共轭梯度法的推导

在数值线性代数中，共轭梯度法是一种求解对称正定线性方程组

$$\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$$

迭代方法。共轭梯度法可以从不同的角度推导而得，包括作为求解最优化问题的共轭方向法的特例，以及作为求解特征值问题的Arnoldi/Lanczos迭代的变种。

本条目记述这些推导方法中的重要步骤。

## 从共轭方向法推导

共轭梯度法可以看作是应用于二次函数最小化的共轭方向法的特例

$$f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}-2\boldsymbol{b}^\mathrm{T}\boldsymbol{x}\text{.}$$

### 共轭方向法

在共轭方向上求最小化：

$$f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}-2\boldsymbol{b}^\mathrm{T}\boldsymbol{x}\text{.}$$

从最初的猜测$\boldsymbol{x}_0$开始，以及相应的残差 $\boldsymbol{r}_0=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{Ax}_0$, 并通过公式计算迭代和残差

$$\begin{align} \alpha_i&=\frac{\boldsymbol{p}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{r}_i}{\boldsymbol{p}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{Ap}_i}\text{,}\\ \boldsymbol{x}_{i+1}&=\boldsymbol{x}_i+\alpha_i\boldsymbol{p}_i\text{,}\\ \boldsymbol{r}_{i+1}&=\boldsymbol{r}_i-\alpha_i\boldsymbol{Ap}_i \end{align}$$

其中，$\boldsymbol{p}_0,\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,\ldots$ 为一系列相互共轭的方向，例如：

$\boldsymbol{p}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{Ap}_j=0$，对于任何$i\neq j$

由于共轭方向法没有给出用于选择方向的公式，因此该方法具有误差 $\boldsymbol{p}_0,\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,\ldots$

而共轭方向法也有多种方法分支，包括共轭梯度法和高斯消元法。

## 从Arnoldi/Lanczos迭代推导

共轭梯度法可以看作Arnoldi/Lanczos迭代应用于求解线性方程组时的一个变种。

### 一般Arnoldi方法

Arnoldi迭代从一个向量$\boldsymbol{r}_0$开始，通过定义$\boldsymbol{v}_i=\boldsymbol{w}_i/\lVert\boldsymbol{w}_i\rVert_2$，其中

$$\boldsymbol{w}_i=\begin{cases} \boldsymbol{r}_0 & \text{if }i=1\text{,}\\ \boldsymbol{Av}_{i-1}-\sum_{j=1}^{i-1}(\boldsymbol{v}_j^\mathrm{T}\boldsymbol{Av}_{i-1})\boldsymbol{v}_j & \text{if }i>1\text{,} \end{cases}$$

逐步建立Krylov子空间

$$\mathcal{K}(\boldsymbol{A},\boldsymbol{r}_0)=\{\boldsymbol{r}_0,\boldsymbol{Ar}_0,\boldsymbol{A}^2\boldsymbol{r}_0,\ldots\}$$

一组标准正交基$\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3,\ldots\}$。

换言之，对于$i>1$，$\boldsymbol{v}_i$由将$\boldsymbol{Av}_{i-1}$相对于$\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_{i-1}\}$进行Gram-Schmidt正交化然后归一化得到。

写成矩阵形式，迭代过程可以表示为

$$\boldsymbol{AV}_i=\boldsymbol{V}_{i+1}\boldsymbol{\tilde{H}}_i\text{,}$$

其中

$$\begin{align} \boldsymbol{V}_i&=\begin{bmatrix} \boldsymbol{v}_1 & \boldsymbol{v}_2 & \cdots & \boldsymbol{v}_i \end{bmatrix}\text{,}\\ \boldsymbol{\tilde{H}}_i&=\begin{bmatrix} h_{11} & h_{12} & h_{13} & \cdots & h_{1,i}\\ h_{21} & h_{22} & h_{23} & \cdots & h_{2,i}\\ & h_{32} & h_{33} & \cdots & h_{3,i}\\ & & \ddots & \ddots & \vdots\\ & & & h_{i,i-1} & h_{i,i}\\ & & & & h_{i+1,i} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{H}_i\\ h_{i+1,i}\boldsymbol{e}_i^\mathrm{T} \end{bmatrix}\text{,}\\ h_{ji}&=\begin{cases} \boldsymbol{v}_j^\mathrm{T}\boldsymbol{Av}_i & \text{if }j\leq i\text{,}\\ \lVert\boldsymbol{w}_{i+1}\rVert_2 & \text{if }j=i+1\text{,}\\ 0 & \text{if }j>i+1\text{.} \end{cases} \end{align}$$

当应用于求解线性方程组时，Arnoldi迭代对应于初始解$\boldsymbol{x}_0$的残量$\boldsymbol{r}_0=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{Ax}_0$开始迭代，在每一步迭代之后计算$\boldsymbol{y}_i=\boldsymbol{H}_i^{-1}(\lVert\boldsymbol{r}_0\rVert_2\boldsymbol{e}_1)$和新的近似解$\boldsymbol{x}_i=\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{V}_i\boldsymbol{y}_i$.

