特殊酉群

在数学中，$n$ 阶特殊酉群（special unitary group），记作 $\operatorname{SU}(n)$，是行列式为 1 的 $n\times n$ 酉矩阵组成的群（一般酉矩阵的行列式是绝对值为1的复数）。群运算是矩阵乘法。特殊酉群是由 $n\times n$ 酉矩阵组成的酉群 $\operatorname{U}(n)$ 的一个子群，酉群又是一般线性群 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{C}$) 的一个子群。

群 $\operatorname{SU}(n)$ 在粒子物理中标准模型中有广泛的应用，特别是 $\operatorname{SU}(2)$ 在电弱相互作用与 $\operatorname{SU}(3)$ 在量子色动力学中。

最简单的情形 $\operatorname{SU}(1)$，是平凡群，只有一个元素。群 $\operatorname{SU}(2)$ 同构于范数为 $1$ 的四元数，从而微分同胚于三维球面。因为单位四元数可表示三维空间中的旋转（差一个符号），我们有一个满同态从 $\operatorname{SU}(2)$ 到旋转群 $\operatorname{SO}(3)$，其核为 $\{+I, -I\}$。

## 性质

特殊酉群 SU(n) 是一个 n2-1 维实矩阵李群。在拓扑上是紧及单连通的。在代数上，它是一个单李群（意为它的李代数是单的，见下）。SU(n) 的中心同构于循环群 Zn。当 n ≥ 3，它的外自同构群是 Z2，而 SU(2) 的外自同构群是平凡群。

SU(n) 代数由 n2 个算子生成，满足交换关系（对 i, j, k, l = 1, 2, ..., n）：

$$\left [ \hat{O}_{ij} , \hat{O}_{kl} \right ] = \delta_{jk} \hat{O}_{il} - \delta_{il} \hat{O}_{kj}$$

另外，算子

$$\hat{N} = \sum_{i=1}^n \hat{O}_{ii}$$

满足

$$\left [ \hat{N}, \hat{O}_{ij} \right ] = 0$$

这意味着 SU(n) 独立的生成元个数是 n2-1。

## 生成元

一般地，SU(n) 的无穷小生成元（infinitesimal generator） T，由一个无迹埃尔米特矩阵表示。即

- $$\operatorname{tr}(T_a) = 0 ,\,$$

以及

- $$T_a = T_a^\dagger .\,$$

### 基本表示

在定义或基本表示中，由 $n\times n$ 矩阵表示的生成元是：

- $$T_a T_b = \frac{1}{2n}\delta_{ab}I_n + \frac{1}{2}\sum_{c=1}^{n^2 -1}{(if_{abc} + d_{abc}) T_c} \,$$

这里系数 $f$ 是结构常数，它对所有指标都是反对称的，而系数 $d$ 对所有指标都是对称的。

从而

- $$\left[T_a, T_b \right]_+ = \frac{1}{n}\delta_{ab} + \sum_{c=1}^{n^2 -1}{d_{abc} T_c} \,$$
- $$\left[T_a, T_b \right]_- = i \sum_{c=1}^{n^2 -1}{f_{abc} T_c} \,$$

我们也有

- $$\sum_{c,e=1}^{n^2 -1}d_{ace}d_{bce}= \frac{n^2-4}{n}\delta_{ab} \,$$

作为一个正规化约定。

### 伴随表示

在伴随表示中，生成元表示由 $(n^2-1) \times (n^2-1)$ 矩阵表示，其元素由结构常数定义：

- $$(T_a)_{jk} = -if_{ajk} \,$$

## SU(2)

$\operatorname{SU}_2(\mathbb{C})$ 一个一般矩阵元素形如

$$U = \begin{pmatrix} \alpha&-\overline{\beta}\\ \beta&\overline{\alpha} \end{pmatrix}$$

这里 $\alpha,\beta\in\mathbb{C}$ 使得 $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$。我们考虑如下映射 $\varphi : \mathbb{C}^2 \to \operatorname{M}(2,\mathbb{C})$，（这里 $\operatorname{M}(2,\mathbb{C})$ 表示 2×2 复矩阵集合），定义为

$$\varphi(\alpha,\beta) = \begin{pmatrix} \alpha&-\overline{\beta}\\ \beta&\overline{\alpha} \end{pmatrix}.$$

考虑到 $\mathbb{C}^2$ 微分同胚于 $\mathbb{R}^4$ 和 $\operatorname{M}(2,\mathbb{C})$ 同胚于 $\mathbb{R}^8$，我们可看到 $\varphi$ 是一个实线性单射，从而是一个嵌入。现在考虑 $\varphi$ 限制在三维球面上，记作 $S^3$，我们可发现这是三维球面到 $\operatorname{M}(2,\mathbb{C})$ 的一个紧子流形的一个嵌入。但显然有 $\varphi(S^3) = \operatorname{SU}_2(\mathbb{C})$，作为一个流形微分同胚于 $\operatorname{SU}_2(\mathbb{C})$，使 $\operatorname{SU}_2(\mathbb{C})$ 成为一个紧连通李群。

