同构基本定理

同构基本定理，或称同态基本定理、同型定理（Isomorphism theorems），包含三个定理，在泛代数领域有广泛的应用。它们证明了一些自然同构的存在性。

## 历史

同构基本定理最早由埃米·诺特（Emmy Noether）在她于1927在德国数学期刊数学分析（Mathematische Annalen）发表的论文Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern中明确阐述。

## 群同构基本定理

群论中的同构基本定理形式相对简单，却表达了商群的重要性质。定理的叙述中用到了关于正规子群的等价类概念。

### 群同构第一定理

给定一个群同态 $f:G\to G'$，根据群同态第一基本定理，我们可以把$G$除以$f$的核，使$f$ 变成单射。

直观来讲，把一个群$G$除以$G$的子群$H$相当于把$H$里的元素看成0(一元素）。把$f$的核除掉后，我们使得$f(x)=0$只在 $x=0$时才会成立，这是$f$的单射性的等价叙述。

我们必须先确定商群具有群的结构，才可以对$G/\operatorname{Ker} f\to G'$进行讨论。

定理：

给定$G$和$G'$两个群，和$f:G\rightarrow G'$群同态。则$\operatorname{Ker} f$是一个$G$的正规子群。

证明：

记 $\cdot$ 为$G$和$G'$的运算符号，记$e$和$e'$他们的单位元，我们可以验证$\operatorname{Ker} f$ 在共轭运算下封闭，即对于所有$x\in G$、所有$h\in\operatorname{Ker} f$，有$x\cdot h\cdot x^{-1}\in\operatorname{Ker} f$。

我们有$f(x\cdot h\cdot x^{-1}) = f(x)\cdot f(h)\cdot f(x^{-1})$。由于$h$在$\operatorname{Ker} f$里面，即$f(h)=e'$，我们推论$f(x\cdot h\cdot x^{-1}) = f(x)\cdot f(x^{-1}) = f(x\cdot x^{-1}) = f(e) = e'$。因此，$x\cdot h\cdot x^{-1}$在$\operatorname{Ker} f$里面，故$\operatorname{Ker} f$是$G$的正规子群。

$\operatorname{Ker} f$是$G$的正规子群的这个性质让我们可以在商群$G / \operatorname{Ker} f$上定义一个与$G$的运算规则相容的运算规则。因为相容性的缘故，群同态$f : G \rightarrow G'$诱导出群同构$\widehat f : G / \operatorname{Ker} f \rightarrow \operatorname{Im} f$。

我们有以下的定理：

群同构第一定理给定$G$和$G'$两个群，$f:G \rightarrow G'$群同态，则$f$诱导出一个从$G/\operatorname{Ker} f$打到$f(G)$的群同构。

证明：

记$H$为$f$的核。我们定义$\hat f$为$\widehat f(xH) = f(x)$.

- 函数$\widehat f$定义良好，即$\widehat f(xH)$只依赖于$xH$而与代表$x$的选择无关。理由是，若$y\in G$是$xH$的一个代表，即若$xH=yH$，则$xy^{-1}\in H=\operatorname{Ker} f$，所以$f(x)=f(y)$，从而$\widehat f(xH)=\widehat f(yH)$。
- 由商群运算的定义，$\widehat f$是一个群同态。
- 群同态$\widehat f$满射：对于所有$y\in f(G)$，存在$x\in G$使得$f(x)=y$，由此$\widehat f(xH)=f(x)=y$。
- 群同态$\widehat f$单射。理由是：考虑$\widehat f$的核里的任意元素$xH$，则$e'=\widehat f(xH)=f(x)$，即$x$在$f$的核$H$里面。又$xH=H$是$G/H$的单位元。

这个定理也可以想成是一个单射与一个满射的复合，以下为示意图

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### 群同构第二定理

群同构第二定理：

给定群 $G$、其正规子群 $N$、其子群 $H$，则 $N \cap H$ 是 $H$ 的正规子群，且我们有群同构如下：

$$H/(H\cap N)\simeq HN/N$$

证明：

- 必须先证明$HN$确实是一个群，以及$N$限定在$HN$ 中亦是一个正规子群，才能讨论商群 $HN/N$。

设 $hn$ 和 $h'n'$ 为 $HN$ 中的两个元素。我们有 $hnh'n'=hh'(h'^{-1}nh')n'$，其中 $hh'\in H$, $h'^{-1}nh'\in N$ (因为 $N$ 在 $G$ 中正规) 且 $n'\in N$，故 $hnh'n'$ 在 $HN$ 中，其证明了 $HN$ 在乘法下封闭。不难证明他不是空集合、以及反元素的封闭性。

