分离公理

在拓扑学及相关的数学领域里，通常对于所讨论的拓扑空间加有各种各样的限制条件，分离公理即是指之中的某些限制条件。这些分离公理有时候被叫做吉洪诺夫分离公理，得名于安德烈·尼古拉耶维奇·吉洪诺夫。部分分离公理以字母T开头，是由德文单词“Trennung”而来，意义是分离。

分离公理之所以称为公理，是因为以前定义拓扑空间时，有些人会将其也做为公理来定义，而得出较现在意思狭义的拓扑空间。但在拓扑空间的公理化完成后，那些都成了“各种”的拓扑空间。然而，“分离公理”这一词就这样固定了下来。

## 初步定义

在定义分离公理之前，让我们先了解在拓扑空间中，可分离的集合(和点)的具体含意。（须注意的是，可分离的集合不一定等同于下一节所定义的“分离空间”。）

分离公理是利用拓扑的方法来分辨不相交的集合及相区别的点。不只要拓扑空间内的元素是相区别的，更要这些元素是“拓扑可区别的”；不只要拓扑空间内的子集是不相交的，更要这些子集是（以某种方式）“可分离的”。分离公理声称，无论如何，若点或集合在某些较弱意思下是可区别的或可分离的，也必须在某些较强的意思下是可区别或可分离的。

设$X$为一拓扑空间，$A,B \subseteq X$，$\mathbb{R}$是实数集，定义：

拓扑可区分：$A,B$称为拓扑可区分的，当且仅当$A,B$的邻域系$U(A)$和$U(B)$不相等（即，存在某个$A$的邻域，不是$B$的邻域，或反之）。

可分离：$A,B$称为可分离的，当且仅当$A \cap \bar{B}$和$\bar{A} \cap B$都为空。（$\bar{A}$是$A$的闭包）。注意：$\bar{A} \cap \bar{B}$可以不为空。

邻域可分离：$A,B$称为邻域可分离的，当且仅当存在$A$的邻域$U$和$B$的邻域$V$，使得$U \cap V$为空。

闭邻域可分离：$A,B$称为闭邻域可分离的，当且仅当存在$A$的闭邻域$U$和$B$的闭邻域$V$，使得$U \cap V$为空。

函数可分离：$A,B$称为函数可分离的，当且仅当存在连续函数$f:X \to \mathbb{R}$，使得$f(A)=\{0\}$，$f(B)=\{1\}$。

函数完全分离：$A,B$称为函数完全分离的，当且仅当存在连续函数$f:X \to \mathbb{R}$，使得$f^{-1}(\{0\})=A$，$f^{-1}(\{1\})=B$。

对于$X$中的点$x,y$（或点$x$和子集$A$），称它们为拓扑可分，可分离，邻域可分离等等，当且仅当单元素集合$\{x\}$和$\{y\}$（或$\{x\}$和子集$A$）是拓扑可分，可分离，邻域可分离等等。

以上这些条件是按强度依序给出的：任何两个拓扑可区分的点也必然是相区分的，任何两个分离的点也必然是拓扑可区分的。更进一步地说，任何两个可分离的集合也必然是不相交的，任何两个领域上可分离的集合也必然是可分离的，以此类推。

