几何平均数

在数学中，几何平均数是一种均值，它通过使用它们的值的乘积（算术平均数使用"和"）来指示一组数字的集中趋势或典型值。几何平均数定义为第$n$根个数的乘积的第$n$个根，即对于一组数字$x_1, x_2, ......x_n$, 几何平均数定义为：$$\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}$$任意两数例如2和8的几何平均数，就是它们乘积的平方根，即$\sqrt{2 \cdot 8} = 4$。同样，任意三数 4, 1, 和$\frac{1}{32}$的几何平均数是它们乘积的立方根$\sqrt[3]{4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{32}} = \frac{1}{2}$，以此类推。

当每个项目具有多个具有不同数值范围的属性时，几何平均数经常使用在比较不同项目，为这些项目找到单个品质因子。例如，几何平均数可以给出有意义的“平均数”以比较两家公司的环境可持续性评分为0到5，并且其财务可行性评级为0到100。如果使用算术平均数而不是几何平均数，则财务可行性给予更多权重，因为其数值范围更大 - 因此财务评级的一小部分变化（例如从80变为90）会产生更大的差异。算术平均数比环境可持续性的大比例变化（例如从2到5）。使用几何平均数“归一化”被平均的范围，使得没有范围支配加权，并且任何属性中的给定百分比变化对几何平均数具有相同的影响。因此，没有范围控制加权, 和给定的百分比变化的任何属性对几何平均数有相同的影响。因此，从 4 到 4.8，20% 的环境可持续性变化对几何平均数的影响与从 60 到 72 的财务可行性的 20% 变化有同样的效果。

几何平均数可以根据几何形状来理解。两个数字$a$和$b$的几何平均数是正方形一边的长度，其面积等于以$a$和$b$为两边的矩形的面积。同样，三个数字，$a$、$b$和$c$的几何平均数是立方体一个边的长度，其体积与以$a$、$b$和$c$为边的长方体的体积相同。

几何平均数仅适用于正数。它也经常用于一组数位，它们的值是用来相乘的，或者是指数性质的，例如关于人口增长的资料或金融投资的利率。

几何平均数也是三个最经典的毕达哥拉斯平均的其中一个，与前面提到的算术平均数和调和平均数一起。对于包含至少一对不等数的所有正则资料集，调和平均数始终是三种方法中最小的，算术平均数始终是三中最大的，而几何平均数始终介于两者之间（参见算几不等式）。

## 计算

资料集的几何平均数$\left\{a_1, a_2,\, \ldots,\, a_n\right\}$由下式给出：$$\left(\prod_{i=1}^n a_i \right)^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}.$$上述的式使用大写希腊字母Π来显示一系列的乘法。等号的每一侧都显示一组值是连续相乘的 (值的个数由"$n$"表示)，以提供该集合的 乘积的总数, 然后将整个产品的$\sqrt[n]{x}$带给几何原集的平均数。例如，在一组四数位 $\{1, 2, 3, 4\}$ 中，$1 \times 2 \times 3 \times 4$ 的乘积为$24$, 几何平均数为24的第四根，或 ~ 2.213。左边的指数$\frac{1}{n}$等于$\sqrt[n]{x}$。例如，$24^\frac{1}{4} = \sqrt[4]{24}$。

除非数集的所有数皆相等，否则数集的几何平均数小于数集的算术平均数。在数集之所有数皆相等的情况下，几何平均数和算术平均数的值是相等的。这允许定义 算术-几何平均数，这两者的交集总是介于两者之间。

几何平均数在某种意义上也代表说，如果算术-调和平均数定义了两个 序列$(a_n)$和$(h_n)$则：$$a_{n+1} = \frac{a_n + h_n}{2}, \quad a_0 = x$$和$$h_{n+1} = \frac{2}{\frac{1}{a_n} + \frac{1}{h_n}}, \quad h_0 = y$$其中$h_{n+1}$是两个序列先前值的 调和平均数，则$a_n$和$h_n$将收敛到$x$和$y$的几何平均数。

