榭赫伦实验

<image>

榭赫伦实验（Schiehallion Experiment）是十八世纪中，一次测量地球平均密度的实验。这次实验的资金由皇家学会提供，而主实验是在1774年夏季，于苏格兰珀斯郡（今珀斯-金罗斯）的榭赫伦山(Schiehallion)附近进行。这项实验的主要用具是摆，借由附近的山会对摆产生重力吸引的现象，于是当摆运动时，靠近山的一边会有微小的偏角，也正为实验所求。实验中摆角偏移的大小，取决于地球与山的相对密度和体积；因此，若可以确定榭赫伦山的密度，那么，其结果便能确定地球的密度。由于当时已经确定太阳系中各天体（行星、它们的卫星和太阳）的密度相对比值，所以只要知道地球的密度，科学家们就能估计出太阳系内各天体的密度近似值。于是，这项实验产生了第一组天体密度数值。

虽然艾萨克·牛顿在以前曾考虑过同样的实验，以展示他的万有引力定律，但最终由于测量困难的原因而决定放弃。然而，以当时的皇家天文学家内维尔·马斯基林为首的一队科学家，却认为这样的效应是可以测量的，并计划进行这一个实验。而促成这次实验的一个原因是，在勘测梅森-狄克森线（美国宾夕法尼亚州、马利兰州、特拉华州与西维吉尼亚州间的一段边界）时所注意到的单向偏倚。经过对候选山头的初步调查，调查显示榭赫伦山是进行实验的理想地点，因为它拥有偏远的位置与近乎对称的山形。此外这个实验还有另一项贡献，就是实验者首度使用了等高线来简化勘测山的过程，即使现在制作地图还是会用到这种表示方式。

## 背景

在对称的引力场中，摆在静止时会垂直向下。然而，如果附近有其他大质量的物体（例如一座山），那么它的吸引力就会把摆的铅锤，向它那边拉过去，这样摆就会稍微偏离垂直。而由某已知物体（例如恒星）所造成的铅垂线角度偏移，则可以通过在山两边的各组对点上，对摆进行仔细的测量得出。通过判定山的体积，及估算山石的平均密度，这样就能够独立地得出山的质量，再加上在那座山多处的偏角测量值，就能通过外推得出地球的平均密度，然后再使用平均密度来算出地球的质量。

艾萨克·牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中，曾考虑过这个效应，但却悲观地认为，地球上任何山所造成的偏角都太小，而难以测量。他写道，引力效应只能在行星的大小尺度下才看得到。然而牛顿的悲观是没有根据的：虽然他的计算指出，偏角会小于2角分（对象是一座三英哩高的理想山），但是这个角度，尽管很小，还是在当时仪器的理论测量范围之内。

任何一个测试牛顿万有引力定律的实验都有两个作用：一、为该定律提供证据；二、为地球的质量与密度提供近似值。而对于天文物体的质量，由于已知的只有各天体间的相对质量比，所以只要知道地球质量的大小，就能知道其他天体质量的合理数值，这些天体包括行星、它们的卫星，还有太阳。虽然这项实验的数据也能用于计算万有引力常数G 的大小，但是这不是当时实验者的目标；而G 最早的参考数值，则要再等几乎一百年，才出现在科学文献中。

## 寻找合适山体

<image>

### 1738年，钦博拉索山

一对法国天文学家，皮埃尔·布格（Pierre Bouguer）和夏尔·玛丽·德·拉·孔达米纳（Charles Marie de La Contamine），是最早进行这项实验的人，而他们在1738年的实验地为厄瓜多尔一的钦博拉索山，山高6,268米。当时他们的探险队，为了测量一度纬度内的子午线弧长，而在1738年离开了法国，前往赤道上的南美洲，但是他们却乘机进行了这项偏移实验。1738年12月，他们在非常困难的地形和气候下，于海拔4,680米和4,340米的地方，进行了两次测量。布格在1749年的一份论文上说他们量度到8角秒的偏移，但是他却有意低估了这次结果的重要性，还说这项实验应该在条件较好英国或法国进行。他还补充说，这次实验最少证明了，地球不可能是空壳。当时有思想家认为地球可能是空的，当中包括了爱德蒙·哈雷。

