拉格朗日方程式

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拉格朗日方程式（Lagrange equation），因数学物理学家约瑟夫·拉格朗日而命名，是分析力学的重要方程式，可以用来描述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。拉格朗日方程式的功能相当于牛顿力学中的牛顿第二定律。

## 定义

假设一个物理系统符合完整系统的要求，即所有广义座标都互相独立，则拉格朗日方程式成立：

$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot\mathbf{q}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{q}} = \mathbf{0}\,\!$。

其中，$\mathcal{L}(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)\,\!$是拉格朗日量，$\mathbf{q} = \left( q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{N} \right)\,\!$是广义座标，是时间$t\,\!$的函数，$\dot{\mathbf{q}} = \left( \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{N} \right)\,\!$是广义速度。

## 导引

在分析力学里，有三种方法可以导引出拉格朗日方程式。最原始的方法是使用达朗贝尔原理导引出拉格朗日方程式（参阅达朗贝尔原理）；更进阶层面，可以从哈密顿原理推导出拉格朗日方程式（参阅哈密顿原理）；最简明地，可以借用数学变分法的欧拉-拉格朗日方程式来推导：

设定函数$\mathbf{y}(x)\,\!$和$f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)\,\!$：

$\mathbf{y}(x)=(y_1(x),\ y_2 (x),\ \ldots, y_N (x))\,\!$。

$\dot{\mathbf{y}}(x)=(\dot{y}_1(x),\ \dot{y}_2 (x),\ \ldots,\ \dot{y}_N (x))\,\!$。

$f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)=f(y_1(x),\ y_2 (x),\ \ldots,\ y_N (x),\ \dot{y}_1 (x),\ \dot{y}_2 (x),\ \ldots,\ \dot{y}_N (x),\ x)\,\!$。

其中，$x\,\!$是自变数（independent variable）。

若$\mathbf{y}(x)\in(C^1[a,\ b])^N\,\!$使泛函$J(\mathbf{y})=\int_a^bf(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)dx\,\!$取得局部平稳值，则在区间$(a,\ b)\,\!$内，欧拉-拉格朗日方程式成立：

$\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial}{\partial \dot{y}_i}f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)\right) - \frac{\partial}{\partial y_i}f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)=0\ ,\qquad\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ \ldots,\ N\!$。

现在，执行下述转换：

- 设定独立变数$x\,\!$为时间$t\,\!$。
- 设定函数$y_i\,\!$为广义坐标$q_i\,\!$。
- 设定泛函$f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)\,\!$为拉格朗日量$\mathcal{L}(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)\,\!$。

则可得到拉格朗日方程式

$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot\mathbf{q}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{q}} = \mathbf{0}\,\!$。

- 为了满足这转换的正确性，广义坐标必须互相独立，所以，这系统必须是完整系统。
- 拉格朗日量是动能减去位势，而位势必须是广义位势。所以，这系统必须是单演系统。

## 半完整系统

主项目：参阅半完整系统

一个不是完整系统的物理系统是非完整系统，不能用上述形式论来分析。假若，一个非完整系统的约束可以以方程式表示为

$g_i(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}})=0\ ,\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots n\,\!$。

则称此系统为半完整系统。

半完整系统可以用拉格朗日形式论来分析。更具体地说，分析半完整系统必须用到拉格朗日乘子$\lambda_i\,\!$：

$\sum_{i=1}^n\ \lambda_i g_i=0\,\!$。

其中，$\lambda_i=\lambda_i(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)\,\!$是未知函数。

由于这$N\,\!$个广义坐标中，有$n\,\!$个相依的广义坐标，泛函$f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)\,\!$不能直接被转换为拉格朗日量$\mathcal{L}\,\!$；必须加入拉格朗日乘子，将泛函$f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)\,\!$转换为$\mathcal{L}+\sum_{i=1}^n\ \lambda_i g_i\,\!$。这样，可以得到拉格朗日广义力方程式：

$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot\mathbf{q}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{q}} = \boldsymbol{\mathcal{F}}\,\!$。

