球座标系

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球座标系（spherical coordinate system）是数学上利用球座标$(r,\ \theta,\ \varphi)$表示一个点$P$在三维空间的位置的三维正交座标系。右图显示了球座标的几何意义：原点与点$P$之间的“径向距离”（radial distance）$r$，原点到点$P$的连线与正$z$-轴之间的“极角”（polar angle）$\theta$，以及原点到点$P$的连线在$xy$-平面的投影线，与正$x$-轴之间的“方位角”（azimuth angle）$\varphi$。它可以被视为极座标系的三维推广。球座标的概念，延伸至高维空间，则称为超球座标。

## 符号约定

在学术界内，关于球座标系的标记有好几个不同的约定。按照国际标准化组织建立的约定（ISO 31-11），球座标标记为$(r,\ \theta,\ \varphi)$，其中$r$代表径向距离，$\theta$代表极角，$\varphi$代表方位角，极角也称为倾斜（inclination）角、法线角或天顶（zenith）角。这种标记通常为物理界的学者所采用，在世界各地有许多使用者，本条目采用的是物理学界标记约定。方位角（azimuth）、高度（altitude或elevation）角和天顶的概念出自关于天球的地平座标系。在极座标系中，角度座标$\theta$常被称为极角。

在数学界，球座标标记也是$(r,\ \theta,\ \varphi)$，但倾斜角与方位角的标记正好相反：$\theta$代表方位角，$\varphi$代表倾斜角。数学界的标记被认为“提供了对常用的极座标系记号的逻辑扩展，$\theta$仍是在$xy$-平面上的角度而$\varphi$是在这个平面之外的角度”；一些作者将倾斜角列在方位角之前而写为$(r,\ \varphi,\ \theta)$，还有作者对径向距离使用$\rho$而写为$(\rho,\ \varphi,\ \theta)$或$(\rho,\ \theta,\ \varphi)$。

## 定义

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假设$P$点在三维空间的位置的三个座标是$(r,\ \theta,\ \varphi)$。那么，$0\leq r$是从原点到$P$点的距离，$0\leq \theta\leq \pi$是从原点到$P$点的连线与正$z$-轴的夹角，$0\leq\varphi\le 2\pi$是从原点到$P$点的连线在$xy$-平面的投影线，与正$x$-轴的夹角。

这里，$\theta$代表倾斜角，$\varphi$代表方位角。当$r=0$时，$\theta$与$\varphi$都一起失去意义。当$\theta = 0$或$\theta = \pi$时，$\varphi$失去意义。

如想要用球座标，找出点$P$在空间的地点，可按照以下步骤：

- 从原点往正$z$-轴移动$r$单位。
- 用右手定则，大拇指往$y$-轴指，$x$-轴与$z$-轴朝其他手指的指向旋转$\varphi$角值。
- 用右手定则，大拇指往$z$-轴指，$x$-轴与$y$-轴朝其他手指的指向旋转$\theta$角值。

## 座标系变换

三维空间里，有各种各样的座标系。球座标系只是其中一种。球座标系与其他座标系的变换需要用到特别的方程式。

### 直角座标系

使用以下等式，可从直角座标变换为球座标：

$r=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。

$\theta=\arccos \left( \frac{z}{r} \right)=\arcsin \left( \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{r} \right)=\arctan \left( \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z} \right)$。

$\varphi = \operatorname{atan2}(y, x)$。

其中 $\operatorname{atan2}(y, x)$ 为双参数反正切函数，其数学定义为：

$$\varphi = \begin{cases} \arctan\left(\frac{y}{x}\right) & \text{若 } x > 0 \\ \arctan\left(\frac{y}{x}\right) + \pi & \text{若 } x < 0 \text{ 且 } y \ge 0 \\ \arctan\left(\frac{y}{x}\right) - \pi & \text{若 } x < 0 \text{ 且 } y < 0 \\ +\frac{\pi}{2} & \text{若 } x = 0 \text{ 且 } y > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & \text{若 } x = 0 \text{ 且 } y < 0 \\ \text{未定義} & \text{若 } x = 0 \text{ 且 } y = 0 \end{cases}$$

