基 (线性代数)

在线性代数中，基（basis，又称基底）是向量空间里某一群特殊的向量（称为基向量），使得向量空间中的任意向量，都可以唯一地表示成基向量的线性组合（或线性组合的极限）。

通过基底可以直接地描述向量空间 $\mathrm{V}$ 上定义的线性映射 $f$，详请参见线性映射#矩阵一节。

## 定义

### Hamel基

$\mathrm{V}$ 是定义在域 $K$（也就是标量的母空间，如实数系 $\mathbb{R}$ 或复数系 $\mathbb{C}$）上的向量空间，如果 $\mathrm{V}$ 的子集 $\mathfrak{B}$ 满足：

- $0_V \notin \mathfrak{B}$ （也就是零向量不会在 $\mathfrak{B}$ 里）
- 若 $v \in \mathrm{V}$ 且 $v \neq 0_V$，则存在唯一的一组相异向量 $e_1,\, e_2,\,\ldots ,\, e_n \in \mathfrak{B}$ 和唯一的一组非零标量 $\lambda_1,\, \lambda_2,\,\ldots ,\, \lambda_n \in K$ 使得 $\lambda_1 \cdot e_1 + \lambda_2 \cdot e_2 + \cdots + \lambda_n \cdot e_n = v$。

则称 $\mathfrak{B}$ 是向量空间 $\mathrm{V}$ 的一组Hamel基。$\mathfrak{B}$ 里的元素被称为基向量，若基向量的总数是有限个，$\mathfrak{B}$ 则会被称为有限基或直接简称为基。

上面的第二个条件，也可以等价地改写为以下两条：

线性无关(linear independence)｜对任意相异的$e_1,\, e_2,\,\ldots ,\, e_n \in \mathfrak{B}$ 和任意的 $\lambda_1,\, \lambda_2,\,\ldots ,\, \lambda_n \in K$，若 $\lambda_1 \cdot e_1 + \lambda_2 \cdot e_2 + \cdots + \lambda_n \cdot e_n = 0_V$，则$\lambda_1= \lambda_2=\ldots =\lambda_n =0_K$

生成律(spanning property)｜对任意$v \in \mathrm{V}$，存在相异向量 $e_1,\, e_2,\,\ldots ,\, e_n \in \mathfrak{B}$和标量 $\lambda_1,\, \lambda_2,\,\ldots ,\, \lambda_n \in K$ 使得 $\lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \cdots + \lambda_n e_n = v$

等价性来自于线性无关：

若有第二组相异 $E_1,\, E_2,\,\ldots ,\, E_m \in \mathfrak{B}$ 基向量和第二组标量 $c_1,\, c_2,\,\ldots ,\, c_m \in K$ 也满足 $c_1 \cdot E_1 + c_2 \cdot E_2 + \cdots + c_m \cdot E_m = v$ 的话，把这住两组基向量合并，并重新排列，于两组间重复的记为 $w_1,\, w_2,\,\ldots ,\, w_l \in \mathfrak{B}$，其他不重复的部分，第一组的记为 $v_1,\, v_2,\,\ldots ,\, v_{n-l} \in \mathfrak{B}$；而第二组的记为 $u_1,\, u_2,\,\ldots ,\, u_{m-l} \in \mathfrak{B}$；然后设 $w_1,\, w_2,\,\ldots ,\, w_l \in \mathfrak{B}$ 于原来第一组对应的标量系数是 $\alpha_1,\, \alpha_2,\,\ldots ,\, \alpha_l \in K$；原第二组则是对应 $a_1,\, a_2,\,\ldots ,\, a_l \in K$。另外 $v_1,\, v_2,\,\ldots ,\, v_{n-l} \in \mathfrak{B}$ 对应的标量系数则为 $\beta_1,\, \beta_2,\,\ldots ,\, \beta_{n-l} \in K$；$u_1,\, u_2,\,\ldots ,\, u_{m-l} \in \mathfrak{B}$ 对应的标量系数则为 $b_1,\, b_2,\,\ldots ,\, b_{m-l} \in K$；这样把 $v \in \mathrm{V}$ 的第一组线性组合表达式减去第二组会有

$$\sum^{l}_{i=1}(\alpha_i-a_i)\cdot w_i +\sum^{n-l}_{j=1} \beta_j \cdot v_j +\sum^{m-l}_{k=1} (-b_k) \cdot u_k = 0_V$$

