无限深方形阱

在物理学里，无限深方形阱（infinite square potential），又称为无限深位势阱（infinite potential well），是一个阱内位势为 0，阱外位势为无限大的位势阱。思考一个或多个粒子，永远地束缚于无限深位势阱内，无法逃出。关于这些粒子的量子行为的问题，称为无限深方形阱问题，又称为无限深位势阱问题，盒中粒子问题（particle in a box problem），是一个理论问题。假若，阱内只有一个粒子，则称为单粒子无限深方形阱问题。假若，阱内有两个粒子，则称为双粒子无限深方形阱问题。假若，这两个粒子是完全相同的粒子，则问题又复杂许多，称为双全同粒子无限深方形阱问题。在这里，只讨论单粒子无限深方形阱问题。

在经典力学里，应用牛顿运动定律，可以非常容易地求得无限深方形阱问题的解答。假设粒子与阱壁的碰撞是弹性碰撞，粒子的动能保持不变。则这粒子在方形阱的两阱壁之间来回移动，碰撞来，碰撞去，而速率始终保持不变。在任意时间，粒子在阱内各个位置的几率是均匀的。

在量子力学里，这问题突然变得很有意思。许多基要的概念，在这问题的解析中，呈现了出来。由于问题的理想化与简易化，应用薛定谔方程，可以很容易地，虽然并不是很直觉地，求得解答。满足这薛定谔方程的能量本征函数，是表达粒子量子态的波函数。每一个能量本征函数的能量，只能是离散能级谱中的一个能级。很令人惊讶的是，离散能级谱中最小的能级不是 0，而是一个有限值，称为零点能量！这系统的最小能级量子态的能级不是 0。

更加地，假若测量粒子的位置，则会发现粒子在阱内各个位置的几率大不相同。在有些位置，找到粒子的几率是 0，绝对找不到粒子。这些结果与经典力学的答案迥然不同。可是，这些结果所根据的原理，早已在许多精心设计的实验中，广泛地证明是正确无误的。

## 简介

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在量子力学里，无限深方形阱问题是一个简单化的，理想化的问题。无限深方形阱是一个有限尺寸的位势阱，阱内位势为 0，阱外位势为无限大。在阱内，粒子感受不到任何作用力，可以自由的移动于阱内。可是，阱壁是无限的高，粒子完全地束缚于阱内。为了删繁就简，先从一维问题开始，研讨粒子只移动于一维空间的问题。之后，可推广至二维与三维空间。

这问题的薛定谔方程解答，明确地呈现出粒子的某些量子行为。这些量子行为与实验的结果相符合；可是，与经典力学的理论预测，有很大的冲突。特别令人注目地是，这量子行为是自然地从边界条件产生的，而不是人为勉强加添造成的。这解答干净俐落地展示出，任何类似波的物理系统，自然地会产生量子行为；与平常的想法恰恰相反，量子行为不是像变魔术一般变出来的。

无限深方形阱问题的粒子的量子行为包括：

- 能量量子化：表达粒子量子态的能量本征函数，其伴随的能量不是任意值，而只能是离散能级谱中的一个能级。
- 零点能量：粒子最小的允许能级，称为零点能量，不是 0。
- 波节点：恰恰与经典力学相反，薛定谔方程预测会有波节的存在。这意味着在阱内某些地方，找到粒子的概率是零。

不论这问题有多么地简单，由于能够完全地解析其薛定谔方程，这问题可以导致对量子力学有更深刻的理解。实际上，这问题也非常的重要。无限深方形阱问题可以用来模拟许多真实的物理系统。例如，一个导电电子在一根直的，极细的奈米金属丝内的量子行为。更详细内容，请参阅条目奈米线。

## 一维阱

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一个粒子束缚于一维无限深方形阱内，阱宽为 $L$。阱内位势为 0，阱外位势为无限大。粒子只能移动于束缚的方向（$x$ 方向）。如图示，一维无限深方形阱的本征函数 $\psi_n$ 与本征值 $E_n$ 分别为

$\psi_n = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin{\left(\frac{n \pi x}{L} \right)}$。

$E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}$。

其中，$n$ 是正值的整数，$h$ 是普朗克常数，$m$ 是粒子质量。

### 导引

一维不含时薛定谔方程可以表达为

$- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2 \psi(x)}{\mathrm{d}x^2} + V(x) \psi(x) = E \psi(x)$；$\quad$(1)

其中，$\psi(x)$ 是复值的、不含时间的波函数，$V(x)$ 是跟位置有关的位势，$E$ 是正值的能量。

在阱内，位势 $V(x)= 0$。一维不含时薛定谔方程约化为

$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2 \psi(x)}{\mathrm{d} x^2} = E \psi(x)$。$\quad$(2)

