超实数 (非标准分析)

超实数系统是为了严格处理无穷量（无穷大量和无穷小量）而提出的。自从微积分的发明以来，数学家、科学家和工程师等（包括牛顿和莱布尼兹在内）就一直广泛地用无穷小量等概念。超实数集，或称为非标准实数集，记为 $^{*}\mathbb{R}$，是实数集 $\mathbb{R}$ 的一个扩张；其中含有一种数，它们大于所有如下形式的数：

$1 + 1 + \cdots + 1$（有限个）。

这可以解释为无穷大量；而它们的倒数就作为无穷小量。$^{*}\mathbb{R}$ 满足如下性质：任何关于 $\mathbb{R}$ 的一阶命题如果成立，则该命题对 $^{*}\mathbb{R}$ 也成立。这种性质称为传达原理。

举例来说，实数集的加法交换律

$$\forall x, y \in \mathbb{R}, x + y = y + x$$

是关于 $\mathbb{R}$ 的一阶命题。遵循传达原理，以下命题同样成立：

$\forall x, y \in{}^{*}\!\,\mathbb{R}, x + y = y + x$。

也就是说超实数集同样满足加法交换律。

无穷小量的概念是否严格呢？此问题可以追溯到古希腊数学：数学家们如欧几里得、阿基米德等，为了在一些证明里绕开无穷小量的争议以保证严格性，而采用了穷竭法等其它说明方式。而亚伯拉罕·鲁滨逊在1960年代证明了如下命题：

超实数系统是相容的，当且仅当实数系统是相容的。

换句话说，如果对实数的使用没有怀疑，那也可以放心使用超实数。在处理数学分析的问题时对超实数、尤其是传达原理的使用，通称为非标准分析。

## 传达原理

超实数系统的想法是将实数 $\mathbb{R}$ 扩展为一个包含无穷小和无穷大数的系统 $^{*}\mathbb{R}$，但不改变代数的任何基本公理。所有形式为“对于任何数字 $x$ ...”的任何语句，如果它在实数系中成立，那么它在超实数系也仍成立。例如，公理“对于任何数字 $x$，$x+0=x$”在 $^{*}\mathbb{R}$ 中依旧成立。关于多个数字的量化语句也依然是如此，例如“对于任何数字 $x$ 和 $y$，$xy=yx$”。这种将语句从实数传达到超实数的能力被称为传达原理，然而，形式为“对于任何数字集合 $S$...”的语句可能无法被类似地传达。实数系和超实数系之间会产生不同的性质只有那些关于对集合的量化叙述，或者其他涉及更高级的结构，如函数和关系等，因为这些高级结构通常是由集合构造出来的。每个实数集合、函数和关系都有其自然的超实数扩展，满足相同的一阶性质，遵守这种对量化的限制的逻辑句子被称为一阶逻辑的语句。

然而，传达原理并不意味着 $\mathbb{R}$ 和 $^{*}\mathbb{R}$ 的行为完全相同。例如，在 $^{*}\mathbb{R}$ 中存在一个元素 $\omega$，使得下面的一系列关系恒成立：

$1<\omega, \quad 1+1<\omega, \quad 1+1+1<\omega, \quad 1+1+1+1<\omega, \ldots$。

但在 $\mathbb{R}$ 中没有这样的数字。换句话说，$^*\mathbb{R}$ 不是阿基米德的。其原因在于， $\omega$ 在 $\mathbb{R}$ 中的不存在性不能被表示为一阶逻辑的语句。

## 用于分析中

超实数量的非形式化符号在微积分的发展史上出现于两处：作为无限小，例如 ${\mathrm d}x$；以及作为无限大，例如在不定积分的极限中使用符号 $\infty$。

作为传达原理的一个例子，对于任何非零数字 $x$，$2x\neq x$，这在实数中是成立的，并且它符合转移原则所需的形式，因此它也适用于超实数。这表明在超实数系统中不可能使用通用符号 $\infty$ 来表示所有无限大；无限大在大小上与其他无限大不同，而无限小也与其他无限小不同。

同时，随意使用 $\frac 1 0=\infty$ 是无效的，因为“零没有乘法逆元”也适用传达原理。这种除法的严格描述应为，如果 $\varepsilon$ 是一个非零无限小，那么 $\frac 1 \varepsilon$ 是无限大。

