可观察量

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在物理学里，特别是在量子力学里，处于某种状态的物理系统，它所具有的一些性质，可以经过一序列的物理运作过程而得知。这些可以得知的性质，称为可观察量（observable）。例如，物理运作可能涉及到施加电磁场于物理系统，然后使用实验仪器测量某物理量的数值。在经典力学的系统里，任何可以用实验测量获得的可观察量，都可以用定义于物理系统状态的实函数来表示。在量子力学里，物理系统的状态称为量子态，其与可观察量的关系更加微妙，必须使用线性代数来解释。根据量子力学的数学表述，量子态可以用存在于希尔伯特空间的态向量来代表，量子态的可观察量可以用厄米算符来代表。

## 数学表述

### 本征态

假设，物理量$O$是某量子系统的可观察量，其对应的量子算符$\hat{O}$，可能有很多不同的本征值$O_i$与对应的本征态$|e_i\rang$，这些本征态$|e_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,n$，形成了具有正交归一性的基底：

$\lang e_i |e_j\rang=\delta_{ij}$。

其中，$\delta_{ij}$是克罗内克函数。

任何描述这量子系统的量子态$|\psi\rang$，都可以用这基底的本征态表示为

$|\psi\rang=\sum_i \ c_i|e_i\rang$。

其中，$c_i=\lang e_i |\psi \rang$是复系数，是在量子态$|e_i\rang$里找到量子态$|\psi\rangle$的几率幅。

假设，量子态$|\psi\rang$等于这些本征态之中的一个本征态$|e_k\rang$，则对于这量子系统，测量可观察量$O$，得到的结果必定等与本征值$O_k$，几率为1，量子态$|\psi\rang$是“确定态”。

### 统计诠释

根据统计诠释，对应于可观察量的量子算符可能有很多本征值，测量结果只能是其中一个本征值，而且，每一个本征值出现的机会呈几率性。测量这个动作会将量子系统的量子态改变为对应于本征值的本征态，并且，在之后短暂片刻内，量子系统的量子态仍旧是这本征态。

假设，某量子系统的量子态为

$|\psi\rang=\sum_i \ c_i|e_i\rang$。

测量这个动作会将量子系统的量子态改变为算符$\hat{O}$的一个本征态。假设量子态改变为本征态$|e_i\rang$，则改变为这本征态的几率为$p_i=|c_i|^2$，测量结果是本征值$O_i$，得到这本征值的几率也为$p_i$。在测量之后短暂片刻内，量子系统的量子态仍旧是本征态$|e_i\rang$。

将算符$\hat{O}$作用于量子态$|\psi\rang$，会形成新量子态$|\phi\rang$：

$|\phi\rang=\hat{O}|\psi\rang=\sum_i \ c_i\hat{O}| e_i\rang=\sum_i \ c_i O_i| e_i\rang$。

从左边乘以量子态$\lang\psi|$，经过一番运算，可以得到

$\lang\psi|\phi\rang =\lang\psi|\hat{O}|\psi\rang=\sum_i \ c_i O_i\lang\psi| e_i\rang=\sum_i\ |c_i|^2O_i =\sum_i\ p_iO_i$。

所以，每一个本征值与其几率的乘积，所有乘积的代数和就是可观察量$O$的期望值：

$\lang O\rang\ \stackrel{def}{=}\ \lang\psi|\hat{O}|\psi\rang=\sum_i\ p_iO_i$。

### 厄米算符

每一种经过测量而得到的物理量都是实数，因此，可观察量$O$的期望值是实数：

$\lang O\rang=\lang O\rang^*$。

对于任意量子态$|\psi\rang$，这关系都成立：

$\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang=\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang^*$。

根据伴随算符的定义，假设$\hat{O}^{\dagger}$是$\hat{O}$的伴随算符，则$\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang^*=\lang\psi |\hat{O}^{\dagger}|\psi\rang$。因此。

