代数曲线

在代数几何中，一条代数曲线是一维的代数簇。最典型的例子是射影平面$\mathbb{P}^2$上由一个齐次多项式$f(X,Y)$定义的零点。

## 仿射曲线

定义在域$F$上的仿射代数曲线可以看作是$F^n$中由若干个$n$-元多项式$g_i \in F[x_1, \ldots, x_n]$定义的公共零点，使得其维数为一。

利用结式，我们可以将变数消至两个，并化约到与之双有理等价的平面代数曲线$f(x,y)=0$，其中$f \in F[x,y]$，因此在探讨曲线的双有理几何时仅须考虑平面曲线。

## 射影曲线

射影空间中的曲线可视作仿射曲线的紧化，它们带有更好的几何性质。在以上考虑的方程$g_i = 0$（$i=1, \ldots, n-1$）中，我们作代换：

$$g_i(x_1, \ldots, x_n) \longrightarrow (X_0)^{\deg g_i} g_i\left(\frac{X_1}{X_0}, \ldots, \frac{X_n}{X_0}\right)$$

遂得到$n-1$个齐次多项式，它们在射影空间$\mathbb{P}^n_F$中定义一条曲线，此射影曲线与开集$U_0 := \{(X_0: \cdots: X_n) | X_0 \neq 0 \}$的交集同构于原曲线。射影曲线的例子包括$\mathbb{P}^3_{\mathbb{Q}}$中的费马曲线$X^n + Y^n + Z^n=0$，其上的有理点对应到费马方程$X^n+Y^n=Z^n$的互素整数解。

## 代数函数域

代数曲线之研究可化约为不可约代数曲线之研究，后者的范畴在双有理等价之意义下等价于代数函数域范畴。域$F$上的函数域$K$是超越次数为一的有限型域扩张，换言之：存在元素$x \in K$使得$x$在$F$上超越，而且$K/F(x)$是有限扩张。

以复数域$\mathbb{C}$为例，我们可以定义复系数有理函数域$\mathbb{C}(x)$。变元$x, y$对代数关系$y^2 =x^3-x-1$生成的域$\mathbb{C}(x,y)$是一个椭圆函数域，代数曲线$\{ (x,y) \in \mathbb{C}^2 : y^2 = x^3 - x - 1 \}$ 给出它的一个几何模型。

若基域$F$非代数封闭域，则函数域无法只由多项式的零点描述，因为此时存在无点的曲线。例如可取实数域$F := \mathbb{R}$并考虑其上的代数曲线$x^2 + y^2 + 1 = 0$，此方程定义了一个$\mathbb{R}[x]$的有限扩张，因而定义了一个函数域，然而

$$\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 + 1 = 0 \} = \emptyset$$

代数封闭域上的代数曲线可以用代数簇完整地描述，对于一般的基域或者环上的曲线论，概形论能提供较合适的框架。

## 复代数曲线与黎曼曲面

复射影曲线可以嵌入$n$维复射影空间$\mathbb{C}P^n$。复射影曲线在拓扑上为二维的对象，当曲线光滑时，它是个紧黎曼曲面，即一维的紧复流形，因而是可定向的二维紧流形。这时该曲面的拓扑亏格（直观说就是曲面有几个洞或把手）等同于曲线上由代数几何学定义的亏格。视这类曲线为黎曼曲面，则可以采复分析手法加以研究。另一方面，黎曼则证明了任何紧黎曼曲面都同构于一条复射影曲线。

于是我们有三个相互等价的范畴：复数域上的不可约平滑射影曲线、紧黎曼曲面与$\mathbb{C}$上的函数域。因此一维复分析（包括位势论）、代数几何与域论的方法此时能相互为用，这是高等数学里很常见的现象。

## 奇点

### 判断方式

曲线在一点$P$的平滑性可以用雅可比矩阵判断。以下考虑嵌于$\mathbb{P}^n$中的曲线：设该曲线由$n-1$个$n+1$个变元的齐次多项式$g_1, \ldots, g_{n-1}$定义，若其雅可比矩阵$\left(\frac{\partial g_i}{\partial x_j}\right)_{i,j}$在区线上一点$P$满秩，则称它$P$点光滑；反之则称为奇点。在一点的平滑性与多项式$g_1, \ldots, g_{n-1}$的选取无关，也与曲线的嵌入方式无关。

