卜瓦松分布

$$k \in \{0, 1, 2, 3, \cdots\}$$

$$\frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$$

$\frac{\Gamma(\lfloor k+1\rfloor, \lambda)}{\lfloor k\rfloor !}$，或$e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{\lfloor k\rfloor} \frac{\lambda^i}{i!}\ $，或$Q(\lfloor k+1\rfloor,\lambda)$ (对于$k\ge 0$，其中$\Gamma(x, y)$是不完全Γ函数，$\lfloor k\rfloor$是高斯符号，Q是规则化Γ函数)

$$\lambda$$

$$\approx\lfloor\lambda+1/3-0.02/\lambda\rfloor$$

$$\lambda$$

$$\lambda^{-1/2}$$

$$\lambda^{-1}$$

$$\lambda[1 - \log(\lambda)] + e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\log(k!)}{k!}$$ （假设$\lambda$较大）

$\frac{1}{2}\log(2 \pi e \lambda) - \frac{1}{12 \lambda} - \frac{1}{24 \lambda^2} -$ $\qquad \frac{19}{360 \lambda^3} + O\left(\frac{1}{\lambda^4}\right)$

$$\exp(\lambda(z - 1))$$

$$\exp(\lambda (e^{t} - 1))$$

$$\exp(\lambda (e^{it} - 1))$$

泊松分布（loi de Poisson；Poisson distribution）又称Poisson分布、帕松分布、布瓦松分布、布阿松分布、普阿松分布、波以松分布、卜氏分布、帕松小数法则（Poisson law of small numbers），是一种统计与概率学里常见到的离散几率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松在1838年时发表。

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、激光的光子数分布等等。（单位时间内发生的次数，可以看作事件发生的频率，类似物理的频率$f$）。

泊松分布的几率质量函数为：

$$P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$$

泊松分布的参数$\lambda$是随机事件发生次数的数学期望值。

## 记号

若$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，记为$X \sim \pi(\lambda)$，或记为$X \sim \text{Poisson}(\lambda)$.

## 假设

如果以下假设成立，则适用泊松分布：

- k是一个非负整数，是某个事件在某个时间间隔内发生的次数。
- 一个事件的发生不会影响第二个事件的概率。
- 事件发生的平均速率与任何事件的发生无关。
- 两个事件不可能在同一时刻发生。

如果这些条件成立，则k是泊松随机变量；k的分布是泊松分布。

## 性质

- 服从泊松分布的随机变量，其数学期望与方差相等，同为参数$\lambda$ : $E(X) = V(X)= \lambda$
- 两个独立且服从泊松分布的随机变量，其和仍然服从泊松分布。更精确地说，若 $X \sim \text{Poisson}(\lambda_1)$且 $Y \sim \text{Poisson}(\lambda_2)$，则$X+Y \sim \text{Poisson}(\lambda_1+\lambda_2)$。反过来若两个独立随机变量的和服从卜瓦松分布，则这两个随机变量经平移后皆服从卜瓦松分布（Raikov定理）。

$$M_X(t)=E[e^{tX}]=\sum_{x=0}^\infty e^{tx}\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}=e^{-\lambda}\sum_{x=0}^\infty\frac{({e^t}\lambda)^x}{x!}=e^{{\lambda}(e^t-1)}$$

## 推导

期望值：(倒数第三至第二是使用泰勒展开式)

$$\begin{align} \Epsilon(X) & =\sum_{i=0}^\infty \displaystyle i P(X = i) \\ & = \sum_{i=1}^\infty \displaystyle i {e^{-\lambda} \lambda^i \over i!} \\ & = \lambda e^{-\lambda} \sum_{i=1}^\infty \displaystyle {\lambda^{i-1} \over (i-1)!} \\ & = \lambda e^{-\lambda} \sum_{i=0}^\infty \displaystyle {\lambda^i \over i!} \\ & = \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda} \\ & = \lambda \end{align}$$

$$\begin{align} \Epsilon(X^2) & =\sum_{i=0}^\infty \displaystyle i^2 P(X = i) \\ & = \sum_{i=1}^\infty \displaystyle i^2 {e^{-\lambda} \lambda^i \over i!}\\ & = \lambda e^{-\lambda} \sum_{i=1}^\infty \displaystyle {i \lambda^{i-1} \over (i-1)!}\\ & = \lambda e^{-\lambda} \sum_{i=1}^\infty \displaystyle {1 \over (i-1)!} {d \over d \lambda}(\lambda ^ i)\\ & = \lambda e^ {- \lambda}{d \over d \lambda}\left[\sum_{i=1}^\infty \displaystyle {\lambda^i \over (i-1)!}\right]\\ & = \lambda e^ {- \lambda}{d \over d \lambda}\left[\lambda \sum_{i=1}^\infty \displaystyle {\lambda^{i-1} \over (i-1)!}\right]\\ & = \lambda e^ {- \lambda}{d \over d \lambda} (\lambda e^{\lambda}) = \lambda e^ {- \lambda} (e^ {\lambda} + \lambda e ^{\lambda}) = \lambda + \lambda^2 \end{align}$$

