贝赫和斯维讷通-戴尔猜想

伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想（Birch and Swinnerton-Dyer conjecture）又称伯奇-斯温纳顿-戴尔猜想（Birch-Swinnerton-Dyer conjecture），简称BSD猜想，中文维基百科曾经翻译成贝赫和斯维讷通-戴尔猜想，是现代数学最重要的未解问题之一，也是克雷数学研究所七大千禧年大奖难题之一。属于椭圆曲线上的数论领域。

该猜想以数学家布莱恩·约翰·伯奇和彼得·斯温纳顿-戴尔的名字命名，他们于1965年首次提出了这一猜想。它描述了阿贝尔群的算术性质与解析性质之间的联系，即对有理数域上的任一椭圆曲线，其L函式在1的化零阶（Order of vanishing）等于此曲线上有理点构成的阿贝尔群的秩。

这个猜想的提出引起了广泛的关注和讨论，因为它涉及到数学的深层结构，并对于解析数论和算术几何有着重要的影响。由于其复杂性和难度，BSD猜想至今尚未被证明，因此被视为当代数学中最具挑战性的问题之一。

设 $E$ 是定义在代数数域 $K$ 上的椭圆曲线，$E(K)$ 是 $E$ 上的有理点的集合，已知 $E(K)$ 是有限生成交换群。记 $L(s,E)$ 是 $E$ 的L函数，则此猜想如下：

$$\hbox{ord}_{s=1}(L(s,E))=\hbox{rank}_{\mathbb{Z}}(E(K))$$

该猜想的起源可追溯至1958年，当时研究人员利用EDSAC计算机进行了一系列数值运算。这些计算旨在为椭圆曲线寻找一种与狄利克雷类数公式相类似的理论规律。2000年，位于马萨诸塞州剑桥的克雷数学研究所将其列为七大千禧年大奖难题之一，并悬赏一百万美元，奖励能给出严谨数学证明的人。值得注意的是，奖项规则对“反例”的认定设有门槛：若反例仅是依靠现代电脑强大的运算能力暴力搜索所得，而无法对问题本质提供“理论上的深刻见解”，可能不符合获奖资格。

伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想之所以在数学界占有核心地位，是因为它在复分析与数论这两个截然不同的领域之间，建立了一种令人惊讶的深刻联系。若能证明此猜想，将意味着人类对数学架构中的深层结构有了全新的认识。数学理论常被视为由无数“点”（命题）与“箭头”（逻辑推论）构成的网络；而在两个看似无关的理论间架起桥梁，相当于建立了大量新的逻辑通路。这不仅能解决许多现存难题，更将开创前所未有的应用前景。因此，构建这座理论桥梁被视为当代数学最艰钜的任务之一。

如果猜想成立，意味着某些特定方程“解的数量与结构”，与其对应数学函数的“零点性质”紧密相关。方程的整数解或有理数解属于代数与数论的研究范畴（离散数学）；而数学函数的连续性、微分学及零点分布则属于分析学的范畴（连续数学）。该猜想的挑战在于将这两者统一在同一个框架内。简而言之，伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想断言：椭圆曲线上有理点生成的群之秩（Rank），可以直接由其对应的 L 函数在 $s=1$ 处的零点阶数推导出来。

具体而言，问题陈述如下：设 $E$ 为有理数域上的一条椭圆曲线，$L(E,s)$ 为其L函数。根据莫德尔-韦伊定理（Mordell-Weil theorem），$E$ 上的有理点集合 $E(\Q)$ 构成一个有限生成的阿贝尔群。这意味着该群同构于 $E(\Q)_{\text{tors}} \times \Z^r$，其中 $E(\Q)_{\text{tors}}$ 是有限的扭子子群，而非负整数 $r$ 称为 $E$ 的“代数秩”。该猜想断言：此代数秩 $r$ 恰好等于 $L(E,s)$ 在 $s=1$ 处的零点阶数（即解析秩），公式为 $r = \mathrm{ord}_{s=1} L(E,s)$。

除了解析秩与代数秩的对应关系外，该猜想还包含更深层的定量描述。这涉及到一个关键的数学对象——泰特-沙法列维奇群（Tate-Shafarevich Group），它量化了局部-整体原理在该曲线上的失效程度。强伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想（Strong BSD Conjecture）进一步预言：椭圆曲线的泰特-沙法列维奇群必为有限群，且其群阶（大小）连同曲线的其他算术不变量，精确地出现在 L 函数于 $s=1$ 处泰勒展开式的首项系数中。

尽管数学家们付出了巨大努力，目前距离完全解决该问题仍有相当距离。在20世纪下半叶，关于秩 $r = 0$ 和 $r=1$ 的情形已获得证明（如格罗斯-察吉尔公式和科利瓦金的工作）。然而，对于秩 $r \geq 2$ 的情形，由于关键的黑格纳点（Heegner point）方法失效，目前甚至连单个曲线的理论证明都尚未达成，尽管数值证据强烈支持猜想成立。近年来，研究人员也开始尝试利用人工智能技术，试图从大数据中寻找椭圆曲线秩分布的潜在规律。

## 问题描述

伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想预测，某些方程解的数量与结构，可以在现代数学中看似毫无关联的领域中找到线索。这也正是该猜想难以被证明的原因：至今我们尚未建立起能够完整解释这种深层联系的统一理论。数学理论建立在被视为真理的公理（即基本假设）之上，这些公理虽然客观存在，但许多基于此衍生的问题往往在提出许久后，才随着新数学工具的诞生而获得解决。这可以与国际象棋作类比：虽然游戏规则简单且“完全确定”（相当于公理），但游戏本身的复杂性使得至今仍未被“完全解开”，即不存在一个能算出所有局面最优解的“完美棋手”。

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为了定位伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想，理解数学方程的概念至关重要。方程的例子包括 $1=1$，$2=2$ 和 $2 \cdot x = 4$。在后者中，符号 $x$ 必须先被“显现”出来，然后通过 $x=2$ 才能清楚地识别出简单的关系 $2 \cdot 2 = 4$。方程可以变形。这背后的理念是，如果两个相同的量以相同的方式被操作，结果必须再次相同。如果在 $7 = 7$ 两边加上 $3$，就产生了 $10 = 10$——这又是一个有效的方程。如果在 $2 \cdot x = 4$ 两边除以 $2$，就产生了 $x=2$，这具有将之前已经唯一确定的量 $x$ “显现”出来的优点。在许多科学实践的问题中，抽象方程最初是从已知关系和未知量中产生的，因此解方程的技术非常重要：在科学理论中建立的因果关系将这些量“强迫”进一个有限的可能性空间，但只有解开产生的方程才能使这些少数的可能性“可见”。

该猜想涉及一类非常特定的方程，这些方程在数学——包括其应用——中扮演着特殊的角色。它们被称为“椭圆曲线”。严格来说，“方程”一词对其描述并不充分：“曲线”一词更精确地表明，椭圆曲线是空间中满足特定方程（含有两个未知数）的所有解的集合，其作为几何图形具有“曲线状”的形态。

从学校数学的角度来看，这个概念绝非新鲜事：一条直线——所有曲线中“最简单”的原型——由所有点 $(x,y)$ 组成，这些点共同满足以下形式的方程

$y = mx+c$ 其中 $m,c$ 为固定数值（此时分量 $x$ 和 $y$ 作为数值被单独代入）。

由于有两个量，即 $x$ 和 $y$ 未被详细指定，因此可以预期会有大量的解。以 $y = 2x$ 为例：“完全可见”的解指定了两个未知数，例如 $(2,4)$，$(3,6)$ 或 $(-10,-20)$。只有张开两个维度——即一个“x维度”和一个“y维度”——才允许完全捕捉这个集体（见图 1）。此外，由于 $(x,y) = (x,2x)$，这无非是所有形式为 $(x,2x)$ 的点的表格列表。从几何角度来看，将由此产生的曲线称为直线是很自然的。

相比之下，椭圆曲线是一组点 $(x,y)$ 的集合，它们共同满足一个三次方程，通常写成如下形式

$y^2 = x^3 + ax^2 + bx + c$ 其中 $a,b,c$ 为固定数值。

$x \mapsto u_1x + u_2$

$y \mapsto v_1x + v_2y + v_3$

$u_1,v_2$

$y^2 + a_1 xy + a_3 y = a_0 x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6$

$a_0$

数值 $a, b$ 和 $c$ 是有理数，由于它们的任意性

$a,b,c$

$x^3 + ax^2 + bx + c$

存在一个“无限族”的椭圆曲线：

$$y^2 = x^3 + x^2 - x$$

$$y^2 = x^3 - \tfrac{1}{2} x^2 + 3x + 1$$

$$y^2 = x^3 + \tfrac{11}{134} x - \tfrac{1}{5}$$

以及无数其他的例子。现在我们将频繁使用 $y^2 = x^3 + x^2 - x$ 这个例子来进行说明。

就像直线的情况一样，构建椭圆曲线只使用了四则运算。因此，它们和直线一样，被归类为“代数曲线”。如同一般方程，人们也可以在这里询问解的情况。然而，伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想是一个数论问题。因此，兴趣的焦点在于方程的有理解，这些解对应于如下形式的点：

$(1,2), \quad (\tfrac12, \tfrac13) \quad$ 或 $\quad (-1, \tfrac{3}{7})$

因此，人们只对有理点感兴趣。

例子

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例子：有理点 $(x,y) = (1,1)$（即 $x=1$ 和 $y=1$）位于椭圆曲线 $y^2 = x^3 + x^2 - x$ 上，因为 :$1^2 = 1^3 + 1^2 - 1$ （两边的结果都是 $1$）。注意 $1^2 = 1 \cdot 1 = 1$，同样 $1^3 = 1$。类似地，可以很快验证有理点 $(-1,1)$，$(-1,-1)$，$(1,-1)$ 以及 $(0,0)$ 都在曲线上。事实上，除了不包含在图表中的“无穷远点”之外，这5个例子是椭圆曲线 $y^2 = x^3 + x^2 - x$ 上仅有的有理点，也就是说，除了上述提到的之外，没有其他有理数组合 $(x,y)$ 能满足该方程。然而，要看出这一点在数学上是一项艰钜的任务。伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想关注的是椭圆曲线上可能有理点的数量。如果猜想成立，那么可以通过相对较少的努力“直接计算出”，曲线 $y^2 = x^3 + x^2 - x$ 上只能有有限个有理点。

这表明曲线上的点可以通过巧妙的猜测找到——而且曲线的简单结构使得验证非常容易。然而，单纯的猜测通常不是一个可接受的数学算法（= 方法）。目前还没有被证明快速的方法来“解”椭圆曲线的方程，即在没有天真猜测的情况下实际找到点。这主要是由 $x^3$ 项造成的，它导致方程显著复杂化。特别是从数论的角度来看，源自四则运算的代数曲线非常令人感兴趣：在方程中，混合了加法和乘法这两种运算学科，这一点在省略缩写惯例时可以看得很清楚：

$$y \cdot y = x \cdot x \cdot x + a \cdot x \cdot x + b \cdot x + c.$$

然而，“数字背后”极其深层的结构恰恰隐藏在加法和乘法的“可能相互作用”中，起初听起来简单的事情实际上是一个极其困难的问题。一些著名的未解数学问题证明了这一点：

- 至今未知是否会无限次出现两个相邻质数相差 2 的情况。这些孪生质数的例子有 $(3,5)$ 和 $(17,19)$。质数源于乘法数论，但差值为 $2$ 的规定是加法性的。
- abc-猜想将互质数 $a$ 和 $b$ 的质因数分解性质与 $c = a+b$ 的性质联系起来。

类似的情况是，理论物理学至今未能将基本力统一起来形成一个大统一理论。

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对于寻找代数方程（如 $y^2 = x^3 + x^2 - x$）有理如解的问题，数学界在许多世纪里都束手无策。然而，在现代数学方法的发展和建立过程中，人们得出结论：将像 $y^2 = x^3 + x^2 - x$ 这样的方程视为一个“系统”会有帮助。在研究该系统时，将其“分解”成许多非常小的“子系统”并单独研究这些“组件”是有益的。如果有必要，这些局部部分的模式可能会揭示关于整体系统的某些信息。局部子系统在本质上仍然是方程 $y^2 = x^3 + x^2 - x$，但区别在于量 $x$ 和 $y$ 只有有限种选择。然而，这些有限的量模拟有理数，再次形成一个关于四则运算的封闭区域（因此代数方程仍然有意义）。在数论中，这个过程也被称为局部-整体原理。

