几率流

在量子力学里，几率流，又称为几率通量，是描述几率密度流动的物理量。假若将几率密度想像为非均匀流体，那么，几率流就是这流体的流率（几率密度乘以速度）。

## 定义

在量子力学里，从几率守恒可以得到“几率连续性方程式”。设定一个量子系统的波函数为 $\Psi(x,t)$。定义几率流 $\mathbf{J}$ 为

$\mathbf{J}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^* \boldsymbol{\nabla} \Psi - \Psi \boldsymbol{\nabla} \Psi^*\right) = \frac\hbar m \mbox{Im}(\Psi^*\boldsymbol{\nabla}\Psi)$。

其中，$\hbar$ 是约化普朗克常数，$m$ 是质量，$\Psi^*$ 是 $\Psi$ 是共轭复数，$\mbox{Im}()$ 是取括弧内项目的虚部。

### 连续方程式与几率守恒定律

几率流满足量子力学的连续方程式：

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{J} = 0$。

其中，$\rho = |\Psi|^2$ 是几率密度。

应用高斯公式，等价地以积分方程式表示。

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_\mathbb{V} |\Psi|^2 \mathrm{d}^3{r} + \oint_\mathbb{S}\mathbf{J}\cdot {\mathrm{d}\mathbf{a}} = 0$；(1)

其中，$\mathbb{V}$ 是任意三维区域，$\mathbb{S}$ 是 $\mathbb{V}$ 的边界曲面。

这就是量子力学几率守恒定律的方程式。

方程式 (1) 左边第一个体积积分项目（不包括对于时间的偏微分），即是测量粒子位置时，粒子在 $\mathbb{V}$ 内的几率。第二个曲面积分是几率流出 $\mathbb{V}$ 的通量。总之，方程式 (1) 表明，粒子在三维区域 $\mathbb{V}$ 内的几率对于时间的微分，加上几率流出三维区域 $\mathbb{V}$ 的通量，两者的总和等于零。

### 连续方程式导引

测量粒子在三维区域 $\mathbb{V}$ 内的几率 $P$ 是

$P= \int_\mathbb{V} \rho\,\mathrm{d}^3\mathbf{r} = \int_\mathbb{V} |\Psi|^2 \,\mathrm{d}^3\mathbf{r}$。

几率对于时间的导数是

$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_\mathbb{V} |\Psi|^2 \,\mathrm{d}^3{r} = \int_\mathbb{V} \left( \frac{\partial \Psi}{\partial t}\Psi^* + \Psi \frac{\partial \Psi^*}{\partial t} \right) \,\mathrm{d}^3{r}$；(2)

假设 $\Psi$ 的含时薛定谔方程式为

$i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{-\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi + U\Psi$。

其中，$U(\mathbf{r})$ 是位势。

将含时薛定谔方程式代入方程式 (2)，可以得到

$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t} = - \int_\mathbb{V} \frac{\hbar}{2mi} \left(\Psi^* \nabla^2 \Psi - \Psi \nabla^2 \Psi^* \right)\,\mathrm{d}^3{r}$。

应用一则向量恒等式，可以得到

$\boldsymbol{\nabla} \cdot \left(\Psi^*\boldsymbol{\nabla} \Psi - \Psi \boldsymbol{\nabla} \Psi^* \right) = \boldsymbol{\nabla} \Psi^* \cdot \boldsymbol{\nabla} \Psi + \Psi^* \nabla^2 \Psi - \boldsymbol{\nabla} \Psi \cdot \boldsymbol{\nabla} \Psi^* - \Psi \nabla^2 \Psi^*$。

这方程式右手边第一个项目与第三个项目互相抵销，将抵销后的方程式代入。

$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t} = - \int_\mathbb{V} \boldsymbol{\nabla} \cdot \left[\frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^* \boldsymbol{\nabla} \Psi - \Psi \boldsymbol{\nabla} \Psi^* \right)\right]\,\mathrm{d}^3{r}$。

将几率密度方程式与几率流定义式代入。

$\int_\mathbb{V} \frac{\partial \rho}{\partial t}\,\mathrm{d}^3{r}= - \int_\mathbb{V} \left( \boldsymbol{\nabla} \cdot\mathbf{J}\right)\,\mathrm{d}^3{r}$。

这相等式对于任意三维区域 $\mathbb{V}$ 都成立，所以，被积项目在任何位置都必须等于零：

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J} = 0$。

## 范例

### 平面波

设定一个粒子的波函数 $\Psi$ 为三维空间的平面波。

$\Psi(\mathbf{r},\,t)=A e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} e^{i \omega t}$。

其中，$A$ 是振幅常数，$\mathbf{k}$ 是波数，$\mathbf{r}$ 是位置，$\omega$ 是角频率，$t$ 是时间。

$\Psi$ 的几率流是

$\mathbf{J}= \frac{\hbar}{2mi} |A|^2 \left( e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \boldsymbol{\nabla} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} - e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \boldsymbol{\nabla} e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\right) = |A|^2 \frac{\hbar\mathbf{k}}{m}$。

这只是振幅的平方乘以粒子的速度 $\mathbf{v} = \frac{\mathbf{p}}{m} = \frac{\hbar\mathbf{k}}{m}$。

请注意，虽然这平面波是定态，在每一个的地点，$\frac{d|\Psi|^2}{dt} = 0$，但是几率流仍旧不等于 $0$。因此可以推论，虽然几率密度不显性地跟时间有关，粒子仍可能移动于空间中。

### 盒中粒子

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思考一维盒中粒子问题，能级为 $E_n$ 的本征波函数 $\Psi_n$ 是

$\Psi_n = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left( \frac{n\pi}{L} x \right),\qquad 0 \le x \le L$。

其中，$L$ 是一维盒子的宽度，两扇盒壁的位置分别在 $x=0$ 与 $x=L$。

由于 $\Psi_n = \Psi_n^*$，其几率流为

$J_n = \frac{\hbar}{2mi}\left( \Psi_n^* \frac{\partial \Psi_n}{\partial x} - \Psi_n \frac{\partial \Psi_n^*}{\partial x} \right) = 0$。

## 参阅

- 阶梯位势
- 透射系数