哥德尔本体论证明

哥德尔本体论证明是数学家库尔特·哥德尔对11世纪意大利僧侣圣安瑟伦对于神存在性的本体论论点整理并改进后所作的数学表达方式。圣安瑟伦后曾有17世纪的莱布尼茨提出了另一个较复杂的宇宙论证版本，而这个就是哥德尔所研究并尝试用其本体论逻辑论点去澄清的版本。

虽然哥德尔有宗教信仰，他从未发表这个证明。他在1970年代绝食而死的前几年不断将这个论点向身边的朋友们展示，他去世九年后，即1987年，这论点才被出版。

哥德尔的论证证明用上了由他本人及克里普克等20世纪逻辑学家所发展的模态逻辑，分开了必需的真与偶然的真。$\Box$ 表示必然性，而 $\Diamond$ 表示可能性。证明的关键在于利用“神可能存在”（定理２）及神的极致性（定义１）去推导出“神必然存在”（定理４）。在S5模态逻辑系统的框架下，这项结论可谓全然有效，因此相当惊人。然而，若使用相同的逻辑推论去假设极致伟大的存有不存在，也同样没有任何自相矛盾之处。

## 证明

### 圣安瑟伦的论点

11世纪的意大利僧侣圣安瑟伦，其论点用最简洁的表达如下：“God, by definition, is that than which a greater cannot be thought（i.e.$G(x) \iff \forall \varphi[P(\varphi) \rightarrow \varphi(x)]$）. God exists in the understanding（i.e.$\Diamond\; \exists x\; G(x)$）. If God exists in the understanding, we could imagine Him to be greater by existing in reality. Therefore, God must exist.$\Box\; \exists x\; G(x)$”。也就是：

1：根据定义，我们不能想出任何比神更伟大的存在。

2：神存在于我们的思想之中。

3：如果神存在于我们的思想之中，那么我们可以想象，如果神存在于实际之中的话，祂就更加伟大。

推论：神必须存在。

### 哥德尔的证明

哥德尔的证明若以符号表达，则如下：

```
<math>G</math> 解「像神特性」，<math>\varphi</math>及<math>\psi</math>為任一特性，<math>P(\varphi)</math> 解 「<math>\varphi</math> 為正（可解「完美」或「偉大」）特性」， <math>\varphi(x)</math> 解「 x 擁有 <math>\varphi</math> 特性」，<math>E</math> 解「必需存在」， <math>\varphi\;\operatorname{ess}\;x</math> 解 「<math>\varphi</math> 是 x 的本質（essence）」，<math>\Box</math> 表示「必然性」，而 <math>\Diamond</math> 表示「可能性」:
```

$$\begin{array}{rl} \mbox{Ax. 0.} & \Box\; \exists \varphi\; P(\varphi)\\ \mbox{Ax. 1.} & \lbrace P(\varphi) \land \Box\; \forall x [\varphi(x) \rightarrow \psi(x)]\rbrace \rightarrow P(\psi)\\ \mbox{Ax. 2.} & P(\neg \varphi) \leftrightarrow \neg P(\varphi)\\ \mbox{Th. 1.} & P(\varphi) \rightarrow \Diamond\; \exists x\; [\varphi(x)]\\ \mbox{Df. 1.} & G(x) \iff \forall \varphi[P(\varphi) \rightarrow \varphi(x)]\\ \mbox{Ax. 3.} & P(G)\\ \mbox{Th. 2.} & \Diamond\; \exists x\; G(x)\\ \mbox{Df. 2.} & \varphi\;\operatorname{ess}\;x \iff \varphi(x) \land \forall\psi\lbrace\psi(x) \rightarrow \Box\; \forall y[\varphi(y) \rightarrow \psi(y)]\rbrace\\ \mbox{Ax. 4.} & P(\varphi) \rightarrow \Box\; P(\varphi)\\ \mbox{Th. 3.} & G(x) \rightarrow G\;\operatorname{ess}\;x\\ \mbox{Df. 3.} & E(x) \iff \forall \varphi[\varphi\;\operatorname{ess}\;x \rightarrow \Box\; \exists y\; \varphi(y)]\\ \mbox{Ax. 5.} & P(E)\\ \mbox{Th. 4.} & \Box\; \exists x\; G(x) \end{array}$$

