普朗克单位制

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普朗克单位制是一种计量单位制度，由德国物理学家马克斯·普朗克最先提出，因此命名为普朗克单位制。这种单位制是自然单位制的一个实例，将某些基础物理常数的值定为1，这些基础物理常数是：

- 真空光速$c$
- 万有引力常数$G$
- 普朗克劳仑兹-黑维塞单位制将$4\pi G$定为1，普朗克高斯单位制将$G$定为1
- 狄拉克常数$\hbar$
- 真空电容率$\epsilon_0$
- 普朗克劳仑兹-黑维塞单位制将$\epsilon_0$定为1，普朗克高斯单位制将$4\pi \epsilon_0$定为1
- 波兹曼常数$k_B$

上述每一个常数都至少出现于一个基本物理理论：$c\,\!$在狭义相对论、$G\,\!$在广义相对论与牛顿的万有引力定律、$\hbar\,\!$在量子力学、$\epsilon_0\,\!$在静电学、$k_B\,\!$在统计力学与热力学。实际上，以上的五个常数在许多物理定律的代数表达式中多次出现，因此引入普朗克单位制可以将这些代数表达式简化，普朗克单位制也因此成为了理论物理学一个非常有用的工具。在统一理论方面的研究，特别如量子重力学中，普朗克单位制能够给研究者一点大概的提示。

普朗克单位制是一种独特的自然单位制，因为普朗克单位制不是以任何原器、人体的性质（例如：发光强度（烛光）、光通量（流明）、等效剂量（西弗））、地球或宇宙的性质（例如：标准重力、标准大气压、哈伯常数）、特定物质的性质（例如：水的熔点、水的密度、水的比热）、或甚至基本粒子的性质（例如：基本电荷、电子质量、质子质量）来定义的。普朗克单位制只以自由空间的性质（例如：真空光速、自由空间阻抗、波兹曼常数）来定义及作为归一化对象。

有些学者认为普朗克单位制比其它自然单位制更为自然。例如，有些其它自然单位制使用电子质量为基本单位。但是电子只是许多种已知具有质量的基本粒子之一。这些粒子的质量都不一样。在基础物理学里，并没有任何绝对因素，促使选择电子质量为基本单位，而不选择其它粒子质量。

物质的量（莫耳）的自然单位就用“个”（一个就是1）就可以了，不必用到“莫耳”，而发光强度（烛光）的自然单位就用“瓦特/立弪”就可以了，因为这两者的比值仅为发光效率，而发光效率是没有单位因次的，就跟角度（弪）以及精细结构常数一样，另外电荷的部分，虽然SI制的基本单位是电流而非电荷，但是实际上，电荷才是更基本的单位（就好比重力米制的基本单位是力而非质量，但是实际上，质量才是更基本的单位）。

（或者你也可以这样说：普朗克单位制也将亚佛加厥常数$N_A$定为1，从而用“个”（一个就是1）作为物质的量的单位（对应国际单位制的莫耳），并且普朗克单位制不考虑发光强度（对应国际单位制的烛光），仅以辐射强度（对应国际单位制的“瓦特每立弪”来表示，就好比普朗克单位制不考虑等效剂量（对应国际单位制的西弗），仅以辐射剂量（对应国际单位制的戈雷）来表示，在普朗克单位制中，发光效率属于无因次量，就跟弧度和立弪一样）

## 基本普朗克单位

每一个单位制都有一组基本单位。（在国际单位制里，长度的基本单位是米，时间的基本单位是秒，等等）在普朗克单位制里，长度的基本单位是普朗克长度，时间的基本单位是普朗克时间，等等。这些单位都是由表1的五个基础物理常数衍生的。表2展示出这些基本普朗克单位。

常数｜符号｜因次｜国际单位等值与不确定度

真空光速｜$c\,\!$｜LT−1｜299 792 458 m s−1

万有引力常数｜$G\,\!$｜L3M−1T−2｜6.674 30(15)×10−11 m3 kg−1 s−2

约化普朗克常数｜$\hbar\,\!$｜L2MT−1｜1.054 571 817…×10−34 J s

真空电容率｜$\epsilon_0\,\!$｜L−3M−1T2Q2｜8.854 187 8128(13)×10−12 F/m

波兹曼常数｜$k_B\,\!$｜L2MT−2Θ−1｜1.380 649×10−23 J K−1

字键：$\mathrm{L}\,\!$ = 长度，$\mathrm{T}\,\!$ = 时间，$\mathrm{M}\,\!$ = 质量，$\mathrm{Q}\,\!$ = 电荷，$\Theta\,\!$ = 温度。因为定义的关系，光速、约化普朗克常数与波兹曼常数的数值是精确值，不存在误差（在2019年以前，约化普朗克常数与波兹曼常数的数值还不是精确值，反倒真空电容率的数值是精确值，只有光速从1983年以来一直都是精确值，见2019年国际单位制基本单位重新定义）。

