希尔伯特转换

在数学和信号处理中，希尔伯特变换（Hilbert transform）是一个对函数 u(t) 产生定义域相同的函数 H(u)(t) 的线性算子。

希尔伯特变换在信号处理中很重要，能够导出信号 u(t) 的解析表示。这就意味着将实信号 u(t) 拓展到复平面，使其满足柯西－黎曼方程。

例如，希尔伯特变换引出了傅里叶分析中给定函数的调和共轭，也就是调和分析。等价地说，它是奇异积分算子与乘子 (傅里叶分析)的一个例子。

希尔伯特变换最初只对周期函数（也就是圆上的函数）有定义，在这种情况下它就是与希尔伯特核的卷积。然而更常见的情况下，对于定义在实直线 R（上半平面的边界）上的函数，希尔伯特变换是指与柯西核卷积。希尔伯特变换与帕利-维纳定理有着密切的联系，帕利-维纳定理是将上半平面内的全纯函数与实直线上的函数的傅里叶变换相联系起来的另一种结果。

希尔伯特转换是以大卫·希尔伯特来命名的，他首先引入了该算子来解决全纯函数的黎曼–希尔伯特问题的一个特殊情况。

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## 定义

$u$ 的希尔伯特变换可以认为是 $u(t)$ 与函数 $h(t) = \frac{1}{\pi t}:=\delta(jt)$ 的卷积。由于 $h(t)$ 是不可积的，定义卷积的积分不收敛。因而希尔伯特变换是使用柯西主值（这里记为$p.v.$）定义的。准确说来，函数（或信号） $u(t)$ 的希尔伯特变换是：

$$H(u)(t) = \operatorname{p.v.} \int_{-\infty}^\infty u(\tau) h(t-\tau)\, d\tau = \frac{1}{\pi} \ \operatorname{p.v.} \int_{-\infty}^\infty \frac{u(\tau)}{t-\tau}\, d\tau$$

假设此积分作为主值存在。这就是 u 与缓增分布 p.v. 1/Πt 的卷积（由于；参见）。另外，通过改变变量，主值积分可以显式地Zygmund写为：

$$H(u)(t) = \frac{2}{\pi}\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_{\varepsilon}^\infty \frac{u(t + \tau) - u(t - \tau)}{2\tau}\,d\tau.$$

若希尔伯特变换接连用在函数 u 上两次，结果就是负 u：

$$H(H(u))(t) = u(-t)$$

假设定义两次迭代的积分都收敛。特别地，逆变换是 −H。可以通过考虑 u(t) 的傅里叶变换的希尔伯特变换效应看出这一事实（参见下面的与傅里叶变换的关系）。

对上半平面的解析函数，希尔伯特变换描述了边界值的实部与虚部之间的关系。也就是说，如果 f(z) 是在 Im z > 0 平面内的解析函数，而 u(t) = Re f(t + 0·i )，假设希尔伯特变换存在，则 Im f(t + 0·i ) = H(u)(t) 取决于一个相加性常数。

### 频率响应

希尔伯特转换之频率响应由傅立叶变换给出：

$H(\omega ) = (-i\cdot \sgn(\omega)) \cdot \mathcal{F}\{h\}(\omega)\,$

其中

- $\mathcal{F}$是傅立叶变换。
- i (有时写作j )是虚数单位。
- $\omega \,$是角频率，以及
- $$\sgn(\omega) =\begin{cases} \ \ 1, & \mbox{for } \omega > 0,\\ \ \ 0, & \mbox{for } \omega = 0,\\ -1, & \mbox{for } \omega < 0, \end{cases}$$

即为符号函数。

既然：

$\mathcal{F}\{\widehat s\}(\omega) = H(\omega )\cdot \mathcal{F}\{s\}(\omega)$,

希尔伯特转换会将负频率成分$s(t)\,$偏移+90°，而正频率成分偏移−90°。

### 反（逆）希尔伯特转换

我们也注意到：$H^2(\omega ) = 1^{-}\,$。因此将上面方程式乘上$-H(\omega )\,$，可得到：

$$\mathcal{F}\{s\}(\omega) = -H(\omega )\cdot \mathcal{F}\{\widehat s\}(\omega)$$

