菲涅耳衍射

<image>

在光学里，菲涅耳衍射（Fresnel diffraction），又称近场绕射（Near-field diffraction），指的是光波在近场区域的衍射。菲涅耳衍射积分式可以用来计算光波在近场区域的传播，因法国物理学者奥古斯丁·菲涅耳而命名，是基尔霍夫衍射公式的近似。

从每一个光学系统特征的菲涅耳数，可以辨别光波传播的区域是近场还是远场。设想光波入射于任意孔径，对于这光学系统，菲涅耳数定义为

$F\ \stackrel{def}{=}\ \frac{a^{2}}{L \lambda}$。

其中，$a$ 是孔径的尺寸，$L$ 是孔径与观察屏之间的距离，$\lambda$ 是入射波的波长。

假若 $F \gtrsim 1$，则衍射波是处于近场，可以使用菲涅耳衍射积分式来计算其物理性质。

## 菲涅耳衍射

<image>

假设照射光波于开有孔径的不透明挡板，则会有衍射图样出现于观察屏。根据惠更斯-菲涅耳原理，从孔径内部任意点次波源Q发射出的圆球面次波，在观察屏点P的波扰 $\psi(x,y,z)$ 为

$\psi(x,y,z)=-\ \frac{i}{\lambda} \int_{\mathbb{S}} \psi(x',y',0) \frac{e^{ikR}}{R}K(\chi)\ \mathrm{d}x'\mathrm{d}y'$。

其中，$\mathbf{r}=(x,y,z)$ 是点P的直角坐标，$\mathbf{r}'=(x',y',0)$ 是点Q的直角坐标，$\lambda$ 是波长，$\mathbb{S}$ 是积分平面（孔径），$\psi(x',y',0)$ 是位于点次波源Q的波扰，$\mathbf{R}$ 是从点Q到点P的位移向量，$R$ 是 $\mathbf{R}$ 的数值大小，$K(\chi)$ 是倾斜因子，$\chi$ 是垂直于孔径平面的法向量与 $\mathbf{R}$ 之间的夹角。

古斯塔夫·基尔霍夫给出了倾斜因子 $K(\chi)$ 的表达式：

$K(\chi )=\frac{1}{2}(1+\cos \chi)$。

除了最简单的衍射案例以外，几乎不可能找到这积分式的解析解。通常，必须使用数值分析方法来解析这积分式。

### 菲涅耳近似

为了要计算这积分式的解答，必须先使积分项目更简单化。设定

$\rho=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2}$。

$(x',y',0)$ 与 $(x,y,z)$ 之间的距离 $R$ 可以以泰勒级数表示为

$\begin{align}R & =\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+z^2}=\sqrt{\rho^2+z^2} \\ <pre> & = z \sqrt{ 1 + \frac{\rho^2}{z^2} } \\ & = z \left[ 1 + \frac{\rho^2}{2 z^2} - \frac{1}{8} \left( \frac{\rho^2}{z^2} \right)^2 + \cdots \right] \\ & = z + \frac{\rho^2}{2 z} - \frac{\rho^4}{8z^3} + \cdots \\ </pre> \end{align}$。

假若保留所有项目，则这级数式为精确解。

$e^{i k r}/r$

将这 $R$ 的级数式代入被积函数的相位。菲涅耳近似的要点是在假定级数式的第三个项目非常微小，可以被忽略。为了达到这目的，第三个项目必须超小于相位的周期 $2 \pi$：

$\frac{ k \rho^4}{8 z^3} \ll 2 \pi$。

改换以波长 $\lambda=2 \pi/k$ 来表达。

$\frac{\rho^4}{8z^3 \lambda} \ll 1$。

将先前 $\rho$ 的表达式代入。

$\frac{[(x-x')^2+(y-y')^2]^2}{8z^3 \lambda} \ll 1$。

假若，对于所有 $(x',y',0)$ 与 $(x,y,z)$ 的可能值，这条件成立，则泰勒级数式的第三个项目和更高阶项目都可以忽略。

从这些论述，$R$ 可以近似为

$R\approx z + \frac{\rho^2}{2 z} = z + \frac{(x-x')^2 +(y-y')^2}{2 z}$。

这方程式称为“菲涅耳近似”。这近似成立的条件是上述不等式。

例如，对于半径为1mm的圆孔，假设观察屏区域的半径也是1mm，入射波的波长为500nm，则近似成立的条件为

$z\gg \left(\frac{\rho^4}{8\lambda}\right)^{1/3}=\left[\frac{0.002^4}{8\cdot 500\cdot10^{-9}}\right]^{1/3}\approx 0.016[m]$。

