正矢

($(2k+1)\pi$, 2)(360°k+180°, 2)

($2k\pi$, 0)(360°k, 0)

$2k\pi$（$360^\circ k$）

$k\pi$（$180^\circ k$）

$k\pi-\tfrac{\pi}{2}$（$180^\circ k-90^\circ$）

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正矢（英文：versine、versed sine）是一种三角函数，出现于早期的Q787322（如梵语的阿耶巴塔正弦表第一节），其值为1和余弦函数的差$\textrm{versin} \theta = 1 - \cos \theta \,$。它的定义域是整个实数集，值域在0到2之间。它是周期函数，其最小正周期为$2\pi$（360°）。在自变量为$(2n+1)\pi$（$360^\circ n+180^\circ$，其中$n$为整数）时，该函数有极大值2；在自变量为$2n\pi$（或$360^\circ n$）时，该函数有极小值0。正矢函数是偶函数，其图像关于 $y$ 轴对称。

## 概述

正矢函数（versine或versed sine）

是一个三角函数，常计为$\textrm{versin}(\theta)$、 $\textrm{sinver}(\theta)$、$\textrm{vers}(\theta)$、 $\textrm{ver}(\theta)$或 $\textrm{siv}(\theta)$。

在拉丁语中，其被称为sinus versus（翻转的正弦）、 versinus、 versus或 sagitta（箭头）。

其等价定义为：

$$\operatorname{versin}(\theta) = 1 - \cos(\theta) = 2\sin^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)$$

### 相关函数

- 余的正矢（英文：versed cosine、vercosine），写为$\textrm{vercosin}(\theta)$、 $\textrm{vercos}(\theta)$或 $\textrm{vcs}(\theta)$。
- $$\textrm{vercosin} (\theta) := 2\cos^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = 1 + \cos (\theta) \,$$
- 余矢（英文：coversed sine、coversine），写为$\operatorname{coversin}(\theta)$，有时亦缩写为$\operatorname{cvs}(\theta)$。
- $$\textrm{coversin}(\theta) := \textrm{versin}\!\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = 1 - \sin(\theta) \,$$
- 余的余矢（英文：coversed cosine或 covercosine），写为$\textrm{covercosin}(\theta)$、 $\textrm{covercos}(\theta)$或 $\textrm{cvc}(\theta)$。
- $$\textrm{covercosin}(\theta) := \textrm{vercosin}\!\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = 1 + \sin(\theta) \,$$

与上述四个函数类似，还存在四个“半值”函数：

- 半正矢（英文：haversed sine, haversine或 semiversus），写为$\textrm{haversin}(\theta)$、 $\textrm{semiversin}(\theta)$、 $\textrm{semiversinus}(\theta)$、 $\textrm{havers}(\theta)$、 $\textrm{hav}(\theta)$、 $\textrm{hvs}(\theta)$、 $\textrm{sem}(\theta)$或 $\textrm{hv}(\theta)$，因半正矢公式出名，且曾用于导航术。
- $$\textrm{haversin}(\theta) := \frac {\textrm{versin}(\theta)} {2} = \sin^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos (\theta)}{2} \,$$
- 余的半正矢（英文：haversed cosine或 havercosine），写为$\textrm{havercosin}(\theta)$、$\textrm{havercos}(\theta)$、$\textrm{hac}(\theta)$或 $\textrm{hvc}(\theta)$，其可运用在讯号处理和几率统计上，参见余的半正矢应用一节。
- $$\textrm{havercosin}(\theta) := \frac {\textrm{vercosin}(\theta)} {2}\,$$
- $$= \cos^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 + \cos (\theta)}{2} \,$$
- 半余矢（英文：hacoversed sine、hacoversine或 cohaversine），写为$\textrm{hacoversin}(\theta)$、 $\textrm{semicoversin}(\theta)$、 $\textrm{hacovers}(\theta)$、 $\textrm{hacov}(\theta)$或 $\textrm{hcv}(\theta)$。
- $$\textrm{hacoversin}(\theta) := \frac {\textrm{coversin}(\theta)} {2} = \frac{1 - \sin (\theta)}{2} \,$$
- 余的半余矢（英文：hacoversed cosine、 hacovercosine或 cohavercosine），写为$\textrm{hacovercosin}(\theta)$、 $\textrm{hacovercos}(\theta)$或 $\textrm{hcc}(\theta)$。
- $$\textrm{hacovercosin}(\theta) := \frac {\textrm{covercosin}(\theta)} {2} = \frac{1 + \sin (\theta)}{2} \,$$

## 历史与应用

### 正矢和余矢

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普通的正弦函数在历史上有时被称为sinus rectus （“straight sine”，直译“直正弦”），以与“versed”的正弦函数，即正矢函数（sinus versus）进行对比。如果在原始上下文中检视函数的定义（单位圆），这些术语的含义就会很明显：

