连续性方程式

在物理学里，连续性方程式（continuity equation）是描述守恒量传输行为的偏微分方程式。在适当条件下，质量、能量、动量、电荷等都是守恒量，因此很多传输行为都可以用连续性方程式来描述。

连续性方程式是局域性的守恒定律方程式。与全域性的守恒定律相比，这种守恒定律条件更强。本条目内的所有关于连续性方程式的范例都表达了同样的思想──在任意区域内某种守恒量总量的改变，等于从边界进入或离去的数量；守恒量不能够增加或减少，只能够从某一个位置迁移到另一个位置。

每一种连续性方程式都既可以用积分形式表达（使用通量积分），描述任意有限区域内的守恒量；也可以用微分形式表达（使用散度算符），描述任意位置的守恒量。其微分形式与积分形式通过散度定理相互关联。

## 概论

### 微分形式

一般的连续性方程式的微分形式为

$\frac{\partial \varphi}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{f} = s$。

其中，$\varphi$ 是某物理量 $q$ 的密度（每单位体积的物理量），$\mathbf{f}$ 是 $q$ 的流量密度（每单位面积每单位时间的物理量）的向量函数（vector function），$s$ 是 $q$ 在每单位体积每单位时间的生成量。

假若 $s>0$ 则称 $s$ 为“源点”；假若 $s<0$ 则称 $s$ 为“汇点”。假设 $\varphi$ 是没有产生或湮灭的守恒量，（例如，电荷），则 $s=0$，连续性方程式变为

$\frac{\partial \varphi}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{f} = 0$。

从简单的“能量连续性方程式”到复杂的纳维-斯托克斯方程式，这方程式可以用来表示任意连续性方程式。该方程式也是平流方程式（advection equation）的推广。

另一些物理学中的方程式也具有类似连续性方程式的数学形式，例如电场的高斯定律或引力场的高斯重力定律。但是他们通常不被称为连续性方程式，因为 $\mathbf{f}$ 并不代表真实物理量的流动。

### 积分形式

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根据散度定理，连续性方程式可以写为等价的积分形式：

$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} + \oint_{\mathbb{S}} \mathbf{f}\cdot\mathrm{d}\mathbf{a} = S$。

其中，$\mathbb{S}$ 是包住体积 $\mathbb{V}$ 的任意固定（不随时间改变）闭曲面，$Q$ 是在体积 $\mathbb{V}$ 内的 $q$ 总量，$S=\int_{\mathbb{V}}s\ \mathrm{d}^3r$ 是在积分体积 $\mathbb{V}$ 内源点与汇点的总生成量每单位时间，$\mathrm{d}\mathbf{a}$ 是微小面向量积分元素。

举一简例，假设 $\mathbb{V}$ 是台北101大楼，$Q$ 是在大楼内某时间的总人数，$\mathbb{S}$ 是由门口、墙壁、屋顶、地基等等，共同组成的曲面，则连续性方程式表明，当人们进入大楼时（代表穿过曲面的内向通量），或当大楼里面的孕妇生产时（代表源点的 $s>0$），在大楼里面的总人数会增加；而当人们离开大楼时（代表穿过曲面的外向通量），在大楼里面的总人数会减少。

## 电磁理论

在电磁理论里，连续性方程式可以视为一条经验定律，表达局域电荷守恒，或是从马克士威方程组推导出的结果。“电荷连续性方程式”表明，电荷密度 $\rho$ 的变率与电流密度 $\mathbf{J}$ 的散度，两者的代数和等于零：

$\frac{ \partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{J} =0$。

### 马克士威-安培方程式满足局域电荷守恒的连续性方程式

马克士威-安培方程式为

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \ \epsilon_0 \frac{ \partial E }{\partial t}$。

其中，$\mathbf{B}$ 是磁场，$\mathbf{E}$ 是电场，$\mu_0$ 是磁常数，$\epsilon_0$ 是电常数。

取散度于方程式的两边，由于旋度的散度必是零。

$0= \mu_0\nabla \cdot \mathbf{J} +\mu_0\epsilon_0 \frac{ \partial (\nabla \cdot\mathbf{E})}{\partial t}$。

高斯定律的方程式为

$\nabla \cdot\mathbf{E}=\rho/\epsilon_0$。

将这方程式代入，可以得到

$\frac{ \partial \rho }{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J}=0$。

电流是电荷的流量。连续性方程式可以这样论述：假若电荷从某微小体积元素移动出去（电流密度的散度是正值），则在那微小体积元素内的总电荷量会减少，电荷密度的变率是负值。从这解释可以察觉，连续性方程式就是电荷守恒。

### 四维电流

四维电流密度定义为

$J^{\alpha}\ \stackrel{def}{=}\ (c \rho , \mathbf{J}) = (c \rho , J_x, J_y , J_z)$。

其中，$\alpha$ 标记时空坐标，$c$ 是光速。

电荷守恒可以简洁地由四维电流密度的散度表达，即连续性方程式

$\partial_{\alpha} J^{\alpha}=0$。

其中，$\partial_{\alpha}\ \stackrel{def}{=}\ \left(\frac{ \partial}{\partial r^0}, \frac{ \partial}{\partial r^1}, \frac{ \partial}{\partial r^2}, \frac{ \partial}{\partial r^3}\right) = \left(\frac{ \partial}{c\partial t},\frac{ \partial}{\partial x},\frac{ \partial}{\partial y},\frac{ \partial}{\partial z}\right)$。

