错排问题

错排问题是组合数学中的问题之一。考虑一个有$n$个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。$n$个元素的错排数记为$D_n$或$!n$。研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。

最早研究错排问题的是尼古拉·伯努利和欧拉，因此历史上也称为伯努利-欧拉的装错信封的问题。这个问题有许多具体的版本，如在写信时将$n$封信装到$n$个不同的信封里，有多少种全部装错信封的情况？又比如四人各写一张贺年卡互相赠送，有多少种赠送方法？自己写的贺年卡不能送给自己，所以也是典型的错排问题。

## 定义

记$D_n$为$\{1,2,\dots,n\}$上没有不动点的排列(即$\phi: \{1,2,\dots,n\} \to \{1,2,\dots,n\}, \ \phi(i) \ne i,\ \forall 1 \le i \le n$)的个数，$D_n$的值如下：（由$n=1$起）

0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961, 14684570, 176214841, 2290792932, ...

不难发现，这个数列有一个规律。

$D_n=nD_{n-1}+(-1)^n$。

例如有$n$封收件人不同的信，随机放入$n$个写了收件人地址的信封中寄出，求没有一个收件人收到他所应接收的信的几率。当$n=4$，设四封信为ABCD，则在$4! = 24$个排列之中，只有9个是错排，即$!4 = 9$：

BADC, BCDA, BDAC, CADB, CDAB, CDBA, DABC, DCAB, DCBA

所以其几率为

$\frac{9}{24} = 37.5\%$。

## 历史

18世纪的法国数学家尼古拉·伯努利（1687-1759年）是最早考虑这个问题的人。之后欧拉也开始对这个问题感兴趣，并称之为“组合数学中的一个奇妙问题”（拉丁文：a quaestio curiosa ex doctrina combinationis），并独立解决了这个问题。

## 研究错排问题的方法

### 枚举法

对于情况较少的排列，可以使用枚举法。

- 当n=1时，全排列只有一种，不是错排，D1 = 0。
- 当n=2时，全排列有两种，即1、2和2、1，后者是错排，D2 = 1。
- 当n=3时，全排列有六种，即1、2、3；1、3、2；2、1、3；2、3、1；3、1、2；3、2、1，其中只有有3、1、2和2、3、1是错排，D3=2。用同样的方法可以知道D4=9。
- 最小的几个错排数是：D1 = 0，D2 = 1，D3=2，D4 = 9，D5 = 44，D6 = 265，D7 = 1854。

### 递推数列法

对于排列数较多的情况，难以采用枚举法。这时可以用递归思想推导错排数的递回关系式。

显然D1=0，D2=1。当n≥3时，不妨设n排在了第k位，其中k≠n，也就是1≤k≤n-1。那么我们现在考虑k的情况。

- 当k排在第n位时，除了n和k以外还有n-2个数，其错排数为Dn-2。
- 当k不排在第n位时，那就会剩下n-1个空位(原本n个位置扣掉第k位)和n-1个数字，在排除了排在第k位的n后，由于k不在第n位，等价于把第n个空位改名为k的错排问题。其错排数为Dn-1。

所以当n排在第k位时共有Dn-2+Dn-1种错排方法，又k有从1到n-1共n-1种取法，我们可以得到：

Dn=(n-1)(Dn-1+Dn-2)

在上面我们得到

Dn=(n-1)(Dn-1+Dn-2)

从这个公式中我们可以推出Dn的通项公式，方法如下：

为书写方便，记Dn = n!Mn，则M1 = 0, M2 = $\frac{1}{2}$

当n大于等于3时，由

Dn = (n-1)(Dn-1 + Dn-2)。

即

$n! M_n = (n-1)(n-1)!M_{n-1} +(n-1)(n-2)! M_{n-2} =n! M_{n-1} - (n-1)!M_{n-1} +(n-1)! M_{n-2}$。

