多重对数函数

多重对数函数（polylogarithm，也称：Jonquière's function，以数学家 Alfred Jonquière 命名）是数学中一种特殊函数。一个阶数（order）为 $s$、自变数为 $z$ 的多重对数函数写做 $\operatorname{Li}_s(z)$。只有在 $s$ 为某些特殊值时，多重对数函数才能简化为初等函数，例如自然对数或有理函数。在量子统计力学中，多重对数函数出现在费米-狄拉克分布及玻色-爱因斯坦分布解析解的积分之解析解中，因此也称为费米-狄拉克积分（Fermi–Dirac integral）或玻色-爱因斯坦积分（Bose–Einstein integral）。在量子电动力学中，正整数阶的多重对数函数则常出现在计算高阶费曼图的过程中。

多重对数函数与赫尔维茨ζ函数是等价的——两者皆可互相表示——而且这两个函数都是 勒奇超越函数的特例。多重对数函数不应与多对数函数混淆，也不应与欧拉对数积分 $\operatorname{Li}(z)$ 混淆。后者的符号相同，但没有下标。

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$\operatorname{Li}_{-3}(z)$｜$\operatorname{Li}_{-2}(z)$｜$\operatorname{Li}_{-1}(z)$｜$\operatorname{Li}_{0}(z)$｜$\operatorname{Li}_{1}(z)$｜$\operatorname{Li}_{2}(z)$｜$\operatorname{Li}_{3}(z)$

多重对数函数由 $z$ 的幂级数定义，为墨卡托级数的推广，同时也是关于 $s$ 的狄利克雷级数：

$$\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{z^k}{k^s} = z + \frac{z^2}{2^s} + \frac{z^3}{3^s} + \dots$$

此定义对于任意复数阶数 $s$ 以及所有模数 $|z| < 1$ 的复数自变数 $z$ 均有效；而透过解析延拓的过程，它可以扩展到 $|z| \geq 1$ 的情况（此处分母 $k^s$ 理解为 $\exp(s \ln k)$）。

当 $s = 1$ 时的多重对数函数可以用自然对数表示（即 $\operatorname{Li}_1(z) = -\ln(1-z)$）；而 $s=2$ 与 $s = 3$ 的特殊情况则分别被称为二重对数函数 （dilogarithm）（亦称为斯盆司函数）与三重对数（trilogarithm）。该函数的名称源于它也可以定义为递回的积分式：

$$\operatorname{Li}_{s+1}(z) = \int_0^z \frac {\operatorname{Li}_s(t)}{t}\,\mathrm{d}t$$

因此 $s = 2$ 的多重对数函数可表示为自然对数的积分，以此类推。若其阶数 $s$ 为非正整数，其多重对数函数为有理函数。

## 性质

在阶数 $s$ 为整数的情况下，通常表示为 $s=n$（若为负数则表示为 $s=-n$）。为方便运算，通常定义 $\mu = \ln(z)$，其中 $\ln(z)$ 是复对数函数 $\text{Ln}(z)$ 的主分支，使得 $-\pi < \text{Im}(\mu) \leq \pi$。另外，所有的幂运算均假设为单值函数：$z^s = \exp(s \ln(z))$。

根据阶数 $s$ 的不同，多重对数函数可能是多值函数。$\operatorname{Li}_s(z)$ 的主分支在 $|z| < 1$ 时由上面的级数定义给出，并且除了正实轴之外皆保持连续；在正实轴上，从 $z=1$ 到 $\infty$ 设有一条分支切割，使得该轴位于 $z$ 复数平面的下半平面。若以 $\mu$ 来表示，相当于 $-\pi < \arg(-\mu) \leq \pi$。多重对数函数对于 $\mu$ 的不连续性有时会令人混淆。

对于实数自变数 $z$ 而言，当 $z < 1$ 时，实数阶 $s$ 的多重对数函数为实函数；而当 $z \geq 1$ 时，其虚部为Wood：

$$\text{Im}(\operatorname{Li}_s(z)) = -\frac{\pi \mu^{s-1}}{\Gamma(s)}$$

跨越分支切割时，若 $\epsilon$ 为一极小的正实数，则：

$$\text{Im}(\operatorname{Li}_s(z + i\epsilon)) = \frac{\pi \mu^{s-1}}{\Gamma(s)}$$

以上两者皆可从 $\operatorname{Li}_s(e^\mu)$ 在 $\mu = 0$ 附近的级数展开式（见下文）推导得出。

多重对数函数的导数遵循其定义的幂级数：

$$z \frac{\partial \operatorname{Li}_s(z)}{\partial z} = \operatorname{Li}_{s-1}(z)$$

$$\frac{\partial \operatorname{Li}_s(e^\mu)}{\partial \mu} = \operatorname{Li}_{s-1}(e^\mu)$$

从级数定义可以看出其平方关系，这与倍增定理有关（另见 ,）：

$$\operatorname{Li}_s(-z) + \operatorname{Li}_s(z) = 2^{1-s} \operatorname{Li}_s(z^2)$$

库默尔函数也遵循非常相似的倍增公式。对于任何正整数 $p$，这都是乘法定理的一个特例：

$$\sum_{m=0}^{p-1} \operatorname{Li}_s(z e^{2\pi im/p}) = p^{1-s} \operatorname{Li}_s(z^p)$$

此公式可利用多重对数函数的级数定义以及指数项的正交性（参见例如离散傅立叶转换）来证明。

另一个重要的性质是反转公式（inversion formula），涉及赫尔维茨ζ函数或伯努利多项式，详细内容可见下方的“与其他函数的关系”章节。

## 特殊值

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在特定情况下，多重对数函数可以用其他函数来表示（见下文）。因此，多重对数函数的特殊值也可以透过这些函数的特殊值来求得。

