欧拉运动定律

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欧拉运动定律（Euler's laws of motion）是牛顿运动定律的延伸，可以应用于多粒子系统运动或刚体运动，描述多粒子系统运动或刚体的平移运动、旋转运动分别与其感受的力、力矩之间的关系。在艾萨克·牛顿发表牛顿运动定律之后超过半个世纪，于1750年，莱昂哈德·欧拉才成功地表述了这定律。

刚体也是一种多粒子系统，但理想刚体是一种有限尺寸，可以忽略形变的固体。不论是否感受到作用力，在刚体内部，点与点之间的距离都不会改变。

欧拉运动定律也可以加以延伸，应用于可变形体内任意部分的平移运动与旋转运动。

## 刚体

### 欧拉第一运动定律

欧拉第一定律表明，从某惯性参考系观测，施加于刚体的净外力，等于刚体质量与质心加速度的乘积。欧拉第一定律以方程式表达为

$\mathbf{F}^{(ext)}=m\mathbf {a}_{cm}$。

其中，$\mathbf{F}^{(ext)}$ 是刚体感受到的净外力，$m$、$\mathbf {a}_{cm}$ 分别是刚体的质量、质心加速度。

刚体的平移运动等同于位于其质心、具有其质量的粒子，感受到同样的净外力，而呈现的运动。

#### 导引

思考由 $n$ 个粒子组成的多粒子系统，其质心位置 $\mathbf{r}_{cm}$ 为

$\mathbf{r}_{cm}\stackrel{def}{=} \frac{\sum_{i = 1}^n m_i \mathbf{r}_i}{m}$ ;

其中，$m_i$、$\mathbf{r}_i$ 分别为第 $i$ 个粒子的质量、位置，$m=\sum_{i = 1}^n m_i$ 是系统的质量。

质心速度 $\mathbf{v}_{cm}$ 为

$\mathbf{v}_{cm}= \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_{cm}}{\mathrm{d}t}= \cfrac{\sum_{i = 1}^n m_i \mathbf{v}_i}{m}$。

其中，$\mathbf{v}_i=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_{i}}{\mathrm{d}t}$ 是第 $i$ 个粒子的速度。

质心加速度 $\mathbf{a}_{cm}$ 为

$\mathbf{a}_{cm}= \frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_{cm}}{\mathrm{d}t}= \cfrac{\sum_{i = 1}^n m_i \mathbf{a}_i}{m}$。

其中，$\mathbf{a}_i=\frac{\mathrm{d^2}\mathbf{r}_{i}}{\mathrm{d}t^2}$ 是第 $i$ 个粒子的加速度。

第 $i$ 个粒子感受到的力 $\mathbf{F}_{i}$ 为

$\mathbf{F}_{i}=\mathbf{F}_i^{(ext)}+ \sum_{j = 1, j\ne i}^n \mathbf{F}_{ji}$。

其中，$\mathbf{F}_i^{(ext)}$ 是这粒子感受到的外力，$\mathbf{F}_{ji}$ 是第 $j$ 个粒子施加于第 $i$ 个粒子的内力。

系统感受到的净力 $\mathbf{F}$ 是所有粒子感受到的力的向量和：

$\mathbf{F}=\sum_{i = 1}^n \mathbf{F}_{i}=\sum_{i = 1}^n \mathbf{F}_i^{(ext)}+ \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1, j\ne i}^n \mathbf{F}_{ji}$。

根据牛顿第三定律，内力与其反作用力的关系为

$\mathbf{F}_{ji}=-\mathbf{F}_{ji}$。

所以，所有粒子彼此施加于对方的内力的向量和为零，净力等于所有外力的向量和 （净外力 $\mathbf{F}^{(ext)}$）：

$\mathbf{F}=\sum_{i = 1}^n \mathbf{F}_i^{(ext)}=\mathbf{F}^{(ext)}$。

根据牛顿第二定律，第 $i$ 个粒子感受到的力 $\mathbf{F}_{i}$ 与这粒子的加速度之间的关系为

$\mathbf{F}_{i}=m_i \mathbf{a}_i$。

总和所有粒子所感受到的力。

$\mathbf{F}=\sum_{i = 1}^n \mathbf{F}_{i}=\sum_{i = 1}m_i \mathbf{a}_i=m\mathbf{a}_{cm}$。

所以，净外力 $\mathbf{F}^{(ext)}$ 与质心加速度的关系为

$\mathbf{F}^{(ext)}=m\mathbf{a}_{cm}$。

#### 动量守恒定律

多粒子系统的动量 $\mathbf{p}$ 是组成这系统的所有粒子的动量的向量和：

$\mathbf{p}= \sum_{i = 1}^n \mathbf{p}_i =\sum_{i = 1}^n m_i \mathbf{v}_i=m\mathbf{v}_{cm}$。

