伊藤引理

在随机分析中，伊藤引理（Ito's lemma）是一条非常重要的性质。发现者为日本数学家伊藤清，他指出了对于一个随机过程的函数作微分的规则。

## 伊藤引理较早版本

### 第一引理

对于布朗运动$W_t$和二次可导函数$f(x)$，以下等式成立：

$$df(W_t) = f'(W_t)dW_t + \frac{1}{2} f''(W_t)dt$$

其中过程：

$$dtdt = 0 , dtdW_t = dW_tdt = 0 , dW_tdW_t = dt$$

其主要可通过对多项式环到形式幂级数的拓展，例如：

$$de^{W_t^2}= 2W_t e^{W_t^2} dW_t + (e^{W_t^2} + 2W_t^2 e^{W_t^2} )dt$$

### 第二引理

对于伊藤过程$X_t$和二次可导函数$f(t,x)$，以下等式成立

$$df(t,X_t) = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right)dt + \frac{\partial f}{\partial x} dX_t$$

### 第三引理

定义伊藤过程$X_t$为满足下列随机微分方程的随机过程

$$dX_t= \mu_t \, dt + \sigma_t \, dW_t$$

对于伊藤过程$X_t$和二次可导函数$f(t,x)$，以下等式成立：

$$df(t,X_t) =\left(\frac{\partial f}{\partial t} + \mu_t\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2}\sigma_t^2\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\right)dt + \sigma_t\frac{\partial f}{\partial x} \,dW_t.$$

类似地，定义多维伊藤过程$\mathbf{X}_t = (X^1_t, X^2_t, \ldots, X^n_t)^T$使得

$$d\mathbf{X}_t = \boldsymbol{\mu}_t\, dt + \mathbf{G}_t\, d\mathbf{B}_t$$

其中$\boldsymbol{\mu}_t$为n维向量，$\mathbf{G}_t$为n阶方块矩阵；有如下等式：

$$\begin{align} df(t,\mathbf{X}_t) &= \frac{\partial f}{\partial t}\, dt + \left (\nabla_\mathbf{X} f \right )^T\, d\mathbf{X}_t + \frac{1}{2} \left(d\mathbf{X}_t \right )^T \left( H_\mathbf{X} f \right) \, d\mathbf{X}_t, \\ <pre> &= \left\{ \frac{\partial f}{\partial t} + \left (\nabla_\mathbf{X} f \right)^T \boldsymbol{\mu}_t + \frac{1}{2}\operatorname{Tr}\left[ \mathbf{G}_t^T \left( H_\mathbf{X} f \right) \mathbf{G}_t \right] \right\} dt + \left (\nabla_\mathbf{X} f \right)^T \mathbf{G}_t\, d\mathbf{B}_t </pre> \end{align}$$

其中，$\nabla_\mathbf{X} f$是f关于X的梯度，HX f 是f关于X的黑塞矩阵，Tr是迹的符号。

## 到半鞅的拓展

### 连续半鞅

$$df(X_t) = \sum_{i=1}^d f_{i}(X_t)\,dX^i_t + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^df_{i,j}(X_t)\,d[X^i,X^j]_t.$$

### 不连续半鞅

$$\begin{align} f(X_t)= & f(X_0)+\sum_{i=1}^d\int_0^t f_{i}(X_{s-})\,dX^i_s + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^d \int_0^t f_{i,j}(X_{s-})\,d[X^i,X^j]_s\\ &{} + \sum_{s\le t}\left(\Delta f(X_s)-\sum_{i=1}^df_{i}(X_{s-})\,\Delta X^i_s-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^d f_{i,j}(X_{s-})\,\Delta X^i_s \, \Delta X^j_s\right). \end{align}$$

