戴尔指数

戴尔指数（Theil Index）又称为泰尔指数，是一个衡量经济不平等的统计量。它也曾经用来衡量其他社会不平等现象，如种族隔离。

戴尔指数主要是利用信息论中的资讯熵的概念导出的。戴尔指数等于资讯冗余，也就是资料最大可能资讯熵减去观测到的资讯熵，它是广义熵指数的特例，可以被视为冗余度、单样性、不平等、非随机性和可压缩性的度量。

戴尔指数最早由荷兰鹿特丹伊拉斯姆斯大学的计量经济学家亨利·戴尔 (经济学家)（Henri Theil）所提出。

## 数学公式

假设一个人口为N的群体，其收入分别为xi (i = 1,...,N)，则它的戴尔指数T定义为：

$$T_T=T_{\alpha=1} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \frac{x_i}{\mu} \ln\left(\frac{x_i}{\mu} \right)$$

而戴尔指数L则定义为

$$T_L = T_{\alpha=0}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \ln\left(\frac{\mu}{x_i}\right)$$

其中$x_i$为第$i$个人的收入，${\mu}$为平均收入，$N$为人口数量。加总符号中的第一项可以理解为个人在总收入中所占的比例，第二项为该个人相对于均值的收入。

如果收入分布是个离散分布函数 fk (k = 0,...,W)，其中fk是收入为k的人口比例，而W = Nμ 代表总收入，可以得知 $\sum_{k=0}^W f_k=1$。

它的戴尔指数T定义为：

$$T_T=\sum_{k=0}^W\, f_k\, \frac k \mu \ln\left(\frac k \mu \right)$$

这里的$\mu$一样是收入平均

$$\mu=\sum_{k=0}^W k f_k$$

其中应注意到收入k是一个整数，k=1代表最小收入增量（比如新台币1元）。

如果收入分布是个连续分布函数f(k)，k取值0到无穷，其中f(k) dk 是收入为k 到 k + dk的人口数量，那戴尔指数T定义为：

$$T_T=\int_0^\infty f(k) \frac k \mu \ln\left(\frac k \mu \right) dk$$

其中平均$\mu$为：

$$\mu=\int_0^\infty k f(k) \, dk$$

一些常见连续概率分布的戴尔指数如下表所示：

收入分布函数｜PDF(x) (x ≥ 0)｜戴尔指数（纳特）

狄拉克δ函数｜$\delta(x-x_0),\, x_0>0$｜0

连续型均匀分布｜$\begin{cases} \frac{1}{b-a} & a\le x\le b \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$｜$\ln \left( \frac{2a}{(a+b)\sqrt{e}} \right) + \frac{b^2}{b^2-a^2}\ln (b/a)$

指数分布｜$\lambda e^{-x\lambda},\,\,x>0$｜$1-$ $\gamma$

对数常态分布｜$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{(-(\ln(x)-\mu)^2)/\sigma^2}$｜$\frac{\sigma^2}{2}$

帕累托分布｜$\begin{cases} \frac{\alpha k^\alpha}{x^{\alpha+1}} & x\ge k\\0 & x < k \end{cases}$｜$\ln(1\!-\!1/\alpha)+\frac{1}{\alpha-1}$ (α>1)

卡方分布｜$\frac{2^{-k/2} e^{-x/2} x^{k/2 - 1}}{\Gamma(k/2)}$｜$\ln(2/k)+$ $\psi^{(0)}$ $(1\!+\!k/2)$

伽玛分布｜$\frac{e^{-x/\theta}x^{k-1}\theta^{-k}}{\Gamma(k)}$｜$\psi^{(0)}$ $(1+k)-\ln(k)$

韦伯分布｜$\frac k \lambda \left(\frac {x}{\lambda} \right)^{k-1} e^{-(x/\lambda)^k}$｜$\frac{1}{k}$ $\psi^{(0)}$ $(1+1/k)-\ln\left(\Gamma(1+1/k)\right)$

如果每一个人都有相同的收入，即等于均值，则指数为零。如果某个个人拥有所有的收入，则指数为$\ln{N}$。TT 除以$\ln N$ 可以将方程归一化到0到1的范围，但这样违反独立公理: $T[x\cup x]\ne T[x]$并不符合衡量不平等的标准。

## 信息论推导

戴尔指数导自克劳德·夏农的信息熵，他的一般数学形式为：

$$S = k \sum_{i=1}^N \left( p_i \log{\frac{1}{p_i}} \right) = - k \sum_{i=1}^N \left( p_i \log{p_i} \right)$$

其中 $p_i$是从人群里找到$i$的几率。$k$是玻尔兹曼常数。在信息论中，当信息以二进制数字给出时，$k=1$并且对数基底为2。在物理学和戴尔指数的计算中，选择自然对数作为对数基底。当$p_i$替换成人均收入$x_i$时，需要除以总收入达到归一化$N\overline{x}$。那可以导出，观察到的信息熵为：

$$S_\text{Theil} = \sum_{i=1}^N \left( \frac{x_i}{N \overline{x}} \ln{\frac{N \overline{x}}{x_i}} \right)$$

设$T$为戴尔指数，$S$为夏农熵，则有

$$T=\ln(N)-S$$

其中，ln(N)是理论最大熵。香浓根据事件发生概率导出的其熵测度。它可以用戴尔系数解释为自某个特定个人处随机取得一块钱的概率。并与其第一项，即总收入中个人所占份额相同。

符号｜信息论｜戴尔指数 TT

$N$｜字符数｜人口数

$i$｜某个特定字符｜某个特定人

$x_i$｜第i个字符 character｜第i个人的收入

$N\overline{x}$｜总字符数｜总收入

$T_T$｜未被使用的资讯空间｜未使用潜在价格机制

## 可分解性

戴尔指数的一个优点是它是某个子群体中不平等的加权和。例如，美国国内的不平等就是每个州的不平等的加权和，由该州收入相对于国家总收入的比值来加权。

如果人口被划分为$m$个子群体，$s_k$ 为群体$k$ 的收入比例，$T_k$为该子群体的戴尔指数，而 $\overline{x}_k$ 为子群体 $k$的平均收入，则戴尔指数为

$$T = \sum_{k=1}^m s_k T_{T_k} + \sum_{k=1}^m s_k \ln{\frac{\overline{x}_k}{\overline{x}}}$$

因此，我们可以说某个特定群体给总体“贡献了”一定数量的不平等。

另外一个被广泛使用的不平等度量为基尼系数，该系数对于很多人来说由于基于劳伦茨曲线而非常直观。但是它却没有戴尔指数容易分解。

## 外部链接

- 德克萨斯大学戴尔指数简介 （英文）
- 试算表: 收入不平等指标#电子表格计算
- 免费在线计算器 计算基尼系数，绘制洛伦兹曲线，并为任何数据集计算许多其他浓度测量值
- Free Calculator: Online and downloadable scripts (Python and Lua) for Atkinson, Gini, and Hoover inequalities
- Users of the R data analysis software can install the "ineq" package which allows for computation of a variety of inequality indices including Gini, Atkinson, Theil.
- MATLAB 不平等包。MATLAB不平等包，其中包括用于计算基尼，阿特金森，泰尔指数和标绘洛伦茨曲线的代码