圆孔与观察屏之间的距离 $z$ 必须超大于16mm。实际而言，这条件太过严苛，从数值分析的结果，只要圆孔与观察屏之间的距离 $z$ 大于16mm就行了。

### 菲涅耳衍射积分式

菲涅耳数 $F=a^2/L\lambda$ 菲涅耳衍射区域：$F \ge 1$ 夫朗和斐绕射区域：$F \ll 1$ $a$ － 孔径或狭缝的尺寸 $\lambda$ － 波长 $L$ － 离开孔径或狭缝的距离

假设孔径尺寸超小于传播路径长度，则 $K(\chi)\approx 1$。特别是在z-轴附近的小范围区域，$x,y\ll z$，分母的 $R$，可以近似为 $R\approx z$，只取至线性项目。现在，采用菲涅耳近似，则在位置 $(x,y,z)$ 的波扰为

$\psi(x,y,z)=-\ \frac{ie^{ikz}}{\lambda z} \int_{\mathbb{S}} \psi(x',y',0) e^{ik[(x-x')^2+(y-y')^2]/2z}\ \mathrm{d}x'\mathrm{d}y'$。

这就是“菲涅耳衍射积分式”。仔细推敲这积分式的含意，假设菲涅耳近似成立，则位于孔径的次波源发射出的圆球面次波，会沿着z-轴方向，传播到观察屏。整个积分调制圆球面波的波幅与相位。只有对于少数案例，这方程式存在分析解答。

更进一步近似，将 $e^{ikR}$ 近似为 $e^{ikz}$，相位部分仅取至线性项目，这只有当观察屏与孔径之间的距离超远时才成立，请参阅条目夫朗和斐绕射。菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射不同的地方，主要是菲涅耳衍射将波前的曲率纳入考量，这是为了要精确计算相互干涉的波扰彼此之间的相对相位。

### 圆孔衍射

轴上照度

<image>

<image>

假设孔径是半径为 $a$ 的圆孔，首先计算沿着中心轴的波扰， $x,y=0$，又假设入射波是波幅为 $\psi_0$、朝着z-轴传播的平面波。

根据菲涅耳衍射积分式。

$\psi(0,0,z)=-\ \frac{ie^{ikz}\psi_0}{\lambda z} \int_{\mathbb{S}} e^{ik(x'^2+y'^2)/2z}\ \mathrm{d}x'\mathrm{d}y'$。

改采极坐标 $(\rho',\theta')$。

$\begin{align}\psi(0,0,z) & =-\ \frac{ie^{ikz} \psi_0 }{\lambda z} \int_0^a e^{ik\rho'^2/2z}\ \rho'\mathrm{d}\rho' \\ <pre> & =-\psi_0 e^{ikz} (e^{ika^2/2z}-1) \\ </pre> \end{align}$。

辐照度 $I(z)$ 为

$I(z)=\psi^{*}\psi/2=\psi_0^{\ 2}\ 2\sin^2(ka^2/4z)=I_0\sin^2(ka^2/4z)$。

从这函数绘制的辐照度比率对无量纲距离图展示出，离孔径越近，震荡越剧烈。这区域是菲涅耳衍射区域。在这区域里，辐照度的极值点分别为

- 极大值：当 $z=\frac{a^2}{2n\lambda},\qquad n=1,2,3,\dots$。
- 极小值：当 $z=\frac{a^2}{(2n-1)\lambda},\qquad n=1,2,3,\dots$。

离孔径越远，两个相邻极值点之间的间隔越大，$z=a^2/\lambda$ 是最后一个极值点。远于这距离，辐照度呈单调递减。通常，物理学者规定菲涅耳衍射区域的菲涅耳数大于或等于1，这对应于 $Z_F=a^2/\lambda$ 为分界点；超远于这分界点，是夫朗和斐绕射区域，可以使用夫朗和斐近似，数学计算比较简单很多。