这是一个已经经过颇多研究的二阶常微分方程。一般解本征函数 $\psi(x)$ 与本征值 $E$ 是

$\psi(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx)$，$\quad$(3a)

$E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$；$\quad$(3b)

其中，$A$ 与 $B$ 是常数，可以是复值，$k$ 是实值的波数（因为 $E$ 是正值的，所以，$k$ 必须是实数。）。

为了求得一般解 $\psi(x)$ 的常数 $A$， $B$，与波数 $k$ 的值，必须具体表明这问题的边界条件。由于粒子趋向于位势低的地区，位势越高，找到粒子的几率 $\left| \psi(x)\right|^2$ 越小。在 $x=0$， $x=L$ 两个阱壁位置，位势无限的高，找到粒子的几率是微乎其微：$\left| \psi(x)\right|^2=0$。所以，边界条件是

$\psi(0)=\psi(L)=0$。(4)

代入方程 (3a)。在 $x=0$，可以得到

$\psi(0)=B=0$。(5)

在 $x=L$，可以得到

$\psi(L) = A \sin(kL) = 0$。(6)

方程 (6) 的一个简易解是 $A=0$。可是，这样，波函数是 $\psi = 0$。这意味着一个不可能的物理答案：粒子不在阱内！所以，不能接受这简易解。设定 $A\neq 0$，则 $\sin(kL) = 0$。那么，必须要求

$k = \frac{n \pi}{L}$ ;(7)

其中，整数 $n>0$。

注意到 $n = 0$ 状况必须被排除，因为，不能容许波函数是 $\psi = 0$ 的物理答案：粒子不在阱内！

为了求得 $A$ 值，波函数需要归一化，一个粒子必须存在于整个一维空间的某地方：

$1 = \int_{ - \infty}^{\infty} \left| \psi(x) \right|^2 \, \mathrm{d}x = \left| A \right|^2 \int_0^L \sin^2 (kx) \, \mathrm{d}x = \left| A \right|^2 \frac{L}{2}$。

常数 $A$ 的值为

$\left| A \right| = \sqrt{\frac{2}{L}}$。(8)

常数 $A$ 可以是任何复数，只要绝对值等于$\sqrt{\frac{2}{L}}$；可是，这些不同值的 $A$ 都对应于同样的物理状态。所以，为了方便计算，选择 $A=\sqrt{\frac{2}{L}}$。

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最后，将方程 (7)，(8) 代入方程 (3a)，(3b)。一维无限深方形阱问题的能量本征方程与能量本征值（能级）是

$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right)$。

$E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}$。

- 如同前面所述，此问题只容许量子化的能级。由于 $n\neq 0$，最低的能级，称为零点能量，大于 0。这答案可以用不确定原理解释。因为粒子束缚于有限的区域，位置变异数有上界。所以，粒子的动量的变异数大于 0，粒子必须拥有能量。这能量随着阱宽的减小而增加。
- 很重要的一点是，虽然表达粒子量子态的能量本征函数，其能量只能是离散能级谱中的一个能级。这并不能防止粒子拥有任意的能量，只要这能量大于零点能量。根据态叠加原理，粒子的量子态，可以是几个能量本征函数的叠加。当测量粒子的能量时，测量的答案，只可能是叠加的几个能级中的一个能级。由于测量会造成波函数塌缩，不能对同一个粒子做多次的测量，而指望得到有意义的答案。必须假设准备了许多同样的系统。对每一个系统内的粒子，做同样的测量。虽然，每一次的测量的答案，只可能是叠加的几个能级中的一个能级。所有答案的的平均值，是粒子的能量期望值。

### 启发导引

能量本征值的公式可以启发地被推导出来。试想，两个阱壁必定是波函数的波节。这意味着，阱宽必须刚好能够容纳半个波长的整数倍：

$n\frac{\lambda}{2} = L$。

其中，$\lambda$ 是波长，$n$ 是正值的整数。

应用德布罗意假说，粒子的动量 $p$ 是

$p = \frac{h}{\lambda} = \frac{h}{2L}n$。

代入联系能量与动量的经典公式，则可以得到系统的能量本征值。

$E = \frac{p^2}{2m} = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}$。

## 二维阱

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一个粒子束缚于二维无限深方形阱内，阱宽在 $x$ 与 $y$ 方向，分别为 $L_x$，$L_y$。阱内位势为 0，阱外位势为无限大。粒子只能移动于束缚的方向（$x$ 与 $y$ 方向）。二维无限深方形阱的本征函数 $\psi_{n_x,n_y}$ 与本征值 $E_{n_x,n_y}$ 分别为

$$\psi_{n_x,n_y} = \sqrt{\frac{4}{L_x L_y}} \sin \left( \frac{n_x \pi x}{L_x} \right) \sin \left( \frac{n_y \pi y}{L_y} \right)$$

$$E_{n_x,n_y} = \frac{h^2}{8m} \left[ \left( \frac{n_x}{L_x} \right)^2 + \left( \frac{n_y}{L_y} \right)^2 \right]$$

