超现实数

在数学上，超现实数系统（Surreal Numbers）是一种连续统，其中含有实数以及无穷量，即无穷大（小）量，其绝对值大（小）于任何正实数。超现实数与实数有许多共同性质，包括其全序关系“≤”以及通常的算术运算（加减乘除）；也因此，它们构成了有序域但当初在使用冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论来建立超现实数理论时，全体超现实数并不构成集合，而只构成真类，因此使用“域”（field）此一术语看来不甚精确；在严格区分集合和真类显然重要时，有些作者会使用首字母大写的“Field”或全大写的“FIELD”来指称那些其实是真类，但又具有域的算术性质的对象。暂时可称作“琙”（音同域）或“真类域”。如想得到一个真正的、作为集合的域，可以把构造限制在格罗滕迪克宇集中，这样的话就得到一个集合，其基数为一种强不可达基数；又或者使用另一种形式的集合论，在其中，任何超限递归构造总要在可数序数（比如 $\varepsilon_0$ ,即艾普塞朗数）处停下。在严格的集合论意义下，超现实数是可能出现的有序域中最大的；其他的有序域，如有理数域、实数域、有理函数域、列维-奇维塔域、上超实数和超实数域等，全都是超现实数域的子域。超现实数域也包含可达到的、在集合论里构造过的所有超限序数。

<image>

超现实数是由约翰·何顿·康威所定义和构造的。这个名称早在1974年便已由高德纳在他的书《研究之美》Surreal number正式中文译名尚未出现，但英语Surreal一词与Surrealism联系起来的话，在中文里后者译为“超现实主义”，因此“超现实数”便作为surreal number的可能译名。中就被引进了。《研究之美》是一部中短篇数学小说，而值得一提的是，这种把新的数学概念在一部小说中提出来的情形是非常少有的。在这部由对话体写成的著作里，高德纳造了“surreal number”一词，用来指称康威起初只叫做“number”（数）的这个新概念。康威乐于采用新的名称，后来在他1976年的著作《论数字与博弈》（On Numbers and Games）中就描述了超现实数的概念并使用它来进行了一些博弈分析。

## 概述

康威使用递归构造了超现实数，其中每个数都是两个数集构成的序对，记为 $\{ L | R \}$。这两个集合要求 $L$ 里的每个元素都严格小于每个 $R$ 里的元素。不同的序对可能表达同样的数字：$\{1|3\}=\left\{\frac 32|\frac 52\right\}=2$。

### 整数及二进分数

让我们先来看几个简单的例子。

$$\{|\}=0$$

$$\{0|\}=1$$

$$\{1|\}=2$$

$$\{|0\}=-1$$

$$\{|-1\}=-2$$

因此整数都是超现实数。（以上几行是定义而非等式。）

$$\{0|1\}=\frac 12$$

$$\left\{0|\frac 12\right\}=\frac 14$$

$$\left\{\frac 12|1\right\}=\frac 34$$

至此我们可以通过超现实数定义二进分数（分母为2的幂次的分数）。

### 其他实数

为了定义更多的实数，我们可以将使用无限的左右集合：$\frac13 = \{0, \frac14, \frac5{16}, \ldots | \frac12, \frac38, \ldots\}$，$\pi = \{ 3, \frac{25}{8},\frac{201}{64},\ldots | 4, \frac{7}{2}, \frac{13}{4}, \frac{51}{16},\ldots \}$，事实上可以同样地使用二进制展开的方法定义出所有实数。

### 无穷数

根据归纳法，我们可以构造出 $\omega=\{0,1,2,3\ldots|\}$，$\omega-1=\{0,1,2,3\ldots|\omega\}$ 等无穷大的数，$\frac 1\omega=\{0|1,\frac 12,\frac 14,\frac 18\ldots\}$ 等无穷小数。以上超现实数皆不属于实数。

### 更多的数

我们定义 $P_0 = {0}$。

若 $x=\{L|R\},\ L,R\subset P_i$ 且 $x\not\in P_i$，那么 $x\in P_{i+1}$，这在直观上等价于“$x$是在第$i$天中出生的”。

那么我们可以观察发现：

- $$1,-1\in P_1$$
- $$2,-2,\frac 12, -\frac 12\in P_2$$
- $$\pi, \omega, \frac 13\in P_\omega$$
- $$\omega-1, \omega+1 \in P_{\omega+1}$$
- $\omega+\pi \in P_{2\omega}$，其中$2\omega=\{0,1,2,\ldots,\omega+1,\omega+2,\ldots|\}$
- $$\forall i \in \mathbb{Ord}: i\in P_i$$

我们将超现实数集合称作 $\mathbb{No}$。

## 序关系

给定 $x=\{X_L|X_R\},\ y=\{Y_L|Y_R\}$，我们（递归地）定义 $x\leq y$ 当且仅当以下两命题同时成立：

- 没有一个 $x_L\in X_L$ 符合 $y \leq x_L$。
- 没有一个 $y_R\in Y_R$ 符合 $y_R\leq x$。

那么可以自然地定义 $x<y,x>y,x=y,x\geq y$。可以证明，这样的二元关系是一个全序关系。

我们分别将 $x<0, x>0, x\leq 0, x\geq 0$ 称为 $x$ 负、 $x$ 正、 $x$ 非正、 $x$ 非负。

我们定义 $x\|y$ 表示 $x\leq y$ 与 $y\leq x$ 同时不成立。事实上这样的二元关系在超现实数中不可能存在，但是这个关系会在之后的博弈章节出现。

