自旋-轨道作用

在量子力学里，一个粒子因为自旋与轨道运动而产生的作用，称为自旋-轨道作用（Spin–orbit interaction），也称作自旋-轨道效应或自旋-轨道耦合。最著名的例子是电子能级的位移。电子移动经过原子核的电场时，会产生电磁作用．电子的自旋与这电磁作用的耦合，形成了自旋-轨道作用。谱线分裂实验明显地侦测到电子能级的位移，证实了自旋-轨道作用理论的正确性。另外一个类似的例子是原子核壳层模型能级的位移。

半导体或其它新颖材料常常会涉及电子的自旋-轨道效应。自旋电子学专门研究与应用这方面的问题。

## 电子的自旋-轨道作用

在这篇文章里，会以相当简单与公式化的方式，详细地讲解一个束缚于原子内的电子的自旋-轨道作用理论。这会用到电磁学、非相对论性量子力学、一阶微扰理论。这自旋-轨道作用理论给出的答案，虽然与实验结果并不完全相同，但相当的符合。更严谨的导引应该从狄拉克方程式开始，也会求得相同的答案。若想得到更准确的答案，则必须用量子电动力学来计算微小的修正。这两种方法都在本条目范围之外。

### 磁场

虽然在原子核的静止参考系 (rest frame)，并没有作用在电子上的磁场；在电子的静止参考系，有作用在电子上的磁场存在。暂时假设电子的静止参考系为惯性参考系，则根据狭义相对论，磁场 $\mathbf{B}\,\!$ 是

$\mathbf{B} = - \,\frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2}\,\!$；(1)

其中，$\mathbf{v}\,\!$ 是电子的速度，$\mathbf{E}\,\!$ 是电子运动经过的电场，$c\,\!$ 是光速。

以质子的位置为原点，则从质子产生的电场是

$\mathbf{E}=\frac{Ze}{4\pi\epsilon_0 r^2}\hat{\mathbf{r}} =\frac{Ze}{4\pi\epsilon_0 r^3}\mathbf{r} \,\!$。

其中，$Z\,\!$ 是质子数量（原子序数），$e\,\!$ 是单位电荷量，$\epsilon_0\,\!$ 是真空电容率，$\hat{r}\,\!$ 是径向单位向量，$r\,\!$ 是径向距离，径向向量 $\mathbf{r}\,\!$ 是电子的位置。

电子的动量 $\mathbf{p}\,\!$ 是

$\mathbf{p}=m\mathbf{v}\,\!$。

其中，$m\,\!$ 是电子的质量。

所以，作用于电子的磁场是

$\mathbf{B} = \frac{Ze}{4\pi\epsilon_0 m c^2 r^3}\,\mathbf{r}\times\mathbf{p}= \frac{Ze}{4\pi\epsilon_0 m c^2 r^3}\,\mathbf{L}\,\!$；(2)

其中，$\mathbf{L}\,\!$ 是角动量，$\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}\,\!$。

$\mathbf{B}\,\!$ 是一个正值因子乘以 $\mathbf{L}\,\!$，也就是说，磁场与电子的轨道角动量平行。

### 磁矩

电子自旋的磁矩 $\boldsymbol{\mu}\,\!$ 是

$\boldsymbol{\mu} = \gamma\,\mathbf{S}\,\!$。

其中，$\gamma=\frac{g_s q_e}{2m}\,\!$ 是旋磁比 (gyromagnetic ratio)，$\mathbf{S}\,\!$ 是自旋角动量，$g_s\,\!$ 是朗德g因子，$q_e\,\!$ 是电荷量。

电子的朗德g因子（g-factor）是 $2\,\!$，电荷量是 $- e\,\!$。所以。

$\boldsymbol{\mu} = - \frac{e}{m}\mathbf{S}\,\!$。(3)

电子的磁矩与自旋反平行。

### 哈密顿量微扰项目

自旋-轨道作用的哈密顿量微扰项目是

$H'= - \boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}\,\!$。

代入 $\boldsymbol{\mu}\,\!$ 的公式 (3) 和 $\mathbf{B}\,\!$ 的公式(2)，经过一番运算，可以得到

$$H'=\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 m^2 c^2}\ \frac{\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}}{r^3}\,\!$$

一直到现在，都还没有考虑到电子静止坐标乃非惯性坐标。这事实引发的效应称为托马斯进动 (Thomas precession)。因为这效应，必须添加因子 $1/2\,\!$ 在公式里。所以。

$H'=\frac{Ze^2}{8\pi\epsilon_0 m^2 c^2}\ \frac{\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}}{r^3}\,\!$。

### 能级位移

在准备好了自旋-轨道作用的哈密顿量微扰项目以后，现在可以估算这项目会造成的能量位移。特别地，想要找到 $H_0\,\!$ 的本征函数形成的基底，使 $H'\,\!$ 能够对角化。为了找到这基底，先定义总角动量算符 $\mathbf{J}\,\!$：

