2的算术平方根

2的算术平方根，俗称“根号2”，记作$\sqrt{2}$，可能是最早被发现的无理数。相传毕达哥拉斯学派的希帕索斯首先提出了“$\sqrt{2}$不是有理数”的命题：若一个直角三角形的两个直角边都是1，那么它的斜边长，无法用整数或分数表示。

$\sqrt{2}$其最初65位为

$\sqrt{2}$精确到小数点后二十位的的有理近似值为$\frac{26102926097}{18457556052}$。

## $\sqrt{2}$是无理数的证明

人们发现了许多方法证明$\sqrt{2}$是无理数。以下是反证法的证明

### 常见的证明

- 假设$\sqrt{2}$是有理数，即有整数$a_0$、$b_0$，使得$\frac{a_0}{b_0}=\sqrt{2}$
- 将$\sqrt{2}$重写成最简分数$\tfrac{a}{b}$，即$a$和$b$互质，且$\left(\tfrac{a}{b}\right)^2=2$
- 所以$\frac{a^2}{b^2} =2$，即$a^2=2b^2$
- 因为$2b^2$必为偶数，故$a^2$亦是偶数
- 故$a$为偶数（奇数的平方不会是偶数）
- 所以必有一整数$k$，使得$a=2k$
- 将（3）的式子代入（6）：$2b^2=\left(2k\right)^2$
- 化简得$b^2=2k^2$
- 因为$2k^2$是偶数，所以$b^2$是偶数，$b$亦是偶数
- 所以$a$和$b$都是偶数，跟$\frac{a}{b}$是最简分数的假设矛盾
- 因为导出矛盾，所以（1）的假设错误，$\sqrt{2}$不是有理数，即是无理数

这个证明可推广至证明任何非完全平方数的正整数$n$，其算术平方根$\sqrt{n}$为无理数。

### 另一个证明

另外一个$\sqrt{2}$是无理数的反证法证明较少为人所知，但证明方法也相当漂亮：

- 假设$\sqrt{2}$是有理数，便可以表示成最简分数$\frac{m}{n}$，其中$m$, $n$为正整数
- $$\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{1}=\frac{(2-\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{2-1}=\frac{(2-\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$$
- 由于$\sqrt{2}=\frac{m}{n}$，所以$\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=\frac{2-\frac{m}{n}}{\frac{m}{n}-1}=\frac{2n-m}{m-n}$
- 因为$\frac{m-n}{n}=\sqrt{2}-1$
- $$2>\sqrt{2}\Rightarrow1+1>\sqrt{2}\Rightarrow\sqrt{2}-1<1$$
- 所以$m-n<n$
- 故$\frac{2n-m}{m-n}$是比$\frac{m}{n}$更简的分数，与$\frac{m}{n}$是最简分数的假设矛盾

从一个直角边为$n$，斜边为$m$的等腰直角三角形，可以用尺规作图作出直角边为$m-n$，斜边为$2n-m$的等腰直角三角形。这是古希腊几何学家的作图证明方法。

## 性质

2的算术平方根可以表示为以下的级数或无穷乘积：

$$\frac{1}{\sqrt 2} = \prod_{k=0}^\infty \left(1-\frac{1}{(4k+2)^2}\right) = \left(1-\frac{1}{4}\right) \left(1-\frac{1}{36}\right) \left(1-\frac{1}{100}\right) \cdots$$

$$\sqrt{2} = \prod_{k=0}^\infty \frac{(4k+2)^2}{(4k+1)(4k+3)} = \left(\frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3}\right) \left(\frac{6 \cdot 6}{5 \cdot 7}\right) \left(\frac{10 \cdot 10}{9 \cdot 11}\right) \left(\frac{14 \cdot 14}{13 \cdot 15}\right) \cdots$$

$$\sqrt{2} = \prod_{k=0}^\infty \left(1+\frac{1}{4k+1}\right) \left(1-\frac{1}{4k+3}\right) = \left(1+\frac{1}{1}\right) \left(1-\frac{1}{3}\right) \left(1+\frac{1}{5}\right) \left(1-\frac{1}{7}\right) \cdots.$$

$$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \left(\frac{\pi}{4}\right)^{2k}}{(2k)!}.$$

$$\sqrt{2} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^{k+1} \frac{(2k-3)

}{(2k)

} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2\cdot4} + \frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} - \frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6\cdot8} + \cdots.$$

$$\sqrt{2} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(2k+1)!}{(k!)^2 2^{3k+1}} = \frac{1}{2} +\frac{3}{8} + \frac{15}{64} + \frac{35}{256} + \frac{315}{4096} + \frac{693}{16384} + \cdots.$$

2的算术平方根的连分数展开式为：

$$\!\ \sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots}}}}.$$

令$\!\ x = 2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots}}}}$。

由观察可知$x=2+\frac{1}{x}$，即$x^2-2x-1=0$。

解方程，取正根，得$x=1+\sqrt{2}$。

因此$\sqrt{2}=x-1= 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots}}}}$。

## 基本资料

- 说明：2的平方根等于一个直角边都是1的等腰直角三角形的斜边长
- 作战范围：数表—无理数$\color{blue}\sqrt{2}$ - $\color{blue}\varphi$ - $\color{blue}\sqrt{3}$ - $\color{blue}\sqrt{5}$ - $\color{blue}\delta_S$ - $\color{blue}e$ - $\color{blue}\pi$
- 日语原文：2的平方根
- nav：no
- 制造数量：$\sqrt{2}$
- 面值：$\sqrt{2}\approx$1.414213562...
- 以此为根的多项式或函数：$x^{2}-2 = 0$
- 无理数：$\sqrt{2}$
- 别名：2的算术平方根、2的主平方根、根号2
- 连分数：$1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}$