电势能

本条目中，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。

在静电学里，电势能（electric potential energy）是处于电场的电荷分布所具有的势能，与电荷分布在系统内部的组态有关。电势能的单位是焦耳。电势能与电势不同。电势定义为处于电场的电荷所具有的电势能每单位电荷。电势的单位是伏特。

电势能的数值不具有绝对意义，只具有相对意义。所以，必须先设定一个电势能为零的参考系统。当物理系统内的每一个点电荷相距无穷远且其相对静止不动时，这一物理系统通常可以设定为电势能等于零的参考系统。假设一个物理系统里的每一个点电荷，从无穷远处被一外力匀速地迁移到其所在位置，该外力做的总机械功为 $W$，则定义这系统的电势能 $U$ 为

$U := W$。

在这过程里，所涉及的机械功 $W$，不论是正值或负值，都由这物理系统之外的机制赋予。并且，被匀速迁移的每一个点电荷都不会获得任何动能。

如此计算电势能，并没有考虑到移动的路径，这是因为电场是保守场，电势能只跟初始位置与终止位置有关，与路径无关。

## 计算电势能

在一个物理系统内，计算一个点电荷所具有的电势能的方法，就是计算将这点电荷Q从无穷远位置迁移到其它固定位置电荷附近所需要做的机械功。而计算只需要两个参数：

- 其它电荷所产生的电势。
- 点电荷Q的电荷量。

注意：这里的计算不需要知道其它电荷的电荷量，也不需要知道这一点电荷Q所产生的电势。

## 储存于点电荷系统内的电势能

### 单点电荷系统

只拥有单独一个点电荷的物理系统，其电势能为零，因为没有任何其它可以产生电场的源电荷，所以，将点电荷从无穷远移动至其最终位置，外机制不需要对它做任何机械功。特别注意，这点电荷有可能会与自己生成的电场发生作用。然而，由于在点电荷的位置，它自己生成的电场为无穷大，所以，在计算系统的有限总电势能之时，一般刻意不将这“自身能”纳入考量范围之内，以简化物理模型，方便计算。

### 双点电荷系统

<image>

思考两个点电荷所组成的物理系统。假设第一个点电荷 $q_1$ 的位置为坐标系的原点 $\mathbf{O}$，则根据库仑定律，点电荷 $q_1$ 施加于位置为 $\mathbf{r}$ 的第二个点电荷 $q_2$ 的电场力为

$\mathbf{F}_{c}=\frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}$。

其中，$\epsilon_0$ 是电常数。

在移动点电荷 $q_2$ 时，为保证匀速，外机制必须施加作用力 $-\mathbf{F}_{c}$ 于点电荷 $q_2$，从而与电场力达到二力平衡。所以，机械功 $W$ 为

$W=-\int_{\mathbb{L}}\mathbf{F}_{c}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=-\ \frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{L}} \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$。

由于库仑力为保守力，机械功与积分路径 $\mathbb{L}$ 无关，所以，可以选择任意一条积分路径。在这里，最简单的路径为从无穷远位置朝着 $-\hat{\mathbf{r}}$ 方向迁移至 $\mathbf{r}$ 位置的直线路径。那么，机械功为

$W=-\ \frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0}\int_{\infty}^{r}\frac{\mathrm{d}r}{r^2}=\frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0 r}$。

这机械功是无穷远位置与 $\mathbf{r}$ 位置之间的静电能差别：

$W=U(\mathbf{r})-U(\infty)$。

设定 $U(\infty)=0$，则

$U(\mathbf{r})=\frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0 r}$。

现在，假设两个点电荷的位置分别为 $\mathbf{r}_1$、$\mathbf{r}_2$，则电势能为

$U=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q_1 q_2}{|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1|}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q_1 q_2}{r_{12}}$。

其中，$r_{12}=|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1|$ 是两个点电荷之间的距离。

假设两个点电荷的正负性相异，则电势能为负值，两个点电荷会互相吸引；否则，电势能为正值，两个点电荷会互相排斥。

### 三个以上点电荷的系统

对于三个点电荷的系统，外机制将其每一个单独点电荷，一个接着一个，从无穷远位置迁移至最终位置，所需要做的机械功，就是整个系统的静势能。以方程式表示。

$U= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left(\frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_1 q_3}{r_{13}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} \right)$。

