分布参数系统

分布参数系统（distributed parameter system）不同于集总参数系统，是状态空间为无限维度的系统。这类系统也称为是无限维系统。典型的例子是用偏微分方程或是时滞微分方程描述的系统。它是指一个模型的特性不能仅仅由几个参数来表示，其模型参数与工作特性既是时间的函数还与尺寸与空间坐标有关。在电子信息领域中的高频应用中，已经不能只用几个简单的参数来描述元件的电特性，这种情况下需要考虑分布参数，其内部相邻两个点之间的电压和电流是不同的，这种时候的电路不能简单的用克希荷夫电路定律列方程求解，而需要用场的分析方法，根据麦克斯韦方程表征场的作用和传递，通常采取数值分析（如有限元法、矩量法、时域有限差分等）方法来求解其场。在其他领域，如流体力学，控制理论，机械等领域中都广泛用到了分布参数的分析方法，能够更好的逼近实际问题，其模型更加准确。与之相对的集总参数的分析方法只用几个特定参数来分析问题，相比之下分布参数分析的结果要精确得多，当然，问题求解的复杂度也要高得多。以下段落所探讨的会以线性非时变分布式参数系统为主。

## 抽象发展方程

### 离散时间

假设U、X和Y是希尔伯特空间，而$A\,$ ∈ L(X), $B\,$ ∈ L(U, X), $C\,$ ∈ L(X, Y) 和$D\,$ ∈ L(U, Y)，以下方程可确定一个离散时间的线性非时变系统：

$$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\,$$

$$y(k)=Cx(k)+Du(k)\,$$

其中$x\,$（状态）是序列，其值在X内，$u\,$（输入或是控制）是序列，其值在U内，$y\,$（输出）为序列，其值在Y内。

### 连续时间

连续时间的例子类似离散时间，但需要用微分方程表示，不是用差分方程表示：

$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\,$,

$$y(t)=Cx(t)+Du(t)\,$$

接下来复杂的部分就是将实际的问题（例如偏微分方程或是时滞微分方程）加到上述的抽象发展方程中，作法是强制使用无界算子。一般会假定A状态空间X里的强连续半群。假定B、C和D是有界算子，允许包括多待分析的实际的例子，不过有些实际的例子也会假定B和C是无界的。

## 例子：偏微分方程

$t>0$及$\xi\in[0,1]$的偏微分方程如下

$$\frac{\partial}{\partial t}w(t,\xi)=-\frac{\partial}{\partial\xi}w(t,\xi)+u(t),$$

$$w(0,\xi)=w_0(\xi),$$

$$w(t,0)=0,$$

$$y(t)=\int_0^1 w(t,\xi)\,d\xi,$$

符合上述的抽象发展方程。说明如下：输入空间U及输出空间Y都选定是复数的集合，状态空间X选定是L2(0, 1)，A算子定义为:$Ax=-x', D(A)=\left\{x\in X: x\text{ absolutely continuous }, x'\in L^2(0,1)\text{ and }x(0)=0\right\}.$ 可以证明A可以产生X空间内的强连续半群。有界算子B, C和D定义为

$$Bu=u, Cx=\int_0^1 x(\xi)\,d\xi, D=0$$

## 例子：时滞微分方程

时滞微分方程

$$\dot{w}(t)=w(t)+w(t-\tau)+u(t),$$

$$y(t)=w(t),$$

符合上述的抽象发展方程。说明如下：输入空间U及输出空间Y都选定是复数的集合，状态空间X选定是L2(−τ, 0)复数的乘积，A算子定义为

$$A\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r+f(-\tau)\\f'\end{pmatrix}, D(A)=\left\{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}\in X: f\text{ absolutely continuous }, f'\in L^2([-\tau,0])\text{ and }r=f(0)\right\}.$$

可以证明A可以产生X空间内的强连续半群。有界算子B, C和D定义为

$$Bu=\begin{pmatrix}u\\0\end{pmatrix}, C\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}=r, D=0.$$

## 传递函数

分布式参数系统的传递函数和有限维度下的情形相同，都是利用拉氏转换（连续时间）或是Z转换（离散时间）来定义。不过有限维度下的传递函数是真分式的有理函数，而无限维度的传递函数会是无理函数（不过仍然是全纯函数）。

### 离散时间

离散时间的传递函数可以用状态空间参数，表示为以下的形式$D+\sum_{k=0}^\infty CA^kBz^k$，函数在圆心为原点的圆盘内是全纯的。若1/z在A的resolvent set内（可能是另一个以圆心为原点，较小的圆盘），则传递函数为$D+Cz(I-zA)^{-1}B$。任何在零点为全纯的函数都有对应的离散系统，使该函数为离散系统的传递函数。

### 连续时间

若A可产生强连续半群，且B、C及D为有界算子，则传递函数可以用状态空间参数表示为$D+C(sI-A)^{-1}B$，其中s的实部比A产生半群的指数成长上界要大。在更广泛的情形下，上述公式不一定有意义，不过上述公式适当推广后的版本仍然会有效。

