A无穷代数

A无穷代数（A-infinity algebra，或 $\;A_{\infty}\;$-algebra）是吉姆·斯塔谢夫（Jim Stasheff）在1960年代研究H-空间的乘法的结合性时发现的一种代数结构，又称为强同伦结合代数（strongly homotopy associative algebra）。1970年代陈国才（K.-T. Chen）和T.V. Kadeishvili在一个流形的同调群上用不同的方法各自发现了一种A无穷代数结构。1990年代深谷贤治在研究辛流形的拉格朗日Floer同调（Lagrangian Floer Homology）时推广了斯塔谢夫的概念，称为A无穷范畴（A-infinity category，$\;A_{\infty}\;$-category）。一般数学家把深谷的发现称为深谷范畴（Fukaya category）。

## 定义

设$\;V\;$是数域$\;k\;$上的一个分次线性空间。$\;V\;$上的一个A无穷代数结构是一组映射$\;m_n:V^{\otimes n}\to V,\quad m_n\;$的度数为$\; n-2,\;$满足以下4组关系：

- $\;m_1=d\;$是一个微分，即$\;d^2=0;\;$
- $\;m=m_2:V\otimes V\to V\;$是一个链映射，换言之$\;d\circ m=m\circ d;\;$可以把$\;m_2\;$看成一个乘法，并且这个乘法能够降到同调上去。
- $\;m_3:V^{\otimes 3}\to V\;$是乘法$\;m\;$关于结合律的同伦，即$\;a\cdot(b\cdot c)\ne (a\cdot b)\cdot c,\;$而是在同伦的意义下是结合的：$\;m_3d+dm_3=m(m\otimes Id)-m(Id\otimes m);\;$
- $\;m_4,\cdots\;$是高阶同伦，即$\;m_4\;$是$\;m_3\;$的同伦，$\;m_5\;$是$\;m_4\;$的同伦等等，换言之$m_nd-(-1)^{n}dm_n=\sum_{i+j=n+1,i,j\ge 2}(-1)^j m_i\circ m_j.\;$

从上面的定义可以看出，对于一个A无穷代数，它的同调实际上形成一个结合代数。这也就是一个A无穷代数称为强同伦结合代数的原因。

## 等价定义

如果读者熟悉余代数的概念，那么考虑$\;V\;$的元素度数降低1然后生成的张量代数，记为$\;TV[1]\;$。$\;TV[1]\;$上有一个自然的余积，为$\;\Delta(a_1\otimes a_2\otimes\cdots\otimes a_n)=\sum_{i=0}^na_1\otimes\cdots\otimes a_i\bigotimes a_{i+1}\otimes\cdots\otimes a_n.\;$从而使$\;TV[1]\;$成为一个上代数。$\;V\;$上的一个A无穷代数结构就是$\;TV[1]\;$上的一个余导子（coderivation）$\;\delta\;$并且满足$\;\delta^2=0\;$。关于这两个定义的等价性证明可以参考下面 Markl-Shnider-Stasheff 的书。

## 详解

Stasheff是怎样得到A无穷代数的结构的呢？我们下面以一个具体的例子，同时也是Stasheff所考虑的原型来说明。设$\;M\;$是一个拓扑空间，$\;x\;$为其上一点。记$\Omega M:=\{f:[0,1]\to M|f(0)=f(1)=x\},\;$称为$\;M\;$的环路空间（based loop space）。在$\;\Omega M\;$上我们可以定义一种乘法，如下：任给$\;\gamma_1,\gamma_2\in\Omega M\;$，$\;\gamma_1\circ\gamma_2:=\begin{cases}\gamma_1(2x),&\mbox{ if } 0\le x<\frac{1}{2}\\ \gamma_2(2x-1),& \mbox{ if } \frac{1}{2}\le x\le 1.\end{cases}$ 回忆学习基本群的时候，我们都验证过这样的乘法并不是结合的，但在同伦意义下是结合的：不难构造这样的同伦，记为$\tilde m_3$，$\tilde m_3:[0,1]\times[0,1]\to M,$使得$\tilde m_3(0,\cdot)=(\gamma_1\circ\gamma_2)\circ\gamma_3(\cdot),\tilde m_3(1,\cdot)=\gamma_1\circ(\gamma_2\circ\gamma_3)(\cdot)\;$。对于$\;\Omega M\;$里面的4个元素，我们有下面五种乘法，他们是相互同伦的，如下图所示：

