拉比周期

在物理学中，拉比周期是在振荡外场中的二能级量子体系的周期性行为。一个二能级系统具有两个可能的状态，如果状态不是简并的，当吸收一份能量以后，体系可以被激发。

这种效应在量子光学、核磁共振和量子计算中非常重要，它是以伊西多·伊萨克·拉比（Isidor Isaac Rabi）的名字命名的。

当一个原子（或者其它二能级体系）被一束相干光照射的时候，它将周期性地吸收光子并透过受激发射重新将光子发射出来，这样一个周期称为拉比周期，它的倒数称为拉比频率。

这种机制是量子光学的基础，其模型的建立可以依据杰恩斯-卡明斯模型和布洛赫矢量形式。

例如，对于频率受外部电磁场调制到激发态的二能级原子（该原子的电子可以处于激发态或者基态），利用布洛赫方程可以得到，原子处于激发态的机率为$|c_b(t)|^2=\sin(\omega t/2)^2 \,$，其中$\omega \,$为拉比频率。

更一般地，可以考虑一个没有本征态的二能级体系，如果这个体系初态位于其中一个能级，时间演化将导致每个能级的态密度按照某个特征频率振荡，其角频率也称为拉比频率。

## 数学处理

拉比效应的数学细节请参见拉比问题。例如，若将电磁场频率调至激发能，并于电磁场当中置入一个双态原子（该原子之电子可以处于激发态或基态），那么处于激发态原子之几率可以从Bloch方程得出：

$$|c_b(t)|^2 \propto \sin^2 (\omega t/2)$$

$\omega$是拉比频率。

更一般而言，我们可以考虑一种，两个能阶都不是能量本征态的系统。因此，如果在其中一个能阶对系统初始化，则时间演化将使每个能阶的总粒子数以某个特征频率振荡，其角频率也称为拉比频率。该双态量子系统的状态可以表示为二维希尔伯特空间复向量，这意味着每个状态向量 $\vert\psi\rangle$是以标准的复数坐标表示。

$|\psi\rangle = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2\end{pmatrix} = c_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix} ;$ $c_1$和$c_2$是坐标。

如果向量归一化， $c_1$和$c_2$的关联为${|c_1|}^2+{|c_2|}^2 = 1$。基向量表示为$|0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}$和$|1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix}$

所有与该系统相关的可观测物理量均为2 $\times$ 2埃尔米特矩阵，这表示系统的哈密顿量也是相似矩阵。

## 如何在量子系统中准备振荡实验

可以透过以下步骤建构振荡实验：

- 准备系统，使之处于固定状态；例如 $|1\rangle$
- 在哈密顿量H下，让态随时间t自由演化
- 求出状态为$|1\rangle$的几率 P(t)

如果$|1\rangle$是H的本征态且P(t)=1，那么就不会产生振荡。此外，如果两个态$|0\rangle$和$|1\rangle$皆为简并态，那么包括$|1\rangle$在内的所有态皆为H的本征态。因此也不会产生振荡。

另一方面，若H无简并本征态，且初态不是本征态，则振荡将会产生。双态系统哈密顿量的最一般形式给定如下$\mathbf{H} = \begin{pmatrix} a_0+a_3 & a_1-ia_2\\ a_1+ia_2 & a_0-a_3\end{pmatrix}$ $a_0,a_1, a_2$和$a_3$是实数。这个矩阵可以分解为 $\mathbf{H} = a_0\cdot\sigma_0 + a_1\cdot\sigma_1 + a_2\cdot\sigma_2 + a_3\cdot\sigma_3 ;$ $\sigma_0$是2 $\times$ 2单位矩阵，$\sigma_k \; (k = 1,2,3)$是泡利矩阵。尤其是在与时间无关的情况下，这种分解能够简化系统分析，其中$a_0,a_1,a_2$和$a_3$是常数。考虑置于磁场$\mathbf{B} = B\mathbf{\hat z}$ 之中的自旋1/2粒子。该系统的交互作用能量算符为$\mathbf{H}=-\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}=-\gamma\mathbf{S}\cdot\mathbf{B}=-\gamma \ B\ S_z$， $S_z = \frac{\hbar}{2}\, \sigma_3 = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}$ $\mu$是粒子磁矩的大小， $\gamma$是旋磁比，$\boldsymbol{\sigma}$是泡利矩阵之向量。此处哈密顿量之本征态是$\sigma_3$，而$|1\rangle$和$|2\rangle$具有对应的本征值$E_+ = \frac{\hbar}{2}\gamma B \, \ E_-= -\frac{\hbar}{2}\gamma B$。我们可以在系统处于状态$|\psi\rang$下，给出找到任意状态$|\phi\rangle$之几率${|\langle\phi|\psi\rangle|}^2$。在$t=0$的时刻，让系统处于准备状态$\left| +X \right\rangle$。注意到$\left| +X \right\rangle$是$\sigma_1$的本征态： $|\psi(0)\rang= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}+ \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$此处的哈密顿量与时间无关。因此，透过求解平稳的薛定谔方程，在经过时间t之后，状态演变为$\left|\psi(t)\right\rang= \exp\left[{\frac{-i\mathbf{H}t}{\hbar}}\right] \left|\psi(0) \right\rang = \begin{pmatrix} \exp\left[{\tfrac{-i E_+ t}{\hbar}}\right] & 0 \\ 0 & \exp\left[{\tfrac{-i E_- t}{\hbar}}\right] \end{pmatrix} |\psi(0)\rang$，带有系统总能量$E$。

