品质因子

品质因子或Q因子是物理及工程中的无因次参数，是表示振子阻尼性质的物理量，也可表示振子的共振频率相对于带宽的大小。

高Q因子表示振子能量损失的速率较慢，振动可持续较长的时间，例如一个单摆在空气中运动，其Q因子较高，而在油中运动的单摆Q因子较低。高Q因子的振子一般其阻尼也较小。

## 说明

Q因子较高的振子在共振时，在共振频率附近的振幅较大，但会产生的共振的频率范围比较小，此频率范围可以称为带宽。例如一台无线电接收器内的调谐电路Q因子较高，要调整接收器对准一特定频率会比较困难，但其选择性较好，在过滤频谱上邻近电台的讯号上也有较佳的效果。Q因子较高的振子会产生共振的频率范围较小，也比较稳定。

系统的Q因子可能会随着应用场合及需求的不同而有大幅的差异。强调阻尼特性的系统（例如防止门突然关闭的阻尼器）其Q因子为1，而时钟、激光或是其他需要强烈共振或是要求频率稳定性的系统其Q因子也较高。音叉的Q因子大约为1000，原子钟、加速器中的超导射频或是光学共振腔的Q因子可以到1011甚至更高。

Q因子的概念是来自电子工程中，评量一调谐电路或其他振子的“品质”。

## 定义

Q因子可定义为在一系统的共振频率下，当信号振幅不随时间变化时，系统储存能量和每个周期外界所提供能量的比例（此时系统储存能量也不随时间变化）：

$$Q = 2 \pi \times \frac{\mbox{Energy Stored}}{\mbox{Energy dissipated per cycle}} = 2 \pi f_r \times \frac{\mbox{Energy Stored}}{\mbox{Power Loss}}. \,$$

大部分的共振系统都可以用二阶的微分方程表示，Q因子中2π的系数，使Q因子可以表示成只和二阶微分方程系数有关的较简单型式。在电机系统中，能量会储存在理想无损失的电感及电容中，损失的能量则是每个周期由电阻损失能量的总和。力学系统储存的能量是该时间动能及位能的和，损失的能量则是因为摩擦力或阻力所消耗的能量。

针对高Q因子的系统，也可以用下式计算的Q因子，在数学上也是准确的：

$$Q = \frac{f_r}{\Delta f} = \frac{\omega_r}{\Delta \omega}, \,$$

其中fr为共振频率，Δf为带宽，ωr = 2πfr是以角频率表示的共振频率，Δω是以角频率表示的带宽

在像电感等储能元件的规格中，会用到和频率有关的Q因子，其定义如下：

$$Q(\omega) = \omega \times \frac{\mbox{Maximum Energy Stored}}{\mbox{Power Loss}}, \,$$

其中ω是计算储存能量和功率损失时的角频率。若电路中只有一个储能元件（电感或是电容），也可用上式来定义Q因子，此时Q因子会等于无功功率相对有功功率的比例。

## Q因子及阻尼

Q因子可决定一个简单阻尼谐振子的量化特性（有关数学的细节及不同系统的行为，请参考谐振子及线性时不变系统理论等条目）。

- 低Q因子的系统（Q < ½）是过阻尼系统。过阻尼系统不会振荡，当偏离稳态输出平衡点时，会以指数衰减的方式，渐近式的回到稳态输出。其冲激响应是二个不同速度的指数衰减函数的和。当Q因子减少时，衰减较慢的响应函数其影响会变明显，因此整个系统会变慢。一个Q因子很低的二阶系统其步阶响应类似一阶系统。
- 高Q因子的系统（Q > ½）是欠阻尼系统。欠阻尼系统在特定频率的输入下，其输出会振荡，其振幅也会指数衰减。Q因子略高于½的系统可能会振荡一或二次。若Q因子提高，阻尼的效果也会降低。高品质的钟在敲击后可以长时间发出单一音调的声音，没有阻尼的谐振系统其Q因子是无限大，类似一个敲击后可永远发出声音的钟。若二阶低通滤波器有很高的Q因子，其步阶响应一开始会快速上升，在平衡点附近震荡，最后才收敛到稳态的值。
- Q因子为½的系统是临界阻尼系统。临界阻尼系统和过阻尼系统一様不会震荡，也不会有过冲的情形。临界阻尼系统和欠阻尼系统一様，会对阶跃有快速的响应，临界阻尼可以使系统在不过冲的条件下有最快的反应，实际的系统若要求更快的反应，一般会允许一定程度的过冲，若系统不允许过冲，可能会使反应时间放慢，以提供一定的安全系数。

在负回授系统中，闭回路系统的响应常常用二阶系统来表示。设定开回路系统的相位裕度可以决定闭回路系统的Q因子，当相位裕度减少时，对应的二阶闭回路系统振荡会变大，也就是Q因子提高。

