黎曼级数定理

黎曼级数定理（亦称黎曼重排定理），是一个有关于无穷级数性质的数学定理，得名于19世纪德国著名数学家波恩哈德·黎曼。黎曼级数定理说明，如果一个实数项无穷级数若是条件收敛的，它的项在重新排列后，重新排列后的级数收敛的值可以收敛到任何一个给定的值，甚至发散。

许多有限项级数具有的性质，在一般的无穷级数不一定满足，例如一般的有限项级数可以重新排列各项，其级数和不会改变，但在无穷级数中，只有绝对收敛的无穷级数才可以重新排列各项而不改变收敛值。

## 相关定义

给定无穷级数$\sum_{n=1}^\infty a_n$，其部分和为：$S_n =\sum_{k=1}^n a_k$。如果部分和的数列

$$\left \{ S_1, \ S_2, \ S_3, \dots \right \}$$

收敛于某个数值：$\ell$，则级数收敛。也就是说，对于任何的$\epsilon > 0$，总存在一个整数N，使得如果$n \ge N$，则

$\left | S_n - \ell \right \vert \le \ \epsilon$.

那么级数$\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛。如果级数$\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛，但级数$\sum_{n=1}^\infty \left | a_n \right \vert$发散，则称此级数是条件收敛的。

## 定理的陈述

假设$\sum_{n=1}^\infty a_n$是一个条件收敛的无穷级数。对任意的一个实数$C$，都存在一种从自然数集合到自然数集合的排列$\sigma : \, \, n \mapsto \sigma (n)$，使得

$$\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma (n)} = C.$$

此外，也存在另一种排列$\sigma' : \, \, n \mapsto \sigma' (n)$，使得

$$\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma' (n)} = \infty.$$

类似地，也可以有办法使它的部分和趋于$-\infty$，或没有任何极限。

反之，如果级数是绝对收敛的，那么无论怎样重排，它仍然会收敛到同一个值，也就是级数的和。

简单来说，你可以借由调换数列的其中几项，使得这个新数列的级数的极限与原数列的不同；但是，这个方法可行的前提是原级数条件收敛，如果原级数绝对收敛的话，那么这个方法就行不通。

## 例子

交错调和级数是条件收敛级数的一个经典的例子：

$$A_{h} = \sum_n \frac{(-1)^{n+1}}{n}$$

收敛，而

$$S_h = \sum_n \bigg| \frac{(-1)^{n+1}}{n} \bigg| = \sum_n \frac{1}{n}$$

是调和级数它是发散的（因为abs((-1)ⁿ)=1, for n in N（注：abs为绝对值absolute value之意）。虽然在标准的表示法中，交错调和级数收敛于ln(2)，我们可以把它的项重新排列，使它收敛于任何一个数，甚至发散。例如，如果排列为以下的形式。

$$\left(1 - \frac{1}{2} \right) - \frac{1}{4} + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{6} \right)- \frac{1}{8} + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{10} \right) - \frac{1}{12} + \cdots$$

那么这时的和等于$\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{4n+2} -\frac{1}{4n+4} \right) = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{1}{4n+2} -\frac{1}{4n+4} \right) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}$

可以看出，它的和是原来的和的一半。

### 趋近任一个实数

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用不同的排列方法，可以让交错调和级数趋向任意一个给定的实数。事实上，由于调和级数$\sum_n \frac{1}{n}$是发散的，它的部分和可以近似估计为：

$$S_N = 1 + \frac12 + \frac13 +\frac14 + \cdots = \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} = \gamma + \ln N + o(1) ,$$

其中$o(1)$表示一个当N趋于无穷大时的无穷小，$\gamma$指欧拉常数。如果将调和级数$A_{h}$中所有负项（也就是所有偶数项）相加，得到的级数会是：

$$A^{-}_h = - \frac12 - \frac14 -\frac16 - \frac18\cdots =-\frac12 \left( 1 + \frac12 + \frac13 +\frac14 + \cdots \right)$$

它的部分和是：

$$A^{-}_N = - \sum_{n=1}^N \frac{1}{2n} = - \frac12 \gamma - \frac12 \ln N + o(1) ,$$

因此所有正项相加的级数$A^{+}_h = 1 + \frac13 + \frac15 +\frac17 + \cdots$的部分和是：

$$A^{+}_N = A_N - A^{-}_N = \ln2 + \frac12 \left(\gamma + \ln N \right) + o(1) ,$$

这也是一个发散级数，趋向正无穷。因此，对任意给定的正实数$C$，可以使用以下的算法来构造出趋向$C$的重排级数$A^{\sigma}$的每一项：

- 从第一项起，将$A_h$中的正项（奇数项）从前往后放入，一直放到超过$C$为止：必定存在一个自然数$N_1$，使得$A^{+}_{N_1-1} \leqslant C+ <A^{+}_{N_1}$（假设$A_0 = 0$）。将第1至第$N_1$项定义为：
- $$\forall k = 1, 2, \cdots , N_1, \, \, \sigma(k) =2k-1$$
- 从第$N_1+1$项开始，将$A_h$中的负项（偶数项）从前往后放入，一直放到小于$C$为止：必定存在一个自然数$N_2 >N_1$，使得$A^{+}_{N_1} + A^{-}_{N_2-N_1 - 1} \leqslant C+ < A^{+}_{N_1} + A^{-}_{N_2 - N_1}$。将第$N_1+1$至第$N_2$项定义为：
- $$\forall k = N_1 + 1, N_1 + 2, \cdots , N_2, \, \, \sigma(k) = 2k-2N_1$$

