伯特兰定理

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在经典力学里，伯特兰定理阐明，只有两种位势$V$可以给出闭合轨道：

- 平方反比连心力给出的连心势，像重力势或静电势，以方程式表示为

$V(r) = \frac{ - k}{r}$。

$V(r) = \frac{1}{2} kr^{2}$。

其中，$r$是径向座标，$k$是正值常数。假若物体从某位置移动，经过一段路径后，又回到原先位置，则称此路径为闭合轨道。

1687年，物理学家艾萨克·牛顿在著作《自然哲学的数学原理》里提出了万有引力定律，解释了行星绕着太阳的公转为何遵守开普勒定律。此后许多科学家开始研究，当行星的运动稍许偏离了这轨道时，可能会发生的状况。其中一个问题为轨道是否仍旧闭合。但经过多年的探讨亦无法给出合理的解答。直到1873年，法国数学家约瑟·伯特兰发表伯特兰定理，才正确解析此问题。该定理对于经典天体力学研究非常重要，伯特兰定理给予实验者一个精确的方法，来测试万有引力的平方反比性质。

在现代物理学里，理论物理学家发现由于广义相对论效应，引力与距离不再成精确的平方反比关系，因此轨道是非闭合的。天文学家作实验观测到，水星绕着太阳公转的椭圆轨道，其近拱点呈缓慢进动状态。

## 前论

所有吸引性连心力都可以产生圆形的公转轨道；这圆形轨道当然是闭合轨道；其形成的唯一条件是连心力恰巧地与离心力等值；后者决定了维持某圆形半径所需的角速度。本篇文章不研究非连心力。一般而言，非连心力不会产生圆形的公转轨道。

采用极坐标$(r,\theta)$，一个移动于连心势$V(r)$的粒子，其拉格朗日量$\mathcal{L}$是

$\mathcal{L}=\frac{1}{2}m\dot{r}^2+\frac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2 - V(r)$。

其中，$m$是粒子质量，$\dot{r}$、$\dot{\theta}$分别表示$r$、$\theta$对于时间$t$的导数。

这粒子的拉格朗日方程式为

$m\ddot{r} - mr\dot{\theta}^2+\frac{dV}{dr}=0$。

$\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta})=0$。

由于角坐标$\theta$显性地跟拉格朗日量无关，$\theta$是个可略坐标，其共轭动量（角动量）$\ell$守恒，$\ell$是个常数：

$\ell=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}}=mr^2\dot{\theta}$。

将角动量的方程式代入径向拉格朗日方程式，可以得到一个$r$的二次微分方程式。

$m\ddot{r} - \frac{\ell^2}{mr^3}+\frac{dV}{dr}=0$。

假设轨道是圆形轨道，方程式左手边第一个项目是零，则如同期待的，连心力$- \frac{dV}{dr}$等值于离心力$- \frac{\ell^2}{mr^3}$。

对于时间的导数与对于角变数的导数之间关系为

$\frac{d}{dt} = \frac{\ell}{mr^{2}} \frac{d}{d\theta}$。

将这公式代入，可推导出一个跟角度有关，跟时间无关的轨道方程式：

$\frac{\ell}{r^{2}} \frac{d}{d\theta} \left( \frac{\ell}{mr^{2}} \frac{dr}{d\theta} \right) - \frac{\ell^{2}}{mr^{3}} = - \frac{dV}{dr}$。

设定变数$u = \frac{1}{r}$，改换方程式的变数为$u$，同时将方程式两边乘以$\frac{m}{\ell^2 u^2}$，可以得到一个常系数非齐次线性全微分方程式：

$\frac{d^2u}{d\theta^2}+u= - \frac{m}{\ell^2}\frac{d}{du}V(1/u)$。

## 导引

如同前面所说，给予粒子适当的初始速度，任何连心力都能产生标准圆形轨道。可是，假设给予粒子某径向速度，则这些轨道可能不稳定（稳定在这里定义为长久地公转于同一条轨道），也可能不闭合。本段落会证明，稳定的闭合轨道只发生于平方反比连心势或径向谐振子势（一个必要条件）。下一个段落会证明，这些位势的确会产生稳定的闭合轨道（一个充分条件）。

为了简化标记，设定

$J(u)= - \frac{m}{\ell^2}\frac{d}{du}V(1/u)= - \frac{m}{\ell^{2}u^{2}} f(1/u)$；(1)

其中，$f(1/u)$是连心力函数。

则轨道方程式为

$\frac{d^2u}{d\theta^2}+u=J(u)$。

如果要得到半径为$r_0\equiv \frac{1}{u_0}$的圆形运动轨道，必要条件是轨道方程式左边第一项等于零，方程式变为

$u_{0} = J(u_0)$。

思考对于标准圆形运动轨道的变数$u$的微扰$\eta \equiv u - u_{0}$，函数$J(u)$在$u_0$的泰勒级数为

$J(u)\approx u_0+\eta J^{\prime}(u_0)+\frac{1}{2}\eta^2 J^{\prime\prime}(u_0) +\frac{1}{6}\eta^3 J^{\prime\prime\prime}(u_0)+\ldots$。

