欧拉方程 (流体动力学)

在流体动力学中，欧拉方程是一组支配无黏性流体运动的方程，以莱昂哈德·欧拉命名。方程组各方程分别代表质量守恒（连续性）、动量守恒及能量守恒，对应零黏性及无热传导项的纳维-斯托克斯方程。历史上，只有连续性及动量方程是由欧拉所推导的。然而，流体动力学的文献常把全组方程——包括能量方程——称为“欧拉方程”。

跟纳维－斯托克斯方程一样，欧拉方程一般有两种写法：“守恒形式”及“非守恒形式”。守恒形式强调物理解释，即方程是通过一空间中某固定体积的守恒定律；而非守恒形式则强调该体积跟流体运动时的变化状态。

欧拉方程可被用于可压缩性流体，同时也可被用于非压缩性流体——这时应使用适当的状态方程，或假设流速的散度为零。

本条目假设经典力学适用；当可压缩流的速度接近光速时，详见相对论性欧拉方程。

## 历史

第一份印有欧拉方程的出版物是欧拉的论文《流体运动的一般原理》（Principes généraux du mouvement des fluides），发表于1757年，刊载于《柏林科学院论文集》（Mémoires de l'Academie des Sciences de Berlin）。它们是最早被写下来的一批偏微分方程。在欧拉发表他的研究之时，方程组只有动量方程及连续性方程，因此只能完整描述非压缩性流体；在描述可压缩性流体时，会因条件不足而不能提供唯一解。在1816年，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯添加了一条方程，第三条方程后来被称为绝热条件。

在十九世纪的后半期，科学家们发现，与能量守恒相关的方程在任何时间都得被遵守，而绝热条件则只会在有平滑解的情况下会被遵守，因为该条件是由平滑解时的基础定律所造成的后果。在发现了狭义相对论之后，能量密度、质量密度及应力这三个概念，被统一成应力-能量张量这一个概念；而能量及动量也同样被统一成一个概念——能量-动量张量。

## 守恒形式（分量）

以下是用微分形式写成的欧拉方程：

$$\begin{align} &{\partial\rho\over\partial t}+ \nabla\cdot(\rho\mathbf u)=0\\[1.2ex] &{\partial\rho{\mathbf u}\over\partial t}+ \nabla\cdot(\mathbf u\otimes(\rho \mathbf \mathbf u))+\nabla p=0\\[1.2ex] &{\partial E\over\partial t}+ \nabla\cdot(\mathbf u(E+p))=0, \end{align}$$

其中

- ρ为流体的质量密度。
- u 为流体速度向量，分量为u、v及w。
- E = ρ e + ½ ρ ( u2 + v2 + w2 )为每一单位容量所含的总能量，其中e为流体每一单位容量所含的内能。
- p为压力。
- $\otimes$代表张量积。

第二条方程包含了一并矢积的散度，用下标标记（每一个j代表从1至3）表示会较易明白：

$${\partial(\rho u_j)\over\partial t}+ \sum_{i=1}^3 {\partial(\rho u_i u_j)\over\partial x_i}+ {\partial p\over\partial x_j} =0,$$

其中i及j下标各代表直角座标系的三个分量：( x1 , x2 , x3 ) = ( x , y , z )及( u1 , u2 , u3 ) = ( u , v , w )。

注意以上方程是用守恒形式的，而守恒形式强调的是方程的物理起因（因此在计算流体力学中的电脑模拟上使用这种形式最方便）。而代表动量守恒的第二条方程可用非守恒形式表示：

$$\rho\left( \frac{\partial}{\partial t}+{\mathbf u}\cdot\nabla \right){\mathbf u}+\nabla p=0$$

但是在这个形式上，会比较看不出欧拉方程与牛顿第二运动定律的直接关联。

## 守恒形式（向量）

以下是用向量及守恒形式写成的欧拉方程：

$$\frac{\partial \mathbf m}{\partial t}+ \frac{\partial \mathbf f_x}{\partial x}+ \frac{\partial \mathbf f_y}{\partial y}+ \frac{\partial \mathbf f_z}{\partial z}=0,$$

