品质工程

品质工程（Quality Engineering），由日本学者田口玄一创始的工程方法，以统计学的方式来进行实验及生产过程管控，达到产品品质改善及成本降低的双重目的，也应用在生物学、行销及广告。专业统计学家认同品质工程的目标及带来的进步．特别是品质工程对于变异的研究，但认为品质工程中一些建议的作法不具有效性 (统计)。

为了表示对发明者的尊崇，它也被称为是田口式品质工程（Taguchi Quality Engineering），或是田口方法（Taguchi Methods）。它是目前为了达到稳健设计中最著名的方法学，因而也被称为田口式稳健设计方法（Taguchi Methods of Robust Design）。

品质工程包括了三个和统计学有关的原则：

- 特定的损失函数（田口损失函数）
- 离线质量控制的哲学
- 实验设计的创新

## 田口方法

田口方法（英文：Taguchi Method）是于1950年代由日本田口玄一博士首创的试验设计法，主要依设计参数（控制因子及其水准值）选用适当之直交表，另辅以讯号／杂音比（S/N）分析与变异数分析，用以获知设计参数对产品品质影响程度，进而获致特定操作条件之最佳化设计参数组合。田口实验法除了可大幅减少传统试误实验之次数、人力及时间等外，同时亦可确实最佳化制程参数，达成改善产品品质与降低生产成本之双重效益。田口玄一博士因发展此技术而被尊称为品质工程之父。除非采用有干扰因子的内外表与SN比才能称作田口方法，否则则是一般的试验设计法。

### 品质损失

田口玄一博士将品质损失定义为产品在其生命周期内，整个社会对其付出的总代价。品质损失愈少，代表较高的品质。若有$n$个产品，出产产品特性$y_i$，理想产品品质目标$m$，产品抽样标准差$S$，则这批产品的平均品质损失可以高斯平方损失函数表示为：

${1\over n}\textstyle \sum_{i=1}^n \displaystyle k(y_i-m)^2=k \times MSD$（式1）

田口玄一博士将均方差（英文：mean squared deviation，MSD）定义为：

${1\over n}\textstyle \sum_{i=1}^n \displaystyle (y_i-m)^2=MSD$（式2）

依据理想产品品质目标m以及出产产品特性$y_i$之间的关系，总品质损失函数可分为三种：

#### 望目型（英文：nominal-the-best，NTB）

式1中$y_i$越接近m则品质损失越小。例如当电阻器的设计公差为5±0.10欧姆，则电阻为5.099和5.101欧姆的两个电阻器的品质损失几乎没有差异。

${1\over n}\textstyle \sum_{k=1}^n \displaystyle k(y_i-m)^2=k \times MSD=k \times[(\bar y-m)^2+S^2]$（式3）

#### 望小型（英文：smaller-the-better ，STB）

$y_i$越小品质损失越小，亦即目标值m=0，改写式1为：

${1\over n}\textstyle \sum_{k=1}^n \displaystyle k y_i^2=k \times MSD=k \times(\bar y^2+S^2)$（式4）

例如轮胎的偏心率、压缩机或发动机的噪音等都是属于此类型。

#### 望大型（英文：larger-the-better ，LTB）

$y_i$越大品质损失越小，相当求1/$y_i$越大品质损失越小，此时m=0，亦即

${1\over n}\textstyle \sum_{k=1}^n \displaystyle k({1\over y_i}-m)^2={1\over n}\textstyle \sum_{k=1}^n \displaystyle k({1\over y_i})^2$（式5）

例如机械零件之耐磨耗寿命等。

一些作者使用τ，而其他一些作者则使用T作为理想产品品质目标，但是田口玄一博士用m来表示。

### 影响因子

#### 控制因子

即为实验中的操作变因和控制变数，通称参数设计中实验者可以控制的因子。若该因子在变动水准时，品质特性的变异维持不变，则也可称为调整因子。

#### 干扰因子（或称噪声因子）

干扰因子为实验者无法控制，使品质特性产生变异的变数。例如：制造环境（温度、湿度等）、操作者本身、材料的异质性、制程参数变异（机具与机具之间的异质性、同台机具不同时间的异质性等）

