对称多项式

数学中的对称多项式（Symmetric polynomial）是一种特殊的多元多项式。假设一个n元多项式P(X1, X2, ..., Xn)，当其中的n个不定元任意交换后，多项式仍维持不变，就称其为对称多项式。严格的说法是，如果对任意的n元置换σ，都有P(Xσ(1), Xσ(2), ..., Xσ(n)) = P(X1, X2, ..., Xn)，就说P是对称多项式。

对称多项式最早是在出现在对一元多项式方程求根的研究中。一元多项式方程的系数可以用它的根的多项式来表达。而多项式的任何一个根的地位理当与余者都相同，所以这类多项式中，不定元进行置换不应当改变多项式。从这个角度来说，将多项式方程的根构成的系数多项式称为基本对称多项式是合理的。有定理说明，任意的对称多项式都可以表达为基本对称多项式的多项式。

## 例子

以下是两个变数的对称多项式的例子：

- $$P(X_1, X_2) = X_1{}^3+ X_2{}^3-7$$
- $$P(X_1, X_2) = 4 X_1 X_2$$

以下是三个变数的对称多项式的例子：

- $$P(X_1, X_2, X_3) = X_1 X_2 X_3 - 2 X_1 X_2 - 2 X_1 X_3 - 2 X_2 X_3$$

并不是所有多项式都是对称的，例如 $P(X_1, X_2) = X_1 - 2X_2$就不对称，因为把$X_1$和$X_2$对换后，会得到$X_2 - 2X_1$，不等于原来的多项式。

有很多方法可以构造特殊的 n 个变数的多项式，下面举一个例子

$$D(X_1,\dots,X_n)=\prod_{1\leq i<j\leq n}(X_i-X_j)^2$$

因为将 $X_1, X_2, ..., X_n$ 做置换只是在改变相乘的顺序以及在括弧乘以 ±1，不会影响 D 的函数值，因此 D 是对称多项式。此外，如果 $X_1, X_2, ..., X_n$是 n 次首一多项式 f 的 n 个根，则 D 是 f 的判别式。

## 伽罗瓦理论

对称多项式出现在单变数首一多项式的研究中。考虑一个体上的 n 次多项式，并且有 n 个根，从另一个方面来说，这 n 个根决定了这个多项式，若将 n 个根视为 n 个独立的变数，则原多项式的各项系数是由 n 个根所形成的对称多项式。这些由 n 个根生成系数的对称多项式被称为初等对称多项式。

上述观念可以衍伸出一个解多项式的方法，定义一个映射，将多项式的各项系数送到多项式的所有根，换言之，要解出基本对称多项式方程组。因此，本映射可以被视为是在“破坏对称性”。这使我们可以借由研究根的置换群来求解多项式，这个观念是拉格朗吉预解式的原型，之后在伽罗瓦理论中会有进一步的发展。

## 单变数首一多项式的根

更具体的来说，假设 f(t) 是一个以 t 为变数的 n 次首一多项式，即

$$f(t)=t^n+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots+a_2t^2+a_1t+a_0$$

其中系数 $a_0,\dots, a_{n-1}$是体 K 中的元素。f(t) 在 K 中不见得会有根，但是如果考虑 K 的代数闭包 $\bar K$，f(t) 在 $\bar K$ 中一定会有 n 个根 $x_1,\dots, x_n$。举个特殊的例子，如果 K 是实数体 $\mathbb R$，则 $\bar K$ 是复数体 $\mathbb C$。注意到 n 个根会有重复，但下述恒等式一定会成立

$$t^n+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots+a_2t^2+a_1t+a_0=(t-x_1)(t-x_2)\cdots(t-x_n)$$

比较各项系数可以得到根与系数的关系

$$\begin{align} a_{n-1}&=-x_1-x_2-\cdots-x_n\\ a_{n-2}&=x_1x_2+x_1x_3+\cdots+x_2x_3+\cdots+x_{n-1}x_n = \textstyle\sum_{1\leq i<j\leq n}x_ix_j\\ & {}\ \, \vdots\\ a_1&=(-1)^{n-1}(x_2x_3\cdots x_n+x_1x_3x_4\cdots x_n+\cdots+x_1x_2\cdots x_{n-2}x_n+x_1x_2\cdots x_{n-1}) = \textstyle(-1)^{n-1}\sum_{i=1}^n\prod_{j\neq i}x_j\\ a_0&=(-1)^nx_1x_2\cdots x_n.\\ \end{align}$$

这显示了多项式的系数 $a_i$ 可以被写成根的对称多项式，而且不论根如何分布，是否落在原本的体 K 中，是否有重根，皆可以使用相同的对称多项式表示出原本的系数。

从另一方面来说，如果把 n 个根视为独立变数，记做 $X_1, X_2, ..., X_n$，原多项式的系数就变成了对称多项式，这些对称多项式，忽略前面的系数 $(-1)^{n-i}$，被定义成初等对称多项式。换句话说，初等对称多项式是以 t 为变数的多项式

$$(t+X_1)(t+X_2)\cdots(t+X_n)$$

展开式中的各项系数。

例如当 n = 3 时，初等对称多项式为 $X_1+X_2+X_3$、$X_1X_2 + X_2X_3 + X_3X_1$和 $X_1X_2X_3$。

## 对称多项式基本定理

对称多项式基本定理说，体 K 上 n 个变数的多项式 f 是一些 n 个变数的初等对称多项式的代数组合 (经由相加、乘上 K 中的常数、相乘所得到的元素)，当且仅当 f 是对称多项式。

