正切

$\left\{x\in\mathbb{R}|x\neq k\pi+\tfrac{\pi}{2},\,k\in\mathbb{Z}\right\}$ $\left\{x\in\mathbb{R}|x\neq 180^\circ k+90^\circ,\,k\in\mathbb{Z}\right\}$

$\pi$（180°）

$x=\left( 2k+1\right)\tfrac{\pi}{2}$（1=x=180°k+90°）

$k\pi$（180°k）

正切（Tangent，$\tan$，东欧国家将其写作tg）是三角函数的一种。它的值域是整个实数集，定义域落在$\left\{ x|x\neq k\pi + \tfrac{\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}\right\}$（$\left\{x\in\mathbb{R}|x\neq 180^\circ k+90^\circ,\,k\in\mathbb{Z}\right\}$）。它是周期函数，其最小正周期为$\pi$（180°）。正切函数是奇函数。

## 符号说明

正切的符号为$\tan$，旧写为$tg$，源于英文tangent。该符号最早由数学家汤玛斯·芬克（Thomas Fincke）所采用。

## 定义

### 直角三角形中

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在直角三角形中，一个锐角的正切定义为它的对边与邻边的比值，也就是：

$$\tan \theta = \frac {\text{a}}{\text{b}} = \frac {\sin \theta}{\cos \theta}\,\!$$

可以发现其定义和余切函数互为倒数。

### 直角坐标系中

设$\alpha$是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，$P\left( {x,y} \right)$是角的终边上一点，$r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0$是P到原点O的距离，则$\alpha$的正切定义为：

$$\tan \alpha = \frac{y}{x}$$

### 单位圆定义

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图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角$\theta$，并与单位圆相交，并令这个交点为y。另原点为O。做一直线，y点，垂直于$\overline{Oy}$，并与单位圆相切，令直线与x轴的交点，则此点与y点之距离为正切比值。

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单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于$2\pi$（360°）或小于$-2\pi$（-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，有些三角函数变成了周期为$2\pi$（360°）的周期函数；但由于正切是切线，再绕单位圆旋转时，会出现周期是$\pi$（180°），所以正切是周期为π（180°）的周期函数：

$$\tan\theta = \tan\left(\theta + \pi k \right) = \tan\left(\theta + 180^\circ k \right)$$

对于任何角度$\theta$和任何整数$k$。

### 级数定义

正切函数也可以使用泰勒展开式定义

$$\tan x = x+\frac{x^3}{3}+\frac{2 x^5}{15}+\frac{17 x^7}{315}+\frac{62 x^9}{2835}+...=\sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}$$

其中$B_{2n}$为伯努利数。

另外，我们也有

$$\tan x = 8 x \sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{(1 - 2 k)^2 \pi ^2 - 4 x^2}.$$

### 微分方程定义

$\tan$的微分是$\sec$的平方

$$\frac{d}{dx}\tan x\ = \sec^2 x$$

另外

$$\int \tan x \, dx = -\ln (\cos x)$$

所以可以用

$\tan x = (-\ln (\cos x))' \,$来定义。

### 指数定义

$$\tan \theta = \frac{e^{{\mathrm{i}}\theta} - e^{-{\mathrm{i}}\theta}}{{\mathrm{i}}(e^{{\mathrm{i}}\theta} + e^{-{\mathrm{i}}\theta})} \,$$

## 恒等式

### 用其它三角函数来表示正切

函数｜sin｜cos｜tan｜cot｜sec｜csc

$\tan \theta$｜$\frac{\sin\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}}$｜$\frac{\sqrt{1 - \cos^2\theta}}{\cos \theta}$｜$\tan \theta\ $｜$\frac{1}{\cot \theta}$｜$\sqrt{\sec^2\theta - 1}$｜$\frac{1}{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}$

### 角的和差

$$\tan(\theta\pm\psi)=\frac{\tan\theta\pm\tan\psi}{1\mp\tan\theta\tan\psi}$$

#### 正切的有限多项和

设$x_i=\tan (\theta_i)$，对于$i=1,\ldots,n$。设$e_k$是变量$x_i$，$i=1,\ldots,n$，$k=0,\ldots,n$的$k$次基本对称多项式。则

$$\tan(\theta_1+\cdots+\theta_n) = \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots},$$

项的数目依赖于$n$。例如。

$$\begin{align} \tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) &{}= \frac{e_1 - e_3}{e_0 - e_2} = \frac{(x_1 + x_2 + x_3) \ - \ (x_1 x_2 x_3)}{ 1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3)}, \\ \\ \tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4) &{}= \frac{e_1 - e_3}{e_0 - e_2 + e_4} \\ \\ &{}= \frac{(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) \ - \ (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4)}{ 1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) \ + \ (x_1 x_2 x_3 x_4)},\end{align}$$

并以此类推。一般情况可通过数学归纳法证明。

### 半角公式

$$\begin{align} \tan \frac{\theta}{2} &= \csc \theta - \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} \\ &= \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \\ &= \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} \\ &= \frac{\cos \theta+\sin \theta-1}{\cos \theta-\sin \theta+1} \end{align}$$

### 二倍角

$$\begin{align}\tan 2\theta &= \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\\ & = \frac{1}{1-\tan\theta}-\frac{1}{1+\tan\theta}\\ \end{align}$$

### 三倍角

$$\tan 3\theta = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta}$$

## 正切定理

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在平面三角形中，正切定理说明任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商等于这两条边的对角的和的一半的正切除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商。即：

$$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\mathrm{tan}\, \frac{\alpha -\beta }{2}}{\mathrm{tan}\, \frac{\alpha +\beta }{2}}$$

$$\frac{b-c}{b+c}=\frac{\mathrm{tan}\, \frac{\beta -\gamma }{2}}{\mathrm{tan}\, \frac{\beta +\gamma }{2}}$$

$$\frac{c-a}{c+a}=\frac{\mathrm{tan}\, \frac{\gamma -\alpha }{2}}{\mathrm{tan}\, \frac{\gamma +\alpha }{2}}$$

## 用途

### 物理学

当一物体在斜面上刚开始滑动时，其静摩擦系数为斜面倾角的正切值。