终端速度

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在流体动力学中，当物体在流体中运动时，在流体向物体运动反方向所施的力下，物体的运动速度因而不变，这时物体所移动的速度就是终端速度。

当向下的重力（Fg）相等于向上的阻力（Fd）时，自由落体中的物体会达到终端速度。此时物体的净力为零，因此物体的速度保持不变。

当物体加速的时候（一般是因为重力而向下加速），施向物体的抗力也在增加，使得加速度慢下来。在某一个速度下，所产生的抗力会相等于物体的重量（$mg$）。这时候物体停止加速，并持续以不变的速度下落，这个速度就是终端速度（也叫沉降速度）。终端速度直接随着重量与阻力的比值而变。更大的抗力代表较低的终端速度，而更大的重量则代表较高的终端速度。若一向下移动物体的速度大于终端速度（比方说它受一向下的力影响，或它掉进了较薄的大气层区域，或它的形状改变），它的速度会慢下来，直至达到终端速度为止。

## 例子

举例说，基于风阻，一个采取俯伏向下自由落体姿势的跳伞员，其终端速度约为55m/s。这个速度是整个加速过程的渐近极限值，因为作用在身体上的有效力在接近终端速度的过程中，愈来愈接近互相平衡的状态。在这个例子中，要达到终端速度的50%只需要3秒，达到90%则需要8秒，而达到99%就需要15秒，如此类推。

如果跳伞员把四肢收起来的话，终端速度会提高。在这个例子中，终端速度会提升至90m/s，几乎到达游隼向下追捕猎物时的速度；一粒典型的.30-06步枪子弹在垂直下坠时也会达到这样的终端速度——垂直下坠可能是因为被向上射击后要回到地面，又或是从高楼上掉下——其速度是来自于一份1920年的美军军械研究报告。

竞速跳伞员会使用头向下俯冲的姿势来达到更高的速度，2012年之前的世界纪录由约瑟夫·基廷格在1960年所创下，速度为988 km/h，当时位于海拔较高的地方，因此大气层较为稀薄，空气阻力较小。菲利克斯·保加拿为了打破此纪录，在2012年10月15日从39公里高的同温层跳下，最高时速高达1357.6 km/h，是目前的世界纪录保持人。

一向着地球表面下坠物体的速度，每秒钟会增加每秒钟9.806米（即加速度为9.806m‧s-2）。物体会达到终端速度的原因是，阻力的大小与速度的平方成正比。在低速时，阻力比重力要小得多，所以物体加速。当物体在加速时，阻力增加，直至与重量相等。阻力同时亦取决于投影面积。就是因为这个原因，相对于质量有着大投影面积的物体，如降落伞，比其他这方面小的物体，如子弹，有着更低的终端速度。

数学上，无视浮力的终端速度可用下式表示：

$$V_t= \sqrt{\frac{2mg}{\rho A C_d }}$$

其中

$V_t$为终端速度。

$m$为物体重量。

$g$为地球所引起的加速度。

$C_d$为阻力系数。

$\rho$为物体落下时所处的流体密度。

$A$为物体的投影面积。

数学上，一物体渐近地到达终端速度。

由周遭流体向物体所施的向上力所造成的浮力效应，可用阿基米德定律来描述：质量$m$必须减去所排开的流体质量$\rho\mathcal{V}$，其中$\mathcal{V}$为物体的体积。所以不使用$m$，在各方程中改用约化质量$m_r=m-\rho\mathcal{V}$。

在地球上，一物体的终端速度取决于流体的性质、物体的质量及其横截表面积的投影大小。

空气密度随着海拔减少而增加，海拔每减少80米，密度就增加约1%（使用气压公式）。若物体下降时穿越大气层，每下降160米，终端速度就会减少1%。当物点达到所处点的终端速度后，若持续下降，则物体会因为新位置的终端速度而减速。

