马克士威应力张量

本条目中，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。

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在电磁学里，马克士威应力张量(Maxwell stress tensor)是描述电磁场带有之应力的二阶张量。马克士威应力张量可以表现出电场力、磁场力和机械动量之间的相互作用。对于简单的状况，例如一个点电荷自由地移动于均匀磁场，应用劳仑兹力定律，就可以很容易地计算出点电荷所感受的作用力。但是，当遇到稍微复杂一点的状况时，这很普通的程序会变得非常困难，方程式洋洋洒洒地一行又一行的延续。因此，物理学家通常会聚集很多项目于马克士威应力张量内，然后使用张量数学来解析问题。

## 导引

为了方便参考，先列出马克士威方程组：

名称｜微分形式

高斯定律｜$\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}$

高斯磁定律｜$\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{B} = 0$

法拉第感应定律｜$\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$

马克士威-安培定律｜$\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ $

其中，$\mathbf{E}$ 是电场，$\mathbf{B}$ 是磁场，$\rho$ 是电荷密度，$\mathbf{J}$是电流密度，$\varepsilon_0$ 是电常数，$\mu_0$ 是磁常数。

从劳仑兹力定律开始，一个电荷分布所感受到的单位体积的作用力 $\mathbf{f}$ 是

$\mathbf{f} = \rho\mathbf{E} + \mathbf{J}\times\mathbf{B}$。

应用高斯定律和马克士威-安培定律，把电荷密度和电流密度替换掉，只让电场和磁场出现于方程式：

$\mathbf{f} = \epsilon_0 \left(\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} \right)\mathbf{E} + \frac{1}{\mu_0} \left(\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B} \right) \times \mathbf{B} - \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \times \mathbf{B}$。

应用乘积法则和法拉第感应定律：

$\frac{\partial}{\partial t} (\mathbf{E}\times\mathbf{B}) = \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\times \mathbf{B} + \mathbf{E} \times \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} = \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\times \mathbf{B} - \mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E})$。

稍加编排，将 $\mathbf{f}$ 写为

$\begin{align}\mathbf{f} & = \epsilon_0 \left(\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} \right)\mathbf{E} + \frac{1}{\mu_0} \left(\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B} \right) \times \mathbf{B} - \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}\left( \mathbf{E}\times \mathbf{B}\right) - \epsilon_0 \mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E}) \\ <pre> & = \epsilon_0\left[ (\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} )\mathbf{E} - \mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E}) \right] + \frac{1}{\mu_0} \left[ - \mathbf{B}\times\left(\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B} \right) \right] - \epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\left( \mathbf{E}\times \mathbf{B}\right) \\ </pre> \end{align}$。

为了使 $\mathbf{E}$ 的项目 $\mathbf{B}$ 的项目能够相互对称，加入一个 $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ 项目：

$\mathbf{f}= \epsilon_0\left[ (\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} )\mathbf{E} - \mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E}) \right] + \frac{1}{\mu_0} \left[(\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{B})\mathbf{B} - \mathbf{B}\times\left(\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B} \right) \right] <pre> - \epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\left( \mathbf{E}\times \mathbf{B}\right)$。

应用向量恒等式，对于任意向量 $\mathbf{A}$

$\mathbf{A} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A})=\tfrac{1}{2} \boldsymbol{\nabla} A^2 - (\mathbf{A} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{A}$。

将 $\mathbf{f}$ 的方程式内的旋度项目除去：

$\mathbf{f} = \epsilon_0\left[ (\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} )\mathbf{E} + (\mathbf{E}\cdot\boldsymbol{\nabla}) \mathbf{E} \right] + \frac{1}{\mu_0} \left[(\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{B} )\mathbf{B} + (\mathbf{B}\cdot\boldsymbol{\nabla}) \mathbf{B} \right] - \frac{1}{2} \boldsymbol{\nabla}\left(\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0} B^2 \right) <pre> - \epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\left( \mathbf{E}\times \mathbf{B}\right)$。

这方程式最右边项目涉及了坡印廷向量 $\mathbf{S}$：

$\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{E}\times\mathbf{B}$。

设定马克士威应力张量 $\stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}}$ （以英文字母上面加两只箭矢符号来标记二阶张量）：

$T_{ij} \equiv \epsilon_0 \left(E_i E_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} E^2\right) + \frac{1}{\mu_0} \left(B_i B_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} B^2\right)$。