单位名称｜因次｜表达式｜国际单位制等值

普朗克劳仑兹-黑维塞单位制｜普朗克高斯单位制｜普朗克劳仑兹-黑维塞单位制｜普朗克高斯单位制

普朗克长度｜长度 (L)｜$l_\text{P} = \sqrt{\frac{4\pi \hbar G}{c^3}}$｜$l_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}$｜5.72938×10^-35 m｜1.61623×10^-35 m

普朗克质量｜质量 (M)｜$m_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar c}{4\pi G}}$｜$m_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar c}{G}}$｜6.13971×10^-9 kg｜2.17647×10^-8 kg

普朗克时间｜时间 (T)｜$t_\text{P} = \sqrt{\frac{4\pi \hbar G}{c^5}}$｜$t_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}}$｜1.91112×10^-43 s｜5.39116×10^-44 s

普朗克电荷｜电荷 (Q)｜$q_\text{P} = \sqrt{\hbar c \epsilon_0}$｜$q_\text{P} = \sqrt{4\pi \hbar c \epsilon_0}$｜5.29082×10^-19 C｜1.87555×10^-18 C

普朗克温度｜温度 (Θ)｜$T_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{4\pi G {k_\text{B}}^2}}$｜$T_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G {k_\text{B}}^2}}$｜3.99674×10^31 K｜1.41681×10^32 K

使用普朗克单位后，表1的五个基础物理常数的数值都约化为1，因此表2的普朗克长度，普朗克质量，普朗克时间，普朗克电荷，与普朗克温度这些计量也都约化为1。这可以无因次地表达为

（普朗克劳仑兹-黑维塞单位制）因为$c = 4 \pi G = \hbar = \epsilon_0 = k_B = 1\,\!$，所以$l_\text{P} = m_\text{P} = t_\text{P} = q_\text{P} = T_\text{P} = 1\,\!$。

（普朗克高斯单位制）因为$c = G = \hbar = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = k_B = 1\,\!$，所以$l_\text{P} = m_\text{P} = t_\text{P} = q_\text{P} = T_\text{P} = 1\,\!$。

## 衍生普朗克单位

在任何单位系统里，许多物理量的单位是由基本单位衍生的。表3展示了一些在理论物理研究里常见的衍生普朗克单位。实际上，大多数普朗克单位不是太大，就是太小，并不适合于实验或任何实际用途。

单位名称｜因次｜表达式｜国际单位制等值

普朗克劳仑兹-黑维塞单位制｜普朗克高斯单位制｜普朗克劳仑兹-黑维塞单位制｜普朗克高斯单位制

普朗克面积｜面积（L2）｜$A_\text{P} = l_\text{P}^2 = \frac{4\pi \hbar G}{c^3}$｜$A_\text{P} = l_\text{P}^2 = \frac{\hbar G}{c^3}$｜3.28258×10^-69 m2｜2.61220×10^-70 m2

普朗克动量｜动量（LMT−1）｜$p_\text{P} = m_\text{P}v_\text{P} = \frac{\hbar}{l_\text{P}} = \sqrt{\frac{\hbar c^3}{4\pi G}}$｜$p_\text{P} = m_\text{P}v_\text{P} = \frac{\hbar}{l_\text{P}} = \sqrt{\frac{\hbar c^3}{G}}$｜1.84064 N⋅s｜6.52489 N⋅s

普朗克能量｜能量（L2MT−2）｜$E_\text{P} = m_\text{P}v_\text{P}^2 = \frac{\hbar}{t_\text{P}} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{4\pi G}}$｜$E_\text{P} = m_\text{P}v_\text{P}^2 = \frac{\hbar}{t_\text{P}} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G}}$｜5.51809×10^8 J｜1.95611×10^9 J

普朗克力｜力（LMT−2）｜$F_\text{P} = m_\text{P}a_\text{P} = \frac{p_\text{P}}{t_\text{P}} = \frac{c^4}{4\pi G}$｜$F_\text{P} = m_\text{P}a_\text{P} = \frac{p_\text{P}}{t_\text{P}} = \frac{c^4}{G}$｜9.63122×10^42 N｜1.21029×10^44 N

普朗克功率｜功率（L2MT−3）｜$P_\text{P} = \frac{E_\text{P}}{t_\text{P}} = \frac{\hbar}{t_\text{P}^2} = \frac{c^5}{4\pi G}$｜$P_\text{P} = \frac{E_\text{P}}{t_\text{P}} = \frac{\hbar}{t_\text{P}^2} = \frac{c^5}{G}$｜2.88737×10^51 W｜3.62837×10^52 W

普朗克密度｜密度（L−3M）｜$d_\text{P} = \frac{m_\text{P}}{V_\text{P}} = \frac{\hbar t_\text{P}}{l_\text{P}^5} = \frac{c^5}{16\pi^2 \hbar G^2}$｜$d_\text{P} = \frac{m_\text{P}}{V_\text{P}} = \frac{\hbar t_\text{P}}{l_\text{P}^5} = \frac{c^5}{\hbar G^2}$｜3.26456×10^94 kg/m3｜5.15518×10^96 kg/m3

