量子数

量子数描述量子系统中动力学上各守恒数的值。例如原子系统中电子的各能量、角动量、自旋等。由于任何量子系统的量子态由所有可能的量子数决定，列出所有可能的量子数能保证消除简并且唯一确定量子态，这就是完整的可观测物理量集合（Complete set of commuting observables），因此一组量子数就像是一个唯一的标签，贴在量子系统的本征态上。

## 有多少个量子数？

“要多少个量子数才能描述任何已知系统？”这道问题并没有一致的答案，尽管要解决每一个系统都必须要对系统进行全面分析。任何系统的动力学都由一量子哈密顿算符，H，所描述。系统中有一量子数对应能量，即哈密顿算符的特征值。对每一个算符O而言，还有一个量子数可与哈密顿算符交换（即满足OH = HO这条关系式）。这些是一个系统中所能有的所有量子数。注意定义量子数的算符O应互相独立。很多时候，能有好几种选择一组互相独立算符的方法。故此，在不同的条件下，可使用不同的量子数组来描述同一个系统。

## 原子内的单个电子

最被广为研究的量子数组是用于一原子的单个电子：不只是因为它在化学中有用（它是周期表、化合价及其他一系列特性的基本概念），还因为它是一个可解的真实问题，故广为教科书所采用。

在非相对论性量子力学中，这个系统的哈密顿算符由电子的动能及势能（由电子及原子核间的库仑力所产生）。动能可被分成，有环绕原子核的电子角动量，J的一份，及余下的一份。由于势能是球状对称的关系，其完整的哈密顿算符能与J2交换。而J2本身能与角动量的任一分量（按惯例使用Jz）交换。由于这是本题中唯一的一组可交换算符，所以会有三个量子数。

依惯例，它们被称为：

- 主量子数（$n=1,2,3,4...$，即电子轨域$K,L,M,N$）代表除掉J2以后H的特征值。这个数因此会视电子与原子核间的距离（即半径座标r）而定。平均距离会随着n增大，因此不同量子数的量子态会被说成属于不同的电子层。
- 角量子数（$\ell=0,1,2...n-1$，又称方位角量子数或轨道量子数）通过关系式$L^2 = \hbar^2 \ell(\ell+1)$来代表轨道角动量。在化学中，这个量子数是非常重要的，因为它表明了一轨道的形状，并对化学键及键角有重大影响。有些时候，不同角量子数的轨域有不同代号，$\ell=0$的轨域叫s轨域，$\ell=1$的叫p轨域，$\ell=2$的叫d轨域，而$\ell=3$的则叫f轨域。
- 磁量子数（$m_{\ell}=-\ell...0,1,2...(\ell-1),\ell$）代表特征值，$L_z = m_{\ell} \hbar$。这是轨道角动量沿某指定轴的投影。

从光谱学中所得的结果指出一个轨道最多可容纳两个电子。然而两个电子绝不能拥有完全相同的量子态（泡利不相容原理），故也绝不能拥有同一组量子数。所以为此特别提出一个假设来解决这问题，就是设存在一个有两个可能值的第四个量子数。这假设以后能被相对论性量子力学所解释。

- 自旋量子数（$m_s=\pm \frac{1}{2}$）代表电子的固有角动量。这是自旋$s=\frac{1}{2}$沿某指定轴的射影。

作为摘要，一电子的量子态视下列各量子数而定：

名称｜符号｜轨道意义｜取值范围｜取值例子

主量子数｜$n \ $｜壳层｜$1 \le n \,\!$｜$n=1,2,3...\,\!$

角量子数（角动量）｜$\ell \ $｜次壳层｜$0 \le \ell \le n-1 \ $｜若$n=3\,\!$: $\ell=0,1,2\,(s, p, d) \ $

磁量子数（角动量之射影）｜$m_\ell \ $｜能移｜$-\ell \le m_\ell \le \ell \ $｜若$\ell=2 \ $: $m_\ell=-2,-1,0,1,2\,\!$