#### 信号因子

在特定的控制因子下，输入某一信号可使品质特性随之变化的因子，称之为信号因子。所控制的信号与随之变化的品质特性并不一定完全相同，但有显著因果关系。例如：电风扇转速设定是一信号因子，借由转速的设定可改变风量的大小。射出成型时，借由压力的增加，可使产品的尺寸更接近模具尺寸。汽车方向盘的转向角度，可以指示汽车的回转半径。

### 讯号／噪声比

田口玄一博士借用讯号工程中的讯号噪声比来比较不同控制因子与干扰因子在同一试验之中，对最终结果所产生的影响。SN比以$\eta$表示，常规的讯号杂音比是代表实验者的自变数对最后结果产生的变化（信号效果）与实验者其他变量对最后结果所产生的影响（噪声效果）的比值。

望目型SN比以 $\eta =10 \log ({\bar y^2\over S^2})$表示。

望小型SN比以 $\eta =-10 \log ({1\over n}\textstyle \sum_{k=1}^n \displaystyle k y_i^2)$ 表示。

望大型SN比以 $\eta = 10 \log [{1\over n}\textstyle \sum_{k=1}^n \displaystyle ({1\over y_i})^2]$ 表示。

SN比$\eta$ 是以直交表中各因子的各水准为计算组，例如当控制因子$C_A$有两种水准，则需分别计算第一水准$C_A$的SN比$\eta_1$与第二水准$C_A$的SN比$\eta_2$，较大的SN比代表该水准的品质损失越小，为理想的水准。

### 直交表

田口实验法利用直交表（英文：Orthogonal Array，OA）来收集资料，能让我们以较少的实验而获得更可靠的因子效果估计量。利用直交表进行实验是稳健设计的一个重要技巧。直交表的规格表示为$L_a (b^c)$，其中a为列数，表示一组实验的实验次数；b为水准数；c为栏数（最多可容纳的最多因子数）。田口实验法所使用的直交表由两个正交阵列组成，内部阵列容纳可控因子，而噪声（或不可控制）因子嵌入外部正交阵列。田口玄一博士一共列了18种规格的直交表，一般称作标准直交表，以下以$L_9 (3^4)$与$L_8 (2^6)$举例。

### $L_9 (3^4)$直交表

代表共有9组实验，其中最多可容纳3个水准的因子4个，在全因子试验中需有$3^4=81$组实验，但若利用田口实验法，只要9组实验即可。

不过因为假设两个两等级的杂音因子，实验要重复4次，总计36次田口实验。

当计算第一水准$C_A$的SN比$\eta_1$，需取用编号1、2、3的样本；计算第二水准$C_A$的SN比$\eta_2$需取用编号4、5、6的样本；计算第三水准$C_A$的SN比$\eta_3$需取用编号7、8、9的样本，依此类推。

编号｜控制因子｜噪声因子

$C_A$｜$C_B$｜$C_C$｜$C_D$｜$N_A$｜$N_B$

1｜1｜1｜1｜1｜$y_1$｜$y_2$｜$y_3$｜$y_4$

2｜1｜2｜2｜2｜$y_1$｜$y_2$｜$y_3$｜$y_4$

3｜1｜3｜3｜3｜$y_1$｜$y_2$｜$y_3$｜$y_4$

4｜2｜1｜2｜3｜$y_1$｜$y_2$｜$y_3$｜$y_4$

5｜2｜2｜3｜1｜$y_1$｜$y_2$｜$y_3$｜$y_4$

6｜2｜3｜1｜2｜$y_1$｜$y_2$｜$y_3$｜$y_4$

7｜3｜1｜3｜2｜$y_1$｜$y_2$｜$y_3$｜$y_4$

8｜3｜2｜1｜3｜$y_1$｜$y_2$｜$y_3$｜$y_4$

9｜3｜3｜2｜1｜$y_1$｜$y_2$｜$y_3$｜$y_4$

#### $L_8 (2^6)$直交表

代表共有8组实验，其中最多可容纳2个水准的因子6个，在全因子试验中需有$2^6=64$组实验，但若利用田口实验法，只要8组实验即可。

不过因为假设两个两等级的杂音因子，实验要重复4次，总计32次田口实验。

当计算第一水准$C_A$的SN比$\eta_1$，需取用编号1、2、3、4的样本；计算第二水准$C_A$的SN比$\eta_2$需取用编号5、6、7、8的样本，依此类推。

