电磁场的动力学理论

《电磁场的动力学理论》（A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field）是一篇詹姆斯·马克士威发于1864年的论文，这篇论文是他所写的第三篇关于电磁学的论文。在这篇论文里，他首次系统性地陈列出马克士威方程组。马克士威又应用了先前在他的1861年论文《论物理力线》里提出的位移电流的概念，来推导出电磁波方程式。由于这导引将电学、磁学和光学联结成一个统一理论。这创举现在已被物理学术界公认为物理学史的重大里程碑。

这篇论文明确地阐明，能量储存于电磁场内。因此，它在历史上首先建立了场论的基础概念。

## 马克士威原本的方程式

在这篇论文的标题为电磁场一般方程式的第三章里，马克士威列出了涉及二十个未知量的二十个方程式，在那时期，称为马克士威方程组。由于向量微积分尚在发展中，这二十个方程式都是以分量形式表示，其中，有十八个方程式可以用六个向量方程式集中表示（对应于每一个直角坐标，有一个方程式），另外剩下的两个是纯量方程式。所以，以向量标记，马克士威方程组可以表示为八个方程式。1884年，从这八个方程式，奥利弗·黑维塞重新编排出四个方程式，并且称这一组方程式为马克士威方程组。今天广泛使用的马克士威方程组就是黑维塞编成的这一组方程式。

黑维塞版本的马克士威方程组是以现代向量标记法写出。在原先版本的八个方程式里，只有一个方程式，高斯定律的方程式(G)，完整不变地出现于黑维塞版本。另外一个在黑维塞版本的方程式，乃是由总电流定律的方程式(A)与安培环路定理的方程式(C)共同凑合而成。这方程式包含了马克士威的位移电流，是安培环路定理的延伸。

以向量标记，马克士威方程组的原先版本的八个方程式，分别写为

(A) 总电流定律：$\mathbf{J}_{tot} = \mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}$。

(B) 磁场方程式：$\mu \mathbf{H} = \nabla \times \mathbf{A}$。

(C) 安培环路定理：$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_{tot}$。

(D) 劳仑兹力方程式：$\mathbf{E} = \mu \mathbf{v} \times \mathbf{H} - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-\nabla \phi$。

(E) 电弹性方程式：$\mathbf{E} = \frac{1}{\epsilon} \mathbf{D}$。

(F) 欧姆定律：$\mathbf{E} = \frac{1}{\sigma} \mathbf{J}$。

(G) 高斯定律：$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho$。

(H) 连续方程式：$\nabla \cdot \mathbf{J} = -\frac{\partial\rho}{\partial t}$。

标记符号：$\mathbf{H}$ 是磁场强度。

$\mathbf{J}$ 是传导电流密度。

$\mathbf{J}_{tot}$ 是总电流密度（包括位移电流密度）。

$\mathbf{D}$ 是电位移。

$\rho$ 是自由电荷密度。

$\mathbf{A}$ 是磁向量势。

$\mathbf{E}$ 是电场。

$\phi$ 是电势。

$\mu$ 是磁导率。

$\epsilon$ 是电容率。

$\sigma$ 是电导率。

关于介质的性质，马克士威并没有试着处理比较复杂的状况。他表述的主要是线性、均向性、非色散性物质；他也稍微谈到一些有关异向性的晶体物质的问题。

值得注意的是，马克士威将 $\mu \mathbf{v} \times \mathbf{H}$ 项目包括于他的合势方程式(D)。这项目表达一个以速度 $\mathbf{v}$ 移动的导体所感受到的单位电荷的磁场力而产生的动生电动势。这意味着合势方程式(D)表达了劳仑兹力。这方程式最先出现为论文《论物理力线》的方程式(77)，比劳仑兹想到这问题早了很多年。现在，劳仑兹力方程式列为马克士威方程组之外的额外方程式，并没有被包括在马克士威方程组里面。

## 光波是电磁波

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在论文《电磁场的动力学理论》里，马克士威应用了的1861年论文《论物理力线》第三节里对于安培环路定理的修正，将位移电流与其它已成立的电磁方程式合并，因而得到了描述电磁波的波动方程式。最令人振奋的是，这方程式所描述的波动的波速等于光波的速度。他于是说：

这些殊途一致的结果，似乎意味着光波与电磁波都是同样物质的属性，光波是按照着电磁定律传播于电磁场的电磁扰动。

马克士威在对于光波是一种电磁现象的推导里，并没有使用法拉第电磁感应定律，而是使用方程式(D)来解释电磁感应作用。由于不考虑导体的运动，项目 $\mu \mathbf{v} \times \mathbf{H}$ 可以被删除。事实上，他的八个方程式里，并没有包括法拉第电磁感应定律方程式在内。

