有限位势垒

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在量子力学里，有限位势垒是一种位势。在垒外，位势为 0，在垒内，位势为有限值。有限位势垒问题专门研讨在这种位势的作用中，一个粒子的量子行为。如图右，最简单的有限位势垒是方形垒，垒高是一个常数。在这条目里，只研讨这种位势垒。

通常，在经典力学里，一维的有限位势垒问题会设定一个粒子，从位势垒的左边，往位势垒移动。假若，粒子的能量大于位势垒的位势。则这粒子，在经过位势垒的时候，因为动能的转换为位能，速度会降低，但方向不会改变。当移动至位势垒外时，速度又会回复至原本值。假若，粒子的能量小于位势垒的位势，则在与位势垒弹性碰撞之后，这粒子会改变方向，以同样的速率，往回移动。粒子绝对无法存在于位势垒内或越过位势垒。

在量子力学里，粒子的量子行为，是取决于其波函数。由于粒子没有被有限位势垒束缚，粒子的能量不是离散能量谱的特殊容许值，而是大于 0 的任意值，因此不需要求算粒子的能量。在这里，主要研究的是粒子的一维散射。这是一个很有意思的领域。假若，粒子的能量大于位势垒的位势。由于往位势垒传播的波函数，并不是完全地透射过位势垒，仍旧有一部分反射回来。所以，反射的几率幅大于 0，粒子被反射回来的几率大于 0。假若，粒子的能量小于位势垒的位势，虽然波函数会呈指数地递减，在位势垒内，几率幅仍旧大于 0。所以，这粒子存在于位势垒内的几率大于 0。不止这样，几率幅在位势垒外的另一边也大于 0。假若，位势垒的位势并不大大的超过粒子的能量，位势垒的垒宽也并不很宽，则粒子穿越位势垒的几率会是很显著的，称这效应为量子穿隧效应。透射的可能性，称为透射系数；反射的可能性，则称为反射系数。

## 定义

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一维有限位势垒的垒宽为 $a\,\!$，左边垒壁与右边垒壁的位置分别为 $x=0\,\!$ 与 $x=a\,\!$。垒外位势为 0。在垒壁，位势突然升高为 $V_0\,\!$。垒内位势保持为 $V_0\,\!$。这一维的位势垒将整个一维空间分为三个区域：垒左边，垒内，与垒右边。在每一个区域内，对应着不同的位势，描述粒子的量子行为的波函数 $\psi\,\!$ 也不同，标记为：

$\psi_L\,\!$：垒左边，$x<0\,\!$（垒外区域）。

$\psi_C\,\!$：垒内，$0<x<a\,\!$（垒内区域）。

$\psi_R\,\!$：垒右边，$a<x\,\!$（垒外区域）。

这些波函数，都必须满足，一维不含时间的薛定谔方程：

$- \frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) \psi = E \psi\,\!$；(1)

其中，$\hbar\,\!$ 是约化普朗克常数，$m\,\!$ 是粒子质量，$x\,\!$ 是粒子位置，$V(x)\,\!$ 是位势，$E\,\!$ 是能量。

## 导引

在位势垒分开的每一个区域内，位势都是常数，粒子是半自由粒子。薛定谔方程的解答可以写为往左与往右的波函数的叠加。假若，$E>V_0\,\!$，猜这解答为

$\psi_L(x)= A_r e^{i k_0 x} + A_l e^{-i k_0x}\,\!$，垒左边， $x<0\,\!$，(2)

$\psi_C(x)= B_r e^{i k_1 x} + B_l e^{-i k_1x}\,\!$，垒内， $0<x<a\,\!$，(3)

$\psi_R(x)= C_r e^{i k_0 x} + C_l e^{-i k_0x}\,\!$，垒右边，$a<x\,\!$。(4)

其中，$A_r\,\!$、$A_l\,\!$、$B_r\,\!$、$B_l\,\!$、$C_r\,\!$、$C_l\,\!$ 都是常数，下标 $r\,\!$ 与 $l\,\!$ 分别标记波函数往右或往左的方向。波数 $k_0\,\!$，$k_1\,\!$ 与能量的关系，分别为

$k_0=\sqrt{2m E/\hbar^{2}}\,\!$，垒左边与垒右边，(5)

$k_1=\sqrt{2m (E - V_0)/\hbar^{2}}\,\!$，垒内。(6)

