三角形

三角形，又称三边形，是由三条线段顺次首尾相连，或不共线的三点两两连接，所组成的一个闭合的平面几何图形，是最基本和最少边的多边形。

一般用大写英语字母$A$、$B$和$C$为三角形的顶点标号；用小写英语字母$a$、$b$和$c$表示边；用$\alpha$、$\beta$和$\gamma$给角标号，又或者以$\angle ABC$这样的顶点标号来表示。

## 分类

### 以角度分类

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锐角三角形｜钝角三角形｜直角三角形

#### 锐角三角形

锐角三角形的所有内角均为锐角。

#### 钝角三角形

钝角三角形是其中一角为钝角的三角形，其余两角均小于90°。

#### 直角三角形

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有一个角是直角（90°）的三角形为直角三角形。成直角的两条边称为“直角边”（cathetus），直角所对的边是“斜边”（hypotenuse）；或最长的边称为“弦”，底部的一边称作“勾”（又作“句”），另一边称为“股”。斜边乘上斜边上的高÷2=勾股相乘÷2=此直角三角形面积（ch=ab）

#### 三角函数

直角三角形各边与角度的关系，可以三角比表示。

### 以边长分类

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不等边三角形｜等边三角形｜等腰三角形

#### 不等边三角形

三条边边长皆不相等的三角形称为不等边三角形。

#### 等边三角形

等边三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形。其三个内角相等，均为60°。它是锐角三角形的一种。设其边长是 $a$，则其面积公式为 $\frac{a^2\sqrt3}{4}$。

等边三角形是正四面体、正八面体和正二十面体这三个正多面体面的形状。六个边长相同的等边三角形可以拼成一个正六边形。

#### 三角形的对边

对边是指一个角对面的那条边。比如∠A的对边就是BC，∠B的对边就是AC，∠C的对边就是AB。

对边测量是全站仪的一种专项测量功能，它可以间接测量两个不可通视点之间的水平距离。该方法设站灵活，操作简单，但它的测量精度没有标注，需要通过计算求得。

#### 等腰三角形

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等腰三角形是三条边中有两条边相等（或是其中两只内角相等）的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为“腰”，而另一条边被称为“底边”，两条腰交叉组成的那个点被称为“顶点”，它们组成的角被称为“顶角”。

等边三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。

令其底边是 $b$，腰是 $a$，则其面积公式为 $\frac{1}{4}{b\sqrt{4a^2-b^2}}$ 等腰三角形的对应高，角平分线和中线重合。

#### 退化三角形

退化三角形是指面积为零的三角形。满足下列条件之一的三角形即可称为退化三角形：三个内角的度数为(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°)；三边其中一条边的长度为0；一条边的长度等于另外两条之和。有人认为退化三角形并不能算是三角形，这是由于它介乎于三角不等式之间，在一些资料中已否定了其中一条边等于其余两条边之和的情况。

## 勒洛三角形

勒洛三角形（Reuleaux triangle），也译作莱洛三角形或弧三角形，又被称为划粉形或曲边三角形，是除了圆形以外，最简单易懂的勒洛多边形，一个定宽曲线。将一个曲线图放在两条平行线中间，使之与这两平行线相切，则可以做到：无论这个曲线图如何运动，只要它还是在这两条平行线内，就始终与这两条平行线相切。这个定义由十九世纪的德国工程师弗朗茨·勒洛命名。

## 一般性质

### 三角不等式

- 三角边长不等式
- 三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边。如果两者相等，则是退化三角形。
- 三角内外角不等式
- 三角形任意一个外角大于不相邻的一个内角。

### 角度

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- 三角形外角
- 三角形两内角之和，等于第三角的外角。
- 三角形内角和
- 在欧几里德平面内，三角形的内角和等于180°。

