风险价值

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风险价值（Value at Risk，缩写：VaR），资产组合在持有期间内在给定的信赖区间内由于市场价格变动所导致的最大预期损失的数值。由此衍生出来的“风险价值”方法是风险管理中应用广泛、研究活跃的风险定量分析方法之一。

对于给定的投资组合、时间跨度和概率 p，p VaR可以非正式地定义为：在排除所有联合概率不超过 p 的更差结果之后，该时间段内的最大可能损失。这一定义假设采用按市值计价，且投资组合内不发生交易。

例如，若某股票投资组合的单日5% VaR为100万美元，意味着在无交易情况下，该投资组合在一日内损失100万美元或以上的概率为0.05，即平均每20个交易日约有1天出现100万美元或以上的损失。

更正式地说，p VaR的定义如下：损失超过VaR的概率（至多）为 p，损失低于VaR的概率（至少）为 1-p。超过VaR阈值的损失被称为“VaR突破”。

对于固定的 p，p VaR并不评估VaR突破发生时损失的规模，因此被部分人士视为风险管理中一个存疑的指标。例如，假设某人下注在7次掷硬币中不会出现7次正面，条款规定：若未出现7次正面（概率127/128），他赢得100美元；若出现（概率1/128），他损失12,700美元。可能的损失金额为0美元或12,700美元。此时1% VaR为0美元，因为发生任何损失的概率为1/128，小于1%。然而，他实际上面临最高12,700美元的潜在损失，即对任意 p ≤ 0.78125%（1/128）的 p VaR均可表达这一暴露。

VaR在金融领域有四项主要用途：风险管理、财务控制、财务报告以及计算监管资本。VaR有时也被应用于非金融领域。然而，它是一个颇具争议的风险管理工具。

重要的相关概念包括经济资本、回溯测试、压力测试、预期损失和尾部条件期望值。

## 细节

VaR常用的参数为1%和5%概率，以及单日和两周时间跨度，但其他组合亦有采用。

假设正常市场条件和无交易，并将损失限定于日常账目中可测量的项目，其原因在于使损失具备可观测性。在某些极端金融事件中，由于市场价格不可获取或承担损失的机构解体，损失可能无法确定。此外，灾难的某些长期后果——如诉讼、丧失市场信心和员工士气，以及品牌声誉受损——可能需要很长时间才能显现，且难以归因于特定的先前决策。VaR划定了正常交易日与极端事件之间的边界。机构遭受的损失可能远超VaR金额；唯一可以确定的是，这种情况不会频繁发生。

概率水准的表述方式大致各占一半：有时被指定为VaR突破概率的补数——即上例中的VaR将被称为单日95% VaR而非单日5% VaR。这通常不会引起混淆，因为VaR突破的概率几乎始终很小，必定低于50%。

尽管VaR几乎代表损失，但按惯例以正数报告。负值VaR意味着投资组合有较高概率实现盈利——例如，单日5% VaR为负100万美元，意味着投资组合在未来一天内有95%的概率盈利超过100万美元。

另一个不一致之处在于，VaR有时指期末的盈亏，有时则指期间任意时点的最大损失。原始定义采用后者；但在1990年代初期，当VaR跨交易台和时区整合时，收盘估值是唯一可靠的数字，前者因此成为事实标准。在1990年代后半期，人们开始使用多日VaR时，几乎总是仅估算期末的分布。在理论上，时点估算也比区间最大值更易于处理。因此，期末定义在理论和实践中均最为普遍。

## 种类

VaR的定义是非构造性的；它规定了VaR必须具备的性质，但未规定如何计算VaR。此外，定义的诠释空间也相当宽泛。这导致了两类广泛的VaR形式：一类主要用于风险管理，另一类主要用于风险计量。两者之间的区别并非截然分明，混合版本通常用于财务控制、财务报告和计算监管资本。

