拓扑比较

在拓扑学和其相关的数学领域里，拓扑比较是指在同一个给定的集合上的两个拓扑结构之间的关系。在一给定的集合上的所有拓扑会形成一个偏序集合。此一序关系可以用来做不同拓扑之间的比较。

## 定义

$\mathfrak{T}_1$ 和 $\mathfrak{T}_2$ 都是 $X$ 的拓扑，若 $\mathfrak{T}_1 \subseteq \mathfrak{T}_2$ 称 $\mathfrak{T}_2$ 比 $\mathfrak{T}_1$更细（fine）或更强（strong），或称 $\mathfrak{T}_1$ 比 $\mathfrak{T}_2$更粗（coarse）或更弱（weak）。

进一步的，若 $\mathfrak{T}_1 \subset \mathfrak{T}_2$，称 $\mathfrak{T}_2$ 比 $\mathfrak{T}_1$严格细（strictly fine），或称 $\mathfrak{T}_1$ 比 $\mathfrak{T}_2$严格粗（strictly coarse）。

直观上，$\mathfrak{T}_2$ 有更多甚至是“更小”的邻域去逼近拓扑空间中的一点，所以相较之下，其拓扑结构比较“细致”。但在 $\mathfrak{T}_2$ 意义下定义的 “极限”要求在更多的邻域都要能找到逼近点，所以其拓扑结构在收敛的意义下比较“强”。至于严格细或粗，就是额外要求 $\mathfrak{T}_1 \neq \mathfrak{T}_2$。

二元关系 $\subseteq$ 在 $X$ 所有的拓扑所组成的集合上定义了一个偏序集合。

### 例子

$X$ 的拓扑里，最粗的是由空集和全集两个元素构成的：

$$\mathfrak{T} = \{X,\,\varnothing\}$$

而最细的拓扑是离散拓扑（discrete topology），也就是$X$ 的幂集：

$$\mathfrak{T}_D = \mathcal{P}(X)$$

## 最粗拓扑

设 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$ 是 $X$ 的一个子集族，则：

$$\tau_\mathcal{F} = \bigcap \bigg\{ \mathfrak{T} \,\bigg|\, <pre> (\mathfrak{T}\text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{T}) </pre> \bigg\}$$

也是 $X$ 的拓扑。

根据定理的条件，对所有集合 $A$ 有： : $O \in \tau_\mathcal{F} \Leftrightarrow (\forall \mathfrak{T}) \left\{ [\,(\mathfrak{T} \text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{T})\,] \Rightarrow (O \in \mathfrak{T}) \right\}$ (a) 以下将逐条检验拓扑的定义，来验证 $\tau_\mathcal{F}$ 的确是$X$ 的拓扑： (1) $X,\,\varnothing \in \tau_\mathcal{F}$ 若 $\mathfrak{T}$ 的确是 $X$ 的拓扑，那由拓扑的定义可以得到 $X,\,\varnothing \in \mathfrak{T}$，这样从式(a)右方就可以得到 $X,\,\varnothing \in \tau_\mathcal{F}$。(2) $U,\,V \in \tau_\mathcal{F}$ 则 $U \cap V \in \tau_\mathcal{F}$ 若 $U,\,V \in \tau_\mathcal{F}$，从式(a)左方有： : $(\forall \mathfrak{T}) \left\{ [\,(\mathfrak{T} \text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{T})\,] \Rightarrow (U \in \mathfrak{T}) \right\}$ : $(\forall \mathfrak{T}) \left\{ [\,(\mathfrak{T} \text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{T})\,] \Rightarrow (V \in \mathfrak{T}) \right\}$ 所以有： : $(\forall \mathfrak{T}) \left\{ [\,(\mathfrak{T} \text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{T})\,] \Rightarrow (U,\,V \in \mathfrak{T}) \right\}$ 所以根据拓扑的定义有： : $(\forall \mathfrak{T}) \left\{ [\,(\mathfrak{T} \text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{T})\,] \Rightarrow (U \cap V \in \mathfrak{T}) \right\}$ 这样从式(a)右方就可以得到 $U \cap V \in \tau_\mathcal{F}$。(3) $\mathcal{G} \subseteq \tau_\mathcal{F}$ 则 $\bigcup\mathcal{G} \in \tau_\mathcal{F}$ 若 $\mathcal{G} \subseteq \tau_\mathcal{F}$，那对任意 $g \in \mathcal{G}$，从式(a)左方有： : $(\forall \mathfrak{T}) \left\{ [\,(\mathfrak{T} \text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{T})\,] \Rightarrow (g \in \mathfrak{T}) \right\}$ 所以有： : $(\forall \mathfrak{T}) \left\{ [\,(\mathfrak{T} \text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{T})\,] \Rightarrow (\mathcal{G} \subseteq \mathfrak{T}) \right\}$ 所以根据拓扑的定义有： : $(\forall \mathfrak{T}) \left\{ [\,(\mathfrak{T} \text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{T})\,] \Rightarrow (\bigcup\mathcal{G} \in \mathfrak{T}) \right\}$ 所以从式(a)右方可以得到 $\bigcup\mathcal{G} \in \tau_\mathcal{F}$。综上所述，来验证 $\tau_\mathcal{F}$ 的确是 $X$ 的拓扑。$\Box$根据以上的定理，可以做以下的定义：

$\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$ 是 $X$ 的一个子集族，则：

$$\tau_\mathcal{F} = \bigcap \bigg\{ \mathfrak{T} \,\bigg|\, <pre> (\mathfrak{T}\text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{T}) </pre> \bigg\}$$

称为包含 $\mathcal{F}$ 的最粗拓扑（或最弱拓扑）。

## 另见

- 初拓扑－可使集合上的一组映射皆为连续的拓扑之中，最粗糙的拓扑。
- 终拓扑－可使集合上的一组映射皆为连续的拓扑之中，最精细的拓扑。