有限生成阿贝尔群

在抽象代数中，阿贝尔群 $(G, +)$ 被称为有限生成的，如果 $G$ 有一个有限子集 $x_1, \dots, x_s$ 使得所有 $G$ 中的元素 $x$ 可以写为如下形式

$$x = n_1x_1 + n_2x_2 + \dots + n_sx_s$$

其中 $n_1, \dots, n_s$ 都是整数。在这种情况下，我们称集合 $\{x_1, \dots, x_s\}$ 为 $G$ 的生成集，或称 $x_1, \dots, x_s$ 生成了 $G$。

显然，所有有限阿贝尔群都是有限生成的。有限生成的阿贝尔群的结构相当简单，并可以被完全地分类。

## 例子

- 整数集 $(\mathbb{Z}, +)$ 是有限生成阿贝尔群。
- 整数模以 n $\mathbb{Z}_n$ 是有限生成阿贝尔群。
- 有限多个有限生成阿贝尔群的直和也是有限生成阿贝尔群。

有理数集的群 $(\mathbb{Q}, +)$ 不是有限生成的：如果有理数 $x_1, \dots, x_s$ 生成 $\mathbb{Q}$，选取一个与所有分母互素的自然数 $w$； $1/w$ 不能被 $x_1, \dots, x_s$ 生成。

## 分类

有限生成阿贝尔群的基本定理（它是在主理想整环上的有限生成模的结构定理的特殊情况）可以用两种方式陈述（类似于PID）:

### 基础分解(elementary divisors)

主分解公式生成任何有限生成阿贝尔群 G 同构于准素循环群和无限循环群的直和。准素循环群是其阶是素数的幂的群。就是说，所有这种群同构于如下形式之一

$$\mathbb{Z}^n \oplus \mathbb{Z}_{q_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{q_t}$$

这里的秩 n ≥ 0，并且数 q1,...,qt 是（不必需不同的）素数的幂。特别地，$G$ 是有限群当且仅当 $n = 0$。n, q1,...,qt 的值（差一个指标的重排）唯一确定自 G。

### 不变量因子分解(invariant factors decomposition)

我们可以写任何有限生成阿贝尔群 $G$ 为如下形式的直和

$$\mathbb{Z}^n \oplus \mathbb{Z}_{k_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{k_u}$$

这里的 k1 整除 k2，而它又整除 k3 如此直到 ku。还有，n 的秩和不变量因子 k1,...,ku 唯一的确定自 G（这里带有唯一次序）。

### 等价

这些陈述是等价的，因为中国剩馀定理声称 Zm 同构于 Zj 和 Zk 的直和，当且仅当 j 和 k 互质并且 m = jk。

## 例子

在这里提供几个简单的例子作为参考

### EX1: 找出所有阶为20的阿贝尔群

首先可以将阶数质因数分解 $20=2^2*5^1$

注意到指数有2以及1，先注意到2，2的整数分解有两种，即 { 2 } , { 1,1 } 而 1 的整数分解只有一种即 , { 1 }

所以20阶的阿贝尔群的基础分解即为 $\mathbb{Z}_{4}\oplus \mathbb{Z}_{5}$，$\mathbb{Z}_{2}\oplus\mathbb{Z}_{2}\oplus\mathbb{Z}_{5}$

### EX2:找出所有阶为72的阿贝尔群

注意到$72=2^3*3^2$，然后看到3有三种分解, 即 { 3 } , { 2,1 }, { 1,1,1 } , 而2的整数分解有两种，即 { 2 } , { 1,1 }

所以72阶的阿贝尔群的基础分解即为

$\mathbb{\Z}_{8}\oplus\mathbb{\Z}_{9}$， $\mathbb{\Z}_{8}\oplus\mathbb{\Z}_{3}\oplus\mathbb{\Z}_{3}$，$\mathbb{\Z}_{2}\oplus\mathbb{\Z}_{4}\oplus\mathbb{\Z}_{9}$，$\mathbb{\Z}_{2}\oplus\mathbb{\Z}_{2}\oplus\mathbb{\Z}_{2}\oplus\mathbb{\Z}_{9}$， $\mathbb{\Z}_{4}\oplus\mathbb{\Z}_{2}\oplus\mathbb{\Z}_{3}\oplus\mathbb{\Z}_{3}$，$\mathbb{\Z}_{2}\oplus\mathbb{\Z}_{2}\oplus\mathbb{\Z}_{2}\oplus\mathbb{\Z}_{3}\oplus\mathbb{\Z}_{3}$

## 证明

设$g_1,g_2,\cdots, g_k$是G的具有最小基的生成元，我们称如下关系是非平凡的

$$n_1g_1+n_2g_2+\cdots+n_kg_k$$

如果$n_i$不全为0。

记

$$m_1g_1+m_2g_2+\cdots +m_kg_k\qquad\qquad (1)$$

为所有非平凡关系中具有最小正系数的关系，不失一般性，设$m_1$为最小的系数。对于任意关系

$$n_1g_1+n_2g_2+\cdots +n_kg_k\qquad\qquad (2)$$

我们有$m_1\mid n_1$，这是因为否则的话我们将有$n_1=m_1p+r,\ r<m_1$，所以将(1)式乘上p后减去(2)式我们将有$g_1$的系数为r小于$m_1$。

进一步我们有$m_1\mid m_i$，这是因为否则的话存在$m_i=m_1p+r$，这将有：

$$m_1(g_1+pg_i)+\cdots +rg_i+\cdots +m_kg_k$$

与(1)式得最小性选择矛盾。因此我们有：

$$m_1g_1+\cdots +m_kg_k = m_1(g_1 - p_2g_2-\cdots -p_kg_k) = m_1\hat{g_1}=0$$

所以若

$$n_1\hat{g_1}+n_2g_2+\cdots +n_kg_k = 0$$

那么必有$m_1\mid n_1$，特别的$n_1\hat{g_1} = 0$。

将$g_2,g_3,\cdots,g_k$生成的子群记为G，所以G中的每个元素都可表示成

$$n\hat{g_1}+a,\ a\in G'$$

若存在$n_1\hat{g_1}+p_1=n_2\hat{g_1}+p_2$，我们将有关系

$$(n_1-n_2)\hat{g_1}+(p_1-p_2)=0$$

由上面的讨论我们知道$(n_1-n_2)\hat{g_1}=0$，因此$n_1\hat{g_1}=n_2\hat{g_1}$且$p_1=p_2$。

所以$G=C_{\hat{g_1}}\oplus G'$这里$C_{\hat{g_1}}$为$\hat{g_1}$生成的循环群。所以通过归纳法我们即可得到原命题。

## 推论

不同陈述的基本定理说明了有限生成阿贝尔群是有限秩的自由阿贝尔群和有限阿贝尔群的直和，此两者都是唯一（不别同构之异）。有限阿贝尔群就是 G 的挠子群。G 的秩定义为 G 的无挠部分的秩，这就是上面公式中的数 n。

基本定理的推论是所有有限生成无挠阿贝尔群是自由阿贝尔群。有限生成条件在这里是本质性的：Q 是无挠但非自由阿贝尔群。

有限生成阿贝尔群的所有子群和因子群也是有限生成阿贝尔群。有限生成阿贝尔群和群同态一起形成了阿贝尔范畴，它是阿贝尔群范畴的子范畴。

## 非有限生成阿贝尔群

注意不是所有有限秩的阿贝尔群都是有限生成的；秩-1 群 Q 就是一个例子，而Z2 的可数个复本的直和给出的秩-0 群是另一个例子。

## 参见

- 约当-赫德定理是对非阿贝尔群的推广。