维格纳分布

维格纳分布(又名韦格纳分布，英文: Wigner Distribution Function,缩写为WDF) 是由1963年的诺贝尔物理学奖得主尤金·维格纳，于1932年首次引用的一个新的方程式。

众所皆知，傅立叶变换对于研究稳态(时间独立)的讯号(波形)是一项非常有用的工具，然而，讯号(波形)一般来说在时间上并非是独立的，这样的讯号或是波形傅立叶变换并无法有效地完全分析其特性，因此对于一个非稳态的讯号完全分析需要测量出时间以及频率上的表现。本页面介绍的数学函数是时频分析中的基础方法，在1980年，Claasen，Mecklenbrauker对WDF做了更进一步的研究。除此之外，线性时频分析中，STFT、Gabor transform和WDF扮演了相当重要的角色，其中WDF对于分析很多非稳态的随机讯号都有很好的表现，例如：量子力学、光学、声学、通讯、生物工程、讯号处理和影像处理。有时也被用在分析地震的资料，以及处理声音的相位失真。

## 定义

维格纳分布有许多不同的定义，而此处的定义是特别针对时频分析而定的。若给定一时间序列$x[t]$，它的非平稳自相关函数如下公式所列

$C_x(t_1, t_2) = \left\langle \left(x[t_1] - \mu[t_1]\right) \left(x[t_2] - \mu[t_2]\right)^* \right\rangle ,$

其中$\langle \cdots \rangle$代表所有可能实验的程序的平均，$\mu[t]$代表平均，其可能是时间的函数也有可能不是。维格纳函数$W_x(t,f)$起初是以包含时间平均$t = (t_1+t_2)/2$与时间差$\tau = t_1 - t_2$的自相关函数和时间差进行傅立叶转换来表示，如下：

$W_x(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty} C_x\left(t + \frac{\tau}{2}, t - \frac{\tau}{2}\right) \, e^{-2\pi i\tau f} \, d\tau .$

对于单一零平均的时间序列，维格纳函数可以简化如下：

### 定义一

$W_x(t,f)= \int_{-\infty}^{\infty} x(t+\frac{\tau}{2})x^*( t-\frac{\tau}{2})e^{-j2\pi\tau f}\, d\tau$.....(1)

### 定义二

$W_x(t,\omega)= \int_{-\infty}^{\infty} x(t+\frac{\tau}{2})x^*( t-\frac{\tau}{2})e^{-j\omega\tau}\, d\tau$.....(2)

定义二与定义一之间的关系 : $\omega=2\pi f$

### 其他定义

$\sqrt{\frac{1}{2\pi}}W_x(t,\omega)= \int_{-\infty}^{\infty} x(t+\frac{\tau}{2})x^*( t-\frac{\tau}{2})e^{-j\omega\tau}\, d\tau$.....(3)

在声纳和雷达系统中，传送出去的声波的反射波可以用来侦测目标物的位置跟速度，在很多情形下，收到的讯号因为都普勒位移，所以跟原本的讯号并不一样。Woodward(1953) 改写了原本的公式

$$A_x(t,\omega)= \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau +\frac{t}{2})x^*( \tau-\frac{t}{2})e^{-j\omega\tau}\, d\tau$$

这个公式被称为Woodward ambiguity function，这个式子在雷达系统的讯号处理和设计上扮演重要的角色。

而维格纳分布亦为科恩系列分布的其中一种特例，当科恩系列分布中的$\Phi(\eta,\tau)=1$时，科恩系列分布会是维格纳分布。

## WDF、STFT和Gabor的比较

WDF、STFT和Gabor都占了时频分析中非常重要的地位，在这边比较一下WDF、STFT、Gabor和WDF的变体Cohen's Class Distribution之间的差别。

WDF｜STFT｜Gabor｜Cohen

清晰度｜较好｜较差｜适中｜偏差

相交项的问题｜严重｜无｜轻微｜严重

复杂度｜高｜低｜中｜高

处理随机程序｜可｜不可｜可｜可

频率分辨率｜高｜中｜高｜高

时间分辨率｜高｜中｜中｜高

能量集中性｜较好｜较差｜适中｜适中

数值稳定性｜较差｜较好｜较好｜较差

清晰度：描述时频图在时间和频率域上解析信号细节的能力。

相交项的问题：多分量信号时可能出现不想要的相交项(cross term)，导致时频图难以解读。

复杂度：指运算复杂度，较高的复杂度意味着需要更多的计算资源。

处理随机程序：对具有随机性质的信号进行有效分析和表征的能力。

频率分辨率：频域分辨率的能力，越高越能分辨接近的频率分量。

时间分辨率：时间域分辨率的能力，越高越能定位信号的时间变化。

能量集中性：时频图中能量分布是否聚集在主要分量，分散则会影响分析效果。

数值稳定性：算法在不同条件下（如随机噪声或非稳态信号）保持稳定表现的能力。

## WDF的优缺点

在这里列出WDF主要的优缺点

优点 :

