高斯单位制

<image>

高斯单位制（Gaussian units）是一种计量单位的制度，属于米制，从厘米-克-秒制衍生。厘米-克-秒制有几组互相冲突的电磁单位，其中高斯单位最常见。

高斯单位制外最常用的别种选择是国际单位制。在大多数领域，国际单位制是主要使用的单位制。人们渐渐摒弃高斯单位制，改用国际单位制。高斯单位制与国际单位制之间的单位转换并不像平常单位转换那样简易。例如，电磁学的马克士威方程组，依使用不同单位制而形式不同：电容率或磁导率在高斯单位制是无因次的物理量，在国际单位制可能有因次。

高斯单位制必须与国际单位制挂钩才有实验意义，因为只有国际单位制精确定义了各个物理量。在某些领域高斯单位制的公式较为简洁，例如在经常需要处理球对称情况的天体物理学。但在经常需要处理直线情况的工程领域，国际单位制的公式更加简洁。

## 各种不同的厘米-克-秒制

在厘米-克-秒制内，有好几种电磁单位系统，高斯单位制只是其中的一种。其它有静电单位制（electrostatic units）、电磁单位制（electromagnetic units）、劳仑兹-黑维塞单位制（Lorentz-Heaviside units）。

另外还有一类称为自然单位制的制度，包括原子单位制、普朗克单位制等等。从某些方面来看，在厘米-克-秒制与国际单位制之间，这些自然单位制比较接近前者。例如，假设选择自然单位制或厘米-克-秒制，则高斯定律方程式里，都有一个因子$4\pi$，而库仑定律方程式里则无；假设选择国际单位制，则高斯定律方程式里没有因子$4\pi$，而库仑定律方程式里则有。另外，高斯单位制比国际单位制少一个基本单位，即电荷的单位不是基本单位，而自然单位制的基本单位又少了许多。

现今，国际单位制是最常使用的单位制。在工程学领域与实用领域，几乎普遍采用国际单位制，这已是很多年的事实。在科技文献里，像理论物理学与天文学的文献，直到最近几年，高斯单位制是主要单位制，但现在也越来越少使用。

自然单位制比较常见于更理论、更抽象的物理领域，特别是粒子物理学与弦理论。

## 高斯单位制与国际单位制之间重要差别

### 有理化单位制

高斯单位制与国际单位制之间，一个差别是在一些方程式里的因子$4\pi$。国际单位制被分类为“有理化单位制”，因为，马克士威方程组里没有因子$4\pi$，但是，库仑定律和必欧-沙伐定律的方程式里，都含有因子$4\pi$。采用高斯单位制的状况完全相反。马克士威方程组里含有因子$4\pi$，但是，库仑定律和必欧-沙伐定律的方程式里，都没有因子$4\pi$。因此，高斯单位制被分类为“非理化单位制”。

### 电荷的单位

对于高斯单位制与国际单位制，电荷单位的定义有很大的区别。国际单位制特别为电现象设置一个基本单位──安培(ampere)，这动作的后果是，电荷是一种物理数量的一种独特因次，（1库伦（coulomb）=1ampere×1second）不能用机械单位（kg、m、s）来表达。库仑定律方程式为

$F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_1Q_2}{r^2}$。

其中，$F$是库仑力，$\epsilon_0$是电常数，$Q_1$和$Q_2$是两个相互作用的电荷，$r$是这两个电荷之间的距离。

电常数$\epsilon_0$的因次为ampere2 s4 kg−1 m−3。借着电常数$\epsilon_0$的单位，库仑定律方程式两边的因次可以一致化。假若没有$\epsilon_0$，则方程式两边的因次不一致；而在高斯单位制内，$\epsilon_0$并不存在。

