对称

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对称是几何形状、系统、方程以及其他实际上或概念上之客体的一种特征－典型地，物件的一半为其另一半的镜射。

在数理上，如果称一个几何图形或物体为对称的话，即表示它是变形的不变量，而对称一词亦包含在此定义之中。若两个物体称为互相对称时，即表示其中一者的形状经几何分割后，在不变更整体形状的情况下，可以将分割片段重组为另一者，且反之亦然。

对称亦可在人类与其他动物等生物体中发现（见如下之生物内的对称）。在二维几何中，较有趣味的几种主要的对称为相对于基本之欧几里得空间等距的：平移、旋转、镜射及滑移镜射。

## 对称的数学模型

于一集合X内的所有物件上，所考量的所有对称运算都可以模拟成一个群作用a : G × X → X，其在G内的g及在X内的x所映射出的值可以写成g·x。若存在某些g使得g·x = y，则称x及y为相互对称的。对于任一个物件x，会有g·x = x的运算g可以组成一个群，其称为此物件的对称群，为G之子群。若x的对称群为当然群，则x称为不对称的，不然即称为对称的。一普通的例子为，设G为一作用在一群函数x: V → W上的双射g: V → V所组成的群，其作用为(gx)(v)=x(g−1(v))(即封闭在群作用下之此一函数的限制集合)。因此，空间之双射所组成的群会导致一在其空间内的“物件”上之群作用。x的对称群包含有所有可使所有V内的v，x(v)=x(g(v))的g。G为全空间都一致的物件之对称群。某些G的子群可能不会为任何一个物件的对称群。例如，若一包含有于V内可使得g(v)=w的v和w，则只会有常数函数x的对称群会包含此群。但无论如何，常数函数的对称群即为G本身。

在向量场的一修正版本内，可以有(gx)(v)=h(g,x(g−1(v)))，其中h的作用为根据g内所做的旋转及反转，旋转任何一个于x内的向量及伪向量，及反转任一向量（但无伪向量），详述请见物理中的对称。x的对称群包含有所有可使所有V内的v，x(v)=h(g,x(g(v)))的g。在此一例子中，一常数函数的对称群可能会是G的纯子群：一常数向量只对绕其方向之轴的旋转有旋转对称，及只有当其为零时才有反转对称。

一般对于在欧几里得空间内对称的观念里，G为欧几里得群E(n)，其为V为欧几里得空间之等距同构的群。一物件的旋转群为对称群若G被局限在direct isometries的群E+(n)之中。(更广义的，请见下一子节)物件可以被模拟成一个函数x，其值为如颜色、密度、化学组成等性质之选择。依据不同的选择，可以只考量点的集合之对称(x只是位置v的布林函数)，或是另一个极端地，右手与左手的所有构造之对称。

对于一给定的对称群，其为物件的部分性质，但其却完整地定义了整个物件。根据其对称性，考虑有着相同性质的点等价，其等价类为空间本身上的群作用之轨道。如此只需要以每一个轨道上的一点中x的值来定义整个物件。一组如此的表示即形成了一个基本域。最小的基本域没有对称；在此意思下，即称其对称性依凭在不对称上的。

一具有某一想要的对称之物件可以由将每一个轨道选定一单一的函数值来产生。由一给定的物件x开始，可以以下列步骤来产生：

- 在一基本域(即物件的复制)上取值。
- 在轨道上的每一点上以平均值或总和来订每一个轨道的值。

如果想要除了对称群之外没有其他多余的对称的话，复制的物件则必须是不对称的。

如上面所述，某些等距同构的群不会是任何物件的对称群，除非在向量场的修正模型里。例如，将此应用在一维的所有平移的群上。其基本域只有一点，所以不可能使其为不对称，因此任一“图样”在平移下不变亦会在镜射下为不变(此为均匀“图样”)。

