换位子群

在数学尤其是抽象代数中，群的换位子群或导群，另名交换子群，意指该群所有换位子所生成的子群，记作 $[G,G]$、$G'$ 或 $G^{(1)}$。任意给定群均对应一个确定的换位子群。作为群 $G$ 的正规子群，换位子群 $G'$ 是使得 $G$ 对它的商群 $G/G'$ 交换的最小正规子群。换言之，换位子群表征群 $G$ 的可交换程度，根据换位子的定义 $[x,y]=xyx^{-1}y^{-1}$, $x$ 与 $y$ 交换，即 $xy=yx$, 当且仅当 $[x,y]=e$, 即，群内可交换的元素越多，换位子就越少，换位子群也就越小。显然，交换群的换位子群为平凡群$\{e\}$.

## 换位子

对群元 $g,\,h\in G$, $g$ 与 $h$ 的换位子为 $[g,\,h]=g^{-1}h^{-1}gh$. 换位子 $[g,\,h]$ 等价于群幺 $e$ 当且仅当 $gh=hg$, 即二者交换。一般情况下，显然有 $gh=hg[g,\,h]$.

该记号的顺序任定，有下述不同的定义方式，此时换位子将左乘，而非右乘二者的积：

$[g,\,h]=ghg^{-1}h^{-1}$,

此时有 $gh=[g,\,h]hg$ 而非 $gh=hg[g,\,h]$.

对 $g$ 和 $h$ 来说，群 $G$ 中形如 $[g,\,h]$ 的元即称其换位子。幺 $e=[e,\,e]$ 恒为换位子。群 $G$ 交换当且仅当其换位子群平凡，即 $G'=\{e\}$.

下例对群 $G$ 元 $s,\,g,\,h$ 成立：

- $[g,\,h]^{-1}=[h,\,g]$;
- $[g,\,h]^s=[g^s,\,h^s]$，其中 $g^s := s^{-1}gs$ 意指 $g$ 关于 $s$ 的共轭。
- $$\begin{align} f\colon\, & G \to H,\\ <pre> & [g,\,h] \mapsto [f(g),\,f(h)]. </pre> \end{align}$$

前两者蕴含 $G$ 的换位子集对交换与共轭封闭。对第三条取 $H=G$, 即知换位子集稳定于 $G$ 的任意自同态，这正是第二条的一般情况，只需取 $f$ 作 $G$ 的共轭自同构：

$$\begin{align} <pre> f\colon\,&G\to G\\ &x\mapsto x^s:=s^{-1}xs, </pre> \end{align}$$

即得第二条。

换位子的积未必是换位子。典例是由 $a,\,b,\,c,\,d$ 生成的自由群内的 $[a,\,b][c,\,d]$. 已知存在两换位子其积非换位子的最小有限群，阶数为 96，在同构意义上有两种如此的 96 阶群。

## 定义

给定群 $G$，其换位子群 $[G,G]$（或称导群，记 $G'$ 或 $G^{(1)}$）是 $G$ 的所有换位子所生成的子群：

$$[G,G] = \{ g^{-1}h^{-1}gh \,\colon \, g, h \in G \}.$$

由定义知，任意 $[G,\,G]$ 的元有形式

$$\prod_{i=1}^n[g_i,\,h_i]=[g_1,\,h_1]\cdots[g_n,\,h_n],\,n\in\mathbb{N}_+,\,\forall i,\,g_i,\,h_i\in G.$$

此外由

$$\left(\prod_i[g_i,\,h_i]\right)^s=\prod_i[g_i^s,\,h_i^s]$$

知换位子群亦对 $G$ 正规。对任意同态 $f\colon\,G\to H$。

$$f\colon\,\prod_i[a_i,\,b_i]\mapsto\prod_i[f(a_i),\,f(b_i)]=[f(a_1),\,f(b_1)]\cdots[f(a_n),\,f(b_n)],$$

故而 $f([G,\,G])\subseteq [H,\,H].$

这表明换位子群可视作群范畴 $\mathsf{Grp}$ 的函子，其部分含义将于下文探讨。此外倘取 $G=H$, 知换位子群于 $G$ 的任意自同态下稳定：换言之，$[G,\,G]$ 为 $G$ 的全特征子群，这一性质远强于正规性。

换位子群亦定义作 $G$ 的子集

$$\left\{\left.\prod_{i\in I} g_i\right|\,\exists \varphi\colon I\leftrightarrow I,\, \prod_{i\in I}g_{\varphi(i)}=e_G,\,\forall i,\,g_i\in G,\,I\subset\mathbb{N}\right\},$$

