摆

<image>

<image>

摆是一种实验仪器，可用来展现种种力学现象。最基本的摆由一条绳或竿，和一个锤组成。锤系在绳的下方，绳的另一端固定。当推动摆时，锤来回移动。摆可以作一个计时器。

## 类型

### 简谐运动

若最高处（$v=0$）的绳子和最低处（速度最大值）的绳子的夹角 $\theta$ 相当小（$\theta\leq 5^{\circ}$）时，可使用下列公式近似算出它的振动周期。

#### 周期公式

- $T= 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$（$L$ 为摆长； $g$ 为当地重力加速度）

一摆长为 $1$ 米的单摆，于地表处作小角度摆动可近似为简谐运动，周期 $T \approx 2.0s$，这种单摆称之为秒摆。

#### 公式证明

一单摆摆锤正在摆荡最高处(此时 $v=0$ )，绳和铅直线有夹角 $\theta$，绳长为 $L$，相对于平衡点的位移为 $x$

此物体受下列力的影响（下列说明错误，绳子的张力是因为摆锤重力引起，任何一瞬间摆锤法向（径向）合力为零，但切线加速度为 $-g\sin \theta$）

- 绳子之拉力大小 $F$
- 重力大小 $F_{g}= mg$

绳子的拉力 $F$ 有分力

- $$F\cos \theta = mg$$
- $$F\sin \theta = kx$$

$\because \underset{\theta \to 0}{\mathop{\lim }}\,\cos \theta =1$ $\therefore F \approx m_Gg$ $F \sin{\theta} = m_Gg \left( \frac{x}{L} \right) = k x$ 解得 $k = \frac{m_Gg}{L}$

代入 $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m_I}{k}}$

得到 $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m_IL}{m_Gg}}$

根据广义相对论可知，$m_I = m_G\,$

故 $T= 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

### 单摆

<image>

<image>

取 $L$ 为绳的长度， $\theta$ 为绳和垂直平面的线的交角，$\theta_0$ 为 $\theta$ 的最大值，$m$ 为锤的质量，$\ddot{\theta}$ 表示角度加速度 $\alpha = \frac{{\rm{d}}^2 \theta}{{\rm{d}} t^2}$。

忽略空气阻力以及绳的弹性、重量的影响：

- 锤速率最高是在 $\theta = 0$ 时。当锤升到最高点，其速率为 0。绳的张力没有对锤做功，整个过程中动能和位能的和不变，机械能守恒。

$$m L \ddot{\theta} = -m {\rm{g}} \sin \theta$$

注意到不论θ的值为何，运动周期和锤的质量无关。

当 $\theta$ 相当小的时候，$\sin\theta \approx \theta$，因此可得到一条二阶齐次常系数微分方程。此为一简谐运动，周期 $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$。

准确的运动周期不可以用基础函数求得。考虑微分方程：

$${{\rm{d}}t\over {\rm{d}}\theta} = {1\over\sqrt{2}}\sqrt{L\over {\rm{g}}}{1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}$$

$$T = \theta_0\rightarrow0\rightarrow-\theta_0\rightarrow0\rightarrow\theta_0 = 4\left(\theta_0\rightarrow0\right)$$

$$T = 4{1\over\sqrt{2}}\sqrt{L\over {\rm{g}}}\int^{\theta_0}_0{1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}\,{\rm{d}}\theta$$

将上式重写成第一类椭圆函数的形式：

$$T = 4\sqrt{L\over {\rm{g}}}F\left({\sin{\theta_0\over 2}}, {\pi \over 2} \right)$$

其中$F(k,\phi) = \int^{\phi}_0 {1\over\sqrt{1-k^2\sin^2{\theta}}}\,{\rm{d}}\theta.$

周期可以用级数表示成：

$$T = 2\pi \sqrt{L\over {\mathrm{g}}} \left[ 1+ \left( \frac{1}{2} \right)^2 \sin^2\frac{\theta_0}{2} + \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right)^2 \sin^4 \frac{\theta_0}{2} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \right)^2 \sin^6 \frac{\theta_0}{2} + \cdots \right]$$

$$= 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \left( 1+ \frac{1}{16}\theta_0^2 + \frac{11}{3072}\theta_0^4 + \cdots \right) = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \left[ \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{\left(2n\right)!}{2^{2n} \left(n!\right)^2} \right)^2 \sin^{2n} \left(\frac{\theta_0}{2}\right) \right]$$

### 冲击摆

<image>

冲击摆是来用计算子弹速度的实验室仪器。它的原理为：物件碰撞前后动量守恒，摆运动时能量守恒。

冲击摆和普通摆相似，特别之处它的锤会和射入子弹产生完全非弹性碰撞，即碰撞后两者会合为一。

将子弹射向停止的锤，使锤和子弹合在一起摆动。设锤质量为$m_p\,$，子弹质量和初速度分别为$m_b\,$和v，锤和子弹碰撞后的速度为u。

以下是子弹速度的计算方法：

由动量守恒定律。

$$m_b \times v + m_p \times 0 = (m_b + m_p) \times u$$

由能量守恒定律。

$$\frac{1}{2} (m_b + m_p) u^2 = (m_b + m_p) g h$$

解得 $v = \frac{(m_b + m_p) \sqrt{2gh}}{m_b}$。

### 倒单摆

<image>

倒单摆有许多不同的架构，常见的有二种。

最简单的是无质量的直杆一端接在固定的枢纽上，另一端连结重量，此架构类似一般单摆，但因为重量在枢纽点上方，直杆在重量下方，需支持重物不落下，因此会将单摆的线改为有刚性的直杆。

另外一种是将倒单摆放在可以一维水平运动的台车上，透过台车的水平运动来控制摆的位置。

倒单摆在摆直立朝上时可以平衡，不过是不稳定平衡，需要透过控制系统才能维持平衡。

### 圆锥摆

锥摆的路径是平面上圆。摆运动时，绳的路径为一个圆锥面。这是圆周运动。

### 复摆（物理摆/compound pendulum)

当质量不集中或不规则的物体以转轴吊起摆动时，此摆称作复摆（物理摆）。由于有质量分布的缘故，周期跟刚性物体重心对转轴的转动惯量（I）有关。根据平行轴定理及可以求出小角度复摆周期为 $T= 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$

### 双摆(complex pendulum/double pendulum)

<image>

双摆系统是混沌的。

### 磁性摆

和双摆一样，磁性摆系统是混沌的。

## 应用

### 傅科摆

傅科摆的移动可作为地球自转的证据。

### 钟摆

摆钟。

为了减少温度变化的影响，有不同的设计：

- 栅形补偿摆（Gridiron Pendulum）：以不同金属（钢和铜）配搭，保持摆的长度不变
- Graham's pendulum：有一个水银管柱，保持摆的重心不变
- 以木制摆
- Ellicott compensated pendulum：用多个摆的结构配合