移动中的磁铁与导体问题

移动中的磁铁跟导体问题（moving magnet and conductor problem）是一个源自于19世纪的著名思想实验，涉及到经典电磁学与狭义相对论的交叉领域。在这问题里，相对于磁铁的参考系，导体以均匀速度 $v$ 移动。从磁铁的参考系与导体的参考系分别观测，流动于导体的电流相同。这事实遵守基本“相对性原理”：没有绝对静止标准，只可以观测到相对运动。但是，根据马克士威方程组和劳仑兹力定律，导体的电荷，在磁铁参考系会感受到磁场力，而在导体参考系会感受到电场力。从不同的参考系观测，同样的物理现象竟会出现大相径庭的描述。这问题与迈克生-莫立实验启发了阿尔伯特·爱因斯坦的相对论。

## 简介

在爱因斯坦发表的 1905 年论文里，首段描述的就是移动中的磁铁与导体问题：

如大众所知，马克士威的电动力学——若按当前的普通看法——当应用于移动物体，会导致不对称性，而这不对称性并非可见现象的内在属性。举例而言，磁铁与导体两者间相互的电动力学作用，其可观测到的现象只和导体与磁铁的相对运动有关，然而，惯常的观点却将这两种状况划下鲜明的界线，这些物体中不是一个在移动就是另一个在移动。若是磁铁在移动而导体呈静止状态，则磁铁周遭会生成带有特定能量的电场，在导体所坐落的位置造成电流。但若是磁铁呈静止状态而导体在移动，则磁铁周遭不会有电场生成，然而在导体中，会发现电动势，它并不带有对应的能量，但却可给出——假设在所讨论的这两种情况中，相对运动是一样的——前例中电场力所造成的一模一样的电流。

关于不同参考系所观测到的现象，有一个绝对不可妥协的要求，那就是一致性。这是很重要的论点，因为关于趋动电荷、造成电流的作用力，牛顿力学预测一种变换（伽利略变换），而电动力学预测另外一种不同的变换（劳仑兹变换）。从许多实验的结果，像光行差、迈克生-莫立实验等等，建立了劳仑兹变换为正确无误。狭义相对论的成功发展将这与牛顿力学的不符之处彻底解决。关于作用力的变换，从一个参考系到另一个参考系，狭义相对论将这变换加以修改，促使与劳仑兹不变性一致化。稍后，会详细解释这些变换。

再进一步，假若能够将这些描述合并在一起，独立于参考系的考量之外，不必被各种各样的参考系牵扯，那会是多么美好之举。达到这目标的细微线索是，在一个参考系的磁场，在另一个参考系会变成电场。类似地，在一个参考系的电场的螺线部分（不是由电荷产生的部分），在另一个参考系会变成磁场；也就是说，螺线电场与磁场是一块铜币的两面。这意味着不同描述的吊诡可能只是语意方面的问题。

为了避免这语意陷阱，可以合并描述为电磁张量。电场与磁场变成电磁张量的分量，在所有参考系里，形式相同。

## 前论

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从做实验可以观测到带电粒子的运动轨道，从而推断出经典电磁场的存在，经典电磁场理论能够解释带电粒子的运动行为。

物理学强烈地要求，所有观测必需对于粒子的运动轨道达成共论。例如，假若某观测发现一个粒子碰撞到标靶靶心，则所有观测必需达到同样的结论。这要求对于电磁场的属性与从一个参考系变换到另一个参考系的物理行为给予约束。这要求也对于电磁场怎样影响加速度给予约束，从而影响带电粒子的运动轨道。

爱因斯坦在他的1905年阐述狭义相对论的论文里提到的例子，即关于导体移动于磁铁产生的磁场的问题。在磁铁的参考系，导体会感受到磁场力。在导体的参考系，移动相对于磁铁，导体会感受到电场力。这磁铁参考系的磁场与导体参考系的电场，必需对于导体的运动造成一致性的结果。在1905年，爱因斯坦表明，马克士威方程组所代表的场方程组正确无误，牛顿运动定律需要修改才能给出一致性的粒子轨道

## 电磁场的伽利略变换

假设磁铁参考系与导体参考系是以伽利略变换相关联，则这两个参考系所观测到的电磁场、作用力可以直截了当的计算出来，解释两个参考系所观测到的感应电流相同。这也会顺便给出一般方程式，能够以一个参考系的电磁场表达另一个参考系的电磁场。

实际而言，两个参考系不是以伽利略变换相关联，而是以劳仑兹变换相关联。然而，在相对速度超小于光速之时，伽利略变换是非常优良的近似。

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在以下论述里，没有单撇号的符号对应于磁铁的静止参考系，而有单撇号的符号对应于导体的静止参考系。

