向量恒等式列表

在这篇文章内，向量与其量值分别用粗体与斜体表示；例如，$\left| \mathbf{r} \right| = r\,\!$。

这条目陈列一些常用的向量代数的恒等式。

## 三重积

- $$\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = (\mathbf{C} \times \mathbf{B}) \times \mathbf{A} = \mathbf{B}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}) - \mathbf{C}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})$$
- $$\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times \mathbf{C}) = \mathbf{B}\cdot(\mathbf{C}\times \mathbf{A}) = \mathbf{C}\cdot(\mathbf{A}\times \mathbf{B})$$

## 其他乘积

- $$(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = A^2 B^2 - (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})^2 = \mathbf{B} \cdot (\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{A}))$$
- $$\mathbf{\left(A\times B\right)\times}\left(\mathbf{C}\times\mathbf{D}\right)=\left(\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B\times D})\right)\mathbf{C}-\left(\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B\times C})\right)\mathbf{D}$$

## 乘积定则

- $$\mathbf{\nabla} (fg) = f(\mathbf{\nabla}g) + g(\mathbf{\nabla} f)$$
- $$\mathbf{\nabla}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = \mathbf{A} \times (\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B})+\mathbf{B} \times (\mathbf{\nabla} \times \mathbf{A})+(\mathbf{A} \cdot \mathbf{\nabla})\mathbf{B}+(\mathbf{B} \cdot \mathbf{\nabla})\mathbf{A}$$
- $$\mathbf{\nabla}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = (\mathbf{A} \times \mathbf{\nabla}) \times \mathbf{B}+ (\mathbf{B} \times \mathbf{\nabla}) \times \mathbf{A}+\mathbf{A}(\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B})+\mathbf{B}(\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A})$$
- $$\mathbf{\nabla} \cdot (f\mathbf{A})=f(\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A})+\mathbf{A} \cdot (\mathbf{\nabla} f)$$
- $$\mathbf{\nabla} \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B})=\mathbf{B} \cdot (\mathbf{\nabla} \times \mathbf{A}) - \mathbf{A} \cdot (\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B})$$
- $$\nabla\times (f\mathbf{A})=f(\nabla\times\mathbf{A})+(\nabla f)\times\mathbf{A}$$
- $$\nabla\times (\mathbf{A}\times\mathbf{B})= (\mathbf{B}\cdot\nabla) \mathbf{A} - (\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B} + \mathbf{A} (\nabla\cdot\mathbf{B}) - \mathbf{B}(\nabla\cdot\mathbf{A})$$
- $$\nabla\times (\mathbf{A}\times\mathbf{B})= \mathbf{A} \times (\nabla\times\mathbf{B}) - \mathbf{B} \times (\nabla\times\mathbf{A}) - (\mathbf{A}\times\nabla) \times \mathbf{B} + (\mathbf{B}\times\nabla) \times \mathbf{A}$$
- $$\nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right)= - \nabla'\left(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right) = - \ \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \,\!$$
- $$\nabla^2 \left(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right) = - 4\pi\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')$$

## 二次微分

- $$\nabla\cdot(\nabla\times \mathbf{A}) =0$$
- $$\nabla\times(\nabla f) =\mathbf{0}$$
- $$\nabla^{2}(\nabla\cdot\mathbf{A})=\nabla\cdot(\nabla^{2}\mathbf{A})$$
- $$\nabla\times(\nabla\times \mathbf{A}) =\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}$$

这里，$\nabla^2 \mathbf{A}$ 应被理解为对 $\mathbf{A}$ 的每个分量取拉普拉斯算子，即向量值函数的拉普拉斯算子。

## 积分

- $\oint_{\mathbb{S}}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\int_{\mathbb{V}}\left(\nabla \cdot \mathbf{A}\right)\mathrm{d}V$ （散度定理）
- $$\oint_{\mathbb{S}}\psi\mathrm{d}\mathbf{S} = \int_{\mathbb{V}} \nabla \psi\, \mathrm{d}V$$
- $$\oint_{\mathbb{S}}\left(\hat{\mathbf{n}}\times\mathbf{A}\right)\cdot\mathrm{d}S=\int_{\mathbb{V}}\left(\nabla\times\mathbf{A}\right)\mathrm{d}V$$
- $\oint_{\mathbb{C}}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}=\int_{\mathbb{S}}\left(\nabla\times\mathbf{A}\right)\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}$ （斯托克斯定理）
- $$\oint_{\mathbb{C}}\psi d\mathbf{l}=\int_{\mathbb{S}}\left(\hat{\mathbf{n}}\times\nabla\psi\right)\mathrm{d}S$$

### 格林恒等式

- 格林第一恒等式： $\int_\mathbb{U} (\psi \nabla^2 \phi+\nabla \phi \cdot \nabla \psi)\, \mathrm{d}V = \oint_{\partial \mathbb{U}} \psi{\partial \phi \over \partial n}\, \mathrm{d}S$
- 格林第二恒等式：$\int_\mathbb{U} \left( \psi \nabla^2 \phi - \phi \nabla^2 \psi\right)\, \mathrm{d}V = \oint_{\partial \mathbb{U}} \left( \psi {\partial \phi \over \partial n} - \phi {\partial \psi \over \partial n}\right)\, \mathrm{d}S$
- 格林第三恒等式：$\psi(\mathbf{x} ) - \int_\mathbb{U} \left[ G(\mathbf{x},\mathbf{x}' ) \nabla'^{\,2} \psi(\mathbf{x}')\right]\, \mathrm{d}V'= \oint_{\partial \mathbb{U}} \left[\psi(\mathbf{x}') {\partial G(\mathbf{x},\mathbf{x}' ) \over \partial n'} - G(\mathbf{x},\mathbf{x}' ) {\partial \psi(\mathbf{x}') \over \partial n'} \right] \, \mathrm{d}S'$

## 参阅

- 格林恒等式
- 数学恒等式列表 (List of mathematical identities)
- 向量微积分恒等式 (Vector calculus identities)