费利克斯·克莱因

费利克斯·克里斯蒂安·克莱因（Felix Christian Klein k，1849年4月25日－1925年6月22日），德国数学家、数学教育家与数学史家，因其在群论、复分析、非欧几何以及几何与群论关联方面的研究而闻名。他于1872年提出的爱尔兰根纲领依据基本对称群对几何学进行分类，是对当时多个数学分支的一个综合导向，影响深远。

在哥廷根大学任职期间，克莱因通过开设新课程、设立教授职位和研究所，将这所大学打造为数学与科学研究的中心。他的研讨会涵盖了当时已知的数学领域及其应用。克莱因还为数学教育殚精竭虑，并推动德国及海外各级教育的数学改革。

## 生平

1849年4月25日，费利克斯出生于杜塞尔多夫。父母均为普鲁士人：父亲卡斯帕·克莱因（Caspar Klein, 1809–1889），是一名派驻莱茵省的普鲁士政府官员秘书；母亲本名为索菲·艾丽瑟·凯瑟（Sophie Elise Kayser, 1819–1890）。姓氏克莱因（Klein），在德语中意为“小”，克里斯蒂安（Christian）是圣名，费利克斯（Felix）则源于拉丁文，意为“幸运儿”。

在杜塞尔多夫当地的文理中学毕业后，克莱因于1865–1866年间进入波恩大学，攻读数学和物理，其原目标是成为物理学家。他的老师尤利乌斯·普吕克本来是波恩大学的数学与实验物理教授。但当克莱因1866年来当他的助手时，普吕克的研究兴趣已主要转向几何学。1868年，在普吕克的指导下，克莱因获得博士学位。

1868年，普吕克逝世，留下一本关于线式几何的未完成遗著《新式空间几何》（Neue Geometrie des Raumes）。当时看来，克莱因是完成此作第二部分的最佳人选。为此，克莱因次年去拜访了转到哥廷根大学任教的阿尔弗雷德·克莱布什，还游历了柏林和巴黎。1870年7月，普法战争爆发初期，尚在巴黎的他不得不离法；战争期间，他曾在普鲁士陆军短暂担任医疗勤务员，随后于1871年初被任命为哥廷根大学编外讲师。

1872年，年仅23岁的克莱因被埃朗根大学聘为教授，此事由克莱布什支持促成——克莱布什认为，克莱因有望成为同时代最杰出的数学家。克莱因无意留在学生寥寥的埃朗根，直至1875年，获得慕尼黑工业大学教授职位一事使他颇为欣喜。在慕尼黑，克莱因和亚历山大·冯·布里尔一起为众多优秀学生讲授高阶课程，这些学生包括阿道夫·赫维兹、瓦尔特·冯·戴克、卡尔·罗恩、卡尔·龙格、马克斯·普朗克、路易吉·比安基和格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯托罗等。

1875年，克莱因与哲学家格奥尔格·黑格尔之孙女安妮·黑格尔结婚。

在慕工大任教五年后，克莱因被任命为莱比锡大学几何学主任。其同事包括冯·戴克、罗恩、爱德华·施图迪和弗里德里希·恩格尔。1880至1886年在莱比锡的岁月彻底改变了克莱因的人生。1882年，他的健康状况恶化，此后两年一直与抑郁症抗争。尽管如此，他的研究并未中断，其关于超椭圆西格玛函数的开创性研究，正是此时的成果。

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1886年，克莱因获得哥廷根大学教授职位。此后直至1913年退休，他致力于将哥廷根重新确立为全球数学研究之中心。其间，他教授多类课程，主要聚焦于数学与物理学的交叉领域，尤其是力学与位势论。克莱因在哥廷根建立的研究机构成为全球同类顶尖研究机构的典范。他引入每周讨论会，并创设数学阅览室与图书馆。

在克莱因的主导下，《德国数学年刊》成长为全球最优秀的数学期刊之一。该期刊由克莱布什创办，在克莱因的管理下不断发展，最终超越了柏林大学的《克雷尔杂志》。克莱因组建了一支小型编辑团队，定期召开会议并以民主方式决策。该期刊最初专注于复分析、代数几何与不变量理论，后来也为实变函数论及新兴的群论提供了重要发表平台。

1892年，曼彻斯特文学与哲学学会授予克莱因荣誉会员称号；1893年，伦敦数学学会向其颁发德摩根奖章。

1893年，克莱因在芝加哥世界哥伦布博览会的国际数学家大会上担任主要发言人。部分得益于克莱因的努力，哥廷根大学于1893年开始招收女学生。克莱因亦曾指导英国学生格蕾丝·奇斯霍姆·杨（阿瑟·凯莱的学生）完成哥廷根大学历史上首篇由女性撰写的数学博士论文。1897年，克莱因当选荷兰皇家艺术与科学学院外籍院士。