对于多重对数函数阶数为整数的情况，透过对 $\operatorname{Li}_1(z)$ 反复应用算子 $z\cdot \partial/ \partial z$，可以得到以下显式表达式：

$$\operatorname{Li}_{1}(z) = -\ln(1-z)$$ $$\operatorname{Li}_{0}(z) = {z \over 1-z}$$ $$\operatorname{Li}_{-1}(z) = {z \over (1-z)^2}$$ $$\operatorname{Li}_{-2}(z) = {z (1+z) \over (1-z)^3}$$ $$\operatorname{Li}_{-3}(z) = {z (1+4z+z^2) \over (1-z)^4}$$ $$\operatorname{Li}_{-4}(z) = {z (1+z) (1+10z+z^2) \over (1-z)^5} .$$ 因此，当阶数为非正整数时，多重对数函数会简化为 $z$ 的多项式比值，即为 $z$ 的有理函数。一般情况可以用有限和式表示：$$\operatorname{Li}_{-n}(z) = \left(z {\partial \over \partial z} \right)^n {z \over {1-z}} = \sum_{k=0}^n k! S(n+1, k+1) \left({z \over {1-z}} \right)^{k+1} \qquad (n=0,1,2,\ldots),$$其中 $S(n,k)$ 是第二类史特灵数。适用于负整数阶数的等价公式为 Wood：$$\operatorname{Li}_{-n}(z) = (-1)^{n+1} \sum_{k=0}^n k! S(n+1, k+1) \left({{-1} \over {1-z}} \right)^{k+1} \qquad (n=1,2,3,\ldots),$$ 以及：$$\operatorname{Li}_{-n}(z) = {1 \over (1-z)^{n+1}} \sum_{k=0}^{n-1} \left\langle {n \atop k} \right\rangle z^{n-k} \qquad (n=1,2,3,\ldots),$$其中 $\scriptstyle \left\langle {n \atop k} \right\rangle$ 是欧拉的数（此处不是指欧拉数）。$\operatorname{Li}_n(z)$ 的所有根皆为相异实根，其中包括 $z = 0$，其余根皆为负数，且在对数尺度上以 $z=-1$ 为中心分布。当 $n$ 变得很大时，这些有理表达式的数值计算会渐渐受到数值抵消的影响 Wood；然而，透过多重对数函数与赫尔维茨ζ函数的一般关系式（见下文）来计算 $\operatorname{Li}_n(z)$，可以获得完整的精确度。

当自变数 $z=\frac{1}{2}$ 时，一些特定的表达式如下：

$$\operatorname{Li}_1(\tfrac12) = \ln 2$$ $$\operatorname{Li}_2(\tfrac12) = \tfrac1{12} \pi^2 - \tfrac12 (\ln 2)^2$$ $$\operatorname{Li}_3(\tfrac12) = \tfrac16 (\ln 2)^3 - \tfrac1{12} \pi^2 \ln 2 + \tfrac78 \zeta(3) ,$$

其中 ζ 是黎曼ζ函数。对于更高阶的整数，目前尚未发现此类公式 Lewin，但例如 Borwein 给出了：$$\operatorname{Li}_4(\tfrac12) = \tfrac 1{360} \pi^4 - \tfrac 1{24}(\ln 2)^4 + \tfrac1{24} \pi^2 (\ln 2)^2 - \tfrac 1 2 \zeta(\bar3, \bar1),$$这涉及到交错双重和：$$\zeta(\bar3, \bar1)=\sum_{m>n>0} (-1)^{m+n} m^{-3} n^{-1}.$$一般而言，当整数阶数 $n \ge 2$ 时 Broadhurst：

$$\operatorname{Li}_n(\tfrac12) = -\zeta(\bar1, \bar1, \left\{ 1 \right\}^{n-2}),$$其中 $\zeta(s_1, \ldots, s_k)$ 是 多重ζ函数；例如：

$$\operatorname{Li}_5(\tfrac12) = -\zeta(\bar1, \bar1, 1,1,1)$$

作为级数定义的直接推论，多重对数函数在第 $p$ 个复数单位根处的值由傅立叶和给出：$$\operatorname{Li}_s(e^{2 \pi i m/p}) = p^{-s} \sum_{k=1}^p e^{2 \pi i m k/p} \zeta(s, \tfrac {k}{p}) \qquad (m = 1, 2, \dots, p-1),$$其中 ζ 是赫尔维茨ζ函数。在 $\text{Re}(s) > 1$ 且 $\operatorname{Li}_s(1)$ 为有限值的区域，该关系式对于 $m = 0$ 或 $m = p$ 同样成立。虽然这个公式不像下文“与其他函数的关系”中所列出的更一般的赫尔维茨ζ函数关系式那么简单，但它的优点是同样适用于非负整数的 $s$。通常这个关系式也可以反过来对于任意 $m = 1, \ldots, p$ 的 $\zeta\left(s, \frac{m}{p}\right)$ 表示为 $\operatorname{Li}_s(\exp\left(2\pi i\frac{k}{p}\right))$ 对 $k = 1, \ldots, p$ 的傅立叶和。

