作用量

在物理学里，作用量（英语：action）是一个很特别、很抽象的物理量。它表示著一个动力物理系统内在的演化趋向。虽然与微分方程式方法大不相同，作用量也可以被用来分析物理系统的运动，所得到的答案是相同的。只需要设定系统在两个点的状态，初始状态与最终状态，然后，经过求解作用量的平稳值，就可以得到系统在两个点之间每个点的状态。

## 历史

皮埃尔·德·费马于1662年发表了费马原理。这原理阐明：光传播的正确路径，所需的时间必定是极值。这原理在物理学界造成了很大的震撼。不同于牛顿运动定律的机械性，现今，一个物理系统的运动拥有了展望与目标。

戈特弗里德·莱布尼茨不同意费马的理论。他认为光应该选择最容易传播的路径。他于1682年发表了他的理论：光传播的正确路径应该是阻碍最小的路径；更精确地说，阻碍与径长的乘积是最小值的路径。这理论有一个难题，如果要符合实验的结果，玻璃的阻碍必须小于空气的阻碍；但是，玻璃的密度大于空气，应该玻璃的阻碍会大于空气的阻碍。莱布尼茨为此提供了一个令人百思的辩解。较大的阻碍使得光较不容易扩散；因此，光被约束在一个很窄的路径内。假若，河道变窄，水的流速会增加；同样地，光的路径变窄，所以光的速度变快了。

1744年，皮埃尔·莫佩尔蒂在一篇论文《The agreement between the different laws of Nature that had, until now,seemed incompatiable》中，发表了最小作用量原理：光选择的传播路径，作用量最小。他定义作用量为移动速度与移动距离的乘积。用这原理，他证明了费马原理：光传播的正确路径，所需的时间是极值；他也计算出光在反射与同介质传播时的正确路径。1747年，莫佩尔蒂在另一篇论文《On the laws of motion and of rest》中，应用这原理于碰撞，正确地分析了弹性碰撞与非弹性碰撞；这两种碰撞不再需要用不同的理论来解释。

莱昂哈德·欧拉在同年发表了一篇论文《Method for finding curves having a minimal or maximal property or solutions to isoperimetric problems in the broadest accepted sense》；其中，他表明物体的运动遵守某种物理量极值定律，而这物理量是$\int_{path}\ v^2\ dt\,\!$。应用这理论，欧拉成功的计算出，当粒子受到连心力作用时，正确的抛射体运动。

在此以后，许多物理学家，包括约瑟夫·拉格朗日、威廉·哈密顿、理查德·费曼等等，对于作用量都有很不同的见解。这些见解对于物理学的发展贡献甚多。

## 概念

微分方程式时常被用来表述物理定律。微分方程式指定出，随着极小的时间、位置、或其他变数的变化，一个物理变数如何改变。总合这些极小的改变，再加上这物理变数在某些点的已知数值或已知导数值，就能求得物理变数在任何点的数值。

作用量方法是一种全然不同的方法，它能够描述物理系统的运动，而且只需要设定物理变数在两点的数值，称为初始值与最终值。经过作用量平稳的演算，可以得到，此变数在这两点之间任何点的数值。而且，作用量方法与微分方程式方法所得到的答案完全相同。

哈密顿原理阐明了这两种方法在物理学价位的等价：描述物理系统运动的微分方程式，也可以用一个等价的积分方程式来描述。无论是关于经典力学中的一个单独粒子、关于经典场像电磁场或重力场，这描述都是正确的。更加地，哈密顿原理已经延伸至量子力学与量子场论了。

用变分法数学语言来描述，求解一个物理系统作用量的平稳值（通常是最小值），可以得到这系统随时间的演化（就是说，系统怎样从一个状态演化到另外一个状态）。更广义地，系统的正确演化对于任何微扰必须是平稳的。这要求导致出描述正确演化的微分方程式。

## 作用量形式

在经典物理里，作用量这术语至少有七种不同的意义。每一种不同的意义有它不同的表达形式。

### 作用量（泛函）

最常见的作用量是一个泛函$\mathcal{S}\,\!$，输入是参数为时间与空间的函数，输出是一个纯量。在经典力学里，输入函数是物理系统在两个时间点$t_{1}\,\!$，$t_{2}\,\!$之间广义座标$\mathbf{q}(t)\,\!$的演变。

作用量$\mathcal{S}\,\!$定义为，在两个时间点之间，系统的拉格朗日量$L\,\!$对于时间的积分：

$\mathcal{S}[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_1}^{t_2} L[\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t]\, \mathrm{d}t\,\!$。

