自发对称破缺

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自发对称破缺（spontaneous symmetry breaking）或自发对称性破缺是某些物理系统体现对称性破缺的模式。当物理系统所遵守的自然定律具有某种对称性，而物理系统本身并不具有这种对称性，则称此现象为自发对称破缺。这是一种自发过程（spontaneous process），由于这过程，本来具有这种对称性的物理系统，最终变得不再具有这种对称性，或不再表现出这种对称性，因此这种对称性被隐藏起来。因为自发对称破缺，有些物理系统的运动方程式或拉格朗日量遵守这种对称性，但是最低能量的解则不具备这种对称性。从描述物理现象的拉格朗日量或运动方程式，可以对于这现象做分析研究。

对称性破缺主要分为自发对称破缺与明显对称性破缺两种。假若在物理系统的拉格朗日量里存在着一个或多个违反某种对称性的项目，因此导致系统的物理行为不具备这种对称性，则称此为明显对称性破缺。

如右图所示，假设在墨西哥帽的帽顶有一个圆球。这个圆球是处于旋转对称性状态，对于绕着帽子中心轴的旋转，圆球的位置不变。这圆球也处于局部最大引力势的状态，极不稳定，稍加微扰，就可以促使圆球滚落至帽子谷底的任意位置，因此降低至最小引力势位置，使得旋转对称性被打破。尽管这圆球在帽子谷底的所有可能位置因旋转对称性而相互关联，圆球实际实现的帽子谷底位置不具有旋转对称性──对于绕着帽子中心轴的旋转，圆球的位置会改变。

大多数物质的简单相态或相变，例如晶体、磁铁（居礼温度）、一般超导体等等，可以从自发对称破缺的观点来了解。像分数量子霍尔效应一类的拓扑相（topological phase）物质是值得注意的例外。

## 概述

量子力学的真空与一般认知的真空不同。在量子力学里，真空并不是全无一物的空间，虚粒子会持续地随机生成或湮灭于空间的任意位置，这会造成奥妙的量子效应。将这些量子效应纳入考量之后，空间的最低能量态，是在所有能量态之中，能量最低的能量态，又称为基态或“真空态”。最低能量态的空间才是量子力学的真空。

设想某种对称群变换，只能将最低能量态变换为自己，则称最低能量态对于这种变换具有“不变性”，即最低能量态具有这种对称性。尽管一个物理系统的拉格朗日量对于某种对称群变换具有不变性，并不意味着它的最低能量态对于这种对称群变换也具有不变性。假若拉格朗日量与最低能量态都具有同样的不变性，则称这物理系统对于这种变换具有“外显的对称性”；假若只有拉格朗日量具有不变性，而最低能量态不具有不变性，则称这物理系统的对称性被自发打破，或者称这物理系统的对称性被隐藏，这现象称为“自发对称破缺”。

回想先前提到的墨西哥帽问题，在帽子谷底有无穷多个不同、简并的最低能量态，都具有同样的最低能量。对于绕着帽子中心轴的旋转，会将圆球所处的最低能量态变换至另一个不同的最低能量态，除非旋转角度为360°的整数倍数，所以，圆球的最低能量态对于旋转变换不具有不变性，即不具有旋转对称性。总结，这物理系统的拉格朗日量具有旋转对称性，但最低能量态不具有旋转对称性，因此出现自发对称破缺现象。

## 凝聚体物理学

大多数物质的相态可以通过自发对称破缺的透镜来理解。例如，晶体是由原子以周期性矩阵排列形成，这排列并不是对于所有平移变换都具有不变性，而只是对于一些以晶格向量为间隔的平移变换具有不变性。磁铁的磁北极与磁南极会指向某特定方向，打破旋转对称性。除了这两个常见例子以外，还有很多种对称性破缺的物质相态，包括液晶的向列相（nematic phase）、超流体等等。

类似的希格斯机制应用于凝聚态物质会造成金属的超导体效应。在金属里，电子库柏对的凝聚态自发打破了电磁交互作用的U(1)规范对称性，造成了超导体效应。更详尽细节，请参阅条目BCS理论。

有些物质的相态不能够用自发对称破缺来解释，例如，分数量子霍尔液体（fractional quantum Hall liquid）、旋液体（spin liquid）这一类物质的拓扑学有序相态。这些相态不会打破任何对称性，是不同种类的相态。与自发对称破缺不同，并没有什么通用的理论框架来描述这些相态。

