莱恩-埃姆登方程

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莱恩－埃姆登方程（Lane–Emden equation）是天文物理中一个表现自重力位能，球对称多方流体的无因次泊松方程。此方程式名字由来于强纳生·荷马·莱恩与罗伯特·埃姆登。此方程式的解表示了恒星在半径 $r$ 时的压力与密度，方程式中并有重构径向变数 $\xi$ 和重构温度变数 $\theta$：

$$\frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi} \left({\xi^2 \frac{d\theta}{d\xi}}\right) + \theta^n = 0$$

当

$$\xi = r \left(\frac{4 \pi G \rho_c^2}{(n+1)P_c}\right)^{\frac{1}{2}}$$

以及

$$\rho = \rho_c \theta^n \,$$

下标 c 代表核心的压力与密度。$n$是多方指数；多方指数与代表气体压力及密度的多方方程式有关系。

$$P = K \rho^{1 + \frac{1}{n}}\,$$

$P$ 是代表压力，$\rho$ 则是密度，而 $K$ 则是比例常数。标准的边界条件则是 $\theta(0)=1$ 和 $\theta'(0)=0$。因此该方程式的解是描述恒星压力和密度与半径的关系，并且给定的多方指数 $n$ 也是多方球的多方指数 $n$。流体静力平衡与位能、密度、压力梯度有关；泊松方程与位能、密度有关。

## 应用

在物理学上，流体静力平衡与位能梯度、密度和压力梯度相关，而泊松方程则可以是位能和密度的关系式。因此如果有一个方程式可以进一步指出压力和密度如何互相反映，就可以得到一个解。以上多方气体的特定选项在数学上陈述了这个问题，尤其是该陈述特别简洁并推导出了莱恩－埃姆登方程。这个方程式对于恒星等自重力位能气体球是相当有用的近似，但它的假设通常是受到限制。

## 推导

### 以流体静力平衡推导

考虑到自重力位能、流体静力平衡下的球对称流体、质量守恒这些状况，就可使用以下连续性方程式：

$$\frac{dm}{dr} = 4\pi r^2 \rho$$

这里 $\rho$ 是 $r$ 的函数。流体静力平衡的公式成为：

$$\frac{1}{\rho}\frac{dP}{dr} = -\frac{Gm}{r^2}$$

$m$ 也是 $r$ 的公式。再一次求导数可得：

$$\begin{align} \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{\rho}\frac{dP}{dr}\right) &= \frac{2Gm}{r^3}-\frac{G}{r^2}\frac{dm}{dr} \\ &=-\frac{2}{\rho r}\frac{dP}{dr}-4\pi G\rho \end{align}$$

这里已经使用一个连续性方程式取代质量梯度。再将方程式两侧乘上 $r^2$，并将带有 $P$ 的导数的项置于左侧，方程式成为：

$$r^2\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{\rho}\frac{dP}{dr}\right)+\frac{2r}{\rho}\frac{dP}{dr} =\frac{d}{dr}\left(\frac{r^2}{\rho}\frac{dP}{dr}\right)=-4\pi Gr^2\rho$$

方程式两侧除以 $r^2$，在某些意义上这是一维形式所需的方程式。此外，如果我们以多变方程 $P=K\rho_c^{1+\frac{1}{n}}\theta^{n+1}$ 和 $\rho=\rho_c\theta^n$ 代入，可得到：

$$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2K\rho_c^\frac{1}{n}(n+1)\frac{d\theta}{dr}\right)=-4\pi G\rho_c\theta^n$$

将常数聚集并以 $r=\alpha\xi$ 取代：

$\alpha^2=(n+1)K\rho_c^{\frac{1}{n}-1}/4\pi G$,

最后得到莱恩－埃姆登方程：

$$\frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi} \left({\xi^2 \frac{d\theta}{d\xi}}\right) + \theta^n = 0$$

### 以泊松方程推导

同样地，也可以使用泊松方程进行推导：

$$\nabla^2\Phi=\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left({r^2\frac{d\Phi}{dr}}\right) = -4\pi G\rho$$

我们可以透过以下数学公式以流体静力平衡取代位能梯度：

$$\frac{d\Phi}{dr}=\frac{1}{\rho}\frac{dP}{dr}$$

最后也可以得到莱恩－埃姆登方程。

## 方程式解

### 解析解

$n$ 只在3个值时有解析解

#### $n=0$

如果 $n=0$，方程式成为：

$$\frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi} \left({\xi^2 \frac{d\theta}{d\xi}}\right) + 1 = 0$$

