三等分角

三等分角是古希腊平面几何里尺规作图领域中的著名问题，与化圆为方及倍立方问题并列为尺规作图三大难题。尺规作图是古希腊人的数学研究课题之一，是对具体的直尺和圆规画图可能性的抽象化，研究是否能用规定的作图法在有限步内达到给定的目标。三等分角问题的内容是：“能否仅用尺规作图法将任意角度三等分？”

三等分角问题提出后，在漫长的两千余年中，曾有众多的尝试，但没有人能够给出严格的答案。随着十九世纪群论和域论的发展，法国数学家皮埃尔·汪策尔首先利用伽罗瓦理论证明，这个问题的答案是否定的：不存在仅用尺规作图法将任意角度三等分的通法。具体来说，汪策尔研究了给定单位长度后，能够用尺规作图法所能达到的长度值。所有能够经由尺规作图达到的长度值被称为规矩数，而汪策尔证明了，如果能够三等分任意角度，那么就能做出不属于规矩数的长度，从而反证出通过尺规三等分任意角是不可能的。

如果不将手段局限在尺规作图法中，放宽限制或借助更多的工具的话，三等分任意角是可能的。然而，作为数学问题本身，由于三等分角问题表述简单，而证明困难，并用到了高等的数学方法，在已被证明不可能实现后，仍然有许多人尝试给出肯定的证明。

## 背景简介

### 尺规作图法

在叙述三等分问题前，首先需要介绍尺规作图的意思。尺规作图问题是从现实中具体的“直尺和圆规画图可能性”问题抽象出来的数学问题，将现实中的直尺和圆规抽象为数学上的设定，研究的是能不能在若干个具体限制之下，在有限的步骤内作出给定的图形、结构或其他目标的问题。在尺规作图中，直尺和圆规的定义是：

直尺：一侧为无穷长的直线，没有刻度也无法标识刻度的工具。只可以让笔摹下这个直线的全部或一部分。

圆规：由两端点构成的工具。可以在保持两个端点之间的距离不变的情况下，固定其中一个端点，让另一个端点移动，作出圆弧或圆。两个端点之间的距离只能取已经作出的两点之间的距离，或者任意一个未知的距离。

定义了直尺和圆规的特性后，所有的作图步骤都可以归化为五种基本的步骤，称为作图公法：

- 通过两个已知点，作一直线。
- 已知圆心和半径，作一个圆。
- 若两已知直线相交，确定其交点。
- 若已知直线和一已知圆相交，确定其交点。
- 若两已知圆相交，确定其交点。

尺规作图研究的，就是是否能够通过以上五种步骤的有限次重复，达到给定的作图目标。尺规作图问题常见的形式是：“给定某某条件，能否用尺规作出某某对象？”比如：“给定一个圆，能否用尺规作出这个圆的圆心？”等等。

### 问题叙述

三等分角问题的完整叙述是：

任意给定一个角，是否能够通过以上说明的五种基本步骤，于有限次内作出另一个角，等于这个角的三分之一？

关于这个叙述中的用词和术语，需要一一作出定义。“角”可以有两种等价的定义：一个角可以是由一点和从它出发的两条射线构成的集合，也可以是由三点和连接它们的两条线段构成的集合。以下的叙述中采取第二个定义，用三个大写英文字母或一个希腊字母表示一个角。角AOB指的是由三点A, O, B以及线段AO和OB构成的集合，也可以直接用一个希腊字母如α表示。两个角AOB和A'O'B'相等，指的是以下条件：如果将线段OA沿点A延长为射线，在上面作一点C使得OC $=$ O'A'，同时将线段OB沿点B延长为射线，在上面作一点D使得OD $=$ O'B'，则CD $=$ A'B'。

一个角α等于另一个角β的三分之一，指的是角β等于角α的三倍。而一个角AOB等于角AOC的k倍（k > 1为自然数），指的是可以找到点B1, B2, ... , Bk等，使得k个角AOB1, B1OB2, ... , Bk-1OBk都等于AOC，并且点Bk就是点B。