例如当 n=2 时，两个初等对称多项式是 $X_1+X_2$和 $X_1 X_2$。对称多项式 $P(X_1, X_2) = X_1^3+ X_2^3-7$可以被表示成

$$X_1^3+ X_2^3-7=(X_1+X_2)^3-3X_1X_2(X_1+X_2)-7$$

本定理有一个关于直接推论，将首一多项式的 n 个根带入一个对称多项式，等于将原多项式的各项系数带入某个多项式。因此，就算 n 个根只落在代数闭包 $\bar K$ 中，将它们带入一个对称多项式后所得到的数值必定会落在 K 之中。例如牛顿恒等式是关于如何用原系数表示 n 个根的等幂次之和。

## 一些常见的对称多项式

以下是一些用初等的方法就可以构造出来的对称多项式，而它们都是以 X1, X2, ..., Xn 为变数。

### 单项对称多项式

将对称多项式做相乘或取次方会使表达式变得复杂。有一个相对简单的构造方式是考虑一个单项式，并且任意交换它的变数，将取得的所有可能的变体通通加起来得到一个对称多项式，称为单项对称多项式。因此单项对称多项式是对称多项式的基底，适当地将它做相加可得到所有对称多项式。更准确地的定义如下：一个以 X1, ..., Xn 为变数的单项式可以写作 X1α1...Xnαn，其中次方 αi 可以是正整数或 0。为了表达方便，定义 α = (α1,...,αn) 则以上的单项式可以被缩写成 Xα。而单项对称多项式mα(X1, ..., Xn) 定义为所有 xβ 的总和，其中 β 跑遍所有 α = (α1,...,αn) 的“相异”置换。举例来说

$m_{(3,1,1)}(X_1,X_2,X_3)=X_1^3X_2X_3+X_1X_2^3X_3+X_1X_2X_3^3$,

$$m_{(3,2,1)}(X_1,X_2,X_3)=X_1^3X_2^2X_3+X_1^3X_2X_3^2+X_1^2X_2^3X_3+X_1^2X_2X_3^3+X_1X_2^3X_3^2+X_1X_2^2X_3^3.$$

显然如果 β 是 α 的一个置换，则 mα = mβ，因此一般而言只需考虑 mα 满足 α1 ≥ α2 ≥ ... ≥ αn，换言之，只需考虑 α 是整数分拆的情况。给定任何对称多项式 P，都可以将其中不同类型的单项式分离归类，因而将 P 写成单项对称多项式的线性组合，是故，单项对称多项式形成包含所有对称多项式的空间的一个基底。特别的，如果 P 中的系数都是正整数，则线性组合中的系数也都会是正整数。

基本对称多项式是单项对称多项式的特例，因为对任何 0 ≤ k ≤ n 有

$e_k(X_1,\ldots,X_n)=m_\alpha(X_1,\ldots,X_n)$

其中 α 将正整数 k 分拆成 k 个 1（后面接着 n − k 个 0）。

### 次方和对称多项式

对于正整数 k，单项对称多项式 m(k,0,...,0)(X1, ..., Xn) 是具有特殊意义的，它被称做次方和对称多项式。更具体的来说，定义

$$p_k(X_1,\ldots,X_n) = X_1^k + X_2^k + \cdots + X_n^k .$$

事实上，所有拥有 n 个变数的对称多项式都可以借由一些次方和对称多项式做相加、相乘及乘以有理数系数的运算而得到，而且可以使其中所使用到的次方和对称多项式的次方数最高不超过 n。更精确的来说。

任何以 X1, …, Xn 为变数的对称多项式都可以被表示成一个 n 个变数多的项式，其中各变数代入次方和多项式 p1(X1, …, Xn), …, pn(X1, …, Xn)

特别的，其他次数 k > n 的次方和多项式 pk(X1, ..., Xn) 也可以用前 n 个对称多项式表示，例如

$$p_3(X_1,X_2)=\textstyle\frac32p_2(X_1,X_2)p_1(X_1,X_2)-\frac12p_1(X_1,X_2)^3.$$

与单项对称多项式以及完全齐次对称多项式不同的是，一个整 系数的对称多项式可能无法被表示成 n 个变数的整 系数多项式，其中各变数代入次方和多项式 p1(X1, …, Xn), …, pn(X1, …, Xn)。例如对 n = 2，对称多项式

$$m_{(2,1)}(X_1,X_2) = X_1^2 X_2 + X_1 X_2^2$$

只能被表达成

$$m_{(2,1)}(X_1,X_2)= \textstyle\frac12p_1(X_1,X_2)^3-\frac12p_2(X_1,X_2)p_1(X_1,X_2).$$

