戴维南定理

戴维南定理（Thevenin's theorem）又称等效电压源定律，是由法国科学家L·C·戴维南于1883年提出的一个电学定理。由于早在1853年，亥姆霍兹也提出过本定理，所以又称亥姆霍兹-戴维南定理。其内容是：一个含有独立电压源、独立电流源及电阻的线性网络的两端，就其外部型态而言，在电学上可以用一个独立电压源V和一个电阻二端网络的串联电阻组合来等效。在单频交流系统中，此定理不仅适用于电阻，也适用于广义的阻抗。

此定理陈述出一个具有电压源及电阻的电路可以被转换成戴维南等效电路，这是用于电路分析的简化技巧。戴维南等效电路对于电源供应器及电池（里面包含一个代表内阻抗的电阻及一个代表电动势的电压源）来说是一个很好的等效模型，此电路包含了一个理想的电压源串联一个理想的电阻。

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## 亥姆霍兹的证明

戴维南定理最早由德国科学家赫尔曼·冯·亥姆霍兹于1853年发现并发表，而戴维南在这4年后才出生。由于戴维南于1883年发表的证明更加贴近现代的电气工程，因此他的名字与该定理更常联系在一起，而先前亥姆霍兹对这个问题的表述反映了一种更为普适性的物理学方法。

在亥姆霍兹于1853年发表的论文中，他关注于物理上广义导体的电动特性，尤其是动物组织。他在文中指出生理学家埃米尔·杜布瓦-雷蒙的早期研究表明“肌肉中每个被刺激的最小部分都会产生电流”。当时的实验通过在动物组织的两个点之间连接一个检流计，并测量通过外部电路的电流强度。由于这项研究的目的是了解组织的内部特性，亥姆霍兹希望找到一种方法将这些内部特性与外部测得的电流联系起来。

亥姆霍兹的起点是古斯塔夫·基尔霍夫于1848年发表的研究成果。基尔霍夫和亥姆霍兹一样关注点是三维的导电系统。他考虑了由两部分组成的系统，并将其分别标记为A和B部分。A部分由一系列端到端连接的导体组成，其中每个导体均有电动势和电阻。B部分则通过两根导线连接到A的端点。基尔霍夫随后得出“在不改变B中任何一点的电流的情况下，可以用一个电动势等于A中电压差总和且电阻等于A中各元素电阻总和的导体替代A”的证明。

在1853年的论文中，亥姆霍兹承认了基尔霍夫的研究成果，但指出其结果仅适用于类似蓄能式水电站的情况，即A中并没有闭合电流回路，而是所有电流回路都通过B的情况。因此，他试图将基尔霍夫的结果推广到系统A中任意三维的电流和电压源分布的情况。

亥姆霍兹首先给出了一个比先前更为普遍的叠加原理的表述，并在论文第212-213页将其表达为：

如果任何导体系统在不同位置包含电动势，那么系统中每一点的电压等于各个电动势分别独立产生的电压的代数和。同样，平行于三个互相垂直轴的电流分量等于各个电动势所产生的相应分量的总和。

利用叠加原理及欧姆定律，亥姆霍兹证明了以下三个关于物理系统A的内部电压和电流与通过线性系统B的电流之间关系的定理，假设B在A表面的两个点上连接：

- 对于每个导体A，其内部电动势随意分布，可以在其表面上指定一种电动势分布，产生的电流与A内部的电动势在每个连接的导体B中产生的电流相同。
- 当外部电路连接时，导体A内部的电压和电流分量等于没有连接电路时内部的电压和电流分量加上表面上的电压和电流分量。
- 在表面上分布的电动势如果要产生与内部电动势相同的导出电流，只有一个常数值不同，并且在表面上所有点处都是相同的。

由此，亥姆霍兹在论文第222页指出了他的最终结论：

如果一个物理导体在其表面上的两个特定点具有恒定的电动势，并连接到任意线性导体，那么就可以用一个具有一定的电动势和电阻的线性导体代替它，其在所有连接的线性导体中激发的电流与物理导体完全相同。……替换的线性导体的电阻等于该物体自身的电阻。

他随后指出，他对一般物理系统推导的结果同样适用于基尔霍夫所考虑的几何意义上的线性电路：

对每个物理导体适用的结果，同样适用于分支线性电流系统的特殊情况。即使该系统的两个特定点连接到任何其他线性导体，它相对于这些导体的行为就像一个具有一定电阻的线性导体，其大小可以根据分支线路的已知规则找到，电动势则由连接点在外加电路前的电压差决定。

