顶点算子代数

数学中的顶点算子代数（Vertex operator algebra，缩写：VOA）为一代数结构，于二维共形场论及弦论扮演了非常重要的角色，此外并应用在物理上，而顶点算子代数在基础数学方面更已经被证实其用处，如在怪兽月光理论及几何朗兰兹纲领。

因着Igor Frenkel曾提出想构造一无限维李代数，1986年由理查德·博赫兹(Richard Borcherds)提出一个相关的名词 顶点代数，在这样的路径发展后，人们允以附络向量之顶点算子作用之Fock 空间，而Borcherds 透过将络顶点算子间的关联及名词公理化后，造出允许Frenkel所提方法构造新李代数的代数结构。

顶点算子代数的名词引入则是于1988年由Igor Frenkel、James Lepowsky与 Arne Meurman修正顶点代数后而被正式提出，作为它们计划中构造月光模的部分方法。他们发现很多的顶点代数很自然地就给出了有用的加法结构(Virasoro 代数之作用)，并且满足关于能量算子之有界下方性质，基于如此的观察，他们添加了Virasoro 作用与有界下方性质于所提公理中。

名词提出后我们亦于物理上观察并检核这些名词的概念，并有起初公理提出时并未明的几种解释。物理上，顶点算子是在允许算子积展开附加之二维共形场中，由其上的点上附加全纯场而提出 (i.e., 顶点)，而其所附加的全纯场相互碰撞时，并恰好满足顶点算子代数公理下所指之关联性。实际上，顶点算子代数公设就是物理学家称为chiral代数或 "chiral对称代数"的正式代数解释，而该对称代数描述了由共形场论给出包含保守不变量的Ward恒等式。其余顶点代数公理之公式包含博赫兹后续于奇异交换环的工作、由Huang, Kriz等提出于某曲线上算子上之代数、以及由亚历山大·贝林森(Alexander Beilinson)和弗拉基米尔·德林费尔德(Vladimir Drinfeld)提出称为chiral代数 D-模-理论之物等。然这些拟chiral代数并不完全与物理学家所用之物等同。

顶点算子代数基础之重要例子包含络顶点算子代数(用以模式化络保守场论)、由仿射 卡茨-穆迪代数 (自WZW模型)之表示给定之顶点算子代数、Virasoro 顶点算子代数 (i.e.,对应 维拉宿代数表示之顶点算子代数) 与 月光模 V♮等；至于较复杂的例子就如由几何表示理论及数学物理引出在复流形上的仿射 W-代数与chiral de Rham复丛等。

## 定义

一顶点代数由以下资料组成：

- 向量空间 $V$,
- 单位元 $1\in V$,
- 自同态 $T : V\to V$,
- 乘法性映射: $Y:V\otimes V\to V((z))$; 其中$V((z))$ 是系数为$V$ 中元素的形式洛朗级数,

此乘法映射常被写作“状态—场 对应”（state-field correspondence）:

$Y: V \to End (V)[[z^{\pm 1}]]$,

给$V$中每一向量$a$配上一支以算子为值之形式分布（formal distribution）$Y(a,z)$，称作“顶点算子”，乘法性映射则写作$(a,b)\mapsto Y(a,z)b = \sum_{n\in\mathbb{Z}} a_n b z^{-n-1}$，其中对任意$b\in V$，存在 $N$ 使得对任意 $n>N$，$a_n\in End(V)$ 满足 $a_nb=0$；其物理意义为在原点插入一算子。T则是无穷小位移之一生成元。

并满足以下公理:

- (单位) 对任意 $a\in V$，均有$Y(1,z)a = a = az^0$ 和 $Y(a,z)1 \in a + zV[[z]]$
- (位移) $T(1) = 0$，且对任意 $a,b\in V$，均有$[T,Y(a,z)]b = TY(a,z)b - Y(a,z)Tb = \frac{d}{dz}Y(a,z)b$
- (四顶点函数) 对任意$a,b,c\in V$ , 均存在一元素$X(a,b,c;z,w) \in V[[z,w]][z^{-1}, w^{-1}, (z-w)^{-1}]$ 使得 $Y(a,z)Y(b,w)c$，$Y(b,w)Y(a,z)c$与 $Y(Y(a,z-w)b,w)c$ 分别为 $X(a,b,c;z,w)$ 在$V((z))((w))$， $V((w))((z))$与 $V((w))((z-w))$中之级数展开式.

“四顶点函数”公理统一了（误差不过奇异值之）结合律与交换律。位移公理涵蕴Ta = a-21，故Y决定了T 的值。

### 分阶顶点代数

一Z+-分阶顶点代数为

- $$V = \bigoplus_{n=0}^\infty V_n\,$$

使对任意$a\in V_k$ 与 $b\in V_m$，均有$a_nb\in V_{k+m-n-1}$。

设有一Z+-分阶顶点代数，其一 Virasoro 元 为 V2中一元素 ω，使顶点算子

$$Y(\omega, z) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} \omega_{(n)} {z^{-n-1}} = \sum_{n\in\mathbb{Z}} L_n z^{-n-2}$$

符合以下条件:

对任意$a\in V_n$有:

- $$L_0 a = na$$
- $$Y(L_{-1} a, z) = \frac{d}{dz} Y(a, z) = [Y(a,z),T]$$
- $$[L_m, L_n]a = (m - n)L_{m + n}a + \delta_{m + n, 0} \frac{m^3-m}{12}ca$$

其中 c 为一常值，称“中心荷”（central charge），或“V之秩”。此亦使V成为 维拉宿代数的一表示。

## 参考资料

- Richard Borcherds, 《Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster》, Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 83 (1986) 3068-3071
- Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman, 《Vertex operator algebras and the Monster》. Pure and Applied Mathematics, 134. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988. liv+508 pp. ISBN 0-12-267065-5
- Edward Frenkel, David Ben-Zvi, 《Vertex algebras and Algebraic Curves》. Mathematical Surveys and Monographs, 88. American Mathematical Society, 2001. xii+348 pp. ISBN 0-8218-2894-0
- Huang Yi Zhi,《Two-Dimensional Conformal Geometry and Vertex Operator Algebras》(Progress in Mathematics) ISBN 0817638296
- Victor Kac, 《Vertex Algebras for Beginners》, University Lecture Series, 10., 亚美利根数学会, 1996. ISBN 0-8218-0643-2