巴巴散射

巴巴散射的费曼图湮灭

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散射

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量子电动力学中，巴巴散射（英文：Bhabha Scattering）是指电子-反电子的散射过程，其中伴随有交换虚光子：

$$e^+ e^- \rightarrow e^+ e^-$$

巴巴散射散射振幅的领头项包含有两个费曼图的贡献：一个是湮灭过程，一个是散射过程。巴巴散射的散射率在正负电子对撞机中被用来当作光度的监视指标。在经典电动力学中，巴巴散射实际就是正负电子通过库仑力相互吸引的过程。

巴巴散射的名称来源于印度物理学家霍米·J·巴巴。

下面的推导是量子电动力学中用费曼图计算粒子散射截面的典型方法。

## 散射微分截面

对自旋取平均的散射微分截面为

$$\frac{\mathrm{d} \sigma}{\mathrm{d} (\cos\theta)} = \frac{\pi \alpha^2}{s} \left( u^2 \left( \frac{1}{s} + \frac{1}{t} \right)^2 + \left( \frac{t}{s} \right)^2 + \left( \frac{s}{t} \right)^2 \right) \,$$

这里s，t和u是曼德尔斯坦变量，$\alpha\,$是精细结构常数，$\theta\,$是散射角。散射截面的计算中忽略了电子的质量对碰撞的能量的贡献，而只考虑了交换虚光子过程所做的贡献。这个近似对于和Z玻色子的质量（约$91GeV\,$）相比很小的碰撞能量是成立的；对于相比不那么小的碰撞能量，Z玻色子的交换过程所做的贡献也要被考虑。

### 曼德尔斯坦变量

在此条目中，曼德尔斯坦变量定义为

$s= \,$｜$(k+p)^2= \,$｜$(k'+p')^2 \approx \,$｜$2 k \cdot p \approx\,$｜$2 k' \cdot p' \,$｜

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$t= \,$｜$(k-k')^2= \,$｜$(p-p')^2\approx \,$｜$-2 k \cdot k' \approx \,$｜$-2 p \cdot p' \,$

$u= \,$｜$(k-p')^2= \,$｜$(p-k')^2\approx \,$｜$-2 k \cdot p' \approx \,$｜$-2 k' \cdot p \,$

其中的近似在高能近似（相对论极限）中成立。

## 无偏振散射截面的推导

### 矩阵元

两个费曼图对散射矩阵的矩阵元都有贡献。这里用k和k' 表示反电子的四维动量，用p和p' 表示电子的四维动量，通过费曼图的计算法则可得到由费曼图给出的矩阵元：

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｜

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｜这里变量的含义为:$\gamma^\mu \,$是狄拉克矩阵,$u\,$和$\bar{u}\,$是费米子的四分量旋量，$v\,$和$\bar{v}\,$是反费米子的四分量旋量，参见狄拉克方程。

(散射)｜(湮灭)

$\mathcal{M} = \,$｜$-e^2 \left( \bar{v}_{k} \gamma^\mu v_{k'} \right) \frac{1}{(k-k')^2} \left( \bar{u}_{p'} \gamma_\mu u_p \right)$｜$+e^2 \left( \bar{v}_{k} \gamma^\nu u_p \right) \frac{1}{(k+p)^2} \left( \bar{u}_{p'} \gamma_\nu v_{k'} \right)$

注意到两个过程的矩阵元相差一个负号。

### 矩阵元的平方

计算无偏振的散射截面时，需要对所有入射粒子的自旋取平均 (自旋可能的值为se-和se+)，并且对所有出射粒子的自旋求和。即。

$\overline{|\mathcal{M}|^2} \,$｜$= \frac{1}{(2s_{e-} + 1)(2 s_{e+} + 1)} \sum_{\mathrm{spins}} |\mathcal{M}|^2 \,$

$$= \frac{1}{4} \sum_{s=1}^2 \sum_{s'=1}^2 \sum_{r=1}^2 \sum_{r'=1}^2 |\mathcal{M}|^2 \,$$

首先计算$|\mathcal{M}|^2 \,$:

$|\mathcal{M}|^2 \,$=｜$e^4 \left| \frac{(\bar{v}_{k} \gamma^\mu v_{k'} )( \bar{u}_{p'} \gamma_\mu u_p)}{(k-k')^2} \right|^2 \,$｜(散射)

${}- 2 e^4 \left( \frac{ (\bar{v}_{k} \gamma^\mu v_{k'} )( \bar{u}_{p'} \gamma_\mu u_p)}{(k-k')^2} \right)^* \left( \frac{ (\bar{v}_{k} \gamma^\nu u_p )( \bar{u}_{p'} \gamma_\nu v_{k'}) }{(k+p)^2} \right) \,$｜(干涉)

${}+ e^4 \left| \frac{(\bar{v}_{k} \gamma^\nu u_p )( \bar{u}_{p'} \gamma_\nu v_{k'} )}{(k+p)^2} \right|^2 \,$｜(湮灭)

