方根

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在数学中，一数$b$为数$a$的$n$次方根，则$b^n=a$。在提及实数$a$的$n$次方根的时候，若指的是此数的主$n$次方根，则可以用根号（$\sqrt{\color{white} t}$）表示成$\sqrt[n]{a}$。例如：1024的主10次方根为2，就可以记作$\sqrt[10]{1024}=2$。当$n=2$时，则$n$可以省略。定义实数$a$的主$n$次方根为$a$的$n$次方根，且具有与$a$相同的正负号的唯一实数$b$。在$n$是偶数时，负数没有主$n$次方根。习惯上，将2次方根叫做平方根，将3次方根叫做立方根。

方根也是幂的分数指数，即数$b$为数$a$的$\frac{1}{n}$次方：

$$b=\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$$

## 符号史

最早的根号“√”源于字母“r”的变形（出自拉丁语latus的首字母，表示“边长”），没有线括号（即被开方数上的横线），后来数学家笛卡尔给其加上线括号，但与前面的方根符号是分开的，因此在复杂的式子显得很乱。直至18世纪中叶，数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（当根指数为2时，省略不写。）。形成了现在所熟悉的开方运算符号$\sqrt{\color{white} x}$。

考虑在计算机中的输入问题，有时也可以使用sqrt(a,b)来表示a的b次方根。

## 基本运算

带有根号的运算可由如下公式推导而得:

$$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \qquad a \ge 0, b \ge 0$$

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \qquad a \ge 0, b > 0$$

$$\sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m = a^{\frac{m}{n}},$$

这里的a和b是正数。

对于所有的非零复数$a$，有$n$个不同的复数$b$使得$b^n=a$，所以符号$\sqrt[n]{a}$就会出现歧义（通常这样写是取$n$个值当中主幅角最小的）。$n$次单位根是特别重要的。

当一个数从根号形式变换到幂形式，幂的规则仍适用（即使对分数幂），也就是

$$a^m a^n = a^{m+n}$$

$$\left({\frac{a}{b}}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}$$

$$\left(a^m\right)^n = a^{mn}$$

例如:

$$\sqrt[3]{a^5}\sqrt[5]{a^4} = a^{\frac{5}{3}} a^{\frac{4}{5}} = a^{\frac{5}{3} + \frac{4}{5}} = a^{\frac{37}{15}}$$

若要做加法或减法，需考虑下列的概念。

$$\sqrt[3]{a^5} = \sqrt[3]{aaaaa} = \sqrt[3]{a^3a^2} = a\sqrt[3]{a^2}$$

若已可以简化根式表示式，则加法和减法就只是群的“同类项”问题。

例如

$$\sqrt[3]{a^5}+\sqrt[3]{a^8}$$

$$=\sqrt[3]{a^3a^2}+\sqrt[3]{a^6 a^2}$$

$$=a\sqrt[3]{a^2}+a^2\sqrt[3]{a^2}$$

$$=({a+a^2})\sqrt[3]{a^2}$$

## 不尽根数

未经化简的根数，一般叫做“不尽根数”（surd），可以处理为更简单的形式。

如下恒等式是处理不尽根数的基本技巧:

- $$\sqrt{a^2 b} = abs(a) \sqrt{b}$$
- $$\sqrt[n]{a^m b} = a^{\frac{m}{n}}\sqrt[n]{b}$$
- $$\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$$
- $$\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{-1} = \frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}- \sqrt{b}} {a - b}$$

## 无穷级数

方根可以表示为无穷级数:

$$\begin{align} &(1+x)^\frac{s}{t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\displaystyle\prod_{k=0}^n (s+t-kt)}{(s+t)n!t^n}x^n\\ &(|x|<1) \end{align}$$

## 找到所有的方根

任何数的所有的根，实数或复数的，可以通过简单的算法找到。这个数应当首先被写为如下形式$ae^{i\varphi}$(参见欧拉公式)。接着所有的n次方根给出为:

$$e^{(\frac{\varphi+2k\pi}{n})i} \times \sqrt[n]{a}$$

对于$k=0,1,2,\ldots,n-1$，这里的$\sqrt[n]{a}$表示$a$的主$n$次方根。

### 正实数

所有$x^n=a$或$a$的$n$次方根，这里的$a$是正实数，的复数解由如下简单等式给出:

$$e^{2\pi i \frac{k}{n}} \times \sqrt[n]{a}$$

对于$k=0,1,2,\ldots,n-1$，这里的$\sqrt[n]{a}$表示$a$的主$n$次方根。

## 解多项式

曾经有数学猜想，认为多项式的所有根可以用根号和四则运算来表达；但是阿贝尔-鲁菲尼定理断言了这不是普遍为真的。例如，方程

$$\ x^5=x+1$$

解不能用根号表达。

要解任何n次方程，参见求根算法。

## 算法

对于正数$A$，可以通过以下算法求得$\sqrt[n]{A}$的值：

- 猜一个$\sqrt[n]{A}$的近似值，将其作为初始值$x_0$
- 设 $x_{k+1} = \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]$。记误差为$\Delta x_k = \frac{1}{n} \left[{\frac{A}{x_k^{n-1}}} - x_k\right]$，即$x_{k+1} = x_{k} + \Delta x_k$。
- 重复步骤2，直至绝对误差足够小，即：$| \Delta x_k | < \epsilon$。

### 从牛顿法导出

求$\sqrt[n]{A}$之值，亦即求方程$x^n-A=0$的根。

设$f(x)=x^n-A$，其导函数即$f'(x)=nx^{n-1}$。

以牛顿法作迭代，便得

$$x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$$

$$= x_k - \frac{x_k^n - A}{n x_k^{n-1}}$$

$$= x_k - \frac{x_k}{n}+\frac{A}{n x_k^{n-1}}$$

$$= \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]$$

### 从牛顿二项式定理导出

设$x_k$为迭代值，$y$为误差值。

令$A=(x_k-y)^n$（*），作牛顿二项式展开，取首两项：$A\approx x_k^n-n x^{n-1}_k y$

调项得$y\approx \frac{x_k^n-A}{n x_k^{n-1}}=\frac1n \left(x_k - \frac{A}{x_k^{n-1}}\right)$

将以上结果代回（*），得递归公式$x_{k+1}=x_k-y=\frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]$

## 外部链接

- 高阶根号求解。此法亦可求任意正实数指数值
- 立方根与高次方根
- 指数-高中数学教案
- 法国心算天才70.2秒算出200位数13次方根(图)