N维球面

n维球面是普通的球面在任意维度的推广。它是$(n+1)$维空间内的 $n$ 维流形。特别地，0维球面就是直线上的两个点，1维球面是平面上的圆，2维球面是三维空间内的普通球面。高于2维的球面有时称为超球面。中心位于原点且半径为单位长度的 $n$ 维球面称为单位n维球面，记为 $S^n$。用符号来表示，就是：

$$S^n = \left\{ x \in \mathbb{R}^{n+1} : \|x\| = 1\right\}.$$

$n$ 维球面是 $(n+1)$ 维球体的表面或边界，是 $n$ 维流形的一种。对于$n\geq 2$，$n$ 维球面是单连通的 $n$ 维流形，其曲率为正的常数。

## 描述

对于任何自然数 $n$，半径为 $r$ 的 $n$ 维球面定义为 $(n+1)$ 维欧几里得空间中到某个定点的距离等于常数 $r$ 的所有点的集合，其中 $r$ 可以是任何正的实数。它是 $(n+1)$ 维空间内的 $n$ 维流形。特别地：

- 0维球面是直线上的两个点$\{p-r, p+r\}$。
- 1维球面是平面上的圆。
- 2维球面是三维空间内的普通球面。
- 3维球面是四维空间内的球面。

### $(n+1)$维空间中的欧几里得坐标

$(n+1)$ 维空间中的点$(x_1, x_2, \cdots, x_{n+1})$定义了一个 $n$ 维球面（$S^n(r)$），由以下方程表示：

$$r^2=\sum_{i=1}^{n+1} (x_i - C_i)^2.\,$$

其中 $C$ 是中心点， $r$ 是半径。

以上的 $n$ 维球面在 $(n+1)$ 维空间中存在，是 $n$ 维流形的一个例子。半径为 $r$ 的 $n$ 维球面的体积形式 $\omega$ 由下式给出：

$$\omega = {1 \over r} \sum_{j=1}^{n+1} (-1)^{j-1} x_j \,dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_{j-1} \wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1} = * dr$$

其中*是霍奇星算子（关于讨论和这个公式在 $r=1$ 的情形下的证明，请参见）。因此。

$$dr \wedge \omega = dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.$$

### $n$维球体

由 $n$ 维球面所包围的体积，称为 $(n+1)$ 维球体。如果把球体的表面包括在内，则 $(n+1)$ 维球体是封闭的，否则是开放的。

特别地：

- 1维球体，是一个线段，是0维球面的内部。
- 2维球体，是一个圆盘，是圆（1维球面）的内部。
- 3维球体，是一个普通的球体，是球面（2维球面）的内部。
- 4维球体，是3维球面的内部。

## n维球体的体积

$(n-1)$维球面所包围的体积（$n$维球体的体积）由以下公式给出：

$V_n={\pi^\frac{n}{2}R^n\over\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}={C_n R^n}$,

其中$\Gamma$是伽玛函数。对于偶数$n$，$\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)= \left(\frac{n}{2}\right)!$；对于奇数$n$，$\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)= \sqrt{\pi} \frac{n

}{2^{\frac{n+1}{2$，其中$n

$表示双阶乘。

由此可以推出，对于给定的 $n$，常数 $C_n$ 的值为：

$C_n={\frac{\pi^k}{k!}}$（对于偶数 $n=2k$）。

$C_n=C_{2k+1}=\frac{2^{2k+1} k!\, \pi^{k}}{(2k+1)!}$（对于奇数 $n=2k+1$）。

$$S_{n-1}=\frac{dV_n}{dR}=\frac{nV_n}{R}={2\pi^\frac{n}{2}R^{n-1}\over\Gamma(\frac{n}{2})}={n C_n R^{n-1}}$$

