二十面体

在几何学中，二十面体（icosahedron）是指具有二十个面的多面体。在三维欧几里得空间中有两种二十面体属于正多面体，分别为凸正二十面体和大二十面体。一般俗称的“二十面体”通常代表前者（凸正二十面体）。

除此之外，亦有许多二十面体是等面或等角的，例如十方偏方面体（等面），也有的二十面体所有的面都是正多边形，例如正十八角柱、九角反棱柱、正三角台塔反角柱、同相双三角帐塔柱和异相双三角帐塔柱等。也有些二十面体是半正多面体，例如正十八角柱和正九角反棱柱。此外，亦有部分二十面体是稀有多面体，例如完全星形二十面体及稀有九角星二十面体等。

不同种类的二十面体有不同用途。例如凸均匀二十面体可以被制作为骰子；部分的二十面体结构会出现在一些晶体结构、化学物质或生物体结构中。具有张拉整体结构的二十面体则可以用于儿童玩具的设计、封装太空设备用于探索其他行星时的着陆的机器人等。

## 正二十面体

所有三维欧几里得空间的二十面体中，有两种多面体属于正多面体。一种为凸多面体，另一种为非凸多面体。这两种立体都具有30条边和20个三角形面，且这两种立体的12个顶点都是5个三角形的公共顶点，并且皆具有二十面体群对称性。词汇“正二十面体”通常表达的是凸的正二十面体，而非凸的正二十面体称为大二十面体。

### 凸正二十面体

<image>

凸正二十面体通常简称为正二十面体，在特定领域中简称为二十面体许多文献会用“二十面体”一词来指代凸正二十面体。这是由于二十面体中最常见的就是正二十面体；尤其在化学与生物学领域中。例如在描述“二十面体形状的衣壳”时。是五个柏拉图立体之一，其在施莱夫利符号中可以用3, 5来表示，共有20个正三角形面，且每个顶点都是5个正三角形的公共顶点，并且这些面在顶点周围以正五边形之边的排列方式进行排列，换言之即凸正二十面体的顶点图为正五边形。

凸正二十面体的对偶多面体是凸正十二面体，用施莱夫利符号表示为5, 3。其包含了12个正五边形面，每个顶点都是3个正五边形的公共顶点。

这种二十面体的特别之处在于——有不少多面体是基于这种立体建构的，其中一个显著的例子是星形二十面体，这些立体共有59种（星形的仅58种，另外一个是正二十面体本身）。这些星形多面体皆可透过米勒的规则、以正二十面体作为核建构而来。此外的例子还有詹森多面体，许多詹森多面体可透过移除正二十面体的局部结构（如移除五角锥）来构建。

由于其等面的特性，因此其非常适合制成骰子。

### 大二十面体

大二十面体是四个开普勒－庞索立体之一，其在施莱夫利符号中可以用3, 5来表示，与凸的正二十面体有相同的面数、边数和顶点数，差别在于顶点图的不同：大二十面体的顶点图是五角星而非五边形，导致其成为自相交的多面体。

大二十面体的对偶多面体为大星形十二面体，施莱夫利符号记为5, 3，其包含了12个正五角星面，每个顶点都是3个正五角星的公共顶点。

## 星形二十面体

多面体的星形化是指把多面体的面和边沿伸直到向外相交成星形的立体。这个过程是对称地完成的，以便生成保留了与原像相同的整体对称性。

在书籍《五十九种二十面体》，考克斯特等人列出了58种正二十面体的星形化体。其中，许多星形二十面体的组成面都是单一面（即没有同一个面包含分离区域的情况），因此这类立体也属于二十面体。例如大二十面体就属于这种立体。其他的星形二十面体有在同一个面中包含了分离区域的情况，因此可以将这些部分分离成结构更简单的多面体，这也导致了：虽然这些立体称为二十面体，但不是严格的二十面体。

著名的星形二十面体

凸正｜均匀对偶｜正复合｜星形正｜其他

（凸）正二十面体｜小三角六边形二十面体｜内侧三角六边形二十面体｜大三角六边形二十面体｜五复合正八面体｜五复合正四面体｜十复合正四面体｜大二十面体｜凹五角锥十二面体｜完全星形二十面体

