平方差

平方差公式是数学公式的一种，属于乘法公式、因式分解及恒等式，被普遍使用。平方差指一个平方数减去另一个平方数得来的乘法公式：

$$a^2-b^2 = \left(a+b\right)\left(a-b\right)$$

因乘法具有交换律，故$(a+b)$及$(a-b)$的顺序可前后交换且不影响结果。

## 验证

### 主验证

平方差可利用因式分解及分配律来验证：

$$\begin{align} a^2-b^2 &=a^2-0-b^2 \\ &=a^2-(ab-ba)-b^2 \\ &=a^2-ab+ba-b^2 \\ &=(a^2-ab)+(ba-b^2) \\ &=a(a-b)+b(a-b) \\ &=(a-b)(a+b) \\ \end{align}$$

### 方格验证

平方差能使用表格方式来验证。

x)已知｜$a$｜$+b$

$a$｜$a^2$｜$+ab$

$-b$｜$-ab$｜$-b^2$

这样可验证出$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

### 几何验证

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平方差可利用一个普通的平面图表验证出来。右图中，是正方形$a^2$减去正方形$b^2$，那即是$a^2 - b^2$。利用平方差，计算出阴影部分的面积就是$(a+b)(a-b)$。

#### 方法一

根据右图，可先将阴影部分分割成三部分，分别为：

- $$b(a-b)\,\!$$
- $(a-b)^2\,\!$是灰正方
- $$b(a-b)\,\!$$

然后，将三部分加起：

$$b(a-b)+(a-b)^2+b(a-b)\,\!$$

$$=ab-b^2+a^2-2ab+b^2+ab-b^2\,\!$$

$$=ab+ab-2ab-b^2+b^2+a^2-b^2\,\!$$

$$=a^2-b^2\,\!$$

- 注：$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$运用了差平方。

#### 方法二

与方法一差不多，先将阴影部分分割为两部分，分别为：

- $a(a-b)\,\!$大长方
- $b(a-b)\,\!$小长方

然后，将两部分加起：

$$a(a-b)+b(a-b)\,\!$$

$$=a^2-ab+ab-b^2\,\!$$

$$=a^2-b^2\,\!$$

<image>

## 例子

### 例子一

$$x^2-16\,\!$$

计算此公式，必须把两个数项都转为平方。并得：

$$=x^2-4^2\,\!$$

$$=(x-4)(x+4)\,\!$$

### 例子二

$$16m^2-81n^2\,\!$$

计算此公式，同样地把两个数项转为平方。并得：

$$=(4m)^2-(9n)^2\,\!$$

$$=(4m-9n)(4m+9n)\,\!$$

### 例子三

$$4y^2-36z^2\,\!$$

计算此公式，虽$4y^2$及$36z^2$的开方分别是$2y$及$6z$，但最好的方法是先抽出公因子，并得：

$$=4(y^2-9z^2)\,\!$$

同样地把两个数项转为平方，并得：

$$=4\left[y^2-(3z)^2\right]\,\!$$

$$=4(y-3z)(y+3z)\,\!$$

### 例子四

$$\frac{1}{x^4} - \frac{13}{x^2} + 36$$

首先，可将该两个分数转成正数，并得：

$$=x^{-4} - 13x^{-2} + 36\,\!$$

$$=(x^{-2})^2 - 13(x^{-2}) + 36\,\!$$

运用因式分解的方法得出：

$$=x^{-2} \times x^{-2} - 9(x^{-2}) - 4(x^{-2}) + 9 \times 4$$

$$=(x^{-2} - 4)(x^{-2} - 9) \,\!$$

然后，把所有可被开方的数目转为平方数，并得到：

$$= \left[(x^{-1})^2 - 2^2\right] \left[(x^{-1})^2 - 3^2\right]$$

运用平方差并得出：

$$=(x^{-1} - 2)(x^{-1} + 2)(x^{-1} - 3)(x^{-1} + 3) \,\!$$

或

$$= \left(\frac{1}{x} - 2\right) \left(\frac{1}{x} + 2\right) \left(\frac{1}{x} - 3\right) \left(\frac{1}{x} + 3\right) \,\!$$

## 运用

### 用平方差代替整数相乘

某些特别的整数相乘，能巧妙地使用平方差来计算，并可减省复杂的计算步骤。

例子一，两个数项都分别是$10^n$的$+x$及$-x$：

- $$10\times 10 = (10-0)(10+0) = 10^2 - 0^2 = 100 - 0 = 100$$
- $$7\times13 = (10-3)(10+3) = 10^2 - 3^2 = 100 - 9 = 91$$
- $$95\times105 = (100-5)(100+5) = 100^2 - 5^2 = 10,000 - 25 = 9,975$$
- $$99,994\times100,006 = (100,000-6)(100,000+6) = 100,000^2 - 6^2 = 10,000,000,000 - 36 = 9,999,999,964$$

例子二：第一个数项减去第2个数项，都是$10^n$：

- $$14^2 - 4^2 = (14+4)(14-4) = 18\times 10 = 180 \,\!$$
- $$125^2 - 25^2 = (125+25)(125-25) = 150\times 100 = 15,000 \,\!$$
- $$1,750^2 - 750^2 = (1,750+750)(1,750-750) = 2,500\times 1,000 = 25,000,000 \,\!$$
- $$14,205^2 - 4,205^2 = (14,205+4,205)(14,205-4,205) = 18,410\times 10,000 = 184,100,000 \,\!$$

例子三：运用分配律、平方差来计出以下很大而覆杂的数项：

- $$3263 \times 3264 \times \left(\frac{3264}{3263} - \frac{3265}{3264}\right)$$

下一步先运用分配律：

$$=3263 \times 3264 \times \frac{3264}{3263} - 3263 \times 3264 \times \frac{3265}{3264}$$

并把所有相同数项约简，并得：

$$=3264^2 - 3263 \times 3265$$

运用平方差，并得：

$$=3264^2 - (3264 - 1)(3264 + 1) \,\!$$

$$=3264^2 - (3264^2 - 1^2) \,\!$$

$$=3264^2 - 3264^2 + 1 \,\!$$

$$=1 \,\!$$

### 错误运用

很多人混淆了平方差、差平方，除了文字上外，不少人都错误计算。

$a^2-b^2 = \left(a+b\right)\left(a-b\right)$ $a^2-b^2 = (a-b)^2\,\!$

- 注：$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，详见差平方

## 数论性质

因为平方数除以4的余数只能是0或1，所以两个整数的平方差模4余0、1或3。另一方面。

$$(k+1)^2 - (k-1)^2 = 4k$$

说明模4余0的数皆可写成平方差，而

$$(k+1)^2 - k^2 = 2k+1$$

说明模4余1或3的数（奇数）可以写成平方差。

## 内部连结

- 乘法公式
- 因式分解
- 恒等式
- 乘法
- 平方
- 平方数

## 外部链接

- Factoring the Difference of Two Squares
- Difference between 2 squares