从波函数在 $x=0\,\!$ 与 $x=a\,\!$ 的边界条件，可以求得常数。波函数与其导数必须满足连续性：

$\psi_L(0)=\psi_C(0)\,\!$。

$\frac{d}{dx}\psi_L(0) = \frac{d}{dx}\psi_C(0)\,\!$。

$\psi_C(a)=\psi_R(a)\,\!$。

$\frac{d}{dx}\psi_C(a) = \frac{d}{dx}\psi_R(a)\,\!$。

将波函数的方程式 (2)、(3)、(4)，代入边界条件的四个方程式，则可得到

$A_r+A_l=B_r+B_l\,\!$，(7)

$ik_0(A_r - A_l)=ik_1(B_r - B_l)\,\!$，(8)

$B_re^{ik_1 a}+B_le^{ - ik_1 a}=C_re^{ik_0 a}+C_le^{ - ik_0 a}\,\!$，(9)

$ik_1(B_re^{ik_1 a} - B_le^{ - ik_1 a})= ik_0(C_re^{ik_0 a} - C_le^{ - ik_0 a})\,\!$。(10)

假若，粒子的能量小于位势，$E < V_0\,\!$，则 $k_1\,\!$ 成为虚数，在垒内，波函数呈指数递减。

在这里，暂时不考虑，$E = V_0\,\!$，粒子的能量等于位势的状况。稍后，会特别研讨这状况。

设定 $A_r=1\,\!$（粒子从左边往位势垒移动的波函数的波幅度），$A_l=r\,\!$（反射幅度），$C_l=0\,\!$（没有粒子从右边往位势垒移动），$C_r=t\,\!$（透射幅度）。将这些变数的值代入方程式 (7)、(8)、(9)、(10)，则可得到常数 $B_r\,\!$ 和 $B_l\,\!$ 的关系方程式：

$B_r=\frac{k_0+k_1}{2k_1} - \frac{k_0 - k_1}{2k_1}\ r\,\!$，(11)

$B_l= - \frac{k_0 - k_1}{2k_1} + \frac{k_0 + k_1}{2k_1}\ r\,\!$，(12)

$B_l= - \frac{k_0 - k_1}{k_0 + k_1} e^{i2k_1a}\ B_r\,\!$。(13)

将方程 (11)， (12) 代入方程 (13)，可求得反射幅度 $r\,\!$：

$r=\frac{(k_0^2 - k_1^2)\sin(k_1 a)}{(k_0^2+k_1^2)\sin(k_1 a)+ i 2k_0k_1 \cos( k_1 a)}\,\!$。(14)

将方程 (11)， (12)， (14) 代入方程 (9)，可求得透射幅度 $t\,\!$：

$\begin{align} t & = \frac{2k_1}{k_0 + k_1}e^{ - i(k_0 - k_1)a} B_r \\ <pre> & = \frac{2k_1}{k_0 + k_1}e^{ - i(k_0 - k_1)a} \left(\frac{k_0 + k_1}{2k_1} - \frac{k_0 - k_1}{2k_1} r\right) \\ & = \frac{i 2k_0k_1e^{ - ik_0 a}}{(k_0^2+k_1^2)\sin(k_1 a)+ i 2k_0k_1 \cos( k_1 a)} \\ \end{align}\,\!$。

因为模型的对称性，假若计算粒子从右边往位势垒移动的反射幅度 $r\,\!$ 和透射幅度 $t\,\!$，答案也会相同。

## 解答分析

### $E<V_0$

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假若，粒子的能量小于位势，$E < V_0\,\!$，则 $k_1\,\!$ 变为虚数。设定

$\kappa_1=\sqrt{2m (V_0 - E)/\hbar^{2}}=k_1/ i\,\!$。(15)

透射常数 $t\,\!$ 的方程式为

$t= \cfrac{2k_0\kappa_1e^{ - ik_0 a}}{ - i(k_0^2 - \kappa_1^2)\sinh(\kappa_1 a)+2k_0\kappa_1 \cosh( \kappa_1 a)}\,\!$。

粒子穿越位势垒的几率，称为透射系数，又称为透射几率，可以表达为

$T=|t|^2= \cfrac{4k_0^2\kappa_1^2}{(k_0^2 + \kappa_1^2)^2\sinh^2(\kappa_1 a)+4k_0^2\kappa_1^2}\,\!$。

