有理函数

有理函数（Rational function）是可以表示为以下形式的函数：

$f(x)=\frac{a_m x^m+a_{m-1} x^{m-1}+\cdots +a_1x+a_0}{b_n x^n+b_{n-1} x^{n-1}+\cdots +b_1x+b_0} = \frac{P_m(x)}{Q_n(x)} \quad ; \quad m, n \in \mathbb{N}_0$，$b_i$不全为0。

有理数式是多项式除法的商，有时称为代数分数。

## 渐近线

- 不失一般性可假设分子、分母互质。若存在$r>0$，使得$(px+q)^r$是分母$Q(x)$的因子，则有理函数存在垂直渐近线$x=-q/p$。
- 若$m<n$，有水平渐近线$y=0$。
- 若$m=n$，有水平渐近线$y=\frac{a_m}{b_m}$。
- 若$m=n+1$，有斜渐近线$y=\frac{a_m}{b_n} x + \frac{b_n*a_{m-1} - b_{n-1}*a_m}{{b_n}^2}$。

只有一条水平渐近线

## 泰勒级数

有理函数的泰勒级数的系数满足一个线性递归关系。反之，若一个泰勒级数的系数满足一个线性递归关系，它对应的函数是有理函数。

## 部分分式

部分分式，又称部分分数、分项分式，是将有理数式分拆成数个有理数式的技巧。

有理数式可分为真分式、假分式和带分式，这和一般分数中的真分数、假分数和带分数的概念相近。真分式分子的次数少于分母的。

若有理数式$\frac{P(x)}{Q(x)}$的分母$Q(x)$可分解为数个多项式的积，其部分分数便是$\sum\frac{A_n}{Q(x)/h_n(x)}$，其中$h_n(x)$是$Q(x)$的因子，$A_n$是次数不大于Q(x)/h_n(x)的多项式。

### 例子

- 分拆$\frac{x^3 - 5x +88}{x^2 + 3x - 28}$

分子的次数是3，分母的是2，所以先将它转成真分式和多项式的和（即带分式）：

$$x-3 + \frac{32 x+4}{x^2 + 3x - 28}$$

因为$x^2 + 3x - 28 = (x+7)(x-4)$，所以

$$\frac{32 x+4}{x^2 + 3x - 28} = \frac{A}{x+7} + \frac{B}{x-4}$$

其中A和B是常数。两边乘以$x^2 + 3x - 28$，得

$$\ 32x + 4 = A(x-4) + B(x+7)$$

即

$$\ 32x + 4 = (A+B)x + (7B-4A)$$

比较系数，得

$$\ A + B = 32$$

$$\ 7B - 4A = 4$$

解得$A=20, B=12$。

故：

$$\frac{x^3 - 5x +88}{x^2 + 3x - 28} = x + \frac{20}{x+7} + \frac{12}{x-4} - 3$$

也可以把x的特殊值代入等式来解出A和B。例如，当x=4时，我们有

$$\ 128 + 4 = 11B$$

$$\ B = 12$$

当x=-7时，我们有

$$\ -224 + 4 = -11A$$

$$\ A = 20$$

### 应用

- 裂项和
- 复分析
- 拉普拉斯变换

## 积分

### 部分分数

在计算有理数式的积分时，部分分数的方法很有用，因为分母的1和2次多项式的有理数式的积分都有固定的方法计算。

- 分母为1次多项式：求$\int \frac{1}{ax+b} dx$。

设$u=ax+b$：

$$\frac{du}{dx} = a$$

$$\frac{du}{a} = dx$$

原式变为

$$\int \frac{1}{u} \frac{du}{a} = \frac{1}{a} \int \frac{1}{u} {du} = \frac{\ln\left|u\right|}{a} + C = \frac{\ln\left|ax+b\right|}{a} + C$$

- 分母次数为2：求$\int \frac{dx+e}{ax^2+bx+c} dx$。

若多项式$ax^2+bx+c$可分解为两个一次多项式的积（即$b^2-4ac \ge 0$），则可用部分分数的方法解决。若多项式不可分解，则将它配方，再用各种替代法解决。

例如：

$$\int {x+6 \over x^2-8x+25}\,dx.$$

因为

$$x^2-8x+25=(x^2-8x+16)+9=(x-4)^2+9\,$$

考虑

$$u=x^2-8x+25\,$$

$$du=(2x-8)\,dx$$

$$du/2=(x-4)\,dx$$

将分子分解，以便应用上面的替换：

$$\int {x-4 \over x^2-8x+25}\,dx + \int {10 \over x^2 - 8x + 25} \, dx$$

左边：

$$\int {x-4 \over x^2-8x+25}\,dx = \int {du/2 \over u} = {1 \over 2}\ln\left|u\right|+C = {1 \over 2}\ln(x^2-8x+25)+C$$