对于风险管理人员而言，VaR是一个系统，而非一个数字。该系统定期运行（通常为每日），所发布的数字与计算时间跨度内开仓头寸的实际价格变动相比较。已发布的VaR事后不作任何调整，且对因输入错误（包括IT故障、欺诈和未授权交易）、计算错误（包括未能按时生成VaR）以及市场波动所引起的VaR突破，均不作区分。

一项频率论主张认为：VaR突破的长期频率将等于规定的概率（在抽样误差范围内），且VaR突破在时间上和VaR水准上均相互独立。此主张通过回测——即已发布VaR与实际价格变动的比较——加以验证。在这种诠释下，许多不同系统均可产生具有同等良好回测结果的VaR，但日VaR值可能存在较大分歧。

在风险计量方面，所需的是一个数字，而非一个系统。贝叶斯概率主张认为：在计算时已知的信息和预期下，VaR突破的主观概率等于规定水准。VaR在事后会针对输入和计算错误进行调整，但不纳入计算时尚未获取的信息。在此背景下，“回测”具有不同含义：并非将已发布VaR与系统运行期间的实际市场走势相比较，而是在尽可能长的可用且相关的数据期间内，对清洗后的历史数据进行追溯计算。计算VaR与确定价格变动所用的持仓数据和定价模型相同。

尽管此处列举的部分文献仅承认一种VaR形式的合法性，但近期多数文献似乎一致认为：风险管理VaR更适合用于当下的短期和战术决策，而风险计量VaR则应用于理解过去，以及作出中期和战略性的未来规划。当VaR用于财务控制或财务报告时，应兼顾两者。例如，若某交易台受VaR限额约束，这既是一项决定当日可接受哪些风险的风险管理规则，也是在报告期末计算该交易台风险调整回报时的风险计量输入项。

### 在治理中的应用

VaR亦可应用于捐赠基金、信托和养老金计划的治理。在此，受托人对整个资金池账户及各分散管理部分采用投资组合风险价值指标。受托人不作概率估算，而是分别为每个部分设定最大可接受损失水准。这样做既为监督提供了简明指标，又增强了问责性——管理人在此约束下须在既定风险参数内管理并避免损失。以此方式使用VaR，相较于回报标准差，提供了更直观的风险计量控制监测方式。

美国证券交易委员会Rule 18f-4要求使用衍生工具的特定基金，须在基金的杠杆风险管理框架中遵从相对VaR测试。依赖该规则的基金通常须遵守基于风险价值的基金杠杆风险外部上限。此外部上限基于相对VaR测试——该测试将基金的VaR与该基金“指定参考投资组合”的VaR进行比较。基金一般可使用满足特定要求的指数，或基金自身的证券投资组合（不含衍生工具交易）作为指定参考投资组合。若基金的衍生工具风险管理人合理认定某指定参考投资组合不适合用于相对VaR测试，则基金须遵从绝对VaR测试。在相对VaR测试下，基金的VaR通常不得超过其指定参考投资组合VaR的200%；在绝对VaR测试下，不得超过基金净资产的20%。

## 数学定义

设 $X$ 为损益分布（损失为负，盈利为正）。水准 $\alpha\in(0,1)$ 下的VaR是最小数 $y$，使得 $Y:=-X$ 不超过 $y$ 的概率至少为 $1-\alpha$。在数学上，$\operatorname{VaR}_{\alpha}(X)$ 是 $Y$ 的 $(1-\alpha)$-分位数，即

$\operatorname{VaR}_\alpha(X)=-\inf\big\{x\in\mathbb{R}:F_X(x)>\alpha\big\} = F^{-1}_Y(1-\alpha).$

这是VaR最一般的定义，两个恒等式等价（事实上，对任意实随机变量 $X$，其累积分布函数 $F_X$ 均有定义）。然而，除非假设 $X$ 服从某种参数化分布，否则此公式不能直接用于计算。

风险管理人员通常假设，部分坏事件的损失将无法确定——或因市场关闭或缺乏流动性，或因承担损失的实体解体或丧失核算能力。因此，他们不接受基于定义明确的概率分布假设的结果。纳西姆·塔勒布将这一假设称为“江湖骗术”。另一方面，许多学者倾向于假设一个定义明确的分布，尽管通常带有厚尾。这一分歧可能是VaR理论界争议最大的问题。

