共变和反变

在数学里，反变（contravariant，也称逆变）和共变（covariant，也称协变）描述一个向量（或更广义来说，张量）的坐标，在向量空间的基底／坐标系转换之下，会如何改变。

反变和共变在张量场的演算中不可或缺，是了解狭义相对论、广义相对论必需的数学基础。

## 转换方式

### 向量：反变转换

- 标记法说明：向量 $\mathbf{v}\,\!$ 是向量空间 $V\,\!$ 的元素。向量基底 $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, ... , \mathbf{e}_n\,\!$ 构成了向量空间的一个基底，其座标系统为$x^1, x^2, ... , x^n\,\!$。对应这个基底，向量$\mathbf{v}\,\!$的分量为$v^1, v^2, ..., v^n\,\!$，即$\textstyle \mathbf{v}=\sum_i v^i \mathbf{e}_i$。

（注：$v^2\,\!$ 这符号中的上标$2$不代表平方，而是代表第二个坐标，在较基础的数学上，常写作 $v_2\,\!$，但是，在张量分析领域，指标写作上标或下标牵涉到对张量性质的提示，以及爱因斯坦求和约定。）

向量空间$V$有另一个基底$\bar{\mathbf{e}}_1, ... ,\bar{\mathbf{e}}_n\,\!$，其座标系统为$\bar{x}^1, ... ,\bar{x}^n\,\!$。对应这个基底，$\mathbf{v}\,\!$ 有分量 $\bar{v}^1, \bar{v}^2, ..., \bar{v}^n\,\!$，即$\textstyle \mathbf{v}=\sum_i \bar{v}^i \bar{\mathbf{e}}_i$。

对于1...n之间任意整数 $\mu\,\!$，我们知道 $\bar{v}^{\mu} \,\!$ 和 $v^1, v^2, ..., v^n\,\!$ 的关系：

$\bar v^{\mu} = \frac{ \partial \bar{x}^{\mu} }{ \partial x^1} v^1 + \frac{ \partial \bar{x}^{\mu} }{ \partial x^2} v^2 + ... + \frac{ \partial \bar{x}^{\mu} }{ \partial x^n } v^n \,\!$。

使用爱因斯坦求和约定可写成：

$\bar{v}^{\mu} = \frac{ \partial \bar{x}^{\mu} }{ \partial x^i} v^i \,\!$。

### 余向量：共变转换

假设对偶空间$V^*$有两个基底 ${\mathbf{dx}^1, \mathbf{dx}^2, ... , \mathbf{dx}^n}\,\!$跟$\mathbf{d\bar{x}}^1, \mathbf{d\bar{x}}^2, ..., \mathbf{d\bar{x}}^n\,\!$。

假设$\textstyle\boldsymbol{\omega}\in V^*, \boldsymbol{\omega}=\sum_i \mathbf{\eta}_i\mathbf{dx}^i=\sum_j\bar{\mathbf{\eta}}_jd\bar{\mathbf{x}}^j$。

则对于$1$...$n$之间其中一个特定的整数 $\mu\,\!$，我们知道 $\bar{\mathbf{\eta}}_{\mu}\,\!$ 和 $\mathbf{\eta}_1, \mathbf{\eta}_2, ..., \mathbf{\eta}_n\,\!$ 的关系：

$\bar{\mathbf{\eta}}_{\mu} = \frac{ \partial x^1 }{ \partial \bar{x}^{\mu}} \mathbf{\eta}_1 + \frac{ \partial x^2 }{ \partial \bar{x}^{\mu}} \mathbf{\eta}_2 + ... + \frac{ \partial x^n }{ \partial \bar{x}^{\mu}} \mathbf{\eta}_n \,\!$。

或使用爱因斯坦求和约定写成：

$\bar{\mathbf{\eta}}_{\mu} = \frac{ \partial x^i }{ \partial \bar{x}^{\mu} } \mathbf{\eta}_{i} \,\!$。

## 向量的共变分量和反变分量

在欧几里得空间 $V\,\!$ 里，共变向量和反变向量之间的区分很小。这是因为能够使用内积运算从向量求得余向量；对于所有余向量 $\mathbf{w}\,\!$，通过下述方程式，向量 $\mathbf{v}\,\!$ 和线性泛函 $\alpha(\mathbf{w})\,\!$，唯一地确定了余向量 $\mathbf{w}\,\!$：

$\alpha(\mathbf{w}) = \mathbf{v}\cdot \mathbf{w}\,\!$。

逆过来，通过上述方程式，线性泛函 $\alpha(\mathbf{w})\,\!$ 和每一个余向量，唯一地确定了向量 $\mathbf{v}\,\!$。由于这向量与余向量的相互辨认，我们可以提到向量的共变分量和反变分量；也就是说，它们只是同样向量对于基底和其对偶基底的不同表现。

