庞加莱度量

数学中，庞加莱度量（Poincaré metric），以昂利·庞加莱命名，描述了一个常负曲率二维曲面的度量张量。它是双曲几何和黎曼曲面中广为使用的自然度量。

在二维双曲几何中有三种广泛使用的等价表述。其中一个是庞加莱半平面模型，在上半平面上定义一个双曲空间模型。庞加莱圆盘模型在单位圆盘上定义了一个双曲空间模型。圆盘与上半平面通过一个共形映射联系，等距由莫比乌斯变换给出。第三个表述是在穿孔圆盘上，通常表示为与 q-类似（Q-analog）的关系，这种形式不同于前两种。

## 黎曼曲面上的度量概要

复平面上的度量可写成一般形式

$$ds^2=\lambda^2(z,\overline{z})\, dzd\overline{z}$$

这里 λ 是 z 与 $\overline{z}$ 的一个实正函数。

$$l(\gamma)=\int_\gamma \lambda(z,\overline{z})\, |dz| .$$

$$\mbox{Area}(M)=\int_M \lambda^2 (z,\overline{z})\,\frac{i}{2}dz \wedge d\overline{z},$$

这里 $\wedge$ 是用于构造体积形式的外积。度量的行列式等于 $\lambda^4$，故而行列式的平方根是 $\lambda^2$。复平面上的欧几里得体积形式为 $dx\wedge dy$，从而我们有

$$dz \wedge d\overline{z}=(dx+i\,dy)\wedge (dx-idy)= -2i\,dx\wedge dy.$$

函数 $\Phi(z,\overline{z})$ 称为度量的势能（potential of the metric），如果

$$4\frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial}{\partial \overline{z}} \Phi(z,\overline{z})=\lambda^2(z,\overline{z}).$$

拉普拉斯–贝尔特拉米算子为

$$\Delta = \frac{4}{\lambda^2} \frac {\partial}{\partial z} \frac {\partial}{\partial \overline{z}} = \frac{1}{\lambda^2} \left( \frac {\partial^2}{\partial x^2} + \frac {\partial^2}{\partial y^2} \right).$$

度量的高斯曲率由

$$K=-\Delta \log \lambda ,$$

给出，这个曲率是里奇数量曲率的一半。

等距保持角度与弧长。在黎曼曲面上，等距与坐标变换等价：即拉普拉斯-贝尔特拉米算子与曲率在等距下不变。从而，比如设 S 是一个黎曼曲面带有度量 $\lambda^2(z,\overline{z})\, dzd\overline{z}$ 而 T 是带有度量 $\mu^2(w,\overline{w})\, dw\,d\overline{w}$ 的黎曼曲面，则映射

$$f:S\to T\,$$

以及 $f=w(z)$ 是等距当且仅当它是共形的以及

$$\mu^2(w,\overline{w}) \; \frac {\partial w}{\partial z} \frac {\partial \overline {w}} {\partial \overline {z}} = \lambda^2 (z, \overline {z}) .$$

在这里，映射为共形的也就是条件

$$w(z,\overline{z})=w(z),$$

即

$$\frac{\partial}{\partial \overline{z}} w(z) = 0.$$

## 庞加莱平面上的度量与体积元

庞加莱半平面模型中上半平面 H 的庞加莱度量张量为

$$ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}=\frac{dzd\overline{z}}{y^2},$$

这里我们记 $dz=dx+i\,dy$。这个度量张量在 SL(2,R) 的作用下不变。这就是，如果我们记

$$z'=x'+iy'=\frac{az+b}{cz+d},$$

对 $ad-bc=1$，则我们可算得

$$x'=\frac{ac(x^2+y^2)+x(ad+bc)+bd}{|cz+d|^2},$$

与

$$y'=\frac{y}{|cz+d|^2},$$

无穷小变换为

$$dz'=\frac{dz}{(cz+d)^2},$$

从而

$$dz'd\overline{z}' = \frac{dz\,d\overline{z}}{|cz+d|^4}.$$

这样便清楚地表明度量张量在 SL(2,R) 的作用下不变。

不变体积元素为

$$d\mu=\frac{dx\,dy}{y^2}.$$

对 $z_1,z_2 \in \mathbb{H}$ 度量为

$$\rho(z_1,z_2)=2\tanh^{-1}\frac{|z_1-z_2|}{|z_1-\overline{z_2}|},$$

$$\rho(z_1,z_2)=\log\frac{|z_1-\overline{z_2}|+|z_1-z_2|}{|z_1-\overline{z_2}|-|z_1-z_2|}.$$

