微积分基本定理

微积分基本定理（Fundamental theorem of calculus）描述了微积分的两个主要运算──微分和积分之间的关系。

## 简介

定理的第一部分，称为微积分第一基本定理，此定理表明：给定任一连续函数，可以（利用积分）构造出该函数的反导函数。这一部分定理的重要之处在于它保证了连续函数的反导函数的存在性。

定理的第二部分，称为微积分第二基本定理或牛顿-莱布尼茨公式，表明某函数的定积分可以用该函数的任意一个反导函数来计算。这一部分是微积分或数学分析中相当关键且应用很广的一个定理，因为它大大简化了定积分的计算。

### 直观理解

对微积分基本定理比较直观的理解是：把函数在一段区间的“无穷小变化”全部“加起来”，会等于该函数的净变化，这里“无穷小变化”就是微分，“加起来”就是积分，净变化就是该函数在区间两端点的差。

假设有一个物体在直线上运动，其位置为$x(t)$，其中$t$为时间，$x(t)$意味着$x$是$t$的函数。这个函数的导数等于位置的无穷小变化$dx$“除以”时间的无穷小变化$dt$（当然，该导数本身也与时间有关）。我们把速度定义为位置的变化除以时间的变化。用莱布尼兹记法：

$$\frac{dx}{dt} = v(t).$$

整理，得

$$dx = v(t)\,dt.$$

根据以上的推理，$x$的变化──$\Delta x$，是$dx$的无穷小变化之和。它也等于导数和时间的无穷小乘积之和。这个无穷的和，就是积分；所以，一个函数求导之后再积分，得到的就是原来的函数。我们可以合理地推断，这个运算反过来也成立，积分之后再求导，得到的也是原来的函数。

## 历史

詹姆斯·格里高利（1638-1675）首先发表了该定理基本形式的几何证明，艾萨克·巴罗证明了该定理的一般形式。巴罗的学生艾萨克·牛顿完善了微积分的相关理论。莱布尼茨使得相关理论实现体系化并引入了沿用至今的微积分符号。

## 正式表述

微积分基本定理有两部分，第一部分是定积分的微分，第二部分是原函数和定积分之间的关联。

### 第一部分 / 第一基本定理

设 $a,b \in \mathbb{R}$，$f:[a,b] \to \mathbb{R}$于 $[a,b]$ 黎曼可积分，定义函数 $F:[a,b] \to \mathbb{R}$ 如下：

$$F(x) = \int_a^x\!f(t)\, dt$$

则

- $F$ 于闭区间 $[a,b]$ 连续
- 若 $f$ 于 $c \in [a,\,b]$ 连续，则$F'(c)=f(c)$

### 第二部分 / 第二基本定理

<image>

若两函数 $f,F:[a,b] \mapsto \mathbb{R}$ 满足：

- $[\forall x \in (a,b)][F'(x) = f(x)]$ （即 $F$ 是 $f$ 的一个原函数）
- $f$ 于 $[a,b]$ 黎曼可积

则有：

$$\int_a^b \, f(t) \, dt \, = F(b)-F(a)$$

可简记为

$$\int_a^b \, f(t) \, dt \, = F(x)\bigg|_{a}^{b}$$

## 证明

### 第一部分

(1)$F$ 于 $[a,b]$ 连续

因为 $f$ 为黎曼可积，所以 $f$ 有界 (否则会有矛盾)，也就是存在 $M>0$ 使

$|f(x)|\leq M$ (对所有的 $x \in [a,\,b]$)

