卡比博-小林-益川矩阵

卡比博-小林-益川矩阵（Cabibbo-Kobayashi-Maskawa，CKM或KM matrix）是粒子物理标准模型的一个重要组成成分，它表征了顶类型和底类型夸克间通过W粒子弱相互作用的耦合强度。对二代夸克情形，它是由意大利物理学家卡比博在1963年首先给出的，通常被称为卡比博矩阵或卡比博角。1973年日本物理学家小林诚和益川敏英把它推广到三代夸克。三代矩阵含有相位，可以用来解释弱相互作用中的电荷宇称对称性破缺（CP破坏），也被经常用来解释宇宙重子数不对称。CKM矩阵在轻子中的对应是牧-中川-坂田矩阵（Maki-Nakagawa-Sakata或MNS）。

## 内容

### 历史

早期的粒子物理模型包涵三种夸克—上夸克、下夸克和奇异夸克。在研究强子的弱衰变中，人们发现奇异数守恒的过程要比不守恒的过程进行得快约20倍。为解释此现象，卡比博引入了一个下夸克和奇异夸克（这两种夸克有相同的量子数）之间的混合角θc。上夸克与下夸克和奇异夸克的相互作用耦合分别正比于此角的余弦（cosθc）和正弦（sinθc）。实验上sinθc约为0.23。

1973年，在一篇发表在日本期刊《理论物理学进展》上的题为“弱相互作用可重整化理论中的CP破坏”的论文中，小林诚和益川敏英把卡比博角推广到三代夸克。他们发现虽然一般的三维幺正矩阵有九个实参数，但是只有四个具有物理意义，而其它的都可以被吸收到夸克波函数的位相中而不为观测。四个物理参数中的一个是位相因子，它提供了CP破坏的微观机制，同时猜测了第三代夸克的存在，因此具有重大的物理意义。他们二人也因而与南部阳一郎分享了2008年诺贝尔物理学奖。

如今，寻找CKM矩阵参数的微观物理起源是粒子物理理论研究的重大课题之一。

### 参数化表示

CKM矩阵是一个三维幺正矩阵。

小林诚和益川敏英当初给的表示是:

$$\begin{bmatrix} \cos\theta_1 & -\sin\theta_1 \cos\theta_3 & -\sin\theta_1 \sin\theta_3 \\ <pre> \sin\theta_1 \cos\theta_2 & \cos\theta_1 \cos\theta_2 \cos\theta_3 - \sin\theta_2 \sin\theta_3 e^{i\delta} & \cos\theta_1 \cos\theta_2 \sin\theta_3 + \sin\theta_2 \cos\theta_3 e^{i\delta}\\ \sin\theta_1 \sin\theta_2 & \cos\theta_1 \sin\theta_2 \cos\theta_3 + \cos\theta_2 \sin\theta_3 e^{i\delta} & \cos\theta_1 \sin\theta_2 \sin\theta_3 - \cos\theta_2 \cos\theta_3 e^{i\delta} \end{bmatrix}$$

在标准参数化下，它可以由三个混合角（θ12，θ13，θ23）和一个相位（δ）表示为

$$\begin{bmatrix} V_{ud} & V_{us} & V_{ub} \\ V_{cd} & V_{cs} & V_{cb}\\ V_{td} & V_{ts} &V_{tb} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{12}c_{13} & s_{12} c_{13} & s_{13}e^{-i\delta_{13}} \\ <pre> -s_{12}c_{23} - c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & c_{12}c_{23} - s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & s_{23}c_{13}\\ s_{12}s_{23} - c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & -c_{12}s_{23} - s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & c_{23}c_{13} \end{bmatrix}.$$

其中（u，c，t）和（d，s，b）分别代表三代顶类型（上、粲、顶）和底类型（下、奇异、底）夸克，c12，s12等是cosθ12，sinθ12等的简写。

目前实验给出的数据：

θ12 = 13.040.05°

θ13 = 0.2010.011°

θ23 = 2.380.06°

δ13 = 1.200.08

实验上CKM矩阵参数满足s13<<s23<<s12<<1。

描写这一重要特性的一个常用参数化表示是由美国物理学家林肯·沃芬斯坦给出的。记

$$s_{12}=\lambda=\frac{|V_{us}|}{\sqrt{|V_{ud}|^2+|V_{us}|^2}},\quad s_{23}=A\lambda^2=\lambda\left|\frac{V_{cb}}{V_{us}}\right|,\,\,$$

$$s_{13}e^{i\delta}=V_{ub}^*=A\lambda^3(\rho+i\eta)={\frac{A\lambda^3(\bar\rho+i\bar\eta)(1-A^2\lambda^4)^{1/2}} {(1-\lambda^2)^{1/2}[1-A^2\lambda^4(\bar\rho+i\bar\eta)]}},$$

截止到λ3，CKM矩阵为

$$\begin{bmatrix} 1-\lambda^2/2 & \lambda & A\lambda^3(\rho-i\eta) \\ <pre> -\lambda & 1-\lambda^2/2 & A\lambda^2 \\ A\lambda^3(1-\rho-i\eta) & -A\lambda^2 & 1 \end{bmatrix}.$$

