推迟势

本条目中，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。检验变数或场变数的标记的后面没有单撇号“$'\,\!$”；源变数的标记的后面有单撇号“$'\,\!$”。

在电磁学里，推迟势指的是，响应含时电荷分布或含时电流分布，而产生的推迟纯量势或推迟向量势。对于这程序，由于“前因”与“后果”之间必然的推迟关系，讯号以光速从源位置传播到场位置，需要有限时间。在某源位置的电流或电荷分布，必须经过一段时间之后，才能够将其影响传播到场位置，产生对应的电磁作用。这一段时间的长久跟源位置与场位置之间距离的远近有关。

## 理论概念

<image>

对于静态的电荷分布和电流分布，电势$\Phi(\mathbf{r})$和磁向量势$\mathbf{A}(\mathbf{r})$分别定义为

$\Phi(\mathbf{r})\ \stackrel{def}{=}\ \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'$。

$\mathbf{A}(\mathbf{r})\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'$。

其中，$\mathbf{r}$是场位置，$\mathbf{r}'$是源位置，$\epsilon_0$是真空电容率，$\mu_0$是真空磁导率，$\rho$是电荷密度，$\mathbf{J}$是电流密度，$\mathbb{V}'$是体积分的空间，$d^3\mathbf{r}'$是微小体元素。

在电动力学里，这两个方程式必须加以延伸，才能正确地响应含时电流分布或含时电荷分布。定义推迟时间$t_r$为检验时间$t$减去电磁波传播的时间：

$t_r\ \stackrel{def}{=}\ t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{c}$。

其中，$c$是光速。

假设，从源位置$\mathbf{r}'$往场位置$\mathbf{r}$发射出一束电磁波，而这束电磁波在检验时间$t$抵达观测者的场位置$\mathbf{r}$，则这束电磁波发射的时间是推迟时间$t_r$。由于电磁波传播于真空的速度是有限的，观测者检验到电磁波的检验时间$t$，会不同于这电磁波发射的推迟时间$t_r$。

推迟纯量势$\Phi(\mathbf{r},\,t)$与推迟向量势$\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)$分别用方程式定义为

$\Phi(\mathbf{r},\,t)\ \stackrel{def}{=}\ \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'$。

$\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'$。

请注意，在这两个含时方程式内，源电荷密度和源电流密度都跟推迟时间$t_r$有关，而不是与时间无关。

这两个含时方程式，是用推理得到的启发式，而不是用任何定律或公理推导出来的。讯号以光速传播，从源位置到场位置，需要有限时间。所以在时间$t$的推迟势必定是由在推迟时间$t_r$的源电荷密度或源电流密度产生的。为了要确定这两个方程式的正确性与合理性，必须证明它们满足非齐次的电磁波方程式。还有，劳仑次规范是一个常用的规范，可以较便利地解析电磁辐射的生成问题。稍后会有表示两个方程式满足劳仑次规范条件的证明。

## 非齐次的电磁波方程式

含时电荷分布或含时电流分布所产生的电势或磁向量势，必须遵守达朗贝尔方程，表达为

$\nabla^2\Phi(\mathbf{r},\,t) - {1 \over c^2} {\partial^2 \Phi(\mathbf{r},\,t) \over \partial t^2} = - {\rho(\mathbf{r},\,t) \over \epsilon_0}$。

$\nabla^2 \mathbf{A}(\mathbf{r},\,t) - {1 \over c^2} {\partial^2 \mathbf{A}(\mathbf{r},\,t) \over \partial t^2} = - \mu_0 \mathbf{J}(\mathbf{r},\,t)$。

假若，这些用启发法推理得到的推迟纯量势$\Phi(\mathbf{r},\,t)$和推迟向量势$\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)$不能满足非齐次的电磁波方程式，那么，这些推迟势很可能有重大错误，无法适用于期望的用途（从含时源生成电磁辐射）。

设定$\boldsymbol{\mathfrak{R}}$为从源位置到场位置的分离向量：

$\boldsymbol{\mathfrak{R}}=\mathbf{r} - \mathbf{r}'$。

场位置$\mathbf{r}$、源位置$\mathbf{r}'$和时间$t$都是自变数（independent variable）。分离向量$\boldsymbol{\mathfrak{R}}$和其大小$\mathfrak{R}$都是应变数（dependent variable），跟场位置$\mathbf{r}$、源位置$\mathbf{r}'$有关。推迟时间$t_r=t - \mathfrak{R}/c$也是应变数，跟时间$t$、分离距离$\mathfrak{R}$有关。

推迟纯量势$\Phi(\mathbf{r},\,t)$的梯度是

$\nabla\Phi(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \nabla\left(\frac{\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\mathfrak{R}}\right)\, d^3\mathbf{r}'= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \left[\frac{\nabla\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\mathfrak{R}}+\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)\nabla\left(\frac{1}{\mathfrak{R}}\right)\right]\, d^3\mathbf{r}'$。

注意到

$\frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t)}{\partial t}=\frac{\partial t_r}{\partial t}\ \frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\partial t_r}=\frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\partial t_r}$。

$\nabla \mathfrak{R}=\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}$。

所以，源电荷密度$\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)$的梯度是

$\nabla\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)= - \frac{1}{c}\ \frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\partial t_r}\nabla \mathfrak{R}= - \frac{1}{c}\ \frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\partial t}\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}= - \frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c}\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}$。

