列维-奇维塔符号

列维-奇维塔符号（Levi-Civita symbol），又称列维-奇维塔ε，为一在线性代数，张量分析和微分几何等数学范畴中常见到的符号。对于正整数 n，它以1, 2, ..., n 所形成排列的奇偶性来定义。它以意大利数学家和物理学家图利奥·列维-齐维塔命名。其他名称包括排列符号、反对称符号与交替符号。这些名称与它排列和反对称的性质有关。

列维-奇维塔符号的标准记号是希腊小写字母 ε 或 ϵ，较不常见的也有以拉丁文小写 e 记号。下标符能与张量分析兼容的方式来显示排列：

$$\varepsilon_{a_1a_2\cdots a_n}$$

其中每个下标指标 a1, a2, ..., an 取值介乎 1 到 n。在 εa1a2...an 中，共有 nn 个指标排列，可以排成为一个 n 维阵列。

当任何两个指标相等，则定义符号值等于 0：

$\varepsilon_{\cdots a_p \cdots a_p \cdots }=0$。

当全部指标都不相等时，我们定义：

$\varepsilon_{a_1 a_2 \cdots a_n} = (-1)^p \varepsilon_{1 2 \cdots n}$。

其中 p 称为“排列的奇偶性” (parity of permutation)，是要将 a1, a2, ..., an 变换成自然次序 1, 2, ..., n，所需的对换次数。而因子 (−1)p 被称为“排列正负号” (signum of permutation)。这里， ε12...n 的值必须有定义，否则其他特定排列的符号值将无法确定。大多数作者选择 +1 作为自然次序的值：

$\varepsilon_{12\cdots n}=+1$。

在本文中，也将使用这个定义。

从定义可知，当任何两个指标互换，则须加上负号：

$\varepsilon_{\cdots a_p \cdots a_q \cdots }=-\varepsilon_{\cdots a_q \cdots a_p \cdots }$。

这称为“完全反对称性”。

“n 维列维-奇维塔符号”一词是指符号上的指标数 n，和所讨论的向量空间维度相符，其中可指欧几里得空间或非欧几里得空间，例如 R3 的 n = 3 或闵可夫斯基空间的 n = 4。

列维-奇维塔符号的值，与参考座标系无关。此外，这里使用“符号”一词。强调了它并不是一个张量；然而，它可以被理解为张量的密度。

列维-奇维塔符号可用来表示正方矩阵的行列式，及三维欧几里德空间中的两个向量的叉积。

## 定义

列维-奇维塔符号最常用于三维和四维，并在一定程度上用于二维，因此在定义一般情况之前，先给出这些符号值。

### 二维

在二维中，列维-奇维塔符号定义如下：

$\varepsilon_{ij} = \begin{cases} +1 \\ -1 \\ 0 \end{cases} \,$｜当 $\left( i,j \right )=\left( 1,2 \right)$

当 $\left( i,j \right )=\left( 2,1 \right)$ 当 $i=j$

这些值可以排列成 2×2 反对称矩阵：

$$\begin{pmatrix} <pre> \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} \\ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 </pre> \end{pmatrix}$$

相对于其他维度，二维的列维-奇维塔符号并不常见，虽然在某些专门的主题，如超对称和扭量理论中，谈及2-旋量时会用到。

### 三维

<image>

三维以上的列维-奇维塔符号更常使用。在三维中，列维-奇维塔符号定义如下：

$\varepsilon_{ijk} = \begin{cases} +1 \\ -1 \\ 0 \end{cases} \,$｜当 $\left ( i,j,k \right )=\left( 1,2,3 \right)$、 $\left( 2,3,1 \right)$ 或 $\left( 3,1,2 \right)$

当 $\left ( i,j,k \right )=\left(3,2,1 \right)$、 $\left( 2,1,3 \right)$ 或 $\left( 1,3,2 \right)$ 当 $i=j$、 $j=k$ 或 $i=k$

