泰勒级数

在数学中，泰勒级数（Taylor series，Taylor expansion）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式和泰勒展开的英国数学家布鲁克·泰勒（Sir Brook Taylor）来命名的。麦克劳林级数，以苏格兰数学家科林·麦克劳林（Colin Maclaurin）的名字命名。

拉格朗日在1797年之前，最先提出带有余项的现在形式的泰勒定理。实际应用中，泰勒级数需要截断，只取有限项，可以用泰勒定理估算这种近似的误差。一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒多项式。一个函数的泰勒级数是其泰勒多项式的极限（如果存在极限）。即使泰勒级数在每点都收敛，函数与其泰勒级数也可能不相等。在开区间（或复平面上的开区间）上，与自身泰勒级数相等的函数称为解析函数。

## 定义

在数学上，对于一个在实数或复数$a$邻域上，以实数作为变量或以复数作为变量的函数，并且是无穷可微的函数$f(x)$，它的泰勒级数是以下这种形式的幂级数：

$$\sum_{n=0}^{\infty} \cfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}$$

这里，$n!$表示$n$的阶乘，而$f^{(n)}(a)\,\!$表示函数$f$在点$a$处的$n$阶导数。如果$a=0$，也可以把这个级数称为麦克劳林级数。

## 解析函数

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如果泰勒级数对于区间$(a-r,a+r)$中的所有$x$都收敛并且级数的和等于$f(x)$，那么我们就称函数$f(x)$为解析形的函数（analytic）。一个函数当且仅当（简单地说，“只有在且只要在”）能够被表示为幂级数的形式时，才是解析形的函数。通常会用泰勒定理来估计级数的余项，这样就能够确定级数是否收敛于$f(x)$。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。

以下三个事实可以说明为什么泰勒级数是十分重要的：

- 可以逐项对幂级数的计算微分和积分，因此求和函数相对比较容易。
- 数学家因此能够在复数平面上研究函数，因为一个解析函数，也可以被定义为在复平面中一个开放的区间内的解析函数(在区间内每一个点上都能被微分的函数)。
- 可用泰勒级数估计，在某一点上函数会计算出什么值。

对于一些无穷的可以被微分函数$f(x)$，虽然它们的展开式会收敛，但是并不等于$f(x)$。例如，分段函数$f(x) = \exp \left(- \cfrac{1}{x^2} \right)$，如果$x \ne 0$并且$f(0)=0$，则$x=0$时所有的导数都为零，所以这个$f(x)$的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，不过函数$f(x)$仅在$x=0$处为零。但是，在以复数作为变量的函数中这个问题并不存在，因为当$z$沿虚轴趋于零，$\exp \left(- \cfrac{1}{z^2} \right)$并不趋于零。

如果一个函数在某处引发一个奇点，它就无法被展开为泰勒级数，不过如果变量$x$是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，虽然在$x=0$的时候，$f(x) = \exp \left(- \cfrac{1}{x^2} \right)$会引发奇点，但仍然能够把这个函数展开为一个洛朗级数。

最近，专家们发现了一个用泰勒级数来求解微分方程的方法——Parker-Sochacki method。用皮卡反复运算便可以推导出这个方法。

## 常用的函数:麦克劳林级数

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下面我们给出了几个重要的麦克劳林级数。当变量$x$是复数时，这些等式依然成立。

### 几何级数

由无穷递缩等比数列求和式:$\cfrac{1}{1-x} = \sum^{\infty}_{n=0} x^n= 1+ x +x^2+ \cdots +x^n +\cdots \quad \forall x: \left| x \right| < 1$

### 二项式级数

$$(1+x)^\alpha = \sum^{\infty}_{n=0} \binom{\alpha}{n} x^n= 1+ \alpha x + \cfrac{\alpha (\alpha -1)}{2!} x^2 + \cdots + \cfrac{\alpha (\alpha -1) \cdots (\alpha - n +1)}{n!} x^n + \cdots$$

$$\forall x: \left| x \right| < 1, \forall \alpha \in \mathbb{C}$$

广义二项式系数$\binom{\alpha}{n}= \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$。

