特征标理论

在数学里，尤其是在群表示理论里，一个群表示的特征标（character）是一个将群的每个元素映射对应矩阵的迹(Trace)的函数。特征标蕴藏着群的许多重要性质，且因此可以用来做群的研究。

特征标理论是对有限简单群分类的一个有重要的工具。在范特-汤普逊定理证明接近一半的地方会有一个用到特征标的复杂计算。另外还有一些较简单但一样重要的结论需用在特征标理论，如伯恩赛德定理及理查·布劳尔和铃木通夫所证出之定理，此定理表示有限简单群不会有一个为广义四元群的西洛2-子群。

## 定义

设V为一个域F上的有限维向量空间且设$\rho\colon G\to\mathrm{GL}(V)$为一个群G于V上的表示。则ρ的特征标即为如下给定之函数

$$\chi_{\rho}(g) = \mathrm{Tr}(\rho(g))\,$$

其中$\mathrm{Tr}$为矩阵的迹数。

一个特征标χρ若被称为是不可约的，若表示ρ是一个不可约表示。若被称为是线性的，则表示ρ的维度等于1。χρ的核为集合

$$\ker \chi_{\rho} := \left \lbrace g \in G \mid \chi_{\rho}(g) = \chi_{\rho}(1) \right \rbrace$$

其中$\chi_{\rho}(1)$是χρ在群单位元上的值。当ρ是G的k维表示且1为G的单位元时。

$$\chi_{\rho}(1) = \operatorname{Tr}(\rho(1)) = \operatorname{Tr} \begin{bmatrix}1 & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & 1\end{bmatrix} = \sum_{i = 1}^k 1 = k = \dim \rho$$

和特征标群的情况不同，一个群的特征标通常不会自己“形成”一个群。

## 拓扑群的情形

在调和分析中，通常定义局部紧阿贝尔拓扑群 $G$ 的特征标为连续群同态 $\chi: G \to \mathbb{S}^1$；在此，$\mathbb{S}^1$ 表示单位圆构成的群，等价地说就是 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$。

部分作者将特征标的定义放宽为连续群同态 $\chi: G \to \mathbb{C}^\times$，而将取值在 $\mathbb{S}^1$ 者称作么特征标。其他人则保留原初定义，而将这类广义的特征标称为拟特征标。

$G$ 的全体特征标构成一个群 $\hat{G}$，群二元运算的定义是 $(\chi \cdot \eta)(g) = \chi(g) \to \eta(g)$，称为对偶群。庞特里雅金对偶性总结了对偶群的一般性质。

## 性质

- 特征标是一个类函数，即为对一个共轭类内的所有元素来说，χ会是个常数。
- 两个同构的表示会有相同的特征标。若系数域的特征char(F)=0，则两个表示为同构的，当且仅当它们有着完全相同的特征标。
- 若一个表示可以是多个子表示的直和：$V = W_1 \oplus W_2 \oplus \cdot \oplus W_r$，则其相对应的特征标会是其所有子表示的特征标之和：$\forall g \in G, \ \chi_V (g) = \chi_{W_1} (g) + \chi_{W_2} (g) + \cdot + \chi_{W_r} (g)$。
- 在有限群的情况下，每个特征标$\chi\ (g)$都是n个m次单位根之和，其中n为表示内域的维度，m则是g的阶。
- 若F是代数封闭的且char(F)不可以整除G的阶|，则G的不可约特征标之数量等于G的共轭类数： $|Irr(G)| = |Conj(G)|$。

### 算术性质

令$\rho$和$\sigma$为G的两个表示，则有下列的等式成立：

$$\chi_{\rho \oplus \sigma} = \chi_\rho + \chi_\sigma$$

$$\chi_{\rho \otimes \sigma} = \chi_\rho \cdot \chi_\sigma$$

$$\chi_{\rho^*} = \overline {\chi_\rho}$$

$$\chi_{\textrm{Alt}^2 \rho}(g) = \frac{1}{2} \left[ \left(\chi_\rho (g) \right)^2 - \chi_\rho (g^2) \right]$$

$$\chi_{\textrm{Sym}^2 \rho}(g) = \frac{1}{2} \left[ \left(\chi_\rho (g) \right)^2 + \chi_\rho (g^2) \right]$$

其中$\rho \oplus \sigma$为两者的直和、$\rho \otimes \sigma$为两者的张量积、$\rho^*$为$\rho$的共轭转置、以及Alt称为交替积$\textrm{Alt}^2 \rho = \rho \wedge \rho$而Sym则称为对称方，其值由下式决定

$\rho \otimes \rho = \left(\rho \wedge \rho \right) \oplus \textrm{Sym}^2 \rho$.