### 常见系统的Q因子

- 单位增益的Sallen–Key拓扑结构滤波器为临界阻尼系统，Q因子为$1/2$。
- 巴特沃斯滤波器（有最平坦通带频率响应的的连续时间滤波器）为欠阻尼系统，Q因子为$1/\sqrt{2}$。
- 贝塞尔滤波器（有最平坦群延迟的连续时间滤波器）为欠阻尼系统，Q因子为$1/\sqrt{3}$。

## Q因子的物理意涵

根据物理学，Q因子等于$2\pi$乘以系统储存的总能量，除以单一周期损失的能量，也可以表示为系统储存的总能量和单位弪度损失能量的比值。

Q因子是无因次的参数，是比较系统振幅衰减的时间常数和振荡周期后的结果。当Q因子数值较大时，Q因子可近似为系统从开始振荡起，一直到其能量剩下原来的 $1/e^{2\pi}$（约1/535或0.2%），中间历经的振荡次数。

共振的带宽可以用下式表示

$\Delta f = \frac{f_0}{Q} \,$,

其中$f_0$为共振频率，$\Delta f$为带宽，也就是能量超过峰值能量一半以上的频率范围。

Q因子、阻尼比ζ及衰减率α之间有以下的关系

$$\zeta = \frac{1}{2 Q} = { \alpha \over \omega_0 }.$$

因此Q因子可表示为

$$Q = \frac{1}{2 \zeta} = { \omega_0 \over 2 \alpha },$$

而指数衰减率可表示为

$$\alpha = \zeta \omega_0 = { \omega_0 \over 2 Q }.$$

二阶低通滤波器的响应函数可以用下式来表示

$$H(s) = \frac{ \omega_0^2 }{ s^2 + \underbrace{ \frac{ \omega_0 }{Q} }_{2 \zeta \omega_0 = 2 \alpha }s + \omega_0^2 } \,$$

若此系统的$Q > 0.5$（欠阻尼系统），系统有二个共轭复数极点，其实部为$\alpha$。衰减参数$\alpha$表示其冲激响应指数衰减的速率。Q因子大表示其衰减率较慢，因此Q因子很大的系统可以持续振荡较长的时间。例如高Q因子的钟，用锤子敲击后，其输出近似纯音，且可以维持很长的时间。

## 电子系统

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对电子共振系统而言，Q因子表示电阻的影响，若针对机电共振系统（例如石英晶体谐振器），也包括摩擦力的影响。

### RLC电路

理想串联RLC电路的Q因子为：

$$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac {1} {\omega_0 R C}$$

其中$R$、$L$及$C$分别是电路的电阻、电感和电容，若电阻值越大，Q因子越小。

并联RLC电路的Q因子恰为对应串联电路Q因子的倒数：

$$Q = R \sqrt{\frac{C}{L}} = \frac{R}{\omega_0 L} = \omega_0 R C$$

若将电阻、电感和电容并联形成一电路，并联电阻值越小，其阻尼的效果越大，因此Q因子越小。

若是电感和电容并联的电路，而主要损失是电感内，和电感串联的电阻R，其Q因子和串联RLC电路相同，此时降低寄生电阻R可以提升Q因子，也使带宽缩小到需要的范围内。

### 储存元件

个别储存元件的Q因子和对应信号频率有关，一般是电路的共振频率。电感器的Q因子为：

$$Q=\frac{X_L}{R_L}=\frac{\omega L}{R_L}$$

其中：

- $\omega$为频率。
- $L$为电感。
- $X_L$为电感器的感抗。
- $R_L$为电感内的电阻。

电容器的Q因子为：

$$Q=\frac{X_C}{R_C}=\frac{1}{\omega C R_C}$$

其中:

- $\omega$为频率。
- $C$为电容。
- $X_C$为电容器的容抗。
- $R_C$为电容内的电阻。

## 力学系统

对于一个有阻尼的质量－弹簧系统，可以用Q因子表示简化的黏滞阻尼或阻力对系统的影响，其中的阻尼力（或阻力）和速度成正比。此系统的Q因子可以用下式表示：

$$Q = \frac{\sqrt{M k}}{D}, \,$$

其中M是质量，k是弹簧常数，而D是阻力系数，可用下式来定义：

$$F_{\text{damping}}=-Dv$$

其中$F_{\text{damping}}$是阻力，$v$是速度。

## 激光系统

激光系统中，光学共振腔的Q因子可以用下式表示

$$Q = \frac{2\pi f_o\,\mathcal{E}}{P}, \,$$

其中$f_o$为共振频率，$\mathcal{E}$为共振腔中储存的能量，$P=-\frac{dE}{dt}$为耗散的能量。光学共振腔的Q因子等于共振频率和共振腔带宽的比值。共振光子的平均寿命和Q因子成正比，若激光共振腔中的Q因子突然地调高，共振腔会输出激光脉冲，其强度远高于平常共振腔连结输出的强度，此技术称为为Q切换。