连心力

在物理学里，作用力可以分类为连心力（central force）与非连心力。连心力的方向永远指向一个固定点；称此点为力中心点。许多宇宙最基本的力，像万有引力、静电力，都是连心力。而劳仑兹力的磁力部分则乃非连心力。连心力以方程式表达为

$\mathbf{F}=F\hat{\mathbf{r}}$。

其中，$\mathbf{F}$是连心力，$\mathbf{r}$是从力中心点到检验位置的径向向量。

连心力可以进一步细分为两种版本：强版本和弱版本。强版连心力要求连心力跟径向距离有关：

$\mathbf{F}=F(r)\hat{\mathbf{r}}$。

弱版连心力没有这严厉的条件。在物理学里，大多数重要的连心力都是强版连心力；简单摆的绳索作用于摆锤的拉力是一种弱版连心力，这拉力的方向是径向方向，但对于小角度摆动，拉力的大小可以近似为一个常量，是摆锤感受到的重力大小。

## 角动量恒定

假设一个粒子，感受到连心力$\mathbf{F}$的作用，则施加于此粒子的力矩$\boldsymbol{\tau}$为零：

$\boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}=\mathbf{r}\times F\hat{\mathbf{r}}=0$。

角动量$\mathbf{L}$对于时间$t$的导数是力矩：

$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\boldsymbol{\tau}$。

所以，角动量守恒，是个常数。

## 平面运动

关于此粒子的运动。

$\mathbf{r}\cdot\mathbf{L}=\mathbf{r}\cdot(\mathbf{r}\times(m\mathbf{v}))=0$。

此粒子的位置向量$\mathbf{r}$垂直于恒定的角动量$\mathbf{L}$，所以，此粒子的运动必局限于垂直于角动量的平面。

## 平面速度恒定

采用极坐标系$(r,\theta)$来表示此粒子的平面运动，原点为力中心点。则角动量为

$L=mr^2\dot{\theta}$。

这里，$m$是粒子的质量、$\dot{\theta}$是角速度。

粒子与力中心点的连线，扫过的平面的平面速度$\frac{dA}{dt}$为

$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}r^2\dot{\theta}=\frac{L}{2m}$。

所以，受连心力作用的粒子与力中心点的连线，扫过的平面，速度恒定。

## 连心势

假若连心力$\mathbf{F}$是一个函数$V(\mathbf{r})$的负梯度：

$\mathbf{F}= - \nabla V(\mathbf{r})$。

则连心力是保守力：

$\nabla\times\mathbf{F}= - \nabla\times\nabla V=0$。

- 对于任何简单的闭合回路，连心力所做的机械功$W$是0：

$W = \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}= 0$。

此函数$V$是一个纯量势，注意到由于$\mathbf{F}=F\hat{\mathbf{r}}$，纯量势$V$只能跟$r$有关：

$\mathbf{F}= - \frac{\partial V}{\partial r}\ \hat{\mathbf{r}}$。

称$V(r)$为连心势。连心力也只能跟$r$有关：

$\mathbf{F}=F(r)\hat{\mathbf{r}}$。

这连心力是强版连心力。

## 有效势能

一个运动于势能$V(r)$的粒子的拉格朗日量等于动能减去势能：

$\mathcal{L}(r,\theta) = \frac{m}{2}\left(\dot{r}^2+ r^2\dot{\theta}^2\right) - V(r)$。

其拉格朗日方程式为

$m\ddot{r}-mr\dot{\theta}^2 - F(r)=0$。

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(mr^2\dot{\theta})=0$。

其中，$F(r)= -\ \frac{\partial V(r)}{\partial r}$为连心力。

由于连心势与角坐标$\theta$无关，因此其共轭动量（角动量）是个运动常数：

$P_{\theta}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta} = m r^2 \dot{\theta}$。

为了善用此运动常数，应用勒让德变换转到相空间得到哈密顿量和运动方程式：

$\dot{p}_{r} = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \left[ \frac{P_{\theta}^2}{2 m r^2} + V(r)\right]$。

因此，可得到粒子的径向运动等同于一个在以下有效势能中的一维运动：

$V_{\rm Eff}(r) = \frac{P_{\theta}^2}{2m} \frac{1}{r^2} + V(r)$。

星体在$\frac{1}{r^2}$万有引力下运动的有效势能是：

$V_{\rm Eff}(r) = \frac{P_{\theta}^2}{2m} \frac{1}{r^2} - \frac{K}{r}$。

因此可以看到，有效势能所造成的作用力，在短距离因为角动量守恒项目而排斥，在远距离因为万有引力项目而吸引。两者平衡点－即有效势能最低点－正是圆形轨道半径。

## 有心运动的轨迹的确定

有心力的运动轨道可以用比内（Binet）公式来计算。在平面极坐标系中，如果令：

$$u = \frac{1}{r}, h = \frac{L_0}{m}$$

其中$L_0$为物体做有心运动时的角动量，则有：

$$-mh^2 u^2(\frac{d^2 u}{d\theta^2}+u) = F(u)$$

解这个微分方程可以得到运动轨迹的半径与角度的关系：

$$r = \frac{1}{u(\theta)} = r(\theta)$$

### 平方反比类有心力的运动轨迹方程

将大小与到力心位置距离成平方反比的有心力表示为：$F(r) = \frac {k}{r^2}$，将它代入上述的方程，得到：

$$-mh^2 u^2 (\frac {d^2 u}{d \theta ^2} + u) = \frac {k}{r^2}$$

通过移项整理，可以得到一个二阶常系数线性非齐次方程：

$$\frac {d^2 u}{d \theta ^2} + mf(u) = 0$$

式子，其中$m$为移项整理后关于$f(u)$这个多项式的外层系数。通过类比弹簧振子简谐运动方程的求解方法

$\frac {d^2 r}{d t^2} + \frac {kx}{m} = 0$

$r = A \cos (\omega t) \!$

$A$

$\omega = \sqrt{\frac {k}{m}}$

可以类似地解得上述方程的通解：

$$r = \frac {1}{u} = \frac {\frac {mh^2}{k^2}}{1 + \frac {mh^2}{k^2} \cos (\theta-\theta_0)}$$

可以看出，其运动轨迹为圆锥曲线中的一种。

### 任意幂次有心力的情况

物体在有心力作用下的运动情况常常涉及复杂的二阶线性非齐次方程，表现为非线性动力学问题。作为特殊情况，当有心力可以表示为反比或者平方反比时，通常可以像以上算法来简化微分方程的求解，这也给天文学家分析问题带来了很大的方便。但是其他幂次的情况则复杂得多。

## 参阅

- 开普勒问题
- 伯特兰定理
- 三体问题