真空电容率

真空电容率，又称为真空介电系数，或电常数，是一个常见于电磁学的物理常数，符号为$\epsilon_0$。在国际单位制里，真空电容率的数值为：

$\epsilon_0 \approx 8.854\ 187\ 817\dots\ \times 10^{-12}$ 法拉／米。

真空电容率 $\epsilon_0$ 可以用公式定义为

$\epsilon_0\ \stackrel{def}{=}\ \frac {1}{\mu_0 {c_0}^2}$。

其中，$c_0$ 是光波传播于真空的光速

$c_0$

$c$

$\mu_0$ 是真空磁导率。

采用国际单位制，$c_0$ 的数值定义为 $299\ 792\ 458$ 米／秒，但根据2019年新国际单位制，$\mu_0$ 的数值是近似值。因此，$\epsilon_0$ 的数值不是定义值，近似为

$\epsilon_0 \approx 8.854\ 187\ 817\ldots \times 10^{-12}$ 安培2秒4公斤-1米-3（或者法拉／米）。

这些数值都可以在2006 CODATA报告里找到。

真空电容率出现于电位移$\mathbf{D}\,\!$的定义式：

$\mathbf{D}\ \stackrel{def}{=}\ \epsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}\,\!$。

其中，$\mathbf{E}\,\!$是电场，$\mathbf{P}\,\!$是电介质的经典电极化强度。

学术界常遇到一个错误的观点，就是认为真空电容率$\epsilon_0\,\!$是一个可实现真空的一个物理性质。正确的观点应该为，$\epsilon_0\,\!$是一个度量系统常数，是由国际公约发表和定义而产生的结果。$\epsilon_0\,\!$的定义值是由光波在参考系统的光速或基准（benchmark）光速的衍生而得到的数值。这参考系统称为自由空间，被用为在其它各种介质的测量结果的比较基线。可实现真空，像外太空、超高真空（ultra high vacuum）、量子色动真空（QCD vacuum）、量子真空（quantum vacuum）等等，它们的物理性质都只是实验和理论问题，应与$\epsilon_0\,\!$分题而论。$\epsilon_0\,\!$的含义和数值是一个度量衡学（metrology）问题，而不是关于可实现真空的问题。为了避免产生混淆，许多标准组织现在都倾向于采用电常数为$\epsilon_0\,\!$的名称。

## 历史背景

如同前面所述，真空电容率$\epsilon_0\,\!$是一个度量系统常数。它的出现于电磁量的定义方程式，主要是因为一个称为理想化的程序。只使用纯理论的推导，马克士威方程组奇异地预测出，电磁波以光速传播于自由空间。继续推论这个预测，就可以给出$\epsilon_0\,\!$的数值。若想了解为什么$\epsilon_0\,\!$会有这数值，必须稍微阅读一下电磁度量系统的发展史。

在以下的讲述中，请注意到我们经典物理并不特别区分“真空”和“自由空间”这两个术语。当今文献里，“真空”可能指为很多种不同的实验状况和理论实体。在阅读文献时，只有上下文可以决定术语的含意。

### 单位理想化

查尔斯·库仑和其它物理学家的实验，证明库仑定律：分开距离为$r\,\!$，电量都是$Q\,\!$的两个点电荷，其相互作用于对方的力$F\,\!$，可以用方程式表达为

$F=\frac{ k_{\mathrm{e}} Q^2}{r^2}\,\!$。

其中，$k_{\mathrm{e}}\,\!$是个常数。

假若，对其它变量不加以任何约束，则$k_{\mathrm{e}}\,\!$可以任意地设定。对于每一个不同的$k_{\mathrm{e}}\,\!$数值设定，$Q\,\!$的诠释也相随地不同。为了要避免混淆不清，每一个不同的诠释必须有不同的名称和标记符号。

厘米-克-秒静电制是一个十九世纪后期建立的标准系统。在这标准系统里，常数$k_{\mathrm{e}}\,\!$的数值被设定为1，电荷量的因次被称为高斯电荷量。这样，作用力的方程式变为

$F = \frac{{q_s}^2}{r^2}\,\!$。

其中，$q_s\,\!$是高斯电荷量。

假设两个点电荷的电荷量都是一个单位高斯电荷量，分隔距离是1公分。则两个点电荷相互作用于对方的力是1 达因。那么，高斯电荷量的因次也可以写为“达因1/2公分”。这与国际单位制的因次，“牛顿1/2米”，有同样的因次。但是，高斯电荷量与国际单位制电荷量的因次并不相同。高斯电荷量不是用库仑来测量的。

