坡印亭定理

在电磁学中，坡印亭定理（Poynting's theorem）是偏微分方程形式说明电磁场的能量守恒的定理，由英国物理学家约翰·亨利·坡印廷发现。坡印亭定理类似于经典力学中的功-能原理，在数学形式上与连续性方程相似。它把能量密度的时间导数，能量的流动，和电磁场做功的速率联系起来。

## 陈述

### 一般形式

此定理概念上是指能量守恒：

一个空间区域（单位体积内）中，能量传递速率等于在一电荷分布上做功的速率加上离开该区域的能量通量。

此定理还有一种陈述：

单位时间内，一定体积中电磁场能量减少的速率，等于场力所做的功与单位时间向外的净通量的和。

数学上，用微分形式概括为：

$$-\frac{\partial u}{\partial t} = \nabla\cdot\mathbf{S}+\mathbf{J}_f\cdot\mathbf{E}$$

其中 $\nabla \cdot \mathbf{S}$ 是坡印亭矢量（能量流）的散度，而 $\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}$ 是场中带电物体做功的功率（$\mathbf{J}$ 为对应于电荷运动的自由电流密度，$\mathbf{E}$ 为电场强度，$\cdot$ 为点积）。能量密度 u 为：

$$u = \frac{1}{2}\left(\mathbf{E}\cdot\mathbf{D} + \mathbf{B}\cdot\mathbf{H}\right)$$

其中 D 是电位移矢量，B 是磁感应强度而 H 是磁场强度，ε0 是真空电容率，μ0 是真空磁导率。由于电荷可以自由移动，D 与 H 场忽略任何束缚电荷和电流的电荷分布（由定义），J 是自由电流密度，不是全电流的电流密度。

利用散度定理，坡印亭定理可以改写为积分形式：

$-\frac{\partial}{\partial t} \int_V u dV=$ $\scriptstyle \partial V$ $\mathbf{S}\cdot d\mathbf{A} + \int_V\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}dV$

其中 $\partial V \!$ 为 V 的边界。该体积的形状似任意的但对于计算是固定的。

### 电机工程

在电机工程中，该定理通常写成以下把能量密度 u 展开的形式，这与流体力学之连续性方程相似：

$$\nabla\cdot\mathbf{S} + \epsilon_0 \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} + \mathbf{J}\cdot\mathbf{E} = 0,$$

其中

- $\epsilon_0 \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ 是驱动电场建立的无功功率的密度。
- $\frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$ 是驱动磁场建立的无功功率的密度。
- $\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}$ 由洛仑兹力作用在载流子上损耗的电功率的密度。

## 推导

虽然能量守恒定律和洛伦兹力定律可以导出该定理的一般形式，要推导坡印亭矢量的表达式并由此完整叙述，还需要用到马克士威方程组。

### 坡印廷定理

考虑到以上叙述 - 这个定理有三个元素，涉及将（单位时间）能量转移写成体积分：

因为 u 是能量密度，对整个体积区域积分得到区域内储存的总能量 U，再对时间求（偏）导数得到能量变化率：

$U=\int_V u dV \ \rightarrow \ \frac{\partial U}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \int_V u dV = \int_V \frac{\partial u}{\partial t} dV .$

离开区域的能流为坡印亭矢量的曲面积分，使用散度定理可以将其写作：

$\scriptstyle \partial V$ $\mathbf{S}\cdot d\mathbf{A}=\int_V\nabla\cdot \mathbf{S} dV .$

把某一电荷分布上的洛伦兹力密度 f 在整个体积上积分得到总受力 F 为

$$\mathbf{f} = \rho\mathbf{E}+\mathbf{J}\times\mathbf{B} \ \rightarrow \ \int_V \mathbf{f} dV = \mathbf{F} = \int_V (\rho\mathbf{E}+\mathbf{J}\times\mathbf{B} )dV ,$$

其中 ρ 为该分布的电荷密度而 v 为其速度。因为 $\mathbf{J} = \rho \mathbf{v}$，该力做功的速率为

$\mathbf{F}\cdot\frac{d \mathbf{r}}{dt} = \mathbf{F}\cdot \mathbf{v} = \int_V (\rho\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}+\rho\mathbf{v}\times\mathbf{B}\cdot \mathbf{v} )dV \ \rightarrow \ \mathbf{F}\cdot \mathbf{v} = \int_V \mathbf{E}\cdot \mathbf{J}dV .$

所以，根据能量守恒定律，单位时间内的能流平衡方程是该定理的积分形式：

$$-\int_V\frac{\partial u}{\partial t}dV = \int_V\nabla\cdot\mathbf{S}dV+\int_V\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}dV,$$

由于体积 V 是任意的，对所有体积来说都是成立的，这意味着

$$- \frac{\partial u}{\partial t} = \nabla\cdot\mathbf{S} + \mathbf{J}\cdot\mathbf{E},$$

这是坡印廷定理的微分形式。

### 坡印亭矢量

从定理可以得到坡印亭矢量 S 的实际形式。能量密度的时间导数（运用向量点乘的乘积法则）为

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{1}{2} \left(\mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} + \mathbf{D}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \mathbf{H}\cdot\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} + \mathbf{B}\cdot\frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t}\right)= \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} + \mathbf{H}\cdot\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t},$$

使用本构关系

$$\mathbf{D} = \epsilon_0 \mathbf{E},\quad \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{H}.$$

时间偏导意味着要用到马克士威方程组的两个方程。求麦克斯韦–法拉第方程与 H 的点积：

$$\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = - \nabla \times \mathbf{E} \ \rightarrow \ \mathbf{H}\cdot\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = - \mathbf{H}\cdot\nabla \times \mathbf{E},$$

再求麦克斯韦–安培方程与 E 的点积：

$$\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} + \mathbf{J} = \nabla \times \mathbf{H} \ \rightarrow \ \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} + \mathbf{E}\cdot\mathbf{J} = \mathbf{E}\cdot\nabla \times \mathbf{H}.$$

总和目前的结果得到：

$$\begin{align} -\nabla\cdot\mathbf{S} & = \frac{\partial u}{\partial t} +\mathbf{J}\cdot\mathbf{E} \\ & = \left(\mathbf{H}\cdot\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} + \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\right) + \mathbf{J}\cdot\mathbf{E} \\ & = \mathbf{E}\cdot\nabla \times \mathbf{H} - \mathbf{H}\cdot\nabla \times \mathbf{E}, \\ \end{align}$$

然后，利用向量微积分恒等式：

$$\nabla \cdot\mathbf{E} \times \mathbf{H}=\mathbf{H}\cdot\nabla \times \mathbf{E} - \mathbf{E}\cdot\nabla \times \mathbf{H},$$

给出了坡印廷矢量的表达式：

$$\mathbf{S} =\mathbf{E} \times \mathbf{H} ,$$

物理上意味着由于时变电场和磁场的能量传递与这两种场垂直。

## 外部链接

- ScienceWorld上的“坡印亭定理”