<image>

图中1表示恒同映射。这样我们就得到了一个以圆周$\;S^1\;$为参数的一串从$\;[0,1]\;$到$\;M\;$的映射。事实上因为这些映射的像都是重合的，因而我们实际上可以把这一串映射延拓到以$\;S^1\;$为边的圆盘$\;D^2\;$上，即为同伦之间的同伦，记为$\;\tilde m_4\;$。如此一直进行下去，我们就得到$\;\tilde m_5,\tilde m_6,\cdots\;$，等等。在链水平上，我们把$\;\tilde m_n\;$对应的映射记为$\;m_n\;$，则不难看出$\;m_n\;$就是满足上面A无穷代数定义的那些算子。

## 例子

- 一个平凡的例子是，任何一个（微分分次）结合代数都是一个A无穷代数。这里只要令$\;m_3,m_4,\cdots\;$都等于0就行了。
- 除了Stasheff的例子和上面这个平凡的例子之外，陈国才和Kadeishvili利用流形的微分形式也构造了一些A无穷的例子，其中陈国才的构造更为深刻，成为有理同伦论（rational homotopy theory）中一个重要的理论。给定一个流形，考虑它上面的微分形式，这是一个微分分次代数（differential graded algebra, DGA），同时我们还可以考虑它的上同调，赋以一个平凡的微分，则它也形成一个微分分次代数。但是这两个微分分次代数不是链等价的！比如说，根据霍奇理论我们可以把上同调用调和形式作为代表，这种不等价性表现在两个调和形式的外积不一定是调和的。根据霍奇分解，我们可以把这种乘积再投射到调和形式里面去，但是这样定义出来的乘法却不再是结合的，但是在同伦的意义下结合。以此，我们实际上得到了一种A无穷代数。这就是陈国才和Kadeishvili以及后来研究者的基本思路，但是陈国才走的更远，他实际上揭示了这种A无穷代数跟流形的环路空间的拓扑之间的关系，以及这些A无穷代数的在某些情况下的退化跟流形本身的一些拓扑障碍有关系，跟Sullivan后来研究流形的形式化（formality）有相似之处。

## 科祖对偶和有理同伦论

Stasheff的A无穷代数的概念自然地出现在关于一般代数结构的分解（resolution）的理论中。给定一个代数结构，我们希望能够通过对它的分解看清其中的结构（对比于流形，这样分解就是波斯尼科夫塔）。这其中，所谓的科祖分解是一种非常有效的分解方式，而A无穷代数则非常自然地出现在结合代数的Koszul分解过程当中：对于一个结合代数，它的科祖分解有一个A无穷代数结构，而这个A无穷代数的科祖分解又是一个A无穷代数，如此不已。但是，原来的结合代数和两次科祖分解后得到的A无穷代数实际上是链等价的，第二个分解和第四个分解也是如此，如此循环。这就是所谓的科祖对偶（Koszul duality）的概念。

对于李代数和交换代数，我们同样可以进行科祖分解。一个李代数的科祖分解有一个C无穷代数（C是交换commutativity的英文缩写）结构，而一个交换代数的科祖分解有一个李无穷代数结构。所谓李无穷代数和C无穷代数，正如A无穷代数一样，他们的同调分别是李代数和交换代数。李代数和交换代数分别是一种特殊的李无穷代数和C无穷代数。由一个李代数经过科祖分解后到C无穷代数然后再经科祖分解到李无穷代数，所得的这两个李无穷代数实际上是同伦等价的，对于交换代数也是如此。因此我们可以说，李代数和交换代数是相互科祖对偶的。这个结论实际上是奎伦在有理同伦论中发现的，他还证明，在有理系数下，这两个代数组成的范畴都和拓扑中的有理同伦型（rational homotopy type）组成的范畴是等价的（有一些单连通性条件）。后来 Sullivan通过考察流形的微分形式，得到了类似的结果，但是更几何，更直观。

