莫尔斯理论

在微分拓扑中，莫尔斯理论使人们能通过流形上的可微函数分析流形的拓扑。根据马斯顿·莫尔斯的基本见解，流形上的可微函数在典型的情况下，直接反映了该流形的拓扑。莫尔斯理论允许人们在流形上找到CW结构和柄分解，并得到关于它们的同调的信息。

在莫尔斯之前，阿瑟·凯莱和麦克斯韦在测绘学中发展了莫尔斯理论中的一些思想。莫尔斯最初将他的理论用于测地线（路径的能量泛函的临界点）。这些技术被拉乌尔·博特用于他的著名的博特周期性定理的证明中。

莫尔斯理论在复流形中的类似理论是皮卡第–莱夫谢茨理论。

## 基本概念

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考虑山地地表表面M（或流形）。若函数f$M \to \mathbb{R}$给出当点海拔，则$\mathbb{R}$中一点的原像就是一条等高线（或水平集）。等高线的连通组分或者是点，或者是简单闭合曲线，或者是有二重点的闭合曲线。等高线也可能有更高阶的点（三重点等等），但不稳定，可能因地形的轻微变化而消失。等高线中的二重点出现在鞍点或通路。

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想象用水淹没等高线下的地形。水位达到a时，水下的表面是$M^a \,\stackrel{\text{def}}{=}\, f^{-1}(-\infty, a]$，海拔不高于a的点。想象一下随着水位上升，这个面的拓扑结构将如何变化。除了当a经过临界点的海拔时，f的梯度都为0（更一般地，作为切空间之间线性映射的雅可比矩阵不具有最大秩）。也就是说，除非(1)水流注入盆地，(2)覆盖鞍点（山口），或(3)淹没山顶，否则$M^a$的拓扑不变。

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盆地、山路、山顶（即最小点、鞍点、最大点）这三类临界点，一般与指标（index）有关，即f从该点递减的独立方向数。或者说，f的非退化临界点p的指标是M在p处切空间的最大子空间的维度，其中f的黑塞矩阵是负定的。盆地、山路、山顶的指标分别是$0, 1,2$。

考虑更一般的面，令M是方向如图所示的环面，f还是点到平面的距离。可以再次分析水下面$M^a$的拓扑结构如何随水位a上升而变化。

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从环面底部开始，令$p, q, r, s$分别是指标为$0, 1, 1, 2$的临界点，对应最小值、两个鞍点、最大值。$a<f(p) = 0$时，$M^a$是空集；a经过p的海拔之后有$0 < a < f(q)$，则$M^a$是圆盘，它同伦等价于“附着”到空集的一个点（0-胞腔）。接着，a越过q的海拔时有$f(q) < a < f(r)$，则$M^a$是圆柱，同伦等价于附着了1-胞腔的圆盘（左图）。a越过r的海拔时有$f(r) < a < f(s)$，则$M^a$是去圆盘的环面，同伦等价于附着了1-胞腔的圆柱（右图）。最后，a高于s的海拔后，$M^a$便是环面了，即去掉一个圆盘（2-胞腔）并重新附着的环面。

这说明了以下规则：除非a越过临界点，否则$M^{a}$的拓扑不变；遇到临界点时，一个$\gamma$-胞腔会被附着到$M^{a}$，其中$\gamma$是点的指标。这没有说明两个临界点位于同一高度时会发生什么，可以通过扰动f来解决。若是嵌入欧氏空间的景观或流形，这种扰动可能只是稍微倾斜、旋转坐标系。

必须注意不能使临界点退化。设想退化会造成什么问题：令$M = \R$、$f(x) = x^3$。则0是f的一个临界点，但a经过0时$M^{a}$的拓扑并不改变。这是因为f在0的二阶导$f''(0) = 0$，也就是f的黑塞矩阵为0，临界点退化。这种情形是不稳定的，因为将f扰动为$f(x) = x^3 +\epsilon x$，则退化的临界点或者被移除（$\epsilon>0$）或者分解为两个非退化临界点（$\epsilon<0$）。

## 形式发展

对于微分流形M上的实值光滑函数$f : M \to \R$，f的微分为0的点称作f的临界点，在f下的像称作临界值。若临界点p处，二阶偏导数矩阵（黑塞矩阵）非奇异，则p称作非退化临界点；若黑塞矩阵是奇异的，则p称作退化临界点。

函数$f:\ \R\to\R$：

$$f(x)=a + b x+ c x^2+d x^3+\cdots$$ $b = 0$时，原点是f的一个临界点。若$c \neq 0$，则此临界点是非退化的（即f具有形式$a + c x ^2 + \cdots$）；若$c = 0$，则此临界点是退化的（即f具有形式$a + dx^3 + \cdots$）。退化临界点的一个不太平凡的例子是猴鞍面的原点。

f的非退化临界点p的指标（index）是M在p处的切空间中黑塞矩阵为负定阵的最大子空间的维数。这与指标是f递减的方向个数的概念直观对应。临界点的退化性和指标同所用的局部坐标系无关，如西尔维斯特惯性定理所示。

### 莫尔斯引理

令p为$f : M \to R$的非退化临界点。则，在p的邻域U中存在卡$\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$，使得$\forall i,\ x_i(p) = 0$且在整个U中$$f(x) = f(p) - x_1^2 - \cdots - x_{\gamma}^2 + x_{\gamma +1}^2 + \cdots + x_n^2$$ 其中$\gamma$等于f在p处的指标。作为莫尔斯引理的推论，可以看到非退化临界点是孤点（关于复数域的扩张，可见复莫尔斯引理。关于推广，见莫尔斯–帕莱引理）。

