水仙花数

在数论中，水仙花数（Narcissistic number），也被称为超完全数字不变数（pluperfect digital invariant, PPDI）、自恋数、自幂数或阿姆斯特朗数（Armstrong number），用来描述一个N位非负整数，其各位数字的N次方和等于该数本身。

## 水仙花数的定义

设有自然数n，d为该自然数各位数字，即 n = dkdk-1...d1，则有：

n = dk·10k-1 + dk-1·10k-2 + ... + d2·10 + d1,

如果该自然数n满足条件：

n = dkk + dk-1k + ... + d2k + d1k.

则这个自然数就被称为超完全数字不变数。

例如153、370、371及407就是三位超完全数字不变数，其各个数之立方和等于该数：

153 = 13 + 53 + 33。

370 = 33 + 73 + 03。

371 = 33 + 73 + 13。

407 = 43 + 03 + 73。

若将条件放宽，一个N位数，其各个数之M次方和等于该数，M和N不一定相等，这样的数称为完全数字不变数（perfect digital invariant），例如数字4150等于各位数字的5次方。

4150 = 45 + 15 + 55 + 05,

水仙花数一定是完全数字不变数，但完全数字不变数不一定是水仙花数。

严格意义来说水仙花数指三位数。

## 定义

设 $n$ 为一自然数。定义基数 $b > 1$ 的 水仙花函数 $F_{b} : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ 如下：

$$F_{b}(n) = \sum_{i=0}^{k - 1} d_i^k.$$

其中 $k = \lfloor \log_{b}{n} \rfloor + 1$ 为数字在基数 $b$ 下的位数。

$$d_i = \frac{n \bmod{b^{i+1}} - n \bmod b^i}{b^i}$$

表示数字的各位数值。若自然数 $n$ 为 $F_{b}$ 的 不动点，即 $F_{b}(n) = n$，则称 $n$ 为 水仙花数。

范围 $0 \leq n < b$ 的自然数为 平凡水仙花数，其他水仙花数则为 非平凡水仙花数。

举例，数字 153 在基数 $b = 10$ 下是水仙花数，因为 $k = 3$ 且 $153 = 1^3 + 5^3 + 3^3$。

若自然数 $n$ 为 $F_{b}$ 的 周期点，且存在正整数 $p$ 使 $F_{b}^p(n) = n$（其中 $F_{b}^p$ 为 $F_b$ 的第 $p$ 次迭代），则称 $n$ 为 社交性水仙花数，其形成的序列周期为 $p$。

- 当 $p = 1$ 时，社交性水仙花数即为普通水仙花数。
- 当 $p = 2$ 时，称为 友好水仙花数。

所有自然数 $n$ 不论基数大小都是 $F_{b}$ 的前周期点。

理由如下：

- 对给定位数 $k$，最小可能值为 $b^{k - 1}$，最大可能值为 $b^{k} - 1 \leq b^k$。
- 水仙花函数的值为 $F_{b}(n) = k(b-1)^k$。

因此，水仙花数必须满足不等式：

$b^{k - 1} \leq k(b-1)^k \leq b^k$。

两边同时乘以 $\frac{b}{(b - 1)^k}$ 得：

${\left(\frac{b}{b - 1}\right)}^{k} \leq bk \leq b{\left(\frac{b}{b - 1}\right)}^{k}$。

等价于 $k \leq {\left(\frac{b}{b - 1}\right)}^{k} \leq bk$。

由于 $\frac{b}{b - 1} \geq 1$，存在一个最大位数 $k$ 使 ${\left(\frac{b}{b - 1}\right)}^{k} \leq bk$。

超过此位数时，必然 $F_{b}(n) \leq n$。

因此，水仙花数是有限个，自然数一定会收敛到小于 $b^{k} - 1$ 的周期点或不动点，成为前周期点。

以 $b = 10$ 为例，最大水仙花数小于 $10^{60}$。

数字 $n$ 经过多少次迭代 $i$ 才能到达不动点，即为水仙花函数的韧性，若永不达到不动点则未定义。

基数 $b$ 至少存在一个两位数水仙花数当且仅当 $b^2 + 1$ 非质数，且两位数水仙花数的数量为 $\tau(b^2+1)-2$，其中 $\tau(n)$ 为正整数 n 的因数个数。

每个基数 $b \geq 3$ 且非九的倍数，都至少有一个三位数水仙花数。不存在三位数水仙花数的基数为：

2, 72, 90, 108, 153, 270, 423, 450, 531, 558, 630, 648, 738, 1044, 1098, 1125, 1224, 1242, 1287, 1440, 1503, 1566, 1611, 1620, 1800, 1935, ...

10 进位中共有 88 个水仙花数，其中最大者为：

115,132,219,018,763,992,565,095,597,973,971,522,401

共 39 位数。

## 部分水仙花数

### 十进制下的水仙花数

十进制的水仙花数共有89个，最大的是

115,132,219,018,763,992,565,095,597,973,971,522,401

共有39位数。

完整的十进制水仙花数列表如下：

- 0
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 153
- 370
- 371
- 407
- 1634
- 8208
- 9474
- 54748
- 92727
- 93084
- 548834
- 1741725
- 4210818
- 9800817
- 9926315
- 24678050
- 24678051
- 88593477
- 146511208
- 472335975
- 534494836
- 912985153
- 4679307774
- 32164049650
- 32164049651
- 40028394225
- 42678290603
- 44708635679
- 49388550606
- 82693916578
- 94204591914
- 28116440335967
- 4338281769391370
- 4338281769391371
- 21897142587612075
- 35641594208964132
- 35875699062250035
- 1517841543307505039
- 3289582984443187032
- 4498128791164624869
- 4929273885928088826
- 63105425988599693916
- 128468643043731391252
- 449177399146038697307
- 21887696841122916288858
- 27879694893054074471405
- 27907865009977052567814
- 28361281321319229463398
- 35452590104031691935943
- 174088005938065293023722
- 188451485447897896036875
- 239313664430041569350093
- 1550475334214501539088894
- 1553242162893771850669378
- 3706907995955475988644380
- 3706907995955475988644381
- 4422095118095899619457938
- 121204998563613372405438066
- 121270696006801314328439376
- 128851796696487777842012787
- 174650464499531377631639254
- 177265453171792792366489765
- 14607640612971980372614873089
- 19008174136254279995012734740
- 19008174136254279995012734741
- 23866716435523975980390369295
- 1145037275765491025924292050346
- 1927890457142960697580636236639
- 2309092682616190307509695338915
- 17333509997782249308725103962772
- 186709961001538790100634132976990
- 186709961001538790100634132976991
- 1122763285329372541592822900204593
- 12639369517103790328947807201478392
- 12679937780272278566303885594196922
- 1219167219625434121569735803609966019
- 12815792078366059955099770545296129367
- 115132219018763992565095597973971522400
- 115132219018763992565095597973971522401

### 十二进制下的水仙花数

25:22+52=25

A5:A2+52=A5

577:53+73+73=577

668:63+63+83=668

A83:A3+83+33=A83

14765:15+45+75+65+55=14765

938A4:95+35+85+A5+45=938A4

显然，任何一位数（从1到B）都是水仙花数，另外，在十二进制中，不存在四位数的水仙花数。

- 三进制中的这样的数有：0、1、2、12、122
- 四进制中的这样的数有：0、1、2、3、313

## 参考资料

- Rose, Colin (2005), Radical narcissistic numbers, Journal of Recreational Mathematics, 33(4), 2004-2005, pages 250-254.
- Perfect Digital Invariants by Walter Schneider
- On a curious property of 3435 by Daan van Berkel