热传导方程式

热传导方程（或称热方程）是一个重要的偏微分方程，它描述一个区域内的温度如何随时间变化。

## 物理机制

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热传导在三维的各向同性介质里的传播可用以下方程式表达：

$${\partial u\over \partial t}=\mathrm{div}(Uu) = k \left({\partial^2 u\over \partial x^2 } + {\partial^2 u\over \partial y^2 } + {\partial^2 u\over \partial z^2 }\right) <pre> = k( u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} ) \quad$$

其中：

- u =u(t, x, y, z)表温度，它是时间变数t与空间变数(x,y,z)的函数。
- ${\partial u}$/${\partial t}$是空间中一点的温度对时间的变化率。
- $u_{xx}$, $u_{yy}$与$u_{zz}$温度对三个空间座标轴的二次导数。
- k是热扩散率，决定于材料的热导率、密度与热容。

热方程是傅立叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。

如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定u的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。

热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。

热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。

利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式

$$u_t = k \Delta u, \quad$$

其中的$\Delta$是对空间变数的拉普拉斯算子。

热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。

就技术上来说，热方程违背狭义相对论，因为它的解表达一个“扰动可以在瞬间传播至空间各处”的情况。扰动在前方光锥外的影响通常可忽略不计，但是若要为热传导推出一个合理的速度，则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。

## 以傅立叶级数解热方程

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以下解法首先由约瑟夫·傅立叶在他于1822年出版的著作Théorie analytique de la chaleur（中译：解析热学）给出。先考虑只有一个空间变数的热方程，这可以当作棍子的热传导之模型。方程式如下：

$$(1) \ u_t = k u_{xx} \quad$$

其中u = u(t, x)是t和x的双变数函数。

- x是空间变数，所以x ∈ 0,L，其中L表示棍子长度。
- t是时间变数，所以t ≥ 0。

假设下述初始条件

$$(2)\ u(0,x) = f(x) \quad \forall x \in [0,L] \quad$$

其中函数f是给定的。再配合下述边界条件

$(3)\ u(t,0) = 0 = u(t,L) \quad \forall t > 0 \quad$.

让我们试着找一个非恒等于零的解，使之满足边界条件(3)并具备以下形式：

$$(4)\ u(t,x) = X(x) T(t). \quad$$

这套技术称作分离变数法。现在将u代回方程式(1)。

$$\frac{T'(t)}{kT(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)}. \quad$$

由于等式右边只依赖x，而左边只依赖t，两边都等于某个常数− λ，于是：

$$(5) \ T'(t) = - \lambda kT(t) \quad$$

$$(6) \ X''(x) = - \lambda X(x). \quad$$

以下将证明(6)没有λ ≤ 0的解：

假设λ < 0，则存在实数B、C使得

$X(x) = B e^{\sqrt{-\lambda} \, x} + C e^{-\sqrt{-\lambda} \, x}$。

从(3)得到

$$X(0) = 0 = X(L). \quad$$

于是有B = 0 = C，这蕴含u恒等于零。

假设λ = 0，则存在实数B、C使得

$$X(x) = Bx + C. \quad$$

仿上述办法可从等式(3)推出u恒等于零。

因此必然有λ > 0，此时存在实数A、B、C使得

$$T(t) = A e^{-\lambda k t} \quad$$

$X(x) = B \sin(\sqrt{\lambda} \, x) + C \cos(\sqrt{\lambda} \, x)$。

从等式(3)可知C = 0，因此存在正整数n使得

$\sqrt{\lambda} = n \frac{\pi}{L}$。

由此得到热方程形如(4)的解。

一般而言，满足(1)与(3)的解相加后仍是满足(1)与(3)的解。事实上可以证明满足(1)、(2)、(3)的解由下述公式给出：

$$u(t,x) = \sum_{n = 1}^{+\infty} D_n \left(\sin \frac{n\pi x}{L}\right) e^{-\frac{n^2 \pi^2 kt}{L^2}}$$

其中

$D_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin \frac{n\pi x}{L} \, dx$。

