无效证明

在数学里，有着许多明显矛盾的虚假证明存在。即使其证明是有缺陷的，其错误——通常是经过设计的——却常是较难抓摸的。这些谬误一般都尽止于好奇而已，但可以被用来显示严谨在数学中的重要性。

大多数此类的证明都仰赖着同种错误的变形。此一错误为采一非单射的函数$f$，以观察对某些$x$和$y$，会有$f(x)=f(y)$，来（错误地）做出$x=y$的结论。零除数是此类错误的一特例；$f$为将$x$映射至$x\times 0$的函数，而其错误的一步是起于将$x\times 0=y\times 0$的等式做成$x=y$的结论。相似地，下面证明了$5=4$的句子也是以函数$f(x)=x^{2}$的同一种错误造成的。其错误的一步始于有某个$x$和$y$会使得$x^{2}=y^{2}$的一正确申论，然后做出了$x=y$的一错误结论。

## 算术例子

### 证明1是最大的正整数

- 假设最大的正整数不是$1$，而是$a$，有$a > 1$。
- $a > 1 > 0$，$a$为正的，所以由$a > 1$得到$a \times a > a$。
- 但是$a \times a$还是正整数，可是没有任何正整数比$a$大，矛盾。
- 所以最大的正整数是1。

Q.E.D.

此一证明是无效的，因为最大的正整数不存在，因此不能如此假设。

### 证明-1等于1

- 由一等式开始
- $$-1 = -1 \,$$
- 将两边转成假分数
- $$\frac{-1}{1} = \frac{1}{-1}$$
- 将两边开方
- $$\sqrt{\frac{-1}{1}} = \sqrt{\frac{1}{-1}}$$
- 其会等于
- $$\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}$$
- 两边同乘$\sqrt{-1}$以来消去分数
- $$\sqrt{ -1}\sqrt{-1} = \sqrt{1}\sqrt{1}$$
- 但任一数的开方之平方会给出原本的数来，故
- $$-1 = 1 \,$$

Q.E.D.

此一证明是无效的，因为负数的开方不是实数，$\sqrt{\frac{1}{-1}} = \sqrt{\frac{-1}{1}}$推出$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = \frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}$是错误的（事实上，$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = -i$，$\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}} = i$）。

### 证明1等于2

1.令$a = b \,$，且$a \ne 0$

2.将两边乘以a

$$a^{2} = ab \,$$

3.将两边减掉$b^{2} \,$

$$a^{2} - b^{2} = ab - b^{2} \,$$

4.将两边因式分解

$$(a + b)(a - b) = b(a - b) \,$$

5.将两边除以$a - b \,$

$$a + b = b \,$$

6.因为$a = b \,$因此

$$b + b = b \,$$

7.简化

$$2b = b \,$$

8.将两边除以b

$$2 = 1 \,$$

Q.E.D.

这个证明的错误点在于第五步，$\,$正因为a=b所以a-b等于零，而除以零是无效的。

### 证明4等于5

- 由一等式开始
- $$-20 = -20 \,$$
- 将等式两边以稍微不同但相等的方式表示
- $$25 - 45 = 16 - 36 \,$$
- 将两边做因式分解
- $$5^2 - 5 \times 9 = 4^2 - 4 \times 9$$
- 将两边加上相同的数
- $$5^2 - 5 \times 9 + \frac{81}{4} = 4^2 - 4 \times 9 + \frac{81}{4}$$
- 将两边再做一次因式分解
- $$\left(5 - \frac{9}{2}\right)^2 = \left(4 - \frac{9}{2}\right)^2$$
- 将两边开方
- $$5 - \frac{9}{2} = 4 - \frac{9}{2}$$
- 消去相同的项
- $$5 = 4 \,$$

Q.E.D.

