2i

<image>

$2i$在高斯平面上的位置

2倍虚数单位$2i$

$$x^2+4=0$$

$2\sqrt{-1}$ $\sqrt{-4}$

$$(1+i)^2$$

$2i$是在虚数轴正向距离原点两个单位的纯虚数，属于高斯整数，为虚数单位（$i$）的两倍，同时也是负四的平方根，是方程式$x^2+4=0$的正虚根。日常生活中通常不会用$2i$来计量事物，例如无法具体地描述何谓$2i$个人，逻辑上$2i$个人并没有意义。部分书籍或教科书偶尔会使用$2i$来做虚数的例子或题目。

在高斯平面上，与$2i$相邻的高斯整数有$i$和$3i$（上下相邻；纯虚数）以及$2i-1$和$2i+1$（左右相邻），然而复数不具备有序性，即无法判断$2i$与$3i$间的大小关系，因此无法定义$i$与$3i$何者为$2i$的前一个虚数、何者为$2i$的下一个虚数。

$3i$

$2i$

$3i$

$2i$

$3i-2i>0$

$i>0$

$i$

$-1>0$

$-1$

$3i$

$2i$

$2i$

$3i$

$2i-3i>0$

$-i>0$

$-i$

$\left( -i\right)\times\left( -i\right)>\left( -i\right)\times 0\Rightarrow -1 > 0$

$3i$

$2i$

$3i$

$2i$

$2i$

$3i$

−1+3i｜1=3i｜1+3i

−1+2i｜2i｜1+2i

−1+i｜i｜1+i

与$2i$相邻的高斯整数示意图

## 性质

- $2i$不属于实数，是纯虚数，同时也是复数，位于复数平面。辐角为90度（$\frac\pi 2$弧度），其也能表达为$2e^{i\pi/2}$或$2\left(\cos{\frac{\pi}{2}}+i\sin{\frac{\pi}{2}}\right)$。
- $2i$是高斯整数，高斯整数分解为$(1+i)^2$，或$(1+i)(1+i)$，其中，1+i为2i的高斯质因数。
- 所有的复数皆可以表达为$2i$之幂的线性组合。换句话说若进位制以$2i$为底数，则可独一无二地表示全体复数。该进制称为2i进制，由高德纳于1955年发现。
- 复数的虚数部可以定义为复数与其共轭复数之差除以$2i$的商，换言之，则$z-z^*=2i\,Im(z)$。
- $$Im(z)=\frac{z-z^*}{2i}$$
- 正弦函数可以定义为纯虚指数函数与其倒数之差除以$2i$的商。
- $$\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$$
- $2i$等于最小的质数和虚数单位的积，即$p_{_1}\times i = 2i$，其中$p_n$为第$n$个质数。
- 虚数单位和虚数单位的倒数相差$2i$。
- 任意数与$2i$相乘的意义为模放大两倍并在复平面上以原点为中心逆时针旋转90度。

### 2i的幂

$2i$的前几次幂为1、 2i、 −4、 −8i、 16、 32i、 −64...，其会在实部和虚部交错变换，其单位会在1、i、−1、−i中变化。其中，实数项为−4的幂，虚数的正值项为16的幂的2倍、虚数的负值项为16的幂的−8倍，因此这种特性使得$2i$作为底数可以不将复数表达为实部与虚部就能表示全体复数，并且有研究以此特性设计复数运算电路。

### 2i的平方根

$2i$的平方根正好是实数单位与虚数单位的和，即$\sqrt{2i}=1+i$，反过来说$2i$正好是实数单位与虚数单位相加的平方，$(1+i)^{2}=2i$。若考虑平方根的正负，则1+i和−1−i都是$2i$的平方根。

## 相关数字

### −2i

$-2i$是$2i$的相反数，其平方根曾提议作为复数进位制的底数。$-2i$的绝对值为2而非2i。此外，$-2i$也是负四的平方根。

### 1+i

$1+i$是$2i$的平方根，同时也是高斯质数。由于其幂次为1+i、 2i、 −2+2i、 −4、 −4−4i、 −8i...，在正负、虚实交替变化，因此若作为进位制底数可以表达全体复数。但其组合变化相较于$-1+i$为底数的进位制，$-1+i$做为底数更为适合。亦有另外一个数也为$2i$的平方根，即$-1-i$，但这个数较少出现于探讨进位制底数的文章中，也没有其他特殊的性质。此外，$-1-i$也不是第一象限高斯质数，因此鲜少被拿出来讨论。