此外，我们有 $N\subset HN\subset G$ 的包含关系，并且 $N$ 在 $G$ 中正规，所以也在 $HN$ 中正规。

- 为了建构群同构，我们将使用群同构第一定理。

取 $j:H\hookrightarrow HN$单射群同态，定义为 $j(h)=h$。

取标准满射 $\sigma:HN\twoheadrightarrow HN/N$ (值域是个群，因为 $N$ 在 $G$ 中正规)。借由复合两个群同态，我们建构出一个新的群同态 $f=\sigma\circ j:H\to HN/N$ 定义为 $f(h)=hN$。

- 群同态 $f$ 是满射。

理由是，设 $(hn)N\in HN/N$，其中 $h\in H$ 且 $n\in N$。由于 $n$ 在 $N$ 里面， $hnN=hN$，故$hnN=f(h)$。

- $f$ 的核是 $H\cap N$。

理由是， $f(h)=hN$ 是 $HN/N$ 的单位元，即 $N$ 当且仅当， $h$ 在 $N$ 里面。由于 $h$ 已经在 $H$ 里面，所以证明这个相当于证明 $h$ 在 $N\cap H$ 里面。

- 由群同构第一定理知 $N\cap H$ 是 $H$ 的正规子群，且其诱导出的映射 $\widehat f:H/(N\cap H)\to HN/N$ 是群同构。

如果我们弱化前提，假设 $N$ 的正规化子包含 $H$ (把相等改成包含)这个定理依然正确。

### 群同构第三定理

群同构第三定理：

给定群 $G$， $N$ 和 $M$ 为 $G$ 的正规子群，满足 $M$ 包含于 $N$，则 $N/M$ 是 $G/M$ 的正规子群，且有如下的群同构：

$$(G/M)/(N/M)\simeq G/N.$$

证明：

$G/M\to G/N,~gM\mapsto(gM)N=g(MN)=gN$ 为满射，其核为 $N/M$

所以可由群同构第一定理得到 $(G/M)/(N/M)\simeq G/N.$

## 环和模上的形式

- 将定理中的“群”换为“R-模”，将“正规子群”换为“子模”，就得到对于确定的环R上的模的同构基本定理，（因此同构基本定理对于确定的域上的向量空间也成立）对于向量空间，同构第一基本定理即是秩-零化度定理。
- 将定理中的“群”换为“环”，“子群”换为“子环”，“正规子群”换为“理想”，“商群”换为“商环”就得到环的同构基本定理。
- 与子群的乘积HK相对应的定义是子模，子环，子空间的并，用H + K而不再用HK表示。具体的定义是：

$$H+K=\left\{ a+b| a \in H,b \in K \right\}$$

## 推广

在泛代数中，正规子群被推广为更广泛的共轭类的概念。

设A是一个代数结构，A的一个同余类是A上的一个等价关系$\Phi$，可看作是A × A上的子代数。等价类A/$\Phi$的集合在定义了适合的运算法则后，便可成为与A同类型的代数结构。

### 第一同构定理

设A和B是两个代数结构，f是A到B的态射，则A等价关系$\Phi$：a~b当且仅当f(a)=f(b) 是A上的一个同余类，并且A/$\Phi$同构于f的像（B的子代数）。

### 第二同构定理

设B是A的子代数，$\Phi$是A上的同余类。令B$\Phi$是所有包含B种元素的同余类的集合，它是A/$\Phi$的一个子集；$\Phi_B$是$\Phi$限制在B × B上的部分。那么B$\Phi$是A/$\Phi$的子代数结构，$\Phi_B$是B上的同余类，并且B$\Phi$同构于B/$\Phi_B$。

### 第三同构定理

设A是一个代数结构，$\Phi$和$\Psi$是A上的两个同余关系，$\Psi$包含于$\Phi$。则$\Phi$定义了A/$\Psi$上的一个同余类$\Theta$：a~b当且仅当a与b关于 $\Phi$同余（a表示a所在的$\Psi$-等价类），并且A/$\Phi$同构于(A/$\Psi$)/$\Theta$。