因此经过时间t之后，状态成为： $|\psi(t)\rang=e^{\frac{-iE_+t}{\hbar}}\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + e^{\frac{-iE_-t}{\hbar}}\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle$现在假设在t时刻，对x方向上的自旋进行测量。下式给出测量到自旋向上的几率：${\left|\langle +X|\psi(t)\rangle\right|}^2 = {\left| \frac{{\left\langle 0 \right| + \left\langle 1 \right|}}{\sqrt{2}} <pre> \left({ \frac{1}{\sqrt{2}} \exp \left[\frac{-i E_+ t}{\hbar} \right] \left|0 \right\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \exp \left[\frac{-i E_- t}{\hbar} \right] \left|1 \right\rangle }\right) </pre> \right|}^2 = \cos^2\left( \frac{\omega t}{2} \right) ,$ $\omega$是特征角频率，假设$E_- \geq E_+$的情形，给定$\omega = \frac{E_- - E_+}{\hbar}=\gamma B$。在这种情况下，当系统最初自旋是在$\left| +X \right\rangle$方向，那么x方向发现自旋向上的几率会随著时间$t$而振荡。同样，如果我们测量$\left| +Z \right\rangle$方向，那么所测量到的系统自旋为$\tfrac{\hbar}{2}$之几率为$\tfrac{1}{2}$。在$E_+ = E_-$简并情形下，特征频率为0，无振荡发生。

留意到，如果系统处于给定哈密顿量的本征态，则系统将维持在该状态，保持不变。

这同样也适用于时间相依的哈密顿函数。以$\hat{H} = -\gamma\ S_z B \sin(\omega t)$ 为例；如果系统的初始自旋状态为$\left| +Y \right\rangle$，那么在$t$时刻，自旋在y方向测量结果为$+\tfrac{\hbar}{2}$之几率为${\left| \left\langle \, +Y|\psi(t) \right\rangle \right|}^2 \, = \cos^2 \left(\frac{\gamma B}{2\omega} \cos \left({\omega t}\right) \right)$。

电离氢分子两态间的拉比振荡。

电离氢分子是由两个质子$P_1$、$P_2$和一个电子所组成。由于质子质量较大，因此这两个质子可以被视为固定不动的。设R为质子之间的距离，而 $|1\rangle$和$|2\rangle$两个态的电子所处之位置，约坐落在$P_1$或$P_2$附近。假设在某一时刻，电子位于质子$P_1$附近。根据前一节的结果，我们知道它将在两个质子之间振荡，而振荡频率等于与两个分子定态$|E_+\rangle$和$|E_-\rangle$有关的玻尔频率。这种在两个态之间的电子振荡，对应于分子电偶极矩平均值的振荡。因此，当分子不处于定态时，就能够产生一个振荡的电偶极矩。这种振荡偶极矩可以与同频率的电磁波交换能量。因此，这个频率必须出现在电离氢分子的吸收光谱和发射光谱中。

## 以 Pauli 矩阵推导非微扰过程之拉比公式

考虑以下形式的哈密顿量$\hat{H} = E_0\cdot\sigma_0 + W_1\cdot\sigma_1 + W_2\cdot\sigma_2 + \Delta\cdot\sigma_3 = \begin{pmatrix} E_0 + \Delta & W_1-iW_2 \\ W_1+iW_2 & E_0 - \Delta \end{pmatrix} .$该矩阵的特征值为$\lambda_+ =E_+=E_0+ \sqrt{{\Delta}^2+{W_1}^2+{W_2}^2}=E_0+\sqrt{{\Delta}^2+ {\left\vert W \right\vert}^2}$，$\lambda_- =E_-=E_0- \sqrt{{\Delta}^2+{W_1}^2+{W_2}^2}=E_0-\sqrt{{\Delta}^2+ {\left\vert W \right\vert}^2}$。此处$\mathbf{W}=W_1 + \imath W_2$， ${\left\vert W \right\vert}^2={W_1}^2+{W_2}^2=WW^*$。因此我们可以取 $\mathbf{W}={\left\vert W \right\vert}e^{\imath\phi}$。