## 特征标的诱导与限制

设 $G$ 为有限群，$H \leq G$ 为其子群，而 $\rho$ 为 G 的表示，其特征标记为 $\chi$。令 $\mathrm{Ind}^G_H(\chi)$ 为诱导表示 $\mathrm{Ind}^G_H(\rho)$ 的特征标；根据弗罗贝尼乌斯互反定理，对所有 $G$ 的特征标 $\eta$，恒有下述等式

$$\langle \mathrm{Ind}^G_H(\chi), \eta \rangle_G = \langle \chi, \eta|_H \rangle_H$$

此等式可用来刻划类函数 $\mathrm{Ind}^G_H(\chi)$。事实上，若选定陪集分解

$$G = \bigcup_t Ht$$

还可以明确地写下 $\mathrm{Ind}^G_H(\chi)$ 的取值：

$$\mathrm{Ind}^G_H(\chi)(g) = \begin{cases} \sum_{tht^{-1} \in H} \chi(tht^{-1}), \mbox{ if g is conjugate to some h} \in H \\ 0, \mbox{ otherwise} \end{cases}$$

## 特征标表

一个有限群的不可约特征标可以形成一个特征标表，其蕴含着许多有关群G在紧致形式时的有用资讯。每一行标记着一个不可约特征标且包含着此一特征标在每个G的共轭类上的值。

下面是有三个元素之循环群C3的特征标表：

(1)｜(u)｜(u2)

1｜1｜1｜1

χ1｜1｜u｜u2

χ2｜1｜u2｜u

其中的u为一个原三次单位根。

特征标表总会是正方的，因为不可约表示的数目总会相等于共轭类的数目。特征标表的第一个行总会是1，其对应至群的当然表示上。

### 正交关系

有关特征标表最重要的性质之一为其在行与列上都会有着正交关系。

对特征标(即对特征标表中的行)的内积由下给出：

$\left \langle \chi_i, \chi_j \right \rangle := \frac{1}{ \left | G \right | }\sum_{g \in G} \chi_i(g) \overline{\chi_j(g)}$ 其中 $\overline{\chi_j(g)}$ 表示 $\chi_{j}$在g上的值的复数共轭。

对于此一内积而言，不可约特征标两两正规正交：

$$\left \langle \chi_i, \chi_j \right \rangle = \begin{cases} 0 & \text{如 果 }\, i \ne j \\ 1 & \text{如 果 }\, i = j \end{cases}$$

对表中的列的正交关系则由下列给出：

对$g, h \in G$，其和为$\frac{1}{ \left | G \right | }\sum_{\chi_i} \chi_i(g) \overline{\chi_i(h)} = \begin{cases}1/\left | C_G(g) \right | & \mbox{ 如 果 }\, g, h \mbox{ 共 軛 } \\ 0 & \mbox{ 如 果 }\, g, h \mbox{ 不 共 軛 }\end{cases}$

其中相加的范围为所有G的不可约特征标$\chi_i$，而符号$\left | C_G(g) \right |$则表示为g的共轭类之大小。

此一正交关系可以帮助许多的运算，如：

- 将一个未知特征标分解成不可约特征标的线性组合。
- 当只有一些不可约特征标为可知时，建构其完整的特征标表。
- 求出群的共轭类的表示的中心化子的阶。
- 求出群的阶。

### 特征标表性质

一个群G的某些性质可以由其特征表中推导出来：

- G的阶就是表上所有特征标之在1上的取值的平方：(χ(1))2的总和（伯恩赛德公式）。
- G是可换的当且仅当对每个在表上的特征标，χ(1) = 1。
- G有一个非当然正规子群(即G不是一个简单群)当且仅当对于某些表上的非当然特征标χ和一些于G内的非单位元素g，会有χ(1) = χ(g)。

特征标表通常不会将群分至同构：例如，四元群Q和有8个元素的二面体群D4会有同样的特征标表。

对有限群之特别例子，详见有限群表示理论。

一维表示的特征标会形成一个特征标群，其和数论中有着很重要的关连。

## 参考文献

- 见第2章
- 1976年原版的修正重印版，由Academic Press所出版
- http://planetmath.org/encyclopedia/Character.html
- 化学中重要的点群的特征标表 - 列出了大多数的点群并其在化学中使用之符号的特征标表。