测圆海镜

《测圆海镜》是中国金代数学家李冶的代表作，于公元1248年写成。全书一共十二卷，由一百七十个问题组成。书中对勾股容圆的问题进行了探讨，系统地建立了“天元术”（列一元方程的方法）来解决几何问题。《测圆海镜》被认为是中国现存的第一部天元术著作。

天元术是对具体问题列出方程而后求解的方法。天元术于宋金时期开始发展，到元朝达到一个高峰。在《测圆海镜》问世之前，中国虽有以天人代表未知数用以布列方程和多项式的工作，但早期著作已失，仅存被引用的一些片段。李冶在《测圆海镜》中系统而概括地总结了天元术，用“天元”代替未知数，列出方程，然后求解。

## 内容

《测圆海镜》由卷一的圆城图式、说明各个长度名称的总率名号、给出各个长度数值的今问正数、囊括了各个量之间关系的公式总集识别杂记；卷二至卷十二，共一百七十个问题及其解答所组成。书中一共有148问，182种方法是以天元术列出方程以求解，其中列出一次方程31个，二次方程106个，三次方程24个，四次方程20个，六次方程1个

### 卷一

#### 圆城图式

圆城图式（右图）是全书的总括图解，由一个直角三角形（古时称为勾股形）、它的内切圆以及一些特定的点和直线组成。其中的顶点、圆心和交点都用某个汉字来指代。最大的三角形的三个顶点分别是天、地、干，天地干三角形的内切圆圆心称为心。过心的垂直线从上至下分别和三角形、内切圆交于日、南、北三点。过心的水平线从左至右分别和三角形、内切圆交于川、东、西三点。过东的垂直线和过南的水平线都是内切圆的切线，它们分别交天地干三角形于艮、坤、山、月四点，而相交于巽点。乾坤巽艮构成一个正方形。过月的垂直线交东西水平线于青点，交地干边于泉点。过山的水平线交南北垂直线于朱点，交天干边于金点。而这两条线相交于泛点。最后过日的水平线交天干边于旦点，过川的垂直线交地干边于夕点。总共22个点。

#### 总率名号

全书所研究的三角形一共有15个，全部是以天地线之间的线段为弦（斜边）的直角三角形。总率名号给出了这些三角形和线段的名称。它们分别是：

序号｜三角形名称｜对应的三个顶点｜弦c｜股b｜勾a

1｜通｜天地干｜通弦（天地）｜通股（天干）｜通勾（地干）

2｜边｜天西川｜边弦（天川）｜边股（天西）｜边勾（西川）

3｜底｜日地北｜底弦（日地）｜底股（日北）｜底勾（地北）

4｜黄广｜天山金｜黄广弦（天山）｜黄广股（天金）｜黄广勾（山金）

5｜黄长｜月地泉｜黄长弦（月地）｜黄长股（月泉）｜黄长勾（地泉）

6｜上高｜天日旦｜上高弦（天日）｜上高股（天旦）｜上高勾（日旦）

7｜下高｜日山朱｜下高弦（日山）｜下高股（日朱）｜下高勾（山朱）

8｜上平｜月川青｜上平弦（月川）｜上平股（月青）｜上平勾（川青）

9｜下平｜川地夕｜下平弦（川地）｜下平股（川夕）｜下平勾（地夕）

10｜大差｜天月坤｜大差弦（天月）｜大差股（天坤）｜大差勾（月坤）

11｜小差｜山地艮｜小差弦（山地）｜小差股（山艮）｜小差勾（地艮）

12｜皇极｜日川心｜皇极弦（日川）｜皇极股（日心）｜皇极勾（川心）

13｜太虚｜月山泛｜太虚弦（月山）｜太虚股（月泛）｜太虚勾（山泛）

14｜明｜日月南｜明弦（日月）｜明股（日南）｜明勾（月南）

15｜叀｜山川东｜叀弦（山川）｜叀股（山东）｜叀勾（川东）

其中弦是三角形斜边，股是三角形的长直角边（这里是竖直的），勾是三角形短直角边（这里是水平的）。（$a_{1}$代表通勾，$b_{1}$代表通股，$c_{1}$代表通弦，余类推）。

