等化器

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等化器（Equalizer）在通讯系统中是很重要的一部分，由于传送讯号在传送路径到接收器接收的过程中会受到多路径干扰（multipath）、路径中遮蔽物阻挡造成遮蔽效应（shadow effect），这些现象都会造成接收讯号错误率上升。因此为了降低通讯系统传输的错误率要作通道估测，经由估测的结果对通道响应做补偿进而降低传送错误率。现亦有软件可利用等化器处理声音，将声音专门为某类优化，如摇滚、流行、舞曲、古典、柔和等。

## 线性等化器（Linear equalizer）

### zero forcing equalizer

- 在频域（freq. domain）的观点，ZF等化器是个反向滤波器（E(z)=1/F(z)）
- 在时域，ZF等化器的脉冲响应（impulse response）是脉冲函数（delta function）
- ZF等化器可以完全消除ISI，但缺点是会造成噪声放大

x(t)：传送信号

p(t)：传送滤波器使用波型

y(t)：接收讯号

w：tap delay line filter每个tap的系数

$$\begin{matrix} <pre> a_{i}=1,i=0 \\ a_{i}=0,i\ne 0 \\ </pre> \end{matrix}$$

$$x(t)=\sum\limits_{i}{a_{i}p(t-iT)=a_{0}p(t)=p(t)}$$

$$y(t)=\sum\limits_{n=-N}^{N}{w_{i}p(t-nT)}$$

$$\left[ \begin{matrix} <pre> p (0) & p(-T)& \cdots & p(-2NT) \\ p (T) & p(0)& \cdots & p(-(2N-1)T) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ p (2NT) & p((2N-1)T) & \cdots & p(0) \\ </pre> \end{matrix} \right]$$ $$\left[ \begin{matrix} <pre> w_{-N} \\ w_{-N+1} \\ \vdots \\ w_{0} \\ \vdots \\ w_{N} \\ </pre> \end{matrix} \right]$$

=

$$\left[ \begin{matrix} <pre> 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \\ </pre> \end{matrix} \right]$$

=> AW=b,W=A^(-1)b

由上面推导即可导出Tap delay line equalizer所以要的最佳系数

### MMSE等化器

ZF等化器可以消除完全消除ISI，但过程中会放大噪声。MMSE等化器则是在则是使设计估测通道信号及实际信号的均方误差为最小，虽然不能完全消除ISI但不会造成噪声的放大。d(n)为实际通道、$y_0(n)$为通道估测结果、$e_o(n)$为两者误差

$$e_{0}(n)=d(n)-y_{0}(n)=d(n)-h(n)$$

$$J_{MIN}=E((e_{0}(n))^{2})=\sigma _{d}^{2}+\sigma _{h}^{2}-2E(d(n)h(n))$$

$$d(n)=h(n)+e_{opt}(n)$$ $$\Rightarrow E(d(n)h(n))=E(h(n)^{2})+E(h(n)e_{opt}(n))$$ $$= >J_{MIN}=\sigma _{d}^{2}+\sigma _{h}^{2}-2\sigma _{h}^{2}=\sigma _{d}^{2}-\sigma _{h}^{2}$$

由上面结果可知，我们想要得到的结果d(n)可以正交分解成d(n)=h(n)+$e_opt (n)$其中h(n)垂直于$e_opt (n)$

## 可适性算法（for MSE）

通讯传输等化器设计，很重要的就是要找出最佳的tap-delay-line filter系数，找出一组可以误差最小的系数。而在时变（time-variant）通道中，通道状况随时在改变，所以在设计等化器时便要因应不同的通道状况，随时调整计算出使误差最小的系数，这种算法变称为adaptive algorithms。可适性（adaptive）算法的好坏可由下列几项标准判定：

- 收敛速度：算法在经过多少次重复运算后可以相当接近最后想要的结果
- 每次重复运算（iteration）的计算量
- 错误调整（misadjustment）的大小

### LMS算法

LMS算法通常包含两部分（由以下两者相互运作形成一回授（feedback loop）

1.计算线系滤波器输出对输入信号的反应

2.比较输出信号和想要的信号（desire signal）得到预测误差

- 可适性程序（adaptive process）:对于估测误差，自动调整等化器参数

$$\begin{align} <pre> & J(n)=\left| e(n)\right|^{2},e(n)=d(n)-y(n),y(n)=w^{H}(n)u(n)\\ & =>\nabla J (n)=-2e^{*}(n)u(n)\\ & =>w(n+1)=w(n)-\frac{u}{2}\nabla J (n)=w(n)+ue^{*}(n)u(n) \\ </pre> \end{align}$$

d(n)：为想得到的信号

u(n)：等化器输入信号

y(n)：等化器输出信号

w(n)：可时变的tap-delay line filter系数

- 由于LMS算法不需要事先求得u(n)的自相关函数（ACF）及u(n)和d(n)的互相关函数（CCF），因此在运算上简化许多，也由于w(n)是e(n)及u(n)的函式（e(n)u(n)是随机程序），所以LMS算法是一统计滤波器（stochastic filter）。
- 在设计LMS-based可适性滤波器时，如何决定step-size u使LMS算法收敛是一项相当重要的议题
- 当0<u<2/ŋ时，LMS算法收敛（ŋ_max是u*$u^T$的最大特征值）

### RLS算法

对每个n值，我们根据WN来估计新的最小平方差解，我们在用w(n)来寻找，来表示新的w(n+1)估计值时，希望避免LS算法全部从头重做的情况，用RLS算法的好处是我们不用将矩阵反置（inverse），如此一来可以节省运算POWER

