置换的奇偶性

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在数学中，当X是一个至少有两个元素的有限集合时，X的置换（即从X到X的双射）可分为大小相同的两类：奇置换与偶置换。如果X固定了任何一个全序，X的一个置换$\sigma$的奇偶性可以定义为$\sigma$中反向对个数的奇偶性。所谓反向对即X中二元组$x,y$使得$x<y$且$\sigma(x)>\sigma(y)$。这里$\sigma(x)$为置换$\sigma$中第$x$位的元素。

一个置换$\sigma$的符号（sign或signature）记作sgn(σ)：如果$\sigma$是偶数则定义为 +1，如果$\sigma$是奇数则定义为 -1。符号定义了对称群Sn的交错特征。置换的符号另一个更一般的符号为列维-奇维塔符号（$\epsilon_\sigma$），定义在X到X的所有映射上，而在非双射映射上取值为0。

置换的符号可以清晰地表达为

$$\sgn(\sigma)=(-1)^{N(\sigma)}$$

这里$N(\sigma)$是$\sigma$中反向对的个数。或者，置换$\sigma$的符号也可通过对换分解定义为

$$\sgn(\sigma)=(-1)^m$$

这里m是分解中对换的个数。尽管这样一个分解不是惟一的，所有分解中对换个数的奇偶性是相同的，蕴含着置换的符号是良定义的。

## 例子

考虑集合{1,2,3,4,5}的置换σ，它将初始排列12345变为34521。可以通过三个对换得到：首先交换1和3的位置，然后交换2和4，最后交换1和5。这证明了给定的置换σ是奇的。利用置换一文中的记号，我们可写成$\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\ 3&4&5&2&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&3&5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix}$。

有无穷种方式将σ写成换位的复合，例如

$$\sigma=(2 3) (1 2) (2 4) (3 5) (4 5),\;$$

但是不可能将其写为偶数个换位的复合。

## 性质

恒同置换是偶置换。一个偶置换可以由恒同置换通过偶数次两个元素互换（称为对换）得到，而一个奇置换可由奇数次对换得到。

由整数加法相应的法则马上得到下列性质：

- 两个偶置换的复合是偶的
- 两个奇置换的复合是偶的
- 一个奇置换与偶置换的复合是奇的

由此得到

- 任何偶置换的逆是偶的
- 任何奇置换的逆是奇的

考虑集合{1,...,n}的所有置换之对称群Sn，我们可总结为映射

$$\operatorname{sgn} : S_n \to \{-1,1\}$$

将每个置换映为其符号是一个群同态。

进一步，我们见到偶置换组成Sn的一个子群。这就是n个字母上的交错群，记作An。它是符号同态的核。奇置换不能组成一个子群，因为两个奇置换的复合是偶置换，但它们是An（在Sn中）的一个陪集。

如果n>1，则Sn中偶置换与奇置换一样多；从而An包含n!/2个置换。（原因：如果σ是偶的，则 (12)σ是奇的；如果σ是奇的，则 (12)σ是偶的；这两个映射互逆。）

一个轮换是偶的当且仅当它的长度是奇的。这得自如下类似公式

(a b c d e) = (a e) (b e) (c e) (d e)

特别地，为了确定给定的置换是偶的还是奇的，将它写成不交轮换的乘积。这个置换是奇的当且仅当这个分解包含奇数个偶长度的轮换。

每个奇数阶置换必须是偶的；反之一般不成立。

## 两个定义的等价性

### 证明一

任意置换可以由一列对换产生：对第一个对换我们将置换的第一个元素放到它恰当的位置，第二个对换放第二个元素，等等。给定一个置换σ，我们可用无数种方式将其写成对换之积。我们要证明所有这样一个分解，要么都有偶数个对换，要么有奇数个对换。

假设我们有两个这样的分解：

σ = T'1 T'2 ... T'k'

σ = Q'1 Q'2 ... Q'm'

我们要证明k'与m'要么都是偶的，要么都是奇的。

每个对换可以写成奇数个相邻元素的对换之乘积，例如

(2 5) = (2 3)(3 4)(4 5)(4 3)(3 2)

如果我们将上面的T'1...T'k'与Q'1...Q'm'中每个对换作这样的分解，我们得到一个新的分解：

σ = T1 T2 ... Tk

σ = Q1 Q2 ... Qm

这里所有T1...Tk Q1...Qk是相邻对换，k − k'是偶数，m − m'是偶数。

现在将T1的逆与σ复合。T1是两个相邻数 (i, i + 1)的对换，所以与σ相比，新置换σ(i, i + 1)恰好少一个（若 (i,i + 1)是σ的反向对）或多一个反向对（若 (i,i + 1)不是σ的反向对）。然后以相同的方法应用到T2, T3, ... Tk的逆，“消解”了置换σ。最后我们得到了恒同置换，它的N是零，这意味着首先的N(σ)减去k是偶数。

对另一个置换Q1...Qm我们对同样的事情，从而首先的N(σ)减去m是偶数

这样m − k是偶数，这就是我们要证明的。

现在我们可以定义置换σ是偶的，如果N(σ)是偶数；是奇的，如果N(σ)是奇数。这与首先给出的定义相同，但现在清晰地看到每个置换不是偶的就是奇的。

### 证明二

另一个证明利用多项式

$$P(x_1,\ldots,x_n)=\prod_{i<j} (x_i - x_j).\;$$

例如在n = 3的情形，我们有

$$P(x_1, x_2, x_3) = (x_1 - x_2)(x_2 - x_3)(x_1 - x_3).\;$$

现在对{1,...,n}的一个给定置换σ，我们定义

$\operatorname{sgn}(\sigma)=\frac{P(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(n)})}{P(x_1,\ldots,x_n)}$。

因为多项式$P(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(n)})$与$P(x_1,\dots,x_n)$除了符号之外它们的因子相同，从而sgn(σ)不是 +1就是−1。从而如果σ与τ是两个置换，我们有

$$\operatorname{sgn}(\sigma\tau) = \frac{P(x_{\sigma(\tau(1))},\ldots,x_{\sigma(\tau(n))})}{P(x_1,\ldots,x_n)}$$

$$= \frac{P(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(n)})}{P(x_1,\ldots,x_n)} \cdot \frac{P(x_{\sigma(\tau(1))},\ldots, x_{\sigma(\tau(n))})}{P(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(n)})}$$

$$= \operatorname{sgn}(\sigma)\cdot\operatorname{sgn}(\tau)$$

有此定义之后，显然任何两个相邻元素的对换有符号−1，这样我们事实上重新得到了早先定义的符号。

### 证明三

第三个证明利用群Sn一个呈示，使用生成元为$\tau_1,\dots,\tau_{n-1}$，关系为

- $\tau_i^2 = 1$ 对所有i。
- $\tau_i\tau_{i+1}\tau_i = \tau_{i+1}\tau_i\tau_{i+1}$ 对所有i < n − 1。
- $\tau_i\tau_j = \tau_j\tau_i$ 如果 |i − j| ≥ 2。

这里生成元$\tau_i$表示对换 (i, i + 1)。所有的关系将一个词的长度保持或改变2。从一个偶数长词开始使用这些关系后总得到偶数长词，对奇数长词也类似。从而可以毫无歧义地称Sn中由偶数长词表示的元素是偶的，由奇数长词表示的元素是奇的。

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