电弱交互作用

在粒子物理学中，电弱交互作用是电磁作用与弱交互作用的统一描述，而这两种作用都是自然界中四种已知基本力。虽然在日常的低能量情况下，电磁作用与弱作用存在很大的差异，然而在超过统一温度，即数量级在100 GeV的情况下，这两种作用力会统合成单一的电弱作用力。因此如果宇宙是足够的热（约1015K，在大爆炸发生不久以后温度才降至比上述低的水平），就只有一种电弱作用力，不会有分开的电磁作用与弱交互作用。

由于将基本粒子的电磁作用与弱作用统一的这项贡献，阿卜杜勒·萨拉姆、谢尔登·格拉肖以及史蒂文·温伯格获颁1979年的诺贝尔物理奖。电弱交互作用的理论目前经以下两个实验证明存在：

- 1973年在Gargamelle气泡室首次在微中子散射实验中发现中性流的存在。
- 1983年在超级质子同步加速器进行的UA1和UA2质子反质子对撞实验中发现W及Z玻色子。

## 数学表述

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数学上统一电磁作用及弱作用是经由一个SU(2)×U(1)的规范群。当中对应的零质量规范玻色子分别是三个来自 SU(2)弱同位旋的W玻色子(W boson+、W boson0和W boson-)以及一个来自U(1)弱超荷的B0玻色子。

在标准模型里W boson+-和Z boson0玻色子和光子是经由SU(2)×U(1)Y的电弱对称性自发对称破缺成U(1)em所产生的，此一过程称作希格斯机制（见希格斯玻色子）。U(1)Y和U(1)em都属于U(1)群，但两者不同；U(1)em的生成元是电荷Q=Y/2+I3，而其中Y是U(1)Y（叫弱超荷）的生成元，I3（弱同位旋的一个分量）则是SU(2)的其中一个生成元。

自发对称破缺使W boson0和B0玻色子组合成两种不同的玻色子：Z boson0玻色子和光子(γ)。

如下：

$$\begin{pmatrix} \gamma \\ Z^0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta_W & \sin \theta_W \\ -\sin \theta_W & \cos \theta_W \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B^0 \\ W^0 \end{pmatrix}$$

其中θW为弱混合角。对称破缺使得代表粒子的轴在(W boson0, B0)平面上旋转，其旋转角为θW（见右图）。对称破缺同时使得Z boson0和W boson+-的质量变得不一样（它们的质量分别以MZ和MW表示）：

$$M_Z=\frac{M_W}{\cos\theta_W}$$

电磁作用与弱力在对称破缺后变得不同，是因为希格斯玻色子的Y及I3，可以组成一个答案为零的线性组合：U(1)em的定义生成元（电荷）正是这个组合，所以电磁作用不与希格斯场作用，亦因此保留对称性（光子零质量）。

## 拉格朗日量

### 自发对称破缺之前

电弱交互作用的拉格朗日量在自发对称破缺之前分成四个部分：

$$\mathcal{L}_{EW} = \mathcal{L}_g + \mathcal{L}_f + \mathcal{L}_h + \mathcal{L}_y.$$

$\mathcal{L}_g$项描述三种W粒子及一种B粒子的交互作用：

$$\mathcal{L}_g = -\frac{1}{4}W^{a\mu\nu}W_{\mu\nu}^a - \frac{1}{4}B^{\mu\nu}B_{\mu\nu}$$

其中$W^{a\mu\nu}$ ($a=1,2,3$)及$B^{\mu\nu}$分别为弱同位旋及弱超荷的场强度张量。

$\mathcal{L}_f$为标准模型费米子的动能项。规范玻色子与费米子间的交互作用是由共变导数所描述的。

$$\mathcal{L}_f = \overline{Q}_i iD\!\!\!\!/\; Q_i+ \overline{u}_i iD\!\!\!\!/\; u_i+ \overline{d}_i iD\!\!\!\!/\; d_i+ \overline{L}_i iD\!\!\!\!/\; L_i+ \overline{e}_i iD\!\!\!\!/\; e_i$$

其中下标$i$代表费米子代，根据爱因斯坦求和约定，各项中重复的下标会把三代的结果都加起来，而$Q$、$u$和$d$分别代表夸克的左手性双重态、右手性上单重态和右手性下单重态，$L$和$e$则代表轻子的左手性双重态和右手性电子单重态。注意右手性中微子是不参与弱相互作用的，因此轻子比夸克少一个项。

$\mathcal{L}_h$描述希格斯场F：

$$\mathcal{L}_h = |D_\mu h|^2 - \lambda \left(|h|^2 - \frac{v^2}{2}\right)^2$$

$\mathcal{L}_y$负责提供汤川耦合，它会把希格斯场所产生的真空期望值变成质量。

$$\mathcal{L}_y = - y_{u\, ij} \epsilon^{ab} \,h_b^\dagger\, \overline{Q}_{ia} u_j^c - y_{d\, ij}\, h\, \overline{Q}_i d^c_j - y_{e\,ij} \,h\, \overline{L}_i e^c_j + h.c.$$

