基本电学

基本电学（Basic Electricity）是研究电的基本性质和行为的学科，是电力学、电子学与电路学的基础。主要探讨以下几个核心概念：

- 电压（Voltage）：描述电位差，驱动电流流动的力量。
- 电流（Current）：表示电荷流动的速率。
- 电阻（Resistance）：描述材料对电流流动的阻力。
- 功率（Power）：电能转换或消耗的速率。
- 电路（Circuit）：电的流通路径，分为直流电路与交流电路。

基本电学广泛应用于各种电子设备与工程领域，是学习更高阶电学理论与实践的基础。

## 基本概念

### 基本单位

种类｜变数符号｜单位｜单位名称｜定义｜相关

电压｜$V$ 或 $E$ (后者用于表示电源)｜V｜伏特｜在电子元件或电路两端的电位差 $V = \frac {W} {Q}$ $V = {I} \cdot {R}$

电流｜$I$｜A｜安培｜在单位时间内自导体截面积所通过的电量 $I = \frac {Q} {t}$ $I = \frac {V} {R}$ $I = {n} \cdot {v} \cdot {A} \cdot {e}$

电阻｜$R$｜Ω｜欧姆｜导体本身反抗电子流动的阻力 $R = \frac {V} {I}$ $R = \rho \cdot \frac {l} {A}$｜电阻率欧姆定律电阻温度系数电阻色码

电导｜$G$｜S｜西门子｜表示对传导电流的能力，与电阻成倒数关系 $G = \frac {1} {R}$｜电导率

电容｜$C$｜F｜法拉｜表明储存电荷的能力 $C = \frac {Q} {V}$

电感｜$L$｜H｜亨利｜指导体线圈在电流变化时，能够储存能量并产生电磁场的特性 $L= N \frac{\Phi}{i}$｜法拉第电磁感应定律

功率｜$P$｜W｜瓦特｜表示能量转换或传输的速率 $P = {I} \cdot {V}$ $P = \frac {{V}^2} {R}$ $P = {I}^2 \cdot {R}$

电能｜$W$｜J｜焦耳｜指在电路中转换或储存的能量 $W = {P} \cdot {t}$ $W = {V} \cdot {Q}$｜焦耳定律

电量｜$Q$｜C｜库伦｜表示电荷的累积量 $Q = {I} \cdot {t}$ $Q = \frac{{P} \cdot {t}}{V}$

- 关于电压，在中国大陆、德国、法国、荷兰、俄国使用$U$当符号，其他地区则用$V$当符号。

### 电路状态

- 闭路（Closed Circuit），通路

当电源、导线、负载形成完整的电路路径，电流能够正常流动。这是电路正常运作的状态，例如开灯后灯泡亮起，就是闭路状态。

- 开路（Open Circuit），断路

当电路某处断开，导致电流无法流通。可能是开关被关闭、导线断裂，或某个元件故障。例如，灯泡开关关闭后，电流停止流动，电路变成开路。

- 短路（Short Circuit）

当电流直接通过导线而未经负载，使得电阻趋近于零，造成电流急剧增加。短路可能导致电线发热、火花或烧毁，容易危及设备安全。例如，电器内部电线意外接触导致异常高电流，就是短路情况。

这三种状态决定了电路是否正常运作，也影响了电子设备的安全性。

### 其它基本知识

- 密尔（mil）

1 mil = $\frac{1}{1000}$吋，1吋=2.54公分，1呎(ft)=12吋，1吋=1000密尔

- 圆密尔（C.M.）

1 C.M. = $\frac{\pi}{4}$平方密尔，1平方密尔 = $\frac{4}{\pi}$圆密尔

- 线规（Wire Gauge）
- IEC 60228，国际线材尺寸标准
- 中国线规(CWG)，直径单位为毫米(mm)，截面积平方毫米(mm2)
- 美国线规(AWG)
- 集肤效应（Skin effect）

## 电路组成元件

### 电源

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直流电(DC)｜交流电(AC)

常用符号

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直流电压源｜电流源｜交流电压源｜电池（常指直流电压源）

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受控电压源｜受控电流源

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电池组（不常用，多数情况下即使有多个电池连接也仅表示为一个电源）｜接地线｜接地线

