群上同调

在同调代数中，群上同调是一套研究群及其表示的代数工具。群上同调源于代数拓扑，在代数数论上也有重要应用；它是现代类域论的基本构件之一。

## 起源

群论中的指导思想之一，是研究群 $G$ 及其表示的关系。群 $G$ 的表示是 $G$-模的特例：一个 $G$-模是一个阿贝尔群 $M$ 配上 $G$ 在 $M$ 上的群作用 $G \to \mathrm{End}(M)$。等价的说法是：$M$ 是群环 $\Z[G]$ 上的模。通常将 $G$ 的作用写成乘法 $m \mapsto gm$。全体 $G$-模自然地构成一个阿贝尔范畴。

对给定的 $G$-模 $M$，最重要的子群之一是其 $G$-不变子群

$$M^{G} = \lbrace x \in M : \forall g \in G \ gx=x \rbrace.$$

若 $N \subset M$ 是一个 $G$-子模（即：是 $M$ 的子群，且在 $G$ 的作用下不变），则 $M/N$ 上赋有自然的 $G$-模结构，$N^G \subset M^G$，但是未必有 $(M/N)^G = M^G/N^G$。第一个群上同调群 $H^1(G,N)$ 可以设想为两者间差异的某种量度。一般而言，可以定义一族函子 $H^n(G,-)$，其间关系可以由长正合序列表示。

## 形式建构

以下假设 $G$ 为有限群，全体 $G$-模构成阿贝尔范畴，其间的态射 $\mathrm{Hom}_G(M,N)$ 定义为满足 $f(gx)=gf(x)$ 的群同态 $f: M \to N$。由于此范畴等价于 $\Z[G]$-模范畴，故有充足的内射对象。

函子 $M \to M^G$ 是从 $G$-模范畴映至阿贝尔群范畴的左正合函子。定义 $H^n(G,M)$ 为其导函子。根据导函子的一般理论，可知：

- $$H^0(G,M)=M^G$$
- 长正合序列：若 $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ 为 $G$-模的短正合序列，则导出相应的长正合序列

$$\cdots \to H^{i-1}(G,M'') \to H^i(G,M') \to H^i(G,M) \to H^i(G,M'') \to H^{i+1}(M') \to H^{i+1}(M) \to \cdots$$

在上述定义中，若固定一个域 $k$，并以 $k[G]$ 代替 $\Z[G]$，得到的上同调群依然同构。

## 标准分解

导出函子的定义来自内射分解，不便于具体计算。然而注意到 $M^G = \mathrm{Hom}_G(\Z,M)$，其中 $\Z$ 被赋予平凡的 $G$ 作用：$gx = x$，故群上同调可以用Ext函子表达为

$$H^i(G,M) = \mathrm{Ext}^i(\Z,M)$$

另一方面，$G$-模范畴中也有充足的射影对象，若取一 $\Z$ 的射影分解 $0 \leftarrow \Z \leftarrow P_\bullet$，则有自然的同构 $\mathrm{Ext}^i(\Z,M) \simeq H^i(\mathrm{Hom}(P_\bullet,M))$。最自然的分解是标准分解

$$L_i := \sum_{(g_0,\ldots,g_i) \in G} \Z (g_0,\ldots,g_i)$$

$$g(g_0, \ldots, g_i) = (gg_0, \ldots, gg_i)$$

$$d(g_0, \ldots, g_i) = \sum_{j=0}^i (g_0, \ldots, \hat{g}_j, \ldots, g_i)$$

而 $L_0 \to \Z$ 由 $g_0 \mapsto 1$ 给出。

定义 $K^i := \mathrm{Hom}_G(L_i, M)$，其元素为形如 $f: G^{i+1} \mapsto M$ 的函数，并满足 $f(gg_0, \ldots, gg_i) = gf(g_0, \ldots, g_i)$，称之为齐次上链。根据 $G$ 在 $L_i$ 上的作用，这种 $f$ 由它在形如 $(e, g_1, g_1 g_2, \ldots, g_1 \ldots, g_i)$ 的元素上的取值确定。借此，可将上链复形 $K^i$ 描述为

- $K^i$ 的元素为 $G^i \to M$ 之函数。
- $$(df)(g_1, \ldots, g_{i+1}) = g_1 f(g_2, \ldots, g_{i+1}) + \sum_{j=1}^i (-1)^j f(g_1, \ldots, g_j g_{j+1}, \ldots, g_{i+1}) + (-1)^{i+1} f(g_1, \ldots, g_i)$$

