正则变换

本条目中，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。

在哈密顿力学里，正则变换（canonical transformation）是一种正则坐标的改变，$(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})$，而同时维持哈密顿方程的形式，虽然哈密顿量可能会改变。正则变换是哈密顿-亚可比方程式与刘维尔定理的基础。

## 定义

点变换（point transformation）将广义坐标$\mathbf{q}=(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_N)$变换成广义坐标$\mathbf{Q}=(Q_1,\ Q_2,\ \dots,\ Q_N)$，点变换方程式的形式为

$q_i=q_i(Q_1,\ Q_2,\ \dots,\ Q_N,\ t)\ ,\qquad\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N$。

其中，$t$是时间。

在哈密顿力学里，由于广义坐标与广义动量$\mathbf{p}=(p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_N)$同样地都是自变量（independent variable），点变换的定义可以加以延伸，使变换方程式成为

$q_i=q_i(Q_1,\ Q_2,\ \dots,\ Q_N,\ P_1,\ P_2,\ \dots,\ P_N,\ t)\ ,\qquad\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N$。

$p_i=p_i(Q_1,\ Q_2,\ \dots,\ Q_N,\ P_1,\ P_2,\ \dots,\ P_N,\ t)\ ,\qquad\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N$。

其中，$\mathbf{P}=(P_1,\ P_2,\ \dots,\ P_N)$是新的广义动量。

为了分辨这两种不同的点变换，称前一种点变换为位形空间点变换，而后一种为相空间点变换。

在哈密顿力学里，正则变换将一组正则坐标$(\mathbf{q},\ \mathbf{p})$变换为一组新的正则坐标$(\mathbf{Q},\ \mathbf{P})$，而同时维持哈密顿方程式的形式（称为形式不变性）。原本的哈密顿方程式为

$\dot{\mathbf{q}} =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{p}}$。

$\dot{\mathbf{p}} = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{q}}$。

新的哈密顿方程式为

$\dot{\mathbf{Q}} =~~\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{P}}$。

$\dot{\mathbf{P}} = - \frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{Q}}$。

其中，$\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)$、$\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)$分别为原本的哈密顿量与新的哈密顿量。

## 实际用处

思考一个物理系统的哈密顿量

$\mathcal{H}=\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)$。

假设哈密顿量跟其中一个广义坐标$q_i$无关，则称$q_i$为可略坐标（ignorable coordinate），或循环坐标（cyclic coordinate）：

$\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i}=0$。

在哈密顿方程式中，广义动量对于时间的导数是

$\dot{p}_i= - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i}=0$。

所以，广义动量$p_i$是常数$k_i$。

假设一个系统里有$n$个广义坐标是可略坐标。找出这$n$个可略坐标，则可以使这系统减少$2n$个变数；使问题的困难度减少很多。正则变换可以用来寻找这一组可略坐标。

## 生成函数方法

主项目：正则变换生成函数

采取一种间接的方法，称为生成函数方法，从$(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ \mathcal{H})$变换到$(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ \mathcal{K})$。为了要保证正则变换的正确性，第二组变数必须跟第一组变数一样地遵守哈密顿原理

$\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)\right]dt=0$。

$\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[ \mathbf{P}\cdot\dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t) \right]dt=0$。

那么，必须令

$\sigma \left[ \mathbf{p} \cdot \dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t) \right] = \mathbf{P} \cdot \dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t) + \frac{dG}{dt}$。

其中，$\sigma$是标度因子，$G$是生成函数。

假若一个变换涉及标度因子，则称此变换为标度变换（scale transformation）。一般而言，标度因子不一定等于1。假若标度因子不等于1，则称此正则变换为延伸正则变换（extended canonical transformation）；假若标度因子等于1，则称为正则变换。

任何延伸正则变换都可以修改为正则变换。假设一个$\sigma \ne 1$的延伸正则变换表示为

$\sigma\left[\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}\right]=\mathbf{P}'\cdot\dot{\mathbf{Q}}' - \mathcal{K}\,'+\frac{dG\,'}{dt}$。