### 导线

- 依导电性，分为：
- 超导体
- 导体，通常指导线之内，用以传递电流的金属线
- 半导体
- 绝缘体，通常指导线外层包覆的橡胶绝缘体
- 依绝缘外层的有无，分为：裸导线（裸线）、绝缘导线
- 依制造形式，分为：
- 单线（单心线、单芯线），指在橡胶绝缘体内只有一根圆形实心导体的电线，缺乏可挠性，弯曲易折断。且在安全电流要求高的需求时，则须采用绞线。
- 绞线，指在橡胶绝缘体内，由数根导体绞合而成，导线内的导体数量为 N＝3n（n＋1）＋1，其中 n 为包围中心导体的层数。
- 依导体的材质，分为：
- 银线，导电率虽高于铜线，但由成本因素，难以大量使用。
- 软铜线，柔软，可挠性较佳，加上绝缘被覆可做屋内线路管线的配线或电缆导线使用。
- 硬铜线，具有较大的抗张力，常做屋外架空线路使用。
- 铝线，导电率约为铜线的61％，耐张强度约为 16〜18kg/mm2（是铜线的 40％左右），使用钢心增加强度者称为钢心铝线（A.C.S.R.）

### 负载

种类｜单位｜电路图符号｜实际电子元件｜图示

电阻(R)｜欧姆(Ω)｜

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ANSI（上） IEC（下）｜电阻器｜

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电感(L)｜亨利(H)｜

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｜电感元件｜

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电容(C)｜法拉(F)｜

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｜电容器｜

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## 电路

### 串联电路

串联电路就是把电路元件一个接一个串接，让电流只能沿着同一条路线依序流过每一个元件的电路。

电路特性另见：电压分配定则

### 并联电路

并联电路就是把电路元件平行接在一起，让电流有多条路线可以同时流动的电路。

电路特性另见：电流分配定则

### 串并联电路

串并联电路就是同时包含串联和并联接法的混合型电路。有些元件是串联的，有些元件是并联的，交错组合在一起。

电路特性：

- 先并联、后串联，或是先串联、后并联都可能出现。
- 分析的时候，要一部分一部分来简化（先把并联部分合并，然后再处理串联）。
- 计算时，要记得把握以下原则：
- 串联时：电流相同、电压分配。
- 并联时：电压相同、电流分配。

## 直流电路

- 在直流电路中，阻止电流通过的阻力称为电阻，以 R 表示，单位为Ω（欧姆）。

### 电压分配定则

- 克希荷夫电压定律（Kirchhoff's voltage law）

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$$\sum_{k=1}^n V_k = 0$$

在串联电路中：电压

$$V_e = \sum_{k=1}^n V_k = V_1 + V_2 + \cdots + V_n$$

电流

$$I = \frac{V_e}{R_{total}} = \frac{V_1}{R_1} = \frac{V_2}{R_2} = \cdots = \frac{V_n}{R_n}$$

总电阻

$$R_\mathrm{total} = R_1 + R_2 + \cdots + R_n$$

各电阻的电压降

$$V_n = \frac{V_e}{R_{total}} \cdot R_n$$

### 电流分配定则

- 克希荷夫电流定律（Kirchhoff's circuit laws）

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$$\sum_{k=1}^n {I}_k = 0$$

在并联电路中：

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电压

$$V_e = V_1 = V_2 = \cdots = V_n$$

各电阻流经的电流

$$I_n = \frac{V_n}{R_n}$$

电流

$$I_\mathrm{total} =\sum_{k=1}^n {I}_k = I_1 + I_2 + \cdots + I_n$$

总电阻

$$R_\mathrm{total} = \frac{V_e}{I_\mathrm{total}}$$

### 电压源与电流源互换

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电流源转电压源

$$V_\mathrm{s} = R \cdot I_\mathrm{s}\,\!$$

电压源转电流源

$$I_\mathrm{s} = \frac{V_\mathrm{s}}{R}$$

## 直流电路分析

### 回路电流法

回路电流法（Mesh Current Method），又称“网目分析”（Mesh analysis），是一种用于电路分析的系统化方法，主要用来求解平面电路中每个独立回路的电流。

