调变在时频分析的应用

调变的功用在于将讯号移动至未使用的频带做传输使用，然而当讯号在传递时通常不会在每一个时间点都把带宽完全占据，造成某些时间点带宽使用上的浪费。运用时频分析可以了解任一时间点的讯号对于带宽使用的情形，故可以在一些未使用的时间频带加入新的传输讯号，使得带宽资源的运用更加完整。

## 时频分析

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一般的傅立叶转换只能分析出讯号拥有的频率，没有办法得知频率成分随着时间的变化，而时频分析则是解决傅立叶转换的不足，可以分析出讯号的频谱随着时间的变化情形，常用的方法有短时距傅立叶变换（STFT）、韦格纳分布（WDF）、加伯转换等。

例如有一讯号$x(t)=e^{j2\pi t^\frac{1}{5}+j3t} ,-3\leq t\leq3$，则时频分析的结果如图。

（此为韦格纳分布的结果）

## 调变的种类与结果

对原始信号进行一些调整(例如:乘上一个chirp function、将t进行变数变换为at)，会使得讯号在时频平面(t-f平面)的图形产生移动、缩放、变形。

时频平面(t-f平面)上讯号的各种变形，皆有其对应的物理意义。常见的时频分布的变形有下列几种：水平平移、铅直平移、扩张、斜推、旋转。时频分布的变形在分离信号、滤波器设计、取样定理、调变及多工…等领域上都有相当的帮助，也有助于提升信噪比(SNR)。

### 移动（shifting）

即将频谱图进行平移，又分为沿着时间轴和沿着频率轴的移动

#### 水平移动

将讯号中的t做变数变换，加上或是减去一个常数$t_0$，使得频谱沿着水平方向移动。

沿着时间轴移动时，时频图的值会多一个相位，但并不影响数值大小。

短时距傅立叶变换、加伯转换：

$$x(t-t_0) \longrightarrow S_x(t-t_0,f)$$

韦格纳分布：

$$x(t-t_0) \longrightarrow W_x(t-t_0,f)$$

若一个信号x经过水平平移t0时间单位后得到的信号为y，则x与y的时频分布关系为：

$$W_y(t,\,f)=W_x(t-t_0,\,f)$$

其中。

若$t_0>0$则整个时频分析的图形会向右偏移。

若$t_0<0$则整个时频分析的图形会向左偏移。

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若给定$x(t)=e^{j2\pi t^\frac{1}{5}+j3t} ,-3\leq t\leq3$ $$y(t)=e^{j2\pi (t-t_0)^\frac{1}{5}+j3(t-t_0)} ,-3\leq t\leq3$$

我们以$t_0=4$为例，我们可以发现原本时频分布的中心在0的位置，经过shifting后，中心位置水平移动到4的位置。

#### 垂直移动

将讯号中乘以一个相位项$e^{j2\pi f_0 t}$，且$f_0$为一常数，使得频谱沿着垂直方向移动。

沿着频率轴移动时，讯号会多一个相位，并不影响数值大小。

短时距傅立叶变换、加伯转换：

$$e^{j2\pi f_0 t}x(t) \longrightarrow S_x(t,f-f_0)$$

韦格纳分布：

$$e^{j2\pi f_0 t}x(t) \longrightarrow W_x(t,f-f_0)$$

若一个信号x经过铅直平移f0频率单位后得到y，则x与y的时频分布关系为：

$$W_y(t,\,f)=W_x(t,\,f-f_0)$$

其中。

若$f_0>0$则整个时频分析的图形会向上偏移。

若$f_0<0$则整个时频分析的图形会向下偏移。

<image>

若给定$x(t)=e^{j2\pi f_0 t^\frac{1}{5}+j3t} ,-3\leq t\leq3$ $$y(t)=e^{j2\pi f_0 t}e^{j2\pi f_0 t^\frac{1}{5}+j3t} ,-3\leq t\leq3$$

