莫列波纹

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摩尔纹（moiré pattern），或称摩尔纹、莫尔条纹，是一个有透明间隙且部分不透明的规则图案叠加在另一个类似图案时，产生大范围的干涉条纹。在数码相机或者扫描仪等设备上，会使图片出现彩色、高频率且不规则的条纹。摩尔纹因为是不规则的，所以并没有明显的形状规律。

## 原理

当感光元件像素的空间频率与影像中条纹的空间频率接近时，可能产生一种新的波浪形的干扰图案，即所谓的莫列波纹。传感器的网格状纹理构成了一个这样的图案。当图案中的细条状结构与传感器的结构以小角度交叉时，这种效应也会在图像中产生明显的干扰。这种现象在一些细密纹理情况下，比如时尚摄影中的布料上，非常普遍。这种莫列波纹可能通过亮度也可能通过颜色来展现。消除这种干扰的措施匝是在传感器前使用抗混叠滤镜（也称为低通滤镜），然而这种滤镜会降低镜头的分辨率。因此，在这个问题上，必须要在莫列波纹以及分辨率之间做出取舍与妥协，不同型号相机的问题严重性不一，选择也不一样。

对于相机来说，如果设计时在镜头上安装低通滤波器会有很好效果，但会影响照片锐度；对于扫描仪来说，并无很好的方法解决。对于CRT显示器来说，指画面中出现波纹形色彩干扰的现象。主要在文字焦点突出时发生，是由于CRT显示器中电子束与荧光体碰撞时电子束的残留值影响周围荧光体引起干扰所致。通过改变焦点值可以解决这种问题。不过CRT莫列波纹是荫罩栅阴极射线管本身所固有的、内在的特质，无法完全消除，只能在一定限度内抑制减轻（如通过显示器的OSD菜单中MOIRE消除选项）。

简单地说，莫列波纹是差拍原理的一种表现。从数学上讲，两个频率接近的等幅正弦波叠加，合成信号的幅度将按照两个频率之差变化。差拍原理广泛应用到广播电视和通信中，用来变频、调制等。

同样，差拍原理也适用于空间频率。空间频率略有差异的条纹叠加，由于条纹间隔的差异、重合位置会逐渐偏移，也会形成差拍。

如果感光元件CCD/CMOS像素的空间频率与影像中条纹的空间频率接近，就会产生莫列波纹。要想消除莫列波纹，应当使镜头分辨率远小于感光元件的空间频率。当这个条件满足时，影像中不可能出现与感光元件相近的条纹，也就不会产生莫列波纹了。有些数码相机中为了减弱莫列波纹，安装有低通滤波器滤除影像中较高空间频率部分，这当然会降低图像的锐度。将来的数码相机如果像素密度能够大大提高、远远超过镜头分辨率，也不会出现莫列波纹。

## 字源

莫列波纹来自moiré，是一种纺织品，它的纹路类似于水波。最早这种纺织品是由丝作成，后来也用棉线或人造纤维来呈现相同的效果。

## 计算

### 平行图样中的摩列

#### 几何手法

考虑两组由平行且等距之线构成的图样。第一个图样线距为 $p$，第二个线距则为 $p+\delta p$，并有 $0 < \delta < 1$。

假如图样的线重叠于左侧，则线之间的位移随着往右而加大。给定数值支线以后，图样相反了：第二个图样之线位于第一个图样线之间。从远距离观察，当线重叠时看起来空白，线‘倒反’时看起来暗。

第一暗区的中央在位移等于 $\frac{p}{2}$ 处. 第二个图样第$n$th 线与第一图样第$n$th 线相比，移动了 $n \cdot \delta p$。于是，第一暗区的中央为：$n \cdot \delta p = \frac{p}{2}$ 即

$$n = \frac{p}{2 \delta p}.$$

一暗区与一亮区之间的距离 d 为

$$d = n \cdot p = \frac{p^2}{2 \delta p}$$

两暗区（同时也是两亮区）之间距离

$$2d = \frac{p^2}{\delta p}$$

由此公式，易见：线距愈大，亮区与暗区之间距离越大。线距之差 $\delta p$ 愈大，亮区与暗区愈近。当然，当 $\delta p = \frac{p}{2}$，无例外的可得一均匀灰阶图案。

#### 数学方程手法

于此节中我们将给出一个数学上的实例，与其中一种得出图样与摩列效应可以数学表示的方法。

图案的可见性取决于其基底或介质，可能为 不透明（如纸本）或透明（如于塑胶片上）。为求讨论，我们可假设两原始图样皆为白纸灰阶，且其打印处之不透明度由 0 (白) 至 1 (黑)之范围给出。（1/2 表示纯灰）任何小于0或大于1之灰阶皆 "无法打印".

