电磁波方程式

在电磁学里，电磁波方程式（英语：Electromagnetic wave equation）乃是描述电磁波传播于介质或真空的二阶微分方程式。电磁波的波源是局域化的含时电荷密度和电流密度，假若波源为零，则电磁波方程式约化为二阶齐次微分方程式。这方程式的形式，以电场$\mathbf{E}\,\!$和磁场$\mathbf{B}\,\!$来表达为

$\left(\nabla^2 - \frac{ 1}{{c}^2 }\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{E}\ =\ 0\,\!$。

$\left(\nabla^2 - \frac{ 1}{{c}^2 }\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{B}\ =\ 0\,\!$。

其中，$\nabla^2\,\!$是拉普拉斯算符，$c\,\!$是电磁波在真空或介质中传播的速度，$t\,\!$是时间。

由于光波就是电磁波，$c\,\!$也是光波传播的速度，称为光速。在真空里，$c=c_0=299,792,458\,\!$ ［米／秒］，是电磁波传播于自由空间的速度。

## 历史

在詹姆斯·麦克斯韦的1864年论文《电磁场的动力学理论》内，麦克斯韦将位移电流与其它已成立的电磁方程式合并，因而得到了描述电磁波的波动方程式。最令人振奋的是，这方程式所描述的波动的波速等于光波的速度。他这样说：

这些殊途一致的结果，似乎意味着光波与电磁波都是同样物质的属性，并且，光波是按照着电磁定律传播于电磁场的电磁扰动。

## 理论推导

在真空里，麦克斯韦方程组的四个微分方程式为

$\nabla \cdot \mathbf{E} = 0\,\!$、(1)

$\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\,\!$、(2)

$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\,\!$、(3)

$\nabla \times \mathbf{B} =\mu_0 \varepsilon_0 \frac{ \partial \mathbf{E}} {\partial t}\,\!$；(4)

其中，$\mu_0\,\!$是真空磁导率，$\varepsilon_0\,\!$是真空电容率。

分别取公式(2)、(4)的旋度。

$\nabla \times(\nabla \times \mathbf{E})= - \frac{\partial } {\partial t} (\nabla \times \mathbf{B})= - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E} } {\partial t^2} \,\!$。

$\nabla \times(\nabla \times \mathbf{B})= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial } {\partial t}(\nabla \times \mathbf{E})= - \mu_o \varepsilon_o \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} \,\!$。

应用一则向量恒等式（这里，$\nabla^2 \mathbf{V}$应被理解为对V的每个分量取拉普拉斯算子，即拉普拉斯–德拉姆算子）

$\nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{V} \right) = \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{V} \right) - \nabla^2 \mathbf{V}\,\!$。

其中，$\mathbf{V} \,\!$是任意向量函数。

将公式(1)、(3)代入，即可得到亥姆霍兹方程形式的波动方程式：

$\left(\nabla^2 - \frac{ 1}{{c}^2 }\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{E}\ =\ 0\,\!$、(5)

$\left(\nabla^2 - \frac{ 1}{{c}^2 }\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{B}\ =\ 0\,\!$；(6)

其中，$c=c_0 = { 1 \over \sqrt{ \mu_0 \varepsilon_0 } } = 2.99792458 \times 10^8 \,\!$ ［米／秒］是电磁波传播于自由空间的速度。

## 齐次的波动方程式的协变形式

电磁四维势$A^{\mu}\,\!$是由电势$\phi \,\!$与向量势$\mathbf{A}\,\!$共同形成的，定义为

$A^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ ( \phi /c,\, \mathbf{A}) \,\!$。

采用劳仑次规范：

$\frac{\partial A^{\mu}}{\partial x^{\mu}} = 0\,\!$。

前述那些齐次的波动方程式(5)、(6)，可以按照反变形式写为

$\ \Box A^{\mu} = 0\,\!$。

其中，$\Box=\partial^\nu\partial_\nu=\frac{\partial^2 }{\partial x_{\nu}\partial x^{\nu}}= \frac{ 1}{{c}^2 }{\partial^2 \over \partial t^2} - \nabla^2 \,\!$是达朗贝尔算子，又称为四维拉普拉斯算子。

## 弯曲时空中的齐次的波动方程式

齐次的电磁波方程式在弯曲时空中需要做两处修正，分别是将偏导数替换为协变导数，以及增加了一项有关时空曲率的项。假设洛伦茨规范在弯曲时空中的推广为

${A^{\mu}}_{ ; \mu}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\partial A^{\mu}}{\partial x^{\mu}}= 0 \,\!$。