我们以$f_0=2$为例，我们可以发现原本时频分布的中心在0的位置，经过shifting后，中心位置垂直移动到2的位置。

### 扩张（dilation/scaling）

将讯号中的t做变数变换成$\frac{t}{a}$，其中a为一个常数且通常为正，时频图沿着时间轴和频率轴缩小或放大。

若我们单纯只做变数变换，除了影响时频分布的形状以外，也会影响数值大小，因此需要再乘上一个$\frac{1}{\sqrt{|a|}}$修正数值。

短时距傅立叶变换、加伯转换：

$$\frac{1}{\sqrt{|a|}}x(\frac{t}{a}) \longrightarrow S_x(\frac{t}{a},af)$$

韦格纳分布：

$$\frac{1}{\sqrt{|a|}}x(\frac{t}{a}) \longrightarrow W_x(\frac{t}{a},af)$$

若一个信号x经过a倍的扩张变形，得到的结果为y，得x与y的时频分布关系为：

$$W_y(t,\,f)=W_x\left( \frac{t}{a},\,af \right)$$

其中。

若$a>1$则整个时频分析的图形会沿着t轴扩张，沿着f轴缩小。

若$a<1$则整个时频分析的图形会沿着t轴缩小，沿着f轴扩张。

无论a的数值是多少，都不会改变时频分布图形的面积。

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若给定$x(t)=e^{j2\pi t^\frac{1}{5}+j3t} ,-3\leq t\leq3$ $$y(t)=e^{j2\pi \frac{t}{a}}e^{j2\pi t^\frac{1}{5}+j3\frac{t}{a}} ,-3\leq t\leq3$$ 这边给定a =2，可以看到图形在水平轴上被拉长，在垂直则被压缩。

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这边给定a =0.5，可以看到图形在水平轴上被压缩，在垂直则被拉伸。

### 修剪（shearing）

将时频图沿着时间轴或频率轴做线性位移。

将信号与chirp函数做折积运算，将沿着时间轴方向做斜推变形，造成的影响是：时间轴方向的位移量与频率大小成正比。

反之，将信号与chirp函数相乘，将沿着频率轴方向做斜推变形，则会使频率轴方向的位移量与时间大小成正比。

#### 水平修剪

和线性调频做卷积会产生时间轴的线性位移。

短时距傅立叶变换、加伯转换：

$$x(t) = e^{j\pi at^2}*y(t) \longrightarrow S_x(t,f) = S_y(t-af,f)$$

韦格纳分布：

$$x(t) = e^{j\pi at^2}*y(t) \longrightarrow W_x(t,f) = W_y(t-af,f)$$

其中。

若$a>0$则整个时频分析的图形，则图形中大致上会往右上-左下的方向拉伸。

若$a<0$则整个时频分析的图形，则图形中大致上会往左上-右下的方向拉伸。

无论a的数值是多少，都不会改变时频分布图形的面积。

<image>

若给定$x(t)=e^{j2\pi t^\frac{1}{5}+j3t}+e^{j2\pi t^\frac{1}{5}+j5t} ,-4\leq t\leq4$ $$y(t)=e^{j\pi a t^2 }*(e^{j2\pi t^\frac{1}{5}+j3\frac{t}{a}}+e^{j2\pi t^\frac{1}{5}+j5\frac{t}{a}}) ,-4\leq t\leq4$$ 这边给定a =0.5，可以看到图形的推移辆是呈现正比关系的。

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这边给定a =-0.5，可以看到图形的推移辆是呈现正比关系的，可以与a>0的情形作比较。

#### 垂直修剪

乘以线性调频会产生频率的线性轴位移。

短时距傅立叶变换、加伯转换：

$$x(t) = e^{j\pi at^2}y(t) \longrightarrow S_x(t,f) = S_y(t,f-at)$$

韦格纳分布：

$$x(t) = e^{j\pi at^2}y(t) \longrightarrow W_x(t,f) = W_y(t,f-at)$$

证明:

$$x(t) = e^{j\pi at^2}y(t)$$

$$W_x(t,f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t+\tau/2)x^*(t-\tau/2)e^{-j2\pi \tau f} d\tau$$

$$= \int_{-\infty}^{\infty}e^{j2\pi a(t+\tau/2)^2}e^{-j2\pi a(t+\tau/2)^2}d\tau y(t+\tau/2)y^*(t-\tau/2)e^{-j2\pi\tau f}d\tau$$

$$= \int_{-\infty}^{\infty}e^{j2\pi at\tau} y(t+\tau/2)y^*(t-\tau/2)e^{-j2\pi\tau f}d\tau$$

$$= \int_{-\infty}^{\infty}y(t+\tau/2)y^*(t-\tau/2)e^{-j2\pi\tau (f-at)}d\tau = W_y(t,f-at)$$