## 与其他函数的关系

- 当 $z=1$ 时，多重对数函数简化为黎曼ζ函数：$$\operatorname{Li}_s(1) = \zeta(s) \qquad (\operatorname{Re}(s)>1)$$
- 多重对数函数与狄利克雷η函数及狄利克雷β函数 有关：$$\operatorname{Li}_s(-1) = -\eta(s),$$ 其中 $\eta(s)$ 是狄利克雷η函数。对于纯虚数自变数，有：$$\operatorname{Li}_s(\pm i) = -2^{-s} \eta(s) \pm i\beta(s),$$ 其中 $\beta(s)$ 是狄利克雷β函数。
- 多重对数函数与完全费米—狄拉克积分的关系为：$$F_s(\mu) = -\operatorname{Li}_{s+1}(-e^\mu)$$
- 多重对数函数与完全玻色—爱因斯坦积分（complete Bose–Einstein integral）的关系为：$$G_s(\mu) = \operatorname{Li}_{s+1}(e^\mu)$$
- 多重对数函数是不完全多重对数函数的一个特例：$$\operatorname{Li}_s(z) = \operatorname{Li}_s(0,z)$$
- 多重对数函数是勒奇超越函数的一个特例 Erdélyi et al.：$$\operatorname{Li}_s(z) = z\Phi(z,s,1)$$
- 多重对数函数与赫尔维茨ζ函数的关系如下：$$\operatorname{Li}_s(z) = {\Gamma(1 - s) \over (2\pi)^{1-s}} \left[i^{1-s} \zeta \left(1 - s, \frac{1}{2} + {\ln(-z) \over {2\pi i}} \right) + i^{s-1} ~\zeta \left(1 - s, \frac{1}{2} - {\ln(-z) \over {2\pi i}} \right) \right],$$然而，此关系式在正整数 $s$ 处会因 伽玛函数 $\Gamma(1-s)$ 的极点而失效，且在 $s=0$ 处因两个 zeta 函数的极点而失效；此公式的推导参见下文的“级数表示”。借助赫尔维茨ζ函数的一个泛函方程，多重对数函数随后也透过下式与该函数建立联系 Jonquière：$$i^{-s} \operatorname{Li}_s(e^{2\pi i x}) + i^s \operatorname{Li}_s(e^{-2\pi i x}) = \frac{(2\pi)^s}{\Gamma(s)} \zeta(1 - s, x),$$当 $\text{Im}(x)\ge 0$ 时，此关系对于 $0 \le \text{Re}(x) < 1$ 成立；当 Im(x) < 0 时，对于 $0 < \text{Re}(x) \le 1$ 成立。等价地，对于所有复数 $s$ 以及 $z \not\in (0,1]$ 的复数 $z$，反演公式（inversion formula）如下：$$\operatorname{Li}_s(z) + (-1)^s \operatorname{Li}_s(1/z) = \frac{(2\pi i)^s}{\Gamma(s)} ~\zeta \left(1 - s, ~\frac{1}{2} + {\ln(-z) \over {2\pi i}} \right),$$而对于所有复数 $s$ 且复数 $z \not\in (1,\infty)$：$$\operatorname{Li}_s(z) + (-1)^s \operatorname{Li}_s(1/z) = {(2\pi i)^s \over \Gamma(s)} ~\zeta \left(1 - s, ~\frac{1}{2} - {\ln(-1/z) \over {2\pi i}} \right)$$对于 $z \not\in (0,\infty)$，有 $\ln(-z) = -ln\left(-\frac{1}{z}\right)$，且上述两式一致。这些关系提供了多重对数函数在定义幂级数的收敛圆 $|z| = 1$ 之外的解析延拓。（若假设同时使用多重对数和对数的主分支，则 和 中对应的方程是不正确的。）当 $s$ 为整数时，简化公式见下一项。
- 对于正整数阶数 $s$，赫尔维茨ζ函数 $\zeta (1-s,x)$ 会简化为伯努利多项式 $\zeta(1-n,x)=-\frac{B_n(x)}{n}$，而 Jonquière 的反演公式对于 $n = 1, 2, 3, \ldots$ 变成：$$\operatorname{Li}_{n}(e^{2\pi i x}) + (-1)^n \operatorname{Li}_{n}(e^{-2\pi i x}) = -{(2\pi i)^n \over n!} B_n(x),$$同理，若 $\text{Im}(x)\ge 0$ 则 $0 \le \text{Re}(x) < 1$，若 $\text{Im}(x) < 0$ 则 $0 < \text{Re}(x) \le 1$。若将多重对数函数的自变数限制在单位圆（$\text{Im}(x) = 0$）上，则当 $n$ 为偶数时，此公式左侧简化为 $2 \text{Re}(\operatorname{Li}_n(e^{2\pi ix}))$；当 $n$ 为奇数时，简化为 $2i\text{Im}(\operatorname{Li}_n(e^{2\pi ix}))$。另一方面，对于负整数阶数，$\Gamma(s)$ 的发散代表对于所有 $z$ 都有 Erdélyi et al.：$$\operatorname{Li}_{-n}(z) + (-1)^n \operatorname{Li}_{-n}(1/z) = 0 \qquad (n = 1,2,3,\ldots)$$更一般地，对于 $n = 0, \pm 1, \pm2, \pm3, \ldots$：$$\begin{align} \operatorname{Li}_{n}(z) + (-1)^n \operatorname{Li}_{n}(1/z) &= -\frac{(2\pi i)^n}{n!} B_n \left( \frac{1}{2} + {\ln(-z) \over {2\pi i}} \right) & (z \not\in ]0;1]), \\ \operatorname{Li}_{n}(z) + (-1)^n \operatorname{Li}_{n}(1/z) &= -\frac{(2\pi i)^n}{n!} B_n \left( \frac{1}{2} - {\ln(-1/z) \over {2\pi i}} \right) & (z \not\in ~]1;\infty[), \end{align}$$ 其中两式在 $z \not\in (0,\infty)$ 时一致。（和 中对应的方程再次是不正确的。）
- 具有纯虚数参数 $\mu$ 的多重对数函数可以用克劳森函数 $\operatorname{Ci}_s(\theta)$ 和 $\operatorname{Si}_s(\theta)$ 表示，反之亦然： $$\operatorname{Li}_s(e^{\pm i \theta}) = \operatorname{Ci}_s(\theta) \pm i \operatorname{Si}_s(\theta)$$
- 反正切积分 $\operatorname{Ti}_s(z)$ Lewin 可以用多重对数函数表示： $$\operatorname{Ti}_s(z) = {1 \over 2i} \left[ \operatorname{Li}_s(i z) - \operatorname{Li}_s(-i z) \right]$$ 此关系特别意味着：$$\operatorname{Ti}_0(z) = {z \over 1+z^2}, \quad \operatorname{Ti}_1(z) = \arctan z, \quad \operatorname{Ti}_2(z) = \int_0^z {\arctan t \over t} dt, \quad \ldots~ \quad \operatorname{Ti}_{n+1}(z) = \int_0^z \frac{\operatorname{Ti}_n(t)}{t} dt,$$ 这解释了该函数名称的由来。
- 勒让德χ函数 $\chi_s(z)$可以用多重对数函数表示：$$\chi_s(z) = \tfrac {1}{2} \left[ \operatorname{Li}_s(z) - \operatorname{Li}_s(-z) \right]$$
- 整数阶的多重对数函数可以表示为广义超几何函数：$$\begin{align} \operatorname{Li}_n(z) &= z\,\; _{n+1\!}F_{n} (1,1,\dots,1; 2,2,\dots,2; z) & (n = 0,1,2,\ldots), \\ \operatorname{Li}_{-n}(z) &= z\,\; _{n}F_{n-1} (2,2,\dots,2; 1,1,\dots,1; z) & (n = 1,2,3,\ldots) ~ \end{align}$$
- 使用不完全 ζ 函数或“德拜函数”Abramowitz：$$Z_n(z) = {1 \over (n - 1)!} \int_z^\infty {t^{n-1} \over e^t-1} dt \qquad (n = 1,2,3,\ldots) ,$$ 对于正整数 $n$，多重对数函数 $\operatorname{Li}_n(z)$ 可以表示为有限和 Wood：$$\operatorname{Li}_{n}(e^\mu) = \sum_{k=0}^{n-1} Z_{n-k}(-\mu) {\mu^k \over k!} \qquad (n = 1,2,3,\ldots)$$ 一个非常相似的表达式将“德拜函数”$Z_n(z)$ 与多重对数函数联系起来：$$Z_n(z) = \sum_{k=0}^{n-1} \operatorname{Li}_{n-k}(e^{-z}) {z^k \over k!} \qquad (n = 1,2,3,\ldots)$$
- 使用朗伯级数，若 $J_s(n)$ 是若尔当欧拉函数，则有：$$\sum_{n=1}^\infty\frac{z^nJ_{-s}(n)}{1-z^n}=\operatorname{Li}_{s}(z)$$

