体积形式

数学中，体积形式提供了函数在不同坐标系（比如球坐标和圆柱坐标）下对体积积分的一种工具。更一般地，一个体积元是流形上一个测度。

在一个定向n-维流形上，体积元典型地由体积形式生成，所谓体积元是一个处处非零的n-阶微分形式。一个流形具有体积形式当且仅当它是可定向的，而可定向流形有无穷多个体积形式（细节见下）。

有一个推广的伪体积形式概念，对无论可否定向的流形都存在。

许多类型的流形有典范的（伪）体积形式，因为它们有额外的结构保证可选取一个更好的体积形式。在复情形，一个带有全纯体积形式的凯勒流形是卡拉比-丘流形。

## 定义

流形M上一个体积形式是处处非0的最高阶（n-维流形上的n-形式）微分形式。

用线丛的语言来说，称最高阶外积$\Omega^n(M) = \Lambda^n(T^*M)$为行列式线丛，n-形式是它的截面。

对不可定向流形，一个体积“伪”形式，也称为“奇”或“扭曲”的体积形式，可以定义为定向丛的一个处处非0截面；这个定义同样适用于定向流形。在这种看法下，（非扭曲的）微分形式就是“偶” n-形式。除非特别地讨论扭曲形式时，我们总是略去形容词“偶”。

第一次明确地引入扭曲微分形式是德拉姆。

## 定向

一个流形具有体积形式当且仅当它可定向，这也可以作为可定向的一个定义。

在G-结构的语言中，一个体积形式是一个SL-结构。因为$\mbox{SL} \to \mbox{GL}^+$是形变收缩（因为$\mbox{GL}^+ = \mbox{SL} \times \mathbf{R}^+$，这里正实数视为纯量矩阵），一个流形具有一个SL-结构当且仅当具有一个$\mbox{GL}^+$-结构，即是一个定向。

在线丛的语言中，行列式丛$\Omega^n(M)$的平凡性等价于可定向性，而一个线丛是平凡的当且仅当它有一个处处非0的截面，这样又得到，体积形式的存在性等价于可定向性。

对于伪体积形式，一个伪体积形式是一个$\mbox{SL}^\pm$-结构，因为$\mbox{SL}^\pm \to \mbox{GL}$ 同伦等价（事实上是形变收缩），任何流形都有伪体积形式。类似地，定向丛总是平凡的，所以任何流形都有一个伪体积形式。

## 和测度的关系

任何流形有一个伪体积形式，因为定向丛（作为线丛）是平凡的。给定一个定向流形上的体积形式ω，密度 |ω| 是忘掉定向结构的非定向流形的一个伪体积形式。

任何伪体积形式ω（从而任何体积形式亦然）定义了一个波莱尔集合上一个测度：

$$\mu_\omega(U)=\int_U\omega. \,\!$$

注意区别，在于任何一个测度可以在（Borel）子集上积分，而一个体积形式只能在一个“定向”胞腔上积分。在单变量微积分中，写成$\int_b^a f\,dx = -\int_a^b f\,dx$，将$dx$视为体积形式而不是测度，$\int_b^a$表明“在$[a,b]$上沿着定向相反的反向积分”，有时记成$\overline{[a,b]}$。

进一步，一般的测度不必连续或光滑，他们不必由体积形式定义；或更形式地说，关于一个体积形式的Radon-Nikodym导数不必绝对连续。

## 例子

### 李群

任何李群，可以由平移定义一个自然的体积形式。这就是说，如果ωe 是$\bigwedge^n T_e^*G$中一个元素，那么一个左不变形式可以定义为$\omega_g=L_g^*\omega_e$，这里Lg为左平移。作为一个推论，任何李群都是可定向的。这个体积形式在相差一个常数的意义下是惟一的，相应的测度称为哈尔测度。

### 辛流形

任何辛流形（或更确切地为殆辛流形）有一个自然的体积形式。如果M是一个带有辛形式ω的2n-维流形，那么由辛形式非退化可知ωn处处非零。作为一个推论，任何辛流形是可定向的（事实上，已经定向）。

### 黎曼体积形式

任何黎曼流形（或伪黎曼流形）有一个自然的体积（或伪体积）形式。在局部坐标系下，能写成表达式：

$$\omega = \sqrt{|g|} dx^1\wedge \dots \wedge dx^n$$

这里流形为n-维，$|g|$是流形上度量张量行列式的绝对值，$dx^i$为组成流形余切丛一组基的1形式。

这个体积形式有许多不同的记号，包括：

$$\omega = \mathrm{vol}_n = \epsilon = *(1) . \,\!$$

这里∗是霍奇对偶，从而最后一个形式∗(1)强调体积形式是流形上常数映射的霍奇对偶。

尽管希腊字母ω经常用于表示体积形式，但是这个记法很难通用，符号ω在微分几何中经常有其它意思（比如辛形式），所以一个公式中的ω不一定就表示体积形式。

一个流形如果既是辛的又是黎曼的，如果流形是凯勒的那种方式定义的体积形式相等。

### 曲面的体积形式

体积形式一个简单的例子可以考虑嵌入n-维欧几里得空间中的2-维曲面。考虑子集$U \subset \mathbf{R}^2$，以及映射函数

$$\phi:U\to \mathbf{R}^n$$

定义了嵌入到$\mathbf{R}^n$中的一个曲面。映射的雅可比矩阵为

$$\lambda_{ij}=\frac{\partial \phi_i} {\partial u_j}$$

指标i从1跑到n，j从1跑到2。n-维空间的欧几里得度量诱导了集合U上的一个度量，度量矩阵分量为：

$$g_{ij}=\sum_{k=1}^n \lambda_{ki} \lambda_{kj} = \sum_{k=1}^n \frac{\partial \phi_k} {\partial u_i} \frac{\partial \phi_k} {\partial u_j}$$

