正交座标系

在数学里，一个正交坐标系定义为一组正交坐标$\mathbf{q}=(q_1,\ q_2,\ q_3,\ \dots\ q_n)$，其坐标曲面都以直角相交（注意：很多作者采用爱因斯坦记号对坐标标号使用上标并非表示指数）。坐标曲面定义为特定坐标$q_i$的等值曲面，即$q_i$为常数的曲线、曲面或超曲面。例如，三维直角坐标$(x,\ y,\ z)$是一种正交坐标系，它的$x$为常数，$y$为常数，$z$为常数的坐标曲面，都是互相以直角相交的平面，都互相垂直。正交坐标系是曲线坐标系的特殊的但极其常见的形式。

## 动机

正交座标时常用来解析一些出现于量子力学、流体动力学、电动力学、热力学等等的偏微分方程。举例而言，选择一个恰当的的正交座标来解析氢离子$H_2\,^-$的波函数或消防水管的喷水，也许会比用直角座标方便的多。这主要是因为恰当的正交座标能够与一个问题的对称性相配合，从而促使应用分离变数法来成功的解析关于这问题的方程式。分离变数法是一种数学技巧，专门用来将一个复杂的$n$维问题变为$n$个一维问题。很多问题都可以简化为拉普拉斯方程或亥姆霍兹方程，这些方程式可以用很多种正交座标来分离。拉普拉斯方程可以在13个正交坐标系中分离（本文列出的14个中圆环坐标系除外），而亥姆霍兹方程可以在11个正交坐标系中分离。

## 概述

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正交坐标的度规张量绝对没有非对角项目。换句话说，无穷小距离的平方$ds^2$，可以写为无穷小坐标位移的平方和：

$ds^{2} = \sum_{i=1}^{n} \left( h_{i} dq_{i} \right)^{2}$。

其中，$n$是维数，标度因子$h_i$是度规张量的对角元素$g_{ii}$的平方根：

$h_{i}(\mathbf{q})\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{g_{ii}(\mathbf{q})}$。

这些标度因子可以用来计算一个正交坐标系的微分算子。例如，梯度、拉普拉斯算子、散度、或旋度。

在数学里，存在有各种各样的正交座标系。应用二维直角座标系$(x,\ y)$的共形映射方法，可以简易的生成这些正交座标系。一个复数$z=x+iy$的任何全纯函数$w=f(z)$，其复值的导数，如果不等于零，则会造成一个共形映射。如果答案可以表达为$w=u+iv$，则$u$与$v$的等值曲线以直角相交，就如同原本的$x$与$y$的等值曲线以直角相交。

三维与更高维的正交座标系可以由一个二维正交座标系生成，只要将二维正交座标往一个新的座标轴投射（形成类似圆柱座标系的座标系），或者将二维正交座标绕着其对称轴旋转。可是，也有一些三维正交座标系，例如椭球座标系，则不能够用上述方法得到。更一般的正交坐标可以从一些必要的坐标曲面/曲线起步并通过考虑它们的正交轨迹线而得到。

## 向量代数

在正交坐标系里，内积的公式仍旧不变：

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \sum_{i=1}^{n} A_{i} B_{i}$。

## 向量微积分

从前面的距离公式，可以观察出，一个正交坐标$q_{i}$的无穷小改变$dq_{i}$，其相伴的长度是$ds_{i} = h_{i} dq_{i}$。因此，一个位移向量的全微分$d\mathbf{r}$等于

$d\mathbf{r} = \sum_{i=1}^{n} h_{i} dq_{i} \mathbf{e}_{i}$。

其中，$\mathbf{e}_{i}$是垂直于$q_{i}$等值曲面的单位向量，指向着$q_{i}$增值最快的方向，这些单位向量形成了一个局部直角坐标系的坐标轴。

因此，向量$\mathbf{F}$沿着周线$\mathbb{C}$的线积分等于

$\int_{\mathbb{C}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \sum_{i=1}^{n} \int_{\mathbb{C}} F_{i} h_{i} dq_{i}$。

其中，$F_{i}$是向量$\mathbf{F}$在单位向量$\mathbf{e}_{i}$方向的分量：

$F_{i} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathbf{e}_{i} \cdot \mathbf{F}$。

类似地，一个无穷小面积元素是

$dA = ds_{i} ds_{j} = h_{i} h_{j} dq_{i} dq_{j},\qquad i\neq j$。

一个无穷小体积元素是

$dV = ds_{i} ds_{j} ds_{k} = h_{i} h_{j} h_{k} dq_{i} dq_{j} dq_{k},\qquad i \neq j \neq k$。

