算符

在物理学领域里，算符（operator）亦称算子、运算子，其作用于物理系统的状态空间，使得物理系统从某种状态变换为另外一种状态。物理学的算符，有别于数学的算子，尽管两者英语相同。物理系统的变换可能相当复杂，需要用很多方程式来表明，假若能够使用算符来代表，可以更为简单扼要地表达论述。

对于很多案例，假若作用的对象有所迥异，算符的物理行为也会不同；但是，对于有些案例，算符的物理行为具有一般性，这时，就可以将论题抽象化，专注于研究算符的物理行为，不必顾虑到状态的独特性。这方法比较适用于一些像对称性或守恒定律的论题。因此，在经典力学里，算符是很有用的工具。在量子力学里，算符为理论表述不可或缺的要素。

对于更深奥的理论研究，可能会遇到很艰难的数学问题，算符理论（operator theory）能够提供高功能的架构，使得数学推导更为简洁精致、易读易懂，更能展现出内中物理涵意。

一般而言，在经典力学里的算符大多作用于函数，这些函数的参数为各种各样的物理量，算符将某函数映射为另一种函数。这种算符称为“函数算符”。在量子力学里的算符称为“量子算符”，作用的对象是量子态。量子算符将某量子态映射为另一种量子态。

## 经典力学

在经典力学里，粒子（或一群粒子）的动力行为是由拉格朗日量$\mathcal{L}(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)$或哈密顿量$\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p})$决定；其中，$\mathbf{q}=(q_1,q_2,q_3,\dots,q_n)$、$\dot{\mathbf{q}}=(\dot{q_1},\dot{q_2},\dot{q_3},\dots,\dot{q}_n)$分别是广义坐标、广义速度，$\mathbf{p} =(p_1,p_2,p_3,\dots,p_n)= \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\mathbf{q}}}$是共轭动量，$t$是时间。

假设拉格朗日量$\mathcal{L}$或哈密顿量$\mathcal{H}$与某广义坐标$q_i$无关，则当$q_i$有所改变时，$\mathcal{L}$或$\mathcal{H}$仍旧会保持不变，这意味着粒子的动力行为也会保持不变，对应于$q_i$的共轭动量$p_i$守恒。对于广义坐标$q_i$的改变，动力行为所具有的不变性是一种对称性。在经典力学里，当研读有关对称性的课题时，算符是很有用的工具。

特别而言，假设对于某种群$G$的变换运算，物理系统的哈密顿量是个不变量；也就是说，假设$S\in G$。

$S\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p})=\mathcal{H}(\mathbf{q}',\ \mathbf{p}')=\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p})$。

在这案例里，所有$G$的元素$S$都是物理算符，能够将物理系统从某种状态变换为另一种状态；尽管$S$作用于这物理系统，哈密顿量守恒不变。

举一个关于平移于空间的简单例子。“平移算符”$T_a$能够将粒子从坐标为$q_i$移动至坐标为$q_i+a$，以方程式表示：

$T_a f(q_i)=f(q_i-a)$。

其中，$f(q_i)$是描述一群粒子的密度函数。

给定一个对于平移变换具有不变性的物理系统，则尽管$T_a$的作用，这物理系统的哈密顿量$\mathcal{H}$是个不变量，对应于坐标$q_i$的动量$p_i$守恒。

### 经典力学算符表格

算符｜标记｜位置｜动量

平移算符｜$T(\mathbf{\Delta \mathbf{r}})$｜$\mathbf{r}\rightarrow \mathbf{r} +\Delta \mathbf{r}$｜$\mathbf{p}\rightarrow \mathbf{p}$

时间演化算符｜$U(\Delta t)$｜$\mathbf{r}(t)\rightarrow \mathbf{r}(t+\Delta t)$｜$\mathbf{p}(t)\rightarrow \mathbf{p}(t+\Delta t)$

旋转算符｜$R(\mathbf{\hat{n}},\theta)$｜$\mathbf{r}\rightarrow R(\mathbf{\hat{n}},\theta)\mathbf{r}$｜$\mathbf{p}\rightarrow R(\mathbf{\hat{n}},\theta)\mathbf{p}$

伽利略变换算符｜$G(\mathbf{v})$｜$\mathbf{r}\rightarrow \mathbf{r} + \mathbf{v}t$｜$\mathbf{p}\rightarrow \mathbf{p} + m\mathbf{v}$

