勾股定理

勾股定理（Pythagorean theorem / Pythagoras' theorem）是平面几何的基本定理。该定理的大意是在平面中，直角三角形的两边直角长的平方和等于斜边长的平方。若化作等式，则会把两个直角边记为$a$与$b$、斜边长记为$c$，并写作：

$$a^2 + b^2 = c^2 .$$

此定理又称毕氏定理、商高定理、毕达哥拉斯定理、新娘座椅定理或百牛定理。“毕氏”所指的是其中一个发现这个定理的古希腊“数学家毕达哥拉斯，但历史学家相信这个定理早在毕达哥拉斯出生的一千年前已经在世界各地广泛应用。不过，现代西方数学界统一称呼它为“毕达哥拉斯定理”。日本除了翻译西方的“毕达哥拉斯之定理”外亦有“三平方之定理”的称呼。而“商高定理”则是源自《周髀算经》中商高与周公的对谈一节。但周髀算经的发现经过有争议。

勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，后世衍生了四百多种证明法，包括微分证明、面积证明等。有些参考资料提到法国和比利时将勾股定理称为驴桥定理，但驴桥定理是指等腰三角形的二底角相等，非勾股定理。另外，余弦定理是勾股定理的一个推广。

## 定理

在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是$a$和$b$，斜边长度是$c$，那么可以用数学语言表达：

$$a^2+b^2=c^2$$ 或$$\sqrt {a^2+b^2}=c$$ 如果斜边的长度$c$和其中一条边（$a$或$b$）知道，那另一边的长度可以这样计算：

$$a = \sqrt{c^2 - b^2}. \,$$ 或$$b = \sqrt{c^2 - a^2}. \,$$

简单来说，只要知道直角三角形的其中两条边长，便能求出第三条边长。

## 证明

勾股定理现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。路明思（Elisha Scott Loomis）的《Pythagorean Proposition》一书中总共提到367种证明方式。

有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明（参见循环论证）。

### 赵爽勾股圆方图证明法

中国三国时期赵爽为证明勾股定理作“勾股圆方图”即“弦图”，按其证明思路，其法可涵盖所有直角三角形，为东方特色勾股定理无字证明法。2002年第24届国际数学家大会（ICM）在北京召开。中国邮政发行一枚邮资明信片，邮资图就是这次大会的会标—中国古代证明勾股定理的赵爽弦图。

<image>

### 刘徽“割补术”证明法

中国魏晋时期数学家刘徽依据其“割补术”为证勾股定理另辟蹊径而作“青朱出入图”。刘徽描述此图，“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂。开方除之，即弦也。”其大意为，一个任意直角三角形，以勾宽作红色正方形即朱方，以股长作青色正方形即青方。将朱方、青方两个正方形对齐底边排列，再进行割补—以盈补虚，分割线内不动，线外则“各从其类”，以合成弦的正方形即弦方，弦方开方即为弦长。

<image>

### 利用相似三角形的证法

<image>

有许多勾股定理的证明方式，都是基于相似三角形中两边长的比例。

设$ABC$为一直角三角形，直角于$\angle C$（看右图）。从点$C$画上三角形的高，并将此高与$\overline{AB}$的交叉点称之为$H$。此新$\bigtriangleup ACH$和原本的$\bigtriangleup ABC$相似，因为在两个三角形中都有一个直角（这又是由于“高”的定义），而两个三角形都有$A$这个共同角，由此可知第三只角都是相等的。同样道理，$\bigtriangleup CBH$和$\bigtriangleup ABC$也是相似的。这些相似关系衍生出以下的比率关系：

因为：

$$\overline{BC}=a, \overline{AC}=b, \text{ and } \overline{AB}=c, \!$$ 所以：

$$\frac{a}{c}=\frac{\overline{HB}}{a} \text{ and } \frac{b}{c}=\frac{\overline{AH}}{b}.\,$$ 可以写成：

$$a^2=c\times \overline{HB} \text{ and }b^2=c\times \overline{AH}.\,$$ 综合这两个方程式可以得到：

$$a^2+b^2=c\times \overline{HB}+c\times \overline{AH}=c\times(\overline{HB}+\overline{AH})=c^2.\,\!$$ 换句话说：

$$a^2+b^2=c^2.\,\!$$

### 欧几里得的证法

<image>

在欧几里得的《几何原本》卷一第47命题中给出勾股定理的以下证明。设$\bigtriangleup ABC$为一直角三角形，其中A为直角。从$A$点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

在定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：

- 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理）
- 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。
- 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。
- 任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。

