变分原理

变分原理是物理学的一条基本原理，以变分法来表达。

根据科内利乌斯·兰佐斯的说法，任何可以用变分原理来表达的物理定律描述一种自伴的表示。这种表示也被说成是埃尔米特的，描述了在埃尔米特变换下的不变量。

菲利克斯·克莱因的爱尔兰根纲领试图鉴识这类在一组变换下的不变量。在物理学的诺特定理中，一组变换的庞加莱群（现在广义相对论中被称为规范群）定义了在一组依赖于变分原理的变换下的对称性，即作用原理。

## 实例

- 几何光学中的费马原理
- 力学中的最小作用量原理，电磁理论，及量子力学
- 根据斯蒂芬·沃尔夫勒姆的说法（参见一种新科学一书 1052页），爱因斯坦场方程也涉及一个变分原理，作为爱因斯坦-希尔伯特作用量的约束。

## 量子力学中的变分原理

假设你想计算一个哈密顿量为H的体系的基态能量Egs，换句话说，已经知道体系的哈密顿算符H。如果不能解薛定谔方程来找出波函数，可以任意猜测一个归一化的波函数，比如说φ，结果是根据猜测的波函数得到的哈密顿算符的期望值将会高于实际的基态能量。换言之：

$$E_{ground} \le \left\langle\phi|H|\phi\right\rangle$$

这对于所猜测的任何φ都适用。

### 证明

任一个波函数φ都可以展开为哈密顿算符的实际本征函数的线性组合（我们假定这些本征函数是正交归一的）：

$$\phi = \sum_{n} c_{n}\psi_{n} \,$$

那么，哈密顿算符的期望值是：

$\left\langle\phi|H|\phi\right\rangle \,$｜$= \left\langle\sum_{n}c_{n}\psi_{n}|H|\sum_{m}c_{m}\psi_{m}\right\rangle \,$

$$= \sum_{n}\sum_{m}\left\langle c_{n}\psi_{n}|E_{m}|c_{m}\psi_{m}\right\rangle \,$$ $$= \sum_{n}\sum_{m}c_{n}^*c_{m}E_{m}\left\langle\psi_{n}|\psi_{m}\right\rangle \,$$ $$= \sum_{n} |c_{n}|^2 E_{n} \,$$

如果把$E_{n}$替换成基态能量$E_{g}$，从求和公式中提出来，那么等号变成大于等于号。亦即：

$$\left\langle\phi|H|\phi\right\rangle \ge E_{g} \,$$

### 推广

给定一个描述所研究的体系的哈密顿算符H和任意可归一化的并带有适当体系未知波函数参数的函数Ψ，我们定义泛函：

$$\varepsilon\left[\Psi\right] = \frac{\left\langle\Psi|\hat{H}|\Psi\right\rangle}{\left\langle\Psi|\Psi\right\rangle}.$$

那么变分原理说明：

- $\varepsilon \geq E_0$，式中$E_0$是该哈密顿算符的具有最低能量的本征态（基态）。
- $\varepsilon = E_0$当且仅当$\Psi$确切地等同于研究体系的基态。

上述变分原理是变分法的基本原理，用于量子力学和量子化学来近似求解体系基态。

### 变分法应用示例

#### 一维简谐振子

一维简谐振子的哈密顿算符为$H=-\frac{\hbar ^2}{2\mu}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{1}{2}\mu\omega ^2x^2$，其中$\hbar$为约化普朗克常数，$\mu$为简谐振子的重量，$\omega$为简谐振子的频率。

选取高斯函数作为试探波函数$\psi \left( x \right) =Ae^{-bx^2}$，其中$b$为常数，由波函数的归一化$\int_{ - \infty}^{\infty} \psi^*(x)\psi(x)\ dx=1$，可得$A=\left( \frac{2b}{\pi} \right) ^{\frac{1}{2}}$。

哈密顿量为$H=T+V$，其中$T$为动能，$V$为势能。

$$H=T+V=-\frac{\hbar ^2}{2\mu}\left| A \right|^2\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-bx^2}\frac{d^2}{dx^2}\left( e^{-bx^2} \right) dx}+\frac{1}{2}\mu\omega ^2\left| A \right|^2\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-2bx^2}x^2dx=}\frac{\hbar ^2b}{2\mu}+\frac{\mu\omega ^2}{8b}$$

对于任意$b$，$H$必大于$E_g$，求$H$的极小值，可使$H$对$b$求导为$0$，即

$$\frac{dH}{db}=\frac{\hbar ^2}{2\mu}-\frac{\mu\omega ^2}{8b^2}=0\Rightarrow b=\frac{\mu\omega}{2\hbar}$$

此时，$H_{\min}=\frac{1}{2}\hbar \omega$，而一维简谐振子的能量为$E=\left( n+\frac{1}{2} \right) \hbar \omega$，采用变分法得到了一维简谐振子的基态能量。

## 延伸阅读

- Epstein S T 1974 "The Variation Method in Quantum Chemistry". (New York: Academic)
- Lanczos C, The Variational Principles of Mechanics (Dover Publications)
- Nesbet R K 2003 "Variational Principles and Methods In Theoretical Physics and Chemistry". (New York: Cambridge U.P.)
- Adhikari S K 1998 "Variational Principles for the Numerical Solution of Scattering Problems". (New York: Wiley)
- Gray C G, Karl G and Novikov V A 1996 Ann. Phys. 251 1.

## 外部链接和参考资料

- Stephen Wolfram, A New Kind of Science p. 1052
- Gray, C.G., G. Karl, and V. A. Novikov, " Progress in Classical and Quantum Variational Principles". 11 Dec 2003. physics/0312071 Classical Physics.
- Venables, John, " The Variational Principle and some applications". Dept of Physics and Astronomy, Arizona State University, Tempe, Arizona (Graduate Course: Quantum Physics)
- Williamson, Andrew James, " The Variational Principle -- Quantum monte carlo calculations of electronic excitations". Robinson College, Cambridge, Theory of Condensed Matter Group, Cavendish Laboratory. September 1996. (dissertation of Doctor of Philosophy)
- Tokunaga, Kiyohisa, " Variational Principle for Electromagnetic Field". Total Integral for Electromagnetic Canonical Action, Part Two, Relativistic Canonical Theory of Electromagnetics, Chapter VI