mumford 叠的平展拓扑斯为另一类重要的赋环拓扑斯.

## 拓扑斯的同伦理论

Michael Artin 和 Barry Mazur 将拓扑斯底层的景关联于一个预单纯集 (精确到同伦),(更适合在 Ho(pro-SS) 中考虑; 参见 Edwards) 利用该单纯集的逆向系统, 人们时而可将经典拓扑中的同伦不变量关联为拓扑斯理论中的不变量逆向系统. 对概型的平展拓扑斯所关联的预单纯集之研究, 称之为平展同伦论. 在良好情形下 (若概型 Noether 且几何单枝), 该预单纯集亦预有限.

## 参考资料

### 补充来源

一些论文:

- John Baez: " Topos theory in a nutshell. " A gentle introduction.
- Steven Vickers: " Toposes pour les nuls " and " Toposes pour les vraiment nuls. " Elementary and even more elementary introductions to toposes as generalized spaces.

以下是对范畴论和拓扑斯易学的介绍。它们适合对数理逻辑和集合论了解较少的人，甚至是非数学家。

- F. William Lawvere and Stephen H. Schanuel (1997) Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories. Cambridge University Press. An "introduction to categories for computer scientists, logicians, physicists, linguists, etc." (cited from cover text).
- F. William Lawvere and Robert Rosebrugh (2003) Sets for Mathematics. Cambridge University Press. Introduces the foundations of mathematics from a categorical perspective.

格罗滕迪克对拓扑斯基础性的工作：

- Grothendieck and Verdier: Théorie des topos et cohomologie étale des schémas (known as SGA4)". New York/Berlin: Springer, ??. (Lecture notes in mathematics, 269–270)

以下专著包括对部分或全部拓扑斯理论的介绍，但并非主要为初学者而写。越靠后难度越高。

- Colin McLarty (1992) Elementary Categories, Elementary Toposes. Oxford Univ. Press. A nice introduction to the basics of category theory, topos theory, and topos logic. Assumes very few prerequisites.
- Robert Goldblatt (1984) Topoi, the Categorial Analysis of Logic (Studies in logic and the foundations of mathematics, 98). North-Holland. A good start. Reprinted 2006 by Dover Publications, and available online at Robert Goldblatt's homepage.
- John Lane Bell (2005) The Development of Categorical Logic. Handbook of Philosophical Logic, Volume 12. Springer. Version available online at John Bell's homepage.
- Saunders Mac Lane and Ieke Moerdijk (1992) Sheaves in Geometry and Logic: a First Introduction to Topos Theory. Springer Verlag. More complete, and more difficult to read.
- Michael Barr and Charles Wells (1985) Toposes, Triples and Theories. Springer Verlag. Corrected online version at https://web.archive.org/web/20100821021308/http://www.cwru.edu/artsci/math/wells/pub/ttt.html. More concise than Sheaves in Geometry and Logic, but hard on beginners.

专家的参考文献，不适合初次学习:

- Francis Borceux (1994) Handbook of Categorical Algebra 3: Categories of Sheaves, Volume 52 of the Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press. The third part of "Borceux' remarkable magnum opus", as Johnstone has labelled it. Still suitable as an introduction, though beginners may find it hard to recognize the most relevant results among the huge amount of material given.
- Peter T. Johnstone (1977) Topos Theory, L. M. S. Monographs no. 10. Academic Press. ISBN 0123878500. For a long time the standard compendium on topos theory. However, even Johnstone describes this work as "far too hard to read, and not for the faint-hearted."
- Peter T. Johnstone (2002) Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium. Oxford Science Publications. As of early 2010, two of the scheduled three volumes of this overwhelming compendium were available.

以拓扑斯的特殊应用为目的的书:

- Maria Cristina Pedicchio and Walter Tholen, eds. (2004) Categorical Foundations: Special Topics in Order, Topology, Algebra, and Sheaf Theory. Volume 97 of the Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press. Includes many interesting special applications.