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

正二十面体在星形化的过程中产生了些许二十面体对称性的复合多面体

## 其他常见的二十面体

### 五角十二面体对称性的二十面体

<image>

正二十面体可以被形变或标记为对称性较低的五角十二面体对称性多面体，形变或标记后的几何体又称扭棱八面体（考克斯特扭棱）、扭棱四面体（康威扭棱）或伪二十面体。其也可以视为套用交错变换的截角八面体。如果所有三角形都是正三角形，那么也可以透过对8个三角形的三角形组以及12个三角形的三角形组进行着色，分别将这两组三角形著上不同颜色，以将颜色不同的三角形视为相异的三角形来表达其对称性。否则，整个立体将与正二十面体无异。

#### 耶森二十面体

与之类似的二十面体还有耶森二十面体。耶森二十面体同样拥有与正二十面体相同的面数、边数、顶点数，但其面的形状、二面角和连接方式略有不同。

<image>

- 耶森二十面体

<image>

- 正二十面体（左）与耶森二十面体（右）的差异

耶森二十面体的骨架结构同时也是机器人中常见的张拉整体结构。这种结构早在1980年代已普遍地运用在一种名为Skwish的儿童玩具中。基于这种设计的超级球机器人（super ball bot）也由NASA先进概念研究所提出，预计用于封装太空设备用于探索其他行星时的着陆方式。

此外，透过将正二十面体的某些三角形以两两一组换成2个等腰三角形也能产生类似的几何形状，这些形状有时会被误认为与正确的耶森二十面体同样具备张拉整体的特性。事实上，这样的立体并不具备张拉整体的特性，也不会形成直角的二面角，仅是外观与耶森二十面体类似而已。

### 十八角柱

<image>

十八角柱是一种底面为十八边形的柱体，是二十面体的一种，其由20个面、36个顶点和54个边组成。正十八角柱代表每个面都是正多边形的十八角柱，其每个顶点都是2个正方形和1个十八边形的公共顶点，顶点图以$4{.}4{.}18$表示，在施莱夫利符号中可以利用{18}×{} 或 t{2, 18}来表示；在考克斯特—迪肯符号中可以利用node_1来表示；在威佐夫符号中可以利用2 18 | 2来表示；在康威多面体表示法中可以利用P18来表示。若正十八角柱底面边长为$s$、高为$h$，则其体积$V$和表面积$S$为：

$$V=\frac{9 h s^2 \cot{\frac{\pi}{18}}}{2}\approx 25.5208 h s^2$$

$$S=9s\left(2h+s\cot{\frac{\pi}{18}}\right)\approx 9s\left(2h+5.67128s\right)$$

### 十九角锥

<image>

十九角锥是一种底面为十九边形的锥体，是二十面体的一种，其具有20个面、38条边和20个顶点，其对偶多面体是自己本身，因此其也算是自身对偶的多面体之一。正十九角锥是一种底面为正十九边形的十九角锥。若十九角锥的底面之边长为$s$、高为$h$则这个正十九角锥的体积$V$和表面积$S$为：

$$V=\frac{19 h s^2 \cot{\frac{\pi}{19}}}{12}\approx 9.4884 h s^2$$

$$S=\frac{19s\left(\sqrt{4h^2+s^2\cot^{2}{\frac{\pi}{19}}}+s\cot{\frac{\pi}{19}}\right)}{4}\approx 3.75s\left(\sqrt{4h^2+35.9121s^2}+5.99267s\right)$$

### 菱形二十面体

<image>

菱形二十面体是一个由20个全等的菱形所组成的环带多面体。其可以透过移除菱形三十面体的10个中间面来构成。虽然菱形二十面体的20个面皆全等，但其不满足面可递的特性，换句话说，即菱形二十面体存在一组两个面，这两个面透过将一个面经由若干旋转、平移和镜射整个立体将该面的位置变换到另外一个面的位置后，其面与附近的结构并不占有相同的空间区域。若菱形二十面体的边长为$a$，则其体积$V$和表面积$S$为：

$$V=2\sqrt{5+2\sqrt{5}}a^3$$

$$S=8\sqrt{5}a^2$$

### 六角罩帐

<image>

六角罩帐是指以六边形为底的罩帐，是一种二十面体，由1个六边形面、1个十二边形面、6个五边形面和12个三角形面组成，共有20个面、42条边和24个顶点，其中六边形与十二边形互相平行，三角形与五边形交错地围绕轴分布在周围。其对称群为三维空间的二面体群群，阶数为12阶。

