法拉第电磁感应定律

法拉第电磁感应定律（Faraday's law of electromagnetic induction）简称法拉第定律，是电磁学的一条基本定律。它描述了磁场如何与电路相互作用以产生电动势，这种现象称为电磁感应。法拉第定律也是变压器、电感元件及多种电动机、发电机、螺线管的根本运作原理。

法拉第电磁感应定律是基于迈克尔·法拉第于1831年所作的实验，最初是一条基于观察的实验定律。这个效应也被约瑟·亨利于大约同时发现，但法拉第的发表时间较早。该定律后来和其他的电磁学定律一块被列入麦克斯韦方程组，成为其中四个最基本的方程之一。

## 定律内容

<image>

法拉第定律指出：“任何封闭电路中感应电动势大小，等于穿过这一电路磁通量的变化率。”

其数学公式表达为：

$$\mathcal{E}=-\frac{d\Phi_B }{dt}$$

其中：

$\mathcal{E}$ 是电动势，单位为伏特。

ΦB是通过电路的磁通量，单位为韦伯。

对线圈圈数为N的紧缠线圈，则公式改写为：

$$\mathcal{E} = - N{{d\Phi_B} \over dt}$$

电动势的方向（公式中的负号）由德国科学家海因里希·楞次发现的楞次定律决定。

<image>

<image>

法拉第电磁感应定律用到通过一表面Σ的磁通量ΦB，其积分形式定义如下：

$$\Phi_B = \iint_{\Sigma (t)} \mathbf{B}(\mathbf{r},\ t) \cdot d \mathbf{A}\ $$

其中dA为移动面Σ(t)的面积元，B为磁场，B·dA为向量点积，见图一。（更多细节见面积分及磁通量条目。）表面Σ的边界为闭合曲线∂Σ(t)，为求电动势的路径，见图二。

传统上有两种改变通过电路的磁通量的方式。至于感应电动势时，改变的是自身的电场，例如改变生成场的电流（就像变压器那样）。而至于动生电动势时，改变的是磁场中的整个或部分电路的运动，例如像在单极发电机中那样。

## 马克士威-法拉第方程与感应电动势

马克士威于1855年总结出法拉第定律的旋度版本，而黑维塞则于1884年将定律重写成旋度方程：

$$\nabla\times \mathbf{E}(\mathbf{r},\ t) = -\frac{\partial \mathbf{B}(\mathbf{r},\ t)}{\partial t}$$

其中

$\nabla\times$ 代表 旋度

$\mathbf{E}$ 代表 电场强度（V/m）

$\mathbf{B}$ 代表 磁通量密度（Wb/m2）

$\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial t}\end{matrix}$ 代表 当方位向量 r 不变下的时间偏导数。

方程的意义是，如果电场的空间依赖在纸面上成逆时针方向（经右手定则，得旋度向量方向为出纸面），那么磁场会因时间而更少指出纸面，更多地指入页面（跟旋度向量异号）。方程跟磁场的变量有关系。故磁场不一定要指向纸面，只需向该方向转动即可。

此方程是现代马克士威方程组的四条方程之一。它描述变化中的磁场生成电场的现象，被称为马克士威-法拉第方程。但在有的文献中，也会把这个旋度方程称为“法拉第电磁感应定律”或“法拉第定律”，而把原来的通量方程称为通量定则。

在麦克斯韦-法拉第方程中，黑维塞不使用马克士威用过的时间全导数，而使用时间偏导数，这样做使得马克士威-法拉第方程的应用只限于在随时间变化的磁场中静止电荷的情况。它并不能说明带电粒子在磁场中移动的电磁感应状况。或者说，它只能说明感应电动势，不能说明动生电动势。

