海森堡绘景

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海森堡绘景（Heisenberg picture）是量子力学的一种表述，因物理学者维尔纳·海森堡而命名。在海森堡绘景里，对应于可观察量的算符会随着时间流易而演化，而描述量子系统的态向量则与时间无关。使用海森堡绘景，可以很容易地观察到量子系统与经典系统之间的动力学关系。

海森堡绘景与薛定谔绘景、狄拉克绘景不同。在薛定谔绘景里，描述量子系统的态向量随着时间流易而演化，而像位置、动量一类的对应于可观察量的算符则不会随着时间流易而演化。在薛定谔绘景里，假若势能与时间有关，$V=V(t)$，则哈密顿算符$H=\frac{P^2}{2m}+V(t)$也与时间有关。在狄拉克绘景里，态向量与对应于可观察量的算符都会随着时间流易而演化。

这三种绘景殊途同归，所获得的结果完全一致。这是必然的，因为它们都是在表达同样的物理现象。

## 概述

为了便利分析，位于下标的符号${}_\mathcal{H}$、${}_\mathcal{S}$分别标记海森堡绘景、薛定谔绘景。

在量子力学的海森堡绘景里，态向量$|\psi \rang_{\mathcal{H}}$不含时，而可观察量的算符$A_{\mathcal{H}}$则含时，并且满足“海森堡运动方程式”：

$\frac{\partial}{\partial {t}}A_{\mathcal{H}}={1 \over i\hbar}[A_{\mathcal{H}},\, H]$。

其中，$\hbar$是约化普朗克常数，$H$是哈密顿量，$[ A_{\mathcal{H}},\, H]$是$A_{\mathcal{H}}$与$H$的对易算符。

从某种角度来看，海森堡绘景比薛定谔绘景显得更为自然，更具有基础性，因为，经典力学分析物体运动所使用的物理量是可观察量，例如，位置、动量等等，而海森堡绘景专注的就是这些可观察量随着时间流易的演化。进一步来看，海森堡绘景表述的量子力学与经典力学的相似可以很容易的观察到：只要将对易算符改为帕松括号，海森堡方程式立刻就变成了哈密顿力学里的运动方程式，其形式表示为

$\frac{\partial}{\partial {t}}A=[A,\, H]_{Poisson}$。

其中，$[\ ,\,\ ]_{Poisson}$是帕松括号。

通过狄拉克量子化条件，可以从哈密顿力学的运动方程式得到海森堡运动方程式：

$[\ ,\,\ ]_{Poisson}\ \to\ \frac{[\ ,\, \ ]}{i\hbar}$。

史东-冯诺伊曼理论证明海森堡绘景与薛定谔绘景是等价的。

## 理论导引

在薛定谔绘景里，负责时间演化的算符是一种幺正算符，称为时间演化算符。假设时间从$0$流易到$t$，而经过这段时间间隔，态向量$|\psi(0)\rang_{\mathcal{S}}$演化为$|\psi(t)\rang_{\mathcal{S}}$，这时间演化过程以方程式表示为

$|\psi(t)\rang_{\mathcal{S}} = U(t,0) |\psi(0)\rang_{\mathcal{S}}$。

其中，$U(t,0)$是时间从$0$流易到$t$的时间演化算符。

时间演化算符是幺正算符当$U(t,0)$是无穷维矩阵时，$U(t,0)U^{\dagger}(t,0)$与$U^{\dagger}(t,0)U(t,0)$未必相等；甚至$U(t,0)$的行列指标可以分别是可数无穷维与连续不可数无穷维。

$U(t,0)U^{\dagger}(t,0)=1=U^{\dagger}(t,0)U(t,0)$。

假设系统的哈密顿量$H$不含时，则时间演化算符为在薛定谔绘景里，假若哈密顿算符含时，$H_{\mathcal{S}}=H_{\mathcal{S}}(t)$，则时间演化算符会比较复杂。更详尽内容，请查阅条目时间演化算符

