拉盖尔多项式

在数学中，以法国数学家埃德蒙·拉盖尔命名的拉盖尔多项式定义为拉盖尔方程的标准解。

$$x\,y'' + (1 - x)\,y' + n\,y = 0\,$$

这是一个二阶线性微分方程。

这个方程只有当n非负时，才有非奇异解。拉盖尔多项式可用在高斯积分法中，计算形如$\int_0^\infty f(x) dx$的积分。

这些多项式（通常用L0, L1等表示）构成一个多项式序列。这个多项式序列可以用罗德里格公式递推得到。

$$L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right).$$

在按照下式定义的内积构成的内积空间中，拉盖尔多项式是正交多项式。

$$\langle f,g \rangle = \int_0^\infty f(x) g(x) e^{-x}\,dx.$$

拉盖尔多项式构成一个Sheffer序列。

拉盖尔多项式在量子力学中有重要应用。氢原子薛定谔方程的解的径向部分，就是拉盖尔多项式。

物理学家通常采用另外一种拉盖尔多项式的定义形式，即在上面的形式的基础上乘上一个n!。

## 前几个拉盖尔多项式

前几个拉盖尔多项式的表达式与函数图像如下：

n $L_n(x)\,$

0 $1\,$

1 $-x+1\,$

2 ${\scriptstyle\frac{1}{2}} (x^2-4x+2) \,$

3 ${\scriptstyle\frac{1}{6}} (-x^3+9x^2-18x+6) \,$

4 ${\scriptstyle\frac{1}{24}} (x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \,$

5 ${\scriptstyle\frac{1}{120}} (-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) \,$

6 ${\scriptstyle\frac{1}{720}} (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) \,$

<image>

## 递归定义

拉盖尔多项式也可以通过递归的方式进行定义。首先，规定前两个拉盖尔多项式为：

$$L_0(x) = 1\,$$

$$L_1(x) = 1 - x\,$$

然后运用下面的递推关系得到更高阶的多项式。

$$L_{k + 1}(x) = \frac{1}{k + 1} \left( (2k + 1 - x)L_k(x) - k L_{k - 1}(x)\right).$$

## 广义拉盖尔多项式

上面提到的拉盖尔多项式的正交性，也可以用另外一种方式表达。即：如果X是一个服从指数分布的随机变量（即，概率密度函数如下式）：

$$f(x)=\left\{\begin{matrix} e^{-x} & \mbox{if}\ x>0, \\ 0 & \mbox{if}\ x<0, \end{matrix}\right.$$

那么：

$$E \left[ L_n(X)L_m(X) \right]=0\ \mbox{whenever}\ n\neq m.$$

指数分布不是唯一的伽玛分布，对于任意的伽玛分布（概率密度函数如下，α > −1，参见Γ函数）

$$f(x)=\left\{\begin{matrix} x^\alpha e^{-x}/\Gamma(1+\alpha) & \mbox{if}\ x>0, \\ 0 & \mbox{if}\ x<0, \end{matrix}\right.$$

相应的正交多项式为形如下式的广义拉盖尔多项式（可以通过罗德里格公式得到）：

$$L_n^{(\alpha)}(x)= {x^{-\alpha} e^x \over n!}{d^n \over dx^n} \left(e^{-x} x^{n+\alpha}\right).$$

有时也将上面的多项式称为连带（联属，伴随）拉盖尔多项式。当取α = 0时，就回到拉盖尔多项式：

$$L^{(0)}_n(x)=L_n(x).$$

## 广义拉盖尔多项式的性质与应用

- 拉盖尔函数可以由合流超几何函数和Kummer变换得到： $L_n^{(\alpha)}(x):= {n+ \alpha \choose n} M(-n,\alpha+1,x)={n+ \alpha \choose n} \sum_{i=0} (-1)^i \frac{{n \choose i}}{{\alpha+i \choose i}}x^i\,$ $= e^x\cdot {n+ \alpha \choose n} M(\alpha+n+1,\alpha+1,-x)$ $=\frac{e^x \sin(n \pi )}{\sin((n+\alpha)\pi)}L_{-\alpha-n-1}^{(\alpha)}(-x)$ $=e^x\cdot\sum_{i=0}(-1)^i {\alpha+n+i \choose n} \frac{x^i}{i!}.$当$n$为整数时，截断为$n$阶拉盖尔多项式。
- $n$阶拉盖尔多项式可以通过将莱布尼茨乘积求导公式应用在罗德里格公式上而得到，结果为$L_n^{(\alpha)} (x) = \sum_{i=0}^n (-1)^i {n+\alpha \choose n-i} \frac{x^i}{i!}$。
- n阶拉盖尔多项式的首项系数为(−1)n/n!。
- 拉盖尔多项式在x=0的取值（常数项）为 $L_n^{(\alpha)}(0)= {n+\alpha\choose n} \approx \frac{n^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)};$
- Ln(α)有n个实的正根（应该注意到 $\left((-1)^{n-i} L_{n-i}^{(\alpha)}\right)_{i=0}^n$构成以施图姆序列），且这些根全部位于区间$(0, n+\alpha+ (n-1) \sqrt{n+\alpha}]$中。
- 当$n$很大，而$\alpha$不变，$x>0$时，拉盖尔多项式的渐近行为如下：