其中，$\boldsymbol{\mathcal{F}}\,\!$是广义力，$\boldsymbol{\mathcal{F}}=\frac{\partial}{\partial \mathbf{q}}\left(\sum_{i=1}^n\ \lambda_i g_i\right) - \frac{d}{dt}\left[\frac{\partial}{\partial \dot{\mathbf{q}}}\left(\sum_{i=1}^n\ \lambda_i g_i\right)\right]\,\!$。

这$N\,\!$个广义力运动方程式加上$n\,\!$个约束方程式，给出$N+n\,\!$个方程式来解$N\,\!$个未知广义坐标与$n\,\!$个拉格朗日乘子。

## 实例

这个段落会展示拉格朗日方程式的两个应用实例。第一个实例展示出，用牛顿方法与拉格朗日方法所得的答案相同。第二个实例展示出拉格朗日方法的威力，因为这问题比较不适合用牛顿方法来分析。

### 自由落体

思考一个粒子从静止状态自由地下落。由于重力$F=mg\,\!$作用于此粒子，应用牛顿第二定律，可以得到运动方程式

$\ddot x = g\,\!$。

其中，x-坐标垂直于地面，由初始点（原点）往地面指。

这个结果也可以从拉格朗日形式论得到。动能$T\,\!$是

$T = \frac{1}{2} m v^2\,\!$。

位势$V\,\!$是

$V = - m g x\,\!$。

所以，拉格朗日量$\mathcal{L}\,\!$是

$\mathcal{L} = T - V = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 + m g x\,\!$。

将$\mathcal{L}\,\!$代入拉格朗日方程式。

$0 = \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}= m\frac{d \dot x}{dt} - mg\,\!$。

运动方程式是

$\ddot x = g\,\!$。

与牛顿方法的运动方程式相同。

### 具有质量的移动支撑点的简单摆

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思考一个简单摆系统。系统的x-轴平行于地面，y-轴垂直于x-轴，指向地面。摆锤P的质量是$m\,\!$，位置是$(x,\ y)\,\!$。摆绳的长度是$l\,\!$。摆的支撑点Q的质量是$M\,\!$。这支撑点Q可以沿着一条平行于x-轴的直线移动。点Q的位置是$(X,\ 0)\,\!$。摆绳与y-轴的夹角是$\theta\,\!$。那么，动能是

$T = \frac{1}{2} M \dot{X}^2 + \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right)\,\!$。

位势为

$V= - mgy\,\!$。

所以，拉格朗日量是

$\mathcal{L}=\frac{1}{2}M\dot{X}^2+\frac{1}{2}m\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2\right)+mgy\,\!$。

两个约束方程式为

$x=X+l\sin\theta\,\!$。

$y=l\cos\theta\,\!$。

将约束方程式代入拉格朗日量方程式,

$\mathcal{L}=\frac{1}{2} M \dot{X}^2 + \frac{1}{2} m \left[ \left( \dot{X} + l \dot\theta\cos\theta\right)^2 + \left( l \dot\theta \sin \theta \right)^2 \right]+ mgl\cos\theta\,\!$。

特别注意，在这里，广义坐标是$X\,\!$与$\theta\,\!$。应用拉格朗日方程式，经过微分运算，对于$X\,\!$坐标，可以得到

$\frac{d}{dt}\left[(M+m) \dot{X}+ml\dot{\theta}\cos\theta\right]=0\,\!$。

运动方程式为

$(M+m)\ddot{X}+ml\ddot{\theta}\cos\theta - ml\dot{\theta}^2\sin\theta = 0 \,\!$。

由于拉格朗日量不显含广义坐标$X\,\!$，称$X\,\!$为可略坐标，而其相对应的广义动量$p_X\,\!$是常数$K_1\,\!$：

$p_X=(M+m)\dot{X}+ml\dot{\theta}\cos\theta=K_1\,\!$。

对于$\theta\,\!$坐标，可以得到

$\frac{d}{dt}\left[m(l^2 \dot{\theta}+\dot{X}l\cos\theta)\right]+m(\dot{X}l\dot{\theta}+gl) \sin\theta=0\,\!$。

所以，运动方程式为

$\ddot{\theta}+\frac{\ddot{X}}{l}\cos\theta+\frac{g}{l}\sin\theta=0\,\!$。

假如用牛顿第二定律，则必须仔细地辨明所有的相关作用力。这是一项既困难又容易出错的工作。