调和级数

调和级数（Harmonic series）是正整数的倒数之和，是发散的无穷级数，表达式为：

$$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots\,\!$$

这级数名字源于泛音及泛音列：振动的弦的泛音的波长依次是基本波长的$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{4}$......等。调和序列中，第一项之后的每一项都是相邻两项的调和平均数；而“调和平均数”一词同样也源自音乐。

## 历史

早在14世纪，尼克尔·奥里斯姆已经证明调和级数发散，但知道的人不多。17世纪时，皮耶特罗·曼戈里、约翰·伯努利和雅各布·伯努利完成了全部证明工作。

调和序列历来很受建筑师重视；在巴洛克时期尤其明显。当时建筑师在建造教堂和宫殿时，运用调和序列为楼面布置和建筑物高度建立比例，并使室内外的建筑细节间呈现和谐的联系。

## 佯谬

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对刚接触这级数的人而言，调和级数违反直觉——尽管随$n$不断增大，$\frac{1}{n}$无限接近0，但它却是发散级数。调和级数也因此成为一些佯谬的原型。“橡皮筋上的蠕虫”就是其中一例。假设蠕虫沿着1米长的橡皮筋爬行，而橡皮筋每分钟匀速伸展1米。如果相对于其所在的橡皮筋，蠕虫的爬行速度是每分钟1厘米，那么它最终会到达橡皮筋的另一头吗？与直觉相反，答案是肯定的：$n$分钟之后，蠕虫爬行过的距离与橡皮筋总长度的比值为：

$\frac{1}{100}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$。

调和级数发散（证明见本条目“发散”一节），即$n$趋于无穷大时级数也趋于无穷大，这比值也必定在某时刻超过1；也就是说，蠕虫最终一定会到达橡皮筋另一头。然而，在这时刻的n的值极其之大，约为$e^{100}$，超过1040（1后面有40个零）。这也说明了，尽管调和级数确确实实是发散，但它发散的速度非常慢。

另一例：假设有一堆完全相同的骨牌，可以肯定的是，它们可以叠在一起，并使得每块骨牌都突出其下方骨牌外一定长度，最终使得最上层的骨牌完全在最底层骨牌以外甚至更远。违反直觉的是，只要骨牌够多，就可以使最上层的骨牌与最底层骨牌水平距离无穷远。较简单的证明如下：

设每一块骨牌的长度为$l_0$。再设一叠$n$块平衡的骨牌的质心与最底层骨牌最右端的距离为$d_n$；在只有1块骨牌时，质心就在骨牌的几何中心（假设骨牌密度均匀），即$d_1\,=\,\frac{l_0}{2}$。对于一叠刚好平衡的骨牌（即对于任意一层骨牌，在其之上的骨牌的质心恰好落在其边缘），新骨牌不置于其上方（否则使得质心往右偏移而倒塌），而是垫在整叠骨牌之下，并使得原有骨牌的质心刚好落在新骨牌的最左端（则原来的骨牌不会倒塌）；设从上往下第n层骨牌突出其下方骨牌的长度为$l_n$，则有：$d_n+l_n=l_0$。根据质心的坐标系计算公式，可得到新的骨牌叠的质心为：

$$d_{n+1}\,=\,\frac{(d_n+l_n)n+\frac{l_0}{2}}{n+1}\,=\,\frac{l_0\cdot n+\frac{l_0}{2}}{n+1}\,=\,\frac{l_0\cdot (n+1)-\frac{l_0}{2}}{n+1}\,=\,l_0- \frac{\frac{l_0}{2}}{n+1}$$

则$l_{n+1} = l_0 - d_{n+1} = \frac{\frac{l_0}{2}}{n+1}$，即$l_n = \frac{l_0}{2} \cdot \frac{1}{n}$。

也就是说，理想的摆法是：最顶层骨牌与第二层之间水平距离是骨牌长度的$\frac{1}{2}$，第二、三层间水平距离是骨牌长度的$\frac{1}{4}$，第三、四层之间水平距离是骨牌长度的$\frac{1}{6}$......依此类推。最终。

$$l_{\mathrm{total}} = \frac{l_0}{2} \cdot \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$$

调和级数发散，当骨牌数目$n$趋于无穷大时，水平距离也趋于无穷大。

## 发散

### 比较审敛法

$$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{9}+\cdots\right.$$

$$\ge \sum_{k=1}^\infty 2^{-\lceil \log_2 k \rceil}\,\!$$

$$= 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{16}+\cdots\right.\,\!$$

$$= 1 +\ \frac{1}{2}\ + \qquad\frac{1}{2} \ \quad+ \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \ \quad\ \cdots \,\!\;=\;\; \infty.$$

