力矩

在物理学中，力矩（torque，moment of force，moment）是作用力促使物体具有绕着转动轴或支点转动的趋向的物理量；也就是作用力使物体产生“转”、“扭”或“弯”效应的量度。简略地说，力矩是一种施加于例如螺栓、飞轮一类的物体，或是拧毛巾、扳钢筋的扭转力。例如，用扳手的开口箝紧螺栓或螺帽，然后转动扳手，这动作会产生力矩来转动螺栓或螺帽。

使机械元件转动的力矩又称转矩（turning moment，moment of rotation）即转动力矩；在材料力学、土木工程和建筑学中，作用引起的结构或构件某一截面上的剪力所构成的力偶矩，称为扭矩（torsional moment，torque），而作用引起的结构或构件某一截面上的正应力所构成的力矩，则称为弯矩（bending moment）。

力矩能够使物体改变其旋转运动。推挤或拖拉涉及到作用力，而扭转则涉及到力矩。如上图，力矩$\boldsymbol{\tau}\,\!$等于径向向量$\mathbf{r}\,\!$与作用力$\mathbf{F}\,\!$的叉积。

根据国际单位制，力矩的单位是牛顿米。本物理量非能量，因此不能以焦耳（J）作单位；根据英制单位，力矩的单位则是英尺$\cdot$磅。力矩的表示符号是希腊字母$\boldsymbol{\tau}\,\!$，或$\mathbf{M}\,\!$。

力矩与三个物理量有关：施加的作用力$\mathbf{F}\,\!$、从转轴到施力点的位移向量$\mathbf{r}\,\!$、两个向量之间的夹角$\theta\,\!$。力矩$\boldsymbol{\tau}\,\!$以向量方程式表示为

$\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r}\times \mathbf{F}\,\!$。

力矩的大小为

$\tau = rF\sin \theta\,\!$。

## 定义

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力矩等于作用于杠杆的作用力乘以支点到力的垂直距离。例如，3 牛顿的作用力，施加于离支点2 米处，所产生的力矩，等于1牛顿的作用力，施加于离支点6米处，所产生的力矩。

### 力矩的方向

力矩是个向量，其方向与它所造成的旋转运动的旋转轴同方向。力矩的方向可以用右手定则来决定，也可以用叉乘求得。假设作用力垂直于杠杆。将右手四指往杠杆的旋转方向弯卷，伸直的拇指与支点的旋转轴同直线，则拇指指向力矩的方向。

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### 力矩的方程

将此概念推广到更一般的状况，即无杠杆的情况下，如右下图：

假设作用力$\mathbf{F}\,\!$施加于位置为$\mathbf{r}\,\!$的粒子。选择原点为参考点，力矩$\boldsymbol{\tau}\,\!$以方程式定义为

$\boldsymbol{\tau}\ \stackrel{def}{=}\ \mathbf{r} \times \mathbf{F}\,\!$。

力矩大小为

$\tau= |\mathbf{r}||\mathbf{F}|\sin\theta\,\!$。

其中，$\theta\,\!$是两个向量$\mathbf{F}\,\!$与$\mathbf{r}\,\!$之间的夹角。

力矩大小也可以表示为

$\tau = rF_{\perp}\,\!$。

其中，$F_{\perp}\,\!$是作用力$\mathbf{F}\,\!$对于$\mathbf{r}\,\!$的垂直分量。

任何与粒子的位置向量平行的作用力不会产生力矩。

从叉积的性质，可推论，力矩垂直于位置向量$\mathbf{r}\,\!$和作用力$\mathbf{F}\,\!$。力矩的方向与旋转轴平行，由右手定则决定。

## 与角动量之间的关系

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假设一个粒子的位置为$\mathbf{r}\,\!$，动量为$\mathbf{p}\,\!$。选择原点为参考点，此粒子的角动量$\mathbf{L}\,\!$为

$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}\,\!$。

粒子的角动量对于时间的导数为

$\begin{align}\frac{d\mathbf{L}}{dt} & = \frac{d\mathbf{r}}{dt} \times \mathbf{p} + \mathbf{r} \times \frac{d\mathbf{p}}{dt} \\ & = \mathbf{v} \times m\mathbf{v} + \mathbf{r} \times m \frac{d\mathbf{v}}{dt} \\ <pre> & =\mathbf{r} \times m \mathbf{a} \\ </pre> \end{align}\,\!$。

其中，$m\,\!$是质量，$\mathbf{v}\,\!$是速度，$\mathbf{a}\,\!$是加速度。

应用牛顿第二定律，$\mathbf{F}=m\mathbf{a}\,\!$，可以得到

$\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}\,\!$。

按照力矩的定义，$\boldsymbol{\tau}\ \stackrel{def}{=}\ \mathbf{r} \times \mathbf{F}\,\!$，所以。

$\boldsymbol{\tau} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}\,\!$。

作用于一物体的力矩，决定了此物体的角动量$\mathbf{L}\,\!$对于时间$t\,\!$的导数。

假设几个力矩共同作用于物体，则这几个力矩的合力矩$\boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}}\,\!$共同决定角动量的对于时间的变化：

