正交群

数学上，数域F上的n阶正交群，记作O(n,F)，是F上的n×n 正交矩阵在矩阵乘法下构成的群。它是一般线性群GL(n,F)的子群，由

$\mathrm{O}(n,F) = \{ Q \in \mathrm{GL}(n,F) \mid Q^T Q = Q Q^T = I \} \;$给出。

这里QT是Q的转置。实数域上的经典正交群通常就记为O(n)。

更一般地，F上一个非奇异二次型的正交群是保持二次型不变的矩阵构成的群。嘉当-迪奥多内定理描述了这个正交群的结构。

每个正交矩阵的行列式为1或−1。行列式为1的n×n正交矩阵组成一个O(n,F)的正规子群，称为特殊正交群SO(n,F)。如果F的特征为2，那么1 = −1，从而O(n,F)和SO(n,F)相等；其他情形SO(n,F)在O(n,F)中的指数是2。特征2且偶数维时，很多作者用另一种定义，定义SO(n,F)为迪克森不变量的核，这样它在O(n,F)中总有指数2。

O(n,F)和SO(n,F)都是代数群，因为如果一个矩阵是正交的条件，即转置等于逆矩阵，能够定义成一些关于矩阵分量的多项式方程。

## 实数域上的正交群

实数域R上的正交群O(n,R)和特殊正交群SO(n,R)在不会引起误会时经常记为O(n)和SO(n)。他们是n(n-1)/2 维实紧李群。O(n,R)有两个连通分支，SO(n,R)是单位分支，即包含单位矩阵的连通分支。

实正交群和特殊正交群有如下的解释：

O(n,R)是欧几里得群E(n)的子群，E(n)是Rn的等距群；O(n,R)由其中保持原点不动等距组成。它是以原点为中心的球面 (n = 3)、超球面和所有球面对称的对象的对称群。

SO(n,R)是E+(n)的子群，E+(n)是“直接”等距，即保持定向的等距；SO(n,R)由其中保持原点不动的等距组成。它是以原点为中心的球面和所有球面对称对象的旋转群。

{ I, −I }是O(n,R)的正规子群并是特征子群；如果n是偶数，对SO(n,R)也对。如果n是奇数，O(n,R)是SO(n,R)和{ I, −I }的直积。k重旋转循环群Ck对任何正整数k都是O(2,R)和SO(2,R)的正规子群。

取合适的正交基，等距是

$$\begin{bmatrix} \begin{matrix}R_1 & & \\ & \ddots & \\ & & R_k\end{matrix} & 0 \\ 0 & \begin{matrix}\pm 1 & & \\ & \ddots & \\ & & \pm 1\end{matrix} \\ \end{bmatrix}$$

形式。这里矩阵R1,...,Rk是2×2旋转矩阵。

圆的对称群是O(2,R)，也称为Dih(S1)，这里S1是模长1复数的乘法群。

SO(2,R) (作为李群)同构于圆S1（圆群）。这个同构将复数exp(φi) = cos(φ) + i sin(φ)映到正交矩阵

$\begin{bmatrix}\cos(\phi)&-\sin(\phi)\\ \sin(\phi)&\cos(\phi)\end{bmatrix}$。

群SO(3,R)，视为3维空间的旋转，是科学和工程中最重要的群。参见旋转群和3×3旋转矩阵利用轴和角的一般公式

在代数拓扑方面，对n > 2，SO(n,R)的基本群是2阶循环，而自旋群Spin(n)是其万有覆叠。对n = 2基本群是无限循环而万有覆叠对应于实数轴（旋量群Spin(2)是惟一的2重复叠）

李群O(n,R)和SO(n,R的李代数由斜对称实n×n矩阵组成，李括号由交换子给出。这个李代数经常记为 o(n,R)或so(n,R)。

### 保持原点的3维同构

保持R3原点不动的同构，组成群O(3,R)，能分成如下几类：

- SO(3,R):
- 恒同
- 绕一个过原点的轴转动不等于180°
- 绕一个过原点的轴转动180°
- 以上与关于原点的点反演（x映到−x）复合，分别为：
- 关于原点的点反演
- 绕一轴旋转一个不等于180°的角度，与关于过垂直于轴且过原点的平面的反射的复合
- 关于一个过原点的平面的反射

