小斜方截半二十面体

在几何学中，小斜方截半二十面体是一种半正多面体，由于其具有点可递的性质，因此属于阿基米德立体。它由20个正三角形面、30个正方形面、12个正五边形面、60个顶点和120条棱构成。其对偶多面体为鸢形六十面体。

## 命名

约翰内斯·开普勒在他1618年出版的《世界的和谐》中，将这个多面体命名为小斜方截半二十面体（rhombicosidodecahedron），可以看做是截角截半二十面体菱形（truncated icosidodecahedral rhombus）的缩写，由于小斜方截半二十面体可以看做是菱形三十面体透过截角变换后的像而得名，其中截半二十面体菱形（icosidodecahedral rhombus）是开普勒给予菱形三十面体的命名。

菱形三十面体透过截角变换后的像在拓朴学上可以产生两种不同的几何形状：左边为最直接的截半；中间是在五阶顶点截的较深的截半，其形成了均匀多面体；右边的是小斜方截半二十面体与菱形三十面体的对偶多面体——截半二十面体的复合体。

## 性质

<image>

小斜方截半二十面体是一种半正多面体，由三种正多边形组成，分别为正三角形面、正方形面和正五边形，每个顶点都是两个正方形、一个正三角形和一个五边形的公共顶点，在顶点图中可计为3.4.5.4，因此具有点可递的性质。由于其可以借由正十二面体透过扩展_(几何)变换，变换而成，因此又可以称为扩展十二面体。由于此原因，小斜方截半二十面体在施莱夫利符号中可以用rr{5,3}来表示，其中，rr表示扩展变换，{5,3}表示正十二面体，亦可以简写为$r\begin{Bmatrix} 5 \\ 3 \end{Bmatrix}$。

### 几何关联

将一个正十二面体（正二十面体）三十条棱都切一刀，在二十（十二）个顶点处也切一刀，就可以得到一个小斜方截半二十面体。也可以透过将正二十面体移动到远离原点适当的距离，并且不改变面的大小，然后对偶多面体（正十二面体）也做相同动作，并且在剩余的空隙补上正方形也可以得到小斜方截半二十面体。一可以视为截半二十面体再次截半后的像。因此，小斜方截半二十面体具有与正二十面体相同数量的三角形和与正十二面体相同数量的五边形，且正方形恰好等于正二十面体或正十二面体边的数量。

<image>

小斜方截半二十面体｜

<image>

小十二面截半二十面体｜

<image>

小斜方十二面体｜

<image>

小星形截角十二面体｜

<image>

六复合五角星柱｜

<image>

十二复合五角星柱

小斜方截半二十面体与小星形截角十二面体、六复合五角星柱以及十二复合五角星柱共用相同的顶点布局。

### 其他特性

小斜方截半二十面体由上而下可以分成5层，如下图所示，靠近顶面的那层可形成一个正十边形，特别地，由于其对称性，因此每十条棱皆可以成为一个正十边形，整个小斜方截半二十面体共有十二个独立的十边形。

<image>

小斜方截半二十面体的上下分层着色

### 顶点坐标

位于笛卡尔坐标系原点且边长为2单位长的小斜方截半二十面体。

(±1, ±1, ±φ3),

(±φ2, ±φ, ±2φ),

(±(2+φ), 0, ±φ2),

其中，φ = $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$为黄金分割率。

因此，这个小斜方截半二十面体的外接球半径是这些点与原点的共同距离，即$\sqrt{\phi^6+2}$。

而这个值的一半更为常见，计做R，其值等于边长为1的小斜方截半二十面体之外接球半径，代入恒等式φn+2 = φn+1 + φn五次可以得到：

R = $\frac{\sqrt{8\phi+7}}{2}$= $\frac{\sqrt{11+4\sqrt{5}}}{2}$≈ 2.233

### 体积与表面积

一个边长为a的小斜方截半二十面体，其表面积A和体积V为：

$\begin{align} A & = \left \{ 30 + \sqrt{ 30 \left [ 10 + 3\sqrt{5} + \sqrt{15 (5 + 2\sqrt{5})} \right ] } \right \} a^2 \\ & \approx 59.3059828a^2 \\ V & = \frac{1}{3} (60+29\sqrt{5})a^3 \approx 41.6153238a^3 \\ \end{align}$

