轨道 (天体力学)

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在物理学中，轨道是一个物体在引力作用下绕空间中一点运行的路径，比如行星绕一颗恒星的轨迹，或天然卫星绕一颗行星的轨迹。行星的轨道一般都是椭圆，而且其绕行的质量中心在椭圆的一个焦点上。

当前人们对轨道运动原理的认识基于爱因斯坦的广义相对论，认为引力是由时空弯曲造成的，而轨道则是时空场的几何测地线。为了简化计算，通常用基于开普勒定律的万有引力理论来作为相对论的近似。

## 历史

历史上，人们用本轮来描述行星的视运动，认为行星的运动是很多圆周运动合成的结果，这是一种几何方法，并没有涉及引力的概念。在开普勒证明行星的运动轨迹是椭圆之前，用这种方法来预测行星的轨迹勉强可行。

最开始，人们使用以地球为中心的太阳系天球模型来解释行星的视运动。该模型假设存在一个完美的球体或圆环，所有的恒星和行星都在其表面运动。在更精确的测量了行星的运动后，人们引入了均轮和本轮这样的理论来描述行星运动。这种系统能更精确的预测行星的位置，但随着测量结果越来越精确，需要加入更多的本轮到模型中，因此，这种模型变得越来越繁琐。

17世纪初，在约翰内斯·开普勒对大量精密观察的天体轨道数据进行分析后，得出著名的3个行星运动定律。第一，他发现太阳系中行星轨道不是以往人们想象的正圆形，而是椭圆的；太阳也不是位于轨道中心，而是在一个焦点上。第二，行星的轨道速度，也不是恒定不变的，事实上行星的轨道速度与当下行星至太阳的距离有关。第三，他归纳出可通用于太阳系所有行星轨道性质的数学关系：行星到太阳距离的立方（以天文单位（AU）计算）等于行星轨道周期的平方（以地球年计算）。以木星为例，它到太阳的距离约为5.2AU，轨道周期约为11.86地球年，则满足数学关系：$5.2^3 \approx 11.86^2$。

到了1687年，艾萨克·牛顿在他的万有引力理论中证明了开普勒定律。一般而言，物体在单纯重力作用下的运动轨道都属于圆锥曲线。牛顿表示，两个天体在互相环绕的轨道上时，个别天体相对于质心的距离与自身质量成反比。因此当计算两个天体的运行轨道时，若其中一个天体质量比另一个明显大很多，可以大质量物体的质量中心取代共同的质心，不仅方便、误差也很小。

爱因斯坦认为，引力是时空弯曲造成的，因此，他推翻了牛顿的超距作用假设，该假设认为引力的传播是一瞬间完成的。在相对论中，轨道是时空场的测地线，这样得到的轨道和牛顿学说的预测很接近。这两种理论之间的差别是可以测量出来的。人们设计了一些实验来区分这两个理论，在实验能达到的精度范围内，基本上所有的实验结果都符合相对论的结论。一般而言，两者之间的差别很小，除了超强引力场附近和超高速的情况下。爱因斯坦本人于1915年使用广义相对论解释了水星轨道的反常近日点进动现象，这是相对论效应的第一次理论计算验证。但是，对于大多数短时期的计算，人们通常使用牛顿理论的解法，因为它计算简便而且精度足够高。

## 行星轨道

在一个行星系统内，行星、矮行星、小行星、彗星和空间中的碎片，都以椭圆轨道绕着中心的恒星运转着。有些以抛物线或双曲线轨道绕着中心恒星的彗星，则被认为是未受到这颗恒星的重力束缚住，而不是这个行星系统内的天体。迄今，在太阳系发现轨道明确是双曲线的彗星仅有一例。在行星系统内，如果一对天体的质量中心是在大质量的天体之内，另一个天体便是跟随这这个天体的卫星或人造卫星。

由于相互间的引力摄动，太阳系内行星轨道的扁率会间逐渐变动。水星太阳系内最小的行星，轨道有着最大的扁率，在当前这世纪，火星轨道的扁率是第二大的，轨道扁率最小的则是金星和海王星。

当两个天体互相环绕，近星点是这两个天体彼此最接近的位置，远星点则是这两个天体彼此距离最远的位置。.

在椭圆轨道上，绕行与被绕行系统的质心将在两者轨道的一个焦点上，在另一个焦点上则没有任何物体。当行星接近近星点时，行星的速度将会增加，而在接近远星点时，行星的速度将会降低。

### 了解轨道

简单了解轨道的方法如下：

- 当物体被抛出去时，会向着原先围绕旋转的对象掉落。然而，如果速度够快的话，轨道的弯曲度会使他落在被围绕物体的前方。
- 一种力量，像是重力，会将在直线上飞行的物体拉入弯曲的路径上。
- 当物体掉落时，如果速度够快（有足够的切线速度），便会脱离原先的轨道。使用数学分析来理解是非常有用的，因为物体的运动可以在三度空间座标中用相对于质心的一维震荡来描素。

