概形论术语

这是概形论术语。欲知代数几何中概形的简介，请见条目仿射概形、射影空间、层及概形。本条目旨在列出概形论中的基本技术定义与性质。

## 点

一个概形 $S$ 是一个局部赋环空间，故也是拓扑空间，但“$S$ 的点”具有三重涵义：

- 拓扑空间意义下的点。
- $T$-值点：对任一概形 $T$，一个 $T$-值点是指一个态射 $T \to S$。
- 几何点：当 $S$ 定义在一个域 $K$ 上时（换言之 $S$ 是 $\mathrm{Spec}(K)$-概形），一个几何点乃是一个 $\mathrm{Spec}(\overline{K})$-值点，其中 $\overline{K}$ 表 $K$ 的代数闭包。

几何点是古典问题的主角，例如对复代数簇而言，通常说“点”即指几何点。拓扑空间的点包括一般点的类比（相对于扎里斯基而非韦伊的理论）。借由米田引理，考虑所有的概形 $T$ 与所有 $T$-值点，可以将概形 $S$ 理解为相应的可表函子 $h_S$，此观念是代数几何发展史上的一大步。

## 纤维

在格罗滕迪克的相对几何框架下，一态射的纤维有三重涵义：

- 一个点（拓扑意义下）的逆像。
- 两个态射的纤维积：对于仿射概形，纤维积对应到环的张量积。
- 几何纤维：设 $S, S'$ 为 $\mathrm{Spec}(K)$-概形（$K$ 为域），$f: S \to S'$ 为一 $\mathrm{Spec}(K)$-态射，$P: \mathrm{Spec}(\overline{K}) \to S'$ 为一几何点，则 $P$ 点的几何纤维定义为相应的纤维积 $S \times_S \mathrm{Spec}(\overline{K})$。

## 概形之性质

概形的大部分性质都是“局部的”，换言之：$X$ 具有性质甲，当且仅当对其任一开覆盖 $X = \bigcup_i X_i$，每个 $X_i$ 皆具性质甲；而通常只要对一组开覆盖验证即可。这类性质有时也被称为“扎里斯基局部”的，藉以区别对于其他格罗滕迪克拓扑的情形（如平展拓扑）。

考虑一概形 $X$ 及一组仿射开子概形 $\mathrm{Spec} A_i$ 组成的开覆盖。借此可将概形的局部性质翻译为交换环的性质。一个性质甲在上述意义下是局部的，当且仅当相应的环性质在局部化之下不变。

举例明之，局部诺特概形是能由诺特环的交换环谱覆盖的概形。由于诺特环的局部化仍为诺特环，局部诺特性确实是上述意义下的局部性质。另一个例子是既约概形，这也是局部性质，因为若一个交换环无幂零元，则其局部化亦然。

分离概形并非局部性质：任何仿射概形都是分离概形，因此任何概形都是“局部分离”的，然而存在非分离的概形。

以下是环的局部性质列表（不全），由此可定义概形的相应性质。以下令 $X := \bigcup_i \mathrm{Spec} A_i$ 为一概形之开覆盖。

概念｜定义｜例子｜反例

与概形结构相关者

不可约｜若一连通概形 $X$ （作为拓扑空间）不能表为两个闭子集的联集，除非其中一者为 $X$，则称之为不可约概形。利用素理想与仿射概形的点的对应，可知连通概形 $X$ 不可约当且仅当每个 $A_i$ 恰有一个极小素理想。凡诺特概形皆可唯一表示为有限个极大不可约闭子集的联集，这些闭子集称为其不可约成分。｜仿射空间、射影空间｜Spec kx,y/(xy) =

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既约｜环 $A_i$ 皆为既约环（即：无幂零元素），等价的说法是结构层 $\mathcal{O}_X$ 没有幂零的局部截面。代数几何的一大进步是将代数簇推广为概形，而概形可能是非既约的。｜代数簇 （根据定义）｜kx/(x2)

