通量

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通量（Flux），或称流束，是通过一个表面或一个物质的量，是一个物理学和应用数学的概念。在热学和流体力学领域中，研究输运现象时，是指在单位时间内通过单位面积的具有方向的流量，它是一个向量；在电磁学领域中，是指在单位面积上垂直于其表面的磁场或电场的强度，它是一个标量。

给定一个三维空间中的向量场$\mathbf{A}$以及一个简单有向曲面$\Sigma$，则向量场$\mathbf{A}$通过曲面$\Sigma$的通量就是曲面每一点$x$上的场向量$\mathbf{A}(x)$在曲面法向方向上的分量的积分:

$$\Phi_{\mathbf{A}}( \Sigma ) = \iint\limits_{\Sigma}\mathbf{A}\cdot\mathbf{n}\mathrm{d}S$$

其中$\mathrm{d}S$是积分的面积元，n是Σ在点(x,y,z)处的单位法向量。如果曲面是封闭的，例如球面，那么通常约定法向量是从里朝外的，所以这时候的通量是描述曲面上的场向量朝外的程度。

## 术语

通量这个词源于拉丁语：fluxus 意为“流”，fluere 是“流动”的意思。而 fluxion 一词是由牛顿引入微积分。

热通量的概念是约瑟夫·傅立叶对热传递现象分析的重要贡献之一。他的重要著作《热的分析理论》（The Analytical Theory of Heat）中，将 fluxion 定义为一个核心量，并推导出了现在的通量表达式。这些表达式与平板的温度差异有关，且更广义地在其他几何形状的温度梯度或温度差异有关。根据詹姆斯·克拉克·马克士威的研究，可以显示其传输的定义早于磁通量定义。马克士威的具体引言是：

根据传输的定义，通量可为单一向量，也可以是位置的向量场／函数。后者的通量可以很容易地在一个表面上积分。相比之下，根据电磁学定义，通量是对表面的积分；对于第二种定义的通量进行积分是没有意义的，因为这样会对表面进行两次积分。因此，马克士威的引言只有在“通量”按照传输定义使用时才有意义（进一步来说，是向量场而不是单一向量）。这很讽刺，因为马克士威是我们现在所称的“电通量”和“磁通量”的主要发展者之一，而这些名称是根据电磁学定义来的。根据该引言（和传输定义），它们应该被称为“电通量的曲面积分”和“磁通量的曲面积分”。在这种情况下，“电通量”应定义为“电场”，“磁通量”应定义为“磁场”。这意味着马克士威将这些场视为某种形式的流动／通量。

根据电磁学定义的通量，其相应的通量密度（假设使用这个术语）指的是沿积分表面的导数。根据微积分基本定理，相应的通量密度是根据传输定义的通量。给定一个流，例如电流——每单位时间的通电量，电流密度根据传输定义也是一个通量——每单位时间每单位面积的通电量。由于通量的定义冲突，以及在非技术性英语中通量、流动和电流的互换性，本文中的所有术语有时会被互相使用且可能含义模糊。本文其余部分中具体的通量将根据其在文献中的广泛接受度来使用，无论该术语对应哪种通量的定义。

## 以单位面积流量表示的通量

在输送现象（热传、质传和流体动力学），通量被定义为“每单位面积的流量的流动率”，其因次组成为 量 (物理)·时间−1·面积−1。这个面积是流“通过”或“穿过”的表面。例如，每秒钟流经河流横截面的水量除以横截面的面积，或是每秒钟落在地面一块区域上的阳光能量除以该区域的面积，都是通量的例子。

### 一般数学定义（传输）

以下是按复杂度递增的三个定义。每个定义都是下面这个的一个特例。在所有情况下，常用符号 $j$（或 $J$）表示通量，$q$ 表示流动的物理量，$t$ 表示时间，$A$ 表示面积。当且唯当这些标识符是向量时，它们将以粗体显示。

首先，通量作为一个（单一的）纯量时：

$$j=\frac{I}{A}$$

其中

$$I = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta q}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$$

在这种情况下，测量固定的通量的表面，且具有面积$A$。假设该表面是平坦的，而流量在各处相对于位置是恒定的，并且垂直于表面。

其次，通量作为沿着表面定义的纯量场，即作为表面上各点的函数：

$$j(\mathbf{p}) = \frac{\partial I}{\partial A}(\mathbf{p}),$$ $$I(A,\mathbf{p}) = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}(A, \mathbf{p}).$$