我们同时选择取同位置所有图案透明度之平均为重叠后图案之透明度，即，和之一半，不大于1。

考虑两几乎一样，正弦相关之灰阶图样重叠“打印”。先将其一印于纸上，第二个重叠于上且座标轴对齐。我们可以

$$f = \frac{1 + \sin(k x)}{2}$$

表示纸面上对一给定座标轴（举例，x轴），对距离的正不透明度方程。

1的存在使得方程恒正，而除以2避免方程结果大于1。

$k$为强度周期/单位距离，表示图样灰阶强度的周期变动。因正弦方程对 $2 \pi$有循环，当 $k \Delta x = 2 \pi$，或 $\Delta x = \frac{2 \pi}{k}$时，可得每强度周期（波长）之距离增长。

考虑以下周期变动有细微差异的两图样:

$$f_1 = \frac{1 + \sin(k_1 x)}{2}$$

$$f_2 = \frac{1 + \sin(k_2 x)}{2}$$

使得 $k_1 \approx k_2$.

二方程之平均值，同时也表示重叠图像，如下给出：

$$f_3 = \frac{f_1 + f_2}{2}$$

$$= \frac12 + \frac{\sin(k_1 x) + \sin(k_2 x)}{4}$$

$$= \frac{1 + \sin(A x) \cos(B x)}{2}$$

易见

$$A = \frac{k_1 + k_2}{2}$$

且

$$B = \frac{k_1 - k_2}{2}.$$

此方程平均， $f_3$，明显位于 0,1之间。有鉴于 $A$为 $k_1$ 与 $k_2$之平均且近于两者，摩列效应可 distinctively demonstrated by the sinusoidal envelope "拍频"方程 $\cos(B x)$, 其周期变动为 $k_1$ 及 $k_2$ 之差的一半（"慢"许多).

其他常见一维摩列效应包括当两几乎一样之纯音同时发声时所产生的拍频。此即在一维时间下声音的摩列效应：原始的两因仍在，但听者只接收到两者节拍之平均值与两者频率差之半。

本节总结：

### 旋转图样

考虑两相同线距 $p$之图样，但有第二个图样转动 $\alpha$度。从远处看，我们可见到暗纹与亮纹：亮纹相当于节线。即，通过两图样交叠处的线。

考虑"网"之单位格，易见单位格 为 菱形：其为四边边长 $d = \frac{p}{\sin \alpha}$之 平行四边形； (我们可得一斜边为 $d$ 之三角形且 $\alpha$ 角之对边为 $p$).

亮纹相当于菱形之短对角线。因对角线为邻边之 垂直平分线，易见亮纹与垂直于各图案的线构成一等同于 $\frac{\alpha}{2}$ 的角度。

更进一步，两亮纹之间距离为 $D$，长对角线之一半。长对角线唯一直角三角形之直角对边，且直角邻边为 $d (1 + \cos \alpha)$ 和 $p$。由 毕氏定理

$$(2 D)^2 = d^2 (1 + \cos \alpha)^2 + p^2$$

id est

$$(2D)^2 = \frac{p^2}{\sin^2 \alpha}(1+ \cos \alpha)^2 + p^2 = p^2 \cdot \left ( \frac{(1 + \cos \alpha)^2}{\sin^2 \alpha} + 1\right )$$

从远处看。

$(2D)^2 = 2 p^2 \cdot \frac{1+\cos \alpha}{\sin^2 \alpha}$ or $D = \frac{p}{2} / \sin\frac{\alpha}{2}.$

如 $\alpha$ 极小 ($\alpha < \frac{\pi}{6}$)，可做以下近似：

$$\sin \alpha \approx \alpha$$

$$\cos \alpha \approx 1$$

于是

$$D \approx \frac{p}{\alpha}.$$

可见， $\alpha$愈小，亮纹愈远；当两图样平行时($\alpha = 0$)，亮纹间距离为 "无限" (无亮纹)。

另外有给出 $\alpha$的两个方法：

$$\alpha \approx \frac{p}{D}$$

如果选择测量角度，最终的误差正比于测量误差。选择测量空间关系，误差正比于空间关系的倒数。因此，对于小角度，测量空间较为理想。

## 意义与应用

### 打印全彩图案

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于图像艺术与印前，打印全彩图像需借助半色调萤幕的重叠。有些无法避免的莫列波纹是可接受的，因其十分"紧致"；即，其空间频率高到难以察觉。有些印前作业借由选定角度与半色调频率来避免。莫列波纹的可见性不易预测，相同的萤幕对不同影像，成效不同。

于制造业中，波纹被用来研究材料的微观形变。

### 电视萤幕与照片

当电视中人物穿戴有特定图样或纹路的服装时会产生莫列波纹。移动时莫列波纹十分易见。也是因为如此，主播或其他相关从业人员皆会注意，避免穿着造成效应的服装。

用数码相机拍摄电视萤幕也经常有莫列波纹。电视萤幕与数码相机皆用水平扫描线捕捉影像，因此导致莫列效应。将数码相机对电视做30度倾斜可避免效应。

### 海洋探勘

莫列效应也经常用于海岸警示 (通常有关管线或缆线).莫列效应会产生指向危险的箭头，当指示器经过危险处时，警示的箭头在转换方向前会先呈垂直带状。(50°N 51°W).

### 纸钞

许多纸钞采用波浪或螺线设计，以利用数位扫描仪产生莫列图样的倾向防止伪造。

## 外部链接

- A series of oil paintings based on Moiré principles by British artist, Pip Dickens
- A live demonstration of the Moiré effect that stems from interferences between circles
- An interactive example of various Moiré patterns Use arrow keys and mouse to manipulate layers.