直接推理

直接推理（immediate inference），是日常语言和亚里士多德的词项逻辑中常见的基本推理形式。不同于从两个直言命题得出一个直言命题的直言三段论，它从一个直言命题得出另一个直言命题，所以被称为是直接的。

在传统逻辑中，有效的直接推理是换质法（Obversion）、换位法（Conversion）、对置法（Contraposition）和反对置法（Obverted Contraposition）。

## 四种直言命题之间的关系

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直言命题的四种类型的谓词逻辑表示：

- 全称肯定命题（A）：$\forall x(S(x) \rightarrow P(x))$，所有S是P。
- 全称否定命题（E）：$\forall x(S(x) \rightarrow \lnot P(x))$，所有S不是P。
- 特称肯定命题（I）：$\exists x(S(x) \land P(x))$，有些S是P。
- 特称否定命题（O）：$\exists x(S(x) \land \lnot P(x))$，有些S不是P。

全称肯定命题和特称否定命题之间以及全称否定命题和特称肯定命题之间是矛盾关系：

$\forall x (S(x) \rightarrow P(x)) \land \exists x(S(x) \land \lnot P(x)) \implies \exist x((\lnot P(x)) \land P(x)) \implies \bot$。$\forall x (S(x) \rightarrow \lnot P(x)) \land \exists x(S(x) \land P(x)) \implies \exist x(P(x) \land \lnot P(x)) \implies \bot$。

全称肯定命题和全称否定命题二者如果并立，就会在主词对应的范畴确有个体存在之时产生矛盾，它们之间是反对关系：

$\forall x ( S(x) \rightarrow P(x)) \land \forall x(S(x) \rightarrow \lnot P(x)) \implies \forall x ( S(x) \rightarrow (P(x) \land \lnot P(x))) \implies \forall x ( S(x) \rightarrow \bot)$，$\exists x S(x) \land \forall x ( S(x) \rightarrow \bot) \implies \bot$。

从矛盾关系可以直接得出全称量词和存在量词之间的对偶关系：

- 全称肯定命题（A）：$\forall x(S(x) \rightarrow P(x)) \iff \lnot \exists x(S(x) \land \lnot P(x))$，没有S不是P。
- 全称否定命题（E）：$\forall x(S(x) \rightarrow \lnot P(x)) \iff \lnot \exists x(S(x) \land P(x))$，没有S是P。
- 特称肯定命题（I）：$\exists x(S(x) \land P(x)) \iff \lnot \forall x(S(x) \rightarrow \lnot P(x))$，并非所有S不是P。
- 特称否定命题（O）：$\exists x(S(x) \land \lnot P(x)) \iff \lnot \forall x(S(x) \rightarrow P(x))$，并非所有S是P。

四种直言命题的上述加粗表述，是亚里士多德《解释篇》中采用的表述形式。

### 蕴含关系

全称命题和特称命题之间是有条件的蕴涵关系：

- 在主词对应的范畴确有个体存在的条件下，全称肯定命题（A），蕴涵特称肯定命题（I）：$\exists x S(x) \land \forall x ( S(x) \rightarrow P(x)) \implies \exists x (S(x) \land S(x)) \land \forall x ( S(x) \rightarrow P(x)) \implies \exists x(S(x) \land P(x))$。
- 在主词对应的范畴确有个体存在的条件下，全称否定命题（E），蕴涵特称否定命题（O）：$\exists x S(x) \land \forall x ( S(x) \rightarrow \lnot P(x)) \implies \exists x (S(x) \land S(x)) \land \forall x ( S(x) \rightarrow \lnot P(x)) \implies \exists x(S(x) \land \lnot P(x))$。

全称肯定命题蕴涵特称肯定命题，在亚里士多德《前分析篇》中用于建立特定的三段论形式，即AAI-3和EAO-3。

将蕴涵关系中的特称命题替代为其对偶的全称命题，则全称命题之间的反对关系体现为：

- 在主词对应的范畴确有个体存在的条件下，如果全称肯定命题（A）为真，则全称否定命题（E）为假：$\exists x S(x) \land \forall x ( S(x) \rightarrow P(x)) \implies \lnot \forall x(S(x) \rightarrow \lnot P(x))$。
- 在主词对应的范畴确有个体存在的条件下，如果全称否定命题（E）为真，则全称肯定命题（A）为假：$\exists x S(x) \land \forall x ( S(x) \rightarrow \lnot P(x)) \implies \lnot \forall x(S(x) \rightarrow P(x))$。

