球多极矩

本条目中，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。检验变数或场变数的标记的后面没有单撇号“$'\,\!$”；源变数的标记的后面有单撇号“$'\,\!$”。

对于与源位置的距离呈反比的位势，其球多极展开所得到的系数称为球多极矩（Spherical multipole moments）。例如，电势、磁向量势、重力势等等，都是这种位势。

## 点电荷案例

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源位置为 $\mathbf{r}^{\prime}$ 的点电荷 $q$，其电势 $\Phi(\mathbf{r})$ 在场位置 $\mathbf{r}$ 为

$\Phi(\mathbf{r}) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0|\mathbf{r} - \mathbf{r^{\prime}}|}= \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{\sqrt{r^{2} + r^{\prime 2} - 2 r^{\prime} r \cos \gamma}}$。

其中，$\varepsilon_0$ 是电常数，$\gamma$ 是 $\mathbf{r}$ 与 $\mathbf{r}^{\prime}$ 之间的夹角。

假设 $r'< r$，场位置比源位置离原点更远，则此距离倒数函数 $1/|\mathbf{r} - \mathbf{r^{\prime}}|$ 以 $r^{\prime}/r$ 的幂和勒壤得多项式展开为：

$\Phi(\mathbf{r}) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} \sum_{\ell=0}^{\infty} \left( \frac{r^{\prime}}{r} \right)^{\ell} P_{\ell}(\cos \gamma )$。

应用球余弦定律（spherical law of cosine）， $\cos \gamma$ 表示为

$\cos \gamma = \cos \theta \cos \theta^{\prime} + \sin \theta \sin \theta^{\prime} \cos(\phi - \phi^{\prime})$。

这结果也可以直接用向量代数直接计算出来。

应用球谐函数加法定理，$P_{\ell}(\cos \gamma )$ 又表示为

$P_{\ell}(\cos \gamma) = \frac{4\pi}{2\ell + 1} \sum_{m=-\ell}^{\ell} Y_{\ell m}(\theta, \phi) Y_{\ell m}^{*}(\theta^{\prime}, \phi^{\prime})$。

其中，$Y_{\ell m}$ 是球谐函数。

将这方程式代入电势的方程式，可以得到

$\Phi(\mathbf{r}) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} \sum_{\ell=0}^{\infty}\left( \frac{r^{\prime}}{r} \right)^{\ell}\left( \frac{4\pi}{2\ell+1} \right)\sum_{m=-\ell}^{\ell} Y_{\ell m}(\theta, \phi) Y_{\ell m}^{*}(\theta^{\prime}, \phi^{\prime})$。

点电荷的“球多极矩” 定义为

$q_{\ell m} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ q r^{\prime\ell} Y_{\ell m}^{*}(\theta^{\prime}, \phi^{\prime})$。

则电势的方程式又可写为

$\Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{\varepsilon_0} \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} \frac{q_{\ell m} Y_{\ell m}(\theta, \phi)}{(2\ell+1)r^{\ell+1}}$。

假设 $r<r'$，场位置比源位置离原点更近，则此距离倒数函数 $1/|\mathbf{r} - \mathbf{r^{\prime}}|$ 可以以 $r/r^{\prime}$ 的幂和勒壤得多项式展开：

$\Phi(\mathbf{r}) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^{\prime}} \sum_{\ell=0}^{\infty}\left( \frac{r}{r^{\prime}} \right)^{\ell}\left( \frac{4\pi}{2\ell+1} \right)\sum_{m=-\ell}^{\ell} Y_{\ell m}(\theta, \phi) Y_{\ell m}^{*}(\theta^{\prime}, \phi^{\prime})$。

点电荷的“内部球多极矩”（前述的球多极矩称为外部球多极矩）定义为

$I_{\ell m} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{q}{\left( r^{\prime} \right)^{\ell+1}} Y_{\ell m}^{*}(\theta^{\prime}, \phi^{\prime})$。

则电势的方程式写为

$\Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{\varepsilon_0} \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} \frac{ I_{\ell m} r^{\ell}Y_{\ell m}(\theta, \phi) }{2\ell+1}$。

## 电荷密度案例

前述多极展开方法可以推广至电荷密度分布。将点电荷 $q$ 改换为微小电荷元素 $\rho(\mathbf{r}^{\prime}) d\mathbf{r}^{\prime}$，然后积分，则可得到电势的方程式（假设 $r'< r$）：

$\Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{\varepsilon_0} \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} \frac{q_{\ell m} Y_{\ell m}(\theta, \phi)}{(2\ell+1)r^{\ell+1}}$。

其中，电荷密度分布的球多极矩定义为 $q_{\ell m} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{\mathbb{V}'} \rho(\mathbf{r}^{\prime}) \left( r^{\prime} \right)^{\ell} Y_{\ell m}^{*}(\theta^{\prime}, \phi^{\prime})\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}^{\prime}$，$\mathbb{V}'$ 是积分体积。

特别注意，由于电势 $\Phi(\mathbf{r})$ 为实值，这展开式的复共轭也是同样正确的球多极展开式。然而，这样做会导致球多极矩的定义式含有 $Y_{\ell m}$ 项目，而不是其复共轭数 $Y^*_{\ell m}$。在某些领域，例如物理化学，这是一般常规。更详尽资料，请参阅条目分子多极矩（molecular multipole moment）。

### 内部球多极矩

类似地，假设 $r<r'$，场位置比源位置离原点更近，则电势的方程式为

$\Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{\varepsilon_0} \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} \frac{ I_{\ell m} r^{\ell}Y_{\ell m}(\theta, \phi) }{2\ell+1}$。

