割圆术 (刘徽)

割圆术是三国时期数学家刘徽在注释《九章算术》时提出的一种数学方法，用于计算圆周率。这种方法通过计算圆内接正多边形的面积来逼近圆的面积，蕴含了极限思想，是中国古代数学中的重要成就。

## 历史背景

在刘徽之前，圆周率的计算多采用经验值。常见的"周三径一"（即圆周率=3）仅是粗略估计。东汉科学家张衡曾采用$\pi = \frac{736}{232}=3.172$和$\pi=\sqrt{10}\approx3.16$，但刘徽认为$\pi=\sqrt{10}$的数值过大。孙吴天文学家王蕃则采用$\pi=\frac{142}{45}\approx3.156$。

这些数值都只准确到两位数字，且缺乏系统的数学推导。刘徽首次创立了可以计算圆周率到任意精确度的迭代程序，为中国古代数学开辟了新的方向。

## 基本原理

### 极限思想

刘徽割圆术的核心思想是：将圆分割为内接正多边形，分割越细，多边形的边数越多，其面积就越接近圆的面积。刘徽用以下文字描述这一思想：

以六觚之一面乘半径，因而三之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘半径，因而六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣。

用现代数学语言表达，即：

$$\lim_{N \to \infty} S_{6\times 2^N} = S_{\text{圆}}$$

其中$S_{6\times 2^N}$表示圆内接正$6\times 2^N$边形的面积。

### 圆面积公式的证明

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刘徽利用出入相补原理证明了圆面积公式。他将内接正2N边形分割后重新排列，形成一个宽为$\frac{N}{2} \cdot L$、高为R的长方形（其中L为N边形的边长，R为圆半径）。由此可得：

$S_{2N} = \frac{N}{2} \cdot L \cdot R =$（N边形的半周长）$\times R$

当$N \to \infty$时，N边形的半周长趋近于圆的半周长，因此：

$S$圆$=$（圆的半周长）$\times R$

由此推导出圆周率公式：

$\pi = {}$ 圆周/直径 ${} = \frac{2 \times S_{\text{圆}} / R}{2R} = \frac{S_{\text{圆}}}{R^2}$

## 现代数学视角下的割圆术

从现代数学的角度审视，刘徽割圆术蕴含了丰富的分析学思想，可以视为微积分先驱工作的重要组成部分。

### 极限思想的早期体现

刘徽提出的“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，实质上描述了极限过程。若用现代数学语言表达，设圆面积为$S$，圆内接正$n$边形面积为$S_n$，则刘徽断言：

$$\lim_{n \to \infty} S_n = S$$

这一思想比欧洲数学中类似的极限概念早了约一千余年。刘徽不仅直观地认识到多边形面积可以无限逼近圆面积，还通过“余径”的概念从上下两个方向进行夹逼，实际上构建了早期的夹逼定理应用实例。

### 无穷小分割与积分思想

刘徽割圆术的另一重要贡献在于其对无穷小量的处理。当他考虑“余径”$d$（即圆心到多边形边的距离与半径之差）时，实际上引入了后来微积分中无穷小量的概念。他指出，随着分割的细化，余径$d$趋近于0，而“以面乘余径”所得的长方形面积也趋近于0。

这一思路可以看作定积分思想的雏形：圆面积可以理解为无数个窄条矩形面积之和的极限。用现代积分符号表示，设圆的半径为$R$，则圆面积可表达为：

$$S = 2 \int_{-R}^{R} \sqrt{R^2 - x^2} \, dx$$

刘徽通过多边形逼近的方法，实际上是在用初等方式计算这一积分，尽管他并未发展出积分符号和系统理论，但其算法已暗含了积分计算的基本逻辑。

### 数列收敛与误差分析

刘徽在计算过程中实际上构造了一个数列：$\{S_6, S_{12}, S_{24}, S_{48}, S_{96}, \ldots\}$。他不仅观察到此数列单调递增且有上界（圆面积），还进一步分析了相邻两项之差（即面积差$D_{2N}=S_{2N}-S_N$）的变化规律。