特别地指出4阶和5阶正交群，在更宽泛的意义下6阶也是，称为反射旋转。类似的参见欧几里得群。

### 共形群

作为保持距离的同构，正交变换也保角，从而是共形变换，但是不是所有的共形变换都是正交变换。Rn的线性共形映射构成的群记作CO(n)，由正交群和收缩的乘积给出。如果n是奇数，两个子群不相交，他们是直积：$\operatorname{CO}(2n+1) = \operatorname{O}(2n+1) \times \mathbf{R}$；如果n是偶数，两个子群的交是$\pm 1$，所以这不是直积，但这是和正收缩子群的直积：$\operatorname{CO}(2n) = \operatorname{O}(2n) \times \mathbf{R}^+ \;$。

我们可以类似地定义CSO(n)，这时总有$\operatorname{CSO}(n) := \operatorname{CO}(n) \cap \operatorname{GL}_+(n) = \operatorname{SO}(n) \times \mathbf{R}^+ \;$。

## 复数域上正交群

复数域C上，O(n,C)和SO(n,C)是C上n(n-1)/2维的李群，这意味着实维数是n(n-1)。O(n,C)有两个连通分支，SO(n,C)是包含恒同矩阵的分支。当n ≥ 2时，这些群非紧。

和实情形一样，SO(n,C)不是单连通的，对n > 2 SO(n,C)的基本群是2阶循环群，而SO(2,C)的基本群是无穷循环群。

O(n,C)和SO(n,C)的复李代数由斜对称复n×n矩阵组成，李括号由交换子给出。

## 拓扑

### 低维数

低维实正交群是熟悉的空间：

$$\begin{align} O(1) &= \left\{\pm 1\right\} = S^0\\ SO(1) &= \left\{1\right\} = *\\ SO(2) &= S^1\\ SO(3) &= \mathbf{RP}^3 \end{align}$$

由于三维旋转在工程中有重要应用，产生了很多SO(3)上的卡。

### 同伦群

正交群的同伦群和球面的同伦群密切相关，从而一般是很难计算的。

但是我们可以计算出稳定正交群的同伦群（也称为有限正交群），定义为包含序列

$$O(0) \subset O(1)\subset O(2)\subset\cdots\subset O = \bigcup_{k=0}^\infty O(k)$$

正向极限（因为包含都是闭包含，从而是上纤维化，也能理解成并）。

$S^n$是$O(n+1)$的齐性空间，从而有如下纤维丛：

$$O(n) \to O(n+1) \to S^n,$$

可以理解为：正交群$O(n+1)$ 传递地作用于单位球面$S^n$上，一点（看作一个单位向量）的稳定子群是其正交补的正交群，这是第一维的正交群。映射$O(n) \to O(n+1)$是自然包含。

从而包含$O(n) \to O(n+1)$是(n-1) -连通的，故同伦群稳定，对$n > k + 1$有$\pi_k(O) = \pi_k(O(n))$，所以稳定空间的同伦群等于非稳定空间的低维同伦群。

通过博特周期性定理，$\Omega^8 O \simeq O$，从而O的同伦群以8为周期，即 $\pi_{k+8} O = \pi_k O$，这样我们只要计算出最低8个同伦群就算出了所有群。

$$\begin{align} \pi_0 O &= \mathbf Z/2\\ \pi_1 O &= \mathbf Z/2\\ \pi_2 O &= 0\\ \pi_3 O &= \mathbf Z\\ \pi_4 O &= 0\\ \pi_5 O &= 0\\ \pi_6 O &= 0\\ \pi_7 O &= \mathbf Z\\ \end{align}$$

#### 和KO-理论的关系

通过cluching construction，稳定空间O的同伦群和稳定球面上的向量丛等价（同构的意义下），提高一个维数：$\pi_k O = \pi_{k+1} BO$。

