转动惯量

$$I = \frac{L}{\omega}$$

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在经典力学中，转动惯量又称惯性矩（Moment of inertia），通常以$I$表示，国际单位制为$\mathrm{kg\cdot m^2}$。转动惯量是一个物体对于其旋转运动的惯性大小的量度。一个刚体对于某转轴的转动惯量决定对于这物体绕着这转轴进行某种角加速度运动所需要施加的力矩。

转动惯量在转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，描述角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。

## 定义

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对于一个质点，$I=mr^2$，其中$m$是其质量，$r$是质点和转轴的垂直距离。

对于一个有多个质点的系统，$I = \sum_{i=1}^N {m_i r_i^2}$。

对于刚体，可以用无限个质点的转动惯量和，即用积分计算其转动惯量，$I = \int {\rho r^2}dV$，其中$\rho$是密度，$dV$是微量体积。

## 相关概念

### 定轴转动动力学方程

在直线运动，$F=ma$。在旋转运动，则有${\tau} = I{\alpha}$，其中${\tau}$是力矩，${\alpha}$是角加速度。

### 定轴转动动能

一般物件的动能是$K=\frac{1}{2} mv^2$。将速度$v$和质量$m$，用转动力学的定义取代：

$v = \omega r$。

$$m = \frac{I}{r^2}$$

得出

$K = \frac{1}{2} \left(\frac{I}{r^2}\right)(\omega r)^2$。

简化得

$K = \frac{1}{2} I \omega^2$。

如果一个人坐在一张可转动的椅子，双手拿重物，张开双手，转动椅子，然后突然将手缩到胸前，转动的速度将突然增加，因为转动惯量减少了。

## 常用定理

### 平行轴定理

平行轴定理是说，如果一个质量为$m$的物件，以某条经过质心$A$点的直线为轴，其转动惯量为$I_A$。在空间取点$B$，使得$AB$垂直于原本的轴。那么如果以经过$B$、平行于原本的轴的直线为轴，$AB$的距离为$d$，则$I_B = I_A + md^2$。

### 垂直轴定理

垂直轴定理是说，如果一个平面物件，以该平面内两条互相垂直、交于$A$点的直线为轴，转动惯量分别为$I_1$、$I_2$，则它以过$A$点且垂直于该平面的直线为轴的转动惯量$I_3 = I_1 + I_2$。

### 伸展定则

伸展定则是说，如果一个物件中的任一质点沿平行于某条轴的方向发生任意位移，该物件对该轴的转动惯量不变。

## 惯性张量

对于三维空间中任意一参考点$Q$与以此参考点为原点的直角坐标系$Qxyz$，一个刚体的惯性张量$\mathbf{I}\,\!$是

$\mathbf{I} = \begin{bmatrix} I_{xx} &I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz}\end{bmatrix}\,\!$。（1）

这里，矩阵的对角元素$I_{xx}\,\!$、$I_{yy}\,\!$、$I_{zz}\,\!$分别为对于$x$-轴、$y$-轴、$z$-轴的转动惯量。设定$(x,\ y,\ z)\,\!$为微小质量$dm\,\!$对于点$Q$的相对位置。则这些转动惯量以方程式定义为

$I_{xx}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int\ (y^2+z^2)\ dm\,\!$。

$I_{yy}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int\ (x^2+z^2)\ dm\,\!$，（2）

$I_{zz}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int\ (x^2+y^2)\ dm\,\!$。

矩阵的非对角元素，称为惯量积，以方程式定义为

$I_{xy}=I_{yx}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - \int\ xy\ dm\,\!$。

$I_{xz}=I_{zx}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - \int\ xz\ dm\,\!$，（3）

$I_{yz}=I_{zy}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - \int\ yz\ dm\,\!$。

### 导引

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如图$A$，一个刚体对于质心$G$与以点$G$为原点的直角座标系$Gxyz$的角动量$\mathbf{L}_G\,\!$定义为

