接近整数

在趣味数学中，接近整数是指很接近整数的无理数。这类数字中，有些因为其数学上的特性使其接近整数，有些还找不到其特性，看起来似乎只是巧合。

## 有关黄金比例及其他皮索特-维贾亚拉加文数

黄金比例$\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx 1.61803398875\,$的高次方符合此特性。例如

- $$\varphi^{17}=\frac{3571+1597\sqrt5}{2}\approx 3571.00028 \approx F_{16}+F_{18}$$
- $$\varphi^{18}=2889+1292\sqrt5 \approx 5777.999827 \approx F_{17}+F_{19}$$
- $$\varphi^{19}=\frac{9349+4181\sqrt5}{2}\approx 9349.000107 \approx F_{18}+F_{20}$$

其中$F_n$代表费波纳契数列的第$n$项

这是因为有恒等式$\varphi^n=F_{n-1}+F_n \times \varphi$此式可利用数学归纳法与性质$\varphi^2=\varphi+1$证明。所以当$n$为足够大的正整数时。

$$\varphi^n=F_{n-1}+F_n \times \varphi \approx F_{n-1}+F_n \times \left( \frac{F_{n+1}}{F_n} \right)=F_{n-1}+F_{n+1}$$

这些数字接近整数的原因和黄金比例的特性有关，不是数学巧合。其原因是因为黄金比例为皮索特-维贾亚拉加文数，而皮索特-维贾亚拉加文数的高次方会是接近整数。

这些数字与费波纳契数有密切的关系，因为费波纳契数相邻两项的比值会趋近于黄金比例，而如果m整除n，则第m个费波纳契数也会整除第n个费波纳契数。

皮索特-维贾亚拉加文数是指代数数本身大于1，而且其极小多项式中另一根的绝对值小于1。像黄金比例本身大于1，$\varphi$的最小多项式为$$x^2 - x - 1=0$$

另一根为$$\overline{\varphi}=\frac{1-\sqrt5}{2}\approx -0.618\,$$

绝对值小于1，因此黄金比例为皮索特-维贾亚拉加文数，其高次方会是接近整数。

依照根和系数的关系，可得知

$$\varphi \overline{\varphi} = -1$$

$$\varphi+\overline{\varphi} = 1$$

而$\varphi^n + \overline{\varphi}^n$可以用$\varphi \overline{\varphi}$ 及$\varphi+\overline{\varphi}$来表示，由于二根之和及二根之积均为整数，计算所得的结果也是一个正整数，假设为一正整数K，则$\varphi^n$可以用下式表示

$$\varphi^n = K - \overline{\varphi}^n$$

由于$\overline{\varphi}$的绝对值小于1，在n增大时，其高次方会趋于0，此时可得

$$\varphi^n \approx K$$

除了黄金比例外，其他皮索特-维贾亚拉加文数的无理数也符合此一条件，例如$1+\sqrt2$。

## 有关黑格纳数

以下也是几个非巧合出现的接近整数，和最大三项的黑格纳数有关：

- $$e^{\pi\sqrt{43}}\approx 884736743.999777466\,$$
- $$e^{\pi\sqrt{67}}\approx 147197952743.999998662454\,$$
- $$e^{\pi\sqrt{163}}\approx 262537412640768743.99999999999925007\,$$

以上三式可以用以下的式子表示:

$$e^{\pi\sqrt{43}}=12^3(9^2-1)^3+744-2.225\cdots\times 10^{-4}\,$$

$$e^{\pi\sqrt{67}}=12^3(21^2-1)^3+744-1.337\cdots\times 10^{-6}\,$$

$$e^{\pi\sqrt{163}}=12^3(231^2-1)^3+744-7.499\cdots\times 10^{-13}\,$$

其中：$21=3\times7,231=3\times7\times11,744=24\times 31\,$ 由于艾森斯坦级数的关系，使得上式中出现平方项。常数$e^{\pi\sqrt{163}}\,$有时会称为拉马努金常数。

