格林函数

在数学中，格林函数（点源函数、影响函数）是一种用来解有初始条件或边界条件的非齐次微分方程的函数。在物理学的多体理论中，格林函数常常指各种关联函数，有时并不符合数学上函数的定义。

格林函数的名称是来自于英国数学家乔治·格林（George Green），早在1830年代，他是第一个提出这个概念的人。

## 定义以及用法

给定流形$M\,$上的微分算子 $L\,$，其格林函数$G(x,s)\, s,x\in M$，为以下方程的解

$$L G (x,s) = \delta(x-s) \ \ \ \ \ (1)$$

其中 $\delta\,$ 为狄拉克δ函数。此技巧可用来解下列形式的微分方程：

$$L u(x) = f(x) \ \ \ \ (2)$$

若$L$的 零空间非平凡，则格林函数不唯一。不过，实际上因着对称性、边界条件或其他的因素，可以找到唯一的格林函数。一般来说，格林函数只是一个广义函数。

格林函数在凝聚态物理学中常被使用，因为格林函数允许扩散方程式有较高的精度。在量子力学中，哈密顿算子的格林函数和状态密度有重要的关系。由于扩散方程式和薛定谔方程有类似的数学结构，因此两者对应的格林函数也相当接近。

## 动机

若可找到线性算符 $L\,$ 的格林函数 $G\,$，则可将 (1) 式两侧同乘$f(s)\,$，再对变数 $s\,$ 积分，可得：

$$\int L G(x,s) f(s) ds = \int \delta(x-s)f(s) ds = f(x).$$

由公式 (2) 可知上式的等号右侧等于 $Lu(x)\,$，因此：

$$Lu(x) = \int L G(x,s) f(s) ds.$$

由于算符 $L\,$ 为线式，且只对变数 $x\,$ 作用，不对被积分的变数 $s\,$ 作用），所以可以将等号右边的算符 $L\,$ 移到积分符号以外，可得：

$$Lu(x) = L\left(\int G(x,s) f(s) ds\right).$$

而以下的式子也会成立：

$$u(x) = \int G(x,s) f(s) ds . \ \ \ \ (3)$$

因此，若知道 (1) 式的格林函数，及 (2) 式中的 $f(x)$，由于 $L$ 为线性算符，可以用上述的方式得到 $u(x)$。换句话说， (2) 式的解 $u(x)$ 可以由 (3) 式的积分得到。若可以找到满足 (1) 式的格林函数 $G$，就可以求出 $u(x)$。

并非所有的算符 $L$ 都存在对应的格林函数。格林函数也可以视为算符 $L$ 的左逆元素。撇开要找到特定算符的格林函数的难度不论，(3) 式的积分也很难求解，因此此方法只能算是提供了一个理论上存在的解法。

格林函数可以用来解非齐次的微-积分方程──多半是施图姆-刘维尔问题。若 $G$ 是算符 $L$ 的格林函数，则方程式 $Lu = f$ 的解 $u$ 为

$$u(x) = \int{ f(s) G(x,s) \, ds}.$$

可以视为 $f$ 依狄拉克 $\delta$ 函数的基底展开，再将所有投影量叠加的结果。以上的积分为弗雷德霍姆积分方程。

## 非齐次边界值问题的求解

格林函数的主要用途是用来求解非齐次的边界值问题。在近代的理论物理中，格林函数一般是用来作为费曼图中的传播子，而“格林函数”一词也用来表示量子力学中的关联函数。

### 研究框架

令 $L$ 为一个施图姆-刘维尔算子，是一个以以下形式表示的线性微分算子

$$L = {d \over dx}\left[ p(x) {d \over dx} \right] + q(x)$$

而 $D$ 是边界条件算子

$$Du = \left\{\begin{matrix} \alpha _1 u'(0) + \beta _1 u(0) \\ \alpha _2 u'(l) + \beta _2 u(l) \end{matrix}\right.$$

