电磁张量

电磁张量（electromagnetic tensor）或电磁场张量（electromagnetic field tensor）（有时也称作场强度张量（field strength tensor）、法拉第张量（Faraday tensor）或马克士威双向量（Maxwell bivector））是一个描述一物理系统中电磁场的数学客体，所根据的是马克士威的电磁学理论。场张量是在赫尔曼·闵可夫斯基提出狭义相对论的四维张量形式之后被首次使用。

## 细节

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'''數學註記：本文會使用到抽象的指標記號。'''
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电磁张量$F_{\alpha\beta}$常表示成如下矩阵形式：

$$F_{\alpha\beta} = \begin{bmatrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{bmatrix}$$

其中

E是电场。

B是磁场。

c是光速。

### 性质

从场张量的矩阵形式可以见到，其会满足下列特性：

- 反对称性：$F^{\alpha\beta} \, = - F^{\beta\alpha}$（因此称作双向量（或称双矢、二重向量，bivector））。
- 零值的迹数或称对角和。
- 6个独立分量——$E_x/c$、$E_y/c$、$E_z/c$、$B_x$、$B_y$、$B_z$。

若将场张量做内积，则可得到一劳仑兹不变量：

$$F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} = \ 2 \left( B^2 - \frac{E^2}{c^2} \right) = \mathrm{invariant}$$

场张量$F^{\alpha\beta} \,$与对偶张量的乘积则为一伪纯量不变量（pseudoscalar invariant）：

$$\frac{1}{2}\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}F^{\alpha\beta} F^{\gamma\delta} = - \frac{4}{c} \left( \vec B \cdot \vec E \right) = \mathrm{invariant} \,$$

其中$\ \epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta} \,$为四阶完全反对称单位张量（completely antisymmetric unit tensor）或称列维-奇维塔符号（Levi-Civita symbol）。注意到场张量的行列式

$$\det \left( F \right) = \frac{1}{c^2} \left( \vec B \cdot \vec E \right) ^{2}$$

更正式地，可将电磁张量以4-向量势$A^{\alpha} \,$写成：

$$F_{ \alpha\beta } \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{ \partial A_{\beta} }{ \partial x^{\alpha} } - \frac{ \partial A_{\alpha} }{ \partial x^{\beta} } \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \partial_{\alpha} A_{\beta} - \partial_{\beta} A_{\alpha}$$

其中4-向量势为：

$A^{\alpha} = \left( \frac{\phi}{c} , \vec A \right)$，其协变（covariant）形式可以透过乘上闵可夫斯基度规$\eta \,$来得到：

$$A_{\alpha} \, = \eta_{\alpha\beta} A^{\beta} = \left( \frac{\phi}{c}, -\vec A \right)$$

此处闵可夫斯基度规$\eta \,$的定义为：

$$\eta = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$$

若按照另种使用习惯将闵可夫斯基度规定义为：

$$\eta = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

则4-向量势的协变形式会是：

$$A_{\alpha} \, = \eta_{\alpha\beta} A^{\beta} = \left( -\frac{\phi}{c}, \vec A \right)$$

## 导出电磁张量

为了要导出电磁张量的所有矩阵元素，我们需要定义（时空）导数算符（derivative operator）：

$$\partial_{\alpha} = \left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) = \left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \vec{\nabla} \right) \,$$

以及4-向量势：

$$A_{\alpha} = \left(\frac{\phi}{c}, -A_x, -A_y, -A_z \right) \,$$

其中

$\vec A \,$为向量势，而$\left(A_x, A_y, A_z \right)$为其分量。

$\phi \,$为纯量势。

$c \,$为光速。

指标α取值0、1、2、3。

电场与磁场可以透过下面两个与向量势及纯量势的关系式导出：

$$\vec{E} = -\frac{\partial \vec{A}}{\partial t} - \vec{\nabla} \phi \,$$

$$\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A} \,$$

以x分量为例：

$$E_x = -\frac{\partial A_x}{\partial t} - \frac{\partial \phi}{\partial x} = c ( {1\over c} \frac{\partial}{\partial t}(-A_x) - \frac{\partial}{\partial x}({\phi\over c}) ) \,$$

$$B_x = \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \,$$

利用这样的定义，我们可以将上面两个式子改写成：

$E_x = c \left(\partial_0 A_1 - \partial_1 A_0 \right) \,$，或将c移动到等号左边：$\frac{E_x}{c} = \partial_0 A_1 - \partial_1 A_0 \,$

$$B_x = \partial_2 A_3 - \partial_3 A_2 \,$$

在评估过所有分量后，可以得到一个二阶、反对称、协变张量$F_{\alpha\beta}$：

$$F_{\alpha\beta} = \partial_{\alpha} A_{\beta} - \partial_{\beta} A_{\alpha} \,$$

## 与古典电磁学的关联

古典电磁学以及马克士威方程组可以从如下定义的作用量推导得出：

$$\mathcal{S} = \int \left( -\begin{matrix} \frac{1}{4 \mu_0} \end{matrix} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} \right) \mathrm{d}^4 x \,$$

