爱因斯坦-嘉当理论

爱因斯坦-嘉当理论（Einstein-Cartan theory）是理论物理学中将广义相对论延伸以正确处理自旋角动量。此理论以物理学家阿尔伯特·爱因斯坦以及埃利·嘉当（Élie Cartan)为名。

作为古典物理中的主要理论，广义相对论却有一个缺点：其无法描述“自旋轨道耦合”（spin-orbit coupling），亦即内禀角动量（intrinsic angular momentum）（自旋）与轨道角动量（orbital angular momentum）间的交换。存在有定量的理论证明，其显示：当物体具有自旋性质时，广义相对论必须要扩充成爱因斯坦-嘉当理论。

实验上的效应由于太小，目前尚无法观测得到。

## 历史

该理论最早由埃利·嘉当(Élie Cartan)于 1922 年提出，并在随后的几年中得到了阐述。阿尔伯特爱因斯坦于 1928 年开始加入该理论，当时他试图将挠率与电磁场张量匹配作为统一场论的一部分，但没有成功。这一思路引导他得出了相关但不同的远程并行理论。

Dennis Sciama和Tom Kibble在20世纪60年代独立地重新审视了该理论，并于1976年发表了一篇重要评论。

爱因斯坦-嘉当理论在历史上一直被无扭转理论和布兰斯-迪克理论等其他替代理论所掩盖，因为扭转似乎以牺牲方程式的易处理性为代价，几乎没有增加预测的好处。由于爱因斯坦-嘉当理论是纯粹经典的，它也没有完全解决量子重力问题。在爱因斯坦-嘉当理论中，狄拉克方程式变得非线性。最近，人们对爱因斯坦-嘉当理论的兴趣已经转向宇宙学意义，最重要的是，避免了宇宙开始时的引力奇点。该理论被认为是可行的，并且仍然是物理学界的活跃话题。

该理论间接影响了圈量子重力（并且似乎也影响了扭量理论）。

## 动机

广义相对论无法描述自旋轨道耦合的理由根源于黎曼几何，而广义相对论是建构于其上。在黎曼几何中，里奇曲率张量（Ricci curvature tensor）$R_{ab}$必须是a与b对称的（亦即，$R_{ab}=R_{ba}$）。因此爱因斯坦曲率张量(Einstein curvature tensor)$G_{ab}$定义为

$$G_{ab}=R_{ab}-\frac{1}{2}R g_{ab}$$

也必须是对称的。在广义相对论中，爱因斯坦曲率张量为局域重力建构了模型，且其（透过重力常数的联系）等同于应力-能量张量或能量-动量张量$P_{ab}$（此处我们将能量-动量张量表示为P，是因为广义相对论中常用来表示能量-动量张量的T在爱因斯坦-嘉当理论留给仿射扭率(affine torsion)。）爱因斯坦曲率张量的对称性强迫动量张量必须是对称的。然而，当自旋与轨道角动量进行交换时，根据角动量守恒的广义式，则知动量张量为不对称的。

自旋流(spin current)之散度——$\frac{1}{2}\left(T_{ab}-T_{ba}\right)=0$

细节请参考自旋张量(spin tensor)条目。

因此广义相对论无法适当地为自旋轨道耦合建构模型。

于1922年，埃利·嘉当提出猜想认为广义相对论应该被延伸成包括仿射扭率(affine torsion)，其允许里奇张量可以是不对称的。虽然自旋-轨道耦合是重力物理学中相对次要的现象，爱因斯坦–嘉当理论则相当重要，因为

