朗伯W函数

朗伯W函数（Lambert W function，又称为欧米加函数或乘积对数），是$f(w)=we^w$的反函数，其中$e^w$是指数函数，$w$是任意复数。对于任何复数$z$，都有：

$$z = W(z)e^{W(z)}.$$

由于函数$f$不是单射，因此函数$W$是多值的（除了0以外）。如果我们把$x$限制为实数，并要求$w$是实数，那么函数仅对于$x\ge\frac{1}{e}$有定义，在$(-\frac{1}{e},0)$内是多值的；如果加上$w\ge-1$的限制，则定义了一个单值函数$W_0(x)$（见图）。我们有$W_0(0)=0$，$W_0(-\frac{1}{e}) = -1$。而在$[-\frac{1}{e},0)$内的$w\le-1$分支，则记为$W_{-1}(x)$，从$W_{-1}(-\frac{1}{e}) = -1$递减为$W_{-1}(0^-) = -\infty$。

朗伯$W$函数不能用初等函数来表示。它在组合数学中有许多用途，例如树的计算。它可以用来解许多含有指数的方程，也出现在某些微分方程的解中，例如$y(t) = a y(t - 1)$。

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## 微分和积分

朗伯 $W\,$函数的积分形式为

$$W(x)=\frac{x}{\pi}\int_0^{\pi} \frac{\left(1-v\cot v\right)^2+v^2}{x+v\csc v \cdot e^{-v\cot v}} {\rm{d}}v,|\arg\left(x\right)|<\pi\,$$

$$W(x)=\int_{-\infty}^{-\frac{1}{e}}{-\frac{1}{\pi}}\Im \left[\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}x}W(x)\right]\ln \left(1-\frac{z}{x}\right){\rm{d}}x\,$$

若 $x\not\in\left[-\frac{1}{e},0\right],k\in{\mathbb{Z}}\,$ ,若 $x\in\left(-\frac{1}{e},0\right),k=1,\pm2,\pm3,...\,$

$$W_k(x)=1+\left(\ln x-1+2k\pi {{\rm{i}}}\right)e^{\frac{{\rm{i}}}{2\pi}\int_0^{\infty}\ln \frac{t-\ln t+\ln x+(2k+1)\pi{\rm{i}}}{t-\ln t+\ln x+(2k-1)\pi{\rm{i}}}\cdot\frac{{\rm{d}}t}{t+1}}=1+\left(\ln x-1+2k\pi {{\rm{i}}}\right)e^{\frac{{\rm{i}}}{2\pi}\int_0^{\infty}\ln \frac{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(4k^2-1\right)\pi^2+2\pi\left(t-\ln t+\ln x\right){\rm{i}}}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k-1\right)^2\pi^2}\cdot\frac{{\rm{d}}t}{t+1}}\,$$

把被积函数的实部和虚部分离出来：

$$W_k(x)=1+\left(\ln x-1+2k\pi {{\rm{i}}}\right)e^{\frac{{\rm{i}}}{2\pi}\int_0^\infty\left[\frac{1}{2}\ln\frac{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k+1\right)^2\pi^2}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k-1\right)^2\pi^2}+{\rm{i}}\arctan\frac{2\pi\left(t-\ln t+\ln x\right)}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(4k^2-1\right)\pi^2}\right]\cdot\frac{{\rm{d}}t}{t+1}}$$

$${}_{W_k(x)=1+\frac{\left(\ln x-1\right)\cos\frac{1}{4\pi}\int_0^{\infty}\ln\frac{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k+1\right)^2\pi^2}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k-1\right)^2\pi^2}\cdot\frac{{\rm{d}}t}{t+1}-2k\pi\sin\frac{1}{4\pi}\int_0^{\infty}\ln\frac{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k+1\right)^2\pi^2}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k-1\right)^2\pi^2}\cdot\frac{{\rm{d}}t}{t+1}+{\rm{i}}\left[\left(\ln x-1\right)\sin\frac{1}{4\pi}\int_0^{\infty}\ln\frac{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k+1\right)^2\pi^2}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k-1\right)^2\pi^2}\cdot\frac{{\rm{d}}t}{t+1}+2k\pi\cos\frac{1}{4\pi}\int_0^{\infty}\ln\frac{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k+1\right)^2\pi^2}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k-1\right)^2\pi^2}\cdot\frac{{\rm{d}}t}{t+1}\right]}{e^{\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty\arctan\frac{2\pi\left(t-\ln t+\ln x\right)}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(4k^2-1\right)\pi^2}\cdot\frac{\rm{d}t}{t+1}}}}$$

