RLC电路

RLC电路（RLC circuit）是一种由电阻（R）、电感（L）、电容（C）组成的电路结构。电路的名称来自于用来表示该电路组成元件的字母，其中元件的顺序可能与RLC不同。LC电路是其简单的例子。RLC电路也被称为二阶电路，电路中的电压或者电流是一个二阶微分方程的解，而其系数是由电路结构决定。

若电路元件都视为线性元件时，一个RLC电路可以被视作电子谐波振荡器。RLC电路作为振荡器电路有很多应用。无线电接收机和电视机通过振荡器电路调谐以从周围的无线电波中选择频率范围，这种电路通常被称为调谐电路。

这种电路的固有频率一般表示为 $f_c = {1 \over 2 \pi \sqrt{L C}}$，国际单位为赫兹（Hz）。

RLC电路常用来作带通滤波器或带阻滤波器，其Q因子可以由下式得到：

$$Q = {f_c \over B_W} = {2 \pi f_c L \over R} = {1 \over \sqrt{R^2 C / L}}$$

RLC电路的组成结构一般有两种，分别是串联型及并联型。

## RLC串联电路

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在此电路中，三个元件均与电压以串联方式连接。其主要的微分方程可将三个元件的本构方程代入基尔霍夫电压定律（KVL）获得。由基尔霍夫电压定律：

$$v_R+v_L+v_C=v(t) \,$$

其中$\textstyle v_R, v_L, v_C$分别为R、L、C两端的电压，$\textstyle v(t)$为随时间变化的电源的电压。将本构方程代入得到：

$$RI(t) + L { {dI} \over {dt}} + {1 \over C} \int_{-\infty}^{\tau=t} I(\tau)\, d\tau = v(t)$$

在电源电压为常数的情况下，对上式求导，并且除以L，得到以下二阶微分方程：

$${{d^2 I(t)} \over {dt^2}} +{R \over L} {{dI(t)} \over {dt}} + {1 \over {LC}} I(t) = 0$$

此方程可以写成更常用的形式：

$${{d^2 I(t)} \over {dt^2}} + 2 \alpha {{dI(t)} \over {dt}} + {\omega_0}^2 I(t) = 0$$

$\alpha \,$称为“衰减量”，用于衡量当移除外部输入后，此电路的瞬态响应衰减的速率。$\omega_0 \,$为角共振频率。此二系数由下式给出：

$\alpha = {R \over 2L}$， $\omega_0 = { 1 \over \sqrt{LC}}$

阻尼系数$\zeta$是另一个常用的参数，定义为$\alpha \,$与$\omega_0 \,$的比值：

$$\zeta = \frac {\alpha}{\omega_0}$$

阻尼系数也可以由R、L、C求得：

$$\zeta = {R \over 2} \sqrt{C\over L}$$

### 瞬态响应

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根据不同的阻尼系数$\zeta$的值，该微分方程的解法有三种不同的情况，分别为：欠阻尼（$\scriptstyle \zeta < 1 \,$），过阻尼（$\scriptstyle \zeta > 1 \,$），以及临界阻尼（$\scriptstyle \zeta = 1 \,$）。该微分方程的特征方程为：

$$s^2 + 2 \alpha s + {\omega_0}^2 = 0$$

该方程的根为：

$$s_1 = -\alpha +\sqrt {\alpha^2 - {\omega_0}^2}$$

$$s_2 = -\alpha -\sqrt {\alpha^2 - {\omega_0}^2}$$

该微分方程的通解为两根指数函数的线性叠加：

$$i(t) = A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t}$$

系数A1以及 A2由具体问题的边界条件给出。

#### 过阻尼响应

过阻尼响应（$\scriptstyle \zeta > 1 \,$）为：

$$i(t) = A_1 e^{-\omega_0(\zeta + \sqrt {\zeta^2 - 1}) t} + A_2 e^{-\omega_0(\zeta - \sqrt {\zeta^2 - 1}) t}$$

