傅立叶变换家族中的关系

在数学领域的谐波分析中，连续傅里叶变换（continuous Fourier transform, CFT）与傅里叶级数 （Fourier series, FS）有非常微妙的关系。而且连续傅里叶变换也与离散时间傅里叶变换（discrete time Fourier transform, DTFT）和离散傅里叶变换（discrete Fourier transform, DFT）有很近的关系。傅里叶变换家族通常就是指这四种变换。

通过利用Dirac delta函数 $\delta(t)$，CFT可以应用到时间离散 （time-discrete）或时间周期（time-periodic）信号。实际上，FS、 DTFT和DFT都可以由最广泛的CFT得到。从理论上看，它们也都是CFT的特殊情况。

在信号理论和数字信号处理（digital signal processing, DSP）中，DFT扩展用于近似计算连续信号的频谱，其变换的对象只是一个采样点的有限序列，而且可以由快速傅里叶变换（fast Fourier transform, FFT）实现。

## 家族中各个变换的定义

下表中左上、左下、右上和右下分别对应了傅里叶变换家族中CFT、FS、DTFT和DFT四个变换对的定义。

×｜连续时间｜离散时间

时间非周期｜$x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}X(f)\ e^{i2\pi ft}\,df$｜$x[n]=T_s\int_{1/T_s}\bar{X}(f)\ e^{i2\pi fnT_s}\ df$

$X(f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\ e^{-i2\pi ft}\,dt$｜$\bar{X}(f)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]\ e^{-i2\pi fnT_s}$

时间周期｜$\bar{x}(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\! X[k]\; e^{i\frac{2\pi k}{T_0}t}$｜$x_n=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X_k \; e^{i\frac{2\pi}{N}kn}, \quad n=0,\dots,N-1.$

$X[k]=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}\bar{x}(t)\; e^{-i\frac{2\pi k}{T_0}t}\,dt$｜$X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n\; e^{-i\frac{2\pi}{N}kn}, \quad k=0,\dots,N-1.$

显然，上表是从时域信号的角度来划分的：表的列区分了连续时间和离散时间的信号，而表的行则区分了时间上非周期的信号和时间上周期的信号。其中重要的参量符号解释为：

- $x[n]$ 和 $X[k]$ 都为无限序列，其采样间隔，即间隔时间和间隔频率分别为 $T_s$ 和 $f_0 =1/T_0$。
- $\bar{x}(t)$ 和 $\bar{X}(f)$ 都为周期函数，且时间周期和频率周期分别为 $T_0$ 和 $f_s=1/T_s$。
- $x_n$ 和 $X_k$ 都为有限序列，且序列长度都为 $N$。

## 关系推导所需的公式

前面表中的定义都可以通过Dirac delta函数 $\delta(t)$ 的扩展形式，即Dirac comb函数，由CFT引入或推导。为计算离散和/或周期信号的CFT，我们需要引入一些公式，并使用傅里叶变换的一些特性。以下集中给出：

- Dirac comb函数的傅里叶变换

Dirac comb函数的定义为

$$\Delta_T(t)\stackrel{\text{def}}{=}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)$$

在电气工程中通常又称作冲击串（impulse train）或采样函数 （sampling function）。其重要的傅里叶变换为：

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{i\frac{2\pi k}{T}t} \quad\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta\left(f-\frac{k}{T}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-i2\pi nTf}$$

这个变换在傅里叶变换家族中各个变换之间转换上起关键作用。

- 傅里叶变换的卷积定理（convolution theorem）

这包括了傅里叶变换的时域卷积和频域卷积：

$$\begin{align} x_1(t)\ast x_2(t) &\quad\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad X_1(f)\cdot X_2(f) \\ x_1(t)\cdot x_2(t) &\quad\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad X_1(f)\ast X_2(f) \end{align}$$

- 泊松求和公式（Poisson summation formula）

由Dirac comb函数的傅里叶变换和卷积定理，容易证明泊松求和公式：

$$\begin{align} 1. \qquad &\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(t-nT_0)=\frac{1}{T_0}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X\left(\frac{k}{T_0}\right)e^{i\frac{2\pi k}{T_0}t} \\ 2. \qquad &\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)e^{-i2\pi nTf}=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X\left(f-\frac{k}{T}\right) \end{align}$$

若第1和第2公式中分别取 $t=0$ 和 $f=0$，得到相同等式：

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X\left(\frac{k}{T}\right)$$

这表明，傅里叶变换时时域函数 $x(t)$ 和频域函数 $X(f)$ 分别以 $T$ 和 $1/T$ 为间隔采样，则所有时域采样点的总和与所有频域采样点扩大 $1/T$ 的总和相等。

