形式幂级数

形式幂级数(formal power series)是一个数学中的抽象概念，是从幂级数中抽离出来的代数对象。形式幂级数和从多项式中剥离出来的多项式环类似，不过允许（可数）无穷多项因子相加，但不像幂级数一般要求研究是否收敛和是否有确定的取值。形式幂级数在代数和组合理论中有广泛应用。

## 简介

形式幂级数和多项式的形式定义有类似之处。对于熟悉幂级数的读者，也可以将其看作是不讨论幂级数敛散性，也就是将其中的不定元仅仅看作是一个代数对象，而不是任何具体数值的时候写出的幂级数。举例来说，以下的级数式子：

$$A = 1 - 3X + 5X^2 - 7X^3 + 9X^4 - 11X^5 + \cdots.$$

如果我们把它当成幂级数来研究的话，重点会放在它的收敛半径等于1、其对应的幂级数函数是否满足某些性质等等。但作为形式幂级数来研究时，我们关注的是它本身的结构。我们甚至可以把它简写为：$[1,-3,5,-7,9, \cdots]$这样，只关注它的系数。我们完全可以考虑各种系数的形式幂级数。比如说系数为阶乘的形式幂级数：$[1,1,2,6,24,120,, \cdots]$，即使说它对应的幂级数：

$$A = 1 + X + 2X^2+6X^3+24X^4 + 120X^5 + \cdots.$$

在$X$取任何的非零实数值时都不收敛，我们仍然可以将其作为形式幂级数进行运算。

和多项式环中的元素一样，形式幂级数之间也可以做加减和乘法的运算，具体的计算方式和多项式环一样。比如说设：

$$B = 2X + 4X^3 + 6X^5 +8X^7 + \cdots.$$

那么$A$与$B$的和就是：

$$A + B = 1 + 3X + 2X^2+10 X^3+24X^4 + 126X^5 + \cdots.$$

$$AB = 2X - 6X^2 + 14X^3 - 26X^4 + 44X^5 + \cdots.$$

其中$A + B$里面$X^3$的系数就是$A$与$B$中$X^3$的系数的和；$AB$里面$X^5$的系数就是$A$与$B$中$X$的阶数相加等于5的项的系数乘积的和：

$$44X^5 = (1\times 6X^5) + (5X^2 \times 4X^3) + (9X^4 \times 2X).$$

对每个确定的阶数$n$，这个计算是有限项（至多$n+1$项）的相加，所以在计算形式幂级数的加减法和乘法的时候，不需要像在对幂级数进行计算时一样，考虑诸如是否绝对收敛、条件收敛或是一致收敛的问题。另外，如多项式的形式运算一样，形式幂级数也满足加法的交换律、加法的结合律、乘法的交换律、乘法的结合律以及乘法对加法的分配律。

形式幂级数不仅能够定义乘法，也能定义乘法逆的运算。一个形式幂级数$A$的逆是指另一个形式幂级数$C$，使得$AC = 1$. 如果这样的形式幂级数$C$存在，就是唯一的，将其记为$A^{-1}$。同时我们也可以定义形式幂级数的除法：当$A$的逆存在时，$B/A = B\cdot A^{-1}.$ 比如说，可以很容易验证：

$$\frac{1}{1+X} = 1 - X + X^2 - X^3 + X^4 - X^5 + \cdots.$$

形式幂级数上的一个重要映射是系数的提取操作：将一个形式幂级数映射到它的$X^n$的系数。这个操作常常记作$[X^n]$，比如说对形式幂级数$A = 1 - 3X + 5X^2 - 7X^3 + 9X^4 - 11X^5 + \cdots.$，就有：

$$[X^5]A = -11$$

对以上定义的形式幂级数$B$，也有：$[X^3]B = 4$。又比如：$[X^2] ( X + 3 X^2 Y^3 + 10 Y^6) = 3 Y^3$，$[X^2 Y^3] ( X + 3 X^2 Y^3 + 10 Y^6) = 3$。提取映射和多项式环中的对应映射一样，都可以看做是到一个子空间的投影映射。

## 形式幂级数的环结构

所有的不定元为$X$，系数为某一个交换环$R$上元素的形式幂级数构成一个环，称为$R$上变量为$X$的形式幂级数环，记作$R[[X]]$。

### 定义

$R[[X]]$可以定义为$R$上变量为$X$的多项式环完备化（对于特定的度量）后得到的。这个定义自然就赋予了$R[[X]]$以拓扑环的结构（同时也赋予了完备度量空间的结构）。不过空间完备化所需要的步骤过于繁琐，而建构$R[[X]]$所需要的并没有那么多。以下将对$R[[X]]$的环结构和拓扑结构分别定义，更为明晰，容易理解。

#### 环结构

首先可以定义集合$R[[X]]$的范围。作为一个集合，$R[[X]]$可以用和$R^{\mathbb{N}}$一样的方法构造。$R^{\mathbb{N}}$是所有$R$上元素构成的数列$(a_n)_{n\in \mathbb{N} }$的集合：

$$R^{\mathbb{N}} = \{ (a_n)_{n\in \mathbb{N} }, \, \, \, \forall n\in \mathbb{N} , \, a_n \in R \}.$$

$R^{\mathbb{N}}$中的元素可以定义加法和乘法：

$$(a_n)_{n\in\mathbb{N}} + (b_n)_{n\in\mathbb{N}} = \left( a_n + b_n \right)_{n\in\mathbb{N}}$$

$$(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \times (b_n)_{n\in\mathbb{N}} = \left( \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \right)_{n\in\mathbb{N}}.$$

