比例性质

比例性质是代数学中常用的分式性质，主要包括合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质以及它们的推广。这四条性质多用于分式的计算和证明，以及三角函数、相似三角形、平行线分线段成比例定理的应用中。其中尤其以等比性质的应用最为广泛。而比例的线性组合也具有多种多样的性质。

## 合比性质

### 表述

在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的后项的比。

### 数学表示

已知$a,b,c,d\in\mathbb{C}$，且有$b\neq0,d\neq0$，如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则有$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$。

### 证明

$$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

$$\therefore \frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$$

$$\therefore \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$$

证毕

## 分比性质

### 表述

在一个比例等式中，第一个比例的前后项之差与第一个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之差与第二个比例的后项的比。

### 数学表示

已知$a,b,c,d\in\mathbb{C}$，且有$b\neq0,d\neq0$，如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则有$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$。

### 证明

$$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

$$\therefore \frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1$$

$$\therefore \frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$$

证毕

## 合分比性质

### 表述

在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的前后项之差的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的前后项之差的比。

### 数学表示

已知$a,b,c,d\in\mathbb{C}$，且有$b\neq0,d\neq0$，如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则有$\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$。

### 证明

$$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

令$k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则$a=b\cdot k,c=d\cdot k$

$$\frac{a+b}{a-b}=\frac{bk+b}{bk-b}=\frac{k+1}{k-1}$$

$$\frac{c+d}{c-d}=\frac{dk+d}{dk-d}=\frac{k+1}{k-1}$$

$$\therefore \frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$$

证毕

## 等比性质

### 表述

在一个比例等式中，两前项之和与两后项之和的比例与原比例相等

### 数学表示

已知$a,b,c,d\in\mathbb{C}$，且有$b\neq0,d\neq0$，如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则有$\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$。

### 证法一

$$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

令$k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则$a=b\cdot k,c=d\cdot k$

$$\frac{a+c}{b+d}=\frac{bk+dk}{b+d}=k$$

$$\therefore \frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

证毕

### 证法二

$$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

$$\therefore \frac{a}{c}=\frac{b}{d}$$

由合比性质$\frac{a+c}{c}=\frac{b+d}{d}$

$$\therefore \frac{a+c}{b+d}=\frac{c}{d}$$

即$\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

证毕

### 推论

已知$a_i,b_i\in\mathbb{C},i=1,2,\ldots,n$，且有$b_i\neq0$，如果$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\ldots=\frac{a_n}{b_n}$，则有$\frac{\sum_i^n{a_i}}{\sum_i^n{b_i}}=\frac{a_i}{b_i}$。

## 比例的线性组合

由上述性质以及其证明方法可以推广到任意的线性组合的比例性质。例如如下两条，分别从合分比性质和等比性质推广得到。

### 合分比性质的线性组合推论

已知$a,b,c,d\in\mathbb{C}$，且有$b\neq0,d\neq0$，如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则有$\frac{\lambda a+\mu b}{\xi a+\eta b}=\frac{\lambda c+\mu d}{\xi c+\eta d}$。

证明：

$$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

令$k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则$a=b\cdot k,c=d\cdot k$

$$\frac{\lambda a+\mu b}{\xi a+\eta b}=\frac{\lambda bk+\mu b}{\xi bk+\eta b}=\frac{\lambda k+\mu}{\xi k+\eta}$$

$$\frac{\lambda c+\mu d}{\xi c+\eta d}=\frac{\lambda dk+\mu d}{\xi dk+\eta d}=\frac{\lambda k+\mu}{\xi k+\eta}$$

$$\therefore \frac{\lambda a+\mu b}{\xi a+\eta b}=\frac{\lambda c+\mu d}{\xi c+\eta d}$$

证毕

### 等比性质的线性组合推论一

已知$a,b,c,d\in\mathbb{C}$，且有$b\neq0,d\neq0$，如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则有$\frac{\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$。

证明：

$$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

令$k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则$a=b\cdot k,c=d\cdot k$

$$\frac{\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}=\frac{\lambda bk+\mu dk}{\lambda b+\mu d}=k$$

$$\therefore \frac{\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

证毕

### 等比性质的线性组合推论二

已知$a_i,b_i\in\mathbb{C},i=1,2,\ldots,n$，且有$b_i\neq0$，如果$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\ldots=\frac{a_n}{b_n}$，则有$\frac{\sum_i^n{\lambda_i a_i}}{\sum_i^n{\lambda_i b_i}}=\frac{a_i}{b_i}$。

证明：

令$k=\frac{a_i}{b_i}$，则$a_i=b_i\cdot k$

$$\frac{\sum_i^n{\lambda_i a_i}}{\sum_i^n{\lambda_i b_i}}=\frac{\sum_i^n{\lambda_i kb_i}}{\sum_i^n{\lambda_i b_i}}=\frac{k\sum_i^n{\lambda_i b_i}}{\sum_i^n{\lambda_i b_i}}=k$$

$$\therefore \frac{\sum_i^n{\lambda_i a_i}}{\sum_i^n{\lambda_i b_i}}=\frac{a_i}{b_i}$$

证毕