模糊集

模糊集是模糊数学上的一个基本概念，是数学上普通集合的扩展。

## 定义

给定一个论域$U$，那么从$U$到单位区间$[0,1]$的一个映射$\mu_{A}: U \mapsto [0,1]$称为$U$上的一个模糊集，或$U$的一个模糊子集。

## 表示

模糊集可以记为$A$。映射（函数）$\mu_A(\cdot)$或简记为$A(\cdot)$叫做模糊集$A$的隶属函数。对于每个$x\in U$， $\mu_A(x)$叫做元素$x$对模糊集$A$的隶属度。

模糊集的常用表示法有下述几种：

- 解析法，也即给出隶属函数的具体表达式。
- Zadeh记法，例如$A={1\over x_1}+{0.5\over x_2}+{0.72\over x_3}+{0\over x_4}$。分母是论域中的元素，分子是该元素对应的隶属度。有时候，若隶属度为0，该项可以忽略不写。
- 序偶法，例如$A=\{(x_1,1),(x_2,0.5),(x_3,0.72),(x_4,0)\}$，序偶对的前者是论域中的元素，后者是该元素对应的隶属度。
- 向量法，在有限论域的场合，给论域中元素规定一个表达的顺序，那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式，如$A=(1,0.5,0.72,0)$。

## 和传统集合的关系

和传统的集合一样，模糊集也有它的元素，但可以谈论每个元素属于该模糊集的程度，其从低至高一般用 0 到 1 之间的数来表示。模糊集理论是由卢菲特·泽德（1965）所引进的，是经典集合论的一种推广。在经典的集合论中，所谓的二分条件规定每个元素只能属于或不属于某个集合（因此模糊集不是集合）；可以说，每个元素对每个集合的归属性（membership）都只能是 0 或 1。而每模糊集则拥有一个归属函数（membership function），其值允许取闭区间$[0,1]$（单位区间）中的任何实数，用来表示元素对该集的归属程度。比如设某模糊集$A$的归属函数为$M$，而$a$、$b$、$c$为三个元素；如果$M(a)=1$，$M(b)=0$，$M(c)=\frac{1}{2}$，则可以说 “$a$完全属于$A$”，“$b$完全不属于$A$”，“$c$对$A$的归属度为$\frac{1}{2}$”（注意没有说“$c$有一半属于$A$”，因为尚未规定$\frac{1}{2}$的归属度具有什么特殊含义）。作为特例，当归属函数的值只能取 0 或 1 时，就得到了传统集合论常用的指示函数（indicator function）。传统集合在模糊集理论中通常称作“明确集”（crisp set）。

### 截集与截积

设 $A$为 $U$上的模糊集（记作 $A\in \mathcal{F}(U)$），任取 $\lambda \in [0,1]$，则

$A_\lambda = \{ u\in U\mid A(u)\geq\lambda\}$。

称$A_\lambda$为$A$的$\lambda$截集，而$\lambda$称为阈值或置信水平。将上式中的$\geq$替换为$>$，记为$A_{S\lambda}$，称为强截集。

截集和强截集都是经典集合。此外，显然$A_1$为$A$的核，即$\ker A$；如果$\ker A\neq \varnothing$，则称$A$为正规模糊集，否则称为非正规模糊集。

截积是数与模糊集的积：

设$\lambda\in [0,1]$，$A\in F(U)$，则$\forall u\in U$，$\lambda$与$A$的截积（或称为$\lambda$截集的数乘，记为$\lambda A$）定义为：

$$(\lambda A)(u)=\lambda \wedge A(u)= \begin{cases} <pre> A(u), &\lambda \geq A(u),\\ \lambda, &\lambda < A(u). </pre> \end{cases}$$

根据定义，截积仍是$U$上的模糊集合。

### 分解定理与表现定理

分解定理：

设$A\in F(U)$，则

$A=\bigcup\limits_{\lambda\in[0,1]}\lambda A_\lambda$

即任一模糊集$A$都可以表达为一族简单模糊集$\left \{ \lambda a_\lambda \right \}$的并。也即，一个模糊集可以由其自身份解出的集合套而“拼成”。