#### 今问正数

今问正数一节给出了圆城图式中每个线段的长度。其中以内切圆的半径为120步，作为标准。

- 弦
- 勾
- 股
- 勾股和：a + b
- 勾股校：b - a
- 勾弦和：a + c
- 勾弦校：c - a
- 股弦和：b + c
- 股弦校：c - b
- 弦校和：c + (b - a)
- 弦校校：c - (b - a)
- 弦和和：(a + b) + c
- 弦和校：(a + b) - c

例子:“通弦六百八十，勾三百二十，股六百；勾股和九百二十，较（两者的差）二百八十；勾弦和一千，较三百六十；股弦和一千二百八十，较八十；弦较和九百六十，较四百；弦和和一千六百，较二百四十。”

15个勾股形中上高 = 下高；上平 = 下平，因此，15个勾股形中，只有13个勾股形是相异的。

《今问正数》共15个勾股形×13项=195项。

列表如下。

<image>

#### 识别杂记

识别杂记都是关于不同线段之间的几何关系式。一共给出了692个公式。是全书的纲领。

识别杂记包含八项：

- 诸杂名目：是全书的总纲，列出各项定义，例如虚勾虚股相得名为虚率，高股平勾差名为角差，又名远差等等。诸杂名目中还列出三十余项定理，如凡大差小差相乘为半段径幂，大差勾小差股相乘同上、黄广股黄长勾相乘为经幂等等。

##### 名目

名目｜定义

内率｜$a_{14}*b_{15}$

外率｜$b_{14}*a_{15}$

虚率｜$a_{13}*b_{13}$

角差｜$b_{7}-a_{8}$

次差｜$(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})$

混同和｜$b_{11}+a_{10}$

傍差｜$(b_{14}-a_{14})-(b_{15}-a_{15})$

夎差｜$(b_{14}-a_{14})-(b_{15}-a_{15})-(b_{13}-a_{13})$

夎和｜$(b_{14}-a_{14})-(b_{15}-a_{15})-(b_{13}+a_{13})$

##### 杂用公式

- $(c_{1}-a_{1})*(c_{1}*b_{1})$= $1 \over 2$*$(d_{1})^2$
- $a_{10}*b_{11}$= $1 \over 2$ $(d_{1})^2$
- $a_{13}*b_{1}$= $1 \over 2$ $(d_{1})^2$
- $a_{1}*b_{13}$= $1 \over 2$ $(d_{1})^2$
- $b_{2}*b_{15}$= $(r_{1})^2$
- $a_{14}*a_{3}$= $(r_{1})^2$
- $a_{5}*b_{4}$= $(d_{1})^2$
- $a_{8}*b_{6}$= $a_{9}*b_{7}$ $=(r_{1})^2$
- $(b_{14}*c_{14})*(a_{15}+c_{15})$= $(r_{1})^2$
- $c_{6}*c_{8}$= $c_{7}*c_{9})$=$a_{13}*b_{13}$

##### 五和五较

- $a_{2}+b_{2}+c_{2}=b_{1}+c_{1}$
- $$a_{3}+b_{3}+c_{3}=a_{1}+c_{1}$$
- $$a_{4}+b_{4}+c_{4}=2b_{1}$$
- $$a_{5}+b_{5}+c_{5}=2a_{1}$$
- $$a_{6}+b_{6}+c_{6}=b_{1}$$
- $$a_{7}+b_{7}+c_{7}=b_{1}$$
- $$a_{8}+b_{8}+c_{8}=a_{1}$$
- $$a_{9}+b_{9}+c_{9}=a_{1}$$
- $$a_{10}+b_{10}+c_{10}=b_{1}+c_{1}-a_{1}$$
- $$a_{11}+b_{11}+c_{11}=c_{1}-b_{1}+a_{1}$$
- $$a_{12}+b_{12}+c_{12}=c_{1}$$
- $$a_{13}+b_{13}+c_{13}=a_{1}+b_{1}-c_{1}$$
- $$a_{14}+b_{14}+c_{14}=c_{1}-a_{1}$$
- $$a_{15}+b_{15}+c_{15}=c_{1}-c_{1}$$

