无量纲量

在量纲分析中，无量纲量（dimensionless quantity）又称无因次量、量纲为一的量（quantity of dimension one），指的是没有量纲的量。它是个单纯的数字，量纲为1。必须注意的是：无量纲量虽然没有量纲，但是可能被赋予一个习惯性计数单位，但绝对不会有国际单位制的基本单位。例如：摩尔当量是无量纲量，在习惯上用 Eq 作计数单位。

无量纲量在数学、物理学、工程学、经济学以及日常生活中（如数数）被广泛使用。一些广为人知的无量纲量包括圆周率（π）、欧拉常数（e）和黄金分割率（φ）等。与之相对的是有量纲量，拥有诸如长度、面积、时间等单位。

无量纲量常写作两个有量纲量之积或比，但其最终的纲量互相消除后会得出无量纲量。比如，应变是量度形变的量，定义为长度差与原先长度之比。但由于两者的量纲均为L（长度），因此相除后得出的量是没有量纲的。

## 属性

- 虽然无量纲量本身没有量纲，但是它也有时被加以无量纲的单位。在分子和分母使用同样的单位（kg/kg或mol/mol），有时可以帮助表达所测量的数值（如质量百分浓度或摩尔分数等）。某些量还可以表示为不同的单位之比，但这两个单位的量纲相同（如光年除以米）。这种做法可以用于计算图表中的斜率，或者进行单位转换。这样的写法并不意味着存在量纲，而只不过是符号表达上的惯例。其他常用的无量纲量有：%=0.01，百分比；‰=0.001，千分比；ppm=10−6，百万分比；ppb=10−9，十亿分比；ppt=10−12，兆分比（万亿分比）以及角单位（度、弧度、百分度）等等。
- 两个具有相同量纲之比是没有量纲的，而且无论用什么单位计算，该量还是不变的。例如，如果物体A对物体B施大小为F的作用力，那B也会向A施大小为f的力。两个力的比率F/f永远等于1（见牛顿第三定律），而不取决于测量F和f所用的单位。这是因为物理中一个重要的假设：物理定律是独立于人们选用的单位制的。如果以上的F/f不经常等于1，而在我们从国际单位制转用厘米-克-秒制时改变了的话，这就意味着牛顿第三定律的真伪要看我们选取哪一种单位制，而这就与假设矛盾了。这一假设是白金汉π定理的基础，其表述为：所有物理定律均能以数个无量纲量的数学组合（加、减、乘、除等等）写成恒等式。如果无量纲量组合后的值在替换所用单位制后改变了的话，那么白金汉π定理就不成立了。

## 白金汉π定理

白金汉π定理的另一项推论为，如果n个变数之间有某种函数关系，而这些变数中有k个独立的量纲，则可以产生p = n − k个独立的无量纲量。

### 例子

某磁力搅拌器的电功率是被搅拌液体的密度和黏度、搅拌器的直径及搅拌速度的函数。因此这里共有n = 5个变量

这n = 5个变量共由以下k = 3个量纲组成：

- 长度：L (m)
- 时间：T (s)
- 质量：M (kg)

根据该定理，通过组合这n = 5个变量，可以得出p = n − k = 5 − 3 = 2个独立的无量纲量。此例中的这两个无量纲量分别为：

- 雷诺数（描述流体流动的无量纲量）
- 功率数（描述搅拌器，同时包含流体密度的无量纲量）

## 例子

- 在10个苹果中，有1个是坏了的。总苹果数中坏苹果的比例为1个苹果/10个苹果= 0.1 = 10%，这是个无量纲量。
- 角：角的定义为，以圆心为顶点划出的弧的长度除以某另一长度。这个比率由长度除以长度所得，因此是个无量纲量。当所用的（无量纲）单位为弧度时，那个“另一长度”就是圆的半径。当单位为角度时，“另一长度”就是圆周长的360分之1。
- 圆周率是个无量纲量，定义为圆周长与直径之比。该数值无论在用什么单位量度这些长度时（厘米、英里、光年等等）都会是相同的，只要周长和直径以同样的单位量度。

## 无量纲量列表

下表中所有的量均为无量纲量：

名称｜标准符号｜定义｜应用范畴

阿贝数｜V｜$V = \frac{ n_d - 1 }{ n_F - n_C }$｜光学（光的色散）

活度系数｜γ｜$\gamma= \frac {{a}}{{x}}$｜化学（活跃分子或原子占总数之比）

反照率｜$\alpha$｜${\alpha}= (1-D) \bar \alpha(\theta_i) + D \bar{ \bar \alpha}$｜气候学、天文学

