贝利-波尔温-普劳夫公式

贝利-波尔温-普劳夫公式（Bailey–Borwein–Plouffe formula）提供了一个计算圆周率π的第n位二进制数的spigot算法（spigot algorithm）。这个求和公式是在1995年由西蒙·普劳夫提出的，并以公布这个公式的论文作者大卫·H·贝利 (数学家)、彼得·博温和普劳夫的名字命名。在论文发表之前，普劳夫已将此公式在他的网站上公布。这个公式是：

$$\pi = \sum_{k = 0}^{\infty}\left[ \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6} \right) \right]$$

这个公式的发现曾震惊学界。数百年来，求出π的第n位小数而不求出它的前n-1位曾被认为是不可能的。

自从这个发现以来，发现了更多的无理数常数的类似公式，它们都有一个类似的形式：

$$\alpha = \sum_{k = 0}^{\infty}\left[ \frac{1}{b^k} \frac{p(k)}{q(k)} \right]$$

其中α是目标常数，p和q是整系数多项式，b ≥ 2是整数的数制。

这种形式的公式被称为BBP式公式（BBP-type formulas）。由特定的p,q和b可组合出一些著名的常数。但至今尚未找出一种系统的算法来寻找合适的组合，而已知的公式多是通过实验数学得出的。

## 特例

一个已经得出很多解的BBP式的特例是：

$$P(s,b,m,A) = \sum_{k=0}^{\infty}\left[ \frac{1}{b^k} \sum_{j=1}^{m}\frac{a_j}{(mk+j)^s} \right]$$

其中s, b和m是整数，$A =(a_1, a_2, \dots , a_m)$是一个整数向量。

使用P函数可得到一些解法的省略记法。

### 已知的BBP式

在BBP公式发现之前，就已经有些最简单的此类公式广为所知。他们使用P函数的省略记法如下：

$$\begin{align} \ln\frac{9}{10} & = - \frac{1}{10} - \frac{1}{200} - \frac{1}{3\ 000} - \frac{1}{40\ 000} - \frac{1}{500\ 000} - \cdots \\ & = - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{10^k \cdot k} = -\frac{1}{10} \sum_{k=0}^{\infty}\left[ \frac{1}{10^k} \left( \frac{1}{k+1} \right) \right] \\ & = -\frac{1}{10} P\left(1, 10, 1, (1) \right) \end{align}$$

$$\begin{align} \ln 2 & = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2^2} + \frac{1}{3 \cdot 2^3} + \frac{1}{4 \cdot 2^4} + \frac{1}{5 \cdot 2^5} + \cdots \\ & = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k \cdot k} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty}\left[ \frac{1}{2^k} \left( \frac{1}{k + 1} \right) \right] \\ & = \frac{1}{2} P\left( 1, 2, 1, (1) \right) \end{align}$$

普劳夫也对这种形式的反正切函数的级数展开感兴趣（P记法还可以泛化为b不是整数的情形）:

$$\begin{align} \arctan\frac{1}{b} & = \frac{1}{b} - \frac{1}{b^3 3} + \frac{1}{b^5 5} - \frac{1}{b^7 7} + \frac{1}{b^9 9} + \cdots \\ & = \sum_{k=1}^{\infty}\left[ \frac{1}{b^{k}} \frac{ \sin\frac{k\pi}{2} }{k} \right] = \frac{1}{b} \sum_{k=0}^{\infty}\left[ \frac{1}{b^{4k}} \left( \frac{1}{4k+1} + \frac{-1}{4k+3} \right) \right] \\ & = \frac{1}{b} P\left( 1, b^4, 4, (1, 0, -1, 0) \right) \end{align}$$

### 寻找新的等式

使用上述P函数，令s = 1, m > 1可得出已知的π的最简单公式。很多已知的公式是令b是2或3的幂，m是2的幂或者其他多因子的值，并令向量A等于零。在计算了一些类似的和之后，这类发现引发了使用计算机搜索类似线性组合的尝试。搜索程序为每个参数，s, b, m分别选择一个定义域，然后求和并检查值，并使用整数关系侦查算法（integer relation algorithm），例如赫拉曼·弗古森（Helaman Ferguson）的PSLQ算法，来找到一个向量A使得这些中间值可以加在一起得到一个著名的常数（A也可能是零）。

