曲线的微分几何

曲线的微分几何是几何学的一个分支，使用微分与积分专门研究平面与欧几里得空间中的光滑曲线。

从古代开始，许多具体曲线已经用综合方法深入研究。微分几何采取另外一种方式：把曲线表示为参数形式，将它们的几何性质和各种量，比如曲率和弧长，用向量分析表示为导数和积分。分析曲线最重要的工具之一为 Frenet 标架，是一个活动标架，在曲线每一点附近给出“最合适”的坐标系。

曲线的理论比曲面的微分几何及其高维推广的范围要狭窄得多，也简单得多。因为欧几里得空间中的正则曲线没有内蕴几何。任何正则曲线可以用弧长（“自然参数”）参数化，从曲线上来看不能知道周围空间的任何信息，所有曲线都是一样的。不同空间曲线只是由它们的弯曲和扭曲程度区分。数量上，这由微分几何不变量曲线的“曲率”和“挠率”来衡量。曲线基本定理断言这些不变量的信息完全确定了曲线。

## 定义

设 $n$ 是一个正整数，$r$ 是正整数或 $\infty$，$I$ 是实数非空区间，$t$ 属于 $I$。一个$C^r$ 类（即 $\gamma$ 为 $r$ 次连续可微）向量值函数

$$\mathbf{\gamma}:I \to {\mathbb R}^n$$

称为一条 $C^r$ 类参数曲线或曲线 $\gamma$ 的一个 $C^r$ 参数化，$t$ 称为曲线 $\gamma$ 的参数，$\gamma(I)$ 称为曲线的像。将参数曲线 $\gamma$ 和它的像 $\gamma(I)$ 区别开来是非常重要的，因为一个给定的${\mathbb R}^n$的子集可以是许多不同的参数曲线的像。

可以想象参数 $t$ 代表时间，而曲线 $\gamma(t)$ 作为空间中一个运动粒子轨迹。

如果 I 是闭区间 a, b，我们称 γ(a) 为曲线 γ 的起点而 γ(b) 为终点。

如果 $\gamma(a)=\gamma(b)$，我们说 γ 是闭的或是一个环路。进一步，我们称 γ 是一条闭 Cr-曲线，如果 γ(k)(a) = γ(k)(b) 对所有 k ≤ r。

如果 $\gamma:(a,b)\to \mathbb{R}^n$ 为单射，我们称为简单曲线。

如果参数曲线 $\gamma$ 局部可写成幂级数，我们称曲线解析或是 $C^\omega$ 类。

记号 -$\gamma$ 表示朝相反的方向运动的曲线。

一条 $C^k$-曲线

$$\gamma:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n$$

称为 $m$ 阶正则当且仅当对任何 $t$ 属于$I$

$$\lbrace \gamma'(t), \gamma''(t), ...,\gamma^{(m)}(t) \rbrace \mbox {, } m \leq k$$

在 $\mathbb{R}^n$ 中线性无关。

特别地，一条 $C^1$-曲线 $\gamma$ 是正则的如果

$\gamma'(t) \neq 0$ 对任何 $t \in I \,.$

## 重新参数化与等价关系

给定一条曲线的像我们可以定义曲线的许多不同的参数化。微分几何旨在描述在一定的参数化下不变的性质。所以我们需在所有参数曲线集合上定义一种合适的等价关系。曲线的微分几何性质（长度，Frenet 标架和广义曲率）在重新参数化下不变从而满足等价类性质。这个等价类称为 Cr 曲线，是曲线的微分几何研究的中心。

两个 Cr 参数曲线

$$\mathbf{\gamma_1}:I_1 \to R^n$$

与

$$\mathbf{\gamma_2}:I_2 \to R^n$$

要称为等价，就要存在一个 Cr 双射

$$\phi :I_1 \to I_2$$

使得

$$\phi'(t) \neq 0 \qquad (t \in I_1)$$

和

$$\mathbf{\gamma_2}(\phi(t)) = \mathbf{\gamma_1}(t) \qquad (t \in I_1)\,.$$

γ2 称为 γ1 的重新参数化。这种 γ1 的重新参数化在所有参数 Cr 曲线的集合上定义了一种等价关系，其等价类称为 Cr 曲线。

对定向 Cr 曲线，我们可以定义一种“加细”的等价关系，要求 φ 满足 φ'(t) > 0。

等价的 Cr 曲线有相同的像；等价的定向 Cr 曲线有相同的运动方向。

## 长度与自然参数化

C1 曲线 γ : a, b → Rn 的长度 l 可以定义为

$$l = \int_a^b \vert \mathbf{\gamma}'(t) \vert dt.$$

曲线的长度在重参数化下保持不变，从而是曲线的一个微分几何性质。

对任何正则 Cr （r 至少为 1）曲线 γ: a, b → Rn 我们可以定义一个函数

$$s(t) = \int_{t_0}^t \vert \mathbf{\gamma}'(x) \vert dx.$$

写成

$$\overline{\mathbf{\gamma}(s)} = \gamma(t(s))$$

这里 t(s) 是 s(t) 的逆函数，我们得到 γ 的一个新参数化 $\bar \gamma$，称为自然、弧长或单位速度参数化；参数 s(t) 称为 γ 的自然参数。