$\mathbf{L}_G=\int\ \mathbf{r}\times\mathbf{v}\ dm\,\!$。

这里，$\mathbf{r}\,\!$代表微小质量$dm\,\!$在$Gxyz$座标系的位置，$\mathbf{v}\,\!$代表微小质量的速度。因为速度是角速度$\boldsymbol{\omega}\,\!$叉积位置，所以。

$\mathbf{L}_G=\int\ \mathbf{r}\times(\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r})\ dm\,\!$。

计算$x$-轴分量。

$$\begin{align} L_{Gx} &= \int\ y(\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r})_z - z(\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r})_y\ dm\\ <pre> &=\int\ y\omega_x y - y\omega_y x+z\omega_x z - z\omega_z x\ dm\\ &=\int\ \omega_x(y^2+z^2) - \omega_y xy - \omega_z xz\ dm\\ &=\omega_x\int\ (y^2+z^2)\ dm - \omega_y\int\ xy\ dm - \omega_z \int\ xz\ dm\ . </pre> \end{align}\,\!$$

相似地计算$y$-轴与$z$-轴分量，角动量为

$L_{Gx}=\omega_x\int\ (y^2+z^2)\ dm - \omega_y\int\ xy\ dm - \omega_z\int\ xz\ dm \,\!$。

$L_{Gy}= - \omega_x\int\ xy\ dm+\omega_y\int\ (x^2+z^2)\ dm - \omega_z \int\ yz\ dm \,\!$。

$L_{Gz}= - \omega_x\int\ xz\ dm - \omega_y\int\ yz\ dm+\omega_z\int\ (x^2+y^2)\ dm\,\!$。

如果，我们用方程式（1）设定对于质心$G$的惯性张量$\mathbf{I}_G\,\!$，让角速度$\boldsymbol{\omega}\,\!$为$(\omega_x\;,\;\omega_y\;,\;\omega_z)\,\!$，那么。

$\mathbf{L}_G=\mathbf{I}_G\ \boldsymbol{\omega}\,\!$。（4）

### 平行轴定理

平行轴定理能够很简易的，从对于一个以质心为原点的座标系统的惯性张量，转换至另外一个平行的座标系统。假若已知刚体对于质心$G$的惯性张量$\mathbf{I}_G\,\!$，而质心$G$的位置是$(\bar{x},\ \bar{y},\ \bar{z})\,\!$，则刚体对于原点$O$的惯性张量$\mathbf{I}\,\!$，依照平行轴定理，可以表述为

$I_{xx}=I_{G,xx}+m(\bar{y}^2+\bar{z}^2)\,\!$。

$I_{yy}=I_{G,yy}+m(\bar{x}^2+\bar{z}^2)\,\!$，（5）

$I_{zz}=I_{G,zz}+m(\bar{x}^2+\bar{y}^2)\,\!$。

$I_{xy}=I_{yx}=I_{G,xy} - m\bar{x}\bar{y}\,\!$。

$I_{xz}=I_{zx}=I_{G,xz} - m\bar{x}\bar{z}\,\!$，（6）

$I_{yz}=I_{zy}=I_{G,yz} - m\bar{y}\bar{z}\,\!$。

证明：

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a)参考图B，让$(x\,',\ y\,',\ z\,')\,\!$、$(x,\ y,\ z)\,\!$分别为微小质量$dm\,\!$对质心$G$与原点$O$的相对位置：

$y=y\,'+\bar{y}\,\!$，$z=z\,'+\bar{z}\,\!$。

依照方程式（2）。

$$I_{G,xx}=\int\ (y\,'\,^2+z\,'\,^2)\ dm\,\!$$

$I_{xx}=\int\ (y^2+z^2)\ dm\,\!$。

所以。

$$\begin{align} I_{xx}&=\int\ [(y\,'+\bar{y})^2+(z\,'+\bar{z})^2]\ dm\\ &=I_{G,xx}+m(\bar{y}^2+\bar{z}^2)\ . \\ \end{align}\,\!$$