其中

$${\mathbf m}=\begin{pmatrix}\rho \\ \rho u \\ \rho v \\ \rho w \\E\end{pmatrix};$$

$${\mathbf f_x}=\begin{pmatrix}\rho u\\p+\rho u^2\\ \rho uv \\ \rho uw\\u(E+p)\end{pmatrix};\qquad {\mathbf f_y}=\begin{pmatrix}\rho v\\ \rho uv \\p+\rho v^2\\ \rho vw \\v(E+p)\end{pmatrix};\qquad {\mathbf f_z}=\begin{pmatrix}\rho w\\ \rho uw \\ \rho vw \\p+\rho w^2\\w(E+p)\end{pmatrix}.$$

在这个形式下，不难看出fx、fy及fz是通量。

以上方程分别代表质量守恒、动量的三个分量及能量。里面有五条方程，六个未知数。封闭系统需要一条状态方程；最常用的是理想气体定律（即p = ρ (γ−1) e，其中ρ为密度，γ为绝热指数，e为内能）。

注意能量方程的奇特形式；见蓝金-雨果尼厄方程。附加含p的项可被诠释成相邻的流体元对某流体元所作的机械功。在非压缩性流体中，这些附加项的总和为零。

取流线上欧拉方程的积分，假设密度不变，及状态方程具有足够的刚性，可得有名的伯努利定律。

## 非守恒形式（通量雅可比矩阵）

在构建数值解，例如求雷曼问题的近似解的时候，展开通量可以是很重要的一环。使用上面以向量表示的守恒形式方程，展开其通量可得非守恒形式如下：

$$\frac{\partial \mathbf m}{\partial t} + \mathbf A_x \frac{\partial \mathbf m}{\partial x} + \mathbf A_y \frac{\partial \mathbf m}{\partial y} + \mathbf A_z \frac{\partial \mathbf m}{\partial z} = 0.$$

其中Ax、Ay及Az为通量雅可比矩阵，各矩阵为：

$$<pre> \mathbf A_x=\frac{\partial \mathbf f_x(\mathbf s)}{\partial \mathbf s}, \qquad \mathbf A_y=\frac{\partial \mathbf f_y(\mathbf s)}{\partial \mathbf s}, \qquad \mathbf A_z=\frac{\partial \mathbf f_z(\mathbf s)}{\partial \mathbf s}. </pre>$$

上式中这些通量雅可比矩阵Ax、Ay及Az，还是状态向量m的函数，因此这种形式的欧拉方程跟原方程一样，都是非线性方程。在状态向量m平滑变动的区间内，这种非守恒形式跟原来守恒形式的欧拉方程是相同的。

### 理想气体的通量雅可比矩阵

将理想气体定律用作状态方程，可推导出完整的雅可比矩阵形式，矩阵如下：

理想气体的通量雅可比矩阵x方向的通量雅可比矩阵： :$\mathbf A_x= \left[ \begin{array}{c c c c c} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hat{\gamma}H-u^2-a^2 & (3-\gamma)u & -\hat{\gamma}v & -\hat{\gamma}w & \hat{\gamma} \\ -uv & v & u & 0 & 0 \\ -uw & w & 0 & u & 0 \\ u[(\gamma-2)H-a^2] & H-\hat{\gamma}u^2 & -\hat{\gamma}uv & -\hat{\gamma}uw & \gamma u \end{array} \right].$ y方向的通量雅可比矩阵： :$\mathbf A_y= \left[ \begin{array}{c c c c c} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -vu & v & u & 0 & 0 \\ \hat{\gamma}H-v^2-a^2 & -\hat{\gamma}u & (3-\gamma)v & -\hat{\gamma}w & \hat{\gamma} \\ -vw & 0 & w & v & 0 \\ v[(\gamma-2)H-a^2] & -\hat{\gamma}uv & H-\hat{\gamma}v^2 & -\hat{\gamma}vw & \gamma v \end{array} \right].$ z方向的通量雅可比矩阵： :$\mathbf A_z= \left[ \begin{array}{c c c c c} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -uw & w & 0 & u & 0 \\ -vw & 0 & w & v & 0 \\ \hat{\gamma}H-w^2-a^2 & -\hat{\gamma}u & -\hat{\gamma}v & (3-\gamma)w& \hat{\gamma} \\ w[(\gamma-2)H-a^2] & -\hat{\gamma}uw & -\hat{\gamma}vw & H-\hat{\gamma}w^2 & \gamma w \end{array} \right].$ 其中$\hat{\gamma}=\gamma-1$.

