电磁场的数学表述

本条目中，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。

在电磁学里，有几种电磁场的数学表述，这篇文章会讲述其中三种表述。

## 向量场表述

物理学家时常会用三维的向量场来表达电场和磁场。这些向量场在时空的每一点都有一个定义值，被认为是空间坐标和时间坐标的函数。电场和磁场分别写为 $\mathbf{E}(x, y, z, t)$ 和 $\mathbf{B}(x, y, z, t)$。

假设只有电场存在，而且不含时间，则电场称为静电场。类似地，假设只有磁场存在，而且不含时间，则电场称为静磁场。但是，假若其中任何一个场是含时的，则电场和磁场都必须一起以耦合的电磁场来计算。

自由空间的电场和磁场，不论是在静电学里，静磁学里或电动力学里，都遵守马克士威方程组：

名称｜微分形式｜积分形式

高斯定律｜$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}$｜$\oint_{\mathbb{S}}\ \mathbf E\cdot\mathrm{d}\mathbf{a} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$

高斯磁定律｜$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$｜$\oint_{\mathbb{S}}\ \mathbf B\cdot\mathrm{d}\mathbf{a} = 0$

法拉第感应定律｜$\nabla \times \mathbf{E} = - \ \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$｜$\oint_{\mathbb{L}}\ \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= - \ \frac {\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}$

马克士威-安培定律｜$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$｜$\oint_{\mathbb{L}}\ \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= \mu_0 I + \mu_0 \varepsilon_0 \frac {\mathrm{d}\Phi_E}{\mathrm{d} t}$

以下表格给出每一个符号所代表的物理意义，和其单位：

符号｜物理意义｜国际单位

$\mathbf{E}$｜电场｜伏特／米，牛顿／库仑

$\mathbf{B}$｜磁场｜特斯拉，韦伯／米2，伏特-秒／米2

${\nabla \cdot}$｜散度算符｜／米

${\nabla \times}$｜旋度算符

$\frac {\partial}{\partial t}$｜对于时间的偏导数｜／秒

$\mathbb{S}$｜曲面积分的运算曲面｜米2

$\mathbb{L}$｜路径积分的运算路径｜米

$\mathrm{d}\mathbf{a}$｜微小面元素向量｜米2

$\mathrm{d} \boldsymbol{\ell}$｜微小线元素向量｜米

$\varepsilon_0 \ $｜真空电容率，又称为电常数｜法拉／米

$\mu_0 \ $｜真空磁导率，又称为磁常数｜亨利／米，牛顿／安培2

$\ \rho \ $｜总电荷密度｜库仑／米3

$Q$｜在闭曲面 $\mathbb{S}$ 里面的总电荷｜库仑

$\mathbf{J}$｜总电流密度｜安培／米2

$I$｜穿过闭回路 $\mathbb{L}$ 所包围的曲面的总电流｜安培

$\Phi_{B}=\int_{\mathbb{S}}\ \mathbf B\cdot\mathrm{d}\mathbf{a}$｜穿过闭回路 $\mathbb{L}$ 所包围的曲面 $\mathbb{S}$ 的磁通量｜特斯拉-米2

$\Phi_{E}=\int_{\mathbb{S}}\ \mathbf E\cdot\mathrm{d}\mathbf{a}$｜穿过闭回路 $\mathbb{L}$ 所包围的曲面 $\mathbb{S}$ 的电通量｜库仑-米2

对于线性物质，马克士威方程组内的电常数和磁常数，必须分别改换为线性物质的电容率和磁导率。有些更复杂的物质，由于电磁场的作用，会给出更复杂的响应。这些性质可以用张量来表示。假若电磁场变化很快，张量可能会含时间。假若电磁场的场振幅很大，张量也可能会跟电磁场有关，显示出非线性或非局域的物质响应。更详尽细节，请参阅光的色散和非线性光学。

