应力-能量张量

应力-能量张量，也称应力-能量-动量张量、能量-应力张量、能量-动量张量、简称能动张量，在物理学中是一个张量，描述能量与动量在时空中的密度与通量(flux)，其为牛顿物理中应力张量的推广。在广义相对论中，应力-能量张量为重力场的源，一如牛顿重力理论中质量是重力场源一般。应力-能量张量具有重要的应用，尤其是在爱因斯坦场方程式。

## 定义

请注意我们将全程使用到爱因斯坦取和原则。当用到座标表示，x0代表时间，其他座标项x1, x2及x3则为剩下的空间分量。

应力-能量张量为一个二阶张量$T^{ab}$，给出四维动量或4-动量之a分量通过一座标为常数xb之表面的通量。

另外要注意的是应力-能量张量是对称(当自旋张量为零时)，亦即

$$T^{ab} = T^{ba} \,$$

若自旋张量S非零，则

$$\partial_{\alpha}S^{\mu\nu\alpha} = T^{\mu\nu} - T^{\nu\mu}$$

## 例子

此处举出一些特例：

$$T^{00}$$

代表能量密度。

$$T^{0i}$$

代表能量通过xi表面之通量，等同于

$$T^{i0},$$

第i 动量之密度。

分量

$$T^{ij}$$

代表i 动量通过xj表面之通量。其中较特别的是：

$$T^{ii}$$

代表一个类似压力与张应力的物理量——正向应力(normal stress)，而

$$T^{ij}, \quad i \ne j$$

代表剪应力(shear stress)。

提醒：在固态物理与流体力学中，应力张量所指为应力-能量张量于共动参考系(comoving frame of reference)的空间分量。换句话说，工程学中的应力-能量张量与此处由动量对流项(momentum convective term)表示的应力-能量张量有所差异。

## 作为诺特流(Noether current)

应力-能量张量满足连续性方程式(continuity equation)

$\nabla_b T^{ab}=T^{ab}{}_{;b}=0$.

此一物理量

$$\int d^3x T^{a0}$$

是对一类空切面积分，得出能量-动量向量。分量$T^{a0}$因此可以诠释为（非重力的）能量与动量之局域密度，而连续性方程式的第一分量

$$\nabla_b T^{0b} = \nabla \cdot \mathbf{p} - \frac{\partial E}{\partial t} = 0$$

则单纯是能量守恒的表述。空间分量$T^{ij}$ (i, j = 1, 2, 3)则对应到局域非重力的应力分量，其中包括了压力。此一张量为与时空移动相应的守恒诺特流(Noether current)。

## 于广义相对论中

上面所给的关系并不唯一决定此张量。在广义相对论中，对称形式的张量，也就是额外满足

$$T^{ab} = T^{ba}$$

关系的张量成为时空曲率的源，并且是与规范变换(gauge transformation)相应的流密度(current density)，在此是以座标变换为例。若有扭率(torsion)，则此张量就不再是对称的。这对应到非零自旋张量的例子。参见爱因斯坦-嘉当重力。

在广义相对论中，平直时空所用的偏导数(偏微分，partial derivative)修改为协变导数(covariant derivative)。这表示连续性方程式中用张量表示的能量和动量不是绝对地守恒。在牛顿重力的古典极限，这一点有一个简单的解释：与引力位能互相交换的能量，它没有包含在能动张量中，而动量是通过场传递到其他物体。然而在广义相对论中，无法定义对应“重力场”能量密度与动量密度的物理量；任何意图要定义这些密度的膺张量(pseudo-tensor)均可以透过一个座标转换使它们局域地消失为零。一般情况下，对于应力─能量张量只是部分的"协变守恒"，我们必须感到心满意足。

在弯曲时空中，一般而言类空积分依赖于类空截面。事实上在一般的弯曲时空中是无法定义一个全局的能量─动量张量（原文误为'vector'）。

### 爱因斯坦场方程式

在广义相对论中，应力-能量张量主要出现在爱因斯坦场方程式的研究题材中，方程式常写为：

$$R_{\alpha \beta} - {1 \over 2}R\,g_{\alpha \beta} = {8 \pi G \over c^4} T_{\alpha \beta},$$

其中$R_{\alpha \beta}$为里奇张量, $R$为里奇纯量（对里奇张量做张量缩并(tensor contraction)而得），以及$G$为宇宙重力常数(universal gravitational constant).

