电荷密度

本条目中，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。

在电磁学里，电荷密度是一种度量，用以描述空间中连续电荷的分布状况。依据讨论电磁模型的维度而定，电荷密度可以是线电荷密度、面电荷密度或体电荷密度。

假设电荷分布于一条曲线或一根直棒子，则其线电荷密度是每单位长度的电荷密度，单位为库仑／米 (coulomb/meter)。假设电荷分布于一个平面或一个物体的表面，则其面电荷密度是每单位面积的电荷密度，单位为库仑／米2。假设电荷分布于一个三维空间的某区域或物体内部，则其体电荷密度是每单位体积的电荷密度，单位为库仑／米3。

由于在大自然里，有两种电荷，正电荷和负电荷，所以，电荷密度可能会是负值。电荷密度也可能会跟位置有关。特别注意，不要将电荷密度与电荷载子密度 (charge carrier density) 搞混了。

电荷密度与电荷载子的体积有关。例如，由于锂阳离子的半径比较小，它的体电荷密度大于钠阳离子的体电荷密度。

## 古典电荷密度

假设，一个体积为 $V$ 的载电体，其电荷密度 $\rho_0$ 是均匀的，跟位置无关，那么，总电荷量 $Q$ 为

$Q=\rho_0 V$。

假设，在某一区域内有 $N$ 个离散的点电荷，像电子。那么，电荷密度可以用狄拉克δ函数来表达为

$\rho(\mathbf{r})=\sum_{i=1}^N\ q_i\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_i)$。

其中， $\mathbf{r}$ 是检验位置，$q_i$ 是位置为 $\mathbf{r}_i$ 的第 $i$ 个点电荷的电量。

## 量子电荷密度

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在量子力学里，类氢原子的中心有一个正电性的原子核，环绕着原子核四周的一个电子的轨域，其电荷密度可以用波函数 $\psi(\mathbf{r})$ 表达为

$\rho(\mathbf{r}) = q\cdot|\psi(\mathbf{r})|^2$。

其中，$q$ 是电子的电荷量。

注意到 $|\psi(\mathbf{r})|^2$ 是找到电子的几率。经过归一化，在全部空间找到电子的几率是

$\int_{all\ space} |\psi(\mathbf{r})|^2 \mathrm{d}^3{r}=1$。

例如，氢原子的波函数 $\psi_{nlm}(\mathbf{r})$ 是

$\psi_{nlm}(\mathbf{r})=R_{nl}(r)Y_l^m(\theta,\,\phi)$。

其中，$R_{nl}$ 是径向函数，$Y_l^m(\theta,\,\phi)$ 是球谐函数，$n$ 是主量子数，$l$ 是角量子数，$m$ 是磁量子数。

## 相对论性电荷密度

从相对论的角度来论述，导线的长度与观察者的移动速度有关，所以电荷密度是一种相对论性观念。安东尼·法兰碁（Anthony French）在他的著作中表明，移动中的电荷密度会产生磁场力，会吸引或排斥其它载流导线。使用闵可夫斯基图，法兰碁阐明，一条中性的载流导线，对于处于移动参考系的观察者而言，为什么会貌似载有净电荷密度。通过时空坐标，研究电磁现象的领域称为相对论性电磁学（relativistic electromagnetism）。

## 电荷守恒的连续方程式

电荷密度与电流密度之间的关系式为：

$\frac{\partial \rho(\mathbf{r},\,t)}{\partial t}+\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{J}(\mathbf{r},\,t) =0$。

其中，$\mathbf{r}$ 是位置，$t$ 是时间，$\mathbf{J}$ 是电流密度。

在电磁理论里，从马克士威方程组，可以推导出电荷守恒的连续方程式。根据加入位移电流项目后的安培定律。

$\nabla \times \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$。

其中，$\mathbf{B}$ 是磁场，$\mathbf{E}$ 是电场，$\mu_0$ 是磁常数，$\epsilon_0$ 是电常数。

取散度于方程式的两边：

$\nabla\cdot(\nabla \times \mathbf{B}) =\mu_0\nabla\cdot\mathbf{J}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf{E})$。

由于旋度的散度等于零，再根据高斯定律，可以得到想要的关系式

$0=\nabla\cdot\mathbf{J}+\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf{E})=\nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}$。

换另外一种比较直觉的推导方法。流入某体积 $\mathbb{V}$ 的净电流为

$I=-\oint_\mathbb{S} \mathbf{J} \cdot \mathrm{d}^2\mathbf{r}$。

其中，$I$ 是电流，$\mathbb{S}$ 是包围体积 $\mathbb{V}$ 的闭曲面，$\mathrm{d}\mathbf{r}^2$ 是微小面向量元素，垂直于 $\mathbb{S}$ 从体积内朝外指出。

应用散度定理，将这方程式写为

$I=-\int_\mathbb{V} \nabla\cdot\mathbf{J}\ \mathrm{d}^3r$。

总电荷量 $Q$ 与体积 $\mathbb{V}$ 内的电荷密度 $\rho$ 的关系为

$Q=\int_\mathbb{V} \rho\ \mathrm{d}^3r$。

电荷守恒要求，流入体积 $\mathbb{V}$ 的净电流，等于体积 $\mathbb{V}$ 内总电荷量 $Q$ 的变率：

$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d} t}=I=\int_\mathbb{V} \frac{\partial \rho}{\partial t}\ \mathrm{d}^3r$。

所以。

$\int_\mathbb{V}\frac{\partial \rho}{\partial t}+\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{J}\ \mathrm{d}^3r=0$。

对于任意体积 $\mathbb{V}$，上述方程式都成立。所以，可以将被积式提取出来：

$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{J} =0$。

## 电势和电场

在一个体积区域 $\mathbb{V}'$ 内，源位置 $\mathbf{r}'$ 的电荷密度为 $\rho(\mathbf{r}')$ 的电荷分布，所产生在场位置 $\mathbf{r}\!$ 的电势为

$\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \mathrm{d}^3{r}'$。

其中，$\mathrm{d}^3{r}'$ 是微小体积元素。

电场 $\mathbf{E}$ 是电势的负梯度：

$\mathbf{E}(\mathbf{r})= - \boldsymbol{\nabla} \phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \rho(\mathbf{r}')\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \mathrm{d}^3{r}'$。

应用向量关系式

$\boldsymbol{\nabla} \cdot \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}=4\pi \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')$。

取散度于电场。

$\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r})= - \nabla^2 \phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \rho(\mathbf{r}')4\pi \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}') \mathrm{d}^3{r}'$。

可以得到高斯定律的微分形式

$\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{\rho(\mathbf{r})}{\epsilon_0}$。

和帕松方程式

$\nabla^2 \phi(\mathbf{r}) = - \frac{\rho(\mathbf{r})}{\epsilon_0}$。

## 参阅

- 拉普拉斯方程式
- 恩绍定理
- 格林互反定理 (Green's reciprocity theorem)