薛定谔绘景

薛定谔绘景（Schrödinger picture）是量子力学的一种表述，为纪念物理学者埃尔温·薛定谔而命名。在薛定谔绘景里，量子系统的态向量随着时间流易而演化，而像位置、自旋一类的对应于可观察量的算符则与时间无关。

薛定谔绘景与海森堡绘景、狄拉克绘景不同。在海森堡绘景里，对应于可观察量的算符会随着时间流易而演化，而描述量子系统的态向量则与时间无关。在狄拉克绘景里，态向量与算符都会随着时间流易而演化。

这三种绘景殊途同归，所获得的结果完全一致。这是必然的，因为它们都是在表达同样的物理现象。

在薛定谔绘景里，负责时间演化的算符是一种幺正算符，称为时间演化算符。假设时间从$t_0$流易到$t$，而经过这段时间间隔，态向量$|\psi(t_0)\rang$演化为态向量$|\psi(t)\rang$，这时间演化过程以方程式表示为

$|\psi(t)\rang = U(t, t_0) |\psi(t_0)\rang$。

其中，$U(t, t_0)$是时间演化算符。

假设系统的哈密顿量$H$不含时，则时间演化算符为

$U(t, t_0) = e^{-iH(t-t_0)/\hbar}$。

其中，$\hbar$是约化普朗克常数，指数函数$e^{-iH(t-t_0)/\hbar}$必须通过其泰勒级数计算。

在初级量子力学教科书里，时常会使用薛定谔绘景。

## 时间演化算符

### 定义

时间演化算符$U(t,\,t_0)$定义为

$| \psi(t) \rang\ \stackrel{def}{=}\ U(t,\,t_0) | \psi(t_0) \rang$。

其中，右矢$| \psi(t) \rang$表示时间为$t$的态向量，$U(t,\,t_0)$是时间演化算符，从时间$t$演化到时间$t_0$。

这方程式可以做这样解释：将时间演化算符$U(t,\,t_0)$作用于时间是$t_0$的态向量$| \psi(t_0) \rang$，则会得到时间是$t$的态向量$| \psi(t) \rang$。

类似地，也可以用左矢$\langle \psi|$来定义：

$\langle \psi(t) | = \langle \psi(t_0) |U^{\dagger}(t,\,t_0)$。

其中，算符$U^{\dagger}$是算符$U$的厄米共轭。

### 性质

#### 幺正性

由于态向量必须满足归一条件，态向量的范数不能随时间而变：

$\langle \psi(t)| \psi(t) \rang= \langle \psi(t_0) | \psi(t_0) \rang$。

可是。

$\langle \psi(t)| \psi(t) \rang = \langle \psi(t_0)|U^{\dagger}(t,\,t_0)U(t,\,t_0)| \psi(t_0) \rang$。

所以。

$U^{\dagger}(t,\,t_0)U(t,\,t_0)=I$ ;

其中，$I$是单位算符。

#### 单位性

时间演化算符$U(t_0,\,t_0)$必须是单位算符$U(t_0,\,t_0)=I$，因为。

$| \psi(t_0) \rang = U(t_0,\,t_0) | \psi(t_0) \rang$。

#### 闭包性

从初始时间$t_0$到最后时间$t$的时间演化算符，可以视为从中途时间$t_1$到最后时间$t$的时间演化算符，乘以从初始时间$t_0$到中途时间$t_1$的时间演化算符：

$U(t,\,t_0) = U(t,\,t_1)U(t_1,\,t_0)$。

根据时间演化算符的定义。

$| \psi(t_1) \rang = U(t_1,\,t_0) | \psi(t_0) \rang$。

$| \psi(t) \rang = U(t,\,t_1) | \psi(t_1) \rang$。

所以。

$| \psi(t) \rang = U(t,\,t_1)U(t_1,\,t_0) | \psi(t_0) \rang$。

可是，再根据定义。

$| \psi(t) \rang = U(t,\,t_0) | \psi(t_0) \rang$。

所以，时间演化算符必须满足闭包性：

$U(t,\,t_0) = U(t,\,t_1)U(t_1,\,t_0)$。

### 时间演化算符的微分方程式

为了方便起见，设定$t_0=0$，初始时间$t_0$永远是$0$，则可忽略时间演化算符的$t_0$参数，改写为$U(t)$。含时薛定谔方程式为

$i \hbar {\partial \over \partial t}| \psi (t) \rang = H| \psi (t)\rang$。

其中，$H$是哈密顿量。

从时间演化算符的定义式，可以得到

$i \hbar {\partial \over \partial t}U(t) | \psi (0) \rang = HU(t) | \psi (0) \rang$。