过阻尼响应是一个瞬态电流无振荡的衰减。

#### 欠阻尼响应

欠阻尼响应（$\scriptstyle \zeta < 1 \,$）为：

$$i(t) = B_1 e^{-\alpha t} \cos (\omega_d t) + B_2 e^{-\alpha t} \sin (\omega_d t) \,$$

通过三角恒等式，这两个三角函数可用一个有相位的正弦函数表达：

$$i(t) = B_3 e^{-\alpha t} \sin (\omega_d t + \varphi) \,$$

欠阻尼响应是一个频率为$\omega_d \,$的衰减的振荡。振荡衰减的速率为$\alpha$。指数里的$\alpha$描述了振荡的包络函数。B1 以及B2 （或第二种形式中的 B3 以及相位差 $\varphi \,$）为任意常数，由边界条件确定。频率$\omega_d \,$由下式给出：

$$\omega_d = \sqrt { {\omega_0}^2 - \alpha^2 } = \omega_0 \sqrt {1 - \zeta^2}$$

这就是所谓的阻尼共振频率或阻尼固有频率。它是电路在无外部源驱动时自然振动的频率。谐振频率$\omega_0 \,$是电路在有外部源驱动时的谐振频率，为了便于区分常称作无阻尼谐振频率。

#### 临界阻尼响应

临界阻尼响应（$\scriptstyle \zeta = 1 \,$）为：

$$i(t) = D_1 t e^{-\alpha t} + D_2 e^{-\alpha t} \,$$

### 拉普拉斯域

可以利用拉普拉斯转换分析RLC串联电路的交流暂态及稳态行为。若上述电压源产生的波形，在拉普拉斯转换后为V(s)（其中s为复频率$s = \sigma + i \omega \,$），则在拉普拉斯域中应用基尔霍夫电压定律：

$$V(s) = I(s) \left ( R + Ls + \frac{1}{Cs} \right )$$

其中I(s)为拉普拉斯转换后的电流，求解I(s)：

$$I(s) = \frac{1}{ R + Ls + \frac{1}{Cs} } V(s)$$

在重新整理后，可以得到下式：

$$I(s) = \frac{s}{ L \left ( s^2 + {R \over L}s + \frac{1}{LC} \right ) } V(s)$$

#### 拉普拉斯导纳

求解拉普拉斯导纳Y(s)：

$$Y(s) = { I(s) \over V(s) } = \frac{s}{ L \left ( s^2 + {R \over L}s + \frac{1}{LC} \right ) }$$

可以利用以上章节定义的参数α及ωo来简化上式，可得：

$$Y(s) = { I(s) \over V(s) } = \frac{s}{ L \left ( s^2 + 2 \alpha s + {\omega_0}^2 \right ) }$$

#### 极点和零点

Y(s) 的零点是使得$Y(s) = 0$ 的s：

$s = 0 \,$ 及 $|s| \rightarrow \infty$

Y(s) 的极点是使得$Y(s)\rightarrow \infty$ 的s，求解二次方程，可得：

$$s = - \alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - {\omega_0}^2}$$

Y(s)的极点即为前文中提到微分方程之特征方程的根$s_1$及$s_2$。

#### 正弦稳态

正弦稳态可通过令 $s = j \omega$ 的相量形式来表示，其中 $j$ 为虚数单位。

将此代入上面方程的幅值中：

$$\displaystyle | Y(s=j \omega) | = \frac{1}{\sqrt{ R^2 + \left ( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right )^2 }}.$$

以 ω 为变量的电流的函数为

$$\displaystyle | I( j \omega ) | = | Y(j \omega) | | V(j \omega) |.\,$$

有一个峰值$|I (j \omega)|$。在此特殊情况下，这个峰值中的 ω 等于无阻尼固有谐振频率：

$$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L C}}.$$

## RLC并联电路

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RLC并联电路的特性可以利用电路的对偶性 (电路)，将RLC并联电路视为RLC串联电路的对偶阻抗来处理，就可以用类似RLC串联电路的分析方式来分析RLC并联电路。

