5的算术平方根

5的算术平方根是一个正的实数，为无理数，一般称为“根号5”，记为$\sqrt{5}$。$\sqrt{5}$乘以它本身的值为5。

$\sqrt{5}$和黄金比值有关。5的算术平方根数值为：

2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089 7

可以四舍五入为2.236，有99.99%的准确度。截至1994年4月，其数值在小数点后已计算到至少100万个位数。

## 连分数表示法

$\sqrt{5}$可以表示为连分数2; 4, 4, 4, 4, 4...。最佳有理数逼近的数列如下：

$${\color{OliveGreen}\frac{2}{1}}, \frac{7}{3} , {\color{OliveGreen}\frac{9}{4}} , \frac{20}{9} , \frac{29}{13} , {\color{OliveGreen}\frac{38}{17}} , \frac{123}{55} , {\color{OliveGreen}\frac{161}{72}} , \frac{360}{161} , \frac{521}{233} , {\color{OliveGreen}\frac{682}{305}} , \frac{2207}{987} , {\color{OliveGreen}\frac{2889}{1292}}, \dots$$

绿色的数字是$\sqrt{5}$的连分数的渐近分数，其分子为数列，而分母则为数列。其他黑色的数字则是半收敛的部分。

## 牛顿法

可以利用牛顿法计算$\sqrt{5}$，利用$r_{n+1}=\frac{r_n+\frac{5}{r_n}}{2}$的公式，启始值$r_0=2$，第$n$个近似值$r_n$等于最佳有理数逼近数列中第$2n$个收敛的有理数：

$$\frac{2}{1} = 2.0,\quad \frac{9}{4} = 2.25,\quad \frac{161}{72} = 2.23611\dots,\quad \frac{51841}{23184} = 2.2360679779 \ldots$$

## 和黄金比例及费氏数列的关系

<image>

黄金比例$\varphi$是$\sqrt{5}$ 和1的算术平均数。$\sqrt{5}$、黄金比例和共轭黄金比例（$\Phi = 1 / \varphi = \varphi - 1$）之间的代数关系可以用以下几个数学式来表示：

$$\sqrt{5} = \varphi + \Phi = 2\varphi - 1 = 2\Phi + 1$$

$$\varphi = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$$

$$\Phi = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}.$$

斐波那契数列也可以用包括$\sqrt{5}$及黄金比例的式子来表示：

$$F\left(n\right) = {{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}}.$$

$\sqrt{5}$ 除以$\varphi$得到的商（或$\sqrt{5}$和Φ的积）及其倒数的连分数有特别的模式，而且和费氏数列及卢卡斯数的比值有关：

$$\frac{\sqrt{5}}{\varphi} = \Phi \cdot \sqrt{5} = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} = 1.3819660112501051518\dots = [1; 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots]$$

$$\frac{\varphi}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\Phi \cdot \sqrt{5}} = \frac{5 + \sqrt{5}}{10} = 0.72360679774997896964\dots = [0; 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots].$$

其有理数逼近的数列，分子及分母分别为费氏数列及卢卡斯数：

$${1, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{7}{5}, \frac{11}{8}, \frac{18}{13}, \frac{29}{21}, \frac{47}{34}, \frac{76}{55}, \frac{123}{89}}, \dots \dots [1; 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots]$$

$${1, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{5}{7}, \frac{8}{11}, \frac{13}{18}, \frac{21}{29}, \frac{34}{47}, \frac{55}{76}, \frac{89}{123}}, \dots \dots [0; 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1,\dots].$$

## 几何上的意义

在几何学上，利用勾股定理可以证明长为2、宽为1的长方形，其对角线长度为$\sqrt{5}$。将一个正方形切成二等份或将二个正方形并在一起都可以产生上述的长方形。

以上的作法配合$\sqrt{5}$及黄金比例$\varphi$之间的代数关系，可以绘制黄金矩形，而一个正五边形的对角线和边长的比例也恰为黄金比例，因此也可在已知边长的条件下，绘制正五边形。

若一直角三角形的直角边分别为$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$，其斜边长度则为$\sqrt{5}$。

一个长宽比例为$1:\sqrt{5}$的长方形称做“根号5矩形”，是根矩形的一种，属于动态矩形的一类。动态矩形是一系列的矩形，由一个正方形开始，以前一个矩形的对角线为下一个矩形的长边，因此长边依序为$\sqrt{1}$ (= 1), $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{4}$ (= 2), $\sqrt{5}$...。

根号5矩形之所以特别，是因为可以分割成一个正方形及二个大小相同的黄金矩形（二边长为$\Phi\times 1$），或是二个大小不同的黄金矩形（二边长分别为$\Phi\times 1$及$1\times \varphi$）。也可以变成二个大小相同、有重叠部分的黄金矩形（二边长为$1 \times \varphi$），其重叠部分恰好形成一个正方形。上述的特性都是因为$\sqrt{5}$, $\varphi$及$\Phi$之间的代数关系所产生。

