冯·曼戈尔特函数

冯·曼戈尔特函数（Von Mangoldt function）$\Lambda(n)$是一个算术函数，它出现在质数定理的研究中，以提出的19世纪数学家汉斯·冯·曼戈尔特命名。这个函数是算术函数中一个既非积性函数也非加性函数的例子。

## 定义

若$n$是质数幂，$\Lambda(n)$则等于该个质数的自然对数，即$\Lambda(p^k) = \log(p)$。若$n$不是质数幂，$\Lambda(n)=0$。

以公式表示，可记如下：

$$\Lambda(n) = \begin{cases} \log p & \text{if }n=p^k \text{ for some prime } p \text{ and integer } k \ge 1, \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases}$$

$\Lambda(n)$对最初九个正整数的值分别如下：

$$0 , \log 2 , \log 3 , \log 2 , \log 5 , 0 , \log 7 , \log 2 , \log 3,\dots$$

这些数值和有关。

## 性质

这个函数满足以下恒等式：

$$\sum_{d|n} \Lambda(n) = \log(n)$$

这和遍历所有可整除n的正整数d，这点可由算术基本定理证明，而这是因为就这函数的定义而言，不是质数的幂的值都为零之故。像例如说，设n = 12 = 22 × 3，则有

$$\begin{align} \sum_{d \mid 12} \Lambda(d) &= \Lambda(1) + \Lambda(2) + \Lambda(3) + \Lambda(4) + \Lambda(6) + \Lambda(12) \\ &= \Lambda(1) + \Lambda(2) + \Lambda(3) + \Lambda \left (2^2 \right ) + \Lambda(2 \times 3) + \Lambda \left (2^2 \times 3 \right) \\ &= 0 + \log(2) + \log(3) + \log(2) + 0 + 0 \\ &=\log (2 \times 3 \times 2) \\ &= \log(12). \end{align}$$

对这函数套用默比乌斯反演公式，可得以下恒等式：

$\Lambda(n) = \mu * \log = \sum_{d|n} \mu(d) \log(\frac{n}{d})$ （参见狄利克雷卷积）

此外有

$$\Lambda(n) \log(n) + \sum_{d|n} \Lambda(d) \Lambda(\frac{n}{d}) = \sum_{d|n} \mu(d) \log^2 \frac{n}{d}$$

其中$\mu(d)$是默比乌斯函数。

另外利用对数的乘法规则，可得

$$\Lambda (n) = - \sum_{d \mid n} \mu(d) \log(d)$$

对于任意的$x\ge 1$而言，有

$$\sum_{n\le x}\frac{\Lambda(n)}{n}=\log x+O(1).$$

此外，对于和冯·曼戈尔特函数密切相关的切比雪夫第二函数$\psi(x)$，有正常数c1和c2，使得对于任意的$x\ge 1$而言，有

$$\psi(x)\le c_1x,$$

且对于任意大的x而言，有

$$\psi(x)\ge c_2x,$$

## 狄利克雷级数

冯·曼戈尔特函数对狄利克雷级数的理论，尤其是黎曼ζ函数的理论扮演了重要的角色。以下是一个相关的例子：

$$\log \zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}\,\frac{1}{n^s}, \qquad \text{Re}(s) > 1.$$

其对数微分则为

$$\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}.$$

上述例子是此函数与狄利克雷级数一般关系的特例。实际上，假如对一个在Re(s) > σ0这范围收敛的完全积性函数f(n)而言，有以下关系：

$$F(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}$$

那么其对数微分在Re(s) > σ0这范围收敛：

$$\frac {F^\prime(s)}{F(s)} = - \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\Lambda(n)}{n^s}$$

## 切比雪夫函数

切比雪夫第二函数$\psi(x)$是冯·曼戈尔特函数的和：

$$\psi(x) = \sum_{p^k\le x}\log p=\sum_{n \leq x} \Lambda(n) \ .$$

切比雪夫函数最初由帕夫努季·利沃维奇·切比雪夫引入，他以此函数证明说质数计数函数$\pi(x)$的大小量级为$x/\log x$；而冯·曼戈尔特函数则对$\psi(x)$提供了一个精确的、在黎曼ζ函数的非平凡零点上的和的公式，而这点是质数定理的第一个证明的重要部分。