宇称算符｜$P$｜$\mathbf{r}\rightarrow -\mathbf{r}$｜$\mathbf{p}\rightarrow -\mathbf{p}$

时间反演算符｜$\Theta$｜$\mathbf{r}\rightarrow \mathbf{r}(-t)$｜$\mathbf{p}\rightarrow -\mathbf{p}(-t)$

- $R(\hat{\mathbf{n}},\theta)$是旋转矩阵，$\hat{\mathbf{n}}$是旋转轴向量，$\theta$是旋转角弧。

### 生成元概念

对于一个微小的平移变换，猜测平移算符的形式为

$T_{\epsilon}\approx I+\epsilon A$。

其中，$I$是“单位算符”──变换群的单位元，$\epsilon$是微小参数，$A$是专门用来设定平移变换群的生成元。

为了简化论述，只考虑一维案例，推导平移于一维空间的生成元。将平移算符$T_\epsilon$作用于函数$f(x)$：

$T_\epsilon f(x)=f(x - \epsilon)$。

由于$\epsilon$很微小，可以泰勒近似$f(x- \epsilon)$为

$T_\epsilon f(x)=f(x-\epsilon)\approx f(x) - \epsilon f'(x)$。

重写平移算符的方程式为

$T_\epsilon f(x) = (I-\epsilon \mathrm{D}) f(x)$。

其中，导数算符$\mathrm{D}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$是平移群的生成元。

总结，平移群的生成元是导数算符。

### 指数映射

在正常状况下，通过指数映射，可以从生成元得到整个群。对于平移于空间这案例，重复地做$N$次微小平移变换$T_{a/N}$，来代替一个有限值为$a$的平移变换$T_a$：

$T_a f(x)=T_{a/N} \cdots T_{a/N}\ f(x)$。

现在，让$N$变得无穷大，则因子$a/N$趋于无穷小：

$T_a f(x)=\lim_{N\to\infty} T_{a/N} \cdots T_{a/N} f(x)= \lim_{N\to\infty} (I -(a/N)\mathrm{D})^N f(x)$。

这表达式的极限为指数函数：

$T_a f(x)= e^{-a\mathrm{D}} f(x)$。

核对这结果的正确性，将指数函数泰勒展开为幂级数：

$T_a f(x) = \left(I - a\mathrm{D} + {a^2\mathrm{D}^2\over 2!} - {a^3\mathrm{D}^3\over 3!} + \cdots \right) f(x)$。

这方程式的右手边可以重写为

$f(x) - a f'(x) + {a^2\over 2!} f''(x) - {a^3\over 3!} f'''(x) + \cdots$。

这正是$f(x-a)$的泰勒级数，也是$T_a f(x)$的原本表达式结果。

物理算符的数学性质是很重要的研读论题。更多相关内容，请参阅条目C*-代数与盖尔范德-奈马克定理（Gelfand-Naimark theorem）。

## 量子力学

在量子力学里，算符的功能被发挥得淋漓尽致。量子力学的数学表述建立于算符的概念。量子系统的量子态可以用态向量设定，态向量是向量空间的单位范数向量。在向量空间内，量子算符作用于量子态，使它变换成另一个量子态。由于物体的态向量范数应该保持不变，量子算符必须是厄米算符。假若变换前的量子态与变换后的量子态，除了乘法数值以外，两个量子态相同，则称此量子态为本征态，称此乘法数值为本征值。

物理实验中可以观测到的物理量称为可观察量。每一个可观察量，都有其对应的算符。可观察量的算符也许会有很多本征值与本征态。根据统计诠释，每一次测量的结果只能是其中的一个本征值，而且，测得这本征值的机会呈几率性，量子系统的量子态也会改变为对应于本征值的本征态。

### 量子算符

假设，物理量$O$是某量子系统的可观察量，其对应的量子算符$\hat{O}$可能有很多不同的本征值$O_i$与对应的本征态$|e_i\rang$，这些本征态$|e_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$，形成了具有正交归一性的基底：

