西罗定理

在数学的群论中，西罗定理（Sylow Theorems）是一系列关于有限群的定理，由挪威数学家彼得·卢德维格·梅德尔·西罗在1872年证明。这些定理使得代数学家对有限群的结构有了更深入的了解，并对有限群的研究以及百年后的有限单群分类工作给出了不少贡献。

西罗定理处理了拉格朗日定理的部分反例。拉格朗日定理表明，如果 $H$ 是 $G$ 的子群，那么子群$H$的阶 $|H|$ 是 $|G|$ 的因数；但逆命题未必成立， $|G|$ 的因数未必等于某个子群的阶。西罗定理表明，$|G|$ 的形如 $p^r$ 的因数确实是一些子群的阶，定理亦给出这种类型子群数目的相关讯息。

## 定理叙述

给定有限群 $G$，通过质因数分解，可以把 $|G|$ 表示成 $p^n \times m$ 的形式（并且 $m$ 不被 $p$ 整除）。如果 $G$ 的子群 $H$ 的阶是 $p$ 的某个幂：$|H| = p^k$， $k > 0$，则称 $H$ 为 $p$-子群。西罗 $p$-子群是其中最大的一类，其定义为阶等于 $p^n$ 的子群。群 $G$ 的西罗 $p$-子群构成的集合一般记为 $\text{Syl}_p(G)$。

西罗定理有三个部分：

- 对于所有介于 $1$ 到 $n$ 之间的正整数 $r$， $G$ 存在阶为 $p^r$ 的子群。
- $G$ 中的所有西罗 $p$-子群互相共轭。
- $G$ 中西罗 $p$-子群的个数是 $m$ 的因数、并且具有 $kp + 1$ 的形式（模 $p$ 余 $1$）。

### 无限群的西罗定理

无限群中的西罗 $p$-子群为在给定群内之 $p$-子群中，以内含关系为序，极大的 $p$-子群。可用佐恩引理证明这类子群存在。

定理：若 $K$ 为 $G$ 的西罗 $p$-子群，且 $n_p = |\operatorname{Cl}(K)|$ 有限，则所有西罗 $p$-子群都与 $K$ 共轭，且 $n_p \equiv 1 \mod p$，其中 $\operatorname{Cl}(K)$ 表示 $K$ 的共轭类。

## 应用例子

设群 $G$ 阶为 $15 = 3 \cdot 5$。令 $n_3$ 为西罗 $3$ 子群的数量，则 $n_3$ 整除 $5$，且模 $3$ 余 $1$。满足上述条件的整数只有 1；因此，$G$ 有且仅有一个阶为 $3$ 的子群，且其必须正规（因为其没有其他的共轭）。类似地，$n_5$ 整除 $3$，且 $n_5 \equiv 1 \mod 5$；所以 $G$ 有且仅有一个阶为 $5$ 的正规子群。由于 3 和 5 互质，此两个子群的交集为平凡群 $\{e\}$，所以 $G$ 必须为循环群。因此，同构意义上只存在一个阶为 15 的群，记为 $\mathbb{Z} / 15\mathbb{Z}$。

举另一个更复杂的例子来说，可证明不存在一个阶为 $350$ 的单群。若 $|G| = 350 = 2 \cdot 5^2 \cdot 7$，则 $n_5$ 必须整除 $14 = 2 \cdot 7$，且 $n_5 \equiv 1 \mod 5$。由此可知 $n_5 = 1$（因为 6 和 11 都不整除 14），所以 $G$ 必然会有一个阶为 $5^2$ 的正规子群，故不可能为单群。

## 西罗定理的证明

西罗定理的证明利用了群作用的许多概念。群 $G$ 会以许多种方式作用在其自身或其 $p$-子群上，而此类的每个作用则可以被利用来证明西罗定理的其中一个定理。下列的证明是基于 1959 年 H. Wielandt 所发表之整合的论述。下面用 $a \mid b$ 表示“ $a$ 整除 $b$ ”，而 $a \nmid b$ 表示“ $a$ 不整除 $b$ ”。

