舒尔正交关系

舒尔正交关系（Schur orthogonality relations）描述了有限群表示中的核心事实。它可以推广到一般的紧群，特别是紧李群，比如旋转群 SO(3)。此关系可借由舒尔引理证明。

## 有限群

令 $\Gamma^{(\lambda)} (R)_{mn}$ 是一个 |G| 阶（即 G 有 |G| 个元素）有限群 $G=\{R\}$ 的一个不可约矩阵表示 $\Gamma^{(\lambda)}$ 的矩阵元素。因为可以证明任何有限群的不可约矩阵表示等价于一个酉表示，我们假设 $\Gamma^{(\lambda)}$ 是酉的：

$$<pre> \sum_{n=1}^{l_\lambda} \; \Gamma^{(\lambda)} (R)_{nm}^*\;\Gamma^{(\lambda)} (R)_{nk} = \delta_{mk} \quad \hbox{for all}\quad R \in G, </pre>$$

这里 $l_\lambda$ 是表示 $\Gamma^{(\lambda)}$ 的（有限）维数

$l_\lambda$。

正交关系，只对不可约表示的矩阵元素成立，是

$$<pre> \sum_{R\in G}^{|G|} \; \Gamma^{(\lambda)} (R)_{nm}^*\;\Gamma^{(\mu)} (R)_{n'm'} = </pre> \delta_{\lambda\mu} \delta_{nn'}\delta_{mm'} \frac{|G|}{l_\lambda}.$$

这里 $\Gamma^{(\lambda)} (R)_{nm}^*$ 是 $\Gamma^{(\lambda)} (R)_{nm}\,$ 的复共轭，求和遍及 G 的所有元素。如果两个矩阵是在同一个不可约表示 $\Gamma^{(\lambda)}= \Gamma^{(\mu)}$，则克罗内克函数 $\delta_{\lambda\mu}$ 是单位；如果 $\Gamma^{(\lambda)}$ 与 $\Gamma^{(\mu)}$ 不等价则$\delta_{\lambda\mu}$为零。其他两个克罗内克函数则要求行与列的指标必须相等（$n=n'$ 和 $m=m'$）才能得到一个非零的结果。这个定义也叫做广义正交定理。

每个群有一个单位表示（所有群元素映为实数 1），这显然是一个不可约表示。舒尔正交关系马上给出

$$<pre> \sum_{R\in G}^{|G|} \; \Gamma^{(\mu)} (R)_{nm} = 0 </pre>$$

对 $n,m=1,\ldots,l_\mu$，此式对任何不等于单位表示的不可约表示 $\Gamma^{(\mu)}\,$成立。

### 例子

三个对象的 3! 个置换组成一个 6 阶群，通常记作 $S_3$（对称群）。这个群同构于点群 $C_{3v}$，由三重旋转轴以及三个铅直镜面平面组成。这个群有一个二维不可约表示（l = 2）。在 $S_3$ 情形，通常将这个不可约表示利用杨氏表（杨氏矩阵）记作 $\lambda = [2,1]$ 而在 $C_{3v}$ 情形通常写成 $\lambda = E$。在两种情形不可约表示都由如下六个实矩阵组成，每个代表一个群元素

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 \\0 & -1 \\ \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2} \\ \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2} \\ \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2} \\ \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2} \\ \end{pmatrix}$$

元素 (1,1) 的正规化为：

$$\sum_{R\in G}^{6} \; \Gamma(R)_{11}^*\;\Gamma(R)_{11} = 1^2+1^2+\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2+\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2 +\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2 +\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2 = 3 .$$

同样可以证明其它矩阵元素 (2,2)、(1,2) 与 (2,1) 的正规化。元素 (1,1) 与 (2,2) 的正交性：

$$\sum_{R\in G}^{6} \; \Gamma(R)_{11}^*\;\Gamma(R)_{22} = 1^2+(1)(-1)+\left(-\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right) +\left(-\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right) <pre> +\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2 +\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2 </pre> = 0 .$$

类似的关系对元素 (1,1) 与 (1,2) 的正交性成立，如是等等。容易验证此例中所有对应矩阵元素之和为零，因为给定表示与恒等表示的正交性。

### 直接推论

矩阵的迹是对角矩阵元素之和。

$\operatorname{Tr}\big(\Gamma(R)\big) = \sum_{m=1}^{l} \Gamma(R)_{mm}$.

所有迹的集合 $\chi \equiv \{\operatorname{Tr}\big(\Gamma(R)\big)\;|\; R \in G\}$ 是一个表示的特征标。通常将一个不可约表示中矩阵的迹写成 $\chi^{(\lambda)}$

$\chi^{(\lambda)} (R)\equiv \operatorname{Tr}\left(\Gamma^{(\lambda)}(R)\right)$.

