勒让德符号

勒让德符号，或二次特征，是一个由阿德里安-马里·勒让德在1798年尝试证明二次互反律时引入的函数。这个符号是许多高次剩余符号的原型；其它延伸和推广包括雅可比符号、克罗内克符号、希尔伯特符号，以及阿廷符号。

## 定义

设$a$是一个整数，$p$是一个奇素数，勒让德符号$(\tfrac{a}{p})$（有时为了印刷上的方便，写成(a|p))有下列定义：

$\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases}\quad 0\\ +1 \\ -1\end{cases}$｜$\quad$｜如果$a \equiv 0 \pmod{p}$

如果$a \not\equiv 0\pmod{p}$，且对于某个整数$x, x^2\equiv \;a \pmod{p}$ 如果不存在整数$x$，使得$x^2 \equiv \;a \pmod{p}$。

如果(a|p) = 1，a 便称为二次剩余(mod p)；如果(a|p) = −1，则 a 称为二次非剩余(mod p)。通常把零视为一种特殊的情况。

a 等于0、1、2、……时的周期数列(a|p)，又称为勒让德数列，有时把{0,1,-1}的数值用{1,0,1}或{0,1,0}代替。

## 勒让德符号的公式

勒让德原先把他的符号定义为：

$$\left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{\frac{p-1}{2}}\pmod p, \left(\frac{a}{p}\right) \in \{-1,1\}.$$

欧拉在之前证明了如果a是二次剩余(mod p)，(a|p) = 1；如果a是二次非剩余，(a|p) = -1；这个结论现在称为欧拉准则。

除了这个基本定义式以外，还有其它(a|p)的表达式，它们当中有许多都在二次互反律的证明中有所使用。

高斯证明了如果$\zeta = e^\frac{2\pi i}{p}$，那么：

$$\left(\frac{a}{p}\right) =\frac{1+\zeta^{a}+\zeta^{4a}+\zeta^{9a}+\dots+\zeta^{(p-1)^2a}}{1+\zeta+\zeta^{4}+\zeta^{9}+\dots+\zeta^{(p-1)^2}} =\frac{2(1+\zeta^{a}+\zeta^{4a}+\zeta^{9a}+\dots+\zeta^{(p-1)^2a})}{\sqrt p(1+i)[1+(-i)^p]}.$$

这是他对二次互反律的第四个、第六个，以及许多后续的证明的基础。参见高斯和。

克罗内克的证明是建立了

$$\left(\frac{p}{q}\right) =\sgn\prod_{i=1}^{\frac{q-1}{2}}\prod_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\left(\frac{k}{p}-\frac{i}{q}\right)$$

然后把p和q互换。

艾森斯坦的一个证明是从以下等式开始：

$$\left(\frac{q}{p}\right) =\prod_{n=1}^{\frac{p-1}{2}} \frac{\sin (\frac{2\pi}{p}qn)}{\sin(\frac{2\pi}{p}n)}.$$

把正弦函数用椭圆函数来代替，他也证明了三次和四次互反律。

### 其它含有勒让德符号的公式

斐波那契数1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ……由递推公式F1 = F2 = 1，Fn+1 = Fn + Fn-1定义。

如果p是素数，则：

$$F_{p-\left(\frac{p}{5}\right)} \equiv 0 \pmod p,\;\;\; F_{p} \equiv \left(\frac{p}{5}\right) \pmod p.$$

例如：

$$(\tfrac{2}{5}) = -1, \,\, F_3 = 2, F_2=1,$$

$$(\tfrac{3}{5}) = -1, \,\, F_4 = 3,F_3=2,$$

$$(\tfrac{5}{5}) = \;\;\,0,\,\, F_5 = 5,$$

$$(\tfrac{7}{5}) = -1, \,\,F_8 = 21,\;\;F_7=13,$$

$$(\tfrac{11}{5}) = +1, F_{10} = 55, F_{11}=89.$$

这个结果来自卢卡斯数列的理论，在素性测试中有所应用。参见沃尔-孙-孙素数。

## 性质

勒让德符号有许多有用的性质，可以用来加速计算。它们包括：

- $\left(\frac{ab}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)$（它是一个完全积性函数。这个性质可以理解为：两个剩余或非剩余的乘积是剩余，一个剩余与一个非剩余的乘积是非剩余。）
- 如果a ≡ b (mod p)，则$\left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{b}{p}\right)$
- $$\left(\frac{a^2}{p}\right) = 1$$
- $$\left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} =\begin{cases} +1\mbox{ if }p \equiv 1\pmod{4} \\ -1\mbox{ if }p \equiv 3\pmod{4} \end{cases}$$

