数字和

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一个整数的数字和，是将一数在特定记数系统中的每一个位数相加起来所得的和。例如，84001在十进制中的数字和是13，即8+4+0+0+1。

这个概念与数字根有密切的关系，但并不相同，数字根是把所有数字相加起来所得的和，然后再把这个和的所有数字相加起来，又得到一个和，重复这个步骤，直到最终只剩下一个数字，这个数字便称为数字根。数字和可以是任意正整数的值，而数字根只能是0到9。

在十进制中，数字和可以用来判断一个数是否能被3或9整除。如果数字和能被3或9整除，则原来的数也能被3或9整除。可参照去九法、整除规则。

## 定义

任何自然数都可以在底数为b下的进位制中表示，其中b的绝对值必须大于一。若有一自然数n，其于b进位制中表示为$d_{k-1}d_{k-2}...d_{2}d_{1}d_{0}$，则其数字和（或位数和）$F_{b}$为将自然数映射到自然数的函数$F_{b} : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$，其可以定义为：

$$F_{b}(n) = \sum_{i=0}^{k - 1} d_i$$

其中$k = \lfloor \log_{b}{n} \rfloor + 1$，代表自然数n在底数为b的进位制表示时的位数个数。而每个位数$d_i$又可以表示成：

$$d_i = \frac{n \bmod{b^{i+1}} - n \bmod b^i}{b^i}$$

举例来说，84001在十进制中的数字和可以表示为8+4+0+0+1

此外，一个足够大的数在较大底数进位制下的数字和不会小于较小底数进位制下的数字和，即两底数$b_1$、 $b_2$，若$2 \leq b_1 \leq b_2$，且有一个足够大的自然数n，则满足不等式$F_{b_1}(n) \leq F_{b_2}(n)$。

一般单个位的数（如十进制的0至9）其数字和即为自己本身。十进制下前几个非负整数的数字和为：

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...A007953

彼得·波尔文和乔纳森·波尔文使用此数列的母函数导出了许多快速收敛之有理和超越级数。

### 扩展到负整数

负整数的数字和目前没有一个广泛被接受的定义。一般可以透过负整数的有符号数表示法来将自然数的数字和推广到负数。

另一种适用于负数的数字和为仅将最高位数代负号，其他位数照样相加的数字和，例如负一百五十八（$-158$）可以拆成$-1,\,5,\,8$，对应的数字和为-1+5+8，这个数列为数字差A274580的相反数。

## 用途

数字和虽与数字根不同，但皆可以用于3和9的整除判断。数字和与数字根不同之处在于，数字根必为0至9之间的自然数，而数字和可以是任意整数。两者用于判断3或9的倍数的方法皆是若一数的数字和或数字根能被3或9整除，则其为3或9的倍数。特别地，对于判定9的倍数，此规则称为“九的规则”，为去九法的基础。

在早期的电脑中，亦常使用数字和作为检查计算机计算结果的一种常见方式。此外数字和亦可以作为生成随机数的一种方式。假设所使用的数表中每个数字都是随机的，则根据中心极限定理，这些数的数字和可以视为具有接近高斯分布的随机分布。而早期在计算机还没被发明、使用手工计算时Edgeworth曾于1888年建议可以透过取对数的数学用表中50位数字之和作为随机数生成的一种方式。

## 列表

下表列出了数字和为特定数的自然数：

数字和｜数｜OEIS｜哈沙德数｜素数

1｜1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, …｜A011557

2｜2, 11, 20, 101, 110, 200, 1001, …｜A052216｜A069537｜2,11,101

3｜3, 12, 21, 30, 102, 111, 120, 201, 210, 300, 1002, …｜A052217

4｜4, 13, 22, 31, 40, 103, 112, 121, 130, 202, 211, …｜A052218｜A063997｜A062339

5｜5, 14, 23, 32, 41, 50, 104, 113, 122, 131, 140, 203,｜A052219｜A069540｜A062341

6｜6, 15, 24, 33, 42, 51, 60, 105, 114, 123, 132, 141, 150, …｜A052220｜A062768

7｜7, 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70, 106, 115, 124, 133, 142, …｜A052221｜A063416｜A062337

