余切

$\left\{x\in\mathbb{R}|x\neq k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}$ $\left\{x\in\mathbb{R}|x\neq 180^\circ k,\,k\in\mathbb{Z}\right\}$

$\pi$（180°）

$x=k\pi$（1=x=180°k）

$k\pi+\tfrac{\pi}{2}$（180°k+90°）

余切（Cotangent，一般记作$\cot$，或者ctg）是三角函数的一种，是正切的余角函数。它的定义域是整个不等于$k\pi$（180°k）的实数的集合，$k$为整数，值域是整个实数集。它是周期函数，其最小正周期为$\pi$（180°）。余切函数是奇函数。

余切函数在各个小区间上单独看为单调递减函数，和正切互为倒数，其函数图形和正切函数图形对称于$\frac{\pi}{4}$（45°）；该函数不连续，有奇点$k\pi$（180°k），其中$k$是一个整数。

## 符号说明

余切最早用符号tan.com表示，该符号同正切一样，最初由T.芬克使用。后来人们又逐渐将该符号简化为ctg，后来又改为cot，与现代符号完全相同。

## 定义

### 直角三角形中

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在直角三角形中，一个锐角的余切定义为它的邻边与对边的比值，也就是：

$$\cot \theta = \frac {\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\, = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

可以发现其定义和正切函数互为倒数。

### 直角坐标系中

设$\alpha$是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，$P\left( {x,y} \right)$是角的终边上一点，$r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0$是P到原点O的距离，则α的正切定义为：

$$\cot \alpha = \frac{x}{y}$$

### 单位圆定义

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图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角$\theta$，并与单位圆相交，并令这个交点为y。另原点为O。做一直线，y点，垂直于$\overline{Oy}$，并与单位圆相切，令直线与y轴的交点，则此点与y点之距离为余切比值。

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单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度，产生斜边等于 1 的无限数目个三角形的一种方式。

对于大于$2\pi$（360°）或小于$-2\pi$（-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，有些三角函数变成了周期为$2\pi$（360°）的周期函数；但由于余切是切线，再绕单位圆旋转时，会出现周期是$\pi$（180°），所以正切是周期为$\pi$（180°）的周期函数:

$$\cot\theta = \cot\left(\theta + \pi k \right) = \cot\left(\theta + 180^\circ k \right)$$

对于任何角度$\theta$和任何整数$k$。

### 级数定义

余切函数也可以使用泰勒展开式定义

$$\cot x = \frac{1}{x}-\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}-\frac{2 x^5}{945}-\frac{x^7}{4725}-\frac{2 x^9}{93555}+...=\frac{1}{x}- \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n}{(2n)!} x^{2n-1}.$$

其中$B_{2n}$为伯努利数。

另外，我们也有

$$\cot x=\frac{1}{x}-2x\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2\pi^2-x^2}.$$

### 微分方程定义

cot的微分是负csc的平方

$$\cot 'x\ = -\csc^2 x$$

另外

$$\int \cot x \, dx = \ln (\sin x)$$

所以可以用

$\cot x = (\ln (\sin x))' \,$来定义。

### 指数定义

$$\cot \theta = \frac{{\mathrm{i}}(e^{{\mathrm{i}}\theta} + e^{-{\mathrm{i}}\theta})}{e^{{\mathrm{i}}\theta} - e^{-{\mathrm{i}}\theta}} \,$$

## 恒等式

### 用其它三角函数来表示余切

函数｜$\sin$｜$\cos$｜$\tan$｜$\cot$｜$\sec$｜$\csc$

$\cot \theta$｜${\sqrt{1 - \sin^2\theta} \over \sin \theta}$｜${\cos \theta \over \sqrt{1 - \cos^2\theta}}$｜${1 \over \tan\theta}$｜$\cot\theta\ $｜${1 \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}}$｜$\sqrt{\csc^2\theta - 1}$

### 和差角公式

$$\cot(\theta\pm\psi)=\frac{\cot\theta\cot\psi\mp1}{\cot\psi\pm\cot\theta}$$

### 二倍角公式

$$\begin{align}\cot 2\theta &= \frac{\cot^2 \theta - 1} {2\cot\theta}\\ & = \frac{1}{\cot\theta - 1}-\frac{1}{\cot\theta + 1}\\ \end{align}$$

### 半角公式

$$\begin{align} \cot \frac{\theta}{2} &= \csc \theta + \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 + \cos \theta \over 1 - \cos \theta} \\ &= \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} \\ &= \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}\\ &= \frac{\cos \theta-\sin \theta+1}{\cos \theta+\sin \theta-1} \end{align}$$

### 三倍角公式

$$\cot 3\theta =\frac{\cot^3\theta - 3\cot\theta}{3 \cot^2\theta-1}$$

## 余切定理

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余切定理是三角学中关于三角形内切圆半径的定理。

假设$\alpha$, $\beta$, 与$\gamma$是三角形的三个内角，$a$, $b$, 与$c$是与之对应的三个对边，若

$\zeta = \sqrt{\frac{1}{s} (s-a)(s-b)(s-c)}$ （这个三角形的内切圆半径），其中：

$s = \frac{a+b+c}{2 }$（$s$就是三角形的半周长）。

那么余切定理告诉我们：

$$\cot{ \frac{\alpha}{2 }} = \frac{s-a}{\zeta }$$

$$\cot{ \frac{\beta}{2 }} = \frac{s-b}{\zeta }$$

$$\cot{ \frac{\gamma}{2 }} = \frac{s-c}{\zeta }$$

还有

$$\frac{\cot\frac{\alpha}{2}}{s-a} = \frac{\cot\frac{\beta}{2}}{s-b} = \frac{\cot\frac{\gamma}{2}}{s-c}.$$

总而言之：余切定理就是某个角一半的余切等于半周长减去这个角所对的边长再除以三角形的内切圆半径。