雅可比椭圆函数

在数学中，雅可比椭圆函数是由卡尔·雅可比在1830年左右研究的一类椭圆函数。这类函数可用于摆之类的应用问题，并具有与三角函数相似的性质。

## 介绍

<image>

雅可比椭圆函数有十二种，各对映到某个矩形的顶点连线。此诸顶点记作 $s\,$ $c\,$ $d\,$ $n\,$。

视此矩形为复数平面的一部分，$s \,$ 是原点，$c\,$ 是实轴上的一点 $K,d \,$ 是 $K+{\rm{i}}K'\,$，$n\,$ 是 ${\rm{i}}K'\,$。$K\,$ 与 ${\rm{i}}K'\,$ 称作四分之一周期。

十二个椭圆函数分别记为 ${\rm{sc}} , {\rm{sd}} , {\rm{sn}} , {\rm{cs}} , {\rm{cd}} , {\rm{cn}} , {\rm{ds}} , {\rm{dc}} , {\rm{dn}} , {\rm{ns}} , {\rm{nc}} , {\rm{nd}} \,$。为方便起见，取变数 $p, q \,$意指矩形上的任一对顶点，则函数 $pq\,$ 是唯一满足以下性质的周期亚纯函数

- $p\,$ 是单零点，$q\,$ 是单极点。
- $pq\,$ 在 $\vec{pq}$ 方向的周期等于 $p,q\,$ 距离的两倍。对另两个从 $p \,$出发的方向，$pq \,$亦满足同样性质。
- $pq\,$ 在顶点 $p \,$ $q\,$ 的展式首项系数均为一。

表列如次：

函数｜周期｜零点｜极点｜留数

$\mathrm{sn}\,(z; k)$｜$4\, K,\ 2 \,\mathrm{i} K'$｜$2m K + 2 \,n\,\mathrm{i}\, K'$｜$2\,m K + (2n+1) \,\mathrm{i}\, K '$｜$(-1)^m\frac{1}{k}$

$\mathrm{cn}\,(z; k)$｜$4\, K,\ 2 \,(K + \mathrm{i} K')$｜$(2m+1) \,K + 2\,n\,\mathrm{i}\, K'$｜$2\,m K + (2n+1) \,\mathrm{i}\, K'$｜$(-1)^{m+n}\frac{1}{{\rm{i}}k}$

$\mathrm{dn}\,(z; k)$｜$2\, K,\ 4\,\mathrm{i} K'$｜$(2\,m + 1)\, K + 2 \,(n+1)\,\mathrm{i}\, K'$｜$2\,m K + (2n+1) \,\mathrm{i}\, K'$｜$(-1)^{n-1}{\rm{i}}\,$

$n\,$ 与 $m\,$ 是整数

一般而言，须以平行四边形代替上述矩形，以考虑更一般的周期。

## 表为椭圆积分之逆

以上定义略显抽象，更具体的定义是将之表为某类椭圆积分(第一类不完全椭圆积分)之逆。设

$$u=\int_0^\phi \frac{d\theta} {\sqrt {1-m \sin^2 \theta}}.$$

椭圆正弦函数 sn u 定义为

$$\operatorname {sn}\; u = \sin \phi\,$$

而椭圆余弦函数 cn u 定义为

$$\operatorname {cn}\; u = \cos \phi$$

同理，椭圆德尔塔函数有

$$\operatorname {dn}\; u = \sqrt {1-m\sin^2 \phi}.\,$$

这里的 $m \in \mathbb{R}$ 是自由变元，通常取 $0 \leq m \leq 1$。

剩下的九种椭圆函数能由这三种构造。

## 反函数

雅可比椭圆函数的反函数可以像三角函数与反三角函数那样被定义。因为椭圆函数往往是椭圆积分之逆，这些反函数也都可以用勒让德椭圆积分来描述。如同反三角函数一样，雅可比椭圆函数的反函数也是多值的，因此需要支割线。以下是部分反函数的积分表达：

- $$\mathrm{arcsn}\,(z,k) = \int_0^z \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}$$
- $$\mathrm{arccn}\,(z,k) =\int_z^1 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2+k^2t^2)}}$$
- $$\mathrm{arcdn}\,(z,k) = \int_z^1 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(t^2+k^2-1)}}$$
- $$\mathrm{arcns}\,(z,k) = \int_0^\infty \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(t^2-1)(t^2-k^2)}}$$
- $$\mathrm{arcnc}\,(z,k) =\int_1^z \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(t^2-1)(1-k^2)(k^2+t^2)}}$$
- $$\mathrm{arcnd}\,(z,k) = \int_1^z \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(t^2-1)(1-(1-k^2)t^2)}}$$