例如，对于半径为1mm的圆孔，假设入射波的波长为500nm，则 $Z_F$ 为

$Z_F=\frac{0.001^2}{500\cdot10^{-9}}\approx 2[m]$。

总结，孔径与观察屏之间的距离在2m以内是菲涅耳衍射区域，以外是夫朗和斐绕射区域。

轴侧照度

<image>

$$I= \left( V_0- \cos\left(\frac{u^2+v^2}{2u}\right) \right)^2 + \left( V_1- \sin\left(\frac{u^2+v^2}{2u}\right) \right)^2$$

其中 $V_m$是二元隆梅尔函数(Lommel function)

$$V_{m}= \sum_{n=0}^\infty *((-1)^n*(\frac{v}{u})^{2*n+m}*J_{2n+m}(v))$$

$J_{2n+m}(v)$ 为 第一类$2n+m$ 阶贝塞尔函数

### 圆盘衍射

<image>

圆盘衍射在轴上的强度为

$$I=I_0*\lambda^2/4$$

因此圆盘衍射的轴上强度，和波长的平方成正比，而与圆盘的直径、与圆盘的距离无关，所以衍射图形的中心一定是个亮点。这个亮点称为泊松光斑。菲涅耳圆孔衍射图形的中心点，根据圆孔直径和距离之不同，可以是亮点，也可以是暗点。

### 单缝衍射

<image>

菲涅耳单缝衍射的强度分布为：.

$$I=(Cp(Y)-Cq(Y))^2+(Sp(Y)-Sq(Y))^2$$

其中 Cp,Cq 为余弦菲涅耳积分：

$$Cp(Y) := \int_0^p(\cos((1/2)*\pi*t^2)\,dt$$

$Cq(Y) =\int_0^q (\cos((1/2)*\pi*t^2)\,dt$;

Sp,Sq 为正弦菲涅耳积分：

$$Sp(Y) := \int_0^p(\sin((1/2)*\pi*t^2)\,dt$$

$Sq(Y) =\int_0^q (\sin((1/2)*\pi*t^2)\,dt$;

菲涅耳单缝衍射图形与夫琅禾费单缝衍射明显不同之处在于前者的第一个极小值不等于0（如图），而后者为0。

### 直边衍射

<image>

<image>

一个平面波通过与光线传播方向垂直的不透明直边。

其菲涅耳直边衍射的强度分布为：.

$$I=(Cp(Y)+0.5)^2+(Sp(Y)+0.5))^2$$

其中 Cq 为余弦菲涅耳积分：

$Cq(Y) =\int_0^q(\cos((1/2)*\pi*t^2)\,dt$;

Sp 为正弦菲涅耳积分：

$$Sp(Y) := \int_0^p(\sin((1/2)*\pi*t^2)\,dt$$

菲涅尔直边衍射图样在几何阴影区附近强度不为零，在明亮区间，光强以阻尼振动形式逐渐衰减至一个稳定数值

## 进阶理论

### 卷积

设定函数 $h(x,y,z)$ 为

$h(x,y,z) =-\ \frac{ie^{ikz}}{\lambda z} e^{i \frac{k}{2 z} (x^2 + y^2)}$。

波扰 $\psi(x,y,z)$ 可以写为卷积形式：

$\psi(x,y,z)=\iint\limits_{-\infty}^{\ \ \ \infty} \psi(x',y',0) h(x-x',y-y',z) \ \mathrm{d}x'\mathrm{d}y'$。

或者，由于z-坐标与积分无关，可以将z-坐标资讯提出。

$\psi_z(x,y)=\iint\limits_{-\infty}^{\ \ \ \infty} \psi_0(x',y') h_z(x-x',y-y') \ \mathrm{d}x'\mathrm{d}y'$。

这卷积又可以标记为

$\psi_z(x,y)=\psi_0(x,y)*h_z(x,y)$。

根据卷积定理，函数卷积的傅立叶变换是函数傅立叶变换的乘积，以方程式表达。

$\mathcal{F}\{\psi_z(x,y)\}=\mathcal{F}\{\psi_0(x,y)*h(x,y)\}=\mathcal{F}\{\psi_0(x,y)\}\cdot\mathcal{F}\{h_z(x,y)\}$。

