根系 (数学)

在数学中，根系是欧几里得空间中满足某些公理的向量配置。根系在李群、李代数与代数群理论中格外重要；而根系分类的主要工具──邓肯图，也见诸奇异性理论等与李群并无显著关系的学科。

## 定义

设 $V$ 为有限维实向量空间，并赋予标准的内积 $(,)$。$V$ 中的根系是有限个向量（称为根）构成的集合 $\Phi$，满足下述条件：

<image>

- $\Phi$ 的元素张出 $V$。
- 对任一 $\alpha \in \Phi$，其属于 $\Phi$ 的纯量倍数只有 $\pm \alpha$。
- 对任意 $\alpha \in \Phi$，集合 $\Phi$ 在对 $\alpha$ 的反射之下不变。在此的反射是指
- $$\sigma_\alpha(\beta) =\beta-2\frac{(\alpha,\beta)}{(\alpha,\alpha)}\alpha \in \Phi.$$
- （整性）若 $\alpha, \beta \in \Phi$，则 $\beta$ 在 $\alpha$ 方向的投影乘以2是 $\alpha$ 的整数倍，即：
- $$\langle \beta, \alpha \rangle := 2 \frac{(\alpha,\beta)}{(\alpha,\alpha)} \in \mathbb{Z},$$

根据性质三，整性等价于：对任意 $\alpha,\beta \in \Phi$，$\sigma_\alpha(\beta)$ 与 $\beta$ 仅差 $\alpha$ 的整数倍。此外，注意到性质四定义的尖积

$$\langle \cdot, \cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb{Z}$$

并非一个内积，它未必对称，而且只对第一个参数是线性的。

根系 $\Phi$ 的秩定义为 $V$ 的维度。

给定两个根系 $(V,\Phi), (W, \Psi)$，可考虑其正交直和 $V \oplus W$，则 $\Phi \sqcup \Psi$ 自然地构成其中的根系。若一个根系无法表成如此的组合（当然，假设 $V, W \neq \{0\}$），则称之为不可约的。

对两个根系 $(E_1, \Phi_1), (E_2, \Phi_2)$，若存在其间的线性同构，使得 $\Phi_1$ 映至 $\Phi_2$，则称它们为同构的根系。

对于根系 $(V, \Phi)$，对根的反射生成一个群，称为该根系的外尔群。可证明此群在 $\Phi$ 上忠实地作用，因此必为有限群。

## 秩一与秩二的例子

### 秩为1的例子

在同构的意义下，秩一的根系仅有一种，由两个非零向量 $\{\alpha, -\alpha\}$ 组成。此根系记作 $A_1$。

### 秩为2的例子

秩二的根系有四种可能，对应于$\sigma_\alpha(\beta) = \beta + n\alpha$，其中$n = 0, 1, 2, 3$的情况。注意根系并不由它生成的格所决定：$A_1 \times A_1$ 和$B_2$均生成正方形格，而 $A_2$和$G_2$ 生成六边形格。这仅仅是五种可能的二维格中的两种。

图解如下：

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｜

<image>

根系 A1×A1node_n1｜根系 A2node_n1

<image>

｜

<image>

根系 B2node_n1｜根系 G2node_n1

当 $\Phi$ 是 $V$ 中的根系，而 $W$ 是 $\Psi = \Phi \cap W$ 在 $W$ 中生成的子空间，则 $\Psi$ 是 $W$ 中的根系。因此上述列表限制了任意秩根系中两根的几何关系，例如：任意两根的交角仅可能是 $0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150$ 或 $180$ 度。

## 正根与单根

对于根系 $\Phi$，可以取定满足下述条件的正根子集 $\Phi^+$：

- 对每个根 $\alpha\in\Phi$，$\alpha, -\alpha$ 中恰有一者属于 $\Phi^+$。
- 对任意 $\alpha, \beta\in \Phi^+$，若 $\alpha+\beta \in \Phi$，则 $\alpha+\beta \in \Phi^+$。

