正则变换生成函数

在哈密顿力学里，当计算正则变换时，生成函数扮演的角色，好似在两组正则坐标 $(\mathbf{q},\ \mathbf{p})$，$(\mathbf{Q},\ \mathbf{P})$ 之间的一座桥。为了要保证正则变换的正确性，采取一种间接的方法，称为生成函数方法。这两组变数必须符合方程式

$\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}=\mathbf{P}\cdot\dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}+\frac{dG}{dt}$；(1)

其中，$\mathbf{q}=(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_N)$ 是旧广义坐标，$\mathbf{p}=(p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_N)$ 是旧广义动量，$\mathbf{Q}=(Q_1,\ Q_2,\ \dots,\ Q_N)$ 是新广义坐标，$\mathbf{P}=(P_1,\ P_2,\ \dots,\ P_N)$ 是新广义动量，$\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t),\ \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)$ 分别为旧哈密顿量与新哈密顿量，$G(-,\ -,\ t)$ 是生成函数，$t$ 是时间。

生成函数 $G$ 的参数，除了时间以外，一半是旧的正则坐标；另一半是新的正则坐标。视选择出来不同的变数而定，一共有四种基本的生成函数。每一种基本生成函数设定一种不同的变换，从旧的一组正则坐标变换为新的一组正则坐标。这变换 $(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})$ 保证是正则变换。

## 生成函数列表

生成函数｜导数

$G= G_1(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)$｜$\mathbf{p}=~~\frac{\partial G_1}{\partial \mathbf{q}}\ ,\qquad \mathbf{P}= - \frac{\partial G_1}{\partial \mathbf{Q}}$

$G= G_2(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t) - \mathbf{Q}\mathbf{P}$｜$\mathbf{p}=~~\frac{\partial G_2}{\partial \mathbf{q}}\ ,\qquad \mathbf{Q}=~~ \frac{\partial G_2}{\partial \mathbf{P}}$

$G= G_3(\mathbf{p},\ \mathbf{Q},\ t) + \mathbf{q}\mathbf{p}$｜$\mathbf{q}= - \frac{\partial G_3}{\partial \mathbf{p}}\ ,\qquad \mathbf{P}= - \frac{\partial G_3}{\partial \mathbf{Q}}$

$G= G_4(\mathbf{p},\ \mathbf{P},\ t) + \mathbf{q}\mathbf{p} - \mathbf{Q}\mathbf{P}$｜$\mathbf{q}= - \frac{\partial G_4}{\partial \mathbf{p}}\ ,\qquad \mathbf{Q}=~~\frac{\partial G_4}{\partial \mathbf{P}}$

## 第一型生成函数

第一型生成函数 $G_{1}$ 只跟旧广义坐标、新广义坐标有关。

$G=G_{1}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)$。

代入方程式 (1)。展开生成函数对于时间的全导数。

$\mathbf{p} \cdot \dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t) = \mathbf{P} \cdot \dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P}, t) + \frac{\partial G_{1}}{\partial t} + \frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}} \cdot \dot{\mathbf{q}} + \frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}} \cdot \dot{\mathbf{Q}}$。

新广义坐标 $\mathbf{Q}$ 和旧广义坐标 $\mathbf{q}$ 都是自变量，其对于时间的全导数 $\dot{\mathbf{Q}}$ 和 $\dot{\mathbf{q}}$ 互相无关，所以，以下 $2N+1$ 个方程式都必须成立：

$\mathbf{p} = ~~\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}}$，(2)

$\mathbf{P} = -\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}}$，(3)

$\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G_{1}}{\partial t}$。(4)

这 $2N+1$ 个方程式设定了变换 $(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})$，步骤如下：

第一组的 $N$ 个方程式 (2)，设定了 $\mathbf{p}$ 的 $N$ 个函数方程式

$\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)$。

在理想情况下，这些方程式可以逆算出 $\mathbf{Q}$ 的 $N$ 个函数方程式

$\mathbf{Q}=\mathbf{Q}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)$。(5)

第二组的 $N$ 个方程式 (3)，设定了 $\mathbf{P}$ 的 $N$ 个函数方程式

$\mathbf{P}=\mathbf{P}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)$。

代入函数方程式 (5)，可以算出 $\mathbf{P}$ 的 $N$ 个函数方程式

$\mathbf{P}=\mathbf{P}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)$。(6)

从 $2N$ 个函数方程式 (5)、(6)，可以逆算出 $2N$ 个函数方程式

$\mathbf{q}=\mathbf{q}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)$。

$\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)$。

代入新哈密顿量 $\mathcal{K}$ 的方程式 (4)，可以得到

$\mathcal{K} =\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)$。

## 第二型生成函数

第二型生成函数 $G_{2}$ 只跟旧广义坐标 $\mathbf{q}$、新广义动量 $\mathbf{P}$ 有关：

$G \equiv - \mathbf{Q}\cdot\mathbf{P}+G_{2}(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)$。

