克兰克-尼科尔森方法

克兰克－尼科尔森方法（Crank–Nicolson method）是一种数值分析的有限差分法，可用于数值求解热方程以及类似形式的偏微分方程。它在时间方向上是隐式的二阶方法，可以写成隐式的龙格－库塔法，数值稳定。该方法诞生于20世纪，由约翰·克兰克与菲利斯·尼科尔森发展。

可以证明克兰克－尼科尔森方法对于扩散方程（以及许多其他方程）是无条件稳定

$u_t=au_{xx}$。但是，如果时间步长Δt乘以热扩散率，再除以空间步长平方Δx2的值过大（根据冯诺依曼稳定性分析，以大于1/2为准），近似解中将存在虚假的振荡或衰减。基于这个原因，当要求大时间步或高空间分辨率的时候，往往会采用数值精确较差的后向欧拉法进行计算，这样即可以保证稳定，又避免了解的伪振荡。

## 方法

克兰克－尼科尔森方法在空间域上的使用中心差分；而时间域上应用梯形公式，保证了时间域上的二阶收敛。例如，一维偏微分方程

$$\frac{\partial u}{\partial t} = F\left(u, x, t, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right)$$

令$u(i \Delta x, n \Delta t) = u_{i}^{n}\,$，则通过克兰克－尼科尔森方法导出的差分方程是第n步上采用前向欧拉方法与第n+1步上采用后向欧拉方法的平均值（注意，克兰克－尼科尔森方法本身不是这两种方法简单地取平均，方程对解隐式依赖）。

$\frac{u_{i}^{n + 1} - u_{i}^{n}}{\Delta t} = F_{i}^{n}\left(u, x, t, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right)$ (前向欧拉方法)

$\frac{u_{i}^{n + 1} - u_{i}^{n}}{\Delta t} = F_{i}^{n + 1}\left(u, x, t, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right)$ (后向欧拉方法)

$\frac{u_{i}^{n + 1} - u_{i}^{n}}{\Delta t} = \frac{1}{2}\left( F_{i}^{n + 1}\left(u, x, t, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right) + F_{i}^{n}\left(u, x, t, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right) \right)$ (克兰克－尼科尔森方法)

对于F，通过中心差分方法使其在空间上是离散的。

注意，这是一个隐式方法，需要求解代数方程组以得到时间域上的下一个u值。如果偏微分方程是非线性的，中心差分后得到的方程依旧是非线性方程系统，因此在时间步上推进会涉及求解非线性代数方程组。许多问题中，特别是线性扩散，代数方程中的矩阵是三对角的，通过三对角矩阵算法可以高效求解，这样，算法的时间复杂度由直接求解全矩阵的$\mathcal{O}(n^3)$转化为$\mathcal{O}(n)$。

## 示例

### 线性扩散问题

- 线性扩散方程

$$\frac{\partial u}{\partial t} = a \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

通过克兰克－尼科尔森方法将得到离散方程

$$\frac{u_{i}^{n + 1} - u_{i}^{n}}{\Delta t} = \frac{a}{2 (\Delta x)^2}\left( (u_{i + 1}^{n + 1} - 2 u_{i}^{n + 1} + u_{i - 1}^{n + 1}) + (u_{i + 1}^{n} - 2 u_{i}^{n} + u_{i - 1}^{n}) \right)$$

引入变量$r = \frac{a \Delta t}{2 (\Delta x)^2}$:

$$-r u_{i + 1}^{n + 1} + (1 + 2 r)u_{i}^{n + 1} - r u_{i - 1}^{n + 1} = r u_{i + 1}^{n} + (1 - 2 r)u_{i}^{n} + r u_{i - 1}^{n}\,$$

这是一个三对角问题，应用三对角矩阵算法（追赶法）即可得到$u_{i}^{n+1}$，而不需要对矩阵直接求逆。

- 准线性扩散方程

$$\frac{\partial u}{\partial t} = a(u) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

