缉古算经

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《缉古算经》，原名《缉古算术》，初唐数学家王孝通著于武德九年〔626年〕前所著。后被列入算经十书，改名为《缉古算经》。

《缉古算经》一书在中国数学史上有重要影响，王孝通在书中将几何问题代数化，在世界上首次系统地创立三次多项式方程，对代数学的发展，有重要意义。王孝通在此书中建立 25个三次方程，其中自第二问至第十八问中为三次方程，大部分有如下形式：

$$x^3+px^2+q=0$$

剩下第十九问、二十问各有一个双二次方程：

$x^4+px^2+q=0$。

## 内容

《缉古算经》全书共二十问，书首为《上缉古算术表》。各问题的形式大致相同，每问以“假令”开头，以“问：……各几何？”或“问：……个多少？”结尾；随后是答案：“答曰……”；最后一段是“术曰”，详细叙述建立方程的理论依据和具体程序。每题都有答案，但关于解题方法，王孝通则言简意骇。

### 第一问

“假令天正十一月朔夜半，日在斗十度七百分度之四百八十。以章岁为母，朔月行定分九千，朔日定小余一万，日法二万，章岁七百，亦名行分法。今不取加时日度。问：天正朔夜半之时月在何处？”。这是一道天文题，求半夜时月亮的赤道经度，王孝通用算术解题。

### 第二问

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假令太史造仰观台，上广袤少，下广袤多。上下广差二丈，上下袤差四丈，上广袤差三丈，高多上广一十一丈，甲县差一千四百一十八人，乙县差三千二百二十二人，夏程人功常积七十五尺，限五日役台毕。羡道从台南面起，上广多下广一丈二尺，少袤一百四尺，高多袤四丈。甲县一十三乡，乙县四十三乡，每乡别均赋常积六千三百尺，限一日役羡道毕。二县差到人共造仰观台，二县乡人共造羡道，皆从先给甲县，以次与乙县。台自下基给高，道自初登给袤。问：台道广、高、袤及县别给高、广、袤各几何？”。

对于这个建造观象台和台道的广度、高度、深度的计算，王孝通列出三个

$x^3+px^2+qx=n$ 形式的三次方程式，和一个$x^3+px^2=n$形式的三次方程式。

### 第三问

“假令筑堤，西头上、下广差六丈八尺二寸，东头上、下广差六尺二寸。东头高少于西头高三丈一尺，上广多东头高四尺九寸，正袤多于东头高四百七十六尺九寸。甲县六千七百二十四人，乙县一万六千六百七十七人，丙县一万九千四百四十八人，丁县一万二千七百八十一人。四县每人一日穿土九石九斗二升。每人一日筑常积一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人负土二斗四升八合，平道行一百九十二步，一日六十二到。今隔山渡水取土，其平道只有一十一步，山斜高三十步，水宽一十二步，上山三当四，下山六当五，水行一当二，平道踟蹰十加一，载输一十四步。减计一人作功为均积。四县共造，一日役华。今从东头与甲，其次与乙、丙、丁。问：给斜、正袤与高，及下广，并每人一日自穿、运、筑程功，及堤上、下高、广各几何？

王孝通解此题，建立了一个二次方程，两个三次方程：

第一个三次方程：

- $$x^3+\frac{3cd}{b-c}x^2+\frac{3(a+c)hd^2}{(H-h)(b-c)}x=\frac{6Vd^2}{(H-h)(b-c)}$$

第二个三次方程：

- $x^3+5004x^2+1169953\frac{1}{3}x=41107188\frac{1}{3}$。

王孝通求得其解：31

### 第四问

“假令筑龙尾堤，其堤从头高、上阔以次低狭至尾。上广多，下广少，堤头上下广差六尺，下广少高一丈二尺，少袤四丈八尺。甲县二千三百七十五人，乙县二千三百七十八人，丙县五千二百四十七人。各人程功常积一尺九寸八分，一日役毕，三县共筑。今从堤尾与甲县，以次与乙、丙。问：龙尾堤从头至尾高、袤、广及各县别给高、袤、广各多少。”

