辐角原理

在复分析中，辐角原理（Argument principle）或称柯西辐角原理（Cauchy's argument principle）说如果 $f(z)$ 是在某个围道 $C$ 上以及内部一个亚纯函数，且 $f$ 在 $C$ 上没有零点或极点，则下列公式成立

$$\oint_{C} {f'(z) \over f(z)}\, dz=2\pi \mathrm{i} (N-P)$$

这里 $N$ 与 $P$ 分别表示 $f(z)$ 在围道 $C$ 内部的零点与极点个数，每个零点计重数，极点计阶数。定理的陈述假设围道 $C$ 是简单的，即没有自交，以及它是逆时针方向定向的。

更一般地，假设 $C$ 是一条曲线，逆时针方向定向，在复平面中一个开集 $\Omega$ 中可缩为一点。对每个 $z\in\Omega$，令 $n(C,z)$ 是 $C$ 绕点 $z$ 的卷绕数。则

$$\oint_{C} \frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = 2\pi \mathrm{i} \left(\sum_a n(C,a) - \sum_b n(C,b)\right),$$

这里第一个求和对 $f$ 所有零点 $a$ 进行并计重数，第二个求和在 $f$ 的所有极点 $b$ 上进行并计重数。

## 证明

设 $z_N$ 是 $f$ 的一个零点。我们可将 $f$ 写成 $f(z)=(z-z_N)^kg(z)$ 这里 $k$ 是零点$z_N$的重数，从而$g(z_N)\neq 0$。我们有

$$f'(z)=k(z-z_N)^{k-1}g(z)+(z-z_N)^kg'(z)\,\!$$

以及

$${f'(z)\over f(z)}={k \over z-z_N}+{g'(z)\over g(z)}.$$

因 $g(z_N)\neq 0$， $\frac{g'(z)}{g(z)}$在$z_N$ 没有奇点，从而在 $z_N$ 解析，这意味着$\frac{f'(z)}{f(z)}$ 在 $z_N$ 的留数是 $k$。

设 $z_P$ 是 $f$ 的一个极点。我们可写成 $f(z)=(z-z_P)^{-m}h(z)$ 这里 $m$ 是极点$z_P$的阶数，从而$h(z_P)\neq 0$。我们有

$$f'(z)=-m(z-z_P)^{-m-1}h(z)+(z-z_P)^{-m}h'(z)\,\!.$$

以及

$${f'(z)\over f(z)}={-m \over z-z_P}+{h'(z)\over h(z)}$$

因为 $h(z_P)\neq 0$， $\frac{h'(z)}{h(z)}$ 在 $z_P$ 没有奇点，从而在 $z_P$ 解析。我们发现$\frac{f'(z)}{f(z)}$ 在 $z_P$ 的留数是 $-m$。

将它们放在一起，$f$ 的每个 $k$ 重零点 $z_N$ 产生$\frac{f'(z)}{f(z)}$ 的一个留数为 $k$ 的单极点，而 $f$ 的每个 $m$ 阶极点 $z_P$ 产生 $\frac{f'(z)}{f(z)}$ 的一个留数为 $-m$ 的单极点（这里一个单极点指一阶极点）。另外，可以证明 $\frac{f'(z)}{f(z)}$ 没有其它极点，从而没有其它留数。

由留数定理我们有关于 $C$ 的积分是 $2\pi \mathrm{i}$ 与这些留数之和的乘积。总之，每个零点 $z_N$ 的 $k$ 之和是计重数的零点个数，对极点类似，故我们得到了欲证之结论。

## 推论

假设 $C$ 是一个以原点为中心的闭围道，通过考虑 $f(z)$ 关于 $0$ 的卷绕数可得出一些推论。我们看到 $\frac{f'(z)}{f(z)}$ 在 $C$ 上的积分是 $\log f(z)$ 值的变化。因为 $C$ 是闭的我们只需考虑 ${\arg f(z)}\cdot\mathrm{i}$ 在 $C$ 上的变化，它将是 $2\pi\mathrm{i}$ 的某个整数倍（但可能绕原点卷多圈）。但从辐角原理

$$\oint_C {f'(z) \over f(z)}\, dz=2\pi \mathrm{i} (N-P)$$

约去因子 $2\pi \mathrm{i}$，我们得到

$$N-P = I(C, 0)$$

这里 $I(C,0)$ 表示 $f$ 在 $C$ 上关于 $0$ 的卷绕数，且有$I(C,0)=\sum_a n(C,a)$，（这里的求和对 $f$ 所有零点 $a$ 进行并计重数）。

一个推论是更广泛的定理，在同样的假设下，如果 $g$ 是 $\Omega$ 中一个解析函数，则

$$\frac{1}{2\pi i} \oint_C g(z)\frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = \sum_a n(C,a)g(a) - \sum_b n(C,b)g(b).$$

例如，如果 $f$ 是以一个简单围道 $C$ 内部 $z_1,\dots,z_p$ 为零点的多项式，以及$g)z)=z^k$，则

$$\frac{1}{2\pi i} \oint_C z^k\frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = z_1^k+z_2^k+\dots+z_p^k,$$

是 $f$ 的根的次方和对称多项式。

另一个推论是如果我们计算复积分：

$$\oint_C f(z){g'(z) \over g(z)}\, dz,$$

对一个合适的$f$，我们有阿贝尔-普兰纳公式：

$$\sum_{n=0}^{\infty}f(n)-\int_{0}^{\infty}f(x)\,dx= f(0)/2+i\int_{0}^{\infty}\frac{f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}\, dt ,$$

这给出了一个离散和式与它的积分之间的关系。

## 历史

按照弗兰克·史密西斯一书（Cauchy and the Creation of Complex Function Theory, Cambridge University Press, 1997）的说法，在奥古斯丁·路易·柯西从法国到都灵（当时皮德蒙特-萨丁尼亚王国的首都）的自我放逐途中，柯西于1831年11月2日提出了和上面类似的一个定理（见177页）。但是根据此书，只提到了零点，没有极点。柯西的这个定理在许多年后的1974年才以手写本发表，故很难阅读。柯西逝世两年前的1855年发表的一篇论文中，零点与极点都讨论了。定理 1 只涉及了零点。柯西1855年论文中的定理 2 说“一个单复变量函数 Z 的对数计量（compteurs logarithmiques，相当于现代教材中的对数留数）等于 Z 与 1/Z 根的个数之差（相当于现代教材中的函数 Z 的零点与极点）。从而现代“辐角原理”可在1855年柯西论文中作为一个定理发现。

### 应用

反馈控制理论的现代书籍中频繁用到辐角原理，将其作为奈奎斯特稳定性判据的理论基础。哈里·奈奎斯特1932年原理的论文（H. Nyquist, "Regeneration theory", Bell System Technical Journal, vol. 11, pp. 126-147, 1932）用一种相当笨拙与原始的方法得出奈奎斯特稳定性判据。在这篇论文中，奈奎斯特完全没有提到柯西的名字。后来，Leroy MacColl (Fundamental theory of servomechanisms, 1945) 与 Hendrik Bode (Network analysis and feedback amplifier design, 1945) 都从辐角原理得到了奈奎斯特稳定性判据。MacColl (Bell Laboratories) 将辐角原理称为柯西定理。这样辐角原理在纯粹数学与控制工程学中都有重大影响。现在，辐角原理可在复分析或控制工程学的现代教材中都可以找到。

## 外部链接

- Module for the Argument Principle by John H. Mathews
- An Illustration of the Argument Principle by Keith Schneider, The Wolfram Demonstrations Project.