线性微分方程

线性微分方程（Linear differential equation）是数学中常见的一类微分方程。指以下形式的微分方程：

$$\mathcal{L}(y) = f \qquad \ldots \; \; (*)$$

其中方程左侧的微分算子$\mathcal{L}$是线性算子，y是要解的未知函数，方程的右侧是一个已知函数。如果f(x) 0，那么方程(*)的解的线性组合仍然是解，所有的解构成一个向量空间，称为解空间。这样的方程称为齐次线性微分方程。当f不是零函数时，所有的解构成一个仿射空间，由对应的齐次方程的解空间加上一个特解得到。这样的方程称为非齐次线性微分方程。线性微分方程可以是常微分方程，也可以是偏微分方程。

## 简介

线性微分方程是一类特殊的微分方程。一个线性微分方程的解构成向量空间或仿射空间，因此可以应用相关的代数知识来讨论解的性质。线性微分方程的普遍形式为：

$$\mathcal{L}(y) = f \qquad \ldots \; \; (*)$$

其中的$\mathcal{L}$是一个线性的微分算子，也就是说，设有两个函数$y_1$和$y_2$以及两个常数$\lambda_1$和$\lambda_2$，那么：

$$\mathcal{L}(\lambda_1 y_1 +\lambda_2 y_2) = \lambda_1 \mathcal{L}(y_1) + \lambda_2 \mathcal{L}(y_2).$$

如果f是零函数，那么给定若干个方程(*)的解函数：$y_1, y_2 , \cdots , y_m$以及同样多的常数系数：$\lambda_1, \lambda_2 , \cdots , \lambda_m$，线性组合$\lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2 + \cdots + \lambda_m y_m$仍然是方程(*)的解函数。这说明所有方程(*)的解函数构成一个线性空间V，称为方程的解空间。如果f不是零函数，那么考虑相应的齐次线性微分方程：

$$\mathcal{L}(y) = 0 \qquad \ldots \; \; (**)$$

设$y^s$是方程(*)的一个解函数。$y$方程的任意一个解函数。则它们的和$y^s + y$仍然是(*)的解函数。另一方面，给定方程(*)的两个解函数：$y_1^s$和$y_2^s$。则它们的差$y_1^s - y_2^s$会是方程的解函数。这说明方程(*)的所有解函数都可以写成$y^s + y, \; y \in V$的形式。其中V是方程(**)的解空间。所以方程(*)的所有解函数构成一个仿射空间V'，并且$V' = y^s + V$。

## 常系数齐次线性微分方程

一种解线性微分方程的方法是欧拉发现的，他意识到这类方程的解都具有$e^{z x}$的形式，其中$z$是某个复数。因此，对于以下方程：

$$\frac {d^{n}y} {dx^{n}} + A_{1}\frac {d^{n-1}y} {dx^{n-1}} + \cdots + A_{n}y = 0$$

我们设$y=e^{z x}$，可得：

$$z^n e^{zx} + A_1 z^{n-1} e^{zx} + \cdots + A_n e^{zx} = 0.$$

两边除以e zx，便得到了一个n次方程：

$$F(z) = z^{n} + A_{1}z^{n-1} + \cdots + A_n = 0.\,$$

这个方程F(z) = 0称为特征方程。

一般地，把微分方程中以下的项

$$\frac {d^{k}y} {dx^{k}}\quad\quad(k = 1, 2, \dots, n).$$

换成zk，便可得到特征方程。这个方程有n个解：z1, ..., zn。把任何一个解代入e zx，便可以得到微分方程的一个解：e zix。由于齐次线性微分方程满足叠加原理，因此这些函数的任意线性组合仍然满足微分方程。

如果特征方程的根都不重复，我们便得到了微分方程的n个解。可以证明，这些解是线性独立的。于是，微分方程的通解就是y = C1e z1x + C2e z2x + ...... + Cne znx，其中C1、C2、......、Cn是常数。