王孝通 两个三次方程。

- $x^3+62x^2+696x=38448$；解之得 x=18尺。
- $x^3+594x^2=682803$ 解之得 x=33尺。

### 第五问

“假令穿河，袤一里二百七十六步，下广六步一尺二寸；北头深一丈八尺六寸，上广十二步二尺四寸；南头深二百四十一尺八寸；上广八十六步四尺八寸。运土于河西岸造漘，北头高二百二十三尺二寸，南头无高，下广四百六尺七寸五厘，袤与河同。甲郡二万二千三百二十人，乙郡六万八千七十六人，丙郡五万九千九百八十五人，丁郡三万七千九百四十四人。自穿、负、筑，各人程功常积三尺七寸二分。限九十六日役，河漘俱了。四郡分共造漘，其河自北头先给甲郡，以次与乙，合均赋积尺。问：逐郡各给斜、正袤，上广及深，并漘上广各多少？”

解二次方程，三次方程个一。

三次方程：$x^3+15x^2+66x-360$ 得 方仓上底边 x=3尺，下底边=9尺，高=12尺。

### 第六问

“假令四郡输粟，斛法二尺五寸，一人作功为均。自上给甲，以次与乙。其甲郡输粟三万八千七百四十五石六斗，乙郡输粟三万四千九百五石六斗，丙郡输粟，二万六千二百七十石四斗，丁郡输粟一万四千七十八石四斗。四郡共穿窖，上袤多于上广一丈，少于下袤三丈，多于深六丈，少于下广一丈。各计粟多少，均出丁夫。自穿、负、筑，冬程人功常积一十二尺，一日役。问：窖上下广、袤、深，郡别出人及窖深、广各多少？”

解两个三次方程。

### 第七问

“假令亭仓上小下大，上下方差六尺，高多上方九尺，容粟一百八十七石二斗。今已运出五十石四斗。问：仓上下方、高及余粟深、上方各多少？”

求谷仓上边长，王孝通所述方法，相当于解一个三次方程：

$$x^3+(D+G)x^2+(DG +\frac{D^2}{3})x=P-\frac{D^2G}{3}$$

为求余粟深度，王孝通的办法是建立又一个三次方程：

$$X^+3\frac{hs}{D}x^2+3(\frac{hs}{D})^2x=\frac{P'}{3}\frac{h^2}{D^2}$$

### 第八问

“假令刍甍上袤三丈，下袤九丈，广六丈，高一十二丈。有甲县六百三十二人，乙县二百四十三人。夏程人功当积三十六尺，限八日役。自穿筑，二县共造。今甲县先到。问：自下给高、广、袤、各多少？”是关于建筑观象台、河堤、粮窖等工程中的土方问题。

解一个三次方程：

$$x^3+90*x^2-839808$$

得 乙县工程 高 x=72尺; 甲县工程高=120-72=48尺、上广=36尺、袤=66尺。

### 第九问

“假令圆囤上小下大，斛法二尺五寸，以率径一周三。上下周差一丈二尺，高多上周一丈八尺，容粟七百五斛六斗。今已运出二百六十六石四斗。问：残粟去口、上下周、高各多少？”

解两个三次方程。

### 第十问

“假令有粟二万三千一百二十斛七斗三升，欲作方仓一，圆窖一，盛各满中而粟适尽。令高、深等，使方面少于圆径九寸，多于高二丈九尺八寸，率径七，周二十二。问：方、径、深多少？”

解一个三次方程。

### 第十一问

“假令有粟一万六千三百四十八石八斗，欲作方仓四、圆窖三，令高、深等，方面少于圆径一丈，多于高五尺，斛法二尺五寸，率径七，周二十二。问：方、高、径多少？”

解一个三次方程。

### 第十二问

“假令有粟三千七十二石，欲作方仓一、圆窖一，令径与方等，方于窖深二尺，少于仓高三尺，盛各满中而粟适尽（圆率、斛法并与前同）。问：方、径、高、深各多少？”

