量子谐振子

在量子力学里，量子谐振子（quantum harmonic oscillator）是古典谐振子的延伸。其为量子力学中数个重要的模型系统中的一者，因为一任意势在稳定平衡点附近可以用谐振子势来近似。此外，其也是少数几个存在简单解析解的量子系统。量子谐振子可用来近似描述分子振动。

## 一维谐振子

### 哈密顿算符与能量本征态

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在一维谐振子问题中，一个质量为m的粒子，受到一位势$V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2x^2$。此粒子的哈密顿算符为

$$H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$$

其中x为位置算符，而p为动量算符$\left(p = -i \hbar {d \over dx} \right)$。第一项代表粒子动能，而第二项代表粒子处在其中的位能。为了要找到能阶以相对应的能量本征态，必须解所谓的“定态薛定谔方程式”：

$H \left| \psi \right\rangle = E \left| \psi \right\rangle$.

在座标基底下可以解这个微分方程式，用到幂级数方法。可以见到有一族的解：

$$\left\langle x | \psi_n \right\rangle = \sqrt{\frac{1}{2^n\,n!}} \cdot \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \cdot \exp \left(- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar} \right) \cdot H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right)$$

$$n = 0, 1, 2, \ldots$$

前8个解（n = 0到7）如右图。函数$H_n$为埃尔米特多项式：

$$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}$$

注意到不应将之与哈密顿算符搞混，尽管哈密顿算符也标作H。相应的能阶为

$E_n = \hbar \omega \left(n + {1\over 2}\right)$。

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值得注意的是能谱，理由有三。首先，能量被“量子化”（quantized），而只能有离散的值——即$\hbar\omega$乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。这是许多量子力学系统的特征。在尔后的“阶梯算符”段落，将对此现象做更详细的检视。再者，可有的最低能量（当n = 0）不为零，而是$\hbar\omega/2$，被称为“基态能量”或零点能量。在基态中，根据量子力学，一振子执行所谓的“零振动”（null oscillations）且其平均动能是正值。这样的现象意义重大但并不那么显而易见，因为通常能量的零点并非一个有意义的物理量，因为可以任意选择；有意义的是能量差。虽然如此，基态能量有许多的意涵，特别是在量子重力。最后一个理由为能阶值是等距的，不像波耳模型或盒中粒子问题那样。

注意到基态的几率密度集中在原点。这表示粒子多数时间处在势阱的底部，合乎对于一几乎不带能量之状态的预期。当能量增加时，几率密度变成集中在“古典转向点”（classical turning points），其中状态能量等同于势能。这样的结果与古典谐振子相一致；古典的描述下，粒子多数时间处在（而更有机会被发现在）转向点，因为在此处粒子速度最慢。因此满足对应原理。

### 阶梯算符方法

前述的幂级数解虽然直观，但显得相当繁复。阶梯算符方法起自保罗·狄拉克，允许抽像求得能量本征值，而不用直接解微分方程式。此外，此法很容易推广到更复杂的问题，尤其是在量子场论中。跟从此方法，定义算符a与其伴随算符（adjoint）a†：

$$\begin{matrix} a &=& \sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(x + {i \over m \omega} p \right) \\ a^{\dagger} &=& \sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( x - {i \over m \omega} p \right) \end{matrix}$$

算符a并非厄米算符（Hermitian），因其与伴随算符a†并不相同。

算符a与a†有如下性质：

$$\begin{matrix} a \left| \phi _n \right\rangle &=& \sqrt{n} \left| \phi _{n-1} \right\rangle \\ a^{\dagger} \left| \phi _n \right\rangle &=& \sqrt{n+1} \left| \phi _{n+1} \right\rangle \end{matrix}$$

在推导a†形式的过程中，已用到算符x与p（代表可观测量）为厄米算符这样的事实。这些可观测量算符可以被表示为阶梯算符的线性组合：

$$\begin{matrix} x &=& \sqrt{\hbar \over 2m\omega} \left( a^{\dagger} + a \right) \\ p &=& i \sqrt{{\hbar}m\omega \over 2} \left( a^{\dagger} - a \right) \end{matrix}$$

x与p算符遵守下面的等式，称之为正则对易关系：

$\left[x , p \right] = i\hbar$.

