安培环路定律

本条目中，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。

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安培环路定律（Ampère's circuital law）常简称“安培定律”，是经典电磁学中将“闭合回路（环路）周围磁场的环量”与“穿过该环路的电流”联系起来的定律。此定律可借由测量一圈的“磁场足迹”，来反推中间穿过了多少电流。安培环路定律属于静磁学基本定律。由于毕奥-萨伐尔定律是基本公理，此磁场与电流的环路关系是可以被数学证明出来的，因此，严谨的称呼，应该为安培环路定理（Ampère's circuital theorem）。

安培环路定律是受到奥斯特于1820年发现“电流产生磁场”现象所启发，此发现促使安培、麦克斯韦等人开展了理论与实验研究，最终形成了该定律的现代形式。首先，1826年由安培提出初步概念；其后，1855年麦克斯韦发表了较完整定律。1865年，麦克斯韦借由引入位移电流项，将该定律推广到可以处理随时间变化的电流情况。最终修正的定律称为安培-麦克斯韦定律（Ampère-Maxwell law），而修正后得到的方程称为安培-麦克斯韦方程（Ampère-Maxwell equation），它是构成经典电磁学基础的麦克斯韦方程组之一。

## 定律方程

安培环路定律表明了：在真空中载流导线所载有的稳恒电流，与磁感应强度沿着环绕导线的任意闭合回路（环路，closed loop）的路径积分（环场积），两者之间的关系为

$\oint_\mathbb{C} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} =\mu_0 I_{\text{enc}}$。

其中，$\mathbb{C}$是环绕着导线的闭合回路，$\mathbf{B}$是磁感应强度（又称为磁场），$\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$是微小线元素向量，$\mu_0$是磁常数，$I_{\text{enc}}$是闭合回路$\mathbb{C}$所围住的电流。

亦即，在真空中的稳恒电流会产生稳恒磁场，而磁感应强度B沿任意环绕载流导线的闭合路径的线积分值（环场积），等于该选取的环路（安培环路）所包围的总电流值（各个电流的代数和）乘以真空磁导率。

詹姆斯·马克士威将方程式重新推导一遍，使得符合电动力学条件，并且发表结果于论文《论物理力线》内。马克士威认为，含时电场会生成磁场，假若电场含时间，则前述安培定律方程式不成立，必须加以修正。经过修正后，新的方程式称为马克士威-安培方程式，是马克士威方程组中的一个方程式，以积分形式表示为

$\oint_\mathbb{C} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \mu_0 \int_\mathbb{S} \left(\mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\right) \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}$。

其中，$\mathbb{S}$是边缘为$\mathbb{C}$的任意曲面，$\mathbf{J}$是穿过曲面$\mathbb{S}$的电流的电流密度，$\mathbf{ D }$是电位移，$\mathrm{d}\mathbf{a}$是微小面元素向量。

## 安培右手定则

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载流循环所产生的磁场方向可以使用右手定则来判断。其方法为将拇指外的四根手指向手掌弯的方向视为磁场方向，则拇指所指的方向即为电流的方向。

右手定则也可以用来辨明一条电线四周磁场的方向。对于这用法，右手定则称为“安培右手定则”，或“安培定则”。如右图，安培右手定则表明，假若将右手的大拇指朝着电线的电流方向指去，再将四根手指握紧电线，则四根手指弯曲的方向为磁场的方向。

## 原版安培环路定律

安培环路定律的历史原版形式，连结了磁场与源电流。这定律可以写成两种形式，积分形式和微分形式。根据克耳文－斯托克斯定理（即ℝ³上的斯托克斯公式），对于任意向量$\mathbf{F}$。

$\int_\mathbb{S} \nabla\times \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}=\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$。

所以，这两种形式是等价的。

### 积分形式

电流$I$在一个曲面$\mathbb{S}$上的通量，等于磁场$\mathbf{B}$沿着$\mathbb{S}$的边缘闭合回路$\mathbb{C}$的路径积分。采用国际单位制（后面会讲述CGS单位制版本），原版安培环路定律的积分形式可以写为：

$\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \mu_0 I$。

请注意到这方程式有些模糊之处，需要特别澄清：

- 第一，边界曲线$\mathbb{C}$的正向与曲面$\mathbb{S}$的侧符合右手规则。沿着闭合回路$\mathbb{C}$线积分的方向有两种（顺时针方向及逆时针方向）。还有，$I \!\ $是通过边缘为闭合回路$\mathbb{C}$的曲面$\mathbb{S}$的净自由电流，包括以某方向通过的电流，减去以相反方向通过的电流。但是，两种方向中，任何一种都可以选为正值。为了澄清这些模糊之处，必须使用右手定则：当右手食指朝着线积分方向指去时，伸直的大拇指会指向微小面元素向量，设定朝着这方向流动的电流为正值。
- 第二，（固定$\mathbb{C}$）定理之成立与以$\mathbb{C}$为边界的$\mathbb{S}$的选择无关。通过边缘为闭合回路$\mathbb{C}$的曲面有无限多选择（设想在一个闭合铁环上悬跨着一个肥皂泡，假若轻轻地往这个肥皂泡吹一口气，则泡沫的形状会变形）。不过选择哪一曲面都无所谓，因为任何边缘为$\mathbb{C}$的曲面皆可被证明为正确的选择。

