弹道输运

在介观物理学中，弹道输运（Ballistic transport），是指介质中的电荷载流子（通常为电子）或能量携带粒子在相对较长距离上的输运过程中几乎不会遇到散射。一般而言，介质中的电阻是由电子散射而产生，这可以是因为杂质、缺陷或者在平衡位置附近震荡的原子或分子引起的散射；也可以是由在气体和液体中自由运动的原子/分子引起的。如果没有散射的作用，电子的运动仅遵从牛顿定律。

在介质中，我们可以定义一个自由程的概念，表示电子可以自由运动的路程。也就是说，在电子与其它物质发生碰撞，然后背离它初始运动方向之前的运动路程。很多情况下，可以通过减少杂质或者降低温度的办法来提高电子的自由程。当电子的自由程（远）大于介质的尺度时，即可产生弹道输运，这种情况下，电子只有碰到了边界才会改变运动方向。例如，对悬浮在空气/真空中的金属线，金属线表面起到反射电子并阻止它们向空旷空间逸出的“盒子”作用。这是因为要将电子从介质中提取出来需要付出能量（功函数）。

弹道输运通常在准一维结构中观察到，例如碳纳米管或硅奈米线，这是由于这些材料中显著的尺寸量子化效应。弹道输运不限于电子（或空穴），也可适用于声子。理论上弹道输运可扩展到其他准粒子，但尚未有实验证实。举例而言，在金属纳米线中可观察到弹道输运：这归因于导线小尺寸（纳米量级，即 10−9米量级）以及在金属中可能比常规更长的平均自由程。

弹道输运与超导性的不同在于：1）存在有限的、非零的电阻；2）材料中不存在迈斯纳效应。电阻的存在意味着热量在“弹道”导体之外的引线中耗散，在那里可发生非弹性散射效应。

## 理论

### 散射机制

一般来说，当$L \le \lambda_{\rm MFP}$时，载流子将表现出弹道输运，其中$L$是器件活动部分的长度（例如MOSFET中的通道），而$\lambda_{\rm MFP}$是载流子的平均自由程，可用马西森规则（Matthiessen's rule）给出，这里写为电子的形式：

$$\frac{1}{\lambda_\mathrm{MFP}} = \frac{1}{\lambda_\mathrm{el-el}} + \frac{1}{\lambda_\mathrm{ap}} + \frac{1}{\lambda_\mathrm{op,ems}} + \frac{1}{\lambda_\mathrm{op,abs}} + \frac{1}{\lambda_\mathrm{impurity}} + \frac{1}{\lambda_\mathrm{defect}} + \frac{1}{\lambda_\mathrm{boundary}}$$

其中

- $\lambda_\mathrm{el-el}$为电子-电子散射长度。
- $\lambda_\mathrm{ap}$为声学声子（发射和吸收）散射长度。
- $\lambda_\mathrm{op,ems}$为光学声子发射散射长度。
- $\lambda_\mathrm{op,abs}$为光学声子吸收散射长度。
- $\lambda_\mathrm{impurity}$为电子-杂质散射长度。
- $\lambda_\mathrm{defect}$为电子-缺陷散射长度。
- $\lambda_\mathrm{boundary}$为电子与边界散射的长度。

就散射机制而言，光学声子发射通常占主导地位，具体取决于材料和输运条件。还有其它适用于不同载流子的散射机制（例如远程界面声子散射、翻转散射），此处未加以考虑。要得到这些特征散射速率，需要为所讨论系统导出哈密顿量并使用费米黄金定则求解相应跃迁率。

<image>

### Landauer–Büttiker公式

1957 年，罗夫·兰道尔提出在一维系统中，导电可视为一个透射问题。对于一维石墨烯纳米带场效应管（GNR-FET）（假设通道为弹道通道），由玻尔兹曼输运方程给出的从A到B的电流为：

$I_{\rm AB} = \frac{g_\text{s}e}{h}\int_{E_{\rm F_B}}^{E_{\rm F_{ A}}}M(E)f^{\prime}(E)T(E)dE$。

其中$g_{s}$= 2（由于自旋简并），$e$为电子电荷，$h$为普朗克常数，$E_{\rm F_A}$与$E_{\rm F_B}$分别为A、B的费米能级，$M(E)$为通道中的传播模数，$f^{\prime}(E)$为偏离平衡的电子分布（微扰），且$T(E)$为透射概率（弹道时T = 1）。根据电导的定义：

