抛物线座标系

抛物线坐标系（Parabolic coordinates）是一种二维正交坐标系，两个坐标的等值曲线都是共焦的抛物线。将二维的抛物线坐标系绕着抛物线的对称轴旋转，则可以得到三维的抛物线坐标系。

实际上，抛物线坐标可以应用在许多物理问题。例如，斯塔克效应（Stark effect），物体边缘的位势论，以及拉普拉斯-龙格-冷次向量的保守性。

## 二维抛物线坐标系

直角坐标 $(x,\ y)$ 可以用二维抛物线坐标 $(\sigma,\ \tau)$ 表示为

$x = \pm\,\sigma \tau$。

$y = \frac{1}{2} \left( \tau^{2} - \sigma^{2} \right)$。

其中，$\sigma\ge 0$，$\tau\ge 0$。

反算回来，二维抛物线坐标 $(\sigma,\ \tau)$ 可以用直角坐标 $(x,\ y)$ 表示为

$\sigma=\sqrt{ - y +\sqrt{x^2+y^2}}$。

$\tau=\sqrt{y +\sqrt{x^2+y^2}}$。

坐标 $\sigma$ 为常数的曲线形成共焦的，凹性向上的（往 +y-轴）抛物线：

$2y = \frac{x^{2}}{\sigma^{2}} - \sigma^{2}$。

而坐标 $\tau$ 为常数的曲线形成共焦的，凹性向下的（往 -y-轴）抛物线：

$2y = - \frac{x^{2}}{\tau^{2}} + \tau^{2}$。

这些抛物线的焦点的位置都在原点。

## 二维标度因子

抛物线坐标 $(\sigma,\ \tau)$ 的标度因子相等：

$h_{\sigma} = h_{\tau} = \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}$。

因此，面积的无穷小元素是

$dA = \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right) d\sigma d\tau$。

拉普拉斯算子是

$\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} \left( \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \sigma^{2}} + \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \tau^{2}} \right)$。

其它微分算子，像 $\nabla \cdot \mathbf{F}$， $\nabla \times \mathbf{F}$，都可以用 $(\sigma,\ \tau)$ 坐标表示，只要将标度因子代入在正交坐标系条目内的一般公式。

## 三维抛物线坐标系

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将二维的抛物线坐标系绕着抛物线的对称轴旋转，则可以得到三维的抛物线坐标系，又称为旋转抛物线坐标系。将对称轴与 z-轴排列成同直线；而抛物线坐标系的共焦点与直角坐标系的原点同地点。直角坐标 $(x,\ y,\ z)$ 可以用三维抛物线坐标 $(\sigma,\ \tau,\ \phi)$ 表示为

$x=\sigma\tau\cos\phi$。

$y=\sigma\tau\sin\phi$。

$z=\frac{1}{2}\left(\tau^{2} - \sigma^{2}\right)$。

其中，$\sigma\ge 0$，$\tau\ge 0$，方位角 $\phi$ 定义为

$\tan \phi = \frac{y}{x},\qquad 0\le \phi\le 2\pi$。

反算回来，三维抛物线坐标 $(\sigma,\ \tau,\ \phi)$ 可以用直角坐标 $(x,\ y,\ z)$ 表示为

$\sigma=\sqrt{ - z +\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$。

$\tau=\sqrt{z +\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$。

$\phi =\tan^{ - 1}\frac{y}{x}$。

每一个 $\sigma$-坐标曲面都是共焦的，凹性向上的（往 +z-轴）抛物曲面：

$2z = \frac{x^{2} + y^{2}}{\sigma^{2}} - \sigma^{2}$。

而每一个 $\tau$>-坐标曲面都是共焦的，凹性向下的（往 -z-轴）抛物曲面：

$2z = - \frac{x^{2} + y^{2}}{\tau^{2}} + \tau^{2}$。

这些抛物曲面的焦点的位置都在原点。

## 三维标度因子

三维标度因子为：

$h_{\sigma} = \sqrt{\sigma^2+\tau^2}$。

$h_{\tau} = \sqrt{\sigma^2+\tau^2}$。

$h_{\phi} = \sigma\tau\,$。

我们可以观察出，标度因子 $h_{\sigma}$， $h_{\tau}$ 与二维标度因子相同。因此，体积的无穷小元素是

$dV = h_\sigma h_\tau h_\phi = \sigma\tau \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right)\,d\sigma\,d\tau\,d\phi$。

