磁流体力学

磁流体力学（英文：MHD, Magnetohydrodynamics、magnetofluiddynamics或hydromagnetics），是研究等离子体和磁场相互作用的物理学分支，其基本思想是在运动的导电流体中，磁场能够感应出电流。磁流体力学将等离子体作为连续介质处理，要求其特征尺度远远大于粒子的平均自由程、特征时间远远大于粒子的平均碰撞时间，不需考虑单个粒子的运动。由于磁流体力学只关心流体元的平均效果，因此是一种近似描述的方法，能够解释等离子体中的大多数现象，广泛应用于等离子体物理学的研究。更精确的描述方法是考虑粒子速度分布函数的动理学理论。磁流体力学的基本方程是流体力学中的纳维-斯托克斯方程和电动力学中的麦克斯韦方程组。磁流体力学是由瑞典物理学家汉尼斯·阿尔文创立的，阿尔文因此获得1970年的诺贝尔物理学奖。

## 磁流体力学方程组

单流体是磁流体力学的基础模型，其基本方程组有16个标量方程，包含16个未知标量，因此是完备的。更复杂的双流体模型含有更多方程和未知标量。结合边界条件可以求解这些偏微分方程组。

### 电磁场方程

在磁流体力学中，等离子体可以看作是良导体，电磁场变化的特征时间远远大于粒子碰撞的时间，电磁场可以认为是准静态的，因此麦克斯韦方程组中的位移电流项可以忽略，写为：

$$\nabla\cdot\boldsymbol{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

$$\nabla\times\boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}$$

$$\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0$$

$$\nabla\times\boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{J}$$

由于存在洛伦兹力，欧姆定律的数学形式为：

$$\boldsymbol{J}=\sigma(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})$$

### 流体力学方程

等离子体是流体，满足流体的连续性方程：

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\boldsymbol{v})=0$$

流体的运动方程的右边应加上电磁力项$\rho_q\boldsymbol{E}+\boldsymbol{J}\times\boldsymbol{B}$，而重力与电磁力相比是小量，$\rho_q\boldsymbol{E}$常常也可以忽略不计。因此运动方程为：

$$\rho\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t} = \nabla\cdot\boldsymbol{P}+\boldsymbol{J}\times\boldsymbol{B}$$

其中

$$\boldsymbol{P}=2\eta\boldsymbol{S}-\bigg(p+\frac23\eta\nabla\cdot\boldsymbol{v} - \eta'\nabla\cdot\boldsymbol{v}\bigg)\boldsymbol{I}$$

能量方程的右边应加上因电磁场引起的焦耳热$\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{J}$，重力所做的功可以忽略不计。因此能量方程为：

$$\rho\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigg(\varepsilon+\frac{\boldsymbol{v}^2}{2}\bigg) = \nabla\cdot(\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{v})+\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{J} - \nabla\cdot\boldsymbol{q}$$

其中 $\boldsymbol{q}=-\kappa\nabla T$

### 状态方程

流体的状态方程形式为：

$$p=p(\rho,T)$$

对于绝热过程，有

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(p\rho^{-\gamma})=0$ 即 $p\rho^{-\gamma}=\mathrm{const}$

### 理想磁流体力学方程组

对于无粘（$\eta=0$）、绝热（$\kappa=0$）、理想导电（$\sigma\to\infty$）的等离子体，即理想导电流体，磁流体力学方程可以简化为：

$$\nabla\times\boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}$$

$$\nabla\times\boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{J}$$

$$\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}=0$$

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\boldsymbol{v})=0$$

$$\rho\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t} = \nabla\cdot\boldsymbol{P}+\boldsymbol{J}\times\boldsymbol{B}$$

$$p\rho^{-\gamma}=\mathrm{const}$$

称为理想磁流体力学方程组。

## 二流体模型

实际情况中等离子体往往是两种或者两种以上成分组成的流体，描述它们的方程组特别复杂，求解十分困难。一般情况下可以认为高度电离的等离子体是由电子流体和离子流体两种成分组成的，等离子体的二流体模型或者双流体模型研究它们各自的动力学方程，并且考虑它们之间的耦合。在电子和离子每种组分里，达到平衡时的麦克斯韦速度分布所需要的时间远远小于电子和离子之间发生热交换的特征时间，因此在这种近似下，电子和离子可以认为是各自独立运动的，二者之间的碰撞导致了等离子体电阻。

## 磁张力与磁压力

将麦克斯韦方程组中的$\boldsymbol{J}=\nabla\times\boldsymbol{B}/\mu_0$代入洛伦兹力$\boldsymbol{f}=\boldsymbol{J}\times\boldsymbol{B}$可得

$$\boldsymbol{f}=\boldsymbol{J}\times\boldsymbol{B} = \frac{1}{\mu_0}(\boldsymbol{B}\cdot\nabla)\boldsymbol{B} - \nabla(\frac{B^2}{2\mu_0})$$

上式右边第一项反映了大小为$B^2/\mu_0$，沿着磁感线方向的磁张力，第二项反映了大小为$B^2/2\mu_0$，各向同性的磁压力，其效果是压缩等离子体。因此，作用于某流体质元的磁力等效于磁张力与磁压力的和。

## 磁扩散与磁冻结

在磁流体力学中，等离子体可以看作是良导体，磁感应方程为：

$$\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}=\nabla\times(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})+\eta\nabla^2\boldsymbol{B}$$

其中，$\eta=\frac1{\sigma\nu}$叫做磁粘滞系数或者磁扩散系数。如果磁雷诺数$R_m=\frac{l_0 V_0}{\eta}\ll1$，则磁感应方程退化为扩散方程的形式

$$\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}=\eta\nabla^2\boldsymbol{B}$$

此时等离子体会表现出磁扩散效应，磁场从强度大的区域向强度小的区域发生扩散。

如果磁雷诺数$R_m=\frac{l_0 V_0}{\eta}\gg1$，或者流体的电导率$\sigma\to\infty$，则磁感应方程退化为冻结方程：

$$\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}=\nabla\times(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})$$

此时等离子体会表现出磁冻结效应，磁感线如同粘附在流体质元上，随流体一起运动。