## 粒子物理学

在粒子物理学里，作用力的媒介粒子通常是由遵守规范对称性的场方程式设定；它们的场方程式会预估某种测量在场的任意位置会得到同样数值，例如，场方程式可能会预估两个夸克A、B的质量是常数。解析这场方程式或许给出了两个解，在第一个解里，夸克A比夸克B沉重，而在第二个解里，以同样的重量差，夸克B比夸克A沉重。对于这案例，场方程式的对称性并没有被场方程式的任意一个单独解反映出来，而是被所有解共同一起反应出来。由于每一次做实际测量只能得到其中一个解，这表征了所倚赖理论的对称性被打破。对于这案例，使用术语“隐藏”可能会比术语“打破”更为恰当，因为对称性已永远嵌入在场方程式里。由于物理学者并未找到任何外在因素涉及到场方程式的对称性破缺，这现象称为“自发”对称性破缺。

## 手征对称性破缺

在粒子物理学里，手征对称性破缺指的是强相互作用的手征对称性被自发打破，是一种自发对称破缺。基于这种机制，有以下两个案例：

- 案例一、假若夸克的质量为零（这是手征性【chirality】极限），则手征对称性成立。
- 案例二、惟实际上，夸克的静止质量不为零(参考希格斯机制）。尽管如此，跟强子的质量相比较，上夸克与下夸克的质量很小，因此可以视手征对称性为一种“近似对称性”。

在量子色动力学的真空里，夸克与反夸克彼此会强烈吸引对方，并且它们的质量很微小，生成夸克-反夸克对不需要用到很多能量，因此，会出现夸克-反夸克对的夸克-反夸克凝聚态，就如同在金属超导体里电子库柏对的凝聚态一般。夸克-反夸克对的总动量与总角动量都等于零，总手征荷不等于零，所以，夸克-反夸克凝聚的真空期望值不等于零，促使物理系统原本具有的手征对称性被自发打破，这也意味着量子色动力学的真空会将夸克的两个手征态混合，促使夸克在真空里获得有效质量。

根据戈德斯通定理，当连续对称性被自发打破后必会生成一种零质量玻色子，称为戈德斯通玻色子。手征对称性也具有连续性，它的戈德斯通玻色子是π介子。假若手征对称性是完全对称性，则π介子的质量为零；但由于手征对称性为近似对称性，π介子具有很小的质量，比一般强子的质量小一个数量级。这理论成为后来电弱对称性破缺的希格斯机制的初型与要素。

根据宇宙学论述，在大霹雳发生10−6秒之后，开始强子时期，由于宇宙的持续冷却，当温度下降到低于临界温度KTc≈173MeV之时，会发生手征性相变（chiral phase transition），原本具有的手征对称性的物理系统不再具有这性质，手征对称性被自发性打破，这时刻是手征对称性的分水岭，在这时刻之前，夸克无法形成强子束缚态，物理系统的有序参数反夸克-夸克凝聚的真空期望值等于零，物理系统遵守手征对称性；在这时刻之后，夸克能够形成强子束缚态，反夸克-夸克凝聚的真空期望值不等于零，手征对称性被自发性打破。

## 希格斯机制

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在标准模型里，希格斯机制是一种生成质量的机制，能够使基本粒子获得质量。为什么费米子、W玻色子、Z玻色子具有质量，而光子、胶子的质量为零？希格斯机制可以解释这问题。希格斯机制应用自发对称破缺来赋予粒子质量。在所有可以赋予规范玻色子质量，而同时又遵守规范理论的可能机制中，这是最简单的机制。根据希格斯机制，希格斯场遍布于宇宙，有些基本粒子因为与希格斯场之间交互作用而获得质量。

更仔细地解释，在规范场论里，为了满足局域规范不变性，必须设定规范玻色子的质量为零。由于希格斯场的真空期望值不等于零，造成自发对称破缺，因此规范玻色子会获得质量，同时生成一种零质量玻色子，称为戈德斯通玻色子，而希格斯玻色子则是伴随着希格斯场的粒子，是希格斯场的振动。通过选择适当的规范，戈德斯通玻色子会被抵销，只存留带质量希格斯玻色子与带质量规范向量场。

费米子也是因为与希格斯场相互作用而获得质量，但它们获得质量的方式不同于W玻色子、Z玻色子的方式。在规范场论里，为了满足局域规范不变性，必须设定费米子的质量为零。通过汤川耦合，费米子也可以因为自发对称破缺而获得质量。