### 指数函数和自然对数

以$e$为底数的指数函数的麦克劳林级数是

$e^{x} = \sum^{\infty}_{n=0} \cfrac{x^n}{n!}= 1 + x + \cfrac{x^2}{2!} + \cfrac{x^3}{3!} + \cdots +\cfrac{x^n}{n!} +\cdots \quad \forall x$ （对所有$x$都成立）

以$e$为底数的自然对数的麦克劳林级数是

$\ln(1-x) = - \sum^{\infty}_{n=1} \frac{x^n}n = -x - \frac{x^2}2 - \frac{x^3}3 - \cdots \quad \forall x\in [-1,1)$ （对于在区间-1,1)内所有的$x$都成立）

$\ln(1+x) = \sum^{\infty}_{n=1} {(-1)^{n+1}}\cfrac {x^n}n = x - \cfrac{x^2}2 + \cfrac{x^3}3 - \cdots + (-1)^{n+1} \cfrac{x^n} n +\cdots \quad \forall x\in (-1,1]$ （对于在区间(-1,1内所有的$x$都成立）

### 三角函数

常用的三角函数可以被展开为以下的麦克劳林级数：

$$\begin{align} \sin x &= \sum^{\infty}_{n=0} \cfrac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} &&= x - \cfrac{x^3}{3!} + \cfrac{x^5}{5!} - \cdots && \forall x\\[6pt] \cos x &= \sum^{\infty}_{n=0} \cfrac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} &&= 1 - \cfrac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots && \forall x\\[6pt] \tan x &= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n \left(1-4^n\right)}{(2n-1)!} x^{2n-1} &&= x + \cfrac{x^3}{3} + \cfrac{2 x^5}{15} + \cdots && \forall x:|x| < \cfrac{\pi}{2}\\[6pt] \sec x &= \sum^{\infty}_{n=0} \cfrac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} &&=1+\cfrac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+\cdots && \forall x:|x| < \cfrac{\pi}{2}\\[6pt] \arcsin x &= \sum^{\infty}_{n=0} \cfrac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} &&=x+\cfrac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+\cdots && \forall x:|x| \le 1\\[6pt] \arccos x &=\cfrac{\pi}{2}-\arcsin x\\&=\cfrac{\pi}{2}- \sum^{\infty}_{n=0} \cfrac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}&&=\cfrac{\pi}{2}-x-\cfrac{x^3}{6}-\cfrac{3x^5}{40}+\cdots&& \forall x:|x| \le 1\\[6pt] \arctan x &= \sum^{\infty}_{n=0} \cfrac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} &&=x-\frac{x^3}{3} + \cfrac{x^5}{5}-\cdots && \forall x:|x| \le 1,\ x\neq\pm i \end{align}$$

在$\tan(x)$展开式中的Bk是伯努利数。在$\sec(x)$展开式中的Ek是欧拉数。

### 双曲函数

$$\sinh x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad \forall x$$

$$\cosh x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad \forall x$$

$$\tanh x = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad \forall x: \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$$

$$\sinh^{-1} x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad \forall x: \left| x \right| < 1$$

$$\tanh^{-1} x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad \forall x: \left| x \right| < 1$$

$\tanh(x)$展开式中的Bk是伯努利数。

### 朗伯W函数

$$W_0(x) = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad \forall x: \left| x \right| < \frac{1}{e}$$

## 多元函数的展开

泰勒级数可以推广到有多个变量的函数：

$$\sum_{n_1=0}^{\infty} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infty} \frac{\partial^{n_1+\cdots+n_d}}{\partial x_1^{n_1}\cdots\partial x_d^{n_d}} \frac{f(a_1,\cdots,a_d)}{n_1!\cdots n_d!} (x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}$$