借由套用佩龙公式，可得切比雪夫函数的梅林变换：

$$\frac{\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = - s\int_1^\infty \frac{\psi(x)}{x^{s+1}}\,dx$$

这变换对于任意的$\operatorname{Re}(s)>1$皆成立。

## 指数级数

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哈代及李特尔伍德曾研究以下级数在y → 0+的行为：

$$F(y)=\sum_{n=2}^\infty \left(\Lambda(n)-1\right) e^{-ny}$$

在假定黎曼猜想成立的状况下，他们证明了以下关系式：

$$F(y)=O\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)\quad \text{且}\quad F(y)=\Omega_\pm\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)$$

特别地，这函数是个发散性的震荡函数：存在一个常数K > 0使得下列两个不等式对0的无限多个邻域皆成立：

$$F(y)< -\frac{K}{\sqrt{y}}$$

$$F(z)> \frac{K}{\sqrt{z}}$$

右图显示了这函数的此种行为开始时在数值上并不显著：在对这级数加总到一亿项之前，这震荡并不明显，且只有在y < 10−5时此震荡才变得可见。

## 李斯平均

冯·曼戈尔特函数的李斯平均如次：

$$\begin{align} \sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta \Lambda(n) &= -\frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(s)}{\Gamma(1+\delta+s)} \frac{\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} \lambda^s ds \\ &= \frac{\lambda}{1+\delta} + \sum_\rho \frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(\rho)}{\Gamma(1+\delta+\rho)} + \sum_n c_n \lambda^{-n}. \end{align}$$

其中λ和δ都是其李斯平均的特征数。在此必须有c > 1。这和当中的ρ是黎曼ζ函数的零点，也就是这和乃是在将黎曼ζ函数的各零点代入$\frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(\rho)}{\Gamma(1+\delta+\rho)}$后所得的值的和。

此外可证明说对λ > 1而言，以下级数收敛：

$$\sum_n c_n \lambda^{-n}\,$$

## 使用黎曼ζ函数零点的估计

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冯·曼戈尔特函数的总和函数，也就是第二切比雪夫函数$\psi(x)$的一个明确公式如下：

$$\psi(x)=x-\sum_{\zeta(\rho)=0}\frac{x^\rho}\rho -\log(2\pi).$$

假若将实际上就是复偶数的平凡零点分离开来，可得

$$\psi(x)=x-\sum_{\zeta(\rho)=0,\ 0<\Re(\rho)<1}\frac{x^\rho}\rho -\log(2\pi)-\frac12\log(1-x^{-2})$$

注意这总和并非绝对收敛的，因此求零点时依其虚部的绝对值大小顺序进行求值。

在另一方面，艾德蒙·兰道在1911年证明了对于任意固定的$t > 1$而言有以下等式：

$$\sum_{0<\gamma \leq T} t^\rho=\frac{-T}{2 \pi} \Lambda(t)+\mathcal{O}(\log T)$$

其中$\rho = \beta + i\gamma$表示黎曼ζ函数的非平凡零点。

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因此若用黎曼的表记则对黎曼ζ函数非平凡零点而言，有以下总和：

$$\lim _{T \rightarrow+\infty} \frac{1}{T} \sum_{0<\gamma \leq T} \cos (\alpha \log t)=-\frac{\Lambda(t)}{2 \pi \sqrt{t}}$$

而这函数的峰值位于质数和质数幂之处。

冯·曼戈尔特函数的傅立叶变换给出的谱的尖端等于黎曼ζ函数非平凡零点的虚部。这有时又称二元性。

## 广义冯·曼戈尔特函数

以下函数是冯·曼戈尔特函数的推广：

$$\Lambda_k(n)=\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)\log^k(n/d)$$

其中$\mu$是默比乌斯函数；而$k$则是一个正整数。

在这定义下，$\Lambda_1$就是原版的冯·曼戈尔特函数$\Lambda$。

## 参考

- Tom Apostol, Introduction to analytic number theory, Springer-Verlag, New York, 1976

## 外部链接

- Allan Gut, Some remarks on the Riemann zeta distribution (2005)
- Heike, How plot Riemann zeta zero spectrum in Mathematica? (2012)