则可以设定另外一组变数与哈密顿量：

$\mathbf{Q}=\alpha \mathbf{Q}'$。

$\mathbf{P}=\beta \mathbf{P}'$。

$\mathcal{K}=\alpha\beta\mathcal{K}\,'$。

$G=\alpha\beta G\,'$；其中，$\alpha,\ \beta$是用来删除$\sigma$的常数，$\sigma=\frac{1}{\alpha\beta}$。经过一番运算，可以得到

$\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{P}}=\alpha\frac{\partial \mathcal{K}\,'}{\partial \mathbf{P}'}=\alpha\dot{\mathbf{Q}}'=\dot{\mathbf{Q}}$。

$\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{Q}}=\beta\frac{\partial \mathcal{K}\,'}{\partial \mathbf{Q}'}= - \beta\dot{\mathbf{P}}'= - \dot{\mathbf{P}}$。

$\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}=\alpha\beta(\mathbf{P}'\cdot\dot{\mathbf{Q}}' - \mathcal{K}\,'+\frac{dG\,'}{dt})=\mathbf{P}\cdot\dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}+\frac{dG}{dt}$。（1）

显然地，这变换符合哈密顿方程式。所以，任何延伸正则变换都可以改变为正则变换。

假若正则变换不显性含时间，则称为设限正则变换（restricted canonical transformation）。

生成函数$G$的参数，除了时间以外，一半是旧的正则坐标；另一半是新的正则坐标。视选择出来不同的变数而定，一共有四种基本的生成函数。每一种基本生成函数设定一种变换，从旧的一组正则坐标变换为新的一组正则坐标。这变换$(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})$保证是正则变换。

### 第一型生成函数

第一型生成函数$G_{1}$只跟旧广义坐标、新广义坐标有关。

$G=G_{1}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)$。

代入方程式（1）。展开生成函数对于时间的全导数。

$\mathbf{p} \cdot \dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t) = \mathbf{P} \cdot \dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P}, t) + \frac{\partial G_{1}}{\partial t} + \frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}} \cdot \dot{\mathbf{q}} + \frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}} \cdot \dot{\mathbf{Q}}$。

新广义坐标$\mathbf{Q}$和旧广义坐标$\mathbf{q}$都是自变量，其对于时间的全导数$\dot{\mathbf{Q}}$和$\dot{\mathbf{q}}$互相无关，所以，以下$2N+1$个方程式都必须成立：

$\mathbf{p} = ~~\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}}$，（2）

$\mathbf{P} = -\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}}$，（3）

$\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G_{1}}{\partial t}$。（4）

这$2N+1$个方程式设定了变换$(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})$，步骤如下：

第一组的$N$个方程式（2），设定了$\mathbf{p}$的$N$个函数方程式

$\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)$。

在理想情况下，这些方程式可以逆算出$\mathbf{Q}$的$N$个函数方程式

$\mathbf{Q}=\mathbf{Q}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)$。（5）

第二组的$N$个方程式（3），设定了$\mathbf{P}$的$N$个函数方程式

$\mathbf{P}=\mathbf{P}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)$。

代入函数方程式（5），可以算出$\mathbf{P}$的$N$个函数方程式

$\mathbf{P}=\mathbf{P}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)$。（6）

从$2N$个函数方程式（5）、（6），可以逆算出$2N$个函数方程式

$\mathbf{q}=\mathbf{q}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)$。

$\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)$。

代入新哈密顿量$\mathcal{K}$的方程式（4），可以得到

$\mathcal{K} =\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)$。

### 第二型生成函数

第二型生成函数$G_{2}$的参数是旧广义坐标$\mathbf{q}$、新广义动量$\mathbf{P}$ 与时间：

$G = - \mathbf{Q}\cdot\mathbf{P}+G_{2}(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)$。

以下$2N+1$方程式设定了变换$(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})$：

$\mathbf{p} = \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{q}}$。

$\mathbf{Q} = \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{P}}$。

$\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G_{2}}{\partial t}$。

### 第三型生成函数

第三型生成函数$G_{3}$ 的参数是旧广义动量$\mathbf{p}$、新广义坐标$\mathbf{Q}$与时间：

$G = \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} + G_{3}(\mathbf{p}, \mathbf{Q}, t)$。