1.有良好的分辨率，尤其是对单一成分，且瞬时频率变化不为2次式以上，适合分析瞬态与多变信号。

2.有良好的数学运算性质(见WDF的数学性质)。

3.对随机过程和非稳态信号表现良好，可用于分析随机程序(见WDF与随机程序的关系)。

4.信号能量分布高度集中于真实分量，便于解析信号结构。

5.在时间和频率域上的边际分布与原始信号一致, 满足投影性质。

6.提供准确的能量分布估计，便于信号重建。

7.能准确表示信号瞬时频率，有助于动态信号分析，有限制(缺点4)。

8.无窗函数限制，能解析接近频率分量。

9.对非线性信号具有优势，便于非线性行为检测。

10.对含有噪声或随机成分的信号也能表现出色。

缺点 :

1.有相交项(cross term)的问题，降低时频图可解读性，改进方法请见 改进型韦格纳分布。

2.需执行二维积分或卷积，对计算资源要求高。若讯号时间越长，则需要更久的时间。

3.不是一对一函数，无法辨别相位部分，例如: $WDF[x(t)] = WDF[x(t){e^{j\phi }}]$

4.不适合分析瞬时频率变化为2次式以上的型态，即${e^{j{t^n}}},n \ne 0,1,2$。

5.低信噪比环境下，噪声可能被放大，影响准确性。

6.不满足线性运算，影响某些应用的便利性。

7.结果分布可能对输入条件敏感，缺乏唯一性。

## 相交项特性

WDF 虽然能同时呈现信号在时域与频域的能量分布，但它不是线性转换。这是因为 WDF 的定义式中包含了讯号自相关函数 (signal auto-correlation function) $x(t+\frac{\tau}{2})x^*( t-\frac{\tau}{2})$，当信号 x(t) 同时包含多个不同频率或性质的成分时，这些分量在相关运算后会互相影响，产生相交项 (cross term)。

在线性系统中，若 $x_1\!\to\!y_1$ 与 $x_2\!\to\!y_2$，则应满足：$a x_1 + b x_2 \;\to\; a y_1 + b y_2$。

但对自相关函数而言：$R_{a x_1 + b x_2}(t,\tau) \neq a R_{x_1}(t,\tau) + b R_{x_2}(t,\tau)$，$R_{a x_1 + b x_2}(t,\tau)$ 展开后会多出相交项，即$a b^* x_1(t+\tfrac{\tau}{2})x_2^*(t-\tfrac{\tau}{2})$，也就是说自相关函数不具有线性性质。

这些相交项并是 WDF 在描述非单一频率信号时的自然结果，反映了不同成分间的干涉关系。虽然相交项会使图形难以直观诠释，但它也蕴含了重要的物理意义，例如可以用于分析讯号分量之间的相位关系或期望值；相反的，短时距傅立叶转换就没有此特性，详见维格纳分布与随机程序的关系。

因此，WDF 可视为一种准分布 (quasi-distribution)，它不像短时距傅立叶转换 (STFT) 具有线性特性，而是具有二次特性，能揭示讯号的能量耦合与交互作用。下列以一个分段定义的讯号为例，可以观察到其 WDF 中的 cross term 现象：

将 $x(t)=\alpha g(t)+\beta s(t)$ 带入 WDF 公式 $W_x(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty} x\!\left(t+\frac{\tau}{2}\right)x^*\!\left(t-\frac{\tau}{2}\right)e^{-j2\pi\tau f}\,d\tau$ 中可以得到：

$$W_x(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty} x\!\left(t+\frac{\tau}{2}\right)x^*\!\left(t-\frac{\tau}{2}\right)e^{-j2\pi\tau f}\,d\tau$$

$$=\int_{-\infty}^{\infty}\Big[\alpha g\!\left(t+\frac{\tau}{2}\right)+\beta s\!\left(t+\frac{\tau}{2}\right)\Big] \Big[\alpha^* g^*\!\left(t-\frac{\tau}{2}\right)+\beta^* s^*\!\left(t-\frac{\tau}{2}\right)\Big] e^{-j2\pi\tau f}\,d\tau$$

