微分算子

在数学中，微分算子（Differential operator）是定义为微分运算之函数的算子。首先在记号上，将微分考虑为一个抽象运算是有帮助的，它接受一个函数得到另一个函数。

## 记号

最常用的微分算子是取导数自身。这个算子的常用记号包括：${\mathrm{d} \over \mathrm{d}x}$、$D$（在不会搞混哪个变量微分时），以及$D_x$（指明了变量）。

一阶导数如上所示，但当取更高阶n-次导数时，下列替代性记号是有用的：$\mathrm{d}^n \over \mathrm{d}x^n$、$D^n$、$D^n_x$。

记号D的发明与使用归于奥利弗·亥维赛，他在研究微分方程中考虑了如下形式的微分算子

$$\sum_{k=0}^n c_k D^k$$

另一个最常见的微分算子是拉普拉斯算子，定义为

$$\Delta=\nabla^{2}=\sum_{k=1}^n {\partial^2\over \partial x_k^2}$$

另一个微分算子是Θ算子，定义为

$$\Theta = z {\mathrm{d} \over \mathrm{d}z}$$

有时候这也称为齐次算子，因为它的本征函数是关于z的单项式：

$$\Theta(z^k) = k z^k,\quad k=0,1,2,\dots$$

在n个变量中齐次算子由

$$\Theta = \sum_{k=1}^n x_k \frac{\partial}{\partial x_k}$$

给出。与单变量一样，Θ的本征空间是齐次多项式空间。

## 一个算子的伴随

给定一个线性微分算子T

$Tu = \sum_{k=0}^n a_k (x) D^k u$。

这个算子的伴随定义为算子$T^*$使得

$$\langle Tu,v \rangle = \langle u, T^*v \rangle$$

这里记号$\langle\cdot,\cdot\rangle$表示数量积或点积。从而此定义取决于数乘的定义。

### 单变量中的形式伴随

在平方可积函数空间中，数量积定义为

$$\langle f, g \rangle = \int_a^b f (x) \, \overline{g (x)} \,\mathrm{d}x$$

如果另外增添要求f或g当$x \to a$与$x \to b$等于零，我们也可定义T的伴随为

$$T^*u = \sum_{k=0}^n (-1)^k D^k [a_k (x)u]$$

此公式不明显地取决于数量积的定义，故有时作为伴随算子的一个定义。当$T^*$用这个公式定义时，它称为T的形式伴随。

一个（形式）自伴算子是与它的（形式）伴随相等的算子。

### 多变量

如果Ω是Rn中一个区域，而P是Ω上一个微分算子，则P在L2(Ω)中的伴随由对偶性以类似的方式定义：

$$\langle f, P^* g\rangle_{L^2(\Omega)} = \langle P f, g\rangle_{L^2(\Omega)}$$

对所有光滑L2函数f与g。因为光滑函数在L2中是稠密的，这在L2的一个稠密子集上定义了伴随：: P*是一个稠定算子。

### 例子

施图姆-刘维尔算子是形式自伴算子一个熟知的例子。这个二阶微分算子L可以写成如下形式

$$Lu = -(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^2 u +(-p') D u +(q)u.\;\!$$

这个性质可用上面的形式自伴的定义来证明。

$$\begin{align} L^*u & {} =(-1)^2 D^2 [(-p)u] +(-1)^1 D [(-p')u] +(-1)^0 (qu) \\ <pre> & {} = -D^2 (pu) + D(p'u)+qu \\ & {} = -(pu)''+(p'u)'+qu \\ & {} = -p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu \\ & {} = -p'u'-pu''+qu \\ & {} = -(pu')'+qu \\ & {} = Lu </pre> \end{align}$$

这个算子在施图姆-刘维尔理论（Sturm–Liouville theory）

中的关键，其中考虑了这个算子本征函数（类比于本征向量）。

## 微分算子的性质

微分是线性的，即

$$D(f+g) =(Df)+(Dg)$$

$$D (af) = a (Df)$$

这里f和g是函数，而a是一个常数。

任何以函数为系数之D的多项式也是一个微分算子。我们也可以通过法则

$$(D_1 \circ D_2,f) = D_1(D_2(f))$$

复合微分算子。需要一些注意：首先算子D2中的任何函数系数必须具有D1所要求的可微次数。为了得到这样运算的一个环，我们必须假设所用的系数的所有阶导数。第二，这个环不是交换的：一个算子gD一般与Dg不同。事实上我们有例，如在量子力学中的基本关系：

$$Dx - xD = 1$$

但这些算子的子环：D的常系数多项式是交换的。它可以另一种方式刻画：它由平移不变算子组成。

微分算子也服从移位定理（shift theorem）。

## 多变量

同样的构造可对偏导数也成立，关于不同的变量微分给出可交换的算子。

## 坐标无关描述以及与交换代数的关系

在微分几何与代数几何中，通常习惯于对两个向量丛之间的微分算子有一个坐标无关描述。设$E$与$F$是流形$M$上两个向量丛。截面的一个$\mathbb{R}$-线性映射$P: \Gamma (E) \rightarrow \Gamma (F)$称为一个k-阶微分算子，如果它分解穿过节丛$J^k (E)$。换句话说，存在一个向量丛的线性映射

$$i_P: J^k (E) \rightarrow F$$

使得

$$P = \hat{i}_P\circ j^k$$

这里$\hat{i}_P$表示由$i_P$，在截面上诱导的映射，而$j^k:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma(J^k(E))$，是典范（或通用）k-阶微分算子。

这恰好意味着对一个给定的截面$s$ of $E$，$P (s)$在一个点$x\in M$的值完全由$s$在$x$的k-阶无穷小行为决定。特别地这蕴含着$P (s)(x)$由$s$在$x$的芽决定，这说明了微分算子是局部的。一个基本的结果是皮特定理（Peetre theorem）证明了逆命题也是正确的：任何局部算子是微分。

线性微分算子的一个等价的，但纯代数的描述如下：

一个$\mathbb{R}$-线性映射$P$是一个k-阶微分算子，如果对任何(k + 1)阶光滑函数$f_0,\ldots,f_k \in C^\infty (M)$我们有

$$[f_k[f_{k-1}[\cdots[f_0,P]\cdots]]=0$$

这里括号$[f,P]:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (F)$定义为交换子

$$[f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P (s)$$

线性算子的这个刻画说明，它们是一个交换代数上的模之间的一个特殊映射，使这个概念可视为交换代数的一部分。

## 例子

- 在物理学的应用中，像拉普拉斯算子在建立与求解偏微分方程中起着主要的作用。
- 在微分拓扑中，外导数与李导数算子有内蕴意义。
- 在抽象代数中，导子的概念是微分算子不要求分析的一个推广。通常这样的推广用于代数几何与交换代数。另见节。