转动惯量列表

对于一个有多个质点的系统，$I = \sum_{i=1}^N {m_i r_i^2}$。若该系统由刚体组成，可以用无限个质点的转动惯量和，即用积分计算其转动惯量。以下列表给出了常见物理模型的转动惯量。

值得注意的是，不应将其与截面惯量（又称截面二次轴矩（second axial moment of area）），截面矩（area moment of inertia）混淆，后者用于弯折方面的计算。以下之转动惯量假设了整个物体具有均匀的常数密度。

## 常见物理模型的转动惯量

描述｜图形｜转动惯量｜注解

质点，离轴距离为r，质量为m｜

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｜$I = mr^2 \,\!$

两端开通的薄圆柱壳，半径为r，质量为m｜

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｜$I = m r^2 \,\!$｜此表示法假设了壳的厚度可以忽略不计。此为下一个物体，当其r1 = r2时的特例。

两端开通的厚圆柱，内半径为r1，外半径为r2，高为h，质量为m｜

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｜$I_z = \frac{1}{2} m\left({r_1}^2 + {r_2}^2\right)$ $I_x = I_y = \frac{1}{12} m\left[3\left({r_1}^2 + {r_2}^2\right)+h^2\right]$或者定义标准化厚度tn = t/r并定义r = r2，可得$I_z = mr^2\left(1-t_n+\frac{1}{2}t_n^2\right)$

实心圆柱，半径为r，高为h，质量为m｜

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｜$I_z = \frac{m r^2}{2}\,\!$ $I_x = I_y = \frac{1}{12} m\left(3r^2+h^2\right)\,\!$｜此为前面物体，当其r1 = 0时的特例。

薄圆盘，半径为r，质量为m｜

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｜$I_z = \frac{m r^2}{2}\,\!$ $I_x = I_y = \frac{m r^2}{4}\,\!$｜此为前面物体，当其h = 0时的特例。

圆环，半径为r，质量为m｜

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｜$I_z = m r^2\,\!$ $I_x = I_y = \frac{m r^2}{2}\,\!$｜此为后面环面，当其b = 0时的特例。

球壳，内半径为r1，外半径为r2，质量为m｜

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｜$I = \frac{2}{5} m\left(\frac{{r_2}^5-{r_1}^5}{{r_2}^3-{r_1}^3}\right)\,\!$

实心球，半径为r，质量为m｜

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｜$I = \frac{2 m r^2}{5}\,\!$｜此为前面物体，当其r1 = 0时的特例；也是后面椭球，当其a = b = c时的特例。

空心球，半径为r，质量为m｜

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｜$I = \frac{2 m r^2}{3}\,\!$｜此为前面球壳，当其r1 → r2时的极限。

椭球，半轴为a、b、c，质量为m｜

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｜$I_a = \frac{1}{5} m \left(b^2 + c^2\right) \,\!$ $I_b = \frac{1}{5} m \left(a^2 + c^2\right) \,\!$ $I_c = \frac{1}{5} m \left(a^2 + b^2\right) \,\!$

圆锥，半径为r，高为h，质量为m｜

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｜$I_z = \frac{3}{10}mr^2 \,\!$ $I_x = I_y = \frac{3}{20}m\left({r^2}+{4}h^2\right) \,\!$

实心长方体，高为h，宽为w，长为d，质量为m｜

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｜$I_h = \frac{1}{12} m\left(w^2+d^2\right)$ $I_w = \frac{1}{12} m\left(h^2+d^2\right) \,\!$ $I_d = \frac{1}{12} m\left(h^2+w^2\right) \,\!$｜边长为$s$的立方体对任意过质心的轴的转动惯量$I_\mathrm{CM} = \frac{ms^2}{6} \,\!$。

正四面体，边长为s，质量为m｜

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｜$I_\mathrm{solid} = \frac{1}{20} ms^2 \,\!$ $I_\mathrm{hollow} = \frac{1}{12} ms^2 \,\!$｜“solid”意为实心，“hollow”意为空心，下同。

正八面体，边长为s，质量为m｜

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｜$I_{x, \mathrm{hollow}} = I_{y, \mathrm{hollow}} = I_{z, \mathrm{hollow}} = \frac{1}{6} ms^2 \,\!$ $I_{x, \mathrm{solid}} = I_{y, \mathrm{solid}} = I_{z, \mathrm{solid}} = \frac{1}{10} ms^2 \,\!$