正根的取法并不唯一。取定一组正根后，$-\Phi^+$ 的元素被称为负根。

正根的选取等价于单根的选取。单根集是 $\Phi$ 中满足下述条件的子集 $\Delta$：

任意 $\Phi$ 中的元素皆可唯一地表成 $\Delta$ 中元素的整系数线性组合，而且其系数或者全大于等于零，或者全小于等于零。

选定一组单根后，可定义相应的正根为展开式中系数大于等于零的根。如此可得到单根与正根选取法的一一对应。

## 以邓肯图分类根系

不可约根系与某类被称为邓肯图的图间有一一对应关系。邓肯图的分类是简单的组合学问题，由此可导出不可约根系的分类定理。其构造方式如下：

给定一个不可约根系，选取一组单根。相应的邓肯图以这些单根为顶点。两个单根 $\alpha, \beta$ 若不垂直，则有 $\langle \alpha, \beta \rangle \cdot \langle \beta, \alpha \rangle$ 个边相连：若只有一个边，则不取定向，否则则取自长度 $(\alpha, \alpha)$ 长者（称为长根）指向短者（称为短根）的有向边。

一个根系可以取多种不同的单根。然而，由于外尔群在这些选取上的作用是传递的，邓肯图的构造与单根的选取无关，它是根系内在的不变量。反之，给定具有相同邓肯图的两个不可约根系，可以按图配对单根及其间的内积，从而得到根系的同构。邓肯图给出的内积未必唯一，但至多差一个正常数倍，因而得到的根系是同构的。

借此，可将不可约根系的分类问题化约到连通邓肯图的分类。若某个邓肯图来自于根系，则从其顶点与边定义的双线性形式必然是邓肯的；配上这个条件后，即可解决根系的分类。

邓肯图的分类列表详如下图。下标表示图中的顶点数，亦即相应根系的秩。

<image>

## 不可约根系的性质

$\Phi$｜$|\Phi|$｜$|\Phi^{<}|$｜I｜$|W|$

An (n≥1)｜n(n+1)｜ ｜n+1｜(n+1)!

Bn (n≥2)｜2n2｜2n｜2｜2n n!

Cn (n≥3)｜2n2｜2n(n−1)｜2｜2n n!

Dn (n≥4)｜2n(n−1)｜ ｜4｜2n−1 n!

E6｜72｜ ｜3｜51840

E7｜126｜ ｜2｜2903040

E8｜240｜ ｜1｜696729600

F4｜48｜24｜1｜1152

G2｜12｜6｜1｜12

不可约根系依其邓肯图的种类命名。有四族根系：$A_n, B_n, C_n, D_n$，其下标分别取遍 $n \geq 1,2,3,4$ 的正整数，称为典型根系；剩下五种情形称为例外根系。下标表示根系之秩。在上表中， $|\Phi^{<}|$ 表示短根的个数（若诸根同长，则皆视为长根），$I$ 表示其嘉当矩阵的行列式，而 $|W|$ 表示外尔群之阶。

## 不可约根系的构造方法及描述

### An

取 $V$ 为 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中满足 $\sum_{i=1}^{n+1} x_i = 0$ 的点 $(x_1, \ldots, x_{n+1})$ 所成之子空间。令 $\Phi$ 为 $V$ 中长度为 $\sqrt{2}$ 的格子点。取 $\mathbb{R}^{n+1}$ 的标准基 $e_1, \ldots, e_{n+1}$，则根具有 $e_i-e_j \; (i \neq j)$ 的形式，共有 $n(n+1)$ 个根。通常取单根为 $\alpha_i := e_i - e_{i+1}$。

对垂直于 $\alpha_i$ 的超平面的镜射在 $\Phi$ 上的作用是交换第 $i, i+1$ 个座标。因此 $A_n$ 的外尔群不外就是对称群 $S_{n+1}$。

