论法拉第力线

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《论法拉第力线》（On Faraday's Lines of Force）是詹姆斯·马克士威于1855年发表的一篇论文。这是他从阅读了麦可·法拉第的著作《电的实验研究》（Experimental Researches in Electricity）之后，得到启发而撰写的一篇论文。马克士威将法拉第想出的力线延伸为装满了不可压缩流体的“力管”。这力管的方向代表力场（电场或磁场）的方向，力管的截面面积与力管内的流体速度成反比，而这流体速度可以比拟为电场或磁场。既然电场或磁场能够比拟为流体速度，当然可以要求电场或磁场遵守流体力学的部分理论。那么，借用流体力学的一些数学框架，即可推导出一系列初成形的电磁学雏论。马克士威这样陈述：

按照我将采用的方法，我希望能够表明，我并不是在从一个我尚未做出任何实验成果的学术中，试着建立任何物理理论；我的设计的最终目的是在显示出，靠着严谨地应用法拉第的思维和方法，许多他所发现的不同电磁现象之间的连结关系，可以被清楚地陈列于数学家面前。因此，我会尽量避免提出，任何不是从法拉第方法得到的直接实例，或任何不是从法拉第方法得到的数学推论。在探讨主题内一些比较简单的部分时，我会使用法拉第的数学方法和思维。若当主题的复杂部分需要时，我会使用数学分析，但仍旧局限于发展这位哲学家的原本思维。

## 用热传导机制来比拟静电学

在那时期的电磁学可以形容为众多实验结果和数学分析的大杂烩，急需整合成一套内外一致，有条有理的学术理论。装备着剑桥大学物理系对于物理学生精心栽培的比拟能力，马克士威试图创建一个能够描述各种电磁现象的模型。他首先提到了威廉·汤姆森想出的比拟案例。汤姆森发现，描述热传导于均匀物质的傅立叶热传导定律，与静电学内描述电场和电势之间的关系式，它们的方程式的形式相同。傅立叶热传导定律以方程式表达为

$\Gamma= - k\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d}x}$ ;

其中，$\Gamma$是热通量（heat flux），$k$是物质的热导率，$T$是温度。

电场和电势之间的关系式表达为

$E= - \frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{d}x}$ ;

其中，$E$是电场，$\phi$是电势。

很明显地，设定热导率$k=1$，则电势可以比拟为温度，而电场可以比拟为热通量。法拉第的电力线变为了热流线，等势线（equipotential）变为了等温线。所以，解析热传导问题的方法，可以用来解析静电学问题。

马克士威又注意到一个问题：热传导依赖的是物质的紧邻的两个粒子之间互相接触而产生的“邻接作用”（contiguous action）；思考两个相距很远的电荷，不经过任何媒介，互相直接施加于对方的作用力，假若电场力是这种作用力，则电场力是一种超距作用（action at a distance）。两种完全不同的物理现象，居然可以用同样形式的数学方式来描述，这给予马克士威很大的遐想空间。

## 不可压缩流体理论

马克士威觉得热传导机制只能够有限地比拟出电磁场的物理现象。他认为流体流动机制具有更大的威力，更多的功能来比拟静电学和静磁学。他开始探索不可压缩流体的性质。按照定义，不可压缩流体的任何部分的体积不会因为时间的演进而改变。这是一种假想的理想流体，是一种非常简单的流体。马克士威更进一步假设流体的流动是稳定的；在任何位置，流动的方向和速率不含时间。这样，就不用考虑时间的因素。流体内部任意元素，随着流动，会描绘出一条曲线，称为“流动线”。法拉第想出的力线可以比拟为流动线。

设想围绕着流动线的一个圆环，其每一个流体元素，随着流动，会共同描绘出一条假想的“力管”。在力管外面的流体不会流入力管内；在力管里面的流体也不会流出力管外。假设力管在某位置的截面面积为$\sigma$，流速大小为$v$，则每单位时间流过此截面的流体体积为$v\sigma$。定义“单位力管”为每单位时间流过截面的流体体积为$1$的力管。对于单位力管

$v\sigma =1$。

流速大小$v$越快，力管的截面面积越小；反之，则截面面积越大。

为了满足流体体积的守恒，每一个力管，必须有一个力管源和力管壑。流体从力管源流出来，经过力管，最终流入力管壑。

举一个单独力管源例子。在三维空间里，假设位于参考系的原点有一个力管源，每单位时间流出的流体体积为$m$。流体最终流入位于无穷远的力管壑。在与此力管源的径向距离为$r$的位置的流速大小为