1865年，詹姆斯·马克士威发表了马克士威方程组的完整形式于论文《电磁场的动力学理论》。后来，物理学家发现这组方程式居然与狭义相对论相容。更令人惊讶的是，两个处于不同参考系的观察者，所观察到的由两个不同物理现象产生的明显的巧合，按照狭义相对论，可以推论出并不是巧合。这论点非常重要，阿尔伯特·爱因斯坦的1905年讲述狭义相对论的论文《论动体的电动力学》用了大半篇幅解释怎样转换马克士威方程组。

当从一个参考系S1转换至另外一个以相对速度 $\mathbf{v}$ 移动的参考系S2时，可以用劳仑兹变换来变换电场和磁场，其方程式为

$$\bar{\mathbf{E}}= \gamma \left( \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right ) - \left (\frac{\gamma-1}{v^2} \right ) ( \mathbf{E} \cdot \mathbf{v} ) \mathbf{v}$$

$\bar{\mathbf{B}}= \gamma \left( \mathbf{B} - \frac {\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2} \right ) - \left (\frac{\gamma-1}{v^2} \right ) ( \mathbf{B} \cdot \mathbf{v} ) \mathbf{v}$。

其中，$\bar{\mathbf{E}}$ 和 $\bar{\mathbf{B}}$ 是参考系S2的电场和磁场，$\gamma=1/\sqrt{1- {v^2}/{c^2}}$ 是劳仑兹因子，$c$ 是光速。

假设相对运动是沿着x-轴，$\mathbf{v}=v \hat{\mathbf{x}}$，则每一个分量的转换方程式分别为

$\bar{E}_x = E_x$。

$\bar{E}_y = \gamma \left ( E_y - v B_z \right )$。

$\bar{E}_z = \gamma \left ( E_z + v B_y \right )$。

$\bar{B}_x = B_x$。

$\bar{B}_y = \gamma \left ( B_y + \frac{v}{c^2} E_z \right )$。

$\bar{B}_z = \gamma \left ( B_z - \frac{v}{c^2} E_y \right )$。

很值得注意的一点是，假设对于某一个参考系，电场或磁场其中有一个场是零。这并不意味着，对于所有其他参考系，这个场都等于零。这可以从方程式看出，假设 $\mathbf{E}=0$，则

$\bar{E}_x =0$。

$\bar{E}_y =- \gamma v B_z$。

$\bar{E}_z = \gamma v B_y$。

$\bar{B}_x = B_x$。

$\bar{B}_y = \gamma B_y$。

$\bar{B}_z = \gamma B_z$。

除非 $B_y=B_z=0$，电场 $\bar{\mathbf{E}}$ 绝对不会等于零。

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这并不意味分别处于两个不同参考系的观察者，所观察到的是两种完全不同的事件；它们所观察到的是以两种不同方式描述的同样的事件。爱因斯坦在他的1905年论文里所提到的移动中的磁铁与导体问题，是个经典例子。如图右所示，假若环状导线固定不动，而磁铁以等速移动，则穿过环状导线的磁通量会随着时间而改变。按照法拉第电磁感应定律，会产生感应电动势和伴随的电场，因而造成电流流动于环状导线。可是，假若磁铁固定不动，改由环状导线以等速移动，则在环状导线内部的电荷会因为感受到劳伦兹力而产生动生电动势和伴随的电场，因而造成电流流动于环状导线。假设，对于这两个案例，移动的速率相等，而方向相反。则感应出的电流是一样的。

## 势场表述

在解析有些电磁学问题时，物理学家会暂时不计算电场或磁场，而先计算伴随的电势或磁势。电势 $V$ 为纯量，又被称为纯势；磁势 $\mathbf A$ 为向量，又被称为向量势，或磁矢势。从这些位势，可以得到电场和磁场：

$\mathbf E = - \nabla V - \frac{\partial \mathbf A}{\partial t}$。

$\mathbf B = \nabla \times \mathbf A$。

将这两个方程式代入马克士威方程式。法拉第电磁感应定律和高斯磁定律的方程式都会约化为恒等式。另外两个马克士威方程式变得比较复杂：

$\nabla^2 V + \frac{\partial}{\partial t} \left ( \nabla \cdot \mathbf A \right ) = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}$。

