六进制

六进制是以6为底数的进位制。

## 整数

六进制使用从0到5的六个数字, 将6表示为“10”。通常用于由六个组成的事物，如骰子。

序列的进行如下。

六进制｜0｜1｜2｜3｜4｜5｜10｜11｜12｜13｜14｜15｜20｜21｜22｜23｜24｜25｜30

十进制｜0｜1｜2｜3｜4｜5｜6｜7｜8｜9｜10｜11｜12｜13｜14｜15｜16｜17｜18

六进制｜31｜32｜33｜34｜35｜40｜41｜42｜43｜44｜45｜50｜51｜52｜53｜54｜55｜100

十进制｜19｜20｜21｜22｜23｜24｜25｜26｜27｜28｜29｜30｜31｜32｜33｜34｜35｜36

六进制｜230｜231｜232｜233｜234｜235｜240｜241｜242｜243｜244｜245｜250｜251｜252｜253｜254｜255｜300

十进制｜90｜91｜92｜93｜94｜95｜96｜97｜98｜99｜100｜101｜102｜103｜104｜105｜106｜107｜108

在六进制系统中“5 +1 = 10”，因此“10÷2 = 3”和“10÷3 = 2”。因此，以3的倍数计数并除以3变得非常容易。

### 幂乘

在六进制中，由于2与3的指数相同，因此可以表示为 "10n = 2n×3n"。六与十都是两个素数的乘积，十的3×n乘（103×n）与六的4×n乘（64×n）彼此接近。

指数（六进制）｜六进制｜十进制

1｜10｜6

2｜100｜36

3｜1000｜216

4｜1 0000｜1296

5｜10 0000｜7776

10｜100 0000｜46 656

11｜1000 0000｜279 936

12｜1 0000 0000｜1 679 616

13｜10 0000 0000｜10 077 696

14｜100 0000 0000｜60 466 176

15｜1000 0000 0000｜362 797 056

20｜1 0000 0000 0000｜2 176 782 336

21｜10 0000 0000 0000｜13 060 694 016

22｜100 0000 0000 0000｜78 364 164 096

23｜1000 0000 0000 0000｜470 184 984 576

24｜1 0000 0000 0000 0000｜2 821 109 907 456

25｜10 0000 0000 0000 0000｜16 926 659 444 736

30｜100 0000 0000 0000 0000｜101 559 956 668 416

指数｜1｜2｜3｜4｜5｜10｜11｜12｜13｜14｜15｜20

2｜2｜4｜12｜24｜52｜144｜332｜1104｜2212｜4424｜13252｜30544

3｜3｜13｜43｜213｜1043｜3213｜14043｜50213｜231043｜1133213｜3444043｜15220213

5｜5｜41｜325｜2521｜22245｜200201｜1401405｜12212241｜105510125｜545151121｜4502320045｜40120440401

### 素数

六进制的测定倍数

- 如果第一位是0，则该数字“可以被2和3整除”的数字，即10（六）的倍数。
- 如果第一位是3，则该数字“不可以被2整除, 但是以被3整除”的数字。
- 如果第一位是2或4，则该数字“可以被2整除, 但是不可被3整除”的数字。
- 如果第一位是1或5，则该数字“不能除以2或3整除”的数字。11（七）之后的素数首先是1或5。

六进制对于研究素数是很有用的，因为所有的素数，除了2和3以外，个位数都是1或5。在六进制中，最初的几个素数为：

$$2_6,3_6,5_6,11_6,15_6,21_6,25_6,31_6,35_6,45_6,51_6,$$

$$101_6,105_6,111_6,115_6,125_6,\ldots$$

也就是说，对于所有除了2和3以外的素数$p$都有$p\mod 6 = 1$或$p\mod 6 = 5$。另外，除了6以外，所有的完全数在六进制中都以44结尾。

## 分数

十进制Prime factors of the base: 2, 5Prime factors of one below the base: 3Prime factors of one above the base: 11｜六进制Prime factors of the base: 2, 3Prime factors of one below the base: 5Prime factors of one above the base: 11

