基尔霍夫电路定律

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基尔霍夫电路定律（Kirchhoff Circuit Laws）简称为基尔霍夫定律，指的是两条电路学定律，基尔霍夫电流定律与基尔霍夫电压定律。它们涉及了电荷的守恒及电势的保守性。1845年，古斯塔夫·基尔霍夫首先提出基尔霍夫电路定律。现在，这定律被广泛地应用于电机工程学。

从马克士威方程组可以推导出基尔霍夫电路定律。但是，基尔霍夫并不是依循这条思路发展，而是从格奥尔格·欧姆的工作成果加以推广得之。

## 基尔霍夫电流定律

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基尔霍夫电流定律又称为基尔霍夫第一定律，表明：

所有进入某节点的电流的总和等于所有离开这节点的电流的总和。

或者，更详细描述。

假设进入某节点的电流为正值，离开这节点的电流为负值，则所有涉及这节点的电流的代数和等于零。

以方程式表达，对于电路的任意节点。

$\sum_{k=1}^n i_k =0$。

其中，$i_k$ 是第 $k$ 个进入或离开这节点的电流，是流过与这节点相连接的第 $k$ 个支路的电流，可以是实数或复数。

由于累积的电荷（单位为库仑）是电流（单位为安培）与时间（单位为秒）的乘积，从电荷守恒定律可以推导出这条定律。其实质是稳恒电流的连续性方程，即根据电荷守恒定律，流向节点的电流之和等于流出节点的电流之和。

### 导引

思考电路的某节点，跟这节点相连接有 $n$ 个支路。假设进入这节点的电流为正值，离开这节点的电流为负值，则经过这节点的总电流 $i$ 等于流过支路 $k$ 的电流 $i_k$ 的代数和：

$i=\sum_{k=1}^n i_k$。

将这方程式积分于时间，可以得到累积于这节点的电荷的方程式：

$q=\sum_{k=1}^n q_k$。

其中，$q=\int_0^t i(t') \mathrm{d}t'$ 是累积于这节点的总电荷，$q_k=\int_0^t i_k(t') \mathrm{d}t'$ 是流过支路 $k$ 的电荷，$t$ 是检验时间，$t'$ 是积分时间变数。

假设 $q>0$，则正电荷会累积于节点；否则，负电荷会累积于节点。根据电荷守恒定律， $q$ 是个常数，不能够随着时间演进而改变。由于这节点是个导体，不能储存任何电荷。所以，$q=0$、$i=0$，基尔霍夫电流定律成立：

$\sum_{k=1}^n i_k =0$。

### 含时电荷密度

从上述推导可以看到，只有当电荷量为常数时，基尔霍夫电流定律才会成立。通常，这不是个问题，因为静电力相斥作用，会阻止任何正电荷或负电荷随时间演进而累积于节点，大多时候，节点的净电荷是零。

不过，电容器的两块导板可能会允许正电荷或负电荷的累积。这是因为电容器的两块导板之间的空隙，会阻止分别累积于两块导板的异性电荷相遇，从而互相抵消。对于这状况，流向其中任何一块导板的电流总和等于电荷累积的速率，而不是零。但是，若将位移电流 $\mathbf{J}_D$ 纳入考虑，则基尔霍夫电流定律依然有效。详尽细节，请参阅条目位移电流。只有当应用基尔霍夫电流定律于电容器内部的导板时，才需要这样思考。若应用于电路分析（circuit analysis）时，电容器可以视为一个整体元件，净电荷是零，所以原先的电流定律仍适用。

由更技术性的层面来说，取散度于马克士威修正的安培定律，然后与高斯定律相结合，即可得到基尔霍夫电流定律：

$\nabla \cdot \mathbf{J} = -\epsilon_0\nabla \cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = -\frac{\partial \rho}{\partial t}$。

其中，$\mathbf{J}$ 是电流密度，$\epsilon_0$ 是电常数，$\mathbf{E}$ 是电场，$\rho$ 是电荷密度。

这是电荷守恒的微分方程式。以积分的形式表述，从封闭表面流出的电流等于在这封闭表面内部的电荷 $Q$ 的流失率：

$\oint_{\mathbb{S}}\mathbf{J}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a} = -\frac{ \mathrm{d} Q}{ \mathrm{d} t}$。

