四维矢量

本条目中，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。四维矢量用加有标号的斜体显示。例如，${x}^{\mu}\,\!$或${x}_{\mu}\,\!$。为了避免歧意，四维矢量的斜体与标号之间不会有括号。例如，$(x)^2\,\!$表示$x\,\!$平方；而${x}^2\,\!$是${x}^{\mu}\,\!$的第二个分量。

在相对论里，四维向量（four-vector）是实值四维向量空间里的矢量。这四维向量空间称为闵考斯基时空。四维向量的分量分别为在某个时间点与三维空间点的四个数量。在闵考斯基时空内的任何一点，都代表一个“事件”，可以用四维向量表示。从任意惯性参考系观察某事件所获得的四维向量，通过劳仑兹变换，可以变换为从其它惯性参考系观察该事件所获得的四维向量。

本文章只思考在狭义相对论范围内的四维向量，尽管四维向量的概念延伸至广义相对论。在本文章内写出的一些结果，必须加以修改，才能在广义相对论范围内成立。

## 数学性质

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在闵考斯基时空内的任何一点，都可以用四维向量（一组标准基底的四个坐标） ${x}^{\mu}=({x}^0,\, {x}^1,\, {x}^2,\, {x}^3)$ 来表示；其中，上标 $\mu=0,\,1,\,2,\,3$ 标记时空的维数次序。称这四维向量为“坐标四维向量”，又称“四维坐标”，定义为

${x}^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ (ct,\, x,\, y,\, z)$。

其中，$c$ 是光速，$t$ 是时间，$(x,\, y,\, z)$ 是位置的三维直角坐标。

为了确使每一个坐标的单位都是长度单位，定义 ${x}^0\ \stackrel{def}{=}\ ct$。

“四维位移”定义为两个事件之间的矢量差。在时空图里，四维位移可以用从第一个事件指到第二个事件的箭矢来表示。当矢量的尾部是坐标系的原点时，位移就是位置。四维位移 $\Delta {x}^{\mu}$ 表示为

$\Delta {x}^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ (\Delta ct,\ \Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$。

带有上标的四维向量 ${U}^{\mu}$ 称为反变矢量，其分量标记为

${U}^{\mu}=\ ({U}^0,\, {U}^1,\, {U}^2,\, {U}^3)$。

假若，标号是下标，则称四维向量 ${U}_{\mu}$ 为协变矢量。其分量标记为

${U}_{\mu}=\ ({U}_0,\, {U}_1,\, {U}_2,\, {U}_3)=\ ({U}^0,\, - {U}^1,\, - {U}^2,\, - {U}^3)$。

在这里，闵考斯基度规 $\eta_{\mu\nu}$ 被设定为

$\eta_{\mu \nu}\ \stackrel{def}{=}\ \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix}\right)$。

采用爱因斯坦求和约定，则四维向量的协变坐标和反变坐标之间的关系为

$U_{\mu} =\eta_{\mu \nu} U^{\nu}$。

闵考斯基度规与它的“共轭度规张量” $\eta^{\mu\nu}$ 相等：

$\eta^{\mu \nu}\ \stackrel{def}{=}\ \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix}\right)$。

### 劳仑兹变换

给予两个惯性参考系 $\mathcal{S}$、 $\bar{\mathcal{S}}$；相对于参考系 $\mathcal{S}$，参考系 $\bar{\mathcal{S}}$ 以速度 $\mathbf{v}=v\hat{\mathbf{x}}$ 移动。对于这两个参考系，相关的“劳仑兹变换矩阵” $\Lambda^\mu {}_\nu$ 是

$\Lambda^\mu {}_\nu=\ \left(\begin{matrix} \gamma & - \gamma\beta & 0 & 0 \\ - \gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)$。

其中，$\gamma=\cfrac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}$ 是劳仑兹因子，$\beta=\frac{v}{c}$是“贝塔因子”。