分数｜分母｜Positional representation｜Positional representation｜分母｜分数

1/2｜2｜0.5｜0.3｜2｜1/2

1/3｜3｜0.3333... = 0.3｜0.2｜3｜1/3

1/4｜2｜0.25｜0.13｜2｜1/4

1/5｜5｜0.2｜0.1111... = 0.1｜5｜1/5

1/6｜2, 3｜0.16｜0.1｜2, 3｜1/10

1/7｜7｜0.｜0.05｜11｜1/11

1/8｜2｜0.125｜0.043｜2｜1/12

1/9｜3｜0.1｜0.04｜3｜1/13

1/10｜2, 5｜0.1｜0.03｜2, 5｜1/14

1/11｜11｜0.09｜0.｜15｜1/15

1/12｜2, 3｜0.083｜0.03｜2, 3｜1/20

1/13｜13｜0.｜0.｜21｜1/21

1/14｜2, 7｜0.0｜0.023｜2, 11｜1/22

1/15｜3, 5｜0.06｜0.02｜3, 5｜1/23

1/16｜2｜0.0625｜0.0213｜2｜1/24

1/17｜17｜0.｜0.｜25｜1/25

1/18｜2, 3｜0.05｜0.02｜2, 3｜1/30

1/19｜19｜0.｜0.｜31｜1/31

1/20｜2, 5｜0.05｜0.014｜2, 5｜1/32

1/21｜3, 7｜0.｜0.014｜3, 11｜1/33

1/22｜2, 11｜0.045｜0.0｜2, 15｜1/34

1/23｜23｜0.｜0.｜35｜1/35

1/24｜2, 3｜0.0416｜0.013｜2, 3｜1/40

1/25｜5｜0.04｜0.｜5｜1/41

1/26｜2, 13｜0.0｜0.0｜2, 21｜1/42

1/27｜3｜0.037｜0.012｜3｜1/43

1/28｜2, 7｜0.03｜0.0114｜2, 11｜1/44

1/29｜29｜0.｜0.｜45｜1/45

1/30｜2, 3, 5｜0.03｜0.01｜2, 3, 5｜1/50

1/31｜31｜0.｜0.｜51｜1/51

1/32｜2｜0.03125｜0.01043｜2｜1/52

1/33｜3, 11｜0.03｜0.0｜3, 15｜1/53

1/34｜2, 17｜0.0｜0.0｜2, 25｜1/54

1/35｜5, 7｜0.0｜0.01｜5, 11｜1/55

1/36｜2, 3｜0.027｜0.01｜2, 3｜1/100

因为6是最小的两个素数2和3的乘积，许多六进制的小数都有简单的表示法：

十进制｜$\tfrac{1}{2}$｜$\tfrac{1}{3}$｜$\tfrac{1}{4}$｜$\tfrac{1}{5}$｜$\tfrac{1}{6}$｜$\tfrac{1}{7}$｜$\tfrac{1}{8}$｜$\tfrac{1}{9}$｜$\tfrac{1}{10}$｜$\tfrac{1}{11}$｜$\tfrac{1}{12}$｜$\tfrac{1}{14}$｜$\tfrac{1}{15}$｜$\tfrac{1}{16}$｜$\tfrac{1}{18}$｜$\tfrac{1}{20}$

六进制｜$\tfrac{1}{2}$｜$\tfrac{1}{3}$｜$\tfrac{1}{4}$｜$\tfrac{1}{5}$｜$\tfrac{1}{10}$｜$\tfrac{1}{11}$｜$\tfrac{1}{12}$｜$\tfrac{1}{13}$｜$\tfrac{1}{14}$｜$\tfrac{1}{15}$｜$\tfrac{1}{20}$｜$\tfrac{1}{22}$｜$\tfrac{1}{23}$｜$\tfrac{1}{24}$｜$\tfrac{1}{30}$｜$\tfrac{1}{32}$

六进制(小数)｜0.3｜0.2｜0.13｜0.1｜0.1｜0.05｜0.043｜0.04｜0.03｜0.｜0.03｜0.023｜0.02｜0.0213｜0.02｜0.014