相似地，可以求得$I_{yy}\,\!$、$I_{zz}\,\!$的方程式。

b)依照方程式（3）。

$I_{G,xy}= - \int\ x\,'y\,'\ dm\,\!$。

$I_{xy}= - \int\ xy\ dm\,\!$。

因为$x=x\,'+\bar{x}\,\!$，$y=y\,'+\bar{y}\,\!$，所以

$$\begin{align} I_{xy}&= - \int\ (x\,'+\bar{x})(y\,'+\bar{y})\ dm \\ &=I_{G,xy} - m\bar{x}\bar{y}\ . \\ \end{align}\,\!$$

相似地，可以求得对于点$O$的其他惯量积方程式。

### 对于任意轴的转动惯量

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参视图C，设定点$O$为直角座标系的原点，点$Q$为三维空间里任意一点，$Q$不等于$O$。思考一个刚体，对于$OQ$-轴的转动惯量是

$I_{OQ}\ =\int\ \rho^2 \ dm\ =\ \int \ \left| \boldsymbol{\eta}\times\mathbf{r}\right|^2 \ dm\,\!$。

这里，$\rho\,\!$是微小质量$dm\,\!$离$OQ$-轴的垂直距离，$\boldsymbol{\eta}\,\!$是沿着$OQ$-轴的单位向量，$\mathbf{r}=(x,\ y,\ z)\,\!$是微小质量$dm\,\!$的位置。

展开叉积。

$I_{OQ}=\int\ [(\eta_yz - \eta_zy)^2+(\eta_xz - \eta_zx)^2+(\eta_xy - \eta_yx)^2]\ dm\,\!$。

稍微加以编排。

$$\begin{align} <pre> I_{OQ}= & \eta_x^2\int\ (y^2+z^2)\ dm+\eta_y^2\int\ (x^2+z^2)\ dm+\eta_z^2\int\ (x^2+y^2)\ dm \\ & - 2\eta_x\eta_y\int\ xy\ dm - 2\eta_x\eta_z\int\ xz\ dm - 2\eta_y\eta_z\int\ yz\ dm\ .\\ </pre> \end{align}\,\!$$

特别注意，从方程式（2）、（3），这些积分项目，分别是刚体对于$x$-轴、$y$-轴、$z$-轴的转动惯量与惯量积。因此。

$I_{OQ}=\eta_x^2I_{xx}+\eta_y^2I_{yy}+\eta_z^2I_{zz}+2\eta_x\eta_yI_{xy}+2\eta_x\eta_zI_{xz}+2\eta_y\eta_zI_{yz}\,\!$。（7）

如果已经知道，刚体对于直角座标系的三个座标轴，$x$-轴、$y$-轴、$z$-轴的转动惯量。那么，对于$OQ$-轴的转动惯量，可以用此方程式求得。

### 主转动惯量

因为惯性张量$\mathbf{I}\,\!$是个实值的三阶对称矩阵，我们可以用对角线化，将惯量积变为零，使惯性张量成为一个对角矩阵。我们可以证明得到的三个特征值必为正实数，而且三个特征向量必定互相正交。

换另外一种方法，我们需要解析特征方程式

$\mathbf{I}\ \boldsymbol{\omega}=\lambda\;\boldsymbol{\omega}\,\!$。（8）

也就是以下行列式等于零的三次方程式：

$\det{(\mathbf{I}-\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right]\lambda)} = \begin{vmatrix} I_{xx} - \lambda & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} - \lambda & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} - \lambda \end{vmatrix}\,\!=0$。

这方程式的三个根$\lambda_1\,\!$、$\lambda_2\,\!$、$\lambda_3\,\!$都是正实的特征值。将特征值代入方程式（8），再加上方向余弦方程式。

$\omega_x^2+\omega_y^2+\omega_z^2=1\,\!$。

我们可以求到特征向量$\hat{\boldsymbol{\omega}}_1\,\!$、$\hat{\boldsymbol{\omega}}_2\,\!$、$\hat{\boldsymbol{\omega}}_3\,\!$。这些特征向量都是刚体的惯量主轴；而这些特征值则分别是刚体对于惯量主轴的主转动惯量。

