Verma模

Verma模（Verma module）是李代数表示理论中的基本研究对象，其名取自Daya-Nand Verma。Verma模之间的态射相应于旗流形上的不变微分算子。

可用Verma模来证明以下命题：最高权为$\lambda$的最高权表示的维数有限，若且仅若$\lambda$是支配整权（dominant integral weight）。

## Verma模的定义

设：

- $F$为一域。
- $\mathfrak{g}$，为$F$上一半单李代数。
- $\mathcal{U}(\mathfrak{g})$为其泛包络代数
- $\mathfrak{b}$为其一Borel子代数
- $\mathcal{U}(\mathfrak{b})$为其泛包络代数
- $\mathfrak{h}$为其一嘉当子代数
- $\lambda \in \mathfrak{h}^*$为一固定之权。
- $F_\lambda$为$F$上的一维向量空间，赋与$\mathfrak{b}$-模结构：$\mathfrak{h}$的作用为“乘以$\lambda$”，正根的作用为零。由于$F_\lambda$是一左$\mathfrak{b}$－模，他同时亦是一左$\mathcal{U}(\mathfrak{b})$－模。
- 由Poincaré-Birkhoff-Witt定理，$\mathcal{U}(\mathfrak{g})$有一自然右$\mathcal{U}(\mathfrak{b})$－模结构。由于$\mathcal{U}(\mathfrak{g})$亦是一左$\mathfrak{g}$－模，所以是$(\mathfrak{g}, \mathcal{U}(\mathfrak{b}))$-双模。
- 定义（最高权为$\lambda$之）Verma模 为

$$M_\lambda = \mathcal{U}(\mathfrak{g}) \otimes_{\mathcal{U}(\mathfrak{b})} F_\lambda$$

此自然地是一左$\mathfrak{g}$－模。从Poincaré-Birkhoff-Witt定理可知：$M_\lambda$，作为一向量空间，同构于

$$\mathcal{U}(\mathfrak{g}_-) \otimes_F F_\lambda$$

其中$\mathfrak{g}_-$为$\mathfrak{g}$之负根生成之子李代数。

## 基本性质

作为$\mathfrak{g}$－模，Verma模是一最高权表示，即整个模由一最高权向量生成。此最高权向量是$1\otimes 1$的像（其中前$1$为$\mathcal{U}(\mathfrak{g})$之单位，后$1$为域$F$之单位元）；其权为$\lambda$。

Verma模是weight modules，即$M_\lambda$是其权子空间之直和。每一权子空间$M_\mu$是有限维的，其维度是$M_\mu$权$\lambda-\mu$写成正根之和之方法之数（参见Kostant partition function）。

Verma模有一重要性质：若$V$为任一最高权模，其最高权为$\lambda$，则存在一$\mathfrak{g}$ 满射：$M_\lambda\to V$。换言之，任何最高权模都是$M_\lambda$的商模。

$M_\lambda$内存在唯一极大子模，而$M_\lambda$与此子模之商是不可约的。

Verma模$M_\lambda$本身不可约 若且仅若 当其最高权$\lambda$分解成基本权（fundamental weight）之和时，每一系数都不是$\{0,1,2,\ldots\}$。

称Verma模$M_\lambda$为regular，若其最高权λ位于一支配权$\tilde\lambda$之仿射Weyl轨迹上。换言之，存在Weyl群的元素w，使

$\lambda=w\cdot\tilde\lambda$。

其中$\cdot$是Weyl群的仿射作用。

称Verma模$M_\lambda$为singular，若λ的仿射轨迹上无支配权。此时，存在权$\tilde\lambda$使$\tilde\lambda+\delta$落于基本Weyl室之墙上；（其 中δ为各基本权之和）。

## Verma模之间的态射

设$\lambda, \mu$为两权。若存在态射

$M_\mu\rightarrow M_\lambda$。

则$\mathfrak{g}$的Weyl群$W$的仿射作用$W$必然能把$\mu$带到$\lambda$。此为Harish-Chandra无限小中心特征标定理之一推论。