方程式中的方括号是常用的标记机器，称为交换子、交换算符或对易算符，其定义为

$\left[A , B \right] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ AB - BA$.

利用上面关系，可以证明如下等式：

$$H = \hbar \omega \left(a^{\dagger}a + 1/2\right)$$

$\left[a , a^{\dagger} \right] = 1$.

现在，让$\left|\psi_E\right\rangle$代表带有能量E的能量本征态。任何右括向量（ket）与自身的内积必须是非负值，因此

$\left(a \left|\psi_E \right\rangle, a \left|\psi_E \right\rangle\right) = \left\langle\psi_E \right| a^\dagger a \left| \psi_E \right\rangle \ge 0$。

将a†a以哈密顿算符表示：

$\left\langle\psi_E \right| {H \over \hbar \omega} - {1 \over 2} \left|\psi_E\right\rangle = \left({E \over \hbar \omega} - {1 \over 2} \right) \ge 0$。

因此$E \ge \hbar \omega / 2$。注意到当（$a \left| \psi_E \right \rangle$）为零右括向量（亦即：长度为零的右括向量），则不等式饱和而$E = \hbar \omega / 2$。很直观地，可以检查到存在有一状态满足此条件——前面段落所提到的基态（n = 0）。

利用上面等式，可以指出a及a†与H的对易关系：

$\begin{matrix} \left[H , a \right] &=& - \hbar \omega a \\ \left[H , a ^\dagger\right] &=& \hbar \omega a^\dagger \end{matrix}$.

因此要是（$a \left| \psi_E \right \rangle$）并非零右括向量。

$\begin{matrix} H(a \left| \psi_E \right\rangle) <pre> &=&(\left[H,a\right] + a H)\left|\psi_E\right\rangle \\ &=&(- \hbar\omega a + a E)\left|\psi_E\right\rangle \\ &=&(E - \hbar\omega)(a\left|\psi_E\right\rangle) </pre> \end{matrix}$.

类似地，也可以指出

$H (a^\dagger \left| \psi_E \right\rangle) = (E + \hbar\omega) (a^\dagger \left| \psi_E \right\rangle)$.

换句话说，a作用在能量为E的本征态，而产生出——还多了一个常数乘积——另一个能量为$E - \hbar \omega$的本征态，而a†作用在能量为E的本征态，产生出另一个能量为$E + \hbar \omega$的本征态。因为这样，a称作降算符而a†称作升算符。两者合称阶梯算符。在量子场论中，a与a†也分别称作消灭算符与创生算符，以其分别摧毁与创造粒子——对应于能量量子。

给定任何能量本征态，可以拿降算符a作用在其上，产生了另一个能量少了$\hbar \omega$的本征态。重复使用降算符，似乎可以产生能量本征态其能量低到E = −∞。不过这样就就与早先的要求$E \ge \hbar \omega / 2$相违背。因此，必须有一最底的能量本征态——基态，标示作$\left| 0 \right \rangle$（勿与零右括向量混淆），使得

$a \left| 0 \right\rangle = 0$（即a对$\left| 0 \right\rangle$作用后产生零右括向量（zero ket））。

在这情况下，继续使用降算符只会产生零右括向量，而不是产生额外的能量本征态。此外，还指出了

$H \left|0\right\rangle =(\hbar\omega/2)\left|0\right\rangle$。

最后，透过将升算符作用在$\left| 0 \right \rangle$上，并且乘上适当的归一化因子，可以产生出一个能量本征态的无限集合$\left\{\left| 0 \right \rangle, \left| 1 \right \rangle, \left| 2 \right \rangle, ... , \left| n \right \rangle, ...\right\}$使得

$H \left|n\right\rangle = \hbar\omega (n + 1/2) \left|n\right\rangle$，这与前段所给的能谱相符合。

