史瓦西度规

史瓦西度规（Schwarzschild metric），又称史瓦西几何、史瓦西解，是卡尔·史瓦西于1915年针对广义相对论的核心方程——爱因斯坦场方程式——关于球状物质分布的解。根据伯考夫定理（Birkhoff's theorem），史瓦西解可说是爱因斯坦方程最一般的球对称真空解。这样的解又可被称作史瓦西黑洞，此种几何对应一个静止不旋转、不带电荷之黑洞。在物理上它可以对应任何球对称星球外部的时空几何。因此常常用于近似于不同旋转缓慢（远小于光速）的天体的重力场，例如恒星、行星等。

在史瓦西解中，只有一个刻划该解的参数，可以看成是史瓦西黑洞的质量。因此某方面来说，一个史瓦西黑洞只能用他的质量来区别，两质量相等的史瓦西黑洞在物理上是完全一样的。史瓦西解有个很重要的超曲面叫做事件视界，在事件视界内发生的事件无法被事件视界外的观测者观测到。它并非任何物理上实际存在的界面，事实上，如果有一观测者通过事件视界，他不会感受到任何异状。但是一旦通过事件视界，观测者将无法回到黑洞外部。视界的大小由史瓦西半径描述，质量为$M$的黑洞，史瓦西半径为

$$r= 2MG/c^2 .$$

此外史瓦西解另一个重要的特征是它包含了奇异点。在奇异点时空的曲率发散，古典的广义相对论并不适用在奇异点上，故实如何在物理上诠释奇异点并不明确。可能需要一个可以考虑量子效应的量子重力理论才能给出好的解释。任何通过事件视界的类时(time-like)的观测者都会碰到奇异点。

## 史瓦西度规

利用史瓦西座标，史瓦西度规可以表示成如下形式：

$$\mathrm{d}s^{2} = c^2 \left(1-\frac{2GM}{c^2 r} \right) \mathrm{d}t^2 - \left(1-\frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1}\mathrm{d}r^2 - r^2 \mathrm{d}\Omega^2,$$

其中$G$是重力常数，$c$是光速，$M$解释为产生重力的物体之质量，而

$$\mathrm{d}\Omega^2 = \mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta \mathrm{d}\varphi^2\,$$

是二维球面(2-sphere)上的标准度规（即：立体角的标准单元）。

定义

$$r_s = \frac{2GM}{c^2}$$

称作史瓦西半径，在史瓦西解中扮演关键角色。

史瓦西度规实际上是真空场方程式的解析解，意思上表示其仅在重力来源物体以外的地方能够成立。也就是说，对一半径$R$之球状体，此解仅在$r > R$时成立。然而，若$R$少于史瓦西半径$r_s$，此时解描述的是一个黑洞。为了要描述重力来源物体内部与外部两者的重力场，史瓦西解必须跟一个适当的内部解在$r = R$处连续。而内部解的形式多样，例如如果把星球视为不可压缩流体，则内部解为史瓦西内度规(Interior Schwarzschild metric)。

此外，注意到当$M\to 0$或$r \rightarrow\infty$，史瓦西度规近似为闵可夫斯基时空：

$$\mathrm{d}s^{2} = c^2 \mathrm{d}t^2 - \mathrm{d}r^2 - r^2 \mathrm{d}\Omega^2.\,$$

直观上说，这样的结果是合理的：既然远离了重力来源物体，时空理应变得近乎平直。具有这样性质的度规称作是渐进平直 (asymptotically flat)。

## 历史

如其名，卡尔·史瓦西是第一个发现史瓦西度规的人。该精确解发现于1915年底，旋即在1916年初发表，只比广义相对论本身晚几个月发表而已。不过史瓦西在发表论文后不久便死于在第一世界大战服役所得的疾病。

史瓦西解是除了显然的平空间解之外，第一个为世人所知的爱因斯坦方程精确解。而在1916年，约翰内斯·德罗斯特以更简单，更直接的方式独立推导出了史瓦西解。

在广义相对论发表之初，物理学家对史瓦西解，或其他解内的奇异点的意义不甚了解。事实上，在史瓦西的文章中，他将现今认为是事件视界的那点设为径向座标的原点，而又在文章中引进了一个辅助座标，我们现今称它为的史瓦西径向座标，也就是上节公式中的$r$座标。

一个更完整的分析在隔年由大卫·希尔伯特给出，并且指出了两个可能的奇异点 $r=0$ 和 $r=r_{s}$。当时一般认为 $r=0$ 为一个真正几何上的奇点，但是对于 $r=r_{s}$ 的本质仍不清楚。

保罗·班勒卫和阿尔瓦·古尔斯特兰德分别在1921和1922年独立推导出爱因斯坦方程球对称的真空解，他们在 $r=r_{s}$处并没有奇点。在那时他们并不了解这个解是史瓦西解在其他座标下的形式。事实上，他们还用此解说明广义相对论是有缺失的。如今这个解被称为古尔斯特兰德-班勒卫座标(Gullstrand–Painlevé coordinates)，显示他只是史瓦西解的一个座标形式而已。