#### 语译

公设 0：在所有特性中挑出正特性$\varphi$是可能的。（i.e.在所有特性当中，我们总得界别其中一些为正，否则定义正特性已经没意思了。）

公设 1：任何被一个正特性$\varphi$必然蕴涵的特性$\psi$为正。

公设 2：一个特性$\varphi$的逻辑非为正当且仅当$\varphi$为非正。（i.e.特性$\varphi$与非$\varphi$必为一正一非正）

定理 1：如果一个特性$\varphi$为正，那它是相容（consistent）的，即是，$\varphi$可能找得到例子（exemplified）。（i.e.所有正的特性都可能存在实例。）

定义 1：x像神当且仅当x拥有所有正特性。（i.e.神就是拥有所有正特性的物体）

公设 3：像神特性G为正（i.e.能称得上神，是一种正特性）

定理 2：可能存在一个物体x像神（i.e.神可能存在）。

定义 2：$\varphi$是x的本质（essence）当且仅当“$\varphi$是x的特性”及“对于x所拥有的每一个特性$\psi$，对所有y而言$\psi$皆由$\varphi$而来”

公设 4：假如一个特性$\varphi$为正，那$\varphi$必然为正。

定理 3：假若一件物体x像神，那像神的特性G是其本质（essence）。

定义 3：x必需存在当且仅当x的每一个本质（essence）$\varphi$必然能找得到例子（exemplified）

公设 5：“必需存在”此特性（名为特性E），为正。

定理 4：像神的特性G必然能找到例子（exemplified）（i.e.神必然存在）。

#### 定理 1至4的证明

$$P(\varphi)\to\neg P(\neg \varphi)\mbox{ (i.e. 由 Ax. 2)}\;$$

$$\to\neg\lbrace P(\varphi) \land \Box\;\forall x [\varphi(x) \to (\neg \varphi)(x)]\rbrace\mbox{ (i.e. 由 Ax. 1)}\;$$

$$\to\neg\Box\;\forall x [\varphi(x) \to \neg \varphi(x)]\mbox{ (i.e.}\ ( \lnot \varphi)(x) \mbox{ 的 定 義 為 }\ \lnot ( \varphi(x))$$

$$\to\Diamond\;\neg \forall x [\varphi(x) \to \neg\varphi(x)]\;$$

$$\to\Diamond\;\exists x \lbrace\neg[\varphi(x)\to\neg\varphi(x)]\rbrace\;$$

$$\to\Diamond\;\exists x [\varphi(x)]\;$$

$$P(G) \mbox{ (i.e. 由 Ax. 3)}\;$$

$$\rightarrow \Diamond\ \exists x [G(x)] \mbox{ (i.e. 由 Th. 1)}\;$$

Lemma 1:

$$\forall \varphi [P( \varphi ) \rightarrow \varphi (x)]$$

$$\rightarrow \forall \varphi [P( \lnot \varphi ) \rightarrow ( \lnot \varphi )(x)]$$

$$\rightarrow \forall \varphi [ \lnot P( \varphi ) \rightarrow \lnot \varphi (x)] \mbox{ (i.e. 由 Ax. 2)}\;$$

$$\rightarrow \forall \varphi [ P( \varphi ) \leftarrow \varphi (x)]$$

Lemma 2:

$$G(x) \iff \forall \varphi[P(\varphi) \rightarrow \varphi(x)] \mbox{ (i.e. 由 Df. 1)}\;$$

$$\rightarrow \lbrace G(x) \iff \forall \varphi[P(\varphi) \iff \varphi(x)] \rbrace \mbox{ (i.e. 由 Lemma 1)}\;$$

Lemma 3:

$$\Box \forall y \lbrace G(y) \iff \forall \varphi[P(\varphi) \rightarrow \varphi(y)] \rbrace \mbox{ (i.e. 由 Df. 1)}\;$$

$$\rightarrow \Box \forall y ( \forall \varphi \lbrace [G(y) \land P(\varphi)] \rightarrow \varphi(y) \rbrace )$$

$$\rightarrow \forall \varphi \lbrace P( \varphi ) \rightarrow [ \Box \forall y (G(y) \rightarrow \varphi (y))] \rbrace$$

