时间膨胀

时间膨胀是一种物理现象：两个完全相同的时钟之中，拿着甲钟的人会发现乙钟比自己的走得慢。这现象常被说为是对方的钟“慢了下来”，但这种描述只会在观测者的参考系上才是正确的。任何本地的时间（也就是位于同一个座标系上的观测者所测量出的时间）都以同一个速度前进。时间膨胀效应适用于任何解释时间速度变化的过程。

在阿尔伯特·爱因斯坦的相对论中，时间膨胀出现于两种状况：

- 在狭义相对论中，所有相对于一个惯性系统移动的时钟都会走得较慢，而这一效应已由劳仑兹变换精确地描述出来。
- 在广义相对论中，在引力场中拥有较低势能的时钟都走得较慢。这种引力时间膨胀效应在本条目中只会被略略带过，在主条目中会有更详细的讨论（另见：引力红移）。

狭义相对论中，时间膨胀效应是相互性的：从任何一个时钟观测，都是觉得对方的时钟走慢了（当然我们假定两者在观测对方时都没有加速度）。

相反，引力时间膨胀却不是相互性的：塔顶的观测者觉得地面的时钟走慢了，而地面的观测者觉得塔顶的时钟走快了。引力时间膨胀效应对于每个观测者都是一样的，膨胀与引力场的强弱与观察者所处的位置都有关系。

## 概述

狭义相对论中测定时间膨胀的公式为：

$$\Delta t' = \gamma \ \Delta t = \frac{\Delta t}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \,$$

当中

$\Delta t \,$是根据某个观测者的时钟，两个本地事件（就是在同地方发生的两个事件）之间的时间间隔——这被称为原时。

$\Delta t' \,$是根据另一个观测者的时钟，同两个事件之间的时间间隔。

$v \,$是第二个时钟相对第一个时钟移动的速度。

$c \,$是光速；而

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \,$是劳仑兹因子。

那么移动中的那个时钟走得就比较慢。日常生活中，就算是高速的航天飞行，造成的时间膨胀效应也太小，一般很难被探测到，因此可被忽略。只有在物体达到30,000 km／s（光速的1/10）以上时，时间膨胀才显得十分重要。

因为劳仑兹因子而引起的时间膨胀现象是于1897年由Joseph Larmor发现──最起码有电子在原子核运转而引起的现象。

## 实验证明

时间膨胀的试验已经做过许多次了。自1950年代开始的粒子加速器（如欧洲核子研究组织的加速器）的日常工作，就是持续进行的狭义相对论实验。具体的几个实验包括：

### 速度时间膨胀实验

- Rossi and Hall（1941）比较了位于山顶和位于海平面的由宇宙射线制造出的缈子数量。尽管缈子从山顶到地面所需的时间已经是几个半衰期，但是在海面的缈子数量却只是少了一点。这是由于缈子相对于测试者以高速运动，导致了可观的时间膨胀效应。
- 实验室中静止缈子的衰期为2.22 μs，由宇宙射线制造出来的缈子的速度为光速的98%，衰期为比静止时大5倍左右，和理论相符合。实验中的“时钟”是缈子的衰期，而高速运动缈子的时钟有着自己的前进速度，也就是比实验室里的“时钟”慢许多。

### 引力时间膨胀实验

- Pound, Rebka在1959年测量出位于较低海拔（所受重力较强）的光波的频率有很小的引力红移。得出的数值和广义相对论预测的数值有小于10%的偏差。不久后Pound和Snider在1964年得出更准的1%偏差，正好就是引力时间膨胀预测的效应。

### 速度和引力时间膨胀结合实验

- Hafele and Keating在1971年把两个铯原子钟分别放在两架分别向东和西飞的商务客机上，并对比放在美国海军天文台的时钟。飞机上的原子钟应该衰变得更快，因为他们位于距离地面较高，因此引力时间膨胀较小。不过，相反地，它们又会走得较慢，因为他们相对天文台的时钟的速度很快。而当中的引力时间膨胀效应较大，因此两个时钟的时间相对走快了。实验结果和预测的结果相符合。在2005年，英国国家物理实验室公布了他们在另一次相似的实验中所得出的结果。这次实验的飞行时间较1971年的那一次短（来回伦敦和华盛顿），但是实验之中的原子钟更为精确。公布的结果误差为4%。
- 全球定位系统可被视为一项持续进行的狭义和广义相对论实验。轨道上的时钟根据时间膨胀效应被调校成适当的速度，以对应位于地面的时钟。另外，有关广义相对论的一些微调已经编写进定位卫星，要不然，每12个小时定位结果便会有大约7米的偏差。