那么，弯曲时空中的齐次的波动方程式为

$- {A^{\alpha ; \beta}}_{ \beta} + {R^{\alpha}}_{\beta} A^{\beta} =0\,\!$。

其中，${R^{\alpha}}_{\beta}\,\!$是里奇曲率张量。

## 非齐次的电磁波方程式

追根究底，局域化的含时电荷密度和电流密度是电磁波的波源。在有波源的情形下，马克士威方程组可以写成一个非齐次的电磁波方程式的形式。正是因为波源的存在，使得偏微分方程式变为非齐次。

## 波动方程式的解

在齐次的电磁波方程式中，电场和磁场的每一个分量都满足纯量波动方程式

$\frac{ 1}{{c}^2 }{\partial^2 f \over \partial t^2} - \nabla^2 f\ = \ 0\,\!$；(7)

其中，$f\,\!$是任意良态函数。

纯量波动方程式的一般解的形式为

$f(\mathbf{r},t) = g(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)\,\!$。

其中，$g(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)\,\!$是任意良态函数，$\mathbf{r}\,\!$是位置向量，$t\,\!$是时间，$\mathbf{k}\,\!$是波向量，$\omega\,\!$是角频率。

函数$g(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)\,\!$描述一个波动，随着时间的演化，朝着$\mathbf{k}\,\!$的方向传播于空间。将函数$g(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)\,\!$代入纯量波动方程式(7)，可得到角频率与波数的色散关系：

$\omega^2=c^2 k^2\,\!$。

或者，角频率一定大于零，但波数可以是负值：

$\omega=c |k|\,\!$。

### 正弦波

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假设，函数$g\,\!$的波形为正弦波：

$f= f_0 \cos(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t+ \phi_0)\,\!$。

其中，${f}_0\,\!$是实值波幅，$\phi_0\,\!$是初相位。

根据欧拉公式。

$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\,\!$。

函数$f\,\!$也可以表达为一个复数的实值部分

$f=\operatorname{Re}\{f_0 e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t+ \phi_0)}\}\,\!$。

以上方加有波浪号的符号来标记复值变数。设定复值函数$\tilde{f}\,\!$为

$\tilde{f}=f_0 e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t+ \phi_0)}=\tilde{f}_0 e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}\,\!$。

其中，$\tilde{f}_0=f_0 e^{i \phi_0}\,\!$是复值波幅。

那么。

$f=\operatorname{Re}\{\tilde{f}\}\,\!$。

纯量波动方程式的正弦波解的形式为$\tilde{f}\,\!$的实值部分。任意涉及实函数$f\,\!$的线性方程式，都可以用复函数$\tilde{f}\,\!$来代替$f\,\!$。最后得到的复值答案，只要取实值部分，就可以得到描述实际物理的答案。但是，当遇到非线性方程式，必须先转换为实值函数，才能够确保答案的正确性。

由于指数函数比三角函数容易计算，在很多场合，都可以使用这技巧。

### 线性叠加

任意波动$f(\mathbf{r},t)\,\!$可以表达为一个无限集合的不同频率的正弦波的线性叠加：

$f(\mathbf{r},t) = \int^{\infty}_0 \tilde{f}_0(\mathbf{r},\omega) e^{ - i\omega t}\ d\omega\,\!$。

所以，只要能得知单独频率的波动$\tilde{f}_0(\mathbf{r},\omega) \,\!$（单色波）的表达式，就可以求算整个波动$f(\mathbf{r},t)\,\!$的表达式。

## 齐次的电磁波方程式的解

### 单色正弦平面波的解

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从前面的分析，可以猜到齐次的电磁波方程式的单色正弦平面波的解为：

$\tilde{\mathbf{E}}(\mathbf{r},t) =\tilde{\mathbf{E}}_0 e^{i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)} \,\!$。

$\tilde{\mathbf{B}}(\mathbf{r},t) =\tilde{\mathbf{B}}_0 e^{i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)} \,\!$。

其中，$\tilde{\mathbf{E}}_0\,\!$、$\tilde{\mathbf{B}}_0\,\!$分别为复值电场$\tilde{\mathbf{E}}$和复值磁场$\tilde{\mathbf{B}}$的复常数振幅向量。

这两个方程式显示出正弦平面波的传播方向是$\mathbf{k}\,\!$的方向。由于方程式(1)和(3)。

$\mathbf{k}\cdot\tilde{\mathbf{E}}(\mathbf{r},t) =\mathbf{k}\cdot\tilde{\mathbf{E}}_0=0\,\!$。