基尔霍夫电流定律等价于电流的散度是零的论述。对于不含时电荷密度 $\rho$，这定律成立。对于含时电荷密度，则必需将位移电流纳入考虑。

### 应用

以矩阵表达的基尔霍夫电流定律是众多电路模拟软件（electronic circuit simulation）的理论基础，例如，SPICE或NI Multisim。

## 基尔霍夫电压定律

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基尔霍夫电压定律又称为基尔霍夫第二定律，表明：

沿着闭合回路所有元件两端的电势差（电压）的代数和等于零。

或者，换句话说。

沿着闭合回路的所有电动势的代数和等于所有电压降的代数和。

以方程式表达，对于电路的任意闭合回路。

$\sum_{k=1}^m v_k = 0$。

其中，$m$ 是这闭合回路的元件数目，$v_k$ 是元件两端的电压，可以是实数或复数。

基尔霍夫电压定律不仅应用于闭合回路，也可以把它推广应用于回路的部分电路。

### 电场与电势

在静电学里，电势定义为电场的负线积分：

$\phi(\mathbf{r})\stackrel{def}{=} - \int_\mathbb{L} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\ell}\,\!$。

其中，$\phi(\mathbf{r})$ 是电势，$\mathbf{E}$ 是电场，$\mathbb{L}$ 是从参考位置到位置 $\mathbf{r}$ 的路径，$\mathrm{d} \boldsymbol{\ell}$ 是这路径的微小线元素。

那么，基尔霍夫电压定律可以等价表达为：

$\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = 0$。

其中，$\mathbb{C}$ 是积分的闭合回路。

这方程式乃是法拉第电磁感应定律对于一个特殊状况的简化版本。假设通过闭合回路 $\mathbb{C}$ 的磁通量为常数，则这方程式成立。

这方程式指明，电场沿着闭合回路 $\mathbb{C}$ 的线积分为零。将这线积分切割为几段支路，就可以分别计算每一段支路的电压。

### 理论限制

由于含时电流会产生含时磁场，通过闭合回路 $\mathbb{C}$ 的磁通量是时间的函数，根据法拉第电磁感应定律，会有电动势 $\mathcal{E}$ 出现于闭合回路 $\mathbb{C}$。所以，电场沿着闭合回路 $\mathbb{C}$ 的线积分不等于零。这是因为电流会将能量传递给磁场；反之亦然，磁场亦会将能量传递给电流。

对于含有电感器的电路，必需将基尔霍夫电压定律加以修正。由于含时电流的作用，电路的每一个电感器都会产生对应的电动势 $\mathcal{E}_k$。必需将这电动势纳入基尔霍夫电压定律，才能求得正确答案。

## 频域

思考单频率交流电路的任意节点，应用基尔霍夫电流定律

$\sum_{k=1}^n i_k =\sum_{k=1}^n I_k\cos(\omega t+\theta_k)=\mathrm{Re}\Big\{\sum_{k=1}^n I_k e^{j(\omega t + \theta_k)} \Big\}=\mathrm{Re}\Big\{\left(\sum_{k=1}^n I_k e^{j\theta_k} \right)e^{j\omega t}\Big\}=0$。

其中，$i_k$ 是第 $k$ 个进入或离开这节点的电流，$I_k$ 是其振幅，$\theta_k$ 是其相位，$\omega$ 是角频率，$t$ 是时间。

对于任意时间，这方程式成立。所以，设定相量 $\mathbb{I}_k=I_k e^{j\theta_k}$，则可以得到频域的基尔霍夫电流定律，以方程式表达。

$\sum_{k=1}^n\mathbb{I}_k =0$。

频域的基尔霍夫电流定律表明：

所有进入或离开节点的电流相量的代数和等于零。

这是节点分析的基础定律。

类似地，对于交流电路的任意闭合回路，频域的基尔霍夫电压定律表明：

沿着闭合回路所有元件两端的电压相量的代数和等于零。

以方程式表达。

$\sum_{k=1}^m \mathbb{V}_k = 0$。

其中，$\mathbb{V}_k$ 是闭合回路的元件两端的电压相量。

这是网目分析（mesh analysis）的基础定律。

## 外部链接

- 麻省理工学院电机工程系视听教学：基尔霍夫定律。
- 国立交通大学物理系视听教学：电子学。
- Kirchhoff's circuit laws on Khan Academy