佩尔方程

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若一个丢番图方程具有以下的形式：

$$x^2 - ny^2= 1$$

且$n$为正整数，则称此二元二次不定方程为佩尔方程（英文：Pell's equation；德文：Pellsche Gleichung），以英国数学家Q471794命名。

若$n$是完全平方数，则这个方程式只有平凡解$(\pm 1, 0)$（实际上对任意的$n$，$(\pm 1, 0)$都是解）。对于其余情况，拉格朗日证明了佩尔方程总有非平凡解。而这些解可由$\sqrt{n}$的连分数求出。

## 佩尔方程的解

设$\tfrac{p_i}{q_i}$ 是$\sqrt{n}$的连分数表示：$[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots ]$的渐近分数列，由连分数理论知存在$i$使得(pi,qi)为佩尔方程的解。取其中最小的$i$，将对应的 (pi,qi)称为佩尔方程的基本解，或最小解，记作(x1,y1)，则所有的解(xi,yi)可表示成如下形式：

$x_i + y_i\sqrt n = (x_1 + y_1\sqrt n)^i$。

或者由以下的递回关系式得到：

$$\displaystyle x_{i+1} = x_1 x_i + n y_1 y_i,$$

$\displaystyle y_{i+1} = x_1 y_i + y_1 x_i$。

## 例子

### 标准型

$\displaystyle x^2 - 7 y^2 = 1$。

首先根据根号7的渐进连分数表示，找出前几项，察看（分子，分母）是否是一组解。

第一项：$\tfrac{h}{k} = \tfrac{2}{1}$，$h^2 - 7 k^2 = -3,\,\!$不是解。

第二项：$\tfrac{h}{k} = \tfrac{3}{1}$，$h^2 - 7 k^2 = 2,\,\!$不是解。

第三项：$\tfrac{h}{k} = \tfrac{5}{2}$，$h^2 - 7 k^2 = -3,\,\!$不是解。

第四项：$\tfrac{h}{k} = \tfrac{8}{3}$，$h^2 - 7 k^2 = 1.\,\!$是解。于是最小解是(8,3)。计算$x_1 + y_1\sqrt n$的各次乘方，或者用递推公式（不能直接得出某一项）就可以得到接下来的各组解

$$x_n=\frac{(8+3\sqrt{7})^n+(8-3\sqrt{7})^n}{2},y_n=\frac{(8+3\sqrt{7})^n-(8-3\sqrt{7})^n}{2\sqrt{7}}$$

(x,y)=(8,3)、 (127,48)、 (2024,765)、 (32257,12192)、 (514088,194307)、 (8193151,3096720)、 (130576328,49353213) ......

### 非标准型

- 对于方程$x^2-ny^2=k$，利用婆罗摩笈多-斐波那契恒等式找出方程解。

$$(x_1^2 - Ny_1^2)(x_2^2 - Ny_2^2) = (x_1x_2 + Ny_1y_2)^2 - N(x_1y_2 + x_2y_1)^2 = (x_1x_2 - Ny_1y_2)^2 - N(x_1y_2 - x_2y_1)^2$$

例如$x^2-7y^2=2$有解(3,1)。

$r^2-7s^2=1$时，有$2=(3r+7s)^2-7(3s+r)^2=(3r-7s)^2-7(3s-r)^2$

(r,s)=(8,3)、 (127,48)、 (2024,765)、 (32257,12192)、 (514088,194307)、 (8193151,3096720)、 (130576328,49353213) ......

(x,y)=(3,1)、 (45,17)、 (717,271)、 (11427,4319)、 (182115,68833)、 (2902413,1097009)、 (46256493,17483311) ......

- 对于方程$ax^2-by^2=c$，两边乘上a，求出$(ax)^2-aby^2=ac$的解。

例如$5x^2-2y^2=3$有解(1,1)。

设$z=5x$，$(5x)^2-10y^2=z^2-10y^2=15$

$r^2-10s^2=1$时，有$15=(5r+10s)^2-10(5s+r)^2=(5r-10s)^2-10(5s-r)^2$

(r,s)=(19,6)、 (721,228)、 (27379,8658)、 (1039681,328776)、 (39480499,12484830) ......

(z,y)=(5,1)、 (35,11)、 (155,49)、 (1325,419)、 (5885,1861)、 (50315,15911)、 (223475,70669) ......

(x,y)=(1,1)、 (7,11)、 (31,49)、 (265,419)、 (1177,1861)、 (10063,15911)、 (44695,70669) ......

