柯西主值

在微积分中，柯西主值是为某类原来发散的反常积分指派特定数值的方式，为纪念数学家柯西而得此名。

## 第一类反常积分

第一类反常积分，称为无穷积分，指积分区间的上限或下限为无穷的积分。

设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续且可积。可定义以下第一类反常积分：

$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \lim_{u\to -\infty} \int_u^cf(x)\,dx + \lim_{v\to+\infty} \int_c^vf(x)\,dx$。

其中 $c$ 是区间上任意一点。

上式中两个极限皆收敛，这反常积分才定义为收敛。若任意其一发散，则此积分发散。在这里，两个极限须分别处理，即两者的收敛速度可能不同。但在柯西主值的理解下，可假设两个极限的收敛速度相同，即：

$\mathrm{PV}\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^Rf(x)\,dx$。

若在相同收敛速度下，两者可以互相抵消，则该积分的柯西主值存在。举例来说：

$$\begin{align} \mathrm{PV}\int_{-\infty}^\infty x \,dx &= \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^R x \,dx \\ &=\lim_{R\to +\infty} \left[\frac{x^2}{2}\right]_{-R}^R\\ &=\lim_{R\to +\infty} \left(\frac{R^2}{2}-\frac{R^2}{2}\right)\\ &=0 \end{align}$$

根据定义，若无穷积分收敛，则其柯西主值收敛，且二者相等。但无穷积分的柯西主值收敛，该积分未必收敛。

## 第二类反常积分

第二类反常积分，称为瑕积分，指被积函数在积分区间中含有不连续点的积分。

设函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上连续且可积，但在点 $a$ 及 $b$ 不连续。可定义以下第二类反常积分：

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{u\to a^+} \int_u^cf(x)\,dx + \lim_{v\to b^-} \int_c^vf(x)\,dx$。

其中 $c$ 是区间上任意一点。

设函数 $g(x)$ 在 $[a,c)$ 及 $(c,b]$上连续且可积，但在点 $c$ 不连续。可定义以下第二类反常积分：

$\int_a^b g(x)\,dx = \lim_{u\to c^-} \int_a^ug(x)\,dx + \lim_{v\to c^+} \int_v^bg(x)\,dx$。

同样地，上式中两个极限皆收敛，这反常积分才定义为收敛。若任意其一发散，则此积分发散。在这里，两个极限的收敛速度可能不同。但在柯西主值的理解下，可假设两个极限的收敛速度相同，即：

$\mathrm{PV}\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon} f(x) \,dx$。

$\mathrm{PV}\int_a^b g(x)\,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^+} \left[\int_a^{c-\varepsilon} g(x)\,dx+\int_{c+\varepsilon}^b g(x)\,dx\right]$。

若在相同收敛速度下，两者可以互相抵消，则该积分的柯西主值存在。

根据定义，若瑕积分收敛，则其柯西主值收敛，且二者相等。但瑕积分的柯西主值收敛，该积分未必收敛。

对于区间上有多个不连续点的积分，可由类似方式定义广义的柯西主值。

## 混合反常积分

有些时候，无穷积分和瑕积分能同时出现。设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,c)$ 及 $(c,\infty)$上连续且可积，但在点 $c$ 不连续。我们能用以下方式计算其柯西主值：

$\mathrm{PV}\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\int_{c-\frac{1}{\varepsilon}}^{c-\varepsilon} f(x)\,dx+\int_{c+\varepsilon}^{c+\frac{1}{\varepsilon}}f(x)\,dx \right]$。

## 计算问题

在计算积分的柯西主值时，使用换元积分法可能会导致歧义。例如在计算 $\mathrm{PV} \int_{-2}^1\frac{10+4x}{x^3(5+x)^3}\,dx$ 时。

$$\begin{align} \mathrm{PV} \int_{-2}^1\frac{10+4x}{x^3(5+x)^3}\,dx &= \mathrm{PV} \int_{-2}^0\frac{10+4x}{x^3(5+x)^3} \,dx+\mathrm{PV} \int_0^1\frac{10+4x}{x^3(5+x)^3} \,dx\\ &= \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left( \int_{-2}^{-\varepsilon }\frac{10+4x}{x^3(5+x)^3} \,dx+ \int_{\varepsilon }^1\frac{10+4x}{x^3(5+x)^3}\,dx \right)\\ &= \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left( \left[ -\frac{1}{x^2(5+x)^2}\right]_{-2}^{-\varepsilon } + \left[ -\frac{1}{x^2(5+x)^2}\right]_{\varepsilon}^{1} \right) \\ &= \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left( -\frac{1}{\varepsilon^2(5-\varepsilon)^2} + \frac{1}{4(5-2)^2} - \frac{1}{(5+1)^2} +\frac{1}{\varepsilon^2 (5+\varepsilon)^2}\right) \\ &= \lim_{\varepsilon \to 0^+}\frac{-20\varepsilon}{\varepsilon^2(5-\varepsilon)^2(5+\varepsilon)^2} \\ &=-\infty \end{align}$$

但若使用换元 $u=5x+x^2$， $du=(5+2x)dx$。

$$\begin{align} \mathrm{PV} \int_{-2}^1\frac{10+4x}{x^3(5+x)^3}\,dx & = \mathrm{PV} \int_{-6}^6\frac{2}{u^3} \,du\\ &= \mathrm{PV}\int_{-6}^0\frac{2}{u^3}\,du + \mathrm{PV}\int_0^6\frac{2}{u^3}\,du\\ &= \lim_{\varepsilon\to 0^+} \left( \int_{-6}^{-\varepsilon}\frac{2}{u^3}\,du + \int_{\varepsilon}^6\frac{2}{u^3} \,du\right) \\ &= \lim_{\varepsilon\to 0^+} \left( \left[ -\frac{1}{u^2}\right]_{-6}^{-\varepsilon}+\left[ -\frac{1}{u^2}\right]_{\varepsilon}^{6} \right) \\ &= \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left( -\frac{1}{\varepsilon^2} + \frac{1}{36} - \frac{1}{36} +\frac{1}{\varepsilon^2}\right) \\ &=0 \end{align}$$

在上面的两个结果中，第一个才是正确的。第二个计算方式中，由于使用换元取代时，两个极限的收敛速度改变了。当两者的改变不对称时，就会得到不一样的结果。要避免这样的情形，我们应避免使用换元取代的方法求柯西主值。

## 名称和记号

有些作者会把柯西主值直接叫作“主值”(principal value)。但这和多值函数的主值是没有关系的。

不同作者会使用不同的记号表示积分的柯西主值。以下是常见的记号：

$\mathrm{PV} \int f(x)\,dx$。

$\mathrm{p.v.} \int f(x)\,dx$。

$-\!\!\!\!\!\!\int f(x)\, dx$。

## 参考文献

- 欧阳光中、朱学炎、陈传璋 (2007)。《数学分析（下册）》。第三版。高等教育出版社。ISBN 978-7-04-020743-9。
- Weisstein, Eric W. Improper Integral. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ImproperIntegral.html
- Weisstein, Eric W. Cauchy Principal Value. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CauchyPrincipalValue.html
- Dave Rusin's webpage. Cauchy Principal Value. The Department of Mathematics, the University of Texas. http://www.math.utexas.edu/users/rusin/408D-12b/CPV.pdf.