可均群

可均群是数学上一个特别的局部紧拓扑群G，具备了一种为在G上的有界函数取平均的操作，而且G在函数上的群作用，不会改变所取得的平均。

## 缘起

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在$\mathbb R^n$上的勒贝格测度，存在不可测的有界子集。豪斯多夫研究能否在$\mathbb R^n$上定义新的测度，使之可以对所有有界子集都是可测的。他要求新的测度保留勒贝格测度的等距变换不变性，就是移动及反射一个有界子集，不会改变其测度。不过，新测度无需有勒贝格测度的σ可加性（可数无限可加性），就是可数无限个不相交子集的测度总和，等于其并集的测度。他只要求新测度满足较弱的有限可加性，就是有限个不相交子集的测度总和，等于其并集的测度。

但是，豪斯多夫、巴拿赫和塔斯基后来的研究，发现了维度不小于3的$\mathbb R^n$中，任意两个有内点的有界子集，可以将其一分成有限块，再移动拼合成另一个，这就是著名的巴拿赫－塔斯基悖论。因此3维以上$\mathbb R^n$不可能有豪斯多夫所要的测度。而在2维就不存在这种情况。

冯纽曼研究他们的证明，发现问题关键不是在$\mathbb R^n$的结构，而是在$\mathbb R^n$的旋转群上。3维以上的$\mathbb R^n$，其旋转群有子群是秩2的自由群；而2维时，旋转群没有这样的子群。

于是豪斯多夫原来的测度问题，可以把对象转到群上面。新的问题是：在一个群G上，是否存在有限可加的概率测度$\mu$，是G-不变的，即是在G对其中的子集的群作用下不变：对任何$E\subset G$和任何$g \in G$，$\mu(gE) = \mu(E)$。这样的概率测度称为不变平均。（函数以这测度积分，像是取加权平均。）由此产生了可均群的概念。因为有限可加测度不像σ可加测度有好的理论，便改为考虑与有限可加测度对应的连续线性泛函。

## 外文名称

可均群的德文名称Mittelbare Gruppe，法文名称groupe moyennable，其中Mittel、moyenne分别为德文及法文中的平均一字，故此Mittelbare，moyennable两字意思就是可以有平均。英文名称amenable group，是英国数学家Mahlon M. Day所译，字面上与德文及法文不同，但这是藉谐音玩的文字游戏，因为amenable的英式读音，与"a mean able"相同（用美式读音就失去谐音效果），故此说出来其实也是“可以有一个平均”。

## 定义

设G为局部紧群。G上存在左哈尔测度$\mu$。考虑在测度空间$(G,\mu)$上的复值本质有界函数空间$L^\infty(G)$。

线性泛函$\Lambda:L^\infty(G)\to \mathbb C$称为平均，如果$\Lambda$的范数是1，并且是非负的：若实值函数$f\in L^\infty(G)$适合$f\geq 0$，则$\Lambda(f) \geq 0$。

如果$\Lambda$是一个平均，则有$\Lambda(1_G)=1$，其中$1_G$是G的特征函数。而且对任何实值函数$f\in L^\infty(G)$。

$$\operatorname*{ess\ inf}_{x\in G} f(x) \leq \Lambda (f) \leq \operatorname*{ess\ sup}_{x\in G} f$$

其中ess sup和ess inf分别是函数的本质上确界和本质下确界。

一个平均是左不变的，如果对任何$s\in G$，$f\in L^\infty(G)$，在左作用$s\cdot f(x)=f(s^{-1}x)$下，都有$\Lambda(s\cdot f)=\Lambda(f)$。

局部紧群G如果有一个左不变平均，就称为可均群。

可均群有很多等价定义。其中一个是Følner条件：

对任何$\epsilon >0$，任何紧子集$C\subset G$，都存在一个紧子集$K\subset G$，$0<\mu(K)<\infty$，使得对所有$x\in C$都符合不等式

$$\mu(xK \triangle K) / \mu(K) <\epsilon$$

此处$\triangle$是对称差。

如果G是可数无限的离散群，Følner条件等价于：

G中存在有限子集$S_n$，使得对任何$g\in G$。

$$\lim_{n\to \infty}\frac{\left|g S_n \triangle S_n\right|}{\left|S_n\right|} = 0$$

这样的$(S_n)$称为Følner序列。

## 性质

可均群的闭子群都是可均的。

若H是可均群G的闭正规子群，那么$G/H$是可均群。

若H是局部紧群G的闭正规子群，而且H和$G/H$都是可均群，那么G也是可均群。

设G是局部紧群，I是有向集合，$(H_i)_{i\in I}$是G的闭可均子群组成的网，对任何$i\leq j$，有$H_i \subset H_j$。那么$H=\overline{\cup_{i\in I}H_i}$是G的可均子群。

## 例子

有限群是可均群。更一般地，紧群是可均群，其哈尔测度是一个不变平均。

整数群$(\mathbb Z,+)$和实数群$(\mathbb R,+)$是可均群，一个在$\mathbb Z$或$\mathbb R$中长度趋向无穷的有界区间序列是一个Følner序列。

