环的局部化

在抽象代数中，局部化是一种在环中形式地添加某些元素的倒数，藉以建构分式的技术；由此可透过张量积构造模的局部化。范畴的局部化过程类似，但此时加入的是态射之逆元素，以使得这些态射在局部化以后变为同构。

局部化在环论与代数几何中占有根本地位，范畴的局部化则引出导范畴的概念，在高等数学中有众多应用。

## 几何诠释

“局部化”一词源出代数几何。设 $R$ 是一个仿射代数簇 $X$ 的座标环（也就是 $X$ 上的多项式函数），则 $R$ 对其元素 $f$ 的局部化的意义是将 $V(f) := \{ x \in X : f(x) = 0 \}$ 从 $X$ 中挖掉，得到的环 $R_f$ 正是 $X - V(f)$ 的座标环；若对极大理想 $\mathfrak{m}_x := \{ f \in R : f(x)=0 \}$ 作局部化，则可以设想为对所有满足 $f(x) \neq 0$ 的 $f$，亦即 $f \in R-\mathfrak{m}_x$ 挖去$V(f)$；得到的环 $R_{\mathfrak{m}_x}$ 体现 $X$ 上的多项式函数在 $x$ 点的局部性质。

借着将模理解为仿射代数簇上的拟凝聚层，可以类似地诠释模的局部化；它无非是拟凝聚层在一个点的茎。

## 环的局部化

在此仅考虑含单位元的环。设 $R$ 为环，$S$ 为 $R$的积性子集（定义：对乘法封闭，并包含单位元素的集合）。以下将探讨 $R$ 对 $S$ 之局部化。

### 泛性质

$R$ 对 $S$ 的局部化如果存在，是一个环 $S^{-1}R$（或记作 $R[S^{-1}]$）配上环同态 $R \rightarrow S^{-1}R$，使之满足以下的泛性质：

对任何环 $T$ 及环同态 $\phi: R \rightarrow T$，若 $S$ 的元素在 $\phi$ 下的像皆可逆，则存在唯一的环同态 $\psi: S^{-1}R \rightarrow T$，使得 $\phi$ 是 $R \rightarrow S^{-1}R$ 与 $\psi$ 的合成。

此性质可保证局部化 $(S^{-1}R, R \rightarrow S^{-1}R)$ 的唯一性。

### 交换环的情形

当交换环 $R$ 为整环时，局部化的构造相当容易。若 $0 \in S$，则 $S^{-1}R$ 必然是零环；若不然，我们可以在 $R$ 的分式环 $K$ 中构造局部化：取 $S^{-1}R \subset K$ 为形如 $\frac{r}{s} \quad (r \in R, s \in S)$ 的元素即可。

对于一般的交换环，我们必须推广分式环的构造；在此须注意到：由于 $S$ 中可能有零因子，我们不能鲁莽地通分一个分式。构造方式如下：

在集合 $R \times S$ 上定义下述等价关系 $\sim$：

$(r,s) \sim (r',s') \iff$ 存在 $t \in S$ 使得 $t(rs' - r's) = 0$

等价类 $[r,s]$ 可以想成“分式” $r/s$，借此类比，在商集 $(R \times S)/\sim$ 上定义加法与乘法为：

$$[r,s] + [r',s'] = [rs'+r's, ss']$$

$$[r,s] [r',s'] = [rr',ss']$$

可验证上述运算是明确定义的。此外还有环同态 $R \rightarrow (R \times S)/\sim$，定义为 $r \mapsto [r,1]$。于是可定义 $S^{-1}R := (R \times S)/\sim$，再 配上上述环运算与同态。在实践上，我们常迳将 $S^{-1}R$ 里的元素写作分式 $r/s$。

交换代数与代数几何中经常考虑两种局部化：

- 固定 $f \in R$，取 $S := \{ f^n : n \geq 0 \}$。在交换环谱中，对这类 $S$ 的局部化构成 $\mathrm{Spec}(R)$ 的基本开集（$\mathrm{Spec}(R)$ 表 $R$ 的所有素理想构成的集合）。这种局部化常记作 $R_f$。
- 固定素理想 $\mathfrak{p} \subset R$，取 $S := R - \mathfrak{p}$，此时也称作对素理想 $\mathfrak{p}$ 的局部化。这种局部化常记作 $R_\mathfrak{p}$。

