前推 (微分)

假设 $\phi: M\rightarrow N$ 是光滑流形之间的光滑映射；则 $\phi$ 在一点 $x$ 处的微分在某种意义上是 $\phi$ 在 $x$ 附近的最佳线性逼近。这可以视为通常微积分中全导数的推广。确切地说，它是从 $M$ 在 $x$ 处的切空间到 $N$ 在 $\phi(x)$ 处的切空间的一个线性映射，从而可以将 $M$ 的切向量“前推”成 $N$ 的切向量。

映射 $\phi$ 的微分也被一些的作者称为 $\phi$ 的导数或全导数，有时它自己也之称为前推（pushforward）。

## 动机

设 $\phi: U\rightarrow V$是从 $\mathbb{R}^m$ 的一个开集 $U$ 到 $\mathbb{R}^n$ 的开集 $V$ 的一个光滑映射。对任何 $U$ 中的给定点 $x$， $\phi$ 在 $x$ 的雅可比矩阵（关于标准坐标）是 $\phi$ 在 $x$ 的全微分的矩阵表示，这是一个从 $\mathbb{R}^m$ 到 $\mathbb{R}^n$ 的线性映射：

$$\mathrm d \varphi_x:\mathbb R^m\to\mathbb R^n\ .$$

我们希望将其推广到 $\phi$ 是“任何”两个光滑流形 $M$ 与 $N$ 之间的光滑映射。

## 光滑映射的微分

令 $\phi: M\rightarrow N$ 是光滑流形间的光滑映射。给定某点 $x \in M$，$\phi$ 在 $x$ 的微分或（全）导数是从 $M$ 在 $x$ 的切空间到 $N$ 在 $\phi(x)$ 的切空间一个线性映射

$$\mathrm d \varphi_x:T_xM\to T_{\varphi(x)}N\ ,$$

映射 $\operatorname{d}\!\phi_x$ 运用到切向量 $X$ 上有时称为 $X$ 由 $\phi$ 的前推。前推的确切定义取决于我们怎样定义切向量（不同的定义可参见切空间）。

如果我们定义切向量为通过 $x$ 的曲线等价类，那么微分由

$$\mathrm d \varphi_x(\gamma'(0)) = (\varphi \circ \gamma)'(0)$$

给出，这里 $\gamma$ 是 $M$ 上满足 $\gamma(0)=x$ 的一条曲线。换句话说，一条曲线 $\gamma$ 在 0 处切向量的前推恰好是 $\phi \circ \gamma$ 在 0 处的切向量。

另一种方式，如果切向量定义为作用在光滑实值函数上的导子，那么微分由

$$\mathrm d\varphi_x(X)(f) = X(f \circ \varphi)$$

给出，这里 $X \in T_x M$，从而 $X$ 是定义在 $M$ 上的一个导子而 $f$ 是 $N$ 上一个光滑实值函数。根据定义，在给定 $M$ 上 $x$ 处 $X$ 的前推在 $T_{\phi(x)}N$中，从而定义了一个 $N$ 上的导子。

取定 $x$ 与 $\phi(x)$ 附近的坐标卡以后，$F$ 局部由 $\mathbb{R}^m$ 与 $\mathbb{R}^n$ 之间的光滑映射

$${\hat \varphi} : U \rightarrow V$$

确定。而 $\operatorname{d}\!\phi_x$ 具有表示（在 $x$ 附近）：

$$\mathrm d \varphi_x\Bigl(\frac{ \partial }{\partial u^a}\Bigr) = \frac{\partial {\hat \varphi}^b}{\partial u^a} \frac{ \partial }{\partial v^b},$$

这里使用了爱因斯坦求和约定，偏导数对 $x$ 坐标卡相应的 $U$ 中的点取值。

线性扩张得到如下矩阵

$$(\mathrm d\varphi_x)_a^{\;b}= \frac{\partial {\hat\varphi}^b}{\partial u^a}.$$

从而光滑映射 $\phi$ 在每一点的微分是切空间之间的一个线性变换。从而在某些选定的局部坐标下，它表示为相应的从 $\mathbb{R}^m$ 到 $\mathbb{R}^n$ 光滑映射的雅可比矩阵。一般情形，微分不要求可逆。如果 $\phi$ 是一个局部微分同胚，那么在 $x$ 点的前推是可逆的，其逆给出 $T_{\phi(x)}N$ 的拉回。