离散化后则会得到非线性方程系统。但是某些情况下，通过使用a的旧值，即用$a_{i}^{n}(u)\,$ 替代$a_{i}^{n + 1}(u)\,$，可将问题线性化。其他时候，也可能在保证稳定性的基础上使用显式方法估计$a_{i}^{n + 1}(u)\,$

### 一维多通道连接的扩散问题

这种模型可以用于描述水流中含稳定污染流，但只有一维信息的情况。它可以简化为一维问题并得到有价值的信息。

可对水中污染溶质富集的问题进行建模，这种问题由三部分组成：已知的扩散方程（$D_x$为常量），平流分量（即由速度场导致的系统在空间上的变化，表示为常量Ux），以及与纵向通道k旁流的相互作用。

$$\langle 0 \rangle\frac{\partial C}{\partial t} = D_x \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} - U_x \frac{\partial C}{\partial x}- k (C-C_N)-k(C-C_M)$$

其中C表示污染物的富集水平，下标N和M分别对应上一通道和下一通道。

克兰克－尼科尔森方法（i对应位置，j对应时间）将以上偏微分方程中的每个部分变换为

$$\langle 1 \rangle \frac{\partial C}{\partial t} = \frac{C_{i}^{j + 1} - C_{i}^{j}}{\Delta t}$$

$$\langle 2 \rangle\frac{\partial^2 C}{\partial x^2}= \frac{1}{2 (\Delta x)^2}\left( (C_{i + 1}^{j + 1} - 2 C_{i}^{j + 1} + C_{i - 1}^{j + 1}) + (C_{i + 1}^{j} - 2 C_{i}^{j} + C_{i - 1}^{j}) \right)$$

$$\langle 3 \rangle\frac{\partial C}{\partial x} = \frac{1}{2}\left( \frac{(C_{i + 1}^{j + 1} - C_{i - 1}^{j + 1})}{2 (\Delta x)} + <pre> \frac{(C_{i + 1}^{j} - C_{i - 1}^{j})}{2 (\Delta x)} </pre> \right)$$

$$\langle 4 \rangle C= \frac{1}{2} (C_{i}^{j+1} + C_{i}^{j})$$

$$\langle 5 \rangle C_N= \frac{1}{2} (C_{Ni}^{j+1} + C_{Ni}^{j})$$

$$\langle 6 \rangle C_M= \frac{1}{2} (C_{Mi}^{j+1} + C_{Mi}^{j})$$

现在引入以下常量用于简化计算：

$$\lambda= \frac{D_x\Delta t}{2 \Delta x^2}$$

$$\alpha= \frac{U_x\Delta t}{4 \Delta x}$$

$$\beta= \frac{k\Delta t}{2}$$

把 , , , , , , α, β 和 λ 代入 . 把新时间项(j+1)代入到左边，当前时间项(j)代入到右边，将得到

$$-\beta C_{Ni}^{j+1}-(\lambda+\alpha)C_{i-1}^{j+1} +(1+2\lambda+2\beta)C_{i}^{j+1}-(\lambda-\alpha)C_{i+1}^{j+1}-\beta C_{Mi}^{j+1} = \beta C_{Ni}^{j}+(\lambda+\alpha)C_{i-1}^{j} +(1-2\lambda-2\beta)C_{i}^{j}+(\lambda-\alpha)C_{i+1}^{j}+\beta C_{Mi}^{j}$$

第一个通道只能与下一个通道(M)有关系，因此表达式可以简化为：

$$-(\lambda+\alpha)C_{i-1}^{j+1} +(1+2\lambda+\beta)C_{i}^{j+1}-(\lambda-\alpha)C_{i+1}^{j+1}-\beta C_{Mi}^{j+1} = +(\lambda+\alpha)C_{i-1}^{j} +(1-2\lambda-\beta)C_{i}^{j}+(\lambda-\alpha)C_{i+1}^{j}+\beta C_{Mi}^{j}$$

