归一条件

在量子力学里，表达粒子的量子态的波函数必须满足归一条件（归一化，或规范化，be normalized），也就是说，在空间内，找到粒子的几率必须等于 $1$。这性质称为归一性。用数学公式表达。

$\int_{ - \infty}^{\infty} \psi^*(x)\psi(x)\ dx=1$ ;

其中，$x$ 是粒子的位置，$\psi(x)$ 是波函数。

## 归一化导引

一般而言，波函数 $\psi$ 是一个复函数。可是，$\psi^* \psi = \mid \psi \mid ^2$ 是一个实函数，大于或等于 $0$，称为“几率密度函数”。所以，在区域 $[x,\ x+\Delta x]$ 内，找到粒子的几率 $\Delta P$ 是

$\Delta P =\mid \psi \mid ^2 \Delta x$；(1)。

既然粒子存在于空间，几率是 $1$。所以，积分于整个一维空间：

$P= \int_{ - \infty}^{\infty} \mid \psi \mid ^2 dx = 1$。(2)

假若，从解析薛定谔方程而得到的波函数 $\psi$，其几率 $P$ 是有限的，但不等于 $1$，则可以将波函数 $\psi$ 乘以一个常数，使几率 $P$ 等于 $1$。或者，假若波函数内，已经有一个任意常数，可以设定这任意常数的值，使几率 $P$ 等于 $1$。

## 实例

在一维空间内，束缚于区域 $[0,\ \ell]$ 内的一个粒子，其波函数是

$\psi (x,\ t) = \begin{cases} Ae^{i(kx - \omega t)}, & 0\le x \le \ell \\ 0, & elsewhere \end{cases}$。

其中，$k$ 是波数，$\omega$ 是角频率，$A$ 是任意常数。

计算能够使波函数归一化的常数值 $A$。将波函数代入：

$\mid \psi \mid ^2 = A^2 e^{i(kx - \omega t)} e^{ - i(kx - \omega t)} =A^2$。

积分于整个粒子存在的区域：

$\int_{0}^{\ell} A^2 dx= 1$。

稍加运算。

$A^2 \ell = 1 \qquad \Rightarrow \qquad A = \left ( \frac{1}{\sqrt{\ell}} \right )$。

归一化的波函数是：

$\psi (x,t) = \begin{cases} \left ( \frac{1}{\sqrt{\ell}} \right )e^{i(kx - \omega t)}, & 0 \le x \le \ell \\ 0, & \text{elsewhere} \end{cases}$。

## 薛定谔方程的形式不变

薛定谔方程为

$\frac{ - \hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) \psi (x) = E \psi (x)$。

其中，$\hbar$ 是约化普朗克常数，$V(x)$ 是位势，$E$ 是能量。

将波函数 $\psi$ 归一化为 $\psi\,'=A\psi$。则薛定谔方程成为

$$\frac{ - \hbar^2}{2m} A\frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) A \psi(x) = E A \psi(x)$$

$$\Rightarrow A \left ( \frac{ - \hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) \psi(x) \right ) = A \left ( E \psi(x) \right )$$

$\Rightarrow \frac{ - \hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) \psi(x) = E \psi(x)$。

薛定谔方程的形式不变。对于归一化，薛定谔方程是个不变式，因为薛定谔方程是个线性微分方程式。

一个表达粒子量子态的波函数，必须满足粒子的薛定谔方程。既然 $\psi$ 和 $\psi\,'$ 都能够满足同样的薛定谔方程，它们必定都表达同样的量子态。假若不使用归一化的波函数，则只能知道几率的相对大小；否则，使用归一化的波函数，可以知道绝对的几率。这对于量子问题的解析，会提供许多便利。

## 归一化恒定性

给予一个归一化的波函数．随着时间的变化，波函数也会改变．假若，随着时间改变的波函数不再满足归一条件，则势必要重新将波函数归一化．这样，归一常数 $A$ 变得含时间．很幸运地，满足薛定谔方程的波函数的归一性是恒定的．设定波函数 $\psi(x,\ t)$ 满足薛定谔方程与归一条件：

$\frac{ - \hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + V(x) \psi = i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}$。

$P=\int_{ - \infty}^{\infty} \psi^*\psi\ dx=1$。

假若，归一性是恒定的，则几率 $P$ 不含时间。为了显示这一点，先计算 $\frac{dP}{dt}$：

$\frac{dP}{dt}=\frac{d}{dt}\int_{ - \infty}^{\infty} \psi^*(x,\ t)\psi(x,\ t)\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty} \frac{\partial}{\partial t}(\psi^*(x,\ t)\psi(x,\ t))\ dx$。

展开被积函数

$\frac{\partial}{\partial t}(\psi^*\psi)=\frac{\partial\psi^*}{\partial t}\psi+\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial t}$。

编排薛定谔方程，可以得到波函数 $\psi$ 对于时间的偏导数：

$\frac{\partial \psi}{\partial t}= \frac{ i \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{i}{\hbar}V(x) \psi$。

共轭波函数 $\psi^*$ 对于时间的偏导数为

$\frac{\partial \psi^*}{\partial t}= \frac{ - i \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi^*}{\partial x^2}+\frac{i}{\hbar}V(x) \psi^*$。

将 $\psi$ 与 $\psi^*$ 代入被积函数

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial t}(\psi^*\psi) & = \left(\frac{ - i \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi^*}{\partial x^2}+\frac{i}{\hbar}V(x) \psi^* \right)\psi+\psi^*\left(\frac{ i \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{i}{\hbar}V(x) \psi \right) \\ <pre> & =\left(\frac{ - i \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi^*}{\partial x^2} \right)\psi+\psi^*\left(\frac{ i \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} \right) \\ & =\left(\frac{ i \hbar}{2m} \right)\frac{\partial}{\partial x}\left(\psi^*\frac{\partial \psi}{\partial x} - \frac{\partial \psi^*}{\partial x}\psi\right)\\ \end{align}$。

代入 $\frac{dP}{dt}$ 的方程式:

$\frac{dP}{dt}=\left(\frac{ i \hbar}{2m} \right)\left[\left.\left(\psi^*\frac{\partial \psi}{\partial x} - \frac{\partial \psi^*}{\partial x}\psi\right)\right|_{\infty} - \left.\left(\psi^*\frac{\partial \psi}{\partial x} - \frac{\partial \psi^*}{\partial x}\psi\right)\right|_{ - \infty}\right]$。

可是，在 $x=\pm \infty$，$\psi$ 与 $\psi^*$ 都等于 0 ．所以。

$\frac{dP}{dt}=0$。

几率 $P=1$ 不含时间。波函数的归一化是恒定的。

## 参阅

- 正则变换
- 幺正性