伴随矩阵

在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵（adjugate matrix）是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。

$\mathbf{A}$的伴随矩阵记作$\mathrm{adj}(\mathbf{A})$，或$\mathbf{A}^*$。

## 定义

设R是一个交换环，A是一个以R中元素为系数的n×n的矩阵。A的伴随矩阵可按如下步骤定义：

- 定义：A关于第i行第j列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(n − 1)×(n − 1)矩阵的行列式。
- 定义：A关于第i行第j列的代数余子式是：

$\mathbf{C}_{ij} =(-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ij}$。

- 定义：A的余子矩阵是一个n×n的矩阵C，使得其第i行第j列的元素是A关于第i 行第j 列的代数余子式。

引入以上的概念后，可以定义：矩阵A的伴随矩阵是A的余子矩阵的转置矩阵：

$\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^T$。

也就是说，A的伴随矩阵是一个n×n的矩阵（记作adj(A)），使得其第i 行第j 列的元素是A关于第j行第i列的代数余子式。

简言之，伴随矩阵就是把原来余子矩阵C每一列的代数余子式横着写：

$\left[ \mathrm{adj}(\mathbf{A}) \right]_{ij} = \mathbf{C}_{ji}$。

## 例子

### 2x2矩阵

一个$2\times 2$矩阵$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}} & {{d}} \end{bmatrix}$的伴随矩阵是

$$\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix} \,\,\,{{d}} & \!\!{{-b}}\\ {{-c}} & {{a}} \end{bmatrix}$$

### 3x3矩阵

对于$3\times 3$的矩阵，情况稍微复杂一点：

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$$

其伴随矩阵是：

$$\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix} +\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \\ <pre> & & \\ </pre> -\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \\ <pre> & & \\ </pre> +\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} +\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} \\ & & \\ -\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} \\ & & \\ +\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \end{bmatrix}$$

其中

$$\left| \begin{matrix} a_{im} & a_{in} \\ \,\,a_{jm} & a_{jn} \end{matrix} \right|= \det\left[ \begin{matrix} a_{im} & a_{in} \\ \,\,a_{jm} & a_{jn} \end{matrix} \right]= \det\left| \begin{matrix} a_{im} & a_{in} \\ \,\,a_{jm} & a_{jn} \end{matrix} \right|$$

要注意伴随矩阵是余因子矩阵的转置，因此第3行第2列的系数是A关于第2行第3列的代数余子式。

### 具体情况

对于数值矩阵。

例如求矩阵 $A = \begin{bmatrix} \!-3 & \, 2 & \!-5 \\ \!-1 & \, 0 & \!-2 \\ \, 3 & \!-4 & \, 1 \end{bmatrix}$ 的伴随矩阵$\operatorname{adj}(A)$。

只需将数值代入上节得到的表达式中。

即：$\operatorname{adj}(A)_{ji}=C_{ij}=(-1)^{i+j}(M_{ij})$。

其中，$M_{ij}$为删掉矩阵 $A$ 的第 i 横列与第 j 纵行后得到的行列式，$C_{ji}$为矩阵 $A$ 的余因子。

例如：$\operatorname{adj}(A)$中第3行第2列的元素为

$$\operatorname{adj}(A)_{32}=C_{23}=(-1)^{2+3}\;\operatorname{det}\begin{bmatrix}\!-3&\,2\\ \,3&\!-4\end{bmatrix}=-((-3)\cdot (-4)-2 \cdot 3)=-6$$

依照其顺序一一计算，便可得到计算后的结果是：

$$\operatorname{adj}(A) = \operatorname{adj}\begin{bmatrix} \!-3 & \, 2 & \!-5 \\ \!-1 & \, 0 & \!-2 \\ \, 3 & \!-4 & \, 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \!-8 & 18 & \, -4 \\ \, -5 & 12 & \, -1 \\ \!4 & \!-6 & \, 2 \end{bmatrix}$$

## 应用

作为拉普拉斯公式的推论，关于n×n矩阵A的行列式，有：

$$\mathbf{A}\, \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})\, \mathbf{A} = \det(\mathbf{A})\, \mathbf{I}\qquad(*)$$

其中I是n阶的单位矩阵。事实上，A adj(A)的第i行第i列的系数是

$\sum_{j=1}^{n} a_{i;j} C_{i,j}$。根据拉普拉斯公式，等于A的行列式。

如果i ≠ j，那么A adj(A)的第i行第j列的系数是

$\sum_{k=1}^{n} a_{i;k} C_{j,k}$。拉普拉斯公式说明这个和等于0（实际上相当于把A的第j行元素换成第i行元素后求行列式。由于有两行相同，行列式为0）。

由这个公式可以推出一个重要结论：交换环R上的矩阵A可逆当且仅当其行列式在环R中可逆。

这是因为如果A可逆，那么

$1 = \det(\mathbf I) = \det(\mathbf{A} \mathbf{A}^{-1}) = \det(\mathbf{A}) \det(\mathbf{A}^{-1})$。

