几何中心

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$n$ 维空间中一个对象$X$的几何中心或形心是将$X$分成矩相等的两部分的所有超平面的交点。非正式地说，它是$X$中所有点的平均。如果一个物件质量分布平均，形心便是重心。

如果一个对象具有一致的密度，或者其形状和密度具有某种对称性足以确定几何中心，那么它的几何中心和质量中心重合，该条件是充分但不是必要的。

有限个点总存在几何中心，可以通过计算这些点的每个坐标分量的算术平均值得到。这个中心是空间中一点到这有限个点距离的平方和的唯一最小值点。点集的几何中心在仿射变换下保持不变。

## 性质

一个凸对象的几何中心总在其内部。一个非凸对象的几何中心可能在外部，比如一个环或碗的几何中心不在内部。

## 三角形的中心

形心是三角形的几何中心，是指三角形的三条中线（顶点和对边的中点的连线）交点。

### 三条中线共点证明

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用塞瓦定理逆定理可以直接证出：

$$\frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA} \cdot \frac{AD}{DB}=\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1}=1$$

因此三线共点。

中心分每条中线比为2:1，这就是说距一边的距离是该边相对顶点距该边的$\dfrac{1}{3}$。如右图所示：

如果三角形是由均匀材料做成的薄片，那么几何中心也就是质量中心。它的笛卡尔坐标是三个顶点的坐标算术平均值。也就是说，如果三顶点位于$(x_a, y_a)$，$(x_b, y_b)$，和$(x_c, y_c)$，那么几何中心位于：

$$\Big( <pre> \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x_a+x_b+x_c),\; \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (y_a+y_b+y_c)\Big) </pre> = \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x_a, y_a) + \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x_b, y_b) + \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x_c, y_c)$$

### 中心分中线为2:1的证明

设三角形ABC的中线$\overline{AD}$，BE和CF交于三角形的中心G，延长AD至点O使得

$$AG = GO. \,$$

那么三角形AGE和AOC 相似（公共角A，AO = 2 AG，AC = 2 AE），所以OC平行于GE。但是GE是BG的延长，所以OC平行于BG。同样的，OB平行于CG。

从而图形GBOC是一个平行四边形。因为平行四边形对角线互相平分，对角线GO和BC的交点使得GD = DO，这样

$$GO = GD + DO = 2GD. \,$$

所以，$AG = GO = 2GD\,$，或$AG:GD = 2: 1\,$，这对任何中线都成立。

### 性质

- 三角形的重心与三顶点连线，所形成的三个三角形面积相等。
- 顶点到重心的距离是中线的$\tfrac{2}{3}$。
- 外心$O$、重心$G$、九点圆圆心$F$、垂心$H$四点依次序共线，其中$OG:GF:FH=2:1:3$，此线称为欧拉线。
- 内心$I$、重心$G$、斯俾克心$S$、奈格尔点$N$四点依次序共线，其中$IG:GS:SN=2:1:3$，此线称为奈格尔线。
- 三角形的重心同时也是中点三角形的重心。
- 在直角座标系中，若顶点的座标分别为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$、$(x_3,y_3)$。

$$\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$$

- 三线坐标中。

$$bc : ca : ab = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c} = \csc A : \csc B : \csc C$$

- 重心坐标中。

$$1 : 1 : 1$$

- 三角形的重心的等截共轭点也是三角形重心自己。
- 三角形的重心的等角共轭点称为类似重心。

## 四面体的中心

类似三角形的中心的结论对四面体也成立，四面体的几何中心是所有顶点和相对平面中心的连线的交点。这些线段被中心分成3:1。这个结论能自然推广到任何$n$-维单形。如果单形的顶点集是${v_0,...,v_n}$，将这些顶点看成向量，几何中心位于：

$$\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^n v_i \; .$$

## 多边形的中心

一个由 $N$ 个顶点 $(x_i,y_i)$ 确定的不自交闭多边形的中心能如下计算：

记号 $(x_N,y_N)$ 与顶点 $(x_0,y_0)$ 相同。

$$A = \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{N-1}(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)$$

多边形的中心由下式给出：

$$C_x = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{N-1}(x_i+x_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)$$

$$C_y = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{N-1}(y_i+y_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)$$

## 有限点集的中心

给定有限点集 $x_1,x_2,\ldots,x_k$属于$\mathbb{R}^n$，它们的中心定义$C$为

$C = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_k}{k}$。

## 面积中心

面积中心和质量中心非常类似，面积中心只取决于图形的几何形状。如果物体是均匀的，质量中心将位于面积中心。

对于两部分组成的图形，将有如下等式：

$$\overline{y} = \dfrac{\overline{y_1}A_1 + \overline{y_2}A_2}{A_1 + A_2}$$

$\overline{y}$是特定部分的面积中心到所选参考系的距离。$A$是特定部分的面积。

当一个复杂几何图形可以分成一些已知的简单几何图形时，先计算各部分的面积中心，然后通过下面一般的公式计算整个图形的面积中心：

$$\overline{x} = \frac{\sum \overline{x_i}A_i}{\sum A_i}$$

$$\overline{y} = \frac{\sum \overline{y_i}A_i}{\sum A_i}$$

这里从y-轴到中心的距离是$\overline{x}$，从x-轴到中心的距离是$\overline{y}$，中心的坐标是$(\overline{x} , \overline{y})$。

## 积分公式

一个平面图形的中心的横坐标（x轴）由积分

$C_x = \frac{\int x f(x) \; dx}{\int f(x) \; dx}$给出。

这里 $f(x)$ 是对象位于在横坐标x点y轴上的长度，是在x图形的测度。这个公式能由区域关于y-轴的第一矩得出。

这个过程等价于取加权平均。假设y-轴表示频率，x-轴表示欲求平均值的变量，那么沿着x-轴的中心即 $\bar{x}$。从而中心可以想象成表示特定形状的许多无限小元的加权平均。

对任意维数 $n$，由相同的公式得出$\R^n$中一个对象的中心第一个坐标，假设 $f(x)$ 是对象在坐标x的截面（也就是说，对象中第一个坐标为x的所有点的集合）的$(n-1)$-维测度。

注意到分母恰是对象的n- 维测度。特别的，在 $f$ 为正规时，即分母为1，中心也称为 $f$ 的平均。

当对象的测度为0或者积分发散，这个公式无效。

## 圆锥和棱锥的中心

圆锥或棱锥的中心位于连接顶点和底的中心的线段上，分比为3:1。

## 对称中心

如果中心确定了，那么中心是所有它对称群的不动点。从而对称能全部或部分确定中心，取决于对称的种类。另外可以知道，如果一个对象具有传递对称性，那么它的中心是不确定的或不在内部，因为一个传递变换群没有不动点。

## 地理中心

地理学中，地球表面一个区域的几何中心也称为地理中心。

## 外部链接

- Encyclopedia of Triangle Centers by Clark Kimberling. The centroid is indexed as X (2).
- Triangle centers by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas.
- Characteristic Property of Centroid at cut-the-knot
- Barycentric Coordinates at cut-the-knot
- Online Tool to Compute Center of Mass bounded by f (x) and g (x)
- Interactive animations showing Centroid of a triangle and Centroid construction with compass and straightedge