$\lang e_i |e_j\rang=\delta_{ij}$。

其中，$\delta_{ij}$是克罗内克函数。

假设，某量子系统的量子态为

$|\psi\rang=\sum_i \ c_i|e_i\rang$。

其中，$c_i=\lang e_i |\psi \rang$是复系数，是在$|e_i\rang$里找到$|\psi\rangle$的几率幅。

测量这动作将量子态$|\psi\rang$改变为本征态$|e_i\rang$的几率为$p_i=|c_i|^2$，测量结果是本征值$O_i$的几率也为$p_i$。

### 期望值

在量子力学里，重复地做同样实验，通常会得到不同的测量结果，期望值是理论平均值，可以用来预测测量结果的统计平均值。

采用狄拉克标记，对于量子系统的量子态$|\psi\rang$，可观察量$O$的期望值$\lang O\rang$定义为

$\lang O \rang\ \stackrel{def}{=}\ \lang \psi |\hat{O} | \psi \rang$。

其中，$\hat{O}$是对应于可观察量$O$的算符。

将算符$\hat{O}$作用于量子态$|\psi\rang$，会形成新量子态$|\phi\rang$：

$|\phi\rang=\hat{O}|\psi\rang=\sum_i \ c_i\hat{O}| e_i\rang=\sum_i \ c_i O_i| e_i\rang$。

从左边乘以量子态$\lang\psi|$，经过一番运算，可以得到

$\lang\psi|\phi\rang =\lang\psi|\hat{O}|\psi\rang=\sum_i \ c_i O_i\lang\psi| e_i\rang=\sum_i\ |c_i|^2O_i =\sum_i\ p_iO_i$。

所以，每一个本征值与其几率的乘积，所有乘积的代数和，就是可观察量$O$的期望值：

$\lang O\rang=\sum_i\ p_iO_i$。

将上述定义式加以推广，就可以用来计算任意函数$F(O)$的期望值：

$\langle F( O ) \rangle = \lang \psi | F( \hat{O} ) | \psi \rang$。

例如，$F( \hat{O} )$可以是$\hat{O}^2$，即重复施加算符$\hat{O}$两次：

$\lang O^2 \rang= \lang\psi \vert \hat{O}^2 \vert \psi \rang$。

### 对易算符

假设两种可观察量$A$、$B$的算符分别为$\hat{A}$、$\hat{B}$，它们的对易算符定义为

$[\hat{A},\hat{B}]\ \stackrel{def}{=}\ \hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$。

对易算符是由两种算符组合而成的复合算符，当作用于量子态$|\psi\rang$时，会给出

$[\hat{A},\hat{B}]|\psi\rang=\hat{A}\hat{B}|\psi\rang-\hat{B}\hat{A}|\psi\rang$。

假设$[\hat{A},\hat{B}]=0$，则称这两种可观察量为“相容可观察量”，否则，$[\hat{A},\hat{B}]\ne 0$，称这两种可观察量为“不相容可观察量”。

假设两种可观察量为不相容可观察量，则由于不确定原理，绝无法制备出这两种可观察量在任意精确度内的量子系统。注意到这是一个关于制备方面的问题，不是一个关于测量方面的问题。假若精心设计测量实验，装备足够优良的测量仪器，则对于某些量子系统，测量这两种可观察量至任意精确度是很容易达成的任务。

### 厄米算符

每一种经过测量而得到的物理量都是实值，因此，可观察量$O$的期望值是实值：

$\lang O\rang=\lang O\rang^*$。

对于任意量子态$|\psi\rang$，这关系都成立：

$\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang=\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang^*$。

根据伴随算符的定义，假设$\hat{O}^{\dagger}$是$\hat{O}$的伴随算符，则$\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang^*=\lang\psi |\hat{O}^{\dagger}|\psi\rang$。因此。

$\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}$。

这正是厄米算符的定义。所以，表现可观察量的算符，都是厄米算符。

### 矩阵力学

应用基底的完备性，添加单位算符$\hat{I}=\sum_{i}|e_i\rang\lang e_i|$于算符$\hat{O}$的两旁，可以得到

$\hat{O}=\sum_{i,j}|e_i\rang\lang e_i|\hat{O}|e_j\rang\lang e_j|=\sum_{ij}O_{i,j}|e_i\rang\lang e_j|$。

其中，$O_{ij}=\lang e_i|\hat{O}|e_j\rang$是求和式内每一个项目的系数。

所以，量子算符可以用矩阵形式来代表：

$\hat{O}\ \stackrel{rep}{=}\ \begin{pmatrix} O_{11} & O_{12} & \cdots & O_{1n} \\ O_{21} & O_{22} & \cdots & O_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O_{n1} & O_{n2} & \cdots & O_{nn} \\ \end{pmatrix}$。