证明的思路为：把上方的两个正方形，透过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。

<image>

其证明如下：

- 设$\triangle ABC$为一直角三角形，其直角为$\angle CAB$。
- 其边为$\overline{BC}$、$\overline{AB}$、和$\overline{CA}$，依序绘成四方形$CBDE$、$BAGF$和$ACIH$。
- 画出过点$A$之$\overline{BD}$、$\overline{CE}$的平行线。此线将分别与$\overline{BC}$和$\overline{DE}$直角相交于$K$、$L$。
- 分别连接$\overline{CF}$、$\overline{AD}$，形成两个三角形$BCF$、$BDA$。
- $\angle CAB$和$\angle BAG$都是直角，因此$C$、$A$和$G$都是共线的，同理可证$B$、$A$和$H$共线。
- $\angle CBD$和$\angle FBA$皆为直角，所以$\angle ABD$相等于$\angle FBC$。
- 因为$\overline{AB}$和$\overline{BD}$分别等于$\overline{FB}$和$\overline{BC}$，所以$\triangle ABD$必须全等于$\triangle FBC$。
- 因为$A$与$K$和$L$在同一直线上，所以四方形$BDLK$必须二倍面积于$\triangle ABD$。
- 因为$C$、$A$和$G$在同一直线上，所以正方形$BAGF$必须二倍面积于$\triangle FBC$。
- 因此四边形$BDLK$必须和$BAGF$有相同的面积=$\overline{AB}^2$。
- 同理可证，四边形$CKLE$必须有相同的面积$ACIH=\overline{AC}^2$。
- 把这两个结果相加，$\overline{AB}^2 +\overline{AC}^2 = \overline{BD}\times \overline{BK}+\overline{KL}\times \overline{KC}$
- 由于$\overline{BD}=\overline{KL}$，$\overline{BD}\times \overline{BK}+\overline{KL}\times \overline{KC} = \overline{BD}\left( \overline{BK} + \overline{KC} \right) =\overline{BD}\times \overline{BC}$
- 由于$CBDE$是个正方形，因此$\overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 = \overline{BC}^2$。

此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的

由于这个定理的证明依赖于平行公理，而且从这个定理可以推出平行公理，很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件，一直到十九世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。

### 图形重新排列证法

<image>

此证明以图形重新排列证明。两个大正方形的面积皆为$(a+b)^2$。把四个相等的三角形移除后，左方余下面积为$a^2+b^2$，右方余下面积为$c^2$，两者相等。证毕。

<image>

- 以面积减算法证明

<image>

- 以重新排列法证明

<image>

- 以动画演示重新排列法

## 勾股数组

勾股数组是满足勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$的正整数组$(a,b,c)$，其中的$a,b,c$称为勾股数。例如$(3,4,5)$就是一组勾股数组。

任意一组勾股数$(a,b,c)$可以表示为如下形式：$a=k(m^2-n^2), b=2kmn, c=k(m^2+n^2)$，其中$k, m,n\in \mathbb{N*},m>n$。

## 历史

<image>

这个定理的历史可以被分成三个部分：发现勾股数、发现直角三角形中边长的关系、及其定理的证明。现在毕氏定理可考的严谨数学证明，起源于略晚于毕德格拉斯的欧几里得几何原本中，卷一命题47。

### 勾股数

勾股数的发现时间较早，例如埃及在公元前1600年的纸莎草里就有记载$(3,4,5)$这一组勾股数，而巴比伦泥板涉及的最大的一个勾股数组是$(13500,12709,18541)$。由于古代没有如此高的精确测量工具，因此一般相信得到如此巨大的勾股数必须知道毕氏定理。

后来的中国的算经、印度与阿拉伯的数学书也有记载。在中国，《周髀算经》中也记述了$(3,4,5)$这一组勾股数；金朝数学家李冶在《测圆海镜》中，通过勾股容圆图式的十五个勾股形和直径的关系，建立了系统的天元术，推导出692条关于勾股形的各边的公式，其中用到了多组勾股数作为例子。

### 普遍定理的发现

巴比伦人得到的勾股数的数量和质量不太可能纯从测量手段获得。之后的毕达哥拉斯本人并无著作传世，不过在他死后一千年，5世纪的普罗克勒斯给欧几里德的名著《几何原本》做注解时将最早的发现和证明归功于毕达哥拉斯学派：

如果我们听听那些喜欢说古代历史的人，他们把这个定理归于毕达哥拉斯，并且说他杀了一百头公牛来庆祝。对我来说，虽然我欣赏那个第一个观察到这个定理的人，我更叹服《原本》的作者。不光是因为他给出了清晰明确的证明，而且还因为他用无可置疑的方法在第六篇中证明了一个更一般的命题。