其中乘法的定义方法也叫做求两个数列的系数的柯西乘积，也是一种卷积。可以证明，在以上的定义下，$R^{\mathbb{N}}$是一个交换环。环的加法零元是$(0, 0, 0, ...)$，乘法幺元是$(1, 0, 0,...)$。于是我们可以将$R$中的元素嵌入到$R^{\mathbb{N}}$之中。

$$x \in R \, \, \mapsto \, (x, 0, 0,...)$$

并将$(0, 1, 0, 0, ...)$映射到不定元$X$，这样通过以上定义的加法和乘法就可以将$R^{\mathbb{N}}$中的有限非零元元素同构为：

$$(a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n, 0, 0, \ldots) \mapsto a_0 + a_1 X + \cdots + a_n X^n = \sum_{i=0 }^n a_i X^i$$

这样的结构和多项式环是一样的。所以对于更一般的$R^{\mathbb{N}}$中元素$(a_n)_{n\in \mathbb{N} }$，就可以自然地希望将其对应到$\sum_{i\in \mathbb{N} }a_i X^i$：

但这个对应方式并不能通过有限项的加法和乘法得到，所以需要用一个约定上的映射$\varphi : \, R^{\mathbb{N}} \rightarrow R[[X]]$来做到：

$$(a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots) \mapsto \varphi ( a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots ) = a_0 + a_1 X + \cdots + a_n X^n + \cdots = \sum_{i\in \mathbb{N} }a_i X^i$$

这个映射涵盖了之前的多项式的定义，并且可以定义

$$\left(\sum_{i\in \mathbb{N} } a_i X^i\right) + \left(\sum_{i\in \mathbb{N} } b_i X^i\right) = \sum_{n\in \mathbb{N} } \left( a_n + b_{n}\right) X^n.$$

以及

$$\left(\sum_{i\in\N} a_i X^i\right) \times \left(\sum_{i\in\N} b_i X^i\right) = \sum_{n\in\N} \left(\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\right) X^n.$$

这个定义使得$\varphi$是一个同态，所以$R[[X]]$也是一个交换环。

#### 拓扑结构

以上的定义中建立了映射

$$\varphi(a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots) = \sum_{i=0}^\infty a_i X^i, \qquad (1)$$

但需要注意的是这里的定义中$\sum_{i=0}^\infty a_i X^i$还是一个符号性的对象，因为我们并没有定义其中无限求和号的意义。为了更好地定义$\sum_{i=0}^\infty a_i X^i$本身，我们需要引入拓扑的结构，将其作为极限来严格地说明。需要注意的是，适合的拓扑结构不止一个。

- 我们可以在$R$上定义离散拓扑的结构，然后将$R^{\mathbb{N}}$作为可数个$R$的积空间，将其上的拓扑定义为积拓扑。
- 我们也可以直接在$R^{\mathbb{N}}$上定义类似于p进数拓扑的$I$进拓扑，其中的$I = (X)$是环结构中由$X$生成的理想，也就是由所有$\sum_{i=1}^\infty a_i X^i$形式的形式幂级数构成的集合。
- 对不熟悉一般的点集拓扑学的读者，也可以建立一个具体的度量（也就是定义“距离”）来定义拓扑。比如定义两个数列$a = (a_n)_{n\in \mathbb{N} }$和$b = (b_n)_{n\in \mathbb{N} }$的距离：
- $$d(a, b) = \begin{cases} 2^{-\omega(a - b)} &\quad a - b \neq 0 \\ 0 & \quad a - b = 0 \end{cases}$$

其中$\omega(s)$表示数列$s = (s_n)_{n\in \mathbb{N} }$中第一个不等于0的系数的下标。这样的定义之下，我们说两个数列如果越来越“接近”，那么第一个系数不同的地方会出现的越晚，也就是说它们的距离也越小。对一个数列$a = (a_n)_{n\in \mathbb{N} }$，定义部分和数列为：

$$s_k = (a_0, a_1, \ldots ,a_k , 0 , 0 , \ldots)$$

那么部分和$s_k$和$a$的距离就会是$2^{-(k+1)}$，所以$k$趋于无穷大的时候，部分和数列和$a$的距离趋于0. 这样，在定义了有限项非零元的数列和多项式的关系以后，就可以将任意的数列定义为部分和数列的极限。

$$<pre> (a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots) = \lim_{k\to\infty} s_k </pre>$$

然后对形式幂级数也定义类似的距离：

$$d'( \sum_{i=0}^\infty a_i X^i , \sum_{i=0}^\infty b_i X^i ) = \begin{cases} 2^{-\omega' } ,\, \, \omega' = \min_{n} \{ a_n \neq b_n\} & \quad \exists a_n \neq b_n \\ 0 & \quad \forall n, \, \, a_n = b_n \end{cases}$$

然后形式幂级数也就满足：

$$<pre> \sum_{i=0}^\infty a_i X^i =: \varphi(a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots) = \lim_{k\to\infty} \varphi(s_k) = \lim_{k\to\infty} \sum_{i=0}^k a_i X^i </pre>$$

并且可以验证加法、乘法的交换律和结合律，以及乘法对加法的分配律。于是我们定义出了一个同构于$R^{\mathbb{N}}$的拓扑环，将其称为$R$上的形式幂级数环$R[[X]]$。