互信息

在概率论和信息论中，两个随机变量的互信息（mutual Information，MI）度量了两个变量之间相互依赖的程度。具体来说，对于两个随机变量，MI是一个随机变量由于已知另一个随机变量而减少的“信息量”（单位通常为比特）。互信息的概念与随机变量的熵紧密相关，熵是信息论中的基本概念，它量化的是随机变量中所包含的“信息量”。

MI不仅仅是度量实值随机变量和线性相关性(如相关系数)，它更为通用。互信息决定了随机变量${\displaystyle (X,Y)}$的联合分布与$X$和$Y$的边缘分布的乘积之间的差异。MI是点互信息（Pointwise Mutual Information，PMI）的期望。克劳德·香农在他的论文A Mathematical Theory of Communication中定义并分析了这个度量，但是当时他并没有将其称为“互信息”。这个词后来由罗伯特·法诺创造。互信息也称为信息增益。

## 互信息的定义

设随机变量${\displaystyle (X,Y)}$是空间${\displaystyle {\mathcal {X}}\times {\mathcal {Y}}}$中的一对随机变量。若他们的联合分布是${\displaystyle p(x,y)}$，边缘分布分别是${\displaystyle p(x)}$和${\displaystyle p(y)}$，那么，它们之间的互信息可以定义为：

$${\displaystyle I(X;Y)=D_{\mathrm {KL} }(p(x,y)\|p(x)\otimes p(y))}$$

其中，${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }}$为KL散度(Kullback–Leibler divergence)。注意，根据KL散度的性质，若联合分布$p(x,y)$等于边缘分布$p(x)$和$p(y)$的乘积，则$I(X;Y)=0$，即当$X$和$Y$相互独立的时候，观测到Y对于我们预测X没有任何帮助，此时他们的互信息为0。

### 离散变量的互信息

离散随机变量 X 和 Y 的互信息可以计算为：

$$I(X;Y) = \sum_{y \in Y} \sum_{x \in X} <pre> p(x,y) \log{ \left(\frac{p(x,y)}{p(x)\,p(y)} \right) }, \,\! </pre>$$

其中 p(x, y) 是 X 和 Y 的联合概率质量函数，而 $p(x)$ 和 $p(y)$ 分别是 X 和 Y 的边缘概率质量函数。

### 连续变量的互信息

在连续随机变量的情形下，求和被替换成了二重定积分：

$$I(X;Y) = \int_Y \int_X <pre> p(x,y) \log{ \left(\frac{p(x,y)}{p(x)\,p(y)} \right) } \; dx \,dy,$$

其中 p(x, y) 当前是 X 和 Y 的联合概率密度函数，而 $p(x)$ 和 $p(y)$ 分别是 X 和 Y 的边缘概率密度函数。

如果对数以 2 为基底，互信息的单位是bit。

直观上，互信息度量 X 和 Y 共享的信息：它度量知道这两个变量其中一个，对另一个不确定度减少的程度。例如，如果 X 和 Y 相互独立，则知道 X 不对 Y 提供任何信息，反之亦然，所以它们的互信息为零。在另一个极端，如果 X 是 Y 的一个确定性函数，且 Y 也是 X 的一个确定性函数，那么传递的所有信息被 X 和 Y 共享：知道 X 决定 Y 的值，反之亦然。因此，在此情形互信息与 Y（或 X）单独包含的不确定度相同，称作 Y（或 X）的熵。而且，这个互信息与 X 的熵和 Y 的熵相同。（这种情形的一个非常特殊的情况是当 X 和 Y 为相同随机变量时。）

互信息是 X 和 Y 的联合分布相对于假定 X 和 Y 独立情况下的联合分布之间的内在依赖性。

于是互信息以下面方式度量依赖性：I(X; Y) = 0 当且仅当 X 和 Y 为独立随机变量。从一个方向很容易看出：当 X 和 Y 独立时，p(x,y) = p(x) p(y)，因此：

$$\log{ \left( \frac{p(x,y)}{p(x)\,p(y)} \right) } = \log 1 = 0. \,\! <pre>$$

此外，互信息是非负的（即 $I(X;Y)\ge0$; 见下文），而且是对称的（即 $I(X;Y) = I(Y;X)$）。

## 与其他量的关系

互信息又可以等价地表示成

$$\begin{align} I(X;Y) & {} = H(X) - H(X|Y) \\ & {} = H(Y) - H(Y|X) \\ & {} = H(X) + H(Y) - H(X,Y) \\ & {} = H(X,Y) - H(X|Y) - H(Y|X) \end{align}$$

其中 $\ H(X)$ 和 $\ H(Y)$ 是边缘熵，H(X|Y) 和 H(Y|X) 是条件熵，而 H(X,Y) 是 X 和 Y 的联合熵。注意到这组关系和并集、差集和交集的关系类似，于是用Venn图表示。

