相干性

在物理学中，相干性（coherence）又称同调性，陈述两列波相互干扰的可能性。来自同一单光源的两单色光束总是相互干扰（干涉）。若两个波源的频率和波形相同，则它们是相干的（coherent）或同调的。相干的的两波物理源（physical source）并不严格限单色的，它们可能是部分相干的（partly coherent）。但来自不同物理源的光束，则互为非相干的（incoherent）。

相干性是波的一个理想内禀属性，它使波可进行“定态干涉”（stationary interference，时间或空间固定下的干涉）；亦即为了产生显著的干涉现象，波所需具备的性质。相干性描述一个波列在同一时间不同位置，或者在同一位置不同时间的“振动间有恒定相位关系”的特性，可分为空间相干性、时间相干性和部分相干性三种。更概括地说，相干性描述了单波与自己、多波之间、波包之间，某些物理量间的相关特性。

当两个波彼此相互干涉时，因为相位的差异，会造成相长干涉或相消干涉。假若两个正弦波的相位差为常数，则这两个波的频率必定相同，称这两个波“完全相干”。两个“完全不相干”的波，例如白炽灯或太阳所发射出的光波，由于产生的干涉图样不稳定，无法被明显地观察到。在这两种极端之间，存在着“部分相干”的波。

相干性大致分为时间相干性与空间相干性两类。时间相干性与波的带宽有关；而空间相干性则与波源的有限尺寸有关。

波与波之间的相干性可以用相干度来量度。干涉可见度是波与波之间的干涉图样的辐照度对比，相干度可以从干涉可见度计算出来。

## 波源

一般而言，互不相关的波源无法形成可观察到的干涉图样。例如白炽灯或太阳是由很多互不相关、持续生成的微小发光点所组成，每一个发光点只会作用一段时间$\Delta t\approx 10^{-8}-10^{-9} sec$，发射出一个有限长度的波列，之后，再也不会发光，但在其它位置，又会出现新的发光点。为了要能拍摄到这类光源所产生的由两个波列叠加形成的干涉图样，摄影仪器的曝光时间必须要小于$\Delta t$。在旧时，无法制造出这么高阶的摄影仪器，因此从这类光源很难拍摄到干涉图样。但是，通过适当处理，仍旧可以观察到这些光源的干涉图样。

为了要观察到这些互不相关的波源所形成的涉图样，必须从这些波源制造出相干性较高的波。有两种方法可以达成这目标：

- 第一种方法称为“波前分割法”。从微小波源发射出的波，其波前与微小波源之间的距离大致相等。使用具有几条狭缝的档板来过滤从微小波源发射出的波，只要这些狭缝与微小波源之间的距离相等，就可以保证同样的波前入射于这几条狭缝。位于波前的每一点都可以视为一个波源，会发射出次波。因此，从这几条狭缝衍射出来的次波，其相位大致相同。杨氏双缝实验就是借着这方法制成两束相干性较高的光波，这两束光波会在观察屏产生干涉图样。
- 第二种方法称为“波幅分割法”。用半透射、半反射的半镀银镜，可以将光波一分为二，制造出透射波与反射波，这两束光波非常相似，相干性非常高。假设这两束光波的光程长度不相等，则由于在观察屏的相位不同，会产生明显不同的干涉图样。迈克生干涉仪使用的就是这种方法。

自从激光、激微波的发明以后，物理学者不再为寻找高相干性的光源这问题而烦恼，激光所制造出来的波列通常能维持$\Delta t\approx 10^{-3} sec$之久。这给予足够的曝光时间来拍摄干涉图样。

## 应用

以前，只有在学习光学的杨式双缝实验时，才会接触到相干性这术语。现今许多涉及波动的领域，像声学、电子工程、量子力学等等，都会使用到这术语。许多科技的运作都倚赖相干性质为基础。例如，全像摄影术、音波相位阵列、光学相干断层扫描、天文光学干涉仪、与射电望远镜、等等。

