解析函数

在数学中，解析函数（Analytic function）是局部上由收敛幂级数给出的函数。解析函数可分成实解析函数与复解析函数，两者有类似之处，同时也有重要的差异。两种类型的解析函数都是无穷可导的，但复解析函数表现出一些一般实解析函数不成立的性质。此外在超度量域上也可以定义解析函数，这套想法在当代数论与算术代数几何中有重要应用。一个函数是解析函数当且仅当这个函数在它定义域内的每个点的邻域内的泰勒级数都收敛。

解析函数集有时也写作 $C^\omega$。

## 定义

形式地说，设开集$D \subseteq \mathbb{R}$，且函数 $f: D \rightarrow \mathbb{R}$，若对任何 $x_0 \in D$ 都存在 $x_0$ 在 $D$ 中的开邻域，使得 $f$ 在其内可表为下述收敛幂级数,则此（实）函数称为$D$上的（实）解析函数：

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-x_0 \right)^n = a_0 + a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2 + a_3 (x-x_0)^3 + \cdots$$

其中系数 $a_i$ 皆为实数。

或者等价地，实解析函数也可以定义为在定义域 $D$ 内每一点$x_0$的泰勒级数皆逐点收敛的光滑函数 $f$，即：

$$T(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}$$

在$x_0$的某个邻域收敛到 $f(x)$。

集合$D$上的解析函数全体组成的集合通常记做$\mathcal{C}^\omega(D)$。

若函数$f(x)$在点$x_0$的某个邻域上解析，则称$f(x)$在点$x_0$处解析。

复解析函数的定义类此，仅须将上式的中的实数线换作复平面，并将实数换作复数即可。一个函数是复解析的，当且仅当这个函数是全纯的（即复可微的）。出于这个原因，术语“全纯”和“解析”经常可以互换。

## 例子

典型的解析函数有：

- 多项式函数是解析的。对于次数为n的多项式，其泰勒级数中大于n阶的项必为零，自然也是收敛的。
- 指数函数是解析的。这个函数的泰勒级数在整个复平面上收敛。
- 三角函数、对数函数、幂函数在相应的定义域上都是解析的。
- 多数特殊函数（至少在复平面上的某些区域）
- 超几何函数
- 贝塞尔函数
- 伽马函数

典型的非解析函数有：

- 绝对值函数非解析函数，因为它在点0处不可微。分段定义的函数在分段处通常不是解析的。
- 复共轭函数$z\mapsto z^*$非复解析函数，尽管它在实数线上的限制（即恒等函数）是实解析函数。但如果把它看作从$\mathbb{R}^2$到$\mathbb{R}^2$的映射，则是实解析的。

## 等价描述

以下条件等价：

- $f$是$D\subseteq \mathbb{R}$上的实解析函数。
- $f$可以复解析延拓到复平面的开集$G$上，$G\supseteq D$。
- $f$是光滑的，且对任意紧集$K\subset D$，存在常数$C$使得对任意的$x\in K$、非负整数$k$，不等式$\left|\frac{d^kf}{dx^k}\right|\le C^{k+1}k!$成立。

复解析函数与全纯函数等价，因此也更容易鉴别。

## 基本性质

- 解析函数的和、积与复合仍是解析函数（惟合成时须留意定义域的问题）。
- 若解析函数在一个开集上非零，则它在该开集上的倒数仍为解析函数。若一个可逆解析函数的导函数处处不为0，则其反函数也是解析函数。
- 凡解析函数皆属光滑函数，即无穷可微。逆命题对实解析函数不成立。实际上，在某种意义上，实解析函数相比于实光滑函数是很稀少的。对复函数，逆命题确实成立，实际上任何一次可微的复函数都是解析的。
- 对任何开集$\Omega\subseteq \mathbb{C}$，所有解析函数组成的集合$\mathcal{A}(\Omega)$是弗雷歇空间（关于紧集上的一致收敛）。由莫雷拉定理易得解析函数在紧集上的一致极限仍是解析函数。全部的有界解析函数$\mathcal{A}_\infty(\Omega)$关于上确界范数构成巴拿赫空间。