其中，电荷密度分布的内部球多极矩定义为 $I_{\ell m} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{\mathbb{V}'} \frac{\rho(\mathbf{r}^{\prime})Y_{\ell m}^{*}(\theta^{\prime}, \phi^{\prime})}{\left( r^{\prime} \right)^{\ell+1}} \ \mathrm{d}^3\mathbf{r}^{\prime}$。

## 两个球多极矩之间的相互作用能

两个互不重叠，同心的电荷分布可以用简单公式来描述。设定第一个电荷分布 $\rho_{1}$ 在第二个电荷分布 $\rho_{2}$ 的内部，则由 $\rho_{1}$ 所产生的电势 $\Phi_{1}$，因为作用于 $\rho_{2}$ 而涉及的相互作用能 $U$ 为

$U = \int_{\mathbb{V}} \rho_{2}(\mathbf{r}) \Phi_{1}(\mathbf{r})\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}$。

电势 $\Phi_{1}(\mathbf{r})$ 可以以外部球多极矩展开为

$\Phi_1(\mathbf{r}) = \frac{1}{\varepsilon_0} \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} \frac{q_{1\ell m} Y_{\ell m}(\theta, \phi)}{(2\ell+1)r^{\ell+1}}$。

其中，$q_{1\ell m}$ 是第一个电荷分布的 $\ell m$ 外部球多极矩。

将这方程式代入相互作用能 $U$ 的方程式，可以得到

$U = \frac{1}{\varepsilon_0} \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} \frac{q_{1\ell m}}{2\ell+1}\int_{\mathbb{V}} \frac{\rho_{2}(\mathbf{r})Y_{\ell m}(\theta, \phi)}{r^{\ell+1}} \ \mathrm{d}^3\mathbf{r}$。

注意到其积分项目等于 $\rho_{2}(\mathbf{r}^{\prime})$ 的内部球多极矩 $I_{2\ell m}$ 的复共轭数，相互作用能 $U$ 的方程式约化为简单形式

$U = \frac{1}{\varepsilon_0} \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} \frac{q_{1\ell m} I_{2\ell m}^{*}}{2\ell+1}$。

这方程式可以用来计算，原子核产生的电势因为与其周围的原子轨域耦合而涉及的相互作用能。反过来，给定相互作用能与电子轨域的内部球多极矩，则可以计算原子核的外部球多极矩，从而得知其形状。

## 轴对称特别案例

假设电荷密度为“轴对称”，即与方位角 $\phi^{\prime}$ 无关，则球多极展开式的形式很简单。在 $q_{\ell m}$ 与 $I_{\ell m}$ 的定义式内，对于 $\phi^{\prime}$ 积分，则可以发觉除了 $m=0$ 球多极矩以外，其它球多极矩都等于零。应用数学恒等式

$P_{\ell}(\cos \theta) =\sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}} Y_{\ell0}(\theta, \phi)$。

轴对称球多极矩定义为

$q_{\ell} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{\mathbb{V}'} \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}}\ \rho(\mathbf{r}^{\prime}) \left( r^{\prime} \right)^{\ell} P_{\ell}(\cos \theta^{\prime})\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}^{\prime}$。

则外部球多极展开式为

$\Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_{\ell=0}^{\infty}\sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}}\ \frac{q_{\ell} P_{\ell}(\cos \theta)}{r^{\ell+1}}$。

类似地，轴对称内部球多极矩定义为

$I_{\ell} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{\mathbb{V}'} \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}}\ \frac{\rho(\mathbf{r}^{\prime})}{\left( r^{\prime} \right)^{\ell+1}}P_{\ell}(\cos \theta^{\prime})\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}^{\prime}$。

内部球多极展开式为

$\Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_{\ell=0}^{\infty} \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}}I_{\ell} r^{\ell} P_{\ell}(\cos \theta)$。

## 球多极矩的表达式

注意到 $q_{\ell (-m)}=(-1)^m q^*_{\ell m}$。以下列出几个最低阶的球多极矩的表达式，以及与笛卡儿多极矩之间的关系：

$\begin{align} <pre> q_{00} & =\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\int_{\mathbb{V'}}\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' & & =\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\ q \\ q_{11} & = -\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\int_{\mathbb{V'}} r' \sin{\theta'}\ e^{-i\phi'}\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' & & = -\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\ (p_x - ip_y) \\ q_{10} & =\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\int_{\mathbb{V'}} r' \cos{\theta'}\ \rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' & & = -\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\ p_z \\ q_{22} & =\sqrt{\frac{15}{32\pi}}\int_{\mathbb{V'}} r^{\prime 2} \sin^2{\theta'}\ e^{-2i\phi'}\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' & & =\sqrt{\frac{15}{288\pi}}\ (Q_{11}-2iQ_{12}-Q_{22}) \\ q_{21} & = - \sqrt{\frac{15}{8\pi}}\int_{\mathbb{V'}} r^{\prime 2} \sin{\theta'}\cos{\theta'}\ e^{-i\phi'}\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' & & = - \sqrt{\frac{15}{72\pi}}\ (Q_{13}-iQ_{33}) \\ q_{20} & =\sqrt{\frac{5}{16\pi}}\int_{\mathbb{V'}} r^{\prime 2}(\cos^2{\theta'}-1)\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' & & =\sqrt{\frac{5}{16\pi}}\ Q_{33} </pre> \end{align}$。

其中，$(p_x, p_y, p_z)$ 是笛卡儿电偶极矩，$Q_{ij}$ 是笛卡儿电四极矩（electric quadruple moment）。

## 参阅

- 立体调和函数（solid harmonics）
- 圆柱多极矩