定理

定理（Theorem）是经过受逻辑限制的证明为真的陈述。一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理。证明定理是数学的中心活动。一个定理陈述一个给定类的所有（全称）元素一种不变的关系，这些元素可以是无穷多，它们在任何时刻都无区别地成立，而没有一个例外。（例如：某些$a$是$x$，某些$a$是$y$，就不能算是定理）。

猜想是相信为真但未被证明的数学叙述，或者叫做命题，当它经过证明后便是定理。猜想是定理的来源，但并非唯一来源。一个从其他定理引伸出来的数学叙述可以不经过成为猜想的过程，成为定理。

如上所述，定理需要某些逻辑框架，继而形成一套公理（公理系统）。同时，一个推理的过程，容许从公理中引出新定理和其他之前发现的定理。

在命题逻辑，所有已证明的叙述都称为定理。

## 定理性与真理

直到19世纪晚期和数学基础危机之前，所有数学定理都是从少数几个被认为不言自明的基本性质建立起来的，例如每个自然数都有后继者这一事实，或者恰好有一条直线通过两个给定的不同点，以及在定理的证明中用于组合这些事实的逻辑推理规则。这些被认为绝对显然的基本性质称为公设或公理，例如欧几里得公设。所有定理都通过隐式或显式地使用这些基本性质来加以证明。由于这些基本性质被认为不言自明，一个已证明的定理便被视为确定的真理，除非其证明中存在错误。例如，欧几里得从几个公理和公设出发，证明了三角形的内角之和等于180°，这被视为不容置疑的事实。

数学基础危机的一个方面是通过改变欧几里得第五公设而发现了非欧几里得几何。这些几何不会引起任何内部矛盾，尽管在此类几何中三角形的内角之和不等于180°。换言之，“三角形的内角之和等于180°”这一性质可以为真也可以为假，取决于欧几里得第五公设是被假设还是被否定。类似地，19世纪对集合若干“显然”基本性质的使用导致了罗素悖论的矛盾，此问题通过修改允许操作集合的公理而得以解决。

一般而言，19世纪的危机通过重新审视数学的基础、使其更为严格而得到解决。在这些新基础中，定理是一个数学理论的形式语言中的适定公式，可以从理论的公理和推理规则推导出来。因此，上述关于三角形内角之和的定理变成了：“在欧几里得几何的公理和推理规则下，三角形的内角之和等于180°”。类似地，罗素悖论消失了，因为在现代公理化集合论中，“所有集合的集合”无法用适定公式来表达——更确切地说，如果它可以被如此表达，则意味着该理论是不相容的，每一个适定断言及其否定都将是定理。

在这一背景下，定理的有效性仅取决于其证明的正确性，而与“现实世界”中公理的真实性乃至含义无关。这并不意味着公理的含义不重要，而只是说定理的有效性独立于公理的含义。这种独立性或许有用，因为它允许将某一数学领域的结果应用于表面上不相关的领域。

这种数学思维方式的一个重要后果是，它允许将数学理论和定理定义为数学对象，并对它们加以证明。特别地，存在一些适定断言，可以被证明在某个特定理论中不是定理，尽管它们可以在更广泛的理论中得到证明。一个例子是古德斯坦定理，它可以用皮亚诺算术陈述，但可以被证明在皮亚诺算术中不可证；然而，它在某些更一般的理论（例如策梅洛-弗兰克尔集合论）中是可以证明的。

## 各种数学叙述（按重要性来排列）

- 数学原理
- 公理（也称公设）−公理是没有经过证明，但被当作不证自明的一个命题。
- 定理
- 命题−通常，命题是一个可以判断真或假的陈述句，亦有既真又假的命题（悖论）。
- 推论（也称系、系理）−一个从定理随之而即时出现的叙述。若命题B可以很快、简单地推导出命题A，命题A为命题B的推论。
- 引理（也称辅助定理，补理）−某个定理的证明的一部分的叙述。它并非主要的结果。引理的证明有时还比定理长，例如舒尔引理。
- 假说−根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明。

