全等三角形

全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都应对等。全等三角形是几何中全等之一。根据全等转换，两个全等三角形可以平移、旋转、轴对称，或重叠等。

全等的数学符号为：$\cong$

当使用该符号时，需保证符号两边的角、边一一对应。

## 定义

当有两个或以上的三角形的对应边及角，完全相等，便是全等三角形。

$$\triangle ABC \cong \triangle XYZ \,\!$$

## 性质

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全等三角形有以下性质：

- 它们的对应边相等。
- 它们的对应角相等。

若三角形ABC与三角形DEF全等时（如右图），表示为：

$$\triangle ABC \cong \triangle DEF \,\!$$

下列三对边长为“对应边”：

$$\overline{A B} \; \overline{D E}, \overline{B C} \; \overline{E F}, \overline{A C} \; \overline{D F}$$

下列三对角为“对应角”：

$$\angle A \; \angle D,\angle B \; \angle E,\angle C \; \angle F$$

同时，所有对应边长及角度均相等：

- $$\angle BAC = \angle EDF \,\!$$
- $$\angle ABC = \angle DEF \,\!$$
- $$\angle ACB = \angle DFE \,\!$$
- $$\overline{A B} = \overline{D E} \,\!$$
- $$\overline{A C} = \overline{D F} \,\!$$
- $$\overline{B C} = \overline{E F} \,\!$$

## 用途

因为多边形可由多个三角形组成，所以利用此方法，亦可验证其它全等的多边形。

## 判定

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下列五种方法均可验证全等三角形：

- SSS（Side-Side-Side，边、边、边；三边）：三边长度相等。
- SAS（Side-Angle-Side，边、角、边；两边一夹角）：两边，且夹角相等。
- ASA（Angle-Side-Angle，角、边、角；两角一夹边）：两角，且夹边相等。
- AAS（Angle-Angle-Side，角、角、边；两角一对边）：两角，且非夹边相等。
- RHS（Right angle-Hypotenuse-Side，直角、斜边、边，又称 HL（斜边、直角边）；斜股性质）：在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。

下列两种方法不能验证为全等三角形：

- AAA（Angle-Angle-Angle，角、角、角）：三角相等。不过它是证明相似三角形的一个条件。
- SSA（Side-Side-Angle，边、边、角）：两边相等，而另一角（非夹角）相等。（但当该角是直角或钝角时可确定三角形，而 RHS 便是该角是直角时的情形）

