广义相对论的替代理论

广义相对论的替代理论是与爱因斯坦广义相对论竞争，尝试要描述重力现象的物理理论。

对于建构一个理想重力理论，至今已有许多不同的尝试。这些尝试可以分为下面四个大类：

- 与广义相对论直接竞争的理论，例如嘉当理论以及布兰斯-狄克理论等等。
- 尝试建构量子化的重力理论，例如循环量子重力理论。
- 尝试统一重力与其他基本力，例如卡鲁扎-克莱因理论。
- 尝试将所有目标毕其功于一役，例如M理论。

本文谈论对象仅包括与广义相对论的直接竞争理论。关于量子化重力理论课题，参见量子重力。重力与其他基本力的统一理论课题，参见古典统一场论。试图将所有目标毕其功于一役的理论，请见万有理论。

## 动机

建立新的重力理论的动机随着年代不同，最早先的动机是要解释行星轨道（牛顿重力）以及更复杂的轨道（例如：拉格朗日）。再来登场的是不成功的尝试——要合并重力与波理论或微粒(corpuscular)理论的新重力理论。随着劳仑兹变换的发现，物理学的样貌彻底改变，而导致了将其与重力调和的尝试。在此同时，实验物理学家开始测试重力与相对论的基础——劳仑兹不变性、重力造成的光线偏折、Eötvös实验。这些考量导致与考验了广义相对论的发展。

## 本文中的符号标记

$c\;$为光速，$G\;$为重力常数。几何变数(Geometric variables)在此不使用。

拉丁字母指标取值从1到3，希腊字母指标取值从0到3。采用爱因斯坦取和原则。

$\eta_{\mu\nu}\;$为闵可夫斯基度规。$g_{\mu\nu}\;$为一张量，通常是度规张量。其有标记(signature)$(-,+,+,+)$。

协变微分(Covariant differentiation)写为$\nabla_\mu\phi\;$或$\phi_{;\mu}\;$。

也可考虑阅读广义相对论的数学条目。

## 理论分类

重力理论可以粗略分为数个大类。此处描述的多数理论具有：

- 一作用量（参见最小作用量原理，其为一基于作用量观念的变分原理）
- 一拉格朗日密度
- 一度规

若一理论具有一拉格朗日密度，写作$L\,$，则作用量$S\,$则是此项的积分，例如：

$$S\,\propto\,\int d^4 x R \sqrt{-g}L\,$$

其中$R\,$是空间的曲率。在此方程式中，通常会有$g=-1\,$的情形，但并非必要条件。

本文中所描述的理论几乎每个都有一作用量。这是目前已知的方法来保证能量、动量与角动量守恒能自动成立；尽管如此，要建构使守恒律被违背的作用量仍相当容易。1983年原始版本的MOND并没有作用量。

一些理论有作用量但没有拉格朗日密度。一个好的例子是怀海德(1922年)的理论，此中的作用量是非局域的。

一个重力理论是一度规理论(metric theory)仅当其可以给出遵守如下两个条件的数学表述：

条件1. 存在一度规张量$g_{\mu\nu}\,$，标记为1，而此度规掌控了原长(proper-length)与原时(proper-time)测量，一如在狭义与广义相对论：

$$ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu\,$$

此式中对指标$\mu$与$\nu$进行取和。

条件2. 受到重力作用的具应力物质与场按照下列方程式反应：

$$\nabla\cdot T=0\,$$

其中$T\,$为应力-能量张量，针对所有物质以及非重力的场，而$\nabla$为随度规所做的协变导数(covariant derivative)。

任何重力理论若$g_{\mu\nu}\ne g_{\nu\mu}$永远成立，则其非度规理论，但任何度规理论可以给予违背条件1与2的数学描述。

度规理论包括（从简单至复杂）：

- 纯量场理论（包括共形平直理论(Conformally flat theories)，以及具有共形平直空间切面(Conformally flat space slices)的层状理论(Stratified theories)）

诺德斯特洛姆(Nordström)、Einstein-Fokker、Whitrow-Morduch、Littlewood、Bergman、Page-Tupper, 爱因斯坦（1912年）、Whitrow-Morduch、罗森(Rosen)（1971年）、Papapetrou、倪维斗(Ni)、Yilmaz、Coleman、李-莱特曼-倪(Lee-Lightman-Ni)

