商群

在数学中，商群（quotient group）或因子群（factor group）是通过保持群结构的等价关系来把较大群中的类似元素聚类而产生的群。例如，加法模 $n$ 的循环群是由在整数加法群中将相差 $n$ 倍的整数定义为一类（称为同余类）得到的一系列可作为一个整体进行二元运算的群结构。

给定一个群 $G$ 和 $G$ 的一个正规子群 $N$ $G$ 在 $N$ 上的商群或因子群，直观上是把正规子群 $N$ “萎缩”为单位元的群。商群写为 $G/N$，念作 $G$ 模 $N$（“模”对应英文 mod，是 module 的简称）。

商群的重要性很大程度上源自他们与同态的关系。第一同构定理指出，任意群 $G$ 在同态下的像总是同构于 $G$ 的商。具体而言，同态 $\varphi: G \rightarrow H$ 下 $G$ 的像同构于 $G/ker$，其中 $ker$ 代表 $\varphi$ 的核。

如果 $N$ 不是正规子群，仍可定义 $G$ 关于 $N$ 的商，但 $G/N$ 将不是群，而是一个齐性空间。

## 群的子集的乘积

在随后的讨论中，我们将使用在 $G$ 的子集上的二元运算：如果给出 $G$ 的两个子集 $S$ 和 $T$，我们定义它们的乘积为 $ST = \{st \mid s \in S, t \in T\}$。这个运算符合结合律，并有单元素集合 $\{e\}$ 作为单位元，这里 $e$ 是群 $G$ 的单位元。因此，由 $G$ 的所有子集构成的集合和这个运算构成一个幺半群。

凭借这个运算我们可以首先解释商群及正规子群的定义：

群 $G$ 的商群是 $G$ 的一个划分，而它在这个乘积运算下是群。

它完全由包含 $\{e\}$ 的子集所确定。$G$ 的正规子群是在任何这种划分中包含 $e$ 的集合。在划分中的子集是这个正规子群的陪集。

群 $G$ 的子群 $N$ 是正规子群当且仅当陪集等式 $aN = Na$ 对于所有 $G$ 中的元素 $a$ 都成立。依据上述定义的在子集上的二元运算， $G$ 的正规子群是交换于 $G$ 的所有子集的子群，记作 $N \trianglelefteq G$。置换于 $G$ 的所有子群的子群叫做可置换子群。

## 定义

设 $N$ 是群 $G$ 的正规子群。我们定义集合 $G/N$ 是 $N$ 在 $G$ 中的所有左陪集所构成的集合，即 $G/N = \{aN \mid a \in G\}$。群 $G/N$ 上的群运算定义如上。换句话说，对于每个 $G/N$ 中的元素 $aN$ 和 $bN$， $aN$ 和 $bN$ 的乘积是 $(aN)(bN)$。这个运算是闭合的，因为 $(aN)(bN)$ 是一个左陪集：

$(aN)(bN) = a(Nb)N = a(bN)N = (ab)NN = (ab)N$。

上述等式用到了 $N$ 的正规性。因为 $N$ 是正规子群， $N$ 在 $G$ 中的左陪集和右陪集相等，所以 $G/M$ 也可以定义为 $N$ 在 $G$ 中所有的右陪集的集合。因为运算是从 $G$ 的子集的乘积得出的，这个运算有良好定义（不依赖于表示的特定选择），符合结合律，并有 $N$ 作为单位元。$G/N$ 的元素 $aN$ 的逆元是 $a^{-1}N$，其中 $a^{-1}$ 是 $a$ 在群 $G$ 中的逆元。

## 定义的动机

$G/N$ 被称为商群的契机来自整数的除法。$12$ 除以 $3$ 时之所以会得到 $4$ 是因为我们可以把 $12$ 个对象重新分组为各含 $3$ 个对象的 $4$ 个子集。商群的诞生出于同样的想法，但用一个群作为最终结果而非一个整数，因为比起任意对象构成的集合，群有更严密的结构。

更细致的说，当 $N$ 是 $G$ 的正规子群时， $G/N$ 这一群结构形成了一种自然的“重新分组”。它们是 $N$ 在 $G$ 中陪集。因为这种运算涉及一个群和它的正规子群，最终我们得到的商不只是陪集的（正常除法所产生的）数目，还包含更多的信息，得到了一个群结构。

## 例子

- 考虑整数集Z（在加法下）的群和所有偶数构成的子群2Z。这是个正规子群，因为Z是阿贝尔群。只有两个陪集：偶数的集合和奇数的集合；因此商群Z/2Z是两个元素的循环群。这个商群同构于集合{ 0, 1 }带有模2加法运算的群；非正式的说，有时称Z/2Z等于集合{ 0, 1 }带有模2加法。
- 上个例子的稍微一般化。再次考虑整数集Z在加法下的群。设n是任何正整数。我们考虑由n的所有倍数构成的Z的子群nZ。nZ在Z中还是正规子群因为Z是阿贝尔群。陪集们是搜集{nZ,1+nZ,...,(n−2)+nZ,(n−1)+nZ}。整数k属于陪集r+nZ，这里的r是k除以n的馀数。商Z/nZ可以被认为模以n的“馀数”的群。这是个n阶循环群。

