超复数

超复数是复数在抽象代数中的引申，通常是实数域上某个有限维的单位代数的元素。19世纪后期对超复数的研究，成为现代群表示论的根基。

此种代数举例如下：

- 4维度：四元数、双复数、分裂四元数
- 8维度：八元数、复四元数
- 16维度：十六元数

## 历史

19世纪，实数系和复数系之外的若干数系，如四元数系、双复数系、分裂四元数系、复四元数系、八元数系，成为数学文献中完善的概念。超复数是涵盖该些数系的概念，吸引学者研究和分类。

分类工作始于本杰明·皮尔士的1872年文章〈线性结合代数〉，并由其子查尔斯·桑德斯·皮尔士接续。重要的是，二人认定幂零元和幂等元皆对分类有用。凯莱－迪克森构造利用对合，从实数系开始，生成复数系、四元数系、八元数系。赫维兹和弗罗贝尼乌斯证明超复数的若干限制：赫维兹定理断言有限维的实复合代数仅得实数系$\mathbb{R}$、复数系$\mathbb{C}$、四元数系$\mathbb{H}$、八元数系$\mathbb{O}$，而弗罗贝尼乌斯定理 (实除代数)断言，实结合除代数仅得$\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$、$\mathbb{H}$。1958年，弗兰克·亚当斯考虑H-空间（有具单位元的连续乘法的拓扑空间）的霍普夫不变量，发表推广的结果，该结果仍将维数限制在1、2、4、8。

矩阵代数对研究超复数系帮助很大。首先，矩阵提供新的超复数系，例如$2 \times 2$实矩阵组成的代数（同构于分裂四元数）。很快，矩阵方法解明其他超复数系，因为该些超复数系也可以用矩阵及其运算表示。1907年，约瑟夫·韦德伯恩证明，满足结合律的超复数系可表示为方阵代数或其直积。此后，结合代数成为较常用来称呼超复数系的术语，例如韦德伯恩在爱丁堡大学的学位论文标题便用了此术语。然而，也有不可结合的数系，例如八元数系和双曲四元数系，也算是另一类的超复数。

汤马士·霍金斯（Thomas Hawkins）解释，超复数是研究李群和群表示论的踏脚石。例如，1929年，埃米·诺特发表〈超复量与表示论〉。1973年，以赛亚·坎托尔和索洛多夫尼科夫（A. S. Solodovnikov）出版关于超复数的德文教科书，该书于1989年翻译成英文。

凯伦·帕歇尔详细介绍全盛期的超复数研究，包括数学家特奥多尔·莫林和爱德华·斯图迪的贡献。关于超复数至近世代数的过渡，巴尔特·伦德特·范德瓦尔登在《代数史》有三十页专论超复数。

## 定义

定义超复数为实域上某个有限维代数的元素，而该代数要有单位，但无需可结合或可交换。该些元素可以写成一组基$\{ 1, i_1, \dots, i_n \}$的线性组合，其中系数为实数$(a_0, \dots, a_n)$，而基的大小$n+1$称为该代数的维数。若可行，一般将基正规化，即选取$i_k$使$i_k^2 \in \{ -1, 0, +1 \}$。下节先考虑二维超复数（即$n=1$）。

## 二维实代数

关于二维实代数有以下定理：在同构意义下，实域上的二维单位代数恰有3个：复数系、双曲复数系、二元数系。于是，实域上的所有二维单位代数皆可结合和可交换。

下段简述定理的证明。

因为给定的代数是二维，可选一组基$\{1, u\}$。因为代数对乘法封闭，$u$的平方仍是代数的元素，故可写成线性组合：

$$u^2=a_0+a_1u,$$

其中$a_0, a_1$为实系数。

运用常见的配方法，两边减走$a_1u$并加上$a_1^2/4$，得：

$$u^2-a_1u+\frac{a_1^2}{4} = a_0+\frac{a_1^2}{4}.$$

所以$\left(u-\frac{a_1}{2}\right)^2 = \tilde{u}^2$，其中$\tilde{u}^2=a_0 + \frac{a_1^2}{4}$是实数。

