样条插值

在数值分析这个数学分支中，样条插值是使用一种名为样条的特殊分段多项式进行插值的形式。由于样条插值可以使用低阶多项式样条实现较小的插值误差，这样就避免了使用高阶多项式所出现的龙格现象，所以样条插值得到了流行。

## 样条插值

使用多项式插值，对给定数据集进行插值的n阶多项式就被给定数据点所唯一地定义出来。但是，对同样的数据进行插值的n阶样条并不是唯一的，为了构建一个唯一的样条插值式它还必须满足另外n-1个自由度。

## 线性样条插值

线性样条插值是最简单的样条插值。数据点使用直线进行连接，结果样条是一个多边形。

从代数的角度来看，每个Si 都是一个如下

$$S_i(x) = y_i + \frac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}(x-x_i)$$

线性函数。

样条在每个数据点都必须连续，即

$$S_i(x_{i+1}) = S_{i+1}(x_{i+1}) \qquad \mbox{ , } i=1,\ldots n -1$$

我们很容易得到

$$S_{i-1}(x_i) = y_{i-1} + \frac{y_{i}-y_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}(x-x_{i-1}) = y_i$$

$$S_{i}(x_i) = y_i + \frac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}(x-x_i) = y_i$$

所以以上论述成立。

## 二次样条插值

二次样条插值可以构建为

$$S_i(x) = y_i + z_i(x-x_i) + \frac{z_{i+1}-z_i}{2(x_{i+1}-x_i)}(x-x_i)^2$$

通过选择$z_0$，然后用递推关系就可以得到系数：

$$z_{i+1} = -z_i + 2 \frac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}$$

## 三次样条插值

对于$n+1$给定点的数据集$\{x_i\}$，我们可以用$n$段三次多项式在数据点之间构建一个三次样条。如果

$$S(x)=\left\{\begin{matrix} S_0(x),\ x\in[x_0,x_1] \\ S_1(x),\ x\in[x_1,x_2]\\ \cdots \\ S_{n-1}(x),\ x\in[x_{n-1},x_n]\end{matrix}\right.$$

表示对函数$f$进行插值的样条函数，那么需要：

- 插值特性，$S(x_i)=f(x_i)$
- 样条相互连接，$S_{i-1}(x_i) = S_i(x_i), i=1,\ldots,n-1$
- 两次连续可导，$S'_{i-1}(x_i) = S'_i(x_i)$ 以及 $S''_{i-1}(x_i) = S''_i(x_i), i=1,\ldots,n-1$.

由于每个三次多项式需要四个条件才能确定曲线形状，所以对于组成$S$的$n$个三次多项式来说，这就意味着需要$4n$个条件才能确定这些多项式。但是，插值特性只给出了$n+1$个条件，内部数据点给出$n+1-2=n-1$个条件，总计是$4n-2$个条件。我们还需要另外两个条件，根据不同的因素我们可以使用不同的条件。

其中一项选择条件可以得到给定$u$与$v$的钳位三次样条。

$$S'(x_0) = u \,\!$$

$$S'(x_k) = v \,\!$$

另外，我们可以设

$S''(x_0) = S''(x_n) = 0 \,\!$.

这样就得到自然三次样条。自然三次样条几乎等同于样条设备生成的曲线。

在这些所有的二次连续可导函数中，钳位与自然三次样条可以得到相对于待插值函数f的最小震荡。

如果选择另外一些条件。

$$S(x_0) = S(x_n) \,\!$$

$$S'(x_0) = S'(x_n) \,\!$$

$$S''(x_0) = S''(x_n) \,\!$$

可以得到周期性的三次样条。

如果选择。

$$S(x_0) = S(x_n) \,\!$$

$$S'(x_0) = S'(x_n) \,\!$$

$$S''(x_0) = f'(x_0),\quad S''(x_n)=f'(x_n) \,\!$$

可以得到complete三次样条。

### 三次样条的最小性

三次样条有另外一个非常重要的解释，实际上它是在索伯列夫空间$H^2([a; b])$最小化泛函

$$J(f)=\int_a^b |f''(x)|^2 dx$$

函数。

泛函$J$包含对于函数$f(x)$全部曲率$\left|\frac{f''(x)}{(1+f'(x)^2)^{\frac{3}{2}}}\right|$的近似，样条是$f(x)$最小曲率的近似。

由于弹性条的总体能量与曲率成比例，所以样条是受到$n$个点约束的弹性条的最小能量形状。样条也是基于弹性条设计的工具。

### 使用自然三次样条的插值

它可以定义为

$$S_i(x) = \frac{z_{i+1} (x-x_i)^3 + z_i (x_{i+1}-x)^3}{6h_i} <pre> + \left(\frac{y_{i+1}}{h_i} - \frac{h_i}{6} z_{i+1}\right)(x-x_i) + \left(\frac{y_{i}}{h_i} - \frac{h_i}{6} z_i\right)(x_{i+1}-x) </pre>$$

以及

$h_i = x_{i+1} - x_i \,\!$.

通过解下面的方程可以得到它的系数。

$$\left\{\begin{matrix} <pre> z_0 = 0 \\ h_{i-1} z_{i-1} + 2(h_{i-1} + h_i) z_i + h_i z_{i+1} = 6 \left( \frac{y_{i+1}-y_i}{h_i} - \frac{y_i-y_{i-1}}{h_{i-1}} \right) \\ z_n = 0 </pre> \end{matrix}\right.$$

## 示例

### 线性样条插值

假设要为带有节点

$$(x_0,f(x_0)) = (x_0,y_0) = \left(-1,\ e^{-1}\right) \,\!$$

$$(x_1,f(x_1)) = (x_1,y_1) = \left(-\frac{1}{2},\ e^{-\frac{1}{4}}\right) \,\!$$

$$(x_2,f(x_2)) = (x_2,y_2) = \left(0,\ 1\right) \,\!$$

$$(x_3,f(x_3)) = (x_3,y_3) = \left(\frac{1}{2},\ e^{-\frac{1}{4}}\right) \,\!$$

$$(x_4,f(x_4)) = (x_4,y_4) = \left(1,\ e^{-1}\right) \,\!$$

函数

$$f(x) = e^{-x^2}$$

找一个线性样条。直接代入样条公式，我们得到如下样条：

$$S(x) = \left\{\begin{matrix} e^{-1} + 2(e^{-\frac{1}{4}} - e^{-1})(x+1) & x \in [-1, -\frac{1}{2}] \\ e^{-\frac{1}{4}} + 2(1-e^{-\frac{1}{4}})(x+\frac{1}{2}) & x \in [-\frac{1}{2},0] \\ 1 + 2(e^{-\frac{1}{4}}-1)x & x \in [0,\frac{1}{2}] \\ e^{-\frac{1}{4}} + 2(e^{-1} - e^{-\frac{1}{4}})(x-\frac{1}{2}) & x \in [\frac{1}{2},1] \\ \end{matrix}\right.$$

样条函数（蓝线）以及所近似的函数（红点）如下图所示：

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### 二次样条插值

下图是一个k=4的样条函数（蓝线）与所近似的函数（红线）的例子：

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