群的展示

在数学中，展示是定义群的一种方法。通过指定生成元的集合 S 使得这个群的所有元素都可以写为某些这种生成元的乘积，和这些生成元之间的关系的集合 R。称 G 有展示

$\langle S \mid R\rangle$。

非正式的说，G 有上述展示如果它是 S 所生成的只服从关系 R 的“最自由的群”。正式的说，群 G 被称为有上述展示如果它同构于 S 上的自由群模以关系 R 生成的正规子群的商群。

作为一个简单的例子，n 阶循环群有展示

$\langle a \mid a^n = e\rangle$。

这里的 $e$ 是群单位元。它可以等价的写为

$\langle a \mid a^n\rangle$。

因为把不包括等号的项认为是等于群单位元。这种项叫做关系元(relator)，区别于包括等号的关系。

所有群都有一个展示，并且事实上有很多不同的展示；展示经常是描述群结构的最简洁方式。

一个密切关联但不同的概念是群的绝对展示。

## 背景

集合 S 上的自由群是其每个元素都可以唯一描述为如下形式的有限长度的乘积的群:

$$s_1^{a_1} s_2^{a_2} \ldots s_n^{a_n}$$

这里的每个 si 是 S 的一个元素，对于任何 i 有 si ≠ si+1；而每个 ai 是非零整数。用不太正式的术语，群由在生成元和它们的逆元中的字组成，只服从用其逆元消除生成元的规则。

如果 G 是任何群，而 S 是 G 的生成子集，则 G 的所有元素也有如上形式；但是一般的说，这些乘积不能唯一的描述 G 的一个元素。

例如，二面体群 D8 可以生成自 8 阶的旋转 r和 2 阶的翻转 f；而 D8 的任何特定元素都是若干 r 和 f 的乘积。

但是，比如有 r f r = f， r 7 = r −1 等；所以这种乘积在 D8 中不是唯一的。每个这种乘积等价可以表达为等于单位元的等式；比如

r f r f = 1

r 8 = 1

f 2 = 1

非正式的，我们可以认为在左侧的乘积是自由群 F = 的元素，并认为是这些字串生成 F 的子集 R；其中每个在被当作在 D8 中的乘积的时候还等价于 1。

如果我们接着让 N 是由 R 的所有共轭的集合 x −1 R x 生成的 F 的子群，则 N 是 F 的正规子群；而 N 的每个元素，在被当作在 D8 中的乘积的时候，也被求值为 1。因此 D8 同构于商群 F /N。我们接著称 D8 有展示

$\langle r, f \mid r^8 = f^2 = (rf)^2 = 1\rangle$。

## 形式定义

设 S 是集合并设 是在 S 上的自由群。设 R 是在 S 上的字的集合，所以 R 自然的给出了一个 的子集。要形成带有展示的 的群，想法是选取最小的 的商群，使得 R 的每个元素被当作同单位元一样。注意 R 可能不是子群也就更不是 的正规子群了，所以我们不能用 R 天真的求商。解决方式是在 选取 R 的正规闭包 N，它被定义为包含 R 的 的最小正规子群。群 接着被定义为商群

$\langle S \mid R \rangle = \langle S \rangle / N$。

S 的元素叫做 的生成元而 R 的元素叫做关系元。群 G 被称为有展示 如果 G 同构于。

实践中经常把关系元写为 $x$ = $y$ 形式，这里的 $x$ 和 $y$ 是在 $S$ 上的字。这意味着 $y^{-1}x \in R$。还有一个直觉意义是 x 和 y 的像被假定在商群中是相等的。因此比如在关系元列表中的 $r^n$ 等价于 $r^n=1$。另一个常用简写是把交换子 $xyx^{-1}y^{-1}$ 写为 $[x,y]$。

一个展示被称为有限生成的，如果 $S$ 是有限的并且是有限关联的即 $R$ 是有限的。如果二者都是有限的它被称为有限展示。群是有限生成的(亦或是有限关联的，有限展现的)，如果它有有限生成的(亦或是有限关联的，有限展示的)的展示。

如果 $S$ 用所有自然数 $\mathbb{N}$ 或它的有限子集构成的集合 $I$ 来索引(index)，则容易建立一种简单的从在 $S$ 上的自由群到自然数的一对一的编码(或哥德尔数) $f:\langle S\rangle\rightarrow\mathbb{N}$，使得我们可以找到算法从给定 $f(w)$ 计算 $w$ 或反之。我们可以称 $<S>\ $ 的子集 $U$ 是递归的(亦或是递归可枚举)的，如果 $f(U)$ 是递归的(亦或是递归可枚举的)。如果 $S$ 是如上索引的而 $R$ 是递归可枚举的，则这个展示是递归展示而对应的群是递归展现的。这种用法好像很奇怪，但是有可能证明如何群有带有 $R$ 递归可枚举的展示则它还有另一个带有 $R$ 递归的展示。

对于有限群 $G$，乘法表提供了一种展示。我们选取 $S$ 为 $G$ 的元素 $g_i$，$R$ 为形如 $g_ig_jg_k^{-1}$ 的所有字，这里的 $g_ig_j=g_k\ $ 是在乘法表是中的一个表项。展示可以被认为是乘法表的推广。

