坐标系

坐标（coordinates）是用来描述或标示某点在空间中绝对位置的有序数组。

坐标轴（coordinate axis）是在某 $n$ 维空间中的一组参数化路径，其操作型定义为：固定其他所有坐标变数，只让其中一个变数改变时，点在空间中移动所形成的轨迹，就是该变数的坐标轴。坐标轴不必然为直线，且不需要遍布全空间；两坐标轴的夹角可以是任意非零角度。

坐标系（coordinate system）是一特定的位置注记系统（参考系），用以确定某点或某目标的空间位置；其定义为：对于一个 n 维系统，能够使每一个点（目标）和一组 n 个标量（有序数组）构成一一对应的系统。坐标轴是组成坐标系的基本元素。

坐标图（coordinate graph）或坐标图形（coordinate graphic），是一个映射机制，它通过一组作为参照基准的坐标轴，将空间中的点与数值序列（坐标）建立起一对一的对应关系。

## 通则

若有序数组只是一个数的坐标系，就称一维坐标系；若有序数组为 n 个独立数的坐标系，就称 n 维坐标系。一般表示 n 维空间的某点，需使用有 n 个数的数组；而同一点的坐标，会因所使用之坐标系的不同而有差异。

坐标系可以用一个有序多元组表示一个点的位置。一般常用的坐标系，各维坐标的数字均为实数，但在高等数学中坐标的数字可能是复数，甚至是或是其他抽象代数中的元素（如交换环）。坐标系可以使几何学的问题转换为数字的问题，反之亦然，是解析几何学的基础。

在地理学中，描述地理位置时所用的经度及纬度构成一种地理坐标系。在天文学中，描绘天体在天球上位置的多种坐标系统是天球坐标系。在物理学中，描述一系统在空间中运动的参考坐标系统则称作参考系。

## 常用的坐标系

### 数线

数线是最简单的坐标系，用一个实数标示一个点在线上的位置。数线中会有一个原点O，以及单位长度及其方向。点P的坐标为从O到P的有号距离，坐标是正值或负值则依P点在原点的哪一侧来决定。数线上每一个点都有唯一的坐标，每一个实数也都可以在数线上找到唯一的对应点。

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### 笛卡儿坐标系

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笛卡儿坐标系也称为直角坐标系，是最常用到的一种坐标系。是法国数学家勒内·笛卡尔在1637年发表的《方法论》附录中提到的。

在平面上，选定二条互相垂直的线为坐标轴，任一点距坐标轴的有号距离为另一轴的坐标，这就是二维的笛卡儿坐标系，一般会选一条指向右方水平线称为x轴，再选一条指向上方的垂直线称为y轴，此两坐标轴设定方式称为“右手坐标系”。

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若在三维系统中，选定三条互相垂直的平面，任一点距平面的有号距离为坐标，二平面的交线为坐标轴，即可产生三维的笛卡儿坐标系。一般会选择x轴及y轴是水平的，z轴垂直往上，且三轴维持右手定则，若先将右手的手掌与手指伸直。然后，将中指指向往手掌的掌面 半空间，与食指呈直角关系。再将大拇指往上指去，与中指，食指都呈直角关系。则大拇指，食指，与中指分别表示了右手坐标系的 x-轴，y-轴，与 z-轴。此概念可以延伸，在n维的欧几里得空间中建立n维的笛卡儿坐标系。

以笛卡儿平面坐标系为基准，右上为第一象限，左上为第二，左下为第三，右下就是第四象限，第一象限的x坐标和y坐标均为正值，第二象限的x坐标为负值，y坐标为正值，第三象限的x坐标和y坐标均为负值，第四象限的x坐标为正值，y坐标为负值，而平面坐标分六大部分，除了四个象限，还有x轴与y轴。在笛卡儿空间坐标系中也可以依xy平面，xz平面及yz平面将不含上述平面空间分为八份，称为卦限，但一般只定义坐标均大于零的为第一卦限。坐标中的各轴线不属于象限或卦限。