他发现这些面积差构成一个等比数列，公比约为$\frac{1}{4}$：

$$D_{192} : D_{96} \approx 1:4,\quad D_{384} : D_{192} \approx 1:4,\ldots$$

这一发现使他能够用等比数列求和公式估算无穷多项的总和，从而发展出快捷算法。从现代数值分析的角度看，这相当于对收敛速度进行了定量估计，并利用级数求和加速收敛——这是数值分析中加速收敛技术的早期范例。

### 与微积分基本定理的暗合

刘徽在证明圆面积公式$S = \frac{1}{2} \times$周长$\times$半径时，利用出入相补原理将多边形面积转化为长方形面积。这一过程从现代视角看，实质上是将曲线下的面积问题转化为直线图形面积问题，与微积分基本定理中积分与反导数的关系有着内在的相似性。虽然刘徽未能发展出系统的微分学，但他的工作为后世理解曲线形面积的计算提供了重要的思想工具。

### 历史评价

数学史家李文林指出：“刘徽的割圆术不仅是一个计算圆周率的有效算法，更重要的是它展现了中国古代数学家对无限过程的深刻理解。在微积分诞生之前，能够如此自觉地运用极限思想处理数学问题，在世界数学史上都是罕见的。”吴文俊则从机械化数学的角度评价道：“刘徽割圆术的程序化特征，体现了中国古代数学的机械化思想，与《九章算术》的算法传统一脉相承，为后世数学机械化研究提供了历史借鉴。”

## 计算程序

刘徽从圆内接正6边形开始，逐次倍增边数，计算各多边形面积。以下以半径1尺（=10寸=1000000忽）为例说明计算过程。

### 从6边形到12边形

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已知圆内接正6边形边长等于半径，即M=10寸。设圆心为O，AB为6边形一边，C为AB中点，连接OC并延长交圆周于D，则AD为12边形一边。

根据勾股定理：

$OP = \sqrt{r^2 - \left(\frac{M}{2}\right)^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} \approx 8.660254$寸

$PC = r - OP = 10 - 8.660254 = 1.339746$寸

$AC = \sqrt{AP^2 + PC^2} = \sqrt{5^2 + 1.339746^2} \approx 5.17638$寸

因此正12边形的边长为5.17638寸。

### 从12边形到24边形

将上一步求得的12边形边长作为新一轮计算的起点。重复上述步骤，可得24边形边长为2.61052寸。具体计算过程与上一步类似，逐次逼近。

### 计算至192边形

刘徽继续计算至96边形和192边形，得到：

- 正96边形面积 ≈ 313.584625平方寸
- 正192边形面积 ≈ 314.1024平方寸

### 圆周率不等式

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刘徽利用多边形面积之差推导出圆周率的取值范围。在图中，黄色部分是N边形的面积，设为$S_N$，黄色部分加上绿色部分是2N边形的面积，设为$S_{2N}$。因此，绿色部分是2N边形与N边形的面积差：

$$D_{2N}=S_{2N}-S_N$$

红色部分面积与绿色部分相等。所以红色部分面积等于$D_{2N}$。故

黄色面积 + 绿色面积 + 红色面积 = $S_{2N} + D_{2N}$

$$S_{2N} < S_{\text{圆}} < S_{2N} + D_{2N}$$

以N=96为例：

$$S_{192} \approx 314.1024$$

$$S_{96} \approx 313.584625$$

$$D_{192} = S_{192} - S_{96} \approx 0.517775$$

因此：

$$314.1024 < S_{\text{圆}} < 314.1024 + 0.517775 = 314.620175$$

换算为圆周率：

$$3.141024 < \pi < 3.142704$$

刘徽取圆面积为314平方寸，得到圆周率的近似值：

$$\pi \approx \frac{314}{100} = \frac{157}{50} = 3.14$$

此即著名的"徽率"。

## 快捷算法

在计算到192边形后，刘徽发现了一个可以简化计算的规律。他将多边形的面积差构成一个数列，发现：

$$D_{384} \approx \frac{1}{4}D_{192},\quad D_{768} \approx \frac{1}{4}D_{384},\quad D_{1536} \approx \frac{1}{4}D_{768},\ldots$$