算符$\hat{O}$与它的伴随算符$\hat{O}^{\dagger}$彼此之间的关系为

$\lang e_i|\hat{O}|e_j\rang=\lang e_j|\hat{O}^{\dagger}|e_i\rang^*$。

所以，分别代表这两个算符的两个矩阵，彼此是对方的转置共轭。对于厄米算符，代表的矩阵是个实值的对称矩阵。

用矩阵代数来计算算符$\hat{O}$怎样作用于量子态$|\psi\rang$，假设系统因此变换为量子态$|\phi\rang$：

$|\phi\rang=\hat{O}|\psi\rang$。

从左边乘以本征态$\lang e_i|$，应用基底的完备性，添加单位算符$\hat{I}$于算符的右边，可以得到

$\lang e_i|\phi\rang= \lang e_i|\hat{O}|\psi\rang=\sum_j \lang e_i|\hat{O}|e_j\rang\lang e_j|\psi\rang=\sum_{ij}O_{ij}\lang e_j|\psi\rang$。

右矢$|\phi\rang$、$|\psi\rang$分别用竖矩阵来代表

$|\phi\rang\ \stackrel{rep}{=}\ \begin{pmatrix} \lang e_1|\phi\rang \\ \lang e_2|\phi\rang \\ \vdots \\ \lang e_n|\phi\rang \\ \end{pmatrix}$、 $|\psi\rang\ \stackrel{rep}{=}\ \begin{pmatrix} \lang e_1|\psi\rang \\ \lang e_2|\psi\rang \\ \vdots \\ \lang e_n|\psi\rang \\ \end{pmatrix}$。

两个竖矩阵彼此之间的关系为

$\begin{pmatrix} \lang e_1|\phi\rang \\ \lang e_2|\phi\rang \\ \vdots \\ \lang e_n|\phi\rang \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} O_{11} & O_{12} & \cdots & O_{1n} \\ O_{21} & O_{22} & \cdots & O_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O_{n1} & O_{n2} & \cdots & O_{nn} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lang e_1|\psi\rang \\ \lang e_2|\psi\rang \\ \vdots \\ \lang e_n|\psi\rang \\ \end{pmatrix}$。

假设算符$\hat{O}$是厄米算符，则其所有本征态都相互正交。以矩阵来代表算符，可以计算出一组本征值与对应的本征态，每一次做测量会得到的结果只能是这一组本征值中之一。由于本征态的正交性质，可以找到一组基底来表示每一种量子态。解析方块矩阵的特征多项式，就可以找到本征值$\lambda$：

$\det\left ( \hat{O} - \lambda\hat{I} \right ) = 0$。

### 量子算符表格

在这表格里，算符的表现空间是位置空间。假若表现空间是其它种空间，则表示出的方程式会不一样。在英文字母上方的尖角号表示整个符号代表的是个量子算符，不是单位向量。

算符名称｜直角坐标系分量表示｜向量表示

位置算符｜$\begin{align} \hat{x} = x \\ \hat{y} = y \\ \hat{z} = z \end{align}$｜$\mathbf{\hat{r}} = \mathbf{r}$

动量算符｜一般状况 $\begin{align} \hat{p}_x & = -i \hbar \frac{\partial }{\partial x} \\ \hat{p}_y & = -i \hbar \frac{\partial }{\partial y} \\ \hat{p}_z & = -i \hbar \frac{\partial }{\partial z} \end{align}$｜一般状况 $\mathbf{\hat{p}} = -i \hbar \nabla$

电磁场 $\begin{align} \hat{p}_x = -i \hbar \frac{\partial }{\partial x} - qA_x \\ \hat{p}_y = -i \hbar \frac{\partial }{\partial y} - qA_y \\ \hat{p}_z = -i \hbar \frac{\partial }{\partial z} - qA_z \end{align}$｜电磁场（$\mathbf{A}$是磁向量势） $\mathbf{\hat{p}} = -i \hbar \nabla - q\mathbf{A}$