1895年，克莱因从柯尼斯堡大学招募大卫·希尔伯特。这一任命意义重大——希尔伯特持续巩固着哥廷根在数学领域的主导地位，直至其1932年退休。1915年，克莱因与希尔伯特共同邀请埃米·诺特加入哥廷根大学，她在此向爱因斯坦介绍了群论以及对称性与守恒原理的关联。

约1900年起，克莱因开始关注数学教育。1905年，他参与制定了一项教育计划，建议中学阶段开设解析几何、微积分学基础及函数概念课程。这一建议在全球多国逐步得到落实。

1908年，在罗马举行的第四届国际数学家大会上，他当选为国际数学教育委员会首任主席。在其领导下，委员会的德国分部出版了多部关于德国各级数学教育的专著。1885年，他当选英国皇家学会会员，并于1912年获颁科普利奖章。次年，他因健康原因退休，但仍在家中继续教授数学。

1914年，克莱因与其余92位德国科学家、学者等一同发布《九三宣言》，旨在支持德国入侵比利时。

1925年，克莱因在哥廷根逝世，享年76岁。

## 学术成果

博士论文中，克莱因聚焦于线几何及其在力学中的应用，利用魏尔斯特拉斯初等因子理论对二次线丛进行了分类。

克莱因最早的重要数学发现是在1870年，他与索菲斯·李合作，揭示了库默尔曲面上渐近线的基本性质。二人随后研究了W曲线。正是李将群的概念引入克莱因的研究，这一概念在其后期工作中发挥了重要作用。克莱因亦从卡米耶·若尔当那里接触到了群论的相关知识。

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1882年，克莱因设计了以其名字命名的“克莱因瓶”，这是一种单侧闭曲面，无法嵌入三维欧几里得空间，但可通过将圆柱自身回绕、使其一端从“内部”与另一端连接的方式组成。它能够嵌入四维及以上的欧几里得空间。克莱因瓶的概念源于对三维莫比乌斯带的拓展，其构造方法之一是将两个莫比乌斯带的边缘粘合。

19世纪90年代起，克莱因更深入地研究数学物理，与阿诺·索末菲共同撰写了关于陀螺仪的著作。1894年，他提出编纂一部涵盖数学及其应用的百科全书的构想，这一计划最终发展为《数学科学百科全书》。该项目延续至1935年，为学界提供了具有持久价值的重要标准参考著作。

### 复分析

克莱因将自己关于复分析的研究视为其对数学的主要贡献，具体体现在以下领域：

- 黎曼某些思想与不变量理论的关联。
- 数论与抽象代数。
- 群论。
- 三维以上几何与微分方程。

克莱因指出，模群通过移动复平面的基本区域实现对平面的密铺。1879年，他研究了被视为模群像的PSL(2,7)的作用，得到一个如今叫做“克莱因四次曲面（Klein quartic）”的黎曼曲面的显式表示。克莱因证实，这是射影空间中的一条复曲线，其方程为 $x^3y + y^3z +z^3x =0$，且其对称群为168阶的PSL(2,7)群。他的著作《论黎曼的代数函数及其积分理论》（1882年）以几何方法处理复分析，将位势论与保角映射联系起来，这一工作借鉴了流体动力学的概念。

克莱因关注四次以上方程，尤其致力于通过超越方法求解五次一般方程。基于夏尔·埃尔米特与利奥波德·克罗内克的方法，他取得了与布里奥斯奇相似的结果，并最终借助二十面体群彻底解决了这一问题。这些成果让他得以撰写一系列关于椭圆模函数的论文。

克莱因与罗伯特·弗里克（Robert Fricke）耗时约20年合著的四卷本专著，系统总结了他关于自守函数与椭圆模函数的研究。

## 思想与教育

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在1884年关于正二十面体的著作中，克莱因建立了自守函数理论，将代数与几何相联结。庞加莱已于1881年发表其自守函数理论的概要，这引发了二人之间友好的学术竞争。他们都试图提出并证明一个宏大的单值化定理，以更全面地确立这一新理论。克莱因成功构建了这样的定理，并阐述了证明的策略。他的证明构思于1882年3月23日凌晨2点30分的一次哮喘发作期间。

克莱因自从在与法国数学家亨利·庞加莱的竞争中累倒后，就逐渐将工作侧重点转移到数学教育和学校建设上来。他把许多一流人才都吸引到哥廷根大学来，定期举办名家云集的高水平研讨会，延续了高斯、黎曼时代“哥廷根学派”在科学领域的辉煌。世界数学中心没有因为庞加莱的迅速崛起而被法国重新抢去。与由自己招到哥廷根任职的学生大卫·希尔伯特不同，克莱因认为应用数学与理论数学应该并重地发展，在哥廷根大学一度被边缘化的应用科学家如西奥多·冯·卡门等人都曾受到克莱因的积极鼓励。

