亥姆霍兹分解

在物理学和数学中的向量分析中，亥姆霍兹定理，或称向量分析基本定理，指出对于任意足够光滑、快速衰减的三维向量场可分解为一个无旋向量场和一个螺线向量场的和，这个过程被称作亥姆霍兹分解。此定理以物理学家赫尔曼·冯·亥姆霍兹为名。

这意味着任何矢量场 F，都可以视为两个势场（纯量势 φ 和向量势 A）之和。

## 定理内容

假定 F 为定义在有界区域 V ⊆ R3 里的二次连续可微向量场，且 S 为 V 的包围面，则 F 可被分解成无旋度及无散度两部分：

$\mathbf{F}=-\boldsymbol{\nabla}\Phi+\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A}$。

其中

$$\Phi\left(\mathbf{r}\right)=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\boldsymbol{\nabla}'\cdot\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' -\frac{1}{4\pi}\oint_{S}\mathbf{\hat{n}}'\cdot\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}S'$$

$$\mathbf{A}\left(\mathbf{r}\right)=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\boldsymbol{\nabla}'\times\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' -\frac{1}{4\pi}\oint_{S}\mathbf{\hat{n}}'\times\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}S'$$

如果 V = R3，且 F 在无穷远处消失的比 $1/r$ 快，则纯量势及向量势的第二项为零，也就是说

$$\Phi\left(\mathbf{r}\right)=\frac{1}{4\pi}\int_{\text{all space}}\frac{\boldsymbol{\nabla}'\cdot\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'$$

$$\mathbf{A}\left(\mathbf{r}\right)=\frac{1}{4\pi}\int_{\text{all space}}\frac{\boldsymbol{\nabla}'\times\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'$$

## 推导

假定我们有一个向量函数$\mathbf{F}\left(\mathbf{r}\right)$，且其旋度$\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{F}$及散度$\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{F}$已知。利用狄拉克δ函数可将函数改写成

$\delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right)=-\frac{1}{4\pi}\nabla^{2}\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}$。

$\mathbf{F}\left(\mathbf{r}\right)=\int_{V}\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)\delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right)\mathrm{d}V'=\int_{V}\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)\left(-\frac{1}{4\pi}\nabla^{2}\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\right)\mathrm{d}V'=-\frac{1}{4\pi}\nabla^{2}\int_{V}\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'$。

利用以下等式

$\nabla^{2}\mathbf{a}=\boldsymbol{\nabla}\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{a}\right)-\boldsymbol{\nabla}\times\left(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{a}\right)$。

可得

$$\mathbf{F}\left(\mathbf{r}\right)=-\frac{1}{4\pi}\left[\boldsymbol{\nabla}\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot\int_{V}\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)-\boldsymbol{\nabla}\times\left(\boldsymbol{\nabla}\times\int_{V}\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)\right]$$

$=-\frac{1}{4\pi}\left[\boldsymbol{\nabla}\left(\int_{V}\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)\cdot\boldsymbol{\nabla}\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)+\boldsymbol{\nabla}\times\left(\int_{V}\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)\times\boldsymbol{\nabla}\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)\right]$。

注意到$\boldsymbol{\nabla}\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}=-\boldsymbol{\nabla}'\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}$，我们可将上式改写成

$\mathbf{F}\left(\mathbf{r}\right)=-\frac{1}{4\pi}\left[-\boldsymbol{\nabla}\left(\int_{V}\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)\cdot\boldsymbol{\nabla}'\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)-\boldsymbol{\nabla}\times\left(\int_{V}\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)\times\boldsymbol{\nabla}'\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)\right]$。

利用以下二等式。

$$\mathbf{a}\cdot\boldsymbol{\nabla}\psi=-\psi\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{a}\right)+\boldsymbol{\nabla}\cdot\left(\psi\mathbf{a}\right)$$

$\mathbf{a}\times\boldsymbol{\nabla}\psi=\psi\left(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{a}\right)-\boldsymbol{\nabla}\times\left(\psi\mathbf{a}\right)$。

可得

$\mathbf{F}\left(\mathbf{r}\right)=-\frac{1}{4\pi}\left[-\boldsymbol{\nabla}\left( -\int_{V}\frac{\boldsymbol{\nabla}'\cdot\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' +\int_{V}\boldsymbol{\nabla}'\cdot\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' \right)-\boldsymbol{\nabla}\times\left( \int_{V}\frac{\boldsymbol{\nabla}'\times\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' -\int_{V}\boldsymbol{\nabla}'\times\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' \right)\right]$。