## A无穷范畴

考虑一个范畴$\;\mathfrak C\;$。对于其中的四个对象及其之间态射$\;A\stackrel{f}{\longrightarrow}B\stackrel{g}{\longrightarrow}C\stackrel{h}{\longrightarrow}D,\;$我们有$\;(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h),\;$这显示了这些态射之间有一种结合性。一个A无穷范畴就是打破这些结合性，使之成为在同伦意义下是结合的，同时有高阶同伦算子，成为同伦的同伦，同伦的同伦的同伦，等等。因此一个A无穷范畴并不是一个范畴，而是同伦意义下的范畴：它的“同调”形成一个范畴。

深谷在研究辛拓扑的时候发现了这个A无穷范畴的结构。给定一个辛流形，考虑其中的拉格朗日子流形（Lagrangian submanifold）。对其中任意两个拉格朗日子流形，考虑所谓的拉格朗日Floer链复形，形成所谓的态射。深谷发现这些态射之间可以定义乘法，但是这个乘法本身不结合但在同伦意义下结合，他并构造了高阶同伦算子，使之成为一个A无穷范畴，现在称为深谷范畴。

## 相关概念

- B无穷代数（$\;B_{\infty}\;$-algebra）
- C无穷代数（$\;C_{\infty}\;$-algebra）
- E无穷代数（$\;E_{\infty}\;$-algebra）
- G无穷代数（$\;G_{\infty}\;$-algebra）
- 李无穷代数（$\;L_{\infty}\;$-algebra）

## 参考文献

Stasheff关于A无穷代数的构造见：

- Stasheff, James Dillon, Homotopy associativity of $H$-spaces. I, II. Trans. Amer. Math. Soc. 108 (1963), 275-292; ibid. 108 1963 293-312.
- Markl, Martin; Shnider, Steve; Stasheff, Jim, Operads in algebra, topology and physics. Mathematical Surveys and Monographs, 96. American Mathematical Society, Providence, RI, 2002.

陈国才的$\;A_{\infty}\;$-代数的构造，并不是在文章中明显给出的，但不难推导，见：

- Chen, Kuo Tsai, Iterated path integrals. Bull. Amer. Math. Soc. 83 (1977), no. 5, 831-879.

Kadeishvili的文章发表于1980年，作者后来重新整理，题为 On the homology theory of fiber spaces。原文见：

- Kadeishivili, T. V., On the theory of homology of fiber spaces. (Russian) International Topology Conference (Moscow State Univ., Moscow, 1979). Uspekhi Mat. Nauk 35 (1980), no. 3(213), 183-188.

关于Koszul对偶，最经典的文章见：

- Ginzburg, Victor; Kapranov, Mikhail, Koszul duality for operads. Duke Math. J. 76 (1994), no. 1, 203-272.

Quillen的有理同伦论，见：

- Quillen, Daniel, Rational homotopy theory. Ann. of Math. (2) 90 1969 205-295.

Sullivan的有理同伦论，见：

- Sullivan, Dennis, Infinitesimal computations in topology. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 47 (1977), 269-331 (1978).

关于Fukaya范畴，见 他的主页上的文章，以及

- Fukaya, Kenji, Morse homotopy, $A\sp \infty$-category, and Floer homologies. Proceedings of GARC Workshop on Geometry and Topology '93 (Seoul, 1993), 1-102, Lecture Notes Ser., 18, Seoul Nat. Univ., Seoul, 1993.