### 推广求解技巧

上面采用的方法可以推广到许多不同方程。想法是：在适当的函数空间上，算子$u \mapsto u_{xx}$可以用它的特征向量表示。这就自然地导向线性自伴算子的谱理论。

考虑线性算子Δ u = ux x，以下函数序列

$e_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x}{L}$（n ≥ 1）

是Δ的特征向量。诚然：

$\Delta e_n = -\frac{n^2 \pi^2}{L^2} e_n$。

此外，任何满足边界条件f(0)=f(L)=0的Δ的特征向量都是某个en。令L2(0, L)表 0, L上全体平方可积函数的向量空间。这些函数en构成L2(0, L)的一组正交归一基。更明白地说：

$$\langle e_n, e_m \rangle = \int_0^L e_n(x) e_m(x) dx = \left\{ \begin{matrix} 0 & n \neq m \\ 1 & m = n\end{matrix}\right.$$

最后，序列{en}n ∈ N张出L2(0, L)的一个稠密的线性子空间。这就表明我们实际上已将算子Δ 对角化。

## 非均匀不等向介质中的热传导

一般而言，热传导的研究奠基于以下几个原理。首先注意到热流是能量流的一种形式，因此可以谈论单位时间内流进空间中一块区域的热量。

- 单位时间内流入区域 V的热量由一个依赖于时间的量qt(V)给出。假设q有个密度Q(t,x)，于是

$$q_t(V) = \int_V Q(t,x)\,d x \quad$$

- 热流是个依赖于时间的向量函数H(x)，其刻划如下：单位时间内流经一个面积为dS而单位法向量为n的无穷小曲面元素的热量是

$$\mathbf{H}(x) \cdot \mathbf{n}(x) \, dS$$

因此单位时间内进入V的热流量也由以下的面积分给出

$$q_t(V)= - \int_{\partial V} \mathbf{H}(x) \cdot \mathbf{n}(x) \, dS$$

其中n(x)是在x点的向外单位法向量。

- 热传导定律说明温度对时间的梯度满足以下线性关系

$$\mathbf{H}(x) = -\mathbf{A}(x) \cdot \nabla u(x)$$

其中A(x)是个3×3实对称正定矩阵。

利用格林定理可将之前的面积分转成一个体积分

$$q_t(V) = - \int_{\partial V} \mathbf{H}(x) \cdot \mathbf{n}(x) \, dS$$

$$= \int_{\partial V} \mathbf{A}(x) \cdot \nabla u(x) \cdot \mathbf{n}(x) \, dS$$

$$= \int_V \sum_{i, j} \partial_{x_i} a_{i j}(x) \partial_{x_j} u(t,x)\,dx$$

- 温度在x点对时间的改变率与流进x点所在的无穷小区域的热量成正比，此比例常数与时间无关，而可能与空间有关，写作κ(x)。

$$\partial_t u(t,x) = \kappa(x) Q(t,x)\,$$

将以上所有等式合并，便获得支配热流的一般公式。

$$\partial_t u(t,x) = \kappa(x) \sum_{i, j} \partial_{x_i} a_{i j}(x) \partial_{x_j} u(t,x)$$

注记：

- 系数κ(x)是该材料在x点的密度和比热的积的倒数。
- 在等方向性介质的情况，矩阵A只是个纯量，等于材料的导热率。
- 在非等向的情况，A不一定是纯量，我们鲜少能明确写出热方程的解。然而通常可考虑相应的抽象柯西问题，证明它是适定的，并（或）导出若干定性结果（诸如初始值保持正性、无穷传播速度、收敛至平衡态或一些平滑化性质）。这些论证通常有赖于单参数半群理论：举例来说，如果A是个对称矩阵，那么由

