位移电流

本条目中，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。检验变数或场变数的标记的后面没有单撇号“$'\,\!$”；源变数的标记的后面有单撇号“$'\,\!$”。

在电磁学里，位移电流（displacement current）定义为电位移对于时间的变率。位移电流的单位与电流的单位相同。如同真实的电流，位移电流也有一个伴随的磁场。但是，位移电流并不是移动的电荷所形成的电流；而是电位移对于时间的偏导数。

于1861年，詹姆斯·马克士威发表了一篇论文《论物理力线》，提出位移电流的概念。在这篇论文内，他将位移电流项目加入了安培定律。修改后的定律，现今称为马克士威-安培方程式。

在马克士威的1864年论文《电磁场的动力学理论》内，他用这马克士威-安培方程式推导出电磁波方程式。由于这导引将电学、磁学和光学联结成一个统一理论。这创举现在已被物理学术界公认为物理学史的重大里程碑。位移电流对于电磁波的存在是基要的。

## 严格定义

电位移$\mathbf{D}$以方程式定义为

$\mathbf{D}\ \stackrel{def}{=}\ \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$。

其中，$\varepsilon_0$是电常数，$\mathbf{E}$是电场，$\mathbf{P}$是电极化强度。

位移电流密度$\mathbf{J}_D$以方程式定义为

$\mathbf{J}_D\ \stackrel{def}{=}\ \frac {\partial\mathbf{D}}{\partial t}$。

其中，$t$是时间。

在电介质内，这方程式有两个项目：

$\mathbf{J}_ \mathbf{D} = \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}$。

方程式右手边的第一个项目，称为马克士威修正项目。在自由空间和电介质内，这项目都会存在。虽然不涉及任何真实的电荷运动，它有一个伴随的磁场，它的物理行为就好像是真实的电流。

第二个项目是电极化电流密度，与电介质内单独分子的极化性有关。在电介质内，虽然电荷不能自由地运动于电介质，感受到外电场的作用，束缚于原子内部的束缚电荷可以做微小的运动。因此，正值和负值的束缚电荷会产生小距离的分离，造成电极化，这变化可以用电极化强度$\mathbf{P}$来代表。电极化强度对于时间的偏导数就是电极化电流密度。

## 原版安培定律的不足处

原版安培定律只适用于静磁学。在电动力学里，当物理量含时间，有些细节必须仔细检查。思考安培定律的微分形式：

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J }$。

其中，$\mathbf{B}$是磁感应强度，$\mu_0$是磁常数，$\mathbf{J}$是总电流。

取散度于这方程式，则会得到

$\nabla\cdot(\nabla \times \mathbf{B}) = \mu_0 \nabla\cdot\mathbf{J }$。

应用向量微积分里的一个恒等式，旋度的散度必定等于零。所以。

$\nabla\cdot(\nabla \times \mathbf{B}) =0$。

这意味着电流密度的散度等于零：

$\nabla\cdot\mathbf{J }=0$。

在静磁学内，这是正确的。但是，出了静磁学范围，假若电荷密度$\rho$含时间，这就不一定正确了。思考电荷守恒定律的方程式：

$\nabla\cdot\mathbf{J }+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0$。

<image>

举个经典例子，如图右，一个正在充电的电容器，其两片金属板会随着时间分别累积异性电荷。设定表面$\mathbb{L}$的边缘为闭回路$\mathbb{C}$。应用安培定律的积分形式。

$\oint_\mathbb{C} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} =\mu_0 I_{enc}$。

在这里，$I_{enc}$是通过任意曲面的电流，只要这曲面符合一个条件：边缘为闭回路$\mathbb{C}$。所以，这任意曲面可以是表面$\mathbb{L}$，而$I_{enc}$是$I$；或者这任意曲面可以是闭圆柱表面减去左边表面，$\mathbb{S} - \mathbb{L}$，而由于通过这任意曲面的电流是$0$，$I_{enc}$是$0$。选择不同的曲面会得到不同的答案，这在物理学里，是绝对不允许发生的事。

## 马克士威-安培方程式

将马克士威修正项目加入安培方程式：

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J }+ \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ ;

或者，使用磁场强度$\mathbf{H}$和位移电流$\mathbf{D}$来表达。

$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J }_f+ \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$。

这就是马克士威-安培方程式，可以补救原本安培定律的不足。

## 从必欧-沙伐定律推导出位移电流

马克士威修正项目并不是凭空得来的。从必欧-沙伐定律可以证明出这项目的正确性。首先，列出必欧-沙伐定律：

$\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathrm{d}^3r' \mathbf{J}(\mathbf{r}')\times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}$。

其中，$\mathbb{V}'$是积分的源体积，$\mathbf{r}$是源位置，$\mathbf{r}'$是检验位置。

任意两个向量$\mathbf{A}_1$和$\mathbf{A}_2$的叉积，取其旋度，有以下向量恒等式：

$\nabla\times(\mathbf{A}_1\times\mathbf{A}_2) =(\mathbf{A}_2\cdot\nabla)\mathbf{A}_1 - (\mathbf{A}_1\cdot\nabla)\mathbf{A}_2 +\mathbf{A}_1(\nabla\cdot\mathbf{A}_2) - \mathbf{A}_2(\nabla\cdot\mathbf{A}_1)$。