- 步骤简述： :、# 假设回路电流方向：在每个独立回路中假设一个电流方向（顺时针或逆时针均可，但须一致）。:、# 套用克希荷夫电压定律（KVL）：在每个回路中列出电压总和为零的方程式。:、#: 根据 $\sum V = 0$ 原则写出联立方程式： :、#:: $\begin{cases} \text{Mesh 1: } I_1 = I_s\\ \text{Mesh 2: } -V_s + R_1(I_2-I_1) + \frac{1}{s C}(I_2-I_3)=0\\ \text{Mesh 3: } \frac{1}{s C}(I_3-I_2) + R_2(I_3-I_1) + sLI_3=0\\ \end{cases} \,$ :、# 考虑公共元件的影响：若有元件被多个回路共享，需考虑其在不同回路中电流的方向及相对应的影响。:、# 解联立方程式：根据所列的方程式，解出每个回路电流。:、优点： : 适用于包含多个电压源和电阻的复杂电路。: 方程式数量少于节点电压法，尤其适合平面电路。:、应用场景： : 计算电路中各支路的电流。: 分析直流和交流电路中的电压与电流分布。｜

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### 重叠定理

重叠定律（Superposition Theorem）是一个重要的电路分析工具，用于处理多个电源作用于同一电路时的情况。其核心思考是逐一考虑每个电源的影响，然后将结果叠加。

- 保留要考虑的电源，其它电压源设为短路（用导线替代），电流源则设为开路（切断电路）。
- 计算该电源在电路中引起的电流或电压。
- 将所有电源的影响叠加起来，得到电路中每个支路的总电压或电流。
- 分析包含多个电压源或电流源的线性电路。
- 适用于直流与交流电路。
- 仅适用于线性电路，即电路元件的特性必须满足线性关系（如电阻、线性电感与电容等）。

重叠定律的优点是它能简化分析过程，尤其在面对复杂电路时，逐一处理电源的影响能更有条理地进行计算。

### 节点电压法

节点电压法，又称“节点分析”

- 决定电路上的各节点，并分别标示节点电压$V_1$、$V_2$、$V_3$……$V_n$ #假设各节点的电流方向，并分别标示$I_1$、$I_2$、$I_3$……$I_n$ #在各节点上，应用克希荷夫电流定律，写出各电流的方程式。#解联立方程式，求出各节点电压。#再把求出的各节点电压代入各节点电流的方程式，即可得各支路的实际电流。

案例 如右图基本电路案例所示，$V_1$ 是唯一的未知电压节点。连接于这节点有三个支路，因此必须计算三个支路电流。假定这些电流的方向都是朝着离开节点的方向。#通过电阻器 $R_1$ 的支路电流： $I_1=(V_1-V_S)/R_1$。#通过电阻器 $R_2$ 的支路电流： $I_2=V_1/R_2$。#通过电流源 $I_S$ 的支路电流： $I_3= - I_S$。应用克希荷夫电流定律， :$I_1+I_2+I_3=\frac{V_1 - V_S}{R_1} + \frac{V_1}{R_2} - I_S = 0$。稍加运算，可以得到 :$V_1 = \left( \frac{V_S}{R_1} + I_S \right)\left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)^{-1}$。将所有变量的数值代入，可以得到答案 :$V_1 = \left( \frac{5\text{ V}}{100\,\Omega} + 20\text{ mA} \right) \left( \frac{1}{100\,\Omega} + \frac{1}{200\,\Omega} \right)^{-1} \approx 4.667\text{ V}$。｜

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### 戴维宁定律

戴维宁定律（Thevenin's theorem）是一种简化电路分析的方法，能将任意线性电路转换为一个戴维宁等效电路，该等效电路由 一个等效电压源（$V_{th}$）和 一个串联的等效电阻（$R_{th}$）组成。:、定律概述 :、# 任何包含 电压源、电流源与电阻 的线性电路，如果只观察其中的两个端点，则该电路可以简化为： :、# 等效电压源（$V_{th}$）为原电路中开路状态下该端点的电压。:、# 等效电阻（$R_{th}$）为原电路中去除独立电源后，端点间所测得的电阻值。:、应用步骤 :、# 找出等效电压（$V_{th}$）在所分析的两个端点之间计算开路电压。:、# 找出等效电阻（$R_{th}$）将所有独立电压源短路，独立电流源开路，然后计算端点间的等效电阻。:、# 绘制等效电路 使用 $V_{th}$ 和 $R_{th}$ 来取代原始复杂电路。:、应用场合 :、# 简化复杂电路，使计算更容易。用于分析不同负载对电路的影响，尤其在功率分析与最大功率转移时非常有用。这一定律让分析电路变得更加简单直观。｜