然而，如果有 3 个变数的话，情况又变得不同

$$\begin{align}m_{(2,1)}(X_1,X_2,X_3) &= X_1^2 X_2 + X_1 X_2^2 + X_1^2 X_3 + X_1 X_3^2 + X_2^2 X_3 + X_2 X_3^2\\ <pre> &= p_1(X_1,X_2,X_3)p_2(X_1,X_2,X_3)-p_3(X_1,X_2,X_3). </pre> \end{align}$$

如果将上式的 X3 代入 0，也可以得到一个 2 个变数情况的表示式，然而该表示式中包含多项式 p3，因此不适用于 2 变数的叙述条件。从上述例子可以看出，不同的变数个数可能会影响到同一个单项对称多项式是否能被次方和对称多项式以整系数的代数组合表达。然而，对于 n ≥ 2，基本对称多项式 en 都不能表达成次方和对称多项式的整系数代数组合表达(注意到 n = 1 时 e1 = p1)。借由牛顿恒等式可以很容易推得上述结论，并且会有其中若干个系数的分母是 n。因为这个缘故，前述的结论只在任何包含有理数的环中成立，在有限特征的环中不成立。

### 完全齐次对称多项式

对于非负整数 k，完全齐次对称多项式 hk(X1, ..., Xn) 定义为所有以 X1, ..., Xn 为变数的相异 k 次单项式的和，例如

$$h_3(X_1,X_2,X_3)=X_1^3+X_1^2X_2+X_1^2X_3+X_1X_2^2+X_1X_2X_3+X_1X_3^2+X_2^3+X_2^2X_3+X_2X_3^2+X_3^3.$$

由定义可以直接看出， hk(X1, ..., Xn) 也是所有变数为 X1, ..., Xn 的相异 k 次对称多项式之和。延续上面的例子，有

$$\begin{align} <pre> h_3(X_1,X_2,X_3)&=m_{(3)}(X_1,X_2,X_3)+m_{(2,1)}(X_1,X_2,X_3)+m_{(1,1,1)}(X_1,X_2,X_3)\\ &=(X_1^3+X_2^3+X_3^3)+(X_1^2X_2+X_1^2X_3+X_1X_2^2+X_1X_3^2+X_2^2X_3+X_2X_3^2)+(X_1X_2X_3).\\ </pre> \end{align}$$

与次方和对称多项式相同的，所有拥有 n 个变数的对称多项式都可以借由一些次方和对称多项式做相加、相乘及乘以有理数系数的运算而得到，而且可以使其中所使用到的次方和对称多项式的次方数最高不超过 n。更精确的来说。

任何以 X1, …, Xn 为变数的对称多项式都可以被表示成一个 n 个变数多的项式，其中各变数代入次方和多项式 h1(X1, …, Xn), …, hn(X1, …, Xn)

此外，如果 P 是整系数多项式,则所使用的一个 n 个变数多的项式也是整系数的。

举例来说，设 n = 2，会使用到的两个完全齐次对称多项式是 1=h1(X1, X2) = X1 + X2 以及。则原本例子中的 X13 + X23 - 7 可以被表示成

$$X_1^3+ X_2^3-7=-2h_1(X_1,X_2)^3+3h_1(X_1,X_2)h_2(X_1,X_2)-7.$$

与次方和多项式相同的，随着变数的增加，同一型的对称多项式会有不同的表达式。此外，值得注意的是，当变数个数为 n 时，高于 n+1 次的完全齐次对称多项式可以被前 n 次的完全齐次对称多项式表示。

完全齐次对称多项式有一个非常重要的性质，是一个和基本对称多项式之间的关系式，写成如下的恒等式：对所有正整数 k

$$\sum_{i=0}^k(-1)^ie_i(X_1,\ldots,X_n)h_{k-i}(X_1,\ldots,X_n)=0$$

由于 e0(X1, ..., Xn) 和 h0(X1, ..., Xn) 恒等于 1，因此可以将求和式的首项或末项独立出来，写在等号右侧，二这两种不同的处理法会得到不同的资讯。提出首项的话，可以得到一个完全齐次对称多项式的递归式，其系数牵涉到基本对称多项式；而若是提出末项，也可以得到递归式，但两类对称多项式的角色对调。上述性质提供了本节第三段对称多项式基本定理的完全对称多项式版本的证明：先将给定的对称多项式用基本对称多项式表达，然后再将那些基本对称多项式通过递归式用完全对称多项式表达，最后就可以得出结论。

### 舒尔多项式

舒尔多项式是一类特殊的对称多项式，它在对称多项式的表示理论中有基石般的重要性，然而它不容易以其他类型的对称多项式来表示。

## 代数中的对称多项式

在线性代数、表示理论和伽罗瓦理论中，对称多项式都扮演着重要的角色，此外，在组合学中，为了省去书写变数个数的麻烦，经常就直接在对称函数环上做研究。

## 交错多项式

交错多项式的定义与对称多项式大致雷同，唯独若将交错多项式做变数置换之后，不见得与原多项式相同，而是差一个该置换的正负号。

事实上，所有交错多项式都可以写成一个范德蒙多项式和对称多项式的乘积，其中范德蒙多项式是将变数两两取差做相乘。