循环量子重力

循环量子重力论（loop quantum gravity，简称LQG），又译回圈量子引力论，英文别名圈引力（loop gravity）、量子几何学（quantum geometry），是一种试图将广义相对论与量子力学结合起来的理论，由阿贝·阿希提卡、李·斯莫林、卡洛·罗威利等学者共同发展，是目前与弦理论齐名的重要量子重力理论之一。

传统上，当科学家尝试将重力以量子场论的方式处理时会遇到“无法重整化”的困难，也就是该理论在高能量尺度会出现无限值，无法修正。而LQG的做法则是从广义相对论本身出发，将其重新表达为一种类似规范场论的形式，并引入不同的变数（阿希提卡-巴贝罗联络）来取代原本的度规张量，进而将重力量子化。

在LQG理论框架中，时空是背景独立的，而且是由名为“循环”的结构编织成的自旋网络。也就是说这些“循环”不是存在于某个预设的时空中，而是以自身扭结的方式定义出时空几何。网络中每条边的长度约为普朗克长度，在这样极小的尺度下这些结构会产生随机的量子涨落，因此延伸出所谓的自旋泡沫理论，也就是自旋网络随时间演化的形式。根据此理论，时空是“离散”非“连续”的。

## 通论与目标

部分学者（特别是弦论学家）认为：在只有一个时间维和三个空间维组成的四维时空中，无法将重力量子化而且不引入新的粒子或场，不过弦论中所预测的这些产物目前也未能与观测结果互相证实。

LQG则试图不引入任何额外维度或粒子，而是将重力本身加以量子化。该理论的弱点是无法自然产生标准模型中已有的粒子与场，得要需事后再加进理论，不过LQG创始人之一李·斯莫林曾提出一种可能性：弦论与LQG或许是同一种理论的不同表达方式。

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LQG目前的主要成果包括：

- 成功将非微扰的三维空间几何量子化，其中面积与体积成为具有量子化的物理量。
- 成功计算黑洞熵（但仍有诠释上的争议）。
- 成为弦论外另一个可行的重力量子化候选方案，但目前仍不是一个“万有理论”。

尽管LQG的数学基础严谨，但其物理诠释仍在讨论中（如黑洞熵）。此外与此理论密切相关的还有自旋泡沫模型，以描述自旋网络随时间的演化。

## 基本假设

LQG的建构基于以下两个核心假设：

- 广义协变性：物理定律在任何坐标系下都应成立，这是广义相对论的基本假设。
- 背景独立性：理论中不假设一个固定的空间或时间背景，而是假设时空结构本身是动态的。

此外，LQG也假设量子论的基本原则是正确的。

可以利用以下举例来理解LQG的基本假设：

- 牛顿力学既非广义协变、也非背景独立，因为它假设绝对时间与空间。
- 狭义相对论虽然是协变理论（狭义协变），但其背景为固定的闵考斯基时空，并非背景独立。
- 广义相对论是广义协变且背景独立的理论，度规张量的值完全由理论决定。

## 基本理论架构

LQG可以从广义相对论的ADM表示法开始推导。其基本变数为：

- 三维空间度规张量 $q_{ab}$
- 正则座标 $P^{ab}$

这些变数受到下列两个一级约束条件限制：

- 微分同胚约束：$-2q^{-\frac{1}{2}}\;^3\nabla_a P^a_{\ b} = 0$
- 哈密顿约束：$-^3R + q^{-1}(P^{ab}P_{ab} - \frac{1}{2}P^2) = 0$

### 阿希提卡-巴贝罗联络

为了便于处理这些约束条件，可引入三足形式（drei-bein）来重写度规张量：

$$e^i_a e^j_b \delta_{ij} = q_{ab}$$

并定义与三足相容的联络（自旋联络）$\Gamma^i_a$，及其曲率$K^i_a$。此时进一步引入实数参数$\gamma$（称为巴贝罗-伊姆米尔齐参数），就可以定义一个新的联络变数：

$$A^i_a = \Gamma^i_a + \gamma K^i_a$$

这就是阿希提卡-巴贝罗联络，即LQG中的核心变数。其对应的正则动量为：

$$E^a_i = det(e)e^a_i$$

再经处理后的该系统包含三个一级约束：

- 高斯约束：$D_aE^a_i = 0$
- 微分同胚约束：$F^i_{ab}E^a_i = 0$
- 哈密顿约束：$\frac{1}{\sqrt{|det(E)|}}F^i_{ab}E^a_jE^b_k\epsilon_{ijk} + ... = 0$

其中$D_a$是以$A^i_a$为联络定义的协变微商，$F^i_{ab}$为其对应的曲率张量。

由于满足这些约束，LQG可视为一种类似于规范场论的理论，其基本结构是由“联络”与“曲率”构成的几何。

## 参考文献

### 论文

- 循环量子引力论中的引力子传递子(Graviton propagator in loop quantum gravity) -- We compute some components of the graviton propagator in loop quantum gravity, using the spinfoam formalism, up to some second order terms in the expansion parameter.
- 量子引力与标准模型(Quantum Gravity and the Standard Model) -- Shows that a class of background independent models of quantum spacetime have local excitations that can be mapped to the first generation fermions of the standard model of particle physics.

## 外部链接

- "Loop Quantum Gravity" by Carlo Rovelli Physics World, November 2003
- Quantum Foam and Loop Quantum Gravity
- Abhay Ashtekar: Semi-Popular Articles . Some excellent popular articles suitable for beginners about space, time, GR, and LQG.
- Loop Quantum Gravity: Lee Smolin.
- Loop Quantum Gravity on arxiv.org
- A list of LQG references catered to fresh graduates
- Loop Quantum Gravity Lectures Online by Lee Smolin
- Spin networks, spin foams and loop quantum gravity
- Wired magazine, News: Moving Beyond String Theory
- April 2006 Scientific American Special Issue, A Matter of Time, has Lee Smolin LQG Article Atoms of Space and Time
- September 2006, The Economist, article Looping the loop
- Gamma-ray Large Area Space Telescope: http://glast.gsfc.nasa.gov/
- Zeno meets modern science. Article from Acta Physica Polonica B by Z.K. Silagadze.
- Did pre-big bang universe leave its mark on the sky? - According to a model based on "loop quantum gravity" theory, a parent universe that existed before ours may have left an imprint (New Scientist, 10 April 2008)