牛顿第二运动定律

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在经典力学中，牛顿第二运动定律（Newton's second law of motion）又称牛顿第二定律（Newton's second law）、加速度定律（law of acceleration），简言之，是指物体受到外力作用时，会沿合外力方向产生一加速度，此加速度大小与合外力大小成正比而与物体质量成反比。

牛顿第二定律其精确描述为：作用在质量不变的物体上的合外力，等于物体的惯性质量与其质心加速度的乘积。此定义特指“质心加速度”，是因为牛顿当初提出的第二定律是针对质点模型的讨论，仅涉及平动的情况，属于质点动力学的范围。在刚体动力学中，物体可能同时存在平动与转动，此时牛顿第二定律仅能描述其质心的运动状态，而物体的转动状态则需由转动定律（或称欧拉第二定律）来描述。对于宏观物体，第二定律表达合外力与质心加速度的关系，且该关系与物体的转动状态无关。

牛顿第二定律定义的本质是：物体所受的合外力，等于其动量对时间的变化率（即：一阶导数、一次微分值），此处又称动量定律（law of momentum），其涵盖了质量可能发生变化的情况。对于绝大多数宏观物体，质量是常数；但是在变质量系统中，例如不断喷出燃气的火箭其自身质量随时间而减小，必须使用“动量时变率的形式”来阐明第二定律。当物体在运动中质量不变时，第二定律亦可用上述质量与加速度的乘积表示。

1687年，英国物理学家艾萨克‧牛顿在巨著《自然哲学的数学原理》里，提出了牛顿运动定律，共有三条定律，其全称分别为：牛顿第一运动定律、牛顿第二运动定律与牛顿第三运动定律。牛顿第二定律由于是运动定律的核心，有时仅简称“运动定律”。

牛顿第二定律是一个涉及到物体运动的理论，根据这定律，任意物体的运动所出现的改变，都是源自于外力的施加于这物体。这理论导致了经典力学的诞生，是科学史的一个里程碑，先前只是描述自然现象的理论不再被采纳，取而代之的是这个创立了一种理性的因果关系架构的新理论。实际而言，经典力学的严格的因果属性，对于西方思想与文明的发展，产生了很大的影响。

## 概述

牛顿第二定律表明，施加于物体的外力等于此物体动量的时变率：

$\mathbf{F} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}$。

其中，$\mathbf{p}$是动量，$t$是时间。

由于动量等于质量乘以速度，所以，假若质量不变，则可得到加速度形式的牛顿第二定律，假若质量随着时间流易而改变，则该系统为可变质量系统，必须将时变质量纳入考量，更多内容，请参阅可变质量系统。

### 加速度形式的牛顿第二定律

当运动中的物体质量不变时，牛顿第二定律可以表述为：物体所受到的外力等于质量与加速度的乘积，而加速度与外力同方向。以方程式表达。

$\mathbf{F} = m\mathbf{a}$。

其中，$\mathbf{F}$ 是外力，$m$ 是质量，$\mathbf{a}$ 是加速度。

按照第二定律，设定物体的质量不变，则物体的加速度与所受到的外力成正比，设定物体所受到的外力不变，则物体的加速度与质量成反比。

假设施加外力于某物体，则由于该物体的加速度只与外力、质量有关，在任何状况下，质量不变的物体都会表现出同样的加速度：按照狭义相对论，加速度与物体的速度有关，因为，在高速度状况下，物体的质量与速度有关： ::$m(v)=\frac{m_0}{(1-v^2/c^2)^{1/2}}$； :其中，$m(v)$是物体的质量，$m_0$是静质量，$v$是物体的速度，$c$是光速。

$\mathbf{a}=\mathbf{F}/m$。

- 惯性参考系：若要知道物体在某一时刻的加速度，则必须从某个静止物体（或呈匀速直线运动的物体）测量物体随着时间的流易而改变的位移，而在外力为零的前提下，这个静止物体（或呈匀速直线运动的物体）必须保持运动状态不变，这意味着必须从惯性参考系来测量整个物理系统。因此，牛顿第二定律已事先假设，物体的加速度是从惯性参考系测量到的数值。
- 质量守恒：经典力学有一个隐藏的假定，即质量守恒，这又被称为“牛顿第零运动定律”。牛顿并没有直接地提出这定律。第零运动定律表明，物体的质量守恒，与速度无关，与物体的受力无关．当几个物体相互作用时，或许会有质量从一个物体转移到另一个物体，但总质量不变。
- 决定性：牛顿第二定律是一种决定性定律。假定物体的质量、初始位置与初始速度为已知量，则从施加于物体的外力，可以应用牛顿第二定律来计算出物体在其运动轨迹的任意时间的位置与速度。

## 牛顿的论述

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《自然哲学的数学原理》的第二定律的原文是：

Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

英文翻译：The mutation of motion is proportional to the motive force impressed; and to be done according to the straight line in which the force is impressed.

