黎纳-维谢势

本条目中，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。检验变数或场变数的标记的后面没有单撇号“$'\,\!$”；源变数的标记的后面有单撇号“$'\,\!$”。

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在电动力学里，黎纳-维谢势指的是移动中的带电粒子的推迟势。从马克士威方程组，可以推导出黎纳-维谢势；而从黎纳-维谢势，又可以推导出一个移动中的带电粒子所生成的含时电磁场。但是，黎纳-维谢势不能描述微观系统的量子行为。

阿弗雷-玛丽·黎纳于1898年，埃米尔·维舍特于1900年，分别独立地研究求得黎纳-维谢势的公式。于1995年，Ribarič和Šušteršič正确计算出移动中的偶极子和四极子的推迟势。

## 历史重要性

经典电动力学的研究，关键地助导阿尔伯特·爱因斯坦发展出相对论。爱因斯坦细心地分析黎纳-维谢势和电磁波传播，所累积的心得，引领他想出在狭义相对论里对于时间和空间的概念。经典电动力学表述是一个重要的发射台，使得物理学家能够飞航至更复杂的相对论性粒子运动的学术领域。

虽然经典电动力学表述的黎纳-维谢势，可以很准确地描述，独立移动中的带电粒子的物理行为，但是在原子层次，这表述遭到严峻的考验，无法给出正确地答案。为此缘故，物理学家感到异常困惑，因而引发了量子力学的创立。

对于粒子发射电磁辐射的能力，量子力学又添加了许多新限制。经典电动力学表述，表达于黎纳-维谢势的方程式，明显地违背了实验观测到的现象。例如，经典电动力学表述所预测的，环绕着原子不停运动的电子，由于连续不断地呈加速度状态，应该会不停地发射电磁辐射；但是，实际实验观测到的现象是，稳定的原子不会发射任何电磁辐射。经过研究论证，物理学家发现，电磁辐射的发射完全源自于电子轨域的离散能级的跃迁（参阅波耳原子）。在二十世纪后期，经过多年的改进与突破，量子电动力学成功地解释了带电粒子的放射行为。

## 物理理论

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假设，从源头位置$\mathbf{r}'\,\!$往检验位置$\mathbf{r}\,\!$发射出一束电磁波，而这束电磁波在检验时间$t\,\!$抵达观测者的检验位置$\mathbf{r}\,\!$，则这束电磁波发射的时间是推迟时间$t_r\,\!$。由于电磁波传播于真空的速度是有限的，观测者检验到电磁波的检验时间$t\,\!$，会不同于这电磁波发射的推迟时间$t_r\,\!$。推迟时间 $t_r\,\!$定义为检验时间$t\,\!$减去电磁波传播的时间：

$t_r\ \stackrel{def}{=}\ t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{c}\,\!$。

其中，$c\,\!$是光速。

推迟时间的概念意味着电磁波的传播不是瞬时的。电磁波从发射位置传播到终点位置，需要一段传播期间，称为时间延迟。与日常生活的速度来比，电磁波传播的速度相当快。因此，对于小尺寸系统，这时间延迟，通常很难察觉。例如，从开启电灯泡到这电灯泡的光波抵达到观测者的双眼，所经过的时间延迟，只有几兆分之一秒。但是，对于大尺寸系统，像太阳照射阳光到地球，时间延迟大约为8分钟，可以经过实验侦测察觉。

### 表达方程式

假设，一个移动中的带电粒子，所带电荷为$q\,\!$，随着时间$t\,\!$而改变的运动轨道为$\mathbf{w}(t)\,\!$。设定向量$\boldsymbol{\mathfrak{R}}\,\!$为从带电粒子位置$\mathbf{r}'=\mathbf{w}(t)\,\!$到检验位置$\mathbf{r}\,\!$的分离向量：

$\boldsymbol{\mathfrak{R}}=\mathbf{r} - \mathbf{r}'=\mathbf{r} - \mathbf{w}(t)\,\!$。

则黎纳-维谢纯量势$\Phi(\mathbf{r},\,t)\,\!$和黎纳-维谢向量势$\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\,\!$分别以方程式表达为

$\Phi(\mathbf{r},\,t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q c}{\mathfrak{R} c - \boldsymbol{\mathfrak{R}}\cdot \mathbf{v}}\,\!$。

$\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t) =\frac{\mathbf{v}}{c^2}\Phi(\mathbf{r},\,t) \,\!$。

其中，$\epsilon_0\,\!$是真空电容率，$\mathbf{v}\,\!$是带电粒子的移动速度，$\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{w}}{dt}\,\!$。

虽然黎纳-维谢纯量势$\Phi(\mathbf{r},\,t)\,\!$和黎纳-维谢向量势$\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\,\!$的时间参数是$t\,\!$，方程式右手边的几个变数，带电粒子位置$\mathbf{r}'\,\!$和速度$\mathbf{v}\,\!$都是采推迟时间$t_r\,\!$时的数值：