## 与代数数论的联系

佩尔方程与代数数理论有紧密联系，因为公式$x^2 - n y^2 = (x + y\sqrt n)(x - y\sqrt n)$给出了环$\mathbb{Z}[\sqrt{n}]$（即二次域$\mathbb{Z}(\sqrt{n})$）上的范数。因此(x,y)是佩尔方程的解当且仅$x+y \sqrt{n}$的范数是一，即是域上的一个单元。根据狄利克雷单位定理，$\mathbb{Z}[\sqrt{n}]$的所有单元都可以表示为同一个基本单元的乘方形式。这就是说一个佩尔方程的所有的解都是一个基本解的乘方。单元总可以通过解一个类似佩尔方程而得到，但这时的基本解并不一定就是基本单元。

## 与切比雪夫多项式的联系

佩尔方程和切比雪夫多项式有内在的联系：若Ti (x)和Ui (x)分别是第一类和第二类切比雪夫多项式的相应项，那么它们是佩尔形式方程$T_i^2 - (x^2-1) U_{i-1}^2 = 1$的解。于是第一类和第二类切比雪夫多项式可以通过展开基本解的乘方得到。

$T_i + U_{i-1} \sqrt{x^2-1} = (x + \sqrt{x^2-1})^i$。

进一步有：如果(xi,yi)是佩尔方程的第i个解，那么

xi = Ti (x1)

yi = y1Ui - 1(x1)。

## 佩尔方程的最小解

n｜x｜y｜n｜x｜y｜n｜x｜y｜n｜x｜y

1｜-｜-｜33｜23｜4｜65｜129｜16｜97｜62809633｜6377352

2｜3｜2｜34｜35｜6｜66｜65｜8｜98｜99｜10

3｜2｜1｜35｜6｜1｜67｜48842｜5967｜99｜10｜1

4｜-｜-｜36｜-｜-｜68｜33｜4｜100｜-｜-

5｜9｜4｜37｜73｜12｜69｜7775｜936｜101｜201｜20

6｜5｜2｜38｜37｜6｜70｜251｜30｜102｜101｜10

7｜8｜3｜39｜25｜4｜71｜3480｜413｜103｜227528｜22419

8｜3｜1｜40｜19｜3｜72｜17｜2｜104｜51｜5

9｜-｜-｜41｜2049｜320｜73｜2281249｜267000｜105｜41｜4

10｜19｜6｜42｜13｜2｜74｜3699｜430｜106｜32080051｜3115890

11｜10｜3｜43｜3482｜531｜75｜26｜3｜107｜962｜93

12｜7｜2｜44｜199｜30｜76｜57799｜6630｜108｜1351｜130

13｜649｜180｜45｜161｜24｜77｜351｜40｜109｜158070671986249｜15140424455100

14｜15｜4｜46｜24335｜3588｜78｜53｜6｜110｜21｜2

15｜4｜1｜47｜48｜7｜79｜80｜9｜111｜295｜28

16｜-｜-｜48｜7｜1｜80｜9｜1｜112｜127｜12

17｜33｜8｜49｜-｜-｜81｜-｜-｜113｜1204353｜113296

18｜17｜4｜50｜99｜14｜82｜163｜18｜114｜1025｜96

19｜170｜39｜51｜50｜7｜83｜82｜9｜115｜1126｜105

20｜9｜2｜52｜649｜90｜84｜55｜6｜116｜9801｜910

21｜55｜12｜53｜66249｜9100｜85｜285769｜30996｜117｜649｜60

22｜197｜42｜54｜485｜66｜86｜10405｜1122｜118｜306917｜28254

23｜24｜5｜55｜89｜12｜87｜28｜3｜119｜120｜11

24｜5｜1｜56｜15｜2｜88｜197｜21｜120｜11｜1

25｜-｜-｜57｜151｜20｜89｜500001｜53000｜121｜-｜-

26｜51｜10｜58｜19603｜2574｜90｜19｜2｜122｜243｜22

27｜26｜5｜59｜530｜69｜91｜1574｜165｜123｜122｜11

28｜127｜24｜60｜31｜4｜92｜1151｜120｜124｜4620799｜414960

29｜9801｜1820｜61｜1766319049｜226153980｜93｜12151｜1260｜125｜930249｜83204

30｜11｜2｜62｜63｜8｜94｜2143295｜221064｜126｜449｜40

31｜1520｜273｜63｜8｜1｜95｜39｜4｜127｜4730624｜419775

32｜17｜3｜64｜-｜-｜96｜49｜5｜128｜577｜51