连续小波转换

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在数学中，连续小波变换（Continuous Wavelet Transform, CWT）是一种时频分析工具，通过让小波函数（Wavelet）的平移参数和尺度参数连续变化，提供信号的过完备表示。

函数$x(t)$在尺度$a\in\mathbb{R^{+*}}$和位置$b\in\mathbb{R}$的连续小波变换表示为积分：$$X_w(a,b)=\frac{1}{|a|^{1/2}} \int_{-\infty}^\infty x(t)\overline\psi\left(\frac{t-b}{a}\right)\, dt$$其中$\psi(t)$称为母小波，是在时间和频率域中的连续函数，$\bar{\cdot}$表示复共轭。母小波的主要目的是为生成子小波（即母小波的尺度伸缩和平移）提供原函数。逆连续小波变换（Inverse continuous wavelet transform）可以用于恢复信号$x(t)$:

$$x(t)=C_\psi^{-1}\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} X_w(a,b)\frac{1}{|a|^{1/2}}\tilde\psi\left(\frac{t-b}{a}\right)\, db\ \frac{da}{a^2}$$

$\tilde\psi(t)$ 是 $\psi(t)$ 的对偶函数，且：

$$C_\psi=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\overline\hat{\psi}(\omega)\hat{\tilde\psi}(\omega)}{|\omega|}\, d\omega$$

为容许性常数，式中$\hat{\cdot}$表示傅里叶变换算子。当母小波函数自对偶时（即$\tilde\psi(t)=\psi(t)$），容许性常数为：

$$C_\psi = \int_{-\infty}^{+\infty} <pre> \frac{\left| \hat{\psi}(\omega) \right|^2}{\left| \omega \right|} \, d\omega </pre>$$

一般来说，该常数为小波的容许性常数（Admissible constant）。满足：

$$0<C_\psi <\infty$$

小波称为容许小波（Admissible wavelet）。容许小波满足$\hat{\psi}(0) = 0$，即积分为0。恢复信号$x(t)$的另一种逆连续小波变换为：

$$x(t)=\frac{1}{2\pi\overline\hat{\psi}(1)}\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{a^2}X_w(a,b)\exp\left(i\frac{t-b}{a}\right)\, db\ da$$

该式说明，小波可以定义为：

$$\psi(t)=w(t)\exp(it)$$

其中 $w(t)$ 是一个窗。这种小波称为解析小波（Analyzing wavelet），因为它被用于时频分析（Time-frequency analysis）。解析小波不一定是容许小波。

## 小波转换(Wavelet Transform)的类型

在实际应用中，小波转换(Wavelet Transform)可依照输入与输出为连续或是离散(discrete)分成三种类型。

- 第一种，输入为连续，输出为连续，则称之为连续小波转换(Continuous Wavelet Transform)
- 第二种，输入为连续，输出为离散，则称之为连续离散系数小波转换(Continuous wavelet transform with discrete coefficients)
- 第三种，输入为离散，输出为离散，则称之为离散小波转换(Discrete Wavelet Transform)
- 实际应用中并没有第四种输入为离散输出为连续的小波转换，因为在应用中并不会将简单的讯号转换成更复杂的讯号

傅立叶转换(Fourier Transform)与小波转换比较共有四种类型

- 第一种，输入为连续，输出为连续，傅立叶转换(Fourier Transform)
- 第二种，输入为连续，输出为离散，傅立叶级数(Fourier Series)
- 第三种，输入为离散，输出为离散，离散傅立叶转换(Discrete Fourier Transform)
- 第四种，输入为离散，输出为连续，离散(时间)傅立叶转换(Discrete-time Fourier Transform)

## 连续小波转换介绍

连续小波转换(Continuous Wavelet Transform)是一种用来分解一个连续时间函数，使它变成数个小波(wavelet)。跟傅立叶变换(Fourier Transform)不一样的是，连续小波转换可以建构一个具有良好时域和频域局部化的时频讯号。以数学来说，一个有连续时间性质且可积分的函数$x(t)$ 可以用下面的积分来表示

$$X_w(a,b)=\frac{1}{\sqrt{|(b)|}} \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\psi(\frac{t-a}{b})\, dt$$

$\psi(t)$为小波母函数(Mother Wavelet)，一个在时间领域和频率领域都有连续性质的函数， $a$为平移位置而 $b$为缩放因子。

- $a$的区间在$\left( -\infty,+\infty\right)$，$b$的区间$\left( 0,+\infty\right)$
- 以时频分析的角度分析，当$b$值越大，频率的变化越小
- 以时频分析的角度分析，当$b$值越小，频率的变化越大