$G = \frac{I}{V}$。

且费米能级间的电压差近似为$eV = E_{\rm F_A}-E_{\rm F_B}$，可得：

$G = G_0MT$，其中 $G_0=\frac{2e^2}{h}$。

此处$M$为输运通道的模数并包含自旋。$G_0$称为电导量子。由于接触器件尺寸相对通道较大，接触处具有多重模态。相反，一维 GNR通道的量子限制将模数约束到载流子简并度以及能带结构（能量色散关系）和布里渊区的限制。例如，碳纳米管中的电子具有两个间谷模和两个自旋模。由于接触与GNR通道由引线相连，接触处A和B的透射概率较小。

$T\approx\frac{M}{M_{\rm contact}}$。

因此若在A、B或C、D处测量，量子电导近似相同。Landauer–Büttiker公式在载流子相干（即活动通道长度小于相位破坏平均自由程）且可由薛定谔方程计算或用半经典近似（如WKB近似）逼近透射函数时成立。因此，即使在完美弹道输运的情况下，也存在一个基本的弹道电导，它使器件电流饱和，对每一模（含自旋简并）有大约12.9 kΩ的电阻。然而，存在Landauer–Büttiker公式的推广，适用于含耗散的时变问题。

## 重要性

弹道输运使得利用电子波函数的量子力学性质成为可能。从波动力学角度看，弹道输运是相干的。双狭缝干涉、空间共振（以及其他类光学或微波效应）等现象可以在纳米尺度的电子系统中被利用，系统包括奈米线和纳米管。

广泛遇到的电接触电阻（electrical contact resistance，ECR）现象源于电流通过粗糙界面时被限制在若干接触点流动。接触点的大小与分布由形成电接触的接触表面的拓扑结构支配。特别地，对于具有高分形维数的表面，接触点可能非常小。在这种情况下，当接触点半径小于电子的平均自由程$\lambda$时，电阻以沙尔文机制为主导，其中电子在这些微观接触处做弹道运动，其电阻可由下式描述：

$$R_{\rm S} = \frac{\lambda(\rho_1+\rho_2)}{2a}.$$

此项中，$\rho_1$与$\rho_2$分别对应两接触表面的比电阻，称为沙尔文电阻。导致弹道电子导电的电接触称为“沙尔文接触”。当接触点半径大于电子平均自由程时，接触电阻可用经典方法处理。

## 光学类比

将光作比较，可在弹道与非弹道输运之间建立类比。弹道电子的行为类似于在波导或高质量光学组件中的光。非弹道电子的行为则类似于在牛奶中散射的光，或被白墙或纸张反射的光。

电子在导体中可被多种方式散射。电子具有多个属性：波长（能量）、方向、相位和自旋取向。不同材料的散射概率不同，导致不同的相干破坏率（随机性）。某些类型的散射只会改变电子方向，其他类型则会导致能量损失。

设想一个相干电子源连接到导体。在有限距离内，电子波函数将保持相干。此时仍可确定性地预测其行为（理论上可用于计算）。但在更远距离处，散射使得每个电子具有略微不同的相位和/或方向，但几乎没有能量损失。类似于单色光通过牛奶，电子经历弹性相互作用。输入处电子状态的信息随后丢失。输运变为统计的、随机的过程。就电阻而言，随机（无定向）的电子运动即使载有相同能量也无用——它们表现为热运动。如果电子还发生非弹性相互作用，它们会失去能量，从而产生第二种电阻机制。发生非弹性相互作用的电子类似于非单色光。

为了正确使用此类比，需考虑若干事实：

- 光子为玻色子，电子为费米子。
- 电子间存在库仑排斥，因此该类比仅适用于单电子导电，因为电子过程强烈非线性并依赖于其它电子。
- 电子比光子更可能损失更多能量，因为电子具有非零不变质量。
- 电子与环境、相互之间及其它粒子的相互作用通常比光子之间或与光子的相互作用更强。

## 示例

如前所述，纳米结构例如碳纳米管或石墨烯纳米带常被认为是弹道的，但这些器件仅在很大程度上近似弹道，在室温下它们的弹道性接近0.9。

### 碳纳米管与石墨烯纳米带

在室温下的主导散射机制是电子发射光学声子。如果电子与光学声子的散射不足（例如散射率低），平均自由程往往很长（$\lambda_{MFP} \approx 1{\mu}m$）。因此若电子在传输过程中未与过多声子发生散射且器件长度约为 100 nm，则纳米管或石墨烯纳米带可能成为良好的弹道导体。这样的输运规制已被发现依赖于纳米带边缘结构和电子能量。

## 相关

- 几何二极管
- 速度过冲