劳仑兹因子｜$\gamma$｜$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} } } = \frac{1}{\sqrt{1- \beta^2} }$｜相对论

阿基米德数｜Ar｜$Ar = \frac{g L^3 \rho_\ell (\rho - \rho_\ell)}{\mu^2}$｜密度差造成的流体运动

阿伦尼乌斯数｜$\alpha$｜活化能与热能之比

相对原子质量｜M｜化学

伯格诺德数｜Ba｜$Ba = \frac{\rho d^2 \lambda^{1/2} \gamma}{\mu}$｜固体块的流动（如米粒或沙子）

比赞数（热力学）｜Be｜$Be = \frac {\dot S'_{gen, \Delta T}} {\dot S'_{gen, \Delta T}+ \dot S'_{gen, \Delta p}}$｜热传导不可逆性与由于热传导和流体阻力的总不可逆性之比

比赞数（流体力学）｜Be｜$Be = \frac{\Delta P . L^2} {\mu \alpha}$｜沿着通道的压力差

宾汉数｜Bm｜$Bm = \frac{ \tau_yL }{ \mu V }$｜屈服应力与黏滞应力之比

毕奥数｜Bi｜$Bi = \frac{h L_C}{\ k_b}$｜固体的表面传导率与体积传导率之比

布莱克数｜Bl或B｜$B = \frac{V \rho}{\mu ( 1-\epsilon) D}$｜流体穿过多孔介质时惯性相对黏滞力的重要性

博登斯坦数｜Bo｜$Bo = Re\cdot Sc = vL/\mathcal{D}$｜停留时间的分布

邦德数｜Bo｜$Bo = \frac{\rho a L^2}{\gamma}$｜由浮力推动的毛细作用

布林克曼数｜Br｜$Br = \frac {\mu U^2}{\kappa(T_w-T_0)}$｜从容器壁到黏性流体的热传导

Brownell-Katz数｜毛细管数和邦德数的组合

毛细管数｜Ca｜受表面张力影响的流体流动

钱德拉塞卡数｜$\ Q$｜${Q}\ =\ \frac{{B_0}^2 d^2}{\mu_0 \rho \nu \lambda}$｜磁对流，用以表达洛伦兹力与黏度之比

静摩擦系数｜$\mu_s$｜物体间的静摩擦

动摩擦系数｜$\mu_k$｜物体互相滑动时的摩擦

柯尔伯恩j因数｜热传导的无量纲系数

库朗数｜$\nu$｜双曲型偏微分方程之解

达姆科勒数｜Da｜$Da = k \tau$｜反应时间与共振时间之比

阻尼比｜$\zeta$｜$\zeta = \frac{c}{2 \sqrt{km}}$｜系统中阻尼的程度

达西阻力系数｜$C_f$或$f$｜流体流动

狄恩数｜D｜$\mathit{D} = \frac{\rho V\! d}{\mu} \left( \frac{d/2}{R} \right)^{1/2}$｜弯曲管道中的流体涡

底波拉数｜De｜$\mathrm{De} = \frac{t_\mathrm{c}}{t_\mathrm{p}}$｜粘弹性流体的流动学

分贝｜dB｜两个强度之比，通常用于声音

阻力系数｜$C_d$｜流动阻力

Dukhin数｜Du｜异质系统中表面电导率与体积电导率之比

欧拉常数｜e｜数学

埃克特数｜Ec｜热对流传导

埃克曼数｜Ek｜地球物理学（黏质阻力）

弹性｜E｜$E_{x,y} = \left | \frac{\Delta y / y}{\Delta x / x} \right | = \left | \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \frac{x}{y} \right |= \left | \frac{dy}{dx} \cdot \frac{x}{y} \right |$｜经济学，常用于量度供给和需求如何受价格变化的影响