从中，可以看出反（逆）希尔伯特转换

$$s(t) = (h *h *h * \widehat s)(t) = \mathcal{H}^3\{\widehat s\}(t).\,$$

## 希尔伯特转换表格

讯号 $u(t)\,$｜希尔伯特转换 $H(u)(t)$

$\sin(t)$ ｜$-\cos(t)$

$\cos(t)$ ｜$\sin(t)\,$

$\exp \left( i t \right)$｜$- i \exp \left( i t \right)$

$\exp \left( -i t \right)$｜$i \exp \left( -i t \right)$

$1 \over t^2 + 1$｜$t \over t^2 + 1$

$e^{-t^2}$｜$2\pi^{-1/2}F(t)$ 参见道森积分

Sinc函数 $\sin(t) \over t$｜$1 - \cos(t)\over t$

矩形函数 $\sqcap(t)$｜${1 \over \pi} \log \left | {t + {1 \over 2} \over t - {1 \over 2}} \right |$

狄拉克δ函数 $\delta(t) \,$｜${1 \over \pi t}:=\delta(jt)$

指示函数 $\chi_{[a,b]}(t) \,$｜$\frac{1}{\pi}\log \left \vert \frac{t - a}{t - b}\right \vert$

Notes

常数之希尔伯特转换为零

## 特性

### 边界

若 1<p<∞，则 Lp(R)之希尔伯特转换为一有界算子，表示存在一常数Cp使得

$$\|Hu\|_p \le C_p\| u\|_p$$

对所有 u∈Lp(R)。这个定理由所推得；请一并参见。

最佳常数Cp可由下列算式得到:

$$C_p = \begin{cases} <pre> \tan \frac{\pi}{2p} & \text{for } 1 < p \leq 2\\ \cot \frac{\pi}{2p} & \text{for } 2 < p < \infty </pre> \end{cases}$$

这个结果由Pichorides所推得；请一并参见。上述最佳常数计算方式应用在周期性希尔伯特转换一样成立。

希尔伯特转换的边界指的是 Lp(R) 对称级数运算子对于在 Lp(R) 之中 f 的收敛

$$S_R f = \int_{-R}^{R}\hat{f}({\xi})e^{2\pi i x\xi}\,d\xi$$

请参见Duoandikoetxea。

### 反自伴性

希尔伯特转换为一反自伴算子，连结 Lp(R) 与其对偶空间 Lq(R)，其中 p 和 q 为 赫尔德共轭且 1 < p,q < ∞. 以符号表示

$$\langle Hu, v \rangle = \langle u, -Hv \rangle$$

对 u ∈ Lp(R) 且 v ∈ Lq(R) Titchmarsh.

### 逆转换

希尔伯特转换为一反-对合 Titchmarsh，意即

$$H(H(u)) = -u$$

假定每一转换皆完整定义过。由于 H 保存了 Lp(R)空间，这特别代表希尔伯特转换在 Lp(R) 上是可逆的，且

$$H^{-1} = -H$$

### 微分

正式上，一个式子其希尔伯特转换的微分即为其微分的希尔伯特转换，意即这两者是可以交换的线性算子

$$H\left(\frac{du}{dt}\right) = \frac{d}{dt}H(u)$$

此一特性亦可迭代

$$H\left(\frac{d^ku}{dt^k}\right) = \frac{d^k}{dt^k}H(u)$$

给定 u 以及其前k次微分皆属于Lp(R) Pandey空间，此项论述为严格成立。在频域上可以轻易验证这件事情，由于微分在频域上即为与 ω 之乘积。

### 旋积

希尔伯特转换可表示为与一缓增分布之旋积 Duistermaat

$$h(t) = \text{p.v. }\frac{1}{\pi t}$$

因此可如此表示

$$H(u) = h*u$$

然而，事前此特性可能只有对紧支撑之分布 u定义。由于紧支撑函数在 Lp 上是稠密的，因此此项特性可能严格成立。另一角度来看，也可使用 h(t) 其微分之特性来证明

$$H(u)(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{\pi} (u*\log|\cdot|)(t)\right)$$