此外还有诸弦，大小差，诸差，诸率互见，四位拾遗，拾遗。

一共692关系式，这些关系式完全是几何定理，与具体数值无关。

举例：第三条中“勾股和即弦黄和”一句就是：三角形两直角边之和等于斜边加上内切圆直径（“黄”指内切圆直径）。这个命题可以由直角三角形的勾股定理推出：

设直角三角形三边分别为$a$、$b$、$c$，其中$a^2+b^2=c^2$

内接圆直径$d = \frac{2ab}{a+b+c}$，因此

内接圆直径 + 斜边 = $d + c = \frac{2ab}{a+b+c} + c = \frac{2ab + c^2 + ac + bc}{a+b+c}$

$$= \frac{2ab + a^2 + b^2 +ac + bc}{a+b+c} = \frac{(a+b)(a+b+c)}{a+b+c}$$

$= a+b$ = 两直角边之和

后面出现的各问题，都根据这些公式中的相等关系而列出方程，然后求解。

李冶的692个公式中，有8个是错误的，只是因为数值吻合而被误认为成立。

#### 新设第一率

<image>

#### 新设第二率

<image>

#### 新设第三率

<image>

#### 新设第四率

<image>

### 第二卷

正率14问

<image>

从第二卷开始，《测圆海镜》中一共出现了一百七十个问题，它们都是围绕着同一个题设背景而展开。

在第二卷开头，李冶作出了以后题目公用的总假设：

假令圆城一所，不知周径，四面开门，门外纵横各有十字大道。其西北十字道头定为干地，其东北十字道头定为艮地，其东南十字道头定为巽地，其西南十字道头定为坤地。所有测望杂法，一一设问如后。

这里的圆城就是指天地干三角形的内切圆，其方向按照圆城图式里面东南西北四个点的位置而定（注意北在下方，东在左边，与现在通用的方位相反），所谓的“干地”、“坤地”则是指圆城图式里面出现的干点、坤点等等。以后的每个问题中要求的长度都是圆城的半径或直径。

接下来的问题都是已知某些线段的长度，问圆城的半径或直径。李冶在每一题的题目之后都先写出解法（代数演算），再给出演草（代入数值的计算）。

洞渊九容

开头十个问题，不需要天元方程。清代数学李善兰认为，第一个问题和《九章算术》的勾股容圆题目一样，第二问至第十问就是《自序》中提到的“洞渊九容”。但李冶原书或《四库全书》李锐较本都没有这九个问题的细草，李善兰在《天算或问》一书中根据相似三角形原理求得各式，并以第二问为例阐明如下：

