截角立方体

在几何学中，截角立方体是一种十四面体，由八个正三角形与六个正八边形组成，具有14个面、24个顶点以及36条边。是一种阿基米德立体，属于半正多面体。其对偶多面体为三角化八面体。

## 性质

截角立方体是一种适当截角的立方体。截角时确定了截面的边与没截到的长度等长，因此会形成正八边形。过度截角到最后会变成截半立方体。

截角立方体的对偶多面体是三角化八面体，若截角立方体的边长是2，则其对偶的边常会变成$\scriptstyle {2+\sqrt{2}}$单位长。

### 座标

一个边长为2ξ、几何中心位于原点的截角立方体。

(±ξ, ±1, ±1),

(±1, ±ξ, ±1),

(±1, ±1, ±ξ)

其中 ξ = $\scriptstyle {\sqrt2 - 1}$。

参数ξ的值可以在±1之间变化。值为1时产生一个立方体、值为0时是截半立方体，负值会变成自我相交的八角星面。

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### 体积与表面积

截角立方体的表面积为$2(6+6\sqrt{2}+\sqrt{3})a^2$，体积为$\frac{1}{3}(21+14\sqrt{2})a^3$，其中$a$是该截半立方体的边长。

表面积 = $A = 2(6+6\sqrt{2}+\sqrt{3})a^2 \approx 32.4346644a^2$

体积 = $V = \frac{1}{3}(21+14\sqrt{2})a^3 \approx 13.5996633a^3$

## 作法

将立方体进行截角操作，也就是将立方体的八个顶点切去并在被切掉的地方建立八个正三角形面即可得到一个截角立方体。

## 正交投影

截角立方体具有五个特殊正交投影，可分为三大类：以顶点为中心、以边缘为中心（棱）、以及以面为中心。以顶点为中心仅有一种，以边缘（棱）为中心有两种：以三角形-八边形边为中心和以八边形-八边形边为中心；以面为中心也是两种：以三角形面为中心以及以八边形面为中心。最后两个对应B2和A2考克斯特平面。

建立方式｜顶点｜边3-8｜边8-8｜面八边形｜面三角形

截角立方体｜

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三角化八面体（对偶多面体）｜

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投影对称性｜2｜2｜2｜4｜6

## 球面镶嵌

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以正八边形为中心｜

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以正三角形为中心

平行投影｜施莱格尔投影

## 分解

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截角立方体可以分割成一个中央立方体、周围六个四角帐塔跟角落八个正四面体。这种结构也可以在大斜方截半立方体堆砌中发现，其具有立方体、正四面体以及小斜方截半立方体的胞。

这种分解方式去除两个四角帐塔和中间的立方体可以用来构造斯图尔特环形所有正的面，这种“被挖空的”立方体有16个三角形，正方形12，和4个八边形。

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## 顶点排布

共有三种多面体与截角立方体有着相同的顶点排布。他们分别为：

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截角立方体｜

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非凸大斜方截半立方体｜

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大立方立方八面体｜

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大斜方立方体

## 相关多面体及镶嵌

截角立方体是立方体经过截角变换后的结果，与立方体相关的多面体还有：

### 变异对称

此多面体的拓扑结构属于考克斯特对称群n,3构成的一系列顶点配置为(3.2n.2n)和n.8.8的均匀截角多面体和镶嵌家族的一部分。

截角立方体的面组成方式是一个正八边形与正三角形交错组成。同样由正多边形与正三角形交错组成的多面体或镶嵌图包括：

对称性、n32n,3｜球面对称群列表｜平面对称群列表｜紧凑双曲｜非紧双曲

- 2322,3｜、3323,3｜、4324,3｜、5325,3｜、6326,3｜、7327,3｜、8328,3...｜、∞32∞,3

截角镶嵌｜

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顶点布局｜3.4.4｜3.6.6｜3.8.8｜3.10.10｜3.12.12｜截角七边形镶嵌｜截角八边形镶嵌｜截角三阶无限边形镶嵌

三角化镶嵌｜

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顶点布局｜V3.4.4｜V3.6.6｜V3.8.8｜V3.10.10｜V3.12.12｜三角化七阶三角形镶嵌｜三角化八阶三角形镶嵌｜三角化无限阶三角形镶嵌

如上所述，截角立方体的面组成方式是一个正八边形与正三角形交错组成。另外一种就是视为正八边形与其他正多边形交错组成。具有此性质的多面体或镶嵌图包括：

对称性轨形记号n,4｜球面对称群列表｜平面对称群列表｜紧凑双曲镶嵌｜仿紧双曲镶嵌

- 2422,4｜、3423,4｜、4424,4｜、5425,4｜、6426,4｜、7427,4｜、8428,4...｜、∞42∞,4

截角图｜

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顶点布局｜2.8.8｜3.8.8｜4.8.8｜截角五阶正方形镶嵌｜截角六阶正方形镶嵌｜截角七阶正方形镶嵌｜8.8.8｜截角无限阶正方形镶嵌

n-角化图｜

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顶点布局｜V2.8.8｜V3.8.8｜V4.8.8｜V5.8.8｜V6.8.8｜V7.8.8｜V8.8.8｜V∞.8.8

### 交错截角

截角立方体是将立方体每一个顶点切去，而立方体具有偶数个顶点（8个），且每个面的角数量也是偶数个（正方形有四个角）因此可以进行交错截角。交错截角立方体是一个倒角四面体。

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### 多胞体

截角立方体是截角超方形家族中的第二个成员，相关的多胞体包括：

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截角正方形｜截角立方体｜截角超立方体｜截角五维超正方体｜截角六维超正方体｜截角七维超正方体｜截角八维超正方体

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## 外部链接

- polyhedra.htm
- Editable printable net of a truncated cube with interactive 3D view
- The Uniform Polyhedra
- Virtual Reality Polyhedra www.georgehart.com: The Encyclopedia of Polyhedra
- VRML model
- Conway Notation for Polyhedra Try: "tC"