因此该级数发散。

### 积分判别法（integral test）

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将调和级数的和与一个瑕积分比较可证此级数发散。考虑右图中长方形的排列：长方形宽1单位、高$\frac{1}{n}$单位（换句话说，每个长方形的面积都是$\frac{1}{n}$），所有长方形的总面积就是调和级数的和：

矩形面积和

$$= 1 \,+\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,+\, \cdots$$

而曲线$y=\frac{1}{x}$以下、从1到正无穷部分的面积由以下瑕积分给出：

曲线下面积

$= \int_1^\infty\frac{1}{x}\,dx \;=\; \infty$。这部分面积真包含于（换言之，小于）长方形总面积，长方形的总面积也必定趋于无穷。更准确说，这证明了

$$\sum_{n=1}^k \, \frac{1}{n} \;>\; \int_1^{k+1} \frac{1}{x}\,dx \;=\; \ln(k+1)$$

这方法的拓展即积分判别法。

### 反证法

假设调和级数收敛 , 则$\lim _{n \to \infty} S_{2n}-S_n=0$

但与$S_{2n}-S_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{2n} > \frac{n}{2n} = \frac{1}{2}$矛盾，故假设不真，即调和级数发散。

## 发散率

调和级数发散的速度非常缓慢。举例来说，调和序列前1043项的和还不足100。调和数列的部分和呈对数增长。特别地。

$$\sum_{n=1}^k\,\frac{1}{n} \;=\; \ln k + \gamma + \varepsilon_k$$

其中$\gamma$是欧拉－马歇罗尼常数，而$\epsilon_k$约等于$\frac{1}{2k}$，并且随着$k$趋于正无穷而趋于$0$。这结果由欧拉给出。

当然无论调和级数发散率再怎样低，其都不是发散率最慢的级数，仍存在发散率比调和级数更低的级数。理论上没有发散率“最慢”的发散性级数和。

## 部分和

调和级数的第$n$项部分和为：

$H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}$。

也叫作第n个调和数。

第n个调和数与$n$的自然对数的差值（即$\sum_{k = 1}^n \frac{1}{k} - \ln n$）收敛于欧拉-马歇罗尼常数。

两个不同的调和数之间的差值永远不是整数。

除了$n=1$以外，没有任何调和数是整数。

## 相关级数

### 交错调和级数

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如下级数：

$$\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} \;=\; 1 \,-\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,-\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \cdots$$

称作交错调和级数。这级数可经交错级数判别法证明收敛。特别地，这级数的和等于2的自然对数：

$1 \,-\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,-\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \cdots \;=\; \ln 2$。

这公式是墨卡托级数（自然对数的泰勒级数形式）的特例。

从反正切函数的泰勒展开式可导出相关级数：

$\sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \;\;=\;\; 1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \cdots \;\;=\;\; \frac{\pi}{4}$。

这级数也称作π的莱布尼茨公式。

### 广义调和级数

广义调和级数是指有如下形式的级数：

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{an+b}$。

其中$a \ne 0$且$b$为实数。

由比较审敛法可证所有广义调和级数均发散。

### $p$-级数

调和级数广义化的其中一种结果是$p$-级数，定义如下：

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$。

P是任何正实数。当$p=1$，$p$-级数即调和级数。由积分判别法或柯西稠密判定法可知$p$-级数在$p>1$时收敛（此时级数又叫过调和级数（over-harmonic series）），而在$p\leq 1$时发散。当$p>1$时，$p$-级数的和即$\zeta (p)$，也就是黎曼ζ函数在$p$的值。

### $\varphi$-级数

对凸实值函数$\varphi$，若满足以下条件：

$$\limsup_{u\to 0^{+}}\frac{\varphi(\frac{u}{2})}{\varphi(u)}< \frac{1}{2}$$

则级数$\textstyle \sum_{n\geq 1} \displaystyle \varphi(n^{-1})$收敛。

### 随机调和级数

随机调和级数定义如下：

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{s_{n}}{n}$。

其中$s_n$是恒等分布的独立随机变量，取值范围为+1和-1，取这两值的概率都是$\frac{1}{2}$。阿尔伯塔大学的拜伦·施姆兰研究此级数的性质，并发现这级数收敛的概率为1，并发现这随机变量有些有趣的性质。特别地，这随机变量的概率密度函数在+2和-2处的值为，与$\frac{1}{8}$只差不到10−42。施姆兰的论文解释了为什么这概率如此接近、但却不是$\frac{1}{8}$。这概率的精确值由无穷余弦乘积积分$C_2$除以$\pi$而给出的。

### 贫化调和级数

贫化调和级数是将调和级数中、分母含有数字9的项去除后所剩的级数。这级数是收敛的，其和小于80。实际上，将包含任意数字串的项从调和级数中去除后，所剩级数都收敛。

## 拉马努金求和

调和级数是柯西发散的，而且很多常用的发散级数求和方法对它也不适用。但是，调和级数的拉马努金求和存在，且为欧拉-马斯刻若尼常数。