消失矩

消失矩(Vanishing Moments)，在连续小波变换(Continuous Wavelet Transform)，是一项非常重要的参数，用来检视母小波(Mother wavelet)是否为高频的函数。

Vanish moment 越高，经过内积后被滤掉的低频成分越多

在实务上，Vanish moment=5

## 由来

在连续小波变换中，母小波有4个主要限制如下。

母小波不能是一个无限长的函数。

因为要处理的影像不会是复数信号，且为了方便计算。

- 偶对称(Even Symmetric)或是奇对称(Odd Symmetric)

这项是最难满足的一项。

5.

Admissibility Criterion 要存在才存在反小波转换

## 定义

首先定义第 $k$ 个动量( $k_{th}$ moment):

```
<math> m_k = \int t^k\psi(t)\, dt </math>
```

若 $m_0 = m_1 = m_2 = ... = m_{p-1} = 0$。

则我们说 $\psi(t)$ 有 $p$ 个消失矩。

## 如何计算消失矩

我们可以看到 $m_k = \int t^k\psi(t)\, dt$ 不太好计算，尤其是 $k$ 很大的时候。

此时，可以善用傅立叶转换来进行计算。

### 计算第0个动量

首先，观察傅立叶转换的公式:

```
<math>G(f) = \int g(t)e^{-j2 \pi ft}\, dt</math>
```

当令$f=0$时，可以看到以上公式变成:

```
<math>G(0) = \int g(t)\, dt</math>
```

正是第0个动量 $m_0$。

因此，若要计算 $g(t)$ 的第0个动量，可以先计算 $g(t)$ 的傅立叶转换，再取直流项(也就是 $f=0$ )。

### 计算第k个动量

我们可以同样利用傅立叶转换来计算第 $k$ 个动量。

首先，傅立叶转换有一个性质: 在频域微分 $k$ 次，就相当于时域乘上 $t^k$ :

```
<math>\frac{1}{(-j2 \pi)^k}G^{(k)}(f) = \int t^kg(t)e^{-j2 \pi ft}\, dt</math>
```

当令$f=0$时，可以看到以上公式变成:

```
<math>\frac{1}{(-j2 \pi)^k}G^{(k)}(0) = \int t^kg(t)\, dt</math>
```

正是第 $k$ 个动量 $m_k$。

因此，若要计算 $g(t)$ 的第k个动量，可以先计算 $g(t)$ 的傅立叶转换的k次微分，再取直流项(也就是 $f=0$ )。

## 一些常用函数的消失矩

分成两类连续函数与连续函数的离散系数

- 连续函数:哈尔基底、墨西哥帽函数
- 连续函数的离散系数:多贝西小波(Daubechies wavelet)、Symlet、 Coiflet

### 连续函数

哈尔小波转换是最简单的一种小波转换，使用哈尔基底(Haar Basis)来做母小波。

而墨西哥帽函数(Mexican hat function)也常被用来当母小波。

#### 哈尔基底

哈尔基底的数学表示式如下:

```
<math>\psi(t) =  \begin{cases}1 \quad & 0 \leq  t < 1/2,\\
-1 & 1/2 \leq t < 1,\\0 &\mbox{otherwise.}\end{cases}</math>
```

$\psi(t)$ 是一个奇函数，所以

```
<math>m_0= \int \psi(t)\, dt =0</math>
```

但 $t\psi(t)$ 是偶函数，所以

```
<math>m_1= \int t\psi(t)\, dt \neq 0</math>
```

因此，哈尔基底的消失矩为1。

#### 墨西哥帽函数

墨西哥帽函数的数学表示式:

```
<math> \psi(t)=\frac{2^{5/4}}{\sqrt{3}}(1-2 \pi t^2)e^{- \pi t^2} </math>
```

仔细观察，$\psi(t)$ 其实是高斯函数的二次微分:

```
<math>\psi(t) = C \frac{d^2}{dt^2}e^{- \pi t^2}, C= </math> 常數。 
```

而高斯函数做傅立叶转换仍是高斯函数:

```
<math>\psi(t) = C \frac{d^2}{dt^2}e^{- \pi t^2} \to -C4 \pi ^2 f^2 e^{- \pi f^2} </math>。
```

利用

```
<math>\frac{1}{(-j2 \pi)^k}G^{(k)}(0) = \int t^kg(t)\, dt</math>
```

可以算出

```
<math>m_0=m_1=0, m_2 \neq 0</math>。
```

所以墨西哥帽函数的消失矩为2。

#### 高斯函数的p次微分

墨西哥帽函数是高斯函数的二次微分，所以消失矩为2。

当

```
<math>\psi(t) = \frac{d^p}{dt^p}e^{- \pi t^2}</math>
```

其傅立叶转换为

```
<math>(j2 \pi f)^p e^{- \pi f^2} </math>。
```

利用

```
<math>\frac{1}{(-j2 \pi)^k}G^{(k)}(0) = \int t^kg(t)\, dt</math>
```

可以算出

```
<math>m_0=m_1=m_{p-1}, m_p \neq 0</math>。
```

所以高斯函数p次微分的消失矩为p。

### 连续函数的离散系数

多贝西小波(Daubechies wavelet)、Symlet、 Coiflet都是一些常用的离散小波，而且都是由连续小波的离散系数推导而来。

且这三种都是orthonormal filters

#### 多贝西小波

```
<math>2n </math> 點的多貝西小波，消失矩 <math>=n </math>
```

#### Symlet

```
<math>2n </math> 點的Symlet，消失矩 <math>=n </math>
```

Coiflet

```
<math>6n </math> 點的Coiflet，消失矩 <math>=n </math>
```

三者的比较

- Symlet和多贝西小波非常类似，但是比多贝西小波还要对称。
- Coiflet 在scaling function 存在 vanish moment.