即那些存在某种重排使得结果为幺的群元乘积构成的集合。

### 导集序列

导集能够迭代构造：

$$G^{(0)}:=G$$

$$G^{(n)}:=\left[G^{(n-1)},\,G^{(n-1)}\right],\quad n\in\mathbb{N}.$$

群 $G^{(i)},i=2,\,3,\,\dots$ 依次称 $n$ 阶导群。下降正规序列

$$\cdots\triangleleft G^{(2)}\triangleleft G^{(1)}\triangleleft G^{(0)}=G$$

即称导出序列。

对有限群而言，导出序列终止于完满群，其平凡与否皆有可能。而对于无限群，其导出序列不必终止于有限步，而可能以超限递归至持续无穷序数步，继而得到超限导出序列，其最终终止于群的完美核。

### Abel 化

给定群 $G$, 商群 $G/N$ 交换当且仅当 $[G,\,G]\subset N$.

商群 $G/[G,\,G]$ 交换，称 $G$ 的 Abel 化，常记作 $G^{\mathrm{ab}}$ 或 $G_{\mathrm{ab}}$.

有范畴方向的实用诠释，映射 $\varphi\colon\,G\to G^\mathrm{ab}$. 换言之， $\varphi$ 泛于任意从 $G$ 到 Abel 群 $H$ 的同态，或称任意从 $G$ 到 Abel 群 $G$ 的同态均可经由 $\varphi$ 唯一分解：对任意 Abel 群 $H$ 与群同态 $f\colon\, G\to H$, 存在唯一同态 $F\colon\, G^{\rm ab}\to H$ 使得 $f=F\circ\varphi$. 正如由泛映射定义的对象通常所具的特点般，这表征 Abel 化子群 $G^{\rm ab}$ 在典范同构意义下的唯一性，而显示构造的 $G\to G/[G,\,G]$ 表征其存在性。

Abel 化函子是从 Abel 群范畴 $\mathsf{AbGrp}$ 到群范畴 $\mathsf{Grp}$ 的包含函子的左伴随。Abel 化函子 $\mathsf{AbGrp}\to\mathsf{Grp}$ 的存在性令范畴 $\mathsf{AbGrp}$ 拥有群范畴的反射子范畴，定义为其包含函子拥有左伴随的全子范畴。

$G^{\rm ab}$ 另有一重要释义 $H_1(G,\,\mathbb{Z})$, 群 $G$ 的整系数一阶同调群。

### 相关的群

群 $G$ 交换当且仅当其导群平凡：$[G,\,G]=\{e\}$, 或等价地说，当且仅当其等于自身的 Abel 化。关于 Abel 化，定义见前述。

群 $G$ 完满当且仅当其导群等于自身：$[G,\,G]=G$，或等价地说，当且仅当其 Abel 化平凡。这“相反”于阿贝尔群。

满足 $\exists n\in\mathbb N,\,G^{(n)}=\{e\}$ 的群称可解群，这一条件宽于交换，亦即取 $n=1$ 的情形。

满足 $\forall n\in\mathbb N,\, G^{(n)}\ne \{e\}$ 的群称非可解群。

对序数 $\alpha$ 满足 $G^{(\alpha)}=\{e\}$ 的群称亚阿贝尔群，这一条件宽于可解，亦即取 $\alpha<\infty$ 的情形。

### 完满群

若群 $G$ 的导群等于自身，即 $G^{(1)}=G$, 称该群完满群，包含非交换单群及不动域 $\mathbb k$ 上的特殊线性群 $\operatorname{SL}_n(\mathbb k)$.

## 例子

- 任意 Abel 群的换位子群均平凡。
- 域或除环 $\mathbb k$ 上的一般线性群 $\operatorname{GL}_n(\mathbb k)$ 的换位子群等于特殊线性群 $\operatorname{SL}_n(\mathbb k)$, 若 $n\ne2$, 或 $\mathbb k$ 不是拥有两个元素的域。
- 4 次交错群 $A_4$ 的换位子群即 Klein 四元群 $V_4$。
- $n$ 次对称群 $S_n$ 的换位子群即 $n$ 次交错群 $A_n$。
- 四元群 $Q=\{1,\,-1,\,{\rm i},\,{\rm -i},\,{\rm j},\,{\rm -j},\,{\rm k},\,{\rm -k}\}$ 的换位子群为 $\{1,\,-1\}$。

### 从 $\operatorname{Out}$ 出发的映射

由于导群是特征子群，任意 $G$ 上的自同构均诱导其 Abel 化子群上的自同构。由于 Abel 化子群本身是 Abel 群，内自同构平凡，从而得到映射

$\operatorname{Out}G\to \operatorname{Aut}G^{\rm ab}$.