圆周运动

在物理学中，圆周运动（Circular motion）是指运动轨迹为圆或圆的一部分的一种运动。

圆周运动的例子有：一个轨道为圆的人造卫星的运动、一个电子垂直地进入一个均匀的磁场时所做的运动等等。

一个质点的圆周运动可以按轨道的切线和垂直轨道的法线这两个方向来分解。

质点的加速度在切向的分量称为切线加速度。切线加速度改变质点沿轨道运动的线速度的大小，不改变方向。加速度在法线的分量成为法线加速度。由于在圆周运动中，法线加速度始终指向圆心，所以此加速度又称向心加速度。向心加速度改变质点速度的方向，不改变大小。

切线加速度大小为零的运动称为匀速圆周运动。

对于匀速圆周运动，符合以下方程和分量方程：

## 常用公式

- $$\theta = \omega t \ $$
- $$a = r\omega^2 \ $$
- $$\omega}= {2\pi \over \ T \ $$

其中$v$为速度，$a$为向心加速度, $T$为周期，$\omega$为角速度（单位：rad/s）。

## 分量方程

在运动平面中建立平面直角坐标系，并以圆心为原点，初位置的位置矢量$\vec{r}$的方向为$x$轴正方向。

### 位移

- $$\left|\vec{x} \right| = r \cos \theta = r \cos \omega t$$
- $$\left|\vec{y} \right|= r \sin \theta = r \sin \omega t$$

### 速度

- $$\left|\vec{V}_x \right|= \frac{d\vec{x}}{dt} = \frac{dr \cos \theta}{d \theta} \frac{d \theta}{dt} = -r \omega \sin \omega t$$
- $$\left|\vec{V}_y \right|= \frac{d\vec{y}}{dt} = \frac{dr \sin \theta}{d \theta} \frac{d \theta}{dt} = r \omega \cos \omega t$$
- $$\omega = \frac{d \theta}{dt}$$

### 加速度

- $$\vec{a}_x = \frac{d\vec{V}_x}{dt} = -\vec{r} \omega^{2} \cos \omega t$$
- $$\vec{a}_y = \frac{d\vec{V}_y}{dt} = -\vec{r} \omega^{2} \sin \omega t$$
- $$\left| \vec{a} \right| = \sqrt{a_x^{2} + a_y^{2}} = r \omega^{2} = \frac{v^{2}}{r} = \frac{4 \pi^{2} r}{T^{2}}$$
- $$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}= \frac{2 \pi \vec{r}}{T}$$

## 动力学分析

将做圆周运动的质点受到的合力$F$分解为切向力$F_\tau$和法向力$F_n$。

切向力产生切向加速度：

$$F_\tau=ma_\tau$$

法向力产生法向加速度:

$$F_n=ma_n$$

当质点做匀速圆周运动时，质点受到的合外力$F=F_n$，此时$F$又称向心力。

## 物理量

假设一个1千克的物体，以角速度1 rad·s−1沿半径为1 m的匀速圆周运动。

- 该物体的速率为1 m·s−1
- 向心加速度为1 m·s−2
- 该物体受到的向心力为1 kg·m·s−2，即1牛顿
- 该物体的动量为1 kg·m·s−1
- 转动惯量为1 kg·m2
- 角动量为1 kg·m2·s−1
- 动能为$\frac{1}{2}$焦耳
- 轨道的周长为$2\pi$ (≈6.283)米
- 运动的周期为$2\pi$秒
- 频率为$\frac{1}{2\pi}$赫兹
- 从量子力学的观点，系统在受激态的量子数大约为～9.48×1035。

然后假设一个质量为$m$的物体，以角速度$\omega$沿半径为r的圆周运动。

- 速度$v=r\omega$
- 向心加速度$a=r\omega ^2 = \frac{v^2}{r}$
- 向心力$F=ma=rm\omega ^2 = \frac{mv^2}{r}$
- 物体的动量$p=mv=rm\omega$
- 转动惯量$I=r^2 m$
- 角动量$L=rmv=r^2m\omega=I\omega$
- 动能$E=\frac{mv^2}{2}=\frac{r^2m \omega^2}{2}=\frac{p^2}{2m}=\frac{I \omega^2}{2}=\frac{L^2}{2I}$
- 轨道周长为$2\pi r$
- 运动周期$T=\frac{2\pi}{\omega}$
- 频率$f=\frac{1}{T}$. (常用希腊字母ν表示频率，但为了与表示速度的符号$v$区分，这里使用$f$表示频率)
- 量子数$J=\frac{2\pi L}{h}$（$h$是普朗克常数）

## 变速圆周运动

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一般地，将作圆周运动的物体所受的合力分解为向心力（垂直于速度方向）和切向力（沿速度方向，使物体速度大小发生变化）。而物体在这两个方向上满足牛顿第二定律。

向心力的大小：

$$F_n=ma_n=m \frac{v^2}{r}$$

$v$是物体的速度，$r$是运动轨迹的半径。

## 圆周运动的极坐标描述

在圆周运动时，物体沿着一个曲率半径固定的曲线运动。

$\vec r$ 径向量为：

$\vec r=R \vec e_R$ 此处 $\vec e_R$ 是平行于径向量的单位向量。

在极座标中，物体的速度可以用两个分量表示：径向分量和切线分量。当圆的半径为常数且径向分量的速度为零，则速度:

$$\vec v=R\dot \varphi \cdot \vec e_{\varphi}$$

所以 $v_{\varphi}=R\omega$

物体的加速度也可以分解成径向分量及切线分量：

$$\vec a = \dot {\vec v} = -R{\dot \varphi}^2 \vec e_R +R \ddot \varphi \vec e_{\varphi}$$

我们可以看到向心加速度是径向的分量，它是：

$$a_R= R\dot \varphi ^2=R\omega ^2$$

径向分量可改变速度的大小:

$$a_{\varphi}=R\ddot \varphi = R\varepsilon$$

## 圆周运动的复数描述

我们可以使用复数来描述圆周运动。令$x$轴表示实数，$y$轴表示虚数，则物体的位置可以表示成在$z$的复数向量：

$$z=x+iy=R(\cos \varphi +i \sin \varphi)=Re^{i\varphi}$$

此处$i$是虚数单位。

$\varphi =\varphi (t)$是复数向量的实数部分，并且是时间的函数。

因为半径是常数（定值）$\dot R =\ddot R =0$

所以速度是：

$$v=\dot z = iR\dot \varphi e^{i\varphi} = i\omega \cdot Re^{i\varphi}= i\omega z$$

而加速度则是：

$$a=i\dot \omega z +i \omega \dot z =(i\varepsilon -\omega^2)z$$

## 外部链接

- Circular Motion - 网上教科书（英文）