基 (拓扑学)

在拓扑学的相关领域中，拓扑基(base 或 basis) 是某种特殊集合族，它们的任意并集构成了一个拓扑空间的开集。基在拓扑学的作用是简化证明，许多拓扑的性质可转换成基的性质，像是拓扑意义下的连续就可以直接对基来做定义。

## 动机

拓扑基的动机是想定义一群特殊的子集，它们的任意并集都是“开”的；严谨来说，令 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$ 为集合 $X$ 的一个子集族，希望 $\mathcal{F}$ 内任意一群子集之并集所组成的 $\mathcal{U}$：

$$\mathcal{U} := \left\{ U \in \mathcal{P}(X) \,\bigg|\, <pre> (\exists \mathcal{A})\left[ (\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F}) \wedge \left(\bigcup\mathcal{A} = U \right) </pre> \right] \right\}$$

为 $X$ 上的拓扑。

集合 $X$ 有子集族 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$，设：

$$\mathcal{U} := \left\{ U \in \mathcal{P}(X) \,\bigg|\, <pre> (\exists \mathcal{A})\left[ (\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F}) \wedge \left(\bigcup\mathcal{A} = U \right) </pre> \right] \right\}$$

则“ $\mathcal{U}$ 为 $X$ 上的拓扑 ”，等价于以下两条件：

- $$\bigcup\mathcal{F} = X$$
- 对所有 $B_1,\,B_2 \in \mathcal{F}$，$B_1 \cap B_2 \in \mathcal{U}$

