电荷守恒定律

本条目中，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。

在物理学里，电荷守恒定律（law of charge conservation）是一种关于电荷的守恒定律。电荷守恒定律有两种版本，“弱版电荷守恒定律”（又称为“全域电荷守恒定律”）与“强版电荷守恒定律”（又称为“局域电荷守恒定律”）。弱版电荷守恒定律表明，整个宇宙的总电荷量保持不变，不会随着时间的演进而改变。注意到这定律并没有禁止，在宇宙这端的某电荷突然不见，而在宇宙那端突然出现。强版电荷守恒定律明确地禁止这种可能。强版电荷守恒定律表明，在任意空间区域内电荷量的变化，等于流入这区域的电荷量减去流出这区域的电荷量。对于在区域内部的电荷与流入流出这区域的电荷，这些电荷的会计关系就是电荷守恒。

定量描述，强版定律的方程式是一种连续方程式：

$Q(t_2)=Q(t_1) + Q_{IN} - Q_{OUT}$。

其中，$Q(t)$是在时间$t$某设定体积内的电荷量，$Q_{IN}$、$Q_{OUT}$是在时间间隔$[t_1,t_2]$内分别流入与流出这设定体积的电荷量。

上述两种守恒定律建立于一个基础原则，即电荷不能独自生成与湮灭。假设带正电粒子接触到带负电粒子，两个粒子带有电量相同，则因为这接触动作，两个粒子会变为中性，这物理行为是合理与被允许的。一个中子，也可以因𝛃衰变，生成带正电的质子、带负电的电子与中性的反微中子。但是，任何粒子，不可能独自地改变电荷量。物理学明确地禁止这种物理行为。更仔细地说，像电子、质子一类的亚原子粒子会带有电荷，而这些亚原子粒子可以被生成或湮灭。在粒子物理学里，电荷守恒意味着，在那些生成带电粒子的基本粒子反应里，虽然会有带正电粒子或带负电粒子生成，在反应前与反应后，总电荷量不会改变；同样地，在那些湮灭带电粒子的基本粒子反应里，虽然会有带正电粒子或带负电粒子湮灭，在反应前与反应后，总电荷量绝不会改变。

虽然全域电荷守恒定律要求宇宙的总电荷量保持不变，到底总电荷量是多少仍旧是有待研究问题。大多数迹象显示宇宙的电荷量为零，即正电荷量与负电荷量相同。

## 历史

美国科学家与政治家富兰克林于1747年与朋友通信：

在这里与欧洲，科学家已经发现，并且证实，电火是一种真实的元素或物质种类，不是因摩擦而产生，而是只能从搜集获得。

学术界归功富兰克林为这定律的创建者。“富兰克林电荷守恒定律”表明，在任何绝缘系统内，总电荷量不变。

## 电磁学表述

流入某体积$\mathbb{V}$的净电流为

$I=-\oint_\mathbb{S} \mathbf{J} \cdot \mathrm{d}^2\mathbf{r}$。

其中，$I$是电流，$\mathbf{J}$是电流密度，$\mathbb{S}$是包围体积$\mathbb{V}$的闭曲面，$\mathrm{d}^2\mathbf{r}$是微小面向量元素，垂直于$\mathbb{S}$从体积内朝外指出。

应用散度定理，将这方程式写为

$I=-\int_\mathbb{V} \nabla\cdot\mathbf{J}\ \mathrm{d}^3r$。

总电荷量$Q$与体积$\mathbb{V}$内的电荷密度$\rho$的关系为

$Q=\int_\mathbb{V} \rho\ \mathrm{d}^3r$。

电荷守恒要求，流入体积$\mathbb{V}$的净电流，等于体积$\mathbb{V}$内总电荷量$Q$的变率：

$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d} t}=I=\int_\mathbb{V} \frac{\partial \rho}{\partial t}\ \mathrm{d}^3r$。

所以。

$\int_\mathbb{V}( \frac{\partial \rho}{\partial t}+\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{J}\ ) \mathrm{d}^3r=0$。

对于任意体积$\mathbb{V}$，上述方程式都成立。所以，可以将被积式提取出来：

$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{J} =0$。

电荷守恒方程式又称为电荷连续方程式。

在十九世纪中期，詹姆斯·马克士威发现安培定律（原本形式）不能满足电荷守恒的要求。于是，他将安培定律的方程式加以修正为马克士威-安培方程式。由于这动作，马克士威发觉包括这方程式在内的马克士威方程组，可以用来描述电磁波的物理行为，并且推导出电磁波以光速传播于自由空间。因此，他正确地断定光波是一种电磁波。更详尽细节，请参阅条目马克士威方程组。