$$Au(x):=\sum_{i, j} \partial_{x_i} a_{i j}(x) \partial_{x_j} u(x)$$

定义的椭圆算子是自伴而且耗散的，因此由谱定理导出它生成一个单参数半群。

## 粒子扩散

### 粒子扩散方程

在粒子扩散的模型中，我们考虑的方程涉及

- 在大量粒子集体扩散的情况：粒子的体积浓度，记作c。或者
- 在单一粒子的情况：单一粒子对位置的几率密度函数，记作P。

不同情况下的方程式：

$$c_t = D \Delta c, \quad$$

或者

$$P_t = D \Delta P. \quad$$

c与P都是位置与时间的函数。D是扩散系数，它控制扩散速度，通常以米/秒为单位。

如果扩散系数D依赖于浓度c（或第二种情况下的几率密度P），则我们得到非线性扩散方程。

单一粒子在粒子扩散方程下的随机轨迹是个布朗运动。

如果一个粒子在时间$t=0$时置于$\vec R = \vec 0$，则相应的几率密度函数具有以下形式：

$$P(\vec R,t) = G(\vec R,t) = \frac{1}{(4 \pi D t)^{3/2}} e^{-\frac {\vec R^2}{4 D t}}$$

它与几率密度函数的各分量$R_x$、$R_y$和$R_z$的关系是：

$$P(\vec R,t) = \frac{1}{(4 \pi D t)^{3/2}} e^{-\frac {R_x^2+R_y^2+R_z^2}{4 D t}} = P(R_x,t)P(R_y,t)P(R_z,t)$$

随机变数$R_x, R_y, R_z$服从平均数为0、变异数为$2\,D\,t$的正态分布。在三维的情形，随机向量$\vec R$服从平均数为$\vec 0$、变异数为$6\,D\,t$的正态分布。

在t=0时，上述$P(\vec R, t)$的表示式带有奇点。对应于粒子处在原点之初始条件，其几率密度函数是在原点的狄拉克δ函数，记为$\delta(\vec R)$（三维的推广是$\delta(\vec R) = \delta(R_x)\delta(R_y) \delta(R_z)$）；扩散方程对此初始值的解也称作格林函数。

### 扩散方程的历史源流

粒子扩散方程首先由Adolf Fick于1855年导得。

### 以格林函数解扩散方程

格林函数是扩散方程在粒子位置已知时的解（数学家称之为扩散方程的基本解）。当粒子初始位置在原点$\vec 0$时，相应的格林函数记作$G(\vec R, t)$（t>0）；根据扩散方程对平移的对称性，对一般的已知初始位置$\vec R^0$，相应的格林函数是$G(\vec R - \vec R^0, t)$。

对于一般的初始条件，扩散方程的解可以透过积分分解为一族格林函数的叠加。

举例来说，设t=0时有一大群粒子，根据浓度分布的初始值$c(\vec R, 0)$分布于空间中。扩散方程的解将告诉我们浓度分布如何随时间演化。

跟任何（广义）函数一样，浓度分布的初始值可以透过积分表为狄拉克δ函数的叠加：

$$c(\vec R, t=0) = \int c(\vec R^0,t=0) \delta(\vec R - \vec R^0) dR_x^0\,dR_y^0\,dR_z^0$$

扩散方程是线性的，因此在之后的任一时刻t，浓度分布变为：

$$c(\vec R, t) = \int c(\vec R^0,t=0) G(\vec R - \vec R^0,t) dR_x^0\,dR_y^0\,dR_z^0$$

在粒子扩散的情形，我们可以将狄拉克δ函数对应的初始条件理解为粒子落在一个已知位置。一般而言，任何扩散过程的解都有这种表法，包括热传导或动量的扩散；后者关系到流体的黏性现象。

#### 一维格林函数解列表

以下以简写BC代表边界条件，IC代表初始条件。

$$\begin{cases} u_{t}=ku_{xx} & -\infty<x<\infty,\,0<t<\infty \\ u(x,0)=g(x) & IC \end{cases}$$

$$u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi kt}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4kt}\right)g(y)\,dy$$

$$\begin{cases} u_{t}=ku_{xx} & \, 0\le x<\infty, \, 0<t<\infty \\ u(x,0)=g(x)& IC \\ u(0,t)=0 & BC \end{cases}$$

$$u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi kt}} \int_{0}^{\infty} \left(\exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4kt}\right)-\exp\left(-\frac{(x+y)^2}{4kt}\right)\right) g(y)\,dy$$

