范畴 (数学)

在范畴论中，范畴这一概念代表一些数学对象及这些对象间的一些关系，以及这些关系之间的关系。利用范畴可以公式化抽象结构并保留结构上的关系，如运算。范畴几乎可以出现于现代数学的任意分支，同时也统合了这些分支的底层理念。对范畴本身的研究就称作范畴论。

## 定义

### 范畴

一个范畴 $\mathcal C$ 意指资料 $(\mathrm{Ob\ }{\mathcal C}, \mathrm{Mor\ }{\mathcal C};\circ )$，其中：

- 一个由对象（Object）所构成的类 $\mathrm{Ob\ }{\mathcal C}$。
- 对象间的态射（Morphism）所构成的类 $\mathrm{Mor\ }{\mathcal C}$。每一个态射 $f\in{\mathrm{Mor\ }}\mathcal{C}$ 均蕴含确定的“始对象（Domain）”$A$ 和“终对象（Codomain）”$B$，且 $A,B\in\mathrm{Ob\ }{\mathcal C}$。此时记 $f\colon A\to B$，称 $f$ 为从 $A$ 到 $B$ 的一个态射此处并未限定是唯一一个。所有由 $A$ 至 $B$ 的态射构成类，记作 $\mathrm{Hom}_{\mathcal C}\ (A,B)$，不致混淆时，也记作 $\mathrm{Hom}\ (A,B)$。
- 对任意态射对 $(A,B)$ 有态射复合 $\circ$ 如下：

$$\begin{align}\circ(-,-)\colon\ &\mathrm{Hom}\ (A,B)\times\mathrm{Hom}\ (B,C) & \to &\quad \mathrm{Hom}\ (A,C),\\&(f,g)&\mapsto&\quad g\circ f,\end{align}$$

其中，$g\circ f$ 在不致混淆时也记作 $gf$。

此态射复合满足下列公理：

- （结合律）对态射 $f\colon A\to B$，$g\colon B\to C$ 和 $h\colon C\to D$，有 $h(gf)=(hg)f$。
- （幺元）对任意对象 $X$，存在一态射 $1_X \in \mathrm{Hom}\ (X,X)$，使得对任意态射 $f\in\mathrm{Hom}\ (A,B)$，均满足 $1_Bf=f=f1_A$。态射 $1_X$ 称作“$X$ 的单位态射”。

根据上述公理可以证明，对每个特定对象而言，单位态射具唯一性。在这样的等价关系上，部分作者视对象与其单位态射为同一概念。

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显然，$\mathrm{Mor\ }{\mathcal C}$ 和 $\mathrm{Ob\ }{\mathcal C}$ 间自然地存在三个映射：$\mathrm{Id}\colon\ X\mapsto 1_X$，$\mathrm{Dom}\colon\ f\mapsto A$，$\mathrm{Cod}\colon\ f\mapsto B$，如图 1 所示。

### 小范畴和局部小范畴

一个范畴 $\mathcal C$ 称作小范畴（Small Category），当且仅当其态射类 $\mathrm{Mor\ }{\mathcal C}$ 比真类小，即仅有集合那么大。

一个范畴 $\mathcal C$ 称作局部小范畴（Locally Small Category），当且仅当对任意对象对 $(A,B)\in(\mathrm{Ob}\ \mathcal{C})^2$，其对应的的态射类 $\mathrm{Hom}_{\mathcal C}\ (A,B)$ 均为非真类的集合。

