磁矢势

磁矢势（Magnetic vector potential），通常标记为 $\mathbf{A}$。磁向量势的旋度是磁场，以方程式表示

$\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$。

其中，$\mathbf{B}$ 是磁场。

直观而言，磁向量势似乎不及磁场来得“自然”、“基本”，而在一般电磁学教科书亦多以磁场来定义磁向量势。在电磁学发展初期，很多学者认为磁向量势对于给定介质状态并没有实际物理意义，除了方便计算以外，别无其它用途。但是，詹姆斯·马克士威颇不以为然，他认为磁向量势可以诠释为“每单位电荷储存的动量”，就好像电势被诠释为“每单位电荷储存的能量”。相关论述，稍后会有更详尽解释。

磁向量势并不是唯一定义的；其数值是相对的，相对于某设定数值。因此，学者会疑问到底储存了多少动量？不论如何，磁向量势确实具有实际意义。尤其是在量子力学里，于1959年，阿哈诺夫－波姆效应阐明，假设一个带电粒子移动经过某零电场、零磁场、非零磁向量势场区域，则此带电粒子的波函数相位会有所改变，因而导致可观测到的干涉现象。现在，越来越多学者认为电势和磁向量势比电场和磁场更基本。不单如此，有学者认为，甚至在经典电磁学里，磁向量势也具有明确的意义和直接的测量值。

磁向量势与电势可以共同用来设定电场与磁场。许多电磁学的方程式可以以电场与磁场写出，或者以磁向量势与电势写出。较高深的理论，像量子力学理论，偏好使用的是磁向量势与电势，而不是电场与磁场。因为，在这些学术领域里所使用的拉格朗日量或哈密顿量，都是以磁向量势与电势表达，而不是以电场与磁场表达。

开尔文男爵最先于1851年引入磁向量势的概念，并且给定磁向量势与磁场之间的关系。

## 定义与公式

根据高斯磁定律，磁场是螺线向量场；在空间里任意位置，磁场的散度等于零：

$\nabla\cdot\mathbf{B} =0$。

那么，根据亥姆霍兹定理（Helmholtz theorem），必定存在一个极向量场 （poloidal vector field）$\mathbf{A}$，满足方程式

$\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$。(1)

因此，假设 $\mathbf{A}$ 在所有位置都是连续性的、良好定义的，则磁单极子绝对不存在。

又根据安培定律。

$\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$。

其中，$\mu_0$ 是磁常数，$\mathbf{J}$ 是电流密度。

应用一则向量恒等式，再采用库仑规范（Coulomb gauge）， $\nabla\cdot\mathbf{A}=0$，可以得到

$\nabla\times\mathbf{B} = \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})=\nabla(\nabla\cdot \mathbf{A}) - \nabla^2\mathbf{A}= - \nabla^2\mathbf{A}$。

所以，从安培定律可以推导出电流的帕松方程式：

$\nabla^2\mathbf{A}= - \mu_0 \mathbf{J}$。

这帕松方程式的解为

$\mathbf{A}(\mathbf{r})=\ \frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_{\mathbb{V}'} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'$。

其中，$\mathbf{r}$ 是场位置， $\mathbf{r}'$ 是源位置，$\mathbb{V}'$ 是体积分的空间，$d^3\mathbf{r}'$ 是微小体元素。

根据法拉第感应定律。

$\nabla \times \mathbf{E}= - \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}= - \frac{\partial}{\partial t} (\nabla\times\mathbf{A})$。

其中，$\mathbf{E}$ 是电场。

重新编排。

$\nabla \times \left(\mathbf{E}+\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}\right)=0$。

所以，在圆括弧内的表达式具有保守性，是某函数 $\phi$ 的梯度：

$\mathbf{E}+\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}= - \nabla\phi$。

设定 $\phi$ 为电势，重新编排，可以得到电场、电势、磁向量势这三者之间的关系式：

$\mathbf{E} = - \nabla \phi - \frac { \partial \mathbf{A} } { \partial t }$。(2)

在电动力学和量子力学里，采用拉格朗日表述，拉格朗日量会用到磁向量势 $\mathbf{A}$。在带电粒子的拉格朗日力学里，正则动量$\mathbf{{p}}$为:$\mathbf{{p}}=m\mathbf{{v}}+q\mathbf{{A}}$；其中，$m$是质量，$\mathbf{{v}}$是速度，$q$是电荷。在某些状况下，守恒的不是$m\mathbf{{v}}$，而是$\mathbf{{p}}$，因此，$m\mathbf{{v}}$与$q\mathbf{{A}}$两个项共同贡献出正确的守恒动量。在量子力学里，带电粒子的薛定谔方程使用的基础物理量是磁向量势，而不是磁场。更详尽细节，请参阅包立方程式、拉格朗日量。