如果det(A)是环中的可逆元那么公式（*）表明

$$\mathbf{A}^{-1} = \det(\mathbf{A})^{-1}\, \mathrm{adj}(\mathbf{A})$$

## 性质

对$n\times n$的矩阵A和B，有：

- $\mathrm{adj}(\mathbf{I}) = \mathbf{I}$。
- $\mathrm{adj}(\mathbf{AB}) = \mathrm{adj}(\mathbf{B})\,\mathrm{adj}(\mathbf{A})$。
- $\mathrm{adj}(\mathbf{A}^T) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^T$。
- $\det\big(\mathrm{adj}(\mathbf{A})\big) = \det(\mathbf{A})^{n-1}$。
- $$\mathrm{adj}(k \mathbf{A}) = k^{n-1} \ \mathrm{adj}(\mathbf{A})$$
- 当n>=2时，$\mathrm{adj}(\mathrm{adj}(\mathbf{A})) =(\det \mathbf{A})^{n-2} \mathbf{A}$
- 如果A可逆，那么$\mathrm{adj}(\mathbf{A}^{-1}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^{-1} = \frac{A}{\det A}$
- 如果A是对称矩阵，那么其伴随矩阵也是对称矩阵；如果A是反对称矩阵，那么当n为偶数时，A的伴随矩阵也是反对称矩阵，n为奇数时则是对称矩阵。
- 如果A是（半）正定矩阵，那么其伴随矩阵也是（半）正定矩阵。
- 如果矩阵A和B相似，那么$\mathrm{adj}(\mathbf{A})$和$\mathrm{adj}(\mathbf{B})$也相似。
- 如果n>2，那么非零矩阵A是正交矩阵当且仅当$\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \pm A^T$

### 伴随矩阵的秩

当矩阵A可逆时，它的伴随矩阵也可逆，因此两者的秩一样，都是n。当矩阵A不可逆时，A的伴随矩阵的秩通常并不与A相同。当A的秩为n-1时，其伴随矩阵的秩为1，当A的秩小于n-1时，其伴随矩阵为零矩阵。

### 伴随矩阵的特征值

设矩阵A在复域中的特征值为$\lambda_1, \lambda_2 \cdots \lambda_n$(即为特征多项式的n个根），则A的伴随矩阵的特征值为

$\lambda_2 \lambda_3 \cdots \lambda_{n}, \ \lambda_1 \lambda_3 \cdots \lambda_{n}, \cdots , \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_{n-1}$。

这里要用到一个结论作为引理：一个n阶矩阵的n个特征值的和等于它的迹数，它们的乘积等于矩阵的行列式。

分3种情况讨论：

- 如果A的秩为n，即是说A可逆，那么由引理有：$\det A = \lambda_1\lambda_2 \cdots \lambda_n$。只需证明A的伴随矩阵的特征值为$\frac{ \det A}{\lambda_1} , \frac{ \det A}{\lambda_2}, \cdots , \frac{ \det A}{\lambda_n}$。考察矩阵$X \mathbf{I} -\mathrm{adj}(\mathbf{A})$：

$$\det( X \mathbf{I} -\mathrm{adj}(\mathbf{A}) )$$

$$\ \ = \det( X \mathbf{I} - \det \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} )$$

$\ \ = \det \mathbf{A}^{-1} \cdot \det( X \mathbf{A} - \det \mathbf{A} \cdot \mathbf{I})$ $\ \ = \frac{1}{\det \mathbf{A} } \cdot X^n \cdot \det(\mathbf{A} - \frac{\det \mathbf{A} }{X} \mathbf{I} ) <pre>$

由于$\det( \mathbf{A} - X \mathbf{I}) = \prod_{i=1}^n(\lambda_i - X)$，因此

$$\det(\mathbf{A} - \frac{\det \mathbf{A} }{X} \mathbf{I} )$$

$$\ \ = \prod_{i=1}^n(\lambda_i - \frac{\det \mathbf{A} }{X})$$

$$\ \ = \frac{1}{X^n} \prod_{i=1}^n(\lambda_i X - \det \mathbf{A})$$

因此

$$\det( X \mathbf{I} -\mathrm{adj}(\mathbf{A}) )$$

$$\ \ = \frac{1}{\det \mathbf{A} } \cdot X^n \cdot \frac{1}{X^n} \prod_{i=1}^n(\lambda_i X - \det \mathbf{A})$$

$$\ \ = \frac{1}{\det \mathbf{A} } \cdot \lambda_1\lambda_2 \cdots \lambda_n \prod_{i=1}^n(X - \frac{ \det A}{\lambda_i})$$

$$\ \ = \prod_{i=1}^n( X - \frac{\det A}{\lambda_i})$$

可以看到$\mathrm{adj}(\mathbf{A})$的特征多项式为$\prod_{i=1}^n(X - \frac{ \det A}{\lambda_i})$，因此命题成立。

- 如果A的秩严格小于n-1，即是说A至少有两个特征值为0，于是

$$\lambda_2 \lambda_3 \cdots \lambda_{n}, \ \lambda_1 \lambda_3 \cdots \lambda_{n}, \cdots , \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_{n-1}$$

全部都是0。这时A的伴随矩阵为0，因此特征值也全是0。命题成立。

- 如果A的秩等于n-1，即是说A至少有一个特征值为0，不妨设其为$\lambda_1$。由于这时A的伴随矩阵秩为1，它至少有n-1个特征值为0。设剩余的一个为$\alpha$，则其迹数为$\alpha$。另一方面，A的伴随矩阵的迹数为

$$C_{11} +C_{22} + \cdots + C_{nn}$$

这个和恰好等于$\sum_{i=1}^n \prod_{k \neq i} \lambda_k$，即等于$\lambda_2 \lambda_3 \cdots \lambda_{n}$（其余都是0）。

综上所述，对任意的矩阵A，命题都成立。

### 伴随矩阵和特征多项式

设 $p(t)=\mathrm{det}(\mathbf{A}-t\mathbf{I})$ 为$\mathbf{A}$的特征多项式，定义$q (t) = \frac{p (0)-p (t)}{t}$，那么：

$\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = q(\mathbf{A}) = -(p_1 \mathbf{I} + p_2 \mathbf{A} + p_3 \mathbf{A}^2 + \cdots + p_{n} \mathbf{A}^{n-1})$,

其中$p_i$是$p(t)$的各项系数：

$p (t) = p_0 + p_1 t + p_2 t^2 + \cdots p_{n} t^{n}$。

伴随矩阵也出现在行列式的导数形式中。