这样依据线性无关，就有

$$\alpha_1-a_1 = \alpha_2-a_2 = \cdots = \alpha_l-a_l = 0_K$$

$$\beta_1 = \beta_2 = \cdots = \beta_{n-l} = 0_K$$

$$b_1 = b_2 = \cdots = b_{m-l} = 0_K$$

这就确保任意 $v \in \mathrm{V}$ 的线性组合表达式都是用同一组的基向量，且其标量系数也是唯一的。

### Schauder基

除了上小节单以线性组合定义的Hamel基，也有以无穷级数展开任意向量为动机来定义基：

$\mathrm{V}$ 是定义在域 $K$ 上的巴拿赫空间（范数记为$\|v\|$），若向量序列 ${\{e_i \in V\}}_{i\in\mathbb{N}}$ 满足：

- 对所有自然数 $i\in\N$，$e_i \neq 0_V$ （也就是零向量不会在 ${\{e_i \in V\}}_{i\in\mathbb{N}}$ 里）
- 对每个 $v \in \mathrm{V}$，都存在唯一组标量${\{\lambda_i \in K\}}_{i\in\mathbb{N}}$，使得对所有的 $\epsilon > 0$，存在 $m\in\Z^+$ 使得 $n\in\N$ 且 $n>m$ 则 $\left\|\sum^n_{i=0}\lambda_i\cdot e_i - v\right\|<\epsilon$ （仿造数列极限而定义）

那向量序列 ${\{e_i \in V\}}_{i\in\mathbb{N}}$ 则被称为是向量空间 $\mathrm{V}$ 的一组Schauder基。

第二项条件通常会简写为

对每个 $v \in \mathrm{V}$，都存在唯一组标量${\{\lambda_i \in K\}}_{i\in\mathbb{N}}$，使 $v=\lim_{n\to\infty}\sum^{n}_{i=0} \lambda_i \cdot e_i$

甚至写为

$$v=\sum^{\infty}_{i=0} \lambda_i \cdot e_i$$

### 例子

在傅立叶级数的研究中，函数$\{1\}\cup\{\sin(nx),\cos(nx)|n\in\mathbb{N}\}$是所有的在区间0, 2π上为平方可积分的（实数或复数值）的函数的（实数或复数）向量空间的“正交基”，这种函数$f(x)$满足

$$\int_0^{2\pi} \left|f(x)\right|^2\,dx<\infty.$$

函数族$\{1\}\cup\{\sin(nx),\cos(nx)|n\in\mathbb{N}\}$是线性无关的，所有在0, 2π上平方可积分的函数是它们的“无限线性组合”，在如下意义上

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^{2\pi}\biggl|a_0+\sum_{k=1}^n \bigl(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\bigr)-f(x)\biggr|^2\,dx=0$$

对于适合的（实数或复数）系数ak, bk。但是多数平方可积分函数不能表达为这些基函数的有限线性组合，因为它们不构成Hamel基。这个空间的所有Hamel基都大于这个函数的只可数无限集合。此类空间的Hamel基没有什么价值，而这些空间的正交基是傅立叶分析的根本。

## 维度

如果基中元素个数有限，就称向量空间为有限维向量空间，并将元素的个数称作向量空间的维度。如果原本的基底为：

$$\mathfrak{B} = \left\{e_1,\,e_2,\ldots,\,e_N\right\}$$

那时也可依据元素个数的数数是以一对一对应来定义的本质，反过来用基向量序列 ${\{e_i \in V\}}^{N}_{i=1}$ 来间接代表$\mathfrak{B}$。