## 时钟假说

时钟假说为狭义相对论中的一项假设。它阐述了时钟行走的速率与物体的加速度无关，而只与物体的瞬时速度相关。另一种等价的描述则是依路径$P$ 移动的时钟，其测出的原时可定义为：

$d \tau = \int_P \sqrt {dt^2 - dx^2/c^2 - dy^2/c^2 - dz^2/c^2}$。

爱因斯坦最初1905年所发表的狭义相对论即暗示了时钟假说，尽管不是明确地表述。从那时以来，此假说已成为标准假设，也常包括在狭义相对论的公理中。透过极高加速度的粒子加速器实验也得到验证。

## 太空飞行与时间膨胀

根据时间膨胀效应，太空人在相对于地球上的观察者以极高速运动的飞船内时，对于地球观察者而言，尽管地球已经经历了很长的岁月，飞船内的人却没什么老化，因为极大的速度会使飞船（和里面的所有物体）的时间减慢。也就是说，地球上的观察者会发现，当飞船的时钟走了一圈时，地球上的时钟已经转了许多圈了。只要速度够高，这个效应便会明显地显示出来。比方说，对地球上的观察者而言，可能都过了十五个钟头了，太空旅行者的手表却只走了十五分钟。此效应对飞船或地球这两个座标系是对称的，因为地球看飞船在动，飞船看地球也在动，而且速度大小相等。也就是说，对太空人而言，地球的时间才是较慢的，可能飞船的时钟过了十分钟，太空人却发现地球上的时钟只过了一分钟(详见更下面的段落以及孪生子悖论)。

人们更加有可能利用这个效应把人类送到距离我们最近的恒星附近，而不需耗掉航天员的一生光阴(尽管地球上的观察者可能会发现旅行所花的时间仍然大得夸张，但对飞船上的人而言，却只花了更少的一段时间)。然而，要实现这种省时的情况，我们则需要研发一些更新、更先进的推进技术。另一个问题是，在这么高的速度下，空间里的粒子会折射，成为高能量的宇宙射线。要想飞船不被毁灭，我们必须用到一些不可思议的防辐射措施。其中一种建议的措施是利用强电磁场把前来的物质离子化，或把它们反弹出去。

目前的航天科技有着许多根本性的限制，如要把飞船加速到接近光速需要大量能量，小型碎片等会对飞船造成威胁。不过，在今天的航天任务中，时间膨胀并不是考虑的因素之一，因为飞船速度相对于光速实在是太小了。另外一个太空飞行会涉及到的时间膨胀效应情况，是接近一个有着极大引力的地方，如黑洞，那里会有强大的引力时间膨胀效应，电影星际效应中便有相关的桥段出现。

### 以固定加速度前进时的时间膨胀

在狭义相对论中，时间膨胀绝大多数时候都出现在相对运动速度不变的情况下。不过，劳仑兹公式允许我们算出两物之间有固定加速度时的时间膨胀，就是一物相对另一个没有加速度的物体以g速固定地加速。

设t为一惯性系统的时间。设x为空间座标，并设x轴平行于飞船固定加速的路径。假设飞船的位置是t = 0、x = 0，而其速度为v0，以下的公式有：

位置：

$$x = \left( \sqrt{1 + \frac{\left(g \cdot t + \frac{v_0}{\sqrt{1-\frac{v_0^2}{c^2}}}\right)^2}{c^2}} -\frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{v_0^2}{c^2}}} \right) \cdot \frac {c^2}{g}.$$

速度：

$$v=\frac{gt + \frac{v_0}{\sqrt{1-\frac{v_0^2}{c^2}}}}{\sqrt{1 + \frac{ \left(gt + \frac{v_0 }{\sqrt{1-\frac{v_0^2}{c^2}}}\right)^2}{c^2}}}.$$

原时：

$$t^*=\frac{c}{g} \cdot \ln \left[ \left(\sqrt{c^2 + v_0^2} - \frac{v_0}{\sqrt{1-\frac{v_0^2}{c^2}}} \right) \cdot \frac{\sqrt{c^2 + \left(g \cdot t + \frac{v_0}{\sqrt{1-\frac{v_0^2}{c^2}}}\right)^2} + g \cdot t + \frac{v_0}{\sqrt{1-\frac{v_0^2}{c^2}}}}{c^2} \right].$$

