艾里函数

艾里函数（Ai(x)），英国英格兰天文学家、数学家乔治·比德尔·艾里命名的特殊函数，他在1838年研究光学的时候遇到了这个函数。Ai(x)的记法是Harold Jeffreys引进的。Ai(x)与相关函数Bi(x)（也称为艾里函数），是以下微分方程的解：

$$y'' - xy = 0 , \,\!$$

这个方程称为艾里方程或斯托克斯方程。这是最简单的二阶线性微分方程，它有一个转折点，在这一点函数由周期性的振动转变为指数增长（或衰减）。

## 定义

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对于实数x，艾里函数由以下的积分定义：

$$\mathrm{Ai}(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \cos\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\, dt.$$

虽然这个函数不是绝对可积的（当t趋于+∞时积分表达式不趋于零），这个广义积分还是收敛的，因为它快速振动的正数和负数部分倾向于互相抵消（这可以用分部积分法来检验）。

把:$y= Ai(x)$求导，我们可以发现它满足以下的微分方程：

$$y'' - xy = 0 . \,\!$$

这个方程有两个线性独立的解。除了:$Ai(x)$以外，另外一个解称为第二艾里函数，记为$Bi(x)$。它定义为当x趋于−∞时，振幅与$Ai(x)$相等，但相位与$Ai(x)$相差$\frac{\pi}{2}$ 的函数：

$$\mathrm{Bi}(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \ e^{\left(-\frac{t^3}{3} + xt\right)} + \sin\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\,dt.$$

## 性质

$x = 0$时，$\mathrm{Ai}(x)$和 $\mathrm{Bi}(x)$以及它们的导数的值为：

$$\begin{align} <pre> \mathrm{Ai}(0) &{}= \frac{1}{\sqrt[3]{9} \Gamma(\frac23)}, & \quad \mathrm{Ai}'(0) &{}= -\frac{1}{\sqrt[3]{3} \Gamma(\frac13)}, \\ \mathrm{Bi}(0) &{}= \frac{1}{\sqrt[6]{3}\Gamma(\frac23)}, & \quad \mathrm{Bi}'(0) &{}= \frac{\sqrt[6]{3}}{\Gamma(\frac13)}. </pre> \end{align}$$

在这里，${\Gamma}$表示伽玛函数。可以推出Ai(x)和Bi(x)的朗斯基行列式是$\frac{1}{\pi}$。

当x是正数时，Ai(x)是正的凸函数，指数衰减为零，Bi(x)也是正的凸函数，但呈指数增长。当x是负数时，Ai(x)和Bi(x)在零附近振动，其频率逐渐上升，振幅逐渐下降。这可以由以下艾里函数的渐近公式推出。

## 渐近公式

当x趋于+∞时，艾里函数的渐近表现为：

$$\begin{align} <pre> \mathrm{Ai}(x) &{}\sim \frac{e^{-\frac23x^{3/2}}}{2\sqrt\pi\,x^{1/4}} \\ \mathrm{Bi}(x) &{}\sim \frac{e^{\frac23x^{3/2}}}{\sqrt\pi\,x^{1/4}}. </pre> \end{align}$$

而对于负数方向的极限，则有：

$$\begin{align} <pre> \mathrm{Ai}(-x) &{}\sim \frac{\sin(\frac23x^{3/2}+\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,x^{1/4}} \\ \mathrm{Bi}(-x) &{}\sim \frac{\cos(\frac23x^{3/2}+\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,x^{1/4}}. </pre> \end{align}$$

这些极限的渐近展开式也是可以得到的。

## 自变量是复数时的情形

我们可以把艾里函数的定义扩展到整个复平面：

$$\mathrm{Ai}(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{C} \exp\left(\frac{t^3}{3} - zt\right)\, dt,$$

