Θ函数

数学中，Θ函数是一种多复变特殊函数。其应用包括阿贝尔簇与模空间、二次形式、孤立子理论；其格拉斯曼代数推广亦出现于量子场论，尤其于超弦与D-膜理论。

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Θ函数最常见于椭圆函数理论。相对于其“z” 变量，Θ函数是拟周期函数（quasiperiodic function），具有“拟周期性”。在一般下降理论中，Θ函数是来自线丛条件。

## 雅可比Θ函数

雅可比Θ函数取二变量$z\,$与$\tau\,$，其中$z\,$为任何复数，而$\tau\,$为上半复平面上一点；此函数之定义为：

$\vartheta (z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \ e^{(\pi i n^2 \tau +2 \pi i n z ) }$。

若固定$\tau\,$，则此成为一周期为$1 \,$的单变量$(z)\,$整函数的傅里叶级数：

$\vartheta( z+1; \tau) = \vartheta (z; \tau)$。

在以 $\tau\,$ 位移时，此函数符合：

$\vartheta(z+a+b\tau;\tau) = \ e^{(-\pi i b^2 \tau -2 \pi i b z)}\vartheta(z;\tau)$。

其中 $a \,$与$b \,$为整数。

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## 辅助函数

可定义辅助函数：

$$\vartheta_{01} (z;\tau) = \vartheta(z+\frac{1}{2};\tau)$$

$$\vartheta_{10}(z;\tau) = e^{\frac{\pi {\mathrm{i}} \tau}{4} + \pi {\mathrm{i}} z}\vartheta(z+\frac{\tau}{2};\tau)$$

$$\vartheta_{11}(z;\tau) = e^{\frac{\pi {\mathrm{i}} \tau}{4} + \pi {\mathrm{i}} (z+\frac{1}{2})}\vartheta(z+\frac{\tau+1}{2};\tau).$$

其中符号依黎曼与芒福德之习惯；雅可比的原文用变量$q = e^{\pi {\mathrm{i}} \tau}\,$替换了$\tau\,$，而称本条目中的Θ为$\theta_3\,$，$\vartheta_{01}$为$\theta_0\,$，$\vartheta_{10}$为$\theta_2\,$，$\vartheta_{11}$为$-\theta_1\,$。

若设$z= 0 \,$，则我们可从以上获得四支单以$\tau\,$为变量之函数，其中$\tau\,$取值于上半复平面。此等函数人称“Θ‘常量’”（theta constant）；我们可以用Θ函数定义一系列模形式，或参数化某些曲线。由“雅可比 恒等式”可得：

$\vartheta(0;\tau)^4 = \vartheta_{01}(0;\tau)^4 + \vartheta_{10}(0;\tau)^4$,

是为四次费马曲线。

## 雅可比恒等式

雅可比恒等式描述模群在Θ函数之作用；模群之生成元为T: τ ↦ τ+1与S: τ ↦ -1/τ。我们已有 T 作用之式。设：

$$\alpha = (- {\mathrm{i}} \tau)^{\frac{1}{2}} e^{{\pi {\mathrm{i}} z^2}{\tau}}\,$$

则

$$\vartheta (\frac{z}{\tau}; -\frac{1}{\tau}) = \alpha \vartheta(z; \tau)$$

$$\vartheta_{01} (\frac{z}{\tau}; -\frac{1}{\tau}) = \alpha \vartheta_{10}(z; \tau)$$

$$\vartheta_{10} (\frac{z}{\tau}; -\frac{1}{\tau}) = \alpha \vartheta_{01}(z; \tau)$$

$$\vartheta_{11} (\frac{z}{\tau}; -\frac{1}{\tau}) = -\alpha \vartheta_{11}(z; \tau)$$

## 以nome q表示Θ函数

我们可用变量$w\,$与$q\,$，代替$z \,$与$\tau\,$，来表示ϑ。设$w =e^{\pi {\mathrm{i}} z}\,$而$q =e^{\pi {\mathrm{i}} \tau}\,$。则ϑ可表示为：

$$\vartheta(w; q) = \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n}q^{n^2}.$$

