毕奥-萨伐尔定律

本条目中，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。检验变数或场变数的标记的后面没有单撇号“$'\,\!$”；源变数的标记的后面有单撇号“$'\,\!$”。

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在静磁学里，必欧-沙伐定律（Biot-Savart Law）以方程式描述，电流在其周围所产生的磁场。采用静磁近似，当电流缓慢地随时间而改变时（例如当载流导线缓慢地移动时），这定律成立，磁场与电流的大小、方向、距离有关。必欧-沙伐定律是以法国物理学者让-巴蒂斯特·毕奥与菲利克斯·沙伐命名。

必欧-沙伐定律表明，假设源位置为$\mathbf{r}'$的微小线元素$\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}'$有电流$I$，则$\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}'$作用于场位置$\mathbf{r}$的磁场为

$\mathrm{d}\mathbf{B} =\frac{\mu_0 I }{4\pi} \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}' \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}$。

其中，$\mathrm{d}\mathbf{B}$是微小磁场（这篇文章简称磁通量密度为磁场），$\mu_0$是磁常数。

已知电流密度$\mathbf{J}(\mathbf{r}')$，则有：

$\mathbf{B}(\mathbf{r}) =\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathbf{J}(\mathbf{r}') \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\ \mathrm{d}^3{r}'$。

其中，$\mathrm{d}^3{r}'$为微小体积元素，$\mathbb{V}'$是积分的体积。

在流体力学中，以涡度对应电流、速度对应磁场强度，便可应用必欧-沙伐定律以计算涡线（vortex line）导出的速度。

## 概念

必欧-沙伐定律适用于计算一个稳定电流所产生的磁场。这电流是连续流过一条导线的电荷，电流量不随时间而改变，电荷不会在任意位置累积或消失。采用国际单位制，用方程式表示。

$\mathbf{B}(\mathbf{r}) =\frac{\mu_0 I }{4\pi} \int_{\mathbb{L}'} \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}' \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}$。

其中，$I$是源电流，$\mathbb{L}'$是积分路径，$\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}'$是源电流的微小线元素。

应用这方程式，必须先选出磁场的场位置。固定这场位置，积分于源电流的路径，就可以计算出在场位置的磁场。请注意，这定律的应用，隐性地依赖着磁场的叠加原理成立；也就是说，每一个微小线段的电流所产生的磁场，其向量的叠加和给出总磁场。对于电场和磁场，叠加原理成立，因为它们是一组线性微分方程式的解答。更明确地说，它们是马克士威方程组的解答。

当电流可以近似为流过无穷细狭导线，上述这方程式是正确的。但假若导线是宽厚的，则可用包含导线体积$\mathbb{V}'$的积分方程式：

$\mathbf{B}(\mathbf{r}) =\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathbf{J}(\mathbf{r}') \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \mathrm{d}^3{r}'$。

其中，$\mathbf{J}$是电流密度，$\mathrm{d}^3 r'$是微小体积元素。

必欧-沙伐定律是静磁学的基本定律，在静磁学的地位，类同于库仑定律之于静电学。必欧-沙伐定律和安培定律的关系，则如库仑定律之于高斯定律。

假若无法采用静磁近似，例如当电流随着时间变化太快，或当导线快速地移动时，就不能使用必欧-沙伐定律，必须改用杰斐缅柯方程式。

### 等速运动的点电荷所产生的电场和磁场

由于点电荷的运动不能形成电流，所以，必须使用推迟势的方法来计算其电场和磁场。假设一个点电荷$q$以等速度$\mathbf{v}$移动，在时间$t$的位置为$\mathbf{w}=\mathbf{v}t$。那么，麦克斯韦方程组给出此点电荷所产生的电场和磁场：

$\mathbf{E} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{1 - v^2/c^2}{(1 - v^2\sin^2\theta/c^2)^{3/2}}\frac{\mathbf{r} - \mathbf{w}}{|\mathbf{r} - \mathbf{w}|^3}$。

$\mathbf{B} = \mathbf{v} \times \frac{1}{c^2} \mathbf{E}$。

其中，$\theta$是$\mathbf{v}$和$\mathbf{r} - \mathbf{w}$之间的夹角。

当$v^2 \ll c^2$时，电场和磁场可以近似为

$\mathbf{E} =\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{\mathbf{r} - \mathbf{w}}{|\mathbf{r} - \mathbf{w}|^3}$。