利用散度定理，方程式可改写成

$$\mathbf{F}\left(\mathbf{r}\right)=-\frac{1}{4\pi}\left[-\boldsymbol{\nabla}\left( -\int_{V}\frac{\boldsymbol{\nabla}'\cdot\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' +\oint_{S}\mathbf{\hat{n}}'\cdot\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}S' \right)-\boldsymbol{\nabla}\times\left( \int_{V}\frac{\boldsymbol{\nabla}'\times\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' -\oint_{S}\mathbf{\hat{n}}'\times\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}S' \right)\right]$$

$= -\boldsymbol{\nabla}\left[\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\boldsymbol{\nabla}'\cdot\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' -\frac{1}{4\pi}\oint_{S}\mathbf{\hat{n}}'\cdot\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}S'\right] +\boldsymbol{\nabla}\times\left[\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\boldsymbol{\nabla}'\times\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' -\frac{1}{4\pi}\oint_{S}\mathbf{\hat{n}}'\times\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}S'\right]$。

定义

$$\Phi\left(\mathbf{r}\right)\equiv\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\boldsymbol{\nabla}'\cdot\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' -\frac{1}{4\pi}\oint_{S}\mathbf{\hat{n}}'\cdot\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}S'$$

$$\mathbf{A}\left(\mathbf{r}\right)\equiv\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\boldsymbol{\nabla}'\times\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' -\frac{1}{4\pi}\oint_{S}\mathbf{\hat{n}}'\times\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}S'$$

所以

$$\mathbf{F}=-\boldsymbol{\nabla}\Phi+\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A}$$

### 利用傅里叶转换做推导

（疑似有错误）

将F改写成傅里叶转换的形式：

$$\vec{\mathbf{F}}(\vec{r}) = \iiint \vec{\mathbf{G}}(\vec{\omega}) e^{\displaystyle i \, \vec{\omega} \cdot \vec{r}} d\vec{\omega}$$

纯量场的傅里叶转换是一个纯量场，向量场的傅里叶转换是一个维度相同的向量场。

现在考虑以下纯量场及向量场：

$$\begin{array}{lll} G_\Phi(\vec{\omega}) = i\, \frac{\displaystyle \vec{\mathbf{G}}(\vec{\omega}) \cdot \vec{\omega}}{||\vec{\omega}||^2} & \quad\quad & \vec{\mathbf{G}}_\mathbf{A}(\vec{\omega}) = i\, \vec{\omega} \times \left( \vec{\mathbf{G}}(\vec{\omega}) + i G_\Phi(\vec{\omega}) \, \vec{\omega} \right) \\ <pre> && \\ </pre> \Phi(\vec{r}) = \displaystyle \iiint G_\Phi(\vec{\omega}) e^{\displaystyle i \, \vec{\omega} \cdot \vec{r}} d\vec{\omega} & & \vec{\mathbf{A}}(\vec{r}) = \displaystyle \iiint \vec{\mathbf{G}}_\mathbf{A}(\vec{\omega}) e^{\displaystyle i \, \vec{\omega} \cdot \vec{r}} d\vec{\omega} \end{array}$$

所以

$$\vec{\mathbf{G}}(\vec{\omega}) = - i \,\vec{\omega} \, G_\Phi(\vec{\omega}) + i \, \vec{\omega} \times \vec{\mathbf{G}}_\mathbf{A}(\vec{\omega})$$

$$\begin{array}{lll}\vec{\mathbf{F}}(\vec{r}) &=& \displaystyle - \iiint i \, \vec{\omega}\, G_\Phi(\vec{\omega}) \, e^{\displaystyle i \, \vec{\omega} \cdot \vec{r}} d\vec{\omega} + \iiint i \, \vec{\omega} \times \vec{\mathbf{G}}_\mathbf{A}(\vec{\omega}) e^{\displaystyle i \, \vec{\omega} \cdot \vec{r}} d\vec{\omega} \\ &=& - \boldsymbol{\nabla} \Phi(\vec{r}) + \boldsymbol{\nabla} \times \vec{\mathbf{A}}(\vec{r}) \end{array}$$

## 外部链接

- Helmholtz theorem （MathWorld）