而辅助Θ函数可表示为：

$$\vartheta_{01}(w; q) = \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n w^{2n}q^{n^2},$$

$$\vartheta_{10}(w; q) = q^{\frac{1}{4}} \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n+1}q^{n^2+n},$$

$$\vartheta_{11}(w; q) = {\mathrm{i}} q^{\frac{1}{4}} \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n w^{2n+1}q^{n^2+n}.$$

此表示式不需要指数函数，所以适用于指数函数无每一处定义域，如p进数域。

## 乘积表示式

雅可比三重积恒等式（Jacobi's triple product identity）中指出：若有复数$w\,$和$q\,$，其中$|q|<1 \,$而$w \neq 0\,$，则

$$\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + w^{2}q^{2m-1}\right) \left( 1 + w^{-2}q^{2m-1}\right) = \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n}q^{n^2}.$$

此式可以用基本方法证明，如戈弗雷·哈罗德·哈代和爱德华·梅特兰·赖特共同编著的《数论导引》（An Introduction to the Theory of Numbers）。

若用nome变量$q = e^{\pi i \tau}\,$与$w = e^{\pi i z}\,$表示，则有：

$$\vartheta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(\pi i \tau n^2) \exp(\pi i z 2n) = \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n}q^{n^2}.$$

由此得到Θ函数的积公式：

$$\vartheta(z; \tau) = \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - \exp(2m \pi i \tau)\right) \left( 1 + \exp((2m-1) \pi i \tau + 2 \pi i z)\right) \left( 1 + \exp((2m-1) \pi i \tau -2 \pi i z)\right)$$

三重积等式左边可以扩展成：

$$\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + (w^{2}+w^{-2})q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),$$

即

$\vartheta(z|q) = \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + 2 \cos(2 \pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right)$。

这个式子在z取实值时尤为重要。

各辅助Θ函数亦有类似之积公式：

$$\vartheta_{01}(z|q) = \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 - 2 \cos(2 \pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).$$

$$\vartheta_{10}(z|q) = 2 q^{1/4}\cos(\pi z)\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + 2 \cos(2 \pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).$$

$$\vartheta_{11}(z|q) = -2 q^{1/4}\sin(\pi z)\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 - 2 \cos(2 \pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).$$

## 积分表示式

雅可比Θ函数可用积分表示，如下：

$$\vartheta (z; \tau) = -i \int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \cos (2 u z + \pi u) \over \sin (\pi u)} du$$

$$\vartheta_{01} (z; \tau) = -i \int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \cos (2 u z) \over \sin (\pi u)} du.$$

$$\vartheta_{10} (z; \tau) = -i e^{iz + i \pi \tau / 4} \int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \cos (2 u z + \pi u + \pi \tau u) \over \sin (\pi u)} du$$

$$\vartheta_{11} (z; \tau) = e^{iz + i \pi \tau / 4} \int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \cos (2 u z + \pi \tau u) \over \sin (\pi u)} du$$

## 与黎曼ζ函数的关系

黎曼常用关系式

$$\vartheta(0;-\frac{1}{\tau})=(-i\tau)^{\frac{1}{2}} \vartheta(0;\tau)$$

以证黎曼ζ函数之函数方程。他写下等式：

$\Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \pi^{-\frac{s}{2}} \zeta(s) = \frac{1}{2}\int_0^\infty\left[\vartheta(0;it)-1\right] t^{\frac{s}{2}}\frac{dt}{t}$。

而此积分于替换$s \to 1-s$下不变。$z\,$非零时之积分，在赫尔维茨ζ函数一文有描述。

## 与基本椭圆函数之关系

雅可比用Θ函数来构造椭圆函数，并使其有易于计算之形式，因为Θ函数中快速收敛的级数往往比积分容易计算。他表示他的椭圆函数成两枚上述Θ函数之商，这可参见雅可比椭圆函数的定义。魏尔施特拉斯椭圆函数亦可由雅可比Θ构造：

$$\wp(z;\tau) = -(\log \vartheta_{11}(z;\tau))'' + c$$

其中二次微分相对于z，而常数c使$\wp(z)$的罗朗级数（于 z = 0）常项为零，因为雅可比椭圆函数单位胞腔内两极点互为相反数，和为零，而魏尔施特拉斯椭圆函数的所有极点留数均为零，所以这是必要的。

## 与模形式之关系

设η为戴德金η函数。则

$\vartheta(0;\tau)=\frac{\eta^2\left(\tau+\frac{1}{2}\right)}{\eta(2\tau+1)}$.