在大部分的用途，希尔伯特转换可被视为是一旋积。举例而言，旋积与希尔伯特转换具备下列可交换的特性

$$H(u*v) = H(u)*v = u*H(v)$$

若 u 和 v 为紧支撑分布，则此项论述严格成立，在这个状况下

$$h*(u*v) = (h*u)*v = u*(h*v)$$

### 不变性

希尔伯特转换在空间 L2(R) 上有下列特性

- 可与算子 Taƒ(x) = ƒ(x + a) 交换，对所有实数 a
- 可与算子 Mλƒ(x) = ƒ(λx) 交换，对所有 λ > 0
- 可与镜射 Rƒ(x) = ƒ(−x) 反交换

实际上，有更大一部分的算子可与希尔伯特转换交换。群组 SL(2,R) 由幺正算符 Ug 可在空间 L2(R) 上由以下式子表示

$$\displaystyle{U_{g}^{-1}f(x) = (cx + d)^{-1} f\left({ax + b \over cx + d}\right),\,\,\,g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}$$

## 希尔伯特转换例子

注意：有些作者，例如Bracewell，将我们的$-\mathcal{H}$当作其正转换的定义。这样的结果就是下表右行要乘上一个负号。

## 离散希尔伯特转换

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对于一离散函数 un，以及其 离散傅里叶转换 函数 U(ω)，可推得其希尔伯特转换为:

$$H(u)[n] = \scriptstyle{DTFT}^{-1} \displaystyle \{U(\omega)\cdot \sigma_H(\omega)\}$$

其中

$$\sigma_H(\omega)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \begin{cases} <pre> e^{+i\pi/2}, & -\pi < \omega < 0 \\ e^{-i\pi/2}, & 0 < \omega < \pi\\ 0, & \omega = -\pi, 0, \pi </pre> \end{cases}$$

此外，根据折积定律，另一个相等的方程式为:

$$H(u)[n] = u[n] * h[n]$$

其中

$$h[n]\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \scriptstyle{DTFT}^{-1} \big \{\displaystyle \sigma_H(\omega)\big \} = \begin{cases} <pre> 0, & \mbox{for }n\mbox{ even}\\ \frac2{\pi n} & \mbox{for }n\mbox{ odd} </pre> \end{cases}$$

当折积经由数值运算后，一FIR 近似将取代hn，如图 1所示，可以见到频率响应在通带之两端(0与奈奎斯特频率)的陡降，形成一带通滤波器。其中高频部分可借由一FIR滤波器回复，如 图 2所示。然而实际上，一个经过适当取样的 un 序列在高频部分已经不具有可用的分量。当脉冲响应持续越久，低频部分也可以被回复。

用FIR近似hn的时候，交叠储存法是一个对于很长的un 序列做折积运算的有效方法。有时候阵列FFT{hn}会被σH(ω)相对应之取样序列所取代。如此将会有与周期叠加函数做折积之效果:

$$h_N[n]\ \stackrel{\text{def}}{=}\ \sum_{m=-\infty}^{\infty} h[n - mN]$$

图 3比较了hNn之半周期与一相同长度分量之hn。两者之间之差异与两者之长度皆不短于区段长度(N)之现象为失真的来源，且失真可经由增加区段长度与交叠参数来有效减少。

MATLAB中有一函数 hilbert(u,N)，此函数会回传一复数序列，其中虚部序列为 un之离散希尔伯特转换近似，实部序列为原本输入之序列，所以这样的复数输出等于是 un的分析讯号。与前述类似， hilbert(u, N) 只使用来自 sgn(ω)分布的取样，因此是与 hNn 的折积。如前段所述，失真可借由选择比实际之un序列更大的N与舍弃适当数量的输出取样来有效减少。图 4为这种失真的一个例子。

## 外部链接

- The Discrete Hilbert Transform; A Brief Tutorial_w236
- Derivation of the boundedness of the Hilbert transform
- Mathworld Hilbert transform — Contains a table of transforms
- Analytic Signals and Hilbert Transform Filters
- Mathias Johansson, "The Hilbert transform" a student level summary to Hilbert transformation. (via www.archive.org)
- GS256 Lecture 3: Hilbert Transformation, an entry level introduction to Hilbert transformation. (via www.archive.org)