埃伦费斯特定理

在量子力学里，埃伦费斯特定理（Ehrenfest theorem）表明，量子算符的期望值对于时间的导数，跟这量子算符与哈密顿算符的对易算符，两者之间的关系，以方程式表达为

$\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,\ H] \rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle$。

其中，$A$ 是某个量子算符，$\langle A\rangle$ 是它的期望值，$H$ 是哈密顿算符，$t$ 是时间，$\hbar$ 是约化普朗克常数。

埃伦费斯特定理是因物理学家保罗·埃伦费斯特命名。在量子力学的海森堡绘景里，埃伦费斯特定理非常显而易见；取海森堡方程式的期望值，就可以得到埃伦费斯特定理。埃伦费斯特定理与哈密顿力学的刘维定理密切相关；刘维定理使用的泊松括号，对应于埃伦费斯特定理的对易算符。实际上，从根据经验法则，将对易算符换为泊松括号乘以 $i\hbar$，再取 $i\hbar$ 趋向于 0 的极限，含有对易算符的量子定理就可以改变为含有泊松括号的经典定理。

## 薛定谔绘景下的推导

假设，一个物理系统的量子态为 $\Phi(x,\ t)$，则算符 $A$ 的期望值对于时间的导数为

$$\begin{align} \frac{d}{dt}\langle A\rangle & = \frac{d}{dt}\int \Phi^* A \Phi~dx \\ <pre> & = \int \left( \frac{\partial \Phi^*}{\partial t} \right) A\Phi~dx+ \int \Phi^* \left( \frac{\partial A}{\partial t}\right) \Phi~dx+\int \Phi^* A \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right) ~dx \\ & = \int \left( \frac{\partial \Phi^*}{\partial t} \right) A\Phi~dx + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle + \int \Phi^* A \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right) ~dx \\ \end{align}$$

薛定谔方程表明哈密顿算符 $H$ 与时间 $t$ 的关系为

$H\Phi= i\hbar \frac{\partial \Phi}{\partial t}$。

其共轭为

$(H\Phi)^*= - i\hbar \frac{\partial \Phi^*}{\partial t}$。

因为哈密顿算符是厄米算符，$H^*=H$，所以。

$(H\Phi)^*=\Phi^*H^*=\Phi^*H$。

将这三个方程式代入 $\frac{d}{dt}\langle A\rangle$ 的方程式，则可得到

$\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\int \Phi^* (AH-HA) \Phi~dx + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle$。

所以，埃伦费斯特定理成立：

$\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,\ H]\rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle$。

有时算符 $A$ 不随时间变化，则 $\left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle$ 等于零。

## 海森堡绘景下的推导

海森堡绘景下的推导更为直接。有海森堡运动方程式

$$\frac{\partial}{\partial t}A = \frac{\partial A}{\partial t} + \frac{1}{i\hbar}[A, H]$$

直接取等式两边的算子的期望值可得

$$\left\langle\Psi\left|\frac{d}{dt}A(t)\right|\Psi\right\rangle = \left\langle\Psi\left|\frac{\partial A(t)}{\partial t}\right|\Psi\right\rangle + \left\langle\Psi\left|\frac{1}{i \hbar}[A(t),H]\right|\Psi\right\rangle$$

等式左边的态向量不含时，因此可以把 $\frac{d}{dt}$ 一项移到狄拉克符号外，因此有

$$\frac{d}{dt}\langle A(t)\rangle = \left\langle\frac{\partial A(t)}{\partial t}\right\rangle + \frac{1}{i \hbar}\left\langle[A(t),H]\right\rangle$$

## 实例

使用埃伦费斯特定理，可以简易地证明，假若一个物理系统的哈密顿量显性地不含时间，则这系统是保守系统。

从埃伦费斯特定理，可以计算任何算符的期望值对于时间的导数。特别而言，速度的期望值和加速度的期望值。知道这些资料，就可以分析量子系统的运动行为。

### 守恒的哈密顿量

考虑哈密顿算符 $H$：

$\frac{d}{dt}\langle H\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [H,\ H]\rangle + \left\langle \frac{\partial H}{\partial t}\right\rangle=\left\langle \frac{\partial H}{\partial t}\right\rangle$。