中文翻译：运动的变化成正比于施加的动力，并且（方向）依照力施加的直线方向。

原文中的“运动”（motus，motion）指的是动量。

牛顿对于动量与冲量彼此之间的关系的作解释：“假设施加于物体的冲量造成了物体的动量改变，则双倍的冲量会造成双倍的动量改变，三倍的冲量会造成三倍的动量改变，不论冲量是全部同时施加，还是一部分一部分慢慢地施加，所造成的动量改变都一样。

动量改变与原先动量之间的关系：这动量改变必定与施加的冲量同方向。假设在冲量施加之前，物体已具有某动量，则这动量改变会与原先动量相加或相减，依它们是同方向还是反方向而定，假设动量改变与原先动量呈某角度，则最终动量是两者按著角度合成的结果。”

牛顿所使用的术语的涵意、他对于第二定律的认知、他想要第二定律如何被众学者认知、以及牛顿表述与现代表述之间的关系，科学历史学者对于这些论题都已经做过广泛地研究与讨论。

## 进阶论述

任何物理定律都必须具有可证伪性，即必须能够对于物理定律做实验证实是否正确。为了要明确牛顿第二定律是否具有可证伪性，必须对于加速度、力与质量做测量。测量加速度很简单，加速度是速度的时间变率，只要能测得速度改变与时间间隔，则可计算出加速度。然而，怎样测量力与质量？力与质量的定义为何？怎样在定义里给出物理量的量度程序？

在对于质量与力给出定义后，按照这些定义里的定量描述来测量物体的质量与物体的受力，再加上从观测物体的运动得到的加速度，就可以很容易地检试牛顿第二定律的正确性。

### 力的定义

很多常用教科书对于力的定义不尽人意。在大卫·哈勒代与罗伯特·瑞思尼克著作的教科书《基础物理》里，力被定义为造成物体加速的作用。类似地，在《大学物理》教科书里，力也被定义为两个物体之间或物体与环境之间的作用。但是，它们都没有对于“作用”给出解释。保罗·提泊罗在《科学家与工程师的物理》教科书里，将力定义为造成物体改变速度的影响。那么，“影响”又是什么呢？在道格拉斯·基安可理撰写的教科书里，力的定义是可以直觉地被人们体验为对于物体的“推”或“拉”。可是，作者并未进一步解释推或拉怎样改变物体的运动状态。这些概念性定义都无法对于力这基础术语用更为基础的概念来表达。

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古斯塔夫·基尔霍夫首先提议，将力定义为质量与加速度的乘积。按照这提议，第二定律只是一个数学定义式，而不是自然定律。假若第二定律只是一个数学定义式，则它在物理学里毫无用处，因为无法从数学定义式对于大自然给出任何预测。整个经典力学会变成一种公理化理论，所有结论都是源自于这个定义，而不是源自于从做实验推断出的“自然定律”。实际而言，这提议没有将在大自然里各种各样的力，像弹力、引力、电磁力等，纳入考量，它忽略了每一种力的独特性质，例如，每一种力都有它的物质源。假若要将实际物理引入这公理化理论，则必须检试对于力的定义所推导出的结果是否符合实际物理，只有符合实际物理的定义才可被采纳，换句话说，从对于力的定义所推导出的结果必须符合实验的检试，否则不能被采纳。

有些学者主张使用操作定义的方法来对于力给出严格定义，假设两条同样的弹簧被延伸同样的距离，其各自产生的“弹力”（一种物理现象）相等，则将这两条弹簧并联，可以制成两倍的弹力，又将一物体的两边分别连接这两条弹簧的末端，使弹力方向相反，则作用于物体的合力为零，物体的运动状态不会改变。为了对于弹力给出定量描述，设定“标准单位力”为某特定弹簧延伸特定距离所产生的弹力。称这特定弹簧为“标准弹簧”。任意整数倍的标准单位力都可以用几条标准弹簧所组成的系统来实现，对于标准单位力的任意分数倍，可以应用阿基米德的杠杆原理来实现。弹簧系统可以用来做测量实验，对于任意力做比较，给出它的测量值。例如，假设悬挂于两条标准弹簧的一个物体，正好能够将这两条标准弹簧延伸特定距离，则这物体的重量等于两个标准单位力。