对于任何有限的超实数 $x$，其标准部分 $\operatorname{st}(x)$ 被定义为最接近 $x$ 的唯一实数，它与 $x$ 只有微小的差异。标准部分函数也可以定义为无限超实数，方式如下：如果 $x$ 是一个正无限超实数，则设 $\operatorname{st}(x)$ 为扩展实数中的 $\infty$；同样，如果 $x$ 是一个负无限超实数，则设 $\operatorname{st}(x)$ 为 $-\infty$。其原因是，无限超实数应该比“真正”的绝对无穷大要更小，但比任何实数都更接近它。

### 微分

超实数系统的一个重要用途是其给予微分运算符 $\mathrm{d}$ 一个精确的含义，使其能像莱布尼兹那样直接的定义导数和积分。

对于任何实值函数 $f$，其微分 $\mathrm{d}f$ 被定义为一个映射，将每个由一个实数和一个非零无限小组合而成的有序对 $(x,\,\mathrm{d}x)$ 映射到一个无限小：

$$\begin{align}\mathrm{d}\colon\ &\mathsf{Map}&\rightarrow&\qquad\qquad\mathsf{Map}\\&\ f & \mapsto & \quad\left[\begin{align}\mathrm{d}f\colon&\ \mathbb{R}\times{}^*\!\,\mathbb{R}& \rightarrow & \qquad{}^*\!\,\mathbb{R}\\& (x,\,\mathrm{d}x)&\mapsto & \quad \operatorname{st}\left(\dfrac{f(x+\mathrm{d}x) -f(x)}{\mathrm{d}x}\right)\mathrm{d}x\end{align} \right]. \end{align}$$

需要注意的是，用来表示任何无限小的符号 $\mathrm{d}x$ 与上述运算符 $\mathrm{d}$ 的定义是一致的。其通常的解释是若将 $\mathrm{d}$ 视为函数 $f(x)=x$，那么对于每个 $(x,\,\mathrm{d}x)$，其微分 $\mathrm{d}(x)(x,\,\mathrm{d}x)$ 将等于无限小 $\mathrm{d}x$。

如果在 $x$ 点上，对所有非零无限小 $\mathrm{d}x$。

$$\frac{\mathrm{d}f(x,\mathrm{d}x)}{\mathrm{d}x}=\operatorname{st}\left(\frac{f(x + \mathrm{d}x) - f(x)}{\mathrm{d}x} \right)$$

所得出的数值都相同，则这个商被称为函数 $f$ 在点 $x$ 的导数。

例如，要找到函数 $f(x)=x^2$ 的导数，让 $\mathrm{d}x$ 是一个非零无限小。然后有以下计算

$\frac{\mathrm{d}f(x,\mathrm{d}x)}{\mathrm{d}x}$｜$=\operatorname{st}\left(\frac{f(x + \mathrm{d}x) - f(x)}{\mathrm{d}x}\right)$

$$=\operatorname{st}\left(\frac{x^2 + 2x \cdot dx + (\mathrm{d}x)^2 -x^2}{\mathrm{d}x}\right)$$ $$=\operatorname{st}\left(\frac{2x \cdot \mathrm{d}x + (\mathrm{d}x)^2}{\mathrm{d}x}\right)$$ $$=\operatorname{st}\left(\frac{2x \cdot \mathrm{d}x}{\mathrm{d}x} + \frac{(\mathrm{d}x)^2}{\mathrm{d}x}\right)$$ $$=\operatorname{st}\left(2x + \mathrm{d}x\right)$$ $$=2x$$

在计算微分的过程中，传统做法不严谨的直接忽略了无限小量的平方，与此相比，非标准分析中使用到的标准部分函数是一个良好的严格替代方法。值得注意的是，二元数是基于此思想的数字系统。在上述微分的第三行之后，从牛顿到 19 世纪的典型方法是简单地丢弃 $\mathrm{d}x^2$ 项，但在超实数系统中，$\mathrm{d}x^2$ 非零，其原因是 $\mathrm{d}x$ 非零，且“非零数之平方亦非零”适用转移原则。然而，$\mathrm{d}x^2$ 的数值与 $\mathrm{d}x$ 相比是无限小的，也就是说，超实数系统包含了一系列各不等同的无限小量。

使用超实数进行微分可以更方便的进行代数操作。在标准微分中，偏微分和高阶微分不能通过代数技巧独立操作。然而，使用超实数，可以建立这样的系统，只是会使用稍微不同的表示法。

