AKS质数测试

AKS质数测试（又称Agrawal–Kayal–Saxena质数测试和Cyclotomic AKS test）是一个决定型质数测试算法，由三个来自印度坎普尔理工学院的计算机科学家，曼宁德拉·阿格拉瓦尔、尼拉吉·卡亚尔和尼汀·沙克谢纳，在2002年8月6日发表于一篇题为质数属于P的论文。作者们因此获得了许多奖项，包含了2006年的哥德尔奖和2006年的富尔克森奖。这个算法可以在多项式时间之内，决定一个给定整数是质数或者合数。

## 重要性

AKS最关键的重要性在于它是第一个被发表的一般的、多项式的、确定性的和无仰赖的质数判定算法。先前的算法至多达到了其中三点，但从未达到全部四个。

- AKS算法可以被用于检测任何一般的给定数字是否为质数。很多已知的高速判定算法只适用于满足特定条件的质数。例如，卢卡斯-莱默检验法仅对梅森质数适用，而Pépin测试仅对费马数适用。
- 算法的最长运行时间可以被表为一个目标数字长度的多项式。ECPP和APR能够判断一个给定数字是否为质数，但无法对所有输入给出多项式时间范围。
- 算法可以确定性地判断一个给定数字是否为质数。随机测试算法，例如米勒-拉宾检验和Baillie–PSW，可以在多项式时间内对给定数字进行校验，但只能给出概率性的结果。
- AKS算法并未“仰赖”任何未证明猜想。一个反例是确定性米勒检验：该算法可以在多项式时间内对所有输入给出确定性结果，但其正确性却基于尚未被证明的广义黎曼猜想。

## 概念

AKS质数测试主要是基于以下定理：整数n (≥ 2)是质数，当且仅当$$(x + a)^{n} \equiv (x^{n} + a) \pmod{n}$$

这个同余多项式对所有与n互质的整数a均成立。这个定理是费马小定理的一般化，并且可以简单的使用二项式定理跟二项式系数的这个特征:

${n \choose k} \equiv 0 \pmod{n}$，对任何 $0<k<n$，当且仅当 n 是质数

来证明出此定理。

虽然说关系式 (1) 基本上构成了整个质数测试，但是验证花费的时间却是指数时间。因此，为了减少计算复杂度，AKS改为使用以下的同余多项式：

$$(x + a)^{n} \equiv (x^{n} + a) \pmod{x^{r}-1, n}$$ 这个多项式与存在多项式f与g，令:

$$(x + a)^n - (x^n + a) = (x^r - 1)g + nf$$ 意义是等同的。

这个同余式可以在多项式时间之内检查完毕。这里我们要注意所有的质数必定满足此条件式（令g = 0则 (3) 等于 (1)，因此符合n必定是质数）。然而，有一些合数也会满足这个条件式。有关AKS正确性的证明包含了推导出存在一个够小的r以及一个够小的整数集合A，令如果此同余式对所有A里面的整数都满足，则n必定为质数。

## 历史以及运算时间

在上文引用的论文的第一版本中，作者们证明了检验正整数 $n$ 是否为质数的算法时间复杂度为 $\tilde{O}(\log^{12}(n))$。但是，论文证明的时间上界较为宽松；事实上，一个被普遍相信的关于索菲热尔曼质数分布的假设如果为真，则会立即将最坏情况减至 $\tilde{O}(\log^6(n))$。

在这一发现后的几个月中，新的变体陆续出现（Lenstra 2002, Pomerance 2002, Berrizbeitia 2003, Cheng 2003, Bernstein 2003a/b, Lenstra和Pomerance 2003）并依次提高了算法的时间复杂度。由于这些变体的出现，Crandall和Papadopoulos在其科学论文“AKS-类质数测试的实现”（2003年三月发表）中将其称为算法的“AKS-类”。

出于对这些变体和其他回复的回应，论文“质数属于P”稍后被进行了更新，新版本包括了一个AKS算法的正规公式化表述和其正确性证明。（这一版本在数学年刊上发表。）虽然基本思想没有变化，$r$ 却被采用了新方法进行选择，而正确性证明也变得更加紧致有序。与旧证明依赖于许多不同的方法不同，新版本几乎只依赖于有限域上的分圆多项式的特征。新版本同时也将时间复杂度改进至 $\tilde{O}(\log^{10.5}(n))$。通过筛法获得的其他结果可以将其进一步改进至 $\tilde{O}(\log^{7.5}(n))$。