将方程式 (5)，(6)，(15) 代入，可以得到透射几率 $T\,\!$ 与 $E/V_0\,\!$ 的关系方程式：

$$T=|t|^2= \frac{1}{1+\frac{V_0^2\sinh^2(\kappa_1 a)}{4E(V_0-E)}}$$

虽然粒子的能量小于位势，$E<V_0\,\!$，透射几率大于 0。这个效应，称为量子穿隧效应，是无法从经典力学导引出来的。在垒外，透射几率以波数 $k_0\,\!$ 振动。隔着位势垒，透射几率随着位势垒垒宽而呈指数递减。衰变长度是 $1/\kappa_1\,\!$。假若，位势垒的垒宽大大地超过衰变长度，量子穿隧效应就会受到显著地压抑。

### $E>V_0$

假若，粒子的能量大于位势垒垒高，$E>V_0\,\!$，则透射几率 $T\,\!$ 与 $E/V_0\,\!$ 的关系方程式为：

$$T=|t|^2= \frac{1}{1+\frac{V_0^2\sin^2(k_1 a)}{4E(E-V_0)}}$$

粒子的反射几率 $R\,\!$ 大于 0：

$R=|r|^2=1-T\,\!$。

在经典力学中，这是绝对不可能发生的事。实际上，这反射几率 $R\,\!$ 随着 $k_1 a\,\!$ 振荡。只有在 $E\gg V_0\,\!$ 的极限，才会靠近经典力学的答案：$r=0\,\!$，没有反射。

当 $k_1 a\,\!$ 是 $\pi\,\!$ 的整数倍的时候，粒子的透射几率等于 1。粒子肯定地可以透射到位势垒的另外一边，就好像位势垒完全不存在一样。这现象可以在电子对于惰性气体的散射实验中观测得到，又称为冉绍耳-汤森德效应（Ramsauer-Townsend effect）。

### $E=V_0$

假若，粒子的能量等于位势垒垒高，$E = V_0\,\!$，则薛定谔方程在垒内的解答不再是指数函数，而是线性函数：

$B_1 + B_2 x=\psi_C(x)\,\!$。(16)

解析薛定谔方程的方法，与前面所述相同，就是匹配波函数，波函数的导数在 $x=0\,\!$ 与 $x=a\,\!$。常数的关系方程为：

$A_r+A_l=B_1\,\!$。

$ik_0(A_r - A_l)=B_2\,\!$。

$B_1+B_2 a=C_re^{ik_0 a}+C_le^{ - ik_0 a}\,\!$。

$B_2=ik_0(C_re^{ik_0 a} - C_le^{ - ik_0 a})\,\!$。

设定 $A_r=1\,\!$（粒子从左边往位势垒移动的波函数的波幅度），$A_l=r\,\!$（反射幅度），$C_l=0\,\!$（没有粒子从右边往位势垒移动），$C_r=t\,\!$（透射幅度）。将这些常数代入上述四个方程式内，经过一番颇费工夫，但相当直接的运算后，可以得到透射系数 $T\,\!$ 与反射系数 $R\,\!$：

$T=\cfrac{1}{1+mV_0a^2/2\hbar^2}\,\!$。

$R=\cfrac{mV_0a^2/2\hbar^2}{1+mV_0a^2/2\hbar^2}\,\!$。

## 应用

一维有限位势垒问题，是一个简单与抽象的理论问题。但是，它仍旧可以用来模拟许多实际的系统。例如，电导体的表面，时常会覆盖着一层薄薄的氧化物。在电导体的内部，传导电子可以自由的移动。可是，在两个电导体的界面之间，由于这一层氧化物的阻碍，使得传导电子的运动受到很大的影响。有限位势垒问题可以用来模拟传导电子从一个电导体穿越到另一个电导体的状况，因而更加了解电流经过两个电导体的物理内涵。

扫描隧道显微镜 (STM) 运作的物理原理是量子穿隧效应。在这里，位势垒是由 STM 的尖端与检验物体之间的间隔造成的。由于量子穿隧效应呈指数跟位势垒垒宽有关，这仪器可以非常灵敏地感应到，检验物体表面的高低不平的变化。

Delta 位势垒是另外一种很重要的位势垒，可以视为一种特别的有限位势垒。垒内位势为狄拉克 Delta 函数，$V(x)=\frac{\lambda}{m}\delta(x)$，垒外位势为 0 的位势垒。所有在此条目导引出来的结果，都能够应用于 Delta 位势垒，只需要保持 $V_0 a=\frac{\lambda^2}{m^2}\,\!$ 不变，而同时取极限 $V_0\to\infty,\quad a\to 0\,\!$。

## 参阅

- 自由粒子
- 无限深方形阱
- 有限深方形阱
- 球对称位势
- Delta 位势阱
- Delta 位势垒