## 有关π及e

许多有关π及e的常数也是接近整数，例如

$$e^{\pi}-\pi=19.999099979189\cdots\,$$

以及

$$e^{5\pi}=6635623.999341134233\cdots\,$$

格尔丰德常数（$e^{\pi}\,$）接近$\pi+20\,$，至2011年为止还没找到出现此特性的原因，因此只能视为一数学巧合。另一个有关格尔丰德常数的常数也是接近整数$$\frac{e^\pi-\pi-1}{6\pi}=1.00793356\cdots\,$$

以下也是一些接近整数的例子

- $$22{\pi}^4=2143.0000027480\cdots\,$$
- $${\pi}^5=306.019684\cdots\,$$
- $${\pi}^3=31.006276\cdots\,$$
- $${\pi}^{13/2}=1704.017978\cdots\,$$
- $${\pi}^3-\frac{\pi}{500}=30.999993494\cdots\,$$
- $${\pi}^2+\frac{\pi}{24}=10.000504\cdots\,$$
- $${\pi}^5-3{\pi}^3=213.0008547\cdots\,$$
- $$e^\pi-\pi+0.0009=19.9999999791\cdots\,$$
- $$e^3=20.0855369\cdots\,$$
- $$e^{9/2}=90.0171313\cdots\,$$
- $$e^{\pi\sqrt{2}}=85.019695\cdots\,$$
- $$e^6-{\pi}^5-{\pi}^4=0.00001767\cdots\,$$
- $$9{\pi}^5-2e^3=2714.00608922\cdots\,$$
- $$e^{13/2}-\pi=662.00004039\cdots\,$$
- $${\pi}^{13/2}-e^{9/2}=1614.00084707\cdots\,$$

## 其他例子

${}_{\cos\left\{\pi\cos\left[\pi\cos\ln\left(\pi+20\right)\right]\right\}\approx -0.9999999999999999999999999999999999606783 }$｜${}_{\sin2017\sqrt[5]2\approx -0.9999999999999999785}$｜${}_{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lfloor n\tanh \pi \rfloor}{10^n}-\frac{1}{81}\approx 1.11\times10^{-269}}$｜${}_{\sqrt{29}\left(\cos\frac{2\pi}{59}-\cos\frac{24\pi}{59}\right)-\frac{19}{5}\approx 3.057684294154\times10^{-6}}$

${}_{1+\frac{103378831900730205293632}{e^{3\pi\sqrt{163}}}-\frac{196884}{e^{2\pi\sqrt{163}}}-\frac{262537412640768744}{e^{\pi\sqrt{163}}}\approx 1.161367900476\times10^{-59}}$｜${}_{\frac{\ln^2262537412640768744}{\pi^2}-163\approx 2.32167\times10^{-29}}$｜${}_{10\tanh\frac{28}{15}\pi-\frac{\pi^9}{e^8}\approx 3.661398\times10^{-8}}$｜${}_{ \sqrt[4]{\frac{91}{10}}-\frac{33}{19}\approx 3.661398\times10^{-8}}$

${}_{ \gamma-{10\over81}\left(11-2\sqrt{10}\right)=\int_0^{\infty}\left(\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{xe^x}\right){\rm{d}}x-{10\over81}\left(11-2\sqrt{10}\right)\approx 2.72\times10^{-7}}$｜${}_{\frac{\left(5+\sqrt5\right)\Gamma\left({3\over4}\right)}{e^{\frac{5}{6}\pi}}\approx1.000000000000045422}$｜${}_{{1\over4}\left(\cos{1\over10}+\cosh{1\over10}+2\cos{\sqrt2\over20}\cosh{\sqrt2\over20}\right)\approx 1.000000000000248 }$｜${}_{e^6-\pi^5-\pi^4\approx1.7673\times10^{-5}}$

${}_{\sqrt{29}\left(\cos\frac{2\pi}{59}-\cos\frac{24\pi}{59}\right)\approx 3.0576842941540143382\times 10^{-6}}$｜${}_{ \left(3\sqrt5\right)^{\gamma}=\left(3\sqrt5\right)^{\int_0^{\infty}\left(\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{xe^x}\right){\rm{d}}x}\approx 3.000060964}$｜${}_{ e^{\phi_0\left(\frac{2+\sqrt3}{4}\right)}=e^{\int_0^{\infty}\left(\frac{1}{te^t}-\frac{e^{\frac{2-\sqrt3}{4}t}}{e^t-1}\right){\rm{d}}t}\approx 1.99999969}$｜${}_{ \frac{\sqrt[3]9}{3\ln 2}\approx 1.00030887}$