## 积分表示

以下任何一种积分表示都能提供多重对数函数在定义幂级数的收敛圆 $|z| = 1$ 之外的解析延拓

- 多重对数函数可以用玻色-爱因斯坦分布的积分来表示： $$\operatorname{Li}_{s}(z) = {1 \over \Gamma(s)} \int_0^\infty {t^{s-1} \over e^t/z-1} dt$$此积分在 $\operatorname{Re}(s) > 0$ 且 $z$ 不为大于等于 1 的实数时收敛。在这种脉络下，多重对数函数有时被称为玻色积分（Bose integral），但更常见的称呼是玻色-爱因斯坦积分（Bose–Einstein integral）

$$\int_{0}^{\infty}\frac{x^s}{e^x-1}dx = \int_{0}^{\infty}x^s\frac{1}{e^x-1}dx = \int_{0}^{\infty}\frac{x^s}{e^x}\frac{1}{1-\frac{1}{e^x}} dx\quad \wedge \quad \frac{1}{1-r} = \sum_{n=0}^{\infty}r^n$$

$$\int_{0}^{\infty}\frac{x^s}{e^x}\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{e^x}\right)^n dx = \int_{0}^{\infty}\frac{x^s}{e^x}\sum_{n=0}^{\infty}e^{-nx}dx = \sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}x^s e^{-nx} e^{-x}dx$$

$$\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}x^s e^{-(n+1)x}dx\quad\wedge\quad u=(n+1)x,du=(n+1)dx \Rightarrow dx=\frac{du}{n+1}$$

$$\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\left(\frac{u}{n+1}\right)^s e^{-u}\frac{du}{n+1} = \sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{s+1}}u^s e^{-u}du$$

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{s+1}} \left(\int_{0}^{\infty} u^s e^{-u} du \right) = \left(\int_{0}^{\infty}u^s e^{-u}du \right) \left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{s+1}}\right)=$$

$$\left(\int_{0}^{\infty}u^{(s+1)-1}e^{-u}du\right) \left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{s+1}}\right) = \Gamma(s+1)\zeta (s+1)$$

同样地，多重对数函数也可以用费米-狄拉克分布的积分来表示： $$-\operatorname{Li}_{s}(-z) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty {t^{s-1} \over e^t/z+1} dt$$ 此积分在 $\operatorname{Re}(s) > 0$ 且 $z$ 不为小于等于 −1 的实数时收敛。在这种脉络下，多重对数函数有时被称为费米积分或全费米-狄拉克积分（Fermi–Dirac integral）。这些表示法可以轻易地透过对被积函数关于 $z$ 的泰勒展开并逐项积分来验证。Dingle 的论文包含了对这两类积分的详细研究。多重对数函数也与马克士威-波兹曼分布的积分有关： $$\lim_{z \to 0} \frac{\operatorname{Li}_{s}(z)}{z} = {1 \over \Gamma(s)} \int_0^\infty {t^{s-1} e^{-t}} dt = 1$$ 这也给出了多重对数函数在原点附近的渐近行为。