在高斯单位制内，电荷的单位statC，可以完全以机械单位写为

1 statC = 1 g1/2 cm3/2 s−1

库仑定律方程式相当简单：

$F = \frac{Q_1Q_2}{r^2}$。

假设电荷的单位是statC，半径的单位是cm，则作用力的单位是达因（dyne）。

### 磁物理量的单位

与国际单位制不同，在高斯单位制内，电场$\mathbf{E}$与磁感应强度（B场）$\mathbf{B}$的因次一样。这总计为B场在两个单位制内光速因子$c$的差异。同样的因子也发生于其他磁物理量，像磁场强度（H场）与磁化强度。例如，对于传播于真空的平面电磁波，在高斯单位制内，$|\mathbf{E}(\mathbf{r},t)|=|\mathbf{B}(\mathbf{r},t)|$；但在国际单位制内，$|\mathbf{E}(\mathbf{r},t)|=c|\mathbf{B}(\mathbf{r},t)|$。

### 电极化向量、磁化向量

与国际单位制不同，在高斯单位制内，电场$\mathbf{E}$、电位移$\mathbf{D}$、电极化强度$\mathbf{P}$、磁感应强度$\mathbf{B}$、磁场强度$\mathbf{H}$、磁化强度$\mathbf{M}$，都具有同样的因次。另外一个重点是，在高斯单位制与国际单位制内，物质的电极化率与磁化率都不具因次，然而，它们在两个单位制内的数值都不一样。稍后，会列出它们的方程式。

## 方程式列表

本段落列出，在高斯单位制与国际单位制内，电磁学的基本方程式。

### 麦克斯韦方程组

以下为宏观与微观的麦克斯韦方程组。应用散度定理或斯托克斯定理，可以从微分形式得到积分形式。

名称｜高斯单位｜国际单位

高斯定律（宏观）｜$\nabla \cdot \mathbf{D} = 4\pi\rho_f$｜$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_f$

高斯定律（微观）｜$\nabla \cdot \mathbf{E} = 4\pi\rho$｜$\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\epsilon_0$

高斯磁定律：｜$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$｜$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$

法拉第电磁感应定律｜$\nabla \times \mathbf{E} = -\ \frac{1}{c}\ \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$｜$\nabla \times \mathbf{E} = -\ \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$

麦克斯韦-安培定律（宏观）｜$\nabla \times \mathbf{H} = \frac{4\pi}{c}\mathbf{J}_f + \frac{1}{c}\ \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}$｜$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_f + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}$

麦克斯韦-安培定律（微观）｜$\nabla \times \mathbf{B} = \frac{4\pi}{c}\mathbf{J} + \frac{1}{c}\ \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$｜$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \frac{1}{c^2}\ \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$

- $\rho_f$是自由电荷密度，$\rho$是电荷密度，$\mathbf{J}_f$是自由电流密度，$\mathbf{J}$是电流密度。

### 其它基本定律

名称｜高斯单位｜国际单位

劳仑兹力｜$\mathbf{F} = q\left(\mathbf{E}+\frac{1}{c}\mathbf{v}\times\mathbf{B}\right)$｜$\mathbf{F} = q\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\right)$

库仑力定律｜$\mathbf{F} = \frac{Q_1 Q_2}{r^2}$｜$\mathbf{F} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1 Q_2}{r^2}$

库仑定律｜$\mathbf{E} = \frac{Q}{r^2}$｜$\mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2}$

必欧-沙伐定律｜$\mathbf{B} = \frac{1}{c} \oint_{\mathbb{L}}\frac{I \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} \times \hat{\mathbf{r}}}{r^2}$｜$\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{\mathbb{L}}\frac{I \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} \times \hat{\mathbf{r}}}{r^2}$

- $I$是电流，$\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$是微小线元素，$\mathbb{L}$是线积分的路径，$\hat{\mathbf{r}}$是从微小线元素指向检验位置的单位向量。

### 介电质与磁物质

假设最简单介电质案例，即线性、各向同性、均匀的介电质，电容率只是常数。

高斯单位｜国际单位

$\mathbf{D} = \mathbf{E}+4\pi\mathbf{P}$｜$\mathbf{D} = \epsilon_0 \mathbf{E}+\mathbf{P}$

