极限 (数学)

极限（limit）是函数在自变量无限变大或无限变小或在某个区间时所接近的值，也是数学分析或微积分的重要基础概念，连续和导数都是通过极限来作定义。极限分为描述一个序列的下标愈来越大时的趋势（序列极限），或是描述函数的自变量接趋近某个值时的函数值的趋势（函数极限）。

函数极限可以推广到网中，而数列的极限则与范畴论中的极限和有向极限密切相关。

## 概念

### 数列极限

以数列$a_n = \frac{1}{n}$为例，直观上随着n的增大，$a_n$越来越接近0，于是可以认为0是这个序列的“极限”。以下的严格定义来自于柯西：

设$\{a_n\in\mathbb{R}\}_{n\in\mathbb{N}}$，若对任意$\varepsilon > 0$，存在$m\in\mathbb{N}$，使得当$n > m$时，有$$|a_n-a | < \varepsilon$$以逻辑符号来表示即为$$(\forall \varepsilon >0)(\exists m \in \mathbb{N})(\forall n \in \mathbb{N})[\,(n > m)\Rightarrow (|a_n-a | < \varepsilon)\,]$$则称数列 $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ 收敛于 $a$，记作 $\lim _{n \to \infty} a_n=a$ 或 $a_n \rightarrow a$。这时也称这个数列是收敛的，反之称为发散。可以证明极限是唯一的，也就是

$$[\,(a_n\to a) \wedge (a_n \to a^{\prime})\,]\Rightarrow(a = a^{\prime})$$

直观地说，不论把“差距范围”$\varepsilon$ 取得多小，从某项往后 $a_n$ 跟 $a$ 的距离都会比 $\varepsilon$ 小。

### 函数极限

考虑定义域为 $\mathbb{R}$，对应规则为 $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ 的函数在 $x$ 趋向 $2$的时候的性质。此时 $f$ 于 $2$ 是有定义的。

f(1.9)｜f(1.899)｜f(1.999)｜f(2)｜f(2.001)｜f(2.01)｜f(2.1)

0.4121｜0.4012｜0.4001｜$\Rightarrow$ 0.4 $\Leftarrow$｜0.3998｜0.3988｜0.3882

当$x$趋向$2$的时候，函数值似乎趋向$0.4$，因此我们有“极限”$0.4$，正好就是 $f(2)$，这种情况我们称为在 $x = 2$“连续”。

但有时趋近的“极限”不会是那个函数值，考虑定义域为 $\mathbb{R}$，对应规则为

$$g(x)=\begin{cases} \dfrac{x}{x^2+1}, &x\ne2 \\ 0, & x=2 \end{cases}$$

函数，那么当 $x$ 趋于 $2$ 的时候，$g(x)$的极限似乎与前面的 $f(x)$ 相同都是$0.4$。但 $g(2) \ne 0.4$，这就是说， $g(x)$ 在 $x = 2$ 不连续。

有时趋近的点甚至不在定义域里（也就是无定义），考虑到算式（本质上是一阶逻辑中的项，所以下面以冒号来代表符号辨识上的定义，而非“数字”意义上的相等）

$$T : \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1}$$

当 $x = 1$ 时，算式 $T$ 等于零除以零而没有定义。但以 $T$ 有定义的最大定义域 $\mathbb{R}-\{1\}$（去除 $1$ 的实数系），跟对应规则 $f(x) = T$ 来定义的函数 $f$，趋近于 $1$ 的“极限”似乎是 $2$

f(0.9)｜f(0.99)｜f(0.999)｜f(1.0)｜f(1.001)｜f(1.01)｜f(1.1)

1.95｜1.99｜1.999｜$\Rightarrow$ 未定义 $\Leftarrow$｜2.001｜2.010｜2.10

#### 实函数在有限处的极限

若 $f$ 是一个实函数（也就是定义域和值域都包含于实数系），$L\in\mathbb{R}$，那么

$$\lim_{x \to c}f(x) = L$$

用ε-δ语言定义为：对所有的$\varepsilon\ >0$，都存在 $\delta\ >0$ 使得：对任意 $x\in D_f$ 满足$0<|x-c|< \delta\ $时会有$| f (x)-L|< \varepsilon\ $。以逻辑符号来表示即为

$$(\forall \varepsilon >0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in D_f)[\,( 0 < |x-c| <\delta)\Rightarrow (| f(x)-L | < \varepsilon)\,]$$

#### 实函数在无穷远处的极限

与函数趋于某个给定值时的极限概念相关的是函数在无穷远处的概念。这个概念不能从字面上直接理解为：$x$距离无穷远越来越小的状态，因为无穷不是一个给定的数，也不能比较距离无穷的远近。因此，我们用$x$越来越大（当讨论正无穷时）来替代。

例如考虑$f(x) = \frac{2x}{x + 1}$.

$$f(100) = 1.9802$$

$$f(1000) = 1.9980$$

$$f(10000) = 1.9998$$

当$x$非常大的时候，$f(x)$的值会趋于$2$。事实上，$f(x)$与$2$之间的距离可以变得任意小，只要我们选取一个足够大的$x$就可以了。此时，我们称$f(x)$趋向于（正）无穷时的极限是$2$。可以写为

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = 2$$

形式上，我们可以定义：

$$\lim_{x \to \infty} f(x)=L$$

为

$$(\forall \varepsilon >0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in D_f)[\,( \delta < x)\Rightarrow (| f(x)-L | < \varepsilon)\,]$$

类似地，我们也可以定义：

$$\lim_{x \to -\infty} f(x)=L$$

为

$$(\forall \varepsilon >0)(\exists \delta < 0)(\forall x \in D_f)[\,( x < \delta )\Rightarrow (| f(x)-L | < \varepsilon)\,]$$

## 符号

极限的符号为lim，它出自拉丁文limit（界限）的前三个字母。

在1786年出版的德国人浏伊连（S. L'Huilier）的书中，第一次使用这个符号。不过，“x趋于a”当时都记作“x=a”，直到20世纪人们才逐渐用“→”替代“=”。

英国近代数学家哈代是第一个使用现代极限符号的人。

## 性质

- $\lim_{n \to c} S \sdot f(n) = S \sdot \lim_{n \to c} f(n)$，这里S是个内积算法。
- $\lim_{n \to c} b{f(n)} = b\,{\lim_{n \to c} f(n)}$，这里b是常量。

以下规则只有当等号右边的极限存在并且不为无限时才成立：

- $$\lim_{n \to c} [ f(n) + g(n) ] = \lim_{n \to c} f(n) + \lim_{n \to c} g(n)$$
- $$\lim_{n \to c} [ f(n) - g(n) ] = \lim_{n \to c} f(n) - \lim_{n \to c} g(n)$$
- $$\lim_{n \to c} [ f(n) \sdot g(n) ] = \lim_{n \to c} f(n) \sdot \lim_{n \to c} g(n)$$
- $$\lim_{n \to c} \frac{f(n)}{g(n)} = \frac{\displaystyle\lim_{n \to c} f(n)}{\displaystyle\lim_{n \to c} g(n)}$$

## 推广

### 拓扑网

在引入网的概念下，上述的定义可以毫无障碍地推广到任何拓扑空间。事实上，现代数学中的极限概念就是定义在拓扑空间上的，上述的例子都是拓扑空间的具体化。

### 范畴论

范畴论中许多泛性质也可从极限来理解。范畴论极限分为极限与余极限（又称上极限），彼此的定义相对偶。