令 $f(x)$ 为在 $[0,l]$ 区间的连续函数，并假设以下问题

$$\begin{matrix}Lu = f \\ Du = 0 \end{matrix}$$

有正则特牲；即其齐次问题只存在寻常解。

### 定理

则存在唯一解 $u(x)\,$ 满足以下方程式

$$\begin{matrix}Lu = f \\ Du = 0 \end{matrix}$$

而其解的计算方式如下

$$u(x) = \int_0^\ell f(s) g(x,s) \, ds$$

而中 $g(x,s)\,$ 即为格林函数，有以下的特性：

- $g(x,s)\,$ 对 $x \,$ 及 $s \,$ 连续。
- 对所有 $x \ne s$, $L g ( x, s ) = 0 \,$.
- 对所有 $s \ne 0, l$, $D g ( x, s ) = 0 \,$.
- 微分跳跃：$g ' ( s_{ + 0}, s ) - g ' (s_{ - 0}, s ) = 1 / p(s) \,$.
- 对称：$g(x, s) = g(s, x) \,$.

## 寻找格林函数

### 特征向量展开

若一微分算子 $L$ 有一组完备的特征向量 $\Psi_n(x)$（也就是一组函数 $\Psi_n(x)$ 及纯量 $\lambda_n$ 使得 $L \Psi_n = \lambda_n \Psi_n$ 成立）则可以由特征向量及特征值产生格林函数。

先假设函数 $\Psi_n(x)$ 满足以下的完备性：

$$\delta(x - x') = \sum_{n=0}^\infty \Psi_n(x) \Psi_n(x').$$

经由证明可得下式：

$$G(x, x') = \sum_{n=0}^\infty \frac{\Psi_n(x) \Psi_n(x')}{\lambda_n}.$$

若在等号两侧加上微分算子 $L$，则可以证明以上假设的完备性。

有关以上格林函数的进一步研究，及格林函数和特征向量所组成空间的关系，则为弗雷德霍姆理论所要探讨的内容。

## 拉普拉斯算子的格林函数

先由格林定理开始：

$$\int_V (\phi\nabla^2\psi - \psi\nabla^2\phi) dV = \int_S (\phi\nabla\psi - \psi\nabla\phi)\cdot d\hat\sigma$$

假设线性算符 $L$ 为拉普拉斯算子 $\nabla^2$，而 $G$ 为拉普拉斯算子的格林函数。则因为格林函数的定义，可得下式：

$$L G(x,x') = \nabla^2 G(x,x') = \delta(x-x')$$

令格林定理中的 $\,\!\psi = G$，可得：

$$\int_V \phi(x') \delta(x - x')\ d^3x' - \int_V G(x,x') \nabla^2\phi(x')\ d^3x' = \int_S \phi(x')\nabla' G(x,x') - G(x,x')\nabla'\phi(x') \cdot d\hat\sigma' \ \ \ \ \ (4)$$

根据上式，可以解拉普拉斯方程 $\nabla^2\phi(x)=0$ 或 泊松方程 $\nabla^2\phi(x)=-4\pi\rho(x)$，其边界条件可以为狄利克雷边界条件或是诺伊曼边界条件。换句话说，在以下任一个条件成立时，可以解一空间内任一位置的 $\,\!\phi(x)$：

- 已知 $\,\!\phi(x)$ 在边界上的值（狄利克雷边界条件）。
- 已知 $\,\!\phi(x)$ 在边界上的法向导数（诺伊曼边界条件）。

若想解在区域内的 $\,\!\phi(x)$，由于狄拉克 $\delta$ 函数的特性，(4) 式等号左边的第一项

$$\int\limits_V {\phi(x')\delta(x-x')\ d^3x'}$$

可化简为 $\,\!\phi(x)$，再将 (4) 式等号左边第二项 $\nabla^2\phi(x')$ 用 $\,\!\rho'(x')$ 表示，（若为泊松方程，$\,\!\rho'(x)=-4\pi\rho(x)$，若为拉普拉斯方程，$\,\!\rho'(x)=0$），可得：

$$\phi(x) = \int_V G(x,x') \rho'(x')\ d^3x' + \int_S \phi(x')\nabla' G(x,x') - G(x,x')\nabla'\phi(x') \cdot d\hat\sigma' \ \ \ \ \ (5)$$

