阻尼

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阻尼（damping）是指任何振动系统在振动中，由于外界作用（如流体阻力、摩擦力等）和/或系统本身固有的原因引起的振动幅度逐渐下降的特性，以及此一特性的量化表征。

在实际振动中，由于摩擦力总是存在的，所以振动系统最初所获得的能量，在振动过程中因阻力不断对系统做负功，使得系统的能量不断减少，振动的强度逐渐减弱，振幅也就越来越小，以至于最后的停止振动，像这样的因系统的力学能，由于摩擦及转化成内能逐渐减少，振幅随时间而减弱振动，称为阻尼振动。

- 当阻尼较强时，阻尼振子几乎没有振动，振幅逐渐减小，达到稳定平衡，称为过阻尼。
- 当阻尼较弱时，阻尼振子必须缓慢的经由多次振动逐渐把振幅减小，最后回到平衡位置，因此达成稳定平衡的时间较久，称为欠阻尼。
- 另一种情形是阻尼振子以最平稳的速度，最短的时间达到稳定平衡，称为临界阻尼。

## 词源

“阻尼”源自英语“damping”，其动词形式“damp”意为阻抑、减弱。1933年8月21日至9月2日召开的中央研究院物理研究所第一次名词审查会议上，名词审查委员会主任委员杨肇燫以“尼”字有逐步减阻之义，提出将该词译作“阻尼”而获赞同，自此被采纳而定案。

不同于汉语中“尼”经常作为音译语素的情况（如“比丘尼”“尼龙”“突尼斯”），“阻尼”是用两个同义语素对“damping”进行的意译。

## 阻尼模型

在物理学和工程学上，阻尼的力学模型一般是一个与振动速度大小成正比，与振动速度方向相反的力，该模型称为粘性（或黏性）阻尼模型，是工程中应用最广泛的阻尼模型。粘性阻尼模型能较好地模拟空气、水等流体对振动的阻碍作用。本条目以下也主要讨论粘性阻尼模型。然而必须指出的是，自然界中还存在很多完全不满足上述模型的阻尼机制，譬如在具有恒定摩擦系数的桌面上振动的弹簧振子，其受到的阻尼力就仅与自身重量和摩擦系数有关，而与速度无关。

除简单的力学振动阻尼外，阻尼的具体形式还包括电磁阻尼、介质阻尼、结构阻尼等等。尽管科学界目前已经提出了许多种阻尼的数学模型，但实际系统中阻尼的物理本质仍极难确定。下面仅以力学上的粘性阻尼模型为例，作一简单的说明。

粘性阻尼可表示为以下式子：

$$\mathbf{F} = -c \mathbf{v}$$

其中F表示阻尼力，v表示振子的运动速度（矢量），c 是表示阻尼大小的常数，称为阻尼系数，国际单位制单位为牛顿·秒/米。

上述关系类比于电学中定义电阻的欧姆定律。

在日常生活中阻尼的例子随处可见，一阵大风过后摇晃的树会慢慢停下，用手拨一下吉他的弦后声音会越来越小，等等。阻尼现象是自然界中最为普遍的现象之一。

## 例子：弹簧阻尼器振子

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理想的弹簧阻尼器振子系统如右图所示。分析其受力分别有：

- 弹性力（k 为弹簧的劲度系数，x 为振子偏离平衡位置的位移）：$F_\mathrm{s} = -kx$
- 阻尼力（c 为阻尼系数，v 为振子速度）：$F_\mathrm{d} = - c v = - c \dot{x} = - c \frac{dx}{dt}$

