总谐波失真

总谐波失真（total harmonic distortion, THD）是电气信号谐波失真的一项指标，常见的定义方式表达为所有谐波成分功率之和与基本频率信号功率的比值。有时也会用失真因素（Distortion factor）来表示。总谐波失真越大，表示谐波成分的比例越大。

较低的总谐波失真使得音响、电子放大器或麦克风等设备产生更加精确、较少谐波、与原始采样信号接近的输出信号。

在无线通讯系统中，较低的总谐波失真表示讯号传送时，比较不会干扰其他的电子设备。而且在频谱共享（spectrum sharing）及频谱感知（spectrum sensing）的应用中，所发射无线电讯号的失真是严重的问题。

在电力系统中，较低的总谐波失真表示其峰值电流、发热、能耗以及马达铁损比较少。

## 定义及例子

针对输入及输出的系统（例如音响放大器），最单纯的假设是传递函数为线性时不变的理想系统，此时输出信号的大小及相位可能和输入信号不同，但其频率不变。

若讯号通过的是非线性、非理想的系统，输出除了原有的频率外，会出现其他的谐波频率，而总谐波失真就是描述这些谐波成分比例的工具。

若原始弦波信号的“干净程度”（也就是原始频率能量相对谐波频率能量的比例），其量测一般会定义为谐波频率的均方根振幅，除以基本频率（第一谐波）振幅的比例

$$\mathrm{THD_F} \,= \,\frac{ \sqrt{V_2^2 + V_3^2 + V_4^2 + \cdots} }{V_1}$$

其中Vn是n次谐波的RMS电压，而n = 1 即为基本频率。

若谐波RMS电压大于基频电压时，THD有可能超过100%。

实务上，THDF常用在音响失真量的规格中（THD百分比）。不过THD不是标准化的规格，不同制造商的结果也不容易互相比较。因为量测的是个别的谐波振幅，因此需要制造商揭露其测试信号的频率范围、准位及增益条件，以及量测的信号数量。有可能是用扫频的方式量测20–20 kHz的频段。

总谐波失真的计算是在特定条件下，量测设备的输出。总谐波失真一般会用百分比或是分贝，以基频为准，描述谐波所占的比例。

另外一种算法是在分母考虑基频以及谐波的成分，不过较不鼓励使用此定义：

$$\mathrm{THD_R} \,=\, \frac{ \sqrt{V_2^2 + V_3^2 + V_4^2 + \cdots} }{\sqrt{V_1^2 + V_2^2 + V_3^2 + \cdots}}\, = \,\frac{\mathrm{THD_F}}{\sqrt{1 + \mathrm{THD}^2_\mathrm{F}}}$$

这二种算法可以用THDF（分母为基频）及THDR（分母为均方根值）来识别。THDR不会超过100%。若是谐波成分不高，这二种算法的差异很小，可以省略，例如THDF为10%的信号，其THDR也很接近，为9.95%。不过若是谐波成分很高，两者差异就很大，例如THDF为266%的信号，其THDR为94%。纯方波有无限次的谐波，其THDF为48.3%，而THDR为43.5%。

有些文献会用“失真因素”来作为THDR的同义词，不过也有些会用来表示THDF。

## THD+N

THD+N代表总谐波失真再加上噪声。相较于THD，此量测比较容易在不同的设备之间比较。一般是输入正弦曲线，将输出经过带阻滤波器，再比较输出信号本身和没有弦波成分输出信号之间的比例：

$$\mathrm{THD\!\!+\!\!N} = \frac{\displaystyle\sum_{n=2}^\infty{\text{harmonics}} + \text{noise}}{\text{fundamental}}$$

THD+N类似THD，都是均方根值振幅的比值，也可以用THDF（分母是计算后的基频振幅）或THDR（以总信号为分母）计算，后者比较常用。例如，音响精密量测会用THDR。

有意义的量测资讯需要包括量测的带宽。量测除了谐波失真外，也会包括接地回路的电源线噪音、高频干扰、高频和基频之间交调失真等噪声来源。若是针对心理声学的量测，会配合像A加权或ITU-R BS.468的加权曲线，会强调人耳可以听到的声音，让相关的分析更加准确。

针对相同的输入频率及振幅，THD+N是SINAD的倒数，前提是二个量测都是在相同的带寛下进行。

## 量测

波形相对弦波的扭曲程度可以用THD分析仪，将信号用傅里叶分析分解成基频及谐波成分。并且计算各谐波相对于基频的比例。或是用带阻滤波器滤掉基频，再量测过滤后的信号，即为各谐波成分的加总。

