谱序列

在同调代数中，谱序列是一种借着逐步逼近以计算同调或上同调群的技术，由让·勒雷在1946年首创。其应用见诸代数拓扑、群上同调与同伦理论。

## 动机

让·勒雷当初为了研究代数拓扑学，而引入层的概念，从而面临计算层上同调的问题。为此，勒雷发明了现称勒雷谱序列的计算方法，它联系了一个层的上同调群与其正像的上同调群。

人们很快就发现：勒雷谱序列只是一个特例。谱序列还现身于纤维化等几何问题；更抽象地说，对合成函子取导函子也会得到谱序列，称为格罗滕迪克谱序列。虽然导范畴在理论层面提供了较简炼的框架，谱序列仍是最有效的计算工具。

由于谱序列包含大量的项，实际计算时往往会陷入带（至少）三重指标的群或模的迷阵。在许多实际状况中，谱序列最后会“塌陷”，此时谱序列可以给出明确的资讯。若谱序列不塌陷，则须靠一些窍门取得有用的资讯。

## 形式定义

以下固定一个阿贝尔范畴 $\mathcal{A}$，常见例子是一个环上的模范畴。谱序列是一个非负整数 $r_0$ 及下述资料：

- 对所有整数 $r \geq r_0$，有范畴中的一个对象 $E_r$。
- 自同态 $d_r: E_r \to E_r$，满足 $d_r^2 = 0$，称为边界映射或微分。
- 从 $E_{r+1}$ 到 $H(E_r, d_r)$ 的同构。

通常省去 $E_{r+1}$ 与 $H(E_r, d_r)$ 的同构，而写成等式。

最基本的例子是链复形 $C_\bullet$，它带有一个微分 $d$。取 $r_0=0$，并令 $E_0 = C_\bullet$，于是必有 $E_1 = H(C_\bullet)$；这个新链复形上的微分只有一个自然的选择，就是零映射。于是有 $E_1 = E_2 = \cdots$。综之，我们得到一个链复形范畴上的谱序列：

- $$E_0 = C_\bullet$$
- $$E_r = H(C_\bullet) \; (r \geq 1)$$

由于只有 $r=0$ 时微分映射才可能非零，此序列在第一步后就不含任何新资讯。

较常见的是双分次模（或层）范畴上的谱序列，表作 $E_r^{p,q}$，此时的微分映射次数与 $r$ 有关：对于上同调谱序列，$d_r: E_r \to E_r$ 的次数是 $(r, -r+1)$。对于同调谱序列，通常将各项写成 $E_r$，微分映射 $d^r: E_r \to E_r$ 的次数是 $(-r,r-1)$。

谱序列之间的态射 $f: E \to E'$ 定义为一族态射 $f_r: E_r \to E_r'$，使之与同构 $E_{r+1} \simeq H(E_r, d_r)$ 交换。谱序列对此构成了一个阿贝尔范畴。

## 正合偶

交换代数中大部分的谱序列来自链复形，而已知构造谱序列最有力的方法是 William Massey 的正合偶。正合偶在代数拓扑学中很常见，此时对于许多谱序列，正合偶是唯一已知的构造法。事实上，正合偶可以用来构造所有已知的谱序列。

同样固定一个阿贝尔范畴（通常取一个环上的双分次模）$\mathcal{A}$，一个正合偶是：

<image>

- 一对对象 $A, C$
- $$f: A \to A$$
- $$g: A \to C$$
- $$h: C \to A$$

使之满足下述正合条件：

- Image f = Kernel g
- Image g = Kernel h
- Image h = Kernel f

将这组资料简记为 $(A,C,f,g,h)$。正合偶通常以三角形表示。$C$ 对应到谱序列的 $E_0$ 项，而 $A$ 是一些辅助资料。

为了得到谱序列的后续项，以下将构造导出偶。令：

- $$d := g \circ h$$
- $$A' := f(A)$$
- $$C' := \mathrm{Ker}(d) /\mathrm{Im}(d)$$
- $$f' := f|_{A'}$$
- $h': C' \to A'$ 由 $h$ 导出。
- $g' : A' \to C'$ 定义如下：若 $\mathcal{A}$ 为某个环上的模范畴，对任一 $a \in A'$，存在 $b \in A'$ 使得 $a = f(b)$，定义 $g'(a)$ 为 $g(b)$ 在 $C'$ 中的像。一般而言，可利用 Mitchell 嵌入定理构造态射 $g'$。

现在可以验证 $(A', C', f', g', h')$ 构成正合偶。$C'$ 对应到谱序列的 $E_1$ 项。续行此法，可以得到一族正合偶 $(A^{(n)}, C^{(n)}, f^{(n)}, g^{(n)}, h^{(n)})$。相应的谱序列定义为 $E_n := C^{(n)}$，$d_n := g^{(n)} \circ h^{(n)}$。

## 图解

<image>

一个双分次谱序列含有大量要追踪的资讯，不过有个常见的图解法有助于阐明其结构。以下取上同调谱序列为例。在此有三个指标 $r, p, q$。对每个 $r$，设想有一张方格纸，分别让 $p, q$ 对应于横、纵轴。每一个格子点 $(p,q)$ 对应到对象 $E_r^{p,q}$。微分 $d_r$ 的次数为 $(r,-r+1)$，方向如图所示。

