科恩系列分布

科恩系列分布（Cohen's class distribution）于1966年由L. Cohen首次提出，且其使用双线性转换亦是此种转换形式中最通用的一种。在几种常见的时频分布中，Cohen's class分布是最强大的转换之一。随着近几年来时频分析发展，应用也越来越多元。Cohen's class分布和短时距傅立叶变换比较起来有较高的清晰度，但也相对的有交叉项(cross-term)的问题，不过可选择适当的遮罩函数(mask function)来将交叉项的问题降到最低。

## 数学定义

$C_x(t, f)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}A_x(\eta,\tau)\Phi(\eta,\tau)\exp (j2\pi(\eta t-\tau f))\, d\eta\, d\tau,$。

其中 $A_x\left(\eta,\tau \right)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tau /2)x^*(t-\tau /2)e^{-j2\pi t\eta}\, dt.$ 为模糊函数(Ambiguity Function)，且$\Phi \left(\eta,\tau \right)$为一遮罩函数，通常是低通函数用来滤除噪声。

## 科恩系列分布函数

### 韦格纳分布(Wigner Distribution Function)

当Cohen's class分布中的$\Phi \left(\eta,\tau \right)=1$时，Cohen's class分布会成韦格纳分布(Wigner distribution function)$W_x(t, f)= \int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tau /2)x^*(t-\tau /2)e^{-j2\pi f\tau}\, d\tau$。

利用韦格纳分布对函数$x(t)=exp(j0.015t^4+j0.06t^3-j0.3t^2+jt)$作时频分析的结果可见右图。

### 锥状分布(Cone-Shape Distribution)

当Cohen's class分布中的$\phi(t,\tau)=\frac{1}{\left|\tau\right|}exp(-2\pi\alpha\tau^2)\Pi(\frac{t}{\tau})$，且$\Phi \left(\eta,\tau \right)=sinc(\eta\tau)exp((-2\pi\alpha\tau^2)$时。

其中$\phi(t,\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}\Phi(\eta,\tau)exp(j2\pi\eta t)d\eta$，Cohen's class分布会成锥状分布。

右图为不同的$\alpha$值下的锥状分布时频分析图。

### 乔伊-威廉斯(Choi-Williams)

当Cohen's class分布中的$\Phi \left(\eta,\tau \right)=exp[-\alpha(\eta\tau)^2]$时，Cohen's class分布会成乔伊-威廉斯分布。

右图为不同的$\alpha$值下的锥状分布时频分析图。

## 科恩系列分布优缺点

优点:

1.可选择适当的遮罩函数来避免掉交叉项问题。

2.具有高清晰度。

缺点

- 需要较高的计算量与时间。

- 缺乏良好的数学特性。

## 科恩系列分布的实现

$$C_x(t, f)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}A_x(\eta,\tau)\Phi(\eta,\tau)\exp (j2\pi(\eta t-\tau f))\, d\eta\, d\tau,$$

$$=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}x(u+\frac{\tau}{2})x^*(u-\frac{\tau}{2})\Phi(\eta,\tau)e^{-j2\pi u\eta+j2\pi(\eta t-\tau f)}dud\tau d\eta$$

### 简化方法一:不是所有的$A_x(\eta,\tau)$的值都要计算出

对$\ \left|\eta\right|>B\ $或$\ \left|\tau\right|>C$，若$\Phi(\eta,\tau)=0$，则$C_x(t, f)=\int_{-C}^{C}\int_{-B}^{B}\int_{-\infty}^{\infty}x(u+\frac{\tau}{2})x^*(u-\frac{\tau}{2})\Phi(\eta,\tau)e^{-j2\pi u\eta+j2\pi(\eta t-\tau f)}dud\tau d\eta$

### 简化方法二:注意，$\eta$这个参数和输入及输出都无关

$$C_x(t, f)=\int_{-C}^{C}\int_{-\infty}^{\infty}x(u+\frac{\tau}{2})x^*(u-\frac{\tau}{2})[\int_{-B}^{B}\Phi(\eta,\tau)e^{-j2\pi,\eta(t-u)}d\eta]e^{-j2\pi\tau,f}dud\tau$$

$=\int_{-C}^{C}\int_{-\infty}^{\infty}x(u+\frac{\tau}{2})x^*(u-\frac{\tau}{2})\Phi(\tau,t-u)e^{-j2\pi\tau,f}dud\tau$，其中

