魔群

魔群（Monster group）或怪兽群，或友善巨人（the Friendly Giant）或费雪─格里斯怪兽（Fischer-Griess Monster），是一个有限单群，是26个散在群的其中之一，一般常将之记作M或F1。

魔群的阶是26个散在群中最大的，其阶为

246 · 320 · 59 · 76 · 112 · 133 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71

=｜808017424794512875886459904961710757005754368000000000

≈｜8 · 1053

有限单群的分类已完成(见有限单群分类一文)。每个有限单群都属于当中有的18类可数无限族中，或不包含于那些可系统化模式的18类可数无限族中，那26个的“散单群”中。而魔群是那26个散单群中阶数最大的群。而二十六个散单群除了六个，其余的散单群均是魔群的子集合。罗伯特‧格里斯(Robert Griess)将那六个不为魔群子集的群称为“低群”(pariahs)，并以“快乐大家族”(the happy family)一词称呼其他的散单群。

或许对魔群最好的定义方式，就是将之定义为同时包含康威群(Conway group)和费歇尔群的有限单群中阶最小者（魔群虽为散在群中阶最大的，但这不表示它是所有有限单群中阶最大的，其他类的有限单群中有阶比其更大者存在）。

## 存在性与唯一性

魔群的存在性最早在1973年为贝恩德‧费雪(Bernd Fischer，他未出版相关想法)与罗伯特‧格里斯所预测，他们当时认为存在一个单群，该单群包含子魔群中做为某个对合的中心化子的某个双覆盖。数月后，M的阶被格里斯以汤普森阶公式(Thompson order formula)计算出，而费雪(Fischer)、康威(Conway)、诺顿(Norton)与汤普森(Thompson)等人则发现此群包含了其他的群做为其子商，被包含的群包括了许多已知的散单群，此外他们还发现了两个新的单群：汤普森群和原田-诺顿群。格里斯将魔群建构为格里斯代数(一个196884维的交换非结合代数)的自同构群。约翰‧康威(John Horton Conway)和雅魁‧提次(Jacques Tits)随后简化了其建构。

格里斯的建构证明了魔群的存在。约翰‧汤普森(John G. Thompson)则说明了其做为阶为此数的单群的唯一性可由一个196883维忠实表示法的存在得出。该表示法的存在性在1982年为西蒙‧诺顿(Simon P. Norton)提出，然而他从未发表此证明的细节。第一个关于魔群唯一性的证明则由格里斯、麦尔法兰肯菲尔德(Meierfrankenfeld)和塞格夫(Segev)给出。

## 月光猜想

魔群是康威(Conway)和诺顿(Norton)所提出的怪兽月光理论的两个主要成分之一。此猜想与离散和非离散数学相关，并在1992年为理查‧伯切德斯(Richard Borcherds)所证明。

在此设定下，魔群可由魔群模组的自同构群示现：亦即由一作用在怪兽李代数上，属广义Kac–Moody代数，且包含Griess代数的无穷维代数的顶点算子代数示现而出。

## 表示与维度

最小的、忠实复数表示的维度是196,883，它是魔群阶数可分得3个因子乘积的分割。最小的忠实线性表示，是在两个元素的域上的196,882维表示，仅比最小的忠实复数表示的维度小1。

魔群的最小忠实置换表示有

97

= 24 ·37 ·53 ·74 ·11 ·132 ·29 ·41 ·59 ·71 ≈ 20

个点。

魔群可被实现为有理数上的一个伽罗瓦群Thompson，也可视为一个胡尔维兹群(Hurwitz group)Wilson。

魔群在单群中并不寻常，因为目前没有简单的规则或方法可表示他的元素。与其说是群本身阶数大，不如说它缺乏足够小的表示。例如，单群A100和SL20(2)远大于魔群，但它们有小的置换或线性表示：交错群例如A100都有相较群自身更小的置换表示，而所有有限单李型式群例如SL20(2)也都有相较群自身相比更小的线性表示。除了怪物群之外的所有散在单群也具有足够小的线性表示，以至于它们易于在计算机上工作（难度仅次于怪物群的，是可分割成4370维的小魔群(baby Monster)的表示）。

## 麦凯的E8观察

魔群和扩张登金图(Dynkin diagram)$\tilde E_8,$亦存在着关系，其关联在图结点与魔群同余类之间表现得更明显，此关联又被称作“麦凯的E8观察”(McKay's E8 observation)