### 直接Lanzcos方法

在余下的讨论中，我们假定$\boldsymbol{A}$是对称正定矩阵。由于$\boldsymbol{A}$的对称性, 上Hessenberg矩阵$\boldsymbol{H}_i=\boldsymbol{V}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{AV}_i$变成对阵三对角矩阵。于是它可以被更明确地表示为

$$\boldsymbol{H}_i=\begin{bmatrix} a_1 & b_2\\ b_2 & a_2 & b_3\\ & \ddots & \ddots & \ddots\\ & & b_{i-1} & a_{i-1} & b_i\\ & & & b_i & a_i \end{bmatrix}\text{.}$$

这使得迭代中的$\boldsymbol{v}_i$有一个简短的三项递推式。Arnoldi迭代从而简化为Lanczos迭代。

由于$\boldsymbol{A}$对称正定，$\boldsymbol{H}_i$同样也对称正定。因此，$\boldsymbol{H}_i$可以通过不选主元的LU分解分解为

$$\boldsymbol{H}_i=\boldsymbol{L}_i\boldsymbol{U}_i=\begin{bmatrix} 1\\ c_2 & 1\\ & \ddots & \ddots\\ & & c_{i-1} & 1\\ & & & c_i & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} d_1 & b_2\\ & d_2 & b_3\\ & & \ddots & \ddots\\ & & & d_{i-1} & b_i\\ & & & & d_i \end{bmatrix}\text{,}$$

其中$c_i$和$d_i$有简单的递推式：

$$\begin{align} c_i&=b_i/d_{i-1}\text{,}\\ d_i&=\begin{cases} a_1 & \text{if }i=1\text{,}\\ a_i-c_ib_i & \text{if }i>1\text{.} \end{cases} \end{align}$$

改写$\boldsymbol{x}_i=\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{V}_i\boldsymbol{y}_i$为

$$\begin{align} \boldsymbol{x}_i&=\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{V}_i\boldsymbol{H}_i^{-1}(\lVert\boldsymbol{r}_0\rVert_2\boldsymbol{e}_1)\\ &=\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{V}_i\boldsymbol{U}_i^{-1}\boldsymbol{L}_i^{-1}(\lVert\boldsymbol{r}_0\rVert_2\boldsymbol{e}_1)\\ &=\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{P}_i\boldsymbol{z}_i\text{,} \end{align}$$

其中

$$\begin{align} \boldsymbol{P}_i&=\boldsymbol{V}_{i}\boldsymbol{U}_i^{-1}\text{,}\\ \boldsymbol{z}_i&=\boldsymbol{L}_i^{-1}(\lVert\boldsymbol{r}_0\rVert_2\boldsymbol{e}_1)\text{.} \end{align}$$

此时需要观察到

$$\begin{align} \boldsymbol{P}_i&=\begin{bmatrix} \boldsymbol{P}_{i-1} & \boldsymbol{p}_i \end{bmatrix}\text{,}\\ \boldsymbol{z}_i&=\begin{bmatrix} \boldsymbol{z}_{i-1}\\ \zeta_i \end{bmatrix}\text{.} \end{align}$$

实际上，$\boldsymbol{p}_i$和$\zeta_i$同样有简短的递推式：

$$\begin{align} \boldsymbol{p}_i&=\frac{1}{d_i}(\boldsymbol{v}_i-b_i\boldsymbol{p}_{i-1})\text{,}\\ \alpha_i&=-c_i\zeta_{i-1}\text{.} \end{align}$$

通过这个形式，我们得到$\boldsymbol{x}_i$的一个简单的递推式：

$$\begin{align} \boldsymbol{x}_i&=\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{P}_i\boldsymbol{z}_i\\ &=\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{P}_{i-1}\boldsymbol{z}_{i-1}+\zeta_i\boldsymbol{p}_i\\ &=\boldsymbol{x}_{i-1}+\zeta_i\boldsymbol{p}_i\text{.} \end{align}$$

以上的递推关系立即导出比共轭梯度法稍微更复杂的直接Lanczos方法。

### 从正交性和共轭性导出共轭梯度法

如果我们允许缩放$\boldsymbol{p}_i$并通过常数因子补偿缩放的系数，我们可能可以得到以下形式的更简单的递推式：

$$\begin{align} \boldsymbol{x}_i&=\boldsymbol{x}_{i-1}+\alpha_{i-1}\boldsymbol{p}_{i-1}\text{,}\\ \boldsymbol{r}_i&=\boldsymbol{r}_{i-1}-\alpha_{i-1}\boldsymbol{Ap}_{i-1}\text{,}\\ \boldsymbol{p}_i&=\boldsymbol{r}_i+\beta_{i-1}\boldsymbol{p}_{i-1}\text{.} \end{align}$$