如上所述，假设表面是平坦的，且流量在各处都垂直于表面。然而，流不需要是恒定的。此时，$q$ 是 p（表面上的一个点）的函数，面积 $A$亦是。与其测量通过整个表面的总流量，不如 $q$ 测量的是以 p 为中心、沿表面上面积 A 的圆盘通过的流量。

最后，通量作为一个向量场时：

$$\mathbf{j}(\mathbf{p}) = \frac{\partial \mathbf{I}}{\partial A}(\mathbf{p}),$$ $$\mathbf{I}(A,\mathbf{p}) = \underset{\mathbf{\hat{n}}}{\operatorname{arg\,max}} \mathbf{\hat{n}}_{\mathbf p} \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}(A,\mathbf{p}, \mathbf{\hat{n}}).$$

在这种情况下，我们没有固定的表面来测量。$q$ 是一个点、面积和方向（由单位向量 $\mathbf{\hat{n}}$ 给定）的函数，并测量与该单位向量垂直的面积 A 的圆盘中的流量。$I$ 的定义是选择使该点周围流量最大的单位向量，因为真正的流量在垂直于该单位向量的圆盘上达到最大值。因此，当单位向量指向流动的“真正方向”时，它唯一地最大化该函数。（严格来说，这是一种滥用符号，因为“arg max”无法直接比较向量；我们改为选择具有最大范数的向量。）

#### 性质

这些直接的定义，尤其是最后一个，显得相对不完善。例如，从经验测度来看，arg max 的构造是人工的，而使用风向标或类似工具可以简单推断出某一点的通量方向。与其直接定义向量通量，通常更直观的是陈述一些关于它的性质。此外，通量可以根据这些性质唯一确定。

若通量 j 以角度 $\theta$ 通过（$\theta$为该通量与该面积法向量 $\mathbf{\hat{n}}$ 形成之夹角），则其点积为：

$$\mathbf{j} \cdot \mathbf{\hat{n}} = j\cos\theta$$

也就是说，通过表面的通量分量（即垂直于表面的分量）是$j\cos{\theta}$，而沿切向通过表面的通量分量是 $j\sin{\theta}$，但实际上没有通量沿切向通过表面。唯一通过且垂直表面的通量分量是其余弦分量。

对于向量通量，通量 j在表面 $S$上的曲面积分给出了每单位时间通过该表面的适当流量：

$$\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = \iint_S \mathbf{j} \cdot \mathbf{\hat{n}}\, dA = \iint_S \mathbf{j} \cdot d\mathbf{A}$$

其中 A（及其无穷小量）是向量面积—— $\mathbf{A} = A \mathbf{\hat{n}}$ 的组合，结合了面积 A 的大小和垂直于该面的单位向量 $\mathbf{\hat{n}}$。与第二组方程式不同的是，这里不需要平坦的表面。

最后，以时间区间 $t_1$ 到 $t_2$ 做积分，计算在该时间段 $(t_2-t_1)$ 内流过表面的总量：

$$q = \int^{t_2}_{t_1} \iint_S \mathbf{j} \cdot \operatorname{d} \mathbf{A} \operatorname{d}\!t$$

### 传输通量

八种在输送现象文献中最常见的通量定义如下：

- 动量通量（英语：momentum flux）：单位面积上动量的传输速率 (N·s·m−2·s−1)。（牛顿黏度定律）
- 热通量（英语：heat flux）：单位面积上热流动的速率 (J·m−2·s−1)。（傅立叶热传导定律）（也符合马克士威对热通量的原始定义。）
- 扩散通量（英语：diffusion flux）：单位面积上分子运动的速率 (mol·m−2·s−1)。（菲克定律）
- 体积通量（英语：volumetric flux）：单位面积上体积流动的速率 (m3·m−2·s−1)。（达西定律）
- 质量通量（英语：mass flux）：单位面积上质量流动的速率 (kg·m−2·s−1)。（质量通量可以是费克定律的另一种形式，其中包含分子质量；或者达西定律的另一种形式，其中包含密度。）
- 辐射通量（英语：radiative flux）：单位面积、每秒从光源在特定距离处以光子形式传输的能量量 (J·m−2·s−1)。这在天文学中用于确定恒星的星等和光谱类型。它也是热通量的一种推广，当限制在电磁频谱范围内时，辐射通量就等于热通量。
- 能量通量（英语：energy flux）：单位面积上能量传输的速率 (J·m−2·s−1)。辐射通量和热通量是能量通量的特例。
- 粒子通量（英语：particle flux）：单位面积上粒子传输的速率 (粒子数量 m−2·s−1)。

