WKB近似

在量子力学里，WKB近似（WKB approximation）是一种半经典计算方法，可以用来解析薛定谔方程式。乔治·伽莫夫使用这方法，首先正确地解释了阿尔法衰变。WKB近似先将量子系统的波函数，重新打造为一个指数函数。然后，半经典展开。再假设波幅或相位的变化很慢。通过一番运算，就会得到波函数的近似解。

## 简略历史

WKB近似以三位物理学家格雷戈尔·文策尔、汉斯·克喇末和莱昂·布里渊姓氏字首命名。于1926年，他们成功地将这方法发展和应用于量子力学。不过早在1923年，数学家哈罗德·杰弗里斯就已经发展出二阶线性微分方程式的一般的近似法。薛定谔方程式也是一个二阶微分方程式。可是，薛定谔方程式的出现稍微晚了两年。三位物理学家各自独立地在做WKB近似的研究时，似乎并不知道这个更早的研究。所以物理界提到这近似方法时，常常会忽略了杰弗里斯所做的贡献。这方法在荷兰称为KWB近似，在法国称为BWK近似，只有在英国称为JWKB近似。

## 数学概念

一般而言，WKB近似专门计算一种特殊微分方程式的近似解。这种特殊微分方程式的最高阶导数项目的系数是一个微小参数$\epsilon\,\!$。给予一个微分方程式，形式为

$\epsilon \frac{d^ny}{dx^n} + a(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n - 1}} + \cdots + k(x)\frac{dy}{dx} + m(x)y= 0\,\!$。

假设解答的形式可以展开为一个渐近级数：

$y(x) \sim \exp\left[\frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n(x)\right]\,\!$。

将这拟设代入微分方程式。然后约去相同指数函数因子。又取$\delta \rightarrow 0\,\!$的极限。这样，就可以从$S_0(x)\,\!$开始，一个一个的解析这渐近级数的每一个项目$S_n(x)\,\!$。

通常$y(x)\,\!$的渐近级数会发散。当$n\,\!$大于某值后，一般项目$\delta ^n S_n(x)\,\!$会开始增加。因此WKB近似法造成的最小误差，约是最后包括项目的数量级。

## 数学例子

设想一个二阶齐次线性微分方程式

$\epsilon^2 \frac{d^2 y}{dx^2} = Q(x) y \,\!$。

其中，$Q(x) \neq 0\,\!$。

猜想解答的形式为

$y(x) = \exp\left[\frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n(x)\right]\,\!$。

将猜想代入微分方程式，可以得到

$\epsilon^2\left[\frac{1}{\delta^2}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n'\right)^2 + \frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n''\right] = Q(x)\,\!$。

取$\delta \rightarrow 0\,\!$的极限，最重要的项目是

$\frac{\epsilon^2}{\delta^2}S_0'^2 \sim Q(x)\,\!$。

我们可以察觉，$\delta\,\!$必须与$\epsilon\,\!$成比例。设定$\delta=\epsilon\,\!$，则$\epsilon\,\!$的零次幂项目给出

$\epsilon^0: \qquad S_0'^2 = Q(x)\,\!$。

我们立刻认出这是程函方程。解答为

$S_0(x) = \pm \int_{x_0}^{x}\sqrt{Q(t)}\,dt\,\!$。

检查$\epsilon\,\!$的一次幂项目给出

$\epsilon^1:\qquad 2S_0'S_1' + S_0'' = 0\,\!$。

这是一个一维传输方程式。解答为

$S_1(x) = - \frac{1}{4}\ln\left(Q(x)\right) + k_1\,\!$。

其中，$k_1\,\!$是任意常数。

我们现在有一对近似解（因为$S_0\,\!$可以是正值或负值）。一般的一阶WKB近似解是这一对近似解的线性组合：

$y(x)\approx c_1Q^{ - \frac{1}{4}}(x)\exp\left[\frac{1}{\epsilon}\int_{x_0}^x\sqrt{Q(t)}dt\right] + c_2Q^{ - \frac{1}{4}}(x)\exp\left[ - \frac{1}{\epsilon}\int_{x_0}^x\sqrt{Q(t)}dt\right]\,\!$。

检查$\epsilon\,\!$的更高幂项目（$n>2\,\!$）可以给出：

$2S_0'S_n' + S''_{n - 1} + \sum_{j=1}^{n - 1}S'_jS'_{n - j} = 0\,\!$。

## 薛定谔方程式的近似解

解析一个量子系统的薛定谔方程式，WKB近似涉及以下步骤：

- 将波函数重写为一个指数函数。
- 将这指数函数代入薛定谔方程式。
- 展开指数函数的参数为约化普朗克常数的幂级数。
- 匹配约化普朗克常数同次幂的项目，会得到一组方程式。
- 解析这些方程式，就会得到波函数的近似。