设定 $\mathbf{v}$ 为导体参考系对于磁铁参考系的相对速度，则位置 $\mathbf{r}$、时间 $t$ 的伽利略变换分别为

$\mathbf{r}' =\mathbf{r}-\mathbf{v}t$。

$t' =t$。

在伽利略变换下，$\nabla$、$\frac{\partial}{\partial t}$ 分别为

$\nabla'=\nabla$。

$\frac{\partial}{\partial t'}=\frac{\partial}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\nabla$。

### 磁铁参考系

在磁铁的静止参考系，参数为场位置 $\mathbf{r}$、时间 $t$ 的磁场 $\mathbf{B}(\mathbf{r},t)$ 是由磁铁的形状和结构决定，与时间无关。电场为零， $\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=0$。

通常，处于电场 $\mathbf{E}(\mathbf{r},t)$ 与磁场 $\mathbf{B}(\mathbf{r},t)$ 的导体内的带电粒子 $q$ 所感受到的劳仑兹力 $\mathbf{F}$ 为

$\mathbf{F} = q (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})$。

由于电场为零，带电粒子所感受到的作用力为

$\mathbf{F} = q \mathbf{v} \times \mathbf{B}$。

### 导体参考系

在导体的静止参考系，磁场 $\mathbf{B}'$ 与磁铁参考系的磁场 $\mathbf{B}$ 之间的关系为

$\mathbf{B}'(\mathbf{r}',t') = \mathbf{B}(\mathbf{r},t)$。

由于磁场 $\mathbf{B}'$ 含时间 $t'$，根据马克士威-法拉第方程式，会有电场生成于导体参考系：

$\nabla'\times \mathbf{E}'=-\ \frac{\partial\mathbf{B}'}{\partial t'} =-\left(\frac{\partial}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{B} =-(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{B} =-(\mathbf{v}\cdot\nabla')\mathbf{B}$。

应用向量恒等式与高斯磁定律，注意到 $\mathbf{v}$ 是常数，可以得到

$\nabla' \times \mathbf{ E'} = - (\mathbf{v} \cdot \nabla') \mathbf{B} = -\nabla'\times(\mathbf{B} \times \mathbf{v}) - \mathbf{v}(\nabla'\cdot \mathbf{B}) = -\nabla'\times(\mathbf{B} \times \mathbf{v})$。

对于这方程式，存在有解答

$\mathbf{E}' = \mathbf{v}\times \mathbf{B}$。

在导体参考系，导体内部的电荷 $q$ 是呈静止状态，劳仑兹力的磁场力项目等于零，电荷感受到的作用力为

$\mathbf{F}' = q\mathbf{E}' = q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$。

注意到 $\mathbf{F} =\mathbf{F}'$，在两个参考系观测到的作用力相等（这是期待的结果），因此，在两个参考系任何可观测到的后果，像感应电流，应该也相等，尽管在导体参考系，作用力是电场力，而在磁铁参考系，作用力是磁场力。

### 劳仑兹力不变性

在伽利略变换下的电场与磁场也可以从劳仑兹力不变性猜出。由于加速度的伽利略变换为

$\mathbf{a} =\mathbf{a}'$。

作用力的伽利略变换为

$\mathbf{F} =\mathbf{F}'$。

思考移动于电磁场的一个带电粒子，其所感受到的劳仑兹力为：

$q(\mathbf{E}+\mathbf{w}\times\mathbf{B})=q(\mathbf{E}'+\mathbf{w}'\times\mathbf{B}')$。

其中，$\mathbf{w}$、$\mathbf{w}'$ 是粒子分别在磁铁参考系、导体参考系的速度，$q$ 是粒子的电量。

速度的伽利略变换为

$\mathbf{w} =\mathbf{w}' +\mathbf{v}$。

将这变换公式代入，可以得到

$\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}'=\mathbf{E}'+\mathbf{w}\times(\mathbf{B}'-\mathbf{B})$。