在2005年，Carl Pomerance和H. W. Lenstra, Jr.展示了一个AKS算法的变体，其时间复杂度为 $\tilde{O}(\log^6(n))$。

## 算法

整个算法的操作如下：

输入：整数 n > 1

- 若存在整数a > 0 且b > 1，令 n = ab；则输出合数
- 找出最小的 r 令 ordr(n) > log2(n).
- 若 对某些a ≤ r，1 < gcd(a,n) < n，输出合数。(gcd是指最大公因数)。
- 若 n ≤ r, 输出质数。
- 对 a = 1 到 $\scriptstyle\lfloor \scriptstyle\sqrt{\varphi(r)}\log(n) \scriptstyle\rfloor$的所有数。
- 如果 (X+a)n≠ Xn+a (mod Xr − 1,n), 输出合数。
- 输出 质数。

这里的 ordr(n)是n mod r的阶。另外，这里的log 代表以二为底的对数，$\scriptstyle\varphi(r)$则是r的欧拉函数。

下面说明若n是个质数，那么算法总是会返回质数：由于n是质数，步骤1和3永远不会返回合数。步骤5也不会返回合数，因为(2)对所有质数n为真。因此，算法一定会在步骤4或6返回质数。

对应地，如果n是合数，那么算法一定返回合数：如果算法返回质数，那么则一定是从步骤4或6返回。对于前者，因为n ≤ r， n必然有因子a ≤ r符合1 < gcd(a,n) < n，因此会返回合数。剩余的可能性就是步骤6，在文章中，这种情况被证明不会发生，因为在步骤5中检验的多个等式可以确保输出一定是合数。

### 例子：n = 31为质数

输入：整数n = 31 > 1。

1 = 若存在整数a > 0 且b > 1，令 n = ab；则输出“合数”。

If ( a是整数 ) 输出“合数”;

// a = n1/2...n1/4 = {5.568, 3.141, 2.360}，计算结果不是整数

2 = 找出最小的 r 令 ordr(n) > log2(n)。

nextR = True;

r = 1;

nextR = False for ( k = 1;(!nextR) &&k ≤ log2(n); k + + ){ nextR = (nk % r = = 1

nk % r = = 0);

// 计算结果为：r = 29

3 = 若 对某些a ≤ r，1 < gcd(a,n) < n，输出“合数”。

for ( a = r; a > 1; a-- ){ If ( 1 < gcd(a,n) < n ) 输出“合数”;

// gcd(29,31) = 1, gcd(28,31) = 1, ..., gcd(2,31) = 1，计算结果为找不到符合的a使得1 < gcd(a,n) < n为真

4 = 若 n ≤ r, 输出“质数”。

If ( n ≤ r ) 输出“质数”;

// 31 > 29，计算结果n比r大

5 = 对 a = 1 到 $\scriptstyle\lfloor \scriptstyle\sqrt{\varphi(r)}\log(n) \scriptstyle\rfloor$的所有数。

如果 (X + a)n≠ Xn + a (mod Xr − 1,n), 输出“合数”。

for ( a = 1; a ≤ $\scriptstyle\lfloor \scriptstyle\sqrt{\varphi(r)}\log(n) \scriptstyle\rfloor$, a + + )

if ( ((X + a)n-(Xn + a)) % (Xr−1,n) ≠ 0 ) 输出“合数”。

/ * * * (x + a)31 % (x29-1,31)

= (((x + a)29 % (x29-1,31)) * (x + a)2 % 31) % (x29-1,31)

= ((1 + a29 + 29a28x + (406 % 31)a27x2 + (3654 % 31)a26x3 + (23751 % 31)a25x4 + (118755 % 31)a24x5 + (475020 % 31)a23x6 + (1560780 % 31)a22x7 + (4292145 % 31)a21x8 + (10015005 % 31)a20x9 + (20030010 % 31)a19x10 + (34597290 % 31)a18x11 + (51895935 % 31)a17x12 + (67863915 % 31)a16x13 + (77558760 % 31)a15x14 + (77558760 % 31)a14x15 + (67863915 % 31)a13x16 + (51895935 % 31)a12x17 + (34597290 % 31)a11x18 + (20030010 % 31)a10x19 + (10015005 % 31)a9x20 + (4292145 % 31)a8x21 + (1560780 % 31)a7x22 + (475020 % 31)a6x23 + (118755 % 31)a5x24 + (23751 % 31)a4x25 + (3654 % 31)a3x26 + (406 % 31)a2x27 + 29ax28) * (a2 + 2ax + x2)) % (x29-1,31)

