多极展开

在物理学里，多极展开（Multipole expansion）广泛应用于涉及于质量分布产生的重力场、电荷分布产生的电势或电场、电流分布产生的磁向量势和磁场、电磁波的传播的问题。使用多极展开，重力场或电势等等，都可以表达为单极项、偶极项、四极项、八极项及更多项的叠加。一个典型的例如是，从原子核的外部多极矩与电子轨域的内部多极矩之间的交互作用能量，计算求得原子的原子核外多极矩。原子核的外多极矩可以得出原子核内部的电荷分布，因为物理学家可以借此研究原子核的形状。

做理论运算时，在允许的误差范围内，时常可以只取多极展开的最低阶的几个非零项目，忽略其它项目，因为它们的数值极小。

## 电势的多极展开式

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在静电学里，设定电荷密度分布 $\rho(\mathbf{r}')$，则其产生的电势 $\Phi(\mathbf{r})$ 为

$\Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V'}} \frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}'$。

其中，$\mathbf{r}$ 是场位置，$\mathbf{r}'$ 是源位置，$\mathbb{V'}$ 是积分的体积区域。

假设体积区域 $\mathbb{V'}$ 是在以原点为圆心、半径为 $R$ 的圆球内部，则在圆球以外，电势 $\Phi(\mathbf{r})$ 可以多极展开。文献里常见到两种电势的多极展开方法。一种展开为直角坐标 $(x,y,z)$ 的泰勒级数，称为“笛卡儿多极展开”（Cartesian multipole expansion）；另一种是用距离倒数的幂和球谐函数展开，是以球坐标表示，称为“球多极展开”（spherical multipole expansion）。

### 笛卡儿多极展开

任意函数 $f(\mathbf{r}')$ 在原点 $\mathbf{r}'=\mathbf{O}$ 的泰勒级数为

$f(\mathbf{r}')=f(\mathbf{O})+\mathbf{r}'\cdot\nabla' f(\mathbf{O})+\frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^3 \sum_{\beta=1}^3 r'_{\alpha}r'_{\beta} \frac{\partial^2 f(\mathbf{O})}{\partial r'_{\alpha}\partial r'_{\beta}}+\dots$。

其中，$\nabla'$ 是对于 $\mathbf{r}'$ 的偏微分。

设定 $f(\mathbf{r}')=\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}$，则 $f(\mathbf{r}')$ 对于 $\mathbf{r}'$ 的偏微分为

$\frac{\partial f(\mathbf{r}')}{\partial r'_{\alpha}}=\frac{(r_{\alpha} - r'_{\alpha})}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}$。

$\frac{\partial^2 f(\mathbf{r}')}{\partial r'_{\alpha}\partial r'_{\beta}}= \frac{3(r_{\alpha} - r'_{\alpha})(r_{\beta} - r'_{\beta})}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^5} - \frac{\delta_{\alpha\beta}}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}$。

其中，$\delta_{\alpha\beta}$ 是克罗内克记号。

所以 $\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}$ 在原点 $\mathbf{r}'=\mathbf{O}$ 的泰勒级数为

$\begin{align} \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} & =\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^3} +\frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^3 \sum_{\beta=1} ^3 \left(\frac{3r_{\alpha}r_{\beta}}{r^5} - \frac{\delta_{\alpha\beta}}{r^3}\right)r'_{\alpha}r'_{\beta} +\dots \\ <pre> & =\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^3} </pre> +\frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^3 \sum_{\beta=1} ^3 \left(\frac{3r_{\alpha}r_{\beta}r'_{\alpha}r'_{\beta} - r^2r'_{\alpha}r'_{\beta}\delta_{\alpha\beta}}{r^5}\right) +\dots \\ <pre> & =\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^3} </pre> +\frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^3 \sum_{\beta=1} ^3 \left(\frac{3r_{\alpha}r_{\beta}r'_{\alpha}r'_{\beta} - r_{\alpha}r_{\beta}r^{\prime 2}\delta_{\alpha\beta}}{r^5}\right) +\dots \\ \end{align}$。

将这展开式代入电势的方程式，则可得到

$\Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V'}} \left[\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^3} +\frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^3\sum_{\beta=1}^3 \frac{r_\alpha r_\beta (3 r'_\alpha r'_\beta - r^{\prime 2}\delta_{\alpha\beta})}{r^5}+\dots\right] \rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}'$。

总电荷（电单极矩） $q$、电偶极矩 $\mathbf{p}$、电四极矩（electric quadrupole moment） $Q_{\alpha\beta}$ 分别以方程式定义为