## 历史

希腊哲学家芝诺在考虑了利用无穷级数求和来得到有限结果的问题，得出不可能的结论 - 芝诺悖论。后来，亚里士多德对芝诺悖论在哲学上进行了反驳，但德谟克利特以及后来的阿基米德进行研究，此部分数学内容才得到解决。正是用了阿基米德的穷竭法才使得一个无穷级数被逐步的细分，得到了有限的结果。几个世纪之后，中国数学家刘徽也独立提出了类似的方法。

进入14世纪，马德哈瓦最早使用了泰勒级数以及相关的方法。尽管他的数学著作没有流传下来，但后来印度数学家的著作表明他发现了一些特殊的泰勒级数，这些级数包括正弦、余弦、正切、和反正切三角函数等等。之后，喀拉拉学派在他的基础上进行了一系列的延伸与合理逼近，这些工作一直持续到16世纪。

到了17世纪，詹姆斯·格雷果里同样继续着这方面的研究并且发表了若干麦克劳林级数。但是直到1715年，布鲁克·泰勒 提出了一个通用的方法来构建适用于所有函数的此类列级数。这就是后来被人们所熟知的泰勒级数。

麦克劳林级数是泰勒级数的特例，是爱丁堡大学的科林·麦克劳林教授在18世纪发表的，并以其名字命名。

## 与牛顿插值公式的渊源

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牛顿插值公式也叫做牛顿级数，由“牛顿前向差分方程”的项组成，得名于伊萨克·牛顿爵士，最早发表为他在1687年出版的《自然哲学的数学原理》中第三编“宇宙体系”的引理五，此前詹姆斯·格雷果里于1670年和牛顿于1676年已经分别独立得出这个成果。一般称其为连续“泰勒展开”的离散对应。

### 差分

对于x值间隔为非一致步长，牛顿计算均差，对x值间隔为单位步长1或一致但非单位量的情况，计算差分，前向差分的定义为：

$$\begin{align} \Delta_h^1[f](x) &= f(x + h) - f(x) \\ \Delta^n_h[f](x) &= \Delta_h^{n-1}[f](x+h) -\Delta_h^{n-1}[f](x) \\ \end{align}$$

### 插值公式

牛顿前向差分插值公式为：

$$\begin{align} f(x) &= f(a) + \cfrac {x-a} {h} \left( \Delta_h^1[f](a) + \frac {x-a-h} {2h}\left(\Delta_h^2[f](a) + \cdots \right) \right) \\ <pre> &= f(a) + \sum_{k=1}^n \frac{\Delta_h^k[f](a)}{k!h^k} \prod_{i=0}^{k-1} ((x-a)-ih) \\ </pre> \end{align}$$

这成立于任何多项式函数和大多数但非全部解析函数。

### 无穷级数

牛顿在1665年得出并在1671年写的《流数法》中发表了$\ln(1+x)$的无穷级数，在1666年得出了$\arcsin(x)$和$\arctan(x)$的无穷级数，在1669年的《分析学》中发表了$\sin(x)$、$\cos(x)$、$\arcsin(x)$和$e^x$的无穷级数；莱布尼茨在1673年大概也得出了$\sin(x)$、$\cos(x)$和$\arctan(x)$的无穷级数。布鲁克·泰勒在1715年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa》中研讨了有限差分法，其中论述了他在1712年得出的泰勒定理，这个成果此前詹姆斯·格雷果里在1670年和莱布尼茨在1673年已经得出，而约翰·伯努利在1694年已经在《教师学报》发表。

他对牛顿的均差分的步长取趋于$0$的极限，得出：

$$\begin{align} f(x) &= f(a) + \lim_{h \to 0}\sum_{k=1}^\infty \frac{\Delta_h^k[f](a)}{k!h^k} \prod_{i=0}^{k-1} ((x-a)-ih) \\ <pre> &= f(a) + \sum_{k=1}^\infty \frac{d^k}{dx^k}f(a) \frac{(x-a)^k}{k!} \\ </pre> \end{align}$$