也就是说，如果 (i, j, k) 是 (1, 2, 3) 的偶排列，则符号值为 +1。如果是奇排列，则符号值为 −1。如果任何两个索引重复，则符号值为 0。

仅在三维中， (1, 2, 3) 的循环排列都是偶排列，反循环排列都是奇排列。这意味着在三维中，仅观察 (i, j, k) 是 (1, 2, 3) 的循环排列，还是反循环排列，就足以分辨其奇偶性。

类似于二维矩阵，三维列维-奇维塔符号的值可以排成 3×3×3 阵列：

<image>

其中 i 是深度 (蓝色: 1=i = 1; 红色: 1=i = 2; 绿色: 1=i = 3)， j 是横行，k 是直列。

以下是一些例子：

$$\begin{align} <pre> \varepsilon_{\color{BrickRed}{1} \color{Violet}{3} \color{Orange}{2}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1} \color{Orange}{2}\color{Violet}{3}} &= - 1 \\ \varepsilon_{ \color{Violet}{3}\color{BrickRed}{1} \color{Orange}{2}} = -\varepsilon_{ \color{Orange}{2}\color{BrickRed}{1}\color{Violet}{3}} &= -(-\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{2}\color{Violet}{3}}) = 1 \\ \varepsilon_{ \color{Orange}{2} \color{Violet}{3}\color{BrickRed}{1}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1} \color{Violet}{3}\color{Orange}{2}} &= -(-\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{2}\color{Violet}{3}}) = 1 \\ \varepsilon_{ \color{Orange}{2} \color{Violet}{3} \color{Orange}{2}} = -\varepsilon_{ \color{Orange}{2} \color{Violet}{3}\color{Orange}{2}} &= 0 </pre> \end{align}$$

### 四维

在四维中，列维-奇维塔符号定义如下：

$\varepsilon_{ijkl} = \begin{cases} +1 \\ -1 \\ 0 \end{cases} \,$｜当 $\left ( i,j,k, l \right )=\left( 1,2,3, 4 \right)$ 的偶排列

当 $\left ( i,j,k, l \right )=\left( 1,2,3, 4 \right)$ 的奇排列其余情况，即任意两个指标相等

这些值可以排成 4×4×4×4 阵列，然而四维以上较难描绘出示意图。

以下是一些例子：

$$\begin{align} \varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{RedViolet}{4}\color{Violet}{3}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{Violet}{3}\color{RedViolet}{4}} &= - 1\\ \varepsilon_{\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{BrickRed}{1}\color{Violet}{3}\color{RedViolet}{4}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{Violet}{3}\color{RedViolet}{4}} &= -1\\ \varepsilon_{\color{RedViolet}{4}\color{Violet}{3}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{BrickRed}{1}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Violet}{3}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{RedViolet}{4}} &= -(-\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{Violet}{3}\color{RedViolet}{4}}) = 1\\ \varepsilon_{\color{Violet}{3}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{RedViolet}{4}\color{Violet}{3}} = -\varepsilon_{\color{Violet}{3}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{RedViolet}{4}\color{Violet}{3}} &= 0 \end{align}$$

### 推广到高维

更一般地推广到 n 维中，则列维-奇维塔符号的定义为：

$\varepsilon_{a_1 a_2 a_3 \ldots a_n} = \begin{cases} +1 \\ -1 \\ 0 \end{cases}$｜当 $(a_1 , a_2 , a_3 , \ldots , a_n)$ 是 $(1,2,3,\dots,n)$ 的偶排列

当 $(a_1 , a_2 , a_3 , \ldots , a_n)$ 是 $(1,2,3,\dots,n)$ 的奇排列其余情况，即任意两个指标相等

又可使用求积符号 表达为：

$$\begin{align} <pre> \varepsilon_{a_1 a_2 a_3 \ldots a_n} & = \prod_{1\leq i < j \leq n} \sgn ( a_j-a_i ) \\ & = \sgn(a_2 - a_1)\sgn(a_3 - a_1)\dots\sgn(a_n - a_1)\sgn(a_3 - a_2)\sgn(a_4 - a_2)\dots\sgn(a_n - a_2)\dots\sgn(a_n - a_{n-1}) </pre> \end{align}$$