下面我们分别计算过程所包含的三项。

### 散射项

#### 矩阵元的平方

$|\mathcal{M}|^2 \,$｜$= \frac{e^4}{(k-k')^4} \Big( (\bar{v}_{k} \gamma^\mu v_{k'} )( \bar{u}_{p'} \gamma_\mu u_p) \Big)^* \Big( (\bar{v}_{k} \gamma^\mu v_{k'})( \bar{u}_{p'} \gamma_\mu u_p) \Big) \,$｜ $(1) \,$

$= \frac{e^4}{(k-k')^4} \Big( (\bar{v}_{k} \gamma^\mu v_{k'} )^* ( \bar{u}_{p'} \gamma_\mu u_p)^* \Big) \Big( (\bar{v}_{k} \gamma^\mu v_{k'})( \bar{u}_{p'} \gamma_\mu u_p) \Big) \,$｜ $(2) \,$

(复共轭作用到括号内时会交换次序)

$= \frac{e^4}{(k-k')^4} \Big( \left(\bar{v}_{k'} \gamma^\mu v_{k} \right) \left( \bar{u}_{p} \gamma_\mu u_{p'} \right) \Big) \Big( \left( \bar{v}_{k} \gamma^\mu v_{k'} \right) \left( \bar{u}_{p'} \gamma_\mu u_p \right) \Big) \,$｜ $(3) \,$

(将依赖于同一个动量的项写到一起)

$= \frac{e^4}{(k-k')^4} \left( \bar{v}_{k'} \gamma^\mu v_{k} \right) \left( \bar{v}_{k} \gamma^\mu v_{k'} \right) \left( \bar{u}_{p} \gamma_\mu u_{p'} \right) \left( \bar{u}_{p'} \gamma_\mu u_p \right) \,$｜ $(4) \,$

#### 对自旋求和

下面我们对四个粒子的所有自旋求和。这里用s和s' 来表示电子的自旋，r 和r' 来表示反电子的自旋。

$\frac{(k-k')^4}{e^4} \sum_{\mathrm{spins}} |\mathcal{M}|^2 \,$｜$= \left(\sum_{r'} \bar{v}_{k'} \gamma^\mu (\sum_{r}v_{k} \bar{v}_{k}) \gamma^\mu v_{k'} \right) \left(\sum_{s} \bar{u}_{p} \gamma_\mu (\sum_{s'}{u_{p'} \bar{u}_{p'}}) \gamma_\mu u_p \right) \,$｜ $(5) \,$

$= \left( \Big(\sum_{r'} v_{k'} \bar{v}_{k'} \Big) \gamma^\mu \Big(\sum_{r}v_{k} \bar{v}_{k} \Big) \gamma^\mu \right) \left( \Big(\sum_{s} u_p \bar{u}_{p} \Big) \gamma_\mu \Big( \sum_{s'}{u_{p'} \bar{u}_{p'}} \Big) \gamma_\mu \right) \,$｜ $(6) \,$

(下一步推导使用完备性关系)

$=\operatorname{Tr}\left( (k\!\!\!/' - m) \gamma^\mu (k\!\!\!/ - m) \gamma^\nu \right) \cdot \operatorname{Tr}\left( (p\!\!\!/' + m) \gamma_\mu (p\!\!\!/ + m) \gamma_\nu \right) \,$｜ $(7) \,$

(下一步推导使用迹恒等式)

$=\left(4 \left( {k'}^\mu k^\nu - \mathbf{k' \cdot k}\eta^{\mu\nu} + k'^\nu k^\mu \right) + 4 m^2 \eta^{\mu\nu} \right) \left( 4 \left( {p'}_\mu p_\nu - \mathbf{p' \cdot p}\eta_{\mu\nu} + p'_\nu p_\mu \right) + 4 m^2 \eta_{\mu\nu} \right) \,$｜ $(8) \,$

$=32\left( (k' \cdot p') (k \cdot p) + (k' \cdot p) (k \cdot p') -m^2 p' \cdot p - m^2 k' \cdot k + 2m^4 \right) \,$｜ $(9) \,$

这是解的精确形式，但在讨论电子时一般都只考虑能量远大于电子质量的情况，因此忽略电子质量从而得到下面的简化形式：

$\frac{1}{4} \sum_{\mathrm{spins}} |\mathcal{M}|^2 \,$｜$= \frac{32e^4}{4(k-k')^4} \left( (k' \cdot p') (k \cdot p) + (k' \cdot p) (k \cdot p') \right) \,$

(在相对论极限下使用曼德尔斯坦变量)

$$=\frac{8e^4}{t^2} \left(\tfrac{1}{2} s \tfrac{1}{2}s + \tfrac{1}{2}u \tfrac{1}{2} u \right) \,$$ $$= 2 e^4 \frac{s^2 +u^2}{t^2} \,$$

### 湮灭项

湮灭项的计算过程与散射项类似；由于两个费曼图有交换对称性，并且初始态和最终态的粒子完全相同，因此可以简单地通过重新排列动量的位置得到结果：

$\frac{1}{4} \sum_{\mathrm{spins}} |\mathcal{M}|^2 \,$｜$= \frac{32e^4}{4(k+p)^4} \left( (k \cdot k') (p \cdot p') + (k' \cdot p) (k \cdot p') \right) \,$

$$=\frac{8e^4}{s^2} \left(\tfrac{1}{2} t \tfrac{1}{2}t + \tfrac{1}{2}u \tfrac{1}{2} u \right) \,$$ $$= 2 e^4 \frac{t^2 +u^2}{s^2} \,$$