## 收敛与退化

在第一个简单的例子中，谱序列在 $r \geq 1$ 后的微分映射皆为零，故不再改变。这时可定义该谱序列的极限为 $E_\infty := E_r \; (r \geq 1)$。对于一般的谱序列，也往往存在一个极限，极限与各项的关系可说是谱序列的众妙之门。

定义：若谱序列 $E_r^{p,q}$ 对每个 $(p,q)$ 都存在 $r(p,q) \in \N$，使得当 $r \geq r(p,q)$ 时，$d_r^{p-r,q+r-1}: E_r^{p-r,q+r-1} \to E_r^{p,q}$ 及 $d_r^{p,q}: E_r^{p,q} \to E_r^{p+r,q-r+1}$ 皆为零，则称 $E_r^{p,q}$ 之极限项为 $E_\infty^{p,q} := E_r^{p,q}$（取充分大的 $r$）。最常见的例子是集中在第一象限的谱序列，此时极限项恒存在。

其中的指标 $p$ 指涉过滤结构。

若存在对象 $E^\bullet$、过滤结构 $\cdots \subset F^{p+1}E^\bullet \subset F^{p} E^\bullet \subset \cdots$，及一族同构 $\beta^{p,q}: E_\infty^{p,q} \simeq \mathrm{gr}^p E^{p+q}$，满足 $\bigcap_p F^p E^\bullet = (0), \bigcup_p F^p E^\bullet = E^\bullet$（这种过滤称为“正则过滤”），则称 $E_r^{p,q}$ 收敛到 $E^\bullet$，通常表为下述符号：

$$E_r^{p,q} \Rightarrow_p E_\infty^{p,q}$$

习惯上，人们也常将左式写成 $E_2^{p,q}$，因为谱序列中最重要的页往往是 $E_2^{p,q}$。

最简单的收敛特例是退化：

定义：固定 $r \in \N$，若对每个 $s \geq r$，微分映射 $d_s$ 都是零，则称该谱序列在第 $r$ 页退化。

退化性保证了 $E_r \simeq E_{r+1} \simeq \cdots$，此时 $E_r$ 即其极限。如果一个双分次谱序列 $E_r^{p,q}$ 的非零项集中于某一条水平或垂直线上，则必在 $r=2$ 时退化。

## 例子

### 过滤结构导出的谱序列

最常见的谱序列之一来自带有过滤结构的对象，通常是链复形或上链复形。这是一个对象 $C$ 及微分映射 $d: C \to C$，使之满足 $d^2=0$，以及

$$C = F^0 C \supset F^1 C \supset \cdots F^n C \supset F^{n+1}C = 0$$

$$d F^p C \subset F^p C$$

同调群上也有相应的过滤

$$F^p H(C,d) := \mathrm{Im}(H(F^p C, d) \to H(C,d)$$

对此，定义相应的分次对象

$$\mathrm{gr}_F C := \bigoplus_{p \geq 0} F^p C / F^{p+1} C$$

$$\mathrm{gr}_F H(C) := \bigoplus_{p \geq 0} F^p H(C) / F^{p+1} H(C))$$

取微分映射为零，可视之为复形。

以下式定义谱序列：

$$Z_r^p := {x \in F^p C : dx \in F^{p+r} C}$$

$$E_r^p := Z_r^p / (d Z_{r-1}^{p-r+1} + Z_{r-1}^{p+1}) = Z_r^p / (Z_r^p \cap (dF^{p-r+1}C + F^{p+1}C))$$

此时有 $E_0^p = F^p C / F^{p+1} C, E_1^p = H(\mathrm{gr}^p C)$，且谱序列收敛：

$$E_r^p \Rightarrow E_\infty^p = \mathrm{gr}^p H(C)$$

通常也写成 $E_r \Rightarrow H(C)$。

取 $\mathcal{A}$ 为取值在某个阿贝尔范畴中的上链复形范畴。此时的对象 $C$ 是个上链复形 $\cdots \to C^q \to C^{q+1} \to \cdots$，$d$ 是上链复形的微分映射。上述谱序列带有三个指标 $p,q,r$，并可进一步化成下述形式：

$$E_0^{p,q} = F^p C^{p+q}/F^{p+1} C^{p+q}$$

$$E_1^{p,q} = H^{p+q}(\mathrm{gr}^p C^\bullet)$$

$$E_\infty^{p,q} = \mathrm{gr}^p(H^{p+q}(C^\bullet))$$

### 双复形的谱序列

以下考虑取值在某个阿贝尔范畴中的双复形，即一组对象 $C^{p,q}$，及两组微分映射 $d': C^{p,q} \to C^{p+1,q}$ 及 $d'': C^{p,q} \to C^{p,q+1}$，满足