<image>

在感应电动势的情况下，可以证明麦克斯韦-法拉第方程（旋度形式）和原始的法拉第定律（通量形式）等价，方法如下。

麦克斯韦-法拉第方程可以用开尔文-斯托克斯定理写成积分形式：

$$\oint_{\partial \Sigma} \mathbf{E} \cdot d\boldsymbol{\ell} = - \ \iint_{\Sigma} { \partial \over {\partial t} } \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}$$

$$=- \ { \partial \over {\partial t} } \iint_{\Sigma} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}$$

其中把导数移至积分前这个动作，需要一与时无关的曲面Σ（对应于只有感应电动势的情况），见图六：

Σ为一被闭合围道∂Σ包围的曲面；Σ与∂Σ皆为固定的，不随时间变动。

E为电场强度。

dℓ为围道∂Σ的一无限小向量元。

B为磁通量密度。

dA为曲面Σ的一无限小向量元，其大小相等于一块无限小曲面，而其方向与该块曲面成正交。

dℓ和dA都具有正负模糊性；要得到正确的正负号，需要使用右手定则，解释详见开尔文-斯托克斯定理条目。对一平面Σ而言，曲线∂Σ的正路径元dℓ，其定义由右手定则所规定，就是当右手姆指跟表面Σ的垂直线n同一方向时，其他手指所指的那一个方向。

方程左边围绕着∂Σ的积分叫曲线积分或路径积分，给出电动势。方程右边的曲面积分，是通过Σ的磁通量ΦB的明确表达式。这就是感应电动势情况下的法拉第定律通量形式。

## 洛伦兹力与动生电动势

<image>

在动生电动势的情况下，使用完整的洛伦兹力计算电动势：

$$\mathcal{E} = \oint_{\partial \Sigma (t)}\left( \mathbf{E}( \mathbf{r},\ t) +\mathbf{ v \times B}(\mathbf{r},\ t)\right) \cdot d\boldsymbol{\ell}\ $$

法拉第电磁感应定律的一个描述，比麦克斯韦-法拉第方程的积分形式更通用（见洛伦兹力），如下：

$\oint_{\partial \Sigma (t)}\left( \mathbf{E}( \mathbf{r},\ t) +\mathbf{ v \times B}(\mathbf{r},\ t)\right) \cdot d\boldsymbol{\ell}\ $ $\ =-\frac {d} {dt} \iint_{\Sigma (t)} d \boldsymbol {A} \cdot \mathbf {B}(\mathbf{r},\ t) \ $

其中∂Σ(t)为围着运动表面Σ(t)的闭合路径，而v为运动速率。见图二。注意上面用的是时间常导数，而不是时间偏导数，意指Σ(t)的时间差异必须被微分所包括。被积函数中，曲线dℓ的元以速率v移动。

图七为磁力是如何促成电动势作出了诠释，而电动势就在上面方程的左边。曲线∂Σ部分dℓ，在时间dt以速率v移动时扫过的面积为（见向量积的几何意义）：

$$d\mathbf{A} = d \boldsymbol{\ell \times v } dt \ $$

所以在时间dt间通过∂Σ为边的表面中这一部分的磁通量变量ΔΦB为：

$$\frac {d \Delta \Phi_B} {dt} = \mathbf{B} \cdot \ d \boldsymbol{\ell \times v } \ = \mathbf{v} \times \mathbf{B} \cdot \ d \boldsymbol{\ell} \ $$

如果我们把这些通过所有部分dℓ的ΔΦB的作用加在一起，就可以得到法拉第定律对磁力的促成作用。也就是，这个项跟运动电动势有关系。

### 例一：空间变强磁场

<image>

考虑图三的长方形线圈，它在xy平面上向x方向以速率v移动。因此，线圈中心xC满足v = dxC/dt。线圈在y方向的长度为ℓ，x方向的宽度为w。一不随时间改变，而随x方向改变的磁场B(x)指向z方向。左边的磁场为B(xC − w/2)，右边的磁场为B(xC + w/2)。电动势可直接求得，或由上述的法拉第电磁感应定律求得。