## 终端速度的推导

数学上，把向下定义为正方向，物体在接地球表面落下是所受的净力Fnet为（根据牛顿第二运动定律）：

$F_{net} = m a = m g - F_D$。

其中：

a为加速度。

FD为阻力。

根据阻力公式：

$F_D\, =\, \tfrac12\, \rho\, v^2\, C_d\, A$。

将上两式结合可得

$F_{net} = m g - {1 \over 2} \rho v^2 A C_\mathrm{d}$。

在平衡时，净力为零（F=0）：

$m g - {1 \over 2} \rho v^2 A C_\mathrm{d} = 0 \ $。

解v可得。

$\sqrt\frac{2mg}{\rho A C_\mathrm{d}} \ $。

速度v作为时间t函数解的推导阻力方程为 :$m a = m \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = m g - \frac{1}{2} \rho v^2 A C_\mathrm{d}$。取'k = 1ρACd，此时方程的形式较为实用。两边一起除以m得 :$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=g-\frac{kv^2}{m}$。整理方程得 :$dt=\frac{\mathrm{d}v}{g-\frac{kv^2}{m}}$。取两边积分得 :$\int_0^t {\mathrm{d}t^\prime} = \int_0^v \frac{\mathrm{d}v^\prime}{g-\frac{kv^{\prime 2}}{m}} = {1 \over g}\int_0^v \frac{\mathrm{d}v^\prime}{1-\alpha^2 v^{\prime 2}}$，其中α = ( k )1. 积分后，得 :$t-0={1 \over g}\left[{\ln(1+\alpha v^\prime) \over 2\alpha}-\frac{\ln(1-\alpha v^\prime)}{2\alpha}+C \right]_{v^\prime=0}^{v^\prime=v}={1 \over g} \left[{\ln \frac{1+\alpha v^\prime}{1-\alpha v^\prime} \over 2\alpha}+C \right]_{v^\prime=0}^{v^\prime=v},$ 或简化形式 :$t={1 \over 2\alpha g} \ln \frac{1+\alpha v}{1-\alpha v} \ .$ 反双曲正切函数（arctanh）的定义为: :$\frac{1}{2} \ln \frac{1+\alpha v}{1-\alpha v}=\mathrm{arctanh}(\alpha v)$. 故方程解的积分为 :$t=\frac{\mathrm{arctanh}(\alpha v)}{\alpha g}$，上式可简化成 :$\frac{1}{\alpha}\tanh(\alpha g t)=v$，其中tanh为双曲正切函数。设g为正数（它的定义确实是正数），然后把α的值代入，得 :$v=\sqrt{\frac{mg}{k}} \tanh \left( \sqrt{\frac{k}{mg}} g t\right)$，代入k = 1ρACd，得v所需的形式 :$v=\sqrt\frac{2mg}{\rho A C_d} \tanh \left(t \sqrt{\frac{g \rho A C_d }{2m}}\right)$，当时间趋向无限（t → ∞），双曲正切趋向1，得终端速度 :$\sqrt\frac{2mg}{\rho A C_d}$。

由能量守恒推导能量守恒方程为 :$mgh= k v^2 h + \frac{1}{2} m v^2$。分离v得到 :$v =\sqrt\frac{mgh}{kh + {1 \over 2}m} \ $。当时间趋近无限，即高度趋近于无限( h = vt , v 始终为正), h → ∞，故以上式子取极限得 :$v =\sqrt\frac{mg}{k} \ $。

## 有浮力情况下的终端速度

当考虑浮力效应时，因自身质量而在流体中下沉的物体，若其净力为零，就会达到终端速度（沉降速度）。当达到终端速度时，物体的重量会正好等于向上的浮力与阻力之和。即：

$$\quad (1) \qquad W = F_b + D$$

其中

$W$为物体的重量。

$F_b$为作用于物体上的浮力，及

$D$ 为作用于物体上的阻力。

若下沉的物体是球状的，则三种力的表示式如下：

$$\quad (2) \qquad W = \tfrac{\pi}{6} d^3 \rho_s g$$

$\quad (3) \qquad F_b = \tfrac{\pi}{6} d^3 \rho g$

$$\quad (4) \qquad D = C_d \tfrac{1}{2} \rho V^2 A$$

其中

$d$为球体的直径。

$g$为重力加速度。

$\rho$为流体的密度。

$\rho_s$为球体的密度。

$A = \pi d^2/4$为球体投影面积。

$C_d$阻力系数，及

$V$为特征速度（即终端速度，$V_t$）。

将方程(2)至(4)代入至方程(1)，求解$V_t$的值，得下式：

$\quad (5) \qquad V_t = \sqrt{\frac{4 g d}{3 C_d} \left( \frac{\rho_s - \rho}{\rho} \right)}$。

### 蠕流下的终端速度

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对流体内非常慢的运动而言，相对于其他力，流体的惯性力是无关重要的（假设流体无质量）。这样的流被称为蠕流，而蠕流需要满足雷诺数$Re \ll 1$的条件。蠕流的运动方程（简化后的纳维-斯托克斯方程）如下：

$$\nabla p = \mu \nabla^2 {\mathbf v}$$

其中：

${\mathbf v}$为速度向量场。

$p$为压力场，及

$\mu$ 为流体黏度。

流过球体的蠕流解析解最早由乔治·斯托克斯于1851年提出。从斯托克斯的解可得作用于球体的阻力

$\quad (6) \qquad D = 3\pi \mu d V \qquad \qquad$ 或 $\qquad \qquad C_d = \frac{24}{Re}$

其中雷诺数$Re = \tfrac{\rho d V}{\mu}$。方程(6)中表示阻力的式子又被称为斯托克斯定律。

把$C_d$的值代入至方程(5)，可得球状物体在蠕流条件下的终端速度表示式：

$V_t = \frac{g d^2}{18 \mu} \left(\rho_s - \rho \right)$。

### 应用

蠕流的计算结果可被用于研究近海底沉积粒子的沉降，及大气层中下降的水滴。其原理被应用于落球式黏度计，一种量度高黏度流体黏度的实验装置。