八元数

$e_n$形式：

$e_0$、 $e_1$、 $e_2$、 $e_3$、 $e_4$、 $e_5$、 $e_6$、 $e_7$ $ijkl$形式：

1、 i、 j、 k、 l、 il、 jl、 kl

$e_0$或1

八元数（Octonion）是以实数构建的8维度赋范可除代数，为四元数非结合推广的超复数，通常记为O或$\mathbb{O}$。八元数的8个维度可以视为2个4维度之四元数的组合。八元数不具备结合律和交换律，但具备交错代数的特性，并保有幂结合性。

也许是因为八元数的乘法不具备结合性，因此它们作为超复数而言受关注的程度较四元数低。尽管如此，八元数仍然与数学中的一些例外结构有关，其中包括例外李群。此外，八元数在诸如弦理论、狭义相对论和量子逻辑中也有应用。

## 历史

八元数第一次被描述于1843年，于一封约翰·格雷夫斯给威廉·卢云·哈密顿的信中。格雷夫斯称其为“octaves”。后来八元数由阿瑟·凯莱在1845年独自发表。格雷夫斯发表结果的时间点比阿瑟·凯莱发表的时间稍晚一些。阿瑟·凯莱发表的八元数和约翰·格雷夫斯给威廉·卢云·哈密顿的信中所提及的并无关系。阿瑟·凯莱是独自发现八元数的，因此八元数又被称为凯莱数或凯莱代数。哈密顿则描述了八元数被发现并描述的早期历史。

## 定义

八元数可以视为实数的八元组。八元数有多种构造方式。以凯莱-迪克森结构为例，八元数可以表达为2个四元数P与Q的组合，即P+Q l或$p_0 + p_1i + p_2j + p_3k + \left(q_0 + q_1i + q_2j + q_3k\right)l\,$，其中，量l为其中一个八元数单位并满足：

$$i^2 = j^2 = k^2 = l^2 = -1 \,$$

在这种定义下每一个八元数都是单位八元数{1, i, j, k, l, il, jl, kl}的线性组合。也就是说，每一个八元数x都可以写成

$$x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl$$

其中系数xa是实数。

这些八元数单位亦满足：

$$i^2 = j^2 = k^2 = l^2 = (il)^2 = (jl)^2 = (kl)^2 = -1 \,$$

八元数的加法是把对应的系数相加，就像复数和四元数一样。根据线性，八元数的乘法完全由以下单位八元数的乘法表来决定。

一些不同的定义方式会将八元数的单位元素表达为ea的线性组合，其中a=0, 1,..., 7：

$$\{e_0, e_1, e_2, e_3, e_4, e_5, e_6, e_7\},$$

当中的$e_0$为实数单位。每个八元数单位元素皆不相等，而其平方为实数。也就是说，每个八元数x都可以写成以下形式：

$x = x_0e_0 + x_1e_1 + x_2e_2 + x_3e_3 + x_4e_4 + x_5e_5 + x_6e_6 + x_7e_7,\,$

其中xi为单位元素ei的系数，且必为实数。八元数的加法和减法是通过加减相应的项以及它们的系数来完成的，与四元数的加减法类似。乘法则较为复杂。八元数的乘法是对加法的分配，所以两个八元数的乘积可以通过对所有项的乘积求和来计算，再次如同四元数一般。每对项的乘积可以通过系数的乘积和单位八元数的乘法表给出Baez, John C. The Octonions.p. 150，其乘法表的结构与{1, i, j, k, l, il, jl, kl}的模式（$p_0 + p_1i + p_2j + p_3k + \left(q_0 + q_1i + q_2j + q_3k\right)l\,$）类似。这个乘法表先后由Graves于1843年和Cayley于1845年描述：

