向量空间

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向量空间是一群可缩放和相加的数学实体（如实数甚至是函数）所构成的特殊集合，其特殊之处在于缩放和相加后仍属于这个集合。这些数学实体被称为向量，而向量空间正是线性代数的主要研究对象。

## 正式定义

给定域 $\left(K,\,+,\,\times\right)$ 和某集合 $V$，它们具有了以下两种运算（函数）：

- 向量加法 $\oplus:V \times V \to V$ （其中 $\oplus(u,\,v)$ 惯例上简记为 $u \oplus v$）
- 标量乘法 $\cdot :K \times V \to V$ （其中 $\cdot\,(a,\,v)$ 惯例上简记为 $a \cdot v$ 甚至是 $a v$）

且这两种运算满足：（特别注意 $+$ 和 $\times$ 是域 $K$ 是本身具有的加法和乘法）

名称｜前提条件｜内容

向量加法｜的单位元与逆元素｜存在 $V$ 的元素 $e \in V$ 对所有 $u \in V$｜有 $e \oplus u = u \oplus e = u$

且存在 $w \in V$ 使得 $w \oplus u = u \oplus w = e$

结合律｜对所有 $u,\,v,\,w \in V$｜$u \oplus (v \oplus w) = (u \oplus v) \oplus w$

交换律｜对所有 $u,\,v \in V$｜$u \oplus v=v \oplus u$

标量乘法｜的单位元｜对所有 $u \in V$｜若 $1_K \in K$ 是 $K$ 的乘法单位元，则 $1_K \cdot u = u$

对向量加法的分配律｜对所有 $u,\,v \in V$ 和所有 $a \in K$｜$a \cdot (u \oplus v) = a \cdot u \oplus a \cdot v$

对域加法的分配律｜对所有 $u \in V$ 和所有 $a,\,b \in K$｜$(a + b)\cdot u = a \cdot u \oplus b \cdot u$

与域乘法｜$a \cdot (b \cdot u) = (a \times b) \cdot u$

这样称 “ $V$ 为定义在域 $K$ 上的向量空间”，而 $V$ 里的元素 $u \in V$ 被称为向量；域 $K$ 里的元素 $a \in K$ 被称为标量。这样域 $K$ 就是囊括所有标量的集合，所以为了解说方便，有时会将 $K$ 昵称为标量域或是标量母空间。在不跟域的加法混淆的情况下，向量加法 $\oplus$ 也可以简写成 $+$。

前四个条件规定 $\left( V,\,\oplus \right)$ 是交换群。上述的完整定义也可以抽象地概述成“ $\left(K,\,+,\,\times\right)$ 是个域，且 $V$ 是一个 $K-$模”。

## 基本性质

以下定理都沿用正式定义一节的符号与前提条件。

向量加法的单位元是唯一的。

以上的定理事实上继承自群的单位元唯一性。这样的话，可以仿造群的习惯以记号 $0_V$ 代表“向量加法 $\oplus$ 的唯一单位元”，并称之为 $V$ 的零向量。

在不跟标量域的加法单位元 $0_K \in K$ 混淆的情况下，零向量 $0_V \in V$ 也可以简写成 $0$。

任意向量的向量加法逆元素是唯一的。

以上的定理事实上继承自群的逆元唯一性，这样的话，可以仿造群的习惯以 $u^{-1}$ 代表“向量 $u$ 在向量加法 $\oplus$ 下的唯一逆元素”，甚至可以把 $v \oplus u^{-1}$ 简记为 $v \ominus u$，并昵称为向量减法。在不跟标量的加法混淆的情况下， $u^{-1}$ 也可记为 $- u$； $v \ominus u$ 也可记为 $v - u$。

