理想 (环论)

理想（Ideal）是一个环论中的概念。

若某环的子集为在原环加法的定义下的子群，且其中的元素在原环乘法下与任意原环中的元素结果都在该子群中，则称其为原环的理想。

通俗地说，一环的理想在加法上成群且在乘法上表现如同一个黑洞。

理想是整数的某些子集，例如偶数或3的倍数组成的集合的推广。两个偶数相加或相减结果仍是偶数，偶数与任意整数相乘的结果也仍是偶数；这些闭包和吸收的性质正是理想的定义。理想可以被用来构造商环，这类似于在群论里，正规子群可以被用来构造商群。

## 历史

恩斯特·库默尔提出了理想数的概念，以此作为那些不具有唯一因子分解的数环的“缺失”的因子。“理想”在这里的意思是它只存在于想象中，可以类比在几何中那些“理想”的几何对象，比如无穷远处的点。随后在1876年，理查德·戴德金在狄利克雷的数论讲义书的第三版中用被称为“理想”的数的集合代替了库默尔之前未定义的概念。之后这个概念被大卫·希尔伯特和艾米·诺特从数环拓展到了多项式环以及其他交换环上。

## 定义

环(R,+,·)，已知(R, +)是阿贝尔群。R的子集I称为R的一个右理想，若I满足：

- (I, +)构成(R, +)的子群。
- ∀i ∈ I，r ∈ R，i·r ∈ I。

类似地，I称为R的左理想，若以下条件成立：

- (I, +)构成(R, +)的子群。
- ∀i ∈ I，r ∈ R，r·i ∈ I。

若I既是R的右理想，也是R的左理想，则称I为R的双边理想，简称R上的理想。

### 示例

- 整数环的理想：整数环Z只有形如nZ的理想。

### 一些结论

- 在环中，（左或右）理想的交和并仍然是（左或右）理想。
- 对于R的两个理想A，B，记$AB=\left\{ \sum_{k=0}^{n} a_{k}b_{k}| a_{k} \in A,b_{k} \in B \right\}$。按定义不难证明：
- 如果A是R的左理想，则AB是R的左理想。
- 如果B是R的右理想，则AB是R的右理想。
- 如果A是R的左理想，B是R的右理想，则AB是R的双边理想。
- R的子集I是R的理想，若I满足：
- ∀a,b ∈ I，a - b∈I。
- ∀a ∈ I, r ∈ R，则a·r∈ I。
- 交换环的理想：交换环的理想都是双边理想。
- 除环的理想：除环中的（左或右）理想只有平凡（左或右）理想。

## 生成理想

如果 $A$ 是环 $R$ 的一个非空子集，令 $\left\langle A\right\rangle=RA+AR+RAR+\mathbb{Z}A$, 其中

$$\mathbb{Z}A=\left\{\sum_{i=1}^n m_i a_i: m_i\in \mathbb{Z},\,a_i\in A,\,n\geq 1\right\};$$

$$RA=\left\{\sum_{i=1}^n r_i a_i: r_i\in R,\,a_i\in A,\,n\geq 1\right\};$$

$$AR=\left\{\sum_{i=1}^n a_i r_i: r_i\in R,\,a_i\in A,\,n\geq 1\right\};$$

$$RAR=\left\{\sum_{i=1}^n r_i a_i r_i': r_i,r_i'\in R,\,a_i\in A,\,n\geq 1\right\},$$

则 $\left\langle A\right\rangle$ 是环 $R$ 的理想，这个理想称为 $R$ 中由 $A$ 生成的理想，$A$ 称为生成元集。同群的生成子群类似，$\left\langle A\right\rangle$ 是 $R$ 中所有包含 $A$ 的理想的交，因此是 $R$ 中包含 $A$ 的最小理想。下面是生成理想的几种特殊情况：

- 当 $R$ 是交换环时，$\left\langle A\right\rangle =RA+\mathbb{Z}A$;
- 当 $R$ 是有单位元$1$的环时，$\left\langle A\right\rangle =RAR$;
- 当 $R$ 是有单位元的交换环时，$\left\langle A\right\rangle =RA$.

## 主理想

设集合A = {a1,a2,...,an}，则记 = 1,a2,...,an>，称$\left \langle A \right \rangle$是有限生成理想。特别当$A= \left\{ a\right\}$是单元素集时，称$\left \langle A \right \rangle =\left \langle a \right \rangle$为环R的主理想。注意$\left\{ a\right\}$作为生成元一般不是唯一的，如$\left \langle a \right \rangle =\left \langle -a \right \rangle$。$\left \langle a \right \rangle$的一般形式是：

$$\left \langle a \right \rangle =\left\{ \sum_{k=1}^{m} x_{k}ay_{k}+sa+at+na| x_{k},y_{k},s,t \in R, n,m \in Z \right\}$$

- 性质：$\left \langle A \right \rangle =\sum_{a \in A} \left \langle a \right \rangle$

几类特殊环中的主理想：

- 如果是交换环，则$\left \langle a \right \rangle =\left\{sa+na| s \in R, n \in Z \right\}$
- 如果是有单位元的环，则$\left \langle a \right \rangle =\left\{ \sum_{k=1}^{m} x_{k}ay_{k}| x_{k},y_{k} \in R, m \in Z, m>0 \right\}$
- 如果是有单位元的交换环，则$\left \langle a \right \rangle =\left\{sa| s \in R \right\}$

## 相关概念和结论

- 真理想：若I是环R的理想，且I是R的真子集，I称为R的真理想。
- 极大理想：环R的一个真理想I被称为R的极大理想，若不存在其他真理想J，使得I是J的真子集。
- 极大左理想：设I是环R的左理想，若I ≠ R并且在I与R之间不存在真的左理想，则称I是环R的一个极大左理想。极大左理想与极大理想之间有如下关系：
- 如果I是极大左理想，又是双边理想，则I是极大理想。
- 极大理想未必是极大左理想。
- 单环：在幺环中，若零理想是其极大理想，称该环为单环。
- 除环是单环，其零理想是极大理想。
- 域是单环。
- 在整数环Z中，由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是：p是素数。
- 设R是有单位元1的交换环。理想I是R的极大理想的充分且必要条件是：商环R / I是域。
- 设I是环R的左理想，则I是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在I中的左理想J都有I+J=R。
- 素理想：环R的真理想I被称为素理想，若∀R上的理想A，B，有AB ⊆ I ⇒ A ⊆ I或B ⊆ I。
- 素环：若环R的零理想是素理想，则称R是素环（或质环）。
- 无零因子环是素环。
- 在交换环R中，真理想I是素理想的充要条件是：R / I是素环。
- 准素理想：环R的真理想I。若∀R上的理想P，有P2 ⊆ I ⇒ P ⊆ I，称I是R的准素理想。
- 准素理想是一类比素理想相对较弱的理想。素理想是准素理想，反之不成立。