### 勾股定理

勾股定理，又称毕氏定理或毕达哥拉斯定理。其断言，若直角三角形的其中一边 $c$ 为斜边，即 $c$ 的对角 $\gamma =90^\circ$，则

$a^2 + b^2 = c^2$。

勾股定理的逆定理亦成立，即若三角形满足

$a^2 + b^2 = c^2$。

则

$$\gamma =90^\circ$$

### 正弦定理

设 $R$ 为三角形外接圆半径，则

$$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}=2R$$

### 余弦定理

对于任意三角形：

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cdot\cos\alpha,$$

$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cdot\cos\beta,$$

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot\cos\gamma.$$

勾股定理是本定理的特殊情况，即当角 $\alpha=90^\circ\,$ 时， $\cos\alpha=0$，于是 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cdot\cos\alpha$ 化简为 $a^2 = b^2 + c^2$。

## 全等及相似

### 全等三角形

三角形具有稳定性，若二个三角形有以下的边角关系确定后，它的形状、大小就不会改变，二个三角形即为全等三角形。全等三角形的判断准则有以下几种：

- SSS（Side-Side-Side，边、边、边）：各三角形的三条边的长度都对应地相等。
- SAS（Side-Angle-Side，边、角、边）：各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等。
- ASA（Angle-Side-Angle，角、边、角）：各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等。
- RHS（Right Angle-Hypotenuse-Side，直角、斜边、边）：在直角三角形中，斜边及一条直角边对应地相等。
- AAS（Angle-Angle-Side，角、角、边）：各三角形的其中两个角都对应地相等，且其中一组对应角的对边也对应地相等。

SSA（Side-Side-Angle、边、边、角）不能保证两个三角形全等，除非该角大于等于90°，此时可以保证全等。

### 相似三角形

- AA（Angle-Angle，角、角）：各三角形的其中两个角的都对应地相等。（或称AAA（Angle-Angle-Angle，角、角、角））
- 三边成比例（3 sides proportional）：各三角形的三条边的长度都成同一比例。
- 两边成比例且夹角相等（ratio of 2 sides, inc.∠）：各三角形的两条边之长度都成同一比例，且两条边之夹角都对应地相等。（或称 2 sides proportional, inc. ∠ equal）

## 特殊线段

三角形中有着一些特殊线段，是三角形研究的重要对象。

- 中线（median）：三角形一边中点与这边所对顶点的连线段。
- 高线（altitude）：从三角形一个顶点向它的对边所作的垂线段。
- 角平分线（angle bisector）：平分三角形一角、一个端点在这一角的对边上的线段。
- 垂直平分线（perpendicular bisector）：通过三角形一边中点与该边所垂直的线段，又称中垂线。

以上特殊线段，每个三角形均有三条，且三线共点。

### 中线长度

设在$\Delta ABC\,$中，若三边$a$、$b$、$c \,$的中线分别为$m_a$、$m_b$、$m_c$，则：

$$m_a = \sqrt{\frac{1}{2} b^2 + \frac{1}{2} c^2 - \frac{1}{4} a^2}$$

$$m_b = \sqrt{\frac{1}{2} a^2 + \frac{1}{2} c^2 - \frac{1}{4} b^2}$$

$$m_c = \sqrt{\frac{1}{2} a^2 + \frac{1}{2} b^2 - \frac{1}{4} c^2}$$

### 高线长度

设在$\Delta ABC\,$中，连接三个顶点$A$、$B$、$C$上的高分别记作$h_a$、$h_b$、$h_c$，则：

$$h_a=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{a}$$

$$h_b=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{b}$$

$$h_c=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{c}$$

其中 $s=\frac{a+b+c}{2}$。

### 角平分线长度

设在$\Delta ABC\,$中，若三个角$A$、$B$、$C$的角平分线分别为$t_a$、$t_b$、$t_c$，则：

$$t_a=\frac{1}{b+c}\sqrt{\left(b+c+a \right)\left(b+c-a \right)bc}$$

$$t_b=\frac{1}{a+c}\sqrt{\left(a+c+b\right)\left(a+c-b \right)ac}$$

$$t_c=\frac{1}{a+b}\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(a+b-c \right)ab}$$

