梅森旋转算法

梅森旋转算法（Mersenne twister）是一个伪随机数发生算法。由松本真和西村拓士在1997年开发，基于有限二进制字段上的矩阵线性递归$F_{2}$。可以快速产生高质量的伪随机数，修正了古典随机数发生算法的很多缺陷。

Mersenne Twister这个名字来自周期长度取自梅森质数的这样一个事实。这个算法通常使用两个相近的变体，不同之处在于使用了不同的梅森素数。一个更新的和更常用的是MT19937, 32位字长。还有一个变种是64位版的MT19937-64。对于一个k位的长度，Mersenne Twister会在$[0,2^k-1]$的区间之间生成离散型均匀分布的随机数。

## 应用

梅森旋转算法是R、Python、Ruby、IDL、Free Pascal、PHP、Maple、Matlab、GNU多重精度运算库和GSL的默认伪随机数产生器。从C++11开始，C++也可以使用这种算法。在Boost C++,Glib和NAG数值库中，作为插件提供。

在SPSS中，梅森旋转算法是两个PRNG中的一个：另一个是产生器仅仅为保证旧程序的兼容性，梅森旋转被描述为“更加可靠”。梅森旋转在SAS中同样是PRNG中的一个，另一个产生器是旧时的且已经被弃用。

## 优点

最为广泛使用Mersenne Twister的一种变体是MT19937，可以产生32位整数序列。具有以下的优点：

- 周期非常长，达到219937−1。尽管如此长的周期并不必然意味着高质量的伪随机数，但短周期（比如许多旧版本软件包提供的232）确实会带来许多问题。
- 在1 ≤ k ≤ 623的维度之间都可以均等分布（参见定义）。
- 除了在统计学意义上的不正确的随机数生成器以外，在所有伪随机数生成器法中是最快的（当时）

## 缺点

为了性能，这个算法付出了巨大的空间成本（当时而言）：需要 2.5 KiB 的缓存空间。2011年，松本真和西村拓士针对这一问题提出了一个更小的版本，仅占127 bits的 TinyMT （Tiny Mersenne Twister）。

## k-分布

暂无

## 算法详细

整个算法主要分为三个阶段：

第一阶段：获得基础的梅森旋转链。

第二阶段：对于旋转链进行旋转算法。

第三阶段：对于旋转算法所得的结果进行处理。

算法实现的过程中，参数的选取取决于梅森素数，故此得名。

## 相关代码

下面的一段伪代码使用MT19937算法生成范围在0, 232 − 1的均匀分布的32位整数：

### 伪代码

```
 ''//創建一個長度為624的數組來存儲發生器的狀態''
 '''int'''[0..623] MT
 '''int''' index = 0

 ''//初始化產生器，種子作為首項內容''
 '''function''' initialize_generator('''int''' seed) {
     i := 0
     MT[0] := seed
     '''for''' i '''from''' 1 '''to''' 623 { ''// 走訪剩下的每個元素''
         MT[i] := '''last 32 bits of'''(1812433253 * (MT[i-1] '''[[位操作#按位异或（XOR）|xor]]''' ('''right shift by 30 bits'''(MT[i-1]))) + i) ''// 1812433253 == 0x6c078965''
     }
 }

 ''// Extract a tempered pseudorandom number based on the index-th value,''
 ''// calling generate_numbers() every 624 numbers''
 '''function''' extract_number() {
     '''if''' index == 0 {
         generate_numbers()
     }

     '''int''' y := MT[index]
     y := y '''xor''' ('''right shift by 11 bits'''(y))
     y := y '''xor''' ('''left shift by 7 bits'''(y) '''[[位操作#按位与（AND）|and]]''' (2636928640)) ''// 2636928640 == 0x9d2c5680''
     y := y '''xor''' ('''left shift by 15 bits'''(y) '''and''' (4022730752)) ''// 4022730752 == 0xefc60000''
     y := y '''xor''' ('''right shift by 18 bits'''(y))

     index := (index + 1) '''[[模除|mod]]''' 624
     '''return''' y
 }

 ''// Generate an array of 624 untempered numbers''
 '''function''' generate_numbers() {
     '''for''' i '''from''' 0 '''to''' 623 {
         '''int''' y := (MT[i] & 0x80000000)                       // bit 31 (32nd bit) of MT[i]
                        + (MT[(i+1) '''mod''' 624] & 0x7fffffff)   // bits 0-30 (first 31 bits) of MT[...]
         MT[i] := MT[(i + 397) '''mod''' 624] '''xor''' ('''right shift by 1 bit'''(y))
         '''if''' (y '''mod''' 2) != 0 { ''// y is odd''
             MT[i] := MT[i] '''xor''' (2567483615) ''// 2567483615 == 0x9908b0df''
         }
     }
 }
```