## 认识论考量

许多数学定理是条件性陈述，其证明从称为假设或前提的条件中推导结论。根据将证明理解为真理之辩护的观点，结论通常被视为假设的必然后果——即假设为真时结论亦为真，无需任何其他假设。然而，在某些演绎系统中，视推导规则和条件符号所赋予的含义（例如非古典逻辑），条件式也可以有不同的解释。

虽然定理可以以完全符号化的形式写出（例如命题演算中的命题），但为了更好的可读性，它们通常以自然语言非正式地表达。证明亦然，往往以逻辑清晰、措辞明确的非正式论证形式呈现，旨在使读者对定理陈述的真实性确信无疑，且原则上可以从中构造出形式符号化的证明。

除了可读性更佳外，非正式论证通常也比纯符号式论证更易于核验——事实上，许多数学家更偏好一种不仅能证明定理有效性、而且能在某种意义上说明“其为何显然为真”的证明。在某些情况下，甚至可以用一张图作为定理的证明。

由于定理是数学的核心，它们也是数学美学的核心。定理常被描述为“平凡的”、“困难的”、“深刻的”，甚至“优美的”。这些主观判断不仅因人而异，也随时代和文化而变化：例如，随着某个证明被发现、简化或更深入地理解，昔日困难的定理可能变得平凡。另一方面，一个深刻的定理可能陈述简单，但其证明可能涉及数学不同领域之间令人惊讶而微妙的联系。费马最后定理是这类定理的一个特别着名的例子。

## 定理的非正式说明

从逻辑上讲，许多定理具有指示条件句的形式：“若A，则B”。这样的定理并不断言B，而只是断言B是A的必然后果。在这种情况下，A称为定理的假设（此处“假设”的含义与猜想截然不同），B称为定理的结论。两者合在一起（不含证明）称为定理的命题或陈述（例如“若A，则B”就是其命题）。A和B也可以分别称为前件和后件。“若n是偶自然数，则n/2是自然数”是一个典型例子，其中假设是“n是偶自然数”，结论是“n/2也是自然数”。

为了使定理能够被证明，它原则上必须能够表达为精确的形式陈述。然而，定理通常以自然语言而非完全符号化的形式表达——前提是可以从非正式陈述导出形式陈述。

在数学中，通常的做法是在给定语言中选择若干假设，并宣称理论由这些假设的所有可推导陈述构成。这些假设构成理论的基础，称为公理或公设。数学中称为证明论的领域研究形式语言、公理以及证明的结构。

某些定理是“平凡的”，即它们以显而易见的方式从定义、公理和其他定理推导而来，不含任何令人惊讶的洞见。另一些定理可称为“深刻的”，因为其证明可能冗长困难，涉及表面上与定理陈述无关的数学领域，或揭示了不同数学领域之间出人意料的联系。一个定理可能陈述简单却极为深刻，费马最后定理是一个绝佳例子，数论和组合学等领域亦不乏此类定理。

此外，有些定理虽有已知的证明，却无法轻易写下来。最突出的例子是四色定理和开普勒猜想：两者的真实性均通过化归为计算机程序验证的计算搜索而确认。最初许多数学家不接受这种形式的证明，但它已被越来越广泛地接受。数学家多伦·泽伊尔伯格甚至声称，这些可能是数学家迄今所证明的唯一非平凡结果。

## 结构

定理一般都有许多条件。然后有结论—一个在条件下成立的数学叙述。通常写作“若条件，则结论”。用符号逻辑来写就是条件→结论。而当中的证明不视为定理的成分。

## 逆定理

若存在某叙述为$A\rightarrow B$，其逆叙述就是$B\rightarrow A$。逆叙述成立的情况是$A\leftrightarrow B$，否则通常都是倒果为因，不合常理。若果叙述是定理，其成立的逆叙述就是逆定理。

- 若某叙述和其逆叙述都为真，条件必要且充足。
- 若某叙述为真，其逆叙述为假，条件充足。
- 若某叙述为假，其逆叙述为真，条件必要。

## 与科学理论的关系

数学定理与科学理论在认识论上有根本区别。科学理论无法被证明；其关键属性是可否证性，即它对自然界做出可以通过实验检验的预测。预测与实验之间的任何分歧都说明科学理论存在错误，或至少限制了其精确性或有效范围。数学定理则是纯粹抽象的形式陈述：定理的证明不能以实验或其他经验证据来支持，而这正是科学理论的支持方式。

