SL₂(ℝ)

在数学中，特殊线性群 SL₂(ℝ) 是行列式为 1 的 2×2 实矩阵组成的群：

$\mbox{SL}_2(\mathbb{R}) = \left\{ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} : a,b,c,d\in\mathbb{R}\right.\,$，且 $ad-bc=1\Bigg\}\,$．

它是一个三维李群，在几何、拓扑、表示论及物理中有重要应用．

与 SL₂(ℝ) 密切相关的是射影线性群 PSL₂(ℝ)。这是将 SL₂(ℝ) 中每个元素与它的负元素等同得到的商：

$$\mbox{PSL}_2(\mathbb{R}) = \mbox{SL}_2(\mathbb{R})/\{-1,+1 \}.\,$$

一些作者将这个群记做 SL(2,ℝ)．这是一个单李群，包含模群 PSL₂(ℤ)．

## 描述

SL2(ℝ) 是 ℝ2 上所有保持定向面积的线性变换群。它同构于辛群 Sp2(ℝ) 以及广义特殊酉群 SU(1,1)。它也同构于单位长共四元数群。

商 PSL2(ℝ) 有多个有趣的描述：

- 它是实射影直线 $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$ 上保持定向的射影变换群。
- 它是单位圆盘的共形自同构群。
- 它是双曲平面保持定向的等距群。
- 它是三维闵可夫斯基空间的限制洛伦兹群。等价地，它同构于不定正交群 SO+(1,2)。从而 SL2(ℝ) 同构于旋量群 Spin(2,1)+。

### 线性分式变换

PSL2(ℝ) 的元素做为线性分式变换(Linear fractional transformation)作用在实射影直线 $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$ 上：

$$x \mapsto \frac{ax+b}{cx+d}.$$

这类似于 PSL2(ℂ) 通过莫比乌斯变换在黎曼球面上的作用。这是 PSL2(ℝ) 在双曲平面上的作用限制到无穷远边界。

### 莫比乌斯变换

PSL2(ℝ) 中的元素通过莫比乌斯变换作用在复平面上：

$z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}\;\;\;(\,$ 这里 $a,b,c,d\in\mathbb{R}\mbox{)}.\,$

这正好是保持上半平面的莫比乌斯变换集合。从而 PSL2(ℝ) 是上半平面的共形自同构群。由黎曼映射定理，它也是单位圆盘的共形自同构群。

这些莫比乌斯变换是双曲空间上半平面模型的等距，而圆盘相应的莫比乌斯变换是庞加莱圆盘模型的双曲等距。

### 伴随表示

群 SL2(ℝ) 通过共轭作用在它的李代数 SL2(ℝ) 上，导致 PSL2(ℝ) 的一个忠实 3 维线性表示。这也可以描述为 PSL₂(ℝ) 作用在 ℝ² 上的二次型上。结果是如下表示

$$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} a^2 & 2ac & c^2 \\ ab & ad+bc & cd \\ b^2 & 2bd & d^2 \end{bmatrix}.$$

sl2(ℝ) 上的基灵型有符号 (2,1)，诱导了 PSL2(ℝ) 与洛伦兹群 SO+(2,1) 之间一个同构。PSL2(ℝ) 在闵可夫斯基空间上的作用限制成 PSL2(ℝ) 在双曲空间的双曲面模型上的等距。

## 元素的分类

SL2(ℝ) 中一个元素 A 的本征值满足特征多项式

$$\lambda^2 \,-\, \mathrm{tr}(A)\,\lambda \,+\, 1 \,=\, 0,\,$$

从而

$$\lambda = \frac{\mathrm{tr}(A) \pm \sqrt{\mathrm{tr}(A)^2 - 4}}{2}. \,$$

这导致了如下元素分类：

- 如果 | tr(A) | < 2，则 A 称为椭圆型。
- 如果 | tr(A) | = 2，则 A 称为抛物型。
- 如果 | tr(A) | > 2，则 A 称为双曲型。

