珠算

珠算，指的是用算盘进行计算，一般特指用中式算盘进行计算。珠算领域对四则运算统整出了一套系统的计算规则，统称珠算法则。其源于中国筹算，在东汉徐岳所著《数术记遗》记载上古十四种算法，珠算为其一。不过，当时尚无现在的算盘，是把算珠放于以凹槽为档的板上作为算盘。

2013年，联合国教科文组织将其列入人类非物质文化遗产代表作名录。

## 术语

珠算已发展成一系统，亦衍生出许多相关术语，为便于说明，参考国珠联的《珠算统一用语表》略简述之：

- 算盘术语
- 框
- 梁
- 上珠
- 下珠
- 运珠相关
- 算术术语
- 加算：即加法计算。
- 被加数： a
- 加数： b
- 和： $a + b = c$ 的 c
- 减算：即减法计算
- 被减数： a
- 减数： b
- 差： $a - b = c$ 的 c
- 乘算：即乘法计算
- 实、被乘数： a
- 法、乘数： b
- 积： $a \times b = c$ 的 c
- 除算：即除法计算
- 实、被除数： a
- 法、除数： b
- 商： $a \div b = c$ 的 c
- 余： $a \div b = c..d$ 的 d

## 运珠

有两种方式：

- 双手拨珠，以中国大陆为主，另有俄罗斯、哈萨克、南非、乌兹别克、土耳其、摩洛哥及中东的伊朗、沙特阿拉伯、阿联酋、约旦、黎巴嫩等。
- 单手运珠，以日本、韩国为主，另有马来西亚、新加坡、泰国、美国、加拿大、巴西、澳洲等。

二五珠算盘

一般只用拇指、食指和中指拨珠（亦有极少数非常熟练的人五指全用），三个手指的基本分工是：

- 拇指拨下珠向上靠梁。
- 食指拨下珠向下离梁。
- 中指拨上珠靠梁和离梁。

一四珠算盘

（或一五珠算盘）：两个手指的基本分工是：

- 食指拨上珠向下靠梁。
- 食指拨上珠向上离梁。
- 拇指拨下珠向上靠梁。
- 食指拨下珠向下离梁。

一五珠算盘

两个手指的基本分工是：

- 食指拨上珠向下靠梁。
- 食指拨上珠向上离梁。应该是拇指
- 拇指拨下珠向上靠梁。
- 食指拨下珠向下离梁。

## 算法

### 布数

布数是指表现数字的算珠摆放方式。

0｜1｜2｜3｜4｜5｜6｜7｜8｜9

0｜1｜2｜3｜4｜5｜6｜7｜8｜9

### 加算

方法为同位值相加，逢十进一，计算时由又高位档向低位档依次相加。

（例）1937+284

置数｜百位档相加$+200$｜十位档相加$+80$｜个位档相加$+4$

→｜→｜→

$1937$｜$2137$｜$2217$｜$2221$

口诀

可辅助学习，熟练后亦可不用。

加数｜不进位加｜进位加

直加｜满五加｜进十加｜破五进十加

一｜一上一｜一下五去四｜一去九进一

二｜二上二｜二下五去三｜二去八进一

三｜三上三｜三下五去二｜三去七进一

四｜四上四｜四下五去一｜四去六进一

五｜五上五｜五去五进一

六｜六上六｜六去四进一｜六上一去五进一

七｜七上七｜七去三进一｜七上二去五进一

八｜八上八｜八去二进一｜八上三去五进一

九｜九上九｜九去一进一｜九上四去五进一

以 +3 为例:

- “三上三”是指“（若下珠够加）直接上拨三颗”(=+3)。
- “三下五去二”是指“（若下珠不够加，且没有上珠），则拨下一颗上珠，去掉两伙下珠”（=+5-2）。
- “三去七进一”是指“（若下珠不够加，且有上珠），则去掉七，再高一位进一”（=+10-7）。

