粒子衰变

粒子衰变是一基本粒子变成其他基本粒子的自发过程。在这个过程中，一基本粒子变成质量更轻的另一种基本粒子，及一中间粒子，例如μ子衰变中的W玻色子。这中间粒子随即变成其他粒子。如果生成的粒子不稳定，那么衰变过程还会继续。

粒子衰变这种过程，与放射性衰变不一样，后者为一不稳定的原子核，变成一更小的原子核，当中还伴随着粒子或辐射的发射。

注意本条目使用自然单位，即

$c=\hbar=1$。

## 粒子寿命列表

所有数值均来自粒子数据小组：

种类｜名称｜符号｜能量 (MeV)｜平均寿命

轻子｜电子 / 正电子｜$e^- \, / \, e^+$｜0.511｜$> 4.6 \times 10^{26}$ 年

μ子 / 反μ子｜$\mu^- \, / \, \mu^+$｜105.6｜$2.2\times 10^{-6}$ 秒

τ子 / 反τ子｜$\tau^- \, / \, \tau^+$｜1777｜$2.9 \times 10^{-13}$ 秒

介子｜中性π介子｜$\pi^0\,$｜135｜$8.4 \times 10^{-17}$ 秒

带电π介子｜$\pi^+ \, / \, \pi^-$｜139.6｜$2.6 \times 10^{-8}$ 秒

重子｜质子 / 反质子｜$p^+ \, / \, p^-$｜938.2｜$> 10^{29}$ 年

中子 / 反中子｜$n \, / \, \bar{n}$｜939.6｜$885.7$ 秒

玻色子｜W玻色子｜$W^+ \, / \, W^-$｜80,400｜$10^{-25}$ 秒

Z玻色子｜$Z^0 \,$｜91,000｜$10^{-25}$ 秒

## 生还概率

把一粒子的平均寿命标记为$\tau$，这样粒子在时间t后仍生还（即未衰变）的概率为

$$P(t) = e^{-t/(\gamma \tau)}$$

其中

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$为该粒子的劳仑兹因子。

## 衰变率

设一粒子质量为M，则衰变率可用下面的通用公式表示

$$d \Gamma_n = \frac{(2\pi)^4}{2M}\left|\mathcal{M} \right|^2 d \Phi_n (P; p_1, p_2,\dots, p_n)$$

其中

n为原衰变所生成的粒子数。

$\mathcal{M}\,$为连接始态与终态的不变矩阵上的元。

$d\Phi_n \,$ 为相空间的元，及

$p_i \,$为粒子i 的四维动量。

相空间可由下式所得。

$$d \Phi_n (P; p_1, p_2,\dots, p_n) = \delta^4 (P - \sum_{i=1}^n p_i) \left( \prod_{i=1}^n \frac{d^3 \vec{p}_i}{(2\pi)^3 2 E_i} \right) \,$$

其中

$\delta^4 \,$为四维的狄拉克δ函数。

### 三体衰变

作为例子，一粒子衰变成三粒子时的相空间元如下：

$$d\Phi_3 = \frac{1}{(2\pi)^9} \delta^4(P - p_1 - p_2 - p_3) \frac{d^3 \vec{p}_1}{2 E_1} \frac{d^3 \vec{p}_2}{2 E_2} \frac{d^3 \vec{p}_3}{2 E_3} \,$$

## 四维动量

一粒子的四维动量又叫其不变质量。

一粒子的四维动量平方，定义为其能量平方与其三维动量平方间的差（注意从这开始，采用的单位都能满足光速等于1这项条件）：

$$p^2 = E^2 - (\vec{p})^2 = m^2 \quad \quad \quad \quad (1) \,$$

两粒子的四维动量平方为

$p^2 = \left(p_1 + p_2 \right)^2 = p_1^2 + p_2^2 + 2 p_1 p_2 = m_1^2 + m_2^2 + 2(E_1 E_2 - \vec{p}_1 \cdot \vec{p}_2)\,$。