度量的另一个有用的形式是用交比给出。给定紧化复平面 $\hat {\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \infty$ 上任意四点 $z_1,z_2,z_3$ 与$z_4$，交比定义为

$$(z_1,z_2; z_3,z_4) = \frac{(z_1-z_2)(z_3-z_4)}{(z_2-z_3)(z_4-z_1)}.$$

那么度量用交比表示为

$$\rho(z_1,z_2)= \ln (z_1,z_2^\times ; z_2, z_1^\times).$$

这里 $z_1^\times$ 与 $z_2^\times$ 是端点，位于实数轴上，测地线连接 $z_1$ 与 $z_2$。这些点是有顺序的故 $z_1$ 位于 $z_1^\times$ 与 $z_2$ 之间。

这个度量张量的测地线是在两个端点处垂直于实轴的圆弧（的一段），即端点位于实轴的上半圆周。

## 从平面到圆盘的共形映射

上半平面可以共形地映到单位圆盘，用莫比乌斯变换

$$w=e^{i\phi}\frac{z-z_0}{z-\overline {z_0}} ,$$

这里单位圆盘上的点 w 对应于上半平面上的点 z。在这个映射中，常数 z0 可取上半平面上任何一点；这个点将映为圆盘的中心。实数轴 $\Im z =0$ 映为单位圆盘的边界 $|w|=1$。实常数 $\phi$ 将圆盘旋转任意一个角度。

典范映射是

$$w=\frac{iz+1}{z+i}$$

将 i 映为圆盘的中心，0 映为圆盘的最低点。

## 庞加莱圆盘上的度量与体积元素

庞加莱圆盘模型里的庞加莱度量张量在单位圆盘 $U=\{z=x+iy:|z|=\sqrt{(x^2+y^2)} \leq 1 \}$ 上为

$$ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{(1-(x^2+y^2))^2}=\frac{dz\,d\overline{z}}{(1-|z|^2)^2}.$$

体积形式为

$$d\mu=\frac{dx\,dy}{(1-(x^2+y^2))^2}=\frac{dx\,dy}{(1-|z|^2)^2}.$$

对 $z_1,z_2 \in U$ 的庞加莱度量为

$$\rho(z_1,z_2)=2\tanh^{-1}\left|\frac{z_1-z_2}{1-z_1\overline{z_2}}\right| .$$

这个度量张量的测地线是在端点处正交于圆盘边界的圆弧。

## 穿孔圆盘模型

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第二个将上半平面映成圆盘是 q-映射：

$$q=exp(i\pi\tau)$$

这里 q 是 nome（Nome），$\tau$ 是半周期比例（half-period ratio）。在上一节的记号中，$\tau$ 是上半平面 $\Im \tau >0$ 的坐标。这个映射映到穿孔圆盘，因为值 q=0 不在映射的像中。

上半平面的庞加莱度量在 q-圆盘上诱导一个度量

$$ds^2=\frac{4}{|q|^2 (\log |q|^2)^2} dq d\overline{q},$$

度量的势能是

$$\Phi(q,\overline{q})=4 \log \log |q|^{-2}.$$

## 施瓦茨引理

庞加莱度量在调和函数上距离减小。这是施瓦茨引理的一个推广，称为施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理（Schwarz-Alhfors-Pick theorem）。

## 引用

- Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
- Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See Section 2.3).
- Svetlana Katok, Fuchsian Groups (1992), University of Chicago Press, Chicago ISBN 0-226-42583-5 (Provides a simple, easily readable introduction.)