谐振子

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古典力学中，一个谐振子（harmonic oscillator）乃一个系统，当其从平衡位置位移，会感受到一个恢复力$F$正比于位移$x$，并遵守虎克定律：

$$F = -k x \,$$

其中$k$是一个正值常数。

如果$F$是系统仅受的力，则系统称作简谐振子（简单和谐振子）。而其进行简谐运动——正中央为平衡点的正弦或余弦的振动，且振幅与频率都是常数（频率跟振幅无关）。

若同时存在一摩擦力正比于速度，则会存在阻尼现象，称这谐振子为阻尼振子。在这样的情形，振动频率小于无阻尼情形，且振幅随着时间减小。

若同时存在跟时间相关的外力，谐振子则称作是受驱振子。

力学上的例子包括了单摆（限于小角度位移之近似）、连接到弹簧的质量体，以及声学系统。其他的相类系统包括了电学谐振子（electrical harmonic oscillator，参见RLC电路）。

## 简谐振子

简谐振子没有驱动力，也没有摩擦（阻尼），所以净力单纯为：

$$F = -k x \,$$

利用牛顿第二定律

$$F = m a = -k x \,$$

则加速度$a$等于是$x$的二次微分导数：

$$m \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -k x$$

若定义${\omega_0}^2 = k/m$，则方程式可以写为如下：

$$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + {\omega_0}^2 x = 0$$

可以观察到：

$$\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} = \ddot x = \frac{\mathrm{d}\dot {x}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}\dot {x}}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}\dot {x}$$

然后代回原式得到

$$\frac{\mathrm{d} \dot{x}}{\mathrm{d}x}\dot x + {\omega_0}^2 x = 0$$

$$\mathrm{d} \dot{x}\cdot \dot x + {\omega_0}^2 x \cdot \mathrm{d}x = 0$$

积分可得

$$\dot{x}^2 + {\omega_0}^2 x^2 = K$$

其中K是积分常数，设K = (A ω0)2

$$\dot{x}^2 = A^2 {\omega_0}^2-{\omega_0}^2 x^2$$

$$\dot{x} = \pm {\omega_0} \sqrt{A^2 - x^2}$$

$$\frac {\mathrm{d}x}{\pm \sqrt{A^2 - x^2}} = {\omega_0}\mathrm{d}t$$

经过积分，结果（包括积分常数φ）为

$$\begin{cases} \arcsin{\frac {x}{A}}= \omega_0 t + \phi \\ \arccos{\frac {x}{A}}= \omega_0 t + \phi \end{cases}$$

并有一般解

$$x = A \cos {(\omega_0 t + \phi)} \,$$

其中振幅$A \,$以及相位$\phi \,$可透过初始条件来决定。

另外也可以将一般解写成

$$x = A \sin {(\omega_0 t + \phi)} \,$$

其中$\phi \,$的值与前面形式相比，偏移了$\pi/2 \,$。

又可以写作

$$x = A \sin{\omega_0 t} + B \cos{\omega_0 t} \,$$

其中$A \,$与$B \,$为透过初始条件决定的常数，以替代前面形式的$A \,$与$\phi \,$。

振动频率则为

$$f = \frac{\omega_0}{2\pi}$$

动能为

$T = \frac{1}{2} m \left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega_0 t + \phi)$.

以及势能（位能）为

$$U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega_0 t + \phi)$$

所以系统总能为定值：

$$E = \frac{1}{2} k A^2$$

## 受驱谐振子

一受驱谐振子满足如下非齐次（nonhomogeneous）二阶线性微分方程

$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + {\omega_0}^2x = A_0 \cos(\omega t)$。

其中$A_{0}$是驱动振幅而$\omega$是驱动频率，针对的是一弦波式的驱动机制。这样的系统出现在交流LC（电感L-电容C）电路以及理想化的弹簧系统（没有内部力学阻力或外部的空气阻力）。

## 阻尼谐振子

一阻尼谐振子满足如下二阶微分方程

$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + \frac{b}{m} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + {\omega_0}^2x = 0$。

其中$b$是由实验决定的阻尼常数，满足关系式$F = -bv$。遵守此方程式的系统，其中一例为置于水中的加权弹簧（weighted spring），若假设水所施的阻尼力与速度$v$呈线性比例关系。

阻尼谐振子的频率为

$$\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - R_m^2}$$

其中

$R_m=\frac{b}{2m}$。

## 受驱阻尼振子

受驱阻尼振子满足方程式

$m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + r \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + kx= F_0 \cos(\omega t)$。

其一般解为两个解的和，一为暂态解（无驱动阻尼谐振子之齐次常微分方程的解），与初始条件相关；另一为稳态解（非齐次常微分方程式之特殊解），与初始条件无关，只与驱动频率、驱动力、阻尼力有关。

稳态解为

$$x(t) = \frac{F_0}{Z_m \omega} \sin(\omega t - \phi)$$

其中

$$Z_m = \sqrt{r^2 + \left(\omega m - \frac{k}{\omega}\right)^2}$$

为阻抗（impedance）或线性响应函数（linear response function）之绝对值

$$Z = r + i\left(\omega m - \frac{k}{\omega}\right)$$

而

$$\phi = \arctan\left(\frac{\omega m - \frac{k}{\omega}}{r}\right)$$

为相对于驱动力（相位定为0）的振动相位。

可以观察到，当在某特定驱动频率$\omega$时，振子振动之振幅（相对于一给定之$F_0$）达到最大。这发生在频率为

$${\omega}_r = \sqrt{\frac{k}{m} - 2\left(\frac{r}{2 m}\right)^2}$$

之时，而此现象称之为（位移上的）共振。

总结来说，在稳态时，振动频率等同于驱动力的频率，但振动与驱动力在相位上有偏移；且振幅大小与驱动频率相关，当驱动频率与振动系统偏好（共振）频率相同时，振幅达到最大。

例子：RLC电路；电阻类比于阻尼。

## 完整数学描述

多数谐振子，至少近似上地说，是在解以下的微分方程式：

$$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + \frac{b}{m} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + {\omega_0}^2x = A_0 \cos(\omega t)$$

其中t是时间，b是阻尼常数，ωo是本征角频率，而Aocos(ωt)代表驱动系统的某种事物，其振幅Ao而角频率ω。x是进行振荡的被测量量；可以是位置、电流或其他任何可能的物理量。角频率与频率f有关，关系式为

$f = \frac{\omega}{2 \pi}$。

### 重要项

- 振幅：偏离平衡点的最大的位移量。
- 周期：系统完成一个振荡循环所需的时间，为频率的倒数。
- 频率：单位时间内系统执行的循环总数量（通常以赫兹 = 1/秒为量度）。
- 角频率：$\omega = 2 \pi f$
- 相位：系统完成了循环的多少（开始时，系统的相位为零；完成了循环的一半时，系统的相位为$\pi$）。
- 初始条件：t = 0时系统的状态。