其中的 sgn(x) 是符号函数，根据 x 的正负给出 +1、 0 或 −1。该公式对对于任何 n 及任何指标排列都有效（当 n = 0 或 1 时，定义为空积 1）。

然而，计算以上公式的时间复杂度为 O(n2)，而以不交循环排列的性质计算，则只需 O(n log(n))。

两个列维-奇维塔符号的积，可以用一个以广义克罗内克函数表示的行列式求得：

$$\varepsilon_{ijk\dots}\varepsilon_{mnl\dots} = \begin{vmatrix} \delta_{im} & \delta_{in} & \delta_{il} & \dots \\ \delta_{jm} & \delta_{jn} & \delta_{jl} & \dots \\ \delta_{km} & \delta_{kn} & \delta_{kl} & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ \end{vmatrix}$$

## 应用和范例

<image>

### 行列式

在线性代数中， 3×3 的方阵 A = (aij)：

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$。

其行列式可以写为：

$\det(A) = \sum_{i,j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} \,a_{1i} \, a_{2j}\, a_{3k}$。

类似地， n×n 矩阵 A = (aij) 的行列式可以写为：

$$\det(A) = \sum_{a_1,a_2,\cdots,a_n=1}^n \varepsilon_{a_1a_2\cdots a_n}\, a_{1a_1}\,a_{2a_2}\, \cdots\, a_{na_n},$$

### 向量的叉积

对于向量 a 与 b，它们的叉积：

$$\boldsymbol a \times\boldsymbol b = <pre> \begin{vmatrix} \boldsymbol e_1 & \boldsymbol e_2 & \boldsymbol e_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix} </pre> = \sum_{1\leq i,j,k\leq 3} \varepsilon_{ijk}\,a_ib_j\, \boldsymbol e_k$$

对于向量 a、 b 与 c，它们的三重积：

$$\boldsymbol a \cdot (\boldsymbol b \times \boldsymbol c)= <pre> \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix} </pre> = \sum_{1\leq i,j,k\leq 3} \varepsilon_{ijk}\,a_i b_j c_k$$

## 性质

由列维-奇维塔符号给出（共变等级为n）张量在正交基础中的组成部分，有时称为“置换张量”。

根据普通的张量变换规则，列维-奇维塔符号在纯旋转下不变，与正交变换相关的所有座标系统（在定义上）相同。然而，列维-奇维塔符号是一种赝张量，因为在雅可比行列式−1的正交变换之下，例如，一个奇数维度的镜射，如果它是一个张量，它“应该”有一个负号。由于它根本没有改变，所以列维-奇维塔符号根据定义，是一个赝张量。

由于列维-奇维塔符号是赝张量，因此取叉积的结果是赝张量，而不是向量。

在一般座标变换下，置换张量的分量乘以变换矩阵的雅可比。这表示在与定义张量的座标系不同的座标系中，其组成部分与列维-奇维塔符号表示的那些，不同之处在于一整体因子。如果座标是正交的，则根据座标的方向是否相同，因子将为±1。

在无指标的张量符号中，列维-奇维塔符号被霍奇对偶的概念所取代。

在使用张量的指标符号来操作分量的上下文中，列维-奇维塔符号可以将其指标写为下标或上标，而不改变意义，这也许是方便的如下写成：

$$\varepsilon^{ij\dots k} = \varepsilon_{ij\dots k} .$$

在这些例子中，上标应该被视为与下标相同。

使用爱因斯坦标记法可消除求和符号，其中两个或多个项之间重复的指标表示该指标的求和。例如。

$\varepsilon_{ijk} \varepsilon^{imn} \equiv \sum_{i=1,2,3} \varepsilon_{ijk} \varepsilon^{imn}$.