在 1924年，亚瑟·爱丁顿构造出了第一个座标变换，使得史瓦西解在 $r=r_{s}$处没有奇点，也就是爱丁顿-芬克斯坦座标(Eddington–Finkelstein coordinates)。但是他似乎没有意识到这个发现重要性。随后在1932年，乔治·勒梅特给出了另一个在 $r=r_{s}$处没有奇点的座标(勒梅特座标，Lemaître coordinates)，并且意识到 $r=r_{s}$处不是物理上真正的奇点。而在1939年，霍华德·罗伯逊证明了一个自由坠落的观测者，只会在有限的原时通过 $r=r_{s}$处，虽然对一个在远处的观测者来说，需要耗费无限久的时间。

在1950年，约翰·辛格找出了整个史瓦西解的最大解析延拓形式，并且再次证明了 $r=r_{s}$处奇点只是个座标选择造成的假象。之后类似的最大解析延拓解也独立的被塞凯赖什·哲尔吉和马丁·克鲁斯卡尔发现。而这座标如今被称为克鲁斯卡尔-塞凯赖什座标(Kruskal-Szekeres coordinates)。这个座标比辛格给出的座标还要简单许多，但是两者都是一套可以完整覆盖所有史瓦西解的座标系统。话虽如此，可能是因为发表的期刊的关系，勒梅特和辛格的论文并没有受到学界注意，使得众多知名的物理学家，包括爱因斯坦，都认为在史瓦西半径上的奇点是实际存在的。

随后到了1960年代，一些更高等的数学工具例如微分几何进入了广义相对论的研究后，才有更多的进展。利用微分几何的概念，劳伦兹流形上的奇点可以被精确的定义。而这让整个史瓦西度规上的奇点完全地的确立下来。并且正式的证明了$r=r_{s}$处只是一时空上的事件视界而已。

## 奇异点和事件视界

史瓦西度规在 $r=0$ 和 $r=r_{s}$处是发散的，表示他们可能是奇异点。一般而言，史瓦西解只能描述一个球对称星体外部的时空结构，因此如果星体半径 $R > r_{s}$ 的话就无任何问题。对于一般的恒星，这条件几乎在所有时候都会满足。例如太阳半径大约为 700,000 公里，但是其史瓦西半径大约只有 3 公里。

实际上， $r=r_{s}$处是一个事件视界，他将整个时空分成两个区域。史瓦西外部解( Exterior Schwarzschild solution)，也就是 $r > r_{s}$的区域。它可以描述星体的外部结构。而史瓦西内部解 (Interior Schwarzschild solution) 则为 $0 \leq r < r_{s}$ 的区域。他们是两个互不重叠的局部坐标系 (又称为座标卡, coordinate chart)，并且可视为互相独立的解。在 $r=r_{s}$的地方并非是一个真实的奇异点。度规会发散是因为我们选了一个不恰当的座标系统，如果改用其他的座标系统，例如克鲁斯卡尔-塞凯赖什座标，则在 $r=r_{s}$处就不会发散。而使用这样的座标系统则可以让我们把史瓦西外部解延伸到史瓦西内部解。

史瓦西内部解是一个完全合法的爱因斯坦方程解，但是他有许多有趣的性质。例如说，在内部里面径向座标 $r$ 是类时的，而时间座标 $t$ 是类空间的。也就是说，观测者不可能维持在等径向距离移动( $r$ 是常数)。事实上因为观测者的未来光锥永远指向 $r$ 变小的方向，所以任何在这个区域的观测者都终将会碰到 $r=0$ 处(奇异点)。因此 $r=r_{s}$处可以看成是一个界线，任何观测者进入了这个界限之后将再也无法脱离黑洞，而任何在$r > r_{s}$的观测者也无法接受到来自 $r < r_{s}$ 处的讯息。

相对于 $r=r_{s}$处的事件视界，在 $r=0$ 的地方是一个真正物理上的奇异点，又称为重力奇异点(Gravitational singulartiy)。要证明他是真正的奇异点我们可以检查几个重要的座标不变量是否发散，例如柯瑞奇曼纯量 (Kretschmann scalar)。而我们发现史瓦西度规的 柯瑞奇曼纯量 是：

$$R^{\alpha\beta\gamma\delta} R_{\alpha\beta\gamma\delta} = \frac{12 r_\mathrm{s}^2}{r^6} = \frac{48 G^2 M^2}{c^4 r^6} \,$$

可以看得出来它在 $r=0$ 处是发散的，因此这是一个真正的奇点。爱因斯坦方程无法描述此处的时空性质，物理学家也无法确定在在奇异点会发生什么事，或者它代表什么意义。一般相信需要一个完整的量子重力理论，或者一个考虑量子修效应的半古典重力才能解释重力奇点的现象。在过去物理学家认为有这样一个有重力奇异点的解是没有物理意义的。但是随着人们对广义相对论有更深入的了解之后，他们意识到了这种有引力奇异点的解是很一般的现象。史瓦西度规的奇异点不是一个特殊的例外。