$U(t, 0) = e^{-iHt/\hbar}$。

而且，时间演化算符与哈密顿量相互对易：处于不同时间$t_1$、$t_2$的哈密顿算符$H(t_1)$、$H(t_2)$可能会不相互对易：:$[H(t_1),H(t_2)]\ne[H(t_2),H(t_1)]$。对于这案例，时间演化算符必须用戴森级数来表示，时间演化算符与哈密顿算符也会不相互对易。

$HU(t,0)=U(t,0)H$。

注意到指数函数$e^{-iHt/\hbar}$必须通过其泰勒级数计算。

在海森堡绘景里，态向量$|\psi(t)\rang_{\mathcal{H}}$、算符$A_{\mathcal{H}}(t)$分别定义为

$|\psi(t)\rang_{\mathcal{H}}\stackrel{def}{=}|\psi(0)\rang_{\mathcal{H}}=|\psi(0)\rang_{\mathcal{S}}$。

$A_{\mathcal{H}}(t)\stackrel{def}{=}U^{\dagger}(t,0)A_{\mathcal{S}}U(t,0)$。

由于$U(t,0)$、$U^{\dagger}(t,0)$对于时间的偏导数分别为

$\frac{\partial U(t,0)}{\partial t}={1 \over i\hbar }HU(t,0)$。

$\frac{\partial U^{\dagger}(t,0)}{\partial t}=-{1 \over i\hbar }U^{\dagger}(t,0)H$。

所以，算符$A_{\mathcal{H}}(t)$对于时间的导数是假若算符$A_{\mathcal{S}}$含时：:$A_{\mathcal{S}}=A_{\mathcal{S}}(t)$，则算符$A_{\mathcal{H}}(t)$对于时间的导数是:$\begin{align} {d \over dt} A_{\mathcal{H}}(t) & =\frac{\partial U^{\dagger}(t,0)}{\partial t}A_{\mathcal{S}}U(t,0)+U^{\dagger}(t,0)A_{\mathcal{S}}\frac{\partial U(t,0)}{\partial t}+U^{\dagger}(t,0)\frac{\partial A_{\mathcal{S}}}{\partial t}U(t,0) \\ & ={1 \over i\hbar }[U^{\dagger}A_{\mathcal{S}}U,U^{\dagger}HU] +U^{\dagger}(t,0)\frac{\partial A_{\mathcal{S}}}{\partial t}U(t,0) \\ \end{align}$。

$\begin{align} {d \over dt} A_{\mathcal{H}}(t) & =\frac{\partial U^{\dagger}(t,0)}{\partial t}A_{\mathcal{S}}U(t,0)+U^{\dagger}(t,0)A_{\mathcal{S}}\frac{\partial U(t,0)}{\partial t} \\ <pre> & = -{1 \over i\hbar } U^{\dagger}H A_{\mathcal{S}}U+{1 \over i\hbar }U^{\dagger}A_{\mathcal{S}}HU \\ & = -{1 \over i\hbar } U^{\dagger}HUU^{\dagger}A_{\mathcal{S}}U+{1 \over i\hbar }U^{\dagger}A_{\mathcal{S}}UU^{\dagger}HU \\ & ={1 \over i\hbar }[U^{\dagger}A_{\mathcal{S}}U,U^{\dagger}HU] \\ </pre> \end{align}$。

由于不含时哈密顿量在海森堡绘景的形式与在薛定谔绘景相同，可以忽略下标：假若处于不同时间$t_1$、$t_2$的哈密顿算符$H(t_1)$、$H(t_2)$不相互对易：:$[H(t_1),H(t_2)]\ne[H(t_2),H(t_1)]$。则哈密顿量在两种绘景里的形式可能不相同。

$H_{\mathcal{H}}=U^{\dagger}H_{\mathcal{S}}U=H_{\mathcal{S}}=H$。

将算符的定义式纳入考量，就可以得到海森堡运动方程式：

${d \over dt} A_{\mathcal{H}}(t)={1 \over i\hbar }[A_{\mathcal{H}}(t),H]$。

## 期望值

在薛定谔绘景里，可观察量$A$的期望值为

$\lang A \rang_{\mathcal{S}}={}_{\mathcal{S}}\lang\psi(t)| A_{\mathcal{S}}|\psi(t)\rang_{\mathcal{S}}={}_{\mathcal{S}}\lang\psi(0)|U^{\dagger}(t,0)A_{\mathcal{S}}U(t,0) |\psi(0)\rang_{\mathcal{S}}$。