那一证明内的错误在于$x^2 = y^2$不表示$x = y$的这一事实。到此之前的算术都是正确的，而事实上，$-\left(5 - \tfrac{9}{2}\right) = 4 - \tfrac{9}{2}$。需注意的是，若将4减去$\tfrac{9}{2}$，会得到$-\tfrac{1}{2}$。若再平方的话，则会得到正的$\tfrac{1}{4}$。其下一个逻辑的数学步骤为取两边的平方。若这样做的话，则将会看见$\tfrac{1}{2}$会等于$\tfrac{1}{2}$。原始的$-20=-20$式子事实上是会导致一个正确的等式的（若此一问题是以此一纯粹的方式运算的话）。

### 证明1+1=0

- 求$1+1$︰

$$\begin{align} 1+1&=1+\sqrt{1} \\ &=1+\sqrt{(-1)(-1)} \\ &=1+\sqrt{-1} \times \sqrt{-1} \\ &=1+i \times i \\ &=1+(-1) \\ &=0\\ \end{align}$$

Q.E.D.

此证明的错误在于$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$只有在a与b不皆为负数才成立，$\sqrt{(-1)(-1)}$并不等于$\sqrt{-1} \times \sqrt{-1}$。

### 证明0=1

首先，设定一个无穷级数。

$$0 = 0 + 0 + 0 + \cdots$$

因为$0 = 1 - 1$，因此：

$$0 = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + \cdots$$

拆括号之后在于不同的地方加上括号：

$$0 = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + \cdots$$

$-1 + 1 = 0$，因此：

$$0 = 1 + 0 + 0 + 0 + \cdots$$

$$0 = 1 \,$$

Q.E.D.

这个证明的错误在于，无穷等比级数在公比的绝对值大于等于一的情况下，将括号插入无穷级数求无穷和是没有意义的，因为这样的无穷等比级数和发散。因此这类条件不适用于格兰迪级数 $s = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$。

### 证明任何数字等于1/任何数字

$$-\frac{1}{b}$$

$$=-\frac{\frac{a}{a}}{b}$$

$$=-\frac{a}b{} \cdot \frac{1}{a}$$

$$\frac{-\frac{a}{b}}{-\frac{1}{b}} = \frac{1}{a}$$

$$-\frac{a}{b} \cdot -b = \frac{1}{a}$$

$$a = \frac{1}{a}$$

Q.E.D.

这个证明的错误在于，$\frac{-\frac{a}{b}}{-\frac{1}{b}}$ 不等于 $\frac{1}{a}$，正确等式应是$\frac{-\frac{1}{b}}{-\frac{a}{b}} = \frac{1}{a}$（下一步：$\frac{1}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{1}{a}$）。

### 证明0/0等于0

首先，我们知道：

$$0 ^ 4 = 0 \times 0 \times 0 \times 0 = 0\,$$

$$0 ^ 2 = 0 \times 0 = 0\,$$

由于$a ^ {m - n} = \frac{a ^ m}{a ^ n}$

因此$\frac{0 ^ 4}{0 ^ 2} = 0^{4 - 2} = 0 ^ 2 = 0$

因此$\frac{0}{0} = 0$

Q.E.D.

这个证明的错误在于，$a ^ {m - n} = \frac{a ^ m}{a ^ n}$成立的前提有$a \ne 0$。

### 证明任意两数都是相等的

设$u = a \ , \ v = b - c\,$ 设$a = x - y \ , \ b = (x + y)^2 \ , \ c = 4 (x^2 - x y + y^2)\,$

由和立方与差立方公式可知：

$$(u + \sqrt {v})^3 = u^3 + 3 u^2 \sqrt{v} + 3 u v + v \sqrt{v}$$

$$(u - \sqrt {v})^3 = u^3 - 3 u^2 \sqrt{v} + 3 u v - v \sqrt{v}$$

由于$u = a \ , \ v = b - c\,$

$$(a + \sqrt {b - c})^3 = a \ (a^2 + 3 b - 3 c) + (3 a^2 + b - c)\sqrt{b - c}$$

$$(a - \sqrt {b - c})^3 = a \ (a^2 + 3 b - 3 c) - (3 a^2 + b - c)\sqrt{b - c}$$

将$a = x - y \ , \ b = (x + y)^2 \ , \ c = 4 (x^2 - x y + y^2)\,$代入$3 a^2 + b - c\,$，可得：

$$3 a^2 + b - c = 3 (x^2 - 2 x y + y^2) + x^2 + 2 x y + y^2 - 4 (x^2 - x y + y^2) = 0\,$$