其中，“三下五去二”亦是成语中“三下五除二”的由来。

### 减算

方法为同位值相减，不够借位，计算时由高位档向低位档依次相减。

（例）2756-957

置数｜百位档相减$-900$｜十位档相减$-50$｜个位档相减$-7$

→｜→｜→

$2756$｜$1856$｜$1806$｜$1799$

口诀

可辅助学习，熟练后亦可不用。

减数｜不退位减｜退位减

直减｜破五减｜退位减｜退十补五减

一｜一去一｜一上四去五｜一退一还九

二｜二去二｜二上三去五｜二退一还八

三｜三去三｜三上二去五｜三退一还七

四｜四去四｜四上一去五｜四退一还六

五｜五去五｜五退一还五

六｜六去六｜六退一还四｜六退一还五去一

七｜七去七｜七退一还三｜七退一还五去二

八｜八去八｜八退一还二｜八退一还五去三

九｜九去九｜九退一还一｜九退一还五去四

以 -3 为例:

“三去三”是指“（若下珠够减）直接拨去三颗”(=-3)。

“三上二去五”是指“（若下珠不够减，且有上珠），则拨去上珠，并加上二颗下珠”（=-5＋2）。

“三退一还七”是指“（若下珠不够减，且没有上珠），则更高一位减一，并加上七”（=-10+7）。

负数

遇到小数减大数时，可以用到一种技巧叫作悬珠来代表负数。悬珠是指将算珠移到不靠梁，也不靠框。其观念同计算机中的二补数。

### 乘算

基本原则就是，将乘数分解为每分数，分别乘上被乘数后相加。如：要计算 32×97

$$32 * 97$$

$$= 32 * (90+7)$$

$$= 32 * 90 + 32 * 7$$

更进一步分解。

$$= (30+2)*90+(30+2)*7$$

$$= 30*90+2*90+30*7+2*7$$

计算时，不用考虑位值，则只需计算一位×一位，如：30×90，只需计算 3×9，再加至百位即可。如此，可以先将每个一位×一位的结果先计算出来，此即为乘法口诀——九九歌。

而使用珠算计算时，因为数字都在盘面上，所以要考虑是否要将实（被乘数）、法（乘数）放置盘面上，放的位置（因计算结果会愈来愈长，可能会与原本被乘数、乘数放置的地方重叠而影响）、计算顺序、如何定位等。而根据计算方法，主要有两大类：

- 看头乘法，被乘数、乘数放置盘面上。
- 看头乘法，又称见乘法，乘法速算法。
- 破头乘法，被乘数、乘数不放置盘面上。
- 破头乘法，又称头乘法
- 破头乘法别法，又称新头乘法，或称隔位乘法。

此外，另有一种技巧 凑倍乘法，古称金蝉脱壳，又称迭皮乘、加减乘法、变积乘法、倍数乘法、加乘法。可将乘法转为加减算，从而不需要九九乘法。

其基本想法为：“因为将每个乘数分解成多个一位数，最多只有 9 种可能（0 不用计算）”，而这 9 种可能，都可以改为“×1、×2、×5的某种组合”如：被乘数×8 相当于 被乘数x(10-2)。而“×1、×2、×5”这三种运算是容易心算的。

看头乘法

破头乘法

新头乘法

（例）32×97

2｜→｜0｜→｜0｜→｜0

32｜算“2”字｜2×90

→｜0｜→｜2｜→｜3

算“3”字｜=3104

凑倍乘法

### 除算

方法跟长除法类似，即逐位（由高位向低位）来决定适合的商。计算方式主要分两步骤估商（或试商）和减积。

计算方法有：商除法、归除法、凑倍除法。

#### 商除法

以约率为例。为简单起见，先以两个算盘（一个记录商，一个记录余）说明之。

（例）$22 \div 7$

- 第一位

置数｜估商估为 $\bold{\color{Red}3}$｜减积$- 3 \times 7 = -\bold{\color{Blue}21}$

0｜→｜300｜→｜300｜0

$000$($3.00$)｜$\bold{\color{Red}22}00$($22.00$)｜$\bold{\color{Red}3}00$($3.00$)｜$2200$($22.00$)｜$300$($3.00$)｜$\bold{\color{Red}01}00$($1.00$)

$\begin{array}{lr} & \\ 7 \!\!\!\!\!\! & \overline{)\bold{\color{Red}22}} \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & \bold{\color{Red}3} \\ 7 \!\!\!\!\!\! & \overline{)22} \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3 \\ 7 \!\!\!\!\!\! & \overline{)22} \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}21}} \\ & \bold{\color{Red}1}\\ \end{array}$