对所有的纯量 $a \in K$ 都有 $a \cdot 0_V = 0_V$。（零向量的伸缩还是零向量）

证明考虑到标量乘法对向量加法的分配律和零向量的性质会有 : $a \cdot 0_V = a \cdot (0_V + 0_V) = a \cdot 0_V + a \cdot 0_V$ 那取向量 $u \in V$ 为 $a \cdot 0_V$ 的向量加法逆元素，配上向量加法的结合律和单位元的定义会有 $\begin{align} 0_V & = u + a \cdot 0_V\\ & = u + ( a \cdot 0_V + a \cdot 0_V)\\ & = (u + a \cdot 0_V )+ a \cdot 0_V\\ & = 0_V + a \cdot 0_V\\ & = a \cdot 0_V\\ \end{align}$ 故得证。$\Box$

对所有的向量 $u \in V$，若纯量 $0_K \in K$ 是域加法的单位元，则 $0_K \cdot u = 0_V$。

证明考虑到域 $K$ 自身的定义，还有标量乘法对域加法的分配律的话有 : $0_K \cdot u = (0_K + 0_K)\cdot u = 0_K \cdot u + 0_K \cdot u$ 那取向量 $w \in V$ 为 $0_K \cdot u$ 的向量加法逆元素，配上向量加法的结合律和单位元的定义会有 : $0_V = w + 0_K \cdot u = w + (0_K \cdot u + 0_K \cdot u) = (w + 0_K \cdot u) + 0_K \cdot u = 0_V + 0_K \cdot u = 0_K \cdot u$ 故得证。$\Box$

对所有的向量 $u \in V$ 和标量 $a \in K$，如果 $a \cdot u = 0_V$，则 $u = 0_V$ 或 $a = 0_K$ ( 其中 $0_K \in K$ 是域加法的单位元)。

证明若 $K =\{0_K\}$，根据定理(3)本定理显然成立。下面只考虑 $K \neq \{0_K\}$ 的状况。假设存在向量 $u \in V$ 和标量 $a \in K$ 满足 $u \neq 0_V$ 且 $a \neq 0_K$，但 $a \cdot u = 0_V$。若以 $1_K \in K$ 表示域的乘法单位元，那根据其性质与和定义关于标量乘法单位元的部分会有 $\begin{align} u & = 1_K \cdot u\\ & = (a \times \frac{1}{a}) \cdot u \end{align}$ 那再根据定义关于标量乘法与域乘法的部分，还有域乘法的交换律会有 $\begin{align} u & = (a \times \frac{1}{a}) \cdot u\\ & = (\frac{1}{a} \times a) \cdot u\\ & = \frac{1}{a} \cdot(a \cdot u) \end{align}$ 那再套用定理(3)和前提假设会有 $\begin{align} u & = \frac{1}{a} \cdot (a \cdot u)\\ & = \frac{1}{a} \cdot 0_V\\ & = 0_V \end{align}$ 这跟前提假设是矛盾的，所以根据反证法和德摩根定理，对所有向量 $u \in V$ 和所有标量 $a \in K$，只有可能“ $u = 0_V$ 或 $a = 0_K$ ”或“$a \cdot u \neq 0_V$”，但这段叙述正好等价于定理想证明的，故得证。$\Box$

如果 $-a \in K$ 是 $a \in K$ 的域加法逆元素，那对所有的向量 $u \in V$，$a \cdot u$ 的向量加法逆元素必为 $-a \cdot u$。

证明以下设纯量 $0_K \in K$ 是域加法的单位元。考虑到域 $K$ 自身的定义，还有标量乘法对域加法的分配律会有 : $0_K \cdot u =(-a + a) \cdot u = -a \cdot u + a\cdot u$ : $0_K \cdot u = [a + (-a)]\cdot u = a \cdot u + (-a)\cdot u$ 然后考虑到前面的定理(4)，就有 : $0_V =0_K \cdot u = -a \cdot u + a \cdot u$ : $0_V =0_K \cdot u = a \cdot u + (-a) \cdot u$ 然后考虑到定理(2)保证的逆元素唯一性，就可以知道向量 $a \cdot u$ 的加法逆元素必为 $-a \cdot u$。$\Box$

