保守力

假设一个受到某作用力的粒子，从初始位置移动到终结位置，而此作用力所做的功跟移动路径无关，则称此力为保守力（conservative force），又称为守恒力。等价地说，假设一个粒子从某位置，移动经过一条闭合路径后，又回到原本位置，则作用于这粒子的保守力所做的机械功（保守力对于整个闭合路径的积分）等于零。假设在一个物理系统里，所有的作用力都是保守力，则称此物理系统为“保守系统”，又称为“守恒系统”。对于这种系统，在空间里每一个位置，都可以给定位势一个唯一数值。假设粒子从某位置移动至另一位置，则由于保守力的作用，粒子的势能可能会有所改变，但前后差值与移动经过的路径无关。例如，重力是一种保守力，而摩擦力是一种非保守力。

## 概述

保守力可以视为一种使机械能守恒的作用力。在一个孤立系统里，假若所有的作用力都是保守力，则此系统的机械能守恒。在这里，机械能指的是动能与势能的总合。

思考一个闭合路径，假设，感受着某作用力，一个粒子从初始位置A移动经过任意闭合路径后，又回到位置A，而此作用力所做于粒子的机械功都等于零，则此作用力满足保守力的条件，可以被分类为保守力。请注意，对于这物理系统，很可能有其他的作用力施加于粒子，但是，这分类只专注于指定的作用力，忽略其他的作用力。当然，根据叠加原理，这分类也可以专注于几个作用力的合力。例如重力、弹簧力、磁场力（依照某些定义而定，稍后会加以详细说明）、电场力（伴随的磁场与时间无关，请参阅法拉第电磁感应定律）等等，都是保守力；而摩擦力和空气阻力是典型的非保守力。

对于非保守力，由于能量守恒，损耗的能量必需被传输到其他地方。通常，能量会转换为热能，例如，摩擦力会产生热能，有时候，还会产生声能。对于移动中的船只，水的阻力会将船只的机械能转换为热能、声能、以及在尾流边缘的波能。由于热力学第二定律，这些能量损耗是不可逆的。

## 路径独立性

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闭合路径思想实验得到的直接结果是，保守力对于一个粒子所做的机械功，跟移动路径无关；还有，这机械功等于，终结势能减去初始势能。试着证明这句话的正确性。设想从点 A 到点 B 有两条不同的路径。选择路径 1 从点 A 移动到点 B，然后选择路径 2 反方向从点 B 移动到点 A，粒子能量的改变是零。因此，不管是选择路径 1 或路径 2，从点 A 移动到点 B，所做的机械功相等。保守力所做的机械功与经过哪一条路径无关，只要两条路径的初始点与终结点相同。

举例而言，假设一个小孩从一个滑梯上滑下来，从滑梯的顶端到底端，不论滑梯的形状，直线型或螺旋型，重力对于这小孩所做的机械功都一样的。重力所做的机械功，只跟这小孩的落差有关。

## 保守力的性质

设定 $\mathbf{F}$ 为在空间任意位置良好定义（或空间内单连通的区域）的向量场，假若它满足以下三个等价的条件中任意一个条件，则可称此向量场为保守向量场：

1、$\mathbf{F}$ 的旋度是零：

$\nabla \times\mathbf{F} = 0$。

2、假设粒子从某闭合路径 $\mathbb{C}$ 的某一位置，经过这闭合路径 $\mathbb{C}$，又回到原先位置，则力向量场 $\mathbf{F}$ 所做的机械功 $W$ 等于零：

$W = \oint_\mathbb{C} \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}= 0$。

3、作用力 $\mathbf{F}$ 是某位势 $\Phi$ 的梯度：

$\mathbf{F} = - \nabla \Phi$。

保守力因为可以保守机械能而得名。最常见的保守力为重力、电场力（伴随的磁场与时间无关，请参阅法拉第电磁感应定律）、弹簧力。

### 数学证明

1⇒2：

设定 $\mathbb{C}$ 为任意简单闭合路径，即初始位置与终结位置相同、不自交的路径。思考边界为 $\mathbb{C}$ 的任意曲面 $\mathbb{S}$。斯托克斯定理表明

$\int_\mathbb{S} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} = \oint_\mathbb{C} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$。

假设 $\mathbf{F}$ 的旋度等于零，方程式左边为零，则机械功 $W$ 是零，第二个条件是正确的。

2⇒3：

假设，对于任意简单闭合路径 $\mathbb{C}$，$\mathbf{F}$ 所做的机械功 $W$ 是零，则保守力所做于粒子的机械功，独立于路径的选择。设定函数

$\Phi(\mathbf{x}) = - \int_\mathbf{O}^\mathbf{x} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$。

其中，$\mathbf{o}$ 和 $\mathbf{x}$ 分别是特定的初始位置和空间内任意位置。

根据微积分基本定理。

$\mathbf{F}(\mathbf{x}) = - \nabla \Phi(\mathbf{x})$。

所以，第三个条件是正确的。

3⇒1：

假设第三个条件是正确的。思考下述方程式：

$$\begin{align}\nabla\times\mathbf{F} & = - \nabla \times \nabla \Phi \\ & = - \left( \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^2 \Phi}{\partial z \partial y} \right) \hat{x} - \left( \frac{\partial^2 \Phi}{\partial z \partial x} - \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x \partial z} \right)\hat{y} - \left( \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y \partial x} \right)\hat{z} \\ & =\boldsymbol{0}\ \ _{\circ} \\ \end{align}$$

所以，第一个条件是正确的。

总结，这三个条件彼此等价。由于符合第二个条件就等于通过保守力的闭合路径考试。所以，只要满足上述三个条件的任何一条件，施加于粒子的作用力就是保守力。

### 磁场力

很多种作用力不是力向量场，特别是跟速度有关的作用力。对于这些案例，上述三个条件并不数学等价。例如，磁场力满足第二个条件（由于作用于带电粒子的磁场力所做的机械功永远为零），但是不满足第三个条件，而第一个条件更是不存在定义──磁场力不是向量场，磁场力与速度有关，必需先给定速度函数的形式，才能计算磁场力的旋度。

所以，有一些物理学者将磁场力分类为保守力，而又有一些物理学者反对这样分类。磁场力是一个特别案例；大多数跟速度有关的作用力，像摩擦力，不能满足上述三个条件中的任意一个条件，因此，可以明确地分类为非保守力。

## 非保守力

在经典力学里，当计算一个物理系统的运动时，为了简易分析与计算，自由度被忽略，因此会出现非保守力。举例而言，摩擦力不能被视为一种非保守力，而是每一个分子在运动时互相作用的力。可是，这样做，就不能应用统计力学，而必须特别计算每一个分子的运动。对于宏观系统，非保守力的概算，比起额外几百万自由度的计算，会简单很多。非保守力的案例有摩擦力、非弹性物质的应力。

在广义相对论里，重力是非保守力，这可以从水星近日点的反常进动观察得着。但是，应力-能量张量是守恒的。

## 参阅

- 保守向量场
- 螺线向量场