后牛顿形式论

在不同的引力度规理论中，决定时空度规的场方程具有很大的差异。但是，在弱场和慢运动及低能的情况下，几乎所有度规理论的时空度规都具有相同的结构，都可以写成闵可夫斯基度规加上微扰，并按照由系统的物质变量所定义的各种引力势的幂级数展开。各种度规理论都具有相同形式的度规展开式，它们的区别仅在于展开系数有不同的值。这样，就可以用一个统一的后牛顿理论来描述各种度规理论。这样一个统一的理论称为参数化后牛顿（PPN）形式体系，度规展开式中的展开系数称为PPN参数。

## 坐标系

采用近整体罗伦兹坐标系，其中的坐标为$\left( t,{{x}^{1}},{{x}^{2}},{{x}^{3}} \right)$。始终用3维欧几里得矢量记号。所有的坐标任意性（“规范自由度”）已用对标准的PPN规范专门化的坐标除去。

## 物质变量

- （1）$\rho =$在与引力作用着的物质瞬时共动局部自由降落系中测量的静质量密度。
- （2）${{v}^{i}}=\frac{d{{x}^{i}}}{dt}=$物质的坐标速度。
- （3）${{w}^{i}}=$PPN坐标系（相对于宇宙平均静系）的坐标速度。
- （4）$p=$在与物质瞬时共动的自由降落系中测量的压强。
- （5）$\pi =$单位静质量的内能，它包括所有形式的非静质量、非引力的能量，即压力能和热能。

## PPN参数

$$\gamma ,\beta ,\xi ,{{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\alpha }_{3}},{{\zeta }_{1}},{{\zeta }_{2}},{{\zeta }_{3}},{{\zeta }_{4}}$$

## 度规势

- 1、$U=\int{\frac{\rho ({x}')}{\left| \vec{x}-{\vec{x}}' \right|}}{{d}^{3}}{x}'$
- 2、${{U}_{ij}}=\int{\frac{\rho ({\vec{x}}')}{{\left| \vec{x}-{\vec{x}}' \right|}^3}({{x}_{i}}-{{x}_{i}}^{\prime })({{x}_{j}}-{{x}_{j}}^{\prime }){{d}^{3}}{x}'}$
- 3、${{\Phi }_{w}}=\int{\frac{\rho ({\vec{x}}')\rho ({\vec{x}}'')}{{{\left| \vec{x}-{\vec{x}}' \right|}^{3}}}\left( \left( \vec{x}-{\vec{x}}' \right)\cdot \left( \frac{\left( {\vec{x}}'-{\vec{x}}'' \right)}{\left| \vec{x}-{\vec{x}}'' \right|}-\frac{\left( \vec{x}-{\vec{x}}'' \right)}{\left| {\vec{x}}'-{\vec{x}}'' \right|} \right) \right){{d}^{3}}{x}'{{d}^{3}}{x}''}$
- 4、$A=\int{\frac{\rho ({\vec{x}}'){{\left( {\vec{v}}'\centerdot (\vec{x}-{\vec{x}}') \right)}^{2}}}{{{\left| \vec{x}-{\vec{x}}' \right|}^{3}}}}{{d}^{3}}{x}'$
- 5、${{\Phi }_{1}}=\int{\frac{\rho ({\vec{x}'}){{{{v}'}}^{2}}}{\left| \vec{x}-{\vec{x}}' \right|}}{{d}^{3}}{x}'$
- 5、${{\Phi }_{1}}=\int{\frac{\rho ({\vec{x}'}){{{{v}'}}^{2}}}{\left| \vec{x}-{\vec{x}}' \right|}}{{d}^{3}}{x}'$
- 6、${{\Phi }_{2}}=\int{\frac{\rho ({\vec{x}}')U({\vec{x}}')}{\left| \vec{x}-{\vec{x}}' \right|}}{{d}^{3}}{x}'$
- 7、${{\Phi }_{3}}=\int{\frac{\rho ({\vec{x}}')\pi ({\vec{x}}')}{\left| \vec{x}-{\vec{x}}' \right|}}{{d}^{3}}{x}'$
- 8、${{\Phi }_{4}}=\int{\frac{p({\vec{x}}')}{\left| \vec{x}-{\vec{x}}' \right|}}{{d}^{3}}{x}'$
- 9、${{V}_{i}}=\int{\frac{\rho ({\vec{x}}'){{{v}_{i}}'}}{\left| \vec{x}-{\vec{x}}' \right|}{{d}^{3}}{x}'}$
- 10、${{W}_{i}}=\int{\frac{\rho ({\vec{x}}')\left( {\vec{v}}'\centerdot (\vec{x}-{\vec{x}}') \right)\left( {{x}_{i}}-{{x}_{i}}^{\prime } \right)}{{{\left| \vec{x}-{\vec{x}}' \right|}^{3}}}{{d}^{3}}{x}'}$