取旋度于必欧-沙伐方程式的两边，稍加运算，可以得到

$\nabla\times\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathrm{d}^3r'\left\{ - [\mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot\nabla]\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} +\mathbf{J}(\mathbf{r}')\left[\nabla\cdot\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} -\mathbf{r}'|^3}\right] \right\}$。

应用著名的狄拉克δ函数关系式

$\nabla\cdot\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}= 4\pi \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')$。

可以得到

$\begin{align}\nabla\times\mathbf{B}(\mathbf{r}) & =\mu_0\mathbf{J}(\mathbf{r})+\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathrm{d}^3r'\left\{ - [\mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot\nabla]\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \right\} \\ & =\mu_0\mathbf{J}(\mathbf{r})+\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} d^3r'\left\{[\mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot\nabla']\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \right\} \\ \end{align}$。

为了简化计算，先只注意积分项目的被积函数的x-分量。

$[\mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot\nabla']\frac{x - x'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} =\nabla'\cdot\left[\mathbf{J}(\mathbf{r}')\frac{x - x'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\right] - \frac{x - x'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \nabla'\cdot\mathbf{J}(\mathbf{r}')$。(1)

思考方程式(1)右边第一个项目，根据散度定理。

$$\int_{\mathbb{V}'} \mathrm{d}^3r' \nabla'\cdot\left(\mathbf{J}(\mathbf{r}')\frac{x - x'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\right) = \oint_{\mathbb{A}'} \mathrm{d}\mathbf{a}' \cdot \mathbf{J}(\mathbf{r}')\frac{x - x'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}$$

其中，$d\mathbf{a}'$是一个微小源面积元素，$\mathbb{A}'$是体积$\mathbb{V}'$外表的闭曲面。

这方程式的右边项目是一个面积分，只与通过闭曲面的电流密度有关，积分的体积可大可小，假设增大这体积，一直增大到其外表的闭曲面没有任何电流流出或流入，也就是说，电流密度等于零，所以，这项目的体积积分等于零。

再思考前述方程式(1)右边第二个项目，根据电荷连续方程式。

$\nabla'\cdot\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t)+\frac{\partial \rho(\mathbf{r}',\,t)}{\partial t}=0$。

假设这系统是准静态系统，电荷密度$\rho$是时间的函数，则这项目可以写为

$-\ \frac{x - x'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \frac{\partial \rho(\mathbf{r}',\,t)}{\partial t}$。

这样，磁场的旋度是

$\nabla\times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}+\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathrm{d}^3r'\left\{ \frac{\partial \rho(\mathbf{r}',\,t)}{\partial t}\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \right\}$。

将偏导数拿到积分符号外面，剩下来的公式与电场$\mathbf{E}$有关：

$\mathbf{E} =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \mathrm{d}^3r' \rho(\mathbf{r}',\,t)\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}$。

总结，从必欧-沙伐定律可以推导出来马克士威-安培方程式的马克士威修正项目：

$\nabla\times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$。

## 电磁波的推导

经典电磁定律，知名为马克士威方程组，可以描述电磁波的物理行为。在自由空间里，源项目等于零（源电荷等于零，源电流等于零）。除了没有任何事发生的解答以外（电场和磁场都等于零），方程式仍旧允许不简单的解答，电场和磁场随着时间和位置变化。采用国际单位制，处于自由空间状况的马克士威方程组表达为

$\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$、(2)

$\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$、(3)

$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$、(4)

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$；(5)

其中，$\epsilon_0$是电常数，$\mu_0$是磁常数。

一个简单的解答是

$\mathbf{E}=\mathbf{B}=\mathbf{0}$。

这解答并没有什么重要的的物理意义。

若想得到有意义的解答，必须稍做一些运算。取公式 (3)的旋度。

$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf{E} \right) = \nabla \times \left( - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right)$。(6)

应用一个向量恒等式，再将公式 (2)代入，则可得到：

$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf{E} \right) = \nabla\left(\nabla \cdot \mathbf{E} \right) - \nabla^2 \mathbf{E} = - \nabla^2 \mathbf{E}$。(7)

应用公式 (5)，公式 (6)右边变为

$\nabla \times \left( - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right) = - \frac{\partial}{\partial t} \left( \nabla \times \mathbf{B} \right) = - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}$。(8)

将公式 (7)和 (8)代回公式 (6)，可以得到电场的波动方程式：

$\nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}$。

使用类似的方法，可以得到磁场的波动方程式：

$\nabla^2 \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}$。

更简易地表达。

$\Box \mathbf{E} = 0$。

$\Box \mathbf{B} = 0$。

其中，$\Box = \nabla^2 - \frac{1}{{v_0}^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}$是达朗白算符，$v_0= \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$是波动传播的速度。

