极限 (范畴论)

在数学里的范畴论中，极限（Limit）的概念融贯了多种构造，包括和、积等等；范畴论中许多泛性质也可从极限来理解。

极限分为极限与余极限（又称上极限），彼此的定义相对偶。在不同场合的别名及英译如下表：

余极限/上极限（colimit）｜正（向）极限（direct limit）｜归纳极限（inductive limit）

极限（limit）｜逆（向）极限（inverse limit）｜投射极限/射影极限（projective limit）

本条目用语取归纳极限与射影极限。

## 定义

一范畴 C 中的极限及上极限可用 C 中的图示来定义。形式上，C 中类型 J 的图示是指一个由 J 映射至 C 的函子：

F : J → C.

范畴 J 称之为“索引范畴”，图示 F 可想做是以 J 索引 C 内的物件及态射。J 实际的物件及态射为何并不重要，关键在于之间的互动。

通常，最感兴趣的情况是当类型J为小范畴或有限范畴之时，此类图示分别被称为“小图示”及“有限图示”。

### 极限

设 F : J → C 为一个在范畴 C 中类型 J 的图示。一个对应于 F 的“锥体”是指 C 中的一物件 N，具有可以 J 内之物件 X 索引的态射族 ψX : N → F(X)，使得对每个 J 内的态射 f : X → Y，均有 F(f) o ψX = ψY。

图示 F : J → C 的极限是一个对应于 F 的锥体 (L, φ)，使得对所有其他对应于 F 之锥体 (N, ψ)，总存在一个“唯一的”态射 u : N → L，使得对所有 J 中的 X，φX o u = ψX。

<image>

可以说，锥体 (N, ψ) 能被唯一的因子 u 分解成锥体 (L, φ)。此一态射 u 有时称为“中介态射”。

极限亦称之为“泛锥体”，因为其所具有之泛性质（详见下文）。如同每个泛性质一般，上述定义叙述了一个有关一般性的对称状态：极限物件 L 够一般，能让所有其他锥体分解；另一方面，L 也必须够特殊，每个锥体都只可能有“一个”因子。

极限也可视为是在对应于 F 的锥体范畴内的终对象。

图示可能不存在极限；但若一个图示存在极限，则此一极限一定是唯一的：在同构下是唯一的。

### 上极限

极限及锥体的对偶概念是上极限及上锥体。虽然可直接将上述定义的所有态射反转，以得到上极限及上锥体之定义，但下文仍将明确叙明之：

图示 F : J → C 的“上锥体是指 C 中的一物件 N，具有可以每个 J 中的物件 X 索引的态射族

ψX : F(X) → N

使得对每个 J 内的态射 f : X → Y，均有 ψY o F(f)= ψX。

图示 F : J → C 的上极限是 F 的上锥体 (L, $\phi$)，使得对所有其他对应于 F 的上锥体 (N, ψ)，总存在一个“唯一的”态射 u : L → N，使得对所有 J 中的 X，u o $\phi$X = ψX。

<image>

上极限也称为“泛上锥体”，也可视为是在对应于 F 的上锥体范畴内的始对象。

如同极限一般，若图示 F 存在上极限，则此上极限在同构下是唯一的。

### 归纳系统与射影系统

以下固定一个范畴$\mathcal{C}$，并探讨其中的极限。为避免集合的悖论，我们将固定一个宇宙$\mathcal{U}$，并假定$\mathcal{C}$是$\mathcal{U}$-范畴，即：对任意两个对象$X, Y$，态射集$\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(X,Y)$同构于$\mathcal{U}$里的某个集合。$\mathbf{Set}$表所有$\mathcal{U}$里的集合构成的范畴。

设$I$为对$\mathcal{U}$的一个小范畴，所谓归纳系统（或称I-图）系指一个函子$\alpha: I \rightarrow \mathcal{C}$，射影系统则指一函子$\beta: I^{\mathrm{op}} \rightarrow \mathcal{C}$。

