积分符号内取微分

积分符号内取微分（Leibniz integral rule，也译作莱布尼茨积分法则）是数学中微积分领域的一项常用运算技巧，主要用于求解含有参数的定积分的导数。该法则阐明了在满足一定连续性和可微性条件的情况下，可以将求导运算平滑地移入积分符号之内，从而大大简化计算过程。

## 定义

给定如下含有参数 $x$ 的积分：

$$F(x, a(x), b(x))=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt$$

若在区间 $\,x_0\leq x\leq x_1\,$ 上，函数 $f(x,t)\,$ 及其关于 $x$ 的偏导数 $\frac{\partial}{\partial x}\,f(x,t)\,$ 对 $t\,$ 和 $x\,$ 在 $(t,x)\,$ 平面上皆连续，且积分上下限函数 $a(x)$ 与 $b(x)$ 及其导数也连续（其中 $a(x)\leq t\leq b(x)$），则当 $\,x_0\leq x\leq x_1\,\,$ 时，根据全微分公式和微积分基本定理，该积分对参数 $x$ 的导数可以表示为：

$$\begin{align} \frac{d}{dx}\,F(x, a(x), b(x)) &= \left(\frac{\partial F}{\partial b}\right)\frac{db}{dx} + \left(\frac{\partial F}{\partial a}\right)\frac{da}{dx} + \frac{\partial F}{\partial x} \\ &= f(x,b(x))\,b'(x) - f(x,a(x))\,a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x}\, f(x,t)\; dt\, \end{align}$$

其中，$- f(x,a(x))\,a'(x)$ 这一项的负号来源于对积分下限的求导机制（详见定理的证明）。

如果积分的上下限 $a$ 和 $b$ 仅仅是常数，而不是随着 $x$ 变化的函数，那么该法则可以简化为直接交换积分和求导的顺序：

$$\frac{d}{dx} \left(\int_{a}^{b} f(x,t)\,dt \right)= \int_{a}^{b}\frac{\partial}{\partial x} f(x,t) \,dt$$

## 高维情况

在多变量微积分和流体力学中，该法则可以推广到高维空间。对于一个随时间 $t$ 变化的动态积分区域 $D(t)$，其高维莱布尼茨法则（在物理学中常被称为雷诺传输定理）表述如下：

$$\frac{d}{dt} \int_{D(t)} F(\mathbf{x}, t) \,dV = \int_{D(t)} \frac{\partial}{\partial t} \,F(\mathbf{x}, t)\,dV + \int_{\partial D(t)} \,F(\mathbf{x}, t)\, \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} \,dA$$

式中各变量的物理与数学含义如下：

- $F(\mathbf{x}, t)$ 是空间坐标 $\mathbf{x}$ 和时间 $t$ 的标量场函数。
- $D(t)$ 表示随时间变化的三维积分区域（即控制体），$dV$ 为体积微元。
- $\partial D(t)$ 是该积分区域的边界曲面，$dA$ 为面积微元。
- $\mathbf{v}$ 是边界曲面上某一点的运动速度向量。
- $\mathbf{n}$ 是边界曲面上该点的向外单位法向量。

该公式表明，一个动态区域内总量的变化率，等于区域内部场本身的局部变化率（第一项积分），加上由于边界运动导致场通过边界流入或流出的通量（第二项边界积分）。

## 定理的证明

引理1：

$$\frac{\partial}{\partial b} \left (\int_a^b f(x)\; \mathrm{d}x \right ) = f(b), \qquad \frac{\partial}{\partial a} \left (\int_a^b f(x)\; \mathrm{d}x \right )= -f(a).$$

证明：

由微积分基本定理的第一部分可知，在求偏导时，相当于将其他变量视为常数。因此可得：

$$\begin{align} <pre> \frac{\partial}{\partial b} \left (\int_a^b f(x)\; \mathrm{d}x \right ) &= f(b) \\ \frac{\partial}{\partial a} \left (\int_a^b f(x)\; \mathrm{d}x \right ) &= -\frac{\partial}{\partial a} \left (\int_b^a f(x)\; \mathrm{d}x \right ) = -f(a) </pre> \end{align}$$

$\Box$

引理2：

假设 $a$ 和 $b$ 是常数，函数 $f(x, \alpha)$ 涉及常参数 $\alpha$ 的积分。假设函数 $f(x, \alpha)$ 在紧致集 $\{(x, \alpha) : \alpha_0 \leq \alpha \leq \alpha_1 \text{ 且 } a \leq x \leq b\}$ 上连续，且 $f$ 对 $\alpha$ 的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial \alpha}(x, \alpha)$ 存在且连续。