小波母函数的用途在于提供一个可以产生子波(Daughter Wavelet)的根源函数，而子波是小波母函数平移过或缩放过(或两者都有)的版本。如果要将已知且存在的讯号 $x(t)$恢复原来的形式，我们可以用反转连续小波转换(Inverse Continuous Wavelet Transform)

$$x(t)=\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{b^2}X_w(a,b)\frac{1}{\sqrt{|(b)|}} \psi_1(\frac{t-a}{b})\, dadb$$

$\psi_1(t)$为$\psi(t)$ 的对偶函数(Dual Function)。而这个对偶函数必须满足

$$\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|b^3|}\psi(\frac{t_1-a}{b})\psi_1(\frac{t-a}{b})\, dadb=\boldsymbol{\delta}(t-t_1)$$

有时 $\psi_1(t)=C^{-1}\psi(t)$。

## 连续小波转换的问题

- 尺度函数不易求出
- 较难以解释

在实务上，相较于连续小波转换，通常较多会使用离散小波变换、连续离散系数小波转换

## 连续小波转换组成要素

### 小波母函数(Mother Wavelet)

举例，2个例子来说明小波母函数(Mother Wavelet):

- Haa基，消失矩=1
- 墨西哥帽函数，消失矩=2

#### Mother wavelet 的五大限制

- 紧支撑
- 支撑:函数的范围没有收敛区间
- 紧支撑: 函数的范围有收敛
- 实函数
- 奇对称或偶对称
- 消失矩
- 容许性条件
- 用于确认是否存在反小波转换

通常来说，我们会倾向选一个可以连续微分的小波母函数且拥有紧凑支撑(Compact Support)的尺度函数(Scaling Function)和高阶的消失矩(Vanishing Moment)。一个小波母函数是以这两个函数所组成:小波函数 $\psi(t)$和尺度函数 $\varphi(t)$。一个尺度函数拥有紧凑支撑性质如果它的尺度滤波器含有有限的支撑，且它们的支撑是一样的。例如，如果一个尺度函数的支撑为N1,N2，那它的就是(N1-N2+1)/2,(N2-N1+1)/2。另外，第k个矩可以以下的数学方程式表示

$$m_k=\int t^k\psi(t)\, dt$$

如果 $m_0=m_1=m_2=.....=m_{p-1}=0$， $\psi(t)$就有 $p$个消失矩。

在一个小波分析中，消失矩的数量代表着小波转换的阶级。根据Strang-Fix条件，一个正交小波的错误近似值在 $a^{-i}$进位法会朝 $a^L$衰减， $L$为小波的阶级。换言之，一个较高阶小波转换会产生较好的讯号近似值。

另外由帕瑟伐定理(Parseval's Theorem),

$\int t^k\psi(t)\, dt=\int \boldsymbol{\Psi^{*}(f)}(\frac{j}{2\pi})^{2}\frac{d^{k}}{df^{k}}\delta(f)df\, dt$

$\Rightarrow \int t^k\psi(t)\, dt=0 \iff (\frac{j}{2\pi})^{2}\frac{d^{k}}{df^{k}} \boldsymbol{\Psi^{*}(f)}|_{f=0}=0 \iff \frac{d^{k}}{df^{k}}\boldsymbol{\Psi^{*}(f)}|_{f=0}=0 \iff \frac{d^{k}}{df^{k}}\boldsymbol{\Psi(f)}|_{f=0}=0$

其中 $\boldsymbol{\Psi(f)}$是$\psi(t)$ 的傅立叶转换。

### 尺度函数

- 目的是简化反小波转换(Inverse wavelet transform) 过程

在连续小波转换中，定义尺度函数 $\varphi(t)$为

$$\varphi(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \boldsymbol{\Phi(f)} e^{j2 \pi ft} df$$

其中$\boldsymbol{\Phi(f)}$为$\varphi(t)$的傅立叶转换，并且满足

$${\left| \boldsymbol{\Phi(f)} \right|}^2 = \int_{f}^{\infty} \frac{ {\left| \boldsymbol{\Psi(f_1)} \right|}^2 }{{\left| f_1 \right|}^2} d{f_1}$$