安培环路定律可由必欧-沙伐定律和磁场的叠加性证明（请参阅必欧-沙伐定律）。在静磁学中，安培环路定律的角色与高斯定律在静电学的角色类似。当系统组态具有适当的对称性时，我们可以利用这对称性，使用安培环路定律来便利地计算磁场。例如，当计算一条直线的载流导线或一个无限长螺线管的磁场时，可以采用圆柱坐标系来匹配系统的圆柱对称性。

### 微分形式

根据克耳文－斯托克斯定理，这方程式也可以写为微分形式。只有当电场不含时间的时候，也就是说，当电场对于时间的偏微分等于零的时候，这方程式才成立。采用国际单位制，这方程式表示为

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J }$。

磁场$\mathbf{B}$的旋度等于（产生该磁场的）传导电流密度$\mathbf{J}$。

## 电流分类

电流可以细分为自由电流和束缚电流，而束缚电流又可分类为磁化电流和电极化电流。以方程式表示，总电流密度$\mathbf{J}$是

$\mathbf{J} =\mathbf{J_f +J_M +J_P}$。

其中，$\mathbf{J}_ f$是自由电流密度或传导电流密度，$\mathbf{J}_M$是磁化电流密度，$\mathbf{J}_ P$是电极化电流密度。

从微观而言，所有的电流基本上是一样的。但是，由于实用原因，物理学家会将电流分类为自由电流和束缚电流，对于每一类电流有不同的处理方式。例如，束缚电流通常发生于原子尺寸。物理学家或许想要使用较简单但适用于较大尺寸状况的理论。因此，较微观的安培定律，以B场$\mathbf{B}$和微观电流（包括自由电流和束缚电流）来表达的定律，有时候会被替代为等价的形式，以附属磁场（又称为H场）$\mathbf{H}$和自由电流来表达的形式。后面证明段落，会有详细的关于自由电流和束缚电流的定义，与两种表述等价的证明。

### 自由电流

通常在教科书内所提及的单独的“电流”二字，都是指的自由电流，即自由载流子（电子及阴阳离子）的定向移动。例如，通过一条导线或一个电池的电流。自由电流与后面提到的束缚电流明显不同，后者出现于可以被磁化或电极化的宏观物质里（每一种物质都会或多或少地被电极化或磁化）。

### 磁化电流

当一个物质被磁化的时候（例如，将此物质置入外磁场），电子仍旧会束缚于它们所属的原子。但是，它们的物理行为会有所改变（会与感受到的磁场耦合），产生微观电流。将这些电流总合在一起，会有如同宏观电流一般的效应，环绕于磁化物体内部或表面。称这电流为磁化电流，是束缚电流的一部分。称磁化电流的密度为“体磁化电流密度”$\mathbf{J}_M$，用方程式定义为

$\mathbf{J}_M\ \stackrel{def}{=}\ \nabla\times\mathbf{M}$。

其中，$\mathbf{M}$是磁化强度（单位体积的磁偶极矩）。

### 电极化电流

束缚电流的另外一种来源是电极化电流。感受到电场的作用，可电极化物质内的正束缚电荷和负束缚电荷会以原子距离相互分离。假设电场随着时间而变化，束缚电荷也会随着时间而移动，因而产生“电极化电流”，称其密度为“电极化电流密度”$\mathbf{J}_P$，用方程式定义为

$\mathbf{J}_P\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}$。

其中，$\mathbf{P}$是电极化强度。

注意到电极化强度的定义式

$\nabla\cdot\mathbf{P}\ \stackrel{def}{=}\ - \rho_b$。

其中，$\rho_b$是“体束缚电荷密度”。

取电极化电流密度的散度：

$\nabla\cdot\mathbf{J}_P=\frac{\partial}{\partial t} (\nabla\cdot\mathbf{P})$。

所以，电极化电流密度与体束缚电荷密度的关系为

$\nabla\cdot\mathbf{J}_P= - \frac{\partial\rho_b}{\partial t}$。

## 原版安培环路定律的不足处

原版安培环路定律只适用于静磁学。在电动力学里，当物理量含时间，有些细节必须仔细检查。思考安培方程式。

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J }$。

其中，$\mathbf{B}$是B场，$\mu_0$是磁常数，$\mathbf{J }$是总电流。

取散度于这方程式，则会得到

$\nabla\cdot(\nabla \times \mathbf{B}) = \mu_0 \nabla\cdot\mathbf{J }$。

应用一个向量恒等式，旋度的散度必定等于零。所以。

$\nabla\cdot(\nabla \times \mathbf{B}) =0$。

这意味着电流密度的散度等于零：

$\nabla\cdot\mathbf{J }=0$。

在静磁学内，这是正确的。但是，出了静磁学范围，当电流不稳定的时候，这就不一定正确了。

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举个经典例子，如图右，一个正在充电的电容器，其两片金属板会随着时间分别累积异性电荷。设定表面$\mathbb{L}$的边缘为闭合回路$\mathbb{C}$。应用安培定律。