## 和丢番图逼近的关系

丢番图逼近中的Hurwitz定理说明每个无理数x可以被无穷多个有理数的最简分数m/n近似，且满足以下的不等式

$$\left|x - \frac{m}{n}\right| < \frac{1}{\sqrt{5}\,n^2}$$

此处的$\sqrt{5}$是最佳可能的常数，若选择其他较$\sqrt{5}$大的常数，就会存在一些无理数x，只存在有限多个满足上述不等式的有理数最简分式。

另一个定理也和上述定理有关，任意三个针对无理数$\alpha$的连续收敛有理数逼近$\frac{p_i}{q_i}$,

$\frac{p_{i+1}}{q_{i+1}}$,

$\frac{p_{i+2}}{q_{i+2}}$,

以下的不等式至少会有一个成立：

$$\left|\alpha - {p_i\over q_i}\right| < {1\over \sqrt5 q_i^2}, \qquad \left|\alpha - {p_{i+1}\over q_{i+1}}\right| < {1\over \sqrt5 q_{i+1}^2}, \qquad \left|\alpha - {p_{i+2}\over q_{i+2}}\right| < {1\over \sqrt5 q_{i+2}^2}.$$

而分母的$\sqrt{5}$也是最佳可能的常数，在逼近黄金比例时，此常数可以使左侧的差值任意的逼近右侧的数值。即使考虑四个或更多个连续的有理数逼近，也无法找到其他常数，可以使上界数值更小且满足类似条件。

## 抽象代数中的意义

环 $\mathbb{Z}\left[\,\sqrt{-5}\,\right]$中的数均可表示为$a\, +\, b\sqrt{-5}$的形式，其中$a$和$b$为整数，而$\sqrt{-5}$为虚数$i\sqrt{5}$。此环是一个整环，但不是唯一分解整环。例如在此环中，6的质因数分解方式就有二种：

$$6 = 2 \cdot 3 = \left(1 - \sqrt{-5}\right)\left(1 + \sqrt{-5}\right). \,$$

代数数域 $\mathbb{Q}\left[\,\sqrt{5}\,\right]$和其他二次域一様，都是有理数的代数扩张，因此依克罗内克－韦伯定理可证明5的平方根可以表示为单位根的有理线性组合：

$$\sqrt5 = e^{\frac{2\pi i}{5}} - e^{\frac{4\pi i}{5}} - e^{\frac{6\pi i}{5}} + e^{\frac{8\pi i}{5}}. \,$$

## 拉马努金的恒等式

数学家拉马努金发现的许多连分数恒等式都和$\sqrt{5}$有关。

例如以下的罗杰·拉马努金连分数：

$$\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1 + \cfrac{e^{-6\pi}}{1 + \ddots}}}} = \left( \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}} - \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right)e^{\frac{2\pi}{5}} = e^{\frac{2\pi}{5}}\left( \sqrt{\varphi\sqrt{5}} - \varphi \right)$$

$$\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi\sqrt{5}}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi\sqrt{5}}}{1 + \cfrac{e^{-6\pi\sqrt{5}}}{1 + \ddots}}}} = \left( {\sqrt{5} \over 1 + \left[5^{\frac{3}{4}}(\varphi - 1)^{\frac{5}{2}} - 1\right]^{\frac{1}{5}}} - \varphi \right)e^{\frac{2\pi}{\sqrt{5}}}$$

$$4\int_0^\infty\frac{xe^{-x\sqrt{5}}}{\cosh x}\,dx = \cfrac{1}{1 + \cfrac{1^2}{1 + \cfrac{1^2}{1 + \cfrac{2^2}{1 + \cfrac{2^2}{1 + \cfrac{3^2}{1 + \cfrac{3^2}{1 + \ddots}}}}}}}.$$

## 基本资料

- 作战范围：数表—无理数$\color{blue}\sqrt{2}$ - $\color{blue}\varphi$ - $\color{blue}\sqrt{3}$ - $\color{blue}\sqrt{5}$ - $\color{blue}\delta_S$ - $\color{blue}e$ - $\color{blue}\pi$
- 日语原文：5的平方根
- nav：no
- 制造数量：$\sqrt{5}$
- 面值：$\sqrt{5}\approx$2.236067977...
- 以此为根的多项式或函数：$x^{2}-5 = 0$
- 无理数：$\sqrt{5}$
- 别名：5的算术平方根、5的主平方根、根号5
- OEIS编号：A002163
- 连分数：$2 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \ddots}}}}$令$\!\ x = 4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{\ddots}}}}$，由观察可知$x=4+\frac{1}{x}$，即$x^2-4x-1=0$，解方程，取正根，得$x=2+\sqrt{5}$，因此$\sqrt{5}=x-2= 2 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{\ddots}}}}$。