反过来，也可从球座标变换为直角座标：

$x=r \sin\theta \cos\varphi$。

$y=r \sin\theta \sin\varphi$。

$z=r \cos\theta$。

### 圆柱座标系

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圆柱座标系是极座标系在三维空间往$z$-轴的延伸。$z$座标用来表示高度。使用以下方程式，可以从圆柱座标$(\rho,\ \varphi,\ z)$变换为球座标：

$r=\sqrt{\rho^2+z^2}$。

$\theta=\arctan\frac{\rho}{z}$。

$\varphi=\varphi$。

反过来，可以从球座标变换为圆柱座标：

$\rho=r\sin\theta$。

$\varphi=\varphi$。

$z=r\cos\theta$。

## 球座标系下的微积分公式

假定$\theta$是从原点到$P$点的连线与正$z$-轴的夹角，球座标系的标度因子分别为：

$h_{r} =1$。

$h_{\theta} =r$。

$h_{\varphi} =r\sin\theta$。

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微分公式：

- 线元素是一个从$(r,\theta,\varphi)$到$(r+\mathrm{d}r, \,\theta+\mathrm{d}\theta, \, \varphi+\mathrm{d}\varphi)$的无穷小位移，表示为公式：

$\mathrm{d}\mathbf{r} = \mathrm{d}r\,\boldsymbol{\hat{r}} + r\,\mathrm{d}\theta \,\boldsymbol{\hat{\theta}} + r \sin{\theta} \mathrm{d}\varphi\,\boldsymbol{\hat{\varphi}}$。

其中的$\boldsymbol{\hat{r}},\boldsymbol{\hat{\theta}},\boldsymbol{\hat{\varphi}}$是在$r,\theta,\varphi$的各自的增加的方向上的单位矢量。

- 面积元素1：在球面上，固定半径，天顶角从$\theta$到$\theta+\mathrm{d}\theta$，方位角从$\varphi$到$\varphi+\mathrm{d}\varphi$变化，公式为：

$\mathrm{d}S_r=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi$。

- 面积元素2：固定天顶角$\theta$，其他两个变量变化，则公式为：

$\mathrm{d}S_\theta=r\,\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi$。

- 面积元素3：固定方位角$\varphi$，其他两个变量变化，则公式为：

$\mathrm{d}S_\varphi=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$。

- 体积元素，径向座标从$r$到$r+\mathrm{d}r$，天顶角从$\theta$到$\theta+\mathrm{d}\theta$，并且方位角从$\varphi$到$\varphi+\mathrm{d}\varphi$的公式为：

$\mathrm{d}V=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi$。

微分算子，如$\nabla f$、$\nabla \cdot \mathbf{F}$、$\nabla \times \mathbf{F}$、$\nabla^2 f$，都可以用$(r,\ \theta,\ \varphi)$座标表示，只要将标度因子代入在正交座标系条目内对应的一般公式，即可得到如下公式：

$\nabla f={\frac{\partial f}{\partial r}}\boldsymbol{\hat{r}} + {\frac{1}{r}}{\frac{\partial f}{\partial \theta}}\boldsymbol{\hat{\theta}} + {\frac{1}{r\sin\theta}}{\frac{\partial f}{\partial \varphi}}\boldsymbol{\hat{\varphi}}$。

$\nabla\cdot \mathbf{A} = \frac{1}{r^2}{\frac{\partial}{\partial r}}\left( r^2 A_r \right) + \frac{1}{r \sin\theta}{\frac{\partial}{\partial\theta}} \left( \sin\theta A_\theta \right) + \frac{1}{r \sin \theta} {\frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}}$。

