镜像法

镜像法（又称镜像电荷法）是一种解析静电学问题的基本工具。对于静电学问题，镜像法将原本问题的某些元素改换为假想电荷，同时保证仍然满足定解问题原有的的边界条件（请参阅狄利克雷边界条件或诺伊曼边界条件）。

例如，给定一个由一片无限平面导体和一个点电荷构成的物理系统，这无限平面导体可以被视为一片镜子，在镜子里面的镜像电荷与镜子外面的点电荷，所形成的新系统，可以使得导体平面上的电场垂直于导体，与原本系统等价。借此方法，我们可以将问题简化，很容易地计算出导体外的电势、导体的表面感应电荷密度、总感应电荷等等。

镜像法的有效性是唯一性定理的必然结果，该定理指出如果指定了在体积 V 的整个区域内的电荷密度和 V 的所有边界上的电位值，区域 V 内的电位唯一确定。另外，应用此结果到高斯定理的微分形式就能表明，在由导体包围的包含电荷密度为 ρ 的体积 V 中，如果每个导体所带电荷已经给出，那么电场是唯一确定的。拥有电势或电场的信息以及相应边界条件，只要在指定区域的电荷分布满足泊松方程并设定正确的边界值，我们就可以把我们考虑的电荷分布换为更容易分析的结构。

## 唯一定理

唯一定理表明，任意能够满足给定条件的解答，是唯一存在的解答。因此，给定条件唯一地决定了这解答。

举例而言，假若，在一个三维空间区域里，电势 $\phi$ 满足

$\nabla^2\phi=f$。

而在区域的表面，又满足边界条件

$\phi=g$。

其中，$f$ 和 $g$ 是函数。

则 $\phi(x,\,y,\,z)$ 是唯一的解答函数。

唯一性定理适用于以下三种边界情况：

- 给出了整个边界的势函数。
- 给出整个边界的势函数的法向导函数。
- 给出整个边界部分场的势函数和其他部分的势函数的法向导函数。

应用唯一定理于镜像法，只要问题能够给足上述任意一种边界条件，则求得的电势函数解答必定是唯一的正确解答。

## 范例

### 点电荷与无限平面导体

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举一个简单的例子，如右图所示，设定一个接地的无限平面导体于 xy-平面，其上方有一个点电荷 $q$，坐标是 $(0,\,0,\,a)$。应用库仑定律和相关静电理论，这物理系统的各种物理量，像导体表面的电荷分布，或点电荷所感受到的作用力，都不是很容易可以计算求得。

应用镜像法，可以将无限平面导体改换成一个镜像电荷，坐标是 $(0,\,0,\, - a)$，电量为 $- q$。在任意点 $(x,\,y,\,z),\ z>0$，新系统的电势与原本系统的电势完全相同；而且满足边界条件——导体的电势为零。

在新系统里，应用库仑定律，可以很容易地计算出点电荷所感受到的作用力。

采用圆柱坐标 $(\rho,\,\phi,\,z)$，在 +z-半空间内的任意一点，其电势 $V(\rho,\,z)$ 可以很容易的计算出来（这系统与方位角 $\phi$ 无关）：

$V(\rho,\,z) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q}{\sqrt{\rho^2 + (z - a)^2}} + \frac{-q}{\sqrt{\rho^2 +(z+a)^2}} \right)$。

根据唯一定理，这解答是原本问题的唯一解答。

无限平面导体的表面电荷密度 $\sigma(\rho)$ 是

$\sigma = - \epsilon_0 \frac{\partial V}{\partial z} \Bigg|_{z=0}= - \ \frac{q a}{2 \pi (\rho^2 + a^2)^{3/2} }$。

积分表面电荷密度于无限平面导体，可以得到无限平面导体的总感应电量 $Q_t$：

$Q_t$｜$= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty} \sigma\left(\rho\right)\, \rho\,d\rho\,d\theta$

$$= - \ \frac{qa}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{\infty}\frac{\rho\,d\rho}{\left(\rho^2 + a^2\right)^{3/2}}$$ $= - q$。

答案非常简单，就是 $- q$。

这问题指引出一个更进阶的问题：给予一对平行的无限平面导体，其中间有一个点电荷，求两片无限平面导体之间的电势？这是一个非常有意思，值得研习的问题。

#### 点电荷与两个半无限平面导体构成的二面角

所有二面角成$\alpha=\frac {2\pi} {n}$ ($n$为正整数) 的两个半无限导体平面间的场都可以用镜像法求解，像点荷个数为$n-1$.