因此：

$$\begin{align} (a + \sqrt{b - c})^3 &= (a - \sqrt {b - c})^3 \\ a + \sqrt{b - c} &= a - \sqrt {b - c} \\ \sqrt {b - c} &= 0 \\ b - c &= 0 \\ b &= c \\ \end{align}$$

代入$b = (x + y)^2 \ , \ c = 4 (x^2 - x y + y^2)\,$，可得：

$$\begin{align} (x + y)^2 &= 4 (x^2 - x y + y^2) \\ x^2 + 2 x y + y^2 &= 4 (x^2 - x y + y^2) \\ -3 x^2 + 6 x y - 3 y^2 &= 0 \\ (x - y)^2 &= 0 \\ x - y &= 0 \\ x &= y \\ \end{align}$$

Q.E.D.

这个证明的错误在于：

1、在以上的假设下，可得$v=b-c=(x+y)^2-4(x^2-xy+y^2)=-3(x-y)^2=-3a^2=-3u^2$，所以$u$和$v$并不是独立的。

2、在复数域中，由$x^3=y^3$得不出$x=y$。在此证明中，由$(a+\sqrt{b-c})^3=(a-\sqrt{b-c})^3$得出$a+\sqrt{b-c}=a-\sqrt{b-c}$是错误的。

## 几何例子

### 第一题：证明任何三角形都是正三角形

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给定三角形△ABC，证明AB = AC:

- 作∠A的角平分线。
- 作BC的垂直平分线，并设BC的中点为D。
- 设这两条直线的交点为P。
- 从P向AB和AC作垂线，并设垂足为E和F。
- 作直线PB和PC。
- △EAP ≅ △FAP（AP = AP；∠PAF ≅ ∠PAE由于AP平分∠A；∠AEP ≅ ∠AFP都是直角）。
- △PDB ≅ △PDC（∠PDB、∠PDC是直角；PD = PD；BD = CD由于PD平分BC）。
- △EPB ≅ △FPC（EP = FP由于△EAP ≅ △FAP；BP = CP由于△PDB ≅ △PDC；∠EPB ≅ ∠FPC由于它们是对顶角）。
- 因此，AE ≅ AF，EB ≅ FC，AB = AE + EB = AF + FC = AC。
- 同理，AB = BC，AC = BC。

证毕。

这个证明的错误在于，只有在△ABC为等腰三角形，P才会位于三角形的内部，而且AP与DP会重合。

### 第二题：证明直角等于钝角

给定一个矩形ABCD，证明∠DCB=∠ECB。

- 在矩形ABCD外作CE=CD。
- 联结AE。
- 作BC、AE的中垂线，它们的垂足分别是G、F，两条直线交于H。
- 在中垂线上的点到线段两端的距离是相等的，所以HA=HE，HB=HC。
- 矩形的对边相等，得AB=DC；加上作图要求，得AB=EC。
- 利用S.S.S得△ABH≅△ECH。于是得∠ABH=∠ECH。
- 由于HB=HC，则得∠HBC=∠HCB。
- 等量减等量，得∠ABC=∠ECB。
- 矩形的四个角都是90°，得∠ABC=∠ECB=90°。

Q.E.D.

这个证明的错误在于，由于△ABH≅△ECH，则∠BHA=∠CHE，即∠AHE=∠BHC-∠BHA+∠CHE，可以把∠AHE看作是∠BHC的旋转，因AH穿过了矩形ABCD，则EH是不可能穿过矩形ABCD的。

## 微积分例子

### 证明0等于1

我们从计算以下的不定积分开始：

$$\int \frac{1}{x} dx$$

利用分部积分法，可得：

$u=\frac{1}{x}$，$dv=dx$

因此：

$du=-\frac{1}{x^2}dx$，$v=x$

所以，有：

$$\int \frac{1}{x} dx=\frac{x}{x} - \int \left ( - \frac{1}{x^2} \right ) x dx$$

$$\int \frac{1}{x} dx=1 + \int \frac{1}{x} dx$$

$$0 = 1 \,$$

证毕。

这个证明的错误在于，忽略了积分完会出现的积分常数C。若继续计算，会得到$1 + \int \frac{1}{x} dx=1 + \ln\ |x|+C=\ln\ |x|+C'$。