在向量场版本里，连续平移对称不一定会导致镜射对称：函数值为常数，但若其含有非零向量，则其不会有镜射对称。若亦存在镜射对称，其常数函数值则不含有非零向量，但还是有可能含有非零伪向量。一个相对应的三维例子为一无限长的圆柱体，其中有一垂直著轴的电流；其磁场(一伪向量)在圆柱体轴的方向，常数但非零。对于向量(尤其是电流密度)，其对称性有在垂直著圆柱体的平面之对称及圆柱对称。没有经由圆柱轴的镜面之圆柱对称只在向量版本的对称概念中有可能。一个相似的例子为绕其轴旋转的圆柱体，其中磁场及电流密度分别被角动量和速度替代。

一对称群若被称做其传递地作用在一物件之重复现象上，即表示对每一对现象的出现，存在一对称运算可将其中一个映射至另一个上。例如，在一维里，{...,1,2,5,6,9,10,13,14,...}的对称群传递地作用在所有的点上，而{...,1,2,3,5,6,7,9,10,11,13,14,15,...}的则不传递地作用在每一点上。等价地是，第一个集合只有一个共轭类，而第二个集合则有两个共轭类。

### 非等距对称

如上面所述，G(空间本身的对称群)可能异于欧几里得群－等距同构的群。

例子：

- G为一相似变换的群，即一具有正交矩阵的纯量积之矩阵A的仿射变换。因此，扩张被加了上来，自相似被认为是对称。
- G为一具有其行列式为1或-1的矩阵A之仿射变换，即其面积不变之变换；此一增加了倾斜的镜射对称。
- G是所有双射仿射变换所组成的群。
- 在反演几何里，G包含有点对称。
- 更一般地，一个对合即定义了一个对应于此对合的对称。

### 镜射对称

镜射对称，或称镜面对称，为一相对于镜射的对称性。

在二维里有一对称的轴，而在三维里则有一对称的平面。一物件或像貌和其变换的像为不可分时，即称此为镜面对称的。

二维物件的对称轴是一条线，因此又称轴对称或线对称。任何落在同一条和对称轴垂直的线，且距对称轴有同样距离的两点，都会是相等的。另一种思考的方式为，若沿着轴将整个二维物件对折，则其两个一半将完全吻合在一起：这两个一半分别是其另一个的镜像。所以正方形有四个对称轴，因为有四种不同的方式可以将其边角吻合地对折起来。一个圆有无限多个对称轴，也是基于同一个理由。

若字母T沿着一垂直轴镜射，其样子会是一样的。注意这有时称做水平对称，有时又称做垂直对称。故最好使用一个不模棱的说法，即“T有一垂直对称轴”。

具有对称性的三角形为等腰三角形，具有对称性的四方形为鸢形和等腰梯形。

对镜射的线或平面而言，其对称群是同构于Cs的(见三维空间的点群)，三种order two的其中一种，因此代数地为C2。其基本域为半平面或半空间。

两侧对称动物(包括人类)或多或少都有着对矢状切面的对称。

在某些文章中，镜射对称是指旋转对称而镜面对称则等价于反演对称；在当代物理中的此类文章中，P-对称此一名词被使用在两种意义上(P指parity(对偶))。

对于更广泛种类的镜射，存在着相对应的更广泛种类的镜射对称。例如：

- 对应于非等距同构仿射对合(一在线和平面上等的斜镜射)。
- 对应于圆反演。

### 旋转对称

旋转对称是对应于m维欧几里得空间内某些或所有旋转的对称。旋转为一直接等距同构，即保持定向的等距同构。因此，旋转对称的对称群为E+(m)的子群。(见欧几里得群)