以上讨论了n个根全不相同的情形。如果这n个根中有两个（或多个）相同，用上面的方法就无法得出n个线性独立的解。但是，可以验证，如果z是特征方程的 mz 重根，那么，对于 $k\in\{0,1,\dots,m_{z}-1\} \,$，$y=x^ke^{zx} \,$ 就是微分方程的一个解。对每个特征根 z，都能得到 mz 个解，所有这些解的线性组合就是方程的通解。

一般地，如果微分方程的系数Ai都是实数，那么它的解也应该表示成实数的形式。假如特征方程有复数根，那么它一定是成对的，也就是说，如果a + bi是特征方程的根，那么a - bi也是一个根。于是，y = e (a + bi)x和y = e (a - bi)x都是微分方程的解。但这两个解都是复数的形式。考虑到这两个解的任意线性组合也仍然是微分方程的解，我们可以把这两个解相加，再除以2，利用欧拉公式，便得到一个实数形式的解：y = e axcosbx。如果把两个解相减，再除以2i，便得到另一个实数形式的解：y = e axsinbx。于是，y = C1e axcosbx + C2e axsinbx就是微分方程的通解。

### 例子

求微分方程$y''-4y'+5y=0 \,$的通解。特征方程是$z^2-4z+5=0 \,$，它的根是2+i和2−i。于是，$y= C_1 e^{2x} \cos{x} + C_2 e^{2x} \sin{x}$就是微分方程的通解。

## 常系数非齐次线性微分方程

欲得到非齐次线性微分方程的通解，我们首先求出对应的齐次方程的通解，然后用待定系数法或常数变易法求出非齐次方程本身的一个特解，把它们相加，就是非齐次方程的通解。

### 待定系数法

考虑以下的微分方程：

$$\frac {dy} {dx} = y + e^{2x}. \!$$

对应的齐次方程是：

$$\frac {dy} {dx} = y.$$

它的通解是：

$$y = c e^x. \!$$

由于非齐次的部分是($e^{2x}$)，我们猜测特解的形式是：

$$y_p = A e^{2x}.\!$$

把这个函数以及它的导数代入微分方程中，我们可以解出A：

$$\frac{d}{dx} \left( Ae^{2x} \right) = A e^{2x} + e^{2x} \!$$

$$2 A e^{2x} = A e^{2x} + e^{2x} \!$$

$$2 A = A + 1\,\!$$

$$A = 1.\,\!$$

因此，原微分方程的解是：

$y = c e^x + e^{2 x}. \!$ ($c \in R$)

### 常数变易法

假设有以下的微分方程：

$$y^{\prime\prime} + py^{\prime} + qy = f(x)$$

我们首先求出对应的齐次方程的通解$\ y = C_1 y_1 + C_2 y_2$，其中C1、C2是常数，y1、y2是x的函数。然后我们用常数变易法求出非齐次方程的一个特解，方法是把齐次方程的通解中的常数C1、C2换成x的未知函数u1、u2，也就是：

$$y = u_1 y_1 +u_2 y_2 . ~~\mathrm{(1)}$$

两边求导数，可得：

$$y'= u_1'y_1 + u_2' y_2 + u_1y_1' + u_2 y_2'.$$

我们把函数u1、u2加上一条限制：

$$u_1'y_1 + u_2'y_2 = 0. ~~\mathrm{(2)}$$

于是：

$$y' = u_1y_1'+u_2y_2'.~~\mathrm{(3)}$$

两边再求导数，可得：

$$y''= u_1'y_1'+u_2'y_2'+u_1y_1''+u_2y_2''.~~\mathrm{(4)}$$

把(1)、(3)、(4)代入原微分方程中，可得：

$$u_1'y_1'+u_2'y_2'+u_1y_1''+u_2y_2''+pu_1y_1'+pu_2y_2'+qu_1y_1+qu_2y_2 =f(x).$$

整理，得：

$$u_1'y_1'+u_2'y_2'+(u_1y_1''+pu_1y_1'+qu_1y_1)+(u_2y_2''+pu_2y_2'+qu_2y_2)= f(x).$$

