长球面坐标系

长球面坐标系（Prolate spheroidal coordinates）是一种三维正交坐标系。设定二维椭圆坐标系包含于 xz-平面；两个焦点 $F_{1}$ 与 $F_{2}$ 的直角坐标分别为 $(0,\ 0,\ - a)$ 与 $(0,\ 0,\ a)$。将椭圆坐标系绕着 z-轴旋转，则可以得到长球面坐标系。（假若，绕着 y-轴旋转，则可以得到扁球面坐标系。）椭圆坐标系的两个焦点，包含于 z-轴。长球面坐标系可以被视为椭球坐标系的极限案例，其两个最短的半轴的长度相同。

## 基本定义

在三维空间里，一个点 P 的长球面坐标 $(\mu,\ \nu,\ \phi)$ 常见的定义是

$x = a \ \sinh \mu \ \sin \nu \ \cos \phi$。

$y = a \ \sinh \mu \ \sin \nu \ \sin \phi$。

$z = a \ \cosh \mu \ \cos \nu$。

其中，$\mu\ge 0$ 是个实数，弧度 $0 \le \nu \le \pi$，弧度 $0 \le \phi \le 2\pi$。

### 坐标曲面

$\mu$ 坐标曲面是长球面：

$\frac{z^{2}}{a^{2} \cosh^{2} \mu} + \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \sinh^{2} \mu} = \cos^{2} \nu + \sin^{2} \nu = 1$。

每一个长球面都是由椭圆绕着 z-轴旋转形成的。椭球面与 xz-平面的相交，是一个椭圆。沿着 x-轴，椭圆的短半轴长度为 $a\sinh\mu$，沿着 z-轴，椭圆的长半轴长度为 $a\cosh\mu$。椭圆的焦点都包含于 z-轴，z-坐标分别为 $\pm a$。

$\nu$ 坐标曲面是半个旋转双叶双曲面：

$\frac{z^{2}}{a^{2} \cos^{2} \nu} - \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \sin^{2} \nu} = \cosh^{2} \mu - \sinh^{2} \mu = 1$。

当 $\nu<\pi/2$ 时，坐标曲面在 xy-平面以上；当 $\nu>\pi/2$ 时，坐标曲面在 xy-平面以下。

$\phi$ 坐标曲面是个半平面：

$x\sin\phi - y\cos\phi=0$。

### 标度因子

长球面坐标 $\mu$ 与 $\nu$ 的标度因子相等：

$h_{\mu} = h_{\nu} = a\sqrt{\sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu}$。

方位角 $\phi$ 的标度因子为

$h_{\phi} = a \sinh\mu \ \sin\nu$。

无穷小体积元素是

$dV = a^{3} \sinh\mu \ \sin\nu \ \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right) d\mu d\nu d\phi$。

拉普拉斯算子是

$\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{a^{2} \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right)} \left[ \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \mu^{2}} + \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \nu^{2}} + \coth \mu \frac{\partial \Phi}{\partial \mu} + \cot \nu \frac{\partial \Phi}{\partial \nu} \right] + \frac{1}{a^{2} \sinh^{2}\mu \sin^{2}\nu} \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}$。

其它微分算子，像 $\nabla \cdot \mathbf{F}$， $\nabla \times \mathbf{F}$，都可以用 $(\mu,\ \nu,\ \phi)$ 坐标表示，只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

### 应用

当边界条件涉及长球面时，长球面坐标时常可以用来解析偏微分方程式。例如，位置分别在 z-轴两个焦点的电子，会产生怎样的静电场？一个关于氢离子 $H_2^+$ 的问题是，当移动于两个正价的原子核中间时，一个电子的波函数是什么？另外一个很实际的问题是，两个小电极尖端之间的电场是什么？极限案例包括一根电线段 ($\mu=0$) 产生的电场，缺了一线段的一根电线 ($\nu=0$) 产生的电场。

## 第二种表述

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另外，还有一种比较有几何直觉性的扁球面坐标系 $(\sigma,\ \tau,\ \phi)$：

$\sigma=\cosh\mu$。

$\tau=\cos \nu$。

$\phi=\phi$。

其中，$\sigma\ge 1$ 是个实数，$1\ge \tau\ge - 1$ 是个实数，弧度 $0 \le \phi \le 2\pi$。

与扁球面坐标系不同，长球面坐标系并没有简并。在三维空间里，长球面坐标系与直角坐标有一一对应关系:

$x = a \sqrt{\left( \sigma^{2} - 1 \right) \left(1 - \tau^{2} \right)} \cos \phi$。

$y = a \sqrt{\left( \sigma^{2} - 1 \right) \left(1 - \tau^{2} \right)} \sin \phi$。

$z = a\ \sigma\ \tau$。

### 坐标曲面

$\sigma$ 坐标曲面是长球面：

$\frac{z^{2}}{a^{2} \sigma^{2}} + \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2}(\sigma^{2} - 1)}=1$。

每一个长球面都是由椭圆绕着 z-轴旋转形成的。椭球面与 xz-平面的相交，是一个椭圆。沿着 x-轴，椭圆的短半轴长度为 $a \sqrt{\sigma^2 - 1}$，沿着 z-轴，椭圆的长半轴长度为 $a\sigma$。椭圆的焦点都包含于 z-轴，z-坐标分别为 $\pm a$。

$\tau$ 坐标曲面是半个旋转双曲面：

$\frac{z^{2}}{a^{2}\tau^2} - \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2}(1 - \tau^2)}=1$。

当 $\tau>0$ 时，坐标曲面在 xy-平面以上；当 $\tau<0$ 时，坐标曲面在 xy-平面以下。

$\phi$ 坐标曲面是个半平面：

$x\sin\phi - y\cos\phi=0$。

任何一点 P 与焦点 $F_{1}$，$F_{2}$ 的距离 $d_1$，$d_2$，可以一个很简单的公式表示：

$d_{1}+d_{2} = 2a\sigma$。

$d_{1} - d_{2}= 2a\tau$。

所以，点 P 与焦点 $F_{1}$ 的距离 $d_1$ 是 $a(\sigma+\tau)$，点 P 与焦点 $F_{2}$ 的距离 $d_2$ 是 $a(\sigma - \tau)$。（回想 $F_{1}$，$F_{2}$ 都是在 z-轴，分别位于 $z= - a$，$z=+a$。）

### 标度因子

第二种长球面坐标 $(\sigma,\ \tau,\ \phi)$ 的标度因子分别为:

$h_{\sigma} = a\sqrt{\frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{\sigma^{2} - 1}}$。

$h_{\tau} = a\sqrt{\frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{1 - \tau^{2}}}$。

$h_{\phi} = a \sqrt{\left( \sigma^{2} - 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)}$。

无穷小体积元素是

$dV = a^{3} \left( \sigma^{2} - \tau^{2} \right) d\sigma d\tau d\phi$。

拉普拉斯算子是

$\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} - \tau^{2} \right)} \left\{ \frac{\partial}{\partial \sigma} \left[ \left( \sigma^{2} - 1 \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma} \right] + \frac{\partial}{\partial \tau} \left[ \left( 1 - \tau^{2} \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \tau} \right] \right\} + \frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} - 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)} \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}$。

其它微分算子，像 $\nabla \cdot \mathbf{F}$， $\nabla \times \mathbf{F}$，都可以用 $(\mu,\ \nu,\ \phi)$ 坐标表示，只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

### 应用

如同球坐标解答的形式为球谐函数，拉普拉斯方程可以用分离变数法来求解，得到形式为长扁球谐函数的答案。假若，边界条件涉及长球面，我们可以优先选择这方法来解析。

## 参考目录

### 不按照命名常规

- 采用 $\xi_1=a\cosh\mu$、$\xi_2=\sin\nu$、$\xi_3=\cos\phi$。
- 如同 Morse & Feshbach (1953)，采用 $u_k$ 来替代 $\xi_k$。
- 采用混合坐标 $\xi=\cosh\mu$、$\eta=\sin\nu$、$\phi=\phi$。

### 按照命名常规

- 采用第一种表述 $(\mu,\ \nu,\ \phi)$，又加介绍了简并的第三种表述 $(\sigma,\ \tau,\ \phi)$。
- 如同 Korn and Korn (1961)，但采用余纬度 $\theta=90^{\circ} - \nu$ 来替代纬度 $\nu$。
- Moon and Spencer 采用余纬度常规 $\theta=90^{\circ} - \nu$，又改名 $\phi$ 为 $\psi$。

### 特异命名常规

- 视长球面坐标系为椭球坐标系的极限。