## 各种变换之间的关系

<image>

图中立方体包含了频域和时域两个平面上各种变换的关系，同时两平面相连的四个边则分别代表了CFT、FS、DTFT和DFT。其中参量符号与前面表中相同，另外增加：

- $\tilde{X}_k$ 为由FS和DTFT推导DFT得到的DFT'频域形式，与传统DFT的频域 $X_k$ 有关系： $X_k=T_0\tilde{X}_k$。
- 图中粗的双箭头（$\leftrightarrow$）表示每个函数和其变换之间的联系。

总的说来，各种变换之间的转换是一个周期扩展或采样的过程：

- 如果时域进行周期扩展，则频域为采样；如果时域进行采样，则频域为周期扩展。
- 一个转换中，周期扩展的周期与采样的间隔有倒数关系。
- 频域的周期扩展或者采样，都有一个周期或采样间隔作系数。

这里的周期扩展就是与Dirac comb函数相卷积，而采样则是与Dirac comb函数相乘。

从CFT分别到FS和DTFT的转换都容易推导，下面具体说明FS和DTFT到DFT/DFT'转换的推导，最后说明连续FT与DFT/DFT'的关系。

### 由DTFT推导DFT

设DTFT，及对应的CFT为：

$$\begin{align} x[n] &\quad\stackrel{\mathcal{DTFT}}{\longleftrightarrow}\quad \bar{X}(f) \\ \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\cdot\delta(t-nT) <pre> &\quad\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad \bar{X}(f) </pre> \end{align}$$

在时域作周期为 $T_0$ 的扩展，有:

$$\begin{align} &\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\cdot\delta(t-nT)\right) <pre> \ast\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)\right) \\ </pre> &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{i=-\infty}^{\infty}x(nT)\cdot\delta(t-nT-iNT) \\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(\sum_{i=-\infty}^{\infty}x(nT-iNT)\right)\delta(t-nT) \end{align}$$

其中代入了 $T_0=NT$，而由于 $n$ 和 $i$ 的求和区间都为 $-\infty$ 到 $\infty$，可以用 $n-iN$ 代替 $n$ 得到最后一步推导。取：

$$\begin{align} x_n &=\sum_{i=-\infty}^{\infty}x(nT-iNT)=\sum_{i=-\infty}^{\infty}x[n-iN] \\ <pre> &=\sum_{i=-\infty}^{\infty}x(nT-iT_0) </pre> \end{align}$$

在频域作带系数 $1/T_0$ 且间隔也为 $1/T_0$ 的采样，有：

$$\begin{align} &\bar{X}(f)\cdot\frac{1}{T_0}\sum_{k=-\infty}^{\infty} <pre> \delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right) \\ </pre> &=\frac{1}{T_0T}\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty} <pre> X\left(f - \frac{k}{T}\right)\right) \cdot\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right)\right)\\ </pre> &=\frac{1}{T_0T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(\sum_{i=-\infty}^{\infty} <pre> X\left(f - \frac{i}{T}\right)\cdot \delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right)\right)\\ </pre> &=\frac{1}{T_0T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(\sum_{i=-\infty}^{\infty} <pre> X\left(\frac{k}{T_0} - \frac{i}{T}\right)\right) \cdot\delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right) </pre> \end{align}$$

取：

$$\tilde{X}_k=\frac{1}{T_0T}\sum_{i=-\infty}^{\infty} X\left( \frac{k}{T_0} - \frac{i}{T} \right) =\frac{1}{T_0}\bar{X}\left(\frac{k}{T_0}\right)$$

### 由FS推导DFT

设FS，及对应的CFT为：

$$\begin{align} \bar{x}(t) &\quad\stackrel{\mathcal{FS}}{\longleftrightarrow}\quad X[k] \\ \bar{x}(t) &\quad\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad <pre> \sum_{k=-\infty}^{\infty}X[k]\cdot\delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right). </pre> \end{align}$$

在时域作间隔为 $T$ 采样，有：

$$\begin{align} &\bar{x}(t)\cdot\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT) \\ &=\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(t-nT_0)\right)\cdot <pre> \left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)\right) \\ </pre> &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left( <pre> \sum_{i=-\infty}^{\infty}x(t-iT_0)\cdot\delta(t-nT)\right) \\ </pre> &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left( <pre> \sum_{i=-\infty}^{\infty}x(nT-iT_0)\right)\cdot\delta(t-nT) </pre> \end{align}$$