### 极坐标系

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极坐标系也是一种常用的平面坐标系统。格雷瓜·德·圣-万桑特（Grégoire de Saint-Vincent）在1625年和博纳文图拉·卡瓦列里在1635年，独立地各自引入了极坐标系这一概念。极坐标中会定一点为极点，再将一条通过极点的射线定为极轴。若给定一角度$\theta$，则可绘出通过极点，和极轴夹角为$\theta$的唯一射线（角度是以从极轴，依逆时针方向旋转到射线），若再给定一实数$r$，可找出上述射线上，距极点距离为有号整数$r$的一点。

在极坐标系中，一坐标$(r,\theta)$只会其对应唯一的一点，但每一点均可对应许多个坐标。例如坐标$(r,\theta)$、$(r,\theta+2\pi)$及$(-r,\theta+\pi)$都是对应同一点的不同坐标。而极点的坐标为$(0,\theta)$，$\theta$可为任意值。

极坐标$r\,$和$\theta \,$可以用下式变换为直角坐标：

$r = \sqrt{y^2 + x^2} \quad$（参阅毕氏定理）

$\theta = \operatorname{atan2}(y, x) \quad$（atan2是已将象限纳入考量的反正切函数）

从直角坐标$x\,$和$y\,$也可以变换为极坐标：

$$x = r \cos \theta \,$$

$$y = r \sin \theta \,$$

若将平面上的极坐标系扩展到立体的空间，可扩展为圆柱坐标系及球坐标系。

### 圆柱坐标系

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圆柱坐标系是将极坐标系的 $(r,\ \theta)$坐标变成 $(\rho,\ \phi)$，再增加一个笛卡尔坐标系的z坐标。如点P的圆柱坐标是$(\rho,\ \phi,\ z)$。

- $\rho$是原点至P点在xy-面上投影点之间的距离，也是点P与正z-轴的垂直距离。
- $\phi$是线OP在xy-面的投影线与正x-轴之间的方位角。
- $z$是点P至点P在xy-面上投影点之间的距离。

直角坐标系和圆柱坐标系的转换关系如下：

$${x}=\rho \,\cos\phi$$

$${y}=\rho \, \sin\phi$$

$${z}={z} \,$$

### 球坐标系

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而球坐标系则是用一个角度 $\phi$表示原点到坐标点的连线与正z-轴之间的相对关系。如点P的球坐标为$(r,\ \theta,\ \phi)$。

- $r$是原点至点P的连线的距离。
- $\theta$为原点到点P的连线与正z-轴之间的倾斜角。
- $\phi$是线OP在xy-面的投影线与正x-轴之间的方位角。

直角坐标和球坐标系的转换关系如下：

$$x ={r} \, \sin\theta \, \cos\phi$$

$$y ={r} \, \sin\theta\, \sin\phi$$

$$z ={r} \, \cos\theta$$

### 齐次坐标

在齐次坐标表示时，会增加一个额外的坐标，例如平面上的一点可以表示为$(x,y,z)$，其中x/z及y/z为其原来在平面上的笛卡尔坐标。其优点是可以在不使用无限大的情形下表示射影平面上的任意点。一般齐次坐标会用在坐标之间的比例比实际的数值来的重要的情形下。

### 其他常用坐标系

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以下是其他一些常用的坐标系：

- 曲线坐标系是一种广义的坐标系，此坐标系是以相交的曲线为基础。
- 其中坐标曲面之间的夹角为直角的坐标系称为正交坐标系。
- 其中坐标曲面之间的夹角不为直角的坐标系称为斜交坐标系。
- 广义坐标是在处理拉格朗日力学时使用。
- 正则坐标是在处理哈密顿力学时使用。
- 普吕克坐标可以将三维空间中的直线描述为6个齐次坐标。
- 重心坐标一般用在三角图中。
- 平面上的对数-极坐标系是以用一点相对原点的角度及其距离的对数来表示。
- 平行坐标将n-维空间中的一点表示为和n条垂直线有交点的折线。