由于马克士威的推导比较冗长，现代的教科书已不再采用这推导，改而选择另一种比较简易了解的推导，这推导主要是使用马克士威-安培定律（安培环路定理的延伸）与法拉第电磁感应定律。

## 马克士威的推导

假设电磁波是一个平面波，以波速 $V$ 向正z-轴的方向传播于某介质，则描述此电磁波的每一个函数都拥有参数 $w=z - Vt$。根据磁向量定义式(B)。

$\mathbf{B}= - \hat{x}\frac{\partial A_y}{\partial z}+ \hat{y}\frac{\partial A_x}{\partial z}$。

其中，$B\ \stackrel{def}{=}\ \mu\mathbf{H}$ 是磁感应强度的定义式。

注意到 $B_z=0$，还有，$\mathbf{B}$ 垂直于平面波的传播方向，这电磁波是个横波。

根据安培环路定理(C)。

$\mathbf{J}_{tot}= - \hat{x}\frac{\partial H_y}{\partial z}+ \hat{y}\frac{\partial H_x}{\partial z} = - \frac{1}{\mu}\left(\hat{x}\frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2}+\hat{y}\frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2}\right)$。

假设介质是个绝缘体，传导电流密度 $\mathbf{J}$ 等于零，则根据总电流定律(A)和电弹性方程式(E)。

$\mathbf{J}_{tot}=\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}=\epsilon\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$。

假设导体的速度等于零，即动生电动势项目等于零，则根据合势方程式(D)。

$\frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 A_x}{\partial t^2}=0$。

$\frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 A_y}{\partial t^2}=0$。

再应用磁向量定义式(B)，就可以得到磁场的波动方程式：

$\frac{\partial^2 B_x}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 B_x}{\partial t^2}=0$。

$\frac{\partial^2 B_y}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 B_y}{\partial t^2}=0$。

链式法则要求

$\frac{\partial}{\partial z}=\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}$。

$\frac{\partial}{\partial t}=\frac{\partial w}{\partial t}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}= - V\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}$。

所以。

$\frac{\mathrm{d}^2 B_x}{\mathrm{d} w^2} - \mu\epsilon V^2\frac{\mathrm{d}^2 B_x}{\mathrm{d} w^2}=0$。

$\frac{\mathrm{d}^2 B_y}{\mathrm{d} w^2} - \mu\epsilon V^2\frac{\mathrm{d}^2 B_y}{\mathrm{d} w^2}=0$。

传播的速度为

$V=1/\sqrt{\mu\epsilon}$。

设定磁导率为磁常数 $\mu_0$，电容率为电常数 $\epsilon_0$，则传播速度是电磁波传播于自由空间的速度。

类似地，应用合势方程式(D)，可以得到电场的波动方程式：

$\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}=0$。

$\frac{\partial^2 E_y}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2}=0$。

$E_z= - \frac{\partial A_z}{\partial t} - \frac{\partial \phi}{\partial z}$。

注意到，$E_z$ 可能不等于零。在尚未更清楚了解电荷密度的性质之前，马克士威不排除电场波为纵波的可能性。

## 现代推导

在自由空间里，黑维塞版的马克士威方程组的四个微分方程式为

$\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$、(1)

$\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$、(2)

$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$、(3)

$\nabla \times \mathbf{B} =\mu_0 \varepsilon_0 \frac{ \partial \mathbf{E}} {\partial t}$；(4)

其中，$\mu_0$ 是磁常数，$\varepsilon_0$ 是电常数。

分别取公式 (2)、(4) 的旋度。

$\nabla \times(\nabla \times \mathbf{E})= - \frac{\partial } {\partial t} (\nabla \times \mathbf{B})= - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E} } {\partial t^2}$。

$\nabla \times(\nabla \times \mathbf{B})= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial } {\partial t}(\nabla \times \mathbf{E})= - \mu_o \varepsilon_o \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}$。

应用一则向量恒等式

$\nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{Z} \right) = \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{Z} \right) - \nabla^2 \mathbf{Z}$。

其中，$\mathbf{Z}$ 是任意向量函数。

将公式 (1)、(3) 代入，即可得到波动方程式：

$\left(\nabla^2 - \frac{ 1}{{c}^2 }\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{E}\ =\ 0$、(5)

$\left(\nabla^2 - \frac{ 1}{{c}^2 }\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{B}\ =\ 0$；(6)

其中，$c=c_0 = { 1 \over \sqrt{ \mu_0 \varepsilon_0 } } = 2.99792458 \times 10^8$ ［米／秒］是电磁波传播于自由空间的速度。

## 参阅

- 《论法拉第力线》
- 电磁波方程式
- 弯曲时空中的麦克斯韦方程组
- 非齐次的电磁波方程
- 马克士威应力张量
- 麦克斯韦方程组的历史
- 电磁学与经点光学时间表(Timeline of electromagnetism and classical optics)