扁球面坐标系

扁球面坐标系（Oblate spheroidal coordinates）是一种三维正交坐标系。设定二维椭圆坐标系包含于xz-平面；两个焦点$F_{1}$与$F_{2}$的直角坐标分别为$( - a,\ 0,\ 0)$与$(a,\ 0,\ 0)$。将椭圆坐标系绕着z-轴旋转，则可以得到扁球面坐标系。（假若，绕着y-轴旋转，则可以得到长球面坐标系。）椭圆坐标系的两个焦点，变为一个半径为$a$的圆圈，包含于三维空间的xy-平面。称这圆圈为焦圆，又称为参考圆。扁球面坐标系可以被视为椭球坐标系的极限案例，其两个最大的半轴的长度相同。

当边界条件涉及扁球面或旋转双曲面时，扁球面坐标时常可以用来解析偏微分方程式。例如，关于佩兰摩擦因子（Perrin friction factors）的计算，扁球面坐标扮演了极重要的角色。让·佩兰因此而荣获1926年诺贝尔物理奖。佩兰摩擦因子决定了分子的旋转扩散（rotational diffusion）。这程序又影响了许多科技，像蛋白质核磁共振光谱学（protein NMR），的可行性。应用这程序，我们可以推论分子的流体动力体积与形状。扁球面坐标也时常用来解析电磁学（例如，扁球形带电的分子的电容率），声学（例如，声音通过圆孔时产生的散射），流体动力学（水通过消防水带的喷口），扩散理论（红热的钱币在水里的冷却），等等方面的问题。

## 第一种表述

在三维空间里，一个点P的扁球面坐标$(\mu,\ \nu,\ \phi)$常见的定义是

$x = a \ \cosh \mu \ \cos \nu \ \cos \phi$。

$y = a \ \cosh \mu \ \cos \nu \ \sin \phi$。

$z = a \ \sinh \mu \ \sin \nu$。

其中，$\mu\ge 0$是个实数，角度$- 90^{\circ} \le \nu \le 90^{\circ}$，角度$- 180^{\circ} \le \phi \le 180^{\circ}$。

学术界比较中意这一种扁球面坐标，因为没有简并；三维空间内每一点都拥有自己独特的扁球面坐标。

### 坐标曲面

$\mu$坐标曲面是扁球面：

$\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \cosh^{2} \mu} + \frac{z^{2}}{a^{2} \sinh^{2} \mu} = \cos^{2} \nu + \sin^{2} \nu = 1$。

它们是由椭圆绕着z-轴旋转形成的。椭球面与xz-平面的相交，是一个的椭圆。沿着x-轴，长半轴长度为$a\cosh\mu$，沿着z-轴，短半轴长度为$a\sinh\mu$。椭圆的焦点都包含于x-轴，x-坐标分别为$\pm a$。

$\nu$坐标曲面是半个单叶旋转双曲面：

$\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \cos^{2} \nu} - \frac{z^{2}}{a^{2} \sin^{2} \nu} = \cosh^{2} \mu - \sinh^{2} \mu = 1$。

假若$\nu$是正值，$z$也是正值，这半个单叶旋转双曲面在xy-平面以上；假若是负值，则在xy-平面以下。$\nu$是双曲线的渐近线的角度。所有双曲线的焦点都在x-轴，x-坐标分别为$\pm a$。

$\phi$坐标曲面是个半平面：

$x\sin\phi - y\cos\phi=0$。

### 逆变换

用直角坐标$(x,\ y,\ z)$来计算扁球面坐标$(\mu,\ \nu,\ \phi)$，方位角$\phi$的公式为

$\tan \phi = \frac{y}{x}$。

设定$d_1$与$d_2$分别为点P与焦圆的最远距离与最近距离，以方程式表示为

$d_{1}^{2} = (\sqrt{x^{2}+y^{2}} + a)^{2} + z^{2}$。

$d_{2}^{2} = (\sqrt{x^{2}+y^{2}} - a)^{2} + z^{2}$。

坐标$\mu$和$\nu$的方程式分别为

$\cosh \mu = \frac{d_{1} + d_{2}}{2a}$。

$\cos \nu = \frac{d_{1} - d_{2}}{2a}$。

### 标度因子

扁球面坐标$\mu$与$\nu$的标度因子相等：

$h_{\mu} = h_{\nu} = a\sqrt{\sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu}$。

方位角$\phi$的标度因子为

$h_{\phi} = a \cosh\mu \ \cos\nu$。

无穷小体积元素是

$dV = a^{3} \cosh\mu \ \cos\nu \ \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right) d\mu d\nu d\phi$。

拉普拉斯算子是

$\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{a^{2} \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right)} \left[ \frac{1}{\cosh \mu} \frac{\partial}{\partial \mu} \left( \cosh \mu \frac{\partial \Phi}{\partial \mu} \right) + \frac{1}{\cos \nu} \frac{\partial}{\partial \nu} \left(\cos \nu \frac{\partial \Phi}{\partial \nu} \right) \right] + \frac{1}{a^{2} \left( \cosh^{2}\mu\cos^{2}\nu \right)} \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}$。

其它微分算子，像$\nabla \cdot \mathbf{F}$、$\nabla \times \mathbf{F}$，都可以用$(\mu,\ \nu,\ \phi)$坐标表示，只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

## 第二种表述

另外有一组有时会用到的扁球面坐标$(\zeta,\ \xi,\ \phi)$；其中，$\zeta = \sinh \mu$，$\xi = \sin \nu$。$\zeta$坐标曲面是个扁球面，$\xi$坐标曲面是个旋转双曲面。从直角坐标变换至扁球面坐标：