- 第二位

估商估为 $\bold{\color{Red}1}$｜减积$- 1 \times 7 = - \bold{\color{Blue}7}$

300｜0｜→｜310｜0｜→｜310｜0

$300$($3.00$)｜$0100$($1.00$)｜$3\bold{\color{Red}1}0$($3.10$)｜$0100$($1.00$)｜$310$($3.10$)｜$0\bold{\color{Red}03}0$($0.30$)

$\begin{array}{lr} & 3_.\ \ \ \\ 7 \!\!\!\!\!\! & \overline{)22\ \ \ \ } \\ & \underline{-21\ \ \ \ } \\ & 10\ \ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3_.\bold{\color{Red}1}\\ 7 \!\!\!\!\!\! & \overline{)22\ \ \ } \\ & \underline{-21\ \ \ } \\ & 10\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3_.1\\ 7 \!\!\!\!\!\! & \overline{)22\ \ \ } \\ & \underline{-21\ \ \ } \\ & 10\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}7}\ } \\ & \bold{\color{Red}3}\ \\ \end{array}$

- 第三位

估商估为 $\bold{\color{Red}4}$｜减积$- 4 \times 7 = \bold{\color{Red}28}$

310｜0｜→｜314｜0｜→｜314｜2

$310$($3.10$)｜$0030$($0.30$)｜$31\bold{\color{Red}4}$($3.14$)｜$0030$($0.30$)｜$314$($3.14$)｜$00\bold{\color{Red}02}$($0.02$)

$\begin{array}{lr} & 3_.1\ \ \\ 7 \!\!\!\!\!\! & \overline{)22\ \ \ \ \ } \\ & \underline{-217\ \ \ } \\ & 30\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3_.1\bold{\color{Red}4}\ \\ 7 \!\!\!\!\!\! & \overline{)22\ \ \ \ \ } \\ & \underline{-217\ \ \ } \\ & 30\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3_.14\ \\ 7 \!\!\!\!\!\! & \overline{)22\ \ \ \ \ } \\ & \underline{-217\ \ \ } \\ & 30\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}28}\ } \\ & \bold{\color{Red}2}\ \\ \end{array}$

得到 $22 \div 7 = 3.14 .. 0.02$。

而实际在计算时，会使用一个算盘同时放置商数和余数，就是分区放。要如何有效利用有限的档位，又不影响计算，其规律就是够除，隔位置商；不够除，挨位置商。

以密率为例，说明完整的商除法。

以 $355 \div 113$ 为例

- 第一位

置数｜估商估为 $\bold{\color{Red}3}$。够除，隔位置商。｜减积$- 3 \times 113 = -\bold{\color{Blue}339}$

0｜→｜→

$00$"$355000000$｜$\bold{\color{Red}3}0$"$355000000$｜$30$"$\bold{\color{Red}016}000000$

$\begin{array}{lr} & \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)\bold{\color{Red}355}} \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & \bold{\color{Red}3} \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355} \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3 \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355} \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}339}} \\ & \bold{\color{Red}16}\\ \end{array}$

- 第二位

前次结果｜估商估为 $\bold{\color{Red}1}$。够除，隔位置商。｜减积$- 1 \times 113 = - {\color{Blue}113}$

→｜→

$310$"$16000000$｜$3\bold{\color{Red}1}0$"$16000000$｜$310$"$\bold{\color{Red}047}00000$

$\begin{array}{lr} & 3\ \ \ \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ } \\ & \underline{-339\ \ \ } \\ & 16\ \ \ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.\bold{\color{Red}1} \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ }\\ & \underline{-339\ \ \ }\\ & 160\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.1 \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ }\\ & \underline{-339\ \ \ }\\ & 160\\ & \underline{-\bold{\color{Blue}113}}\\ & \bold{\color{Red}47}\\ \end{array}$

- 第三位

前次结果｜估商估为 $\bold{\color{Red}4}$。够除，隔位置商。｜减积$- 4 \times 113 = - {\color{Blue}452}$

→｜→

$3100$"$4700000$｜$31\bold{\color{Red}4}0$"$4700000$｜$3140$"$\bold{\color{Red}018}0000$

$\begin{array}{lr} & 3.1\ \ \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ }\\ & \underline{-3503\ \ \ }\\ & 470\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.1\bold{\color{Red}4}\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ }\\ & \underline{-3503\ \ \ }\\ & 470\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.14\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ }\\ & \underline{-3503\ \ \ }\\ & 470\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}452}}\\ & \bold{\color{Red}18}\\ \end{array}$