由于 $x$ 和 $y$ 的“定义域”受到明显限制，每个“子系统”现在都可以更容易地被分析。如果在其中计算解的数量（例如通过计算机运算），就可以通过这种策略获得一个过程：

子系统 $\to$ 整数。

由此产生一个不会结束的整数数列（因为有无限多个“子系统”）。例如，对于 $y^2 = x^3 + x^2 - x$ 的情况，结果是

$$1, \, \, 0, \, \, -2, \, \, 0, \, \, -1, \, \, 0, \, \, 2, \, \, 0, \, \, 1, \, \, 0, \, \, 0, \, \, 0, \, \, 2, \, \, 0, \, \, 2, \, \, 0, \, \, -6, \, \, 0, \, \, -4, \, \, 0, \, \, -4, \, \, 0, \, \, 6, \ldots$$

从这些数字（即局部组件）中，现在可以生成一个整体数学函数 $L_E(x)$（下标 $E$ 表示它取决于固定选择的椭圆曲线 $E$）。这个构造过程在数学上并非易事，但将在本文后面描述。这里的一个巨大优势是，人们对局部组件有完全的理解：例如，德国数学家黑尔姆特·哈塞早在1936年就能证明这些局部ζ函数的黎曼猜想。这导致了对上述数列相当精确的理解。然而，为了表述该猜想，只有全局函数在 $x=1$ 处的行为是决定性的，因此其“函数项”根本不需要被精确知晓。第一个非常粗略的表述是：

```
如果猜想成立，<math>L_E(x)</math> 在 <math>x=1</math> 處的零點行為將說明橢圓曲線 <math>E</math> 具有多少個有理點。
```

这里不仅区分“有限”和“无限”，甚至还有各种不同程度的无限——这表现为在 $x=1$ 处的零点阶数：

$$1, \qquad (x-1), \qquad (x-1)^2, \qquad (x-1)^3, \qquad (x-1)^4, \qquad \ldots$$

表示在 $x=1$ 处零点阶数为 0, 1, 2, 3, 4 等的函数原型。

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- 无零点对应于0阶。

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- 示例 $f(x) = x-1$；一阶零点

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- 示例 $f(x) = (x-1)^2$；二阶零点

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- 示例 $f(x) = (x-1)^3$；三阶零点

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- 零阶对应于仅有限多个解。

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- 在一阶的情况下，解示意性地位于一条“射线”（一维）上。所示的模式延伸至无穷远。

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- 在二阶的情况下，解示意性地位于一个“平面”（二维）上。所示的模式延伸至无穷远。

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- 在三阶的情况下，解示意性地位于三维空间中。所示的模式延伸至无穷远。

这个模式继续延续，但从第4维开始无法再进行直观展示。此外非常重要的是，这只是解的示例性展示，即解本身并非位于高维空间中的点——它们始终具有形式 $(x,y)$。然而，通过解的“格结构”进行这种表示是有意义的——并且在计算上得到了证明：因为在椭圆曲线的有理点上定义了一种形式的“加法”。因此，有可能通过一个计算过程

$$P \oplus Q = R$$

从椭圆曲线上的两个已知点 $P$ 和 $Q$ 获得该曲线上的新点 $R$。这个过程很繁琐，但仅依赖于四则运算。如果通过巧妙的猜测找到了两个有理点，那么可以通过运算生成该曲线上的第三个、可能是全新的有理点。结论是，曲线上的许多“复杂点”是通过“简单点”的频繁“加法”或“减法”产生的，因此在某种程度上，只需计算“简单点”，就能获得对所有点的数量的理解。这激发了上述“维度”形式的动机：例如元素 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 在经典加法层面上以唯一的方式生成所有具有整数 $m,n$ 的点 $(m,n)$，例如

$$(3,-2) = (1,0) + (1,0) + (1,0) - (0,1) - (0,1).$$

在椭圆曲线上的点的层面上也必须同样思考：如果恰好有两个点 $P_1$ 和 $P_2$ 本质上以唯一的方式生成所有其他点，那么在思想上通过“P1”轴和“P2”轴就产生了一个二维网格。

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- $y^2 = x^3 + x^2 - x$ 的 L 函数图像，可见在 $x=1$ 处没有零点。

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- $y^2=x^3-16x+16$ 的 L 函数图像。在 $x=1$ 处存在一个简单零点（穿过 x 轴而非相切）。

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- $y^2=x^3-7x+10$ 的 L 函数图像。在 $x=1$ 处存在一个二阶零点。

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- $y^2=x^3-4x+64$ 的 L 函数图像。在 $x=1$ 处存在一个三阶零点。

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- 零个“生成元”；$y^2 = x^3 + x^2 - x$ 上只有有限个有理点（见上例）。

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- 恰好一个“生成元”，在此图中为 $1$。曲线 $y^2=x^3-16x+16$ 上的一个点 $P$ 本质上生成所有其他有理点。

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- 两个“生成元”，在此图中为 $(1,0)$ 和 $(0,1)$。曲线 $y^2=x^3-7x+10$ 上的两个点 $P_1$ 和 $P_2$ 本质上生成所有其他有理点。

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- 三个“生成元”，在此图中为 $(1,0,0)$，$(0,1,0)$ 和 $(0,0,1)$。曲线 $y^2=x^3-4x+64$ 上的三个点 $P_1$，$P_2$ 和 $P_3$ 本质上生成所有其他有理点。

术语“本质上”意味着椭圆曲线总是可能有有限多个“例外点”，它们“完全”无法由生成元生成。更确切地说，总是存在（甚至是唯一的）分解

$$\text{任 意 點 } = \underbrace{\text{生 成 點}}_{\text{從 1維 開 始 為 無 限 多 個 }} \oplus \,\,\,\, \underbrace{\text{例 外 點 }}_{\text{始 終 有 限 多 個 }}$$

因此，必须始终在除去这有限多个例外点的情况下进行思考。

```
伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想：與橢圓曲線 <math>E</math> 相關聯的數學函數 <math>L_E</math> 在 <math>x=1</math> 處的零點階數是一個「維度數」。它精確地指出，至少需要多少個有理點，才能通過「加法」和「減法」本質上生成 <math>E</math> 上的所有其他有理點。
```

因此，伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想是局部-整体原理的一种变体：由于椭圆曲线的所有局部子系统同时在其“相互作用”中定义了函数 $L_E$，遵循局部-整体哲学，这些子系统应该知道关于 $y^2 = x^3 + x^2 - x$ 在有理数中的某些信息。

猜想将解析性质（L 函数的零点）与代数性质（生成元的数量/秩）完美地联系了起来。它表明，虽然我们是通过“局部”信息（有限域上的解）构建了 L 函数，但这个函数奇迹般地“知道”了整体的代数结构。

椭圆曲线的这种群结构不仅是纯数学的兴趣所在，实际应用例如，椭圆曲线密码学（ECC）正是利用了在曲线上已知 $P$ 和 $nP$ 却难以反求 $n$（离散对数问题）的特性，来保护现代互联网通信的安全。

椭圆曲线上“加法”形式的存在也被用于所谓的“椭圆曲线”质数测试、亨德里克·伦斯特拉的“椭圆曲线”分解法 以及密码学中的“公钥”加密算法中。为此，需要具有尽可能多有理点的曲线，并利用寻找用于加法生成曲线大有理点的原始数据的困难性。参见椭圆曲线密码学。

## 所需基础与公式化

### 符号

使用以下通用符号：

- $\N = \{1, 2, 3, \ldots\}$ 表示自然数。
- $\Z = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$ 表示整数。
- $\Q$ 表示有理数。
- $\R$ 表示实数。
- $\C$ 表示复数。$\mathrm{Re}(z)$ 和 $\mathrm{Im}(z)$ 分别表示复数 $z$ 的实部和虚部。
- $x \in M$ 表示 $x$ 是集合 $M$ 的一个元素，$x \notin M$ 表示它不是集合 $M$ 的元素。例如 $-\tfrac{1}{3} \in \Q$ 和 $-\tfrac{1}{3} \notin \Z$。
- $e^x$ 表示自然指数函数，$\log(x)$ 表示自然对数。

### 有理数运算

伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想涉及所谓的“有理点”。为了更深入地理解这一概念，掌握有理数（或称“分数”）的运算是不可或缺的。一个实数——直观上是射线上没有“最小单位”的任意长度——$x$ 被称为有理数，如果它可以写成两个整数的商，即 $x = \tfrac{a}{b}$，其中 $a$ 和 $b$ 是任意整数。这里 $a$ 是“分子”，$b$ 是“分母”。有理数的例子包括 $\tfrac{1}{2}, \tfrac{3}{1} = 3, \tfrac{4}{20}$。直观地说，这些分数正是当将“可数”数量的物品（如“17 欧元”）分配给同样“可数”的人群（例如“4 个人”）时产生的部分。产生的分数可以解释为“每个人的份额”。

有理数可以进行运算：加法是通过寻找最小公分母来实现的，而在乘法中，分子和分母分别相乘。

### 代数曲线

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“点”的概念在伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想中扮演着重要角色。这里特别重要的是点的“位置面向”（几何）与“数量面向”（数论）之间的相互作用。直观上，点是一个“没有任何延伸”的物体。在欧几里得平面上，一个点 $P$ 总是可以通过给定笛卡儿座标来表示，写作 $P = (x,y)$。这里的 $x$ 和 $y$ 是实数，而平面是通过考虑两条数线上长度 $x$ 和 $y$ 的所有可能组合来定义的。这些数线可以可视化为“张成”平面的两个轴（见图）。

平面几何的一个重要对象是研究平面上的图形。这包括例如直线、圆、双曲线、抛物线或椭圆。所有这些图形的共同点是它们都由平面上“所有点的子集”构成。例如，圆上的每一个点都是平面的一部分，但并非平面的每一个点都是圆的一部分。更有甚者：正是特定点的明确选择及其“相互作用”构成了圆。因此，关键问题是根据什么标准可以确定图形上的所有点。同样地，也可以问一个图形上的点在什么样的“共性”上区别于平面上的所有其他点。

理论上，可以通过选择完全随机的点来形成任意“图形”——可能性是无限的。然而，从学校数学开始，焦点就放在非常特定的图形上，首先是直线。它们的几何自然性对应于代数，因为直线上的点 $(x,y)$ 的共性可以用四则运算来解释。如果直线不平行于“y轴”，则总是存在两个数 $m$ 和 $c$，使得其所有点都具有 $(x, mx+c)$ 的形式。由于第二个座标传统上写为 $y$，因此（等价的）描述 $y = mx+c$ 作为方程式非常常用。虽然在平面上选择一个点时具有完全的开放性，但直线规则在数学上具有区分性，因为通过（自由）选择第一个座标 $x$，第二个座标仅剩下值 $mx+c$，所有其他“候选者”都被排除，不属于该直线。