将此展开示代入轨道方程式：

$\frac{d^2\eta}{d\theta^2}+\eta=\eta J^{\prime}(u_0)+\frac{1}{2}\eta^2 J^{\prime\prime}(u_0)+\frac{1}{6}\eta^3 J^{\prime\prime\prime}(u_0)\ldots$。

设定常数$\beta^2\equiv 1 - J^{\prime}(u_0)$（$\beta=0$的解答为标准圆形运动轨道）：

$\frac{d^2\eta}{d\theta^2}+\beta^2\eta=\frac{1}{2}\eta^2 J^{\prime\prime}(u_0) +\frac{1}{6}\eta^3 J^{\prime\prime\prime}(u_0) \ldots$。(2)

取至$\eta$的1次方：

$\frac{d^2\eta}{d\theta^2}+\beta^2\eta=0$。

$\beta^2$必须是个非负数；否则，轨道的半径会呈指数方式递增。一阶微扰解答为

$\eta(\theta)=h_1\cos(\beta\theta)$。

其中，振幅$h_1$是个积分常数。

假若这轨道是闭合轨道，则$\beta$必须是有理数。继续运算，从方程式(1)，取对于$u$的导数：

$\begin{align} J^{\prime}(u_0) & = -\frac{m}{\ell^2}\left( - \left.\frac{2f(1/u)}{u^3}\right|_{u_0}+\left.\frac{1}{u^2}\frac{d f(1/u)}{du}\right|_{u_0}\right) \\ <pre> & = - \left.\frac{2J(u)}{u}\right|_{u_o}+\frac{J(u)}{f(1/u)}\left.\frac{df}{du}\right|_{u_0}= - 2+\frac{u_0}{f(1/u_0)}\left.\frac{df}{du}\right|_{u_0}=1 - \beta^2 \\ \end{align}$。

这方程式对于任意$u_0$值都必须成立，因此可以将$u_0$认定为函数$\left.\frac{df}{du}\right|_{u_0}$的参数。用符号$u$来代替$u_0$。

$\frac{df}{du}= - (\beta^2 - 3 )\frac{f(1/u)}{u}$。

将方程式的变数换回为$r$。

$\frac{df}{dr} = \left( \beta^{2} - 3 \right) \frac{f}{r}$。

这意味著作用力必须遵守幂定律：

$f(r) = - \frac{k}{r^{3-\beta^2}}$。

代入方程式 (1) , $J$的一般形式为

$J(u) = \frac{mk}{\ell^2} u^{1-\beta^2}$。(3)

假设实际轨道与圆形有更大的差别（也就是说，不能忽略$J$函数的泰勒级数的更高次方项目），则可以用傅立叶级数来展开$\eta$：

$\eta(\theta) = h_0 + h_1\cos(\beta\theta)+h_2\cos(2\beta\theta) + h_3\cos(3\beta \theta) + \ldots$。

因为高频率项目的系数太小，傅立叶级数只取至$3\beta$项目。方程式 (2)也只取至$\eta$的三次方。注意到$h_0$与$h_2$的数量级为$h_1^2\!$，超小于$h_1$；$h_3,\!$的数量级为$h_1^3$，超小于$h_0$与$h_2$。将上述傅立叶级数代入方程式 (2)，匹配方程式两边同频率项目的系数。这样，可以得到一系列方程式：

$h_0=h_1^2\frac{J^{\prime\prime}(u_0)}{4\beta^2}$，(4)

$0=(2h_1 h_0+h_1 h_2)\frac{J^{\prime\prime}(u_0)}{2}+h_1^3 \frac{J^{\prime\prime\prime}(u_0)}{8}$，(5)

$h_2= - h_1^2\frac{J^{\prime\prime}(u_0)}{12\beta^2}$。(6)

求$J(u)$在$u_0$对于$u$的微分：

$$J^{\prime}(u_0) =(1 - \beta^2) \frac{mk}{\ell^2} u_0^{ - \beta^2}=1 - \beta^2$$

$J^{\prime\prime}(u_0) =(1 - \beta^2)( - \beta^2)\frac{mk}{\ell^2} u_0^{ - \beta^2 - 1} = - \frac{\beta^2(1 - \beta^2)}{u_0}$。(7)

$J^{\prime\prime\prime}(u_0) =(1 - \beta^2)( - \beta^2)( - \beta^2 - 1)\frac{mk}{\ell^2} u_0^{ - \beta^2 - 2} =\frac{\beta^2(1 -\beta^2)(1+\beta^2)}{u_0^2}$。(8)