假设$x$-轴、$y$-轴、$z$-轴分别为一个刚体的惯量主轴，这刚体的主转动惯量分别为$I_{x}\,\!$、$I_{y}\,\!$、$I_{z}\,\!$，角速度是$\boldsymbol{\omega}\,\!$。那么，角动量为

$\mathbf{L}=(I_x\omega_x\;,\;I_y\omega_y\;,\;I_z\omega_z)\,\!$。

### 动能

刚体的动能$K\,\!$可以定义为

$K=\frac{1}{2}m\bar{v}^2+\frac{1}{2}\int\ v^2\ dm\,\!$。

这里，$\bar{v}\,\!$是刚体质心的速度，$v\,\!$是微小质量$dm\,\!$相对于质心的速度。在方程式里，等号右边第一个项目是刚体平移运动的动能，第二个项目是刚体旋转运动的动能$K\,\!'\,\!$。由于这旋转运动是绕着质心转动的。

$K\,\!'=\frac{1}{2}\int\ (\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})\cdot(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})\ dm\,\!$。

这里，$\boldsymbol{\omega}\,\!$是微小质量$dm\,\!$绕着质心的角速度，$\mathbf{r}\,\!$是$dm\,\!$对于质心的相对位置。

应用向量恒等式，可以得到

$K\,\!'=\frac{1}{2}\boldsymbol{\omega}\cdot \int\ \mathbf{r}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})\ dm =\frac{1}{2} \boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{L}\,\!$。

或者，用矩阵来表达。

$K\,\!'=\frac{1}{2}\boldsymbol{\omega}^\operatorname{T}\ \mathbf{I}\ \boldsymbol{\omega}\,\!$。

所以，刚体的动能为

$K=\frac{1}{2}m\bar{v}^2+\frac{1}{2}(I_{xx}{\omega_x}^2+I_{yy}{\omega_y}^2+I_{zz}{\omega_z}^2+2I_{xy}\omega_x\omega_y+2I_{xz}\omega_x\omega_z+ 2I_{yz}\omega_y\omega_z)\,\!$。（9）

假设$x$-轴、$y$-轴、$z$-轴分别为一个刚体的惯量主轴，这刚体的主转动惯量分别为$I_{x}\,\!$、$I_{y}\,\!$、$I_{z}\,\!$，角速度是$\boldsymbol{\omega}\,\!$。那么，刚体的动能为

$K=\frac{1}{2}m\bar{v}^2+\frac{1}{2}(I_{x}{\omega_x}^2+I_{y}{\omega_y}^2+I_{z}{\omega_z}^2)\,\!$。（10）

## 计算范例

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利用线密度可轻易计算出细长棒子沿质心（CM）自转的转动惯量。

$$I_\text{CM} = \int r^2 dm = \lambda \int_{-\ell/2}^{\ell/2} x^2 dx = \frac{m}{\ell}\ \left(\frac{1}{3} x^3 \right)\bigg|_{-\ell/2}^{\ell/2} = \frac{1}{12}\, m\ell^2$$

当自转轴移到末端，转动惯量变成：

$$I_\text{end} = \int r^2 dm = \lambda \int_{0}^{\ell} x^2 dx = \frac{m}{\ell}\ \left(\frac{1}{3} x^3 \right)\bigg|_{0}^{\ell} = \frac{1}{3}\, m\ell^2$$

$$I_\text{end} = I_\text{CM} + M D^2 = \frac{1}{12}\, m\ell^2 + m\left(\frac{\ell}{2}\right)^2 = \frac{1}{3}\, m\ell^2$$

## 参考文献

- Beer, Ferdinand; E. Russell Johnston, Jr., William E. Clausen (2004). Vector Mechanics for Engineers. 7th edition. USA: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-230492-3

## 外部链接

- 转动Java模拟
- 平衡垂直棒子Java模拟
- 教育部进修网站，惯性矩

## 基本资料

- 国际单位：kg·m2
- otherunits：lbf·ft·s2
- 货币符号：I
- 单位因次：M L2
- 从其他物理量的推衍：$I = \frac{L}{\omega}$