Delta位势阱

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在量子力学里，Delta位势阱是一个阱内位势为负狄拉克Delta函数，阱外位势为0的位势阱。Delta位势阱问题专门研讨，在这种位势的作用中，一个粒子的量子行为。这是一个常见的理论问题。假若，粒子的能量是正值的，我们想要知道的是，在被Delta位势垒散射的状况下，粒子的反射系数与透射系数。假若，粒子的能量是负值的，这粒子会被束缚于Delta位势阱的阱内。这时，我们想要知道的是粒子的能量与束缚的量子态。

## 定义

一个粒子独立于时间的薛定谔方程为

$- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x)= E\psi(x)\,\!$。

其中，$\hbar\,\!$是约化普朗克常数，$m\,\!$是粒子质量，$x\,\!$是粒子位置，$E\,\!$是能量，$\psi(x)\,\!$是波函数，$V(x)\,\!$是位势，表达为

$V(x)= - \lambda\delta(x)\,\!$。

其中，$\delta(x)\,\!$是狄拉克Delta函数，$\lambda\,\!$是狄拉克Delta函数的强度。

## 导引

这位势阱将一维空间分为两个区域：$x<0\,\!$与$x>0\,\!$。在任何一个区域内，位势为常数，薛定谔方程的解答可以写为往右与往左传播的波函数的的叠加（参阅自由粒子）：

$\psi_L(x)= A_r e^{i k x} + A_l e^{-ikx}\quad x<0 \,\!$。

$\psi_R(x)= B_r e^{i k x} + B_l e^{-ikx}\quad x>0\,\!$。

其中，$A_r\,\!$、$A_l\,\!$、$B_r\,\!$、$B_l\,\!$都是必须由边界条件决定的常数，下标$r\,\!$与$l\,\!$分别标记波函数往右或往左的方向。$k=\sqrt{2m E/\hbar^{2}}\,\!$是波数。

当$E>0\,\!$时，$\psi_L\,\!$与$\psi_R\,\!$都是行进波。可是，当$E<0\,\!$时，$\psi_L\,\!$与$\psi_R\,\!$都随着座标$x\,\!$呈指数递减或指数递增。

在$x=0\,\!$处，边界条件是：

$\psi_L=\psi_R\,\!$。

$\frac{d}{dx}\psi_L = \frac{d}{dx}\psi_R - \frac{2m\lambda}{\hbar^2} \psi_R\,\!$。

特别注意第二个边界条件方程式，波函数随位置的导数在$x=0\,\!$并不是连续的，在位势阱两边的差额有$\frac{2\lambda}{\hbar^2} \psi_R\,\!$这么多。这方程式的推导必须用到薛定谔方程。将薛定谔方程积分于$x=0\,\!$的一个非常小的邻域：

$- \frac{\hbar^2}{2 m} \int_{ - \epsilon}^{\epsilon} \frac{d^2 \psi}{d x^2}\, dx +\int_{ - \epsilon}^{\epsilon}V(x) \psi \, dx = E \int_{ - \epsilon}^{\epsilon} \psi \, dx\,\!$；(1)

其中，$\epsilon\,\!$是一个非常小的数值。

方程式(1)右边的能量项目是

$E \int_{ - \epsilon}^{\epsilon} \psi \, dx \approx E \cdot 2 \epsilon \cdot \psi(0)\,\!$。(2)

当$\epsilon \to 0\,\!$时，该项趋向于0。

方程式(1)左边是

$- \frac{\hbar^2}{2 m} \left( \frac{d\psi_R}{dx}\bigg|_{\epsilon} - \frac{d\psi_L}{dx}\bigg|_{ - \epsilon} \right) - \lambda\int_{-\epsilon}^{\epsilon}\delta(x) \psi \, dx = 0\,\!$(3)

根据狄拉克Delta函数的定义。

$\int_{-\epsilon}^{\epsilon}\delta(x) \psi \, dx =\psi_R(0)\,\!$。(4)

而在$\epsilon \to 0\,\!$的极限。

$\lim_{\epsilon \to 0}\frac{d\psi_L}{dx}\bigg|_{ - \epsilon}=\frac{d\psi_L}{dx}\bigg|_0\,\!$，(5)

$\lim_{\epsilon \to 0}\frac{d\psi_R}{dx}\bigg|_{\epsilon}=\frac{d\psi_R}{dx}\bigg|_0\,\!$。(6)

将这些结果(4)，(5)，(6)代入方程式(3)，整理后，可以得到第二个边界条件方程式：在$x=0\,\!$。

$\frac{d\psi_L}{dx}=\frac{d\psi_R}{dx}+\frac{2m\lambda}{\hbar^2}\psi_R\,\!$。

从这两个边界条件方程式。稍加运算，可以得到以下方程式：

$A_r+A_l=B_r+B_l\,\!$。

$ik(A_r - A_l - B_r+B_l)=\frac{2m\lambda}{\hbar^2}(B_r+B_l)\,\!$。

### 散射态

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假若，能量是正值的，粒子可以自由的移动于位势阱外的两个半空间，$x<0\,\!$或$x>0\,\!$。在这里，粒子的量子行为主要是由Delta位势阱造成的散射行为。称这粒子的量子态为散射态。设定粒子从左边入射。在Delta位势阱，粒子可能会被反射回去，或者会被透射过去。我们想要知道散射的反射系数与透射系数。设定$A_r=1\,\!$，$A_l=r\,\!$，$B_l=0\,\!$，$B_r=t\,\!$。求算反射的几率幅$r\,\!$与透射的几率幅$t\,\!$：