#### 多个点电荷与无限平面导体

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镜像法可以延伸至两个或多于两个点电荷。只要对于每一个点电荷，都添加一个对应的镜像电荷。根据叠加原理，总电势等于所有点电荷、镜像电荷产生的电势的总和。在 xy-平面的任意一位置，点电荷产生的电势会与其镜像电荷产生的电势相抵消。因此，在 xy-平面的任意一位置，总电势等于零，满足边界条件。

图右展示一个物理系统案例，里面有两个真实的点电荷和一个无限平面导体，两个点电荷的坐标分别是 $(x_1,\,y_1,\,z_1)$ 和 $(x_2,\,y_2,\,z_2)$，电量分别是 $q_1$ 和 $q_2$。应用镜像法，可以将无限平面导体替换为两个镜像电荷，坐标分别是 $(x_1,\,y_1,\, - z_1)$ 和 $(x_2,\,y_2,\, - z_2)$ 电量分别是 $- q_1$ 和 $- q_2$。

### 点电偶极子与无限平面导体

假设，在无限平面导体上方，有一个电偶极子，其电偶极矩是 $\mathbf{M}=(M_x,\,M_y,\,M_z)$，坐标是 $(x,\,y,\,z)$，则可以将无限平面导体改换为一个反对称的镜像电偶极子，电偶极矩是 $\mathbf{M}'=(M_x,\,M_y,\, - M_z)$，坐标是 $(x,\,y,\, - z)$。

### 点电荷与圆球壳导体

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镜像法也可以应用于圆球壳导体。实际而言，无限平面导体的镜像法解答是圆球壳导体镜像法解答的特别案例。只要将圆球壳的半径拉长至无穷大，就可以得到无限平面导体。

如图右，采用原点位于圆球壳壳心的球坐标系。被置于真空中的接地的圆球壳，其半径为 $R$，内部有一个点电荷 $q$，位置是 $\mathbf{P}$，以绿色表示。这点电荷的镜像电荷，电量是 $- qR/p$，位于圆球壳外部，与圆心的距离是 $R^2/p$，以红色表示。两个点电荷所产生的电势，在位置 $\mathbf{r}$，可以叠加为

$$4\pi\epsilon_0 V(\mathbf{r})=\frac{q}{|\mathbf{r}_1|}+\frac{(-qR/p)}{|\mathbf{r}_2|}= \frac{q}{\sqrt{r^2+p^2-2\mathbf{r}\cdot\mathbf{p}}}+ \frac{(-qR/p)}{\sqrt{r^2 +\frac{R^4}{p^2}-\frac{2R^2}{p^2}\mathbf{r}\cdot\mathbf{p}}}$$

经过一番运算，可以得到

$V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\left[ \frac{q}{\sqrt{r^2+p^2-2\mathbf{r}\cdot\mathbf{p}}} - \frac{q}{\sqrt{\frac{r^2p^2}{R^2}+R^2 - 2\mathbf{r}\cdot\mathbf{p}}}\right]$。

请注意，在圆球壳（$r=R$），电势为零，等效于接地。只有在圆球壳以内（$r<R$），$V(\mathbf{r})$ 公式才正确；在圆球壳以外（$r>R$），由于镜像电荷并不真实存在，而是虚拟的，所以$V(\mathbf{r})$ 公式不正确。尽管球内并无实际的镜像电荷，但是圆球壳的内表面仍然存在感应电荷，不过数值与镜像电荷完全不同。假设点电荷位于 z-坐标轴，那么，表面感应电荷密度 $\sigma$ 是天顶角 $\theta$ 的函数，以方程式表达为