- 第四位

前次结果｜估商估为 $\bold{\color{Red}1}$。够除，隔位置商。｜减积$- 1 \times 113 = - {\color{Blue}113}$

→｜→

$31400$"$180000$｜$314\bold{\color{Red}1}0$"$180000$｜$31410$"$\bold{\color{Red}067}000$

$\begin{array}{lr} & 3.14\ \ \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ }\\ & \underline{-354.82\ \ }\\ & 180\\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.14\bold{\color{Red}1}\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ }\\ & \underline{-354.82\ \ }\\ & 180\\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.141\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ }\\ & \underline{-354.82\ \ }\\ & 180\\ & \underline{-\bold{\color{Blue}113}}\\ & \bold{\color{Red}67}\\ \end{array}$

- 第五位

前次结果｜估商估为 $\bold{\color{Red}5}$。够除，隔位置商。｜减积$- 5 \times 113 = - {\color{Blue}565}$

→｜→

$314100$"$67000$｜$3141\bold{\color{Red}5}0$"$67000$｜$314150$"$\bold{\color{Red}105}00$

$\begin{array}{lr} & 3.141\ \ \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ & \underline{-354.933\ \ }\\ & 67\ \ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.141\bold{\color{Red}5}\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ & \underline{-354.933\ \ }\\ & 670\\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.1415\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ & \underline{-354.933\ \ }\\ & 670\\ & \underline{-565}\\ & 105\\ \end{array}$

- 第六位。注意，这位是不够除，挨位置商。

前次结果｜估商估为 $\bold{\color{Red}9}$。不够除，挨位置商。｜减积$- 9 \times 113 = - {\color{Blue}1017}$

→｜→

$314150$"$10500$｜$31415\bold{\color{Red}9}$"$10500$｜$314159$"$\bold{\color{Red}0033}0$

$\begin{array}{lr} & 3.1415\ \ \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ & \underline{-354.9895\ \ }\\ & 105\ \ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.1415\bold{\color{Red}9}\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ & \underline{-354.9895\ \ }\\ & 1050\\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.14159\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ & \underline{-354.9895\ \ }\\ & 105\ \ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}1017}}\\ & \bold{\color{Red}33}\\ \end{array}$

- 第七位。

前次结果｜估商估为 $\bold{\color{Red}2}$。够除，隔位置商。｜减积$- 2 \times 113 = - {\color{Blue}226}$

→｜→

$31415900$"$330$｜$314159\bold{\color{Red}2}0$"$330$｜$31415920$"$\bold{\color{Red}104}$

$\begin{array}{lr} & 3.14159\ \ \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ & \underline{-354.99967\ \ }\\ & 33\ \ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.14159\bold{\color{Red}2}\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ & \underline{-354.99967\ \ }\\ & 330\\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.141592\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ & \underline{-354.99967\ \ }\\ & 330\\ & \underline{-\bold{\color{Blue}226}}\\ & \bold{\color{Red}104}\\ \end{array}$

得 $355 \div 113 = 3.141592 .. 0.000104$

修正商

计算过程中，若发现所估的商过大，则要退商；若估商太小，则要补商。

#### 归除法

其基本想法是，将一些可能的除算先计算出结果，并将商与除数化作口诀，来加速计算除法。

除数为一位的称为单归法，除数为多位的，则为归除法。

##### 九归诀

目前可知最早的记载为朱世杰所撰《算学启蒙》卷上《归除歌诀》：“一归如一进、见一进成十。

二一添作五、逢二进成十、四进二十、六进三十、八进四十。

三一三十一、三二六十二、逢三进成十、六进二十、九进三十。

四一二十二、四二添作五、四三七十二、逢四进成十、八进二十。

五归添一倍、逢五进成十。

六一下加四、六二三十二、六三添作五、六四六十四、六五八十二、逢六进成十。

七一下加三、七二下加六、七三四十二、七四五十五、七五七十一、七六八十四、逢七进成十。

八一下加二、八二下加四、八三下加六、八四添作五、八五六十二、八六七十四、八七八十六、逢八进成十。

九归随身下、逢九进成十”