绕所有点的所有旋转的对称表示著对应着所有平移的平移对称，且其对称群为整个E+(m)。这不可以应用在物件上，因为它让整个空间变均匀，但它可能可以应用在物理定律上。

对于绕一点旋转的对称，可以将此点取为原点。这些旋转形成了特殊正交群SO(m)，行列式为1的m×m正交矩阵所组成的群。m=3时，其为旋转群。

在此字的另一个意思里，一物件的旋转群是E+(n)内的对称群；换句话说，是全对称群与直接等距同构群的交集。对于手征物件而言，这和全对称群是一样的。

一物理定律若是SO(3)-不变的，即表示它们不会因在空间的方向不同而有不同。根据诺特定理，一物理系统的旋转对称是等价于角动量守恒定律。详见旋转不变性。

### 平移对称

平移对称是指一物件在平移Ta(p) = p + a的离散或连续群之下为不变的。

### 滑移镜射对称

滑移镜射对称指对一线或一面做镜射加上沿着此线或此面做平移后会有同样的物件的对称。它意味着具有两倍平移向量的平移对称性。

其对称群和Z同构。

### 旋镜射对称

在三维里，旋镜射或称不纯旋转在直观上是指绕一轴旋转再加上垂直于此轴的平面之镜射。对应于旋镜射的对称群可以被区分成：

- 旋转角度和360度无公因数，其对称群为不离散的。

### 对称与碎形

碎形(通常)是一种在不同尺度上看起来都一样的形状。另一种说法是其在尺度转换下是对称的。此一对称是其美学展现的立基之处。

### 相似对相同

尽管两个物件有着极大的相似度而使其看起来是相同的，但它们在逻辑上必须是不同的。例如，若绕一等腰三角形之中心旋转120度，则它会和旋转前看起来是一样的。在理论欧几里得空间内，如此的旋转和其原本的形式是不可分的。但在真实的世界里，任一由物质所组成的等腰三角形之任一角都必须有着不同的分子在不同的位置上。因此，现实物理世界上的物件之对称是一样相似，而非相同。一个智力要能去区分如此看似精确的相似之困难度是可想而知的。

### 更多在几何上的对称

德国几何学家菲利克斯·克莱因在1872年发表了一个非常有影响力的爱尔兰根纲领，猜测对称会是几何学中统合且organising的原理。这是一个广泛大于深奥的原理。一开始，它使人对和几何有关的群和变换几何这个术语感到兴趣(以新数学的观点来看，但在现今的数学实作中则很难会产生争议)。到了现在，它已经以各种不同的形式被应用着，有如各种问题的标准切入点。

在碎形里，有着如本华·曼德博所述的有关大小的对称性。例如，一个等腰三角形可以将其每一边缩短原边长的三分之一而缩小。此一较小的三角形可以旋转及平移，直到它们和原三角形的边长相黏，且分别在原三角形的各边的中心。重复其步骤，使更小的三角形黏在最小的三角形中。奇妙的复杂结构便可以经由重复此一尺度对称运算许多次后被创造出来。

若一结构有一对称面，则对于每一此结构的部分，有着两种可能性：

- 此一部分有着其自己的对称面(相同一面)。
- 它有一个镜像物。

### 逻辑中的对称

一二元关系R是对称的当且仅当当Rab为真时，Rba也必为真。因此，“…的年龄和…一样”是对称的，因为若小黄的年龄和老王一样，则老王的年龄和小黄一样。

对称的二元逻辑运算符有逻辑与(∧, $\land$, or &)、逻辑或(∨)、双条件(当且仅当)(↔)、NAND、XOR和NOR。

## 艺术和工艺的对称

- 近似对称：运用相似的形，放在希望平衡的中心四周。运用形的变化，使其产生一种均衡关系的感觉，以免视觉上过于单调。
- 轴对称：构图元件在中央轴任何一边的平衡排列。
- 辐射状对称：从中心点往至少三方发散出去，视觉强度与特性相似的形式排列。

对称可以在艺术和工艺广泛的各领域中找到其各种应用。

### 建筑学

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### 陶器

古代中国使用的对称格局的青铜铸件自公元前17世纪青铜器展出双边主序和重复翻译界的设计。波斯陶器历史可以追溯到公元前6000采用对称的曲折，立方体，和跨画剖面线。

Links:

- Chinavoc: The Art of Chinese Bronzes
- Grant: Iranian Pottery in the Oriental Institute
- The Metropolitan Museum of Art - Islamic Art

