派克变换

派克变换（也译作帕克变换，英语：Park's Transformation），是目前分析同步电动机及感应马达运行最常用的一种坐标变换，由美国工程师罗伯特·H·帕克在1929年提出。派克变换将定子的a,b,c三相电流投影到随着转子旋转的直轴（d轴），交轴（q轴）与垂直于dq平面的零轴（0轴）上去，从而实现了对定子电感矩阵的对角化，对电动机的运行分析起到了简化作用。

## 定义

派克正变换：

$${\mathbf{i}}_{dq0} = {\mathbf{P}}{\mathbf{i}}_{abc} = \frac{2} {3}\left[ {\begin{array}{*{20}c} <pre> {\cos \theta } & {\cos \left( {\theta - 120^ \circ } \right)} & {\cos \left( {\theta + 120^ \circ } \right)} \\ { - \sin \theta } & { - \sin \left( {\theta - 120^ \circ } \right)} & { - \sin \left( {\theta + 120^ \circ } \right)} \\ {\frac{1} </pre> {2}} & {\frac{1} {2}} & {\frac{1} {2}} \\ <pre> \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} {i_a } \\ {i_b } \\ {i_c } \\ \end{array} } \right]$$

逆变换：

$${\mathbf{i}}_{abc} = {\mathbf{P}}^{ - 1} {\mathbf{i}}_{dq0} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} <pre> {\cos \theta } & { - \sin \theta } & 1 \\ {\cos \left( {\theta - 120^ \circ } \right)} & { - \sin \left( {\theta - 120^ \circ } \right)} & 1 \\ {\cos \left( {\theta + 120^ \circ } \right)} & { - \sin \left( {\theta + 120^ \circ } \right)} & 1 \\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} {i_d } \\ {i_q } \\ {i_0 } \\ \end{array} } \right]$$

派克变换也作用在定子电压与定子绕组磁链上：

${\mathbf{u}}_{dq0} = {\mathbf{P}}{\mathbf{u}}_{abc}$，${\mathbf{\Psi }}_{dq0} = {\mathbf{P}}{\mathbf{\Psi }}_{abc}$

### 几何解释

<image>

## 用派克变换化简同步发电机基本方程

### 变换后的磁链方程

磁链方程：

$$\left[ {\begin{array}{*{20}c} <pre> {{\mathbf{\Psi }}_{abc} } \\ {{\mathbf{\Psi }}_{fDQ} } \\ \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {{\mathbf{L}}_{SS} } & {{\mathbf{L}}_{SR} } \\ {{\mathbf{L}}_{RS} } & {{\mathbf{L}}_{RR} } \\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} { - {\mathbf{i}}_{abc} } \\ {{\mathbf{i}}_{fDQ} } \\ \end{array} } \right] </pre>$$

上式中的电感系数矩阵 ${{\mathbf{L}}_{SS}},{{\mathbf{L}}_{SR}},{{\mathbf{L}}_{RS}},{{\mathbf{L}}_{RR}}$ 事实上都含有随时间变化的角度参数

${\mathbf{L}}_{SS} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} <pre> {L_{aa} } & {M_{ab} } & {M_{ac} } \\ {M_{ba} } & {L_{bb} } & {M_{bc} } \\ {M_{ca} } & {M_{cb} } & {L_{cc} } \\ \end{array} } \right] </pre>$

$$L_{aa} = l_0 + l_2 \cos \left( 2\theta \right)$$

$$L_{bb} = l_0 + l_2 \cos 2\left( {\theta - 120^ \circ } \right)$$

$$L_{cc} = l_0 + l_2 \cos 2\left( {\theta + 120^ \circ } \right)$$

$$M_{ab} = M_{ba} = - m_0 - m_2 \cos 2\left( {\theta + 30^ \circ } \right)$$

$$M_{bc} = M_{cb} = - m_0 - m_2 \cos 2\left( {\theta - 90^ \circ } \right)$$

$$M_{ca} = M_{ac} = - m_0 - m_2 \cos 2\left( {\theta + 150^ \circ } \right)$$

使得方程求解困难。

现对等式两边同时左乘 $\left[ {\begin{array}{*{20}c} <pre> {\mathbf{P}} & {} \\ {} & {\mathbf{U}} \\ \end{array} } \right]$，其中$</pre> {\mathbf{U}}$为三阶单位矩阵。方程化为：

$$\left[ {\begin{array}{*{20}c} <pre> {{\mathbf{\Psi }}_{dq0} } \\ {{\mathbf{\Psi }}_{fDQ} } \\ \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\mathbf{P}} & {} \\ {} & {\mathbf{U}} \\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} {{\mathbf{L}}_{SS} } & {{\mathbf{L}}_{SR} } \\ {{\mathbf{L}}_{RS} } & {{\mathbf{L}}_{RR} } \\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} {{\mathbf{P}}^{ - 1} } & {} \\ {} & {\mathbf{U}} \\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} { - {\mathbf{i}}_{abc} } \\ {{\mathbf{i}}_{fDQ} } \\ \end{array} } \right] </pre>$$

$$\left[ {\begin{array}{*{20}c} <pre> {{\mathbf{\Psi }}_{dq0} } \\ {{\mathbf{\Psi }}_{fDQ} } \\ \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {{\mathbf{PL}}_{SS} {\mathbf{P}}^{ - 1} } & {{\mathbf{PL}}_{SR} } \\ {{\mathbf{L}}_{RS} {\mathbf{P}}^{ - 1} } & {{\mathbf{L}}_{RR} } \\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} { - {\mathbf{i}}_{dq0} } \\ {{\mathbf{i}}_{fDQ} } \\ \end{array} } \right] </pre>$$