事实上，不是所有空间都拥有由有限个元素构成的基底。这样的空间称为无限维空间。某些无限维空间上可以定义由无限个元素构成的基。在现代集合论中，如果承认选择公理，就可以证明任何向量空间都拥有一组基。一个向量空间的基不止一组，但同一个空间的两组不同的基，它们的元素个数或势（当元素个数是无限的时候）会是相等的。一组基里面的任意一部分向量都是线性无关的；反之，如果向量空间拥有一组基，那么在向量空间中取一组线性无关的向量，一定能得到一组基。特别地，在内积向量空间中，可以定义正交的概念。通过特别的方法，可以将任意的一组基变换成正交基乃至标准正交基。

## 性质

设$\mathfrak{B}$是向量空间$\mathrm{V}$的子集。则$\mathfrak{B}$是基，当且仅当满足了下列任一条件：

- $\mathrm{V}$是$\mathfrak{B}$的极小生成集，就是说只有$\mathfrak{B}$能生成$\mathrm{V}$，而它的任何真子集都不能生成全部的向量空间。
- $\mathfrak{B}$是$\mathrm{V}$中线性无关向量的极大集合，就是说$\mathfrak{B}$在$\mathrm{V}$中是线性无关(线性独立)集合，而且$\mathrm{V}$中没有其他线性无关(线性独立)集合包含它作为真子集。
- $\mathrm{V}$中所有的向量都可以按唯一的方式表达为$\mathfrak{B}$中向量的线性组合。如果基是有序的，则在这个线性组合中的系数提供了这个向量关于这个基的坐标。

如果承认良序定理或任何选择公理的等价物，那么作为推论，可以证明任何的向量空间都拥有一组基。（证明：良序排序这个向量空间的元素。建立不线性依赖于前面元素的所有元素的子集。它就是基）。反过来也是真的。一个向量空间的所有基都拥有同样的势（元素个数），叫做这个向量空间的维度。这个结果叫做维度定理，它要求系统承认严格弱形式的选择公理即超滤子引理。

### 例子

- 考虑所有坐标 (a, b)的向量空间R2，这里的a和b都是实数。则非常自然和简单的基就是向量e1 = (1,0)和e2 = (0,1):假设v = (a, b)是R2中的向量，则v = a (1,0) + b(0,1)。而任何两个线性无关向量如 (1,1)和(−1,2)，也形成R2的一个基。
- 更一般的说，给定自然数n。n个线性无关的向量e1, e2, ..., en可以在实数域上生成Rn。因此，它们也是的一个基而Rn的维度是n。这个基叫做Rn的标准基。
- 设V是由函数et和e2t生成的实数向量空间。这两个函数是线性无关的，所有它们形成了V的基。
- 设Rx指示所有实数多项式的向量空间；则 (1, x, x2, ...)是Rx的基。Rx的维度的势因此等于$\aleph_0$.

## 标准基

在行向量空间$\R^n$中有单位行向量

$E_{(1)}=(1,0,...,0),E_{(2)}=(0,1,...,0),...,E_{(n)}=(0,0,...,1)$

那么在该空间中，任意向量$X=(x_1,x_2,...,x_n)$,都可以唯一表示成$X=x_1E_{(1)}+x_2E_{(2)}+...+x_nE_{(n)}$.然后我们可以看出，$\R^n$可以由它的向量子空间构成

$\R^n$ $=<E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}>$.

同样的，单位列向量就可以表达为$\R^n$ $=[E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}]$.

线性无关的单位行向量$E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}$生成$\R^n$. 那么${E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}}$是$\R^n$的基，称这个基为标准基.