作为x的函数的静止系统时间：

$$t=\frac{1}{g}\left(-v_0 + \frac{1}{c} \sqrt{v_0^2 c^2 + x^2 g^2 + 2xgc\sqrt{c^2 + v_0^2}} \right).$$

## 时间膨胀的简单推论

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由于光在任何参照系中的速度都相同，于是时间膨胀可以解释为下：

想象一个由两面镜子A和B组成的时钟，两面镜子相距L，其间有光束来回反射，光束每次接触到其中一面镜子时，时钟便会走动。

参考系静止时（右上图），光来回一次的路径长度为2L，时钟走过的时间为2L除以光速：

$$\Delta t = \frac{2L}{c}$$

参考系以v速移动时（右下图），光的路径倾斜了，并且更长了。狭义相对论的另一前提是，光在任何参考系中的速度都相同，因此移动中观测者的时钟的周期便会加长。这代表，相对于时钟的参考系中，那个时钟便显得走得很慢。简易的勾股定理就可导出狭义相对论的预测：

光束走过其路径的总时间为

$$\Delta t' = \frac{2D}{c}$$

路径一半的距离可写为已知参量的函数

$$L = \sqrt{D^2-\left (\frac{v \Delta t'}{2}\right )^2}$$

$$\frac{c\Delta t}{2} = \sqrt{(\frac{c\Delta t'}{2})^2-(\frac{v\Delta t'}{2})^2}$$

提出：$c\Delta t'$

$$c\Delta t = (c\Delta t')\sqrt{1-\frac{(v\Delta t')^2}{(c\Delta t')^2}}$$

化简后

$$\Delta t' = \frac{\Delta t}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$$

表达了移动时钟的周期比参考系的时钟要慢这个事实。

## 时间膨胀在两个惯性观测者之间是对称的

常理会认为，如果飞船里的时间被拖慢了，则里面的航天员会看到外面的世界相对地“加速”了。可是，狭义相对论却算出相反的结果。

日常生活中其实也有这种怪异的情况：如果两人相距一段距离，则A会看到B“缩小”了，但是B也觉得A“缩小”了。这种透视现象已经被人们适应、接受了，因为它存在于平日的生活里，但是人们对相对论就毫无准备。

我们已经对有关距离的相对论见解习以为常了：从北京到上海的距离当然等于上海到北京的距离。另一方面，当我们考虑到速度方面，会认为如果一个物体在运动，运动一定会是相对于某物：星体、地面或另一人。A物相对B物的速度，是相等于B物相对A物的速度，两者完全相等。

在狭义相对论中，一个移动中的时钟相对观测者的时钟显得较慢。如果A和B在不同的飞船上，而相对速度为接近光速，则A（使用自己的时钟）觉得B时间变慢了，B也觉得A的时间慢了。

注意要在参考系统中建立“同步”的概念，“到底一件事是否和另一处的另一件事同时发生”这个问题有着关键的重要性。所有计算都最终要涉及到哪些事件是同时发生的。也要留意，要建立两个空间中相隔的事件的同步性，这两个地方一定要有讯息相互传递，这也代表了光速是决定同步性的一个重要因素。

大家当然会问到，狭义相对论怎么能在A相对B有时间膨胀而B相对A也有时间膨胀的情况下不前后矛盾。要消除矛盾，我们必须丢弃人们日常对同步性的直觉概念。同步性，是位于一个参考系中的一位观测者和一系列事件之间的关系。如此类推，我们能接受“左”和“右”是参照于观测者的位置和方向。这是因为左和右是一种物体间的关系。同理，柏拉图解释，“上”和“下”是对应于地球的表面的一种关系，因此人们是不会在他们的对跖地（球面上任一点与球心的连线会交球面于另一点，亦即位于球体直径两端的点，这两点互称为对跖点。）掉下去。

理论的架构里有一个同时性的相对论，它影响着特定事件如何根据有相对运动的观测者被调准。由于每个观测者对两个事件是否同时发生都有不同的见解（见孪生子佯谬），因此任一个观测者都可认为对方的时钟减慢了，这并不会导致理论自相矛盾。这矛盾现象有许多更明确的解释，如下。