可有一些描述曲线的方式和坐标系无关，这类的方式会使用本征方程，其中有用到像是曲率及弧长等不随坐标系而改变的不变量。这类的本征方程包括：

- 惠威尔方程和弧长和有关。
- 切萨罗方程和弧长及曲率有关。

## 坐标转换

坐标转换是指在描述同一个空间时，由原来的坐标系转换为另一个坐标系。

对于每一个由空间到空间本身的对射，可定义二种坐标转换：

- 一种是每一个点在新坐标系坐标的对射，恰为旧坐标系的坐标。
- 一种是每一个点在旧坐标系坐标的对射，恰为新坐标系的坐标。

例如一维的系统中，若一映射为是往右移三个单位，则第一个坐标转换会将原点从0移到3，因此每个点的坐标都少了3，第二个座标转换会将原点从0移到-3，因此每个点的坐标都多了3。

坐标之间的转换有一定的公式。例如若平面上的笛卡尔坐标$(x,y)$及极坐标$(r,\ \theta)$原点相同，则可以用以下的公式从极坐标转换为笛卡尔坐标：$x=r \cos \theta$及$y=r \sin \theta$。

## 其他几何形状的坐标表示

坐标系常用来描述一个点的位置，不过也可以用坐标系描述其他复杂形状的位置，例如直线、平面、圆或是球等。例如普吕克坐标就是用来描述空间中直线的位置。当有需要时，可以在坐标系的前面加上需描述的形状做为识别，例如直线坐标就是指描述直线位置的坐标。曲线为平行坐标轴的直线。其他坐标系的坐标曲线就是一般的曲线。例如在极坐标系中，若固定$r$为定值所形成的坐标曲线是圆心在原点的圆。

## 坐标曲线及坐标曲面

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若在二维坐标系中一个坐标维持定值，只允许一个坐标变动，所形成的曲线称为坐标曲线（或坐标线）。不过不是所有的坐标系都有坐标曲线，例如齐次坐标系中就没有坐标曲线。

在欧几里得空间中笛卡尔坐标系以外的坐标系即称为曲线坐标系。若在三维坐标系中一个坐标维持定值，允许其他坐标变动，所形成的曲面称为坐标曲面。例如在球坐标系，若固定径向距离r为定值所形成的坐标曲面是球心在原点的球。三维空间中二坐标曲面的交线即为坐标曲线。在更高维度的空间也可依此定义坐标超曲面。

## 参考系

在几何学及运动学中，坐标系不但会用来描述点的直线位置，也会用来描述轴、正切角平面或刚体的角度取向。一般会设定一固定于刚体的参考系，称为附体参考系。在笛卡尔坐标系中，坐标附体参考系，另一个不随刚体变动的参考则为空间参考系。一般刚体的运动可以在附体参考系下的坐标来表示，再根据附体参考系相对空间参考系的位置及取向来取得刚体相对空间的运动。例如刚体的角度取向可以用一个方向矩阵来描述，矩阵的三个栏是三个点的笛卡尔坐标，这些可用来标示局部坐标系统的坐标轴方向，也可用来计算坐标轴的单位向量。

## 坐标图

坐标图（coordinate map）的概念是流形理论的核心。本质上坐标图是一个针对给定空间子集的坐标系，其中每一个点都恰有一个对应的坐标。若要精准的定义，坐标图可定义为从空间X的开子集到Rn的开子集的同胚。一般的坐标系不太可能针对所有空间中的点都有明确唯一的坐标。此时可以用一组坐标图形成一个适合此空间的图册。有此性质的空间称为流形，若坐标图重叠的部分符合某些特定的结构，也可以定义有特殊结构的流形。例如微分流形就是坐标图之间的转换恒为微分函数的流形。