另外，局部微分同胚的微分是切空间之间的线性同构。

微分经常有其他一些记法，比如

$$D\varphi_x,\; (\varphi_*)_x, \;\varphi'(x)\ .$$

从定义可得出复合函数的微分便是微分的复合（即，具有函子性质），这便是光滑函数微分的链式法则。

## 切丛上的微分

光滑映射 $\phi$ 的微分以显而易见的方式诱导了从 $M$ 的切丛到 $N$ 的切丛的一个丛映射（事实上是向量丛同态），记为 $\operatorname{d}\!\phi$ 或 $\phi*$，满足如下的交换图表：

<image>

这里 $\pi_M$ 与 $\pi_N$ 分别表示 $M$ 与 $N$ 切丛的丛投影。

等价地（参见丛映射），$\phi*=\operatorname{d}\!\phi$ 是从 $TM$ 到 $M$ 上的拉回丛 $\phi^* TN$ 的丛映射，这可以看成 $M$ 上向量丛 $\hom(TM, \phi^* TN)$ 的一个截面。

## 向量场的前推

给定了一个光滑映射 $\phi: M\rightarrow N$ 与 $M$ 上一个向量场 $X$，一般不能定义 $X$ 通过 $\phi$ 的前推为 $N$ 的一个向量场。譬如，如果映射 $\phi$ 不是满射，则在 $\phi$ 的像外部没有自然的方式定义拉回；如果 $\phi$ 不是单射也有可能在给定一点拉回不止一种选择。无论如何，可以用“沿着映射的向量场”概念将难处变精确。

$M$ 上 $\phi^* TN$ 的一个截面称为沿着 $\phi$ 的向量场。例如，如果 $M$ 是 $N$ 的一个子丛而 $\phi$ 是包含映射，那么沿着 $\phi$ 的向量场恰好是 $N$ 沿着 $M$ 的切丛的一个截面；特别的，$M$ 上的向量通过 $TM$ 包含到 $TN$ 中定义这样一个截面。这种想法推广到任何光滑映射。

假设 $X$ 是 $M$ 上一个向量场，即 $TM$ 的一个截面。那么，运用逐点微分得出 $X$ 的前推$\phi^* X$，这是一个沿着 $\phi$ 的向量场，即 $M$ 上 $\phi^* TN$ 的一个截面。

任何 $N$ 上的向量场 $Y$ 定义了 $\phi^* TN$ 的一个拉回截面 $\phi^* Y$ 使得 $(\phi^* Y)_X=Y_{\phi(x)}$。$M$ 上一个向量场 $X$ 与 $N$ 上一个向量场 $Y$ 称为 $\phi$-相关的，如果作为沿着 $\phi$ 的向量场有 $\phi*X=\phi^*Y$。换句话说，对任何 $x$ 属于 $M$，有 $\operatorname{d}\!\phi_x(X)=Y_{\phi(x)}$。

在某些情形，给定 $M$ 上一个向量场 $X$，$N$ 上只有惟一的向量场 $Y$ 与 $X\phi$-相关。特别地，这在 $\phi$ 是微分同胚时自然成立。在这种情况下，前推定义了 $N$ 上一个向量场 $Y$，由

$$Y_x=\varphi_*(X_{\varphi^{-1}(x)}).$$

给出。一个更一般的情形是 $\phi$ 为满射（比如纤维丛的丛投影）。这时 $M$ 上的向量场 $X$ 称为可投影的，如果对任何 $y$ 属于 $N$, $\operatorname{d}\!\phi_x(X_x)$ 与 $x$ 属于 $\phi^{-1}(\{y\})$ 的取法无关。这恰好是保证 $X$ 的前推可以作为 $N$ 上的一个良定的向量场的条件。

## 参阅

- 拉回

## 参考文献

- John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, (2003) Springer Graduate Texts in Mathematics 218.
- Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 See section 1.6.
- Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.7 and 2.3.