$q\stackrel{def}{=}\ \int_{\mathbb{V'}}\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}'$。

$\mathbf{p}\stackrel{def}{=}\ \int_{\mathbb{V'}}\mathbf{r}'\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}'$。

$Q_{\alpha\beta}\stackrel{def}{=}\ \int_{\mathbb{V'}}(3 r'_\alpha r'_\beta - r^{\prime 2}\delta_{\alpha\beta})\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}'$。

则电势的电单极矩、电偶极矩、电四极矩等等“笛卡儿多极矩”项目的总贡献为

$\Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{q}{r}+\frac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}{r^3} +\frac{1}{2r^5}\sum_{\alpha=1}^3\sum_{\beta=1}^3 Q_{\alpha\beta}r_\alpha r_\beta +\dots\right)$。

### 球多极展开

场位置与源位置之间距离的倒数，$\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}$，可以用球谐函数 $Y_{\ell m}$ 展开为

$\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}=\sum_{\ell=0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ell}\frac{4\pi}{2\ell+1}\ \frac{r^{\prime\ell}}{r^{\ell+1}}Y^*_{\ell m}(\theta',\phi')Y_{\ell m}(\theta,\phi),\qquad r'<r$。

其中，$\mathbf{r}$ 与 $\mathbf{r}'$ 的球坐标分别为$(r,\theta,\phi)$ 与 $(r',\theta',\phi')$。

将这展开式代入电势的方程式，则可得到

$\Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{\epsilon_0}\sum_{\ell=0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ell} \frac{Y_{\ell m}(\theta,\phi)}{((2\ell+1)r^{\ell+1}} \int_{\mathbb{V'}}Y^*_{\ell m}(\theta',\phi') r^{\prime\ell}\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}'$。

电荷分布的球多极矩 $q_{\ell m}$ 以方程式定义为

$q_{\ell m}\stackrel{def}{=}\ \int_{\mathbb{V'}}Y^*_{\ell m}(\theta',\phi') r^{\prime\ell}\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}'$。

则电势可以以球多极矩表示为

$\Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{\epsilon_0}\sum_{\ell=0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ell} \frac{q_{\ell m} Y_{\ell m}(\theta,\phi)}{(2\ell+1)r^{\ell+1}}$。

注意到 $q_{\ell (-m)}=(-1)^m q^*_{\ell m}$。以下列出几个最低阶的球多极矩的表达式，以及与笛卡儿多极矩之间的关系：

$\begin{align} <pre> q_{00} & =\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\int_{\mathbb{V'}}\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' & & =\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\ q \\ q_{11} & = -\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\int_{\mathbb{V'}} r' \sin{\theta'}\ e^{-i\phi'}\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' & & = -\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\ (p_x - ip_y) \\ q_{10} & =\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\int_{\mathbb{V'}} r' \cos{\theta}\ \rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' & & = -\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\ p_z \\ q_{22} & =\sqrt{\frac{15}{32\pi}}\int_{\mathbb{V'}} r^{\prime 2} \sin^2{\theta'}\ e^{-2i\phi'}\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' & & =\sqrt{\frac{15}{288\pi}}\ (Q_{11}-2iQ_{12}-Q_{22}) \\ </pre> q_{21} & = - \sqrt{\frac{15}{8\pi}}\int_{\mathbb{V'}} r^{\prime 2} \sin{\theta'}\cos{\theta'}\ e^{-i\phi'}\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' <pre> & & = - \sqrt{\frac{15}{72\pi}}\ (Q_{13}-iQ_{33}) \\ q_{20} & =\sqrt{\frac{5}{16\pi}}\int_{\mathbb{V'}} r^{\prime 2}(3\cos^2{\theta'}-1)\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' & & =\sqrt{\frac{5}{16\pi}}\ Q_{33} </pre> \end{align}$。

### 多极展开式的特性

对于多极展开式的每一阶 $\ell$，笛卡儿多极展开会得到 $(\ell+1)(\ell+2)/2$ 个笛卡儿多极矩，而球多极展开会得到 $2\ell+1$ 个球多极矩。这是因为两种展开各自具有不同的旋转变换属性。笛卡儿多极矩是可约的（reducible）；而球多极矩则是不可约的，这种分解能够得到旋转群的不可约表示。