表现定理：

设$H$为$U$上的任何一个集合套，则

$A=\bigcup\limits_{\lambda\in[0,1]}\lambda H(\lambda)$

是$U$上的一个模糊集，且$\forall\lambda\in [0,1]$，有

（1）$A_{S\lambda}=\cup_{\alpha>\lambda}H(\alpha)$

（2）$A_\lambda=\cap_{\alpha<\lambda}H(\alpha)$

即任一集合套都能拼成一个模糊集。

## 模糊度

一个模糊集$A$的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度，一个直观的定义是这样的：

设映射$D:F(U)\rightarrow[0,1]$满足下述5条性质：

- 清晰性：$D(A)=0$当且仅当$A\in P(U)$。（经典集的模糊度恒为0。）
- 模糊性：$D(A)=1$当且仅当$\forall u\in U$有$A(u)=0.5$。（隶属度都为0.5的模糊集最模糊。）
- 单调性：$\forall u\in U$，若$A(u)\leq B(u)\leq 0.5$，或者$A(u)\geq B(u)\geq 0.5$，则$D(A)\leq D(B)$。
- 对称性：$\forall A\in F(U)$，有$D(A^c)=D(A)$。（补集的模糊度相等。）
- 可加性：$D(A\cup B)+D(A\cap B)=D(A)+D(B)$。

则称$D$是定义在$F(U)$上的模糊度函数，而$D(A)$为模糊集$A$的模糊度。

可以证明符合上述定义的模糊度是存在的，一个常用的公式（分别针对有限和无限论域）就是$\begin{align} D_p(A)&=\frac{2}{n^{1/p}}\left(\sum\limits_{i=1}^n\left|A(u_i)-A_{0.5}(u_i)\right|^p\right)^{1/p}\\ D(A)&=\int_{-\infty}^{+\infty}|A(u)-A_{0.5}(u)|\mbox{d}u \end{align}$其中$p>0$是参数，称为 Minkowski 模糊度。特别地，当$p=1$的时候称为 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指标，当$p=2$的时候称为 Euclid 模糊度。

### 模糊测度(Fuzzy measures)

$\mathfrak{B}$是舆集$\mathrm{X}$的一种。

用$g$函数定义$\mathfrak{B}$，包含下列3项特性称为模糊测度:

①$g(0)=0,g(\mathrm{X})=1$

---$g$函数代0值，表示没有值为空值，用数学0来表示。$g$函数代$X$表示舆集全部带进去了塞满了，用1表示塞满。

②若$A,B\in\mathfrak{B}$和$A\subseteq B$, 则$g(A)\leq g(B)$.

---$A,B$是属于$\mathfrak{B}$的一部分，$A$在$B$里面也可能跟$B$一样大，则$g(A)\leq g(B)$

③If $A_{n}$∈$\mathfrak{B}$, $A_1$⊆$A_2$⊆…,then $\lim_{n \to \infty}g(A_n)=g(\lim_{n \to \infty}A_n )$

---当$A_{n}$属于$\mathfrak{B}$同时$A_1$包含于$A_2\subseteq\ldots$，则将$A_n$代入$g$函数趋小所得的值等同于先趋小$A_n$再代入$g$函数所求得的值。

## 模糊集的运算

### 各种算子

- Zadeh 算子，$\max$即为并，$\min$即为交

$$\begin{align}a\vee b&=\max\{a,b\}\\ a\wedge b&=\min\{a,b\}\end{align}$$

- 代数算子（概率和、代数积）

$$\begin{align}a\stackrel{\wedge}{+} b &=a+b-ab\\ a\cdot b &= ab\end{align}$$

- 有界算子

$$\begin{align}a\oplus b &=\min\{1,a+b\}\\ a\odot b &= \max\{0,a+b-1\}\end{align}$$

