串联电路

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几个电路元件沿着单一路径互相连接，每个连接点最多只连接两个元件，此种连接方式称为串联。以串联方式连接的电路称为串联电路。连接点称为节点。从串联电路的电源给出的电流等于通过每个元件的电流，给出的电压等于每个元件两端的电压的代数和。串联电路也被称为“分压电路”。

另外一种电路的连接方式是并联，几个电路元件的两端分别连接于两个节点，所连接的电路称为并联电路。串联和并联电路是两种常见的基本连接方式。电路元件也可以以其它种方式连接在一起。例如，星形电路或三角形电路。

## 概述

思考由两个同样电阻的电灯泡与一个9 V 电池的连接方式，将导线从电池正极连接到电灯泡A的铜片，再从电灯泡A的灯头尖端连接到电灯泡B的铜片，再从电灯泡B的灯头尖端连接到电池负极，构成一个连续的闭合循环，则这些电灯泡与电池是以串联方式成串联电路。通过每一个电灯泡的电流都相等。每一个电灯泡的铜片与灯头尖端的电压为4.5 V。假设其中有一个电灯泡烧坏了，则会形成断路，另外一个电灯泡也无法通电发亮。

换另一种连接方式，将一条导线从电池正极连接到电灯泡A的铜片，再连接到电灯泡B的铜片，又将另一条导线从电池负极连接到电灯泡A的灯头尖端，再连接到电灯泡B的灯头尖端，则这些电灯泡与电池是以并联方式连接成并联电路。每一个电灯泡的铜片与灯头尖端的电压为9 V。通过每一个电灯泡的电流都相等，其代数和为电池给出的电流。假设其中有任意一个电灯泡烧坏了，另外一个电灯泡仍旧会通电发亮，而且通过的电流会加倍。

## 电阻器

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如右图所示，$n$个电阻器串联在一起。现将电源连接于这串联电路的两端。根据欧姆定律，第$k$个电阻器两端的电压$v_k$等于通过的电流$i_k$乘以其电阻$R_k$：

$v_k=i_k R_k=i R_k$。

按照克希荷夫电流定律，从电源给出的电流$i$等于通过每一个电阻器的电流$i_k$。所以。

$i=i_1=i_2= \cdots =i_n$。

根据克希荷夫电压定律，电源两端的电压等于所有电阻器两端的电压的代数和：

$v=v_1 +v_2 + \cdots +v_n=i (R_1 + R_2 + \cdots + R_n)$。

所以，$n$个电阻器串联的“等效电阻” $R_{eq}$为

$R_{eq} = R_1 + R_2 + \cdots + R_n$。

满足欧姆定律，电流源两端的电压等于给出的电流乘以等效电阻：

$v=iR_{eq}$。

注意到串联电路的各个电阻所分担的电压成比例：

$\frac{v_{k1}}{v_{k2}} = \frac{R_{k1}}{R_{k2}}$。

电导$G$是电阻的倒数：

$G=1/R$。

$n$个电阻器串联的等效电导$G_{eq}$为

$\frac{1}{G_{eq}} = \frac{1}{G_1} + \frac{1}{G_2} + \cdots + \frac{1}{G_n}$。

其中，$G_i=1/R_i$是第$i$个电阻器的电导。

对于两个电阻器串联的简单案例，等效电导为

$G_{eq} = \frac{G_1 G_2}{G_1+G_2}$。

## 电容器

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如右图所示，$n$个电容器串联在一起。现将电源连接于这并联电路的两端。从电容的定义，可以得到，通过第$k$个电容器的电流$i_k$等于其电容$C_k$乘以其两端的电压变率$\frac{\mathrm{d}v_k}{\mathrm{d}t}$：

$i_k=C_k \frac{\mathrm{d}v_k}{\mathrm{d}t}$。

按照克希荷夫电流定律，从电源（直流电或交流电）给出的电流$i$等于通过每一个电容器的电流$i_k$。所以。

$i=i_1=i_2= \cdots =i_n$。

根据克希荷夫电压定律，电源两端的电压等于所有电容器两端的电压的代数和：

$v=v_1 +v_2 + \cdots +v_n$。

电源两端的电压变率为

$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v_1}{\mathrm{d}t} +\frac{\mathrm{d}v_2}{\mathrm{d}t} + \cdots +\frac{\mathrm{d}v_n}{\mathrm{d}t}=\frac{i}{C_1} +\frac{i}{C_2} + \cdots +\frac{i}{C_n}$。

