拉回 (微分几何)

在微分几何中，拉回是将一个流形上某种结构转移到另一个流形上的一种方法。具体地说，假设 $\phi: M\rightarrow N$ 是从光滑流形 $M$ 到 $N$ 的光滑映射；那么伴随有一个从 $N$ 上 1- 形式（余切丛的截面）到 $M$ 上 1-形式的线性映射，这个映射称为由 $\phi$ 拉回，经常记作 $\phi^*$。更一般地，任何 $N$ 上共变张量场——特别是任何微分形式——都可以由 $\phi$ 拉回到 $M$ 上。

当映射 $\phi$ 是微分同胚，那么拉回与前推一起，可以将任何 $N$ 上的张量场变换到 $M$，或者相反。特别地，如果 $\phi$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的开集与 $\mathbb{R}^n$ 之间的微分同胚，视为坐标变换（也许在流形 M 上不同的坐标卡上），那么拉回和前推描述了共变与反变张量用更传统方式（用基）表述的变换性质。

拉回概念背后的本质很简单，是一个函数和另外一个函数的前复合。但是将这种想法运用到许多不同的情形，可以构造许多复杂的拉回。本文从简单的操作开始，然后利用它们构造更复杂的。粗略地讲，拉回手法（利用前复合）将微分几何中多种不同的结构变成反变函子。

## 光滑函数与光滑映射

设 $\phi: M\rightarrow N$ 是光滑流形 $M$ 与 $N$ 之间的光滑映射，假设 $f:N\rightarrow \mathbb{R}$ 是 $N$ 上一个光滑函数。则 $f$ 通过 $\phi$ 的拉回是 $M$ 上的光滑函数 $\phi^* f$，定义为$(\phi^* f)(x)=f(\phi(x))$。类似地，如果 $f$ 是 $N$ 中开集 $U$ 上的光滑函数，则相同的公式定义了 $M$ 中开集 $\phi^{-1}(U)$ 上一个光滑函数。用层的语言说，拉回定义了 $N$ 上光滑函数层到 $\phi$ 的直接像（在 $M$ 上光滑函数层中）的一个态射。

更一般地，如果 $f:N\rightarrow A$ 是从 $N$ 到任意其他流形 $A$ 的光滑映射，则 $\phi^* f(x)=f(\phi(x))$ 是从 $M$ 到 $A$ 的一个光滑映射。

## 丛与截面

如果 $E$ 是 $N$ 上一个向量丛（或任意纤维丛），$\phi: M\rightarrow N$ 是光滑映射，那么拉回丛 $\phi^* E$ 是 $M$ 上一个向量丛（或更一般地纤维丛），其 $M$ 中的点 $x$ 处的纤维由 $(\phi^* E)_x = E_{\phi(x)}$ 给出。

在此情形，前复合定义了 $E$ 上截面的一个变换：如果 $s$ 是 $N$ 上 $E$ 的一个截面，那么拉回截面 $\varphi^*s=s\circ\varphi$ 是 $M$ 上拉回丛 $\phi^* E$ 的一个截面。

## 多重线性形式

设 $\Phi:V\rightarrow W$ 是向量空间 $V$ 与 $W$ 之间的一个线性映射（即，$\Phi$ 是 $L(V,W)$ 中的元素，也记成 $\hom(V,W)$），设

$$F:W \times W \times \cdots \times W \rightarrow \mathbb{R}$$

是 $W$ 上一个多重线性形式（也称为 $(0,s)$ 阶张量——但不要和张量场混淆——这里 $s$ 是乘积中 $W$ 的因子的个数）。则 $F$ 由 $\Phi$ 的拉回 $\Phi^* F$ 是一个 $V$ 上的多重线性形式，定义为 $F$ 与 $\Phi$ 的前复合。准确地，给定 $V$ 中向量 $v_1,v_2,\cdots,v_s$，$\Phi^* F$ 由公式定义

$$(\Phi^*F)(v_1,v_2,\ldots,v_s) = F(\Phi(v_1), \Phi(v_2), \ldots ,\Phi(v_s)),$$

这是 $V$ 上一个多重线性形式。从而 $\Phi^*$ 是一个从 $W$ 上的多重线性形式到 $V$ 上的多重线性形式的（线性）算子。作为一个特例，注意到如果 $F$ 是 $W$ 上一个线性形式（或 $(0,1)$ -张量），那么 $F$ 是 $W$ 的对偶空间 $W^*$ 中一个元素，则 $\Phi^* F$ 是 $V^*$ 中一个元素，所以拉回定义了对偶空间之间一个线性映射，作用的方向与线性映射 $\Phi$ 自己的方向相反：

$$\Phi\colon V\rightarrow W, \qquad \Phi^*\colon W^*\rightarrow V^*.$$

从张量的观点来看，自然想把来回这种概念推广到任何阶，即 $W$上取值于 $r$ 个 $W$ 的张量积 $W\otimes W\otimes\cdots\otimes W$ 的线性映射。但是，这种张量积不能自然的拉回：不过有从$V\otimes V\otimes\cdots\otimes V$ 到 $W\otimes W\otimes\cdots\otimes W$ 的前推算子，定义为

$$\Phi_*(v_1\otimes v_2\otimes\cdots\otimes v_r)=\Phi(v_1)\otimes \Phi(v_2)\otimes\cdots\otimes \Phi(v_r).$$

然而，如果 $\Phi$ 可逆，拉回可以用逆函数 $\Phi^{-1}$ 的前推定义。将一个可逆线性映射与这两个构造放在一起，得到了对任何 $(r,s)$ 阶张量一个拉回算子。

