色散 (光学)

在光学中，色散（dispersion）原本是描述光学器件（如棱镜或光栅）能分解复色光为单色光的现象，现今定义为光波的相速度随着频率而改变的现象。拥有这种特性的介质称为色散介质（dispersive medium）。

尽管色散这一术语在光学领域用于描述光波和其他电磁波，但相同意义上的“散失”适用于任何类型的波，例如可产生频散的声波和地震波，以及海浪中的重力波。光学中的散失还可以描述输电线信号（如同轴电缆中的微波）或光纤中脉冲的特性；而物理能量上的散失是指动能被吸收的现象。

在光学中，色散的主要现象是不同颜色的光在透过三棱镜或有色差的透镜时因折射角不同，而产生光谱。复合消色差透镜的设计在极大消除了色差，并通过阿贝数$V$量化玻璃的色散程度，低阿贝数即对应较大的可见光谱色散。在电信应用中，波包或“脉冲”的传输往往比波的绝对相位更重要，此时就需要考虑并计算波包的群速度色散，即频率与波包群速度的关系。

所有常见的传输介质的衰减（归一化为传输长度）也随频率而变化，从而导致衰减失真；这不是色散，尽管有时在紧密间隔的阻抗边界（例如电缆中的压接段）处的反射会产生信号失真，并进一步加剧在信号带宽上观察到的不一致的传输时间。

## 示例

彩虹可能是最常见的色散现象。色散导致太阳光在空间上分离成不同波长（不同颜色）的部分。然而，色散在许多其他情况下也会产生影响：例如，群速度色散导致脉冲在光纤中扩散，使长距离的信号衰减；此外，群速度色散和非线性效应之间的抵消会导致孤波产生。

## 材料色散与波导色散

大部分情况下，色散研究的是块状材料的色散。然而，在波导管中也存在着波导色散（waveguide dispersion），在这种情况下，波在结构中的相速度取决于其频率，这仅仅是由于结构的几何形状。更广泛地说，波导色散可以发生在通过任何不均匀结构（如光子晶体）传播的波中，无论这些波是否被限制在某些区域。在波导管中，两种类型的色散通常都会存在，尽管它们不是严格意义上的相加。在光纤中，材料和波导色散可以有效地相互抵消以产生零色散波长，这有助于光纤通信速度的提高。

## 光学中的材料色散

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在光学上，材料色散有优点也有缺点。透过三棱镜，光的色散为制作光谱仪以及分光辐射计的基础。有时候也会透过全像光栅，来达成更显著的分光效果。然而，在透镜中的色散效应造成影像品质低落，在显微镜、望远镜及其他成像技术上可见一斑。

在均匀介质中，波传递的相速度为

$v = \frac{c}{n}$。

其中，c 为真空中的光速，而 n 为介质的折射率。

对于不同波长的光，介质的折射率 n(λ) 也不同。这个关系式通常由阿贝数可以计算出，或是由柯西等式或Sellmeier等式的系数求得。

由克拉莫-克若尼关系式，波长与实部折射率的关系与材料的吸收率有关，此吸收率由折射率的虚部（或称消光系数）。在非磁性物质中，克拉莫-克若尼关系式的χ为电极化率χe = n2 − 1.

对于可见光，一般的透明材料：

如果

$\lambda_{\rm r}>\lambda_{\rm y}>\lambda_{\rm b}$。

那么

$1<n(\lambda_{\rm r})<n(\lambda_{\rm y})<n(\lambda_{\rm b})$。

或可用以下表达式表示：

$\frac{{\mathrm d}n}{{\mathrm d}\lambda} < 0$。

在此状况下，此介质拥有正常频散。然而，当折射率随着波长增加而增加时（通常在紫外光区发现），则介质被称为拥有反常频散。

法国数学家柯西发现折射率和光波长的关系，可以用一个级数表示：

$$n(\lambda) = B + \frac {C}{\lambda^2} + \frac{D}{\lambda^4} + \cdots$$

其中，B、C、D 是三个柯西色散系数，由物质的种类决定。只需测定三个不同波长的光的折射率 n(λ)，代入柯西色散公式中，便可得到三个联立方程式。解这组联立方程式就可以得到这种物质的三个柯西色散系数。有了三个柯西色散系数，就可以计算出其他波长的光的折射率，而不需要再进行测量。

