幂级数

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在数学中，幂级数（power series）是一类形式简单而应用广泛的函数级数，变量可以是一个或多个（见“多元幂级数”一节）。单变量的幂级数形式为：

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n$$

$$= a_0 + a_1 (x-c)^1 + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots$$

其中的c和$a_0 ,a_1 ,a_2 \cdots a_n \cdots$是常数。$a_0 ,a_1 ,a_2 \cdots a_n \cdots$称为幂级数的系数。幂级数中的每一项都是一个幂函数，幂次为非负整数。幂级数的形式很像多项式，在很多方面有类似的性质，可以被看成是“无穷次的多项式”。

如果把$(x-c)$看成一项，那么幂级数可以化简为$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$的形式。后者被称为幂级数的标准形式。一个标准形式的幂级数完全由它的系数来决定。

将一个函数写成幂级数$\sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n$的形式称为将函数在c处展开成幂级数。不是每个函数都可以展开成幂级数。

幂级数是分析学研究的重点之一，然而在组合数学中，幂级数也占有一席之地。作为母函数，由幂级数概念发展出来的形式幂级数是许多组合恒等式的来源。在电子工程学中，幂级数则被称为Z-变换。实数的小数记法也可以被看做幂级数的一种，只不过这里的x被固定为$\frac{1}{10}$。在p-进数中则可以见到x被固定为$10$的幂级数。

## 例子

多项式可以看做系数从某一项开始全是零的幂级数，例如多项式$f(x) = x^2 + 2x + 3$可以写成标准形式的幂级数：

$$f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots$$

也可以写成（$c=1$）：

$$f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2 + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots$$

实际上，多项式可以写成在任意c附近展开的幂级数。就这个意义上说，幂级数是多项式的推广。

等比级数的公式给出了对$|x|<1$，有

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$，是幂级数中基本而又重要的一类。同样重要的还有指数的幂级数展开：

$$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,$$

以及正弦函数（对所有实数x成立）：

$$\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots,$$

这些幂级数都属于泰勒级数。

幂级数里不包括负的幂次。例如$1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots$就不是幂级数（它是一个洛朗级数）。同样的，幂次为分数的级数也不是幂级数。系数$a_n$必须是和x无关，比如$\sin(x) x + \sin(2x) x^2 + \sin(3x) x^3 + \cdots \,$就不是一个幂级数。

## 敛散性

作为级数的一种，幂级数的敛散性也是研究幂级数的重点之一。对同一个幂级数，当变量x在复数中变化时，幂级数可能收敛，也可能发散。作为判断的依据，有：

阿贝尔引理：给定一个幂级数$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$，如果对实数$r_0>0$，数列$( |a_n| r_0^n)_{n \ge 0}$ 有界，那么对任意复数$|x| < r_0$，$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$绝对收敛。

证明：

如果$|x| <r_0$，那么由于数列$( |a_n| r_0^n)_{n \ge 0}$ 有界，存在正实数M使得对任意的n，总有$0 \le |a_n| r_0^n \le M$。所以：

$$\sum_{n=0}^\infty |a_n\, x^n| = \sum_{n=1}^\infty \left(|a_n|\, r_0^n\right)\cdot \left(\frac{|x|}{r_0}\right)^n$$

$$\ \ \le \sum_{n=0}^\infty M \cdot \left(\frac{|x|}{r_0}\right)^n$$

$$\ \ = M \cdot \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{|x|}{r_0}\right)^n$$

正数比值$\frac{|x|}{r_0}$严格小于1，因此上面的等比级数收敛，于是$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$绝对收敛。

按照引理，使得幂级数$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$收敛的复数的集合总是某个以原点为中心的圆（不包括边界），称为收敛圆盘，其边界称为收敛圆。具体来说，就是：

- 要么对所有的非零复数，$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$都发散。
- 要么存在一个正常数（包括正无穷）$R$，使得当$|x| < R$时，$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$绝对收敛，当$|x| > R$时，$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$发散。

这个可以用来辨别幂级数是否收敛的常数$R$被称为幂级数的收敛半径，当属于第一种情况时，规定收敛半径为零。

按照定义，对一个幂级数$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$，当$|x| <R$（在收敛圆盘内）时（如果有的话），幂级数必然收敛；而当$|x| > R$时（如果有的话），幂级数必然发散。但是如果$|x| = R$（在收敛圆上）的话，这时幂级数的敛散性是无从判断的，只能具体分析。