若要得到传递函数的简单表示式，较理想的方式是将微分方式进行拉氏转换，而不是用状态空间中的参数来表示。

#### 偏微分方程的传递函数

令初始条件$w_0$为0，将对t进行过拉氏转换的函数用大写表示，可以将偏微分方程转换为以下的形式

$$sW(s,\xi)=-\frac{d}{d\xi}W(s,\xi)+U(s),$$

$$W(s,0)=0,$$

$$Y(s)=\int_0^1 W(s,\xi)\,d\xi.$$

这是非齐次线性微分方程，变数为$\xi$，s为参数，且初始条件为零。其解为$W(s,\xi)=U(s)(1-e^{-s\xi})/s$。用此式来代入有Y 的方式中并且积分，可以得到$Y(s)=U(s)(e^{-s}+s-1)/s^2$，因此传递函数为$(e^{-s}+s-1)/s^2$。

#### 时滞微分方程的传递函数

类似上述偏微分程的例子，时滞微分方程的传递函数为 $1/(s-1-e^{-s})$。

## 可控制性

在有限维的系统中，可控制性的定义只有一种，但无限维的系统中，有几种不相容的可控制性定义。以下是最重要的三种：

- 精确可控制性（Exact controllability）
- 近似可控制性（Approximate controllability）
- 零可控制性（Null controllability)

### 离散时间下的可控制性

在离散时间系统中，将所有U值序列的集合映射到X的映射$\Phi_n$相当的重要，其表示式为$\Phi_n u=\sum_{k=0}^n A^kBu_k$。$\Phi_nu$是初始条件为零时，给定输入序列u下达到的状态。The system is called

- 系统在时间n内为精确可控制（exactly controllable）若$\Phi_n$的值域为X。
- 系统在时间n内为近似可控制（approximately controllable）若$\Phi_n$的值域是X内的稠密集。
- 系统在时间n内为零可控制（null controllable）若$\Phi_n$的值包括An的值域。

### 连续时间下的可控制性

在连续时间系统中，$\Phi_t$（表示为$\int_0^t {\rm e}^{As}Bu(s)\,ds$）有和离散时间系统的$\Phi_n$一样重要的角色。不过，控制函数所在的空间也会影响定义。一般的选择是L2(0, ∞;U)，是在(0, ∞)区间内U值平方可积函数的（等效）空间，不过也有其他的定义，例如L1(0, ∞;U)。当$\Phi_t$的定义域选定之后，有以下几种不同的可控制性。

- 系统在时间t内为精确可控制（exactly controllable）若$\Phi_t$的值域为X。
- 系统在时间t内为近似可控制（approximately controllable）若$\Phi_t$的值域为X内的稠密集。
- 系统在时间t内为零可控制（null controllable）若$\Phi_t$的值包括${\rm e}^{At}$的值域。

### 可观察性

就如同有限维度下的情形一样，无限维度的可观察性也是可控制性的对偶概念。无限维度有很多种的可观察性定义，最重要的三个如下：

- 精确可观察性（exactly observable），也称为连续可观察性（continuous observability）
- 近似可观察性（approximately observable）
- 最终状态可观察性（final state observable）

#### 离散时间下的可观察性

在离散时间系统的可观察性中，$\Psi_n$（将X映射到所有Y值序列空间的映射，若k ≤ n，表示为$(\Psi_nx)_k=CA^kx$，在k > n时，数值为0)。意思是$\Psi_nx$是初始条件x，控制输入为0时的truncated output。有以下几种可观察性

- 在时间n有精确可观察性（exactly observable），若存在 kn > 0，使得 $\|\Psi_nx\|\geq k_n\|x\|$，在所有 x ∈ X 时都成立
- 在时间n有近似可观察性（approximately observable），若$\Psi_n$为单射
- 在时间n有最终状态可观察性（final state observable），若存在 kn > 0 使得$\|\Psi_nx\|\geq k_n\|A^nx\|$，在所有 x ∈ X 时都成立

#### 连续时间下的可观察性

在连续时间系统的可观察性中，$\Psi_t$（表示为$(\Psi_t)(s)=C{\rm e}^{As}x$，其中s∈0,t，若s>t时为零）的角色和$\Psi_n$在离散时间系统中的相当。不过运算子作用的函数空间也会影响其定义。常见的选择是L2(0, ∞, Y)，是（等效于）在定义域(0,∞)内的Y-值平方可积函数，不过也可以选择其他的函数空间，例如L1(0, ∞, Y)。只要选择了$\Psi_t$的辅域，就可以定义不同的可观察性，有以下几种可观察性：

- 在时间t有精确可观察性（exactly observable），若存在kt > 0，使得$\|\Psi_tx\|\geq k_t\|x\|$，在所有 x ∈ X 时都成立
- 在时间t有近似可观察性（approximately observable），若$\Psi_t$为单射
- 在时间t有最终状态可观察性（final state observable），若存在 kt > 0 使得$\|\Psi_tx\|\geq k_t\|{\rm e}^{At}x\|$，在所有x ∈ X 时都成立

## 可控制性和可观察性的对偶

和有限维度下的情形类似，可控制性和可观察性也是对偶的概念（若$\Phi$域以及辅域$\Psi$都选用一般的函数空间L2时），这些不同概念的对偶如下：

- 精确可控制性 ↔ 精确可观察性。
- 近似可控制性 ↔ 近似可观察性。
- 零可控制性 ↔ 最终状态可观察性。