我们定义函数 $\psi(\alpha)$（这里将 $a$ 和 $b$ 视为与 $\alpha$ 无关的绝对常数）：

$$\psi(\alpha) = \int_a^b f(x,\alpha)\;\mathrm{d}x$$

则 $\psi(\alpha)$ 可以直接对 $\alpha$ 在积分符号内取微分，即：

$$\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}\alpha}=\int_a^b\frac{\partial}{\partial\alpha}\,f(x,\alpha)\,\mathrm{d}x$$

证明：

由海涅－康托尔定理可知，连续函数在紧致集上必定一致连续。即对任意 $\varepsilon > 0$，都存在一个 $\Delta\alpha$，使得对于任意 $x \in [a, b]$，均满足：

$$|f(x,\alpha+\Delta \alpha)-f(x,\alpha)|<\varepsilon.$$

另一方面，考察 $\psi$ 的增量：

$$\begin{align} \Delta\psi &=\psi(\alpha+\Delta \alpha)-\psi(\alpha) \\ &=\int_a^b f(x,\alpha+\Delta\alpha)\;\mathrm{d}x - \int_a^b f(x,\alpha)\; \mathrm{d}x \\ &=\int_a^b \left (f(x,\alpha+\Delta\alpha)-f(x,\alpha) \right )\;\mathrm{d}x \\ &\leq \varepsilon (b-a) \end{align}$$

由此可见 $\psi(\alpha)$ 是一个连续函数。

同理，若偏导数 $\frac{\partial}{\partial\alpha}\,f(x,\alpha)$ 存在且连续，则对任意 $\varepsilon > 0$ 存在 $\Delta\alpha$，使得：

$$\forall x \in [a, b] \quad \left|\frac{f(x,\alpha+\Delta \alpha)-f(x,\alpha)}{\Delta \alpha} - \frac{\partial f}{\partial\alpha}\right|<\varepsilon.$$

因此，差商可以表示为：

$$\frac{\Delta \psi}{\Delta \alpha}=\int_a^b\frac{f(x,\alpha+\Delta\alpha)-f(x,\alpha)}{\Delta \alpha}\;\mathrm{d}x = \int_a^b \frac{\partial\,f(x,\alpha)}{\partial \alpha}\,\mathrm{d}x + R$$

其中误差项 $R$ 满足：

$$|R| < \int_a^b \varepsilon\; \mathrm{d}x = \varepsilon(b-a).$$

令 $\varepsilon \to 0$ 且 $\Delta\alpha \to 0$，即可得出：

$$\lim_{{\Delta \alpha} \to 0}\frac{\Delta\psi}{\Delta \alpha}= \frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}\alpha} = \int_a^b \frac{\partial}{\partial \alpha}\,f(x,\alpha)\,\mathrm{d}x$$

证毕。

定理的最终证明：

定义目标函数 $\varphi(\alpha)$ 如下：

$$\varphi(\alpha) = \int_{a(\alpha)}^{b(\alpha)} f(x,\alpha)\;\mathrm{d}x$$

这里的 $a$ 与 $b$ 不再是常数，而是关于 $\alpha$ 的函数。当 $\alpha$ 增加 $\Delta\alpha$ 时，它们分别增加 $\Delta a$ 和 $\Delta b$。此时 $\varphi$ 的增量为：

$$\begin{align} \Delta\varphi &=\varphi(\alpha+\Delta\alpha)-\varphi(\alpha) \\ &=\int_{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha+\Delta\alpha)\;\mathrm{d}x\,-\int_a^b f(x,\alpha)\;\mathrm{d}x\, \\ &=\int_{a+\Delta a}^af(x,\alpha+\Delta\alpha)\;\mathrm{d}x+\int_a^bf(x,\alpha+\Delta\alpha)\;\mathrm{d}x+\int_b^{b+\Delta b}f(x,\alpha+\Delta\alpha)\;\mathrm{d}x -\int_a^b f(x,\alpha)\;\mathrm{d}x \\ &=-\int_a^{a+\Delta a}\,f(x,\alpha+\Delta\alpha)\;\mathrm{d}x+\int_a^b[f(x,\alpha+\Delta\alpha)-f(x,\alpha)]\;\mathrm{d}x+\int_b^{b+\Delta b}\,f(x,\alpha+\Delta\alpha)\;\mathrm{d}x. \end{align}$$

由积分中值定理可得 $\int_a^b f(x)\;\mathrm{d}x=(b-a)f(\xi)$，其中 $a < \xi < b$。将此定理应用于上式的首尾两项积分中，上式可化为：

$$\Delta\varphi=-\Delta a\,f(\xi_1,\alpha+\Delta\alpha)+\int_a^b[f(x,\alpha+\Delta\alpha)-f(x,\alpha)]\;\mathrm{d}x+\Delta b\,f(\xi_2,\alpha+\Delta\alpha)$$

$$=-\Delta a\,f(\xi_1,\alpha+\Delta\alpha)+\psi(\alpha+\Delta\alpha)-\psi(\alpha)+\Delta b\,f(\xi_2,\alpha+\Delta\alpha)$$