### 自发对称破缺之后

在希格斯玻色子获得真空期望值后，拉格朗日量

$$\mathcal{L}_{EW} = \mathcal{L}_K + \mathcal{L}_N + \mathcal{L}_C + \mathcal{L}_H + \mathcal{L}_{HV} + \mathcal{L}_{WWV} + \mathcal{L}_{WWVV} + \mathcal{L}_Y$$

动能项$\mathcal{L}_K$含有拉格朗日量中所有的二次项，当中包括动力项（偏微分）和质量项（明显地没有出现于对称破缺之前的拉格朗日量之中）。

$$\mathcal{L}_K = \sum_f \overline{f}(i\partial\!\!\!/\!\;-m_f)f-\frac14A_{\mu\nu}A^{\mu\nu}-\frac12W^+_{\mu\nu}W^{-\mu\nu}+m_W^2W^+_\mu W^{-\mu}-\frac14Z_{\mu\nu}Z^{\mu\nu}+\frac12m_Z^2Z_\mu Z^\mu+\frac12(\partial^\mu H)(\partial_\mu H)-\frac12m_H^2H^2$$

其中总和把理论中费米子（夸克和轻子）的各代都加起来，而场$A_{\mu\nu}^{}$、$Z_{\mu\nu}^{}$、$W^-_{\mu\nu}$及$W^+_{\mu\nu}\equiv(W^-_{\mu\nu})^\dagger$的形式如下：

$X_{\mu\nu}=\partial_\mu X_\nu - \partial_\nu X_\mu + g f^{abc}X^{b}_{\mu}X^{c}_{\nu}$，（将X替换成相应的场，而$f^{abc}$则是规范群的架构常数）。

拉格朗日量中的中性流分量$\mathcal{L}_N$与载荷流分量$\mathcal{L}_C$，就是费米子与规范玻色子间的交互作用。

$\mathcal{L}_{N} = e J_\mu^{em} A^\mu + \frac g{\cos\theta_W}(J_\mu^3-\sin^2\theta_WJ_\mu^{em})Z^\mu$,

其中电磁流$J_\mu^{em}$及中性弱流$J_\mu^3$分别为

$J_\mu^{em} = \sum_f q_f\overline{f}\gamma_\mu f$,

及

$$J_\mu^3 = \sum_f I^3_f\overline{f} \gamma_\mu\frac{1-\gamma^5}{2} f$$

$q_f^{}$和$I_f^3$分别是费米子的电荷和弱同位旋。

拉格朗日量的载荷流部分如下：

$$\mathcal{L}_C=-\frac g{\sqrt2}\left[\overline u_i\gamma^\mu\frac{1-\gamma^5}2M^{CKM}_{ij}d_j+\overline\nu_i\gamma^\mu\frac{1-\gamma^5}2e_i\right]W_\mu^++h.c.$$

$\mathcal{L}_H$代表希格斯场的三点及四点自身交互作用。

$$\mathcal{L}_H=-\frac{gm_H^2}{4m_W}H^3-\frac{g^2m_H^2}{32m_W^2}H^4$$

$\mathcal{L}_{HV}$代表规范向量玻色子的希格斯交互作用。

$$\mathcal{L}_{HV}=\left(gm_WH+\frac{g^2}4H^2\right)\left(W_\mu^+W^{-\mu}+\frac1{2\cos^2\theta_W}Z_\mu Z^\mu\right)$$

$\mathcal{L}_{WWV}$代表规范场的三点自身交互作用。

$$\mathcal{L}_{WWV}=-ig[(W_{\mu\nu}^+W^{-\mu}-W^{+\mu}W_{\mu\nu}^-)(A^\nu\sin\theta_W-Z^\nu\cos\theta_W)+W_\nu^-W_\mu^+(A^{\mu\nu}\sin\theta_W-Z^{\mu\nu}\cos\theta_W)]$$

$\mathcal{L}_{WWVV}$代表规范场的四点自身交互作用。

$$\mathcal{L}_{WWVV} = -\frac{g^2}4 \left\{[2W_\mu^+W^{-\mu} + (A_\mu\sin\theta_W - Z_\mu\cos\theta_W)^2]^2 - [W_\mu^+W_\nu^- + W_\nu^+W_\mu^- + (A_\mu\sin\theta_W - Z_\mu\cos\theta_W) (A_\nu\sin\theta_W - Z_\nu\cos\theta_W)]^2\right\}$$

而$\mathcal{L}_Y$则代表费米子与希格斯场间的汤川交互作用。

$$\mathcal{L}_Y = -\sum_f \frac{gm_f}{2m_W}\overline ffH$$

注意各个弱耦合里$\frac{1-\gamma^5}{2}$这个因子：这些因子会把旋量场的左手性分量投映出来。因此（对称性破缺后的）电弱理论一般由被称为手征理论。

## 参考资料

### 一般读物

- 在没有正规数学的情况下，传递出标准模型的大部分内容。在弱交互作用方面非常地深入。