$L_n^{(\alpha)}(x) \approx \frac{n^{\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{4}}}{\sqrt{\pi}} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{x^{\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{4}}} \cos\left(2 \sqrt{x \left(n+\frac{\alpha+1}{2}\right)}- \frac{\pi}{2}\left(\alpha+\frac{1}{2} \right) \right)$，以及

$L_n^{(\alpha)}(-x) \approx \frac{n^{\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{4}}}{2\sqrt{\pi}} \frac{e^{-\frac{x}{2}}}{x^{\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{4}}} \exp\left(2 \sqrt{x \left(n+\frac{\alpha+1}{2}\right)} \right)$。

$$L_0^{(\alpha)} (x) = 1$$

$$L_1^{(\alpha)}(x) = -x + \alpha +1$$

$$L_2^{(\alpha)}(x) = \frac{x^2}{2} - (\alpha + 2)x + \frac{(\alpha+2)(\alpha+1)}{2}$$

$$L_3^{(\alpha)}(x) = \frac{-x^3}{6} + \frac{(\alpha+3)x^2}{2} - \frac{(\alpha+2)(\alpha+3)x}{2} + \frac{(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{6}$$

- 根据拉盖尔多项式的定义，可以使用秦九韶算法计算拉盖尔多项式，程序代码如下：

```
 '''function''' LaguerreL(n, alpha, x) {
    LaguerreL:= 1; bin:= 1 
    '''for''' i:= n '''to''' 1 '''step''' -1 {
        bin:= bin* (alpha+ i)/ (n+ 1- i)
        LaguerreL:= bin- x* LaguerreL/ i
    }
    '''return''' LaguerreL;
 }
```

### 递推关系

拉盖尔多项式满足以下的递推关系：

$$L_n^{(\alpha+\beta+1)}(x+y)= \sum_{i=0}^n L_i^{(\alpha)}(x) L_{n-i}^{(\beta)}(y),$$

特别地，有

$L_n^{(\alpha+1)}(x)= \sum_{i=0}^n L_i^{(\alpha)}(x)$以及$L_n^{(\alpha)}(x)= \sum_{i=0}^n{\alpha-\beta+n-i-1 \choose n-i} L_i^{(\beta)}(x)$，或$L_n^{(\alpha)}(x)=\sum_{i=0}^n {\alpha-\beta+n \choose n-i} L_i^{(\beta- i)}(x);$

还有

$$\begin{align}L_n^{(\alpha)}(x)- \sum_{j=0}^{\Delta-1} {n+\alpha \choose n-j} (-1)^j \frac{x^j}{j!}&= (-1)^\Delta\frac{x^\Delta}{(\Delta-1)!} \sum_{i=0}^{n-\Delta} \frac{{n+\alpha \choose n-\Delta-i}}{(n-i){n \choose i}}L_i^{(\alpha+\Delta)}(x)\\ &=(-1)^\Delta\frac{x^\Delta}{(\Delta-1)!} \sum_{i=0}^{n-\Delta} \frac{{n+\alpha-i-1 \choose n-\Delta-i}}{(n-i){n \choose i}}L_i^{(n+\alpha+\Delta-i)}(x).\end{align}$$

