晶系

晶体通常可分为七种晶系，即立方晶系、六方晶系、四方晶系、三方晶系、正交晶系、单斜晶系、三斜晶系。其中的立方晶系具有各向同性，属于高级晶族。

## 晶系的特征

晶系的特征与细分关系如下表:

晶族｜晶系｜点群的对称性｜点群｜空间群｜布拉菲晶格｜特征｜晶格系统

三斜｜无｜2｜2｜1｜α≠β≠γ≠90°，a≠b≠c｜三斜

单斜｜1个两次对称轴 或 1个对称面｜3｜13｜2｜α=γ=90°，β≠90°，a≠b≠c｜单斜

正交/斜方｜3个两次对称轴 或 1个两次对称轴+2个对称面｜3｜59｜4｜α=β=γ=90°，a≠b≠c｜正交/斜方

四方/正方｜1个四次对称轴｜7｜68｜2｜α=β=γ=90°，a=b≠c｜四方/正方

六方｜三方｜1个三次对称轴｜5｜7｜1｜α=β=γ≠90°，a=b=c｜三方

18｜1｜α=β=90°，γ=120°，a=b≠c｜六方

六方｜1个六次对称轴｜7｜27

立方/等轴｜4个三次对称轴｜5｜36｜3｜α=β=γ=90°，a=b=c｜立方/等轴

6｜7｜共计｜32｜230｜14｜7

## 布拉菲晶格

这14种布拉菲晶格可分成7种晶系，每种晶系又可依中心原子在晶胞中的位置不同再分成6种晶格：

- 简单（P）：晶格点只在晶格的八个顶点处
- 体心（I）：除八个顶点处有晶格点外，晶胞中心还有一个晶格点
- 面心（F）：除八个顶点处有晶格点外，在六个面的中央还有一个晶格点
- 底心（A，B或C）：除八个顶点处有晶格点外，在晶胞的一组平行面（A，B或C）的每个面中央还有一个晶格点

7种不同晶系与每种晶系的6种不同晶格共有7 × 6 = 42种组合，但是有些组合其实是相同的，都能组成14种布拉菲晶格。例如，单斜晶系的体心晶格可以通过单斜晶系的底心（C）晶格选择不同的晶轴得到，所以这两种其实是同一种；同样，所有的底心（A）、底心（B）晶格都相当于底心（C）或简单（P）晶格。因此，去除相同的组合，可以得到14种不同的布拉菲晶格，列于下表（晶格图下方是代表该布拉菲晶格的皮尔逊符号，表中空白的格表示于已有的晶格重复）：

晶系｜点阵常数特征｜布拉菲晶格

简单（P）｜底心（C）｜体心（I）｜面心（F）

三斜晶系｜a≠b≠c，α≠β≠γ≠90°｜

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单斜晶系｜a≠b≠c，α=γ=90°≠β｜

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｜

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斜方晶系（正交晶系）｜a≠b≠c，α=β=γ=90°｜

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｜

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｜

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｜

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四方晶系｜

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｜

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三方晶系（棱方晶系）｜

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六方晶系｜

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等轴晶系（立方晶系）｜

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｜

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｜

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每一个单位晶格的体积可以由$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \times \mathbf{c}$计算得知。其中$\mathbf{a}, \mathbf{b}$,和$\mathbf{c}$是晶格向量。各种布拉菲晶格的体积如下：

晶系｜体积

三斜晶系｜$abc \sqrt{1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma+2\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma}$

单斜晶系｜$abc \sin\alpha$

斜方晶系｜$abc$

四方晶系｜$a^2c$

三方晶系｜$a^3 \sqrt{1 - 3\cos^2\alpha + 2\cos^3\alpha}$

六方晶系｜$\frac{\sqrt{3\,}\, a^2c}{2}$

等轴晶系｜$a^3$

## 晶体学点群

### 熊夫利记号

在熊夫利中，点群是用字母符号加上数字下标表示的。下面简述晶体学中使用的这种符号的意义：

- Cn（循环群）表示该群有一根n次旋转轴。Cnh是Cn加上一个与旋转轴垂直的镜面（反映）对称元素。Cnv则是Cn加上n个与旋转轴平行的镜面对称元素。
- S2n（源自德语Spiegel，意思是镜面）表示一根只含有2n次旋转反映轴（简称映轴）。
- Dn（二面体群）表示这个群只有一根n次旋转轴和n根垂直于这根主轴的二重轴。Dnh是加上一个与n次旋转轴垂直的镜面。Dnd则是Dn是加上n个与n次旋转轴平行的镜面。
- 字母T（四面体）表示这个群有四面体的对称性。Td则包括了旋转反映操作，T群本身则不包含旋转反映操作，Th则是T群加上与旋转轴垂直的镜面。
- 字母O（八面体）表示该群具有八面体或者立方体的对称性，可能包括（Oh）或不包括（O）旋转反映操作。

