射影几何

在数学里，投影几何（projective geometry）研究在投影变换下不变的几何性质。与初等几何不同，投影几何有不同的设定、射影空间及一套基本几何概念。直觉上，在一特定维度上，投影空间比欧氏空间拥有“更多”的点，且允许透过几何变换将这些额外的点（称之为无穷远点）转换成传统的点，反之亦然。

投影几何中有意义的性质均与新的变换概念有关，此一变换比透过变换矩阵或平移（仿射变换）表示的变换更为基础。对几何学家来说，第一个问题是要找到一个足以描述这个新的想法的几何语言。不可能在投影几何内谈论角，如同在欧氏几何内谈论一般，因为角并不是个在投影变换下不变的概念，如在透视图中所清楚看到的一般。投影几何的许多想法来源来自于对透视图的理论研究。另一个与初等几何不同之处在于，平行线可被认为会在无穷远点上交会，一旦此一概念被转换成投影几何的词汇之后。这个概念在直观上，正如同在透视图上会看到铁轨在水平线上交会一般。有关投影几何在二维上的基本说明，请见投影平面。

虽然这些想法很早以前便已存在，但投影几何的发展主要还是到19世纪才开始。大量的研究使得投影几何变成那时几何的代表学科。当使用复数的坐标（齐次坐标）时，即为研究复投影空间之理论。一些更抽象的数学（包括不变量理论、代数几何意大利学派，以及菲利克斯·克莱因那导致古典群诞生的爱尔兰根纲领）都建立在投影几何之上。此一学科亦吸引了许多学者，在综合几何（synthetic geometry）的旗帜之下。另一个从投影几何之公理化研究诞生的领域为有限几何。

投影几何的领域又可细分成许多的研究领域，其中的两个例子为投影代数几何（研究投影簇）及投影微分几何（研究投影变换的微分不变量）。

## 概述

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投影几何是一种没有度量的几何形式，这意味着投影几何不具有距离的概念。在二维空间里，投影几何从点与直线的配置 (几何)开始研究。在此一少许的设定中，吉拉德·笛沙格与其他人在研究透视图的原则之中，发现了投影几何一些有趣的几何性质。在更高维空间里，则可考虑超平面，及具有对偶的其他线性子空间。对对偶最简单的描述，可参考投影平面中，“两个不同的点可决定唯一条线”（即通过两点的线）以及“两条不同的线可决定唯一个点”（即两条线的交点），这两个命题所拥有的相同结构。投影几何亦可被视为只使用直尺建构的几何。因为投影几何排除了圆规的建构，所有不存在圆、角、量测、平行及其他中间的概念。可以理解，在投影几何内成立的定理都是较为简单的陈述。例如，各种圆锥曲线在（复数）投影几何中都是相等的，且一些与圆有关的定理可被视为这些较一般之定理的特例。

19世纪初期，让-维克托·彭赛列及拉札尔·卡诺等人让投影几何成为数学的一门独立领域。投影几何严格的理论基础由卡尔·冯·施陶特建立，并由朱塞佩·皮亚诺、玛利欧·派埃利（Mario Pieri）、亚力山卓·帕多阿（Alessandro Padoa）及基诺·法诺（Gino Fano）于19世纪末完备。投影几何与仿射几何及欧氏几何，都可以由菲利克斯·克莱因的爱尔兰根纲领中建构起来；投影几何以在投影群的变换下不变为其特征。

在大量的定理完成之后，投影几何的基础因此变得清晰。重合结构及交比都是在投影变换下的基本不变量。投影几何可利用仿射平面（或仿射空间）加上在无穷远的一条线（超平面）进行建模，并将此线（或超平面）视为“一般”。以解析几何风格做出投影几何的代数模型，会用到齐次坐标。另一方面，公理化的研究亦揭露了非笛沙格平面的存在，可用来证明关联公理可由不能透过齐次坐标系统推导之结构（只在二维上）建模。

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基本上，投影几何及有序几何因为包含的公理最少，可被视为是基本的，且可作为仿射几何与欧氏几何的基础。投影几何不是“有序”的，所以两者是完全不同的几何基础。