在多极展开式里，不等于零的最低阶多极矩，其数值与原点的选择无关。例如，对于在 $\mathbb{V'}$ 内部、位置为 $\mathbf{r}'_0$ 的单独点电荷，电荷密度可以写为 $\rho(\mathbf{r}')=q\delta(\mathbf{r}'-\mathbf{r}'_0)$。这单独点电荷的电单极矩为 $\int_{\mathbb{V'}}q\delta(\mathbf{r}'-\mathbf{r}'_0)\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' =q$，与原点位置无关。

对于在 $\mathbb{V'}$ 内部、位置分别为 $\mathbf{r}'_1$、$\mathbf{r}'_2$ 的两个异电性、同电量的点电荷，电荷密度可以写为 $\rho(\mathbf{r}')=q[\delta(\mathbf{r}'-\mathbf{r}'_1)-\delta(\mathbf{r}'-\mathbf{r}'_2)]$。这单独点电荷的电单极矩为 $\int_{\mathbb{V'}}q[\delta(\mathbf{r}'-\mathbf{r}'_1)-\delta(\mathbf{r}'-\mathbf{r}'_2)]\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' =0$。最低阶多极矩为电偶极矩 $\int_{\mathbb{V'}}\mathbf{r}'q[\delta(\mathbf{r}'-\mathbf{r}'_1)-\delta(\mathbf{r}'-\mathbf{r}'_2)]\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' =q(\mathbf{r}'_1-\mathbf{r}'_2)$。这电偶极矩与原点位置无关，与两个点电荷之间的相对位置有关。

## 电能的多极展开式

假设处于外电势 $\Phi(\mathbf{r})$ 的电荷密度分布 $\rho(\mathbf{r})$，则其电能 $U$ 为

$U=\int_{\mathbb{V}} \rho(\mathbf{r})\Phi(\mathbf{r})\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}$。

注意到外电场 $\mathbf{E}=-\nabla\Phi$，外电势 $\Phi(\mathbf{r})$ 在原点 $\mathbf{O}$ 的泰勒级数为

$\begin{align} \Phi(\mathbf{r}) & =\Phi(\mathbf{O})+\mathbf{r}\cdot\nabla\Phi(\mathbf{O})+\frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^3 \sum_{\beta=1}^3 r_{\alpha}r_{\beta} \frac{\partial^2 \Phi(\mathbf{O})}{\partial r_{\alpha}\partial r_{\beta}}+\dots \\ <pre> & =\Phi(\mathbf{O})-\mathbf{r}\cdot\mathbf{E}(\mathbf{O})-\frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^3 \sum_{\beta=1}^3 r_{\alpha}r_{\beta} \frac{\partial E_{\beta}(\mathbf{O})}{\partial r_{\alpha}}+\dots \\ </pre> \end{align}$。

由于外电场的散度为零 $\nabla\cdot\mathbf{E}=0$，电势可以写为

$\Phi(\mathbf{r})=\Phi(\mathbf{O})-\mathbf{r}\cdot\mathbf{E}(\mathbf{O})-\frac{1}{6}\sum_{\alpha=1}^3 \sum_{\beta=1}^3 (3r_{\alpha}r_{\beta}-r^2\delta_{\alpha\beta}) \frac{\partial E_{\beta}(\mathbf{O})}{\partial r_{\alpha}}+\dots$。

将这方程式代入电能的积分式，可以得到

$U=q\Phi(\mathbf{O})-\mathbf{p}\cdot\mathbf{E}(\mathbf{O})-\frac{1}{6}\sum_{\alpha=1}^3 \sum_{\beta=1}^3 Q_{\alpha\beta} \frac{\partial E_{\beta}(\mathbf{O})}{\partial r_{\alpha}}+\dots$。

从这里可以看到电能的成分：第一个项目是点电荷处于外电势的电能、第二个项目是电偶极子处于外电场的电能、第三个项目是电四极子处于具有梯度的外电场所涉及的电能。

## 磁向量势的多极展开式

在静磁学里，设定电流密度分布 $\mathbf{J}(\mathbf{r}')$，则其产生的磁向量势 $\mathbf{A}(\mathbf{r})$ 为

$\mathbf{A}(\mathbf{r})\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'$。

其中，$\mathbf{r}$ 是场位置，$\mathbf{r}'$ 是源位置。

将前面推导出的 $\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}$ 在原点 $\mathbf{r}'=\mathbf{O}$ 的泰勒级数带入磁向量势方程式，则可得到

$\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{V'}} \left[\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^3} +\frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^3\sum_{\beta=1}^3 \frac{r_\alpha r_\beta (3 r'_\alpha r'_\beta - r^{\prime 2}\delta_{\alpha\beta})}{r^5}+\dots\right] \mathbf{J}(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}'$。