$\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}\,\!$。

总角动量算符与自己的内积是

$\mathbf J^2=\mathbf L^2+\mathbf S^2+2\mathbf{L}\cdot \mathbf{S}\,\!$。

所以。

$\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}= {1\over 2}(\mathbf{J}^2 - \mathbf{L}^2 - \mathbf{S}^2)\,\!$。

请注意 $H'\,\!$ 与 $\mathbf{L}\,\!$ 互相不对易， $H'\,\!$ 与 $\mathbf{S}\,\!$ 互相不对易。读者可以很容易地证明这两个事实。由于这两个事实，$H_0\,\!$ 与 $\mathbf{L}\,\!$ 的共同本征函数不能被当做零微扰波函数，用来计算一阶能量位移 $E^{(1)}\,\!$。$H_0\,\!$ 与 $\mathbf{S}\,\!$ 的共同本征函数也不能被当做零微扰波函数，用来计算一阶能量位移 $E^{(1)}\,\!$。可是， $H'\,\!$、$J^2\,\!$、$L^2\,\!$、$S^2\,\!$，这四个算符都互相对易。$H_0\,\!$、$J^2\,\!$、$L^2\,\!$、$S^2\,\!$，这四个算符也都互相对易。所以，$H_0\,\!$、$J^2\,\!$、$L^2\,\!$、$S^2\,\!$，这四个算符的共同本征函数 $|n,j,l,s\rangle\,\!$ 可以被当做零微扰波函数，用来计算一阶能量位移 $E_n^{(1)}\,\!$；其中， $n\,\!$ 是主量子数，$j\,\!$ 是总角量子数，$l\,\!$ 是角量子数，$s\,\!$ 是自旋量子数。这一组本征函数所形成的基底，就是想要寻找的基底。这共同本征函数 $|n,j,l,s\rangle\,\!$ 的 $\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}\,\!$ 的期望值是

$\begin{align} \langle n,j,l,s\,|\,\mathbf{L}\cdot\mathbf{S} \,|\,n,j,l,s\rangle & ={1\over 2}(\langle\mathbf{J}^2\rangle - \langle\mathbf{L}^2\rangle - \langle\mathbf{S}^2\rangle) \\ <pre> & ={\hbar^2\over 2}[j(j+1) - l(l+1) - s(s+1)] \\ & ={\hbar^2\over 2}[j(j+1) - l(l+1) - 3/4] \\ </pre> \end{align}\,\!$。

其中，电子的自旋 $s=1/2\,\!$。

经过一番繁琐的运算，可以得到 $r^{ - 3}\,\!$ 的期望值

$\langle n,j,l,s\,|\, r^{ - 3}\, |\,n,j,l,s\rangle=\frac{2Z^3}{a_0^3 n^3 l(l+1)(2l+1)}\,\!$。

其中，$a_0=\frac{4\pi\epsilon_0\hbar^2}{m e^2}\,\!$ 是波耳半径。

将这两个期望值的公式代入，能级位移是

$E_n^{(1)}=\frac{Z^4 e^2 \hbar^2}{8\pi\epsilon_0 m^2 c^2 a_0^3}\ \frac{[j(j+1) - l(l+1) - 3/4]}{n^3\, l(l+1)(2l+1)}\,\!$。

经过一番运算，可以得到

$E_n^{(1)}=\frac{(E_n^{(0)})^2}{mc^2}\ \frac{2n[j(j+1) - l(l+1) - 3/4]}{l(l+1)(2l+1)}\,\!$。

其中，$E_n^{(0)}=\frac{Z^2 \hbar^2}{2m a_0^2 n^2}\,\!$ 是主量子数为 $n\,\!$ 的零微扰能级。

特别注意，当 $l=0\,\!$ 时，这方程式会遇到除以零的不可定义运算；虽然分子项目 $j(j+1) - l(l+1) - 3/4=0\,\!$ 也等于零。零除以零，仍旧无法计算这方程式的值。很幸运地，在精细结构能量微扰的计算里，这不可定义问题自动地会消失。事实上，当 $l=0\,\!$ 时，电子的轨道运动是球对称的。这可以从电子的波函数的角部分观察出来，$l=0\,\!$ 球谐函数是

$Y_0^0=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\,\!$。

由于完全跟角度无关，角动量也是零，电子并不会感觉到任何磁场，所以，电子的 $l=0\,\!$ 轨道没有自旋-轨道作用。

## 参阅

- 斯塔克效应
- 塞曼效应
- 超精细结构
- 兰姆位移

## 外部链接

- 圣地牙哥加州大学物理系量子力学视听教学：自旋-轨道作用