凯莱表

凯莱表（Cayley table），以19世纪英国数学家阿瑟·凯莱命名，通过在正方形表格中排列一个群的所有元素的所有可能乘积来描述有限群的结构，这让人想起了加法或乘法表。群的很多性质，比如是否为阿贝尔群，哪个元素是哪个元素的逆元，和群的中心的大小和内容，都可以通过检查它的凯莱表来轻易得出。

凯莱表的一个简单例子是群 {1, -1} 在普通的乘法下的表格:

## 历史

凯莱表是在凯莱 1854 年的论文《On The Theory of Groups, as depending on the symbolic equation θn = 1》中首次提出的。在这个论文中，它们被简单的称为表格并只被用做展示，后来为了纪念其创造者而叫做了凯莱表。

## 结构和格局

因为很多凯莱表描述不是阿贝尔群的群，对于所有这个群中的 a 和 b，关于群的二元运算的乘积 ab 不保证等于 ba 的乘积。为了避免混淆，约定了在表格的每一行中所有格内的第一个因子(凯莱的术语为“近因子”)都是相同的，而在每一列中所有格内的第二个因子(“远因子”)是相同的，比如下面的例子:

- ｜a｜b｜c

a｜a2｜ab｜ac

b｜ba｜b2｜bc

c｜ca｜cb｜c2

凯莱最初设置的表格把单位元放在首位，排除了上表中对对单独的行与列表头的需要。例如，它们不出现在下列表格中:

a｜b｜c

b｜c｜a

c｜a｜b

在这个循环群 Z3 的例子中，a 是单位元，因此出现表格的左上角。容易看出 b2 = c 和 cb = a。尽管如此，多数现代课本和本文都为了明确性而包含了行与列的表头。

## 性质和用途

### 交换律

凯莱表告诉我们一个群是否为阿贝尔群。因为阿贝尔群的群运算是符合交换律的，阿贝尔群的凯莱表是沿着对角线对称的。上述的 3 阶的循环群和 {1, -1} 在普通乘法下的群都是阿贝尔群，可以通过检查其凯莱表的对称性来验证。作为对照，最小的非阿贝尔群 6阶二面体群没有对称的凯莱表。

### 结合律

因为结合律被作为了群的公理，在处理群的凯莱表的时候它总是可以保证。但是凯莱表还可以用来刻画拟群的运算，它不把结合律假定为公理(实际上，凯莱表可以用来刻画任何有限原群的运算)。不幸的是，一般不可能象交换律那样通过简单查看凯莱表来确定一个运算是否符合结合律。这是因为结合律依赖于 3 项等式 $(ab)c=a(bc)$，而凯莱表展示的是两项乘积。

### 置换

因为消除性质对于群(甚至于拟群)是成立的，凯莱表的行与列中，任何元素都只能出现一次。所以表的每行与列都是这个群内的所有元素的置换。这极大的限定了那种凯莱表可以令人信服的定义有效的群运算。

要看出为什么行或列不能包含相同的元素两次，设 a, x 和 y 都是群的元素，而 x 和 y 是不同的。接着有一行表示元素 a，对应于 x 的列包含乘积 ax，类似的对应于 y 的列包含乘积 ay。如果这两个乘积相等，就是说我们假设的行 a 包含相同的元素两次，则 ax 将等于 ay。但是因为消除律成立，我们可以得出结论出如果 ax = ay，则 x = y。导致了矛盾。所以我们的假设不正确，行不能包含相同的元素。完全同样的证明足以证明列的情况，所以我们推出结论每行与列都不包含一个元素多于一次。因为群是有限的，鸽笼原理保证群的每个元素在每行与列中精确的出现一次。因此，凯莱表是拉丁方阵的例子。

## 构造凯莱表

由于群的结构，你可能要经常填充缺少元素的凯莱表，甚至对所考虑的群运算都没有完整的刻画。例如，由于每行与列必须包含这个群中的所有元素，如果所有元素都要放入其中一次，而只有一个空位，在不知道关于群的任何其他事情的时候，未被放置的那个元素必定占据这个空位。关于群的这个和其他观察一般允许我你们对所考虑的群知之甚少就能构造出这些群的凯莱表。

### 有限群的“单位元构架”

因为在任何群中，即使在非阿贝尔群中，所有元素都是与它自己的逆元可交换的，这可以得出单位元在凯莱表中针对表的对角线对称分布。正好处在对角线上的单位元表示对应的元素是自身的逆元。

由于凯莱表的行与列的次序实际上是任意的，如下排序方式是很方便的: 开始于群的单位元，它总是自身的逆元，首先列出是自身的逆元的所有元素，随后相互毗连的列出互逆元素对。

接着对于特定次序下的有限群，很容易刻画出它的“单位元架构”，这么命名是因为单位元在凯莱表中沿主对角线聚集，要么直接在其上，要么错开一个位置。

证明有不同的单位元构架的群不能同构是相对平凡的，但逆命题不成立(比如，循环群 C8 和四元群 Q 不同构但有相同的单位元构架)。

考虑带有元素 e, a, b, c, d 和 f 的 6 元素的群。按惯例，e 是群的单位元。因为单位元总是自身的逆元，而逆元是唯一的，群中有 6 个元素的事实意味着至少有一个非 e 元素必须是自身的逆元。所以有下列可能的构架:

- 所有元素都是自身的逆元。
- a, b 和 c 是自身的逆元，d 与 f 互逆。
- a 是自身的逆元，b 与 c 互逆，d 与 f 互逆。

在我们的特定例子中，不存在第一种类型的 6 阶群，实际上，简单的因为特定的单位元构架可以被构想出来，但不一般性的意味着存在对应的群。值得注意(可平凡证明)所有元素都是自身逆元的任何群都是阿贝尔群。