## 历史

第一个具投影性质的几何性质于公元3世纪由帕普斯所发现。菲利波·布鲁内莱斯基（1404年-1472年）于1425年开始研究透视的几何结构（对于美术如何推动大部分投影几何的发展，可参见透视图的历史）。约翰内斯·开普勒（1571年-1630年）及吉拉德·笛沙格（1591年-1661年）独立发展出“无穷远点”这个重要概念。笛沙格概括消失点的用途，纳入无穷远时的情形，发展出建构透视图的另一种方法。他让平行线确实平行的欧氏几何成为所有可能的几何系统都会有的特例。笛沙格对圆锥曲线的研究吸引了当时16年的布莱兹·帕斯卡之注意，并协助他公式化帕斯卡定理。加斯帕尔·蒙日于18世纪末、19世纪初作出的研究对投影几何的后续发展非常重要。笛沙格的工作一直被世人忽视，直到米歇尔·沙勒于1845年偶然发现了一本手抄本。同时，让-维克托·彭赛列于1822年发表了投影几何的基础论述。彭赛列将物件的投影性质分离成不同类型，并建立起度量性质与投影性质之间的关系。非欧几何被发现之后不久，被证明拥有模型，如与投影几何有关之双曲空间内的凯莱-克莱因模型。

19世纪初期，投影几何是解析几何迈向代数几何的敲门砖。当透过齐次坐标处理时，投影几何看起来像是使用坐标将几何问题转变为代数问题的一种扩展或技术改良，将数种特例转变为更一般的例子。尤利乌斯·普吕克对二次曲面及“线几何”的详细研究，为以更一般之概念工作的几何学家提供了许多丰富的例子。

彭赛列与史坦纳的研究并没有打算要用来扩展解析几何，但现在的投影空间是透过引进公理化而被理解的。因此，重新公式化早期对投影几何的研究，以使其符合现今的严格标准显得有点困难。即使只是在投影平面的情况下，公理化的过程可能也会导致无法透过线性代数描述的模型。

这个时期的几何学多集中在以扩展现有技术及运用不变量理论来研究一般代数曲线，主要几何学家有阿尔弗雷德·克莱布希、波恩哈德·黎曼及马克思·诺特（Max Noether）等人。到了18世纪末，代数几何意大利学派突破传统的研究题材，进入需要更高深技术之领域。

到19世纪后半，投影几何的研究变得不那么流行，虽然文献极为庞大。在记数几何中有一些重要的成果，尤其是Schubert所作的研究，现在被视为陈类的理论，用来表示格拉斯曼流形的代数拓扑。

保罗‧狄拉克为了发展量子力学的概念，研究过投影几何，并将其作为量子力学之基础，虽然他公布的成果总是以代数形式呈现。与本条目有关的一篇文章与一本书籍，请见此一 部落格网页，里面亦包含狄拉克于1972年在波士顿对一般大众演讲投影几何的章节，但没有具体提及投影几何在物理学之应用。

## 描述

投影几何比欧氏几何及仿射几何的限制较小。投影几何本实上是个非度量几何，独立于任何度量结构之外。在投影变换下，重合结构及投影调和共轭间的关系会被保持。投影列是一维的基础。投影几何公式化了透视图里其中一个基本原则：平行线会相交于无穷远，且因此那么绘图。实际上，投影几何可以被想成是欧氏几何的延伸，每条线的“方向”都可看成这条线有个额外的“点”，且方向的“水平线”亦可被视为一条“线”。因此，两个平行线因为具有相同的方向，会相交于一水平线上。

方向可被理想化成无穷远点，而水平线也可被理想化成无穷远线。接下来，所有的无穷远线则都会位于无幅远平面上。不过，无限是一个度量的概念，因此纯粹的投影几何并没有在这个意义下选出任何一个点、线或平面，那些在无穷远的点线面亦如其他的点线面一般看待。

因为欧氏几何包含于投影几何之内，几何投影具有较简单的基础，所以在欧氏几何内的一般结论在投影几何内可以用更清晰的方式达成，像是在欧氏几何里不同但相似的定理，在投影几何的架构下即可能可以一齐处理。例如，平行线与非平行线不须个别看待，可以任意选出一些投影平面作为理想平面并利用齐次坐标将其放至“无穷远处”。

其他非常重要的性质还包括笛沙格定理与帕普斯定理。在三维以上的投影空间内，可透过建构方式来证明笛沙格定理，但在二维空间里，则必须另外假定。

依据笛沙格定理与其他公理，可几何地定义出代数的基本运算。这会产生一个满足体公理的运作，但乘法的交换律还必须依据帕普斯定理。其结果，每条线的每个点都可以与一加上一额外元素 ∞ 的体 F 内之元素一一对应，使得r∞ = ∞、−∞ = ∞、r+∞ = ∞、r/0 = ∞、r/∞ = 0、∞−r = r−∞ = ∞（其中，r 为F内的任一元素）。不过，0/0, ∞/∞, ∞+∞, ∞−∞, 0∞ and ∞0则仍然没有定义。