设$KO = BO \times \mathbf Z = \Omega^{-1} O \times \mathbf Z$（使得$\pi_0$满足周期性），我们得到：

$$\begin{align} \pi_0 KO &= \mathbf Z\\ \pi_1 KO &= \mathbf Z/2\\ \pi_2 KO &= \mathbf Z/2\\ \pi_3 KO &= 0\\ \pi_4 KO &= \mathbf Z\\ \pi_5 KO &= 0\\ \pi_6 KO &= 0\\ \pi_7 KO &= 0\\ \end{align}$$

#### 同伦群的计算和解释

##### 低维群

最初的几个同论群可以用低维群的同论群具体的描述。

- $\pi_0(O) = \pi_0(O(1)) = \mathbf Z/2$保持/反定向（这个类存留到$O(2)$从而稳定）

$SO(3) = \mathbf{RP}^3 = S^3/(\mathbf Z/2)$得出：

- $\pi_1(O) = \pi_1(SO(3)) = \mathbf Z/2$即自旋群
- $\pi_2(O) = \pi_2(SO(3)) = 0$，有到$\pi_2(SO(4))$的满射，从而后一个群消失。

##### 李群

由李群一般性事实，$\pi_2 G$总消失，$\pi_3 G$是自由阿贝尔群。

##### 向量丛

从向量丛的观点来看，$\pi_0(KO)$是$S^0$上的向量丛，具有两个点。从而在每个点上，丛是平凡的，这个丛的非平凡性是两个点上向量空间的维数之差，所以

$\pi_0(KO) = \mathbf Z$是维数。

##### 环路空间

利用博特周期性中环路空间具体的描述，我们可以将高维同伦群理解为容易分析的低维空间的同伦。利用$\pi_0$、O，以及O/U有两个分支，$KO = BO \times \mathbf Z$和$KSp = BSp \times \mathbf Z$有$\mathbf Z$个分支，其实是连通的。

#### 同伦群的解释

一小部分结论：

- $\pi_0(KO) = \mathbf Z$是维数
- $\pi_1(KO) = \mathbf Z/2$是定向
- $\pi_2(KO) = \mathbf Z/2$是自旋
- $\pi_4(KO) = \mathbf Z$是拓扑量子场理论

令$F = \mathbf R, \mathbf C, \mathbf H, \mathbf O$，以及$L_F$为射影线$\mathbf{FP}^1$上的重复线丛，$[L_F]$是其K-理论。注意到$\mathbf{RP}^1 = S^1, \mathbf{CP}^1 = S^2, \mathbf{HP}^1 = S^4, \mathbf{OP}^1 = S^8$，这些得出相应球面上的向量丛，以及：

- $\pi_1(KO)$由$[L_{\mathbf R}]$生成
- $\pi_2(KO)$由$[L_{\mathbf C}]$生成
- $\pi_4(KO)$由$[L_{\mathbf H}]$生成
- $\pi_8(KO)$由$[L_{\mathbf O}]$生成

## 有限群上的正交群

正交群也能定义在有限域$\mathbf{F}_q$上，这里$q$是一个质数$p$的幂。在这样的域上定义正交群，偶数维时有两类：$O^+(2n, q)$和$O^-(2n, q)$；奇数维有一类：$O(2n+1, q)$。

如果$V$是正交群$G$作用的向量空间，它可以写成正交直和：

$V = L_1 \oplus L_2 \oplus \cdots \oplus L_m \oplus W$。

这里$L_i$是双曲线而$W$不包含奇异向量。如果$W = 0$，那么$G$是正类型；若$W = <w>$那么$G$有偶维数；若$W$有维数2，则$G$是负类型。

在n = 1的特例，$O^\epsilon(2, q)$是阶为$2(q - \epsilon)$的二面体群。

当特征大于2时，记O(n,q) = { A ∈ GL(n,q) : A·At=I }。关于这些群的阶数我们有以下公式

$|O(2n+1,q)|=2q^n\prod_{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})$。

如果$-1$是$\mathbf{F}_q$中的平方元素

$|O(2n,q)|=2(q^n-1)\prod_{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})$。

如果$-1$不是$\mathbf{F}_q$中的平方元素

$|O(2n,q)|=2(q^n+(-1)^{n+1})\prod_{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})$。