$v=m/4\pi r^2$。

$\sigma =4\pi r^2/m$。

在三维空间中，总共会存在有$m$个单位力管。这些单位力管填满了整个空间，不会露出任何空隙。

在三维空间里，假设位于参考系的原点有一个力管壑，每单位时间流入的流体体积为$m$。流体最初是由位于无穷远的力管源流出。在与此力管源的径向距离为$r$的位置的流速大小为

$v= - m/4\pi r^2$。

因为流体的流动方向是朝着力管壑，所以流速大小是负值。

这不可压缩流体系统遵守叠加原理。给予三个流体流动系统，假设第三个系统在每一个位置的流速，是另外两个系统在同样位置的流速的向量和。则通过第三个系统的一个曲面的每单位时间的流体体积，等于通过另外两个系统的同样曲面的每单位时间的流体体积的和。

## 无质量流体流过阻抗介质的均匀运动理论

马克士威的流体没有质量，没有惯性，与牛顿运动定律无关。他提出的模型是几何模型，不是物理模型。称力管内的两个截面之间的流体为“流动截体”。为了要赋予这模型流动所需的动力，马克士威假设力管内的流动截体会感受到压差$\Delta p$，前面阻挡的压强小于后面推撞的压强，因此，流动截体会往前方流动。

当流体经过介质时，会感受到一股与流速成正比的阻力，以方程式表达为

$f= - kv$。

其中，$f$是单位体积感受到的阻力，$k$是介质的“阻抗系数”。

由于这阻力的作用，使得流动截体的前面阻挡的压强小于后面推撞的压强。每往前面移动单位长度，压强会减少$kv$。对于单位力管，一个截面面积为$\sigma$，厚度为$h$的流动截体，所感受到的阻力大小为$f\sigma h$，压差为$\Delta p=kvh$。定义$\Delta p=1$的流动截体为“单位流胞”。截面面积越大，单位流胞的厚度也越大；其关系为

$\sigma = kh$。

给予一个流体系统的等压曲面，则可计算出在空间所有位置的流速，也可以布置好所有的单位力管，包括其力管源和力管壑。反之，给予一个系统所有的力管源和力管壑，则可计算出在空间所有位置的流速，也可以计算出等压曲面。

给予一个流体系统，已知其在每一个位置的压强、力管源分布和力管壑分布，假设其介质的阻抗系数为$k$。这个系统等价于一个介质的阻抗系数为$1$、力管源和力管壑的流量分别为$k$倍的系统。两个系统在每一个位置的压强相等，流速也相等。

这流体系统仍旧遵守叠加原理。给予三个流体流动系统，假设第三个系统在每一个位置的压强，是另外两个系统在同样位置的压强和。则第三个系统在三维空间内每一个位置的流速，是另外两个系统在同样位置的流速的向量和。

回想前述单独力管源例子。径向距离$r$越远，压强$p$越小；压强的变率为

$\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d}r} = - \frac{km}{4\pi r^2}$。

当$r$为无穷远时，$p=0$，所以压强为

$p=\frac{km}{4\pi r}$。

## 应用于静电学和静磁学

马克士威想出的不可压缩流体模型能够比拟很多电磁现象，例如，静电作用、静磁作用、感应磁场作用、电流等等。

### 静电作用

回想前述单独力管源例子。将源电荷$q$比拟为力管源，将电场比拟为流速。那么，可以得到电场$E$与距离的关系式：

$E=\frac{q}{4\pi r^2}$。

将电势比拟为压强。力管源与压强$p$的关系式为

$p=\frac{km}{4\pi r}$。

按照这关系式，设定$k=1$，可以得到电势$V$与源电荷的关系式：

$V=\frac{q}{4\pi r}$。

电势与电场的关系式为

$E= - \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d}r}$。

### 电介质理论

假设电介质消弱了电场和电势，则对应的流速和压强也会减小，通过减小阻抗系数$k$，就可以减小压强，但不能减小流速，因为流速只与力管源、力管壑和距离有关。所以，不能直接地靠着减小阻抗系数$k$来比拟电介质的效应。必须换一种方法，如同前面所述，将这阻抗系数为$k$的介质替换为阻抗系数为$1$的介质，又将所有力管源和力管壑的流量分别增加为$k$倍。这样，流速和压强就可以分别比拟为电场和电势。