以正六边形为底的六角罩帐称为正六角罩帐，其仅有顶面和底面为正多边形，分别为顶面的正六边形和底面的正十二边形，侧面可能可以存在正三角形或存在正五边形，但有正三角形面时，五边形最多仅能是等边不等角的非正五边形；有正五边形面时，三角形会出现等腰三角形，故不属于詹森多面体。唯一属于詹森多面体的罩帐仅有正五角罩帐。

### 九角反角柱

<image>

九角反角柱是一种底面为九边形的反角柱，由20个面、36条边和18个顶点组成。正九角反角柱代表每个面都是正多边形的九角反角柱，其每个顶点都是3个正三角形和1个正九边形的公共顶点，顶点图以$3{.}3{.}3{.}9$表示，在施莱夫利符号中可以用$s\left\{\begin{matrix} 2 \\ 9 \end{matrix}\right\}$来表示。边长为单位长的正九角反角柱体积$V$为以下多项式的正实根，约为5.43974：

$$64x^6-1872x^4-648x^2+81$$

边长为单位长的正九角反角柱表面积$S$为以下多项式的正实根，约为20.1579：

$$x^6-486x^4+32805x^2-177147$$

### 双十角锥

<image>

双十角锥是一种以十边形为基底的双锥体，是二十面体的一种，其可以视为两个十角锥底面对底面叠合成的立体，由20个面、30条边和12个顶点组成。

双十角锥在施莱夫利符号中可以用{ }+{10}来表示，在考克斯特符号中可以用node_f1来表示，在康威多面体表示法中可以用dP10来表示，对偶多面体为十角柱。

### 十方偏方面体

十方偏方面体是一种以十边形为基底的偏方面体，由20个全等的鸢形组成，同时也是鸢形多面体，是偏方面体系列的第八个成员。所有十方偏方面体都有20个面、40条边和22个顶点，其中，顶点有两种，分别为10个鸢形的公共顶点和3个鸢形的公共顶点。

十方偏方面体是一个等面图形，即面可递多面体，其所有面都相等。更具体来说，其不仅所有面都全等，且面与面必须能在其对称性上传递，也就是说，面必须位于同一个对称性轨道内。这种凸多面体是能做成公正的骰子的形状，然而二十面骰通常以正二十面体居多。

十方偏方面体在施莱夫利符号中可以用{ }⨁{10}来表示，在考克斯特符号中可以用或来表示，在康威多面体表示法中可以用dA10来表示，对偶多面体为十角反角柱。

### 星形均匀二十面体

除了星形二十面体之外，还有许多星形多面体属于二十面体，例如为小立方立方八面体、大立方截半立方体和立方截角立方八面体等。

<image>

- 小立方立方八面体

<image>

- 大立方截半立方体

<image>

- 立方截角立方八面体

#### 小立方立方八面体

小立方立方八面体虽然称为“八面体”，但其实际为八面体变换后的结果。这个结果恰好具20个面。这种20面体，其二十个面分别为8个正三角形、6个正方形和6个正八边形，并具有48条边和24个顶点。小立方立方八面体是一种自相交拟拟正多面体（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra），由阿尔伯特·巴杜罗（Albert Badoureau）于1881年发现并描述。

#### 大立方截半立方体

大立方截半立方体虽然称为“立方体”（即一种六面体），但其实际为立方体变换后的结果。更具体的说，变换的原像是截半立方体，并且变换的结果恰好具20个面。这种20面体的20个面包括了8个正三角形、6个正方形和6个八角星，并且由48条边和24个顶点组成。大立方截半立方体与小立方立方八面体同为20面的自相交拟拟正多面体（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra），由阿尔伯特·巴杜罗（Albert Badoureau）于1881年发现并描述。