### Python 代码

```python
def _int32(x):
    return int(0xFFFFFFFF & x)

class MT19937:
    def __init__(self, seed):
        self.mt = [0] * 624
        self.mt[0] = seed
        self.mti = 0
        for i in range(1, 624):
            self.mt[i] = _int32(1812433253 * (self.mt[i - 1] ^ self.mt[i - 1] >> 30) + i)

    def extract_number(self):
        if self.mti == 0:
            self.twist()
        y = self.mt[self.mti]
        y = y ^ y >> 11
        y = y ^ y << 7 & 2636928640
        y = y ^ y << 15 & 4022730752
        y = y ^ y >> 18
        self.mti = (self.mti + 1) % 624
        return _int32(y)

    def twist(self):
        for i in range(0, 624):
            y = _int32((self.mt[i] & 0x80000000) + (self.mt[(i + 1) % 624] & 0x7fffffff))
            self.mt[i] = (y >> 1) ^ self.mt[(i + 397) % 624]

            if y % 2 != 0:
                self.mt[i] = self.mt[i] ^ 0x9908b0df
```

调用函数 `MT19937(''seed'').extract_number()` 将会返回随机数，其中 `''seed''` 是已确定的种子。

## SFMT

### 实现

- XLL Excel Addin Implementation of mersenne twister random number generator
- Two implementations of Mersenne Twister in Java: one is the fastest known, and the other is a drop-in replacement for java.util.Random
- The GNU Scientific Library (GSL), containing an implementation of the Mersenne Twister
- C++ and binary function libraries for several platforms. Multithreaded. Includes Mersenne Twister and SFMT
- Implementations of the Mersenne Twister in C and C++
- Implementation of the Mersenne Twister in C++
- Implementation of the Mersenne Twister in C++ within the Mobile Robot Programming Toolkit
- Implementation of Mersenne Twister as an add-in for Microsoft Excel
- Implementation of Mersenne Twister as a free module for Visual Basic (Microsoft Excel, Microsoft Access and VB compilers) and for other Basic versions in the official site of the Mersenne Twister
- Implementation of Mersenne Twister for REALbasic (requires REALbasic 2006r1 or greater)
- Implementation of Mersenne Twister for Lisp
- Implementation of Mersenne Twister in Euphoria
- Implementation of Mersenne Twister for C# (newer, System.Random drop-in replacement) ( Older implementation)
- Implementation of Mersenne Twister for Ada
- Implementation of Mersenne Twister for Fortran 95
- Implementation of Mersenne Twister for Mathematica
- Implementation of Mersenne Twister for MATLAB
- Implementation of Mersenne Twister for Mitrion-C
- Implementation of Mersenne Twister for Clean
- High-speed Implementation of Mersenne Twister in Linoleum (a cross-platform Assembler), by Herbert Glarner
- CPAN module implementing the Mersenne Twister for use with Perl
- Implementation of Mersenne Twister for Haskell
- Implementation of Mersenne Twister for Standard ML
- Implementation of Mersenne Twister in F#
- It also is implemented in gLib and the standard libraries of at least PHP, Python and Ruby.
- RandomLib C++ library implementing Mersenne Twister and SFMT.
- C++ implementation of Mersenne Twister for the IBM/Sony Cell Broadband Engine (Cell BE) specialized processing units
- Mersenne Twister ported to ActionScript
- Mersenne Twister in Clojure
- Implementation of Mersenne Twister for ABAP

## 外部链接

- The academic paper for MT, and related articles by Makoto Matsumoto
- Mersenne Twister home page, with codes in C, Fortran, Java, Lisp and some other languages
- SIMD-oriented Fast Mersenne Twister (SFMT)