其中。

若$a>0$则整个时频分析的图形，则图形中大致上会往右上-左下的方向拉伸。

若$a<0$则整个时频分析的图形，则图形中大致上会往左上-右下的方向拉伸。

无论a的数值是多少，都不会改变时频分布图形的面积。

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若给定$x(t)=e^{j2\pi t^\frac{1}{5}+j3t}+e^{j2\pi t^\frac{1}{5}+j5t} ,-4\leq t\leq4$

$$y(t)=e^{j\pi a t^2 }(e^{j2\pi t^\frac{1}{5}+j3\frac{t}{a}}+e^{j2\pi t^\frac{1}{5}+j5\frac{t}{a}}) ,-4\leq t\leq4$$ 这边给定a =0.5，可以看到图形的推移量是呈现正比关系的。

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这边给定a =-0.5，可以看到图形的推移量是呈现正比关系的，可以与a>0的情形作比较。

### 广义修剪(generalized shearing)

若有一已知的频率为线性变化的信号

$$x(t) = e^{j\phi(t)}y(t)$$

$$\phi(t) = \sum_{k=0}^na_kt^k$$

$$frequency=\frac{1}{2\pi}\frac{\mathrm{d}\phi(t)}{\mathrm{d}t}$$

要将其摊平成一个水平且整齐的信号，则可做以下修剪。

短时距傅立叶变换、加伯转换：

$$S_x(t,f) \cong S_y(t,f-\sum_{k=1}^n\dfrac{ka_kt^{k-1}}{2\pi})$$

韦格纳分布：

$$W_x(t,f) \cong W_y(t,f-\sum_{k=1}^n\dfrac{ka_kt^{k-1}}{2\pi})$$

也就是说我们可以透过广义修剪来任意改变时频分布的形状。

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若给定$x(t)=e^{j2\pi t^\frac{1}{5}+j3t}+e^{j2\pi t^\frac{1}{5}+j5t} ,-4\leq t\leq4$

$$y(t)=e^{-j\phi(t)}(e^{j2\pi t^\frac{1}{5}+j3\frac{t}{a}}+e^{j2\pi t^\frac{1}{5}+j5\frac{t}{a}}) ,-4\leq t\leq4$$

其中$\phi(t) = 0.1t^3$

我们给定了一个三次函数，而它的微分是二次函数，我们可以看到图中的形状变为2次函数的形状。

### 旋转（rotation）

旋转变形顾名思义就是把图形以原点为中心做旋转。对信号做傅立叶变换会将图形顺时针方向旋转90度。

而做傅里叶反变换会将图形逆时钟旋转90度。

而分数傅立叶变换可将图形旋转任意的角度。

分数傅立叶转换可以视为傅立叶转换的推广形式，公式如下:

定义1:

$$X_\phi (u) = \sqrt{1-jcot\phi}\cdot e^{j\pi \cdot cot\phi\cdot u^2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j2\pi \cdot csc\phi \cdot ut} e^{j\pi \cdot cot\phi \cdot t^2} x(t) dt$$

定义2:

$X_\phi (u) = \sqrt{\frac{1-jcot\phi}{2\pi}}\cdot e^{j\frac{cot\phi}{2}\cdot u^2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-jcsc\phi \cdot ut} e^{j\frac{cot\phi}{2}\cdot t^2} x(t) dt$

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若$\phi=0.5\pi$则此分数傅立叶转换会就会是我们熟悉的傅立叶转换，信号做傅立叶转换可顺时钟旋转90度，且会有以下特性：

若$X(f) = FT(x(t))$，则：

短时距傅立叶变换：

$$|S_X(t,f)| \approx |S_x(-f,t)|$$

加伯转换：

$$G_X(t,f) = G_x(-f,t)e^{-j2 \pi ft}$$

韦格纳分布：

$$W_X(t,f) = W_x(-f,t)$$

### 扭曲(Twisting)

利用线性正则变换(LCT)可以把时频分布做任意的线性变形

线性正则变换有四个参数(a, b, c, d)。

其中，矩阵$\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}$的行列式值ad - bc = 1。

$$F_{(a,b,c,d)}(u)=\sqrt{\frac{1}{j2\pi b}}\cdot e^{\frac{j}{2}\frac{d}{b}u^2}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{j}{b}ut}e^{-\frac{j}{2}\frac{a}{b}t^2}f(t)\cdot \, dt$$

