Cis函数

一个可以代表cis函数的图形，蓝色是实数部、橘色是虚数部$$\left|\operatorname{cis}x\right| = 1 \, ,\operatorname{cis}x \in \mathbb{C}$$ 在微积分学中，cis函数又称纯虚数指数函数，是复变函数的一种，和三角函数类似，其可以使用正弦函数和余弦函数$\operatorname{cis} x = \cos x + i \sin x$来定义，是一种实变数复数值函数，其中$i$为虚数单位，而cis则为cos + i sin的缩写。

## 概观

cis函数是欧拉公式等号右侧的所形的组合函数简写：

$$e^{ix} = \cos x + i\sin x,$$

其中i表示虚数单位$i^2=-1$。因此

$\operatorname{cis} x = \cos x + i\sin x,$

cis符号最早由威廉·哈密顿在他于1866出版的《Elements of Quaternions》中使用，而Irving Stringham在1893出版的《Uniplanar Algebra》

以及James Harkness和Frank Morley在1898出版的《Theory of Analytic Functions》中皆沿用了此一符号

其利用欧拉公式将三角函数与复平面的指数函数连结起来。

cis函数主要的功能为简化某些数学表达式，透过cis函数可以使部分数学式能更简便地表达，例如傅里叶变换和哈特利变换的结合，以及应用在教学上时，因某些因素（如课程安排或课纲需求）因故不能使用指数来表达数学式时，cis函数就能派上用场。

## 性质

cis函数的定义域是整个实数集，值域是单位复数，绝对值为1的复数。它是周期函数，其最小正周期为$2\pi$。其图像关于原点对称。

上述文字称它以类似三角函数的形式来定义函数的原因是，就如同三角函数，他也算是一种比值，复数和其模的比值:

$\operatorname{cis} \theta = \frac{z}{\left| z\right|}$，其中$z$是辐角为$\theta$的复数

因此，当一复数的模为1，其反函数就是辐角（arg函数）。

$\operatorname{cis}$函数可视为求单位复数的函数。

$\operatorname{cis}$函数的实数部分和余弦函数相同。

<image>

### 微分

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\operatorname{cis} z = i\operatorname{cis} z = ie^{iz}$

### 积分

$\int\operatorname{cis} z \,\mathrm{d}z = -i\operatorname{cis} z = -ie^{iz}$

### 其他性质

根据欧拉公式，cis函数有以下性质：

$\operatorname{cis}(x+y) = \operatorname{cis} x\,\operatorname{cis} y$

$$\operatorname{cis}(x-y) = {\operatorname{cis} x \over \operatorname{cis} y}$$

上述性质是当$x$与$y$都是复数时成立。在$x$与$y$都是实数时，有以下不等式：

$|\operatorname{cis} x - \operatorname{cis} y| \le |x-y|.$

## 命名

由于$\operatorname{cis}$函数的值为“余弦加上虚数单位倍的正弦”，取其英文缩写cosine and imaginary unit sine，故以$\operatorname{cis}$来表示该函数。

## 欧拉公式

在数学上，为了简化欧拉公式$e^{ix} = \cos x + i\sin x \ $，因此将欧拉公式以类似三角函数的形式来定义函数，给出了cis函数的定义：

$$\operatorname{cis} \theta = \cos \theta + i\;\sin \theta$$

并且一般定义域为$\theta \in \mathbb{R}\,$，值域为$\theta \in \mathbb{C}\,$。

当$\theta$值为复数时，$\operatorname{cis}$函数仍然是有效的，因此可利用cis函数将欧拉公式推广到更复杂的版本。

## 棣莫弗公式

在数学上，为了方便起见，可以将棣莫弗公式写成以下形式：

$$\operatorname{cis}^n (x) = \operatorname{cis} (nx)$$

## 指数定义

跟其他三角函数类似，可以用e的指数来表示，依照欧拉公式给出:

$$\operatorname{cis} \theta = e^{i\theta}$$

## 反函数

$\operatorname{cis}$的反函数：$\operatorname{arccis} x$，当代入模为1的复数时，所得的值是其辐角

类似其他三角函数，$\operatorname{cis}$的反函数也可以用自然对数来表示

$$\operatorname{arccis} \, x =-{\mathrm{i}} \ln x \,$$

当一复数经过符号函数后代入$\operatorname{arccis} x$可得辐角。

## 恒等式

$\operatorname{cis}$函数的倍角公式似乎比三角函数简单许多

### 半形公式

$$\operatorname{cis} \frac{\theta}{2} = \frac{(1+i) + (1-i)\cos \theta}{\sin \theta}$$

