数学分析

数学分析学，也称分析数学、分析学或解析学（Mathematical Analysis），是普遍存在于大学数学专业的一门基础课程。大致与非数学专业学生所学的高等数学课程内容相近，但内容更加深入，一般指以微积分学、无穷级数和解析函数等的一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础的一个较为完整的数学学科。

数学分析研究的内容包括实数、复数、实函数及复变函数。数学分析是由微积分演进而来，在微积分发展至现代阶段中，从应用中的方法总结升华为一类综合性分析方法，且初等微积分中也包括许多数学分析的基础概念及技巧，可以认为这些应用方法是高等微积分生成的前提。数学分析的方式和其几何有关，不过只要任一数学空间有定义邻域（拓扑空间）或是有针对两物件距离的定义（度量空间），就可以用数学分析的方式进行分析。

## 历史

<image>

在古希腊数学的早期，数学分析的结果是隐含给出的。比如，芝诺的两分法悖论就隐含了无限几何和。再后来，古希腊数学家如欧多克索斯和阿基米德使数学分析变得更加明确，但还不是很正式。他们在使用穷竭法去计算区域和固体的面积和体积时，使用了极限和收敛的概念。在印度数学的早期，12世纪的数学家婆什迦罗第二给出了导数的例子，还使用过现在所知的罗尔定理。

历史上，数学分析起源于17世纪，伴随着牛顿和莱布尼兹发明微积分而产生的。在17、18世纪，数学分析的主题，如变分法，常微分方程和偏微分方程，傅立叶分析以及母函数基本上发展于应用工作中。微积分方法成功的运用了连续的方法近似了离散的问题。

贯穿18世纪，函数概念的定义成为了数学家们争论的主题。到了19世纪，柯西通过引入柯西序列的概念将微积分建立在稳固的逻辑基础之上。他还开始了复分析的形式理论。泊松、刘维尔、傅里叶以及其他的数学家研究了偏微分方程和调和分析。

19世纪中叶，黎曼引入了他的积分理论。在19世纪的最后第三个年代还产生了魏尔施特拉斯对于分析的算术化，他认为几何论证从本质上是一种误导，并提出了极限的 (ε, δ) 定义。此时，数学家们开始担心他们在没有证明的情况下假设了实数连续统的存在。戴德金用戴德金分割构造了实数。大约在那个时候，对黎曼积分精炼的种种尝试也引向了实数函数的非连续集合的“大小”的研究。

在19世纪末时，也发现了许多病态函数，像是处处不连续函数、处处连续但处处不可微分的魏尔斯特拉斯函数以及空间填充曲线等。卡米尔·若尔当发展了若尔当测度，而格奥尔格·康托尔提出了现在称为朴素集合论的理论，勒内-路易·贝尔证明了贝尔纲定理。在20世纪初期，利用公理化的集合论将微积分进行形式化，昂利·勒贝格解决了量测问题，大卫·希尔伯特导入了希尔伯特空间来求解积分方程。赋范向量空间的概念已经提出，1920年代时斯特凡·巴拿赫创建了泛函分析。

## 重要概念

### 度量空间

数学中的度量空间是一个集合，而集合中两个元素的距离（叫做度量）有清楚的定义。

大部分的数学分析都是针对特定的度量空间，最常见的是数线、复数平面、欧几里得空间、其他向量空间及整数。数学中没有度量的分包括有量测理论（描述大小而不是距离）及泛函分析（研究不需要距离概念的拓扑向量空间）

度量空间是一个有序对$(M,d)$，其中$M$是一集合，而$d$为$M$中的度量（也是函数）

$$d \colon M \times M \rightarrow \mathbb{R}$$

使得针对任何的$x, y, z \in M$，以下的叙述都成立：

- $d(x,y) \ge 0$ （非负性）
- $d(x,y) = 0\,$ 当且仅当 $x = y\,$ （不可分者同一）
- $d(x,y) = d(y,x)\,$ （对称性）
- $d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$ （三角不等式）

### 数列及极限

数列是一个有序的列表，数列像集合一样都是由元素组成，但和集合不同，数列有顺序的概念，而完全相同的元素可以在数列中出现一至多次。更准确的说法，数列可以用定义域为全序关系可数集（例如自然数）的函数来定义。

数列最重要的性质是收敛，若简单的做非正式的定义，一数列若存在极限，表示此数列收敛。若继续下非正式的定义，一个无穷数列an，若在n非常大时接近一数值x，则称此数列有极限，而其极限为x，因此极限也可以视为是数列趋向的数值。因此针对数列an，当n → ∞时，an和x之间的距离会趋近于0：

$$\lim_{n\to\infty} a_n = x.$$

## 分支领域

数学分析在当前被分为以下几个分支领域：

- 实分析是数学分析中，专门处理实数及实值函数的一个分支。这包括对极限、微分、积分、幂级数和测度的研究。
- 复分析，是对从复平面到复平面的复数可微函数的研究，和复数的解析函数（或亚纯函数）有密切的关系。可以应用在许多不同的数学领域中，包括代数几何、数论、应用数学等，也广为应用在物理领域中，例如流体力学、热力学、机械工程、电机工程及量子场论。
- 泛函分析探讨函数空间及一些和向量空间相关的结构（例如内积、范数及拓扑空间）等，以及在作用在这些空间中的线性算子，也会介绍例如巴拿赫空间以及希尔伯特空间的概念。
- 傅立叶分析研究如何将一个函数或者信号表达为基本波形的叠加，并扩展成傅立叶级数和傅立叶变换的概念。
- 微分方程是未知数为一变数或多变数的函数，且方程和函数其导数或高阶导数有关的方程。微分方程在工程、物理、经济、生物学中都是重要的一部分。
- 数值分析是研究数学分析中相关问题（和离散数学不同）中有关数值近似（和符号运算不同）算法的研究。许多问题的解析解是很难求得的，数值分析不在意解析解，比较著重在可接受的误差范围内找到近似解。

