倒易点阵

倒易点阵（reciprocal lattice），又称倒（易）晶格、倒（易）格子，是物理学中描述空间波函数的傅立叶变换后的周期性的一种方法。相对于正晶格所描述的实空间周期性，倒晶格描述的是动量空间，亦可认为是k空间的周期性。根据位置和动量所满足的庞特里亚金对偶性，布拉菲晶格的倒晶格仍然是一种布拉菲晶格，而倒晶格的倒晶格就会变回原始晶格（正晶格）。

## 数学描述

### 一维晶格

对于以$\boldsymbol{a}$为基矢的一维晶格，其倒格子的基矢为

$$\boldsymbol{b}=2 \pi \frac{\boldsymbol{a}}{a^2}$$

### 二维晶格

对于以$(\boldsymbol{a_{1}}, \boldsymbol{a_{2}})$为基矢的二维晶格，定义其二维平面法线向量为$\boldsymbol{n}$，其倒格子的基矢为

$$\boldsymbol{b_{1}}=2 \pi \frac{\boldsymbol{a_{2}} \times \boldsymbol{n}}{\boldsymbol{a_{1}} \cdot (\boldsymbol{a_{2}} \times \boldsymbol{n})}$$

$$\boldsymbol{b_{2}}=2 \pi \frac{\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{a_{1}}}{\boldsymbol{a_{2}} \cdot (\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{a_{1}})}$$

### 三维晶格

对三维晶格而言，我们定义素晶胞的基矢 $(\boldsymbol{a_{1}}, \boldsymbol{a_{2}}, \boldsymbol{a_{3}})$，可以用下列公式决定倒晶格的晶胞基矢$(\boldsymbol{b_{1}}, \boldsymbol{b_{2}}, \boldsymbol{b_{3}})$

$$\boldsymbol{b_{1}}=2 \pi \frac{\boldsymbol{a_{2}} \times \boldsymbol{a_{3}}}{\boldsymbol{a_{1}} \cdot (\boldsymbol{a_{2}} \times \boldsymbol{a_{3}})}$$

$$\boldsymbol{b_{2}}=2 \pi \frac{\boldsymbol{a_{3}} \times \boldsymbol{a_{1}}}{\boldsymbol{a_{2}} \cdot (\boldsymbol{a_{3}} \times \boldsymbol{a_{1}})}$$

$$\boldsymbol{b_{3}}=2 \pi \frac{\boldsymbol{a_{1}} \times \boldsymbol{a_{2}}}{\boldsymbol{a_{3}} \cdot (\boldsymbol{a_{1}} \times \boldsymbol{a_{2}})}$$

### 倒晶格与正晶格的关系

倒晶格与正晶格的基矢满足以下关系

$$\boldsymbol{a_{i}} \cdot \boldsymbol{b_{j}}=2 \pi \delta_{ij}= \begin{cases} 2 \pi, & i\ =\ j \\ 0, & i\ \ne\ j \end{cases}$$

定义三维中的倒晶格向量G

$$\mathbf{G}=h \boldsymbol{b_{1}} + k \boldsymbol{b_{2}} + l \boldsymbol{b_{3}}$$

其中(h,k,l)为密勒指数，向量G的模长与正晶格的晶面间距有以下关系

$$\mathbf{|G_{hkl}|}=\frac{2 \pi}{d_{hkl}}$$

向量G和正晶格向量R有以下关系

$$\mathbf{R}=c_{1} \boldsymbol{a_{1}} + c_{2} \boldsymbol{a_{2}} + c_{3} \boldsymbol{a_{3}}$$

$$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{G \cdot R}}=1$$

三维倒晶格中的晶胞体积ΩG和正晶格的晶胞体积Ω有以下关系

$$\Omega_{G}=\frac{(2 \pi)^3}{\Omega}$$

## 倒晶格的物理意义

在此以一维晶格为例。在一个以$\boldsymbol{a}$为基矢的一维晶格中，其波函数应该为布洛赫波

$$\psi_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x})$$

定义其倒晶格向量

$$\boldsymbol{G}=n\boldsymbol{b},\ n=0, 1, 2, \cdots$$

$$\boldsymbol{b}=2 \pi \frac{\boldsymbol{a}}{a^2}$$

$$\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{a}=2 \pi n$$

以及一个函数

$$\begin{alignat}{2} u_{\boldsymbol{k+G}}({\boldsymbol{x}}) & =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{x}} u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x}) \\ u_{\boldsymbol{k+G}}({\boldsymbol{x+a}}) &=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{x}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{a}} u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x+a}) \\ & =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{x}} u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x+a}) \\ \end{alignat}$$

由于$u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x})$是一个布洛赫波包，满足

$$u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x+a})=u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x})$$

所以

$$u_{\boldsymbol{k+G}} (\boldsymbol{x+a})=u_{\boldsymbol{k+G}} (\boldsymbol{x})$$

也是一个布洛赫波包。则波函数有以下性质

$$\begin{align} \psi_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x}) & = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x}) \\ & = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\boldsymbol{k+G})\cdot\boldsymbol{x}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{x}} u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x}) \\ & = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\boldsymbol{k+G})\cdot\boldsymbol{x}}u_{\boldsymbol{k+G}} (\boldsymbol{x}) \\ & = \psi_{\boldsymbol{k+G}} (\boldsymbol{x}) \end{align}$$