一维不含时薛定谔方程式为

$- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \psi(x) + V(x) \psi(x) = E \psi(x)\,\!$。

其中，$\hbar\,\!$是约化普朗克常数，$m\,\!$是质量，$x\,\!$是坐标，$V(x)\,\!$是位势，$E\,\!$是能量，$\psi\,\!$是波函数。

稍加编排，重写为

$\hbar^2\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \psi(x) =2m \left( V(x) - E \right) \psi(x)\,\!$。(1)

假设波函数的形式为另外一个函数$\phi\,\!$的指数（函数$\phi\,\!$与作用量有很密切的关系）：

$\psi(x) = e^{\phi(x)/\hbar} \,\!$。

代入方程式(1)。

$\hbar\phi''(x) +\left[\phi'(x)\right]^2=2m\left( V(x) - E \right)\,\!$；(2)

其中，$\phi'\,\!$表示$\phi\,\!$随着$x\,\!$的导数。

$\phi'\,\!$可以分为实值部分与虚值部分。设定两个函数$A(x)\,\!$与$B(x)\,\!$：

$\phi'(x) = A(x) + i B(x)\,\!$。

注意到波函数的波幅是$\exp\left[\int^x A(x')dx'/\hbar\right]\,\!$，相位是$\int^x B(x')dx'/\hbar\,\!$。将$\phi'\,\!$的代表式代入方程式(2)，分别匹配实值部分、虚值部分，可以得到两个方程式：

$\hbar A'(x) + A(x)^2 - B(x)^2 =2m \left( V(x) - E \right)\,\!$，(3)

$\hbar B'(x) + 2 A(x) B(x) = 0\,\!$。(4)

### 半经典近似

将$A(x)\,\!$与$B(x)\,\!$展开为$\hbar\,\!$的幂级数：

$A(x) =\sum_{n=0}^\infty \hbar^n A_n(x)\,\!$。

$B(x) =\sum_{n=0}^\infty \hbar^n B_n(x)\,\!$。

将两个幂级数代入方程式(3)与(4)。$\hbar\,\!$的零次幂项目给出：

$A_0(x)^2 - B_0(x)^2 = 2m \left( V(x) - E \right)\,\!$。

$A_0(x) B_0(x) = 0\,\!$。

假若波幅变化地足够慢于相位（$A_0(x) \ll B_0(x)\,\!$），那么，我们可以设定

$A_0(x) = 0\,\!$。

$B_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( E - V(x) \right) }\,\!$。

只有当$E\ge V(x) \,\!$的时候，这方程式才成立。经典运动只会允许这种状况发生。

更精确一点，$\hbar\,\!$的一次幂项目给出：

$A_0'+2A_0 A_1 - 2B_0 B_1= - 2B_0 B_1=0\,\!$。

$B_0'+2A_0 B_1+2B_0 A_1=B_0'+2B_0 A_1=0\,\!$。

所以。

$B_1=0\,\!$。

$A_1= - \frac{B_0'}{2B_0}=\frac{d}{dx}ln B_0^{ - 1/2}\,\!$。

波函数的波幅是$\exp\left[\int^x A(x')dx'/\hbar\right]=\frac{1}{\sqrt{B_0}}\,\!$。

定义动量$p(x) = \sqrt{ 2m \left( E - V(x) \right) }\,\!$，则波函数的近似为

$\psi(x) \approx \cfrac{C_{\pm}} {\sqrt{p(x)}} e^{\pm i \int_{x_0}^x p(x') \mathrm{d}x'/\hbar} \,\!$；(5)

其中，$C_+\,\!$和$C_{-}\,\!$是常数，$x_0\,\!$是一个任意参考点的坐标。

换到另一方面，假若相位变化地足够慢于波幅（$B_0(x) \ll A_0(x)\,\!$），那么，我们可以设定

$A_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( V(x) - E \right) }\,\!$。

$B_0(x) = 0\,\!$。

只有当$V(x)\ge E\,\!$的时候，这方程式才成立。经典运动不会允许这种状况发生。只有在量子系统里，才会发生这种状况，称为量子穿隧效应。类似地计算，可以求得波函数的近似为

$\psi(x) \approx \frac{C_{\pm}} {\sqrt{p(x)}} e^{\pm\int_{x_0}^x p(x') \mathrm{d}x'/\hbar}\,\!$；(6)

其中，$p(x) = \sqrt{ 2m \left(V(x) - E\right) }\,\!$。

### 连接公式

显而易见地，我们可以从分母观察出来，在经典转向点$E = V(x)\,\!$，这两个近似方程式(5)和(6)会发散，无法表示出物理事实。我们必须正确地找到波函数在经典转向点的近似解答。设定$x_1< x< x_2\,\!$是经典运动允许区域。在这区域内，$E>V(x)\,\!$，波函数呈振动形式。其它区域$x<x_1\,\!$和$x_2< x\,\!$是经典运动不允许区域，波函数呈指数递减形式。假设在经典转向点附近，位势足够的光滑，可以近似为线性函数。更详细地说，在点$x_2\,\!$附近，将 $\frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right)\,\!$展开为一个幂级数：

