余弦

(2$k\pi$, 1)(360°k, 1)

($\left(2k+1\right)\pi$, -1)(360°k+180°, -1)

$k\pi-\tfrac{\pi}{2}$（$180^\circ k-90^\circ$）

$k\pi$（$180^\circ k$）

$k\pi-\tfrac{\pi}{2}$（$180^\circ k-90^\circ$）

余弦（cosine）是三角函数的一种。它的定义域是整个实数集，值域是$[-1,1]$。它是周期函数，其最小正周期为$2\pi$（360°）。在自变量为$2n\pi$（或$360^\circ n$，其中$n$为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为$(2n+1)\pi$（$360^\circ n+180^\circ$）时，该函数有极小值-1。余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。

## 符号说明

余弦的符号为$\cos$，取自拉丁文cosinus。该符号最早由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉所采用。

## 定义

### 直角三角形中

<image>

在直角三角形中，一个锐角$\angle A$的余弦定义为它的邻边与斜边的比值，也就是：

$$\cos \theta = \frac {\mathrm{b}}{\mathrm{c}}\,\!$$

可以发现其定义和正割函数互为倒数。

### 直角坐标系中

设$\alpha$是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，$P\left( {x,y} \right)$是角的终边上一点，$r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0$是P到原点O的距离，则$\alpha$的余弦定义为：

$$\cos \alpha = \frac{x}{r}\,\!$$

### 单位圆定义

<image>

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角$\theta$，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于$\sin \theta$。

在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了$\cos \theta =\frac{x}{1}$。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于$2\pi$（360°）或小于$-2\pi$（-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，余弦变成了周期为$2\pi$（360°）的周期函数：

$$\cos\theta = \cos\left(\theta + 2\pi k \right) = \cos\left(\theta + 360^\circ k \right)$$

对于任何角度$\theta$和任何整数$k$。

### 级数定义

$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}\,\!$$

### 微分方程定义

由于余弦的导数是负的正弦，正弦的导数是余弦，因此余弦函数满足初值问题

$$y''=-y, \,y(0)=1,\,y'(0)=0$$

这就是余弦的微分方程定义。

### 指数定义

$$\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \,\!$$

## 恒等式

### 用其它三角函数来表示余弦

函数｜sin｜cos｜tan｜csc｜sec｜cot

$\cos \theta =$｜$\sqrt{1 - \sin^2\theta}$｜$\cos \theta\ $｜$\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}$｜$\frac{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}{\csc \theta}$｜$\frac{1}{\sec \theta}$｜$\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}$

### 两角和差公式

$$\cos \left(x+y\right)=\cos x \cos y - \sin x \sin y$$

$$\cos \left(x-y\right)=\cos x \cos y + \sin x \sin y$$

### 二倍角公式

$$\cos (2 \theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta=2 \cos^2 \theta - 1=1 - 2\sin^2 \theta$$

### 三倍角公式

$$\cos 3\theta = 4 \cos^3\theta - 3 \cos \theta \,$$

### 半角公式

$$\cos \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt\frac{1 + \cos \theta}{2}.\,$$

### 幂简约公式

$$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}\,\!$$

$$\cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos 3\theta}{4}\,\!$$

### 和差化积公式

$$\cos \theta + \cos \phi = 2 \cos\left( \frac{\theta + \phi} {2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \phi}{2} \right)$$

$$\cos \theta - \cos \phi = -2\sin\left( {\theta + \phi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \phi \over 2}\right)$$

### 万能公式

$$\cos \alpha = \frac{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}\,\!$$

## 含有余弦的积分

$$\int\cos cx\;dx = \frac{1}{c}\sin cx\,\!$$

$$\int\cos^n cx\;dx = \frac{\cos^{n-1} cx\sin cx}{nc} + \frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2} cx\;dx \qquad\mbox{(}n>0\mbox{)}\,\!$$

$$\int x\cos cx\;dx = \frac{\cos cx}{c^2} + \frac{x\sin cx}{c}\,\!$$

$$\int x^n\cos cx\;dx = \frac{x^n\sin cx}{c} - \frac{n}{c}\int x^{n-1}\sin cx\;dx\,\!$$