作为简化的前提，我们现在推导$\boldsymbol{r}_i$的正交性和$\boldsymbol{p}_i$的共轭性，即对于$i\neq j$,

$$\begin{align} \boldsymbol{r}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{r}_j&=0\text{,}\\ \boldsymbol{p}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{Ap}_j&=0\text{.} \end{align}$$

各个残量之间满足正交性的原因是$\boldsymbol{r}_i$实际上可由$\boldsymbol{v}_{i+1}$乘上一个系数而得。这是因为对于$i=0$，$\boldsymbol{r}_0=\lVert\boldsymbol{r}_0\rVert_2\boldsymbol{v}_1$，对于$i>0$。

$$\begin{align} \boldsymbol{r}_i&=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{Ax}_i\\ &=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{V}_i\boldsymbol{y}_i)\\ &=\boldsymbol{r}_0-\boldsymbol{AV}_i\boldsymbol{y}_i\\ &=\boldsymbol{r}_0-\boldsymbol{V}_{i+1}\boldsymbol{\tilde{H}}_i\boldsymbol{y}_i\\ &=\boldsymbol{r}_0-\boldsymbol{V}_i\boldsymbol{H}_i\boldsymbol{y}_i-h_{i+1,i}(\boldsymbol{e}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{y}_i)\boldsymbol{v}_{i+1}\\ &=\lVert\boldsymbol{r}_0\rVert_2\boldsymbol{v}_1-\boldsymbol{V}_i(\lVert\boldsymbol{r}_0\rVert_2\boldsymbol{e}_1)-h_{i+1,i}(\boldsymbol{e}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{y}_i)\boldsymbol{v}_{i+1}\\ &=-h_{i+1,i}(\boldsymbol{e}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{y}_i)\boldsymbol{v}_{i+1}\text{.}\end{align}$$

要得到$\boldsymbol{p}_i$的共轭性，只需证明$\boldsymbol{P}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{AP}_i$是对角矩阵：

$$\begin{align} \boldsymbol{P}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{AP}_i&=\boldsymbol{U}_i^{-\mathrm{T}}\boldsymbol{V}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{AV}_i\boldsymbol{U}_i^{-1}\\ &=\boldsymbol{U}_i^{-\mathrm{T}}\boldsymbol{H}_i\boldsymbol{U}_i^{-1}\\ &=\boldsymbol{U}_i^{-\mathrm{T}}\boldsymbol{L}_i\boldsymbol{U}_i\boldsymbol{U}_i^{-1}\\ &=\boldsymbol{U}_i^{-\mathrm{T}}\boldsymbol{L}_i \end{align}$$

是对称的下三角矩阵，因而必然是对角矩阵。

现在我们可以单纯由$\boldsymbol{r}_i$的正交性和$\boldsymbol{p}_i$的共轭性推导相对于缩放后的$\boldsymbol{p}_i$的常数因子$\alpha_i$和$\beta_i$。

由于$\boldsymbol{r}_i$的正交性，必然有$\boldsymbol{r}_{i+1}^\mathrm{T}\boldsymbol{r}_i=(\boldsymbol{r}_i-\alpha_i\boldsymbol{Ap}_i)^\mathrm{T}\boldsymbol{r}_i=0$。于是

$$\begin{align} \alpha_i&=\frac{\boldsymbol{r}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{r}_i}{\boldsymbol{r}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{Ap}_i}\\ &=\frac{\boldsymbol{r}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{r}_i}{(\boldsymbol{p}_i-\beta_{i-1}\boldsymbol{p}_{i-1})^\mathrm{T}\boldsymbol{Ap}_i}\\ &=\frac{\boldsymbol{r}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{r}_i}{\boldsymbol{p}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{Ap}_i}\text{.} \end{align}$$

类似地，由于$\boldsymbol{p}_i$的共轭性，必然有$\boldsymbol{p}_{i+1}^\mathrm{T}\boldsymbol{Ap}_i=(\boldsymbol{r}_{i+1}+\beta_i\boldsymbol{p}_i)^\mathrm{T}\boldsymbol{Ap}_i=0$。于是

$$\begin{align} \beta_i&=-\frac{\boldsymbol{r}_{i+1}^\mathrm{T}\boldsymbol{Ap}_i}{\boldsymbol{p}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{Ap}_i}\\ &=-\frac{\boldsymbol{r}_{i+1}^\mathrm{T}(\boldsymbol{r}_i-\boldsymbol{r}_{i+1})}{\alpha_i\boldsymbol{p}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{Ap}_i}\\ &=\frac{\boldsymbol{r}_{i+1}^\mathrm{T}\boldsymbol{r}_{i+1}}{\boldsymbol{r}_i^\mathrm{T}\boldsymbol{r}_i}\text{.} \end{align}$$

推导至此完成。