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### 诺顿定律

诺顿定律（Norton's Theorem）是一种电路分析方法，可以将能将任意线性电路转换为一个诺顿等效电路，该等效电路由一个等效电流源（$I_{No}$）和 一个并联电阻（$R_{No}$）的简化电路模型。这与 戴维宁定律 类似，只是戴维宁定律使用的是 电压源与串联电阻。:、定律概述任何由电压源、电流源和电阻组成的线性电路，在特定端点处可以简化为： :、# 等效电流源（$I_{No}$）为该端口的短路电流，即直接短路两端点时测得的电流。:、# 等效电阻（$R_{No}$）为该端口的等效电阻，计算方式与戴维宁电阻一致：所有独立电压源短路，独立电流源开路，然后求端点间的电阻。:、应用步骤 :、# 计算诺顿等效电流（$I_{No}$）直接短路分析端点间的电流。:、# 计算诺顿等效电阻（$R_{No}$）去除独立电源，求端点间的等效电阻。:、# 绘制诺顿等效电路使用 ($I_{No}$) 和 ($R_{No}$) 来取代原始电路。:、应用场合 :、# 用于简化复杂电路分析，使计算更直观。:、# 在负载变化时，能有效地研究电路响应。:、# 可与戴维宁定律相互转换，以适应不同计算需求。｜

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### 总线法

总线法，又称“密勒定理”（Millman's theore）是一种电路分析方法，主要用于多个电压源并联的电路，帮助简化计算并求得等效电压。它适用于线性电阻电路，能有效计算电路节点的电位。

- 定律概述总线法的核心公式：$V_m = \frac{\sum \frac{V_i}{R_i}}{\sum \frac{1}{R_i}}$，其中：
- $V_m$：总线电压（等效电压）。
- $V_i$：第 (i) 个电压源的电压值。
- $R_i$：与该电压源串联的电阻值。
- 应用步骤
- 识别所有并联的电压源与其串联电阻。
- 代入公式计算总线的等效电压。
- 计算支路电流（若需要），可利用欧姆定律：$I_i = \frac{V_m - V_i}{R_i}$
- 得出完整的电流分布与电压值。
- 应用场合
- 适用于多个电压源并联的电路分析。
- 能快速计算节点电压，不需使用克希荷夫电压定律（KVL）或回路电流法。

这一定律能简化电路分析，使计算过程更加直观。

### 惠斯登平衡电桥

惠斯登平衡电桥（Wheatstone bridge）

- 在$V_G$的位置上放置安培计。#当$\frac{R_2}{R_1} = \frac{R_x}{R_3}$时，将没有电流通过中间的电线。因此可测知未知的电阻$R_x$。｜

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### 最大功率转移

- 将复杂的电路，先化简为戴维宁等效电路，即一个电压源模式的电路。#然后将外加的负载的电阻值调整到与电压源模式的电路里的电阻值一样时，外加的负载可得最大功率。

### 直流三线制

直流三线制是一种直流供电方式，主要使用三条线路来分配电压，以便能同时提供两种不同的电压，具有以下特点：

- 概念简介
- 包括 正极线（+）、负极线（-），以及中性线（N）。
- 中性线通常用来分配不同电压。
- 在正极与中性线之间提供一个较低的电压，例如：+6V
- 在正极与负极之间提供较高的电压，例如：+12V
- 中性线将电压划分为多区，使负载可选择适合的电压。
- 适用于需要多电压输出的系统，例如通信设备和工业控制。
- 提高了直流电力的使用效率。
- 简化电源系统设计，尤其是在需要多电压的设备中。

## 直流暂态

充电暂态：(e=2.718、e-1=0.368、e-2=0.135、e-3= 0.05、e-4=0.02、e-5= 0)

### RC

时间常数(T)=RC

- 充电初态：电容器两平行电板对位移电流所形成之阻力最小，充电电流最大，电阻最小，故可视同短路。
- 充电稳态：C视为开路。
- 放电初态：C视为电压源。
- 放电稳态：C视为原元件。

### RL

时间常数(T)=L/R

- 储能初态：依据法拉第定律及楞次定律可知电感两端产生一最大的反电势，故充电电流为零，所以视同开路。电容器充电与放电电流方向相反，而电感器储能与释能电流方向相同。
- 储能稳态：L视为短路。
- 释能初态：L视为电流源。
- 释能稳态：L视为原元件。