这可以很容易地看到一个事实，序列确实收敛到一个共同的极限，几何平均数被保留，从波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理可以很容易地看出这一点：

$$\begin{align} \sqrt{a_i h_i} & = \sqrt{\frac{a_i + h_i}{\frac{a_i + h_i}{h_i a_i}}} \\ & = \sqrt{\frac{a_i + h_i}{\frac{1}{a_i} + \frac{1}{h_i}}} \\ & = \sqrt{a_{i+1} h_{i+1}} \end{align}$$

使用一对相反的有限指数幂平均对算术和调和均值进行替换，皆会产生相同的结果。

### 与对数的关系

几何平均数也可以表示为对数算术平均数的指数。通过使用对数恒等式来变换公式，乘法可以表示为总和，而幂可以表示为乘法:

当 $a_1, a_2, \dots, a_n > 0$，则$$\left( \prod_{i=1}^n a_i \right)^\frac{1}{n} = \exp\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln a_i\right]$$如果 $\exists a_j < 0$，则$$\left( \prod_{i=1}^n a_i \right)^\frac{1}{n} = \left(-1\right)^m \exp\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \ln \left|a_i\right| \right]$$其中$m$是负数的数量

这有时称为 "对数平均数" (不与 对数平均 混淆。它只是计算对数变换值的算术平均数$a_i$（即，算术平均对数标度），然后使用幂来计算返回到原来的规模，也就是说它是准算术平均数用$f(x) = \log x$. 例如，2和8的几何平均数可以如下计算，其中$b$ 是对数的任何基数（通常为2、$e$或10）：$$b^{\frac{1}{2}\left[\log_b 2 + \log_b 8\right]} = 4$$几何平均数的对数形式通常是在电脑语言中实现的优选替代方案，因为计算多个数的乘积可能导致算术溢出或算术下溢。使用每个数的对数之和不太可能发生这种情况。

### 与算术平均数和均值保留展开式的关系

如果一组不同的数受到均值保留展开式的影响，两个或更多的集合元素在算术平均数不变的情况下互相分散，那么几何平均数会减小。

### 在恒定时间内计算

在使用几何平均数来确定某数量的平均增长率时，该数量的初始值$a_0$和最终值$a_n$的情况下, 如果已经知道了这个数，那么每一次测量增长率的乘积都不需要。反之，几何平均数为：$$\left(\frac{a_n}{a_0}\right)^\frac{1}{n},$$ $n$是从初始状态到最终状态的次数。

如果值是 $a_0,\, \ldots,\, a_n$，然后测量之间的增长率 $a_k$ 和 $a_{k+1}$ 是 $\frac{a_{k+1}}{a_k}$。则这些增长率的几何平均数只为：$$\left( \frac{a_1}{a_0} \frac{a_2}{a_1} \cdots \frac{a_n}{a_{n-1}} \right)^\frac{1}{n} = \left(\frac{a_n}{a_0}\right)^\frac{1}{n}$$

## 属性

基于几何平均数的特性，可以证明是其他任意均值为错误的：

$$\operatorname{GM}\left(\frac{X_i}{Y_i}\right) = \frac{\operatorname{GM}(X_i)}{\operatorname{GM}(Y_i)}$$

这使得在平均归一化时，作为参考值的比率显示的结果，几何平均数是唯一正确的平均数。这是情况下介绍电脑性能关于参考电脑，或者当计算一个平均索引从几个异类来源 (例如, 寿命、受教育年限和婴儿死亡率)。在这种情况下, 使用算术或调和平均数将根据用作引用的内容更改结果的排序。例如，对计算机程序的执行时间进行以下比较:

电脑 A｜电脑 B｜电脑 C

程式 1｜1｜10｜20

程式 2｜1000｜100｜20

算术平均数｜500.5｜55｜20

几何平均数｜31.622 . . .｜31.622 . . .｜20

调和平均数｜1.998 . . .｜18.182 . . .｜20

算术和几何平均数 "同意 " 电脑 C 是最快的。但是，通过提供适当的正常化值和使用算术平均数，我们可以显示其他两台电脑中的其中一个是最快的。由 A 的结果正常化根据算术平均数给 A 作为最快速的电脑：

电脑 A｜电脑 B｜电脑 C

程式 1｜1｜10｜20

程式 2｜1｜0.1｜0.02

算术平均数｜1｜5.05｜10.01

几何平均数｜1｜1｜0.632 . . .