### 填充单位元构架

一旦特定的单位元构架确定，就有可能开始填充出凯莱表。例如，选取上述第二种类型的 6 阶群的单位元构架:

e｜a｜b｜c｜d｜f

e｜e

a｜e

b｜e

c｜e

d｜e

f｜e

明显的，e 行与 e 列可以立即填充。完成后，可能需要(在这里是必须的)做一个假定，它可能在后来导致一个矛盾，简单的意味着最初的假定是错的。我们假定 ab = c。那么:

e｜a｜b｜c｜d｜f

e｜e｜a｜b｜c｜d｜f

a｜a｜e｜c

b｜b｜e

c｜c｜e

d｜d｜e

f｜f｜e

左乘 a 于 ab = c 得到 b = ac。再右乘 c 得到 bc = a。右乘 b 于 ab = c 得到 a = cb。左乘 b 于 bc = a 得到 c = ba，再右乘 a 得到 ca = b。在填充这些乘积入表格之后，我们发现 ad 和 af 在 a 行中仍未触及；因为我们知道群的每个元素必须在每行中精确的出现一次，只有 d 和 f 还未处理，我们知道 ad 必须等于 d 或 f；但是它不能等于 d，因为如果这样将蕴含 a 等于 e，而它们是不同的。因此我们有了 ad = f 和 af = d。

进一步的，因为 d 的逆元是 f，右乘 f 于 ad = f 得出 a = f2。再左乘 d 得出 da = f。再右乘 a 得出 d = fa。

填充入所有这些乘积，凯莱表变为:

e｜a｜b｜c｜d｜f

e｜e｜a｜b｜c｜d｜f

a｜a｜e｜c｜b｜f｜d

b｜b｜c｜e｜a

c｜c｜b｜a｜e

d｜d｜f｜e

f｜f｜d｜e｜a

由于每行都必须出现群的所有元素精确的一次，容易看出在 b 行的两个空位必须被 d 或 f 占据。但是，如果你检查包含这两个空位的列，也就是 d 和 f 列，就会法相 d 和 f 已经在二者中被填充过了，这意味着无论如何 d 和 f 都不能放入行 b 中，它们总是违反置换规则。由于我们的代数演绎直到此时都是可靠的，我们只能得出早先基础假定 ab = c 事实上是错误的的结论。本质上，我们猜测并猜测错了。但我们知道了: ab ≠ c。

唯一剩下的两种可能性是 ab = d 或 ab = f；我们期望这两个猜测有相同结果，即不别同构之异时，因为 d 和 f 是互逆的，表示它们的字母固然的可以互换。所以不失去一般性的假定 ab = d。如果我们再次导致一个矛盾，那么我们就要假定没有 6 阶群有这种单位元构架了，因为我们穷尽了所有可能性。

下面是它的凯莱表:

e｜a｜b｜c｜d｜f

e｜e｜a｜b｜c｜d｜f

a｜a｜e｜d

b｜b｜e

c｜c｜e

d｜d｜e

f｜f｜e

左乘 a 于 ab = d 得到 b = ad。右乘 f 得 bf = a，左乘 b 得到 f = ba。右乘 a 得到 fa = b，左乘 d 得到 a = db。把这些乘积填入凯莱表中(新增加的为红色):

e｜a｜b｜c｜d｜f

e｜e｜a｜b｜c｜d｜f

a｜a｜e｜d｜b

b｜b｜f｜e｜a

c｜c｜e

d｜d｜a｜e

f｜f｜b｜e

因为 a 行缺少 c 和 f 并且因为 af 不能等于 f(否则 a 就会等于 e，而它们是不同的)，我们可以得出 af = c。左乘 a 得出 f = ac，右乘 c 得出 fc = a。左乘 d 得出 c = da，右乘 a 得出 ca = d。类似的，右乘 d 于 af = c 得到 a = cd。更新表格，新加入的使用蓝色:

e｜a｜b｜c｜d｜f

e｜e｜a｜b｜c｜d｜f

a｜a｜e｜d｜f｜b｜c

b｜b｜f｜e｜a

c｜c｜d｜e｜a

d｜d｜c｜a｜e

f｜f｜b｜a｜e

因为 b 行缺少 c 和 d，并且因为 bc 不能等于 c，得出 bc = d，因此 bd 必须等于 c。右乘 f 得出 b = cf，左乘 c 得到 cb = f。通过类似的方式还可得出 c = fb 和 dc = b。填充入表格(最新增的使用绿色):

e｜a｜b｜c｜d｜f

e｜e｜a｜b｜c｜d｜f

a｜a｜e｜d｜f｜b｜c

b｜b｜f｜e｜d｜c｜a

c｜c｜d｜f｜e｜a｜b

d｜d｜c｜a｜b｜e

f｜f｜b｜c｜a｜e

因为 d 行只缺少 f，我们得知 d2 = f，因此 f2 = d。我们已经设法填充了整个表格而没有得到任何矛盾，我们已经发现了一个 6 阶群: 检查显示它是非阿贝尔群。这个群事实上是最小的非阿贝尔群，二面体群 D3:

- ｜e｜a｜b｜c｜d｜f

e｜e｜a｜b｜c｜d｜f

a｜a｜e｜d｜f｜b｜c

b｜b｜f｜e｜d｜c｜a

c｜c｜d｜f｜e｜a｜b

d｜d｜c｜a｜b｜f｜e

f｜f｜b｜c｜a｜e｜d

## 推广

上述性质依赖于某些群公理的有效性。自然会考虑其他代数结构比如半群、拟群和原群的凯莱表，而上述某些性质就不成立了。