其中的元素称为非齐次上链。

综上所述，得到 $H^i(K^\bullet) = H^i(G, M)$。

## 例子

较常用的上同调是 $H^1$ 与 $H^2$。从标准分解可导出以下的描述：

$$H^1(G, M) = \dfrac{\{ f: G \to M | \forall g, g', \; f(gg') = gf(g') + f(g) \}}{\{f: G \to M : \exists m\, \forall g, \; f(g) = gm-m\}}$$

准此要领，亦有

$$H^2(G,M) = \dfrac{\{ f: G^2 \to M | gf(g',g'')-f(gg',g'') + f(g,g'g'') - f(g,g')=0 \}}{\{ f: G^2 \to M : \exists h: G \to M, f(g,g')=gh(g')-h(gg')+h(g) \}}$$

## 群同调

上述理论有一对偶版本：对于任一 $G$-模 $M$，定义 $DM$ 为形如 $gm-m$ 的元素生成之子模。考虑从 $G$-模范畴映至阿贝尔群范畴的函子

$$M \to M_G := M/DM = \Z \otimes_{\Z[G]} M$$

这是一个右正合函子，其导出函子称为为群同调 $H_n(G,M)$。群同调可以藉Tor函子描述为

$$H_i(G,M) \simeq \mathrm{Tor}^{\Z[G]}_i (\Z, M)$$

对于有限群，群同调与群上同调可在塔特上同调群的理论下得到一贯的描述。

## 非阿贝尔群上同调

将上述定义中的 $G$-模 $M$ 改成一般的群 $A$（未必交换），并带有 $G$ 的作用 $a \mapsto g(a)$（称之为 $G$-群）。此时仍然可以定义第零个及第一个群上同调：

$$H^0(G,A) := A^G = \{a \in A | \forall g \in G, \; g(a)=a \}$$

$$H^1(G,A) := \dfrac{\{ a_s : G \to A | \forall s,t \in G, \; a_{st} = a_s s(a_t)\}}{\{ b_s: G \to A | \exists a, b_s = a^{-1} s(a)\}}$$

须留意 $H^0(G,A), H^1(G,A)$ 并不是群，而是带有一个指定元素的集合（来自 $A$ 的单位元素），以下所谓的正合性，都应该在此意义下理解。

若 $1 \to A \to B \to C \to 1$ 是 $G$-群的短正合序列，则有长正合序列

$$1 \to A^G \to B^G \to C^G \to H^1(G,A) \to H^1(G,B) \to H^1(G,C)$$

若 $A$落在 $B$ 的中心，此序列右端可再加一项 $H^1(G,C) \to H^2(G,A)$。

## 性质

### Res 与 Cor

若 $f: H \to G$ 为群同态，则可将任一 $G$-模透过 $f$ 视为 $H$-模，此运算导出上同调之间的映射

$$H^\bullet(G,M) \to H^\bullet(H, M)$$

此映射与群上同调的长正合序列相容。当 $H$ 是 $G$ 的子群而 $f$ 是包含映射，导出的映射称为限制映射，记为 Res。

由于我们假设 $G$ 为有限群，必有 $(G:H) < \infty$，此时映射

$$N_{G/H}: M^H \to M^G, \quad N_{G/H}(m) := \sum_{g \in G/H} gm$$

导出一个上限制映射 $\mathrm{Cor}: H^\bullet(H,M) \to H^\bullet(G,M)$。

定理. $\mathrm{Cor} \circ \mathrm{Res} = (G:H) \mathrm{id}$

### 中心扩张

若 $M$ 是平凡的 $G$ 模（即 $\forall g \in G, \; gm=m$），则 $H^2(G,M)$ 中的元素一一对应于 $G$ 对 $M$ 的中心扩张的等价类

$$0 \to M \to E \stackrel{p}{\to} G \to 1$$

中心扩张意谓：$0 \to M \to E \to G \to 1$ 是群扩张，而且 $M$ 落在 $E$ 的中心内。

具体描述方法是：任取一映射 $s: G \to E, p\circ s = \mathrm{id}_G$。$s$ 不一定是群同态，但存在函数 $f: G^2 \to M$ 使得 $s(g)s(g')=f(g,g')s(gg')$。$s$ 及 $f$ 刻划了 $E$ 的群结构。不难验证 $f \in K^2$ 满足 $df=0$，而 $s$ 的选取对应于 $f \mapsto f + dh, h \in K^1$，所以 $f \in H^2(G,A)$ 仅决定于唯一的一个中心扩张。反之，任一 $f \in H^2(G,A)$ 都来自于某个中心扩张，证毕。

### 谱序列

若 $N \subset G$ 是 $G$ 的正规子群，则有下述谱序列

$$H^p(G/N, H^q(N,A)) \implies H^{p+q}(G,A).\,$$

对于射影有限群，此式依然成立。