- 另一种补充的积分表示适用于 $\operatorname{Re}(s) < 0$ 且 $z$ 不为大于等于 0 的实数： $$\operatorname{Li}_{s}(z) =\int_0^\infty {t^{-s} \sin[s \pi /2 - t \ln(-z)] \over \sinh(\pi t)} dt$$此积分遵循多重对数函数与赫尔维茨ζ函数（见上文）的一般关系，以及后者常见的积分表示。
- 多重对数函数可以由汉克尔轮廓积分Whittaker 广义地表示，这将玻色-爱因斯坦表示扩展到了负阶数 $s$。只要被积函数的 $t = \mu$ 极点不位于非负实轴上，且 $s \neq 1, 2, 3, \dots$，我们有： $$\operatorname{Li}_s(e^\mu) = -{{\Gamma(1 - s)} \over {2\pi i}} \oint_H {{(-t)^{s-1}} \over {e^{t-\mu}-1}} dt$$其中 $H$ 代表汉克尔轮廓。被积函数在实轴上从 0 到 $\infty$ 有一条割线，该轴属于 $t$ 的下半平面。积分从上半平面（$\operatorname{Im}(t) > 0$）的 $+\infty$ 开始，绕原点一圈（不包含任何 $t = \mu + 2k\pi i$ 的极点），最后结束于下半平面（$\operatorname{Im}(t) < 0$）的 $+\infty$。对于 $\mu$ 为实数且非负的情况，我们可以简单地减去所包含的 $t = \mu$ 极点的贡献： $$\operatorname{Li}_s(e^\mu) = -{{\Gamma(1 - s)} \over {2\pi i}} \oint_H {{(-t)^{s-1}} \over {e^{t-\mu}}-1} dt - 2\pi i R$$ 其中 $R$ 是该极点的留数： $$R = {i \over 2\pi} \Gamma(1 - s) (-\mu)^{s-1}$$
- 将阿贝尔-普拉纳公式应用于多重对数函数的定义级数时，会产生一个对所有复数 $z$ 和所有复数 $s$ 都有效的埃尔米特型积分表示： $$\operatorname{Li}_s(z) = \tfrac{1}{2}z + {\Gamma(1 - s, -\ln z) \over (-\ln z)^{1-s}} + 2z \int_0^\infty \frac{\sin(s\arctan t - t\ln z)} {(1+t^2)^{s/2} (e^{2\pi t}-1)} dt$$其中 $\Gamma$ 是上不完全伽玛函数。此表达式中所有的（而非部分）$\ln(z)$ 都可以替换为 $-\ln(1/z)$。另一个同样适用于所有复数 $s$ 的相关表示为： $$\operatorname{Li}_s(z) = \tfrac{1}{2}z + z \int_0^\infty \frac{\sin[s \arctan t - t \ln(-z)]} {(1+t^2)^{s/2} \sinh(\pi t)} dt$$此式避免了不完全伽玛函数的使用，但若 $\operatorname{Re}(s) \leq 0$，则此积分在正实轴上的 $z$ 会失效。这个表达式是透过将 $2^{s} \operatorname{Li}_{s}(-z) / (-z) = \Phi(z^2, s, 1/2) - z \Phi(z^2, s, 1)$（其中 $\Phi$ 是勒奇超越函数），并对第一个 $\Phi$ 级数应用阿贝尔-普拉纳公式，对第二个 $\Phi$ 级数应用包含 $1 / (e^{2\pi t} + 1)$ 代替 $1 / (e^{2\pi t} - 1)$ 的补充公式而得到的。
- 对于 $s \in \mathbb{N}$，我们可以透过对普通几何级数进行逐项积分来表示多重对数函数的积分 Borwein： $$\operatorname{Li}_{s+1}(z) = \frac{z \cdot (-1)^s}{s!} \int_0^1 \frac{\log^s(t)}{1-tz} dt$$