${}_{\sum_{k=-\infty}^{\infty}10^{-\frac{k^2}{10000}}-100\sqrt{\frac{\pi}{\ln10}}=\theta_3\left(0,\frac{1}{\sqrt[10000]{10}}\right)-100\sqrt{\frac{\pi}{\ln10}}\approx1.3809\times10^{-18613}}$｜${}_{ {\pi^9\over e^8}\approx 9.998387}$｜${}_{ e^{\pi}-\pi\approx 19.999099979}$｜${}_{ \frac{e^{\pi}-\ln3}{\ln2}-\frac{4}{5}\approx 31.0000000033}$

${}_{\frac{\pi^{11}}{e^3}-\Gamma\left[\Gamma\left(\pi+1\right)+1\right]=\frac{\pi^{11}}{e^3}-\int_0^{\infty}\frac{t^{\int_0^{\infty}\frac{u^{\pi}}{e^u}{\rm{d}}u}}{e^t} {\rm{d}}t\approx 7266.9999993632596}$｜${}_{ 163\left(\pi-e\right)\approx 68.999664}$｜${}_{ \left(\frac{23}{9}\right)^5=\frac{6436343}{59049}\approx 109.00003387}$｜${}_{ 88\ln 89\approx 395.00000053}$

${}_{ 510\lg 7\approx 431.00000040727098}$｜${}_{ 272\log_{\pi}97\approx 1087.000000204}$｜${}_{ \frac{53453}{\ln 53453}\approx 4910.00000122}$｜${}_{ \frac{53453}{\ln 53453}+\frac{163}{\ln 163}\approx 4941.99999995925082 }$

${}_{\sqrt[8]{\frac{\sqrt2}{4}\left(\pi^{17}-4e^{2\pi}+4\pi e^{\pi}\right)}-\sqrt[8]{\frac{\sqrt2}{4}\left(\pi^{17}-4e^{2\pi}-4\pi e^{\pi}\right)}\approx 2.570287024592328869357\times 10^{-6}}$｜${}_{10-\sqrt[8]{\frac{\sqrt2}{4}\left(\pi^{17}-4e^{2\pi}-4\pi e^{\pi}\right)}\approx 2.57055302118\times 10^{-6}}$｜${}_{10-\sqrt[8]{\frac{\sqrt2}{4}\left(\pi^{17}-4e^{2\pi}+4\pi e^{\pi}\right)}\approx 2.65996596963\times 10^{-10}}$｜${}_{ \frac{163}{\ln 163}\approx 31.9999987343}$

$$2^{2^{2/3}}\approx 3.00507511272$$

$$4 \ln 2.117\approx 2.99999996861$$

${}_{ \ln K_0-\ln\ln K_0\approx 1.0000744}$，其中$K_0$是辛钦常数

$${}_{\frac{10}{81}-\sum_{n=1}^\infty\frac{\sum_{k=10^{n-1}}^{10^n-1}10^{-n\left[k-(10^{n-1}-1)\right]}k}{10^{\sum_{k=0}^{n-1}9\times 10^{k-1}k}}=\frac{10}{81}-\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=10^{n-1}}^{10^n-1}\frac{k}{10^{kn-9\sum_{k=0}^{n-1}10^k(n-k)}}\approx 1.022344\times10^{-9}}$$

$${}_{-\frac{1}{5} +e^{\frac{6}{5}} {}_4F_3\left(-\frac{1}{5},\frac{1}{20},\frac{3}{10},\frac{11}{20};\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5};\frac{256}{3125e^6}\right)+\frac{2}{25e^{\frac{6}{5}}}{}_4F_3\left(\frac{1}{5},\frac{9}{20},\frac{7}{10},\frac{19}{20};\frac{3}{5},\frac{4}{5},\frac{7}{5};\frac{256}{3125e^6}\right)-\frac{4}{125e^{\frac{12}{5}}}{}_4F_3\left(\frac{2}{5},\frac{13}{20},\frac{9}{10},\frac{23}{20};\frac{4}{5},\frac{6}{5},\frac{8}{5};\frac{256}{3125e^6}\right)+\frac{7}{625e^{\frac{18}{5}}}{}_4F_3\left(\frac{3}{5},\frac{17}{20},\frac{11}{10},\frac{27}{20};\frac{6}{5},\frac{7}{5},\frac{9}{5};\frac{256}{3125e^6}\right)-\pi\approx 2.89221114964408683\times10^{-8}}$$

