布雷森汉姆直线算法

布雷森汉姆直线算法（Bresenham's line algorithm）是用来描绘由两点所决定的直线的算法，它会算出一条线段在n维位图上最接近的点。这个算法只会用到较为快速的整数加法、减法和位元移位，常用于绘制电脑画面中的直线。是计算机图形学中最先发展出来的算法。

经过少量的延伸之后，原本用来画直线的算法也可用来画圆。且同样可用较简单的算术运算来完成，避免了计算二次方程式或三角函数，或递归地分解为较简单的步骤。

以上特性使其仍是一种重要的算法，并且用在绘图仪、绘图卡中的绘图芯片，以及各种图形程式库。这个算法非常的精简，使它被实作于各种装置的固件，以及绘图芯片的硬件之中。

“Bresenham”至今仍经常作为一整个算法家族的名称，即使家族中绝大部分算法的实际开发者是其他人。该家族的算法继承了Bresenham的基本方法并加以发展，详见参考资料。

## 演算方法

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假设我们需要由(x0, y0)这一点，绘画一直线至右下角的另一点(x1, y1)，x,y分别代表其水平及垂直坐标，并且x1 - x0 > y1 - y0。在此我们使用电脑系统常用的坐标系，即x坐标值沿x轴向右增长，y坐标值沿y轴向下增长。

因此x及y之值分别向右及向下增加，而两点之水平距离为$x_1-x_0$且垂直距离为$y_1-y_0$。由此得之，该线的斜率必定介乎于0至1之间。而此算法之目的，就是找出在$x_0$与$x_1$之间，第x行相对应的第y列，从而得出一像素点，使得该像素点的位置最接近原本的线。

对于由(x0, y0)及(x1, y1)两点所组成之直线，公式如下：

$$y - y_0 = \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_0)$$

因此，对于每一点的x，其y的值是

$$\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_0) + y_0$$

因为x及y皆为整数，但并非每一点x所对应的y皆为整数，故此没有必要去计算每一点x所对应之y值。反之由于此线之斜率介乎于1至0之间，故此我们只需要找出当x到达那一个数值时，会使y上升1，若x尚未到此值，则y不变。至于如何找出相关的x值，则需依靠斜率。斜率之计算方法为$m=(y_1-y_0)/(x_1-x_0)$。由于此值不变，故可于运算前预先计算，减少运算次数。

要实行此算法，我们需计算每一像素点与该线之间的误差。于上述例子中，误差应为每一点x中，其相对的像素点之y值与该线实际之y值的差距。每当x的值增加1，误差的值就会增加m。每当误差的值超出0.5，线就会比较靠近下一个映像点，因此y的值便会加1，且误差减1。

下列伪代码是这算法的简单表达（其中的`plot(x,y)`绘画该点，`abs`返回的是绝对值）。虽然用了代价较高的浮点运算，但很容易就可以改用整数运算（详见最佳化一节）：

```
 '''function''' line(x0, x1, y0, y1)
     ''int'' deltax := x1 - x0
     ''int'' deltay := y1 - y0
     ''real'' error := 0
     ''real'' deltaerr := deltay / deltax    // 假設deltax != 0（非垂直線）。
           // 注意：需保留除法運算結果的小數部份
     ''int'' y := y0
     '''for''' x '''from''' x0 '''to''' x1
         plot(x,y)
         error := error + deltaerr
         '''if''' abs (error) ≥ 0.5 '''then'''
             y := y + 1
             error := error - 1.0
```