在海森堡绘景里，可观察量$A$的期望值为

$\lang A \rang_{\mathcal{H}}={}_{\mathcal{H}}\lang\psi(t)| A_{\mathcal{H}}(t)|\psi(t)\rang_{\mathcal{H}}={}_{\mathcal{H}}\lang\psi(0)|A_{\mathcal{H}}(t)|\psi(0)\rang_{\mathcal{H}}$。

注意到态向量$|\psi(t)\rang_{\mathcal{H}}$、算符$A_{\mathcal{H}}(t)$的定义式：

$|\psi(t)\rang_{\mathcal{H}}\stackrel{def}{=}|\psi(0)\rang_{\mathcal{H}}=|\psi(0)\rang_{\mathcal{S}}$。

$A_{\mathcal{H}}(t)\stackrel{def}{=}U^{\dagger}(t,0)A_{\mathcal{S}}U(t,0)$。

所以，这两种期望值的表述方式等价。

## 贝克-豪斯多夫引理

算符$A_{\mathcal{H}}(t)$的定义式涉及到指数函数$e^{-iHt/\hbar}$，必须通过其泰勒级数计算，这是个很繁杂的过程，可以利用贝克-豪斯多夫引理来计算

${e^B A e^{-B}} = A + [B,A] + \frac{1}{2!} [B,[B,A]] + \frac{1}{3!}[B,[B,[B,A]]]+\cdots$。

对于算符$A_{\mathcal{H}}(t)$，可以得到

$A_{\mathcal{H}}(t)=A_{\mathcal{H}}(0)+\frac{it}{\hbar}[H,A_{\mathcal{H}}(0)] - \frac{t^{2}}{2!\hbar^{2}}[H,[H,A_{\mathcal{H}}(0)]] - \frac{it^3}{3!\hbar^3}[H,[H,[H,A_{\mathcal{H}}(0)]]] + \cdots$。

由于帕松括号与对易算符的关系，在哈密顿力学里，这方程式也成立。

## 自由粒子范例

本节运算只涉及海森堡绘景，为了简便起见，忽略下标$\mathcal{H}$。设想自由粒子系统，其哈密顿量为

$H=\frac{p^{2}}{2m}$。

动量$p$的海森堡运动方程式为

${d \over dt} p(t)={1 \over i\hbar }[p,H]=0$。

这是因为$p$与$H$对易。所以，动量$p$是个常数：

$p(t)=p(0)$。

位置$x$的海森堡运动方程式为

${d \over dt}x(t)={1 \over i\hbar }[x,H]=\frac{p}{m}$。

所以，位置与时间的关系式为

$x(t)=x(0)+\frac{p(0)}{m}t$。

换另一种方法，算符随着时间流易而演化的方程式为

$x(t)= e^{iHt/\hbar}x(0) e^{-iHt/\hbar}$。

利用贝克-豪斯多夫引理。

$x(t)=x(0)+\frac{it}{\hbar}[H,x(0)] - \frac{t^{2}}{2!\hbar^{2}}[H,[H,x(0)]] - \frac{it^3}{3!\hbar^3}[H,[H,[H,x(0)]]] + \cdots$。

注意到以下两个对易关系式：

$[H,x(0)]=\frac{-i\hbar p(0)}{m}$。

$[H,p(0)]=0$。

将这两个对易关系式代入，可以得到同样的位置与时间的关系式：

$x(t)=x(0)+\frac{p(0)}{m}t$。

注意到位置在不同时间的对易子不等于零：

$[x(t),x(0)]=\left[\frac{p(0)t}{m},x(0)\right]=\frac{-i\hbar t}{m}$。

## 谐振子范例

本节运算只涉及海森堡绘景，为了简便起见，忽略下标$\mathcal{H}$。设想谐振子系统，其哈密顿量为

$H=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{m\omega^2x^2}{2}$。

其中，$\omega$为谐振子频率。

动量算符$p$、位置算符$x$的海森堡运动方程式分别为

${d \over dt}p(t)={1 \over i\hbar }[p(t),H]=-m\omega^2x(t)$。

${d \over dt}x(t)={1 \over i\hbar }[x(t),H]=\frac{p(t)}{m}$。

再求这两个方程式对于时间的导数。

${d^2 \over dt^2} p(t) = {-m \omega^{2} \over i\hbar } [x(t),H]= - \omega^{2} p(t)$。

