信赖区间

在统计学中，一个概率样本的置信区间（confidence interval，CI），是对产生这个样本的总体的参数分布（parametric distribution）中的某一个未知母数值，以区间形式给出的估计。相对于点估计（point estimation）用一个样本统计量来估计参数值，置信区间还蕴含了估计的精确度的信息。在现代机器学习中越来越常用的置信集合（confidence set）概念是置信区间在多维分析的推广。

置信区间在频率学派中间使用，其在贝叶斯统计中的对应概念是可信区间（credible interval）。两者建立在不同的概念基础上的，贝叶斯统计将分布的位置参数视为随机变量，并对给定观测到的数据之后未知参数的后验分布进行描述，故无论对随机样本还是已观测数据，构造出来的可信区间，其可信水平都是一个合法的概率；而置信区间的置信水平，只在考虑随机样本时可以被理解为一个概率。

## 定义

### 对随机样本的定义

定义置信区间最清晰的方式是从一个随机样本出发。考虑一个一维随机变量${\cal X}$服从分布${\cal F}$，又假设$\theta$是${\cal F}$的参数之一。假设我们的数据采集计划将要独立地抽样$n$次，得到一个随机样本$\{X_1,\ldots,X_n\}$，注意这里所有的$X_i$都是随机的，我们是在讨论一个尚未被观测的数据集。如果存在统计量（统计量定义为样本$X=\{X_1,\ldots,X_n\}$的一个函数，且不得依赖于任何未知参数）$u(X_1,\ldots,X_n),v(X_1,\ldots,X_n)$满足$u(X_1,\ldots,X_n)<v(X_1,\ldots,X_n)$使得：

$$\mathbb{P}\left(\theta\in\left(u(X_1,\ldots,X_n),v(X_1,\ldots,X_n)\right)\right)=1-\alpha$$

则称$\left(u(X_1,\ldots,X_n),v(X_1,\ldots,X_n)\right)$为一个用于估计参数$\theta$的$1-\alpha$置信区间，其中的，$1-\alpha$称为置信水平，$\alpha$在假设检验中也称为显著性水平。

### 对观测到的数据的定义

接续随机样本版本的定义，现在，对于随机变量${\cal X}$的一个已经观测到的样本$\{x_1,\ldots,x_n\}$，注意这里用小写x表记的$x_i$都是已经观测到的数字，没有随机性了，定义基于数据的$1-\alpha$置信区间为：

$$\left(u(x_1,\ldots,x_n),v(x_1,\ldots,x_n)\right)$$

注意，置信区间可以是单尾或者双尾的，单尾的置信区间中设定$u=-\infty$或者$v=+\infty$，具体前者还是后者取决于所构造的置信区间的方向。

初学者常犯一个概念性错误，是将基于观测到的数据所同样构造的置信区间的置信水平，误认为是它包含真实未知参数的真实值的概率。正确的理解是：置信水平只有在描述这个同样构造置信区间的过程（或称方法）的意义下才能被视为一个概率。一个基于已经观测到的数据所构造出来的置信区间，其两个端点已经不再具有随机性，因此，类似的构造的间隔将会包含真正的值的比例在所有值中，其包含未知参数的真实值的概率是0或者1，但我们不能知道是前者还是后者。

## 例子

### 例1：正态分布，已知总体方差$\sigma^2$

$1-\alpha$水平的正态置信区间为：

$\left( \bar{x}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$ (双尾)

$\left( -\infty, \bar{x}+z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$ (单尾)

$\left( \bar{x}-z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, +\infty \right)$ (单尾)

以下为方便起见，只列出双尾置信区间的例子，且区间中用"$\pm$"进行简记：

### 例2：正态分布，未知总体方差$\sigma^2$

$1-\alpha$水平的双尾正态置信区间为：

$$\left( \bar{x}\pm t_{n-1;\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

### 例3：两个独立正态样本

设有两个独立正态样本$x$和$y$，样本大小为$m$和$n$，估计总体均值之差$\mu_1-\mu_2$，假设总体方差未知但相等：$\sigma_1=\sigma_2$(如果未知且不等就要应用Welch公式来确定t分布的自由度)

$1-\alpha$水平的双尾正态置信区间为：

$\left( \bar{x}-\bar{y}\pm t_{m+n-2;\alpha/2}\cdot s_p\cdot \sqrt{\frac1m+\frac1n} \right)$，其中$s_p=\sqrt{\frac{(m-1)s_x^2+(n-1)s_y^2}{m+n-2}}$且$s_x,s_y$分别表示$x$和$y$的样本标准差。

## 常见误解

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信赖区间及信心水准常被误解，出版的研究也显示出既使是专业的科学家也常做出错误的诠释。