## 特殊情况下的应力-能量张量

### 孤立粒子

在狭义相对论中，质量为m的无相互作用粒子的应力-能量张量为：

$$T^{\alpha \beta}[t,x,y,z] = \frac{m \, v^{\alpha}[t] v^{\beta}[t]}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} \delta(x - x[t]) \delta(y - y[t]) \delta(z - z[t])$$

其中δ是狄拉克δ函数，$v^{\alpha} \!$是速度矢量：

$$\begin{pmatrix} v^0 [t] \\ v^1 [t] \\ v^2 [t] \\ v^3 [t] \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ {d x [t] \over d t} \\ {d y [t] \over d t} \\ {d z [t] \over d t} \end{pmatrix} .$$

### 处于平衡状态下的流体的应力-能量张量

对于处于热平衡状态下的流体，应力-能量张量具有一个特别简单的形式：

$$T^{\alpha \beta} \, = (\rho + {p \over c^2})u^{\alpha}u^{\beta} + p g^{\alpha \beta}$$

其中$\rho$是质量-能量密度（牛顿每立方米），$p$是流体静压力（牛顿每平方米），$u^{\alpha}$是流体的四维速度，$g^{\alpha \beta}$是度量张量的逆。

四维速度满足：

$$u^{\alpha} u^{\beta} g_{\alpha \beta} = - c^2 \,.$$

在随流体一起移动的惯性参考系中，四维速度为：

$$u^{\alpha} = (1, 0, 0, 0) \,,$$

度量张量的倒数为：

$$g^{\alpha \beta} \, = \left( \begin{matrix} <pre> - c^{-2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) </pre> \,,$$

应力-能量张量是一个对角矩阵：

$$<pre> T^{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix} \rho & 0 & 0 & 0 \\ 0 & p & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p \end{matrix} \right). </pre>$$

### 电磁应力-能量张量

一个无源电磁场的应力-能量张量为：

$$T^{\mu \nu} (x) = \frac{1}{\mu_0} \left( F^{\mu \alpha} g_{\alpha \beta} F^{\nu \beta} - \frac{1}{4} g^{\mu \nu} F_{\delta \gamma} F^{\delta \gamma} \right)$$

其中$F_{\mu \nu}$是电磁张量。

### 标量场

满足克莱因-戈尔登方程的标量场$\phi$的应力-能量张量为：

$$T^{\mu\nu} = \frac{\hbar^2}{m} (g^{\mu \alpha} g^{\nu \beta} + g^{\mu \beta} g^{\nu \alpha} - g^{\mu\nu} g^{\alpha \beta}) \partial_{\alpha}\bar\phi \partial_{\beta}\phi - g^{\mu\nu} m c^2 \bar\phi \phi .$$

## 各式各样的应力-能量张量

存在有一些互不相等的应力-能量张量。

### 正则(Canonical)应力-能量张量

其为与时空平移相关的诺特流。

### 希尔伯特应力-能量张量

应力-能量张量在广义相对论中仅能以动态度规来定义。其定义成一个泛函导数(functional derivative)

$$T^{\mu\nu}(x)=\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta \mathcal{S}_{\mathrm{matter}}}{\delta g_{\mu\nu}(x)}$$

其中Smatter是作用量的非重力部分，为对称的且有规范不变性。

### 赝张量(Pseudotensors)

赝张量的例子有爱因斯坦赝张量与蓝道-里夫须兹赝张量(Landau-Lifschitz pseudotensor)。

## 外部链接

- Lecture, Stephan Waner
- Caltech Tutorial on Relativity — A simple discussion of the relation between the Stress-Energy tensor of General Relativity and the metric