$=\int_{-\infty}^{\infty}\Big( |\alpha|^2 g\!\left(t+\frac{\tau}{2}\right)g^*\!\left(t-\frac{\tau}{2}\right) +|\beta|^2 s\!\left(t+\frac{\tau}{2}\right)s^*\!\left(t-\frac{\tau}{2}\right) +\alpha\beta^* g\!\left(t+\frac{\tau}{2}\right)s^*\!\left(t-\frac{\tau}{2}\right) +\alpha^*\beta g^*\!\left(t-\frac{\tau}{2}\right)s\!\left(t+\frac{\tau}{2}\right) \Big)e^{-j2\pi\tau f}\,d\tau$ $=|\alpha|^2 W_g(t,f)+|\beta|^2 W_s(t,f) +\int_{-\infty}^{\infty}\Big( \alpha\beta^* g\!\left(t+\frac{\tau}{2}\right)s^*\!\left(t-\frac{\tau}{2}\right) +\alpha^*\beta g^*\!\left(t-\frac{\tau}{2}\right)s\!\left(t+\frac{\tau}{2}\right) \Big)e^{-j2\pi\tau f}\,d\tau$

其中，前两项 $|\alpha|^2 W_g(t,f) <pre>$ 和 $|\beta|^2 W_s(t,f)$ 为自相关项 (auto terms)，分别对应于单一讯号 $g(t)$ 和 $s(t)$ 的能量分布。最后积分中的两项为相交项 (cross terms)，它们由不同信号分量之间的乘积所形成，分别是 $g(t)s^*(t)$ 和 $g^*(t)s(t)$，代表两讯号之间的干涉效应。

以几个数学方程式为例，可见其 WDF 会产生相交项。

例子1：$x(t)=\cos(2\pi t)=\tfrac{1}{2}\big[e^{j2\pi t}+e^{-j2\pi t}\big] <pre>$

由下图可见，相较于 Gabor 转换，WDF 的时频分析结果较清晰，但在频率为0处会有额外的相交项。

<image>

<image>

$$\ <pre>$$

$$\ <pre>$$

$$\ <pre>$$

$$\ <pre>$$

<image>

例子2：$x(t) = s(t) + r(t)$

$$s(t)= \begin{cases} e^{(jt^2/10 - j3t)},\ -9 \le t \le 1\\[4pt] 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ , \ \text{otherwise} \end{cases} <pre>$$

$$r(t)=e^{(jt^2/2 + j6t)} e^{[-(t-4)^2/10]} <pre>$$

如右图，因为有多个多项式组合，彼此会互相影响。

所以其 WDF 的时频分析结果会有额外的相交项。

例子3：$x(t)=\begin{cases} \cos(2\pi t) & t\le-2 \\ \cos(4\pi t) & -2 < t \le 2 \\ \cos(3\pi t) & t>2 \end{cases}$

例子4：$x(t)=e^{it^3}$

## WDF与随机程序的关系

对于一个随机程序x(t)，我们无法得知其确切的值，因此会将其值表示为一个几率函数，通常Ex(t) = 0 for any t

将x(t)的维格纳分布取期望值后可得其谱密度(Power spectral density，PSD)，如下公式所列

$$E[W_x(t,f)]=\textstyle \int\limits_{ -\infty }^{\infty} \displaystyle E[x(t+\tau/2)x^*(t- \tau/2)]\cdot e^{-j2 \pi f \tau}\cdot d \tau$$

$$=\textstyle \int\limits_{ -\infty }^{\infty} \displaystyle R_x(t, \tau)\cdot e^{-j2 \pi f \tau}\cdot d \tau=S_x(t,f)$$

当x(t)的统计特性不随时间变化时，可称x(t)为平稳的随机程序，其谱密度也可简化为$E[W_x(t,f)]=S_x(f)$，也就是说维格纳函数能初略的告诉我们谱密度如何随时间进行变化。维格纳函数能在平稳程序对所有时间ｔ都简化成谱密度，然而也等同于非平稳的自相关函数，这也是维格纳分布的动机。

下图为一个平稳的随机程序进行维格纳分析后的例子，可明显看出此信号不随时间变化，也就是时频分析结果为水平线。反之，亦可利用时频分析结果是否为水平线判断该讯号是否为一平稳的讯号。

<image>

而在讯号处理中常见的白噪声，其谱密度$S_x(f)=\sigma$，其中$\sigma$为一个常数。白噪声的维格纳分布如下图，可看出此噪声在所有时间及频率都存在着。

<image>

维格纳分布的相交项在处理随机程序时派上用场，相对的，没有相交项的短时距傅立叶转换，则无法用于随机程序，如下公式所示，只有在零平均随机程序时，$E[X(t,f)]=0$

$$E[X(t,f)]=E[\textstyle \int\limits_{t-B}^{t+B} \displaystyle x(\tau)w(t- \tau)e^{-j2 \pi f \tau }d \tau]=\textstyle \int\limits_{t-B}^{t+B} \displaystyle E[x(\tau)]w(t- \tau)e^{-j2 \pi f \tau }d \tau$$