细棒，长为L，质量为m｜

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｜$I_{\mathrm{center}} = \frac{m L^2}{12} \,\!$｜此表示法假设了棒的宽度和厚度可以忽略不计。此为前面实心长方体，当其w = L，h = d = 0时的特例。

细棒，长为L，质量为m｜

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｜$I_{\mathrm{end}} = \frac{m L^2}{3} \,\!$｜此表示法假设了棒的宽度和厚度可以忽略不计。

环面，圆管的半径为a，截面的半径为b，质量为m｜

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｜关于直径：$\frac{1}{8}\left(4a^2 + 5b^2\right)m \,\!$关于纵轴：$\left(a^2 + \frac{3}{4}b^2\right)m \,\!$

薄多边形，顶点为$\vec{P}_{1}$，$\vec{P}_{2}$，$\vec{P}_{3}$，……，$\vec{P}_{N}$，质量为$m$｜

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｜$I=\frac{m}{6}\frac{\sum_{n=1}^{N}||\vec{P}_{n+1}\times\vec{P}_{n}||(\vec{P}^{2}_{n+1}+\vec{P}_{n+1}\cdot\vec{P}_{n}+\vec{P}_{n}^{2})}{\sum_{n=1}^{N}||\vec{P}_{n+1}\times\vec{P}_{n}||}$｜外接圆半径为R，质量为m的正n边形，对过其中心且垂直于所在平面的轴的转动惯量$I=\frac{1}{2}mR^2\left(1 - \frac{2}{3}\sin^2 \frac{\pi}{n}\right) \,\!$

## 常见物理模型的三维惯量张量

以下列表给出了每个物体主轴定理上的惯量张量。

为了保留上面的I的标量矩，I的张量矩根据以下式子被投射在由单位向量n所定义的方向上：

$$\mathbf{n}\cdot\mathbf{I}\cdot\mathbf{n}\equiv n_i I_{ij} n_j\,,$$

其中点积表示用到了张量收缩和爱因斯坦求和约定。n可以是Ix, Iy, Iz的笛卡尔基ex, ey, ez

描述｜图形｜惯量张量矩

实心球，半径为r，质量为m｜

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｜$I = \begin{bmatrix} \frac{2}{5} m r^2 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{5} m r^2 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{5} m r^2 \end{bmatrix}$

空心球，半径为r，质量为m｜

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｜$I = \begin{bmatrix} \frac{2}{3} m r^2 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{3} m r^2 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{3} m r^2 \end{bmatrix}$

实心椭球，半轴为a、b、c，质量为m｜

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｜$I = \begin{bmatrix} \frac{1}{5} m (b^2+c^2) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{5} m (a^2+c^2) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} m (a^2+b^2) \end{bmatrix}$

圆锥，半径为r，高为h，质量为m｜

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｜$I = \begin{bmatrix} \frac{3}{5} m h^2 + \frac{3}{20} m r^2 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{5} m h^2 + \frac{3}{20} m r^2 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{10} m r^2 \end{bmatrix}$

实心长方体，高为h，宽为w，长为d，质量为m｜

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｜$I = \begin{bmatrix} \frac{1}{12} m (h^2 + d^2) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{12} m (w^2 + d^2) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{12} m (w^2 + h^2) \end{bmatrix}$

端点绕y轴旋转的细棒，长为l，质量为m｜

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｜$I = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} m l^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} m l^2 \end{bmatrix}$

中心绕y轴旋转的细棒，长为l，质量为m｜

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｜$I = \begin{bmatrix} \frac{1}{12} m l^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{12} m l^2 \end{bmatrix}$

实心圆柱，半径为r，高为h，质量为m｜

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｜$I = \begin{bmatrix} \frac{1}{12} m (3r^2+h^2) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{12} m (3r^2+h^2) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} m r^2\end{bmatrix}$

两端开通的厚圆柱，内半径为r1，外半径为r2，高为h，质量为m｜

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｜$I = \begin{bmatrix} \frac{1}{12} m (3(r_1^2 + r_2^2)+h^2) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{12} m (3(r_1^2 + r_2^2)+h^2) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} m (r_1^2 + r_2^2)\end{bmatrix}$