改进型韦格纳分布

改进型韦格纳分布(modified Wigner distribution function)，用于时频分析的一种方法，属于信号处理的范畴。它改进了韦格纳分布原有的相交项(cross term)的问题。韦格纳分布是公元1932年由尤金·维格纳所提出用于古典力学，但是亦可用于时频分析。韦格纳分布与短时距傅立叶变换都可用于时频分析，虽然前者通常拥有较高的分辨率且有良好的数学特性，但当有两个以上的信号成分时，韦格纳分布就会出现相交项问题，这在应用上造成很大的困扰。因此在公元1995年,L. J. Stankovic和S. Stankovic提出了改进型韦格纳分布，以修正韦格纳分布中会出现的相交项问题。

## 原理

### 韦格纳分布的数学定义

$W_x(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tau/2)x^*(t-\tau/2)e^{-j2\pi\tau\,f}d\tau$ $=\int_{-\infty}^{\infty} X(f+\eta/2)\cdot X^*(f-\eta/2)e^{j2\pi t\eta}\cdot d\eta$

### 改进型韦格纳分布的数学定义

为了改善韦格纳分布的相交项(cross-term)问题，改进型韦格纳分布在此引入了一个类似遮罩(mask)的函数，将相交项过滤掉。

- 定义一：:$W_x(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty}w(\tau/2)w^*(-\tau/2)x(t+\tau/2)x^*(t-\tau/2)e^{-j2\pi\tau\,f}d\tau$

其中w(t)为遮罩函数. 常为方波，其方波宽度为参数B。可写成 $w(t)=\begin{cases} 1 \ \ \ if\ |t|<B \\ 0\ \ \ otherwise\end{cases}$

- 定义二：:$W_x(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty}P(\theta)Y(t,f+\theta/2)Y^*(t,f-\theta/2)d\theta$，其中 $Y(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty}w(\tau)x(t+\tau)e^{-j2\pi f\tau}d\tau$； $P(\theta)\,$ 类似遮罩函数。

$P(\theta)\approx1\ $，当θ很小

$P(\theta)\approx0\ $，当θ很大

适当地选择$P(\theta)\approx1\ $的范围。若选的范围太小，将会破坏原本的项(auto term)。

- 定义三：$W_x(t,f) = \int_{-\infty}^{\infty} w(\tau)x^L(t+\tfrac{\tau}{2L})\cdot \overline{x^L(t-\tfrac{\tau}{2L})}e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau$

增加 L 可以减少相交项(cross-term)的影响(但是不会完全消除)

- 定义四：$W_x(t,f) = \int_{-\infty}^{\infty} [\prod_{l=1}^{q/2}x(t+d_l\tau)x^*(t-d_{-l}\tau)]e^{-j2\pi \tau f}d\tau$

当 q = 2 和 $d_{l} = d_{-l} = 0.5$，就是原本的韦格纳分布。

当指数函数的次项不超过 q/2 +1时，就可以避免相交项(cross-term)

然而，相交项(cross-term)会介于两个讯号之间，无法完全被移除。

定义四的维格纳分布又称为多项型维格纳分布 (Polynomial Wigner Distribution Function)

$$W_x(t,f) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{j2\pi\sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2} + 1} n a_n t^{n-1} \tau} \ e^{-j2\pi\tau f} d\tau = \int_{-\infty}^{\infty} [\prod_{\ell=1}^{q/2}x(t+d_\ell\tau)x^*(t-d_{-\ell}\tau)]e^{-j2\pi \tau f}d\tau$$

If $x(t) = e^{j2\pi \sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2}+1}n a_n t^{n} }$

所以 $d_\ell$ 必须要能满足下面的式子：

$$<pre> e^{j2\pi\sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2} + 1} n a_n t^{n-1} \tau} </pre> = \prod_{\ell=1}^{q/2}x(t+d_\ell\tau)x^*(t-d_{-\ell}\tau)$$

$$W_x(t,f) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j2\pi(f-\sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2}+1})n a_n t^{n-1} \tau} d\tau \cong \delta(f-\sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2}+1}n a_n t^{n-1} \tau)$$

其中 $\sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2}+1}n a_n t^{n-1}$为 $x(t)$ 的瞬时频率

接下来，我们来看 $d_\ell$ 要怎么设定：

(1) 当 $q = 2$ 的时候： $x(t+d_\ell\tau)x^*(t-d_{-\ell}\tau) = e^{j2\pi \sum_{n=1}^{2}n a_n t^{n-1} \tau}$