利用这种记号我们可写出多个特征标公式：

$$\sum_{R\in G}^{|G|} \chi^{(\lambda)}(R)^* \, \chi^{(\mu)}(R)= \delta_{\lambda\mu} |G|,$$

这可以用来检验一个表示是否是可约的（这些公式说明在任意特征标表中一行是正交向量）。以及

$$\sum_{R\in G}^{|G|} \chi^{(\lambda)}(R)^* \, \chi(R) = n^{(\lambda)} |G|,$$

这帮助我们确认不可约表示 $\Gamma^{(\lambda)}$ 在具有特征标 $\chi(R)$ 的可约表示 $\Gamma \,$ 中包含的次数。

例如，如果

$$n^{(\lambda)}\, |G| = 96$$

这个群的阶是

$$|G| = 24\,$$

则 $\Gamma^{(\lambda)}\,$ 在给定“可约”表示 $\Gamma \,$ 中包含的次数是

$$n^{(\lambda)} = 4\, .$$

关于群特征表参见特征标理论。

## 紧群

有限群的正交关系推广为紧群（包含紧李群，比如 SO(3)）本质上是简单的：只要将在群上的求和换成在群上的积分。

每个紧群 $G$ 有惟一一个双不变哈尔测度，使得群的体积是 1。将这个测度记成 $dg$。设 $( \pi^\alpha )$ 是 $G$ 的不可约表示的一个完备集合，设 $\phi^\alpha_{v,w}(g)=<v,\pi^\alpha(g)w>$ 是表示 $\pi^\alpha$ 的矩阵系数。正交关系可以叙述为两部分1) 如果 $\pi^\alpha \ncong \pi^\beta$ 则：

$$\int_G \phi^\alpha_{v,w}(g)\phi^\beta_{v',w'}(g)dg=0$$

2)如果 $\{e_i\}$ 是表示空间 $\pi^\alpha$ 的一个正交规范基，则：

$$d^\alpha\int_G \phi^\alpha_{e_i,e_j}(g)\phi^\alpha_{e_m,e_n}(g)dg=\delta_{i,m}\delta_{j,n}$$

这里 $d^\alpha$ 是 $\pi^\alpha$ 的维数。这些正交关系以及所有表示的维数有限是彼得-外尔定理的推论。

### 例 $SO(3)$

一个三参数群的例子是矩阵群 SO(3)，有所有 3×3 正交矩阵组成。这个群的一个可能的参数化是利用欧拉角： $\mathbf{x} = (\alpha, \beta, \gamma)$。界限是 $0 \le\alpha, \gamma \le 2\pi$ 以及 $0 \le \beta \le\pi$。

体积元素 $\omega(\mathbf{x})\, dx_1 dx_2\cdots dx_r$ 的计算不仅取决于参数的选取，也取决于最终结果，即加权函数（测度） $\omega(\mathbf{x})$ 的解析形式。

例如，SO(3) 的欧拉角参数化给出权重 $\omega(\alpha,\beta,\gamma) = \sin\! \beta \,,$，而 n, ψ 参数化给出权重t $\omega(\psi,\theta,\phi) = 2(1-\cos\psi)\sin\!\theta\,$，其中 $0\le \psi \le \pi, \;\; 0 \le\phi\le 2\pi,\;\; 0 \le \theta \le \pi$。

可以证明一个紧李群的不可约表示是有限维的并可选成酉的：

$$<pre> \Gamma^{(\lambda)}(R^{-1}) =\Gamma^{(\lambda)}(R)^{-1}=\Gamma^{(\lambda)}(R)^\dagger\quad \hbox{with}\quad \Gamma^{(\lambda)}(R)^\dagger_{mn} \equiv \Gamma^{(\lambda)}(R)^*_{nm}. </pre>$$

简记成

$$<pre> \Gamma^{(\lambda)}(\mathbf{x})= \Gamma^{(\lambda)}\Big(R(\mathbf{x})\Big) </pre>$$

正交关系具有形式

$$<pre> \int_{x_1^0}^{x_1^1} \cdots \int_{x_r^0}^{x_r^1}\; \Gamma^{(\lambda)}(\mathbf{x})^*_{nm} \Gamma^{(\mu)}(\mathbf{x})_{n'm'}\; \omega(\mathbf{x}) dx_1\cdots dx_r \; = \delta_{\lambda \mu} \delta_{n n'} \delta_{m m'} \frac{|G|}{l_\lambda}, </pre>$$

群的体积是

$$<pre> |G| = \int_{x_1^0}^{x_1^1} \cdots \int_{x_r^0}^{x_r^1} \omega(\mathbf{x}) dx_1\cdots dx_r . </pre>$$

我们注意到 SO(3) 的不可约表示是维格纳D-矩阵（Wigner D-matrix）$D^\ell(\alpha \beta \gamma)$，它们的维数是 $2\ell+1$。故

$$<pre> |SO(3)| = \int_{0}^{2\pi} d\alpha \int_{0}^{\pi} \sin\!\beta\, d\beta \int_{0}^{2\pi} d\gamma = 8\pi^2, </pre>$$

它们满足

$$<pre> \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} D^{\ell}(\alpha \beta\gamma)^*_{nm} \; D^{\ell'}(\alpha \beta\gamma)_{n'm'}\; \sin\!\beta\, d\alpha\, d\beta\, d\gamma = \delta_{\ell\ell'}\delta_{nn'}\delta_{mm'} \frac{8\pi^2}{2\ell+1}. </pre>$$

## 参考文献

任何以物理或化学为目的的群表示论书籍中都会提到正交关系。下面更高等的书籍给出了证明：

- M. Hamermesh, Group Theory and its Applications to Physical Problems, Addison-Wesley, Reading (1962). (Reprinted by Dover).
- W. Miller, Jr., Symmetry Groups and their Applications, Academic Press, New York (1972).
- J. F. Cornwell, Group Theory in Physics, (Three volumes), Volume 1, Academic Press, New York (1997).