整｜不可约的既约概形称作整概形。等价的说法是：该概形可由整环的谱覆盖。严格地说，这只在连通概形上才是局部性质。｜Spec kt/f, f 为不可约多项式｜Spec A ⊕ B. (A, B ≠ 0)

正规｜若每个 $A_i$ 都是整闭的，则称 $X$ 为正规概形。｜正则概形、带有理奇点的曲面｜带奇点的曲线

与正则性相关者

正则｜若每个 $A_i$ 都是正则局部环，则称 $X$ 为正则概形。｜域上的平滑代数簇｜Spec kx,y/(x2+x3-y3)=

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Cohen-Macaulay｜若 $X$ 的局部环皆是Cohen-Macaulay环，则称 $X$ 为 Cohen-Macaulay 概形。｜正则概形、 Spec kx,y/(xy)｜

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与“大小”相关者

局部诺特｜每个 $A_i$ 皆为诺特环。如果此外更要求该覆盖为有限覆盖，则该概形称为诺特概形。｜古典代数几何的大部分对象｜$GL_\infty = \cup GL_n$

链｜若 $X$ 的任两个不可约闭子概形 $Y \subset Z$ 之间的极大链都有相同长度，则称 $X$ 为链概形，这在局部上对应于链环。整链概形的维度是局部性质。｜代数几何的大部分对象｜见条目链环中的反例

## 态射之性质

格罗滕迪克的基本理念之一是强调“相对”性，亦即置重点于态射的性质。概形范畴有一终对象 $\mathrm{Spec} \Z$，所以任何概形可以唯一地理解为 $\mathrm{Spec} \Z$-概形，借此可以从态射性质定义概形本身的性质。

以下令

$$f: Y \to X$$

为概形间的态射。一如既往，以下的性质也是局部的，即：若存在开覆盖 $X = \bigcup U_i$ 使得 $f$ 在 $f^{-1}(U_i)$ 上的限制带有该性质，则 $f$ 本身也带该性质。

### 与拓扑结构相关的概念

若一个态射在拓扑空间上是开映射，则称此态射为开态射；闭态射的定义类似。平坦态射皆为开态射。

若 $f(Y)$ 在 $X$ 中稠密，则称此态射为优势态射（英文：dominant morphism，法文：morphisme dominant）。对于仿射概形，优势态射对应到环的单射同态。

### 开浸入与闭浸入

- 开浸入：若 $f$ 同构于一个开子概形的包含映射，则称之为开浸入。
- 闭浸入：若 $f$ 同构于一个闭子概形的包含映射，则称之为闭浸入。闭浸入在局部上对应到环的商同态。闭浸入可以如下刻划：$f: Y \to X$ 是闭浸入，当且仅当 $f$ 在拓扑空间的意义下是个闭浸入（$f: Y \to f(Y)$ 是同胚，且 $f(Y)$ 是 $X$ 中的闭集），而且 $f^{\#}: \mathcal{O}_X \to f_* \mathcal{O}_Y$ 是满射。
- 浸入：闭浸入与开浸入的合成。

开浸入仅关乎拓扑，而闭浸入则与结构层有关。概形的闭子集可以带有多种闭子概形结构，其中存在一个始对象，使得其结构层不含幂零元，称为该闭子集对应的既约子概形。

### 仿射态射与射影态射

若 $X$ 的仿射开子概形对 $f$ 的逆像仍为仿射概形，则称 $f$ 为仿射态射。用较炫的说法：仿射态射系来自 $\mathcal{O}_X$-代数的整体 $\mathbf{Spec}$ 构造，这是整体版本的交换环谱。例子包括向量丛。

射影态射的定义类似，此时对应到分次 $\mathcal{O}_X$-代数的整体 $\mathbf{Proj}$ 构造，另一种等价的刻划是： $f$ 是射影态射，当且仅当它可分解为闭浸入 $Y \to \mathbb{P}^n_X := \mathbb{P}^n \times X$ 及自然投影 $\mathbb{P}^n_X \to X$。