同样地，最后一个通道只与前一个通道（N）有关联，因此表达式可以简化为

$$-\beta C_{Ni}^{j+1}-(\lambda+\alpha)C_{i-1}^{j+1} +(1+2\lambda+\beta)C_{i}^{j+1}-(\lambda-\alpha)C_{i+1}^{j+1}= \beta C_{Ni}^{j}+(\lambda+\alpha)C_{i-1}^{j} +(1-2\lambda-\beta)C_{i}^{j}+(\lambda-\alpha)C_{i+1}^{j}$$

为求解此线性方程组，需要知道边界条件在通道始端就已经给定了。

$C_0^{j}$: 当前时间步某通道的初始条件

$C_{0}^{j+1}$: 下一时间步某通道的初始条件

$C_{N0}^{j}$: 前一通道到当前时间步下某通道的初始条件

$C_{M0}^{j}$: 下一通道到当前时间步下某通道的初始条件

对于通道的末端最后一个节点，最方便的条件是是绝热近似，则

$$\frac{\partial C}{\partial x}_{x=z} = \frac{(C_{i + 1} - C_{i - 1})}{2 \Delta x} = 0$$

当且只当

$$C_{i + 1}^{j+1} = C_{i - 1}^{j+1} \,$$

这一条件才被满足。

以3个通道，5个节点为例，可以将线性系统问题表示为

$$\begin{bmatrix}AA\end{bmatrix}\begin{bmatrix}C^{j+1}\end{bmatrix}=[BB][C^{j}]+[d]$$

其中。

$\mathbf{C^{j+1}} = \begin{bmatrix} C_{11}^{j+1}\\ C_{12}^{j+1} \\ C_{13}^{j+1} \\ C_{14}^{j+1} \\ C_{21}^{j+1}\\ C_{22}^{j+1} \\ C_{23}^{j+1} \\ C_{24}^{j+1} \\ C_{31}^{j+1}\\ C_{32}^{j+1} \\ C_{33}^{j+1} \\ C_{34}^{j+1} \end{bmatrix}$ $\mathbf{C^{j}} = \begin{bmatrix} C_{11}^{j}\\ C_{12}^{j} \\ C_{13}^{j} \\ C_{14}^{j} \\ C_{21}^{j}\\ C_{22}^{j} \\ C_{23}^{j} \\ C_{24}^{j} \\ C_{31}^{j}\\ C_{32}^{j} \\ C_{33}^{j} \\ C_{34}^{j} \end{bmatrix}$

需要清楚的是，AA和BB是由四个不同子矩阵组成的矩阵。

$$\mathbf{AA} = \begin{bmatrix} AA1 & AA3 & 0\\ AA3 & AA2 & AA3\\ 0 & AA3 & AA1\end{bmatrix}$$

$$\mathbf{BB} = \begin{bmatrix} BB1 & -AA3 & 0\\ -AA3 & BB2 & -AA3\\ 0 & -AA3 & BB1\end{bmatrix}$$

其中上述矩阵的的矩阵元对应于下一个矩阵和额外的4x4零矩阵。请注意，矩阵AA和BB的大小为12x12

$$\mathbf{AA1} = \begin{bmatrix} (1+2\lambda+\beta) & -(\lambda-\alpha) & 0 & 0 \\ -(\lambda+\alpha) & (1+2\lambda+\beta) & -(\lambda-\alpha) & 0 \\ 0 & -(\lambda+\alpha) & (1+2\lambda+\beta) & -(\lambda-\alpha)\\ 0 & 0 & -2\lambda & (1+2\lambda+\beta)\end{bmatrix}$$

$$\mathbf{AA2} = \begin{bmatrix} (1+2\lambda+2\beta) & -(\lambda-\alpha) & 0 & 0 \\ -(\lambda+\alpha) & (1+2\lambda+2\beta) & -(\lambda-\alpha) & 0 \\ 0 & -(\lambda+\alpha) & (1+2\lambda+2\beta) & -(\lambda-\alpha)\\ 0 & 0 & -2\lambda & (1+2\lambda+2\beta) \end{bmatrix}$$

$$\mathbf{AA3} = \begin{bmatrix} -\beta & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\beta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\beta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\beta \end{bmatrix}$$