在平面射影曲线的例子，假设曲线$C$由齐次方程式$f(x,y,z)=0$定义，则$C$的奇点恰为$C$上使得$\nabla f$为零的点，即：

$$\frac{ \partial f }{ \partial x }(P)=\frac{ \partial f }{ \partial y }(P)=\frac{ \partial f }{ \partial z }(P)=0 \quad (P \in C)$$

在特征非零的域上，一条代数曲线仅有有限个奇点；无奇点的曲线即平滑曲线。奇点在双有理映射下可能映为光滑点；事实上，奇点总是可借着平面的拉开映射或正规化解消，由此得到的新平滑曲线仍双有理等价于原曲线；然而对代数封闭域上的射影曲线，其奇点总数则关系到曲线的几何亏格，后者是个双有理不变量。

### 奇点分类

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曲线的奇点包括多重点（这是曲线的自交点）及尖点（如仿射曲线$x^3=y^2$之于原点$(0,0)$，见右图）等等。一般来说，仿射平面曲线$f(x,y)=0$在一点$P$的奇点性质可以透过下述方式理解：

透过平移，不妨假设$P=(0,0)$。将多项式$f(x,y)$写成

$$f(x,y) = \sum_{n \geq 1} f_n(x,y)$$

其中$f_n(x,y)$是$n$次齐次多项式。直观地想像，$f(x,y)=0$在原点附近的性状仅决定于最低次的非零项，设之为$f_m(x,y)$。根据齐次性可以将之分解成

$$f_m(x,y) = \prod _{i=1}^m (a_i x - b_i y)$$

换言之，曲线在原点附近将近似于$m$条（含重复）直线$a_i x - b_i y = 0$的联集。上式中相异的直线数$r$称作分支数，正整数$m$称作平面曲线在该点的重数，此外还有一个内在的不变量$\delta_P := \dim \mathcal{O}_{\tilde{C},P}/\mathcal{O}_{C,P}$，其中$\tilde{C} \rightarrow C$是该曲线的正规化态射。资料m, δ, r能够被用来分类奇点。例如一般尖点对应到$[2,1,1]$，一般双重点对应到$[2,1,2]$，而一般n重点则对应到$[n,\frac{n(n-1)}{2}, n]$。

各奇点的不变量δP决定平面曲线$f(x,y)=0$的亏格：设$\deg f = d$，则有

$$g = \frac{1}{2}(d-1)(d-2) - \sum_P \delta_P,$$

对于在复数域上的平面曲线，John Milnor以拓扑方式定义了不变量μ，称为Milnor数：同样假设$P=(0,0)$，在原点附近够小的四维球$B_\epsilon := \{ (x,y) \in \mathbb{C}^2 : |x|^2+|y|^2 < \epsilon \}$内有$(x,y) \neq (0,0) \Rightarrow \nabla f(x,y) \neq 0$，此时有连续映射

$$\nabla f(x,y) : B_\epsilon - \{(0,0)\} \rightarrow B_\epsilon - \{(0,0)\}$$

由于$B_\epsilon - \{(0,0)\}$ 同伦等价于三维球面$\mathbb{S}^3$，于是可定义μ为此映射的拓扑次数。μ与前述不变量的关系由下式表明：

$$\mu = 2\delta -r + 1$$

事实上，$\{ (x,y) \in \mathbb{C}^2 : f(x,y)=0 \} \cap \{ (x,y) \in \mathbb{C}^2 : |x|^2+|y|^2 = \epsilon \}$在ε够小时是$\{ (x,y) \in \mathbb{C}^2 : |x|^2+|y|^2 = \epsilon \} \cong \mathbb{S}^3$中的一个环圈，称作奇点环圈，它具有复杂的拓扑性质。例如：$x^3=y^2$在尖点附近的奇点环圈是三叶结。