将上式两边同除以 $\Delta\alpha$，并令 $\Delta\alpha \to 0$。此时，由于积分区间的逼近，$\xi_1 \to a$ 且 $\xi_2 \to b$。结合引理2中关于 $\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}\alpha}$ 的结论以及导数的定义，最终得到：

$$\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}\alpha} = \int_a^b\frac{\partial}{\partial \alpha}\,f(x,\alpha)\,\mathrm{d}x+f(b,\alpha)\frac{\partial b}{\partial \alpha}-f(a,\alpha)\frac{\partial a}{\partial \alpha}.$$

定理至此得证。

## 由富比尼定理证明

利用多重积分中的富比尼定理，我们也可以从另一个侧面证明该法则的最简形式。

首先交换积分顺序：

$$\frac{d}{d y}\left(\int_{c}^{y} \int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial z}(x, z) d x d z\right)=\frac{d}{d y}\left(\int_{a}^{b} \int_{c}^{y} \frac{\partial f}{\partial z}(x, z) d z d x\right)$$

根据微积分基本定理的第一形式

$\frac{d}{d t}\left(\int_{a}^{t} f(x) d x\right)=f(t)$

等式左边在对 $y$ 求导后，直接等于内部被积函数在上限 $y$ 处的值：

$$\int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) d x.$$

而根据微积分基本定理的第二形式（即牛顿-莱布尼茨公式）

$\int_{a}^{b} F^{\prime}(x) d x=F(b)-F(a)$

等式右边先计算内层关于 $z$ 的积分，可得：

$$\frac{d}{d y}\left(\int_{a}^{b}(f(x, y)-f(x, c)) d x\right).$$

由于被积函数中的第二部分 $f(x, c)$ 仅依赖于常数 $c$ 而不包含变量 $y$，所以它对 $y$ 的导数为 0。因此右侧化简为：

$$\frac{d}{d y}\left(\int_{a}^{b} f(x, y) d x\right).$$

左右两边相等，这便证明了积分符号内取微分的核心等式。

## 大众文化

积分符号内取微分这一技巧，曾在美国著名物理学家、诺贝尔物理学奖得主理查德·费曼的畅销自传回忆录《别闹了，费曼先生！》中被特别提及。在该书“一个不同的工具箱”一章中，费曼回忆称自己是在高中时偶然读到一本由麻省理工学院数学系教授弗雷德里克·S·伍兹（Frederick S. Woods）撰写的《高等微积分》（1926年版）旧书中学会这一技巧的。

费曼指出，这种老派的计算方法在他后来接受的正规大学教育中极少被系统教授。正因为他掌握了这个与众不同的“秘密武器”，使得他在普林斯顿大学攻读研究生期间，能够巧妙地解开许多让其他同学乃至教授都感到束手无策的复杂积分问题。费曼在书中的自述生动地描绘了这段经历：

我始终没有学会的是“围道积分（contour integration）”。高中物理老师贝德先生给过我一本书，我会的所有积分方法，都是从这本书里学到的。

事情是这样的：一天下课之后，他叫我留下。“费曼”，他说，“你上课时话太多了，声音又太大。我知道你觉得这些课太沉闷，现在我给你这本书。以后你坐到后面角落去好好读这本书，等你全弄懂了之后，我才准你讲话。”

于是每到上物理课时，不管老师教的是帕斯卡定律或是别的什么，我都一概不理。我坐在教室的角落，念伍兹（Woods）著的这本《高等微积分学》。贝德知道我念过一点《实用微积分》，因此他给我这本真正的大部头著作——给大学二三年级学生念的教材。书内有傅立叶级数、贝塞尔函数、行列式、椭圆函数——各种我前所未知的奇妙东西。

那本书还教你如何对积分符号内的参数求微分。后来我发现，一般大学课程并不怎么教这个技巧，但我掌握了它的用法，往后还一再地用到它。因此，靠着自修那本书，我做积分的方法往往与众不同。

结果经常发生的是，我在麻省理工或普林斯顿的朋友被某些积分难住，原因却是他们从学校学来的标准方法不管用。如果那是围道积分或级数展开，他们都懂得怎么把答案找出；现在他们却碰壁了。这时我便使出“积分符号内取微分”的方法——这是因为我有一个与众不同的工具箱。当其他人用光了他们的工具，还没法找到解答时，便把问题交给我了！