在互信息定义的基础上使用琴生不等式，我们可以证明 I(X;Y) 是非负的，因此 $\ H(X) \ge H(X|Y)$。这里我们给出 I(X;Y) = H(Y) - H(Y|X) 的详细推导:

$$\begin{align} I(X;Y) & {} = \sum_{x,y} p(x,y) \log \frac{p(x,y)}{p(x)p(y)}\\ & {} = \sum_{x,y} p(x,y) \log \frac{p(x,y)}{p(x)} - \sum_{x,y} p(x,y) \log p(y) \\ & {} = \sum_{x,y} p(x)p(y|x) \log p(y|x) - \sum_{x,y} p(x,y) \log p(y) \\ & {} = \sum_x p(x) \left(\sum_y p(y|x) \log p(y|x)\right) - \sum_y \log p(y) \left(\sum_x p(x,y)\right) \\ & {} = -\sum_x p(x) H(Y|X=x) - \sum_y \log p(y) p(y) \\ & {} = -H(Y|X) + H(Y) \\ & {} = H(Y) - H(Y|X). \\ \end{align}$$

上面其他性质的证明类似。

直观地说，如果把熵 H(Y) 看作一个随机变量于不确定度的量度，那么 H(Y|X) 就是"在已知 X 事件后Y事件会发生"的不确定度。于是第一个等式的右边就可以读作“将"Y事件的不确定度"，减去 --- "在基于X事件后Y事件因此发生的不确定度"”。

这证实了互信息的直观意义为: "因X而有Y事件"的熵( 基于已知随机变量的不确定性) 在"Y事件"的熵之中具有多少影响地位( "Y事件所具有的不确定性" 其中包含了多少 "Y|X事件所具有的不确性" )，意即"Y具有的不确定性"有多少程度是起因于X事件;

```
    ''舉例來說，當 I(X;Y) = 0時，也就是 H(Y) = H(Y|X)時，即代表此時 "Y的不確定性" 即為 "Y|X的不確定性"，這說明了互信息的具體意義是在度量'''兩個事件彼此之間的關聯性'''。''
```

所以具体的解释就是: 互信息越小，两个来自不同事件空间的随机变量彼此之间的关联性越低; 互信息越高，关联性则越高。

注意到离散情形 H(X|X) = 0，于是 H(X) = I(X;X)。因此 I(X;X) ≥ I(X;Y)，我们可以制定”一个变量至少包含其他任何变量可以提供的与它有关的信息“的基本原理。

互信息也可以表示为两个随机变量的边缘分布 X 和 Y 的乘积 p(x) × p(y) 相对于随机变量的联合熵 p(x,y) 的相对熵：

$$I(X;Y) = D_{\mathrm{KL}}(p(x,y)\|p(x)p(y)).$$

此外，令 p(x|y) = p(x, y) / p(y)。则

$$\begin{align} I(X;Y) & {} = \sum_y p(y) \sum_x p(x|y) \log_2 \frac{p(x|y)}{p(x)} \\ & {} = \sum_y p(y) \; D_{\mathrm{KL}}(p(x|y)\|p(x)) \\ & {} = \mathbb{E}_Y\{D_{\mathrm{KL}}(p(x|y)\|p(x))\}. \end{align}$$

注意到，这里相对熵涉及到仅对随机变量 X 积分，表达式 $D_{\mathrm{KL}}(p(x|y)\|p(x))$ 现在以 Y 为变量。于是互信息也可以理解为相对熵 X 的单变量分布 p(x) 相对于给定 Y 时 X 的条件分布 p(x|y)：分布 p(x|y) 和 p(x) 之间的平均差异越大，信息增益越大。

### 连续互信息的量化

对连续型随机变数量化的定义如下：

$$f(x_i)\Delta=\int_{i\Delta}^{(i+1)\Delta}f(x)dx=p_i$$

量化后的随机变数$X^{\Delta}$:

$X^{\Delta}=x_i, i \Delta \leq X <(i+1)\Delta$。

则,

$$I(X^{\Delta};Y^{\Delta})=H(X^{\Delta})-H(X^\Delta|Y^\Delta)$$

$$\approx h(X)-log{\Delta}-(h(X|Y)-log{\Delta})$$

$$=I(X;Y)$$

广义而言，我们可以将互信息定义在有限多个连续随机变数值域的划分。

令$\chi$为连续型随机变数的值域，$P_i\in P$, 其中$P$为$\chi$划分所构成的集合，意即$\cup_iP_i=\chi$。

以$P$量化连续型随机变数$X$后，所得结果为离散型随机变数,

$Pr([X]_P=i)=\int_{P_i} dF(x)$。

对于两连续型随机变数X、Y，其划分分别为P、Q，则其互信息可表示为：

$I(X;Y)=\underset{P,Q}{sup}I([X]_P;[Y]_Q)$。