取决于此实数值，分别有三种情况：

- 若$4a_0 = -a_1^2$，则上式变成$\tilde{u}^2 = 0$。于是，$\tilde{u}$可视为二元数的基$\{1, \varepsilon\}$中的幂零元$\varepsilon$。
- 若$4a_0 > -a_1^2$，则有$\tilde{u}^2 > 0$。双曲复数的标准基$\{ 1 , j \}$满足$j^2 = +1$，故若除$\tilde{u}$以正实数$a:=\sqrt{a_0+\frac{a_1^2}{4}}$（其平方与$\tilde{u}$平方相等），得到的结果即可视为$j$。
- 若$4a_0 < -a_1^2$，则有$\tilde{u}^2 < 0$。平常复数的标准基$\{ 1 , i \}$满足$i^2 = -1$，故若除$\tilde{u}$以正实数$a:=\sqrt{\frac{a_1^2}{4}-a_0}$（其平方与$\tilde{u}$平方互为相反数），得到的结果即可视为$i$。

从而定理成立。

复数系是以上三个二维实代数中唯一一个域。若代数具有1的非实平方根$j$（如双曲复数），则也有幂等元$\tfrac{1}{2} (1 \pm j)$和零因子（因为$(1 + j)(1 - j) = 0$），故此种代数必不为除代数。然而，此种性质有时很有用，例如双曲复数适用于描述狭义相对论的劳仑兹变换。

《数学杂志》在2004年的某版中，称二维实代数为“广义复数”（generalized complex numbers）。四个复数交比的概念也可以推广到其他二维实代数。

## 高维例子（有多于一条非实轴）

### 克里福代数

克里福代数是由赋有二次型的向量空间所生成的单位结合代数。在实域上，其等价于可以定义对称纯量积$u \cdot v = \tfrac{1}{2}(uv + vu)$，正交化该二次型，以得到基$\{e_1, \ldots, e_k\}$，满足：

$$\tfrac{1}{2} (e_i e_j + e_j e_i) = \left\{ \begin{matrix} -1, 0, +1, & i=j, \\ <pre> 0, & i \not = j. \end{matrix} \right.$$

由乘法封闭性，该向量空间的基相乘得到$2^k$个克里福数，即$1,\ e_1,\ e_2,\ e_3,\ \ldots,\ e_1 e_2,\ \ldots,\ e_1 e_2 e_3,\ \ldots,\ e_1 e_2 \cdots e_k$，皆为克里福代数的元素，且组成该代数的基（不同于原向量空间的基），可视为一个超复数系的基。与原向量空间的基$\{e_1, \ldots, e_k\}$不同，该代数的其他基元素不一定反交换，而是取决于将两个因子对调时，会交换的简单因子（即$e_i$）有奇数对抑或偶数对。所以，$e_1 e_2 = -e_2 e_1$，但$e_1 (e_2 e_3) = + (e_2 e_3) e_1$。

若不允许$e_i^2 = 0$（即二次型退化双线性型），则余下的克里福代数可记为$\mathrm{Cl}_{p,q} (\mathbb R)$，表示其为$p$个满足$e_i^2 = +1$的简单基元和$q$个满足$e_i^2 = -1$的简单基元生成的代数，而括号内的$\mathbb R$指明此为实域上的克里福代数，即元素的系数为实数。

该些代数称为几何代数，组成有规律的一族。该族代数适用于描述转动、相位、自旋，因此在古典和量子力学、电磁学、相对论方面很有用。

此族代数包括：复数系$\mathrm{Cl}_{0,1} (\mathbb R)$、双曲复数系$\mathrm{Cl}_{1,0} (\mathbb R)$，四元数系$\mathrm{Cl}_{0,2} (\mathbb R)$、分裂复四元数$\mathrm{Cl}_{0,3} (\mathbb R)$、分裂四元数系$\mathrm{Cl}_{1,1} (\mathbb R)\cong\mathrm{Cl}_{2,0} (\mathbb R)$（二维空间生成的自然代数）、$\mathrm{Cl}_{3,0} (\mathbb R)$（三维空间生成的自然代数，也是包立矩阵生成的代数）、时空代数$\mathrm{Cl}_{1,3} (\mathbb R)$。

代数$\mathrm{Cl}_{p, q}(\mathbb R)$可以视为代数$\mathrm{Cl}_{q+1, p}(\mathbb R)$的偶子代数$\mathrm{Cl}_{q+1, p}^{[0]}(\mathbb R)$，从而可用作描述$\mathrm{Cl}_{q+1, p}(\mathbb R)$中的旋转。因此，复数密切关系二维空间的旋转，四元数密切关系三维空间的旋转，双曲复数密切关系1+1维时空的双曲旋转（洛仑兹变换），余可类推。