形象地说，归纳系统不外是给定$\mathcal{C}$中一族对象$\{X_i : i \in I\}$，对每个态射$i \rightarrow j$都有$\mathcal{C}$中对应的态射$X_i \rightarrow X_j$，且此对应在态射的合成下不变。射影系统对应的态射则反向：$X_i \leftarrow X_j$。

固定一对象$X \in \mathcal{C}$，对任意归纳系统α或射影系统β，可定义从$I^\mathrm{op}$到$\mathbf{Set}$的函子

$$\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(\alpha, X): i \mapsto \mathrm{Hom}(\alpha(i), X)$$

$$\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(X, \beta): i \mapsto \mathrm{Hom}(X, \beta(i))$$

我们将遵循可表函子的哲学，从集合的射影极限出发。暂设$\mathcal{C} = \mathbf{Set}$，$\mathbf{Set}$上的归纳系统不外是$I$上的预层。给定一个归纳系统β，定义：

$$\varprojlim \beta := \{ (x_i) \in \prod_{i \in I} \beta(i) : \forall i,j \in I, s \in \mathrm{Hom}(i,j) \; \beta(s)(x_j) = x_i \}$$

（注意：若$I$是空范畴，对应的射影极限是单元素集合。）

可手工验证下述自然同构：

$$\mathrm{Hom}_\mathbf{Set}(X, \varprojlim \beta) \stackrel{\sim}{\rightarrow} \varprojlim \mathrm{Hom}_\mathbf{Set}(X, \beta)$$

## 若干例子

### 始对象与终对象

令$I$为空范畴，此时的归纳极限与射影极限（若存在）便分别满足泛性质

$$\forall X \in \mathcal{C}, |\mathrm{Hom}(X, \varprojlim \emptyset)| = |\mathrm{Hom}(\varinjlim \emptyset, X)| = 1$$

这不外就是$\mathcal{C}$里的始对象与终对象。

### 纤维积与纤维余积

令$I$为离散范畴（即：其间只有恒等态射），此时归纳及射影系统不外只是一族$\mathcal{C}$的对象$\{ X_i: i \in I \}$，对应的归纳极限及射影极限称作余积（又称上积）与积。

令$I$为范畴$\bullet \longleftarrow \bullet \longrightarrow \bullet$；设$\alpha: I \rightarrow \mathcal{C}$对应于$Y_1 \stackrel{f_1}{\longleftarrow} X \stackrel{f_2}{\longrightarrow} Y_2$。若其归纳极限存在，称之$Y_1, Y_2$对$X$的纤维余积，写作$Y_1 \sqcup_X Y_2$。

对偶地看，对于$\beta: I^\mathrm{op} \rightarrow \mathcal{C}$，对应于$X_1 \stackrel{f_1}{\longrightarrow} Y \stackrel{f_2}{\longleftarrow} X_2$，若其射影极限存在，称之$X_1, X_2$对$Y$的纤维积，写作$X_1 \times_Y X_2$。

纤维积与纤维余积可视为“相对”版本的积与余积。若存在终对象（或始对象），则积（或余积）可视为对该对象的纤维积（或纤维余积）。

### 核与上核

核（kernel）与余核（cokernel，又译上核），有时也称等化子（equalizer）与余等化子（coequalizer）。考虑对应到 $X_0 \overset{f}{\underset{g}{\rightrightarrows} } X_1$ 的归纳或射影系统，此时的归纳极限$\mathrm{Coker}(f,g)$称作上核，射影极限$\mathrm{Ker}(f,g)$称作核。它们的泛性质图解如下：

<image>

在加法范畴中仅须考虑$g=0$的状况，上述概念遂归结为同调代数所探讨的核与余核。

## 性质

### 极限之交换

设$I,J$为小范畴，$\alpha: I \times J \rightarrow \mathcal{C}$为归纳系统，则有自然同构

$$\varinjlim_{i,j} \alpha(i,j) = \varinjlim_i \varinjlim_j \alpha(i,j) = \varinjlim_j \varinjlim_i \alpha(i,j)$$