这些通量在空间中的每一个点都是向量，具有明确的大小和方向。此外，可对任何这些通量取散度，以确定在空间中给定点周围的控制体积内该量的累积速率。对于不可压缩流，体积通量的散度为零。

#### 化学扩散

如上所述，化学的莫耳通量在等温、等压系统中，成分 A 在菲克扩散定律中定义为：

$$\mathbf{J}_A = -D_{AB} \nabla c_A$$

其中 nabla 符号 $\nabla$ 表示梯度算子，$D_{AB}$ 是成分 A 透过成分 B 扩散时的扩散系数 (m2·s−1)，$c_A$ 是成分 A 的浓度 (mol/m3)。

这个通量的单位是 mol·m⁻²·s⁻¹，符合马克士威对通量的原始定义。

对于稀薄气体，分子动力学理论将扩散系数 D 与粒子密度 n=N/V、分子质量 m、碰撞截面 σ 以及绝对温度 T 联系起来，关系式如下：

$$D = \frac{2}{3n\sigma} \sqrt{\frac{kT}{\pi m}}$$

其中，第二个因子是平均自由径，而平方根（包含波兹曼常数 k）项 则是粒子的平均速率。

在紊流中，涡旋运动所造成的传输可以表示为一个大幅增加的扩散系数。

### 量子力学

在量子力学中，质量为 m 的粒子在量子态 ψ(r, t) 下，其几率幅定义为：

$$\rho = \psi^* \psi = |\psi|^2$$

因此，在微分体积元素 d3r 中找到粒子的几率是：

$$dP = |\psi|^2 \, d^3\mathbf{r}$$

那么，单位时间内垂直穿过截面单位面积的粒子数就是几率通量（英语：probability flux）。

$$\mathbf{J} = \frac{i \hbar}{2m} \left(\psi \nabla \psi^* - \psi^* \nabla \psi \right)$$

有时也被称为几率流、几率流密度，或者几率通量密度。

## 通量作为曲面积分

### 广义上的数学定义（曲面积分）

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在数学概念中，通量是以向量场的曲面积分来表示：

$$\Phi_F = \iint_A \mathbf{F} \cdot d\mathbf{A}$$ $$\Phi_F = \iint_A \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dA$$

其中 $\mathbf{F}$ 是一个向量场，$d\mathbf{A}$ 是表面 $A$ 的向量面积元，其方向与表面法线一致。在第二种表达方式中，$\mathbf{n}$ 是指向表面的向外单位法向量。

该表面必须是可定向的，即可以区分出两个侧面：表面不会折叠回自身。此外，表面必须具备实际的定向，即我们需要约定哪一个流动方向被计为正值，则反向流动则计为负值。

表面法向量通常由右手定则决定。

相反地，人们可以将通量视为更基本的物理量，并将向量场称为通量密度。向量场通常由遵循“流向”的曲线（场线）绘制而成；此时向量场的大小即为线密度，而穿过表面的通量则是线的数量。场线起源于正散度区域（源，sources），并终止于负散度区域（汇，sinks）。

参见右图，穿过单位面积的红色箭头数量即为通量密度，围绕红色箭头的曲线表示表面的边界，而箭头相对于表面的方向则表示向量场与表面法向量内积的正负号。

如果该表面包围一个三维区域，通常表面的定向方式会使流入（influx）计为正，反之则为流出（outflux）。

散度定理（Divergence theorem）指出，穿过封闭表面的净流出量（换言之，即来自一个三维区域的净流出量），可以借由加总该区域内各点的局部净流出量（由散度表示）来求得。

如果表面不是封闭的，则它拥有一条定向曲线作为边界。斯托克斯定理（Stokes' theorem）指出，向量场之旋度的通量，等于该向量场沿此边界的曲线积分。这种路径积分也被称为环量，尤其在流体力学中更是如此。因此，旋度即为环量密度。