例如，向量$\mathbf{F}$对于一个曲面$\mathbb{S}$的曲面积分是

$\int_{\mathbb{S}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{A} = \int_{\mathbb{S}} F_{1} h_{2} h_{3} dq_{2} dq_{3} + \int_{\mathbb{S}} F_{2} h_{3} h_{1} dq_{3} dq_{1} + \int_{\mathbb{S}} F_{3} h_{1} h_{2} dq_{1} dq_{2}$。

### 球坐标系实例

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直角坐标$(x,\ y,\ z)$与球坐标$(r,\ \theta, \phi)$的变换方程式为

$x=r\sin\theta\cos\phi$。

$y=r\sin\theta\sin\phi$。

$z=r\cos\theta$。

直角坐标的全微分是

$dx=\sin\theta\cos\phi dr+r\cos\theta\cos\phi d\theta - r\sin\theta\sin\phi d\phi$。

$dy=\sin\theta\sin\phi dr+r\cos\theta\sin\phi d\theta+r\sin\theta\cos\phi d\phi$。

$dz=\cos\theta dr - r\sin\theta d\theta$。

所以，无穷小距离的平方是

$\begin{align}ds^{2} & = dx^{2}+dy^{2}+dz^{2} \\ <pre> & =dr^{2}+(rd\theta)^{2}+(r\sin\theta d\phi)^{2} \\\end{align}$。

标度因子是

$h_r=1$。

$h_{\theta}=r$。

$h_{\phi}=r\sin\theta$。

向量$\mathbf{F}$沿着周线$\mathbb{C}$的线积分等于

$\int_{\mathbb{C}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{\mathbb{C}}F_{r}\ dr+F_{\theta}\ rd\theta+F_{\phi}\ r\sin\theta d\phi$。

向量$\mathbf{F}$对于一个曲面$\mathbb{S}$的曲面积分是

$\int_{\mathbb{S}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{A} = \int_{\mathbb{S}} F_r\ r^2\sin\theta d\theta d\phi+ \int_{\mathbb{S}} F_{\theta}\ r\sin\theta dr d\phi + \int_{\mathbb{S}} F_{\phi}\ r dr d\theta$。

## 三维微分算子

算子｜正交坐标公式

标量场的梯度｜$\nabla \Phi = \hat{\mathbf{e}}_{1}\frac{1}{h_{1}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}} + \hat{\mathbf{e}}_{2}\frac{1}{h_{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}} + \hat{\mathbf{e}}_{3}\frac{1}{h_{3}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{3}}$

向量场的散度｜$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} \left[\frac{\partial}{\partial q_1}(F_1 h_2 h_3)+\frac{\partial}{\partial q_2}(F_2 h_3 h_1) + \frac{\partial}{\partial q_3}(F_3 h_1 h_2) \right]$

向量场的旋度｜$\begin{align}\nabla \times \mathbf{F} & =\frac{\mathbf{e}_{1}}{h_{2} h_{3}} \left[\frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( h_{3} F_{3} \right) - \frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( h_{2} F_{2} \right)\right] + \frac{\mathbf{e}_{2}}{h_{3} h_{1}} \left[\frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( h_{1} F_{1} \right) - \frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( h_{3} F_{3} \right)\right] \\ & +\frac{\mathbf{e}_{3}}{h_{1} h_{2}} \left[\frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( h_{2} F_{2} \right) - \frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( h_{1} F_{1} \right)\right] \\ \end{align}$

标量场的拉普拉斯算子｜$\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} \left[ \frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( \frac{h_{2} h_{3}}{h_{1}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}} \right) + \frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( \frac{h_{3} h_{1}}{h_{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}} \right) + \frac{\partial}{\partial q_{3}} \left(\frac{h_{1} h_{2}}{h_{3}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{3}} \right) \right]$

上面表达式可以使用列维-奇维塔符号$\epsilon$的更简洁形式书写，定义$H = h_1 h_2 h_3$，并使用爱因斯坦记号，即在同时出现上标和下标的项目上求此项所有可能的总和:

算子｜表达式

标量场的梯度｜$\nabla \phi = \frac{\hat{ \mathbf e}_k}{h_k} \frac{\partial \phi}{\partial q^k}$

向量场的散度｜$\nabla \cdot \mathbf F = \frac{1}{H}\frac{\partial}{\partial q^k} \left(\frac{H}{h_k} F_k\right)$

向量场（只3D）的旋度｜$\left(\nabla \times \mathbf F\right)_k = \frac{h_k \hat{ \mathbf e}_k}{H} \epsilon_{ijk}\frac{\partial}{\partial q^i}\left(h_j F_j\right)$