### 外显的对称性案例

假定遍布于宇宙的希格斯场是由两个实函数$\phi_1$、$\phi_2$组成的复值纯量场$\phi$：

$\phi(x^{\alpha})=\phi_1(x^{\alpha})+i\phi_2(x^{\alpha})$。

其中，$x^{\alpha}=(ct,x_1,x_2, x_3)$是四维坐标。

假定希格斯势的形式为

$V(\phi^*\phi)=\mu^2 \phi^*\phi+\lambda(\phi^*\phi)^2$。

其中，$\mu$、$\lambda$都是正值常数。

则这物理系统只有一个最低能量态，其希格斯场为零（$\phi_{vac}=0$）

对于这自旋为零、质量为零、势能为$V(\phi^*\phi)$的纯量场$\phi$，克莱因-戈尔登拉格朗日量$\mathcal{L}$为

$\mathcal{L}=(\partial_{\alpha}\phi)^*(\partial^{\alpha}\phi) -\mu^2 \phi^*\phi-\lambda(\phi^*\phi)^2$。

注意到这拉格朗日量的第一个项目是动能项目。

由于拉格朗日量对于全域相位变换$\phi\to\phi'=e^{i\theta}\phi$具有不变性，而最低能量态对于全域相位变换也具有不变性：

$\phi_{vac}\to\phi'_{vac}=e^{i\theta}\phi_{vac}=0$。

所以，这物理系统对于全域相位变换具有外显的对称性。

### 自发对称破缺案例

假定遍布于宇宙的希格斯场是由两个实函数$\phi_1$、$\phi_2$组成的复值纯量场$\phi$：

$\phi(x^{\alpha})=\phi_1(x^{\alpha})+i\phi_2(x^{\alpha})$。

其中，$x^{\alpha}=(ct,x_1,x_2, x_3)$是四维坐标。

假定希格斯势的形式为

$V(\phi^*\phi)=-\mu^2 \phi^*\phi+\lambda(\phi^*\phi)^2$。

其中，$\mu$、$\lambda$都是正值常数。

对于这自旋为零、质量为零、势能为$V(\phi^*\phi)$的纯量场$\phi$，克莱因-戈尔登拉格朗日量$\mathcal{L}$为

$\mathcal{L}=(\partial_{\alpha} \phi)^*(\partial^{\alpha} \phi)+\mu^2 \phi^*\phi-\lambda(\phi^*\phi)^2$。

如墨西哥帽绘图所示，这势能的猜想形状好似一顶墨西哥帽。希格斯势与拉格朗日量在$\phi_{\mathrm{RE}}$、$\phi_{\mathrm{IM}}$空间具有旋转对称性。位于z-坐标轴的帽顶为希格斯势的局域最大值，其复值希格斯场为零（$\phi=0$），但这不是最低能量态；在帽子的谷底有无穷多个简并的最低能量态。从无穷多个简并的最低能量态中，物理系统只能实现出一个最低能量态，标记这最低能量态为$\phi_{vac}$。这物理系统的拉格朗日量对于全域相位变换$\phi\to\phi'=e^{i\theta}\phi$具有不变性，即在$\phi_{\mathrm{RE}}$、$\phi_{\mathrm{IM}}$空间具有旋转对称性，而最低能量态$\phi_{vac}$对于全域相位变换不具有不变性：

$\phi_{vac}\to\phi'_{vac}=e^{i\theta}\phi_{vac}$。

通常，$\phi_{vac}$不等于$\phi'_{vac}$，除非角弧$\theta$是$2\pi$的整数倍数。所以，这物理系统对于全域相位变换的对称性被自发打破。这物理系统对于更严格的局域相位变换的对称性也应该会被自发打破。