每一Verma模 态射都是单射。态射空间之维度

$$dim(Hom(M_\mu, M_\lambda))\leq 1$$

其中$\mu, \lambda$为任何两权。因此，存在一非零态射$M_\mu\rightarrow M_\lambda$若且仅若$M_\mu$ 同构于$M_\lambda$的一（唯一）子模。

Verma模态射的完整分类来自I.N.伯恩斯坦、I.M.盖尔芳特 与S.I.盖尔芳特 的工作与N. Verma的工作。简言之。

存在非零态射$M_\mu\rightarrow M_\lambda$若且仅若 存在一串权

$$\mu=\nu_0\leq\nu_1\leq\ldots\leq\nu_k=\lambda$$

使得存在正根$\gamma_i$使$\nu_{i-1}+\delta=s_{\gamma_i}(\nu_i+\delta)$（其中$s_{\gamma_i}$是根反映（根系），而$\delta$是所有基本权之和）且对每一$1\leq i\leq k$，$(\nu_i+\delta)(H_{\gamma_i})$为一自然数（其中$H_{\gamma_i}$是根$\gamma_i$之对偶根（coroot））。

若Verma模$M_\mu$与$M_\lambda$俱为regular，则仅存支配权$\tilde\lambda$与Weyl群元w, w′使

P$\mu=w'\cdot\tilde\lambda$

而且

$$\lambda=w\cdot\tilde\lambda,$$

其中$\cdot$为Weyl群的仿射作用。设此等权是整权（integral weight）。存在非零态射

$$M_\mu\to M_\lambda$$

若且仅若，在Weyl群W 的Bruhat次序中。

$w \leq w'$。

## Jordan-Holder序列

设

$$0\subset A\subset B\subset M_\lambda$$

为一$\mathfrak{g}$－模序列，其中B/A为不可约表示，其最高权为μ。则存在非零态射$M_\mu\to M_\lambda$。

推论：

设$V_\mu, V_\lambda$为二最高权表示。若

$$V_\mu\subset V_\lambda$$

则存在非零态射$M_\mu\to M_\lambda$。

## 伯恩斯坦-盖尔芳特-盖尔芳特 分解

设$V_\lambda$为李代数$\mathfrak{g}$的一有限维不可约表示，其最高权为λ。我们已知：存在非零态射

$$M_{w'\cdot\lambda}\to M_{w\cdot\lambda}$$

若且仅若，在其Weyl群的Bruhat次序中。

$w\leq w'$。

以下定理描述如何分解$V_\lambda$成Verma模的正合序列。

（此定理出现于 伯恩斯坦-盖尔芳特-盖尔芳特1975年的论文）:

存在由$\mathfrak{g}$－态射组成的正合序列

$$0\to \oplus_{w\in W,\,\, l(w)=n} M_{w\cdot \lambda}\to \ldots \to \oplus_{w\in W,\,\, l(w)=2} M_{w\cdot \lambda}\to \oplus_{w\in W,\,\, l(w)=1} M_{w\cdot \lambda}\to M_\lambda\to V_\lambda\to 0$$

其中n为Weyl群最长元之长度。

一般研究员简称其为“BGG分解”。

广义Verma模亦有类似分解。

近来有人研究此等分解之某些特例，以助理解抛物几何（parabolic geometries，嘉当几何之特例）上之不变微分算子。嘉当几何的定义依赖于一李群G与其抛物子群P。参阅、与。

## 参考

- Knapp, A. W. Lie Groups Beyond an troduction. Second Edition. (2002), page 285.
- Dixmier, J., Enveloping Algebras, North-Holland, Amsterdam, New York, Oxford, 1977
- Humphreys J., Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer Verlag, 1980
- Roggenkamp K., Stefanescu M., Algebra - Representation Theory, Springer, 2002