庞加莱半平面模型

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在非欧几里得几何中，庞加莱半平面模型（Poincaré half-plane model）是赋有庞加莱度量的上半平面，这是二维双曲几何的一个模型。

它以昂利·庞加莱命名，但最初是贝尔特拉米（Eugenio Beltrami）发现的，他用这个模型与克莱因模型以及庞加莱圆盘模型（属于黎曼）证明了双曲几何与欧几里得几何的相容性等价（equiconsistent）。圆盘模型与半平面模型在共形映射下是等价的。

## 对称群

射影线性群 PGL(2,C) 由莫比乌斯变换作用在黎曼球面上。保持上半平面不动的子群是 PGL(2,R)，这些变化的系数是实数，它们传递、等距作用在上半平面上，将它变成一个齐性空间。

有四个非常相关的李群通过分式线性变换作用在上半平面上，且保持双曲距离。

- 由行列式为 +1 的 2×2 实矩阵组成的特殊线性群SL(2,R)。注意许多书籍经常说 SL(2,R)，其实际是指 PSL(2,R)。
- 由行列式为 +1 或 -1 组成的 2×2 实矩阵 S*L(2,R)。注意 SL(2,R) 是这个群的一个子群。
- 射影线性群 PSL(2,R) = SL(2,R)/{±I}，由 SL(2,R) 中矩阵模去正负恒同矩阵。
- 群 PS*L(2,R) = S*L(2,R)/{±I} 同样是射影群，同样是模去正负恒同矩阵。

这些群与庞加莱模型的关系如下：

- H 的所有等距的群，通常记做 Isom(H)，同构于 PS*L(2,R)。这包括保持定向和反定向的等距。反定向的映射（镜映射）是 $z\rightarrow -\overline{z}$。
- H 保持定向的等距，通常记做 Isom+(H)，同构于 PSL(2,R)。

等距群的一些重要的子群是富克斯群。其中一个经常见到的是模群 SL(2,Z)。这个群在两个方面很重要。首先，它是正方形 2×2 格点的对称群。从而在一个方形网格中周期函数，比如模形式以及椭圆函数，将从这个网格继承一个 SL(2,Z) 对称。另一方面，SL(2,Z) 当然也是 SL(2,R) 的一个子群，从而嵌入其中有双曲表现。特别地，SL(2,Z) 可用来将双曲平面镶嵌为等（庞加莱）面积的单元。

## 等距对称

特殊线性群 PSL(2,R) 在 H 上的作用定义为

$$\left(\begin{matrix}a&b\\ c&d\\ \end{matrix}\right) \cdot z = \frac{az+b}{cz+d} = {(ac|z|^2+bd+(ad+bc)\Re(z)) + i\Im(z)\over|cz+d|^2}.\,$$

注意到这个作用是传递的，从而任何对 $z_1,z_2\in\mathbb{H}$，存在一个 $g\in {\rm PSL}(2,\mathbb{R})$ 使得 $gz_1=z_2$。这个作用也是忠实的：如果对 z 属于 H 有 $gz=z$，那么 g=e。

H 中一个元素 z 稳定子或迷向子群是所有 $g\in{\rm PSL}(2,\mathbb{R})$ 使 z 不变 gz=z 的集合。$i$ 的稳定子是旋转群

$${\rm SO}(2) = \left\{ \left(\begin{matrix}\cos\theta&\sin\theta\\ -\sin\theta&\cos\theta\\ \end{matrix}\right)\,:\,\theta\in{\mathbf R}\right\}.\,$$

由传递性，H 中任何元素 z 可由 PSL(2,R) 中一个元素映为 $i$，这意味着任何 z 的迷向子群同构于 SO(2)。从而 H = PSL(2,R)/SO(2)。或者，上半平面上的切向量丛，称为单位切丛，同构于 PSL(2,R)。

利用模群 SL(2,Z)，上半平面镶嵌成自由正则集合（free regular set）。

## 测地线

这个度量张量的测地线是垂直于实数轴的圆弧（即圆心位于实轴上的半圆周）以及终于实轴的竖直直线。

经过 $i$ 的单位速度竖直测地线为：

$$\gamma(t) = \left(\begin{matrix}e^{t/2}&0\\ <pre> 0&e^{-t/2}\\ \end{matrix}\right) \cdot i = ie^t.\,$$

因为 PSL(2,R) 作为等距传递作用在上半平面，这条测地线通过 PSL(2,R) 的作用映到其它测地线。从而，一般的单位速度测地线由

$$\gamma(t) = \left(\begin{matrix}a&b\\ c&d\\ \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}e^{t/2}&0\\ <pre> 0&e^{-t/2}\\ \end{matrix}\right) \cdot i = \frac {aie^t +b} {cie^t +d}$$

给出。这给出了上半平面上单位长切丛（复线丛）测地流的完整描述。

## 另见

- 平行角（Angle of parallelism）
- 阿诺索夫流（Anosov flow）
- 富克斯群（Fuchsian group）
- 富克斯模型（Fuchsian model）
- 克莱因群（Kleinian group）
- 克莱因模型
- 庞加莱度量
- 庞加莱圆盘模型（Poincaré disk model）
- 伪球面（Pseudosphere）
- 施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理（Schwarz-Alhfors-Pick theorem）
- 超平行定理（Ultraparallel theorem）

## 参考文献

- Eugenio Beltrami, Theoria fondamentale delgi spazil di curvatura constanta, Annali. di Mat., ser II 2 (1868), 232-255
- Henri Poincaré (1882) "Théorie des Groupes Fuchsiens", Acta Mathematica v.1,p.1.First article in a legendary series exploiting half-plane model.On page 52 one can see an example of the semicircle diagrams so characteristic of the model.
- Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
- Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See Section 2.3).
- Saul Stahl, The Poincaré Half-Plane, Jones and Bartlett, 1993, ISBN 0-86720-298-X.
- John Stillwell (1998) Numbers and Geometry,pp.100-104, Springer-Verlag,NY ISBN 0-387-98289-2 .An elementary introduction to the Poincaré half-plane model of the hyperbolic plane.