量子位元

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在量子资讯科学中，量子位元（quantum bit），又称Q位元（qubit）是量子信息的计量单位。传统电脑使用的是0和1，量子电脑虽然也是使用0跟1，但不同的是，量子电脑的0与1可以同时计算。在古典系统中，一个位元在同一时间，只有0或1，只存在一种状态，但量子位元可以同时是1和0，两种状态同时存在，这种效果叫量子叠加。这是量子电脑计算目前独有的特性。

## 字源

量子位元 (qubit) 这个术语的创造者是本杰明·舒马克 (Benjamin Schumacher)。舒马克在1995年论文的致谢中指出，量子位元这个术语是在与威廉·伍特斯 (William Wootters) 的一次谈话中开玩笑地创造出来的。

## 定义

具有量子特性的系统（通常为双态系统，如自旋1/2粒子），选定两个相互正交的本征态，分别以$|0 \rangle$（采狄拉克标记右括向量表示）和$|1 \rangle$代表。当对此系统做投影式量子测量时，会得到的结果必为这两个本征态之一，以特定几率比例出现。此外，这两个本征态可以复数系数做线性叠加得到诸多新的量子态

$|\psi \rangle = \alpha |0 \rangle + \beta |1 \rangle ; \quad \alpha, \beta \in \mathbb{C}$。

而从量子力学得知，这些线性叠加态$|\psi \rangle \,$的两个复数系数，必须要求各自绝对值平方相加之和为1，也就是：

$$|\alpha |^2 + |\beta |^2 = 1 \,$$

因为

$$1 = \langle \psi |\psi \rangle = (\alpha |0 \rangle + \beta |1 \rangle)^{\dagger} (\alpha |0 \rangle + \beta |1 \rangle) = (\alpha^* \langle 0| + \beta^* \langle 1| ) (\alpha |0 \rangle + \beta |1 \rangle)$$

$$= \alpha^* \alpha \langle 0|0 \rangle + \beta^* \beta \langle 1|1 \rangle$$

$= |\alpha |^2 + |\beta |^2 \,$，即要求总几率要是1。

两个本征态$|0 \rangle$、$|1 \rangle$及无限多种线性叠加态$|\psi \rangle = \alpha |0 \rangle + \beta |1 \rangle$，集合起来就代表了一个量子位元；各态皆属纯态。

和（古典）位元“非0即1”有所不同，量子位元可以“又0又1”的状态存在，所谓“又0又1”即上述无限多种$(\alpha , \beta) \,$组合的线性叠加态。这特性导致了量子平行处理等现象，并使量子计算应用在某些课题上显著地优于古典计算，甚至可进行古典计算无法做到的工作。

量子位元通常会采用一种几何表示法将之图像化，此表示法称之为布洛赫球面。

## 按方向所采的诸多表示法

若设定$|0 \rangle$、$|1 \rangle$顺沿直角坐标系的z方向，则有诸多表示法。可采上述向量形式如狄拉克标记的右括向量，亦可将之表为行矩阵；另外有密度矩阵形式，可表为右括向量乘以左括向量，或表为方块矩阵，可见如下：

### z方向

向量：$z_+ = |0 \rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\quad z_- = |1 \rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

密度矩阵：$z_+ = |0 \rangle\langle 0| = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} ,$ $z_- = |1 \rangle\langle 1| = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

### x方向

向量：$x_+ = |x_+ \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ \frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix} ,\quad x_- = |x_- \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ -\frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix}$

密度矩阵：$x_+ = |x_+ \rangle\langle x_+| = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ \frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} ,$ $x_- = |x_- \rangle\langle x_-| = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ -\frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & -\frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

### y方向

向量：$y_+ = |y_+ \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ \frac{i}{\sqrt2} \end{pmatrix} ,\quad y_- = |y_- \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ -\frac{i}{\sqrt2} \end{pmatrix}$

密度矩阵：$y_+ = |y_+ \rangle\langle y_+| = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ \frac{i}{\sqrt2} \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & -\frac{i}{\sqrt2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} \\ \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} ,$ $y_- = |y_- \rangle\langle y_-| = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ -\frac{i}{\sqrt2} \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & \frac{i}{\sqrt2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2} \\ -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

## 量子三位元

量子三位元（qutrit）是量子位元的推广，有些应用采取之。量子三元以狄拉克标记右括向量表示可写为$|0 \rangle$、$|1 \rangle$、$|2 \rangle$。一个自旋为1的粒子，其自旋自由度有三，所对应的本征值为+1, 0, -1，此粒子即可用作量子三元。

## 参阅

- 量子资讯科学
- 贝尔态
- 布洛赫球面
- 双态系统

## 外部连接

- Qubit.org —cofounded by one of the pioneers in quantum computation, David Deutsch