$\mathbf{k}\cdot\tilde{\mathbf{E}}(\mathbf{r},t) =\mathbf{k}\cdot\tilde{\mathbf{B}}_0=0\,\!$。

电场和磁场垂直于波向量，波动传播的方向。所以，电磁波是横波。

由于法拉第电磁感应定律方程式(2)。

$\nabla \times \tilde{\mathbf{E}}=\left(\nabla e^{i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)}\right) \times\tilde{\mathbf{E}}_0 =i \mathbf{k}\times\tilde{\mathbf{E}}= - \frac{\partial \tilde{\mathbf{B}}} {\partial t}=i\omega\tilde{\mathbf{B}}\,\!$。

将角频率与波数的色散关系式$\omega=ck\,\!$带入：

$\tilde{\mathbf{B}} =\frac{\mathbf{k}}{\omega}\times\tilde{\mathbf{E}}=\frac{1}{c}\hat{\mathbf{k}}\times\tilde{\mathbf{E}}\,\!$。

所以，电场与磁场相互垂直于对方；磁场的大小等于电场的大小除以光速。

### 电磁波谱分解

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由于马克士威方程组在真空里的线性性质，其解答可以分解为一集合的正弦波。将这集合的正弦波的叠加在一起，又可以形成原本的解答。这是傅立叶变换方法解析微分方程式的基础概念。电磁波方程式的正弦波解的形式为

$\mathbf{E} ( \mathbf{r}, t ) = \mathbf{E}_0 \cos( \omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \phi_0 ) \,\!$。

$\mathbf{B} ( \mathbf{r}, t ) = \mathbf{B}_0 \cos( \omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \phi_0 ) \,\!$。

波向量与角频率的关系为

$k = | \mathbf{k} | = { \omega \over c } = { 2 \pi \over \lambda } \,\!$。

其中，$\lambda\,\!$是波长。

按照波长长短，从长波开始，电磁波可以分类为电能、无线电波、微波、红外线、可见光、紫外线、X-射线和伽马射线等等。普通实验使用的光谱仪就足以分析从2 奈米到2500 奈米波长的电磁波。使用这种仪器，可以得知物体、气体或甚至恒星的详细物理性质。这是天文物理学的必备仪器。例如，氢原子会发射波长为21.12公分的无线电波。

### 圆柱对称性解

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如图右，思考一条由半径为$a\,\!$的无穷长的直导线，和半径为$b\,\!$的无穷长的圆柱导电管，所组成的共轴传输线。假设这传输线与z-轴平行。由于共轴传输线的内部有一条直导线，不是空心的，它可以传输$E_z=0\,\!$和$B_z=0\,\!$的电磁横波，采用圆柱坐标$(s, \phi, z)\,\!$，在传输线的内部空间，电场和磁场分别为

${\mathbf{E}}(\mathbf{r}, t )=\frac{{\mathbf{E}}_0}{s}\cos(kz - \omega t)\hat{s} \,\!$。

${\mathbf{B}}(\mathbf{r}, t )=\frac{\mathbf{E}_0}{cs}\cos(kz - \omega t)\hat{\phi} \,\!$。

这一组方程式显示出电磁波方程式的圆柱对称性解的一种形式。

### 球对称性解

思考一个位于原点的振荡中的磁偶极矩$m=m_0 \cos(\omega t)\,\!$。这磁偶极矩会发射出电磁波，从原点往无穷远辐射出去。采用球坐标$(r, \theta, \phi)\,\!$，则在离原点很远的位置$\mathbf{r}\,\!$，电场和磁场分别为

${\mathbf{E}}(\mathbf{r}, t ) =\frac{\mathbf{E}_0\sin\theta}{r}\left[\cos(kr - \omega t) - \frac{1}{kr}[\sin(kr - \omega t) \right]\hat{\phi} \,\!$。

${\mathbf{B}}(\mathbf{r}, t ) = - \frac{\mathbf{E}_0\sin\theta}{cr}\left[\cos(kr - \omega t) - \frac{1}{kr}[\sin(kr - \omega t) \right] \hat{\theta}\,\!$。

这是一组满足电磁波方程式的球面波方程式。

## 参阅

### 理论与实验

- 电磁模型
- 电磁辐射
- 电磁场的数学表述
- 偏导
- 光学

### 应用领域

- 彩虹
- 宇宙微波背景辐射
- 激光
- 核融合
- X-射线
- 雷达

## 参考文献

- Landau, L. D., The Classical Theory of Fields (Course of Theoretical Physics: Volume 2), (Butterworth-Heinemann: Oxford, 1987). ISBN 0-08-018176-7.