这个性质称为二次互反律的第一补充。

- $$\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}} =\begin{cases} +1\mbox{ if }p \equiv 1\mbox{ or }7 \pmod{8} \\ -1\mbox{ if }p \equiv 3\mbox{ or }5 \pmod{8} \end{cases}$$

这个性质称为二次互反律的第二补充。一般的二次互反律为：

- 如果p和q是奇素数，则$\left( \frac{p}{q} \right) \cdot \left( \frac{q}{p} \right) = (-1)^{\frac{ (p-1)(q-1) }{4} }$

参见二次互反律和二次互反律的证明。

以下是一些较小的p的值的公式：

- 对于奇素数p，$\left(\frac{3}{p}\right) = (-1)^\left \lceil \frac{p+1}{6} \right \rceil =\begin{cases} +1\mbox{ if }p \equiv 1\mbox{ or }11 \pmod{12} \\ -1\mbox{ if }p \equiv 5\mbox{ or }7 \pmod{12} \end{cases}$
- 对于奇素数p，$\left(\frac{5}{p}\right) =(-1)^\left \lfloor \frac{p-2}{5} \right \rfloor =\begin{cases} +1\mbox{ if }p \equiv 1\mbox{ or }4 \pmod5 \\ -1\mbox{ if }p \equiv 2\mbox{ or }3 \pmod5 \end{cases},$

但一般直接把剩余和非剩余列出更简便：

- 对于奇素数p，$\left(\frac{7}{p}\right) =\begin{cases} +1\mbox{ if }p \equiv 1, 3, 9, 19, 25,\mbox{ or }27\pmod{28} \\ -1\mbox{ if }p \equiv 5, 11, 13, 15, 17, \mbox{ or } 23 \pmod{28} \end{cases}$

勒让德符号(a|p)是一个狄利克雷特征(mod p)。

## 计算例子

以上的性质，包括二次互反律，可以用来计算任何勒让德符号。例如：

$$\left ( \frac{12345}{331}\right )$$

$$=\left ( \frac{3}{331}\right ) \left ( \frac{5}{331}\right ) \left ( \frac{823}{331}\right )$$

$$=\left ( \frac{3}{331}\right ) \left ( \frac{5}{331}\right ) \left ( \frac{161}{331}\right )$$

$$=\left ( \frac{3}{331}\right ) \left ( \frac{5}{331}\right ) \left ( \frac{7}{331}\right ) \left ( \frac{23}{331}\right )$$

$$= (-1) \left ( \frac{331}{3}\right ) \left ( \frac{331}{5}\right ) (-1) \left ( \frac{331}{7}\right ) (-1) \left ( \frac{331}{23}\right )$$

$$=-\left ( \frac{1}{3}\right ) \left ( \frac{1}{5}\right ) \left ( \frac{2}{7}\right ) \left ( \frac{9}{23}\right )$$

$$=-\left ( \frac{1}{3}\right ) \left ( \frac{1}{5}\right ) \left ( \frac{2}{7}\right ) \left ( \frac{3}{23}\right )^2$$

$$= - \left (1\right ) \left (1\right ) \left (1\right ) \left (1\right ) = -1.$$

## 相关函数

- 雅可比符号是勒让德符号的一个推广，允许底数为合数，但底数仍然必须是奇数和正数。这个推广提供了计算所有勒让德符号的一个有效的方法。
- 一个进一步的推广是克罗内克符号，把底数的范围延伸到一切整数。