完全数

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完全数（perfect number），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数：它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和，恰好等于它本身，完全数不可能是楔形数、平方数、佩尔数或费波那契数。

例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3，恰好等于本身。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14，也恰好等于本身。后面的数是496、8128。

十进制的5位数到7位数、9位数、11位数、13到18位数等位数都没有完全数，它们不是亏数就是盈数。

## 完全数的发现

古希腊数学家欧几里得是通过$2^{n-1} \times(2^n-1)$ 的表达式发现前四个完全数的。

当$n=2:$2^1*(2^2-1)

当$n=3:$2^2*(2^3-1)

当$n=5:$2^4*(2^5-1)

当$n=7:$2^6*(2^7-1)

一个偶数是完美数，当且仅当它具有如下形式：$2^{n-1}(2^n-1)$，其中$2^n-1$是素数，此事实的充分性由欧几里得证明，而必要性则由欧拉所证明。

比如，上面的$6$和$28$对应着$n=2$和$3$的情况。我们只要找到了一个形如$2^n-1$的素数（即梅森素数），也就知道了一个偶完美数。

尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是$12n+1$或$36n+9$的形式，其中$n$是整数。

首十个完全数是（A000396）：

- 6（1位）
- 28（2位）
- 496（3位）
- 8128（4位）
- 33550336（8位）
- 8589869056（10位）
- 137438691328（12位）
- 2305843008139952128（19位）
- 2658455991569831744654692615953842176（37位）
- 191561942608236107294793378084303638130997321548169216（54位）

## 历史

古代数学家根据当时已知的四个完全数做了很多假设，大部分都是错误的。其中的一个假设是：因为 2、3、5、7 恰好是头 4 个素数，第 5 个完全数应该是第 5 个素数，即当 $n=11$ 的时候，可是 $2^{11}-1=23 \times 89$ 并不是素数。因此 $n=11$ 不是完全数。另外两个错误假设是：

- 头四个完全数分别是 1、2、3、4 位数，第五个应该是 5 位数。
- 完全数应该是交替以 6 或 8 结尾。

事实上，第五个完全数 $33550336=2^{12}(2^{13}-1)$ 是 $8$ 位数。

对于第二个假设，第五个完全数确实是以 $6$ 结尾，但是1588年，意大利数学家彼得罗·卡塔尔迪计出第六个完全数 $8589869056$，仍是以 $6$ 结尾，只能说欧几里得的公式给出的完全数以 $6$ 和 $8$ 结尾。卡塔尔迪证明了此结论。此外，还计出第七个完全数137,438,691,328。

对完全数的研究，至少已经有两千多年的历史。《几何原本》中就提出了寻求某种类型完全数的问题。

每一个梅森素数给出一个偶完全数；反之，每个偶完全数给出一个梅森素数，这结果称为欧几里得－欧拉定理。共发现了52个完全数，且都是偶数。最大的已知完全数为$2^{136279840} \times (2^{136279841}-1)$共有$82048640$位数。

## 性质

以下是目前已发现的完全数共有的性质。

- 偶完全数都是以6或28结尾。
- 如果存在奇完全数，它在十二进制中必定以1, 09, 39, 69或99结尾。
- 而如果存在奇完全数，它在六进制中必定以01, 13, 21或41结尾。
- 除了6以外的偶完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是1：

```
<math> 28</math> → <math>2+8=10</math> → <math>1+0=1</math>
<math>496</math> → <math>4+9+6=19</math> → <math>1+9=10</math> → <math>1+0=1</math>
```

- 所有的偶完全数都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和，从$2^{p-1}$到$2^{2p-2}$：

```
<math>6=2^1+2^2</math>
<math>28=2^2+2^3+2^4</math>
<math>496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8</math>
<math>8128=2^6+2^7+...+2^{12}</math>
```

```
<math>6=1+2+3</math>
<math>28=1+2+3+4+5+6+7</math>
<math>496=1+2+3+...+30+31</math>
<math>8128=1+2+3+...+126+127</math>
```

- 除6以外的偶完全数，还可以表示成连续奇立方数之和（被加的项共有$\sqrt{2^{p-1}}$)这是因为$1^3+3^3+5^3+\cdots+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)$。

```
<math>28=1^3+3^3</math>
<math>496=1^3+3^3+5^3+7^3</math>
<math>8128=1^3+3^3+5^3+...+15^3</math>
<math>33550336=1^3+3^3+5^3+...+127^3</math>
```

- 每个完全数的所有约数（包括本身）的倒数之和，都等于2：（这可以用通分证得。因此每个完全数都是欧尔调和数。）

```
<math>\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} =\frac{6+3+2+1}{6}= 2</math>
<math>\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{7} + \frac{1}{14} + \frac{1}{28} = \frac{28+14+7+4+2+1}{28}=2</math>
```

- 它们的二进制表达式也很有趣：（因为偶完全数形式均如$2^{n-1}(2^n-1)$，所以左边的１数量永远比右边的０多１个）

```
<math>(6)_{10}=(110)_2</math>
<math>(28)_{10}=(11100)_2</math>
<math>(496)_{10}=(111110000)_2</math>
<math>(8128)_{10}=(1111111000000)_2</math>
<math>(33550336)_{10}=(1111111111111000000000000)_2</math>
<math>(8589869056)_{10}=(111111111111111110000000000000000)_2</math>
<math>(137438691328)_{10}=(1111111111111111111000000000000000000)_2</math>
```

