折纸公理

折纸公理，又称藤田－羽鸟公理或藤田－贾斯汀公理，是折纸数学的基本公理。假定所有折纸操作均在理想的平面上进行，并且所有折痕都是直线，那么这些公理描述了通过折纸可能达成的所有数学操作。

折纸定理最早于1989年由雅克·贾斯汀（Jacques Justin）发现。截至目前为止，共推衍了7个公理，其中，公理1－6又于1991年由日裔意大利数学家藤田文章发现。定理7也于2001年由羽鸟公士郎发现。贾斯汀和罗伯特·朗（Robert J. Lang）也同样发现了公理7。

## 七个公理

前6个公理又叫做藤田公理，公理7由羽鸟公士郎发现，贾斯汀和罗伯特·朗（Robert J. Lang）也同样发现了公理7。7条公理如下：

- 给定两点 $p_1$ 和 $p_2$，有且仅有一条折痕同时过这两点。
- 给定两点 $p_1$ 和 $p_2$，有且仅有一种方法把 $p_1$ 折到 $p_2$ 上。
- 给定两直线 $l_1$ 和 $l_2$，可以把 $l_1$ 折到 $l_2$ 上。
- 给定一点 $p_1$ 和一条直线 $l_1$，有且仅有一种方法过 $p_1$ 折出 $l_1$ 的垂线。
- 给定两点 $p_1$ 和 $p_2$ 和一条直线 $l_1$，可以沿过 $p_2$ 的直线将 $p_1$ 折到 $l_1$ 上。
- 给定两点 $p_1$ 和 $p_2$ 和两直线 $l_1$ 和 $l_2$，可以一次将 $p_1$、$p_2$ 分别折到 $l_1$、$l_2$ 上。
- 给定一点 $p$ 和两直线 $l_1$ 和 $l_2$，可以沿着 $l_2$ 的垂线将 $p$ 折到 $l_1$ 上。

公理5可能有最多2个解，公理6可能有最多3个解，而尺规作图的公理最多只有两个解。所以，折纸的作图能力要强于尺规作图。就是说，尺规作图相当于在解二次方程，而折纸几何相当于解三次方程。因而诸如三等分角、倍立方等尺规作图无法解决的问题却可以用折纸几何解决。但是公理6在实践中需要将纸“滑动”，这其实相当于二刻尺作图，这在标准的尺规作图中是不被允许的。

罗伯特·朗证明了这七个公理已经是折纸几何的全部公理了。

### 公理 1

给定两点 $p_1$ 和 $p_2$，有且仅有一条折痕同时过这两点。

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以参数方程表示的话，过2点的直线可以表示为：

$$F(s)=p_1 +s(p_2 - p_1).$$

### 公理 2

给定两点 $p_1$ 和 $p_2$，有且仅有一种方法把 $p_1$ 折到 $p_2$ 上。

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这条公理相当于是作线段 $\overline{p_1 p_2}$的垂直平分线。这可以通过以下四个步骤完成：

- 使用公理1作出连结 $p_1$ 和 $p_2$ 的直线 $P(s)=p_1+s(p_2-p_1)$
- 找到直线 $P(s)$ 的中点 $p_{mid}$
- 找到垂直于 $P(s)$ 的向量 $\mathbf{v_{perp}}$

$$F(s)=p_\mathrm{mid} + s\cdot\mathbf{v}_{\mathrm{perp}}.$$

### 公理 3

给定两直线 $l_1$ 和 $l_2$，可以把 $l_1$ 折到 $l_2$ 上。

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这条公理相当于是找出 $l_1$ 和 $l_2$ 组成的角的平分线。假设 $p_1$ 和 $p_2$ 是 $l_1$ 上任意两点，$q_1$ 和 $q_2$ 是 $l_2$ 上任意两点，$\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 分别是 $l_1$ 和 $l_2$ 方向的单位向量：

$$\mathbf{u} = (p_2-p_1) / \left|(p_2-p_1)\right|$$

$$\mathbf{v} = (q_2-q_1) / \left|(q_2-q_1)\right|.$$

如果两直线不平行，它们的交点为：

$$p_\mathrm{int} = p_1+s_\mathrm{int}\cdot\mathbf{u}$$

其中

$$s_{int} = -\frac{\mathbf{v}_{\perp} \cdot (p_1 - q_1)} {\mathbf{v}_{\perp} \cdot \mathbf{u}}.$$

两条直线所夹的一个角的平分线方向是：

$$\mathbf{w} = \frac{ \left|\mathbf{u}\right| \mathbf{v} + \left|\mathbf{v}\right| \mathbf{u}} {\left|\mathbf{u}\right| + \left|\mathbf{v}\right|}.$$