$\left ( \nabla^2 \mathbf A - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} \right ) - \nabla \left (\nabla \cdot \mathbf A + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial V}{\partial t} \right ) = - \mu_0 \mathbf J$。

这两个势场方程式组合起来，具有与马克士威方程组同样的功能和完整性。原本的马克士威方程组需要解析六个分量。因为电场和磁场各有三个分量。势场表述只需要解析四个分量，因为电势只有一个分量，磁矢势有三个分量。可是，势场表述涉及了二次微分，方程式也比较冗长。

值得庆幸地是有一种方法可以简化这两个势场方程式。由于势场不是唯一定义的，只要最后计算得到正确的电场和磁场就行。这性质称为规范自由。对于这两个势场方程式，选择参数为位置和时间的任意函数 $\lambda(\mathbf{r},t)$，势场可以改变为

$\mathbf A' = \mathbf A + \nabla \lambda$。

$V' = V - \frac{\partial \lambda}{\partial t}$。

电场和磁场不变：

$\mathbf{B}' =\nabla\times\mathbf{A}' = \nabla\times\mathbf{A} + \nabla\times( \nabla \lambda)= \nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B}$。

$\mathbf{E}'= - \nabla V' - \frac{\partial \mathbf{A}'}{\partial t} = - \nabla V+\frac{\partial \nabla\lambda}{\partial t} - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} - \frac{\partial \nabla\lambda}{\partial t}= - \nabla V - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}=\mathbf{E}$。

这规范自由可以用来简化方程式。最常见的规范自由有两种。一种是库仑规范（Coulomb gauge），选择 $\lambda(\mathbf{r},t)$ 的值来使得 $\nabla \cdot \mathbf{A}= 0$。这对应于静磁学案例。这选择导致两个势场方程式分别变为

$\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}$。

$\nabla^2 \mathbf{A} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} = - \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \nabla \left ( \frac{\partial V}{\partial t} \right )$。

库仑规范有几点值得注意之处。第一点，解析电势很简单，这电势方程式的形式为帕松方程式。第二点，解析磁矢势很困难，这是库仑规范的一大缺点。第三点，库仑规范与狭义相对论不很相容，当转换参考系时，劳仑兹变换会撤除原本参考系的库仑规范。每做一次劳仑兹变换，就要再重新做一次库仑规范。第四点比较令人困惑，随着在某一局域的源电荷的改变，在任何位置的电势的改变是瞬时的，这现象称为超距作用（Action at a distance）。

例如，假使于下午一时，在纽约的电荷稍微移动了一下，那么在完全同样时间，一位假想观察者在上海会测量出电势有所改变。这现象似乎违背了狭义相对论，因为狭义相对论禁止以超过光速之速度来传输资讯、信号或任何实体。然而，由于没有任何观察者曾经测量到电势，他们只能测量到电场，而电场是由电势和磁矢势共同决定的。所以，由于磁矢势方程式为含时的，电场遵守狭义相对论要求的速度限制。所有可观测量都与相对论一致。

另外一种常见的规范自由是劳仑次规范。选择 $\lambda(\mathbf{r},t)$ 的值来使得 $\nabla \cdot \mathbf{A}= - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial V}{\partial t}$。这选择导致两个势场方程式分别变为

$$\nabla^2 \mathbf{A} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} = \Box^2 \mathbf{A} = - \mu_0 \mathbf{J}$$

$$\nabla^2 V - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 V}{\partial t^2} = \Box^2 V = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

算符 $\Box^2$ 称为达朗白算符。这两个势场方程式为非齐次波动方程式，其右边项目是波源函数。势场方程式有两种解答：一种是源头组态为未来时间（源电荷或源电流是设定于未来时间）的超前势，另外一种是源头组态为过去时间（源电荷或源电流是设定于过去时间）的推迟势。因为不符合物理的因果关系，不具有任何物理意义，物理学家时常会删除第一种解答，偏好选择第二种解答。

