达布积分

在实分析或数学分析中，达布积分（Darboux integral）是一种定义一个函数的积分的方法，它是通过达布和构造的。达布积分和黎曼积分是等价的，也就是说，一个实值函数是达布可积的当且仅当它是黎曼可积的，并且积分的值相等。达布积分的定义比黎曼积分简单，并且更具操作性。达布积分的名字来自于数学家让·加斯东·达布。

## 区间的分割

一个闭区间$[a,b]$的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列$a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b$。每个闭区间$[x_i, x_{i+1}]$叫做一个子区间。定义$\lambda$ 为这些子区间长度的最大值：$\lambda = \max (x_{i+1}-x_i)$，其中$0 \le i \le n - 1$。

再定义取样分割。一个闭区间$[a,b]$的一个取样分割是指在进行分割$a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b$后，于每一个子区间中$[x_i, x_{i+1}]$取出一点 $x_i \le t_i \le x_{i+1}$。$\lambda$的定义同上。

精细化分割：设$x_0,\ldots,x_n$以及$t_0,\ldots,t_{n-1}$构成了闭区间$[a,b]$的一个取样分割，$y_0,\ldots,y_m$和$s_0,\ldots,s_{m-1}$是另一个分割。如果对于任意$0 \le i \le n$，都存在$r(i)$使得$x_i = y_{r(i)}$，并存在$r(i) \le j \le r(i+1)$使得$t_i = s_j$，那么就把分割：$y_0,\ldots,y_m$、$s_0,\ldots,s_{m-1}$称作分割$x_0,\ldots,x_n$、$t_0,\ldots,t_{n-1}$的一个精细化分割。简单来说，就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。

于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。

## 达布和

设$f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ 为一个有界函数，又设

$$P : x_0, \ldots, x_n$$

是闭区间$[a,b]$的一个分割。令:

$$M_i = \sup_{x\in[x_{i-1},x_{i}]} f(x)$$

$$m_i = \inf_{x\in[x_{i-1},x_{i}]} f(x)$$

<image>

$f$在分割$P$下的上达布和定义为：

$$U_{f, P} = \sum_{i=1}^n M_i (x_{i}-x_{i-1})$$

同样的有下达布和的定义：

$$L_{f, P} = \sum_{i=1}^n m_i (x_{i}-x_{i-1})$$

$f$的上达布积分指的是所有上达布和的下确界：

$U_f = \inf\{U_{f,P} : P$是闭区间$[a,b]$的一个分割$\; \}$

同样的$f$的下达布积分指的是所有下达布和的上确界：

$L_f = \sup\{L_{f,P} : P$是闭区间$[a,b]$的一个分割$\; \}$

如果$U_f=L_f$那么$f$就称作达布可积的，并用$\int_a^b{f(t)\,dt}$表示，记作$f$在区间$[a,b]$的达布积分。

## 性质

- 对于任何给定的分割，上达布和永远大于等于下达布和。此外，下达布和被限制在以$b-a$为宽，以$\mathrm{inf}(f)$为高的矩形下，占据$[a,b]$。同样，上达布和被限制在以$b-a$为宽，以$\mathrm{sup}(f)$为高的矩形上。

$$(b-a)\inf_{x \in [a,b]} f(x) \leq L_{f,P} \leq U_{f,P} \leq (b-a)\sup_{x \in [a,b]} f(x)$$

- 下达布和和上达布和满足

$$\underline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx \leq \overline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx$$

- 对处于$(a,b)$的任意$c$

$$\begin{align} \underline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx &= \underline{\int_{a}^{c}} f(x) \, dx + \underline{\int_{c}^{b}} f(x) \, dx\\ \overline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx &= \overline{\int_{a}^{c}} f(x) \, dx + \overline{\int_{c}^{b}} f(x) \, dx \end{align}$$

- 下达布积分和上达布积分不必要是线性的。令$g:[a,b]\rightarrow R$是一个有界函数，则上达布积分和下达布积分满足下面的不等关系。

$$\begin{align} \underline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx + \underline{\int_{a}^{b}} g(x) \, dx &\leq \underline{\int_{a}^{b}} f(x) + g(x) \, dx\\ \overline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx + \overline{\int_{a}^{b}} g(x) \, dx &\geq \overline{\int_{a}^{b}} f(x) + g(x) \, dx \end{align}$$

- 对于一个常数$c\geq 0$我们有

$$\begin{align} \underline{\int_{a}^{b}} cf(x) &= c\underline{\int_{a}^{b}} f(x)\\ \overline{\int_{a}^{b}} cf(x) &= c\overline{\int_{a}^{b}} f(x) \end{align}$$

- 对于一个常数$c\leq 0$我们有

$$\begin{align} \underline{\int_{a}^{b}} cf(x) &= c\overline{\int_{a}^{b}} f(x)\\ \overline{\int_{a}^{b}} cf(x) &= c\underline{\int_{a}^{b}} f(x) \end{align}$$