整个歌诀的作用为，“罗列所有被除数及除数的首数的可能，得出商数和余数”。

以三一三十一为例，第一个数字为三，是除数的首数为三，第二个数字为一，是被除数首数为一，数字虽为 1，但计算的是 $1 \times 10$。

而三十一意指商为 3，余为 1。同样的，三二六十二是指$20 \div 3 = 6..2$。逢三进成十是指$30 \div 3 = 10..0$。

有些语句是用下加几来表示，是指商数不变（与被除数首数相同），余数则为那个几。以七二下加六为例，$20 \div 7 = 2..6$。

五归添一倍是指“用 5 去除一个数，相当于此数加倍”（如：$30 \div 5 = 6$）

其中，部分口诀，也成了成语。如二一添作五意味两者平分，三一三十一意味三者平分。

其他版本

也有几种不同的版本，如简化版：“一归如一进，见一进成十。

二一添作五，逢二进成十。

三一三十一，三二六十二，逢三进成十。

四一二十二，四二添作五，四三七十二，逢四进成十。

五归添一倍，逢五进成十。

六一下加四，六二三十二，六三添作五，六四六十四，六五八十二，逢六进成十。

七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六八十四，逢七进成十。

八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四添作五，八五六十二，八六七十四，八七八十六，逢八进成十。

九归随身下，逢九进成十。

”

或者，改为更易理解的语句，如将“三一三十一”改为“三一三余一”，“逢三进成十”改为“逢三进一”。如：“一归：逢一进一，逢二进二，逢三进三，逢四进四，逢五进五，逢六进六，逢七进七，逢八进八，逢九进九。

二归：逢二进一，逢四进二，逢六进三，逢八进四，二一添作五。

三归：逢三进一，逢六进二，逢九进三，三一三余一，三二六余二。

四归：逢四进一，逢八进二，四二添作五，四一二余二，四三七余二。

五归：逢五进一，五一倍作二，五二倍作四，五三倍作六，五四倍作八。

六归：逢六进一，逢十二进二，六三添作五，六一下加四，六二三余二，六四六余四，六五八余二。

七归：逢七进一，逢十四进二，七一下加三，七二下加六，七三四余二，七四五余五，七五七余一，七六八余四。

八归：逢八进一，八四添作五，八一下加二，八二下加四，八三下加六，八五六余二，八六七余四，八七八余六。

九归：逢九进一，九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加六，九七下加七，九八下加八。

”

##### 单归法（除数为一位）

以约率为例。

（例） $22 \div 7$

置数｜七二下加六 商设为 $2$ 下一档 $+6$｜逢七进一 商$+1$ 本档$-1$。｜七一下加三 商设为 $1$ 下一档 $+3$｜七三四余二 商设为 $4$ 下一档 $+2$

→｜→｜→｜→

"$2200$｜$\bold{\color{Red}2}$"$\bold{\color{Red}8}00$｜$\bold{\color{Red}31}$"$00$｜$3\bold{\color{Red}1}$"$\bold{\color{Red}3}0$｜$31\bold{\color{Red}4}$"$\bold{\color{Red}2}$

$\begin{array}{lr} 7 \!\!\!\!\!\! & \overline{)22} \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & \bold{\color{Red}2} \\ 7 \!\!\!\!\!\! & \overline{)22} \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}14}} \\ & \bold{\color{Red}8}\\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & \bold{\color{Red}3} \\ 7 \!\!\!\!\!\! & \overline{)22} \\ & -14 \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}7}} \\ & \bold{\color{Red}1}\\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.\bold{\color{Red}1} \\ 7 \!\!\!\!\!\! & \overline{)22\ \ } \\ & \underline{-21\ \ } \\ & 10\\ & \underline{-\bold{\color{Blue}7}} \\ & \bold{\color{Red}3}\\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.1\bold{\color{Red}4} \\ 7 \!\!\!\!\!\! & \overline{)22\ \ \ \ } \\ & \underline{-21.7\ \ } \\ & 30\\ & \underline{-\bold{\color{Blue}28}} \\ & \bold{\color{Red}2}\\ \end{array}$