局部紧的阿贝尔群是可均群。因此，局部紧的可解群是可均群：若G是局部紧的可解群，则有导出列

$$G=G^{(0)} \triangleright G^{(1)} \triangleright \cdots \triangleright G^{(k)}=\{1\}$$

其中$G^{(i+1)}=[G^{(i)},G^{(i)}]$。每个$G^{(i)}/G^{(i+1)}$都是阿贝尔群，所以是可均的，而平凡子群{1}也是可均群。从可均群的性质，得出G是可均群。

一个有限生成群G是次指数增长的，如果G中存在一个有限生成集合S，有对称性$S=S^{-1}$，使得

$$\liminf_{n\to \infty}\frac{\left|S^{n+1}\right|}{\left|S^{n}\right|}=1$$

次指数增长的有限生成群是可均群。

从定义知对每个$i\in\mathbb N$，都存在$n_i$使得

$$\frac{\left|S^{n_i+1}\right|}{\left|S^{n_i}\right|}<1+\frac 1 i$$

对每个$a\in S$，有$S^{n_i},a S^{n_i}\subset S^{n_i+1}$。对任何$g\in G$都有$\left|g S^{n_i}\right|=\left|S^{n_i}\right|$。于是

$$\begin{align} & \left|a S^{n_i}\triangle S^{n_i}\right| \\ \leq & \left|a S^{n_i}\setminus S^{n_i}\right| + \left|S^{n_i}\setminus a S^{n_i}\right| \\ \leq & \left|S^{n_i+1}\setminus S^{n_i}\right| + \left|S^{n_i+1}\setminus a S^{n_i}\right| \\ = & (\left|S^{n_i+1}\right|-\left|S^{n_i}\right|) + (\left|S^{n_i+1}\right|-\left|a S^{n_i}\right|) \\ = & 2(\left|S^{n_i+1}\right|-\left|S^{n_i}\right|) \end{align}$$

每个$g\in G$都可写成$g=a_1 a_2 \cdots a_m$。设$g_0=e$, $g_j=g_{j-1}a_j$。用集合关系式$A\triangle B \subset (A\triangle C) \cup (C\triangle B)$，得出

$$\begin{align} & \left|g S^{n_i}\triangle S^{n_i}\right| \\ \leq & \left|\bigcup_{j=1}^m \left(g_{j-1} S^{n_i}\triangle g_j S^{n_i}\right)\right| \\ \leq & \sum_{j=1}^m \left|\left(g_{j-1} S^{n_i}\triangle g_j S^{n_i}\right)\right| \\ = & \sum_{j=1}^m \left|g_{j-1}\left( S^{n_i}\triangle a_j S^{n_i}\right)\right| \\ \leq & 2m(\left|S^{n_i+1}\right|-\left|S^{n_i}\right|) \end{align}$$

因此

$$\frac{\left|g S^{n_i}\triangle S^{n_i}\right|}{\left|S^{n_i}\right|}<\frac {2m} {i}$$

所以$(S^{n_i})$是一个Følner序列，故G是可均群。

设$G_1$和$G_2$是有限生成群，而$G_2$是可均的。若$G_1$拟等距同构于$G_2$，那么$G_1$也是可均群。

秩2的自由群$F_2$不是可均群。证明设a,b是$F_2$的生成元。$F_2$的元素都可以用a,b写成字。假设$F_2$有不变平均M。考虑$F_2$的一个子集A，A包含所有简约字以$a^n$开首的元素。（n是某个不等于0的整数。）那么A, bA, $b^2 A$是$F_2$的不相交子集，所以

$$\begin{align} 3M(1_A) &= M(1_A) + M(1_{bA}) + M(1_{b^2 A}) \\ & \leq M(1_{F_2}) =1 \end{align}$$

另一方面，$A\cup aA=F_2$，所以

$$\begin{align} 2M(1_A) &= M(1_A) + M(1_{aA}) \\ &\geq M(1_{F_2}) \end{align}$$

这两条不等式互相矛盾，故$F_2$上不存在不变平均，即$F_2$是非可均的。

所以一个群若包含$F_2$为离散子群，则不是可均群。

如把n维空间$\mathbb R^n$的旋转群SO(n)看成离散群，则n不小于3时SO(n)包含$F_2$为（离散）子群，因此是非可均群，但SO(2)是阿贝尔群，因此是可均群。这是巴拿赫－塔斯基悖论证明中的构造法在n不小于3时可行，在n等于2时不可行的原因。不过若用SO(n)原来的拓扑，则对所有n，SO(n)都是紧群，所以都是可均群。

一个殆连通的局部紧群G是可均群，当且仅当G不包含$F_2$为离散子群。（设$G_e$是G的单位连通区。若$G/G_e$紧致，则G称为殆连通群。）

冯纽曼猜想推测非可均群都有子群是秩2的自由群，但是1980年Alexander Ol'shanskii找出反例。他证明了塔斯基魔群是非可均的。G是一个塔斯基魔群，如果有一个固定的素数p，G中所有真子群除了平凡子群外，都是p阶循环群。所以塔斯基魔群没有子群是秩2的自由群。