证明以下逐条检验拓扑的定义： (1) 等价于“ $X \in \mathcal{U}$”的条件 若 $X \in \mathcal{U}$，则： : $(\exists \mathcal{A})\left[ (\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F}) \wedge \left(\bigcup\mathcal{A} = X \right) \right]$(a) 考虑到 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$，所以根据有无限并集性质的定理(1)与(2)有 : $\bigcup\mathcal{F} \subseteq X$ 但根据无限并集性质的定理(1)，(a)又等价于： : $(\exists \mathcal{A})\left[ (\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F}) \wedge \left(\bigcup\mathcal{A} = X \right) \wedge \left(\bigcup\mathcal{A} \subseteq \bigcup\mathcal{F} \right) \right]$ 所以有： : $X \subseteq \bigcup\mathcal{F}$ 所以从 $X \in \mathcal{U}$ 有： : $\bigcup\mathcal{F} = X$ (a1) 反之若有 (a1)，因为 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{F}$，所以有 $X \in \mathcal{U}$。故在本定理的前提下，(a1)等价于 $X \in \mathcal{U}$。(2) $\varnothing \in \mathcal{U}$ 首先考虑到 $\varnothing \subseteq \mathcal{F}$，然后从无限并集性质的定理(0)有 $\varnothing = \bigcup\varnothing$，故 $\varnothing \in \mathcal{U}$。(3) 对任意 $\mathfrak{A} \subseteq \mathcal{U}$ 有 $\bigcup\mathfrak{A} \in \mathcal{U}$ 首先，$\mathfrak{A} \subseteq \mathcal{U}$ 可等价地展开为 : $(\forall A \in \mathfrak{A})(\exists \mathcal{B})\left[ (\mathcal{B} \subseteq \mathcal{F}) \wedge \left(\bigcup\mathcal{B} = A \right) \right]$(b) 上式可直观地解释成“ $A \in \mathfrak{A}$ 都是 $\mathcal{F}$ 内某些集合的并集”，既然如此，取一个搜集各种不同 $A$ 的子集的集族 $\mathcal{P}_{\mathfrak{A}}$： : $\mathcal{P}_{\mathfrak{A}} := \left\{ S \, | \, (\exists A)[ (A \in \mathfrak{A}) \wedge (S \subseteq A) ] \right\}$ 这样根据有限交集的性质，$x \in \bigcup (\mathcal{P}_{\mathfrak{A}} \cap \mathcal{F})$ 等价于 : $(\exists S)\left\{ (x \in S) \wedge (S \in \mathcal{F}) \wedge (\exists A)\left[ (A \in \mathfrak{A}) \wedge (S \subseteq A) \right] \right\}$ 考虑到一阶逻辑的定理(Ce)，将$(\exists A)$ 移至最前，再将$(\exists S)$移入括弧内，上式就依据(Equv)而等价于 : $(\exists A)\left\{ (A \in \mathfrak{A}) \wedge (\exists S)\left[ (x \in S) \wedge (S \in \mathcal{F}) \wedge (S \subseteq A) \right] \right\}$ 也就等价于 : $(\exists A)\left\{ (A \in \mathfrak{A}) \wedge \left(x \in \bigcup [\mathcal{P}(A) \cap \mathcal{F}]\right) \right\}$ 根据无限并集性质的定理(4)，从(b)有 : $(\forall A \in \mathfrak{A})(\exists \mathcal{B})\left\{ (\mathcal{B} \subseteq \mathcal{F}) \wedge \left\{A \subseteq \bigcup[\mathcal{B} \cap \mathcal{P}(A)]\right\} \right\}$ 这样根据无限并集性质的定理(1)又会有 : $(\forall A \in \mathfrak{A}) \left\{A \subseteq \bigcup[\mathcal{F} \cap \mathcal{P}(A)]\right\}$ 考虑到 $\mathcal{F} \cap \mathcal{P}(A) \subseteq \mathcal{P}(A)$，从无限并集性质的定理(1)与定理(2)有 : $\bigcup\mathcal{F} \cap \mathcal{P}(A) \subseteq A$ 所以最后从(b)有 : $(\forall A \in \mathfrak{A}) \left\{A = \bigcup[\mathcal{F} \cap \mathcal{P}(A)]\right\}$ 所以 $x \in \bigcup (\mathcal{P}_\mathfrak{A} \cap \mathcal{F})$ 最后等价于 : $(\exists A)\left[ (A \in \mathfrak{A}) \wedge (x \in A) \right]$ 换句话说 : $x \in \bigcup \mathfrak{A}$ 这样考虑到 $\mathcal{P}_{\mathfrak{A}} \cap \mathcal{F} \subseteq \mathcal{F}$ 就有 : $\bigcup \mathfrak{A} = \bigcup (\mathcal{P}_{\mathfrak{A}} \cap \mathcal{F}) \in \mathcal{U}$ 所以在本定理的前提下，对所有 $\mathfrak{A} \subseteq \mathcal{U}$ 都有 $\bigcup\mathfrak{A} \in \mathcal{U}$。(4)等价于“ $U,\,V \in \mathcal{U}$ 则 $U \cap V \in \mathcal{U}$”的条件 若 : “对所有的 $U,\,V \in \mathcal{U}$ 有 $U \cap V \in \mathcal{U}$”(P) 因取任意 $B_1,\,B_2 \in \mathcal{F}$ 都有： : $B_1 = \bigcup\{B_1\} \in \mathcal{U}$ : $B_2 = \bigcup\{B_1\} \in \mathcal{U}$ 故 $B_1 \cap B_2 \in \mathcal{U}$，换句话说从假设(P)可以推出： : “对所有 $B_1,\,B_2 \in \mathcal{F}$，$B_1 \cap B_2 \in \mathcal{U}$”(P') 另一方面， $U \cap V \in \mathcal{U}$ 可等价地展开为： : $(\exists \mathcal{E})\left\{ (\mathcal{E} \subseteq \mathcal{F}) \wedge \left(U \cap V = \bigcup\mathcal{E}\right) \right\}$ 因为 $U,\,V \in \mathcal{U}$ 可等价地展开为： : $(\exists \mathcal{A})\left[ \left(U = \bigcup \mathcal{A}\right) \wedge (\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F}) \right]$ : $(\exists \mathcal{B})\left[ \left(V = \bigcup \mathcal{B}\right) \wedge (\mathcal{B} \subseteq \mathcal{F}) \right]$ 所以在 $U,\,V \in \mathcal{U}$ 的前提下 $U \cap V \in \mathcal{U}$ 又可更进一步等价地展开为： : $(\exists \mathcal{A})(\exists \mathcal{B})(\exists \mathcal{E})\left\{ (\mathcal{A},\,\mathcal{B},\,\mathcal{E} \subseteq \mathcal{F}) \wedge \left(U = \bigcup\mathcal{A}\right) \wedge \left(V = \bigcup\mathcal{B}\right) \wedge \left[\left(\bigcup\mathcal{A}\right) \cap \left(\bigcup\mathcal{B}\right) = \bigcup\mathcal{E}\right] \right\}$ 此时考虑到一阶逻辑的定理(Ce)，连续使用两次会有： : $\left[x \in \left(\bigcup\mathcal{A}\right) \cap \left(\bigcup\mathcal{B}\right)\right] \Leftrightarrow (\exists A)(\exists B)[ (A \in \mathcal{A}) \wedge (B \in \mathcal{B}) \wedge (x \in A \cap B) ]$ 这样的话，若取一个包含所有 $A \cap B$ 的集族： : $\mathcal{C} := \left\{ S \in \mathcal{P}(X) \, \big| \, (\exists A)(\exists B)[ (A \in \mathcal{A}) \wedge (B \in \mathcal{B}) \wedge (S = A \cap B) ] \right\}$ 这样就有： : $\bigcup\mathcal{C} = \left(\bigcup\mathcal{A}\right) \cap \left(\bigcup\mathcal{B}\right)$ 而且考虑到 $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F}$ 和 $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{F}$，所以在(P')的前提下，所有的 $A \cap B$ 都在 $\mathcal{U}$ 里，换句话说，$\mathcal{C} \subseteq \mathcal{U}$，故从上小结的结果有： : $U \cap V \in \mathcal{U}$ 所以，(P')跟(P)等价。综合上面的(a1)、(a2)、和(P')，本定理得证。$\Box$