风险价值亦可表达为失真风险测度，其失真函数为 $g(x) = \begin{cases}0 & \text{if }0 \leq x < 1-\alpha\\ 1 & \text{if }1-\alpha \leq x \leq 1\end{cases}.$

## 风险度量与风险指标

“VaR”一词同时用于指风险度量和风险指标，有时会引起混淆。1995年以前的文献通常强调风险度量，此后的文献则更多强调风险指标。

VaR风险度量将风险定义为固定投资组合在固定时间跨度内的按市值计价损失。金融中存在许多替代性风险度量。由于未来绩效无法采用按市值计价（以市场价格定义损失），损失通常（作为替代）被定义为基本面价值的变动。例如，若某机构持有一笔因利率上升而市场价格下跌的贷款，但现金流和信用质量无变化，部分系统不确认此为损失。另有系统尝试纳入日常财务报表中未能计量的经济损失，如丧失市场信心或员工士气、品牌声誉受损或诉讼。

部分风险度量不采用固定时间跨度内的静态投资组合假设，而是纳入预期交易（如止损委托）的动态效应，并考虑持仓的预期持有期。

VaR风险指标通过分位数——即具有特定超额损失概率的节点——对可能损失的概率分布进行汇总。一种常见的替代指标是预期损失。

## 风险价值与风险管理

相比于以标准差为代表的传统风险测度，VaR着重于考虑更重要的资产下行风险，特别是极端情况下的损失规模。VaR支持者声称，VaR的首要也可能是最大的益处，在于它迫使机构改进系统和模型。1997年，Philippe Jorion 写道：

VAR最大的益处在于它迫使机构采用结构化方法，批判性地思考风险。凡是经历计算VAR过程的机构，都被迫正视自身对金融风险的暴露，并建立适当的风险管理职能。因此，通往VAR的过程可能与数字本身同等重要。

每日按时发布具有规定统计特性的数字，使交易机构的各个部门都遵循高度客观的标准。必须建立健全的备份系统和默认假设。报告、建模或定价有误的头寸将显露出来，不准确或延迟的数据源以及频繁宕机的系统亦然。任何影响损益却未在其他报告中反映的事项，都将在VaR虚高或VaR突破过多中显现。“不计算VaR的风险承担机构或许能够幸免于难，但无法计算VaR的机构则不然。”

VaR的第二个声称益处在于，它将风险划分为两个区间。在VaR限额内，传统统计学方法是可靠的。可用相对短期且具体的数据进行分析，概率估算具有实际意义（因为数据足够多以供验证）。在某种意义上，此处并不存在真实的风险，因为这些是大量独立观察值的总和，结果有下界。例如，赌场不担心下一次轮盘旋转是红还是黑。风险管理人员鼓励在这一区间承担有效的风险，因为实际代价微乎其微。人们往往过于担忧这些频繁发生的风险，而对最坏的日子里可能发生的事情关注不足。

在VaR限额之外，则是另一个世界。风险应以基于长期和广泛市场数据的压力测试进行分析。概率表述不再有意义。了解超出VaR点的损失分布既不可能也没有用处。风险管理人员应将精力集中于确保在尽可能情况下制定限制损失的良好计划，以及在无法避免损失时能够承受损失。

一个具体系统采用三个区间。

- 1至3倍VaR属于正常事件，定期出现VaR突破是意料之中的。损失分布通常具有厚尾，短期内可能出现多次突破。此外，市场可能异常，交易可能加剧损失，且损失可能未能在日常盯市中得到计量（如诉讼、员工士气和市场信心丧失，以及品牌声誉受损）。一个无法将3倍VaR损失视为日常事件加以应对的机构，可能在建立VaR系统之前便已倒闭。
- 3至10倍VaR是压力测试的范围。机构应确信已审查了所有可预见的、会在此范围内造成损失的事件，并有能力承受这些损失。此类事件过于罕见，难以可靠地估算概率，因此风险/回报计算没有意义。
- 可预见事件不应造成超过10倍VaR的损失。若确实如此，则应通过对冲或保险加以规避，或调整业务计划以避免，或上调VaR。若可预见的损失在数量级上远超日常巨额损失，业务难以为继，且由于这类事件超出了日常经验的范畴，规划往往也十分困难。