#### 洛伦兹力法

在线圈左边的一电荷q，所受的洛伦兹力为qv×Bk = −qvB(xC − w/2)j（j、k分别为y方向及z方向的单位向量，见向量积），因此左边整段电线的电动势（单位电荷所作的功）为vℓB(xC − w/2)。可用相同的论述，求出右边电线的电动势为vℓB(xC + w/2)。两股电动势互相抵抗，将正电荷推向线圈底部。由于这时磁场的强度会向x方向增强，所以右边的力最强，电流会顺时针流动：使用右手定则，电流所产生的磁场会抵抗外加的磁场。驱动电流的电动势必须向逆时针方向增加（抵抗电流）。把电动势向逆时针方向加起来得：

$$\mathcal{E} = v\ell [ B(x_C+w/2) - B(x_C-w/2)] \ $$

#### 法拉第定律法

线圈上任何位置通过线圈的磁通量为

$$\Phi_B = \pm \int_0^{\ell} dy \int_{x_C-w/2}^{x_C+w/2} B(x) dx$$

$$= \pm \ell \int_{x_C-w/2}^{x_C+w/2} B(x) dx \ $$

其正负取决于表面的垂直线与B的方向之异同。如果表面垂直线跟感应电流的B同一方向，式子为负。此时通量的时间导数（使用微分的链式法则或牛顿-莱布尼茨公式的通用形式求出）为：

$$\frac {d \Phi_B} {dt} = (-) \frac {d}{dx_C} \left[ \int_0^{\ell}dy \ \int_{x_C-w/2}^{x_C+w/2} dx B(x)\right] \frac {dx_C}{dt} \ $$

$$= (-) v\ell [ B(x_C+w/2) - B(x_C-w/2)] \ ,$$

（其中v = dxC/dt为线圈于x方向的运动速率），所以

$$\mathcal{E} = -\frac {d\Phi_B} {dt} = v\ell [ B(x_C+w/2) - B(x_C-w/2)] \ $$

跟之前一样。

这两种方法一般来说都一样，但视乎例子而定，其中一种有时可能会比较实用。

### 例二：均匀磁场中的运动环路。

<image>

图四为由上下两块带导电边沿的碟片所组成的转轴，上面的电线环路垂直地连接着两块碟片。整组装置在磁场中旋转，该磁场向外呈放射状指出，但其大小不随方向变化。一向外的回路从边沿上把电流收集起来。在收集回路的位置上，向外的磁场与回路位于同一个平面上，因此收电回路并不对电路的磁通量造成影响。电动势可直接求出，或使用上文的法拉第定律求出。

#### 洛伦兹力法

这个案中，在移动环路中那两根垂直的电线里，洛伦兹力向下驱动着电流，因此电流从上碟片流向下碟片。在碟片的导电边沿内，洛伦兹力与边沿垂直，所以边沿上并没有电动势，环路中的水平部分也没有。电流通过外加的回路从下边沿传到上边沿，而该回路位于磁场的平面上。因此，回路中的洛伦兹力与回路平行，在这回路中并没有生成电动势。穿过电流通道，到达电流反方向流动的地方，功只在移动环路垂直电线中抵抗洛伦兹力，其中

$$F = q\ B \ v\ $$

因此电动势为

$$\mathcal {E} = B v \ell \ = B r \ell \omega \ $$

其中ℓ为环路中的垂直长度，与角转动率相关的速度可由v = r ω求出，而r = 碟片半径。注意，在任何跟环路转动并连接上下边沿的路径中，所作的功都一样。

#### 法拉第定律法

一个直觉上很吸引但错误的通量定则使用法是，将通过电流的通量当成只是ΦB = Bwℓ，其中w为移动环路的宽度。这数目与时间没有关系，所以这方法会不正确地预测出无生成电动势。这套论述的缺陷在于它并没有考虑到整个电路，而整个电路是闭合的环路。