### 基本定理

流形M上的光滑实值函数若无退化临界点，则称作莫尔斯函数。莫尔斯理论的基本结果表明，几乎所有函数都是莫尔斯函数。技术上，莫尔斯函数形成了$C^2$拓扑中所有光滑函数$M \to \R$的一个开稠密子集，这有时表述为“典型的函数是莫尔斯的”或“通有的函数是莫尔斯的”。

如上述，我们感兴趣的是$M^a = f^{-1}(-\infty, a]$的拓扑何时会随着a的变化而变化。下面的定理给出了这个问题的一半答案。

定理. 设f是M上的光滑实值函数，$a < b$，且$f^{-1}[a, b]$是紧的，且a、b间无临界值。则$M^a$微分同胚于$M^b$，$M^b$形变收缩到$M^a$上。

我们还有兴趣知道，a经过临界点时$M^a$的拓扑会怎样变化。下面的定理回答了这个问题。

定理. 设f是M上的光滑实值函数，p是指标为$\gamma$的f的非退化临界点，$f(p) = q$。设$f^{-1}[q - \varepsilon, q + \varepsilon]$是紧的，且除了q以外不包含临界点。则$M^{q + \varepsilon}$同伦等价于$M^{q - \varepsilon}$，并附加了一个$\gamma$-胞腔。

这些结果是对上一节所述“规则”的推广与形式化。

用前面两个结果以及微分流形上存在莫尔斯函数的事实，可以证明微分流形是CW复形，指标为n的临界点都附加了n-胞腔。可在临界水平面上安排一个临界点来证明，通常通过类梯度向量场重排临界点来实现。

### 莫尔斯不等式

莫尔斯理论可用于证明流形同调的一些有力结果。函数$f : M \to \R$的指标为$\gamma$的临界点数量等于“爬升”f得到的M上CW结构中$\gamma$-胞腔的数量。利用拓扑空间同调群的秩的交替和等于链群（计算同调用）的秩的交替和，用胞腔链群（见胞腔同调），很明显欧拉示性数$\chi(M)$等于$$\sum(-1)^\gamma C^\gamma\, = \chi(M)$$ 其中$C^{\gamma}$是指标为$\gamma$的临界点数量。同样根据胞腔同调，CW复形M的第n同调群的秩不大于M中n-胞腔的数量。于是，第$\gamma$同调群的秩、即贝蒂数$b_\gamma(M)$不大于M上莫尔斯函数的指标为$\gamma$的临界点数量。强化这些事实可得到莫尔斯不等式：

$$C^\gamma -C^{\gamma -1} \pm \cdots + (-1)^\gamma C^0 \geq b_\gamma(M)-b_{\gamma-1}(M) \pm \cdots + (-1)^\gamma b_0(M).$$

特别地$$\forall \gamma \in \{0, \ldots, n = \dim M\},$$ 都有$$C^\gamma \geq b_\gamma(M).$$

这给出了研究流形拓扑的有力工具。假设在闭流形上存在莫尔斯函数$f : M \to \R$，恰有k个临界点，则f的存在以何种方式限制了M？Georges Reeb (1952)研究了$k = 2$情形，里布球面定理指出，M同胚于球面$S^n$。$k = 3$情形只可能出现于少数低维情形，M同胚于伊尔斯–柯伊伯流形。

爱德华·威滕 (1982)考虑扰动算子$d_t = e^{-tf} d e^{tf}$的德拉姆复形，提出了莫尔斯不等式的解析方法。

### 用于闭2-流形的分类

莫尔斯理论可用于对闭2-流形在微分同胚意义上进行分类。若M有向，则M依其亏格g分类，且与具有g柄的球面微分同胚：若$g = 0$，则M微分同胚于2-球面；若$g > 0$，则M微分同胚于g 2-环面的连通和。若N无向，则M依正数g分类，微分同胚于g个实射影空间$\mathbf{RP}^2$的连通和。特别地，当且仅当两闭2-流形微分同胚时，它们同胚。

### 莫尔斯同调

莫尔斯同调是理解光滑流形的同调一种很简单的方法。莫尔斯同调使用莫尔斯函数和黎曼度量的一般选择来定义，基本定理是：所得的同调是流形的不变量（即与函数和度量无关），同构于流形的奇异同调；这意味着莫尔斯和奇异贝蒂数一致，并给出了莫尔斯不等式的直接证明。莫尔斯同调在辛几何中的类似物是弗洛尔同调。

## 莫尔斯–博特理论

莫尔斯函数的概念可以推广到以非退化流形作为临界点的函数。莫尔斯–博特函数是流形上的光滑函数，其临界集是闭子流形，它的黑塞矩阵在法向上非退化（等价地，临界点处的黑塞矩阵核等于对临界子流形的切空间）。莫尔斯函数是临界流形为0维时的特例（于是临界点处的黑塞矩阵在每个方向上非退化，即无核）。

指标可被自然地认为是一对$$\left(i_-, i_+\right),$$ 其中$i_-$是不稳定流形在临界流形给定点上的维度，$i_+=i_-+$临界流形维度。若莫尔斯–博特函数在临界轨迹（locus）上被小函数扰动，则在未扰动函数的临界流形上，扰动函数所有临界点的指标将介于$i_-$、$i_+$之间。

莫尔斯–博特函数非常有用，因为一般的摩尔斯函数不易处理。能直观看到、可轻松计算的函数通常具有对称性。拉乌尔·博特在最初证明博特周期性定理时使用了莫尔斯–博特理论。

圆形函数是莫尔斯–博特函数的例子，其中临界集是圆（的不交并）。

莫尔斯同调也可用于莫尔斯–博特函数；莫尔斯–博特同调中的微分是由谱序列算得。Frederic Bourgeois在研究莫尔斯–博特版本的辛场论时勾勒出一种方法，但由于分析上的巨大困难，这项工作从未发表。

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