算法：

1.初始条件：P(0)=δ^(-1)·I，w(0)=0，δ是一大于零很小的常数

2.for n=1,2,....计算k(n)，z(n)，w(n)

$$\begin{align} <pre> & k(n)=\frac{\lambda ^{-1}p(n-1)u(n)}{1+\lambda ^{-1}u^{H}(n)p(n-1)u(n)} \\ & \xi(n)=d(n)-w^{H}(n-1)u(n)\\ & w(n)=w(n-1)+k(n)\xi ^{*}(n)\\ & p(n)=\lambda ^{-1}p(n-1)-\lambda ^{-1}k(n)u^{H}(n)p(n-1) \\ </pre> \end{align}$$

LMS和RLS两者比较：

- LMS算法的运算量少，为L的等级（L为滤波器的长度），但收敛速度受到输入信号的统计特性所影响，需花较多时间达到要求的收敛性能
- RLS算法虽然收敛速度快，但却需要巨大的运算量，为L平方的等级。

## Decision feedback equalizer

- DFE有个简单根本的假定：当我们已经正确地侦测到一个bit，我们可以利用由bit获得的知识及对通道响应的了解，进而计算出这个bit所造成的ISI。换句话说我们可以决定这个bit后来收到讯号序列所造成的影响，并扣除这个bit对后面接收序列所造成的ISI。
- DFE由一个forward filter（转移函数E(z)）及一个feedback filter（转移函数D(z)）所组成。一旦接收端RX对接收信号做出决策，其对之后信号所造成的影响（postcursor ISI）可以立刻算出，并且扣除。
- DFE使用回授系统，所以有Error propagation的现象

### MMSE Decision feedback equalizer

MMSE DFE的目标是借由在噪声放大与残余ISI（residual ISI）间取得平衡，进而使均方误差最小化。由于DFE噪声放大的情况和线性等化器不同，所以tap-delay-line等化器的系数也就不同。由于postcursor ISI不会造成噪声放大，所以我们把目标放在使噪声及precursorISI的相加最小

feedforward滤波器的系数可由下列推导得到：

$\sum\limits_{n=-k}^{0}$ $e_{n}(\sum\limits_{m=0}^{-l}{f_{m}^{-1}f_{m+l-n}+N_{0}\delta _{nl}})$ $=-f^{*}_{-l}$

其中l,n=-k,...,0 k:feedforward filter的tap数，所以feedback filter系数为

$\text{d}_{n}=-\sum\limits_{m--k}^{0}{e_{m}f_{n-m}}$ for n=1,...,$K_b$（feedback filter的tap数）

MMSEDFE输出端的均方误差为：

$$\sigma _{n}^{2}=N_{0}\exp (\tfrac{T_{S}}{2\pi }\int\limits_{\tfrac{-\pi }{T_{S}}}^{\frac{\pi }{T_{S}}}{\ln (\frac{1}{z(e^{jwT}+N_{0})})})dw)$$

### Zero Forcing DFE

如上面提到ZF等化器消除所有ISI，以致于导致有效通道是纯因果性（purely causal）。postcursor ISI在回授端会被扣除，其输出噪声功率如下

$$\sigma _{n}^{2}=N_{0}\exp (\tfrac{T_{S}}{2\pi }\int\limits_{\tfrac{-\pi }{T_{S}}}^{\frac{\pi }{T_{S}}}{\ln (\frac{1}{z(e^{jwT}_{{}})})})dw)$$

## Maximum Likelihood Sequence Estimation

最大概似函数估测（MLSE）利用判定哪个符号（symbol）最类似接收到的信号，来对接收到的符号做决策。这个方法很类似循环码（convolution code）解码的过程

事实上，在延迟分散（delay dispersive）通道中可视为循环编码法（code rate 1/1），MLSE估计是上述所有等化器中效能最好的。

MLSE接收到信号为

$$u_{i}=\sum\limits_{n=0}^{L_{C}}{f_{n}c_{i-n}+n_{_{i}}}$$

其中n为高斯白噪声，对于N个接收值的序列，接收讯号u的结合条件几率密度为

pdf（u│c,f)=$\frac{1}{(2\pi \sigma _{n}^{2})^{N/2}}\exp (-\frac{1}{2\sigma _{n}^{2}}\sum\limits_{i=1}^{N}{\left| u_{i}-\sum\limits_{n=0}^{L_{C}}{f_{n}c_{i-n}} \right|^{2}})$

所以当$\sum\limits_{i=1}^{N}{\left| u_{i}-\sum\limits_{n=0}^{L_{C}}{f_{n}c_{i-n}} \right|^{2}}$最小时，pdf(u│c;f)有最大值。

- MLSE只有在可加性噪声是白噪声（white）时有最佳化结果，所以取样值在进入MLSE检测器前要先经过noise-whitening滤波器

## 比较

- MLSE等化器位元错误率比其他等化器都小
- DFE错误率比线性等化器好
- 当通道转移函数（Transfer function）有零是否可以应付

ZF等化器运算过程中把通道转移函数做倒数运算，所以等化器转移函数会产上零点，MMSE及MLSE等化器都不会产生这个问题

- 计算量
- 线性等化器计算量和DFE计算量没有显著的差异
- 可适性算法随者等化器长度线性、二次方甚至四次方的增加
- 当通道的脉冲响应长度增加时，MLSE等化器运算量成指数增加
- 能量消耗可由计算量推断出
- 对通道估测误差的敏感度
- DFE对估测误差敏感度大于线性等化器来源请求
- ZF等化器的敏感度大于MMSE等化器

## 参考资料

- "Wireless Commuincation",Andreas F.Molisch
- "Adaptive filter theory",Simon HayKin