整除规则

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整除是数学中两自然数间一种关系。自然数甲可被自然数乙整除，是指乙是甲的因数，且甲是乙的整数倍数，也就是甲除以乙没有余数。下面列出了十进制中判断整数除以另一整数的商为整数，且余数为零的一些规则。

## 基本判别

- 0：所有非0的整数之倍数。
- ±1：所有整数之因数。

## 可于最后几位判别

2和5都是10的因数，在十进制判别是否有$2^k$或$5^k$的因数只须取其最后k位，除以$2^k$或$5^k$，可除尽即是：

- ±2：所有偶数（0、2、4、6、8结尾）皆有此因数。如2、−6、989896、11111112、−454
- ±4：最后两位数可以被4除尽，即是。如9898989898540→40/4＝10
- ±8：若最后三位数可以被8除尽，即是。如8000、1256000、95872
- ±5：查看最后一位数。如果可以被5除尽（为0或5），即是。如5454545、45454500、50
- ±10：看最后一位数为0（即末两位为10的整倍数）即是。如530、73500、50
- ±$2^n$：最后n位数可以被$2^n$除尽。
- ±$5^n$：最后n位数可以被$5^n$除尽。
- ±$10^n$：最后n位数字都全部是0。

上面的性质亦可推广到求余数：

$\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv \sum_{r=0}^{k-1} 10^r a_r \pmod{2^k}$ $\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv \sum_{r=0}^{k-1} 10^r a_r \pmod{5^k}$ $\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv \sum_{r=0}^{k-1} 10^r a_r \pmod{10^k}$

甚至非十进制下也是一样。例如十二进制：2、3、4、6都是12的因数，故某数的末k位除以$2^k$、$3^k$、$4^k$、$6^k$，所得余数与原数同余。

## 可由各数位判别

$$\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv \sum_{r=0}^n a_r \pmod{3}$$

$$\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv \sum_{r=0}^n a_r \pmod{9}$$

- ±3：所有位数加起来为3的倍数，即是。如69255：（6＋9＋2＋5＋5）/3＝27/3＝9
- ±9：所有位数加起来为9的倍数，即是。如69255：（6＋9＋2＋5＋5）/9＝27/9＝3

注意到我们现在是在十进制运算，而9＝10－1。对于任意$p$进制的非负整数除法，当除数是$p-1$时被除数中所有数字相加的和仍与该被除数同余。证明：

- 如被除数为零，命题是平凡。
- 在任何$p$进制，首先考虑仅有最高位数字非零、其余位均是零的正数，该数可写成$d p^i$，其中$d$是最高位（第$i$位）数字、$1\le d \le p-1$，而$p^i$表示后面有$i$个零。（$p$进制逢$p$进一，$p$的$i$次方自然是1后面$i$个零。）
- 那么$d p^i=d p^{i-1} p$，除以$p-1$得$\frac{d p^{i-1} p}{p-1} = \frac{d p^{i-1}(p-1)+d p^{i-1}}{p-1}$，前项显然整除，故$d p^i = d p^{i-1}(p-1)+d p^{i-1} \equiv d p^{i-1} \pmod{p-1}$，推论得$d p^i \equiv d p^0 = d \pmod{p-1}$。
- 而任何$p$进制正整数均可写成$\sum_{i=0}^n d_i p^i$的形式，根据上面的结果，这个和（即是该数本身）显然与所有数字之和$\sum_{i=0}^n d_i$同余。证毕。

$$\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv \sum_{r=0}^n (-1)^r a_r \pmod{11}$$

- ±11：将其奇数位之和及偶数位之和相减，如果是0、11等11的倍数，即是。如19866→1＋8＋6－（9＋6）＝0
- ±7，±11，±13：设正整数$a=\sum_{r=0}^n 1000^r a_r$，$1001=7\times 11\times 13$，所以

$$a\equiv \sum_{r=0}^n (-1)^r a_r\pmod{7},a\equiv \sum_{r=0}^n (-1)^r a_r\pmod{13}$$

若a＝75312289，则a=75×1000²＋312×1000＋289，289－312＋75＝52，a能被13整除，不能被7和11整除。

## 合数判别

若某整数能整除某合数则某整数必同时整除所有某合数的质因数。

- ±6：同时符合±2（末位是0、2、4、6、8）和±3（相加可除尽）的条件（6＝2×3），如66、7986252、99999996
- ±12：同时符合±4和±3（相加可除尽）的条件（12＝$2^2$×3），如60

## 连续割头法

$$\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv a_0+10\sum_{r=1}^n 10^{r-1} a_r \pmod{k}$$

- ±7：将个位前的数字乘以3再与个位数相加，得出7的倍数即7的倍数。如154→49→21→7
- ±13：将个位前的数字乘以3再与个位数相减，得出13的倍数即13的倍数。如156→39→0

$$\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv a_0+10a_1+100\sum_{r=2}^n 10^{r-2} a_r \pmod{k}$$