其中，$\mathcal{F}\{f(x,y)\}$ 是函数 $f(x,y)$ 的傅立叶变换。

假设这光学系统是线性系统，满足空间不变性，即改变波源的位置只会改变衍射图样的位置，不会改变衍射图样的形状。这样，一个有限尺寸波源所产生的衍射图样，可以视为是由其每一个点波源所产生的衍射图样共同线性叠加而形成。

假设这线性系统的线性算子为 $\mathcal{L}$、输入函数为 $f(x,y)$、输出函数为 $G(X,Y)$，则这两个函数之间的关系可以表达为

$G(X,Y)=\mathcal{L}\{f(x,y)\}$。

应用狄拉克δ函数的数学性质。

$G(X,Y)=\mathcal{L}\left\{\iint\limits_{-\infty}^{\ \ \ \infty} f(x',y') \delta(x-x')\delta(y-y') \ \mathrm{d}x'\mathrm{d}y' \right\}$。

将 $f(x',y')$ 视为函数 $\delta(x-x')\delta(y-y')$ 权重系数，应用线性系统的性质，可以将积分式写为

$G(X,Y)=\iint\limits_{-\infty}^{\ \ \ \infty} f(x',y') \mathcal{L}\{\delta(x-x')\delta(y-y')\} \ \mathrm{d}x'\mathrm{d}y'$。

由此推论，表现观察屏辐照图案的函数 $h_z(x,y)$ 是线性系统对于在孔径位置 $(x',y')$ 的狄拉克δ函数所做出的响应，因此称为脉冲响应。

### 傅立叶变换

定义空间频率 $K_x,K_y$ 为

$K_x\ \stackrel{def}{=}\ kx/z$。

$K_y\ \stackrel{def}{=}\ ky/z$。

将横向位移的每一个分量展开。

$(x-x')^2 = x^2 + x'^2 -2 x x'$。

$(y-y')^2 = y^2 + y'^2 -2 y y'$。

则菲涅耳衍射积分式可以以二维傅立叶变换来表达。设定函数 $G(K_x,K_y)$ 为函数 $g(x',y')$ 的傅立叶变换，那么，根据定义，函数 $G(K_x,K_y)$ 为

$G(K_x,K_y)\ \stackrel{def}{=}\ \mathcal{F} \left\{ g(x',y') \right\}\ \stackrel{def}{=}\ \iint\limits_{-\infty}^{\ \ \ \infty} g(x',y') e^{-i (K_x x' + K_y y')}\ \mathrm{d}x'\mathrm{d}y'$。

设定函数 $g(x',y')$ 为

$g(x',y')=\psi_0(x',y') e^{ik(x'^2+ y'^2)/2z}$。

菲涅耳衍射积分式表达为

$\begin{align}\psi_z(x,y) & =-\ \frac{ie^{ikz}}{\lambda z} e^{ik(x^2+y^2)/2z}\ \mathcal{F}\{ \psi_0(x',y') e^{ik(x'^2+y'^2)/2z}\} \\ <pre> & =-\ \frac{ie^{ikz}}{\lambda z} e^{ik(x^2+y^2)/2z}\ \mathcal{F}\{ g(x',y')\} \\ & =-\ \frac{ie^{ikz}}{\lambda z} e^{ik(x^2+y^2)/2z}\ G(K_x,K_y) \\ & =h_z(x,y)\ G(K_x,K_y) \\ </pre> \end{align}$。

其中，函数 $h_z(x,y)=-\ \frac{ie^{ikz}}{\lambda z} e^{ik(x^2+y^2)/2z}$。

在做实例计算时，先计算 $g(x',y')$ 的傅立叶变换，然后将空间频率 $K_x,K_y$ 替换回原来的变量，最后再乘以 $h_z(x,y)$，就可以得到 $\psi_z(x,y)$。假若 $g(x',y')$ 是个常见函数，而且已知道 $g(x',y')$ 的傅立叶变换，则这是一种比较精致的理论方法。更多相关内容，请参阅条目线性标准转换。

## 原子反射镜

<image>

由于菲涅耳衍射机制，原子波入射于由物质形成的相互平行凸脊阵列，会被镜面反射。这效应可以用来实现原子反射镜。

## 参阅

- 菲涅耳积分
- 菲涅耳波带（Fresnel zone）
- 基尔霍夫积分定理
- 基尔霍夫衍射公式