后来，科学家觉得，对于球几何案例，应该加入因子$4 \pi\,\!$于库仑定律，表达方程式为

$F = \; k'_{\mathrm{e}} {q'_s}^2/4 \pi r^2\,\!$。

其中，$k'_{\mathrm{e}}\,\!$、$q'_s\,\!$分别为新的常数和电荷量。

这个点子称为理想化。设定$k'_{\mathrm{e}}=1\,\!$。电量单位也改变了，但是，电量的因次仍旧是“达因1/2公分”。

下一个步骤是将电量表达为一个独自的基本物理量，标记为$q\,\!$，将库仑定律写为它的现代形式：

$F = q^2/4 \pi \epsilon_0 r^2\,\!$。

很明显地，旧厘米-克-秒静电制里的电量$q_s\,\!$与新的国际标准制电量$q\,\!$的关系式为

$q_s=q/\sqrt{4\pi\epsilon_0}\,\!$。

### ε0数值的设定

采用国际标准制，要求力的单位为牛顿，距离的单位为米，电荷量的单位为工程师的实用单位，库仑，定义为1 安培的电流在1秒钟内所累积的电荷量。那么，真空电容率的因次应该是“库仑2牛顿-1米-2”（或者，“法拉1米-1”）。

真空电容率的数值可以从马克士威方程组求得。观察在真空中的马克士威方程组的微分形式：

$\nabla\cdot\mathbf{E}=0\,\!$。

$\nabla\times\mathbf{E}= - \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\,\!$。

$\nabla\cdot\mathbf{B}=0\,\!$。

$\nabla\times\mathbf{B}=\epsilon_0\mu_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\,\!$ ;

其中，$\mathbf{E}\,\!$是电场，$\mathbf{B}\,\!$是磁感应强度。

取第四个马克士威方程式的旋度。

$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{B})=\epsilon_0\mu_0\frac{\partial(\nabla\times\mathbf{E})}{\partial t}\,\!$。

将第二个马克士威方程式（法拉第方程式）代入，则可得到

$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{B})= - \epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}\,\!$。

应用一个向量恒等式。

$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{B})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{B}) - \nabla^2\mathbf{B}\,\!$。

再注意到第三个马克士威方程式（高斯磁定律），所以。

$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{B})= - \nabla^2\mathbf{B}\,\!$。

这样，就可以得到光波的磁场波动方程式：

$\nabla^2\mathbf{B}-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}=0\,\!$。

以同样的方式，也可得到光波的电场波动方程式：

$\nabla\times\mathbf{B}=\epsilon_0\mu_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$

$\begin{align} \nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})&=-\frac{\partial(\nabla\times\mathbf{B})}{\partial t}\\ &= - \epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}\\ \end{align}$

$\nabla\cdot\mathbf{E}=0$

$\begin{align} \nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})&=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E}\\ &= - \nabla^2\mathbf{E}\\ \end{align}$

$\nabla^2\mathbf{E}-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=0$

$\nabla^2\mathbf{E}-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=0$。

这光波传播的速度（光速$c_0\,\!$）是

$c_0=1/\sqrt{\epsilon_0\mu_0}\,\!$。

这方程式表达出光速、真空电容率、真空磁导率，这三个物理量的相互关系。原则上，科学家可以选择以库仑，或是以安培为基本电磁单位。经过仔细的考量，国际单位组织决定以安培为基本电磁单位。因此，$\mu_0\,\!$、$c_0\,\!$的数值设定了$\epsilon_0\,\!$的数值。若想知道如何决定$\mu_0\,\!$的数值，请参阅条目真空磁导率。

## 可实现真空和自由空间

自由空间（free space）是一个理想的参考状态，可以趋近，但是在物理上是永远无法达到的状态。可实现真空有时候被称为部分真空（partial vacuum），意指需要超低气压，但超低气压并不是近似自由空间的唯一条件。

与经典物理内的真空不同，现今时代的物理真空意指的是真空态（vacuum state），或量子真空。这种真空绝对不是简单的空无一物的空间。因此，自由空间不再是物理真空的同义词。若想要知道更多细节，请参阅条目自由空间和真空态。

对于为了测量国际单位的数值，而在实验室制成的任何部分真空，一个很重要的问题是，部分真空是否可以被满意地视为自由空间的实现？还有，我们必须怎样修正实验的结果，才能使这些结果适用于基线？例如，为了弥补气压高于零而造成的误差，科学家可以做一些修正。

若想知道怎样才能制成优良的部分真空，请参阅条目超高真空（ultra high vacuum）和自由空间。

请注意，这些缺陷并不会影响真空电容率$\epsilon_0\,\!$的意义或数值。$\epsilon_0\,\!$是个定义值，是由国际标准组织，通过光速和真空磁导率的定义值而衍生的。

## 参阅

- 偶极子
- 电极化强度
- 电偶极矩
- 磁化向量
- 卡西米尔效应