阶跃响应

阶跃响应是指系统在其输入为单位阶跃函数时，其输出的变化。在电子工程或自动控制领域中，阶跃响应是指系统的输入在很短时间由0变成1时，其输出的时域特性。此概念可以延伸到使用抽象数学概念的动力系统，以演化参数表示其特性。

分析系统的阶跃响应有助于了解系统的特性，因为当输入在长时间稳态后，有快速而大幅度的变化，可以看出系统各个部分的特性。而且也可以知道系统的稳定性。

## 阶跃响应的时域相关特性

系统的阶跃响应可以用与以下时域特性的量来描述：

- 过冲（overshoot）。
- 上升时间（rise time）。
- 安定时间（settling time）。
- 振铃（ringing）。

对于线性动态系统来说，从这些特征中可以推知许多该系统的信息。

## 一阶线性电路的阶跃响应

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考虑如右图的RC电路，频域下输出电压Vc和输入电压Vin的关系可表示为下式：

$$V_c(s) = \frac{1/Cs}{R + 1/Cs}V_{in}(s) = \frac{1}{1 + RCs}V_{in}(s) = \frac{1}{1 + \tau s}V_{in}(s)$$

其中$\tau = RC$为此系统的时间常数

考虑以下形式的输入电压Vin(t)：

$$V_{in}(t) = 0, t \leq 0$$

$$V_{in}(t) = V_{in}, t>0$$

则输出电压Vc(t)可以表示为以下的形式：

$$V_c(t) = V_{in} (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$$

## 反馈放大器的阶跃响应

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本节介绍了一个简单的负反馈放大器的阶跃响应如图1所示。反馈放大器由一个增益为 AOL 的主开环放大器和反馈因子为 β 的反馈回路。以下会分析此回授放大器，确认其阶跃响应和控制响应的时间常数之间的关系，也看阶跃响应和回授量之间的关系。

负反馈放大器增益为（见负反馈放大器）：

$A_{FB} = \frac {A_{OL}} {1+ \beta A_{OL}}$。

其中

AOL = 开环增益

AFB = 闭环增益（存在负反馈时的增益）

β = 反馈因子。

### 有一个主导极点

在许多情况下，可以用时间常数 τ 的单一主导极点很好地模拟正向放大器，它的开环增益为：

$A_{OL} = \frac {A_0} {1+j \omega \tau}$。

零频率增益为 A0，角频率 ω = 2πf。这种正向放大器有单位阶跃响应

$S_{OL}(t) = A_0(1 - e^{-t / \tau})$。

是从零到新平衡值 A0 的指数趋近。

单极点放大器的传递函数导出闭环增益：

$$A_{FB} = \frac {A_0} {1+ \beta A_0} \times \frac {1} {1+j \omega \frac { \tau } {1 + \beta A_0} }$$

此闭环增益与开环增益是形式相同：均为单极滤波器。其阶跃响应的形式相同：一个趋于新平衡值的指数衰减。但闭环阶跃函数的时间常数为 τ / (1 + β A0)，因此因此它比前向放大器的响应快，是其 1 + β A0 倍：

$S_{FB}(t) = \frac {A_0} {1+ \beta A_0}(1 - e^{-t (1 + \beta A_0)/ \tau})$。

由于反馈因子 β 的增加，阶跃响应会更快，直到最初假设的一个主导极点不再准确。如果有第二个极点，则随着闭环时间常数区域第二个极点的时间常数，需要进行双极点分析。

### 双极点放大器

在开环增益有两个极点的情况下（两个时间常数，τ1和τ2），阶跃响应更为复杂。开环增益为：

$$A_{OL} = \frac {A_0} {(1+j \omega \tau_1) (1 + j \omega \tau_2)},$$

零频率增益为 A0，角频率 ω = 2πf。

#### 分析

双极点放大器的传递函数可以导出闭环增益：

$$A_{FB} = \frac {A_0} {1+ \beta A_0} \times \frac {1} {1+j \omega \frac { \tau_1 + \tau_2 } {1 + \beta A_0} + (j \omega )^2 \frac { \tau_1 \tau_2} {1 + \beta A_0} }$$

