唯一素数

唯一素数（Unique prime）是指一个不为2、5（在十进制时），且有以下性质的质数p：不存在其他质数q，其倒数1 / q的循环节长度和1 / p的循环节长度相等。唯一素数是在1980年代由Samuel Yates所提出。

可以证明素数p其倒数的循环节长度为n当且仅当存在一自然数c使得下式成立（下面内容仅限于十进制范畴）：

$$\frac{\Phi_n(10)}{\gcd(\Phi_n(10),n)} = p^c$$

其中Φn(x)为n次的分圆多项式。至2010年为止，已经找到逾50个唯一素数或者有此性质的可能质数，但是小于10100的唯一素数只有23个。以下是这些唯一素数及其循环节位数：

倒数循环节长度素数13 211 337 4101 109,091 129,901 9333,667 14909,091 2499,990,001 36999,999,000,001 489,999,999,900,000,001 38909,090,909,090,909,091 191,111,111,111,111,111,111 2311,111,111,111,111,111,111,111 39900,900,900,900,990,990,990,991 62909,090,909,090,909,090,909,090,909,091 120100,009,999,999,899,989,999,000,000,010,001 15010,000,099,999,999,989,999,899,999,000,000,000,100,001 1069,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091 93900,900,900,900,900,900,900,900,900,900,990,990,990,990,990,990,990,990,990,991 134909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091 294142,857,157,142,857,142,856,999,999,985,714,285,714,285,857,142,857,142,855,714,285,571,428,571,428,572,857,143 196999,999,999,999,990,000,000,000,000,099,999,999,999,999,000,000,000,000,009,999,999,999,999,900,000,000,000,001

倒数循环节长度294位的唯一素数类似7的倒数（0.142857142857142857...）。

接续上表的第24个唯一素数有128位，倒数循环节长度为320位，可以写成(932032)2+1，其中下标n表示前面的一个数字或一组数字会重复出现n次。

所有循环单位素数都是唯一素数。依照循环单位素数及循环单位可能素数出现的频率来看，唯一素数非常的少见，不过数学家们仍强烈推论有无穷多个唯一素数。

至2010年为止，循环单位(10270343-1)/9是已知最大的可能唯一素数。

至1996年为止，确定是质数的最大唯一素数是(101132 + 1)/10001，若用前文中的表示法，可以表示为(99990000)141+ 1，其倒数循环节长度为为2264位，后来陆续证明更大的唯一素数，至2010年为止，确定是质数的最大唯一素数有10081位数。

## 二进制中的唯一质数

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 31, 41, 43, 73, 127, 151, 241, 257, 331, 337, 683, ......：

其循环节长度分别为：

2, 4, 3, 10, 12, 8, 18, 5, 20, 14, 9, 7, 15, 24, 16, 30, 21, 22, ......：

这当中包含了所有费马质数(循环节长度为2的乘方)，梅森质数(循环节长度为质数)及瓦格斯塔夫质数(循环节长度为奇质数的两倍)

以下为不超过264之二进制唯一质数列表：

倒数循环节长度素数二进制表示法2311 45101 37111 10111011 12131101 8171 0001 18191 0011 5311 1111 204110 1001 144310 1011 973100 1001 7127111 1111 151511001 0111 242411111 0001 162571 0000 0001 303311 0100 1011 213371 0101 0001 2268310 1010 1011 262,7311010 1010 1011 425,4191 0101 0010 1011 138,1911 1111 1111 1111 3443,6911010 1010 1010 1011 4061,6811111 0000 1111 0001 3265,5371 0000 0000 0000 0001 5487,2111 0101 0100 1010 1011 17131,0711 1111 1111 1111 1111 38174,76310 1010 1010 1010 1011 27262,657100 0000 0010 0000 0001 19524,287111 1111 1111 1111 1111 33599,4791001 0010 0101 1011 0111 462,796,20310 1010 1010 1010 1010 1011 5615,790,3211111 0000 1111 0000 1111 0001 9018,837,0011 0001 1111 0110 1110 0000 1001 7822,366,8911 0101 0101 0100 1010 1010 1011 62715,827,88310 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011 312,147,483,647111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 804,278,255,3611111 1111 0000 0000 1111 1111 0000 0001 1204,562,284,5611 0000 1111 1110 1110 1111 0000 0001 0001 12677,158,673,9291 0001 1111 0111 0000 0011 1110 1110 0000 1001 1501,133,836,730,4011 0000 0111 1111 1101 1110 1111 1000 0000 0010 0001 862,932,031,007,40310 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011 984,363,953,127,29711 1111 1000 0000 1111 1110 0000 0011 1111 1000 0001 494,432,676,798,593100 0000 1000 0001 0000 0010 0000 0100 0000 1000 0001 6910,052,678,938,0391001 0010 0100 1001 0010 0101 1011 0110 1101 1011 0111 65145,295,143,558,1111000 0100 0010 0101 0010 1001 0110 1011 0101 1011 1101 1111 17496,076,791,871,613,6111 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0100 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011 77581,283,643,249,112,9591000 0001 0001 0010 0010 0110 0100 1100 1101 1001 1011 1011 0111 0111 1111 93658,812,288,653,553,0791001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0111 122768,614,336,404,564,6511010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011 612,305,843,009,213,693,9511 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 859,520,972,806,333,758,4311000 0100 0010 0001 0100 1010 0101 0010 1011 0101 1010 1101 0111 1011 1101 1111 19218,446,744,069,414,584,3211111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001

## 外部链接

- The Prime Glossary: Unique prime
- Prime Top Tens
- Unique Period Primes
- Factorization of 11...11 (Repunit)