(1) 其显示出仿射理论，而非度规理论，对于重力能提供更好的描述。

(2) 其解释仿射扭率的意义，在一些量子重力理论中自然出现。

(3) 其将自旋诠释为仿射扭率，在几何意义上是时空介质(spacetime medium)之位错场(field of dislocations)的一项连续近似。

将黎曼几何扩充以包含了仿射扭率则称为黎曼-嘉当几何(Riemann–Cartan geometry)。

## 几何与表示式

时空物理学的数学基础是仿射微分几何(affine differential geometry)，其中我们赋予n维微分流形M 一项沿着M上路径对向量作平行移动的定律。（一微分流形的每个点，我们都有切向量所组成的一个线性空间，不过我们无法将向量移动到其他点，或是去比较M上位于不同两点上的向量。）平行移动保存了向量间的线性关系；也就是说，若两向量 $\vec{u}$ 与 $\vec{v}$ 在M上同一点，沿着一曲线被平行移动成为向量 $\vec{u}^{\prime}$ 与 $\vec{v}^{\prime}$，则两者的线性组合

$a \vec{u}$ + $b \vec{v}$

也平行移动为

$a \vec{u}^{\prime}$ + $b \vec{v}^{\prime}$。

仿射微分几何中的平行性(Parallelism)是路径相依(path-dependent)的；也就是说，如果沿着同起点与同终点之两相异路径平行移动一向量，在终点所得的结果向量一般来说是相异的。这样的差异本质上即为曲率的影响，而曲率在微分几何中是个中心概念。

## 爱因斯坦-嘉当引力理论简介

### 用标架场重写爱因斯坦引力理论

用标架场$\lambda _{\mu }^{(\alpha )}$ 代替度规场${{g}_{\mu \nu }}$，我们可以得到用标架场$\lambda _{\mu }^{(\alpha )}$ （仅考虑内禀坐标系变换是整体Lorentz变换）表示的两种等价形式的推广的爱因斯坦引力场运动方程为：

- （1）引力场运动方程第一形式：$\frac{D{{Q}^{(\alpha )\mu \nu }}}{D{{x}^{\nu }}}=\frac{16\pi G}{{{c}^{4}}}{{P}^{(\alpha )\mu }}$
- （2）引力场运动方程第二形式：${{R}^{\mu \nu }}-\frac{1}{2}{{g}^{\mu \nu }}R+\frac{1}{2}\lambda _{(\alpha )}^{\nu }\frac{DK_{{}}^{(\alpha )\mu \rho }}{D{{x}^{\rho }}}=\frac{8\pi G}{{{c}^{4}}}\left( P_{m}^{\nu \mu }-P_{gk}^{\nu \mu } \right)$

其中：

$${{P}^{(\alpha )\mu }}=P_{m}^{(\alpha )\mu }-P_{g}^{(\alpha )\mu }$$

$$\begin{align} <pre> & {{Q}^{(\alpha )\mu \nu }}=Q_{E}^{(\alpha )\mu \nu }+K_{{}}^{(\alpha )\mu \nu } \\ & Q_{E}^{(\alpha )\mu \nu }={{F}^{(\alpha )\mu \nu }}+\left( {{F}^{\mu (\alpha )\nu }}-{{F}^{\nu (\alpha )\mu }} \right)-2\left( {{\lambda }^{(\alpha )\mu }}{{F}^{\nu }}-{{\lambda }^{(\alpha )\nu }}{{F}^{\mu }} \right) \\ & K_{{}}^{(\alpha )\mu \nu }=\beta _{1}^{{}}{{F}^{(\alpha )\mu \nu }}+\beta _{2}^{{}}\left( {{F}^{\mu (\alpha )\nu }}-{{F}^{\nu (\alpha )\mu }} \right)-2\beta _{3}^{{}}\left( {{\lambda }^{(\alpha )\mu }}{{F}^{\nu }}-{{\lambda }^{(\alpha )\nu }}{{F}^{\mu }} \right) \\ </pre> \end{align}$$

$$P_{g}^{(\alpha )\mu }=\frac{{{c}^{4}}}{16\pi G}\left( -{{F}_{\lambda \rho \sigma }}{{Q}^{\lambda \mu \sigma }}+\frac{1}{4}{{F}_{\lambda m\sigma }}{{Q}^{\lambda m\sigma }}\delta _{\rho }^{\mu } \right){{\lambda }^{(\alpha )\rho }}$$

