奇点解消

在代数几何学中，奇点解消问题探讨代数簇是否有非奇异的模型（即：与之双有理等价的非奇异代数簇）。在特征为零的域上，广中平祐已给出肯定答案，至于正特征的域，四维以上的情形至今（2007年）未解。

## 定义

对于一个域 $k$ 上的代数簇 $X$，若能找到一个完备非奇异代数簇与之双有理等价（换言之：有相同的函数域），则称 $X$ 有弱奇点解消。在实践上常会要求更容易运用的条件：若存在非奇异代数簇 $X'$ 及真双有理态射 $X' \to X$，使之在 $X$ 的奇点集 $\mathrm{Sing}(X)$ 之外为同构，则称 $X$ 有奇点解消。真态射的条件意在排除平凡解，例如 $X' = X \setminus \mathrm{Sing}(X) \hookrightarrow X$。

一般而言，设 $X \hookrightarrow W$，其中 $W$ 是非奇异代数簇，此时一个实用的概念是 $X$ 在 $W$ 中的强奇点解消：这是一个真双有理态射 $f: W' \to W$，满足下述条件：

- $W' \to W$ 由一系列对非奇异闭子簇的拉开合成，每一步取的闭子簇都横截已拉开的例外除数。
- $X$ 的严格变换 $X'$ 是非奇异的，并与横截拉开的例外除数；于是限制态射 $X' \to X$ 是 $X$ 的奇点解消。
- $W'$ 的构造对平滑态射具函子性。
- 态射 $X' \to X$ 与 $X$ 在 $W$ 中的嵌入方式无关。

广中平祐证明了：当域 $k$ 的特征为零，则存在满足前两个条件的强奇点解消。他的建构后经多位数学家改进，以满足全部四个条件。

## 简史

代数曲线的奇点解消较容易，在19世纪已广为人知。证明方法不一：最常见的两种是相继拉开奇点，或取曲线的正规化。正规化消解的是所有余维度为一的奇点，因此仅适用于曲线。

复代数曲面的奇点解消先后由 Beppo Levi（1899年）、O. Chisini（1921年）与 G. Albanese（1924年）给出非正式的说明。第一个严谨证明由 Robert J. Walker 于1935年给出。对所有零特征域均成立的代数证明由扎里斯基于1939年给出。S. S. Abhyankar 证明正特征域上的情形（1956年）。所有二维优概形（包括所有算术曲面）的奇点解消由 Lipman 在1978年证出。

消解曲面奇点的通常办法是不断将曲面正规化（以消去余维为一的奇点）并拉开奇点（以改善余维为二的奇点，但是可能会增加新的余维一的奇点）。

对于三维情形，零特征域上首先由扎里斯基证明（1944年）；域特征超过 5 的情形由 S. S. Abhyankar 于1966年证明。

零特征域上任意维度的奇点消解首先由广中平祐于1964年证出。他证明可以借着相继对非奇异闭子流形作拉开以消去奇点，其证明中对维度作了相当复杂的数学归纳法。简化版的证明之后由许多数学家给出，包括 Bierstone 与 Milman（1997年），Encinas 与 Villamayor（1998年），Encinas 与 Hauser（2002年）、Cutkosky（2004年），Wlodarczyk（2005年）及 Kollar（2007年）。某些晚近证明的长度还不及广中平祐证明的十分之一，并简单到可以在研究所导论课程中给出。关于该定理的介绍，详阅文献中 Hauser 的著作（2003），历史讨论请见 Hauser（2000）。

A. J. de Jong 在1996年提出奇点解消的另种进路，这套进路被 Bogomolov 与 Pantev（1996年）及 Abramovich 与 de Jong（1997年）用于证明零特征域上的奇点解消。De Jong 的方法对正特征域上的代数簇给出较弱的结果，然而已足以替代奇点解消的许多角色。

De Jong 证明对任意域上的代数簇 $X$，存在满的真态射 $X' \to X$，使得 $\dim X' = \dim X$ 且 $X'$ 非奇异。这不一定是双有理等价，$X'$ 的函数域可能是有限扩张，故非奇点解消。De Jong 的想法是尝试将 $X$ 表为一个较小空间 $Y$ 上的纤维化映射，使得纤维均为曲线（为此可能需要修改 $X$），然后借着对维度作数学归纳法消去 $Y$ 的奇点，最后消去纤维上的奇点。