除了柯西色散公式之外，还有其他的色散公式，如：Hartmann色散公式、Conrady色散公式、Hetzberger色散公式等。

## 群速度色散

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色散的效应远不止是使得相速度随着波长变化，更重要的是它产生一种叫做群速度色散的效应。相速度 v 被定义为 v = c，然而这仅仅定义了一种频率的速度。当含有不同频率成分的波叠加在一起，比如一个信号或者脉冲，我们更关心群速度。群速度描述了一个脉冲或者信号中的信息随着波动传播的速度。在旁边的动图中，我们可以发现波动本身（橙色）以相速度移动，这个速度要比波包（黑色）代表的群速度更快。举个例子，这个脉冲可能是一个通讯信号，其内的信息只能以群速度传播，尽管它由速度更快的波前组成。

从折射率曲线 n(ω)，我们可以算出群速度。或者用一种更直接的计算方式。首先我们计算波数 k = ωn/c，其中，ω=2πf 是角频率。这样，相速度的公式是vp=ω/k，而群速度的计算公式可以用导数 vg=dω/dk 表示。或者，群速度也可以用相速度 vp 表示：

$${\rm v_ g} = \frac{\rm v_p} { 1 - \frac{\omega}{\rm v_p} \frac{\rm dv_p}{d\omega} }.$$

当存在色散的时候，群速度不但不等于相速度，它还会随着波长变化。这种现象被称作群速度色散（Group Velocity Dispersion, GVD），也导致一个脉冲会变宽，这是因为脉冲里含有多个频率的成分，它们的速度不同。群速度色散可以用群速度的倒数对角频率的导数 d2k/dω2 来定量描述。

如果一个光脉冲在介质中的传播具有正群速度色散，那么短波成分的群速度就小于长波成分的群速度，这个脉冲就是正啁啾的（up-chirped），它的频率随着时间升高。反之，如果一个光脉冲在介质中的传播具有负群速度色散，那么短波成分的群速度就大于长波成分的群速度，这个脉冲就是负啁啾的（down-chirped），它的频率随着时间降低。

群速度色散参数：

$$D = - \frac{\lambda}{c} \, \frac{{\rm d}^2 n}{{\rm d} \lambda^2}.$$

经常被用来定量描述群速度色散。D和群速度色散的比值是一个负的系数：

$$D = - \frac{2\pi c}{\lambda^2} \, \frac{{\rm d}^2k}{{\rm d}\omega^2} .$$

一些书的作者把折射率对波长的二阶导数大于0（或小于0），也即D小于0（或大于0），称为正常色散/反常色散。这个定义和群速度色散有关，不可以和前一节相混淆。一般来说这两者没有必然联系，读者必须从上下文推断含义。

## 色散控制

不论是负还是正的群速度色散，其最终结果皆为脉冲在时间上的扩展。这使得色散在管理在基于光纤的光学通讯系统中十分重要。因为如果色散过于强烈，对应于一组比特的一系列脉冲将在时域扩散开并相互混合，使得信号无法被解读。这限制了信号在光纤中传输的距离（如果没有进行信号重新生成）。

此问题的可能解法之一是在光纤中传输群速度色散为0的信号（例如，在硅纤维中 1.3–1.5 μm 的信号），此波长的信号在传输过程中的色散可以控制到最小。

然而，在实务上，这种做法引发的问题比其解决的问题要麻烦很多：群色散为0的信号放大了其他非线性效应（例如四波混频）。

另一种选项是在负色散区域使用孤子脉冲，其特性是它利用非线性光学效应保持自身形状。然而，孤子的现实问题是它需要脉冲具有一定水平的功率以保证非线性光学的效应的强度正确。