代入方程式 (1)。展开生成函数随时间的全导数：

$\mathbf{p} \cdot \dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) = -\mathbf{Q} \cdot \dot{\mathbf{P}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q}, \mathbf{P}, t) + \frac{\partial G_{2}}{\partial t} + \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{q}} \cdot \dot{\mathbf{q}} + \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{P}} \cdot \dot{\mathbf{P}}$。

由于旧广义坐标 $\mathbf{q}$ 与新广义动量 $\mathbf{P}$ 必须彼此无关，以下 $2N+1$ 方程式必须成立：

$\mathbf{p} = \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{q}}$，(7)

$\mathbf{Q} = \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{P}}$，(8)

$\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G_{2}}{\partial t}$。(9)

这 $2N+1$ 个方程式设定了变换 $(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})$。步骤如下：

第一组的 $N$ 个方程式 (7)，设定了 $\mathbf{p}$ 的函数方程式

$\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)$。

在理想情况下，这些方程式可以逆算出 $\mathbf{P}$ 的函数方程式

$\mathbf{P}=\mathbf{P}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)$。(10)

第二组的 $N$ 个方程式 (8)，设定了的函数方程式

$\mathbf{Q}=\mathbf{Q}(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)$。

代入函数方程式 (10)，可以算出 $\mathbf{Q}$ 函数方程式

$\mathbf{Q}=\mathbf{Q}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)$。(11)

由函数方程式 (10)、(11)，可以算出函数方程式

$\mathbf{q}=\mathbf{q}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)$。

$\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)$。

代入新哈密顿量的方程式 (9)，则可得到

$\mathcal{K} =\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)$。

## 第三型生成函数

第三型生成函数只跟旧广义动量 $\mathbf{p}$、新广义坐标 $\mathbf{Q}$ 有关：

$G \equiv \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} + G_{3}(\mathbf{p},\ \mathbf{Q},\ t)$。

以下 $2N+1$ 方程式设定了变换 $(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})$：

$\mathbf{q} = -\frac{\partial G_{3}}{\partial \mathbf{p}}$。

$\mathbf{P} = -\frac{\partial G_{3}}{\partial \mathbf{Q}}$。

$\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G_{3}}{\partial t}$。

## 第四型生成函数

第四型生成函数 $G_{4}(\mathbf{p}, \mathbf{P}, t)$ 只跟旧广义动量 $\mathbf{p}$、新广义动量 $\mathbf{P}$ 有关：

$G \equiv \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} - \mathbf{Q} \cdot \mathbf{P} + G_{4}(\mathbf{p}, \mathbf{P}, t)$。

以下 $2N+1$ 方程式设定了变换 $(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})$：

$\mathbf{q} = -\frac{\partial G_{4}}{\partial \mathbf{p}}$。

$\mathbf{Q} = ~~\frac{\partial G_{4}}{\partial \mathbf{P}}$。

$\mathcal{K}= \mathcal{H} + \frac{\partial G_{4}}{\partial t}$。

## 实例 1

第一型生成函数有一个特别简易案例：

$G_{1} \equiv \mathbf{q} \cdot \mathbf{Q}$。

方程式 (2)，(3)，(4) 的答案分别为

$\mathbf{p} = ~~\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}} = \mathbf{Q}$。

$\mathbf{P} = -\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}} = -\mathbf{q}$。

$\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)=\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)$。

## 实例 2

再举一个涉及第二型生成函数，比较复杂的例子。让

$G_{2} \equiv \mathbf{g}(\mathbf{q};\ t) \cdot \mathbf{P}$。

这里， $\mathbf{g}$ 是一组 $N$ 个函数。

答案是一个广义坐标的点变换。

$\mathbf{Q}=\frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{P}} =\mathbf{g}(\mathbf{q};\ t)$。

## 实例 3

有时候，可以将一个给定的哈密顿量，变成一个很像谐振子的哈密顿量。

$\mathcal{H} = aP^2 + b Q^2$。

例如，假若哈密顿量为

$\mathcal{H}= \frac{1}{2q^2} + \frac{p^2 q^4}{2}$；(12)

这里，$p$ 是广义动量，$q$ 是广义坐标。

一个优良的正则变换选择是

$P = pq^2$，(13)

$Q = - \frac{1}{q}$。(14)

代入方程式 (12)，新哈密顿量的形式与谐振子的哈密顿量型式相同：

$$\mathcal{H} = \frac{Q^2}{2} + \frac{P^2}{2}$$

这变换用的是第三型生成函数 $G_3(p,\ Q)$；其对于 $Q$ 的导数是

$\frac{\partial G_3}{\partial Q}= - P$。

代入方程式 (13)、(14)。

$\frac{\partial G_3}{\partial Q}= - \frac{p}{Q^2}$。

对于 $Q$ 积分，可以得到生成函数 $G_3$：

$G_3(p,\ Q) = \frac{p}{Q}$。

最后，检查答案是否正确：

$q = - \frac{\partial G_3}{\partial p} = \frac{-1}{Q}$。

## 参阅

- 哈密顿-亚可比方程式
- 帕松括号
- 正则变换列表