## 三角形的心

三角形的内心(Incenter)、外心(Circumcenter)、垂心(Orthocenter) 及形心(Centroid)称为三角形的四心，定义如下：

名称｜定义｜图示｜备注

内心｜三个内角的角平分线的交点｜

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｜该点为三角形内切圆的圆心。

外心｜三条边的中垂线的交点｜

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｜该点为三角形外接圆的圆心。

垂心｜三条高线的交点｜

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形心（重心）｜三条中线的交点｜

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｜被交点划分的线段比例为1:2（靠近角的一段较长）。

关于三角形的四心，有这样的一首诗：

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垂心（蓝）、形心（黄）和外心（绿）能连成一线，且成比例1:2，称为欧拉线，与九点圆的圆心（红）四点共线，为垂心和形心线段的中点。

连同以下的旁心，合称为三角形的五心：

名称｜定义｜图示｜备注

旁心｜外角的角平分线的交点｜

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｜有三个，为三角形某一边上的旁切圆的圆心。

## 外接圆和内切圆半径

设外接圆半径为$R$，内切圆半径为$r$，则：

$$R=\frac{abc}{\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(b+c-a \right)\left(a+c-b \right)\left(a+b-c \right)}}=\frac{abc}{4 \triangle}$$

$$r=\frac{\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(b+c-a \right)\left(a+c-b \right)\left(a+b-c \right)}}{2 \left(a+b+c \right)}=\frac{\triangle}{s}$$

其中$\triangle$为三角形面积；$s$为三角形半周长，$s=\frac{a+b+c}{2}$

## 面积

### 基本公式

三角形的面积 $A$ 是底边 $b$ 与高 $h$ 乘积的一半，即：

$A=\frac{1}{2}bh$。

其中的高是指底边与对角的垂直距离。

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从右图可知，将两个全等三角形相拼，可得一平行四边形。而将该平行四边形分割填补，正好能得到一个面积等于 $bh$ 的长方形。

$A=\frac{1}{2}bh$。

证毕。

### 已知两边及其夹角

设 $a$ $b$ 为已知的两边， $\gamma$ 为该两边的夹角。

$A=\frac{1}{2}ab\sin{\gamma}$。

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观察右图，根据正弦的定义：

$\sin \gamma = \frac{h}{a}$。

因此：

$h = a \sin \gamma$。

将此式代入基本公式，可得：

$A = \frac{1}{2} b (a \sin \gamma) = \frac{1}{2}ab\sin{\gamma}$。

证毕。

### 已知两角及其夹边

$\beta$、 $\gamma$ 为已知的两角， $a$ 为该两角的夹边。

$A=\frac{a^2 \sin \beta \sin \gamma}{2 \sin (\beta + \gamma)}$。

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从正弦定理可知：

$$\begin{align} \frac{b}{\sin \beta} & = \frac{a}{\sin \alpha} \\ b & = \frac{a \sin \beta}{\sin \alpha} \\ \end{align}$$

代入 $A=\frac{1}{2}ab\sin \gamma$，得：

$A = \frac{a^2 \sin \beta \sin \gamma}{2 \sin \alpha}$。

注意到$\alpha + \beta + \gamma= 180^\circ$，因此：

$$\begin{align} A & =\frac{a^2 \sin \beta \sin \gamma}{2 \sin [180^\circ - (\beta + \gamma)]} \\ & =\frac{a^2 \sin \beta \sin \gamma}{2 \sin (\beta + \gamma)} \\ \end{align}$$

证毕。

### 已知三边长

海伦公式，其表示形式为：

$A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}$。

其中 $s$ 等于三角形的半周长，即：

$$s=\frac{a+b+c}{2}$$

秦九韶亦求过类似的公式，称为三斜求积法：

$$A = \sqrt{\frac{1}{4} {\left[c^2a^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2}\right)^2\right]}}$$

