谱半径

数学上，矩阵或有界线性算子的谱半径（spectral radius）是其特征值绝对值中的最大值（也就是矩阵的谱中元素绝对值中的最小上界），会表示为ρ(·)。

## 矩阵

令λ1, ..., λn是矩阵A ∈ Cn×n中的特征值，则其谱半径 ρ(A) is 定义为：

$$\rho(A) = \max \left \{ |\lambda_1|, \dotsc, |\lambda_n| \right \}.$$

$A$的条件数可以用谱半径表示，公式为$\rho(A) \rho(A^{-1})$。

谱半径是矩阵所有范数的一种下确界（infimum）。另一方面，$\rho(A) \leqslant \|A\|$对每一个矩阵范数 $\|\cdot\|$都成立，Gelfand公式指出$\rho(A) = \lim_{k\to\infty} \|A^k\|^{1/k}$。不过，针对任意向量$\mathbf{v} \in \mathbb{C}^n$，谱半径不一定会满足$\|A\mathbf{v}\| \leqslant \rho(A) \|\mathbf{v}\|$。若要说明原因，可以令$r>1$为任意数，考虑矩阵$C_r = \begin{pmatrix} 0 & r^{-1} \\ r & 0 \end{pmatrix}$。$C_r$的特征多项式是$\lambda^2 - 1$，因此其特征值为$\pm 1$，且$\rho(C_r) = 1$。不过$C_r \mathbf{e}_1 = r \mathbf{e}_2$，因此$\| C_r \mathbf{e}_1 \| = r > 1 = \rho(C_r) \|\mathbf{e}_1\|$，其中$\|\cdot\|$是$\mathbb{C}^n$上的任何$\ell^p$范数。至于可以当$k \to \infty$时，让$\|C_r^k\|^{1/k} \to 1$的原因是$C_r^2 = I$，因此当$k \to \infty$时，使$\|C_r^k\|^{1/k} \leqslant \|C_r\|^{1/k} = r^{1/k} \to 1$。

$\|A\mathbf{v}\| \leqslant \rho(A) \|\mathbf{v}\|$针对所有$\mathbf{v} \in \mathbb{C}^n$

成立的条件是$A$为埃尔米特矩阵及$\|\cdot\|$为欧几里得范数。

## 图

有限图的谱半径定义为其邻接矩阵的谱半径。

此一定义可以扩散到无限图，但是其每个顶点都只连接有限个顶点（存在一实数C使得每一个顶点的度都小于C）。此情形下，针对图G可定义：

$$\ell^2(G) = \left \{ f : V(G) \to \mathbf{R} \ : \ \sum\nolimits_{v \in V(G)} \left \|f(v)^2 \right \| < \infty \right \}.$$

令γ是 G的邻接算子：

$$\begin{cases} \gamma : \ell^2(G) \to \ell^2(G) \\ (\gamma f)(v) = \sum_{(u,v) \in E(G)} f(u) \end{cases}$$

G的谱半径定义为有界线性算子γ的谱半径。

## 上界

### 矩阵谱半径的上界

以下的命题指出了一个简单但是有用的矩阵谱半径上界：

命题：令A ∈ Cn×n，其谱半径为ρ(A)，以及相容（Consistent）矩阵范数。则针对每一个整数$k \geqslant 1$:

$$\rho(A)\leq \|A^k\|^{\frac{1}{k}}.$$

证明

令(v, λ)为矩阵A的特征值-特征向量对。利用矩阵范数的次可乘性（sub-multiplicative property），可得：

$$|\lambda|^k\|\mathbf{v}\| = \|\lambda^k \mathbf{v}\| = \|A^k \mathbf{v}\| \leq \|A^k\|\cdot\|\mathbf{v}\|$$

