平方根

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在数学中，一个数$x$的平方根$y$指的是满足$y^2 = x$的数，即平方结果等于$x$的数。例如，4和-4都是16的平方根，因为$4^2=(-4)^2=16$。

任意非负实数$x$都有唯一的非负平方根，称为算术平方根或主平方根（principal square root），记为$\sqrt x$，其中的符号$\sqrt{\quad}$称作根号。例如，9的算术平方根为9，记作 $\sqrt 9 = 3$，因为$3^2=3 \times 3 =9$并且3非负。被求平方根的数称作被开方数（radicand），是根号下的数字或者表达式，即例子中的数字9。

正数$x$有两个互为相反数的平方根：正数$\sqrt x$与负数$-\sqrt x$，可以将两者一起记为$\pm \sqrt x$。

负数的平方根在复数系中有定义。而实际上，对任何定义了开平方运算的数学物件都可考虑其“平方根”（例如矩阵的平方根）。

- 在Microsoft的试算表软件Excel与大部分程式语言中以 "sqrt"表示求主平方根。

## 历史

耶鲁大学的巴比伦藏品YBC 7289是一块泥板，制作于前1800年到前1600年之间。泥板上是一个画了两条对角线正方形，标注了$\sqrt 2$的六十进制数字 1;24,51,10。六十进制的 1;24,51,10 即十进制的 1.41421296，精确到了小数点后5位（1.41421356...）。

莱因德数学纸草书大约成书于前1650年，内容抄写自更早年代的教科书。书中展示了埃及人使用反比法求平方根的过程。

古印度的《绳法经》大约成书于前800年到前500年之间，书中记载了将2的平方根的计算精确到小数点后5位的方法。

古希腊的《几何原本》大约成书于前380年，书中还阐述了如果正整数不是完全平方数，那么它的平方根就一定是无理数——一种无法以两个整数的比值表示的数（无法写作m/n，其中m和n是整数）。

中国的《书》成书于汉朝（约前202年到前186年之间），书中介绍了使用盈不足术求平方根的方法。

古代未有划一的平方根符号时，人们通常使用他们语言内开方这个字的首个字母的变型作为开方号。

中世纪时，拉丁语中的latus（正方形边）的首个字母“L”被不少欧洲人采用；亨利·布里格斯在其著作《Arithmetica Logarithmica》中则用横线当成latus的简写，在被开方的数下画一线。

最有影响的是拉丁语的radix（平方根），1220年Leconardo在《Practica geometriae》中使用℞（R右下角的有一斜划，像P和x的合体）；⎷（没有上面的横划）是由克里斯多福·鲁登道夫在1525年的书Coss首次使用，据说是小写r的变型；后来数学家笛卡尔给其加上线括号，但与前面的方根符号是分开的（即“⎷‾”），因此在复杂的式子中它显得很乱。直至18世纪中叶，数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（当根指数为2时，省略不写），从而形成了现在人们熟知的开方运算符号$\sqrt[n]{\,\,}$。

## 正数

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$x$的平方根亦可用指数表示，如：

$$x^\frac 1 2 = \sqrt x$$

$x$的绝对值可用$x^2$的算数平方根表示：

$$|x| = \sqrt{x^2}\left( =\begin{cases} x &(x \ge 0) \\ -x &(x < 0) \end{cases}\right)$$

若正整数$x$是平方数，则其平方根是整数。若正整数$x$不是平方数，则其平方根是无理数。

对于正数$x$、$y$，以下式成立：

$$\begin{align} \sqrt{x} \sqrt{y} &= \sqrt{xy}\\ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} &= \sqrt{\frac{x}{y}} \end{align}$$

## 负数与复数

正数和负数的平方都是正数，0的平方是0，因此负数没有实数平方根。然而，我们可以把我们所使用的数字集合扩大，加入负数的平方根，这样的集合就是复数。首先需要引入一个实数集之外的新数字，记作$i$（也可以记作$j$，比如电学场景中$i$一般表示电流），称之为虚数单位，定义即为$i^2 = -1$，故$i$是-1的平方根，而且$(-i)^2 = i^2 = -1$，所以$-i$也是-1的平方根。通常称-1的算术平方根是$i$，如果$x$是任意非负实数，则$-x$的算术平方根就是：

$$\sqrt{-x} = i \sqrt{x}$$

例如-5的平方根有两个，它们分别为$\sqrt{5}i$和$-\sqrt{5}i$。

之所以等式右侧（包括其对应的负值）是$-x$的算术平方根，是因为：

$$(i\sqrt{x})^2 = i^2(\sqrt{x})^2 = (-1)x = -x$$

负数的两个平方根为一对共轭的纯虚数。

对于负数$x$、$y$，以下式成立：

$$\begin{align} \sqrt{x} \sqrt{y} &= \sqrt{-x}\,i \times \sqrt{-y}\,i = \sqrt{xy}\,i^2 = -\sqrt{xy}\\ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} &= \frac{\sqrt{-x}i}{\sqrt{-y}i} = \sqrt{\frac{-x}{-y}} = \sqrt{\frac{x}{y}} \end{align}$$