也有用幂和来表示的公式：

$$\begin{align} A &= \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}\\ &= \frac{1}{4} \sqrt{2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}\\ \end{align}$$

将海伦公式略为变形，知

$$16 A^2=[(a+b)+c][(a+b)-c] \times [c+(a-b)][c-(a-b)]$$

多次使用平方差公式，得

$$\begin{align} 16 A^2 &=[(a+b)^2-c^2] \times [c^2-(a-b)^2]\\ &=[2ab+(a^2+b^2-c^2)]\times[2ab-(a^2+b^2-c^2)]\\ &=(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2\\ &=4a^2b^2-(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2-2b^2c^2-2a^2c^2)\\ &=(2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)\\ &=2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)\\ \end{align}$$

等号两边开根号，再同除以4，得

$$\begin{align} A &=\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}\\ <pre> &=\frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}\\ </pre> \end{align}$$

亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式：

$$16 \cdot A^2 =- \begin{vmatrix} <pre> 0 & a^2 & b^2 & 1\\ a^2 & 0 & c^2 & 1\\ b^2 & c^2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 0\\ </pre> \end{vmatrix}$$

基于海伦公式在三角形拥有非常小的角度时并不数值稳定，有一个变化的计法。设 $a \ge b \ge c$。

$A = \frac{1}{4} \sqrt{[a+(b+c)][c-(a-b)][c+(a-b)][a+(b-c)]}$。

设 $a$、 $b$、$c$为三角形三条边， $\alpha$、 $\beta$、 $\gamma$ 为相应边的对角。从余弦定理可知：

$$\cos \gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$

以毕氏三角恒等式可得：

$\sin \gamma = \sqrt{1-\cos^2 \gamma} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}$。

将此式代入$A=\frac{1}{2}ab\sin{\gamma}$，得：

$A = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}$。

因式分解及简化后可得：

$$A = \frac{1}{4} \sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}$$

代入$s=\frac{a+b+c}{2}$，即可证毕。

### 已知坐标系中三顶点坐标

由 $(x_1,y_1)$、 $(x_2,y_2)$ 及 $(x_3,y_3)$ 三个顶点构成的三角形，其面积可用行列式的绝对值表示：

$$A = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix}x_1 & y_1 & 1 \\x_2 & y_2 & 1 \\x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} \right|$$

无论三角形的顶点位置如何，该三角形总可以用一个直角梯形（或矩形）和两个直角三角形面积的和差来表示，而在直角坐标系中，已知直角梯形（或矩形）和直角三角形的顶点的坐标，该三角形的面积容易求出，即用上述的行列式表示。

若三个顶点设在三维坐标系上，即由 $(x_1,y_1,z_1)$、 $(x_2,y_2,z_2)$ 及 $(x_3,y_3,z_3)$ 三个顶点构成三角形，其面积等于各自在主平面上投影面积的毕氏和，即：

$$A = \frac{1}{2} \sqrt {\begin{vmatrix}x_1 & y_1 & 1 \\x_2 & y_2 & 1 \\x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix}y_1 & z_1 & 1 \\y_2 & z_2 & 1 \\y_3 & z_3 & 1 \end{vmatrix} ^2 + \begin{vmatrix}z_1 & x_1 & 1 \\z_2 & x_2 & 1 \\z_3 & x_3 & 1 \end{vmatrix}^2 }$$

### 已知周界及内切圆或外接圆半径

设三角形三边边长分别为 $a$、 $b$ 及 $c$，三角形半周长（$\frac{a+b+c}{2}$）为 $s$，内切圆半径为 $r$，则：

$$A = sr$$

若设外接圆半径为 $R$，则：

$$A =\frac{abc}{4R}$$

内切圆半径公式

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根据右图，设 $\overline{AB} = c$， $\overline{AC}=b$， $\overline{BC} = a$，则三角形面积可表示为：

$$\begin{align} A & = \frac{1}{2} ar + \frac{1}{2} br + \frac{1}{2} cr \\ & = \frac{r(a+b+c)}{2} \\ & = rs \end{align}$$