普朗克角频率｜角频率（T−1）｜$\omega_\text{P} = \frac{\theta_\text{P}}{t_\text{P}} = \sqrt{\frac{c^5}{4\pi \hbar G}}$｜$\omega_\text{P} = \frac{\theta_\text{P}}{t_\text{P}} = \sqrt{\frac{c^5}{\hbar G}}$｜5.23254×10^42 rad/s｜1.85489×10^43 rad/s

普朗克压力｜压力（L−1MT−2）｜$\Pi_\text{P} = \frac{F_\text{P}}{A_\text{P}} = \frac{\hbar}{l_\text{P}^3 t_\text{P}} = \frac{c^7}{16\pi^2 \hbar G^2}$｜$\Pi_\text{P} = \frac{F_\text{P}}{A_\text{P}} = \frac{\hbar}{l_\text{P}^3 t_\text{P}} = \frac{c^7}{\hbar G^2}$｜2.93404×10^111 Pa｜4.63325×10^113 Pa

普朗克电流｜电流（T−1Q）｜$i_\text{P} = \frac{q_\text{P}}{t_\text{P}} = \sqrt{\frac{c^6 \epsilon_0}{4\pi G}}$｜$i_\text{P} = \frac{q_\text{P}}{t_\text{P}} = \sqrt{\frac{4\pi c^6 \epsilon_0}{G}}$｜2.76844×10^24 A｜3.47893×10^25 A

普朗克电压｜电压（L2MT−2Q−1）｜$U_\text{P} = \frac{E_\text{P}}{q_\text{P}} = \frac{P_\text{P}}{i_\text{P}} = \sqrt{\frac{c^4}{4\pi G \epsilon_0}}$｜1.04296×10^27 V

普朗克阻抗｜阻抗（L2MT−1Q−2）｜$Z_\text{P} = \frac{U_\text{P}}{i_\text{P}} = \frac{\hbar}{q_\text{P}^2} = \frac{1}{c \epsilon_0} = c \mu_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} = Z_0 = \frac{1}{Y_0}$｜$Z_\text{P} = \frac{U_\text{P}}{i_\text{P}} = \frac{\hbar}{q_\text{P}^2} = \frac{1}{4\pi c \epsilon_0} = \frac{c \mu_0}{4\pi} = \sqrt{\frac{\mu_0}{16\pi^2 \epsilon_0}} = \frac{Z_0}{4\pi} = \frac{1}{4\pi Y_0}$｜376.730 Ω｜29.9792 Ω

注：$Z_0$为自由空间阻抗，$Y_0$为自由空间导纳。

## 简化物理方程式

严格地说，不同因次的物理量，虽然它们的数值可能相等，仍旧不能用在相等式的两边。但是，在理论物理学里，为了简化运算，我们可以把这顾虑放在一边。简化的过程称为无因次化。表4展示出普朗克单位怎样通过无因次化使许多物理方程式变得更简单。

通常形式（国际单位制形式）｜普朗克劳仑兹-黑维塞单位制形式｜普朗克高斯单位制形式

万有引力定律｜$F = - G \frac{m_1 m_2}{r^2} \,\!$｜$F = - \frac{m_1 m_2}{4 \pi r^2} \,\!$｜$F = - \frac{m_1 m_2}{r^2} \,\!$

薛定谔方程式｜$- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r},\, t) + V(\mathbf{r},\, t) \psi(\mathbf{r},\, t) \,\!$ $= i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r},\, t) \,\!$｜$- \frac{1}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r},\, t) + V(\mathbf{r},\, t) \psi(\mathbf{r},\, t) \,\!$ $= i \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r},\, t) \,\!$

普朗克关系式｜${ E = \hbar \omega } \ \,\!$｜${ E = \omega } \ \,\!$

狭义相对论的质能方程式｜${ E = m c^2} \ \,\!$｜${ E = m } \ \,\!$

广义相对论的爱因斯坦场方程式｜${ G_{\mu \nu} = 8 \pi {G \over c^4} T_{\mu \nu}} \ \,\!$｜${ G_{\mu \nu} = 2 T_{\mu \nu} } \ \,\!$｜${ G_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu} } \ \,\!$

一个粒子的每个自由度的热能｜${ E = \frac{1}{2} k_B T } \ \,\!$｜${ E = \frac{1}{2} T } \ \,\!$

库仑定律｜$F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \,\!$｜$F = \frac{q_1 q_2}{4 \pi r^2} \,\!$｜$F = \frac{q_1 q_2}{r^2} \,\!$

麦克斯韦方程组｜$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{1}{\epsilon_0}\rho\,\!$ $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \ \,\!$ $\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\,\!$ $\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\,\!$｜$\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho \ \,\!$ $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \ \,\!$ $\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\,\!$ $\nabla \times \mathbf{B} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\,\!$｜$\nabla \cdot \mathbf{E} = 4 \pi \rho \ \,\!$ $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \ \,\!$ $\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\,\!$ $\nabla \times \mathbf{B} = 4 \pi \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\,\!$

## 参阅

- 因次分析
- 物理常数
- 普朗克尺寸
- 普朗克粒子
- 普朗克纪元
- 劳仑兹-黑维塞单位制
- 高斯单位制
- 国际单位制

## 外部链接

- NIST 的基本物理常数数值列表，包括普朗克单位。