若有弦波产生器，可以产生固有失真低的弦波，可以以此为输入送到放大设备中，再量测输出信号各谐波的分量，也可以计算总谐波失真。

有电子设备可以同时产生弦波并且量测失真，不过通用的电脑配合声卡，就可以用特定的软件进行谐波分析。可以用不同的软件来产生弦波，不过其固有失真太高，不适合量测低失真的放大机。

### 诠释

在许多的应用中，各谐波成分不是等效的。例如在总谐波失真中，相同THD的交调失真要比削波失真（clipping distortion）更容易听到，因为其谐波的频率较高，基频的掩蔽效应无法盖过该谐波。单一的THD数字无法代表特定声音的可听性，需要更多资料加以分析。量测不同输出下THD的可以分辨失真属于削波失真（随音量而增加）或是交调失真（随音量而减少）。

## 例子

对于许多常见的信号，可以找到其总谐波失真的解析解，例如方波的THDF 为

$$\mathrm{THD_F} \,= \,\sqrt{\frac{\,\pi^2}{8}-1\,}\approx \, 0.483\,=\,48.3\%$$

锯齿波的THDF则是

$$\mathrm{THD_F} \,= \,\sqrt{\frac{\,\pi^2}{6}-1\,}\approx \, 0.803\,=\,80.3\%$$

对称的三角波THDF为

$$\mathrm{THD_F} \,= \,\sqrt{\frac{\,\pi^4}{96}-1\,}\approx\,0.121\,= \, 12.1\%$$

占空比μ的方波脉波，其THDF为

$$\mathrm{THD_F}\,(\mu)=\sqrt{\frac{\mu(1-\mu)\pi^2\,}{2\sin^2\pi\mu}-1\;}\,,\qquad 0<\mu<1$$

若方波脉波对称（μ=0.5），THDF有最小值（≈0.483），也就是纯方波的THDF。将讯号经过过适当的滤波可以使其总谐波失真大幅下降。例如方波若用二阶巴特沃斯滤波器滤波（截止频率等于基频），其THDF可降到5.3%，若用四阶巴特沃斯滤波器滤波，THDF为0.6%。不过若是复杂的信号或是复杂的滤波器，要找解析解并不容易，要计算其结果也很不容易。例如锯齿波用一阶巴特沃斯滤波器滤波后，其THDF为

$$\mathrm{THD_F}\,= \, \sqrt{\frac{\,\pi^2}{3} - \pi\coth\pi\,}\,\approx\,0.370\,= \, 37.0\%$$

若用二阶巴特沃斯滤波器滤波后，会得到更复杂的式子

$$\mathrm{THD_F}\,= \sqrt{\pi\,\frac{\; \cot\dfrac{\pi}{\sqrt{2\,}}\cdot\coth^{2\!}\dfrac{\pi}{\sqrt{2\,}} -\cot^{2\!}\dfrac{\pi}{\sqrt{2\,}}\cdot\coth\dfrac{\pi}{\sqrt{2\,}} -\cot\dfrac{\pi}{\sqrt{2\,}} - \coth\dfrac{\pi}{\sqrt{2\,}}\;} {\sqrt{2\,}\left(\!\cot^{2\!}\dfrac{\pi}{\sqrt{2\,}} +\coth^{2\!}\dfrac{\pi}{\sqrt{2\,}}\!\right)} \,+\,\frac{\,\pi^2}{3} \,-\, 1\;} \;\approx\;0.181\,= \, 18.1\%$$

而脉波用p阶巴特沃斯滤波器滤波后的解析解更加复杂，式子如下

$$\mathrm{THD_F}\,(\mu, p)= \csc\pi\mu\,\cdot \!\sqrt{\mu(1-\mu)\pi^2-\,\sin^2\!\pi\mu\, -\,\frac{\,\pi}{2}\sum_{s=1}^{2p} \frac{\cot \pi z_s}{z_s^2} \prod\limits_{\scriptstyle l=1\atop\scriptstyle l\neq s}^{2p}\!\frac{1}{\,z_s-z_l\,}\, +\,\frac{\,\pi}{2}\,\mathrm{Re}\sum_{s=1}^{2p} \frac{e^{i\pi z_s(2\mu-1)}}{z_s^2\sin \pi z_s} \prod\limits_{\scriptstyle l=1\atop\scriptstyle l\neq s}^{2p}\!\frac{1}{\,z_s-z_l\,}\,}$$

其中μ为占空比, 0<μ<1，而且

$$z_l\equiv \exp{\frac{i\pi(2l-1)}{2p}}\,, \qquad l=1, 2,\ldots, 2p$$

中有更多的细节说明。

## 外部链接

- Explanation of THD measurements
- Rane audio's definition of both THD and THD+N
- Conversion: Distortion attenuation in dB to distortion factor THD in %