## 常见的时频分析例子

以下的例子说明如何用WDF来做时频分析

### 常数讯号

输入讯号为常数，则时频分布为一条线重合于时轴，如果'x(t) = 1，则：

$$W_x(t,f)=\int_{-\infty}^\infty e^{-i2\pi\tau\,f}\,d\tau=\delta(f).$$

### 弦波讯号

输入讯号为弦波，则时频分布为一条线平行于时轴，如果x(t) = e i2πkt，则：

$$\begin{align} <pre> W_x(t,f) &= \int_{-\infty}^{\infty}e^{ i2\pi k \left(t + \frac{\tau}{2}\right)}e^{-i2\pi k\left(t - \frac{\tau}{2}\right)}e^{-i2\pi\tau\,f}\,d\tau \\ &= \int_{-\infty}^{\infty}e^{-i2\pi \tau \left(f - k\right)}\,d\tau\\ &= \delta(f - k). </pre> \end{align}$$

### 啁啾声信号

啁啾声讯号的瞬时频率随时间线性，表示时频分布为一条斜值线，例如

$x(t) = e^{i2\pi kt^2}$ ,

则瞬时频率为：

$$\frac{1}{2\pi}\frac{d(2\pi kt^2)}{dt} = 2kt~,$$

故WDF为：

$$\begin{align} <pre> W_x(t,f) &= \int_{-\infty}^\infty e^{i2\pi k\left(t + \frac{\tau}{2}\right)^2}e^{-i2\pi k\left(t - \frac{\tau}{2}\right)^2}e^{-i2\pi\tau\,f} \, d\tau \\ &= \int_{-\infty}^\infty e^{i4\pi kt\tau}e^{-i2\pi\tau f}\,d\tau \\ &= \int_{-\infty}^\infty e^{-i2\pi\tau(f - 2kt)}\,d\tau\\ &= \delta(f - 2kt) ~. </pre> \end{align}$$

<image>

### 余弦讯号

x(t) = cos(440$\pi$t), 当 t 小于 0.5，频率 f = 220Hz x(t) = cos(660$\pi$t), 当 0.5 小于等于 t 小于 1，频率 f = 330Hz x(t) = cos(524$\pi$t), 当 t 大于等于 1，频率 f = 262Hz

### 单位脉冲讯号

因为单位脉冲包含所有的频率分布，且在时间不等于零时没值，故WDF为通过原点的且与时轴垂直的线

$$\begin{align} <pre> W_x(t,f) &= \int_{-\infty}^{\infty}\delta\left(t + \frac{\tau}{2}\right)\delta\left(t - \frac{\tau}{2}\right) e^{-i2\pi\tau\,f}\,d\tau \\ &= 4\int_{-\infty}^{\infty}\delta(2t + \tau)\delta(2t - \tau)e^{-i2\pi\tau f}\,d\tau \\ &= 4\delta(4t)e^{i4\pi tf} \\ &= \delta(t)e^{i4\pi tf} \\ &= \delta(t). </pre> \end{align}$$

### 方波讯号

$x(t) = \begin{cases} 1 & |t|<1/2 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \qquad$ ,

$W_x(t,f) = \frac{1}{\pi f}\sin (f[1 - 2|t|])$ .

## WDF的数学性质

(1)投射特性｜$|x(t)|^2= \int_{-\infty}^{\infty} W_x(t,f)\, df$, $|X(f)|^2= \int_{-\infty}^{\infty} W_x(t,f)\, dt$

(2)能量特性｜$|x(t)|^2= \iint_{-\infty}^{\infty} W_x(t,f)\, dt \, df =\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 \, dt=\int_{-\infty}^{\infty} |X(f)|^2 \, df$

(3)回复特性｜$\int_{-\infty}^{\infty}W_x(\frac{t}{2},f)e^{j2\pi ft}\, df=x(t)\bullet x^*(0)$, $\int_{-\infty}^{\infty}W_x(t,\frac{f}{2})e^{-j2\pi ft}\, dt=X(f)\bullet X^*(0)$

(4)Mean 条件｜If $x(t)=\left \vert x(t) \right \vert e^{j2\pi\phi(t)}, \ X(f)=\left \vert X(f) \right \vert e^{j2\pi\Psi(f)}$ then $\phi'(t)={\left\vert x(t) \right\vert}^{-2}\textstyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} \displaystyle f\times W_x(t,f) \ df$, $-\Psi'(f)={\left\vert X(f) \right\vert}^{-2}\textstyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} \displaystyle t \times W_x(t,f) \ dt$

(5)Moment特性｜$\iint_{-\infty}^{\infty} t^nW_x(t,f)\, dt\, df=\int_{-\infty}^{\infty} t^n|x(t)|^2\, dt$, $\iint_{-\infty}^{\infty} f^nW_x(t,f)\, dt\, df=\int_{-\infty}^{\infty} f^n|X(f)|^2\, dt$