小波函数 $\phi(t)$和尺度函数 $\varphi(t)$描叙一个小波。尺度函数最重要的功能是提高小波频谱的范围。这不容易因为时间为频率的反比。也就是说，如果我们想要让时域的频谱范围加倍，我们就必须牺牲一半的频域带宽。与其用无限数目的阶层来覆盖频谱，我们可以用有限的尺度函数组合来覆盖频谱。这样的结果会使得须要用来覆盖整个频谱大大的减少。

### 缩放因子

缩放因子可以压缩或拉长一个讯号。当缩放因子的值相对低时，讯号会比较紧缩，也就是会造成一个更细致的图像。但是低缩放因子的缺点是它的效果无法覆盖一个讯号的持续期间。另一方面，当缩放因子的值相对高时，讯号会比较被拉长造成一个比较粗糙的图像，但是它的效果会持续整个讯号的期间。

## 连续小波转换性质

- 输入与输出的性质关系

基本上，连续小波转换是输入资料序列和一组由小波母函数所产生函数的卷积。这个卷积可以用快速傅立叶变换来计算。除非小波母函数为虚数函数，在正常的情况下，输出信息 $X_w(a,b)$会是一个实数函数。在小波母函数是虚数函数的情况下，连续小波转换会造成一个虚数函数。连续小波转换的功率谱可以以 $\|X_w(a,b)|^2$的数学型式来表示。通常在设计小波母函数时，为了应用上的目的会将小波母函数设计为实数函数。

- 时间轴上的位移

输入函数$x(t)$与输出函数$X_w(a,b)$之间具有相对的位移关系：

若$x(t)$ 经过小波转换后的输出函数为$X_w(a,b)$

则$x(t-\tau)$ 经过小波转换后的输出函数为$X_w(a-\tau,b)$

- 时间轴上的缩放

当进行小波转换的函数在时间轴上拉长或压缩时，输出函数也会有相对应的变化：

若$x(t)$ 经过小波转换后的输出函数为$X_w(a,b)$

则$x(t/\sigma)$ 经过小波转换后的输出函数为$\sqrt{\sigma}X_w(a/\sigma,b/\sigma)$

- 帕瑟伐定理(Parseval's Theory)

在 $\varphi(t)=C^-1\psi(t)$ 的条件下，满足

$$\int {|x(t)|}^2\,dt = \frac{1}{C}\,\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{b^2} {|X_w(a,b)|}^2\,da\,db$$

## 相较于加伯变换

加伯变换在处理讯号时不管是高频或是低频，尺度皆是相同的

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而小波转换则会根据不同的频率改变其本身的的尺度

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小波变换的分辨率在a-axis中，不因a值的改变而改变，但延著不同的b值改变以得到较好的结果。

## 修正型连续小波转换

利用上述尺度函数的定义，我们可以定义修正型的连续小波转换。将原本的连续小波转换定义为

$X_w(a,b)=\frac{1}{\sqrt{b^\prime}} \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\psi(\frac{t-a}{b^\prime })\, dt$ ,

在$a$ 属于实数，且$0 < b^\prime < b_0$的情况下，则可定义

${LX}_w(a,b_0)=\frac{1}{\sqrt{b_0}} \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\varphi(\frac{t-a}{b_0 })\, dt$ ,

借由新定义的函数${LX}_w(a,b_0)$，我们可以将反转连续小波转换表示为

$$x(t)=\frac{1}{C_\psi} \left[ \int_{0}^{b_0} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{{b^\prime}^{5/2}} X_w(a,b^\prime)\psi(\frac{t-a}{b^\prime })\, da\,db + \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{{b_0}^{3/2}} {LX}_w(a,b_0) \varphi(\frac{t-a}{b_0}) \,da\right]$$

此建构$x(t)$的方法可视为简化版的反转连续小波转换。其中。

$$C_\psi = \int_{0}^{\infty} \frac{|{\Psi(f)|}^2}{|f|}\,df$$

此式中$\Psi(f)$ 为$\psi(f)$的傅立叶转换。

通常在设计母小波函数时，会要求 $C_\psi \ < \ \infty$，此性质又称为“可采纳性(Admissibility Criterion)”。

## 小波量值图(Scalogram)

在许多文献资料中，常用小波量值图(Scalogram)来表示连续小波转换后的结果。其定义如下

$$Sc_x(a,b) ={ \left| X_w(a,b)\right|}^2 = \frac{1}{|b|} {\left|\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\psi(\frac{t-a}{b})\,dt \right| }^2$$

