Β分布

$\alpha > 0$ $\beta > 0$

$$x \in (0; 1)\!$$

$$\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!$$

$$I_x(\alpha,\beta)\!$$

$\operatorname{E}[x] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!$ $\operatorname{E}[\ln x] = \psi(\alpha) - \psi(\alpha + \beta)\!$(见双伽玛函数)

$I_{0.5}^{-1}(\alpha,\beta)$ 无解析表达

$\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\!$ for $\alpha>1, \beta>1$

$$\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!$$

$$\frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}$$

$$1 +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}$$

${}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\!$ (见合流超几何函数)

Β分布，亦称贝它分布、Beta 分布（Beta distribution），在概率论中，是指一组定义在$(0,1)$区间的连续概率分布，有两个母数$\alpha, \beta>0$。

## 定义

### 概率密度函数

Β分布的概率密度函数是：

$$\begin{align} f(x;\alpha,\beta) & = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{\int_0^1 u^{\alpha-1} (1-u)^{\beta-1}\, du} \\[6pt] & = \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\, x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} \\[6pt] & = \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\, x ^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} \end{align}$$

其中$\Gamma(z)$是Γ函数。如果$n$为正整数，则有：

$$\Gamma(n) = (n-1)!$$

随机变量X服从参数为$\alpha, \beta$的Β分布通常写作

$$X \sim \textrm{Be}(\alpha, \beta)$$

### 累积分布函数

Β分布的累积分布函数是：

$$F(x;\alpha,\beta) = \frac{\mathrm{B}_x(\alpha,\beta)}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)} = I_x(\alpha,\beta) \!$$

其中$\mathrm{B}_x(\alpha,\beta)$是不完全Β函数，$I_x(\alpha,\beta)$是正则不完全贝塔函数。

## 性质

参数为$\alpha, \beta$Β分布的众数是：

$\begin{align} <pre> \frac{\alpha - 1}{\alpha + \beta - 2} \\ </pre> \end{align}$

期望值和方差分别是：

$$\mu = \operatorname{E}(X) = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}$$

$$\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}(X - \mu)^2 = \frac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^2(\alpha + \beta + 1)}$$

偏度是：

$$\frac{\operatorname{E}(X - \mu)^3}{[\operatorname{E}(X - \mu)^2]^{3/2}} = \frac{2 (\beta - \alpha) \sqrt{\alpha + \beta + 1} } <pre> {(\alpha + \beta + 2) \sqrt{\alpha \beta}} </pre>$$

峰度是：

$$\frac{\operatorname{E}(X - \mu)^4}{[\operatorname{E}(X - \mu)^2]^{2}}-3 = \frac{6[\alpha^3-\alpha^2(2\beta - 1) + \beta^2(\beta + 1) - 2\alpha\beta(\beta + 2)]} {\alpha \beta (\alpha + \beta + 2) (\alpha + \beta + 3)}$$

或：

$$\frac{6[(\alpha - \beta)^2 (\alpha +\beta + 1) - \alpha \beta (\alpha + \beta + 2)]} {\alpha \beta (\alpha + \beta + 2) (\alpha + \beta + 3)}$$

$k$阶矩是：

$$\operatorname{E}(X^k) = \frac{\operatorname{B}(\alpha + k, \beta)}{\operatorname{B}(\alpha,\beta)} = \frac{(\alpha)_{k}}{(\alpha + \beta)_{k}}$$

其中$(x)_{k}$表示递进阶乘幂。$k$阶矩还可以递归地表示为：

$$\operatorname{E}(X^k) = \frac{\alpha + k - 1}{\alpha + \beta + k - 1}\operatorname{E}(X^{k - 1})$$

另外。

$$\operatorname{E}(\log X) = \psi(\alpha) - \psi(\alpha + \beta)$$

给定两个Β分布随机变量, X ~ Beta(α, β) and Y ~ Beta(α', β'), X的微分熵为：

$$\begin{align} <pre> h(X) &= \ln\mathrm{B}(\alpha,\beta)-(\alpha-1)\psi(\alpha)-(\beta-1)\psi(\beta)+(\alpha+\beta-2)\psi(\alpha+\beta) </pre> \end{align}$$

其中$\psi$表示双伽玛函数。

联合熵为：

$$H(X,Y) = \ln\mathrm{B}(\alpha',\beta')-(\alpha'-1)\psi(\alpha)-(\beta'-1)\psi(\beta)+(\alpha'+\beta'-2)\psi(\alpha+\beta).\,$$

其KL散度为：

$$<pre> D_{\mathrm{KL}}(X,Y) = \ln\frac{\mathrm{B}(\alpha',\beta')} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)} - (\alpha'-\alpha)\psi(\alpha) - (\beta'-\beta)\psi(\beta) + (\alpha'-\alpha+\beta'-\beta)\psi(\alpha+\beta).$$

## 外部链接

- Beta分布
- LDA-math-认识Beta/Dirichlet分布