标量场的拉普拉斯算子｜$\nabla^2 \phi = \frac{1}{H} \frac{\partial}{\partial q^k}\left(\frac{H}{h_k^2}\frac{\partial \phi}{\partial q^k}\right)$

## 二维正交坐标系表格

坐标系｜复数变换 $x+iy = f(u+iv)$｜$u$和$v$等值线的形状｜注释

直角｜$u + iv$｜直线, 直线

对数极坐标系｜$\exp(u+iv)$｜圆, 直线｜若$u = \ln r$则为极坐标系

抛物线｜$\frac12 (u+iv)^2$｜抛物线, 抛物线

点偶极｜$(u+iv)^{-1}$｜圆, 圆

椭圆｜$\cosh(u+iv)$｜椭圆, 双曲线｜对于大距离看似对数极

双极｜$\coth(u+iv)$｜圆, 圆｜对于大距离看似点偶极

$\sqrt{u+iv}$｜双曲线, 双曲线

$u = x^2 + 2y^2,\ y=vx^2$｜椭圆, 抛物线

## 三维正交坐标系表格

除了直角坐标系之外，下表列出其他常见的正交坐标系，为了简明性在坐标列中使用了区间符号。

曲线坐标 (q1, q2, q3)｜从直角坐标(x, y, z)转换｜缩放因子

球极坐标系 $(r, \theta, \phi)\in[0,\infty)\times[0,\pi]\times[0,2\pi)$｜$\begin{align} x&=r\sin\theta\cos\phi \\ y&=r\sin\theta\sin\phi \\ z&=r\cos\theta \end{align}$｜$\begin{align} h_1&=1 \\ h_2&=r \\ h_3&=r\sin\theta \end{align}$

圆柱坐标系 $(\rho, \phi, z)\in[0,\infty)\times[0,2\pi)\times(-\infty,\infty)$｜$\begin{align} x&=\rho\cos\phi \\ y&=\rho\sin\phi \\ z&=z \end{align}$｜$\begin{align} h_1&=h_3=1 \\ h_2&=\rho \end{align}$

抛物柱面坐标系 $(u, v, z)\in(-\infty,\infty)\times[0,\infty)\times(-\infty,\infty)$｜$\begin{align} x&=\frac{1}{2}(u^2-v^2)\\ y&=uv\\ z&=z \end{align}$｜$\begin{align} h_1&=h_2=\sqrt{u^2+v^2} \\ h_3&=1 \end{align}$

抛物线坐标系 $(u, v, \phi)\in[0,\infty)\times[0,\infty)\times[0,2\pi)$｜$\begin{align} x&=uv\cos\phi\\ y&=uv\sin\phi\\ z&=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{align}$｜$\begin{align} h_1&=h_2=\sqrt{u^2+v^2} \\ h_3&=uv \end{align}$

椭圆柱坐标系 $(u, v, z)\in[0,\infty)\times[0,2\pi)\times(-\infty,\infty)$｜$\begin{align} x&=a\cosh u \cos v\\ y&=a\sinh u \sin v\\ z&=z \end{align}$｜$\begin{align} h_1&=h_2=a\sqrt{\sinh^2u+\sin^2v} \\ h_3&=1 \end{align}$

长球面坐标系 $(\xi, \eta, \phi)\in[0,\infty)\times[0,\pi]\times[0,2\pi)$｜$\begin{align} x&=a\sinh\xi\sin\eta\cos\phi\\ y&=a\sinh\xi\sin\eta\sin\phi\\ z&=a\cosh\xi\cos\eta \end{align}$｜$\begin{align} h_1&=h_2=a\sqrt{\sinh^2\xi+\sin^2\eta} \\ h_3&=a\sinh\xi\sin\eta \end{align}$

扁球面坐标系 $(\xi, \eta, \phi)\in[0,\infty)\times\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\times[0,2\pi)$｜$\begin{align} x&=a\cosh\xi\cos\eta\cos\phi\\ y&=a\cosh\xi\cos\eta\sin\phi\\ z&=a\sinh\xi\sin\eta \end{align}$｜$\begin{align} h_1&=h_2=a\sqrt{\sinh^2\xi+\sin^2\eta} \\ h_3&=a\cosh\xi\cos\eta \end{align}$

双极圆柱坐标系 $(u,v,z)\in[0,2\pi)\times(-\infty,\infty)\times(-\infty,\infty)$｜$\begin{align} x&=\frac{a\sinh v}{\cosh v - \cos u}\\ y&=\frac{a\sin u}{\cosh v - \cos u}\\ z&=z \end{align}$｜$\begin{align} h_1&=h_2=\frac{a}{\cosh v - \cos u}\\ h_3&=1 \end{align}$