六进制为2和3的同样的幂，因此很容易将它们分为2和3个除法。2的幂的倒数变为3的幂，而3的幂的倒数变为2的幂。因而对于大多分母是3的幂的分数，六进制的表示形式更简短。

幂指数｜-1｜-2｜-3｜-4｜-5｜-10｜-11｜-12｜-13｜-14

2｜0.3｜0.13｜0.043｜0.0213｜0.01043｜0.003213｜0.0014043｜0.00050213｜0.000231043｜0.0001133213

3｜0.2｜0.04｜0.012｜0.0024｜0.00052｜0.000144｜0.0000332｜0.00001104｜0.000002212｜0.0000004424

## 指数法

如果拳头0，因为六种类型从0到5的数目可以在一个手来表示，六进制是方便用手指计数。

在这种方法中，一只手位于一的位，另一只手位于六的位, 计数到55（五六五 = 十进制35），100（十进制36）会导致数字溢出。例如，左手“1”和右手“5”表示“六五”即“十一”（六进制15 =十进制11）, 左手“4”和右手“3”表示“四六三”即“二十七”（六进制43 =十进制27）。

可以表示小数和假分数，如果一只手在"一"的位，另一只手在"六分之一"的位，则可以计算不超过5.5（5和5/6）的分数。两位数的小数字的一只手放在"六分之一"的位，另一只手放在"三十六分之一"的位。例如，如果指示“44”，则除了“六进制44 = 十进制28”之外，还可以指示“4和2/3”(4和4/6 = 六进制4.4) 和“7/9”（十进制28/36 = 六进制0.44）。

用双手进行计数的十进制不能在15（十进制11）之后进行计数，并且可以分为2和5，但是不能分为3和4。但是，用双手计数的六进制最多可以计数55（十进制35），并且可以分为2和3，如果扩展为双手，则可以分为4和9(六进制13)。

## 三十六进制

在某些场合下，六进制的底数6可能太小，不便于使用。此时，若讲底数6扩充至6的平方，也就是36就能缓解此问题，这个进制就是三十六进制。由于36是6的平方，因此在三十六进制中，一个位数等于六进制的两个位数。并且两者存在一个一对一的转换，也就是说六进制和三十六进制之间可以透过以下对照表转换来完成：

十进制｜0｜1｜2｜3｜4｜5｜6｜7｜8｜9｜10｜11｜12｜13｜14｜15｜16｜17

六进制｜0｜1｜2｜3｜4｜5｜10｜11｜12｜13｜14｜15｜20｜21｜22｜23｜24｜25

三十六进制｜`0`｜`1`｜`2`｜`3`｜`4`｜`5`｜`6`｜`7`｜`8`｜`9`｜`A`｜`B`｜`C`｜`D`｜`E`｜`F`｜`G`｜`H`

十进制｜18｜19｜20｜21｜22｜23｜24｜25｜26｜27｜28｜29｜30｜31｜32｜33｜34｜35

六进制｜30｜31｜32｜33｜34｜35｜40｜41｜42｜43｜44｜45｜50｜51｜52｜53｜54｜55

三十六进制｜`I`｜`J`｜`K`｜`L`｜`M`｜`N`｜`O`｜`P`｜`Q`｜`R`｜`S`｜`T`｜`U`｜`V`｜`W`｜`X`｜`Y`｜`Z`

三十六进制使用0-9和A-Z的符号来表示数。由于约定俗成用于表示数的阿拉伯数字与拉丁字母恰好用完，因此36也是最后一个有约定俗成表示方法的进制底数，底数高于36的进制如三十七进制就会面临符号不够用的问题，目前没有公认的模式来表达底数37或以上的进制，部分文献会把各个位数以十进制表示，并用冒号（:）分隔。

根据上表，例如三十六进制的数36（这串英文字母组合的意义是维基百科）在六进制中表示为6，可以观察到，开头的52对应到W、30对应到I，以此类推。这个数在十进制中是91,730,738,691,298。