### 1774年，榭赫伦山

<image>

当时的皇家天文学家内维尔·马斯基林于1772年向皇家学会提出，应该再多进行一次这项实验。他还说这实验会“为进行它的国家带来荣耀”，更提出两处适合的实验地：约克郡的浑塞德峰（Whernside），及坎伯兰的布伦卡思拉-斯克道（Blencathra-Skiddaw）古地块。为此，皇家学会组成了引力委员会，来考虑这件事，委员包括马斯基林、约瑟夫·班克斯和本杰明·富兰克林。为了找到一座适合实验的山，于是委员会派遣天文学家兼测量学家查理斯·梅森二去进行调查。

经过1773年夏季的漫长搜寻后，梅森回报说最佳的候选地是榭赫伦山（Schiehallion，当时写法为Schehallien），它位处苏格兰高地的中央，在泰湖与兰洛湖（Loch Rannoch）之间，山高1,083米。山的耸立之处看起来像被其他山孤立，而且附近的山离它都不太近，这样它们对实验的引力影响会较低，加上榭赫伦山的山脊东西对称，这样会简化计算。还有它陡峭的南北山脊离山的重心很近，这样会使偏移最大化。

然而，梅森拒绝以每天一坚尼的工资，自己执行是次实验。于是这个任务就落在马斯基林的手中，因此他被批准暂时卸下皇家天文学家的职务。为了执行这次任务，他有两名副手，数学家兼测量学家查理斯·赫顿（Charles Hutton），和任职于皇家格林尼治天文台的数学家鲁宾·巴罗（Reuben Burrow）。另外还雇有一队劳工，负责兴建天文学家的观测站，和协助勘测。科学队伍的配备齐全且精良：包括30厘米的黄铜象限仪，1769年库克船长出航观测金星凌日时就有带它；3米长的天顶仪，还有一座准确的摆钟，用于为天文观测所需的时间测定。为了勘测山体，他们还取得了经纬仪、甘特链和一对气压计，用于量度海拔。而且当时，皇家学会能够为实验提供丰厚的拨款，因为英皇将之前考察金星凌日的拨款余额，交付了给学会。

## 测量

### 天文

<image>

为了这项实验，团队在山的南北麓各兴建了一所观测站，还兴建了一座简陋的小屋，作装备储藏及科学家住宿之用三。而大部分劳工则住在用帆布搭建的帐篷中。最早进行的是马斯基林的天文测量。为了实验，他必须测定出铅垂的天顶距离，这个测量需要利用天上的一组星，而在量度时星必须通过正南线。由于起雾和下雨的关系，所以天气状况并不理想。然而，马斯基林还是在南观测站，成功向某方向的34颗星作了76次测量，还有向另一方向的39颗星作了93次。之后，他到了北观测站，再向一组32颗星作了68次测量，又向另一组37颗星作了100次。他在测量时把天顶仪的平面朝向东方，然后转往西方再测量，这样他成功地避开了仪器小口径化所带来的系统误差。

为了判定山所造成的偏移，有必要考虑地球表面的弯曲：当纬度不同时，当地的观测者会发现天顶的位置不同，其偏移角度与纬度变化的度数一致。另外观测时还会遇上各种不同的效应，例如进动、光行差和章动，在考虑过这些效应之后，马斯基林指出，榭赫伦山南与山北的可见天顶，两者间的偏角为54.6角秒。之后，勘测队伍交上了他们对南北观测站纬度差的结果，为42.94角秒，于是马斯基林把这个数值和他的天顶偏角值相减，再将数值按他的测量准确度整数化，他宣布南北两地的铅垂偏角和为11.6角秒。

马斯基林将他的初步结果发表于1775年的《自然科学会报》，当中他用了初测时的山形数据，以及用这组数据推算出的重心位置。根据这组数据，马斯基林认为，假如榭赫伦山的平均密度与地球一样，那么铅垂偏角应为20.9角秒。由于实验结果约为上述角度的一半，所以马斯基林能初步宣布，地球的平均密度约为榭赫伦山的两倍。更准确的结果，需要等到勘测过程完工后才会有。

此外，马斯基林还乘机指出，榭赫伦山表现出引力，因此所有山都有引力；而且牛顿的引力反平方定律也被确认了。皇家学会对马斯基林的研究表示欣赏，并将1775年的科普利奖章授予马斯基林；传记家亚历山大·查尔摩斯（Alexander Chalmers）写道：“如果还有任何对牛顿系统真实性的怀疑，那么它们现在全部都被除去了。”