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放大器的时间相关性通过切换变量 s = jω 很容易发现，于是增益变为：

$$A_{FB} = \frac {A_0} { \tau_1 \tau_2 } \times \frac {1} {s^2 +s \left( \frac {1} {\tau_1} + \frac {1} {\tau_2} \right) + \frac {1+ \beta A_0} {\tau_1 \tau_2}}$$

这个表达式的极点（即分母的零点）位于：

$$2s = - \left( \frac {1} {\tau_1} + \frac {1} {\tau_2} \right)$$

$$\pm \sqrt { \left( \frac {1} {\tau_1} - \frac {1} {\tau_2} \right) ^2 -\frac {4 \beta A_0 } {\tau_1 \tau_2 } },$$

这说明对于足够大 βA0 平方根就会变成虚数，极点的位置是共轭复数，s+ 与 s−；参见图2：

$$s_{\pm} = -\rho \pm j \mu, \,$$

其中

$$\rho = \frac {1}{2} \left( \frac {1} {\tau_1} + \frac {1} {\tau_2} \right ),$$

而

$$\mu = \frac {1} {2} \sqrt { \frac {4 \beta A_0} { \tau_1 \tau_2} - \left( \frac {1} {\tau_1} - \frac {1} {\tau_2} \right)^2 }$$

$$| s | = |s_{ \pm } | = \sqrt{ \rho^2 +\mu^2},$$

而角坐标 φ 为：

$$\cos \phi = \frac { \rho} { | s | } , \sin \phi = \frac { \mu} { | s | }$$

拉普拉斯变换表告诉我们这样一个系统的时间响应是由两个函数的组合而成的：

$e^{- \rho t} \sin ( \mu t) \quad\text{and} \quad$ $e^{- \rho t} \cos ( \mu t),$

也就是说，解在时间上阻尼振荡。特别是，该系统的单位阶跃响应为：

$$S(t) = \left(\frac {A_0} {1+ \beta A_0}\right)\left(1 - e^{- \rho t} \ \frac { \sin \left( \mu t + \phi \right)}{ \sin( \phi )}\right)\ ,$$

化简为

$$S(t) = 1 - e^{- \rho t} \ \frac { \sin \left( \mu t + \phi \right)}{ \sin( \phi )}\ $$

当 A0 趋于无穷大时，反馈系数 β 为1。

注意到响应的阻尼是由 ρ 决定的，也就是由开环放大器的时间常数确定的。相反，振荡的频率是由 μ 确定的，也就是由, 通过 βA0 由反馈参数确定的。因为 ρ 涉及到时间常数的倒数之和，所以可以发现 ρ 主要受到两个时间常数中较短的那个影响。

#### 结果

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图3显示了参数 μ 取3个不同值时，单元阶跃输入的时间响应。可以看出随着 μ 增加，振荡频率也会增加，但振荡被包含在由指数型函数 1 − exp (−ρt) 和 1 + exp(−ρt) 确定的两条渐近线以内。这两条渐近线是由 ρ 决定的，所以也就由开环放大器的时间常数决定，与反馈无关。

终值的振荡现象被称为振铃。过冲是指摆动最大值高于终值，显然会随着 μ 增加。同样，下冲是指摆动最小值低于终值，同样也会随着 μ 增加。安定时间是指从终值出发，降到低于某个特定水平（终值的10%）用的时间。

稳定时间对 μ 的依赖性不明显，而双极点系统的近似可能不能达到用稳定时间对反馈的依赖性作出现实中的结论的准确性。但渐近线 1 − exp (−ρt) 与 1 + exp (−ρt) 显然影响稳定时间，它们被开环放大器的时间常数控制，特别是在2个时间常数中的时间较短的。这表明开环放大器的设计必须满足稳定时间的规定。

此分析的有两个主要结论：

- 反馈控制了给定开环放大器并给定开环时间常数 τ1 与 τ2 时终值上下振荡的幅度。
- 开环放大器决定了稳定时间。它确定了图3中的时标，开环放大器越快，时标越快。