- ±23：将十位前的数字乘以15再与末两位数相减，得出23的倍数即23的倍数。如207→23
- ±31：将十位前的数字乘以7再与末两位数相加，得出31的倍数即31的倍数。如155→62
- ±37：将十位前的数字乘以11再与末两位数相减，得出37的倍数即37的倍数。如333→0

## 连续割尾法

若$\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv 0 \pmod{k}$，且$10x \equiv 1 \pmod{k}$

则$a_0+10\sum_{r=1}^n 10^{r-1} a_r \equiv xa_0+\sum_{r=1}^n 10^{r-1} a_r \equiv 0 \pmod{k}$

- ±7：将个位数乘以2再与个位前的数字相减，得出7的倍数即7的倍数。如154→7
- ±19：将个位数乘以2再与个位前的数字相加，得出19的倍数即19的倍数。如152→19

## 2到31的整除规则总表

整除数｜整除规则｜示例

2｜末位是偶数（0、2、4、6、8）。｜1294：末位4是偶数，能被2整除。

3｜计算各位之和，其结果能被3整除。｜405：4＋0＋5＝9，636：6＋3＋6＝15，两者都能被3整除。16兆4992亿0585万4376：1＋6＋4＋9＋9＋2＋0＋5＋8＋5＋4＋3＋7＋6＝69→6＋9＝15→1＋5＝6，能被3整除。

分别统计1、4、7出现总数与2、5、8出现总数，两者之差能被3整除。｜16兆4992亿0585万4376：数字1、4、7出现总数是4，数字2、5、8出现总数是4，4－4＝0，能被3整除。

4｜末两位能被4整除。｜40832：末两位32，能被4整除。

十位数为偶数时，个位数为0、4、8。十位数为奇数时，个位数为2、6。｜40832：十位数3是奇数，个位数为2，能被4整除。

十位数乘2加个位数，其结果能被4整除。｜40832：2×3＋2＝8，能被4整除。

5｜末位是0、5。｜495：末位是5，能被5整除。

6｜能同时被2、3整除。｜1458：1＋4＋5＋8＝18，能被3整除；末位数8是偶数，能被2整除，继而能被6整除。

7｜每三位分组，从右往左每组交替加减，其结果能被7整除。｜136万9851：851－369＋1＝483，能被7整除。

从右往左每六位为一组，每组相加的结果能被7整除。｜1649万8888：16＋498888＝498904，能被7整除。

个位数乘2，并从其余位中减去，其结果能被7整除。｜483：48－3×2＝42，能被7整除。

个位数乘5，加到其余位中，其结果能被7整除。｜483：48＋3×5＝63，能被7整除。

最高位乘3，与次高位相加，替换掉头两位，其能被7整除。｜483：4×3＋8＝20，将20替换掉48； 203：2×3＋0＝6，将6替换掉20；63：6×3＋3＝21，能被7整除。

末两位加其余位乘以2，其结果能被7整除。｜48万3595：4835×2＋95＝9765，97×2＋65＝259，2×2＋59＝63，能被7整除。

从末位起由右至左依次乘1、3、2、−1、−3、−2（循环），相加的结果能被7整除。｜48万3595：4×（−2）＋8×（−3）＋3×（−1）＋5×2＋9×3＋5×1＝7，能被7整除。

