图论术语

图论中有许多专有名词，此处总结了一些名词的一般意义和用法。

## 基本术语

一个图（一般记作$G$）由两类元素构成，分别称为“顶点”（或节点、结点）和“边”。每条边有两个顶点作为其端点，我们称这条边“连接”了它的两个端点。因此，边可定义为由两个顶点构成的集合（在有向图中为有序对，见下文“方向”一节）。

图也可以用其他模型来表示，如定义在顶点集合上的二元布尔函数，或者方形(0,1)-矩阵。

顶点或边上有标号的图称为有标号的，否则为无标号的。它们的区别在于，无标号的图并没有为顶点或边指定一个特定的顺序。

图的标号一般指按某一规则为图的顶点或边指定一个标号。标号通常是自然数，且一般互不相同。

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一个超边是允许连接任意多个（可以多于两个）顶点的“边”。含有超边的“图”称为超图。边可视为恰连接两个顶点的超边，因此图可视为一种特殊的超图。

空图或秃图是没有边的图。

如果一个图有无穷多的顶点和/或边，则称其为无穷的，否则为有穷的。如果一个图是无穷的，但每个顶点的度（见下）是有限的，则称为局部有穷的。一般假定“图”指有穷图。

两个图$G$和$H$，如果存在$V(G)$与$V(H)$之间的一一对应，使得图$G$中两个顶点相连当且仅当它们在图$H$中的对应顶点相连，则称图$G$和$H$ 同构，记作$G\simeq H$。类似地，如果仅仅是$V(G)$到$V(H)$的映射而不一定是一一对应，则称此映射是$G$到$H$的同态。

### 彼得森图

图论中最有名图之一。

### 边

一条边一般表示为连接其两个端点的曲线。以两个顶点$u$、$v$为端点的边一般记作$(u,v)$、$\{u,v\}$或$uv$。一条边连接两个顶点$u$、$v$时，称$u$与$v$相邻。图$G$的边集一般记作$E(G)$，当不发生混淆时可简记为$E$。

### 补图

图$G$的补图$\bar{G}$是一个图，它的点集与$G$相同，而每条边$(u,v)$存在于$\bar{G}$中当且仅当它不存在于$G$中。

### 顶点

一个顶点一般表示为一个点或小圆圈。一个图$G$的顶点集（点集）一般记作$V(G)$，当不发生混淆时可简记为$V$。图$G$的阶为其顶点数目，亦即|$V(G)$|。

### 度

若两个点之间有一条边，则这两个点相邻。关联一个点$v$的边的条数称为是$v$度数（degree）或价（valency）。特别的，若$G$不是多重图时，它等于这一点的邻点个数。

一个顶点被称作孤立顶点，当它的度数为$0$。

$G$的最小度记为$\delta(G) := min\left\{d(v)|v\in V\right\}$

$G$的最大度记为$\Delta(G) := max\left\{d(v)|v\in V\right\}$

$G$的平均度记为$d(G) := \frac{\sum_{v \in V} d(v)} {|V|}$

称$G$为k-正则的，当$G$的所有顶点都有相同的顶点度k。特别的，3-正则图被称作立方图。

### 独立集

一个图的独立集是图中一些两两不相邻的顶点所形成的集合。

### 二分图

图G是二分图当且仅当它的点集V能被划分成两块X和Y，使得对于G中的任意一条边，它有一个端点属于X而另一个端点属于Y。

### 环

看环（图论）。

### 距离

距离是两个顶点之间经过最短路径的边的数目，通常用$d_G ( u, v )$表示。

顶点$v$的偏心率（eccentricity），用来表示连接图$G$中的顶点$v$到图$G$中其它顶点之间的最大距离，用符号$\epsilon_G (v)$表示。

图的直径（diameter），表示取遍图的所有顶点，得到的偏心率的最大值，记作$diam(G)$。相对于直径的一个概念是图的半径（radius），表示图的所有点的偏心率的最小值，记作$rad(G)$。这两者间的关系是：$diam(G) \leqslant 2 rad(G)$

### 柯尼斯堡七桥问题

图论中著名的问题。

### 连通图／连通性

称$G$是连通的，如果非空图$G$的任意两个顶点之间均有一条路相连。

称$G$是k-连通的，如果非空图$G$的任意两个顶点之间都有$k$条独立路相连。k-连通的的另外一个定义是：若$\mid G \mid>k\in \mathbb N$,且对任意满足$|X|<k$的子集$X \subseteq V$均有$G-X$是连通的，则称$G$是k-连通的。由门格尔定理，易知这两个定义是等价的。通过k-连通的概念，定义使得$G$是k-连通的最大整数$k$称作$G$的连通度。

