雅可比猜想

2026年已找到 $n > 2$ 的反例，$n = 2$ 的情况仍悬而未决。

$n = 2$ 的雅可比猜想雅可比猜想（Jacobian conjecture）是代数几何领域中的一个问题，探讨多变量多项式映射的可逆性。该猜想由数学家奥特-海因里希·凯勒于1939年提出，其后经施里拉姆·尚卡尔·阿布扬卡尔命名并推广。猜想断言：若一个多项式映射的雅可比行列式为非零常数，则该映射必存在多项式反函数。这个问题的表述只需微积分与基础代数知识即可理解，但背后涉及的数学结构较为复杂。

雅可比猜想多年来吸引众多数学家研究，史蒂芬·斯梅尔将其列入斯梅尔问题第十六题。历史上曾有多位学者发表证明，但事后被发现存在错误，至少有数篇公开发表的证明已被推翻。单变量的情况早已获证，而在双变量情况下也有若干部分成果，例如已知当多项式次数不超过一百时猜想成立。

2026年7月，任职于Anthropic的数学家莱文特·阿尔波格（Levent Alpöge）借助大型语言模型，在三维复数空间中找出明确反例，推翻了变量数大于二时的雅可比猜想。双变量的雅可比猜想目前仍未解决。

## 雅可比行列式与猜想叙述

### 雅可比行列式

令 $n > 1$ 为固定的整数，考虑多项式 $F_1, \ldots, F_n$，变量为 $X = (X_1, \ldots, X_n)$，系数在特征为零的代数闭域 $k$ 中。（可假设 $k$ 为复数域 $\mathbb{C}$。）也就是说 $F_1, \ldots, F_n \in k[X]$。定义函数 $F: k^n \to k^n$ 为：

$$F(X_1, \ldots, X_n) = (F_1(X_1, \ldots, X_n), \ldots, F_n(X_1, \ldots, X_n))$$

函数 $F$ 的雅可比矩阵是由 $F$ 的各个偏导数所组成的 $n \times n$ 矩阵，而该矩阵的行列式则称为雅可比行列式（Jacobian determinant，有时也简称为“雅可比”），记为 $J_F$ 或 $|J|$：

$$J_F = \left | \begin{matrix} \frac{\partial F_1}{\partial X_1} & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial X_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial F_n}{\partial X_1} & \cdots & \frac{\partial F_n}{\partial X_n} \end{matrix} \right |$$

$J_F$ 本身也是变量为 $X$ 的多项式函数。

### 猜想叙述

多变量微积分的反函数定理指出，如在某一点有 $J_F \neq 0$，那么在该点附近 $F$ 有局部反函数。由于 $k$ 是代数闭域，且 $J_F$ 是多项式，因此 $J_F$ 必定在空间中某些点上为0，除非 $J_F$ 是非零的常数函数。以下是一项基本结果：

若 $F$ 有同为多项式的反函数 $G \colon k^n \to k^n$，则 $J_F$ 必为非零的常数函数。

雅可比猜想即为此命题的逆命题：

令 $k$ 为一特征为零的代数闭域。若

- $F = (F_1, \dots, F_n) \in k[X] \times k[X] \times \dots \times k[X]$。
- $J_F$ 是非零常数函数（等价于以下条件：对于所有的 $x \in k^n$，$F'(x)$ 皆是可逆的线性变换）。

则 $F$ 必有反函数，且此反函数亦属于 $k[X]$。当 $n=1$ 时，此猜想不难证明，但对多变量情况则较为困难。

## 历史

1884年，捷克数学家路德维希·克劳斯提出了二维版本的猜想。一般形式的猜想可追溯至1939年，当时数学家奥特-海因里希·凯勒在探讨整数克雷莫纳变换时首次提出此问题。凯勒最初考虑的是具有整数系数的多项式映射，并在双有理（birational）的情况下验证了该猜想。

1960年代末，数学家奥斯卡·扎里斯基将此问题引介给其他学者，随后阿布扬卡尔将其命名为雅可比猜想，并向数学界推广。这个猜想的表述较为直观，具备微积分基础的人即可理解，因此吸引代数、分析及复几何等领域的学者投入研究。1998年，美国数学家史蒂芬·斯梅尔将其列为斯梅尔问题第十六题。

### 有争议的证明与错误尝试

这个问题看似简单，但其证明历史较为曲折，曾出现多篇后来被推翻的证明。在1950年代末至1960年代初，已有数篇被指出存在缺陷的证明。

1955年，凯勒的学生沃尔夫冈·恩格尔（W. Engel）发表了一份针对 $n = 2$ 情况的证明，但前苏联数学家阿纳托利·维图什金于1975年指出其论证中存在两个关键问题。