我们可以将通量及这些定理应用于许多涉及电流、力等施加于面积上的学科领域。

## 电磁学中的通量

### 电通量

一个“电荷”，例如空间中的单个质子，其电量大小是以库仑来定义的。这样的电荷周围存在着电场。在图像化的表示中，来自正点电荷的电场可以被想像成一个向外辐射电场线（有时也称为“力线”）的点。从概念上讲，电通量可以被视为通过给定面积的“场线数量”。

在数学上，电通量是电场在给定面积上的法向分量积分。因此，在 MKS 制中，电通量的单位是牛顿每库仑乘以平方米，即 $N \cdot m^2/C$。（电通量密度是指单位面积的电通量，它是电场法向分量在积分面积上的平均强度度量。其单位为 $N/C$，与 MKS 制中的电场单位相同。）

使用中的电通量共有两种形式，一种用于 $\mathbf{E}$ 场（E-field，电场）：

$\Phi_E=$ ${\scriptstyle A}$ $\mathbf{E} \cdot {\rm d}\mathbf{A}$

另一种则用于 $\mathbf{D}$ 场（D-field，称为电位移）：

$\Phi_D=$ ${\scriptstyle A}$ $\mathbf{D} \cdot {\rm d}\mathbf{A}$

这项物理量出现在高斯定律（Gauss's law）中——该定律指出，电场 $\mathbf{E}$ 穿过封闭曲面的通量与该曲面所包围的电荷 $Q_A$ 成正比（且与电荷的分布方式无关），其积分形式为：

$${\scriptstyle A}$$

$$\mathbf{E} \cdot {\rm d}\mathbf{A} = \frac{Q_A}{\varepsilon_0}$$

其中 $\varepsilon_0$ 是真空电容率。

若考虑电场向量 $\mathbf{E}$ 在点电荷电场中某个管状场（tube）的通量（该管位于电场中但不包含电荷，且侧面由与场线相切的线组成），则侧面的通量为零，且在场管两端的通量大小相等、符号相反。这是高斯定律应用于平方反比场（inverse square field）的结果。穿过该场管任何截面的通量都将相同。对于任何包围电荷 $q$ 的曲面，其总通量皆为 $q/\varepsilon_0$。

在真空中，电位移由本构方程式 $\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E}$ 给出，因此对于任何边界曲面，$\mathbf{D}$ 场的通量等于其内部的电荷 $Q_A$。这里的“...的通量（flux of...）”一词表示一种数学运算，且如前所述，其结果并不一定代表某种“流动”，因为实际上并没有任何物质沿着电场线流动。

### 磁通量

磁通量密度（磁场）的单位为 $Wb/m^2$（特斯拉，Tesla），以 $\mathbf{B}$ 表示，其磁通量的定义与前面相似：

$$\Phi_B=\iint_A\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{A}$$

其符号表示与前述相同。这项物理量出现在法拉第感应定律（Faraday's law of induction）中，在该定律中，磁通量会随时间变化，原因可能是边界随时间改变，或者是磁场随时间改变。其积分形式为：

$$- \frac{{\rm d} \Phi_B}{ {\rm d} t} = \oint_{\partial A} \mathbf{E} \cdot d \boldsymbol{\ell}$$

其中 $d\boldsymbol{\ell}$ 是封闭曲线 $\partial A$ 的无穷小向量线元，其大小等于该线元的长度，方向则由曲线 $\partial A$ 的切线方向给出，正负号则由积分方向决定。

穿过线圈的磁通量随时间的变化率，等于该导线中产生的电动势的负值。其方向规律为：若允许电流通过导线，该电动势产生的电流将会“反抗”磁场的变化——借由自身产生一个与变化方向相反的磁场来达成。这是电感器和许多发电机运作的基础。

### 坡印廷通量

使用此定义，坡印亭向量 $\mathbf{S}$ 在指定表面上的通量，即为电磁能量流经该表面的变化率，其定义与先前相同：

$$\Phi_S=$$

$${\scriptstyle A}$$

$$\mathbf{S} \cdot {\rm d}\mathbf{A}$$

穿过表面的坡印廷向量通量即为电磁功率，或是单位时间内通过该表面的能量。这常用于电磁辐射的分析，但也适用于其他的电磁系统。

令人混淆的是，坡印廷向量有时被称为功率通量（power flux），为上述通量第一种用法（通量即密度）的一个例子。它的单位是瓦特每平方米（$W/m^2$）。