爱因斯坦-希尔伯特作用量

希尔伯特作用量或爱因斯坦-希尔伯特作用量（英文：Einstein-Hilbert action）是广义相对论中能够导出爱因斯坦引力场方程（通过取变分得到时空度规的运动方程）的作用量，它最早由希尔伯特在1915年提出。从希尔伯特作用量导出爱因斯坦引力场方程的优点是多方面的：首先，它能够简单地将广义相对论理论和其他同样用作用量形式表示的经典场论（如麦克斯韦理论）统一起来；其次，通过寻找这个作用量中包含的对称性可以轻易地根据诺特定理判别守恒量。在广义相对论中，作用量一般都被认为是度规（以及物质场）的一个泛函，而其联络是列维-奇维塔联络。

能够导出真空中的爱因斯坦方程的作用量$S[g]\,$由下面的拉格朗日量的积分给出：

$$S[g]= \int {1 \over 2\kappa} R \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4x$$

其中$g = \, {1 \over c^2} \, \det \, (g_{\alpha \beta})$是时空的洛伦兹度规的行列式，$R\,$是里奇标量，$\kappa = \frac{8 \pi G}{c^4} \,$是一个普适性常数，拉格朗日量是${1 \over 2\kappa} R \sqrt{-g}$，积分范围是时空中的一块区域。对于有物质存在的爱因斯坦方程，在对应的拉格朗日量中还要添加物质本身的拉格朗日量。（注意：这里所谓“拉格朗日量”都是指其标量密度，在国际单位制中的单位是焦耳/立方米，而不是指其在空间或时空范围内的一个积分。）

注意到$\sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4 x$是一个形式不变的四维体元，因此也可以将希尔伯特作用量写成（可能更好看些的）如下形式：

$$S[g]= \int {1 \over 2\kappa} R \, \mathrm{dV} \,$$

## 导出爱因斯坦引力场方程

假设理论中场的完整作用量形式即包括爱因斯坦-希尔伯特作用量以及可描述任意物质场的拉格朗日量$\mathcal{L}_\mathrm{M}$，则有

$$S = \int \left[ {1 \over 2\kappa} \, R + \mathcal{L}_\mathrm{M} \right] \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4 x$$

作用量原理告诉我们这个作用量对度规$g^{\mu\nu}\,$的变分为零：

$$\begin{align} 0 & = \delta S \\ <pre> & = \int \left[ {1 \over 2\kappa} \frac{\delta (\sqrt{-g}R)}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} \right] \delta g^{\mu\nu}\mathrm{d}^4x \\ & = \int \left[ {1 \over 2\kappa} \left( \frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu} } \right) + \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} \right] \delta g^{\mu\nu} \sqrt{-g}\, \mathrm{d}^4x. </pre> \end{align}$$

由于这个方程要求对所有变分$\delta g^{\mu\nu}$都成立，这意味着

$$\frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu}} = - 2 \kappa \frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}},$$

是度规场的运动方程，而方程的右边则（根据定义）正比于能量-动量张量。

$$T_{\mu\nu}:= -2 \frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} = -2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g^{\mu\nu}} + g_{\mu\nu} \mathcal{L}_\mathrm{M}.$$

计算方程的左边需要得到里奇标量的变分和度规的行列式，它们的有关计算可以参考有关教科书，下面给出的范例来自。

### 黎曼张量、里奇张量和里奇标量的变分

为计算里奇标量的变分我们首先考虑黎曼张量以及里奇张量的变分。黎曼张量的定义为

$${R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma} <pre> - \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma},$$

由于黎曼曲率只和列维-奇维塔联络$\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$有关，黎曼张量的变分可由下给出：

$$\delta{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\delta\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu\delta\Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \delta\Gamma^\rho_{\mu\lambda} \Gamma^\lambda_{\nu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda} \delta\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \delta\Gamma^\rho_{\nu\lambda} \Gamma^\lambda_{\mu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda} \delta\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}.$$