8｜8, 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80, 107, 116, 125, 134, …｜A052222｜A069543｜A062343

9｜9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 108, 117, 126, 135, …｜A052223

10｜19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91, 109, 118, 127, 136, …｜A052224｜A218292｜A107579

11｜29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92, 119, 128, 137, 146, 155, …｜A166311｜A216995｜A106754

12｜39, 48, 57, 66, 75, 84, 93, 129, 138, 147, 156, 165, …｜A235151

数字和为特定数的最小自然数，即上表中，每行的第一个数构成的数列，为清除重复项后的月三角数（lunar triangular numbers）：

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, 199, 299, 399, …A051885

## 相关数列

数字和可以视为将一数的每个位数视为单一元素并进行统计运算的操作，其他类似地如数字平方和、数字平均（即一数所有位数的平均值，中则记载了数字平均为整数的数）等。

一个整数的数字差，是将一数在特定记数系统中的每一个位数两两间插入减号得到的结果。例如，84001在十进制的数字差是。

在十进制中，从1开始的前几个数的数字差为：

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, 2, 1.... A274580

部分数字数字差为零。数字差为零意味着最高位数等于非最高位数的和，这些数包括：

0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 110, 202, 211, 220.... A193772

在趣味数学中，数字差的相反数可以视为负整数数字和的一种定义。在这种定义下，有一类数为数字和平方与自身的和大于零的数，虽然所有非负整数皆有此种性质A118881，然而负整数中只有26个数有此种性质，僵尸数其被描述为“如僵尸般起死回生（转为非负整数）的数”。在十进制中，所有拥有此性值的数，共26个，列举如下：

-2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -15, -16, -17, -18, -19, -28, -29, -159, -168, -169, -178, -179, -187, -188, -189, -197, -198, -199。A328933

一个整数的数字积，是将一数在特定记数系统中的每一个位数相乘起来所得的积。例如，841在十进制中的数字积是8*4*1。在十进制中，从零开始的前几个数的数字积为：

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 2, 4, 6, 8...A007954

一个整数的数字幂，是将一数在特定记数系统中的每一个位数$d_{k-1}d_{k-2}...d_{2}d_{1}$写成指数塔$d_{k-1}^{d_{k-2}^{\cdot^{\cdot^{d_{2}^{d_{1}}}}}}$的结果。例如，324在十进制中的数字幂是3^(2^4)。

在十进制中，从1开始的前几个数的数字幂为：

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683.... A256229

这个数列有另一种可能的定义，如果是左结合的数字幂，则会在三位数开始出现不同的结果，例如324的左结合数字幂是(3^2)^4。

一个整数的数字交错和为将整数的位数以a - b + c - d + ...的形式交错地相加或相减的结果。例如，841在十进制中的数字交错和是8-4+1。在十进制中，从零开始的前几个自然数的数字交错和为：

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, 2, 1...A225693

若一数的数字交错和为0或11的倍数，则该数能被11整除。这个特性可以用于判别1数是否能被11整除。

一个整数的数字平方和，是将一数在特定记数系统中的每一个位数平方后求和的结果。例如，841在十进制中的数字平方和是8^2+4^2+1^2。在十进制中，从零开始的前几个整数之数字平方和为：

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 1, 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65...A003132

其与一般的数字和有不太相同的特性：对于一数的数字和，并不断地将结果计算数字和最终会结束在一个数，该数称为数字根；而对于一数的数字平方和，并不断地将结果计算数字平方和，未必能结束在一个数。对于数字平方和无法结束在一个数的数，称为悲伤数（sad numbers）或不快乐数（unhappy number），反之，称为快乐数。

## 参见

- 哈沙德数：可被数字和整除的整数。
- 快乐数：不断地做数字平方和最终会得到1的整数。