动能算符｜平移运动 $\begin{align} \hat{T}_x & = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2} \\ \hat{T}_y & = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial y^2} \\ \hat{T}_z & = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial z^2} \\ \end{align}$｜平移运动 $\begin{align} \hat{T} & = \hat{T}_x+ \hat{T}_y+ \hat{T}_z \\ & = \frac{-\hbar^2 }{2m}\nabla^2 \\ \end{align}$

电磁场 $\begin{align} \hat{T}_x & = \frac{1}{2m}\left(-i \hbar \frac{\partial }{\partial x } - q A_x \right)^2 \\ \hat{T}_y & = \frac{1}{2m}\left(-i \hbar \frac{\partial }{\partial y} - q A_y \right)^2 \\ \hat{T}_z & = \frac{1}{2m}\left(-i \hbar \frac{\partial }{\partial z} - q A_z \right)^2 \end{align}$｜电磁场（$\mathbf{A}$是磁向量势） $\begin{align} \hat{T} & = \frac{\mathbf{\hat{p}}\cdot\mathbf{\hat{p}}}{2m} \\ & = \frac{1}{2m}(-i \hbar \nabla - q\mathbf{A})\cdot(-i \hbar \nabla - q\mathbf{A}) \\ & = \frac{1}{2m}(-i \hbar \nabla - q\mathbf{A})^2 \end{align}$

旋转运动（$I$是转动惯量） $\begin{align} \hat{T}_{xx} & = \frac{\hat{J}_x^2}{2I_{xx}} \\ \hat{T}_{yy} & = \frac{\hat{J}_y^2}{2I_{yy}} \\ \hat{T}_{zz} & = \frac{\hat{J}_z^2}{2I_{zz}} \\ \end{align}$｜旋转运动 $\hat{T} = \frac{\mathbf{\hat{J}}\cdot\mathbf{\hat{J}}}{2I}$

势能算符｜N/A｜$\hat{V} = V\left ( \mathbf{r}, t \right )$

总能量算符｜N/A｜含时位势： $\hat{E} = i \hbar \frac{\partial }{\partial t}$ 不含时位势： $\hat{E} = E$

哈密顿算符｜N/A｜$\begin{align} \hat{H} & = \hat{T} + \hat{V} \\ & = \frac{\mathbf{\hat{p}}\cdot\mathbf{\hat{p}}}{2m} + V \\ & = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V \\ \end{align}$

角动量算符｜$\begin{align} \hat{L}_x & = -i\hbar \left(y {\partial\over \partial z} - z {\partial\over \partial y}\right)\\ \hat{L}_y & = -i\hbar \left(z {\partial\over \partial x} - x {\partial\over \partial z}\right)\\ \hat{L}_z & = -i\hbar \left(x {\partial\over \partial y} - y {\partial\over \partial x}\right) \end{align}$｜$\mathbf{\hat{L}} = -i\hbar \mathbf{r} \times \nabla$

自旋算符｜$\begin{align}\hat{S}_x = {\hbar \over 2} \sigma_x\\ \hat{S}_y = {\hbar \over 2} \sigma_y\\ \hat{S}_z = {\hbar \over 2} \sigma_z \end{align}$ 其中， $\sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}$ $\sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}$ $\sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}$ 是自旋1/2粒子的包立矩阵。｜$\mathbf{\hat{S}} = {\hbar \over 2} \boldsymbol{\sigma}$ 其中，向量$\boldsymbol{\sigma}$的分量是包立矩阵。

总角动量算符｜$\begin{align} \hat{J}_x & = \hat{L}_x + \hat{S}_x\\ \hat{J}_y & = \hat{L}_y + \hat{S}_y\\ \hat{J}_z & = \hat{L}_z + \hat{S}_z \end{align}$｜$\begin{align} \mathbf{\hat{J}} & = \mathbf{\hat{L}}+\mathbf{\hat{S}} \\ & = -i\hbar \mathbf{r}\times\nabla + \frac{\hbar}{2}\boldsymbol{\sigma} \end{align}$

跃迁矩（电）（transition moment）｜$\begin{align} \hat{d}_x & = qx\\ \hat{d}_y & = qy\\ \hat{d}_z & = qz \end{align}$｜$\mathbf{\hat{d}} = q \mathbf{r}$

### 范例

#### 位置算符

只思考一维问题，将位置算符$\hat{x}$施加于位置本征态$|x\rang$，可以得到本征值$x$，即粒子的位置：

$\hat{x}|x\rang=x|x\rang$。

由于位置基底具有完整性，$\hat{I}=\int_{ - \infty}^{\infty}\ | x\rang\lang x|\mathrm{d}x$，任意量子态$|\psi\rang$可以按着位置本征态形成的基底展开：

