勒壤得转换

勒壤得转换（Legendre transformation）是一个在数学和物理中常见的技巧，得名于阿德里安-马里·勒壤得（Adrien-Marie Legendre）。该操作是一个实变量的实值凸函数的对合变换。它经常用于经典力学中从拉格朗日形式到哈密顿形式的推导、热力学中热力学势的推导以及多变量微分方程的求解。勒壤得转换若推广到一般的，（可能）不可微分的函数上，则在最佳化理论中很常见，称为凸共轭。

## 概述

为了研究一个系统内部蕴藏的数学结构，表述此系统的函数关系 $f(x)\,\!$ 改用一个新函数 $f^{\star}(p)\,\!$ 来表示，其变数 $p\,\!$ 是 $f(x)\,\!$ 的导数，$p=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\,\!$。而 $f^{\star}(p)\,\!$ 的值是如右图蓝线在 y 轴的负截距

换句话说，从$(x,f(x))\,\!$ x 值到 y 值的函数，转换成$(p,f^{\star}(p))\,\!$ f(x) 在 x 点的导数到在 x 点切线 y 截距的函数

该方法由阿德里安-马里·勒壤得发明，因此被命名为勒壤得转换：函数 $f^{\star}(p)\,\!$ 为 $f(x)\,\!$ 的勒壤得转换。

用方程式表示

$f^\star(p) = pu-f(u) | _{{\mathrm{d} [ pu-f(u) ] \over \mathrm{d}u} = 0} \,\!$。

此式子表示 $f^\star(p) = pu-f(u)$ 中的 u 对 $f^\star(p)$ 而言是个参数，且参数 u 会满足 ${{\mathrm{d} [ pu-f(u) ] \over \mathrm{d}u} = 0} \,\!$ 的 $u$。即求算表达式关于变数 $u\,\!$ 的极值。

为方便讨论，把讨论限定在 $f(x)$为严格单调递增。会有这方程式是因为在 $p=f'(x_0)$ 也就是斜率不变的状况下，对每个$x_0$而言，所有与曲线$(u,f(u))$相交且斜率为$f'(x_0)$的直线族为 $y = f'(x_0) (x-u)+f(u)\,\!$。若令$u = x_0$，该直线即是$f(x)$在$x_0$的切线方程式。把x当作常数并由右图直接观察可知，在$u = x_0$的情况下，$y = f'(x_0) (x-u)+f(u) = f'(x_0) x-[f'(x_0) u-f(u)]$值是最小的，也就是说直线方程式中$[f'(x_0) u-f(u)]$这部分是最大的，而正好 $f^\star(p) = pu-f(u) | _{{\mathrm{d} [ pu-f(u) ] \over \mathrm{d}u} = 0} \,\!$，正是原方程式所求的极值。

勒壤得转换是点与线之间对偶性关系（duality）的一个应用。函数 $f(x)\,\!$ 设定的函数关系可以用 $(x,\ y=f(x))\,\!$ 点集合来表示；也可以用切线(在严格单调递增的讨论下，切线跟导数p有一对一的关系)集合表示。

若将勒壤得转换广义化，则会变为勒壤得-芬伽转换（Legendre-Fenchel transformation）。勒壤得转换时常用于热力学与哈密顿力学。

## 定义

给定区间I ⊂ ℝ和凸函数f : I → ℝ，则其勒让德变换为函数f* : I* → ℝ。

$$f^*(x^*) = \sup_{x\in I}(x^*x-f(x)),\quad x^*\in I^*$$

其中$\sup$表示上确界，定义域$I^*$为

$$I^*= \left \{x^*\in \R:\sup_{x\in I}(x^*x-f(x))<\infty \right \} ~.$$

当f(x)为凸函数时，这个函数有良好的定义。

不难将勒让德变换推广到定义在凸集X ⊂ ℝn 上的凸函数f : X → ℝ：其变换f * : X* → ℝ为定义在

$$X^*= \left \{x^* \in \R^n:\sup_{x\in X}(\langle x^*,x\rangle-f(x))<\infty \right \}$$