设 $W_k(x)=u+v{\rm{i}},x=t+s{\rm{i}}$，则有 $\left(u+v{\rm{i}}\right)e^{u+v{\rm{i}}}=t+s{\rm{i}}$，展开分离出实部和虚部。

$e^u\left(u\cos v-v\sin v\right)=t,e^u\left(u\sin v+v\cos v\right)=s$,当$s=0$时，易知 $u=-v\cot v$

$${}_{W_k(x)=\frac{\left(1-\ln x\right)\sin\frac{1}{4\pi}\int_0^{\infty}\ln\frac{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k+1\right)^2\pi^2}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k-1\right)^2\pi^2}\cdot\frac{{\rm{d}}t}{t+1}-2k\pi\cos\frac{1}{4\pi}\int_0^{\infty}\ln\frac{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k+1\right)^2\pi^2}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k-1\right)^2\pi^2}\cdot\frac{{\rm{d}}t}{t+1}}{e^{\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty\arctan\frac{2\pi\left(t-\ln t+\ln x\right)}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(4k^2-1\right)\pi^2}\cdot\frac{\rm{d}t}{t+1}}}\cot\frac{\left(\ln x-1\right)\sin\frac{1}{4\pi}\int_0^{\infty}\ln\frac{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k+1\right)^2\pi^2}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k-1\right)^2\pi^2}\cdot\frac{{\rm{d}}t}{t+1}+2k\pi\cos\frac{1}{4\pi}\int_0^{\infty}\ln\frac{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k+1\right)^2\pi^2}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k-1\right)^2\pi^2}\cdot\frac{{\rm{d}}t}{t+1}}{e^{\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty\arctan\frac{2\pi\left(t-\ln t+\ln x\right)}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(4k^2-1\right)\pi^2}\cdot\frac{\rm{d}t}{t+1}}} +\frac{\left(\ln x-1\right)\sin\frac{1}{4\pi}\int_0^{\infty}\ln\frac{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k+1\right)^2\pi^2}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k-1\right)^2\pi^2}\cdot\frac{{\rm{d}}t}{t+1}+2k\pi\cos\frac{1}{4\pi}\int_0^{\infty}\ln\frac{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k+1\right)^2\pi^2}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(2k-1\right)^2\pi^2}\cdot\frac{{\rm{d}}t}{t+1}}{e^{\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty\arctan\frac{2\pi\left(t-\ln t+\ln x\right)}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^2+\left(4k^2-1\right)\pi^2}\cdot\frac{\rm{d}t}{t+1}}}{\rm{i}},}$$

$$W_0(x)=1+\left(\ln x-1\right)e^{-\frac{1}{\pi}\int_0^\infty\arg\left(t-\ln t+\ln x+\pi{\rm{i}}\right)\cdot\frac{\rm{d}t}{t+1}},x>0$$

若 $x>\frac{1}{e}$，上式还可化为$W_0(x)=1+\left(\ln x-1\right)e^{-\frac{1}{\pi}\int_0^\infty\arctan\frac{\pi}{t-\ln t+\ln x}\cdot\frac{\rm{d}t}{t+1}}$

由隐函数的求导法则，朗伯$W\,$函数满足以下的微分方程：

$z\left[1+W(z)\right]\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z}W(z)=W(z)$，$z\neq -\frac{1}{e}\,,$

因此：

$\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z}W(z)=\frac{ W(z) }{z\left[1 + W(z)\right]}$，$z\neq -\frac{1}{e} \,.$

函数$W(x)\,$，以及许多含有$W(x)\,$的表达式，都可以用$w=W(x)\,$的变量代换来积分，也就是说$x=we^w\,$

$$\int W(x) {\rm{d}}x = x \left[ W(x)+ \frac{1}{W (x) }-1 \right] + C$$

$$\int_0^1 W(x) {\rm{d}}x = \Omega+\frac{1}{\Omega} -2\approx 0.330366$$

其中$\Omega$为欧米加常数。

## 性质

$1\,$、$z^{z^{z^{z^{z^{.^{.^{.}}}}}}}=\lim_{n \to \infty}(z \upuparrows n) = - \frac{W(-\ln z)}{\ln z}$。

其中$\upuparrows$是高德纳箭号表示法。

$2\,$、若$z>0 \,$，则$\ln W(z)=\ln z-W(z)\,$

## 泰勒级数

$W_0 \,$在$x=0 \,$的泰勒级数如下：

$$W_0 (x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n = x - x^2 + \frac{3}{2}x^3 - \frac{8}{3}x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \cdots$$

