高斯光束

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在光学中，高斯光束（Gaussian beam）是横向电场以及辐照度分布近似满足高斯函数的电磁波光束。许多激光都近似满足高斯光束的条件，在这种情况中，激光在光谐振腔中以TEM00波模（横向基模）传播。当它在满足近衍射极限的镜片中发生折射时，高斯光束会变换成另一种不同参数的高斯光束，因此，高斯光束是激光光学中一种方便、广泛应用的模型。

描述高斯光束的数学函数是亥姆霍兹方程的一个近轴近似解（属于小角近似的一种）。这个解具有高斯函数的形式，代表了光束中电场分量的复振幅。尽管电磁波的传播包括电场和磁场两部分，研究其中任一个场，就足以描述波在传播时的性质。

高斯光束中，场的行为可以通过几个参数加以刻画，如光斑大小，曲率半径，古依相移等。

亥姆霍兹方程的近轴近似解可能不止一个。笛卡尔坐标系下求解可得一类称为厄米-高斯模的解，在柱坐标中求解则得到一类称为拉盖尔-高斯模的解。对这两类解，最低阶都是高斯光束，高阶解则描述了光学谐振腔中的高阶横向模。

## 数学形式

高斯光束作为电磁波的横向电磁模，通过求解近轴亥姆霍兹公式，可得电场的振幅

$$E(r,z) = E_0 \frac{w_0}{w(z)} \exp \left( \frac{-r^2}{w^2(z)}\right) \exp \left( -ikz -ik \frac{r^2}{2R(z)} +i \zeta(z) \right)\ ,$$

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这里

$r$ 为径向坐标，以光轴中心为参考点

$z$ 为轴向坐标，以光轴上光波最狭窄（束腰）位置为参考点

$i$ 为虚数单位（即 $i^2 = -1$）

$k = { 2 \pi \over \lambda }$ 为波数（以“弧度/米”为单位）

$$E_0 = |E(0,0)|$$

$w(z)$ 为当电磁场振幅降到轴向的1/e、强度降到轴向的1/e2的点的半径

$w_0 = w(0)$ 为激光的束腰宽度

$R(z)$ 为光波波前的曲率半径

$\zeta(z)$ 为轴对称光波的 Gouy 相移，对高斯光束的相位也有影响

此外，上式中默认忽略了含时项 $e^{i \omega t}$。

对应的辐照度时域平均值为

$$I(r,z) = { |E(r,z)|^2 \over 2 \eta } = I_0 \left( \frac{w_0}{w(z)} \right)^2 \exp \left( \frac{-2r^2}{w^2(z)} \right)\ ,$$

这里 $I_0 = I(0,0)$ 为光波束腰中心处的辐照度。常数 $\eta \,$ 为光波所在传播介质中的波阻抗。在真空中，$\eta = \eta_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} = 1/(\varepsilon_0 c) \approx 376.7 \ \mathrm{\Omega}$。

## 波束参数

高斯光束的许多性质由一系列波束参数决定，下面将分别予以介绍。

### 束腰

对于在自由空间传播的高斯光束，其腰斑位置的半径在光轴方向总大于一个最小值 $w_0$，这个最小值被称为束腰（beam waist）。波长为 $\lambda$ 的光波的腰斑位置在 $z$ 轴上的分布为

$$w(z) = w_0 \, \sqrt{ 1+ {\left( \frac{z}{z_\mathrm{R}} \right)}^2 } \ .$$

这里将 $z = 0$ 定义为束腰的位置。

$$z_\mathrm{R} = \frac{\pi w_0^2}{\lambda}$$

被称为瑞利距离。

### 瑞利距离和共焦参数

与束腰轴向距离等于瑞利距离 $z_R$ 处的束宽为

$$w(\pm z_\mathrm{R}) = w_0 \sqrt{2}. \,$$

这两点之间的距离称作共焦参数或光束的焦深。

$$b = 2 z_\mathrm{R} = \frac{2 \pi w_0^2}{\lambda}\ .$$

### 曲率半径

$R(z)$ 是光束波前的曲率半径，它是轴向距离的函数

$$R(z) = z \left[{ 1+ {\left( \frac{z_\mathrm{R}}{z} \right)}^2 } \right] \ .$$

### 光束偏移

当 $z \gg z_\mathrm{R}$，参数 $w(z)$ 与 $z$ 呈线性关系，趋近于一条直线。这条直线与中央光轴的夹角被称为光束的“偏移”，它等于

$$\theta \simeq \frac{\lambda}{\pi w_0} \qquad (\theta \mathrm{\ in \ radians}).$$