- 以95%的信赖区间来说，建构出一个信赖区间，不代表分布的参数有95%的几率会落在该信赖区间内（也就是说该区间有95%的几率涵盖了分布参数）。依照严格的频率学派诠释，一旦信赖区间被建构完全，此区间不是涵盖了参数就是没涵盖参数，已经没有几率可言。95%几率指的是建构信赖区间步骤的可靠性，不是针对一个特定的区间。内曼本人（信赖区间的原始提倡者）在他的原始论文提出此点：“在上面的叙述中可以注意到，几率是指统计学家在未来关心的估计问题。事实上，我已多次说明，正确结果的频率会趋向于α。考虑到一个样本已被抽取，特定端点也已被计算完成。我们能说在这个特定的例子里真值落到端点中的几率等于α吗？答案明显是否定的。参数是未知的常数，无法做出对其值的几率叙述……”

Deborah Mayo针对此点进一步说道：“无论如何必须强调，在看到资料的数值后，Neyman–Pearson理论从不允许做出以下结论，特定产生的信赖区间涵盖了真值的几率或信心为(1 − α)100%。Seidenfeld的评论似乎源于一种（并非不寻常的）期望，Neyman–Pearson信赖区间能提供他们无法合理提供的，也就是未知参数落入特定区间的几率大小、信心高低或支持程度的测度。随着Savage (1962)之后，参数落入特定区间的几率可能是指最终精密度的测度。最终精密度的测度令人向往而且信赖区间又常被(错误地)解释成可提供此测度，然而此解释是不被保证的。无可否认的，‘信赖’二字助长了此误解。”

- 95%信赖区间不代表有95%的样本资料落在此信赖区间。
- 信赖区间不是样本参数的可能值的确定范围，虽然它常被启发为可能值的范围。
- 从一个实验中算出的一个95%信赖区间，不代表从不同实验得到的样本参数有95%落在该区间中

## 构造法

一般来说，置信区间的构造需要先找到一个枢轴变量（pivotal quantity，或称pivot），其表达式依赖于样本以及待估计的未知参数(但不能依赖于总体的其它未知参数)，其分布不依赖于任何未知参数。

下面以上述例2为例，说明如何利用枢轴变量构造置信区间。对于一个正态分布的随机样本${X_1,\ldots,X_n}$，可以证明(此证明对初学者并不容易)如下统计量互相独立：

$\bar{X}=\frac1n \sum_{i=1}^n X_i$ 和 $S^2=\frac{\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2}{n-1}$

它们的分布是：

$\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$ 和 $(n-1)\frac{S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}$

所以根据t分布的定义，有

$$t = \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t_{n-1}$$

于是反解如下等式左边括号中的不等式

$$\mathbb{P}\left( -t_{n-1;\alpha/2}<t=\frac{\bar{X}-\mu}{S\sqrt{n}}<t_{n-1;\alpha/2} \right)=1-\alpha$$

就得到了例2中双尾置信区间的表达式。

## 与参数检验的联系

有时，置信区间可以用来进行母数检验。例如在上面的例1中构造的双尾$1-\alpha$水平置信区间，可以用来检验具有相应的显著水平为$\alpha$的双尾对立假说，具体地说是如下检验：

正态分布总体，知道总体方差$\sigma^2$，在$\alpha$显著水平下检验：

$H_0: \mu=\mu_0$ vs $H_1: \mu \neq\mu_0$

检验方法是：当（且仅当）相应的$1-\alpha$水平置信区间不包含$\mu_0$时拒绝零假设$H_0$

例1中构造的双尾$1-\alpha$水平置信区间也可以用来检验如下两个显著水平为$\alpha/2$的单尾对立假设：

$H_0: \mu\leq \mu_0$ vs $H_1: \mu >\mu_0$

和

$H_0: \mu\geq \mu_0$ vs $H_1: \mu <\mu_0$

检验方法是完全类似的，比如对于上述第一个单尾检验$H_1: \mu >\mu_0$，当且仅当双尾置信区间的左端点大于$\mu_0$时拒绝零假设。

## 参考书目

- 罗纳德·费雪 (1956) Statistical Methods and Scientific Inference. Oliver and Boyd, Edinburgh. (See p. 32.)
- 弗罗因德 (1962) Mathematical Statistics Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ. (See pp. 227–228.)
- 伊安·海金 (1965) Logic of Statistical Inference. Cambridge University Press, Cambridge
- 齐平 (1962) Introduction to Statistical Inference. D. Van Nostrand, Princeton, NJ.
- 杰克·基弗(1977) "Conditional Confidence Statements and Confidence Estimators (with discussion)" Journal of the American Statistical Association, 72, 789–827.
- 泽西·内曼 (1937) "Outline of a Theory of Statistical Estimation Based on the Classical Theory of Probability" Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 236, 333–380. (Seminal work.)
- G.K.罗宾逊 (1975) "Some Counterexamples to the Theory of Confidence Intervals." Biometrika, 62, 155–161.