交替重复这两步来重排级数，可以将重排级数的部分和$A_{N_k}^{\sigma}$保持在$C$上下，而因为$A_{N_k}^{\sigma}$是重复第k步时首次“跨过”$C$时候的值，因而它与$C$的差距必定不超过“跨越”时的“步长”，也就是$\frac{1}{N_k}$。随着$N_k$越来越大，$A_{N_k}^{\sigma}$与$C$的差距也会越来越趋近于0. 因此使用这个算法构造出来的重排级数$A^{\sigma}$最终会收敛于$C$。

## 证明

对一般的条件收敛级数，也可以用以上的算法来证明黎曼级数定理。上文中有关交错调和级数的算法之所以成立，原因有二：首先，所有正项构成的级数发散到正无穷大，所有负项构成的级数发散到负无穷大，所以每次超出（低于）目标值$C$以后，只要不停地累加，必然能够再次低于（超出）目标值$C$；其次，调和级数是由$\frac{1}{n}$相加而成，而随着$n$趋向无穷，$\frac{1}{n}$趋向于0，也就是说“步长”趋向0，所以最终能够收敛。所以只需要证明，任何条件收敛级数都满足这两个性质：

- 所有正项构成的级数和所有负项构成的级数都是发散的。
- 级数的项随着项数趋于无穷而趋于0.

就能证明黎曼级数定理成立了。

性质一：

设有给定的条件收敛级数$A = \sum_n a_n$，级数和为$S$。为了简便起见，假设$A$中每一项都不等于0（否则可以随意将它们重排在任何地方）。$A$中的正项和负项必定都有无穷多个。将$A$中所有大于0的项按照它们原来在$A$中的顺序重新标号排列，可以得到由所有正项排列而成的级数$A^+ = \sum_n a^+_n$。同样可以建立由所有负项排列而成的级数$A^- = \sum_n a^-_n$。

$A^+$是一个正项级数，所以它要么收敛到某个定值，要么发散到正无穷大。假设$A^+$收敛到某个定值$S^+$，那么可以证明$A^-$也是收敛级数，级数和为$S - S^+$。因而可以证明，级数$\sum_{n=1}^\infty |a_n| = A^+ - A^-$也是收敛级数，这与$A$是条件收敛级数的设定矛盾。所以，$A^+$发散到正无穷大。同理可证，$A^-$发散到负无穷大。

性质二：

设$A = \sum_n a_n$是一个条件收敛的级数，级数和为$S$。这说明，级数$A$的部分和$S_N = \sum_{n=1}^N a_n$趋向极限$S$。所以对任意$\epsilon > 0$，存在自然数$M > 0$使得对任意$N > M$，都有：

$$| S_N - S | < \epsilon.$$

所以对任意$N > M+1$。

$$|a_{N}| = | S_{N} - S_{N-1} | \leqslant | S_N - S | + | S_{N-1} - S |< 2\epsilon.$$

这说明当$N$趋于无穷大时，$a_N$趋于0.

证明了性质一与性质二后，就可以用上文提到的算法构造趋向任何实数甚至发散的重排方式。对于任意实数$C$，不妨假设$C \geqslant 0$. 首先将$A^+$的项按顺序累加，直到部分和超过$C$为止，然后再将$A^-$的项按顺序累加在其后，直到部分和小于$C$为止，接着再将$A^+$剩余的项按顺序累加在其后，直到部分和超过$C$为止……这个算法可以一直进行下去，因为根据性质一，$A^+$和$A^-$都是发散的。而在执行算法的过程中，部分和与$C$会越来越接近。因为无论是在部分和低于$C$，逐项增加到超过$C$的过程中，还是在部分和超过了$C$，逐项减少到低于$C$的过程中，部分和与$C$的差距（绝对值）都不超过前一次“跨越”$C$值的那一刻，部分和与$C$的差距。而这个差距又小于等于部分和“跨越”$C$值时的“步长”。假设第$k$次“跨越”的是在累加第$N_k$项的时候发生的，那么直到第$k+1$次“跨越”时，部分和与$C$的差距都小于等于$a_{N_k}$。随着$k$趋于无穷大，$N_k$也趋于无穷大，因而根据性质二，$a_{N_k}$趋于0，也就是说部分和与$C$的差距趋于0。这等价于说重排后的级数$A^\sigma$收敛于$C$。

如果$C< 0$，只需要将算法中的正负项颠倒即可。如果将算法中第$k$次累加正项要超越的值从$C$改为$C+k$，然后累加负项直到低于$C+k$，再开始第$k+1$次累加正项直到超越$C+k+1$，如此以往，就能得到发散到正无穷大的重排级数。反之也能得到发散到负无穷大的重排级数。而如果将算法中每次累加正项要超过的值设为1，将每次累加负项要低于的值设为0，那么重排级数的值将在0和1左右上下反复摆动，从而不收敛于任何定值。这就是黎曼级数定理。

## 推广

此定理可推广至斯坦尼兹定理。给定一个复数收敛级数∑ an，则重排后的级数∑ aσ (n)之和有以下几种可能：

- 级数∑ an为绝对收敛，所以任何重排后的级数和都收敛到同一个值。
- 级数∑ an为条件收敛。令S为所有重排级数之和的集合，则S要不为整个复数平面C，要不为复数平面上C上的一条线L

$$L = \{a + t b : t \in \mathbf{R} \}, \quad a, b \in \mathbf{C}, \ b \ne 0$$

更一般的说，给定一个有限维度实向量空间E，考虑其向量组成的收敛级数，则重排级数之和的集合为E的仿射子空间。

## 参考来源

- Weisstein, Eric (2005). Riemann Series Theorem. 于2005年5月16日访问。