我们偏爱这个参数，因为自然参数 s(t) 以单位速度转动 γ 的像，所以

$$\vert \overline{\mathbf{\gamma}'(s(t))} \vert = 1 \qquad (t \in I).$$

在实际中常常很难计算出一条曲线的自然参数，但在理论讨论中很有用。

给定一条参数化曲线 γ(t) 的自然参数化是在差一个参数移动的意义下是惟一的。

数量

$$E(\gamma) = \frac{1}{2}\int_a^b \vert \mathbf{\gamma}'(t) \vert^2 dt$$

经常称为曲线的能量或作用量；这个名称是有理由的，因为测地线方程是这个作用量的欧拉-拉格朗日运动方程。

## Frenet 标架

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一个 Frenet 标架是一个移动的参考标架，由描述曲线在每一点 γ(t) 局部性质的n 个正交向量 ei(t) 组成。这是微分几何处理曲线的主要工具，因为在这个局部参考系中，远比使用欧几里得那样的整体坐标系更容易和自然地描述局部性质（如曲率、挠率）。

给定 Rn 中一条 n 阶正则 Cn+1-曲线 γ，曲线的 Frenet 标架是一组正交向量

$$\mathbf{e}_1(t), \ldots, \mathbf{e}_n(t)$$

称为 Frenet 向量。它们是通过对 γ(t) 的各阶导数使用格拉姆-施密特正交化算法得到的：

$$\mathbf{e}_1(t) = \frac{\mathbf{\gamma}'(t)}{\| \mathbf{\gamma}'(t) \|}$$

$$\mathbf{e}_{j}(t) = \frac{\overline{\mathbf{e}_{j}}(t)}{\|\overline{\mathbf{e}_{j}}(t) \|} \mbox{, } \overline{\mathbf{e}_{j}}(t) = \mathbf{\gamma}^{(j)}(t) - \sum _{i=1}^{j-1} \langle \mathbf{\gamma}^{(j)}(t), \mathbf{e}_i(t) \rangle \, \mathbf{e}_i(t)$$

实值函数 χi(t) 称为 广义曲率，定义为

$$\chi_i(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_i'(t), \mathbf{e}_{i+1}(t) \rangle}{\| \mathbf{\gamma}^'(t) \|}$$

Frenet 标架和广义曲率在重新参数化下是不变的，故它们是曲线的微分几何性质。

## 特殊 Frenet 向量和广义曲率

最初三个 Frenet 向量和广义曲率可以在三维空间中看到。它们有额外的名字以及与名称相关更多信息。

### 切向量

如果曲线 γ 表示一个质点的轨迹，那么质点在给定点 P 的瞬时速度用一个向量表示，称为曲线在 P 的切向量。

数学表述为，给定一条曲线 γ = γ(t)，对参数 t 的任何值： t = t0。

向量：

$$\gamma'(t_0) = \frac{d}{d\,t}\mathbf{\gamma}(t) , {t=t_0}$$

是点 P = γ(t0) 的切向量。一般说，切向量可以为零向量。

切向量的长度：

$$\|\mathbf{\gamma}'(t_0)\|$$

是在时间 t0 的速率。

第一个 Frenet 向量 e1(t) 是在同一方向的单位切向量，在 γ 的每个正则点有定义：

$$\mathbf{e}_{1}(t) = \frac{ \mathbf{\gamma}'(t) }{ \| \mathbf{\gamma}'(t) \|}.$$

如果 t = s 是自然参数则切向量有单位长，从而公式化简为：

$$\mathbf{e}_{1}(s) = \mathbf{\gamma}'(s).$$

单位切向量确定了曲线的定向，或随着参数增长的前进方向。

### 法向量

法向量，有时也称为曲率向量，表明曲线和一条直线的偏离程度。

法向量定义为

$$\overline{\mathbf{e}_2}(t) = \mathbf{\gamma}''(t) - \langle \mathbf{\gamma}''(t), \mathbf{e}_1(t) \rangle \, \mathbf{e}_1(t).$$

其正规形式单位法向量，是 Frenet 向量 e2(t)，定义为

$$\mathbf{e}_2(t) = \frac{\overline{\mathbf{e}_2}(t)} {\| \overline{\mathbf{e}_2}(t) \|}.$$

t 点的切向量和法向量张成 t 点的密切平面。

### 曲率

第一个广义曲率 χ1(t) 称为曲率，度量了曲线 γ 偏离密切平面上一条直线的程度。定义为

$$\kappa(t) = \chi_1(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_1'(t), \mathbf{e}_2(t) \rangle}{\| \mathbf{\gamma}^'(t) \|}$$

