曲面积分

数学上，曲面积分，也称为面积分（Surface integral），是在曲面上的定积分（曲面可以是空间中的弯曲子集）；它可以视为和线积分相似的双重积分。给定一个曲面，可以在上面对标量场（也就是实数值的函数）进行积分，也可以对向量场（也就是向量值的函数）积分。

面积分在物理中有大量应用，特别是在电磁学的经典物理学中。

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## 标量场的面积分

考虑定义在曲面S上的实函数 $f$，计算面积分的一个办法是将曲面分割成很多小片，假设函数 $f$ 在每小片的变化不大，且每个小片的近似计算的面积跟实际面积误差不大，任意取每片中函数 $f$ 的值，然后乘以小片的近似面积，最后全部加起来得到一个值，当这种分割越来越细时，如果这值趋近一个实数，我们称这个实数为实数值函数 $f$ 在曲面 $S$ 上的面积分。

要找到面积分的直接公式，首先需要参数化曲面S，也即在S上建立坐标系，就像球面上的经纬度。令参数化为x(s, t)，其中(s, t)在某个平面上的区域T中变化。则 $f$ 在曲面 $S$ 的面积分为

$$\iint_S f \,\mathrm{d}S = \iint_T f(\mathbf{x}(s, t)) \left|\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right| \mathrm{d}s\, \mathrm{d}t$$

其中 $\textstyle \left|\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right|$ 是x(s, t)的偏导数的外积这向量的长度，而 $\textstyle \left|\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right|\mathrm{d}s\mathrm{d}t$ 在微分几何里又叫作流形 $S$ 的面积元素（Surface element）。

例如，如果要找出某个函数（$z=f\,(x,y)$）形状的曲面面积，就有

$$A = \iint_S \,\mathrm{d}S = \iint_T \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}\right| \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y$$

其中$\mathbf{r}=(x, y, z)=(x, y, f(x,y))$。所以，$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x}=(1, 0, f_x(x,y))$，且$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}=(0, 1, f_y(x,y))$。因此

$$\begin{align} A &{} = \iint_T \left\|\left(1, 0, {\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0, 1, {\partial f \over \partial y}\right)\right\| \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y \\ &{} = \iint_T \left\|\left(-{\partial f \over \partial x}, -{\partial f \over \partial y}, 1\right)\right\| \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y \\ &{} = \iint_T \sqrt{\left({\partial f \over \partial x}\right)^3+\left({\partial f \over \partial y}\right)^3+1}\, \, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y \end{align}$$

这就是一般以 $(x,y,f(x,y))$ 为参数的曲面其面积的标准公式。很容易认出第二行中的向量是曲面的法向量。

注意，因为外积的存在，这里的公式只在曲面嵌入在三维空间中时适用。

## 向量场的面积分

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考虑S上的向量场v，对于每个S上的点x，v(x)是一个向量。想象一个穿过S的液体流，使得v(x)决定液体在x的速度。则流量定义为单位时间穿过S的液体量。

这个解释意味着如果向量场和S在每点相切，则流量为0，因为液体平行于S流动，从而不进不出。这也意味着如果v不仅仅沿着S流动，也即，如果v既有切向分量也有法向分量，则只有法向分量对流量作出贡献。基于这个推理，要找出流量，我们必须取v和S上每点的单位法向量的点积，这就给出了一个标量场，然后就可以用上述方式积分。公式如下

$$\int_S {\mathbf v}\cdot \,\mathrm{d}{\mathbf {S}} = \int_S ({\mathbf v}\cdot {\mathbf n})\,\mathrm{d}S=\iint_T {\mathbf v}(\mathbf{x}(s, t))\cdot \left({\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}\right) \mathrm{d}s\, \mathrm{d}t.$$

右手边的叉积是由参数化所决定的法向量。

该公式定义为向量场v在S上的面积分。

## 微分2-形式的面积分

令

$$\omega= f_{x} \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z + f_{y} \mathrm{d}z \wedge \mathrm{d}x+f_{z} \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y$$

为定义在曲面S上的2阶微分形式，并令

$$\mathbf{x} (s,t)=( x(s,t), y(s,t), z(s,t))\!$$

为一保定向的在曲面 $S$ 上的参数化，其中$(s,t) \in D\subseteq \mathbb{R}^2$。利用变数变换，则 $\omega$ 在S上的面积分变成

$$\iint_D \left[ f_{x} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)} + f_{y} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)}+ f_{z}(\mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)} \right]\, \mathrm{d}s \mathrm{d}t$$

其中

$${\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}=\left(\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t))}\right)$$

为S的法向量。利用微分形式（2-form）的变数变换，我们有

$$\int_S \omega=\iint_S (f_x, f_y, f_z)\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\iint_S (f_x, f_y, f_z)\cdot \mathbf{n}\, \mathrm{d}S$$

也就是说，对 $\omega$ 该2-形式的积分和以$f_x$、$f_y$和$f_z.$为分量的向量场的面积分相同。

## 涉及面积分的定理

面积分中很多有用的结果可以用微分几何和向量微积分导出，例如散度定理及其推广斯托克斯定理。

## 进阶问题

注意面积分的定义中用到曲面S的参数化。而给定曲面可以有多种参数化。例如，如果移动球面上南极和北极的位置，所有球面上的点的经度和纬度都会改变。很自然就有面积分是否依赖于给定参数化的问题。对于标量场的积分，答案很简单：无论参数化为何，面积分不变。

对于向量场，情况复杂一些，因为积分时涉及到曲面的法向量。如果两个参数化下法向量的定向相同，则积分值不变。如果法向量定向相反，则积分值相反。因此，不需要规定特定的参数化，但是对于法向量，不同的参数化的定向必须保持一致。

另外一个问题是，有时曲面没有覆盖整个曲面的单一参数化；譬如对于有限长的圆柱面就是这样。一个直接的解决办法就是将曲面切成几片，在每一片上求面积分，然后加起来。这就是正确的办法，但是对向量场积分的时候，必须小心，要让每个小片的法向量定向和周围的一致。对于柱面来讲，也就是让所有片的法向量向外指。

最后一个问题是，有些曲面没有一个一致的法向量（譬如莫比乌斯带）。对于这样的曲面，无法找到一致的定向。这样的曲面称为不可定向的，在其上无法进行向量场的积分。