使用通量定则时，我们必须顾及整个电路，其中包括通过上下碟片边沿的路径。我们可以选择一通过两道边沿及移动环路的任意闭合路径，而通量定则会找出该路径的电动势。任何有一部分连接移动环路的路径，都会表达到电路移动部分的相对运动。

作为一个路径例子，选择在上碟片按照转动方向，并下碟片按照转动反方向穿过电路（由图四的箭号表示）。在这情况下，对与回路成角θ的移动环路而言，圆柱体的一部分面积A = rℓθ为电路的一部分。这面积与磁场垂直，所以造成了这个大小的通量：

$$\Phi_B = -B r \theta \ell \ $$

其中式子为负，这是因为右手定则指出，电流环路所产生的磁场，与外加的磁场方向相反的缘故。由于这是通量中唯一一个跟随时间转变的部分，所以通量定则预测的电动势为

$$\mathcal{E} = -\frac {d \Phi_B} {dt} = B r \ell \frac {d \theta} {dt}$$

$$= B r \ell \omega \ $$

与使用洛伦兹力法的计算答案一致。

现在尝试不同的路径。跟随一条选择余下部分通过边沿的路径。那么耦合磁通量会随θ增加而减少，但右手定则会指出把电流环路加到外加磁场上去，因此这条路径跟第一条路径的电动势相同。任何回路的组合都会对电动势产生相同的结果，因此跟随哪一条路径实际上并不重要。

#### 直接从通量变量中推导

<image>

以上使用闭合路径求电动势的方法，看起来是取决于路径几何的细节。相反地，使用劳仑兹力则没有这样的限制。所以有需要加深对通量定则的理解，有关路径等同及路径选取时的会漏掉的细节。

图五是图四的理想化版本，当中圆柱体被展开成了平面。同样的路径分析依然有效，但是还有一个可以简化的地方。电路中与时间无关的方面，并不能够影响通量随时间的变化率。例如，环路以均速滑动时，电流通过环路流动的细节，并不取决于时间。与其考虑求电动势时环路选取的细节，不如考虑环路移动时所扫过的磁场面积。这相当于找出电路通量的切断率。这个说法提供了一个方法，可直接求出通量变化率，而不需要考虑电路上各种路径选取，随时间而变化的细节。跟使用洛伦兹力一样，很明显地，任何两条连接移动环路的路径，都会产生相同的通量变化率，不同之处只在于它们如何与环路相交。

图五中，单位时间内扫过的面积为dA/dt = vℓ，跟选取的环路细节无关，所以可经法拉第电磁感应定律求出电动势：

$$\mathcal{E} = - {{d\Phi_B} \over dt} = B v \ell \ $$

电路势的路径的不依赖性表明，如果滑动环路被实心导电板所取代，又或是更复杂的某种变形表面，分析都是一样的：找出电路移动部分扫过面积的通量。相近地，如果图四的移动环路被一360°的实心导电圆柱体所取代，扫过面积的计算就跟只有一个环路时是完全一样的。故此，对圆柱体及实心导电板的个案而言，法拉第定律所预测的电动势完全一样，更甚者，以有孔板为壁的圆柱体的个案也一样。但是注意，这个电动势所导致的流动电流是不一样的，因为电阻决定电流。

## 动生电动势和感应电动势的统一

有些物理学家注意到法拉第定律是一条描述两种现象的方程式：由磁力在移动中的电线中产生的动生电动势，及由磁场转变而成的电力所产生的感应电动势。就像理查德·费曼指出的那样：

所以“通量定则”，指出电路中电动势等于通过电路的磁通量变化率的，同样适用于通量不变化的时候，这是因为场有变化，或是因为电路移动（或两者皆是）……但是在我们对定则的解释里，我们用了两个属于完全不同个案的定律：“电路运动”的$^{\mathbf{-v \times B}}$和“场变化”的$^{\mathbf{\nabla \ x \ E \ = \ -\partial_{\ t} B}}$。