#### 立方截角立方八面体

立方截角立方八面体是一种均匀星形二十面体。虽然其被称为“八面体”，但其实际为八面体变换后的结果。这个结果恰好具20个面。这种20面体，其二十个面分别为8个正六边形、6个正八边形和6个正八角星，并具有72条边和48个顶点组成。立方截角立方八面体与上列两种均匀星形二十面体（大立方截半立方体、小立方立方八面体）不同。立方截角立方八面体并非自相交拟拟正多面体（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra），而是一种自相交截角拟正多面体（Self-Intersecting Truncated Quasi-Regular Polyhedra）。其由阿尔伯特·巴杜罗（Albert Badoureau）和约翰·皮奇（Johann Pitsch）于1881年发现并描述。

### 詹森二十面体

许多詹森多面体是具有20个面的二十面体。例如正三角帐塔反角柱、同相双三角帐塔柱、异相双三角帐塔柱、对二侧锥十二面体、间二侧锥十二面体和三角广底球状罩帐。

詹森多面体编号｜J22｜J35｜J36｜J59｜J60｜J92

图像｜

<image>

正三角帐塔反角柱｜

<image>

同相双三角帐塔柱｜

<image>

异相双三角帐塔柱｜

<image>

对二侧锥十二面体｜

<image>

间二侧锥十二面体｜

<image>

三角广底球状罩帐

展开图｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

面的组成｜16个三角形3个正方形 1个六边形｜8个三角形12个正方形｜8个三角形12个正方形｜10个三角形 10个五边形｜10个三角形 10个五边形｜13个三角形3个正方形3个五边形1个六边形

### 二十面体列表

名称｜种类｜图像｜符号｜顶点｜边｜面｜χ｜面的种类｜对称性｜展开图

凸正二十面体｜正多面体｜

<image>

｜{3,5}｜12｜30｜20｜2｜20个正三角形｜Ih, H3, 5,3, (、532)｜

<image>

大二十面体｜正多面体｜

<image>

｜{3,5/2}｜12｜30｜20｜2｜20个正三角形｜Ih, H3, 5,3, (、532)

十八角柱｜棱柱体｜

<image>

｜t{2,18}{18}x{}node_1｜54｜36｜20｜2｜2个十八边形18个矩形｜D18h, 18,2, (、18 2 2)

十九角锥｜棱锥体｜

<image>

｜∨19｜20｜38｜20｜2｜1个十九边形19个三角形｜C19v, 19, (、19 19)

九角反棱柱｜反棱柱｜

<image>

｜s{2,18}sr{2,9}｜18｜36｜20｜2｜2个九边形18个三角形｜D6d, 2+,12, (2、6), 24阶

九角帐塔｜帐塔｜{9}

t{9}｜27｜45｜20｜2｜9个三角形9个正方形1个九边形1个十八边形｜C9v, 1,9, (、99), 18阶

双十角锥｜双锥体｜

<image>

｜{ }+{10}｜12｜30｜20｜2｜20个三角形｜D10h, 10,2, (、10 2 2), 40阶

十方偏方面体｜偏方面体｜ ⨁10｜22｜40｜20｜2｜20个鹞形｜D10d, 2+,10, (2、10)

六角罩帐｜罩帐｜

<image>

｜24｜42｜20｜2｜1个六边形顶面1个十二边形底面6个五边形侧面12个三角形侧面｜三维空间的二面体群, 4, (、66), 12阶

双五角锥反角柱｜双锥反柱体｜

<image>

｜12｜30｜20｜2｜20个三角形｜D5d, 2+,10, (2、5), order 20

## 扭歪二十面体

<image>

扭歪二十面体是指面与顶点并不存在同一个三维空间（共面在四维空间的推广）而无法确定体积的二十面体，是一种扭歪多面体，所有的扭歪二十面体只能存于四维或以上的空间。例如有一种六维空间的扭歪二十面体。

## 用途

不同种类的二十面体有不同用途。比方说凸均匀二十面体（如正二十面体和十方偏方面体）可以被制作为骰子, 295；而正二十面体及其五角十二面体对称性的变体（扭棱四面体）会出现在一些晶体结构、化学物质或生物体结构中。而另一种基于正二十面体改变顶点相连方式构成的耶森二十面体，其骨架结构是机器人中常见的张拉整体结构。其运用包括了儿童玩具的设计、用于封装太空设备用于探索其他行星时的着陆的机器人等。