$\nabla \times \mathbf{A} = {\frac{1}{r\sin\theta}}\left({\frac{\partial}{\partial \theta}} \left( A_\varphi\sin\theta \right) - {\frac{\partial A_\theta}{\partial \varphi}}\right) \boldsymbol{\hat{r}} + {\frac{1}{r}}\left({\frac{1}{\sin\theta}}{\frac{\partial A_r}{\partial \varphi}} - {\frac{\partial}{\partial r}} \left( r A_\varphi \right) \right) \boldsymbol{\hat{\theta}} + {\frac{1}{r}}\left({\frac{\partial}{\partial r}} \left( r A_\theta \right) - {\frac{\partial A_r}{\partial \theta}}\right) \boldsymbol{\hat{\varphi}}$。

$\nabla^2 f={\frac{1}{r^2}}{\frac{\partial}{\partial r}}\!\left(r^2 {\frac{\partial f}{\partial r}}\right) \!+\!{\frac{1}{r^2\!\sin\theta}}{\frac{\partial}{\partial \theta}}\!\left(\sin\theta {\frac{\partial f}{\partial \theta}}\right) \!+\!{\frac{1}{r^2\!\sin^2\theta}}{\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}}$。

## 地理座标系

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地理座标系是自古以来主要用于地理学的另一种版本的球座标系。地理座标标记为$(\lambda,\ \psi,\ h)$，其中$\lambda$表示方位角并称为经度，$\psi$表示高度角并称为地心纬度，$h$表示相对高度。在地理学里，通常不直接使用表示到地心距离的绝对高度，日常中所用地图中可能不标示任何高度。

纬度$\psi$的定义域是$-90^\circ \le \psi \le 90^\circ$，以赤道为纬度$0^\circ$，正值往北负值往南。使用以下公式，可从关于天极的天顶角$\theta$变换为地心纬度$\psi$：

$\psi=90^\circ - \theta$，正值可称北纬，负值去负号可称南纬。

经度$\lambda$的定义域是$- 180^\circ \le \lambda \le 180^\circ$。设定经过伦敦格林威治天文台的子午线为经度$0^\circ$，正值往东或负值往西。使用以下公式，可从在赤道参考平面上的方位角$\varphi$变换为经度$\lambda$：

$$\lambda = \begin{cases} \varphi & \text{若 } 0^\circ \le \varphi \le 180^\circ \\ \varphi - 360^\circ & \text{若 } 180^\circ < \varphi < 360^\circ \end{cases}$$

东经和西经都有180°经线，二者等同并有关于国际日期变更线。

采用类球面时，一般采用椭球面一点的法线与赤道参考平面交角为高度角并称为大地纬度，而地心纬度$\psi$和大地纬度$\varphi$的关系为：

$\tan(\psi)=\frac{b^2}{a^2}\tan(\varphi)$。

径向距离即到地心距离$r$是关于地心纬度$\psi$的函数：

$r(\psi)=\frac{b}{\sqrt{1 - (e\cos\psi)^2}}$。

其中$a$为参考椭球体的半长轴，$b$为半短轴，$e$为偏心率。采用球面时径向距离$r$是固定值，地心纬度$\psi$和大地纬度$\varphi$一致。

## 应用

正如二维直角座标系专精在平面上，二维球座标系可以很简易的设定圆球表面上的点的位置。在这里，我们认定这圆球是个单位圆球；其半径是1。通常我们可以忽略这圆球的半径。在解析旋转矩阵问题上，这方法是非常有用的。

球座标系适用于分析一个对称于点的系统。举例而言，一个圆球，其直角座标方程式为$x^2+y^2+z^2=c^2$，可以简易的用球座标系$r =c$来表示。

用来描述与分析拥有球状对称性质的物理问题，最自然的座标系，莫非是球座标系。例如，一个具有质量或电荷的圆球形位势场。两种重要的偏微分方程式，拉普拉斯方程与亥姆霍兹方程，在球座标里，都可以成功的使用分离变数法求得解答。这种方程式在角部分的解答，皆呈球谐函数的形式。

## 参阅

- 天球座标系统
- 欧拉角
- 雅可比矩阵
- 在圆柱和球座标系中的del