如果 ${-1}_K \in K$ 是域加法单位元 $1_K \in K$ 的域加法逆元素，那对所有的向量 $u \in V$，其向量加法逆元素必为 ${-1}_K \cdot u$。

## 额外结构

研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下：

- 一个实数或复数向量空间加上长度概念（就是范数）则成为赋范向量空间。
- 一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念则成为内积空间。
- 一个向量空间加上拓扑结构并满足连续性要求（加法及标量乘法是连续映射）则成为拓扑向量空间。
- 一个向量空间加上双线性算子（定义为向量乘法）则成为域代数。

## 例子

对一般域F，V记为F-向量空间。若F是实数域ℝ，则V称为实数向量空间；若F是复数域ℂ，则V称为复数向量空间；若F是有限域，则V称为有限域向量空间。

最简单的F-向量空间是F自身。只要定义向量加法为域中元素的加法，标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当F是实数域ℝ时，可以验证对任意实数a、b以及任意实数u、v、w，都有：

- u + (v + w) = (u + v) + w。
- v + w = w + v。
- 零元素存在：零元素0满足：对任何的向量元素v，v + 0 = v。
- 逆元素存在：对任何的向量元素v，它的相反数w = −v就满足v + w = 0。
- 标量乘法对向量加法满足分配律：a(v + w) = a v + a w.
- 向量乘法对标量加法满足分配律：(a + b)v = a v + b v.
- 标量乘法与标量的域乘法相容：a(bv) =(ab)v。
- 标量乘法有单位元：ℝ中的乘法单位元，也就是实数“1”满足：对任意实数v，1v = v。

更为常见的例子是给定了直角坐标系的平面：平面上的每一点$P$都有一个坐标$P(x, y)$，并对应着一个向量$(x, y)$。所有普通意义上的平面向量组成了一个空间，记作ℝ²，因为每个向量都可以表示为两个实数构成的有序数组$(x, y)$。可以验证，对于普通意义上的向量加法和标量乘法，ℝ²满足向量空间的所有公理。实际上，向量空间是ℝ²的推广。

同样地，高维的欧几里得空间ℝn也是向量空间的例子。其中的向量表示为$v = (a_1, a_2, \cdots, a_n)$，其中的$a_1, a_2, \cdots, a_n$都是实数。定义向量的加法和标量乘法是：

$\forall \lambda \in \mathbb{R}, \, v = (a_1, a_2, \cdots, a_n) \in \mathbb{R}^n, \, w = (b_1, b_2, \cdots, b_n) \in \mathbb{R}^n$。

$v + w = (a_1, a_2, \cdots, a_n) + (b_1, b_2, \cdots, b_n) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \cdots, a_n + b_n)$ $\lambda v = \lambda (a_1, a_2, \cdots, a_n) = (\lambda a_1, \lambda a_2, \cdots, \lambda a_n)$ 可以验证这也是一个向量空间。

再考虑所有系数为实数的多项式的集合$\mathbb{R}[X]$。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法，$\mathbb{R}[X]$也构成一个向量空间。更广泛地，所有从实数域射到实数域的连续函数的集合$\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})$也是向量空间，因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连续函数。

### 方程组与向量空间

向量空间的另一种例子是齐次线性方程组（常数项都是0的线性方程组）的解的集合。例如下面的方程组：

$$3x + 2y - z = 0$$

$$x + 5y + 2z = 0$$

如果$(x_1, y_1, z_1)$和$(x_2, y_2, z_2)$都是解，那么可以验证它们的“和”$(x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)$也是一组解，因为：

$$3(x_1+x_2) + 2(y_1+y_2) - (z_1+z_2) = (3x_1 + 2y_1 - z_1) + (3x_2 + 2y_2 - z_2) = 0$$

$$(x_1+x_2) + 5(y_1+y_2) + 2(z_1+z_2) = (x_1 + 5y_1 + 2z_1) + (x_2 + 5y_2 + 2z_2) = 0$$