## 余切向量与 1 形式

设 $\phi: M\rightarrow N$ 是光滑流形间的光滑映射。那么 $\phi$ 的前推：$\phi* = \operatorname{d}\!\phi$ （或 $D\phi$），是从 $M$ 的切丛 $TM$ 到拉回丛 $\phi^*TN$ 的（在 $M$ 上）向量丛同态。从而 $\phi*$ 的转置是从 $\phi^*T^*N$ 到 $M$ 的余切丛 $T^* M$ 的丛映射。

现在假设 $\alpha$ 是 $T^* N$ 的一个截面（$N$ 上一个 1-形式），将 $\alpha$ 与 $\phi$ 前复合得到 $\phi^* T^* N$的一个拉回截面。将上述（逐点）丛映射应用到截面导致 $\alpha$ 由 $\phi$ 的拉回，是 $M$ 上一个 1-形式，定义为：

$$(\varphi^*\alpha)_x(X) = \alpha_{\varphi(x)}(\mathrm d\varphi_x(X))$$

对 $x$ 属于 $M$ 与 $X$ 属于 $T_xM$。

## （共变）张量场

对任何自然数 $s$，上述构造马上可推广到 $(0,s)$ 阶张量丛上。流形 $N$ 上 $(0,s)$ 张量场 是 $N$ 上张量丛的一个截面，在 $N$ 中 $y$ 点的截面是多重线性 $s$-形式空间

$$F\colon T_y N\times\cdots \times T_y N\to \R.$$

取 $\Phi$ 等于从 $M$ 到 $N$ 的一个光滑映射的微分（逐点的），多重线性形式的拉回可与截面的拉回复合得出 $M$ 上 $(0,s)$ 张量场的拉回。更确切地，如果 $S$ 是 $N$ 上一个 $(0,s)$-张量场，那么 $S$ 由 $\phi$ 的拉回 是 $M$ 上 $(0,s)$-张量场 $\phi^*S$，定义为

$$(\varphi^*S)_x(X_1,\ldots, X_s) = S_{\varphi(x)}(\mathrm d\varphi_x(X_1),\ldots \mathrm d\varphi_x(X_s))\ ,$$

对 $x$ 属于 $M$ 与 $X_j$ 属于 $T_xM$。

## 微分形式

共变张量场拉回的一个特别重要的例子是微分形式的拉回。如果 $\alpha$ 是一个微分 $k$-形式，即 $TN$（逐点）反交换 $k$-形式组成的外丛 $\Lambda^k T^*N$ 的一个截面，则 $\alpha$ 的拉回是 $M$ 上一个微分 $k$-形式，定义与上一节相同：

$$(\varphi^*\alpha)_x(X_1,\ldots, X_k) = \alpha_{\varphi(x)}(\mathrm d\varphi_x(X_1),\ldots \mathrm d\varphi_x(X_k))\ ,$$

对 $x$ 属于 $M$ 与 $X_j$ 属于 $T_xM$。

微分形式的拉回有两个性质，使其非常有用。

- 和楔积相容：假设同上，对 $N$ 上的微分形式 $\alpha$ 与 $\beta$。

$$\varphi^*(\alpha \wedge \beta)=\varphi^*\alpha \wedge \varphi^*\beta\ .$$

- 和外导数 $\operatorname{d}\!$ 相容：如果 $\alpha$ 是 $N$ 上一个微分形式，则

$$\varphi^*(\mathrm d\alpha) = \mathrm d(\varphi^*\alpha)\ .$$

## 由微分同胚拉回

当流形之间的映射 $\phi$ 是微分同胚，即有一个光滑逆函数，则在向量场上也像 1-形式一样定义拉回，从而通过扩张，对流形上任何混合张量场都可拉回。线性映射

$$\Phi=\mathrm d\varphi_x\in GL(T_xM,T_{\varphi(x)}N)$$

可逆，给出

$$\Phi^{-1}={\mathrm d\varphi_x}^{-1} \in GL(T_{\varphi(x)}N, T_xM).$$

一个一般的混合型张量场通过张量积分解为 $TN$ 与 $T^*N$ 两部分，分别用 $\Phi$ 与 $\Phi^{-1}$ 变换。当 $M = N$ 时，则拉回和前推刻画了流形 $M$ 上张量场的变换性质。用传统术语说，拉回描述了张量共变指标的变换性质；相对地，反变指标的变换性质由前推给出。

## 由自同构拉回

上一节的构造有一个代表性特例，若 $\phi$ 是流形 $M$ 到自己的微分同胚。在这种情况下，导数 $\operatorname{d}\!\phi$ 是 $GL(TM,\phi^*TM)$ 的一个截面。这样便在通过一个一般线性群 $GL(m) (m = \dim M)$ 相配于 $M$ 的标架丛 $GL(M)$ 的任何丛的截面上导出了拉回作用。

## 拉回与李导数

将上述想法应用到由向量场 $M$ 定义的微分同胚单参数群，对参数求导，得到了任意丛上的李导数概念。

## 联络（共变导数）

如果 $\nabla$ 是 $N$ 上向量丛 $E$ 的联络（或共变导数），$\phi$ 是从 $M$ 到 $N$ 的光滑映射，那么在 $M$ 上的向量丛 $\phi^*E$ 上有拉回联络 $\varphi^*\nabla$，由等式

$$(\varphi^*\nabla)_X(\varphi^*s) = \varphi^*(\nabla_{\mathrm d\varphi(X)} s)$$

惟一确定。

## 参考文献

- Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 See sections 1.5 and 1.6.
- Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.7 and 2.3.
- B. A. Dubrovin, et al., Modern Geometry Methods and Applications(Part I), (1999) Beijing World Publishing Corp., ISBN 7-5062-0123-2 See section 22.