根据黎曼积分的定义，若取 $x,\, c \in [a,\,b]$ 则

$$|F(x)-F(c)|=\left|\int^x_c f(t)\,dt\right|\leq M|x-c|$$

那这样，如果取 $\delta = \frac{\epsilon}{M}$ 且 $0<|x-c|<\delta$，则

$$|F(x)-F(c)|<\epsilon$$

那根据函数极限的定义，可以得到

$$\lim_{x\to c}F(x)=F(c)$$

故得证。$\Box$

(2)若 $f$ 于 $c \in [a,\,b]$ 连续，则$F'(c)=f(c)$

$f$ 于 $c$ 连续意为：对所有 $\epsilon > 0$，都存在 $\delta > 0$ 使得所有的 $f$ 定义域里的 $x$ 只要满足 $0 < |x-c| <\delta$ 就有 $|f(x)-f(c)| <\epsilon$

而根据黎曼积分的定义可以知道，若对黎曼可积分的 $g: [r,\,s]\to\mathbb{R}$ 有 $(\forall x\in [r,\,s])[\,|g(x)|\leq M\,]$，则

$$\int^s_r g(t)\,dt\leq\int^s_r |g(t)|\,dt\leq M(s-r)$$

这样考虑上述连续定义 $0 < x-c <\delta$ 的部分会有

$$\left|\frac{F(x)-F(c)}{x-c}-f(c)\right|=\left|\frac{1}{x-c}\left[\int^{x}_{c}f(t)-f(c)\,dt\right]\right|<\left|\frac{\epsilon(x-c)}{x-c}\right|=\epsilon$$

类似的， $0 < c-x <\delta$ 的部分会有

$$\left|\frac{F(x)-F(c)}{x-c}-f(c)\right|=\left|\frac{1}{c-x}\left[\int^{c}_{x}f(t)-f(c)\,dt\right]\right|<\left|\frac{\epsilon(c-x)}{c-x}\right|=\epsilon$$

那同样根据函数极限的定义，就有

$$F^{\prime}(c) = \lim_{x\to c}\frac{F(x)-F(c)}{x-c}=f(c)$$

即为所求。$\Box$

### 第二部分

设$f$在区间$[a,b]$上连续，并设$F$为$f$的原函数。我们从以下表达式开始

$$F(b) - F(a)\,.$$

设有数

$$x_0,\ldots,x_n$$

使得

$$a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_{n-1} < x_n = b\,.$$

可得

$$F(b) - F(a) = F(x_n) - F(x_0) \,.$$

我们加上$F(x_i)$及其相反数，这样等式仍成立：

$$\begin{matrix} F(b) - F(a) & = & F(x_n)\,+\,[-F(x_{n-1})\,+\,F(x_{n-1})]\,+\,\ldots\,+\,[-F(x_1) + F(x_1)]\,-\,F(x_0) \, \\ & = & [F(x_n)\,-\,F(x_{n-1})]\,+\,[F(x_{n-1})\,+\,\ldots\,-\,F(x_1)]\,+\,[F(x_1)\,-\,F(x_0)] \,. \end{matrix}$$

以上表达式可用以下的和表示：

$$F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[F(x_i) - F(x_{i-1})]\,. \qquad (1)$$

我们将使用均值定理。就是：

设$F$在闭区间$[a,b]$连续，在开区间$(a,b)$可导，则开区间$(a,b)$内一定存在$c$使得

$$F'(c) = \frac{F(b) - F(a)}{b - a}\,.$$

可得

$$F'(c)(b - a) = F(b) - F(a). \,$$

函数$F$在区间$[a,b]$可导，所以在每一个区间$x_{i-1}$也是可导和连续的。因此，根据均值定理。

$$F(x_i) - F(x_{i-1}) = F'(c_i)(x_i - x_{i-1}) \,.$$

把上式代入(1)，得

$$F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[F'(c_i)(x_i - x_{i-1})]\,.$$

根据第一部分的结论，我们有$F'(c_i) = f(c_i)$。另外，$x_i - x_{i-1}$可表示为第$i$个小区间的$\Delta x$。

$$F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)]\,. \qquad (2)$$

<image>

注意到我们正在描述矩形的面积（长度乘以宽度），并把这些面积相加起来。每一个矩形都描述了一部分曲线的估计。同时也注意到，$\Delta x_i$并不需要对于任何$i$都是相同的，换句话说，矩形的长度可以变化。我们要做的，是要用$n$个矩形来近似代替曲线。现在，当$n$增加而每一个矩形越来越小时，它的面积就越来越接近曲线的真实面积。