目前，实际使用的方案是进行色散补偿，一般是将具有相反符号色散效应的光纤组合起来把色散效应抵消掉。这样的补偿受到非线性效应的限制，例如自相位调制会和色散相互作用，从而导致色散难以消除。

色散控制在超短脉冲激光中也十分重要。激光生成的总色散是评估激光脉冲的长度的重要因素。一对棱镜可用于生成净负色散，从而用于抵消常用激光介质中的正色散。衍射光栅亦可用于产生色散效应，并通常在高功率激光增幅系统中应用。

近年来，啁啾镜作为棱镜和光栅的替代得到发展。这种介电反射镜具有镀层，不同波长能透过的长度不同，因此具有不同的群延迟。这些镀层可以设计为形成净负色散。

## 高阶色散的广义公式 – Lah-Laguerre 光学

通过泰勒系数以微扰方式描述色散对于需要平衡来自多个不同系统的色散的优化问题是有利的。例如，在啁啾脉冲激光放大器中，脉冲首先由展宽器及时展宽，以避免光学损伤。然后在放大过程中，脉冲不可避免地累积通过材料的线性和非线性相位。最后，脉冲在各种类型的压缩器中被压缩。为了在累积阶段取消任何剩余的更高订单，通常会测量和平衡单个订单。然而，对于统一系统，通常不需要这种扰动描述（即在波导中传播）。

色散阶已以计算友好的方式推广，以 Lah-Laguerre 类型变换的形式。

色散阶数由相位或波矢量的泰勒展开式定义。

$$\begin{array}{c}\varphi \mathrm{(}\omega\mathrm{)} = \varphi\left.\ \right|_{\omega_{0}} + \left. \ \frac{\partial\varphi}{\partial\omega} \right|_{\omega_{0}}\left(\omega - \omega_{0} \right) + \frac{1}{2}\left. \ \frac{\partial^{{2}}\varphi}{\partial\omega^{2}} \right|_{\omega_{0}} \left(\omega - \omega_{0} \right)^{2}\ + \ldots + \frac{1}{p!}\left. \ \frac{\partial^{{p}}\varphi}{\partial\omega^{p}} \right|_{\omega_{0}} \left(\omega - \omega_{0} \right)^{p} + \ldots \end{array}$$

$$\begin{array}{c}k\mathrm{(}\omega\mathrm{)} = k\left.\ \right|_{\omega_{0}} + \left. \ \frac{\partial k}{\partial\omega} \right|_{\omega_{0}} \left(\omega - \omega_{0} \right) + \frac{1}{2}\left. \ \frac{\partial^{{2}}k}{\partial\omega^{2}} \right|_{\omega_{0}} \left(\omega - \omega_{0} \right)^{2}\ + \ldots + \frac{1}{p!}\left. \ \frac{\partial^{{p}}k}{\partial\omega^{p}} \right|_{\omega_{0}} \left(\omega - \omega_{0} \right)^{p} + \ldots \end{array}$$

波子 $k \mathrm{(}\omega\mathrm{)} = \frac{\omega}{c}n\mathrm{(}\omega\mathrm{)}$ 的色散关系和阶段$\varphi \mathrm{(}\omega\mathrm{)} = \frac{\omega}{c}{\it OP} \mathrm{(}\omega\mathrm{)}$ 可以表示为:

$\begin{array}{c}\frac{ {\partial }^{{p}}}{\partial {\omega }^p}k \mathrm{(}\omega \mathrm{)}=\frac{1}{c}\left(p\frac{ {\partial }^{p-1}}{\partial {\omega }^{p-1}}n \mathrm{(}\omega \mathrm{)}+\omega \frac{ {\partial }^{{p}}}{\partial {\omega }^p}n \mathrm{(}\omega \mathrm{)}\right)\ \end{array}$,

$$\begin{array}{c}\frac{ {\partial }^{{p}}}{\partial {\omega }^p}\varphi \mathrm{(}\omega \mathrm{)} = \frac{1}{c}\left(p\frac{ {\partial }^{p-1}}{\partial {\omega }^{p-1}}{\it OP} \mathrm{(}\omega \mathrm{)}+\omega \frac{ {\partial }^{{p}}}{\partial {\omega }^p}{\it OP} \mathrm{(}\omega \mathrm{)}\right) \end{array} (1) <pre>$$