取：

$$x_n=\sum_{i=-\infty}^{\infty}x(nT-iT_0)=\bar{x}(nT)$$

在频域作带系数 $1/T$ 且周期也为 $1/T$ 扩展，有：

$$\begin{align} &\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty}X[k]\cdot <pre> \delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right)\right) \ast\left(\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta\left(f - \frac{k}{T}\right)\right) \\ </pre> &=\frac{1}{T_0T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{i=-\infty}^{\infty} <pre> X\left(\frac{k}{T_0}\right)\cdot \delta\left(f - \frac{k}{T_0} - \frac{iN}{T_0}\right) \\ </pre> &=\frac{1}{T_0T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(\sum_{i=-\infty}^{\infty} <pre> X\left(\frac{k-iN}{T_0}\right)\right)\cdot \delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right) </pre> \end{align}$$

其中也代入了 $T_0=NT$，而由于 $k$ 和 $i$ 的求和区间都为 $-\infty$ 到 $\infty$，可用 $k-iN$ 替代 $k$ 得到最后一步推导。取：

$$\begin{align} \tilde{X}_k &=\frac{1}{T_0T}\sum_{i=-\infty}^{\infty} <pre> X\left(\frac{k-iN}{T_0}\right) =\frac{1}{T}\sum_{i=-\infty}^{\infty}X[k-iN] \\ &=\frac{1}{T_0T}\sum_{i=-\infty}^{\infty} X\left(\frac{k}{T_0} - \frac{i}{T}\right) </pre> \end{align}$$

### CFT与DFT的关系

前面FS到DFT和DTFT到DFT的推导都得到相同的 $x_n$ 和 $\tilde{X}_k$。这里的 $x_n$ 和 $\tilde{X}_k$ 可看作一种DFT变换对，有关系：

$$\begin{align} \tilde{X}_k & <pre> =\frac{1}{T_0}\sum\limits_{n=0}^{N-1}\ x_n e^{-\frac{2\pi i}{N}kn} \\ </pre> x_n &=T\sum\limits_{k=0}^{N-1}\ \tilde{X}_k e^{\frac{2\pi i}{N}kn} \end{align}$$

记为：

$$x_n \quad\stackrel{\mathcal{DFT'}}{\longleftrightarrow}\quad \tilde{X}_k$$

对比传统DFT变换对的 $x_n$ 和 $X_k$，显然有：

$$X_k=T_0\tilde{X}_k.$$

这一对变换的等式右边系数的乘积为 $T/T_0=1/N$，符合我们在DFT中的说明，因而完全可以将这里的DFT'看作传统DFT的另一种变换形式。

而由前面转换的推导过程可得到：

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_n\cdot\delta(t-nT) <pre> \quad\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad </pre> \begin{matrix} \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty} <pre> \tilde{X}_k\cdot \delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right)}\\ </pre> \displaystyle{=\frac{1}{T_0} <pre> \sum_{k=-\infty}^{\infty}X_k\cdot \delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right)} </pre> \end{matrix}$$

为一对CFT，其中要求 $T_0=NT$。加之如果 $x(t)\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}X(f)$，则有：

$$x_n=\sum_{i=-\infty}^{\infty}x(nT-iT_0) \begin{matrix} \displaystyle{\quad\stackrel{\mathcal{DFT'}}{\longleftrightarrow}\quad <pre> \tilde{X}_k=\frac{1}{T_0T}\sum_{i=-\infty}^{\infty}X\left(\frac{k}{T_0} - \frac{i}{T}\right)} \\ </pre> \displaystyle{\quad\stackrel{\mathcal{DFT}}{\longleftrightarrow}\quad <pre> X_k=\frac{1}{T}\sum_{i=-\infty}^{\infty}X\left(\frac{k}{T_0} - \frac{i}{T}\right)} </pre> \end{matrix}$$

其中可以任选 $T_0$ 和 $T$。这样就建立了CFT和DFT之间的双向关系。但应注意到，此时我们已经将DFT'和DFT都做了周期拓展，即 $n,k\in\mathbb{Z}$。

## 参考文献

- Oppenheim, Alan V.; Schafer, R. W.; and Buck, J. R., (1999). Discrete-time signal processing, Upper Saddle River, N.J. : Prentice Hall. ISBN 0137549202
- Sklar, B., (2001). Digital Communications: Foundamentals and Applicatons, 2nd Edition, Prentice Hall PTR. ISBN 0130847887