第二基本形式

微分几何中，第二基本形式（second fundamental form）是三维欧几里得空间中一个光滑曲面的切丛上一个二次形式，通常记作 II。与第一基本形式一起，他们可定义曲面的外部不变量，主曲率。更一般地，若在黎曼流形中或洛伦兹流形中，的一个光滑超曲面上，选取了一个光滑单位法向量场，则可定义这样一个二形式。

## $\mathbf{R}^3$中曲面

### 引论

$\mathbf{R}^3$中一个参数曲面$S$的第二基本形式由高斯引入。最先假设曲面是两次连续可微函数的像，$z=f(x,y)$，且平面$z=0$与曲面在原点相切。则$f$以及关于$x$和$y$的偏导数在$(0,0)$皆为零。从而$f$在$(0,0)$处的泰勒展开以二次项开始：

$z=f_{xx}\frac{x^2}{2} + f_{xy}xy + f_{yy}\frac{y^2}{2} +o(n)$。

记 $L=f_{xx}, M=f_{xy}, N=f_{yy}$, 则在$(x,y)$坐标中原点处的第二基本形式是二次型：

$$L dx^2 + 2M dx dy + N dy^2. \,$$

对 参数曲面$S$上一个光滑点$p$，总可以选取坐标系使得坐标的 z-平面与$S$切于$p$，然后可以相同的方式定义第二基本形式。

### 经典记号

一个一般参数曲面的第二基本形式定义如下。设$\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)$ 是$\mathbf{R}^3$中一个正则参数曲面，这里$\mathbf{r}$是两个变量的光滑向量值函数。通常记$\mathbf{r}$关于$u$和$v$的偏导数为$\mathbf{r}_u$与$\mathbf{r}_v$。参数化的正则性意味着$\mathbf{r}_u$与$\mathbf{r}_v$对$\mathbf{r}$的定义域中任何$(u,v)$是线性无关的。等价地，叉积$\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v$是曲面的一个非零法向量。参数化这样就定义了一个单位法向量场$\mathbf{n}(u,v)$：

$$\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v}{|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v|}.$$

第二基本形式通常写成

$$\mathrm{II} = Ldu^2 + 2Mdudv + Ndv^2, \,$$

在基$\{\mathbf{r}_u,\mathbf{r}_v\}$下的矩阵是

$$\begin{bmatrix} L&M\\ M&N \end{bmatrix}.$$

在参数化 uv-平面上一个给定点处系数$L$, $M$, $N$由$\mathbf{r}$在那个点的二次偏导数到$S$的法线上投影给出，利用点积可计算如下：

$$L = \mathbf{r}_{uu} \cdot \mathbf{n}, \quad M = \mathbf{r}_{uv} \cdot \mathbf{n}, \quad N = \mathbf{r}_{vv} \cdot \mathbf{n}.$$

### 现代记法

一个通常曲面$S$的第二基本形式定义如下：设$\mathbf{r}=\mathbf{r}(u^1, u^2)$是$\mathbf{R}^3$中一个正则参数曲面，这里$\mathbf{r}$是两个变量的光滑向量值函数。通常记$\mathbf{r}$关于$u^\alpha$的偏导数为$\mathbf{r}_\alpha$，$\alpha=1,2$。参数化的正则性意味着$\mathbf{r}_1$与$\mathbf{r}_2$在$\mathbf{r}$的定义域上是线性无关的，从而在每一点张成$\mathbf{S}$的切空间。等价地，叉积$\mathbf{r}_1 \times \mathbf{r}_2$是曲面的一个非零法向量。这样参数化定义了一个单位法向量场$\mathbf{n}$：

$$\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2}{|\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2|}$$

第二基本形式通常写作

$$\mathrm{II} = b_{\alpha\beta} du^{\alpha} du^{\beta}$$

上式使用了爱因斯坦求和约定。

在参数$(u^1, u^2)$-曲面给定点处系数$b_{\alpha\beta}$由$\mathbf{r}$的二次偏导数到$S$的法线的投影给出，利用点积可写成：

$$b_{\alpha\beta} = \mathbf{r}_{\alpha\beta} \cdot \mathbf{n}$$

## 黎曼流形中的超曲面

在欧几里得空间中，第二基本形式由

$$I\!I(v,w) = \langle d\nu(v),w\rangle$$

给出，这里 $\nu$ 是高斯映射，而 $d\nu$ 是 $\nu$ 的微分视为一个向量值微分形式，括号表示欧几里得空间的度量张量。

更一般地，在一个黎曼流形上，第二基本形式是描述一个超曲面形算子（记作$S$）的等价方法。

$$\mathrm I\!\mathrm I(v,w)=\langle S(v),w\rangle= -\langle \nabla_v n,w\rangle=\langle n,\nabla_v w\rangle,$$

这里 $\nabla_v w$ 表示周围空间的共变导数，$n$超曲面上一个法向量场。如果仿射联络是无挠的，则第二基本形式是对称的。

第二基本形式的符号取决于$n$的方向的选取。（这称为曲面的余定向，对欧几里得空间中的曲面，等价于给定曲面的一个定向）。

### 推广为任意余维数

第二基本形式可以推广到任意余维数。在这种情形下，它是切空间上取值于法丛的一个二次型，可以定义为

$$\mathrm{I}\!\mathrm{I}(v,w)=(\nabla_v w)^\bot,$$

这里 $(\nabla_v w)^\bot$ 表示共变导数 $\nabla_v w$ 到法丛的正交投影。

在欧几里得空间中，子流形的曲率张量可以描述为下列公式：

$$\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle.$$

这叫做高斯方程，可以视为高斯绝妙定理的推广。在一个标准正交基中第二基本形式的本征值，是曲面的主曲率。一组正交规范本征向量称为主方向。

对一般的黎曼流形必须添加周围空间的曲率；如果$N$是嵌入黎曼流形$(M,g)$中一个流形，则$N$在诱导度量下的曲率张量 $R_N$ 可以用第二基本形式与$M$的曲率张量 $R_M$ 表示出来：

$$\langle R_N(u,v)w,z\rangle = \langle R_M(u,v)w,z\rangle+\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle.$$

## 外部链接

- 关于第二基本形式的几何的一篇博士论文，作者为 Steven Verpoort: https://lirias.kuleuven.be/bitstream/1979/1779/2/hierrrissiedan!.pdf