### 虚数的算术平方根

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虚数$i$的算术平方根可以根据以下公式计算：

$$\sqrt{i} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$$

这个公式可以通过用代数方法推导，只需找到特定的实数$a$和$b$，满足

$$\begin{align} i &= (a + bi)^2 \\ &= a^2 + 2abi - b^2 \end{align}$$

就可以得到方程组

$$\begin{cases} 2ab = 1 \\ a^2 - b^2 = 0 \end{cases}$$

解：

$$a = b = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$

其中，算术平方根即为

$$a = b = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

这个公式还可以通过棣莫弗公式得到，设

$$i = \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$$

就可以推出

$$\begin{align} \sqrt{i} &= \left[\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)\right]^{\frac{1}{2}} \\ &= \cos \left(\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i) \end{align}$$

### 复数的算术平方根

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对于任何一个非零的复数$z$都存在两个复数$w$使得$w^2 = z$。

首先，我们将复数$x + iy$ 看作是平面上的点，即笛卡尔坐标系中的$(x, y)$点。这个点也可以写作极坐标的$(r, \varphi)$，其中$r \geq 0$，是该点到坐标原点的距离，$\varphi$则是从原点到该点的直线与实数坐标轴（$x$轴）的夹角。复分析中，通常把该点记作$re^{i \varphi}$。如果

$$z = r e^{i \varphi}, -\pi < \varphi \le \pi$$

那么我们将$z$的算术平方根定义为：

$$\sqrt{z} = \sqrt{r} e^{\frac{i \varphi}{2}}$$

因此，平方根函数除了在非正实数轴上以外是处处全纯的。$\sqrt{1+x}$ 的泰勒级数也适用于复数$x (\left \vert x \right \vert < 1)$。

上面的公式还可以用三角函数的形式表达：

$$\sqrt{r \left(\cos \varphi + i \sin \varphi \right)} = \sqrt{r} \left(\cos \frac{\varphi}{2} + i \sin \frac{\varphi}{2}\right)$$

### 代数公式

如果使用笛卡尔坐标的形式表达复数 z，其算术平方根可以使用如下公式：

$$\sqrt{z} = \sqrt{\frac{|z| + \Re(z)}{2}} \pm i \sqrt{\frac{|z| - \Re(z)}{2}}$$

其中，方根虚部的符号与被开方数虚部的符号相同（为0时取正）；主值实部永远非负。

在虚数，平方根函数的值不是连续的，以下等式不一定成立：

- $$\sqrt{zw} = \sqrt{z} \sqrt{w}$$
- $$\frac{\sqrt{w}}{\sqrt{z}} = \sqrt{\frac{w}{z}}$$
- $$\sqrt{z^*} = \left(\sqrt{z}\right)^*$$

所以这是错误的：

$$-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1$$

## 多项式

例：若$x\in\mathbb{R}$，$\sqrt{x^4+2x^2+1}=\sqrt{(x^2+1)^2}=|x^2+1|=x^2+1\,\!$

## 2的算术平方根

数学史中，最重要的平方根可以说是$\sqrt{2}$，它代表边长为1的正方形的对角线长，是第一个公认的无理数，也叫毕达哥拉斯常数，其值到小数点14位约为2。

$\sqrt{2}$是无理数，可由归谬法证明：

- 设$\sqrt{2}$为有理数，可表示为${\frac{p}{q}}$，其中$p$、$q$为互质之正整数。
- 因为$\left( \sqrt 2 \right) ^{2} = {\frac{p^2}{q^2}} = 2$，故$p^2$是2的倍数，$p$也是2的倍数，记为$2k$，其中$k$为正整数。
- 但是$2q^2 = p^2 = 4k^2$，故$q^2 = 2k^2$，$q^2$是2的倍数，$q$也是2的倍数。
- 依上两式，$p$、$q$都是2的倍数，和$p$、$q$为互质之正整数的前题矛盾。依归谬法，得证$\sqrt{2}$不是有理数，即$\sqrt{2}$是无理数。