$\oint_\mathbb{C} \mathbf{B} \cdot d\boldsymbol{\ell} =\mu_0 I_{\text{enc}}$。

在这里，$I_{\text{enc}}$是通过任意曲面的电流，只要这曲面符合一个条件：边缘为闭合回路$\mathbb{C}$。所以，这任意曲面可以是表面$\mathbb{L}$，而$I_{\text{enc}}$是$I$；或者这任意曲面可以是封闭圆柱表面减去左边表面$\mathbb{S} - \mathbb{L}$，而由于通过这任意曲面的电流是$0$，$I_{\text{enc}}$是$0$。选择不同的曲面会得到不同的答案，这在物理学里，是绝对不允许发生的事。

为了解决上述难题，安培环路定律必须加以修改延伸。应用流体力学的方法，马克士威摹想磁场为电介质涡旋（vortex）大海，而位移电流即为大海内的电极化电流。在他于1861年发表的论文《论物理力线》里面，马克士威将位移电流项目加入了安培定律。

### 位移电流

在自由空间内，位移电流跟电场随着时间的变化率有关；而在电介质内，上述贡献仍旧存在，但另外一个重要贡献则与电介质的电极化有关。虽然电荷不能自由地运动于电介质，感受到外电场的作用，分子的束缚电荷可以做微小的运动。因此，正值和负值的束缚电荷会产生小距离的分离，造成电极化的增加，这可以用变量电极化强度$P$来表达。电极化强度随着时间的变化所产生的效应就是电极化电流。

位移电流密度$\mathbf{J}_D$定义为

$\mathbf{J}_D\ \stackrel{def}{=}\ \frac {\partial\mathbf{D}}{\partial t}$。

其中，$\mathbf{D}$是电位移，定义为

$\mathbf{D}\ \stackrel{def}{=}\ \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$。

其中，$\varepsilon_0$是电常数，$\mathbf{P}$是电极化强度。

所以，位移电流密度分为两个部分：

$\mathbf{J}_D = \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}$。

这方程式右手边的第一个项目是马克士威修正项目，在任何地方都可存在，甚至在真空也可以存在。马克士威修正项目并不涉及任何真实的电荷运动，但是，它描述一个含时电场的物理行为，就好像是真实的电流。第二个项目是电极化电流密度，与电介质内单独分子的极化性有关。

## 原本定律的延伸：马克士威-安培方程式

将马克士威修正项目加入安培方程式：

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J }+ \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ ;

或者，使用H场$\mathbf{H}$和位移电流$\mathbf{D}$来表达。

$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J }_f+ \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$。

这就是马克士威-安培方程式，可以补救原本安培环路定律的限制。

假若使用B场$\mathbf{B}$的马克士威-安培方程式，由于习惯，时常会称$\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$项目为位移电流密度。由于增添了位移电流，马克士威能够推论（正确地）光波是一种电磁波（请参阅电磁波条目）。

### 等价证明

马克士威-安培方程式的等价证明这里证明方程式 :$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$。等价于方程式 :$\nabla\times \mathbf{H} = \mathbf{J}_f + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$，注意到只处理微分形式，而不处理积分形式。但这已足够了。因为，根据克耳文-斯托克斯定理，微分形式等价于积分形式。回想电位移的定义式为 :$\mathbf{D}\ \stackrel{def}{=}\ \epsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$。还有，$\mathbf{H}$的定义式为 :$\mathbf{H}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B} - \mathbf{M}$。将这两个定义式代入H场$\mathbf{H}$的马克士威-安培方程式， :$\nabla\times \left(\frac{1}{\mu_0} \mathbf{B} - \mathbf{M} \right)= \mathbf{J}_f + \epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}+ \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}$。经过一番运算，可以得到 :$\nabla\times \left(\frac{1}{\mu_0} \mathbf{B} \right)= \mathbf{J}_f +\nabla\times\mathbf{M}+ \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}+ \epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}= \mathbf{J}_f +\mathbf{J}_M +\mathbf{J}_P + \epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$。稍加整理，即可得到磁场$\mathbf{B}$的马克士威-安培方程式 :$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$。

## CGS单位制的安培方程式

采用CGS单位制，安培方程式的积分形式，包括马克士威修正项目，可以写为

$\oint_\mathbb{C} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \frac{1}{c} \int_S \left(4\pi\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right) \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}$。

其中，$c$是光速。

其微分形式可以写为

$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \frac{1}{c}\left(4\pi\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)$。