其中，$n_x$ 与 $n_y$ 是正值的整数。

### 导引

在这二维的问题里，粒子束缚于一个二维位势阱内，在阱内，二维的解答方程与方程 (2) 类似，是一个二阶偏微分方程：

$- \frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} \right) =E\psi$。

应用分离变数法。首先，假设 $\psi(x,\ y)$ 是两个不相关的函数 $X(x)$ 与 $Y(y)$ 的乘积，$X(x)$ 只含有变数 $x$，$Y(y)$ 只含有变数 $y$：

$\psi(x,y) = X(x) Y(y)$。

将 $\psi(x,\ y)$ 的假设方程代入二维方程，则可得到

$- \frac{\hbar^2}{2m} \left( Y\frac{\partial^2X}{\partial x^2}+X\frac{\partial^2 Y}{\partial y^2} \right) =E X Y$。

将这方程两边都除以 $XY$，则可得到

$- \frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{X''}{X}+\frac{Y''}{Y} \right) =E$。

由于方程左边圆括号内的两个项目 $\frac{X''}{X}$、$\frac{Y''}{Y}$ 分别只跟 $x$、$y$ 有关，两个项目分别都必须等于常数：

$- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{X''}{X} = E_x$。

$- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{Y''}{Y} = E_y$。

其中，$E_x$ 与 $E_y$ 都是常数，$E_x+E_y=E$。

这样，可以得到两个约化的一维薛定谔方程：

$- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2X}{d x^2} = E_x X$。

$- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2Y}{d y^2} = E_y Y$。

前面，已经解析了同样形式的一维薛定谔方程（方程 (2)）。将那里的答案移接到这里。

$X_{n_x}=\sqrt{\frac{2}{L_x}} \sin \left( \frac{n_x \pi x}{L_x} \right)$。

$Y_{n_y}=\sqrt{\frac{2}{L_y}} \sin \left( \frac{n_y \pi y}{L_y} \right)$。

其中，整数 $n_x=1,\ 2,\ 3,\ \dots$，$n_y=1,\ 2,\ 3,\ \dots$。

将两个方程合并，可以得到解答：

$\psi_{n_x,n_y} = \sqrt{\frac{4}{L_x L_y}} \sin \left( \frac{n_x \pi x}{L_x} \right) \sin \left( \frac{n_y \pi y}{L_y} \right)$。

$E_{n_x,n_y} = \frac{h^2}{8m} \left[ \left( \frac{n_x}{L_x} \right)^2 + \left( \frac{n_y}{L_y} \right)^2 \right]$。

## 三维阱

同样地，应用分离变数法于三维阱问题，可以得到能量本征函数与能量本征值：

$\psi_{n_x,n_y,n_z} = \sqrt{\frac{8}{L_x L_y L_z}} \sin \left( \frac{n_x \pi x}{L_x} \right) \sin \left( \frac{n_y \pi y}{L_y} \right) \sin \left( \frac{n_z \pi z}{L_z} \right)$。

$E_{n_x,n_y,n_z} = \frac{h^2}{8m} \left[ \left( \frac{n_x}{L_x} \right)^2 + \left( \frac{n_y}{L_y} \right)^2 + \left( \frac{n_z}{L_z} \right)^2 \right]$。

其中，$n_i=1,\ 2,\ 3,\ \ldots$。

当两个以上的阱宽相等的时候，对应于同样的总能量，会存在有多个不同的波函数。这状况称为简并，是由物理系统的对称性造成的。例如，假设 一个三维阱的 $L_x=L_y$，则 $n_x=2$，$n_y=1$，$n_z=1$ 的波函数与 $n_x=1$，$n_y=2$，$n_z=1$ 的波函数，两个波函数的能量相等。由于在这物理系统里，有两个阱宽相等，这物理系统对称于绕着 z-轴的 $90^{\circ}$ 旋转。

## 参阅

- 态叠加原理
- 自由粒子
- 有限深方形阱
- 有限位势垒
- 球对称位势
- Delta 位势阱
- Delta 位势垒
- 量子穿隧效应
- 盒中气体
- 随机电动力学