VaR作为指标的另一个价值，在于它能够将投资组合的风险压缩为一个单一数字，从而使不同投资组合（持有不同资产）之间的风险具有可比性。在任何投资组合内，亦可识别出能够更好对冲投资组合以降低VaR的特定持仓。

### 计算方法

步骤如下：

- 界定影响资产组合价值的市场因素变数，例如：利率、汇率、商品价格
- 确定这些变量的分布或随机过程，例如：正态分布
- 将资产组合的市场价值表达成这些变量及其相关系数的函数
- 选择某种方法来预测这些市场因素的变化，通过函数得到资产组合的市场价值的改变量——即“风险价值”（VaR）

VaR可采用参数法（如方差-协方差 VaR或delta-gamma VaR）或非参数法（如历史模拟 VaR或重采样 VaR）进行估算。非参数VaR估算方法详见Markovich和Novak。Kuester等人对多种VaR预测策略进行了比较研究。

2012年5月发布的一份麦肯锡报告估计，85%的大型银行采用历史模拟法，另外15%采用蒙地卡罗方法（通常应用主成分分析降维）。

## 风险价值系统

芝加哥商品交易所（CME）于1988年12月16日在金融衍生工具市场推出衡量投资组合风险价值的系统SPAN（Standard Portfolio Analysis of Risk），用以衡量该交易所会员结算头寸的总风险，从而确定应收保证金数额，如今已成为计算投资组合保证金的全球行业标准之一。

## 回溯测试

回溯测试（backtesting）是评估VaR预测结果与投资组合实际盈亏是否相符的过程。相较于预期损失等大多数风险指标，VaR的一项主要优点在于可利用多种回溯测试程序对一组VaR预测结果进行验证。早期的回溯测试范例见于Christoffersen（1998），后由Pajhede（2017）加以推广。其方法是对损失超过VaR的“命中序列”建立模型，并检验这些“命中”事件是否相互独立、且发生概率是否正确。例如，在采用95% VaR时，损失超过VaR的概率应为5%，且各次命中应相互独立。

另有若干回溯测试方法以命中序列中命中事件之间的时距为建模对象，详见Christoffersen与Pelletier（2004）、Haas（2006）及Tokpavi等人（2014），以及Pajhede（2017）。如上述文献所指出，在高覆盖率（例如99% VaR）情况下，渐近分布通常表现欠佳，因此常采用Dufour（2006）的参数化自助法以获得正确的检验规模。Matlab及R语言均有现成的回溯测试工具包可供使用。

巴塞尔协议II的第二支柱包含一个验证VaR数值的回溯测试步骤。

## 历史

美国银行业在1980年代末至1990年代初饱受商业风险困扰，金融机构的坏帐逐年增加，普遍认为《巴塞尔协议》的信贷评估公式扭曲了贷款决策。在此背景下，JP摩根公司所发明的风险价值方法因能定量分析市场风险而备受重视。

风险计量问题在统计学、经济学和金融领域由来已久，金融风险管理长期以来亦是监管机构和金融高管关注的议题。回溯性研究在这段历史中发现了若干类VaR的概念，但VaR作为一个独立概念的出现，要到1980年代末才得以实现。其直接导火索是1987年股市崩盘——这是第一场有大批接受学术训练的量化分析师身居足以关切整个公司存亡的高位的重大金融危机。