加农炮发射的例子（见下图），是最常被用来作为行星附近（即地球附近）轨道的说明图。想像一门被架在高山顶上的加农炮，以平行的方向将炮弹发射出去。如果这座山的高度足以超越大气层，便能忽略空气对炮弹所产生的阻力（摩擦力）。

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如果加农炮以一个较低的初速度发射一枚炮弹，这个炮弹的轨迹将向地面弯曲，并在A点落到地面。当发射的初速度增加时，炮弹在地面上的落点变得更远（如B点），这是因为，在炮弹跌向地面的时候，地面也在远离炮弹（相对第一点）。从技术意义上讲，所有这些运动的轨迹都是“轨道”，它们都是围绕地球引力中心椭圆轨道的一部分，当炮弹接触地面时该轨道被打断。但如果炮弹以足够快的速度发射，地面的曲度和炮弹落下的弹道弧度相同时，炮弹便在轨道（C）上运行了。像（D）这样的轨道是圆形的，而如果炮弹发射的速度再增加，轨道便会成为椭圆的（E）或更为椭圆的（F）。当速度增加到所谓的逃逸速度时，轨道便会从椭圆变成为抛物线，炮弹也将飞至无穷远处不再回来。如果速度更快，轨道将会成为双曲线。

一旦进入轨道，航天器需要足够高的速度来维持在大气层外。如果一条椭圆轨道延伸到了稠密大气中，该轨道上的航天器就会逐渐降低速度，并再入大气层。有时候，人们会故意使一个航天器进入大气层，这个过程通常被称为大气制动。

## 牛顿运动定律

在只有两个物体的系统中，它们只会因为自身的重力相互影响着，它们的轨道能用牛顿运动定律和万有引力确实的计算。简单的说，力量的总和就是质量与加速度的乘积，重力正比于质量，而与距离的平方成反比。

在计算上，可以很方便的使用座标系统，将重的物体置于中心（原点），可以说轻的物体在轨道上绕着重的物体运转。

一个静止不动的物体，在距离大质量物体较远时的位能，比较近时要高，因为他将向大质量物体掉落下去。

两个物体的互动，轨道是圆锥曲线，可以是开放（不再返回）或封闭（复回）的轨道，则全看系统动能+位能的总能量。在开放轨道的系统中，在轨道上每一点的速度都会大于在那个点的逃逸速度，而再封闭轨道上每一个点的速度都会低于逃逸速度。

一个开放轨道的形状是双曲线（当轨道速度大于逃逸速度）或是抛物线（当轨道速度等于逃逸速度），这两个物体在轨道上会先彼此接近，当两个物体到达最接近的距离的前后，轨道开始弯曲，然后两个物体再彼此远离。一些来自太阳系外的彗星，就是这种轨道。

封闭轨道的形状是椭圆形，在一些特殊的状况下，环绕的物体与中心保持等距离，也就是轨道是圆形。换言之，像在轨道上最接近地球的点叫作近地点，当围绕着另一个不是地球的天体运转时，最接近的点就可以叫做近星点（近拱点），卫星在轨道上离地球最远的点叫远地点（远星点，也叫做远拱点）。连结近拱点和远拱点的线叫做拱点线（line-of-apsides），这是椭圆的主轴，是椭圆内部最长的部分。

在封闭轨道上的天体经过一定的时间后会在重复他的路线，这就是刻卜勒由经验所获得的定律，可以使用牛顿定律推导出来。这些公式的描述如下：

## 轨道运动分析

$$a_r = \frac{d^2r}{dt^2} - r\left( \frac{d\theta}{dt} \right)^2$$

和

$a_{\theta} = \frac{1}{r}\frac{d}{dt}\left( r^2\frac{d\theta}{dt} \right)$.

因为力是完全径向的，加速度与力成正比，因此横行加速度为0。可以得到,

$\frac{d}{dt}\left( r^2\frac{d\theta}{dt} \right) = 0$.

积分之后可得到

$$r^2\frac{d\theta}{dt} = h$$

对于任意常数h积分有

$$\frac{d\theta}{dt} = { h \over r^2 } = hu^2$$

引入辅助变量

$u = { 1 \over r }$.

如果径向加速度的大小为f(r)，则从运动方程的径向部分中消去时间变量，得：

$\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{f(1 / u)}{h^2u^2}$.

牛顿的万有引力定律说明，这个力与距离的平方成反比：

$$f(1/u) = f(r) = { F(r) \over m } = { GM \over r^2 } = GM u^2$$

其中G是引力常数, m是轨道天体（行星）质量，M是中心天体（太阳）质量。带入前面的等式得到：

$\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{ GM }{h^2}$.