对于这两个参考系 $\mathcal{S}$、 $\bar{\mathcal{S}}$，假设一个事件的四维坐标分别为 ${x}^{\mu}$、 $\bar{x}^{\mu}$。那么，这两个四维坐标之间的关系为

$\bar{x}^{\mu}=\Lambda^\mu {}_\nu\ x^{\nu}$。

$x^{\mu}=\bar{\Lambda}^{\mu} {}_{\nu}\ \bar{x}^{\nu}$。

其中，$\bar{\Lambda}^{\mu} {}_{\nu}$ 是 $\Lambda^{\mu} {}_{\nu}$ 的反矩阵。

$\bar{\Lambda}^{\mu} {}_{\nu}=\ \left(\begin{matrix} \gamma & \gamma\beta & 0 & 0 \\ \gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)$。

将这两个四维坐标之间的关系式合并为一，则可得到

$\bar{x}^{\mu}=\Lambda^{\mu} {}_{\nu}\ x^{\nu}=\Lambda^{\mu} {}_{\nu}\ \bar{\Lambda}^{\nu} {}_{\xi}\ \bar{x}^{\xi}$。

因此，可以找到劳仑兹变换矩阵的一个特性：

$\Lambda^{\mu} {}_{\nu}\ \bar{\Lambda}^{\nu} {}_{\xi}=\delta^{\mu} {}_{\xi}$。

其中，$\delta^{\mu} {}_{\xi}$ 是克罗内克函数。

另外一个很有用的特性为

$\bar{\Lambda}^{\mu} {}_{\nu}=\eta_{\alpha\nu}\ \eta^{\beta\mu}\ \Lambda^{\alpha} {}_{\beta}$。

给定一个事件在某惯性参考系的四维坐标，通过劳仑兹变换，就可计算出这事件在另外一个惯性参考系的四维坐标。这是个很有用的物理性质。当研究物理现象时，所涉及的四维向量，最好都能够具有这有用的性质。这样，可以使得数学分析更加精致犀利。以方程式表示，对于两个参考系 $\mathcal{S}$、 $\bar{\mathcal{S}}$，具有这种有用性质的四维向量 ${U}^{\mu}$、$\bar{U}^{\mu}$ 满足

$\bar{U}^{\mu}=\Lambda^{\mu} {}_{\nu}\ U^{\nu}$。

$U^{\mu}=\bar{\Lambda}^{\mu} {}_{\nu}\ \bar{U}^{\nu}$。

在计算这四维向量对于时间的导数时，若能选择固有时为时间变数，则求得的四维向量仍旧具有这有用的性质。因为，固有时乃是个不变量；改变惯性参考系不会改变不变量。

假设一个物体运动于闵考斯基时空。在“实验室参考系”里，物体运动的速度随着时间改变。对于每瞬时刻，选择与物体同样运动的惯性参考系，称为“瞬间共动参考系”（momentarily comoving reference frame）。在这瞬间共动参考系里，物体的速度为零，因此，这参考系也是物体的“瞬间静止参考系”。随着物体不断地改变运动速度与方向，新的惯性参考系也会不断地改换为瞬间共动参考系。随着这些不断改换的瞬间同行坐标系所测得的时间即为固有时，标记为 $\tau$。这就好像给物体挂戴一只手表，随着物体的运动，手表也会做同样的运动，而手表所纪录的时间就是固有时。

这物体的运动可以用一条世界线 $x(\tau)$ 来描述。由于时间膨胀，发生于物体的两个本地事件的微小固有时间隔 $\Delta \tau$ 与从别的惯性参考系 $\mathcal{S}$ 所观测到的微小时间间隔 $\Delta t$ 的关系为

$\Delta t=\gamma\Delta \tau$。

所以，固有时 $\tau$ 对于其它时间 $t$ 的导数为

$\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{\gamma}$。

### 闵考斯基内积

在闵考斯基空间里，两个四维向量 $U^{\mu}$ 与 $V_{\mu}$ 的内积，称为闵考斯基内积，以方程式表示为：

$U^{\mu}V_{\mu} \ \stackrel{def}{=}\ U^0 V^0 - U^1 V^1 - U^2 V^2 - U^3 V^3$。

由于这内积并不具正定性，即

$$U^{\mu}U_{\mu}= (U^0)^2 - (U^1)^2 - (U^2)^2 - (U^3)^2$$

可能会是负数；而欧几里得内积一定不是负数。

许多学者喜欢使用相反正负号的 $\eta$：

$\eta_{\mu \nu}\ \stackrel{def}{=}\ \left(\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)$。