此次崩盘在标准统计模型下的发生概率极低，由此令量化金融学的整个基础受到质疑。对历史的重新审视促使部分量化分析师得出结论：大约每十年一到两次的周期性危机，会冲破用于交易、投资管理及衍生品定价模型所蕴含的统计假设。这些危机往往同时波及多个市场，包括平时并无相关性的市场，且鲜少有可辨别的经济成因或预警信号（尽管事后的解释层出不穷）。后来，它们被纳西姆·尼可拉斯·塔雷伯命名为“黑天鹅”，其概念更延伸至金融领域之外。

若将这些事件纳入量化分析，它们将主导分析结果，导致策略在日常运作中失效；若将其排除，则“黑天鹅”事件之间积累的收益可能远不及危机中遭受的损失——机构或因此倒闭。

VaR正是作为一种系统性方法而发展起来，旨在将极端事件与日常价格波动加以区隔：前者通过对长期历史和广泛市场事件的定性研究加以处理，后者则通过特定市场短期数据的定量研究加以处理。人们曾希望“黑天鹅”事件出现前，至少在部分市场中VaR估计值的上升或VaR突破频率的增加能够提供预警，但这一点能否成立仍存争议。

为使VaR可供观测，非正常市场状况及交易行为被排除在VaR估计之外。然而，这并非总能实现——例如在9/11事件后市场关闭、或如2008年多次出现的严重流动性匮乏情况下，损失的界定本身便存在困难。当承担风险的机构本身陷入倒闭或解体时，损失同样难以界定。此外，若某一指标依赖于交易员采取特定行动、回避其他行动，则可能引发自我指涉。

此即风险管理型VaR。在1990年代以前，这一方法已在多家金融机构的量化交易部门（尤其是信孚银行）中得到广泛应用，但其名称与定义尚未标准化，各交易台的VaR亦未予汇总。

1990年代初，多家公司陷入困境，原因在于同一底层押注以不明显的方式遍布公司各处。由于许多交易台已在计算风险管理型VaR，且它是唯一一个既能针对所有业务加以界定、又能在不作强力假设的前提下加以汇总的通用风险指标，因而成为全公司风险报告的自然选择。摩根大通首席执行官丹尼斯·韦瑟斯通以要求“4时15分报告”著称——即要求在收市后15分钟内，将全公司所有风险汇总于一页纸上呈报。

风险计量型VaR正是为此目的而发展起来。摩根大通在这方面的研究最为深入，并于1994年公开发布其方法论，免费提供必要基础参数的估计值——这是VaR首次突破相对小圈子的量化分析师群体而广为人知。两年后，该方法论独立为一家营利性机构，即现今隶属于MSCI的RiskMetrics集团。

1997年，美国证券交易委员会裁定，上市公司须在财务报表附注中披露其衍生品业务的定量信息；主要银行及交易商选择以纳入VaR信息的方式履行这一规定。

自1999年起逐步推广并接近完成的巴塞尔协议II的全球采纳，进一步推动了VaR的应用。VaR是市场风险的首选计量方式，协议其他部分亦采用了与VaR类似的概念。

## 批评

VaR自1994年由交易台进入公众视野以来一直颇具争议。1997年纳西姆·尼可拉斯·塔雷伯与Philippe Jorion之间著名的 辩论阐明了争议的主要论点。塔雷伯认为VaR：

- 抛弃了2,500年的经验，转而依赖由非交易员建构的未经验证模型
- 是一种骗术，因为它声称能估算本质上无法测量的极端事件的风险
- 提供了虚假的信心
- 将被交易员所利用

2008年，大卫·艾因霍恩与Aaron Brown在《全球风险专业人士协会评论》（GARP Risk Review）上就VaR展开辩论。艾因霍恩将VaR比作“在一切时候都正常运作的安全气囊，除非你真的发生了车祸”。他进一步指控VaR：

- 导致金融机构过度承担风险及过度杠杆化
- 只聚焦于分布中部可管控的风险，忽视了尾部风险
- 制造了承担“过度但遥远风险”的诱因
- “在令高层管理人员和监管者产生虚假安全感时，具有潜在的灾难性后果。”