## 运算

### 加法

我们定义超现实数之间的加法为 $x+y=\left\{X_L+y\cup x+Y_L | X_R+y\cup x+Y_R\right\}$，其中 $X+y=\left\{ x + y | x \in X\right\}, x+Y=\left\{x+y|y\in Y\right\}$。

#### 加法逆元

我们定义负号（加法逆元）为 $-x=\left\{-X_R|-X_L\right\}$，其中 $-X=\left\{-x|x\in X\right\}$。

可以验证这两个运算构成了（真类上的）阿贝尔群。

### 乘法

我们定义乘法运算为$x y = \left\{ (X_Ly+xY_L-X_LY_L) \cup (X_Ry+xY_R-X_RY_R)|(X_Ly+xY_R-X_LY_R) \cup (X_Ry+xY_L-X_RY_L) \right\}$，其中 $XY=\{xy|x\in X,y\in Y\},\ xY=\{x\}Y,\ Xy=X\{y\}$。

#### 乘法逆元

我们定义（正数的）乘法逆元为$\frac 1y = \Bigg \{0, \frac{1+(y^R-y)(\frac1y)^L}{y^R}, \frac{1+(y^L-y)(\frac1y)^R}{y^L} \Bigg | \frac{1+(y^L-y)(\frac1y)^L}{y^L}, \frac{1+(y^R-y)(\frac1y)^R}{y^R} \Bigg \}$，这样除法就是 $\frac{x}{y}=x\left(\frac{1}{y}\right)$。我们可以发现这个定义是递归的，但是实际上这个数字是良定义的：我们取$y = 3 = \{2|\}$ 那么 $\frac 13$ 会有一个 $0$ 作为左项，导致了$\frac{1+(2-3)0}2=1/2$ 会是一个右项。这又意味着 $\frac{1+(2-3)\left(\frac12\right)}2=\frac14$ 作为左项、$\frac{1+(2-3)\left(\frac14\right)}2 = \frac 38$ 作为右项，以此类推，所以我们有$\frac13 = \{0, \frac14, \frac5{16}, \ldots | \frac12, \frac38, \ldots\}$ （考虑两边的序列在实数中分别收敛到 $\frac 13$，因此是相容的）。

对于负数，我们定义 $\frac 1x= -\frac1{-x}\quad (x<0)$。

## 子集对应

有理数、实数、序数分别是超现实数的子集。

### 有理数

所有二进分数都可以定义为超现实数，而所有分数都可以表示为两个整数之比，因此所有有理数都可以表示为超现实数。

### 实数

在定义出了有理数之后，使用戴德金分割可以立刻将实数映射到超现实数中。

假设$x\in \mathbb R, x=A|A'$，其中 $A, A' \subset \mathbb{Q}$，那么立刻可知存在 $X\in \mathbb{No}, X=\left\{f(A) | f(B)\right\}$ 是 $x$ 的一个超现实数表示，其中 $f:\mathbb Q \to \mathbb {No}$ 是有理数到超现实数的域同态。

### 序数

我们将所有序数定义为小于它的序数构成的集合。所有序数的全体记为$\mathbb{Ord}$，那么我们有：

- $$f:\mathbb{Ord}\to \mathbb {No},\ f(X)=\left\{f(x), x\in X|\right\}$$

这样的同态可以保持序关系的结构，但是并不能保证算术的一一对应，比如 $\omega-1$ 这一式子的值在序数中的结果是 $\omega$，而在超现实数中则是 $\{0,1,2,\ldots|\omega\}$.

## 博弈

如果去除超现实数定义中对所有 $L<R$ 的约定，那么这样（递归）定义出来的真类被称做游戏。对其仍然可以（一模一样的）定义加法、加法逆元以及比较。

显然，所有的超现实数都是游戏，但并非所有游戏都是超现实数，例如 $\star=\{0|0\}$ 就不是，其满足 $\star \| 0$。

可以发现，所有的游戏都体现了一个两人轮流、确定、公开的博弈游戏，其中左集合表示第一位玩家（下称左玩家）可以走到的局面，右集合则表示第二位玩家（下称右玩家）的选择，不能操作者负。

两个游戏的和的意义就是同时进行两个游戏，而每个玩家选择其中一个进行操作，不能操作者负。

我们可以发现，这个游戏的胜负取决于 $G$ 和 $0$ 的相对关系。

- 若 $G=0$，则后手必胜。
- 若 $G>0$，则左玩家必胜。
- 若 $G<0$，则右玩家必胜。
- 若 $G\|0$，则先手必胜（fuzzy game）。

有以下这些特殊的游戏：

- $$\star=\{0|0\}$$
- $$\uparrow=\{0|\star\},\ \downarrow=\{\star|0\}$$
- $$\pm 1=\{1|-1\}$$

可以发现，关于他们有这么几个性质：

- $$\star \| 0$$
- $$\forall i: -1\leq i \leq 1 \implies \pm 1 \| i$$
- $\forall x\in \mathbb{No}, x>0:-x<\downarrow<0<\uparrow<x$ （比所有超现实数更接近0）
- $$\star+\star=\uparrow+\downarrow=0$$
- $$(\uparrow+\star)\|0,\ \uparrow+\uparrow+\star>0$$

可以用于分析复杂的游戏。

## 暂译术语

- 超现实数（Surreal）
- 无穷量（Infinitesimal）
- 格罗滕迪克宇集