$$\operatorname{cis} \frac{\theta}{2} = \sqrt{\operatorname{cis} \theta}$$

### 倍角公式

$$\operatorname{cis} 2\theta = \operatorname{cis}^2 \theta$$

$$\operatorname{cis} n\theta = \operatorname{cis}^n \theta$$

### 幂简约公式

$$\operatorname{cis}^n \theta = \operatorname{cis} n\theta$$

## 相关函数

### 余cis函数

<image>

就如同三角函数，我们可以令：$\operatorname{cocis} \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) + i\;\sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = \sin \theta + i\;\cos \theta$，其可用于诱导公式来化简某些特定的$\operatorname{cis}$函数的式子。

至于指数定义，经过正弦和余弦的指数定义得:

$$\operatorname{cocis} \theta = \frac{(1-i)e^{i \theta }+(1+i)e^{-i \theta }}{2}$$

有恒等式:

$$\operatorname{cis} (-\theta) = -i\operatorname{cocis} \theta$$

$$\operatorname{cis} \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = \operatorname{cocis} \theta$$

$$\operatorname{cis} \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) = i\operatorname{cis} \theta$$

$$\operatorname{cis} (\pi+\theta) = -\operatorname{cis} \theta$$

$$\operatorname{cocis} (-\theta) = i\operatorname{cis} \theta$$

$$\operatorname{cocis} \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right) = \operatorname{cis} \theta$$

$$\operatorname{cocis} \left(\frac{\pi}{2}+\theta \right) = -i\operatorname{cocis} \theta$$

$$\operatorname{cocis} (\pi+\theta ) = -\operatorname{cocis} \theta$$

### 双曲cis函数

cish函数（$\cosh + i\sinh$）在几何意义上与cis函数对应的双曲函数不同。在双曲几何中，与欧几里得几何对应cis函数应为：

$$e^{\theta}= \cosh(\theta) + \sinh(\theta)$$

然而当中的$i$若定义为负一的平方根，则其会变为：

$$\operatorname{cish} \theta = \cosh(\theta) + i \sinh(\theta)$$

双曲复数

在一般的情况下，cis函数对应的双曲函数定义域和值域皆为实数，但若定义双曲复数，考虑数$z=x+jy$，其中$x,y$是实数，而量$j$不是实数，但$j^2$是实数。选取$j^2=-1$，得到一般复数。取$+1$的话，便得到双曲复数。

而双曲复数有对应的欧拉公式:$e^{j \theta} = \cosh(\theta) + j \sinh(\theta)$

$$\operatorname{cish} \theta = \cosh(\theta) + j \sinh(\theta)$$

其中j为双曲复数。

因此双曲cis函数得到的值为双曲复数，相反的若将其反函数带入模为一的双曲复数可得其辐角。

如此一来，值域将会变成分裂四元数。

### cas函数

cas函数是一个以类似cis函数的概念定义的一个函数，为雷夫·赫特利于1942提出，其定义为$\mathrm{cas}(x):=\cos x+\sin x$，是一种实变数实值函数，而cas为“cosine-and-sine”的缩写，其表示了实数值的赫特利变换：

$$\mathrm{cas}(x)=\cos x+\sin x$$

cas函数存在一些恒等式：

$$2 \operatorname{cas} (a+b) = \operatorname{cas}(a) \operatorname{cas}(b) + \operatorname{cas}(-a) \operatorname{cas}(b) + \operatorname{cas}(a) \operatorname{cas}(-b) - \operatorname{cas}(-a) \operatorname{cas}(-b). \,$$

角和公式：

$$\operatorname{cas} (a+b) = {\cos (a) \operatorname{cas} (b)} + {\sin (a) \operatorname{cas} (-b)} = \cos (b) \operatorname{cas} (a) + \sin (b) \operatorname{cas}(-a) \,$$

微分：

$$\operatorname{cas}'(a) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} \operatorname{cas} (a) = \cos (a) - \sin (a) = \operatorname{cas}(-a).$$