## 相干性与相关性

两个波的相干性，称为“互相干性”，来自于它们彼此之间的相关程度，也就是说，它们彼此之间的相似程度。互相关函数可以量度互相干性。

互相关函数可以量度从一个波预测另一个波的能力。举例而言，设想完全同步相关的两个波。在任意时间，假若一个波发生任何变化，则另一个波也会做出同样的变化；让这两个波互相干涉，则在任意时间，它们都会展示出完全相长干涉，它们具有完全相干性。互相关函数可以用来支持模式识别系统，例如，指纹识别。

如稍后所述，第二个波不必是另外一个实体，它可能是在不同时间或不同位置的第一个波。这案例所涉及的相关称为“自相干性”；对于这案例，可以用自相关函数来量度自相干性。自相关函数可以用来从带有随机噪声背景的信号中提取出资讯信号。

### 严格定义

假设在点S1、点S2的波扰分别为$\tilde{E}_1(t)$、$\tilde{E}_2(t)$（波浪号代表复数），则其互相关函数$\tilde{\Gamma}_{12}(\tau)$为

$\tilde{\Gamma}_{12}(\tau)=\langle\tilde{E}_1(t+\tau)\tilde{E}_2^{\,*}(t)\rangle \ \stackrel{def}{=}\ \lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_0^T \tilde{E}_1(t+\tau)\tilde{E}_2^{\,*}(t)\mathrm{d}t$。

其中，单书名号表示取时间平均值，$T$是平均的时间间隔，$\tau$是相对时移。

互相关函数又称为“互相干函数”。理论而言，必需取$T$趋向于无穷大的极限；然而，实际而言，只要平均的时间间隔比相干时间（大约是有限长度的波列通过某固定点的有限时间）长久很多就行了。

从互相关函数的定义式，可以衍生出自相关函数，又称为“自相干函数”。波$\tilde{E}_1(t)$与相对时移$\tau$的自己波，两者之间的自相干函数为

$\tilde{\Gamma}_{11}(\tau)=\langle\tilde{E}_1(t+\tau)\tilde{E}_1^{\,*}(t)\rangle$。

归一化的互相干函数$\tilde{\gamma}_{12}(\tau)$又称为两个波的“复相干度”，以方程式表示为

$\tilde{\gamma}_{12}(\tau)=\frac{\tilde{\Gamma}_{12}(\tau)}{\sqrt{\tilde{\Gamma}_{11}(0)\tilde{\Gamma}_{22}(0)}} =\frac{\langle\tilde{E}_1(t+\tau)\tilde{E}_2^{\,*}(t)\rangle}{\sqrt{\langle|\tilde{E}_1(t)|^2\rangle \langle|\tilde{E}_2(t)|^2\rangle}}$。

从柯西-施瓦茨不等式可以推导出$|\tilde{\gamma}_{12}(\tau)|\le 1$。

绝对值$|\tilde{\gamma}_{12}(\tau)|$就是“相干度”。当$|\tilde{\gamma}_{12}(\tau)|=1$时，波$\tilde{E}_1$与波$\tilde{E}_2$完全相干；当$|\tilde{\gamma}_{12}(\tau)|=0$时，两个波完全不相干；当$0< |\tilde{\gamma}_{12}(\tau)|< 1$时，两个波部分相干。

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“干涉可见度”量度干涉图样的明暗条纹的清晰程度，以方程式定义。

$\mathcal{V} = \frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}}$。

其中，$I_{max}$、$I_{min}$分别为干涉图样的最大辐照度与最小幅照度。

干涉可见度的范围在0到1之间。假设两个波的振幅相等，则干涉可见度等于相干度：

$\mathcal{V} = |\tilde{\gamma}_{12}(\tau)|$。

## 各种波动实例

下述这些波的共同之处是，它们的物理行为可以用波动方程式或推广的波动方程式来描述：

- 绳索的机械波。
- 液体的表面波。
- 电缆的电磁波。
- 声波。
- 无线电波与微波。
- 光波。
- 量子尺寸粒子的物质波。

这些种类的波的物理行为，大多数可以直接测量获得。因此，波与波之间的互相干函数可以很简单地求得。但是，在光学里，不能直接的测量电磁场，因为电磁场的震荡太快，比任何探测器的时间分辨率还要快。可行之道是测量光波的辐照度。