$\frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right) = U_1(x - x_2) + U_2(x - x_2)^2 + \cdots\,\!$。

其中，$U_1,\,U_2,\,\cdots\,\!$是常数值系数。

取至一阶，方程式(1)变为

$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \psi(x) = U_1(x - x_2) \psi(x)\,\!$。

这微分方程式称为艾里方程式，其解为著名的艾里函数：

$\psi(x) = C_{2A} \textrm{Ai}\left( \sqrt[3]{U_1}(x - x_2) \right) + C_{2B} \textrm{Bi}\left( \sqrt[3]{U_1}(x - x_2) \right)\,\!$。

匹配艾里函数和在$x< x_2\,\!$的波函数，在$x_2< x\,\!$的波函数，经过一番繁杂的计算，可以得到在$x_2\,\!$附近的连接公式（connection formula）：

$\psi(x) = \begin{cases} <pre> \cfrac{2C_2}{\sqrt{p(x)}} \sin \left(\cfrac{1}{\hbar}\int_x^{x_2} p(x')dx'+\cfrac{\pi}{4}\right) & \mbox{if } x<x_2 \\ \cfrac{C_2}{\sqrt{|p(x)|}} \exp\left( - \int_{x_2}^x |p(x')|dx'/{\hbar}\right) & \mbox{if } x_2<x </pre> \end{cases}\,\!$。

类似地，也可以得到在$x_1\,\!$附近的连接公式：

$\psi(x) = \begin{cases} <pre> \cfrac{C_1}{\sqrt{|p(x)|}} \exp\left( - \int_x^{x_1} |p(x')|dx'/{\hbar}\right) & \mbox{if } x<x_1 \\ \cfrac{2C_1}{\sqrt{p(x)}} \sin \left(\cfrac{1}{\hbar}\int_{x_1}^{x} p(x')dx'+\cfrac{\pi}{4}\right) & \mbox{if } x_1<x </pre> \end{cases}\,\!$。

### 量子化规则

在经典运动允许区域$x_1< x< x_2\,\!$内的两个连接公式也必须匹配。设定角变量

$\theta_1= - \frac{1}{\hbar}\int_{x_1}^{x} p(x')dx' - \frac{\pi}{4}\,\!$。

$\theta_2=~\frac{1}{\hbar}\int_x^{x_2} p(x')dx' + \frac{\pi}{4}\,\!$。

$\alpha=\int_{x_1}^{x_2} p(x)dx/\hbar\,\!$。

那么。

$\alpha=\theta_2 - \theta_1 - \pi/2\,\!$。

$- C_1 \sin \theta_1=C_2 \sin \theta_2=C_2\sin(\theta_1+\alpha+\pi/2)\,\!$。

立刻，我们可以认定$|C_1|=|C_2|\,\!$。匹配相位，假若$C_1=C_2\,\!$，那么。

$\alpha+\pi/2=(2m - 1)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!$。

所以。

$\alpha=(2m - 3/2)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!$。

假若$C_1= - C_2\,\!$，那么。

$\alpha+\pi/2=2m\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!$。

所以。

$\alpha=(2m - 1/2)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!$。

总结，量子系统必须满足量子化守则：

$\int_{x_1}^{x_2} p(x)dx =(n - 1/2)\pi\hbar,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!$。

### 范例

考虑一个量子谐振子系统，一个质量为$m\,\!$的粒子，运动于谐振位势$V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2 x^2\,\!$；其中，$\omega\,\!$是角频率。求算其本征能级$E_n\,\!$？

能量为$E\,\!$的粒子，其运动的古典转向点$x_t\,\!$为

$E=\frac{1}{2}m\omega^2 x_t^2\,\!$。

所以。

$x_t=\pm \sqrt{\frac{2E}{m\omega^2 }}\,\!$。

粒子的动量为

$p(x)=\sqrt{2m\left(E - \frac{1}{2}m\omega^2 x^2\right)}\,\!$。

将这些变量代入量子化守则：

$\int_{ - 2E/m\omega^2}^{2E/m\omega^2}\,\sqrt{2m\left(E - \frac{1}{2}m\omega^2 x^2\right)}\,dx=(n - 1/2)\pi\hbar,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!$。

经过一番运算，可以得到本征能量

$E_n=(n - 1/2)\omega\hbar,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!$。

借由以上之计算，发现近似解与精确解完全一样。

## 参阅

- 微扰理论 (量子力学)
- 量子穿隧效应
- 旧量子论