恢复系数

恢复系数（coefficient of restitution）衡量两个物体在碰撞后的反弹程度。假若恢复系数为1，则此碰撞为弹性碰撞；假若恢复系数小于1而大于0，则此碰撞为非弹性碰撞；假若恢复系数为0，则此碰撞为完全非弹性碰撞，两个物体黏贴在一起。

恢复系数是两个碰撞物体之间的共同性质。但是，时常在文献中，恢复系数会被表现为单独物体所具有的内秉性质，而只字不提这物体到底是与哪个物体相互碰撞。在这状况里，第二个物体被假定为完美弹性刚体。

## 细节

恢复系数通常在0与1之间；但理论上，恢复系数可以大于1。这代表一种产生出动能的碰撞案例。例如，当两个地雷碰撞在一起，引起爆炸。近期一些研究发现，“斜碰撞”（oblique collision）的恢复系数可以大于1的特别案例。这是因为当圆球碰到软墙时，回弹轨道改变而发生的现象。

恢复系数的数值也可以小于0，这代表另一种碰撞案例，这意味着，其中一个物体会超过另外一个物体，例如，子弹穿过了弹靶。

恢复系数是两个物体相互碰撞的特性，而不是单独物体的属性。如果用 5 种不同的物体作碰撞实验，则会有 ${5 \choose 2} = 10$ 种不同的组合，每种组合会有它特别的恢复系数。

## 运动器材

至少在高尔夫球运动社团，恢复系数已经融入日常词汇里了。这是因为高尔夫球杆厂商制造出一种长打杆，由于其杆头的杆面很薄，会产生一种特别的“跳跃床效应”，当杆面的压缩与恢复的自然频率相近于高尔夫球压缩与恢复的自然频率时，则在恢复期间，杆面会给予高尔夫球额外的推力，能够将球打的更远。通常，高尔夫球的自然频率大约为800-1300 Hz，比杆面的自然频率低很多。采用钛材料，能够制出体积更大的杆头、厚度更薄的杆面，从而降低杆面的自然频率。根据实验查证，150 cc体积不锈钢杆头的自然频率大约为1800 Hz，而较大的250-300 cc体积钛杆头的自然频率大约为1200 Hz。另外，将钛杆面的厚度从6.35 mm减少到2.54 mm，可以提升恢复系数大约15%。应用跳跃床效应，假若杆面的自然频率在高尔夫球的自然频率附近，则恢复系数可以提升12%之多，这对应于大约提升发球初始速度5%。为了要最佳化跳跃床效应，必需匹配杆面与高尔夫球的自然频率。美国高尔夫球协会核准的高尔夫球与球杆的恢复系数大约在0.79与0.85之间。

国际网球总会对于比赛用网球有很严格的规定。网球的恢复系数必需在0.73与0.76之间；对于高海拔比赛（超过海平面4000英尺以上），网球的恢复系数则必需在0.69与0.76之间。

国际桌球总会规定，从30.5 cm高度自由掉落的桌球，当碰撞到标准钢铁板块后，应该弹回至24–26 cm高度，这对应为恢复系数在0.89与0.92之间。

对于铺在混凝土上的油毡（linoleum）硬地板，真实皮革篮球的恢复系数大约在0.81与0.85之间，而合成皮革篮球的恢复系数大约在0.79与0.84之间。

## 相关理论

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整个碰撞过程可以分为四个时期。在“碰撞前时期”，两个物体朝着碰撞对方移动，但尚未接触到对方。从两个物体互相接触开始，然后互相压缩对方，施加压缩力于对方，两个物体各自质心之间的距离越来越近，直到无法再继续压缩为止，这段时期是“压缩时期”。紧接着是“恢复时期”，由于恢复力的作用，两个物体开始恢复先前的形状，两个物体各自质心之间的距离越来越远，直到不再接触对方为止。最后是“碰撞后时期”，两个物体完全分离，朝着不同方向越移动越远。

假定“无磨擦模型”，压缩力与恢复力正切于物体接触面的分量为零，只有沿着冲击线L的分量不等于零；另外，其它作用力可以被忽略。那么，两个物体在碰撞后的分离速度与碰撞前的接近速度，这两个速度对于冲击线L的分量的绝对值比率，就是恢复系数，以方程式表达为

$C_r=\left|\frac{\mathbf{u}_f\cdot\hat{\mathbf{n}}}{\mathbf{u}_i\cdot\hat{\mathbf{n}}}\right|$。

其中，$C_r$ 是恢复系数，$\mathbf{u}_f$ 是碰撞后的分离速度，$\mathbf{u}_i$ 是碰撞前的接近速度，$\hat{\mathbf{n}}$ 是与冲击线同线、任意设定的单位向量，冲击线是这两个物体接触时连结其各自质心的直线。