### 泊松过程

我们也可以定义非连续随机过程的函数。

定义跳跃强度h，根据跳跃的泊松过程模型，在区间$[t,\ t + \Delta t]$上出现一次跳跃的概率是$h \Delta t$ 加上$\Delta t$的高阶无穷小量。h可以是常数、显含时间的确定性函数，或者是随机过程。在区间$[0,t]$上没有跳跃的概率称为生存概率$p_s(t)$，其变化是：

$$d p_s(t) = -p_s(t) h(t) \, dt.$$

因此生存概率为：

$$p_s(t) = \exp \left(-\int_0^t h(u) \, du \right).$$

定义非连续随机过程$S(t)$，并把$S(t^-)$记为从左侧到达t时S的值，记$d_j S(t)$是一次跳跃导致$S(t)$的非无穷小变化。有：

$$d_j S(t)=\lim_{\Delta t \to 0}(S(t+\Delta t)-S(t^-))$$

$\eta(S(t^-),z)$是跳跃幅度z的概率分布，跳跃幅度的期望值是：

$$E[d_j S(t)]=h(S(t^-)) \, dt \int_z z \eta(S(t^-),z) \, dz.$$

定义补偿过程和鞅$d J_S(t)$：

$$d J_S(t)=d_j S(t)-E[d_j S(t)]=S(t)-S(t^-)-(h(S(t^-)) \int_z z \eta(S(t^-),z) \, dz) \, dt.$$

因此跳跃的非无穷小变化，也就是随机过程的跳跃部分可以写为：

$$d_j S(t) = E[d_j S(t)] + d J_S(t) = h(S(t^-)) (\int_z z \eta(S(t^-),z) \, dz) dt + d J_S(t).$$

因此如果随机过程$S$同时包含漂移、扩散、跳跃三部分，可以写为：

$$d S(t) = \mu dt + \sigma dW(t) + d_j S(t).$$

考虑其函数$g(S(t),t)$。$S(t)$跳跃$\Delta s$的幅度，会导致$g(t)$跳跃$\Delta g$幅度。$\Delta g$取决于g的跳跃分布$\eta_g()$，有可能依赖于跳跃前的函数值$g(t^-)$，函数微分dg以及跳跃前的自变量值$S(t^-)$。$g$的跳跃部分是：

$$\begin{align} g(t)-g(t^-) & =h(t) \, dt \int_{\Delta g} \, \Delta g \eta_g(\cdot) \, d\Delta g + d J_g(t). \end{align}$$

函数$g(S(t),t)$的伊藤引理是：

$$\begin{align} d g(t) & = \left( \frac{\partial g}{\partial t}+\mu \frac{\partial g}{\partial S}+\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 g}{\partial S^2}+h(t)\int_{\Delta g} (\Delta g \eta_g(\cdot) \, d{\Delta}g) \, \right) dt + \frac{\partial g}{\partial S} \sigma \, d W(t) + d J_g(t). \end{align}$$

可以看到，漂移-扩散过程与跳跃过程之和的伊藤引理，恰恰是各自部分伊藤引理的和。

## 应用例子

### 布莱克-舒尔兹模型

伊藤引理可以用于推导布莱克-舒尔兹模型。假设一支股票的价格服从几何布朗运动$dS=\mu Sdt +\sigma SdW$，且其期权的价格是股票价格和时间的函数$V=f(t,S)$。根据伊藤引理，有

$$df = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \mu S\frac{\partial f}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\right)\,dt +\sigma S\frac{\partial f}{\partial S}\,dW$$

整理可得

$$df = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\right)\,dt +\frac{\partial f}{\partial S}\,dS$$

式中$\frac{\partial f}{\partial S}\,dS$项表明期权价格的波动等于持有$\frac{\partial f}{\partial S}$单位股票时的波动。在这个对应下，现金的部分应该以无风险利率$r$增长，即

$$df = r\left(f-S\frac{\partial f}{\partial S}\right)\,dt + \frac{\partial f}{\partial S}\,dS$$

比较两式$dt$项的系数，可得

$$\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2} + rS\frac{\partial f}{\partial S}-rf = 0$$

## 参考资料

- Ito, K. (1944): Stochastic integral. Proc. Imp. Acad. Tokyo 20, 519-524.
- PROTTER, P. (1990): Stochastic Integration and Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin.
- Black, F. & Scholes, M. (1973) :The pricing of options and corporate liabilities. J. Polit. Economy