时频分布的变形

时频分布的变形(Motions on the time-frequency distribution)是指信号经过时频分析（Time-frequency analysis）的结果，在时频平面（time-frequency plane）上图形的各种变形。

对时频分布做各种变形，皆有其对应的物理意义。常见的时频分布的变形有下列几种：水平平移、铅直平移、扩张、斜推、旋转。

时频分布的变形在分离信号、滤波器设计、取样定理、调变及多工…等领域上都有相当的帮助。

## 变形的种类

### 水平平移

简单来说，水平平移就是信号在时间轴上的平移。例如一个在0秒至3秒之间大小为1，其他为0的方波信号，被平移成为10秒至13秒之间大小为1，其他为0的方波。若一个信号x经过水平平移t0时间单位后得到的信号为y，则x与y的时频分布关系为：

$$W_y(t,\,f)=W_x(t-t_0,\,f)$$

### 铅直平移

铅直平移就是信号在频率轴上的平移，在通讯上也被称为调变。将一个基频的讯号经过调变之后变换到射频来传送，可以更加有效的利用频率资源。若一个信号x经过铅直平移f0频率单位后得到y，则

$$W_y(t,\,f)=W_x(t,\,f-f_0)$$

### 扩张

扩张变形对时频分布图形造成的影响是：在时间轴拉伸a倍，而在频率轴压缩a倍。扩张变形的重要特性是时频分布占有的面积不变。若一个信号x经过a倍的扩张变形，得到的结果为y，则

$$W_y(t,\,f)=W_x\left( \frac{t}{a},\,af \right)$$

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### 斜推(shearing)

沿着时间轴方向做斜推变形，造成的影响是：时间轴方向的位移量与频率大小成正比。反之，沿着频率轴方向做斜推变形，则会使频率轴方向的位移量与时间大小成正比。沿时间轴的斜推变形，是信号与chirp函数做折积运算的结果；沿频率轴的斜推变形，是信号与chirp函数相乘的结果。若一个信号x沿着时间轴做a倍的斜推变形后得到的结果为y，则

$$x(t)=y(t)e^{j\pi\frac{t^2}{a}}$$

$$W_y(t,\,f)=W_x(t-af,\,f)$$

$$x(t)=y(t)*e^{j\pi\frac{t^2}{a}}$$

$$W_y(t,\,f)=W_x(t,\,f-at)$$

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### 旋转

旋转变形顾名思义就是把图形对着原点旋转。对信号做傅立叶变换会将图形顺时针方向旋转90度；同样的，做傅利业反变换会将图形逆时钟旋转90度。而分数傅立叶变换可将图形旋转任意的角度。若一个信号x做傅立叶变换后得到的结果为y，则

$$y=\displaystyle\mathcal{F} \left\{x(t)\right\}$$

$$W_y(t,\,f)=W_x(-f,\,t)$$

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分數傅立葉轉換 
```

第一种定义:

$$X_\phi (u) = \sqrt{1-jcot\phi}\cdot e^{j\pi \cdot cot\phi\cdot u^2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j2\pi \cdot csc\phi \cdot ut} e^{j\pi \cdot cot\phi \cdot t^2} x(t) dt$$

第二种定义:

$$X_\phi (u) = \sqrt{\frac{1-jcot\phi}{2\pi}}\cdot e^{j\frac{cot\phi}{2}\cdot u^2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-jcsc\phi \cdot ut} e^{j\frac{cot\phi}{2}\cdot t^2} x(t) dt$$

$\phi = 0.5a\pi$, $a$ 为实数。

当 $a=1$ 时 (亦即 $\phi = 0.5\pi$ )，分数傅立叶变换就成了傅立叶变换。

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### generalized shearing

当一个讯号的时频分布呈现不规则形状时，会有许多不必要的带宽浪费,此时可以将频率与时间的关系近似于多项式,只要将原讯号乘上原讯号的共轭函数，就可以将时频分布拉直，如同直流讯号或是单频讯号的时频分布，这样除了可以降低传输时的带宽之外，因为在时频分布上的面积缩小所以亦可降低总取样点数。

$$y(t) \cong Ae^{-j\phi(t)}$$

$$\phi(t)=\sum_{k=0}^n a_kt^k$$

$$frequency=\frac{1}{2\pi}\frac{\mathrm{d}\phi(t)}{\mathrm{d}t}$$

$$x(t)=y(t)e^{j\phi(t)}$$

$$W_x(t,\,f)=W_y(t,\,f-\frac{1}{2\pi}\frac{\mathrm{d}\phi(t)}{\mathrm{d}t})$$

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### 变形(twisting)

利用线性正则变换可以把时频分布做任意的线性变形

定义

线性正则变换有四个参数(a, b, c, d)和一个限制，也就是有三个自由参数，第四个参数则由另外三个所决定。

矩阵$\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}$的行列式ad - bc = 1

$F_{(a,b,c,d)}(u)=\sqrt{\frac{1}{j2\pi b}}\cdot e^{\frac{j}{2}\frac{d}{b}u^2}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{j}{b}ut}e^{-\frac{j}{2}\frac{a}{b}t^2}f(t)\cdot \, dt$｜当 b ≠ 0,

$F_{(a,0,c,d)}(u)=\sqrt{d}\cdot e^{-\frac{j}{2}cd\cdot u^2}f(d\,u)$｜当 b = 0.

在这里用$F_{(a,b,c,d)}(u)$表示$f(u)$做线性正则变换的结果，$O^{(a,b,c,d)}_F$表示做参数为{a,b,c,d}的线性正则变换。

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## 时频分析变形的应用

### 滤波器设计

传统的滤波器设计，是在频域对不同频率给定不同的频率响应，借此压抑或是强化某些频率的能量。因为一般而言被处理的信号都是时变的，在加入时频分析工具以及变形之后，可以对信号做更复杂的处理，得到更好的效果，例如:分数傅立叶变换，可以将讯号时频分布旋转至适当角度让讯号及干扰的cut-off line与水平轴垂直，此时讯号再与干扰会在时间轴上分离只要在时间轴上乘上一个适当的window function，就可以分离讯号及噪声。

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### 取样定理

时频分布所占的面积，相当于一个信号所需要取样的次数。同上原因，对信号的时频分布进行适当地旋转,变形及切割之后，可以使取样点数降低或是让取样方法更简单。

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### 调变与多工

在通讯系统中，我们为了有效的利用传输资源，会进行分时多工或是分频多工，把时间或频率切割成小的区块再将讯号载在其中。同样的，若利用时频分布的变形，我们有机会把信号调整成更适合小区块的形状再放入，进而节省通讯资源。

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## 参考文献

- Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2016
- J. J. Ding, S. C. Pei, and T. Y. Ko, “Higher order modulation and the efficient sampling algorithm for time variant signal,” European Signal Processing Conference, pp. 2143-2147, Bucharest, Romania, Aug. 2012.