收敛半径为 $\frac{1}{e}\,$。

## 加法定理

$$W(x)+W(y)=W\left[\frac{xy}{W(x)}+\frac{xy}{W(y)}\right]\,$$

$$x>0,y>0\,$$

## 复数值

实部

$\Re\left[W(x+y{\rm{i}})\right]=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-k)^{k-1}}{k!}\sqrt{(x^2+y^2)^k}\cos \left(k\arctan\frac{x}{y}\right)\,$ , $x^2+y^2<\frac{1}{e^2}\,$

虚部

$\Im\left[W(x+y{\rm{i}})\right]=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-k)^{k-1}}{k!}\sqrt{(x^2+y^2)^k}\sin \left(k\arctan\frac{x}{y}\right)\,$, $x^2+y^2<\frac{1}{e^2}\,$

模长

$$|W(x+y{\rm{i}})|=W(\sqrt{x+y})\,$$

模角

$\arg\left[W(x+y{\rm{i}})\right]=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-k)^{k-1}}{k!}\arctan\left[\cot(k\arctan\frac{x}{y})\right]\,$, $x^2+y^2<\frac{1}{e^2}\,$

共轭值

$\overline{W(x+y{\rm{i}})}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-k)^{k-1}}{k!}\sqrt{(x^2+y^2)^k}\left[\cos \left(k\arctan\frac{x}{y}\right)-{\rm{i}}\sin \left(k\arctan\frac{x}{y}\right)\right]\,$, $x^2+y^2<\frac{1}{e^2}\,$

## 特殊值

$$W\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}i$$

$$W\left(-\frac{\ln 2}{2}\right)= -\ln 2$$

$$W\left(-{1\over e}\right) = -1$$

$W\left(1\right) = \Omega=\frac{1}{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{{\rm{d}}x}{(e^x-x)^2+\pi^2}}-1\approx 0.56714329\dots \,$（欧米加常数）

$$W(e) = 1\,$$

$$W(e^{e+1}) = e\,$$

$$W\left(\frac{1}{e^{1- \frac{1}{e}}}\right)= \frac{1}{e}$$

$$W({\pi}e^{\pi})=\pi$$

$W(k{\ln k})={\ln k}$ $(k>0)$

$$W({\rm{i}}\pi)=-{\rm{i}}\pi$$

$$W(-{\rm{i}}\pi)={\rm{i}}\pi$$

$$W({\rm{i}}\cos1-\sin1)={\rm{i}}$$

$$W(-\frac{3}{2}{\pi})=-\frac{3}{2}{\pi}{\rm{i}}$$

$$W(-\frac{\sqrt[7]{8}}{7}{\ln 2})=-\frac{32}{7}{\ln 2}$$

$$W(-\frac{\sqrt{3}}{54}{\ln 3})=-\frac{9}{2}{\ln 3}$$

$$W(-\frac{\ln 2}{4})=-4{\ln 2}$$

$$W\left(-1\right)=\frac{e^{\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty{1\over t+1}\arctan{2\pi\over t-\ln t}{\rm{d}}t}-\cos\left[\frac{1}{4\pi}\int_0^\infty{1\over t+1}\ln{\left(t-\ln t\right)^2\over 4\pi^2+\left(t-\ln t\right)^2}{\rm{d}}t\right]+\pi\sin\left[\frac{1}{4\pi}\int_0^\infty{1\over t+1}\ln{\left(t-\ln t\right)^2\over 4\pi^2+\left(t-\ln t\right)^2}{\rm{d}}t\right]-{\rm{i}}\left\{\pi\cos\left[\frac{1}{4\pi}\int_0^\infty{1\over t+1}\ln{\left(t-\ln t\right)^2\over 4\pi^2+\left(t-\ln t\right)^2}{\rm{d}}t\right]+\sin\left[\frac{1}{4\pi}\int_0^\infty{1\over t+1}\ln{\left(t-\ln t\right)^2\over 4\pi^2+\left(t-\ln t\right)^2}{\rm{d}}t\right]\right\}}{e^{\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty{1\over t+1}\arctan{2\pi\over t-\ln t}{\rm{d}}t}}\approx -0.31813-1.33723{\rm{i}}$$

$$W(-\frac{\ln k}{k})=-\ln k$$

$$W\left[-\frac{\ln (x+1)}{x(x+1)^{\frac{1}{x}}}\right]=-\frac{x+1}{x}\ln (x+1)>,-1<x<0$$