## 基的扩张

如上所述，一个向量空间的每一组基都是一个极大的线性无关集合，同时也是极小的生成集合。可以证明，如果向量空间拥有一组基，那么每个线性无关的子集都可以扩张成一组基（也称为基的扩充定理），每个能够生成整个空间的子集也必然包含一组基。特别地，在任何线性无关集合和任何生成集合之间有一组基。以数学语言来说：如果$\mathfrak{L}$是在向量空间$\mathrm{V}$中的一个线性无关集合而集合$\mathfrak{G}$是一个包含$\mathfrak{L}$而且能够生成$\mathrm{V}$的集合，则存在$\mathrm{V}$的一组基$\mathfrak{B}$，它包含了$\mathfrak{L}$而且是$\mathfrak{G}$的子集：$\mathfrak{L} \subseteq \mathfrak{B} \subseteq \mathfrak{G}$。

以上两个结论可以帮助证明一个集合是否是给定向量空间的基。如果不知道某个向量空间的维度，证明一个集合是它的基需要证明这个集合不仅是线性无关的，而且能够生成整个空间。如果已知这个向量空间的维度（有限维），那么这个集合的元素个数必须等于维数，才可能是它的基。在两者相等时，只需要证明这个集合线性无关，或这个集合能够生成整个空间这两者之一就够了。这是因为线性无关的子集必然能扩充成基；而这个集合的元素个数已经等于基的元素个数，需要添加的元素是0个。这说明原集合就是一组基。同理，能够生成整个空间的集合必然包含一组基作为子集；但假如这个子集是真子集，那么元素个数必须少于原集合的元素个数。然而原集合的元素个数等于维数，也就是基的元素个数，这是矛盾的。这说明原集合就是一组基。

## 有序基和坐标

基底是作为向量空间的子集定义的，其中的元素并不按照顺序排列。为了更方便相关的讨论，通常会将基向量进行排列。比如说将：$\mathfrak{B} =\{ e_1, e_2 , \cdots , e_n \}$写成有序向量组：$( e_1, e_2 , \cdots , e_n )$。这样的有序向量组称为有序基。在有限维向量空间和可数维数的向量空间中，都可以自然地将基底表示成有序基。在有序基下，任意的向量都可以用确定的数组表示，称为向量的坐标。例如，在使用向量的坐标表示的时候习惯谈论“第一个”或“第二个”坐标，这只在指定了基的次序前提下有意义。在这个意义下，有序基可以看作是向量空间的坐标架。

设$\mathrm{V}$是在域$\mathbb{F}$上的n维向量空间。在$\mathrm{V}$上确定一个有序基等价于确定一个从坐标空间$\mathbb{F}^n$到$\mathrm{V}$的一个选定线性同构$\phi$。

证明：这个证明利用了$\mathbb{F}^n$的标准基是有序基的事实。

首先假设

$\phi : \; \; \mathbb{F}^n \rightarrow \mathrm{V}$是线性同构。可以定义$\mathrm{V}$的一组有序基$\{v_i \}_{1\leqslant i \leqslant n}$如下：

$$v_i = \phi (e_i) , \; \; \forall i, \; 1\leqslant i \leqslant n .$$

其中的$\{e_i \}_{1\leqslant i \leqslant n}$是$\mathbb{F}^n$的标准基。

反过来说，给定一个有序基，考虑如下定义的映射

φ(x) = x1v1 + x2v2 + ... + xnvn,

这里的x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen是Fn的一个元素。不难检查出φ是线性同构。

这两个构造明显互逆。所以V的有序基一一对应于线性同构Fn → V。

确定自有序基{vi}线性映射φ的逆映射为V装备了坐标：如果对于向量v ∈ V, φ-1(v) = (a1, a2,...,an) ∈ Fn，则aj = aj(v)的分量是v的坐标，在v = a1(v) v1 + a2(v) v2 + ... + an(v) vn的意义上。

从向量v到分量aj(v)的映射是从V到F的线性映射，因为φ-1是线性的。所以它们是线性泛函。它们形成V的对偶空间的基，叫做对偶基。

## 外部链接

- MIT Linear Algebra Lecture on Bases at Google Video, from MIT OpenCourseWare