$${a_{1} \over a_{1}+b_{1}+c_{1}}={a_{2} \over a_{2}+b_{2}+c_{2}}$$

$${b_{1} \over b_{1}+c_{1}}={a_{2} \over b_{2}+c_{2}}$$

又因：

$$b_{1}+c_{1}=a_{2}+b_{2}+c_{2}$$

所以

$${2b_{1}c_{1} \over a_{1}+b_{1}+c_{1}}={2b_{2}c_{2} \over b_{2}+c_{2}}$$

得

$${2a_{2} \times b_{2} \over a_{2} + b_{2}+c_{2}}=d$$

其余类推。

第一问：或问：甲乙二人俱在干地，乙东行三百二十步而立。甲南行六百步望见乙，问径几里？答曰：城径二百四十步。

勾股容圆$d={2a_{1} \times b_{1} \over a_{1} + b_{1}+c_{1}}$

$$={2 * 320 * 600 \over 320 +600 +\sqrt(320^2+600^2)}=240$$

第二问：勾上容圆

$${2a_{2} \times b_{2} \over a_{2} + b_{2}+c_{2}}=d$$

第三问：股上容圆

$${2a_{3} \times b_{3} \over a_{3} + b_{3}+c_{3}}=d$$

第四问：勾股上容圆

$${2a_{12} \times b_{12} \over c_{12}}=d$$

第五问：弦上容圆

$${2a \times b \over a+b}=d$$

第六问：勾外容圆

$${2a_{10} \times b_{10} \over b_{10} - a_{10}+c_{10}}=d$$

第七问：股外容圆

$${2a_{11} \times b_{11} \over b_{11} - a_{11}+c_{11}}=d$$

第八问：弦外容圆

$${2a_{13} \times b_{13} \over b_{13} + a_{13} -c_{13}}=d$$

第九问：勾外容圆半

$${2a_{14} \times b_{14} \over c_{14} - a_{14}}=d$$

第十问：股外容圆半

$${2a_{15} \times b_{15} \over c_{15} - b_{15}}=d$$

天元术

<image>

从第十四题开始，引入天元术，将所求的未知量设为“天元”，然后根据识别杂记中给出的公式构造出两个天元式，另其相等，然后解方程得出答案。《测圆海镜》中天元式的次序，高次幂在常数项之上，和《益古演段》，《四元玉鉴》的相反。

第十四问

“或问出西门南行四百八十步有树，出北门东行二百步见之。问答同前”。

法曰：以二行步相乘为实，二行步相并为从，一步常法，得半径。

草曰：立天元一为半径，置南行步在地。

内减天元半径得股圆差：$480-x$

<image>

元

<image>

<image>

<image>

。

又置乙东行步在地，内减天元，得勾圆差：$200-x$

<image>

元

<image>

<image>

<image>

以勾圆差增乘股圆差得半段黄方幂：$x^2-680x+96000$

<image>

<image>

<image>

<image>

元

<image>

<image>

<image>

<image>

<image>

又置天元幂以倍之，也为半段黄方幂。

<image>

<image>

元

因此，得$x^2-680x+96000=2x^2$

相消得：$-x^2-680x+96000=0$

<image>

<image>

<image>

<image>

元

<image>

<image>

<image>

<image>

<image>

解方程，得半径$r=120$。

### 第三卷

边股17问

标题文字｜已知｜未知数x｜方程

1｜<$b_{2}$，$c_{4}$｜直接计算

2｜$b_{2}$，$a_{11}$｜d｜$x^2+a_{11}x-2b_{2}a_{11}=0$

3｜$b_{2}$，$b_{11}$｜r｜$x^2+b_{2}x-b_{2}b_{11}=0$

4｜$b_{2}$，$a_{15}$｜d｜$x^3+a_{15}x^2-4a_{15}b_{2}^2=0$

5｜$b_{2}$，$a_{14}$｜d｜$x^3-(b_{2}-2a_{14})x^2+a_{14}^2*x+a_{14}^2*b_{2}=0$

6｜$b_{2}$，$a_{10}$｜r｜$x^2+(b_{2}-(b_{2}-c_{10}))x+b_{2}(b_{2}-c_{10})=0$

7｜$b_{2}$，$c_{2}$｜r｜$((1/2)*c_{2}-(1/2)*b_{2}+b_{2})*x^2-(1/2)*(c_{2}-b_{2})b_{2}^2=0$

8｜$b_{2}$， $c_{1}$｜r｜$2x^2+((c_{1}+b_{2})+(c_{1}-b_{2}))x-((c_{1}+b_{2})(c_{1}-b_{2})-(c_{1}-b_{2})^2))=0$

9｜$b_{2}$，$c_{6}$｜r｜$2x^2-2(b_{2}-2(b_{2}-c_{5}))b_{2}=0$

10｜$b_{2}$，$b_{14}$｜r｜$x^2-2b_{2}x+((b_{2}-b_{14})^2-b_{14}^2=0$

11｜$b_{2}$，$a_{10}$｜r｜$(2b_{2}-a_{10})x-b_{2}a_{10}=0$

12｜$b_{2}$，$c_{15}$｜$b_{15}$｜$x^2+(b_{2}+c_{15})x-b_{2}c_{15}=0$

13｜$b_{2}$，$c_{14}$｜$a_{14}$｜$x^4-2(b_{2}-c_{14})x^3+(b_{2}-c_{14})^2x^2+2b_{2}c_{14}^2x-(2(b_{2}-c_{14})-b_{2}))b_{2}c_{14}^2=0$

