作用量-角度坐标

在经典力学里，作用量-角度坐标（action-angle coordinate）是一组正则坐标，通常在解析可积分系统 (Integrable system) 时，有很大的用处。应用作用量-角度坐标的方法，不需要先解析运动方程式，就能够求得振动或旋转的频率。作用量-角度坐标主要用于完全可分的 哈密顿-亚可比方程式（哈密顿量显性地不含时间，也就是说，能量保持恒定）。作用量-角度变数可以用来定义一个环面不变量。因为，保持作用量的不变设定了环的曲面，而角度是环面的另外一个坐标，粒子依照着角度，卷绕于环面。

在量子力学早期，波动力学发展成功之前，波耳-索末菲量子化条件 (Bohr-Sommerfeld quantization) 是研究量子力学的利器。此条件阐明，作用量必须是普朗克常数常数的整数倍。爱因斯坦对于 Einstein-Brillouin-Keller action quantization 深刻的理解 与 非可积分系统 量子化的困难，都是以 作用量-角度坐标的环面不变量 来表达。

在哈密顿力学里，作用量-角度坐标也可以应用于微扰理论，特别是在决定缓渐不变量。关于一个自由度很小的动力系统的非线形微扰，混沌理论研究的最早的一个结果是 KAM theorem。这定理阐明，对于微小微扰，环面不变量是稳定的。

作用量-角度坐标，对于户田晶格 (Toda field theory) 的解析，对于 Lax pairs 的定义，更广义地，对于一个系统同光谱 (isospectral) 演化的构想，都占有关键地位。

## 导引

### 保守的哈密顿量系统

主条目：哈密顿特征函数

假设，在一个物理系统里，哈密顿量是保守的，也就是说，哈密顿量 $\mathcal{H}$ 不显含时间。

$\mathcal{H}(\mathbf{q};\ \mathbf{p})=a_\mathcal{H}$。

其中，$a_\mathcal{H}$ 是运动常数，$\mathbf{q}$ 是广义坐标，$\mathbf{p}$ 是广义动量。

采用哈密顿特征函数 $W(\mathbf{q};\ \mathbf{P})$ 为正则变换的第二型生成函数。变换方程式为

$\mathbf{p}=\frac{\partial W}{\partial \mathbf{q}}$。

$\mathbf{Q}=\frac{\partial W}{\partial \mathbf{P}}$。

其中，$\mathbf{Q}$ 是新广义坐标，$\mathbf{P}$ 是新广义动量。

新哈密顿量 $\mathcal{K}$ 与旧哈密顿量 $\mathcal{H}$ 相等：

$\mathcal{K}(\mathbf{Q};\ \mathbf{P})=\mathcal{H}(\mathbf{q};\ \mathbf{p})=a_\mathcal{H}$。

新广义动量的哈密顿方程式为

$\dot{\mathbf{P}}= - \frac{\partial \mathcal{K}}{\partial Q}=0,\!$。

所以，新广义动量是常数 $\mathbf{a}$：

$\mathbf{P}=\mathbf{a}$。

假设，这物理系统的哈密顿-亚可比方程式 $\mathcal{H}\left(\mathbf{q},\ \frac{\partial W}{\partial \mathbf{q}}\right)= a_{\mathcal{H}}$ 为完全可分的，则哈密顿特征函数 $W(\mathbf{q};\ \mathbf{P})$ 可以分离为 $n$ 个函数 $W_i$：

$W(\mathbf{q};\ \mathbf{a})=\sum_{i=1}^n\ W_i(q_i;\ \mathbf{a})$。

哈密顿特征函数与新旧正则坐标的关系是

$p_i=\frac{\partial W_i(q_i;\ \mathbf{a})}{\partial q_i}$。

$Q_{i}=\sum_{j=1}^n\ \frac{\partial W_j(q_j;\ \mathbf{a})}{\partial a_{i}}$。

### 周期性运动

假若，粒子的运动是周期性运动，最常见的例子如振动或旋转都是周期性运动，则可以设计一个新正则坐标－作用量-角度坐标 $(\mathbf{w},\ \mathbf{J})$。定义作用量为

$J_{i} \equiv \oint p_{i} dq_{i}$。

这闭路径积分的路径是粒子运动一周期的路径。

由于广义动量 $p_i$ 只跟 $q_i$、$\mathbf{a}$ 有关，经过积分，作用量$J_{i}$ 只跟 $\mathbf{a}$ 有关。所以，作用量向量 $\mathbf{J}$ 只是个常数向量。哈密顿特征函数可以表达为