### 质量的定义

虽然质量在物理学教育里占有中心地位，人们并不很清楚质量的概念，很多教科书对于质量的定义也不甚令人满意，它们都有一些重大瑕疵。这些定义所涉及到的困难，大部分出现于将经典描述融入现代描述的后果之中，而且清楚地在相对论、量子色动力学、强相互作用理论等等现代理论里显现出来。

#### 物质数量

有一种可以追溯到中世纪的定义将质量设定为物体内部所含有的物质数量。这也是牛顿在他的巨著《自然哲学的数学原理》里对于质量给出的定义，按照这定义，质量可以从物体的密度与体积乘积求得。德国物理学者恩斯特·马赫对这定义给出严厉批评，他认为这定义触犯了循环推理，因为密度的定义是每单位体积的质量。

从测量的角度来看，牛顿并没有给出任何测量密度的方法，所以，也没有给出测量质量的方法。牛顿不能对于质量与密度同时给出定义，因此，质量并未被严格定义。但是，牛顿的想法并不是这样，他把物体视为由很多微小的基本粒子均匀组成的聚集体，他认为这聚集体的结构是更为基础的概念，在计算物体的质量时，他会数算物体的小粒子数量，这数量乘以每个基本粒子的质量就是物体的质量。因此，只要设定某参考物体S的质量为标准质量，这参考物体S可以是石头、金块或铁块．那么，n个物体S的质量必定是这标准单位质量的n倍。

#### 惯性质量

另一种定义是基于惯性的概念。在这定义里，质量被用来量度物体对于改变它的运动状态的抗拒能力。因此被称为“惯性质量”。然而，不管这定义是如何真确，它并没有给出量度质量的方法，人们无法直接估算物体的质量数值，因此，这定义似乎更像是一种形而上学定义。有些教科书使用第二定律的公式$\mathbf{F} = m\mathbf{a}$来量度物体的抗拒能力。然而，一般而言，质量并不是力与加速度之间的比例常数。根据狭义相对论，力与加速度之间的关系与力与速度之间的相对取向有关：:$\mathbf{F}_{\parallel} = \gamma^3 m\mathbf{a}_{\parallel}$、:$\mathbf{F}_{\perp} =\gamma m\mathbf{a}_{\perp}$；其中，$\mathbf{F}_{\parallel}$与$\mathbf{a}_{\parallel}$分别是力与加速度朝着速度方向的分量，$\mathbf{F}_{\perp}$与$\mathbf{a}_{\perp}$分别是力与加速度垂直于速度方向的分量，$\gamma=(1-v^2/c^2)^{-1/2}$是劳仑兹因子，$\mathbf{v}$是速度大小。因此，更正确的方程式为:$\mathbf{F} = m_I\mathbf{a}$。在这方程式中，惯性质量$m_I$是个张量。尽管质量的概念与惯性质量的概念紧密连结，它们彼此之间的关系并不是简单的等号关系。设想一个呈加速度运动的物体，假若物体感受到的力与静质量不变，并且它的加速度与速度的方向相同，由于它的速度渐渐增加，劳仑兹因子也会逐渐增加，而加速度则会逐渐减小，因此，随着速度的增加，越来越难维持加速度，这意味着物体的惯性增加，尽管静质量保持不变。如同阿尔伯特·爱因斯坦与利奥波德·英费尔德所言，假设两个物体的静质量相同，动量较大的物体对于外力的抗拒越强劲。由此可见，质量（静质量）与惯性（惯性质量）是不一样的物理量。

回溯在经典力学里，假设使用一条先前论述的标准弹簧，施加一个标准单位力$\mathbf{F}_0$于某物体，则可从测量这物体随着时间流易而呈现出的速度，估算出这物体的加速度，标记其为$\mathbf{a}_0$。继续做实验，假设施加两个标准单位力$2\mathbf{F}_0$于这物体，则可从测得这物体的加速度为$2\mathbf{a}_0$。类似地做实验，施加弹力$\mathbf{F}$于这物体，然后测量这物体的加速度$\mathbf{a}$，可以得到力与加速度彼此之间的关系式：

$\mathbf{F}=k\mathbf{a}$。

其中，$k$是比例常数。

辨识这比例常数为惯性质量，则可察觉这关系式就是牛顿第二定律的方程式。

#### 马赫的质量定义

由于上述两种概念性定义的种种缺点，学者们常会使用操作性定义来给出定量描述，这种定义追溯至恩斯特·马赫对于质量定义的原创研究。马赫的定义只使用到运动学概念，完全不需涉及到力的概念。