根据达朗贝尔审敛法，收敛半径$R$满足：如果幂级数$\sum a_n x^n$满足$\lim_{n \to \infty} |{a_{n+1} \over a_n}| = \rho$，则：

$\rho$是正实数时，$R = {1 \over \rho}$。

$\rho = 0$时，$R = \infty$。

$\rho = \infty$时，$R = 0$。

根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式：

$$R=\liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}}$$

或者$\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{\frac{1}{n}}$。

## 幂级数的运算

形式上，幂级数的加减法运算是将相应系数进行加减。

$$(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots) \pm (b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_nx^n+\cdots)=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+\cdots+(a_n+b_n)x^n+\cdots$$

两个幂级数的乘积基于所谓的柯西乘积：

$$\left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)$$

$$= \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (x-c)^{i+j}$$

$= \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-c)^n$。

各种运算后，得到的幂级数的收敛半径是两个幂级数中的较小者。

## 一致收敛性

对一个收敛半径为R的幂级数$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$，可以证明，幂级数在收敛圆盘上一致收敛。这个性质称为内闭一致收敛。因此，考虑幂级数函数

$$f : (-R,R) \longrightarrow \mathbb{R}$$

$$.\ \ \ \ \ \ x \longmapsto \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$$

它在收敛区间(-R,R)上是连续函数。

## 幂级数函数的求导和积分

可以证明，幂级数函数f在收敛区间上无穷次可导，并且可积。此外，由于幂级数函数f在收敛圆盘内一致收敛，可以进行逐项求导和积分，而且其导函数和积分函数都是在收敛区间上连续的幂级数函数。它们的收敛半径等于$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$的收敛半径R。具体形式为：

$$f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n x^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) x^{n}$$

$$\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n x^{n+1}} {n+1} + k = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} x^{n}} {n} + k$$

## 函数的幂级数展开

鉴于幂级数函数的良好分析性质以及对之深入的研究，如能将要研究的函数以幂级数形式来表示，将有助于对其性质的研究。然而，不是所有的函数都能展开为幂级数。一个函数在一点c附近可展（可以展开为幂级数），当且仅当存在正实数R>0，使得在复平面中以c为圆心以R为半径的圆D(c,R)内（不包括边界）有：

$$\forall z\in D(c, R),\qquad f(z)=\sum_{n=0}^{+{\infty}}a_n(z-c)^n$$

其中$a_n$为确定的常数。

如果一个函数在某处可展，那么它在这点无穷可导（$C^{\infty}$），并且在这点附近的展开式是唯一的。

$$\forall n\in\mathbb{N},\,a_n={f^{(n)}(c)\over{n!}}$$

即是在这点的泰勒展开的第n项的值。这时展开得到的幂级数称为函数f在c点的泰勒级数。

### 函数的可展性

对于一般的无穷可导函数$f$，也可以写出幂级数$\sum_{n=0}^{+{\infty}} {f^{(n)}(c)\over{n!}} (x-c)^n$，但即使这个幂级数收敛，其值也不一定等于$f$。例如函数$f$：

当x>0时，$f(x)=e^{-1/x^2}$

当$x \le 0$时，$f(x)=0$

可以证明$f$无穷可导，并且在0处的每阶导数都是零，因此相应的幂级数$\sum_{n=0}^{+{\infty}} {f^{(n)}(0)\over{n!}} (x)^n$恒等于0，不等于$f$。

函数可以展开成幂级数的充要条件是其泰勒展开的余项趋于零：

$R_n(x)= f(x) -\sum_{n=0}^{n} {f^{(n)}(c)\over{n!}} (x-c)^n \rightarrow 0$。

一个更常用到的充分条件是：

如果存在正实数r，使得$f$在区间$(c-r,c+r)$上无穷可导，并且存在正数M使得对任意的n，任意的$x \in (c-r,c+r)$都有

$|f^n (x)| \le M^n$，那么$f$可以在c附近展开成幂级数：

$\forall x \in (c-r,c+r) , \ \ f(x)= \sum_{n=0}^{+{\infty}} {f^{(n)}(c)\over{n!}} (x-c)^n$。