以下的例子使用爱因斯坦标记法。

### 二维

在二维上，当所有$i$，$j$，$m$，$n$各取值1和2时。

$$\varepsilon_{ij} \varepsilon^{mn} = {\delta_i}^m {\delta_j}^n - {\delta_i}^n {\delta_j}^m$$ $$\varepsilon_{ij} \varepsilon^{in} = {\delta_j}^n$$ $$\varepsilon_{ij} \varepsilon^{ij} = 2.$$

### 三维

#### 指标和符号值

在三维中，当所有$i$，$j$，$k$，$m$，$n$各取值1,2和3时：

$$\varepsilon_{ijk} \varepsilon^{imn}=\delta_j{}^{m}\delta_k{}^n - \delta_j{}^n\delta_k{}^m$$ $$\varepsilon_{jmn} \varepsilon^{imn}=2{\delta_j}^i$$ $$\varepsilon_{ijk} \varepsilon^{ijk}=6.$$

#### 乘积

列维-奇维塔符号与克罗内克函数有关。在三维中，关系由以下等式给出（垂直线表示行列式）：

$$\begin{align} <pre> \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn} &= \begin{vmatrix} \delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in} \\ \delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn} \\ \delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn} \\ \end{vmatrix} \\[6pt] &= \delta_{il}\left( \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}\right) - \delta_{im}\left( \delta_{jl}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{kl} \right) + \delta_{in} \left( \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl} \right). </pre> \end{align}$$

这个结果的一个特例是(4):

$$\sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}$$

有时候其被称为“contracted epsilon identity”。

在爱因斯坦标记法中，$i$指标的重复表示对于$i$的求和。由此，上述结论可表记为：

$$\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn}=\delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}$$

进一步可以知道：

$$\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}$$

### n维

#### 指标和符号值

在n维中，当所有$i_1,\ldots,i_n,j_1,\ldots,j_n$take values$1,2,\ldots,n$：

$$\varepsilon_{i_1 \dots i_n} \varepsilon^{j_1 \dots j_n} = n! \delta_{[ i_1}^{j_1} \dots \delta_{i_n ]}^{j_n} = \delta^{j_1 \dots j_n}_{i_1 \dots i_n}$$ $$\varepsilon_{i_1 \dots i_k~i_{k+1} \dots i_n} \varepsilon^{i_1 \dots i_k~j_{k+1} \dots j_n} = k!(n - k)!~\delta_{[ i_{k+1}}^{j_{k+1}} \dots \delta_{i_n ]}^{j_n} = k!~\delta^{j_{k+1} \dots j_n}_{i_{k+1} \dots i_n}$$ $$\varepsilon_{i_1 \dots i_n}\varepsilon^{i_1 \dots i_n} = n!$$

惊叹号($!$)代表阶乘，而$\delta^{\alpha\ldots}_{\beta\ldots}$是广义克罗内克函数，对于任意n有属性：

$$\sum_{i, j, k, \dots = 1}^n \varepsilon_{ijk\dots}\varepsilon_{ijk\dots} = n!$$

从以下事实可得出：

- 每个排列是偶排列或奇排列。
- $(+1)^2=(-1)^2=1$，与
- 任何n-元素集合的排列数正好是$n!$。

#### 乘积

一般来说，对于n维，两个列维-奇维塔符号的乘积可以写成：

$$<pre> \varepsilon_{i_1 i_2 \dots i_n} \varepsilon_{j_1 j_2 \dots j_n} = \begin{vmatrix} \delta_{i_1 j_1} & \delta_{i_1 j_2} & \dots & \delta_{i_1 j_n} \\ \delta_{i_2 j_1} & \delta_{i_2 j_2} & \dots & \delta_{i_2 j_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \delta_{i_n j_1} & \delta_{i_n j_2} & \dots & \delta_{i_n j_n} \\ \end{vmatrix} </pre>$$