### 积分

超实数系统另一个关键用途是为莱布尼茨所用的积分符号 ∫ 赋予精确的含义。

对于任何微小函数 $\varepsilon(x)$，可以定义积分 $\int(\varepsilon) \ $，它是一个被如此定义的函数：

$$\begin{align}\int\colon&\quad\mathsf{Map}&\rightarrow&\qquad\qquad\mathsf{Map}\\ &\quad\varepsilon(x)&\mapsto&\quad\left[\begin{align}\int(\varepsilon)\colon&\quad\mathbb{R}^2\times{}^*\!\,\mathbb{R}&\rightarrow&\qquad\mathbb{R}\\&\quad(a,\,b,\,\mathrm{d}x)&\mapsto&\int_a^b(\varepsilon,\,\mathrm{d}x):=\operatorname{st}\left(\sum_{n=0}^N\varepsilon(a+n\,\mathrm{d}x)\right)\end{align}\right]\end{align}.$$

其中 $a$ 和 $b$ 是实数，且 $\mathrm{d}x$ 是与 $b-a$ 同正负的微小量，而 $N$ 是任何满足 $\operatorname{st}(N \ \mathrm{d}x) = b-a$ 的超整数。

如果积分值 $\int_a^b(f \,\mathrm{d}x,\mathrm{d}x)$ 与非零微小量 $\mathrm{d}x$ 的选择无关，则实值函数 $f$ 被称为在闭区间 $[a,\,b]$ 上可积分，此时，该积分被称为 $f$ 在 $[a,\,b]$ 上的定积分，或者反导数。

这表明使用超实数，莱布尼茨对定积分的表示式实际上可以解释为一个有意义的代数表达式，就像导数可以解释为一个有意义的商一样。

## 性质

超实数集 $^{*}\mathbb{R}$ 是包涵实数 $\mathbb{R}$ 的有序体。与实数体不同的是，超实数集并不构成一个标准的度量空间，但由于其有序性，在超实数集上可以定义序拓扑。

虽然“超实数集”一词看似是指称实数 $\mathbb{R}$ 的唯一有序体扩张，然而，在多数情况下该扩张并不是唯一的。不过，2003 年弗拉基米尔‧卡诺维和萨哈隆·示拉的一篇论文表明，存在一个可定义性、可饱和实数 $\mathbb{R}$ 的初等扩张，其中饱和意味着 ω-饱和但不是可数的。此外，上述通过对收集所有实数序列的空间中进行超幂次建构所获得的体，在连续统假设下，具有同构意义下的唯一性，因此有理由称其为“超实数”$^{*}\mathbb{R}$。

超实数集的条件比包含实数 $\mathbb{R}$ 的实封闭体的条件更强，它也比戴尔斯和威廉·哈格·伍丁所定义的超级实数体的条件更强。

## 发展

超实数相关概念的发展可以分为透过公理化及透过构造性的两种过程。公理化方法的精髓在于断言（一）至少存在一个无穷小数，和（二）转移原则的有效性。而以下的子节，则更着重于详述建构性方法，此方法允许人们在一个称为超滤子的集合论物件上超实数，但是超滤子本身不能被明确地构造。

### 从莱布尼兹到鲁滨逊

当牛顿和莱布尼兹引入微分时，他们使用了无穷小数，这些无穷小数的概念仍然被后来的数学家如欧拉和柯西不断的使用。但是，这些概念从一开始就被认为是可疑的，特别是乔治·柏克莱，其批评集中在对微分（或流量）定义中假设的变化的感知上，尤其是 $\mathrm{d}x$ 在计算开始时被假定为非零，并在其结束时消失（参见条目分析学家）。在 1800 年代，通过波尔查诺、柯西、魏尔斯特拉斯等人发展的 $(\varepsilon,\,\delta)$-极限定义将微积分建立在坚实的基础上时，无穷小数几乎被遗弃，唯独有关非阿基米德体的研究仍在继续（Ehrlich 2006）。

直到 1960 年代，鲁滨逊展示了如何严格定义和使用无穷大和无穷小数来发展非标准分析相关领域，罗宾森使用模型论以非构造性的方式发展了他的理论。然而，只使用抽象代数和拓扑学等工具，并将转移原则作为定义的直接推论来进行论证，也是可行的。换句话说，除了在非标准分析中的使用外，超实数“本身”与模型理论或一阶逻辑没有必要的关系，尽管超实数是通过应用来自逻辑的模型理论技术发现的。事实上，超实数集最初是由爱德温‧休伊特于 1948 年使用超幂次构造法引入的，当中仅涉及纯粹的抽象代数。