这样，$U^{\mu}$ 与 $V_{\mu}$ 的内积改变为

$U^{\mu}V_{\mu}= - U^0 V^0+U^1 V^1 + U^2 V^2 + U^3 V^3$。

其它相联的量值也会因而改变正负号，但这不会改变系统的物理性质。

从参考系 $\mathcal{S}$ 改换至另一参考系 $\overline{\mathcal{S}}$，$U^{\mu}$ 与 $V_{\mu}$ 的内积为

${U}^{\mu}{V}_{\mu} =\overline{\Lambda}^{\mu} {}_{\alpha}\ \overline{U}^{\alpha}\ \eta_{\mu\beta} {V}^{\beta} =\overline{\Lambda}^{\mu} {}_{\alpha}\ \overline{U}^{\alpha}\ \eta_{\mu\beta}\ \overline{\Lambda}^{\beta} {}_{\xi}\ \overline{V}^{\xi} =\overline{\Lambda}^{\mu} {}_{\alpha}\ \overline{U}^{\alpha}\ \eta_{\mu\beta}\ \overline{\Lambda}^{\beta} {}_{\xi}\ \eta^{\xi\zeta}\ \overline{V}_{\zeta} =\overline{\Lambda}^{\mu} {}_{\alpha}\ \overline{U}^{\alpha}\ \overline{\Lambda}^{\zeta} {}_{\mu}\ \overline{V}_{\zeta} =\delta^{\zeta} {}_{\alpha}\ \overline{U}^{\alpha}\ \overline{V}_{\zeta} =\overline{U}^{\alpha}\overline{V}_{\alpha}$。

所以，在闵考斯基时空内，两个四维向量的内积是个不变量：

$U^{\mu}V_{\mu}=\overline{U}^{\mu}\overline{V}_{\mu}$。

四维向量可以分类为类时，类空，或类光（零矢量）：

类时矢量：$U^{\mu} U_{\mu} > 0$。

类空矢量：$U^{\mu} U_{\mu} < 0$。

类光矢量：$U^{\mu} U_{\mu} = 0$。

## 动力学实例

### 四维速度

设想一个物体运动于闵考斯基时空，则其世界线的任意事件 $x^{\mu}(\tau)$ 的四维速度 $U^{\mu}$ 定义为

$U^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mathrm{d}x^{\mu}}{\mathrm{d}\tau}= \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}\ \frac{\mathrm{d}x^{\mu}}{\mathrm{d}t}= \left(\gamma c,\ \gamma \mathbf{u} \right)$。

其中，$\mathbf{u}=\left(\frac{\mathrm{d}x^1}{\mathrm{d}t},\, \frac{\mathrm{d}x^2}{\mathrm{d}t},\, \frac{\mathrm{d}x^3}{\mathrm{d}t}\right)$ 是三维速度，或经典速度矢量。

$U^{\mu}$ 的空间部分与经典速度 $\mathbf{u}$ 的关系为

$\left(U^1,\, U^2,\, U^3\right)=\gamma \mathbf{u}$。

四维速度与自己的内积等于光速平方，是一个不变量：

$U^{\mu}U_{\mu} = c^2$。

在物体的瞬间共动参考系里，物体的速度为零，因此，四维速度为

$\left(c,0,0,0\right)_{MCRF}$。

其方向与瞬间共动参考系的第零个基底向量 $\hat{\mathbf{e}}_0=\left(1,0,0,0\right)_{MCRF}$ 同向。

其中，$MCRF$ 表示从瞬间共动参考系观察得到的数据。

### 四维加速度

四维加速度 $\alpha^{\mu}$ 定义为

$\alpha^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mathrm{d}U^{\mu}}{\mathrm{d}\tau} = \left(\gamma \dot{\gamma} c,\, \gamma \dot{\gamma} \mathbf{u} + \gamma^2 \dot{\mathbf{u}} \right)$。