投影几何还含括于圆锥曲线的完整理论，该科目已在欧氏几何下得到很好的发展。能够将双曲线与椭圆想成两者只差在双曲线跨过了无穷远线，这点有着很明确的好处；而抛物线则是与同一条线相切。所有圆锥曲线的图形都可以视为通过两个在(复数坐标上)无穷远线的点之圆锥曲线。因为坐标不是“解析”的，所以可以选择固定的一条线与两个线上的点，并将所有通过这些点的圆锥曲线之线性系统作成研究的基本物件。这个方法被证实对有才来的几何学家来讲，非常有吸引力，并让该领域被彻底地挖掘过了。这个方法的一个例子，请见亨利·弗雷德里克·贝克所著的多卷专著。

存在许多投影几何，可被区分成“离散”与“连续”两种：离散几何由有限或无限可数的点所组成，而连续几何则有无穷不可数个点。

唯一一个零维的投影几何是一个点。一维的投影几何由一个至少有3个点的线所组成。代数运算的几何建构不能在上述两个例子里实现。在二维投影空间里，因为没有笛沙格定理，而有着丰富的结构。

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依Greenberg等人于1999年所述，最简单的二维投影几何为法诺平面，其中每条线有3个点，一共有7个点及7条线，并具有下列共线性：

- ABC
- ADE
- AFG
- BDG
- BEF
- CDF
- CEG

以齐次坐标表示，A = (0,0,1)、B = (0,1,1)、C = (0,1,0)、D = (1,0,1)、E = (1,0,0)、F = (1,1,1)、G = (1,1,0)，或以仿射坐标表示，A = (0,0)、B = (0,1)、C = (∞)、D = (1,0)、E = (0)、F = (1,1)、G = (1)。在笛沙格平面的仿射坐标在指定于无穷远点（在此例子中为 C、E 及 G）可以数种方式定义。

依标准表示法，有限投影几何可标示PG(a,b)，其中：

a 指投影（或几何）维度，及

b 比一条线上所有的点之数量少一（称为该几何的序）。

因此，上述仅有7个点的例子可标示为PG(2,2)。

“投影几何”一词有时用来指广义化下之抽象几何，且有时则指有广泛兴趣的特定几何，如可透过运作齐次坐标分析之平面空间的度量几何，以及可能被嵌入欧氏几何之平面空间的度量几何（因此被称之为延伸欧氏平面）。

所有投影几何具有的基本性质为一“椭圆”重合性质，即在投影平面内任何两条不同的线 L 与 M 均会相交于唯一一个点 P。在解析几何中平行线这个特例则可被归纳入有一条无穷远线通过 P 此一较调和之形态。因此在这个理论中，无穷远线是条与其他条线相同的线：没有任何特别或可区分之处。（在爱尔兰根纲领的精神下，有个变换群可将任何线变换成无穷远线。）

椭圆几何、欧氏几何及双曲几何的平行性质可对比如下：

给定一条线 l 及一个不在线上的点 P。

椭圆几何｜：｜不存在一条通过 P 的线与 l 不相交

欧氏几何｜：｜恰存在一条通过 P 的线与 l 不相交

双曲几何｜：｜存在多条通过 P 的线与 l 不相交

椭圆几何的平行性质是理解投影对偶性之原则的重要概念，亦可能是所有所有投影几何共同拥有的最重要性质。

## 对偶性

1825年，约瑟夫·热尔岗纳（Joseph Gergonne）指出投影平面几何所具有的对偶性原理：给定该几何的一定理或定义，将“点”与“直线”互换，“位于”与“通过”互换，“共线”与“共点”互换，“相交”与“相接”互换，则会产生另一个定理或有效之定义，称之为第一个定理或定义的“对偶”。在三维投影空间里，点与平面间也存在着对偶关系，允许任何定理将“点”与“平面”互换，“包含”与“包含于”互换。更一般性地，对一 N 维投影空间，R维与 N-R-1 维的子空间对偶。当 N=2 时，即为最常见的点与线之对偶。对偶性原理亦由让-维克托·彭赛列独立发现。

要证明一维度具有对偶性，只需证明该维度之公理的对偶均为有效之定理即可。因此，对3维投影空间，即需要证明(1*)每个点均位于至少3个不同的平面上、(2*)每两个平面决定一条唯一的线，以及(3*)若平面 P 与 Q 的交线与平面 R 与 S 的交线共面，则平面 P 与 Q 的交线与 Q 与 S 的交线亦为共同（假设平面 P 与 S 不同于 Q 与 R）。

实际上，对偶性原理允许在两个几何建构间找到一个“对偶关系”。最有名的例子为在圆锥曲线（二维）或二次曲面（三维）内的两个图形之极性与互反性。一个普通的例子为对一同心圆球的对称多面体进行极轴变换，可得到其对偶多面体。

## 投影几何之公理

任何给定的几何都可以由一组合适的公理推导出来。投影几何以“椭圆平行”公理为其特征，该公理表示任何两个平面总是会相交于唯一的线；或在平面上，任何两条线总是会相交于唯一的点。换句话说，在投影几何里，不存在平行线或平行平面。投影几何有许多种公理。

