拉普拉斯算子

在数学以及物理中，拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（Laplace operator, Laplacian）是由欧几里得空间中的一个函数的梯度的散度给出的微分算子，通常写成 $\Delta$、$\nabla^2$ 或 $\nabla \cdot \nabla$。

这名字是为了纪念法国数学家皮耶-西蒙·拉普拉斯（1749–1827）而命名的。他在研究天体力学在数学中首次应用算子，当它被施加到一个给定的重力位（Gravitational potential）的时候，其中所述算子给出的质量密度的常数倍。经拉普拉斯算子运算为零 $\Delta f = 0$ 的函数称为调和函数，现在称为拉普拉斯方程，和代表了在自由空间中的可能的重力场。

拉普拉斯算子有许多用途，此外也是椭圆算子中的一个重要例子。

拉普拉斯算子出现描述许多物理现象的微分方程里。例如，常用于波方程的数学模型、热传导方程、流体力学以及亥姆霍兹方程。在静电学中，拉普拉斯方程和泊松方程的应用随处可见。在量子力学中，其代表薛定谔方程中的动能项。

拉普拉斯算子是最简单的椭圆算子，并且拉普拉斯算子是霍奇理论的核心，并且是德拉姆上同调的结果。在图像处理和计算机视觉中，拉普拉斯算子已经被用于诸如斑点检测和边缘检测等的各种任务。

## 定义

拉普拉斯算子是 n 维欧几里得空间中的一个二阶微分算子，其定义为对函数 $f$ 先作梯度运算（$\nabla f$）后，再作散度运算（$\nabla \cdot \nabla f$）的结果。因此如果 $f$ 是二阶可微的实函数，则 $f$ 的拉普拉斯算子定义为：

$\Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f$ ── (1)

$f$ 的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系 $x_i$ 中的所有非混合二阶偏导数：

$\Delta f = \sum_{i=1}^n \frac {\partial^2 f}{\partial x^2_i}$ ── (2)

作为一个二阶微分算子，对于k ≥ 2，拉普拉斯算子把Ck函数映射到Ck-2函数。表达式（(1)或(2)）定义了一个算子Δ：Ck(Rn)→ Ck-2(Rn)，或更一般地，定义了一个算子Δ：Ck(Ω)→ Ck-2(Ω)，对于任何开集Ω。

函数的拉普拉斯算子也是该函数的海森矩阵的迹：

$$\Delta f = \mathrm{tr}(H(f)).\,\!$$

## 坐标表示式

### 二维空间

$$\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$$

其中x与y代表x-y平面上的笛卡儿坐标

另外极坐标的表示法为：

$$\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}$$

### 三维空间

笛卡儿坐标系下的表示法

$$\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.$$

圆柱坐标系下的表示法

$$\Delta f = {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho} <pre> \left( \rho {\partial f \over \partial \rho} \right) </pre> + {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2 }.$$

球坐标系下的表示法

$$\Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} <pre> \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) </pre> + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} <pre> \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) </pre> + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}.$$

### N维空间

在参数方程为$x=r\theta \in {\mathbb R}^N$（其中$r \in [0,+\infty)$以及$\theta \in S^{N-1}$）的$N$维球坐标系中，拉普拉斯算子为：

$$\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{N-1}{r} \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \Delta_{S^{N-1}} f$$

其中$\Delta_{S^{N-1}}$是$N-1$维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。我们也可以把${\partial^2 f \over \partial r^2} + \frac{N-1}{r} \frac{\partial f}{\partial r}$的项写成$\frac{1}{r^{N-1}} \frac{\partial}{\partial r} \Bigl(r^{N-1} \frac{\partial f}{\partial r} \Bigr)$。

## 恒等式

- 如果f和g是两个函数，则它们的乘积的拉普拉斯算子为：

$\Delta(fg)=(\Delta f)g+2((\nabla f)\cdot(\nabla g))+f(\Delta g)$。

f是径向函数$f(r)$且g是球谐函数$Y_{lm}(\theta,\phi)$，是一个特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。$f(r)$的梯度是一个径向向量，而角函数的梯度与径向向量相切，因此：

$2(\nabla f(r))\cdot(\nabla Y_{lm}(\theta,\phi))=0$。

球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数：

$\Delta Y_{\ell m}(\theta,\phi) = -\frac{\ell(\ell+1)}{r^2} Y_{\ell m}(\theta,\phi)$。

因此：

$\Delta( f(r)Y_{\ell m}(\theta,\phi)) = \left(\frac{d^2f(r)}{dr^2} + \frac{2}{r} \frac{df(r)}{dr} - \frac{\ell(\ell+1)}{r^2} f(r)\right)Y_{\ell m}(\theta,\phi)$。

## 谱理论

拉普拉斯算子的谱由特征值$\lambda$和对应的特征函数$f$组成，满足：

$$-\Delta f = \lambda f$$

这就是所谓的亥姆霍兹方程。

如果$\Omega$在$\mathbb{R}^n$中有界，拉普拉斯算子的特征函数是希尔伯特空间$L^2(\Omega)$下的一组标准正交基。这主要是因为紧自伴随算子的谱定理，适用于拉普拉斯的逆算子（根据庞加莱不等式和Rellich-Kondrachov定理，它是紧算子）。这也可以表明特征函数是无穷阶可微的函数。更一般地说，这些结果对任何有界紧黎曼流形上的拉普拉斯-贝特拉米算子都是成立的，或者说对任何有边界上具有光滑系数的椭圆算子的Dirichlet特征值问题也成立。当Ω为N维球面时，拉普拉斯的特征函数是球谐函数。

## 推广

### 复杂空间上的实值函数

拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里得空间，这时它就有可能是椭圆算子、双曲算子、或超双曲算子。

在闵可夫斯基空间中，拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子（d'Alembertian）：

$$\square = {\partial^2 \over \partial x^2 } + {\partial^2 \over \partial y^2 } + {\partial^2 \over \partial z^2 } - \frac {1}{c^2}{\partial^2 \over \partial t^2 }.$$

达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-戈尔登方程以及四维波动方程。第四个项前面的符号是负号，而在欧几里德空间中则是正号。因子c是需要的，这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量；如果x方向用寸来衡量，y方向用厘米来衡量，也需要一个类似的因子。

### 值域为复杂空间

#### 向量值函数的拉普拉斯算子

拉普拉斯算子作用在向量值函数上，其结果被定义为一个向量，这个向量的各个分量分别为向量值函数各个分量的拉普拉斯，即

$\nabla^2 \mathbf{A} =(\nabla^2 A_x, \nabla^2 A_y, \nabla^2 A_z)$．

更一般地，对没有坐标的向量，我们用下面的方式定义（受向量恒等式的启发）：

$\nabla^2 \mathbf{A} = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla \times(\nabla \times \mathbf{A})$，也可用类似于拉普拉斯－德拉姆算子的方式定义，然后证明“旋度的旋度”向量恒等式．

#### 拉普拉斯－贝尔特拉米算子

拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子，称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。达朗贝尔算子则推广为伪黎曼流形上的双曲型算子。拉普拉斯–贝尔特拉米算子还可以推广为运行于张量场上的算子（也称为拉普拉斯–贝尔特拉米算子）。

另外一种把拉普拉斯算子推广到伪黎曼流形的方法，是通过拉普拉斯–德拉姆算子，它作用在微分形式上。这便可以通过外森比克恒等式来与拉普拉斯–贝尔特拉米算子联系起来。

## 外部链接

- MathWorld: Laplacian
- Derivation of the Laplacian in Spherical coordinates by Swapnil Sunil Jain