简谐运动

简谐运动，或称简谐振动、谐振、SHM（Simple Harmonic Motion），在平衡位置附近做周期性往复运动，即是最基本也是最简单的一种机械振动。当某物体进行简谐运动时，物体所受的力（或物体的加速度）的大小与位移的大小成正比，并且物体总是朝平衡位置移动。简谐运动时产生的振荡可以用正弦曲线来表示，并且如果不受摩擦或能量耗散的影响，振荡将无限持续下去。

如果用$F$表示物体受到的回复力，用$x$表示物体对于平衡位置的位移，根据胡克定律，$F$和$x$成正比，它们之间的关系可用下式来表示：

$F=-kx$

式中的$k$是回复力与位移成正比的比例系数；负号的意思是：回复力的方向总跟物体位移的方向相反。

根据牛顿第二定律“$F=ma$”当物体质量一定时，运动物体的加速度总跟物体所受合力的大小成正比，跟合力的方向相同，且系统的机械能守恒。

## 动力学方程

<image>

对于一维的简谐振动，其动力学方程是二阶微分方程，可由牛顿第二运动定律得到

$$F=ma=m\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}=m\ddot x$$

回复力又可表示为$F=-kx$

所以有$\ddot x+\frac{k}{m}x=0$

求解上述方程，得到的解含有正弦函数

$x(t) = c_1\cos\left(\omega t\right) + c_2\sin\left(\omega t\right) = A\cos\left(\omega t - \varphi\right)$，其中

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}},$$

$$A = \sqrt{{c_1}^2 + {c_2}^2},$$

$$\tan \varphi = \left(\frac{c_2}{c_1}\right),$$

$c_1$，$c_2$是由初始条件决定的常数。取平衡位置为原点，每项都有物理意义：$A$是振幅，$\omega = 2\pi f$是角频率。

加速度可以作为时间的函数得到

$$v(t) = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = - A\omega \sin(\omega t-\varphi)$$

$v_{max}=\omega A$（在平衡位置）

$$a(t) = \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = - A \omega^2 \cos( \omega t-\varphi)$$

$a_{max}=\omega^2 A$（在最大位移处）

加速度也可以通过位移的函数得到

$a(x) = -\omega^2 x\!$。

因为 $\omega = 2 \pi f$。

$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$。

又因为周期 $T = \frac{1}{f}$，所以：$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$。

以上方程说明了简谐振动具有等时性，即一个做简谐振动的质点运动周期和振幅以及相位无关。

## 线性回复力

在运动过程中，物体所受力的大小与它的位移的大小成正比，而力的方向与位移的方向相反。具有这种性质的力称为线性回复力。

## 弹簧

将一个有孔小球体与一个弹簧连在一在运动过程中，物体所受力的大小与它的位移的大小成正比，而力的方向与位移的方向相反。具有这种性质的力称为线性回复力。平杆穿入小球体，使球体可以在水平杆上左右滑动，而球体与水平杆的摩擦力小得可以忽略不计。将弹簧的一端固定住，弹簧的整体质量要比球体质量小得多，这样弹簧本身质量也可以忽略不计。这个系统便是一个弹簧振子。

弹簧振子系统在平衡状态下，弹簧没有形变，振子（小球体）在平衡位置保持静止。若把振子拉过平衡位置，到达最大幅度，再松开，弹簧则会将振子向平衡位置收回。在收回的过程中，弹簧的势能转换为振子的动能，势能在降低的同时，动能在增加。当振子到达平衡位置时，振子所积累的动能又迫使振子越过平衡位置，继续向同样的方向移动。但因已越过弹簧振子系统的平衡位置，所以这时弹簧开始对振子向相反方向施加力。动能转作势能，动能降低，势能上升，直至到达离平衡位置最大幅度的距离。这时振子所有的动能被转化为势能，振子速度为零，停止运动。势能又迫使振子移回平衡位置，在移动过程中，势能转为动能，因而再次越过平衡位置，重复这个过程。在没有任何其他力影响的完美的条件下，这个弹簧振子系统会在两个最大幅度点间不停地做往返运动。弹簧振子的固有周期和固有频率与弹簧弹力系数和振子质量有关，与振幅大小无关。