### 勘测

勘测队伍的工作进度，被持续恶劣的天气大幅延误，直至1776年才完成勘测。为找出山的体积，计算时需要把山分成一组垂直的柱体，然后计算每一个柱体的体积。三角测量的工作由赫顿负责，而这是一项工作量很大的测量：勘测员需要在山的周围，超过一千个点上，一共量出数以千计的方位角。此外，计算用柱体的顶点，并不一定会便利地落在勘测的高度上。为了理解全部数据，他决定使用内插法，在各测量值间放置一系列的线，线之间的高度差固定，线上的点都位于等高的位置。这样做的话，他不但可以简单地判定柱体的高度，而且能从线的回旋度立刻得知地形的形式。就是这样，赫顿首创了等高线，从那时起这项发明就广泛应用于地形图的绘制四。

赫顿的太阳系密度表

天体｜密度（kg·m−3）

1778年赫顿｜现代值

太阳｜1,100｜1,408

水星｜9,200｜5,427

金星｜5,800｜5,204

地球｜4,500｜5,515

月球｜3,100｜3,340

火星｜3,300｜3,934

木星｜1,100｜1,326

土星｜ 410｜ 687

赫顿必须计算出众多格子上每一个柱体所造成的个别引力作用，而这项计算的工作量，跟勘测本身相差无几。在测量完成后，这项工作再花了他两年的时间，才能发表实验结果，最后他在1778年向皇家学会提交了一份一百页的报告论文。假设地球与榭赫伦山的平均密度一致，他发现地球对铅锤的吸引力，比在南北观测站所得的吸引力和，要大9,933倍。在考虑过纬度对地球引力的影响后，实际的摆偏角11.6"对应的比值为17,804:1，由于摆偏角的值为实验值，所以赫顿能够写下，地球的密度值为榭赫伦山的$\tfrac{17,804}{9,933}$倍，或约$\tfrac{9}{5}$倍。因此漫长的勘测过程，并没有太大地影响马斯基林的计算结果。赫顿取榭赫伦山的密度值为2,500 kg·m−3，并宣布地球的密度值为它的$\tfrac{9}{5}$倍，即4,500 kg·m−3。对比现在所采纳的数值，5,515 kg·m−3，当时地球密度值的误差小于20%。

由于地球的平均密度，比表面的石块的密度要大得多，因此这很自然地意味着，地球的内部埋藏着密度更高的材质。赫顿正确地推测出，核心物质很有可能是金属，密度值为10,000 kg·m−3。他估算出这金属部分，大概占地球直径的65%。有了地球平均密度的数值，再加上热罗姆·拉朗德的行星天文表，赫顿能够计算出太阳系内各天体的密度值（见右表），而在这之前，有的只是各天体密度间的相对比值。

## 实验重新操作

在榭赫伦实验后的24年后，出现了一种更直接且更准确的方法，来量度地球的平均密度，亨利·卡文迪什于1798年用一个灵敏度极高的扭秤，来量度两个大铅球间的引力作用。卡文迪什得出的数值为5,448 ± 0.033 kg·m−3五，跟现代数值的5,515 kg·m−3，只差1.2%，数值自卡文迪什后一直没有太大的改进，这个状况要到1895年才由查尔斯·博伊斯（Charles Boys）改变。卡文迪什进行实验时的用心，与实验的准确度，使得他的名字一开始就跟这项实验联系了起来。

约翰·普莱费尔于1811年对榭赫伦山进行了第二次勘测：基于他对那儿石地层的新认知，于是他提出地球的密度值应在4,560至4,870 kg·m−3之间，但当时年迈的赫顿在1821年一份提交皇家学会的论文中，还坚决地为自己的原数值辩护。而普雷费尔的计算，使密度值更接近现代的数值，但是仍然太低，而且还比十多年前卡文迪什的数值要差得多。

<image>

亨利·詹姆斯于1856年重做了榭赫伦实验，他是当时英国地形测量局的局长，而实验地则改在爱丁堡中央的亚瑟王座（Arthur's seat）。运用测量局的资源，詹姆斯把他的测量范围扩大至半径21千米，到达中洛锡安的边界。而他得出的地球密度数值为5,300 kg·m−3。

