角动量算符

在量子力学里，角动量算符（angular momentum operator）是一种算符，类比于经典的角动量。在原子物理学涉及旋转对称性（rotational symmetry）的理论里，角动量算符占有中心的角色。角动量，动量，与能量是物体运动的三个基本特性。

## 简介

角动量促使在旋转方面的运动得以数量化。在孤立系统里，如同能量和动量，角动量是守恒的。在量子力学里，角动量算符的概念是必要的，因为角动量的计算实现于描述量子系统的波函数，而不是经典地实现于一点或一刚体。在量子尺寸世界，分析的对象都是以波函数或量子幅来描述其几率性行为，而不是命定性(deterministic)行为。

## 数学定义

在经典力学里，角动量 $\mathbf{L}=(L_x,\ L_y,\ L_z)\,\!$ 定义为位置 $\mathbf{r}=(x,\ y,\ z)\,\!$ 与动量 $\mathbf{p}=(p_x,\ p_y,\ p_z)\,\!$ 的叉积：

$\mathbf{L}\ \stackrel{def}{=}\ \mathbf{r}\times\mathbf{p}\,\!$。

在量子力学里，对应的角动量算符 $\hat{\mathbf{L}}\,\!$ 定义为位置算符 $\hat{\mathbf{r}}\,\!$ 与动量算符 $\hat{\mathbf{p}}\,\!$ 的叉积：

$\hat{\mathbf{L}}\ \stackrel{def}{=}\ \hat{\mathbf{r}}\times\hat{\mathbf{p}}\,\!$。

由于动量算符的形式为

$\hat{\mathbf{p}}= - i\hbar\nabla\,\!$。

角动量算符的形式为

$\hat{\mathbf{L}}= - i\hbar(\hat{\mathbf{r}}\times\nabla) \,\!$。

其中，$\nabla\,\!$ 是梯度算符。

## 角动量是厄米算符

在量子力学里，每一个可观察量所对应的算符都是厄米算符。角动量是一个可观察量，所以，角动量算符应该也是厄米算符。让我们现在证明这一点，思考角动量算符的 x-分量 $\hat{L}_x\,\!$：

$\hat{L}_x=\hat{y}\hat{p}_z - \hat{z}\hat{p}_y\,\!$。

其伴随算符 $L_x^{\dagger}\,\!$ 为

$\hat{L}_x^{\dagger}=(\hat{y}\hat{p}_z - \hat{z}\hat{p}_y)^{\dagger}=\hat{p}_z^\dagger\hat{y}^{\dagger} - \hat{p}_y^+\hat{z}^{\dagger}\,\!$。

由于 $\hat{y}\,\!$、$\hat{z}\,\!$、$\hat{p}_y\,\!$、$\hat{p}_z\,\!$，都是厄米算符。

$\hat{L}_x^{\dagger}=\hat{p}_z\hat{y} - \hat{p}_y\hat{z}\,\!$。

由于 $\hat{p}_z\,\!$ 与 $\hat{y}\,\!$ 之间、$\hat{p}_y\,\!$ 与 $\hat{z}\,\!$ 之间分别相互对易，所以。

$\hat{L}_x^{\dagger}=\hat{y}\hat{p}_z - \hat{z}\hat{p}_y=\hat{L}_x\,\!$。

因此，$\hat{L}_x\,\!$ 是一个厄米算符。类似地，$\hat{L}_y\,\!$ 与 $\hat{L}_z\,\!$ 都是厄米算符。总结，角动量算符是厄米算符。

再思考 $\hat{L}^2\,\!$ 算符。

$\hat{L}^2=\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2\,\!$。

其伴随算符 $(\hat{L}^2)^{\dagger}\,\!$ 为

$(\hat{L}^2)^{\dagger}=(\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2)^{\dagger}=(\hat{L}_x^2)^{\dagger}+(\hat{L}_y^2)^{\dagger}+(\hat{L}_z^2)^{\dagger}\,\!$。