$e_ie_j$｜$e_j$

$e_0$｜$e_1$｜$e_2$｜$e_3$｜$e_4$｜$e_5$｜$e_6$｜$e_7$

$e_i$｜$e_0$｜$e_0$｜$e_1$｜$e_2$｜$e_3$｜$e_4$｜$e_5$｜$e_6$｜$e_7$

$e_1$｜$e_1$｜$-e_0$｜$e_3$｜$-e_2$｜$e_5$｜$-e_4$｜$-e_7$｜$e_6$

$e_2$｜$e_2$｜$-e_3$｜$-e_0$｜$e_1$｜$e_6$｜$e_7$｜$-e_4$｜$-e_5$

$e_3$｜$e_3$｜$e_2$｜$-e_1$｜$-e_0$｜$e_7$｜$-e_6$｜$e_5$｜$-e_4$

$e_4$｜$e_4$｜$-e_5$｜$-e_6$｜$-e_7$｜$-e_0$｜$e_1$｜$e_2$｜$e_3$

$e_5$｜$e_5$｜$e_4$｜$-e_7$｜$e_6$｜$-e_1$｜$-e_0$｜$-e_3$｜$e_2$

$e_6$｜$e_6$｜$e_7$｜$e_4$｜$-e_5$｜$-e_2$｜$e_3$｜$-e_0$｜$-e_1$

$e_7$｜$e_7$｜$-e_6$｜$e_5$｜$e_4$｜$-e_3$｜$-e_2$｜$e_1$｜$-e_0$

除了主对角线上以及$e_0$作为操作数的行和列的元素之外，乘法表中的大多数非对角元素都是反对称的，这使得这个乘法表几乎是一个斜对称矩阵。

该表可总结如下：

$$e_i e_j = \begin{cases} e_j , & \text{if }i = 0 \\ e_i , & \text{if }j = 0 \\ - \delta_{ij}e_0 + \varepsilon _{ijk} e_k, & \text{otherwise} \end{cases}$$

其中δij为克罗内克δ函数（当且仅当i = j时为1）、 εijk为完全反对称张量，且当ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365时，值为1。

然而，上述定义并不是唯一的。这些定义只是$e_0=1$八元数乘法的480个可能定义之一。其他的八元数乘法定义可以透过置换和改变非标量基元素$\{e_0, e_1, e_2, e_3, e_4, e_5, e_6, e_7\},$的符号来获得。这480个不同乘法定义对应的代数结构是同构的，很少需要考虑使用哪个特定的乘法规则。

这480个八元数乘法定义中，每一定义的正负号在7循环（1234567）下的特定点上都是不变的，并且对于每个7循环有四个定义，它们的区别在于正负号和顺序的反转。一个常见的选择是使用 e1e2 = e4的7循环（1234567）下的定义不变量 — 通过使用三角乘法图或下面的 法诺平面，该平面还显示了基于124的7循环三元组及其相关乘法的排序列表en和$ijkl$格式的矩阵。

<image>

此外，亦有一些文献会将八元数的单位定义为$1, i, j, k, L, m, n, o$。

### 凯莱-迪克松构造

一个更加系统的定义八元数的方法，是通过凯莱-迪克松构造。就像四元数可以用一对复数来定义一样，八元数可以用一对四元数来定义。两对四元数$(a,b)$和$(c,d)$的乘积定义为：

$$(a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})$$

其中$z^{*}$表示四元数$z$的共轭。这个定义与上面给出的定义是等价的。Baez, John C. The Octonions.p. 154

### 法诺平面记忆

<image>

一个用来记忆八元数的乘积的方便办法，由右面的图给出。这个图中有七个点和七条直线（经过i、j和k的圆也视为一条直线），称为法诺平面。这些直线是有向的。七个点对应于Im($\mathbb{O}$)的七个标准基元素。每一对不同的点位于唯一的一条直线上，而每一条直线正好通过三个点。Baez, John C. The Octonions.p. 152