采用国际标准制，磁向量势的单位为伏特·秒／米（volt·second·meter−1）。

在电动力学的上下文里，术语向量势和纯量势分别指的是磁向量势与电势。在数学里，这两个术语有更广义的意义。

## 规范设定

上述定义并不能唯一地设定磁向量势，因为，添加任意无旋矢量 $\nabla\lambda$ 于磁矢量，不会改变磁场：

$\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}= \nabla \times (\mathbf{A}+\nabla\lambda)$。

因此，磁向量势有一个选择的自由度。这状况称为规范不变性。

### 采用库仑规范的马克士威方程组

根据高斯定律。

$\nabla\cdot\textbf{E}=\rho/\epsilon_0$。

其中，$\epsilon_0$ 是电常数。

将方程式(2)代入，采用库仑规范，$\nabla\cdot\textbf{A}=0$，可以得到

$\nabla\cdot\textbf{E}= - \nabla^2 \phi - \frac {\partial(\nabla\cdot\mathbf{A})}{\partial t}= - \nabla^2 \phi$。

根据马克士威-安培定律。

$\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$。

将方程式(1)、(2)代入，可以得到

$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A}) = \mu_0 \mathbf{J} - \mu_0\epsilon_0\left[\nabla\left(\frac{\partial\phi}{\partial t}\right)+ \frac{\partial^2\mathbf{A}}{\partial t^2}\right]$。

所以，马克士威方程组可以写为

$\nabla^2\phi = - \rho/ \epsilon_0$。

$\nabla^2\textbf{A} - \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \textbf{A}}{\partial t^2} = - \mu_0 \textbf{J}+\mu_0\epsilon_0\nabla\left(\frac{\partial\phi}{\partial t}\right)$。

库仑规范的优点是，很容易就可以计算出电势，但计算磁向量势比较困难。

### 采用劳仑次规范的马克士威方程组

采用劳仑次规范，$\mathbf{A}$ 必须满足条件

$\nabla\cdot\textbf{A} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \phi}{\partial t} = 0$。

这规范的优点是马克士威方程组可以更简易对称地写为

$\nabla^2\phi - \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = - \rho/ \epsilon_0$。

$\nabla^2\textbf{A} - \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \textbf{A}}{\partial t^2} = - \mu_0 \textbf{J}$。

以达朗贝尔算符 $\Box\ \stackrel{def}{=}\ \nabla^2 - \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 }{\partial t^2}$ 来表示。

$\Box\phi= - \rho/ \epsilon_0$。

$\Box\textbf{A}= - \mu_0 \textbf{J}$。

注意到这两个方程式的形式为非齐次波动方程式，源项目$- \rho/ \epsilon_0$、$- \mu_0 \textbf{J}$ 在方程式右手边。这方程组特别适用于描述电磁波的物理行为。

## 电磁四维势

在解析狭义相对论问题时，很自然而然地会将磁向量势与电势连结在一起，成为电磁四维势。这样做法主要基于三个动机：

- 第一、电磁四维势乃是一个四维向量。使用标准四维向量变换规则，假若知道在某惯性参考系的电磁四维势，很容易就可以计算出在其它惯性参考系的数值。
- 第二、经典电磁学的内容可以更简要、更便利地以电磁四维势表达，特别是当采用劳仑次规范时。
- 第三、电磁四维势在量子电动力学里占有重要的角色。

电磁四维势定义为

$A^\alpha\ \stackrel{def}{=}\ ( \phi /c,\, \mathbf{A})$。

劳仑次规范以抽象指标记号表示为

$\partial_{\alpha}A^{\alpha}= 0$。

其中，$\partial_{\alpha}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\partial }{\partial x^\alpha}\ \stackrel{def}{=}\ \left(\frac{\partial }{c\partial t},\frac{\partial }{\partial x^1},\frac{\partial }{\partial x^2},\frac{\partial }{\partial x^3}\right)$ 是对于反变矢量的偏微分。

马克士威方程组写为

$\Box A^\alpha =-\mu_0 J^\alpha$。

其中，$J^{\alpha}\ \stackrel{def}{=}\ (\rho c,\, \mathbf{j})$ 是四维电流密度。

前面谈到电势和磁向量势分别诠释为每单位电荷储存能量和每单位电荷储存动量。这可以从它们的四维矢量观察出来。思考四维动量，它是由能量 $E$ 与动量 $\mathbf{p}$ 共同组成的四维矢量：

$P^{\alpha} = \left(\frac{E}{c},\, \mathbf{p} \right)$。

改变观测的参考系，四维动量的四个分量会有对应的改变，电磁四维势也会有类似的改变。假若，电磁四维势的电势可以诠释为每单位电荷储存能量，那么，电磁四维势的磁向量势应该也有足够的理由诠释为每单位电荷储存动量。