$\mathbf{BB1} = \begin{bmatrix} (1-2\lambda-\beta) & (\lambda-\alpha) & 0 & 0 \\ (\lambda+\alpha) & (1-2\lambda-\beta) & (\lambda-\alpha) & 0 \\ 0 & (\lambda+\alpha) & (1-2\lambda-\beta) & (\lambda-\alpha)\\ 0 & 0 & 2\lambda & (1-2\lambda-\beta)\end{bmatrix}$ &

$$\mathbf{BB2} = \begin{bmatrix} (1-2\lambda-2\beta) & (\lambda-\alpha) & 0 & 0 \\ (\lambda+\alpha) & (1-2\lambda-2\beta) & (\lambda-\alpha) & 0 \\ 0 & (\lambda+\alpha) & (1-2\lambda-2\beta) & (\lambda-\alpha)\\ 0 & 0 & 2\lambda & (1-2\lambda-2\beta) \end{bmatrix}$$

这里的d矢量用于保证边界条件成立。在此示例中为12x1的矢量。

$$\mathbf{d} = \begin{bmatrix} (\lambda+\alpha)(C_{10}^{j+1}+C_{10}^{j}) \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ (\lambda+\alpha)(C_{20}^{j+1}+C_{20}^{j}) \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ (\lambda+\alpha)(C_{30}^{j+1}+C_{30}^{j}) \\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}$$

为了找到任意时间下污染物的聚集情况，需要对以下方程进行迭代计算：

$$\begin{bmatrix}C^{j+1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}AA^{-1}\end{bmatrix}([BB][C^{j}]+[d])$$

### 二维扩散问题

方程式，不是三角矩阵，二维的热方程

$$\frac{\partial u}{\partial t} = a \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)$$

假设网格满足$\Delta x = \Delta y$的特性，即可通过克兰克－尼科尔森方法将得到离散方程

$$\begin{align}u_{i,j}^{n+1} &= u_{i,j}^n + \frac{1}{2} \frac{a \Delta t}{(\Delta x)^2} \big[(u_{i+1,j}^{n+1} + u_{i-1,j}^{n+1} + u_{i,j+1}^{n+1} + u_{i,j-1}^{n+1} - 4u_{i,j}^{n+1}) \\ & \qquad {} + (u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n} - 4u_{i,j}^{n})\big]\end{align}$$

此方程可以再重组，配合柯朗数再进行简化

$$\mu = \frac{a \Delta t}{(\Delta x)^2}.$$

在克兰克－尼科尔森方法下，不需要为了稳定性而限制柯朗数的上限，不过为了数值稳定度，柯朗数仍不能太高，可以将方程式重写如下：

$$\begin{align}&(1 + 2\mu)u_{i,j}^{n+1} - \frac{\mu}{2}\left(u_{i+1,j}^{n+1} + u_{i-1,j}^{n+1} + u_{i,j+1}^{n+1} + u_{i,j-1}^{n+1}\right) \\ & \quad = (1 - 2\mu)u_{i,j}^{n} + \frac{\mu}{2}\left(u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n}\right).\end{align}$$

## 应用在金融数学上

许多的现象都可以用热方程（金融数学上称为扩散方程）来建模，因此克兰克－尼科尔森方法也可以用在这些领域中。尤其金融衍生工具定价用的布莱克-休斯模型可以转换为热方程，因此期权定价的数值解可以用克兰克－尼科尔森方法求得。

因为期权定价若超过基本假设（例如改变股息）时，无法求得解析解，需要用上述方式求得。不过若是非平滑的最后条件（大部分的金融商品都是如此），克兰克－尼科尔森方法会有数值的震荡，无法用滤波方式平缓。在期权定价上会反映在履约价Γ的变动。因此，一开始几个步骤需要用其他比较不会震荡的方法（如全隐式有限差分法）。