霍奇对偶

数学中，霍奇星算子（Hodge star operator）或霍奇对偶（Hodge dual）由苏格兰数学家威廉·霍奇（Hodge）引入的一个重要的线性映射。它定义在有限维定向内积空间的外代数上。

## 维数与代数

霍奇星算子在 k-形式空间与 (n -k)-形式空间建立了一个对应。一个 k-形式在这个对应下的像称为这个 k-形式的霍奇对偶。k-形式空间的维数是

$${n \choose k},\,$$

后一个空间的维数是

$${n \choose n - k},\,$$

又由二项式系数的对称性，这两个维数事实上相等。两个具有相同维数的形式空间总同构；但不一定有一种自然或典范的方式。但霍奇对偶性利用了向量空间内积和定向，给出了一个特定的同构，因此在代数上这反应了二项式系数的性质。这也在 k-形式空间上诱导了一个内积。“自然”定义意味着这个对偶性关系在理论中可起几何作用。

第一个有趣的情形是在三维欧几里得空间 V。在这种情形，帕斯卡三角形相关行是

1, 3, 3, 1

霍奇对偶在两个三维空间之间建立起一个同构，一个是 V 自己，另一个是 V 中两个向量的楔积。具体细节参见例子一节。叉积只是三维的特殊性质，但霍奇对偶在所有维数都有效。

## 扩张

由于一个向量空间上 k 个变量的交错线性形式空间自然同构于那个向量空间上的 k-向量空间的对偶，霍奇对偶也能对这些空间定义。与线性代数的大部分构造一样，霍奇对偶可以扩张到一个向量丛。这样的霍奇对偶特别常见的是在余切丛的外代数（即流形上的微分形式）上，可用来从外导数构造余微分（codifferential），以及拉普拉斯-德拉姆算子，它导致了紧黎曼流形上微分形式的霍奇分解。

## k-向量的霍奇星号的正式定义

一个定向内积向量空间 V 上的霍奇星算子是 V 的外代数（$\Lambda(V)$）上的一个线性算子，是 k-向量子空间（$\Lambda^k(V)$）与 (n-k)-向量子空间（$\Lambda^{n-k}(V)$）之间的线性映射，这里 $0\le k\le n,\, n=\dim V$。它具有如下性质，这些性质完全定义了霍奇星算子：给定一个定向正交基 $e_1,e_2,\cdots,e_n$ 我们有

$$\star (e_{i_1} \wedge e_{i_2}\wedge \cdots \wedge e_{i_k})= e_{i_{k+1}} \wedge e_{i_{k+2}} \wedge \cdots \wedge e_{i_n},$$

其中 $(i_1,i_2,\cdots,i_n)$ 是 $(1,2,\dots,n)$ 的一个偶排列。

特别是我们有。

$$*(e_1\wedge e_2\wedge \cdots \wedge e_k)= e_{k+1}\wedge e_{k+2}\wedge \dots \wedge e_n.$$

## 星算子的指标记法

使用指标记法，霍奇对偶由缩并一个 k-形式与 n-维完全反对称列维-奇维塔张量的指标得到。这不同于列维-奇维塔符号有一个额外因子 (det g)½，这里 g 是一个内积（如果 g 不是正定的，比如洛伦兹流形的切空间，则取行列式的绝对值）。

从而有

$$(*\eta)_{i_1,i_2,\ldots,i_{n-k}}= \frac{1}{k!} \eta^{j_1,\ldots,j_k}\,\sqrt {|\det g|} \,\epsilon_{j_1,\ldots,j_k,i_1,\ldots,i_{n-k}},\,$$

这里 η 是任意一个反对称 k 阶张量。利用在定义列维-奇维塔张量中同一个内积 g 上升和下降指标。当然也可以对任何张量取星号，所得是反对称的，因为张量的对称分量在与完全反对称列维-奇维塔张量缩并时完全抵消了。