对于单位圆的垂直弦$AB$，角$\theta$（代表上下角$\Delta$的一半）的正弦是距离$AC$（垂直弦的一半）。另一方面，$\theta$的正矢是从垂直弦的中心到圆弧中心的距离$CD$。因此，$\cos (\theta)$（等于线$OC$的长度）和$\textrm{versin}(\theta)$（等于线$CD$的长度）总和就是半径$OD$（长度为单位长）。以这种方式说明，正弦是垂直的，而正矢是水平的（正矢又称为sinus versus，其中versus字面意思是“相反、不合适”）；两者都是从点$C$到圆周的距离，仅差在一个是垂直（正弦），一个是水平（正矢）。

这张图也说明了为什么正矢有时被称为sagitta（拉丁语中箭头的意思），源自阿拉伯语用法sahem，具有相同的含义。它本身来自印度单字“sara”（箭头），通常用来指“Jyā, koti-jyā and utkrama-jyā”。如果把上下角$\Delta = 2\theta$的弧$ADB$看成是“弓”，弦$AB$看成是“弦”，那么正矢对应的线段$CD$显然就是“箭矢”。

为了进一步与将正弦解释为“垂直”并且将正矢解释为“水平”保持一致，“矢”一字（sagitta）在此也可以视为横座标（图中的水平轴）的过时同义词。

1821年，奥古斯丁-路易·柯西使用术语“sinus versus”（siv）表达正矢，以及使用“cosinus versus”（cosiv）表达余矢（不过部分文献混淆了“余的正矢”与“余矢”，柯西在1821年的文献中并未讨论到“余的正矢”，因此它们可能起源于较晚的时间）。

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从历史上看，正矢函数被认为是十分重要的三角函数之一。

当角$\theta$十分接近于0的时候，正矢$\textrm{versin}(\theta)$的值会是两个几乎相等的值的差，因此仅使用余弦函数的三角函数表来计算的话，该表需要非常高的精度才能在避免灾难性抵消对于计算正矢函数时所造成的数值误差，因此制作专用于正矢函数的三角函数表是有必要的。即使是使用计算器或计算机，由于舍入误差，对于较小的$\theta$，也会建议使用$\sin^2$公式来计算正矢值。

正矢的另一个历史优势是它的函数值总是非负的，因此除了单一特殊的角度（如$\theta=0,2\pi,\cdots$及其同界角）为零之外，正矢函数的对数在任何地方都有定义，因此，乘法有涉及正矢函数的计算可以使用对数表来计算。

事实上，现存最早的正弦（半弦长）值表（与托勒密和其他希腊作家列出的弦函数表相对）是印度的Surya Siddhantha计算得出的，其可追溯到公元前3世纪，这个表是一个纪录了从0到90°之每3.75°的正弦和正矢数值的表。

正矢是应用半角公式$\sin^2\left ( \frac{\theta}{2} \right )=\frac{1}{2}\textrm{versin}(\theta)$的中间步骤，该公式由托勒密导出，用于建立此类数学用表。

### 半正矢

半正矢函数出现于半正矢公式中，其可以据两点的经度和纬度来确定大圆上两点之间距离，且在导航术中被广泛地使用，因此十九和二十世纪初的导航和三角测量书中包含了半正矢值表和对数表。1835年，詹姆斯·英曼在其著作《航海与航海天文学：供英国海员使用》（Navigation and Nautical Astronomy: For the Use of British Seamen）第三版中创造了“半正矢”一词以简化地球表面两点之间的距离计算，应用于球面三角学关于导航的部分。

### 现代用途

虽然正矢、余矢和半正矢及其反函数的使用可以追溯到几个世纪前，但其他五个余函数的名称（余的正矢、余的余矢、半余矢、余的半正矢、余的半余矢）似乎较晚才出现。

即便如此，这些函数到了近代都还是存在相关应用，例如正矢的相关函数半正矢有应用在一些少见领域的计算方法上，以及余的半正矢的相关函数则运用于讯号处理、控制理论、几率论和统计学中。

其中正矢的半值函数——半正矢函数在近几十年来发现了新的应用。如1995年来布鲁斯·D·斯塔克（Bruce D. Stark）利用高斯对数之清晰的月角距计算方法，以及2014年提出用于视线缩减之更紧凑的方法。

#### 余的半正矢

余的半正矢（havercosine）是余的正矢（vercosine）之半值函数，其定义为：

$\textrm{havercosin}(\theta) := \frac {\textrm{vercosin}(\theta)} {2} = \cos^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 + \cos (\theta)}{2} \,$