$A_n$ 是李代数 $\mathfrak{sl}(n+1, \mathbb{C})$ 的根系。

### Bn

1｜-1｜0｜0

0｜ 1｜-1｜0

0｜0｜ 1｜-1

0｜0｜0｜ 1

取 $V = \mathbb{R}^n$，并令 $\Phi$ 为 $V$ 中长度为 $1, \sqrt{2}$ 的格子点。共有 $2n^2$ 个根。通常取单根为 $\alpha_i = e_i - e_{i+1} \; (1 \leq i < n)$ 及 $\alpha_n := e_n$（短根）。

对短根 $\alpha_n$ 的反射即 $(x_1, \ldots, x_n) \mapsto (x_1, \ldots, -x_n)$。

$B_1$ 跟 $A_1$ 仅差一个缩放，因此通常仅考虑 $n \geq 2$ 的情形。$B_n$ 是李代数 $\mathfrak{so}(2n+1, \mathbb{C})$ 的根系。

### Cn

1｜-1｜0｜0

0｜ 1｜-1｜0

0｜0｜ 1｜-1

0｜0｜0｜ 2

取 $V = \mathbb{R}^n$，$\Phi$ 为 $V$ 中所有长度 $\sqrt{2}$ 的格子点与形如 $2\lambda$的点，其中 $\lambda$ 是长度为一的格子点。共有 $2n^2$ 个根。通常取单根为 $\alpha_i := e_i - e_{i+1} \; (1 \leq i < n)$及 $\alpha_n := 2e_n$（长根）。

$C_2$ 与 $B_2$ 仅差一个缩放加上旋转 45 度，因此通常仅考虑 $n \geq 3$ 的情形。$C_n$ 是李代数 $\mathfrak{sp}(2n,\mathbb{C})$ 的根系。

### Dn

1｜-1｜0｜0

0｜ 1｜-1｜0

0｜0｜ 1｜-1

0｜0｜1｜ 1

取 $V := \mathbb{R}^n$，$\Phi$ 为 $V$ 中长度 $\sqrt{2}$ 的格子点。共有 $2n(n-1)$ 个根。通常取单根为 $\alpha_i = e_i - e_{i+1}, \; (1 \leq i < n)$ 及 $\alpha_n = e_n + e_{n-1}$。

$D_3$ 同构于 $A_3$，故通常仅考虑 $n \geq 4$ 的情形。$D_n$ 是李代数 $\mathfrak{so}(2n,\mathbb{C})$ 的根系。

### E8, E7, E6

$E_8$ 是较为特殊的根系。首先定义 $\mathbb{R}^8$ 中满足下述条件的点集 $\Gamma_8$：

- 各座标均为整数，或均为半整数（不容相混）。
- 八个座标的和为偶数。

定义 $E_8$ 为 $\Gamma_8$ 中长度为 $\sqrt{2}$ 的向量，即：

$$\left\{ \alpha \in \mathbb{Z}^8 \sqcup \left(\mathbb{Z}+\frac{1}{2}\right)^8 : |\alpha|^2 = 2, \; \sum \alpha_i \in 2\mathbb{Z} \right\}$$

定义 $E_7$ 为 $E_8$ 与超平面 $\{x : (x,\alpha)=0 \}$ 之交，其中 $\alpha \in E_8$ 是任取的根。同样步骤施于 $E_7$，得到更小的根系 $E_6$。根系 $E_6, E_7, E_8$ 分别有 72, 126 与 240 个根。若续行此化约步骤，则会得到典型根系 $D_5, A_4$。

1｜-1｜0｜0｜0｜0｜0｜0

0｜1｜-1｜0｜0｜0｜0｜0

0｜0｜1｜-1｜0｜0｜0｜0

0｜0｜0｜1｜-1｜0｜0｜0

0｜0｜0｜0｜1｜-1｜0｜0

0｜0｜0｜0｜0｜1｜-1｜0

0｜0｜0｜0｜0｜1｜1｜0

½｜ ½｜ ½｜ ½｜ ½｜ ½｜ ½｜ ½

另一种等价的描述是取 $\Gamma'_8$ 为：

- 各坐标均为整数，而且其和为偶数；或
- 各坐标均为半整数，而且其和为奇数。

$\Gamma_8$ 与 $\Gamma'_8$ 同构。将任意偶数个座标乘以负一，便可在两者间转换。$\Gamma_8$ 称为 $E_8$ 的偶坐标系，$\Gamma'_8$ 称为奇坐标系。