${d^2 \over dt^2} x(t) = {1 \over im\hbar } [p(t),H]= - \omega^{2} x(t)$。

设定动量算符、位置算符的初始条件分别为

$p(0)=p_0$。

$x(0)=x_0$。

则在初始时间。

$\dot{p}(0)= - m\omega^{2} x_0$。

$\dot{x}(0)=\frac{p_0}{m}$。

所以，二次微分方程式的解答分别是

$p(t)=p_{0}\cos(\omega t) - m\omega\!x_{0}\sin(\omega t)$。

$x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+\frac{p_{0}}{ m\omega}\sin(\omega t)$。

稍加运算，可以得到海森堡绘景里的对易关系：

$[p(t_{1}), p(t_{2})]=i\hbar m\omega\sin(\omega t_{2} - \omega t_{1})$。

$[x(t_{1}), x(t_{2})]=\frac{i\hbar}{m\omega}\sin(\omega t_{2} - \omega t_{1})$。

$[x(t_{1}), p(t_{2})]=i\hbar \cos(\omega t_{2} - \omega t_{1})$。

假若$t_{1}=t_{2}$，则立刻会得到熟悉的正则对易关系。

换另一种方法，算符随着时间流易而演化的方程式为

$x(t)= e^{iHt/\hbar}x(0) e^{-iHt/\hbar}$。

利用贝克-豪斯多夫引理。

$x(t)=x(0)+\frac{it}{\hbar}[H,x(0)] - \frac{t^{2}}{2!\hbar^{2}}[H,[H,x(0)]] - \frac{it^3}{3!\hbar^3}[H,[H,[H,x(0)]]] + \cdots$。

注意到以下两个对易关系式：

$[H,x(0)]=\frac{-i\hbar p(0)}{m}$。

$[H,p(0)]=i\hbar m\omega^2 x(0)$。

将这两个对易关系式代入，可以得到同样的位置与时间的关系式：

$\begin{align} x(t) & =x(0)+\frac{p(0)}{m\omega}\omega t-x(0)\frac{\omega^2 t^2}{2!}-\frac{p(0)}{m\omega}\frac{\omega^3 t^3}{3!}+ \cdots \\ <pre> & = x(0)\cos(\omega t)+ \frac{p(0)}{m\omega}\sin(\omega t) \\ </pre> \end{align}$。

类似地,也可以得到同样的动量与时间的关系式。

## 各种绘景比较摘要

各种绘景随着时间流易会呈现出不同的演化：

演化｜海森堡绘景｜交互作用绘景｜薛定谔绘景

右矢｜常定｜$| \psi(t) \rang_{\mathcal{I}} = e^{i H_0t/\hbar} | \psi(t) \rang_{\mathcal{S}}$｜$|\psi(t) \rang_{\mathcal{S}}= e^{-iHt/\hbar} | \psi(0) \rang_{\mathcal{S}}$

可观察量｜$A_{\mathcal{H}}(t)=e^{i Ht/\hbar} A_{\mathcal{S}}e^{-i Ht/\hbar}$｜$A_{\mathcal{I}}(t)=e^{i H_0t/\hbar} A_{\mathcal{S}}e^{-i H_0t/\hbar}$｜常定

密度算符｜常定｜$\rho_{\mathcal{I}}(t)=e^{i H_0t/\hbar} \rho_S (t) e^{-i H_0/\hbar}$｜$\rho_{\mathcal{S}}(t)= e^{-i Ht/\hbar}\rho_{\mathcal{S}}(0) e^{iHt/\hbar}$

## 参阅

- 狄拉克标记