普鲁塔克和西塞罗也将发现的功劳归于毕达哥拉斯，但没有任何证据表明毕达哥拉斯证明了勾股定理，以素食闻名的毕达哥拉斯杀牛更是不可思议。

在中国，记载秦朝的算数书并未记载勾股定理，只是记录了一些勾股数。定理首次载于书面则是在成书于西汉但内容收集整理自公元前一千多年以来的《周髀算经》的“荣方问于陈子”一节中：

若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。

因此此定理也被称之为陈子定理。书中还用商高与周公对谈的方式，提出$(3,4,5)$这组勾股数为例，解释勾股定理要素，并论证“弦长平方必定是两直角边的平方和”，确立了直角三角形两条直角边的平方和等于斜边平方的判定原则。周髀算经没有给出证明，且成书年份不明，可能是公元前一千多年（比毕达哥拉斯早五百年），但也可能是西汉年代（比毕达格拉斯晚500年）。另外，除了周髀算经以外再无其他典籍纪载商高，无法得知是否真有商高其人，或者周髀算经作者虚构人物。

东汉末年赵爽《周髀算经注》《勾股圆方图注》记载：

勾股各自乘，并之，为弦实，开方除之，即弦。

<image>

在《九章算术注》中，刘徽反复利用勾股定理求圆周率，并利用“割补术”做“青朱出入图”完成勾股定理的几何图形证明。直至现时为止，仍有许多关于勾股定理是否不止一次被发现的辩论。

### 证明

毕达哥拉斯学派的证明没有流传下来，流传下来书面证明最早见于《几何原本》第一册的第47个命题。在中国，东汉末年吴国的赵爽最早给出勾股定理的证明。巴勒蒂·克尔什纳·蒂尔特吉在吠陀数学一书中声称古代印度教吠陀证明了勾股定理。

## 勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理是判断三角形为钝角、锐角或直角的一个简单的方法，其中$\overline{AB}=c$为最长边:

- 如果$a^2 + b^2 = c^2 \,$，则$\triangle ABC$是直角三角形。其中$\angle C$是直角。
- 如果$a^2 + b^2 > c^2 \,$，则$\triangle ABC$是锐角三角形（若无先前条件$\overline{AB}=c$为最长边，则该式的成立仅满足$\angle C$是锐角）。
- 如果$a^2 + b^2 < c^2 \,$, 则$\triangle ABC$是钝角三角形。其中$\angle C$是钝角。

（这个逆定理其实只是余弦定理的一个延伸）

### 逆定理的证明

勾股定理的逆定理的证法数明显少于勾股定理的证法。常见证法有同一法、余弦定理、相似三角形、非欧几何等。

#### 同一法

构造$\triangle A'B'C'$，使$a'=a, b'=b, \angle C' = 90^\circ$。根据勾股定理，$c' = \sqrt{a'^2 + b'^2} = \sqrt{a^2 + b^2} = c$，从而$\triangle A'B'C' \cong \triangle ABC(SSS)$。因此，$\angle C = 90^\circ$。

#### 余弦定理

根据余弦定理，$\cos C = \frac {a^2+b^2-c^2}{2ab}$。由于$a^2 + b^2 = c^2 \,$，故$\cos C = 0 \,$，从而$\angle C = 90^\circ$。

#### 相似三角形

在$\overline{AB}$边上截取点$D$使$\angle DCB = \angle A$。在$\triangle CDB \,$与$\triangle ACB\,$中：

$$\angle B=\angle B, \angle DCB=\angle A \Rightarrow \triangle CDB \sim \triangle ACB$$

从而，$\frac {\overline{BC}}{\overline{BA}} = \frac {\overline{BD}}{\overline{BC}} \Rightarrow \overline{BD}= \frac {a^2}c$，以及$\frac {\overline{CD}}{\overline{AC}} = \frac {\overline{CB}}{\overline{AB}} \Rightarrow \overline{CD}= \frac {\overline{ab}}c$。

另一方面，$\overline{AD}=\overline{AB}-\overline{BD}=c- \frac {a^2}c=\frac {b^2}c$，故由$\frac {\overline{DC}}{\overline{AD}}=\frac {\overline{BC}}{\overline{AC}} = \frac {\overline{BD}}{\overline{CD}} = \frac ab$知，$\triangle ACD \sim \triangle CBD$。因而，$\angle BDC = \angle CDA = 90^\circ$，所以$\angle ACB = \angle CDB = 90^\circ$。

#### 非欧几何

勾股定理是由欧几里得几何的公理推导出来的，其在非欧几里得几何中不成立的，因勾股定理之成立涉平行公设。

## 基本资料

- 日语原文：勾股定理
- 类别：定理
- 领域：欧几里得几何
- 陈述：直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方
- 推广：余弦定理、立体几何、非欧几何、微分几何
- 可得结果：勾股数、逆定理、复数、欧几里得距离、毕达哥拉斯三角恒等式