运用以上式子可以得到以下四条关系式：

- $L_n^{(\alpha)}(x) = L_n^{(\alpha+1)}(x) - L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x)$ $=\sum_{j=0}^k {k \choose j} L_{n-j}^{(\alpha-k+j)}(x),$
- $n L_n^{(\alpha)}(x) = (n + \alpha )L_{n-1}^{(\alpha)}(x) - x L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x),$ or $\frac{x^k}{k!}L_n^{(\alpha)}(x)= \sum_{i=0}^k (-1)^i {n+i \choose i} {n+\alpha \choose k-i} L_{n+i}^{(\alpha-k)}(x),$
- $$n L_n^{(\alpha+1)}(x)=(n-x)L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x)+(n+\alpha)L_{n-1}^{(\alpha)}(x)$$
- $$x L_n^{(\alpha+1)}=(n+\alpha)L_{n-1}^{\alpha}(x)-(n-x)L_n^{(\alpha)}(x);$$

将它们组合在一起，就得到了最常用的递推关系式：

$$L_{n + 1}^{(\alpha)}(x) = \frac{1}{n + 1} \left( (2n + 1 + \alpha - x)L_n^{(\alpha)}(x) - (n + \alpha) L_{n - 1}^{(\alpha)}(x)\right).$$

当$i$与$n$均为整数时，拉盖尔多项式有以下的有趣性质：

$$\frac{(-x)^i}{i!} L_n^{(i-n)}(x) = \frac{(-x)^n}{n!} L_i^{(n-i)}(x);$$

进一步可以得到部分分式分解：

$$\frac{L_n^{(\alpha)}(x)}{{n+ \alpha \choose n}}= 1- \sum_{j=1}^n \frac{x^j}{\alpha + j} \frac{L_{n-j}^{(j)}(x)}{(j-1)!} = 1-x \sum_{i=1}^n \frac{L_{n-i}^{(-\alpha)}(x) L_{i-1}^{(\alpha+1)}(-x)}{\alpha +i}.$$

### 拉盖尔多项式的导函数

将拉盖尔多项式对自变量x求导k次，得到：

$$\frac{\mathrm d^k}{\mathrm d x^k} L_n^{(\alpha)} (x) = (-1)^k L_{n-k}^{(\alpha+k)} (x)\,;$$

进一步有：

$$\frac{1}{k!} \frac{\mathrm d^k}{\mathrm d x^k} x^\alpha L_n^{(\alpha)} (x) = {n+\alpha \choose k} x^{\alpha-k} L_n^{(\alpha-k)}(x),$$

运用柯西多重积分公式可以得到：

$$L_n^{(\alpha')}(x) = (\alpha'-\alpha) {\alpha'+ n \choose \alpha'-\alpha} \int_0^x \frac{t^\alpha (x-t)^{\alpha'-\alpha-1}}{x^{\alpha'}} L_n^{(\alpha)}(t)\,dt.$$

将拉盖尔多项式对参变量$\alpha$求导，得到下面的有意思的结果：

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm d \alpha}L_n^{(\alpha)}(x)= \sum_{i=0}^{n-1} \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{n-i}.$$

广义拉盖尔多项式满足下面的微分方程：

$$x L_n^{(\alpha) \prime\prime}(x) + (\alpha+1-x)L_n^{(\alpha)\prime}(x) + n L_n^{(\alpha)}(x)=0,\,$$

可以与拉盖尔多项式的k阶导数所满足的微分方程作一比较。

$$x L_n^{(k) \prime\prime}(x) + (k+1-x)L_n^{(k)\prime}(x) + (n-k) L_n^{(k)}(x)=0,\,$$

仅在此式中，$L_n^{(k)}(x)\equiv\frac{dL_n(x)}{dx^k}$（后面这个符号又有了新的含义）。

于是，当$\alpha=0$时，广义拉盖尔多项式可以用拉盖尔多项式的导数表示：

$$L_n^{(k)}(x)=(-1)^k\frac{dL_{n+k}(x)}{dx^k}$$ 式中的上标(k)容易与求导k次混淆。

### 正交性

伴随拉盖尔多项式在区间`[`0, ∞)上以权函数xα e −x正交：

$$\int_0^{\infty}x^\alpha e^{-x} L_n^{(\alpha)}(x)L_m^{(\alpha)}(x)dx=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}\delta_{n,m},$$

这可由下式得到：

$$\int_0^\infty x^{\alpha'-1} e^{-x} L_n^{(\alpha)}(x)dx= {\alpha-\alpha'+n \choose n} \Gamma(\alpha').$$