可见，倒晶格向量G描述了波函数在以k为基矢的动量空间（k空间）内的周期性。其向量单位，即倒晶格的基矢$\boldsymbol{b_{i}}$是描述k空间中平移对称性的基矢。其最小可重复单位，即倒晶格的晶胞，称为第一布里渊区。由于波矢k和动量与波函数对应的能量密切相关，在能带理论中也用来解释能带的周期性。

## 倒晶格与晶体衍射

晶体衍射满足布拉格定律

$$\begin{alignat}{2} 2 d\sin\theta = n\lambda \\ 2 \times \frac{2 \pi}{\lambda}\sin\theta=\frac{2 \pi}{d_{n}} \\ \end{alignat}$$

定义入射波波矢为$\boldsymbol{k}$，则上述公式可变换为

$$\begin{array}{lcl} |\boldsymbol{k}|= \cfrac{2 \pi}{\lambda} \\ \mathbf{|G_{hkl}|}=\cfrac{2 \pi}{d_{hkl}} \\ 2 |\boldsymbol{k}| \sin \theta = |\mathbf{G}| \\ \end{array}$$

因此满足布拉格定律的晶体衍射反映的不是正晶格，而是倒晶格。

进一步将以上公式转化为向量形式，定义入射波波矢为$\boldsymbol{k_i}$，反射波波矢为$\boldsymbol{k_o}$，可以得到

$$\boldsymbol{\Delta k} = \boldsymbol{k_o} - \boldsymbol{k_i} = \mathbf{G}$$

这个形式也和劳厄方程式相符。

晶体衍射的想法也可以用来解释能带结构中，为什么能量的分布是不连续的。

## 常见布拉菲晶格的倒晶格

### 简单立方晶体

简单立方晶体的素格子基矢可以写成

$$\boldsymbol{a_1}=a\hat{x}$$

$$\boldsymbol{a_2}=a\hat{y}$$

$$\boldsymbol{a_3}=a\hat{z}$$

体积为

$$\boldsymbol{a_1}\cdot\boldsymbol{a_2}\times\boldsymbol{a_3}=a^3$$

可推得倒晶格的素格子基矢

$$\boldsymbol{b_1} = {2\pi \over a} \hat{x}$$

$$\boldsymbol{b_2} = {2\pi \over a} \hat{y}$$

$$\boldsymbol{b_3} = {2\pi \over a} \hat{z}$$

所以简单立方晶体的倒晶格同样为简单立方晶体，但是晶格常数为 $2 \pi\over a$。

### 面心立方晶体(FCC)

面心立方晶体的素格子基矢可以写成下列三项

$$\boldsymbol{a_1}={a\over 2}\left(\hat{y}+\hat{z} \right)$$

$$\boldsymbol{a_2}={a\over 2}\left(\hat{z}+\hat{x} \right)$$

$$\boldsymbol{a_3}={a\over 2}\left(\hat{x}+\hat{y} \right)$$

体积为

$$\boldsymbol{a_1}\cdot\boldsymbol{a_2}\times\boldsymbol{a_3}={a^3\over 4}$$

可推得倒晶格之素格子基矢

$$\boldsymbol{b_1} = {2\pi \over a} \left(-\hat{x} +\hat{y} +\hat{z}\right)$$

$$\boldsymbol{b_2} = {2\pi \over a} \left(+\hat{x} -\hat{y} +\hat{z}\right)$$

$$\boldsymbol{b_3} = {2\pi \over a} \left(+\hat{x} +\hat{y} -\hat{z}\right)$$

面心立方晶体的倒晶格为体心立方晶体。

### 体心立方晶体(BCC)

体心立方晶体的素格子基矢可以写成下列三项

$$\boldsymbol{a_1}={a\over 2}\left(-\hat{x} +\hat{y} +\hat{z}\right)$$

$$\boldsymbol{a_2}={a\over 2}\left(+\hat{x} -\hat{y} +\hat{z}\right)$$

$$\boldsymbol{a_3}={a\over 2}\left(+\hat{x} +\hat{y} -\hat{z}\right)$$

体积为

$$\boldsymbol{a_1}\cdot\boldsymbol{a_2}\times\boldsymbol{a_3}={a^3\over 2}$$

可推得倒晶格之素格子基矢

$$\boldsymbol{b_1} = {2\pi \over a} \left(\hat{y}+\hat{z} \right)$$

$$\boldsymbol{b_2} = {2\pi \over a} \left(\hat{z}+\hat{x} \right)$$

$$\boldsymbol{b_3} = {2\pi \over a} \left(\hat{x}+\hat{y} \right)$$

可得知体心立方晶体之倒晶格为面心立方晶体。

在布拉菲晶格中,三轴互为九十度的$(\boldsymbol{a_{1}}, \boldsymbol{a_{2}}, \boldsymbol{a_{3}})$ (立方, 正方, 斜方)的晶体结构,是很容易被证明其倒晶格空间之三轴$(\boldsymbol{b_{1}}, \boldsymbol{b_{2}}, \boldsymbol{b_{3}})$与其真实晶格之三轴有垂直的关系.

## 参阅

- 晶体学
- 对偶空间
- 电子衍射
- 埃瓦尔德球（Ewald's sphere）
- 密勒指数（Miller index）
- 布里渊区

## 外部链接

- http://newton.umsl.edu/run//nano/known.html - Jmol-based electron diffraction simulator lets you explore the intersection between reciprocal lattice and Ewald sphere during tilt.
- DoITPoMS Teaching and Learning Package on Reciprocal Space and the Reciprocal Lattice