其中，$\delta_{ij}$ 是克罗内克函数。

定义一个向量 $\mathbf{A}$ 与马克士威应力张量 $\stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}}$ 的内积为

$(\mathbf{A}\cdot \stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}})_j=\textstyle{\sum_i}\ A_i T_{ij}$。

那么，一个电荷分布所感受到的单位体积的作用力 $\mathbf{f}$ 是

$\mathbf{f} = \nabla \cdot \stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}} - \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{S}}{\partial t}$。

## 马克士威应力张量的性质

马克士威应力张量是一个对称张量，表达为

$T_{ij} = \left( \begin{matrix} \epsilon_0(E_x^2 - E^2 /2)+\cfrac{1}{\mu_0}(B_x^2 - B^2 /2) & \epsilon_0 E_x E_y +\cfrac{1}{\mu_0}(B_x B_y) & \epsilon_0 E_x E_z+\cfrac{1}{\mu_0}(B_x B_z) \\ \epsilon_0 E_x E_y+\cfrac{1}{\mu_0}(B_x B_y) & \epsilon_0(E_y^2 - E^2 /2)+\cfrac{1}{\mu_0}(B_y^2 - B^2 /2) & \epsilon_0 E_y E_z +\cfrac{1}{\mu_0}(B_y B_z) \\ \epsilon_0 E_x E_z+\cfrac{1}{\mu_0}(B_x B_z) & \epsilon_0 E_y E_z+\cfrac{1}{\mu_0}(B_y B_z) & \epsilon_0(E_z^2 - E^2 /2)+\cfrac{1}{\mu_0}(B_z^2 - B^2 /2) \end{matrix} \right)$。

马克士威应力张量的单位是牛顿／米2。马克士威应力张量的 ij 元素诠释为，朝着 i-轴方向，施加于 j-轴的垂直平面，单位面积的作用力；对角元素代表负压力，非对角元素代表剪应力。对角元素给出张力（拖拉力）作用于其对应轴的垂直面微分元素。不同于理想气体因为压力而施加的作用力，在电磁场内的一个面元素也会感受到方向不垂直于其面的剪应力。这是由非对角元素给出的。

## 动量守恒定律

在一个体积 $\mathcal{V}$ 内的电荷，所感受到的总作用力 $\mathbf{F}$ 是

$\mathbf{F}=\int_{\mathcal{V}}\ \mathbf{f}\mathrm{d}\tau=\int_{\mathcal{V}}\ \nabla \cdot \stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}}\mathrm{d}\tau - \epsilon_0 \mu_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{\mathcal{V}}\ \mathbf{S}\mathrm{d}\tau$。

应用散度定理，可以得到

$\mathbf{F}=\oint_{\mathcal{S}}\ \stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}}\cdot\mathrm{d}\mathbf{a} - \epsilon_0 \mu_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{\mathcal{V}}\ \mathbf{S}\mathrm{d}\tau$。

其中，$\mathcal{S}$ 是体积 $\mathcal{V}$ 的闭合表面。

根据牛顿第二定律。

$\mathbf{F}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}$。

其中，$\mathbf{p}$ 是动量。

所以，电荷的动量 $\mathbf{p}_{charge}$ 可以表达为

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_{charge}}{\mathrm{d}t}=\oint_{\mathcal{S}}\ \stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}}\cdot\mathrm{d}\mathbf{a} - \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_{em}}{\mathrm{d}t}$。

其中，$\mathbf{p}_{em}=\epsilon_0 \mu_0\oint_{\mathcal{V}}\ \mathbf{S}\mathrm{d}\tau$ 是储存于电磁场的动量（坡印廷向量 $\mathbf{S}$ 是由电场和磁场组成的一个复合向量）。

稍加编排，可以得到动量守恒定律的积分方程式：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{p}_{charge}+\mathbf{p}_{em})=\oint_{\mathcal{S}}\ \stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}}\cdot\mathrm{d}\mathbf{a}$。

动量守恒定律阐明，一个体积的总动量（电荷的动量加上电磁场的动量）的增加速率等于每秒钟流入闭合表面的动量。负的马克士威应力张量 $-$ $\stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}}$ 是一个动量通量密度。

动量守恒定律也能以微分形式表达为

$\frac{\partial}{\partial t}(\mathfrak{p}_{charge} +\mathfrak{p}_{em})=\nabla\cdot\stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}}$。

其中，$\mathfrak{p}_{charge}$ 是电荷的动量密度，$\mathfrak{p}_{em}$ 是电磁场的动量密度。