其中，$\mathbf{p}_i$ 是第 $i$ 个粒子的动量。

欧拉第一定律又可以表达为

$\mathbf{F}^{(ext)}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}$。

假设净外力为零，则系统的动量守恒。

### 欧拉第二运动定律

欧拉第二定律表明，设定某惯性参考系的固定点O（例如，原点）为参考点，施加于刚体的净外力矩，等于角动量的时间变化率。欧拉第二定律以方程式表达为

$\boldsymbol{\tau}_O^{(ext)} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_O}{\mathrm{d}t}$。

其中，$\boldsymbol{\tau}_O^{(ext)}$ 是对于点O净外力矩，$\mathbf{L}_O$ 是对于点O的角动量。

#### 导引

思考由 $n$ 个粒子组成的多粒子系统。对于点O，第 $i$ 个粒子的角动量 $\mathbf{L}_i$ 为

$\mathbf{L}_i =\mathbf{r}_i\times\mathbf{p}_i=\mathbf{r}_i\times m_i\mathbf{v}_i$。

$\mathbf{L}_i$ 对于时间的导数为

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t} =\frac{\mathrm{d}(\mathbf{r}_i\times m_i\mathbf{v}_i)}{\mathrm{d}t} =\mathbf{v}_i\times m_i\mathbf{v}_i+\mathbf{r}_i\times m_i\mathbf{a}_i =\mathbf{r}_i\times m_i\mathbf{a}_i$。

根据牛顿第二定律，施加于第 $i$ 个粒子的力 $\mathbf{F}_{i}$ 是这粒子的质量与加速度的乘积。所以，$\mathbf{L}_i$ 对于时间的导数为

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t} =\mathbf{r}_i\times \mathbf{F}_i$。

第 $i$ 个粒子所感受到的净力矩 $\boldsymbol{\tau}_i$ 为 $\boldsymbol{\tau}_i=\mathbf{r}_i\times \mathbf{F}_i$。所以，$\boldsymbol{\tau}_i$ 与 $\mathbf{L}_i$ 的关系为

$\boldsymbol{\tau}_i=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t}$。

总和所有粒子所感受到的净力矩，系统所感受到的净力矩 $\boldsymbol{\tau}_O$ 与其角动量 $\mathbf{L}_O$ 的关系为

$\boldsymbol{\tau}_O=\sum_{i = 1}^n \boldsymbol{\tau}_i=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\sum_{i = 1}^n \mathbf{L}_i=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_O}{\mathrm{d}t}$。

第 $i$ 个粒子所感受到的净力 $\mathbf{F}_i$ 为

$\mathbf{F}_i=\mathbf{F}_i^{(ext)} +\sum_{j = 1, j\ne i}^n \mathbf{F}_{ji}$。

第 $i$ 个粒子所感受到的净力矩 $\boldsymbol{\tau}_i$ 为

$\boldsymbol{\tau}_i=\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i=\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i^{(ext)} +\sum_{j = 1, j\ne i}^n \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_{ji}$。

物体感受到的净力矩 $\boldsymbol{\tau}_O$ 为：

$\boldsymbol{\tau}_O=\sum_{i = 1}^n \boldsymbol{\tau}_i =\sum_{i = 1}^n\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i^{(ext)} +\sum_{i = 1}^n\sum_{j = 1, j\ne i}^n \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_{ji}$。

应用牛顿第三定律。

$\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_{ji}+\mathbf{r}_j \times\mathbf{F}_{ji} =\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_{ji}-\mathbf{r}_j \times\mathbf{F}_{ji}=(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j)\times\mathbf{F}_{ji}=\mathbf{r}_{ij}\times\mathbf{F}_{ji}$。

其中，$\mathbf{r}_{ij}=\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j$ 是从粒子 $\mathbf{r}_j$ 到粒子 $\mathbf{r}_i$ 的位移向量。

假设这系统的粒子遵守强版牛顿第三定律，即粒子运动为经典运动，速度超小于光速，则$\mathbf{r}_{ij}$ 与 $\mathbf{F}_{ji}$ 同向，叉积为零。那么，物体感受到的净力矩是所有外力矩的向量和 $\boldsymbol{\tau}_O^{(ext)}$：

$\boldsymbol{\tau}_O=\sum_{i = 1}^n\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i^{(ext)}=\boldsymbol{\tau}_O^{(ext)}$。

这样，可以得到欧拉第二定律方程式

$\boldsymbol{\tau}_O^{(ext)} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_O}{\mathrm{d}t}$。

假设施加于系统的净外力矩为零，则系统的角动量的时间变化率为零，系统的角动量守恒。

#### 相对于质心的欧拉第二运动定律

所有粒子所感受到的净力矩的向量和为

$\boldsymbol{\tau}_O=\sum_{i = 1}^n\boldsymbol{\tau}_i=\sum_{i = 1}^n\mathbf{r}_i\times(m_i\mathbf{a}_i)=\sum_{i = 1}^n(\mathbf{r}_{cm}+\mathbf{r}'_i)\times(m_i(\mathbf{a}_{cm}+\mathbf{a}'_i))$。