### 四维动量守恒

在所有衰变及粒子相互作用中，四维动量都必须守恒，因此始态pi 与终态pf 的关系为

$p_\mathrm{i} = p_\mathrm{f}$。

#### 在二体衰变中

设母粒子质量为M，衰变成两粒子（标记为1和2），那么四维动量的守恒条件则为

$p_M = p_1 + p_2$。

整理可得。

$$p_M - p_1 = p_2$$

然后取左右两边的平方

$p_M^2 + p_1^2 - 2p_M p_1 = p_2^2$。

现在要用的正是四维动量的定义——方程(1)，展开各p2 得

$$M^2 + m_1^2 - 2 \left(E_M E_1 - \vec{p}_M \cdot \vec{p}_1 \right) = m_2^2 . \quad \quad \quad \quad (2) \,$$

若进入母粒子的静止系，则

- $\vec{p}_M =0 \,$，及
- $$E_M = M \,$$

将上述两式代入方程(2)得：

$$M^2 + m_1 ^2 - 2 M E_1 = m_2^2. \,$$

整理后得粒子1于母粒子静止系中的能量公式。

$$E_1 = \frac{M^2 + m_1^2 - m_2^2}{2 M} . \quad \quad \quad \quad (3) \,$$

同样地，粒子2在母粒子在静止系中的能量为

$E_2 = \frac{M^2 + m_2^2 - m_1^2}{2 M}$。

可得

$$|\vec{p}_1| = |\vec{p}_2| = \frac{\sqrt{\left[M^2-\left(m_1+m_2\right)^2\right]\left[M^2-\left(m_1-m_2\right)^2\right]}}{2M}. \,$$

先把$E_1 ^2 = m_1 ^2 + \vec{p}_1 ^2 \,$ 代入方程(3)：

$$\vec{p_1} ^2 = \frac{(M^2 + m_1^2 - m_2^2)^2-4 m_1 ^2 M^2}{4 M^2}\,$$

$$\vec{p_1} ^2 = \frac{M^4 + m_1^4 + m_2^4 - 2 m_1 ^2 M^2 - 2 m_2 ^2 M^2 - 2 m_1 ^2 m_2 ^2}{4 M^2}\,$$

$$\vec{p_1} ^2 = \frac{M^4 - M^2 (m_1 + m_2)^2 -M^2 (m_1 - m_2)^2 + (m_1 ^2 - m_2 ^2)^2}{4 M^2}\,$$

$$\vec{p_1} ^2 = \frac{M^2 \left[ M^2 - (m_1 - m_2)^2\right] - (m_1 + m_2)^2\left[M^2 - (m_1 - m_2 )^2\right]}{4 M^2}\,$$

$$|\vec{p}_1| = \frac{\sqrt{\left[M^2-\left(m_1+m_2\right)^2\right]\left[M^2-\left(m_1-m_2\right)^2\right]}}{2M}. \,$$

$|\vec{p}_2| \,$的推导也一样。

## 二体衰变

### 从两个不同的参考系

在实验室系中发射粒子的角度，与质心系时的关系由下式表示：

$$\tan{\theta'} = \frac{\sin{\theta}}{\gamma \left(\beta / \beta' + \cos{\theta} \right)}$$

### 衰变率

设一母粒子质量为M，衰变成两粒子，标记为1和2。那么在母粒子的静止系中。

$|\vec{p}_1| = |\vec{p_2}| = \frac{[(M^2 - (m_1 + m_2)^2)(M^2 - (m_1 - m_2)^2)]^{1/2}}{2M}$。

另外，用球座标表示则为

$d^3 \vec{p} = |p|^2\, dp d\Omega = p^2\, d \phi\, d\left( \cos \theta \right)$。

已知二体衰变的相空间元（见上文#衰变率一节，n=2），得母粒子参考系中的衰变率为：

$d\Gamma = \frac{1}{32 \pi^2} \left| \mathcal{M} \right|^2 \frac{|\vec{p}_1|}{M^2}\, d\phi_1\, d\left( \cos \theta_1 \right)$。

## 参考资料

- －见第2页。
- 粒子数据小组
- 粒子大冒险 劳伦斯伯克利国家实验室粒子数据小组