## 其他主题

- 变分法处理泛函的极值，就像一般的微积分处理函数的极值一样。
- 抽象调和分析处理傅立叶级数及其抽象化的应用。
- 几何分析将几何方法用来研究偏微分方程及将偏微分方程理论应用在几何学上。
- 克利福德分析研究在狄拉克算子或是类似算子下会消失的克利福德函数。
- P进数分析是有关P进数的研究，P进数和一般实数及复数有些微妙的不同。
- 非标准分析是研究超实数及其函数，对于无穷小量及无穷大的函数有严谨的处理。
- 可计算性分析研究可以用可计算性理论进行的分析。
- 随机分析是针对随机过程进行的解析式方法。
- 集值分析集值函数的分析及应用。
- 凸分析是有关凸集合及凸函数的研究。
- Tropical分析是在半环中Max-plus代数的分析，是没有加法逆元的代数结构。当应用Tropical分析的技巧时，可以将一些非线性的问题转变为线性的问题。

## 应用

数学分析的技巧可以用在其他以下的领域：

### 物理科学

经典力学、相对论及量子力学中大部分的内容都是以数学分析及微分方程为基础。其中重要的微分方程包括牛顿第二运动定律、薛定谔方程及爱因斯坦场方程。

泛函分析是量子力学中的一个重要主题。

### 信号处理

信号处理可以用在许多不同信号的处理上，不论是声音、无线电波、光波、地震波其至影像，傅立叶分析可以取出信号中特定的成分，可以进一步将信号加强或是移除。大部分的信号处理技术都包括了将信号进行傅立叶转换、转换后信号进行简单的处理，再进行反转换。

### 其他数学领域

数学分析的技巧可以用在以下的数学领域中：

- 解析数论
- 解析组合数学
- 连续概率
- 信息理论中的微分熵
- 微分赛局
- 微分几何：将微积分应用在称为流形的特殊数学空间中，流形有特殊的内在结构，但有单纯的局部特性。
- 微分拓扑
- 金融数学

## 文献

### 教材

- 《微积分学教程》(共三卷) 格里高利·米哈伊洛维奇·菲赫金哥尔茨著
- 《数学分析原理》(共两卷) 格里高利·米哈伊洛维奇·菲赫金哥尔茨著
- 《数学分析讲义》阿黑波夫著
- 《数学分析简明教程》辛钦著
- 《数学分析》（共两卷）卓里奇著
- 《微积分和数学分析引论》理查·科朗特著 ( 参见台大部分老师的评论 )
- 《数学分析》汤姆·麦克·阿波斯托著
- 《数学分析原理》Walter Rudin（卢丁）著 ( 参见台大部分老师的评论 )
- 《陶哲轩实分析》陶哲轩著
- 《微积分入门》小平邦彦著
- 《高等数学引论》（共四卷）华罗庚著，高等教育出版社
- 《数学分析》（共两册）华东师范大学数学系
- 《数学分析》（共两册）欧阳光中，朱学炎，金福临，陈传璋著
- 《数学分析》（共两册）陈纪修，于崇华，金路著
- 《数学分析新讲》（共三册）张筑生编著
- 《数学分析讲义》（共三册）刘玉琏，傅沛仁著
- 《数学分析》（共三册）周民强，方企勤著
- 《数学分析讲义》 （共三册）陈天权 编著
- 《简明数学分析（第二版）》郇中丹、刘永平、王昆扬著
- 《数学分析教程（第3版）》（共两册）常庚哲、史济怀编著
- 《数学分析》（共三册）徐森林、薛春华编著
- 《数学分析》梅加强编著
- 《数学分析》（共两册）欧阳光中、姚允龙、周渊编著 (复旦大学出版社官网的信息: 上册 , 下册 )
- 《数学分析教程》（共两册）李忠 方丽萍编著

### 论著和习题集

- 《古今数学思想》1-4册，莫里斯·克莱因着，上海科学技术出版社
- 《吉米多维奇数学分析习题集》鲍里斯·吉米多维奇著
- 《数学分析中的问题和定理》乔治·波利亚，G.Szego（舍贵）著
- 《数学分析八讲》辛钦著
- 《微积分五讲》龚升著
- 《重温微积分》齐民友著
- 《数学分析习题课讲义》（上下两册）谢惠民等著
- 《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文著
- 《数学分析问题研究与评注》汪林等著
- 《数学分析拾遗》赵显增著
- 《数学分析习题演练》周民强著