卡西米尔不变量

在数学里，卡西米尔不变量（又称卡西米尔元或卡希米尔算子）是李代数的泛包络代数中心的一个特别的元素。典型的例子是角动量算符的平方 J 2, 一个三维旋转群的卡西米尔不变量。

卡西米尔元以亨德里克·卡西米尔命名。1931年，他确立了这个概念，以用在他对刚体动力学的描述当中。

## 定义

最常用的卡西米尔元是二次的。其最易定义，因此先在下文给出。然而，也有更高次的卡西米尔不变量，其对应高次的对称齐次多项式，这些不变量在最后定义。

### 二次卡西米尔元

设 $\mathfrak{g}$ 为一个 $n$ 维半单李代数。设 B 为 $\mathfrak{g}$ 上非奇异的二次型，并要求 B 在 $\mathfrak{g}$ 的伴随作用下不变，即对 $\mathfrak{g}$ 中的任意 X,Y,Z, 都有 $B(ad_XY,Z)+B(Y,ad_XZ)=0.$ （例如，可取 B 为基灵型。）

设

$$\{X_i\}_{i=1}^n$$

为 $\mathfrak{g}$ 的基，以及

$$\{X^i\}_{i=1}^n$$

为 $\mathfrak{g}$ 关于 B 的对偶基，则 B 的卡西米尔不变量 $\Omega$ 是泛包络代数 $U(\mathfrak{g})$ 的元素

$$\Omega = \sum_{i=1}^n X_i X^i.$$

尽管上述定义取决于选取的基，可以证明所得的 Ω 与所选的基无关。另一方面，不同的二次型 B 可以给出不同的 Ω. B 的不变性，说明卡西米尔元与李代数 $\mathfrak{g}$ 的任何元素都可交换，因此是泛包络代数 $U(\mathfrak{g})$ 的中心的元素。

### 线性表示和光滑作用的卡西米尔元

给定 $\mathfrak{g}$ 在向量空间 V 上的李代数表示 ρ （允许无穷维），将 ρ(Ω) 称为 ρ 的卡西米尔不变量，其为 V 上的线性算子，且由下式给出：

$$\rho(\Omega) = \sum_{i=1}^n \rho(X_i)\rho(X^i).$$

此处假定了 B 为基灵型，否则必须指明 B.

该构造的特定形式，在微分几何和大域分析中有重要作用。假设连通李群 G 的李代数 $\mathfrak{g}$ 作用在微分流形 M 上，则在 M 的连续函数空间上，有 G 相应的表示 ρ. $\mathfrak{g}$ 的元素均由 M 上的一阶微分算子表示，于是，上式给出 ρ 的卡西米尔元，其为 M 上的二阶微分算子，且在 G 的作用下不变。

更进一步，若 M 有度量张量，使得 G 的元素作为 M 的保距变换，可递地作用在 M 上，且一点的稳定子 Gx 不可约地作用在切空间 TxM 上，则 ρ 的卡西米尔元是该度量的拉普拉斯算子的倍数。

也可定义更一般的卡西米尔不变量，其于弗雷德霍姆理论研究伪微分算子时用到。

### 一般情况

每个卡西米尔算子，都对应伴随表示的对称代数 $\mbox{ad}_\mathfrak{g}.$ 的对称齐次多项式。换言之，任何一个卡西米尔算子都具有下列形式：

$$C_{(m)} = \kappa^{ij\cdots k} X_i \otimes X_j \otimes \cdots\otimes X_k,$$

其中 m 是对称张量 $\kappa^{ij\cdots k}$ 的阶，且 $X_i$ 组成 $\mathfrak{g}$ 的基。域 K上的多项式环 $K[t_i, t_j, \cdots ,t_k]$ 内，有 m 元对称齐次多项式

$$c_{(m)} = \kappa^{ij\cdots k} t_i t_j \cdots t_k$$

与该卡西米尔算子对应。庞卡莱–伯克霍夫–维特定理给出了泛包络代数的显式构造，由此可以证明上述的对应关系。

然而，并非每个对应张量（或对称齐次多项式）都与一个卡西米尔算子对应。其必须与李括号显见地可交换，即对每个基向量 $X_i$, 都满足

$[C_{(m)}, X_i] = 0$.

考虑结构常数 fijk，其满足

$$[X_i,X_j]=f_{ij}^{\;\; k}X_k.$$

于是对于满足上述条件的对称多项式，可得

$$f_{ij}^{\;\; k} \kappa^{jl\cdots m} + f_{ij}^{\;\; l} \kappa^{kj\cdots m} + \cdots + f_{ij}^{\;\; m} \kappa^{kl\cdots j} = 0.$$

此为伊斯拉埃尔·盖尔范德所得的结果。由该交换关系，可知卡西米尔元与李代数中的任意元素都可交换，从而卡西米尔元是在泛包络代数的中心里内。得益于此，李代数表示能以其卡西米尔元的特征值来分类。

注意上述对称多项式的线性和仍然是在中心里。更甚者，诸卡西米尔元组成中心的一组基。若一个半单李代数的秩为 r, 即其嘉当子代数的维数为 r, 则其恰有 r 个卡西米尔元。