### 二等分角问题

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与三等分角问题相比，用尺规作图将任意角二等分要容易得多。右图具体说明了二等分一个角的步骤。依照类似的步骤，也能够将任意角四等分、八等分……但直到十九世纪，随着群论和伽罗瓦理论的出现，数学家们才认识到二等分角和三等分角本质上的不同。在现代数学语言中，更常用域扩张的理论来论述三等分角的问题。从证明三等分角的过程中可以知道，尺规作图的方法不但不能三等分任意角，也不能将任意角五等分、七等分、九等分、十一等分。其理由涉及到直线和圆的解析性质。

## 不可能性的证明

1837年，法国数学家汪策尔证明了，三等分角问题是没有办法完成的。

三等分角问题提出后，有许多基于平面几何的论证和尝试，但在十九世纪以前，一直没有完整的解答。没有人能够给出将任意角度三等分的确实做法，但开始怀疑其可能性的人之中，也没有人能够证明这样的做法一定不存在。直到十九世纪后，伽罗瓦和阿贝尔(全名:尼尔斯·阿贝尔)开创了以群论来讨论有理系数多项式方程之解的方法，人们才认识到三等分角问题的本质。

### 尺规可作性和规矩数

在研究各种尺规作图问题的时候，数学家们留意到，能否用尺规作出特定的图形或目标，本质是能否作出符合的长度。引进直角坐标系和解析几何以后，又可以将长度解释为坐标。比如说，作出一个圆，实际上是作出圆心的位置（坐标）和半径的长度。作出特定的某个交点或某条直线，实际上是找出它们的坐标、斜率和截距。为此，数学家引入了尺规可作性这一概念。假设平面上有两个已知的点O和A，以OA为单位长度，射线OA为x-轴正向可以为平面建立一个标准直角坐标系，平面中的点可以用横坐标和纵坐标表示，整个平面可以等价于$\mathbb{R}^2$。

设E是$\mathbb{R}^2$的一个非空子集。如果某直线$\mathcal{l}$经过E中不同的两点，就说$\mathcal{l}$是E-尺规可作的，简称E-可作。同样地，如果某个圆$\mathcal{C}$的圆心和圆上的某个点是E中的元素，就说$\mathcal{C}$是E-可作的。进一步地说，如果$\mathbb{R}^2$里的某个点P是某两个E-可作的直线或圆的交点（直线－直线、直线－圆以及圆－圆），就说点P是E-可作的。这样的定义是基于五个基本步骤得来的，包括了尺规作图中从已知条件得到新元素的五种基本方法。如果将所有E-尺规可作的点的集合记作s(E)，那么当E中包含超过两个点的时候，E肯定是s(E)的真子集。从某个点集E0开始，经过一步能作出的点构成集合E1 $=$ s(E)，经过两步能作出的点就是E2 $=$ s(E1)，……以此类推，经过n步能作出的点集就是En $=$ s(En-1)。而所有从E能尺规作出的点集就是：

$C(\mathrm{E}_0) = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} \mathrm{E}_n$。

另一个与尺规可作性相关的概念是规矩数。设H是从集合E0 $=$ {(0,0), (0,1)}开始，尺规可作点的集合：H $=$ C(E0)，那么规矩数定义为H中的点的横坐标和纵坐标表示的数。

定义：实数a和b是规矩数当且仅当(a, b)是H中的一个点。

可以证明，有理数集$\mathbb{Q}$是所有规矩数构成的集合K的子集，而K又是实数集$\mathbb{R}$的子集。另外，为了在复数集$\mathbb{C}$内讨论问题，也会将平面$\mathbb{R}^2$看作复平面$\mathbb{C}$，同时定义一个复数a+bi是（复）规矩数当且仅当点(a, b)是H中的一个点。所有复规矩数构成的集合L也包含$\mathbb{Q}$作为子集，并且是复数集$\mathbb{C}$的子集。从尺规可作性到解析几何下的规矩数，三等分角问题从几何问题转成了代数的问题。