确实无误，马克士威方程组已概括了电荷守恒方程式。思考马克士威-安培方程式。

$\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$。

其中，$\mathbf{B}$是磁场，$\mu_0$是磁常数，$\epsilon_0$是电常数，$\mathbf{E}$是电场。

取这方程式的散度。

$0 \equiv \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{B})=\mu_0\nabla\cdot\mathbf{J}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial(\nabla\cdot\mathbf{E})}{\partial t}$。

将高斯定律（$\nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\epsilon_0$）带入上式，立即得到电荷守恒定律。

$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{J}=0$。

## 规范不变性

### 静电学

在静电学里，电势乃是相对的，不是绝对的。假设在三维空间的电势为$\phi=f(\mathbf{r})$，现将电势加上一个常数$c$，改为$\phi'=f(\mathbf{r})+c$，则电场不会改变，这性质称为规范不变性。由于这性质，必需先设定在某参考位置的电势，在其它位置的电势才具有真实物理意义。因此，每一条方程式只会涉及到相对电势，不会涉及到绝对电势。

电荷守恒与规范不变性密切相关。这可以用一个思想实验来论述。假设某种过程可以破坏电荷守恒（假若无法永久地破坏，至少可以暂时地破坏）。这过程会在空间里电势为$V_1$的某位置$\mathbf{r}_1$生成电荷$q$，然后将这电荷迁移至在空间里电势为$V_2$的位置$\mathbf{r}_2$，最后将这电荷湮灭。注意到这过程并没有破坏全域电荷守恒定律，只破坏了局域电荷守恒定律。

现在规定，在任意位置，生成电荷需要输入能量$W$，湮灭电荷会释出能量$W$。由于生成电荷或湮灭电荷的位置是任意位置，$W$不会与相对电势有关。$W$也不会与绝对电势有关。那么，整个过程会使得系统获得能量$W+qV_1-qV_2-W$。但是，这样做会违反能量守恒。为了遵守能量守恒，必需要求局域电荷守恒。所以，由于规范不变性，电荷守恒定律成立。

### 电磁学

在电磁学里，对电势与磁向量势做规范变换。

$\phi' = \phi - \frac {\partial \Lambda}{\partial t}$。

$\mathbf{A}' = \mathbf{A} + \nabla \Lambda$。

其中，规范函数$\Lambda(\mathbf{r},t)$是任意纯量场。

新的电场$\mathbf{E}'$、磁场$\mathbf{B}'$分别为

$\mathbf{E}' =-\nabla \phi' - \frac {\partial \mathbf{A}'}{\partial t}=-\nabla \phi - \frac {\partial \mathbf{A}}{\partial t}=\mathbf{E}$。

$\mathbf{B}' =\nabla\times\mathbf{A}'=\nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B}$。

分别与旧的电场$\mathbf{E}$、磁场$\mathbf{B}$相同。这性质称为规范不变性。由于这性质，在规范变换下，马克士威方程组的形式不变。

### 诺特定理

根据诺特定理，电荷守恒可以理解为由于对称性而导致的后果。诺特定理表明，每一种守恒定律，必定有其伴随的物理对称性。伴随着电荷守恒的对称性是电磁场的规范不变性。

采用高斯单位制，张量标记，爱因斯坦求和约定，思考电磁场的拉格朗日密度$\mathcal{L}$。

$\begin{align}\mathcal{L} & =-\ \frac{1}{16\pi}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}-\ \frac{1}{c}J_{\alpha}A^{\alpha} \\ <pre> & =-\ \frac{1}{16\pi}(\partial_{\alpha}A_{\beta}-\partial_{\beta}A_{\alpha})(\partial^{\alpha}A^{\beta}-\partial^{\beta}A^{\alpha})-\ \frac{1}{c}J_{\alpha}A^{\alpha} \\ </pre> \end{align}$。