### 常见函数的幂级数展开

以下是一些常见函数的幂级数展开。运用这些展开可以得到一些重要的恒等式。

- $\forall x\in\mathbb{C},\, e^x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{x^n}{n!}}.$
- $\forall x\in\mathbb{R},\, \cos x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}(-1)^n\,{\frac{x^{2\,n}}{(2\,n)!}}.$
- $\forall x\in\mathbb{R},\, \sin x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}(-1)^n\,{\frac{x^{2\,n+1}}{(2\,n+1)!}}.$
- $\forall x\in\mathbb{R},\, \operatorname{ch}\,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{x^{2\,n}}{(2\,n)!}}.$
- $\forall x\in\mathbb{R},\, \operatorname{sh}\,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{x^{2\,n+1}}{(2\,n+1)!}}.$
- $\forall x\in D(0,1),\, {1\over{1-x}}=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{x^n}.$
- $\forall x\in(-1,1],\, \ln (1+x)=\sum_{n=1}^{+{\infty}}(-1)^{n+1}{x^{n}\over{n}}.$
- $\forall x\in[-1,1],\, \arctan \,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}(-1)^n\,{\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}\;$，特别地，$\pi=4\,\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{(-1)^{n}}{2\,n+1}}$。
- $\forall x\in\,(-1,1),\ \forall \alpha\,\not\in\, \mathbb{N},\, (1+x)^\alpha \,=1\;+\;\sum_{n=1}^{+{\infty}}{\frac{\alpha\,(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\,x^n}.$
- $\forall x\in\mathbb{R},\, \forall \alpha\,\in\, \mathbb{N},\, (1+x)^\alpha \,=1\;+\;\sum_{n=1}^{+{\infty}}{\frac{\alpha\,(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\,x^n}=\sum_{n=0}^{\alpha}{{\alpha \choose n}\, x^n}.$
- $\forall x\in(-1,1),\, \operatorname{artanh} \,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}\,{\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}.$
- $\forall x\in(-1,1),\, \arcsin \,x= x + \sum_{n=1}^{+{\infty}}\,\left({\frac{\prod_{k=1}^{n}\,(2\,k-1)}{\prod_{k=1}^{n}\,2\,k}}\right){\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}$
- $\forall x\in(-1,1),\, \operatorname{arsinh} \,x=x + \sum_{n=0}^{+{\infty}}\,(-1)^n\,\left({\frac{\prod_{k=1}^{n}\,(2\,k-1)}{\prod_{k=1}^{n}\,2\,k}}\right) {\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}$
- $\forall x\in\, \left( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) , \ \tan x= \frac{2}{\pi}\, \sum_{n=0}^{+{\infty}}\,{\left({\frac{x}{\pi}}\right)}^{2\,n+1}(2^{2\,n+2}-1)\;\zeta (2\,n+2)$，其中$\forall p>1,\,\zeta(p)=\sum_{n=1}^{+{\infty}}\,\frac{1}{n^p}$

## 幂级数与解析函数

局部上由收敛幂级数给出的函数叫做解析函数。解析函数可分成实解析函数与复解析函数。所有的幂级数函数在其收敛圆盘内都是解析函数，并且在所有点上都可展。根据零点孤立原理，解析函数的零点必然是孤立点。在复分析中，所有的全纯函数（即复可微函数）都是无穷可微函数，并是复解析函数，这在实分析中则不然。

## 形式幂级数

在抽象代数中，幂级数研究的重点是其作为一个半环的代数性质。幂级数的系数域是实数或复数或其它的域不再重要，敛散性也不再讨论。这样抽离出的代数概念被称为形式幂级数。形式幂级数在组合代数有重要用处，例如作为母函数而运用在许多组合恒等式的推导中。

## 多元幂级数

幂级数概念在多元微积分学中的一个推广是多元幂级数：

$$f(x_1,\dots,x_n) = \sum_{j_1,\dots,j_n = 0}^{\infty}a_{j_1,\dots,j_n} \prod_{k=1}^n \left(x_k - c_k \right)^{j_k},$$

其中j = (j1, ..., jn)是一个系数为非负整数的向量。系数a(j1,...,jn)通常是实数或复数。c = (c1, ..., cn)和变量x = (x1, ..., xn)是实数或复数系数的向量。在多重下标的表示法中，则有

$$f(x) = \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^n} a_{\alpha} \left(x - c \right)^{\alpha}.$$

## 参考文献

- 幂级数介绍
- 幂级数展开
- 幂级数与泰勒展开
- Henri Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes
- Jean Dieudonné, Calcul infinitésimal
- John H. Mathews、Russell W. Howell, COMPLEX ANALYSIS: for Mathematics and Engineering，第5版, 2006