所谓“代数曲线”，通常是指平面上的一族点，其分量 $x$ 和 $y$ 都满足一个“共同的代数关系”。这意味着存在一个方程式，其中仅包含有限次的加、减、乘、除运算，并且被所有点同时满足。如上所述，（大多数）直线上的点 $(x,y)$ 满足代数关系 $y = mx + c$，其中 $m$ 和 $c$ 为固定数值。但更高次数的代数方程式也是可能的。标准抛物线由形式为 $(x,y) = (x,x^2)$ 的所有点组成，而半径为 1 且圆心在原点 $(0,0)$ 的圆恰好由所有满足以下条件的点 $(x,y)$ 组成：

$$x^2 + y^2 = 1$$

这可以用毕氏定理来证明（见图）。说一条曲线是“定义在有理数上”，意味着定义该曲线的所有相关多项式仅使用有理数。

所谓“有理数上的椭圆曲线 $E$”，是指其点 $(x,y)$ 满足如下形式方程式的曲线：

$$y^2 + a_1xy + a_3y = x^3 + a_2 x^2 + a_4x + a_6$$

（对值 $a_j$ 有附加条件，见下文）。这里的 $a_1, a_2, a_3, a_4, a_6$ 是固定的，即特定于曲线的有理数。重点在于三次幂 $x^3$，这使得方程式比二次的圆方程式复杂得多。因此，椭圆曲线不属于线性或二次曲线，而是“三次”曲线。有理数上椭圆曲线的一个明确例子是 $y^2 = x^3 - 3x + 1$（见图）。通过适当的变数变换，有理数上的椭圆曲线总是可以化简为以下形式：

$$y^2 = x^3 + ax + b$$

其中 $a, b \in \Q$。

代数曲线在规模上，例如涉及多项式的次数，可以任意复杂。例如：

$$13y^7x^2 - 31x^2 + 115xy = 91$$

也定义了一条代数曲线。在某些情况下，使用参数化会有所帮助。这是指将一个“孤立”的参数映射到曲线上一个点的映射。不难看出，映射 $t \mapsto (t,mt+c)$ 和 $t \mapsto (t,t^2)$ 分别参数化了直线和标准抛物线。稍加努力可以证明：

$$t \mapsto \left( \frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)$$

参数化了单位圆，因为 $(1-t^2)^2 + (2t)^2 = 1 + 2t^2 + t^4 = (1+t^2)^2$，因此根据分数的运算规则：

$$\left( \frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2 + \left( \frac{2t}{1+t^2} \right)^2 = \frac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2} + \frac{(2t)^2}{(1+t^2)^2} = \frac{(1+t^2)^2}{(1 + t^2)^2} = 1.$$

### 有理点

曲线上点的相互位置揭示了其几何性质。另一个问题则指向其点的性质。例如“曲线上的数论”询问在特定曲线上位于“多少个”有理点。一个点 $(x,y)$ 被称为有理点，如果其分量 $x$ 和 $y$ “都”是有理数，例如 $(\tfrac12, -\tfrac34)$。

在标准抛物线以及单位圆的情况下，通过参数化 $t \mapsto (t,t^2)$ 和 $t \mapsto (\tfrac{1-t^2}{1+t^2}, \tfrac{2t}{1+t^2})$ 很快可以看出，这两条曲线上必定有无穷多个有理点。如果参数 $t$ 选择为有理数，则相应的点必须是有理的，因为有理数在四则运算下是封闭的。单位圆上有理点的一个例子是 $(\tfrac{5}{13}, \tfrac{12}{13})$，因为：

$$\left( \tfrac{5}{13}\right)^2 + \left( \tfrac{12}{13}\right)^2 = \tfrac{25}{169} + \tfrac{144}{169} = \tfrac{169}{169} = 1.$$

将两边乘以 $13^2$，得到 $5^2 + 12^2 = 13^2$。一般来说，单位圆上的有理点与所谓的毕氏三元数（勾股数）之间存在密切的对应关系。

然而，如果一条代数曲线是定义在有理数上的，这并不意味着它必须有许多有理点。一般来说，决定哪些有理点位于有理数定义的曲线上，或者甚至找到任何一个这样的点，在数学上是一个“非常”困难的问题。其中一个原因是，在构建曲线时必然会产生加法和乘法的混合，这种混合通常无法再“解开”。一些例子展示了这个问题：

- 虽然单变数的线性方程和二次方程可以基本求解（后者使用学校数学中熟知的求根公式），但例如对于形式为 $x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ （以及更高次）的方程，不存在通用的求解过程，或者说没有办法“完全通用地”用根式封闭形式写出解。
- 虽然方程 $x^2 + y^2 = z^2$ 拥有无穷多个非平凡整数解，例如 $3^2 + 4^2 = 5^2$ 或 $13312^2 + 261975^2 = 262313^2$，但长期以来，对于 $n \geq 3$ 的 $x^n + y^n = z^n$ 是否存在 $x,y,z \geq 1$ 的整数解一直是一个未解之谜。这个问题——在两边除以 $z^n$ 后——对应于代数曲线的有理点问题：

$x^3 + y^3 = 1$,

$x^4 + y^4 = 1$,

$$x^5 + y^5 = 1$$

等等。

否定这一点的费马大定理直到 20 世纪末才在巨大的努力下被证明。证明的过程并不是对方程进行变形或求解（例如通过无效的“假设”$x = \sqrt[n]{z^n-y^n}$），而是证明了关于对应于费马方程的椭圆曲线的一个结果。

尽管伴随着巨大的困难，数学仍然对曲线上的有理点感兴趣，因为数字的更深层本质正是通过它们与加法和乘法的相互作用而显露出来的。虽然上述涉及线性或二次多项式的曲线情况很容易处理，但对于椭圆曲线，至今仍没有（被证明的）通用方法来确定其上有多少个有理点。粗略地说，伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想给出了这样一个程序。

### 椭圆曲线的判别式

在数学中，给复杂对象分配“特征数”通常很有帮助。这些特征数旨在帮助区分这些对象的基本结构，或揭示关键信息：

- 期望值可以决定一个博弈是否公平，而无需透露其规则的更多细节。
- 线性方程组的行列式说明了该方程组是否唯一可解。

椭圆曲线也可以被分配一个“特征数”，称为判别式。对于 $E \colon y^2 = x^3 + ax + b$，其计算公式为

$$D_E = -16(4a^3 + 27b^2).$$

如果 $D_E \not= 0$，则称 $E$ 为“非奇异”的。$D_E = 0$ 的情况对应于“奇异三次曲线”。后者在理论上与椭圆曲线不同，并且不在伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想的框架内进行研究。直观上，奇异意味着曲线有“尖点”或“自交点”（循环）。

### 群

#### 定义与直观

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群被引入数学是为了推广数字的运算。群是一个对象的集合，例如整数

$$\{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, \ldots\}$$

以及该集合上的一种运算，使得满足某些性质。所谓运算是指可以从集合中的任意两个元素生成该集合的一个新元素。在整数的情况下，这样的一个运算例如是加法：两个整数的和又是一个整数。此外，对于一个具有运算 $*$ 的群 $G$，应满足以下条件：

- 结合律：运算中的括号位置无关紧要。例如，对于所有 $a,b,c \in G$，有 $(a*b)*c = a*(b*c)$。也就是说，在一连串的运算中先执行哪个运算是无关紧要的，只要不改变元素的顺序。这在整数加法中显然是满足的，例如 $2 + (1 + 4) = (2 + 1) + 4 = 7$。
- 存在单位元：存在一个元素 $e \in G$，当它与任何其他元素运算时，该元素保持不变。即对于“所有”元素 $a \in G$，有 $a*e = e*a = a$。在上述例子中，单位元是0，因为 $3 + 0 = 3$，且一般来说对于任何（整）数 $n$，都有 $n + 0 = n$。
- 存在逆元：对于“每一个”元素 $a \in G$，都有一个逆元，通常记为 $a^{-1} \in G$，使得 $a * a^{-1} = a^{-1} * a = e$，即运算结果为单位元。在上述整数的例子中，$-n$ 是 $n$ 的逆元，因为总是成立 $n - n = 0$。

在群之中，也有一些具有额外性质的群。

- 如果除了群的性质外还满足交换律，即对于“所有”$a,b \in G$ 都有 $a*b = b*a$，则称之为阿贝尔群（以纪念尼尔斯·亨利克·阿贝尔）。例如 $\Z$ 是一个阿贝尔群，因为两个数字交换后的和保持不变。

还有许多其他的群例子，例如不包含零的有理数集合，记为 $\Q \setminus \{0\}$，以乘法作为运算（此时单位元是 $1$）。然而，“有限”群也是令人感兴趣的。一个日常的例子是小时和时间的计算。由于在一天中的时间里，人们并不总是对确切的日期感兴趣，新的一天在“0 时”之后不是（仅）以“24 时”开始，而是“重新”以“0 时”开始（在数位时钟上从 23:59:59 到 00:00:00 的过渡中可以看出）。因此，小时显示呈现出一种 24-周期模式。尽管如此，在这个小时系统中进行加法运算是可能的。如果不考虑日期，加 $\ldots, -24, 0, 24, 48, \ldots$ 等小时不会改变什么。在这个意义上，例如：

$$3 + 17 = 20, \qquad 23 + 4 = 3, \qquad 7 - 13 = 18.$$

因此，“所有整点”的集合 $\{0, 1, 2, \ldots, 23\}$ 与刚才解释的“加法”一起构成了一个有限的阿贝尔群（以 $0$ 为单位元）。在有限群中，一个元素不断与自身运算，最终必然会回到单位元，在小时的情况下，例如：

$$\underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{24 \text{ 次}} = 0, \qquad \underbrace{3 + 3 + \cdots + 3}_{8 \text{ 次}} = 0, \qquad 12+12 = 0.$$

达到单位元所需的最小自然数运算次数也称为该元素的阶。例如在上述例子中，$12$ 的阶正好是 $2$。在有限群中，一个元素不断与自身运算的效果形成了一个“循环”，因为从单位元开始又“从头”开始。在此背景下值得注意的是，类比的 24 小时时钟具有圆形形状（见图）。此外可以注意到，这个例子基于 24 小时的奇特性，但类似的考虑适用于任意数量的元素。像上面这样通常有 $n$ 个元素的群 $\{0, 1, 2, \ldots, n-1\}$ 也记为 $\Z / n\Z$（在整点的情况下即为 $\Z / 24\Z$）。

#### 群的生成元

如果能写出少量的元素，这些元素借助运算可以生成“所有其他元素”，那么群就会变得特别“清晰”。

- $1$ 是加法群 $\Z$ 的一个生成元，因为通过

$$1,$$

$$1+1,$$

$$1+1+1,$$

$$1+1+1+1,$$

$$\ldots$$

所有正整数都通过逐次加法生成。这里显现了两个重要原则：对于一个生成元，必须始终考虑其逆元素（因为这是唯一确定的，不会增加“真正新的”信息），因此 $-1, (-1)+(-1), (-1)+(-1)+(-1), \ldots$ 补充了负整数列表，其次，单位元 $0$ 总是平凡生成的，例如通过 $1-1 = 0$。人们也写作：$\langle 1 \rangle = \Z$。

- 根据同样的原则，$1$ 是群 $\Z / 24\Z$ 的一个生成元。然而，例如 $5$ 也是一个生成元：任何时间都可以通过 5 小时的时间间隔生成：

$$5 = 5,$$

$$5+5 = 10,$$

$$5+5+5 = 15,$$

$$5+5+5+5 = 20,$$

$$5+5+5+5+5 = 1,$$

$$\ldots$$

$$5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5 = 7$$

$$\ldots$$

填补空缺后，每一个 $\not=0$ 的时间恰好出现一次，直到最后 $\underbrace{5+5+5+\cdots+5}_{24 \text{ 次}} = 0$。这表明生成元即使不考虑逆元，也不是唯一的。成立 $\langle1 \rangle = \langle 5\rangle = \Z / 24\Z$。在使用符号 $\langle, \rangle$ 时，背景中始终是在当前研究的群结构中思考的。

并非所有群都能由单个元素生成。能够做到这一点的群称为循环群，从数学角度来看特别简单。上述例子表明 $\Z$ 和 $\Z / 24\Z$ 是循环的。

#### 群同构

为了掌握一个群背后的“通用结构”，即所有元素相互作用的详细网络，过于关注用于标记其元素的符号或应用背景可能会造成阻碍。因此，如果两个群 $G_1$ 和 $G_2$ 满足以下条件，则称它们为同构，记为 $G_1 \cong G_2$：

- 它们的元素之间存在一一对应关系。
- 并且在“切换到另一个群”时，群运算规则不会改变。

例如，上述群 $\Z / 24\Z = \{0, 1, 2, \ldots, 23\}$ 也可以标记为 $\{A, B, C, \ldots, X\}$（其中 $0 \leftrightarrow A$, $1 \leftrightarrow B$ 等等），根据同构，例如运算