### 最终解

对于干涉项所用的步骤相同，将三项加在一起从而得到的最终解为

$$\frac{\overline{|\mathcal{M}|^2}}{2e^4} = \frac{u^2 + s^2}{t^2} + \frac{2 u^2}{st} + \frac{u^2 + t^2}{s^2} \,$$

## 简化步骤中用到的关系

### 完备性关系

狄拉克的四分量旋量u和v满足的完备性关系是

$$\sum_{s=1,2}{u^{(s)}_p \bar{u}^{(s)}_p} = p\!\!\!/ + m \,$$

$$\sum_{s=1,2}{v^{(s)}_p \bar{v}^{(s)}_p} = p\!\!\!/ - m \,$$

其中

$p\!\!\!/ = \gamma^\mu p_\mu \,$ (参见费曼斜线标记)

$$\bar{u} = u^{\dagger} \gamma^0 \,$$

### 迹恒等式

简化狄拉克矩阵的迹的方法是迹恒等式，此处用到的三个恒等式为：

- 奇数个狄拉克矩阵$\gamma_\mu \,$的乘积的迹为零。
- $$\operatorname{tr} (\gamma^\mu\gamma^\nu) = 4\eta^{\mu\nu}$$
- $$\operatorname{Tr}\left( \gamma_\rho \gamma_\mu \gamma_\sigma \gamma_\nu \right) = 4 \left( \eta_{\rho\mu}\eta_{\sigma\nu}-\eta_{\rho\sigma}\eta_{\mu\nu}+\eta_{\rho\nu}\eta_{\mu\sigma} \right) \,$$

从这些恒等式可得到一些简化方法，如

$\operatorname{Tr}\left( (p\!\!\!/' + m) \gamma_\mu (p\!\!\!/ + m) \gamma_\nu \right) \,$｜$= \operatorname{Tr}\left( p\!\!\!/' \gamma_\mu p\!\!\!/ \gamma_\nu \right) + \operatorname{Tr}\left(m \gamma_\mu p\!\!\!/ \gamma_\nu \right) \,$

$+ \operatorname{Tr}\left( p\!\!\!/' \gamma_\mu m \gamma_\nu \right) + \operatorname{Tr}\left(m^2 \gamma_\mu \gamma_\nu \right) \,$ (根据式（1），中间两项为零)

$$= \operatorname{Tr}\left( p\!\!\!/' \gamma_\mu p\!\!\!/ \gamma_\nu \right) + m^2 \operatorname{Tr}\left(\gamma_\mu \gamma_\nu \right) \,$$ (根据式（2）简化第二项)

$$= {p'}^{\rho} p^\sigma \operatorname{Tr}\left( \gamma_\rho \gamma_\mu \gamma_\sigma \gamma_\nu \right) + m^2 \cdot 4\eta_{\mu\nu} \,$$ (现在用式（3）简化第一项)

$$= {p'}^{\rho} p^\sigma 4 \left( \eta_{\rho\mu}\eta_{\sigma\nu}-\eta_{\rho\sigma}\eta_{\mu\nu}+\eta_{\rho\nu}\eta_{\mu\sigma} \right) + 4 m^2 \eta_{\mu\nu} \,$$ $$=4 \left( {p'}_\mu p_\nu - \mathbf{p' \cdot p}\eta_{\mu\nu} + p'_\nu p_\mu \right) + 4 m^2 \eta_{\mu\nu} \,$$

## 用途

巴巴散射在很多正负电子对撞实验中用作对实验光度的监测，精确的光度测量在精确的散射截面测量实验中必不可少。

- 斯坦福大学的大型Z玻色子探测器（Stanford Large Detector）在1993年进行的实验中，小角度的巴巴散射被用来测量实验的光度，测量的相对不确定度低于0.5%。
- 位于日本高能加速器研究机构的贝尔实验，其前置量能器(Extreme Forward Calorimeter, )即是使用小角度的巴巴散射，来即时地量测该实验的亮度，并且与中心碘化铯量能器所测得的大角度巴巴散射交互校正。贝尔实验为目前亮度最高的B介子工厂。
- 正负电子对撞的实验场所是地下的强子共振设备（能量约为1GeV至10 GeV），如北京的电子同步加速器（BES）、贝尔（Belle）实验和介子的BaBar实验，这些实验利用大角度的巴巴散射作为光度测量的手段。如要达到相对不确定度小于0.1%的测量精确度，实验测量需要和理论计算结果相比较，理论上要求计算到领导项及其下一个高阶项的辐射修正。强子散射截面在这些较低能量下的高精度测量是理论计算μ子反常磁矩的关键条件之一，而计算μ子的反常磁矩能够被用来约束超对称以及其他超越标准模型的粒子理论。