金兹堡-朗道方程

金兹堡-朗道方程，或金兹堡-朗道理论（Ginzburg–Landau theory），是由维塔利·金兹堡和列夫·朗道在1950年提出的一个描述超导现象的理论。早期的金兹堡-朗道方程只是一个唯象的数学模型，从宏观的角度描述了第一类超导体。1957年，苏联物理学家阿列克谢·阿布里科索夫基于金兹堡-朗道理论提出了第二类超导体的概念。1959年，列夫·戈尔科夫结合BCS理论，从微观角度严格证明了金兹堡-朗道理论是BCS理论的一种极限情况。为了表彰金兹堡和阿布里科索夫对超导理论的贡献，他们与研究超流理论的安东尼·莱格特共同获得了2003年的诺贝尔物理学奖。

## 理论

金兹堡－朗道方程是由金兹堡和朗道在朗道的二级相变理论的基础上提出的。他们断言超导态可以通过一个复序参量（complex order parameter）ψ(r) 来表征。这个形似波函数的序参量测量的是超导体在低于超导转变温度Tc时的超导有序度（"degree of superconducting order"），在BCS理论的框架中可以视为描述库柏对质量中心位置的单粒子波函数。在临界相变点附近，超导体的自由能密度 $f$ 可被展开为如下形式：

$f = f_{n0} + \alpha |\psi|^2 + \frac{\beta}{2} |\psi|^4 + \frac{1}{2m^*} \left| \left(\frac{\hbar}{i}\nabla - \frac{e^*}{c}\mathbf{A} \right) \psi \right|^2 + \frac{H^2}{8\pi}$

若 $\psi = 0$，则上式化为常态下的自由能 $f_{n0} + \frac{h^2}{8\pi}$。$m^*$表示有效质量，$e^*$表示有效电荷，A 是磁矢势，$H$为磁场强度。在后续的实验中，人们发现 $e^* \approx 2\mathit{e}$（$\mathit{e}$ 为基本电荷）。

当自由能取极小值时可得金兹堡-朗道方程：

$$\alpha \psi + \beta |\psi|^2 \psi + \frac{1}{2m^*} \left(\frac{\hbar}{i}\nabla - \frac{e^*}{c}\mathbf{A} \right)^2 \psi = 0$$

由 $\mathbf{J} = \frac{c}{4\pi}\boldsymbol\nabla \times \mathbf{H}$，可推导出电流密度

$\mathbf{J} = \frac{e^*}{m^*} \left|\psi\right|^2 \left(\hbar\nabla\varphi - \frac{e^*}{c} \mathbf{A} \right)$

## 分析

如果不考虑金兹堡－朗道方程中的磁场与梯度项，方程可化为：

$f_s - f_n = \alpha |\psi|^2 + \frac{1}{2}\beta |\psi|^4$

由于 $\beta > 0$，当 $\alpha > 0$ 时，自由能的最小值出现在 $|\psi|^2 = 0$，对应着非超导的普通状态。当 $\alpha < 0$ 时，自由能的最小值出现在 $|\psi|^2 = - \frac{\alpha} {\beta} = |\psi_{\infty}|^2$；之所以被记为 $|\psi_{\infty}|^2$，是因为 $\psi$ 是在超导体内部“无穷深”处取得的这一函数值，“无穷深”意味着完全屏蔽了外表面的电磁场或电流。

若已知 $e^* = 2\mathit{e}$，且 $m^* = 2m$，则可以计算出金兹堡－朗道方程中各个系数的表达式。使用经验方程进行估计可知：

$$|\psi|^2 \propto 1 - t^4 \approx 4(1 - t)$$

$$\alpha \propto \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \approx (1 - t)$$