- Einstein 算子

$$\begin{align}a\stackrel{+}{\epsilon} b &= \frac{a+b}{1+ab}\\ a\stackrel{\cdot}{\epsilon} b &= \frac{ab}{1+(1-a)(1-b)}\end{align}$$

- Hamacher 算子，其中$\nu \in [0,+\infty)$是参数，等于1时转化为代数算子，等于2时转化为 Einstein 算子

$$\begin{align} a\stackrel{+}{\nu} b &= \frac{a+b-ab-(1-\nu)ab}{\nu+(1-\nu)(1-ab)}\\ a\stackrel{\cdot}{\nu} b &= \frac{ab}{\nu+(1-\nu)(a+b-ab)} \end{align}$$

- Yager 算子，其中$p$是参数，等于1时转化为有界算子，趋于无穷时转化为 Zadeh 算子

$$\begin{align}a\;Y_p\;b &= \min\{1,(a^p+b^p)^{1/p}\}\\ a\;y_p\;b &= 1-\min\{1,[(1-a)^p+(1-b)^p]^{1/p}\}\end{align}$$

- $\lambda-\gamma$算子，其中$\lambda, \gamma \in [0,1]$是参数

$$\begin{align}a\;\lambda\;b &= \lambda ab+(1-\lambda)(a+b-ab)\\ a\;\gamma\;b &= (ab)^{1-\gamma}(a-ab)^\gamma\end{align}$$

- Dobois-Prade 算子，其中$\lambda \in [0,1]$是参数

$$\begin{align} a\vee_d b &= \frac{a+b-ab-\min\{(1-\lambda),a,b\}}{\max\{\lambda,1-a,1-b\}}\\ a\wedge_d b &= \frac{ab}{\max\{\lambda,a,b\}} \end{align}$$

### 算子的性质

参见集合代数和布尔代数。

主要算子的性质对比表如下（`.`表示不满足，`-`表示未验证）：

算子｜结合律｜交换律｜分配律｜互补律｜同一律｜幂等律｜支配律｜吸收律｜双重否定律｜德·摩根律

Zedah｜√｜√｜√｜.｜√｜√｜√｜√｜√｜√

代数｜√｜√｜.｜.｜√｜.｜√｜.｜√

有界｜√｜√｜.｜√｜√｜.｜√｜√｜√

线性补偿是指：$(\forall x,y,k \in [0,1])(x+k \wedge y-k\ \Rightarrow\ U(x+k,y-k)=U(x,y))$

算子的并运算｜幂等律｜排中律｜分配律｜结合律｜线性补偿

Zadeh｜√｜.｜√｜√｜.

代数｜.｜.｜.｜√｜.

有界｜.｜√｜.｜.｜√

Hamacher r = 0｜.｜.｜.｜√｜.

Yager｜.｜.｜.｜√｜.

Hamacher｜.｜.｜.｜√｜.

Dobois-Prade｜.｜.｜.｜√｜.

## 模糊集之间的距离

### 使用度量理论

可以使用一般的度量理论来描述模糊集之间的距离。在这个意义上，我们需要在模糊幂集$F(U)$上建立一个度量，此外，我们还可能需要将此度量标准化，也即映射到$[0,1]$区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离：

$$\tilde{d}(x,y)=\left({1\over n}\sum\limits_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|^p \right)^{1\over p}$$

### 贴近度

另一种是使用贴近度概念。在某种意义上，贴近度就是 1 - 距离（这里的距离是上述标准化意义上的距离）。而之所以应用这个变换，是考虑到“度”的概念的直觉反映——距离越近，贴近的程度显然越“高”，因此它恰为距离的反数。

除了距离外，还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义。

最大最小贴近度：$$\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\vee B(u_i))}$$

算术平均最小贴近度：$$\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{{1\over 2}\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)+B(u_i))}$$

几何平均最小贴近度：$$\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{\sum_{i=1}^{n}\sqrt{A(u_i)\cdot B(u_i)}}$$

指数贴近度：$$\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{1}{e^{\|A-B\|}}$$