同样，将一组解乘以一个常数后，仍然会是一组解。可以验证这样定义的“向量加法”和“标量乘法”满足向量空间的公理，因此这个方程组的所有解组成了一个向量空间。

一般来说，当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时，方程组有无限多组解，并且这些解组成一个向量空间。

对于齐次线性微分方程，解的集合也构成向量空间。比如说下面的方程：

$$f'' + 4xf' + \cos(x)f = 0$$

出于和上面类似的理由，方程的两个解$f_1$和$f_2$的和函数$f_1 + f_2$也满足方程。可以验证，这个方程的所有解构成一个向量空间。

## 子空间基底

如果一个向量空间V的一个非空子集合W对于V的加法及标量乘法都封闭（也就是说任意W中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在W之中），那么将W称为V的线性子空间（简称子空间）。V的子空间中，最平凡的就是空间V自己，以及只包含0的子空间${0}$。

给出一个向量集合B，那么包含它的最小子空间就称为它的生成子空间，也称线性包络，记作span(B)。

给出一个向量集合B，若它的生成子空间就是向量空间V，则称B为V的一个生成集。如果一个向量空间V拥有一个元素个数有限的生成集，那么就称V是一个有限维空间。

可以生成一个向量空间V的线性独立子集，称为这个空间的基。若V={0}，约定唯一的基是空集。对非零向量空间V，基是V“最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基B之后，空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中元素的线性组合。如果能够把基中元素按下标排列：$\mathbf{B} = \left\{ e_1, e_2, \cdots, e_n, \cdots \right\}$，那么空间中的每一个向量v便可以通过座标系统来呈现：

$$v = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \cdots + \lambda_n e_n + \cdots$$

这种表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是说，向量空间的基提供了一个坐标系。

可以证明，一个向量空间的所有基都拥有相同基数，称为该空间的维度。当V是一个有限维空间时，任何一组基中的元素个数都是定值，等于空间的维度。例如，各种实数向量空间：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ∞,…中， ℝn的维度就是n。在一个有限维的向量空间（维度是n）中，确定一组基$\mathbf{B} = \left\{ e_1, e_2, \cdots, e_n \right\}$，那么所有的向量都可以用n个标量来表示。比如说，如果某个向量v表示为：

$v = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \cdots + \lambda_n e_n$

那么v可以用数组$v = (\lambda_1 ,\lambda_2 , \cdots , \lambda_n )$来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法，基中元素表示为：

$e_1 = (1, 0, \cdots ,0)$ $e_2 = (0, 1, \cdots ,0)$ $e_n = (0, 0, \cdots ,1)$ 可以证明，存在从任意一个n维的$\mathbf{F}$-向量空间到空间$\mathbf{F}^n$的双射。这种关系称为同构。

## 线性映射

给定两个系数域都是F的向量空间V和W,定义由V到W的线性变换（或称线性映射）为所有从V射到W并且它保持向量加法和标量乘法的运算的函数f：

$f : \, V \rightarrow W$ $\forall a \in F, u,v \in V, \, f(u+v) = f(u) + f(v), \, f(a \cdot v) = a \cdot f(v)$ 所有线性变换的集合记为$\mathcal{L}(V, W)$，这也是一个系数域为F的向量空间。在确定了V和W上各自的一组基之后，$\mathcal{L}(V, W)$中的线性变换可以通过矩阵来表示。

如果两个向量空间V和W之间的一个线性映射是一一映射，那么这个线性映射称为（线性）同构，表示两个空间构造相同的意思。如果在V和W之间存在同构，那么称这两个空间为同构的。如果向量空间V和W之间存在同构$f : \, V \rightarrow W$，那么其逆映射$g : \, W \rightarrow V$也存在，并且对所有的$x \in V, \, y \in W$，都有：

$g \circ f (x) = x, \, f \circ g (y) = y$

## 参考文献

- 《中国大百科全书》
- Howard Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra, Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.
- Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. Linear Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.
- Seymour Lipschutz and Marc Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra, McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.
- Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, Historia Mathematica 22 (1995), no. 3, 262-303.
- Gilbert Strang. "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8