现在，由方程式 :$\begin{pmatrix}E_0+\Delta & W_1-iW_2\\ W_1+iW_2 & E_0-\Delta\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}=E_+\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}$，我们可以得到$E_+$的特征向量。

因此， $b= - \frac{a \left(E_0+\Delta-E_+ \right)} {W_1 - i W_2}$。

对特征向量采用归一化条件${\left\vert a \right\vert}^2+{\left\vert b \right\vert}^2=1$。

因此 ${\left\vert a \right\vert}^2+{\left\vert a \right\vert}^2\left(\frac{\Delta}{\left\vert W \right\vert}-\frac{\sqrt{{\Delta}^2+ {\left\vert W \right\vert}^2}}{\left\vert W \right\vert}\right)^2=1$。

令 $\sin\theta=\frac{\left\vert W \right\vert}{\sqrt{{\Delta}^2+ {\left\vert W \right\vert}^2}}$，$\cos\theta=\frac{\Delta}{\sqrt{{\Delta}^2+ {\left\vert W \right\vert}^2}}$。所以$\tan\theta=\frac{\left\vert W \right\vert}{\Delta}$。

我们得到 ${\left\vert a \right\vert}^2+{\left\vert a \right\vert}^2\frac{({1-\cos\theta})^2}{\sin^2\theta}=1$，即 ${\left\vert a \right\vert}^2=\cos^2\left(\tfrac{\theta}{2}\right)$。取任意相角$\phi$，我们可以写下 $a=\exp(\imath\phi/2)\cos\left(\tfrac{\theta}{2}\right)$. 同理可证，$b=\exp(-\imath\phi/2)\sin \left(\tfrac{\theta}{2}\right)$。

所以特征值$E_+$之特征向量为$\left|E_+\right\rang = \begin{pmatrix} \cos \left(\theta/2\right) \\ e^{\imath\phi}\sin\left(\theta/2\right) \end{pmatrix}$。

由于总相角较无关紧要，我们可以写下 $\left|E_+\right\rang = \begin{pmatrix} \cos \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \\ e^{\imath\phi}\sin\left(\tfrac{\theta}{2}\right) \end{pmatrix} = \cos \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left|0\right\rang + e^{\imath\phi} \sin \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left|1\right\rang$。

类似地, 特征能量$E_-$之特征向量为 $\left|E_-\right\rang = \cos \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left|0\right\rang - e^{\imath\phi} \sin \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left|1\right\rang$。

从这两个方程，我们可以写出

$$\left|0\right\rang = \cos \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left|E_+\right\rang + \sin \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left|E_-\right\rang$$

$\left|1\right\rang = e^{-\imath\phi} \cos \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left|E_+\right\rang - e^{-\imath\phi} \sin \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left|E_-\right\rang$。

假设系统开始时在时刻 $t = 0$的状态是$|0\rang$，也就是说，$\left| \psi\left( 0 \right) \right\rang = \left|0\right\rang = \cos \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left|E_+\right\rang + \sin \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left|E_-\right\rang$。经过时间t之后，状态演变为

$\left| \psi\left( t \right) \right\rang = e^{\frac{-i \hat{H} t}{\hbar}} \left| \psi\left( 0 \right) \right\rang = \cos \left(\tfrac{\theta}{2}\right) e^{\frac{-i E_+ t}{\hbar}} \left|E_+\right\rang + \sin \left(\tfrac{\theta}{2}\right) e^{\frac{-i E_- t}{\hbar}} \left|E_-\right\rang$。

如果系统处于$|E_+\rang$ 或 $|E_-\rang$之中的某一个本征态，那么它将会维持在同一个本征态。然而，对于如上所示的一般初始状态而言，时间演化并不显然。

系统在时刻t处于状态$|1\rang$的几率幅为 $\left \langle\ 1 | \psi(t) \right\rangle = e^{\imath\phi}\sin \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \cos\left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left( e^{\frac{-\imath E_+ t}{\hbar}}-e^{\frac{-\imath E_- t}{\hbar}} \right)$。