## 概形的情形

奇点解消的定义容易推广到所有概形。并非所有概形都有奇点解消：格罗滕迪克（1965, EGA IV 7.9）证明了如果在一个局部诺特概形 $X$ 上有限的所有整概形都有奇点解消，则 $X$ 必然是拟优概形。格罗滕迪克猜测其逆为真，换言之：如果一个局部诺特概形 $X$ 是拟优且既约的，则可以消解奇点。当 $X$ 定义于一个零特征的域上时，此陈述能由广中平祐的定理导出；一般情形则化约到整完备局部环的奇点解消问题。

## 外部链接

- 一些奇点及其解消之 图片
- SINGULAR: 一套能处理奇点解消的软件
- 2006年6月的暑期学校 Resolution of Singularities (Trieste, Italy) 的 讲义
- desing 另一套处理奇点解消的软件

## 文献

- Abhyankar, Shreeram Local uniformization on algebraic surfaces over ground fields of characteristic p≠0 Ann. of Math. (2) 63 (1956), 491--526.
- S.S. Abhyankar, Resolution of singularities of embedded algebraic surfaces , Acad. Press (1966), second edition (1998) ISBN 3540637192
- Abramovich, D., de Jong, A. J., Smoothness, semistability, and toroidal geometry. J. Algebraic Geom. 6 (1997), no. 4, 789-801.
- G. Albanese, Transformazione birazionale di una superficie algebrica in un altra priva di punti multiple, Rend. Circ. Mat. Palermo 48 (1924).
- Bierstone, Edward, Milman, Pierre D. Canonical desingularization in characteristic zero by blowing up the maximum strata of a local invariant. Invent. Math. 128 (1997), no. 2, 207-302.
- Bogomolov, Fedor A., Pantev, Tony G. Weak Hironaka theorem. Math. Res. Lett. 3 (1996), no. 3, 299-307.
- O. Chisini, La risoluzione delle singolarita di una superficie, Mem. Acad. Bologna, 8 (1921).
- Steven Dale Cutkosky Resolution of Singularities (2004) ISBN 0821835556
- de Jong, A. J. Smoothness, semi-stability and alterations. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 83 (1996), 51-93.
- Encinas, S. Hauser, Herwig Strong resolution of singularities in characteristic zero. Comment. Math. Helv. 77 (2002), no. 4, 821--845.
- Encinas, S., Villamayor, O., Good points and constructive resolution of singularities. Acta Math. 181 (1998), no. 1, 109--158.
- A. Grothendieck, J. Dieudonne, Eléments de géométrie algébrique Publ. Math. IHES, 24 (1965)
- Hauser, Herwig (2000) Resolution of singularities 1860-1999. In Resolution of singularities (Obergurgl, 1997), 5-36, Progr. Math., 181, Birkhäuser, Basel, 2000. ISBN 0817661786
- Hauser, Herwig (2003) The Hironaka theorem on resolution of singularities (or: A proof we always wanted to understand). Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 40 (2003), no. 3, 323-403
- Hironaka, Heisuke Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero. I, II. Ann. of Math. (2) 79 (1964), 109-203; ibid. (2) 79 1964 205-326.
- Janos Kollar Lectures on Resolution of Singularities (2007) ISBN 0691129231 (similar to his Resolution of Singularities -- Seattle Lecture.
- B. Levi, Risoluzione delle singolarita puntualli delle superficie algebriche, Atti. Acad. Torino, 34 (1899).
- J. Lipman, Desingularization of two-dimensional schemes, Ann. Math. 107 (1978) 151-207.
- Robert J. Walker, Reduction of the Singularities of an Algebraic Surface The Annals of Mathematics 2nd Ser., Vol. 36, No. 2 (Apr., 1935), pp. 336-365
- Wlodarczyk, Jaroslaw Simple Hironaka resolution in characteristic zero. J. Amer. Math. Soc. 18 (2005), no. 4, 779-822
- Zariski, Oscar The reduction of the singularities of an algebraic surface. Ann. of Math. (2) 40, (1939). 639-689.
- Zariski, Oscar Reduction of the singularities of algebraic three dimensional varieties. Ann. of Math. (2) 45, (1944). 472-542.