其中，$F_{\alpha\beta}$是电磁张量，$c$是光速，$J_{\alpha}$是四维电流密度，$A^{\alpha}$是电磁四维势。

现在，做一个微小变换

$A'^{\alpha}=A^{\alpha}+\partial^{\alpha}\Lambda$。

其中，$\Lambda(x^{\alpha})$是规范函数。

新的拉格朗日密度$\mathcal{L}'$为

$\begin{align}\mathcal{L}' & =-\ \frac{1}{16\pi}[\partial_{\alpha}(A_{\beta}+\partial_{\beta}\Lambda)-\partial_{\beta}(A_{\alpha}+\partial_{\alpha}\Lambda)]\ [\partial^{\alpha}(A^{\beta}+\partial^{\beta}\Lambda)-\partial^{\beta}(A^{\alpha}+\partial^{\alpha}\Lambda)] -\ \frac{1}{c}J_{\alpha}(A^{\alpha}+\partial^{\alpha}\Lambda) \\ <pre> & =-\ \frac{1}{16\pi}(\partial_{\alpha}A_{\beta}-\partial_{\beta}A_{\alpha})(\partial^{\alpha}A^{\beta}-\partial^{\beta}A^{\alpha}) </pre> -\ \frac{1}{c}J_{\alpha}(A^{\alpha}+\partial^{\alpha}\Lambda) \\ <pre> & =\mathcal{L} </pre> -\ \frac{1}{c}J_{\alpha}\partial^{\alpha}\Lambda \\ \end{align}$。

在这种规范变换下，拉格朗日密度不是不变量，但是作用量$\mathcal{I}=\int_{\mathbb{V}}\mathcal{L}\ \mathrm{d}^4x$是不变量：

$\mathcal{I}'-\mathcal{I}=-\ \frac{1}{c}\int_{\mathbb{V}} J_{\alpha}\partial^{\alpha}\Lambda \mathrm{d}^4x =-\ \frac{1}{c}\int_{\mathbb{V}} \partial^{\alpha}(J_{\alpha}\Lambda)\mathrm{d}^4x +\ \frac{1}{c}\int_{\mathbb{V}} \Lambda\partial^{\alpha}J_{\alpha} \mathrm{d}^4x$。

其中，$\mathbb{V}$是四维积分体积。

应用散度定理，四维体积积分$\int_{\mathbb{V}} \partial^{\alpha}(J_{\alpha}\Lambda)\mathrm{d}^4x$可以变为一个三维曲面积分。将$\mathbb{V}$增大，使得表面不存在任何四维电流$J_{\alpha}$，则这项目等于零。那么。

$\mathcal{I}'-\mathcal{I}= \frac{1}{c}\int_{\mathbb{V}} \Lambda\partial^{\alpha}J_{\alpha} \mathrm{d}^4x$。

注意到$\Lambda$是任意函数，所以，假若作用量$\mathcal{I}$是规范不变量，则必定导致

$\partial^{\alpha}J_{\alpha}=0$。

### 规范场论

采用高斯单位制，自旋1/2粒子的旋量场的狄拉克拉格朗日密度为

$\mathcal{L}=i\hbar c\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi-mc^2\overline{\psi}\psi$。

其中，$\hbar$是约化普朗克常数，$c$是光速，$\gamma^{\mu}$是狄拉克矩阵（Dirac matrix），$\psi$是四维旋量，$\overline{\psi}$是$\psi$的狄拉克伴随（Dirac adjoint），$m$是粒子质量。

对于全域规范变换。

$\psi'=\psi e^{i\theta}$。

其中，$\theta$是常数相移。

在全局规范变换下，拉格朗日密度$\mathcal{L}$是不变量：

$\begin{align}\mathcal{L}' & =i\hbar c\overline{\psi'}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi'-mc^2\overline{\psi'}\psi' \\ <pre> & =i\hbar c\overline{\psi} e^{-i\theta}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}(\psi e^{i\theta})-mc^2\overline{\psi} e^{-i\theta}\psi e^{i\theta} \\ & =i\hbar c\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi-mc^2\overline{\psi}\psi \\ & =\mathcal{L} \\ </pre> \end{align}$。

可是，对于局域规范变换，$\theta=\theta(x^{\mu})$不是常数。在局域规范变换下，由于$\partial_{\mu}(\psi e^{i\theta})=(\partial_{\mu}\psi)e^{i\theta}+i(\partial_{\mu}\theta)\psi e^{i\theta}$，拉格朗日密度$\mathcal{L}$不是不变量：

$\mathcal{L}'=\mathcal{L}-\hbar c(\partial_{\mu}\theta)\overline{\psi}\gamma^{\mu}\psi$。

因此，必需添加额外项目，才能使$\mathcal{L}$成为不变量。猜想新拉格朗日密度的形式为

$\mathcal{L}_1=i\hbar c\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi-mc^2\overline{\psi}\psi -q\overline{\psi}\gamma^{\mu}\psi A_{\mu}$。