$\sigma(\theta)= \epsilon_0 \frac{\partial V}{\partial r} \Bigg|_{r=R} =\frac{ - q(R^2 - p^2)}{4\pi R(R^2+p^2 - 2pR\cos\theta)^{3/2}}$。

积分感应电荷密度于所有立体角，则可以得到在圆球壳的总感应电量 $Q_t$：

$Q_t=\int_0^\pi d\theta \int_0^{2\pi} d\phi\,\,\sigma(\theta) R^2\sin\theta = - q$。

由于总感应电量与点电荷电量的代数和等于零，所以整个物理系统的总电量等于零。圆球壳导体能够除去点电荷所造成的非球形对称性。在圆球壳以外的物理是球形对称的。应用高斯定律，可以计算出电场 $\mathbf{E}$。

$\mathbf{E}=\mathbf{0}$。

假设圆球壳不接地，则圆球壳外表面的感应电荷密度是

$\sigma=q/4\pi R^2$。

圆球壳外，离圆心距离为 $r$ 的电场 $\mathbf{E}$ 为

$\mathbf{E}=\frac{q}{4\pi\epsilon_0 r^2}\hat{\mathbf{r}}$。

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请注意，这问题的逆反问题也可以用镜像法解析。在一个半径为 $R$、接地的圆球壳导体外部，摆放一个点电荷 $q$ 于位置 $\mathbf{p}$，离圆心距离为 $p$。那么，圆球壳外部的电势为点电荷的电势与圆球壳内部的镜像电荷的电势的总和。类似前面案例，镜像电荷的电量是 $- qR/p$，位置是 $(R^2/p^2)\mathbf{p}$。由于圆球壳内部的真实电量是零，所以，圆球壳内部的电势为常数。

### 电偶极子与圆球壳导体

镜像法对于电偶极矩的计算公式比较复杂。假若我们将电偶极子视为一对距离很近的点电荷，则镜像电偶极子的电量和电偶极矩都会有所改变。给予电偶极子的电偶极矩为 $\mathbf{M}$，位置为 $\mathbf{p}$，在半径为 $R$ 圆球壳的内部。其镜像电偶极子的位置会是 $(R^2/p^2)\mathbf{p}$，镜像电荷的电量为

$q'=\frac{R\mathbf{p}\cdot\mathbf{M}}{p^3}$。

电偶极矩为

$\mathbf{M}'=R^3\left[ - \frac{\mathbf{M}}{p^3} +\frac{2\mathbf{p}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{M})}{p^5}\right]$。

## 反演法

镜像法的圆球壳计算方式直接地引导出反演法。采用球坐标 $(r,\,\theta,\,\phi)$，给予一个位置的调和函数 $\Phi(r,\,\theta,\,\phi)$，则对于一个半径为 $R$ 的圆球，此调和函数的镜像调和函数是

$\Phi'(r,\,\theta,\,\phi)=\frac{R}{r}\Phi\left(\frac{R^2}{r},\,\theta,\,\phi\right)$。

给予一集合的点电荷，位置和电量分别为 $(r_i,\,\theta_i,\,\phi_i)$、 $q_i$。假若其产生的电势是 $\Phi$，则其镜像电势 $\Phi'$ 是由一集合位置和电量分别为 $(R^2/r_i,\,\theta_i,\,\phi_i)$、 $Rq_i/r_i$ 的镜像电荷所产生的。给予一个连续电荷分布，电荷密度为 $\rho(r,\,\theta,\,\phi)$。假设其其产生的电势是 $\Phi$，则其镜像电势 $\Phi'$ 是由电荷密度为 $\rho'(r,\,\theta,\,\phi)=(R/r)^5\rho(R^2/r,\,\theta,\,\phi)$ 的连续电荷分布产生的。

## 参阅

- 帕松方程式的唯一定理（Uniqueness theorem for Poisson's equation）
- 恩绍定理（Earnshaw's theorem）
- 互易定理（Reciprocity (electromagnetism)）
- 多极展开