### 第一西罗定理

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'''定理：'''对[[有限群]] <math>G</math>，若对其[[階 (群論)|阶]] <math>|G|</math> 存在[[素数]] <math>p</math> 满足，存在[[正整数]] <math>k</math>，使得 <math>p^k</math> [[整除]] <math>|G|</math>，则该群存在阶为 <math>p^k</math> 的[[子群]]。
```

证明：设 $|G| = p^k m$， $p^r \mid m$ 且 $p^{r+1} \nmid m$。令 $\Omega$ 为 $G$ 中元素个数为 $p^k$ 的子集所组成的集合，有 $|\Omega| = \binom{p^km}{p^k}$ 及 $p^{r+1} \nmid \binom{p^km}{p^k}$，其中 $\binom{p^km}{p^k}$ 是一个二项式系数，此处我们考虑它在组合数学中的意义，即“从 $p^{km}$ 个相异元素选出 $p^k$ 个元素的方法数”，这等价于元素个数为 $p^k m$ 的集合 $G$ 中元素个数为 $p^k$ 的子集的个数，因此等于 $|\Omega|$。

令 $G$ 以左乘积作用于 $\Omega$ 上。基于 $r$ 的定义，存在一个于 $\Omega$ 内的子集 $A$，使得其轨道 $\Theta = A^G$ 的元素个数不被 $p^{r+1}$ 整除， $p^{r+1} \nmid |\Theta|$。

这里有 $|\Theta| = |A^G| = [G : G_A] = |G| / |G_A|$，其中 $G_A$ 代表集合 $A$ 的稳定子子群。因此 $p^k \mid |G_A|$ 故 $p^k \leq |G_A|$。注意在 $G_A$ 的作用下之于 $A$ 内的两个元素 $a$ 和 $ga$ 可能不同，所以 $|A| \geq |G_A|$。由上述 $p^k \leq |G_A|$ 和 $p^k = |A| \geq |G_A|$ 两结论可知 $|G_A| = p^k$。$G_A$ 即为所求的群。$\square$

该定理一个平凡的推论是，如果质数 $p$ 整除群 $G$ 的阶，那么 $G$ 有至少一个西罗 $p$-子群。

### 第二西罗定理

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'''定理：'''若''H''是''G''的[[子群]]且|''H''|=''p<sup>s</sup>''，以及''P''為''G''的p-西羅子群，則存在一個在''G''內的元素''a''會使得''a''H''a<sup>-1</sup>''為''P''的子群。特別地是，所有''G''的西羅''p''-子群都會[[共軛類|共軛]]（且因此[[同構]]）於另一個，即若''H''和''K''為''G''的西羅''p''-子群，則存在一個''G''內的元素''g''會使得''g''<sup>&minus;1</sup>''Hg'' = ''K''。
```

先证明一个有用的引理：

引理: 设G为一个有限p-群，将G作用于一个有限集合Ω上，及令Ω0为在G的作用下为固定之Ω内的点所组成之集合。然后可知|Ω| ≡ |Ω0| mod p。

证明：将Ω写成在G下之轨道此种不相交集合的联集。每一个在Ω内的元素x若在G的作用下不固定的话，其将会在其目为|G|/|Gx|之轨道上（其中Gx为稳定子），此目依题目的假设会是p的倍数（不可能为1，因为其目为1的轨道即为在G的作用下固定的点）。因此结论立即就出来了。

证明：设Ω为G内P的左陪集所组成的集合，及H以左乘积作用在Ω上。应用H于Ω上的引理，可知|Ω0| ≡ |Ω| = G : P mod p。由定义可知p $\nmid$ G : P，所以p $\nmid$ |Ω0|，且因为|Ω0| ≠ 0，故会存在一些gP ∈ Ω0。因此对每个于H内的元素h，hgP = gP，故g−1hgP = P且g−1hg ∈ P，且因此h ∈ gPg−1，故H会包含于某些G内元素g之gPg−1内。若H为一个西罗p-子群，则|H| = |P| = |gPg−1|，因此对某些在G内的g，H = gPg−1。

### 第三西罗定理

```
'''定理：'''設''q''為一有限群''G''的任一西羅''p''-子群的目，則''n<sub>p</sub>'' | |''G''|/''q''且''n<sub>p</sub>'' &equiv; 1 mod ''p''。
```

证明：依定理2，np = G : NG(P)，其中P为任一个子群且NG(P)为于G内P的正规化子，可知此数为|G|/q的因数。令Ω为所有G的西罗p-子群所组成的集合，且P以共轭作用于Ω上。设Q ∈ Ω0并可知对所有x ∈ P，Q = xQx−1，因此P ⊆ NG(Q)。依定理2，P和Q会于NG(Q)内共轭，尤其是Q会在NG(Q)为正规，故可知P = Q。由上可知Ω0 = {P}，因此由引理可知|Ω| ≡ |Ω0| = 1 mod p。

## 算法

由一个给定的群中得出一个西罗子群是计算群论中一个很重要的问题。在置换群里，已由William Kantor证明出一个西罗p-子群可以在多项式时间内被找到。