## 性质

### 唯一性

一个单李代数中，每个不变二次型皆为基灵型的倍数，所以对应的卡西米尔元唯一（允许相差一个常数的意义下）。对于一般的半单李代数，考虑其不变二次型组成的空间。半单李代数是若干单李代数的直和，因此该二次型空间中，对应每个单分量，恰有一个基向量。故卡西米尔元组成的空间中，也对应每个单分量，恰有一个基向量。

### 与 G 上拉普拉斯算子的关系

若 $G$ 为李群，且其李代数为 $\mathfrak{g}$, 则 $\mathfrak{g}$ 上的不变二次型对应 $G$ 上的双不变黎曼度量。并且， $\mathfrak{g}$ 的泛包络代数等同于 $G$ 上的左不变微分算子空间。在此等同关系下，$\mathfrak{g}$ 上双线性型的卡西米尔元，对应 $G$ 关于双不变度量的拉普拉斯－贝尔特拉米算子。

### 推广

卡西米尔算子是李代数的泛包络代数的中心的特殊二次元素。换言之，卡西米尔算子是一个微分算子，其与李代数的生成元皆可交换。泛包络代数中心里，每个二次元素均是某个二次型的卡西米尔元。然而，中心内可以有其他（非二次）的元素。

由拉卡定理，半单李代数的泛包络代数中心的维数，等于该李代数的秩。在任意的半单李群（即其李代数为半单李代数）上，可以利用卡西米尔元，定义群上的拉普拉斯算子。然而，按照上述关于秩的结论，当秩大于 1 时，无法类比地定义唯一的拉普拉斯算子。

根据定义，泛包络代数的中心内，任何元素都与整个代数的元素可交换。由舒尔引理，任何既约表示中，卡西米尔算子必为恒等映射的倍数。该比例常数适用于李代数表示的分类（也就适用于李群表示的分类）。物理上，质量和自旋均属该种常数，并且量子力学中许多量子数亦然。

## 例：$\mathfrak{so}(3)$

考虑三维欧几里得空间的旋转群 SO(3). 其李代数 $\mathfrak{so}(3)$ 的秩为 1, 因此仅得一个独立的卡西米尔元。旋转群的基灵型为克罗内克δ, 故相应的卡西米尔不变量正是李代数的生成元 $L_x,\, L_y,\, L_z$ 的平方和。换言之，卡西米尔元由等式

$$L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2$$

给出。

考虑 $\mathfrak{so}(3)$ 的一个不可约表示。记其中 $L_z$ 的最大特征值为 $\ell$, 则 $\ell$ 的可能取值为 $0,1/2,1,3/2,\ldots.$ 卡西米尔元的不变性可推出其为恒等算子 I 的倍数。该常数可以具体计算出，即：

$$L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2=\ell(\ell+1)I.$$

在量子力学中，常数 $\ell$ 称为总角动量量子数。对于旋转群的有限维矩阵取值表示，$\ell$ 总为整数或半整数（奇数的一半）。倘为整数，则该表示称为玻色子表示（bosonic representation)，否则称为费米子表示（fermionic representation)。

给定 $\ell$, 得到的矩阵表示是 $(2\ell+1)$ 维的。例如 $\mathfrak{so}(3)$ 的三维表示对应于 $\ell\,=\,1$, 由下列的生成元给出：

$$L_x= i\begin{pmatrix} 0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 1& 0 \end{pmatrix};\quad L_y= i\begin{pmatrix} 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 0 \end{pmatrix};\quad L_z= i\begin{pmatrix} 0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0 \end{pmatrix},$$

其中照物理学常用的约定加入了 $i$ 因子，使得诸生成元皆为自伴算子。

由此，可以手算二次卡西米尔元，结果为

$$L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2= 2 \begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{pmatrix}.$$

当 $\ell\,=\,1$时，$\ell(\ell+1)\,=\,2$, 故此例子与前段的一般结果一致。类似地，二维的表示以泡利矩阵作基，对应物理上自旋为 1/2 的粒子。

## 特征值

由于卡西米尔元 $\Omega$ 在泛包络代数的中心内，其在一个单模（该代数的直和分解的一个分量）上的作用是乘上一个常数。设 $\langle,\rangle$ 为 $\Omega$ 定义采用的对称非退化二次型。记 $L(\lambda)$ 为具有最高权 $\lambda$ 的元素组成的有限维模（称为该表示的最高权模）。则卡西米尔元 $\Omega$ 在 $L(\lambda)$ 的作用为乘常数

$$\langle \lambda, \lambda + 2 \rho \rangle=\langle\lambda+\rho,\lambda+\rho\rangle - \langle\rho,\rho\rangle ,$$

其中 $\rho$ 为所有正根之和之半。

若 $L(\lambda)$ 非平凡（即 $\lambda\neq 0$), 则上述常数非零。原因是，由于 $\lambda$ 是优控的（dominant, 即与任意正根的内积皆非负），若 $\lambda\neq 0$，则 $\langle\lambda,\lambda\rangle>0$, 且 $\langle\lambda,\rho\rangle\geq 0$, 故 $\langle\lambda,\lambda+2\rho\rangle >0$. 此结果适用于魏尔完全可约性定理的证明。亦可不使用上述公式，而采用更抽象的嘉当判别法证明该常数非零。