$23+4 = 3$ 将翻译为 $X + E = D$。这再次说明了同构的有用性：结构的研究不取决于文化方面，例如用阿拉伯符号命名数字，或研究背景——重要的是“其元素的确切相互作用”，无论它们“叫什么”。此外，这使得理论之间的“桥梁建设”成为可能：如前所述，抽象有限群 $\Z / 24\Z$ 应用于人类选择的小时时间——但也出现在数论中关于数字 24 的背景下。

也可能发生两个看似具有“不同”运算的群是同构的，即最终拥有完全相同的结构。一个例子是“2 小时日”$\Z/2\Z = \{0,1\}$ 且 $1+1=0$ 与“乘法”群 $\{1,-1\}$，因为同样成立 $(-1) \cdot (-1) = 1$；映射 $\{0,1\} \to \{1,-1\}$ 与 $0 \mapsto 1, 1 \mapsto -1$ 提供了同构。

#### 有限生成阿贝尔群的基本定理

群同构的核心方面使得在群论中处理“所有群”变得特别容易，因为通过同构进行识别使得一种方便的抽象化成为可能。对于伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想来说，一个非常重要的例子是所有“有限生成阿贝尔群”的“分类”。为此，首先有一个简单的观察很重要：可以从两个群 $G_1$ 和 $G_2$ “构建”一个新群 $G_1 \times G_2$，方法是对 $g_1 \in G_1$ 和 $g_2 \in G_2$ 使用元组 $(g_1,g_2)$ 进行计算。如果 $G_1$ 和 $G_2$ 是加法群，则在 $G_1 \times G_2$ 上定义以下分量运算

$$(a,b) + (c,d) := (a+c,b+d).$$

通过这种方式，$\Z \times \Z$ 成为一个群，并且成立 $(11,-3) + (4,21) = (15,18)$。这种所谓的直积没有限制，因此 $\Z \times \Z \times \Z$ 等也构成具有相应数量“分量”的群。此外简写为

$$\Z^r := \underbrace{\Z \times \cdots \times \Z}_{r \text{ 次}}$$

（在此符号中 $\Z^0 := \{0\}$ 是平凡群）。如果 $G$ 是一个有限生成阿贝尔群，则可以证明，总是存在数字 $d_1, \ldots d_\ell \in \N$ 以及 $r \geq 0$，使得存在如下形式的同构

$$G \cong \Z / d_1\Z \times \Z / d_2\Z \times \cdots \times \Z / d_\ell\Z \times \Z^r.$$

如果对 $d_1, \ldots, d_\ell$ 提出某些要求，则这些可以用 $G$ 的术语唯一确定。有限部分 $\Z / d_1\Z \times\Z / d_2\Z \times \cdots \times \Z / d_\ell\Z$ 也称为“扭转部分”（Torsionsteil）；它包含所有那些不断与自身运算后最终加和为零的元素，即形成上述循环的元素。群的无限部分 $\Z^r$（在 $r > 0$ 的情况下）在伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想的背景下特别令人感兴趣。

### 椭圆曲线上的群律与莫德尔-韦伊定理

#### 导论与通过直线和圆的动机

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在某些代数曲线的有理点上，可以定义一个群定律。一个例子是斜率为 $\text{2}$ 的直线。这条直线由所有形式为 $(x,2x)$ 的点的集合给出。例如，点 $(1,2),(2,4),(-11,-22)$ 都在这条直线上。由于两个分量之间的比例性（它们仅相差因子 $\text{2}$），直线上的点可以按分量相加得到新的点。例如，点 $(1,2) + (2,4) = (3,6)$ 再次位于直线上。这对非整数点也适用，并且由于有理数本身在加法下是封闭的（$\Q$ 也构成一个阿贝尔群），所以在斜率为 $2$ 的直线上的所有有理点构成了一个以 $(0,0)$ 为单位元的阿贝尔群。通过 1:1 的对应关系 $x \leftrightarrow (x,2x)$，这个群甚至同构于 $\Q$。

对于圆 $x^2 + y^2 = 1$，也可以指定一个群律（参见单位圆上有理点组成的群）。如果有理点 $(x,y)$ 和 $(t,u)$ 位于单位圆上，则有理点

$$(x,y) \oplus (t,u) := (xt - uy, xu + yt)$$

也在圆上。群运算的符号 $\oplus$ 表明这不再是“普通的加法”。利用这种运算，可以从已知的单位圆上有理点获得新的点；例如：

$$\left( \tfrac{3}{5}, \tfrac{4}{5}\right) \oplus \left( \tfrac{5}{13}, \tfrac{12}{13} \right) = \left(-\tfrac{33}{65}, \tfrac{56}{65} \right)$$

其中需注意被运算的点满足 $3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$ 和 $5^2 + 12^2 = 169 = 13^2$。事实上，也确实成立 $(-33)^2 + 56^2 = 4225 = 65^2$。虽然这个定律可以直接计算验证，但它自然地源于通过正弦和余弦 $\theta \mapsto (\cos(\theta), \sin(\theta))$ 对圆的参数化（见图）以及三角函数的加法定理：

$$\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) - \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta),$$

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) + \cos(\alpha) \cdot \sin(\beta).$$

群律由此通过令 $x := \cos(\alpha), y := \sin(\alpha), t := \cos(\beta)$ 和 $u := \sin(\beta)$ 直接得出，结果可以在几何上解释为原点对应的角度相加后所得的点。在角度参数化中，群律简化为规则

$$(\cos(\alpha), \sin(\alpha)) \oplus (\cos(\beta), \sin(\beta)) = (\cos(\alpha+\beta), \sin(\alpha+\beta)).$$

单位圆上有理点群的确切结构比直线上的更复杂，但可以用数学上令人满意的方式描述。

#### 椭圆曲线上的群律

在有理数上的椭圆曲线上，也可以在有理点上定义一个群律。这最好用几何方法来解释。如果曲线上两点 $P \not= Q$ 进行运算，为了确定新点，需要通过两个被加的点作一条直线，并将该直线与椭圆曲线的第三个交点关于 x 轴进行反射（至少在关于 x 轴对称的情况下是这样，见图）。这个运算的单位元 $O$ 是一个位于“无穷远处”的“点”，形式上被添加到曲线中。这特别意味着，一个点的逆元始终是原点关于 x 轴的反射（只要曲线中不出现项 $xy$ 和 $y$）。证明所有有理点（包含 $O$）的集合确实构成一个群，由于必须证明结合律 $P + (Q + R) = (P + Q) + R$，过程相当繁琐。

“无穷远点”的现象在数学上是通过射影几何严格描述的。第一步是通过添加第三个变数 $z$ 对曲线进行齐次化，即 $y^2z = x^3 + axz^2 + bz^3$，使得所有单项式都具有相同的次数 3。

虽然椭圆曲线上的点加法可以用几何直观地解释，但在计算方面——类似于单位圆——完全基于四则运算。然而，写出一个封闭公式是很繁琐的。这一点非常重要，因为研究椭圆曲线不仅限于实数或有理数体，这是很有好处的。这也包括那些上述几何视角根本不再可能的体。

对于“奇异”三次曲线也存在群律。然而，这些群在某种程度上不同于椭圆曲线的群，它们可以通过有理参数化完全描述，因此在伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想中不扮演角色。

#### 莫德尔-韦伊定理

至今还不存在一个程序来决定任意椭圆曲线有多少个有理点。然而，我们知道，只要曲线是非奇异的，其有理点的数量始终“明显少于”直线 $y=2x$ 或单位圆 $x^2 + y^2 = 1$ 的情况。莫德尔-韦伊定理指出，椭圆曲线 $E$ 上的有理点阿贝尔群 $E(\Q)$ 是“有限生成”的。也就是说，始终存在“有限数量”的固定点 $P_1, P_2, \ldots, P_n \in E(\Q)$，使得“每一个”点 $P \in E(\Q)$ 都可以写成如下形式

$P = m_1 P_1 + m_2 P_2 + \cdots + m_n P_n \qquad$ （其中对于 $n \geq 0$ 定义：$nQ := \underbrace{Q + \cdots + Q}_{n \text{-次}}$ 及 $-nQ = \underbrace{-Q - \cdots - Q}_{n \text{-次}}$）

其中 $m_j \in \Z$ 为任意整数。所需的生成元数量自然会随曲线的选择而变化。根据有限生成阿贝尔群的分类，存在一个 $r \geq 0$，使得

$$E(\Q) \cong E(\Q)_{\text{tors}} \times \Z^r,$$

其中 $E(\Q)_{\text{tors}}$ 是扭转部分，即所有那些不断与自身相加会“在圆圈中移动”（最终回到零点）的点。数字 $r$ 由曲线 $E$ 固定确定，是其所属的一个量，称为 $E$ 的“代数秩”，通常简称为“秩”。它衡量了 $E$ 上有“多少”有理点。例如，在 $r=0$ 的情况下，始终只有有限多个点，而从秩 $r \geq 1$ 开始有无穷多个点，但“无穷大的程度”随着代数秩的增加而增加。伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想对有理数上椭圆曲线的代数秩做出了陈述。

### 有限体上的椭圆曲线

在数学中，体是指一个集合，简单来说，在其内部可以进行四则运算。其中应适用学校数学中已知的交换律（“加”和“乘”的可交换性）、结合律（“仅加”或“仅乘”时括号的可交换性）和分配律（“展开”和“乘入”）。此外，元素 $0$ “（加法的单位元）”和 $1$ “（乘法的单位元）”必须始终是体的一部分。特别是，应该能够被任何不等于 $0$ 的数除。重要的例子包括实数体（记号：$\R$）或有理数体（记号：$\Q$）。

在精确的数学术语中，$\mathbb{K}$ 是一个体，当且仅当 $\mathbb{K}$ 及 $\mathbb{K} \setminus \{0\}$ 分别构成加法及乘法阿贝尔群，且同时满足分配律（作为加法和乘法之间的“相容性”）。

除了学校数学中熟知的有理数和实数体外，还存在许多其他例子，甚至包括“有限体”。最简单的有限体是在选择任意质数 $p$ 后产生的。如前所述，$\mathbb{F}_p := \Z / p\Z$ 构成一个加法阿贝尔群。但质数性质也允许在 $\mathbb{F}_p$ 内进行乘法和除法（除以不等于 $0$ 的数）。例如，若 $p=7$，则 $3$ 是 $5$ 的乘法逆元，因为

$$3 \cdot 5 = 15 = 1 + 14 = 1.$$

椭圆曲线也可以在体 $\mathbb{F}_p$ 上进行研究。在那里，点加法仍然存在，因为它只需要四则运算。同样也可以（并且必须）考虑一个“无穷远”点。对于伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想来说，现在至关重要的是考虑“每一个”体 $\mathbb{F}_2, \mathbb{F}_3, \mathbb{F}_5, \mathbb{F}_7, \ldots$ 等的点数（它们始终是有限的）。简化曲线 $E(\mathbb{F}_p)$ 上的点 $(x,y) \in \mathbb{F}_p^2$ 的数量通常记为 $N_p - 1$（如果加上无穷远点，数量正好是 $N_p$）。然而，在这个“简化过程”（Reduction）中必须注意，对于有限数量的质数，可能会产生奇异曲线。这些整除 $E$ 之判别式的坏质数（bad primes），必须在理论中单独考虑。

例如例如：椭圆曲线 $y^2 = x^3 + x^2 - x$ 在体 $\mathbb{F}_3 = \{0,1,2\}$ 上恰好有五个点，即 $(0,0), (1,1), (2,1), (1,2)$ 和 $(2,2)$（该曲线的判别式为 $80$，不能被 $3$ 整除，因此简化后仍是椭圆曲线）。例如在 $\mathbb{F}_3$ 中成立： :$1 = 2^2 = 2^3 + 2^2 - 2 = 10 = 1$ 因为除以 $3$ 取余数。所以在这个情况下 $N_3 - 1 = 5$。

尽管计算非常大的质数 $p$ 的确切数量 $N_p$ 是困难的，但存在一个由海尔穆特·哈塞提出的重要定理，它对解的数量 $N_p$ 的大小给出了相当精确的概念。对于这些数量，成立

$$|N_p - 1 - p| < 2\sqrt{p}.$$

对于非常大的质数 $p$，这意味着点的数量在比例上非常接近 $p$，即 $N_p \sim p$ 或

$$\lim_{{p \to \infty \atop p \, \text{質數}}} \frac{N_p}{p} = 1.$$

### 猜想的陈述

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以最简单的形式，伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想指出，椭圆曲线的（代数）秩 $r$——一个全域数据——可以从其局部性质——即简化曲线在有限体 $\mathbb{F}_p$ 上的点数 $N_p$——中确定。