### 域的扩张与最小多项式

以集合的观念来说，L与$\mathbb{Q}$、$\mathbb{C}$之间是子集与包含的关系。以抽象代数的观点来说，可以证明L是有理数域$\mathbb{Q}$的扩域，是实数域$\mathbb{C}$的子域。记作$\mathbb{Q} \subseteq \mathrm{L} \subseteq \mathbb{C}$。域是抽象代数中的概念，是能够进行“加减乘除”运算的集合。从单位长度出发，很容易得到任何有理数长度的线段，所以直线OA（也就是实数轴）上所有的有理数坐标的点都是尺规可作点。如果平面上还有另一个尺规可作点（对应复数z），那么也能做出任意pz+q的点，甚至于任何形如：

$$\frac{P_1(z)}{P_2(z)}$$

点（其中P1和P2是两个多项式）。有理数域$\mathbb{Q}$和所有因为z而多出来的尺规可作点仍旧构成一个域，称为$\mathbb{Q}$关于z的扩张，记作$\mathbb{Q}(z)$。然而，$\mathbb{Q}(z)$中的元素并没有表面上那么“多”。一般来说，如果有一个多项式P使得P(z)=0，那么$\mathbb{Q}(z)$中的元素都可以写成λ1+λ2z+...+λdzd-1的形式，其中d是P的阶数。这样的情况称为域$\mathbb{Q}$的有限扩张，因为$\mathbb{Q}(z)$可以看成关于$\mathbb{Q}$的有限维线性空间。为了确定这个线性空间的维数，需要为它找一个基底，也就是一个线性无关的最小生成集。为此，寻找使得m(z) $=$ 0的多项式中阶数最小的，并称m是z最小多项式。在最小多项式确定后，便可确定1, z, ... , zdm-1是$\mathbb{Q}(z)$的一个基底，$\mathbb{Q}(z)$是一个dm维的$\mathbb{Q}$-线性空间（dm是m的阶数）。这时候也称dm是域扩张$\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}(z)$的阶数，记作：

$$[ \mathbb{Q}(z) : \mathbb{Q} ] = \mathrm{d}_m$$

### 规矩扩张的阶数

对任何一个尺规可作点，都可以考察它对应的域扩张的阶数。由于每个尺规可作点都是通过五种作图公法的有限次累加得到的，而其中生成新点（也就是新坐标）的只有后三种。所以只需考察这三种步骤得到的新点对应的域扩张的阶数。假设某个时刻，已知的所有尺规可作点构成的域是L，那么生成新点时的直线和圆的系数都在L里面。

直线的方程是：$ax + by + c = 0, \quad a, b, c \in \mathrm{L}, \qquad \qquad \cdots \; \; (1)$

圆的方程是：$(x -c_1)^2 + (y - c_2)^2 = r^2, \quad c_1, c_2, r \in \mathrm{L}.\qquad \qquad \cdots \; \; (2)$

无论是两个(1)类方程，两个(2)类方程，还是一个(1)类和一个(2)类方程联立求解，得到的x和y值都会是形同

$$\begin{cases} x = p_1 + q_1\sqrt{t} & p_1 , \; q_1 , \; t \; \in \mathrm{L}\\ y = p_2 + q_2\sqrt{t} & p_2 , \; q_2 \; \in \mathrm{L} \end{cases}$$

数值。所以复规矩数z $=$ x+yi满足一个二次方程：

$$(z - (p_1 + p_2 i))^2 = t(q_1 + q_2 i)^2$$

其中的p1+p2i、q1+q2i以及t都是L中的元素。这意味着，域扩张L⊆L(z)的阶数最多是2（最小多项式的阶数至多是2）。这又说明，从L开始，经过一系列（n次）基本步骤得到的尺规可作点，代表了n次域扩张：