根据哈密顿原理，正确的演化$\mathbf{q}_{\mathrm{true}}(t)\,\!$要求平稳的作用量$\mathcal{S}\,\!$（最小值、最大值、鞍值）。经过运算，结果就是拉格朗日方程式。

### 简略作用量（泛函）

简略作用量也是一个泛函，通常标记为$\mathcal{S}_{0}\,\!$。这里，输入函数是物理系统移动的一条路径，完全不考虑时间参数。举例而言，一个行星轨道的路径是个椭圆，一个粒子在均匀重力场的路径是抛物线；在这两种状况，路径都跟粒子的移动速度无关。简略作用量$\mathcal{S}_{0}\,\!$定义为广义动量$\mathbf{p}\,\!$沿着路径的积分：

$\mathcal{S}_{0} = \int \mathbf{p}\,\mathrm{d}\mathbf{q}\,\!$。

其中，$\mathbf{q}\,\!$是广义座标．根据莫佩尔蒂原理，正确路径的简略作用量$\mathcal{S}_{0}\,\!$是平稳的。

### 哈密顿主函数

主条目：哈密顿主函数。

哈密顿主函数是由哈密顿-雅可比方程式定义的。哈密顿-雅可比方程式是经典力学的另一种表述。哈密顿主函数$S\,\!$与泛涵$\mathcal{S}\,\!$有密切的关系。固定住初始时间$t_{1}\,\!$和其对应的座标点$\mathbf{q}_{1}\,\!$；而准许时间上限$t_{2}\,\!$和其对应的座标点$\mathbf{q}_{2}\,\!$的改变。取$t_{2}\,\!$和$\mathbf{q}_{2}\,\!$为函数$S\,\!$的参数。换句话说，作用量函数$S\,\!$是拉格朗日量对于时间的不定积分：

$S(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t) = \int L[\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t]\, \mathrm{d}t\,\!$。

更加地，可以证明$\mathbf{P}\,\!$是某常数向量$\mathbf{a}\,\!$。所以。

$S(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t) = S(\mathbf{q},\ \mathbf{a},\ t)\,\!$。

### 哈密顿特征函数

主条目：哈密顿特征函数。

假若，哈密顿量$H\,\!$是守恒的。

$H=\alpha\,\!$。

其中，$\alpha\,\!$是常数。

设定哈密顿特征函数$W\,\!$为

$W(\mathbf{q},\ \mathbf{a}) = S(\mathbf{q},\ \mathbf{a},\ t) - \alpha t\,\!$。

则哈密顿特征函数$W\,\!$是一个作用量。

更加地。

$\frac{dW}{dt}=\frac{\partial W}{\partial \mathbf{q}}\dot{\mathbf{q}}=\mathbf{p}\dot{\mathbf{q}}\,\!$。

对于时间积分：

$W(\mathbf{q},\ \mathbf{a})=\int\mathbf{p}\dot{\mathbf{q}}dt=\int \mathbf{p}\,d\mathbf{q}\,\!$。

这正是简略作用量的方程式。

### 哈密顿-雅可比方程的其他解

主条目：哈密顿-雅可比方程式。

哈密顿-雅可比方程式是经典力学的一种表述。假若，哈密顿-雅可比方程式是完全可分的；则哈密顿主函数$S(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)\,\!$分出的每一个项目$S_{k}(q_{k},\ \mathbf{P},\ t)\,\!$也称为"作用量"。

### 作用量-角度座标

主条目：作用量-角度座标。思考一个作用量-角度座标的广义动量变数$J_{k}\,\!$，定义为在相空间内，关于转动运动或振荡运动，广义动量的闭路径积分：

$J_{k} = \oint p_{k} \mathrm{d}q_{k}\,\!$。

这变数$J_{k}\,\!$称为广义座标$q_{k}\,\!$的作用量；相应的正则座标是角度$w_{k}\,\!$。不同于前面简略作用量泛函地用点积来积分向量；这里，只有一个纯量变数$q_{k}\,\!$被用来积分。作用量$J_{k}\,\!$等于，随着$q_{k}\,\!$沿着闭路径，$S_{k}(q_{k})\,\!$的改变。应用于几个有趣的物理系统，$J_{k}\,\!$或者是常数，或者改变非常地慢。因此，$J_{k}\,\!$时常应用于微扰理论与缓渐不变量的研究。

### 哈密顿流作用量

参阅重言1形式。

## 数学导引

哈密顿原理阐明，如果一个物理系统在两个时间点$t_{1}\,\!$、$t_{2}\,\!$的运动是正确运动，则作用量泛函$\mathcal{S}\,\!$的一次变分$\delta\mathcal{S}\,\!$为零。用数学方程式表示，定义作用量为