### RLC

- 充电：外加直流电压E后，电容C被充电，电流i将呈振动状逐渐衰减至零值，而电容器两端的电压vC亦呈振动状逐渐增至E值。由电路电流使电感器储存磁能 Li2大于储在电容器C中之电能 Cv2时，充电电流i向电容C充电。同时，由电感器中储存之磁能产生的反电势vL，使其产生一与充电电流反向之电流，而令电容器放电。因电容器放电后电荷逐渐减少，电源遂再度向电容充电，如此反复地充放电使电路电流i呈振动状，同时因电能被电阻R吸收消耗，致电流i愈来愈小乃致趋于零，且vC亦呈振动状渐趋近于E值。
- 放电：当电容C充电完成后，将开关S.W.切离直流电压源E后，电路的变化与前述情形相似，此种暂态现象由于电路常数R、L、C值的不同，将产生下列三种状况：

1.设R＞2根号L/C时：

因R比2根号L/C大，则电容器中的电能大于电感器中的磁能，而电能因被电阻所吸收，故电流衰减而近于零，vC则渐升至E值，而电流因受电感器的反电势所抑制，变化不似RC电路般之急剧，此种电流的变化呈“非振动性”的。

2.设R＜2根号L/C时：

因R比2 小，则电感中的磁能大于电容中的电能，因能量为电阻器所消耗，使电流呈振动状，渐趋于零值，vC亦呈振动状而渐趋于E值。

3.设R＝2根号L/C时：

此种状况介于上述两者间，属于临界状态。

## 交流电路

- 在交流电路中，阻止电流通过的阻力称为阻抗，以 Z 表示，单位亦为Ω（欧姆）。

### 基本交流电路

电路种类｜电路图示｜相关公式

纯电阻交流电路｜

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｜电源电压 :$v(t)=V_\mathrm{m}\cdot\sin(\omega t)$ 电路电流 :$i(t)=\frac{v(t)}{R}=\frac{V_\mathrm{m}}{R}\cdot\sin(\omega t)=I_\mathrm{m}\cdot\sin(\omega t)$

纯电感交流电路｜

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｜电路电流 :$i(t)=I_\mathrm{m}\cdot\sin(\omega t)$ 感应电势 :$e_\mathrm{L}= \frac{\mathrm{\Delta i}}{\Delta t}$ :$e_\mathrm{L}(t)=V_\mathrm{m}\cdot\sin(\omega t - 90^\operatorname{\omicron})=V_\mathrm{m}\cdot\cos(\omega t)$

纯电容交流电路｜

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｜电源电压 :$v(t)=V_\mathrm{m}\cdot\sin(\omega t)$ 电路电流 :$i=\frac{\mathrm{\Delta Q}}{\Delta t}=\frac{\mathrm{C \Delta V(t)}}{\Delta t}$ :$i(t)=I_\mathrm{m}\cdot\sin(\omega t + 90^\operatorname{\omicron})=I_\mathrm{m}\cdot\cos(\omega t)$

R-L串联电路｜

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｜负载电压 :$V_\mathrm{R}=I \cdot R$，电压与电流同相。:$V_\mathrm{L}=I \cdot X_\mathrm{L}$，电压超前电流90°。电源电压 :$E= \ V_\mathrm{R} + j V_\mathrm{L}$ 总阻抗 :$Z=\frac{E}{I}=\sqrt{R^2 + X_\mathrm{L}^2}$ 电源电压超前电路电流的相角 :$\theta = \tan ^{-1} \frac{V_\mathrm{L}}{V_\mathrm{R}} = \tan ^{-1} \frac{I \cdot X_\mathrm{L}}{I \cdot R} = \tan ^{-1} \frac{X_\mathrm{L}}{R}$ :$\theta = \cos ^{-1} \frac{V_\mathrm{R}}{E} = \cos ^{-1} \frac{I \cdot R}{I \cdot Z} = \cos ^{-1} \frac{R}{Z}$

R-C串联电路｜

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｜负载电压 :$V_\mathrm{R}=I \cdot R$，电压与电流同相。:$V_\mathrm{C}=I \cdot X_\mathrm{C}$，电压滞后电流90°。电源电压 :$E= \ V_\mathrm{R} - j V_\mathrm{C}$ 总阻抗 :$Z=\frac{E}{I}=\sqrt{R^2 + X_\mathrm{C}^2}$ 电源电压滞后电路电流的相角 :$\theta = \tan ^{-1} \frac{V_\mathrm{C}}{V_\mathrm{R}} = \tan ^{-1} \frac{I \cdot X_\mathrm{C}}{I \cdot R} = \tan ^{-1} \frac{X_\mathrm{C}}{R}$ :$\theta = \cos ^{-1} \frac{V_\mathrm{R}}{E} = \cos ^{-1} \frac{I \cdot R}{I \cdot Z} = \cos ^{-1} \frac{R}{Z}$