$$d'^2 = d''^2 = 0$$

$$d' d'' + d'' d' = 0$$

对一个双复形，可定义其全复形 $(C, D)$（也记为 $T(C)$ 或 $\mathrm{Tot}(C)$）为

$$C^n := \bigoplus_{p+q=n} C^{p,q}$$

$$D := d' + d''$$

$C$ 上有两组过滤，分别是：

$$('F^p C)^n := \bigoplus_{i+j=n,\, i \geq p} C^{i,j}$$

$$(''F^q C)^n := \bigoplus_{i+j=n,\, j \geq q} C^{i,j}$$

它们给出两个谱序列 $'E_r$ 与 $''E_r$。首先计算 $'E_0, 'E_1, 'E_2$ 项：

$$'E_0^{i,j} = C^{i,j}$$

$$'E_1^{i,j} = H_{d''}^j(C^{i,\bullet})$$

$'E_2^{i,j} = H_{d'}^i(H_{d''}^j(C^{\bullet,\bullet})) \qquad$（即：先取纵向上同调，再取横向上同调）

同理可计算 $''E_0, ''E_1, ''E_2$：

$$''E_0^{i,j} = C^{j,i}$$

$$''E_1^{i,j} = H_{d'}^j(C^{\bullet, i})$$

$''E_2^{i,j} = H_{d''}^i(H_{d'}^j(C^{\bullet,\bullet})) \qquad$（即：先取横向上同调，再取纵向上同调）。

这两个谱序列通常是不同的，但随着 $r$ 增大，它们都收敛到 $H(C)$，由此可以得到一些有趣的比较定理。

## 例子

### Tor函子的交换性

利用谱序列，可以迅速导出Tor函子的交换性，即一自然同构：

$$\mathrm{Tor}_i(M,N) = \mathrm{Tor}_i(N,M)$$

取定平坦分解 $P_\bullet \to M \to 0$ 及 $Q_\bullet \to N \to 0$。视之为集中于正项的复形，其微分映射分别记为 $d, e$。考虑双复形 $C_{i,j} := P_i \otimes Q_j$，其微分映射定义为 $d_{i,j} := d_i \otimes \mathrm{id} + (-1)^j \mathrm{id} \otimes e_j$（以使微分映射满足反交换性）。取其谱序列，遂得到：

$$'E^2_{p,q} = H^I_p(H^{II}_q(P_\bull \otimes Q_\bull)) = H^I_p(P_\bull \otimes H^{II}_q(Q_\bull))$$

$$''E^2_{p,q} = H^{II}_q(H^I_p(P_\bull \otimes Q_\bull)) = H^{II}_q(Q_\bull \otimes H^I_p(P_\bull))$$

由于复形 $P_\bullet, Q_\bullet$ 是平坦分解，其同调群只集中在零次项，此时其表示式为：

$$H^I_p(P_\bull \otimes N) = \mbox{Tor}_p(M,N)$$

$$H^{II}_q(Q_\bull \otimes M) = \mbox{Tor}_q(N,M)$$

故 $'E^2_{p,q}$ 只在 $p=0$ 上有非零项，而 $''E^2_{p,q}$ 只在 $q=0$ 上有非零项，这保证了谱序列在第二页退化，由此导出同构：

$$\mbox{Tor}_p(M,N) \cong E^\infty_{p,q} = \mbox{gr}_p H^{p+q}(T(C_{\bull,\bull}))$$

$$\mbox{Tor}_q(N,M) \cong E^\infty_{p,q} = \mbox{gr}_q H^{p+q}(T(C_{\bull,\bull}))$$

当 $p=q$ 时，上述等式的右项同构（虽然其分次结构不同），由此得到 Tor 的交换性。

### 示性数

运用谱序列时，通常会假设某些项为零，或假设谱序列在第一或第二页退化。但有时尽管对各项及微分映射一无所知，仍可从谱序列中萃取资讯，最简单的例子是示性数：固定一个阿贝尔范畴 $\mathcal{A}$ 及一个交换群 $C$，所谓示性数是一个函数 $\chi: \mathrm{Ob}\mathcal{A} \to C$，满足：

- $$\forall 0 \to Y \to X, \; \chi(X) = \chi(Y) + \chi(X/Y)$$
- $$X \simeq Y \Rightarrow \chi(X)=\chi(Y)$$

例如：取 $\mathcal{A}$ 为某个域 $k$ 上的有限维向量空间范畴，则 $\chi: V \mapsto \dim_k V$ 是一个示性数。

对任一 $\mathcal{A}$ 上的有限复形 $K^\bullet$，定义

$$\chi(K^\bullet) = \sum_i (-1)^i \chi(K^i)$$

容易证明 $\chi(K^\bullet) = \sum_i (-1)^i \chi(H^i(K^\bullet))$。考虑任一在 $\mathcal{A}$ 上的收敛谱序列 $(E_r^\bullet)$，由于谱序列的每一页都是前一页的同调，遂得到

$$\chi(E_r^\bullet) = \chi(E_{r+1}^\bullet) = \cdots = \chi(E_\infty^\bullet)$$

然而

$$\chi(E^n) = \sum_p \chi(F^p E^n / F^{p+1}E^n) = \sum_p \chi(E_\infty^{p,n-p})$$

于是得到

$$\forall r, \; \sum_n (-1)^n \chi(E^n) = \chi(E_r^\bullet)$$