因为v ≠ 0，可得

$$|\lambda|^k \leq \|A^k\|$$

因此

$$\rho(A)\leq \|A^k\|^{\frac{1}{k}}.$$

### 图谱半径的上界

有关n个顶点，m个边的图，有许多的谱半径的上界公式。例如，若

$$\frac{(k-2)(k-3)}{2} \leq m-n \leq \frac{k(k-3)}{2}$$

其中$3 \le k \le n$为整数，则：

$$\rho(G) \leq \sqrt{2 m-n-k+\frac{5}{2}+\sqrt{2 m-2 n+\frac{9}{4}}}$$

## 乘幂数列

### 定理

谱半径和矩阵乘幂数列是否收敛有紧密的关系。以下的定理会成立：

定理：令A ∈ Cn×n，其谱半径ρ(A)。则ρ(A) < 1当且仅当

$$\lim_{k \to \infty} A^k = 0.$$

另一方面，若ρ(A) > 1, $\lim_{k \to \infty} \|A^k\| = \infty$。上述叙述针对Cn×n上的任何矩阵范数都有效。

### 定理证明

假设问题中的极限值为零，可以证明ρ(A) < 1。令(v, λ)为A的特征值和特征向量对。因为Akv = λkv可得：

$$\begin{align} <pre> 0 &= \left(\lim_{k \to \infty} A^k \right) \mathbf{v} \\ &= \lim_{k \to \infty} \left(A^k\mathbf{v} \right ) \\ &= \lim_{k \to \infty} \lambda^k\mathbf{v} \\ &= \mathbf{v} \lim_{k \to \infty} \lambda^k </pre> \end{align}$$

因为假设v ≠ 0，会得到

$$\lim_{k \to \infty}\lambda^k = 0$$

表示|λ| < 1。因为这对任何一个特征值都会成立，因此可知ρ(A) < 1。

接下来假设A的谱半径小于1。根据若尔当标准型定理，可以知道针对所有的A ∈ Cn×n，存在V, J ∈ Cn×n以及非奇异的V和J分块对角矩阵使得：

$$A = VJV^{-1}$$

而

$$J=\begin{bmatrix} J_{m_1}(\lambda_1) & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J_{m_2}(\lambda_2) & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \cdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & J_{m_{s-1}}(\lambda_{s-1}) & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & J_{m_s}(\lambda_s) \end{bmatrix}$$

其中

$$J_{m_i}(\lambda_i)=\begin{bmatrix} \lambda_i & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_i & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_i & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_i \end{bmatrix}\in \mathbf{C}^{m_i \times m_i}, 1\leq i\leq s.$$

因此可得

$$A^k=VJ^kV^{-1}$$

因为J是分块对角矩阵

$$J^k=\begin{bmatrix} J_{m_1}^k(\lambda_1) & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J_{m_2}^k(\lambda_2) & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \cdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & J_{m_{s-1}}^k(\lambda_{s-1}) & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & J_{m_s}^k(\lambda_s) \end{bmatrix}$$

而$m_i \times m_i$若尔当方块矩阵k次方可以得到，针对$k \geq m_i-1$：

$$J_{m_i}^k(\lambda_i)=\begin{bmatrix} \lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} & {k \choose 2}\lambda_i^{k-2} & \cdots & {k \choose m_i-1}\lambda_i^{k-m_i+1} \\ 0 & \lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} & \cdots & {k \choose m_i-2}\lambda_i^{k-m_i+2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_i^k \end{bmatrix}$$

因此，若$\rho(A) < 1$，则针对所有的i，$|\lambda_i| < 1$都会成立。因此针对所有的i，可得：

$$\lim_{k \to \infty}J_{m_i}^k=0$$

这也表示

$$\lim_{k \to \infty} J^k = 0.$$

因此

$$\lim_{k \to \infty}A^k=\lim_{k \to \infty}VJ^kV^{-1}=V \left (\lim_{k \to \infty}J^k \right )V^{-1}=0$$

另一方面，若$\rho(A)>1$，当k增加时，在J中至少有一个元素无法维持有界，因此证明了定理的第二部分。

## Gelfand公式

### 定理

以下的定理可以用矩阵范数的极限来计算T谱半径

定理（Gelfand公式，1941年）：令任何矩阵范数，可得

$\rho(A)=\lim_{k \to \infty} \left \|A^k \right \|^{\frac{1}{k}}.$.

