克尔效应

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克尔效应（Kerr effect），也称“二次电光效应”，是物质因响应外电场的作用而改变其折射率的一种效应。克尔效应与泡克耳斯效应不同，前者感应出的折射率改变与外电场平方成正比，后者则与外电场成线性关系；前者可以在液体或非晶物质出现，后者只出现于没有对称中心的晶体物质。克尔效应或多或少会出现在每一种物质，但在某些液体会比较显著。这效应最先由苏格兰科学家约翰·克尔（John Kerr）在1878年发现。

克尔效应又分为克尔电光效应与克尔光学效应。

## 克尔电光效应

克尔电光效应又称为“直流克尔效应”。假设施加缓慢外电场于物质样品，即在连结样品两端的电极之间施加电压，在这影响下，样品会变为具有双折射性质，对于光波的偏振平面平行与垂直于外电场的两种方向，会出现不同的折射率，其差值$\Delta n$为

$\Delta n = \lambda K E^2$。

其中，$\lambda$是光波的波长，$K$是“克尔常数”，$E$是电场。

假设光波入射于样品的方向垂直于外电场，则折射率的不同会使得这样品的物理性质类似波片（waveplate）。假若置放物质于两块正交偏振片之间（请参阅条目偏光仪（polariscope）），当设定外电场为零之时，不会有任何光波透射过这两块正交偏振片；但当设定外电场为某最佳值之时，几乎全部光波会透射过这两块正交偏振片。

某些极性液体，例如一硝基甲苯（C7H7NO2）、硝基苯（C6H5NO2），会展示出很大的克尔常数。“克尔盒”指的是装满了这种液体的小盒。因为克尔效应对于电场变化的响应速度很快，克尔盒时常被用来调制光波，频率可高达10 GHz，可以用来制作电控光开关，在高速摄影、激光通讯方面很有用处，是未来光联网的重要技术。由于克尔效应相当微弱，典型的克尔盒需要电压高达30 kV才能达到完全透明。泡克耳斯效应的工作电压比这低很多。克尔盒的另一大缺点是制作材料硝基苯具有毒性。克尔盒光调制器也可以采用某些透明晶体为克尔效应材料，虽然他们的克尔常数较小。

在有些缺乏反演对称性的介质里，克尔效应通常会被更强劲的泡克耳斯效应屏蔽；但是，克尔效应仍旧存在，时常可以独立地被探测到，不论泡克耳斯效应的贡献有多强劲。

## 克尔光学效应

克尔光学效应又称为“交流克尔效应”。在克尔光学效应里，光波本身的电场造成了折射率的改变，这改变与光波的局域辐照度有关。折射率的变化促成了自聚焦（self-focusing）、自调相（self-phase modulation）、调制不稳定性（modulational instability）的非线性光学效应，是克尔透镜锁模技术（Kerr-lens modelocking）的基础机制。只有当光束非常强劲时，这效应才会变得很显著，例如，激光所产生的激光束。

## 磁光克尔效应

在磁光克尔效应里，从磁性物质反射出来的光波，其偏振平面会稍微偏转。这效应与法拉第效应类似，在法拉第效应里，透射光的偏振平面会稍微偏转。

## 理论

### 直流克尔效应

在介质里，电极化向量$\mathbf{P}$与电场$\mathbf{E}$的关系为

$\mathbf{P} = \varepsilon_0 \boldsymbol{\chi}^{(1)}\mathbf{E} + \varepsilon_0 \boldsymbol{\chi}^{(2)}\mathbf{EE} + \varepsilon_0\boldsymbol{\chi}^{(3)}\mathbf{EEE} + \cdots$。

其中，$\varepsilon_0$是电常数，$\boldsymbol{\chi}^{(n)}$是介质的第n阶电极化率张量。

这是个张量公式。采用直角坐标系，x坐标、y坐标、z坐标分别以下标1、2、3代表，这公式表示为

$P_i = \varepsilon_0 \sum_{j=1}^{3} \chi^{(1)}_{i j} E_j + \varepsilon_0 \sum_{j=1}^{3} \sum_{k=1}^{3} \chi^{(2)}_{i j k} E_j E_k + \varepsilon_0 \sum_{j=1}^{3} \sum_{k=1}^{3} \sum_{l=1}^{3} \chi^{(3)}_{i j k l} E_j E_k E_l + \cdots$。

在这公式的右手边，第一项是介质的线式响应，所产生的电极化向量与电场成正比；第二项给出了泡克耳斯效应；第三项给出了直流克尔效应。对于展示出不可忽略的克尔效应的物质，第三项很重要。经过一番运算，第三项以方程式表示为

$P_i(\omega) =3\varepsilon_0 \sum_{j=1}^{3} \sum_{k=1}^{3} \sum_{l=1}^{3} \chi^{(3)}_{i j k l}(\omega;0,0,\omega) E_j(0) E_k(0) E_l(\omega)$。

在这公式里，物理量右边圆括号内的角频率表示这物理量必须具有的角频率数值，否则，整个乘积为零。第3阶电极化率张量$\boldsymbol{\chi}^{(3)}$有34=81个分量，假设介质为结构各向同性，则由于对称性，只会有21 个非零分量，分为4种数值:

$\chi_1=\chi_{iiii}$。

$\chi_2=\chi_{jjkk}$。

$\chi_3=\chi_{jkjk}$。

$$\chi_4=\chi_{jkkj}$$

其中，下标$i$、$j$、$k$的数值可以是1、2或3，但是$j\ne k$。

设想外电场$\mathbf{E}_0$的方向为$\hat{y}$：

$\mathbf{E}_0=E_{0} \hat{y}$。

光波的的传播方向为$\hat{z}$，光波的电场为

$\mathbf{E}_L=(E_{x}\hat{x}+E_{y}\hat{y})\cos(kz-\omega t)$。

两个电场合并为

$\mathbf{E}= E_0 + \mathbf{E}_L = \mathbf{E}_{0}\hat{y} + (E_{x}\hat{x}+E_{y}\hat{y})\cos(kz-\omega t)$。

则所有涉及到z-坐标的分量都可以被忽略。

将这电场代入第三项，可以得到电极化向量的第三项部分，其x-分量、y-分量分别为

$P_x=3\varepsilon_0 \chi_{xyyx} E_0 E_0 E_{x}=3\varepsilon_0 \chi_2 E_0 E_0 E_{Lx}$。

$P_y=3\varepsilon_0 \chi_{yyyy} E_0 E_0 E_{y} =3\varepsilon_0 \chi_1 E_0 E_0 E_{Ly}$。

由于直流电场的作用，朝着x、y两个方向的电极化向量造成了折射率不同，因此产生双折射现象：

$\Delta n=n_{\parallel}-n_{\perp}\approx \frac{3\varepsilon_0 (\chi_2-\chi_1) E_0 E_0 }{2n}$。

其中，$n_{\parallel}$、$n_{\perp}$是偏振光的偏振平面与直流电场分别平行、垂直时传播于介质的折射率，$n$是当没有直流电场时传播于介质的折射率。

因此，可以将介质的克尔常数定义为

$K\ \stackrel{def}{=}\ \frac{n_{\parallel}-n_{\perp}}{\lambda_0 E_0^2}$。

其中，$\lambda_0$是光波传播于自由空间的波长。

### 交流克尔效应

在交流克尔效应里，传播于介质的光波，假若辐照度够强劲，就可以自己提供调制电场，不需要施加外电场。对于这案例，假设偏振光的电场为

$\mathbf{E} =E_y \cos(\omega t)\hat{y}$。

其中，$\mathbf{E}_y$是光波的波幅。

将这公式代入偏振方程式，只取线性项与第三项，可以得到

$P_y \simeq \varepsilon_0 \left( \chi^{(1)} + \frac{3}{4} \chi^{(3)} |E_y|^2 \right) E_y \cos(\omega t)$。

这像是个线性项和额外的非线性项总和在一起的电极化率：

$\chi = \chi_{\mathrm{LIN}} + \chi_{\mathrm{NL}} = \chi^{(1)} + \frac{3\chi^{(3)}}{4} |E_y|^2$。

由于折射率为

$n = (1 + \chi)^{1/2} = \left( 1+\chi_{\mathrm{LIN}} + \chi_{\mathrm{NL}} \right)^{1/2} \simeq n_0 \left( 1 + \frac{1}{2 {n_0}^2} \chi_{\mathrm{NL}} \right)$。

其中，$n_0=(1+\chi_{\mathrm{LIN}})^{1/2}$是线性折射率。

由于$\chi_{\mathrm{NL}}\ll n_0\,^2$，应用泰勒展开，可以得到与辐射度有关的折射率：

$n = n_0 + \frac{3\chi^{(3)}}{8 n_0} |E_y|^2 = n_0 + n_2 I$。

其中，$n_2$是二次非线性折射率，$I$是光波的辐照度。

对于这光波传播于介质的案例，折射率的变化与光波的辐照度成正比。

大多数介质的$n_2$相当微小，一般玻璃的$n_2$大约为10-20 m2 W-1。因此，光波的辐射度至少必须为1 GW cm-2才能使得折射率通过交流克尔效应产生显著变化。

与辐射度有关的折射率是一种非常重要的三次过程，又分为空间调制与时间调制两种过程。空间调制过程可以改变光束的传播。时间调制可以改变光波的波幅与相位结构。

借着空间调制折射率，传播于介质的强劲光束会改变这介质的折射率，这改变的图样模仿光束的横向辐照度图样。例如，高斯光束会造成高斯折射率剖面，类似渐变折射率透镜（gradient-index lens）所产生的效应；越接近光束的中间区域，折射率越高；越接近边缘区域，折射率越低。由于介质折射率被改变，使得光束在介质内自动聚焦，这现象称为自聚焦（self-focus）。

由于光束的自聚焦，峰值辐照度会增加，因此又更加自聚焦。假若这效应赢过了对抗的衍射，则自聚焦会成为主导物理机制，光束会变得越来越狭窄，这时，假若操作不当，则会造成光束塌缩灾难，从而损毁介质。

自聚焦与衍射彼此对抗抵销，这意味着，对于每一种介质，存在一个阈值，只要辐照度不超过这阈值，就不会发生损毁。但是，另一种称为“小尺寸自聚焦”的现象，会造成局域热点与光束丝状形成。为了避免这类问题出现于激光系统，通常，会先使用空间过滤器将光束波前的粗燥部分加以平滑。