## 级数表示

- 如上文“积分表示”所述，多重对数函数的玻色-爱因斯坦积分表示可以透过汉克尔轮廓积分扩展到负阶数 $s$： $$\operatorname{Li}_s(e^\mu) = -{\Gamma(1 - s) \over 2\pi i} \oint_H {(-t)^{s-1} \over e^{t-\mu}-1} dt$$ 其中 $H$ 为汉克尔轮廓，$s \neq 1, 2, 3, \dots$，且被积函数的 $t = \mu$ 极点不位于非负实轴上。可以修改轮廓积分的路径使其包围被积函数在 $t - \mu = 2k\pi i$ 处的极点，则该积分可求得为留数之和： $$\operatorname{Li}_s(e^\mu) = \Gamma(1 - s) \sum_{k=-\infty}^\infty (2k \pi i - \mu)^{s-1}$$ 这对于 $\operatorname{Re}(s) < 0$ 且除了 $e^\mu = 1$ 之外的所有 $\mu$ 都成立。对于 $0 < \operatorname{Im}(\mu) \leq 2\pi$，该项和可以拆分为： $$\operatorname{Li}_s(e^\mu) = \Gamma(1-s) \left[ (-2\pi i)^{s-1} \sum_{k=0}^\infty \left(k + {\mu \over {2\pi i}} \right)^{s-1} + (2\pi i)^{s-1} \sum_{k=0}^\infty \left(k+1- {\mu \over {2\pi i}} \right)^{s-1} \right]$$ 此时这两个级数可以识别为赫尔维茨ζ函数： $$\operatorname{Li}_s(e^\mu) = {\Gamma(1 - s) \over (2\pi)^{1-s}} \left[i^{1-s} ~\zeta \left(1 - s, ~{\mu \over {2\pi i}} \right) + i^{s-1} ~\zeta \left(1 - s, ~1 - {\mu \over {2\pi i}} \right) \right] \qquad (0 < \operatorname{Im}(\mu) \leq 2\pi)$$ 此关系式已在上文“与其他函数的关系”中给出，它对所有复数 $s \neq 0, 1, 2, 3, \dots$ 均成立，且最早由 Jonquière 推导得出。
- 为了将多重对数函数表示为关于 $\mu = 0$ 的幂级数，我们将汉克尔轮廓积分导出的级数写为： $$\operatorname{Li}_s(e^\mu) = \Gamma(1 - s) (-\mu)^{s-1} + \Gamma(1 - s) \sum_{h=1}^\infty \left[(-2 h \pi i - \mu)^{s-1} + (2 h \pi i - \mu)^{s-1} \right]$$ 当级数中的二项式幂次关于 $\mu = 0$ 展开并反转求和顺序时，关于 $h$ 的和可以表示为闭合形式：$$\operatorname{Li}_s(e^\mu) = \Gamma(1 - s) (-\mu)^{s-1} + \sum_{k=0}^\infty {\zeta(s-k) \over k!} \mu^k$$ 此结果在 $|\mu| < 2\pi$ 时成立，且归功于黎曼ζ函数提供的解析延拓，对所有 $s \neq 1, 2, 3, \dots$ 均有效。如果阶数为正整数 $s = n$，则 $k = n - 1$ 的项与伽玛函数都会趋于无穷大，但它们的和却不会。可以得到： $$\lim_{s \to k+1} \left[ {\zeta(s-k) \over k!} \mu^k + \Gamma(1 - s) (-\mu)^{s-1} \right] = {\mu^k \over k!} \left[\sum_{h=1}^k {1 \over h} - \ln(-\mu) \right]$$ 其中若 $k = 0$，则关于 $h$ 的和消失。因此，对于正整数阶数且 $|\mu| < 2\pi$，我们得到级数： $$\operatorname{Li}_{n}(e^\mu) = {\mu^{n-1} \over (n-1)!} \left[ H_{n-1} - \ln(-\mu) \right] + \sum_{k=0,k\ne n-1}^\infty {\zeta(n-k) \over k!} \mu^k$$ 其中 $H_n$ 代表第 $n$ 个调和数： $$H_n = \sum_{h=1}^n {1 \over h}, \qquad H_0 = 0$$ 现在问题项包含 $-\ln(-\mu)$，当乘以 $\mu^{n-1}$ 时，随着 $\mu \to 0$，除了 $n = 1$ 的情况外，该项都会趋于零。这反映了 $\operatorname{Li}_s(z)$ 在 $s = 1$ 且 $z = 1$ 处表现出真正的对数奇异性，因为： $$\lim_{\mu \to 0} \Gamma(1-s)(-\mu)^{s-1} = 0 \qquad (\operatorname{Re}(s) > 1)$$ 对于接近但不等于正整数的 $s$，关于 $\mu = 0$ 展开式中的发散项预计会导致计算困难 Wood。若假设同时使用多重对数和对数的主分支，则 Erdélyi 对应的关于 $\ln(z)$ 幂次的展开式 Erdélyi et al. 是不正确的，因为 $\ln(1/z)$ 并不一致等于 $-\ln(z)$。对于非正整数的 $s$，关于 $\mu = 0$ 展开式中的 ζ 函数 $\zeta(s-k)$ 会简化为伯努利数：$\zeta(-n-k) = -B_{1+n+k} / (1+n+k)$。使用此级数对 $\operatorname{Li}_{-n}(z)$ 进行数值评估时，不会出现上文“特殊值”中提到的有限有理表达式在大 $n$ 时所面临的抵消效应。
- 利用恒等式 $$1 = {1 \over \Gamma(s)} \int_0^\infty e^{-t} t^{s-1} dt \qquad (\operatorname{Re}(s) > 0)$$ 多重对数函数的玻色-爱因斯坦积分表示（见上文）可以改写为以下形式： $$\operatorname{Li}_s(z) = \tfrac{1}{2}z + {z \over 2 \Gamma(s)} \int_0^\infty e^{-t} t^{s-1} \coth{t - \ln z \over 2} dt \qquad (\operatorname{Re}(s) > 0)$$ 将双曲余切替换为双边级数： $$\coth{t-\ln z \over 2} = 2 \sum_{k = -\infty}^\infty {1 \over 2 k \pi i + t - \ln z}$$ 接着反转积分与求和的顺序，最后将求和项识别为上不完全伽玛函数的积分表示，可得： $$\operatorname{Li}_s(z) = \tfrac{1}{2}z + \sum_{k = -\infty}^\infty {\Gamma(1-s, 2k \pi i - \ln z) \over (2k \pi i - \ln z)^{1-s}}$$ 对于此结果的双边级数以及双曲余切的级数，从 $-k_{\max}$ 到 $k_{\max}$ 的对称部分和在 $k_{\max} \to \infty$ 时均无条件收敛。只要以对称方式进行求和，此 $\operatorname{Li}_s(z)$ 的级数对所有复数 $s$ 以及所有复数 $z$ 均成立。
- 将第二类史特灵数的显式表达式代入非正整数阶多重对数函数的有限和（见上文），可以写成$$\operatorname{Li}_{-n}(z) = \sum_{k=0}^n \left( {-z \over 1-z} \right)^{k+1} \sum_{j=0}^k (-1)^{j+1} {k \choose j} (j+1)^n \qquad (n=0,1,2,\ldots)$$ 将外部求和简单扩展到 $\infty$ 得到无限级数 Guillera： $$\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=0}^\infty \left( {-z \over 1-z} \right)^{k+1} ~\sum_{j=0}^k (-1)^{j+1} {k \choose j} (j+1)^{-s}$$ 结果证明，这对所有复数 $s$ 以及 $\operatorname{Re}(z) < 1/2$ 的复数 $z$ 均收敛到多重对数函数。这可以透过反转求和顺序并使用下式在 $|-z/(1-z)| < 1/2$ 时验证： $$\sum_{k=j}^\infty {k \choose j} \left( {-z \over 1-z} \right)^{k+1} = \left[ \left( {-z \over 1-z} \right)^{-1} -1 \right]^{-j-1} = (-z)^{j+1}$$ 这些级数的内部系数可以用涉及广义调和数的史特灵数相关公式表示。例如，参见生成函数转换以查找以下恒等式的证明（或证明引用）： $$\begin{align} \operatorname{Li}_2(z) &= \sum_{j \geq 1} \frac{(-1)^{j-1}}{2} \left(H_j^2+H_j^{(2)}\right) \frac{z^j}{(1-z)^{j+1}} \\ \operatorname{Li}_3(z) &= \sum_{j \geq 1} \frac{(-1)^{j-1}}{6} \left(H_j^3+3H_j H_j^{(2)} + 2 H_j^{(3)}\right) \frac{z^j}{(1-z)^{j+1}} \end{align}$$ 对于其他满足 $\operatorname{Re}(z) < 1/2$ 的自变数，结果可由解析延拓导出。此过程等同于对定义多重对数函数的 $z$ 级数应用欧拉变换。

## 渐近展开

对于 $|z| \gg 1$，多重对数函数可以根据 $\ln(-z)$ 展开为渐近级数：

$$\operatorname{Li}_s(z) = {\pm i\pi \over \Gamma(s)} [\ln(-z) \pm i\pi]^{s-1} - \sum_{k = 0}^\infty (-1)^k (2\pi)^{2k} {B_{2k} \over (2k)!} {[\ln(-z) \pm i\pi]^{s-2 k} \over \Gamma(s+1-2k)}$$ $$\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k (1-2^{1-2k}) (2\pi)^{2k} {B_{2k} \over (2k)!} {[\ln(-z)]^{s-2 k} \over \Gamma(s+1-2k)}$$

其中 $B_{2k}$ 为伯努利数。这两个版本对于所有的 $s$ 以及任何 $\arg(z)$ 均成立。在一般情况下，当级数项的幅度开始增长时，应该停止求和。对于负整数 $s$，这些展开式会完全消失；对于非负整数 $s$，它们则在有限项后截断。描述了一种从玻色-爱因斯坦积分表示获取这些级数的方法（他在 $\operatorname{Li}_s(e^\mu)$ 的方程 11.2 中要求 $-2\pi < \operatorname{Im}(\mu) \leq 0$）。