其中，$\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)$定义为$\frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t)}{\partial t_r}$。

将这公式代入，推迟纯量势$\Phi(\mathbf{r},\,t)$的梯度是

$\nabla\Phi(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \left[ - \frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c}\frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}} - \rho(\mathbf{r}' ,\, t_r) \left(\frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}^2}\right)\right]\, d^3\mathbf{r}'$。

推迟纯量势$\Phi(\mathbf{r},\,t)$的拉普拉斯算符是

$\begin{align} \nabla^2\Phi(\mathbf{r},\,t) & = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \left[ <pre> - \frac{\nabla\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c}\cdot\frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}} - \frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c}\nabla\cdot\left(\frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}}\right) - [\nabla\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)] \cdot\left(\frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}^2}\right) - \rho(\mathbf{r}' ,\, t_r) \nabla\cdot\left(\frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}^2}\right)\right] </pre> \, d^3\mathbf{r} \\ <pre> & = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \left[ - \frac{\ddot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c^2 \mathfrak{R}} - \frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c \mathfrak{R}^2} + \frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c \mathfrak{R}^2} - 4\pi\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r) \delta^3(\boldsymbol{\mathfrak{R}})\right]\, d^3\mathbf{r}' \\ & = - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\left[\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} </pre> \frac{\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\mathfrak{R}}\, d^3\mathbf{r}' \right] <pre> - \frac{\rho(\mathbf{r},\, t)}{\epsilon_0} \\ </pre> \end{align}$。

其中，$\delta^3(\boldsymbol{\mathfrak{R}})$是三维狄拉克δ函数。

所以，推迟纯量势满足非齐次的电磁波方程式

$\nabla^2\Phi(\mathbf{r},\,t)+ \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \Phi(\mathbf{r},\,t)}{\partial t^2}= - \frac{\rho(\mathbf{r},\, t)}{\epsilon_0}$。

类似地，可以证明推迟向量势$\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)$满足非齐次的电磁波方程式。

## 劳仑次规范条件

给予磁场$\mathbf{B}$，并不是只有一个向量场$\mathbf{A}$满足条件$\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}$。实际上，有无限多个解答。应用一项向量恒等式，$\nabla\times(\nabla \lambda)=0$，给予任意函数$\lambda$，那么，$\mathbb{A}=\mathbf{A}+\nabla\lambda$也是一个解答。磁向量势的这种特性，称为规范自由。

物理学家时常会选择使用某种规范来解析特定的问题。在电磁学里，劳仑次规范是一个常用的规范，可以便利地解析电磁辐射的生成问题。劳仑次规范用微分方程式表达为

$\nabla \cdot \mathbf{A} +{1 \over c^2} {{\partial \Phi } \over {\partial t}}= 0$。

按照前述方法，可以证明推迟纯量势$\Phi(\mathbf{r},\,t)$和推迟向量势$\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)$满足劳仑次规范。这是一个很好的练习。

## 广义的含时电磁场

推迟势与电场$\mathbf{E}$、磁场$\mathbf{B}$的关系分别为

$\mathbf{E}= - \nabla\Phi - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}$。

$\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$。

按照前述方法，可以得到电场$\mathbf{E}$和磁场$\mathbf{B}$的方程式，又称为杰斐缅柯方程式：

$\mathbf{E}(\mathbf{r},\,t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \left[\rho(\mathbf{r}',\,t_r)\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} +\frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}',\,t_r)}{c}\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{ |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^2} - \frac{\dot{\mathbf{J}}(\mathbf{r}',\,t_r)}{c^2 |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right] d^3\mathbf{r}'$。

$\mathbf{B}(\mathbf{r},t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'} \left[\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} +\frac{\dot{\mathbf{J}}(\mathbf{r}',\,t_r)}{c |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^2}\right]\times(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\ d^3\mathbf{r}'$。

## 超前势

定义超前时间$t_a$为现在时间$t$加上光波传播的时间：

$t_a\ \stackrel{def}{=}\ t + \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{c}$。

超前纯量势$\Phi_a(\mathbf{r},\,t)$与超前向量势 $\mathbf{A}_a(\mathbf{r},\,t)$分别用方程式表达为

$\Phi_a(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\rho(\mathbf{r}' ,\, t_a)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'$。

$\mathbf{A}_a(\mathbf{r},\,t)= \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t_a)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'$。

这两个方程式表明，在时间$t$的超前纯量势与超前向量势，乃是由在超前时间$t_a$的源电荷密度或源电流密度产生的。超前纯量势$\Phi_a(\mathbf{r},\,t)$与超前向量势$\mathbf{A}_a(\mathbf{r},\,t)$也满足非齐次的电磁波方程式和劳仑次规范，但它们违反了因果律。这是很严峻的问题，未来发生的事件不应该影响过去发生的事件。在物理学里，超前纯量势和超前向量势只是很有意思的纯理论问题，并没有任何实际用途。

## 参阅

- 非齐次的电磁波方程式
- 杰斐缅柯方程式
- 黎纳-维谢势
- 拉莫方程式
- 阿布拉罕-劳仑兹力
- 狭义相对论