## 用Θ函数来定义

雅可比椭圆函数也可以用Θ函数来定义。如果我们把$\vartheta(0;\tau)$简写为$\vartheta$，把$\vartheta_{01}(0;\tau), \vartheta_{10}(0;\tau), \vartheta_{11}(0;\tau)$分别简写为$\vartheta_{01}, \vartheta_{10}, \vartheta_{11}$（Theta常数），那么椭圆模k是$k=({\vartheta_{10} \over \vartheta})^2$。如果我们设$u = \pi \vartheta^2 z$，我们便有：

$$\mbox{sn}(u; k) = -{\vartheta \vartheta_{11}(z;\tau) \over \vartheta_{10} \vartheta_{01}(z;\tau)}$$

$$\mbox{cn}(u; k) = {\vartheta_{01} \vartheta_{10}(z;\tau) \over \vartheta_{10} \vartheta_{01}(z;\tau)}$$

$$\mbox{dn}(u; k) = {\vartheta_{01} \vartheta(z;\tau) \over \vartheta \vartheta_{01}(z;\tau)}$$

## 加法定理

$$\operatorname{cn}^2 + \operatorname{sn}^2 = 1,\,$$

$$\operatorname{dn}^2 + k^2 \operatorname{sn}^2 = 1.\,$$

由此可见 (cn,sn,dn) 描出射影空间 $\mathbb{P}^3(\mathbb{C})$ 中两个二次曲面之交，这同构于一条椭圆曲线。曲线上的群运算由下列加法公式描述：

$$\operatorname{cn}(x+y) = {\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y) - \operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y) \over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x) \;\operatorname{sn}^2 (y)}},$$

$$\operatorname{sn}(x+y) = {\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{cn}(y)\;\operatorname{dn}(y) + \operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{dn}(x) \over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x)\; \operatorname{sn}^2 (y)}},$$

$$\operatorname{dn}(x+y) = {\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y) - k^2 \;\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y) \over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x)\; \operatorname{sn}^2 (y)}}.$$

## 函数的平方之间的关系

$$-\operatorname{dn}^2(u)+(1-k^2)= -k^2\;\operatorname{cn}^2(u) = k^2\;\operatorname{sn}^2(u)-k^2$$

$$(k^2-1)\;\operatorname{nd}^2(u)+(1-k^2)= k^2(k^2-1)\;\operatorname{sd}^2(u) = k^2\;\operatorname{cd}^2(u)-k^2$$

$$(1-k^2)\;\operatorname{sc}^2(u)+(1-k^2)= (1-k^2)\;\operatorname{nc}^2(u) = \operatorname{dc}^2(u)-k^2$$

$$\operatorname{cs}^2(u)+(1-k^2)=\operatorname{ds}^2(u)=\operatorname{ns}^2(u)-k^2$$

## 常微分方程的解

三个基本的雅可比椭圆函数的导数为：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{sn}\,(z; k) = \mathrm{cn}\,(z;k)\, \mathrm{dn}\,(z;k),$$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{cn}\,(z; k) = -\mathrm{sn}\,(z;k)\, \mathrm{dn}\,(z;k),$$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{dn}\,(z; k) = - k^2 \mathrm{sn}\,(z;k)\, \mathrm{cn}\,(z;k).$$

根据以上的加法定理，可知它们是以下非线性常微分方程的解：

- $\mathrm{sn}\,(x;k)$是微分方程$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + (1+k^2) y - 2 k^2 y^3 = 0,$和$\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}\right)^2 = (1-y^2) (1-k^2 y^2)$的解。
- $\mathrm{cn}\,(x;k)$是微分方程$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + (1-2k^2) y + 2 k^2 y^3 = 0,$和$\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}\right)^2 = (1-y^2) (1-k^2 + k^2 y^2)$的解。
- $\mathrm{dn}\,(x;k)$是微分方程$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} - (2 - k^2) y + 2 y^3 = 0,$和$\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}\right)^2 = (y^2 - 1) (1 - k^2 - y^2)$的解。

## 图像

<image>

｜

<image>

<image>

## 文献

- 见 第16章
- Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
- E. T. Whittaker and G. N. Watson A Course of Modern Analysis, (1940, 1996) Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3
- Alfred George Greenhill, The applications of elliptic functions (London, New York, Macmillan, 1892)
- H. Hancock Lectures on the theory of elliptic functions (New York, J. Wiley & sons, 1910)
- A. C. Dixon The elementary properties of the elliptic functions, with examples (Macmillan, 1894)