负二项分布

不同来源对负二项分布的定义略有差异：随机变量的最小可能取值可能是$k = 0$（仅计失败的次数，或反之），亦可能是$k = r$（总次数，不论成败）；参数$p$可能表示每次试验成功的概率，也可能表示失败的概率；试验的终止条件可能是成功$r$次或失败$r$次。

$r > 0\!$ (实)$0<p<1\!$（实）

$$k \in \{0,1,2,\ldots\}\!$$

$$\frac{\Gamma(r+k)}{k!\,\Gamma(r)}\,p^r\,(1-p)^k \!$$

$$I_p(r,k+1)$$

$$r\,\frac{1-p}{p}\!$$

$\lfloor(r-1)\,(1-p)/p\rfloor\text{ if }r>1$ $0\text{ if }r\leq 1$

$$r\,\frac{1-p}{p^2}\!$$

$$\frac{2-p}{\sqrt{r\,(1-p)}}\!$$

$$\frac{6}{r} + \frac{p^2}{r\,(1-p)}\!$$

$$\left(\frac{p}{1-(1-p) e^t}\right)^r \!$$

$$\left(\frac{p}{1-(1-p) e^{i\,t}}\right)^r \!$$ 负二项分布（Negative binomial distribution）是统计学上一种描述在一系列独立同分布的伯努利试验中，成功次数达到指定次数（记为$r$）时失败次数的离散概率分布。比如，如果我们定义掷骰子随机变量$x$值为$x=1$时成功，所有$x\neq 1$为失败，这时我们反复掷骰子直到1出现3次（成功次数$r=3$），此时非1数字出现次数的概率分布即为负二项分布。

帕斯卡分布（Pascal distribution，来自布莱兹·帕斯卡 (Blaise Pascal)）和波利亚分布（Polya distribution，又称罐子模型，来自乔治·波利亚 (George Pólya)）均是负二项分布的特例。在工程、气候等领域中经常用“负二项分布”或“帕斯卡分布”来描述变量$r$为整数的情况，而使用“波利亚分布”来描述$r$取到实数值$R$的情况。

对于“相关的离散事件”（"associated discrete events"）的发生，例如龙卷风爆发，相比于泊松分布，波利亚分布由于允许其平均值和方差不同，而能够给出更精确的模型。在流行病学中，它已被用于模拟传染病的疾病传播，其中可能的继发感染数量可能因个体和环境而异

$k$

$r$。更一般地说，由于正协方差项，事件具有正相关的事件导致比独立事件更大的方差可能是合适的。

“负二项分布”与“二项分布”的区别在于：“二项分布”是固定试验总次数$N$的独立试验中，成功次数k的分布；而“负二项分布”是所有到r次成功时即终止的独立试验中，失败次数k的分布。

术语“负二项式”可能是因为出现在分布的概率质量函数公式中的某个二项式系数可以用负数更简单地写出。

## 定义

若每次伯努利试验有两种可能的结果，分别为成功或者失败。在每次试验中，成功的概率为$p$，失败的概率为$1-p$。反复进行该伯努利试验，直到观察到第$r$次成功发生。此时试验失败次数$<pre> X$的分布即为负二项分布（或称帕斯卡分布），那么：

若随机变量$\mathit{X}$服从参数为$\mathit{r}$和$\mathit{p}$的负二项分布，则记为$X \sim NB(r,p)$.

在实际生活中，我们可以使用负二项分布描述某种机器在坏掉前，能够工作的天数的分布。此时，“成功”的事件可以指机器正常工作一天，“失败”的事件可以指机器故障的一天。如果我们使用负二项分布来描述运动员在获取r个奖牌前尝试的次数的分布，此时，“失败”的事件指运动员的一次尝试，“成功”的事件指运动员获取一枚奖牌。如果使用负二项分布来描述掷一枚硬币出现r次正面前，出现硬币反面的次数的分布，“成功”的事件指出现硬币的正面，“失败”的事件指出现硬币的反面。

## 概率质量函数

### 帕斯卡分布

当 $r$ 是整数时的负二项分布又称帕斯卡分布，其概率质量函数为：

$$<pre> f(k; r, p) \equiv \Pr(X = k) = \binom{k+r-1}{r-1} p^r(1-p)^k </pre> \quad\text{for }k = 0, 1, 2, \dotsc <pre>$$

其中 $k$ 是失败的次数， $r$ 是成功的次数， $p$ 是事件成功的概率。在负二项分布的概率质量函数中，由于 $k+r$ 次伯努利试验为独立同分布，每个成功 $r$ 次、失败 $k$ 次的事件的概率为$p^r(1-p)^k$。由于第 $r$ 次成功一定是最后一次试验，所以应该在$k+r-1$次试验中选择$r-1$次成功，使用排列组合二项系数获取所有可能的选择数。

#### 二项系数与负二项名称来源

括号中为二项式系数表达式：

$$<pre> \binom{k+r-1}{r-1} = \frac{(k+r-1)!}{k!\,(r-1)!} = \frac{(k+r-1)(k+r-2)\dotsm(r)}{k!}$$

该表达式可以写成带负值参数的二项系数的形式，如下式所示，解释了“负二项”名称的来源：

$$\begin{align} & \frac{(k+r-1)\dotsm(r)}{k!} \\[6pt] = {}& (-1)^k \frac{(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm(-r-k+1)}{k!} = (-1)^k\binom{-r}{k}. \end{align}$$

#### 概率质量函数对所有可能k值求和为1

帕斯卡分布概率质量函数$f(k;r,p)$对所有可能 $k$ 值求和，一定等于1：

$$\sum_{k=0}^\infty \binom{k+r-1}{k}p^r q^k = 1$$

证明如下：

$$1= p^r p^{-r} <pre> = p^r(1-q)^{-r} = p^r\sum_{k=0}^\infty\binom{-r}{k}(-q)^k = p^r\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\binom{-r}{k}q^k = \sum_{k=0}^\infty \binom{k+r-1}{k}p^r q^k </pre>$$

其中第三步用到了二项序列展开。

### 几何分布

取$r=1$，负二项分布等于几何分布。其概率质量函数为$f(k;1,p) = p \cdot (1-p)^k \!$。

### 例子

举例说，若我们掷骰子，掷到一即视为成功。则每次掷骰的成功率是$\frac{1}{6}$。要掷出三次一，所需的掷骰次数属于集合{ 3, 4, 5, 6, ... }。掷到三次一的掷骰次数是负二项分布的随机变数。要在第三次掷骰时，掷到第三次一，则之前两次都要掷到一，其几率为$(\frac{1}{6})^3$。注意掷骰是伯努利试验，之前的结果不影响随后的结果。

若要在第四次掷骰时，掷到第三次一，则之前三次之中要有刚好两次掷到一，在三次掷骰中掷到2次1的几率为${3 \choose 3-1}\left({5\over6}\right)\left({1\over6}\right)^2$。第四次掷骰要掷到一，所以要将前面的几率再乘$\frac{1}{6}$：${(1+3)-1 \choose 3-1}\left({1\over6}\right)^3 \left({5\over6}\right)$。

## 相关分布

几何分布（在 { 0, 1, 2, 3, ... } 上）是负二项分布的一个特例，其中

$$\operatorname{Geom}(p) = \operatorname{NB}(1,\, 1-p).\,$$

- 负二项分布是离散相型分布的一个特例。
- 负二项分布是离散复合泊松分布的一个特例。