系统当前处于$|\psi(t)\rang$，而之后处于任意态 $|1\rang$的几率为$\begin{align} P_{0\to 1}(t) &= {|\langle\ 1|\psi(t)\rangle|}^2 \\ &= e^{-\imath\phi} \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \left(e^{\frac{+\imath E_+ t}{\hbar}}-e^{\frac{+\imath E_-t}{\hbar}}\right) e^{+\imath\phi} \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \left( e^{\frac{-\imath E_+ t}{\hbar}} - e^{\frac{-\imath E_-t}{\hbar}} \right) \\&= \frac{\sin^2{\theta}}{4} \left(2 - 2\cos\left( \frac{\left (E_+-E_- \right)t}{\hbar} \right) \right) \end{align}$这可以简化为$P_{0\to 1}(t)=\sin^2(\theta)\sin^2\left(\frac{(E_+-E_-)t}{2\hbar}\right)=\frac{{\left\vert W \right\vert}^2}{{\Delta}^2+{\left\vert W \right\vert}^2}\sin^2\left(\frac{(E_+-E_-)t}{2\hbar}\right)$.........(1)这表明，当系统最初处于状态$|0\rang$时，该系统最终处于状态$|1\rang$的几率是有限的。几率是以角频率 $\omega =\frac{E_+-E_-}{2\hbar}=\frac{\sqrt{{\Delta}^2+ {\left\vert W \right\vert}^2}}{\hbar}$振荡，而$\omega$是系统唯一的玻尔频率，又称为拉比频率。而式子(1)亦可称为拉比公式。在时间t之后，系统处于状态$|0\rang$的几率为${|\langle\ 0|\psi(t)\rangle|}^2=1-\sin^2(\theta)\sin^2\left(\frac{(E_+-E_-)t}{2\hbar}\right)$，同样也是振荡形式。

这些二能阶系统的振荡称为拉比振荡，在许多问题之中都会发生这种振荡，如中微子振荡、电离氢分子、量子计算、氨迈射等等。

## 量子计算中的拉比振荡

任何双态量子系统都可以用来模拟量子位元。现在考虑一个自旋$\tfrac{1}{2}$系统，将磁矩$\boldsymbol{\mu}$置于经典磁场$\boldsymbol{B} = B_0\ \hat{z} + B_1 \left(\cos{(\omega t)}\ \hat{x} - \sin{(\omega t)} \ \hat{y} \right)$之中。令系统旋磁比$\gamma$，因此磁矩$\boldsymbol{\mu} = \frac{\hbar}{2} \gamma \boldsymbol{\sigma}$，可以给出该系统的哈密顿量$\mathbf{H}=-\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}= -\frac{\hbar}{2}\omega_0\sigma_z-\frac{\hbar}{2}\omega_1(\sigma_x\cos\omega t-\sigma_y\sin\omega t)$，此处$\omega_0=\gamma B_0$，$\omega_1=\gamma B_1$。

透过上述步骤，我们可以求得哈密顿量的特征值和特征向量。现在，让量子位元在$t = 0$时刻处于量子态$|0\rang$，那么，在$t$时刻，量子位元处于量子态$|1\rang$的几率为$P_{0\to1}(t)=\left(\frac{\omega_1}{\Omega}\right)^2\sin^2\left(\frac{\Omega t}{2}\right)$ $\Omega=\sqrt{(\omega-\omega_0)^2+\omega_1^2}$，这种现象就称作拉比振荡。因此，量子位元会在量子态$|0\rang$和$|1\rang$之间振荡。振荡的振幅会在$\omega=\omega_0$达到最大，而这即为共振条件。共振时的跃迁几率为$P_{0\to1}(t)=\sin^2\left(\frac{\omega_1 t}{2}\right)$，要从一个量子态$|0\rang$跃迁到另一个量子态$|1\rang$，只需调整旋转场作用的时间$t$满足$\frac{\omega_1 t}{2}=\frac{\pi}{2}$或是$t=\frac{\pi}{\omega_1}$就充分了，这叫做“$\pi$脉冲”。如果选择的时间介于0和$\frac{\pi}{\omega_1}$之间，我们会得到$|0\rang$和$|1\rang$的叠加态。尤其是当$t=\frac{\pi}{2\omega_1}$的时候，我们会得到一个“$\frac{\pi}{2}$脉冲”，它的作用是造成$|0\rang \to \frac{|0\rang+i|1\rang}{\sqrt{2}}$量子态跃迁，而这个操作在量子计算中起到至关重要的作用。当对激光场中的二能阶原子进行大致满意的旋转波近似时，方程基本上是相同的。然后两个原子能阶之间的能量差$\hbar\omega_0$($\omega$是激光波的频率)及拉比频率$\omega_1$，与原子的跃迁电偶极矩$\vec{d}$与激光波电场$\vec{E}$的乘积成正比，也就是$\omega_1 \propto \hbar \ \vec{d} \cdot \vec{E}$。总而言之，拉比振荡是用于操纵量子位元的基本过程，而这个振荡是在适当调整的时间间隔内，借由将量子位元暴露在周期性的电场或磁场中来获得。

## 外部链接

- https://web.archive.org/web/20110719095612/http://www.itp.tu-berlin.de/menue/lehre/owl/quantenmechanik/zweiniveau/parameter/en/

A Java applet that visualizes Rabi Cycles of two-state systems (laser driven).

- https://web.archive.org/web/20110719095819/http://www.itp.tu-berlin.de/menue/lehre/owl/quantenmechanik/elektron-phonon-wechselwirkung/parameter/en/

extended version of the applet. Includes electron phonon interaction.