任何可微函数 $f\mathrm{(}\omega \mathrm{|}\lambda \mathrm{)}$ 在波长或频率空间的导数通过 Lah 变换指定为：

$\begin{array}{l} \frac{ {\partial^{p}}}{\partial {\omega }^p}f \mathrm{(}\omega \mathrm{)}={}{\left(\mathrm{-}\mathrm{1}\right)}^p{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^p\sum\limits^p_{m = {0}}{\mathcal{A}\mathrm{(}p,m\mathrm{)}{\lambda }^m\frac{ {\partial }^{{m}}}{\partial {\lambda }^m}f \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}\end{array}$ $,$ $$<pre> \begin{array}{c} </pre> \frac{ {\partial }^{{p}}}{\partial {\lambda }^p}f \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}={}{\left(\mathrm{-}\mathrm{1}\right)}^p{\left(\frac{\omega }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^p\sum\limits^p_{m = {0}}{\mathcal{A}\mathrm{(}p,m\mathrm{)}{\omega }^m\frac{ {\partial }^{{m}}}{\partial {\omega }^m}f \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}\end{array} (2)$$

变换的矩阵元素是 Lah 系数： $\mathcal{A}\mathrm{(}p,m\mathrm{)} = \frac{p\mathrm{!}}{\left(p\mathrm{-}m\right)\mathrm{!}m\mathrm{!}}\frac{\mathrm{(}p\mathrm{-}\mathrm{1)!}}{\mathrm{(}m\mathrm{-}\mathrm{1)!}}$

为 GDD 编写的上述表达式表明，具有波长 GGD 的常数将具有零高阶。从 GDD 评估的更高阶数是：

$$\begin{array}{c} \frac{ {\partial }^{{p}}}{\partial {\omega }^p}GDD \mathrm{(}\omega \mathrm{)}={}{\left(\mathrm{-}\mathrm{1}\right)}^p{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^p\sum\limits^p_{m = {0}}{\mathcal{A}\mathrm{(}p,m\mathrm{)}{\lambda }^m\frac{ {\partial }^{{m}}}{\partial {\lambda }^m}GDD \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}} <pre> \end{array} </pre>$$

将表示为折射率$n$或光路$OP$的等式(2)代入等式(1)，得到色散阶的封闭式表达式。一般来说，$p^{th}$ 阶色散 POD 是负二阶的拉盖尔型变换：

$POD = \frac{d^p \varphi(\omega) }{d\omega^p}=(-1)^p(\frac{\lambda}{2\pi c})^{(p-1)}\sum_{m=0}^{p}\mathcal{B(p,m)} (\lambda)^m\frac{d^m OP(\lambda) }{d\lambda^m}$ $,$ $$POD = \frac{d^p k(\omega) }{d\omega^p}=(-1)^p(\frac{\lambda}{2\pi c})^{(p-1)}\sum_{m=0}^{p}\mathcal{B(p,m)} (\lambda)^m\frac{d^m n(\lambda) }{d\lambda^m}$$

变换的矩阵元素是负 2 阶的无符号拉盖尔系数，给出如下：$\mathcal{B}\mathrm{(}p,m\mathrm{)} = \frac{p\mathrm{!}}{\left(p\mathrm{-}m\right)\mathrm{!}m\mathrm{!}}\frac{\mathrm{(}p\mathrm{-}\mathrm{2)!}}{\mathrm{(}m\mathrm{-}\mathrm{2)!}}$