调和平均数｜1｜0.198 . . .｜0.039 . . .

当结果正常化时，根据算术平均数 B 为最快的电脑，但是根据调和平均数 A 为最快的电脑：

电脑 A｜电脑 B｜电脑 C

程式 1｜0.1｜1｜2

程式 2｜10｜1｜0.2

算术平均数｜5.05｜1｜1.1

几何平均数｜1｜1｜0.632

调和平均数｜0.198 . . .｜1｜0.363 . . .

而根据结果，根据算术平均数 C 作为最快的电脑，但根据调和平均数 A 作为最快的电脑：

电脑 A｜电脑 B｜电脑 C

程式 1｜0.05｜0.5｜1

程式 2｜50｜5｜1

算术平均数｜25.025｜2.75｜1

几何平均数｜1.581 . . .｜1.581 . . .｜1

调和平均数｜0.099 . . .｜0.909 . . .｜1

在所有情况下，几何平均数给出的排名与使用非标准化数值所得的排名保持一致。

然而，这种推理一直受到质疑。

给出一致的结果并不总是为正确的结果。一般而言，为每个程式分配权重更为严格, 计算平均加权执行时间 (使用算术平均数)，然后将结果正常化到其中一台电脑。上面的三个表只是给每个程式带来了不同的权重，解释了算术和调和方法的不一致结果 (第一个表给两个程式带来同等的权重，第二个程式的权重为 $\frac{1}{1000}$, 而第三个专案的权重为$\frac{1}{100}$，第二个程式$\frac{1}{10}$到第一个。如果可能的话, 应避免使用几何平均数来聚合性能编号，因为乘以执行时间不具有物理意义，与在算术平均数中添加时间相反。与时间成反比的度量 (加速，IPC) 应使用调和平均数。

## 应用

### 比例增长

几何平均数比算术平均数更适合用于 指数增长 (恒定的比例增长) 和变化的增长值；在商业中，几何平均数的增长率被称为复合年均增长率(CAGR)。随着周期的增长，几何平均数会产生相等的恒定增长率，从而得出相同的最终数量。

假设橙树一年产100个橙子，接下来几年产180个，210个和300个，因此每年的增长率分别为80％，16.6666％和42.8571％。使用算术平均数计算（线性）平均增长46.5079％（80％+ 16.6666％+ 42.8571％，该总和则除以3）。但是，如果我们从100个橙子开始并让它每年增长46.5079％，结果是314个橙子，而不是300个，所以表示线性平均数“超过”去年增长。

反之，我们可以使用几何平均数。增长80％对应于乘以1.80，因此我们采用1.80,1.166666和1.428571的几何平均数，即$\sqrt[3]{1.80 \times 1.166666 \times 1.428571} \approx 1.442249$；因此每年的“平均”增长率为44.2249％。如果我们从100个橙子开始，让这个数字每年增长44.2249％，结果是300个橙子。

### 在社会科学中的应用

虽然几何平均数在计算社会统计数据方面相对较少，但从2010年开始，联合国人类发展指数确实转向这种计算方式，理由是它更好地反映了编制和比较的统计数据的不可替代性：

几何平均数降低了维度之间的可替代性水平，同时确保出生时预期寿命下降1％对人类发展指数的影响与教育或收入下降1％相同。因此，作为比较成就的基础，这种方法也更加尊重维度的内在差异，而不是简单的平均数。