在远离束腰的位置，光束弯散的总角度为

$$\Theta = 2 \theta\ .$$

由于这一性质，聚焦于一个小点的高斯激光在远离这个点的传播过程中迅速散开。为了保持激光的准直，激光束必须具有较大的直径。束宽和光束偏移的这一关系是由于衍射的缘故。非高斯光束同样会表现这一效应，但是高斯光束是一种特殊情况，其束宽和偏移的乘积是可能达到的最小值。

由于高斯光束模型使用了近轴近似，当波前与光传播方向倾斜程度大于30度之后，这种模型将不再适用。通过上述偏移的表达式，这意味着高斯光束模型仅对束腰大于 $2 \lambda / \pi$ 的光束适用。

激光束的质量可以用束参数乘积（BBP）来衡量。对于高斯光束，BBP 的数值就是光束的偏移量与束腰 $w_0$ 的乘积。实际光束的 BPP 通过计算光束的最小直径和远场偏移量的乘积来获得。在波长一定的情况下，实际光束的 BPP 数值与理想激光束的 BPP 数值的比值被称为“M2”。高斯光束的 M2 值为1，而所有的是激光束的 M2 值均大于1，并且质量越好的激光的 M2 值越接近1。

### Gouy 相位

光束的轴向上的相位延迟，或称 Gouy 相位为

$$\zeta(z) = \arctan \left( \frac{z}{z_\mathrm{R}} \right) \ .$$

当光束通过焦点时，除了正常情况下平面波的相移 $e^{-i k z}$ 外，多出一个额外的 Gouy 相移 $\pi$。

### 复数形式的光束参数

可以通过复数形式的光束参数 $q(z)$ 囊括光斑尺寸与曲率半径的信息。

$$q(z) = z + q_0 = z + iz_\mathrm{R} \ .$$

倒数 $1/q(z)$ 显式提供了 $q(z)$，$w(z)$ 与 $R(z)$ 间的关系：

$${ 1 \over q(z) } = { 1 \over z + iz_\mathrm{R} } = { z \over z^2 + z_\mathrm{R}^2 } - i { z_\mathrm{R} \over z^2 + z_\mathrm{R}^2 } = {1 \over R(z) } - i { \lambda \over \pi w^2(z) }.$$

光束参数的复数形式在高斯光束传播的分析中有着重要地位，特别是当使用光线传递矩阵分析光谐振腔中光束传播。

利用复数光束参数 $q$，具有一个横向维度的高斯光束电磁场与下式成比例

$${u}(x,z) = \frac{1}{\sqrt{{q}_x(z)}} \exp\left(-i k \frac{x^2}{2 {q}_x(z)}\right).$$

在二维的情况中，可以将散光的光束表达为乘积的形式

$${u}(x,y,z) = {u}(x,z)\, {u}(y,z),$$

对于圆对称的普遍情况，${q}_x = {q}_y = {q}$ 且$x^2 + y^2 = r^2$，可以得出

$${u}(r,z) = \frac{1}{{q}(z)}\exp\left( -i k\frac{r^2}{2 {q}(z)}\right).$$

## 功率和辐照度

### 流经孔隙的功率

流经距离 z 轴半径为r的圆的功率为

$$P(r,z) = P_0 \left[ 1 - e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]\ ,$$

这里

$P_0 = { 1 \over 2 } \pi I_0 w_0^2$ 为电磁波传播的总能量

流经以 $r = w(z) \,$ 为半径的圆的能量占总能量的比值为

$${ P(z) \over P_0 } = 1 - e^{-2} \approx 0.865\ .$$

类似的，占光波总能量约90%的部分将流经半径为 $r = 1.07\cdot w(z) \,$ 的圆形面积，总能量的95%通过 $r = 1.224\cdot w(z) \,$ 的圆形面积，总能量的99%会通过 $r = 1.52 \cdot w(z)$ 的圆。

### 辐照度的峰值和平均值

在与束腰的轴向距离为 $z$ 的位置，利用洛必达法则，可以计算该位置的辐射照度峰值

$$I(0,z) =\lim_{r\to 0} \frac {P_0 \left[ 1 - e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]} {\pi r^2} <pre> = \frac{P_0}{\pi} \lim_{r\to 0} \frac { \left[ -(-2)(2r) e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]} {w^2(z)(2r)} = {2P_0 \over \pi w^2(z)}.$$

可以看出，辐照度峰值为平均值的两倍，后者等于总能量除以半径为 $w(z)$ 的圆的面积。

## 参考文献

- Chapter 3, "Beam Optics," pp. 80–107.
- Chapter 5, "Optical Beams," pp. 267.
- Chapter 16.
- Gaussian Beam Propagation - CVI Melles Griot Technical Guide
- Gaussian Beam Optics Tutorial, Newport