Β函数

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Β函数，又称为贝塔函数或第一类欧拉积分，是一个特殊函数，由下式定义：

$$<pre> \mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,\mathrm{d}t </pre> \!$$

其中$\textrm{Re}(x), \textrm{Re}(y) > 0\,$。

## 性质

Β函数具有以下对称性质：

$$<pre> \Beta(x,y) = \Beta(y,x). </pre> \!$$

当$x$, $y$是正整数的时候，我们可以从阶乘或是伽马函数其中$\Gamma(x)\,$得到如下式子：

$$<pre> \Beta(x,y)=\dfrac{(x-1)!\,(y-1)!}{(x+y-1)!} </pre> \!$$

它有许多其它的形式，包括：

$$<pre> \Beta(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} </pre> \!$$

$$<pre> \Beta(x,y) = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,\mathrm{d}\theta, \qquad \textrm{Re}(x)>0,\ \textrm{Re}(y)>0 </pre> \!$$

$$<pre> \Beta(x,y) = \int_0^\infty\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,\mathrm{d}t, \qquad \textrm{Re}(x)>0,\ \textrm{Re}(y)>0 </pre> \!$$

$$<pre> \Beta(x,y) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{{n-y \choose n}} {x+n}, </pre> \!$$

$$<pre> \Beta(x,y) = \prod_{n=0}^\infty \left( 1+ \dfrac{x y}{n (x+y+n)}\right)^{-1}, </pre> \!$$

$$<pre> \Beta(x,y) \cdot \Beta(x+y,1-y) = \dfrac{\pi}{x \sin(\pi y)}, </pre> \!$$

$$<pre> \Beta(x,y) = \dfrac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\dfrac{y^{n+1}}{n!(x+n)} </pre> \!$$

就像伽玛函数描述了阶乘一样，我们也可以用贝塔函数来定义二项式系数：

$${n \choose k} = \frac1{(n+1) \Beta(n-k+1, k+1)}$$

## 伽玛函数与贝塔函数之间的关系

为了推出两种函数之间的关系，我们把两个阶乘的乘积写为：

$$<pre> \Gamma(x)\Gamma(y) = \int_0^\infty\ e^{-u} u^{x-1}\,\mathrm{d}u \int_0^\infty\ e^{-v} v^{y-1}\,\mathrm{d}v. </pre> \!$$

现在，设$u = a^2$, $v = b^2$，因此：

$$\begin{align} <pre> \Gamma(x)\Gamma(y) & {} = 4\int_0^\infty\ e^{-a^2} a^{2x-1}\mathrm{d}a \int_0^\infty\ e^{-b^2} b^{2y-1}\,\mathrm{d}b \\ </pre> & {} = \int_{-\infty}^\infty\ \int_{-\infty}^\infty\ e^{-(a^2+b^2)} |a|^{2x-1} |b|^{2y-1} \,\mathrm{d}a \,\mathrm{d}b. \end{align} \!$$

利用变量代换$a = r\cos\theta$和$b = r\sin\theta$，可得：

$$\begin{align} <pre> \Gamma(x)\Gamma(y) & {} = \int_0^{2\pi}\ \int_0^\infty\ e^{-r^2} |r\cos\theta|^{2x-1} |r\sin\theta|^{2y-1} r \, \mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta \\ </pre> & {} = \int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2x+2y-2} r\, \mathrm{d}r \int_0^{2\pi}\ |(\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1}| \, \mathrm{d}\theta \\ & {} = \frac{1}{2}{\color{red}{\int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2(x+y-1)}\, \mathrm{d}(r^2)}} \, 4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ (\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1} \,\mathrm{d}\theta \\ & {} = {\color{red}{\Gamma(x+y)}} \, 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ (\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1} \, \mathrm{d}\theta \\ & {} = \Gamma(x+y) \Beta(x,y). \end{align}$$

因此，有：

$$<pre> \Beta(x,y) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}. </pre>$$

## 导数

贝塔函数的导数是：

$${\partial \over \partial x} \mathrm{B}(x, y) = \mathrm{B}(x, y) \left( {\Gamma'(x) \over \Gamma(x)} - {\Gamma'(x + y) \over \Gamma(x + y)} \right) = \mathrm{B}(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y))$$

其中$\psi(x)$是双伽玛函数。

## 估计

斯特灵公式给出了一个用来近似计算贝塔函数的公式：

$$\Beta(x,y)\approx\sqrt {2\pi } \frac{{x^{x - \frac{1}{2}} y^{y - \frac{1}{2}} }}{{\left( {x + y} \right)^{x + y - \frac{1}{2}} }}.$$

## 不完全贝塔函数

不完全贝塔函数是贝塔函数的一个推广，把贝塔函数中的定积分用不定积分来代替，就像不完全伽玛函数是伽玛函数的推广一样。

不完全贝塔函数定义为：

$$\Beta(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt. \!$$

当$x=1$，上式即化为贝塔函数。

正则不完全贝塔函数（或简称正则贝塔函数）由贝塔函数和不完全贝塔函数来定义：

$$I_x(a,b) = \dfrac{\Beta(x;\,a,b)}{\Beta(a,b)}. \!$$

当$a$和$b$是整数时，计算以上的积分（可以用分部积分法），可得：

$$I_x(a,b) = \sum_{j=a}^{a+b-1} {(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!} x^j (1-x)^{a+b-1-j}.$$

正则不完全贝塔函数是Β分布的累积分布函数，可由二项式分布描述一个实随机变量$X$的几率分布：

$$F(k;n,p) = \Pr(X \le k) = I_{1-p}(n-k, k+1) = 1 - I_p(k+1,n-k)$$

其中$p$为试验成功几率，$n$为样本数。

### 性质

$$I_0(a,b) = 0 \,$$

$$I_1(a,b) = 1 \,$$

$$I_x(a,b) = 1 - I_{1-x}(b,a) \,$$