类似的，还可以引入k-边连通的概念：称一个$\mid G \mid$的图$G$是k-边连通的，如果对任意一个满足$\mid F \mid < k$的边的集合$F$，$G - F$均是连通的。同样，$G$的边连通度是使得$G$是k-边连通的最大整数。

### 旅行推销员问题

计算机科学中最有名的问题之一。

### 欧拉路径

一笔画问题、也看哈密尔顿环。

### 平面图

库拉托夫斯基定理描述关于平面图的等价判定定理。由欧拉公式可知：V-E+F=2，其中的2即为球面的欧拉示性数。

### 路径

路径（walk），又译作途径。一个长度为$k$的路径是一个非空的顶点和边的交错序列$v_0 e_0 v_1 e_1 ... e_{k-1} v_k$，使得对于所有$i < k$均有$e_i={v_i v_{i+1}}$。特别的，当$v_0 = v_k$时，称这个路径是闭的（closed）；当路径中的顶点互不相同，得到$G$的一条路。

### 树

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连通无圈图称为树，一般记为T。其中，度数为1的顶点称为叶子，否则称为内点。有时我们会从树中选出一个顶点作为特殊顶点，称之为根以示区分，此时称此树为有根树。有根树常作为有向无环图来处理。

树T的连通子图称为T的子树。

树也是一个团的森林。

### 森林

无环（不一定连通）图称为森林，森林F的子图称为F的子森林。

如果图G的一个生成子图是树，则称该子图为生成树。

星是仅有一个顶点不是叶子的树。星也可以表示为完全二分图K1,n。

### 团

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图中的团是由图中两两相邻的顶点构成的集合。

### 完全图

完全图是所有顶点两两相邻的图。n阶完全图，记作Kn。如图所示为K5。n阶完全图有n(n-1)/2条边。

### 网络流

重要的计算机科学、最优化理论、与算法学的题目。也看最大流最小割定理。

### 围长

围长定义为图所包含的最短环长，也被称为"girth"。

### 相邻

两顶点相邻，意思是之间有一条边。

### 叶子

看以上的树术语。

### 自环

一个自环是两个端点为同一顶点的边。如果有多于一条边连接同一对顶点，则它们均被称为重边。一个图的重数是重复次数最多的边的重复次数。如果一个图不含自环或重边，则称为简单图。多数情况下，如无特殊说明，可以假定“图”总是指简单图。

### 着色

图着色问题包含四色定理，数学中最有名的问题之一。现代的证明用电脑、文章很长。

### 子图

两个图G和H，如果V(H)是V(G)的子集且E(H)是E(G)的子集（当然，E(H)中只能包含将V(H)中的顶点相连的边）则称H是G的子图。如果图G和H不相等，即V(H)是V(G)的真子集或E（H）是E（G）的真子集，则称H是G的真子图。如果H是G的子图或者存在一个G的子图与H同构，则称G包含H。

如果图G的子图H满足V(H)=V(G)，即图H包含图G的所有顶点，则称H是G的支撑子图或生成子图。

如果图G的子图H满足边(u,v)在图H中当且仅当边(u,v)在图G中，即图H包含了图G中所有两个端点都在V(H)中的边，则称H是G的导出子图。

对于图的某个性质而言，如果图G具有此性质而G的任一真子图都不具有此性质，则称G是具有该性质的极小图。类似地，如果图G具有此性质而任一以G为真子图的图都不具有此性质，则称G是具有该性质的极大图。

### 最短路问题

重要的计算机科学、与算法学的题目。也看Dijkstra算法、Kruskal算法、A*搜寻算法等。

## 定理术语

- 握手引理
- 友谊定理
- 彼得森定理
- 布鲁克斯定理
- 柯尼格引理
- 柯尼格定理 (图论)
- 库拉托夫斯基定理
- 拉姆齐定理（而且看拉姆齐理论）
- 门格尔定理（Menger's Theorem）
- 图特定理
- Vizing定理
- 最大流最小割定理
- 图兰定理
- 艾狄胥-斯通定理

## 代数图论

代数图论

## 不变量

### 亏格（几何、拓扑）

看以上的平面图。