排容原理

排容原理（inclusion-exclusion principle）又称排容原理、取舍原理，在组合数学里，其说明若$A_1, \cdots, A_n$ 为有限集，则$$\begin{align} \left|\bigcup_{i=1}^n A_i\right| = {} & \sum_{i=1}^n |A_i| - \sum_{1 \le i < j \le n} |A_i\cap A_j| + \sum_{1 \le i < j < k \le n} |A_i \cap A_j\cap A_k| - \cdots + (-1)^{n-1} \left|A_1\cap\cdots\cap A_n\right|. \end{align}$$

其中$|A|$表示$A$的基数。例如在两个集的情况时，我们可以通过将$|A|$和$|B|$相加，再减去其交集的基数，而得到其并集的基数。

## 描述

### 两个集合的容斥原理

$$\left | A \cup B \right | = \left | A \right | + \left | B \right | - \left | A \cap B \right |$$

### 三个集合的容斥原理

$$\left | A \cup B \cup C \right | = \left | A \right | + \left | B \right | + \left | C \right | - \left | A \cap B \right | - \left | A \cap C \right | - \left | B \cap C \right | + \left | A \cap B \cap C \right |$$

### $n$个集合的容斥原理

要计算几个集合并集的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回所有三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分，依此类推，一直计算到所有集合相交的部分。

最终得到公式：

$$\begin{align} \left|\bigcup_{i=1}^n A_i\right| = {} & \sum_{i=1}^n |A_i| - \sum_{1 \le i < j \le n} |A_i\cap A_j| + \sum_{1 \le i < j < k \le n} |A_i \cap A_j\cap A_k| - \cdots + (-1)^{n-1} \left|A_1\cap\cdots\cap A_n\right|. \end{align}$$

又可写成

$$\left|\bigcup_{i=1}^n A_i\right| = \sum_{k = 1}^n (-1)^{k+1} \left( \sum_{1 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq n} | A_{i_1} \cap \cdots \cap A_{i_k} | \right)$$

或

$$\left|\bigcup_{i=1}^n A_i\right| = \sum_{\emptyset\neq J\subseteq\{1,2,\ldots,n\}}(-1)^{|J|-1} \Biggl|\bigcap_{j\in J} A_j\Biggr|.$$

## 概率论中的容斥原理

在概率论中，对于概率空间$(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$中的事件 $A_1, \cdots, A_n$，当 $n=2$ 时容斥原理的公式为：

$$\mathbb{P}(A_1\cup A_2)=\mathbb{P}(A_1)+\mathbb{P}(A_2)-\mathbb{P}(A_1\cap A_2),$$

当 $n=3$ 时，公式为：

$$\mathbb{P}(A_1\cup A_2\cup A_3)=\mathbb{P}(A_1)+\mathbb{P}(A_2)+\mathbb{P}(A_3)-\mathbb{P}(A_1\cap A_2)-\mathbb{P}(A_1\cap A_3)-\mathbb{P}(A_2\cap A_3)+\mathbb{P}(A_1\cap A_2\cap A_3)$$

一般地：

$$\mathbb{P}\biggl(\bigcup_{i=1}^n A_i\biggr)=\sum_{i=1}^n \mathbb{P}(A_i)-\sum_{i,j\,:\,i<j}\mathbb{P}(A_i\cap A_j) +\sum_{i,j,k\,:\,i<j<k}\mathbb{P}(A_i\cap A_j\cap A_k)-\ \cdots\ +(-1)^{n-1}\, \mathbb{P}\biggl(\bigcap_{i=1}^n A_i\biggr),$$

也可以写成：

$$\mathbb{P}\biggl(\bigcup_{i=1}^n A_i\biggr) =\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\sum_{\scriptstyle I\subset\{1,\ldots,n\}\atop\scriptstyle|I|=k} \mathbb{P}(A_I),$$

对于一般的测度空间 $(S,\Sigma,\mu)$ 和有限测度的可测子集 $A_1, \cdots, A_n$，上面的恒等式也成立，如果把概率测度 $\mathbb{P}$ 换为测度 $\mu$。

