对数正态分布

$\sigma \ge 0$ $-\infty \le \mu \le \infty$

$$x \in [0; +\infty)\!$$

$$\frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{\left[\ln(x)-\mu\right]^2}{2\sigma^2}\right)$$

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{erf}\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right]$$

$$e^{\mu+\sigma^2/2}$$

$$e^{\mu}$$

$$e^{\mu-\sigma^2}$$

$$(e^{\sigma^2}\!\!-1) e^{2\mu+\sigma^2}$$

$$(e^{\sigma^2}\!\!+2)\sqrt{e^{\sigma^2}\!\!-1}$$

$$e^{4\sigma^2}\!\!+2e^{3\sigma^2}\!\!+3e^{2\sigma^2}\!\!-6$$

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln(2\pi\sigma^2) + \mu$$

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(it)^n}{n!}e^{n\mu+n^2\sigma^2/2}$is asymptotically divergent but sufficient for numerical purposes 在概率论与统计学中，任意随机变量的对数服从正态分布,则这个随机变量服从的分布称为对数正态分布。如果 $Y$ 是正态分布的随机变量，则 $\exp(Y)$（指数函数）为对数正态分布；同样，如果 $X$ 是对数正态分布，则 $\ln X$为正态分布。

如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率，它可以看作是每天收益率的乘积。

对于 $x>0$，对数正态分布的概率密度函数为

$$f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{ x\sigma\sqrt{2 \pi}} e^{-(\ln x - \mu)^2/2\sigma^2}$$

其中 $\mu$ 与 $\sigma$ 分别是变量对数的平均值与标准差。它的期望值是

$$\mathrm{E}(X) = e^{\mu + \sigma^2/2}$$

方差为

$$\mathrm{var}(X) = (e^{\sigma^2} - 1) e^{2\mu + \sigma^2}.\,$$

给定期望值与方差，也可以用这个关系求 $\mu$ 与 $\sigma$

$$\mu = \ln(\mathrm{E}(X))-\frac{1}{2}\ln\left(1+\frac{\mathrm{var}(X)}{\mathrm{E}(X)^2}\right),$$

$$\sigma^2 = \ln\left(1+\frac{\mathrm{var}(X)}{\mathrm{E}(X)^2}\right).$$

## 与几何平均值和几何标准差的关系

对数正态分布、几何平均数与几何标准差是相互关联的。在这种情况下，几何平均值等于 $\exp(\mu)$，几何标准差等于 $\exp(\sigma)$。

如果采样数据来自于对数正态分布，则几何平均值与几何标准差可以用于估计置信区间，就像用算术平均数与标准差估计正态分布的置信区间一样。

置信区间界｜对数空间｜几何

3σ 下界｜$\mu - 3\sigma$｜$\mu_\mathrm{geo} / \sigma_\mathrm{geo}^3$

2σ 下界｜$\mu - 2\sigma$｜$\mu_\mathrm{geo} / \sigma_\mathrm{geo}^2$

1σ 下界｜$\mu - \sigma$｜$\mu_\mathrm{geo} / \sigma_\mathrm{geo}$

1σ 上界｜$\mu + \sigma$｜$\mu_\mathrm{geo} \sigma_\mathrm{geo}$

2σ 上界｜$\mu + 2\sigma$｜$\mu_\mathrm{geo} \sigma_\mathrm{geo}^2$

3σ 上界｜$\mu + 3\sigma$｜$\mu_\mathrm{geo} \sigma_\mathrm{geo}^3$

其中几何平均数 $\mu_\mathrm{geo} = \exp(\mu)$，几何标准差 $\sigma_\mathrm{geo} = \exp(\sigma)$

## 矩

原始矩为：

$$\mu_1=e^{\mu+\sigma^2/2}$$

$$\mu_2=e^{2\mu+4\sigma^2/2}$$

$$\mu_3=e^{3\mu+9\sigma^2/2}$$

$$\mu_4=e^{4\mu+16\sigma^2/2}$$

或者更为一般的矩

$$\mu_k=e^{k\mu+k^2\sigma^2/2}.$$

## 局部期望

随机变量 $X$ 在阈值 $k$ 上的局部期望定义为

$$g(k)=\int_k^\infty (x-k) f(x)\, dx$$

其中 $f(x)$ 是概率密度。对于对数正态概率密度，这个定义可以表示为

$$g(k)=\exp(\mu+\sigma^2/2)\Phi\left(\frac{-\ln(k)+\mu+\sigma^2}{\sigma}\right)-k \Phi\left(\frac{-\ln(k)+\mu}{\sigma}\right)$$

