辐射转移

辐射转移（radiative transfer）是以电磁辐射形式进行能量转移的物理现象。经由介质传播的辐射会受到吸收、发射和散射的影响。辐射转移方程式就是以数学方式描述这些交互作用。描述辐射转移现象的方程式称为辐射转移方程式（radiative transfer equation，RTE），它被广泛应用在光学、天文物理学、大气科学和遥测上。辐射转移方程式在简单状况下存在解析解，但在实际状况下常包含复杂的多重散射效应，此时必须使用数值方式求解。

## 辐射场

辐射转移现象所描述的对象为辐射场（radiation field），而辐射场通常表达成谱辐射率（spectral radiance）对于辐射相关的物理量而言，“谱”字（spectral）通常意味着该物理量是关于波长或频率的导数；如果是对频率微分，记号通常会加一个下标 $\nu$；如果是对波长微分，记号通常会加一个下标 $\lambda$。关于位置 $\mathbf{r}$、方向 $\hat{\mathbf{n}}$ 和时间 $t$ 的的函数，写成 $I_\nu( \mathbf{r},\hat{\mathbf{n}},t)$。

谱辐射率 $I_\nu$ 的定义如下。考虑一个位于 $\mathbf{r}$ 的单位面积 $\operatorname{d}\!a$，如果在单位时间 $\operatorname{d}\!t$ 内，有辐射能量 $\operatorname{d}\!E_\nu$ 从单位立体角 $\operatorname{d}\!\Omega$ 流经单位面积 $\operatorname{d}\!a$，且频率介于 $\nu$ 和 $\nu + {\operatorname{d}\!\nu}$ 这个区间之内（辐射的极化在这里被忽略），则

$\operatorname{d}\!E_\nu = I_\nu(\mathbf{r},\hat{\mathbf{n}},t) \cos{\theta}\, {\operatorname{d}\!a}\,{\operatorname{d}\!\Omega}\,{\operatorname{d}\!t}\, {\operatorname{d}\!\nu}$。

其中 $\theta$ 是辐射的单位向量 $\hat{\mathbf{n}}$ 和单位面积法向的夹角。谱辐射率的单位是以能量/(时间⋅面积⋅立体角⋅频率)表示，在MKS单位制中，就是W·m-2·sr-1·Hz-1。

当一个区域内所有的点在所有方向上某一时刻的 $I_\nu( \mathbf{r},\hat{\mathbf{n}},t)$ 都被指定，就构成一个辐射场。另外，谱辐射率为辐射度量学名词，在传统天文学领域常常称为比强度（specific intensity）。

## 辐射转移方程式

辐射转移方程式是谱辐射率的微分方程式。先考虑一维的情形，令 $s$ 是沿着辐射路径传播的距离；假如辐射通过真空，则它的谱辐射率不随着辐射传递而改变，于是有

${\operatorname{d}\!{I_\nu}\over\operatorname{d}\!s}=0$。

现在考虑辐射通介质，则有三种交互作用会导致辐射转移：

- 因为吸收（absorption）而失去能量
- 因为发射（emission）而获得能量
- 因为散射（scattering）而重新分配能量

所以辐射转移方程式可写为

${\operatorname{d}\!{I_\nu}\over\operatorname{d}\!s}=j_\nu-\alpha_\nu I_\nu$。

此处 $j_\nu$ 是物质的谱发射系数，$\alpha_\nu$ 是物质的谱衰减系数，而且可写成 $\alpha_\nu = \alpha_{\nu,{\rm a}} + \alpha_{\nu,{\rm s}}$，下标里的 a 与 s 分别表示与吸收和散射的成分。在天文物理学中，常引入光深度 $\tau$ 的概念；对上式使用 $\operatorname{d}\!\tau = \alpha \operatorname{d}\!s$ 进行变数变换，可得到

${\operatorname{d}\!{I_\nu}\over\operatorname{d}\!\tau_\nu}=S_\nu-I_\nu$。

其中 $S_\nu \equiv j_\nu/\alpha_\nu$ 是源函数。当所有频率 $\nu$ 的源函数都等于谱辐射率的时候，可得到 ${\operatorname{d}\! I} / {\operatorname{d}\!s}=0$，仿佛辐射是通过真空一样，这就是辐射平衡（radiative equilibrium）条件。

如果考虑三维情形，辐射转移方程式可写为

$\left[\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} + \left(\hat{\mathbf{n}} \cdot \nabla\right)\right] I_\nu = j_\nu - (\alpha_{\nu, {\rm a}}+\alpha_{\nu, {\rm s}}) I_\nu + \frac{\alpha_{\nu,{\rm s}}}{4\pi} \int_\Omega I_\nu {\operatorname{d}\!\Omega}$。

其中 $c$是光速。等式左边的微分算子用法向导数取代了对 $s$ 的导数，还纳入了 $I_\nu$ 的时间导数；等式右边第三项考量的是从四面八方散射而来的辐射，故取 $I_\nu$ 的角度平均。

## 辐射转移方程式的解

求解辐射转移方程式是非常耗力的工作。不过可以依据各种形式的吸收和发射系数，进行适当简化。譬如说，如果将吸收和散射忽略，只考虑物质的发射，则一维辐射转移方程式的通解可以写成：

$I_\nu(s)=I_\nu(s_0)\,e^{-\tau(s_0,s)}+\int_{s_0}^s j_\nu(s')\, e^{-\tau(s',s)}{\operatorname{d}\!s'}$。