根据晶体局限定理，在二维或三维空间中n的取值只有1、2、3、4和6。

n｜1｜2｜3｜4｜6

Cn｜C1｜C2｜C3｜C4｜C6

Cnv｜C1v=C1h｜C2v｜C3v｜C4v｜C6v

Cnh｜C1h｜C2h｜C3h｜C4h｜C6h

Dn｜D1=C2｜D2｜D3｜D4｜D6

Dnh｜D1h=C2v｜D2h｜D3h｜D4h｜D6h

Dnd｜D1d=C2h｜D2d｜D3d｜D4d｜D6d

S2n｜S2｜S4｜S6｜S8｜S12

D4d和D6d实际上是不存在的，因为它们分别包含了n=8和12的旋转反映轴。表格中剩下的27种点群与T、Td、Th、O和Oh共同组成32种晶体学点群。

### 赫尔曼–莫甘记号

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赫尔曼–莫甘记号的一种简略形式广泛用于表示空间群，也用于描述晶体学点群。群的名称列在下表中；点群间相互之关系可见右图。

1｜1

2｜2⁄m｜222｜m｜mm2｜mmm

3｜3｜32｜3m｜3m

4｜4｜4⁄m｜422｜4mm｜42m｜4⁄mmm

6｜6｜6⁄m｜622｜6mm｜62m｜6⁄mmm

23｜m3｜432｜43m｜m3m

### 不同记号关系

晶族｜晶系｜赫尔曼–莫甘（完整记号）｜赫尔曼–莫甘（简写记号）｜舒勃尼科夫｜熊夫利｜轨形记号｜考克斯特记号｜阶

三斜｜1｜1｜$1\ $｜C1｜11｜ +｜1

1｜1｜$\tilde{2}$｜Ci = S2｜x｜2+,2+｜2

单斜｜2｜2｜$2\ $｜C2｜22｜2+｜2

m｜m｜$m\ $｜Cs = C1h｜、｜ ｜2

$\color{Black}\tfrac{2}{m}$｜2/m｜$2:m\ $｜C2h｜2、｜2,2+｜4

正交｜222｜222｜$2:2\ $｜D2 = V｜222｜2,2+｜4

mm2｜mm2｜$2 \cdot m\ $｜C2v｜、22｜2｜4

$\color{Black}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$｜mmm｜$m \cdot 2:m\ $｜D2h｜、222｜2,2｜8

四方｜4｜4｜$4\ $｜C4｜44｜4+｜4

4｜4｜$\tilde{4}$｜S4｜2x｜2+,4+｜4

$\color{Black}\tfrac{4}{m}$｜4/m｜$4:m\ $｜C4h｜4、｜2,4+｜8

422｜422｜$4:2\ $｜D4｜422｜4,2+｜8

4mm｜4mm｜$4 \cdot m\ $｜C4v｜、44｜4｜8

42m｜42m｜$\tilde{4}\cdot m$｜D2d｜2、2｜2+,4｜8

$\color{Black}\tfrac{4}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$｜4/mmm｜$m \cdot 4:m\ $｜D4h｜、422｜4,2｜16

六方｜三方 ｜3｜3｜$3\ $｜C3｜33｜3+｜3

3｜3｜$\tilde{6}$｜S6 = C3i｜3x｜2+,6+｜6

32｜32｜$3:2\ $｜D3｜322｜3,2+｜6

3m｜3m｜$3 \cdot m\ $｜C3v｜、33｜3｜6

3$\color{Black}\tfrac{2}{m}$｜3m｜$\tilde{6}\cdot m$｜D3d｜2、3｜2+,6｜12

六方｜6｜6｜$6\ $｜C6｜66｜6+｜6

6｜6｜$3:m\ $｜C3h｜3、｜2,3+｜6

$\color{Black}\tfrac{6}{m}$｜6/m｜$6:m\ $｜C6h｜6、｜2,6+｜12

622｜622｜$6:2\ $｜D6｜622｜6,2+｜12

6mm｜6mm｜$6 \cdot m\ $｜C6v｜、66｜6｜12

6m2｜6m2｜$m \cdot 3:m\ $｜D3h｜、322｜3,2｜12

$\color{Black}\tfrac{6}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$｜6/mmm｜$m \cdot 6:m\ $｜D6h｜、622｜6,2｜24

