Ext函子

在同调代数中，Ext 函子是 Hom 函子的导函子。此函子首见于代数拓扑，但其应用遍布许多领域。

## 定义

设 $\mathcal{C}$ 为有充足内射元的阿贝尔范畴，例如一个环 $R$ 上的左模范畴 $R-\mathbf{Mod}$。固定一对象 $A$，定义函子 $T_A(-) := \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,-)$，此为左正合函子，故存在右导函子 $R^\bullet T_A(-)$，记为 $\mathrm{Ext}_\mathcal{C}^\bullet(A,-)$。当 $\mathcal{C}=R-\mathbf{Mod}$ 时，常记之为 $\mathrm{Ext}_R^\bullet(A,-)$。

根据定义，取 $B$ 的内射分解

$$J(B)\longleftarrow B\longleftarrow 0$$

并取 $\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,-)$，得到

$$\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,J(B))\longleftarrow \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B) \longleftarrow 0$$

去掉首项 $\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B)$，最后取上同调群，便得到 $\mathrm{Ext}_\mathcal{C}^\bullet(A,B)$。

另一方面，若 $\mathcal{C}$ 中也有充足射影元（例如 $R-\mathbf{Mod}$），则可考虑右正合函子 $G_B(-) := \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(-,B)$ 及其左导函子 $L_\bullet G_B(-)$，可证明存在自然同构 $L_\bullet G_B(A) = \mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A,B)$。换言之，对 $A$ 取射影分解：

$$P(A) \longrightarrow A \longrightarrow 0$$

并取 $\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(-,B)$，得到

$$\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(P(A), B) \longrightarrow \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B) \longrightarrow 0$$

去掉尾项 $\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B)$，其同调群同构于 $\mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A,B)$。

## 基本性质

- 若 $A$ 是射影对象或 $B$ 是内射对象，则对所有 $i>0$ 有 $\mathrm{Ext}^i_\mathcal{C}(A,B) = 0$。
- 反之，若 $\mathrm{Ext}^1_\mathcal{C}(A,-)=0$，则 $A$ 是射影对象。若 $\mathrm{Ext}^1_\mathcal{C}(-,B)=0$，则 $B$ 是内射对象。
- $$\mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(\bigoplus_i A_i, B) = \coprod_i \mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A_i, B)$$
- $$\mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A, \prod_j B_j) = \prod_j \mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A, B_j)$$
- 根据导函子性质，对每个短正合序列 $0 \to B' \to B \to B'' \to 0$，有长正合序列：

$$\cdots \to \mathrm{Ext}^{n-1}_\mathcal{C}(A, B'') \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A, B') \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A, B) \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A, B'') \to \mathrm{Ext}^{n+1}_\mathcal{C}(A, B'') \to \cdots$$

- 承上，若 $\mathcal{C}$ 有充足的射影元，则对第一个变数也有长正合序列；换言之，对每个短正合序列 $0 \to A' \to A \to A'' \to 0$，有长正合序列

$$\cdots \to \mathrm{Ext}^{n-1}_\mathcal{C}(A', B) \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A'', B) \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A, B) \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A', B) \to \mathrm{Ext}^{n+1}_\mathcal{C}(A'', B) \to \cdots$$

## 谱序列

今设 $A,B$ 为含单位元的环，并固定一环同态 $A \to B$。则由双函子的自然同构

$$\mathrm{Hom}_B(-, \mathrm{Hom}_A(B,-)) \simeq \mathrm{Hom}_A(-, -)$$

导出格罗滕迪克谱序列：对每个 $B$-模 $M$ 及 $A$-模 $N$，有谱序列

$$E_2^{pq} = \mathrm{Ext}_B^p(M, \mathrm{Ext}^q_A(B, N)) \Rightarrow \mathrm{Ext}_A^{p+q}(M, N)$$

这个关系称为换底。

## Ext函子与扩张

Ext 函子得名于它与群扩张的联系。抽象地说，给定两个对象 $A, B \in \mathcal{C}$，在扩张

$$0\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow 0$$

等价类与 $\mathrm{Ext}_\mathcal{C}^1(A,B)$ 之间有一一对应，下将详述。

对任两个扩张

$0\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow 0$ 与

$$0\rightarrow B\rightarrow C'\rightarrow A\rightarrow 0$$

可以构造其 Baer 和 为 $0 \rightarrow B \rightarrow C \times_A C' / \Delta \rightarrow A \rightarrow 0$，其中 $\Delta := (1,-1)(C \sqcup_B C')$（反对角线）。这在等价类上构成一个群运算，可证明此群自然地同构于 $\mathrm{Ext}^1_\mathcal{C}(A,B)$。

对更高阶的扩张，同样可定义等价类；对任两个 n-扩张（n>1）

$0\rightarrow B\rightarrow X_n\rightarrow\cdots\rightarrow X_1\rightarrow A\rightarrow 0$ 与

$$0\rightarrow B\rightarrow X'_n\rightarrow\cdots\rightarrow X'_1\rightarrow A\rightarrow 0$$

此时的 Baer 和定为

$$0 \rightarrow B \rightarrow Y_n\rightarrow X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\rightarrow\cdots\rightarrow X_2\oplus X'_2\rightarrow X''_1\rightarrow A\rightarrow 0$$

其中 $A := X_1 \times_A X_1'/\Delta_1$（反对角线 $\Delta_1$ 之定义同上），$Y_n := X_n \sqcup_B X_n'$。这也在 n-扩张的等价类上构成一个群运算，此群自然同构于 $\mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A,B)$。借此，能在任何阿贝尔范畴上定义 Ext 函子。

## 重要例子

- 设 $G$ 为群，取环 $R :=\Z G$，可以得到群上同调：$\mathrm{Ext}_{\Z G}^\bullet (\Z, M ) = H^\bullet(G,M)$。
- 设 $\mathcal{C}$ 为局部赋环空间 $X$ 上的 $\mathcal{O}_X$-模范畴，可以得到层上同调：$\mathrm{Ext}_\mathcal{C}^\bullet(\mathcal{O}_X, \mathcal{F}) = H^\bullet(X, \mathcal{F})$。
- 设 $\mathfrak{g}$ 为李代数，取环 $R := U(\mathfrak{g})$ 为其泛包络代数，可以得到李代数上同调：$\mathrm{Ext}_R^\bullet(R, M) = H^\bullet(\mathfrak{g}, M)$。
- 设 $k$ 为域，$A$ 为 $k$-代数，取环 $R := A \times A^\mathrm{op}$，$A$ 带有自然的 $R$-模结构，此时得到 Hochschild 上同调：$\mathrm{Ext}^\bullet_R(A, M) = HH^\bullet(A, M)$。