平行轴定理

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平行轴定理（英语：parallel axis theorem）能够很简易地，从刚体对于一支通过质心的直轴（质心轴）的转动惯量，计算出刚体对平行于质心轴的另外一支直轴的转动惯量。

让 $I_{C}\,\!$ 代表刚体对于质心轴的转动惯量、$M\,\!$ 代表刚体的质量、$d\,\!$ 代表另外一支直轴 z'-轴与质心轴的垂直距离。那么，对于 z'-轴的转动惯量是

$I_{z'}=I_{C}+Md^2\,\!$。

平行轴定理、垂直轴定理、伸展定则，这些工具都可以用来求得许多不同形状的物体的转动惯量。

平行轴定理也可以应用于截面二次轴矩（面积惯性矩）：

$I_z = I_x + Ad^2\,\!$。

这里，$I_z\,\!$ 是对于 z-轴的面积惯性矩、$I_x\,\!$ 是对于平面质心轴的面积惯性矩、$A\,\!$ 是面积、$d\,\!$ 是 z-轴与质心轴的垂直距离。

因雅各·史丹纳 (Jakob Steiner) 而命名，史丹纳定理所指的几个理论，其中一个理论就是平行轴定理。

## 进阶理论

平行轴定理能够很简易的，从对于一个以质心为原点的座标系统的惯性张量，转换至另外一个平行的座标系统。

对于三维空间中任意一参考点 Q 与以此参考点为原点的直角座标系 Qxyz，一个刚体的惯性张量 $\mathbf{I}\,\!$ 是

$\mathbf{I} = \begin{bmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz}\end{bmatrix}\,\!$。

这里，对角元素 $I_{xx}\,\!$、$I_{yy}\,\!$、$I_{zz}\,\!$ 分别为对于 x-轴、y-轴、z-轴的惯性矩。设定 $(x,\ y,\ z)\,\!$ 为微小质量 $dm\,\!$ 对于点 Q 的相对位置。则这些惯性矩，可以精简地用方程式定义为

$I_{xx}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int\ y^2+z^2\ dm\,\!$。

$I_{yy}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int\ x^2+z^2\ dm\,\!$。

$I_{zz}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int\ x^2+y^2\ dm\,\!$。

而非对角元素，称为惯性积, 可以定义为

$I_{xy}=I_{yx}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - \int\ xy\ dm\,\!$。

$I_{xz}=I_{zx}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - \int\ xz\ dm\,\!$。

$I_{yz}=I_{zy}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - \int\ yz\ dm\,\!$。

假若已知刚体对于质心 G 的惯性张量 $\mathbf{I}_G\,\!$，质心 G 的位置是 $(\bar{x},\ \bar{y},\ \bar{z})\,\!$，则刚体对于原点 O 的惯性张量 $\mathbf{I}\,\!$，依照平行轴定理，可以表述为

$I_{xx}=I_{G,xx}+m(\bar{y}^2+\bar{z}^2)\,\!$。

$I_{yy}=I_{G,yy}+m(\bar{x}^2+\bar{z}^2)\,\!$。

$I_{zz}=I_{G,zz}+m(\bar{x}^2+\bar{y}^2)\,\!$。

$I_{xy}=I_{yx}=I_{G,xy} - m\bar{x}\bar{y}\,\!$。

$I_{xz}=I_{zx}=I_{G,xz} - m\bar{x}\bar{z}\,\!$。

$I_{yz}=I_{zy}=I_{G,yz} - m\bar{y}\bar{z}\,\!$。

证明：

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a) 参考右图，让 $(x\,',\ y\,',\ z\,')\,\!$、$(x,\ y,\ z)\,\!$ 分别为微小质量 $dm\,\!$ 对质心 G 与原点 O 的相对位置：

$y=y\,'+\bar{y}\,\!$，$z=z\,'+\bar{z}\,\!$。

依照惯性张量的惯性矩定义方程式。

$I_{G,xx}=\int\ y\,'\,^2+z\,'\,^2\ dm\,\!$。

$I_{xx}=\int\ y^2+z^2\ dm\,\!$。

所以。

$$\begin{align} I_{xx}&=\int\ (y\,'+\bar{y})^2+(z\,'+\bar{z})^2\ dm\\ &=I_{G,xx}+m(\bar{y}^2+\bar{z}^2)\ . \\ \end{align}\,\!$$

相似地，可以求得 $I_{yy}\,\!$、$I_{zz}\,\!$ 的方程式。

b) 依照惯性张量的惯性积定义方程式。

$I_{G,xy}= - \int\ x\,'y\,'\ dm\,\!$。

$I_{xy}= - \int\ xy\ dm\,\!$。

因为 $x=x\,'+\bar{x}\,\!$，$y=y\,'+\bar{y}\,\!$，所以

$$\begin{align} I_{xy}&= - \int\ (x\,'+\bar{x})(y\,'+\bar{y})\ dm \\ &=I_{G,xy} - m\bar{x}\bar{y}\ . \\ \end{align}\,\!$$

相似地，可以求得对于点 O 的其他惯性积方程式。

## 实例

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思考一个实心长方体对于质心 G 的惯性张量。

$$I_G =\begin{bmatrix} <pre> \frac{1}{12} m (w^2 + h^2) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{12} m (h^2 + d^2) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{12} m (w^2 + d^2)\end{bmatrix}\,\!$$

如图右，质心 G 的位置是 $\left(\frac{d}{2},\ \frac{w}{2},\ \frac{h}{2}\right)\,\!$。依照平行轴定理，实心长方体对于点 O 的惯性矩与惯性积分别为

$I_{xx} =\frac{1}{12} m (w^2 + h^2) +m \left(\left(\frac{w}{2}\right)^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2\right)\,\!$。

$I_{yy} =\frac{1}{12} m (h^2 + d^2) +m \left(\left(\frac{h}{2}\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2\right)\,\!$。

$I_{zz} =\frac{1}{12} m (w^2 + d^2) +m \left(\left(\frac{w}{2}\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2\right)\,\!$。

$I_{xy}= - m\left(\frac{w}{2}\right)\left(\frac{d}{2}\right)= - \frac{mwd}{4} \,\!$。

$I_{xz}= - m\left(\frac{h}{2}\right)\left(\frac{d}{2}\right)= - \frac{mhd}{4} \,\!$。

$I_{yz}= - m\left(\frac{w}{2}\right)\left(\frac{h}{2}\right)= - \frac{mwh}{4} \,\!$。

因此，实心长方体对于点 O 的惯性张量是

$$I_G =\begin{bmatrix} <pre> \frac{1}{3} m (w^2 + h^2) & - \frac{1}{4}mwd & - \frac{1}{4}mhd \\ - \frac{1}{4}mwd & \frac{1}{3} m (h^2 + d^2) & - \frac{1}{4}mwh \\ - \frac{1}{4}mhd & - \frac{1}{4}mwh & \frac{1}{3} m (w^2 + d^2)\end{bmatrix}\,\!$$

## 参阅

- 转动惯量列表
- 垂直轴定理

## 参考文献

- Beer, Ferdinand; E. Russell Johnston, Jr., William E. Clausen (2004). Vector Mechanics for Engineers. 7th edition. USA: McGraw-Hill, ISBN 0-07-230492-8