$n$ 维球面的表面积和体积之间有以下的关系：

$$\frac{V_n}{S_{n-1}} = \frac{R}{n}$$

$$\frac{S_{n+1}}{V_n} = 2\pi R$$

从此可以推导出递推关系：

$$V_n = \frac{2 \pi R^2}{n} V_{n-2}\,$$

这些公式也可以直接从 $n$ 维球坐标系中的积分推出Stewart。

### 例子

对于较小的$n$，半径为$R$的$n$维球体体积$V_n$为如下：

$V_0\,$｜=｜$1\,$

$V_1\,$｜=｜$2\,R$｜$\approx$｜$2.00000 \,R$

$V_2\,$｜=｜$\pi\,R^2$｜$\approx$｜$3.14159 \,R^2$

$V_3\,$｜=｜$\frac{4 \pi}{3}\,R^3$｜$\approx$｜$4.18879 \,R^3$

$V_4\,$｜=｜$\frac{\pi^2}{2}\,R^4$｜$\approx$｜$4.93480 \,R^4$

$V_5\,$｜=｜$\frac{8 \pi^2}{15}\,R^5$｜$\approx$｜$5.26379 \,R^5$

$V_6\,$｜=｜$\frac{\pi^3}{6}\,R^6$｜$\approx$｜$5.16771 \,R^6$

$V_7\,$｜=｜$\frac{16 \pi^3}{105}\,R^7$｜$\approx$｜$4.72477 \,R^7$

$V_8\,$｜=｜$\frac{\pi^4}{24}\,R^8$｜$\approx$｜$4.05871 \,R^8$

但当 $n$ 趋于无穷大时，$\frac{V_n}{R^n}$ 趋于0。

如果维度 $n$ 不限于整数，那么 $n$ 维球面的体积就是n的连续函数，它的极大值位于$n = 5.2569464...$，体积为5.277768...。当 $n=0$ 或 $n=12.76405...$ 时，体积为1。

单位 $n$ 维球面的外切超正方体的边长为2，因此体积为 $2^n$；当维度增加时，$n$ 维球面的体积与外切于它的超正方体的体积之比单调减少。

## 超球坐标系

我们可以定义 $n$ 维空间内的坐标系统，与3维空间内的球坐标系类似，由径向坐标 $r$ 和$\ n-1$个角度坐标 $\phi _1 , \phi _2 , ... , \phi _{n-1}$ 组成。如果 $x_i$是笛卡儿坐标系，那么我们可以定义：

$$x_1=r\cos(\phi_1)\,$$

$$x_2=r\sin(\phi_1)\cos(\phi_2)\,$$

$$x_3=r\sin(\phi_1)\sin(\phi_2)\cos(\phi_3)\,$$

$$\cdots\,$$

$$x_{n-1}=r\sin(\phi_1)\cdots\sin(\phi_{n-2})\cos(\phi_{n-1})\,$$

$$x_n~~\,=r\sin(\phi_1)\cdots\sin(\phi_{n-2})\sin(\phi_{n-1})\,$$

从中可以推出逆变换的公式：

$$\tan(\phi_{n-1})=\frac{x_n}{x_{n-1}}$$

$$\tan(\phi_{n-2})=\frac{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2}}{x_{n-2}}$$

$$\cdots\,$$

$$\tan(\phi_{1})=\frac{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2+\cdots+{x_2}^2}}{x_{1}}$$

注意最后一个角$\phi _{n-1}$的值域为$2\pi$，而其它角的值域为$\pi$。这个值域覆盖了整个球面。

$n$ 维空间内的体积元素可以从变换的雅可比行列式得出：

$$d_{\mathbb{R}^n}V = \left|\det\frac{\partial (x_i)}{\partial(r,\phi_j)}\right| dr\,d\phi_1 \, d\phi_2\ldots d\phi_{n-1}$$

$$=r^{n-1}\sin^{n-2}(\phi_1)\sin^{n-3}(\phi_2)\cdots \sin(\phi_{n-2})\, dr\,d\phi_1 \, d\phi_2\cdots d\phi_{n-1}$$

以上 $n$ 维球体的体积方程可以通过积分来重新得出：

$$V_n=\int_{r=0}^R \int_{\phi_1=0}^\pi \cdots \int_{\phi_{n-2}=0}^\pi\int_{\phi_{n-1}=0}^{2\pi}d_{\mathbb{R}^n}V. \,$$

$(n-1)$ –维球面的体积元素是2维球面的面积元素的推广，由以下公式给出：

$$d_{S^{n-1}}V = \sin^{n-2}(\phi_1)\sin^{n-3}(\phi_2)\cdots \sin(\phi_{n-2})\, d\phi_1 \, d\phi_2\ldots d\phi_{n-1}$$

## 球极平面投影

就像三维空间中的二维球面可以通过球极平面投影映射到二维平面上一样，一个n维球面也可以通过球极平面投影的 $n$ 维形式映射到 $n$ 维超平面。例如，半径为1的二维球面上的点$\ [x,y,z]$映射到$\ xy$平面上的点$\ [x,y,z] \mapsto \left[\frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z}\right]$。也就是说：

$$\ [x,y,z] \mapsto \left[\frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z}\right].$$

类似地，半径为1的 $n$ 维球面$\mathbf{S}^{n-1}$的球极平面投影映射到垂直于$\ x_n$轴的$n-1$维超平面$\mathbf{R}^{n-1}$：

$$[x_1,x_2,\ldots,x_n] \mapsto \left[\frac{x_1}{1-x_n},\frac{x_2}{1-x_n},\ldots,\frac{x_{n-1}}{1-x_n}\right].$$

## 参考文献

- （第20章：3-spheres and hyperbolic 3-spaces）
- （第14章：The Hypersphere）
- Marsaglia, G. "Choosing a Point from the Surface of a Sphere." Ann. Math. Stat. 43, 645-646, 1972.