所以对于引力–，或更一般地，对于任何的平方反比律，等式的右面变成了一个常数，and the equation is seen to be the 调和方程（up to a shift of origin of the dependent variable）。

所以，轨道方程为：

$r = \frac{1}{u} = \frac{ h^2 / GM }{1 + e \cos {(\theta - \phi)}} = \frac{\ell}{1 + e \cos {(\theta - \phi)}}$,

其中φ和e是任意的积分常数。

$$\ell = { h^2 \over GM } = a(1-e^2)$$

是半正焦弦，和a是半长轴。这可以视为极坐标（r,θ）中的圆锥曲线的方程。

## 轨道参数

对于一般的椭圆轨道，轴的长度、离心率、最小和最大的距离之间的关系为：

半长轴 = (近拱点 +远拱点)/2 = 极半径

近拱点 = 半长轴× (1 - 偏心率) = 最小距离

远拱点 = 半长轴× (1 +偏心率) = 最大距离

## 轨道衰变

如果轨道的某一部分进入了大气层，它的轨道就会因为拖曳而衰变。每一次通过近心点，这个物体就会与大气摩擦，并且失去能量。每次，物体都是很精确的在动能最大时损失能量，因此轨道的离心率都会降低（更接近圆轨道）。这与摆锤的能量损失会使他在最低点的速度减慢，与最高点的高度降低现象是相似的。在连续不断的作用下，轨道受大气影响的路径一次比一次长，受到的影响也一次比一次明显。最后，作用的影响变得很大，即使以最大动能也不能继续维持轨道在受到大气层拖曳影响的极限之上。当这种情况发生时，物体将迅速的以螺旋形路径下降并与中心物体交会。

大气层边界的变化很大，当太阳极大期时，大气层会产生拖曳作用的高度与太阳极小期时相差达100公里以上。

有些具有良好传导性的卫星也会因为地球磁场的拖曳作用而发生轨道衰变。基本上，金属线切过磁场时，其作用就像发电机一样。金属线会将电子由接近真空的一端移动至接近真空的另一端，轨道能量就会在金属线中转换成热。

轨道可以使用火箭马达在路经中的某一点改变动能而进行人为的改变，这是将化学能或电能转换成动能。以这些方法可以促进轨道的形状和指向的改变。

另一种以人为方法影响轨道的方法是使用太阳帆或磁性帆。这种形式的推力除了来自太阳之外，不需要使用火箭或其他形式的能量输入来推进，因此可以不受限制的使用。可以参考静星（statite）所提出的这一种使用方法。

在同步轨道上环绕中心运转的物体也会因为潮汐力产生轨道衰变。在轨道上的物体因为拖曳使主体产生潮汐隆起，并且因为在同步轨道之中的物体运动得比表面上的物体为快，因此隆起物的移动会滞后一个小的角度。隆起物的重力因而会在卫星的主轴上延著运动方向产生一个微小的分量。隆起的近端会使卫星减速得比远端造成的加速还大，结果使得轨道衰变。反过来说，卫星给了隆起物一个扭矩，并且加速了他的自转。人造卫星相对于行星来说是太微小了，因此对行星的潮汐效应影响不了轨道，但是在太阳系内有些卫星在这种机制下遭受过潮汐力造成的轨道衰变。火星最内侧的卫星弗伯斯是一个最好的例子，在五千万年内不是将撞击至火星的表面，就是将被破坏而形成一个环带。

最后，轨道还会因为重力波的辐射而衰变。这个机制对绝大多数的天体都是极端微弱的，只有在很巨大的质量和加速度的结合下，例如一对密接的黑洞或中子星互绕的情况下，才会显现出来。

## 地球轨道

- 近地轨道
- 高椭圆轨道
- 地球同步轨道
- 对地静止轨道
- 对地静止转移轨道
- 极轨道
- 太阳同步轨道

## 重力的测量

重力常数G被测定的值为：

- (6.6742 ± 0.001）× 10−11 N·m²/kg²
- (6.6742 ± 0.001) × 10−11 m³/（kg·s²）
- (6.6742 ± 0.001) × 10−11 (kg/m³)-1s-2.

因此这个常数的因次是密度-1时间-2，这对应于以下的性质。

距离的定标（包括物体的大小、维持相同的密度）给予相似的轨道，而毋须顾虑到时间：举个例子，如果距离被减半，质量为八分之一，重力是16分之一，而重力加速度是二分之一，因此轨道周期维持不变。相似的，当一个物体由塔下坠，它落到地面所需的时间，由塔的尺度或地球的尺度测量都是一样的。

当所有的密度是原来的四倍，若在相同的轨道上，则速度会加倍。

当所有的密度是原来的四倍，但所有的尺寸都减半，轨道还是相同的，有着一样的轨道速度。

这些性质可以由下面的公式来解释。

$$GT^2 \sigma = 3\pi \left( \frac{a}{r} \right)^3,$$

对一个半长轴为a的椭圆轨道，一个小物体绕着半径为r，平均密度为σ的球体，T是轨道周期。

## 在原子学说演化中的角色

当探测原子结构的实验在20世纪初期进行时，早期的原子图像在库仑力而不是重力的约束下被描绘成微型的太阳系。这与电动力学的论述不符，但是承袭这种图像导出了精力充沛的电子状态必须被限制在波函数的轨道上，因此模型进一步的导致量子论的发展。

## 外部链接

- An on-line orbit plotter: https://web.archive.org/web/20060207080804/http://www.bridgewater.edu/departments/physics/ISAW/PlanetOrbit.html
- Orbital Mechanics（Rocket and Space Technology）
- 受不同种类的力作用下的运行规迹 (Java模拟)