大多数在这条目提到的涉及相干性的概念，都是先在光学领域发展成功，然后再适应于其它领域。因此，许多相干性测量标准都是采用间接地测量，甚至在可以直接测量的领域，都是这样做。

## 时间相干性

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一个波$\tilde{E}_1(t)$与延迟了时间$\tau$的自己波，两者之间的自相干函数$\tilde{\Gamma}_{11}(\tau)$，可以用来量度时间相干性。对应的复相干度为$\tilde{\gamma}_{11}(\tau)$，又称为“复时间相干度”。时间相干性可以表达波源的单色性质，可以量度一个波在延迟某时间后干涉自己的能力，因此又称为“纵向相干性”。经过一段延迟时间$\tau$后，假若一个波的相位或波幅开始发生足够显著的变化（因此自相干函数开始显著地减小），则定义此延迟时间为“相干时间”$\tau_c$。有限长度的波列通过某固定点的有限时间大约是相干时间。当$\tau=0$时，一个波$\tilde{E}_1(t)$与自己的相干度为$|\tilde{\gamma}_{11}(0)|=1$；而当$\tau\ge \tau_c$时，相干度$|\tilde{\gamma}_{11}|$会显著地减小，显示在观察屏的干涉图样也会变得模糊不清。“相干长度”$L_c$定义为，在相干时间$\tau_c$内，波所能传播的距离，又称为“纵向相干长度”。

### 相干时间与带宽的关系

由于周期的倒数是频率，一个波在越短时间内，变的不自相干（$\tau_c$越小），则波的带宽$\Delta f$越大。两个物理量的关系方程为

$\tau_c \Delta f \approx 1$。

用波长$\lambda=c/f$来表达。

$\frac{L_c \Delta \lambda}{\lambda^2} \approx 1$。

用数学表述，这结果可以从傅立叶变换推导出来。自相干函数的傅里叶变换就是功率谱（每个频率的辐照度）。

### 实例

试想下述四个关于时间相干性的实例：

- 对于任何时间间隔，一个单色波都是完全的自相干（参阅图1）。
- 反过来说，一个相位迅速飘移的波，其相干时间必定很短（参阅图2）。
- 类似地，具有较宽频域的脉冲波（一种波包），由于振幅迅速地变化，所以，相干时间很短（参阅图3）。
- 白光拥有非常宽的频域，是一种振幅与相位都迅速变化的波。由于相干时间很短（10周期左右），常被称为“不相干波”。

白光的带宽大约为3×1014Hz，因此相干时间为3×10-15s，相干长度非常短，大约只有900nm。普通放电灯的带宽也很宽阔，因此相干长度也相当短，大约为几个mm数量级。国际标准Kr86低气压放电灯的相干长度比较长，大约为0.3m。

激光通常是最单色的光源。高度的单色性意味着相干长度很长。例如，单模氦氖激光器能够发射相干长度接近400m的光。特别稳定性氦氖激光的相干长度可以达到1.5×107m。

全息摄影需要用到长相干时间的光。由于具有脉冲高能量与较长的相干时间这两种优点，红宝石激光时常被应用于全息摄影。相对比较，光学相干断层扫描使用短相干时间的光。

### 测量方法

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在光学里，时间相干性可以用干涉仪来测量，例如，迈克生干涉仪或马赫-曾德尔干涉仪。干涉仪先将输入波复制，延后$\tau$时间，然后将输入波与复制波合并为输出波，再用辐照度探测器来测量经过时间平均后的输出波辐照度，得到的数据，稍加运算，可以求得干涉可见度。这样，可以知道延迟时间为$\tau$的相干度。对于大多数的天然光源，由于相干时间超短于探测器的时间分辨率，探测器自己就可以完成时间平均工作。