其中

$\mathrm{d}^4 x \;$是对时间及空间的积分。

这表示拉格朗日量是为

$\mathcal{L} \,$｜$= -\begin{matrix} \frac{1}{4\mu_0} \end{matrix} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} \,$

$$= -\begin{matrix} \frac{1}{4\mu_0} \end{matrix} \left( \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \right) \left( \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu \right) \,$$ $$= -\begin{matrix} \frac{1}{4\mu_0} \end{matrix} \left( \partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu - \partial_\nu A_\mu \partial^\mu A^\nu - \partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu + \partial_\nu A_\mu \partial^\nu A^\mu \right) \,$$

最后一段等号右边四个项，最左项与最右项相等，因为$\mu$与$\nu$仅为傀指标；中间两项也彼此相等。因此拉格朗日量变为

$\mathcal{L} \,$｜$= -\begin{matrix} \frac{1}{2\mu_0} \end{matrix} \left( \partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu - \partial_\nu A_\mu \partial^\mu A^\nu \right) \,$

我们将之代入场的欧拉-拉格朗日方程：

$\partial_\nu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\nu A_\mu )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\mu} = 0 \,$。

第二项为零，因为此情况下的拉格朗日量只含有导数项。因此欧拉-拉格朗日方程变为：

$\partial_\nu \left( \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu \right) = 0 \,$。

圆括号内的项正是场张量，因此最终可以简化为

$\partial_\nu F^{\mu \nu} = 0 \,$。

此方程式仅是写下两个齐次马克士威方程式的另一条途径，只要做以下代入：

$$~E^i /c \ \ = -F^{0 i} \,$$

$$\epsilon^{ijk} B^k = -F^{ij} \,$$

其中指标$i \,$与$j \,$取值1、2、3。

## 场张量的重要性

潜藏在看似复杂的张量数学方程式外表下的，是对电磁学马克士威方程组所做的巧妙统合。考虑静电方程式（electrostatic equation）

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$$

告诉了我们电场向量的散度等于电荷密度除以电容率$\epsilon_0$，而动电方程式（electrodynamic equation）

$$\vec{\nabla} \times \vec{B} - \frac{1}{c^2} \frac{ \partial \vec{E}}{\partial t} = \mu_0 \vec{J}$$

也就是磁场向量的旋度减掉电场随着时间变动（取时间微分），等于电流密度乘以磁导率$\mu_0$。

这两个关于电学的方程式可以约化成

$$\partial_{\alpha} F^{\alpha\beta} = \mu_0 J^{\beta} \,$$

其中

$J^{\alpha} = ( c \, \rho , \vec{J} ) \,$为四维电流密度。

同样的情况也适用在磁学上。若我们考虑静磁方程式（magnetostatic equation）

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0$$

告诉了我们没有“真实”存在的磁荷（磁单极），而动磁方程式（magnetodynamics equation）

$$\frac{ \partial \vec{B}}{ \partial t } + \vec{\nabla} \times \vec{E} = 0$$

告诉了我们磁场随着时间变动（取时间微分）加上电场的旋度等于零（或是另种讲法：电场的旋度等于负的磁场随着时间变）。若用电磁张量，磁学的方程式可以约化成

$F_{ \alpha \beta , \gamma } + F_{ \beta \gamma , \alpha } + F_{ \gamma \alpha , \beta } = 0 \,$，或者利用反对称化符号——方括号表示成

$F_{ [\alpha \beta , \gamma] } = 0 \,$。

## 场张量与相对论

场张量其得名理由是因为电磁场须遵守张量转换定律；（非重力场）物理定律具有这样的普适性质，在狭义相对论诞生之后就被普遍认识到。相对论要求所有（非重力场的）物理定律在所有座标系统中都应具有相同形式，这导致张量的引入。张量形式也使得物理定律能有优美的数学表示方式。举例来说，电磁学的马克士威方程组可以用场张量写成：

$$F_{[\alpha\beta,\gamma]} \, = 0$$

$$F^{\alpha\beta}{}_{,\beta} \, = \mu_0 J^{\alpha}$$

其中逗号，表示对其做偏微分。第二个方程式暗示了电荷与电流元的守恒：

$$J^\alpha{}_{,\alpha} \, = 0$$

在广义相对论的弯曲时空中，这些定律可用（许多物理学家觉得）吸引人的方式来推广——就是将偏微分改成协变微分：

$$F_{[\alpha\beta;\gamma]} \, = 0$$

$$F^{\alpha\beta}{}_{;\beta} \, = \mu_0 J^{\alpha}$$

其中分号;代表了协变微分，跟上面在平直时空所用的偏微分相互辉映。方程式的优美不受改变，仅仅需要将偏微分换成协变微分，这在广义相对论常见的说法。这样的方程式常被称作是“弯曲时空下的马克斯韦方程组”。一样地，第二个方程式暗示著电荷与电流元的守恒（于弯曲时空中）：

$$J^\alpha{}_{;\alpha} \, = 0$$

## 在量子电动力学与量子场论中的角色

在量子电动力学中的拉格朗日量是从相对论建立的古典拉格朗日量所延伸：$\mathcal{L}=\bar\psi(i\hbar c \, \gamma^\alpha D_\alpha - mc^2)\psi -\frac{1}{4 \mu_0}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta},$以将光子以及电子的创生（creation）与湮灭（annihilation）整合进来。

在量子场论中，电磁场强度张量被当作是规范场强度张量的范本。此一项搭配上局域交互作用拉格朗日量（local interaction Lagrangian），其作用角色与在量子电动力学中几乎一样。