动量算符

在量子力学里，动量算符（momentum operator）是一种算符，可以用来计算一个或多个粒子的动量。对于一个不带电荷、没有自旋的粒子，作用于波函数 $\psi(x)\,\!$ 的动量算符可以写为

$\hat{p}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\,\!$。

其中，$\hat{p}\,\!$ 是动量算符，$\hbar\,\!$ 是约化普朗克常数，$i\,\!$ 是虚数单位，$x\,\!$ 是位置。

给予一个粒子的波函数 $\psi(x)\,\!$，这粒子的动量期望值为

$\langle p\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^*(x)\hat{p}\psi(x)\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^*(x)\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\psi(x)\ dx\,\!$。

其中，$p\,\!$ 是动量。

## 导引 1

对于一个非相对论性的自由粒子，位势 $V(x)=0\,\!$，不含时薛定谔方程式表达为

$- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \ \psi(x)=E \psi(x)\,\!$。

其中，$\hbar\,\!$ 是约化普朗克常数，$m\,\!$ 是粒子的质量，$\psi(x)\,\!$ 是粒子的波函数，$x\,\!$ 是粒子的位置，$E\,\!$ 是粒子的能量。

这薛定谔方程式的解答 $\psi_k(x)\,\!$ 是一个平面波：

$\psi_k(x)= e^{ikx}\,\!$。

其中，$k\,\!$ 是波数，$k^2=2mE/\hbar^2\,\!$。

根据德布罗意假说，自由粒子所表现的物质波，其波数与自由粒子动量的关系是

$p=\hbar k\,\!$。

自由粒子具有明确的动量 $p\,\!$，给予一个系综许多相同的自由粒子系统。每一个自由粒子系统的量子态都一样。标记粒子的动量算符为 $\hat{p}\,\!$。假若，对于这系综内，每一个自由粒子系统的动量所作的测量，都得到同样的测量值 $p\,\!$，那么，不确定性 $\sigma_{p}=0\,\!$，这自由粒子的量子态是确定态，是 $\hat{p}\,\!$ 的本征态，在位置空间(position space)里，本征函数为 $\psi_k\,\!$，本征值为 $p\,\!$：

$\hat{p}\psi_k(x)=p\psi_k(x)\,\!$。

换句话说，在位置空间里，动量算符的本征函数必须是自由粒子的波函数 $\psi_k(x)\,\!$。

为了要达到此目标，势必要令

$\hat{p}\psi_k(x)=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\psi_k(x)=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} e^{ikx}=\hbar ke^{ikx}=p\psi_k(x)\,\!$。

所以，可以认定动量算符的形式为

$\hat{p}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\,\!$。

## 导引 2

在古典力学里，动量是质量乘以速度：

$p=mv=m\frac{dx}{dt}\,\!$。

在量子力学里，由于粒子的位置不是明确的，而是几率性的。所以，猜想这句话是以期望值的方式来实现：

$\langle p\rangle= m\frac{d}{dt}\langle x\rangle\,\!$。

那么，用积分方程式来表达。

$\langle p\rangle= m\frac{d}{dt}\int_{ - \infty}^{\infty}\ \Psi^*(x,\,t)x\Psi(x,\,t)\ dx\,\!$。

其中，$\Psi(x,\,t)\,\!$ 是波函数。

取微分于积分号下。

$\langle p\rangle=m \int_{ - \infty}^{\infty}\ \left( \frac{\partial \Psi^*}{\partial t}x\Psi +\Psi^*\frac{\partial x}{\partial t}\Psi+\Psi^*x\frac{\partial \Psi}{\partial t} \right) dx\,\!$。

由于 $x\,\!$ 只是一个位置的统计参数，不跟时间有关。

$\langle p\rangle=m \int_{ - \infty}^{\infty}\ \left( \frac{\partial \Psi^*}{\partial t}x\Psi +\Psi^*x\frac{\partial \Psi}{\partial t} \right) dx\,\!$。(1)