14｜$b_{2}$，$c_{6}$｜$r=\sqrt((2c_{6}-b_{2})b_{2})$

15｜$b_{2}$，$c_{8}$｜r｜$-x^3-c_{8}x^2-b_{2}^2x+c_{8}b_{2}^2=0$

16｜$b_{2}$，$b_{14}+c_{14}$｜用洞渊九容公式计算

17｜$b_{2}$，$a_{15}+c_{15}$｜用洞渊九容公式计算

### 第四卷

底勾17问：已知$a_{3}$及另一边求直径d.。

第三卷边股问与第四卷同次第底勾问成对偶。

问｜1｜2｜3｜4｜5｜6｜7｜8｜9｜10｜11｜12｜13｜14｜15｜16｜17

第二边｜$c_{5}$｜$b_{10}$｜$a_{10}$｜$b_{14}$｜$b_{15}$｜$c_{11}$｜$c_{13}$｜$c_{1}$｜$c_{9}$｜$a_{15}$｜$b_{11}$｜$c_{14}$｜$c_{15}$｜$c_{9}$｜$c_{7}$｜$a_{15}+c_{15}$｜$b_{14}+c_{14}$

### 第五卷

大股18问：已知$b_{1}$。

问｜1｜2｜3｜4｜5｜6｜7｜8｜9｜10｜11｜12｜13｜14｜15｜16｜17｜18

第二边｜$b_{14}$｜$a_{14}$｜$a_{15}$｜$b_{15}$｜$b_{11}$｜$a_{11}$｜$c_{10}$｜$c_{4}$｜$c_{2}$｜$c_{1}$｜$c_{6}$｜$c_{9}-a_{11}$｜$c_{15}$｜$c_{14}$｜$c_{9}$｜$c_{12}$｜$a_{15}+b_{14}$｜$c_{13}$

### 第六卷

大勾18问：

1-11，13-19已知a_{1}，及另一边求直径d.

12问：已知 $a_{1}+c_{3}$及另边，求直径。

问｜1｜2｜3｜4｜5｜6｜7｜8｜9｜10｜11｜12｜13｜14｜15｜16｜17｜18

已知｜$a_{1}$｜$a_{1}$｜$a_{1}$｜$a_{1}$｜$a_{1}$｜$a_{1}$｜$a_{1}$｜$a_{1}$｜$a_{1}$｜$a_{1}$｜$a_{1}$｜$a_{1}+c_{3}$｜$a_{1}$｜$a_{1}$｜$a_{1}$｜$a_{1}$｜$a_{1}$｜$a_{1}$

第二边｜$a_{15}$｜$b_{15}$｜$b_{14}$｜$a_{14}$｜$a_{10}$｜$b_{10}$｜$c_{11}$｜$c_{5}$｜$c_{3}$｜$c_{1}$｜$c_{9}$｜$b_{10}-c_{6}$｜$c_{14}$｜$c_{15}$｜$c_{6}$｜$c_{12}$｜$a_{15}+b_{14}$｜$a_{13}$

### 第七卷

明叀前18问；求直径d。

问｜已知

1｜$a_{14}$，$b_{15}$

2｜$a_{15}$，$b_{14}$

3｜$a_{14}$，$a_{15}$

4｜$b_{14}$，$b_{15}$

5｜$a_{14}$，$c_{8}$

6｜$b_{15}$，$c_{7}$

7｜$b_{15}$，$c_{13}$

8｜$a_{14}$，$c_{13}$

9｜$d-a_{14}$，$d-b_{15}$

10｜$d-b_{14}$，$d-a_{15}$

11｜$c_{12}$，$a_{15}+b_{14}$

12｜$a_{15}+b_{14}$，$c_{13}$

13｜$b_{15}+c_{13}$，$c_{13}-b_{15}$

14｜$a_{14}+b_{15}+c_{13}$，$a_{14}+b_{15}+c_{13}-a_{14}$。

15｜$c_{14}$，$d-b_{15}$

16｜$c_{5}$，$d-a_{14}$

17｜$a_{1}-a_{14}$，$b_{1}-b_{15}$

18｜$a_{1}+a_{14}$，$b_{1}-b_{15}$

### 第八卷

边股17问：已知 三至八边，或其差，和，求直径d.

