有符号数处理

在计算机进行运算时，需要将负数编码至二进制形式，所用的编码方法称为有符号数的表示。

在数学中，可以在任意基数的数前面添加负号“−”来表示负数。然而在随机存取存储器和寄存器中，数据均以一系列二进制位表示而没有额外的标志，因此需要一种编码负号的方法。当前有四种方法，用于扩展二进制数字系统，来表示有符号数：原码（sign-and-magnitude）、反码（ones' complement）、补码（two's complement）以及移码（offset binary，excess-N）。

## 原码

二进制｜符号及值｜无符号

00000000｜+0｜0

00000001｜1｜1

...｜...｜...

01111111｜127｜127

10000000｜−0｜128

10000001｜−1｜129

...｜...｜...

11111111｜−127｜255

符号及值（sign & magnitude）的处理办法是分配一个符号位（sign bit）来表示这个符号：设置这个位（通常为最高有效位）为0表示一个正数，为1表示一个负数。数字中的其它位指示数值（或者绝对值）。因此一个字节只有7位（除去符号位），数值的范围从0000000（0）到1111111（127）。这样当你增加一个符号位（第八位）后，可以表示从−12710到+12710的数字。这种表示法导致的结果就是可以有两种方式表示零，00000000（0）与10000000（−0），这大大增加数码电路的复杂性和设计难度。CPU亦须执行两次比较，来测试运算结果是否为零。

十进制数−43用原码方法编码成八位的结果为10101011。

这种方法被直接比较于常用的符号表示法（放置一个“+”或者“−”在数字的数值之前）。一些早期的二进制电脑（例如IBM 7090）使用这种表示法，也许是由于它与通用用途的自然联系。原码是最常用的表示浮点数的方法。IEEE二进制浮点数算术标准（IEEE 754）采用最高有效位作为符号位，因此可表示正负零及正负无限。

## 反码

二进制值｜反码表示｜无符号数表示

00000000｜+0｜0

00000001｜1｜1

...｜...｜...

01111101｜125｜125

01111110｜126｜126

01111111｜127｜127

10000000｜−127｜128

10000001｜−126｜129

10000010｜−125｜130

...｜...｜...

11111110｜−1｜254

11111111｜−0｜255

另一方面，一种叫做反码（ones' complement）的系统也可以用于表示负数（注：正数与原码形式一样，无需取反）。一个负数的二进制数反码形式为其绝对值部分按位取反（即符号位不变，其余各位按位取反）。同原码表示一样，0的反码表示形式也有两种：00000000（+0）与11111111（−0）。

例如，原码10101011（-43）的反码形式为11010100（−43）。有符号数用反码表示的范围为−(2N−1−1)到(2N−1−1)，以及+/−0。一个惯常的八位的字节便是（可表示）−12710到+12710，以及00000000（+0）或者11111111（−0）。

对两个反码表示形式的数字做加法，首先需要进行常规的二进制加法，但还需要在和的基础上加上进位。下面是一个−1加上+2的例子。

```
       二进制    十进制
    11111110     -1
 +  00000010     +2
............    ...
  1 00000000      0   <-- 错误答案
           1     +1   <-- 加上进位
............    ...
    00000001      1   <-- 正确答案
```

在上面的例子中，二进制加法仅仅得到了00000000，这是一个错误的答案。只有当加上进位时才能得到正确答案（00000001）。

反码这种数字表示系统通常出现在老式的计算机中；PDP-1，CDC 160A，UNIVAC 1100/2200系列以及其它的一些电脑都使用反码算术。

关于正字法（orthography）的评述：这个系统之所以被称作反码（ones' complement）是因为一个正值x的反（表示为按位非x）也可以通过0的反码（ones' complement）表示形式（一长串的1，−0）减去x得到。

Internet协议IPv4，ICMP，UDP以及TCP都使用同样的16位反码检验和算法。虽然大多数计算机缺少“循环进位”硬件，但是这种额外的复杂性是可以接受的，因为“对于所有位（bit）位置上的错误都是同样敏感的”。在UDP中，全0表示省略了可选的检验和特性。另外一种表示：FFFF，指示了0的检验和。（在IPv4中，TCP和ICMP都强制性地规定了检验和，而在IPv6中可以省略）。

注意负数的反码只需按位求数值的补码就可以得到，符号不需要变动。

## 补码

二进制值｜补码表示｜无符号数表示

00000000｜0｜0

00000001｜1｜1

...｜...｜...

01111110｜126｜126

01111111｜127｜127

10000000｜−128｜128

10000001｜−127｜129

10000010｜−126｜130

...｜...｜...

11111110｜−2｜254

11111111｜−1｜255

补码（two's complement）回避了0有多种表示的问题以及循环进位的需要。在补码表示中，负数以位模式表示为正值的反码加1（当作无符号数）。

在补码表示中，只有一个0（00000000）。求一个数的补码（无论是负数还是正数）需要反转所有位，然后加1。一对补码整数相加等价于一对无符号数相加（除了溢出检测，如果能够做到的话）。比如，从旁边的表格可以看出，127与−128的补码表示相加就与无符号数127及128相加具有相同的结果。

从一个正数得到其对应负数的补码的简单方法表示如下：

例1｜例2

- 从右边开始，找到第一个'1'｜0101001｜0101100

- 反转从这个'1'之后开始到最左边的所有位｜1010111｜1010100

## 移码

移码（offset binary），是将二进制原码无符号整数所代表的值，减去一个预设值。

标准移码，预设值为二进制原码表示的最大整数的一半。一个数的标准移码和补码，最高位相反，其余各位均相同。

## 表示方式

下表列出了 4-bit 二进数所能表示的整数：

- 无符号（unsigned）可表示0到15
- 符号及值（sign & magnitude）可表示-7到+7，包括-0
- 一补码（ones' complement）可表示-7到+7，包括-0
- 二补码（two's complement）可表示-8到+7，没有±0的问题

二进数｜无符号｜符号位元｜一补码｜二补码

0000｜0｜0｜0｜0

0001｜1｜1｜1｜1

0010｜2｜2｜2｜2

0011｜3｜3｜3｜3

0100｜4｜4｜4｜4

0101｜5｜5｜5｜5

0110｜6｜6｜6｜6

0111｜7｜7｜7｜7

1000｜8｜-0｜-7｜-8

1001｜9｜-1｜-6｜-7

1010｜10｜-2｜-5｜-6

1011｜11｜-3｜-4｜-5

1100｜12｜-4｜-3｜-4

1101｜13｜-5｜-2｜-3

1110｜14｜-6｜-1｜-2

1111｜15｜-7｜-0｜-1