## 计算方法

### 因数计算

$\sqrt{24}=\sqrt{2^2\cdot 6}=\sqrt{2^2}\sqrt{6}=2\sqrt{6}$。

注意，6 的质因数分解为 2 × 3，不能写成某个数的平方，因此 $2\sqrt{6}$ 就是最简结果。

### 中算开方

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《九章算术》和《孙子算经》都有筹算的开方法。宋代数学家贾宪发明、增乘开平方法；明代数学家，程大位发明，而朱载堉《算学新说》首创用81位算盘开方，精确到25位数字。

### 长除式算法

长除式算平方根的方式也称为直式开方法，原理是$. (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=a^2+(2a+b)b$。

- 首先将要开平方根的数从小数点分别向右及向左每两个位一组分开，如98765.432内小数点前的65是一组，87是一组，9是一组，小数点后的43是一组，之后是单独一个2，要补一个0而得20是一组。如1 04.85 73得四组，顺序为1' 04. 85' 73'。
- 将最左的一组的数减去最接近又少于它的平方数，并将该平方数的开方（应该是个位数）记下。
- 将上一步所得之差乘100，和下一组数加起来。
- 将记下的数乘20，然后将它加上某个个位数，再乘以该个个位数，令这个积不大于但最接近上一步所得之差，并将该个个位数记下，且将上一步所得之差减去所得之积。
- 记下的数一次隔两位记下。
- 重复第3步，直到找到答案。
- 可以在数字的最右补上多组的00'以求得理想的精确度为止。

下面以$\sqrt{200}$为例子：

$$\begin{array}{ll} \quad{\color{Red}1}~~{\color{Green}4}.~~{\color{Blue}1}~~{\color{Purple}4}~~{\color{Orange}2}\\ \sqrt{2|00.00|00|00}\\ \quad\underline{1\quad~}&\quad{\color{Red}1}\times{\color{Red}1}\le2\\ \quad1~00&a={\color{Red}1}0,b={\color{Green}4}\\ \quad\underline{~~\,96\quad~}&\quad\Rightarrow(2a+b)b=2{\color{Green}4}\times{\color{Green}4}=96\le100\\ \qquad~4~00&a={\color{Red}1}{\color{Green}4}0,b={\color{Blue}1}\\ \qquad~\underline{2~81\quad~}&\quad\Rightarrow(2a+b)b=28{\color{Blue}1}\times{\color{Blue}1}=281\le400\\ \qquad~1~19~00&a={\color{Red}1}{\color{Green}4}{\color{Blue}1}0,b={\color{Purple}4}\\ \qquad~\underline{1~12~96\quad~}&\quad\Rightarrow(2a+b)b=282{\color{Purple}4}\times{\color{Purple}4}=11296\le11900\\ \qquad\quad~~6~04~00&a={\color{Red}1}{\color{Green}4}{\color{Blue}1}{\color{Purple}4}0,b={\color{Orange}2}\\ \qquad\quad~~\underline{5~65~64}&\quad\Rightarrow(2a+b)b=2828{\color{Orange}2}\times{\color{Orange}2}=56564\le60400\\ \qquad\quad\quad~\,38~36\\ \end{array}$$

$$\sqrt{200} \approx 14.14213562373095048801668872421$$

四舍五入得答案为14.14。

事实上，将算法稍作改动，可以开任何次方的根，详见。

利用高精度长式除法可以计算出1至20的平方根如下：

$\sqrt {1}$｜$=\,$｜1

$\sqrt {2}$｜$\approx$｜1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462

$\sqrt {3}$｜$\approx$｜1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909

$\sqrt {4}$｜$=\,$｜2

$\sqrt {5}$｜$\approx$｜2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638

$\sqrt {6}$｜$\approx$｜2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457

$\sqrt {7}$｜$\approx$｜2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230

$\sqrt {8}$｜$\approx$｜2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924

$\sqrt {9}$｜$=\,$｜3

$\sqrt {10}$｜$\approx$｜3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639

$\sqrt {11}$｜$\approx$｜3.3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609

$\sqrt {12}$｜$\approx$｜3.4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818

$\sqrt {13}$｜$\approx$｜3.6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293

$\sqrt {14}$｜$\approx$｜3.7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307

$\sqrt {15}$｜$\approx$｜3.8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937

$\sqrt {16}$｜$=\,$｜4

$\sqrt {17}$｜$\approx$｜4.1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338