由于 $\hat{L}_x^2\,\!$ 算符、$\hat{L}_y^2\,\!$ 算符、$\hat{L}_z^2\,\!$ 算符，都是厄米算符。

$(\hat{L}^2)^{\dagger}=\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2=\hat{L}^2\,\!$。

所以，$\hat{L}^2\,\!$ 算符是厄米算符。

## 对易关系

两个算符 $\hat{A}\,\!$ 与 $\hat{B}\,\!$ 的交换算符 $[\hat{A},\ \hat{B}]\,\!$，表示出它们之间的对易关系。

### 角动量算符与自己的对易关系

思考 $\hat{L}_x\,\!$ 与 $\hat{L}_y\,\!$ 的交换算符。

$\begin{align} \left.\right.[\hat{L}_x,\ \hat{L}_y] & = [\hat{y}\hat{p}_z - \hat{z}\hat{p}_y,\ \hat{z}\hat{p}_x - \hat{x}\hat{p}_z] \\ <pre> & =[\hat{y}\hat{p}_z,\ \hat{z}\hat{p}_x] - [\hat{z}\hat{p}_y,\ \hat{z}\hat{p}_x] - [\hat{y}\hat{p}_z,\ \hat{x}\hat{p}_z]+[\hat{z}\hat{p}_y,\ \hat{x}\hat{p}_z] \\ & =i\hbar (\hat{x}\hat{p}_y - \hat{y}\hat{p}_x) \\ & =i\hbar\hat{L}_z \\ \end{align}\,\!$。

由于两者的对易关系不等于 0， $L_x\,\!$ 与 $L_y\,\!$ 彼此是不相容可观察量。$\hat{L}_x\,\!$ 与 $\hat{L}_y\,\!$ 绝对不会有共同的基底量子态。一般而言，$\hat{L}_x\,\!$ 的本征态与 $\hat{L}_y\,\!$ 的本征态不同。

给予一个量子系统，量子态为 $|\psi\rangle\,\!$。对于可观察量算符 $\hat{L}_x\,\!$，所有本征值为 $\ell_{xi}\,\!$ 的本征态 $|f_i\rangle,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\,\!$，形成了一组基底量子态。量子态 $|\psi\rangle\,\!$ 可以表达为这基底量子态的线性组合：$|\psi\rangle=\sum_i \ |f_i\rangle\langle f_i|\psi\rangle\,\!$。对于可观察量算符 $\hat{L}_y\,\!$，所有本征值为 $\ell_{yi}\,\!$ 的本征态 $|g_i\rangle,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\,\!$，形成了另外一组基底量子态。量子态 $|\psi\rangle\,\!$ 可以表达为这基底量子态的线性组合：$|\psi\rangle=\sum_i \ |g_i\rangle\langle g_i|\psi\rangle\,\!$。

根据哥本哈根诠释，量子测量可以用量子态塌缩机制来诠释。假若，我们测量可观察量 $L_x\,\!$，得到的测量值为其本征值 $\ell_{xi}\,\!$，则量子态几率地塌缩为本征态 $|f_i\rangle\,\!$。假若，我们立刻再测量可观察量 $L_x\,\!$，得到的答案必定是 $\ell_{xi}\,\!$，量子态仍旧处于 $|f_i\rangle\,\!$。可是，假若，我们改为测量可观察量 $L_y\,\!$，则量子态不会停留于本征态 $|f_i\rangle\,\!$，而会塌缩为 $\hat{L}_y\,\!$ 的本征态。假若，得到的测量值为其本征值 $\ell_{yj}\,\!$，则量子态几率地塌缩为本征态 $|g_j\rangle\,\!$。

根据不确定性原理。

$\Delta L_x\ \Delta L_y \ge \left|\frac{\langle[\hat{L}_x,\ \hat{L}_y]\rangle}{2i}\right|=\frac{\hbar |\langle \hat{L}_z\rangle|}{2}\,\!$。

$L_x\,\!$ 的不确定性与 $L_y\,\!$ 的不确定性的乘积 $\Delta L_x\ \Delta L_y \,\!$，必定大于或等于 $\frac{\hbar |\langle L_z\rangle|}{2}\,\!$。