而2005年进行的一次实验，与1774年的实验有些许不同：该实验不再测量天顶的当地观测差，而测量摆在榭赫伦山上及山下时的周期差，实验能非常准确地测量到这一点。而摆的周期则是g的函数，g是当地的重力加速度。虽然摆在海拔高时速度会较慢，但是山的质量会使这个差减少。相以之下，这个实验的优点是，进行起来要比1774年的简单得多，但是还是能够得到所需的准确度，不过就需要把摆的周期量度至其一百万分之一。而这项实验得到地球质量值为8.1 ± 2.4×1024 kg，其对应平均密度值为7,500 ± 1,900 kg·m−3六。

如果用现代方法来重新研究地球物理数据，就可以顾及到1774年实验队伍所未能考虑的因素。由于有了直径120公里的数字地面模型，所以对榭赫伦山的地质知识也被大幅改进，再加上电脑带来的好处，2007年的一份报告得出的地球平均密度值为5,480 ± 250 kg·m−3。当与现代值的5,515 kg·m−3比较，再比较2007年的数值，就可见当年马斯基林天文测量的准确度之高。

## 数学步骤

<image>

榭赫伦实验的力图如右，其中偏角被大幅度夸大。分析时只考虑山一边的吸引力，这样分析会简单得多。设山的质量及密度分别为MM及ρM，其质心则为P，一质量为m的铅锤，被置于离P点距离为d的地方。由于山的吸引力F，铅锤轻微向P偏移，摆绳与垂直向地的重量W间的角度，为小偏角θ。W及F的向量和，构成摆绳中的张力T。又设地球的质量为ME，半径为rE及密度为ρE。

作用于铅锤的两股引力，可由牛顿万有引力定律求得：

$$F = \frac {G m M_M} {d^2} ,\quad W = \frac {G m M_E} {r_E^2}$$

其中G为牛顿万有引力常数。取F及W间的比值，此时G及m会被除去：

$$\frac {F} {W} = \frac {(G m M_M) / d^2} {(G m M_E) / r_E^2} = \frac {M_M}{M_E} {\left( \frac {r_E}{d} \right)}^2 = \frac {\rho_M} {\rho_E} \frac {V_M} {V_E} {\left( \frac {r_E}{d} \right)}^2$$

其中VM及VE为山及地球的体积。在静力平衡下，摆绳张力的垂直及水平分量，可由引力及偏角θ表示：

$$W = T \cos \theta ,\quad F = T \sin \theta$$

代入T，得：

$$\tan \theta = \frac {F} {W} = \frac {\rho_M}{\rho_E} \frac {V_M}{V_E} {\left( \frac {r_E}{d} \right)}^2$$

其中已知VE、VM、d 和rE，而实验测量了θ，于是代入各数值，可用下式计算出ρE : ρM 的值：

$$\frac {\rho_E}{\rho_M} = \frac {V_M}{V_E} {\left( \frac {r_E}{d} \right)}^2 \frac {1}{\tan \theta}$$

在1774年实验中，使用了南北观测站，其数学分析仍与上面的单边分析相近。在双边时，可将$\tan \theta$ 的表达式写两次：一次为北站的$\theta_N$，一次为南站的$\theta_S$，两式相加后使用小角近似（$\tan \theta \sim \theta$），整理右方可得：

$$\theta_N + \theta_S = \frac{r^2}{GM_E}(F_N+F_S)$$

代入$M_E=\tfrac{4}{3}\rho_E\pi r_E^3$（地球半径当时是已知的），得

$$\rho_E=\frac{3(F_N+F_S)}{4\pi r G (\theta_N+\theta_S)}$$

其中$\tfrac{F_N+F_J}{G}$由勘测所得，附上引力常数的原因是当时并未有这个概念。

## 注释

一当时位于秘鲁副王区。

二梅森之前曾和杰里迈亚·狄克森（Jeremiah Dixon），在美国国土上标记了梅森-狄克森线，这条线把当时的美国分成南北两部分。

三原建筑现已被摧毁，但在山边还是可以找到它们残存的部分。

四严格来说，这是一项重新创作：爱德蒙·哈雷在1701年画出了标记等量磁偏移的线（等磁偏线），荷兰地图学家尼科拉斯·克雷克（Nicolaas Kruik）在1727年也画出了标记等深度的线（等深线）。

五在卡文迪许的论文上，其值为5,480 kg·m−3。但是他算错了：他的测量数据实际上指向5,448 kg·m−3这个值；直到1821年，才由弗朗西斯·贝利找到这个错误。

六所用的地球体积值为1.0832×1012 km3。