问｜已知

1｜$a_{14}+b_{14}$，$a_{15}+b_{15}$，$c_{12}$

2｜$a_{14}+b_{14}$，$a_{15}+b_{15}$，$c_{13}$

3｜$(c_{12}-a_{12})+(c_{12}-b_{12})$，$d_{14}+d_{15}$

4｜$c_{15}$，$c_{14}$

5｜$b_{14}+c_{14}$，$c_{15}+b_{15}$

6｜$a_{15}+c_{15}$，$a_{14}+c_{14}$

7｜$a_{1}+c_{1}$，$a_{15}+c_{15}$

8｜$a_{1}+c_{1}$，$a_{14}+c_{14}$

9｜$b_{1}+c_{1}$，$b_{15}+c_{15}$

10｜$b_{1}+c_{1}$，$b_{14}+c_{14}$。

11｜$b_{14}+c_{14}$，$a_{15}+c_{15}$，$b_{14}+a_{15}-c_{13}$

12｜$(b_{8}-a_{8})+(b_{2}-a_{2})$，$b_{14}+a_{15}-c_{13}$

13｜$b_{7}-a_{8}$，$(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})$，$c_{12}-d$

14｜$(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})$，$(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})$

15｜$a_{14}+b_{14}$，$a_{15}+b_{15}$

16｜$a_{14}+a_{15}$，$b_{14}+b_{15}$

#### 第十四问

或问：高差，平差并一百六十一步，明差叀差并七十七步，问答同前。

即：

草曰：

已知

$$(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=161$$

$$(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})=77$$

相加除2 ; 根据#杂用公式，等于皇极差：

$(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15}) \over 2$ $=(b_{12}-a_{12})$

$b_{12}-a_{12}=$ $161 + 77 \over 2$ $=119$

设天元一为上平勾：

$$x=a_{8}$$

$x+ 161$ =$x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=a_{8}+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})$

$=b_{7}$ (杂用公式)

因为 $a_{8}+b_{7}=c_{12}$ (杂用公式)

$$c_{12}=x+b_{7}=2*x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=2*x+161$$

$$c_{12}^2=(x+b_{7})^2=(2*x+161)^2=4*x^2+644*x+25921$$

$$c_{12}^2-(b_{12}-a_{12})^2$$

$=4*x^2+644*x+25921-$ $((b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15}))^2 \over 4$

$=4*x^2+644*x+11760=d$(圆城直径),

$$d^2=(4*x^2+644*x+11760)^2=16*x^4+5152*x^3+508816*x^2+15146880*x+138297600$$

将 $4*x$乘下高股

$$4*x*b_{7}=4*x*(x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8}))=4*x*( x+ 161)=4*x^2+644*x$$

乘之以皇极弦幂:

$d^2=4*x*b_{7}*c_{12}^2=$ $(4*x^2+644*x)*(4*x^2+644*x+25921)=$ $16*x^4+5152*x^3+518420*x^2+16693124$

因此

$16*x^4+5152*x^3+518420*x^2+16693124=$ $16*x^4+5152*x^3+508816*x^2+15146880*x+138297600$

左右相消得：

$$9604*x^2+1546244*x-138297600=0$$

解之得 $x=a_{8}=64$;