我们可以得到：$Var(X) = (\lambda + \lambda ^2) - \lambda ^2 = \lambda$

如同性质：$E(X) = Var(X) = \lambda$、$\sigma_X = \sqrt{\lambda}$

相互独立的卜瓦松分布随机变数之和仍服从卜瓦松分布：

$$X\sim \text{Poisson}(\lambda_1), Y\sim \text{Poisson}(\lambda_2).$$

$$P(X=k_1)=\dfrac{\lambda_1^{k_1}e^{-\lambda_1}}{k_1!}, P(Y=k_2)=\dfrac{\lambda_2^{k_2}e^{-\lambda_2}}{k_2!}.$$

$$\begin{align} P(X+Y=k) & = \sum_{i=0}^k P(X=i)P(Y=k-i) \\ & = \sum_{i=0}^k \frac{\lambda_1^i \lambda_2^{k-i}e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}}{i! (k-i)!}\\ & = \frac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}}{k!} \sum_{i=0}^k C_k^i \lambda_1^i \lambda_2^{k-i}\\ & = \frac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}(\lambda_1+\lambda_2)^k}{k!} \end{align}$$

$$X+Y\sim \text{Poisson}(\lambda_1+\lambda_2)$$

## 泊松分布的来源（泊松小数定律）

在二项分布的伯努利试验中，如果试验次数$n$很大，二项分布的概率$p$很小，且乘积$\lambda= np$比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。事实上，二项分布可以看作泊松分布在离散时间上的对应物。

证明如下。首先，回顾自然对数$e$的定义：

$$\lim_{n\to\infty}\left(1-{\lambda \over n}\right)^n=e^{-\lambda},$$

二项分布的定义：

$P(X=k)={n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}$。

如果令$p = \frac{\lambda}{n}$， $n$趋于无穷时$P$的极限：

$$\begin{align} \lim_{n\to\infty} P(X=k)&=\lim_{n\to\infty}{n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} \\ <pre> &=\lim_{n\to\infty}{n! \over (n-k)!k!} \left({\lambda \over n}\right)^k \left(1-{\lambda\over n}\right)^{n-k}\\ </pre> &=\lim_{n\to\infty} \underbrace{\left[\frac{n!}{n^k\left(n-k\right)!}\right]}_F \left(\frac{\lambda^k}{k!}\right) \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n}_{\to\exp\left(-\lambda\right)} \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}}_{\to 1} \\ &= \lim_{n\to\infty} \underbrace{\left[ \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \ldots \left(1-\frac{k-1}{n}\right) \right]}_{\to 1} \left(\frac{\lambda^k}{k!}\right) \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n}_{\to\exp\left(-\lambda\right)} \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}}_{\to 1} \\ &= \left(\frac{\lambda^k}{k!}\right)\exp\left(-\lambda\right) \end{align}$$

## 最大似然估计（MLE）

给定$n$个样本值$k_i$，希望得到从中推测出总体的泊松分布参数$\lambda$的估计。为计算最大似然估计值，列出对数似然函数：

$$\begin{align} L(\lambda) & = \ln \prod_{i=1}^n f(k_i \mid \lambda) \\ & = \sum_{i=1}^n \ln\!\left(\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k_i}}{k_i!}\right) \\ & = -n\lambda + \left(\sum_{i=1}^n k_i\right) \ln(\lambda) - \sum_{i=1}^n \ln(k_i!). \end{align}$$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda} L(\lambda) = 0 \iff -n + \left(\sum_{i=1}^n k_i\right) \frac{1}{\lambda} = 0. \!$$

解得λ从而得到一个驻点（stationary point）：

$$\widehat{\lambda}_\mathrm{MLE}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n k_i. \!$$

检查函数$L$的二阶导数，发现对所有的$\lambda$与$k_i$大于零的情况二阶导数都为负。因此求得的驻点是对数似然函数$L$的极大值点：

$$\frac{\partial^2 L}{\partial \lambda^2} = \sum_{i=1}^n -\lambda^{-2} k_i$$

## 例子

对某公共汽车站的客流做调查，统计了某天上午10:30到11:47来到候车的乘客情况。假定来到候车的乘客各批（每批可以是1人也可以是多人）是互相独立发生的。观察每20秒区间来到候车的乘客批次，共观察77分钟*3=231次，共得到230个观察记录。其中来到0批、1批、2批、3批、4批及4批以上的观察记录分别是100次、81次、34次、9次、6次。使用极大似真估计（MLE），得到$\lambda$的估计为$\frac{81\times 1+34\times 2+9\times 3+6\times 4}{230}\approx 0.87$。

## 生成泊松分布的随机变量

一个用来生成随机泊松分布的数字（伪随机数抽样）的简单算法，已经由高德纳给出（见下文参考）：

```
'''algorithm''' ''poisson random number (Knuth)'':
    '''init''':
         '''Let''' L ← ''e''<sup>−λ</sup>, k ← 0 and p ← 1.
    '''do''':
         k ← k + 1.
         Generate uniform random number u in [0,1] and '''let''' p ← p×u.
    '''while''' p > L.
    '''return''' k − 1.
```

尽管简单，但复杂度是线性的，在返回的值$k$，平均是$\lambda$。还有许多其他算法来克服这一点。有些人由Ahrens和Dieter给出，请参阅下面的参考资料。同样，对于较大的$\lambda$值，$e^{-\lambda}$可能导致数值稳定性问题。对于较大$\lambda$值的一种解决方案是拒绝采样，另一种是采用泊松分布的高斯近似。

对于很小的$\lambda$值，逆变换取样简单而且高效，每个样本只需要一个均匀随机数u。直到有超过$u$的样本，才需要检查累积概率。

```
'''algorithm''' ''Poisson generator based upon the inversion by sequential search'':<ref>Luc Devroye, ''Non-Uniform Random Variate Generation''（Springer-Verlag, New York, 1986）, chapter 10, page 505 http://luc.devroye.org/rnbookindex.html </ref>
    '''init''':
         '''Let''' x ← 0, p ← ''e''<sup>−λ</sup>, s ← p.
         Generate uniform random number u in [0,1].
    '''do''':
         x ← x + 1.
         p ← p * λ / x.
         s ← s + p.
    '''while''' u > s.
    '''return''' x.
```