## 子群结构

<image>

魔群包含了至少44个共轭类的极大子群。六十数种同构类型的非交换单群，亦包含在魔群中，做为魔群的子群或子群的商群。

魔群的子群包括了26个散在群中的多数，但非全部的散在群都是它的子群。一旁所示之图是基于马克‧罗南(Mark Ronan)所撰的书《Symmetry and the Monster》的，表明这些散在单群是如何与彼此产生关系的。线段表示下方的群被其上的群所包含，并为其上的群的子商。圈起来的符号，表示该符号所代表的群不被包含于其他更大的散在单群中。为了清楚表明，多余的包含关系在此图中未表示。

- 2.B .5em 对合(involution)的中心化子(Centralizer);包含一Sylow 47-子群的正规化子(normalizer) (47:23) × 2。
- 21+24.Co1 .5em 对合的中心化子。
- 3.Fi24 .5em阶数3子群的正规化子;包含一Sylow 29-子群的正规化子((29:14) × 3).2。
- 22.2E6(22):S3 .5em 一Klein 4-群的正规化子。
- 210+16.O10+(2)
- 22+11+22.(M24 × S3) .5em 一Klein 4-群的正规化子; 含一Sylow 23-子群的正规化子(23:11) × S4。
- 31+12.2Suz.2 .5em 阶数3子群的正规化子。
- 25+10+20.(S3 × L5(2))
- S3 × Th .5em 阶数3子群的正规化子;含一Sylow 31-子群的正规化子(31:15) × S3。
- 23+6+12+18.(L3(2) × 3S6)
- 38.O8−(3).23
- (D10 × HN).2 .5em 阶数5子群的正规化子。
- (32:2 × O8+(3)).S4
- 32+5+10.(M11 × 2S4)
- 33+2+6+6:(L3(3) × SD16)
- 51+6:2J2:4 .5em 阶数5子群的正规化子。
- (7:3 × He):2 .5em 阶数7子群的正规化子。
- (A5 × A12):2
- 53+3.(2 × L3(5))
- (A6 × A6 × A6).(2 × S4)
- (A5 × U3(8):31):2 .5em 含一Sylow 19-子群的正规化子((19:9) × A5):2。
- 52+2+4:(S3 × GL2(5))
- (L3(2) × S4(4):2).2 .5em 含一Sylow 17-子群的正规化子 ((17:8) × L3(2)).2。
- 71+4:(3 × 2S7) .5em 阶数7子群的正规化子。
- (52:4.22 × U3(5)).S3
- (L2(11) × M12):2 .5em 包含阶数11子群的正规化子(11:5 × M12):2。
- (A7 × (A5 × A5):22):2
- 54:(3 × 2L2(25)):22
- 72+1+2:GL2(7)
- M11 × A6.22
- (S5 × S5 × S5):S3
- (L2(11) × L2(11)):4
- 132:2L2(13).4
- (72:(3 × 2A4) × L2(7)):2
- (13:6 × L3(3)).2 .5em 阶数13子群的正规化子。
- 131+2:(3 × 4S4) .5em 阶数13子群的正规化子; 一Sylow 13-子群的正规化子。
- L2(71) .5em 含一Sylow 71-子群的正规化子71:35。
- L2(59) .5em 含一Sylow 59-子群的正规化子59:29。
- 112:(5 × 2A5) .5em Sylow 11-子群的正规化子。
- L2(41) .5em 找到此形式的极大子群; 此是由于Zavarnitsine指出一些先前的没有这样的极大子群存在。
- L2(29):2 .5em
- 72:SL2(7) .5em一些过去7-局部子群的表中此被意外地忽略了。
- L2(19):2 .5em
- 41:40 .5em 一Sylow 41-子群的正规化子。

## 参照

- 约翰·何顿·康威 and , Monstrous Moonshine, Bull. London Math. Soc. 11 (1979), no. 3, 308–339.
- 约翰·何顿·康威; Curtis, R. T.; and : Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups. Oxford, England 1985.
- P. E. Holmes and , A computer construction of the Monster using 2-local subgroups, J. London Math. Soc. 67 (2003), 346–364.
- S. A. Linton, R. A. Parker, P. G. Walsh and R. A. Wilson, Computer construction of the Monster, J. Group Theory 1 (1998), 307–337.
- , The uniqueness of the Fischer-Griess Monster, Finite groups—coming of age (Montreal, Que., 1982), 271–285, Contemp. Math., 45, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1985.
- , Symmetry and the Monster, Oxford University Press, 2006, ISBN 0-19-280722-6 (concise introduction for the lay reader).
- 马库斯·杜·索托伊, Finding Moonshine, Fourth Estate, 2008, ISBN 978-0-00-721461-7 (another introduction for the lay reader; published in the US by HarperCollins as Symmetry, ISBN 978-0-06-078940-4).

## 外部链接

- MathWorld: Monster Group
- Atlas of Finite Group Representations: Monster group
- Abstruse Goose: Fischer-Griess Monster