厄特沃什数｜Eo｜判断汽泡或液滴形状

埃里克森数｜Er｜液晶流动特性

欧拉数 (物理学)｜Eu｜流体动力学（压力与惯性力之比）

过量温度系数｜Θr｜$\Theta_r = \frac{T-T_e}{U_e^2/(2c_p)}$｜热力学与流体动力学

范宁摩擦系数｜f｜管道中的流体流动

费根鲍姆常数｜$\alpha, \delta$｜混沌理论（周期倍增）

精细结构常数｜$\alpha$｜$\alpha = \frac{e^2}{2\varepsilon_0 hc}$｜量子电动力学

焦比｜$f$｜光学、摄影

Foppl-von Karman数｜薄壳失稳

傅里叶数｜Fo｜热传导

菲涅耳数｜F｜$F\ \stackrel{def}{=}\ \frac{a^{2}}{L \lambda}$｜狭缝衍射

福禄数｜Fr｜$Fr = \frac{V}{\sqrt{g\ell}}$｜波和表面行为

增益｜电子学（信号输出与信号输入之比）

速比｜单车传动

伽利莱数｜Ga｜$\mathrm{Ga} =Re^2Ri= \frac{g\, L^3}{\nu^2}$｜引力造成的黏质流动

黄金分割比｜$\varphi$｜数学、美学

格雷茨数｜Gz｜热流

格拉斯霍夫数｜Gr｜自由对流

重力耦合常数｜$\alpha_G$｜$\alpha_G=\frac{Gm_e^2}{\hbar c}$｜重力

八田数｜Ha｜$Ha = {{ \sqrt{{\frac{2}{{m} + 1}}k_{m,n} {C_{A,i}}^{m - 1} C_{B,bulk}^n {D}_A}} \over {{k}_L}}$｜化学反应造成的吸附增强

哈根数｜Hg｜$\mathrm{Hg} = -\frac{1}{\rho}\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}\frac{L^3}{\nu^2}$｜强制对流

水力梯度｜i｜地下水流动

雅各布数｜Ja｜$Ja = \frac{c_p (T_s - T_{sat}) }{h_{fg} }$｜液汽相变时所吸收的显能与潜能之比

Karlovitz数｜湍流燃烧

Kc数｜$K_C$｜$K_c = \frac{VT }{L }$｜震荡流场中物体的阻力与惯性之比

克努森数｜Kn｜分子平均自由程长度与某代表性长度之比

尿素清除指数｜Kt/V｜医学

Kutateladze数｜K｜两相逆流

拉普拉斯数｜La｜混溶流体中的自由对流

路易斯数｜Le｜质量扩散率与热扩散率之比

升力系数｜$C_L$｜在某攻角下翼型的升力

Lockhart-Martinelli参数｜$\chi$｜湿气的流动

乐甫数｜地球的硬性

伦德奎斯特数｜$S$｜ratio of a resistive time to an Alfvén wave crossing time in a plasma

马赫数｜M｜$\ M = \frac {{V}}{{a}}$｜气体动力学

磁雷诺数｜$R_m$｜磁流体力学

曼宁糙率系数｜n｜开放管道流体流动（由引力推动）

马兰戈尼数｜Mg｜由热表面张力偏差引起的马兰戈尼流

莫顿数｜Mo｜判断汽泡或液滴形状

彭巴数｜$K_M$｜溶液冷冻时的热传导与扩散

努塞尔特数｜Nu｜$Nu =\frac{hd}{k}$｜强制对流下的热传导

奥内佐格数｜Oh｜液体雾化，马兰戈尼流

佩克莱特数｜Pe｜$Pe = \frac{du\rho c_p}{k} = (Re)(Pr)$｜平流-扩散问题，总动量传递和分子热传递之间的关系

剥离数｜微观结构与底物的黏附作用

导流系数｜K｜在带电离子束中空间电荷的强度

圆周率｜$\pi$｜数学（圆周长与直径之比）

泊松比｜$\nu$｜弹性（横向与纵向负荷）

多孔性｜$\phi$｜地质学

功率因数｜电子学（有功功率与视在功率之比）

功率数｜$N_p$｜搅拌器的功率消耗

普兰特数｜$Pr$｜$Pr = \frac{\nu}{\alpha} = \frac{c_p \mu}{k}$｜黏性扩散率与热扩散率之比

压力系数｜$C_P$｜翼型上某个点的压力

品质因子｜$Q$｜描述振子的阻尼

弧度｜$\theta_{rad}$｜$\theta_{rad} =\frac{s}{r}$｜量度平面角，$1 \text{ rad} = \frac {180^\circ} {\pi}$