假若，哈密顿量显性地不含时间，$\frac{\partial H}{\partial t}=0$，则

$\langle H\rangle=H_0$。

哈密顿量是个常数$H_0$。

### 位置的期望值对于时间的导数

试想一个质量为 $m$ 的粒子，移动于一维空间．其哈密顿量是

$H(x,\ p,\ t) = \frac{p^2}{2m} + V(x,\ t)$ ;

其中，$x$ 为位置，$p$ 是动量，$V$ 是位势。

应用埃伦费斯特定理。

$\frac{d}{dt}\langle x\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [x,\ H]\rangle + \left\langle \frac{\partial x}{\partial t}\right\rangle= \frac{1}{i\hbar}\langle [x,\ H]\rangle =\frac{1}{i2m\hbar}\langle [x,\ p^2]\rangle =\frac{1}{i2m\hbar}\langle xpp - ppx\rangle$。

由于 $xpp - ppx=i2\hbar p$，位置的期望值对于时间的导数等于速度的期望值：

$\frac{d}{dt}\langle x\rangle =\frac{1}{m} \langle p\rangle= \langle v\rangle$。

这样，可以得到动量 $p$ 的期望值。

### 动量的期望值对于时间的导数

应用埃伦费斯特定理。

$\frac{d}{dt}\langle p\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,\ H]\rangle + \left\langle \frac{\partial p}{\partial t}\right\rangle$。

由于 $p$ 与自己互相交换，所以，$[p,\ p^2]=0$。又在坐标空间里，动量算符 $p = \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}$ 不含时间：$\frac{\partial p}{\partial t} = 0$。所以。

$\frac{d}{dt}\langle p\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,\ V]\rangle$。

将泊松括号展开。

$\frac{d}{dt}\langle p\rangle = \int \Phi^* V\frac{\partial}{\partial x}\Phi~dx - \int \Phi^*\frac{\partial}{\partial x} \left(V\Phi\right)~dx$。

使用乘法定则。

$\frac{d}{dt}\langle p\rangle = \left\langle -\ \frac{\partial}{\partial x} V\right\rangle = \langle F\rangle$。

在量子力学里，动量的期望值对于时间的导数，等于作用力 $F$ 的期望值。

## 经典极限

取经典极限，$\left\langle \frac{\partial V(x)}{\partial x}\right\rangle\approx \frac{\partial V(\langle x\rangle)}{\partial \langle x\rangle}$，则可得到一组完全的量子运动方程式：

$\frac{d}{dt}\langle x\rangle=\langle v\rangle$。

$\frac{d}{dt}\langle p\rangle= -\ \frac{\partial V(\langle x\rangle)}{\partial \langle x\rangle}$。

这组量子运动方程式，精确地对应于经典力学的运动方程式：

$\frac{dx}{dt}=v$。

$\frac{dp}{dt}= -\ \frac{\partial V(x)}{\partial x}$。

取“经典极限”，量子力学的定律约化为经典力学的定律。这结果也时常被称为埃伦费斯特定理。这经典极限是什么呢？标记 $V\,'(x)$ 为 $\frac{\partial V(x)}{\partial x}$。设定 $\langle x\rangle=x_0$。泰勒展开 $V\,'(x)$ 于 $x_0$：

$V\,'(x)=V\,'(x_0)+(x-x_0)V\,''(x_0)+\frac{1}{2}(x-x_0)^2 V\,'''(x_0)+\ \dots$。

由于 $\langle x-x_0\rangle=0$，$\langle (x-x_0)^2\rangle=\sigma_x^2$。

$\left\langle\frac{\partial V(x)}{\partial x}\right\rangle\approx V\,'(x_0)+\frac{1}{2}\ \sigma_x^2\ V\,''(x_0)$。

这近似方程式右手边的第二项目就是误差项目。只要这误差项目是可忽略的，就可以取经典极限。而这误差项目的大小跟以下两个因素有关：

- 一个是量子态对于位置的不可确定性。
- 另一个则是位势随着位置而变化的快缓。

## 参阅

- 维里定理