李雅普诺夫稳定性

在数学和自动控制领域中，李雅普诺夫稳定性（Lyapunov stability，或李亚普诺夫稳定性）可用来描述一个动力系统的稳定性。如果此动力系统任何初始条件在 $x_0$ 附近的轨迹均能维持在 $x_0$ 附近，那么该系统可以称为在$x_0$处李雅普诺夫稳定。

若任何初始条件在 $x_0$ 附近的轨迹最后都趋近$x_0$，那么该系统可以称为在$x_0$处渐近稳定。指数稳定可用来保证系统最小的衰减速率，也可以估计轨迹收敛的快慢。

李雅普诺夫稳定性可用在线性及非线性的系统中。不过线性系统的稳定性可由其他方式求得，因此李雅普诺夫稳定性多半用来分析非线性系统的稳定性。李亚普诺夫稳定性的概念可以延伸到无限维的流形，即为结构稳定性，是考虑微分方程中一群不同但“接近”的解的行为。输入-状态稳定性（ISS）则是将李雅普诺夫稳定性应用在有输入的系统。

## 历史

这一稳定性以俄国数学家亚历山大·李亚普诺夫命名，他在1892年发表了他的博士论文《运动稳定性的一般问题》，文中给出了稳定性的科学概念、研究方法和相关理论。李雅普诺夫考虑到针对非线性系统修改稳定理论，修正为以一个稳定点线性化的系统为基础的线性稳定理论。他的作品最初以俄文发行，后翻译为法文，但多年来默默无闻。人们对它的兴趣突然在冷战初期（1953至1962年）开始，因当所谓的“李雅普诺夫第二方法”被认为适用于航空航天制导系统的稳定性，而这系统通常包含很强的非线性，其他方法并不适用。大量的相关出版物自那时起开始出现，并进入控制系统文献中。最近李雅普诺夫指数的概念（与李雅普诺夫稳定性第一种方法）引起了广泛兴趣，并与混沌理论结合了起来。

## 连续时间系统下的定义

给定一个完备的赋范向量空间E（例如$\mathbb{R}^n$），设U是E的开子集。考虑一个自治的非线性动力系统：

$\dot{x} = f(x(t)), \;\;\;\; x(t_0) = x_0$,

其中$x(t) \in U$是系统的状态向量，$f: U \rightarrow E$是U上的连续函数。

假设函数f有一个零点：f(a) =0，则常数函数：x = a是动力系统的驻定解（或称平衡解）。称a是动力系统的平衡点。

- 称点a李雅普诺夫稳定（简称稳定），如果对每个$\epsilon > 0$，均存在$\delta = \delta(\epsilon) > 0$，使得对所有满足$\|x_0 - a\| < \delta$的$x_0$，只要$t \geqslant t_0$，就有$\|x(t)-a\| < \epsilon$。
- 称点a渐近稳定，如果点a李雅普诺夫稳定，且存在$\delta > 0$，使得对所有满足 $\|x_0 - a\| < \delta$ 的$x_0$，$\lim_{t \rightarrow \infty}x(t) = a$。
- 称点a指数稳定，如果点a渐近稳定，且存在 $\alpha, \beta, \delta >0$ 使得对所有满足$\|x_0 - a\| < \delta$的$x_0$，只要$t \geqslant t_0$，就有$\|x(t) - a\| \leq \alpha\|x_0 - a\|e^{-\beta t}$。

它们的直观几何意义是：

- 平衡点为李雅普诺夫稳定的，表示若动力系统状态函数（微分方程的解函数）的初值“足够接近”平衡点，则它会永远维持在平衡点附近任意小的范围里（距平衡点的距离不超过任意选择的正实数 $\epsilon$）。
- 渐近稳定的意思是，初值足够接近平衡点的状态函数，不但维持在平衡点附近，而且最后会收敛到平衡点。
- 指数稳定的意思是，状态函数不但最后会收敛到平衡点，且收敛速度不慢于某种指数递减的速度。