含时薛定谔方程式为

$i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}= - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}+V\Psi\,\!$。

其中， $V\,\!$ 是位势。

其共轭复数为

$i\hbar\frac{\partial \Psi^*}{\partial t}=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi^*}{\partial x^2} - V\Psi^*\,\!$。

将上述两个方程式代入方程式 (1)，可以得到

$\begin{align}\langle p\rangle & = \frac{m}{i\hbar} \int_{ - \infty}^{\infty}\ \left( \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi^*}{\partial x^2}x\Psi - V\Psi^*x\Psi <pre> - \frac{\hbar^2}{2m}\Psi^*x\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}+\Psi^*xV\Psi \right) dx \\ & =\frac{\hbar}{i2} \int_{ - \infty}^{\infty}\ \left( \frac{\partial^2 \Psi^*}{\partial x^2}x\Psi - \Psi^*x\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} \right) dx \\ </pre> \end{align}\,\!$。

使用分部积分法，并利用当x趋于无穷大时波函数$\Psi\,\!$趋于零的特性，有

$\int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial^2 \Psi^*}{\partial x^2}x\Psi\ dx= - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\Psi\ dx - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}x\frac{\partial \Psi}{\partial x}\ dx \,\!$，(2)

$\int_{ - \infty}^{\infty}\ \Psi^* x\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}\ dx= - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \Psi^*\frac{\partial \Psi}{\partial x}\ dx - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}x\frac{\partial \Psi}{\partial x}\ dx \,\!$。(3)

方程式 (2) 与 (3) 的减差（使用分部积分法，并利用当x趋于无穷大时波函数$\Psi\,\!$趋于零的特性）

$(2) - (3)=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \left( - \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\Psi+\Psi^*\frac{\partial \Psi}{\partial x} \right) dx=2\int_{ - \infty}^{\infty}\ \Psi^*\frac{\partial \Psi}{\partial x}\ dx\,\!$。

所以。

$\langle p\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \Psi^*\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}\Psi\ dx\,\!$。

对于任意波函数 $\Psi\,\!$，这方程式都成立。因此，可以认定动量算符 $\hat{p}\,\!$ 为 $\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\,\!$。

## 厄米算符

由于每一种经过测量而得到的物理量都是实值的。所以，可观察量 $O\,\!$ 的期望值是实值的：

$\langle O\rangle=\langle O\rangle^*\,\!$。

对于任意量子态 $|\psi\rangle\,\!$，这关系都成立：

$\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle=\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle^*\,\!$。

根据伴随算符的定义，假设 $\hat{O}^{\dagger}\,\!$ 是 $\hat{O}\,\!$ 的伴随算符，则 $\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle^*=\langle\psi |\hat{O}^{\dagger}|\psi\rangle\,\!$。因此。

$\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}\,\!$。

这正是厄米算符的定义。所以，表示可观察量的算符 $\hat{O}\,\!$，都是厄米算符。

动量是一个可观察量，动量算符应该也是厄米算符：选择位置空间，量子态 $|\psi\rangle\,\!$ 的波函数为 $\psi(x)\,\!$。

$\begin{align} \langle\psi|\hat{p}|\psi\rangle & =\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^*\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial x}\ dx=\left. \frac{\hbar}{i}\psi^*\psi\right|_{ - \infty}^{\infty} - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi^*}{\partial x}\right)\psi\ dx \\ & =\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi\left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\psi\right)^* \ dx =\langle\psi|\hat{p}|\psi\rangle^*=\langle\psi|\hat{p}^{\dagger}|\psi\rangle \\ \end{align}$。

对于任意量子态 $|\psi\rangle\,\!$，$\hat{p}=\hat{p}^{\dagger}\,\!$。所以，动量算符确实是一个厄米算符。

## 本征值与本征函数

假设，动量算符 $\hat{p}\,\!$ 的本征值为 $p\,\!$ 的本征函数是 $f_p(x)\,\!$：

$\hat{p}f_p(x)=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial f_p(x)}{\partial x}=p f_p(x)\,\!$。