其中，$\mathbf{r}'_{i}=\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{cm}$、$\mathbf{a}'_{i}=\mathbf{a}_{i}-\mathbf{a}_{cm}$ 分别是第 $i$ 个粒子相对于质心的相对位移与相对加速度。

注意到所有粒子的相对位移与相对加速度，其向量和分别为零，所以。

$\boldsymbol{\tau}_O=\mathbf{r}_{cm}\times m\mathbf{a}_{cm}+ \sum_{i = 1}^n \mathbf{r}'_i\times m_i\mathbf{a}'_i$。

现在，假设将质心设定为参考点，则 $\mathbf{r}_{cm}=0$，方程式变为

$\boldsymbol{\tau}_{cm}=\sum_{i = 1}^n \mathbf{r}'_i\times m_i\mathbf{a}'_i$。

以质心为参考点，角动量 $\mathbf{L}_{cm}$ 为

$\mathbf{L}_{cm}=\sum_{i = 1}^n \mathbf{r}'_i\times m_i\mathbf{v}'_i$。

所以，不论质心参考系是否为惯性参考系（即不论质心是否呈加速度运动），以质心为参考点，净外力矩等于角动量的时间变化率：

$\boldsymbol{\tau}_{cm}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_{cm}}{\mathrm{d}t}$。

## 可变形体

在可变形体内部任意位置的内力密度不一定一样，也就是说，其内部存在有应力分布。这内部的内力的变化是由牛顿第二定律主控。通常，牛顿第二定律是应用于计算质点或粒子的动力运动，但在连续介质力学里，被加以延伸后，可以应用于计算具有连续分布质量的物体的运动行为。假设将物体模型化为由一群离散粒子组构而成，每一个粒子的运动都遵守牛顿第二定律，则可以推导出欧拉运动定律。不论如何，欧拉运动定律也可以直接视为专门描述大块物体运动的公理，与物体结构无关。

在塑性力学（plasticity theory）里，施加于一个连续物体B的力可以分类为两种：“长程力”与“短程力”。长程力作用于整个物体的每一部分，称为彻体力（body force），而短程力只能作用于物体表面，称为接触力（contact force）。这样，施加于连续物体的净力 $\mathbf {F}$ 分为净彻体力 $\mathbf {F}_b$、净接触力 $\mathbf {F}_t$：

$\mathbf{F}_b=\int_\mathbb{V}\mathbf{b}\,\mathrm{d}m=\int_\mathbb{V} \rho\mathbf{b}\,\mathrm{d}V$。

$\mathbf{F}_t=\int_{\mathbb{S}}\mathbf{t}\,\mathrm{d}S$。

其中，$\mathbf{b}$ 是彻体力场（量纲为力每单位质量），$\mathrm{d}m$ 是微小质量元素，$\rho$ 是质量密度，$\mathrm{d}V$ 是微小体元素，$\mathbb{V}$ 是积分体区域，$\mathbf{t}$ 是表面曳力（surface traction）密度，$\mathrm{d}S$ 是微小面元素，$\mathbb{S}$ 是积分曲面。

由于彻体力与接触力施加于物体，造成了以某设定点为参考点的对应力矩。这样，对于原点的净力矩 $\mathbf{L}$ 分为净彻体力矩 $\mathbf {L}_b$、净接触力矩 $\mathbf {L}_t$：

$\mathbf {L}_b=\int_\mathbb{V} \mathbf{r}\times \rho\mathbf{b}\,\mathrm{d}V$。

$\mathbf {L}_t= \int_\mathbb{S} \mathbf{r}\times \mathbf{t}\,\mathrm{d}S$。

其中，$\mathbf{r}$ 是微小体元素或微小面元素的位置。

欧拉第一定律（“力平衡定律”）表明，从某惯性参考系观测，施加于连续物体内部任意部分的净外力等于净动量的时间变化率：

$\mathbf{F}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}$。

也就是说。

$\int_\mathbb{V} \rho\mathbf{b}\,\mathrm{d}V+\int_{\mathbb{S}}\mathbf{t}\,\mathrm{d}S =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_\mathbb{V} \rho\mathbf{v}\,\mathrm{d}V$。

其中，$\mathbf{v}$ 是微小体元素的速度。

欧拉第二定律（“角动量平衡定律”）表明，从某惯性参考系观测，施加于连续物体内部任意部分的净力矩等于净角动量的时间变化率：

$\boldsymbol{\tau}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}$。

也就是说。

$\int_\mathbb{V} \mathbf{r}\times \rho\mathbf{b}\,\mathrm{d}V+ \int_\mathbb{S} \mathbf{r}\times \mathbf{t}\,\mathrm{d}S=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_\mathbb{V} \mathbf{r}\times \rho\mathbf{v}\,\mathrm{d}V$。

## 参阅

- 欧拉方程 (刚体运动)
- 欧拉旋转定理