魏尔施特拉斯逼近定理

斯通—魏尔施特拉斯逼近定理 (Stone-Weierstrass Theorem) 是一个分析学上的定理，其描述了在紧致豪斯多夫空间$(X, \tau)$上的实数连续函数$C(X, \mathbb{R})$能够被较小的函数集逼近的条件。

## 定义

对于紧致豪斯多夫空间 $(X, \tau)$以及$\mathcal{A}\subseteq C(X,\mathbb{R})$，我们定义

- $\mathcal{A}$是一个代数 (algebra) 如果$\mathcal{A}$是一个实数子空间，并且对于所有$f,g\in \mathcal{A}$，$fg\in \mathcal{A}$。
- $\mathcal{A}$分离相异点(separates points)如果对于所有相异$x,y\in X$，存在$f\in C(X, \mathbb{R})$使得$f(x)\neq f(y)$。
- $\mathcal{A}$是一个晶格 (lattice) 如果对于所有$f,g\in \mathcal{A}$，$\min(f,g),\max(f.g)\in \mathcal{A}$。

## 叙述

对于紧致豪斯多夫空间 $(X, \tau)$以及分离相异点的闭子代数$\mathcal{A}\subseteq C(X,\mathbb{R})$，那么$\mathcal{A}$是以下两个情况之一：

- $\mathcal{A}=C(X, \mathbb{R})$。
- 存在一个$x_0\in X$使得$\mathcal{A}=\{g\in C(X, \mathbb{R}): g(x_0)=0\}$。

且(1)当且仅当$1\in \mathcal{A}$；(2)当且仅当存在$x_0\in X$使得对于所有$g\in \mathcal{A}$ $g(x_0)=0$。

注意：由于$\mathcal{A}$分离相异点，在(2)的等价(不论哪个方向)中的$x_0$是唯一的。

## 证明

引理Ａ：如果将$\mathbb{R}^2$视为一个实数向量空间，且两向量间乘法定义为$(x_1, y_1)\cdot (x_2, y_2)\mapsto (x_1x_2, y_1y_2)$，那么$\mathbb{R}^2$是个代数。且所有子代数只能是以下几个情况：

- $\mathbb{R}^2$。
- $\{(0,0)\}$。
- $v$的线性生成空间，其中$v=(1,0), (0,1), (1,1)$。

证明：显然，(1), (2)跟(3)都是子代数。如果$\mathcal{A}\subseteq \mathbb{R}^2$是一个子代数，那么因为$\mathcal{A}$是一个子空间。那么如果$\dim(\mathcal{A})=0, 2$，对应到(1), (2)。如果$\dim(\mathcal{A})=1$，那么存在一个非零向量$v=(a,b)$使得$\mathcal{A}=\text{span}(v)$。那么因为$\mathcal{A}$是一个代数，存在$\lambda\in\mathbb{R}$使得$a^2=\lambda a, b^2=\lambda b$。所以$a(\lambda-a)=0, b(\lambda -b)=0$。如果$a\neq 0, b\neq 0$，那么$a=b=\lambda$，对应到(3)中$v=(1,1)$的情况；如果$a, b$其一非零，则对应到(3)中$v=(0,1), (1,0)$的情况。$\square$引理B：对于豪斯多夫空间$X$和分离相异点的子代数$\mathcal{A}\subseteq C(X, \mathbb{R})$，以及相异点$x,y\in X$，定义$\mathcal{A}_{xy}=\{(g(x), g(y)): g\in \mathcal A\}$。那么只能是以下两个情况：

- 对于所有相异$x,y\in X,\mathcal{A}_{xy}=\mathbb R^2$。
- 存在一组相异$x,y\in X,\mathcal{A}_{xy}=\text{span}\{(1,0)\}, \text{span}\{(0,1)\}$。

另外，(2)等价于存在一个$x_0\in X$使得对于所有$g\in \mathcal{A}$，$g(x_0)=0$。

注意：由于$\mathcal{A}$分离相异点，在(2)的等价(不论哪个方向)中的$x_0$是唯一的。证明：显然，对于所有相异$x,y\in X,\mathcal{A}_{xy}$是一个子代数。根据引理A，只需要证明对于所有相异$x,y\in X,\mathcal{A}_{xy}$不可能是$\text{span}\{(1,1)\}, \text{span}\{(0,0)\}$，但这显然成立，因为$\mathcal{A}$分离相异点以及。

