可测函数

可测函数（measurable function）是保持可测空间结构的函数，也是勒贝格积分中主要讨论的函数。

## 正式定义

设 $(X,\Sigma_X)$ 与 $(Y,\Sigma_Y)$ 为可测空间。那函数 $f:X\to Y$ 对任意 $B \in \Sigma_Y$ 若满足：

$$f^{-1}(B) \in \Sigma_X$$

则称 $f$ 为一个 $\Sigma_X$ - $\Sigma_Y$ 可测函数。

## 重要范例

### 实可测函数

取本节定义中的 $Y$ 为实数系 $\R$，然后取：

$$\mathcal{I} = \bigg\{ A \in \mathcal{P}(\R) \,\bigg|\, <pre> (\exists a)(\exists b)\left[\, (a,\,b \in \R) \wedge (A = (a,\,b)) \,\right] </pre> \bigg\}$$

$$\mathcal{B}_{\R} := \sigma(\mathcal{I}) = \bigcap \bigg\{ \Sigma \,\bigg|\, <pre> (\Sigma\text{ is a sigma algebra.}) \wedge (\mathcal{I} \subseteq \Sigma) </pre> \bigg\}$$

换句话说，$\mathcal{B}_{\R}$ 是由实数开区间所生成的博雷尔代数（注意到 $\mathcal{I}$ 本身是个拓扑基），那么这样的$\Sigma_X$ - $\mathcal{B}_{\R}$ 可测函数 $f$，通常会简称为 $\Sigma_X$ - 实可测函数；甚至简称为实可测函数。概率论里的随机变量就是实可测函数。

### 博雷尔函数

如果$(X,\tau_X)$ 与 $(Y,\tau_Y)$ 正好也是拓扑空间，这时取以下两个最小σ-代数：

$$\sigma(\tau_X) = \bigcap \bigg\{ \Sigma \,\bigg|\, <pre> (\Sigma\text{ is a sigma algebra.}) \wedge (\tau_X \subseteq \Sigma) </pre> \bigg\}$$

$$\sigma(\tau_Y) = \bigcap \bigg\{ \Sigma \,\bigg|\, <pre> (\Sigma\text{ is a sigma algebra.}) \wedge (\tau_Y \subseteq \Sigma) </pre> \bigg\}$$

换句话说，$\sigma(\tau_X)$ 是由 $X$ 上开集所生成的博雷尔代数；$\sigma(\tau_Y)$ 是由 $Y$ 上开集所生成的博雷尔代数，那这样 $\sigma(\tau_X)$ - $\sigma(\tau_X)$ 可测函数 $f$ 又称为 $\tau_X$ - $\tau_Y$ 博雷尔函数（Borel function）。

根据拓扑空间连续函数的定义， $\tau_X$ - $\tau_Y$ 博雷尔函数必定 $\tau_X$ - $\tau_Y$ 连续，但反之不成立，原因可见下面可测函数的性质的定理(2)。

## 可测函数的性质

设 $(X,\Sigma_X)$ 为可测空间， $Y$ 为一集合，且有函数 $f:X\to Y$。那

$$\Sigma = \left\{ B\in \mathcal{P}(Y) \,\big|\, <pre> f^{-1}(B) \in \Sigma_X </pre> \right\}$$

为 $Y$ 的σ代数。

证明以下将逐条检验 $\Sigma$ 是否符合σ代数的定义 (1) $Y \in \Sigma$ 因为： : $f^{-1}(Y) = \left\{ x \in X \,|\, (\exists y \in Y)\left[ f(x) = y \right] \right\} = X \in \Sigma_X$ 所以 $Y \in \Sigma$。(2) $B \in \Sigma$，则 $Y - B \in \Sigma$ 若 $B \in \Sigma$，因为： : $f^{-1}(Y-B) = \big\{ x \in X \,|\, (\exists y)\left\{ (y \in Y) \wedge (y \notin B) \wedge [f(x) = y] \right\} \big\} = X - f^{-1}(B) \in \Sigma_X$ 所以 $Y - B \in \Sigma$。(3)可数个并集仍在 $\Sigma$ 中 若 $\{B_1,\,B_2,\,\dots\} \subseteq \Sigma$，那因为： : $f^{-1}\left( \bigcup\{B_1,\,B_2,\,\dots\} \right) = \big\{ x \in X \,\big|\, (\exists y)\left\{ [f(x) = y] \wedge (\exists i \in N) (y \in B_i) \right\} \big\} = \bigcup\{f^{-1}(B_1),\,f^{-1}(B_2),\,\dots\} \in \Sigma_X$ 所以 $\bigcup\{B_1,\,B_2,\,\dots\} \in \Sigma$。综上所述， $\Sigma$ 的确是$Y$ 的σ代数。$\Box$