总焓H为：

$$H = \frac{E}{\rho} + \frac{p}{\rho},$$

及声速a为：

$$a=\sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}} = \sqrt{(\gamma-1)\left[H-\frac{1}{2}\left(u^2+v^2+w^2\right)\right]}.$$

### 线性化形式

将含通量雅可比矩阵的非守恒形式，在状态m = m0的周围线性化后，可得线性化欧拉方程如下：

$$\frac{\partial \mathbf m}{\partial t} + \mathbf A_{x,0} \frac{\partial \mathbf m}{\partial x} + \mathbf A_{y,0} \frac{\partial \mathbf m}{\partial y} + \mathbf A_{z,0} \frac{\partial \mathbf m}{\partial z} = 0,$$

其中Ax,0、Ay,0及Az,0分别为Ax、Ay及Az于某参考状态m = m0的值。

### 线性化一维的非耦合波方程

如果弃用守恒变量而改用特征变量的话，欧拉方程可被变换成非耦合波方程。举例说，考虑以线性通量雅可比矩阵形式表示的一维（1-D）欧拉方程：

$$\frac{\partial \mathbf m}{\partial t} + \mathbf A_{x,0} \frac{\partial \mathbf m}{\partial x} =0.$$

矩阵Ax,0可被对角化，即可将其分解成：

$$<pre> \mathbf{A}_{x,0} = \mathbf{P} \mathbf{\Lambda} \mathbf{P}^{-1}, </pre>$$

$$\mathbf{P}= \left[\mathbf r_1, \mathbf r_2, \mathbf r_3\right] =\left[ \begin{array}{c c c} 1 & 1 & 1 \\ u-a & u & u+a \\ H-u a & \frac{1}{2} u^2 & H+u a \\ \end{array} \right],$$

$$\mathbf{\Lambda} = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u-a & 0 & 0 \\ 0 & u & 0 \\ 0 & 0 & u+a \\ \end{bmatrix}.$$

上式中，r1、r2及r3为矩阵Ax,0的右特征向量（若$A x_R = \lambda_R x_R,\ $，则x_R为右特征向量），而λ1、λ2及λ3则为对应的特征值。

设特征变量为：

$$\mathbf{w}= \mathbf{P}^{-1}\mathbf{m},$$

由于Ax,0不变，原来的一维通量雅可比矩阵方程，乘上P−1后可得：

$$\frac{\partial \mathbf{w}}{\partial t} + \mathbf{\Lambda} \frac{\partial \mathbf{w}}{\partial x} = 0$$

经过这样的处理后，方程实际上已经被非耦合化，而且可被视作三条波方程，其中特征值为波速。变量wi为雷曼不变量，或在一般的双曲系统中为特征变量。

## 冲击波

欧拉方程为非线性双曲方程，而它们的通解为波。与海浪一样，由欧拉方程所描述的波碎掉后，所谓的冲击波就会形成；这是一种非线性效应，所以其解为多值函数（即函数内的某自变量会产生多个因变量）。物理上这代表构建微分方程时所用的假设已经崩溃，如果要从方程上取得更多资讯，就必须回到更基础的积分形式。然后，在构建弱解时，需要使用蓝金-雨果尼厄冲击波条件，在流动的物理量中避开不连续点“跳跃”，上述物理量有密度、速度、压力及熵。物理量很少会出现不连续性；在现实的流动中，黏性会把这些不连续点平滑化。

许多领域都有研究冲击波的传播，尤其是出现流动处于足够高速的领域，例如空气动力学及火箭推进。

## 一维中的方程

在某些问题中，特别是分析导管中的可压缩流，或是当流动呈圆柱或球状对称的时候，一维欧拉方程都是很有用的近似法。一般来说，解欧拉方程会用到黎曼的特征线法。首先需要找出特征线，这条曲线位于两个独立变量（即x及t）所构成的平面上，在这条线上偏微分方程（PDE）会退化成常微分方程（ODE）。欧拉方程的数值解法非常倚赖特征线法。