其中，$A_{\mu}$是新添加的四维向量场。

假设，对于局域规范变换，$A'_{\mu}=A_{\mu}+\partial_{\mu}\Lambda$。那么，在局域规范变换下。

$\mathcal{L}'_1=\mathcal{L}_1-\hbar c(\partial_{\mu}\theta)\overline{\psi}\gamma^{\mu}\psi+q\overline{\psi}\gamma^{\mu}\psi\partial_{\mu}\Lambda$。

设定$\Lambda=-\hbar c \theta/q$，则拉格朗日密度$\mathcal{L}_1$成为规范不变量。但是四维向量场$A_{\mu}$的物理意义仍旧不清楚。

思考自旋为1、质量为$m$的粒子的四维向量场，其普罗卡拉格朗日密度（Proca Lagrangian）为

$\mathcal{L}_P =-\ \frac{1}{16\pi}(\partial_{\alpha}A_{\beta}-\partial_{\beta}A_{\alpha})(\partial^{\alpha}A^{\beta}-\partial^{\beta}A^{\alpha})+ \frac{m^2c^2}{8\pi\hbar^2}A^{\nu}A_{\nu}$。

在局域规范变换下，这方程式右手边第一个项目是不变量，但第二个项目不是不变量。假设粒子不具质量$m=0$，则可除去第二个项目。将这粒子不具质量的普罗卡拉格朗日密度与拉格朗日密度$\mathcal{L}_1$综合在一起，所得到的拉格朗日密度$\mathcal{L}_2$是规范不变量：

$\mathcal{L}_2=i\hbar c\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi-mc^2\overline{\psi}\psi -\ \frac{1}{16\pi}(\partial_{\alpha}A_{\beta}-\partial_{\beta}A_{\alpha})(\partial^{\alpha}A^{\beta}-\partial^{\beta}A^{\alpha})-q\overline{\psi}\gamma^{\mu}\psi A_{\mu}$。

假设$A_{\mu}$是电磁四维势、四维电流密度$J_{\mu}$是$J_{\mu}=cq\overline{\psi}\gamma^{\mu}\psi$、电磁张量$F_{\alpha\beta}$是$F_{\alpha\beta}=\partial_{\alpha}A_{\beta}-\partial_{\beta}A_{\alpha}$，那么，$\mathcal{L}_2$表示为

$\mathcal{L}_2=i\hbar c\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi-mc^2\overline{\psi}\psi -\ \frac{1}{16\pi}(F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta})-\frac{1}{c}J^{\mu}A_{\mu}$。

这方程式右手边前面两个项目是描述电子或正子的狄拉克场的拉格朗日密度，后面两个项目则是以光子为媒介的电磁场的拉格朗日密度。对于$A_{\mu}$的拉格朗日方程式为马克士威方程组：

$\partial^{\mu}F_{\mu\nu}-\frac{4\pi}{c}J^{\mu}=0$。

规范不变性有很多可被检验的后果。例如，局域规范不变性要求光子不具有质量。因此，假若做实验能够精确地证实光子不具有质量，这也会成为电荷守恒的强证据。

可是，甚至当物理系统具有完全的规范不变性时，假若电荷从正常的三维空间漏入隐藏的额外维度，则仍旧会有可能发生电荷不守恒现象。

## 实验证据

假若电荷不永远守恒，则可能会发生粒子衰变。检验电荷守恒最好的实验方法就是寻找这些粒子衰变。至今为止，物理学者尚未能找到任何这类衰变。例如，对于电子衰变为微中子与光子的反应，物理学者试着侦测这反应产生的高能光子：

$e\to \nu_e+\gamma$｜平均寿命大于4.6×1026年（90% 置信水平）。

但是，有理论提出，即使电荷不永远守恒，这种生成高能光子的衰变反应也永远不会发生。当然，也有实验试着侦测不产生高能光子的衰变，或者一些比较不寻常的电荷破坏过程，例如，电子可能会自发变成正电子、电子移入其它维度。最优良的实验值限为

$e\to$任意粒子｜平均寿命大于6.4×1024年（68% 置信水平）

$n\to p+\nu+\bar{\nu}$｜对于所有中子衰变事件，电荷不守恒衰变的发生率低于8×10−27（68% 置信水平）

## 参阅

- 电容器－储存电荷的元件。
- 克希荷夫电路定律－应用电荷守恒于电路。
- 守恒定律与对称性（Conservation Laws and Symmetry）
- 规范理论入门（Introduction to Gauge Theory）－关于规范不变性与电荷守恒的进阶论述。