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} \phi(t)\, dt \neq0$$

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} t^k\phi(t)\, dt =0 for 1 \leq k \leq p$$

## 消失矩对于函数的意义

消失矩是用以判断一个函数如何递减的指标。举例来说，对于函数

```
<math>f(t) = \frac{\sin(t)}{t^2}</math>
```

当输入值$t$逐渐往无限大增加时，此函数会以$\frac{1}{t^2}$的速率递减。

我们可用利用定义中的动量积分式$\int_{-\infty}^{\infty} t^k f(t)\, dt$来评估此函数的递减速率。

回到此范例中的函数，当$k=0$时，由于分子$\sin(t)$会在$[-1,1]$之间震荡，使得整个函数在$[-\frac{1}{t^2},\frac{1}{t^2}]$震荡。

此性质使得$k=0$时。

```
<math> \int_{-\infty}^{\infty} t^k (\frac{\sin(t)}{t^2})\, dt \to 0</math> 
```

函数积分式必定会收敛于0，代表第0个动量$m_0 = 0$

当$k = 1$时。

```
<math>\int_{-\infty}^{\infty} t^k (\frac{\sin(t)}{t})\, dt = \pi</math>
```

因此第1个动量$m_1 = \pi \neq 0$

对于$k > 1$的情况，动量积分式均会随着$t \to\infty$而发散。

由以上的范例，我们可借由能够让动量积分式收敛为0的最大$k$值来判断函数的递减速率，而此最大$k$值便是函数的消失矩。

在连续小波转换中，设计母小波的其中一个条件是有值区间比须是有限的，而母小波在有值区间内如何递减的特性，则可由消失矩来描述。

## 消失矩的等价叙述

依照定义，小波母函数$\psi(t)$有 $p$ 个消失矩的条件为

```
<math>\int_{-\infty}^{\infty} t^k \psi(t)\, dt = 0,\ for\ 0\leq k < p </math>
```

然而由于此定义中包含了一个无限范围的连续积分，因此在设计小波母函数上并不实用。

若定义小波转换中的尺度函数为$\varphi(t)$，当以下小波母函数和尺度函数的关系成立时。

```
<math>\left| \psi(t) \right| = O((1+t^2)^{-p/2-1}) </math>

<math>\left| \varphi(t) \right| = O((1+t^2)^{-p/2-1}) </math>
```

下列四项叙述便是等价的：

- 小波母函数$\psi(t)$有$p$个消失矩。

- $\psi(t) , \ \varphi(t)$的傅立叶转换，以及前$p - 1$次微分在$\omega = 0$处均为零。

- $h_\varphi (t) , \ H_\varphi (e^{j\omega})$的傅立叶转换，以及前$p - 1$次微分在$\omega = 0$处均为零。

- 对于$0 \leq k < p$ 区间内的任意$k$值

$$q_k (t) = \sum_{n=-\infty}^\infty n^k \varphi(t-n)$$

是最高次方为$k$ 的多项式函数。

## 消失矩与小波函数的设计

当滤波器的傅立叶转换满足以下的条件时。

```
<math> {\left| H_\varphi (\omega) \right|}^2 + {\left| H_\varphi (\omega + \pi) \right|}^2 = 2 </math>
```

此滤波器满足共轭镜像滤波器的条件。其中$H_\varphi (\omega)$代表离散低通滤波器$h_\varphi[n]$离散低通滤波器的傅立叶转换。

结合共轭镜像滤波器的条件与消失矩的第3个等价叙述，我们可以将低通滤波器表示为

```
<math> H_\varphi (e^{j\omega}) = \sqrt{2} { (\frac{1+e^{j\omega}}{2})) }^p L(e^{j\omega}) </math>
```

其中$L(x)$为一多项式函数。

利用上述条件与消失矩的等价叙述，可以简化设计小波函数的步骤。

### 消失矩与滤波器长度

在小波转换中，尺度函数和小波母函数可利用离散滤波器来定义：

```
<math>\varphi(t) = \sum_{n}^{} h_\varphi [n] \sqrt{2}\varphi(2t-n) </math>

<math>\psi(t) = \sum_{n}^{} h_\psi [n] \sqrt{2}\varphi(2t-n) </math>
```

其中$h_\varphi[n]$为离散低通滤波器，$h_\psi[n]$则为离散高通滤波器，通常会利用支撑大小(Size of support)来表示滤波器的长度。

从上述$H_\varphi (e^{j\omega}) = \sqrt{2} { (\frac{1+e^{j\omega}}{2})) }^p L(e^{j\omega})$的表示式可得知。

当我们选择较高的消失矩$p$时，$H_\varphi (e^{j\omega})$将会是具有较高$e^{j\omega}$次方的多项式函数，因此对应到的$h_\varphi[n]$便有较长的滤波器长度。

一般而言，拥有较高的消失矩与较短的滤波器长度是一个交换条件的关系，无法两者同时满足。

因此在设计连续小波转换中的小波母函数时，除了消失矩外，也应当把所对应到的滤波器长度考虑进去。

## 参考文献

- Jian-Jiun Ding (2012), Time-Frequency Analysis and Wavelet Transform viewed 17/01/2012
- Chun-Lin Liu, A Tutorial of the Wavelet Transform , February 2010
- S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, 3rd ed., Third Edition: The Sparse Way. Academic Press, 3 ed., December 2008.