外接圆半径公式

根据正弦定理：

$$\begin{align} \frac{c}{\sin \gamma} & = 2R \\ \sin \gamma & = \frac{c}{2R} \\ \end{align}$$

因此：

$$\begin{align} A & = \frac{1}{2}ab \sin \gamma \\ & = \frac{1}{2}ab \left( \frac{c}{2R} \right) \\ & = \frac{abc}{4R} \end{align}$$

### 已知两边向量

设从一角出发，引出两边的向量为 $\mathbf{a}$ 及 $\mathbf{b}$。

$$A = \frac{1}{2} |\mathbf{a} \times \mathbf{b} |$$

根据向量积定义，$|\mathbf{a} \times \mathbf{b} | = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin \gamma$。

其中 $\gamma$ 是两支向量的夹角。

因此：

$$\frac{1}{2} |\mathbf{a} \times \mathbf{b} | = \frac{1}{2} |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin \gamma = A$$

证毕。

## 半角定理

在三角形$ABC\,$中，三个角的半角的正切和三边有如下关系：

$$\begin{align} \tan{\frac{A}{2}} & = \sqrt{\dfrac{(a+c-b)(a+b-c)}{(a+b+c)(b+c-a)}} \\ \tan{\frac{B}{2}} & = \sqrt{\dfrac{(a+b-c)(b+c-a)}{(a+b+c)(a+c-b)}} \\ \tan{\frac{C}{2}} & = \sqrt{\dfrac{(b+c-a)(a+c-b)}{(a+b+c)(a+b-c)}} \\ \end{align}$$

以正弦及余弦之比表示正切：

$$\tan\frac{A}{2}=\frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos\frac{A}{2}}$$

因为

$$\sin \frac{A}{2}>0$$

$$\tan \frac{A}{2}>0$$

所以

$$\sin \frac{A}{2}=\sqrt{ \frac{1-\cos{A}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}$$

$$=\sqrt{ \frac{a^2-{\left(b-c\right)}^2 }{4bc}}$$

$$=\sqrt{ \frac{\left(a+b-c\right) \left(a+c-b\right)}{4bc}}$$

而

$$\cos \frac{A}{2}=\sqrt{ \frac{1+\cos{A}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}$$

$$=\sqrt{ \frac{{\left(b+c\right)}^2-a^2 }{4bc}}$$

$$=\sqrt{ \frac{\left(b+c+a\right) \left(b+c-a\right)}{4bc}}$$

所以

$$\begin{align} \tan\frac{A}{2}&=\frac{\sin\frac{A}{2}}{\cos\frac{A}{2}}\\ &=\frac{\sqrt{\cfrac{(a+b-c)(a+c-b)}{4bc}}}{\sqrt{\cfrac{(b+c+a)(b+c-a)}{4bc}}}\\ &=\sqrt{\frac{(a+b-c)(a+c-b)}{(b+c+a)(b+c-a)}} \end{align}$$

同理可得

$$\tan \frac{B}{2}=\sqrt{\dfrac{(a+b-c)(b+c-a)}{(a+b+c)(a+c-b)}}$$

$$\tan \frac{C}{2}=\sqrt{\dfrac{(b+c-a)(a+c-b)}{(a+b+c)(a+b-c)}}$$

## 其他有关三角形的定理

- 外角定理
- 拿破仑三角形
- 费马点
- 欧拉线
- 梅涅劳斯定理
- 枢纽定理
- 维维亚尼定理
- 莫雷角三分线定理

## 基本资料

- 边：3
- 施莱夫利符号：{3}（正三角形时）
- 面积：有各种求面积的公式、见#面积一节
- 内角和：一百八十度