R-L-C串联电路｜

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｜电源电压 :$E= \ V_\mathrm{R} + j V_\mathrm{L} - j V_\mathrm{C} = \ V_\mathrm{R} + j (V_\mathrm{L} - V_\mathrm{C})$ :$E= I \cdot \sqrt{R^2 + (X_\mathrm{L} - X_\mathrm{C})^2}$ 总阻抗 :$Z=\frac{E}{I}=\sqrt{R^2 + (X_\mathrm{L} - X_\mathrm{C})^2}$ 电源电压电路电流的相角 #$X_\mathrm{L} > \ X_\mathrm{C}$，为电感性电路，电压超前电流。#$X_\mathrm{L} < \ X_\mathrm{C}$，为电容性电路，电压滞后电流。#$X_\mathrm{L} = \ X_\mathrm{C}$，为电阻性电路，电压与电流同相。:$\theta = \tan ^{-1} \frac{V_\mathrm{L}-V_\mathrm{C}}{V_\mathrm{R}} = \tan ^{-1} \frac{I \cdot X_\mathrm{L} - I \cdot X_\mathrm{C}}{I \cdot R} = \tan ^{-1} \frac{X_\mathrm{L} - X_\mathrm{C}}{R}$ :$\theta = \cos ^{-1} \frac{V_\mathrm{R}}{E} = \cos ^{-1} \frac{I \cdot R}{I \cdot Z} = \cos ^{-1} \frac{R}{Z}$

R-L并联交流电路｜

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｜电路电流 :$I = \ I_\mathrm{R} -j I_\mathrm{L}$ :$I_\mathrm{R} = \frac{E}{R}$，为纯电阻，电流与电压同相。:$I_\mathrm{L} = \frac{E}{X_\mathrm{L}}$，为纯电感，电流滞后电压90°。总阻抗 :$Z = \frac{R \cdot j X_\mathrm{L}}{R + j X_\mathrm{L}}$ 电路电流滞后电源电压的相角 :$\theta = \tan ^{-1} \frac{I_\mathrm{L}}{I_\mathrm{R}} = \tan ^{-1} \frac{\frac{E}{X_\mathrm{L}}}{\frac{E}{R}} = \tan ^{-1} \frac{R}{X_\mathrm{L}}$ :$\theta = \cos ^{-1} \frac{I_\mathrm{R}}{I} = \cos ^{-1} \frac{\frac{E}{R}}{\frac{E}{Z}} = \cos ^{-1} \frac{Z}{R}$

R-C并联电路｜

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｜电路电流 :$I = \ I_\mathrm{R} +j I_\mathrm{C}$ :$I_\mathrm{R} = \frac{E}{R}$，为纯电阻，电流与电压同相。:$I_\mathrm{C} = \frac{E}{X_\mathrm{C}}$，为纯电容，电流超前电压90°。总阻抗 :$Z = \frac{R \cdot (-j X_\mathrm{C})}{R - j X_\mathrm{C}}$ 电路电流超前电源电压的相角 :$\theta = \tan ^{-1} \frac{I_\mathrm{C}}{I_\mathrm{R}} = \tan ^{-1} \frac{\frac{E}{X_\mathrm{C}}}{\frac{E}{R}} = \tan ^{-1} \frac{R}{X_\mathrm{C}}$ :$\theta = \cos ^{-1} \frac{I_\mathrm{R}}{I} = \cos ^{-1} \frac{\frac{E}{R}}{\frac{E}{Z}} = \cos ^{-1} \frac{Z}{R}$