$\mathbf{P} = \chi_e\mathbf{E}$｜$\mathbf{P} = \chi_e\epsilon_0\mathbf{E}$

$\mathbf{D} = \epsilon\mathbf{E}$｜$\mathbf{D} = \epsilon\mathbf{E}$

$\epsilon = 1+4\pi\chi_e$｜$\epsilon/\epsilon_0 = 1+\chi_e$

- $\chi_e$是电极化率，$\epsilon$是电容率。
- $\epsilon$在高斯单位制内，与$\epsilon/\epsilon_0$在国际单位制内，都不具因次，但数值相同（均为1，在普朗克单位制（包含普朗克劳仑兹-黑维塞单位制与普朗克高斯单位制）与劳仑兹-黑维塞单位制中也是1）。
- $\chi_e$在两种单位制内，都不具因次，但数值不相同（在国际单位制中是1，所以国际单位制是有理化单位制，在劳仑兹-黑维塞单位制与普朗克劳仑兹-黑维塞单位制也是1，所以这两种单位制也是有理化单位制，但是在高斯单位制与普朗克高斯单位制中，值是$4\pi$而不是1，所以这两种单位制是非理化单位制）。

假设最简单的磁物质案例，即线性、各向同性、均匀的磁物质，磁导率只是常数。

高斯单位｜国际单位

$\mathbf{B} = \mathbf{H}+4\pi\mathbf{M}$｜$\mathbf{B} = \mu_0 (\mathbf{H}+\mathbf{M})$

$\mathbf{M} = \chi_m\mathbf{H}$｜$\mathbf{M} = \chi_m\mathbf{H}$

$\mathbf{B} = \mu\mathbf{H}$｜$\mathbf{B} = \mu\mathbf{H}$

$\mu = 1+4\pi\chi_m$｜$\mu/\mu_0 = 1+\chi_m$

- $\chi_m$是磁化率，$\mu$是磁导率。
- $\mu$在高斯单位制内，与$\mu/\mu_0$在国际单位制内，都不具因次，但数值相同（均为1，在普朗克单位制（包含普朗克劳仑兹-黑维塞单位制与普朗克高斯单位制）与劳仑兹-黑维塞单位制中也是1）。
- $\chi_m$在两种单位制内，都不具因次，但数值不相同（在国际单位制中是1，所以国际单位制是有理化单位制，在劳仑兹-黑维塞单位制与普朗克劳仑兹-黑维塞单位制也是1，所以这两种单位制也是有理化单位制，但是在高斯单位制与普朗克高斯单位制中，值是$4\pi$而不是1，所以这两种单位制是非理化单位制）。

### 电势、磁向量势

名称｜高斯单位｜国际单位

电场（静电学）｜$\mathbf{E} = -\nabla\phi$｜$\mathbf{E} = -\nabla\phi$

电场（电磁学）｜$\mathbf{E} = -\nabla\phi-\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$｜$\mathbf{E} = -\nabla\phi-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$

磁场｜$\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$｜$\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$

- $\phi$是电势，$\mathbf{A}$是磁向量势。

## 电磁单位名称

关于非电磁单位的名称，请参阅厘米-克-秒制。

数量｜符号｜国际单位｜高斯单位

电荷｜$q$｜1 C｜↔ (10−1 c) statC

电流｜$I$｜1 A｜↔ (10−1 c) statC·s−1

电势、电压｜$\phi$、$V$｜1 V｜↔ (108 c−1) statV

电场｜$\mathbf{E}$｜1 V/m｜↔ (106 c−1) statV/cm

磁感应强度｜$\mathbf{B}$｜1 T｜↔ (104) gauss

磁场强度｜$\mathbf{H}$｜1 A/m｜↔ (4π 10−3) oersted

磁偶极矩｜$\mu$｜1 A·m²｜↔ (103) erg/gauss

磁通量｜$\phi_m$｜1 Wb｜↔ (108) gauss·cm2

电阻｜$R$｜1 Ω｜↔ (109 c−2) s/cm

电阻率｜$\rho$｜1 Ω·m｜↔ (1011 c−2) s

电容｜$C$｜1 F｜↔ (10−9 c2) cm

电感｜$L$｜1 H｜↔ (109 c−2) s2·cm−1

在这表格里，字母$c$代表数值29,979,245,800 ≈ 3×1010。这是光速在高斯单位制内的数值（光速为3×1010cm/s）。采用符号"↔"来强调，国际单位与高斯单位之间的关系，是对应关系，而不是相等关系，因为两种单位的因次互不相容。例如，从表格的最上一横行，在国际单位制内，带有1 C电量的粒子，转换到在高斯单位制内，则带有（10−1 c statC电量，或3×109 statC电量）。