猜想：设 $E$ 为有理数上的椭圆曲线，其（代数）秩为 $r$。令 $N_p$ 为简化曲线 $E(\mathbb{F}_p)$ 上的点数（包括无穷远点）。则存在常数 $C > 0$，使得 $\prod\limits_{{p \leq x}}{}^* \frac{N_p}{p} \sim C \log(x)^r$，其中乘积中的星号表示排除质数 2 和那些整除 $E$ 之判别式的质数。这里符号 $\sim$ 表示两边对于增长的值 $x$ 渐近地以相同的速度增长，即它们的商在 $x \to \infty$ 时趋向于 1。

## 背景与解释

在许多科学领域中，理解系统（粗略地说，许多不同元素的全域相互作用）并能够进行预测是至关重要的。由于系统在规模上可能非常复杂，研究系统的“局部”方面以期将这些“局部因素”拼凑成“全域理解”可能会有所帮助。由于显而易见的原因，研究局部方面比研究整个系统更容易，因为对后者的理解也可能解答个别问题。例如，可以尝试从“普通人”的属性推断国家共同体内的动态。另一个例子是通过宏观经济学中的模型描述全域经济关系（例如关注总供给和总需求的AS-AD模型）。

在数论中，一种形式的“局部-全域原理”也是有方法的。待研究的“系统”例如可以是一个方程，如 $y^2 = x^3 + x^2 -x$ 在有理数上，而“对系统的问题”是这在有理数上是否可解。为此，首先要弄清楚哪些“局部因素”构成了数字：根据算术基本定理，已知每个 $\not= 0$ 的整数（除符号和因数顺序外）可以唯一地分解为质因数。例如：

$$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3, \qquad -255 = -3 \cdot 5 \cdot 17, \qquad -4371834565381 = -83 \cdot 2207 \cdot 23866201.$$

如果也允许负指数，这个原则甚至可以推广到有理数 $\not= 0$：

$$\frac{12}{5} = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5^{-1}, \qquad -\frac{121}{68} = -\frac{11 \cdot 11}{2 \cdot 2 \cdot 17} = -2^{-2} \cdot 11^2 \cdot 17^{-1}.$$

通过 19 世纪以来代数数论的系统化，人们知道“局部因素”即“质数位”（Prime spots）的“相互作用”可以提供对数字的全域理解。具体来说，这意味着在某些情况下，先在“局部位”（即较容易处理的体 $\R$ 以及 $\mathbb{F}_2, \mathbb{F}_3, \mathbb{F}_5, \ldots$）上研究方程或曲线，有助于获得关于“全域”（即有理）解的信息。

$$\underbrace{\Q}_{\text{全域體}}\quad \longleftrightarrow \quad \underbrace{\R, \mathbb{F}_2, \mathbb{F}_3, \mathbb{F}_5, \mathbb{F}_7, \mathbb{F}_{11}, \ldots}_{\text{局部位}}$$

其中对局部位的观察可以转移到局部体。在质数 $p$ 的情况下，这是 $p$-进数体 $\Q_p$。

当代数曲线变得“过于复杂”时，局部-全域原理就会失败。在这种情况下，必须获取更多信息，以便能够决定是否存在非平凡的有理点。数学家 Ernst Sejersted Selmer 例如展示了方程 $3x^3 + 4y^3 + 5z^3 = 0$ 在上述意义上对于每个质数都有解，并且也有实数解，但“没有非平凡”（即 $\not= (0,0,0)$）的有理数解。

伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想是针对有理数上椭圆曲线的局部-全域原理的一种变体。它超越了仅仅试图预测任何有理点的存在。特别是，曲线的代数秩 $r$ 应从其局部数据中确定。更准确地说，该猜想预测了质数位处的曲线与其代数秩之间的联系。为了应对局部-全域原理对椭圆曲线的失败，对质数位信息的要求被加强了。不仅询问模 $p$ 解的存在性，还询问“确切数量”。这里的核心思想是，具有“非常多”有理点的椭圆曲线，在质数位处的简化（几乎总是在有限体上的椭圆曲线）也“应该”倾向于具有许多点 $N_p$。推测的公式表明，左侧的乘积

$$\prod\limits_{{p \leq x}}{}^* \frac{N_p}{p} \sim C \log(x)^r$$

随着秩 $r$ 的增加，对于 $x \to \infty$ 增长得更快，因为对数是一个增长且无界的函数。这正对应于上述直观：椭圆曲线的秩越高，$N_p$ 倾向于取的值就越高。

## 历史

### 早期历史

椭圆曲线（即亏格为 1 的曲线）背景下的问题在亚历山大港的丢番图的著作《算术》中发挥了重要作用。如果一条实直线与椭圆曲线相交于两点，或者作为切线在一个点“双重”相交，那么它也有第三个实交点。如果这两个交点是有理点，那么第三个也是。这一事实早已被艾萨克·牛顿发现。特别值得注意的是，在曲线的一个有理点处画切线会导致该切线在另一个有理点处再次与曲线相交。丢番图隐含地应用这种方法从一个解得出第二个解。然而，他没有迭代这个过程。皮埃尔·德·费马是第一个认识到这种方式有时可以获得无穷多个解的人。此外，费马引入了“无穷递降法”，该方法有时可用于证明解的数量是有限的甚至是零。

### 20 世纪

早在 1901 年，数学家昂利·庞加莱就询问了当椭圆曲线 $E$ 变化时，代数秩可能取哪些值。庞加莱的问题在莫德尔-韦伊定理证明之后才被认为是定义明确的，因为在 20 世纪初，甚至连有理点集是否构成有限生成阿贝尔群都不清楚。

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该猜想首次由布莱恩·贝赫和彼得·斯维讷通-戴尔在他们 1965 年的论文《关于椭圆曲线的笔记 II》（*Notes on elliptic curves II*）中提出。他们的猜想基于从 1958 年开始在 EDSAC 电脑上进行的一系列计算，这些计算从 1962 年开始公开，并在科学界引起了惊讶的波澜。

这些计算旨在发现一种类似于狄利克雷的类数公式的椭圆曲线理论。背景是可以为每个数体 $K$ 分配一个Zeta函数 $\zeta_K(s)$，即 $K$ 的“戴德金Zeta函数”。它拥有到 $\C$ 的亚纯延拓，满足一个泛函方程，并在点 $s=1$ 处编码了 $K$ 的重要算术不变量。所谓的“类数公式”成立

$\lim_{s \to 1} (s-1) \zeta_K(s) = \frac{h_K 2^{r_1} (2\pi)^{r_2} \operatorname{Reg}_K}{w_K \sqrt{|D_K|}}$.

其中：

- $h_K$ 是 $K$ 的类数。
- $r_1$ 和 $2r_2$ 是 $K$ 的实嵌入和复嵌入的数量。
- $w_K$ 是 $K$ 中单位根的数量。
- $\operatorname{Reg}_K$ 是 $K$ 的狄利克雷调节器。
- $D_K$ 是 $K$ 的判别式。

因此，一个很自然的猜想是，与椭圆曲线 $E$ 相关联的 L-函数 $L(E,s)$ 也应该说明其算术不变量的一些信息。其中一个不变量就是它的代数秩。

### 21 世纪：宣布为千禧年大奖难题

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早在 1998 年，商人 Landon T. Clay 和数学家 Arthur Jaffe 就创立了克雷数学研究所（CMI）， Jaffe 在 1998 年至 2011 年期间也担任首任所长。为了纪念希尔伯特在 1900 年巴黎大会上的演讲一百周年，CMI 于 2000 年 5 月在法兰西公学院举办了为期两天的会议。会上宣布设立 700 万美元的基金，将为解决七个重大数学问题（即所谓的“千禧年大奖难题”）各提供 100 万美元的奖金。获奖名单最终在 6 月公布，根据 CMI 的说法，设立该奖项是为了：

- 表彰数学家在千禧年之际面临的一些最困难的问题。
- 强调从事真正困难问题研究的重要性，以及
- 让更多人知道数学中仍然存在困难、重大的问题。

由于 20 世纪没有找到伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想的证明，这个项目被宣布为千禧年大奖难题之一。

为了颁发奖金，相关工作必须已经发表，并且经过 2 年的冷静期后，获得数学界的广泛认可。在颁奖规则中，还有一条关于反例作用的条款。对于伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想，反例将是有理数上的椭圆曲线，满足：

$$\text{（代 數）秩} \not= \text{解 析 秩 }$$

这可以通过单独检查（单一）曲线来发现。如果 CMI 认为反例确实解决了问题，CMI 可以宣布颁发大奖。然而，如果反例表明原问题在重新表述或消除特例后仍然存在，CMI 只能授予作者一小笔奖金，金额由 CMI 自行决定。这笔奖金将不从问题基金中提取，而是从其他 CMI 基金中提取。

## 关于 L-函数的表述

在 20 世纪末，通过巨大的努力，在模形式定理的框架下证明了可以为椭圆曲线分配一个数学函数，即其所谓的“L-函数”，该函数定义在实数（甚至复数）上，并在那里具有“非常好的解析性质”，如可微性。伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想现在指出，这个 L-函数“知道”椭圆曲线上有理点的数量：它由 $x = 1$ 处零点的阶数编码。这里的阶数意味着“函数项中因子 $(x-1)$ 的频率”；在这个意义上，函数 $x \mapsto 3x(x-1)^4$ 在 $x=1$ 处有一个 4 阶零点。猜想认为，阶数越高，椭圆曲线上的有理点就“越多”。

为了全面理解椭圆曲线的L函数，需要用到复数。然而，其动机和构造以及伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想的表述也可以通过学校数学中已知的实数来实现。

### 模形式定理

对于每一个定义在 $\Q$ 上的层（Level）为 $N$ 的椭圆曲线 $E$，都可以关联一个L-函数 $L(E,s)$，作为一个解析对象，它编码了所有的算术性质。它具有如下的欧拉乘积表示：

$$L(E,s) = \prod_{p \mid N} \left(1 - a_pp^{-s}\right)^{-1}\prod_{p \not \mid N} \left(1 - a_pp^{-s} + p^{1-2s}\right)^{-1}, \qquad \mathrm{Re}(s) > \tfrac{3}{2},$$

其中对于具有“好约化”（good reduction）的质数，$a_p$ 由 $p - \#E(\mathbb{F}_p) = p + 1 - N_p$ 给出，$E(\mathbb{F}_p)$ 表示模 $p$ 的解集 $(x,y) \in \mathbb{F}_p^2$。对于具有“坏约化”（bad reduction）的质数，则选择类似的定义。如果曲线的系数不是整数，则必须先通过射影坐标进行初等变换。L-函数也可以针对任意数体 $K$ 上的椭圆曲线 $E/K$ 进行定义。

安德鲁·怀尔斯和其他人通过证明模形式定理，成功确认了 $L(E,s)$ 可以延拓为一个整函数并满足一个泛函方程的说法：事实上，$L(E,s)$ 对应于一个权重为 2 的模形式 $f_E(z)$，其层（Level）与椭圆曲线的导子（Conductor）相同。特别是，$f_E$ 是关于同余子群 $\Gamma_0(N)$ 的所谓赫克-特征形式（Hecke Eigenform）。$L(E,s)$ 和 $f_E(z)$ 之间的联系可以通过经典的梅林变换公式化得出：

$$\Lambda(E,s) := (2\pi)^{-s}N^{\frac{s}{2}} \Gamma(s) L(E, s) = N^{\frac{s}{2}}\int_0^\infty f_E(it) t^{s-1} \mathrm{d}t.$$

泛函方程则为：

$$\Lambda(E, 2-s) = \sgn(E, \Q) \Lambda(E,s),$$

其中符号 $\sgn(E, \Q) \in \{\pm1\}$ 对于 $E(\Q)$ 的算术扮演重要角色。例如，如果 $\sgn(E, \Q)$ 取值 $+1$ 或 $-1$，则 $\Lambda(E,s)$ 在 $s = 1$ 处分别以偶数或奇数阶消失（即零点阶数为偶数或奇数）。