### 下反对关系

将蕴涵关系中的全称命题替代为其对偶的特称命题，还确立了特称命题之间的下反对关系：

- 在主词对应的范畴确有个体存在的条件下，如果特称否定命题（O）为假，则特称肯定命题（I）为真：$\exists x S(x) \land \lnot \exists x(S(x) \land \lnot P(x)) \implies \exists x(S(x) \land P(x))$。
- 在主词对应的范畴确有个体存在的条件下，如果特称肯定命题（I）为假，则特称否定命题（O）为真：$\exists x S(x) \land \lnot \exists x(S(x) \land P(x)) \implies \exists x(S(x) \land \lnot P(x))$。

### 对立四边形

四种直言命题之间的关系，通常用对立四边形来表示。

- 在主词对应的范畴没有个体存在之时：特称肯定命题（I）和特称否定命题（O）都为假，而全称肯定命题（A）和全称否定命题（E）都为真。蕴涵关系的主词非空的前提为假，它与这两个全称命题的合取都为假。
- 在主词对应的范畴有$\,1\,$个个体存在之时：要么特称肯定命题（I）和全称肯定命题（A）都为真，而特称否定命题（O）和全称否定命题（E）都为假；要么特称否定命题（O）和全称否定命题（E）都为真，而特称肯定命题（I）和全称肯定命题（A）都为假。
- 随着这个范畴中个体数量增加，可能保持此前的并立状态，也可能转变并保持为新的并立状态：特称肯定命题（I）和特称否定命题（O）都为真，而全称肯定命题（A）和全称否定命题（E）都为假。

## 换位法

换位法对调主词和谓词的位置：

- 全称否定命题（E）：$\forall x(S(x) \rightarrow \lnot P(x)) \iff \forall x(P(x) \rightarrow \lnot S(x))$，所有P不是S。
- 特称肯定命题（I）：$\exists x(S(x) \land P(x)) \iff \exists x(P(x) \land S(x))$，有些P是S。

## 换质法

换质法否定谓词本身而改变命题的性质，这里有$\lnot A^{\complement} \iff A$：

- 全称肯定命题（A）变为全称否定命题（E）：$\forall x(S(x) \rightarrow P(x)) \iff \forall x(S(x) \rightarrow \lnot P^\complement(x))$，所有S不是非P。
- 全称否定命题（E）变为全称肯定命题（A）：$\forall x(S(x) \rightarrow \lnot P(x)) \iff \forall x(S(x) \rightarrow P^\complement(x))$，所有S是非P。
- 特称肯定命题（I）变为特称否定命题（O）：$\exists x(S(x) \land P(x)) \iff \exists x(S(x) \land \lnot P^\complement(x))$，有些S不是非P。
- 特称否定命题（O）变为特称肯定命题（I）：$\exists x(S(x) \land \lnot P(x)) \iff \exists x(S(x) \land P^\complement(x))$，有些S是非P。

## 对置法

对置法是换质后再换位：

- 全称肯定命题（A）变为全称否定命题（E）：$\forall x(S(x) \rightarrow P(x)) \iff \forall x(S(x) \rightarrow \lnot P^\complement(x)) \iff \forall x(P^\complement(x) \rightarrow \lnot S(x))$，所有非P不是S。
- 特称否定命题（O）变为特称肯定命题（I）：$\exists x(S(x) \land \lnot P(x)) \iff \exists x(S(x) \land P^\complement(x)) \iff \exists x (P^\complement(x) \land S(x))$，有些非P是S。

对置全称肯定命题（A）和对置特称否定命题（O），可以分别是三段论形式AOO-2和OAO-3的推导中的起始步骤。

## 反对置法

反对置法是对置后再换质：

- 全称肯定命题（A）变为全称肯定命题（A）：$\forall x(S(x) \rightarrow P(x)) \iff \forall x(S(x) \rightarrow \lnot P^\complement(x)) \iff \forall x(P^\complement(x) \rightarrow \lnot S(x)) \iff \forall x(P^\complement(x) \rightarrow S^\complement(x))$，所有非P是非S。
- 特称否定命题（O）变为特称否定命题（O）：$\exists x(S(x) \land \lnot P(x)) \iff \exists x(S(x) \land P^\complement(x)) \iff \exists x (P^\complement(x) \land S(x)) \iff \exists x (P^\complement(x) \land \lnot S^\complement(x))$，有些非P不是非S。