其中，$q_1,q_2,q_3$ 为点电荷，$r_{ij}$ 为第i个与第j个点电荷之间的距离。

按照这方法演算，对于多个点电荷的系统，按照顺序，从第一个点电荷到最后一个点电荷，各自移动到最后对应位置。在第 $i$ 个点电荷 $q_i$ 迁移时，只会感受到从第 $1$ 个点电荷到第 $i-1$ 个点电荷的电场力，而机械功 $W_i$ 是因为抗拒这些电场力而做出的贡献：

$W_i= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\sum_{j=1}^{i-1} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$。

所有点电荷做出的总机械功（即总电势能）为

$U=W=\sum_{i=1}^n W_i= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{i-1} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$。

将每一个项目重复多计算一次，然后将总和除以 $2$，这公式也可以表达为。

$U= \frac{1}{8 \pi \epsilon_0}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1,j\ne i}^{n} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$。

这样，可以忽略点电荷的迁移顺序。

注意到除了点电荷 $q_i$ 以外，所有其它点电荷产生的电势在位置 $\mathbf{r}_i$ 为

$\phi(\mathbf{r}_i)= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\sum_{j=1,j\ne i}^{n} \frac{q_j}{r_{ij}}$。

所以，离散点电荷系统的总电势能为

$U= \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n q_i \phi(\mathbf{r}_i)$。

- 上述方程式假设电介质是自由空间，其电容率为 $\epsilon_0$，即电常数。假设电介质不是自由空间，而是电容率为 $\epsilon$ 的某种电介质，则必需将方程式内的 $\epsilon_0$ 更换为 $\epsilon$。

## 储存于连续电荷分布的能量

对于连续电荷分布，前面的电势能方程式变为

$U= \frac{1}{2}\int_{\mathbb{V}} \rho(\mathbf{r})\phi(\mathbf{r})\ \mathrm{d}^3 r$。

其中，$\rho(\mathbf{r})$ 是在源位置 $\mathbf{r}$ 的电荷密度，$\mathbb{V}$ 是积分体积。

应用高斯定律

$\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$ ;

其中，$\mathbf{E}$ 是电场。

电势能为

$\begin{align} U & = \frac{\epsilon_0}{2}\int _{\mathbb{V}} [\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r})]\phi(\mathbf{r})\ \mathrm{d}^3 r \\ <pre> & = \frac{\epsilon_0}{2}\int _{\mathbb{V}} \mathbf{\nabla}\cdot[\mathbf{E}(\mathbf{r})\phi(\mathbf{r})]- </pre> \mathbf{E}(\mathbf{r})\cdot\mathbf{\nabla}\phi(\mathbf{r})\ \mathrm{d}^3 r \\ \end{align}$。

应用散度定理，可以得到

$U= \frac{\epsilon_0}{2}\oint_{\mathbb{S}} [\mathbf{E}(\mathbf{r})\phi(\mathbf{r})]\cdot\mathrm{d}^2 r-\frac{\epsilon_0}{2}\int_{\mathbb{V}} \mathbf{E}(\mathbf{r})\cdot\mathbf{\nabla}\phi(\mathbf{r})\ \mathrm{d}^3 r$。

其中，$\mathbb{S}$ 是包住积分体积 $\mathbb{V}$ 的闭曲面。

当积分体积 $\mathbb{V}$ 趋向于无限大时，闭曲面 $\mathbb{S}$ 的面积趋向于以变率 $r^2$ 递增，而电场、电势分别趋向于以变率 $1/r^2$、$1/r$ 递减，所以，上述方程式右手边第一个面积分项目趋向于零，电势能变为

$U= -\frac{\epsilon_0}{2}\int_{\mathbb{ALL\ SPACE}} \mathbf{E}(\mathbf{r})\cdot\mathbf{\nabla}\phi(\mathbf{r}) \mathrm{d}^3 r$。