一个周期（$0<\theta<2\pi$）的正弦或更常见的余的正矢（vercosine）之半值函数（havercosine）波形也常用于讯号处理和控制理论中，作为脉冲或窗函数的形状（包括汉恩函数、汉恩–泊松窗和图基窗），因为它平滑地（在值和斜率上连续）从0递增到1（对于半正矢）再对称地递减回0。在这些应用中，它被称为汉恩函数或升余弦滤波器。同样，余的正矢（vercosine）之半值函数（havercosine）也用于几率论和统计学的升余弦分布。

### 结语

综观下来，正矢函数被认为是十分重要的三角函数之一，围绕其的余函数——余矢函数亦是如此。主要是为了在计算器与计算机发明之前高度仰赖三角函数表来计算的时代，避免出现灾难性抵消对于计算正矢函数以及余矢函数时所造成的数值误差。后来发现其对应的半值函数——半正矢能运用在导航术上因此被广泛使用。相应的每个函数都有其余函数，在这些函数发展的晚期，这些其余函数——如余的正矢、余的余矢、半余矢、余的半正矢、余的半余矢才逐渐被拿来讨论。但到了计算器与计算机发明之后，这些函数的需求逐渐式微，因此变得较少使用，但在特定领域仍有发挥空间，如余的半正矢能应用在讯号处理与几率统计上。

## 数学性质

### 定义

正矢、余矢、余的正矢、余的余矢、半正矢、半余矢、余的半正矢、余的半余矢定义如下：

正矢｜$\textrm{versin} (\theta) := 2\sin^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = 1 - \cos (\theta) \,$｜

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余矢｜$\textrm{coversin}(\theta) := \textrm{versin}\!\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = 1 - \sin(\theta) \,$｜

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余的正矢｜$\textrm{vercosin} (\theta) := 2\cos^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = 1 + \cos (\theta) \,$｜

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余的余矢｜$\textrm{covercosin}(\theta) := \textrm{vercosin}\!\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = 1 + \sin(\theta) \,$｜

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半正矢｜$\textrm{haversin}(\theta) := \frac {\textrm{versin}(\theta)} {2} = \sin^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos (\theta)}{2} \,$｜

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半余矢｜$\textrm{hacoversin}(\theta) := \frac {\textrm{coversin}(\theta)} {2} = \frac{1 - \sin (\theta)}{2} \,$｜

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余的半正矢｜$\textrm{havercosin}(\theta) := \frac {\textrm{vercosin}(\theta)} {2} = \cos^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 + \cos (\theta)}{2} \,$｜

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余的半余矢｜$\textrm{hacovercosin}(\theta) := \frac {\textrm{covercosin}(\theta)} {2} = \frac{1 + \sin (\theta)}{2} \,$｜

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### 圆周旋转

这些函数具备圆周旋转性值。例如正矢和余矢即角度差90度、正矢和余的正矢角度差180度、正矢和余的余矢角度差270度，以此类推。半值函数亦然。

$$\begin{align} <pre> \mathrm{versin}(\theta) &= \mathrm{coversin}\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = \mathrm{vercosin}\left(\theta + \pi\right) = \mathrm{covercosin}\left(\theta + \frac{3\pi}{2}\right) \\ \mathrm{haversin}(\theta) &= \mathrm{hacoversin}\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = \mathrm{havercosin}\left(\theta + \pi\right) = \mathrm{hacovercosin}\left(\theta + \frac{3\pi}{2}\right) </pre> \end{align}$$

### 微分与积分

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{versin}(x) = \sin{x}$｜$\int\mathrm{versin}(x) \,\mathrm{d}x = x - \sin{x} + C$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{vercosin}(x) = -\sin{x}$｜$\int\mathrm{vercosin}(x) \,\mathrm{d}x = x + \sin{x} + C$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{coversin}(x) = -\cos{x}$｜$\int\mathrm{coversin}(x) \,\mathrm{d}x = x + \cos{x} + C$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{covercosin}(x) = \cos{x}$｜$\int\mathrm{covercosin}(x) \,\mathrm{d}x = x - \cos{x} + C$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{haversin}(x) = \frac{\sin{x}}{2}$｜$\int\mathrm{haversin}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{x - \sin{x}}{2} + C$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{havercosin}(x) = \frac{-\sin{x}}{2}$｜$\int\mathrm{havercosin}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{x + \sin{x}}{2} + C$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{hacoversin}(x) = \frac{-\cos{x}}{2}$｜$\int\mathrm{hacoversin}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{x + \cos{x}}{2} + C$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{hacovercosin}(x) = \frac{\cos{x}}{2}$｜$\int\mathrm{hacovercosin}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{x - \cos{x}}{2} + C$