### 解析秩

椭圆曲线 $E$ 的“解析秩”现在定义为 $L(E,s)$ 在点 $s=1$ 处的零点阶数。这也被称为 $L(E,s)$ 的“临界点”。伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想指出，$E$ 的解析秩和代数秩是“相同的”。

```
猜想：設 <math>E</math> 為定義在有理數上的橢圓曲線。若 <math>E(\Q) \cong E(\Q)_{\mathrm{tors}} \times \Z^r</math>，則 <math>r = \mathrm{ord}_{s=1} L(E,s)</math>。<ref>Anthony W. Knapp: ''Elliptic curves.'' Princeton, N.J. 1992, S. 18.</ref>
```

### 强猜想

伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想的强形式还对项 $(s-1)^{-r}L(E,s)$ 在 $s=1$ 处的值做出了预测。正如类数公式一样，假设该值编码了曲线 $E$ 的重要算术不变量。其中一个特征量是所谓的泰特-沙法列维奇群（Tate-Shafarevich group）$\mathrm{Sha}(E)$。简单来说，它表示了“局部-全域原理”在椭圆曲线 $E$ 上失效的程度。

数学上，这可以严格表述如下：

设 $E$ 是有理数上的椭圆曲线，$K$ 是一个数体

$K = \Q$

（具有代数闭包 $\overline{K}$），从数论的角度来看，理解 $E$ 上 $K$-有理点的莫德尔-韦伊群 $E(K)$ 和泰特-沙法列维奇群 $\mathrm{Sha}(E/K)$ 是很有意义的。若对于整数 $n$，$G[n]$ 表示群 $G$ 的子群，使得对每个 $P \in G$ 都有 $nP = 0$，则以下序列是正合的：

$0 \longrightarrow E(\overline{K})[n] \longrightarrow E(\overline{K}) \ \overset{n}{\longrightarrow} \ E(\overline{K}) \ \longrightarrow \ 0$.

通过与 $G_K = \mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$ 建立伽罗瓦上同调，由此产生以下正合序列：

$$0 \ \longrightarrow E(K)[n] \ \longrightarrow E(K) \ \overset{n}{\longrightarrow} \ E(K) \ \overset{\delta}{\longrightarrow} \ H^1(G_K, E(\overline{K})[n]) \ \longrightarrow \ H^1(G_K, E(\overline{K})) \ \overset{n}{\longrightarrow} \ H^1(G_K, E(\overline{K})),$$

最终导出短正合序列

$$0 \longrightarrow E(K)/nE(K) \longrightarrow H^1(G_K, E(\overline{K})[n]) \longrightarrow H^1(G_K, E(\overline{K}))[n] \longrightarrow 0$$

这称为“下降序列”（descent sequence）。现在可以按照局部-全域原理进行处理。由此最终定义：

$$\mathrm{Sha}(E/K) := \mathrm{ker}\left( H^1(G_K, E(\overline{K})) \longrightarrow \prod_v H^1(G_K, E(\overline{K_v}))\right)$$

其中每个 $v$ 对应 $K$ 的一个位（Place）。群 $H^1(G_K, E(\overline{K}))$ 的每个元素“对应”于 $E/K$ 上的一类齐次空间——意指光滑曲线 $C/K$，代数群 $E$ 在其上定义了一个 $K$ 运算。这些类是通过与 $E$ 的作用兼容的同构来确定的。当且仅当 $E/K$ 拥有任何 $K$-有理点时，一个类是平凡的。

如果对上述正合序列中的后部上同调群进行适当限制，会再次得到正合序列

$$0 \longrightarrow E(K)/nE(K) \longrightarrow \mathrm{Sel}_n(E/K) \longrightarrow \mathrm{Sha}(E/K)[n] \longrightarrow 0.$$

这里 $\mathrm{Sel}_n(E/K)$ 表示所谓的 $n$-塞尔摩群（Selmer group）。定义如下：

$$\mathrm{Sel}_n(E/K) := \mathrm{ker}\left( H^1(G_{K}, E(\overline{K})[n]) \longrightarrow \prod_{v} H^1(G_{K_v}, E(\overline{K_v}))\right)$$

虽然众所周知 $n$-塞尔摩群 $\mathrm{Sel}_n(E/K)$ 始终是有限的（由此可推导出群 $E(K)/nE(K)$ 始终有限，这是证明 $E(K)$ 是有限生成阿贝尔群的重要一步），但泰特-沙法列维奇群通常仍然很神秘。人们猜测群 $E(K)/nE(K)$ 和 $\mathrm{Sel}_n(E/K)$ 仅相差一个与 $n$ 无关的有限量，并且在无穷多种情况下甚至相等。如果 $\mathrm{Sha}(E/K)$ 是有限的，情况就会是这样，但这一点至今尚未被证明。$\mathrm{Sha}(E/K)$ 的有限性是（强）伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想的一部分，并且在数论上具有重大意义：根据定义，其大小编码了局部-全域原理在椭圆曲线 $E$ 上失效的程度。

```
'''強伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想'''：設 <math>E</math> 為有理數上的橢圓曲線，代數秩為 <math>r</math>，導子為 <math>N</math>。則成立 <math>\lim_{s \to 1} (s-1)^{-r}L(E,s) = \frac{L^{(r)}(E,1)}{r!} = \omega_1(E) \tfrac{|\mathrm{Sha}(E)| R(E) c_\infty(E) \prod_{p|N} c_p(E)}{|E(\Q)_{\mathrm{tors}}|^2}</math>，其中 <math>\omega_1(E)</math> 是 <math>E</math> 的實週期（參見[[魏爾斯特拉斯橢圓函數#與橢圓曲線的關係|魏爾斯特拉斯 p-函數]]），<math>R(E)</math> 是 <math>E</math> 的所謂調節器（Regulator，一個幾何不變量），<math>e_\infty(E)</math> 是 <math>E(\R)</math>（視為[[拓撲空間]]）的[[連通空間#連通分量|連通分量]]數量，而 <math>c_p(E)</math> 是簡化 <math>E / \Q_p</math> 的所謂玉河數（Tamagawa numbers，參見[[p-進數]]），是可快速計算的整數。<ref>Henri Cohen: ''Number theory. Volume I: Tools and Diophantine Equations.'' New York 2007, S. 522.</ref>
```

## 重要性

### 椭圆曲线秩的计算

如果伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想成立，那么椭圆曲线的秩可以通过算法确定。除了费马的下降法和黑格纳点（Heegner point）方法外，计算“解析”秩是最常见的方法之一。这里必须假设伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想成立，因为它指出解析秩等于代数秩。前者明显更容易计算，而后者才是真正感兴趣的，即“应该”被计算的量。例如，怀尔斯已经展示的椭圆曲线的模性质在某些地方有所帮助。可以通过算法确定 $L(E,s)$ 泛函方程中的符号 $\sgn(E, \Q)$；同时也成立 $(-1)^{r} = \sgn(E, \Q)$，因此可以计算秩的奇偶性。

尽管计算解析秩明显比代数秩容易，但在这里也会出现困难，特别是对于高秩 $r \geq 4$。然而，如果确实证明了对于所有 $0 \leq n \leq r-1$ 都有 $L^{(n)}(E,1) = 0$，那么临界量

$$\frac{L^{(r)}(E,1)}{r!} = 2 \sum_{n = 1}^\infty \frac{a_n(E)}{n} \Gamma_r\left(1, \frac{2\pi n}{\sqrt{N}}\right)$$

可以从狄利克雷级数 $L(E,s)$ 的系数 $a_n(E)$ 和广义不完全伽玛函数计算出来，后者通过递归定义如下：

$\Gamma_{-1}(s,x) := e^{-x}x^s \quad$ 和 $\quad \Gamma_r(x,s) := \int_x^\infty \frac{\Gamma_{r-1}(s,t)}{t} \mathrm{d}t \quad (r \geq 0)$

其中 $N$ 是 $E$ 的导子。这个公式有效性的关键在于源自模形式定理的 $L(E,s)$ 的泛函方程。然而，伽玛值的数值精确计算构成了另一个障碍。这里通常区分小函数值（特别是在大导子的情况下起著越来越重要的作用）和大函数值，并且在两种情况下采用方法上非常不同的处理方式。对于小值 $x$，可以使用以下形式的表示

$$\Gamma_r(1,x) = \sum_{k=0}^r a_k \frac{\log(x)^{r-k}}{(r-k)!} - e^{-x} \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!} A_r(n)$$

这里令

$$\sum_{k=0}^\infty a_k x^k := \exp\left( \gamma x + \sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k)}{k}x^k \right)$$

其中包含黎曼Zeta函数 $\zeta(s)$ 以及 欧拉-马斯刻若尼常数 $\gamma$ 和

$$\sum_{k=0}^\infty A_k(n)x^k := \exp\left(\sum_{k=1}^\infty \frac{H_k(n)}{k}x^k \right) \quad (n \geq 1)$$

其中包含广义调和数 $\textstyle H_k(n) := \sum_{j=1}^n \frac{1}{j^k}.$ 相反，对于大 $|x| \gg 1$，使用渐近展开

$$\Gamma_r(1,x) \sim e^{-x} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+r+1} n! C_{r-1}(n)}{x^{n+1}},$$

其中值 $C_k(n)$ 定义为

$$\sum_{k=0}^\infty C_k(n)x^k := \exp\left(\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}\frac{H_k(n)}{k}x^k \right) \quad (n \geq 1)$$。

### 同余数

<image>

同余数是一个有理数 $r$，它是边长 $a,b,c$ 全为有理数的直角三角形的面积。始终存在一个数 $s \in \Q$，使得 $s^2r$ 是一个无平方因子的整数（即不被除 1 以外的任何平方数“整除”的数）。然而，对应的边长为 $sa, sb, sc$ 的三角形面积为 $s^2r$，因此不失一般性，可以选择 $r=n$ 为无平方因子的整数。尽管如此，仍需注意并不要求三角形的边长本身是整数。虽然 $n=6$ 是可以实现这一点的最小同余数（见图），但 $n=5$ 也是一个同余数，其边长为

$$a = \frac{3}{2}, \quad b = \frac{20}{3}, \quad c = \frac{23}{3}.$$

虽然理论上存在计算所有同余数的算法，但不知道该过程需要“多长时间”，例如决定一个“特定数字”是否是同余数。然而，可以用“初等方式”证明，$n$ 是同余数“当且仅当”相关的椭圆曲线

$$E_n \colon y^2 = x^3 - n^2x$$

拥有无穷多个有理点。通过 John Coates 和 Andrew Wiles 的深刻结果已知，如果 $E_n$ 确实有无穷多个有理点，则必然有 $L(E_n,1) = 0$。因此反之，若 $L(E_n,1) \not= 0$，则 $n$ 不可能是同余数。伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想提供了另一个方向：如果 $L(E_n,1) = 0$，则 $E_n$ 有无穷多个有理点，且 $n$ 是一个同余数。

Jerrold Tunnell 还能够找到以下定理，提供了同余数的基本“刻画”：如果 $n$ 是无平方因子的同余数，则

$$\begin{cases} \left| \left\{ (x,y,z) \in \Z^3 \colon n = 2x^2 + y^2 + 32z^2\right\} \right| & = \frac12 \left| \left\{ (x,y,z) \in \Z^3 \colon n = 2x^2 + y^2 + 8z^2\right\} \right|, & \qquad \text{若 } n \text{ 為奇數}, \\ \left| \left\{ (x,y,z) \in \Z^3 \colon \frac{n}{2} = 4x^2 + y^2 + 32z^2\right\} \right| & = \frac12 \left| \left\{ (x,y,z) \in \Z^3 \colon \frac{n}{2} = 4x^2 + y^2 + 8z^2\right\} \right|, & \qquad \text{若 } n \text{ 為偶數}. \\\end{cases}$$

如果伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想对椭圆曲线 $E_n$ 成立，那么反方向也成立，即：从上述集合基数之间的等式可以推导出 $n$ 的同余性。Benedict Gross 和 Don Zagier 于 1983 年证明，$E_n$ 中的一个大族确实满足伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想。