思考图 (3)案例，在相干时间$\tau_c$内，波的辐照度显著地涨落不定。假设延迟时间为$2\tau_c$，则一个无穷快的探测器所测量出的辐照度也会显著地涨落不定。对于这案例，可以手工计算辐照度的时间平均值来求得时间相干性。

## 空间相干性

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为了展示出显著的干涉图样，杨氏双缝实验所使用的光源必须具有空间相干性。光学影像系统与天文望远镜的制作必需考虑到光源的空间相干性。

空间相干性与波源的有限尺寸有关。这可以用杨式双缝实验来解释。在典型的杨式双缝实验里，只存在有一个点光源S，其所发射出的单色光，在通过不透明挡板的位于点S1、点S2的两条狭缝之后，会在观察屏显示出干涉图样。现在将这实验加以延伸，将点光源S改为绵延有限尺寸$b$的线光源。从做实验获得的结果，物理学者发觉，假定线光源与挡板之间的距离$R$足够远，则若要在观察屏的中央轴区域显示出干涉图样，必须先满足以下条件：

$b\theta \lesssim \lambda$。

其中，$\theta$是点S1、点S2对于顶点S的夹角。$\lambda$是光波的平均波长。

注意到$\theta \approx \mathcal{L}/R$、$\alpha \approx b/R$；其中，$\mathcal{L}$是两个狭缝之间的距离，$\alpha$是有限尺寸光源对于档板中央轴交点的夹角。所以，必须满足条件

$\mathcal{L}\lesssim \lambda/\alpha$。

因此，可以估算这问题的“横向相干长度”为$\mathcal{L}_c=\lambda/\alpha$。假若两个狭缝之间的距离大于$\mathcal{L}_c$，则干涉图样会消灭殆尽。对于三维案例，可以使用物理量“相干面积”，以方程式表示为$\mathcal{A}_c=\lambda^2/\alpha^2$。

在许多物理系统里，像水波或光波一类的波可以传播于一维或多维的空间。空间相干性量度位于点S1、点S2的两个波扰，经过时间平均后，彼此相互干涉的能力。更精确地说，空间相干性是这两个波扰除去了延迟时间因素之后的互相关函数。假设某波前的波幅为常数，则在其任意两个位置的波扰，彼此之间都具有完全空间相干性。

继续思考杨氏双缝实验，只专注于档板与观察屏之间的状况。假设点S1、点S2的两个波扰分别为$\tilde{E}_1(t)$、$\tilde{E}_2(t)$，则其互相干函数$\tilde{\Gamma}_{12}(\tau)=\langle\tilde{E}_1(t+\tau)\tilde{E}_2^{\,*}(t)\rangle$与点S1、点S2的位置和延迟时间$\tau$有关。由于在观察屏的干涉图样，其中心点Q是中央轴与观察屏的交点，从点S1、点S2同时发射的光波，会在同时抵达点Q，延迟时间为

$\tau=(r_1-r_2)/c\approx 0$。

其中，$r_1$、$r_2$分别是从S1、点S2到点Q的距离，$c$是光速。

因此，除去了延迟时间因素，互相干函数$\tilde{\Gamma}_{12}(0)$可以量度在点S1、点S2的两个波扰的空间相干性。复相干度$\tilde{\gamma}_{12}(0)$称为在点S1、点S2的两个波扰的“复空间相干度”。

### 实例

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图5：一个单色平面波，相干长度与相干面积为无穷值。

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图6：一个波前不规则的单色波。因为在点X1与点X1后面λ整数倍数之处的波幅永远相同，相干长度为无穷值，因为在点X1与点X2的波幅永远相同，相干面积也为无穷值。