上式即为调和函数（harmonic function）的特性之一：若边界上的值或法向导数已知，则可以求出区域内每个位置的数值。

在静电学中，$\,\!\phi(x)$ 为电位，$\,\!\rho(x)$ 为电荷密度，而法向导数 $\nabla\phi(x')\cdot d\hat\sigma'$ 则为电场在法向的分量。

若目前的边界条件为狄利克雷边界条件，可以选择在 $x$ 或 $x'$ 在边界时，其值也为 0 的格林函数。若边界条件为诺伊曼边界条件，可以选择在 $x$ 或 $x'$ 在边界时，其法向导数为 0 的格林函数。因此 (5) 式等号右侧的二个积分项有一项为 0，只剩下一项需计算。

在自由空间的情形下（此时可将边界条件视为：$\lim_{\hat x \to \infty} \phi(x) = 0$），拉普拉斯算子的格林函数为：

$$G(\hat x, \hat x') = \frac{1}{|\hat x - \hat x'|}$$

若 $\,\!\rho(\hat x)$ 为电荷密度，则可得到电荷密度和电位 $\,\!\phi(\hat x)$ 的公式：

$$\phi(\hat x) = \int_V \frac{\rho(x')}{|\hat x - \hat x'|} \ d^3x'$$

## 范例

针对以下微分方程

$$\begin{matrix}Lu\end{matrix} = u ' ' + u = f( x )$$

$$Du = u(0) = 0 \quad, \quad u\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$$

找出格林函数。

第 1 步

根据定理中，格林函数的特性 2，可得

$$g(x,s) = c_1 (s) \cdot \cos x + c_2 (s) \cdot \sin x$$

在 $x<s$ 时因特性 3 可知

$$g(0,s) = c_1 (s) \cdot 1 + c_2 (s) \cdot 0 = 0, \quad c_1 (s) = 0$$

（此时不需考虑 $g(\frac{\pi}{2},s) = 0$ 的式子，因 $x \ne \frac{\pi}{2}$）在 $x>s$ 时因特性 3 可知

$$g(\frac{\pi}{2},s) = c_1 (s) \cdot 0 + c_2 (s) \cdot 1 = 0, \quad c_2 (s) = 0$$

（此时不需考虑 $\quad g(0,s) = 0$ 的式子，因 $x \ne 0$）整理上述的结果，可得以下的式子。

$$g(x,s)=\left\{\begin{matrix} a(s) \sin x, \;\; x < s \\ b(s) \cos x, \;\; s < x \end{matrix}\right.$$

第 2 步

依格林函数的特性，找出 $a(s)$ 和 $b(s)$.

根据特性 1，可得

$a(s) \sin s = b(s) \cos s\quad$.

根据特性 4，可得

$$b(s) \cdot [ - \sin s ] - a(s) \cdot \cos s = \frac{1}{1} = 1\, .$$

解上述二式，可以求出 $a(s)$ 和 $b(s)$

$a(s) = - \cos s \quad ; \quad b(s) = - \sin s$.

因此格林函数为

$$g(x,s)=\left\{\begin{matrix} -1 \cdot \cos s \cdot \sin x, \;\; x < s \\ -1 \cdot \sin s \cdot \cos x, \;\; s < x \end{matrix}\right.$$

对照此解和格林函数的特性 5，可知此解也满足特性 5 的要求。

## 其他举例

- 若流形为 $\mathbb{R}$，而线性算符 $L$ 为 $d/dx$，则单位阶跃函数 $H(x-x_0)$ 为 $L$ 在 $x_0$ 处的格林函数。
- 若流形为第一象限平面 $\{(x,y): x,y\geq 0\}$ 而线性算符 $L$ 为拉普拉斯算子，并假设在 $x = 0$ 处有狄利克雷边界条件，而在 $y = 0$ 处有诺依曼边界条件，则其格林函数为

$$G(x, y, x_0, y_0)=\frac{1}{2\pi}\left[\ln\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}-\ln\sqrt{(x+x_0)^2+(y-y_0)^2}\right]$$

$$+\frac{1}{2\pi}\left[\ln\sqrt{(x-x_0)^2+(y+y_0)^2}-\ln\sqrt{(x+x_0)^2+(y+y_0)^2}\right].$$