(6)$W_x(t,f)$是实数｜$\overline{W_x(t,f)}=W_x(t,f)$

(7)区域特性｜If $x(t)=0$ for $t>t_0$ then $W_x(t,f)=0$ for $t>t_0$, If $x(t)=0$ for $t<t_0$ then $W_x(t,f)=0$ for $t<t_0$

(8)乘法特性｜If $y(t)=x(t)h(t)$,then $W_y(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty} W_x(t,\rho)W_h(t-\rho,f)\, d\rho$

(9)折积特性｜If $y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t-\tau)h(\tau)\, d\tau$,then $W_y(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty} W_x(\rho,f)W_h(t-\rho,f)\, d\rho$

(10)相关特性｜If $y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t+\tau)h^*(\tau)\, d\tau$,then $W_y(t,\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} W_x(\rho,\omega)W_h(-t+\rho,\omega)\, d\rho$

(11)时间平移特性｜If $y(t)=x(t-t_0)$, then $W_y(t,f)=W_x(t-t_0,f)$

(12)调变特性｜If $y(t)=e^{j2\pi f_0t}x(t)$, then $W_y(t,f)=W_x(t,f-f_0)$

## WDF的数学性质证明

WDF满足永远是实数的性质，以下是证明:

$$W_x(t,f) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t+\frac{\tau}{2})x^*(t-\frac{\tau}{2})e^{-j2\pi f\tau} d\tau$$

$$\overline{W_x(t,f)} = \int_{-\infty}^{\infty}x^*(t+\frac{\tau}{2})x(t-\frac{\tau}{2})e^{j2\pi f\tau} d\tau$$

令 $\tau^{\prime}=-\tau$代入，变数乘上负号，因此积分范围会变成${\infty}$到${-\infty}$

$$\begin{align} \overline{W_x(t,f)} &= \int_{\infty}^{-\infty}x^*(t-\frac{\tau^{\prime}}{2})x(t+ \frac{\tau^{\prime}}{2})e^{-j2\pi f\tau^{\prime}} (-d\tau^{\prime}) \\ <pre> &= -\int_{\infty}^{-\infty}x^*(t-\frac{\tau^{\prime}}{2})x(t+ \frac{\tau^{\prime}}{2})e^{-j2\pi f\tau^{\prime}} d\tau^{\prime} \\ &= \int_{-\infty}^{\infty}x(t+\frac{\tau^{\prime}}{2})x^*(t-\frac{\tau^{\prime}}{2})e^{-j2\pi f\tau^{\prime}} \\ &= W_x(t,f) </pre> \end{align}$$

故WDF永远是实数

## WDF实现方法

以下为电脑计算WDF的实现方式

- 直接运算(暴力法) 复杂度：$TF(2Q+1)$
- 使用离散傅立叶变换 复杂度：$TN{\log _2}N$
- 使用Chirp-Z 转换 复杂度 : $TN{\log _2}N$，通常为使用离散傅立叶变换的2~3倍，但限制比使用离散傅立叶变换少

在使用这三个方法前，先来做个前提讨论

从定义一出发

$${W_x}\left( {t,f} \right) = \int_{ - \infty }^\infty {x\left( {t + \tau /2} \right) \cdot } {x^*}\left( {t - \tau /2} \right)\,{e^{ - j2\pi \,\tau \,f}} \cdot d\tau$$

令 $\tau'=\tau/2$

$${W_x}\left( {t,f} \right) = 2\int_{ - \infty }^\infty {x\left( {t + \tau '} \right) \cdot } {x^*}\left( {t - \tau '} \right)\,{e^{ - j4\pi \,\tau '\,f}} \cdot d\tau '$$

再令 $t = n\Delta_t, f = m\Delta_f,\tau'= p\Delta_t$，则上述式子则为

$${W_x}\left( {n{\Delta _t},m{\Delta _f}} \right) = 2\sum\limits_{p = - \infty }^\infty {x\left( {(n + p){\Delta _t}} \right){x^ * }\left( {(n - p){\Delta _t}} \right)\exp \left( { - j4\pi \,mp{\Delta _t}{\Delta _f}} \right){\Delta _t}}$$

下面介绍的三种方法都是从这条式子开始推导

注意事项 :

若x(t)是无限长的讯号，则p要从负无限加到正无限，这点不易实现。

若x(t)为有限长的讯号，则p范围可以缩小，就可能实现。

故下面三种方法都是在第2种情况下讨论，即x(t)为有限长讯号，p范围可以缩小

我们假设$\ x(t)=0 \ \ for \ \ t < n_1\Delta_t \ \ and \ \ t > n_2\Delta_t$

### 直接运算(暴力法)

限制条件 :

