杨氏模量

杨氏模量（Young's modulus，或称杨氏模数）是固体材料的一种力学性质，用来衡量材料在沿长度方向受拉或受压时的刚度。它是描述材料在拉伸或轴向压缩情况下的弹性模量。杨氏模量定义为：在材料的线性弹性范围内，施加在物体上的应力（单位面积上的力）与由此产生的轴向应变（表征相对形变的无量纲量）之比。

杨氏模量以英国科学家托马斯·杨命名，但尽管如此，杨氏模量的概念是由莱昂纳德·欧拉在1727年提出。现代意义上的首次关于杨氏模量的实验是由意大利科学家Giordano Riccati在1782年完成，比托马斯·杨早了25年。模量（modulus）一词由拉丁语中modus演变而来，意为测量。

## 定义

杨氏模量 $E$ 定量描述在材料的弹性限度内压缩或拉伸应力 $\sigma$（单位面积所受的力）和轴向应变 $\epsilon$（比例形变）。

$$E = \frac {\sigma } {\varepsilon}$$

杨氏模量在国际单位制（SI）中以帕斯卡（Pa）计量，简称为帕。常见的杨氏模量都在吉帕（GPa）级别。

### 线性弹性

当固体材料被施加较小的压缩或拉伸应力时会发生弹性形变。弹性形变是可逆的，即材料可以回到施加应力之前的初始状态。

当应力和应变接近0的区间内，应力应变曲线是线性的。胡克定律表明应力与应变成比例，其中的比例系数即杨氏模量。杨氏模量越大，所需造成相同应变的应力大小就越大，理想刚体的杨氏模量位无穷大，相反地，非常柔软的材料（例如水）无需除重力外的外力作用即可产生形变，因此其杨氏模量为零。

### 相关其他物理属性

- 强度（刚度）：材料在拉伸状态下不断裂所能承受的最大应力。
- 几何刚度：取决于物体形状而非局部性质的全局特征，比如说工字梁就比在单位长度内质量相同的同种材料的其他梁有更高的抗弯曲能力。
- 材料硬度：固体对外界物体入侵的局部抵抗能力。
- 韧性：材料在断裂前所能吸收的最大机械能。
- 屈服点：屈服点是应力-应变曲线上的一个点，该点表示弹性行为的极限和塑性行为的开始。在屈服点以下，材料将弹性变形，其应力应变比值固定呈一条直线，并在去除应用的应力后恢复到其原始形状。

## 应用

杨氏模量可以用于计算在压缩或者拉伸应力下各向同性的弹性材料的尺寸变化。例如，杨氏模量可以用来预测材料在压缩或拉伸应力下的伸长量。杨氏模量可以直接应用于轴向应力，即应力仅存在于沿物体轴线方向，而非除轴线方向外的其他方向。杨氏模量也可以用于求解支撑点之间受压的静定梁的形变。

其他材料弹性相关计算通常需要另一额外的材料弹性物理量，例如剪切模量$G$，体积模量$K$和泊松比$\nu$。三者间任意两个参数即可完整描述各向同性材料的弹性性质。例如，在计算已知泊松比为0.43±0.12，平均杨氏模量为52 KPa的癌变皮肤组织的物理性质时，确定组织的弹性性质便是临床研究应用的第一步。各向同性的均质材料的杨氏模量和上述三个弹性常数的关系如下：

$$E = 2G(1 + \nu) = 3K(1 - 2\nu)$$

### 线性与非线性

杨氏模量代表胡克定律中有关应力和应变的比例系数，但是胡克定律只适用于理想条件下材料的弹性和线性响应，在实践中所有材料都会在受力极大或者伸长量极大时崩溃，然而在受力或者伸长量较小的时候，材料可以被近似为服从胡克定律。当胡克定律适用的范围远大于材料所受的应力时，该材料的反馈可以被视为线性，反之则视其为非线性。

钢材，碳纤维和玻璃等材料通常可被视作线性材料，橡胶，泥土等则通常被视作非线性材料。然而上述说法并非严格的分类，如果施加的应力或应变足够小，非线性材料的物理反馈也是线性的。另外，如果施加在线性材料上的应力或应变足够大时，上述线性相关的理论也不足以描述实际情况。例如，线性理论认为线性材料具有可逆性，即材料可以在应力撤除后回到施加前的初始状态，但显然在高负载条件下桥梁钢材的结构失效不服从上述理论。虽然钢材通常被视作线性材料，但在上述极端条件下是不成立的。

在固体力学中，在应力-应变曲线上任意一点的斜率都被叫做该点的相切模量（tangent modulus），可以通过拉伸试验中获得的材料应力-应变特征曲线确定。

### 定向材料

同种材料不同方向上的杨氏模量可能不同。大多数金属和陶瓷材料都是各向同性的，这些材料的机械属性在各个朝向上都是相同的。但是金属和陶瓷材料在制造过程中可以参入杂质，金属材料也可以通过机械处理是其晶粒结构具有方向性，这些材料也变为各向异性，杨氏模量便会取决于力的方向向量。各向异性在很多复合物中都有体现，例如当力的方向平行于纤维时，碳纤维的杨氏模量会更高（相比于其他方向）。工程师们会将例如木头和钢筋混凝土等其他材料的方向性应用在实际建造中。