以下是 $S^{-1}R$ 的一些环论性质。

- $S^{-1}R = (0)$ 当且仅当 $0 \in S$。
- 环同态 $R \rightarrow S^{-1}R$ 是单射，当且仅当 $S$ 中不含零因子。
- 同态 $R \rightarrow S^{-1}R$ 下的逆像给出下列一一对应：

$$\mathrm{Spec}(S^{-1}R) = \{ \mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(R) : \mathfrak{p} \cap S = \emptyset \}$$

一个重要的特例是取 $S = R - \mathfrak{p}$，可知 $R_\mathfrak{p}$ 中的素理想一一对应至 $R$ 中包含于 $\mathfrak{p}$ 的素理想，因此 $R_\mathfrak{p}$ 是局部环。

### 非交换环的情形

非交换环的局部化较困难，并非对所有积性子集 $S$ 都有局部化。充分条件之一是欧尔条件，请参阅条目欧尔定理。

其应用之一是用于微分算子环。例如它可以解释作为一个微分算子 $D$ 抽象地添加逆算子 $D^{-1}$；微局部分析中运用了这类构造。

## 模的局部化

设 $R$ 为含单位元的交换环，$S$ 是积性子集，而 $M$ 是个 $R$-模。模的局部化与交换环类似，写作 $S^{-1}M$ 或 $M[S^{-1}]$。我们依然要求存在模同态 $M \rightarrow S^{-1}M$ 及以下的泛性质（此泛性质蕴含唯一性）：

对任何 $S^{-1}R$-模 $N$ 及 $R$-模同态 $\phi: M \rightarrow N$，存在唯一的 $S^{-1}R$-模同态 $\psi: S^{-1}M \rightarrow N$，使得 $\phi$ 是 $M \rightarrow S^{-1}M$ 与 $\psi$ 的合成。

事实上，可以用张量积构造模的局部化：

$$S^{-1}M := M \otimes_R S^{-1}R$$

这是一个正合函子，它将单射映为单射。亦即：$S^{-1}R$ 是平坦的 $R$-模。利用张量积与环的局部化的泛性质，可以形式地导出上述构造确实满足局部化的要求。

此外，也可以仿造交换环的局部化，用分式 $\{ m/s : m \in M, s \in S \}$ 直接构造 $S^{-1}M$，分式间的等价与代数运算类似交换环的情形。

## 范畴的局部化

范畴的局部化的意义在将一族态射之逆态射加入范畴中，使得这些态射成为同构。这在形式上近于环的局部化，也能使先前不同构的对象在局部化后变为同构。例如，在同伦理论中有许多连续映射在同伦的意义下可逆，借着将这些映射局部化，同伦等价的空间可被视为彼此同构。局部化范畴里的操作也称作分式运算，相关技术细节请见文献中 Gabriel-Zisman 或 Weibel 的著作。

### 一些例子

- 塞尔提议在模掉某类阿贝尔群 $\mathcal{C}$ 的同伦范畴里操作，这意谓若群 $A, B$ 满足 $A/B \in \mathcal{C}$，则视之为同构的。稍后 Dennis Sullivan 引进一个大胆的想法：改在空间的局部化里操作。如此将影响底层的拓扑空间。
- 设 $R$ 的克鲁尔维数至少是 2，此时若两个 $R$-模 $M \supset N$ 满足 $M/N$ 的支撑集的余维至少是 2，则可视之为伪同构的。岩泽理论大大利用了这个想法。
- 在同调代数中，我们借着加入拟同构之逆而得到导范畴。
- 在阿贝尔簇的理论中，我们常等同两个同源的阿贝尔簇，并将同源映射视为同构。此“至多差一个同源”的范畴是局部化较简单的例子，实质上不外是将 $\mathrm{Hom}(X,Y)$ 代以 $\mathrm{Hom}(X,Y) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}$。

### 集合论的问题

一般而言，给定一个范畴 $\mathcal{C}$ 及一族态射 $w$，在探讨是否能构造局部化 $w^{-1}\mathcal{C}$ 时会遇到以下问题：当 $\mathcal{C}$ 是小范畴或 $w$ 是集合时已知可构造局部化，但一般来说则是个棘手的集合论问题；局部化的典型构造可能会造成两对象间的态射“太多”，换言之可能是个真类。发展模型范畴的动机之一正是要避免这类问题。

## 文献

- P. Gabriel and M. Zisman. Calculus of fractions and homotopy theory. Springer-Verlag New York, Inc., New York, 1967. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 35.
- Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X
- Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra (1994), Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1