基本多边形

在数学上，每个闭曲面在几何拓扑的意义下，可以由一个偶数条边的有向多边形，把它的边成对地粘合构造出来，这样的多边形称之为基本多边形（fundamental polygon）。

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这个构造可以表示成一个长为2n的字符串，一共n个不同的符号，每个符号出现两次带有指数 +1或 -1。指数 -1的符号对应于该边的定向与基本多边形的定向相反。

## 例子

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球面｜

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实球射影平面｜

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克莱因瓶｜

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环面

上图中标有相同字母的两条边，沿着箭头方向粘合。

- 球面：$A A^{-1}$或$A B B^{-1} A^{-1};$
- 实射影平面：$A A$或$A B A B;$
- 克莱因瓶：$A B A B^{-1}$或$A A B B;$
- 环面：$A B A^{-1} B^{-1}$或$A B C A^{-1} B^{-1} C^{-1}.$

## 群生成元

对标准对称形状，多边形的边可以理解为一个群的生成元。然后这个多边形，写成群元素形式，成为由这些边生成的自由群上一个约束，给出有一个约束的群呈示。

因此，例如给定欧几里得平面$\mathbb{R}^2$，设群元素$A$在这个平面上有作用$A(x,y)=(x+1,y)$而$B(x,y)=(x,y+1)$。则$A,B$生成格$\Gamma=\mathbb{Z}^2$，而环面由商空间给出（一个齐性空间）$T= \mathbb{R}^2 / \mathbb{Z}^2$。更一般地，两个生成元$A,B$可用来生成一个基本平行四边形的平行四边形镶嵌。

对环面，在两个字母的自由群上的约束由$A B A^{-1} B^{-1} = 1$给出。这个约束平凡地包含在如上给出的平面上的作用中。另外，平面可用六边形铺满，六边形的中心形成一个六边形格。将六边形的相对等同，又得到了环面。这一回约束是$A B C A^{-1} B^{-1} C^{-1} = 1$，刻划了六边形格生成元在平面上的作用。

在实际中，大部分有趣的情形是具有负曲率的曲面，由群$PSL(2,\mathbb{R})$中一个离散格作用在上半平面实现。这样的格称为富克斯群。

## 标准基本多边形

亏格n可定向闭曲面有如下标准基本多边形：

$$A_1 B_1 A_1^{-1} B_1^{-1}A_2 B_2 A_2^{-1} B_2^{-1}\cdots A_n B_n A_n^{-1} B_n^{-1} = 1.\,$$

（不可定向）亏格n的不可定向闭曲面有如下标准基本多边形：

$$A_1 A_1 A_2 A_2 \cdots A_n A_n.\,$$

或者，不可定向曲面能由两种形式给出，亏格n 克莱因瓶与亏格n 实射影平面。亏格2n克莱因瓶由一个4n边形给出

$$A_1 B_1 A_1^{-1} B_1^{-1}A_2 B_2 A_2^{-1} B_2^{-1} \cdots A_n B_n A_n^{-1} B_n = 1,\,$$

（注意最后的$B_n$没有上标 -1；与可定向情形比较，这个翻转是不可定向性的缘故）。亏格2n+1射影平面由一个4n+2边形给出

$$A_1 B_1 A_1^{-1} B_1^{-1}A_2 B_2 A_2^{-1} B_2^{-1} \cdots A_n B_n A_n^{-1} B_n^{-1} C^2 = 1.\,$$

最后两类情形穷尽了所有可能的不可定向曲面，这是昂利·庞加莱证明的。

## 紧黎曼曲面的基本多边形

一个（双曲）紧黎曼曲面的基本多边形有许多重要的性质，将曲面与它的富克斯模型联系起来。即一个双曲紧黎曼曲面可以上半平面做为万有覆叠，从而可以表示为一个商流形H/Γ，这里 Γ是一个非阿贝尔群同构于曲面的甲板变换群（deck transformation group）。商空间的陪集有标准多边形做为代表元素。在下面，注意所有黎曼曲面都是可定向的。

### 度量基本多边形

给定上半平面H中一点$z_0$，以及PSL(2,R)一个离散子群Γ 自由不连续作用在上半平面，则我们可定义度量基本多边形（metric fundamental polygon）为点集

$$F=\{z \in \mathbb{H} : d(z,z_0) < d(z,gz_0) \;\; \forall g\in \Gamma \}.\,$$

这里d是上半平面的双曲度量。度量基本多边形有时也称为狄里克雷区域（Dirichlet region）或沃罗诺伊多边形。

- 这个基本多边形是一个基本域。
- 这个基本多边形是凸集，连接这个多边形的任何两点的测地线完全包含在多边形内部。
- F的直径小于或等于H/Γ的直径。特别地，F的闭包紧。
- 如果Γ在H中没有不动点且H/Γ紧，则F的边数有限。
- 多边形的每条边是一个测地线。
- 对多边形的每条边s，恰有另外一条边s' 使得gs=s' 对某个g属于Γ。从而这个多边形有偶数条边。
- 将边两两连接的群元素集合g是Γ的生成元，没有更小的集合可生成Γ。
- F的闭包在Γ的作用下铺满上半平面。即$H=\cup_{g\in\Gamma}\, g\overline{F}$这里$\overline{F}$是F的闭包。