接近速度 $\mathbf{u}_i$、分离速度 $\mathbf{u}_f$ 都是相对速度，分别以方程式表达为

$\mathbf{u}_i=\mathbf{v}_{1i}-\mathbf{v}_{2i}$。

$\mathbf{u}_f=\mathbf{v}_{1f}-\mathbf{v}_{2f}$。

其中，$\mathbf{v}_{1i}$、$\mathbf{v}_{1f}$、$\mathbf{v}_{2i}$、$\mathbf{v}_{2f}$ 分别是第一个物体、第二个物体在碰撞前与碰撞后的速度。

根据这定义，恢复系数是正值，不能小于0。对于一些特别状况，可以采用另一种恢复系数的定义，则恢复系数可能会是负值。这定义以方程式表达为

$C_r=-\ \frac{\mathbf{u}_f\cdot\hat{\mathbf{n}}}{\mathbf{u}_i\cdot\hat{\mathbf{n}}}$。

更严谨地定义，两个物体碰撞的恢复系数 $C_r$ 可以以方程式表达为

$C_r\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}_{1r}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}t}{\int_{t_0}^{t_1} \mathbf{F}_{1c}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}t} =\frac{\int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}_{2r}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}t}{\int_{t_0}^{t_1} \mathbf{F}_{2c}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}t}$。

其中，$\mathbf{F}_{1c}$、$\mathbf{F}_{1r}$ 分别是第2个物体施加于第1个物体的压缩力与恢复力，是第1个物体分别在压缩时期与恢复时期所感受到的作用力，$\mathbf{F}_{2c}$、$\mathbf{F}_{2r}$ 分别是第1个物体施加于第2个物体到的压缩力与恢复力，$\hat{\mathbf{n}}$ 是与冲击线同线的单位向量，$t_0$、$t_1$、$t_2$ 分别为两个物体开始接触、质心距离最近、开始完全分离的时间。

这分式的分母、分子分别是物体在压缩时期与恢复时期所感受到的冲量。由于 $\mathbf{F}_{1r}$ 与 $\mathbf{F}_{2r}$、$\mathbf{F}_{1c}$ 与 $\mathbf{F}_{2c}$ 分别是作用力与反作用力对，根据牛顿第三定律，$\mathbf{F}_{1r}=-\mathbf{F}_{2r}$、$\mathbf{F}_{1c}=-\mathbf{F}_{2c}$，所以，这方程式的两个分式相等。

思考一维碰撞案例，则所有的速度都是纯量。设定坐标轴为x-轴，与正x-轴同方向的运动的速度为正值，反方向的运动的速度为负值。恢复系数可以表达为

$C_r= -\frac{u_f}{u_i}=\frac{v_{2f} - v_{1f}}{v_{1i} - v_{2i}}$。

其中，$v_{1i}$、$v_{1f}$、$v_{2i}$、$v_{2f}$ 分别是第一个物体、第二个物体在碰撞前和碰撞后的速度。

假设一个物体碰撞的另一个物体是固定不动，像地板、墙壁，则恢复系数为

$C_r = \frac{v_{f}}{v_{i}}$。

其中，$v_{i}$ 是碰撞前的速率，$v_{f}$ 是碰撞后的速率。

假设，一个自由落体碰撞到刚硬地面，然后反弹起来，则其恢复系数是

$C_r = \sqrt{\frac{h}{H}}$。

其中，$H$ 是物体掉落前的高度，$h$ 是物体弹回的高度。

延伸至多维空间，相关的速度，皆为物体移动速度对于冲击线的分量（冲击线与碰撞点的正切线或正切面S相垂直）；而物体平行于正切线或正切面的移动速度，仍旧保持不变。

### 导引

从冲量的定义，可以得到

$\int_{t_0}^{t_1} \mathbf{F}_{1c}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}t =m_1 v_{c}-m_1 \mathbf{v}_{1i}\cdot\hat{\mathbf{n}}$。

$\int_{t_0}^{t_1} \mathbf{F}_{2c}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}t =m_2 v_{c}-m_2\mathbf{v}_{2i}\cdot\hat{\mathbf{n}}$。

$\int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}_{1r}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}t =m_1\mathbf{v}_{1f}\cdot\hat{\mathbf{n}}-m_1 v_{c}$。

$\int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}_{2r}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}t =m_2\mathbf{v}_{2f}\cdot\hat{\mathbf{n}}-m_2 v_{c}$。

