算术-几何平均值不等式

算术-几何平均值不等式，简称算几不等式，是一个常见而基本的不等式，表现算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设$x_1,x_2, \ldots, x_n$为$n$个非负实数，它们的算术平均数是$\mathbf{A}_n = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$，它们的几何平均数是$\mathbf{G}_n = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}$。算术-几何平均值不等式表明，对任意的非负实数$x_1, \ldots, x_n$：

$\mathbf{A}_n \ge \mathbf{G}_n$

等号成立当且仅当$x_1 = x_2 = \cdots = x_n$。

通常用于两个数之间，设这两个数为$a$和$b$，也就是$\frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab}$

算术-几何平均值不等式仅适用于非负实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。

算术-几何平均值不等式有时被称为平均值不等式（或均值不等式），其实后者是一组更广泛的不等式。

## 例子

在$n=4$的情况，设：$x_1 = 3.5,\ x_2 =6.2 ,\ x_3 = 8.4, \ x_4 = 5$，那么

$$\mathbf{A}_4= \frac{3.5 + 6.2 + 8.4 + 5}{4} = 5.775, \ \mathbf{G}_4 = \sqrt[4]{3.5 \times 6.2 \times 8.4 \times 5} \approx 5.4945$$

可见$\mathbf{A}_4 \ge \mathbf{G}_4$。

## 历史上的证明

历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。$n=2$的情况很早就为人所知，但对于一般的$n$，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。

### 柯西的证明

1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出一个使用逆向归纳法的证明：

命题$P_n$：对任意的$n$个正实数$x_1, \ldots, x_n$，$\mathbf{A}_n \ge \mathbf{G}_n$

当$n=2$时，$P_2$显然成立。假设$P_n$成立，那么$P_{2n}$成立。证明：对于$2n$个正实数$x_1, \cdots, x_n, y_1, \cdots, y_n$。

$$\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n + y_1 + \cdots y_n}{2n} = \ \frac{1}{2} \left( \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n} + \frac{y_1 + \cdots + y_n}{n} \right)$$

$$\ge \ \frac{1}{2} \left( \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} + \sqrt[n]{y_1 \cdot y_2 \cdots y_n} \right) <pre> \ge \ \sqrt{ \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} \cdot \sqrt[n]{y_1 \cdot y_2 \cdots y_n} }$$

$$= \ \sqrt[2n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n y_1 \cdot y_2 \cdots y_n}$$

假设$P_n$成立，那么$P_{n-1}$成立。证明：对于$n-1$个正实数$x_1, \cdots, x_{n-1}$，设$\mathbf{A}_{n-1}= \frac{x_1 + \cdots + x_{n-1} }{n-1}$，$\mathbf{G}_{n-1} = \sqrt[n-1]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_{n-1} }$，那么由于$P_n$成立，$\frac{x_1 + \cdots + x_{n-1} + \mathbf{A}_{n-1}}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_{n-1} \mathbf{A}_{n-1} }$。

但是$x_1 + \cdots + x_{n-1} = (n-1)\mathbf{A}_{n-1}$，$x_1 \cdot x_2 \cdots x_{n-1} = \mathbf{G}^{n-1}_{n-1}$，因此上式正好变成

$$\mathbf{A}_{n-1}^n \ge \mathbf{G}^{n-1}_{n-1} \mathbf{A}_{n-1}$$

也就是说$\mathbf{A}_{n-1} \ge \mathbf{G}_{n-1}$

综上可以得到结论：对任意的自然数$n \ge 2$，命题$P_n$都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数$k$，命题$P_{2^k}$都成立。因此对任意的$n \ge 2$，可以先找$k$使得$2^k \ge n$，再结合第三条就可以得到命题$P_{n}$成立了。

### 归纳法的证明

使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（Algebra）的第二卷中给出的：

由对称性不妨设$x_{n+1}$是$x_1, x_2 \cdots x_{n+1}$中最大的，由于$\mathbf{A}_{n+1} = \frac{n\mathbf{A}_n + x_{n+1}}{n+1}$，设$x_{n+1} = \mathbf{A}_n + b$，则$b \ge 0$，并且有$\mathbf{A}_{n+1} = \mathbf{A}_n +\frac{b}{n+1}$。

根据二项式定理。

$$\mathbf{A}^{n+1}_{n+1} = (\mathbf{A}_n +\frac{b}{n+1})^{n+1} \ge \mathbf{A}^{n+1}_{n} + (n+1)\mathbf{A}^{n}_{n} \frac{b}{n+1} = \mathbf{A}^{n}_{n}(\mathbf{A}_{n} + b ) = \mathbf{A}^{n}_{n}x_{n+1} \ge \mathbf{G}^{n}_{n}x_{n+1}$$

$$= x_1 x_2 \cdots x_{n+1} = \mathbf{G}^{n+1}_{n+1}$$

于是完成了从$n$到$n+1$的证明。

此外还有更简洁的归纳法证明：

在$n$的情况下有不等式$\mathbf{A}_n \ge \mathbf{G}_n$和$x_{n+1} + (n-1)\mathbf{G}_{n+1} \ge n \sqrt[n]{ x_{n+1} \mathbf{G}^{n-1}_{n+1} }$成立，于是：

$$\frac{ x_1 + x_2 \cdots +x_n + x_{n+1} + (n-1)\mathbf{G}_{n+1} }{n} \ge \mathbf{G}_n + \sqrt[n]{ x_{n+1} \mathbf{G}^{n-1}_{n+1}} \ge 2 \sqrt[2n]{\mathbf{G}^{n}_{n} x_{n+1} \mathbf{G}^{n-1}_{n+1}}= 2\mathbf{G}_{n+1}$$