上的函数

$$f^*(x^*) = \sup_{x\in X}(\langle x^*,x\rangle-f(x)),\quad x^*\in X^* ~,$$

其中$\langle x^*,x \rangle$表示x*和 x的点积。

### 从导数的角度理解勒让德变换

对于实轴上具有可逆一阶导数的凸函数$f$，其勒让德变换$f^*$的一阶导数与$f$的一阶导数互为反函数，反过来说，这个条件可以给出至多相差一个常数的$f^*$。

### 最大值式定义

更详细地定义勒壤得转换，为了求得 $L(x,\ p)=px - f(x)\,\!$ 关于 $x\,\!$ 的最大值，设定 $L(x,\ p)\,\!$ 关于 $x\,\!$ 的偏导数为零：

$\frac{\partial}{\partial x} \left(px-f(x) \right) = p-{\mathrm{d}f(x) \over \mathrm{d}x} = 0\,\!$。

则

$p = {\mathrm{d}f(x) \over \mathrm{d}x}\,\!$。(1)

这表达式必为最大值。因为，凸函数 $L(x,\ p)\,\!$ 的二阶导数是负数：

$\frac{\partial^2}{\partial x^2}(xp-f(x)) = -{\mathrm{d}^2f(x) \over \mathrm{d}x^2} < 0\,\!$。

用方程式 (1) 来计算函数 $f\,\!$ 的反函数 $x=g(p)\,\!$。代入 $L(x,\ p)\,\!$ 方程式，即可以得到想要的形式：

$f^\star(p)=g(p)\ p - f(g(p))\,\!$。

计算 $f(x)\,\!$ 的勒壤得转换，所需的步骤为：

- 找出导函数 $p = \frac{\mathrm{d}f }{\mathrm{d}x}\,\!$。
- 计算导函数 $p = \frac{\mathrm{d}f }{\mathrm{d}x}\,\!$ 的反函数 $x=g(p)\,\!$。
- 代入 $F(x)\,\!$ 方程式来求得新函数 $f^\star(p)=g(p)\ p - f(g(p))\,\!$。

这定义切确地阐明：勒壤得转换制造出一个新函数 $f^\star(p)\,\!$；其新自变数为 $p = {\mathrm{d}f \over \mathrm{d}x}\,\!$。

### 反函数式定义

另外一种勒壤得转换的定义是：假若两个函数 $f(x)\,\!$ 与 $f^\star(p)\,\!$ 的一阶导数是互相的反函数。

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)=\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}f^*\right)^{ - 1}(x)\,\!$。

或者。

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}f^*(p)=\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f\right)^{ - 1}(p)\,\!$。

则 $f\,\!$ 与 $f^\star\,\!$ 互相为彼此的勒壤得转换。

依照定义。

${\mathrm{d}f(x) \over \mathrm{d}x}=p\,\!$。

${\mathrm{d}f^\star(p) \over \mathrm{d}p}=x\,\!$。

思考下述运算：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}(xp - f(x))=x+p\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}p} - \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}p}=x={\mathrm{d}f^\star(p) \over \mathrm{d}p}=x\,\!$。

所以。

$f^\star(p)=xp - f(x)=g(p)\ p - f(g(p))\,\!$。

这里，$x=g(p)\,\!$。

这答案是标准答案；但并不是唯一的答案。设定

$f^\star(p)=f(x) - xp\,\!$。

也可以满足定义的要求。在某些情况下（例如：热力势（thermodynamic potential），会采用非标准的答案。除非另外注明，此页面一律采用标准答案。

## 数学性质

以下讨论，函数 $f\,\!$ 的勒壤得转换皆标记为 $f^\star\,\!$。

### 标度性质

勒壤得转换有以下这些标度性质：

$f(x)=a \cdot g(x)\rightarrow f^\star(p) = a \cdot g^\star\left(\frac{p}{a}\right) \,\!$。

$f(x) = g(a \cdot x)\rightarrow f^\star(p) = g^\star\left(\frac{p}{a}\right) \,\!$。

由此可知，一个 $r\,\!$ 次齐次函数的勒壤得转换是一个 $s\,\!$ 次齐次函数；这里。

$\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=1\,\!$。

### 平移性质

$f(x) = g(x) + b\rightarrow f^\star(p) = g^\star(p) - b\,\!$。

$f(x) = g(x + y)\rightarrow f^\star(p) = g^\star(p) - p \cdot y\,\!$。

### 反演性质

$f(x) = g^{-1}(x)\rightarrow f^\star(p) = - p \cdot g^\star\left(\frac{1}{p}\right) \,\!$。