经过一番运算，可以得到劳仑兹因子对于时间的导数：

$\dot{\gamma}=\frac{\mathrm{d}\gamma}{\mathrm{d}t}=\gamma^3 (\mathbf{u}\cdot\mathbf{a})/c^2$。

其中，$\mathbf{a}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{u}}{\mathrm{d}t}$ 是经典加速度。

所以，四维加速度 $\alpha^{\mu}$ 可以表示为

$\alpha^{\mu}=\left(\gamma^4 (\mathbf{u}\cdot\mathbf{a})/c,\, \gamma^2 \mathbf{a}+\gamma^4 (\mathbf{u}\cdot\mathbf{a})\mathbf{u}/c^2 \right)$。

由于 $U_\mu U^\mu$ 是个常数，四维加速度与四维速度相互正交；也就是说，四维速度与四维加速度的闵考斯基内积等于零：

$\alpha_\mu U^\mu = \frac{1}{2} \frac{\mathrm{d} (U_\mu U^\mu)}{\mathrm{d}\tau}=0$。

对于每一条世界线，这计算结果都成立。

注意到在瞬间共动参考系里， $U_\mu$ 只有时间分量不等于零，所以， $\alpha^{\mu}$ 为的时间分量为零：

$\alpha^{\mu}=\left(0,\, \gamma^2 \mathbf{a}\right)_{MCRF}$。

### 四维动量

一个静止质量为 $m$ 的粒子的四维动量 $P^\mu$ 定义为

$P^\mu\ \stackrel{def}{=}\ m U^\mu=\left(\gamma m c,\, \gamma m\mathbf{u} \right)$。

经典动量 $\mathbf{p}$ 定义为

$\mathbf{p}\ \stackrel{def}{=}\ m_{rel}\mathbf{u}=\gamma m\mathbf{u}$。

其中，$m_{rel}$ 是相对论性质量。

所以，$P^\mu$ 的空间部分等于经典动量 $\mathbf{p}$：

$\left(P^1,\, P^2,\, P^3\right)=\mathbf{p}$。

### 四维力

作用于粒子的四维力定义为粒子的四维动量对于固有时的导数：

$F^\mu\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mathrm{d}P^\mu}{\mathrm{d}\tau}$。

提出四维动量内的静止质量因子，即可发觉四维力就是静止质量乘以四维加速度：

$F^\mu=m\frac{\mathrm{d}U^\mu}{\mathrm{d}\tau}=m \alpha^\mu$。

因此，四维力可以表示为

$F^\mu=m \left(\gamma^4 (\mathbf{u}\cdot\mathbf{a})/c,\, \gamma^2 \mathbf{a}+\gamma^4 (\mathbf{u}\cdot\mathbf{a})\mathbf{u}/c^2 \right)$。

经典力 $\mathbf{f}$ 定义为

$\mathbf{f}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}$。

所以，$F^\mu$的空间部分等于 $\gamma \mathbf{f}$：

$\left(F^1,\, F^2,\, F^3\right)=\gamma \mathbf{f}$。

## 物理内涵

在四维向量的表述里，存在着许多能量与物质之间的关系。从这些特别关系，可以显示出这表述的功能与精致。

### 质能方程式

假设，在微小时间间隔 $\mathrm{d}t$，一个运动于时空的粒子，感受到作用力 $\mathbf{f}$ 的施加，而这粒子的微小位移为 $\mathrm{d}\mathbf{x}$。那么，作用力 $\mathbf{f}$ 对于这粒子所做的微小机械功 $\mathrm{d}W$ 为