折痕的参数方程是：

$$F(s) = p_\mathrm{int} + s\cdot\mathbf{w}.$$

这两直线还有另一个角平分线，两条角平分线互相垂直，且都过点 $p_{int}$。而沿着任意一条角平分线折都能将 $l_1$ 折到 $l_2$ 上。但在实践中可能因为交点的位置（比如交点在纸外）使沿着其中一条角平分线的折叠无法实施。

如果两条直线平行，那么只要沿着两直线中间的一条线（与两直线平行，到两直线距离相等）折叠就可以将 $l_1$ 折到 $l_2$ 上

### 公理 4

给定一点 $p_1$ 和一条直线 $l_1$，有且仅有一种方法过 $p_1$ 折出 $l_1$ 的垂线。

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向量 $\mathbf{v}$ 是垂直于 $l_1$ 的单位向量，那么折痕的参数方程是：

$$F(s) = p_1 + s\cdot\mathbf{v}.$$

### 公理 5

给定两点 $p_1$ 和 $p_2$ 和一条直线 $l_1$，可以沿过 $p_2$ 的直线将 $p_1$ 折到 $l_1$ 上。

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这个公理相当于找出圆和直线的交点，所以有最多2个解，最少也可能无解。这取决于直线 $l_1$ 和以$p_2$ 为圆心，$p_2$ 到 $p_1$ 的距离为半径的圆的位置关系。如果直线和圆不相交则无解，相切则有1解，相交则有2解.

如果我们知道直线上两点 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$，那么直线可以表示为：

$$x = x_1 + s(x_2 - x_1)\,$$

$$y = y_1 + s(y_2 - y_1).\,$$

如果圆心 $p_2=(x_c,y_c)$，半径 $r = \left|p_1 - p_2\right|$。那么这个圆可以表示为：

$$(x-x_c)^2 + (y-y_c)^2 = r^2.\,$$

为了确定圆和直线的交点，将直线方程代入圆方程，得：

$$(x_1 + s(x_2-x_1) - x_c)^2 + (y_1 + s(y_2 - y_1) - y_c)^2 = r^2.\,$$

或者可以简化为：

$$as^2 + bs + c = 0\,$$

其中：

$$a = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2\,$$

$$b = 2(x_2 - x_1)(x_1 - x_c) + 2(y_2 - y_1)(y_1 - y_c)\,$$

$$c = x_c^2 + y_c^2 + x_1^2 + y_1^2 - 2(x_c x_1 + y_c y_1)-r^2.\,$$

然后，只要解以下方程就能确定直线和圆的交点：

$$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

如果判别式 $b^2-4ac<0$，那么方程无实数解，圆和直线没有交点；如果辨别式等于0，那么方程有一解，圆和直线相切；如果辨别式大于0，方程有两解，圆和直线有两个交点。令$d_1$ 和 $d_2$ 是两个交点（如果存在），那么，我们可以得到线段如下：

$$m_1 = \overline{p_1 d_1} \,$$

$$m_2 = \overline{p_1 d_2}. \,$$

折痕 $F_1(s)$ 垂直平分 $m_1$，可以将 $p_1$ 折到 $d_1$。同样，折痕 $F_2(s)$ 垂直平分 $m_2$，可以将 $p_1$ 折到 $d_2$。只要应用公理2就可以找到垂直平分线。折痕的参数方程是：

$$\begin{align} F_1(s) & = p_1 +\frac{1}{2}(d_1-p_1)+s(d_1-p_1)_\perp \\[8pt] F_2(s) & = p_1 +\frac{1}{2}(d_2-p_1)+s(d_2-p_1)_\perp. \end{align}$$

### 公理 6

给定两点 $p_1$ 和 $p_2$ 和两直线 $l_1$ 和 $l_2$，可以一次将 $p_1$、$p_2$ 分别折到 $l_1$、$l_2$ 上。

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这个公理相当于找到同时与两条抛物线相切的直线，等价于解一个三次方程。两条抛物线的焦点分别是 $p_1$ 和 $p_2$，准线分别是 $l_1$ 和 $l_2$。

### 公理 7

给定一点 $p$ 和两直线 $l_1$ 和 $l_2$，可以沿着 $l_2$ 的垂线将 $p$ 折到 $l_1$ 上。

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过 $p$ 点作 $l_2$ 的平行线，交 $l_1$ 于 $q$，这个公理就是要找出线段 $\overline{p q}$ 的垂直平分线。沿着这条垂直平分线折，就可以将 $p$ 折到 $q$ 上。

## 外部链接

- Origami Geometric Constructions by Thomas Hull
- A Mathematical Theory of Origami Constructions and Numbers by Roger C. Alperin