股息贴现模型

股息贴现模型（Dividend Discount Model，缩写：DDM），是现金流折现模型的一种特殊形式，仅用于为公司的股权资产定价。其用于以投资者角度估算公司股票价格的合理值，原理就是把预期将来派发的一系列股息按利率贴现成现值，一系列股息的净现值的总和相加即为该股票的合理价值。这条方程又可称为戈登增长模型。以学者迈伦·J.戈登命名，因为学术界传统认为戈登在1959年首先提出这模型，但实际上其理论基础可追溯至1938年由经济学家约翰·伯尔·威廉姆斯发表的文章《投资价值理论》。

一般来说，股息贴现模型的公式可以表述如下：

$$P_0 = \frac{D_1}{1+r} + \frac{D_2}{\left( 1 + r \right)^2} + ...$$

其中$P_0$代表某一企业股权的现值（当前股票价格）、$D_n$代表当前预测的未来第n期发放的股息、$r$代表股息的贴现率，即权益成本（对投资者来说，是他的期望回报率）。

由于未来的股息有不确定性，故公式可改写为：

$$P_0 = \frac{D_1}{1+r} + \frac{D_2}{\left( 1 + r \right)^2} + ... + \frac{D_H+P_H}{\left( 1 + r \right)^H}$$

$H$代表持有股票的时间长度，这式能强调投资股票不仅旨在收取股息，还能说明股票价格上升所带来的资本增值亦是投资的另一目的。

原始折算现金流的股息贴现模型需要对未来无限期的股息进行预测，而这肯定是不可能的事。因此，如果期望每年股息维持相同百分比增加，股息贴现模型可改写成以下形式：

$$P = \frac{D_1}{r-g}$$

同样地，$P$是股价的现值、$g$是股息的期望永久增长率、$r$是公司的权益成本，从投资者角度来说就是他的期望回报率。$D_1$是下年度的股息（已知值，非期望值）。当公司管理层公布下年度的股息时，不应该采用现行股息和增长率来计算其股价。

这一模型的涵义是：股东从公司获得的收入的根本来源是股息，所以股东权益的当前价值等于其未来所获得的股权的现值之和。

## 假设

- 股息以固定百分比增加。
- 固定的增长会无限维持。
- 公司的权益成本（r）必须大于增长率（g），否则模型由于分母为负数而变得无意义。

## 等式的推导

模型把无穷级数相加，从而得出股票现行价格，P。通俗来说，股息的增长率在本模型中可被假定为永久保持不变，从而股息是按同一比例逐年增加。

$$P= \sum_{t=1}^{\infty} D_0\times\frac{(1+g)^t}{(1+r)^t}$$

$$P = D_0\times\frac{1+g}{1+r}\times\frac{1+r}{r-g}$$

$$P = \frac{D_1}{r-g}$$

## 另一种推导方法

投资者的投资期内总回报（Total Return）可分成两部分：一部分是投资者获得的股息收入（Income），另一部分则是股价上升带来的回报，即是资本的增殖（Capital Gain）。以文字表达算式如下：

$$\text{Income} + \text{Capital Gain} = \text{Total Return}$$

等式上的三个部分同时除以现时股票价格，于是三部分转为：

$$\text{Dividend Yield} + \text{Growth} = \text{Cost Of Equity}$$

把文字表达式转回代数式：

$$\frac{D}{P} + g = r$$

再把所有代数位置稍微调整：

$$\frac{D}{P} = r - g$$

$$\frac{D}{r -g} = P$$

这推导办法把股价的增长率作为股息增长率的近似数，也把公司的资本成本作为投资者期望总回报的近似数，这推导算式才得以成立。要把公司的资本成本当作投资者期望回报的近似值，唯一的假设是此公司完全是股权融资，不存在任何借贷或债券融资。至于股价的增长近似于股息的增长，则因为此模型暗示股价的增来自于未来股息以现金流角色所带来的股票价格净现值增加，因此股价的增长率和股息的增长率只有微小的差异。