此处的定义即为连续小波转换结果的绝对值平方，用以视觉化连续小波转换的结果。

小波量值图之于小波转换函数的意义和频谱图之于短时距时频平分析的意义相似。

在实际应用上通常以三个轴来显示，分别代表时间、频率与小波量值图的振幅。若是在二维图片则是利用颜色深浅来表示小波量值图的强度。

## 连续小波转换应用

小波转换最热门的一个应用为图像压缩。用小波转换式的编码在图像压缩可以提供显著的图像品质改善且给予更高的压缩比率。因为小波转换可以分解一个复杂的讯息或图案成基本型式，它在音乐档案和图型辨识上被广泛的使用。此外，我们还可以在以下的科学研究领域见到小波转换的应用: 边缘检测，解偏微分方程，脑电瞬态信号检测，滤波器设计，心电图分析，衣料分析和商业资讯分析。

## 离散变数连续小波转换

在离散变数连续小波转换(Continuous Wavelet Transform with Discrete Coefficients)中，原本

$$X_w(a,b) =\frac{1}{\sqrt{|(b)|}} \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\psi(\frac{t-a}{b})\, dt$$

中的$a, \,b$具有一定的关系，不能随意选取。若令$a = n2^{-m}, \ b = 2^{-m}$

则离散变数连续小波转换则重新表示为

$$X_w(a,b) =2^{m/2} \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\psi(2^m-n)\, dt$$

其中$n\in Z, \ n\in(-\infty,\infty)$ 且 $n\in Z, \ n\in(-\infty,\infty)$

选择离散变数连续小波转换的主要目的，在于简化连续小波转换在实作上的复杂性，并且利用快速算法增加应用价值。实际上离散变数连续小波转换算是连续小波转换的一种特例，部分文献将其当作离散小波转换讨论。

此处的选择$a$与$b$之间的限制，使我们可以利用离散卷积的方式，由$X_w(n,m-1)$计算$X_w(n,m)$。

### 离散变数反转连续小波转换

在$a = n2^{-m}, \ b = 2^{-m}$的条件下，可定义离散变数反转连续小波转换为：

$$x(t) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty} 2^{m/2} \psi_1(2^m-n) X_w(n,m)$$

$\psi_1(t)$为$\psi(t)$的双效函数(dual function)，并且满足特性

$$\sum_{m=-\infty}^{\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty} 2^{m} \psi_1(2^m-n)\psi(2^m t_1-n) = \delta{t-t_1}$$

又此条件可表示为

$$\int_{-\infty}^{\infty} 2^{m} \psi_1(2^m_1-n_1)\psi(2^m t_1-n)\,dt = \delta{m-m_1}\delta{n-n_1}$$

## 离散变数连续小波优缺点

优点:

- 快速算法
- 正交性质（Orthogonal）
- 非均匀频率分析（Non-uniform frequency analysis）

缺点:

- 无限多项连乘
- 难以保证紧支撑

## 小波转换应用

小波转换的应用有以下两项特点:

- 信号的频率分布，会随着不同的时间 (或地点 )有较大变化
- 多尺度的分析扮演重要的角色
- 大采样间隔 $\longrightarrow$忽略细节信息
- 小采样间隔$\longrightarrow$需要大量数据

应用:

- 影像压缩，例如JPEG /JPEG2000
- 边缘角落侦测
- 特征辨识
- 强调前景压缩背景
- 滤波器设计
- 声音讯号
- 指纹辨识
- 金融
- 气象分析

## 参考文献

- Jian-Jiun Ding (2012) Time-Frequency Analysis and Wavelet Transform http://djj.ee.ntu.edu.tw/TFW.htm viewed 17/01/2012
- A. Grossman and J. Morlet (1984) Decomposition of hardy functions into square integrable wavelets of constant shape, SIAM J. Appl. Math., vol. 15, pp. 723-736
- Polikar, Robi (2001) The Wavelet Tutorial http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html view 19/01/2008
- WaveMetrics (2004) Time Frequency Analysis http://www.wavemetrics.com/products/igorpro/dataanalysis/signalprocessing/timefrequency.htm viewed 18/01/2008
- Valens, Clemens (2004) A Really Friendly Guide to Wavelets https://web.archive.org/web/20080131154131/http://pagesperso-orange.fr/polyvalens/clemens/wavelets/wavelets.html#section7 viewed 18/01/2008