高斯-马尔可夫定理

高斯-马可夫定理（Gauss-Markov Theorem），在统计学中陈述的是在线性回归模型中，如果线性模型满足高斯马尔可夫假定，则回归系数的“最佳线性无偏估计”（BLUE，Best Linear unbiased estimator）就是普通最小二乘法估计。最佳估计是指相较于其他估计量有更小方差的估计量，同时把对估计量的寻找限制在所有可能的线性无偏估计量中。此外，误差也不一定需要满足独立同分布或正态分布。

本定理主要以卡尔·弗里德里希·高斯和安德烈·马尔可夫命名，虽然高斯的贡献要远比马尔可夫的重要。高斯以独立正态分布的假设推导出了结果，而马尔可夫将假设放宽到了上述的形式。

## 表述

### 简单（一元）线性回归模型

对于简单（一元）线性回归模型。

$$y=\beta_0+\beta_1 x+\varepsilon$$

其中$\beta_0$和$\beta_1$是非随机但不能观测到的参数，$x_i$是非随机且可观测到的一般变量，$\varepsilon_i$是不可观测的随机变量，或称为随机误差或噪音，$y_i$是可观测的随机变量。

高斯-马尔可夫定理的假设条件是：

- 在总体模型中，各变量关系为$y=\beta_0+\beta_1 x+\varepsilon$(线性于参数)
- 我们具有服从于上述模型的随机样本，样本容量为n（随机抽样）。
- x的样本结果为非完全相同的数值（解释变量的样本有波动）。
- 对于给定的解释变量，误差的期望为零，换言之${\rm E}\left(\varepsilon | x \right)=0$ （零条件均值）。
- 对于给定的解释变量，误差具有相同的方差，换言之 ${\rm Var}\left(\varepsilon | x\right)=\sigma^2$（同方差性）。

则对$\beta_0$和$\beta_1$的最佳线性无偏估计为。

$$<pre> \hat\beta_1 = \frac{ \sum{x_iy_i} - \frac{1}{n}\sum{x_i}\sum{y_i} } { \sum{x_i^2} - \frac{1}{n}(\sum{x_i})^2 } = \frac{\widehat{\text{Cov}\left(x,y\right)}}{ \hat {\sigma_x}^2 } =\hat{\rho} _{xy} \frac{\hat {\sigma_x}}{\hat {\sigma_y}},\quad \hat\beta_0 = \overline{y} - \hat\beta_1\,\overline{x}\ . </pre>$$

### 多元线性回归模型

对于多元线性回归模型。

$y_i=\sum_{j=0}^p \beta_j x_{ij}+\varepsilon_i$, $x_{i0}=1; \quad i = 1, \dots n.$

使用矩阵形式，线性回归模型可简化记为$\mathbf{Y}=\mathbf{X}\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\varepsilon}$，其中采用了以下记号：

$\mathbf{Y}=(y_1, y_2, \dots, y_n)^T$ (观测值向量，Vector of Responses),

$\mathbf{X}=(x_{ij})= <pre> \begin{bmatrix} 1 & x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1p} \\ 1 & x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2p} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{np} \end{bmatrix} </pre>$ (设计矩阵，Design Matrix),

$\boldsymbol{\beta}=(\beta_0, \beta_1, \dots, \beta_p)^T$ (参数向量，Vector of Parameters),

$\boldsymbol{\varepsilon}=(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_n)^T$ (随机误差向量，Vectors of Error)。

高斯-马尔可夫定理的假设条件是：

- ${\rm E}\left(\boldsymbol{\varepsilon}\mid\mathbf{X}\right)=0$，$\forall \mathbf{X}$（零均值）。
- ${\rm Var}\left(\boldsymbol{\varepsilon}\mid\mathbf{X}\right)={\rm E}\left(\boldsymbol{\varepsilon}\boldsymbol{\varepsilon}^T\mid\mathbf{X}\right)=\sigma^2_\varepsilon\mathbf{I_n}$，（同方差且不相关），其中$\mathbf{I_n}$为n阶单位矩阵(Identity Matrix)。

则对$\boldsymbol{\beta}$的最佳线性无偏估计为

$$<pre> \hat\boldsymbol{\beta} = (\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^T\mathbf{Y} </pre>$$

## 证明

首先，注意的是这里数据是$\mathbf{Y}$而非$\mathbf{X}$，我们希望找到$\boldsymbol{\beta}$对于$\mathbf{Y}$的线性估计量，记作

$$\hat\boldsymbol{\beta} = \mathbf{M}+\mathbf{N}\mathbf{Y}$$

其中$\hat\boldsymbol{\beta}$，$\mathbf{M}$，$\mathbf{N}$和$\mathbf{Y}$分别是$(p+1)\times1$，$(p+1)\times1$，$(p+1)\times n$和$n\times1$矩阵。

根据零均值假设所得。

$${\rm E}\left(\hat\boldsymbol{\beta}\mid\mathbf{X}\right) = \mathbf{M}+\mathbf{N}{\rm E}\left(\mathbf{Y}\mid\mathbf{X}\right)=\mathbf{M}+\mathbf{N}\mathbf{X}\boldsymbol{\beta}$$

其次，我们同时限制寻找的估计量为无偏的估计量，即要求${\rm E}\left(\hat\boldsymbol{\beta}\right) = \boldsymbol{\beta}$，因此有

$\mathbf{M}=\mathbf{0}$（零矩阵），$\mathbf{N}\mathbf{X}=\mathbf{I_{p+1}}$

## 外部链接

- Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: G (brief history and explanation of its name)
- Proof of the Gauss Markov theorem for multiple linear regression (makes use of matrix algebra)
- A Proof of the Gauss Markov theorem using geometry