小星形十二面体

acos$-\tfrac{\sqrt 5}{5}$ ≈ 116.565051177 度小星形十二面体是一种星形正多面体，由12个五角星面组成，为三种星形十二面体之一。小星形十二面体的凸包为正二十面体，而正二十面体的对偶多面体为正十二面体，因此小星形十二面体的对偶多面体也是一种星形十二面体——大十二面体；此外，其顶点的布局与正二十面体相同，但边的连结方式不同，因此可以视为正二十面体经过刻面后的多面体。小星形十二面体的拓朴结构与大十二面体相同，皆对应到亏格为4的五阶五边形正则地区图（施莱夫利符号：{5,5}），因此小星形十二面体和大十二面体皆可以视为抽象多面体{5,5}6在三维空间中的一种具象化形式。这个多面体最早由约翰内斯·开普勒于1619年观察并描述，并于1809年由路易·庞索重新发现；1859年阿瑟·凯莱对这种形状进行进一步的研究并将之命名为小星形十二面体（Small stellated dodecahedron）。

有些艺术家会利用小星形十二面体的星状外形作为表达天体意象的方式，例如在艾雪的作品《重力 (埃舍尔)》中就使用了小星形十二面体作为创作中的主要元素。

## 历史

小星形十二面体的形状最早出现于保罗·乌切洛在1430年创作于威尼斯圣马尔谷圣殿宗主教座堂地板上的镶嵌艺术中，然而当时尚未对这种形状的性质进行探讨，仅作为艺术作品的要素之一。1619年，约翰内斯·开普勒在其著作《世界的和谐》中针对部分星形多面体进行了一些研究，当中包括了大星形十二面体与小星形十二面体。1809年路易斯·庞索重新发现了开普勒先前发现的星形多面体并另外发现了两个星形多面体：大二十面体与大十二面体，因此这四个立体现今合称为开普勒－庞索立体。1859年，阿瑟·凯莱对这种形状进行了较详细的描述，并将其命名为小星形十二面体（Small stellated dodecahedron），同时这也是这种立体首次在正式文献中获命名。然而，由于这个立体由12个面、30条边和12个顶点组成，而这些数值代入当时认为能普遍适用于各种多面体的欧拉示性数得到了不是2的结果，与当时普遍的认知相左，因此这种几何结构一度被认为不应存在。

$\int dx\,dy\cdots dz$

$p_1=a_1x+b_1y+\cdots+h_1z>0,\,p_2>0,\cdots,\,p_n>0$

$x^2+y^2+\cdots+z^2<1$

这个问题后来在克莱茵的著作中得到了解答，这个立体代表着一个亏格为4的黎曼曲面。

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- 保罗·乌切洛在1430年镶嵌艺术中的小星形十二面体

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- 《世界的和谐》中描绘的小星形十二面体

## 性质

小星形十二面体由组成12个面、30条边和12个顶点组成，其中，12个面皆为正五角星；在组成小星形十二面体的12个顶点中，每个顶点都是5个五角星的公共顶点，在顶点图中，可使用五边形来表示；每条边皆等长，且皆为2个正五角星的公共边。由此可知，这个立体具备了所有面全等、所有边等长、所有角等角的性质，是一种正多面体，然而这种立体是一个非凸多面体，因此不在古典的5种多面体中，是4个非凸正多面体之一，由12个五角星面（6对平行五角星）所组成。小星形十二面体在施莱夫利符号中利用{5/2,5}来表示，这个符号代表了每个顶点都是5个五角星的公共顶点，在考克斯特-迪肯符号中利用node_1来表示。

### 构造

小星形十二面体是一种星形十二面体，其可透过延伸正十二面体的面来构成，这个操作就有如将正五边形的边延伸至相交，构成正五角星；同理，小星形十二面体则为将正十二面体以正五边形延伸成正五角星的方式，将面延伸至相交。这个操作将在正十二面体的每个面上加入一个五角锥，锥高为$\sqrt{\tfrac{1}{5}\left( 5+2\sqrt{5}\right)}$。

### 二面角

小星形十二面体是一种星形正多面体，因此具有所有角相等的性质。其二面角只有一个值，其值为负五平方根倒数之反余弦：

$$\cos^{-1} (-\frac{\sqrt{5}}{5}) \approx 2.03444394 \approx 116.565051177 ^{\circ}$$

### 面的组成

小星形十二面体由12个五角星面组成，这些五角星皆全等，并且其构成方式为由正五边形的顶点，以间隔为2的方式相接，在施莱夫利符号中可以用{5/2}来表示，而小星形十二面体每个顶点都是5个五角星面的公共顶点，在施莱夫利符号中表示为{5/2,5}。在拓朴学上，这种结构与{5,5}无异，因此小星形十二面体也可以视为将五阶五边形镶嵌这种双曲镶嵌局部区域闭合后的结果。

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以黄色表示小星形十二面体的五角星面｜

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小星形十二面体｜

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将一个面以蓝色表示，其他面不着色

此外，亦可以将小星形十二面体化为简单多面体，即排除面与面自相交的情况。通常用于制作小星形十二面体的模型，因为自相交的面不容易用实体模型实现，此时会将小星形十二面体的12个五角星面分割成60个等腰三角形面。