从参考系里观测到的电磁场，不应该与粒子速度有关，唯一可能是设定

$\mathbf{B}'=\mathbf{B}$。

$\mathbf{E}=\mathbf{E}'-\mathbf{v}\times\mathbf{B}'$。

对于移动中的磁铁与导体问题，$\mathbf{E}=0$、$\mathbf{w}'=0$，劳仑兹力分别为

$\mathbf{F}=q\mathbf{v}\times\mathbf{B}$。

$\mathbf{F}'=q\mathbf{E}'=q\mathbf{v}\times\mathbf{B}$。

### 电磁场的伽利略变换方程式

将前面结果加以延伸，假设在磁铁参考系观测到的电场不等于零，则仍旧可倚赖马克士威-法拉第方程式做出解释，在导体参考系，这含时电场会贡献出磁场。通常而言，最终结果是

$\mathbf{E}' = \mathbf{E} + \mathbf{v}\times \mathbf{B}$。

$\mathbf{B}' = \mathbf{B} - \frac{1}{{c}^2}\ \mathbf{v} \times \mathbf{E}$。

其中，$c$ 是自由空间的光速。

将这些变换方程式带入马克士威方程组，可以发觉，假若在一个参考系里，马克士威方程组完全成立，则在另外一个参考系里，马克士威方程组几乎完全成立，只差几个不正确的项目。这些项目必需靠劳仑兹变换来修正。所以，这些变换方程式有瑕疵，稍后会有更详细解释。

## 电磁场的劳仑兹变换

假设相对于磁铁参考系，导体参考系以速度 $\mathbf{v}$ 移动，则马克士威方程组的变换方程式为：

$\mathbf{E}_{\parallel}' =\mathbf{E}_{\parallel}$。

$\mathbf{E}_{\bot}' = \gamma (\mathbf{E}_{\bot}+\mathbf{v} \times\mathbf{B})$。

$\mathbf{B}_{\parallel}' =\mathbf{B}_{\parallel}$。

$\mathbf{B}_{\bot}' = \gamma (\mathbf{B}_{\bot}-\frac{\mathbf{v}}{c^2}\times\mathbf{E})$。

其中，$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - {(v/c)}^2}}$ 是劳仑兹因子，与 $\mathbf{v}$ 平行的电磁场部分以符号 $\parallel$ 为下标，与 $\mathbf{v}$ 垂直的电磁场部分以符号 $\bot$ 为下标。

假设在磁铁参考系里，电场为零，$\mathbf{E}=0$，则

$\mathbf{E}' = \gamma \mathbf{v}\times\mathbf{B}$。

在导体参考系里，电荷感受到的作用力为

$\mathbf{F}' = q\mathbf{E}' = q\gamma\mathbf{v}\times\mathbf{B}$。

这方程式与先前从非相对论性牛顿运动定律获得的方程式不同，相差一个劳仑兹因子 $\gamma$。注意到现在 $\mathbf{F} \ne\mathbf{F}'$，在两个参考系观测到的作用力不再相等。物理学不能容忍这样的结果。幸好，有狭义相对论中流砥柱，能够给出两个参考系之间对于作用力的正确变换方程式，化解这困境。

### 作用力的相对论性修正

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注意到在两个参考系里，劳仑兹力都具有同样的形式，虽然电磁场的数值大小不同：

$\mathbf{F} = q \left[\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right]$。

$\mathbf{F}'= q \left[\mathbf{E}' + \mathbf{v}' \times \mathbf{B}' \right]$。

如右图所示，稍微简化案例，设定磁场为 $\mathbf{B}=B\hat{\mathbf{z}}$，电场为 $\mathbf{E}=0$，导体以速度 $\mathbf{v}=v\hat{\mathbf{x}}$ 移动。那么，在磁铁参考系里，电荷感受的作用力为

$F_y = -qvB$。

在导体参考系里，磁铁相对地移动，电荷感受的作用力为

${F_y}' = qE' = -q\gamma vB$。

这两个作用力相差劳仑兹因子 $\gamma$。应用狭义相对论，可以解释这差别。在狭义相对论里，从磁铁参考系劳仑兹变换到导体参考系，时空坐标的变换方程式为（注意到两个参考系的相对运动是沿着x-方向。）

$x'=\gamma (x-vt)\ $、 $x=\gamma(x'+vt')$。

$t'=\gamma \left(t-\frac{vx}{c^2}\right)$、 $t=\gamma\left(t'+\frac{vx'}{c^2}\right)$。

这些变换引致作用力y-分量的差别：

${F_y}' = \gamma {F_y}$。

为了遵守劳仑兹不变性，同样的作用力，在不同参考系观测到的数值可能不一样，这与伽利略不变性迥然不同。但是，回忆前段落根据劳仑兹力定律所做的分析，可以得到

$\gamma F_y= -q\gamma vB$、 ${F_y}' =-q\gamma vB$。

两个结果完全相符合。虽然从不同参考系测量得到的作用力数值不一样，但是参考系与参考系之间的变换完全遵守相对论。

## 经典电磁理论的协变表述

应用协变表述，闵可夫斯基度规的形式被规定为 $diag(1, -1, -1, -1)$，这是参考了约翰·杰克森（John D. Jackson）的著作《经典电动力学》中所采用的形式；并且使用了经典的张量代数以及爱因斯坦求和约定。