## 解热方程

雅可比Θ函数为一维热方程、于时间为零时符合周期边界条件之唯一解。设z = x取实值，τ = it而t取正值。则有

$$\vartheta (x,it)=1+2\sum_{n=1}^\infty \exp(-\pi n^2 t) \cos(2\pi nx)$$

此解此下方程：

$\frac{\partial}{\partial t} \vartheta(x,it)=\frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \vartheta(x,it)$。

于t = 0时，Θ函数成为“狄拉克梳状函数”（Dirac comb）

$\lim_{t\rightarrow 0} \vartheta(x,it)=\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-n)$。

其中δ为狄拉克δ函数，故可知此解是唯一的。

因此，一般解可得自t = 0时的（周期）边界条件与Θ函数的卷积。

## 与海森堡群之关系

雅可比Θ函在海森堡群之一离散子群作用下不变。见海森堡群之Θ表示一文。

## 推广

若F为一n元二次型，则有一关连的Θ函数

$$\theta_F (z)= \sum_{m\in Z^n} \exp(2\pi izF(m))$$

其中Zn为整数格。此Θ函数是模群（或某适当子群）上的权n/2 模形式。在其富理埃级数

$$\theta_F (z) = \sum_{k=0}^\infty R_F(k) \exp(2\pi ikz)$$

中，RF(k) 称为此模形式之“表示数”（representation numbers）。

### 黎曼Θ函数

设

$$\mathbb{H}_n=\{F\in M(n,\mathbb{C}) \; \mathrm{s.t.}\, F=F^T \;\textrm{and}\; \mbox{Im} F >0 \}$$

为一集对称方矩阵，其虚部为正定，一般称Hn为“西格尔上半平面”（Siegel upper half-plane），它是上半复平面的高维推广。模群之n维推广为辛群Sp(2n,Z)：当n = 1 时， Sp(2,Z) = SL(2,Z)。同余子群（congruence subgroup）的n维推广为态射核$\textrm{Ker} \{\textrm{Sp}(2n,\mathbb{Z})\rightarrow \textrm{Sp}(2n,\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}) \}$。

若设$\tau\in \mathbb{H}_n$，则可定义黎曼Θ函数：

$\theta (z,\tau)=\sum_{m\in Z^n} \exp\left(2\pi i \left(\frac{1}{2} m^T \tau m +m^T z \right)\right)$。

$\theta (z,\tau)=\sum_{m\in Z^n} \exp\left(2\pi i \left(\frac{1}{2} m^T \tau m +m^T z \right)\right)$。

其中$z\in \mathbb{C}^n$为一n维复向量，上标T为转置。然则雅可比Θ函数为其特例（设n = 1、 $\tau \in \mathbb{H}$；其中$\mathbb{H}$为上半平面）。

在$\mathbb{C}^n\times \mathbb{H}_n.$的紧致子集上，黎曼Θ函数绝对一致收敛。

函数方程为：

$\theta (z+a+\tau b, \tau) = \exp 2\pi i \left(-b^Tz-\frac{1}{2}b^T\tau b\right) \theta (z,\tau)$。

此方程成立于$a,b \in \mathbb{Z}^n$, $z \in \mathbb{C}^n$， $\tau \in \mathbb{H}_n$。

## 参考文献

- Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. (See section 16.27ff.)
- Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
- Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 (See Chapter 6 for treatment of the Riemann theta)
- G. H. Hardy and E. M. Wright，An Introduction to the Theory of Numbers, fourth edition (1959) , Oxford University Press
- David Mumford，Tata Lectures on Theta I (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7
- James Pierpont Functions of a Complex Variable, Dover
- Harry E. Rauch and Hershel M. Farkas, Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces, (1974) Williams & Wilkins Co. Baltimore ISBN 0-683-07196-3.