前十个色散阶，明确地为波矢量编写，是：

$$\begin{array}{l}\boldsymbol{{\it GD}} = \frac{\partial }{\partial \omega }k \mathrm{(}\omega \mathrm{)} = \frac{\mathrm{1}}{c}\left(n \mathrm{(}\omega \mathrm{)}+\omega \frac{\partial n \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial \omega }\right) = \frac{\mathrm{1}}{c}\left(n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}-\lambda \frac{\partial n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial\lambda }\right) = v^{\mathrm{-}\mathrm{1}}_{gr}\end{array}$$

群折射率$n_g$定义为： $n_g = cv^{\mathrm{-}\mathrm{1}}_{gr}$.

$$\begin{array}{l}\boldsymbol{{\it GDD}} = \frac{ {\partial }^{{2}}}{\partial {\omega }^{\mathrm{2}}}k \mathrm{(}\omega \mathrm{)} = \frac{\mathrm{1}}{c}\left(\mathrm{2}\frac{\partial n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial \omega }+\omega \frac{ {\partial }^{{2}}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{2}}}\right) = \frac{\mathrm{1}}{c}\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)\left({\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{ {\partial }^{{2}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}\right) \end{array}$$

$$\begin{array}{l}\boldsymbol{{\it TOD}} = \frac{ {\partial }^{{3}}}{\partial {\omega }^{\mathrm{3}}}k \mathrm{(}\omega \mathrm{)} = \frac{\mathrm{1}}{c}\left(\mathrm{3}\frac{ {\partial }^{{2}}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{2}}}+\omega \frac{ {\partial }^{{3}}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{3}}}\right) = {-} \frac{\mathrm{1}}{c}{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{2}}\Bigl(\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{ {\partial }^{{2}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}} +{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{ {\partial }^{{3}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}\Bigr) \end{array}$$

$$\begin{array}{l}\boldsymbol{{\it FOD}} = \frac{ {\partial }^{{4}}}{\partial {\omega }^{\mathrm{4}}}k \mathrm{(}\omega \mathrm{)} = \frac{\mathrm{1}}{c}\left(\mathrm{4}\frac{ {\partial }^{{3}}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{3}}}+\omega \frac{ {\partial }^{{4}}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{4}}}\right) = \frac{\mathrm{1}}{c}{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{3}}\Bigl(\mathrm{12}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{ {\partial }^{{2}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}} +\mathrm{8}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{ {\partial }^{{3}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{ {\partial }^{{4}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}\Bigr) \end{array}$$

$$\begin{array}{l}\boldsymbol{{\it FiOD}} = \frac{ {\partial }^{{5}}}{\partial {\omega }^{\mathrm{5}}}k \mathrm{(}\omega \mathrm{)} = \frac{\mathrm{1}}{c}\left(\mathrm{5}\frac{ {\partial }^{{4}}n \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{4}}}+\omega \frac{ {\partial }^{{5}}n \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{5}}}\right)= {-}\frac{\mathrm{1}}{c}{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{4}} \Bigl(\mathrm{60}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{ {\partial }^{{2}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{60}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{ {\partial }^{{3}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{15}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{ {\partial }^{{4}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{ {\partial }^{{5}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}\Bigr) \end{array}$$

$$\begin{array}{l}\boldsymbol{{\it SiOD}} = \frac{ {\partial }^{{6}}}{\partial {\omega }^{\mathrm{6}}}k \mathrm{(}\omega \mathrm{)} = \frac{\mathrm{1}}{c}\left(\mathrm{6}\frac{ {\partial }^{{5}}n \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{5}}}+\omega \frac{ {\partial }^{{6}}n \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{6}}}\right) = \frac{\mathrm{1}}{c}{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{5}}\Bigl(\mathrm{360}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{ {\partial }^{{2}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}} +\mathrm{480}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{ {\partial }^{{3}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{180}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{ {\partial }^{{4}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+\mathrm{24}{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{ {\partial }^{{5}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}+{\lambda }^{\mathrm{6}}\frac{ {\partial }^{{6}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{6}}}\Bigr) \end{array}$$