## 振幅、周期和频率

1.振幅

振幅$A$代表质点偏离中心（平衡位置）的最大距离，它正比于$\sqrt{E}$，即它的平方正比于系统的机械能E。

2.角频率

角频率：$\omega=2 \pi f$, 频率f为周期T的倒数。

其中$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$。推导过程：

$$x=A\cos ({ \omega t + \phi })$$

对于时间t求导， $v=-A\omega\sin ({\omega t + \phi})$

再关于时间t求导，$a=-A\omega^2\cos ({ \omega t + \phi })$

由牛顿第二定律得$a = \frac {F}{m} = \frac {-kx}{m} = \frac {-A\cos ({ \omega t + \phi })k}{m}$

两式联立得$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$。

下图为简谐运动的图像，表示的是振动物体的位移随时间变化的规律。是一条正弦或余弦曲线。

<image>

这个运动是假设在没有能量损失引致阻尼的情况而发生。振幅描绘了振动的强弱，是标量，大小为最大位移的大小，质点在一次全振动过程中通过的路程等于4倍振幅。完成一次全振动的时间叫周期，单位时间内完成全振动的次数叫频率，周期和频率描绘了振动的快慢。

## 简谐振动的判定

如果一个质点在运动中所受的合外力是一个简谐力

$$F = - k x$$

即合外力的大小与位移成正比且方向相反，那么我们称这个质点的运动是简谐振动。在弹簧振子模型中，比例系数$k$即为弹簧系数，或称倔强系数（劲度系数）。

如果一个质点的运动方程有如下形式

$$x = A \cos{( \omega t + \phi)}$$

即，质点的位移随时间的变化是一个简谐函数，显然此质点的运动为简谐振动。

如果一个质点的动力学方程可以写成

$$\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} + \omega^2 x = 0$$

其中$\omega^2$为正的实数。则质点的运动是一个简谐振动

如果质点在运动过程中具有形式为$( \frac{1}{2} k x^2)$的弹力势能，且

$$\frac {1}{2} m v^2 + \frac {1}{2} k x^2 = E$$

则质点的运动为简谐振动

应该说明：

- 以上各判定方法是完全等价的。
- 以上各表达式中的$x$既可以是线量（线位移），又可以是角量（角位移），相应的，速度可以为线速度和角速度，对应的加速度是线加速度和角加速度。

## 例子

### 弹簧

把质量为$M$的物体悬挂在弹力常数为k的弹簧的底端，则物体将进行简谐运动，其方程为：

$$\omega=2 \pi f = \sqrt{\frac{k}{M}}.\,$$

如果要计算它的周期，可以用以下的公式：

$T= \frac{1}{f} = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{k}}$。

总能量是常数，由方程$E = \frac{kA^2}{2}$给出。

### 等速率圆周运动

等速率圆周运动的一维投影是简谐运动。如果物体以$\omega$的角速率沿着半径为$R$的圆移动，则它在x轴、y轴或任意一条直径上的投影会是简谐运动，其振幅为$R$，角速率为$\omega$。

### 单摆

在偏角不太大的情况（一般认为小于5°）下，单摆的运动可以近似地视为简谐运动。如果单摆的长度为$\ell$，重力加速度为$g$，则周期为：

$$T= 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$$

这个公式仅当偏角很小时才成立，因为角加速度的表达式是与位置的正弦成正比的：

$$\ell m g \sin(\theta)=I \alpha$$

其中I是转动惯量，在这种情况下$I = m\ell^2$。当$\theta$很小时，$\sin(\theta) \approx \theta$，因此上式变为：

$$\ell m g \theta=I \alpha$$

这使得角加速度与$\theta$成正比，满足了简谐运动的定义。单摆的回复力是摆球的重力沿运动方向的分力。

## 参阅

- 平移运动
- 匀速运动
- 平抛运动
- 曲线运动