## 极限行为

以下极限由多重对数函数的各种表示法导出 Wood：

$$\operatorname{Li}_s(z) \sim_{|z|\to 0} z$$ $$\operatorname{Li}_s(e^\mu) \sim_{|\mu|\to 0} \Gamma(1 - s) (-\mu)^{s-1} \qquad (\operatorname{Re}(s) < 1)$$ $$\operatorname{Li}_s(\pm e^\mu) \sim_{\operatorname{Re}(\mu) \to \infty} -{\mu^s \over \Gamma(s+1)}\qquad (s \ne -1, -2, -3, \ldots)$$ $$\operatorname{Li}_{-n}(e^\mu) \sim_{\operatorname{Re}(\mu) \to \infty} -(-1)^n e^{-\mu} \qquad (n = 1, 2, 3, \ldots)$$ $$\operatorname{Li}_s(z) \sim_{\operatorname{Re}(s) \to \infty} z$$ $$\operatorname{Li}_s(e^\mu) \sim_{\operatorname{Re}(s) \to -\infty} \Gamma(1-s) (-\mu)^{s-1} \qquad (-\pi < \operatorname{Im}(\mu) < \pi)$$ $$\operatorname{Li}_s(-e^\mu) \sim_{\operatorname{Re}(s) \to -\infty} \Gamma(1 - s) \left[ (-\mu - i\pi)^{s-1} + (-\mu + i\pi)^{s-1} \right] \qquad (\operatorname{Im}(\mu) = 0)$$

Wood 针对 $\operatorname{Re}(\mu) \to \infty$ 的第一个极限已根据其方程 11.3 进行了修正。而 $\operatorname{Re}(s) \to -\infty$ 的极限则是根据多重对数函数与赫尔维茨ζ函数的一般关系（见上文）推导而来。

## 二重对数函数

二重对数函数（Dilogarithm），又称为斯盆司函数（Spence's function）是阶数为 $s = 2$ 的多重对数函数。对于任意复数自变数 $z$，二重对数函数有另一种积分表达式 Abramowitz：

$$\operatorname{Li}_2 (z) = -\int_0^z{\ln (1-t) \over t} dt = -\int_0^1{\ln (1-zt) \over t} dt$$

一个常见的混淆来源是，某些电脑代数系统将二重对数函数定义为 $\operatorname{dilog}(z) = \operatorname{Li}_2(1-z)$

对于实数 $z \ge 1$，二重对数函数的第一个积分表达式可以写成：

$$\operatorname{Li}_2(z) = \frac{\pi^2}{6} - \int_1^z{\ln(t-1) \over t} dt - i\pi \ln z$$

从中展开 $\ln(t-1)$ 并逐项积分，我们得到：

$$\operatorname{Li}_2(z) = \frac{\pi^2}{3} - \frac{1}{2}(\ln z)^2 - \sum_{k=1}^\infty {1 \over k^2 z^k} - i\pi \ln z \qquad (z \ge 1)$$

二重对数函数的“阿贝尔恒等式”（Abel identity）由 Abel 给出：

$$\operatorname{Li}_2 \left( \frac{x}{1-y} \right) + \operatorname{Li}_2 \left( \frac{y}{1-x} \right) - \operatorname{Li}_2 \left(\frac{xy}{(1-x)(1-y)} \right) = \operatorname{Li}_2(x) + \operatorname{Li}_2(y) + \ln(1-x) \ln(1-y)$$ $$(\operatorname{Re}(x) \le \tfrac{1}{2} \wedge \operatorname{Re}(y) \le \tfrac{1}{2} \vee \operatorname{Im}(x) > 0 \wedge \operatorname{Im}(y) > 0 \vee \operatorname{Im}(x) < 0 \wedge \operatorname{Im}(y) < 0 \vee \dots)$$

此等式在 $x = 0$ 或 $y = 0$ 时显然成立，对于一般自变数则可以轻易地透过偏微分 $\partial^2/\partial x \partial y$ 来验证。当 $y = 1-x$ 时，此恒等式简化为欧拉的“反射公式”（reflection formula）：

$$\operatorname{Li}_2 \left(x \right) + \operatorname{Li}_2 \left(1-x\right) = \frac{1}{6} \pi^2 - \ln(x)\ln(1-x)$$其中已使用 $\operatorname{Li}_2(1) = \zeta(2) = \tfrac{1}{6} \pi^2$，且 $x$ 可取任何复数值。

若使用新变数 $u = x/(1-y)$ 与 $v = y/(1-x)$，阿贝尔恒等式可写作：

$$\operatorname{Li}_2(u) + \operatorname{Li}_2(v) - \operatorname{Li}_2(uv) = \operatorname{Li}_2 \left( \frac{u-uv}{1-uv} \right) + \operatorname{Li}_2 \left( \frac{v-uv}{1-uv} \right) + \ln \left( \frac{1-u}{1-uv} \right) \ln\left( \frac{1-v}{1-uv} \right)$$这对应于 给出的“五角恒等式”（pentagon identity）。

根据 $x = y = 1-z$ 的阿贝尔恒等式与平方关系，我们可以得到 John Landen恒等式：$$\operatorname{Li}_2(1-z) + \operatorname{Li}_2 \left( 1-\frac{1}{z} \right) = - \frac{1}{2} (\ln z)^2 \qquad (z \not \in ~]-\infty; 0])$$对每个二重对数函数应用反射公式，我们可以发现反演公式：$$\operatorname{Li}_2(z) + \operatorname{Li}_2(1/z) = -\tfrac{1}{6} \pi^2 - \tfrac{1}{2} [\ln(-z)]^2 \qquad (z \not \in [0; 1[)$$对于实数 $z \ge 1$ 亦有：$$\operatorname{Li}_2(z) + \operatorname{Li}_2(1/z) = \tfrac{1}{3} \pi^2 - \tfrac{1}{2} (\ln z)^2 - i\pi \ln z$$