将箭头反向，对射影系统$\beta: (I \times J)^\mathrm{op} = I^\mathrm{op} \times J^\mathrm{op} \rightarrow \mathcal{C}$亦有自然同构

$$\varprojlim_{i,j} \beta(i,j) = \varprojlim_i \varprojlim_j \beta(i,j) = \varprojlim_j \varprojlim_i \beta(i,j)$$

归纳极限与射影极限通常不交换，一个格外有用的结果是：若$I$是滤通范畴，则$\varinjlim_I$与任意$\varprojlim_J$交换。

### 完备性

若一个范畴内存在任意的（小）射影极限，则称之完备范畴；完备的充要条件是存在任意的积与核。

将箭头反向，遂得到上完备范畴的定义及其充要条件。

### 正合函子

考虑一个函子$F: \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C'}$。

- 若$\mathcal{C}$里存在任意的有限射影极限，且$F$与有限射影极限交换，则称$F$为左正合。
- 若$\mathcal{C}$里存在任意的有限归纳极限，且$F$与有限归纳极限交换，则称$F$为右正合。
- 若上述条件同时被满足，则称$F$为正合。

在阿贝尔范畴中，上述定义回归到同调代数中的定义。

根据极限的泛性质，$\mathrm{Hom}(-,-)$函子无论对哪个变数都是左正合的。

设$(F,G)$是一对伴随函子。若$\mathcal{C}$存在任意有限归纳极限，则$F$右正合；若存在任意有限射影极限，$G$左正合。此法可建立许多函子的正合性。

## 具体实例

### 集合论

- 定义中已构造集合的（小）射影极限。对于任意一个小范畴$I$及归纳系统$\alpha: I \rightarrow \mathbf{Set}$，其归纳极限亦存在，定义为下述商集：

$$\varinjlim \alpha := \dfrac{\coprod_{i \in I} \alpha(i)}{(\exists i_1 \rightarrow \cdots \rightarrow i_n, x \in \alpha(i_1) \mapsto \cdots \mapsto y \in \alpha(i_n)) \Rightarrow (x \sim y)}$$

- 两个集合的纤维积与上积为

$$Y_1 \sqcup_X Y_2 = Y_1 \sqcup Y_2 / \{ f_1(y_1) = f_2(y_2) \Rightarrow x_1 \sim x_2~\}$$

$$X_1 \times_Y X_2 = \{(x_1,x_2) \in X_1 \times X_2 : f(x_1)=f(x_2) \}$$

- 设$f,g: X_0 \rightarrow X_1$，则

$\mathrm{Ker}(f,g) = \{x_0 \in X_0 : f(x_0)=g(x_0) \}$，这是“等化”一词的来由。

$$\mathrm{Coker}(f,g) = X_1 / \{\forall x_0 \in X_0, f(x_0) \sim g(x_0) \}$$

- $\mathbf{Set}$是完备且上完备的。

### 拓扑空间

拓扑空间范畴$\mathbf{Top}$也是完备且上完备的。各种极限构造与集合相同，惟须安上适合的商拓扑或子空间的诱导拓扑。

特别是可以构造一族无穷多个拓扑空间的极限及逆极限，此时相应的拓扑称作始拓扑或终拓扑。此类构造在泛函分析及同伦理论中特别有用。

一个拓扑空间$X$满足豪斯多夫性质的充要条件是$p_1, p_2: X \times X \rightarrow X$的核$\Delta: X \rightarrow X \times X$是闭浸入，将此性质推广到概形上，则得到分离概形。

### 概形

概形范畴$\mathbf{Sch}$（或相对版本$\mathbf{Sch}_{/S}$）有终对象$\mathrm{Spec}\mathbb{Z}$（或$S$），并存在有限的纤维积。

### 抽象代数

阿贝尔群范畴$\mathbf{Ab}$或一个环$R$上的模范畴$\mathbf{Mod}_R$都是完备且上完备的。函子的正合性对应到交换代数里的正合性概念。

射影极限的一个典型例子是p进整数：$\mathbb{Z}_p := \varprojlim_n \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$。

## 文献

- Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490

## 外部链接

- Categories, sites, sheaves and stacks /Pierre Schapira