1975 年，Nelson Stephens 证明，如果伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想成立，那么对于每个 $n \equiv 5,6,7 \pmod{8}$ 的数，椭圆曲线 $E_n$ 具有“奇数”秩。因此秩必须自动为正（因为 0 是偶数），从而 $n$ 是一个同余数。

通过 $E_n$ 曲线上无限阶的有理点，可以确定同余三角形的对应边长。即使对于相对较小的 $n$，这些边长也可能非常复杂。在同余数 $n=157$ 的情况下，通过黑格纳点方法（该方法“当且仅当”曲线秩为 1 时适用），可以得到曲线 $y^2 = x^3 - 157^2 x$ 上如下的有理点：

$$(x,y) = \left( \frac{95732359354501581258364453}{277487787329244632169121}, \frac{834062764128948944072857085701103222940}{146172545791721526568155259438196081}\right).$$

根据上述 Tunnell 定理，这个有理点证明了对于 $n=157$ 存在一个直角三角形，其边长完全是“有理数”且面积为 $157$。由 Don Zagier 计算的对应直角三角形的边长（$a,b$ 为股，$c$ 为斜边）为：

$a = \frac{411340519227716149383203}{21666555693714761309610}$, $b = \frac{6803298487826435051217540}{411340519227716149383203}$ 和 $c = \frac{224403517704336969924557513090674863160948472041}{8912332268928859588025535178967163570016480830}.$

### 质数分解为两个立方数

数论中的一个问题是正整数分解为幂的可能性。例如，勒让德的四平方和定理指出，每个正整数都可以写成四个平方数之和。例如

$$24 = 16 + 4 + 4 + 0 = 4^2 + 2^2 + 2^2 + 0^2,$$

$$111\,111 = 333^2 + 14^2 + 5^2 + 1^2.$$

值得注意的是，所有可以写成两个平方和的质数都已被刻画。如果质数 $p$ 的形式为 $p = 4k+1$（即 $p-1$ 可被 4 整除），则 $p$ “总是”两个平方数之和。例如

$$5 = 1^2 + 2^2, \quad 13 = 2^2 + 3^2, \quad 17 = 1^2 + 4^2, \quad 29 = 2^2 + 5^2, \quad 37 = 1^2 + 6^2, \quad 41 = 4^2 + 5^2, \quad 53 = 2^2 + 7^2, \quad 61 = 5^2 + 6^2.$$

同时，满足 $p-3$ 被 4 整除的质数 $p$ “绝非”两个平方数之和，参见二平方和定理。

对于立方数来说，类似的问题要困难得多。詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特在 19 世纪就已经研究过哪些质数是两个立方数之和的问题。虽然在平方的情况下，有理平方和整数平方的可分解性是“重合的”，即一个意味着另一个（尽管在前一种情况下，如果存在表示，本质上是唯一的，而在后一种情况下有无穷多种），但在立方数的情况下，问题首先只在有理数范围内考虑，因为至今还没有已知的规则来决定哪些数字可以分解为整数立方数。关于这个问题的一个重要观察是，对于所有质数 $p > 2$，椭圆曲线

$$E_p \colon x^3 + y^3 = p$$

有理点 $E_p(\Q)$ 没有扭转点。因此，如果存在 $p$ 分解为两个有理立方数，那么必然有无穷多个解。与伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想的联系在于考虑 $L(E_p,s)$ 在 $s=1$ 处的情况。根据 John Coates 和 Andrew Wiles 的一个定理，从 $L(E_p,1) \not= 0$ 可以推导出 $E_p$ 的秩为 0，因此 $p$ 不可能分解为两个有理立方数。从 $L(E_p,s)$ 泛函方程中的负号已知，在 $p \equiv 4,7,8 \pmod{9}$ 的情况下，已经成立 $L(E_p,1) = 0$。已知在 $p \equiv 4,7 \pmod{9}$ 的情况下，$E_p$ 的秩 $r_p$ 为 1，因此这些质数存在无穷多种分解。例如：

$$13 = \left( \frac{2}{3}\right)^3 + \left( \frac{7}{3} \right)^3.$$

对于 $p \equiv 8 \pmod{9}$，这通常是未知的。相反，根据 Coates 和 Wiles 的定理，质数 $p \equiv 2,5 \pmod{9}$ 永远不能是两个有理立方数之和，因为这里可以证明 $L(E_p,1) \not= 0$。最后，在 $p \equiv 1 \pmod{9}$ 的情况下，答案可能会有所不同：秩 0 和 2 都是可能的。然而，F. Villegas 的一个定理为这些质数提供了一个判据。

### 亏格 1 曲线上的有理点

椭圆曲线之所以成为有理数上的焦点，是因为它们构成了唯一一类既可以有有限多个，也可以有无穷多个有理点的“曲线类别”。

早在 19 世纪，人们就注意到，如果将曲线放在复数上考虑，它们会变成曲面。如果将曲线上的所有点 $(x,y)$ 收集到 $\C \times \C$ 内的图形中（即 $x$ 和 $y$ 是复数，而空间 $\C \times \C$ 作为两个平面的乘积是实 4 维的），就会产生一个表面。这个表面延伸到无穷远，但可以通过添加一个无穷远点来“封闭”（数学家称之为紧致化）。结果是一个完全连通的表面，局部看起来总像一个平面，并且没有边界，就像地球表面（或球体表面）一样。现在的问题是，这些表面看起来是什么样的。

代数曲线可以通过其亏格来区分，但要注意，不同亏格的曲线必然不同，但仍可能存在具有“相同”亏格的不同曲线。在复数情况下，这与拓扑曲面亏格（“洞的数量”）重合。椭圆曲线的亏格为 $g = 1$（因为环面恰好有一个洞）。根据格尔德·法尔廷斯证明的莫德尔猜想，亏格 $g = 0$ 的曲线（“像地球表面”，包括直线和二次曲线）如果有一个有理点，就已经有无穷多个有理点，而亏格 $g \geq 2$ 的曲线始终“只有有限多个”有理点。因此，椭圆曲线 $0 < g = 1 < 2$ 属于一个“中间世界”，两种情况都可能发生。从数学角度来看，法尔廷斯的证明是一个巨大的突破，因为曲线的“拓扑”（即“空间”）性质说明了其数论性质。证明的一个关键工具是以他命名的法尔廷斯高度，这是皮埃尔·德·费马引入的无穷递降原理的一个非常深远的推广：在某些情况下，可以从一个潜在的解构造出无穷多个新解链，但这对应于一个同样无穷的递减自然数链，这是荒谬的：例如，递减过程

$$237 > 236 > 231 > 199 > \cdots \geq 0$$

不能用无穷多个自然数填充。例如，“法尔廷斯定理”指出，亏格为 $g = 15$ 的曲线

$$x^7 + y^7 = 1$$

只有有限多个有理点，包括平凡解 $(1,0)$ 和 $(0,1)$。通过费马大定理的证明，可以排除更多的有理数解。由于他的成就，法尔廷斯于 1986 年成为第一位获得数学界“诺贝尔奖”——菲尔兹奖的德国人。然而，所应用的方法不能应用于椭圆曲线，因此关于有理点（无）穷性的情况在这里至今仍未解决。

## 启发式论证

数学家尼尔·科布利茨（Neal Koblitz）提出了一个启发式论证，指向伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想弱形式的正确性，但他本人也指出这距离严格的证明还“很远”。如果假设 $L(E,s)$ 的欧拉乘积在 $s=1$ 时代表该函数（事实上并非如此！），我们将会有：

$$L(E,1) = \prod_{p \ \text{質數}} \frac{1}{1 - \frac{a_p(E)}{p} + \frac{1}{p}} = \prod_{p \ \text{質數}} \frac{p}{p+1-a_p(E)} = \prod_{p \ \text{質數}} \frac{p}{N_p(E)},$$

其中 $N_p(E) = p + 1 - a_p(E)$ 表示 $E$ 在 $\mathbb{F}_p$ 上的点数。当质数 $p$ 变化时，根据哈塞定理（Hasse's Theorem），$N_p(E)$ 的值在 $p$ 附近的区间长度 $2\sqrt{p}$ 内“分布”。粗略地说，$N_p(E) \approx p \pm \sqrt{p}$。如果这呈现出一种“振荡模式”，即向一个方向和另一个方向的波动数量大致相等，人们可以推断出该乘积“收敛”到一个不为 $0$ 的极限值。然而，如果 $N_p(E)$ 有倾向于在“较大的一侧”即 $p+\sqrt{p}$，我们将得到：

$$L(E,1) \approx \prod_{p \ \text{質數}} \frac{p}{p+\sqrt{p}} = \prod_{p \ \text{質數}} \frac{1}{1+\frac{1}{p^{\frac12}}} = 0$$

这个启发式论证现在得出的结论是：如果 $E$ 有无穷多个有理点，预期它们模 $p$ 的约化（reduction）总是会导致一个较大的 $N_p(E)$ 数值。反之，如果 $E$ 只有有限多个有理点，它们对 $N_p(E)$ 的贡献将是可以忽略的，因此结果将是一种更“随机”的、即波动的行为 $N_p(E) \approx p \pm \sqrt{p}$。

## 研究历史

### 部分结果

该猜想目前仅在特定情况下被证明。对于代数秩 $r>1$ 的曲线，至今尚未证明任何突破性的结果。例如，存在代数秩为 $4$ 的曲线 $E$ 的无限族，使得 $L(E,s)$ 的泛函方程中的符号 $\sgn(E, \Q) = 1$。这时必须满足 $L'(E,1) = L(E, 1) = 0$（照惯例，撇号表示函数的高阶导数），并且已知解析秩至少为 $2$。该猜想将蕴含 $L''(E,1) = 0$ 和 $L(E,1) \not= 0$，但目前尚不知如何证明这一点。数学家亨利·科恩（Henri Cohen）认为，即便是证明“一条单一曲线”的这一事实，也值得获得菲尔兹奖。

对于该猜想的正确性，存在强有力的数值论据。

#### 复乘

“复乘”（Complex Multiplication）是一种特殊的性质，只有相对较少数量的（有理数上的）椭圆曲线拥有此性质。它表示曲线上的点不仅可以被整数倍增（即 $3P = P + P + P$），还可以与某些非实数进行“乘法”运算。因此，与曲线 $E$ 相关联的内同态环不与 $\Z$ 同构，而是与一个虚二次域的序（Order）同构。

1976年，约翰·科茨（John Coates）和他的学生安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）证明，如果 $E$ 是一条具有复乘性质的椭圆曲线且拥有无穷多个有理点，则 $L(E,1) = 0$ 成立。他们针对虚二次数域 $K$ 证明了这一点——复乘中的因子正是来自于此。他们的证明策略基于这样一个事实：可以从 $L(E,1)$ 中分解出一个熟知的代数数 $L^*(E,1)$。随后证明，在该定理的假设下，这个数可以被无穷多个质元素整除，这只对零适用。

Nicole Claudine Arthaud-Kuhman 在她的博士论文中将 Coates-Wiles 的结果推广到了 $\Q$ 的所有阿贝尔扩张（带有某些附加条件）。

#### Gross、Zagier 与 Kolyvagin 的定理

1983年，本尼迪克特·格罗斯（Benedict Gross）和唐·察吉尔（Don Zagier）证明，如果模椭圆曲线 $E$ 的 L-函数在 $s=1$ 处有一个“一阶”零点，则在 $E$ 上存在一个无限阶的有理点，即代数秩至少为 1。“模”（Modular）意味着模 $p$ 的解的数量也可以从模形式的傅立叶系数得出，或者更准确地说，仅用这些解的数量就可以构建一个模形式。模椭圆曲线也被称为“韦伊曲线”（Weil curves）。上述条件意味着 $E$ 上的一个无限阶点以Heegner点的迹的形式出现。有趣的是，这也提供了一个显式计算该点的算法。在当时，这是同类结果中的首例。

