电流密度

在电磁学里，电流密度（current density）是电荷流动的密度，即每单位截面面积电流量。电流密度是一种向量，一般以符号$\mathbf{J}$表示。采用国际单位制，电流密度的单位是安培／米2（ampere/meter2，A/m2）。

## 定义

电流密度 J 可以简单地定义为通过单位面积 A（国际单位：m2）的电流 I（国际单位：A）。它的量值由极限给出：

$$J = \lim\limits_{A \rightarrow 0}\frac{I(A)}{A}$$

当电流密度作为向量 J 时，在曲面 S 上进行曲面积分后，再对持续时间 t1 到 t2 积分，得到 (t2 − t1) 这段时间流过该面的电荷总量：

$$q=\int_{t_1}^{t_2}\iint_S \mathbf{J}\cdot\mathbf{\hat{n}}{\rm d}A{\rm d}t$$

计算通量所用到的面积可实可虚，可平可曲，可为截面也可为表面。例如，对于通过导体的载流子来说，这里遇到的面积是导体的截面。

## 重要性

对于电力系统和电子系统的设计而言，电流密度是很重要的。电路的性能与电流量紧密相关，而电流密度又是由导体的物体尺寸决定。例如，随着积体电路的尺寸越变越小，虽然较小的元件需要的电流也较小，为了要达到芯片内含的元件数量密度增高的目标，电流密度会趋向于增高。更详尽细节，请参阅摩尔定律。

在高频频域，由于趋肤效应，传导区域会更加局限于表面附近，因而促使电流密度增高。

电流密度过高会产生不理想后果。大多数电导体的电阻是有限的正值，会以热能的形式消散功率。为了要避免电导体因过热而被熔化或发生燃烧，并且防止绝缘材料遭到损坏，电流密度必须维持在过高值以下。假若电流密度过高，材料与材料之间的互连部分会开始移动，这现象称为电迁移（electromigration）。在超导体里，过高的电流密度会产生很强的磁场，这会使得超导体自发地丧失超导性质。

对于电流密度所做的分析和观察，可以用来探测固体内在的物理性质，包括金属、半导体、绝缘体等等。在这科学领域，材料学家已经研究发展出一套非常详尽的理论形式论，来解释很多机要的实验观察。

安培力定律描述电流密度与磁场之间的关系。电流密度是安培力定律的一个重要参数。

## 计算电流密度

### 自由电流

大自然有很多种载有电荷的粒子，称为“带电粒子”，例如，导电体内可移动的电子、电解液内的离子、电浆内的电子和离子、强子内的夸克。这些带电粒子的移动，形成了电流。电荷流动的分布可以由电流密度来描述：

$\mathbf{J}(\mathbf{r}, t) = qn(\mathbf{r},t)\; \mathbf{v}_d(\mathbf{r},t) = \rho(\mathbf{r},t) \; \mathbf{v}_d(\mathbf{r},t)$。

其中，$\mathbf{J}(\mathbf{r}, t)$是在位置$\mathbf{r}$、在时间$t$的电流密度向量，$q$是带电粒子的电荷量，$n(\mathbf{r},t)$是带电粒子密度，是单位体积的带电粒子数量，$\rho(\mathbf{r},t)$是电荷密度，$\mathbf{v}_d(\mathbf{r},t)$是带电粒子的平均漂移速度。

电流密度时常可以近似为与电场成正比，以方程式表达为

$\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}$。

其中，$\mathbf{E}$是电场，$\mathbf{J}$是电流密度，$\sigma$是电导率，是电阻率的倒数。

推导

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电阻公式阐明，一个均匀截面的物体的电阻与电阻率和导体长度成正比，与截面面积成反比。以方程式表达， :$R=\rho\frac{\ell}{A}$；其中，$R$是电阻，$\ell$是物体长度，$A$是物体的截面面积，$\rho$是电阻率。根据欧姆定律，电压$V$等于电流$I$乘以电阻： :$V=IR$。所以， :$V=I \rho\frac{\ell}{A}$。注意到在物体内，电场与电压的关系为 :$\mathbf{E}=\frac{V}{\ell}\hat{z}$；其中，$\hat{z}$是电流方向。所以， :$\mathbf{E}=\rho\frac{I}{A}\hat{z}=\rho\mathbf{J}$。电导率为电阻率的倒数，$\sigma=1/\rho$。电流密度与电场的关系为 :$\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}$。

