费曼图

费曼图（Feynman diagram）是美国物理学家理查德·费曼在处理量子场论时提出的一种形象化的方法，描述粒子之间的相互作用、直观地表示粒子散射、反应和转化等过程。使用费曼图可以方便地计算出一个反应过程的跃迁概率。

在费曼图中，粒子用线表示，费米子一般用实线，光子用波浪线，玻色子用虚线，胶子用圈线。一线与另一线的连接点称为顶点。费曼图的横轴一般为时间轴，向右为正，向左代表初态，向右代表末态。与时间轴方向相同的箭头代表正费米子，与时间轴方向相反的箭头表示反费米子。

## 简介

两个粒子的相互作用量由反应截面积所量化，其大小取决于它们的碰撞，该相互作用发生的概率尤其重要。如果该相互作用的强度不太大（即是能够用微扰理论解决），这反应截面积（或更准确来说是对应的时间演变算子、分布函数或S矩阵）能够用一系列的项（戴森级数）所表示，这些项能描述一段短时间所发生的故事，像以下的例子：

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- 两个具有一定相对速度的粒子在自由地移动（由两条向着大致方向的线表示）
- 它们遇到对方（两线连于第一点──顶点）
- 它们在同一路径上漫步（两线合二为一）
- 然后再度分开（第二个顶点）
- 但它们发觉自己的速度已变，而且再也不和之前一样（两线从最后的顶点向上──有时样式会因应粒子所经历的转变而有所不同）

这故事能够以图来表示，这一般来说要比记起对应戴森级数的数学公式要容易得多。这种图被称为费曼图。它们在戴森级数迅速趋向极限时才有意义。由于它们能够说简易的故事，而且又跟早期的气泡室实验相似，所以费曼图变得非常普及。

## 动机与历史

粒子物理学中，计算散射反应截面积的难题简化成加起所有可能存在的居间态振幅（每一个对应摄动理论又称戴森级数的一个项）。用费曼图表示这些状态以，比了解当年冗长计算容易得多。从该系统的基础拉格朗日量能够得出费恩曼法则，费恩曼就是用该法则表明如何计算图中的振幅。每一条内线对应虚粒子的分布函数；每一个线相遇顶点给出一个因子和来去的两线，该因子能够从相互作用项的拉格朗日量中得出，而线则约束了能量、动量和自旋。费曼图因此是出现在戴森级数每一个项的因子的符号写法。

但是，作为微扰的展开式，费曼图不能包含非微扰效应。

除了它们在作为数学技巧的价值外，费曼图为粒子的相互作用提供了深入的科学理解。粒子会在每一个可能的方式下相互作用：实际上，居间的虚粒子超越光速是允许的。（这是基于测不准原理，因深奥的理由而不违反相对论；事实上，超越光速对保留相对性时空的偶然性有帮助。）每一个终态的概率然后就从所有如此的概率中得出。这跟量子力学的泛函积分表述有密切关系，该表述（路径积分表述）也是由费曼发明的。

如此计算如果在缺少经验的情况下使用，通常会得出图的振幅为无穷大，这个答案在物理理论中是不能接受的。问题在于粒子自身的相互作用被错误地忽视了。重整化的技巧（是由费曼、施温格和朝永所开发的）弥补了这个效应并消除了麻烦的无穷大项。经过这样的重整化后，用费曼图做的计算通常能与实验结果准确地吻合。

费曼图及路径积分法亦被应用于统计力学中。

### 其他名称

默里·盖尔曼一直将费曼图称为斯蒂克尔堡图(Stückelberg diagrams)，因为瑞士物理学家厄恩斯特·斯蒂克尔堡(Ernst Stückelberg)发明了一个相近的图。

历史上他们也曾被叫成费恩曼-戴森图或戴森图。

## 费曼规则

- 费曼规则（Feynman rules）**是量子场论中一组将物理过程的费曼图转化为对应矩阵元（Matrix Element）或散射振幅（Scattering amplitude $\mathcal{M}$）的数学操作指南。透过这些规则，物理学家能够将抽象的微扰理论图表，精确地计算出粒子的反应截面（Cross section）和衰变率（Decay rate）。