$L_x\,\!$ 与 $L_z\,\!$ 之间，$L_y\,\!$ 与 $L_z\,\!$ 之间，也有类似的特性。

### 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系

思考 $\hat{L}^2\,\!$ 与 $\hat{L}_z\,\!$ 的交换算符。

$\begin{align}\left.\right.[\hat{L}^2,\ \hat{L}_z] & = [\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2,\ \hat{L}_z] \\ <pre> & = \hat{L}_x\hat{L}_x\hat{L}_z - \hat{L}_z\hat{L}_x\hat{L}_x+\hat{L}_y\hat{L}_y\hat{L}_z - \hat{L}_z\hat{L}_y\hat{L}_y \\ & = \hat{L}_x(\hat{L}_z\hat{L}_x - i\hbar\hat{L}_y) - (\hat{L}_x\hat{L}_z+i\hbar\hat{L}_y)\hat{L}_x+\hat{L}_y(\hat{L}_z\hat{L}_y+i\hbar\hat{L}_x) - (\hat{L}_y\hat{L}_z - i\hbar\hat{L}_x)\hat{L}_y \\ & = 0 \\ \end{align}\,\!$。

$\hat{L}^2 \,\!$ 与 $\hat{L}_z\,\!$ 是对易的，$L^2 \,\!$ 与 $L_z\,\!$ 彼此是相容可观察量，两个算符有共同的本征态。根据不确定性原理，我们可以同时地测量到 $L^2 \,\!$ 与 $L_z\,\!$ 的本征值。

类似地。

$[\hat{L}^2,\ \hat{L}_x] =0\,\!$。

$[\hat{L}^2,\ \hat{L}_y] =0\,\!$。

$\hat{L}^2\,\!$ 与 $\hat{L}_x\,\!$ 之间、$\hat{L}^2\,\!$ 与 $\hat{L}_y\,\!$ 之间，都分别拥有类似的物理特性。

### 在经典力学里的对易关系

在经典力学里，角动量算符也遵守类似的对易关系：

$\{L_i,\ L_j\}=\epsilon_{ijk}L_k\,\!$。

其中，$\{\ ,\ \}\,\!$ 是帕松括号，$\epsilon_{ijk}\,\!$ 是列维-奇维塔符号，$i\,\!$、$j\,\!$、$k\,\!$，代表直角坐标 $(x,\ y,\ z)\,\!$。

## 本征值与本征函数

采用球坐标。展开角动量算符的方程式：

$\begin{align}\hat{\mathbf{L}} <pre> & = \frac{\hbar}{i}\hat{\mathbf{r}}\times\nabla \\ & = \frac{\hbar}{i} r\mathbf{e}_r \times \left(\mathbf{e}_r \frac{\partial}{\partial r}+\mathbf{e}_{\theta} \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}+ </pre> \mathbf{e}_{\phi} \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\right) \\ <pre> & = \frac{\hbar}{i}\left( - \mathbf{e}_{\theta}\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \phi} +\mathbf{e}_{\phi}\frac{\partial}{\partial \theta}\right) \\ \end{align} </pre> \,\!$。

其中，$\mathbf{e}_r\,\!$、$\mathbf{e}_\theta\,\!$、$\mathbf{e}_\phi\,\!$，分别为径向单位向量、天顶角单位向量、与方位角单位向量。

转换回直角坐标。

$\hat{\mathbf{L}}=\frac{\hbar}{i}\left[ \mathbf{e}_x \left( - \sin \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right) +\mathbf{e}_y\left(\cos \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right) +\mathbf{e}_z\frac{\partial}{\partial \phi}\right] \,\!$。

其中，$\mathbf{e}_x\,\!$、$\mathbf{e}_y\,\!$、$\mathbf{e}_z\,\!$，分别为 x-单位向量、y-单位向量、与 z-单位向量。

所以，$\hat{L}_x\,\!$、$\hat{L}_y\,\!$、$\hat{L}_z\,\!$ 分别是

$\hat{L}_x=\frac{\hbar}{i}\left( - \sin \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\,\!$。

$\hat{L}_y=\frac{\hbar}{i}\left(\cos \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\,\!$。

