佩服数

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在数论中，佩服数（英文：Admirable numbers），是指若一个正整数除了本身外之所有的因数，存在一个因数$d\,^\prime$，将其他不是本身、不是$d\,^\prime$的因数相加后，再减掉$d\,^\prime$，若等于本身，就称它为“佩服数”。换句话说佩服数是计算一数的因数和，但其中一个因数是以相反数的形式和其他因数相加，而能得到的值是自己本身的数。有这种性质的数虽未如完全数一般的“完美”，但仍被形容为“令人敬佩的”。

所有大于3的质数的6倍都是佩服数

$2\times 3\times p$

$(1+2+3+p+2p+3p)-6=6p$

$p$

$6p$

因此佩服数有无穷多个。

## 定义

一个正整数除了本身外之所有因数，存在一个因数$d \,^\prime$，将其他不是本身、不是$d\,^\prime$的因数相加后，再减掉$d\,^\prime$后，若等于本身，就称它为是佩服数。

例如12的因数有1、2、3、4、6、12。其中存在一个因数2，使得$(1+3+4+6) - 2 = 12$，同时，12也是最小的佩服数。

更为严格地说，佩服数是指使得公式$\sigma\left( n\right) - 2 d\,^\prime = 2 n$成立的正整数，其中σ指的是因数和函数，即$n$的所有正因数（包括其本身n）之和。$d\,^\prime$是n的其中一个因数。

例如20的因数有1、2、4、5、10、20，其因数和函数的结果为$\sigma\left({20}\right) =1+2+4+5+10+20=42$，存在一个因数1，使得$\sigma\left({20}\right) - 1\times 2 = 20\times 2$，所以20可称为佩服数。

佩服数是过剩数的一个子集，换句话说所有佩服数都是过剩数。

## 例子

最小的一些佩服数是：

354 ……

以上列出的佩服数都是偶数。最小的奇佩服数是945，同时最小的奇过剩数、奇半完全数也是945。

前几个奇佩服数是：

945、4095、6435、7425、8415、8925、9555、26145、28035、30555、31815、32445、43065、46035、78975、80535、81081、103455、129195 ……

连续的佩服数比连续的过剩数还要少。在1012以下，只有两组连续佩服数，分别是(29691198404, 29691198405)和(478012798575, 478012798576)。

佩服数的分布并不像过剩数那样，过剩数有着非零的自然密度，而佩服数的成长率非线性的，例如小于100的佩服数有13个、小于1,000的佩服数有65个、小于10,000的佩服数有379个，其密度随着数字尺度变大而逐渐减少。

所有大于3的质数的六倍都是佩服数，更精确地说，所有的质数与质因数不含该质数之完全数的乘积都是佩服数

$p\cdot q$

$p\cdot q$

$2q+2p\cdot q$

$p\cdot q$

$(2q+2p\cdot q)-p\cdot q$

$2q+p\cdot q$

$(q+p\cdot q)$

$p\cdot q$

$p\cdot q$。

## 相关的数列

### 盈完全数

有一种与佩服数类似但不太一样的定义：一个正整数除了本身外之所有因数中，存在一个因数$d\,^\prime$，将其他不是本身的因数相加后，再减掉$d\,^\prime$，等于本身。有这些性质的前几个数有：

12、18、20、24、40、56、88、104、120、196、224、234、368、464、650、672、992、1504、……

例如18的因数有1、2、3、6、9、18有一个因数3，使得$\left( 1+2+3+6+9\right)-3=18$。

有这种性质的数最小的奇数是173369889，同时也是最小的奇拟完全数，也是目前唯一已知的奇盈完全数，但不是佩服数。

特别的，这些数字正好与盈完全数（Abundant-perfect numbers）重叠，盈完全数的定义为：自己的因数和（不包含自己）减去自己得到的数可以整除自己。

符合这种定义的数未必是佩服数，例如18虽然符合这种定义，但并未符合佩服数的定义，因此18不是佩服数18的因数有1，2，3，6，9，18，假设d'为1，得$(2+3+6+9)-1=19$，非18；假设d'为2，得$(1+3+6+9)-2=17$，非18；假设d'为3，得$\left( 1+2+6+9\right) -3=15$，非18；假设d'为6，得$(1+2+3+9)-6=9$，非18；假设d'为9，得$(1+2+3+6)-9=3$，非18；假设d'为18，得$(1+2+3+6+9)-18=3$，非18。因此18不存在因数d'，将其他不是本身、不是d'的因数相加后，再减掉d'，能等于本身，因此18不是佩服数。

### 相容数

萨克斯参考了亲和数的定义，定义了一个新的数叫做相容数（compatible numbers），其定义为有一对数字N和M，分别各存在一个因数dN和dM，N将其他不是本身、不是dN的因数相加后，再减掉dN，得到M、而M将其他不是本身、不是dM的因数相加后，再减掉dM，得到N。

例如30和40：

30：2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 - 1 = 40

40：1 + 2 + 4 + 5 + 8 + 20 - 10 = 30

前几对相容数是：

(24, 28)、 (30, 40)、 (40, 42)、 (42, 52)、 (48, 60)、 (60, 96)、 (80, 102)、 (80, 104)、……和

### 亏完全数

有一种与佩服数类似但相反的定义：若一个正整数除了本身外之所有因数，存在一个因数d'，将其他不是本身的因数相加后，再加上d'，等于本身。有这些性质的前几个数有：

2、4、8、10、16、32、44、64、128、136、152、184、256、512、752、……

例如10的因数有1、2、5、10有一个因数2，使得$(1+2+5)+2=10$

特别的，这些数字正好与亏完全数（Deficient-perfect numbers）重叠，亏完全数的定义为：自己减去自己的因数和（不包含自己）得到的数可以整除自己，在这个定义中1也符合，因为1不含自己的因数和是0，1减去零是1，当然可以整除1。

最小的几个亏完全数是：

1、2、4、8、10、16、32、44、64、128、136、152、184、256、512、752、884、1024、2048、2144、2272、……

有这种性质的数最小的奇数是9018009，它也是除了1以外唯一一个已知的奇数的亏完全数。

所有二的乘幂都是亏完全数，除了二的乘幂之外的亏完全数有：

10、44、136、152、184、752、884、2144、2272、2528、8384、12224、17176、18632、18904、32896、33664、……

### 楚姆克勒数

楚姆克勒数（Zumkeller numbers）是指因数可以分为相同总和的两组数字。例如48的因数可以分为两组：{1, 3, 4, 6, 8, 16, 24}和{2, 12, 48}，其中1 + 3 + 4 + 6 + 8 + 16 + 24 = 2 + 12 + 48，因此48是一个楚姆克勒数。

所有佩服数都是楚姆克勒数，因为佩服数中的相减因数（即其他因数和减去此因数会等于本身的那个因数）以外的因数存在一个因数，其与佩服数中的相减因数相加后会等于其他因数之和。

前几个楚姆克勒数是：

6、 12、 20、 24、 28、 30、 40、 42、 48、 54、 56、 60、 66、 70、 78、 80、 84、 88、 90、 96、 102、 104、 108、 112、……

## 外部链接

- Charles R Greathouse IV, Table of n, a(n) for n = 1..10000