$\mathrm{L} \subseteq \mathrm{L}_1 \subseteq \cdots \subseteq \mathrm{L}_n$。

而每次域扩张的阶数：Lk : Lk-1都不超过2。因此，如果从基本的有理数域出发的话，就能得到如下的定理：

任何复规矩数z对应的域扩张$\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}(z)$的阶数$[ \mathbb{Q}(z) : \mathbb{Q} ]$都是2的某个幂次：

$[ \mathbb{Q}(z) : \mathbb{Q} ] = 2^s$ 其中的s是某个小于n的自然数（n是已知所有有理数坐标点时，作出z对应的点要经过的基本步骤数目）。

### 三等分角的反证

上文已经说明，任何可以用尺规作图作出的点，其座标对应一个复规矩数，它的最小多项式次数为$2^{s}$。以下用反证法证明三等分任意角是不可能的。反设可以用尺规作图将任意角三等分，代表对任意角度是$\theta$的角，均可以由尺规作图得到 角度为$\frac{\theta}{3}$的角。这等价于说在已知单位长度和$\cos{\theta}$的时候能做出$\cos{\frac{\theta}{3}}$的长度。设L是包含了$\cos{\theta}$和单位长度1的域。用尺规作图可以得到$z = \cos{\frac{\theta}{3}}$，说明域扩张的阶数是2的幂次：

$$[ \mathrm{L}(z) : \mathrm{L} ] = 2^s$$

然而根据三倍角公式：

$\cos \theta = 4 \cos^3 {\frac{\theta}{3}} -3 \cos {\frac{\theta}{3}} = 4z^3 - 3z$。

运用多项式的知识可以证明，$z$在L中的最小多项式的阶数必定不大于3，也就是说是1，2或者3。比如说当角度$\theta = 60^\circ$时，L就是$\mathbb{Q}$（$\cos{\theta}=\frac12 \in \mathbb{Q}$）三倍角公式变成：

$4 z^3 - 3 z = \cos{60^\circ} = \frac{1}{2}$，即是：

$$8 z^3 - 6 z - 1 = 0$$

这个多项式不可约，所以这个方程的解不属于有理数集$\mathbb{Q}$，所以可以证明$[\mathbb{Q}(z) : \mathbb{Q}] = 3$。然而3不是2的幂次，这和之前的结论矛盾。如此便说明，无法用尺规作图将任意角三等分。$\Box$

## 能够尺规三等分的角度

以上的证明通过一个反例：$\theta = 60^\circ$说明了用尺规作图将任意角三等分是不可能的。但用尺规作图三等分某些特定的角（比如说直角）仍然是可行的。事实上，从证明中可以看出，尺规三等分某个角$\theta$等价于说$[ \mathrm{L}(\cos{\frac{\theta}{3}}) : \mathrm{L} ] = 1$。要注意的是，这个条件与$\cos{\theta}$本身能否用尺规作图作出并不相关。实际上，有的角度$\theta$即便本身无法用尺规作图法作出，但如果已知角$\theta$作为条件，是能够用尺规作图将它三等分的。角度$3\pi/7$就是这样一个例子。它本身无法用尺规作出，但如果给定一个$3\pi/7$的角，它的五倍角就是$15\pi/7$，等于将圆周绕过一圈后的$\pi/7$，这正是$3\pi/7$的三分之一。可以证明，角度$2\pi/N$可以用尺规三等分，当且仅当自然数N本身无法被三整除。

从证明中还可看出，只要自然数k只含有2以外的质因子，根据k倍角公式得到的k阶多项式就说明$\cos{\frac{\theta}{k}}$的最小多项式阶数整除k，所以不是2的幂次，从而无法用尺规作图k等分任意角。例如用尺规作图五等分任意角、七等分任意角等等都是不可能的（$2\pi/N$可以五等分，当且仅当N不是5的倍数；而不管N是多少，$2\pi/N$都不能七等分，因为正七边形本身就不能尺规作图了）。