## 特殊情况

如果在容斥原理的概率形式中，交集 $A_I$ 的概率只与I中元素的个数有关，也就是说，对于$\{1,\cdots,n\}$ 中的每一个 $k$，都存在一个 $a_k$，使得：

$a_k=\mathbb{P}(A_I)$，对于每一个$I\subset\{1,\ldots,n\} \,\, (|I|=k),$

则以上的公式可以简化为：

$$\mathbb{P}\biggl(\bigcup_{i=1}^n A_i\biggr) =\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\binom nk a_k$$

这是由于二项式系数$\scriptstyle\binom nk$的组合解释。

类似地，如果对有限集合 $A_1, \cdots, A_n$ 的并集的元素个数感兴趣，且对于 $\{1,\cdots,n\}$ 中的每一个 $k$，交集

$$A_I:=\bigcap_{i\in I} A_i$$

元素个数都相同，例如 $a_k = |A_I|$，与 $\{1,\cdots,n\}$ 的 $k$ 元素子集 $I$ 无关，则：

$$\biggl|\bigcup_{i=1}^n A_i\biggr| =\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\binom nk a_k\,.$$

在一般的测度空间 $(S,\Sigma,\mu)$ 和有限测度的可测子集 $A_1, \cdots, A_n$ 的情况中，也可以进行类似的简化。

## 容斥原理的证明

欲证明容斥原理，我们首先要验证以下的关于指示函数的等式：

$$1_{\cup_{i=1}^n A_i} =\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\sum_{\scriptstyle I\subset\{1,\ldots,n\}\atop\scriptstyle|I|=k} 1_{A_I}\qquad(*)$$

至少有两种方法来证明这个等式：

第一种方法 我们只需证明对于 $A_1, \cdots, A_n$ 的并集中的每一个 $x$，等式都成立。假设 $x$ 正好属于 $m$ 个集合（$1\leq m\leq n$），不妨设它们为$A_1, \cdots, A_m$。则 $x$ 处的等式化为：

$$1 =\sum_{k=1}^m (-1)^{k-1}\sum_{\scriptstyle I\subset\{1,\ldots,m\}\atop\scriptstyle|I|=k} 1.$$

$m$ 元素集合中的 $k$ 元素子集的个数，是二项式系数$\textstyle\binom mk$ 的组合解释。由于$\textstyle1=\binom m0$，我们有：

$$\binom m0 =\sum_{k=1}^m (-1)^{k-1}\binom mk.$$

把所有的项移到等式的左端，我们便得到 $(1-1)^m$ 的二项式展开式，因此可以看出，(*)对 $x$ 成立。

第二种方法 设 $A$ 表示集合 $A_1, \cdots, A_n$ 的并集。于是：

$$0=(1_A-1_{A_1})(1_A-1_{A_2})\cdots(1_A-1_{A_n})\,,$$

这是因为对于不在 $A$ 内的 $x$，两边都等于零，而如果 $x$ 属于其中一个集合，例如 $A_m$，则对应的第 $m$ 个因子为零。把右端的乘积展开来，便可得到等式(*)。

### 归纳法证明

设$$S_1 = n(A_1) + n(A_2) + n(A_3) + \cdots + n(A_n)$$

$$S_2 = n(A_1 \cap A_2) + n(A_1 \cap A_3) + \cdots + n(A_1 \cap A_n) \;+\; n(A_2 \cap A_3) + \cdots + n(A_{n-1} \cap A_n)$$

$$S_3 = n(A_1 \cap A_2 \cap A_3) + \cdots + n(A_{n-2} \cap A_{n-1} \cap A_n)$$

⋮

$$S_n = n(A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap \cdots \cap A_n)$$

求证$$n(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots \cup A_n) = S_1 - S_2 + S_3 - \cdots + (-1)^{n-1} S_n.$$