### 椭圆型元素

椭圆型元素的本征值都是复数，是单位圆周上的共轭值。这样的元素的作用是欧几里得空间中的旋转，相应的 PSL2(ℝ) 元素之作用是双曲平面与闵可夫斯基空间的旋转。

模群的椭圆型元素的本征值一定为 {ω, 1/ω} 形式，其中 ω 是一个本原3次、4次、或6次单位根。他们是模群中所有有限阶元素，他们作用在环面上是周期性微分同胚。

### 抛物型元素

抛物型元素只有一个本征值，1 或者 -1。这样的元素作用在欧几里得平面上是错切映射，相应 PSL2(ℝ) 中元素作用在双曲平面上是极限旋转（limit rotation），在闵可夫斯基空间上的作用是零旋转。

模群的抛物型元素作用在环面上是德恩扭转（Dehn twist）。

### 双曲型元素

双曲型元素的本征值都是实数，互为倒数。这样一个元素作用在欧几里得空间上是挤压映射（squeeze mapping），相应的 PSL2(ℝ) 元素作用在双曲平面是平移，在闵可夫斯基空间上的作用是洛伦兹递升。

模群的双曲型元素作用在环面上是阿诺索夫微分同胚（Anosov diffeomorphism）。

## 拓扑和万有覆盖

做为一个拓扑空间，PSL2(R) 可以描述为双曲平面的单位切丛，这是一个圆丛，有由双曲平面上辛结构诱导的自然切触结构。SL2(R) 是 PSL2(R) 的二重复盖，可以认为是双曲平面上的旋量丛。

SL2(R) 的基本群是无限循环群 ℤ。其万有覆盖群记做 $\overline{\mbox{SL}_2(\mathbb{R})}$，是一个有限维李群但不是矩阵群。即 $\overline{\mbox{SL}_2(\mathbb{R})}$ 没有忠实有限维表示。

做为一个拓扑空间，$\overline{\mbox{SL}_2(\mathbb{R})}$ 是双曲平面上一个线丛。若赋予一个左不变度量，3-流形 $\overline{\mbox{SL}_2(\mathbb{R})}$ 成为瑟斯顿八几何之一。例如，$\overline{\mbox{SL}_2(\mathbb{R})}$ 是任何双曲曲面的单位切丛的万有覆盖。任何以 $\overline{\mbox{SL}_2(\mathbb{R})}$ 为模型的流形是可定向的，也是一个二维双曲轨形上的圆丛（一个塞弗特纤维空间（Seifert fiber space））。

## 代数结构

SL2(ℝ) 的中心是两个元素的群 {-1,1}，商 PSL2(ℝ) 是单群。

PSL2(ℝ) 的离散子群称为富克斯群（Fuchsian group）。他们是欧几里得壁纸群（wallpaper group）和饰带群（Frieze group）的双曲类比。最有名的是模群 PSL2(ℤ)，它作用在双曲平面由理想三角形形成的嵌图上。

圆群SO(2)是 SL2(ℝ) 的一个极大紧子群，圆 SO(2)/{-1,+1} 是 PSL2(ℝ) 的一个极大紧子群。

PSL2(ℝ) 的舒尔乘子（Schur multiplier）是 ℤ，万有中心扩张与万有覆盖群相同。

## 表示理论

SL2(ℝ) 是一个实非紧单李群，也是复李群 SL2(ℂ) 的分裂实形式。SL2(ℝ) 的李代数记做 sl2(ℝ)，是所有迹为零的 2×2 实矩阵。它是 VIII 型比安基代数。

SL2(ℝ) 的有限维表示理论等价于SU(2)的表示理论，这是 SL2(ℂ) 的紧实形式。特别地 SL2(ℝ) 没有非平凡有限维酉表示。

SL2(ℝ) 的无限维表示理论相当有意思。这个群有多类酉表示，这被盖尔范德、奈马克 (1946)、巴格曼 (1947)、Harish-Chandra (1952) 详细地解决了。

## 另见

- 线性群
- 特殊线性群
- 射影线性群（projective linear group）
- 双曲等距（hyperbolic isometry）
- 模群（modular group）
- 莫比乌斯变换
- 射影变换
- 富克斯群（Fuchsian group）
- 李群列表（Table of Lie groups）