$|\psi\rang=\int_{ - \infty}^{\infty}\ |x\rang\lang x|\psi\rang \mathrm{d}x$。

将位置算符$\hat{x}$施加于量子态$|\psi\rang$，由于算符$\hat{x}$只作用于右矢$|x\rang$，与其它数学个体无关，可以移入积分式内：

$\hat{x}|\psi\rang=\hat{x}\int_{ - \infty}^{\infty}\ |x\rang\lang x|\psi\rang\mathrm{d}x =\int_{ - \infty}^{\infty}\ \hat{x}|x\rang\lang x|\psi\rang \mathrm{d}x =\int_{ - \infty}^{\infty}\ x|x\rang\lang x|\psi\rang \mathrm{d}x$。

左矢$\lang\psi|$与这方程式的内积为

$\lang\psi|\hat{x}|\psi\rang =\int_{ - \infty}^{\infty}\ x\lang\psi|x\rang\lang x|\psi\rang \mathrm{d}x$。

设定量子态$|\alpha\rang=\hat{x}|\psi\rang$。由于位置基底具有完整性，$\hat{I}=\int_{ - \infty}^{\infty}\ | x\rang\lang x|\mathrm{d}x$，量子态$\lang\psi|$与$|\alpha\rang$的内积，可以按着位置本征态形成的基底展开为

$\lang\psi|\alpha\rang=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \lang \psi| x\rang\lang x|\alpha\rang\mathrm{d}x=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \lang \psi| x\rang\lang x|\hat{x}|\psi\rang\mathrm{d}x$。

将这两个积分式加以比较，立刻可以辨识出全等式

$\lang x|\hat{x}|\psi\rang=x\lang x|\psi\rang$。

设定量子态$|\Psi\rang=\hat{x}|\psi \rang$。量子态$|\Psi\rang$、$|\psi\rang$的位置空间表现，即波函数，分别定义为

$\Psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ \lang x|\Psi\rang$。

$\psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ \lang x|\psi\rang$。

两个波函数$\Psi(x)$、$\psi(x)$之间的关系为

$\Psi(x)=x\psi(x)$。

总结，位置算符$\hat{x}$作用于量子态$|\psi\rang$的结果$|\Psi\rang$，表现于位置空间，等价于波函数$\psi(x)$与$x$的乘积$\Psi(x)$。

#### 动量算符

表现于位置空间，一维动量算符为

$\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}$。

将动量算符$\hat{p}$施加于量子态$|\psi\rang$，可以得到类似前一节得到的结果：

$\lang x|\hat{p}|\psi\rang= -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\lang x|\psi\rang$。

应用位置基底所具有的完整性，对于任意量子态$|\phi\rang$，可以得到更广义的结果：

$\begin{align}\lang \phi|\hat{p}|\psi\rang & =\int_{ - \infty}^{\infty}\ \lang \phi| x\rang\lang x|\hat{p}|\psi\rang\mathrm{d}x \\ <pre> & =\int_{ - \infty}^{\infty}\ \lang \phi| x\rang\left( -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\right)\lang x|\psi\rang\mathrm{d}x \\ & =\int_{ - \infty}^{\infty}\ \phi^*(x)\left( -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\right)\psi(x)\mathrm{d}x \\ </pre> \end{align}$。

其中，$\phi(x)=\lang x|\phi\rang$、$\psi(x)=\lang x|\psi\rang$分别是量子态$|\phi\rang$、$|\psi\rang$表现于位置空间的波函数。

假设$|\psi\rang$是$\hat{p}$的本征态，本征值为$p$，则可得到

$\lang x|\hat{p}|\psi\rang=p\lang x|\psi\rang = -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\lang x|\psi\rang$。

将$|\psi\rang$改写为本征值为$p$的本征态$|p\rang$，方程式改写为

$-i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\lang x|p\rang =p\lang x|p\rang$。

这微分方程式的解析解为

$\lang x|p\rang=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{ipx/\hbar}$。

所以，动量本征态的波函数是一个平面波。不需要应用薛定谔方程式，就可以推导求得这出结果。

## 参阅

- 有界算符
- 表示论
- 算子