### 二面角

小斜方截半二十面体有两种二面角，一个为正五边形和正方形的交角，另一个为正三角形与正方形的交角：

其中，正五边形和正方形的交角为：

$\arccos{\left(-\frac{\sqrt{10 \left(5+\sqrt{5}\right)}}{10}\right)} \approx 148.282525589^\circ$

其中，正三角形与正方形的交角为:

$\arccos{\left(-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{6}\right)} \approx 159.094842552^\circ$

## 正交投影

小斜方截半二十面体有6个特殊的正交投影，分别为于中心投影、于顶点上投影、于棱上投影（两种）和于面上投影（三种），其中“在正方形面上投影”以及“在正五边形面上投影”其对称性对应于A2 和 H2的考克斯特平面。

投影位置｜顶点｜三角形-正方形棱｜五边形-正方形棱｜正方形面｜三角形面｜五边形面

立体图｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

骨架｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

投影对称性｜2｜2｜2｜2｜6｜10

对偶骨架｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

## 球面镶嵌

小斜方截半二十面体也可以表示为球面镶嵌，并通过球极投影，投影到平面上。这个投影是一个等角头影，虽然长度发生改变，但保留了角度资讯。球面镶嵌上的直线投影到了平面后成为了弧线。

<image>

｜

<image>

以正五边形为中心｜

<image>

以正三角形为中心｜

<image>

以正方形为中心

正交投影｜球极平面投影

## 相关多面体与镶嵌

<image>

<image>

小斜方截半二十面体是正十二面体经过扩展_(几何)变换后的结果，其他也是由正二十面体透过康威变换得到的多面体有：

### 变异对称性

这个多面体在拓扑上与一系列顶点图为(3.4.n.4)的多面体和镶嵌相关，皆具有(*n32)的镜射对称性。

扩展镶嵌对称性 *n32 的变种： 3.4.n.4

对称性、n32n,3｜球面对称群列表｜平面对称群列表｜紧凑双曲｜仿紧双曲

- 2322,3｜、3323,3｜、4324,3｜、5325,3｜、6326,3｜、7327,3｜、8328,3...｜、∞32∞,3

图形｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

｜

<image>

顶点布局｜3.4.2.4｜3.4.3.4｜3.4.4.4｜3.4.5.4｜3.4.6.4｜小斜方截半七边形镶嵌｜小斜方截半八边形镶嵌｜小斜方截半无限边形镶嵌

### 詹森多面体

詹森多面体中，有13个与小斜方截半二十面体相关，其中包括5个小斜方截半二十面体的分割，以及8个与小斜方截半二十面体类似但部分结构被旋转的结果：

J5

<image>

｜小斜方截半二十面体欠一侧台塔

<image>

｜80

<image>

｜小斜方截半二十面体欠邻二侧帐塔

<image>

｜83

<image>

单旋侧帐塔小斜方截半二十面体

<image>

｜对二旋侧台塔小斜方截半二十面体

<image>

｜邻二旋侧台塔小斜方截半二十面体

<image>

｜三旋侧台塔小斜方截半二十面体

<image>

对单旋侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔

<image>

｜邻单旋侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔

<image>

｜二旋侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔

<image>

｜82

<image>

## 参考文献

- (Section 3-9)
- The Big Bang Theory Series 8 Episode 2 - The Junior Professor Solution: features this solid as the answer to an impromptu science quiz the main four characters have in Leonard and Sheldon's apartment, and is also illustrated in Chuck Lorre's Vanity Card #461 at the end of that episode.

## 外部链接

- polyhedra.htm
- Editable printable net of a Rhombicosidodecahedron with interactive 3D view
- The Uniform Polyhedra
- Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
- The Rhombi-Cosi-Dodecahedron Website
- The Rhombicosidodecahedron as a 3D puzzle