## 从源分布计算位势

<image>

对于静态的电荷分布和电流分布，电势 $\phi(\mathbf{r})$ 和磁向量势 $\mathbf{A}(\mathbf{r})$ 分别定义为

$\phi(\mathbf{r})\ \stackrel{def}{=}\ \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'$。

$\mathbf{A}(\mathbf{r})\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'$。

其中，$\mathbf{r}$ 是场位置，$\mathbf{r}'$ 是源位置。

在电动力学里，这两个方程式必须加以延伸，才能正确地响应含时电流分布或含时电荷分布。定义推迟时间 $t_r$ 为检验时间 $t$ 减去电磁波传播的时间：

$t_r\ \stackrel{def}{=}\ t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{c}$。

其中，$c$ 是光速。

假设，从源位置 $\mathbf{r}'$ 往场位置 $\mathbf{r}$ 发射出一束电磁波，而这束电磁波在检验时间 $t$ 抵达观测者的场位置 $\mathbf{r}$，则这束电磁波发射的时间是推迟时间 $t_r$。由于电磁波传播于真空的速度是有限的，观测者检验到电磁波的检验时间 $t$，会不同于这电磁波发射的推迟时间 $t_r$。

推迟纯量势 $\phi(\mathbf{r},\,t)$ 与推迟向量势 $\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)$ 分别用方程式定义为

$\phi(\mathbf{r},\,t)\ \stackrel{def}{=}\ \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'$。

$\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'$。

请注意，在这两个含时方程式内，源电荷密度和源电流密度都跟推迟时间 $t_r$ 有关，而不是与时间无关。

这两个含时方程式，是用推理得到的启发式，而不是用任何定律或公理推导出来的。由于讯号以光速传播，从源位置到场位置，需要有限时间，所以在时间 $t$ 的推迟势必定是由在推迟时间 $t_r$ 的源电荷密度或源电流密度产生的。为了要肯定这两个方程式的正确性与合理性，这两个方程式必须满足非齐次的电磁波方程式。

## 磁向量势场线图

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关于载流螺线管周围的磁向量势绘图，请参阅理查·费曼的著作。

在静磁学里，安培方程式为 $\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J}$。这与方程式 $\nabla \times \mathbf{A} = \mathbf{B} \ $ 很相像。因此，磁场 $\mathbf{B}$ 所生成的磁向量势 $\mathbf{A}$ 的场线，就好似电流密度 $\mu_0\mathbf{J}$ 所生成的磁场 $\mathbf{B}$ 场线，所以，在一圈磁通量周围的磁向量势的场线，看起来就好似在一圈电流周围的磁场线。

右图显示出磁向量势的场线。红线越粗代表磁向量势越强（路径越短，磁向量势越强，但是磁向量势的闭合路径积分相同）。

采用库仑规范，磁场的散度和旋度分别为

$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$。

$\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}$。

而磁向量势的散度和旋度分别为

$\nabla\cdot\mathbf{A}=0$。

$\nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B}$。

所以，可以将 $\mathbf{A}$ 类比于 $\mathbf{B}$。磁向量势的源头是磁场，就如同磁场的源头是电流。

## 历史

麦可·法拉第最先提出电紧张态的概念。在研究电磁感应理论时，他发现当将物体放在磁铁或电流的附近时，物体会进入一种状态。假若不打扰这系统，则处于此状态的物体不会自发地显示出任何现象。但是，一当系统有所变化，像磁铁被移动了，或电流被增大了，则这状态也会改变，因而产生电流或趋向产生电流。法拉第称此状态为“电紧张态”（electrontonic state）。但是，这概念并没有被很明确地说明。

后来，开尔文男爵于1851年引入磁向量势的概念，并且给定磁向量势与磁场之间的关系：

$\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$。

在论文《论法拉第力线》的后半部分，马克士威开始仔细分析电紧张态的物理性质。他给出一条重要定律：作用于一个导体的微小元素的电场，可以由该微小元素的电紧张态对于时间的导数来量度。以现代标记表示，这方程式为

$\mathbf{E}=-\dot{\mathbf{A}}$。

这是马克士威学术生涯中的第一个重要突破，他将法拉第的电紧张态辨识为开尔文男爵的磁向量势，并且对于电紧张态给出严格定义。

对于电紧张态的定义式取旋度，则可得到法拉第感应方程式：

$\nabla\times\mathbf{E}=-\dot{\mathbf{B}}$。

马克士威在他的论文里特别提出，开尔文男爵于1851年发现的关于磁向量势的数学性质，即任意添加一个函数的梯度给磁向量势，都不会改变磁向量势与磁场的关系式、法拉第感应方程式，这数学性质后来演化为现今规范自由的概念。

## 外部链接

- 量子力学中的 Vector potentials，洪在明 （《物理双月刊》 17卷4期（1995年8月））