只有一个 : 要满足Nyquist criterion

${\Delta _t} < \frac{1}{{2B}}$，其中B是$x\left( {t + \tau } \right){x^*}\left( {t - \tau } \right)\,$的带宽，大约是x(t)的两倍。

推导 :

$$\ x(t)=0 \ \ for \ \ t < n_1\Delta_t \ \ and \ \ t > n_2\Delta_t$$

所以当$n + p \notin [{n_1},{n_2}]{\rm{ or n - p}} \notin {\rm{[}}{n_1},{n_2}{\rm{]}}$ 时。

$$x\left( {(n + p){\Delta _t}} \right){x^ * }\left( {(n - p){\Delta _t}} \right) = 0$$

固定中间的n值 ($n\Delta_t$) 来探讨p的范围

$${n_1} \le n + p \le {n_2} \to {n_1} - n \le p \le {n_2} - n$$

即 $\max ({n_1} - n,n - {n_2}) \le p \le \min ({n_2} - n,n - {n_1})$-– (1)

$${n_1} \le n - p \le {n_2} \to {\rm{ }}{{\rm{n}}_1} - n \le - p \le {n_2} - n \to n - {n_2} \le p \le n - {n_1}$$

即 $- \min ({n_2} - n,n - {n_1}) \le p \le \min ({n_2} - n,n - {n_1})$-- (2)

其中 (1) & (2) 的下限是同义的

故(1) & (2)皆可改写为

$$- \min ({n_2} - n,n - {n_1}) \le p \le \min ({n_2} - n,n - {n_1})$$

且可以发现 $({n_2} - n){\Delta _t},(n - {n_1}){\Delta _t}$ 代表 $n\Delta_t$ 离两个边界的距离

注意事项：当 n > n2 或 n < n1 时，将没有 p 能满足上面的不等式

最后推导出的式子如下

$${W_x}\left( {n{\Delta _t},m{\Delta _f}} \right) = 2\sum\limits_{p = - Q}^Q {x\left( {(n + p){\Delta _t}} \right){x^ * }\left( {(n - p){\Delta _t}} \right)\exp \left( { - j4\pi \,mp{\Delta _t}{\Delta _f}} \right){\Delta _t}}$$

其中 $Q = \min ({n_2} - n,n - {n_1})\,,p \in [ - Q,Q],n \in [{n_1},{n_2}]$

### 使用离散傅立叶变换

限制条件 :

(1)要满足Nyquist criterion

${\Delta _t} < \frac{1}{{2B}}$，其中B是$x\left( {t + \tau } \right){x^*}\left( {t - \tau } \right)\,$的带宽，大约是x(t)的两倍。

(2)${\Delta _t}{\Delta _f} = {\textstyle{1 \over {2N}}}$

(3) $N \ge 2Q+1$

推导 :

前提讨论的式子可以改写为

$${W_x}\left( {n{\Delta _t},m{\Delta _f}} \right) = 2{\Delta _t}\sum\limits_{p = - Q}^Q {x\left( {(n + p){\Delta _t}} \right){x^ * }\left( {(n - p){\Delta _t}} \right){e^{ - j{\textstyle{{2\pi \,mp} \over N}}}}}$$

令$q=p+Q \to p=q-Q$

$${W_x}\left( {n{\Delta _t},m{\Delta _f}} \right) = 2{\Delta _t}{e^{j{\textstyle{{2\pi \,mQ} \over N}}}}\sum\limits_{q = 0}^{2Q} {x\left( {(n + q - Q){\Delta _t}} \right){x^ * }\left( {(n - q + Q){\Delta _t}} \right){e^{ - j{\textstyle{{2\pi \,mq} \over N}}}}}$$

针对中间$x\left( {(n + q - Q){\Delta _t}} \right){x^ * }\left( {(n - q + Q){\Delta _t}} \right)$项

令

$${c_1}\left( q \right) = x\left( {(n + q - Q){\Delta _t}} \right){x^ * }\left( {(n - q + Q){\Delta _t}} \right){\rm{ }} , for{\rm{ 0}} \le q \le 2{\rm{Q}}$$

$${c_1}\left( q \right) = 0{\rm{ }}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad, for{\rm{ 2}}Q + 1 \le q \le N - 1$$

最后得出的式子如下

$${W_x}\left( {n{\Delta _t},m{\Delta _f}} \right) = 2{\Delta _t}{e^{j{\textstyle{{2\pi \,mQ} \over N}}}}\sum\limits_{q = 0}^{N - 1} {{c_1}\left( q \right){e^{ - j{\textstyle{{2\pi \,mq} \over N}}}}}$$