假设在宇宙里的两个物体A、B离其它物体非常遥远，因此这两个物体可以被视为处于一个孤立系统。从某个惯性系统观察，这两个物体因相互影响而使得他们各自呈现的加速度分别为$\mathbf{a}_{AB }$、$\mathbf{a}_{BA }$。从所有完成的关于这类系统的实验总结，它们的加速度的方向相反，而比率可以用“加速度比率公式”来表达为

$\frac{a_{AB}}{a_{BA}}=k_{BA}$。

其中，$k_{BA}$是标量常数。

标量常数$k_{BA}$的恒定不变可以被视为力学的一条基础定律，其为从做实验获得的结果。马赫特别为此提出“实验命题”：在实验物理学设定的状况下，两个物体引发对方沿着彼此连线各自呈现相反的加速度方向，而加速度的比率为常数，并且与物体的物理状态无关。

设想另一个物体C，由于物体C与A、C与B彼此之间的相互作用，按照第一实验命题。

$\frac{\mathbf{a}_{AC}}{-\mathbf{a}_{CA}}=k_{CA}$。

$\frac{\mathbf{a}_{BC}}{-\mathbf{a}_{CB}}=k_{CB}$。

从做多个实验获得的另一个重要结果可以用“标量常数公式”来表达为

$\frac{k_{CA}}{k_{BA}}=k_{CB}$。

因此，可以得到关系式

$K_{BA}\mathbf{a}_{BC}=-K_{CA}\mathbf{a}_{CB}$。

这关系式显示出，选择物体A为标准物体，那么，每一个其它物体都会伴随着一个常数，任何与该物体相互作用的物体都无法改变这常数。常数$K_{BA}$可以被称为物体B的质量，相对于物体A。由于物体A是参考物体，常数$K_{BA}$可以被简称为物体B的质量$m_{B}$。这样，关系式可以被改写为“质量-加速度关系式”

$m_{B}\mathbf{a}_{BC}=-m_{C}\mathbf{a}_{CB}$。

这质量定义的适用范围很广泛，例如，当两个物体A、B被连结于一条理想弹簧的两端时，它们彼此之间的相互作用为弹力，先将弹簧压缩，然后放松，从测量它们因此动作而出现的加速度，可以按照加速度比率公式计算出标量常数$k_{BA}$。再举一个例子，当两个物体A、B在进行开普勒二体运动时，它们彼此之间的相互作用为引力，从测量它们进行轨道运动时的加速度，可以计算出标量常数$k_{BA}$。对于这些案例，前面列出的加速度比率公式与标量常数公式都成立。这质量定义能够给出一种用来比较质量的方法，其为这样做质量定义的重要目的。

注意到质量-加速度关系式展示出，当两个物体相互作用时，两个粒子的质量与加速度大小的乘积相等，并且这乘积与两个物体的相对位置、相对速度或时间有关。将力定义为质量与加速度大小的乘积：

$\mathbf{F}_{CB}\stackrel{def}{=}m_{C}\mathbf{a}_{CB}$。

这就是牛顿第二定律。

将力的定义式代入质量-加速度关系式，就可以得到牛顿第三定律：当两个物体交互作用时，彼此施加于对方的力，其大小相等、方向相反。

$\mathbf{F}_{BC}=-\mathbf{F}_{CB}$。

## 实验验证

1983年，莫德采·米尔格若姆提出的修正牛顿动力学理论表明，由于星系自转问题，即被观测到的在星系里恒星的速度大于牛顿力学的预测速度，牛顿万有引力定律或牛顿第二定律可能需要修正。除了暗物质理论以外，修正牛顿动力学理论也可以用来解释星系自转问题。这理论的适用区域大约在加速度为$a_0\approx 2\times 10^{-10}\;\mathrm{m /s^2}$的数量级。为了符合天文物理学数据，这理论将牛顿第二定律修改为

$\mathbf{F}=m\mathbf{a}\ \mu(a/a_0)$。

其中，$\mu(a/a_0)$是个函数，其符合以下两个条件：

- 当$a\gg a_0$时，$\mu(a/a_0)\to 1$。
- 当$a\ll a_0$时，$\mu(a/a_0)\to 0$。

一般而言，在各种物理案例中，很少会遇到这么微小的加速度，然而，假若修正牛顿动力学理论确实被证实，则整个经典力学与广义相对论都需要被修改。因此，验证修正牛顿动力学理论是很重要的实验研究论题。

