秩—零化度定理

秩—零化度定理（Rank–nullity theorem）是线性代数中的一个定理，给出了一个线性变换或一个矩阵的秩和它的零化度之间的关系。对一个元素在域$\mathrm{F}$中的$m \cdot n$矩阵$\mathrm{A}$，秩－零化度定理说明，它的秩（rank A）和零化度（nullity A）之和等于$n$：

$$\operatorname{rank} \mathrm{A} + \operatorname{nullity} \mathrm{A} = n.$$

同样的，对于一个从$F-$线性空间$\mathrm{V}$射到$\mathrm{F}-$线性空间$\mathrm{W}$的线性变换 $\mathrm{T} \; : \; \; \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{W}$， $\mathrm{T}$的秩是它的象的维度，$\mathrm{T}$的零化度是它的核（零空间）的维度。我们有：

$$\operatorname{dim} (\operatorname{Im} \mathrm{T}) + \operatorname{dim} (\operatorname{Ker} \mathrm{T}) = \operatorname{dim} \mathrm{V}$$

也就是：

$$\operatorname{rank} \mathrm{T} + \operatorname{nullity} \mathrm{T} = \operatorname{dim} \mathrm{V}.$$

实际上定理在更广的范围内也成立，因为$\mathrm{V}$和$\mathrm{F}$可以是无限维的。

## 证明

证明的方法基于线性空间的基和同构。

设$\mathrm{V}$是一个有限维线性空间，其维度$\operatorname{dim} \mathrm{V} = n$。对一个从$\mathrm{V}$射到$\mathrm{F}$的线性变换$\mathrm{T}$，它的核$\operatorname{Ker} \mathrm{T}$是$\mathrm{V}$的一个子空间。设 $\mathfrak{B}_k = \left( e_1, e_2 \cdots , e_p \right)$是$\operatorname{Ker} \mathrm{T}$的一组基（$p \leqslant n$）。根据基扩充定理，$\mathfrak{B}_k$可以被扩充为$\mathrm{V}$的一组基：$\mathfrak{B} = \left( e_1, e_2 \cdots , e_n \right)$。除了$\mathfrak{B}_k$的$p$个向量以外，另外的$n-p$个向量$\left( e_{p+1}, \cdots , e_n \right)$是一组线性无关的向量。设$\mathrm{H}$是它们张成的子空间，那么$\mathrm{V}$是子空间$\operatorname{Ker} \mathrm{T}$与$\mathrm{H}$的直和：

$$\mathrm{V} = \operatorname{Ker} \mathrm{T} \oplus \mathrm{H}$$

所以，按照直和的性质，有$\operatorname{dim} (\mathrm{H}) + \operatorname{dim} (\operatorname{Ker} \mathrm{T}) = \operatorname{dim} \mathrm{V}$，并且这两个子空间的交集为$\operatorname{Ker} \mathrm{T} \cap \mathrm{H} = \left\{ 0 \right\}$。同时，$\forall u \in \mathrm{V},$ 都可以写成$\ u = a + b$的形式，其中$a \in ker(\mathrm{T}), \; b \in \mathrm{H}$。考虑$\mathrm{T}$限制在$\mathrm{H}$上到$\operatorname{Im} \mathrm{T}$的线性变换$\mathrm{T}_{\mathrm{H}}$：

$$\begin{align}\mathrm{T}_{\mathrm{H}} : \mathrm{H} & \rightarrow \operatorname{Im} \mathrm{T} \\ u & \mapsto \mathrm{T}(u) \end{align}$$

下证$\mathrm{T}_{\mathrm{H}}$是一个同构。首先由于$\mathrm{T}$是线性映射，所以$\mathrm{T}_{\mathrm{H}}$是线性映射。只需证明它也是双射：

- $\mathrm{T}_{\mathrm{H}}$是一个单射，因为$\forall u,v \in \mathrm{H}$， $\mathrm{T}(u)=\mathrm{T}(v) \Rightarrow \mathrm{T}(u-v)=0 \Rightarrow u-v \in \mathrm{H} \cap \operatorname{Ker} \mathrm{T} \Rightarrow u-v=0 \Rightarrow u=v$。
- $\mathrm{T}_{\mathrm{H}}$是一个满射，因为$\forall v \in \operatorname{Im} \mathrm{T}$， $\exists u \in \mathrm{V},$使得$\ v = \mathrm{T}(u)$，而且$u = a+b$，其中$a \in \operatorname{Ker} \mathrm{T} ,\ b \in \mathrm{H}$。于是 $v =\mathrm{T}(u)= \mathrm{T}(a+b)=\mathrm{T}(a)+\mathrm{T}(b)\ =\mathrm{T}(b)$，其中$b \in \mathrm{H}$，所以$\mathrm{T}_{\mathrm{H}}$是一个满射。

既然$\mathrm{T}_{\mathrm{H}}$是一个$\mathrm{H}$到$\operatorname{Im} \mathrm{T}$的同构，那么

$$\operatorname{dim} (\mathrm{H} ) = \operatorname{dim}( \operatorname{Im} \mathrm{T}).$$

综上所述，即有：

$$\operatorname{dim} ( \operatorname{Im} \mathrm{T}) + \operatorname{dim} ( \operatorname{Ker} \mathrm{T}) = \operatorname{dim} ( \mathrm{V}),$$

也就是：

$$\operatorname{rank} \mathrm{T} + \operatorname{nullity} \mathrm{T} = \operatorname{dim} ( \mathrm{V}).$$

## 其他表达形式及推广

秩—零化度定理是抽象代数中的同态基本定理在线性空间上的表现形式。如果用更现代的语言，定理可以表示为：如果

0 → U → V → R → 0

是线性空间中的一个短正合列，那么有：

dim(U) + dim(R) = dim(V)

其中 R 表示 im T， U 表示 ker T。

在有限维的情况下，上式可以作进一步推广。如果

0 → V1 → V2 → ... → Vr → 0

是有限维线性空间中的一个正合列，那么有：

$$\sum_{i=1}^r (-1)^i\dim(V_i) = 0.$$

在有限维线性空间中，秩—零化度定理还可以用线性变换的指标（index）描述。线性变换的指标指的是，对于线性变换T : V → W：

index T = dim(ker T) - dim(coker T)

其中 coker T 表示 T 的余核。正如 ker T 表示方程 Tx = 0 线性独立的解的“个数”， coker T 表示使得方程 Tx = y 有解而必须加于 y 的限制条件的个数。

这时秩—零化度定理表述为：

index T = dim(V) - dim(W)

可以看到，在这种表述下，我们可以很容易地得到 T 的指标，而不必对 T 作深入研究。更深入的结果可以参见阿蒂亚－辛格指标定理。阿蒂亚－辛格指标定理说明某些微分算子的指标可以通过涉及的空间的几何性质得到。