- 双度规理论

罗森（1975年）、Rastall、莱特曼-李(Lightman-Lee)

- 类线性理论（包括线性固定规范(Linear fixed gauge)）

怀海德(Whitehead)、Deser-Laurent、Bollini-Giambini-Tiomno

- 张量理论

爱因斯坦广义相对论

- 纯量-张量理论
- 向量-张量理论
- 其他度规理论

（参见后文1980年代至今的现代理论）

非度规理论，则包括嘉当(Cartan)、Belinfante-Swihart。

关于马赫原理，在这里做一些陈述是洽当的，因为其中一些理论根据的是马赫原理，例如怀海德（1922年），and many mention it in passing eg. Einstein-Grossmann (1913), Brans-Dicke (1961). 马赫原理可以被想作是介于牛顿与爱因斯坦之间的妥协(half-way-house)。可以做如此描述：

- 牛顿：绝对空间与时间。
- 马赫：参考系源自于宇宙中物质的分布。
- 爱因斯坦：没有绝对的参考系。

目前为止，所有的实验证据指出马赫原理是不正确的，但其可能性尚未被完全排除。

## 早期理论（1686年至1916年）

早期重力理论——指的是广义相对论之前的理论——包括有牛顿（1686年）、爱因斯坦（1912年a & b）、爱因斯坦与格罗斯曼(Grossmann)（1913年）、诺德斯特洛姆(Nordström)（1912年、 1913年）以及爱因斯坦与佛克(Fokker)（1914年）。

在牛顿（1686年）理论中（以更近代的数学重写），质量密度$\rho\,$产生了一个纯量场$\phi\,$：

${\partial^2 \phi \over \partial x^j \partial x^j}=4 \pi \rho \,$。

利用倒三角算符(Nabla operator)$\nabla$，可以很方面地写成：

$\nabla^2 \phi =4 \pi \rho\,$。

而纯量场掌控了自由下落粒子的运动：

${ d^2x^j\over dt^2}+{\partial\phi\over\partial x^j\,}=0 \,$。

其中纯量场为$\phi=GM/r \,$。

## 广义相对论替代理论的测试

理论与测试的发展是一个牵一个地进行着。多数测试可以被分类为（参见Will 2001）：

- 基本生存力(Basic Viability)
- 爱因斯坦等效原理(Einstein's Equivalence Principle, EEP)
- 参数化后牛顿形式(Parametric Post-Newtonian, PPN)
- 强场重力(Strong Gravity)
- 重力波(Gravitational Waves)

## 理论测试结果

### 一些理论的PPN参数实测值

（细节参见威尔(Will)（1981年）与倪维斗(Ni)（1972年）。米斯纳(Misner)等人（1973年）制表将倪氏参数记号转换成威尔的版本。）

广义相对论至今已经超过90岁，而不断继起的重力替代理论却无法与更精确的观测结果相一致。更细节的描述请见参数化后牛顿形式(Parameterized post-Newtonian formalism, PPN)。

下表列举了为数众多的理论之PPN值。如果格中的值跟行顶格子的值相同，则表示完整的式子太复杂而无法列在此处；例如：行顶格子为β参数，而Bergmann（1968年）, Wagoner（1970年）的格子值也是β。

$\gamma$｜$\beta$｜$\xi$｜$\alpha_1$｜$\alpha_2$｜$\alpha_3$｜$\zeta_1$｜$\zeta_2$｜$\zeta_3$｜$\zeta_4$

爱因斯坦（1916年）广义相对论｜1｜1｜0｜0｜0｜0｜0｜0｜0｜0

纯量-张量理论

Bergmann（1968年）, Wagoner（1970年）｜$\textstyle\frac{1+\omega}{2+\omega}$｜$\beta$｜0｜0｜0｜0｜0｜0｜0｜0

NordtVedt（1970年）, Bekenstein（1977年）｜$\textstyle\frac{1+\omega}{2+\omega}$｜$\beta$｜0｜0｜0｜0｜0｜0｜0｜0