得 $22 \div 7 = 3.14 .. 0.02$

##### 归除法（除数为多位）

跟单归法类似，也是借助九归歌。可以理解成使用九归歌来估商。

以 $12345 \div 321$ 为例，可以先用 300 来估商，因此使用口诀中的三归口诀。口诀已完成了 300 的减积（如“三一三余一”中，余一的部分已加入下一档）。但 21 的部分仍未减积。因此归除法区分两个观念：除数的首数称为归，除数的首数以外的数称为除。除数为 321 的话，称作3归21除，意味着用 3归求商及其减积，再以 21 来完成乘下的减积。

减积后，有可能发现的估商需要调整。若过小，需要增商，这部分口诀中已包含“逢 n 进为十”；若过大，则需退商，则有退商口诀：

- 一归：无除起一下还一
- 二归：无除起一下还二
- 三归：无除起一下还三
- 四归：无除起一下还四
- 五归：无除起一下还五
- 六归：无除起一下还六
- 七归：无除起一下还七
- 八归：无除起一下还八
- 九归：无除起一下还九

这口诀有明显规律：“无除起（也有作“退”）一下还 n”，无需特别记忆。

另外，也有可能发现在某些情况（即除数、被除数差不多大，却又不够除时）下，无法估商，则使用撞归口诀：

- 一归：见一无除撞九一
- 二归：见二无除撞九二
- 三归：见三无除撞九三
- 四归：见四无除撞九四
- 五归：见五无除撞九五
- 六归：见六无除撞九六
- 七归：见七无除撞九七
- 八归：见八无除撞九八
- 九归：见九无除撞九九

这口诀也有明显规律：“见 n 无除撞（也有作“作”）九 n”，无需特别记忆。它的意思是，在“除数、被除数的首数同为 n，却又不够除，直接估商为 9，下一档要 +n”时。当首数相同，却又无法进 1 （代表 10），则估商就从 9 开始。减积后，需要在下一档 +n。

以密率为例，因为除数为 $113$，故称之为“一归十三除”，相关口诀如下：

- 九归口诀：逢一进一，逢二进二，逢三进三，逢四进四，逢五进五，逢六进六，逢七进七，逢八进八，逢九进九。
- 退商口诀：无除起一下还一。
- 撞归口诀：见一无除撞九一。

（例）$355 \div 113$

- 第一位

置数｜逢三进三 商为 $\bold{\color{Red}3}$｜以十三除减积 $-3 \times 13 = -\bold{\color{Blue}39}$。

0｜→｜→

$0$"$3550000000$｜$\bold{\color{Red}3}$"$\bold{\color{Red}0}550000000$｜$3$"$0\bold{\color{Red}16}0000000$

$\begin{array}{lr} & \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)\bold{\color{Red}355}} \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & \bold{\color{Red}3} \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355} \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}300}} \\ & \bold{\color{Red}55}\\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3 \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355} \\ & -300 \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}39}} \\ & \bold{\color{Red}16}\\ \end{array}$

- 第二位

前次结果｜逢一进一 商为 $\bold{\color{Red}1}$｜以十三除减积 $-1 \times 13 = -\bold{\color{Blue}13}$。

→｜→

$30$"$160000000$｜$3\bold{\color{Red}1}$"$\bold{\color{Red}0}60000000$｜$31$"$0\bold{\color{Red}47}000000$

$\begin{array}{lr} & 3\ \ \ \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ } \\ & \underline{-339\ \ \ }\\ & 16\ \ \ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.\bold{\color{Red}1} \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ } \\ & \underline{-339\ \ \ }\\ & 160\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}100}} \\ & \bold{\color{Red}0}60\\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.1 \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ } \\ & \underline{-339\ \ \ }\\ & 160\ \\ & -100\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}13\ }} \\ & \bold{\color{Red}47\ }\\ \end{array}$

- 第三位

前次结果｜逢四进四 商为 $\bold{\color{Red}4}$｜以十三除减积 $-4 \times 13 = -\bold{\color{Blue}52}$。

→｜→

$310$"$4700000$｜$31\bold{\color{Red}4}$"$\bold{\color{Red}0}700000$｜$314$"$0\bold{\color{Red}18}0000$

$\begin{array}{lr} & 3.1 \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ } \\ & \underline{-3503}\\ & 47\\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.1\bold{\color{Red}4} \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ } \\ & \underline{-3503\ \ \ }\\ & 470\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}4}00\ }\\ & 70\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.14 \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ } \\ & \underline{-3503\ \ \ }\\ & 470\ \\ & -400\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}52}\ }\\ & \bold{\color{Red}18}\ \\ \end{array}$