### 证明

令任意ε > 0，先建构以下二个矩阵：

$$A_{\pm}= \frac{1}{\rho(A) \pm\varepsilon}A.$$

则:

$$\rho \left (A_{\pm} \right ) = \frac{\rho(A)}{\rho(A) \pm \varepsilon}, \qquad \rho (A_+) < 1 < \rho (A_-).$$

先将之前的定理应用到A+:

$$\lim_{k \to \infty} A_+^k=0.$$

这表示，根据级数极限定理，一定存在N+ ∈ N使得针对所有的k ≥ N+，下式都成立

$$\begin{align} \left \|A_+^k \right \| < 1 \end{align}$$

因此

$$\begin{align} \left \|A^k \right \|^{\frac{1}{k}} < \rho(A)+\varepsilon. \end{align}$$

将之前的定理用在A−，表示$\|A_-^k\|$无界，一定存在N− ∈ N使得针对所有的k ≥ N−，下式都成立

$$\begin{align} \left\|A_-^k \right \| > 1 \end{align}$$

因此

$$\begin{align} \left\|A^k \right\|^{\frac{1}{k}} > \rho(A)-\varepsilon. \end{align}$$

令，可得：

$$\forall \varepsilon>0\quad \exists N\in\mathbf{N} \quad \forall k\geq N \quad \rho(A)-\varepsilon < \left \|A^k \right \|^{\frac{1}{k}} < \rho(A)+\varepsilon$$

因此，依定义，可得下式

$$\lim_{k \to \infty} \left \|A^k \right \|^{\frac{1}{k}} = \rho(A).$$

## 举例

考虑以下矩阵

$$A=\begin{bmatrix} 9 & -1 & 2\\ -2 & 8 & 4\\ 1 & 1 & 8 \end{bmatrix}$$

其中的特征值为5, 10, 10。依照定义，ρ(A) = 10。在以下的表中，会以四个最常用的矩阵范式，在k增加时，计算$\|A^k\|^{\frac{1}{k}}$（注意，因为此矩阵特殊的形式，$\|.\|_1=\|.\|_\infty$）:

k｜$\|.\|_1=\|.\|_\infty$｜$\|.\|_F$｜$\|.\|_2$

1｜14｜15.362291496｜10.681145748

2｜12.649110641｜12.328294348｜10.595665162

3｜11.934831919｜11.532450664｜10.500980846

4｜11.501633169｜11.151002986｜10.418165779

5｜11.216043151｜10.921242235｜10.351918183

$\vdots$｜$\vdots$｜$\vdots$｜$\vdots$

10｜10.604944422｜10.455910430｜10.183690042

11｜10.548677680｜10.413702213｜10.166990229

12｜10.501921835｜10.378620930｜10.153031596

$\vdots$｜$\vdots$｜$\vdots$｜$\vdots$

20｜10.298254399｜10.225504447｜10.091577411

30｜10.197860892｜10.149776921｜10.060958900

40｜10.148031640｜10.112123681｜10.045684426

50｜10.118251035｜10.089598820｜10.036530875

$\vdots$｜$\vdots$｜$\vdots$｜$\vdots$

100｜10.058951752｜10.044699508｜10.018248786

200｜10.029432562｜10.022324834｜10.009120234

300｜10.019612095｜10.014877690｜10.006079232

400｜10.014705469｜10.011156194｜10.004559078

$\vdots$｜$\vdots$｜$\vdots$｜$\vdots$

1000｜10.005879594｜10.004460985｜10.001823382

2000｜10.002939365｜10.002230244｜10.000911649

3000｜10.001959481｜10.001486774｜10.000607757

$\vdots$｜$\vdots$｜$\vdots$｜$\vdots$

10000｜10.000587804｜10.000446009｜10.000182323

20000｜10.000293898｜10.000223002｜10.000091161

30000｜10.000195931｜10.000148667｜10.000060774

$\vdots$｜$\vdots$｜$\vdots$｜$\vdots$

100000｜10.000058779｜10.000044600｜10.000018232

## 有界线性算子

针对有界线性算子 A 及算子范数

·

可以得到

$$\rho(A) = \lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{\frac{1}{k}}.$$

（复数希尔伯特空间上的）有界算子若其谱半径等于数值半径，可以称为“谱算子”（spectraloid operator）。其中一个例子是正规算子。