有限深方形阱

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在量子力学里，有限深方形阱，又称为有限深位势阱，是无限深方形阱的延伸。有限深方形阱是一个阱内位势为0，阱外位势为有限值的位势阱。关于一个或多个粒子，在这种位势作用中的量子行为的问题，称为有限深位势阱问题。与无限深方形阱问题不同的是，在阱外找到粒子的几率大于0。

在经典力学里，假若，粒子的能量小于阱壁的位势，则粒子只能移动于阱内，无法存在于阱外。截然不同地，在量子力学里，虽然粒子的能量小于阱壁的位势，在阱外找到粒子的几率大于0。

## 一维阱定义

一维有限深方形阱的阱宽为$L\,\!$，左边阱壁与右边阱壁的位置分别为$x= - L/2\,\!$与$x=L/2\,\!$。阱内位势为0。在阱壁，位势突然升高为$V_0\,\!$。阱外位势保持为$V_0\,\!$。这一维阱将整个一维空间分为三个区域：阱左边，阱内，与阱右边。在每一个区域内，对应着不同的位势，描述粒子的量子行为的波函数$\psi\,\!$也不同，标记为：

$\psi=\psi_1\,\!$：阱左边，$x< - L/2\,\!$（阱外区域）。

$\psi=\psi_2\,\!$：阱内，$- L/2<x<L/2\,\!$（阱内区域）。

$\psi=\psi_3\,\!$：阱右边，$x>L/2\,\!$（阱外区域）。

这些波函数，都必须满足，一维不含时间的薛定谔方程式：

$- \frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) \psi = E \psi\,\!$；(1)

其中，$\hbar\,\!$是约化普朗克常数，$m\,\!$是粒子质量，$x\,\!$是粒子位置，$V(x)\,\!$是位势，$E\,\!$是能量。

### 阱内区域

在阱内，位势$V(x) = 0\,\!$，方程简化为：

$- \frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi_2}{d x^2} = E \psi_2 \,\!$。(2)

设定波数$k\,\!$为

$k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\,\!$。(3)

代入方程(2)：

$\frac{d^2 \psi_2}{d x^2} = - k^2 \psi_2 \,\!$。

这是一个经过颇多研究的二阶常微分方程。一般解本征函数$\psi_2(x)\,\!$是正弦函数与余弦函数的线性组合：

$\psi_2 = A \sin(kx) + B \cos(kx)\quad\,\!$。

其中，$A\,\!$与$B\,\!$都是复值常数，由边界条件而决定。

### 阱外区域

在阱外，位势$V(x) =V_0>0\,\!$，薛定谔方程为：

$- \frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi_1}{d x^2} =( E - V_0) \psi_1 \,\!$。

视能量是否大于位势而定，有两种不同的解答。一种是自由粒子解答，另一种是束缚粒子解答。

## 束缚态

假若，粒子的能量小于位势：$E < V_0 \,\!$，则这粒子束缚于位势阱内．称这粒子的量子态为束缚态（bound state）。设定

$\alpha = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar}\,\!$。(4)

代入方程(1)：

$\frac{d^2 \psi_1}{d x^2} = \alpha^2 \psi_1 \,\!$。

一般解是指数函数。所以，阱左边区域与阱右边区域的波函数分别是

$\psi_1 = Fe^{ - \alpha x}+ Ge^{ \alpha x}\,\!$。

$\psi_3 = He^{ - \alpha x}+ Ie^{ \alpha x}\,\!$。

其中，$F\,\!$，$G\,\!$，$H\,\!$，$I\,\!$都是常数。

从正确的边界条件，可以找到常数$A\,\!$，$B\,\!$，$F\,\!$，$G\,\!$，$H\,\!$，$I\,\!$的值。

### 束缚态的波函数

薛定谔方程的解答必须具有连续性与连续可微性。这些要求是前面导引出的微分方程的边界条件。

总结前面导引出的结果，波函数$\psi\,\!$的形式为：

$\psi_1=Fe^{ - \alpha x}+ Ge^{ \alpha x}\,\!$：阱左边，$x< - L/2\,\!$（阱外区域）。

$\psi_2=A \sin(kx) + B \cos(kx)\,\!$：阱内，$- L/2<x<L/2\,\!$（阱内区域）。

$\psi_3=He^{ - \alpha x}+ Ie^{ \alpha x}\,\!$：阱右边，$x>L/2\,\!$（阱外区域）。

当$x\,\!$趋向负无穷，包含$F\,\!$的项目趋向无穷。类似地，当$x\,\!$趋向无穷，包含$I\,\!$的项目趋向无穷。可是，波函数在任何$x\,\!$都必须是有限值。因此，必须设定$F=I=0\,\!$。阱外区域的波函数变为