$\sqrt {18}$｜$\approx$｜4.2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386

$\sqrt {19}$｜$\approx$｜4.3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203

$\sqrt {20}$｜$\approx$｜4.4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276

### 牛顿法

如果要求$S\,(S>1)$的平方根，选取$1\,<\,x_0\,<\,S$

$$x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{S}{x_n}\right)$$

例子：求$\sqrt{125348}$至6位有效数字。

$$x_0 = 3^6 = 729.000\,\!$$

$$x_1 = \frac{1}{2} \left(x_0 + \frac{S}{x_0}\right) = \frac{1}{2} \left(729.000 + \frac{125348}{729.000}\right) = 450.472$$

$$x_2 = \frac{1}{2} \left(x_1 + \frac{S}{x_1}\right) = \frac{1}{2} \left(450.472 + \frac{125348}{450.472}\right) = 364.365$$

$$x_3 = \frac{1}{2} \left(x_2 + \frac{S}{x_2}\right) = \frac{1}{2} \left(364.365 + \frac{125348}{364.365}\right) = 354.191$$

$$x_4 = \frac{1}{2} \left(x_3 + \frac{S}{x_3}\right) = \frac{1}{2} \left(354.191 + \frac{125348}{354.191}\right) = 354.045$$

$$x_5 = \frac{1}{2} \left(x_4 + \frac{S}{x_4}\right) = \frac{1}{2} \left(354.045 + \frac{125348}{354.045}\right) = 354.045$$

因此$\sqrt{125348} \approx 354.045$.

### 连分数

平方根可以简便地用连分数的形式表示，关于连分数请见连分数，其中1至20的算术平方根分别可用连分数表示为：

$\sqrt {1}=1$ $\sqrt {2}=[1;2,2,2,2...]$ $\sqrt {3}=[1;1,2,1,2...]$ $\sqrt {4}=2$ $\sqrt {5}=[2;4,4,4,4...]$ $\sqrt {6}=[2;2,4,2,4...]$ $\sqrt {7}=[2;1,1,1,4,1,1,1,4...]$ $\sqrt {8}=[2;1,4,1,4...]$ $\sqrt {9}=3$ $\sqrt {10}=[3;6,6,6,6...]$ $\sqrt {11}=[3;3,6,3,6...]$ $\sqrt {12}=[3;2,6,2,6...]$ $\sqrt {13}=[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6...]$ $\sqrt {14}=[3;1,2,1,6,1,2,1,6...]$ $\sqrt {15}=[3;1,6,1,6...]$ $\sqrt {16}=4$ $\sqrt {17}=[4;8,8,8,8...]$ $\sqrt {18}=[4;4,8,4,8...]$ $\sqrt {19}=[4;2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8...]$ $$\sqrt {20}=[4;2,8,2,8...]$$

连分数部分均循环，省略号前为2或4个循环节。

### 巴比伦方法

巴比伦求平方根的算法实际上很简单：（假设要求一个数N的平方根）

- 预测一个平方根$x$，初始另一个值$y$，且$xy=N$
- 求预测值与初始值的均值：$x=\frac{x+y}{2}$, $y=\frac{N}{x}$
- 比较$x$和$y$的差值是否达到精度，如果无，继续步骤

### 重复的算术运算

这个方法是从佩尔方程演变过来的，它通过不断减去奇数来求得答案。

### 尺规作图

#### 问题

给定线段AB和1，求一条长为$\sqrt{AB}$的线段。

#### 解法

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- 画线AB，延长BA至C使$AC=1$
- 以BC的中点为圆心，OC为半径画圆
- 过A画BC的垂直线，垂直线和圆弧交于D，AD即为所求之长度

#### 证明

将整个过程搬到直角座标上，已知AC=1，设

- O=$(0,0)$
- AB=$n$
- 直径为BC的圆就是$x^2 + y^2 = \left({\frac{n+1}{2}}\right)^2$（圆的方程式：$x^2+y^2=r^2$）（其中$r$表示半径。）
- 将$\left({\frac{n+1}{2}} -1 \right)$（A,D所在的x座标）代入上面的方程式
- $$\left({\frac{n+1}{2}} -1 \right)^2 + y^2 = \left({\frac{n+1}{2}}\right)^2$$
- 解方程，得$y=\sqrt{n}$。

另也可参见射影定理。

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## 外部链接

- Earliest Uses of Symbols of Operation
- The History of Mathematical Symbols: The radical symbol
- 开方公式的推导
- 平方根计算器