伴随对称核多项式可以用拉盖尔多项式表示为：

$$\begin{align} K_n^{(\alpha)}(x,y)&{:=}\frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \sum_{i=0}^n \frac{L_i^{(\alpha)}(x) L_i^{(\alpha)}(y)}{{\alpha+i \choose i}}\\ &{=}\frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \frac{L_n^{(\alpha)}(x) L_{n+1}^{(\alpha)}(y) - L_{n+1}^{(\alpha)}(x) L_n^{(\alpha)}(y)}{\frac{x-y}{n+1} {n+\alpha \choose n}} \\ &{=}\frac{1}{\Gamma(\alpha+1)}\sum_{i=0}^n \frac{x^i}{i!} \frac{L_{n-i}^{(\alpha+i)}(x) L_{n-i}^{(\alpha+i+1)}(y)}{{\alpha+n \choose n}{n \choose i}};\end{align}$$

也有下面的递推关系：

$$K_n^{(\alpha)}(x,y)=\frac{y}{\alpha+1} K_{n-1}^{(\alpha+1)}(x,y)+ \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \frac{L_n^{(\alpha+1)}(x) L_n^{(\alpha)}(y)}{{\alpha+n \choose n}}.$$

进一步地，在伴L2`[`0, ∞)空间上，有：

$$y^\alpha e^{-y} K_n^{(\alpha)}(\cdot, y) \rightarrow \delta(y- \, \cdot),$$

在氢原子的量子力学处理中用到了下面的公式：

$$\int_0^{\infty}x^{\alpha+1} e^{-x} \left[L_n^{(\alpha)}\right]^2 dx= \frac{(n+\alpha)!}{n!}(2n+\alpha+1).$$

### 级数展开

设一个函数具有以下的级数展开形式：

$$f(x)= \sum_{i=0} f_i^{(\alpha)} L_i^{(\alpha)}(x).$$

则展开式的系数由下式给出

$$f_i^{(\alpha)}=\int_0^\infty \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{{i+ \alpha \choose i}} \cdot \frac{x^\alpha e^{-x}}{\Gamma(\alpha+1)} \cdot f(x) \,dx .$$

这个级数在Lp空间$L^2[0,\infty)$上收敛，当且仅当

$$\| f \|_{L^2}^2 := \int_0^\infty \frac{x^\alpha e^{-x}}{\Gamma(\alpha+1)} | f(x)|^2 dx = \sum_{i=0} {i+\alpha \choose i} |f_i^{(\alpha)}|^2 < \infty.$$

一个相关的展开式为：

$$f(x)= e^{\frac{\gamma}{1+\gamma} x} \cdot \sum_{i=0} \frac{L_i^{(\alpha)}\left(\frac{x}{1+\gamma}\right)}{(1+\gamma)^{i+\alpha+1}} \sum_{n=0}^i \gamma^{i-n} {i \choose n} f_n^{(\alpha)};$$

特别地

$$e^{-\gamma x} \cdot L_n^{(\alpha)}(x(1+\gamma))= \sum_{i=n} \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{(1+\gamma)^{i+\alpha+1}} \gamma^{i-n} {i \choose n},$$

这可由下式得到：

$$L_n^{(\alpha)}\left(\frac{x}{1+\gamma} \right)= \frac{1}{(1+\gamma)^n} \sum_{i=0}^n \gamma^{n-i} {n+\alpha \choose n-i} L_i^{(\alpha)}(x).$$

还有，当$\operatorname{Re}{(2\alpha- \beta)}>-1$时。

$$\frac{x^{\alpha-\beta} f(x)}{\Gamma(\alpha-\beta+1)}= {\alpha \choose \beta} \sum_{i=0} \frac{L_i^{(\beta)}(x)}{{\beta+i \choose i}} \sum_{n=0}^i (-1)^{i-n} {\alpha-\beta \choose i-n} {\alpha+n \choose n} f_n^{(\alpha)},$$

这个结果可以由下式导出。

$$\frac{x^{\alpha-\beta} L_n^{(\alpha)}(x)}{\Gamma(\alpha-\beta+1)} = {\alpha \choose \beta} {\alpha+ n\choose n} \sum_{i=n} (-1)^{i-n} {\alpha-\beta \choose i-n} \frac{L_i^{(\beta)}(x)}{{\beta+i \choose i}}$$

#### 更多的例子

幂函数可以展开为：

$$\frac{x^n}{n!}= \sum_{i=0}^n (-1)^i {n+ \alpha \choose n-i} L_i^{(\alpha)}(x)= (-1)^n \sum_{i=0}^n L_i^{(\alpha-i)}(x) {-\alpha \choose n-i},$$