8｜百位数是偶数时，末两位是个能被8整除的数字。｜624：百位数6是偶数，末两位24，能被8整除。

百位数是奇数时，末两位加4是个能被8整除的数字。｜352：百位数3是奇数，末两位52＋4＝56，能被8整除。

末位加其余位乘2，其结果能被8整除。｜56：5×2＋6＝16，能被8整除。

末三位能被8整除。｜34152：末三位152能被8整除。

百位乘4加十位乘2加个位，其结果能被8整除。｜34152：1×4＋5×2＋2＝16，能被8整除。

9｜计算各位之和，其结果能被9整除。｜2880：2＋8＋8＋0＝18：1＋8＝9，能被9整除。

10｜末位是0。｜130：末位是0，能被10整除。

11｜从高位到低位交错加减，其结果能被11整除。｜91万8082：9－1＋8－0＋8－2＝22，能被11整除。

从右往左每两位为一组，每组相加的结果能被11整除。｜627：6＋27＝33，能被11整除。50215：5＋02＋15＝22，能被11整除。

末位被其余位减去，其结果能被11整除。｜627：62－7＝55，能被11整除。

将个位数加到百位中，其结果能被11整除。｜627：62＋70＝132：13＋20＝33，能被11整除。

该数为偶数位数时，首位减末位，加到其余位，其结果能被11整除。｜91万8082（六位数）：1808＋（9－2）＝1815，81＋1－5＝77，能被11整除。

该数为奇数位数时，首位加末位，从其余位中减去，其结果能被11整除。｜14179（五位数）：417－（1＋9）＝407，0－（4＋7）＝−11，能被11整除。

12｜能同时被3、4整除。｜288：能同时被3、4整除，继而能被12整除。

将末位从其余位乘2中减去，其结果能被12整除。｜288：28×2－8＝48，能被12整除。

13｜每三位分组，从右往左每组交替加减，其结果能被13整除。｜291万1272：2－911＋272＝−637，能被13整除。

从右往左每六位为一组，每组相加的结果能被13整除。｜1亿6148万0059：161＋480059＝480220，能被13整除。

末位乘4，加到其余位中，其结果能被13整除。｜637：63＋7×4＝91，9＋1×4＝13，能被13整除。

将末两位从其余位乘4中减去，其结果能被13整除。｜923：9×4－23＝13，能被13整除。

末位乘9，从其余位中减去，其结果能被13整除。｜637：63－7×9＝0，能被13整除。

14｜能同时被2、7整除。｜224：能同时被2、7整除，继而能被14整除。

末两位与其余位乘2相加，其结果能被14整除。｜364：3×2＋64＝701764：17×2＋64＝98，两者都能被14整除。

15｜能同时被3、5整除。｜390：能同时被3、5整除，继而能被15整除。

16｜千位数是偶数时，末三位能被16整除。｜25万4176：千位数4是偶数，末三位176，能被16整除。

千位数是奇数时，末三位加8能被16整除。｜3408：千位数3是奇数，末三位408＋8＝416，能被16整除。

末两位与其余位乘4相加，其结果能被16整除。｜176：1×4＋76＝80， 1168：11×4＋68＝112，两者都能被16整除。

末四位能被16整除。｜15万7648：末四位7648能被16整除。

17｜末位乘5，从其余位中减去，其结果能被17整除。｜221：22－1×5＝17，能被17整除。

将末两位从其余位乘2中减去，其结果能被17整除。｜4675：46×2－75＝17，能被17整除。

从右往左每八位为一组，从右往左每组交替加减，其结果能被17整除。｜1亿1725万0581：17250581－1＝17250580，能被17整除。

18｜能同时被2、9整除。｜342：能同时被2、9整除，继而能被18整除。

19｜末位乘2，加到其余位中，其结果能被19整除。｜437：43＋7×2＝57，能被19整除。

末两位乘4，加到其余位中，其结果能被19整除。｜6935：69＋35×4＝209，能被19整除。

从右往左每九位为一组，从右往左每组交替加减，其结果能被19整除。｜11亿7225万0581：172250581－1＝172250580，能被19整除。

20｜末位是0，次末位是偶数。｜360：末位是0，次末位6是偶数，能被20整除。

末两位能被20整除。｜480：末两位80，能被20整除。

21｜末位乘2，从其余位中减去，其结果能被21整除。｜168：16－8×2＝0，能被21整除。

能同时被3、7整除。｜231：能同时被3、7整除，继而能被21整除。

22｜能同时被2、11整除。｜352：能同时被2、11整除，继而能被22整除。

23｜末位乘7，加到其余位中，其结果能被23整除。｜3128：312＋8×7＝368，36＋8×7＝92，能被23整除。

末两位乘3，加到其余位中，其结果能被23整除。｜1725：17＋25×3＝92，能被23整除。

末三位乘2，与其余位相减，其结果能被23整除。｜13万7931：931×2＝1862，1862－137＝1725，能被23整除。

24｜能同时被3、8整除。｜864：能同时被3、8整除，继而能被24整除。

25｜末两位是能被25整除的数（00、25、50、75）｜13万4250：末两位50，能被25整除。

26｜能同时被2、13整除。｜156：能同时被2、13整除，继而能被26整除。

27｜每三位分组，各组相加，其结果能被27整除。｜264万4272：2＋644＋272＝918，能被27整除。

末位乘8，从其余位中减去，其结果能被27整除。｜621：62－1×8＝54，能被27整除。

将末两位从其余位乘8中减去，其结果能被27整除。｜6507：65×8－7＝520－7＝513，能被27整除。

28｜能同时被4、7整除。｜140：能同时被4、7整除，继而能被28整除。

29｜末位乘3，加到其余位中，其结果能被29整除。｜493：49＋3×3＝58，能被29整除。

末两位乘9，加到其余位中，其结果能被29整除。｜5510：55＋10×9＝145，能被29整除。

末三位乘2，与其余位相减，其结果能被29整除。｜17万3913：913×2＝1826，1826－173＝1653，能被29整除。

30｜末位是0，次各位之和能被3整除。｜270：能同时被3、10整除，继而能被30整除。

31｜末位乘3，从其余位中减去，其结果能被31整除。｜341：34－1×3＝31，能被31整除。

## 参见

- 除法、短除法
- 因数
- 同余