其中，$v_{c}$ 是两个黏贴在一起的物体的移动速度对于 $\hat{\mathbf{n}}$ 的分量。

从这些积分式与恢复系数的严谨定义式，可以得到

$m_1\mathbf{v}_{1f}\cdot\hat{\mathbf{n}}-m_1 v_{c} =C_r(m_1 v_{c}-m_1 \mathbf{v}_{1i}\cdot\hat{\mathbf{n}})$。

$m_2\mathbf{v}_{2f}\cdot\hat{\mathbf{n}}-m_2 v_{c} =C_r(m_2 v_{c}-m_2\mathbf{v}_{2i}\cdot\hat{\mathbf{n}})$。

所以，$v_{c}$ 为

$v_{c} =\frac{(\mathbf{v}_{1f}+C_r\mathbf{v}_{1i})\cdot\hat{\mathbf{n}}}{1+C_r} =\frac{(\mathbf{v}_{2f}+C_r\mathbf{v}_{2i})\cdot\hat{\mathbf{n}}}{1+C_r}$。

再经过一番运算，可以得到恢复系数的另一种定义式

$C_r=\frac{(\mathbf{v}_{2f}-\mathbf{v}_{1f}) \cdot\hat{\mathbf{n}}}{(\mathbf{v}_{1i}-\mathbf{v}_{2i}) \cdot\hat{\mathbf{n}}} =-\ \frac{\mathbf{u}_{f} \cdot\hat{\mathbf{n}}}{\mathbf{u}_{i} \cdot\hat{\mathbf{n}}}$。

假设第二个物体固定不动，则 $\mathbf{v}_{2i}=\mathbf{v}_{2f}=\boldsymbol{0}$。

$C_r=-\ \frac{\mathbf{v}_{1f}\cdot\hat{\mathbf{n}}}{\mathbf{v}_{1i} \cdot\hat{\mathbf{n}}} =\frac{v_{f}}{v_{i}}$。

假设第一个物体是自由落体，从高度 $H$ 掉落，碰撞到地面后，又弹回高度 $h$，则根据能量守恒定律。

$m_1 g H=m_1 {v_i}^2/2$。

$m_1 g h=m_1 {v_f}^2/2$。

因此，恢复系数与自由落体弹跳高度的关系为

$C_r=\frac{v_f}{v_i}=\sqrt{\frac{h}{H}}$。

## 碰撞后的速度

使用恢复系数，可以用方程式来计算弹性碰撞、完全非弹性碰撞、非弹性碰撞，这些碰撞事件后的速度：

$v_{1f}=\frac{m_1 v_{1i}+m_2 v_{2i}+C_r m_2( v_{2i}-v_{1i})}{m_1 + m_2}$。

$v_{2f}=\frac{m_1 v_{1i}+m_2 v_{2i}+C_r m_1( v_{1i}-v_{2i})}{m_1 + m_2}$。

其中，$m_1$、$m_2$ 分别是第一个物体、第二个物体的质量。

### 导引

前面所列方程式可以由恢复系数的方程式和动量守恒定律推导出：

$C_r=\frac{v_{2f} - v_{1f}}{v_{1i} - v_{2i}}$。

$m_1 v_{1i}+ m_2 v_{2i} = m_{1}v_{1f} + m_{2}v_{2f}$。

将这两个方程式重新编排，可以得到

$v_{2f}=C_r(v_{1i} - v_{2i})+v_{1f}$。

$v_{1f}=(m_1 v_{1i}+ m_2 v_{2i}- m_{2}v_{2f})/m_{1}$。

将 $v_{2f}$ 的方程式代入 $v_{1f}$ 的方程式，可以得到

$v_{1f}=[m_1 v_{1i}+ m_2 v_{2i}-C_r m_{2}(v_{1i} - v_{2i})-m_{2}v_{1f}]/m_{1}$。

经过一番运算，可以得到

$v_{1f}=\frac{m_1 v_{1i}+m_2 v_{2i}+C_r m_2( v_{2i}-v_{1i})}{m_1 + m_2}$。

注意到恢复系数的方程式和动量守恒定律对于第一个物体与第二个物体的对称性，下标1与2可以对换，而不会改变方程式的形式，所以。

$v_{2f}=\frac{m_1 v_{1i}+m_2 v_{2i}+C_r m_1( v_{1i}-v_{2i})}{m_1 + m_2}$。

## 参阅

- 碰撞
- 弹性碰撞
- 非弹性碰撞
- 完全非弹性碰撞

## 外部链接

- 物理事实书（Physics Factbook）网页：各种材质的恢复系数列表。
- 美国物理学会网页： Getting an extra bounce。
- 国际足球总会网页： FIFA Quality Concepts for Footballs - Uniform Rebound。