$\Phi(\tau,t-u)=\int_{-B}^{B}\Phi(\eta,\tau)e^{-j2\pi,\eta(t-u)}d\eta$，由于$\Phi(\tau,t-u)$和输入无关，可事先算出，因此可简化成两个积分式。

### 简化方法三:使用折积方法(convolution)

$C_x(t, f)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}x(u+\frac{\tau}{2})x^*(u-\frac{\tau}{2})\phi(t-u,\tau)due^{-j2\pi f\tau}d\tau$，其中

$\phi(t,\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}\Phi(\eta,\tau)exp(j2\pi\eta t)d\eta$。对$\left|t\right|>b$或是$\left|\tau\right|>c$，则

$C_x(t, f)=\int_{-c}^{c}\int_{t-b}^{t+b}x(u+\frac{\tau}{2})x^*(u-\frac{\tau}{2})\phi(t-u,\tau)due^{-j2\pi f\tau}d\tau$，上式为一折积式。

## 模糊函数 (Ambiguity Function)

模糊函数的定义为：

$$A_x\left(\eta,\tau \right)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tfrac{\tau}{2})x^*(t-\tfrac{\tau}{2})e^{-j2\pi t\eta}\, dt$$

### Modulation 和 Time Shifting 对模糊函数的影响

我们来看一下 $x(t)$ 对于模糊函数的影响

(1) 假设 $x_1(t)$ 是一个高斯函数: $a e^{-(t-b)^2 /2c^2}$, 其中 $a = 1, b = 0, c = \sqrt{\tfrac{1}{2\alpha}}$

那么我们可以得到 $x_1(t) = e^{ -\alpha\pi t^2}$, 代入模糊函数 $A_x\left(\eta,\tau \right)$ 中：

$$A_{x_1}\left(\eta,\tau \right) = \textstyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} \displaystyle e^{-\alpha\pi {(t+\tfrac{\tau}{2})}^2} \ e^{-\alpha\pi {(t-\tfrac{\tau}{2})}^2} \ e^{-j2\pi t\eta } \ dt$$

$$= \textstyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} \displaystyle e^{-\alpha\pi(2t^2+{\tfrac{\tau}{2}}^2) } \ e^{-j2\pi t\eta } \ dt$$

(2) 假设 $x_2(t)$ 是一个经过 shifting 和 modulation 的高斯函数:

那么我们可以得到 $x_2(t) = e^{ -\alpha\pi (t-t_0)^2 + j2\pi f_0 t}$, 代入模糊函数 $A_x\left(\eta,\tau \right)$ 中：

$$A_{x_2}\left(\eta,\tau \right) = \textstyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} \displaystyle e^{-\alpha\pi {(t+\tfrac{\tau}{2} -t_0)}^2 + j2\pi f_0 (t+\tfrac{\tau}{2})} \ e^{-\alpha\pi {(t-\tfrac{\tau}{2} -t_0)}^2 - j2\pi f_0 (t-\tfrac{\tau}{2})} \ e^{-j2\pi t\eta } \ dt$$

$$= \textstyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} \displaystyle e^{-\alpha\pi(2(t-t_0)^2+{\tau/2}^2) +j2\pi f_0\tau} \ e^{-j2\pi t\eta } \ dt$$

$$= \textstyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} \displaystyle e^{-\alpha\pi(2t^2+\tfrac{\tau ^2}{2}) } \ e^{j2\pi f_0\tau} \ e^{-j2\pi t\eta } \ e^{-j2\pi t_0\eta } \ dt$$

我们可以看到 $|A_{x_1} \left(\tau,\eta \right)| = |A_{x_2} \left(\tau,\eta \right)|$,

因此我们可以得出 time shifting $t_0$ 和 modulation $f_0$ 并不会影响 $|A_{x} \left(\tau,\eta \right)|$

积分后，$A_x \left(\tau,\eta \right)= \sqrt{\tfrac{1}{2\alpha}} e^{-\pi(\tfrac{\alpha \tau ^2}{2} + \tfrac{\eta ^2}{2 \alpha}) } e^{j2\pi (f_0\tau - t_0 \eta)}$