其中

$$Q = \min ({n_2} - n,n - {n_1})\,,n \in [{n_1},{n_2}]$$

$${c_1}\left( q \right) = x\left( {(n + q - Q){\Delta _t}} \right){x^ * }\left( {(n - q + Q){\Delta _t}} \right){\rm{ }} , for{\rm{ 0}} \le q \le 2{\rm{Q}}$$

$${c_1}\left( q \right) = 0{\rm{ }}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad, for{\rm{ 2}}Q + 1 \le q \le N - 1$$

### 使用Chirp-Z 转换

限制条件 :

只有一个 : 要满足Nyquist criterion

${\Delta _t} < \frac{1}{{2B}}$，其中B是$x\left( {t + \tau } \right){x^*}\left( {t - \tau } \right)\,$的带宽，大约是x(t)的两倍。

推导 :

前提讨论的式子可改写为

$${W_x}\left( {n{\Delta _t},m{\Delta _f}} \right) = 2{\Delta _t}\,{e^{ - j2\pi \,{m^2}{\Delta _t}{\Delta _f}}}\sum\limits_{p = - Q}^Q {x\left( {(n + p){\Delta _t}} \right){x^ * }\left( {(n - p){\Delta _t}} \right){e^{ - j2\pi \,{p^2}{\Delta _t}{\Delta _f}}}{e^{j2\pi \,{{(p - m)}^2}{\Delta _t}{\Delta _f}}}}$$

计算分成3步骤

STEP 1 : ${x_1}\left( {n,p} \right) = x\left( {(n + p){\Delta _t}} \right){x^ * }\left( {(n - p){\Delta _t}} \right){e^{ - j2\pi \,{p^2}{\Delta _t}{\Delta _f}}}$

STEP 2 : ${X_2}\left[ {n,m} \right] = \sum\limits_{p = n - Q}^{n + Q} {{x_1}\left[ p \right]\,c\left[ {m - p} \right]}$ , 其中$c\left[ m \right] = {e^{j2\pi \,{m^2}{\Delta _t}{\Delta _f}}}$

STEP 3 : $X\left( {n{\Delta _t},m{\Delta _f}} \right) = 2{\Delta _t}\,{e^{ - j2\pi \;{m^2}{\Delta _t}{\Delta _f}}}{X_2}\left[ {n,m} \right]$

## 延伸变化

### 视窗型韦格纳分布

视窗型韦格纳分布（Windowed Wigner Distribution Function），在韦格纳分布中，当x(t)为无限长讯号时，WDF很难去实现它。所以在积分中加入一个新的函数，目的是撷取x(t)中的片段来计算，不需从负无限积分到正无限。

#### 定义

${W_x}\left( {t,f} \right) = \int_{ - \infty }^\infty {w\left( \tau \right)x\left( {t + \tau /2} \right) \cdot } {x^*}\left( {t - \tau /2} \right)\,{e^{ - j2\pi \,\tau \,f}} \cdot d\tau$，其中$w(\tau)$为实数且为有限长讯号

原始韦格纳分布定义 ${W_x}\left( {t,f} \right) = \int_{ - \infty }^\infty {x\left( {t + \tau /2} \right) \cdot } {x^*}\left( {t - \tau /2} \right)\,{e^{ - j2\pi \,\tau \,f}} \cdot d\tau$

#### 优缺点

- 降低运算时间，因为$w(\tau)$为有限长函数。
- 可以有效降低相交项(cross term)问题，但不能完全消除(详见下方说明)。
- 一些相交项(cross term)问题仍被保留。
- 可能不符合谱密度(Power spectral density)的定义。
- 一些好用的数学运算性质会消失。

#### 实现方法

从定义出发$${W_x}\left( {t,f} \right) = \int_{ - \infty }^\infty {w\left( \tau \right)x\left( {t + \tau /2} \right) \cdot } {x^*}\left( {t - \tau /2} \right)\,{e^{ - j2\pi \,\tau \,f}} \cdot d\tau$$ 令$\tau=\tau'/2$ $${W_x}\left( {t,f} \right) = 2\int_{ - \infty }^\infty {w\left( {2\tau '} \right)x\left( {t + \tau '} \right) \cdot } {x^*}\left( {t - \tau '} \right)\,{e^{ - j4\pi \,\tau '\,f}} \cdot d\tau '$$ 再令$t = n\Delta_t, f = m\Delta_f,\tau'= p\Delta_t$ $${W_x}\left( {n{\Delta _t},m{\Delta _f}} \right) = 2\sum\limits_{p = - \infty }^\infty {w\left( {2p{\Delta _t}} \right)x\left( {(n + p){\Delta _t}} \right){x^ * }\left( {(n - p){\Delta _t}} \right){e^{ - j4\pi \,mp{\Delta _t}{\Delta _f}}}{\Delta _t}}$$ 假设w(t) = 0 for |t| > B 即 $w\left( {2p{\Delta _t}} \right) = 0{\rm{ }} \ for{\rm{ }} \ p < - Q{\rm{ }}\ \land \ p > Q$ 其中$Q = \frac{B}{{2{\Delta _t}}}$ 如此一来，p范围便可缩小。

$${W_x}\left( {n{\Delta _t},m{\Delta _f}} \right) = 2\sum\limits_{p = - Q}^Q {w\left( {2p} \right)x\left( {(n + p){\Delta _t}} \right){x^ * }\left( {(n - p){\Delta _t}} \right){e^{ - j4\pi \,mp{\Delta _t}{\Delta _f}}}{\Delta _t}}$$