我们不知道在物理学上还有其他地方，可以用到一条如此简单且准确的通用原理，来明白及分析两个不同的现象。

格里夫斯的书中也有类似陈述。

1905年，阿尔伯特·爱因斯坦在《论动体的电动力学》论文中强调了经典电动力学中的这种不对称性。他指出，感应电流作为物理结果仅取决于导体和磁体之间的相对运动，然而经典理论根据哪个物体被认为处于运动状态而给出了不同的解释。这种不一致性表明不存在首选参考系，推动了狭义相对论的建立。

用现代术语来说就是，电场和磁场被理解为一个单一电磁场张量的分量。在惯性系改变时，这两个场会相互转换。相应的，同样的物理现象（感应电流的产生）在不同参照系会得到不同解释：在一个参照系中被认为是动生电动势，而在另一个参照系中则会被理解为感应电动势。

### 示例：移动观测者的视点

再次讨论图三的例子，但这次以移动观测者的参考系，带出电场与磁场间以及运动与感应电动势的密切关系。假设一环路观测者与环路一起移动。观测者以洛伦兹力及法拉第电磁感应定律计算环路的电动势。由于这观测者与环路一起移动，观测者看不到环路的运动，以及零v×B。然而，由于磁场随x位置变化，所以观测者看到时间变强的磁场，也就是：

$$\mathbf{B} = \mathbf{k}{B}(x+vt) \ $$

其中k为指向z方向的单位向量。

#### 洛伦兹力定律版本

麦克斯韦-法拉第方程指出移动观测者在y方向所见的电场Ey可由下式表示（见旋度）：

$$\nabla \times \mathbf{E} = \mathbf{k}\ \frac {dE_y}{dx}$$

$$=- \frac { \partial \mathbf{B}}{\partial t}=-\mathbf{k}\frac {d B(x+vt)} {dt} = -\mathbf{k}\frac {dB}{dx} v \ \ $$

下式使用了链锁律：

$$\frac {dB}{dt} = \frac {dB}{d(x+vt)} \frac {d(x+vt)}{dt} =\frac {dB} {dx} v \ $$

求解Ey，准确到一个对环路积分没有作用的常数，得：

$$E_y (x,\ t) = -B(x+vt) \ v \ $$

使用洛伦兹力定律，得一个电场分量，观测者于时间t得环路的电动势为：

$$\mathcal{E} = -\ell [ E_y (x_C+w/2,\ t) - E_y(x_C-w/2,\ t)]$$

$$= v\ell [ B(x_C+w/2+v t) - B(x_C-w/2+vt)] \ $$

这个结果跟静止观测者的个案一致，他看到的是中点xC移到xC + vt。然而，移动观测者的结果中，洛伦兹力看起来只有电分量，而静止观测者的则只有磁分量。

#### 法拉第电磁感应定律

使用法拉第电磁感应定律，与xC一起移动的观测者看到磁通量的变化，但环路看起来并没有移动：环路的中心xC被固定了，这是因为观测者与环路一起移动着。通量则是：

$$\Phi_B =-\int_0^{\ell} dy \int_{x_C-w/2}^{x_C+w/2} B(x+vt) dx \ $$

其中右式为负，这是因为表面的垂直线与外加磁场各自指向相反的方向。现在从法拉第电磁感应定律得出的电动势是：

$$\mathcal{E} = -\frac {d\Phi_B} {dt} = \int_0^{\ell} dy \int_{x_C-w/2}^{x_C+w/2} \frac{d}{dt}B(x+vt) dx$$