布兰斯-狄克（1961年）｜$\textstyle\frac{1+\omega}{2+\omega}$｜1｜0｜0｜0｜0｜0｜0｜0｜0

向量-张量理论

Hellings-Nordtvedt（1973年）｜$\gamma$｜$\beta$｜0｜$\alpha_1$｜$\alpha_2$｜0｜0｜0｜0｜0

Will-Nordtvedt（1972年）｜1｜1｜0｜0｜$\alpha_2$｜0｜0｜0｜0｜0

双度规理论

Rosen（1975年）｜1｜1｜0｜0｜$c_0/c_1-1$｜0｜0｜0｜0｜0

Rastall（1979年）｜1｜1｜0｜0｜$\alpha_2$｜0｜0｜0｜0｜0

莱特曼-李（1973年）｜$\gamma$｜$\beta$｜0｜$\alpha_1$｜$\alpha_2$｜0｜0｜0｜0｜0

层状理论

李-莱特曼-倪（1974年）｜$ac_0/c_1$｜$\beta$｜$\xi$｜$\alpha_1$｜$\alpha_2$｜0｜0｜0｜0｜0

倪维斗（1973年）｜$ac_0/c_1$｜$bc_0$｜0｜$\alpha_1$｜$\alpha_2$｜0｜0｜0｜0｜0

纯量场论

爱因斯坦（1912年）{非广义相对论}｜0｜0｜-4｜0｜-2｜0｜-1｜0｜0†

Whitrow-Morduch（1965年）｜0｜-1｜-4｜0｜0｜0｜-3｜0｜0†

罗森（1971年）｜$\lambda$｜$\textstyle\frac{3}{4}+\textstyle\frac{\lambda}{4}$｜$-4-4\lambda$｜0｜-4｜0｜-1｜0｜0

Papetrou (1954年a, 1954年b)｜1｜1｜-8｜-4｜0｜0｜2｜0｜0

倪维斗（1972年）（层状）｜1｜1｜-8｜0｜0｜0｜2｜0｜0

Yilmaz（1958年、1962年）｜1｜1｜-8｜0｜-4｜0｜-2｜0｜-1†

Page-Tupper（1968年）｜$\gamma$｜$\beta$｜$-4-4\gamma$｜0｜$-2-2\gamma$｜0｜$\zeta_2$｜0｜$\zeta_{ 4}$

诺德斯特洛姆（1912年）｜$-1$｜$\textstyle\frac12$｜0｜0｜0｜0｜0｜0｜0†

诺德斯特洛姆（1913年）、爱因斯坦-佛克（1914年）｜$-1$｜$\textstyle\frac12$｜0｜0｜0｜0｜0｜0｜0

倪维斗(Ni)（1972年）（平直）｜$-1$｜$1-q$｜0｜0｜0｜0｜$\zeta_2$｜0｜0†

Whitrow-Morduch（1960年）｜$-1$｜$1-q$｜0｜0｜0｜0｜q｜0｜0†

Littlewood（1953年）、Bergman（1956年）｜$-1$｜$\textstyle\frac12$｜0｜0｜0｜0｜-1｜0｜0†

† 此理论不完备，且$\zeta_{ 4}$可以是两值中的一者。最接近零的值在此列出。

至今所有实验测试与广义相对论相符，因此PPN分析立即删除了表中所有的纯量场论。

此处未有针对怀海德（1922年）、Deser-Laurent（1968年）、Bollini-Giamiago-Tiomino（1970年）三者的完整PPN参数列表。但在这些三个情形中$\beta=\gamma$，这与广义相对论的情形以及实验结果严重违背。特别的是，这些理论预测的地球潮汐振幅是不正确的值。