$r= -\ \cfrac{1}{\cfrac{i\hbar^2 k}{m\lambda} + 1}\,\!$。

$t=\cfrac{1}{ - \ \cfrac{i m\lambda}{\hbar^2k}+1}\,\!$。

反射系数是

$R=|r|^2=\cfrac{1}{1+\cfrac{\hbar^4k^2}{m^2\lambda^2}}= \cfrac{1}{1+\cfrac{2\hbar^2 E}{m\lambda^2}}\,\!$。

这纯粹是一个量子力学的效应；在经典力学里，这是不可能发生的。

透射系数是

$T=|t|^2=1 - R=\cfrac{1}{1+\cfrac{m^2\lambda^2}{\hbar^4k^2}}= \cfrac{1}{1+\cfrac{m\lambda^2}{2\hbar^2 E}}\,\!$。

- 由于模型的对称性，假若，粒子从右边入射，我们也会得到同样的答案。
- 很奇异地，给予同样的能量、质量、与狄拉克Delta函数的强度，Delta位势垒与Delta位势阱有同样的反射系数与透射系数。

### 束缚态

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每一个一维的吸引位势，都至少会存在着一个束缚态（bound state）。由于$E<0\,\!$，波数变为复数。设定$\kappa= - ik=\sqrt{2m |E|/\hbar^2}\,\!$。前述的振荡的波函数$\psi_L\,\!$与$\psi_R\,\!$，现在却随着座标$x\,\!$呈指数递减或指数递增。为了要符合物理的真实性，我们要求波函数不发散于$x\to\pm \infty\,\!$。那么，$A_r\,\!$与$B_l\,\!$必须被设定为0。波函数变为

$\psi_L(x)= A_l e^{\kappa x}\,\!$。

$\psi_R(x)= B_r e^{ - \kappa x}\,\!$。

从边界条件与归一条件，可以得到

$A_l=B_r=\sqrt{\kappa}\,\!$。

$\kappa=\frac{m\lambda}{\hbar^2}\,\!$。

Delta位势阱只能有一个束缚态。束缚态的能量是

$E= -\ \frac{\hbar^2\kappa^2}{2m}= -\ \frac{m\lambda^2}{2\hbar^2}\,\!$。

束缚态的波函数是

$\psi(x)= \frac{\sqrt{m\lambda}}{\hbar}e^{ - m\lambda\mid x\mid /\hbar^2}\,\!$。

Delta位势阱是有限深方形阱的一个特别案例。在有限深位势阱的深度$V_0\to\infty\,\!$与阱宽$L\to 0\,\!$的极限，同时保持$V_0 L=\lambda\,\!$，就可以从有限深位势阱的波函数，得到Delta位势阱的波函数。

## 双井迪拉克Delta函数模型

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Delta函数模型其实是氢原子的一维版本根据维度比例由 达德利·赫施巴赫（“Dudley R. Herschbach”）团队所研发。此 delta函数模型以双井迪拉克Delta函数模型最有用，因其代表一维版的水分子离子。

双井迪拉克Delta函数模型是用以下薛定谔方程描述：

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi}{dx^2}(x) +V(x)\psi(x) = E\psi(x)$$

电位现为：

$$V(x)=-q \left[ \delta(x - \frac{R}{2}) + \lambda \delta(x+ \frac{R}{2}) \right]$$

其中$0 < R < \infty$是“核间”距离于迪拉克Delta函数（负）峰值位于$x= \pm {\textstyle \frac{R}{2}}$（图表中棕色所示）。记得此模型与其三维分子版本的关系，我们用原子单位制且设$\hbar = m=1$。此处$0 < \lambda < 1$为一可调参数。从单井的例子，可推论拟设于此解为：

$$\psi(x) ~ = ~ A e^{-d \left|x - \frac{R}{2}\right|} + B e^{-d \left|x + \frac{R}{2} \right|}$$

令波函数于Delta函数峰值相等可得行列式：

$$\left| \begin{array}{cc} q - d & q e^{-d R} \\ q \lambda e^{-d R} & q \lambda - d \end{array} \right| = 0 ~, \qquad E = -\frac{d^2}{2} ~.$$

因此，$d$是由伪二次式方程：

$$d_{\pm}(\lambda)~=~{\textstyle\frac{1}{2}}q(\lambda+1) \pm {\textstyle\frac{1}{2}} \left\{ q^2(1+\lambda)^{2}-4\,\lambda q^2 \lbrack 1-e^{-2d_{\pm }(\lambda )R}]\right\} ^{1/2}$$

它有两解$d=d_{\pm}$。若等价情况（对称单核），$\lambda =1$则伪二次式化为：

$$d_{\pm} = q [1 \pm e^{-d_{\pm} R}]$$

此“+”代表了对称于中点的波函数（图中红色）而$A = B$称为偶态。接着，“-”情况为反对称于中点的波函数其$A = -B$称为非偶态（图中绿色）。它们代表着三维$H_2^{+}$的两种最低能态之近似且有助于其分析。对称电价的特征能分析解为：

$$d_{\pm} = q ~+~ W(\pm q R e^{-q R} )/R$$

其中W是标准朗伯W函数注意此最低能对应于对称解$d_{+}$。当非等电价，此为三维分子问题，其解为一般化Lambert W函数（见一般化朗伯W函数章节与相关参考）。

## 参阅

- 自由粒子
- 无限深方形阱
- 有限深方形阱
- 有限位势垒
- 球对称位势
- Delta位势垒
- 量子穿隧效应