判别式

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判别式是代数学中的概念，它可以推断出一个实系数或复系数多项式的根的属性。

当多项式的系数不是实数或复数域时，同样有判别式的概念。判别式总是系数域中的元素。这时，判别式为零当且仅当多项式在它的分裂域中有重根。判别式的通常形式为：

$$a_n^{2n-2}\prod_{i<j}{(r_i-r_j)^2}$$

其中的$a_n$是多项式的最高次项系数，$r_1, ..., r_n$是多项式在某个分裂域中的根（如有重根的按重数重复排列）。

判别式的概念也被推广到了多项式以外的其它代数结构，比如说圆锥曲线、二次型和代数数域中。在代数数论中，判别式与所谓的“分歧”的概念紧密相关。实际上，愈为几何的分歧类型对应着愈为抽象的判别式类型，因此在许多方面判别式都是一个中心概念。判别式在本质上表现为相应行列式的计算。

## 定义

### 二次方程的判别式

最简单的判别式情形出现在二次多项式方程的求解中。假设有二次多项式方程$ax^2+bx+c\,$，其中系数$a,b,c$为实数，则它的判别式定义为：

$$\Delta=b^2-4ac\,$$

判别式也是一个实数。如果设方程的两个根为$r_1$和$r_2$，那么根据二次方程的求根公式，两个根可以表示为：

$$r_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad \; \; r_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}.$$

方程的根与判别式的关系为：

$$\Delta = a^2 (r_1- r_2)^2.$$

两个根都是实数，当且仅当判别式大于等于零。当且仅当两根相等时，判别式等于零。如果判别式小于零，则两根是共轭的复数。

### 三次方程的判别式

- 一般三次多项式$ax^3+bx^2+cx+d\,$的判别式是

$$\Delta=b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\,$$

- 首项为一元，二次项系数为零的三次方程$x^3+px+q\,$的判别式是：

$$\Delta=-4p^3-27q^2\,$$

### 四次方程的判别式

- 四次多项式$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\,$的判别式是：

$$\begin{align}\Delta =&b^2c^2d^2-4b^3d^3-4ac^3d^2+18abcd^3\\ &-27a^2d^4+256a^3e^3-4b^2c^3e+18b^3cde\\ &+16ac^4e-80abc^2de-6ab^2d^2e+144a^2cd^2e\\ &-27b^4e^2+144ab^2ce^2-128a^2c^2e^2-192a^2bde^2 \,\end{align}$$

## 二次判别式

二次多项式$P(x)=ax^2+bx+c\,$的判别式是$D=b^2-4ac\,$。在一元二次方程的求解中，判别式用来判断方程根的情况，并出现在根的表达式中。

- 如果$D>0\,$，那么$P(x)\,$有两个相异实根$x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$，即$P(x)\,$的图像穿过$x\,$轴两次。
- 如果$D=0\,$，那么$P(x)\,$有两个相等实根$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\,$，$P(x)\,$的图像与$x\,$轴相切。
- 如果$D<0\,$，那么$P(x)\,$没有实根，即$P(x)\,$的图像与$x\,$轴没有交点。

## 一般多项式的判别式

对于一般的一个多项式

$p(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_1 x+a_0$。

其判别式等于（差一个系数）以下的$(2n-1)\times(2n-1)\,$的矩阵的行列式（见西尔维斯特矩阵）：

$$\left[\begin{matrix} <pre> & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & 0 \ldots & \ldots & 0 \\ & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & 0 \ldots & 0 \\ & \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\ & 0 & \ldots\ & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 \\ & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & a_1 & 0 & \ldots &\ldots & 0 \\ & 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & a_1 & 0 & \ldots & 0 \\ & \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\ & 0 & 0 & \ldots & 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2}& \ldots\ & a_1 \\ </pre> \end{matrix}\right].$$

这个矩阵的行列式称为$p(x)\,$和$p'(x)\,$的结式，记为$R(p,p')\,$。$p(x)\,$的判别式$D(p)\,$由以下公式给出：

$D(p)=(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}\frac{1}{a_n}R(p,p')\,$.

例如，在$n= 4\,$的情况下，以上的行列式是：

$$\begin{vmatrix} <pre> & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 & 0 \\ & 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 \\ & 0 & 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 & 0 \\ & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 \\ & 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1& 0 \\ & 0 & 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 \\ </pre> \end{vmatrix}$$

这个四次多项式的判别式就是这个行列式除以$a_4\,$。

作为等价条件，多项式的判别式等于：

$$a_n^{2n-2}\prod_{i<j}{(r_i-r_j)^2}$$

其中$r_1,\cdots,r_n\,$是多项式$p(x)\,$的复根（重根按重数计算）：

$$\begin{matrix}p(x)&=&a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0\\ &=&a_n(x-r_1)(x-r_2)\ldots (x-r_n)\end{matrix}$$

在这个表达式中可以清楚地看到$p\,$有重根当且仅当判别式为零。

多项式的判别式可以在任意的域中定义，定义方式一样。带有根$r_i\,$的表达式仍然有效，只是根要在系数域的某个分裂域中取。

## 圆锥曲线的判别式

对于以下多项式所定义的圆锥曲线：

$$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$$

它的判别式为：

$$b^2-4ac$$

它决定了圆锥曲线的形状。如果判别式小于0，则是椭圆或圆。如果判别式等于0，则是一条抛物线。如果大于0，则是双曲线。这个公式不适用于退化的情形（当这个多项式可以因式分解时）。

## 二次型的判别式

判别式的概念可以推广到任意特征不为2的域$K$上的二次型$Q$上。一个化简后的二次型可以表示为一系列的平方和：

$$Q = \sum_{i=1}^k a_{i} L_{i}^2$$

其中$L_i$是$n$个变量的线性组合。这时可以定义$Q$的判别式为所有$a_i$的乘积。另外一个定义是$Q$所对应的矩阵的行列式。