$$\begin{align} <pre> & P_{m}^{(\alpha )\mu }=-\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta \left( {{L}_{m}}\sqrt{-g} \right)}{\delta {{\lambda }_{(\alpha )\mu }}}=-\frac{\delta {{L}_{m}}}{\delta {{\lambda }_{(\alpha )\mu }}}-{{L}_{m}}{{\lambda }^{(\alpha )\mu }} \\ & \\ </pre> \end{align}$$

$$P_{gk}^{(\alpha )\mu }=\frac{{{c}^{4}}}{16\pi G}\left( -{{F}_{\lambda \rho \sigma }}{{K}^{\lambda \mu \sigma }}+\frac{1}{4}{{F}_{\lambda m\sigma }}{{K}^{\lambda m\sigma }}\delta _{\rho }^{\mu } \right){{\lambda }^{(\alpha )\rho }}$$

当 ${{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}},{{\beta }_{3}}<<1$时，由引力场运动方程的第二形式得到爱因斯坦引力场运动方程：

$${{R}^{\mu \nu }}-\frac{1}{2}{{g}^{\mu \nu }}R=\frac{8\pi G}{{{c}^{4}}}P_{m}^{\nu \mu }$$

### 爱因斯坦引力理论与狄拉克电子理论之间的矛盾

考虑电子与引力的作用时，我们需要引入标架仿射联络$\hat{\Gamma }_{(\beta )\mu }^{(\alpha )}$。在黎曼时空中，存在关系式：${{D}_{\nu }}\lambda _{\mu }^{(\alpha )}={{\partial }_{\nu }}\lambda _{\mu }^{(\alpha )}-\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }\lambda _{\rho }^{(\alpha )}+\hat{\Gamma }_{(\beta )\nu }^{(\alpha )}\lambda _{\mu }^{(\beta )}=0$，标架场与标架仿射联络不独立。

因此，黎曼时空中的电子场、电磁场及引力场的运动才方程为：

(1)电子场运动方程：

$$\left\{ \begin{align} <pre> & i\hbar {{\gamma }^{\mu }}{{D}_{\mu }}\psi -mc\psi =0 \\ & i\hbar {{D}_{\mu }}\bar{\psi }{{\gamma }^{\mu }}+mc\bar{\psi }=0 \\ </pre> \end{align} \right.$$

(2)电磁场运动方程：

$${{D}_{\nu }}{{F}^{\mu \nu }}=-4\pi j_{e}^{\mu }$$

(3)引力场运动方程：

$${{R}^{\mu \nu }}-\frac{1}{2}{{g}^{\mu \nu }}R=\frac{8\pi G}{{{c}^{4}}}\left( P_{e}^{\nu \mu }+P_{\gamma }^{\nu \mu }-\frac{1}{2}D_{\sigma }^{{}}{{s}_{e}}^{(\alpha \beta )\sigma }\lambda _{(\alpha )}^{\nu }\lambda _{(\beta )}^{\mu } \right)$$

根据电子场运动方程得到能量-动量流运动方程为：

$${{D}_{\nu }}P_{e}^{\mu \nu }=-{F_{\rho }}^{\mu }j_{e}^{\rho }+\frac{1}{2}{{R}_{(\alpha \beta )\nu }}^{\mu }s_{e}^{(\alpha \beta )\nu }$$

根据引力场运动方程得到能量-动量流运动方程为：

$${{D}_{\nu }}P_{e}^{\mu \nu }=-{F_{\rho }}^{\mu }j_{e}^{\rho }-\frac{1}{4}{{R}_{(\alpha \beta )\nu }}^{\mu }{{s}_{e}}^{(\alpha \beta )\nu }$$