拉普拉斯算子是

$\nabla^2 \Phi = \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}}\left[ \frac{1}{\sigma} \frac{\partial}{\partial \sigma} \left( \sigma \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma} \right) + \frac{1}{\tau} \frac{\partial}{\partial \tau} \left( \tau \frac{\partial \Phi}{\partial \tau} \right)\right] + \frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \phi^2}$。

其它微分算子，像 $\nabla \cdot \mathbf{F}$， $\nabla \times \mathbf{F}$，都可以用 $(\sigma,\ \tau,\ \phi)$ 坐标表示，只要将标度因子代入在正交坐标系 条目内的一般公式。

## 第二种表述

另外还有一种抛物线坐标系的表述，专门用于哈密顿-亚可比方程式。假若使用此种表述的公式，则哈密顿-亚可比方程式可以很容易的分解出来。应用此方法，可以导引出拉普拉斯-龙格-冷次向量的恒定性．

采用下述从抛物线坐标变换至直角坐标的公式：

$\eta ={ - z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$。

$\xi ={z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$。

$\phi =\arctan {y \over x}$。

假若 $\phi=0$，则可得到一片截面；其坐标被限制于 $x\ge 0$ 的 +xz-半平面：

$\eta = - z + \sqrt{ x^2 + z^2}$。

$\xi =z + \sqrt{ x^2 + z^2}$。

假若包含于一条曲线的每一点的坐标 $\eta$ 是一个常数，$\eta=c$，则

$\left. z \right|_{\eta = c} = {x^2 \over 2 c} - {c \over 2}$。

这是一个共焦点在原点的抛物线；对称轴与 z-轴同轴；凹性向上。

假若包含于一条曲线的每一点的坐标 $\xi$ 是一个常数，$\xi=b$，则

$\left. z \right|_{\xi = b} = {b \over 2} - {x^2 \over 2 b}$。

这也是一个共焦点在原点的抛物线；对称轴与 z-轴同轴；凹性向下。

思考任何一条向上的抛物线 $\eta=c$ 与任何一条向下的抛物线 $\xi=b$，我们想要求得两条曲线的相交点：

${x^2 \over 2 c} - {c \over 2} = {b \over 2} - {x^2 \over 2 b}$。

稍微计算，可得

$x=\sqrt{bc}$。

将相交点的横坐标 $x$ 代入向上的抛物线的公式。

$z_c= {bc\over 2 c} - {c \over 2} = {b - c \over 2}$。

所以，相交点 P 坐标为 $\left(\sqrt{bc},\ {b - c \over 2}\right)$。

思考正切这两条抛物线于点 P 的一对切线。向上的抛物线的切线的斜率为

$\frac{dz_c}{dx}=\frac{x}{c}=\sqrt{\frac{b}{c}}=s_c$。

向下的抛物线的切线的斜率为

${dz_b\over dx}= - {x \over b}= - \sqrt{c\over b}= s_b$。

两个斜率的乘积为

$s_c s_b= - 1$。

所以，两条切线相垂直。对于任何两条凹性相反的抛物线，都会有同样的结果。

假设 $\phi\ne 0$。让 $\phi$ 值从 $0$ 缓慢增值，这半平面会相应地绕着 z-轴按照右手定则旋转；抛物线坐标为常数的抛物线 形成了抛物曲面。一对相反的抛物曲面的相交 设定了一个圆圈。而 $\phi$ 值设定的半平面，切过这圆圈于一个唯一点。

$x = \sqrt{\eta\xi}\ \cos \phi$。

$y = \sqrt{\eta\xi}\ \sin \phi$。

$z =\frac{1}{2}(\xi - \eta)$。