二项式可以展开为：

$${n+x \choose n}= \sum_{i=0}^n \frac{\alpha^i}{i!} L_{n-i}^{(x+i)}(\alpha).$$

进一步可以得到：

$e^{-\gamma x}= \sum_{i=0} \frac{\gamma^i}{(1+\gamma)^{i+\alpha+1}} L_i^{(\alpha)}(x)$（当且仅当 $\operatorname{Re}{(\gamma)} > -\frac{1}{2}$时收敛）

更一般地

$$\frac{x^\beta e^{-\gamma x}}{\Gamma(\beta+1)}= {\alpha+\beta \choose \alpha} \sum_{i=0} \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{ {\alpha+i \choose i}} \sum_{j=0}^i \frac{(-1)^j}{(1+\gamma)^{\alpha+ \beta+ j+ 1}} {\alpha+\beta+j \choose j} {\alpha+i \choose i-j}.$$

对于非负的整数$\beta$，可以化简为：

$$\frac{x^n e^{-\gamma x}}{n!}= \sum_{i=0} \frac{\gamma^i L_i^{(\alpha)}(x)}{(1+\gamma)^{i+n+\alpha+1}} \sum_{j=0}^n (-1)^{n-j} \gamma^j {n+\alpha \choose j} {i \choose n-j},$$

当$\gamma=0$时，可以化简为：

$\frac{x^\beta}{\Gamma(\beta+1)} = {\alpha+ \beta \choose \alpha} \sum_{i=0} (-1)^i {\beta \choose i} \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{{\alpha+i \choose i}},$或

$$\frac{x^\beta L_n^{(\gamma)}(x)}{\Gamma(\beta+1)} = {\alpha+ \beta \choose \alpha} \sum_{i=0} \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{{\alpha+i \choose i}}\sum_{j=0}^n (-1)^{i-j} {n+ \gamma \choose n-j} {\beta+j \choose i} {\alpha+ \beta+ j \choose j}.$$

雅可比Theta 函数有下面的表示：

$$\sum_{k \in \mathbb{Z}} e^{-k^2 \pi x}= \sum_{i=0} L_i^{(\alpha)}\left(\frac{x}{t}\right) \sum_{k \in \mathbb{Z}} \frac{(k^2 \pi t)^i}{(1+ k^2 \pi t)^{i+\alpha+1}};$$

随意选定参量t，贝塞尔函数可以表示为：

$$\frac{J_\alpha(x)}{\left( \frac{x}{2}\right)^\alpha}= \frac{e^{-t}}{\Gamma(\alpha+1)} \sum_{i=0} \frac{L_i^{(\alpha)}\left( \frac{x^2}{4 t}\right)}{{i+ \alpha \choose i}} \frac{t^i}{i!};$$ Γ函数可以展开为：

$$\Gamma(\alpha)=x^\alpha \sum_{i=0} \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{\alpha+i} \qquad \left(\Re(\alpha)<\frac 1 2\right);$$

低阶不完全伽玛函数可展开为：

$$\frac{\gamma(s;z)}{t^s \Gamma(s)}= \frac{\left(\frac{z}{t}\right)^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)} \sum_{i=0} \frac{L_i^{(\alpha)}\left(\frac{z}{t}\right)}{{\alpha+i \choose i}} \sum_{j=0}^i \frac{(-1)^j}{(1+t)^{s+j}}{s-1+j \choose j}{\alpha-1+i \choose i-j},$$

$$\frac{\gamma(s;z)}{t^s \Gamma(s)}= {\alpha+s \choose \alpha+1} \sum_{i=0} \frac{{\alpha+ i+1\choose i+1}- L_{i+1}^{(\alpha)}\left( \frac{z}{t}\right)}{{\alpha+ i+1\choose i}} \sum_{j=0}^i \frac{(-1)^j}{(1+t)^{\alpha+1+s+j} } {\alpha+s+j \choose j}{\alpha+i+1 \choose i-j}.$$

还有：

$$\gamma(s,z)=\frac{\gamma^s}{\Gamma(1-s)} \sum_{i=0} \frac{L_{i+1}^{(-s)}(0)-L_{i+1}^{(-s)}\left(\frac{z}{\gamma}\right)}{(1+\gamma)^{i+1}} \sum_{n=0}^i \gamma^{i-n} \frac{{i \choose n}}{n+1-s};$$