自旋量子数｜$m_s\,\!$｜自旋｜$- \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} , \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \ $｜只能是$- \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} , \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \ $

例：用于描述氟（$F$）原子最外层电子（即价电子，位于原子轨道2p）的各量子数值为：$n=2$，$\ell=1$，$m_{\ell}=-1,0,1$，$m_s=\pm \frac{1}{2}$。

简而言之，以上的物理量需要满足$n> \ell \ge |m_{\ell}|$且$m_s= \pm \frac{1}{2}$。

注意分子轨道需要使用完全不同的量子数组，因为其哈密顿算符及对称跟上述相当不同。

## 适用于自旋－轨道交互作用的量子数

当考虑到自旋-轨道作用时，l、m及s就再不能与哈密顿算符交换，因而它们的值会随时间改变。故应该使用另一组量子数。这组包括了

- 总角动量量子数（j=1/2，3/2 … n-1/2）通过关系式$J^2 = \hbar^2 j(j+1)$代表着总角动量。
- 总角动量沿某指定轴的投影（mj=-j，-j+1 … j-1，j），此数与m类似，且满足关系式$m_j = m_l + m_s$。
- 宇称。它是经反射所得的特征值，当态之l为偶数时其值为正（即+1），奇数时其值为负（即-1）。前者亦被称为偶宇称，后者则为奇宇称。

例：考虑以下八个态，定义它们的量子数：

- l = 1，ml = 1，ms = +1/2
- l = 1，ml = 1，ms = -1/2
- l = 1，ml = 0，ms = +1/2
- l = 1，ml = 0，ms = -1/2
- l = 1，ml = -1，ms = +1/2
- l = 1，ml = -1，ms = -1/2
- l = 0，ml = 0，ms = +1/2
- l = 0，ml = 0，ms = -1/2

系统的量子态能被这八个态的线性组合所描述。但由于自旋-轨道作用的关系，如欲使用八个由哈密顿算符的特征向量（即每一个代表一个态且不会因时间而跟其他态混合）所组成的态来描述同一个系统，应考虑以下这八个态：

- j = 3/2， mj = 3/2，奇宇称 （从上态1得）
- j = 3/2， mj = 1/2，奇宇称 （从上态2及3得）
- j = 3/2， mj = -1/2，奇宇称 （从上态4及5得）
- j = 3/2， mj = -3/2，奇宇称 （从上态6得）
- j = 1/2， mj = 1/2，奇宇称 （从上态2及3得）
- j = 1/2， mj = -1/2，奇宇称 （从上态4及5得）
- j = 1/2， mj = 1/2，偶宇称 （从上态7得）
- j = 1/2， mj = -1/2，偶宇称 （从上态8得）

## 基本粒子

基本粒子包含不少量子数，一般来说它们都是粒子本身的。但需要明白的是，基本粒子是粒子物理学上标准模型的量子态，所以这些粒子量子数间的关系跟模型的哈密顿算符一样，就像波耳原子量子数及其哈密顿算符的关系那样。亦即是说，每一个量子数代表问题的一个对称性。这在场论中有着更大的用处，被用于识别时空及内对称。

一般跟时空对称有关系的量子数有自旋（跟旋转对称有关）、宇称、C-宇称、T-宇称（跟时空上的庞加莱对称有关系）。一般的内对称有轻子数、重子数及电荷数。条目味有这些量子数的更详细列表。

值得一提的是较次要但常被混淆的一点。大部分守恒量子数都是可相加的。故此，在一基本粒子反应中，反应前后的量子数总和应相等。然而，某些量子数（一般被称为宇称）是可相乘的；即它们的积是守恒的。所以可相乘的量子数都属于一种对称（像守恒那样），而在这种对称中使用两次对称变换式跟没用过是一样的。它们都属于一个叫Z2的抽象群。