在偶坐标下，通常取单根为

$$\alpha_i := e_i - e_{i+1} \quad (1 \leq i \leq 6)$$

$$\alpha_7 := e_7 + e_6$$

$$\alpha_8 = \beta_0 = \frac{\sum_{i=1}^8 e_i}{2}$$

1｜-1｜0｜0｜0｜0｜0｜0

0｜1｜-1｜0｜0｜0｜0｜0

0｜0｜1｜-1｜0｜0｜0｜0

0｜0｜0｜1｜-1｜0｜0｜0

0｜0｜0｜0｜1｜-1｜0｜0

0｜0｜0｜0｜0｜1｜-1｜0

0｜0｜0｜0｜0｜0｜1｜-1

-½｜-½｜-½｜-½｜-½｜ ½｜ ½｜ ½

在奇坐标下，通常取单根为

$$\alpha_i := e_i - e_{i+1} \quad (1 \leq i \leq 7)$$

$\alpha_8 := \beta_5$，其中

$$\beta_j := \frac{-\sum_{i=1}^j e_i + \sum_{i=j+1}^8 e_i}{2}$$

（在上述定义中，若改取 $\beta_3$，将得到同构的结果。若改取 $\beta_1, \beta_7, \beta_2, \beta_6$，将得到 $A_8$ 或 $D_8$。至于 $\beta_4$，其坐标和为零，而 $\alpha_1, \ldots, \alpha_7$ 亦然，所以张出的向量空间维度不合所求。

删去 $\alpha_1$ 可得到 $E_7$ 的一组单根；再删去 $\alpha_2$，可得 $E_6$ 的单根。

由于对 $\alpha_1$ 垂直等价于前两个坐标相等，而对 $\alpha_1, \alpha_2$ 垂直等价于前三个座标相等，不难导出 $E_7, E_6$ 的明确定义：

E7 = (α ∈ Z7 ∪ (Z+½)7: ∑αi2 + α12 = 2，∑αi + α1 ∈ 2Z),

E6 = (α ∈ Z6 ∪ (Z+½)6: ∑αi2 + 2α12 = 2，∑αi + 2α1 ∈ 2Z)

### F4

1｜-1｜0｜0

0｜1｜-1｜0

0｜0｜1｜0

-½｜-½｜-½｜-½

对于 $F_4$，取 $V=\mathbb{R}^4$，并令 $\Phi$ 为满足下述条件的向量：

- $$|\alpha| = 1, \sqrt{2}$$
- $2\alpha$ 各坐标皆为奇数或皆为偶数。

此根系有 $48$ 个根。通常取单根为 $B_3$ 的单根再加上 $\alpha_4 = -\left(\sum_{i=1}^4 e_i\right)/2$。

### G2

1｜ -1｜ 0

-1｜2｜-1

$G_2$ 有 12 个根，构成一个六边形的顶点，详如秩二的例子一节所示。通常取单根为

- $$\alpha_1$$
- $$\beta := \alpha_2 - \alpha_1$$

在此沿用了之前的符号： $\alpha_i := e_i - e_{i+1}, \; (i=1,2)$。

## 根系与李群、李代数

不可约根系的分类可用于研究下述对象：

- 单复李代数
- 单复李群
- 模掉中心后为单李群的单连通复李群
- 紧单李群

## 参考文献

### 来源

- Serre, J.-P., Jones, G. A., Complex Semisimple Lie Algebras (2001), Springer-Verlag, ISBN 3540678271
- Serre, J.-P. Lie Algebras and Lie Groups (2005), Lecture Notes in Mathematics, no. 1500, Springer-Verlag, ISBN 3540550089 .
- Dynkin, E. B. The structure of semi-simple algebras. (Russian) Uspehi Matem. Nauk (N.S.) 2, (1947). no. 4(20), 59–127.