角动量

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在物理学中，角动量是与物体的位置向量和动量相关的物理量。对于某惯性参考系的原点$\mathbf{O}$，物体的角动量是物体的位置向量和动量的叉积，通常写做$\mathbf{L}$。角动量是向量，且是一赝矢量。

$$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$$

其中，$\mathbf{r}$表示物体的位置向量，$\mathbf{L}$表示角动量。$\mathbf{p}$表示动量。角动量$\mathbf{L}$又可写为：

$$\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p} = \mathbf{r}\times(m\mathbf{v}) = \mathbf{r}\times(\boldsymbol{\omega}\times(m\mathbf{r})) = mr^2\boldsymbol{\omega} = I\boldsymbol{\omega}$$

其中，$I$表示质点的转动惯量，$\boldsymbol{\omega}$是角速度向量。

假设作用于物体的外力矩和为零，则物体的角动量是守恒的。需要注意的是，由于成立的条件不同，角动量是否守恒与动量是否守恒没有直接的联系。

当物体的运动状态（动量）发生变化，则表示物体受力作用，而作用力大小就等于动量$\mathbf{P}$的时变率：$\mathbf{F}=\frac{d\mathbf{P}}{dt}$

当物体的转动状态发生改变时，表示物体受到力矩作用，而力矩就等于角动量的时变率：$\boldsymbol{\tau}=\frac{d\mathbf{L}}{dt}$

若物体（或系统）所受外力矩和为零，则物体（系统）的角动量守恒。例如静电力或万有引力均是径向力，因此不会产生力矩。行星运动的交互作用力源自于万有引力，故行星运动满足角动量守恒，所对应的就是开普勒定律中的第二定律。

需要特别说明的是，动量$\mathbf{P}\equiv m\mathbf{v}$，也就是说，动量的方向和速度的方向一致。

伽利略·伽利莱首先引入角动量守恒的概念。

## 角动量量子化

在量子力学里角动量是量子化的：系统的角动量不能任意地取某实数值而只能取以约化普朗克常数$\hbar$为单位整数或半整数倍。粒子的运动轨道造成的角动量必须取$\hbar$的整数倍。另外实验证明大部分亚原子粒子都拥有一种和运动无关的先天角动量叫自旋。自旋以$\frac{\hbar}{2}$的倍数出现。

### 量子化角动量和不确定性原理

角动量是位移与动量的矢量积。而量子力学里位移与同方向动量是非对易的因此各独立方向的角动量分别非对易：

$$[L_i, L_j] = i\hbar\epsilon_{ijk} L_k$$

- $\epsilon_{ijk}$是列维-奇维塔符号。
- $[A,B]=AB-BA$是交换子。

根据海森堡不确定原理非对易的物理量不能同时测准。因此角动量矢量的各方向部可以各自但不能同时确定。虽然如此但是角动量矢量的长度是可和任意一部同时确定：

$$\left[L_i, L^2\right] = 0$$

因此算符$L^2$和$L_z$（任选一方向为z）有共同的特征波函数。$L^2$在球座标系表现为：

$$L^2 = -\frac{\hbar^2}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right) - \frac{\hbar^2}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}$$

其中$\theta$是位移与$z$轴夹角，$\phi$是绕$z$轴旋转的角度。

它和$L_z$的共同特征函数

$$L^2 | l, m \rang = {\hbar}^2 l(l+1) | l, m \rang$$

$$L_z | l, m \rang = \hbar m | l, m \rang$$

是球谐函数：

$$\lang \theta , \phi | l, m \rang = Y_{l,m}(\theta,\phi)$$

$l$是某非负整数。$-l\le m \le l$是绝对值不大于$l$的整数。

### 能量均分与角动量量子化

经典力学内角动量是可以取任意连续值会导致热力学上一些吊诡。角动量量子化给这些问题完美的答案，这也是角动量量子化有其必要性的证据之一。

在热力学里平均能量和系统自由度有关。例如忽略内部结构的单原子分子组成的理想气体平均能量是$\frac{E}{N}=\frac{3}{2}k_{\mathrm{B}} T$：三维空间运动的分子的每个独立运动方向分别给予平均能量$\frac{k_{\mathrm{B}}T}{2}$。这是能量均分定理。

假设除了三维的平移运动，气体的分子是由两种原子组成。而原子可以相互环绕运动。为了简化问题假设所有分子的原子对只能环绕z轴运动。它们旋转的动能量是：

$$E=\frac{L_z^2}{2 I}$$

$L_z$是分子旋转的角动量，$I$是转动惯量和原子的距离平方成正比。从运用统计力学的配分函数

$$Z=\int_{-\infty}^{\infty} d L_z e^{-\beta \frac{L_z^2}{2I}} = \sqrt{\frac{2\pi I}{\beta}}$$

（$\beta=\frac{1}{k_{\mathrm{B}}T}$是温度$T$的倒数）可以得到古典旋转运动对平均能量的贡献：

$$\frac{\langle E \rangle}{N} = - \frac{\partial \log Z}{\partial \beta} = \frac{1}{2\beta} = \frac{k_{\mathrm{B}} T}{2}$$

也就是新的旋转自由度和每平移运动方向给与一样的能量。

但是，旋转的贡献并不决定于分子的转动惯量$I$也就是和原子的距离无关。但这和我们期待原子距离或分子转动惯量趋向0时回到无旋转的结果相矛盾。这就是经典力学引起的吊诡：能量均分定理允许透过宏观观察得到所有微观自由度的资讯：尽管由很多基本粒子组成的原子一般拥有远高于宏观观察的自由度。

问题的解决来自角动量量子化。因为微观角动量不能取任意的连续值因此以上用积分计算配分函数是不正确的。配分函数应该是一个和：

$$Z=\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-\beta \frac{n^2 \hbar^2}{2 I}}$$

在温度很高（$\beta \to 0$）或分子转动惯量很大的情况下，每项间变化缓慢。用积分来进似近似以上和是可接受的。在这情况下选转的确和一般自由度一样。上段得到的结果是正确的。但在温度很低或分子转动惯量很小的情况下$Z$主要贡献来自$|n|$小的前几项：

$$Z \simeq 1 + e^{-\beta \frac{n^2 \hbar^2}{2 I}} + \cdots$$

因此对平均温度的贡献是：

$$\frac{\langle E \rangle}{N} = -\frac{\partial \log Z}{\partial \beta} \simeq \frac{n^2 \hbar^2}{2 I}$$

而一个系统的量子旋转特征和经典旋转特征的交叉点出现在温度可以给与几个$\hbar$角动量的能量：

$$T^* \approx \frac{\hbar^2}{2I}$$

## 外部链接

- "What Do a Submarine, a Rocket and a Football Have in Common? 为什么长椭球体是成功的形状？（《科学美国人》，2010年11月8日）
- Conservation of Angular Momentum – a chapter from an online textbook
- Angular Momentum in a Collision Process – derivation of the three-dimensional case
- Angular Momentum and Rolling Motion – more momentum theory