留数

在复分析中，留数是一个正比于一个亚纯函数某一奇点周围的路径积分的复数。（更一般地，对于任何除去离散点集{ak}之外全纯的函数$f: \mathbb{C} \setminus \{a_k\} \rightarrow \mathbb{C}$都可以计算其留数，即便是离散点集中含有本质奇点）留数可以是很容易计算的，一旦知道了留数，就可以通过留数定理来计算更复杂的路径积分。

## 定义

亚纯函数$f$在孤立奇点$a$的留数，通常记为$\operatorname{Res}(f,a)$或$\operatorname{Res}_a(f)$，是使$f(z)- R/(z-a)$在穿孔圆盘$0<|z-a|<\delta$内具有解析原函数的唯一值$R$。

另外，留数也可以通过求出洛朗级数展开式来计算，并且可以将留数定义为洛朗级数的系数a-1。

留数的定义可以拓展到任意黎曼曲面上。

## 例子

作为例子，考虑以下的路径积分：

$$\oint_C {e^z \over z^5}\,dz$$

其中C是围绕原点的任意(正向)简单闭曲线。

我们来计算这个积分，不用任何标准的积分定理。现在，ez的泰勒级数是众所周知的，我们可以把这个级数代入被积表达式中。则积分变为：

$$\oint_C {1 \over z^5}\left(1+z+{z^2 \over 2!} + {z^3\over 3!} + {z^4 \over 4!} + {z^5 \over 5!} + {z^6 \over 6!} + \cdots\right)\,dz.$$

我们把1/z5的项乘进级数中，便得到：

$$\oint_C \left({1 \over z^5}+{z \over z^5}+{z^2 \over 2!\;z^5} + {z^3\over 3!\;z^5} + {z^4 \over 4!\;z^5} + {z^5 \over 5!\;z^5} + {z^6 \over 6!\;z^5} + \cdots\right)\,dz$$

$$=\oint_C \left({1 \over\;z^5}+{1 \over\;z^4}+{1 \over 2!\;z^3} + {1\over 3!\;z^2} + {1 \over 4!\;z} + {1\over\;5!} + {z \over 6!} + \cdots\right)\,dz.$$

现在，积分便化为更简单的形式。由于：

$$\oint_C {1 \over z^a} \,dz=0,\quad a \in \mathbb{Z},\quad a \ne 1.$$

因此任何不是$c \over z$形式的项都变成了零，那么积分变为：

$$\oint_C {1 \over 4!\;z} \,dz={1 \over 4!}\oint_C{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i) = {\pi i \over 12}.$$

$1 \over 4!$就是$e^z \over z^5$在z = 0的留数，记为：

$\mathrm{Res}_0 {e^z \over z^5},$或$\mathrm{Res}_{z=0} {e^z \over z^5},$或$\mathrm{Res}(f,0).$

## 留数的计算

设复平面内有一穿孔圆盘$D=\{z: 0<|z-c|<R\}$，f是定义在D内的一个全纯函数。f在c的留数Res(f, c)是罗朗级数展开式的(z − c)−1项的系数a−1。计算留数的值的方法有很多，具体采用那种方法取决于题目中的函数，以及奇点的性质。

根据柯西积分公式，我们有：

$$\operatorname{Res}(f,c) = {1 \over 2\pi i} \oint_\gamma f(z)\,dz$$

其中γ是逆时针绕着c的一条闭曲线。我们可以选择γ为绕着c的一个圆，它的半径可以任意地小。

### 可去奇点

如果函数f在整个圆盘$\{|z-c|<R\}$内可以延拓为全纯函数，则Res(f, c) = 0。反过来不总成立。

#### 一阶极点

在一阶极点，留数由以下公式给出：

$$\operatorname{Res}(f,c)=\lim_{z\to c}(z-c)f(z).$$

设g和h在c的一个邻域内是全纯函数，h(c) = 0而g(c) ≠ 0，那么函数f(z)=g(z)/h(z)在极点c的留数为：

$$\operatorname{Res}(f,c) = \frac{g(c)}{h'(c)}.$$

#### 较高阶极点的极限公式

更一般地，f在z = c的留数，其中c是n阶极点，由以下公式给出：

$$\mathrm{Res}(f,c) = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to c} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left( (z-c)^{n}f(z) \right).$$

以上的公式对于计算低阶极点的留数是十分有用的。对于较高阶的极点，则级数展开式更加容易一些。

### 无穷远点的留数

一般地，无穷远点的留数是指：

$\mathrm{Res}(f(z), \infty) = -\mathrm{Res}\left(\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right), 0\right)$.

如果满足下面的条件：

$\lim_{|z| \to \infty} f(z) = 0$,

则可以用下面的公式计算无穷远点的留数：

$\mathrm{Res}(f, \infty) = -\lim_{|z| \to \infty} z \cdot f(z)$.

如果不满足，即

$\lim_{|z| \to \infty} f(z) = c \neq 0$,

则无穷远点的留数为：

$\mathrm{Res}(f, \infty) = -\lim_{|z| \to \infty} z^2 \cdot f'(z)$.

### 级数方法

如果函数的一部分或全部可以展开为泰勒级数或洛朗级数，则留数的计算比用其它的方法要容易得多。

- 第一个例子，计算以下函数在奇点的留数：

$$f(z)={\sin{z} \over z^2-z}$$

它可以用来计算一定的路径积分。这个函数表面上在z = 0处具有奇点，但如果把分母因式分解，而把函数写成：

$$f(z)={\sin{z} \over z(z-1)}$$

则显然z = 0是可去奇点，因此z = 0处的留数为零。

唯一一个另外的奇点是z = 1。函数g(z)在z = a的泰勒级数为：

$$g(z) = g(a) + g'(a)(z-a) + {g''(a)(z-a)^2 \over 2!} + {g'''(a)(z-a)^3 \over 3!}+ \cdots$$

因此，对于g(z) = sin z和a = 1，我们有：

$$\sin{z} = \sin{1} + \cos{1}(z-1)+{-\sin{1}(z-1)^2 \over 2!} + {-\cos{1}(z-1)^3 \over 3!}+\cdots.$$

对于g(z) = 1/z和a = 1，我们有：

$$\frac1z = \frac1 {(z-1)+1} = 1 - (z-1) + (z-1)^2 - (z-1)^3 + \cdots.$$

把两个级数相乘，并除以(z − 1)，便得：

$$\frac{\sin{z}} {z(z-1)} = {\sin{1} \over z-1} + (\cos{1}-\sin1) + (z-1) \left(-\frac{\sin{1}}{2!} - \cos1 + \sin1\right) + \cdots.$$

因此f(z)在z = 1的留数为sin 1。

- 接下来的例子展示了运用级数展开来求留数，拉格朗日反演定理在这里发挥了重要作用。令

$$u(z):=\sum_{k\geq 1}u_k z^k$$

为一个整函数，并令

$$v(z):=\sum_{k\geq 1}v_k z^k$$

## 参考文献

- Marsden & Hoffman, Basic complex analysis (Freeman, 1999).