### 标准基本多边形

给定任何度量基本多边形F，用有限步可以构造另一个基本多边形，标准基本多边形（standard fundamental polygon），它具有额外一组值得注意的性质：

- 标准多边形的顶点都是等价的。“顶点”是说两条边相交的点。“等价”意味着每个顶点可以由Γ中某个g变到任何其它一个顶点。
- 边数可被4整除。
- Γ中一个给定元素g至多将多边形的一条边变到另一边。从而这些边可以成对标记出来。由于Γ的作用保持定向，如果一条边为$A$，则这一对中另一个可以标记为相反的方向$A^{-1}$。
- 可以安排标准多边形的边，使得相邻边取形式$A_1 B_1 A_1^{-1} B_1^{-1}A_2 B_2 A_2^{-1} B_2^{-1}\cdots A_n B_n A_n^{-1} B_n^{-1}$。这就是说边对可安排成以这样的方式相间出现。
- 标准多边形是凸集。
- 边可以安排成测地线。

上面的构造足够保证多边形的每条边在流形H/Γ中是一个闭（非平凡）环路。就其本身而言，每条边可以为基本群$\pi_1 (\mathbb{H}/\Gamma)$中一个元素。特别地，基本群$\pi_1 (\mathbb{H}/\Gamma)$有2n个生成元素$A_1, B_1, A_2, B_2, \cdots A_n B_n$，由一个约束定义。

$$A_1 B_1 A_1^{-1} B_1^{-1}A_2 B_2 A_2^{-1} B_2^{-1}\cdots A_n B_n A_n^{-1} B_n^{-1}=1.\,$$

所得流形H/Γ的亏格是n。

### 例子

度量基本多边形与标准多边形通常有不同的边数。比如，环面的标准基本多边形是一个基本平行四边形。相比而言，度量基本多边形有六条边，是一个六边形。只需注意到六边形的边垂直平分平行四边形的边就可以看出来。这就是，取格中一点，然后考虑连接这点与邻点的直线之集合。每个这样的线被另一条垂直线平分，被这样的第二个线集合围住的最小的空间是一个六边形。

事实后，上一个构造一般都可行：取一点x，然后对Γ中g，考虑x与gx之间的测地线。平分这些测地线是另一个曲线集合，这些点的轨迹与x和gx距离相等。由第二个线集合围住的最小区域是度量基本多边形。

### 面积

标准基本多边形的面积是$4\pi(n-1)$，这里n是黎曼曲面的亏格（等价于4n是多边形的边数）。由于标准多边形是H/Γ的一个代表，黎曼曲面的整个面积等于标准多边形的面积。这个面积公式由高斯-博内定理得出，在某种意义下黎曼-赫尔维茨公式是其推广。

## 标准多边形的具体形式

对标准多边形可以给出具体表达式。一个更有用的形式是使用与这个标准多边形关联的群$\Gamma$。对一个亏格n定向曲面，群可由2n格生成元$a_k$给出。这些生成元由下列分式线性变换作用在上半平面给出。

对$0\le k < 2n$：

$$a_k= \left( \begin{matrix} \cos k\alpha & -\sin k\alpha \\ \sin k\alpha & \cos k\alpha \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} e^p & 0 \\ 0 & e^{-p} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \cos k\alpha & \sin k\alpha \\ -\sin k\alpha & \cos k\alpha \end{matrix} \right)$$

参数由

$$\alpha= \frac{\pi}{4n}\left(2n-1\right)$$

和

$$\beta= \frac{\pi}{4n}$$

以及

$$p=\ln \frac{\cos \beta + \sqrt{\cos 2\beta}}{\sin \beta}$$

给出。可以验证这些生成元服从约束

$$a_0a_1\cdots a_{2n-1} a^{-1}_0a^{-1}_1\cdots a^{-1}_{2n-1}=1,\,$$

这给出整个群呈示。

## 推广

在高维，基本多变形的想法体现为齐性空间。

## 参考文献

- Alan F. Beardon, The Geometry of Discrete Groups (1983), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90788-2.
- Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
- Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X.