立方｜23｜23｜$3/2\ $｜T｜332｜3,3+｜12

$\color{Black}\tfrac{2}{m}$3｜m3｜$\tilde{6}/2$｜Th｜3、2｜3+,4｜24

432｜432｜$3/4\ $｜O｜432｜4,3+｜24

43m｜43m｜$3/\tilde{4}$｜Td｜、332｜3,3｜24

$\color{Black}\tfrac{4}{m}$3$\color{Black}\tfrac{2}{m}$｜m3m｜$\tilde{6}/4$｜Oh｜、432｜4,3｜48

## 其它维度

### 二维

二维空间具有相同数量的晶系、晶族和晶格。在二维空间有四种晶系：斜晶系、矩晶系、方晶系、六方晶系。

### 四维

四维晶胞由四个边长（a、b、c、d）和六个轴间角（α、β、γ、δ、ε、ζ）定义。以下晶格参数条件定义了23种晶系。

No.｜晶系（1985年Whittaker命名）｜边长｜轴间角

1｜Hexaclinic｜a ≠ b ≠ c ≠ d｜α ≠ β ≠ γ ≠ δ ≠ ε ≠ ζ ≠ 90°

2｜Triclinic｜a ≠ b ≠ c ≠ d｜α ≠ β ≠ γ ≠ 90°δ = ε = ζ = 90°

3｜Diclinic｜a ≠ b ≠ c ≠ d｜α ≠ 90°β = γ = δ = ε = 90°ζ ≠ 90°

4｜Monoclinic｜a ≠ b ≠ c ≠ d｜α ≠ 90°β = γ = δ = ε = ζ = 90°

5｜Orthogonal｜a ≠ b ≠ c ≠ d｜α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°

6｜Tetragonal monoclinic｜a ≠ b = c ≠ d｜α ≠ 90°β = γ = δ = ε = ζ = 90°

7｜Hexagonal monoclinic｜a ≠ b = c ≠ d｜α ≠ 90°β = γ = δ = ε = 90°ζ = 120°

8｜Ditetragonal diclinic｜a = d ≠ b = c｜α = ζ = 90°β = ε ≠ 90°γ ≠ 90°δ = 180° − γ

9｜Ditrigonal (dihexagonal) diclinic｜a = d ≠ b = c｜α = ζ = 120°β = ε ≠ 90°γ ≠ δ ≠ 90°cos δ = cos β − cos γ

10｜Tetragonal orthogonal｜a ≠ b = c ≠ d｜α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°

11｜Hexagonal orthogonal｜a ≠ b = c ≠ d｜α = β = γ = δ = ε = 90°, ζ = 120°

12｜Ditetragonal monoclinic｜a = d ≠ b = c｜α = γ = δ = ζ = 90°β = ε ≠ 90°

13｜Ditrigonal (dihexagonal) monoclinic｜a = d ≠ b = c｜α = ζ = 120°β = ε ≠ 90°γ = δ ≠ 90°cos γ = −1cos β

14｜Ditetragonal orthogonal｜a = d ≠ b = c｜α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°

15｜Hexagonal tetragonal｜a = d ≠ b = c｜α = β = γ = δ = ε = 90°ζ = 120°

16｜Dihexagonal orthogonal｜a = d ≠ b = c｜α = ζ = 120°β = γ = δ = ε = 90°

17｜Cubic orthogonal｜a = b = c ≠ d｜α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°

18｜Octagonal｜a = b = c = d｜α = γ = ζ ≠ 90°β = ε = 90°δ = 180° − α

19｜Decagonal｜a = b = c = d｜α = γ = ζ ≠ β = δ = εcos β = −1 − cos α

20｜Dodecagonal｜a = b = c = d｜α = ζ = 90°β = ε = 120°γ = δ ≠ 90°

21｜Diisohexagonal orthogonal｜a = b = c = d｜α = ζ = 120°β = γ = δ = ε = 90°

22｜Icosagonal (icosahedral)｜a = b = c = d｜α = β = γ = δ = ε = ζcos α = −1

23｜Hypercubic｜a = b = c = d｜α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°

由1985年Whittaker命名。

名字几乎与Brown等人的命名相同，只有9、13、22名称不同。括号是他们命的名。

四维晶族、晶系、晶格系之间的关系如下表所示。Enantiomorphic systems are marked with an asterisk. The number of enantiomorphic pairs is given in parentheses. Here the term "enantiomorphic" has a different meaning than in the table for three-dimensional crystal classes. The latter means, that enantiomorphic point groups describe chiral (enantiomorphic) structures. In the current table, "enantiomorphic" means that a group itself (considered as a geometric object) is enantiomorphic, like enantiomorphic pairs of three-dimensional space groups P31 and P32, P4122 and P4322. Starting from four-dimensional space, point groups also can be enantiomorphic in this sense.