这方法也能够用来很快地找到量子谐振子的基态波函数。只要将消灭算符作用于基态，$a \left| 0 \right\rangle = 0$变为

$x\psi_0(x) + \frac{\hslash}{m \omega} \frac{d \psi_0 (x)}{dx} = 0$。

所以。

$\frac{d\ln \psi_0 (x)}{dx}= - \frac{\hslash}{m \omega} x + \text{ Constant}$。

这个方程式的解为，经过归一化。

$\psi_0(x)= \left({m\omega \over \pi\hbar}\right)^{1 \over 4}e^{ - m\omega x^2/2\hbar}$。

### 自然长度与能量尺度

量子谐振子拥有自然长度与自然能量两个自然尺度，可以用来简化问题。这可以透过无因次化来得到。结果是如果以$\hbar \omega$为单位来测量能量，以及$\left(\hbar / \left(m \omega\right)\right)^{1/2}$为单位来测量距离，则薛定谔方程式变成：

$H = - {1\over2} {d^2 \over du^2 } + {1 \over 2} u^2$。

且能量本征态与本征值变成

$$\left\langle x | \psi_n \right\rangle = {1 \over \sqrt{2^n n!}} \pi^{-1/4} \hbox{exp} (-u^2 / 2) H_n(u)$$

$E_n = n + {1\over 2}$.

为了避免混淆，在此文中不采用这些自然单位。不过，这用法在执行运算上总会因便利性而迟早被使用。

### 案例：双原子分子

在双原子分子中，自然频率可以发现为：

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m_r}}$$

其中

$\omega = 2 \pi f$为角频率。

k是共价键劲度系数

$m_r$是约化质量。

## N维谐振子

一维谐振子很容易地推广到$N$维。在一维中，粒子的位置是由单一座标x来指定的。在$N$维中，这由$N$个位置座标所取代，以$x_1,\,x_2,\,\dots,\,x_N$标示。对应每个位置座标有个动量，标示为p1, ..., pN。这些算符之间的正则对易关系为

$\begin{matrix} \left[x_i , p_j \right] &=& i\hbar\delta_{i,j} \\ \left[x_i , x_j \right] &=& 0 \\ \left[p_i , p_j \right] &=& 0 \end{matrix}$.

系统的哈密顿算符为

$H = \sum_{i=1}^N \left( {p_i^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2 x_i^2 \right)$。

从这个哈密顿量的形式，可以发觉，$N$维谐振子明确地可比拟为$N$个质量相同，弹性常数相同，独立的一维谐振子。在这案例里，变数$x_1,\,x_2,\,\dots,\,x_N$是$N$个粒子的位置坐标。这是反平方连心位势的一个优良的特性，允许位势被分离为$N$个项目，每一个项目只跟一个位置坐标有关。

这观察使得问题的解答变的相当简单。对于一个集合的量子数$\{n\}$，一个$N$维谐振子的能量本征函数$\langle \mathbf{x}|\psi_{\{n\}}\rangle$等于$N$个一维本征函数$\langle x_i|\psi_{n_i} \rangle$的乘积：

$\langle \mathbf{x}|\psi_{\{n\}}\rangle=\prod_{i=1}^N\langle x_i|\psi_{n_i} \rangle$。

采用阶梯算符方法，定义$N$组阶梯算符。

$a_i = \sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(x_i + {i \over m \omega} p_i \right)$。

$a^{\dagger}_i = \sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( x_i - {i \over m \omega} p_i \right)$。

类似前面所述的一维谐振子案例，可以证明每一个$a_i$与$a^{\dagger}_i$算符将能量分别降低或升高$\hbar\omega$。哈密顿量是

$H = \hbar \omega \, \sum_{i=1}^N \left(a_i^\dagger \,a_i + \frac{1}{2}\right)$。

这量子系统的能阶$E$是

$E = \hbar \omega \left[(n_1 + \cdots + n_N) + {N\over 2}\right]$。

其中，正整数$n_i$是$|\psi_{n_i} \rangle$的量子数。

如同一维案例，能量是量子化的。$N$维基态能阶是一维基态能阶的$N$倍。只有一点不同，在一维案例里，每一个能阶对应于一个单独的量子态。在$N$维案例里，除了底态能阶以外，每一个能阶都是简并的，都对应于多个量子态。