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- 考虑复数十二次单位一的根的乘法阿贝尔群G，它们是在单位圆上的点，它们在右图中展示为着色的球并在每点上用数标记出它们的辐角。考虑它由单位一的四次根构成的子群N，在图中表示为红色球。这个正规子群把群分解为三个陪集，分别表示为红色、绿色和蓝色。你可以验证这些陪集形成了三个元素的群（红色元素和蓝色元素的乘积是蓝色元素，蓝色元素的逆元是绿色元素等等）。因此商群G/N是三种颜色元素的群，它又是三个元素的循环群。
- 考虑实数集R在加法下的群，和整数集子群Z。Z在R中的陪集们是形如a + Z的所有集合，这里0 ≤ a < 1是实数。这种陪集的加法是通过做相应的实数的加法，并在结果大于或等于1的时候减去1完成的。商群R/Z同构于圆群S1，它是绝对值为1的复数在乘法下的群，或者说关于原点的二维旋转的群，也就是特殊正交群SO(2)。有一个同构给出为f(a + Z) = exp（2πia，参见欧拉恒等式）。
- 如果G是可逆的3 × 3实数矩阵的群，而N是带有行列式为1的3 × 3实数矩阵的子群，那么N在G中是正规子群（因为它是行列式同态的核）。N的陪集们是带有给定行列式的矩阵的集合们，因此G/N同构于非零实数的乘法群。
- 考虑阿贝尔群Z4 = Z/4Z（也就是集合{ 0, 1, 2, 3 }带有加法模4），和它的子群{ 0, 2 }。商群Z4 / { 0, 2 }是{ { 0, 2 }, { 1, 3 } }。这是带有单位元{ 0, 2 }的群，群运算如{ 0, 2 } + { 1, 3 } = { 1, 3 }。子群{ 0, 2 }和商群{ { 0, 2 }, { 1, 3 } }同构于Z2。
- 考虑乘法群$G=\mathbf{Z}^*_{n^2}$。第n个馀数的集合N是$\mathbf{Z}^*_n$的ϕ (n)阶乘法子群。则N在G中是正规子群并且因子群G/N有陪集N,（1+n）N, (1+n)2N,...,(1+n)n−1N。Pallier加密系统基于了在不知道n的因子分解的时候难于确定G的随机元素的陪集的猜想。

## 性质

商群 $G/G$ 同构于平凡群（只有一个元素的群），而 $G$ 关于平凡群的商群 $G/\{e\}$ 同构于 $G$。

$G/N$ 的阶定义为 $[G:N]$，它是 $N$ 在 $G$ 中的子群的指标（index）。如果 $G$ 是有限群，指标等于 $G$ 的阶除以 $N$ 的阶。注意 $G$ 和 $N$ 都是无限群的时候 $G/N$ 可以是有限的（比如 $\mathbb{Z} / 2\mathbb{N}$ 的阶是 $2$）。

有一个“自然”满射群同态 $\pi : G \rightarrow G/N$，把每个 $G$ 的元素 $g$ 映射到 $g$ 所属于的 $N$ 的陪集上，即 $\pi(g) = gN$。映射 $\pi$ 有时叫做“ $G$ 到 $G/N$ 上的规范投影”。它的核是 $N$。

在包含 $N$ 的 $G$ 的子群和 $G/N$ 的子群之间有一个双射映射；如果 $H$ 是 $G$ 中一个包含 $N$ 的子群，则对应的 $G/H$ 的子群是 $\pi(H)$。这个映射对于 $G$ 的正规子群和 $G/H$ 也成立，并在格定理中形式化。

商群的一些重要性质记录在同态基本定理和同构基本定理中。

如果 $G$ 是阿贝尔群、幂零群或可解群，则 $G/N$ 也是。

如果 $G$ 是循环群或有限生成群，则 $G/N$ 也是。

如果 $N$ 被包含在 $G$ 的中心内，则 $G$ 也叫做这个商群的中心扩张。

如果 $H$ 是在有限群 $G$ 中的子群，并且 $H$ 的阶等于 $G$ 的阶的一半，则 $H$ 必然是正规子群，因此 $G/H$ 存在并同构于 $C_2$。这个结果还可以陈述为“任何指标为 $2$ 的子群都是正规子群”。这一结论也适用于无限群。

所有群都同构于一个自由群的商。

有时但非必然的，群 $G$ 可以从 $G/N$ 和 $N$ 重构为一个直积或半直积。判定何时成立的问题叫做扩张问题。不成立的一个例子如下。$\mathbb{Z}_4 / \{0, 2\}$ 同构于 $\mathbb{Z}_2$，并且还同构于 $\{0, 2\}$，但是其唯一的半直积是直积，因为 $\mathbb{Z}_2$ 只有一个平凡的自同构。所以 $\mathbb{Z}_4$ 不同于 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$，它不能被重构。