## 参考文献

- Barker, B. M. (1978) General scalar-tensor theory of gravity with constant G, The Astrophysical Journal 219, 5, http://adabs.harvard.edu/abs/1978ApJ...219...5B
- Bekenstein, J. D. (1977) Are particle rest masses variable? Physical Review D 15, 1458-1468, http://prola.aps.orh/pdf/PRD/v15/i6/p1458_1
- Bekenstein, J. D. (2004) Revised gravitation theory for the modified Newtonian dynamics paradigm. Phys. Rev. D 70, 083509
- Belinfante, F. J. and Swihart, J. C. (1957a) Phenomenological linear theory of gravitation Part I, Ann. Phys. 1, 168
- Belinfante, F. J. and Swihart, J. C. (1957b) Phenomenological linear theory of gravitation Part II, Ann. Phys. 2, 196
- Bergman, O. (1956) Scalar field theory as a theory of gravitation, Amer. J. Phys. 24, 39
- Bergmann, P. G. (1968) Comments on the scalar-tensor theory, Int. J. Theor. Phys. 1, 25-36
- Birkhoff, G. D. (1943) Matter, electricity and gravitation in flat space-time. Proc. Nat Acad. Sci. U.S. 29, 231-239
- Bollini, C. G., Giambiaga, J. J., and Tiomno, J. (1970) A linear theory of gravitation, Nuovo Com. Lett. 3, 65-70
- Brans, C. and Dicke, R. H. (1961) Mach's principle and a relativistic theory of gravitation. Phys. Rev. 124, 925-935
- Cartan, É. (1922) Sur une généralisation de la notion de courbure de Riemann st les espaces à torsion. Acad. Sci. Paris, Comptes Rend. 174, 593-595
- Cartan, É. (1923) Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée. Annales Scientifiques de l'École Normale Superieure Sér. 3, 40, 325-412. http://archive.numdam.org/article/ASENS_1923_3_40__325_0.pdf
- Damour, T., Deser, S. & MaCarthy, J. (1993) Nonsymmetric gravity has unacceptable asymptotics, http://arxiv.org/PS_cache/qr-qc/pdf/9312/9312030/pdf
- Deser, S. and Laurent, B. E. (1968) Gravitation without self-interaction, Annals of Physics 50, 76-101
- Einstein, A. (1912a) Lichtgeschwindigkeit und Statik des Gravitationsfeldes. Annalen der Physik 38, 355-369
- Einstein, A. (1912b) Zur Theorie des statischen Gravitationsfeldes. Annalen der Physik 38, 443
- Einstein, A. and Grossmann, M. (1913), Z. Math Physik 62, 225
- Einstein, A. and Fokker, A. D. (1914) Die Nordströmsche Gravitationstheorie vom Standpunkt des absoluten Differentkalküls. Annalen der Physik 44, 321-328
- Einstein, A. (1916) Annalen der Physik 49, 769
- Einstein, A. (1917) Über die Spezielle und die Allgemeinen Relativatätstheorie, Gemeinverständlich, Vieweg, Braunschweig
- Fierz, M. and Pauli, W. (1939) On relativistic wave equations for particles of arbitrary spin in an electromagnetic field. Proc. Royal Soc. London 173, 211-232
- Hellings, W. H. and Nordtveldt Jr, K. (1973) Vector-metric theory of gravity, Physical Review D 7, 3593-3602, http://prola.aps.org/pdf/PRD/v7/i12/p3593_1
- Jordan, P.(1955) Schwerkraft und Weltall, Vieweg, Braunschweig
- Kustaanheimo, P. (1966) Route dependence of the gravitational redshift. Phys. Lett. 23, 75-77
- Kustaanheimo, P. E. and Nuotio, V. S. (1967) Publ. Astron. Obs. Helsinki No. 128
- Lang, R. (2002) Experimental foundations of general relativity, http://www.mppmu.mpg.de/~rlang/talks/melbourne2002.ppt
- Lee, D. L., Lightman, A. P. and Ni, W-T (1974) Conservation laws and variational principles in metric theories of gravity, Physical Review D 10, 1685-1700, http://prola.aps.org/abstract/PRD/v10/i6/p1685_1
- Lightman, A. P. and Lee, D. L. (1973), New two-metric theory of gravity with prior geometry, Physical Review D 8, 3293-3302, http://prola.aps.org/pdf/PRD/v8/i10/p3293_1
- Littlewood, D. E. (1953) Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 49, 90-96
- Milne E. A. (1948) Kinematic Relativity, Clarendon Press, Oxford