正合#今问正数中的下平勾。

### 第九卷上

大斜四问

问｜已知

1｜$a_{12}+b_{12}+c_{12}$，$b_{12}-a_{12}$

2｜$c_{1}$，$b_{1}-a_{1}$

3｜$c_{1}$，$a_{10}+b_{11}$

4｜$c_{1}$，$a_{2}+b_{3}$

### 第九卷下

大和8问

边股17问：已知三边，求直径d。

问｜已知条件

1｜$a_{1}+b_{1}$，$a_{2}$，$b_{3}$

2｜$a_{1}+b_{1}$，$c_{13}+b_{13}-a_{13}$，$c_{13}-b_{13}+a_{13}$

3｜$a_{1}+b_{1}$，$a_{11}+b_{11}$，$a_{10}+b_{10}$

4｜$a_{1}+b_{1}$，$c_{10}-a_{10}$，$c_{11}-b_{11}$

5｜$a_{1}+b_{1}$，$c_{6}+c_{8}$，$c_{6}-c_{8}$

6｜$a_{1}+b_{1}$，$c_{10}$，$c_{11}$

7｜$a_{1}+b_{1}$，$c_{4}$，$c_{5}$

8｜$a_{1}+b_{1}$，$c_{2}$，$c_{3}$

### 第十卷

三事和8问

问｜已知

1｜$a_{1}+b_{1}+c_{1}$，$c_{1}-b_{1}$

2｜$a_{1}+b_{1}+c_{1}$，$c_{1}-a_{1}$

3｜$a_{1}+b_{1}+c_{1}$，$b_{1}-a_{1}$

4｜$a_{1}+b_{1}+c_{1}$，$(c_{1}-b_{1})+(c_{1}-a_{1})$

5｜$a_{1}+b_{1}+c_{1}$，$(c_{1}-b_{1})+(b_{1}-a_{1})+(c_{1}-a_{1})$

6｜$a_{1}+b_{1}+c_{1}$，$d_{14}+d_{15}$

7｜$a_{1}+b_{1}+c_{1}$，$c_{12}$

8｜$a_{1}+b_{1}+c_{1}$，$c_{13}$

### 第十一卷

杂糅18问：

第十七问，十八问取自《洞渊算书》。

问｜已知

1｜$c_{2}$，$c_{3}$

2｜$c_{5}$，$c_{4}$

3｜$b_{11}$，$c_{4}$

4｜$a_{10}$，$c_{3}$

5｜$a_{10}$，$b_{11}$

6｜$b_{7}$，$a_{8}$

7｜$b_{1}-b_{11}$，$a_{1}-a_{10}$

8｜$b_{10}-a_{10}$，$b_{11}-a{11}$

9｜$c_{13}$，$a_{10}-b_{11}$

10｜$a_{12}+b_{12}$，$a_{13}+b_{13}$

11｜$c_{1}$，$b_{1} \over a_{1}$

12｜$d_{10}-d_{11}$，$d_{12}-d_{13}$

13｜$c_{12}-[c_{10}-(b_{10}-a_{10})]$，$c_{11}+(b_{11}-a_{11})-c_{13}$，$b_{12}-a_{12}$

14｜$c_{8}-(c_{1}-b_{1})$，$(c_{1}-a_{1})-c_{7}$

15｜$a_{1}+c_{1}$，$(c_{1}-a_{1})+(c_{1}-b_{1})$

16｜$a_{12}+b_{12}+c_{12}$，$(a_{13}+b_{13})-c_{13}$

17｜(取自《洞渊算书》）

18｜取自《洞渊算书》

### 第十二卷

之分14问

问｜已知

1｜$b_{1}+c_{1}$，$a_{1}$= $8 \over 15$ $b_{1}$

2｜$a_{1}+c_{1}$，$a_{1}$= $8 \over 15$ $b_{1}$

3｜$a_{1}=(1-5/9)*3d$，$b_{1}-a_{1}$

4｜$a_{3}=(5/6)*d$，$b_{2}-a_{3}$

5｜$(15/16)b_{1}=d$，$a_{1}+b_{1}$

6｜$a_{12}=(8/15)*b_{12}$，$c_{12}-b_{12}$，$c_{12}-a_{12}$

7｜$c_{1}$，$d=(1/2)b_{2}$，$a_{3}=(5/6)d$

8｜$b_{2}+a_{3}+c_{2}$，$b_{2}=(12/17)c_{1}$，$a_{3}=(5/17)c_{1}$

9｜$a_{3}+(5/6)b_{2}$，$b_{2}+(3/5)a_{3}$

10｜$a_{11}+(1/3)b_{10}$，$b_{10}-(3/4)a_{11}$

11｜$b_{1}-d=(3/5)b_{1}$，$a_{1}-d=(1/4)a_{1}$，$(b_{1}-d)-(a_{1}-d)$

12｜$b_{1}-d=(3/5)b_{1}$，$a_{1}-d=(1/4)a_{1}$，$(1/5)b_{1}-(1/4)a_{1}$

13｜$b_{14}=(1-(15/24)b_{10})$，$a_{15}=(1-(4/5))a_{11}$，$b_{14}-a_{15}$,$b_{10}-a_{11}$

14｜$a_{1}+b_{1}+c_{1}$，$(b_{1}/a_{1})=8(1/3)$，$(a_{1}/b_{15})=10(2/3)$，$a_{14}-a_{13}$，$b_{13}-b_{15}$