其中 $\Phi$ 是标准正态部分的累积分布函数。对数正态分布的局部期望在保险业及经济领域都有应用，著名的Black-Scholes期权定价公式便可由此推导出。

## 参数的最大似然估计

为了确定对数正态分布参数 $\mu$ 与 $\sigma$ 的最大似然估计，我们可以采用与正态分布参数最大似然估计同样的方法。我们来看

$$f_L (x;\mu, \sigma) = \frac 1 x \, f_N (\ln x; \mu, \sigma)$$

其中用 $f_L (\cdot)$ 表示对数正态分布的概率密度函数，用 $f_N (\cdot)$— 表示正态分布。因此，用与正态分布同样的指数，我们可以得到对数最大似然函数：

$$\begin{matrix} <pre> \ell_L (\mu,\sigma | x_1, x_2, ..., x_n) & = & - \sum _k \ln x_k + \ell_N (\mu, \sigma | \ln x_1, \ln x_2, \dots, \ln x_n) = \\ \\ </pre> \ & = & \operatorname {constant} + \ell_N (\mu, \sigma | \ln x_1, \ln x_2, \dots, \ln x_n). \end{matrix}$$

由于第一项相对于 $\mu$ 与 $\sigma$ 来说是常数，两个对数最大似然函数 $\ell_L$ 与 $\ell_N$ 在同样的 $\mu$ 与 $\sigma$ 处有最大值。因此，根据正态分布最大似然参数估计器的公式以及上面的方程，我们可以推导出对数正态分布参数的最大似然估计

$$\widehat \mu = \frac {\sum_k \ln x_k} n, \ <pre> \widehat \sigma^2 = \frac {\sum_k {\left( \ln x_k - \widehat \mu \right)^2}} n.$$

## 相关分布

- 如果 $Y = \ln(X)$ 与 $X \sim \operatorname{Log-N}(\mu, \sigma^2)$，则 $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$ 是正态分布。
- 如果 $X_m \sim \operatorname {Log-N} (\mu, \sigma_m^2), \ m = \overline {1 ... n}$ 是有同样 $\mu$ 参数、而 $\sigma$ 可能不同的统计独立对数正态分布变量，并且 $Y = \prod_{m=1}^n X_m$，则 $Y$ 也是对数正态分布变量：$Y \sim \operatorname {Log-N} \left( n\mu, \sum _{m=1}^n \sigma_m^2 \right)$。

## 进一步的阅读资料

- Robert Brooks, Jon Corson 以及 J. Donal Wales 的 "The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion" , in Advances in Futures and Options Research, volume 7, 1994.

## 参考文献

- 对数正态分布, Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957)
- Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues , E. Limpert, W. Stahel and M. Abbt,. BioScience, 51 (5), p. 341–352 (2001).
- 对数正态分布特性, John Hull, in Options, Futures, and Other Derivatives 6E (2005).
- Eric W. Weisstein et al. 对数正态分布 at MathWorld. Electronic document, 2006年10月26日造访.

## 基本资料

- pdf_image：

<image>

、μ=0
- cdf_image：

<image>

、μ=0
- parameters：$\sigma \ge 0$、$-\infty \le \mu \le \infty$
- 值域：$x \in [0; +\infty)\!$
- 密度：$\frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{\left[\ln(x)-\mu\right]^2}{2\sigma^2}\right)$
- 累积分布函数：$\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{erf}\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right]$
- 期望值：$e^{\mu+\sigma^2/2}$
- 中位数：$e^{\mu}$
- 众数：$e^{\mu-\sigma^2}$
- 密度：$(e^{\sigma^2}\!\!-1) e^{2\mu+\sigma^2}$
- 偏度：$(e^{\sigma^2}\!\!+2)\sqrt{e^{\sigma^2}\!\!-1}$
- 峰度：$e^{4\sigma^2}\!\!+2e^{3\sigma^2}\!\!+3e^{2\sigma^2}\!\!-6$
- 熵：$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln(2\pi\sigma^2) + \mu$
- mgf：(参见原始动差文本)
- 特征函数：$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(it)^n}{n!}e^{n\mu+n^2\sigma^2/2}$is asymptotically divergent but sufficient for numerical purposes