二次函数

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在数学中，二次函数（quadratic function）表示形为 $f(x)=ax^2+bx+c \,\!$（$a \ne 0 \,\!$，且$a$、$b$、$c$是常数）的多项式函数，其中，$x$为自变量注：自变量$x$的取值范围为任何实数，$a$、$b$、$c$分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。二次函数的图像是一条主轴平行于$y$轴的抛物线。

二次函数表达式$ax^2+bx+c$的定义是一个二次多项式，因为$x$的最高幂次是2。

如果令二次函数的值等于零，则可得一个一元二次方程式、二次方程式。该方程的解称为方程的根或函数的零点。

## 历史

大约在公元前480年，古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得用使用代数方程的人，它同时容许有正负数的根。

11世纪阿拉伯的花拉子米独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。

## 根

二次方程 $ax^2+bx+c=0\,\!$ 的两个根为：$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}$$解方程后，我们会得到两个根：$x_1$和$x_2$。则点$(x_1,0)$和$(x_2,0)$就是二次函数与$x$轴的交点。根的类型如下：

- 设$\Delta = b^2-4ac \,$为一元二次方程式的判别式，又记作D。
- 当$\Delta > 0\,\!$，则方程有两个不相等的根，也即与$x$轴有两个不重叠的交点，因为$\sqrt{\Delta}$是正数。
- 当$\Delta = 0\,\!$，则方程有两个相等的根，也即与$x$轴有一个切点，因为$\sqrt{\Delta}$是零。
- 当$\Delta < 0\,\!$，则方程没有实数根，也即与 $x$ 轴没有交点，因为$\sqrt{\Delta}$是共轭复数。

设$r_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}$和$r_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}$，我们可以把$a x^2 + b x + c \,\!$因式分解为$a(x - r_1)(x - r_2)\,\!$。

## 二次函数的形式

二次函数可以表示成以下三种形式：

- $f(x) = a x^2 + b x + c \,\!$ 称为一般形式或多项式形式。
- $f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)\,\!$ 称为因子形式或交点式，其中$r_1$和$r_2$是二次方程的两个根，$(r_1,0)$,$(r_2,0)$ 是抛物线与$x$轴的两个交点。
- $f(x) = a(x - h)^2 + k \,\!$ 称为标准形式或顶点形式，$(h,k)$即为此二次函数的顶点。

把一般形式转换成因子形式时，我们需要用求根公式来算出两个根$r_1$和$r_2$，或是利用十字交乘法（适用于有理数）。把一般形式转换成标准形式时，我们需要用配方法。把因子形式转换成一般形式时，我们需要把两个因式相乘并展开。把因子形式转换成标准形式有特殊的方法。

$h$代表了二次函数的对称轴，因此两根的平均数即为$h$

- $k$展开后比较后可得 $k=-a\left(\frac{|r_1-r_2|}{2}\right)^2$

不通过$r_1$和$r_2$求$k$及$h$公式：

- $$h = - \frac{b}{2a}$$
- $k = -\frac{b^2-4ac}{4a}$ (也作$k = \frac{4ac-b^2}{4a}$)

而在三种形式中皆出现的$a$为此二次函数的领导系数，决定二次函数图像开口的大小与方向。

## 图像

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- 系数$a$控制了二次函数从顶点的增长（或下降）速度，即二次函数开口方向和大小。$|a|$越大，开口越小，函数就增长得越快。
- 系数$b$和$a$控制了抛物线的对称轴（以及顶点的$x$坐标）。
- 系数$b$控制了抛物线穿过$y$轴时的倾斜度（导数）。
- 系数$c$控制了抛物线最低点或最高点的高度，它是抛物线与$y$轴的交点。

函数｜图像｜函数变化｜对称轴｜开口方向｜最大（小）值

$y=ax^2$｜$a>0$｜

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｜当$x>0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x<0$时，$y$随$x$ 的减小而增大｜$y$轴或$x=0$｜向上｜$0$

$y=ax^2$｜$a<0$｜

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｜当$x>0$时，$y$随$x$ 的增大而减小；当$x<0$时，$y$随$x$ 的减小而减小｜$y$轴或$x=0$｜向下｜$0$

$y=ax^2+c$｜$a>0$｜

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｜当$x>0$时，$y$随$x$ 的增大而增大；当$x<0$时，$y$随$x$ 的减小而增大｜$y$轴或$x=0$｜向上｜$c$

$y=ax^2+c$｜$a<0$｜

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｜当$x>0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x<0$时，$y$随$x$ 的减小而减小｜$y$ 轴或 $x=0$｜向下｜$c$

$y=ax^2+bx+c$｜$a>0$｜

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｜当$x>-\frac{b}{2a}$时，$y$ 随$x$的增大而增大；当$x<-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的减小而增大｜$x=-\frac{b}{2a}$｜向上｜$-\frac{b^2-4ac}{4 a}$

$y=ax^2+bx+c$｜$a<0$｜

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｜当$x>-\frac{b}{2a}$时，$y$ 随$x$的增大而减小；当$x<-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的减小而减小｜$x=-\frac{b}{2a}$｜向下｜$-\frac{b^2-4ac}{4 a}$