设有状态函数x，其初始取值为$x(t_0) = x_0$。称$\bar{x} = \{ x(t); \; t \geqslant t_0 \}$为x的轨迹。如果对所有初始值与x足够接近的状态函数y，两者的轨迹会趋于相同：

$$\lim_{t \to \infty}\|y(t)-x(t)\| \longrightarrow 0.$$

则称x的轨迹有（局部）吸引性（attractive）。若上述条件对所有y均成立，则称x有全局吸引性（globally attractive）。

如果x的轨迹有吸引性，并且稳定，则x渐近稳定。不过，x有吸引性不表示它的轨迹渐近稳定。

## 迭代系统下的定义

离散时间系统下稳定性的定义和连续时间系统下的定义几乎相同。以下为其定义，不过使用的是较多数学书籍上使用的定义。

给定度量空间$(X,d)$。设$f\colon X\to X$为一连续函数。称点$a \in X$为李雅普诺夫稳定，如果对任意$\epsilon>0$，都存在$\delta>0$，使得只要$x \in X$满足$d(x,a)<\delta$，就有

$$\forall n\in \mathbb{N} , \; \; d(f^n(x),f^n(a))<\epsilon.$$

称点a渐近稳定，如果a是李雅普诺夫稳定的点，而且在稳定点集合的内部，即存在$\delta>0$，使得只要$x \in X$满足$d(x,a)<\delta$，就有

$$\lim_{n\to\infty} d(f^n(x),f^n(a))=0$$

## 李雅普诺夫稳定性理论

对于微分方程解之稳定性的研究称为稳定性理论。而李雅普诺夫稳定性定理只提供了稳定性的充份条件。

### 李雅普诺夫稳定性第二定理

考虑一个函数 V(x) : Rn → R 使得

- $V(x) \ge 0$ 只有在 $x=0$ 处等号成立（正定函数）
- $\dot{V}(x(t)) < 0$ （负定）

则V(x)称为李雅普诺夫候选函数（Lyapunov function candidate），且系统（依李雅普诺夫的观点）为渐近稳定。

上式中 $V(0)=0$ 是必要的条件。否则，$V(x) = 1/(1+|x|)$可以用来“证明” $\dot x(t) = x$有区域性稳定。另一个称为径向无界性（radial unboundedness）的条件则是用来得到全域渐近稳定的结果。

此种分析方式可类比为考虑一物理系统（如弹簧及质量的系统）及其中的能量。若系统能量随时间递减，且减少的能量不会恢复，而此系统最后一定会静止于某个特定的状态。最后的状态称为吸引子。不过针对一个物理系统，找到表达其精确能量的函数不一定容易，而且针对抽象数学系统、经济系统或生物系统，上述能量的概念又不一定适用。

利用李雅普诺夫的分析方式，可在不知道系统实际能量的情形下，证明系统的稳定性。不过前提是可以找到满足上述限制的李雅普诺夫函数。

例如考虑以下的系统

$$\dot{x} = -x^3 \,$$

希望用李雅普诺夫函数来确认$x = 0 \,$附近的稳定性。令

$$V(x) = 0.5 x^2 \,$$

$V(x)$本身为正定函数．而V(x)的导函数如下

$$\dot{V}(x(t)) = {\partial V \over \partial x}(-x^3) = -x^4 \,$$

为负定函数，因此上述系统在$x = 0 \,$附近为渐近稳定。

## 线性系统状态空间模型的稳定性

一个线性的状态空间模型

$$\dot{\textbf{x}} = A\textbf{x}$$

为渐近稳定（其实是指数稳定），若

$$A^{T}M + MA + N = 0$$

解存在。

其中 $N = N^{T} > 0$ 且 $M = M^{T} > 0$ （正定矩阵）。（对应的李雅普诺夫函数为$V(x) = x^TMx$）

## 有输入值系统的稳定性

一个有输入（或受控制）的系统可以下式表示

$$\dot{\textbf{x}} = \textbf{f(x,u)}$$

其中输入 u(t) 可视为控制、外部输入、扰动、刺激或外力。这种系统的研究是控制理论研究的主题之一，也应用在控制工程中。

对于有输入的系统，需量化输入对系统稳定性的影响。在线性系统中会用BIBO稳定性来作分析的工具，在非线性系统中则会使用输入-状态稳定性。