### 时态座标系与时钟同步

相对论使用时钟同步的步骤来建立时态座标系。现在这常被称为爱因斯坦同步步骤，因为曾出现在他于1905年的论文里。

一位观测者发送一束光讯息，根据他的时钟时间为t1。在一处遥远的事件，这束光被反射回来，在t2时到达原先的观测者（根据同一个时钟测量）。这个情况下，由于光线来回都以同一个速度走着同一条路线，因此光讯息在遥远处被弹回来的那一刻的时间tE为tE = (t2 -t1) / 2。这样，使用一个观测者的一个时钟便可以定义时态座标系，并在宇宙各处都适用。

对称的时间膨胀效应发于以这种方式设立的时态座标系中。效应中，另一个时钟被观测者认为走慢了。观测者并不觉得自己身上发生著时间膨胀，但他可以知道相对另一个座标系，他的时间是显得较慢。

### 速度时间膨胀的时空几何

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动画中的绿点和红点代表飞船。绿色船队相互并没有速度，因此每艘飞船上的时钟所走的速度都相同，而船队则可以保持飞船之间的同步。红色船队相对绿色船队移动，速度是光速的0.866倍。

蓝点代表光束。根据绿色船队的时间，光束每来回一次所花时间为2秒，单向所需时间为1秒。

从红色飞船看（根据自己的时间），两个红色飞船之间的光束单向所需时间为1秒。而从绿色飞船来看，红色飞船之间所发出光线的路径为一个对角的斜线，单向所需时间为2秒。（以绿色的角度看，红色飞船每2秒（绿色飞船时间）行进距离为1.73（$\sqrt{3}$）光秒。）

其中一艘红色飞船每秒向绿船发射讯号。根据绿色飞船的时间，每隔2秒才接收一次讯号。动画中没有提到的是，所有物理效应都被等比例缩小了。红色飞船发出的讯号频率（红色飞船所测量到的）比绿色飞船接收到的讯号频率（绿色飞船所测量到的）要高，反之亦然。

此动画分别以红色或绿色飞船作为参考物，藉以强调速度时间膨胀的对称性质。由于相对论中（牛顿力学中也如此）没有绝对运动这回事，因此无论是红色还是绿色的船队“在其自己的参考系中”都会认为自己是不动的。

## 另类解释

斯洛文尼亚空间生命研究所的建立者阿姆瑞特·索利（Amrit Sorli）和大卫特·菲斯卡莱蒂（Davide Fiscaletti）认为所谓的时间膨胀其实是时钟上所显示的时间差异，他们认为时间是独立于空间而存在的，时间本身并没有因观察者的位置不同而产生变化，他们指出如果把使用光子钟所进行的实验与使用原子钟所进行的实验进行比较，会得出不同的结果，他们解释说：“原子钟的速率会减慢，因为物理现象的‘相对性’始于π介子的尺度。”因此, 解释所谓的时间膨胀现象本身并不需要提出“长度收缩”的说法。

## 参考资料

- Einstein, A. (1905) "Zur Elektrodynamik bewegter Körper", Annalen der Physik, 17, 891. English translation: On the electrodynamics of moving bodies
- Einstein, A. (1907) "Über eine Möglichkeit einer Prüfung des Relativitätsprinzips", Annalen der Physik.
- Hasselkamp, D., Mondry, E. and Scharmann, A. (1979) "Direct Observation of the Transversal Doppler-Shift", Z. Physik A 289, 151–155
- Ives, H. E. and Stilwell, G. R. (1938), An experimental study of the rate of a moving clock, J. Opt. Soc. Am, 28, 215–226
- Ives, H. E. and Stilwell, G. R. (1941), An experimental study of the rate of a moving clock. II, J. Opt. Soc. Am, 31, 369–374
- Joos, G. (1959) Lehrbuch der Theoretischen Physik, 11. Auflage, Leipzig; Zweites Buch, Sechstes Kapitel, § 4: Bewegte Bezugssysteme in der Akustik. Der Doppler-Effekt.
- Larmor, J. (1897) "On a dynamical theory of the electric and luminiferous medium", Phil. Trans. Roy. Soc. 190, 205–300 (third and last in a series of papers with the same name).
- Poincaré, H. (1900) "La theorie de Lorentz et la Principe de Reaction", Archives Neerlandaies, V, 253–78.
- Rossi, B and Hall, D. B. Phys. Rev., 59, 223 (1941).
- NIST Two way time transfer for satellites
- Voigt, W. "Ueber das Doppler'sche princip" Nachrichten von der Königlicher Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 2, 41–51.

## 外部链接

- Time Dilation Demonstration Applet
- UK National Physical Laboratory reports replication of Hefele-Keating experiment