位置算符

在量子力学里，位置算符（position operator）是一种量子算符。对应于位置算符的可观察量是粒子的位置。位置算符的本征值是位置向量。采用狄拉克标记，位置算符 $\hat{x}$ 的本征态 $|x\rang$ 满足方程式

$\hat{x}|x\rang=x|x\rang$。

其中，$x$ 是本征值，是量子态为 $|x\rang$ 的粒子所处的位置，$x$ 只是一个数值。

## 位置空间表现

设定量子态 $|\Psi\rang=\hat{x}|\psi \rang$。量子态 $|\Psi\rang$、$|\psi\rang$ 的位置空间表现，即波函数，分别定义为

$\Psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ \lang x|\Psi\rang$。

$\psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ \lang x|\psi\rang$。

在位置空间里，定义算符 $\hat{\mathfrak{x}}$ 为

$\hat{\mathfrak{x}}\psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ x\psi(x)$。

在位置空间里，使用连续本征态 $|x'\rang$ 所组成的基底，任意量子态 $|\psi\rang$ 展开为

$|\psi \rang = \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ |x'\rang\lang x'|\psi\rang$。

将量子算符 $\hat{x}$ 作用于量子态 $|\psi\rang$，可以得到

$\hat{x}|\psi \rang =\hat{x} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ |x'\rang\lang x'|\psi\rang <pre> =\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ x' |x'\rang\lang x'|\psi\rang </pre> =\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ x' \psi(x')|x'\rang =\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ \hat{\mathfrak{x}}\psi(x') |x'\rang$。

应用狄拉克正交归一性，$\lang x|x'\rang =\delta(x-x')$，这方程式与左矢 $\lang x|$ 的内积为

$\lang x|\hat{x}|\psi \rang =\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ \hat{\mathfrak{x}}\psi(x') \lang x|x'\rang =\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ \hat{\mathfrak{x}}\psi(x') \delta(x-x') =\hat{\mathfrak{x}}\psi(x)$。

量子态 $|\Psi\rang$ 的展开式为

$\Psi \rang =\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ |x'\rang\lang x'|\Psi\rang =\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ \Psi(x')|x'\rang$。

应用狄拉克正交归一性，这方程式与左矢 $\lang x|$ 的内积为

$\lang x|\Psi \rang =\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ \Psi(x')\lang x|x'\rang =\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ \Psi(x') \delta(x-x') =\Psi(x)$。

所以，两个波函数 $\Psi(x)$、$\psi(x)$ 之间的关系为

$\Psi(x)=\hat{\mathfrak{x}}\psi(x)$。

总结，位置算符 $\hat{x}$ 作用于量子态 $|\psi\rang$ 的结果 $|\Psi\rang$，表现于位置空间，等价于波函数 $\psi(x)$ 与 $x$ 的乘积 $\Psi(x)$。位置算符 $\hat{x}$ 的位置空间表现是位算符 $\hat{\mathfrak{x}}$，可以称算符 $\hat{\mathfrak{x}}$ 为位置算符。

## 本征函数

假设，在位置空间里，位置算符 $\hat{\mathfrak{x}}$ 的本征值为 $q$ 的本征函数是 $g_q(x)$。用方程式表达。

$\hat{\mathfrak{x}}g_q(x)=q g_q(x)$。

这方程式的一般解为。

$g_q(x)=g_0 \delta(x - q)$。

其中，$g_0$ 是常数，$\delta(x - q)$ 是狄拉克δ函数。

注意到 $g_q(x)$ 无法归一化：

$\int_{ - \infty}^{\infty}\ g_q^*(x)g_q(x)\ dx=|g_0|^2 \int_{ - \infty}^{\infty}\ \delta^2(x - q)\ dx=\mbox{?}$。

设定 $g_0=1$，函数 $g_q(x)$ 满足下述方程式：

$\int_{ - \infty}^{\infty}\ g_{q1}^*(x)g_{q2}(x)\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \delta(x - q1)\delta(x - q2)\ dx=\delta(q1-q2)$。

这性质不是普通的正交归一性，这性质称为狄拉克正交归一性。因为这性质，位置算符的本征函数具有完备性，也就是说，任意波函数 $\psi(x)$ 都可以表达为本征函数的线性组合：

$\psi(x)=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi(q)g_{q}(x)\ dq$。

虽然本征函数 $g_q(x)$ 所代表的量子态是无法实际体现的，并且严格而论，不是一个函数，它可以视为代表一种理想量子态，这种理想量子态具有准确的位置 $q$，因此，根据不确定性原理，这种理想量子态的动量呈均匀分布。

## 期望值

采用位置空间表现，设想一个移动于一维空间的量子粒子。在这里，希尔伯特空间是 $\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R})$，是实值定义域的平方可积函数的空间。两个态向量的内积是

$\lang \psi_1| \psi_2 \rang = \int_{ - \infty}^{\infty}\psi_1^*(x)\psi_2(x) \, \mathrm{d}x$。

对于任意量子态 $\psi$，可观察量 $x$ 的期望值为

$\lang x \rang\ \stackrel{def}{=}\ \lang \psi | \hat{x} |\psi \rang$。

位置算符 $\hat{x}$ 作用于量子态 $|\psi\rang$ 的结果，表现于位置空间，等价于波函数 $\psi(x)$ 与 $x$ 的乘积，所以。

$\lang x \rang =\int_{ - \infty}^{\infty} \psi^\ast (x) \, x \, \psi(x) \, \mathrm{d}x = \int_{ - \infty}^{\infty} x \, |\psi(x)|^2 \, \mathrm{d}x$。

粒子处于 $x$ 与 $x+dx$ 微小区间内的几率是

$p(x) \mathrm{d}x = \psi^*(x)\psi(x) \mathrm{d}x$。

粒子位置与几率的乘积在位置空间的积分，就是粒子位置的期望值。

## 三维案例

推广至三维空间相当直截了当，参数为三维位置 $\mathbf{r}$ 的波函数为 $\psi(\mathbf{r})$，位置的期望值为

$\langle \mathbf{r} \rangle = \int_{\mathbb{V}} \mathbf{r} |\psi(\mathbf{r})|^2 \mathrm{d}^3 \mathbf{r}$。

其中，$\mathbb{V}$ 是积分体积。

位置算符 $\mathbf{\hat{\mathfrak{r}}}$ 的作用为

$\mathbf{\hat{\mathfrak{r}}}\psi=\mathbf{r}\psi$。

## 对易关系

位置算符与动量算符的对易算符，当作用于波函数时，会得到一个简单的结果：

$[\hat{x},\ \hat{p}]\psi=(\hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x})\psi=x\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial x} - \frac{\hbar}{i}\frac{\partial (x\psi)}{\partial x}=i\hbar\psi$。

所以，$[\hat{x},\ \hat{p}]=i\hbar$。这关系称为位置算符与动量算符的对易关系。由于两者的对易关系不等于 0，位置与动量彼此是不相容可观察量。$\hat{x}$ 与 $\hat{p}$ 绝对不会拥有共同的基底量子态。一般而言，$\hat{x}$ 的本征态与 $\hat{p}$ 的本征态不同。

根据不确定性原理。

$\Delta A\ \Delta B \ge \left|\frac{\langle[ A,\ B]\rangle}{2i}\right|$。

由于 $x$ 与 $p$ 是两个不相容可观察量，$\left|\frac{\langle[\hat{x},\ \hat{p}]\rangle}{2i}\right| =\hbar/2$。所以，$x$ 的不确定性与 $p$ 的不确定性的乘积 $\Delta x\ \Delta p$，必定大于或等于 $\hbar/2$。