其中 ${\mathbf{PL}}_{SS} {\mathbf{P}}^{ - 1} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} <pre> {L_d } & {} & {} \\ {} & {L_q } & {} \\ {} & {} & {L_0 } \\ \end{array} } \right] \triangleq {\mathbf{L}}_{dq0} </pre>$。

① 变换后的电感系数都变为常数，可以假想dd绕组，qq绕组是固定在转子上的，相对转子静止。

② 派克变换阵对定子自感矩阵 ${\mathbf{L}}_{SS}$ 起到了对角化的作用，并消去了其中的角度变量。${L_d },{L_q},{L_0}$ 为其特征根。

③ 变换后定子和转子间的互感系数不对称，这是由于派克变换的矩阵不是正交矩阵。

④ ${L_d }$ 为直轴同步电感系数，其值相当于当励磁绕组开路，定子合成磁势产生单纯直轴磁场时，任意一相定子绕组的自感系数。

### 变换后的电压方程

电压方程：

$$\left[ {\begin{array}{*{20}c} <pre> {{\mathbf{U}}_{abc} } \\ {{\mathbf{U}}_{fDQ} } \\ \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {{\mathbf{r}}_S } & {} \\ {} & {{\mathbf{r}}_R } \\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} { - {\mathbf{i}}_{abc} } \\ {{\mathbf{i}}_{fDQ} } \\ \end{array} } \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}c} {{\mathbf{\dot \Psi }}_{abc} } \\ {{\mathbf{\dot \Psi }}_{fDQ} } \\ \end{array} } \right] </pre>$$

现对等式两边同时左乘 $\left[ {\begin{array}{*{20}c} <pre> {\mathbf{P}} & {} \\ {} & {\mathbf{U}} \\ \end{array} } \right]$，其中$</pre> {\mathbf{U}}$为三阶单位矩阵。方程化为：

$$\left[ {\begin{array}{*{20}c} <pre> {{\mathbf{U}}_{dq0} } \\ {{\mathbf{U}}_{fDQ} } \\ \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {{\mathbf{r}}_S } & {} \\ {} & {{\mathbf{r}}_R } \\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} { - {\mathbf{i}}_{dq0} } \\ {{\mathbf{i}}_{fDQ} } \\ \end{array} } \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}c} {{\mathbf{P\dot \Psi }}_{abc} } \\ {{\mathbf{\dot \Psi }}_{fDQ} } \\ \end{array} } \right] </pre>$$

由 ${\mathbf{\Psi }}_{dq0} = {\mathbf{P\Psi }}_{abc}$。

对两边求导，得 ${\mathbf{\dot \Psi }}_{dq0} = {\mathbf{\dot P\Psi }}_{abc} + {\mathbf{P\dot \Psi }}_{abc}$。

所以 ${\mathbf{P\dot \Psi }}_{abc} = {\mathbf{\dot \Psi }}_{dq0} - {\mathbf{\dot P\Psi }}_{abc} = {\mathbf{\dot \Psi }}_{dq0} - {\mathbf{\dot PP}}^{ - 1} {\mathbf{\Psi }}_{dq0}$

其中 ${\mathbf{\dot PP}}^{ - 1} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} <pre> {} & \omega & {} \\ { - \omega } & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ \end{array} } \right] </pre>$，令 ${\mathbf{S}} = {\mathbf{\dot PP}}^{ - 1} {\mathbf{\Psi }}_{dq0} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} <pre> {} & \omega & {} \\ { - \omega } & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} {\Phi _d } \\ {\Phi _q } \\ {\Phi _0 } \\ \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\omega \Psi _q } \\ { - \omega \Psi _d } \\ {} \\ \end{array} } \right] </pre>$

于是有 $\left[ {\begin{array}{*{20}c} <pre> {{\mathbf{U}}_{dq0} } \\ {{\mathbf{U}}_{fDQ} } \\ \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {{\mathbf{r}}_S } & {} \\ {} & {{\mathbf{r}}_R } \\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} { - {\mathbf{i}}_{dq0} } \\ {{\mathbf{i}}_{fDQ} } \\ \end{array} } \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}c} {{\mathbf{\dot \Psi }}_{dq0} } \\ {{\mathbf{\dot \Psi }}_{fDQ} } \\ \end{array} } \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\mathbf{S}} \\ {} \\ \end{array} } \right] </pre>$

上式右边第一项为绕组电阻的压降，第二项为变压器电势，第三项为发电机电势或旋转电势。

## 参考书目

- 电机电子类科《电力系统暂态分析》，ISBN 978-7-5083-4825-4，作者：李光琦，中国电力出版社。