## 应用

许多含有指数的方程都可以用$W\,$函数来解出。一般的方法是把未知数都移到方程的一侧，并设法化为$Y= Xe^X \,$的形式。

### 例子

例子1：$$2^t = 5 t\,$$

$$\Rightarrow 1 = \frac{5 t}{2^t}\,$$

$$\Rightarrow 1 = 5 t \, e^{-t \ln 2}\,$$

$$\Rightarrow \frac{1}{5} = t \, e^{-t \ln 2}\,$$

$$\Rightarrow -\frac{\ln 2}{5} = ( - \, t \, \ln 2 ) \, e^{-t \ln 2}\,$$

$$\Rightarrow -t \ln 2 = W_k \left (-\frac{\ln 2}{5} \right )\,$$

$$\Rightarrow t = -\frac{ W_k \left ( -\frac{\ln 2}{5} \right )}{\ln 2}\,$$

更一般地，以下的方程

$$Q^{a x + b} = c x + d \,$$

其中

$$Q > 0 \land Q \neq 1\land c \neq 0$$

两边同乘: $\frac{a}{c}$。

得到：$\frac{a}{c} Q^{ax+b} = ax + \frac{ad}{c} \,$

同除以：$Q^{ax} \,$。

得到：$\frac{a}{c} Q^{b} = \left(ax + \frac{ad}{c} \right)Q^{-ax} \,$

同除：$Q^{\frac{ad}{c}} \,$。

$$\frac{a}{c} Q^{b-\frac{ad}{c}}= \left(ax + \frac{ad}{c}\right)Q^{-\left(ax+\frac{ad}{c}\right)} \,$$

可以用变量代换

令$t = a x + \frac{a d}{c}$

化为

$$t Q^{-t} = \frac{a}{c} Q^{b-\frac{a d}{c}}$$

即：$t \left(e^{\ln Q}\right) ^{-t} = \frac{a}{c} Q^{b-\frac{a d}{c}}$

同乘：${\ln Q} \,$

得出

$$t{\ln Q} \cdot e^{-t \ln Q}={\ln Q} \cdot \frac{a}{c} Q^{b-\frac{a d}{c}}$$

故$t{\ln Q}=-W_k\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)$

带入$t= a x + \frac{a d}{c}$

为

$$\left(ax+\frac{ad}{c}\right){\ln Q}=-W_k\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)$$

因此最终的解为

$$x = -\frac{W_k\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)}{a\ln Q} - \frac{d}{c}$$

若辅助方程：$xe^x=-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}$中。

$-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}} \in \left(-\infty ,-\frac{1}{e} \right)$,

辅助方程无实数解，原方程亦无实解。

若：$-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}} \in \left\{-\frac{1}{e}\right\} \cup\mathbf [0,+\infty )$,

辅助方程有一实数解，原方程有一实解：

$$x = -\frac{W_k\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)}{a\ln Q} - \frac{d}{c}$$

若: $-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}} \in \left(-\frac{1}{e},0 \right)$,

辅助方程有二实解，设为$W\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)$。

${\rm{W}}_{-1}\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)$。

为

$$x_1=-\frac{W\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)}{a\ln Q} - \frac{d}{c}$$

$$x_2=-\frac{{\rm{W}}_{-1}\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)}{a\ln Q} - \frac{d}{c}$$

例子2

用类似的方法，可知以下方程的解

$$x^x={\mathrm{t}}\, ,$$

为

$$x=\frac{\ln{\rm{t}}}{W(\ln {\rm{t}})}\,$$

或

$$x=\exp\left(W_k\left[\ln({\rm{t}})\right]\right).$$

例子3

以下方程的解

$$x \log_b {x} = a \,$$

具有形式

$$x = \frac{a {\ln b}}{W_k\left(a {\ln b}\right)}$$

例子4：$$x^a-b^x=0\,$$

$a > 0 \,$ : $b > 0 \,$ : $x > 0 \,$

取对数。

$$a \ln x=x \ln b \,$$

$$\frac{\ln x}{x}=\frac{\ln b}{a}\,$$

$$e^{\frac{\ln x}{x}}=e^{\frac{\ln b}{a}} \,$$

$$x^{\frac{1}{x}}=b^{\frac{1}{a}}\,$$

取倒数。

$$\left(\frac{1}{x} \right)^{\frac{1}{x}}=b^{-\frac{1}{a}}\,$$

$$\frac{1}{x} =-\frac{\ln b}{aW\left(-\frac{1}{a} \ln b\right)}\,$$

最终解为 : $x=-\frac{a}{\ln b}W_k\left(-\frac{\ln b}{a}\right)\,$

例子5：$$(ax+b)^n=u^{cx+d} \,$$

两边开$n \,$次方并除以$a \,$得

$$x+\frac{b}{a}=\frac{u^{\frac{c}{n}x+\frac{d}{n}}}{a}\left(\cos\frac{2k\pi}{n}+{\rm{i}}\sin\frac{2k\pi}{n}\right)\,$$