当矩形的宽度趋近于零时取极限，便得出黎曼积分。也就是说，我们取最宽的矩形趋于零，而矩形的数目趋于无穷大时的极限。

所以，我们把(2)式的两边取极限，得

$$\lim_{\| \Delta \| \to 0} F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta \| \to 0} \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)]\,.$$

$F(b)$和$F(a)$都不依赖于$\begin{Vmatrix} \Delta \end{Vmatrix}$，所以左面的极限仍然是$F(b)-F(a)$。

$$F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta \| \to 0} \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)]\,.$$

右边的表达式定义了$f$从$a$到$b$的积分。这样，我们有

$$F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x)\,dx\,,$$

证明完毕。

## 例子

$$\begin{align} \frac{d}{dx} \int_a^{\sin x} e^t\, dt \\ &= \frac{d}{dx} F(\sin x) \\ &= F'(\sin x) \cos x\\ &= e^{\sin x} \cos x\\ \end{align}$$

计算以下积分：

$$\int_2^5 x^2\, dx.$$

在这里，$f(x) = x^2$，$F(x) = {x^3\over 3}$是一个原函数。因此：

$$\int_2^5 x^2\, dx = F(5) - F(2) = {5^3 \over 3} - {2^3 \over 3}=39$$

## 推广

我们不需要假设$f$在整个区间是连续的。这样定理的第一部分便说明：如果$f$是区间$[a,b]$内的任何一个勒贝格可积的函数，$x_0$是$[a,b]$内的一个数，使得$f$在$x_0$连续，则

$$F(x) = \int_a^x f(t)\, dt$$

在$x=x_0$是可导的，且$F'(x_0)=f(x_0)$。我们可以把$f$的条件进一步降低，假设它仅仅是可积的。这种情况下，我们便得出结论：$F$几乎处处可导，且$F'(x)$几乎处处等于$f(x)$。这有时称为勒贝格微分定理。

定理的第一部分对于任何具有原函数$F$的勒贝格可积函数$f$都是正确的（不是所有可积的函数都有原函数）。

泰勒定理中把余项表示成一个积分的形式，可以视为微积分基本定理的一个推广。

对于复数函数，也有一个类似的形式：假设$U$是$\mathbb{C}$的一个开集，$f:U\rightarrow \mathbb{C}$是一个在$U$处具有全纯原函数$F$的函数。那么对于所有曲线$\gamma:[a,b]\rightarrow U$，曲线积分可以用下式来计算：

$$\int_{\gamma} f(z) \,dz = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))\,.$$

微积分基本定理可以推广到多维空间的曲线和曲面积分，也可以推广到流形。

这个方向上的一个有力的表述是斯托克斯定理：设$M$为一个可定向分段光滑$n$维流形，并设$\omega$为$n-1$阶$M$上的C1类紧支撑微分形式。如果$\vartheta M$表示M$M$的边界，并以$M$的方向诱导的方向为边界的方向，则

$$\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega\,.$$

这里$\mathrm{d}\!\,$是外导数，它仅仅用流形的结构来定义。斯托克斯定理将德拉姆上同调和奇异链的同调联系起来。

## 参考文献

- Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd. Calculus of a single variable. 7th ed. Boston: Houghton Mifflin Company, 2002.
- Leithold, L. (1996). The calculus 7 of a single variable. 6th ed. New York: HarperCollins College Publishers.
- Malet, A, Studies on James Gregorie (1638-1675) (PhD Thesis, Princeton, 1989).
- Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In Calculus: early transcendentals. Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.
- Turnbull, H W (ed.), The James Gregory Tercentenary Memorial Volume (London, 1939)