于是，高阶不完全伽玛函数就是：

$$\begin{align}\frac{\Gamma(s,z)}{z^s e^{- z}}&= \sum_{k=0} \frac{L_k^{(\alpha)}(z)}{(k+1) {k+1+\alpha-s \choose k+1}} \qquad \left(\Re\left(s-\frac \alpha 2 \right)< \frac 1 4 \right)\\ &= \sum_{k=0} L_k^{(\alpha)}(z\, t) \cdot \frac{_2F_1\left(1+\alpha+k, 1+k; 2+\alpha+k-s; \frac{t-1}{t}\right)}{t^k(k+1){1+\alpha+k-s \choose 1+k}} \\ &= t^s \sum_{k=0} L_k^{(\alpha)}(z\, t) \cdot \frac{_2F_1\left(1-s, 1+\alpha-s; 2+\alpha+k-s; \frac{t-1}{t}\right)}{(k+1){1+\alpha+k-s \choose 1+k}}\\ &= t^{1+\alpha} \sum_{k=0} L_k^{(\alpha)}(z \, t) \cdot \frac{_2F_1\left(1+\alpha+k, 1+\alpha-s; 2+\alpha+k-s; 1-t \right)}{(k+1){1+\alpha+k-s \choose 1+k}},\end{align}$$

$_2F_1$表示超几何函数。

## 围道积分表示

拉盖尔多项式可以用围道积分表示，如下式所示：

$$L_n^{(\alpha)}(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint\frac{e^{-\frac{x t}{1-t}}}{(1-t)^{\alpha+1}\,t^{n+1}} \; dt$$

积分方向逆时针绕原点一周。

## 与埃尔米特多项式的关系

广义拉盖尔多项式与埃尔米特多项式有下列关系：

$$H_{2n}(x) = (-1)^n\ 2^{2n}\ n!\ L_n^{(-1/2)} (x^2)$$

以及

$$H_{2n+1}(x) = (-1)^n\ 2^{2n+1}\ n!\ x\ L_n^{(1/2)} (x^2)$$

这里的Hn表示乘上了exp(−x2)的埃尔米特多项式（所谓的“物理学家形式”）。

正因为这样，广义拉盖尔多项式也在量子谐振子的量子力学处理中出现。

## 与超几何函数的关系

拉盖尔多项式可以用超几何函数来定义，具体地说，是用合流超几何函数定义：

$$L^{(\alpha)}_n(x) = {n+\alpha \choose n} M(-n,\alpha+1,x) =\frac{(\alpha+1)_n} {n!} \,_1F_1(-n,\alpha+1,x)$$

$(a)_n$是阶乘幂，这里表示升阶乘。

## 与贝塞尔函数的关系

拉盖尔多项式与变形贝塞尔函数之间有以下关系：

$$\begin{align}L_n^{(\alpha)}(x) =& e^\frac x 2 \left(\frac x 4\right)^{n+\frac 12}\frac{2 }{\sqrt \pi (n+1)! {-\frac 1 2 \choose n+1}} \cdot \\ &\cdot\sum_{k=0}^n (-1)^{k+1}{2n+1 \choose n-k} \frac{{n+\alpha \choose n}{\alpha+2n+1 \choose n-k}}{{n-k+\alpha \choose n-k}} \left(k+\frac 1 2 \right) K_{k+\frac 1 2}\left(\frac x 2 \right)\\ = &e^\frac{x}{2} \left(\frac{4}{x} \right)^{n+\alpha+\frac{1}{2}} \Gamma\left(\alpha+\frac{1}{2} \right) {-\alpha-1 \choose n}{-\alpha-\frac 1 2 \choose n} \cdot \\ & \cdot n! \sum_{k=0}^{n} \frac{{-2n-1-2\alpha \choose k-n} {-2n-1-\alpha \choose k-n}}{{-\alpha-1 \choose k-n}} \left(\alpha+\frac{1}{2}+k \right) I_{\alpha+\frac 1 2+k} \left(\frac x 2 \right) \end{align},$$

进一步有：

$$L_n^{(\alpha)}(x)= \frac 2 {4^n (2n+1) {-\frac 1 2 \choose n}} \sum_{k=0}^n \left(k+\frac 1 2 \right) \frac{{2n+1 \choose n-k}}{{n \choose k}^2} {n+\alpha \choose k}{2n+\alpha+1 \choose n-k} \frac{x^{n-k}}{(n-k)!}L_k^{-2k-1}(x).$$

## 外部链接

- 氢原子量子力学处理中的拉盖尔多项式的快速求导法

## 参考文献

- Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), " Chapter 22 ", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4 .
- B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials.
- Eric W. Weisstein, " Laguerre Polynomial ", From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
- S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 3.