重新整理并进行一次积分后的公式成为：

$$\xi^2\frac{d\theta}{d\xi} = C_1-\frac{1}{3}\xi^3$$

公式两侧都除以 $\xi^2$，并且再积分一次后得到：

$$\theta(\xi)=C_0-\frac{C_1}{\xi}-\frac{1}{6}\xi^2$$

边界条件 $\theta(0)=1$ 和 $\theta'(0)=0$ 暗示积分常数是 $C_0=1$ 和 $C_1=0$。

#### $n=1$

当 $n=1$，方程式可展开如下：

$$\frac{d^2\theta}{d\xi^2}+\frac{2}{\xi}\frac{d\theta}{d\xi} + \theta = 0$$

两端都乘以 $\xi^2$ 可得到 $k=1$ 和 $n=0$ 的球贝索函数。套用了边界条件以后的解将是：

$$\theta(\xi)=\frac{\sin\xi}{\xi}$$

#### $n=5$

在经过一连串取代的步骤后，方程式可以有进一步的解：

$$\theta(\xi)=\frac{1}{\sqrt{1+\xi^2/3}}$$

当 $n=5$，方程式的解将是循着径向的无限大值。

### 数值解

一般情形下莱恩－埃姆登方程的解必须以数值积分方式求得。许多数值积分的标准解法要求该问题必须以一阶常微分方程表示，例如：

$$\frac{d\theta}{d\xi}=-\frac{\phi}{\xi^2}$$

$$\frac{d\phi}{d\xi}=\theta^n\xi^2$$

在这里 $\phi(\xi)$ 被视为无因次质量，而质量可使用 $m(r)=4\pi\alpha^3\rho_c\phi(\xi)$ 表示。相关的边界条件是 $\phi(0)=0$ 和 $\theta(0)=1$。第一个方程式表现了流体静力平衡，而第二个方程式则表示质量守恒。

## 同调变数

### 同调不变方程

已知如果 $\theta(\xi)$ 是莱恩－埃姆登方程的解，那么完整的解方程式将是 $C^{2/n+1}\theta(C\xi)$。和这方式相关的解则称为“同调”，而转换的过程是同调性的。如果我们选择不变的变数达到同调性，就可以将莱恩－埃姆登方程降一阶计算。

而这类可选择的变数有多个，一个适当的选择是：

$$U=\frac{d\log m}{d\log r}=\frac{\xi^3\theta^n}{\phi}$$

和

$$V=\frac{d\log P}{d\log r}=(n+1)\frac{\phi}{\xi\theta}$$

我们可以将相对于 $\xi$ 的变数的对数微分，得到：

$$\frac{1}{U}\frac{dU}{d\xi}=\frac{1}{\xi}(3-n(n+1)^{-1}V-U)$$

和

$\frac{1}{V}\frac{dV}{d\xi}=\frac{1}{\xi}(-1+U+(n+1)^{-1}V)$.

最后，我们将以上两个方程式相除以消去应变量 $\xi$，留下：

$$\frac{dV}{dU}=-\frac{V}{U}\left(\frac{U+(n+1)^{-1}V-1}{U+n(n+1)^{-1}V-3}\right)$$

以上即为单一一阶方程式。

### 拓扑结构不变的同调方程

同调性不变的方程式可被视为自主对方程式：

$$\frac{dU}{d\log\xi}=-U(U+n(n+1)^{-1}V-3)$$

和

$$\frac{dV}{d\log\xi}=V(U+(n+1)^{-1}V-1)$$

这些方程式的解的形式可透过以下线性稳定性分析来决定。方程式的临界点（当 $dV/d\log\xi=dU/d\log\xi=0$）和雅可比矩阵的特征值、特征向量如下表所示：

临界点｜特征值｜特征向量

$(0,0)$｜$3$｜$-1$｜$(1,0)$｜$(0,1)$

$(3,0)$｜$-3$｜$2$｜$(1,0)$｜$(-3n,5+5n)$

$(0,n+1)$｜$1$｜$3-n$｜$(0,1)$｜$(2-n,1+n)$

$\left(\frac{n-3}{n-1},2\frac{n+1}{n-1}\right)$｜$\frac{n-5\pm\Delta_n}{2-2n}$｜$\left(1-n\mp\Delta_n,4+4n\right)$