$$\begin{array}{l}\boldsymbol{{\it SeOD}} = \frac{ {\partial }^{{7}}}{\partial {\omega }^{\mathrm{7}}}k \mathrm{(}\omega \mathrm{)} = \frac{\mathrm{1}}{c}\left(\mathrm{7}\frac{ {\partial }^{{6}}n \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{{\partial \omega }^{\mathrm{6}}}+\omega \frac{ {\partial }^{{7}}n \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{{\partial \omega }^{\mathrm{7}}}\right) = {-}\frac{\mathrm{1}}{c}{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{6}} \Bigl(\mathrm{2520}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{ {\partial }^{{2}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{4200}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{ {\partial }^{{3}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{2100}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{ {\partial }^{{4}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+\mathrm{420}{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{ {\partial }^{{5}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}+ \mathrm{35}{\lambda }^{\mathrm{6}}\frac{ {\partial }^{{6}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{6}}}+{\lambda }^{\mathrm{7}}\frac{ {\partial }^{{7}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{7}}}\Bigr) \end{array}$$

$$\begin{array}{l}\boldsymbol{{\it EOD}} = \frac{ {\partial }^{{8}}}{\partial {\omega }^{\mathrm{8}}}k \mathrm{(}\omega \mathrm{)} = \frac{\mathrm{1}}{c}\left(\mathrm{8}\frac{ {\partial }^{{7}}n \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{{\partial \omega }^{\mathrm{7}}}+\omega \frac{ {\partial }^{{8}}n \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{8}}}\right) = \frac{\mathrm{1}}{c}{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{7}}\Bigl(\mathrm{20160}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{ {\partial }^{{2}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}} +\mathrm{40320}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{ {\partial }^{{3}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{25200}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{ {\partial }^{{4}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+\mathrm{6720}{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{ {\partial }^{{5}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}+ \mathrm{840}{\lambda }^{\mathrm{6}}\frac{ {\partial }^{{6}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{6}}} +\\+\mathrm{48}{\lambda }^{\mathrm{7}}\frac{ {\partial }^{{7}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{7}}}+{\lambda }^{\mathrm{8}}\frac{ {\partial }^{{8}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{8}}}\Bigr) \end{array}$$

$$\begin{array}{l}\boldsymbol{{\it NOD}} = \frac{ {\partial }^{{9}}}{\partial {\omega }^{\mathrm{9}}}k \mathrm{(}\omega \mathrm{)} = \frac{\mathrm{1}}{c}\left(\mathrm{9}\frac{ {\partial }^{{8}}n \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{8}}}+\omega \frac{ {\partial }^{{9}}n \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{9}}}\right) = {-}\frac{\mathrm{1}}{c}{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{8}}\Bigl(\mathrm{181440}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{ {\partial }^{{2}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{423360}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{ {\partial }^{{3}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{317520}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{ {\partial }^{{4}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+\mathrm{105840}{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{ {\partial }^{{5}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}+ \mathrm{17640}{\lambda }^{\mathrm{6}}\frac{ {\partial }^{{6}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{6}}}+\\+\mathrm{1512}{\lambda }^{\mathrm{7}}\frac{ {\partial }^{{7}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{7}}}+\mathrm{63}{\lambda }^{\mathrm{8}}\frac{ {\partial }^{{8}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{8}}}+{\lambda }^{\mathrm{9}}\frac{ {\partial }^{{9}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{9}}}\Bigr) \end{array}$$

$$\begin{array}{l}\boldsymbol{{\it TeOD}} = \frac{ {\partial }^{{10}}}{\partial {\omega }^{\mathrm{10}}}k \mathrm{(}\omega \mathrm{)} = \frac{\mathrm{1}}{c}\left(\mathrm{10}\frac{ {\partial }^{{9}}n \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{9}}}+\omega \frac{ {\partial }^{{10}}n \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{10}}}\right) = \frac{\mathrm{1}}{c}{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{9}}\Bigl(\mathrm{1814400}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{ {\partial }^{{2}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{4838400}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{ {\partial }^{{3}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{4233600}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{ {\partial }^{{4}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+ {1693440}{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{ {\partial }^{{5}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}+\\+\mathrm{352800}{\lambda }^{\mathrm{6}}\frac{ {\partial }^{{6}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{6}}}+\mathrm{40320}{\lambda }^{\mathrm{7}}\frac{ {\partial }^{{7}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{7}}}+\mathrm{2520}{\lambda }^{\mathrm{8}}\frac{ {\partial }^{{8}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{8}}}+\mathrm{80}{\lambda }^{\mathrm{9}}\frac{ {\partial }^{{9}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{9}}}+ {\lambda }^{\mathrm{10}}\frac{ {\partial }^{{10}}n \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{10}}}\Bigr) \end{array}$$