上述条件更详细的叙述(包括分离公理外的用途)，请参见分离集合和拓扑不可区分性等条目。

## 主要定义

下面的定义都会直接使用到上面的初步定义。

大部分的分离公理都会有另一个等价的定义。下面所给出的定义会维持一致的模式，以和上一节所定义的许多分离的概念相连结。其他等价的定义则分别写在个别的条目之中。

在下面所有的定义之中，X是一个拓扑空间，所有的函数都假设为连续的。

- X称为T0空间或“柯尔莫果洛夫空间”，若在X内，任意两个相区别的点皆为拓扑可区分的。
- X称为R0空间或“对称空间”，若在X内，任意两个拓扑可区分的点都是可分离的。
- X称为T1空间、“可及空间”或“弗雷歇空间”，若在X内，任意两个相区别的点都是可分离的。X为T1空间，当且仅当X同时为T0及R0空间。
- X称为R1空间或“预正则空间”，若在X内，任意两个拓扑可区分的点都是邻域上可分离的。R1空间必然也是R0空间。
- X称为T2空间或“豪斯多夫空间”，若在X内，任意两个相区别的点都是邻域上可分离的。X为豪斯多夫空间，当且仅当X同时为T0及R1空间。豪斯多夫空间必然也是T1空间。
- X称为T2½空间或“乌雷松空间”，若在X内，任意两个相区别的点都是闭邻域上可分离的。T2½空间必然也是豪斯多夫空间。
- X称为完全豪斯多夫空间或“完全T2空间”，若在X内，任意两个相区别的点都是函数上可分离的。完全豪斯多夫空间必然也是T2½空间。
- X称为正则空间，若在X内，给定一点x及一闭集F，则若x不属于F，x和F即为邻域上可分离的（实际上，在一个正则空间里，x和F也同样会是闭邻域上可分离的）。正则空间必然也是R1空间。
- X称为正则豪斯多夫空间或“T3空间”，若X同时为T0及正则空间。正则豪斯多夫空间必然也是T2½空间。
- X称为完全正则空间，若在X内，给定一点x及一闭集F，则若x不属于F，x和F即为函数上可分离的。完全正则空间必然也是正则空间。
- X称为吉洪诺夫空间、“T3½空间”、“完全T3空间”或“完全正则豪斯多夫空间”，若X同时为T0及完全正则空间。吉洪诺夫空间必然同时也是正则豪斯多夫空间及完全豪斯多夫空间。
- X称为正规空间，若在X内，任意两个相区别的闭子集都是邻域上可分离的（实际上，在正规空间里，任意两个相区别的闭子集也同样会是函数上可分离的；这称为乌雷松引理）。
- X称为正规豪斯多夫空间或“T4空间”，若X同时为T1及正规空间。正规豪斯多夫空间必然同时也是吉洪诺夫空间及正规正则空间。
- X称为完全正规空间，若在X内，任意两个相区别的子集都是邻域上可分离的。完全正规空间必然也是正规空间。
- X称为完全正规豪斯多夫空间、“T5空间”或“完全T4空间”，若X同时为完全正规及T1空间。完全正规豪斯多夫空间必然也是正规豪斯多夫空间。
- X称为完美正规空间，若在X内，任意两个相区别的闭子集都是函数上完全分离的。完美正规空间必然也是完全正规空间。
- X称为完美正规豪斯多夫空间、“T6空间”或“完美T4空间”，若X同时为完美正规及T1空间。完美正规豪斯多夫空间必然也是完全正规豪斯多夫空间。

## 各空间之间的关系

T0空间很特别，因为它不只可以当做一个性质加在其他空间上（如完全正则空间加上T0即为吉洪诺夫空间），也可以由某个空间中删去此一性质（如豪斯多夫空间删去T0即为R1空间）；更多资讯请见柯尔莫果洛夫商空间。当其应用在分离公理时，便会导致如下表所列的关系：

T0版本｜无T0版本

T0｜－

T1｜R0

豪斯多夫(T2)｜R1

T2½｜无给定名称

完全豪斯多夫｜无给定名称

正则豪斯多夫(T3)｜正则

吉洪诺夫(T3½)｜完全正则

正规T0｜正规

正规豪斯多夫(T4)｜正规正则

完全正规T0｜完全正规

完全正规豪斯多夫(T5)｜完全正规正则

完美正规T0｜完美正规

完美正规豪斯多夫(T6)｜完美正规正则

在表中，利用柯尔莫果洛夫商空间运算，右边的空间加上T0即为左边的空间，左边的空间删去T0即为右边的空间。

除了T0的加上及删去之外，各空间之间的关系则可由下图指明出来：

<image>

在图中，无T0版本的空间在斜线的左边，T0版本的空间则在斜线的右边。之中的字母代表的意思：

P为完美（perfectly）、C为完全（completely）、N为正规（normal）、R为正则（regular）。

黑点代表该空间没有给定名称。

结合两个空间的性质最后会产生的空间可由上图得知，只要看两点向上的分支会交会在哪一点即可。例如，若有一个空间同时为完全正规（CN）及完全豪斯多夫（CT2）空间，则查看两点向上的分支，会发觉为“•/T5”。因为完全豪斯多夫空间为斜边的T0端（即使完全正规空间不是），最后得到的空间便会在斜边的T0端。亦即，完全正规完全豪斯多夫空间即为T5空间。

再看一次上图，正规空间及R0空间结合在一起，由于会经过许多右侧的分支，也意指会产生许多两个空间所没有的其他性质。因为正则性是之中最为人知的性质，结合正规空间及R0空间而成的空间一般称为“正规正则空间”。基于类似的想法，正规T1空间通常称为“正规豪斯多夫空间”。上述的惯用名称可以延伸至其他正则空间与豪斯多夫空间之上。

## 参考文献

- Michael C. Gemignani; Elementary Topology; ISBN 0486665224
- Schechter, Eric; 1997; Handbook of Analysis and its Foundations; Publisher: Academic Press; https://web.archive.org/web/20150307061351/http://www.math.vanderbilt.edu/%7Eschectex/ccc/
- 包含 Ri 公理（及其他）
- Stephen Willard, General Topology, Addison-Wesley, 1970. Reprinted by Dover Publications, New York, 2004. ISBN 0-486-43479-6 (Dover edition).
- 包含本条目除 Ri 以外之公理和定义
- There are several other good books on general topology, but beware that some use slightly different definitions.