电场与电势的微分关系为

$\mathbf{E}=-\nabla\phi$。

将这方程式代入，电势能变为

$U=\frac{\epsilon_0}{2}\int_{\mathbb{ALL\ SPACE}} [E(\mathbf{r})]^2\mathrm{d}^3 r$。

所以，电势能密度 $u$ 为

$u(\mathbf{r})=\frac{\epsilon_0}{2} [E(\mathbf{r})]^2$。

## 自身能与交互作用能

前面分别推导出两个电势能方程式：

$U= \frac{1}{8 \pi \epsilon_0}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1,j\ne i}^{n} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$。

$U=\frac{\epsilon_0}{2}\int_{\mathbb{ALL\ SPACE}} [E(\mathbf{r})]^2\mathrm{d}^3 r$。

注意到第一个方程式计算得到的电势能，可以是正值，也可以是负值；但从第一个方程式推导出来的第二个方程式，其计算得到的电势能则必定是正值。为什么会发生这不一致问题？原因是第一个方程式只囊括了电荷与电荷之间的交互作用能；而第二个方程式在推导过程中，无可避免地将电荷的自身能也包括在内。在推导第一个方程式时，在位置 $\mathbf{r}_i$ 的电势乃是，除了 $q_i$ 以外，所有其它电荷共同贡献出的电势；而在推导第二个方程式时，电势乃是所有电荷共同贡献出的电势。

举一个双点电荷案例，假设电荷 $q_1$、$q_2$ 的位置分别为 $\mathbf{r}_1$、$\mathbf{r}_2$，则在任意位置 $\mathbf{r}$ 的电场为

$\mathbf{E}=\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_2=\frac{q_1}{4\pi\epsilon_0 }\ \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|^3}+\frac{q_2}{4\pi\epsilon_0 }\ \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_2}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|^3}$。

其电势能密度为

$u=\frac{\epsilon_0}{2} E^2=\frac{\epsilon_0}{2}(E_1\,^2+E_2\,^2+2\mathbf{E}_1\cdot\mathbf{E}_2)$。

很明显地，这方程式右手边的前两个项目分别为电荷 $q_1$、$q_2$ 的自身能密度 $\epsilon_0 E_1\,^2/2$、$\epsilon_0 E_2\,^2/2$。最后一个项目是否为交互作用能密度？为了回答这有意思的问题，继续计算交互作用能密度的体积积分：

$U_{int}=\int_{\mathbb{V}} u_{int}\ \mathrm{d}^3 r =\epsilon_0\int_{\mathbb{V}}\mathbf{E}_1\cdot\mathbf{E}_2\ \mathrm{d}^3 r=\frac{q_1 q_2}{16\pi^2\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}}\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|^3}\ \cdot\ \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_2}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|^3}\ \mathrm{d}^3 r$。

应用一条向量恒等式。

$\nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right)=-\ \frac{(\mathbf{r} - \mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}$。

可以得到

$\begin{align}U_{int} & =\frac{q_1 q_2}{16\pi^2\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}}\nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}\right)\ \cdot\ \nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|}\right)\mathrm{d}^3 r \\ <pre> & =\frac{q_1 q_2}{16\pi^2\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}}\nabla\ \cdot\ \left[\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}\nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|}\right)\right] </pre> -\ \left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}\right)\nabla^2\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|}\right) \mathrm{d}^3 r \\ \end{align}$。

应用散度定理，可以将这方程式右手边第一个项目，从体积积分变为面积积分：

$\int_{\mathbb{V}}\nabla\ \cdot\ \left[\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}\nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|}\right)\right]\mathrm{d}^3 r =\oint_{\mathbb{S}}\left[\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}\nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|}\right)\right]\cdot\mathrm{d}^2 r$。

其中，$\mathbb{S}$ 是包住积分体积 $\mathbb{V}$ 的闭曲面。

假设 $\mathbb{V}$ 趋向于无穷大空间，则这面积积分趋向于零。再应用一则关于狄拉克δ函数的向量恒等式

$\nabla^2 \left(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right)= - 4\pi\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')$。

可以得到

$U_{int}=\frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{ALL\ SPACE}}\frac{\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_2)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}\ \mathrm{d}^3 r=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q_1 q_2}{|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2|}$。

这就是双点电荷系统的电势能。