$\psi_1(x) = Ge^{ \alpha x} \,\!$。

$\psi_3(x) = He^{- \alpha x} \,\!$。

在阱左边，随着$x\,\!$越小，波函数$\psi_1(x)\,\!$呈指数递减。而在阱右边，随着$x\,\!$越大，波函数$\psi_3(x)\,\!$呈指数递减。这是合理的。这样，波函数才能够归一化。

由于有限深方形阱对称于$x=0\,\!$，可以利用这对称性来省略计算步骤。波函数不是奇函数就是偶函数。

### 奇的波函数

假若，波函数$\psi\,\!$是奇函数，则

$\psi_2=A \sin(kx)\,\!$。

$G= - H\,\!$。

$\psi_1( - x) = - \psi_3(x) ,\qquad\qquad x\ge 0\,\!$。

由于整个波函数$\psi \,\!$必须满足连续性与连续可微性。在阱壁，两个波函数的函数值与导数值都必须相配：

$$\psi_1( - L/2) = \psi_2( - L/2) \,\!$$

$$\left. \frac{d\psi_1}{dx}\right|_{x= - L/2} =\left. \frac{d\psi_2}{dx}\right|_{x= - L/2} \,\!$$

将波函数的公式代入：

$G e^{-\alpha L / 2} = - A \sin(k L / 2)\,\!$，(5)

$\alpha G e^{- \alpha L / 2} = k A \cos(k L / 2)\,\!$。(6)

方程(6)除以方程(5)，可以得到：

$\alpha = - k \cot(k L / 2)\,\!$。

从方程(3)与(4)，可以求得常数$\alpha\,\!$与波数$k\,\!$的关系：

$\alpha^2=\frac{2mV_0}{\hbar^2} - k^2\,\!$。

所以，波数是离散的，必须遵守以下方程：

$k^2=\frac{2mV_0}{\hbar^2} \sin^2(k L / 2)\,\!$。

这也造成了离散的能量。

### 偶的波函数

假若，波函数$\psi\,\!$是偶函数，则

$\psi_2=A \cos(kx)\,\!$。

$G= H\,\!$。

$\psi_1( - x) = \psi_3(x) ,\qquad\qquad x\ge 0\,\!$。

由于整个波函数$\psi \,\!$必须满足连续性与连续可微性。在阱壁，两个波函数的函数值与导数值都必须相配：

$$\psi_1( - L/2) = \psi_2( - L/2) \,\!$$

$$\left. \frac{d\psi_1}{dx}\right|_{x= - L/2} =\left. \frac{d\psi_2}{dx}\right|_{x= - L/2} \,\!$$

将波函数的公式代入：

$G e^{-\alpha L / 2} = A \cos(k L / 2)\,\!$，(7)

$\alpha G e^{- \alpha L / 2} = k A \sin(k L / 2)\,\!$。(8)

方程(8)除以方程(7)，可以得到：

$\alpha = k \tan(k L / 2)\,\!$。

从方程(3)与(4)，可以求得常数$\alpha\,\!$与波数$k\,\!$的关系：

$\alpha^2=\frac{2mV_0}{\hbar^2} - k^2\,\!$。

所以，波数是离散的，必须遵守以下方程：

$k^2=\frac{2mV_0}{\hbar^2} \cos^2(k L / 2)\,\!$。

这也造成了离散的能量。

## 散射态

假若，一个粒子的能量大于位势，$E > V_0 \,\!$，则这粒子不会被束缚于位势阱内。因此，在这里，粒子的量子行为主要是由位势阱造成的散射（scattering）行为。称这粒子的量子态为散射态。称这不被束缚的粒子为自由粒子。更强版的定义还要求位势为常数。假若，一维空间分为几个区域，只有在每个区域内，位势为常数；而在区域与区域之间，位势不相等，则称此粒子为半自由粒子。自由粒子和半自由粒子的能量大于位势，$E > V_0 \,\!$，不会被束缚于位势阱内，能量不是离散能量谱的特殊值，而是大于或等于$V_0\,\!$的任意值。波数$\kappa\,\!$，用方程式表达为$\kappa=\frac{\sqrt{2m(E - V_0)}}{\hbar}\,\!$，也不是离散量。代入方程(1)：

$\frac{d^2 \psi_1}{d x^2} = - \kappa^2 \psi_1 \,\!$。

$\frac{d^2 \psi_3}{d x^2} = - \kappa^2 \psi_3 \,\!$。

解答形式与阱内区域的解答形式相同：

$\psi_1 = C_1 \sin(\kappa x) + D_1 \cos(\kappa x)\,\!$。

$\psi_3 = C_3 \sin(\kappa x) + D_3 \cos(\kappa x)\,\!$。

其中，$C_1\,\!$、$D_1\,\!$、$C_3\,\!$、$D_3\,\!$，都是常数。

## 参阅

- 自由粒子
- 无限深方形阱
- 有限位势垒
- 球对称位势
- Delta位势阱
- Delta位势垒
- 量子穿隧效应
- 盒中气体