1990年，维克托·科利瓦金（Victor Kolyvagin）证明，对于模椭圆曲线，若 $L(E,1)$ 在 $s=1$ 处有一阶零点，则秩 $r=1$。此外，他同样针对模曲线证明，若 $L$ 在该处没有零点，则 $r=0$。更确切地说，他证明了这些控制了 Mordell-Weil 群和 Selmer 群。这个结果令人惊讶，因为例如 Shafarevich-Tate 群的有限性（这是结论的一部分）一般来说远未得到解决，并且是深刻猜想（正是伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想）的主题。

Kolyvagin 的定理可以与 Gross 和 Zagier 的结果结合起来，解决 $\mathrm{ord}_{s=1}L(E,s) \leq 1$ 情况下的伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想。如果满足此条件，则可以推导出 $\mathrm{rang}(E(\Q)) = \mathrm{ord}_{s=1}L(E,s)$，且在这两种情况下，Shafarevich-Tate 群都是有限的。这两项结果所融入的证明利用了与特征 $\varepsilon$ 扭转（twist）的 L-函数 $L(E, \varepsilon, s)$ 的技术性质。对于他的证明，Kolyvagin 还利用了所谓的 Heegner 系统的性质。

目前认为，Heegner 点方法对于代数秩 $r > 1$ 的失效，是导致所有针对更高秩的伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想证明尝试失败的“根本原因”。

#### 卡尔·鲁宾的工作

1987年，卡尔·鲁宾（Karl Rubin）证明，在复乘的情况下，若 $r \geq 2$，则 $\mathrm{ord}_{s=1} L(E, s) \geq 2$ 成立。此外，Rubin 给出了第一批 Shafarevich-Tate 群确实有限的曲线范例，例如

$y^2 = x^3 + 17x \quad \quad \,\,$ 其中 $\quad \mathrm{Sha}(E) \cong \Z / 2\Z \times \Z / 2\Z$,

$y^2 = x^3 - 2^8 3^4 5^2 \quad$ 其中 $\quad \mathrm{Sha}(E) \cong \Z / 3\Z \times \Z / 3\Z$.

#### 奇偶性

Jan Nekovář 在 2000 年左右提出了一种关于 Selmer 群和复形的猜想的上同调版本，并在 2002 年左右证明了该猜想“模 2”（奇偶性 2）是正确的，并且存在关于更高奇偶性的猜想。Nekovář 还将 BSD 猜想推广到零点阶数大于 1 的情况（Plectic Conjecture）。

#### 几率性部分结果

尽管猜想尚未被证明，但曼朱尔·巴尔加瓦、阿鲁尔·尚卡尔、克里斯多福·斯基纳和张伟在几率性结果方面取得了一些进展。

$\mathbb{Q}$

$\mathbb{Q}$

也就是说，他们给出了关于“百分之多少”的椭圆曲线满足该猜想的估计。这间接地也与关于秩分布的陈述有关。例如，Bhargava 和 Shankar 证明了椭圆曲线的平均秩小于 0.885。此外，他们还证明了 66% 的椭圆曲线确实满足该猜想。

为了能将“几率”的概念有意义地应用于无限数量的对象，必须首先定义一种“自然排序”。在形如

$$E_{A,B} \colon y^2 = x^3 + Ax + B$$

椭圆曲线情况下，这是可能的，其中 $A$ 和 $B$ 是整数，且具有如下性质：对于任何质数 $p$，若 $p^4|A$，则 $p^6 \nmid B$。这种形式称为“极小形式”（minimal），任何椭圆曲线 $E/\mathbb{Q}$ 都 $\mathbb{Q}$-同构于一个唯一确定的 $E_{A,B}$（因此计算 $E_{A,B}$ 就足够了，因为秩在 $\mathbb{Q}$ 同构下保持不变）。现在在极小曲线 $E_{A,B}$ 上定义一个高度函数

$$H(E_{A,B}) := \max\{4|A|^3, 27B^2\}.$$

人们推测秩为 0 和 1 的椭圆曲线呈现“50:50 分布”，即对于 $r \in \{0,1\}$

$$\lim_{N \to \infty} \frac{|\{E_{A,B} \colon H(E_{A,B}) \leq N \, \text{且 } \, r_{E_{A,B}} = r\}|}{|\{ E_{A,B} \colon H(E_{A,B}) \leq N \}|} = \frac12.$$

早在 2004 年，Roger Heath-Brown 就证明了，在假设（椭圆曲线 L-函数的）广义黎曼猜想下，椭圆曲线 $y^2 = x^3 + Ax + B$ 的平均解析秩最多为 2。

Bhargava、Shankar、Skinner 和 Zhang 进一步证明（无需任何假设）：

$$\begin{align} \liminf_{N \to \infty} \frac{\sum_{H(E_{A,B}) \leq N} r_{E_{A,B}}}{|\{ E_{A,B} \colon H(E_{A,B}) \leq N \}|} & \geq 0{,}2068,\\ \limsup_{N \to \infty} \frac{\sum_{H(E_{A,B}) \leq N} r_{E_{A,B}}}{|\{ E_{A,B} \colon H(E_{A,B}) \leq N \}|} & \leq 0{,}885. \end{align}$$

其中 $r_{E_{A,B}}$ 表示曲线 $E_{A,B}$ 的秩，$\limsup$ 和 $\liminf$ 代表上极限和下极限。Dorian Goldfeld 关于椭圆曲线所谓“二次扭转”（quadratic twists）的代数秩和解析秩的平均分布的猜想也指向类似的方向。椭圆曲线 $E \colon y^2 = x^3 + ax + b$ 关于基本判别式 $D$ 的二次扭转由 $E_D \colon Dy^2 = x^3 + ax + b$ 给出，其中 $E(\Q(\sqrt{D})) \cong E_D(\Q(\sqrt{D}))$。对于扭转曲线，模组性定理同样适用，但为了研究 $L(E_D,1)$ 和 $L'(E_D,1)$ 的值，可以额外引用所谓的和谐马斯形式（Harmonic Maass Forms）理论。

值得注意的是，这并不意味着只有有限多条曲线的秩 $r \geq 2$。尚未证明的 50:50 猜想若成立，并不会与“实际上存在无穷多条秩 $r \geq 2$ 的椭圆曲线”这一已知事实相冲突。例如，若 $m > 1$ 是一个整数，且 $3 \nmid m$、$2 \mid m$ 和 $4 \nmid m$，则椭圆曲线

$$y^2 = x^3 + x - m^6$$

秩总是至少为 2。然而，这些曲线在渐近意义上出现得非常少（就像在渐近意义上只有 0% 的自然数是质数，尽管有无限多个质数）。

### 数值证据

该猜想存在强有力的数值证据。早在 1965 年和 1968 年，Bryan Birch 和 Peter Swinnerton-Dyer 以及 N. M. Stephens 就进行了大规模的数值研究。约翰·科茨（John Coates）在 2015 年称这些线索是“压倒性的”，并认为历史上没有其他问题像这样经过了如此广泛的数值检验。在 LMFDB: The L-functions and modular forms database（L-函数和模形式数据库）项目的网站上，收录了导子 $N < 360000$ 的所有椭圆曲线，总计 $2247187$ 条。Brendan Creutz、Robert L. Miller 和 Michael Stoll 对所有 $N < 5000$ 的曲线进行了强猜想的数值验证。

除了许多从理论方面接近该主题的尝试外，最近还开始尝试通过类神经网络来识别结构。Matija Kazalicki 和 Domagoj Vlah 于 2023 年提出了一种基于“深度卷积神经网络（CNNs）”确定秩的新方法。该方法将椭圆曲线 $E$ 的导子和一定范围内质数 $p$ 的归一化 Frobenius-迹 $a_p$ 序列作为输入，旨在预测秩或识别具有“高”秩的曲线。

### 相关问题的研究

一些同样未解决或已解决的问题与伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想有关。

#### 整数点

卡尔·路德维希·西格尔（Carl Ludwig Siegel）在 1929 年的论文《关于丢番图逼近的一些应用》（Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen）中证明的西格尔定理指出，定义在 $\mathbb{Q}$ 上的每条椭圆曲线 $E$ 只有有限多个整数点。这个定理是关于超椭圆曲线上整数点的更一般结果的一个特例。

对于椭圆曲线，阿兰·贝克（Alan Baker）在 1966 年提出的一种方法表明，对于具有整数系数的椭圆曲线，其整数解的大小存在有效的上界。这项工作与 Axel Thue 关于丢番图逼近的一个结果有关，该结果在 1955 年由 Klaus Friedrich Roth 大幅改进（参见Thue-Siegel-Roth定理）。

贝克的定理指出，如果整数 $a,b,c \in \Z$ 定义了一条椭圆曲线

$$y^2 = x^3 + ax^2 + bx + c$$

并且

$$H = \max\{|a|,|b|,|c|\},$$

那么对于一个整数解 $(x,y)$，总是满足不等式

$$\max\{|x|, |y| \} \leq \exp\left( (10^6 H)^{10^6} \right)$$。这里 $\exp$ 表示自然指数函数。

在另一个完全不同的方向上，椭圆曲线上的整数点理论得出 $n=24$ 是唯一的自然数 $n > 1$，使得

$$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2$$

是一个完全平方数。数字 24 的这种特殊性质与 24 维 Leech格（Leech lattice）的存在有关，因此也导致了数字 26 在弦理论中的出现（“无鬼定理”，no ghost theorem），这可能与宇宙的维度有关。

#### 秩的分布

其他未解决的问题包括：对于（代数）秩 $r = 0, 1, 2, 3, \ldots$，存在多少条椭圆曲线。甚至连“是否存具有任意高秩的椭圆曲线”这一问题也尚未解决。已知由 Noam Elkies 发现的曲线

$$y^2 + xy + y = x^3 - x^2 - 20067762415575526585033208209338542750930230312178956502x + 34481611795030556467032985690390720374855944359319180361266008296291939448732243429$$

其秩“至少”为 28。Zev Klagsbrun、Travis Sherman 和 James Weigandt 在 2019 年（预印本 2016）证明，在假设 L-函数的广义黎曼猜想下，其秩“正好”为 28。2024 年，这一纪录再次被打破，Elkies 和其他人发现了一条秩至少为 29 的曲线。

在 50:50 猜想（见上文）的框架下，人们认为高秩曲线是罕见的。关于是否从某个等级开始可能只有“有限”多条曲线，目前尚未达成共识。可以出现任意高秩的论点在 20 世纪被多次提出。例如，André Néron 早在 1954 年就证明了存在无穷多条秩 $r \geq 11$ 的椭圆曲线。然而，Jennifer Park、Bjorn Poonen、John Voight 和 Melanie Matchett Wood 在 2016 年基于几率模型的启发式研究表明，秩 $r \geq 22$ 的椭圆曲线可能只有“有限多条”。该启发法基于对椭圆曲线的秩和Shafarevich-Tate群的同步建模，并依赖于一个计算特定秩的交替整数矩阵数量的定理。

在某些情况下，可以估计椭圆曲线秩的上限：如果一条椭圆曲线以分解形式 $y^2 = (x - m_1)(x - m_2)(x - m_3)$ 给出，其中 $m_1, m_2$ 和 $m_3$ 为整数，设 $n_1$ 为“恰好整除”$m_1 - m_2$, $m_2 - m_3$ 和 $m_1 - m_3$ 中某一个数的质数的数量，$n_2$ 为整除所有这些数的质数的数量，则该曲线的代数秩 $r$ 满足

$$r \leq n_1 + 2n_2 - 1.$$

这使得即使不假设伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想，也能证明 1 不是同余数。

#### 扭转部分

与椭圆曲线的秩相反，Mordell-Weil 群 $E(\Q)$ 中的扭转部分（Torsion parts）已经被很好地理解。根据 Barry Mazur 的一个定理，$E(\Q)_{\mathrm{tors}}$ 总是同构于以下 15 个群之一：

$\Z / n\Z \quad$ 其中 $\quad 1 \leq n \leq 12, n \not= 11$

$\Z / 2n\Z \times \Z / 2\Z \quad$ 其中 $1 \leq n \leq 4$

这个结果的证明非常困难。存在计算扭转部分的数学程序。

## 推广

伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想也可以针对“阿贝尔簇”（Abelian varieties）进行表述。这是椭圆曲线的高维类比。

## 外部链接

- 千禧年大奖难题框架下的官方问题描述。