$\mathbf{r}'=\mathbf{w}(t_r)\,\!$。

$\mathbf{v}=\mathbf{v}(t_r)\,\!$。

### 推导

从推迟势，可以推导出黎纳-维谢势。推迟纯量势$\Phi(\mathbf{r},\,t)\,\!$与推迟向量势$\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\,\!$分别以方程式定义为（参阅推迟势）

$\Phi(\mathbf{r},\,t)\ \stackrel{def}{=}\ \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathcal{V}'} \frac{\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\mathfrak{R}}\, d^3\mathbf{r}'\,\!$。

$\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathcal{V}'} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t_r)}{\mathfrak{R}}\, d^3\mathbf{r}'\,\!$。

其中，$\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)\,\!$和$\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t_r)\,\!$分别是推迟时刻的电荷密度和电流密度，$\mathcal{V}'\,\!$是积分的体空间，$d^3\mathbf{r}'\,\!$是微小体元素，$\mathfrak{R}\,\!$向量还是采推迟时间$t_r\,\!$时的数值。

带电粒子运动轨道的电荷密度可以用狄拉克δ函数表达为

$\rho(\mathbf{r},\,t)=q\delta(\mathbf{r} - \mathbf{w}(t))\,\!$。

其中，$\delta(\mathbf{r} - \mathbf{w}(t))\,\!$是狄拉克δ函数。

代入推迟纯量势$\Phi(\mathbf{r},\,t)\,\!$的方程式。

$\Phi(\mathbf{r},\,t)=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathcal{V}'} \frac{\delta(\mathbf{r}' - \mathbf{w}(t_r))}{\mathfrak{R}}\, d^3\mathbf{r}'\,\!$。

由于狄拉克δ函数$\delta(\mathbf{r}' - \mathbf{w}(t_r))\,\!$的积分会从$\mathbf{r}'\,\!$的可能值中，挑选出当$\mathbf{r}'=\mathbf{w}(t_r)\,\!$时，所有变数的数值。所以，在积分内的变数，都可以被提出积分，采推迟时间$\mathbf{r}'=\mathbf{w}(t_r)\,\!$时所计算出的数值。积分内，只剩下狄拉克δ函数等待进一步处理：

$\Phi(\mathbf{r},\,t)=\frac{q}{4\pi\epsilon_0\mathfrak{R}}\int_{\mathcal{V}'} \delta(\mathbf{r}' - \mathbf{w}(t_r))\, d^3\mathbf{r}'\,\!$。

由于推迟时间$t_r\,\!$跟三个变数$t\,\!$、$\mathbf{r}\,\!$、$\mathbf{r}'\,\!$有关，这积分比较难计算，需要使用换元积分法。设定变数$\boldsymbol{\eta}=\mathbf{r}' - \mathbf{w}(t_r)\,\!$。那么，其雅可比行列式$\mathfrak{J}\,\!$为

$\mathfrak{J}=\cfrac{\partial \boldsymbol{\eta}}{\partial \mathbf{r}'} =\begin{vmatrix} <pre> \cfrac{\partial \eta_x}{\partial x'} & \cfrac{\partial \eta_x}{\partial y'} & \cfrac{\partial \eta_x}{\partial z'} \\ \cfrac{\partial \eta_y}{\partial x'} & \cfrac{\partial \eta_y}{\partial y'} & \cfrac{\partial \eta_y}{\partial z'} \\ \cfrac{\partial \eta_z}{\partial x'} & \cfrac{\partial \eta_z}{\partial y'} & \cfrac{\partial \eta_z}{\partial z'} \\ </pre> \end{vmatrix}\,\!$。

行列式内分量很容易计算，例如：

$\cfrac{\partial \eta_x}{\partial x'}=1 - \cfrac{\partial w_x}{\partial x'}=1 - \cfrac{\partial w_x}{\partial t_r}\ \cfrac{\partial t_r}{\partial x'}=1 - v_x\cfrac{\partial t_r}{\partial x'}\,\!$。

$\cfrac{\partial \eta_y}{\partial x'}=\cfrac{\partial w_y}{\partial x'}=\cfrac{\partial w_y}{\partial t_r}\ \cfrac{\partial t_r}{\partial x'}=v_y\cfrac{\partial t_r}{\partial x'}\,\!$。

按照上述方法，经过一番计算，可以得到

$\mathfrak{J}=1 - \mathbf{v}\cdot\nabla' t_r= 1 - \hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}\cdot\mathbf{v}/c\,\!$。