所以$(n+1)\mathbf{A}_{n+1} = x_1 + x_2 \cdots +x_n + x_{n+1} \ge 2n \mathbf{G}_{n+1} - (n-1)\mathbf{G}_{n+1} = (n+1)\mathbf{G}_{n+1}$，从而有$\mathbf{A}_{n+1} \ge \mathbf{G}_{n+1}$。

### 基于琴生不等式的证明

注意到几何平均数$\mathbf{G}_n$实际上等于$\exp \left( \frac{\ln {x_1} + \ln {x_2} + \cdots + \ln {x_n}}{n} \right)$，因此算术-几何平均不等式等价于：

$\ln { \frac{ x_1 + x_2 + \cdots + x_n }{n} } \ge \frac{\ln {x_1} + \ln {x_2} + \cdots + \ln {x_n}}{n}$。

由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。

### 基于排序不等式的证明

令$b_i = \frac{{a_i }} {{{\mathbf{G}}_n }}(i=1,2,3,...,n)$，于是有$b_1 b_2 \cdots b_n=1$，再作代换$b_1 = \frac{{c_1 }}{{c_2 }},b_2 = \frac{{c_2 }}{{c_3 }},\cdots,b_n = \frac{{c_n }}{{c_1 }}$，运用排序不等式得到：

$\frac{{c_1 }}{{c_2 }} + \frac{{c_2 }}{{c_3 }} + \cdots + \frac{{c_n }}{{c_1 }} \geqslant \frac{{c_1 }}{{c_1 }} + \frac{{c_2 }}{{c_2 }} + ... + \frac{{c_n }}{{c_n }} = n$。

于是得到$a_1 + a_2 + \cdots + a_n \geqslant n{\mathbf{G}}_n$，即原不等式成立。

此外还有基于伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。

## 推广

算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。

### 加权算术-几何平均不等式

不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设$x_1, \cdots, x_n$和$p_1, \cdots, p_n$为正实数，并且$p_1 + p_2 \cdots + p_n =1$，那么：

$p_1 x_1 +p_2 x_2 \cdots + p_n x_n \ge x^{p_1}_1 x^{p_2}_2 \cdots x^{p_n}_n$。

加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。

### 矩阵形式

算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵，一样有类似的不等式：

对于系数都是正实数的矩阵$\begin{bmatrix} <pre> a_{11} & \cdots & a_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nk} </pre> \end{bmatrix}$

设$A_{j} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_{ij}$，$G_{i}=\sqrt[k]{\prod_{j=1}^k a_{ij} }$，那么有：

$$\sqrt[k]{A_1 A_2 \cdots A_k} \leqslant \frac{G_1 + G_2 + \cdots + G_n}{n}$$

也就是说：对$k$个纵列取算术平均数，它们的几何平均小于等于对$n$个横行取的$n$个几何平均数的算术平均。

### 极限形式

也称为积分形式：对任意在区间$[0,1]$上可积的正值函数$f$，都有$\int_{0}^{1} f(x) dx \ge \exp (\int_{0}^{1} \ln f(x) dx )$ 这实际上是在算术-几何平均值不等式取成$\frac{ x_1 + x_2 + \cdots + x_n }{n} \ge \exp ( \frac{\ln {x_1} + \ln {x_2} + \cdots + \ln {x_n}}{n} )$后，将两边的黎曼和中的$n$趋于无穷大后得到的形式。

### 算术-几何-调和平均值不等式

若再规定$x_1,x_2, \ldots, x_n$的调和平均数$H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}.$

则有$\mathbf{A}_n \ge \mathbf{G}_n \ge \mathbf{H}_n$ 且等号依旧成立当且仅当$x_1 = x_2 = \cdots = x_n$。

证明由算术-几何平均值不等式知

$$\frac{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}{n} \ge \sqrt[n]{\frac{1}{x_1} \frac{1}{x_2} \cdots \frac{1}{x_n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}}$$

故

$$\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \ge \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}$$

即

$\mathbf{G}_n \ge \mathbf{H}_n$

且等号成立于

$$\frac{1}{x_1}= \frac{1}{x_2}= \cdots= \frac{1}{x_n}$$

即

$$x_1=x_2=\cdots =x_n$$

## 参考来源

- 匡继昌，《常用不等式》，山东科技出版社。
- 李胜宏，《平均不等式与柯西不等式》，华东师大出版社。
- 莫里斯·克莱因（Morris Kline），张理京 张锦炎 江泽涵 译，《古今数学思想》，上海科学技术出版社。
- 李兴怀，《学科奥林匹克丛书·高中数学》，广东教育出版社。