晶族序｜晶族（英文）｜晶系（英文）｜晶系序｜点群｜空间群｜布拉菲晶格｜晶格

I｜Hexaclinic｜1｜2｜2｜1｜Hexaclinic P

II｜Triclinic｜2｜3｜13｜2｜Triclinic P, S

III｜Diclinic｜3｜2｜12｜3｜Diclinic P, S, D

IV｜Monoclinic｜4｜4｜207｜6｜Monoclinic P, S, S, I, D, F

V｜Orthogonal｜Non-axial orthogonal｜5｜2｜2｜1｜Orthogonal KU

112｜8｜Orthogonal P, S, I, Z, D, F, G, U

Axial orthogonal｜6｜3｜887

VI｜Tetragonal monoclinic｜7｜7｜88｜2｜Tetragonal monoclinic P, I

VII｜Hexagonal monoclinic｜Trigonal monoclinic｜8｜5｜9｜1｜Hexagonal monoclinic R

15｜1｜Hexagonal monoclinic P

Hexagonal monoclinic｜9｜7｜25

VIII｜Ditetragonal diclinic、｜10｜1 (+1)｜1 (+1)｜1 (+1)｜Ditetragonal diclinic P*

IX｜Ditrigonal diclinic、｜11｜2 (+2)｜2 (+2)｜1 (+1)｜Ditrigonal diclinic P*

X｜Tetragonal orthogonal｜Inverse tetragonal orthogonal｜12｜5｜7｜1｜Tetragonal orthogonal KG

351｜5｜Tetragonal orthogonal P, S, I, Z, G

Proper tetragonal orthogonal｜13｜10｜1312

XI｜Hexagonal orthogonal｜Trigonal orthogonal｜14｜10｜81｜2｜Hexagonal orthogonal R, RS

150｜2｜Hexagonal orthogonal P, S

Hexagonal orthogonal｜15｜12｜240

XII｜Ditetragonal monoclinic、｜16｜1 (+1)｜6 (+6)｜3 (+3)｜Ditetragonal monoclinic P、, S、, D*

XIII｜Ditrigonal monoclinic、｜17｜2 (+2)｜5 (+5)｜2 (+2)｜Ditrigonal monoclinic P、, RR*

XIV｜Ditetragonal orthogonal｜Crypto-ditetragonal orthogonal｜18｜5｜10｜1｜Ditetragonal orthogonal D

165 (+2)｜2｜Ditetragonal orthogonal P, Z

Ditetragonal orthogonal｜19｜6｜127

XV｜Hexagonal tetragonal｜20｜22｜108｜1｜Hexagonal tetragonal P

XVI｜Dihexagonal orthogonal｜Crypto-ditrigonal orthogonal、｜21｜4 (+4)｜5 (+5)｜1 (+1)｜Dihexagonal orthogonal G*

5 (+5)｜1｜Dihexagonal orthogonal P

Dihexagonal orthogonal｜23｜11｜20

Ditrigonal orthogonal｜22｜11｜41

16｜1｜Dihexagonal orthogonal RR

XVII｜Cubic orthogonal｜Simple cubic orthogonal｜24｜5｜9｜1｜Cubic orthogonal KU

96｜5｜Cubic orthogonal P, I, Z, F, U

Complex cubic orthogonal｜25｜11｜366

XVIII｜Octagonal、｜26｜2 (+2)｜3 (+3)｜1 (+1)｜Octagonal P*

XIX｜Decagonal｜27｜4｜5｜1｜Decagonal P

XX｜Dodecagonal、｜28｜2 (+2)｜2 (+2)｜1 (+1)｜Dodecagonal P*

XXI｜Diisohexagonal orthogonal｜Simple diisohexagonal orthogonal｜29｜9 (+2)｜19 (+5)｜1｜Diisohexagonal orthogonal RR

19 (+3)｜1｜Diisohexagonal orthogonal P

Complex diisohexagonal orthogonal｜30｜13 (+8)｜15 (+9)

XXII｜Icosagonal｜31｜7｜20｜2｜Icosagonal P, SN

XXIII｜Hypercubic｜Octagonal hypercubic｜32｜21 (+8)｜73 (+15)｜1｜Hypercubic P

107 (+28)｜1｜Hypercubic Z

Dodecagonal hypercubic｜33｜16 (+12)｜25 (+20)

共计｜23 (+6)｜33 (+7)｜227 (+44)｜4783 (+111)｜64 (+10)｜33 (+7)

## 外部链接

- Overview of the 32 groups
- Mineral galleries – Symmetry
- all cubic crystal classes, forms, and stereographic projections (interactive java applet)
- Crystal system at the Online Dictionary of Crystallography
- Crystal family at the Online Dictionary of Crystallography
- Lattice system at the Online Dictionary of Crystallography
- Conversion Primitive to Standard Conventional for VASP input files
- Learning Crystallography