二面角

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二面角（dihedral angle）是两个相交平面之间的夹角。在立体几何中，它被定义为一条直线和两个半平面的并集，这条直线是两个半平面的公共边。在高维中，二面角表示两个超平面之间的夹角。

在化学中，二面角是分子中的两个分别由三个原子组成的平面之间的夹角，一共涉及四个原子，公共边是一个化学键（两个原子），平面则由另两个原子分别与该化学键构成。

## 立体几何

一条直线和两个半平面的并集组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

由直线 $l$、半平面 $\alpha$ 和半平面 $\beta$ 组成的二面角，记作：“二面角$\alpha -l-\beta$ ”，也可记作“$^2\angle l$”。

也可在直线 $l$ 外、半平面 $\alpha$ 和半平面 $\beta$ 内，分别取点$P$和点$Q$，将这个二面角记作“二面角$P-l-Q$”。

在 二面角$\alpha -l-\beta$ 的棱 $l$ 上任取一点$O$，以点$O$为垂足，在半平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 内分别作射线 $OA$ 和射线 $OB$ 垂直于棱 $l$，那么射线$OA$ 和射线$OB$ 所构成的 $\angle AOB$ 叫做二面角的平面角。

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在非解析几何方法中，常通过建立二面角的平面角，通过求出平面角的大小，来求出二面角的大小：

$$\because AB \perp OB$$

$\therefore OB$ 为$OA$在平面 $\beta$ 中的射影。

$$\because OA\perp l , OB\perp l$$

$\therefore \angle AOB$ 是二面角$\alpha -l-\beta$ 的平面角。

## 解析几何

若两个相交平面在笛卡尔坐标中的方程分别为

$$a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0$$

$$a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0 \,\, ,$$

则它们之间的二面角 $\varphi$ 为：

$$\cos \varphi = \frac{\left\vert a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 \right\vert}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}} \,\, .$$

另一种方法是计算两个平面的法向量nA和nB之间的夹角：

$$\cos \varphi = \frac{ \left\vert\mathbf{n}_\mathrm{A} \cdot \mathbf{n}_\mathrm{B}\right\vert}{|\mathbf{n}_\mathrm{A} | |\mathbf{n}_\mathrm{B}|} \,\, ,$$

其中nA • nB是两个向量的点积，|nA| |nB|是两个向量的模的乘积。

任何平面也可以由位于该平面的两个非共线向量来描述；他们的叉积是平面的法向量。因此，二面角可以由三个向量b1、b2和b3定义，形成两对非共线向量：

$$\varphi = \operatorname{atan2} \left( \big([\mathbf{b}_1 \times \mathbf{b}_2]\times [\mathbf{b}_2 \times \mathbf{b}_3]\big) \cdot \frac{\mathbf{b}_2}{|\mathbf{b}_2|} \,\, , \,\, [\mathbf{b}_1 \times \mathbf{b}_2] \cdot [\mathbf{b}_2 \times \mathbf{b}_3] \right) \,\, ,$$

其中atan2是二个参数的反正切函数变体，一般而言，atan2(y, x) 等价于 atan(y/x)。

## 立体化学

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构象名称｜syn-正丁烷纽曼投影｜syn-正丁烷锯木架投影

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在化学中，扭转角（torsion angle）被定义为二面角的特定例子，描述了通过化学键连接的分子的两个部分的几何关系。

在立体化学中，分子中的每三个（非共线）原子都决定了一个平面。当两个这样的平面相交时，它们之间的角度便是二面角。二面角用于描述具体的分子构象。角度在0°和±90°之间的立体化学构象被称为syn（s，顺）；在±90°和180°之间的为anti（a，反）。类似地，角度在30°和150°之间或-30°和-150°之间的被称为clinal（c，错），而在0°和±30°或±150°和180°之间的被称为periplanar（p，叠）。

这两种术语可以组合起来，以定义四个角度范围：0°至±30°为顺叠（sp）；30°至90°和-30°至-90°为顺错（sc）；90°至150°和-90°至-150°为反错（ac）；±150°至180°为反叠（ap）。顺叠构象也被称为顺式（syn-或cis-）构象；反叠构象也被称为反式（anti-或trans-）构象；顺错构象也被称为邻位交叉、间扭（gauche或skew）构象。

例如，对于正丁烷，可以用两个中心碳原子和任一个甲基碳原子来分别指定两个平面。本节开头（上图）所示的syn-构象具有60°的二面角，比180°二面角的anti-构象更不稳定。

对于大分子使用，建议使用符号T，C，G+，G-，A+和A-分别表示ap，sp，+sc，-sc，+ac和-ac。

### 蛋白质

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拉氏图（也称为Ramachandran图或φ,ψ图），由G·N·Ramachandran、C·Ramakrishnan和V·Sasisekharan在1963年最初开发，是一种形象化蛋白质结构中能量（位阻）允许的氨基酸残基的二面角ψ与φ的关系的方式。右图展示了骨架二面角φ和ψ的定义（Ramachandran称为φ和φ）。

在蛋白质链中，三个二面角被定义为φ（phi），ψ（psi）和ω（omega），如图所示。肽键的平面性通常使得ω被限制为180°（典型trans情况）或0°（罕见cis情况）。trans和cis异构体的α-碳之间的距离分别为大约3.8和2.9 Å。cis异构体主要在Xaa-Pro肽键（其中Xaa是任何氨基酸）中观察到。

侧链二面角倾向于聚集在180°，60°和-60°附近，称为trans，gauche+和gauche-构象。某些侧链二面角的稳定性受到φ和ψ值的影响。例如，当ψ接近-60°时，gauche+旋转异构体的侧链中的γ-碳和下一个残基的氮之间就会有直接的位阻相互作用。

#### 从二面角转换为链中的笛卡尔坐标

在聚合物特别是蛋白质中，常常用内部坐标来描述主链，也即把二面角和键长按照顺序列表。但是，某些类型的计算化学反而使用笛卡尔坐标。在计算结构优化中，一些程序需要在迭代过程中在这些表示法之间来回转换，这项工作可能占用大部分计算时间。对于有很多迭代或长链的过程，它也可能引入累积的数值不准确性。虽然所有的转换算法会产生数学上相同的结果，但它们的运算速度和数字精度不同。

## 几何

每个多面体在每条边上都有一个二面角，用于描述以该边为公共边的两个面的关系。该二面角也被称为面角，其计算的是多面体的内角。面角0°意味着两个面法向量是反向平行的，而且两个面相互重叠，这意味着它是退化多面体的一部分。面角为180°意味着这些面是平行的，如在镶嵌中。在多面体的凹部，可以存在大于180°的面角，在基础数学二面角的取值范围上有争议目前认为取值为0，180。

边传递多面体中的每个二面角大小相同。这包括5个正多面体，4个星型正多面体，两个拟正多面体和两个拟正对偶多面体。

给定一个在共同顶点P上相交且具有边AP、BP和CP的多面体的三个面，包含APC和BPC的面之间的二面角的余弦为：

$$\cos\varphi = \frac{ \cos (\angle \mathrm{APB}) - \cos (\angle \mathrm{APC}) \cos (\angle \mathrm{BPC})}{ \sin(\angle \mathrm{APC}) \sin(\angle \mathrm{BPC})} \,\, .$$

## 外部链接

- 木工中的二面角 - Tips.FM
- 5个正多面体的分析，给出了这些精确值的逐步推导