- Misner, C. W., Thorne, K. S. and Wheeler, J. A. (1973) Gravitation, W. H. Freeman & Co.
- Moffat, J. W. (1995) Nonsymmetric gravitational theory, http://arxiv.org/PS_cache/qr-qg/pdf/9411/9411006.pdf
- Moffat, J. W. (2002) Bimetric gravity theory, varying speed of light and the dimming of supernovae, http://arxiv.org/PS_cache/qr-qg/pdf/0202/0202012.pdf
- Moffat, J. W. (2005a) Gravitational theory, galaxy rotation curves and cosmology without dark matter, http://arxiv.org/PS_cache/qr-qg/pdf/0412/0412195.pdf
- Moffat, J. W. (2005b) Scalar-tensor-vector gravity theory, http://arxiv.org/PS_cache/qr-qg/pdf/0506/0506021.pdf
- Newton, I. (1686) Philosopiae Naturalis Principia Mathematica
- Ni, W-T. (1972) Theoretic frameworks for testing relativistic gravity IV, The Astrophysical Journal 176, 769-796
- Ni, W-T. (1973) A new theory of gravity, Physical Review D 7, 2880-2883, http://prola.aps.org/abstract/PRD/v7/i10/p2880_1
- Nordtvedt Jr, K. (1970) Post-Newtonian metric for a general class of scalar-tensor gravitational theories with observational consequences, The Astrophysical Journal 161, 1059
- Nordtvedt Jr, K. and Will C. M. (1972) Conservation laws and preferred frames in relativistic gravity II, The Astrophysical Journal 177, 775
- Nordström, G. (1912), Relativitätsprinzip und Gravitation. Phys. Zeitschr. 13, 1126
- Nordström, G. (1913), Zur Theorie der Gravitation vom Standpunkt des Relativitätsprinzips, Annalen der Physik 42, 533
- Pais, A. (1982) Subtle is the Lord, Clarendon Press
- Page, C. and Tupper, B. O. J. (1968) Scalar gravitational theories with variable velocity of light, Mon. Not. R. Astr. Soc. 138, 67-72
- Papapetrou, A. (1954a) Zs Phys., 139, 518
- Papapetrou, A. (1954b) Math. Nach., 12, 129 & Math. Nach., 12, 143
- Poincaré, H. (1908) Science and Method
- Rastall, P. (1979) The Newtonian theory of gravitation and its generalization, Canadian Journal of Physics 57, 944-973
- Rosen, N. (1971) Theory of gravitation, Physical Review D 3, 2317
- Rosen, N. (1973) A bimetric theory of gravitation, General Relativity and Gravitation 4, 435-447.
- Rosen, N. (1975) A bimetric theory of gravitation II, General Relativity and Gravitation 6, 259-268, http://www.springerlink.com/content/1778634236421720/fulltext.pdf
- Thiry, Y. (1948) Les équations de la théorie unitaire de Kaluza, Comptes Rendus Acad. Sci (Paris) 226, 216
- Trautman, A. (1972) On the Einstein-Cartan equations I, Bulletin de l'Academie Polonaise des Sciences 20, 185-190
- Turyshev, S. G. (2006) Testing gravity in the solar system, http://star-www.st-and.ac.uk/~hz4/workshop/workshopppt/turyshev.pdf
- Wagoner, R. V. (1970) Scalar-tensor theory and gravitational waves, Physical Review D 1, 3209-3216, http://prola.aps.org/pdf/PRD/v1/i12/p3209_1
- Whitehead, A.N. (1922) The Principles of Relativity, Cambridge Univ. Press
- Whitrow, G. J. and Morduch, G. E. (1960) General relativity and Lorentz-invariant theories of gravitations, Nature 188, 790-794
- Whitrow, G. J. and Morduch, G. E. (1965) Relativistic theories of gravitation, Vistas in Astronomy 6, 1-67
- Will, C. M. (1981, 1993) Theory and Experiment in Gravitational Physics, Cambridge Univ. Press
- Will, C. M. (2001) The Confrontation between General Relativity and Experiment, http://www.livingreviews.org/Articles/Volume4/2001-4will
- Will, C. M. and Nordtvedt Jr, K. (1972) Conservation laws and preferred frames in relativistic gravity I, The Astrophysical Journal 177, 757
- Yilmaz, H. (1958) New approach to general relativity, Phys. Rev. 111, 1417
- Yilmaz, H. (1973) New approach to relativity and gravitation, Annals of Physics 81, 179-200