由于y1和y2都是齐次方程的通解，因此$u_1y_1''+pu_1y_1'+qu_1y_1$和$u_2y_2''+pu_2y_2'+qu_2y_2$都变为零，故方程化为：

$$u_1'y_1'+u_2'y_2'=f(x).~~\mathrm{(5)}$$

(2)和(5)联立起来，便得到了一个$u_1'$和$u_2'$的方程组，便可得到$u_1'$和$u_2'$的表达式；再积分，便可得到$u_1$和$u_2$的表达式。

这个方法也可以用来解高于二阶的非齐次线性微分方程。一般地，有：

$$u'_j=(-1)^{n+j}\frac{W(y_1,\ldots,y_{j-1},y_{j+1}\ldots,y_n)_{0 \choose f}}{W(y_1,y_2,\ldots,y_n)}.$$

其中W表示朗斯基行列式。

## 变系数线性微分方程

n阶的变系数微分方程具有以下形式：

$$p_{n}(x)y^{(n)}(x) + p_{n-1}(x) y^{(n-1)}(x) + \cdots + p_0(x) y(x) = r(x).$$

一个例子是柯西-欧拉方程：

$$x^n y^{(n)}(x) + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_0 y(x) = 0.$$

变系数线性微分方程通常没有一般的方法可以求解，但一阶的变系数线性微分方程是例外。设有以下的一阶变系数线性微分方程：

$$\ Dy(x) + f(x) y(x) = g(x).$$

这个方程可以用积分因子求解，方法是把两边乘以$e^{\int f(x)\,dx}$：

$$Dy(x)e^{\int f(x)\,dx}+f(x)y(x)e^{\int f(x)\,dx}=g(x)e^{\int f(x) \, dx},$$

用乘法定则，可以简化为：

$$D (y(x)e^{\int f(x)\,dx})=g(x)e^{\int f(x)\,dx}$$

两边积分，得：

$$y(x)e^{\int f(x)\,dx}=\int g(x)e^{\int f(x)\,dx} \,dx+c ~,$$

$$y(x) = {\int g(x)e^{\int f(x)\,dx} \,dx+c \over e^{\int f(x)\,dx}} ~.$$

也就是说，一阶线性微分方程$y'(x) + p(x) y(x) = r(x)$的解是：

$$y=e^{-a(x)}\left(\int r(x) e^{a(x)}\, dx + \kappa\right)$$

其中$\kappa$是积分常数，且

$$a(x)=\int{p(x)\,dx}.$$

### 例子

考虑以下一阶线性微分方程：

$$\frac{dy}{dx} + b y = 1.$$

p(x) = b，r(x) = 1，因此微分方程的解为：

$$y(x) = e^{-bx} \left( \frac{e^{bx}}{b}+ C \right) = \frac{1}{b} + C e^{-bx} .$$

## 拉普拉斯变换解微分方程

应用拉普拉斯变换解线性微分方程显得更为方便简单。

首先有以下关系：

$$\mathcal{L}\{f'\} <pre> = s \mathcal{L}\{f\} - f(0)$$

$$\mathcal{L}\{f''\} <pre> = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0) - f'(0)$$

$$\mathcal{L}\{f^{(n)}\} <pre> = s^n \mathcal{L}\{f\} - \Sigma_{i = 1}^{n}s^{n - i}f^{(i - 1)}(0).$$

有如下微分方程：

$$\sum^n_{i=0}a_if^{(i)}(t)=\phi(t).$$

该方程可变换为：

$$\sum^n_{i=0}a_i\mathcal{L}\{f^{(i)}(t)\}=\mathcal{L}\{\phi(t)\}$$

则：

$$\mathcal{L}\{f(t)\}={\mathcal{L}\{\phi(t)\}+\sum^n_{i=1}a_i\sum^i_{j=1}s^{i-j}f^{(j-1)}(0) \over \sum^n_{i=0}a_is^i}.$$

其中 $f^{(k)}(0)$ 是初始条件。

f(t) 通过拉普拉斯反变换 $\mathcal{L}\{f(t)\}$ 求得。