分离变数法

数学上，分离变数法是一种解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用这方法，可以藉代数来将方程式重新编排，让方程式的一部分只含有一个变数，而剩余部分则跟此变数无关。这样，隔离出的两个部分的值，都分别等于常数，而两个部分的值的代数和等于零。

## 常微分方程

假若，一个常微分方程可以写为

$\frac{d}{dx} f(x) = g(x)[h(f(x))]$。

设定变数 $y = f(x)$。那么。

$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$ ．(1)

只要是 $h(y)\ne 0$，就可以将方程式两边都除以 $h(y)$，再都乘以 $dx$：

${dy \over h(y)} = {g(x)dx}$。

这样，可以将两个变数 $x$，$y$ 分离到方程式的两边。由于任何一边的表达式跟另外一边的变数无关，表达式恒等于常数 $k$。因此，可以得到两个较易解的常微分方程。

$\int{dy \over h(y)} = \int{g(x)dx}=k$。

### 第二种方法

有些不喜欢用莱布尼茨标记的数学家，或许会选择将公式 (1) 写为

$\frac{1}{h(y)} \frac{dy}{dx} = g(x)$。

这写法有一个问题：无法比较明显的解释，为什么这方法叫作分离变数法？

随着 $x$ 积分公式的两边，可以得到

$\int \frac{1}{h(y)} \frac{dy}{dx} \, dx = \int g(x) \, dx$。(2)

应用换元积分法。

$\int \frac{1}{h(y)} \, dy = \int g(x) \, dx$。

假如，可以求算这两个积分，则这常微分方程有解。这方法允许将导数 $\frac{dy}{dx}$ 当做可分的分式看待，可以较方便的解析可分的常微分方程。这在实例 (II)的解析里会有更详细的解释。

### 实例 (I)

常微分方程式 $\frac{d}{dx}f(x)=f(x)(1 - f(x))$ 可以写为

$\frac{dy}{dx}=y(1-y)$；(3)

其中，$y=f(x)$。

设定 $g(x)=1$，$h(y)=y(1 - y)$。套用公式 (1)，这常微分方程式是可分的。

进一步编排，则

$\frac{dy}{y(1 - y)}=dx$。

变数 $x$，$y$ 分别在公式的两边。将两边积分。

$\int\frac{dy}{y(1 - y)}=\int dx$。

积分的结果是

$\ln |y| - \ln |1 - y|=x+C$。

其中，$C$ 是个积分常数。稍加运算，则可得

$y=\frac{1}{1+Be^{ - x}}$。

在这里，检查此解答的正确与否。计算导数 $\frac{dy}{dx}$。答案应该与原本的问题相同。（必须仔细地计算绝对值。绝对符号内不同的正负值，分别地造成了 $B$ 的正值与负值。而当 $y=1$ 时，$B=0$）。

特别注意，由于将公式 (3) 的两边除以 $y$ 跟 $(1 - y)$，必须检查两个函数 $y(x) = 0$ 与 $y(x) = 1$ 是否也是常微分方程式的解答（在这个例子里，它们都是解答）。参阅奇异解。

### 实例 (II)

人口数值的成长时常能够用常微分方程来表达

$\frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{K}\right)$。

其中，$P$ 是人口数值函数，$t$ 是时间参数， $k$ 是成长的速率，$K$ 环境的容纳能力。

将方程式的两边都除以$P\left(1-\frac{P}{K}\right)$ ．再随着时间 $t$ 积分。

$\int\frac{1}{P\left(1-\frac{P}{K}\right)}\frac{dp}{dt}\,dt=\int k\,dt$。

应用换元积分法。

$\int\frac{dP}{P\left(1-\frac{P}{K}\right)}=\int k\,dt$。

稍微运算，则可得

$P(t)=\frac{K}{1+Ae^{ - kt}}$。

其中，$A$ 是常数。

## 偏微分方程

给予一个 $n$ 元函数 $F(x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n)$ 的偏微分方程，有时候，为了将问题的偏微分方程式改变为一组常微分方程，可以猜想一个解答；解答的形式为

$F = F_1(x_1) F_2(x_2) \cdots F_n(x_n)$。

或者

$F = f_1(x_1) + f_2(x_2) + \cdots + f_n(x_n)$。

时常，对于每一个自变量 $x_i$，都会伴随着一个分离常数。如果，这个方法成功，则称这偏微分方程为可分偏微分方程 (separable partial differential equation)。

### 实例 (III)

假若，函数 $F(x,\ y,\ z)$ 的偏微分方程为

$\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} + \frac{\partial F}{\partial z} = 0$。

猜想解答为

$F(x,y,z) = X(x) + Y(y) + Z(z)$。

那么。

$\frac{dX}{dx} + \frac{dY}{dy} + \frac{dZ}{dz} = 0$。

因为 $X(x)$ 只含有 $x$、$Y(y)$ 只含有 $y$、$Z(z)$ 只含有 $z$，这三个函数的导数都分别必须等于常数。更明确地说，将一个偏微分方程改变为三个很简单的常微分方程：

$\frac{dX}{dx} = c_1$。

$\frac{dY}{dy} = c_2$。

$\frac{dZ}{dz} = c_3$。

其中，$c_1,\ c_2,\ c_3$ 都是常数，$c_1 + c_2 + c_3 = 0$。

偏微分方程的答案为

$F(x,y,z) = c_1 x + c_2 y + c_3 z + c_4$。

其中，$c_4$ 是常数。

### 实例 (IV)

思考一个典型的偏微分方程。

$\nabla^2 v + \lambda v = {\partial^2 v \over \partial x^2} + {\partial^2 v \over \partial y^2} + \lambda v = 0$。

首先，猜想答案的形式为

$v = X(x)Y(y)$。

代入偏微分方程。

${\partial^2\over\partial x^2} [X(x)Y(y)]+{\partial^2\over\partial y^2}[X(x)Y(y)]+\lambda X(x)Y(y)=0$。

或者，用单撇号标记。

$X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)+\lambda X(x)Y(y)= 0$。

将方程式的两边除以 $X(x)Y(y)$，则可得

${X''(x)\over X(x)}= - {Y''(y)+\lambda Y(y)\over Y(y)}$。

由于任何一边的表达式跟另外一边的变数无关，表达式恒等于常数 $k$：

${X''(x)\over X(x)} = k = - {Y''(y)+\lambda Y(y)\over Y(y)}$。

因此，可以得到两个新的常微分方程式：

$X''(x) - kX(x)=0$。

$Y''(y)+(\lambda+k) Y(y) =0$。

这两个常微分方程式都是齐次的二阶线性微分方程。假若，$k < 0<\lambda+k$，则这两个常微分方程都是用来表达谐振问题的方程式。解答为

$X(x)=A_x\cos(\sqrt{- k}\ x+B_x)$。

$Y(y)=A_y\cos(\sqrt{\lambda+k}\ y+B_y)$。

其中，$A_x,\ A_y$ 是振幅常数，$B_x,\ B_y$ 是相位常数。这些常数可以由边界条件求得。

## 参阅

- 拉普拉斯-龙格-冷次向量
- 哈密顿-雅可比方程
- 亥姆霍兹方程

## 参考文献

- A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002.。