给予 $V\,\!$ 的一个基底 $\mathfrak{f}=(X_1,X_2,\dots,X_n)\,\!$，则必存在一个唯一的对偶基底 $\mathfrak{f}^{\sharp}=(Y^1,Y^2,\dots,Y^n)\,\!$，满足

$Y^i \cdot X_j = \delta^i_j\,\!$。

其中，$\delta^i_j\,\!$ 是克罗内克函数。

以这两种基底，任意向量 $\mathbf{v}\,\!$ 可以写为两种形式

$\begin{align} v &= \sum_i v^i[\mathfrak{f}]X_i = \mathfrak{f}\,\mathbf{v}[\mathfrak{f}]\\ &=\sum_i v_i[\mathfrak{f}]Y^i = \mathfrak{f}^\sharp\,\mathbf{v}[\mathfrak{f}^\sharp] \end{align} \,\!$。

其中，$v^i[\mathfrak{f}]\,\!$ 是向量 $\mathbf{v}\,\!$ 对于基底 $\mathfrak{f}\,\!$ 的反变分量，$v_i[\mathfrak{f}]\,\!$ 是向量 $\mathbf{v}\,\!$ 对于基底 $\mathfrak{f}\,\!$ 的共变分量。

### 欧几里得空间

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在欧几里得空间Ｒ3里，使用内积运算，能够从向量求得余向量。给予一组可能不是标准正交基的基底，其基底向量为 $\mathbf{e}_1\,\!$、$\mathbf{e}_2\,\!$、$\mathbf{e}_3\,\!$，就可以计算其对偶基底的基底向量：

$\mathbf{e}^1 = \frac{\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3}{\tau} ; \qquad \mathbf{e}^2 = \frac{\mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_1}{\tau}; \qquad \mathbf{e}^3 = \frac{\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2}{\tau}\,\!$。

其中，$\tau=\mathbf{e}_1\cdot(\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3)\,\!$ 是三个基底向量 $\mathbf{e}_1\,\!$、$\mathbf{e}_2\,\!$、$\mathbf{e}_3\,\!$ 所形成的平行六面体的体积。

反过来计算。

$\mathbf{e}_1 = \frac{\mathbf{e}^2 \times \mathbf{e}^3}{\tau'} ; \qquad \mathbf{e}_2 = \frac{\mathbf{e}^3 \times \mathbf{e}^1}{\tau'}; \qquad \mathbf{e}_3 = \frac{\mathbf{e}^1 \times \mathbf{e}^2}{\tau'}\,\!$。

其中，$\tau'=\mathbf{e}^1\cdot(\mathbf{e}^2 \times \mathbf{e}^3)=1/\tau\,\!$ 是三个基底向量 $\mathbf{e}^1\,\!$、$\mathbf{e}^2\,\!$、$\mathbf{e}^3\,\!$ 所形成的平行六面体的体积。

虽然 $\mathbf{e}_i\,\!$ 与 $\mathbf{e}^j\,\!$ 并不相互标准正交，它们相互对偶：

$\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}^j = \delta_i^j\,\!$。

这样。

$a^1 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^1; \qquad a^2 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^2; \qquad a^3 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^3\,\!$。

类似地。

$a_1 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_1; \qquad a_2 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_2; \qquad a_3 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_3\,\!$。

这样， $\mathbf{a}\,\!$ 可以表达为

$\mathbf{a} = a_i \mathbf{e}^i = a_1 \mathbf{e}^1 + a_2 \mathbf{e}^2 + a_3 \mathbf{e}^3 \,\!$。

或者。

$\mathbf{a} = a^i \mathbf{e}_i = a^1 \mathbf{e}_1 + a^2 \mathbf{e}_2 + a^3 \mathbf{e}_3\,\!$。

综合上述关系式。

$\mathbf{a} = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_i) \mathbf{e}^i = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^i) \mathbf{e}_i \,\!$。

$a_i = \mathbf{a}\cdot \mathbf{e}_i = (a^j \mathbf{e}_j)\cdot \mathbf{e}_i = (\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_i) a^j=g_{ji}a^j\,\!$。

其中，$g_{ji}=\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_i\,\!$ 是度规张量。

$a^i = \mathbf{a}\cdot \mathbf{e}^i = (a_j \mathbf{e}^j)\cdot \mathbf{e}^i = (\mathbf{e}^j\cdot\mathbf{e}^i) a_j =g^{ji}a_j\,\!$ ;

其中，$g^{ji}=\mathbf{e}^j\cdot\mathbf{e}^i\,\!$ 是共轭度规张量。

共变坐标的标号是下标，反变坐标的标号是上标。假若共变基底向量组成的基底是标准正交基，或反变基底向量组成的基底是标准正交基，则共变基底与反变基底相互等价。那么，就没有必要分辨共变坐标和反变坐标，所有的标号都可以用下标来标记。

## 在相对论上的应用

根据相对性原理，一条物理定律在不同的系统，都应该有相同的“形式”。

狭义相对论讨论的是闵可夫斯基空间，它是一种平直空间。