如果我们把 $x(t) = e^{j2\pi\sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2}+1}a_nt^n}$代入，可以得到下列式子：

$$a_2(t+d_1\tau)^2 + a_1(t+d_1\tau) - a_2(t-d_{-1}\tau) - a_1(t-d_{-1}\tau) = 2 a_2 t \tau +a_1\tau$$

$\begin{cases} d_1 + d_{-1} = 1 \\ d_1 - d_{-1} = 0 \end{cases}$ $\Longrightarrow \begin{cases} d_1 = \tfrac{1}{2} \\ d_{-1} = \tfrac{1}{2} \end{cases}$

由此可以知道，当 $q = 2$ 并且 $d_{-1} = d_1 = \tfrac{1}{2}$ 时，多项型的维格纳分布 (Polynomial Wigner Distribution Function) 就会与原始的维格纳分布相同

$$W_x(t,f) = \int_{-\infty}^{\infty} [\prod_{l=1}^{q/2}x(t+d_l\tau)x^*(t-d_{-l}\tau)]e^{-j2\pi \tau f}d\tau = \int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tau/2)x^*(t-\tau/2)e^{-j2\pi\tau\,f}d\tau , \quad if \quad q = 2 ,\ d_{-1} = d_1 = \tfrac{1}{2}$$

(2) 当 $q = 4$ 的时候： $x(t+d_\ell\tau)x^*(t-d_{-\ell}\tau) = e^{j2\pi \sum_{n=1}^{3}n a_n t^{n-1} \tau}$

如果我们把 $x(t) = e^{j2\pi\sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2}+1}a_nt^n}$代入，可以得到下列式子：

$$a_3(t+d_1\tau)^3 + a_2(t+d_1\tau)^2 + a_1(t+d_1\tau) a_3(t+d_2\tau)^3 + a_2(t+d_2\tau)^2 + a_1(t+d_2\tau) -a_3(t+d_{-1}\tau)^3 - a_2(t+d_{-1}\tau)^2 - a_1(t+d_{-1}\tau) -a_3(t+d_{-2}\tau)^3 - a_2(t+d_{-2}\tau)^2 - a_1(t+d_{-2}\tau)$$

$$= 3 a_3 t^2 \tau + 2 a_2 t \tau +a_1\tau$$

$\begin{cases} a_3(t+d_1\tau)^3 + a_3(t+d_2\tau)^3 -a_3(t+d_{-1}\tau)^3 -a_3(t+d_{-2}\tau)^3 \\a_2(t+d_1\tau)^2 + a_2(t+d_2\tau)^2 - a_2(t+d_{-1}\tau)^2 - a_2(t+d_{-2}\tau)^2 \\a_1(t+d_1\tau) + a_1(t+d_2\tau) - a_1(t+d_{-1}\tau) - a_1(t+d_{-2}\tau) \end{cases}$ $= \begin{cases} 3 a_3 t^2 \tau \\ 2 a_2 t \tau \\ a_1\tau \end{cases}$

所以我们可以得到

$$\begin{cases} d_1 + d_2 +d_{-1} + d_{-2} = 1 \\ {d_1}^2 + {d_2}^2 - {d_{-1}}^2 - {d_{-2}}^2 = 0 \\ {d_1}^3 + {d_2}^3 + {d_{-1}}^3 + {d_{-2}}^3 = 0 \end{cases}$$

可以看到如果 $q$ 太大，$d_\ell$ 会不好设计。

## 性能表现

在此有两个例子来说明改进型韦格纳分布确实能消除相交项。

- $x(t)=\begin{cases} \cos(3\pi t) \ \ \ t\le-4 \\ \cos(6\pi t)\ \ \ -4<t\le4 \ \ \ \\ \cos(4\pi t) \ \ \ t>4 \end{cases}$

<image>

左图是韦格纳分布；右图是改进型韦格纳分布。可以很明显地看出，改进型韦格纳分布大大地改进相交项的问题，相对地增加清晰度。

- $x(t)=\exp(j \cdot(t-5)^3-j \cdot 6 \pi \cdot t)$

<image>

左图是韦格纳分布；右图是改进型韦格纳分布。明显地看出，改进型韦格纳分布确实可改进相交项的问题，同时增加清晰度。

## 同时参阅

- 信号处理
- 时频分析
- 短时距傅立叶变换