### 分离态射与真态射

- 分离态射：使得对角态射 $\Delta_{Y/X}: Y \to Y \times_X Y$ 为闭浸入的态射，此概念对应到拓扑学中的豪斯多夫空间。
- 真态射：即满足下列性质的态射
- 分离态射
- 泛闭（即：任一闭浸入 $s: Z \to X$ 在对 $f$ 取纤维积后仍为闭浸入）
- 有限型

### 有限型、拟有限与有限态射

若 $X$ 有一组仿射开覆盖 $\mathrm{Spec}\, A_i$，使得态射 $f^{-1}(\mathrm{Spec}\, A_i) \to \mathrm{Spec}\, A_i$ 对应到 $\mathrm{Spec}\, B_i \to \mathrm{Spec}\, A_i$，使得 $B_i$ 是有限 $A_i$-模，则称此态射为有限态射。

若将上述条件改为：$f^{-1}(\mathrm{Spec}\, A_i)$ 有一组仿射开覆盖 $\mathrm{Spec}\, B_{ij}$，使得 $\mathrm{Spec}\, B_{ij}$ 是有限生成的 $\mathrm{Spec}\, A_i$-代数，则称此态射为局部有限型态射；若上述开覆盖 $f^{-1}(\mathrm{Spec}\, A_i) = \bigcup_j \mathrm{Spec}\, B_{ij}$ 可取为有限的，则称之有限型态射。代数几何中探讨的多数态射都是有限型态射。

若 $f$ 的纤维都是有限的，且是有限型态射，则称之为拟有限态射。有限态射皆为拟有限态射。

### 平坦态射

若 $f$ 在结构层的茎上给出平坦同态，则称之为平坦态射。视此态射为一族以 $X$ 的点为参数的概形，则平坦性可诠释为纤维在变形下的某些良好性质，例如希尔伯特多项式的不变性。

### 非分歧态射与平展态射

对一点 $y \in Y$，考虑相应的环同态：

$$f^\# \colon \mathcal{O}_{X, f(y)} \to \mathcal{O}_{Y, y}.$$

令 $\mathfrak{m}$ 为 $\mathcal{O}_{X,f(y)}$ 的极大理想，并设

$$\mathfrak{n} := f^\#(\mathfrak{m}) \mathcal{O}_{Y,y}$$

若对所有 $y \in Y$，$\mathfrak{n}$ 是 $\mathcal{O}_{Y,y}$ 的极大理想，且导出的映射 $\mathcal{O}_{X,f(y)}/\mathfrak{m} \to \mathcal{O}_{Y,y}/\mathfrak{n}$ 是有限、可分的代数扩张，则称此态射为非分歧态射。

平坦的非分歧态射称为平展态射，此外尚有多种等价定义。在代数簇的情形，平展态射恰好是在切空间上导出同构的态射，这正好是微分几何中平展态射的定义。

### 平滑态射

平滑态射对应到拓扑学中的塞尔纤维化映射，在代数几何中有多种定义：

- $f: Y \to X$ 是有限型平坦态射，且 $\Omega^1_{Y/X}$ 是局部自由 $\mathcal{O}_Y$-模，其秩为 $\dim Y - \dim X$。
- $f: Y \to X$ 可分解为某个平展态射 $g: Y \to \mathbb{A}^n_X$ 及自然投影 $p: \mathbb{A}^n_X \to X$ 之合成。
- 形式判准：对任何交换环 $A$ 及其理想 $I$，并满足 $I^2 = (0)$，则 $\mathrm{Hom}_X (\mathrm{Spec}(A), Y) \to \mathrm{Hom}_X (\mathrm{Spec}(A/I), Y)$ 是满射。

## 外部链接

- Crib Sheet: Properties of Morphisms of Schemes, Johan de Jong