事件 (概率论)

在概率论中，随机事件（或简称事件）指的是随机试验结果的一个子集，也就是样本空间中的一个子集。简单来说，在一次随机试验中，某个特定事件可能出现也有可能不出现；但当试验次数增多，我们可以观察到某种规律性的结果，就是随机事件。随机事件有其出现的概率。基本上，只要样本空间是有限的，则在样本空间内的任何一个子集合，都可以被称为是一个事件。然而，当样本空间是无限的时候，特别是不可数之时，就常常不能定义所有的子集为随机事件了。

## 例子

假设我们有一堆52张的扑克牌，并闭着眼睛在这堆牌中抽取一张牌，那么用概率论的术语来说，我们实际上是在做一个随机试验。这时，我们的样本空间是一个有着52个元素的集合，因为任意一张牌都是一个可能的结果。而一个随机事件，则是这个样本空间的任意一个子集（这个任意子集包括空集，一个元素的集合及多个元素的集合）。运用组合知识可以知道，随机事件一共有$2^{52}$种。当这个事件仅仅包括样本空间的一个元素（或者说它是一个单元素集合）的时候，称这个事件为一个基本事件。比如说事件“抽到的牌是黑桃7”。当事件是空集时，称这个事件为不可能事件。当事件是全集时，则称事件是必然事件。其它还有各种各样的事件，比如：

- “抽到的牌是鬼牌”（也是不可能事件）
- “抽到的牌是红桃3”（基本事件）
- “抽到的牌数字是9”（包含4个元素）
- “抽到的牌是方块”（包含13个元素）
- “抽到的牌是红颜色的并且数字小于等于10”（包含20个元素）
- “抽到的牌不是红桃3”（包含51个元素）

由于事件是样本空间的子集，所以也可以写成集合的形式。有时候写成集合的形式可能会很困难。有时候也可以用文氏图来表示事件，这时可以用事件所代表图形的面积来按比例显示事件的概率。

## 事件与概率空间

当样本空间有限，试验中每个基本事件发生的可能性相同的时候，称为古典概型。这时可以（也是一般用到的）取样本空间的所有的子集作为事件。然而，当样本空间不是有限的时候，特别是当样本空间是实数的时候，就不能取所有的子集作为事件了。其中的根本原因在于概率的定义。一般来说，当研究一个随机事件的时候，我们希望知道它发生的概率。事件发生的概率是一个介于0和1之间的数。当样本空间是不可数的时候，如果我们取样本空间所有的子集，那么概率论的公理系统会产生数学上的矛盾，也就是说，会有一些子集无法被定义概率。具体地说，概率论的公理系统是由三个部分$(\Sigma, \mathcal{F}, \mathbb{P})$组成的，又称为概率空间。这个空间包括：样本空间$\Sigma$、事件集合$\mathcal{F}$（又称为事件体）以及定义在这上面的一个取概率的运算：$\mathbb{P}$。其中的事件集合$\mathcal{F}$是一个σ-代数，而取概率的运算$\mathbb{P}$ 需要满足概率的加法公理（σ-Additive）：

如果一系列事件$A_1, A_2, \cdots$两两互斥（也就是说对任意的$i , j$，$A_i \cap A_j$都是空集。此亦称为pairwise disjoint）那么就有：

$$\mathbb{P}( \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}( A_i)$$

这个公理是符合一般人的直觉的：如果几件事情互相之间相互排斥，那么“它们几个中有一个发生”的概率应该等于其中每一个发生的概率的和。

然而，对于不可数的样本空间，如果选全部的子集作为事件的话，会有一些子集，无论怎样为他们定义概率，都会违反加法公理。

### 一个反例

假设小明和小华玩一个游戏，让小华随意说一个0到1之间的实数。小明为了研究概率，选择了所有0,1的子集作为概率集合。他将所有的0到1之间的有理数取出来。由于0到1之间的有理数是可数集合，所以可以做标号：$q_1, q_2, \cdots$。对于每一个0到1之间的实数$a$，小明将$a+q_1, a+q_2, \cdots$作为一个集合，如果其中有大于1的，就减去1。这个集合是由可数个数构成的，小明把它记作$S_a$。构造多个这样的集合$S_a$满足其并集是区间0,1，且它们之间两两不相交。然后将每个$S_a$写成：

$$S_a = s_{a, 1}, s_{a, 2}, \cdots$$

再令：

$T_1 =$ 遍历所有$S_a$ 集合中的$s_{a, 1}$ 所构成的集合。

$T_2 =$ 遍历所有$S_a$ 集合中的$s_{a, 2}$ 所构成的集合。

如此等等。

那么所得到的事件（也就是集合）$T_1, T_2 , \cdots$的并集也是区间0,1，而且它们之间两两不相交。由于这些事件之间地位相等，所以它们的概率$\mathbb{P}(T_n)$都是一样的。

如果$\mathbb{P}(T_n) >0$，那么根据加法原则。

$$1 =\mathbb{P}([0,1]) = \mathbb{P}( \bigcup_{i=1}^{\infty} T_i) = \sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}( T_i) =\sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}( T_1) = + \infty$$

而如果$\mathbb{P}(T_n) = 0$，那么根据加法原则，仍然有：

$$1 =\mathbb{P}([0,1]) = \mathbb{P}( \bigcup_{i=1}^{\infty} T_i) = \sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}( T_i) = 0 + 0 + \cdots = 0$$

因此无论如何，都会导致矛盾。也就是说小明无法为事件$T_1$定出一个概率。在一般的测度理论中，这种集合称为（勒贝格）不可测集合。

## 事件之间的关系

两个随机事件之间可以有各种各样的关系。

- 包含关系：通常用符号$\subset$表示。一个事件$A$包含另一个事件$B$记作：$B \subset A$。这时只要事件$B$发生，那么事件$A$也一定发生。这个关系其实就是集合论中的包含关系。举之前扑克牌的例子来说，假设事件$A$是“抽出的牌上数字是8”，事件$B$是“抽出的牌是梅花8”，那么事件$A$包含事件$B$：只要抽出的是梅花8，牌上的数字自然就是8。
- 等价关系：两个事件对应的子集完全相等，记作$A = B$。例子：事件“抽出的牌花色是黑桃并且数字比3小并且数字是偶数”和事件“抽出的牌是黑桃2”就是等价的。
- 对立关系：两个事件只能有一个发生，并且必然有一个发生，则它们是对立关系。这种关系对应的集合论术语是“补集”。
- 互斥关系：两个事件只能有一个发生，但并不必然有一个发生。这时也称两个事件之间是互不相容的。

### 独立事件

如果两个事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积，那么就称这两个事件是相互独立的。比如说，“抽到的牌是红桃”和“抽到的牌数字是4”就是相互独立的，因为两者同时发生——抽到的牌是红桃4——的概率是52分之1，而“抽到的牌是红桃”的概率是4分之1，“抽到的牌数字是4”的概率是13分之1，两者相乘便是52分之1。

## 事件的运算

- 事件$A\cup B$：是事件$A$和事件$B$的和事件（并事件），指的是事件“事件$A$发生或者事件$B$发生”。
- 事件$A\cap B$：是事件$A$和事件$B$的积事件（交事件），指的是事件“事件$A$发生且事件$B$发生”。
- 事件$A-B$：是事件$A$和事件$B$的差事件，指的是事件“事件$A$发生且事件$B$不发生”。

在概率运算时，还有：

- $P( A\mid B )$：指的是“设 A 与 B 为样本空间 Ω 中的两个事件，其中 P(B)>0。那么在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的条件概率为：”