下表列出了二重对数函数在特殊自变数下的已知闭合形式评估值。第一列中的自变数透过反射 $x \leftrightarrow 1-x$ 或反演 $x \leftrightarrow 1/x$ 与 $x = 0$ 或 $x = -1$ 相关联；第三列中的自变数则全部透过这些运算相互关联。

```
討論了 17 至 19 世紀的相關文獻。反射公式早在 1760 年就由蘭登發表，早於歐拉 1768 年的著作 Maximon；與阿貝爾恆等式等價的公式由斯彭斯於 1809 年發表，早於阿貝爾在 1826 年寫下的手稿 Zagier。「二重對數函數」（bilogarithmische Function）這一名稱是由瑞典隆德大學教授卡爾·約翰·丹尼爾松·希爾於 1828 年引入的 Maximon。曾評論道，二重對數函數是唯一擁有「幽默感」的數學函數。
```

$x$｜$\operatorname{Li}_2(x)$｜$x$｜$\operatorname{Li}_2(x)$

$-1$｜$-\tfrac {1}{12} \pi^2$｜$-\phi$｜$-\tfrac {1}{10} \pi^2 - \ln^2 \phi$

$0$｜$0$｜$-1 / \phi$｜$-\tfrac {1}{15} \pi^2 + \tfrac {1}{2} \ln^2 \phi$

$\tfrac {1}{2}$｜$\tfrac {1}{12} \pi^2 - \tfrac {1}{2} \ln^2 2$｜$1 / \phi^2$｜$\tfrac {1}{15} \pi^2 - \ln^2 \phi$

$1$｜$\tfrac {1}{6} \pi^2$｜$1 / \phi$｜$\tfrac {1}{10} \pi^2 - \ln^2 \phi$

$2$｜$\tfrac {1}{4} \pi^2 - \pi i \ln 2$｜$\phi$｜$\tfrac {11}{15} \pi^2 + \tfrac {1}{2} \ln^2(-1 / \phi)$

$\phi^2$｜$-\tfrac {11}{15} \pi^2 - \ln^2(-\phi)$

这里的 $\phi = \tfrac{1}{2} (\sqrt{5}+1)$ 表示黄金比例。

## 多重对数梯

伦纳德·勒温发现了多重对数函数在特殊值下许多古典关系式的显著且广泛的推广。这些关系式现在被称为“多重对数梯”（polylogarithm ladders）。定义 $\rho = \tfrac{1}{2} (\sqrt{5}-1)$ 为黄金比例的倒数。那么，二重对数函数阶梯的两个简单例子分别是：

$$\operatorname{Li}_2(\rho^6) = 4 \operatorname{Li}_2(\rho^3) + 3 \operatorname{Li}_2(\rho^2) - 6 \operatorname{Li}_2(\rho) + \tfrac {7}{30} \pi^2$$

此式由 给出，以及：

$$\operatorname{Li}_2(\rho) = \tfrac{1}{10} \pi^2 - \ln^2\rho$$

此式由 John Landen 给出。多重对数梯自然且深刻地出现在 K-理论与代数几何中。此外，多重对数阶梯也为透过 BBP 算法快速计算各种数学常数提供了基础 Bailey。

## 单值性

多重对数函数有两个分歧点：一个位于 $z = 1$，另一个位于 $z = 0$。第二个分歧点 $z = 0$ 在多重对数函数的主黎曼叶（main sheet）上是不可见的；只有当函数解析延拓到其他叶时，它才会变得可见。多重对数函数的单值性群由围绕这两个分歧点转圈的同伦类组成。若将这两者分别表示为 $m_0$ 与 $m_1$，则单值性群具有以下群展示：

$$\langle m_0, m_1 \vert w = m_0 m_1 m^{-1}_0 m^{-1}_1, w m_1 = m_1 w \rangle$$

对于二重对数函数的特殊情况，还存在 $wm_0 = m_0w$，此时单值性群变为海森堡群（将 $m_0, m_1$ 与 $w$ 识别为 $x, y, z$）Vepstas。

## 参考资料

- Note sur la fonction $\scriptstyle \psi x = x+ \frac{x^2}{2^2}+ \frac{x^3}{3^2}+ \cdots+ \frac{x^n}{n^2}+ \cdots$ （这份 1826 年的手稿仅在作者去世后才出版。）
- The Bose-Einstein integrals $\mathcal{B}_p (\eta ) = (p!)^{ - 1} \int\limits_0^\infty {\varepsilon ^p (e^{\varepsilon - \eta } - 1} )^{ - 1} d\varepsilon$
- The integrals $\mathfrak{A}_p (x) = (p!)^{ - 1} \int\limits_0^\infty {\varepsilon ^p (\varepsilon + x} )^{ - 1} e^{ - \varepsilon } d\varepsilon$ and $\mathfrak{B}_p (x) = (p!)^{ - 1} \int\limits_0^\infty {\varepsilon ^p (\varepsilon + x} )^{ - 2} e^{ - \varepsilon } d\varepsilon$ and their tabulation
- The Fermi-Dirac integrals $\mathcal{F}_p (\eta ) = (p!)^{ - 1} \int\limits_0^\infty {\varepsilon ^p (e^{\varepsilon - \eta } + 1} )^{ - 1} d\varepsilon$
- （此为 1953 年 McGraw–Hill 原版的重印本。）
- 9.55 函数 $\Phi(z,s,v)$：级数表示 9.553, 9.554
- Note sur la série $\scriptstyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^s}$
- （见 § 1.2，“广义 zeta 函数、伯努利多项式、欧拉多项式与多重对数函数”，第 23 页。）
- On function sum theorems connected with the series $\scriptstyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2}$
- （此版本已多次重印，1996 年的平装版 ISBN 为。）
- （亦刊载于 Journal of Mathematical and Physical Sciences 22 (1988), 第 131–145 页，标题为 "The remarkable dilogarithm"，并作为 Zagier 的第一章出现。）

## 外部链接

- Algorithms in Analytic Number Theory provides an arbitrary-precision, GNU多重精度运算库-based, GPL-licensed implementation.