明确地，为相位 $\varphi$ 编写，前十个色散阶可以使用 Lah 变换（等式（2））表示为波长的函数：

$\begin{array}{l} \frac{ {\partial^{p}}}{\partial {\omega }^p}f \mathrm{(}\omega \mathrm{)}={}{\left(\mathrm{-}\mathrm{1}\right)}^p{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^p\sum\limits^p_{m = {0}}{\mathcal{A}\mathrm{(}p,m\mathrm{)}{\lambda }^m\frac{ {\partial }^{{m}}}{\partial {\lambda }^m}f \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}\end{array}$ $,$ $$<pre> \begin{array}{c} </pre> \frac{ {\partial }^{{p}}}{\partial {\lambda }^p}f \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}={}{\left(\mathrm{-}\mathrm{1}\right)}^p{\left(\frac{\omega }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^p\sum\limits^p_{m = {0}}{\mathcal{A}\mathrm{(}p,m\mathrm{)}{\omega }^m\frac{ {\partial }^{{m}}}{\partial {\omega }^m}f \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}\end{array}$$

$$\begin{array}{l}\frac{\partial \varphi\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial \omega }= {-}\left(\frac{\mathrm{2}\pi c}{{\omega }^{\mathrm{2}}}\right)\frac{\partial \varphi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial \lambda } = {-}\left(\frac{ {\lambda }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\pi c}\right)\frac{\partial \varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda }\end{array}$$

$$\begin{array}{l}\frac{ {\partial }^{{2}}\varphi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{2}}} = \frac{\partial }{\partial \omega }\left(\frac{\partial \varphi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial \omega }\right) = {\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}\lambda \frac{\partial \varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda }+{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{ {\partial }^{{2}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}\right) \end{array}$$

$$\begin{array}{l}\frac{ {\partial }^{{3}}\varphi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{3}}}= {-}{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{3}}\left(\mathrm{6}\lambda \frac{\partial \varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda }+\mathrm{6}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{ {\partial }^{{2}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{ {\partial }^{{3}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}\right) \end{array} <pre>$$

$$\begin{array}{l}\frac{ {\partial }^{{4}}\varphi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{4}}}= {\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{4}}\Bigl(\mathrm{24}\lambda \frac{\partial \varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda }+\mathrm{36}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{ {\partial }^{{2}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{12}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{ {\partial }^{{3}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}} +{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{ {\partial }^{{4}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}\Bigr) \end{array}$$

$$\begin{array}{l}\frac{ {\partial }^{\mathrm{5}}\varphi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{5}}}= {-}{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{5}}\Bigl(\mathrm{120}\lambda \frac{\partial \varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda }+\mathrm{240}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{ {\partial }^{{2}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}} +\mathrm{120}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{ {\partial }^{{3}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{20}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{ {\partial }^{{4}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{ {\partial }^{{5}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}\Bigr) \end{array}$$

$$\begin{array}{l}\frac{ {\partial }^{{6}}\varphi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{6}}}= {\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{6}}\Bigl(\mathrm{720}\lambda \frac{\partial \varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda }+\mathrm{1800}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{ {\partial }^{{2}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{1200}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{ {\partial }^{{3}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{300}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{ {\partial }^{{4}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+\mathrm{30}{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{ {\partial }^{{5}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}\mathrm{\ +}{\lambda }^{\mathrm{6}}\frac{ {\partial }^{{6}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{6}}}\Bigr) \end{array}$$