这是一个公比为$\frac{1}{4}$的等比数列。由此可得：

$$\begin{align} \pi &\approx S_{192} + D_{384} + D_{768} + D_{1536} + D_{3072} + \cdots \\ &\approx S_{192} + D_{192}\left(\frac{1}{4} + \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^3 + \cdots \right) \\ &\approx S_{192} + D_{192} \cdot \frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}} \\ &\approx S_{192} + \frac{1}{3}D_{192} \end{align}$$

代入数值：

$$\pi \approx 314.1024 + \frac{1}{3} \times 0.517775 \approx 3.1416$$

即$\pi \approx \frac{3927}{1250} = 3.1416$。这一方法只需用到96边形的数据，就能达到相当于计算到1536边形的精度，大大简化了计算过程。

## 迭代公式与连平方根表示

刘徽的割圆术可以用现代数学语言表示为迭代公式。设$m_k$为圆内接正$6\times 2^k$边形的边长（半径=1），则：

$$m_0 = 1$$

$$m_{k+1} = \sqrt{2 - \sqrt{4 - m_k^2}}$$

由此可得圆周率的连平方根表示：

$$\pi \approx 3 \times 2^k \times m_k$$

具体地：

$\pi \approx 6 \times \sqrt{2-\sqrt{2+1}}$ （正12边形）

$\pi \approx 12 \times \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}$ （正24边形）

$\pi \approx 24 \times \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}}$ （正48边形）

$\pi \approx 48 \times \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}}}$ （正96边形）

## 祖冲之的进一步发展

南北朝时期的数学家祖冲之沿用了刘徽的割圆术，继续计算至正12288边形，求得正24576边形的面积：

$$S_{24576} \approx 3.14159261864$$

利用刘徽的不等式：

$$S_{24576} < \pi < S_{24576} + (S_{24576} - S_{12288})$$

其中$S_{24576} - S_{12288} \approx 0.0000001021$，因此：

$$3.14159261864 < \pi < 3.14159272074$$

取八位有效数字，即得著名的祖冲之圆周率不等式：

$$3.1415926 < \pi < 3.1415927$$

这一精度保持了世界纪录长达900年。祖冲之还用何承天的调日法，通过计算得到约率$\frac{22}{7} \approx 3.142857$和密率$\frac{355}{113} \approx 3.14159292$。

## 与阿基米德割圆术的比较

比刘徽早约500年的希腊数学家阿基米德也提出了割圆术，但两者的方法有所不同：

比较维度｜刘徽割圆术｜阿基米德割圆术

核心方法｜以多边形面积逼近圆面积｜以多边形边长逼近圆周长

计算对象｜多边形面积｜内接和外切多边形边长

极限思想｜单方向内接多边形逼近｜内外夹逼（内接和外切）

结果精度｜3.141024 < π < 3.142704｜3.140845 < π < 3.142857

阿基米德通过计算正96边形，得到不等式$\frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7}$（即3.140845 < π < 3.142857）。刘徽的弱值3.141024和强值3.142704均优于阿基米德的相应值。

## 影响与评价

刘徽割圆术是中国数学史上第一个具有严谨理论基础的圆周率计算方法。它不仅给出了具体的计算程序，更重要的是蕴含了朴素的极限思想，为后世数学发展开辟了道路。

吴文俊评价道："刘徽割圆术是一个十分精彩的算法"。这一方法后来传入印度，对印度数学产生了影响，古印度数学中出现的$\frac{3927}{1250}$即源自刘徽。