### 拓朴

若将小星形十二面体的五角星依照复杂多边形的方式分解成5个等腰三角形，则其拓朴结构将与五角化十二面体等价，只是前者的锥高更高，而使其成为非凸多面体；若将五角化十二面体的原像——正十二面体视为一个截对角偏方面体，则对应的小星形十二面体则为该5个侧面所加入的5个角锥中，5个侧面共面成五角星。另一方面，若使小星形十二面体的五角星维持原样，则其拓朴结构与大十二面体相同，并对应相同的正则地区图，对应的骨架图为二十面体图。

小星形十二面体由12个五角星、30条边和12个顶点组成，可以透过欧拉公式计算其亏格：

$$V - E + F = 2 - 2g$$

由此可知，小星形十二面体代表了一个亏格为4的曲面。这个特性最初被路易斯·波因索观察到时，十分令人困惑，而费利克斯·克莱因在1877年表明，小星状十二面体可以被视为亏格为4之黎曼曲面被黎曼球面分支覆盖的结果，其分支点位于每个五角星的中央。而这个黎曼曲面称为布林曲线，其对称性是所有亏格为4之黎曼曲面中最多的，对应自同构群为$S_5$对称群。

## 使用

不少艺术家有使用小星形十二面体进行创作，例如保罗·乌切洛在1430年创作于威尼斯圣马尔谷圣殿宗主教座堂地板上的镶嵌艺术中就能发现小星形十二面体的踪影；相同的形状也出现在两件莫里茨·科内利斯·埃舍尔的两件石版印刷作品中，分别是1950年创作的《Contrast》与1952年创作的重力（埃舍尔）。

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- 圣马尔谷圣殿宗主教座堂地板上的镶嵌艺术

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- 新默西购物公园中小星形十二面体造型的艺术品

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- 基于莫里茨·科内利斯·埃舍尔作品重力（埃舍尔）的雕塑作品，展示于特文特大学

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- 小星形十二面体造型灯饰

## 相关多面体与镶嵌

部分多面体与镶嵌与小星形十二面体有一些几何关联。例如部分多面体可透过小星形十二面体经过康威变换而得到，例如截角大十二面体、截半大十二面体、以及其对偶多面体大十二面体。

关联｜原像｜对偶多面体｜皮特里对偶

名称｜小星形十二面体｜大十二面体｜皮特里小星形十二面体

施莱夫利符号｜{5/2,5}｜{5,5/2}｜{5/2,5}Π

图像｜

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### 截角小星形十二面体

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截去所有顶点的小星形十二面体产生半正多面体所用的截角，即确保截角完后的面皆要等边的截角。可构成一个外观与正十二面体无异的退化均匀多面体。这种多面体在考克斯特记号中可以用node表示。虽然其外观与正十二面体无异，然而这种立体并非十二面体，而是一种退化的二十四面体，其由24个面、90条边和60个顶点组成，其中24个面为12个正五边形和12个绕两圈的正五边形组成，整体可以视为是每个顶点都是2个十边形和1个五边形之公共顶点的抽象等角二十四面体的具像化。

不同的截角深度也会产生不同的几何体：

名称｜小星形十二面体｜截角小星形十二面体｜截半大十二面体｜截角大十二面体｜大十二面体

考克斯特-迪肯符号｜node｜node｜node｜node_1｜node_1

图像｜

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### 简单多面体

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小星形十二面体可以化为简单多面体，此时会将小星形十二面体的12个五角星面分割成60个等腰三角形面，此时其拓朴结构将与五角化十二面体等价，由60个面、90条边和32个顶点组成。这种立体可以三角化成其他立体：

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大二十面体｜向内加入角锥｜（原始形状）｜向外加入角锥｜完全星形二十面体

### 贝齐奥立体

让-伊夫·贝齐奥曾在其论文中探讨星形十二面体，但不慎将以五边形组成的正十二面体之星形化体与菱形组成的菱形十二面体之星形化体搞混了。后来莫雷帝将其描述为在正十二面体的面上加入五角锥组成的立体，即小星形十二面体。

后来，汉士·史梅斯特（Hans Smessaert）等人才以星形四角化菱形十二面体的结构完成贝齐奥最初探讨的议题。

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莫雷帝描述的贝齐奥立体（实为小星形十二面体）｜

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汉士·史梅斯特描述的贝齐奥立体

### 星形镶嵌图

其也可以视为一系列施莱夫利符号中可利用{n/2,n}表示的星形镶嵌之一，例如七阶七角星镶嵌：

### 对偶复合体

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小星形十二面体与其对偶多面体的复合体为复合小星形十二面体大十二面体。其共有24个面、60条边和24个顶点，其尤拉示性数为-12，亏格为7，而在这个立体图形中，仅有小星形十二面体可见，大十二面体完全隐没于小星形十二面体而不可见。

## 基本资料

- 域：（按这里观看旋转模型）
- 类型：开普勒－庞索立体、星形十二面体

- 面：12
- 边：30
- 顶点：12
- 亏格：4
- 顶点的种类：12个5阶顶点
- 顶点图：(5)5
- Face_configuration：V(55)/2
- 面的种类：12个正五角星
- 康威表示法：lsD
- 对称群：二十面体对称群, H3, 5,3, (*532)
- 旋转对称群：二十面体对称群, 5,3+, (532)
- 双处理器芯片组：大十二面体
- 参考索引：U34, C43, W20
- 二面角：acos$-\tfrac{\sqrt 5}{5}$ ≈ 116.565051177 度
- 属性：正、非凸
- 截角：截角小星形十二面体、

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- 截半：截半大十二面体、

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- Kleetope：完全星形二十面体、

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- Kleetope sides：三
- Kleetope comment：（基于简单多面体）
- core：正十二面体
- Convex_hull：正二十面体