$\boldsymbol{\tau}_1 + \cdots + \boldsymbol{\tau}_n = \boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}\,\!$。

关于物体的绕着固定轴的旋转运动。

$\mathbf{L} = I\boldsymbol{\omega}\,\!$。

其中，$I\,\!$是物体对于固定轴的转动惯量，$\boldsymbol{\omega}\,\!$是物体的角速度。

所以，取上述方程式对时间的导数：

$\boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}(I\boldsymbol{\omega})}{\mathrm{d}t} = I\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d}t} = I\boldsymbol{\alpha}\,\!$。

其中，$\boldsymbol{\alpha}\,\!$是物体的角加速度。

## 单位

力矩的定义是距离乘以作用力。根据国际单位制，力矩的单位是牛顿$\cdot$米（Nm）。虽然牛顿与米的次序，在数学上，是可以交换的，但是国际计量局（Bureau International des Poids et Mesures）规定这次序应是牛顿$\cdot$米，而不是米$\cdot$牛顿。

根据国际单位制，能量与功量的单位是焦耳，定义为1牛顿$\cdot$米。但是，焦耳不是力矩的单位。因为，能量是力点积距离的标量；而力矩是距离叉积作用力的向量。当然，量纲相同并不尽是巧合，使1牛顿$\cdot$米的力矩，作用1 全转，需要恰巧$2\pi\,\!$焦耳的能量：

$E= \tau\theta\,\!$。

其中，$E\,\!$是能量，$\theta\,\!$是移动的角度，单位是弧度。

根据英制，力矩的单位是英尺$\cdot$磅。

## 矩臂方程式

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在物理学外，其他的学术界里，力矩时常会如以下定义：

$\boldsymbol{\tau} = (\text{moment arm}) \cdot \textrm{force}\,\!$。

右图显示出矩臂（moment arm）、前面所提及的相对位置$\mathbf{r}\,\!$、作用力$\mathbf{F}\,\!$（force）。这个定义并没有指出力矩的方向，只有力矩的大小。所以，并不适用于三维空间问题。

## 静力概念

当一个物体在静态平衡时，合力是零，对任何一点的合力矩也是零。二维空间的平衡要求是

$\sum F_x =0\,\!$。

$\sum F_y =0\,\!$。

$\sum \tau =0\,\!$。

这里，$F_x,\ F_y \,\!$是作用力$\mathbf{F}\,\!$分别在x-轴与y-轴的分量。假若，这三个联立方程式有解，则称此系统为静定系统；不然，则称为静不定系统。

## 力矩、能量和功率之间的关系

假设施加作用力于一物体，使得此物体移动一段距离，则作用力对于此物体做了机械功。类似地，假设施加力矩于一物体，使得此物体旋转一段角位移，则力矩对于此物体做了机械功。对于穿过质心的固定轴的旋转运动，以数学方程式表达。

$W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau\ \mathrm{d}\theta\,\!$。

其中，$W\,\!$是机械功，$\theta_1\,\!$、$\theta_2\,\!$分别是初始角和终结角，$\mathrm{d}\theta\,\!$是无穷小角位移元素。

根据功能定理，$W\,\!$也代表物体的旋转动能$K_{\mathrm{rot}}\,\!$的改变，以方程式表达。

$K_{\mathrm{rot}} = \tfrac{1}{2}I\omega^2\,\!$。

功率是单位时间内所做的机械功。对于旋转运动，功率$P\,\!$以方程式表达为

$P = \boldsymbol{\tau} \cdot \boldsymbol{\omega}\,\!$。

请注意，力矩注入的功率只跟瞬时角速度有关，而角速度是否在增加中，或在减小中，或保持不变，功率都与这些状况无关。

实际上，在与大型输电网络相连接的发电厂里，可以观察到这关系。发电厂的发电机的角速度是由输电网络的频率设定，而发电厂的功率输出是由作用于发电机转动轴的力矩所决定。

在计算功率时，必须使用一致的单位。采用国际单位制，功率的单位是瓦特，力矩的单位是牛顿-米，角速度的单位是每秒弧度（不是每分钟转速rpm，也不是每秒钟转速）。

## 力矩原理

力矩原理阐明，几个作用力施加于某位置所产生的力矩的总和，等于这些作用力的合力所产生的力矩。力矩原理又名伐里农定理(Varignon's theorem)（以法国科学家兼神父皮埃尔·伐里农命名），以方程式表达。

$(\mathbf{r}\times\mathbf{F}_1) + (\mathbf{r}\times\mathbf{F}_2) + \cdots = \mathbf{r}\times(\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2 + \cdots)\,\!$。

## 参阅

- 马力
- 扭力转换器
- 刚体动力学
- 机械平衡（mechanical equilibrium）
- 扭矩扳手（torque wrench）
- 力矩密度

## 外部链接

- 模拟力矩平衡的 Java小程式
- Torque and Angular Momentum in Circular Motion on Project PHYSNET.
- Torque Unit Converter