意大利数学家贝尼亚米诺·塞格雷曾就此问题发表过三篇论文，均被认为未能成立。1956年的第一篇论文试图利用同伦不变量，但其中关于几何次数在非真映射下为同伦不变的论点，其适用性后来受到质疑。第二篇论文依赖于一个关于多项式生成的引理（即所谓的塞格雷切线引理，Segre's lemma of tangents）：I·卡纳尔斯（I. Canals）和E·路易斯（E. Lluis）曾尝试对该引理进行修正，而阿布扬卡尔与莫宗坚虽给出了该引理的另一种证明，却同时指出塞格雷在证明映射单射性时依赖了一项未经证实的假设。1960年，塞格雷发表了第三篇基于拓扑学视角的论文，但其对映射覆盖性质的论证同样被认为不够完备。

1961年，奥地利数学家沃尔夫冈·格勒布纳发表了一个纯代数的证明尝试，但扎里斯基指出其中存在计算错误。玛丽莱娜·皮塔卢加（Marilena Pittaluga）也指出，格勒布纳在推导矛盾时，并未使用其映射“非双有理”的假设，因此其论证的有效性受到质疑。

1966年，数学家伊戈尔·沙法列维奇在研究无穷维代数群时，引入了“仿射克雷莫纳群”（affine Cremona group）$GA_n(\mathbf{C})$，即由 $\mathbf{C}^n$ 上所有多项式自同构组成的群。在此框架下，雅可比猜想可以改述为一个群论命题：雅可比行列式为非零常数的多项式映射所构成的集合，恰好与 $GA_n(\mathbf{C})$ 重合。沙法列维奇曾勾勒出支持此命题的论证，但其中关键一步——排除该集合中存在非双有理元素的可能——并未经过严格验证，他本人后来在私人通讯中也承认这一点，相关论证因此未被学界采纳。尽管如此，这个群论框架后来成为连接雅可比猜想与克雷莫纳变换理论的桥梁。

此外，数学家小田进的一份预印本中也曾提出一个证明，但该证明被认为是基于对其他文献的错误引用。

错误的尝试不仅来自已发表的论文，也曾影响研究者的学术生涯。数学家张益唐在普渡大学攻读博士时，其导师莫宗坚建议他研究雅可比猜想。张益唐基于莫宗坚早前发表的一项引理展开研究，并在1991年的博士论文中得出了一个较弱的域扩张次数上界。然而，同行评审指出该引理在一般情形下并不成立，导致张益唐的这部分研究未能获得预期成果。许多文献详细记录了这些证明的历史。

## 部分成果与研究方法

### 低次数与双变量的情形

在限制多项式次数的方向上，王穗生（Stuart Sui-Sheng Wang）证明了在任意变量数下，当多项式次数不超过2时猜想成立。

双变量（$n = 2$）的情况下另有多项部分成果。阿布扬卡尔证明了伽罗瓦扩张的情况；列昂尼德·马卡尔-利马诺夫（Leonid Makar-Limanov）证明了对应的曲线在无穷远处最多只有两个点；中井（Y. Nakai）与马场（K. Baba）推广了威廉·马格努斯的结果，在多项式次数为质数、4或满足特定条件时证明了猜想；大卫·赖特证明了当雅可比矩阵可分解为基本矩阵与对角矩阵的乘积时猜想成立。其中最著名的成果之一来自莫宗坚：他详细分析了相关曲线在无穷远处的奇点分布，并辅以电脑计算，证明在双变量且多项式次数不超过一百的情况下猜想成立。这类“无穷远奇点分析”成为研究双变量雅可比猜想的重要技术工具之一。

### 降次化约

另一种影响较大的方法是降次与形式展开。数学家海曼·巴斯、埃德温·康奈尔（Edwin H. Connell）与大卫·赖特运用K理论与稳定方法，证明可透过增加空间维度来降低多项式次数，并确立了一项定理：若雅可比猜想对所有次数不超过三的多项式映射皆成立，则该猜想对所有多项式映射皆成立。结合王穗生对二次映射的结果，问题的焦点便集中在三次多项式映射上；但学界长期未能证明三次的情况。

### 几何、拓扑与赋值理论方法

在几何与拓扑途径方面，舒利姆·卡利曼提出了一个较弱的版本，称为弱雅可比猜想：其断言若雅可比行列式为非零常数，则映射至少在较宽松的意义下（例如允许有理函数作为反函数）具有可逆性。这种弱化使问题得以运用复解析与拓扑工具处理。田岩与孙超超在2024年的论文中，利用赫尔维茨公式及奇异曲线的解析方法改进了卡利曼的论证技术，并将弱雅可比猜想的适用范围推广至更一般的多项式映射类别。