在自由空间里，$v_0$是光速$c$。马克士威方程组连结了三个基本物理量：电常数$\epsilon_0$、磁常数$\mu_0$和光速$c$。在这导引以前，物理界并不知道，在光波，电场和磁场之间，有那么密切的关系。

前面已经找到了两个方程式。但是马克士威方程组有四个方程式，所以，隐藏在这方程式里，还有很多重要的讯息。思考一个一般的电场向量波动解答。

$\mathbf{E} = \mathbf{E}_0 f\left( \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t \right)$。

其中，$\mathbf{E}_0$是常数振幅，$f(...)$是任意二次可微函数，$\mathbf{k}_0$是波向量，$\mathbf{r}$是位置向量，$\omega$是角频率。

波动方程式$\Box \mathbf{f} = 0$的一般性解答是$f\left( \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t \right)$。也就是说。

$\nabla^2 f\left(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t \right) = \frac{1}{{c_0}^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} f\left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t \right)$。

将电场的公式代入公式 (2)：

$\nabla \cdot \mathbf{E} =\mathbf{k}\cdot \mathbf{E}_0 f'\left(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t \right) = 0$。

只要电场垂直于波向量（波动传播的方向），这函数形式的电场必定满足马克士威方程组：

$\mathbf{E} \cdot \mathbf{k} = 0$。

再将电场的公式代入公式 (3)：

$\nabla \times \mathbf{E} = \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{E}_0 f'\left(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t \right) = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$。

所以，电场与其对应磁场的关系为：

$\mathbf{B} = \frac{1}{\omega} \mathbf{k} \times \mathbf{E}$。

在自由空间内，电磁波不只是有以光速传播的性质，电磁波的电场部分和磁场部分有特定的相对定向、相对大小。它们之间的相位一样。电场，磁场，波动传播的方向，都互相垂直于对方。波动传播的方向是$\mathbf{E} \times \mathbf{B}$。

从电磁波传播的方向看去，电场或许是以上下的方式震荡，而磁场以左右的方式震荡。但若将这图样旋转90度，则电场以左右的方式震荡，而磁场以上下的方式震荡，而波动传播的方向仍旧相同。这是波动方程式的另一种解答。对于波动同样传播的方向，这定向的任意性现象称为偏振。

## 历史

马克士威在他的1861年论文《论物理力线》提出了位移电流的概念。在现代物理里面，很少有如此令人困惑与误解的论题。一部分原因是由于马克士威用分子涡旋理论和乙太论来比拟与推导出存在于乙太的位移电流；而现代教科书的理论建立于位移电流可以存在于自由空间，和满足安培定律与电荷守恒定律的一致性。

马克士威认为磁场是一种旋转现象。在他设计的“分子涡流模型”里，他将力线延伸为“涡流管”。许多单独的“涡胞”（涡旋分子）组成了一条条的涡流管。在这涡胞内部，不可压缩流体绕着旋转轴以均匀角速度旋转。由于离心力作用，在涡胞内部的任意微小元素会感受到不同的压力。知道这压力的分布，就可以计算出微小元素感受到的作用力。马克士威能够用分子涡流模型来详细地分析与比拟这作用力内每一个项目的物理性质，合理地解释磁场现象和其伴随的作用力。

马克士威又假设在两个相邻涡胞之间，有一排微小圆球粒子（简称为“圆粒”），将这两个涡胞隔离分开。这些圆粒只能滚动(rolling)，不能滑动。圆粒旋转的方向相反于这两个涡胞的旋转方向，这样，就不会引起摩擦。圆粒的平移速度是两个涡胞的周边速度的平均值。注意到这是一种运动关系，不是动力关系。马克士威将这些圆粒的运动比拟为电流。从这模型，经过一番复杂的运算，马克士威能够推导出安培定律、法拉第感应定律等等。

马克士威又给予这些涡胞一种弹性性质。假设施加某种外力于圆粒，则这些圆粒会转而施加切力于涡胞，使得涡胞变形。这代表了一种静电状态。假设外力与时间有关，则涡胞的变形也会与时间有关，因而形成了电流。这样，马克士威可以比拟出电位移和位移电流。不但是在介质内，甚至在真空（马克士威认为没有完全的真空，乙太弥漫于整个宇宙），只要有磁力线，就有涡胞，位移电流就可以存在。因此，马克士威将安培定律加以延伸，增加了一个有关于位移电流的项目，称为“马克士威修正项目”。聪明睿智的马克士威很快地联想到，既然弹性物质会以波动形式传播能量于空间，那么，这弹性模型所比拟的电磁场应该也会以波动形式传播能量于空间。不但如此，电磁波还会产生反射，折射等等波动行为。马克士威计算出电磁波的传播速度，发觉这数值非常接近于，先前从天文学得到的，光波传播于行星际空间(interplanetary space)的速度。因此，马克士威断定光波就是一种电磁波。

## 参阅

- 《论法拉第力线》
- 法拉第电磁感应定律
- 斯托克斯定理
- 电容率