顺便说一句，可以注意到实际中与线性双极点模型的偏离主要来自两个方面：其一，实际放大器的极点多于两个，零点也是；其二，实际放大器是非线性的，所以它们的阶跃响应会随着信号幅度变换。

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#### 控制过冲

以下会说明如何用适当的参数选择来减少过冲。

利用以上的公式，可以将阶跃响应微分找最大值来计算过冲量。其过冲量最大值Smax 为：

$$S_\max= 1 + \exp \left( - \pi \frac { \rho }{ \mu } \right)$$

阶跃响应的终值为1，因此其指数即为过冲量。可以看出若μ = 0，其过冲量为0，也就是：

$$\frac {4 \beta A_0} { \tau_1 \tau_2} = \left( \frac {1} {\tau_1} - \frac {1} {\tau_2} \right)^2$$

令x = ( τ1 / τ2 )1 / 2，可以求解二个时间常数之间的比例，结果为

$$x = \sqrt{ \beta A_0 } + \sqrt { \beta A_0 +1 } \,$$

因为β A0 >> 1，因此平方根中的1可以省略，得到

$$\frac { \tau_1} { \tau_2} = 4 \beta A_0$$

换句话说，第一个时间常数需远大于第二个时间常数。有时系统为了一些特性，需要允许一些过冲量，以下的关系中引入一个因子α：

$$\frac { \tau_1} { \tau_2} = \alpha \beta A_0,$$

α可以依允许的过冲量来设计。

图4就是描述其程序。比较上图（α = 4）及下图（α = 0.5）可以看出α较小，可以加快响应的速度，但也让过冲量变大。中间的图α = 2为幅度最平坦的滤波器，在波德图上没有尖点。此设计有经验法则内建的安全预度，可以处理像重零点、重极点、非线性（例如和信号振幅相依的特性）及制造的变异，这些都可能造成过大的过冲量。极点摆放位置（也就是α）的调整是频率补偿的主题，其中一个方式是极点分离。

#### 稳定时间控制

图3中阶跃响应中振铃的幅度是由阻尼因数 exp ( −ρ t ) 决定的。也就是说，如果我们指定出可接受的阶跃响应离终值的偏移量 Δ，即：

$$S(t) \le 1 + \Delta, \,$$

在时间长于稳定时间 tS 这个前提下，无论 β AOL 的值为多少时这个条件都能满足。稳定时间 tS 为：

$$\Delta = e^{- \rho t_S }\text{ or }t_S = \frac { \ln \left( \frac{1} { \Delta} \right) } { \rho } = \tau_2 \frac {2 \ln \left( \frac{1} { \Delta} \right) } { 1 + \frac { \tau_2 } { \tau_1} } \approx 2 \tau_2 \ln \left( \frac{1} { \Delta} \right),$$

因为过冲的条件，τ1 = αβAOL τ2，因此τ1 >> τ2 成立。一般稳定时间条件是指稳定时间和其单位增益的带宽成反比的情形，原因是1/(2π τ2)接近放大器在典型主极点补偿下的带宽。不过此结果比经验法则的结果更准确。例如，若Δ = 1/e4 = 1.8 %，其稳定时间为tS = 8 τ2。

一般而言，对过冲量的控制会决定二个时间常数的比例，稳定时间tS 会决定 τ2。

#### 相位裕度

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其次，极点比例τ1/τ2也和回授放大器的相位裕度有关。图5是二个极点放大器的波德图，频率到第二个极点的位置。图5的假设是频率f0 dB在位在f1 = 1/(2πτ1)的最小极点及位在f2 = 1/(2πτ2)的第二极点之间。如图5所示，若 α ≥ 1，此假设即成立。

