自反关系

自反关系（reflexive relation）是在逻辑学和数学中一种特殊的二元关系，这样的二元关系被称作自反的，或具有自反性。一个集合$X$上的二元关系$R$，若满足$(\forall x \in X)(xRx)$，则为自反关系。

## 定义

以下是与“自反”有关的定义。给定一个集合$X$上的二元关系$R$，称其具有：

自反性（reflexivity）。

若任取$X$的一个元素$x$，满足有序对$(x, x) \in R$，即$(\forall x \in X)(xRx)$。

非自反性（non-reflexivity）。

若存在$X$的一个元素$x$，满足有序对$(x, x) \notin R$，即$\neg[(\forall x \in X)(xRx)] \iff (\exists x \in X)[\neg(xRx)]$。

反自反性（anti-reflexivity / irreflexivity）。

若任取$X$的一个元素$x$，满足有序对$(x, x) \notin R$，即$(\forall x \in X)[\neg(xRx)]$。

左准自反性（left quasi-reflexivity）。

若任取$X$的两个元素$x_L$和$x_R$，并满足有序对$(x_L, x_R) \in R$，则$(x_L, x_L) \in R$。

换句话说，$(\forall x_L \in X)(\forall x_R \in X)(x_L R x_R \implies x_L R x_L)$。

右准自反性（right quasi-reflexivity）。

若任取$X$的两个元素$x_L$和$x_R$，并满足有序对$(x_L, x_R) \in R$，则$(x_R, x_R) \in R$。

换句话说，$(\forall x_L \in X)(\forall x_R \in X)(x_L R x_R \implies x_R R x_R)$。

准自反性（quasi-reflexivity）。

若$R$同时满足“左准自反性”及“右准自反性”。

换句话说，$(\forall x_1 \in X)(\forall x_2 \in X)(x_1 R x_2 \implies x_1 R x_1 \land x_2 R x_2)$。

## 示例

### 基本 / 常见示例

以下为一些“自反”关系的例子：

- 定义在特定集合$X_r$上的相等（$=$）。
- 定义在特定集族$X_r$上的包含于（$\subseteq$）及包含（$\supseteq$）。
- 定义在实数集$\mathbb{R}$上的不大于（$\le$）及不小于（$\ge$）。
- 定义在正整数集$\mathbb{Z}^+$上的整除（$|$）。

接着是一些不具反自反性的“非自反”关系，例如：

- 定义在集合$\{-1, 0, 1\}$上的关系$R$，满足$x R y \iff |x| = y$。
- 定义在集合$\{1, 2, 3\}$上的关系$R = \{(1, 1), (1, 2), (2, 2)\}$。
- 定义在整数集$\mathbb{Z}$上的关系$R$，满足$x R y \iff (x \le y) \land (x \ge 0)$。

最后是一些“反自反”关系的例子：

- 定义在特定集合$X_i$上的不相等（$\ne$）。
- 定义在特定集合$X_i$上的真包含于（$\subset$）及真包含（$\supset$）。
- 定义在实数集$\mathbb{R}$上的小于（$<$）及大于（$>$）。

### 特殊 / 非典型示例

以下为一个“自反”关系的例子：

- 定义在自然数集$\omega$上的关系$R$，满足$x R y \iff \operatorname{Card}(x) = y$。

接着是一个不具反自反性的“非自反”关系，例如：

- 定义在实数集$\mathbb{R}$上的关系$R_f$，满足$x R_f y \iff x = f(y)$，其中函数$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$，满足图形$y = f(x)$与直线$y = x$的交点个数为正整数。

再来是几个“反自反”关系的例子：

- 定义在实数集$\mathbb{R}$上的关系$R$，满足$x R y \iff (\exists \varepsilon \in \mathbb{R}^+)[x \notin (y - \varepsilon, y + \varepsilon)]$，其中$(y - \varepsilon,y + \varepsilon)$为一开区间。
- 定义在特定集合$X_i$上的关系$R$，满足$x R y \iff x = y^+$，其中$y^+$表示$y$的后继，并承认正则公理。

最后，值得一提的是，对于定义在空集合$\varnothing$上的二元关系$R$（此时只能有$R = \varnothing$），有：

- $(\forall x \in \varnothing)(xRx) \iff (\forall x)(x \in \varnothing \implies x R x)$为真，因为前件$x \in \varnothing$恒为假，故命题虚空真。
- $\neg[(\forall x)(x \in \varnothing \implies x R x)]$为假，因为$(\forall x)(x \in \varnothing \implies x R x)$为真，故其否定恒为假。
- $(\forall x)[x \in \varnothing \implies \neg(x R x)]$为真，因为前件$x \in \varnothing$恒为假，故命题虚空真。

因此，该关系$R$同时具备自反性及反自反性，却不具非自反性。

## 相关概念

以下整理了一些分散的概念：

- $(\forall x \in X)(x = x)$在一些系统中被称作相等公理。
- 预序关系：具有传递性的自反关系。

等价关系：具有对称性的预序关系。

偏序关系：具有反对称性的预序关系。

- 一个准自反关系的例子是关于实数序列集合的“具有相同极限”的关系：并不是每个序列都有一个极限，因此这个关系不是自反的，但是如果一个序列与某个序列具有相同的极限，具有与其本身相同的限制。
- 自反闭包：给定集合$X$上的二元关系$R$，其自反闭包是包含$R$的最小自反关系。

形式上，它等于$R$与$X$上的恒等关系$I_X$的联集：

$R^= = R \cup I_X$。

例如，实数集上“小于”（$<$）的自反闭包即为“小于或等于”（$\le$）。

- 自反减少：给定集合$X$上的二元关系$R$，其自反减少是包含于$R$的最大反自反关系。

形式上，它等于$R$与$X$上的恒等关系$I_X$的差集：

$R^{\neq} = R \setminus I_X$。

例如，实数集上“小于或等于”（$\le$）的自反减少即为“小于”（$<$）。

## 各类关系个数

在一个$n$-元素集合上，自反关系的数目是$2^{n^2 - n}$个。其他的关系个数如下表：

$n$｜全部｜递移｜自反｜预序｜偏序｜严格弱序｜全序｜等价

0｜1｜1｜1｜1｜1｜1｜1｜1

1｜2｜2｜1｜1｜1｜1｜1｜1

2｜16｜13｜4｜4｜3｜3｜2｜2

3｜512｜171｜64｜29｜19｜13｜6｜5

4｜65536｜3994｜4096｜355｜219｜75｜24｜15

$n$｜$2^{n^2}$｜$2^{n^2 - n}$｜$\sum_{k = 0}^n k!S(n, k)$｜$n!$｜$\sum_{k = 0}^n S(n, k)$

OEIS｜A002416｜A006905｜A053763｜A000798｜A001035｜A000670｜A000142｜A000110

其中上表的$S(n, k)$代表第二类史特灵数。