## 实例

- 铁磁性物质对于空间旋转的不变性与居礼温度有关。这物理系统的有序参数（order parameter）是量度磁偶极矩的磁化强度。假设温度高过居礼温度，则自旋的取向是随机的，无法形成磁偶极矩，有序参数为零，基态对于空间旋转具有不变性，不存在对称性破缺。假设将系统冷却至温度低于居礼温度，则自旋的取向会指向某特定方向，磁化强度不等于零，方向与自旋相互平行，基态不再具有旋转对称性，物理系统的旋转对称性被打破，产生自发对称破缺现象，只剩下对于磁化强度所指方向的圆柱对称性。
- 描述固体的定律在整个欧几里德群之下具有不变性，但是固体自己将这欧几里德群打破为空间群（space group）。位移与取向是有序参数。
- 广义相对论具有劳仑兹对称性，但是在弗里德曼-罗伯逊-沃尔克模型里，将星系速度（在宇宙学尺寸，星系可以视为气体粒子）做平均而得到的平均四维速度场，变成打破这对称性的有序参数。关于宇宙微波背景也可以做类似论述。
- 在电弱相互作用模型里，希格斯场的真空期望值是将电弱规范对称性打破成为电磁规范对称性的有序参数。如同铁磁性物质实例，这里也存在有电弱临界温度，在这临界温度会发生相变。
- 设想一根圆柱形细棒的两端被施加轴向应力，在发生屈曲（buckling）之前的状态S0，整个系统对于以细棒为旋转轴的二维旋转变换具有对称性，因此可以观察到这系统的旋转对称性，可是这状态不是最低能量态，因为有应力能量储存于细棒的微观结构内，这状态极不稳定，稍有微扰就可以促使发生屈曲，释出应力能量，跃迁至最低能量态。注意到细棒有无穷多个最低能量态做选择，这些最低能量态之间因旋转对称性关联在一起，细棒可以选择跃迁至其中任意一个最低能量态，在发生屈曲之后的状态，完全改观为非对称性。尽管如此，仍旧存了旋转对称性的一些特征：假若忽略阻力，则不需施加任何作用力就可以自由地将细棒旋转，变换到另外一个最低能量态，这旋转模态实际就是不可避免的戈德斯通玻色子。
- 设想在无限宽长的水平平板上，有一层均匀厚度的液体。这物理系统具有欧几里德平面的所有对称性。现在从底部将平板均匀加热，使得液体的底部温度大于顶部温度很多。当温度梯度变得足够大的时候，会出现对流胞（convection cell），打破欧几里德对称性。

## 诺贝尔奖

2008年10月7日，瑞典皇家科学院颁发诺贝尔物理学奖给三位日裔物理学者，赞赏他们在亚原子物理领域对于对称性破缺的研究成果。这三位物理学者分别为芝加哥大学的南部阳一郎、高能加速器研究机构的小林诚、京都大学基础物理学研究所的益川敏英。由于发现在强相互作用里自发对称破缺的机制，特别是手征对称性破缺，南部阳一郎获得一半奖金，小林诚与益川敏英分享另外一半奖金，嘉勉他们在弱相互作用里CP对称被明显打破的原由。这原由最终是倚赖希格斯机制，但至今为止，被认知为只是希格斯耦合的一个特色，而不是一个自发对称破缺现象。

## 数学范例

### 墨西哥帽势能

在最简单的理想相对论性模型里，自发对称破缺可以由纯量场理论（scalar field theory）来概述。理论而言，自发对称破缺一般是从拉格朗日量来探讨。拉格朗日量可拆作动能部分和势能部分。

$\mathcal{L} = \partial^\mu \phi \partial_\mu \phi - V(\phi)$。

对称性破缺来自于其势能部分$V(\phi)$。如墨西哥帽绘图所示。

$V(\phi) = -10|\phi|^2 + |\phi|^4$。

这个势能有无限多个可能的势能最低点（真空态）：

$\phi = \sqrt{5} e^{i\theta}$。

其中，$\theta$值介于$0$到$2\pi$之间。

### XY模型

$$F(\phi) = \int (\partial\phi)^2 / 2 + m^2 \phi^2 / 2 + g(\phi^2)^2$$

若$\psi = \phi_1 + i\phi_2$

$$F(\psi) = \int |\partial\psi|^2 / 2 + m^2 |\psi|^2 / 2 + g|\phi|^4$$

基态是$|\psi| = M = M_0 = \sqrt{-m^2 / (2g)}$。

若$\psi(x) = M(x)e^{i\theta(x)}$以及$M(x) = M_0 + h(x)$

$$F(h, \theta) = \int (\partial h)^2 / 2 + |m^2| h^2 + gh^4 + \ldots + M_0^2(\partial \theta)^2 / 2 + M_0 h(\partial \theta)^2 + \ldots$$

南部玻色子场$\theta(x)$是无质量的（也是一维高斯自由场）。南部玻色子的作用量是

$$F(\theta) = \int M_0^2(\partial \theta)^2 / 2$$

## 外部链接

- 乔治亚州立大学线上物理网页： Spontaneous symmetry breaking
- 《物理评论快报》： 50周年庆里程碑文献
- 欧洲核子研究组织官方杂志： In CERN Courier, Steven Weinberg reflects on spontaneous symmetry breaking
- The History of the Guralnik, Hagen and Kibble development of the Theory of Spontaneous Symmetry Breaking and Gauge Particles
- Spontaneous Symmetry Breaking in Gauge Theories: a Historical Survey
- 是否可能体现时间晶体？