电位移

在电磁学里，电位移（electric displacement field）是出现于马克士威方程组的一种向量场，可以用来解释介电质内自由电荷所产生的效应。电位移$\mathbf{D}$以方程式定义为

$\mathbf{D}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \varepsilon_{0} \mathbf{E} + \mathbf{P}$。

其中，$\varepsilon_{0}$是电常数，$\mathbf{E}$是电场，$\mathbf{P}$是电极化强度。

## 概述

高斯定律表明，电场的散度等于总电荷密度$\rho_{\text{total}}$除以电常数：

$\nabla\cdot\mathbf{E} = \rho_{\text{total}}/\varepsilon_0$。

电极化强度的散度等于负束缚电荷密度$\rho_{\text{bound}}$：

$\nabla\cdot\mathbf{P} = - \rho_{bound}$。

而总电荷密度等于束缚电荷密度加上自由电荷密度$\rho_{free}$：

$\rho_{total} =\rho_{free}+\rho_{bound}$。

所以，电位移的散度等于自由电荷密度$\rho_{free}$：

$\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{free}$。

这与高斯定律的方程式类似。假设，只给定自由电荷密度$\rho_{free}$，或许可以用高斯方法来计算电位移$\mathbf{D}$。但是，在这里，不能使用这方法。只知道自由电荷密度$\rho_{free}$，有时候仍旧无法计算出电位移。思考以下关系式：

$\nabla \times \mathbf{D} = \varepsilon_{0}(\nabla \times \mathbf{E}) + (\nabla \times \mathbf{P})$。

并根据法拉第感应定律：$\nabla \times \mathbf{E} = -\dot{\mathbf{B}}$ , 其中$\dot{\mathbf{B}}$是磁场相对于时间的变化率

$$\nabla \times \mathbf{D} + \varepsilon_{0}\dot{\mathbf{B}} = \nabla \times \mathbf{P}$$

假设电磁场为不含时变电磁场（即与时间无关的电磁场），$\dot{\mathbf{B}}=0$，则

$\nabla \times \mathbf{D} = \nabla \times \mathbf{P}$。

假若$\nabla \times \mathbf{P}\ne 0$，则虽然设定$\rho_{free}=0$，电位移仍旧不等于零：$\mathbf{D}\ne 0$！

举例而言，拥有固定电极化强度$\mathbf{P}$的永电体，其内部不含有任何自由电荷，但是内在的电极化强度$\mathbf{P}$会产生电场。

只有当问题本身具有某种对称性，像球对称性或圆柱对称性等等，才能够直接使用高斯方法，从自由电荷密度计算出电位移与电场。否则，必需将电极化强度$\mathbf{P}$和边界条件纳入考量。

## 线性电介质

“线性电介质”，对于外电场的施加，会产生线性响应。例如，铁电材料是非线性电介质。假设线性电介质具有各向同性，则其电场与电极化强度的关系式为

$\mathbf{P}=\chi_e \varepsilon_{0} \mathbf{E}$。

其中，$\chi_e$是电极化率。

将这关系式代入电位移的定义式，可以得到

$\mathbf{D}= (1+\chi_e) \varepsilon_0\mathbf{E}=\varepsilon\mathbf{E}$。

其中，$\varepsilon$是电容率。

所以，电位移与电场成正比；其比率是电容率。另外。

$\nabla\cdot(\varepsilon\mathbf{E})=\rho_{free}$。

假设这电介质具有均匀性，则电容率$\varepsilon$是常数：

$\nabla\cdot\mathbf{E}=\rho_{free}/\varepsilon$。

定义相对电容率$\varepsilon_r$为

$\varepsilon_r\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \varepsilon/\varepsilon_0$。

相对电容率与电极化率有以下的关系：

$\varepsilon_r=1+\chi_e$。

要注意的一点是，上式$\mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}$的描述只是一种近似关系，当$\mathbf{E}$变得很大时，$\mathbf{D}$与$\mathbf{E}$就不再成正比关系了。这主要是由于电介质物质的物理特性是很复杂的。也可以理解为，这个式子就像胡克定律一样，只是一种近似。

各向异性线性电介质的电容率是个张量。例如，晶体的电容率通常必需用张量来表示。

## 应用范例

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如右图所示，平行板电容器是由互相平行、以空间或电介质相隔的两片平板导体构成的电容器。假设上下两片平板导体分别含有负电荷与正电荷，含有的电荷量分别为$-Q$、$+Q$。又假设两片平板导体之间的间隔距离超小于平板的长度与宽度，则可以视这两片平板导体为无限平面；做简单计算时，不必顾虑边缘效应。由于系统的对称性，可以应用高斯定律来计算电位移，其方向必定是从带正电平板导体指向带负电平板导体，而且垂直于平板导体；又由于平板导体含有的电荷是自由电荷，不需要知道电介质的性质，就可以应用关于自由电荷的高斯定律来计算电位移。

先计算带正电平板导体所产生的电位移。试想一个扁长方形盒子，其顶面和底面分别在这平板导体的两边，平行于平板导体；而盒子的其它四个侧面都垂直于平板导体。根据关于自由电荷的高斯定律。

$\oint_{\mathbb{S}} \mathbf{D}_+ \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} = Q$。

其中，$\mathbb{S}$是扁长方形盒子的闭合表面，$\mathbf{D}_+$是带正电平板导体所产生的电位移，$d\mathbf{a}$是微小面元素。

由于扁长方形盒子的四个侧面的面向量都与$\mathbf{D}_+$向量相垂直，它们对于积分的贡献是零；只有盒子的顶面和底面对于积分有贡献：

$2D_+ A= Q$ ;

其中，$A$是盒子顶面、底面的面积。

所以，$\mathbf{D}_+$向量的方向是从带正电平板导体垂直地向外指出，大小为

$D_+=Q/2A$。

类似地，可以计算出带负电平板导体所产生的电位移；$\mathbf{D}_-$向量的方向是垂直地指向带负电平板导体，大小为

$D_- =Q/2A$。

应用叠加原理，可以计算这两片带电平板导体一起产生的电位移。在这两片平板导体之间，$\mathbf{D}_+$和$\mathbf{D}_-$的方向相同；应用叠加原理，电位移的大小等于平板导体的表面电荷密度：$D =Q/A$。在两片平板导体的共同上方或共同下方，$\mathbf{D}_+$和$\mathbf{D}_-$的方向相反；应用叠加原理，电位移的大小等于零。

假设电介质的电容率为$\varepsilon$，则在两片平板导体之间，电场的大小为

$E=D/\varepsilon=Q/\varepsilon A$。

假设两片平板导体的间隔距离为$d$，则电压$V$为

$V=Ed=Q d/\varepsilon A$。

这平行板电容器的电容$C$为

$C=Q/V=\varepsilon A/d$。

## 参阅

- 《论法拉第力线》
- 《论物理力线》
- 位移电流
- 电磁波方程式