链式法则

链式法则，亦可称连锁律（Chain rule），用于求合成函数的导数。

## 正式表述

两函数 $f$ 和 $g$ 的定义域 ($D_f$ 和 $D_g$)、值域 ($I_f$ 和 $I_g$) 都包含于实数系 $\mathbb{R}$，若可以定义合成函数 $g \circ f$ (也就是 $I_f \cap D_g \neq \varnothing$ )，且 $f$ 于 $a\in D_f$ 可微分，且 $g$ 于 $f(a)\in I_f \cap D_g$ 可微分，则

$${(g \circ f)}^{\prime}(a) = g^{\prime}[f(a)] \cdot f^{\prime}(a)$$

也可以写成

$$\frac{dg[f(x)]}{dx}\bigg|_{x=a} = \frac{dg(y)}{dy}\bigg|_{y=f(a)} \cdot \frac{df}{dx}\bigg|_{x=a}$$

## 例子

求函数 $f(x) = (x^2 + 1)^3$的导数。

设 $g(x) = x^2 + 1$

$$h(g) = g^3 \to h(g(x)) = g(x)^3.$$

$$f(x) = h(g(x))$$

$$f'(x)=h'(g(x))g'(x)=3(g(x))^2(2x)=3(x^2+1)^2(2x)=6x(x^2+1)^2.$$

求函数 $\arctan\,\sin\, x$的导数。

$$\frac{d}{dx}\arctan\,x\,=\,\frac{1}{1+x^2}$$

$$\frac{d}{dx}\arctan\,f(x)\,=\,\frac{f'(x)}{1+f^2(x)}$$

$$\frac{d}{dx}\arctan\,\sin\,x\,=\,\frac{\cos\,x}{1+\sin^2\,x}$$

## 证明

严谨的证明需要以下连续函数的极限定理：

$f$ 和 $g$ 都是实函数，若可以定义合成函数 $g \circ f$ 且

- $$\lim_{x\to a}f(x)=L$$
- $$\lim_{y\to L}g(y)=g(L)$$

则有

$$\lim_{x\to a}g[f(x)]=g(L)$$

只要展开极限的ε-δ定义，并考虑 $f(x)$ 等于或不等于 $L$ 的两种状况，这个极限定理就可以得证。

为了证明连锁律，定义一个函数 $G$，其定义域 $D_G = D_g$，而对应规则为

$$G(y)=\begin{cases} \displaystyle\frac{g(y)-g[f(a)]}{y-f(a)} & y\neq f(a) \\\\ <pre> g^{\prime}[f(a)] & y=f(a) </pre> \end{cases}$$

和一个函数 $F$，其定义域 $D_F = D_f$，而对应规则为

$$F(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a} & x\neq a \\\\ <pre> f^{\prime}(a) & x=a </pre> \end{cases}$$

这样，考虑到 $g \circ f$ 于 $a$ 的导数是以下函数（定义域为$D_{g\,\circ f}$）的极限

$$\lim_{x\to a}\frac{g(y)-g[f(a)]}{x-a}=\lim_{x\to a}G[f(x)]\cdot F(x)$$

因为可微则必连续（根据乘法的极限性质），所以 $f$ 于 $a$ 连续、 $G$于 $f(a)$ 连续，故根据上面的极限定理有

$$\lim_{x\to a}G[f(x)]=g^{\prime}[f(a)]$$

而且针对一开始可微的前提有

$$\lim_{x\to a}F(x)=f^{\prime}(a)$$

再根据乘法的极限性质有

$$\lim_{x\to a}\frac{g(y)-g[f(a)]}{x-a}=g^{\prime}[f(a)]\cdot f^{\prime}(a)$$

即为所求。$\Box$

## 多元复合函数求导法则

考虑函数$z = f(x, y)$，其中$x = g(t)$，$y = h(t)$，$g(t)$和$h(t)$是可微函数，那么：

$${\ dz \over dt}={\partial z \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial z \over \partial y}{dy \over dt}.$$

假设$z = f(u, v)$的每一个自变量都是二元函数，也就是说，$u = h(x, y)$，$v = g(x, y)$，且这些函数都是可微的。那么，$z$的偏导数为：

$${\partial z \over \partial x}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial x}$$

$${\partial z \over \partial y}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial y}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial y}.$$

如果我们考虑

$$\vec r = (u,v)$$

为一个向量函数，我们可以用向量的表示法把以上的公式写成f的梯度与$\vec r$的偏导数的数量积：

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\vec \nabla f \cdot \frac{\partial \vec r}{\partial x}.$$

更一般地，对于从向量到向量的函数，求导法则为：

$$\frac{\partial(z_1,\ldots,z_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_p)} = \frac{\partial(z_1,\ldots,z_m)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)} \frac{\partial(y_1,\ldots,y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_p)}.$$

## 高阶导数

复合函数的最初几个高阶导数为：

$$\frac{d (f \circ g) }{dx} = \frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}$$

$$<pre> \frac{d^2 (f \circ g) }{d x^2} = \frac{d^2 f}{d g^2}\left(\frac{dg}{dx}\right)^2 + \frac{df}{dg}\frac{d^2 g}{dx^2} </pre>$$

$$<pre> \frac{d^3 (f \circ g) }{d x^3} = \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^3 + 3 \frac{d^2 f}{d g^2} \frac{dg}{dx} \frac{d^2 g}{d x^2} + \frac{df}{dg} \frac{d^3 g}{d x^3} </pre>$$

$$<pre> \frac{d^4 (f \circ g) }{d x^4} =\frac{d^4 f}{dg^4} \left(\frac{dg}{dx}\right)^4 + 6 \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^2 \frac{d^2 g}{d x^2} + \frac{d^2 f}{d g^2} \left\{ 4 \frac{dg}{dx} \frac{d^3 g}{dx^3} + 3\left(\frac{d^2 g}{dx^2}\right)^2\right\} + \frac{df}{dg}\frac{d^4 g}{dx^4}. </pre>$$