所以，$n$个电容器串联的等效电容$C_{eq}$为

$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \cdots + \frac{1}{C_n}$。

每一个电容器都有其制造工厂设定的“电压额定值”（voltage rating）。假设“工作电压”（由于通电而出现于电容器两端的电压）超过电容器的电压额定值，则可能会造成这电容器故障。为了避免电容器故障，可以增添电容器，将几个同样的电容器串联在一起，使得电压额定值的代数和大于工作电压。但这也会降低电路的等效电容。

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注意到每一个电容器都有其伴随的“漏电阻”（leakage resistance）。通常制作工厂只会标明漏电阻最低值，所以，使用者并不清楚实际漏电阻值，可能与最低值相差很多。由于电压分配主要是由漏电阻决定，因此，很难准确地计算出每一个电容器所承受到的工作电压，整个串联电路的可靠性也会降低。假若，其中有一个电容器发生故障，就会造成其它电容器骨牌式地发生故障。为了解决这些问题，可以给每一个电容器都增添一个电阻器，将电容器与电阻器并联在一起。这样会有效地增加漏电流，从而降低电容器两端的工作电压。选择电阻器越大越好，但必需小于工厂设定的漏电阻最低值，这样，可以确定每一个电容器的工作电压小于其电压额定值。对于直流电，电路就好似同样电阻器构成的串联电路，保证每一个电容器都有同样的电压分配。假设是高电压电路，电阻器还具有泄放电阻器（bleed resistor）的功能。假设负载很高，在断电后，需要很长一段时间，才能使电容器放电至安全程度。泄放电阻器可以给出一个达到安全程度需要等待的“最久放电时间”。

## 电感器

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如右图所示，$n$个电感器串联在一起，类似前面所述方法，可以计算出其等效电感$L_{eq}$为

$L_{eq} = L_1 + L_2 + \cdots + L_n$。

其中，$L_i$是第$i$个电感器的电感。

由于电感器产生的磁场会与其邻近电感器的缠绕线圈发生耦合，很难避免紧邻的电感器彼此互相影响。物理量互感$M$能够给出对于这影响的衡量。

例如，由电感分别为$L_1$、$L_2$，互感为$M$的两个电感器构成的串联电路，其等效互感$L_{eq}$有两种可能：

- 假设两个电感器分别产生的磁场或磁通量，其方向相同，则称为“串联互助”，以方程式表示。

$L_{eq} = L_1 + L_2 +2M$。

- 假设两个电感器分别产生的磁场或磁通量，其方向相反，则称为“串联互消”，以方程式表示。

$L_{eq} = L_1 + L_2 - 2M$。

更详尽细节，请参阅条目电感。

对于具有三个或三个以上电感器的串联电路，必需考虑到每个电感器自己本身的自感和电感器与电感器之间的互感，这会使得计算更加复杂。等效电感是所有自感与互感的代数和。

例如，由三个电感器构成的串联电路，会涉及三个自感和六个互感。三个电感器的自感分别为$M_{11}$、$M_{22}$、$M_{33}$；互感分别为$M_{12}$、$M_{13}$、$M_{23}$、$M_{21}$、$M_{31}$、$M_{32}$。等效电感为

$L_{eq} = (M_{11} + M_{22} + M_{33}) + (M_{12} + M_{13} + M_{23}) + (M_{21} + M_{31} + M_{32})$。

由于任意两个电感器彼此之间的互感相等，$M_{ij}$ = $M_{ji}$，后面两组互感可以合并：

$L_{eq} = (M_{11} + M_{22} + M_{33}) +2 (M_{12} + M_{13} + M_{23})$。

## 被动元件

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如右图所示，$n$个被动元件串联在一起，类似前面所述方法，可以计算出其等效阻抗$Z_{eq}$为

$Z_{eq}=\ Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n$。

其中，$Z_i$是第$i$个元件的阻抗。

以实部项目$R_{eq}$和虚部项目$X_{eq}$表示。

$Z_{eq} = R_{eq} + jX_{eq} = (R_1 + R_2 + \cdots + R_n) + j(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)$。

其中，$R_i$和$X_i$分别是第$i$个元件的阻抗的实部与虚部。

## 开关

由两个以上开关串联在一起，会形成逻辑与电路。假设连接电源于这电路的两端，则只有当所有开关都闭合时，电流才会流通。更详尽细节，请参阅条目与闸。

## 电池

假设电池组内部的几个单电池以串联方式连接成电源，则此电源两端的电压是所有单电池两端的电压的代数和。例如，一个电动势为12伏特的汽车电池（automotive battery）是由六个2伏特单电池以串联方式构成。

## 双埠网络

$n$个双埠网络也可以以串联方式连接在一起。

## 参阅

- 等效阻抗变换（equivalent impedance transforms）

## 参考文献

- Smith, R.J. (1966), Circuits, Devices and Systems, Wiley International Edition, New York. Library of Congress Catalog Card No. 66-17612