若b=0则可以化简成:

$$F_{(a,0,c,d)}(u)=\sqrt{d}\cdot e^{-\frac{j}{2}cd\cdot u^2}f(d\,u)$$

线性正则变换可以说是各种线性转换的一般化，因此上面提到的许多变形，也可以视为线性正则变换当中的特例:

- $\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/\sigma & 0\\0 & \sigma\end{bmatrix}$ (scaling)

2.$\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\phi & \sin\phi\\-\sin\phi & \cos\phi\end{bmatrix}$(Fractional Fourier transform)

3.$\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0\\\tau & 1\end{bmatrix}$(chirp multiplication)

4.$\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & \lambda z\\0 & 1\end{bmatrix}$(Fresnel transform:用于计算电磁波在空气中的传播)

除了上述几个特殊的例子以外，若我们希望将时频分布图形转换成其他指定形状，我们可以利用矩阵运算的方式求出$\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}$。

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以上图为例:

欲将左图的时频分布图形转换成右图，左图为$W_{x}(u,v)$，右图为$W_{(a,b,c,d)}(u,v)$，右图可以写成$W_{x}(au+bv,cu+dv)$

我们将对应的点带入:

$W_{x}(-1,2)=W_{(a,b,c,d)}(0,1)$，将u和v代入后，得$-a+2b=0$，以及$-c+2d=1$

$W_{x}(1,2)=W_{(a,b,c,d)}(4,3)$，将u和v代入后，得$a+2b= 4$，以及$c+2d=3$

透过解两组二元一次联立方程式，即可得到:$\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 & 1\\1 & 1\end{bmatrix}$，将这组代入线性正则变换则可以将左图成功转换成右图。

在LCT的转换当中，面积是不会改变的!

## 调变的实际应用方式

透过上述的各种调变方式，可以帮助我们在信号处理、信号传输上有更多可以应用的空间。

### 降低取样点数

时频分布的最低取样点数，是一个最小长方形能够框住时频分布的面积，因此，若图形呈现非长方形，甚至不规则状，取样点数都有可能远大于该分布本身的面积。若我们将信号从不同形状转换成长方形的形式，即可降低取样点数，提高计算效率。让我们再度以刚刚的图形作为例子。

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在上图中，红色方框表示取样点数，可以发现，右图的取样点数明显较左图大很多，然而从先前LCT的内容当中，我们知道这两个信号的实际面积是一样大的，然而右图却要花费大量的取样点数。我们可以再次透过LCT将信号转换成接近长方形，以降低取样点数。

### 滤波器设计

传统的滤波器设计，是在频域对不同频率给定不同的频率响应，借此压抑或是强化某些频率的能量。因为一般而言被处理的信号都是时变的，在加入时频分析工具以及变形之后，可以对信号做更复杂的处理，得到更好的效果，例如:分数傅立叶变换，可以将讯号时频分布旋转至适当角度让讯号及干扰的cut-off line与水平轴垂直。

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以上图为例子

一般的cut-off line都是垂直于频率轴的，无法将上图的噪声滤掉，我们可以对cut-off line的函数进行分数傅立叶转换，使它有更好的角度，接着透果平移等方式，让它能够滤掉噪声。

然而实际上我们从自然当中收到的信号很可能是无法像上图那样轻易将噪声滤掉，例如，分布在所有地方的白色噪声就无法从我们的信号中分离出来。不过依然可以透过滤波器设计来提高信噪比(SNR)。

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上图中，粉红色是传统的滤波器，而蓝色线则是透过分数傅立叶转换设计的滤波器，可以看出无论是粉色切割出的范围，还是蓝色切割出的范围，信号的面积大小都是一样的。然而，在蓝色切出的范围中，噪声的面积远比粉色切出的还要小很多。因此，可以大大的提升信噪比。

## 参考文献

- Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2015.
- Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2023.
- SG Mallat, Z Zhang, Matching pursuits with time-frequency dictionaries, Signal Processing, IEEE Transactions on, 1993 - ieeexplore.ieee.org
- Karlheinz Gröchenig, Foundations of Time-Frequency Analysis,