偏微分方程

偏微分方程（partial differential equation，缩写作PDE）指含有未知函数及其偏导数的方程。描述自变量、未知函数及其偏导数之间的关系。符合这个关系的函数是方程的解。

偏微分方程分为线性偏微分方程式与非线性偏微分方程式，常常有几个解而且涉及额外的边界条件。

## 记号及例子

方程式中常以u为未知数及偏微分，如下：

$$u_{xy} = {\partial^2 u \over \partial y\, \partial x}$$

用于空间偏微分的梯度运算子$\nabla=({\partial \over \partial_x}, {\partial \over \partial_y}, {\partial \over \partial_z})$

时间偏微分$\dot u= {\partial u \over \partial t}$，线性偏微分方程式的例子如下：

### 拉普拉斯方程

$$u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = 0$$

适用于重力场问题的求解。

### 泊松方程

$$u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = f(x,y,z)$$

适用于所有物质的重力场或电荷的静电场。

### 波动方程式

未知函数u(x,y,z,t):

$$u_{tt} = c^2( u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} )$$

$$\ddot u=c^2\nabla^2u$$

### 热传导方程式

$$u_t = k ( u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} )$$

其中k代表该材料.

## 适定问题

偏微分方程解中任意函数的出现必然产生解的各种差异，考虑到几乎不知道这些解的详情，在大多数问题中惯常的目标是找满足合适的和确定的条件（例如在空间的边界处和某固定时刻）的那些解，要求这些条件可以确定唯的解是自然的要求。

如果要说一个PDE是适定的，则必须要有:

- 存在性:至少存在一个解$u(x,y)$满足初始条件还有其他辅助条件
- 唯一性:存在最多一个解$u(x,y)$满足初始条件还有其他辅助条件
- 稳定性:唯一的解$u(x,y)$不会因为初始条件的微小变动，产生巨大的变化。或是说，当初始资料变化微小，解的变化也很微小。

法国数学家阿达马强调后一方面，当解不连续地依赖于原始数据变化时称此问题是不适定的或提得不正确的

- 不适定的例子

对于双变量的Laplace方程：

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0 (y>0)$$

在边界条件

$z(x,0)=0$ 和 $\frac{\partial z(x,0)}{\partial y}=\frac{1}{n}\cos nx$

之下，符合条件的解为

$$z(x,y)=\frac{1}{n^2}\sinh (ny) \cos (nx)$$

当$n\rightarrow +\infty$时其数据在$y=0$处$z$和$\frac{\partial z}{\partial y}$的指定值趋于0，而$z(x,y)$的值在无穷大的范围内震荡，所以这个解不适定。

## 分类

一些线性二阶偏微分方程可以分为：抛物线方程，双曲线方程和椭圆方程。其他的像Euler–Tricomi方程在不同应用领域中也有不同的形式。这种分类便于在解偏微分方程时寻找初始条件提供依据。

### 一阶偏微分方程

一阶偏微分方程是指和未知数的一阶导数有关的偏微分方程，表示式为：

$$Au_{x} + Bu_{y} + \cdots = 0,$$

其中参数A,B是x,y的变数。

### 二阶偏微分方程

表示式为：

$$Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + \cdots = 0,$$

其中参数$A$, $B$, $C$是$x$, $y$的变数。如果在$xy$平面上有$A^2 +B^2 + C^2 > 0$，该偏微分方程在该平面上为二阶偏微分方程。二阶偏微分方程类似以下的圆锥方程：

$$Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + \cdots = 0.$$

该二阶偏微分方程可分类为：抛物线方程，双曲线方程和椭圆方程，其分类方式为：

- $B^2 - AC \, < 0$ 且 $(A,B,C)\neq (0,0,0)$：椭圆方程。
- $B^2 - AC = 0\,$ 或 $(A,B,C)=(0,0,0)$：抛物线方程。
- $B^2 - AC \, > 0$：双曲线方程;

若有$n$个独立变量$x_{1},x_{2},\ldots x_{n}$，则此二阶线性偏微分方程为:

$$L u =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{i,j} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} \quad$$

我们可以依靠系数矩阵$a_{i,j}$的特征值的正负号去区分方程的种类:

- 椭圆方程：特征值为全正或是全负。
- 抛物线方程：特征值其中有一个是0，然后其他的都是全正或是全负。
- 双曲线方程：特征值一个为正数，其他为负数，或是一个为负数，其他为正数。
- 超双曲线方程：正数的特征值与负数的特征值的个数都大于一，且没有一个特征值为0的数。

### 混合形式方程

如果偏微分方程的系数不是一个常数，该偏微分方程可能不属于以上几种类别之一，而可能是混合形式方程。一个简单的例子为Euler–Tricomi方程：

$$u_{xx} \, = xu_{yy}$$

该方程称为椭圆双曲线方程。因为当$x < 0$时是椭圆形式，当$x > 0$时是双曲线形式。

## 解析法解偏微分方程

一些有效的解析法解偏微分方程方法：

### 分离变量法

通过分离变量法减少偏微分方程中的变量，将一个偏微分方程分解成若干个常微分方程。

### 特征线法

沿着一阶偏微分方程的特征线，偏微分方程简化为一个常微分方程。沿着特征线求出对应常微分方程的解就可以得到偏微分方程的解。

### 积分变换

利用积分法，将偏微分方程变换为可分离的偏微分方程，方便求解。一般为傅里叶变换分析。

### 变量变换

通过适当的变量变换，可以简化偏微分方程的求解。一个典型的例子为Black–Scholes方程：

$$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0$$

可以简化为热力方程：

$$\frac{\partial u}{\partial \tau} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

通过如下变换：

$$V(S,t) = K v(x,\tau)\,$$

$$x = \ln(S/K)\,$$

$$\tau = \frac{1}{2} \sigma^2 (T - t)$$

$$v(x,\tau)= e^{-\alpha x-\beta\tau} u(x,\tau).\,$$

### 基本解

非齐次偏微分方程可通过寻找基本算子，然后通过带有初始条件的卷积来解答。

该法常用于信号处理中通过冲激响应来求解滤波器。

### 叠加原理

因为一个线性齐次偏微分方程解的重叠也可看做一个解，所以可以通过交叉重叠这些解得到偏微分方程的一个解。

## 数值法解偏微分方程

在众多求解偏微分方程的数值方法中，三种应用最广的方法为有限元素法（Finite Element Method, FEM）、有限体积法（Finite Volume Method, FVM）和有限差分法（Finite Difference Method, FDM）。其中，有限元法占主要地位，尤其是它的高效高阶版本—hp-FEM。其它版本的有限元法还有：广义有限元法（Generalized Finite Element Method, FFEM）、扩展有限元法（eXtended Finite Element Method, XFEM）、无网格有限元法（Meshfree Finite Element Method）、离散迦辽金有限元法（Discontinuous Galerkin Finite Element Method, DGFEM）等。