克莱因认为中学教师应该多接触高等数学，以保证培养出来的学生的知识面不会出现断层；并认为当时出现的中学教师不关心高等数学发展的风气并不可取。为中学教师普及高等数学的思想就是他创作《高观点下的初等数学（Elementary Mathematics from a Higher Standpoint）》的初衷。其次，克莱因认为精确数学和近似数学应该并重，不应该因为近似数学听起来不够完美化而忽视它的重要性，更不能对发展应用类的数学加以贬低。为此，他在《高观点下的初等数学》丛书中专门花了1册书的篇幅讨论近似数学。而且在第3册里提及当时新出现的电影技术时，他曾设想现实世界所发生的一切有可能和电影画面一样是由一个个不连续的片段所组成的。值得注意的是，这本书问世的时候，马克斯·普朗克已经提出了量子化假说。

克莱因的另一名作《数学在19世纪的发展》（Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19）是后人研究19世纪数学思潮发展的重要著作之一。

## 个人生活

大卫·希尔伯特自称与克莱因保持着“完全的信赖和共同的兴趣”，但是希尔伯特对克莱因晚年关心的技术发展、中小学教育、行政管理等许多杂事兴趣不大。

克莱因的女儿索菲（Sophie Klein）嫁给了法学家埃伯哈德·哈格曼（Eberhard Hagemann），后者曾担任汉诺威省省长及韦尔登地方法院院长。

### 轶闻

- 哥廷根大学的学生们喜欢讲这样一个取材自理发师悖论的逻辑学笑话：在哥廷根有两类数学家，一类数学家做他们自己要做但不是克莱因要他们做的事，另一类数学家则做克莱因要做但不是他们自己要做的事。克莱因既不属于前一类，也不属于后一类，因此克莱因不是数学家。

## 影响与纪念

为纪念克莱因的贡献，欧洲数学学会与弗劳恩霍夫工业数学研究所（Fraunhofer ITWM，位于凯撒斯劳滕）联合颁发“费利克斯·克莱因奖”；国际数学教育委员会则颁发“费利克斯·克莱因奖章”，以表彰取得数学教育终身成就的人。

此外，多所机构与建筑以克莱因的名字命名：弗利克斯·克莱因数学中心（Fraunhofer ITWM与凯撒斯劳滕工业大学数学系的合作机构）、哥廷根的弗利克斯·克莱因文理中学、杜塞尔多夫的海因里希·海涅大学内的弗利克斯·克莱因讲堂，以及莱比锡大学的弗利克斯·克莱因讲堂。

2000年，小行星12045以其姓氏命名。

## 基本资料

- 原文名：Felix Klein
- 出生：费利克斯·克里斯蒂安·克莱因、Felix Christian Klein
- 出生日期：1849年4月25日
- 出生地：普鲁士王国莱茵省杜塞尔多夫
- 逝世日期：1925年6月22日
- 逝世地：魏玛共和国普鲁士邦汉诺威省哥廷根
- 研究领域：数学、（抽象代数、非欧几何、复分析）
- 机构：埃朗根-纽伦堡大学、慕尼黑工业大学、莱比锡大学、哥廷根大学
- 母校：波恩大学
- 博士导师：尤利乌斯·普吕克和鲁道夫·利普希茨
- 博士生：路德维希·比伯巴赫、马克西姆·博谢、奥斯卡·博尔扎、马克斯·布鲁克纳、弗朗克·尼尔森·科尔、弗雷德里希·丁格尔代、亨利·伯查德·法恩、埃尔温·芬莱-弗罗因德利希、罗伯特·弗里克、菲利浦·富特文勒、卡尔·古斯塔夫·阿克塞尔·哈纳克、梅伦·伍德曼·哈斯凯尔、阿道夫·赫维兹、爱德华·卡斯纳、费迪南德·冯·林德曼、亚历山大·奥斯特洛夫斯基、胡利奥·雷伊·帕斯托尔、赫尔曼·罗瑟、弗雷德里希·施铃、维吉尔·斯奈德、威廉·爱德华·史都瑞、埃德瓦·伯尔·范·弗莱克、瓦尔特·冯·戴克、阿道夫·韦勒、亨利·斯利·怀特、亚历山大·威廷、格蕾丝·奇斯霍姆·杨
- 施影响于：大卫·希尔伯特、西奥多·冯·卡门
- 知名于：爱尔兰根纲领、克莱因j不变量、克莱因瓶、克莱因群、凯莱-克莱因模型、克莱因百科全书
- 获奖：德摩根奖章（1893年）、科普利奖章（1912年）、阿克曼-托伊布纳纪念奖（1914年）