证明：

当$n=2$时。

$$n(A_1 \cup A_2) = n(A_1) + n(A_2) - n(A_1 \cap A_2) = S_1 - S_2.$$

假设当$n=k\ (k\ge2)$时，有$$n(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_k) = S_1 - S_2 + S_3 - \cdots + (-1)^{k-1} S_k.$$

当$n=k+1$时。

$$\begin{aligned} n(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_k \cup A_{k+1}) &= n\Bigl((A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_k) \cup A_{k+1}\Bigr)\\[1ex] &= n(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_k) + n(A_{k+1})\\[1ex] &\quad - n\Bigl((A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_k) \cap A_{k+1}\Bigr)\\[1ex] &= n(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_k) + n(A_{k+1})\\[1ex] &\quad - n\Bigl((A_1 \cap A_{k+1}) \cup (A_2 \cap A_{k+1}) \cup \cdots \cup (A_k \cap A_{k+1})\Bigr). \end{aligned}$$

∵ 当 $n=k$ 时，上式成立。

∴$$n(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_{k+1}) = S_1 - S_2 + S_3 - \cdots + (-1)^k S_{k+1}.$$

综上所述，当$n\ge2$时。

$$\begin{aligned} n(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n) =&\; n(A_1) + n(A_2) + \cdots + n(A_n)\\[1ex] &\; -\Bigl[n(A_1 \cap A_2) + n(A_1 \cap A_3) + \cdots + n(A_{n-1} \cap A_n)\Bigr]\\[1ex] &\; + \Bigl[n(A_1 \cap A_2 \cap A_3) + \cdots\Bigr]\\[1ex] &\; - \cdots + (-1)^{n-1} n(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n). \end{aligned}$$

## 其它形式

有时容斥原理用以下的形式来表述：如果

$$g(A)=\sum_{S\,:\,S\subseteq A}f(S)$$

那么：

$$f(A)=\sum_{S\,:\,S\subseteq A}(-1)^{\left|A\right|-\left|S\right|}g(S)$$

在这种形式中可以看出，它是 $A$ 的所有子集的偏序集合的指标代数的莫比乌斯反演公式。

## 应用

在许多情况下，容斥原理都可以给出精确的公式（特别是用埃拉托斯特尼筛法计算素数的个数时），但是用处不大，这是因为它里面含有的项太多。即使每一个单独的项都可以准确地估计，误差累积起来仍然意味着容斥原理不能直接应用。在数论中，这个困难由维戈·布朗解决。开始时进展很慢，但他的想法逐渐被其他数学家所应用，于是便产生了许多各种各样的筛法。这些方法是尝试找出被“筛选”的集合的上界，而不是一个确切的公式。

### 错排

容斥原理的一个著名的应用，是计算一个有限集合的所有乱序排列的数目。一个集合 $A$ 的错排，是从 $A$ 到 $A$ 的没有不动点的双射。通过容斥原理，我们可以证明，如果 $A$ 含有 $n$ 个元素，则乱序排列的数目为$[n!/e+\frac{1}{2}]$，其中$[x]$表示最接近 $x$ 的整数。

这也称为 $n$ 的子阶乘，记为 $!n$。可以推出，如果所有的双射都有相同的概率，则当 $n$ 增大时，一个随机双射是错排的概率迅速趋近于$\frac{1}{e}$。

## 交集的计算

容斥原理与德·摩根定理结合起来，也可以用于计算集合的交集中元素的数目。设 $\overline{A}_k$ 表示 $A_k$关于全集 $A$ 的补集，使得对于每一个 $k$，都有 $A_k\, \subseteq\, A$。于是，我们有：

$$\bigcap_{i=1}^n A_i = \overline{\bigcup_{i=1}^n \overline{A}_i}$$

这样便把计算交集的问题化为计算并集的问题。

## 拓展阅读

- http://cs.tju.edu.cn/faculty/zhangkl/teaching/comb/lec09.pdf
- http://blog.sina.com.cn/s/blog_6be9596c0100miag.html
- http://e-maxx.ru/algo/inclusion_exclusion_principle （俄文）中文翻译：http://www.cppblog.com/vici/archive/2011/09/05/155103.html