其中积分路径$C$从辐角为-(1/3)π的无穷远处的点开始，在辐角为(1/3)π的无穷远处的点结束。此外，我们也可以用微分方程$y'' - xy = 0$来把Ai(x)和Bi(x)延拓为复平面上的整函数。

以上Ai(x)的渐近公式在复平面上也是正确的，如果取主值为x2/3，且x不在负的实数轴上。Bi(x)的公式也是正确的，只要x位于扇形{x∈C : |arg x| < (1/3)π−δ}内，对于某个正数δ。最后，Ai(−x)和Bi(−x)是正确的，如果x位于扇形{x∈C : |arg x| < (2/3)π−δ}内。

从艾里函数的渐近表现可以推出，Ai(x)和Bi(x)在负的实数轴上都有无穷多个零点。Ai(x)在复平面内没有其它零点，而Bi(x)在扇形{z∈C : (1/3)π < |arg z| < (1/2)π}内还有无穷多个零点。

### 图像

$\Re \left[ \mathrm{Ai} ( x + iy) \right]$｜$\Im \left[ \mathrm{Ai} ( x + iy) \right]$｜$| \mathrm{Ai} ( x + iy) | \,$｜$\mathrm{arg} \left[ \mathrm{Ai} ( x + iy) \right] \,$

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$\Re \left[ \mathrm{Bi} ( x + iy) \right]$｜$\Im \left[ \mathrm{Bi} ( x + iy) \right]$｜$| \mathrm{Bi} ( x + iy) | \,$｜$\mathrm{arg} \left[ \mathrm{Bi} ( x + iy) \right] \,$

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## 与其它特殊函数的关系

当自变量是正数时，艾里函数与变形贝塞尔函数之间有以下的关系：

$$\begin{align} <pre> \mathrm{Ai}(x) &{}= \frac1\pi \sqrt{\frac13 x} \, K_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right), \\ \mathrm{Bi}(x) &{}= \sqrt{\frac13 x} \left(I_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) + I_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right). </pre> \end{align}$$

在这里，I±1/3和K1/3是方程$x^2y'' + xy' - (x^2 + 1/9)y = 0$的解。

当自变量是负数时，艾里函数与贝塞尔函数之间有以下的关系：

$$\begin{align} <pre> \mathrm{Ai}(-x) &{}= \frac13 \sqrt{x} \left(J_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) + J_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right), \\ \mathrm{Bi}(-x) &{}= \sqrt{\frac13 x} \left(J_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) - J_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right). \end{align} </pre>$$

在这里，J±1/3是方程$x^2y'' + xy' + (x^2 - 1/9)y = 0$的解。

Scorer函数是$y'' - xy = 1/\pi$的解，它也可以用艾里函数来表示：

$$\begin{align} <pre> \mathrm{Gi}(x) &{}= \mathrm{Bi}(x) \int_x^\infty \mathrm{Ai}(t) \, dt + \mathrm{Ai}(x) \int_0^x \mathrm{Bi}(t) \, dt, \\ \mathrm{Hi}(x) &{}= \mathrm{Bi}(x) \int_{-\infty}^x \mathrm{Ai}(t) \, dt - \mathrm{Ai}(x) \int_{-\infty}^x \mathrm{Bi}(t) \, dt. \end{align} </pre>$$

或是利用超几何函数。

$$\operatorname{Gi}(z)\equiv\frac1 3\operatorname{Bi}(z)-\frac{z^2}{2\pi}{_1F_2}(1;4/3,5/3;z^3/9)$$

$$\operatorname{Hi}(z)\equiv\frac2 3\operatorname{Bi}(z)+\frac{z^2}{2\pi}{_1F_2}(1;4/3,5/3;z^3/9)$$

## 参考文献

- Milton Abramowitz and Irene A. Stegun (1954). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (See §10.4) . National Bureau of Standards.
- Airy (1838). On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic. Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 6, 379–402.
- Olver (1974). Asymptotics and Special Functions, Chapter 11. Academic Press, New York.
- （含有许多图像）