- 有趣的是，以繁体字书写“完全数”刚好是28划。

## 奇完全数

截至2024年6月30日，用计算机已经证实：在102200以下，没有奇完全数；至今还证明了，如果奇完全数存在，则它至少包含11个不同素数（包含一个不少于7位数的质因子）但不包含3，亦不会是立方数。一般猜测奇完全数是不存在的；完全数是否有无限多个也至今未能证明。

美国数学家卡尔·帕梅朗斯提出了一个想法说明奇完全数不太可能存在。

### 奇完全数的部分条件

- N > 102200

$$N=q^{\alpha} p_1^{2e_1} \ldots p_k^{2e_k},$$

其中：

- q，p1，…，pk是不同的素数（Euler）。
- q ≡ α ≡ 1 (mod 4)（Euler）。
- N的最小素因子必须小于$\frac{k-1}{2}.$。
- $e_1$≡$e_2$...≡$e_k$ ≡ 1（mod 3）的关系不能满足（McDaniel 1970）。
- 要么qα > 1062，要么对于某个j有$p_j^{2e_j}$ > 1062。
- $N < 2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}$
- N必须可以写成12n+1，468n+117或324n+81（n为整数）的形式。
- N不能被105整除。
- N的最大素因子必须大于108，并低于 $(3N)^{1/3}$。
- N的第二大素因子必须大于104，并低于$(2N)^{1/5}$。
- N的第三大素因子必须大于100。
- N至少要有101个素因子，其中至少10个是不同的。如果3不是素因子之一，则至少要有12个不同的素因子。
- 如果对于所有的i，都有$e_i$ ≤ 2，那么：
- N的最小素因子必须大于739（Cohen 1987）。
- α ≡ 1（mod 12）或α ≡ 9 (mod 12)（McDaniel 1970）。

### 图查德定理

这个定理说明若存在奇完全数，其形式必如$12m+1$或$36q+9$。最初的证明在1953年由雅克·图查德首先证明，1951年巴尔塔萨·范德波尔用非线性偏微分方程得出证明。茱蒂·霍尔德纳在《美国数学月刊》第109卷第7期刊证了一个初等的证明。

证明会使用这四个结果：（下面的n,k,j,m,q均为正整数）

- 欧拉证明了奇完全数的形式必如$4j+1$。
- $\sigma(n)$表示$n$的正因数之和。完全数的定义即为$2n = \sigma(n)$。$\sigma(n)$为积性函数
- 引理（甲）：若$n=6k-1$（$k$是正整数），则$n$非完全数。
- 引理（乙）：若$n=4k-1$（$k$是正整数），则$n$非完全数。

引理的证明（甲）：

使用反证法，设$n$为完全数，且$n \equiv -1 \pmod{6}$。

$n \equiv -1 \pmod{3}$。因为3的二次剩余只有0,1，故$n$非平方数，因此其正因数个数为偶数。

$n$有正因数$d$，则可得：

$d \equiv 1 \pmod{3}$且$n/d \equiv -1 \pmod{3}$；或

$d \equiv -1 \pmod{3}$且$n/d \equiv 1 \pmod{3}$。

因此，$(n/d + d) \equiv 0 \pmod{3}$。故$\sigma(n) = \sum_{ d < \sqrt{n} } d + n/d \equiv 0 \pmod{3}$。

但$2n \equiv 2(-1) \equiv 1 \pmod{3}$，矛盾。

故$n$的形式只可能为$6k+1$或$6k+3$。

引理的证明（乙）：

使用反证法，设$n$为完全数，且$n \equiv -1 \pmod{4}$。

$n \equiv -1 \pmod{4}$。因为4的二次剩余只有0,1，故$n$非平方数，因此其正因数个数为偶数。

$n$有正因数$d$，则可得：

$d \equiv 1 \pmod{4}$且$n/d \equiv -1 \pmod{4}$；或

$d \equiv -1 \pmod{4}$且$n/d \equiv 1 \pmod{4}$。

因此，$(n/d + d) \equiv 0 \pmod{4}$。故$\sigma(n) = \sum_{ d < \sqrt{n} } d + n/d \equiv 0 \pmod{4}$。

但$2n \equiv 2(-1) \equiv 2 \pmod{4}$，矛盾。

故$n$的形式只可能为$4k+1$。

若$n=6k+1$，根据欧拉的结果，$n=4j+1$，综合两者，得$n=12m+1$。

若$n=6k+3$，$n=4j+1$，得$n=12m+9=3(4m+3)$。若$m$非3的倍数，3和$4m+3$互质。

因为$\sigma(n)$为积性函数，可得$\sigma(n)=\sigma(3) \sigma(4m+3) = 4 \sigma(4m+3) \equiv 0 \pmod{4}$。

但$2n=2(4j+1) \equiv 2 \pmod{4}$，出现了矛盾。故知$m$是3的倍数。代入$m=3q$，可得$n=36q+9$。

## 参考

- Odd Perfect Numbers, Gagan Tara Nanda

## 外部链接

- David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers
- Perfect numbers – History and Theory
- OddPerfect.org A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers.
- Great Internet Mersenne Prime Search
- Perfect Numbers, math forum at Drexel.