编号｜控制因子｜噪声因子

$C_A$｜$C_B$｜$C_C$｜$C_D$｜$C_E$｜$C_F$｜$N_A$｜$N_B$

1｜1｜1｜1｜1｜1｜1｜$y_1$｜$y_2$｜$y_3$｜$y_4$

2｜1｜1｜1｜2｜2｜2｜$y_1$｜$y_2$｜$y_3$｜$y_4$

3｜1｜2｜2｜1｜1｜2｜$y_1$｜$y_2$｜$y_3$｜$y_4$

4｜1｜2｜2｜2｜2｜1｜$y_1$｜$y_2$｜$y_3$｜$y_4$

5｜2｜1｜2｜1｜2｜1｜$y_1$｜$y_2$｜$y_3$｜$y_4$

6｜2｜1｜2｜2｜1｜2｜$y_1$｜$y_2$｜$y_3$｜$y_4$

7｜2｜2｜1｜1｜2｜2｜$y_1$｜$y_2$｜$y_3$｜$y_4$

8｜2｜2｜1｜2｜1｜1｜$y_1$｜$y_2$｜$y_3$｜$y_4$

### 数据分析

田口玄一博士定义实验步骤如下：

（1）将设计因素分为控制，信号和弱因素三类。控制因素是影响过程可变性并且可能会或可能不会影响过程平均响应的因素。信号因子显著影响平均响应（英文：mean response），但对响应的变异性没有（或微不足道）影响。弱因素对响应的均值或变异性没有影响。

（2）借由选用控制因素的水准来减少过程的可变性。

（3）借由选用信号因子的水准将平均响应移向理想目标m。

#### 水准选择

以ABCD四种控制因子与其水准为例，其中水准间SN比最大的是$C_C$，其水准3的SN比最大，因此$C_C$水准3所造成的品质损失为最小。

SN比｜控制因子

$C_A$｜$C_B$｜$C_C$｜$C_D$

水准1｜3.90｜3.99｜1.92｜2.71

水准2｜3.78｜3.57｜4.48｜4.10

水准3｜3.97｜5.12｜4.71

贡献度 (Max-min)｜0.12｜0.42｜3.20｜2.00

因子重要 程度排名｜4｜3｜1｜2

列出重要因素及决定可量测的品质特性，再运用田口实验法逐步实验。实验数据透过S/N比检视对结果的平均响应，选择最佳化条件（有时可能因成本过高而无法选择使用最佳水准），兼顾品质稳健性与成本。

## 应用

田口氏的品质工程在统计学及工程学上都有很大的贡献。田口氏强调社会损失、观测实验中变异的技术，及对于系统、参数及公差设计的策略都在各地的制造品质提升上有帮助。虽然品质工程中的一些统计方法是有争议的，但品质工程广为应用在各种制程则是没有争议的。找一下相关的期刊和网页，可以看出品质工程已成功的应用在许多的领域，包括VLSI设计、通讯及信息网络的最佳化设计、电子电路的设计、光罩的激光雕刻、银行的金流最佳化、政府的政策订定、机场跑道的利用率、甚至是稳健的环保设计。

## 参考资料

- Box, G. E. P. and Draper, Norman. 2007. Response Surfaces, Mixtures, and Ridge Analyses, Second Edition of Empirical Model-Building and Response Surfaces, 1987, Wiley.
- R. H. Hardin and N. J. A. Sloane, "A New Approach to the Construction of Optimal Designs", Journal of Statistical Planning and Inference, vol. 37, 1993, pp. 339-369
- R. H. Hardin and N. J. A. Sloane, "Computer-Generated Minimal (and Larger) Response Surface Designs: (I) The Sphere"
- R. H. Hardin and N. J. A. Sloane, "Computer-Generated Minimal (and Larger) Response Surface Designs: (II) The Cube"
- Moen, R D; Nolan, T W & Provost, L P (1991) Improving Quality Through Planned Experimentation ISBN 0-07-042673-2
- Bagchi Tapan P and Madhuranjan Kumar (1992) Multiple Criteria Robust Design of Electronic Devices, Journal of Electronic Manufacturing, vol 3(1), pp. 31–38