并非所有用于计算HDI（人类发展指数）的值都被标准化; 其中一些人有形式$\frac{X - X_\text{min}}{X_\text{norm} - X_\text{min}}$。这使得几何平均数的选择不如上面“属性”部分所期望的那样明显。

### 长宽比

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几何平均数已用于选择胶片和视频中的折衷长宽比 几何平均数已用于选择胶片和视频中的折衷宽高比：给定两个宽高比，它们的几何平均数在它们之间提供折衷，在某种意义上同等地扭曲或裁剪。具体地，不同纵横比的两个相等面积矩形（具有相同的中心和平行边）在长宽比为几何平均数的矩形中相交，并且它们的壳体（包含它们两者的最小矩形）同样具有它们的几何平均数的纵横比。

在电影电视工程师协会选择16：9宽高比时，平衡2.35和4：3，几何平均数为$\sqrt{2.35 \times \frac{4}{3}} \approx 1.7701$，因此$16:9 = 1.77\overline{7}$... 被选中。这是由Kerns Powers凭经验发现的，他们切割出具有相同面积的矩形并将它们塑造成与每种流行的纵横比相匹配。当与它们的中心点对齐重叠时，他发现所有这些宽高比矩形都适合宽高比为1.77：1的外部矩形，并且它们全部也覆盖了具有相同宽高比1.77：1的较小的共同内部矩形。幂所发现的值正是极限纵横比的几何平均数4:3(1.33:1)和CinemaScope (2.35:1)，恰好接近于 $16:9$ ($1.77\overline{7}:1$)。中间比率对结果没有影响，只有两个极端比率

将相同的几何平均技术应用于16：9和4：3大致得到14:9 ($1.55\overline{5}$...)纵横比，同样用作这些比率之间的折衷。在这种情况下14：9是完全算术平均数的$16:9$ 和 $4:3 = 12:9$，因为14是16和12的平均数，而精确的几何平均数是$\sqrt{\frac{16}{9}\times\frac{4}{3}} \approx 1.5396 \approx 13.8:9,$ 但两种不同的方法，算术平均数和几何平均数，大致相等，因为两个数字彼此足够接近（差异小于2％）。

### 防反射涂层

在光学涂层中，在折射率为$n_0$和$n_2$的两个介质之间需要最小化反射，$n_1$的 增透膜 的最佳折射率为几何平均数：$n_1 = \sqrt{n_0 n_2}$。

### 光谱平坦度

在讯号处理中，光谱平坦度是一种测量平面或尖刺频谱的方法，它被定义为功率谱的几何平均数与算术平均数的比值。

### 几何

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在直角三角形的情况下，它的高度是从斜边垂直延伸到其90°顶点的直线的长度。想像这条线把斜边分成两段，这些线段长度的几何平均数就是高度的长度。

在椭圆中，半短轴是椭圆从焦点的最大和最小距离的几何平均数，它也是半长轴和圆锥曲线的几何平均数。椭圆的半长轴是从中心到焦点的距离的几何平均数，以及从中心到准线的距离。

距离到球体的地平线是距离的几何平均数到球的最接近的点和距离到球的最远的点。

### 金融

几何平均数一直被用来计算财务指标 (平均是在指数的组成部分)。例如，过去 FTOI 索引使用了几何平均数。在最近介绍的"RPIJ"中，英国和欧洲联盟其他地区的通货膨胀率也被使用。

与使用算术平均数相比，这对索引中的运动有低估作用。

### 图像处理

在影像处理中，采用几何均值滤波器作为噪声滤波器。

## 外部链接

- Calculation of the geometric mean of two numbers in comparison to the arithmetic solution
- Arithmetic and geometric means
- When to use the geometric mean
- Practical solutions for calculating geometric mean with different kinds of data
- Geometric Mean on MathWorld
- Geometric Meaning of the Geometric Mean
- Geometric Mean Calculator for larger data sets
- Computing Congressional apportionment using Geometric Mean Congressional apportionment
- Geometric Mean Definition and Examples
- Why you should summarize your data with the geometric mean – Medium article