二体问题

本条目中，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。

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在经典力学里，二体问题（two-body problem）研究两个粒子因彼此互相作用而产生的运动。这是个很重要的天文学问题，常见的应用有卫星绕着行星公转、行星绕着恒星公转、双星系统、双行星、一个经典电子绕着原子核运动等等。

二体问题可以表述为两个独立的单体问题，其中一个是平凡的单体问题，另外一个单体问题研究一个粒子因外力作用而呈现的运动。由于很多单体问题有精确解（exact solution），即不需借助近似方法就可得到问题的解答；其对应的二体问题连带地也可解析。显然不同地，除了特别案例以外，三体问题（或者更复杂的多体问题）并没有精确解。

## 约化为两个独立的单体问题

在一个物理系统里，假设两个粒子的质量分别为$m_{1}\,\!$、$m_{2}\,\!$，在时间$t=0\,\!$的初始位置分别为$\mathbf{x}_{10}\,\!$、$\mathbf{x}_{20}\,\!$，初始速度分别为$\mathbf{v}_{10}\,\!$、$\mathbf{v}_{20}\,\!$，计算这两个粒子的轨迹函数$\mathbf{x}_{1}(t)\,\!$及$\mathbf{x}_{2}(t)\,\!$的问题，称为二体问题。

根据牛顿第二定律：

$\mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{1} \ddot{\mathbf{x}}_{1}\,\!$ —— (1)。

$\mathbf{F}_{21}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{2} \ddot{\mathbf{x}}_{2}\,\!$ —— (2)。

其中，$\mathbf{F}_{AB}\,\!$表示粒子B施加于粒子A的作用力。

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将方程式(1)与方程式(2)相加，可以得到一个方程式，专门描述两个粒子的质心运动。将方程式(1)与方程式(2)的相减，则可得到描述两个粒子相对的位移向量$\mathbf{r}=\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2\,\!$与时间之间的关系。将这两个独立的单体问题的解答结合起来，就可以求得轨迹函数$\mathbf{x}_{1}(t)\,\!$和$\mathbf{x}_{2}(t)\,\!$。

### 质心运动（第一个单体问题）

质心的位置由两个粒子的位置和质量给出：

$\mathbf{x}_{cm} \ \stackrel{def}{=}\ (m_{1}\mathbf{x}_{1} + m_{2}\mathbf{x}_{2})/M\,\!$。

其中，$M=m_{1} + m_{2}\,\!$是系统的总质量。

质心的加速度为：

$\ddot{\mathbf{x}}_{cm}=(m_{1}\ddot{\mathbf{x}}_{1} + m_{2}\ddot{\mathbf{x}}_{2})/M\,\!$。

由于没有外力作用，将方程式(1)与(2)相加，根据牛顿第三定律，可以得到

$M\ddot{\mathbf{x}}_{cm} = \mathbf{F}_{12} + \mathbf{F}_{21} = 0 \,\!$。

因此，质心的加速度等于零，质心的速度$\mathbf{v}_{cm}\,\!$为常数：

$\mathbf{v}_{cm}=\dot{\mathbf{x}}_{cm}=(m_{1}\mathbf{v}_{10} + m_{2}\mathbf{v}_{20})/M\,\!$。

这物理系统的动量守恒：

$m_{1}\mathbf{v}_{1} + m_{2}\mathbf{v}_{2}=M\mathbf{v}_{cm}=m_{1}\mathbf{v}_{10} + m_{2}\mathbf{v}_{20}\,\!$。

从两个粒子的初始位置和初始速度，就可以决定质心在任意时间的位置：

$\mathbf{x}_{cm}=\mathbf{v}_{cm}t+(m_{1}\mathbf{x}_{10} + m_{2}\mathbf{x}_{20})/M\,\!$。

### 位移向量运动（第二个单体问题）

将方程式(1)、(2)分别除以$m_1\,\!$、$m_2\,\!$，然后相减，可以得到

$\ddot{\mathbf{r}} = \ddot{\mathbf{x}}_{1} - \ddot{\mathbf{x}}_{2} = \left( \frac{\mathbf{F}_{12}}{m_{1}} - \frac{\mathbf{F}_{21}}{m_{2}} \right)\,\!$。

其中，$\mathbf{r}\,\!$是个从粒子2位置指到粒子1位置的位移向量。

应用牛顿第三定律，$\mathbf{F}_{12} = -\mathbf{F}_{21}\,\!$。所以。

$\ddot{\mathbf{r}} =\left(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} \right)\mathbf{F}_{12}\,\!$。

两个粒子之间的作用力应该只是相对位置$\mathbf{r}\,\!$的函数，而不是绝对位置$\mathbf{x}_{1}\,\!$、$\mathbf{x}_{2}\,\!$的函数；否则，无法满足物理的平移对称，物理定律会因地而易，二体之间的物理关系无法普遍地成立于全宇宙。换句话说，在宇宙中，两个粒子的绝对位置无关紧要，因为它们是宇宙中唯一的两个粒子，是互相施加于彼此的作用力的源头。诚然地，这是一个不实际的问题，可以被视为一个思想实验。为了满足这问题的要求，两个粒子之间的作用力必须只是相对位置$\mathbf{r}\,\!$的函数。这样，相减得到的方程式写为