尽管如此，数学定理的发现确实涉及一定程度的经验主义和数据收集。通过建立规律——有时借助强大的计算机——数学家可能对如何加以证明有所预感，在某些情况下甚至有具体的证明思路。此外，也可以通过找到单个反例，确定某命题在所述形式下不可能有证明，并可能提示原命题的受限形式可能具有可行的证明。

例如，柯拉兹猜想和黎曼假设都是著名的未解问题，已通过大量实验验证被广泛研究，但均未被证明。柯拉兹猜想已对约2.88×1018以内的初始值进行了验证；黎曼假设已验证对黎曼ζ函数的前10万亿个非平凡零点成立。尽管大多数数学家可以接受猜想和假设为真，两者均未被视为已证明。

这类经验证据并不构成证明。例如，默滕斯猜想是一个关于自然数的陈述，现已知为假，但没有已知的明确反例（即不知道使默滕斯函数M(n)等于或超过n的平方根的自然数n）：所有小于1014的数都满足默滕斯性质，最小的不满足此性质的数仅知小于e1.59×1040，即约104.3×1039。由于宇宙中的粒子数一般认为少于10100（即古戈尔），通过穷举搜索找到明确反例是没有希望的。

“理论”这个词在数学中也存在，用来表示一套数学公理、定义和定理的集合，例如群论（参见数学理论）。在科学特别是物理学和工程学中也有“定理”，但它们的陈述和证明往往需要物理假设和直觉，其依据的物理公理本身是可被证伪的。

## 出版物当中的排版

在英语出版物中，定理（通常被归类为命题、引理或推论并相应标记）及其证明通常按如下方式排版：

定理。（Wiles, 1994）设x, y, z与n为整数，且xn+yn=zn，n≥3。则xyz=0。

证明。〔证明开始〕

〔……〕

〔证明文本（续）〕〔证明结束〕∎

证明的结尾可以用字母Q.E.D.（拉丁语quod erat demonstrandum的缩写）或墓碑符号（如“□”或“∎”，表示“证明结束”）来标示，后者由保罗·哈尔莫斯引入数学写作，灵感来源于杂志中用于标示文章结尾的符号。

确切的排版风格取决于作者或出版物。许多出版物为使用其版式规范提供了说明或宏（宏）。

在定理之前，通常有描述定理所用术语确切含义的定义，以及若干用于证明的命题或引理。然而，引理有时也嵌入定理的证明之中——或以嵌套方式呈现，或在定理证明之后给出。

推论通常紧接在定理之后（证明之前）或在证明之后直接给出。推论有时有其自身的证明，说明其为何由定理推出。

## 轶闻

据估计，每年有超过25万个定理被证明。

著名的格言“数学家是一种把咖啡转化为定理的装置”可能出自阿尔弗雷德·雷尼，尽管它常被归于雷尼的同事保罗·埃尔德什——埃尔德什以其证明的众多定理、广泛的合作以及嗜饮咖啡而闻名。

有限单群的分类被一些人认为是最长的定理证明，涵盖了约100位作者在500篇期刊文章中的数万页内容。这些论文合在一起被认为提供了一个完整的证明，若干持续进行的项目希望缩短并简化这一证明。另一个此类定理是四色定理，其由计算机生成的证明对人类而言太长而无法阅读。

## 逻辑中的定理

逻辑语言中的定理表示的是一个公式集合，并且该公式集合中的每一个公式都代表着知识的一片段，由此我们可以给定理一个更准确的表达（这里所说的定理指的是在一阶逻辑中的定理，通常来说任意一个命题集合往往不一定是定理）。定理在逻辑中的定义︰

一个定理是一个含有由建立于语言集合$L$上的命题（$L$-命题）组成的非空集合。

这个定理（或这个命题集合）我们记作$T$，这些建立于语言集合$L$上的命题必须符合如下属性︰

对所有在$T$中的命题$\varphi$，如果$T\vDash\varphi$，那么$\varphi\in T$。

比如一个永真命题集合是一个定理，这个永真命题集合被包含在所有建立在语言集合$L$上的定理中。此外，我们说一个定理是另外一个定理$T$的扩展（extension），前提是该定理包含定理$T$。