所以 $A_x \left(\tau,\eta \right)$ 在 $\tau = 0, \eta = 0$ 的地方会有最大的 $|A_x \left(\tau,\eta \right)|$

### 交叉项 Cross-term 问题

上述所列出来的是当 $x(t)$ 只有一项而已 (one term only)，如果 $x(t)$ 有两项以上的元素构成 (more than two terms), $x(t) = x_1(t) + x_2(t) +\cdot\cdot\cdot+x_n(t)$，依然会有交叉项 (cross-term) 的问题存在。

假设 $x(t) = x_1(t) + x_2(t)$ , 其中

$$\begin{cases} x_1(t) = e^{-\alpha_1 \pi (t-t_1)^2 + j2\pi f_1 t} \\ x_2(t) = e^{-\alpha_2 \pi (t-t_2)^2 + j2\pi f_2 t} \end{cases}$$

将 $x(t)$ 代入模糊函数 $A_x\left(\eta,\tau \right)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tfrac{\tau}{2})x^*(t-\tfrac{\tau}{2})e^{-j2\pi t\eta}\, dt$ 中：

$$A_x\left(\eta,\tau \right)= \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}x_1(t+\tfrac{\tau}{2})x_1^*(t-\tfrac{\tau}{2})e^{-j2\pi t\eta}\, dt}_{A_{x_1}(\tau,\eta)} + \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}x_2(t+\tfrac{\tau}{2})x_2^*(t-\tfrac{\tau}{2})e^{-j2\pi t\eta}\, dt}_{A_{x_2}(\tau,\eta)}$$

$$+ \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}x_1(t+\tfrac{\tau}{2})x_2^*(t-\tfrac{\tau}{2})e^{-j2\pi t\eta}\, dt}_{A_{{x_1}{x_2}}(\tau,\eta)} + \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}x_2(t+\tfrac{\tau}{2})x_1^*(t-\tfrac{\tau}{2})e^{-j2\pi t\eta}\, dt}_{A_{{x_2}{x_1}}(\tau,\eta)}$$

其中 $\begin{cases} Auto-terms: \quad A_{{x_1}}(\tau,\eta) , \ A_{{x_2}}(\tau,\eta) \\ Cross-terms: \ A_{{x_1}{x_2}}(\tau,\eta) , \ A_{{x_2}{x_1}}(\tau,\eta) \end{cases}$

#### Auto - terms

$$A_{x_1} \left(\tau,\eta \right)= \sqrt{\tfrac{1}{2 \alpha_1}} \ e^{-\pi(\tfrac{\alpha_1 \tau ^2}{2} + \tfrac{\eta ^2}{2 \alpha_1}) } \ e^{j2\pi (f_1\tau - t_1 \eta)}$$

$$A_{x_2} \left(\tau,\eta \right)= \sqrt{\tfrac{1}{ 2 \alpha_2}} \ e^{-\pi(\tfrac{\alpha_2 \tau ^2}{2} + \tfrac{\eta ^2}{2 \alpha_2}) } \ e^{j2\pi (f_2\tau - t_2 \eta)}$$

#### Cross - terms

(1) $\alpha_1 \neq \alpha_2$

$$A_{{x_1}{x_2}}(\tau,\eta) = \sqrt{\tfrac{1}{ {(\alpha_1 + \alpha_2)}}} \ e^{-\pi (\tfrac{(\alpha_1 + \alpha_2)(\tau - t_1+t_2)^2}{4} \ + \ \tfrac{[(\alpha_1 - \alpha_2)(\tau-t_1+t_2)-j2(\eta - f_1+f_2)]^2}{4(\alpha_1 + \alpha_2)} )} \ e^{j2\pi [ (\tfrac{f_1 + f_2}{2})\tau - \tfrac{t_1 + t_2}{2}\eta + \tfrac{(f_1 - f_2)(t_1+t_2)}{2}]}$$

$$= \sqrt{ \tfrac{1}{ 2 \alpha_u} } \ e^{-\pi (\tfrac{\alpha_u (\tau - t_d)^2}{2} \ + \ \tfrac{[\alpha_d (\tau-t_d)-j2(\eta - f_d)]^2}{8 \alpha_u} )} \ e^{j2\pi (f_u\tau - t_n\eta + f_dt_u)}$$

$$A_{{x_2}{x_1}}(\tau,\eta) = A_{{x_1}{x_2}}^*(-\tau,-\eta)$$

$$\begin{cases} t_u = \tfrac{t_1+t_2}{2}, \ f_u = \tfrac{f_1+f_2}{2}, \ \alpha_u = \tfrac{\alpha_1 + \alpha_2}{2} \\ t_d = t_1 - t_2, \ f_d = f_1 - f_2, \ \alpha_d = \alpha_1 - \alpha_2 \end{cases}$$