采用更基础性的方法来计算电流密度。这方法建立于方程式

$\mathbf{J}(\mathbf{r}, t) = \int_{-\infty}^t \mathrm{d}t' \int \mathrm{d}^3 r' \; \sigma(\mathbf{r}-\mathbf{r}', t-t') \; \mathbf{E}(\mathbf{r}',\ t')$。

其中，$\mathbf{r}'$和$t'$分别是位置积分变数和时间积分变数。

这方式显示出电导率$\sigma$在时间方面的滞后响应，和在空间方面的非局域响应属性。原则上，通过微观量子分析，才能推导出来电导率函数。例如，对于足够弱小的电场，可以从描述物质的电导性质的线性响应函数（linear response function）推导。经过一番沉思，可以了解，这电导率和其伴随的电流密度反映出，在时间方面和在空间方面，电荷传输于介质的基本机制。

假设每当$\Delta t < 0$时，$\varepsilon_r(\Delta t) = 0$，则这积分的上限可以延伸至无穷大：

$\mathbf{J}(\mathbf{r}, t) = \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}t' \int \mathrm{d}^3 r' \; \sigma(\mathbf{r}-\mathbf{r}', t-t') \; \mathbf{E}(\mathbf{r}',\ t')$。

做一个对于时间与空间的傅立叶变换，根据折积定理，可以得到

$\mathbf{J}(\mathbf{k}, \omega) = \sigma(\mathbf{k}, \omega) \; \mathbf{E}(\mathbf{k}, \omega)$。

其中，$\sigma(\mathbf{k}, \omega)$是参数为波向量$\mathbf{k}$和角频率$\omega$的电导率复函数。

许多物质的电导率是张量，电流可能不会与施加的电场同方向。例如，晶体物质这是这样的物质。磁场的施加也可能会改变电导行为。

## 穿过曲面的电流

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穿过曲面$\mathbb{S}$的电流$I$可以用面积分计算为

$I=\int_\mathbb{S}{ \mathbf{J} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}}$。

其中，$\mathbf{J}$是电流密度，$\mathrm{d}\mathbf{a}$是微小面元素。

## 连续方程式

由于电荷守恒，从某设定体积流出的电流的净流量，等于在这体积内部的电荷量的净变率。以方程式表达。

$\int_\mathbb{S}{ \mathbf{J} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}} = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_\mathbb{V}{\rho \ \mathrm{d}r^3} = -\ \int_\mathbb{V}{\left( \frac{\partial \rho}{\partial t} \right) \mathrm{d}r^3}$。

其中，$\rho$是电荷密度，$\mathrm{d}r^3$是微小体元素，$\mathbb{V}$是闭曲面$\mathbb{S}$所包围的体积。

这方程式左边的面积分表示电流从闭曲面$\mathbb{S}$所包围的体积$\mathbb{V}$流出来，中间和右边的体积分的负号表示，随着时间的前进，体积内部的电荷量逐渐减少。

根据散度定理。

$\int_\mathbb{S}{ \mathbf{J} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}} = \int_\mathbb{V}\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{J} \ \mathrm{d}r^3$。

所以。

$\int_\mathbb{V}\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{J}\ \mathrm{d}r^3= - \int_\mathbb{V}\frac{\partial \rho}{\partial t}\ \mathrm{d}r^3$。

注意到对于任意体积$\mathbb{V}$，上述方程式都成立。所以，两个被积式恒等：

$\nabla \cdot \mathbf{J} = -\ \frac{\partial \rho}{\partial t}$。

称这方程式为连续方程式。

## 参阅

- 霍尔效应
- 量子霍尔效应
- 超导现象
- 漂移速度