### 反函数

这些函数也存在对应的反函数：

- 反正矢（arcversine）：正矢的反函数，又可以记作arcversin、 arcvers、 avers或aver。
- 反余的正矢（arcvercosine）：余的正矢的反函数，又可以记作arcvercosin、 arcvercos、 avercos或avcs。
- 反余矢（arccoversine）：余矢的反函数，又可以记作arccoversin、 arccovers、 acovers或acvs。
- 反余的余矢（arccovercosine）：余的余矢的反函数，又可以记作arccovercosin、 arccovercos、 acovercos或acvc。
- 反半正矢（archaversine）：半正矢的反函数，又可以记作archaversin、 archav、 haversin−1、 invhav、 ahav、 ahvs、 ahv或hav−1。
- 反余的半正矢（archavercosine）：余的半正矢的反函数，又可以记作archavercosin、 archavercos或ahvc。
- 反半余矢（archacoversine）：半余矢的反函数，又可以记作archacoversin或ahcv。
- 反余的半余矢（archacovercosine）：余的半余矢的反函数，又可以记作archacovercosin、 archacovercos或ahcc。

$\operatorname{arcversin}(y) = \arccos\left(1-y\right)\,$ $$\operatorname{arcvercos}(y) = \arccos\left(y-1\right)\,$$ $\operatorname{arccoversin}(y) = \arcsin\left(1-y\right)\,$ $$\operatorname{arccovercos}(y) = \arcsin\left(y-1\right)\,$$ $\operatorname{archaversin}(y) = 2\arcsin\left(\sqrt{y}\right) = \arccos\left(1-2y\right)\,$ $$\operatorname{archavercos}(y) = 2\arccos\left(\sqrt{y}\right) = \arccos\left(2y-1\right)$$ $$\operatorname{archacoversin}(y) = \arcsin\left(1-2y\right)\,$$ $$\operatorname{archacovercos}(y) = \arcsin\left(2y-1\right)\,$$

### 其他性质

这些函数皆可以扩展到复平面。

马克劳林级数：

$$\begin{align} <pre> \operatorname{versin}(z) &= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1} z^{2k}}{(2k)!} \\ \operatorname{haversin}(z) &= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1} z^{2k}}{2(2k)!} </pre> \end{align}$$

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\operatorname{versin}(\theta)}{\theta} = 0$

$\begin{align} <pre> \frac{\operatorname{versin}(\theta) + \operatorname{coversin}(\theta)} {\operatorname{versin}(\theta) - \operatorname{coversin}(\theta)} - \frac{\operatorname{exsec}(\theta) + \operatorname{excsc}(\theta)} {\operatorname{exsec}(\theta) - \operatorname{excsc}(\theta)} &= \frac{2 \operatorname{versin}(\theta) \operatorname{coversin}(\theta)} {\operatorname{versin}(\theta) - \operatorname{coversin}(\theta)} \\[3pt] [\operatorname{versin}(\theta) + \operatorname{exsec}(\theta)]\, [\operatorname{coversin}(\theta) + \operatorname{excsc}(\theta)] &= \sin(\theta) \cos(\theta) </pre> \end{align}$

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## 近似值

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当$v$的正矢函数值$\textrm{versine} (v)$与半径$r$相比较小时，可以透过以下公式从半弦长度$L$（上图所示的$AC$长）近似得出正矢值：

$$v \approx \frac{L^2}{2r}.$$

或者，如果正矢函数值很小，且已知正矢函数值、半径和半弦长，则可以透过以下公式来估计计弧长$s$（上图所示的$AD$）：

$$s\approx L+\frac{v^2}{r}$$

这个公式为中国数学家沈括所知，两个世纪后，郭守敬提出了一个更准确的公式，也涉及弦弧间最大的距离。

工程中使用的更准确的近似是：

$$v\approx \frac{s^\frac{3}{2} L^\frac{1}{2}}{8r}$$

## 任意曲线和弦

术语“正矢”（versine）有时也用来描述任意平面曲线中弦与曲线间最大的距离，上面的圆是其中的一个特例。给定曲线中两点之间的弦，从弦到曲线（通常在弦中点）的垂直距离v称为正矢测量（versine measurement）或轨道曲线正矢测量。对于直线，任何弦的正矢为零，因此该测量表征了曲线的直线度。在极限情况下，当弦长$L$趋近于零时，瞬时曲率的比率为$\frac{8v}{L^2}$。这种用法在铁路运输中尤其常见，它描述了铁轨直线度的测量，并且它是铁路测量的哈拉德方法之基础。

## 其他相关函数

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正矢的值域范围在0到2之间，类似的函数还有弦函数（crd），值域范围也在0到2之间，但函数图形略有差异。正矢函数的图形与正弦函数的形状相同，但x轴与y轴都平移了一段距离。正矢函数与其他“正”的三角函数（正弦、正切、正割）同样是从零开始递增的函数。

## 参考文献

- sagitta
- haversine
- Cites coinage by Prof. Jas. Inman, D. D., in his Navigation and Nautical Astronomy, 3rd ed. (1835).

## 外部链接

- Sagitta, Apothem, and Chord by Ed Pegg, Jr., The Wolfram Demonstrations Project.