$\mathrm{d}W= \mathbf{f} \cdot \mathrm{d}\mathbf{x}$。

因此，这粒子的动能的改变 $\mathrm{d}K$ 为

$\mathrm{d}K=\mathrm{d}W= \mathbf{f} \cdot \mathrm{d}\mathbf{x}$。

粒子的动能 $K$ 对于时间的导数为

$\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}= \mathbf{f} \cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{f} \cdot \mathbf{u}$。

将前面经典力和经典速度的公式带入，可以得到

$\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=m\gamma^3 (\mathbf{u} \cdot \mathbf{a})=m c^2 \frac{\mathrm{d}\gamma}{\mathrm{d}t}$。

这公式的反微分为

$K=\gamma m c^2+K_0$。

当粒子静止时，动能等于零。所以。

$K=\gamma m c^2 - m c^2$。

这公式的右手边第二个项目就是静止能量 $E_0\ \stackrel{def}{=}\ m c^2$。动能 $K$ 加上静止能量 $E_0$ 等于总能量 $E$：

$E = \gamma m c^2$。

再加简化，以相对论性质量 $m_{rel}$ 表示：

$E=m_{rel} c^2$。

这方程式称为质能方程式。

### 能量-动量关系式

使用质能方程式 $E= m_{rel} c^2=\gamma m c^2$，四维动量可以表示为

$P^{\mu} = \left(\frac{E}{c},\, \mathbf{p} \right)$。

四维动量与自己的内积为

$P^\mu P_\mu=\frac{E^2}{c^2} - (p)^2$。

改以四维速度来计算内积：

$P^\mu P_\mu = m^2 U^\mu U_\mu = m^2 c^2$。

所以，能量-动量关系式为

$E^2 = (pc)^2 + m^2 c^4$。

## 电磁学实例

### 四维电流密度

在电磁学里，四维电流密度 $J^{\mu}$ 是一个四维向量，定义为

$J^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ ( \rho c,\, \mathbf{j})$。

其中，$\rho$ 是电荷密度，$\mathbf{j}$ 是三维电流密度。

在瞬间共动参考系所观测到的电荷密度，称为固有电荷密度 $\rho_0=\rho/\gamma$。四维电流密度与四维速度的关系为

$J^{\mu}=\rho_0 U^{\mu}$。

电荷守恒定律能以三维矢量表示为

$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot \mathbf{j}=0$。

这定律也能以四维电流密度表示为

$\frac{\partial J^{\mu}}{\partial x^{\mu}}=0$。

从这方程式，可以推论四维电流密度的四维散度等于零。

### 电磁四维势

电磁四维势是由电势 $\phi \,$ 与矢量势 $\mathbf{A}$ 共同形成的，定义为

$A^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ ( \phi /c,\, \mathbf{A})$。

黎曼-索末菲方程式表示电磁四维势与四维电流密度之间的关系：

$\Box A^\mu = \mu_0 J^\mu$ ;

其中，$\mu_0$ 是磁常数，$\Box=\partial^2=\partial_\alpha\partial^\alpha=\left( \frac{1}{c^2}\ \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 \right)$ 是达朗贝尔算符，又称为四维拉普拉斯算符。

### 四维频率和四维波矢量

一个平面电磁波的四维频率 ${\nu}^\mu$ 定义为

${\nu}^\alpha\ \stackrel{def}{=}\ (f,\, f\mathbf{n})$。

其中，$f$ 是电磁波的频率，$\mathbf{n}$ 是朝着电磁波传播方向的单位矢量。

四维频率与自己的内积永远等于零：

${\nu}^\alpha {\nu}_\alpha = (f)^2 (1 - n^2) = 0$。

一个近单色光的波包的波动性质可以用四维波矢量 ${K}^\alpha$ 来描述：

${K}^\alpha\ \stackrel{def}{=}\ \left(\frac{2\pi f}{c},\, \mathbf{k} \right)$。

其中，$\mathbf{k}$ 是三维波矢量。

四维波矢量与四维频率之间的关系为

${K}^\alpha=\frac{2\pi{\nu}^\alpha}{c}$。

## 参阅

- 洛仑兹协变性