$(X,\Sigma_X)$ 为可测空间，$\mathcal{F}_Y \subseteq \mathcal{P}(Y)$ 是集合 $Y$ 的一个子集族，那对函数 $f:X\to Y$ 来说，以下两叙述等价：

- 对所有 $B \in \mathcal{F}_Y$ 有 $f^{-1}(B) \in \Sigma_X$
- $f$ 是 $\Sigma_X$ - $\sigma(\mathcal{F}_Y)$ 可测函数

证明(1 $\Rightarrow$ 2) 若对所有 $B \in \mathcal{F}_Y$ 都有： : $f^{-1}(B) \in \Sigma_X$ 换句话说： : $\mathcal{F}_Y \subseteq \left\{ B\in \mathcal{P}(Y) \,\big|\, f^{-1}(B) \in \Sigma_X \right\}$ 那根据本节之定理(1)和最小σ代数 $\sigma(\mathcal{F}_Y)$ 的定义有： : $\sigma(\mathcal{F}_Y) \subseteq \left\{ B\in \mathcal{P}(Y) \,\big|\, f^{-1}(B) \in \Sigma_X \right\}$ 换句话说，只要 $B \in \sigma(\mathcal{F}_Y)$ 就有 $f^{-1}(B) \in \Sigma_X$，故 $f$ 是 $\Sigma_X$ - $\sigma(\mathcal{F}_Y)$ 可测函数。$\Box$ (2 $\Rightarrow$ 1) 若对所有$B \in \sigma(\mathcal{F}_Y)$ 都有 $f^{-1}(B) \in \Sigma_X$，换句话说： : $\mathcal{F}_Y \subseteq \sigma(\mathcal{F}_Y) \subseteq \left\{ B\in \mathcal{P}(Y) \,\big|\, f^{-1}(B) \in \Sigma_X \right\}$ 这样的话，的确可以从 $B \in \mathcal{F}_Y$ 推出 $f^{-1}(B) \in \Sigma_X$。$\Box$

设 $(X,\Sigma_X)$为可测空间，$(Y,\tau_Y)$ 与 $(Z,\tau_Z)$ 为拓扑空间，若：

- $f:X\to Y$ 为 $\Sigma_X$- $\sigma(\tau_Y)$可测函数
- $g: Y\to Z$ 为 $\tau_Y$ - $\tau_Z$ 连续函数

则复合函数 $g \circ f$ 为 $\Sigma_X$- $\sigma(\tau_Z)$可测函数。

证明根据定理(2)， $g \circ f$ 为 $\Sigma_X$- $\sigma(\tau_Z)$可测函数等价于： : “对所有的 $C \in \tau_Z$， ${(g \circ f)}^{-1}(C) = f^{-1}[g^{-1}(C)] \in \Sigma_X$” 但因为$g$ 为 $\tau_Y$ - $\tau_Z$ 连续函数，故： : “对所有的 $C \in \tau_Z$， $g^{-1}(C) \in \tau_Y \subseteq \sigma(\tau_Y)$” 但 $f$ 又为 $\Sigma_X$- $\sigma(\tau_Y)$可测函数，故可以得到 $f^{-1}[g^{-1}(C)] \in \Sigma_X$，所以本定理得证。$\Box$

- 两个可测的实函数的和与积也是可测的。
- 可数个实可测函数的最小上界也是可测的。
- 可测函数的逐点极限是可测的。（连续函数的对应命题需要比逐点收敛更强的条件，例如一致收敛。）
- 卢辛定理

## 勒贝格可测函数

勒贝格可测函数是一个实函数f : R → R，使得对于每一个实数a，集合

$$\{x \in \R : f(x)>a \}$$

都是勒贝格可测的集合。勒贝格可测函数的一个有用的特征，是f是可测的当且仅当mid{-g,f,g}对于所有非负的勒贝格可积函数g都是可积的。

## 不可测函数

不是所有的函数都是可测的。例如，如果$A$是实数轴$\R$的一个不可测子集，那么它的指示函数$1_A(x)$是不可测的。