在赋值理论方面，亚历山大·鲍里索夫（Alexander Borisov）研究了无穷远处的除子赋值（divisorial valuations at infinity）。其研究动机在于：若双变量雅可比猜想存在反例，该反例将在无穷远处诱导出特定的除子赋值，因此刻画这类赋值即可限制潜在反例的可能形态。鲍里索夫引入了 $\bar{K}$ 标签与行列式标签（determinant label）两个不变量，利用加权图的组合性质证明：在固定这两个不变量的情况下，对应的赋值在平面自同构下仅形成有限个族。此结果虽未直接解决雅可比猜想，但揭示了无穷远处除子赋值与平面自同构群之间的联系，为从赋值理论角度研究双变量雅可比猜想提供了新的语言与工具。

### 正特征的情形

在正特征域（characteristic $p > 0$）的情况下，雅可比猜想的原始表述并不成立，因为存在如 $F = X - X^p$ 这样的平凡反例：其导数恒为1，但映射并非单射。然而，科西维·阿贾马格博（Kossivi Adjamagbo）提出，若能避开几何次数为 $p$ 的倍数这一特例，仍有望在任意特征的域上给出雅可比猜想的正确推广表述。

## 人工智能协助发现反例

尽管在双变量情况下有一些进展，但对于三个或更多变量的雅可比猜想，学界长期缺乏支持其成立的证据。2026年7月19日，任职于Anthropic且隶属哈佛大学研究员学会的数学家莱文特·阿尔波格（Levent Alpöge）在社交平台X上宣布，雅可比猜想在多变量情况下不成立。在芝加哥大学数学家阿基尔·马修（Akhil Mathew）的提问启发下，阿尔波格利用Anthropic开发的大型语言模型Claude Fable 5，找到一个位于三维复数空间中的明确反例。

### 反例

雅可比猜想可作如下直观解释：设想一张有格线的平面地图，对其进行多项式映射（拉伸变形），但每个微小区域的面积始终保持固定的放大倍数，不会塌缩为零（即雅可比行列式为非零常数）。猜想认为，既然每个局部都没有塌陷，则整张地图应可完美还原，每一个终点都对应唯一的起点——这正是逆映射存在的意义。

阿尔波格提出的反例映射函数 $F : \mathbb{C}^3 \to \mathbb{C}^3$ 定义为：

$$F(x,y,z) := \left( (1+xy)^3 z + y^2 (1+xy) (4+3xy), y + 3 x (1+xy)^2 z + 3 x y^2 (4+3xy), 2 x - 3 x^2 y - x^3 z \right)$$

其雅可比行列式 $J_F \equiv -2$ 恒等于非零常数，符合雅可比猜想的前提条件。然而该函数 $F$ 并非单射：空间中三个不同的点 $A=(0, 0, -\frac{1}{4})$、$B=(1, -\frac{3}{2}, \frac{13}{2})$ 与 $C=(-1, \frac{3}{2}, \frac{13}{2})$，都会映射到同一个结果点 $F(A)=F(B)=F(C)=(-\frac{1}{4}, 0, 0)$。由于不同点映射到同一点，该映射不存在反函数，因此猜想不成立。

透过在反例中添加恒等座标，此反例推翻了变量数 $n > 2$ 时的雅可比猜想，同时也连带证伪了与其稳定等价的迪克斯米埃猜想以及泊松猜想。双变量 $n = 2$ 的特殊情况不受此反例影响，截至2026年7月仍是未解问题。

### 回响

反例公布后，伦敦帝国学院数学家凯文·布扎德利用Lean定理证明器验证了结果的正确性。学界对此结果的意义有不同评价。哥伦比亚大学教授安德鲁·布伦伯格（Andrew Blumberg）指出，人工智能擅长在庞大的多项式空间中搜索，能找出人类难以手动穷举的反例，但单一反例未必能像完整理论那样揭示自然结构的深层原因。另一方面，伦敦玛丽女王大学的阿比谢克·萨哈（Abhishek Saha）与西湖大学的伊万·费森科则认为，这标志着人工智能在解决高等数学难题上迈出了重要一步。随后，OpenAI研究员亚伦·卢（Aaron Lou）利用内部模型Codex从头推导出相同的反例，展示了人工智能具备可重现的数学创造力；GPT-5.6进一步分析该结果，提出了一项新的修正版猜想，引发代数学界讨论。

## 基本资料

- 领域：代数几何
- 猜想提出者：奥特-海因里希·凯勒
- 猜想提出年：1939年
- 开放问题：2026年已找到 $n > 2$ 的反例，$n = 2$ 的情况仍悬而未决。
- 等价陈述：迪克斯米埃猜想
- 日语原文：$n = 2$ 的雅可比猜想
- 猜想提出者：路德维希·克劳斯
- 猜想提出年：1884年