## 三等分角的方法

用尺规作图的方法三等分角被证明是不可行的。如果放宽尺规作图的限制，或允许使用另外的工具，那么三等分任意角仍旧是可能的。

### 无限次步骤

尺规作图要求在有限次步骤内将任意角三等分。如果我们允许使用无限次的步骤来构造三等分角的话，可以利用

$$\frac13 = \frac14 + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + \cdots$$

这个无穷级数的和来实现。给定任意一的角度为$\theta$的角。已知尺规二等分角是可行的，所以重复两次就能够四等分一个角$\theta$，得到$\frac{\theta}{4}$。同样地，可以作出$\frac{\theta}{4^2}$、$\frac{\theta}{4^3}$等所有形同$\frac{\theta}{4^n}$的角。将它们逐次相加，就能够在无限次（可数次）操作后用尺规作图得到

$\frac{\theta}{4} + \frac{\theta}{4^2} +\frac{\theta}{4^3} + \cdots = \frac{\theta}{3}$。

在这个公式下误差值为下

- $\left| \frac{\theta}{3} - \sum_{k=1}^n \frac{\theta}{4^k} \right| = \frac{\theta}{3 \cdot 4^n}$ 根据此估算：
- 若$\theta = 180^\circ$时，取前 15 项误差可小于$10^{-6}$，若$\theta = 1^\circ$ 时，仅需 9 项即可达成同样精度。
- 可见此级数具有快速收敛特性，在有限项下已可逼近任意角的三等分角，具有实作价值。

### 二刻尺

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如果允许使用有刻度的直尺（二刻尺），则三等分任意角是可行的。右图为把角a三等分的示意图。这个想法最早由阿基米德提出。

首先，在直尺上有两个刻度，相距AB。把角上的直线延长，并作一个半径为AB的圆。

把直尺的一点固定在A，并将直尺绕着点A移动，直到其中一个刻度位于点C，另一个刻度位于点D，也就是说，CD $=$ AB。这时，角b就是角a的三分之一。

要证明$a = 3b$，我们需要利用直线上的邻角(adjacent angles on straight line)，三角形的内角和(angle sum of triangle)及等腰三角形底角(base angle, isosceles triangle)。

证明：

- $e + c = 180^\circ$。
- $e + 2b = 180^\circ$。
- 两式相减，得$c = 2b$。
- $d + 2c = 180^\circ$，因此$d = 180^\circ - 2c$，把上式代入，得$d = 180^\circ - 4b$。
- $a + d + b = 180^\circ$，因此$a + (180^\circ - 4b) + b = 180^\circ$。

所以，$a - 3b = 0$，或$a = 3b$。证毕。

或者，可以利用三角形的外角(Exterior Angle of a Triangle)作证明。

$$b + b = c$$

$$b + c = a$$

$$\Rightarrow{ b} + 2b = a$$

$$\Rightarrow {a} = 3b$$

同样也可证明。

### 借助其他形状或工具

尺规作图的规定来自于古希腊的柏拉图学派，他们认为仅有直线和圆是完美的形状。事实上，如果允许在作图中使用其他的曲线或形状，那么三等分任意角是可行的。例如：已知角AOB，做其角平分线OC。以直线OC为准线，点A为焦点，作一双曲线；同时以O为圆心，OA为半径做圆。设该圆与双曲线在角AOB内侧的交点为D，那么角AOD等于角AOB的三分之一。此外，麦克劳林、利马松等人也曾经设计过可以辅助三等分角的曲线。阿基米德螺线（等角螺线）也是能够直观帮助三等分角的曲线。在极坐标中，阿基米德螺线的方程是：

$$\rho = c \theta$$

其中的$\rho$是极径（离原点的距离），$\theta$是幅角。由于极径和幅角成正比，所以要寻找等于给定角度三分之一的角度，只需要确定原角度对应的极径长度$\rho_0$，然后对比找出$\frac{\rho_0}{3}$对应的角度即可。

## 外部链接

- HPM 通讯第6卷第6期，3大作图题 介绍在较宽松的条件下（允许使用有刻度的直尺或配合其他曲线）用尺规作图，来求解三等分角问题。
- 三等分任意角可能吗？