虽然八维或以上时，凯莱-迪克森结构和分裂复数构造的乘法不可结合，任意维数的克里福代数皆可结合。

1995年，伊恩·波蒂厄斯有关克里福代数的书中，论及“子代数的辨认”。其命题11.4总结超复数的情况：

设$A$为实结合代数，且具有单位元$1$。则

- $1$生成$\mathbb R$（实子代数）。
- 若$e_0 \in A$是任何满足$e_0^2 = -1$的元素，则其生成的二维子代数与$\mathbb C$同构（复子代数）。
- 若$e_0 \in A$是任何满足$e_0^2 = +1$的元素，则其生成的二维子代数与$\mathbb R^2$同构（此处$\mathbb R^2$是实二元组的集合，其上的乘法是逐个分量相乘。该代数与双曲复代数同构）。
- 若$e_0 ^2 = e_1 ^2 = -1$，且$e_0, e_1$反交换，则$\{e_0, e_1\}$生成的四维子代数同构于$\mathbb H$（四元数代数）。
- 若$e_0 ^2 = e_1 ^2 = 1$，且$e_0, e_1$反交换，则$\{e_0, e_1\}$生成的四维子代数同构于$\mathcal M_2 (\mathbb R)$（元素为$2 \times 2$实矩阵，或分裂四元数）。
- 若$e_0 ^2 = e_1 ^2 = e_2 ^2 = -1$，且$e_0, e_1, e_2$两两反交换，则其生成的八维子代数同构于$\ {}^2 \mathbb H$（分裂复四元数）。
- 若$e_0 ^2 = e_1 ^2 = e_2 ^2 = 1$，且$e_0, e_1, e_2$两两反交换，则其生成的八维子代数同构于$\mathcal M_2(\mathbb C)$（元素为$2 \times 2$复矩阵，亦可视为复四元数或包立代数）。

超出该些古典代数的延伸，见克里福代数的分类。

### 凯莱－迪克森构造

撇除实数系、复数系、四元数系不计，其他克里福代数$\mathrm {Cl}_{p, q}(\mathbb R)$皆含有平方为$+1$的非实数，故不能为除代数。凯莱－迪克森构造是另一个扩展复数系的方法，其给出维数为$2^n\ (n = 2,\ 3,\ 4,\ldots)$的数系，该些数系的基$\{1, i_1, \dots, i_{2^n-1}\}$满足：所有非实的基元两两反交换，且$i_m^2 = -1$。在8维或以上时（即$n \ge 3$），该些代数不可结合，而在16维或以上时（即$n \ge 4$），该些代数有零因子。

此构造得到的前几个代数是4维的四元数系、8维的八元数系、16维的十六元数系。随维数上升，其代数结构的对称性逐一失去：四元数乘法不可交换，八元数乘法不可结合，而十六元数的范数不具积性。

凯莱－迪克森构造的某些步骤中，若插入额外的符号，则得到复合代数中的“分裂代数”，而非除代数：

分裂复数系：有基$\{ 1, i_1 \}$，满足$\ i_1^2 = +1$。

分裂四元数系：有基$\{ 1, i_1, i_2, i_3 \}$，满足$\ i_1^2 = -1, i_2^2 = i_3^2 = +1$。

分裂八元数：有基$\{ 1, i_1, \dots, i_7 \}$，满足$\ i_1^2 = i_2^2 = i_3^2 = -1$，$\ i_4^2 = i_5^2 = i_6^2 = i_7^2 = +1$。

与复数系不同，分裂复数系并非代数闭，甚至包含非平凡的零因子和幂等元。与四元数系类似，分裂四元数系亦不可交换，但同时还含有幂零元。分裂四元数与二阶方阵的代数同构。分裂八元数系不可结合，也含有幂零元。

### 张量积

两个代数的张量积仍为代数，如此可构造更多超复数系。

作为例子，取2维实代数$\mathbb C$（复数系）、4维实代数$\mathbb H$（四元数系）、8维实代数$\mathbb O$（八元数系），分别与$\mathbb C$作张量积，依次得4维的双复数系$\mathbb C\otimes_\mathbb{R}\mathbb C$、8维的复四元数系$\mathbb C\otimes_\mathbb{R}\mathbb H$、16维的复八元数系$\mathbb C\otimes_\mathbb{R}\mathbb O$。

### 其他例子

- 多重复数：其组成复域上的$2^{n-1}$维向量空间。
- 复合代数：赋有二次型的代数，其中二次型与乘法可互换次序。