## 计算

杨氏模量可以通过弹性限度内应力$\sigma$和应变$\varepsilon$的比值求出。

$$E \equiv \frac{\sigma(\varepsilon)}{\varepsilon}= \frac{F/A}{\Delta L/L_0} = \frac{F L_0} {A \, \Delta L}$$

其中：

- $E$ 为杨氏模量（弹性模量）
- $F$为施加在物体上的力
- $A$是有效的横截面积，即垂直于所受力的横截面积
- $\Delta L$ 为物体长度的改变量，通常材料受拉伸时为正，压缩是为负
- $L_0$ 为物体原长

### 压缩或拉伸材料的施力

杨氏模量可以被用于计算特定应变下材料所施加的力。

$$F = \frac{E A \, \Delta L} {L_0}$$

其中 $F$ 是材料的拉伸或收缩量为$\Delta L$时所施加的力。

对于被拉伸的绳，有胡克定律如下：

$$F = \left( \frac{E A} {L_0} \right) \, \Delta L = k x$$

易得：

$k \equiv \frac {E A} {L_0} \,$ and $x \equiv \Delta L.$

注意到弯曲弹簧的弹性关系来源于剪切模量而非杨氏模量。当弹簧受拉伸时，弹簧钢丝的形状改变而总长度保持不变，所以在拉伸弹簧的情境只涉及到其材料的剪切模量。

### 弹性势能

储存在线性材料中的弹性势能可由胡克定律的积分得出：

$$U_e = \int {k x}\, dx = \frac {1} {2} k x^2.$$

代入杨氏模量的相关公式并化简易得：

$$U_e = \int \frac{E A \, \Delta L} {L_0}\, d\Delta L = \frac {E A} {L_0} \int \Delta L \, d\Delta L = \frac {E A \, {\Delta L}^2} {2 L_0}$$

可见单位体积下的弹性势能密度为：

$$\frac{U_e} {A L_0} = \frac {E \, {\Delta L}^2} {2 L_0^2} =\frac{1}{2} \times \frac {E\, {\Delta L}}{L_0} \times \frac {\Delta L}{L_0} = \frac {1}{2} \times \sigma(\varepsilon) \times \varepsilon$$

应变被定义为$\varepsilon \equiv \frac {\Delta L} {L_0}$，所以对于线性材料，上式可简化为： $u_e(\varepsilon) = \int {E \, \varepsilon}\, d\varepsilon = \frac {1} {2} E {\varepsilon}^2$。

而对于非线性材料而言，无法用单一的线性关系表示应力应变和杨氏模量的关系，因此上述化简并不成立：

$$u_e(\varepsilon) = \int E(\varepsilon) \, \varepsilon \, d\varepsilon \ne \frac {1} {2} E \varepsilon^2$$

## 各种材料的杨氏模量约值

杨氏模量取决于材料的组成。举例来说，大部分金属在合金成分不同、热处理在加工过程中的应用，其杨氏模量值会有5％或者更大的波动。正如以下的很多材料的杨氏模量值非常接近。

材料｜杨氏模量 ($E$) / $G$ $Pa$｜杨氏模量 ($E$) / lbf/in²

橡胶（微小应变）｜0.01-0.1｜1,500-15,000

低密度聚乙烯｜0.2｜30,000

聚丙烯｜1.5-2｜217,000-290,000

聚对苯二甲酸乙二酯｜2-2.5｜290,000-360,000

聚苯乙烯｜3-3.5｜435,000-505,000

尼龙｜2-4｜290,000-580,000

橡木（颗粒表面）｜11｜1,600,000

高强度混凝土（受到压缩）｜30｜4,350,000

金属镁｜45｜6,500,000

玻璃（所有种类）｜71.7｜10,400,000

铝｜69｜10,000,000

黄铜和青铜｜103-124｜17,000,000

钛 (Ti)｜105-120｜15,000,000-17,500,000

碳纤维强化塑料（单向，颗粒表面）｜150｜21,800,000

合金与钢｜190-210｜30,000,000

钨 (W)｜400-410｜58,000,000-59,500,000

碳化硅（SiC）｜450｜65,000,000

碳化钨（WC）｜450-650｜65,000,000-94,000,000

单碳纳米管｜approx. 1,000｜approx. 145,000,000

钻石｜1,050-1,200｜150,000,000-175,000,000

## 单位

杨氏模量的因次同压强，在SI单位制中，压力的单位为Pa也就是帕斯卡。

但是通常在工程的使用中，因各材料杨氏模量的量值都十分的大，所以常以百万帕斯卡（MPa）或十亿帕斯卡（GPa）作为其单位。

- $1\ \mathrm{MPa}=\mathrm1\times10^6\ \mathrm{Pa}=1\ \begin{matrix} \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^2} \end{matrix}$ (1牛顿每平方毫米为1MPa)
- $1\ \mathrm{GPa}=\mathrm1\times10^9\ \mathrm{Pa}=1\ \begin{matrix} \frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{mm}^2} \end{matrix}$ (1千牛顿每平方毫米为1GPa)