### 怀海德的公理

这些公理由怀海德于《投影几何之公理》（The Axioms of Projective Geometry）一书中写出，有两个类型（点与线）及一个点与线间的“重合”关系。其公理为：

- G1：每条线均包含至少3个点。
- G2：每两个点 A 及 B 能决定一条唯一的线 AB。
- G3：若线 AB 与 CD 相交，则线 AC 与 BD 也会相交（其中，假设A与D不同于B与C）。

每条线被假定为须包含至少3个点的理由在于要排除部分退化的例子。满足这三个公理的空间不是至少有一条线，就是在除环上某个维度的投影空间，亦或为非笛沙格平面。

可以增加更多的公理来限制维度或坐标环。例如在考克斯特所著的《投影几何》（Projective Geometry）中，引用了上述维布伦的3个公理，再加上其他5个公理，让维度为3，且坐标环为特征不为2的交换体。

### 使用三元关系的公理

可以透过假定一三元关系得出其公理，该三元关系以ABC标示三个(不一定不同的)点共线。投影几何的公理亦可以此关系得出如下：

- C0: ABA
- C1：若 A 与 B 两点使得 ABC 且 ABD，则 BDC。
- C2：若 A 与 B 是两个点，则存在第三个点 C，使得 ABC。
- C3：若 A 与 C 是两个点，B 与 D 也是，且 BCE、ADE，但不 ABE，则存在一点 F 使得 ACF 及 BDF。

对两个不同的点 A 与 B，线 AB 定义为由所有具 ABC 性质之点 C 所组成。如此一来，公理 C0 与 C1 可推导出 G2；C2 可推导出 G1，且 C3 则可推导出 G3。

线的概念可扩展至平面或高维子空间。一个子空间 AB...XY 可以被递归地定义成包括所有线 YZ 上的点，其中 Z 为 AB...X 内的点。共线则可扩展成“重合”关系。假设集合 {A, B, ..., Z} 内的元素互相独立，则 AB...Z，若 {A, B, ...,Z} 是子空间 AB...Z 的最小生成子集。

投影公理可以添加更多公理，以限制该空间的维度。最小维度取决于是否存在一个所需大小的独立集合。对于最小维度，其条件可以下列等价的方式叙述。一个投影空间：

- (L1) 至少零维，若该空间至少具有1个点。
- (L2) 至少一维，若该空间有至少2个不同的点（并因此有一条线）。
- (L3) 至少二维，若该空间有至少3个不共线的点（或两条线，或一条线及一个不在线上的点）。
- (L4) 至少三维，若该空间有至少4点不共面的点。

最大维度亦可以类似的方式来决定。一个投影空间：

- (M1) 至多零维，若该空间没有一个以上的点。
- (M2) 至多一维，若该空间没有一条以上的线。
- (M3) 至多二维，若该空间没有一个以上的平面。

以此类推。有一个普遍定理（公理(G3)的必然推论）叙述，所有共面的线均相交，一个极为基础的原理，投影几何原来即已内含的性质。因此，性质(M3)可等价叙述为所有线均相交。

通常可假设投影空间至少是二维的。在一些情况下，如专注于投影平面上，可假定(M3)或其等价叙述成立。

### 投影平面之公理

在重合几何里，大多数作者会将法诺平面 PG(2,2) 作为最小有限投影平面。可达成此一要求的公理系统如下：

- (P1) 任意两个不同的点位于唯一的线。
- (P2) 任意两条不同的线相交于唯一的点。
- (P3) 存在至少4个点，其中没有3个点会共线。

考克斯特的《几何学入门》（Introduction to Geometry）内有5个公理，给出投影平面更为严格的一种概念。该概念由Bachmann提出，在上述公理之上加入帕普斯定理（排除掉非笛沙格平面），并不包含在特征为2之体上的投影平面（那些平面不符合法诺公理）。以此方式给出的局限平面，更加接近实投影平面。

## 外部链接

- Projective Geometry for Machine Vision — tutorial by Joe Mundy and Andrew Zisserman.
- Notes based on Coxeter's The Real Projective Plane.
- Projective Geometry for Image Analysis — free tutorial by Roger Mohr and Bill Triggs.
- Projective Geometry. — free tutorial by Tom Davis.
- The Grassmann method in projective geometry A compilation of three notes by Cesare Burali-Forti on the application of exterior algebra to projective geometry
- C. Burali-Forti, "Introduction to Differential Geometry, following the method of H. Grassmann" (English translation of book)
- E. Kummer, "General theory of rectilinear ray systems" (English translation)
- M. Pasch, "On the focal surfaces of ray systems and the singularity surfaces of complexes" (English translation)