### 线形变换性质

让 $A\,\!$ 成为一个从 $R^n\,\!$ 到 $R^m\,\!$ 的线形变换。对于任何定义域为 $R^n\,\!$ 的凸函数 $f\,\!$，必有

$\left(A f\right)^\star = f^\star A^\star \,\!$。

这里，$A^\star\,\!$ 是 $A\,\!$ 的伴随算子定义为

$\left \langle Ax, y^\star \right \rangle = \left \langle x, A^\star y^\star \right \rangle \,\!$。

## 例子

### 例一

<image>

指数函数

$$f(x) = e^x$$

勒让德变换为

$f^*(p) = p ( \ln p - 1 )$。

因为它们的一阶导数 ex与 ln p互为反函数。

## 应用

<image>

### 热力学

在热力学里，使用勒壤得转换主要的目的是，将一个函数与所含有的一个自变数，转换为一个新函数与所含有的一个新自变数，（此新自变数是旧函数对于旧自变数的偏导数）；将旧函数减去新自变数与旧自变数的乘积，得到的差就是新函数。勒壤得转换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。例如，内能 $U\,\!$ 是外延量（extensive）熵 $S\,\!$，体积 $V\,\!$，与化学成分（chemical composition）$N_i\,\!$ 的显函数

$U = U(S,\ V,\ \{N_i\})\,\!$。

对于 $- PV\,\!$，函数 $U\,\!$ （非标准的）勒壤得转换为焓函数 $H\,\!$：

$H(S,\ P,\ \{N_i\})= U + PV\,\!$。

$P= - \left( \frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,\ \{N_i\}}\,\!$。

一个熵与内含量（intensive）压力的函数。当压力是常数时，这函数很有用。

对于 $TS\,\!$，函数 $H\,\!$ 勒壤得转换为吉布斯能函数 $G\,\!$ :

$G(T,\ P,\ \{N_i\}) = H - TS\,\!$。

$T=\left( \frac{\partial H}{\partial S}\right)_{P,\ \{N_i\}}\,\!$。

对于 $TS\,\!$，函数 $U\,\!$ 勒壤得转换为亥姆霍兹自由能函数 $A\,\!$ :

$A(T,\ V,\ \{N_i\}) = U - TS\,\!$。

$T=\left( \frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,\ \{N_i\}}\,\!$。

这些自由能函数时常用在常温的物理系统。

### 古典力学(哈密顿力学)

在经典力学里，勒壤得转换专门用来从拉格朗日表述导引出哈密顿表述，或反导之。拉格朗日量 $\mathcal{L}\,\!$ 是广义坐标 $\mathbf{q}=(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_N)\,\!$ 与广义速度 $\dot{\mathbf{q}}\,\!$ 的函数；而哈密顿量 $\mathcal{H}\,\!$ 将函数的自变量转换为广义坐标 $\mathbf{q}\,\!$ 与广义动量 $\mathbf{p}=(p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_N)\,\!$：

$\mathbf{p}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\mathbf{q}}}\,\!$。

$\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)=\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{L}(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t),\ t)\,\!$。

### 正则变换

正则变换广泛地应用勒壤得转换在其理论里。正则变换是一种正则坐标的改变，$(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})\,\!\,\!$，而同时维持哈密顿方程式的形式，虽然哈密顿量可能会改变。正则变换的方程式为

$\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{P}}=\dot{\mathbf{Q}}\,\!\,\!$。

$\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{Q}}= - \dot{\mathbf{P}}\,\!\,\!$。

$\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}= \mathbf{P}\cdot\dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}+\frac{dG}{dt}\,\!$。

这里，$\mathbf{q},\ \mathbf{p}\,\!$ 是旧正则坐标，$\mathbf{Q},\ \mathbf{P}\,\!$ 是新正则坐标，$\mathcal{H}\,\!$ 是旧哈密顿量，$\mathcal{K}\,\!$ 是新哈密顿量，$G\,\!$ 是生成函数。

## 参阅

- 哈密顿力学
- 切触几何
- 正则变换