以下$2N+1$方程式设定了变换$(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})$：

$\mathbf{q} = -\frac{\partial G_{3}}{\partial \mathbf{p}}$。

$\mathbf{P} = -\frac{\partial G_{3}}{\partial \mathbf{Q}}$。

$\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G_{3}}{\partial t}$。

### 第四型生成函数

第四型生成函数$G_{4}(\mathbf{p}, \mathbf{P}, t)$的参数是旧广义动量$\mathbf{p}$、新广义动量$\mathbf{P}$与时间：

$G = \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} - \mathbf{Q} \cdot \mathbf{P} + G_{4}(\mathbf{p}, \mathbf{P}, t)$。

以下$2N+1$方程式设定了变换$(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})$：

$\mathbf{q} = -\frac{\partial G_{4}}{\partial \mathbf{p}}$。

$\mathbf{Q} = ~~\frac{\partial G_{4}}{\partial \mathbf{P}}$。

$\mathcal{K}= \mathcal{H} + \frac{\partial G_{4}}{\partial t}$。

### 实例1

第一型生成函数有一个特别简易案例：

$G_{1} = \mathbf{q} \cdot \mathbf{Q}$。

生成函数的导数分别为

$\mathbf{p} = ~~\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}} = \mathbf{Q}$。

$\mathbf{P} = -\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}} = -\mathbf{q}$。

旧的哈密顿量与新的哈密顿量相同：

$\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)=\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)$。

### 实例2

再举一个比较复杂的例子。让

$G_{2} \equiv \mathbf{g}(\mathbf{q};\ t) \cdot \mathbf{P}$。

这里，$\mathbf{g}$是一组$N$个函数。

答案是一个广义坐标的点变换。

$\mathbf{Q}=\frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{P}} =\mathbf{g}(\mathbf{q};\ t)$。

## 不变量

正则变换必须满足哈密顿方程式不变；哈密顿方程式为正则变换的一个不变式。另外，正则变换也有几个重要的不变量。

### 辛条件

辛标记提供了一种既简单，又有效率的标记方法来展示方程式及数学运算。设定一个$2N\times 1$的竖矩阵$\boldsymbol{\xi}$ :

$\boldsymbol{\xi}^T=[q_1,\ q_2,\ q_3,\ \dots,\ q_N,\ p_1,\ p_2,\ p_3,\ \dots,\ p_N]$。

变数向量$\boldsymbol{\xi}$将$\mathbf{q}$与$\mathbf{p}$包装在一起。这样，哈密顿方程式可以简易的表示为

$\dot{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\xi}}$。

这里，$\boldsymbol{\Omega}$是辛连结矩阵、$\mathcal{H}$是哈密顿量。

应用辛标记于正则变换，正则坐标会从旧正则坐标$\boldsymbol{\xi}$改变成新正则坐标$\boldsymbol{\Xi}$，$\boldsymbol{\xi} \rightarrow \boldsymbol{\Xi}$；哈密顿量也从旧的哈密顿量$\mathcal{H}$改变成新的哈密顿量$\mathcal{K}$，$\mathcal{H} \rightarrow \mathcal{K}$；但是，哈密顿方程式的形式仍旧维持不变：

$\dot{\boldsymbol{\Xi}}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}$。

这里，$\mathcal{K}=\mathcal{H}+\frac{dG}{dt}+\mathbf{P}\dot{\mathbf{Q}} - \mathbf{p}\dot{\mathbf{q}}$。

用第一型生成函数$G=G_1(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)$，则$\mathcal{K}=\mathcal{H}+\frac{\partial G_1}{\partial t}$。

取$\boldsymbol{\Xi}=\boldsymbol{\Xi}(\boldsymbol{\xi},\ t)$关于时间$t$的导数。

$\dot{\boldsymbol{\Xi}}=\mathbf{M}\dot{\boldsymbol{\xi}}+\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial t}$。

这里，$\mathbf{M}$是亚可比矩阵，$M_{ij}=\frac{\partial \Xi_i}{\partial \xi_j}$。

代入哈密顿方程式。

$\mathbf{M}\dot{\boldsymbol{\xi}}+\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial t}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}+\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial^2 G_1}{\partial \boldsymbol{\Xi}\ \partial t}$ ;

假若限制正则变换为设限正则变换，也就是说，显性地不含时间，解答会简单许多。假若正则变换显性地含时间，则仍旧能得到与下述同样的答案，这是一个很好的偏导数习题。现在，限制这正则变换为设限正则变换，则简化后的方程式为