$\mathcal{S}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)\,dt\,\!$。

其中，$L(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)\,\!$是系统的拉格朗日函数，广义座标$\mathbf{q} = \left(q_{1},\ q_{2},\ \ldots,\ q_{N}\right)\,\!$是时间的函数。

假若，$\mathbf{q}(t)\,\!$是系统的正确运动，则$\delta \mathcal{S}=0\,\!$。

从哈密顿原理可以导引出拉格朗日方程式．假设$\mathbf{q}(t)\,\!$是系统的正确运动，让$\boldsymbol\varepsilon (t)\,\!$成为一个微扰$\delta\mathbf{q}\,\!$；微扰在轨道两个端点的值是零：

$\boldsymbol\varepsilon(t_{1})=\boldsymbol\varepsilon(t_{2})\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ 0\,\!$。

取至$\boldsymbol\varepsilon (t)\,\!$的一阶微扰，作用量泛函的一次变分为

$\delta \mathcal{S} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \left[ L(\mathbf{q}+\boldsymbol{\varepsilon},\ \dot\mathbf{q} +\dot\boldsymbol{\varepsilon}) - L(\mathbf{q},\ \dot\mathbf{q})\right]dt = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \left( \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} + \dot\boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt \,\!$。

这里，将拉格朗日量$L\,\!$展开至$\boldsymbol\varepsilon (t)\,\!$的一阶微扰。

应用分部积分法于最右边项目。

$\delta \mathcal{S} = \left[ \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}} + \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \left(\boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} - \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt\,\!$。

边界条件$\boldsymbol\varepsilon(t_{1}) = \boldsymbol\varepsilon(t_{2})\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ 0\,\!$使第一个项目归零。所以。

$\delta \mathcal{S} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \boldsymbol\varepsilon \cdot \left(\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt\,\!$。

要求作用量泛函$\mathcal{S}\,\!$平稳。这意味着，对于正确运动的任意微扰$\boldsymbol\varepsilon (t)\,\!$，一次变分$\delta \mathcal{S}\,\!$必须等于零：

$\delta \mathcal{S} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \boldsymbol\varepsilon \cdot \left(\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt=0\,\!$。

请注意，还没有对广义座标$\mathbf{q}(t)\,\!$做任何要求。现在，要求所有的广义座标都互相无关（完整限制）。这样，根据变分法基本引理，可以得到拉格朗日方程式：

$\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} = \mathbf{0}\,\!$。

在各个物理学领域，拉格朗日方程式都被认为是非常重要的方程式，能够用来精确地理论分析许多物理系统。

对应于广义座标$q_{k}\,\!$的广义动量$p_{k}\,\!$，又称为共轭动量，定义为

$p_{k} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{\partial L}{\partial\dot q_{k}}\,\!$。

假设$L\,\!$不显性地跟广义座标$q_{k}\,\!$有关。

$\frac{\partial L}{\partial q_{k}}=0\,\!$。

则广义动量$p_{k} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{\partial L}{\partial\dot q_{k}}\,\!$是常数。在此种状况，座标$q_{k}\,\!$称为循环座标。举例而言，如果用极座标系$(r,\ \theta,\ h)\,\!$来描述一个粒子的平面运动，而$L\,\!$与$\theta\,\!$无关，则广义动量是守恒的角动量。

## 参阅

- 拉格朗日力学
- 哈密顿力学
- 诺特定理
- 爱因斯坦-希尔伯特作用量
- 最小作用量原理

## 外部链接

- Edwin F. Taylor加了注释的参考书目。
- 最小作用量原理 非常好地互动解释。

## 参考文献

- Cornelius Lanczos, "The Variational Principles of Mechanics",（Dover Publications, New York, 1986）, ISBN 0-486-65067-7.这领域最常引用的参考书。
- 列夫·朗道and E. M. Lifshitz, "Mechanics, Course of Theoretical Physics", 3rd ed., Vol. 1,（Butterworth-Heinenann, 1976）, ISBN 0-7506-2896-0.这本书一开始就讲解最小作用量原理。
- Herbert Goldstein "Classical Mechanics", 2nd ed.,（Addison Wesley, 1980）, pp. 35-69。
- Thomas A. Moore "Least-Action Principle" in Macmillan Encyclopedia of Physics, Volume 2,（Simon & Schuster Macmillan, 1996）, ISBN 0-02-897359-3, , pages 840–842。
- Robert Weinstock, "Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering",（Dover Publications, 1974）, ISBN 0-486-63069-2。非常好的古早书。
- Dugas, René, "A History of Mechanics",（Dover, 1988）, ISBN 0-486-65632-2, pp. 254-275。