所以，$n M_n - n M_{n-1} =-M_{n-1} + M_{n-2}$。

于是有 $M_n - M_{n-1}=-\frac{1}{n}(M_{n-1}-M_{n-2})=...=(-\frac{1}{n})(-\frac{1}{n-1})...(-\frac{1}{3})(M_2-M_1)=(-1)^n\frac{1}{n!}.$

所以

$$\begin{align} M_{n}-M_{n-1}&=(-1)^{n}\frac{1}{n!} \\ M_{n-1}-M_{n-2}&=(-1)^{(n-1)}\frac{1}{(n - 1)!} \\ \vdots \quad &= \quad \vdots \\ M_2-M_1 &= (-1)^2\frac{1}{2!} \\ \end{align}$$

将上面式子分边累加，得

$$M_n=(-1)^2\frac{1}{2!}+(-1)^3\frac{1}{3!}...+(-1)^{n}\frac{1}{n!}.$$

因此，我们得到错排公式

$$D_n=n!M_n=n!(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+...+(-1)^n\frac{1}{n!}).$$

## 多项式模拟

$x_1,x_2,...,x_n$错排，$x_1$需排在$x_2,x_3,...,x_n$、$x_2$需排在$x_1,x_3,...,x_n$如此类推。

记$s=\sum_{r=1}^n x_r$，错排结果为$\displaystyle \prod_{r=1}^n (s-x_r)$中$\displaystyle \prod_{r=1}^n x_r$的系数

记$a_r=(-1)^r\sum x_1x_2...x_r$为基本对称多项式。

$$\displaystyle \prod_{r=1}^n (s-x_r)=\sum_{r=0}^n a_r s^{n-r}=\sum_{r=2}^n a_r s^{n-r}$$

从$a_r$选出$x_1,x_2,...,x_r$，然后从$s^{n-r}$选出$x_{r+1},x_{r+2},...,x_n$，组成$\displaystyle \prod_{r=1}^n x_r$

从$a_r$选出r个x有$C_r^n$种可能，从$s$选出其余的n-r个x有

$$\frac{(n-r)!}{1!1!...1!}=(n-r)!$$

种可能

$$\displaystyle \sum_{r=2}^n (-1)^r C_r^n (n-r)!=n!\sum_{r=2}^n \frac{(-1)^r}{r!}$$

## 简化公式

错位排列数的公式可以简化为：$D_n= \left\lfloor \frac{n!}{e}+0.5 \right\rfloor,$

其中的 $\lfloor n \rfloor$ 为高斯取整函数（小于等于 n 的最大整数）。

这个简化公式可以由之前的错排公式推导出来。事实上，考虑指数函数在 0 处的泰勒展开：

$$\begin{align} e^{-1} &= 1 + \frac{\left( -1 \right)^1}{1!} + \frac{\left( -1 \right)^2}{2!} + \cdots + \left( -1 \right)^n\frac{1}{n!} + \frac{ e^{-c} }{(n+1)!} \left( c - 1 \right)^n \\ <pre> &= \frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+\left(-1\right)^n\frac{1}{n!} + R_n \\ &= \frac{D_n}{n!} + R_n \\ </pre> \end{align}$$

所以，$\frac{n!}{e} - D_n = n!\,R_n$。其中 Rn 是泰勒展开的余项，c 是介于 0 和 1 之间的某个实数。Rn 的绝对值上限为

$$|R_n| \leqslant \frac{ e^0 }{(n+1)!} = \frac{1}{(n+1)!}$$

$$\Big| \frac{n!}{e} - D_n \Big| \leqslant \frac{ n! }{(n+1)!} = \frac{1}{(n+1)}$$

当 n≥2 时，$\frac{1}{(n+1)}$ 严格小于 0.5，所以 $D_n=n!\left(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+...+(-1)^n\frac{1}{n!}\right)$ 是最接近 $\frac{n!}{e}$ 的整数，可以写成

$$D_n= \left\lfloor \frac{n!}{e}+0.5 \right\rfloor.$$