$\hat{L}_z=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial \phi}\,\!$。

角动量平方算符是

$\hat{L}^2=\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2\,\!$。

其中。

$$\begin{align}\hat{L}_x^2 <pre> & = - \hbar^2\left( - \sin \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\left( - \sin \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right) \\ & = - \hbar^2\left(\sin^2\phi\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+\cot\theta\cos^2\phi\frac{\partial}{\partial \theta}+\cot\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \phi} - \csc^2\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right. \\ </pre> \end{align}\,\!$$

$\left.+\cot\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \phi} - \cot^2\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}+\cot^2\theta\cos^2\phi\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right)\,\!$。

$$\begin{align}\hat{L}_y^2 <pre> & = - \hbar^2\left(\cos\phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\left(\cos \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right) \\ & = - \hbar^2\left(\cos^2\phi\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+\cot\theta\sin^2\phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \phi}+\csc^2\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right. \\ </pre> \end{align}\,\!$$

$\left. - \cot\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \phi}+\cot^2\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}+\cot^2\theta\sin^2\phi\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right)\,\!$。

$\hat{L}_z^2= - \hbar^2\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\,\!$。

经过一番繁杂的运算，终于得到想要的方程式

$\hat{L}^2= - \hbar^2\left(\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+\cot\theta\frac{\partial}{\partial \theta}+(1+\cot^2\theta)\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right) = - \hbar^2\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right)\,\!$。

满足算符 $\hat{L}^2\,\!$ 的本征函数是球谐函数 $Y_{\ell m}\,\!$：

$\hat{L}^2 Y_{\ell m}= \ell(\ell+1)\hbar^2 Y_{\ell m}\,\!$。

其中，本征值 $\ell\,\!$ 是正整数。

球谐函数也是满足算符 $\hat{L}_z\,\!$ 微分方程式的本征函数：

$\hat{L}_z Y_{\ell m}= m\hbar Y_{\ell m}\,\!$。

其中，本征值 $m\,\!$ 是整数，$- \ell \le m \le 0\,\!$。

因为这两个算符的正则对易关系是 0，它们可以有共同的本征函数。

球谐函数 $Y_{\ell m}\,\!$ 表达为

$Y_{\ell m}(\theta,\ \phi) =(i)^{m+|m|} \sqrt{{(2\ell+1)\over 4\pi}{(\ell - m)!\over (\ell+m)!}} \, P_{\ell m} (\cos{\theta}) \, e^{im\phi}\,\!$。

其中，$i\,\!$ 是虚数单位，$P_{\ell m}(\cos{\theta})\,\!$ 是伴随勒让德多项式，用方程式定义为

$P_{\ell m}(x) = (1 - x^2)^{|m|/2}\ \frac{d^{|m|}}{dx^{|m|}}P_\ell(x)\,$。

而 $P_\ell(x)\,\!$ 是 $\ell$ 阶勒让德多项式，可用罗德里格公式表示为：

$P_\ell(x) = {1 \over 2^\ell \ell!} {d^\ell \over dx^\ell }(x^2 - 1)^\ell$。

球谐函数满足正交归一性：

$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\ Y_{\ell_1 m_1}Y_{\ell_2 m_2}\sin(\theta)d\theta d\phi=\delta_{\ell_1 \ell_2}\delta_{m_1m_2}\,\!$。

这样，角动量算符的本征函数，形成一组单范正交基。任意波函数 $\psi(\theta,\,\phi)\,\!$ 都可以表达为这单范正交基的线性组合：

$\psi(\theta,\,\phi)=\sum_{\ell ,m}\ A_{\ell m}Y_{\ell m}(\theta,\,\phi)\,\!$。

其中，$A_{\ell m}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\ Y_{\ell m}^*(\theta,\,\phi)\psi(\theta,\,\phi)\sin(\theta)d\theta d\phi \,\!$。

## 参阅

- 氢原子
- 球对称位势
- 拉普拉斯-龙格-冷次向量

## 外部链接

- 圣地牙哥加州大学物理系量子力学视听教学：角动量加法