#### 避免相交项的原因

从定义出发 ${W_x}\left( {t,f} \right) = \int_{ - \infty }^\infty {w\left( \tau \right)x\left( {t + \tau /2} \right) \cdot } {x^*}\left( {t - \tau /2} \right)\,{e^{ - j2\pi \,\tau \,f}} \cdot d\tau$，其中$w(\tau)$为实数且为有限长讯号

假设$x(t){\rm{ = }}\delta (t - {t_1}) + \delta (t - {t_2})$的情况下，比较有无mask function所产生的不同结果

<image>

理想情形 : ${W_x}(t,f){\rm{ = 0 }} \ for{\rm{ }} \ t \ne {t_1},{t_2}$

##### 没有使用mask function

即mask function $w(\tau ) = 1$

$$\begin{array}{l} {W_x}\left( {t,f} \right) = \int_{ - \infty }^\infty {x\left( {t + \tau /2} \right) \cdot } {x^*}\left( {t - \tau /2} \right)\,{e^{ - j2\pi \,\tau \,f}} \cdot d\tau \\ <pre> = \int_{ - \infty }^\infty {\left[ {\delta \left( {t + \frac{\tau }{2} - {t_1}} \right) + \delta \left( {t + \frac{\tau }{2} - {t_2}} \right)} \right] \cdot } \left[ {\delta \left( {t - \frac{\tau }{2} - {t_1}} \right) + \delta \left( {t - \frac{\tau }{2} - {t_2}} \right)} \right]{e^{ - j2\pi \,\tau \,f}} \cdot d\tau \\ = 4\int_{ - \infty }^\infty \underbrace{{\left[ {\delta \left( {\tau + 2t - 2{t_1}} \right) + \delta \left( {\tau + 2t - 2{t_2}} \right)} \right] }}_{first \ term}\cdot \underbrace{ \left[ {\delta \left( {\tau - 2t + 2{t_1}} \right) + \delta \left( {\tau - 2t + 2{t_2}} \right)} \right]}_{second \ term}{e^{ - j2\pi \,\tau \,f}} \cdot d\tau </pre> \end{array}$$

<image>

总共有3种情况要讨论，如下图，可见cross term在没有使用mask function时，无法被消除

<image>

##### 使用mask function

$$\begin{array}{l} {W_x}\left( {t,f} \right) = \int_{ - \infty }^\infty w(\tau ) {x\left( {t + \tau /2} \right) \cdot } {x^*}\left( {t - \tau /2} \right)\,{e^{ - j2\pi \,\tau \,f}} \cdot d\tau \\ = 4\int_{ - \infty }^\infty w(\tau ) \underbrace{{\left[ {\delta \left( {\tau + 2t - 2{t_1}} \right) + \delta \left( {\tau + 2t - 2{t_2}} \right)} \right] }}_{first \ term}\cdot \underbrace{ \left[ {\delta \left( {\tau - 2t + 2{t_1}} \right) + \delta \left( {\tau - 2t + 2{t_2}} \right)} \right]}_{second \ term}{e^{ - j2\pi \,\tau \,f}} \cdot d\tau \end{array}$$

假设$w(\tau ) = 0{\rm{ }} \ for|\tau | > B > 0$，且$B{\rm{ < }}{{\rm{t}}_2}{\rm{ - }}{{\rm{t}}_1}$

由于$w(\tau )$只在-B到B有值，故乘上$w(\tau )$就能去除相交项(Cross term)，只保留下图中两条红线中间的区域，也就是Auto terms。

<image>

但上述其实是理想的情况，x(t)为窄频信号Delta function

如果X(τ)宽度太宽或是有ripple的话，Cross term仍会有残留，示意图如下

<image>

蓝色线为X(τ)的讯号，若X(τ)的宽度太宽或是有ripple产生，就可能会跑进$w(\tau )$的范围里面，进而导致无法完全滤除Cross term。

#### 总结

cross term 只有在讯号每个成分的宽度都小于2B，且时间差$t_2-t_1$都大于B时，才能被消除

### 改进型韦格纳分布

此方法可以消除相交项(cross term)。

### 加伯–韦格纳转换

消除相交项(cross term)问题，在某些情况下比加伯转换拥有更好的清晰度。