值得强调的是，劳仑次规范并不比其它规范更正确，势场本身是无法观测到的（当然，不考虑像阿哈诺夫－波姆效应的例外）。势场展示的任何非因果关系都会消失于可观测到的电场或磁场。只有电场或磁场是具有物理意义的物理量。

## 张量场表述

电场和磁场可以综合起来，形成一个反对称性二阶协变张量，称为电磁张量，写为 $F_{\alpha \beta}$。电磁张量将电场和磁场聚集在一起，以方程式表达：

$F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix} 0 & {E_x}/{c} & {E_y}/{c} & {E_z}/{c} \\ { - E_x}/{c} & 0 & - B_z & B_y \\ { - E_y}/{c} & B_z & 0 & - B_x \\ { - E_z}/{c} & - B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right)$。

使用闵考斯基度规 $\eta$。

$\eta^{\alpha \beta} = \operatorname{diag}(+1, - 1, - 1, - 1)=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix} \right)$。

将 $F_{\alpha \beta}$ 的下标拉高为上标，可以得到反变张量 $F^{\mu \nu}$。采用爱因斯坦求和约定，这程序表达为

$F^{\mu \nu} =\eta^{\alpha\mu} \, \eta^{\beta \nu} \, F_{\alpha \beta}= \ \left(\begin{matrix} 0 & - {E_x}/{c} & - {E_y}/{c} & - {E_z}/{c} \\ {E_x}/{c} & 0 & -B_z & B_y \\ {E_y}/{c} & B_z & 0 & -B_x \\ {E_z}/{c} & -B_y & B_x & 0 \end{matrix}\right)$。

给予一个 $n$ 阶反对称协变张量 $F_{i_1 i_2 \dots i_n}$，则其 $m$ 阶对偶张量（dual tensor） $G^{j_1 j_2 \dots j_m},\quad m<n$ 是一个反对称反变张量：

$G^{j_1 j_2 \dots j_m}=\frac{1}{n!}\ \epsilon^{j_1 j_2 \dots j_m\ i_1 i_2 \dots i_n }\ F_{i_1 i_2 \dots i_n}$。

其中，$\epsilon^{j_1 j_2 \dots j_m\ i_1 i_2 \dots i_n }$ 是 $m+n$ 维列维-奇维塔符号。

根据这定义，$F_{\alpha \beta}$ 的二阶对偶张量 $G^{\mu \nu}$ 是

$G^{\mu \nu} = \ \left(\begin{matrix} 0 & - B_x & - B_y & - B_z \\ B_x & 0 & {E_z}/{c} & - {E_y}/{c} \\ B_y & - {E_z}/{c} & 0 & {E_x}/{c} \\ B_z & {E_y}/{c} & - {E_x}/{c} & 0 \end{matrix}\right)$。

换一种方法，将 $F^{\mu \nu}$ 的项目做以下替换： ${\mathbf E}/{c} \to \mathbf B$、$\mathbf B \to - \ {\mathbf E}/{c}$，也可以得到二阶对偶张量 $G^{\mu \nu}$。

给予两个惯性参考系 $\mathcal{S}$、 $\bar{\mathcal{S}}$；相对于参考系 $\mathcal{S}$，参考系 $\bar{\mathcal{S}}$ 以速度 $\mathbf{v}=v\hat{\mathbf{x}}$ 移动。对于这两个参考系，相关的劳仑兹变换矩阵 $\Lambda^{\mu}_{\nu}$ 是

$\Lambda^{\mu}_{\nu}=\ \left(\begin{matrix} \gamma & - \gamma\beta & 0 & 0 \\ - \gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)$。

其中，$\gamma=\cfrac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{v}{c}\right)^2}}$ 是劳仑兹因子，$\beta=\frac{v}{c}$ 是贝他因子。

