ECT理论-牛顿引力理论

返回在牛顿引力场中，粒子运动的拉格朗日量为：

- $$L=\frac{1}{2}m\vec{v}\cdot \vec{v}-m\varphi (\vec{x})$$

其中 $\vec{v}$—粒子速度， $\varphi (\vec{x})$—牛顿引力势粒子运动方程由最小作用量原理$\delta S=\int\limits_{t1}^{t2}{\delta L}dt=0$决定：

$$0=\delta S=\int\limits_{t1}^{t2}{\delta L}dt$$

$$=\int\limits_{t1}^{t2}{\delta \left( \frac{1}{2}m\vec{v}\cdot \vec{v}-m\varphi (\vec{x}) \right)}dt$$

$$=\int\limits_{t1}^{t2}{\left( m\vec{v}\cdot \delta \vec{v}-m\delta \varphi (\vec{x}) \right)}dt$$

$$=\int\limits_{t1}^{t2}{\left( m\vec{v}\cdot \frac{d\delta \vec{x}}{dt}-m\nabla \varphi (\vec{x})\cdot \delta \vec{x} \right)}dt$$

$$=m\vec{v}\cdot \delta \vec{x}|_{t1}^{t2}-\int\limits_{t1}^{t2}{\left( m\frac{d\vec{v}}{dt}\cdot \delta \vec{x}+m\nabla \varphi (\vec{x})\cdot \delta \vec{x} \right)}dt$$

$$=-\int\limits_{t1}^{t2}{\left( m\frac{d\vec{v}}{dt}+m\nabla \varphi (\vec{x}) \right)}\cdot \delta \vec{x}dt$$

因此有：$m\frac{d\vec{v}}{dt}+m\nabla \varphi (\vec{x})=0$即：$\vec{a}=-\nabla \varphi (\vec{x})$，这是牛顿引力场中的粒子运动方程。

考虑在牛顿引力场中无压理想流体的运动，则拉格朗日量变为：

- $$L=\int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\rho \varphi (\vec{x}) \right)dV}$$

其中： $\rho$—流体质量密度， $dV$—体积元。

牛顿引力场本身的拉格朗日量为：

- $${{L}_{g}}=\int{\left( -\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}$$

同时考虑引力场和无压理想流体，其总拉格朗日量为：

- $$L=\int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\rho \varphi (\vec{x})-\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}$$

为了得到引力场的运动方程，只对$\varphi (\vec{x})$取变分我们有：

$$0=\delta S=\int\limits_{t1}^{t2}{\delta Ldt}$$

$$=\int\limits_{t1}^{t2}{\delta \int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\rho \varphi (\vec{x})-\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}dt}$$

$$=\int\limits_{t1}^{t2}{\int{\left( -\rho \delta \varphi (\vec{x})-\frac{1}{4\pi G}\nabla \varphi \cdot \delta (\nabla \varphi ) \right)dV}dt}$$

$$=\int\limits_{t1}^{t2}{\int{\left( -\rho \delta \varphi (\vec{x})-\frac{1}{4\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla (\delta \varphi ) \right)dV}dt}$$

$$=\int\limits_{t1}^{t2}{\int{\left( -\rho \delta \varphi (\vec{x})-\frac{1}{4\pi G}(\nabla \cdot (\delta \varphi \nabla \varphi )-\delta \varphi {{\nabla }^{2}}\varphi ) \right)dV}dt}$$

$=\int\limits_{t1}^{t2}{\int\limits_{\Sigma }{\left( -\frac{1}{4\pi G}\delta \varphi \nabla \varphi \cdot d\vec{S} \right)}+\int{\left( -\rho \delta \varphi (\vec{x})+\frac{1}{4\pi G}\delta \varphi {{\nabla }^{2}}\varphi \right)dV}dt}$，其中$\Sigma$-包围体积V的边界

$$=\int{\left( -\rho +\frac{1}{4\pi G}{{\nabla }^{2}}\varphi \right)\delta \varphi (\vec{x})dV}dt$$

因此有引力场运动方程${{\nabla }^{2}}\varphi =4\pi G\rho$。

这样，我们有包含引力场和无压理想流体的总拉格朗日密度为：

- $$\not{L}=\frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\rho \varphi (\vec{x})-\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi$$

按照分析力学原理，我们有守恒量---哈密顿量（其中：$\dot{\varphi }=\frac{\partial \varphi }{\partial t}$）为：

$$\begin{align} <pre> & H=\int{\left( \sum\limits_{i=1}^{3}{{{v}_{i}}\frac{\partial \not{L}}{\partial {{v}_{i}}}}+\dot{\varphi }\frac{\partial \not{L}}{\partial \dot{\varphi }}-\not{L} \right)}dV \\ & =\int{\sum\limits_{i=1}^{3}{{{v}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{v}_{i}}}\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\rho \varphi (\vec{x})-\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)}dV} \\ & \mathop{{}}^{{}}+\int{\dot{\varphi }\frac{\partial }{\partial \dot{\varphi }}\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\rho \varphi (\vec{x})-\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV} \\ & \mathop{{}}^{{}}-\int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\rho \varphi (\vec{x})-\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV} \\ & =\int{\left( \rho \vec{v}\cdot \vec{v} \right)dV}-\int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\rho \varphi (\vec{x})-\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV} \\ & =\int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}+\rho \varphi (\vec{x})+\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV} \\ </pre> \end{align}$$

其中$\rho \varphi (\vec{x})$代表理想流体与引力场的相互作用能，可以将它归为理想流体的能量，也可以把它归为引力场的能量，我们现在把它归为引力场的能量，这时需要从引力场运动方程解出：$\rho =\frac{1}{4\pi G}{{\nabla }^{2}}\varphi$，代入上式得：

$$\begin{align} <pre> & H=\int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}+\frac{1}{4\pi G}\varphi {{\nabla }^{2}}\varphi +\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV} \\ & =\int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}+\frac{1}{4\pi G}\nabla (\varphi \nabla \varphi )-\frac{1}{4\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV} \\ </pre> \end{align}$$

$$=\int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}+\frac{1}{4\pi G}\int\limits_{\Sigma }{\varphi \nabla \varphi \cdot d\vec{S}}$$

其中： $\Sigma$为包围体积V边界。体积V是全空间。

一般我们考虑有限区域的理想流体和引力场的情况，这时边界是无限远处，无限远处的边界条件是 $\varphi \nabla \varphi \to O(\frac{1}{{{r}^{3}}})$，$d\vec{S}\to O({{r}^{2}})$，其积$\varphi \nabla \varphi \cdot d\vec{S}\to O(\frac{1}{r})$，因此$\int\limits_{\Sigma }{\varphi \nabla \varphi \cdot d\vec{S}}=0$ .考虑到有限区域的理想流体和引力场以及边界条件，我们有：

- $$H=\int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}$$

在分析力学中我们称哈密顿量为能量，因此又可写为：

- $$E=\int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}$$

哈密顿量是守恒量即$\frac{dH}{dt}=0$ 也即$\frac{dE}{dt}=0$。

从上面的结果我们看到： $\frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}$代表理想流体的动能密度${{T}_{m}}$， $\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi$代表引力能密度${{T}_{g}}$，这时我们看到总能量密度是 $\varepsilon ={{T}_{m}}-{{T}_{g}}$，引力能贡献的是负能。当然，如果将相互作用能归为理想流体的能量，则引力能贡献的是正能，数值仍然是${{T}_{g}}$。

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