另外一个令人惊讶的事实为，电阻率的计量单位为秒。举一个实例：设定一个平行板电容器，其介电质的电容率为1、电阻率为$X$秒，则在充电之后，这电容器会随着时间的流易而放电，因为电流会漏过介电值，造成漏电，而放电的半寿命期为$\approx 0.05X$秒。这结果与电容器的大小、形状、电量都无关。这实例显示出电阻率与时间单位之间的基本关联。

### 等因次单位

在高斯单位制内，有些单位的名称不一样，但因次相等。以基本单位来表达，这些单位的表达式相同。这类似于在国际单位制内，N·m与Joule之间的区别。不同的名称可以避免发生分歧义与误解──到底在测量的物理量为何？以下列出的物理量，在高斯单位制内，虽然有些的单位名称不一样，但因次相等。

场名｜物理量｜高斯基本单位｜高斯计量单位

电场｜$\mathbf{E}$｜cm-1/2 g1/2 s−1｜statV/cm

电位移｜$\mathbf{D}$｜cm-1/2 g1/2 s−1｜statC/cm2

电极化强度｜$\mathbf{P}$｜cm-1/2 g1/2 s−1｜statC/cm2

磁感应强度｜$\mathbf{B}$｜cm-1/2 g1/2 s−1｜gauss

磁场强度｜$\mathbf{H}$｜cm-1/2 g1/2 s−1｜oersted

磁化强度｜$\mathbf{M}$｜cm-1/2 g1/2 s−1｜Mx/cm2

## 转换单位的一般定则

若要将任何方程式从高斯单位制转换至国际单位制，只要将高斯表达式改为对应的国际单位表达式；反之亦然。这会复制任何前面列出的方程式，像马克士威方程组，或其它任何没有列出的方程式。为了简化方程式，可能需要应用关系式$\mu_0\epsilon_0 = 1/c^2$。

名称｜高斯单位制｜国际单位制

电场、电势｜$\mathbf{E}, \varphi$｜$\sqrt{4\pi\varepsilon_0}(\mathbf{E}, \varphi)$

电位移｜$\mathbf{D}$｜$\sqrt{4\pi/\varepsilon_0}\mathbf{D}$

电荷、电荷密度、电流、电流密度、电极化强度、电偶极矩｜$q, \rho, I, \mathbf{j},\mathbf{P}, \mathbf{p}$｜$\frac{1}{\sqrt{4\pi\varepsilon_0}}(q, \rho, I, \mathbf{j},\mathbf{P},\mathbf{p})$

磁感应强度、磁向量势｜$\mathbf{B},\mathbf{A}$｜$\sqrt{4\pi/\mu_0}(\mathbf{B}, \mathbf{A})$

磁场强度｜$\mathbf{H}$｜$\sqrt{4\pi\mu_0}\mathbf{H}$

磁矩、磁化强度｜$\mathbf{m}, \mathbf{M}$｜$\sqrt{\mu_0/4\pi}(\mathbf{m}, \mathbf{M})$

电容率、磁导率｜$\varepsilon, \mu$｜$(\varepsilon/\varepsilon_0, \mu/\mu_0)$

电极化率、磁化率｜$\chi_e, \chi_m$｜$\frac{1}{4\pi}(\chi_e, \chi_m)$

电导率、电导、电容｜$\sigma, S, C$｜$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}(\sigma,S,C)$

电阻率、电阻、电感｜$\rho,R,L$｜$4\pi\varepsilon_0 (\rho,R,L)$