## 流体力学

在流体力学里，连续性方程式表明，在任何稳定态过程中，质量进入物理系统的速率等于离开的速率。此时连续性方程式与电路学的克希荷夫电流定律类似。“质量连续性方程式”的微分形式为

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0$。

其中，$\rho$ 是流体质量密度，$\mathbf{u}$ 是流速向量场，两者相乘后为质量通量。

假设流体是不可压缩流，则密度 $\rho$ 是常数，质量连续性方程式简化为体积连续性方程式：

$\nabla \cdot (\mathbf{u}) = 0$。

这意味着，在所有位置，速度场的散度等于零；也就是说，局域的体积变率为零。

在另一方面，纳维-斯托克斯方程式是一个向量连续性方程式，描述动量守恒。

## 能量

根据能量守恒，能量只能够传输，不能够生成或湮灭，这意味着“能量连续性方程式”。这是在热力学定律（Laws of thermodynamics）外，能量守恒的另一种数学表述，即。

$\frac{ \partial u}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{q}= 0$。

其中，$u$ 是能量密度（单位体积的能量），$q$ 是能量通量向量（数值大小为单位截面面积每单位时间传输的能量，方向为截面的外法线方向）。

根据傅立叶定律（Fourier's law），对于均匀传导介质。

$\mathbf{q} = -k \nabla T$。

其中，$k$ 是热导率，$T$ 是温度函数。

能量连续性方程式又可写为热传导方程。

$\frac{ \partial u}{\partial t} - k\nabla^2T= 0$。

## 量子力学

在量子力学里，从几率守恒可以得到“几率连续性方程式”假设一个量子系统的波函数为 $\Psi(x,t)$，几率流 $\mathbf{J}$的定义为

$\mathbf{J}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^* \boldsymbol{\nabla} \Psi - \Psi \boldsymbol{\nabla} \Psi^*\right) = \frac\hbar m \mbox{Im}(\Psi^*\boldsymbol{\nabla}\Psi)$。

其中，$\hbar$ 是约化普朗克常数，$m$ 是质量，$\Psi^*$ 是 $\Psi$ 是共轭复数，$\mbox{Im}()$ 是取括弧内项目的虚部。

### 连续方程式与几率守恒定律

几率流满足量子力学的连续方程式：

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{J} = 0$。

其中，$\rho = |\Psi|^2$ 是几率密度。

应用高斯公式，可以等价地以积分方程式表示。

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_\mathbb{V} |\Psi|^2 \mathrm{d}^3{r} + \oint_\mathbb{S}\mathbf{J}\cdot {\mathrm{d}\mathbf{a}} = 0$；(1)

其中，$\mathbb{V}$ 是任意三维区域，$\mathbb{S}$ 是 $\mathbb{V}$ 的边界曲面。

方程式 (1) 左边第一个体积积分项（不包括对于时间的偏微分）是测量粒子位置时粒子在 $\mathbb{V}$ 内的几率。第二个曲面积分是几率流出 $\mathbb{V}$ 的通量。总之，方程式 (1) 表明，粒子在三维区域 $\mathbb{V}$ 内的几率对于时间的微分，与其流出三维区域的几率 $\mathbb{V}$ 的通量，两者之和等于零。

### 连续方程式推导

测得粒子在三维区域 $\mathbb{V}$ 内的几率 $P$ 是

$P= \int_\mathbb{V} \rho\,\mathrm{d}^3\mathbf{r} = \int_\mathbb{V} |\Psi|^2 \,\mathrm{d}^3\mathbf{r}$。

几率对于时间的导数是

$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_\mathbb{V} |\Psi|^2 \,\mathrm{d}^3{r} = \int_\mathbb{V} \left( \frac{\partial \Psi}{\partial t}\Psi^* + \Psi \frac{\partial \Psi^*}{\partial t} \right) \,\mathrm{d}^3{r}$；(2)

注意到 $\Psi$ 的含时薛定谔方程式为

$i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{-\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi + U\Psi$。

其中，$U(\mathbf{r})$ 是位势。

将含时薛定谔方程式代入方程式 (2)，可以得到

$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t} = - \int_\mathbb{V} \frac{\hbar}{2mi} \left(\Psi^* \nabla^2 \Psi - \Psi \nabla^2 \Psi^* \right)\,\mathrm{d}^3{r}$。

应用一则向量恒等式，可以得到

$\boldsymbol{\nabla} \cdot \left(\Psi^*\boldsymbol{\nabla} \Psi - \Psi \boldsymbol{\nabla} \Psi^* \right) = \boldsymbol{\nabla} \Psi^* \cdot \boldsymbol{\nabla} \Psi + \Psi^* \nabla^2 \Psi - \boldsymbol{\nabla} \Psi \cdot \boldsymbol{\nabla} \Psi^* - \Psi \nabla^2 \Psi^*$。

这方程式右手边第一项与第三项互相抵销，将抵销后的方程式代入。

$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t} = - \int_\mathbb{V} \boldsymbol{\nabla} \cdot \left[\frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^* \boldsymbol{\nabla} \Psi - \Psi \boldsymbol{\nabla} \Psi^* \right)\right]\,\mathrm{d}^3{r}$。

将几率密度方程式与几率流定义式代入。

$\int_\mathbb{V} \frac{\partial \rho}{\partial t}\,\mathrm{d}^3{r}= - \int_\mathbb{V} \left( \boldsymbol{\nabla} \cdot\mathbf{J}\right)\,\mathrm{d}^3{r}$。

该等式对于任意三维区域 $\mathbb{V}$ 都成立，所以被积项目在任何位置都必须等于零：

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J} = 0$。

## 参阅

- 欧拉方程式
- 诺特定理