这方程式的一般解为。

$f_p(x)=f_0 e^{ipx/\hbar}\,\!$。

其中，$f_0\,\!$ 是常数。

假设 $f_p(x)\,\!$ 的定义域是一个有限空间，从 $x= - L\,\!$ 到 $x=L\,\!$，那么，可以将 $f_p(x)\,\!$ 归一化：

$\int_{ - L}^{L}\ f_p^*(x)f_p(x)\ dx=|f_0|^2 \int_{ - L}^{L}\ dx=|f_0|^2 2L=1\,\!$。

$f_0\,\!$ 的值是 $1/\sqrt{2L}\,\!$。动量算符的本征函数归一化为 $f_p(x)=\frac{1}{\sqrt{2L}} e^{ipx/\hbar}\,\!$。

假设 $f_p(x)\,\!$ 的定义域是无穷大空间，则 $f_p(x)\,\!$ 不是一个平方可积函数：

$\int_{ - \infty}^{\infty}\ f_p^*(x)f_p(x)\ dx=|f_0|^2 \int_{ - \infty}^{\infty}\ dx=\infty\,\!$。

动量算符的本征函数不存在于希尔伯特空间内，不能直接地积分 $|f_p(x)|^2\,\!$ 于无穷大空间，来使 $f_p(x)\,\!$ 归一化。

换另一种方法，设定 $f_0=1/ \sqrt{2\pi\hbar}\,\!$。那么。

$\int_{ - \infty}^{\infty}\ f_{p1}^*(x)f_{p2}(x)\ dx=\frac{1}{2\pi\hbar}\int_{ - \infty}^{\infty}e^{ - i(p1-p2)x/\hbar}\ dx=\delta(p1-p2)\,\!$。

其中，$\delta(p1-p2)\,\!$ 是狄拉克δ函数。

这性质不是普通的正交归一性。称这性质为狄拉克正交归一性。因为这性质，动量算符的本征函数是完备的。也就是说，任意波函数 $\psi(x)\,\!$ 都可以表达为本征函数的线性组合：

$\psi(x)=\int_{ - \infty}^{\infty}c(p) f_p(x)\ dp=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{ - \infty}^{\infty}c(p) e^{ipx/\hbar}\ dp\,\!$。

其中，系数 $c(p)\,\!$ 是

$c(p)=\int_{ - \infty}^{\infty}f_p^*(x)\psi(x)\ dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{ - \infty}^{\infty}\psi(x) e^{ - ipx/\hbar}\ dx\,\!$。

## 正则对易关系

位置算符与动量算符的交换算符，当作用于一个波函数时，有一个简单的结果：

$[\hat{x},\ \hat{p}]\psi=(\hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x})\psi=x\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial x} - \frac{\hbar}{i}\frac{\partial (x\psi)}{\partial x}=i\hbar\psi\,\!$。

所以，$[\hat{x},\ \hat{p}]=i\hbar\,\!$。这关系称为位置算符与动量算符的正则对易关系。由于两者的正则对易关系不等于 0，位置与动量彼此是不相容可观察量。$\hat{x}\,\!$ 与 $\hat{p}\,\!$ 绝对不会有共同的基底量子态。一般而言，$\hat{x}\,\!$ 的本征态与 $\hat{p}\,\!$ 的本征态不同。

根据不确定性原理。

$\Delta A\ \Delta B \ge \left|\frac{\langle[ A,\ B]\rangle}{2i}\right| \,\!$。

由于 $x\,\!$ 与 $p\,\!$ 是两个不相容可观察量，$\left|\frac{\langle[\hat{x},\ \hat{p}]\rangle}{2i}\right| =\hbar/2\,\!$。所以，$x\,\!$ 的不确定性与 $p\,\!$ 的不确定性的乘积 $\Delta x\ \Delta p \,\!$，必定大于或等于 $\hbar/2\,\!$。