Th. 3的证明:

$$G(x) \rightarrow G(x) \land \forall \varphi \lbrace \varphi (x) \rightarrow P( \varphi ) \rbrace \mbox{ (i.e. 由 Lemma 2)}\;$$

$$\rightarrow (G(x) \land \forall \varphi \lbrace \varphi (x) \rightarrow [ \Box \forall y (G(y) \rightarrow \varphi (y))] \rbrace ) \mbox{ (i.e. 由 Lemma 3)}\;$$

$$\rightarrow G\;\operatorname{ess}\;x \mbox{ (i.e. 由 Df. 2)}\;$$

$$\Diamond\;\exists x [G(x)]\to \Diamond\;\exists x \lbrace G(x) \land \forall \varphi [P(\varphi)\to \varphi(x)]\rbrace\mbox{ (i.e. 由 Df. 1)}\;$$

$$\to \Diamond\;\exists x \lbrace G(x) \land [P(E)\to E(x)]\rbrace\;$$

$$\to \Diamond\;\exists x [G(x) \land E(x)]\mbox{ (i.e. 由 Ax. 5)}\;$$

$$\to \Diamond\;\exists x ( G(x) \land \forall \varphi\lbrace\varphi\;\operatorname{ess}\;x \to \Box\;\exists y [\varphi(y)]\rbrace)\mbox{ (i.e. 由 Df. 3)}\;$$

$$\to \Diamond\;\exists x (G(x) \land \lbrace G\;\operatorname{ess}\;x\to\Box\;\exists y [G(y)]\rbrace)\;$$

$$\to \Diamond\;\exists x \lbrace G(x) \land \Box\;\exists y [G(y)]\rbrace\mbox{ (i.e. 由 Th. 3)}\;$$

$$\to \Diamond\;\Box\;\exists y [G(y)]\;$$

$$\to \Box\;\exists y [G(y)]\mbox{ (i.e. 由 S5 中 的 公 理 E)}\;$$

$$\to \Box\;\exists x [G(x)]\;$$

$$\therefore \Box\;\exists x [G(x)]\mbox{ (i.e. 由 Th. 2)}\;$$

#### 证明中用到的公设

哥德尔证明中的公设有5项：

公设 0: 在所有特性中挑出正特性是可能的。哥德尔定义正特性颇不清晰：“正解作在道德美学上为正（independently of the accidental structure of the world）......It may also mean pure attribution as opposed to privation (or containing privation)." 值得注意的是，正不能简单地被解读为“善”（good），因为最大的善特性和最小的恶特性的合取是非正特性。正可以被解作“完美”（perfective），即“纯粹的善”（purely good）。(Gödel 1995)

然后我们假设以下几个条件成立（公设 1至3可被总结为“那些正特性们形成了一个超滤子”）：

公设 1: 假如 φ 为正特性且 φ 必然蕴涵 ψ，那 ψ 也是正。

公设 2: 假如 φ 是一个特性，则在 φ 与其逻辑非——“非 φ ”中有且只有一个为正特性。

公设 3: “像神特性”G为正特性。

公设 4: 若 φ 为正特性，则其必然为正特性。

公设 5: “必需存在性”E为正特性。This mirrors the key assumption in Anselm's argument.

## 批评

对哥德尔本体论证明的大部分批评，皆在于其公设部分。正如任何逻辑系统，假如其所依赖的公设备受怀疑，则结论也会受到怀疑。此情况特别适用于哥德尔的证明，因为其所依赖的5条公设，全部也是可以质疑的。此证明并不表示其结论正确，但假如你接受了那些公设，结论就是正确的。

很多哲学家质疑这些公设。第一层的攻击，在于指出没有任何理据支持为何这些公设为正确。第二层则是这些公设带来一个不受欢迎的结论“模态塌陷”（modal collapse），即对于所有公式 $p$，$p \to \Box p$ 成立。由 S5 的公理 T 可得 $\Box p \to p$，故$p \leftrightarrow \Box p$。这使得所有必然真、偶然真和可能真重合，并被部分哲学家解释为对自由意志概念的否定。

## 外部链接

- Kurt Gödel's Ontological Argument
- Stanford Encyclopedia of Philosophy: Ontological Argument