### 被褥

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被子是由方形区块（通常是9、16或25片为一块）与每个小片通常组成的三角结构，工艺本身容易的应用对称性。

Links:

- Quate: Exploring Geometry Through Quilts
- Quilt Geometry

### 地毯

悠久的传统使用的地毯对称格局涵盖了各种文化。美国的纳瓦霍印第安人使用的大胆对角线和矩形图案。许多东方地毯已错综复杂的反映中心和边界，把一种模式。不足为奇的最地毯使用四边形对称-一个主题既反映了各地的横向和纵向轴线。

Links:

- Mallet: Tribal Oriental Rugs
- Dilucchio: Navajo Rugs

### 音乐

#### 类型

对称性已被用作一个正式的形式典范，许多作曲家如史蒂夫帝国，巴尔托克，詹姆斯坦尼所使用的拱桥形式ABCBA）在古典音乐，巴赫使用了对称的概念，置换上下声部；见(外部链接 "赋格曲第21号," pdf 或 Shockwave)，倒转卡农曲。

#### 音高结构

上行音阶与下行音阶就是最简单的对称结构。

#### 等价

音列的逆行，属于横向对称；音类集和弦的转位，属于垂直对称。另，请参见不对称的节奏。

### 其他手工艺

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对称的观念被应用在所有有关形状及大小的物件之设计上，在珠饰、家具、沙画、编织、面具及乐器等设计上都可以找到有关对称的观念存在着。

## 社会学中的对称

人们观察到在各种环境中的社会交往的对称性，通常包括不对称的平衡。包括对互惠、共情、移情、同情、道歉、对话、尊重、正义和报复的评价。反思平衡是通过在一般原则和具体判断之间进行协商相互调整可以实现的平衡。对称交互发送的道德信息是“我们都一样”，而不对称的交互可能发送的消息是“我是特别的，比你更好”。同行评审，例如可以由黄金法则支配，基于对称性，而权力关系则基于不对称性。对称关系在一定程度上可以通过在对称游戏中看到的简单（博弈）策略来维持，例如以牙还牙。

## 通讯中的对称

某些通讯服务(尤其是资料传输)可能会提到是对称的或不对称的。这是指其资料传送出去和接收进来的带宽是否相同。大部分互联网所提供的服务为不对称的：由主机传出的资料一般会远小于主机所接收的资料。

## 参考文献

- Livio, Mario (2005). The Equation That Couldn't Be Solved: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry. New York: Simon & Schuster. ISBN 0-7432-5820-7.
- Perle, George (1990). The Listening Composer, p. 112. California: University of California Press. ISBN 0-520-06991-9.
- Perle, George (1992). Symmetry, the Twelve-Tone Scale, and Tonality. Contemporary Music Review 6 (2), pp. 81-96.
- Rosen, Joe, 1995. Symmetry in Science: An Introduction to the General Theory. Springer-Verlag.
- Weyl, Hermann (1952). Symmetry. Princeton University Press. ISBN 0-691-02374-3.
- Hahn, Werner (1998). Symmetry As A Developmental Principle In Nature And Art World Scientific. ISBN 981-02-2363-3.
- Symmetry: Culture and Science, published by Symmetrion, Budapest. ISSN 0865-4824.

## 外部链接

- 第四号弦乐四重奏(1928)第一乐章的分析，由Andrew Kuster所著。
- Skaalid的设计定律
- Mathforum: Symmetry/Tesselations
- Calotta: A World of Symmetry
- Dutch: Symmetry Around a Point in the Plane
- Sanders: Transformations and Symmetry
- Saw: Design Notes
- Chapman: Aesthetics of Symmetry
- Abas: The Wonder Of Symmetry
- ISIS Symmetry
- Symmetry and Asymmetry at The Dictionary of the History of Ideas
- Examples of asymmetry in musical waveforms
- Symmetry
- Binary Symmetric Book