## 例子

星算子一个常见例子是在 n = 3，可以做为 3 维向量与斜对称矩阵之间的对应。这不明显地使用于向量分析中，例如由两个向量的楔积产生叉积向量。具体地说，对欧几里得空间 R3，容易发现

$$*\mathrm{d}x=\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z$$

和

$$*\mathrm{d}y=\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x$$

以及

$$*\mathrm{d}z=\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y$$

这里 dx、dy 与 dz 是 R3 上的标准正交微分1-形式。霍奇对偶在此情形显然对应于三维中的叉积。

当 n = 4 时，霍奇对偶作用在第二外幂（6 维）上是自同态。它是一个对合，从而可以分解为子对偶与反自对偶子空间，在这两个子空间上的作用分别为 +1 和 -1。

另一个有用的例子是 n = 4 闵可夫斯基时空，具有度量符号为 (+,-,-,-,) 与坐标 (t,x,y,z)，对1-形式有

$$*\,\mathrm{d}t=\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z$$

$$*\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z$$

$$*\,\mathrm{d}y=-\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}z$$

$$*\,\mathrm{d}z=\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}y$$

对2-形式有

$$*\, \mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}x = - \mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z$$

$$*\, \mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}y = \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}z$$

$$*\, \mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}z = - \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y$$

$$*\, \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}y = \mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}z$$

$$*\, \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}z = - \mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}y$$

$$*\, \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z = \mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}x$$

## k-向量的内积

霍奇对偶在 k-向量空间上诱导了一个内积，即在 V 的外代数上。给定两个 k-向量 $\eta$ 与 $\zeta$，有

$$\zeta\wedge *\eta = \langle\zeta, \eta \rangle\;\omega,\,$$

这里 ω 是正规化的体积形式。可以证明 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 是一个内积，它是半双线性的，并定义了一个范数。反之，如果在 $\Lambda^k(V)$ 上给了一个内积，则这个等式可以做为霍奇对偶的另一种定义。

本质上，V 的正交基元素的楔积组成了 V 的外代数的一个正交基。当霍奇星号扩张到流形上，可以证明体积形式能写做

$$\omega=\sqrt{|\det g_{ij}|}\;dx^1\wedge\ldots\wedge dx^n,\,$$

其中 $g_{ij}$ 是流形的度量。

## 对偶性

当作用两次时霍奇星号定义了一个对偶，不考虑符号的话，所得结果是外代数上一个恒等式。给定 n-维空间 V 上一个 k-向量 $\eta \in \Lambda^k (V)$，我们有

$$**\eta=(-1)^{k(n-k)}s\;\eta,\,$$

这里 s 与 V 上内积的符号有关。具体说，s 是内积张量行列式的符号。例如，如果 n = 4 时，若内积的符号是 (+,-,-，-) 或 (-,+,+,+) 则 s = -1。对普通的欧几里得空间，符号总是正的，所以 s = +1。在普通向量空间，这一般不是一个问题。当霍奇星号扩张到伪-黎曼流形上时，上面的内积理解为对角形式的度量。

## 流形上的霍奇星号

在一个 n-维定向黎曼或伪黎曼流形上每一点的切空间上可以重复如上构造，将得到 k-形式的霍奇对偶，是一个 n- k 形式。霍奇星号在流形上的微分形式上诱导了一个 L2-范数。对 $\Lambda^k(M)$ 的空间截面 $\eta$ 与 $\zeta$，其内积可写做