$$\begin{cases} u_{t}=ku_{xx} & \, 0\le x<\infty, \, 0<t<\infty \\ u(x,0)=g(x)& IC \\ u_{x}(0,t)=0 & BC \end{cases}$$

$$u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi kt}} \int_{0}^{\infty} \left(\exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4kt}\right)+\exp\left(-\frac{(x+y)^2}{4kt}\right)\right) g(y)\,dy$$

$$\begin{cases} u_{t}=ku_{xx}+f & -\infty<x<\infty,\,0<t<\infty \\ u(x,0)=0 & IC \end{cases}$$

$$u(x,t)=\int_{0}^{t}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{4\pi k(t-s)}} \exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4k(t-s)}\right)f(s)\,dyds$$

$$\begin{cases} u_{t}=ku_{xx}+f(x,t)& 0\le x<\infty,\,0<t<\infty \\ u(x,0)=0 & IC \\ u(0,t)=0 & BC \end{cases}$$

$$u(x,t)=\int_{0}^{t}\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{4\pi k(t-s)}} \left(\exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4k(t-s)}\right)-\exp\left(-\frac{(x+y)^2}{4k(t-s)}\right)\right) f(y,s)\,dyds$$

$$\begin{cases} u_{t}=ku_{xx} & 0\le x<\infty,\,0<t<\infty \\ u(x,0)=0 & IC \\ u(0,t)=h(t) & BC \end{cases}$$

$$u(x,t)=\int_{0}^{t} \frac{x}{\sqrt{4\pi k(t-s)^3}} \exp\left(-\frac{x^2}{4k(t-s)}\right)h(s)\,ds$$

（可能的问题：根据上解，u(0)=0）

$$\begin{cases} u_{t}=ku_{xx}+f & -\infty<x<\infty,\,0<t<\infty \\ u(x,0)=g(x) & IC\end{cases}$$

$$\quad{u=w+v}$$

$$\begin{cases} v_{t}=kv_{xx}+f, \, w_{t}=kw_{xx} \, & -\infty<x<\infty,\,0<t<\infty \\ v(x,0)=0,\, w(x,0)=g(x) \, & IC\end{cases}$$

$$\begin{cases} u_{t}=ku_{xx}+f & 0\le x<\infty,\,0<t<\infty \\ u(x,0)=g(x)& IC \\ u(0,t)=h(t) & BC\end{cases}$$

$$\quad{u=w+v+r}$$

$$\begin{cases} v_{t}=kv_{xx}+f, \, w_{t}=kw_{xx}, \, r_{t}=kr_{xx} \, & 0\le x<\infty,\,0<t<\infty \\ v(x,0)=0, \; w(x,0)=g(x), \; r(x,0)=0 & IC \\ v(0,t)=0, \; w(0,t)=0, \; r(0,t)=h(t) & BC \end{cases}$$

## 其他应用领域

热传导方程式在许多随机过程的数学模型中出现，诸如布莱克-斯科尔斯模型与奥恩斯坦-乌伦贝克过程。在金融数学，1973年发表的布莱克-斯科尔斯模型作为期权定价模型，当中的差分方程可以转成热传导方程式，并从此导出较简单的解。许多简单期权的延伸模型没有解析解，因此必须以数值方法计算模型给出的定价。热传导方程式可以用克兰克-尼科尔森方法有效地求数值解，此方法也可用于许多无解析解的模型（详见文献Wilmott，1995）。

热传导方程式及其非线性的推广型式也被应用于图像分析。

量子力学中的薛定谔方程虽然有类似热传导方程式的数学公式（但时间参数为$i$ 是虚数单位），本质却不是扩散问题，解的定性行为也完全不同。

热传导方程式在流形上的推广是处理阿蒂亚-辛格指标定理的主要工具之一，由此也导向热传导方程式在黎曼几何中有许多应用。

## 外部链接

- 热方程的推导
- Linear heat equations :边界值问题的特解 - 来自EqWorld