由于$|\psi(0) \rang$可以是任意恒定态向量（处于$t=0$的态向量），时间演化算符必须遵守方程式

$i \hbar {\partial \over \partial t}U(t) = HU(t)$。

假若哈密顿量不含时，则这方程式的解答为

$U(t) = e^{-iHt / \hbar}$。

注意到在时间$t=0$，时间演化算符必须约化为单位算符$U(0)=I$。由于$H$是算符，指数函数$e^{-iHt}$必须通过其泰勒级数计算：

$e^{-iHt / \hbar} = 1 - \frac{iHt}{\hbar} - \frac{1}{2}\left(\frac{Ht}{\hbar}\right)^2 + \cdots$。

按照时间演化算符的定义，在时间$t$，态向量为

$| \psi(t) \rang = e^{-iHt / \hbar} | \psi(0) \rang$。

注意到$|\psi(0) \rang$可以是任意态向量。假设初始态向量$|\psi(0) \rang$是哈密顿量的本征态，而本征值是$E$，则在时间$t$，态向量为

$| \psi(t) \rang = e^{-iEt / \hbar} | \psi(0) \rang$。

这样，可以看到哈密顿量的本征态是定态，随着时间的流易，只有相位因子在进行演化。

假设，哈密顿量与时间有关，但在不同时间的哈密顿量相互对易，则时间演化算符可以写为

$U(t) = \exp\left({-\frac{i}{\hbar} \int_0^t H(t')\, dt'}\right)$。

假设，哈密顿量与时间有关，而在不同时间的哈密顿量不相互对易，则时间演化算符可以写为

$U(t) =T \exp\left({-\frac{i}{\hbar} \int_0^t H(t')\, dt'}\right)$。

其中，$T$是时间排序算符。

必须用戴森级数来表示。

$U(t) =1+\sum^\infty_{n=1}\left(\frac{-i}{\hbar}\right)^n\int^t_0 dt_1\int^{t_1}_0 dt_2 \dots \int^{t_{n-1}}_0 dt_n H(t_1)H(t_2)\dots H(t_n)$。

## 各种绘景比较摘要

为了便利分析，位于下标的符号$\mathcal{H}$、$\mathcal{I}$、$\mathcal{S}$分别标记海森堡绘景、交互作用绘景、薛定谔绘景。

各种绘景随着时间流易会呈现出不同的演化：

演化｜海森堡绘景｜交互作用绘景｜薛定谔绘景

右矢｜常定｜$| \psi(t) \rang_{\mathcal{I}} = e^{i H_0t/\hbar} | \psi(t) \rang_{\mathcal{S}}$｜$|\psi(t) \rang_{\mathcal{S}}= e^{-iHt/\hbar} | \psi(0) \rang_{\mathcal{S}}$

可观察量｜$A_{\mathcal{H}}(t)=e^{i Ht/\hbar} A_{\mathcal{S}}e^{-i Ht/\hbar}$｜$A_{\mathcal{I}}(t)=e^{i H_0t/\hbar} A_{\mathcal{S}}e^{-i H_0t/\hbar}$｜常定

密度算符｜常定｜$\rho_{\mathcal{I}}(t)=e^{i H_0t/\hbar} \rho_S (t) e^{-i H_0t/\hbar}$｜$\rho_{\mathcal{S}}(t)= e^{-i Ht/\hbar}\rho_{\mathcal{S}}(0) e^{iHt/\hbar}$

## 参阅

- 哈密顿-亚可比方程式