称为 γ 在点 t 的曲率。

曲率的倒数

$$\frac{1}{\kappa(t)}$$

称为曲率半径。

半径为 r 的圆周有常曲率

$$\kappa(t) = \frac{1}{r}\,,$$

但一条直线的曲率是 0。

### 次法向量

次法向量是第三个 Frenet 向量 e3(t)。

总是正交于 t 点的单位切向量和单位法向量。其定义为

$$\mathbf{e}_3(t) = \frac{\overline{\mathbf{e}_3}(t)} {\| \overline{\mathbf{e}_3}(t) \|} \quad \overline{\mathbf{e}_3}(t) = \mathbf{\gamma}'''(t) - \langle \mathbf{\gamma}'''(t), \mathbf{e}_1(t) \rangle \, \mathbf{e}_1(t) - \langle \mathbf{\gamma}'''(t), \mathbf{e}_2(t) \rangle \,\mathbf{e}_2(t)$$

在 3 维空间中等式简化为

$$\mathbf{e}_3(t) = \mathbf{e}_2(t) \times \mathbf{e}_1(t)\,.$$

### 挠率

第二广义曲率 χ2(t) 称为挠率，度量了 γ 和一条平面曲线的偏离程度。或者说，如果挠率为 0 则曲线完全在某平面内（任何 t 都在这一个平面内）。

$$\tau(t) = \chi_2(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_2'(t), \mathbf{e}_3(t) \rangle}{\| \mathbf{\gamma}'(t) \|}$$

称为 γ 在点 t 的挠率。

## 曲线论主要定理

给定 n 个函数

$$\chi_i \in C^{n-i}([a,b]) \mbox{, } 1 \leq i \leq n$$

满足

$$\chi_i(t) > 0 \mbox{, } 1 \leq i \leq n-1$$

那么存在惟一的（在差一个欧几里得群作用的意义下） n 阶正则 Cn+1-曲线 γ，具有如下性质

$$\|\gamma'(t)\| = 1 \mbox{ } (t \in [a,b])$$

$$\chi_i(t) = \frac{ \langle \mathbf{e}_i'(t), \mathbf{e}_{i+1}(t) \rangle}{\| \mathbf{\gamma}'(t) \|} \,,$$

这里集合

$$\mathbf{e}_1(t), \ldots, \mathbf{e}_n(t)$$

是曲面的 Frenet 标架。

再附加起始 t0 ∈ I，起始点 p0 ∈ Rn 以及一个初始正交标架 {e1, ..., en-1} 满足

$$\mathbf{\gamma}(t_0) = \mathbf{p}_0$$

$$\mathbf{e}_i(t_0) = \mathbf{e}_i \mbox{, } 1 \leq i \leq n-1$$

那么我们可以排除欧几里得作用得到惟一的曲线 γ。

## Frenet-Serret 公式

Frenet-Serret 公式是一组一阶常微分方程。其解为由广义曲率函数 χi 所刻画的曲线的 Frenet 向量组。

### 2-维

$$\begin{bmatrix} <pre> \mathbf{e}_1'(t)\\ \mathbf{e}_2'(t) \\ </pre> \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} <pre> 0 & \kappa(t) \\ -\kappa(t) & 0 \\ </pre> \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{e}_1(t)\\ \mathbf{e}_2(t) \\ \end{bmatrix}$$

### 3-维

$$\begin{bmatrix} <pre> \mathbf{e}_1'(t) \\ \mathbf{e}_2'(t) \\ \mathbf{e}_3'(t) \\ </pre> \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} <pre> 0 & \kappa(t) & 0 \\ -\kappa(t) & 0 & \tau(t) \\ 0 & -\tau(t) & 0 \\ </pre> \end{bmatrix} \begin{bmatrix} <pre> \mathbf{e}_1(t) \\ \mathbf{e}_2(t) \\ \mathbf{e}_3(t) \\ </pre> \end{bmatrix}$$

### n 维一般公式

$$\begin{bmatrix} <pre> \mathbf{e}_1'(t)\\ \vdots \\ \mathbf{e}_n'(t) \\ </pre> \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} <pre> 0 & \chi_1(t) & & 0 \\ -\chi_1(t) & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & 0 & \chi_{n-1}(t) \\ 0 & & -\chi_{n-1}(t) & 0 \\ </pre> \end{bmatrix} \begin{bmatrix} <pre> \mathbf{e}_1(t) \\ \vdots \\ \mathbf{e}_n(t) \\ </pre> \end{bmatrix}$$