$$(\eta,\zeta)=\int_M \eta\wedge *\zeta.\,$$

（截面的集合通常记做 $\Omega^k(M)=\Gamma(\Lambda^k(M))$；里面的元素称为外 k-形式。）

更一般地，在非定向情形，我们可以定义 k-形式的霍奇星号维一个 (n - k)-伪微分形式；即取值于典范线丛的一个微分形式。

### 余微分

霍奇星号在流形上最重要的应用是用来定义余微分 δ。令

$$\delta = (-1)^{nk + n + 1} *d*\,$$

这里 d 是外导数。对黎曼流形 s = +1。

$$d:\Omega^k(M)\rightarrow \Omega^{k+1}(M),\,$$

而

$$\delta:\Omega^k(M)\rightarrow \Omega^{k-1}(M).\,$$

相比于外导数，余微分不是外代数上的反导子。

余微分在是外微分的伴随：

$$\langle \delta \zeta, \eta\rangle = \langle \zeta, d\eta\rangle .\,$$

这个恒等式是因为体积形式 ω 满足 dω = 0，从而

$$\int_M d(\zeta \wedge *\eta)=0.\,$$

拉普拉斯–德拉姆算子由

$$\Delta=\delta d + d\delta$$

给出，是霍奇理论的核心。它有对称性：

$$\langle\Delta \zeta,\eta\rangle = \langle\zeta,\Delta \eta\rangle,\,$$

以及非负：

$$\langle\Delta\eta,\eta\rangle \ge 0.\,$$

霍奇星号将一个调和形式变成调和形式。作为霍奇定理的一个推论，德拉姆上同调自然同构于调和 k-形式空间，从而霍奇星号诱导了上同调群之间一个同构

$$\star : H^k_\Delta(M)\to H^{n-k}_\Delta(M),\,$$

通过庞加莱对偶性，这给出了 Hk(M) 与它的对偶空间的一个典范等价。

## 三维中的导数

$\ast$ 算子与外导数 $d$ 的组合推广了三维经典算子 grad、curl 和 div。具体做法如下：$d$ 将一个 0-形式（函数）变成 1-形式，1-形式变成 2-形式，2-形式变成 3-形式（应用到 3-形式变成零）。

- 对一个 0-形式（$\omega=f(x,y,z)$），第一种情形，写成分量与 $\operatorname{grad}$ 算子等价：

$$d\omega=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz.$$

- 第二种情形后面跟着 $\ast$，是 1-形式（$\omega=Adx+Bdy+Cdz$）上一个算子，其分量是 $\operatorname{curl}$ 算子：

$$d\omega=\left({\partial C \over \partial y} - {\partial B \over \partial z}\right)dy\wedge dz + \left({\partial C \over \partial x} - {\partial A \over \partial z}\right)dx\wedge dz+\left({\partial B \over \partial x} - {\partial A \over \partial y}\right)dx\wedge dy.$$

使用霍奇星号给出：

$$\ast d\omega=\left({\partial C \over \partial y} - {\partial B \over \partial z}\right)dx - \left({\partial C \over \partial x} - {\partial A \over \partial z}\right)dy+\left({\partial B \over \partial x} - {\partial A \over \partial y}\right)dz.$$

- 最后一种情形，前面与后面都有一个 $\ast$，将一个 1-形式（$\omega=Adx+Bdy+Cdz$）变成 0-形式（函数）；写成分量是 $\operatorname{div}$ 算子：

$$\ast\omega=Ady\wedge dz-Bdx\wedge dz+Cdx\wedge dy$$

$$d\ast\omega=\left(\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}\right)dx\wedge dy\wedge dz$$

$$\ast d\ast\omega=\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}.$$

这些表达式的一个好处是恒等式 $d^2=0$，任何情形都成立，将

$$\operatorname{curl}(\operatorname{grad}(f))=\operatorname{div}(\operatorname{curl}(\mathbf{F}))=0$$

统一起来了。特别地，麦克斯韦方程组用外导数与霍奇星号表示时，有一个特别简单和优美的形式：

$$\mathrm{d}\mathbf{F}=0,\qquad *\mathrm{d} * {\mathbf{F}}=\mathbf{J}.$$

这里 $\mathbf{F}$ 是四维洛伦兹时空中某个 2-形式，$\mathbf{J}$ 是电流 1-形式。

## 参考文献

- Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (Provides a basic review of differential geometry in the special case of four-dimensional space-time.)
- Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 . (Provides a detailed exposition starting from basic principles, but does not treat the pseudo-Riemannian case).
- David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, (1981) Addison-Wesley Publishing, New York' ISBN 0-201-10096-7. (Provides condensed review of non-Riemannian differential geometry in chapter 0).