$W(\mathbf{q};\ \mathbf{J})=\sum_{i=1}^n\ W_i(q_i;\ \mathbf{J})$。

虽然是同样的物理量，函数的参数不同，形式也不同。

定义角度 $\mathbf{w}$ 为

$w_{i} \equiv \frac{\partial W}{\partial J_i}=\sum_{j=1}^n\ \frac{\partial W_j(q_j;\ \mathbf{J})}{\partial J_{i}}$。

由于所有的广义坐标 $q_i$ 都相互独立，所有的广义动量 $p_i$ 也都相互独立，所以，所有的作用量 $J_i$ 都相互独立，作用量-角度坐标可以正确的用为正则坐标。这样，哈密顿特征函数可以用正则坐标作用量-角度坐标表达为

$W(\mathbf{w};\ \mathbf{J})=\sum_{i=1}^n\ W_i(w_i;\ \mathbf{J})$。

新哈密顿量 $\mathcal{K}'$ 与旧哈密顿量 $\mathcal{H}$ 相等：

$\mathcal{K}'(\mathbf{w};\ \mathbf{J})=\mathcal{H}(\mathbf{q};\ \mathbf{p})=a_\mathcal{H}$。

因为作用量 $J_i=J_i(\mathbf{a})$ 只是常数向量，所以。

$- \dot{J}_i=\frac{\partial \mathcal{K}'}{\partial w_i}=0$。

新哈密顿量 $\mathcal{K}'=\mathcal{K}'(\mathbf{J})$，只跟作用量 $\mathbf{J}$ 有关，跟角度 $\mathbf{w}$ 无关。

角度 $w_i$ 随时间的导数 $\nu_i$，可以用哈密顿方程式决定：

$\nu_{i}(\mathbf{J})=\dot{w}_{i} = \frac{\partial \mathcal{K}'}{\partial J_{i}}$。

每一个 $J_i$ 都是常数，所以，$\nu_i(\mathbf{J})$ 也是常数：

$w_{i} = \nu_{i} t + \beta_{i}$。

其中，$\beta_{i}$ 是积分常数。

### 运动频率

假设原本广义坐标 $q_{i}$ 的振荡或旋转的运动周期为 $T_i$，则其对应的角度变数 $w_{i}$ 的改变是 $\Delta w_{i} = \nu_{i} T_i$。进一步了解物理量 $\nu_i$ 的性质，猜想 $\nu_i$ 与广义坐标 $q_{i}$ 周期性运动的频率有关。可是，因为角度 $w_{i}$ 是广义座标 $\mathbf{q}$ 与作用量 $\mathbf{J}$ 的函数，无法确定前面的猜想。为了证实这论点，计算周期 $T_i$：

$T_{i}=\oint dt=\oint \frac{dq_i}{\dot{q_i}}=\oint \cfrac{dq_i}{\ \ \cfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}\ \ }$。

新哈密顿量 $\mathcal{K}'(\mathbf{J})$ 与旧哈密顿量 $\mathcal{H}$ 相等。所以。

$\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}=\sum_{j=1}^n \frac{\partial \mathcal{K}'}{\partial J_j}\frac{\partial J_j}{\partial p_i}=\sum_{j=1}^n \nu_j \frac{\partial J_j}{\partial p_i}$。

假若 $q_{j}$ 是个循环坐标，那么，其共轭动量 $p_{j}$ 必是个常数，可以从作用量的定义积分内提出来：

$J_{j}\equiv \oint p_{j} dq_{j}=p_{j}\oint dq_{j}=p_j \ell$。

其中，$\ell$ 是 $q_{j}$ 运动一周期的值。

这样。

$\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}=\sum_{j=1}^n \nu_j \delta_{ij}\, \ell=\nu_i\,\ell$。

代入周期 $T_i$ 的公式。

$T_{i}=\oint \frac{dq_i}{\nu_i(\mathbf{J})\,\ell}=\frac{1}{\nu_i}$。

肯定地，$\nu_i$ 是广义坐标 $q_i$ 的频率。

假若 $q_{j}$ 不是循环坐标，则不能将其共轭动量 $p_{j}$ 从作用量的定义积分内提出来，必须采用另外一个方法计算。从角度的定义，可以察觉角度 $w_{i}$ 跟广义坐标 $\mathbf{q}$、作用量 $\mathbf{J}$ 有关：