圆环坐标系 $(u,v,\phi)\in(-\pi,\pi]\times[0,\infty)\times[0,2\pi)$｜$\begin{align} x &= \frac{a\sinh v \cos\phi}{\cosh v - \cos u}\\ y &= \frac{a\sinh v \sin\phi}{\cosh v - \cos u} \\ z &= \frac{a\sin u}{\cosh v - \cos u} \end{align}$｜$\begin{align} h_1&=h_2=\frac{a}{\cosh v - \cos u}\\ h_3&=\frac{a\sinh v}{\cosh v - \cos u} \end{align}$

双球坐标系 $(u,v,\phi)\in(-\pi,\pi]\times[0,\infty)\times[0,2\pi)$｜$\begin{align} x &= \frac{a\sin u \cos \phi}{\cosh v - \cos u}\\ y &= \frac{a\sin u \sin \phi}{\cosh v - \cos u} \\ z &= \frac{a\sinh v}{\cosh v - \cos u} \end{align}$｜$\begin{align} h_1&=h_2=\frac{a}{\cosh v - \cos u}\\ h_3&=\frac{a\sin u}{\cosh v - \cos u} \end{align}$

圆锥坐标系 $\begin{align} & (\lambda,\mu,\nu)\\ & \nu^2 < b^2 < \mu^2 < a^2 \\ & \lambda \in [0,\infty) \end{align}$｜$\begin{align} x &= \frac{\lambda\mu\nu}{ab}\\ y &= \frac{\lambda}{a}\sqrt{\frac{(\mu^2-a^2)(\nu^2-a^2)}{a^2-b^2}} \\ z &= \frac{\lambda}{b}\sqrt{\frac{(\mu^2-b^2)(\nu^2-b^2)}{a^2-b^2}} \end{align}$｜$\begin{align} h_1&=1\\ h_2^2&=\frac{\lambda^2(\mu^2-\nu^2)}{(\mu^2-a^2)(b^2-\mu^2)}\\ h_3^2&=\frac{\lambda^2(\mu^2-\nu^2)}{(\nu^2-a^2)(\nu^2-b^2)} \end{align}$

抛物面坐标系 $\begin{align} & (\lambda, \mu, \nu)\\ & \lambda < b^2 < \mu < a^2 < \nu \end{align}$｜$\frac{x^2}{q_i - a^2} + \frac{y^2}{q_i - b^2} = 2 z + q_i$ 其中 $(q_1,q_2,q_3)=(\lambda,\mu,\nu)$｜$h_i=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{(q_j-q_i)(q_k-q_i)}{(a^2-q_i)(b^2-q_i)}}$

椭球坐标系 $\begin{align} & (\lambda, \mu, \nu)\\ & \lambda < c^2 < b^2 < a^2,\\ & c^2 < \mu < b^2 < a^2,\\ & c^2 < b^2 < \nu < a^2, \end{align}$｜$\frac{x^2}{a^2 - q_i} + \frac{y^2}{b^2 - q_i} + \frac{z^2}{c^2 - q_i} = 1$ 其中 $(q_1,q_2,q_3)=(\lambda,\mu,\nu)$｜$h_i=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{(q_j-q_i)(q_k-q_i)}{(a^2-q_i)(b^2-q_i)(c^2-q_i)}}$

## 微分算子导引

### 梯度导引

一个函数$\phi$的梯度朝某个方向$\hat{\mathbf{n}}$的分量，等于方向导数 $\frac{d\phi}{ds}$朝$\hat{\mathbf{n}}$方向的值：

$\nabla \Phi \cdot\hat{\mathbf{n}}=\frac{d\phi}{ds}$。

其中，$ds$是朝$\hat{\mathbf{n}}$方向的无穷小位移。

假若，这$\hat{\mathbf{n}}$与正交坐标轴$\hat{\mathbf{e}}_i$同方向。那么，$ds=h_i dq_i$。所以，函数$\phi$的梯度朝$\hat{\mathbf{e}}_i$的分量是$\frac{\partial \phi}{h_i \partial q_i}$；也就是说。

$\nabla \Phi = \hat{\mathbf{e}}_{1}\frac{1}{h_{1}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}} + \hat{\mathbf{e}}_{2}\frac{1}{h_{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}} + \hat{\mathbf{e}}_{3}\frac{1}{h_{3}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{3}}$。

### 散度导引

$\nabla \cdot \mathbf{F} = \nabla \cdot (\hat{\mathbf{e}}_{1}F_1+\hat{\mathbf{e}}_{2}F_2+\hat{\mathbf{e}}_{3}F_3)$。