现在考虑李代数 $\mathfrak{su}_2(\mathbb{C})$，一个一般元素形如

$$U' = \begin{pmatrix} ix & -\overline{\beta}\\ \beta & -ix \end{pmatrix}$$

这里 $x \in \mathbb{R}$ 以及 $\beta \in \mathbb{C}$。易验证这样形式的矩阵的迹是零并为反埃尔米特的。从而李代数由如下矩阵生成

$$u_1 = \begin{pmatrix} 0 & i\\ i & 0 \end{pmatrix} \qquad u_2 = \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad u_3 = \begin{pmatrix} i & 0\\ 0 & -i \end{pmatrix}$$

易见它具有上面提到的一般元素的形式。它们满足关系 $u_3u_2 = -u_2u_3 = u_1$ 和 $u_2u_1 = -u_1u_2 = u_3$。从而交换子括号由

$$[u_1,u_3]=2u_2, \qquad [u_2,u_1] = 2u_3, \qquad [u_3,u_2] = 2u_1.$$

确定。上述生成元与泡利矩阵有关，$u_1 = i\sigma_1$, $u_2 = -i\sigma_2$ 及 $u_3 = i\sigma_3$。

## SU(3)

SU(3) 的生成元 T，在定义表示中为

$$T_a = \frac{\lambda_a}\sqrt{2} .\,$$

这里 $\lambda \,$ 为盖尔曼矩阵，是 SU(2) 泡利矩阵在 SU(3) 之类比：

$\lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$｜$\lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$｜$\lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$｜$\lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix}$｜$\lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}$｜$\lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

注意它们都是无迹埃尔米特矩阵。

它们服从关系

- $$\left[T_a, T_b \right] = i \sum_{c=1}^8{f_{abc} T_c} \,$$

这里 f 是结构常数，如上所定义，它们的值为

$$f^{123} = 1 \,$$

$$f^{147} = -f^{156} = f^{246} = f^{257} = f^{345} = -f^{367} = \frac{1}{2} \,$$

$$f^{458} = f^{678} = \frac{\sqrt{3}}{2} \,$$

d 的取值：

$$d^{118} = d^{228} = d^{338} = -d^{888} = \frac{1}{\sqrt{3}} \,$$

$$d^{448} = d^{558} = d^{668} = d^{778} = -\frac{1}{2\sqrt{3}} \,$$

$$d^{146} = d^{157} = -d^{247} = d^{256} = d^{344} = d^{355} = -d^{366} = -d^{377} = \frac{1}{2} \,$$

## 李代数

$\mathrm{SU}(n)$ 对应的李代数记作 $\mathfrak{su}(n)$。它的标准数学表示由无迹反埃尔米特 $n \times n$ 复矩阵组成，以通常交换子为李括号。粒子物理学家通常增加一个因子 $i$，从而所有矩阵成为埃尔米特的。这只不过是同一个实李代数一个不同的更方便的表示。注意 $\mathfrak{su}(n)$ 是 $\mathbb{R}$ 上一个李代数。

例如，下列量子力学中使用的矩阵组成 $\mathfrak{su}(2)$ 在 $\mathbb{R}$ 上的一组基：

$$i\sigma_x = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix}$$

$$i\sigma_y = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$$

$$i\sigma_z = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}$$

（这里 $i$ 是虚数单位。）

这个表示经常用于量子力学（参见泡利矩阵以及盖尔曼矩阵）表示基本粒子比如电子的自旋。它们也作为我们三维空间量子相对论描述中的单位向量。

注意任意两个不同生成元的乘积是另一个生成元，以及生成元反交换。与单位矩阵（乘以 $i$）一起

$$i I_2 = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}$$

它们也是 $\mathfrak{su}(2)$ 的生成元。

当然这里它取决于我们最终处理的问题，比如在非相对论量子力学中为 2-旋量；或在相对论狄拉克理论中，我们需要到 4-旋量的一个扩张；或在数学中甚至是克利福德代数。

注：在矩阵乘法下（在此情形是反交换的），生成克利福德代数 $\mathrm{Cl}_3$，而在交换子括号下生成李代数 $\mathfrak{su}(2)$。

回到一般的 $\mathrm{SU}(n)$：

如果我们选择（任意）一个特定的基，则纯虚数无迹对角 $n \times n$ 矩阵子空间组成一个 $n - 1$ 维嘉当子代数。

将这个李代数复化，从而现在允许任何无迹 $n \times n$ 矩阵。权本征向量是嘉当子代数自己，只有一个非零元素的矩阵不是对角的。尽管嘉当子代数 $\mathrm{h}$ 只是 $n - 1$ 维，但为了化简计算，经常引入一个辅助元素，与所有元素交换的单位矩阵（它不能视为这个李代数的一个元素）。故我们有一个基，其中第 $i$ 个基向量是在第 $i$ 个对角元素为 $1$ 而在其它处为零的矩阵。则权由 $n$ 个坐标给出，而且在所有 $n$ 个坐标求和为零（因为单位矩阵只是辅助的）。