数学研究中，许多重要的范畴（例如集合的范畴），通常即使非小，也是局部小的。

## 范畴举例

每一范畴都可由其物件、态射和态射复合来表示。

- 所有集合的范畴 $\mathsf{Set}$，其态射为集合间的函数，而态射复合则为一般的函数复合。此处及下列皆为具体范畴的例子，即：在 $\mathsf{Set}$ 上加入一些结构，且要求态射为对应于此附加结构的函数，态射复合为简单的一般函数复合。
- 所有预序关系的范畴 $\mathsf{Ord}$，其态射为单调函数。
- 所有原群的范畴 $\mathsf{Mag}$，其态射为原群间的同态。
- 所有群的范畴 $\mathsf{Group}$，其态射为群同态。
- 所有阿贝尔群的范畴 $\mathsf{Ab}$，其态射为群同态。
- 所有环的范畴 $\mathsf{Ring}$，其态射为环同态。部分作者习惯将一般环的范畴记作 $\mathsf{Rng}$，而将幺环的范畴记作 $\mathsf{Ring}$。
- 所有于体 $\mathbb{k}$（维持固定）上的向量空间的范畴 $\mathsf{Vect}_{\mathbb{k}}$，其态射为线性映射。
- 所有拓朴空间的范畴 $\mathsf{Top}$，其态射为连续函数。
- 所有度量空间的范畴 $\mathsf{Met}$，其态射为度量映射。
- 所有一致空间的范畴 $\mathsf{Uni}$，其态射为一致连续函数。
- 所有光滑流形的范畴 $\mathsf{Man}^p$，其态射为 $p$ 次连续可微映射。
- 所有小范畴的范畴 $\mathsf{Cat}$，其态射为函子。
- 所有局部小范畴的范畴 $\mathsf{CAT}$。由于 Russell 悖论，找到这样一个范畴使得 $\mathsf{CAT}\in\mathrm{Ob}\ \mathsf{CAT}$ 并不可行，不过显然有 $\mathsf{Cat}\in\mathrm{Ob}\ \mathsf{CAT}$。
- 所有集合的关系范畴 $\mathsf{Rel}$，其态射为关系。
- 任一预序集 $(P, \preceq)$ 均蕴含一个小范畴，其对象为 $P$ 的元，态射为有序对 $(p,q)$ 使得 $p\preceq q$。可以验证，这样的态射复合满足定义的公理。
- 任一幺半群 $M$ 均蕴含一个携唯一一个对象 $x$ 的小范畴 $\mathsf{B}M$。$\mathsf{B}M$ 以 $M$ 中的元作为态射，每个态射各自表示 $x$ 上一个不同的自同态，而态射复合由 $M$ 的乘法给出。$M$ 的幺元 $e\in M$ 也作为 $\mathsf{B}M$ 这唯一一个对象的单位态射存在。可以将范畴这一概念视作幺半群之延伸概念。
- 任意有向图蕴含一个自然的小范畴，以图的顶点为对象，有向路径为态射，路径串联为态射复合。这被称作由有向图产生的“自由范畴”。
- 若I是一个集合，“在I上的具体范畴”会是个小范畴，其物件为I的元素，而态射则只有单位态射。当然，其态射复合的公理是必然满足的。

## 态射类型

一个态射 $f\colon\ a\to b$ 被称为：

- 同构（Isomorphism），当且仅当存在态射 $g\colon\ b\to c$，满足 $gf=1_a,\,fg=1_b$，换言之，存在逆。
- 自态射（Endomorphism），当且仅当 $b=a$，即 $f$ 是从 $a$ 到 $a$ 自身的态射。
- 自同构（Automorphism），当且仅当 $f$ 同时为同构与自态射。
- 单态射（Monomorphism），当且仅当对任意态射 $h,k\in\mathrm{Hom}\ (x,\,a)$，$fh=fk$ 均蕴含 $h=k$。
- 满态射（Epimorphism），当且仅当对任意态射 $h,k\in\mathrm{Hom}\ (b,\,x)$，$hf=kf$ 均蕴含 $h=k$。
- $g\colon\ b\to a$ 的截面（Section），当且仅当 $gf=1_a$，也称作 $g$ 的右逆（Right Reverse）或分裂单态射（Split Monomorphism）。
- $g\colon\ b\to a$ 的收缩（Retraction），当且仅当 $fg=1_b$，也称作 $g$ 的左逆（Left Reverse）或分裂满态射（Split Epimorphism）。

也记 $a$ 上的所有自态射构成类 $\mathrm{End}\ a$，所有自同构构成类 $\mathrm{Aut}\ a$。

下述三个命题是等价的：

- $f$ 是单态射且是收缩。
- $f$ 是满态射且是截面。
- $f$ 是同构。

态射之间的关系（例如 $fg=h$）可以非常方便地表示为交换图表，其中物件表示为点，态射表示为箭头。

## 特别的范畴

### 子范畴

给定一个范畴 $\mathcal{C}$，称范畴 $\mathcal{D}$ 为 $\mathcal{C}$ 之子范畴（Subcategory），当且仅当：

- $\mathrm{Ob}\ \mathcal{D}\subseteq \mathrm{Ob}\ \mathcal{C}$。
- $\mathrm{Mor}\ \mathcal{D}\subseteq\mathrm{Mor}\ \mathcal{C}$。
- 同时，态射复合仍然保持。

### 群胚

称 $\mathcal{C}$ 为一群胚（Groupoid），当且仅当其中所有态射为同构。

- 群可被定义作具唯一一个对象的群胚。

任意范畴 $\mathcal{C}$ 均内含一个最大群胚（Maximal Groupoid），为包含全部 $\mathcal{C}$ 的对象，而包含且仅包含全部自态射作为态射的子范畴。

### 对偶范畴

令 $\mathcal{C}$ 为一范畴，规定其对偶范畴 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ 如下：

- 以 $\mathrm{Ob}\ \mathcal{C}$ 为 $\mathrm{Ob}\ \mathcal{C}^{\mathrm{op}}$。
- 由如下从 $\mathrm{Mor}\ \mathcal{C}$ 到 $\mathrm{Mor}\ \mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ 的一一对应函子完全生成后者：

$$\begin{align}\mathrm{Mor}\ \mathcal{C}\qquad&\to&\mathrm{Mor}\ \mathcal{C}^{\mathrm{op}}\\ f\colon\ X\to Y\quad&\mapsto& f^{\mathrm{op}}\colon\ Y\to X\end{align}$$