所以，推迟纯量势$\Phi(\mathbf{r},\,t)\,\!$的方程式变为

$\Phi(\mathbf{r},\,t)=\frac{q}{4\pi\epsilon_0\mathfrak{R}}\int_{\mathcal{V}'} \delta(\boldsymbol{\eta})\cfrac{\partial \mathbf{r}'}{\partial \boldsymbol{\eta}}\, d^3\boldsymbol{\eta} =\frac{q}{4\pi\epsilon_0\mathfrak{R}}\int_{\mathcal{V}'} \cfrac{\delta(\boldsymbol{\eta})}{\mathfrak{J}}\, d^3\boldsymbol{\eta} =\frac{q}{4\pi\epsilon_0\mathfrak{R}}\int_{\mathcal{V}'} \cfrac{\delta(\boldsymbol{\eta})}{1 - \hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}\cdot\mathbf{v}/c}\, d^3\boldsymbol{\eta} \,\!$。

这样，可以得到黎纳-维谢纯量势：

$\Phi(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q c}{\mathfrak{R} c - \boldsymbol{\mathfrak{R}}\cdot \mathbf{v}}\,\!$。

类似地，也可以推导出黎纳-维谢向量势。

### 相对论性导引

从推迟势的表达式可以看出它只依赖于推迟时刻源点的速度，而不依赖于源点的加速度，所以通过电磁势的洛仑兹变换也可以推导出黎纳-维谢势。考虑一个在推迟时刻瞬时速度与电荷运动速度相同的惯性系，记作$S^{\prime}$。在$S^{\prime}$系中，电荷在推迟时刻的速度为零（虽然加速度未必为零），其标势应由库仑定律给出，矢势为零。

$\phi'=\frac{q}{4\pi\epsilon_0 \mathfrak{R}'}$。

$A'=0$。

标势和矢势从$S^{\prime}$系到$S$系的变换满足洛仑兹变换：

$\phi=\gamma (\phi'- c\beta A')$。

$A=\gamma (-A'+\beta\phi' /c)$。

其中，$\gamma$是洛仑兹因子，$\boldsymbol{\beta}=\mathbf{v}/c$。

代入后可以得到：

$\phi =\frac{\gamma q}{4\pi\epsilon_0 \mathfrak{R}'}$。

$\boldsymbol{A}=\frac{\gamma q \boldsymbol{\beta}}{4\pi\epsilon_0 \mathfrak{R}'c}$。

$\mathfrak{R}'$和$\mathfrak{R}$的变换关系也由洛仑兹变换给出：

$$\mathfrak{R}'=c\Delta t'=c\gamma(\Delta t - \boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{\mathfrak{R}}/c)=\gamma(\mathfrak{R} - \boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{\mathfrak{R}})$$

将$\mathfrak{R}'$的表达式代入即得到黎纳-维谢势。

### 物理意义

对于固定不动的带电粒子，电势的方程式为

$\Phi(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q}{\mathfrak{R}}\,\!$。

这是黎纳-维谢纯量势乘以雅可比行列式因子$\mathfrak{J}\,\!$。追根究柢，原因是移动中的带电粒子，虽然理论上是点粒子，但是由于它是在移动中，在积分里所占有的体积显得比较大，所带的电荷因此比较多，所以产生的电势不同。这也可以看作是一种多普勒效应。

### 移动中的带电粒子的电磁场

从黎纳-维谢势，可以计算电场$\mathbf{E}\,\!$和磁场$\mathbf{B}\,\!$：

$\mathbf{E} = - \nabla \Phi - \dfrac {\partial \mathbf{A}} { \partial t } \,\!$。

$\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\,\!$。

求得的电场$\mathbf{E}\,\!$和磁场$\mathbf{B}\,\!$分别为

$\mathbf{E}(\mathbf{r},\,t)= \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\ \cfrac{\mathfrak{R}}{(\boldsymbol{\mathfrak{R}}\cdot \mathbf{u})^3} [(c^2 - v^2)\mathbf{u}+\boldsymbol{\mathfrak{R}}\times(\mathbf{u}\times\mathbf{a})]\,\!$。

$\mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{c}\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}\times\mathbf{E}(\mathbf{r},\,t)\,\!$ ;

其中，向量$\mathbf{u}\,\!$设定为$c\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}} - \mathbf{v}\,\!$，带电粒子的加速度是$\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}\,\!$。

检查电场$\mathbf{E}\,\!$的方程式，右边第一项称为广义库仑场，又称为速度场，因为这项目与加速度无关。当$v\ll c\,\!$，粒子速度超小于光速时，$\mathbf{u}\to c\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}\,\!$，这项目会趋向库仑方程式：

$\mathbf{E} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 }\ \frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}^2}\,\!$。

右边第二项称为辐射场，又称为加速度场，因为这项目的物理行为主要是由粒子的加速度决定。这个项目能够描述电磁辐射的生成程序。

## 参阅

- 电磁波方程式
- 非齐次的电磁波方程式
- 杰斐缅柯方程式
- 拉莫方程式
- 阿布拉罕-劳仑兹力
- 电磁场的数学表述