- 考虑函数$F:[a,b]\rightarrow R$定义为

$$F(x) = \underline{\int_{a}^{x}} f(x) \, dx$$

那么$F$是利普希茨连续的。当$F$是用达布积分定义的，一个相似的结论也成立。

## 例子

### 一个达布可积函数

假设我们想证明函数$f(x) = x$在区间$[0,1]$上是达布可积的，并且确定它的值。我们需要把区间$[0,1]$分割为$n$个等大的子区间，每个区间长度为$\frac{1}{n}$。我们取$n$个等大的子区间中一个作为$P_n$。

现在因为$f(x) = x$在$[0,1]$上严格单增，在任意一个特定子区间上的下确界即它的起点。同样，在任意一个特定子区间上的上确界即它的终点。在$P_n$中第$k$个子区间的起点是$\frac{k-1}{n}$，终点是$\frac{k}{n}$。那么在一个分割$P_n$上的下达布和就是

$$\begin{align} L_{f,P_n} &= \sum_{k = 1}^{n} f(x_{k-1})(x_{k} - x_{k-1})\\ <pre> &= \sum_{k = 1}^{n} \frac{k-1}{n} \cdot \frac{1}{n}\\ &= \frac{1}{n^2} \sum_{k = 1}^{n} [k-1]\\ &= \frac{1}{n^2}\left[ \frac{(n-1)n}{2} \right] </pre> \end{align}$$

类似地，上达布和为

$$\begin{align} U_{f,P_n} &= \sum_{k = 1}^{n} f(x_{k})(x_{k} - x_{k-1})\\ <pre> &= \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{n} \cdot \frac{1}{n}\\ &= \frac{1}{n^2} \sum_{k = 1}^{n} k\\ &= \frac{1}{n^2}\left[ \frac{(n+1)n}{2} \right] </pre> \end{align}$$

由于

$$\begin{align} U_{f,P_n} - L_{f,P_n} &= \frac{1}{n} \end{align}$$

则对于任意$\varepsilon>0$，我们得到对于$n>\frac{1}{\varepsilon}$的任何分割$P_n$都满足

$$\begin{align} U_{f,P_n} - L_{f,P_n} &< \epsilon \end{align}$$

得证$f$是达布可积的。要找到这个积分的值需要注意到

$$\begin{align} \int_{0}^{1}f(x) \, dx &= \lim_{n \to \infty} U_{f,P_n} =\lim_{n \to \infty} L_{f,P_n} = \frac{1}{2} \end{align}$$

### 一个不可积函数

如果我们有函数$f:[0,1]\rightarrow R$定义为

$$\begin{align} f(x) &= <pre> \begin{cases} 0, x\in\mathbb{Q} \\ 1, x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q} \end{cases} </pre> \end{align}$$

由于有理数和无理数都是R的稠密子集，因而断定$f$在任何分割的任何子区间只能取0或1。所以对于任意分割$P$我们有

$$\begin{align} L_{f,P} &=\sum_{k = 1}^{n}(x_{k} - x_{k-1})\inf_{x \in [x_{k-1},x_{k}]}f = 0\\ U_{f,P} &=\sum_{k = 1}^{n}(x_{k} - x_{k-1}) \sup_{x \in [x_{k-1},x_{k}]}f = 1 \end{align}$$

从中我们可以看出上下达布和不等。

## 与黎曼积分的关系

<image>

如果分割$P' : y_0,\ldots,y_m$比分割$P : x_0,\ldots,x_n$“精细”，那么有$U_{f, P} \ge U_{f, P'}$ 以及 $L_{f, P} \le L_{f, P'}$。这是因为$P'$实际上是将$P$中的若干个子区间再做分割，而分割后的子区间上$f$的上（下）确界必然比原来区间的上（下）确界小（大）。（见图）

如果$P_1,P_2$是同一个区间的两个分割（不一定要一个比另一个“精细”），那么

$L_{f, P_1} \le U_{f, P_2}$.

所以。

$$L_f \le U_f$$

显然，一个分割的黎曼和一定介于对应的上达布和与下达布和之间。正规的说，如果

$$P = (x_0,\ldots,x_n) \,\!$$

并且

$$T = (t_1,\ldots,t_n) \,\!$$

共同构成区间上的一个取样分割

$$x_0 \le t_1 \le x_1\le \cdots \le x_{n-1} \le t_n \le x_n \,\!$$

(正如黎曼积分的定义中那样)，对应$P$和$T$的黎曼和为$R$，就有

$$L_{f, P} \le R \le U_{f, P}.\,\!$$

由上可以看出，黎曼积分的第二个定义与达布积分的定义等价（见黎曼积分）。如果一个函数$f$在区间$[a,b]$的达布积分存在，那么一个对于足够精细的分割，上达布和与下达布和之间的差将能够无限趋近于0（都趋近于共同的极限），因此比其更为精细的分割，黎曼和将介于上达布和与下达布和之间，于是趋于一个极限。同时，注意到对于一个分割，我们可以适当取样使得取样的函数值趋于上（下）确界（由确界的定义）。这表明如果黎曼和趋于一个定值，则上下达布和之间的差将趋于0，也就是说达布积分存在。