$$= \int_0^{\ell} dy \int_{x_C-w/2}^{x_C+w/2} \frac{d}{dx}B(x+vt)\ v\ dx$$

$$=v\ell \ [ B(x_C+w/2+vt) - B(x_C-w/2+vt)] \ $$

答案是一样的。时间导数走进了积分里面，这是因为积分的上下限并不取决于时间。又一次，链式定律被用于把时间导数转化成x导数。

静止观测者认为该电动势是运动电动势，而移动观测者则认为是感应电动势。

## 应用

### 发电机

<image>

由法拉第电磁感应定律因电路及磁场的相对运动所造成的电动势，是发电机背后的根本现象。当永久性磁铁相对于一导电体运动时（反之亦然），就会产生电动势。如果电线这时连着电负载的话，电流就会流动，并因此产生电能，把机械运动的能量转变成电能。例如，基于图四的鼓轮发电机。另一种实现这种构想的发电机就是法拉第圆盘，简化版本见图八。注意使用图五的分析，或直接用洛伦兹力定律，都能得出使用实心导电碟片运作不变的这一结果。

在法拉第碟片这一例子中，碟片在与碟片垂直的均匀磁场中运动，导致一电流因洛伦兹力流到向外的轴臂里。明白机械运动是如何成为驱动电流的必需品，是很有趣的一件事。当生成的电流通过导电的边沿时，这电流会经由安培环路定理生成出一磁场（图八中标示为“Induced B”）。因此边沿成了抵抗转动的电磁铁（楞次定律一例）。在图的右边，经转动中轴臂返回的电流，通过右边沿到达底部的电刷。此一返回电流所感应的磁场会抵抗外加的磁场，它有减少通过电路那边通量的倾向，以此增加旋转带来的通量。因此在图的左边，经转动中轴臂返回的电流，通过左边沿到达底部的电刷。感应磁场会增加电路这边的通量，减少旋转带来的通量。所以，电路两边都生成出抵抗转动的电动势。尽管有反作用力，需要保持碟片转动的能量，正等于所产生的电能（加上由于摩擦、焦耳热及其他消耗所浪费的能量）。所有把机械能转化成电能的发电机都会有这种特性。

虽然法拉第定律经常描述发电机的运作原理，但是运作的机理可以随个案而变。当磁铁绕着静止的导电体旋转时，变化中的磁场生成电场，就像麦克斯韦-法拉第方程描述的那样，而电场就会通过电线推着电荷行进。这个案叫感应电动势。另一方面，当磁铁静止，而导电体运动时，运动中的电荷的受到一股磁力（像洛伦兹力定律所描述的那样），而这磁力会通过电线推着电荷行进。这个案叫动生电动势。（更多有关感应电动势、动生电动势、法拉第定律及洛伦兹力的细节，可见上例或格里夫斯一书。）

### 电动机

发电机可以“反过来”运作，成为电动机。例如，用法拉第碟片这例子，设一直流电流由电压驱动，通过导电轴臂。然后由洛伦兹力定律可知，行进中的电荷受到磁场B的力，而这股力会按佛来明左手定则订下的方向来转动碟片。在没有不可逆效应（如摩擦或焦耳热）的情况下，碟片的转动速率必需使得dΦB/dt等于驱动电流的电压。

### 变压器

法拉第定律所预测的电动势，同时也是变压器的运作原理。当线圈中的电流转变时，转变中的电流生成一转变中的磁场。在磁场作用范围中的第二条电线，会感受到磁场的转变，于是自身的耦合磁通量也会转变（dΦB/dt）。因此，第二个线圈内会有电动势，这电动势被称为感应电动势或变压器电动势。如果线圈的两端是连接着一个电负载的话，电流就会流动。

### 电磁流量计

法拉第定律可被用于量度导电液体或浆状物的流动。这样一个仪器被称为电磁流量计。在磁场B中因导电液以速率为v的速度移动，所生成的感应电压ε可由以下公式求出：

$$\mathcal{E}= B \ell v$$

其中ℓ为电磁流量计中电极间的距离。

## 延伸阅读

有关法拉第定律一词各种用法的讨论： Tankersley and Mosca: Introducing Faraday's law

## 外部链接

- 电磁感应的简易互动Java教学 美国国家高能磁场实验室
- R. Vega 《电磁感应：法拉第定律与楞次定律》——高度动画化课堂
- 乔治亚州州立大学超物理笔记 ; 另见 主页