(2) $\alpha_1 = \alpha_2$

$$A_{{x_1}{x_2}}(\tau,\eta) = \sqrt{ \tfrac{1}{ 2 \alpha_u} } \ e^{-\pi (\tfrac{\alpha_u (\tau - t_d)^2}{2} \ + \ \tfrac{(\eta-f_d)^2}{2 \alpha_u} )} \ e^{j2\pi (f_u\tau - t_n\eta + f_dt_u)}$$

$$A_{{x_2}{x_1}}(\tau,\eta) = A_{{x_1}{x_2}}^*(-\tau,-\eta)$$

因此，我们目前得到 $A_{x_1} \left(\tau,\eta \right) , A_{x_2} \left(\tau,\eta \right)$ (auto-terms) 和 $A_{{x_1}{x_2}}(\tau,\eta) , A_{{x_2}{x_1}}(\tau,\eta)$ (cross-terms) 的公式，我们再仔细的分析 auto-terms 和 cross-terms 分别发生最大值的位置。

<image>

首先，先看 Auto-terms：

$|A_{x_1} \left(\tau,\eta \right)|$最大值发生在 $\tau = 0 , \eta = 0$的地方

$|A_{x_2} \left(\tau,\eta \right)|$最大值发生在 $\tau = 0 , \eta = 0$的地方

而 Cross-terms：

$|A_{{x_1}{x_2}}(\tau,\eta)|$最大值发生在 $\tau = t_d , \eta = f_d$的地方

$|A_{{x_2}{x_1}}(\tau,\eta)|$最大值发生在 $\tau = -t_d , \eta = -f_d$的地方

换句话说，如果我们绘制一个 x轴为 $\tau$, y轴为 $\eta$ 的座标图，Auto-terms发生在原点 $(0,0)$ 的位置，而 Cross-terms 则是以原点为对称中心，在第一象限和第三象限的位置。

这也是为什么可以透过一个低通函数来滤除噪声，把主成分 Auto-terms 分离出来，避免交叉项的问题。

## 与 维格纳分布 Wigner Distribution Function 的不同

维格纳分布是由尤金·维格纳于 1932 年提出的新的时频分析方法，对于非稳态的讯号有不错的表现。

相较于傅立叶转换或是短时距傅立叶转换，维格纳分布能有比较好的解析能力。

维格纳分布的定义为:

$$W_x(t,f)= \int_{-\infty}^{\infty} x(t+\frac{\tau}{2})x^*( t-\frac{\tau}{2})e^{-j2\pi\tau f}\, d\tau$$

如果我们假设 $x(t)$ 是一个具有弦波特性的讯号, $x(t) = e^{j2\pi f_0 t}$

那么将此 $x(t)$ 代入维格纳分布中，

<image>

$$W_x(t,f) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{j2\pi f_0(t+\tfrac{\tau}{2})} e^{-j2\pi f_0(t-\tfrac{\tau}{2})} \ e^{-j2\pi \tau f} \ d\tau$$

$$= \int_{-\infty}^{\infty} e^{j2\pi f_0\tau} \ e^{-j2\pi \tau f} \ d\tau$$

$$= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j2\pi \tau (f-f_0)} d\tau$$

$$= \delta(f-f_0)$$

所以当 $x(t) = e^{j2\pi f_0 t}$ 时，$W_x(t,f)$ 在 $f = f_0$ 的地方会有最大值。

换句话说，当 $x(t)$有 modulation $f_0$ 或是有 time shifting $t_0$ 的情况发生时，会影响维格纳分布 (Wigner Distribution Function) 最大值 $|W_x(t,f)|$ 的位置

然而，对于科恩系列分布 (Cohen's class distribution)而言，time shifting $t_0$ 和 modulation $f_0$ 并不会影响 $|A_{x} \left(\tau,\eta \right)|$