由于在静磁学里 $\nabla'\cdot\mathbf{J}(\mathbf{r}')=0$。

$\begin{align}\int_{\mathbb{V}'}J_{\alpha}(\mathbf{r}')\, d^3\mathbf{r}' & =\int_{\mathbb{V}'}[\mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot\nabla']r'_{\alpha}\, d^3\mathbf{r}' =\int_{\mathbb{V}'}\nabla'\cdot[r'_{\alpha}\mathbf{J}(\mathbf{r}')]-r'_{\alpha}\nabla'\cdot\mathbf{J}(\mathbf{r}')\, d^3\mathbf{r}' \\ <pre> & =\int_{\mathbb{V}'}\nabla'\cdot[r'_{\alpha}\mathbf{J}(\mathbf{r}')]\, d^3\mathbf{r}' \\ </pre> \end{align}$。

应用高斯散度定理，由于电流密度分布 $\mathbf{J}$ 是局部的，假若积分体积 $\mathbb{V}'$ 足够大，则位于包含积分体积的曲面 $\mathbb{S}'$ 的电流密度分布为零：

$\int_{\mathbb{V}'}J_{\alpha}(\mathbf{r}')\, d^3\mathbf{r}' =\int_{\mathbb{S}'}r'_{\alpha}\mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot\, d\mathbf{S}'=0$。

所以，磁单极子项目 $\int_{\mathbb{V}'}J_{\alpha}(\mathbf{r}')\, d^3\mathbf{r}'$ 等于零。

磁偶极子项目不等于零。首先，应用高斯散度定理和电流密度分布的局部性这事实，可以得到

$\begin{align} \int_{\mathbb{V}'}\nabla'\cdot[r'_{\alpha}r'_{\beta}J(\mathbf{r}')]\, d^3\mathbf{r}' & =\int_{\mathbb{V}'}r'_{\beta}[J(\mathbf{r}')\cdot\nabla']r'_{\alpha} +r'_{\alpha}[J(\mathbf{r}')\cdot\nabla']r'_{\beta} +r'_{\alpha}r'_{\beta}\nabla'\cdot J(\mathbf{r}')\, d^3\mathbf{r}' \\ <pre> & =\int_{\mathbb{V}'}r'_{\beta}J_{\alpha}(\mathbf{r}')+r'_{\alpha}J_{\beta}(\mathbf{r}')\, d^3\mathbf{r}' \\ & = 0 \\ </pre> \end{align}$。

注意到以下关系式：

$\begin{align} \mathbf{r}\cdot\int_{\mathbb{V'}}\mathbf{r}'J_{\alpha}(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' <pre> & = \frac{1}{2}\sum_{\beta=1}^3 r_{\beta}\int_{\mathbb{V'}}r'_{\beta}J_{\alpha}(\mathbf{r}')-r'_{\alpha}J_{\beta}(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' \\ & = -\ \frac{1}{2}\left[\mathbf{r}\times\int_{\mathbb{V'}} </pre> \mathbf{r}'\times\mathbf{J}(\mathbf{r})\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}'\right]_{\alpha} \\ \end{align}$。

定义磁偶极矩 $\mathbf{m}$ 为

$\mathbf{m}\stackrel{def}{=}\ \frac{1}{2}\int_{\mathbb{V}'}\mathbf{r}'\times \mathbf{J}(\mathbf{r}')\, d^3\mathbf{r}'$。

只取至最低阶项目，即磁偶极矩项目，则磁向量势 $\mathbf{A}(\mathbf{r})$ 为

$\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\mathbf{m}\times\mathbf{r}}{r^3}$。

## 数值模拟

多极展开在数值模拟领域用途很多。对于相互作用的粒子组成的物理系统，快速多极法（fast multipole method）是高效率运算这系统的能量与作用力常使用的一种方法。快速多极法就是建构于格林函数的多极展开。这方法的基本点子是分解所有粒子为几个小群，每一个小群内的粒子正常地互相作用（即通过全部势能），而小群与小群之间的互相作用则是由其多极矩计算求得。快速多极矩法的效率通常与伊沃德求和法（Ewald summation）等同，但是假若系统的粒子具有高度群聚性，即高密度涨落，则快速多极矩法比较优等。

## 参阅

- 圆柱多极矩（cylindrical multipole moment）
- 四极磁铁（quadrupole magnet）：粒子加速器内部的一个配件
- 拉普拉斯展开（位势论）（Laplace expansion (potential)）
- 勒让德多项式