取右手边第一个项目。

$\nabla \cdot (\hat{\mathbf{e}}_1F_1)= \nabla \cdot \left[\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_2 h_3}\right)\left(h_2 h_3 F_1\right)\right]$。

应用向量恒等式$\nabla \cdot (\mathbf{A}\phi)=\phi\nabla\cdot\mathbf{A}+\mathbf{A}\cdot(\nabla\phi)$与$\nabla \cdot (\nabla\phi_1 \times \nabla\phi_2)=0$，可以得到

$\begin{align} \nabla \cdot (\hat{\mathbf{e}}_1F_1) & =(h_2 h_3 F_1)\nabla \cdot\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_2 h_3}\right)+\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_2 h_3}\right)\cdot \nabla(h_2 h_3 F_1) \\ <pre> & =(h_2 h_3 F_1)\nabla\cdot[(\nabla q_2)\times\nabla(q_3)] +\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_2 h_3}\right)\cdot \nabla(h_2 h_3 F_1) \\ & =\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_2 h_3}\right)\cdot \nabla(h_2 h_3 F_1) \\ & =\frac{1}{h_1 h_2 h_3} \frac{\partial}{\partial q_1}(F_1 h_2 h_3) \\ </pre> \end{align}$。

总合所有项目。

$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} \left[\frac{\partial}{\partial q_1}(F_1 h_2 h_3)+\frac{\partial}{\partial q_2}(F_2 h_3 h_1) + \frac{\partial}{\partial q_3}(F_3 h_1 h_2) \right]$。

### 旋度导引

$\nabla \times \mathbf{F}=\nabla \times (\hat{\mathbf{e}}_{1}F_1+\hat{\mathbf{e}}_{2}F_2+\hat{\mathbf{e}}_{3}F_3)$。

取右手边第一个项目。

$\nabla \times (\hat{\mathbf{e}}_{1}F_1)=\nabla \times \left[\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_1}\right)\left(h_1 F_1\right)\right]$。

应用向量恒等式$\nabla \times (\mathbf{A}\phi)=\phi\nabla\times\mathbf{A} - \mathbf{A}\times(\nabla\phi)$。

$\begin{align} \nabla \times (\hat{\mathbf{e}}_{1}F_1) & =(h_1 F_1)\nabla\times\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_1}\right) - \left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_1}\right)\times\nabla(h_1 F_1) \\ <pre> & =(h_1 F_1)\nabla\times(\nabla q_1) - \left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_1}\right)\times\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_{2}}{h_{2}} \frac{\partial}{\partial q_{2}}(h_1 F_1) + </pre> \frac{\hat{\mathbf{e}}_{3}}{h_{3}} \frac{\partial}{\partial q_{3}}(h_1 F_1)\right) \\ \end{align}$。

应用向量恒等式$\nabla \times (\nabla\phi)=0$。

$\nabla \times (\hat{\mathbf{e}}_{1}F_1)=\frac{\hat{\mathbf{e}}_{2}}{h_1 h_{3}} \frac{\partial}{\partial q_{3}}(h_1 F_1) - \frac{\hat{\mathbf{e}}_{3}}{h_1 h_{2}} \frac{\partial}{\partial q_{2}}(h_1 F_1)$。

总合所有项目。

$\begin{align}\nabla \times \mathbf{F} & =\frac{\mathbf{e}_{1}}{h_{2} h_{3}} \left[\frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( h_{3} F_{3} \right) - \frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( h_{2} F_{2} \right)\right] + \frac{\mathbf{e}_{2}}{h_{3} h_{1}} \left[\frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( h_{1} F_{1} \right) - \frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( h_{3} F_{3} \right)\right] \\ <pre> & +\frac{\mathbf{e}_{3}}{h_{1} h_{2}} </pre> \left[\frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( h_{2} F_{2} \right) - \frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( h_{1} F_{1} \right)\right] \\ \end{align}$。

### 拉普拉斯算子

$\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} \left[ \frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( \frac{h_{2} h_{3}}{h_{1}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}} \right) + \frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( \frac{h_{3} h_{1}}{h_{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}} \right) + \frac{\partial}{\partial q_{3}} \left(\frac{h_{1} h_{2}}{h_{3}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{3}} \right) \right]$。

## 参考文献

- Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill, pp. 164-182。
- Morse PM and Feshbach H. (1953) Methods of Theoretical Physics, McGraw-Hill, pp. 494-523, 655-666。
- Margenau H. and Murphy GM. (1956) The Mathematics of Physics and Chemistry, 2nd. ed., Van Nostrand, pp. 172-192。