其中满足：$\forall f,g\in\mathrm{Mor}\ \mathcal{C},(f\circ_{\mathcal{C}}g)^{\mathrm{op}}:=g^{\mathrm{op}}\circ_{\mathcal{C}^{\mathrm{op }}}f^{\mathrm{op}}$。

利用对偶范畴可证明如下的对偶定理：

定理：下列三条定理等价：

- $f\colon\ x\to y$ 为范畴 $\mathcal{C}$ 中的一个同构（双态射）。
- 对所有对象 $c\in\mathrm{Ob}\ \mathcal{C}$，$f$ 上的后复合定义了双射 $f_*\colon\ \mathrm{Hom}(c,x)\to \mathrm{Hom} (c,y)$。
- 对所有对象 $c\in\mathrm{Ob}\ \mathcal{C}$，$f$ 上的前复合定义了双射 $f^*\colon\ \mathrm{Hom}(y,c)\to \mathrm{Hom} (x,c)$。

### 积范畴

对任意范畴 $\mathcal{C}$ 和 $\mathcal{D}$，定义其积范畴 $\mathcal{C}\times\mathcal{D}$ 如下：

- 以形如 $(c,\,d)$ 的有序对为对象，其中 $c\in\mathrm{Ob}\ \mathcal{C},\,d\in\mathrm{Ob}\ \mathcal{D}$。
- 以形如 $(f,\,g)\colon\ (c,\,d)\to(c',\,d')$ 的有序对为态射，同时
- 结合律与单位态射也如此被逐分量定义。

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### 逗号范畴

给定函子 $F\colon\ \mathcal{D}\to\mathcal{C},\,G\colon\ \mathcal{E}\to\mathcal{C}$，定义其逗号范畴 $F\downarrow G$ 如下：

- 以有序三元组 $(d,\,e,\,f\colon\ Fd\to Ge)\in \mathrm{Ob}\ \mathcal{D}\times\mathrm{Ob}\ \mathcal{E}\times\mathrm{Mor}\ \mathcal{C}$ 为对象。
- 以有序对 $(h\colon\ d\to d',\,k\colon\ e\to e')\in \mathrm{Mor}\ \mathcal{D}\times \mathrm{Mor}\ \mathcal{E}$ 为态射，使得对于每个 $(h,\,k)\colon\ (d,\,e,\,f)\to(d',\,e',\,f')$，图 2 在 $\mathcal{C}$ 中交换，即：使得 $f'\circ Fh=Gk\circ f$。

## 范畴类型

- 在许多范畴中，例如阿贝尔群范畴或向量空间范畴，态射集合 $\mathrm{Hom}(a,\,b)$ 不仅是集合，而且还是阿贝尔群，并且态射的复合与这些阿贝尔群之间的群结构兼容，即复合映射是双线性的。这种范畴称为预可加范畴。如果在此基础上这个范畴还带有所有有限积和上积，那么我们称之为可加范畴。如果更进一步地，所有态射都有核和上核，并且每个满态射都是上核而每个单态射都是核，那么我们称之为阿贝尔范畴。阿贝尔范畴的典型例子是阿贝尔群的范畴。
- 范畴是完备的当其拥有所有极限。集合、阿贝尔群、拓扑空间的范畴都是完备的。
- 范畴是笛卡尔闭的当其拥有所有有限直积、且有限积上的态射总是可由任一因子上的态射确定。笛卡尔闭范畴包括 Set 和 CPO，即完全偏序和斯科特连续函数组成的范畴。
- 拓扑斯是一种特定的笛卡尔闭范畴；所有数学内容都可以用拓扑斯的语言形式化（正如所有经典数学都可以用集合范畴的语言形式化一般）。拓扑斯也可用于表示逻辑理论。

## 参考文献

- Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.（1990）. Abstract and Concrete Categories . Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.（now free on-line edition）
- Asperti, Andrea, & Longo, Giuseppe (1991). Categories, Types and Structures. Originally publ. M.I.T. Press.
- Barr, Michael, & Wells, Charles (2002). Toposes, Triples and Theories.（revised and corrected free online version of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften（278）. Springer-Verlag,1983)
- Borceux, Francis (1994). Handbook of Categorical Algebra.. Vols. 50-52 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge: Cambridge University Press.
- Lawvere, William, & Schanuel, Steve.（1997）. Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories. Cambridge: Cambridge University Press.
- Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician（2nd ed.）. Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
- Jean-Pierre Marquis, "Category Theory" in Stanford Encyclopedia of Philosophy , 2006

## 外部链接

- Homepage of the Categories mailing list, with extensive list of resources
- Category Theory section of Alexandre Stefanov's list of free online mathematics resources