$$\beta \propto \frac{1}{(1 + t^2)^2} \approx const$$

其中 $t = T/T_c$。

## 相干长度与穿透深度

金兹堡-朗道方程预测了超导体中两个新的特征长度。

第一个叫做超导相干长度ξ。对于T > Tc (一般相)，相干长度由以下方程给出：

$$\xi = \sqrt{\frac{\hbar^2}{2 m |\alpha|}}.$$

对于 T < Tc (超导相)，相干长度由以下方程给出：

$$\xi = \sqrt{\frac{\hbar^2}{4 m |\alpha|}}.$$

第二个叫做穿透深度λ。这个概念最初是由伦敦兄弟在他们的伦敦理论中提出的。如果使用金兹堡-朗道模型中的参数来表示，穿透深度可以写作：

$$\lambda = \sqrt{\frac{m}{4 \mu_0 e^2 \psi_0^2}},$$

其中ψ0 表示在没有电磁场的条件下序参量的平衡值。外加磁场在超导体中的指数衰减可以通过穿透深度来定义。通过计算超导电子密度恢复到其平衡值ψ0 时产生的微小扰动，我们可以确定这个指数衰减。磁场的指数衰减与高能物理中的希格斯机制是等价的。

朗道还定义了一个参数κ。κ = $\lambda$/$\xi$ 现今被称为金兹堡-朗道参数。朗道提出，第一类超导体应满足 01/$\sqrt{2}$。如此一来，金兹堡-朗道理论通过定义这两个长度，就表征了所有的超导体。

## 解析解

金兹堡-朗道方程可化为以下形式的非线性偏微分方程：

$\frac{\partial u}{\partial t}-a \frac{\partial^2 u }{\partial x^2}-bu+c|u|^2u=0$

其中$u(x,t)$是一个复值函数，且有{x∈ℝ, t≥0}；a和c为复常数，b∈ℝ。若假设a、b、c都是正实数，则金兹堡-朗道方程有下列行波解：

$$sol[1] := u = -(1/2)*b/\sqrt(c*b)+(1/2)*\sqrt(c*b)*tanh(_C1+(1/4)*\sqrt(2)*\sqrt(a*b)*x/a-(3/4)*b*t)/c$$

$$sol[2] := u = -(1/2)*b/\sqrt(c*b)+(1/2)*\sqrt(c*b)*coth(_C1+(1/4)*\sqrt(2)*\sqrt(a*b)*x/a-(3/4)*b*t)/c$$

$$sol[3] := u = -(1/2*I)*b/\sqrt(-c*b)-(1/2)*\sqrt(-c*b)*tan(_C1+(1/4)*\sqrt(-2*a*b)*x/a-(3/4*I)*b*t)/c$$

$$sol[4] := u = -(1/2)*b/\sqrt(c*b)+(1/2)*\sqrt(c*b)*tanh(_C1+(1/4)*\sqrt(2)*\sqrt(a*b)*x/a-(3/4)*b*t)/c$$

$$sol[5] :=\frac{ -\sqrt(3)*exp(-1-(1/4)*\sqrt(3)*x+(9/4)*t)}{(exp(1+(1/4)*\sqrt(3)*x-(9/4)*t)+exp(-1-(1/4)*\sqrt(3)*x+(9/4)*t))}$$

部分解析解的行为如下所示：

## 延伸阅读

### 超导理论相关

- 阿布里科索夫2003年的诺贝尔奖讲座： pdf 或 视频
- 金兹堡2003年的诺贝尔奖讲座： pdf 或 视频

### 偏微分方程相关

- 谷超豪 《孤立子理论中的达布变换及其几何应用》上海科学技术出版社
- 阎振亚著 《复杂非线性波的构造性理论及其应用》科学出版社 2007年
- 李志斌编著 《非线性数学物理方程的行波解》科学出版社
- 王东明著 《消去法及其应用》科学出版社 2002
- 何青 王丽芬编著 《Maple 教程》科学出版社 2010 ISBN 9787030177445
- Graham W. Griffiths William E.Shiesser Traveling Wave Analysis of Partial Differential p135 Equations Academy Press
- Richard H. Enns George C. McCGuire, Nonlinear Physics Birkhauser,1997
- Inna Shingareva, Carlos Lizárraga-Celaya,Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple Springer.
- Eryk Infeld and George Rowlands,Nonlinear Waves,Solitons and Chaos,Cambridge 2000
- Saber Elaydi,An Introduction to Difference Equationns, Springer 2000
- Dongming Wang, Elimination Practice,Imperial College Press 2004
- David Betounes, Partial Differential Equations for Computational Science: With Maple and Vector Analysis Springer, 1998 ISBN 9780387983004
- George Articolo Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple V Academic Press 1998 ISBN 9780120644759