解一个三次方程。

### 第十三问

“假令有粟五千一百四十石，欲作方窖、圆窖各一，令口小底大，方面于圆径等，两深亦同，其深少于下方七尺，多于上方一丈四尺，盛各满中而粟适尽（圆率、斛法并与前同）。问：方、径、深各多少？”

解一个三次方程。

### 第十四问

“假令有粟二万六千三百四十二石四斗，欲作方窖六、圆窖四，令口小底大，方面与圆径等，其深亦同，令深少于下方七尺，多于上方一丈四尺，盛各满中而粟适尽（圆率、斛法并与前同）。问上下方、深数各多少？”

解一个三次方程。

### 第十五问

“假令有句股相乘幂七百六十五分之一，弦多于句三十六十分之九。问：三事各多少？”

解一个三次方程：

$x^3 +\frac{S}{2}x^2-\frac{P^2}{2S}=0$。

### 第十六问

“假令有股弦相乘幂四千七百三十九五分之三，句少于弦五十四五分之二。问：股多少？”

解一个三次方程。

### 第十七问

“假令有句弦相乘幂一千三百三十七二十分之一，弦多股一、十分之一。问：股多少？”

解一个三次方程。“答曰：九十二五分之二。”

“术曰：幂自乘，倍多而一，为立幂。又多再自乘，半之，减立幂，余为实。又多数自乘，倍之，为方法。又置多数，五之，二而一，为廉法，从。开立方除之，即股（句弦相乘幂自乘，即句幂乘弦幂之积。故以倍股弦差而一，得一股与半差为方，令多再自乘半之为隅，横虚二立廉……倍之为从隅……多为上广即二多……法故五之二而一）。”

王孝通所述，相当于建立一个三次方程：

$x^3$+$\frac{5}{2}Dx^2+2D^2x$=$\frac{P^2}{2D}$-$\frac{D^2}{2}$

### 第十八问

“假令有股弦相乘幂四千七百三十九五分之三，句少于弦五十四五分之二。问：股多少？”

解一个三次方程。

### 第十九问

“假令有股弦相乘幂七百二十六，句七、十分之七。问：股多少？”

解一个双二次方程。

### 第二十问

“假令有股十六二分之一，句弦相乘幂一百六十四二十五分之十四。问：句多少？”

解一个双二次方程：

$x^4+(16\frac{1}{2})^2x^2=(164\frac{14}{15})^2$。

## 版本

《缉古算经》在唐代就有抄本，宋元丰七年（1084年）有秘书监赵彦若等校定刊本，但到明代，刊本几乎遗失，仅存章丘李开先所藏一部南宋刊本。清代毛晋获得《缉古算经》，影抄传世。《缉古算经》影抄本后归常熟毛扆汲古阁收藏；清乾隆年间孔继涵得毛扆汲古阁所藏宋元丰七年《缉古算经》影抄本和其他算书六种，连同戴东原从永乐大典中编辑出的《海岛算经》等书合为十部，一同刻印刊行；孔继涵所刻《缉古算经》，世称为微波谢本。同时《四库全书》又收入吏部侍郎王杰所藏《缉古算经》的毛晋影抄本。微波谢本后佚，影抄本现存北京故宫博物院。

清代中期，研究《缉古算经》之风盛行，先后有李潢《缉古算经考注》二卷，张敦仁《缉古算经细草》一卷，陈杰《缉古算经细草》一卷，《缉古算经注》二卷，《缉古算经音义》一卷，及按微波谢本抄录的《缉古算经经文》一卷；揭廷锵《缉古算经考注图草》一卷。

1963年中华书局出版钱宝琮校点多《算经十书》，其中包括《缉古算经》

1998年郭书春校点《缉古算经》、《算经十书》由辽宁教育出版社出版。

## 参考文献

- 白尚恕 《中国数学史研究》 83-105页 《王孝通缉古算经校证》 ISBN 978-7-703-09242-0
- Jean Claude Martzloff, A History of Chinese Mathematics,p140-141 Springer ISBN 3-540-33782-2