## 股息增长率与权益成本的关系

正如假设所指出，$r-g$不应该是负数，换言之股息的增长率不能超越权益成本。但是，某些时候公司可能派发大额的特别股息（例如公司大规模出售资产、大股东操控管理层玩弄财技得到大笔现金等），股息增长率可能短期内大幅度上升，这时候股息贴现模型可修改为两阶段的股息增长模型，这样在不违反模型的假设下，可使模型适应这些特殊情况评估股票价值。二阶段模型的前半部分表示股息快速增长，后半部分是表示股息水平回复固定的增长率：

$$P = \sum_{t=1}^N \frac{D_0 \left( 1+g_1 \right)^t}{\left( 1+r\right)^t} + \frac{D_0 \left[( 1+g_1 )^t( 1+g_2) \right]}{\left( r-g_2\right)}$$

$g_1$表示短期内表现超然的期望增长率、$g_2$表示回复固定的增长率、$t$代表短期增长率出现的时间长度。

同理，模型也可加入股息增长率递减的情况，求出三阶段的股息增长模型：

$$P = \sum_{t=1}^N \frac{D_0 \left( 1+g_1 \right)^t}{\left( 1+r\right)^t} + \frac{D_0 \left[( 1+g_1 )^t( 1+g_2)^{t+n} \right]}{\left( 1+r\right)^{t+n}}+ \frac{D_0 \left[( 1+g_1 )^t( 1+g_2)^{t+n}( 1+g_3) \right]}{\left( r-g_3\right)}$$

$g_1$表示短期内表现超然的期望增长率、$g_2$表示后续另一短期股息呈现下降的增长率、n代表该后续短期、$g_3$表示回复固定的增长率、$t$代表短期增长率出现的时间长度。

另外，透过计算$r$，等式可逆向计算公司的资本成本。

$$r = \frac{D_1}{P_0} + g.$$

## 模型的缺陷

如前所述，股息贴现模型产生于1938年，由美国经济学家约翰·伯尔·威廉姆斯最早提出。当时投资者买进股票的主要目的确实是获得股息，股票的股息率经常被用来和债券的孳息率做对比。但是，自从20世纪中期以后，由于税收上的考虑，上市公司逐渐减少了股息的发放，转而倾向于保留大部分收益用作再投资，以避免股东缴纳高昂的股息税。当公司需要把一部分资金分配给股东的时候，往往采取股票回购的方式，而非发放股息。这种情况是股息贴现模型无法应对的。

除此之外，模型本身的假设也存在技术上问题：

- 股息率问题：现实中稳定而且永久维持的普通股股息增长率未曾存在，这假设明显失真，业绩高增长的公司几乎不派发股息，从而导致模型的简化版本不适用，但按逐期现金流贴现的模型形式（即上方第一条公式）依然有效。
- 派息问题：未必所有普通股股票均会派息，因为派息会导致股价短期下降，而且公司管理层可能更倾向于股息资本化，即不派发股息而为公司保留现金作投资（会计学称之为留存收益）。假若没有股息，股东没有现金流的增加，他所持有的股票现值也不会有所增长。因此，更常见的办法是借用莫迪尼亚尼-米勒定理，假定股息派发与否对公司价值没有影响，从而在模型中以每股溢利取代股息作为参数。但是，溢利增长率又不同于股息增长率，两者的计算结果可能有别。
- 模型中，股价对股息增长率的变化非常敏感，而股息增长率只是一个期望数据。
- 投资者预期问题：如果投资者没有预期收取股息，模型便意味着股票没有任何价值。因此，必须假设投资者预期会收到现金。

但是，由于优先股的股息是固定且必须派发的，再者优先股亦无到期日，其回报形式类似于永久年金或者债券，因此股息贴现模型可适用于评估优先股的价值。因为优先股股息数额固定，换言之g等于0，未来股息总和的现值就相当于股价，其计算公式即是：

$P_0 = \frac{D_1}{r}$.