R-L-C并联电路｜

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｜电路电流 :$I= \ I_\mathrm{R}-jI_\mathrm{L}+jI_\mathrm{C}=I_\mathrm{R}-j(I_\mathrm{L}+I_\mathrm{C})$ :$I_\mathrm{R} = \frac{E}{R}$，为纯电阻，电流与电压同相。:$I_\mathrm{L} = \frac{E}{X_\mathrm{L}}$，为纯电感，电流滞后电压90°。:$I_\mathrm{C} = \frac{E}{X_\mathrm{C}}$，为纯电容，电流超前电压90°。总阻抗 :$Z=\frac{E}{I}=\frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{R})^2+(\frac{1}{X_L}-\frac{1}{X_C})^2}}$ 电源电压电路电流的相角 #$X_\mathrm{L} > \ X_\mathrm{C}$，为电容性电路，电流超前电压。#$X_\mathrm{L} < \ X_\mathrm{C}$，为电感性电路，电流滞后电压。#$X_\mathrm{L} = \ X_\mathrm{C}$，为电阻性电路，电压与电流同相。:$\theta = \tan ^{-1} \frac{I_\mathrm{L}-I_\mathrm{C}}{I_\mathrm{R}} = \tan ^{-1} \frac{\frac{E}{X_\mathrm{L}}-\frac{E}{X_\mathrm{C}}}{\frac{E}{R}} = \tan ^{-1} \frac{\frac{1}{X_\mathrm{L}}-\frac{1}{X_\mathrm{C}}}{\frac{1}{R}} = \tan ^{-1} (R \cdot \frac{X_\mathrm{C}-X_\mathrm{L}}{X_\mathrm{C} \cdot X_\mathrm{L}})$ :$\theta = \cos ^{-1} \frac{I_\mathrm{R}}{I} = \cos ^{-1} \frac{\frac{E}{R}}{\frac{E}{Z}} = \cos ^{-1} \frac{Z}{R}$

### 电压分配定则

在串联电路中

电源电压

$$V_e = \sum_{k=1}^n V_k = V_1 + V_2 + \cdots + V_n$$

总阻抗

$$Z_\mathrm{total} = Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n$$

电路电流

$$I=\frac{V_e}{Z_\mathrm{total}} = \frac{V_e}{Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n}$$

各阻抗的电压降

$$V_n = \frac{V_e}{Z_{total}} \cdot Z_n = I \cdot Z_n$$

### 电流分配定则

在并联电路中：电源电压

$$V_e = V_1 = V_2 = \cdots = V_n$$

各阻抗流经的电流

$$I_n = \frac{V_n}{Z_n}$$

总电流

$$I_\mathrm{total} =\sum_{k=1}^n {I}_k = I_1 + I_2 + \cdots + I_n$$

总阻抗

$$Z_\mathrm{total} = \frac{V_e}{I_\mathrm{total}}$$

### R-L-C串联电路与R-L-C并联电路的阻抗等值互换

R-L-C串联电路转R-L-C并联电路：$$R'=\frac{R^2+X^2}{R}$$

$$X'=\frac{R^2+X^2}{X}$$

R-L-C并联电路转R-L-C串联电路：$$R'=\frac{R \cdot X^2}{R^2+X^2}$$

$$X'=\frac{R^2 \cdot X}{R^2+X^2}$$

### Y形电路与Δ电路的阻抗等值互换

Y形电路转Δ电路：$$Z_{ab}=\frac{Z_a \cdot Z_b + Z_b \cdot Z_c + Z_c \cdot Z_a}{Z_c}$$

$$Z_{bc}=\frac{Z_a \cdot Z_b + Z_b \cdot Z_c + Z_c \cdot Z_a}{Z_a}$$

$$Z_{ca}=\frac{Z_a \cdot Z_b + Z_b \cdot Z_c + Z_c \cdot Z_a}{Z_b}$$

Δ电路转Y形电路：$$Z_a=\frac{Z_{ab} \cdot Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}$$