这一表述与30年后戴维南发表的内容基本相同。

## 戴维南等效电路计算

在计算戴维南等效电路时，必须联立两个由电阻及电压两个变数所组成的方程式，这两个方程式可经由下列步骤来获得，但也可以使用端口在其他条件下的状态得出：

- 在AB两端开路（在没有任何外电流输出，亦即当AB点之间的阻抗无限大）的状况下计算输出电压 VAB，此输出电压就是VTh。
- 在AB两端短路（亦即负载电阻为零）的状况下计算输出电流IAB，此时RTh等于VTh除以IAB。
- 此等效电路是由一个独立电压源VTh与一个电阻RTh串联所组成。

其中的第2项也可以考虑成：

a. 首先将原始电路系统中的电压源以短路取代，电流源以开路取代。

b. 此时，用一个电阻计从AB两端测得系统的总电阻R，即等效电阻RTh。

此戴维南等效电压就是该原始电路输出端的电压，当在计算戴维南等效电压时，分压原理是很好用的，可将其中一端电压设为Vout，而另外一端接地。

戴维南等效电阻是由横跨A与B两端往系统“看”进来所量测到的，但重点是，要先将所有的电压源及电流源以内部电阻取代。对于理想电压源来说，可以直接用短路来取代；对于理想的电流源来说，可以直接用开路来取代。之后，电阻可以用串联电路及并联电路的公式计算出来。这种方法只适用于含有独立源的电路。如果电路中存在受控源，需要用到其他的方法，如在A和B之间连接一个测试源，并计算两端的电压或流过测试源的电流。

## 戴维南等效电路的限制

许多电路特别在短路的状况下会变成非线性，所以戴维南等效电路通常只适用于有限定负载的范围内。此外，戴维南等效电路只是从负载的观点来看待电路系统，在戴维南等效电路中的功率耗损并不代表在真实系统中的功率耗损。

## 转换成诺顿等效电路

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右图所示，左边为诺顿等效电路，右边为戴维南等效电路，诺顿等效电路与戴维南等效电路之间的关系，可由下列方程式来描述：

$$R_{Th} = R_{No} \!$$

$$V_{Th} = I_{No} R_{No} \!$$

$$\frac{V_{Th}}{R_{Th}} = I_{No}\!$$

其中 $R_{th}$、$R_{No}$、$V_{th}$及$I_{No}$分别代表戴维南等效电阻、诺顿等效电阻、戴维南等效独立电压源以及诺顿独立电流源。

## 戴维南等效电路范例

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在这个范例中，计算等效电压：

$$V_\mathrm{AB} = {R_2 + R_3 \over (R_2 + R_3) + R_4} \cdot V_\mathrm{1}$$

$$= {1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega \over (1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega) + 2\,\mathrm{k}\Omega} \cdot 15 \mathrm{V}$$

$$= {1 \over 2} \cdot 15 \mathrm{V} = 7.5 \mathrm{V}$$

（注意：在A与B开路的状况下，由于没有任何电流流过R1，亦即在R1上没有电压降，所以在上面的计算中并不将R1列入考虑。）

计算等效电阻：

$$R_\mathrm{AB} = R_1 + \left[ \left ( R_2 + R_3 \right ) \| R_4 \right]$$

$$= 1\,\mathrm{k}\Omega + \left[ \left ( 1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega \right ) \| 2\,\mathrm{k}\Omega \right]$$

$$= 1\,\mathrm{k}\Omega + \left[{1 \over ( 1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega )} + {1 \over (2\,\mathrm{k}\Omega ) }\right]^{-1} = 2\,\mathrm{k}\Omega$$

附注：求等效电阻时，可将原先的 15 V 理想输出等电压源视为短路。

## 三相电路中的应用

1933年，A.T.斯塔尔在《电气工程师学会杂志》杂志的一篇题为《有源网络的新定理》的文章中发表了戴维南定理的推广，该文章指出任何三端有源线性网络都可以被具有相应阻抗的三个以星形接法或三角形接法连接的电压源所取代。

## 外部链接

- 等效电路概念的起源
- Thevenin's theorem at allaboutcircuits.com
- First-Order Filters: Shortcut via Thévenin Equivalent Source —在第4页，用戴维南定理简化复杂电路中对一阶低通滤波器和相关的分压器、时间常数和增益。