- 第四位

前次结果｜逢一进一 商为 $\bold{\color{Red}1}$｜以十三除减积 $-1 \times 13 = -\bold{\color{Blue}13}$。

→｜→

$3140$"$180000$｜$314\bold{\color{Red}1}$"$\bold{\color{Red}0}80000$｜$3141$"$0\bold{\color{Red}67}000$

$\begin{array}{lr} & 3.14 \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ } \\ & \underline{-35482\ }\\ & 18\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.141\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-35482\ \ \ }\\ & 180\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}100}}\\ & \bold{\color{Red}0}80\\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.141\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-35482\ \ \ }\\ & 180\ \\ & -100\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}13\ }}\\ & \bold{\color{Red}67}\ \\ \end{array}$

- 第五位

前次结果｜逢六进六 商为 $\bold{\color{Red}6}$｜以十三除减积 $\begin{array}{ll} -6 \times 13 &= -6 \times (10+3)\\ &= -\bold{\color{Blue}60} -\bold{\color{Purple} 18} \\ \end{array}$｜加回减积｜退商 无除起一下还一 商$-1$为 $\bold{\color{Red}5}$，下一档$+1$｜以十三除减积 $-5 \times 13 = -\bold{\color{Blue}65}$。

→｜→｜→｜→｜→

$31410$"$67000$｜$3141\bold{\color{Red}6}$"$\bold{\color{Red}0}7000$｜$31416$"$0\bold{\color{Red}1}000$｜$31416$"$0\bold{\color{Red}7}000$｜$3141\bold{\color{Red}5}$"$\bold{\color{Red}1}7000$｜$31415$"$1\bold{\color{Red}05}00$

$\begin{array}{lr} & 3.141\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-354933\ }\\ & 67\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.141\bold{\color{Red}6}\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-354933\ \ \ }\\ & 670\ \\ & \underline{-600\ }\\ & \bold{\color{Red}0}70\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.1416\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-354933\ \ \ }\\ & 670\ \\ & \underline{-600\ }\\ & 70\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}60}\ }\\ & \bold{\color{Red}10}\ & \bold{\color{Purple}< 18}\\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.1416\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-354933\ \ \ }\\ & 670\ \\ & \underline{-600\ }\\ & 70\ \\ & -60\ \\ & \underline{+\bold{\color{Blue}60}\ }\\ & \bold{\color{Red}70}\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.141\bold{\color{Red}5}\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-354933\ \ \ }\\ & 670\ \\ & \underline{-500\ }\\ & \bold{\color{Red}1}70\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.141\bold{\color{Red}5}\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-354933\ \ \ }\\ & 670\ \\ & -500\ \\ & \underline{-65\ }\\ & 1\bold{\color{Red}05}\ \\ \end{array}$

- 第六位

前次结果｜见一无除撞九一 商为 $\bold{\color{Red}9}$，下一档 $+1$｜以十三除减积 $-9 \times 13 = -\bold{\color{Blue}117}$。

→｜→

$31415$"$10500$｜$31415\bold{\color{Red}9}$"$\bold{\color{Red}1}500$｜$314159$"$\bold{\color{Red}033}0$

$\begin{array}{lr} & 3.1415\ \ \ \\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-3549895\ \ \ }\\ & 105\ \ \ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.1415\bold{\color{Red}9}\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-3549895\ \ \ }\\ & 1050\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}9}00\ }\\ & \bold{\color{Red}1}50\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.14159\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-3549895\ \ \ }\\ & 1050\ \\ & -900\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}117}\ }\\ & \bold{\color{Red}33}\ \\ \end{array}$

- 第七位

前次结果｜逢三进三 商为 $\bold{\color{Red}3}$｜以十三除减积 $\begin{array}{ll} -3 \times 13 &= -3 \times (10+3)\\ &= -\bold{\color{Blue}30} -\bold{\color{Purple} 9} \\ \end{array}$｜加回减积｜退商 无除起一下还一 商$-1$为 $\bold{\color{Red}2}$，下一档$+1$｜以十三除减积 $-5 \times 13 = -\bold{\color{Blue}65}$。