这里的 $\tau(s_1,s_2)$ 是两个位置 $s_1$ 和 $s_2$ 中间介质的光深度：

$\tau(s_1,s_2) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{s_1}^{s_2} \alpha_\nu(s)\,ds$。

### 局部热力平衡

一个特别有用的辐射转移方程式简化是局部热力平衡（local thermodynamic equilibrium，LTE）状态。这个状态中，介质包含许多“局部”达到热平衡的粒子，因此有一个可定义的温度。但辐射场并非处在平衡状态，并且是由大量存在的粒子驱动。在局部热力平衡的介质中，发射系数和吸收系数只是温度和密度函数，而且两者的关系式为

$\frac{j_\nu}{\alpha_\nu}=B_\nu(T)$。

其中 $B_\nu(T)$ 是温度 $T$ 时的黑体辐射的谱辐射率（即普朗克黑体辐射定律）。此时，辐射转移方程式的解为

$I_\nu(s)=I_\nu(s_0)e^{-\tau(s_0,s)}+\int_{s_0}^s B_\nu(T(s'))\alpha_\nu(s') e^{-\tau(s',s)}\,{\operatorname{d}\!s'}$。

了解介质的温度和密度剖面曲线之后，就足以计算辐射转移方程式的解。

### 爱丁顿近似

爱丁顿近似（Eddington approximation）是辐射转移方程式的一种近似解，适用于气象学中的平面平行大气（plane-parallel atmosphere）模型及天文学中的灰色大气模型。在这些模型里，大气的各种热力性质呈现层状（slab-like）分布，换句话说，它们只会在垂直于层状大气的方向上（定义为 $z$ 轴）发生变化，而不会在平行方向上出现变化。辐射路径 $s$ 上的变化量与 $z$ 轴上的变化量的关系为

${\operatorname{d}\!s}=\frac{\operatorname{d}\!z}{\cos{\theta}}=\frac{\operatorname{d}\!z}{\mu}$。

我们稍后会解说定义 $\mu=\cos\theta$ 的作用。由于考虑的是平面平行大气，所以我们预期谱辐射率也只是 $z$ 和 $\mu$ 的线性函数。使用变数变换 ${\operatorname{d}\!s}={\operatorname{d}\!z}/\mu$，代入一维辐射转移方程式，则有

$$\mu\frac{\partial {I_\nu}}{\partial z}=j_\nu-\alpha_\nu I_\nu$$

另一方面，我们定义谱辐射率 $I_\nu$ 关于 $\mu$ 的第 $j$ 阶动差为了方便起见，以下辐射相关物理量中的下标 $\nu$ 被省略了。

$M_{j} \equiv \frac{1}{2} \int^{+1}_{-1} \mu^j I(\mu) {\operatorname{d}\!\mu}$。

之所以引入动差的概念，是因为在平面平行大气中，有许多辐射相关的物理量是 $\mu=\cos\theta$ 的函数，只要使用变数变换 ${\operatorname{d}\!\mu}=-\sin{\theta}\; {\operatorname{d}\!\theta}$，就可以在角度积分中简化算式。具体来说，假设 $A(\cos{\theta})$ 是任意 $\mu=\cos\theta$ 的函数，则 $A(\cos{\theta})$ 对于所有方向的立体角积分为

$\int A(\cos{\theta}){\operatorname{d}\!\Omega} = \int^{2\pi}_{\phi=0} \int^\pi_{\pi=0} { A(\cos{\theta}) \sin{\theta}\, {\operatorname{d}\!\theta}\, {\operatorname{d}\!\phi}} = 2\pi\int^{+1}_{-1}{A(\mu)\,{\operatorname{d}\!\mu}}$。

$I$ 关于 $\mu$ 的前几阶动差是

$J=\frac{1}{2}\int^1_{-1}{I (\mu) {\operatorname{d}\!\mu}}$。

$H =\frac{1}{2}\int^{1}_{-1}{\mu I(\mu) {\operatorname{d}\!\mu}}$。

$K=\frac{1}{2}\int^1_{-1}{\mu^2 I_\nu(\mu){\operatorname{d}\!\mu}}$。

此处 $J$ 是辐射强度的角度平均（angle-averaged intensity），它恰好与能量密度 $U$ 成正比；$H$ 是爱丁顿通量（Eddington flux），与辐射通量 $F$ 成正比；$K$ 也与辐射压 $P$ 成正比。

所谓的爱丁顿近似就是将平面平行大气中的辐射场视为“近似于各向同性”、但是有关于 $\mu=\cos{\theta}$ 的一阶异向性，简单来说，就是假定 $I$ 关于 $\mu$ 的泰勒级数只保留到一次项，于是 $I$ 成为 $\mu$ 线性函数：

$I(z, \mu) = a(z) + b(z) \mu$。

将这个函数代入上述动差的公式，可以得到

$J=a(z),\quad\,H=\frac{b(z)}{3},\quad K=\frac{a(z)}{3}$。

于是得到爱丁顿近似的重要结果：

$K=\frac{J}{3}$。

这等价于各项同性辐射场的重要条件 $P=U/3$，不过差别在于爱丁顿近似适用于稍微具有异向性的辐射场。爱丁顿近似是由天文学家亚瑟·爱丁顿在研究恒星大气时所提出。

爱丁顿近似与双流近似不同。双流近似是假设空间分为两块区域，辐射在其中一边固定以某方向传播，在另一边固定以另一方向传播。