$x = a\sqrt{(1+\zeta^2)(1-\xi^2)}\,\cos \phi$。

$y = a\sqrt{(1+\zeta^2)(1-\xi^2)}\,\sin \phi$。

$z = a \zeta \xi$。

其中，实数$0 \le \zeta < \infty$，实数$-1 \le \xi < 1$，角度$- 180^{\circ} \le \phi \le 180^{\circ}$。

### 标度因子

扁球面坐标$(\zeta,\ \xi,\ \phi)$的标度因子分别为：

$h_{\zeta} = a\sqrt{\frac{\zeta^2 + \xi^2}{1+\zeta^2}}$。

$h_{\xi} = a\sqrt{\frac{\zeta^2 + \xi^2}{1 - \xi^2}}$。

$h_{\phi} = a\sqrt{(1+\zeta^2)(1 - \xi^2)}$。

无穷小体积元素是

$dV = a^{3} (\zeta^2+\xi^2)\,d\zeta\,d\xi\,d\phi$。

拉普拉斯算子是

$\nabla^{2} V = \frac{1}{a^2 \left( \zeta^2 + \xi^2 \right)} \left\{ \frac{\partial}{\partial \zeta} \left[ \left(1+\zeta^2\right) \frac{\partial V}{\partial \zeta} \right] + \frac{\partial}{\partial \xi} \left[ \left( 1 - \xi^2 \right) \frac{\partial V}{\partial \xi} \right] \right\} + \frac{1}{a^2 \left( 1+\zeta^2 \right) \left( 1 - \xi^{2} \right)} \frac{\partial^2 V}{\partial \phi^{2}}$。

## 第三种表述

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另外，还有一种比较有几何直觉性的扁球面坐标系$(\sigma,\ \tau,\ \phi)$：

$\sigma=\cosh\mu$。

$\tau=\cos \nu$。

$\phi=\phi$。

坐标$\sigma$必须大于或等于1。坐标$\tau$必须在正负1之间。$\sigma$坐标曲面是扁球面。$\tau$坐标曲面是单叶双曲面，包含了对应于正负$\nu$的半双曲面。第三种坐标有双重简并：三维空间的两点（直角坐标$(x,\ y,\ \pm z)$映射至一组扁球面坐标系$(\sigma,\ \tau,\ \phi)$）。这双重简并可以从直角坐标变换至扁球面坐标的公式观察到：

$x = a\sigma\tau \cos \phi$。

$y = a\sigma\tau \sin \phi$。

$z^{2} = a^{2} \left( \sigma^{2} - 1 \right) \left(1 - \tau^{2} \right)$。

坐标$\sigma$与$\tau$有一个简单的公式来表达任何一点P与焦圆的最远距离$d_1$，最近距离$d_2$：

$d_{1}+d_{2} = 2a\sigma$。

$d_{1} - d_{2}= 2a\tau$。

所以，点P与焦圆的最远距离是$a(\sigma+\tau)$，点P与焦圆的最近距离是$a(\sigma - \tau)$。

### 坐标曲面

$\sigma$坐标曲面是扁球面：

$\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \sigma^{2}} + \frac{z^{2}}{a^{2} \left(\sigma^{2} - 1\right)} = 1$。

$\tau$坐标曲面是单叶旋转双曲面：

$\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \tau^{2}} - \frac{z^{2}}{a^{2} \left( 1 - \tau^{2} \right)} = 1$。

$\phi$坐标曲面是半个平面：

$x\sin\phi - y\cos\phi=0$。

### 标度因子

扁球面坐标$(\sigma,\ \tau,\ \phi)$的标度因子分别为：

$h_{\sigma}=a\sqrt{\frac{\sigma^{2} + \tau^{2}}{\sigma^{2} + 1}}$。

$h_{\tau}=a\sqrt{\frac{\sigma^{2} + \tau^{2}}{1 - \tau^{2}}}$。

$h_{\phi}=a \sigma \tau$。

无穷小体积元素是

$dV = a^{3} \sigma \tau \frac{\sigma^{2} + \tau^{2}}{\sqrt{\left( \sigma^{2} + 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)}} d\sigma d\tau d\phi$。

拉普拉斯算子是

$\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right)} \left\{ \frac{\partial}{\partial \sigma} \left[ \left( \sigma^{2} + 1 \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma} \right] + \frac{\partial}{\partial \tau} \left[ \left( 1 - \tau^{2} \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \tau} \right] \right\} + \frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} + 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)} \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}$。

其它微分算子，像$\nabla \cdot \mathbf{F}$、$\nabla \times \mathbf{F}$，都可以用$(\sigma,\ \tau,\ z)$坐标表示，只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

如同球坐标解答的形式为球谐函数，拉普拉斯方程可以用分离变数法来求解，得到形式为扁球谐函数的答案。假若，边界条件涉及扁球面，我们可以优先选择这方法来解析。

## 参考目录

### 不按照命名常规

- 采用$\xi_1=a\sinh\mu$、$\xi_2=\sin\nu$、$\xi_3=\cos\phi$。
- 如同Morse & Feshbach (1953)，采用$u_k$来替代$\xi_k$。
- 采用混合坐标$\xi=a\sinh\mu$、$\eta=\sin\nu$、$\phi=\phi$。

### 按照命名常规

- 采用第一种表述$(\mu,\ \nu,\ \phi)$，又加介绍了简并的第三种表述$(\sigma,\ \tau,\ \phi)$。
- 如同Korn and Korn (1961)，但采用余纬度$\theta=90^{\circ} - \nu$来替代纬度$\nu$。
- Moon and Spencer采用余纬度常规$\theta=90^{\circ} - \nu$，又改名$\phi$为$\psi$。

### 特异命名常规

- 视扁球面坐标系为椭球坐标系的极限。采用第二种表述。