假设振子不再受到其他外力的作用，于是可利用牛顿第二定律写出系统的振动方程：

$$\sum F = ma = m \ddot{x} = m \frac{d^2x}{dt^2}$$

其中a 为加速度。

### 运动微分方程

上面得到的系统振动方程可写成如下形式，问题归结为求解位移x 关于时间t 函数的二阶常微分方程：

$$m \ddot{x} + c \dot{x} + k x = 0$$

将方程改写成下面的形式：

$$\ddot{x} + { c \over m} \dot{x} + {k \over m} x = 0.$$

然后为求解以上的方程，定义两个新参量：

$$\omega_n = \sqrt{ k \over m }$$

$$\zeta = { c \over 2 \sqrt{k m} }.$$

上面定义的第一个参量，ωn，称为系统的（无阻尼状态下的）固有频率。

第二个参量，ζ，称为阻尼比。根据定义，固有频率具有角速度的量纲，而阻尼比为无量纲参量。

微分方程化为：

$$\ddot{x} + 2 \zeta \omega_n \dot{x} + \omega_n^2 x = 0.$$

### 系统行为

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系统的行为由上小结定义的两个参量——固有频率ωn和阻尼比ζ——所决定。特别地，上小节最后关于$\gamma$的二次方程是具有一对互异实数根、一对重实数根还是一对共轭复数根，决定了系统的行为。

#### 临界阻尼 Critical damping

当$\zeta=1$时，$\gamma \ $的解为一对重实根，此时系统的阻尼形式称为临界阻尼。现实生活中，许多大楼内房间或卫生间的门上在装备自动关门的扭转弹簧的同时，都相应地装有阻尼铰链，使得门的阻尼接近临界阻尼，这样人们关门或门被风吹动时就不会造成太大的声响。

#### 过阻尼 Over damping

当$\zeta > 1$时，$\gamma \ $的解为一对互异实根，此时系统的阻尼形式称为过阻尼。当自动门上安装的阻尼铰链使门的阻尼达到过阻尼时，自动关门需要更长的时间。如记忆枕。

#### 欠阻尼 Under damping

当$0 < \zeta< 1$时，$\gamma \ $的解为一对共轭虚根，此时系统的阻尼形式称为欠阻尼。在欠阻尼的情况下，系统将以圆频率$\omega_\mathrm{d}=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$相对平衡位置作往复振动。

## 方程的解

- 对于欠阻尼体系，运动方程的解可写成：

$$x (t) \ = \ A e^{- \zeta \omega_n t} \cos( \omega_\mathrm{d} t + \varphi)$$

其中

$$\omega_\mathrm{d} = \omega_n \sqrt{1 - \zeta^2 }$$

是有阻尼作用下系统的固有频率，A 和φ 由系统的初始条件（包括振子的初始位置和初始速度）所决定。该振动解代表的是一种振幅按指数规律衰减的简谐振动，称为衰减振动（见上图中 $\varsigma < 1$ 的位移-时间曲线所示）。

- 对于临界阻尼体系，运动方程的解具有形式

$$x(t) \ = \ (A+Bt)e^{-\omega_n t}$$

其中A 和B 由初始条件所决定。该振动解表征的是一种按指数规律衰减的非周期运动。

- 对于过阻尼体系，定义

$$\omega ^* = \omega _n \sqrt {\zeta ^2 - 1}$$

则运动微分方程的通解可以写为：

$$x(t) = A e^{ \lambda_1 t} + B e^{ \lambda_2 t}$$

其中A 和B 同样取决于初始条件，λ1与λ2为特征方程式的两个相异实根。该振动解表征的是一种同样按指数规律衰减的非周期蠕动。从上面的位移-时间曲线图中可以看出，过阻尼状态比临界阻尼状态蠕动衰减得更慢。对于临界阻尼状态，振子可能越过平衡位置至多一次，而过阻尼状态下振子不会越过平衡位置。

## 相关书籍

- 倪振华编著，《振动力学》，西安交通大学出版社，西安，1990，ISBN 7-5605-0212-1
- R. W. Clough, J. Penzien, Dynamics of Structures, Mc-Graw Hill Inc., New York, 1975, ISBN 0-07-011392-0。（中文版：R.W.克拉夫，J.彭津著，王光远等译，《结构动力学》，科学出版社，北京，1981）

## 外部链接

- 阻尼谐振子 Java 模拟 阻尼正比于速度或固体接触面摩擦