$\mathbf{M}\dot{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}$。

而$\mathcal{H}=\mathcal{H}(\boldsymbol{\xi})$，所以。

$\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}=\frac{\partial \boldsymbol{\xi}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\xi}}=(\mathbf{M}^{-1})^T\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\xi}}= - (\mathbf{M}^{-1})^T\boldsymbol{\Omega}\dot{\boldsymbol{\xi}}$。

代回前一个方程式，取$\dot{\boldsymbol{\xi}}$的系数，则可以得到

$\mathbf{M}= - \boldsymbol{\Omega}(\mathbf{M}^{-1})^T\boldsymbol{\Omega}$。

经过一番运算。

$\mathbf{M}^T= - \boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}^{-1}\boldsymbol{\Omega}$。

$\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}=\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}^{-1}$。

可以求出辛条件：

$\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}=\boldsymbol{\Omega}$。

在这里，得到了正则变换的辛条件：一个变换是正则变换，当且仅当辛条件成立。

### 基本帕松括号不变量

在相空间里，两个函数$f(\mathbf{q},\ \mathbf{p}),\ g(\mathbf{q},\ \mathbf{p})$关于正则坐标$\mathbf{q},\ \mathbf{p}$的帕松括号定义为

$\big[f,\ g\big]_{(\mathbf{q},\ \mathbf{p})} = \sum_{i=1}^{N} \left( \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}} \right)$。

用辛标记。

$\big[f,\ g\big]_{\boldsymbol{\xi}}= \left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\xi}}$。

立刻，可以得到下述关系：

$\big[q_i,\ q_j\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\big[p_i,\ p_j\big]_{\boldsymbol{\xi}}=0$。

$\big[q_i,\ p_j\big]_{\boldsymbol{\xi}}= - \big[p_i,\ q_j\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\delta_{ij}$。

定义基本帕松括号$\big[\boldsymbol{\xi},\ \boldsymbol{\xi}\big]$为一个方矩阵，其中，元素$ij$的值是$\big[\xi_i,\ \xi_j\big]$。那么。

$\big[\boldsymbol{\xi},\ \boldsymbol{\xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}$。

思考一个变换$\boldsymbol{\xi}\rightarrow \boldsymbol{\Xi}$。新坐标的基本帕松括号为

$\big[\boldsymbol{\Xi},\ \boldsymbol{\Xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\left(\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}$。

这两个正则坐标的亚可比矩阵$M$是

$M=\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}$。

代入前一个方程式，则

$\big[\boldsymbol{\Xi},\ \boldsymbol{\Xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}$。

假若这变换是正则变换，辛条件$\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}=\boldsymbol{\Omega}$必须成立。

$\big[\boldsymbol{\Xi},\ \boldsymbol{\Xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}$。

相反地，假若$\big[\boldsymbol{\Xi},\ \boldsymbol{\Xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}$，则辛条件成立，这变换是正则变换。

所以，一个变换是正则变换，当且仅当基本帕松括号关于任何正则坐标的值不变。当表示基本帕松括号时，我们可以忽略下标符号，直接表示为$\big[\boldsymbol{\xi},\ \boldsymbol{\xi}\big]$，而认定这基本帕松括号是关于正则坐标计算的值。

### 帕松括号不变量

思考两个函数$f,\ g$对于正则坐标$\boldsymbol{\xi}$的泊松括号

$$\begin{align}\big[f,\ g\big]_{\boldsymbol{\xi}} & =\left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\xi}} \\ & = \left(\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\Xi}} \\ & = \left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\right)^T M^T \boldsymbol{\Omega}M\frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\ \ _\circ \\ \end{align}$$

假若这变换是正则变换，辛条件$\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}=\boldsymbol{\Omega}$必须成立。

$\big[f,\ g\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\right)^T\boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\Xi}}=\big[f,\ g\big]_{\boldsymbol{\Xi}}$。

所以，任何两个函数关于正则坐标的帕松括号，都是正则变换的不变量。当表示帕松括号时，可以忽略下标符号，直接表示为$\big[f,\ g\big]$，而认定这帕松括号是关于正则坐标计算的值。

## 参阅

- 正则变换列表
- 正则座标
- 帕松括号
- 辛矩阵
- 辛拓扑
- 辛群