在两个阻抗系数不同的区域的界面，由于界面两边的阻抗系数不同，会形成不同流量的力管源和力管壑。所以，会有净力管源或净力管壑出现于界面。这对应于电介质的感应表面电荷。

### 永久磁铁理论

如同静电场，静磁场也遵守反平方定律。所以，可以使用同样的方法来比拟静磁场。马克士威将磁铁视为由单独的磁粒子组成的，每一个磁粒子都有自己的磁北极和磁南极，分别可以比拟为力管源和力管壑。那么，磁力线即可比拟为流动线，流速比拟为磁场，压强比拟为“磁纯量势”。

永久磁铁有一个磁南极和一个磁北极。按照常规，磁力线从磁北极出来，经过空间，回到磁南极。试想磁铁是由许多“磁胞”组成的。每一个磁胞都有一个磁南极和一个磁北极。那么，就可以用“流胞”来比拟磁胞。每一个流胞都有一个力管源和一个力管壑，分别对应于磁北极和磁南极。聚集在一起，相邻的流胞之间的力管源会与力管壑相互抵消。所以，整体看来，磁铁的磁北极对应于其“北表面”的一个巨观的力管源，而磁南极则对应于其“南表面”的一个巨观的力管壑。

### 电紧张态

法拉第最先提出“电紧张态”（electro-tonic state）的概念。在研究电磁感应理论时，他发现当将物体放在磁铁或电流的附近时，物体会进入一种状态。假若不打扰这系统，则处于此状态的物体不会自发地显示出任何现象。但是，一当系统有所变化，像磁铁被移动了，或电流被增大了，则这状态也会改变，因而产生电流或趋向产生电流。法拉第称此状态为“电紧张态”。但是，他并没有很明确的说明这概念。

后来，开尔文男爵于1851年引入磁矢势的概念，并且给定磁矢势与磁场之间的关系：

$\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$。

马克士威在他的流体模型里，找不到任何电紧张态可以扮演的角色。马克士威这样陈述：

在这篇从数学观点来研读法拉第理论的概述论文，我最多能做的，就是简明地阐示数学方法，即我认为电磁现象能够最容易被了解和约化为运算的数学方法。我的目标是以实质形式呈现数学想法于思维。这实质形式不是抽象符号，而是一群曲线或曲面。因为，抽象符号不能够传达同样的想法，也不能够自然地融入需要解释的现象。但是，电紧张态的概念，还尚未在我的思维中呈现出它的形式，即一种不需要涉及抽象符号，就可以明确地解释出它的自然属性的形式。……经过仔细地研究弹性固体定律和黏性流体运动，我希望能够发现一种适用于一般推理的方法，来塑造电紧张态的机械概念。

在这里，马克士威遇到了一点小困难。这是因为他设计的流体是稳定流体，在任何位置，流体的流动方向和速率不含时间。整个系统都是稳定的，不会因时间而改变。可是，电紧张态只能在系统改变时才会改变和显现其效应。所以，马克士威的流体模型找不到任何变量来比拟电紧张态。还有，马克士威的流体模型可以比拟各种电场和磁场的现象，但都是孤立的现象；马克士威的流体模型无法比拟综合的电磁感应现象。在论文《论物理力线》里，马克士威会赋予他的模型更强大的威力，更丰富的功能来比拟各种电磁现象，并且创先地预测出电位移的存在。

在这篇论文的后半部分，马克士威开始仔细分析电紧张态的物理性质。他给出一条重要定律：作用于一个导体的微小元素的电场，可以由该微小元素的电紧张态对于时间的导数来衡量。以现代标记表示，这方程式为

$\mathbf{E}=-\dot{\mathbf{A}}$。

这是马克士威学术生涯中的第一个重要突破，他将法拉第的电紧张态辨识为开尔文男爵的磁矢势，并且对于电紧张态给出严格定义。

### 规范自由

对于电紧张态的定义式取旋度，则可得到法拉第感应方程式：

$\nabla\times\mathbf{E}=-\dot{\mathbf{B}}$。

马克士威在这篇论文特别提出，开尔文男爵于1851发现的关于磁矢势的数学性质，即任意添加一个函数的梯度给磁矢势，都不会改变磁矢势与磁场的关系式、法拉第感应方程式，这数学性质后来演化为现今规范自由的概念。

## 参阅

- 《电磁场的动力学理论》
- 电磁波方程式
- 马克士威方程组
- 弯曲时空中的麦克斯韦方程组
- 马克士威应力张量
- 麦克斯韦方程组的历史
- 乙太