事实上，假设所论解析函数皆可在原点附近一开集 $B(0, r) := \{ x : |x| < r \}$ 上表示为幂级数，则上述运算可以形式地操作：

$$\sum_{i \geq 0} a_i x^i + \sum_{i \geq 0} b_i x^i = \sum_{i \geq 0} (a_i+b_i) x^i$$

$$\sum_{i \geq 0} a_i x^i \cdot \sum_j b_j x^j = \sum_{k \geq 0} (\sum_{i+j=k} a_i b_j) x^k$$

$$f(x) = \sum_{i \geq 0} a_i x^i, g(x) = \sum_{i > 0} b_i x^i$$

$\Rightarrow (f \circ g)(x) = \sum_{i \geq 0} (\sum_{j>0} b_j x^j)^i$（定义域可能会缩小）

$$f(x) = 1 - \sum_{i>0} a_i x^i \Rightarrow \dfrac{1}{f(x)} = \sum_{j \geq 0} (\sum_{i>0} a_i x^i)^j$$

其中每个运算结果的系数都可以写成有限的代数式。

一个非零多项式的零点数不大于它的次数，解析函数的零点也有类似的限制：若一解析函数的零点集在定义域内有极限点，则函数在包含该点的连通分支上恒为零。此外，若解析函数在一点的各阶导数皆为零，则该函数在含该点的连通分支上为常数函数。

这些性质表明：尽管解析函数比多项式有更多的自由度，它仍是一个具有相当“刚性”的数学物件。

## 解析与可微

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如上所述，实或复解析函数均在实变数的意义上无穷可微（记作光滑函数，或 $C^\infty$）。但是存在光滑却非解析的函数，典型的例子是

$$f(x) := \begin{cases}e^{-\frac{1}{x}} & x > 0, \\ 0 & x \leq 0 \end{cases}$$

可证明它是光滑的，且在原点的任意开邻域内都有无穷多个零点，故非解析。

复解析函数则不同：凡复解析函数必为全纯函数（即复可导，以实变数表示则是满足柯西-黎曼方程），反之亦然，因此全纯函数与解析函数在复分析中是同一类对象。

## 实解析函数与复解析函数

实解析与复解析函数有些重要差异，一般而言复解析函数更具刚性。

依据刘维尔定理，定义在整个复平面上的有界解析函数必为常数。此结论对实解析函数不成立，例如：

$$f(x)=\frac{1}{x^2+1}.$$

此外，若一个复解析函数在一个以 $x_0$ 为中心的开圆盘内有定义，则在 $x_0$ 的幂级数展开式在该开圆盘内收敛。对实解析函数则不然。上面举的例子在$x_0=0$处的泰勒展开式为$\sum_{n=0}^\infty{(-1)^nx^{2n}}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots$，在$|x|>1$时发散。

给定实数线上一个区间 $I$ 上的实解析函数 $f$，则 $f$ 能延拓为复平面上一开集 $U \supset I$ 上的复解析函数。然而定义在整个 $\mathbb{R}$ 上的实解析函数不一定能延拓到整个 $\mathbb{C}$，如前例之 $f$，在点$\pm i$处无定义。这解释了为何$f$的泰勒级数在$|x|>1$时发散，收敛半径为1。

## 超度量域上的解析函数

幂级数可以定义在任意域上，取带有绝对值的域则能探讨收敛性。实解析函数与复解析函数分别对应到 $\mathbb{R}$ 与 $\mathbb{C}$；在数论上也考虑超度量域，如 p进数域 $\mathbb{Q}_p$ 或 $\mathbb{C}_p := \widehat{\bar{\mathbb{Q}}_p}$。

由于超度量域满足强三角不等式 $|x+y| \leq \mathrm{max}(|x|,|y|)$，遂具备许多独特性质，例如 $\sum_i a_i$ 收敛当且仅当$\lim_{i \to \infty} a_i = 0$。虽然超度量分析缺乏实数或复数上的直观，技术上却往往简单得多。

## 多元解析函数

利用多元幂级数，可将解析函数的定义直接推广到多变元的情形。它们是局部上形如

$$s(x) := \sum_I a_I (x-a)^I$$

函数，其中 $x, a$ 皆为向量，而 $I$ 代表多重指标。

多元解析函数有一些性质和一元解析函数相同。但是，二维以上的解析函数还有一些有趣的新性质，复解析函数的情形尤其特出。例如：

- 根据Hartogs扩张定理，二元以上的复解析函数的零点集不会是离散的。