简并度可以很容易地计算出来。例如，思考三维案例，设定$n=n_1+n_2+n_3$。每一个$n$相同的量子态，都会拥有相同的能量。给予$n$，首先选择一个$n_1$。那么，$n_2+n_3=n - n_1$，有$n - n_1+1$个值，从$0$到$n - n_1$，可以选择为$n_2$的值。$n_3$的值自动的设定为$n - n_1 - n_2$。因此，简并度是

$d_n = \sum_{n_1=0}^n n - n_1 + 1 = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$。

对于$N$维案例。

$d_n = \binom{N+n-1}{n}$。

### 案例：三维均向谐振子

参阅三维均向谐振子

球对称的三维均向谐振子可以用分离变数法来求解。这方法类似于氢原子问题里的方法，只有球对称位势不一样：

$V(r) = {1\over 2} \mu \omega^2 r^2$。

其中，$\mu$是这问题的质量。由于$m$会被用来标记磁量子数，所以，用$\mu$来标记质量。

这问题的薛定谔方程式为

$- \frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2\psi + {1\over 2} \mu \omega^2 r^2\psi=E\psi$。

薛定谔方程式的全部解答写为

$\psi_{klm}(r,\theta,\phi) = N_{kl} r^{l}e^{-\nu r^2}{L_k}^{(l+{1\over 2})}(2\nu r^2) Y_{lm}(\theta,\phi)$。

其中。

$N_{kl}=\sqrt{\sqrt{\frac{2\nu ^{3{\pi \frac{2^{k+2l+3}\;k!\;\nu ^{l{ (2k+2l+1)

$是归一常数。

$$\nu \equiv {\mu \omega \over 2 \hbar}$$

${L_k}^{(l+{1\over 2})}(2\nu r^2)$是$k$阶广义拉盖尔多项式 (generalized Laguerre polynomials)，$k$是个正整数。

$Y_{lm}(\theta,\phi)\,$是球谐函数。

$\hbar$是约化普朗克常数。

能量本征值是

$E=\hbar \omega (2k+l+{3\over 2})$。

能量通常可以用一个量子数$n$来描述：

$n\equiv 2k+l$。

由于$k$是个正整数，假若$n$是偶数，那么，角量子数也是偶数：

$l=0,\,2,\,\dots,\,n - 2,\,n$。

假若$n$是奇数，那么，角量子数也是奇数：

$l=1,\,3,\,\dots,\,n - 2,\,n$。

磁量子数$m$满足不等式

$-l \le m \le l$。

对于每一个$n$与$l$，存在$2l+1$个不同的量子态。每一个量子态都有不同的磁量子数$m$。因此，$n$的兼并度是

$\sum_{l=i,\,i+2,\,\ldots,\,n - 2,\,n}(2l+1) = {(n+1)(n+2)\over 2}$。

其中，总和的指数$l$的初始值是$i=n\ mod\ 2$。

这结果与先前的方程式相同。

## 耦合谐振子

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设想$N$个相同质量的质点，以弹簧连结为一条一维的线形链条。标记每一个质点的离开其平衡点的位置为$x_1,\,x_2,\,\dots,\,x_N$（也就是说，假若一个质点$k$位于其平衡点，则$x_k=0$）。整个系统的哈密顿量是

$H = \sum_{i=1}^N {p_i^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2\sum_{1\le i\le N} (x_i - x_{i-1})^2$。

其中，$x_0=0$。

这个问题可以用坐标变换来变换成一组独立的谐振子，每一个独立的谐振子对应于一个独特的晶格集体波震动。这些波震动表现出类似粒子般的性质，称为声子。许多固体的离子晶格都会产生声子。在固态物理学里，这方面的理论对于许多现象的研究与了解是非常重要的。

## 参阅

- 自由粒子
- 无限深方形阱
- 有限深方形阱
- 有限位势垒
- 球对称位势
- Delta位势垒
- 真空灾变
- 盎鲁效应

## 外部链接

- 国立交通大学物理系视听教学：量子谐振子
- 乔治亚州州立大学（Georgia State University）线上物理网页：量子谐振子