度量的行列式由

$$\det g = \left |\frac{\partial \phi} {\partial u_1} \wedge \frac{\partial \phi} {\partial u_2} \right|^2 = \det (\lambda^T \lambda)$$

给出，这里$\wedge$是楔积。对一个正则曲面，这个行列式不为0；等价地，雅可比矩阵的秩为2。

现在考虑U的一个坐标变换，由微分同胚

$$f \colon U\to U , \,\!$$

给出。从而坐标$(u_1,u_2)$用$(v_1,v_2)$形式表示是$(u_1,u_2)= f(v_1,v_2)$。坐标变换的雅可比矩阵为：

$$F_{ij}= \frac{\partial f_i} {\partial v_j}$$

在新坐标系下，我们有：

$$\frac{\partial \phi_i} {\partial v_j} = \sum_{k=1}^2 \frac{\partial \phi_i} {\partial u_k} \frac{\partial f_k} {\partial v_j}$$

从而度量变换为：

$$\tilde{g} = F^T g F$$

这里 $\tilde{g}$是在v坐标系下的度量。行列式：

$\det \tilde{g} = \det g (\det F)^2$.

给出以上构造后，现在可以直接理解为什么体积在坐标变换下不变的。在2维，体积就是面积。子集$B\subset U$的面积由积分：

$$\begin{align} <pre> \mbox{Area}(B) &= \iint_B \sqrt{\det g}\; du_1 du_2 \\ &= \iint_B \sqrt{\det g} \;\det F \;dv_1 dv_2 \\ &= \iint_B \sqrt{\det \tilde{g}} \;dv_1 dv_2 </pre> \end{align}$$

给出。从而，在任一坐标系下，体积都有相同的表达式，即这个表达式在坐标变换下是不变的。

注意到在以上表达式中2维并没有任何特殊性，以上结论可以平凡地推广到任意维数。

## 体积形式不变性

体积形式不是惟一的，它们以如下方式组成了流形上非0函数上的一个旋子。这是Radon–Nikodym定理的一个几何形式。

给定M上一个处处函数f，和一个体积形式$\omega$，$f\omega$也是M上的体积形式。相反地，给定任何两个体积形式$\omega, \omega'$，他们的比是一个处处非0函数（如果定向相同为正，定向相反为负）。

在坐标系中，他们都不过是一个处处非0函数乘以勒贝格测度，他们的比就是函数的比，这和坐标系的选取无关。本质上，这是$\omega'$关于$\omega$的Radon–Nikodym导数。

### 无局部结构

一个体积形式没有局部结构：任何两个体积形式（在相同维数的流形上）是局部同构的。

正式地说，这个结论意味着给定任何两个同维数的流形$M,N$，分别具有体积形式$\omega_M, \omega_N$，对任何点$m\in M, n\in N$，存在一个映射$f\colon U \to V$（这里$U$是$m$的一个邻域而$V$是$n$的一个邻域），使得N（限制在邻域$V$上）上的体积形式拉回到$M$（限制在邻域$U$）上的体积形式：$f^*\omega_N\vert_V = \omega_M\vert_U$。给定维数的可微流形是局部微分同胚的；增添的判断标准是体积形式拉回到体积形式。

在1维情形，可以这样证明：给定$\mathbf{R}$上一个体积形式$\omega$，定义

$$f(x) := \int_0^x \omega$$

那么标准勒贝格测度$dx$通过f: $\omega = f^*dx$拉回到$\omega$，实际上，$\omega = f\,dx$。

高维数时，给定任何一点$m \in M$，存在一个邻域局部同胚于$\mathbf{R}\times\mathbf{R}^{n-1}$，我们可以进行相同的步骤。

### 整体机构：体积

连通流形M上一个体积形式有一个惟一的整体不变量，即总体积（记作$\mu(M)$），在保持体积形式的映射下不变；总体积可能是无穷，比如$\mathbf{R}^n$上的勒贝格测度。对于一个不连通流形，任何连通分支的体积是不变量。

用符号表示，如果$f\colon M \to N$是流形的同胚，将$\omega_N$拉回到$\omega_M$，那么

$$\mu(N)=\int_N \omega_N = \int_{f(M)} \omega_N = \int_M f^*\omega_N = \int_M \omega_M=\mu(M)$$

从而流形具有相同的体积。

体积形式也能在覆盖映射下拉回，在此情况下将体积乘以纤维的基数（形式地说，在纤维上积分）。在无穷重复盖（比如$\mathbf{R} \to S^1$），有限体积流形上的体积形式拉回到一个无穷体积流形上的体积形式。

反过来，于尔根·莫泽的一个定理指出，对于连通紧流形上两个体积相等的体积形式$\omega_1$和$\omega_2$，存在一个流形的微分自同胚将$\omega_1$拉回到$\omega_2$，事实上存在由的流形成同痕。

## 另见

- 庞加莱度量给出了复平面上一个新的体积形式。
- 测度。

## 参考文献

- Michael Spivak, Calculus on Manifolds, (1965) W.A. Benjamin, Inc. Reading, Massachusetts ISBN 0-8053-9021-9（提供了一个微分几何的现代理念的初等介绍，只需要一般的微积分背景。）