上述结果表明，从电子场运动方程得到的能量-动量流运动方程与从引力场运动方程得到的能量-动量流运动方程是不相容的。

### 有挠时空引力理论（爱因斯坦-嘉当理论）

在有挠时空中，标架场 $\lambda _{\mu }^{(\alpha )}$与标架仿射联络$\hat{\Gamma }_{(\beta )\mu }^{(\alpha )}$ 是独立的，标架场$\lambda _{\mu }^{(\alpha )}$ 描述时空的弯曲，标架仿射联络$\hat{\Gamma }_{(\beta )\mu }^{(\alpha )}$ 描述时空的扭曲，并且有：

$${{D}_{\nu }}\lambda _{\mu }^{(\alpha )}={{\partial }_{\nu }}\lambda _{\mu }^{(\alpha )}-\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }\lambda _{\rho }^{(\alpha )}+\hat{\Gamma }_{(\beta )\nu }^{(\alpha )}\lambda _{\mu }^{(\beta )}\ne 0$$

有挠时空中的引力场推广为引力-自旋场，因此简化形式的爱因斯坦-嘉当引力-自旋场的运动方程：

(1)电子场运动方程：

$$\left\{ \begin{align} <pre> & \frac{1}{2}\left( i\hbar {{\gamma }^{\mu }}D_{\mu }^{{}}\psi +i\hbar D_{\mu }^{{}}({{\gamma }^{\mu }}\psi ) \right)-mc\psi =0 \\ & \frac{1}{2}\left( i\hbar D_{\mu }^{{}}\bar{\psi }{{\gamma }^{\mu }}+i\hbar D_{\mu }^{{}}(\bar{\psi }{{\gamma }^{\mu }}) \right)+mc\bar{\psi }=0 \\ </pre> \end{align} \right.$$

(2)电磁场运动方程：

$$D_{\nu }^{{}}{{F}^{\mu \nu }}=-4\pi j_{e}^{\mu }$$

(3)自旋场运动方程：

$$D_{\nu }^{{}}{{R}^{(\alpha \beta )\mu \nu }}=\frac{8\pi \kappa }{{{c}^{4}}}\left( s_{e}^{(\alpha \beta )\mu }+s_{g}^{(\alpha \beta )\mu } \right)$$

(4)引力场运动方程：

a.	第一形式：

$$D_{\nu }^{{}}{{Q}^{(\alpha )\mu \nu }}=\frac{16\pi G}{{{c}^{4}}}\left( P_{e}^{(\alpha )\mu }+P_{\gamma }^{(\alpha )\mu }+P_{f}^{(\alpha )\mu }-P_{g}^{(\alpha )\mu }-\frac{{{c}^{4}}}{16\pi G}\bar{\beta }\left( 2{{{\hat{R}}}^{\mu (\alpha )}}-\hat{R}{{\lambda }^{(\alpha )\mu }} \right) \right)$$

b.	第二形式：

$$\bar{\beta }\left( R_{\nu }^{\mu }-\frac{1}{2}\delta _{\nu }^{\mu }R \right)\lambda _{{}}^{(\alpha )\nu }+\frac{1}{2}\beta D_{\nu }^{{}}{{\bar{K}}^{(\alpha )\mu \nu }}=\frac{8\pi G}{{{c}^{4}}}\left( P_{e}^{(\alpha )\mu }+P_{\gamma }^{(\alpha )\mu }+P_{f}^{(\alpha )\mu }-P_{gk}^{(\alpha )\mu } \right)$$

可以证明上述运动方程是相容的，因此有挠时空的爱因斯坦-嘉当引力-自旋场理论消除了爱因斯坦引力理论与狄拉克电子理论之间的矛盾。

## 应用

- 解释宇宙加速膨胀
- 解释先锋异常
- 解释星系转动曲线
- 预言带电物体周围的引力异常
- 预言日月食的引力异常