不同的量子场论模型（如量子电动力学 QED、弱电理论或量子色动力学 QCD）拥有各自特定的费曼规则，但其核心架构皆包含以下三大要素：

### 核心要素与数学对应

- 外腿（External Lines）：代表进入或离开反应的真实粒子。
- 自旋0（纯量粒子）：对应因子为 $1$。
- 自旋1/2（费米子）：初始态对应狄拉克旋量 $u$ 或 $\bar{v}$；最终态对应 $\bar{u}$ 或 $v$。
- 自旋1（规范玻色子）：对应极化向量 $\epsilon_\mu$ 或 $\epsilon_\mu^*$。
- 内部传播子（Propagators）：代表图形内部相连的虚粒子，负责在顶点间传递动量 $q$。
- 费米子传播子：$\frac{i(\gamma^\mu q_\mu + m)}{q^2 - m^2 + i\epsilon}$
- 光子传播子（费曼规范）：$\frac{-ig_{\mu\nu}}{q^2 + i\epsilon}$
- 顶点（Vertices）：粒子发生交互作用并交换量子数的地点。
- 每个顶点都包含一个耦合常数（Coupling constant，如 QED 中的电子电荷 $e$），用以决定交互作用的强度。
- 例如 QED 的电子-光子顶点对应因子为 $-ie\gamma^\mu$。

### 计算与推导步骤

在实际应用中，利用费曼规则计算振幅通常遵循以下标准步骤：

- 绘制费曼图：依据反应的初始和最终状态，画出所有可能的一阶与高阶微扰图形。
- 标记动量：为每条外腿分配物理动量，并确保每个顶点都满足动量守恒。
- 依序代入因子：沿着费米子线逆着箭头方向（或依据规范场指标），将外腿、传播子和顶点的数学因子依序相乘。
- 循环积分：若图形中存在未被动量守恒锁定的内部闭循环（Loop），必须对该循环动量进行全空间积分 $\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}$。
- 对称因子与符号：乘上图形的对称因子（Symmetry factor），并根据费米子置换规则确定整体的正负号。

## 例子

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### β衰变

右图为β衰变的费曼图。图中的直线代表费米子，而波浪线则代表虚玻色子。在本例中，图被设定在流形时空中，y坐标为时间而x坐标为空间；x坐标亦代表了某些相互作用（考虑碰撞）的“地点”。由于时间朝着y轴方向，所以中微子是向着时间方向行进的；但费米子可以被视为其向时间后方移动的反粒子，因为数学上这两个概念没有分别。这适用于所有粒子和反粒子。

### 量子电动力学

在量子电动力学中，有两个场标记，叫“电子”和“光子”。“电子”有一定方向而“光子”无固定方向。当中只有一种相互作用，用“γ”标记，其三度分别为“光子”、“电子”“头”和“电子”“尾”。

## 参考资料

- Gerardus 't Hooft, Martinus Veltman, Diagrammar, CERN Yellow Report 1973, online
- David Kaiser, Drawing Theories Apart: The Dispersion of Feynman Diagrams in Postwar Physics, Chicago: University of Chicago Press, 2005. ISBN 0-226-42266-6
- Martinus Veltman, Diagrammatica: The Path to Feynman Diagrams, Cambridge Lecture Notes in Physics, ISBN 0-521-45692-4 (expanded, updated version of above)

## 外部链接

- 史丹福线性加速器中心的费曼图页面
- AMS article: "What's New in Mathematics: Finite-dimensional Feynman Diagrams"
- WikiTeX 支持维基条目中的费曼图直接编辑
- Drawing Feynman diagrams with FeynDiagram C++ library that produces PostScript output.
- Feynman Diagram Examples using Thorsten Ohl's Feynmf LaTeX package.