= ((1 + a29 + 29a28x + 3a27x2 + 27a26x3 + 5a25x4 + 25a24x5 + 7a23x6 + 23a22x7 + 9a21x8 + 21a20x9 + 11a19x10 + 19a18x11 + 13a17x12 + 17a16x13 + 15a15x14 + 15a14x15 + 17a13x16 + 13a12x17 + 19a11x18 + 11a10x19 + 21a9x20 + 9a8x21 + 23a7x22 + 7a6x23 + 25a5x24 + 5a4x25 + 27a3x26 + 3a2x27 + 29ax28) * (a2 + 2ax + x2)) % (x29-1,31)

- = ((1 + 2
- 29 + 3) % 31)a2 + a31 + ((2 + 29) % 31)ax + ((29 + 2
- 1) % 31)a30x + x2 + ((3 + 2
- 29 + 1) % 31)a29x2 + ((27 + 2
- 3 + 29) % 31)a28x3 + ((5 + 2
- 27 + 3) % 31)a27x4 + ((25 + 2
- 5 + 27) % 31)a26x5 + ((7 + 2
- 25 + 5) % 31)a25x6 + ((23 + 2
- 7 + 25) % 31)a24x7 + ((9 + 2
- 23 + 7) % 31)a23x8 + ((21 + 2
- 9 + 23) % 31)a22x9 + ((11 + 2
- 21 + 9) % 31)a21x10 + ((19 + 2
- 11 + 21) % 31)a20x11 + ((13 + 2
- 19 + 11) % 31)a19x12 + ((17 + 2
- 13 + 19) % 31)a18x13 + ((15 + 2
- 17 + 13) % 31)a17x14 + ((15 + 2
- 15 + 17) % 31)a16x15 + ((17 + 2
- 15 + 15) % 31)a15x16 + ((13 + 2
- 17 + 15) % 31)a14x17 + ((19 + 2
- 13 + 17) % 31)a13x18 + ((11 + 2
- 19 + 13) % 31)a12x19 + ((21 + 2
- 11 + 19) % 31)a11x20 + ((9 + 2
- 21 + 11) % 31)a10x21 + ((23 + 2
- 9 + 21) % 31)a9x22 + ((7 + 2
- 23 + 9) % 31)a8x23 + ((25 + 2
- 7 + 23) % 31)a7x24 + ((5 + 2
- 25 + 7) % 31)a6x25 + ((27 + 2
- 5 + 25) % 31)a5x26 + ((3 + 2
- 27 + 5) % 31)a4x27 + ((29 + 2
- 3 + 27) % 31)a3x28

= a31 + x2

(x31 + a) % (x29-1,31) = a + x2

(a31 + x2)-(a + x2) = a31-a

$$\sqrt{\varphi(r)}\log_2(n) = \sqrt{28} * \log_2(31) = 26.215$$

(131-1) % 31 = 0, (231-2) % 31 = 0, (331-3) % 31 = 0, ..., (2631-26) % 31 = 0，计算结果为找不到符合的a使得(X + a)n≠ Xn + a (mod Xr − 1,n)为真

6 = 输出“质数”。

31必为质数。

## 外部链接

- R. Crandall, Apple ACG, and J. Papadopoulos (March 18, 2003): On the implementation of AKS-class primality tests (PDF)
- Article by Borneman, containing photos and information about the three Indian scientists (PDF)
- Andrew Granville: It is easy to determine whether a given integer is prime
- The Prime Facts: From Euclid to AKS, by Scott Aaronson (PDF)
- The PRIMES is in P little FAQ by Anton Stiglic
- 2006 Gödel Prize Citation
- 2006 Fulkerson Prize Citation
- The AKS "PRIMES in P" Algorithm Resource
- the video describes the exponential time relation (1), which it calls AKS