现在由于$\delta\Gamma^\rho_{\nu\mu}$是两个联络的差，因此它是一个张量，我们计算它的协变导数：

$$\nabla_\lambda (\delta \Gamma^\rho_{\nu\mu} ) = \partial_\lambda (\delta \Gamma^\rho_{\nu\mu} ) + \Gamma^\rho_{\sigma\lambda} \delta\Gamma^\sigma_{\nu\mu} - \Gamma^\sigma_{\nu\lambda} \delta \Gamma^\rho_{\sigma\mu} - \Gamma^\sigma_{\mu\lambda} \delta \Gamma^\rho_{\nu\sigma}$$

我们现在可以清楚地看到黎曼曲率张量的变分表达式等于如下两项的差：

$$\delta R^\rho{}_{\sigma\mu\nu} = \nabla_\mu (\delta \Gamma^\rho_{\nu\sigma}) - \nabla_\nu (\delta \Gamma^\rho_{\mu\sigma}).$$

而里奇张量的变分可简单地通过紧缩黎曼张量的变分表达式的两个分量得到：

$$\delta R_{\mu\nu} \equiv \delta R^\rho{}_{\mu\rho\nu} = \nabla_\rho (\delta \Gamma^\rho_{\nu\mu}) - \nabla_\nu (\delta \Gamma^\rho_{\rho\mu}).$$

里奇标量的定义为

$$R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}.\!$$

从而它相对于度规$g^{\mu\nu}$的变分为

$$\begin{align} \delta R &= R_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu} + g^{\mu\nu} \delta R_{\mu\nu}\\ <pre> &= R_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu} + \nabla_\sigma \left( g^{\mu\nu} \delta\Gamma^\sigma_{\nu\mu} - g^{\mu\sigma}\delta\Gamma^\rho_{\rho\mu} \right) </pre> \end{align}$$

在第二行中我们使用了上面得到的里奇张量的变分结果以及协变导数对度规的性质$\nabla_\sigma g^{\mu\nu} = 0$。

最后一项$\nabla_\sigma ( g^{\mu\nu} \delta\Gamma^\sigma_{\nu\mu} - g^{\mu\sigma}\delta\Gamma^\rho_{\rho\mu} )$是一个全微分，根据斯托克斯定理当对它进行积分时只能得到一个边界项。因而当度规的变分$\delta g^{\mu\nu}$ 在无穷远处趋于零时这项的积分也为零，从而不对作用量有贡献。这样我们得到

$$\frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} = R_{\mu\nu}$$

### 度规行列式的变分

根据对行列式进行求导的雅可比公式

$$\,\! \delta g = g \, g^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu}$$

我们得到

$$\begin{align} \delta \sqrt{-g} &= -\frac{1}{2\sqrt{-g}}\delta g = \frac{1}{2} \sqrt{-g} (g^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu}) = -\frac{1}{2} \sqrt{-g} (g_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu}),\end{align}$$

从而结论为

$$\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu} } = -\frac{1}{2} g_{\mu\nu}$$

### 运动方程

我们得到了所需要的所有变分，将它们代入运动方程可得

$$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu},$$

这是爱因斯坦引力场方程，其中$\kappa = \frac{8 \pi G}{c^4}$的选取是为了使非相对论极限能够满足牛顿引力理论的形式，而$G\,$是万有引力常数。

## 宇宙学常数

对于含有宇宙常数项的爱因斯坦方程

$$R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} R + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu} \,$$

对应的希尔伯特作用量也包含宇宙学常数，写为

$$S = \int \left[ {1 \over 2\kappa} \left( R - 2 \Lambda \right) + \mathcal{L}_\mathrm{M} \right] \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4 x$$

## 参考文献

- Hilbert, D. (1915) Die Grundlagen der Physik , Konigl. Gesell. d. Wiss. Gottingen, Nachr. Math.-Phys. Kl. 395-407