## 其他座标系统

除了上述的用的史瓦西座标之外，史瓦西度规也可以用其他的座标系统表示。不同的座标系统强调史瓦西解不同的特性。以下列出几个常见的座标系统。注意在这里光速设为1，亦即$c=1$，而

$$d\Omega^2= d\theta^2+\sin^2\theta \,d\varphi^2$$

是二维球面(2-sphere)上的标准度规。

### 爱丁顿-芬克斯坦座标

它的形式有两种，分别为向内型和向外型。

$$ds^{2} = -\left(1-\frac{r_\mathrm{s}}{r} \right)\, dv^2 + 2 \,dv \,dr + r^2 \,d\Omega^2$$

$$ds^{2} =-\left(1-\frac{r_\mathrm{s}}{r} \right)\, du^2 - 2 \,du \,dr + r^2 \,d\Omega^2$$

他们在史瓦西半径都是解析的，其中向内型的座标延伸到未来事件视界，而向外型的座标延伸到过去事件视界。

### 各向同性座标

它的座标形式为：

$$ds^{2}=-\frac{\left(1-\frac{r_\mathrm{s}}{4R}\right)^2}{\left(1+\frac{r_\mathrm{s}}{4R}\right)^2}\,{dt}^2 + \left(1+\frac{r_\mathrm{s}}{4R}\right)^4\,\left(dx^2+dy^2+dz^2\right)$$

其中 $R = \sqrt{ x^2 + y^2 + z^2 }$。它的光锥在等时间的切片上是同向的。

### 克鲁斯卡尔-塞凯赖什座标

它的座标形式为：

$$ds^{2} = -\frac{4r_\mathrm{s}^3}{r}e^{-\frac{r}{r_\mathrm{s}}}\,\left(dT^2 - dR^2\right)+ r^2 \,d\Omega^2$$

其中 $r^{2} = r^{2}(T,R)$ 为 $R$ 和 $T$ 的函数，它满足以下的隐式方程：

$$T^2 - R^2 = \left(1-\frac{r}{r_\mathrm{s}}\right)e^\frac{r}{r_\mathrm{s}}$$

此度规一样在史瓦西半径处是解析的，而且它是整个史瓦西解的最大解析延拓形式。

### 其他

此外还有一些比较少用到的座标形式：

- 勒梅特座标 (Lemaître coordinates) $ds^{2} = -dT^{2} + \frac{r_\mathrm{s}}{r}\, dR^2 - r^2\,d\Omega^2$
- 古尔斯特兰德-班勒卫座标(Gullstrand–Painlevé coordinates) $ds^{2}=-\left(1-\frac{r_\mathrm{s}}{r} \right)\,dT^2+ 2\sqrt\frac{r_\mathrm{s}}{r} \,dT \,dr - dr^2-r^2\,d\Omega^2$

它们的特点都是在史瓦西半径上是解析的。

## 封闭轨道

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对于一个在史瓦西黑洞自由运动的物体，在恰当的起始条件之下可能可以有封闭圆形轨道。这样的轨道存不存在取决于物体离黑洞的距离。半径为 $r > 3r_{s}$的轨道是存在且稳定的。而半径为介于$1.5 r_{s}$和 $3r_{s}$之间的轨道存在，但是不稳定。而半径小于$1.5 r_{s}$的轨道是不存在的。在轨道半径趋近于最小值$1.5 r_{s}$时该物体的速度会趋近于光速。当然物体还是可以在拥有比$1.5 r_{s}$还要小的轨道，但是此时必须对物体施加外力让它不掉进黑洞里。

对于非圆形的轨道，物体的运动也会和古典牛顿重力预测的有所不同：物体不再会是封闭的原轨迹。定性而言，物体在近日点附近的时间会相较于古典重力预测的比较长。而一个物体掉进黑洞永远不会再出来可以看成是这个特性的极端情况。

## 曲率张量

史瓦西度规的里奇曲率纯量和里奇曲率张量皆为零，但是他的黎曼曲率张量则不一定为零，不为零的分量有：

$$R^{t}{}_{rrt}=2R^{\theta}{}_{r\theta r}=2R^{\phi}{}_{r\phi r}=\frac{r_s}{r^2(r_s-r)},$$

$$2R^{t}{}_{\theta\theta t}=2R^{r}{}_{\theta\theta r}=R^{\phi}{}_{\theta\phi\theta}=\frac{r_s}{r},$$

$$2R^{t}{}_{\phi\phi t}=2R^{r}{}_{\phi\phi r}=-R^{\theta}{}_{\phi\phi\theta}=\frac{r_s \sin^2\theta}{r},$$

$$R^{r}{}_{trt}=-2R^{\theta}{}_{t\theta t}=-2R^{\phi}{}_{t\phi t}= c^2 \frac{r_s (r_s - r)}{r^4}$$

注意其他可以用曲率张量对称性得到的分量不列在此表内。

## 相关条目

- 爱因斯坦场方程式
- 白洞
- 黑洞
- 莱斯纳-诺德斯特洛姆度规 (带电，无角动量的解)
- 克尔度规 (不带电，有角动量的解)
- 克尔-纽曼度规( 带电，有角动量的解)
- 托尔曼－欧本海默－沃尔科夫方程式 (描述一个球对称，由均向物质所造成的度规的方程)
- 史瓦西半径