### x 截距

当函数与$x$轴有两个交点时，设这两个交点分别为 $A(x_1,0),\, B(x_2,0)$，由根与系数的关系得出：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$和$x_1x_2=\frac{c}{a}$

$$\begin{align}\therefore AB&=|x_2-x_1| \\ &=\left|\sqrt{(x_2-x_1)^2}\right| \\ &=\left|\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\right| \\ &=\left|\sqrt{\left(-\frac{b}{a}\right)^2-\frac{4c}{a}}\right| \\ &=\left|\sqrt{\frac{b^2}{a^2}-\frac{4ac}{a^2}}\right| \\ &=\left|\sqrt{\frac{b^2-4ac}{a^2}}\right| \\ &=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|} \ \ \ \ \text{或} \ \ \ \ \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}\end{align}$$

### 顶点

抛物线的顶点是它转弯的地方，也称为驻点。如果二次函数是标准形式，则顶点为$(h, k)\,\!$。用配方法，可以把一般形式$f(x) = a x^2 + b x + c \,\!$化为：$$f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac-b^2}{4 a}$$

因此在一般形式中，抛物线的顶点是：$$\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4 a}\right)$$如果二次函数是因子形式$f(x) = a(x - r_1)(x - r_2) \,\!$，则两个根的平均数$$\frac{r_1 + r_2}{2} \,\!$$就是顶点的$x$坐标，因此顶点位于$$\left(\frac{r_1 + r_2}{2}, f(\frac{r_1 + r_2}{2})\right)\!$$ $a < 0 \,\!$时，顶点也是最大值；$a > 0 \,\!$时，则是最小值。

经过顶点的竖直线$$x=h=-\frac{b}{2a}$$又称为抛物线的对称轴。

### 最大值和最小值

#### 导数法

函数的最大值和最小值总是在驻点（又称临界点，稳定点）取得。以下的方法是用导数法来推导相同的事实，这种方法的好处是适用于更一般的函数。

设有函数$f(x) = ax^2 + bx + c \,\!$，寻找它的极值时，我们必须先求出它的导数：$$f(x)=ax^2+bx+c \Leftrightarrow \,\! f'(x)=2ax+b \,\!$$然后，求出$f'(x)\,\!$的根：$$2ax+b=0 \Rightarrow \,\! 2ax=-b \Rightarrow\,\! x=-\frac{b}{2a}$$因此，$-\frac{b} {2a}$是$f(x)\,\!$的$x\,\!$值。现在，为了求出$y\,\!$，我们把$x = -\frac{b} {2a}$代入 $f(x)\,\!$：$$y=a \left (-\frac{b}{2a} \right)^2+b \left (-\frac{b}{2a} \right)+c\Rightarrow y= \frac{ab^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow y= \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow y= \frac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a} \Rightarrow y= \frac{-b^2+4ac}{4a} \Rightarrow y= -\frac{(b^2-4ac)}{4a} \Rightarrow y= -\frac{\Delta}{4a}$$所以，最大值或最小值的坐标为：$$\left (-\frac {b}{2a}, -\frac {\Delta}{4a} \right)$$

#### 配方法

$$\begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ &= a(x^2+\frac{b}{a}x)+c \\ &= a \left[ x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 \right]+c-a(\frac{b}{2a})^2 \\ &= a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac}{4a}-\frac{b^2}{4a}\\ &= a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a} \\ \end{align}$$

由于实数的二次方皆大于等于0，因此当$x=-\frac{b}{2a}$时，$f(x)$有最大或最小值$\frac{4ac-b^2}{4a}$。

## 二次函数的平方根

二次函数的平方根的图像要么是椭圆，要么是双曲线。如果$a>0\,\!$，则方程$y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c}$描述了一条双曲线。该双曲线的轴由对应的抛物线$y_p = a x^2 + b x + c \,\!$的最小值决定。如果最小值是负数，则双曲线的轴是水平的。如果是正数，则双曲线的轴是竖直的。如果$a<0\,\!$，则方程$y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c}$的图像要么是一个椭圆，要么什么也没有。如果对应的抛物线$y_p = a x^2 + b x + c \,\!$的最大值是正数，则它的平方根描述了一个椭圆。如果是负数，则描述了一个空集。

## 二元二次函数

二元二次函数是以下形式的二次多项式：$$f(x,y) = A x^2 + B y^2 + C x + D y + E x y + F \,\!$$这个函数描述了一个二次曲面。把$f(x,y)\,\!$设为零，则描述了曲面与平面$z=0\,\!$的交线，它是一条圆锥曲线。

### 最小值/最大值

如果$4AB-E^2 <0 \,$，则函数没有最大值或最小值，其图像是双曲抛物面。

如果 $4AB-E^2 >0 \,$，则当$A>0$时函数具有最小值，当$A<0$具有最大值。其图像是椭圆抛物面。

二元二次函数的最大值或最小值在点 $(x_m, y_m) \,$ 取得，其中：$$x_m = -\frac{2BC-DE}{4AB-E^2}$$ $$y_m = -\frac{2AD-CE}{4AB-E^2}$$如果$4AB- E^2 =0 \,$且$DE-2CB=2AD-CE \ne 0 \,$，则函数没有最大值或最小值，其图像是抛物柱面。

如果$4AB- E^2 =0 \,$且$DE-2CB=2AD-CE =0 \,$，则函数在一条直线上取得最大值/最小值。当$A>0$时取得最大值，$A<0$时取得最小值。其图像也是抛物柱面。

## 参考资料

### 参考书目

- 《代数1》， Glencoe, ISBN 0-07-825083-8
- 《代数2》，Saxon, ISBN 0-939798-62-X