所有有限展现的群是递归展现的，但是有不能有限展现的递归展现的群。但是 Graham Higman 的一个定理声称有限生成的群有递归展现，当且仅当它可以被嵌入到有限展现的群中。从它我们可以得出只有(不别同构之异)可数多个有限生成的递归展现的群。Bernhard Neumann 已经证明了有不可数多个不同构的两生成元的群。所以有不能递归展现的有限生成群。

## 例子

下表列出了经常研究的群的表示的一些例子。注意在每种情况下都有多种可能的其他展示。列出的展示不必然是最有效的那种可能。

群｜展示｜注释

S 上的自由群｜$\langle S \mid \varnothing \rangle$｜自由群是在它不服从任何关系的意义上称为自由的。

Cn，n 阶循环群｜$\langle a \mid a^n \rangle$

D2n，2n 阶二面体群｜$\langle r, f \mid r^n, f^2, (rf)^2 \rangle$｜这里的 r 表示旋转而 f 表示翻转

D∞, 无限二面体群｜$\langle r, f \mid f^2, (rf)^2 \rangle$

Dicn，双循环群｜$\langle r, f \mid r^{2n} = 1, r^n = f^2, frf^{-1} = r^{-1} \rangle$｜四元群是 n = 2 时的特殊情况

Z × Z｜$\langle x, y \mid xy=yx \rangle$

Zm × Zn｜$\langle x, y \mid x^m=1, y^n=1, xy=yx \rangle$

S 上的自由阿贝尔群｜$\langle S \mid R \rangle$ 这里的 R 是 S 上的自由群的元素的所有交换子的集合

对称群，Sn｜生成元: $\sigma_1, \ldots, \sigma_{n-1}$关系:、${\sigma_i}^2 = 1$,、$\sigma_i\sigma_j = \sigma_j\sigma_i \mbox{ if } j \neq i\pm 1$,、$\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i = \sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}$ 最后的关系集合可以被变换为、${(\sigma_i\sigma_{i+1}})^3=1$ 使用 ${\sigma_i}^2=1$。｜这里 $\sigma_i$ i是交换第 i 个元素与第 i+1 个元素的置换。乘积 $\sigma_i \sigma_{i+1}$ 是在集合 $\{i,i+1,i+2\}$ 上的 3-循环。

编织群，Bn｜生成元: $\sigma_1, \ldots, \sigma_{n-1}$ 关系:、$\sigma_i\sigma_j = \sigma_j\sigma_i \mbox{ if } j \neq i\pm 1$,、$\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i = \sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}$｜注意同对称群的相似性；唯一的不同是关系 ${\sigma_i}^2 = 1$ 的免除。

四面体群, T ≅ A4｜$\langle s,t \mid s^2, t^3, (st)^3 \rangle$

八面体群, O ≅ S4｜$\langle s,t \mid s^2, t^3, (st)^4 \rangle$

二十面体群, I ≅ A5｜$\langle s,t \mid s^2, t^3, (st)^5 \rangle$

四元群, Q｜$\langle i,j \mid i^4, i^2j^2, ijij^{-1} \rangle$

$SL_2(\mathbb{Z})$｜$\langle a,b \mid aba=bab, (aba)^4 \rangle$｜在拓扑上可以把 a 和 b 可视化为在环面上的Dehn扭曲。

$GL_2(\mathbb{Z})$｜$\langle a,b,j \mid aba=bab, (aba)^4,j^2,(ja)^2,(jb)^2 \rangle$

$PSL_2(\mathbb{Z})$｜$\langle a,b \mid a^2, b^3 \rangle$｜PSL2(Z) 是循环群 Z2 和 Z3 的自由积。

海森堡群｜$\langle x,y,z \mid z=xyx^{-1}y^{-1}, xz=zx, yz=zy \rangle$

Baumslag-Solitar群，B(m,n)｜$\langle a, b \mid a^n = b a^m b^{-1} \rangle$

## 一些定理

所有群 G 都有表示。要得出这个结论请考虑在 G 上的自由群。因为 G 明显的生成自身它应当可以通过 的商群得到。实际上，通过自由群的泛性质，存在唯一一个覆盖了恒等映射的群同态 φ : → G。设 K 是这个同态的核。则 G 明显的有展示。注意这个展示是高度低效的，因为 G 和 K 二者都比所需要的大很多。

所有有限群都有限展示。

群的字问题的否定解答声称有一个有限展示，它没有算法能对给出的两个字 u, v 确定 u 和 v 是否描述了群中的同一个元素。

## 自由积

如果 G 有展示 而 H 有展示，并有着 S 和 T 是不相交的，则自由积 G * H 有展示。

## 直积

如果 G 有展示 而 H 有展示，并有着 S 和 T 是不相交的，则 G 和 H 的直积有展示。这里 S,T 意味着来自 S 的所有元素与来自 T 的所有元素的交换子集合。

## 引用

- Schreier's method, Nielsen's method, free presentations, subgroups and HNN extensions, , etc.
- This useful reference has tables of presentations of all small finite groups, the reflection groups, and so forth.