### π的BBP公式

原始的BBP π求和公式是在1995年由Plouffe使用整数关系侦查算法（integer relation algorithm）发现的。它同样可由上述P函数表示：

$$\begin{align}\pi & = \sum_{k = 0}^{\infty}\left[ \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6} \right) \right] \\ & = P\left( 1, 16, 8, (4, 0, 0, -2, -1, -1, 0, 0) \right) \end{align}$$

这个公式也可以使用下述两个多项式的商来表示：

$$\pi = \sum_{k = 0}^{\infty}\left[ \frac{1}{16^k} \left( \frac{120k^2 + 151k + 47}{512k^4 + 1024k^3 + 712k^2 + 194k + 15} \right) \right]$$

这个等式可以用一个较为简单的方式严格证明。

#### π的BBP位抽取算法

这个公式给出一个抽取π的十六进制位数值的算法。首先我们需要将这个公式化为：

$\pi = 4 \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{(16^k)(8k+1)} - 2 \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{(16^k)(8k+4)} - \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{(16^k)(8k+5)} - \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{(16^k)(8k+6)}$。

在使用此公式实现一个spigot算法之前，还需做一些改动。我们想要找出π在十六进制下的第n位，所以首先我们需要将该求和序列拆为n之前和n之后两部分。对于前述公式的第一项而言。

$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{(16^k)(8k+1)} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{(16^k)(8k+1)} + \sum_{k = n + 1}^{\infty} \frac{1}{(16^k)(8k+1)}$。

我们再将等式两边乘以16 n，使得小数点恰好落在第n位。

$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{16^{n-k}}{8k+1} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{16^{n-k}}{8k+1} + \sum_{k = n + 1}^{\infty} \frac{16^{n-k}}{8k+1}$。

由于我们关心的是小数部分，我们观察这个式子的两项，会发现仅有第一项能够出现整数部分，而第二项不会出现整数部分。因为第二项中k > n,第二项中的分子一定小于分母。由此我们需要一个使用一种技巧来从第一项中除去整数。那就是要mod 8k + 1。于是原式第一项的小数部分的公式就是：

$\sum_{k = 0}^{n} \frac{16^{n-k} \mod 8k+1}{8k+1} + \sum_{k = n + 1}^{\infty} \frac{16^{n-k}}{8k+1}$。

注意模运算将保证只有小数部分的和会被保留下来。想要快速有效的计算16 n - k mod 8k + 1 ,可使用模幂运算（Modular exponentiation）。

对公式的其余项使用相同的处理办法，并根据原式求出最后的结果。

$$4 \Sigma_1 - 2 \Sigma_2 - \Sigma_3 - \Sigma_4. \,\!$$

由于仅有小数部分是准确的，想要抽取特定的小数位需要去掉最终结果的整数部分，并乘16来跳过这一个16进制位（理论上说在精度范围内这一位下面的几个小数位仍然是准确的）。

这个过程类似于长整数乘法（long multiplication），但只需对一些中间列进行求和。由于有些进位没有被计算，而我们只关心最重要的位，计算机通常对很多位（32或者64）同时进行计算。存在一种极低的可能性，就是当极端情况出现，可能会将一个小数（比如1）加到999999999999999上，然后这个错误将会影响最重要的那个位。但在最终计算结果的时候，这种情况如果要发生，那也会是显而易见的。

这个算法被广为应用并有多种程序实现。

#### 使用BBP算法计算π的好处

这个算法无需自定义一种包含数千甚至数亿数字的“大数”数据类型。这种算法计算第n位而无需计算前n-1位，因此可以采用简单有效的数据类型。

这种算法对于计算π的第n位（或者第n位的附近几位）是最快最有效的，但使用大数据类型来计算π的前n位的算法仍然比这个算法更快。

## 推广

D.J.布拉德赫斯特提出了一种BBP算法的泛化形式。这种形式可以用于在接近线性时间和对数空间下求很多其他的常数。例如卡塔兰常数，$\pi^3$，$\log^32$，阿培里常数$\zeta(3)$（其中$\zeta(x)$是黎曼ζ函数），$\pi^4$，$\log^42$，$\log^52$，$\zeta (5)$，还有很多$\pi$和$\log2$的不同幂次。这些结果主要是使用多重对数函数（polylogarithm ladder）得到的。

## 外部链接

- Cook’s Class Contains Pi