故 $\mathrm{SU}(n)$ 的秩是 $n - 1$，它的邓肯图由 $A_{n - 1}$ 给出，有 $n - 1$ 个顶点的链。

它的根系由 $n(n - 1)$ 个根组成，生成一个 $n - 1$ 欧几里得空间。这里，我们使用 $n$ 冗余坐标而不是 $n - 1$ 坐标来强调根系的对称（$n$ 坐标之和为零）。换句话说，我们是将这个 $n - 1$ 维向量空间嵌入 $n$-维中。则根由所有 $n(n - 1)$ 置换 $(1, -1, 0, \dots, 0)$。两段以前的构造解释了为什么。单根的一个选取为

$(1, -1, 0, \dots, 0)$,

$(0, 1, -1, \dots, 0)$,

…,

$(0, 0, 0, \dots, 1, -1)$.

它的嘉当矩阵是

$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & \dots & 0 \\-1 & 2 & -1 & \dots & 0 \\ 0 & -1 & 2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 2 \end{pmatrix}$.

它的外尔群或考克斯特群是对称群 $S_n$，$(n - 1)$-单形的对称群。

## 广义特殊酉群

对一个域 F，F 上广义特殊酉群 SU(p,q;F)，F 上一个秩为 n=p+q 的向量空间上使得一个符号为 (p,q) 的非退化埃尔米特形式不变的所有行列式为 1 线性变换组成的群。这个幺正群经常称为 F 上符号为 (p,q) 的特殊酉群。域 F 可以换为一个交换环，在这种情形向量空间换为自由模。

特别地，固定 GL(n,R) 中一个符号为 (p,q) 的埃尔米特矩阵，则所有

$$M \in SU(p,q,R)$$

满足

$$M^{*} A M = A \,$$

$$\det M = 1. \,$$

经常可以见到记号 $SU_{p,q}$ 略去环或域，在这种形式环或域是指 C，这给出一个典型李群。当 F=C 时，A 的标准选取是

$$<pre> A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & I_{n-2} & 0 \\ -i & 0 & 0 \end{bmatrix}. </pre>$$

对某些维数 A 可能有更好的选择，当限制为 C 的一个子环时有更好表现。

### 例子

这类群的一个重要例子是皮卡模群 SU(2,1;Zi)，（射影地）作用在二度复双曲空间上，同样地 SL(2,Z) （射影地）作用在二维实双曲空间上。2003年，Gábor Francsics 与彼得·拉克斯算出了这个群在 $HC^2$ 上作用的基本域，参见。

另一个例子是 SU(1,1;C)，同构于 SL(2,R)。

## 重要子群

在物理学中，特殊酉群用于表示波色对称。在对称性破缺理论中寻找特殊酉群的子群很重要。在大一统理论中 SU(n) 重要的子群是，对 p>1，n-p>1：

$$SU(n) \supset SU(p)\times SU(n-p) \times U(1).$$

为了完整性，还有正交与辛子群：

$$SU(n) \supset O(n)$$

$$SU(2n) \supset USp(2n).$$

因为 SU(n) 的秩是 n-1，U(1) 是 1，一个有用的检验是看子群的秩是小于还是等于原来群的秩。SU(n) 是多个其它李群的子群：

$$SO(2n) \supset SU(n)$$

$$USp(2n) \supset SU(n)$$

$Spin(4) = SU(2) \times SU(2)$（参见自旋群）

$$E_6 \supset SU(6)$$

$$E_7 \supset SU(8)$$

$G_2 \supset SU(3)$（关于 E6, E7 与 G2 参见单李群）。

有同构 SU(4)=Spin(6)，SU(2)=Spin(3)=USp(2) 以及 U(1)=Spin(2)=SO(2)。

最后值得指出的是 SU(2) 是 SO(3) 的二重复叠群，这个关系在非相对论量子力学 2-旋量的旋转中起着重要的作用。

## 参考文献

- Maximal Subgroups of Compact Lie Groups

## 外部链接

- Physics 558 - Lecture 1, Winter 2003