### −1+i

$$-1+i$$

$$\sqrt{-2i}$$

$$\sqrt{2}$$

<image>

$-1+i$是$-2i$的平方根，也是高斯质数。其距离原点$\sqrt 2$单位，辐角为135度（$\frac{3\pi}4$弧度），实部为负一、虚部为1。由于其幂次为−1+i、 −2i、 2+2i、 −4、 4−4i、 8i...，在正负、虚实交替变化，因此可以构建以$-1+i$为底数并用1和0表达复数的进位制。其他复数虽然也可以，如$1-i$，但对高斯整数而言，以$1-i$为底并不是优良的选择。虽然$1-i$也是$-2i$的平方根，但因为上述原因，所以$1-i$这个数字通不会用来作为进制的底数来使用。

除了$-1+i$外，其他$-n+i$形式的复数也能作为进位制底数，但其在表达数的范围不同，以$-1+i$为例，其表达的范围较为均匀，而$-2+i$、$-3+i$等则会越来越狭长。而底数$2+i$则需要非自然数的位数来表示。

十进制｜二进制｜2i进制｜−1+i进制｜−2+i进制

0｜2｜2i｜-1+i｜-2+i

1｜2｜2i｜-1+i｜-2+i

2｜2｜2i｜-1+i｜-2+i

−1｜2｜2i｜-1+i｜-2+i

−2｜2｜2i｜-1+i｜-2+i

i｜i｜2i｜-1+i｜-2+i

2i｜2i｜2i｜-1+i｜-2+i

3i｜2i｜2i｜-1+i｜-2+i

−i｜−i｜2i｜-1+i｜-2+i

−2i｜2i｜2i｜-1+i｜-2+i

−3i｜2i｜2i｜-1+i｜-2+i

1+i｜1+i｜2i｜-1+i｜-2+i

1−i｜1−i｜2i｜-1+i｜-2+i

−1+i｜−1+i｜2i｜-1+i｜-2+i

−1−i｜−1−i｜2i｜-1+i｜-2+i

2+i｜2+i｜2i｜-1+i｜-2+i

2−i｜2−i｜2i｜-1+i｜-2+i

−2+i｜2+i｜2i｜-1+i｜-2+i

−2−i｜2−i｜2i｜-1+i｜-2+i

## 相邻的高斯整数

−1+3i｜1=3i｜1+3i

−1+2i｜2i｜1+2i

−1+i｜i｜1+i

与$2i$相邻的高斯整数示意图

### 3i

$3i$是在虚数轴正向距离原点3个单位的纯虚数，是虚数单位的三倍，同时也是负九（−9）的平方根，与纯虚数2i和4i相邻、并与高斯整数−1+3i和1+3i相邻。

$3i$的为虚数单位与质数3的乘积，其中，3也是高斯质数，因此$3i$的高斯整数分解为3i。

### −1+2i

$-1+2i$是在虚数轴正向距离原点$\sqrt{5}$个单位的高斯整数，其实部为负一、虚部为2i，与纯虚数2i相邻、并与高斯整数−1+3i、−1+i和−2+2i相邻。$-1+2i$是高斯质数。

### 1+2i

$1+2i$是高斯质数，在虚数轴正向距离原点$\sqrt{5}$个单位，其实部为一、虚部为2i，为方程式$x ^ 2 - 2x + 5 = 0$的其中一根，与纯虚数2i相邻、并与高斯整数1+3i、1+i和3+2i相邻。

## 基本资料

- 作战范围：数表 — 高斯整数、>
- 别名：负四的平方根、二虚数单位
- 面值：2倍虚数单位、$2i$
- 以此为根的多项式或函数：$x^2+4=0$
- 代数形式：$2\sqrt{-1}$、$\sqrt{-4}$
- 绝对值：2
- nav：no
- gaussian integer factorization：$(1+i)^2$
- 制造数量：−1+i
- 面值：$-1+i$
- 代数形式：$\sqrt{-2i}$
- 绝对值：$\sqrt{2}$