## 版本

天元术并非李冶的独创，而是从金代起便在中国北方开始萌芽。据祖颐在《四元玉鉴后序》中的记载，李冶以前研究天元术的学者有北宋蒋周撰《益古集》、李文一撰《照胆》，石信道撰《钤经》、刘汝谐撰《如积释锁》等书，世人才知道有天元。此外朱世杰《四元玉鉴》引用北宋《洞渊九容细草》两道题，其中有“立天元一”。后来李德载撰《两仪群英集臻》兼有地元。1306年元刻本《阴阳备用三元节要》三卷下有天元，地元。但是这些早期天元术的著作已经失传。宋代《杨辉算法》保留蒋周《益古集》的一些条段法的题目，没保留天元术的内容。现存元刻本《阴阳备用三元节要》只有一条二元术题，《测圆海镜》是现存最早的系统地讲述天元术的著作。

到了明代，天元术因为艰深难懂而少人研究，几近失传。明代唐顺抄录过《测圆海镜》，但不懂天元术；顾应祥曾经撰写《测圆海镜分类释术》，但完全没有明白天元术中天元为未知数的含义，因而将《测圆海镜》中关于立天元列方程的演算全部删去，只留下用开方术解方程的过程，以便后人学习。李俨认为宋金元发展起来的天元术至此已被遗忘。《测圆海镜分类释术》一书，虽然删除了天元术内容，但保存了全部算题，也补入正确的几何学解法，使得几近失传的《测圆海镜》，得以从新流传。

十八世纪时，随着西洋算学传入中国，李冶等人的天元术著作才被后来的数学家重新发现。戴东原从《永乐大典》中辑录出李冶《测圆海镜》；清朝梅瑴成（梅文鼎之孙）曾经研读元学士李冶的《测圆海镜》，对其中的天元之术感到不解，后来在研习西方的“借根方”法时发现所谓的“借根”就是“立天元”（都是设未知数），方才重新开始认识天元术。之后，《四元玉鉴》等其它天元术著作也被重新认识。孔广森曾校对《测圆海镜》中的四章。乾隆三十八年（1773年），《四库全书》收录了李潢家藏本的《测圆海镜》。1798年，清代大藏书家鲍廷博刊印的《知不足斋丛书》中收录了李锐校勘的《测圆海镜细草》十二卷。之后又有焦循和李锐在研究了《测圆海镜》、《益古演段》和《数书九章》后写的《天元一释》和《开方通释》两书，用较为明白的语言详细解释了李冶的天元术和秦九韶的正负开方术。1873年，张楚钟发表《测圆海镜通释》对《识别杂记》中的几百条定理，用几何方法逐条证明。

## 清代研究

1896年刘岳云出版《测圆海镜解》，发现《圆城图式》中各线段的简单加减关系，发表《诸率加减表》，此后李善兰出版《测圆海镜解》等。他在另一篇著作《天算或问》中给出勾股容圆各公式的统一公式。其后陈维祺发表《各率及较泛积表》将《识别杂记》用“泛积”概念统一表示。王季同在《九容公式》中进一步发展了陈维祺的成果，发现

极勾=(高股 * 平勾 +平勾^2)^(1/2)

极股=(高股 * 平勾 +高股^2)^(1/2)

半径=(高股 * 平勾 )^(1/2)

## 国际研究

19世纪初，朝鲜数学家南秉哲著《海镜细草解》。

1913年，法国学者L.van Hoe 介绍《测圆海镜》。1982年，法国林力娜（K. Chemla)作论文 Etude du Livre Reflects des Mesuers du Cercle sur la mer de Li Ye，获得博士学位。1983年，新加坡大学教授蓝丽蓉发表 Chinese Polynomial Equations in the Thirteenth Century,论述《测圆海镜》。

## 评价

清代数学家对《测圆海镜》给予很高评价。阮元认为《测圆海镜》是“中土数学之宝书”，李善兰称赞它是“中华算书，无有胜于此者”。白尚恕说，《测圆海镜》的成就，超过同时期的印度，阿拉伯和欧洲，“处于世界数学里遥遥领先的地位”

## 参见

- 李冶《益古演段》
- 朱世杰《四元玉鉴》
- 李善兰
- 秦九韶算法