$\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}$。

这正是厄米算符的定义。所以，表现可观察量的算符，都是厄米算符。

## 不相容可观察量

假若两种可观察量的对易算符不等于0，则称这两种可观察量为“不相容可观察量”：

$[\hat{A},\hat{B}]\ne 0$。

其中，$\hat{A}$、$\hat{B}$分别是可观察量$A$、$B$的算符。

这两种算符$\hat{A}$与$\hat{B}$绝对不会有共同的基底。一般而言，$\hat{A}$的本征态与$\hat{B}$的本征态不同通常这句话成立，但也存在有例外。思考氢原子的角量子数为零（$\ell=0\ $）的量子态，它是$L_x$、$L_y$、$L_z$的本征态，本征值都为零，而这三个自伴算符都互不对易，它们对应的可观察量彼此之间都是不相容可观察量。假设量子系统的量子态为$|\psi\rang$。对于算符$\hat{A}$，所有本征值为$a_i$的本征态$|\alpha_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,n$，形成一个基底。量子态$|\psi\rang$可以表示为这组基底本征态的线性组合：

$|\psi\rang=\sum_i \ c_i|\alpha_i\rang$。

其中，$c_i=\lang \alpha_i |\psi \rang$是复系数，是在量子态$|\alpha_i\rang$里找到量子态$|\psi\rangle$的几率幅。

对于算符$\hat{B}$，所有本征值为$b_i$的本征态$|\beta_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,n$，形成了另外一个基底。量子态$|\psi\rang$可以表示为这组基底本征态的线性组合：

$|\psi\rang=\sum_i \ d_i|\beta_i\rang$。

其中，$d_i=\lang \beta_i |\psi \rang$是复系数，是在量子态$|\beta_i\rang$里找到量子态$|\psi\rangle$的几率幅。

对于量子系统的可观察量$A$做测量，可能得到的结果是各种本征态$|\alpha_i\rang$的本征值$a_i$，获得这些不同结果的机会具有几率性，可以表达为几率分布，结果为$a_i$的几率是$|c_i|^2$。

假设测量的结果是本征值$a_j$，则可以推断，在测量之后短暂片刻内，量子态是本征态$|\alpha_j\rang$。假若立刻再测量可观察量$A$，由于量子态仍旧是本征态$|\alpha_j\rang$，所得到的测量值是本征值$a_i$几率为1。假若立刻再对本征态$|\alpha_j\rang$测量可观察量$B$，则会得到统计性的答案。假设测量的结果是本征值$b_k$，则可以推断，在测量之后短暂片刻内，量子态是本征态$|\beta_k\rang$。

根据不确定性原理。

$\Delta A\ \Delta B \ge \left|\frac{\lang[ \hat{A},\hat{B}]\rang}{2i}\right|$。

设定$\chi=\left|\frac{\lang[ \hat{A},\hat{B}]\rang}{2i}\right|$。假设，$A$与$B$是两个不相容可观察量，则$\chi>0$。而$A$的不确定性与$B$的不确定性的乘积$\Delta A\ \Delta B$，必定大于或等于$\chi$。

## 实例

为了具体计算位置与动量的期望值，可以将量子态表现于位置空间，以位置空间的波函数来表示，使用对应的代数算符。

### 位置与动量

位置$x$，动量$p$都是可观察量，它们的算符都是厄米算符：

$\lang x\rang=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^* x \psi \ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ (x\psi)^* \psi \ dx=\lang x\rang^*$。

$\lang p\rang=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^* \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}\psi\right)\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}\psi\right)^* \psi\ dx=\lang p\rang^*$。

### 角动量

在三维空间里，角动量算符的x-分量$\hat{L}_x$是厄米算符。因为

$\lang L_x\rang^*=\lang yp_z-zp_y\rang^*=\lang yp_z-zp_y\rang=\lang L_x\rang$。

其中，$y$与$z$分别是位置的y-分量与z-分量，$p_y$与$p_z$分别是动量的y-分量与z-分量。

类似地，角动量算符的y-分量$\hat{L}_y$也是厄米算符。

## 参阅

- 位置算符
- 动量算符
- 角动量算符
- 哈密顿算符