$w_{i}=w_i(\mathbf{q};\ \mathbf{J})$。

保持作用量不变，角度的虚位移 $\delta w_{i}$ 是：

$\delta w_{i}=\sum_{j=1}^n \frac{\partial w_i}{\partial q_j} dq_j$。

在一个周期性物理系统里，每一个广义坐标 $q_i$ 都有它运动的周期 $T_i$。假若，其中有任何广义坐标的周期与别的广义坐标的周期不相同，则称此物理系统为多重周期性物理系统。假若，两个广义坐标的周期不同 $T_1$、$T_2$。在做闭路径积分的时候，就必须使用使用一个新的周期 $T$，让闭路径积分能够开始与结束于同一点．假若，两个周期的比例是个有理数，则称这两个周期互相可通约的。设定新周期为

$T=m_1T_1+m_2T_2$。

其中，$\frac{T}{T_1}$、$\frac{T}{T_2}$、$m_1$、$m_2$，都是正值的整数。

同样地，在多重周期性物理系统里，假若，每一个广义坐标的周期与其它的广义坐标的周期都是互相可通约的，则此系统是完全可通约的，称此系统为完全可通约系统。那么，新周期 $T$ 为

$T=\sum_{i=1}^n m_iT_i$。

其中，$\frac{T}{T_i}$、$m_i$，都是正值的整数。

经过一个周期 $T$，角度 $w_{i}$ 的变化是：

$\Delta w_{i} = \nu_{i}m_i T_i=\oint \sum_{j=1}^n \frac{\partial w_{i}}{\partial q_{j}} dq_{j} =\oint\sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \frac{\partial^2 W_k(q_k;\ \mathbf{J})}{\partial q_{j}\ \partial J_{i}}dq_{j}$。

由于作用量 $J_{i}$ 是个常数，可以将它从积分内提出：

$\Delta w_{i}=\frac{d}{dJ_{i}} \oint \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \frac{\partial W_k(q_k;\ \mathbf{J})}{\partial q_{j}} dq_{j} = \frac{d}{dJ_{i}} \oint \sum_{j=1}^n p_{j} dq_{j} = \frac{d}{dJ_{i}}\sum_{j=1}^n m_jJ_j=m_i$。

所以，频率是

$\nu_{i}(\mathbf{J}) = \frac{1}{T}$。

假若，有任何两个互相不可通约的广义坐标 $q_i$、$q_j$，其周期 $T_i$、$T_j$ 的比例是无理数。那么，$q_i$ 不可能与 $q_j$ 同时回到同一点。虽然如此，有理论证明，$\nu_{i}$、$\nu_{i}$ 仍旧分别是 $q_i$、$q_j$ 的频率。

### 傅立叶级数

角度 $\mathbf{w}$ 是一组互相独立的广义坐标。所以，一般而言，每一个广义坐标 $q_{k}$ 可以用角度的傅立叶级数表示：

$q_{k} = \sum_{s_{1}=-\infty}^{\infty} \sum_{s_{2}=-\infty}^{\infty} \ldots \sum_{s_{N}=-\infty}^{\infty} A^{k}_{s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{N}} e^{i2\pi s_{1} w_{1}} e^{i2\pi s_{2} w_{2}} \ldots e^{i2\pi s_{N} w_{N}}$。

其中， $A^{k}_{s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{N}}$ 是傅立叶级数系数。

在大多数实际案例，物理系统的哈密顿-亚可比方程式 $\mathcal{H}\left(\mathbf{q},\ \frac{\partial W}{\partial \mathbf{q}}\right)= a_{\mathcal{H}}$ 为完全可分的。那么，一个原本广义坐标 $q_{k}$ 只需用其相应的角度变数的傅立叶级数表示：

$q_{k} = \sum_{s_{k}=-\infty}^{\infty} e^{i2\pi s_{i} w_{i}}$。

## 基本规则总结

一般程序有三个步骤：

- 计算作用量变数 $J_{i}$。
- 用作用量变数表示原本哈密顿量。
- 取哈密顿量关于作用量变数的导数。这样，可以求得频率 $\nu_{i}$。

## 简并度

在有些案例，两个不同的广义坐标会有相同的频率；也就是说，$\nu_{i} = \nu_{j}$ for $i \neq j$。称这些案例的运动状态为简并。

简并的运动给出暗示，很可能有更多的保守量。例如，开普勒问题的频率是简并的，这对应于拉普拉斯-龙格-冷次向量的恒定性。

简并的运动还给出暗示，在多于一种坐标系统里，哈密顿-亚可比方程式会是完全可分的。例如，开普勒问题在球坐标系与抛物线坐标系，都是完全可分的。

## 参考文献

- Lev D. Landau and E. M. Lifshitz, (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).
- H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics, 2nd. Ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9. pg. 457-477.