以上的各方法也可通过三角函数的相关定理证明。这相当于解三角形，即三条边三个角一共六个量、固定其中三个而判断剩下三个量是否有唯一解。

### SSS

<image>

如右图

$\triangle ABC$｜$\triangle CDA$｜原因

边（一）｜$\overline {A C}$｜$\overline {C A}$｜公共边

边（二）｜$\overline {B C}$｜$\overline {D A}$｜已知

边（三）｜$\overline {A B}$｜$\overline {C D}$｜已知

$$\triangle ABC \cong \triangle CDA \,\!$$

此时三边已知，三个角可分别由余弦定理计算，由于 $\cos{}$ 在 0°到 180°之间是单调的，所以 $\arccos{}$可保证解出唯一值。

### SAS

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如右图

$\triangle ABC$｜$\triangle ADC$｜原因

边（一）｜$\overline {A C}$｜$\overline {A C}$｜公共边

角｜$\angle BAC$｜$\angle DAC$｜已知

边（二）｜$\overline {A B}$｜$\overline {A D}$｜已知

$$\triangle ABC \cong \triangle ADC \,\!$$

此时两边夹一角已知，首先用余弦定理计算第三边，接下来与 SSS 的情况相同。

### ASA

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如右图

$\triangle ABC$｜$\triangle AED$｜原因

角（一）｜$\angle BAC$｜$\angle EAD$｜公共角

边｜$\overline {A C}$｜$\overline {A D}$｜已知

角（二）｜$\angle ACB$｜$\angle ADE$｜已知

$$\triangle ABC \cong \triangle AED \,\!$$

此时两角夹一边已知，通过三角形内角和得到第三角后用正弦定理计算剩下两边。

### RHS

<image>

RHS 判定定理在直角三角形中专用，也称“HL”。即为直角三角形中的 SSA，也称为斜股性质。如右图

$\triangle {ABC}$｜$\triangle {DFE}$｜原因

直角｜$\angle ACB$｜$\angle DEF$｜已知

斜边｜$\overline {A B}$｜$\overline {D F}$｜已知

边｜$\overline {B C}$｜$\overline {F E}$｜已知

$$\triangle ABC \cong \triangle DFE \,\!$$

勾股定理，或是直接连两边的顶端解出剩下一边，即变成 SSS 或 SAS。

### 不能验证全等三角形的条件

#### AAA

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AAA（角、角、角），指两个三角形的任何三个角都对应地相同。但这不能判定全等三角形，但AAA能判定相似三角形。在几何学上，当两条线叠在一起时，便会形一个点和一个角。而且，若该线无限地廷长，或无限地放大，该角度都不会改变。同理，在左图中，该两个三角形是相似三角形，这两个三角形的关系是放大缩小，因此角度不会改变。

这样，便能得知若边无限地根据比例加长，角度都保持不变。因此，AAA 并不能判定全等三角形。

从正弦定理的角度看，$\frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{b}{\sin{\beta}}=\frac{c}{\sin{\gamma}}=2R$

这个比例的比值可以任意缩放，因此无法唯一确定三边长度。

#### SSA

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SSA（边、边、角），也称为 ASS，指两个三角形的任一角及另外两个没有夹着该角的边相等。但这不能判定全等三角形。

在右图中，分别有三角形 ABC 及三角形 DEF，并提供了以下信息：

- $$\angle BAC = \angle EDF$$
- $$\overline{A B} = \overline{D E}$$
- $$\overline{B C} = \overline{E F}$$

这即是 SSA。假如在右图绘画一个圆形，中心点为点E，半径为$\overline{E F}$。通过这个圆形便会发现：在$\angle EDF$和$\overline{D E}$没有改变的情况下，会出现另一个与$\overline{E F}$一样长度的直线（即图中的$\overline{E G}$）。这样便能证明 SSA 并不能验证全等三角形，（除非已知$\overline{B C} > \overline{A B}$。当是直角三角形时应称为RHS）。

虽然如此，当$\angle BAC$ ≥ 90°时，$\angle BAC > \angle ACB$。又$\angle BAC > \angle ACB$⇔$\overline{B C} > \overline{A B}$，$\overline{B C} > \overline{A B}$，故可验证全等三角形。

再次使用正弦定理，$\frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{b}{\sin{\beta}}=\frac{c}{\sin{\gamma}}=2R$

其中已知 $a=\overline{D E}$、$c=\overline{E G}=\overline{E F}$ 和 $\alpha=\angle D$，可解出 $\sin{\gamma}$，但 $\sin{}$ 在 0°到 180°上先升后降导致 $\arcsin{}$ 有两解，即 $\gamma$ 可能是钝角或锐角（或退化为只有一解是直角的特殊情况，此处略去），分别对应图中的 $\angle DGE$ 和 $\angle DFE$，然而若已知该三角形是直角或钝角三角形时，可以视情况排除掉其中的一个解、进而唯一确定 $\gamma$，此时做减法得出 $\beta$ 后即可用余弦定理解得最后一边 $B$。

## 轶事

### 全等三角形教学歌曲爆红

2016年，循道中学的校园电台在学校录制了一首名叫《RHS》的歌曲，由校内三名学生主唱。创作概念是来自该学校的数学老师想令学生记得全等三角形的验证方法。歌词由上述老师于2014年创作，歌曲改编自1970年代德国流行乐队 Silver Convention 歌曲《Fly, Robin, Fly》。

2016年4月18日，5分钟的短片上传到学校非官方Facebook专页《MCKLN Secrets》后，因为歌词重复全等三角形的其中四个验证方法，以及重复有关的舞蹈动作而瞬间爆红。其歌词为：Side angle side, side side side, angle side angle, angle angle side!

影片首日上载吸引超过80万次点击观看，而且被刊登于不同报刊，更被誉为“洗脑数学神曲”，以致被网民恶搞。关注社会基建工程等的本土研究社亦为此曲再填词，制作了《嘥嘥嘥》短片，批评政府浪费公帑。

## 外部链接

- The SSS（边、边、边）的验证
- The SSA（边、边、角）的验证
- 全等三角形