另一边：

$$\int {10 \over x^2-8x+25} \, dx = \int {10 \over (x-4)^2+9} \, dx = \int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^2+1}\,dx$$

代入

$$w=(x-4)/3\,$$

$$dw=dx/3\,$$

$${10 \over 3}\int {dw \over w^2+1} = {10 \over 3} \arctan(w)+C={10 \over 3} \arctan\left({x-4 \over 3}\right)+C.$$

另一种可行的代入方法是：

$$\tan\theta={x-4 \over 3},\,$$

$$\left({x-4 \over 3}\right)^2+1=\tan^2\theta+1=\sec^2\theta,\,$$

$$d\tan\theta=\sec^2\theta\,d\theta={dx \over 3}.\,$$

$$\int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^2+1}\,dx = 10/9 \int \frac{1}{\sec^2 \theta} 3 \sec^2 \theta \, d\theta = {10 \over 3} \arctan\left({x-4 \over 3}\right)+C$$

### 奥斯特罗格拉茨基方法

奥斯特罗格拉茨基方法（Ostrogradsky Algorithm / Ostrogradsky's Method）是这样的：

设求积的有理函数为 $\frac{P}{Q}$，其中$P,Q$是多项式，$\deg(P)<\deg(Q)$（$P$的次数少于$Q$）。设$Q_1$为Q的导数Q'和Q的最大公因数，$Q_2 = \frac{Q}{Q_1}$。则有：

$$\int \frac{P}{Q} dx = \frac{P_1}{Q_1} + \int \frac{P_2}{Q_2} dx$$

其中$P_1,P_2$为多项式，$\deg(P_i) < \deg(Q_i)$。

#### 应用例子

- 求 $\int \frac{x dx}{(x-1)^2 (x+1)^3}$。
- $$Q = (x-1)^2 (x+1)^3$$
- $$Q' = 2(x-1)(x+1)^3 + 3(x-1)^2 (x+1)^2 = (x-1)(x+1)^2 ( 5x-1 )$$
- $$Q_1 = gcd(Q,Q') = (x-1)(x+1)^2$$
- $$Q_2 = Q/Q_1 = (x-1)(x+1)$$

设 $P_1 = Ax^2 + Bx + C , \quad P_2 = Dx + E$

$$\int \frac{x dx}{(x-1)^2 (x+1)^3} = \frac{Ax^2 + Bx + C}{(x-1)(x+1)^2} + \int \frac{Dx + E}{(x-1)(x+1)} dx$$

两边取导数：

$$\frac{x}{(x-1)^2 (x+1)^3} = \frac{A x^3 + (2 B - A) x^2 + (3 C - B + 2 A) x - C + B}{ (x-1)^2 (x+1)^3 } + \frac{Dx + E}{(x-1)(x+1)}$$

通分母，右边的分子为：

$$D x^4 + (E + D - A) x^3 + (E - D - 2 B + A) x^2 + (- E - D - 3 C + B - 2 A) x - E + C - B$$

比较分子的多项式的系数，得$A=B=E=-0.125, C=-0.25, D=0$。于是有

$$\int \frac{x dx}{(x-1)^2 (x+1)^3} = \frac{x^2 + x + 2}{8(1-x)(x+1)^2} + \int \frac{dx}{8(x-1)(x+1)}$$

后者可用部分分数的方法求得。

#### 证明

$$\int \frac{P}{Q} dx = \frac{P_1}{Q_1} + \int \frac{P_2}{Q_2} dx$$

$$\frac{P}{Q} = \frac{P'_1 - \frac{Q'_1 P_1}{Q_1} }{Q_1} + \frac{P_2}{Q_2}$$

两边乘以$Q$

$$P = P'_1 Q_2 - \frac{Q'_1 Q_2 P_1}{Q_1} + P_2 Q_1$$

由于 $Q'_1 Q_2 = Q' - Q_1 Q'_2$，而$Q'$和$Q_1 Q'_2$都是$Q_1$的倍数，所以$\frac{Q'_1 Q_2 P_1}{Q_1}$是多项式。

比较两边多项式的次数：

- $$\deg(P) \le \deg(Q)-1$$
- $$\deg(P'_1 Q_2 \le (\deg(Q_1)-1) + (\deg(Q)-\deg(Q_1)) = \deg(Q)-1$$
- $$\deg(\frac{Q'_1 Q_2 P_1}{Q_1}) \le (\deg(Q_1)-1) + (\deg(Q)-\deg(Q_1)) + ( \deg(Q_1) - 1 ) - \deg(Q_1) = \deg(Q) - 2$$
- $$\deg(P_2 Q_1) \le (\deg(Q) - \deg(Q_1) - 1) + \deg(Q_1) = \deg(Q)-1$$

因此$P_1, P_2$有解。

## 应用

- 帕德近似
- 插值

## 参考

- Ostrogradsky's method
- http://www.math.uncc.edu/~droyster/courses/fall01/classnotes/Lecture08.pdf