设(a, b, c)为位于一条给定的直线上的三个有序点，其顺序由箭头的方向指定。那么，乘法由下式给出：

1=ab = c，ba = −c

以及它们的循环置换。这些规则

- 1是乘法单位元。
- 对于图中的每一个点，都有$e^2=-1$

完全定义了八元数的乘法结构。七条直线的每一条都生成了$\mathbb{O}$的一个子代数，与四元数$\mathbb{H}$同构。

### 共轭、范数和逆元素

八元数

$$x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl$$

共轭为：

$$x^* = x_0 - x_1\,i - x_2\,j - x_3\,k - x_4\,l - x_5\,il - x_6\,jl - x_7\,kl.$$

当中除了实数项外，其余项正负号皆相反。因此若将八元数单位表达为{e1, e2 ... e7}，则八元数的共轭可以简化表示为：

$$x^* = \overline{x} = x_0 e_0 - x_i e_i, \ i=1, 2\cdots 7$$

共轭是$\mathbb{O}$的一个对合，满足$(xy)^{*}=y^{*}x^{*}$（注意次序的变化）。

x的实数部分定义为$\mathrm{Re}\left(x\right)=\tfrac{x+x^{*}}{2}=x_0$，虚数部分定义为$\mathrm{Im}\left(x\right)=\tfrac{x-x^{*}}{2}$。所有纯虚的八元数生成了$\mathbb{O}$的一个七维子空间，记为Im($\mathbb{O}$)。

八元数x的范数可用与自身共轭的积$\|x\|^2 = x^{*} x$来定义：

$$\|x\| = \sqrt{x^{*} x}$$

在这里，平方根是定义良好的，因为$x^{*}x=xx^{*}$总是非负实数：在范数可良好定义的前提下，$\frac{x+x^{*}}{2}\in\mathbb{R}$，且$x^{*}x > 0$，因此可以得到$x^{*}x=xx^{*}$总是非负实数的结论。

$$\|x\|^2 = x^{*}x = x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 + x_6^2 + x_7^2$$

这个范数与$\mathbb{R}^8$上的标准欧几里得范数是一致的。

$\mathbb{O}$上范数的存在，意味着$\mathbb{O}$的所有非零元素都存在逆元素。x ≠ 0的逆元素为：

$$x^{-1} = \frac {x^*}{\|x\|^2}$$

它满足$xx^{-1}=x^{-1}x=1$。

## 性质

八元数的乘法既不是交换的：

$$ij = -ji \neq ji\,$$

也不是结合的：

$$(ij)l = -i(jl) \neq i(jl)\,$$

然而，八元数确实满足结合性的一个较弱形式──交错性。这就是说，由任何两个元素所生成的子代数是结合的。实际上，我们可以证明，由$\mathbb{O}$的任何两个元素所生成的子代数都与$\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$或$\mathbb{H}$同构，它们都是结合的。由于八元数不满足结合性，因此它们没有矩阵的表示法，与四元数不一样。

八元数确实保留了$\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$和$\mathbb{H}$共同拥有的一个重要的性质：$\mathbb{O}$上的范数满足

$$\|xy\| = \|x\|\|y\|$$

这意味着八元数形成了一个非结合的赋范可除代数。所有由凯莱-迪克松构造所定义的更高维代数都不满足这个性质，因为它们都存在零因子。

这样，实数域上唯一的赋范可除代数是$\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$、$\mathbb{H}$和$\mathbb{O}$。这四个代数也形成了实数域上唯一的交错的、有限维的可除代数。

由于八元数不是结合的，因此$\mathbb{O}$的非零元素不形成一个群。然而，它们形成一个拟群。

### 自同构

八元数的自同构A，是$\mathbb{O}$的可逆线性变换，满足：

$$A(xy) = A(x)A(y).\,$$

$\mathbb{O}$的所有自同构的集合组成了一个群，称为1=G2 (数学)。Conway & Smith 2003,Chapter 8.6群G2是一个单连通、紧致、14维的实李群。这个群是例外李群中最小的一个。

## 延伸阅读

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## 基本资料

- 官方名称：八元数
- 符号：$\mathbb O$
- 种类：超复代数
- 单位：$e_n$形式：、$e_0$、 $e_1$、 $e_2$、 $e_3$、 $e_4$、 $e_5$、 $e_6$、 $e_7$、$ijkl$形式：、1、 i、 j、 k、 l、 il、 jl、 kl
- 乘法单位元：$e_0$或1
- 主要性质：非交换、非结合