有一个命题集合$A$，我们将一个包含$A$的集合记作$\mbox{Th}(A)$，那么$\mbox{Th}(A)=\{\ \varphi\ \ |\ \ A\vDash\varphi\ \}$。显而易见$A\vDash\mbox{Th}(A)$，所以$\mbox{Th}(A)$是一个定理。比如我们有一个集合$G$，$G$有三个基于语言$L$上的命题，其中$L=\{e,f\}$，$e$是常数符号，$f$是函数符号。三个命题如下︰

$\forall x \forall y \forall z f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))$。

$\forall x f(x,e)=x \land f(e,x)=x$。

$\forall x \exist y f(x,y)=e \land f(y,x)=e$。

那么如果有$\mbox{Th}(G)=\{\ \varphi\ \ |\ \ G\vDash\varphi\ \}$，则$\mbox{Th}(G)$是$G$的定理。当然，如果$A$和$B$是两个命题集合且满足$A\subseteq B$，那么$\mbox{Th}(A)\subseteq\mbox{Th}(B)$。

我们说一个定理$T$是完整的（Complete），当且仅当对于和$T$一样构建在同样语言集合上的所有命题$\varphi$，要么$\varphi\in T$，要么$\lnot\varphi\in T$。

注意︰这个概念不能和定理$T$的完备性（Completude）混淆，完备性是证明在定理$T$中的永真命题是递推可列举的（recursivement enumerable），但是不能说它一定是完整的。

不是所有的定理是完整的。比如$\mbox{Th}(\Phi)$一个空集合$\{\Phi\}$的定理是所有真命题集合，但是$\mbox{Th}(\Phi)$不是完整的。假如有命题$\Psi=\exist x\exist y(x\neq y)$，对于$\Psi$来说，它既不是永真命题，也不是永假命题，它是一个可满足式的命题，也就是说$\mbox{Th}(\Phi)\nvDash\Psi$且$\mbox{Th}(\Phi)\nvDash\lnot\Psi$。因此$\Psi\notin\mbox{Th}(\Phi)$，所以我们说$\mbox{Th}(\Phi)$不是完整的。

一个定理$T$称作是稳健的（Consistante），当且仅当$\forall\varphi\in T,\ \lnot\varphi\notin T$。我们说对所有的解释（Interpretation）$I$，$\mbox{Th}(I)$是一个定理，并且$\mbox{Th}(I)$既是稳健的又是完整的。

在数理逻辑中，一个形式理论是形式语言中的一组语句。语句是不含自由变元的适定公式。属于某一理论的语句是其定理，而该理论就是其定理的集合。通常认为理论在逻辑后承关系下是封闭的——一些定义认为理论在语义后承关系（$\models$）下封闭，另一些则定义为在语法后承（即可推导性关系，$\vdash$）下封闭。

若一个理论对可推导性关系是封闭的，则它必须关联一个演绎系统，以说明定理是如何推导的。演绎系统可以明确陈述，也可以从上下文中清楚推断。在逻辑后承关系下对空集取闭包，所得的集合恰好包含演绎系统的所有定理。

在逻辑的广义意义上，一个定理不必为真，因为包含它的理论相对于给定语义学或底层语言的标准解释而言可能是不可靠的。一个不相容的理论以所有语句作为其定理。

数学逻辑中若干重要定理包括：

- 一阶逻辑的紧致性定理
- 一阶逻辑的完备性定理
- 一阶算术的哥德尔不完备定理
- 一阶算术的相容性定理
- 塔尔斯基不可定义性定理
- 逻辑的丘奇-图灵不可判定性定理
- 洛布定理
- 勒文海姆-斯科伦定理
- 林德斯特伦定理
- 克雷格定理
- 消切定理

### 语法与语义

形式定理的概念从本质上说是语法的，而非语义的，其与真命题的概念形成对比——后者引入了语义学。不同的演绎系统可能产生不同的解释，取决于推导规则的前提（即信念、确证或其他模态）。形式系统的可靠性取决于其所有定理是否都是有效式。有效式是在任何可能的解释下均为真的公式（例如在古典命题逻辑中，有效式就是重言式）。一个形式系统在其所有定理也都是重言式时，被认为是语义完备的。