→｜→｜→｜→｜→

$3141590$"$330$｜$314159\bold{\color{Red}3}$"$\bold{\color{Red}0}30$｜$3141593$"$0\bold{\color{Red}0}0$｜$3141593$"$0\bold{\color{Red}3}0$｜$314159\bold{\color{Red}2}$"$\bold{\color{Red}1}30$｜$3141592$"$1\bold{\color{Red}04}$

$\begin{array}{lr} & 3.14159\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-35499967\ }\\ & 33\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.14159\bold{\color{Red}3}\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-35499967\ \ \ }\\ & 330\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}3}00\ }\\ & \bold{\color{Red}0}30\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.141593\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-35499967\ \ \ }\\ & 330\ \\ & -300\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}3}0\ }\\ & 0\bold{\color{Red}0}0\ & \bold{\color{Purple}< 9}\\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.141593\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-35499967\ \ \ }\\ & 330\ \\ & -300\ \\ & -30\ \\ & \underline{+\bold{\color{Blue}3}0\ }\\ & 0\bold{\color{Red}3}0\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.14159\bold{\color{Red}2}\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-35499967\ \ \ }\\ & 330\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}2}00\ }\\ & \bold{\color{Red}1}30\ \\ \end{array}$｜$\begin{array}{lr} & 3.14159\bold{\color{Red}2}\\ 113 \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ & \underline{-35499967\ \ \ }\\ & 330\ \\ & -200\ \\ & \underline{-\bold{\color{Blue}26}\ }\\ & 1\bold{\color{Red}04}\ \\ \end{array}$

得 $355 \div 113 = 3.141592 .. 0.000104$。

#### 凑倍除法

或称累减除法、大扒皮，首见于《九章详注比类算法大全》，是一种不用九九乘法而用累减的计算方式。

### 开平方

开平方必须至少三副都是至少十三档算盘, 一副是根, 一副是廉, 一副是隅

## 验算

还原验算法

一、交换律

```
   加法算式:被加數+加數=和數
   驗算公式:加數+被加數=和數
   減法算式:被減數-減數=差數
   驗算公式:被減數-差數=減數
   乘法算式：被乘數*乘數=積
   驗算公式：乘數*被乘數=積
```

二、逆运算

```
   加法算式:被加數+加數=和數
   驗算公式:和數-加數=被加數  或  和數-被加數=加數
   減法算式:被減數-減數=差數
   驗算公式:差數+減數=被減數
   乘法算式：被乘數*乘數=積
   驗算公式：積/被乘數=乘數
   除法算式：被除數/除數=商(及餘數)
   驗算公式：(除數*商)+餘數=被除數
```

三、尾错复尾

```
   只再計算最後幾位數一次
```

九余数法

只能验加法,减法,乘法和乘幂

范例一、 123+456=599

```
        123=1+2+3=6(mod 9)
        456=4+5+6=6(mod 9)
        599=5+9+9=5(mod 9)
       因6+6=3(mod 9)不等於5(mod 9), 所以計算錯誤,正確答案是579
```

范例二、 123*456=68934

```
         123=1+2+3=6(mod 9)
         456=4+5+6=6(mod 9)
         68934=6+8+9+3+4=3(mod 9)
       因6*6=0(mod 9)不等於3(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是56088
```

范例三、 22*68*53=369780

```
         22=4(mod 9)
         68=5(mod 9)
         53=8(mod 9)
         369780=3+6+9+7+8+0=6(mod 9)
        因4*5*8=7(mod 9)不等於6(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是79288
```

范例四、 23^4=367981

```
         23^4=(-4)^4=4(mod 9)
         367981=34=7(mod 9)
       因4(mod 9)不等於7(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是279841

   九餘數法不能查到答案是換位錯誤(error of transposition)的問題, 例如計算岀567, 但正確答案是576便會顯示正確。勿過度倚賴九餘數法。
```

九除法

十一除法

二除法

## 珠算竞技

珠算竞技可分为珠算竞技和心算竞技两大类，心算竞技是运用珠算式心算技巧。

## 外部链接

- 珠算万维网
- 中华民国儿童珠算协会／中华珠算心算教育协会
- 世界珠心算网

## 基本资料

- 官方名称：中国珠算——运用算盘进行数学计算的知识与实践
- 中国：APA
- 入选年份：2013
- 入选年份：8
- 名录：RL