对于这两个参考系，一个事件的四维位置分别标记为 ${x}^{\mu}$、 $\bar{x}^{\mu}$。那么，这两个四维位置之间的关系为

$\bar{x}^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}x^{\nu}$。

在相对论里，使用劳仑兹变换，可以将电磁张量和其对偶张量从一个参考系变换到另外一个参考系，以方程式表达。

$\bar{F}^{\alpha \beta} = \Lambda^\alpha_\mu \Lambda^\beta_\nu F^{\mu \nu}$。

$\bar{G}^{\alpha \beta} = \Lambda^\alpha_\mu \Lambda^\beta_\nu G^{\mu \nu}$。

### 马克士威方程组的张量标记

使用张量标记，马克士威方程组的形式为

${F^{\alpha \beta}}_{,\alpha} = \mu_0 J^\beta$。

${G^{\alpha \beta}}_{,\alpha} = 0$。

其中，${F^{\alpha \beta}}_{,\alpha}$ 和 ${G^{\alpha\beta }}_{,\alpha}$ 分别是 $F^{\alpha \beta}$ 和 $G^{\alpha \beta}$ 对于曲线坐标（curvilinear coordinates） $x^{\alpha}$ 的协变导数，$J^\beta = \begin{pmatrix} \rho c & J_x & J_y & J_z \end{pmatrix}$ 是四维电流密度。

假设 $x^{\alpha}$ 为直角坐标，$x^{\alpha}=(ct,x,y,z)$，则协变导数 ${F^{\alpha \beta}}_{,\alpha}$ 和 ${G^{\alpha \beta}}_{,\alpha}$ 分别以方程式表达为

${F^{\alpha \beta}}_{,\alpha}=\frac{\partial F^{\alpha \beta}}{\partial x^{\alpha}}$。

${G^{\alpha \beta}}_{,\alpha}=\frac{\partial G^{\alpha \beta}}{\partial x^{\alpha}}$。

仔细分析，设定 $\beta = 0$，则可从 ${F^{\alpha \beta}}$ 的马克士威方程式得到高斯定律的方程式：

${F^{\alpha 0 }}_{,\alpha}= \frac{1}{c}\left(\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}\right)=\mu_0 J^0=\mu_0 c \rho$ ;

又可从 ${G^{\alpha \beta}}$ 的马克士威方程式得到高斯磁定律的方程式：

${G^{\alpha 0 }}_{,\alpha}= \frac{1}{c}\left(\frac{\partial B_x}{\partial x}+\frac{\partial B_y}{\partial y}+\frac{\partial B_z}{\partial z}\right)=0$。

另外 $\beta = 1,2,3$ 的 ${F^{\alpha \beta}}$ 的三条马克士威方程式，对应于马克士威-安培定律的方程式：

${F^{\alpha 1}}_{,\alpha}= - \frac{1}{c^2}\frac{\partial E_x}{\partial t}+\frac{\partial B_z}{\partial y} - \frac{\partial B_y}{\partial z}=\mu_0 J^1=\mu_0 J_x$。

${F^{\alpha 2}}_{,\alpha}= - \frac{1}{c^2}\frac{\partial E_y}{\partial t} - \frac{\partial B_z}{\partial x}+\frac{\partial B_x}{\partial z}=\mu_0 J^2=\mu_0 J_y$。

${F^{\alpha 3}}_{,\alpha}= - \frac{1}{c^2}\frac{\partial E_z}{\partial t}+\frac{\partial B_y}{\partial x} - \frac{\partial B_x}{\partial y}=\mu_0 J^3=\mu_0 J_z$。

而 ${G^{\alpha \beta}}$ 的三条马克士威方程式，对应于法拉第电磁感应定律的方程式：

${G^{\alpha 1}}_{,\alpha}= - \frac{\partial B_x}{\partial t} - \frac{\partial E_z}{c \partial y} + \frac{\partial E_y}{c \partial z}=0$。

${G^{\alpha 2}}_{,\alpha}= - \frac{\partial B_y}{\partial t} + \frac{\partial E_z}{c \partial x} - \frac{\partial E_x}{c \partial z}=0$。

${G^{\alpha 3}}_{,\alpha}= - \frac{\partial B_z}{\partial t} - \frac{\partial E_y}{c \partial x} + \frac{\partial E_x}{c \partial y}=0$。

## 参阅

- 电磁波方程式
- 电磁场
- 量子电动力学