$$\begin{array}{l}\frac{ {\partial }^{{7}}\varphi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{7}}}= {-}{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{7}} \Bigl(\mathrm{5040}\lambda \frac{\partial \varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda }+\mathrm{15120}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{ {\partial }^{{2}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+ \mathrm{12600}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{ {\partial }^{{3}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{4200}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{ {\partial }^{{4}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+\mathrm{630}{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{ {\partial }^{{5}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}+\mathrm{42}{\lambda }^{\mathrm{6}}\frac{ {\partial }^{{6}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{6}}}+{\lambda }^{\mathrm{7}}\frac{ {\partial }^{{7}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{7}}} \Bigr) \end{array}$$

$$\begin{array}{l}\frac{ {\partial }^{{8}}\varphi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{8}}}= {\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{8}}\Bigl(\mathrm{40320}\lambda \frac{\partial \varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda }+\mathrm{141120}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{ {\partial }^{{2}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+ \mathrm{141120}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{ {\partial }^{{3}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{58800}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{ {\partial }^{{4}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+\mathrm{11760}{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{ {\partial }^{{5}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}+\mathrm{1176}{\lambda }^{\mathrm{6}}\frac{ {\partial }^{{6}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{6}}}+\mathrm{56}{\lambda }^{\mathrm{7}}\frac{ {\partial }^{{7}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{7}}}+\\ +{\lambda }^{\mathrm{8}}\frac{\partial^{{8}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial{\lambda }^{\mathrm{8}}}\Bigr) \end{array}$$ $$\begin{array}{l}\frac{ {\partial }^{{9}}\varphi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{9}}}= {-}{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{9}}\Bigl(\mathrm{362880}\lambda \frac{\partial \varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda }+\mathrm{1451520}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{ {\partial }^{{2}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+ \mathrm{1693440}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{ {\partial }^{{3}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{846720}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{ {\partial }^{{4}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+\mathrm{211680}{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{ {\partial }^{{5}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}+\mathrm{28224}{\lambda }^{\mathrm{6}}\frac{ {\partial }^{{6}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{6}}}+\\+\mathrm{2016}{\lambda }^{\mathrm{7}}\frac{ {\partial }^{{7}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{7}}}+\mathrm{72}{\lambda }^{\mathrm{8}}\frac{ {\partial }^{{8}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{8}}}+{\lambda }^{\mathrm{9}}\frac{\partial ^{\mathrm{9}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{9}}}\Bigr) \end{array}$$

$$\begin{array}{l}\frac{ {\partial }^{{10}}\varphi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{10}}}= {\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{10}}\Bigl(\mathrm{3628800}\lambda \frac{\partial \varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda }+\mathrm{16329600}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{ {\partial }^{{2}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{21772800}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{ {\partial }^{{3}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{12700800}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{ {\partial }^{{4}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+\mathrm{3810240}{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{ {\partial }^{{5}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}+\mathrm{635040}{\lambda }^{\mathrm{6}}\frac{ {\partial }^{{6}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{6}}}+\\+\mathrm{60480}{\lambda }^{\mathrm{7}}\frac{ {\partial }^{{7}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{7}}} +\mathrm{3240}{\lambda }^{\mathrm{8}}\frac{ {\partial }^{{8}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{8}}}+\mathrm{90}{\lambda }^{\mathrm{9}}\frac{ {\partial }^{{9}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{9}}}+{\lambda }^{\mathrm{10}}\frac{ {\partial }^{{10}}\varphi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{10}}}\Bigr) \end{array}$$

## 简易的色散演示实验（其一）

在日光下使用一桶水和一片镜子就可以观察光的色散现象了。为了便于观察现象，实验中光路需要较大的出射角来增大色散角度。此演示实验中镜子起到调整日光出射水面角度的作用。

## 外部链接

- Dispersive Wiki – 讨论色散的数学问题。
- Dispersion – 激光的物理技术百科。
- 光学色散的动画演示
- 色散的交互式网页演示 斯图加特大学电信研究所