先列出解析移动中的磁铁与导体问题所需的变量与方程式。定义带电粒子的四维速度 $u_\zeta$ 为

$u_\zeta\ \stackrel{def}{=}\ (u_0,\, u_1,\, u_2,\, u_3) = \gamma (c,\, -v_x,\, -v_y,\, -v_z )$。

其中，$c$ 是自由空间的光速，$\mathbf{v}=(v_x,\,v_y,\,v_z)$ 是带电粒子的速度向量。

定义电磁场张量 $F^{\xi \zeta}$ 为

$F^{\xi \zeta}\ \stackrel{def}{=}\ \begin{bmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ <pre> E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 </pre> \end{bmatrix}$。

其中，$\mathbf{E}=(E_x,\,E_y,\,E_z)$ 是电场，$\mathbf{B}=(B_x,\,B_y,\,B_z)$ 是磁场。

结合牛顿运动定律与劳仑兹力定律在一起，以电磁场张量写为协变形式(covariant form)：

$f^{\xi}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{d p^\xi}{d \tau} = q u_\zeta F^{\xi \zeta}$。

其中，$f^{\xi}$ 是四维力（four-force），$p^\xi$ 是四维动量，$\tau$ 是带电粒子的固有时。

应用劳仑兹变换，电磁场张量可以从一个参考系变换到另一个参考系：

$F'^{\mu \nu} = {\Lambda^{\mu}}_{\xi} {\Lambda^{\nu}}_{\zeta} F^{\xi \zeta}$。

其中，${\Lambda^{\mu}}_{\xi}$ 和 ${\Lambda^{\nu}}_{\zeta}$ 是劳仑兹变换矩阵。

现在，可以开始解析移动中的磁铁与导体问题。与这问题相关的劳仑兹变换矩阵 $\Lambda^{\mu}_{\nu}$ 是

$\Lambda^{\mu}_{\nu}=\ \left(\begin{matrix} \gamma & - \gamma\beta & 0 & 0 \\ - \gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)$。

其中，$\beta=\frac{v}{c}$ 是贝他因子。

在磁铁参考系，观测到的电磁场张量 $F^{\xi \zeta}$ 为

$F^{\xi \zeta}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -B & 0 \\ 0 & B & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$。

带电粒子（也可以说是导体）的四维速度 $u_\zeta$ 为

$u_\zeta=\gamma (c,\, -v,\, 0,\, 0 )$。

四维力 $f^{\xi}$ 为

$f^{\xi}=q u_\zeta F^{\xi \zeta}=\gamma ( 0,\, 0,\, -vB,\, 0 )$。

在导体参考系，观测到的电磁场张量 $F'^{\mu \nu}$ 为

$F'^{02} = {\Lambda^{0}}_{\xi} {\Lambda^{2}}_{\zeta} F^{\xi \zeta} ={\Lambda^{0}}_{1} {\Lambda^{2}}_{2} F^{12}+{\Lambda^{0}}_{2} {\Lambda^{2}}_{1} F^{21}=\gamma\beta B$。

$F'^{20} = {\Lambda^{2}}_{\xi} {\Lambda^{0}}_{\zeta} F^{\xi \zeta} ={\Lambda^{2}}_{1} {\Lambda^{0}}_{2} F^{12}+{\Lambda^{2}}_{2} {\Lambda^{0}}_{1} F^{21}=-\gamma\beta B$。

其他项目都等零。所以电磁场张量 $F'^{\mu \nu}$ 为

$F'^{\mu \nu}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & \gamma\beta B & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\gamma\beta B & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$。

在导体参考系，电场为

$E' =-\gamma v B$。

带电粒子（也可以说是导体）的四维速度 $u'_\zeta$ 为

$u'_\zeta=\gamma (c,\, 0,\, 0,\, 0 )$。

四维力 $f '^{\xi}$ 为

$f '^{\xi}=q u'_\zeta F'^{\xi \zeta}=\gamma ( 0,\, 0,\, -vB,\, 0 )$。

这满足两个参考系之间对于四维力的劳仑兹变换：

$f '^{\mu}= {\Lambda^{\mu}}_{\xi}f^{\xi}$。

## 参阅

- 惯性参考系
- 相对性原理
- 法拉第电磁感应定律
- 电动机

## 外部链接

- 加州大学洛杉矶分校物理课堂示范网页：磁铁与导体的相对运动实验