一般会根据无限并集性质的定理(4)，将第二个条件等价的写为：

“对所有 $B_1,\,B_2 \in \mathcal{F}$， $B_1 \cap B_2 = \bigcup [\mathcal{F} \cap \mathcal{P}(B_1 \cap B_2)] <pre>$”

也就等价于：

“所有的 $B_1,\,B_2 \in \mathcal{F}$，对任意 $x \in B_1 \cap B_2$ 都存在 $C \in [\mathcal{F} \cap \mathcal{P}(B_1 \cap B_2)]$ 使得 $x \in C$”

## 定义

由上面动机一节的定理，可以作如下的定义：

$\mathfrak{B} \subseteq \mathcal{P}(X)$ 为集合 $X$ 的一个子集族，若满足：

- $\bigcup\mathfrak{B} = X$ （基的元素覆盖$X$）
- 所有的 $B_1,\,B_2 \in \mathcal{F}$，对任意 $x \in B_1 \cap B_2$ 都存在 $C \in [\mathcal{F} \cap \mathcal{P}(B_1 \cap B_2)]$ 使得 $x \in C$

则称 $\mathfrak{B}$ 为 $X$ 的一个拓扑基（Topological Basis）。而：

$$\tau := \left\{ U \in \mathcal{P}(X) \,\bigg|\, <pre> (\exists \mathcal{A})\left[ (\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F}) \wedge \left(\bigcup\mathcal{A} = U \right) </pre> \right] \right\}$$

则称为由基 $\mathfrak{B}$ 所生成的拓扑。

### 范例

以所有实数线中的开区间为元素所构成的集合是拓扑基，因为：

- 任意实数 $r \in \R$ 都包含在某个开区间里，如 $(r-1,\,r+1)$。故开区间全体“覆盖”了整条实数线。
- 任何两个开区间的交集要么也是开区间要么为空。
- 对任意开区间 $(a,\,b)$ 内的实数 $c \in (a,\,b)$，都有一个比 $(a,\,b)$ 更小的开区间也包含 $c$，如 $\left( \frac{a+c}{2},\,\frac{b+c}{2} \right)$。

这些性质正好满足拓扑基的定义。

更一般的来说，以度量空间的开球为元素所构成的集合是拓扑基，因为：

- 度量空间的任意点都可作为开球的球心，故开球全体“覆盖”了整个度量空间。
- 取任二开球$B_{r_a}(a)$和$B_{r_b}(b)$，若$x \in B_{r_a}(a) \cap B_{r_b}(b)$，且 $r = \min \{r_a - d(x,\,a),\,r_b - d(x,\,b)\}$，则$B_r(x) \subseteq B_{r_a}(a) \cap B_{r_b}(b)$。