$\mu \ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = \mathbf{F}(\mathbf{r})\,\!$。

其中，$\mu =m_{1}m_{2}/M\,\!$是约化质量。

一旦求得函数$\mathbf{x}_{cm}(t)\,\!$与$\mathbf{r}(t)\,\!$，就可以计算出两个粒子的轨迹方程式$\mathbf{x}_{1}(t)\,\!$与$\mathbf{x}_{2}(t)\,\!$：

$\mathbf{x}_{1}(t)=\mathbf{x}_{cm}(t) + m_{2}\mathbf{r}(t)/M\,\!$。

$\mathbf{x}_{2}(t)=\mathbf{x}_{cm}(t) - m_{1}\mathbf{r}(t)/M\,\!$。

## 角动量

两个粒子的总角动量$\mathbf{L}_{tot} \,\!$为

$$\begin{align}\mathbf{L}_{tot} & =\mathbf{x}_1 \times (m_1\dot{\mathbf{x}}_1)+\mathbf{x}_2 \times (m_2\dot{\mathbf{x}}_2)=\mathbf{x}_{cm} \times M\dot{\mathbf{x}}_{cm}+\mathbf{r} \times \mu\dot{\mathbf{r}} \\ <pre> & =\mathbf{L}_{cm}+ \mathbf{L}_{rel}\\ \end{align}\,\!$$

其中，$\mathbf{L}_{cm}=\mathbf{x}_{cm} \times M\dot{\mathbf{x}}_{cm}\,\!$是质心对于原点的角动量，$\mathbf{L}_{rel}=\mathbf{r} \times \mu\dot{\mathbf{r}}\,\!$是两个粒子对于质心的角动量。

回想前面质心的轨迹方程式。

$\mathbf{x}_{cm}=\mathbf{v}_{cm}t+(m_{1}\mathbf{x}_{10} + m_{2}\mathbf{x}_{20})/M\,\!$。

为了简化分析，设定质心的初始位置为$0\,\!$。也就是说，质心的直线运动经过原点。那么。

$\mathbf{L}_{cm}=\mathbf{v}_{cm}t \times M\mathbf{v}_{cm}=0\,\!$。

$\mathbf{L}_{tot} =\mathbf{L}_{rel}\,\!$。

二体问题常用的换元的技巧是通过 $u=1/r \!$ 和 $\dot{\theta}=Lu^{2}/m\!$ 将原方程中对时间的求导转化为对角度 $\theta\!$ 的求导，并得到Sturm-Liouville型方程

$$(Lu')'+Lu = 1/L\!$$

### 角动量守恒与连心力

二体问题的总力矩$\boldsymbol{\tau}_{tot}\,\!$是

$\boldsymbol{\tau}_{tot}=\mathbf{x}_1\times\mathbf{F}_{12}+\mathbf{x}_2 \times \mathbf{F}_{21}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}_{12}\,\!$。

在物理学里，时常会遇到的万有引力、静电力等等，都是连心力。假设，作用力$\mathbf{F}_{12}\,\!$是连心力，则$\mathbf{F}_{12}\,\!$与$\mathbf{r}\,\!$同直线，总力矩$\boldsymbol{\tau}_{tot}\,\!$等于0。根据角动量守恒定律。

$\boldsymbol{\tau}_{tot}=\frac{d \mathbf{L}_{tot}}{dt}\,\!$。

因此，总角动量$\mathbf{L}_{tot} \,\!$是个常数，总角动量守恒。

请注意，并不是每一种力都是连心力。假设，两个粒子是带电粒子。由必欧-沙伐定律与劳仑兹力定律所算出的作用力和反作用力并不是连心力。总力矩$\boldsymbol{\tau}_{tot}\,\!$不等于0。总角动量不守恒；这是因为还有角动量并没有被计算在内。假若，将电磁场的角动量计算在内，则角动量守恒定律仍旧成立。

在很多物理系统里，作用力$\mathbf{F}(\mathbf{r})\,\!$是一种连心力，以方程式表示为

$\mathbf{F}(\mathbf{r}) = F(r)\hat{\mathbf{r}}$。

其中，$r\,\!$是径向距离，$\hat{\mathbf{r}}\,\!$是径向单位向量。

这物理系统的运动方程式为

$\mu \ddot{\mathbf{r}} = {F}(r)\hat{\mathbf{r}}\,\!$。

更详尽细节，请参阅条目经典连心力问题（classical central force problem）。

### 平面运动与角动量守恒

总角动量与$\mathbf{r}\,\!$的点积为

$\mathbf{r}\cdot\mathbf{L}_{tot}=\mathbf{r}\cdot(\mathbf{r} \times(\mu\dot{\mathbf{r}}))=0\,\!$。

这两个粒子的运动轨道必定包含于垂直于$\mathbf{L}_{tot} \,\!$的平面。假设作用力为连心力，则由于角动量守恒，这两个粒子必定运动于某特定平面，而常数向量$\mathbf{L}_{tot} \,\!$垂直于这平面。

## 参阅

- 多体问题
- 开普勒定律
- 开普勒问题
- 拉普拉斯-龙格-冷次向量
- 伯特兰定理
- 牛顿旋转轨道定理