RLC并联电路的衰减量$\alpha \,$可以用下式求得：

$$\alpha = {1 \over 2RC }$$

而其阻尼系数为：

$$\zeta = {1 \over 2R}\sqrt{L\over C}$$

若不考虑$1/2$的系数，RLC并联电路的阻尼系数恰好是RLC串联电路阻尼系数的倒数。

### 频域

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将并联各元件的导纳相加，即为此电路的导纳：

${1\over Z}=$ ${1\over Z_L}+{1\over Z_C}+{1\over Z_R}=$ ${1\over{j\omega L}}+{j\omega C}+{1\over R}$

电容、电阻及电感并联后，在共振频率的阻抗为最大值，和电容、电阻及电感串联的情形恰好相反，RLC并联电路是抗共振电路（antiresonator）。

右图中可以看出若用定电压驱动时，电流的频率响应在共振频率$\omega_0={1\over\sqrt{LC}}$处有最小值。若用定电流驱动，电压的频率响应在共振频率处有最大值，和RLC串联电路中，电流的频率响应图形类似。

## 其他构造

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如图7所示，电阻与电感串联的并联LC电路是有必要考虑到线圈卷线的电阻时经常遇到的一种拓扑结构。并联LC电路经常用于带通滤波中，而Q因子主要由此电阻决定。电路的谐振频率为

$$\omega_0 = \sqrt {\frac{1}{LC} - \left ( \frac{R}{L} \right )^2}$$

这是电路的谐振频率，定义为导纳虚部为零时的频率。在特征方程的一般形式（此电路与之前的相同）中出现的频率

$$s^2 + 2 \alpha s + {\omega'_0}^2 = 0$$

不是相同的频率。在这种情况下是固有的无阻尼谐振频率

$$\omega'_0 = \sqrt \frac {1}{LC}$$

阻抗幅值最大时的频率 $\omega_m$ 为。

$$\omega_m =\omega'_0\sqrt{\frac{-1}{Q^2_L}+\sqrt{1+\frac{2} {Q^2_L}}}$$

其中$Q_L=\frac{\omega'_0L} {R}$是线圈的品质因数。这可以下式很好地近似

$$\omega_m \approx \omega'_0 \sqrt{1-\frac {1} {2Q^4_L} }$$

此外，精确的最大阻抗幅值由下式给出。

$|Z|_{max}=RQ^2_L \sqrt{\frac{1} {2Q_L\sqrt{Q^2_L+2}-2Q^2_L-1}}$.

$Q_L$值比1大时，可以用下式很好地近似

$|Z|_{max} \approx {RQ^2_L}$.

同样，电阻与电容并联的串联LC电路可用于有耗介质的电容器。这种构造如图8所示。在这种情况下谐振频率（阻抗的虚部为零时的频率），由下式给出。

$$\omega_0 = \sqrt {\frac{1}{LC}-\frac{1}{(RC)^2}}$$

而阻抗幅值最大时的频率 $\omega_m$ 为

$$\omega_m =\omega'_0\sqrt{\frac{-1}{Q^2_C}+\sqrt{1+\frac{2} {Q^2_C}}}$$

其中 $Q_C=\omega'_0 {R}{C}$。

## 参考文献

### 来源

- Anant Agarwal, Jeffrey H. Lang, Foundations of analog and digital electronic circuits, Morgan Kaufmann, 2005 ISBN 1-55860-735-8.
- J. L. Humar, Dynamics of structures, Taylor & Francis, 2002 ISBN 90-5809-245-3.
- J. David Irwin, Basic engineering circuit analysis, Wiley, 2006 ISBN 7-302-13021-3.
- Kenneth L. Kaiser, Electromagnetic compatibility handbook, CRC Press, 2004 ISBN 0-8493-2087-9.
- James William Nilsson, Susan A. Riedel, Electric circuits, Prentice Hall, 2008 ISBN 0-13-198925-1.