1986年，使用干涉仪测量摆质量的加速度对于时变电场的响应，物理学者证实，在加速度为$3\times 10^{-11} \;\mathrm{m /s^2}$的状况下，牛顿第二定律仍旧有效。2007年，使用扭摆来表现对于时变电场的响应，实验证实，在加速度为$5\times 10^{-14} \;\mathrm{m /s^2}$的状况下，牛顿第二定律正确无误。2011年，物理学者做实验测量微波共振器对于引力作用的响应，但并未在加速度为$10^{-10} \;\mathrm{m /s^2}$的状况下找到任何偏差。2014年，使用纽秤来量度引力引起的加速度，物理学者在加速度为$10^{-12} \;\mathrm{m /s^2}$的状况下仍未发现任何偏差。

## 冲量

假设施加外力 $\mathbf{F}$ 于某物体的时间有 $\Delta t$ 那么久，则这等于施加冲量 $\mathbf{J}$ 于此物体：

$\mathbf{J} = \int_{\Delta t} \mathbf F \,\mathrm{d}t$。

根据现代的第二定律。

$\mathbf{F} =m\mathbf{a}$。

经过 $\Delta t$，假定质量不变，动量 $\mathbf{p}$ 的改变为

$\Delta \mathbf{p} = m\Delta\mathbf{v}=m\int_{\Delta t} \mathbf{a} \,\mathrm{d}t= \int_{\Delta t} \mathbf F \,\mathrm{d}t$。

所以，冲量与动量之间的关系式为

$\mathbf{J} = \Delta\mathbf{p}$。

这就是原版第二定律。

冲量的概念时常被用来分析碰撞与撞击问题。

## 可变质量系统

火箭的燃料经过燃烧以后，会产生高温高压气体，经过加速排气到外界，就可以推动火箭前进。第二定律不能直接应用于这种可变质量系统。基本而言，第二定律只能应用于单独粒子（或理想化为粒子的物体），其质量守恒。对于多粒子系统案例，必需将第二定律加以延伸为

$\mathbf{F}_{\mathrm{ext}} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(M\mathbf{v}_\mathrm{cm})$。

其中，$\mathbf{F}_{\mathrm{ext}}$ 是施加于系统的净外力，$\mathbf{p}$ 是系统的动量，$M$ 是系统的总质量，$\mathbf{v}_\mathrm{cm}$ 是系统质心的速度。

假设净外力$\mathbf{F}_{\mathrm{ext}}$为零，则动量守恒，即最初动量$\mathbf{p}_i$等于最终动量$\mathbf{p}_f$：

$\mathbf{p}_i=\mathbf{p}_f$。

假设在时间在时间$t$与$t+\mathrm{d}t$之间，火箭的质量从$m$变为$m+\mathrm{d}m$，即质量为$-\mathrm{d}m$的燃料被燃烧与排出，燃料排出时的速度为$\mathbf{U}$，火箭的速度从$\mathbf{v}$变为$\mathbf{v}+\mathrm{d}\mathbf{v}$，那么，动量守恒方程可以写为

$m\mathbf{v}=(m+\mathrm{d}m)(\mathbf{v}+\mathrm{d}\mathbf{v})-\mathbf{U}\mathrm{d}m$。

注意到火箭速度$\mathbf{v}$与燃料速度$\mathbf{U}$都是从发射台参考系观测到的速度。那么，相对于火箭参考系．燃料排出的相对速度$\mathbf{v}_{rel}$为

$\mathbf{v}_{rel}=\mathbf{U}-\mathbf{v}-\mathrm{d}\mathbf{v}$。

经过一番运算，可以得到

$\mathbf{v}_{rel}\frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d}t}=m{\mathrm{d}\mathbf{v}\over \mathrm{d}t}$。

对于像火箭一类的可变质量系统，必需将第二定律的方程式添加一个项目，这项目专门计算进入或离开火箭的质量所带有的动量：

$\mathbf{F}_{ext}+ \mathbf{v}_{rel} \frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d}t} = m {\mathrm{d}\mathbf{v}\over \mathrm{d}t}$。

其中，$\mathbf{F}_{ext}$ 是施加于火箭的外力，例如地球施加于火箭的重力。

火箭的推力定义为

$\mathbf{F}_t\ \stackrel{def}{=}\ \mathbf{v}_{rel} \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}$。

将这定义式代入，可以得到

$$\mathbf{F} = m \mathbf{a}$$

其中，$\mathbf{F}=\mathbf{F}_{ext}+\mathbf{F}_t$ 是外力与推力的向量和。

## 参阅

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- 伊萨克·牛顿
- 牛顿运动定律
- 牛顿第一运动定律
- 牛顿第二运动定律
- 牛顿第三运动定律
- 物理学定律列表

## 参考文献

- （请上网阅读作者Andrew Motte的英文翻译）