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图7：一个波前不规则的波，相干长度与相干面积为有限值。

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图8：一个波前不规则、相干长度与相干面积为有限值的波，入射于具有一条狭缝的档板。入射波穿过狭缝后，衍射出来的波，其空间相干性会增加。经过传播一段距离，在离狭缝较远处，圆形波前的波近似于平面波。相干面积变为无穷值，而相干长度不变。

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图9：两个同样的波，在空间里传播。一个波是另外一个波的位移，两个波的相干长度与相干面积分别为无穷值。两个波的结合，在某些位置，会建设性干涉（干涉相涨），在另外一些位置，会摧毁性干涉（干涉相消）。经过空间平均，探测器所观察到的干涉图样，其干涉可见度会减低。例如，一个未校准的马赫-曾德尔干涉仪就会出现这种状况。

试想一个电灯泡的钨丝，从其不同位置会独立地发射出毫无固定相位关系的光波。仔细观察，在任意时间，光波的剖面都毫无规律可言。每经过一段相干时间$\tau_c$，光波的剖面都会几率性地变化。电灯泡是一个白光光源，相干时间$\tau_c$很短，是一个空间不相干光源。

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电波望远镜天线阵的空间相干性很高，在天线阵对端的每两根天线所发射出的光波，彼此之间都有特别设计的固定相位关系。

激光产生的光波的时间相干性与空间相干性通常都很高，其相干度依激光的性质而定。

全像摄影术的运作，需要时间相干与空间相干的光波。它的发明者，伽博·丹尼斯，在激光还没有被发明前，就已经成功地做出全像图。他将水银灯的发射线激发出的单色光，通过针孔过滤器，制成全像摄影术所需要的相干光波。

2011年2月，物理学者发现，冷却至接近绝对零度的氦原子，当变为玻色-爱因斯坦凝聚时，它们的物理行为会如同激光发射出的相干光束一样。

## 波谱相干性

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不同频率的波（在光学里，不同颜色的光波），假若有固定的相对相位关系，则会因干涉而形成一个脉冲波（参阅傅里叶变换）。反过来说，假若不同频率的波是不相干的，则结合在一起它们会形成像白光或白噪声一类的波。脉冲波的时间持续期$\Delta t$被带宽$\Delta f$限制，依据关系方程式：

$\Delta f\Delta t \ge 1$。

这关系方程式也可以从傅里叶变换推导出。对于量子尺寸的粒子，这是海森堡不确定原理的必然结果。

测量光的波谱相干性，需要用到非线形光波干涉仪，像辐照度相关器、频域分辨光学开关或波谱相位干涉仪。

## 量子相干性

在量子力学里，物质具有波动性（参阅德布罗意假说）。例如，杨氏双缝实验也可以用电子来完成。从电子源发射出的每一个电子可以穿过两条狭缝中的任何一条狭缝，因此，有两种抵达观察屏最终位置的方法可供选择。一种方法是将狭缝S1关闭，电子只能穿过狭缝S2；另一种方法是将狭缝S2关闭，电子只能穿过狭缝S1。每一种方法可以设定为一个特别的量子态。由于这两个量子态会相互干涉，因而影响电子抵达侦测屏最终位置的几率分布，也因此形成了观察屏的干涉图样。这相互干涉的能力展现出粒子的“量子相干性”。

假若，试图探测电子到底是经过哪一条狭缝。那么，两个量子态的相位关系会不再存在。这双态系统就会被退相干化。这现象显示出量子系统的互补性。

大尺寸（宏观）量子相干会导致新颖奇异的现象，称为宏观量子现象。例如，激光、超导现象、超流体等等，都是高度相干的量子系统，它们产生的效应可以在宏观尺寸观察到。超流体现象是玻色-爱因斯坦凝聚。所有组成凝聚的粒子都同相，可以用单独一个量子波函数来描述。

换另一方面，薛定谔猫思想实验强调，不能任意地将量子相干用在宏观案例。但是，物理学者于2009年成功地在机械共振器的运动里观测到量子相干现象。

## 参阅

- 相干态
- 量子退相干
- 原子相干性