### 幺正三角形

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CKM矩阵也可用所谓的幺正三角形来图像表示。最常见的是正交关系

$$V_{ud}V_{ub}^*+V_{cd}V_{cb}^*+V_{td}V_{tb}^*=0$$

用测量最精确的项（VcdV*cb）来归一，此关系可以表示为复平面上的三角形，其三顶点坐标分别为（0，0），（1，0）

和（$\bar\rho$，$\bar\eta$），如右图所示。它的面积与位相参数表示化无关，是刻划CP破坏的不变量。文献中称之为雅尔斯廓格（Jarlskog）不变量。

### 数学推导

CKM矩阵的数学推导相当平庸。首先任意一个三维矩阵可以写成欧拉形式V=V2V1V3，其中对角块矩阵V1，V2，V3有以下形式（X代表非零元）

$$V_1=\begin{bmatrix} X & X & 0 \\ <pre> X & X & 0 \\ 0 & 0 & X \end{bmatrix},\quad </pre> V_{2,3}=\begin{bmatrix} X & 0 & 0 \\ <pre> 0 & X & X \\ 0 & X & X \end{bmatrix} </pre>$$

其次注意到任意一个二维幺正矩阵可以表为（ε，η，ρ为幺模复数，c=cosθ，s=sinθ）

$$U=\begin{bmatrix} \epsilon c & \epsilon\eta s \\ <pre> -\rho s & \rho\eta c \end{bmatrix} </pre>$$

由此

$$\begin{bmatrix} \epsilon^* & 0 \\ 0 & \rho^* \end{bmatrix} U \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \eta^* \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c & s \\ <pre> -s & c \end{bmatrix} </pre>$$

因此可以通过一系列对角幺正矩阵作矩阵变换

$$V\rightarrow DVD'=DV_2D''D''^*V_1D'''^*D'''V_3D' = V_2'V_1'V_3'$$

使得

$$V_2'=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ <pre> 0 & c_2 & -s_2 \\ 0 & s_2 & c_2 \end{bmatrix},\quad </pre> V_3'=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ <pre> 0 & c_3 & s_3 \\ 0 & -s_3 & c_3 \end{bmatrix} </pre>$$

在上式中V2'仍是与V2同形的一般幺正矩阵。

但可以继续在V上左、右相乘与V2'和V3'对易的对角矩阵，即diag（α，β，β）型矩阵（α，β幺模），使得

$$V_1'=\begin{bmatrix} c_1 & s_1 & 0 \\ <pre> -s_1 & c_1 & 0 \\ 0 & 0 & e^{i\delta} \end{bmatrix} </pre>$$

最后将所有的对角（相位）变换矩阵吸收到夸克波函数中去，V2'，V1'，V3'相乘即得CKM矩阵。

## 参数测量

CKM矩阵元实验测定和最新数据的详细资料，可参阅粒子数据组的网页和出版物

$$V_{CKM}= \begin{bmatrix} 0.97427 \pm 0.00015 & 0.22534 \pm 0.00065 & 0.00351^{+0.00015}_{-0.00014} \\ 0.22520 \pm 0.00065 & 0.97344 \pm 0.00016 & 0.0412^{+0.0011}_{-0.0005} \\ 0.00867^{+0.00029}_{-0.00031} & 0.0404^{+0.0011}_{-0.0005} & 0.999146^{+0.000021}_{-0.000046} \end{bmatrix}.$$

沃尔芬斯坦参数：$\lambda = 0.22535 \pm 0.00065,A=0.817 \pm 0.015,\bar{\rho}=0.136 \pm 0.018,\bar{\eta}=0.348 \pm 0.014$

和雅尔斯廓格不变量：$J=(2.96_{-0.16}^{+0.20}) \times 10^{-5}$

## 独立变量的计算

考虑有 N 代夸克 (2N 种风味)，那么

- 一个 N × N 的幺正矩阵需要 N2 个实系数来给定 (因为幺正矩阵满足 VV† = I，其中 V† 是 V 的共轭转置，而 I 是单位矩阵)。
- 其中 2N − 1 个系数不是物理上实际的，因为每个夸克都可以吸收一个相位 (质量本征态和弱作用力本征态各可吸收一个)，而全部的共同相位是不可观测的。因此，不受相位选择影响的自由变数总共有 N2 − (2N − 1) = (N − 1)2 个。
- 这其中有 N(N − 1)/2 个是旋转角度，称为夸克的混合角。
- 而剩下的 (N − 1)(N − 2)/2 个就是造成 CP破坏的复数相位。

当 N = 2 时，独立变量只有一个，就是两代夸克间的混合角。当初只有两代夸克被发现时，这是第一种 CKM 矩阵。其角度称为卡比博角度，由尼古拉·卡比博发明。

在标准模型中，N = 3，总共有三个混合角和一个 CP 破坏相位。

## 与重子生成的关系

CP破坏是解释自宇宙大爆炸以来仅物质存在(即反物质消失)的沙卡洛夫三条件（热力学非平衡，重子数不守恒，C和CP对称性不守恒）之一，因此CKM矩阵在粒子宇宙学中有着重要应用。但是现在公认的结论是实验测量到CP破坏的数量级，远不足以解释观测到的重子不对称度，因此重子生成必须有其他的来源。

## 外部链接

- 粒子物理数据组首页
- 康奈尔大学的 CLEO实验
- 高能加速器研究机构 ( KEK) 的 BELLE 实验
- SLAC国家加速器实验室 ( SLAC) 的 BaBar 实验
- 费米国家加速器实验室（FNAL）的 D0和 CDF实验
- 欧洲核子研究中心（CERN）的 LHCb 实验