利用图5，频率（用f0 dB表示)为回路增益 βA0满足单位增益或是0 dB条件的位置，可以定义为：

$$| \beta A_\text{OL} ( f_\text{0 db} ) | = 1\ $$

波德增益图中增益下降的斜率是 20 dB/decade，频率每增加十倍，增益下降的比例相同：

$$f_\text{0 dB} = \beta A_0 f_1\,$$

相位裕度是频率在f0 dB 处，相位和−180°之间的距离，因此裕度为：

$$\phi_m = 180 ^\circ - \arctan (f_\text{0 dB} /f_1) - \arctan ( f_\text{0 dB} /f_2)\ $$

因为f0 dB / f1 = βA0 >> 1，有关f1的项为90°，因此相位裕度为：

$$\phi_m = 90 ^\circ - \arctan ( f_\text{0 dB} /f_2) \,$$

$$= 90 ^\circ - \arctan \left( \frac {\beta A_0 f_1} {\alpha \beta A_0 f_1 } \right)$$

$$= 90 ^\circ - \arctan \left( \frac {1} {\alpha } \right) = \arctan \left( \alpha \right)$$

若α = 1，则 φm = 45°，若α = 2，则φm = 63.4°. Sansen建议α = 3，对应的φm = 71.6°“是一种很好的启始条件。”

若τ2缩短，α会增加。稳定时间tS 也会减小。若τ1变大，α也会增加，稳定时间会略有变动。若用到极点分离技巧，τ1和 τ2都会变化。

若放大器有二个以上的极点，图5的波德图仍然可以计算相位裕度，只要将f2视为“等效的第二极点”位置即可。

## 数学定义

本节以抽象概念下的动态系统 (定义)$\textstyle\mathfrak{S}$，来提供形式性的数学定义。所有符号及假设列在下方。

- $\textstyle t\in T$是系统的动态系统 (定义)，为方便说明，简称为时间。
- $\textstyle\boldsymbol{x}|_t\in M$是系统在时间$t\,$时的动态系统 (定义)，为方便说明，称为输出。
- $\textstyle\Phi:T\times M\longrightarrow M$是动态系统的动态系统 (定义)。
- $\textstyle\Phi(0,\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}_0\in M$是动态系统的动态系统 (定义)。
- $\textstyle H(t)\,$是单位阶跃函数。

### 非线性动态系统

若针对一个一般的动态系统，其阶跃响应可定义如下：

$$\boldsymbol{x}|_t = \Phi_{\{H(t)\} \left(t,{\boldsymbol{x}_0} \right)}\,$$

其阶跃响应是系统输入为单位阶跃函数时的演化函数。表示式中H(t)为下标。

### 线性动态系统

对于一个线性非时变系统，令$\textstyle\mathfrak{{S}}\ \equiv \ S$，其阶跃响应可以用单位阶跃函数$\textstyle H(t)$和系统冲激响应$\textstyle h(t)$的卷积来表示：

$$a(t) = {h*H}(t) = {H*h}(t) = \int_{-\infty }^{+\infty} h(\tau) H(t - \tau ) \, d\tau = \int_{-\infty}^t h(\tau) \, d\tau$$

对线性非时变系统而言就是将后面的式子积分。相对的，对于线性非时变系统，阶跃响应的微分即为冲激响应：

$$h(t) = \frac{d}{dt}\, a(t)$$

不过此关系在非线性系统或是时变系统并不成立。

对于一个线性非时变系统，其阶跃响应可以用单位阶跃函数$\textstyle H(t)$和系统冲激响应$\textstyle h(t)$的卷积来表示：

$$a(t) = {h*H}(t) = {H*h}(t) = \int_{-\infty }^{+\infty} h(\tau) H(t - \tau ) \, d\tau = \int_{-\infty}^t h(\tau) \, d\tau$$

## 参照

- 冲激响应
- 过冲
- 上升时间
- 安定时间
- 时间常数
- 极点分离

## 延伸阅读

- Robert I. Demrow Settling time of operational amplifiers
- Cezmi Kayabasi Settling time measurement techniques achieving high precision at high speeds
- Vladimir Igorevic Arnol'd "Ordinary differential equations", various editions from MIT Press and from Springer Verlag, chapter 1 "Fundamental concepts"

## 外部链接

- Kuo power point slides; Chapter 7 especially