$$Z_b=\frac{Z_{ab} \cdot Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}$$

$$Z_c=\frac{Z_{bc} \cdot Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}$$

## 交流电路分析

### 交流电路电功率

交流电路中的电功率是指电能在电路中传递或转换的速率，因为电压和电流随时间变化，导致功率的计算比直流电复杂。

̇̈瞬时功率（instantaneous power），是指在某一瞬间，电压与电流的乘积：

$$p(t) = v(t) \cdot i(t)$$

ː 由于交流电压和电流是随时间变化的，瞬时功率也会随时间变化。

平均功率则是在一个完整周期的交流波形取能量对时间变率的平均。

瞬时有功功率的时间均值（time average），称为有功功率（active power，P）或实功率（real power）：

$$\mbox{P} = Vrms \cdot Irms \cdot \cos{\phi}$$

ː 其中，$Vrms$ 和 $Irms$ 分别是电压和电流的有效值，$\phi$ 是电压与电流之间的相位差。

瞬时无功功率的时间均值，称为无功功率（reactive power，Q）或虚功率（fictitious power）：

$$\mbox{Q} = Vrms \cdot Irms \cdot \sin{\phi}$$

视在功率（Apparent Power，S）：是电压与电流有效值的乘积，表示电路中总的功率需求，单位为伏安（VA）：

$$\mbox{S} = Vrms \cdot Irms$$

功率因数（Power Factor，PF）：是有功功率与视在功率的比值，反映了电路中能量利用的效率：

$$\mbox{PF} = {\frac{P}{S}} = \cos{\phi}$$

### 电路分析

基本上算法与直流电路分析的算法一样，但负载由电阻（R）改为阻抗（Z）。改以复数方式计算相关公式。

### 交流最大功率转移

在交流电路中，最大功率传输定理（Maximum Power Transfer Theorem）指出：当负载阻抗 ZL 等于电源内部阻抗 ZS 的共轭复数时，负载将获得最大功率。这种情况称为共轭匹配（Conjugate Matching）。

<image>

̈电流：

$$|I| = {|V_\text{S}| \over |Z_\text{S} + Z_\text{L}|} .$$

̈负载功率：

$$P_\text{L} = \frac 1 2 \frac{|V_\text{S}|^2 R_\text{L}}{(R_\text{S} + R_\text{L})^2}$$

̈电源内部阻抗：

$$Z_S = R_S + jX_S$$

̈负载阻抗：

$$Z_L = R_L + jX_L$$

要达到最大功率转移，负载阻抗应满足：

负载的电阻部分 RL 应等于电源的电阻部分 RS，而负载的电抗部分 XL 应为电源电抗部分 XS 的相反数

$$R_\text{L} = R_\text{S}$$

$$X_\text{L} = -X_\text{S}$$

描述̈电源内部阻抗的共轭复数，表示为 $^*,$，因此可以下列方式表示为：

$$Z_\text{L} = Z_\text{S}^*.$$

## 多相交流电路

多相交流电路（Polyphase AC Circuit），是指有两个以上相位的交流电（AC）电路。最常见的就是三相交流电（three-phase AC），这也是现在工业用电、输配电系统的主流。

基本概念：

- 单相交流：只有一条交流电压波形，电压随时间正弦波动。
- 多相交流：有多条交流电压波形，每条波形彼此时间上有固定相位差，但振幅和频率一样。

例如在三相系统中：

- 有三条电压波形（通常叫A、B、C相）
- 每条之间相差120度（360度 ÷ 3）

此设计可以让电力系统更稳定、更高效，尤其是：

- 电动机运转更平顺（因为永远有某一相在推动）
- 能量传输效率更高（三相比单相省线材、减少损耗）
- 可以借由用不同的接法（Y形电路接法、Δ电路接法）来满足不同电压需求

至于多相交流电路，具有以下优点：

- 连续平稳的功率输出，不会像单相一样有功率波动。
- 输送同样功率时，线材更细、损耗更小。
- 电动机设计简单，启动力矩大，效率高。

## 交叉相关

### 静电

- 库仑定律（Coulomb's law）
- 电场（Electric field）
- 电通量（Electric flux）
- 高斯定律（Gauss's law）
- 静电感应（Electrostatic induction）

### 磁

- 磁场（Magnetic field）
- 磁通量（Magnetic flux）与磁通密度
- 磁化（Magnetization）
- 磁阻（Magnetic reluctance）
- 磁滞（Magnetic hysteresis）

### 电流磁效应、电磁感应

- 安培右手定则（Ampère's circuital law）
- 法拉第电磁感应定律（Faraday's law of induction）
- 冷次定律（Lenz's law）
- 佛来明右手定则（Fleming's right hand rule，又称发电机定则）
- 佛来明左手定则（Fleming's left hand rule，又称电动机定则）
- 必欧-沙伐定律（Biot–Savart law）

### 电热效应

- 电热效应（Thermoelectric effect）
- 热电冷却（Thermoelectric cooling）
- 焦耳定律（Joule's laws）
- 热电偶（Thermocouple）
- 热敏电阻（Thermistor）

### 光电科技

- 电灯泡（Incandescent light bulb）
- 光电效应（Photoelectric effect）
- 太阳能电池（Solar cell）
- 光敏电阻（Photoresistor）

### 电化学效应

- 电池（Battery）
- 蓄电池与记忆效应
- 法拉第电解定律（Faraday's laws of electrolysis）
- 电镀（Electroplating）

## 相关数学

- 行列式（电路分析常用）
- 复数（交流电路相关计算常用）

## 相关

- 电路符号
- 电路图
- 电学

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