## 曲线的例子

### 有理曲线

域$F$上的有理曲线是双有理等价于射影直线$\mathbb{P}^1_F$的曲线，换言之，其函数域同构于单变元有理函数域$F(t)$。当$F$代数封闭时，这也等价于该曲线之亏格为零，对一般的域则不然；实数域上由$x^2+y^2+1=0$给出的函数域亏格为零，而非有理函数域。

具体地说，一条有理曲线是能以有理函数参数化的曲线，例子请见条目有理正规曲线。

任何$F$上有有理点的圆锥曲线都是有理曲线。参数化的过程如下：过给定有理点$P$而斜率为$t$的直线交平面上一条二次曲线于两点，就x坐标来说，交点的x坐标是一个二次多项式的根，其中一个属于$F$的根已知，即$P$的x坐标；因此透过根与系数的关系得知另一根也属于$F$，而且能表作$t$在$F$上的有理函数。y坐标的作法相同。

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例。考虑斜椭圆$E: x^2+xy+y^2=1$，其中$(-1,0)$是有理点。画一条过该点且斜率为t之直线$y=t(x+1)$，并带入E的等式，于是得到：

$x = \frac{1-t^2}{1+t+t^2}$。

$$y=t(x+1)=\frac{t(t+2)}{1+t+t^2}$$

这就给出E的有理参数化，于是证明了E是有理曲线。

将此结果置于射影几何的框架下，则能导出若干数论的结论。例如我们可在E中加入无穷远点，得到射影曲线

$$X^2+XY+Y^2=Z^2 \,\!$$

以上参数化遂表为

$$X=1-t^2,\quad Y=t(t+2),\quad Z=t^2+t+1 \,\!$$

若取$t$为整数，对应的$X,Y,Z$是不定方程$X^2+XY+Y^2=Z^2$的整数解；若将$X$代以$-X$，则此方程诠释为θ=60°时的余弦定理，借此能描述所有一角为 60°且边长均为整数的三角形，例如取$t=2$，就得到边长分别为X=3, Y=8, Z=7的三角形。

### 椭圆曲线

椭圆曲线可以定义为任意亏格等于一且给定一个有理点的代数曲线，它们都同构于平面上的三次曲线。此时通常取无穷远处的反曲点为给定的有理点，这时该曲线可以写作射影版本的Tate-魏尔施特拉斯形式：

$$y^2z + a_1 xyz + a_3 yz^2 = x^3 + a_2 x^2z + a_4 xz^2 + a_6 z^3. \,\!$$

椭圆曲线带有唯一的阿贝尔群结构，使得给定有理点为单位元素，且加法为代数簇的态射，因而椭圆曲线构成一个阿贝尔簇。在三次平面曲线的情形，三点和为零当且仅当它们共线。对于复数域上的椭圆曲线，此阿贝尔簇同构于$\mathbb{C}/\Lambda$，其中的$\Lambda$由相应的椭圆函数给出。

### 亏格大于一的曲线

对亏格大于一的曲线，其性质与有理曲线与椭圆曲线有显著不同。根据法尔廷斯定理，定义在数域上的这类曲线只有有限个有理点；若视为黎曼曲面，它们则带有双曲几何的结构。例子包括超椭圆曲线、克莱因四次曲线与一开始提到的费马曲线在$n \geq 4$的情形。

## 文献

- Egbert Brieskorn and Horst Knörrer, Plane Algebraic Curves, John Stillwell, trans., Birkhäuser, 1986
- Claude Chevalley, Introduction to the Theory of Algebraic Functions of One Variable, American Mathematical Society, Mathematical Surveys Number VI, 1951
- Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces, Springer, 1980
- Phillip A. Griffiths, Introduction to Algebraic Curves, Kuniko Weltin, trans., American Mathematical Society, Translation of Mathematical Monographs volume 70, 1985 revision
- Robin Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer, 1977
- Shigeru Iitaka, Algebraic Geometry: An Introduction to the Birational Geometry of Algebraic Varieties, Springer, 1982
- John Milnor, Singular Points of Complex Hypersurfaces, Princeton University Press, 1968
- George Salmon, Higher Plane Curves, Third Edition, G. E. Stechert & Co., 1934
- Jean-Pierre Serre, Algebraic Groups and Class Fields, Springer, 1988