$${}_{\qquad\mbox{Root of } x^6-615x^5+151290x^4-18608670x^3+1144433205x^2-28153057165x+39605=0} \,$$

$${}_{\frac{615-55\sqrt5-\sqrt[3]{7451370+3332354\sqrt5+6\sqrt{8890710030+3976046490\sqrt5}}-\sqrt[3]{7451370+3332354\sqrt5-6\sqrt{8890710030+3976046490\sqrt5}}}{6}\approx 1.40677447684\times10^{-6}}$$

$${}_{\qquad\mbox{Root of } 312500000x^5-6843750000x^4+6826250000x^3+10476025000x^2-7886869750x-72099=0} \,$$

$${}_{\tan\left(\frac{\arctan 4}{5}+\frac{4\pi}{5}\right)+\frac{19}{50}=\frac{219}{50}+\frac{-1-\sqrt5+\sqrt{10-2\sqrt5}{\rm{i}}}{4}\sqrt[5]{884+799{\rm{i}}}+\frac{-1-\sqrt5-\sqrt{10-2\sqrt5}{\rm{i}}}{4}\sqrt[5]{884-799{\rm{i}}}+\frac{-1+\sqrt5-\sqrt{10+2\sqrt5}{\rm{i}}}{4}\sqrt[5]{1156+289{\rm{i}}}+\frac{-1+\sqrt5+\sqrt{10+2\sqrt5}{\rm{i}}}{4}\sqrt[5]{1156-289{\rm{i}}}\approx -9.141538637378949398666277\times 10^{-6}}$$

$${}_{\rm{erfi}\left(\rm{erfi}\frac{\sqrt3}{3}\right)=\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^{\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^{\frac{\sqrt3}{3}} e^{t^2} \rm{d} t} e^{u^2} \rm{d} u =\frac{2}{\sqrt\pi}e^{\left(\frac{2\sqrt[3]e}{\sqrt\pi}\int_0^{\infty}\frac{\sin\left(\frac{2}{3}\sqrt3t\right)}{e^{t^2}}{\rm{d}}t\right)^2}\int_0^{\infty}\frac{\sin\left[\frac{4u\sqrt[3]e}{\sqrt\pi}\int_0^{\infty}\frac{\sin\left(\frac{2}{3}\sqrt3t\right)}{e^{t^2}}{\rm{d}}t\right]}{e^{u^2}}{\rm{d}}u =\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^{{}_{\frac{2\sqrt[3]e}{\sqrt\pi}\int_0^{\infty}\frac{\sin\left(\frac{2}{3}\sqrt3t\right)}{e^{t^2}}{\rm{d}}t}} e^{u^2} {\rm{d}} u =\frac{2}{\sqrt\pi}e^{\left(\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^{\frac{\sqrt3}{3}} e^{t^2} \rm{d} t\right)^2}\int_0^{\infty}\frac{\sin\left(\frac{4u}{\sqrt\pi}\int_0^{\frac{\sqrt3}{3}} e^{t^2} \rm{d} t\right)}{e^{u^2}} {\rm{d}} u\approx 1.00002087363809430195879}$$

- $\sin 11 = -0.999990207...$，这是由于$3.5 \pi \approx 10.9956 \approx 11$的缘故，另一个类似的例子为$\sin 355 = -0.00003014435335948844921433...$
- $$\sqrt{1^2+2^2+3^2+4^2+.......+552057^2} \approx 236818619.0000004307$$
- $$\frac{5^6}{6^5} \approx 2$$

## 外部链接

- J.S. Markovitch Coincidence, data compression, and Mach's concept of economy of thought