## 一般化

虽然以上的算法只能绘画由左下至右上，且斜率小于或等于1的直线，但我们可以扩展此算法，使之可绘画任何的直线。第一个扩展是绘画反方向，即由右上至左下的直线。这可以简单地透过在`x0 > x1`时交换起点和终点来做到。第二个扩展是绘画斜率为负的直线，可以检查y0 < y1是否成立；若该不等式成立，误差超出0.5时y的值改为加-1。最后，我们还需要扩展该算法，使之可以绘画斜率绝对值大于1的直线。要做到这点，我们可以利用大斜率直线对直线y=x的反射是一条小斜率直线的事实，在整个计算过程中交换 x 和 y，并一并将plot的参数顺序交换。扩展后的伪代码如下：

```
 '''function''' line(x0, x1, y0, y1)
     ''boolean'' steep := abs(y1 - y0) > abs(x1 - x0)
     '''if''' steep '''then'''
         swap(x0, y0)
         swap(x1, y1)
     '''if''' x0 > x1 '''then'''
         swap(x0, x1)
         swap(y0, y1)
     ''int'' deltax := x1 - x0
     ''int'' deltay := abs(y1 - y0)
     ''real'' error := 0
     ''real'' deltaerr := deltay / deltax
     ''int'' ystep
     ''int'' y := y0
     '''if''' y0 < y1 '''then''' ystep := 1 '''else''' ystep := -1
     '''for''' x '''from''' x0 '''to''' x1
         '''if''' steep '''then''' plot(y,x) '''else''' plot(x,y)
         error := error + deltaerr
         '''if''' error ≥ 0.5 '''then'''
             y := y + ystep
             error := error - 1.0
```

以上的程序可以处理任何的直线，实现了完整的Bresenham直线算法。

## 最佳化

以上的程序有一个问题：电脑处理浮点运算的速度比较慢，而`error`与`deltaerr`的计算是浮点运算。此外，`error`的值经过多次浮点数加法之后，可能有累积误差。使用整数运算可令算法更快、更准确。只要将所有以上的分数数值乘以`deltax`，我们就可以用整数来表示它们。唯一的问题是程序中的常数0.5—我们可以透过改变`error`的初始方法，以及将`error`的计算由递增改为递减来解决。新的程序如下：

`xk * deltaerr >= 0.5;`

`xk * deltay/deltax >= 0.5;`

`deltax/2 - xk*deltay <= 0;`

```
 '''function''' line(x0, x1, y0, y1)
     ''boolean'' steep := abs(y1 - y0) > abs(x1 - x0)
     '''if''' steep '''then'''
         swap(x0, y0)
         swap(x1, y1)
     '''if''' x0 > x1 '''then'''
         swap(x0, x1)
         swap(y0, y1)
     ''int'' deltax := x1 - x0
     ''int'' deltay := abs(y1 - y0)
     ''int'' error := deltax / 2
     ''int'' ystep
     ''int'' y := y0
     '''if''' y0 < y1 '''then''' ystep := 1 '''else''' ystep := -1
     '''for''' x '''from''' x0 '''to''' x1
         '''if''' steep '''then''' plot(y,x) '''else''' plot(x,y)
         error := error - deltay
         '''if''' error < 0 '''then'''
             y := y + ystep
             error := error + deltax
```

## 历史

Jack E. Bresenham于1962年在IBM发明了此算法。据他本人表示，他于1963年在丹佛举行的美国计算机协会全国大会上发表了该算法，论文则登载于1965年的《IBM系统期刊》（IBM Systems Journal）之中。Bresenham直线算法其后被修改为能够画圆，修改后的算法有时被称为“Bresenham画圆算法”或中点画圆算法。

## 参考资料

- "The Bresenham Line-Drawing Algorithm" , by Colin Flanagan

## 参阅

- Patrick-Gilles Maillot's Thesis an extension of the Bresenham line drawing algorithm to perform 3D hidden lines removal; also published in MICAD '87 proceedings on CAD/CAM and Computer Graphics, page 591 - ISBN 2-86601-084-1.
- 数字微分分析仪算法，描画直线和三角形的一种简单通用方法。
- 吴小林直线算法，以同样快速的方法绘制反锯齿线。
- 中点画圆算法，以类似的方法绘画圆。

## 外部链接

- Analyze Bresenham's line algorithm in an online Javascript IDE
- The Bresenham Line-Drawing Algorithm by Colin Flanagan
- National Institute of Standards and Technology page on Bresenham's algorithm
- Calcomp 563 Incremental Plotter Information
- Bresenham's Original Paper
- An implementation in Java at the Code Codex