$$\int_{\frac{-a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2\cos^2 {\frac{n\pi x}{a}}\;dx = \frac{a^3(n^2\pi^2-6)}{24n^2\pi^2} \qquad\mbox{(}n=1,3,5...\mbox{)}\,\!$$

$$\int\frac{\cos cx}{x} dx = \ln|cx|+\sum_{i=1}^\infty (-1)^i\frac{(cx)^{2i}}{2i\cdot(2i)!}\,\!$$

$$\int\frac{\cos cx}{x^n} dx = -\frac{\cos cx}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{c}{n-1}\int\frac{\sin cx}{x^{n-1}} dx \qquad\mbox{(}n\neq 1\mbox{)}\,\!$$

$$\int\frac{dx}{\cos cx} = \frac{1}{c}\ln\left|\tan\left(\frac{cx}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|$$

$$\int\frac{dx}{\cos^n cx} = \frac{\sin cx}{c(n-1) cos^{n-1} cx} + \frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\cos^{n-2} cx} \qquad\mbox{(}n>1\mbox{)}\,\!$$

$$\int\frac{dx}{1+\cos cx} = \frac{1}{c}\tan\frac{cx}{2}\,\!$$

$$\int\frac{dx}{1-\cos cx} = -\frac{1}{c}\cot\frac{cx}{2}\,\!$$

$$\int\frac{x\;dx}{1+\cos cx} = \frac{x}{c}\tan\frac{cx}{2} + \frac{2}{c^2}\ln\left|\cos\frac{cx}{2}\right|$$

$$\int\frac{x\;dx}{1-\cos cx} = -\frac{x}{c}\cot\frac{cx}{2}+\frac{2}{c^2}\ln\left|\sin\frac{cx}{2}\right|$$

$$\int\frac{\cos cx\;dx}{1+\cos cx} = x - \frac{1}{c}\tan\frac{cx}{2}\,\!$$

$$\int\frac{\cos cx\;dx}{1-\cos cx} = -x-\frac{1}{c}\cot\frac{cx}{2}\,\!$$

$$\int\cos c_1x\cos c_2x\;dx = \frac{\sin(c_1-c_2)x}{2(c_1-c_2)}+\frac{\sin(c_1+c_2)x}{2(c_1+c_2)} \qquad\mbox{(}|c_1|\neq|c_2|\mbox{)}\,\!$$

## 特殊值

弪度｜$0$｜$\frac{\pi}{12}$｜$\frac{\pi}{10}$｜$\frac{\pi}{6}$｜$\frac{\pi}{5}$｜$\frac{\pi}{4}$｜$\frac{3\pi}{10}$｜$\frac{\pi}{3}$｜$\frac{2\pi}{5}$｜$\frac{5\pi}{12}$｜$\frac{\pi}{2}$

角度｜$0^\circ$｜$15^\circ$｜$18^\circ$｜$30^\circ$｜$36^\circ$｜$45^\circ$｜$54^\circ$｜$60^\circ$｜$72^\circ$｜$75^\circ$｜$90^\circ$

cos｜$1$｜$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$｜$\frac{\sqrt{2\left(5+\sqrt5\right)}}{4}$｜$\frac{\sqrt{3}}{2}$｜$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$｜$\frac{\sqrt{2}}{2}$｜$\frac{\sqrt{2\left(5-\sqrt5\right)}}{4}$｜$\frac{1}{2}$｜$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$｜$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$｜$0$

角度｜$0^\circ$｜$30^\circ$｜$45^\circ$｜$60^\circ$｜$90^\circ$

cos｜$\frac{\sqrt{4}}{2} = 1$｜$\frac{\sqrt{3}}{2}$｜$\frac{\sqrt{2}}{2}$｜$\frac{\sqrt{1}}{2} = {1 \over 2}$｜$\frac{\sqrt{0}}{2} = 0$

## 余弦定理

余弦定理（也叫做余弦公式）是勾股定理的扩展：

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C \,$$

也表示为：

$$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\,\!$$

这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。余弦定律用于在一个三角形的两个边和一个角已知时确定未知的数据。

如果这个角不包含在这两个边之间，三角形可能不是唯一的（边-边-角全等歧义）。小心余弦定律的这种歧义情况。