接着证明(2)的等价：如果存在一组相异$x,y\in X,\mathcal{A}_{xy}=\text{span}\{(1,0)\}, \text{span}\{(0,1)\}$，那么根据$\mathcal{A}_{xy}$的定义，存在一个$x_0\in X$使得对于所有$g\in \mathcal{A}$，$g(x_0)=0$。相反地，如果存在一个$x_0\in X$使得对于所有$g\in \mathcal{A}$，$g(x_0)=0$，那么对于所有相异于$x_0$的$y\in X$，我们有$\mathcal{A}_{{x_0} y}=\text{span}\{(0,1)\}$。$\square$引理C：对于任意$\epsilon>0$，存在一个实多项式$P$使得$P(0)=0$，且对于所有$x\in [-1,1]$，$||x|-P(x)|< \epsilon$。证明：令$P_0\equiv 0$，$P_{n+1}(x)=P_n(x)+\frac{x^2-P_n^2(x)}{2}$。那么根据数学归纳法可以证明：

- 对于所有$x\in [-1,1]$，$0\leq P_{n}(x)\leq P_{n+1}(x)\leq |x|$。
- 对于所有$x\in [-1,1]$，$||x|-P_n(x)|\leq |x|\left(1-\frac{|x|}{2}\right)^{n}$。

因为$|x|\left(1-\frac{|x|}{2}\right)^{n}\leq \frac{1}{n+1}$，得证。$\square$引理D：对于紧致豪斯多夫空间$X$和闭子代数$\mathcal{A}\subseteq C(X, \mathbb{R})$，如果$g\in \mathcal{A}$，那么$|g|\in \mathcal{A}$，且$\mathcal{A}$是一个晶格。证明：对于非零函数$g\in \mathcal{A}$，令$h=\frac{g}{\lVert g\rVert_{\infty, X}}$，其中$\lVert\cdot\rVert_{\infty, X}$是在$X$上的无穷范数。那么因为$-1\leq h\leq 1$根据引理C，存在一个存在一个实多项式$P$使得$P(0)=0$，且对于所有$x\in X$，有$||h(x)|-P(h(x))|<\epsilon$。因为$P(0)=0$，所以$P(h(x))\in \mathcal{A}$。因为$\epsilon>0$是任意的，所以$|h|\in \mathcal{A}\implies |g|=\lVert g\rVert_{\infty, X}|h|\in \mathcal{A}$。对于任意$f_1, f_2\in \mathcal{A}, \max(f_1, f_2)=\frac{|f_1-f_2|+(f_1+f_2)}{2}\in \mathcal{A}, \min(f_1, f_2)=-\max(-f_1, -f_2)\in \mathcal{A}$。

$\square$引理E：对于紧致豪斯多夫空间$X$和闭晶格$\mathcal{A}\subseteq C(X, \mathbb{R})$，如果$f\in C(X, \mathbb R)$，且对于所有$x,y\in X$，存在$g_{xy}\in \mathcal{A}$使得$g_{xy}(x)=f(x), g_{xy}(y)=f(y)$，那么$f\in \mathcal{A}$。证明：给定$\epsilon>0$，对于所有$x,y\in X$，令$U_{xy}=\{z\in X: f(z)<g_{xy}(z)+\epsilon\}, V_{xy}=\{z\in X: f(z)>g_{xy}(z)-\epsilon\}$。那么根据条件，对于所有$x,y\in X$，$x,y\in U_{xy}\cap V_{xy}$。于是对于任意$y\in X$，${\left\{U_{xy}\right\}}_{x\in X}$是一个$X$的开覆盖。因此存在$n_y\in\mathbb{N}$使得$X=\bigcup_{j=1}^{n_y}U_{x_j y}$。注意到这等价于对所有$z\in X$，存在一个$j=1,\cdots, n_y$使得$f(z)<g_{x_{j}y}(z)+\epsilon$。于是，如果令$g_y(z)=\max_{j=1,\cdots, n_y}g_{x_{j}y}(z)$，那么对于所有$z\in X,f(z)<g_y(z)+\epsilon$且对于所有$z\in \bigcap_{j=1}^{n_y}V_{{x_j}y},f(z)>g_y(z)-\epsilon$。令$V_y=\bigcap_{j=1}^{n_y}V_{x_j y}$，那么因为$\left\{V_y \right\}_{y\in X}$是是一个$X$的开覆盖。存在$y_1,\cdots,y_m\in X$使得$X=\bigcup_{k=1}^m V_{y_k}$。令$g=\min_{k=1,\cdots,m}g_{{y_k}}$。于是$\lVert f-g\rVert_{\infty, X}<\epsilon$。因为$\mathcal{A}$是个闭晶格，$g\in \mathcal{A}\implies f\in \mathcal{A}$。$\square$

### 定理证明：

我们宣称以下等价：

- 对于所有相异$x,y\in X$，$\mathcal{A}_{xy}=\mathbb{R}^2$，其中$\mathcal{A}_{xy}$如引理B中所述。
- $1\in \mathcal{A}$。
- $\mathcal{A}=C(X, \mathbb R)$。

