P进赋值

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$\boldsymbol{p}$进赋值是数论中能整除正整数$n$的质数$p$的最高次方，一般记做$\nu_p(n)$，等价于$n$的质因数分解中$p$的次方数。此概念可被延伸至有理数。

$p$进赋值是一种赋值，可导出对应的$p$进绝对值。正如有理数经常规绝对值完备化可得到实数$\mathbb{R}$，经$p$进绝对值完备化后，则可得到p进数$\mathbb{Q}_p$。

## 定义

### p进赋值

给定质数$p$，定义函数$$\nu_p:\mathbb{Q} \to \mathbb{Z} \cup \{\infty\}, \quad x \mapsto \begin{cases} \infty & \text{if } x = 0, \\[0.3em] k & \text{if } x = p^k \frac{a}{b} \quad (a, b, k \in \mathbb{Z},\, p \nmid a,\, p \nmid b). \end{cases}$$ 其中$p \nmid a$和$p \nmid b$表示分子$a$和分母$b$皆不被$p$整除。而$p^k \parallel x$符号有时代指$k = \nu_p(x)$。

以正整数$12$为例。

$$\begin{aligned} \nu_2(12) &= \nu_2 \big(2^2 \cdot \tfrac{3}{1}\big) = 2, \\ \nu_3(12) &= \nu_3 \big(3^1 \cdot \tfrac{4}{1}\big) = 1, \\ \nu_5(12) &= \nu_5 \big(5^0 \cdot \tfrac{12}{1}\big) = 0. \end{aligned}$$

再以有理数$\tfrac{9}{8}$为例。

$$\begin{aligned} \nu_2\big(\tfrac{9}{8}\big) &= \nu_2 \big(2^{-3} \cdot \tfrac{9}{1}\big) = -3, \\ \nu_3\big(\tfrac{9}{8}\big) &= \nu_3 \big(3^2 \cdot \tfrac{1}{8}\big) = 2, \\ \nu_5\big(\tfrac{9}{8}\big) &= \nu_5 \big(5^0 \cdot \tfrac{9}{8}\big) = 0. \end{aligned}$$

### p进绝对值

给定质数$p$，定义函数$$|\cdot|_p : \mathbb{Q} \to \mathbb{R}_{\ge 0}, \quad x \mapsto p^{-\nu_p(x)}.$$ 而对于$x = 0$，$|0|_p = p^{-\nu_p(0)} = p^{-\infty} = 0$。

以正整数$12$为例。

$$\begin{aligned} |12|_2 &= 2^{-\nu_2(12)} = 2^{-2} = \tfrac{1}{4}, \\ |12|_3 &= 3^{-\nu_3(12)} = 3^{-1} = \tfrac{1}{3}, \\ |12|_5 &= 5^{-\nu_5(12)} = 5^{0} = 1. \end{aligned}$$

再以有理数$\tfrac{9}{8}$为例。

$$\begin{aligned} \left|\tfrac{9}{8}\right|_2 &= 2^{-\nu_2\big(\frac{9}{8}\big)} = 2^{-(-3)} = 8, \\ \left|\tfrac{9}{8}\right|_3 &= 3^{-\nu_3\big(\frac{9}{8}\big)} = 3^{-2} = \tfrac{1}{9}, \\ \left|\tfrac{9}{8}\right|_5 &= 5^{-\nu_5\big(\frac{9}{8}\big)} = 5^{-0} = 1. \end{aligned}$$

在有理数集$\mathbb{Q}$上，可定义如下一个（非阿基米德且具平移对称的）度量：

$$d : \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \to \mathbb{R}_{\ge 0}$$

其定义为：

$$d(r,s) = |r - s|_p$$

以获此度量对$\mathbb{Q}$进行完备化，所得到的完备度量空间（及数域）即为$p$进数集$\mathbb{Q}_p$。

部分文献可能会将$p$进绝对值称为“$p$进范数”（p-adic norm）；然而为了避免与实数向量空间的范数概念相混淆，现代代数数论严格将其称为“$p$进绝对值”或“$p$进赋值”。

## 性质

以下的$p$皆指代某个质数。

### p进赋值

- 对有理数$q$，有$\nu_p(q) = \nu_p(-q) = -\nu_p\big(\tfrac{1}{q}\big)$。
- 对有理数$q_1, q_2$，有$\nu_p(q_1 q_2) = \nu_p(q_1) + \nu_p(q_2)$。
- 对正整数$k$和有理数$q$，有$\nu_p\big(q^k\big) = k \cdot \nu_p(q)$。
- 对有理数$q_1, q_2$，有$\begin{cases} \nu_p(q_1 + q_2) \ge \min[\nu_p(q_1), \nu_p(q_2)] &\text{if } \nu_p(q_1) = \nu_p(q_2), \\ \nu_p(q_1 + q_2) = \nu_p(q_2) & \text{if } \nu_p(q_1) > \nu_p(q_2). \end{cases}$
- 对正整数$n$，有$p^{\nu_p(n)} \le n$，因此$\nu_p(n) \le \log_p(n)$。
- 对正整数$n$，其阶乘$n!$的$p$进赋值可由勒让德公式求得：

$$\nu_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor = \frac{n - S_p(n)}{p - 1}.$$

其中$\lfloor x \rfloor$表示取整函数，$S_p(n)$表示正整数$n$在$p$进位制下的各位数字之和。

### p进绝对值

- 对有理数$q$，有$|q|_p = \left|-q\right|_p$。
- 对有理数$q$，有$|q|_p \ge 0$。
- 对有理数$q$，$|q|_p = q$的解为$\{0, 1\}$。
- 对有理数$q_1, q_2$，有$|q_1 q_2|_p = |q_1|_p \cdot |q_2|_p$。
- 对整数$n$，有$\big|p^n\big|_p = p^{-n}$
- 对有理数$q_1, q_2$，有$|q_1 + q_2|_p \le \max\big(|q_1|_p, |q_2|_p\big)$，因此$|q_1 + q_2|_p \le |q_1|_p + |q_2|_p$。

### 其他

由于对于任意非零有理数$r \in \mathbb{Q}^\times$，有$$|r|_\infty = |r| = \prod_{q \in \mathbb{P}} q^{\nu_q(r)}.$$ 其中$\mathbb{P}$表示质数集，$|\cdot|_\infty$表示常规绝对值，因此有如下的等式（称为乘积公式，product formula）：

$$|r|_\infty \cdot \prod_{q \in \mathbb{P}} |r|_q = \prod_{v \in M_\mathbb{Q}} |r|_v = 1.$$ 其中的$M_\mathbb{Q} = \mathbb{P} \cup \{\infty\}$代表$\mathbb{Q}$的全体素点（places）集合。