《纽约时报》记者乔·诺塞拉于2009年1月4日发表了长篇文章 《风险管理失当》，探讨VaR在2008年金融危机中所扮演的角色。文章在访谈多位风险管理人员后指出，VaR对风险专家而言极具价值，但同时也因给银行高管和监管者带来虚假的安全感而加剧了危机。VaR作为专业风险管理者的有力工具，既容易遭到误解，一旦被误解又十分危险。

塔雷伯于2009年在美国国会作证，要求禁止使用VaR，理由包括：尾部风险在本质上不可测量；以及出于锚定原因，VaR会导致更高的风险承担。

VaR不具备次可加性：合并投资组合的VaR可能大于各组成部分VaR之和。

以美国银行分支机构遭抢劫为例：平均约每十年发生一次抢劫事件，单一分支机构在某一特定日被抢劫的概率约为0.0004%，因此抢劫风险不会进入单日1% VaR的范畴——机构应购买保险而非自行管控这一风险。随着机构分支机构增多，某一特定日遭抢劫的概率上升至接近VaR量级，此时进行内部压力测试并自行分析风险才具合理性。对于大型银行机构而言，抢劫属于日常事件，损失被纳入日常VaR计算并以统计方式追踪，而非逐案处理。投资组合或机构规模越大，特定风险便从“低概率/低可预测性/高影响”转变为“统计上可预测/个体影响低”的损失，即从远在VaR之外（应予保险）过渡至接近VaR边界（应逐案分析），再进入VaR之内（以统计方式处理）。

VaR是一个静态风险指标——从定义上看，VaR是底层概率分布的一个特定特性（本质上是一个分位数）。如需动态风险指标，详见Novak第10章。

常见的VaR滥用包括：

- 假设合理损失不会超过VaR的若干倍（通常为三倍）——实际上损失可能极为巨大
- 报告未通过回溯测试验证的VaR——无论采用何种方法计算，VaR都应在历史数据中产生正确数量的“突破”次数（在抽样误差范围内）。常见的违反常识的做法是基于未经验证的“一切均遵循多元常态分布”假设来估算VaR

### VaR、CVaR、RVaR与EVaR

VaR并非一致风险测度，因为它违反了次可加性，即：

$$\mathrm{If}\; X,Y \in \mathbf{L} ,\; \mathrm{then}\; \rho(X + Y) \leq \rho(X) + \rho(Y).$$

然而，VaR可被条件风险价值（CVaR）或超熵风险值（EVaR）等一致风险测度所约束。CVaR定义为信赖水准介于0至α之间的VaR值的平均。

与CVaR不同，VaR具有稳健统计量的性质。与之相关的一类风险测度称为“区间风险价值”（RVaR），是CVaR的稳健版本。

对于 $X\in \mathbf{L}_{M^+}$（其中 $\mathbf{L}_{M^+}$ 为所有博雷尔可测函数且其矩母函数在所有正实数值上存在的函数集合），有：

$$\text{VaR}_{1-\alpha}(X)\leq \text{RVaR}_{\alpha,\beta}(X) \leq \text{CVaR}_{1-\alpha}(X)\leq\text{EVaR}_{1-\alpha}(X),$$

其中

$$\begin{align} &\text{VaR}_{1-\alpha}(X):=\inf_{t\in\mathbf{R}}\{t:\text{Pr}(X\leq t)\geq 1-\alpha\},\\ &\text{CVaR}_{1-\alpha}(X) := \frac{1}{\alpha}\int_0^{\alpha} \text{VaR}_{1-\gamma}(X)d\gamma,\\ &\text{RVaR}_{\alpha,\beta}(X) := \frac{1}{\beta-\alpha}\int_{\alpha}^{\beta} \text{VaR}_{1-\gamma}(X)d\gamma,\\ &\text{EVaR}_{1-\alpha}(X):=\inf_{z>0}\{z^{-1}\ln(M_X(z)/\alpha)\}, \end{align}$$

其中 $M_X(z)$ 为X在z处的矩母函数。上列方程式中，变量X表示财务损失，而非通常情形下的财富。