显然，我们有(3)$\implies$(2)。假设(2)成立，那么$\mathcal{A}_{xy}$就不可能是$\text{span}\{(0,1)\}, \text{span}\{(1,0)\}$。所以根据引理Ｂ，(1) 成立。假设(1)成立，那么给定任意$f\in C(X, \mathbb{R})$以及相异$x,y\in X$，有$(f(x), f(y))\in \mathbb{R}^2=\mathcal{A}_{xy}$，所以存在$g_{xy}\in \mathcal{A}$使得$(f(x), f(y))=(g_{xy}(x), g_{xy}(y))$。另外，对于$x\in X$，根据引理B中(2)的等价，存在$g_x\in \mathcal{A}$使得对于$g_x(x)\neq 0$。因此$f(x)=\widetilde{g}(x)$，其中$\widetilde{g}:=\frac{f(x)}{g_x(x)}g_x\in \mathcal{A}$。于是，根据引理D以及引理E，$f\in \mathcal{A}$。因为$f\in C(X, \mathbb R)$是任意的，(3)成立。

类似地，我们宣称以下等价：

- 存在相异$x,y\in X$，$\mathcal{A}_{xy}=\text{span}{(0,1)}, \text{span}{(1,0)}$，其中$\mathcal{A}_{xy}$如引理B中所述。
- 存在$x_0\in X$使得对于所有$g\in \mathcal{A}, g(x_0)=0$。
- 存在$x_0\in X$使得$\mathcal{A}=\{g\in C(X, \mathbb R):g(x_0)=0\}$。

(1)$\iff$(2)已由引理B给出且(3)$\implies$(2)显然。因此，仅须证明(2)$\implies$(3)。假设(2)成立，那么显然有$\mathcal{A}\subseteq\{g\in C(X, \mathbb R):g(x_0)=0\}$。注意到因为$\mathcal{A}$分离相异点，该$x_0$唯一。给定$g\in C(X, \mathbb R)$且$g(x_0)=0$。给定相异$x, y\in X$，如果$x, y\neq x_0$，那么根据引理B (的证明)，$\mathcal{A}_{xy}=\mathbb R^2$，所以存在$g_{xy}\in \mathcal{A}$使得$(g(x), g(y))=(g_{xy}(x), g_{xy}(y))$。如果$x,y$其一为$x_0$，那么根据$x_0$的唯一性，$\mathcal{A}_{xy}=\text{span}\{(1,0)\}, \text{span}\{(0,1)\}$，因此一样有$g_{xy}\in \mathcal{A}$使得$(g(x), g(y))=(g_{xy}(x), g_{xy}(y))$。

给定任意$x\in X$，如果$x=x_0$，那么$g(x_0)=0(x_0)$，其中$0\in \mathcal{A}$指零函数。如果$x\neq x_0$，那么根据$x_0$的唯一性，存在$g_x\in \mathcal{A}$使得$g_x(x)\neq 0$，因此$g(x)=\widetilde{g}(x)$，其中$\widetilde{g}:=\frac{g(x)}{g_x(x)}g_x\in \mathcal{A}$。于是，根据引理D以及引理E，$f\in \mathcal{A}$。因为$f\in C(X, \mathbb R)$是任意的，(3)成立。

## 非紧致空间

根据亚历山德罗夫紧化(Alexandroff's extension)，可以延伸到非紧致的局部紧致豪斯多夫空间中，叙述如下：叙述：给定一个非紧致的局部紧致豪斯多夫空间$X$以及在$X$在无穷远处消失(vanishes at infinity)的实连续函数集$C_0(X, \mathbb{R})$ (也就是说，对于任意$\epsilon>0$，$\{x\in X: |f(x)|\geq \epsilon\}$是一个紧致集)。如果$\mathcal{A}\subseteq C_0(X, \mathbb R)$使一个分离相异点的闭子代数，那么$\mathcal{A}$是以下两个情况之一：

- $\mathcal{A}=C_0(X, \mathbb{R})$。
- 存在一个$x_0\in X$使得$\mathcal{A}=\{g\in C_{0}(X, \mathbb{R}): g(x_0)=0\}$。

## 复数域

在复数域中，包含常数函数$1$的闭子代数$\mathcal{A}\subseteq C(X, \mathbb C)$ 并不会都与$C(X, \mathbb C)$相等。不过如果$\mathcal{A}$对于共轭映射$g\mapsto\bar{g}$封闭，那么有类似的结论：叙述：对于紧致豪斯多夫空间 $(X, \tau)$以及分离相异点，且对共轭封闭的的闭子代数$\mathcal{A}\subseteq C(X,\mathbb{C})$，那么$\mathcal{A}$是以下两个情况之一：

- $\mathcal{A}=C(X, \mathbb{C})$。
- 存在一个$x_0\in X$使得$\mathcal{A}=\{g\in C(X, \mathbb{C}): g(x_0)=0\}$。