## 度规

- $$\begin{align} <pre> & {{g}_{00}}=-1+2U-2\beta {{U}^{2}}-2\xi {{\Phi }_{w}} \\ & \mathop{{}}_{{}}+(2\gamma +2+{{\alpha }_{3}}+{{\zeta }_{1}}-2\xi ){{\Phi }_{1}} \\ & \mathop{{}}_{{}}+2(3\gamma -2\beta +1+{{\zeta }_{2}}+\xi ){{\Phi }_{2}} \\ & \mathop{{}}_{{}}\text{+}2(1+{{\zeta }_{3}}){{\Phi }_{3}} \\ & \mathop{{}}_{{}}+2(3\gamma +3{{\zeta }_{4}}-2\xi ){{\Phi }_{4}} \\ & \mathop{{}}_{{}}-({{\zeta }_{1}}-2\xi )A-({{\alpha }_{1}}-{{\alpha }_{2}}-{{\alpha }_{3}}){{w}^{2}}U \\ & \mathop{{}}_{{}}-{{\alpha }_{2}}{{w}^{i}}{{w}^{j}}{{U}_{ij}}+(2{{\alpha }_{3}}-{{\alpha }_{1}}){{w}^{i}}{{V}_{i}}+O\left( {{\varepsilon }^{3}} \right) \\ </pre> \end{align}$$
- $$\begin{align} <pre> & {{g}_{0i}}=-\frac{1}{2}\left( 4\gamma +3+{{\alpha }_{1}}-{{\alpha }_{2}}+{{\zeta }_{1}}-2\xi \right){{V}_{i}} \\ & -\frac{1}{2}\left( 1+{{\alpha }_{2}}-{{\zeta }_{1}}+2\xi \right){{W}_{i}}-\frac{1}{2}\left( {{\alpha }_{1}}-2{{\alpha }_{2}} \right){{w}^{i}}U-{{\alpha }_{2}}{{w}^{i}}{{U}_{ij}}+O\left( {{\varepsilon }^{5/2}} \right) \\ </pre> \end{align}$$
- $$\begin{align}{{g}_{ij}}=(1+2\gamma U){{\delta }_{ij}}+O\left( {{\varepsilon }^{2}} \right)\end{align}$$

## 应力能量张量（理想流体）

- $${{T}^{00}}=\rho \left( 1+\pi +{{v}^{2}}+2U \right)$$
- $${{T}^{0i}}=\rho \left( 1+\pi +{{v}^{2}}+2U+\frac{p}{\rho } \right){{v}^{i}}$$
- $${{T}^{ij}}=\rho {{v}^{i}}{{v}^{j}}\left( 1+\pi +{{v}^{2}}+2U+\frac{p}{\rho } \right)+p{{\delta }^{ij}}\left( 1-2\gamma U \right)$$

## 运动方程

- (1)受应力的物质：${{T}^{\mu \nu }}_{;\nu }=0$
- (2)检验物体：$\frac{{{d}^{2}}{{x}^{\mu }}}{d{{\lambda }^{2}}}+\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }{{u}^{\alpha }}{{u}^{\beta }}=0$
- (3)Maxswell方程组：${{F}^{\mu \nu }}_{;\nu }={{\mu }_{0}}{{J}^{\mu }},{{F}_{\mu \nu }}={{A}_{\nu ;\mu }}-{{A}_{\mu ;\nu }}$

## 各种度规理论的PPN参数比较

理论｜任意常数或函数｜宇宙匹配参数｜$\gamma$｜$\beta$｜$\xi$｜${{\alpha }_{1}}$｜${{\alpha }_{2}}$

标准理论

广义相对论｜无｜无｜1｜1｜0｜0｜0

标量-张量理论

Brans-Dicke｜${{\omega }_{BD}}$｜${{\phi }_{0}}$｜$\frac{1+{{\omega }_{BD}}}{2+{{\omega }_{BD}}}$｜1｜0｜0｜0

一般｜$A\left( \varphi \right),V\left( \varphi \right)$｜${{\varphi }_{0}}$｜$\frac{1+\omega }{2+\omega }$｜$1+\Lambda$｜0｜0｜0

矢量-张量理论

无限制｜$\omega ,{{c}_{1}},{{c}_{2}},{{c}_{3}},{{c}_{4}}$｜$u$｜${\gamma }'$｜${\beta }'$｜0｜${{\alpha }'_{1}}$｜${{\alpha }'_{2}}$

Einstein-Æther｜${{c}_{1}},{{c}_{2}},{{c}_{3}},{{c}_{4}}$｜无｜1｜1｜0｜${{\alpha }'_{1}}$｜${{\alpha }'_{2}}$

Rosen理论

Rosen’s bimetric｜无｜${{c}_{0}},{{c}_{1}}$｜1｜1｜0｜0｜$\frac{{{c}_{0}}}{{{c}_{1}}}-1$

ECT理论

不考虑自旋场｜${\beta }$｜无｜$\frac{1}{1-\beta }$｜1｜0｜0｜0

Nordtvedt理论

Will｜${{c}_{1}}=-1,{{c}_{2}}={{c}_{3}}={{c}_{4}}=0$｜无｜1｜1｜0｜0｜$\frac{2{{u}^{2}}}{2+{{u}^{2}}}$

Hellings｜$\begin{align} & {{c}_{1}}=2,{{c}_{2}}=2\omega , \\ & {{c}_{1}}+{{c}_{2}}+{{c}_{3}}=0,{{c}_{4}}=0 \\ \end{align}$｜无｜${{f}_{1}}\left( \omega ,u \right)$｜${{f}_{2}}\left( \omega ,u \right)$｜0｜${{f}_{3}}\left( \omega ,u \right)$｜${{f}_{4}}\left( \omega ,u \right)$