$\mathbf{B} =\frac{\mu_0 q \mathbf{v}}{4\pi} \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{w}}{|\mathbf{r} - \mathbf{w}|^3}$。

这方程式最先由奥利弗·黑维塞于1888年推导出来，称为必欧-沙伐点电荷定律。

## 安培定律和高斯磁定律的导引

这里，我们要从必欧-沙伐定律推导出安培定律和高斯磁定律。若想查阅此证明，请点选“显示”。

证明必欧-沙伐定律所计算出来的磁场，永远满足高斯磁定律：

首先，列出必欧-沙伐定律， :$\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathrm{d}^3{r}' \mathbf{J}(\mathbf{r}')\times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}$。应用一个向量恒等式， :$\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} = - \nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right)$，将这恒等式带入必欧-沙伐方程式。由于梯度只作用于无单撇号的坐标，可以将梯度移到积分外： :$\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \nabla\times\int_{\mathbb{V}'} \mathrm{d}^3{r}' \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}$。应用一个向量恒等式， :$\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0$。所以，高斯磁定律成立： :$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$。

证明必欧-沙伐定律所计算出来的磁场，永远满足安培定律：

首先，列出必欧-沙伐定律： :$\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathrm{d}^3{r}' \mathbf{J}(\mathbf{r}')\times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}$。任意两个向量$\mathbf{A}_1$和$\mathbf{A}_2$的叉积，取其旋度，有以下向量恒等式，： :$\nabla\times(\mathbf{A}_1\times\mathbf{A}_2) =(\mathbf{A}_2\cdot\nabla)\mathbf{A}_1 - (\mathbf{A}_1\cdot\nabla)\mathbf{A}_2 +\mathbf{A}_1(\nabla\cdot\mathbf{A}_2) - \mathbf{A}_2(\nabla\cdot\mathbf{A}_1)$，取旋度于必欧-沙伐方程式的两边，稍加运算，可以得到 :$\nabla\times\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathrm{d}^3{r}'\left\{ - [\mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot\nabla]\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} +\mathbf{J}(\mathbf{r}')\left[\nabla\cdot\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} -\mathbf{r}'|^3}\right] \right\}$。应用著名的狄拉克δ函数关系式 :$\nabla\cdot\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}= 4\pi \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')$，可以得到 :$\begin{align}\nabla\times\mathbf{B}(\mathbf{r}) & =\mu_0\mathbf{J}(\mathbf{r})+\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathrm{d}^3{r}'\left\{ - [\mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot\nabla]\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \right\} \\ & =\mu_0\mathbf{J}(\mathbf{r})+\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathrm{d}^3{r}'\left\{[\mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot\nabla']\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \right\} \\ \end{align}$。注意到x-分量， :$[\mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot\nabla']\frac{x - x'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} =\nabla'\cdot\left[\mathbf{J}(\mathbf{r}')\frac{x - x'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\right] - \frac{x - x'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \nabla'\cdot\mathbf{J}(\mathbf{r}')$。由于电流是稳定的，$\nabla^'\cdot\mathbf{J}(\mathbf{r}') =0$，所以， :$\begin{align} (\nabla \times \mathbf{B}(\mathbf{r}))_x & = \mu_0 J_x(\mathbf{r}) + \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathrm{d}^3{r}' \nabla'\cdot\left(\mathbf{J}(\mathbf{r}')\frac{x - x'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\right) \\ & =\mu_0 J_x(\mathbf{r}) + \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{\mathbb{S}'} \mathrm{d}\mathbf{a}' \cdot \mathbf{J}(\mathbf{r}')\frac{x - x'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \\ \end{align}$；其中，$\mathrm{d}\mathbf{a}'$是一个微小源面积元素，$\mathbb{S}'$是体积$\mathbb{V}'$外表的闭曲面。这个公式右边第二项目是一个闭曲面积分，只与体积内所包含的被积函数，或体积外表曲面的电流密度有关。而体积可大可小，我们可以增大这体积，一直增大到外表的闭曲面没有任何净电流流出或流入，也就是说，电流密度等于零。这样，就可以得到安培定律。:$\nabla\times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$。

## 参阅

- 狭义相对论
- 向量分析
- 散度定理
- 安培律