瑞利数｜$Ra$｜$\mathrm{Ra} = \mathrm{Gr}\mathrm{Pr} = \frac{g \beta \Delta T L^3} {\nu \alpha}$｜自由对流中的浮力和黏滞力

折射率｜n｜电磁学、光学

雷诺数｜$Re$｜$Re = \frac{vL\rho}{\mu}$｜流体的惯性力与黏滞力之比

比重｜RD｜比重计，物质间的比较

理查逊数｜Ri｜浮力对流动稳定性的影响

洛氏硬度｜硬度

滚动阻力系数｜Crr｜$C_{rr} = \frac{N_f}{F}$｜车辆动力学

罗斯贝数｜$Ro$｜$Ro = \frac{U}{LF}$｜地球物理学中的惯性力，描述科里奥利力的影响程度

劳斯数｜Z或P｜$\mathrm{P} = \frac{w_s}{\beta \kappa u_*}$｜沉积物流移

施密特数｜Sc｜$\mathit{Sc} = \frac{\nu}{D} = \frac {\mu} {\rho D}$｜流体动力学（质量转移与扩散）

形状因数｜H｜边界层流动中排移厚度与动量厚度之比

舍伍德数｜Sh｜$\mathrm{Sh} = \frac {h_DL} {D_{fluid}}$｜强制对流中的质量转移

希尔兹参数｜τ∗或θ｜流体运动造成的沉积物流移的临界

索默菲德数｜边层润滑

斯坦顿数｜St｜$St = \frac{h}{G c_p} = \frac{h}{\rho u c_p}= \frac{\mathrm{Nu}}{\mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}}$｜强制对流中的热传递

斯蒂芬数｜Ste｜$Ste = \frac{C_p\Delta T}{L}$｜相变时的热传递

斯托克斯数｜$S_{tk}$或$S_k$｜$Stk = \frac{\tau\,U_o}{d_c}$｜流体流中的粒子动力学

应变｜$\epsilon$｜$\epsilon = \cfrac{\partial{F}}{\partial{X}} - 1$｜材料科学、弹性

斯特劳哈尔数｜St或Sr｜$St = {f L\over V}$｜持续并脉动的流体流动

泰勒数｜Ta｜$Ta = \frac{4\Omega^2 R^4}{\nu^2}$｜旋转的流体流动

Ursell数｜U｜$U = \frac{H\, \lambda^2}{h^3}$｜在浅流体层上表面引力波的非线性度

Vadasz数｜Va｜$Va = \frac{\phi Pr}{Da}$｜在多孔介质中流体流动时，该数影响多孔性$\phi$、普兰特数以及达西阻力系数

范特霍夫因子｜i｜$i = 1 + \alpha (n - 1)$｜化学定量分析（Kf及Kb）

Wallis参数｜J、｜$\alpha = R \left( \frac{\omega \rho}{\mu} \right)^\frac{1}{2}$｜多相流体流动时的表现速

韦伯数｜We｜$We = \frac{\rho v^2 l}{\sigma}$｜表面极为弯曲的多相流体流动

魏森贝格数｜Wi｜$Wi = \dot{\gamma} \lambda$｜粘弹性流体流动

沃默斯利数｜$\alpha$｜$\alpha = R \left( \frac{\omega \rho}{\mu} \right)^\frac{1}{2}$｜持续并脉动的流体流动

## 无量纲的物理常数

一些基本物理常数，如真空中的光速、万有引力常数、普朗克常数和波兹曼常数等等，在适当挑选时间、长度、质量、电荷及温度等单位后，可以归一（数值为1）。这种单位制被称为自然单位制。不过不可能在每一个单位制中都把所有的物理常数归一，剩余的量必须以实验判定。这些剩余的量包括：

- α：精细结构常数，电磁交互作用的耦合常数，α ≈ 1/137。
- μ或β：质子与电子的不变质量之比，可更广义地指所有基本粒子相对电子的不变质量之比，μ ≈ 1836。
- αs：强相互作用的耦合常数。
- αG：重力的耦合常数，αG ≈ 1.75×10−45。

## 外部链接

- John Baez, " How Many Fundamental Constants Are There? "
- Huba, J. D., 2007, NRL Plasma Formulary: Dimensionless Numbers of Fluid Mechanics. Naval Research Laboratory. p. 23 , 24 , 25
- Sheppard, Mike, 2007, " Systematic Search for Expressions of Dimensionless Constants using the NIST database of Physical Constants."