将方程式(7)、(8)代入方程式(4)、(6)：

$h_0= - \frac{(1-\beta^2)h_1^2}{4u_0}$，(9)

$h_2=\frac{(1-\beta^2)h_1^2}{12u_0}$。(10)

再将方程式 (7)、(8)、(9)、(10)代入方程式 (5)，经过一番运算，可以得到伯特兰定理的重要结果：

$\beta^2( 1 - \beta^2)(4 - \beta^2)=0$。

解答$\beta=0$是标准圆形轨道。只有平方反比连心势 ($\beta =1$)与径向谐振子势 ($\beta =2$)能够造成稳定的，闭合的，非圆形的公转轨道。

## 平方反比力（开普勒问题）

平方反比连心力给出的连心势，像重力势或静电势，以方程式表示为

$V(\mathbf{r}) = \frac{ - k}{r} = - ku$。

处于这种连心势的粒子，其一般轨道方程式写为

$\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} + u = -\frac{m}{\ell^{2}} \frac{d}{du} V(1/u) = \frac{km}{\ell^{2}}$。

其解答为轨道函数$u(\theta)$：

$u= \frac{km}{\ell^{2}} \left[ 1 + e \cos \left( \theta - \theta_{0}\right) \right]$。

其中，$e$是椭圆轨道的离心率，$\theta_{0}$是相位差，是一个积分常数。

这是焦点位于原点的圆锥曲线的一般方程式。当$e=0$时，这轨道对应于圆形轨道。

当$e<1$时，这轨道是椭圆形轨道；当$e=1$时，这轨道是抛物线轨道；当$e>1$时，这轨道是双曲线轨道。

离心率与粒子能量$E$的关系为

$e = \sqrt{1 + \frac{2E\ell^{2}}{k^{2}m}}$。

所以，当$E= - \frac{k^{2}m}{2\ell^{2}}$时，这轨道是圆形轨道。

当$E<0$时，这轨道是椭圆形轨道；当$E=0$时，这轨道是抛物线轨道；当$E>0$时，这轨道是双曲线轨道。

## 径向谐振子

为了方便解析这问题，采用直角坐标$\mathbf{r} = (x, y, z)$。势能可以写为

$V(\mathbf{r}) = \frac{1}{2} kr^{2} = \frac{1}{2} k ( x^{2} + y^{2} + z^{2})$。

处于径向谐振子位势的粒子，其拉格朗日量$\mathcal{L}$是

$\mathcal{L}=\frac{1}{2} m (\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}) +\frac{1}{2} k (x^{2}+y^{2}+z^{2})$。

这粒子的拉格朗日方程式为

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \omega_{0}^{2} x = 0$。

$\frac{d^{2}y}{dt^{2}} + \omega_{0}^{2} y = 0$。

$\frac{d^{2}z}{dt^{2}} + \omega_{0}^{2} z = 0$。

其中，$\omega_{0}=k/m$是振动频率。

常数$k$必须为正值；否则，粒子会朝着无穷远飞离。这些微分方程式的解答为

$x = A_{x} \cos \left(\omega_{0} t + \phi_{x} \right)$。

$y = A_{y} \cos \left(\omega_{0} t + \phi_{y} \right)$。

$z = A_{z} \cos \left(\omega_{0} t + \phi_{z} \right)$。

其中，$A_{x}$、$A_{y}$、$A_{z}$分别为x、y、z方向的振幅，$\phi_{x}$、$\phi_{y}$、$\phi_{z}$分别为其相位

由于上述方程式经过整整一周期$T \equiv {2\pi}/{\omega_{0}}$后，会重复自己，轨道解答$\mathbf{r}(t) = \left[ x(t), y(y), z(t) \right]$是闭合轨道。

## 牛顿旋转轨道定理

牛顿旋转轨道定理表明，对于一个感受到线性作用力或平方反比作用力的移动中的粒子，假设再增添立方反比力于此粒子，只要因子$\alpha$是有理数，则粒子的轨道仍旧是闭合轨道。根据牛顿旋转轨道定理的方程式，增添的立方反比力$\Delta F(r)=\frac{k}{r^3}$为

$\Delta F(r)=\frac{L_{1}^{2}}{mr^{3}} \left( 1 - \alpha^{2} \right)$。

其中，$\ell_{1}$是粒子原本的角动量，$m$是粒子的质量。

所以，$\alpha^2=1 - \frac{mk}{\ell_1^2}$。

由于$\alpha$是有理数，$\alpha$可以写为分数$m/n$；其中，$m$和$n$都是整数。对于这案例，增添立方反比力使得粒子完成$m$圈公转的时间等于原本完成$n$圈公转的时间。这种产生闭合轨道的方法不违背伯特兰定理，因为，增添的立方反比力与粒子的原本角动量有关。

## 参阅

- 二体问题
- 三体问题
- 开普勒定律
- 牛顿旋转轨道定理