## 重要性质

$\mathcal{B}$ 是集合 $X$ 的拓扑基，则 $\mathcal{B}$ 生成的拓扑是包含 $\mathcal{B}$ 的最粗拓扑

证明设 $\mathcal{B}$ 所生成的拓扑是 $\tau_\mathcal{B}$；另一方面包含 $\mathcal{B}$ 的最粗拓扑为 $\tau(\mathcal{B})$。根据最粗拓扑的定义有： :$\vdash (\forall S)\big\{ [S \in \tau(\mathcal{B})] \Leftrightarrow (\forall \mathfrak{T})\{ [(\mathfrak{T}\text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{B} \subseteq \mathfrak{T})] \Rightarrow (S \in \mathfrak{T}) \} \big\}$(a) 那以量词公理(A4) 将 $\forall S$ 去掉会有： :$\vdash [S \in \tau(\mathcal{B})] \Leftrightarrow (\forall \mathfrak{T})\{ [(\mathfrak{T}\text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{B} \subseteq \mathfrak{T})] \Rightarrow (S \in \mathfrak{T}) \}$ 那再使用量词公理(A4)，配合(D1)会有： :$\vdash [S \in \tau(\mathcal{B})] \Rightarrow \{ [(\tau_B \text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{B} \subseteq \tau_B)] \Rightarrow (S \in \tau_B) \}$ 因为 $\tau_\mathcal{B}$ 是 $\mathcal{B}$ 所生成的拓扑，配合(D2)有：（$\mathcal{P}$ 为 “$\mathcal{B}$ 是 $X$ 的拓扑基”的正式叙述） :$\mathcal{P} \vdash [S \in \tau(\mathcal{B})] \Rightarrow (S \in \tau_B)$ 另一方面，根据拓扑基的定义有： :$\mathcal{P},\, S \in \tau_B \vdash (\exists \mathcal{C})\left[ \left(S = \bigcup \mathcal{C}\right) \wedge (\mathcal{C} \subseteq \mathcal{B}) \right]$ 而根据拓扑的定义(关于联集的部分)与演绎定理会有： :$\mathcal{P},\, [(\mathfrak{T}\text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{B} \subseteq \mathfrak{T})],\, \left[\left(S = \bigcup \mathcal{C}\right) \wedge (\mathcal{C} \subseteq \mathcal{B}) \right] \vdash (S \in \mathfrak{T})$ 这样根据(GEN)与演绎定理就有： :$\mathcal{P},\, [(\mathfrak{T}\text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{B} \subseteq \mathfrak{T})] \vdash (\exists C)\left[\left(S = \bigcup \mathcal{C}\right) \wedge (\mathcal{C} \subseteq \mathcal{B}) \right] \Rightarrow (S \in \mathfrak{T})$ 换句话说，从演绎定理与(D1)有： :$\mathcal{P},\, S \in \tau_B \vdash [(\mathfrak{T}\text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{B} \subseteq \mathfrak{T})] \Rightarrow (S \in \mathfrak{T})$ 那从普遍化元定理就有： :$\mathcal{P},\, S \in \tau_B \vdash (\forall \mathfrak{T})\{ [(\mathfrak{T}\text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{B} \subseteq \mathfrak{T})] \Rightarrow (S \in \mathfrak{T}) \}$ 这样从(a)，配合(AND)与(D1)就有： :$\mathcal{P},\, S \in \tau_B \vdash S \in \tau(\mathcal{B})$ 这样从(AND)和演绎定理就有： :$\mathcal{P} \vdash (S \in \tau_B) \Leftrightarrow [S \in \tau(\mathcal{B})]$ 套用(GEN)将 $\forall S$ 重新加入就会有： :$\mathcal{P} \vdash \tau_B = \tau(\mathcal{B})$ 故本定理得证。$\Box$

$\mathcal{B}_1$ 和 $\mathcal{B}_2$ 都是集合 $X$ 的拓扑基，而 $\tau_1$ 为 $\mathcal{B}_1$ 生成的拓扑； $\tau_2$ 为 $\mathcal{B}_2$ 生成的拓扑，则以下两叙述价

- $$\tau_1 \subseteq \tau_2$$
- $$(\forall B_1 \in \mathcal{B}_1)(\exists B_2 \in \mathcal{B}_2)(B_2 \subseteq B_1)$$