## 迪克森不变量

对偶数维正交群，迪克森不变量是从正交群到Z/2Z的同态，是0或1取决于一个元素是偶数个还是奇数个反射的复合。在特征不等于2的域上迪克森不变量和行列式等价：行列式等于−1的迪克森不变量次幂。

在特征2的域上，行列式总为1，所以迪克森不变量给出了额外的信息。在特征2域上许多作者定义特殊正交群为迪克森不变量为0的元素，而不是行列式为1。

迪克森不变量也能对所有维数的克利福德群和Pin群类似地定义。

## 特征2域上正交群

特征2域上的正交群常常有不同的表现。这一节列出一些不同：

- 任何域上的任何正交群都是由反射生成，惟一的例外是两个元素的域上的维特指标为2的4维向量空间Grove。注意特征2域上的反射定义稍不同。特征2域，垂直于一个向量u的反射将v映为v+B(v,u)/Q(u)·u，这里B是一个双线性形式，Q是和正交矩阵相连的二次形式。而通常的豪斯霍尔德变换是将v映到v-2·B(v,u)/Q(u)·u，当奇特征和零特征时与比较两者不同。
- 特征2时正交群的中心总是1阶，而不是2阶。
- 在特征2的奇维数2n+1时，完全域上的正交群和2n维辛群相同。事实上特征2时的辛形式时可交换的，而维数为奇数故总有一个1维的核，模去核的商是一个2n维辛空间，正交群作用在它上面。
- 在特征2的偶维数，正交群是辛群的一个子群，因为此时二次型的辛双线性形式也是可交换的。

## 旋量模

旋量模是一个从域F上正交群到域F的乘法群模去平方元素

F*/F*2

同态，将关于模长为n向量的反射映到F*/F*2中的n。

旋量模对实数域上的正交群是平凡的，但是其它域上常常不平凡，譬如实数域上不定二次型定义的正交群。

## 伽罗瓦上同调和正交群

代数群的伽罗瓦上同调理论，引入了一些更深入的观点。它们有解释的价值，特别是二次型理论的联系。

但就目前所发现的现象而言，大部分都是“马后炮”。第一个观点是一个域上的二次型或者一个正交群的扭曲形式（张量）可以与伽罗瓦H1等同起来。作为一个代数群，正交群一般不是连通或单连通的；第二个观点是引入自旋现象，但前一个和判别式相联系。

一个旋量模的“spin”名字可以用与自旋群（更准确地pin群）的一个联系来解释。这种方法现在可以马上用伽罗瓦上同调（引入克利福德代数的术语）来解释。正交群的自旋群覆叠给出了一个代数群的短正合列：

$$1 \rightarrow \mu_2 \rightarrow Pin_V \rightarrow O_V \rightarrow 1$$

这里μ2是单位根的代数群；在一个特征非2的域上，粗略地看，和作用平凡的两元素群相同。

从H0（就是取值于F中点的群OV(F)）到H1(μ2)的连接同态本质上是spinor模，因为 H1(μ2)同构于域模去平方元素的乘法群。

正交群的H1到自旋群覆叠的核的H2也存在连接同态。因上同调是非阿贝尔的，所以，至少用普通定义，这是我们能走得最远的。

## 重要子群

物理中，特别是在Kaluza-Klein紧化领域，找出正交群的子群非常重要。主要结论如下：

$$O(n) \supset O(n-1)$$

$$O(2n) \supset SU(n)$$

$$O(2n) \supset USp(n)$$

$$O(7) \supset G_2$$

正交群O(n)也是一些李群的重要子群：

$$SU(n) \supset O(n)$$

$$USp(2n) \supset O(n)$$

$$G_2 \supset O(3)$$

$$F_4 \supset O(9)$$

$$E_6 \supset O(10)$$

$$E_7 \supset O(12)$$

$$E_8 \supset O(16)$$

群O(10)在超弦理论中非常重要，因为它是10维时空的对称群。

## 外部链接

- John Baez "This Week's Finds in Mathematical Physics" week 105
- John Baez on Octonions