令$u=e^{\ln u}\,$。

化为

$$x+\frac{b}{a}=\frac{e^{\frac{c\ln u}{n}x+\frac{d\ln u}{n}}}{a}\left(\cos\frac{2k\pi}{n}+{\rm{i}}\sin\frac{2k\pi}{n}\right)\,$$

两边同乘

$-\frac{c\ln u}{n}u^{-\frac{c}{n}x-\frac{cb}{na}}\,$。

$$\left(-\frac{c\ln u}{n}x-\frac{cb\ln u}{na}\right)e^{-\frac{c\ln u}{n}x-\frac{cb\ln u}{na}}=-\frac{c\ln u}{na}u^{\frac{d}{n}-\frac{cb}{na}}\left(\cos\frac{2k\pi}{n}+{\rm{i}}\sin\frac{2k\pi}{n}\right)\,$$

最终得

$$x_k=-\frac{n}{c\ln u}W_k\left[-\frac{c\ln u}{na}u^{\frac{d}{n}-\frac{cb}{na}}\left(\cos\frac{2k\pi}{n}+{\rm{i}}\sin\frac{2k\pi}{n}\right)\right]-\frac{b}{a}\,$$

$$k\in{\mathbb{Z}}\,$$

## 一般化

标准的 Lambert W 函数可用来表示以下超越代数方程式的解：

$$e^{-c x} = a_o (x-r) ~~\quad\qquad\qquad\qquad\qquad(1)$$

其中 a0, c 与 r 为实常数。

其解为$x = r +\tfrac{W\left(\frac{ce^{-c r}}{a_o}\right)}{c}$

Lambert W 函数之一般化包括:

- 一项在低维空间内广义相对论与量子力学的应用（量子引力），实际上一种以前未知的 连结 于此二区域中，如 “Journal of Classical and Quantum Gravity”所示其 (1) 的右边式现为二维多项式 x：

$$e^{-c x} = a_o (x-r_1 ) (x-r_2 ) ~~\qquad\qquad(2)$$

其中 r1 和 r2 是不同实常数，为二维多项式的根。于此函数解有单一引数 x 但 ri 和 ao 为函数的参数。如此一来，此一般式类似于 “hypergeometric”（超几何分布）函数与 “Meijer G“，但属于不同类函数。当 r1 = r2，(2)的两方可分解为 (1) 因此其解简化为标准 W 函数。(2)式代表着 “dilaton”（轴子）场的方程，可据此推导线性，双体重力问题 1+1 维（一空间维与一时间维）当两不等（静止）质量，以及，量子力学的特征能Delta位势阱给不等电位于一维空间。

- 量子力学的一特例特征能的分析解三体问题，亦即（三维）氢分子离子。于此 (1)（或 (2)）的右手边现为无限级数多项式之比于 x：

$$e^{-c x} = a_o \frac{\prod_{i=1}^{\infty} (x-r_i )}{ \prod_{i=1}^{\infty} (x-s_i)} \qquad \qquad\qquad(3)$$

其中 ri 与 si 是相异实常数而 x 是特征能和内核距离R之函数。式 (3) 与其特例表示于 (1) 和 (2) 是与一更大类型延迟微分方程。由于哈代的“虚假导数”概念，多根的特殊情况得以解决。

Lambert "W" 函数于基础物理问题之应用并未完全即使标准情况如 (1) 最近在原子，分子，与光学物理领域可见以及黎曼假设的 Keiper-Li 准则

## 图象

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- z = Re(W0(x + i y))

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- z = Im(W0(x + i y))

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- W0(x + i y)

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## 计算

W函数可以用以下的递推关系算出：

$$w_{j+1}=w_j-\frac{w_j e^{w_j}-z}{e^{w_j}(w_j+1)-\frac{(w_j+2)(w_je^{w_j}-z)} {2w_j+2}}$$