证明

- 如果 B1,B2,...,Bn 是拓扑 T1,T2,...,Tn 的基，则集合积 B1 × B2 × ... × Bn 是乘积拓扑 T1 × T2 × ... × Tn 的基。在无限乘积的情况下这仍适用，除了出现有限多个基元素之外全部都必须是整个空间之外。
- 设 B 是 X 的基并设 Y 是 X 的子空间。那么如果我们交 B 的每个元素于 Y，结果的集合的搜集是子空间 Y 的基。

$\mathfrak{B}$是集合$Y$ 的拓扑基（其生成的拓扑为$\tau_Y$）； $(X,\,\tau_X)$为一拓扑空间；$f:X \to Y$为一函数。若对任意$B \in \mathfrak{B}_Y$有$f^{-1}(B) \in \tau_X$，则$f$是$\tau_X$-$\tau_Y$连续。

证明若$O \in \tau_Y$，根据基的定义，存在$\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{B}$使得： :$O = \bigcup \mathcal{F}$ 这样的话，若取： :$f^{-1}(\mathcal{F}) = \{A\,| (\exists B \in \mathcal{F})(A = f^{-1}(B)) \,\}$ 则有： :$f^{-1}(O) = \bigcup f^{-1}(\mathcal{F})$ :$f^{-1}(\mathcal{F}) \subseteq \tau_X$ 这样根据拓扑空间的定义就有： :$f^{-1}(O) = \bigcup f^{-1}(\mathcal{F}) \in \tau_X$ 故$f$是$\tau_X$-$\tau_Y$连续。$\Box$

- X 的子集的搜集是 X 上的拓扑当且仅当它生成自身。
- B 是拓扑空间 X 的基，当且仅当 B 的包含 x 的元素的子搜集形成在 x 上的局部基，对于 X 的任何点 x。
- 给定拓扑的一个基，要证明网或序列的收敛，在包含假定极限的所有基中的集合中最终证明它就是充分的。

## 依据基定义的对象

- 序拓扑通常定义为类似开区间的集合的搜集所生成的拓扑。
- 度量拓扑通常定义为开球的搜集生成的拓扑。
- 第二可数空间是有可数基的拓扑。
- 离散拓扑有由所有单元素集合组成的基。

## 闭集基

闭集同样擅长描述空间的拓扑。因为有对于拓扑空间的闭集的对偶的基的概念。给定一个拓扑空间 X， X 的闭集基是闭集的集合族 F 使得任何闭集 A 是 F 的元素的交集。

等价的说，闭集族形成了闭集基，如果对于每个闭集 A 和每个不在 A 中的点 x，存在一个 F 的元素包含 A 但不包含 x。

容易检查 F 是 X 的闭集基，当且仅当 F 的成员的补集的集合族是 X 的开集基。

设 F 是 X 的闭集基。则

- ∩F = ∅
- 对于每个 F1 和 F2 在 F 中，并集 F1 ∪ F2 是 F 的某个子族的交集(就是说，对于任何不在 F1 或 F2 的 x，存在一个 F3 在 F 包含 F1 ∪ F2 并不包含 x)。

满足这些条件的集合 X 的任何子集搜集形成 X 上的拓扑的闭集基。这个拓扑的闭集完全就是 F 的成员的交集。

在某些情况下，更习惯使用闭集基而非开集基。例如，一个空间是完全正规空间，当且仅当它的零集形成了闭集基。给定任何拓扑空间 X，零集形成在 X 上某个拓扑的闭集基。这个拓扑将是 X上比最初的要粗的最细的完全正规拓扑。在类似的脉络下，在 An 上的 Zariski拓扑被定义为选取多项式函数的零集作为闭集基。

## 准基

若拓扑空间$X$是最小的拓扑使得$X$的子集的集$B$都是$X$的开集，则称$B$为$X$的一个准基（subbasis/subbase）。另一等价的定义为，若$B$及其所有有限交集构成了拓扑空间$X$之基，则$B$为准基。

例子：

- 在实数线上，所有长度为1的开区间便是一个准基。

J.W. 亚历山大证明了：若每个准基覆盖都有一个有限个元素的子覆盖，则此空间是紧致的。

## 参考文献

- James Munkres (1975) Topology: a First Course. Prentice-Hall.
- Willard, Stephen (1970) General Topology. Addison-Wesley. Reprinted 2004, Dover Publications.