组合

在组合数学，一个集的元素的组合是一个子集。S的一个k-组合是S的一个有k个元素的子集。若两个子集的元素完全相同并顺序相异，它仍视为同一个组合，这是组合和排列不同之处。

## 表示方式

从 n 个不同元素中取出 k 个元素的所有不同组合的个数，称为从 n 个不同元素中取出 k 个元素的组合数，记做：$C (n, k)$、${}_{n}C_{k}$、${}^{n}C_{k}$、$C^n_k$（英语、香港、台湾）、$C_n^k$（法语、罗马尼亚语、俄语、中国内地、波兰语）。

## 理论与公式

从$n$个元素中取出$k$个元素，$k$个元素的组合数量为：

$$C^n_k ={n \choose k} = \frac{P^n_k}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

以六合彩为例。在六合彩中从49颗球中取出6颗球的组合数量为：

$$C^{49}_{6} = {49 \choose 6} = \frac{49!}{6!43!} = 13983816$$

## 在集合中取出k项元素

<image>

## 重复组合理论与公式

从$n$个元素中取出$k$个元素，$k$个元素可以重复出现，这组合数量为：

$$H_k^n = C_{n-1}^{n+k-1}$$

以取色球为例，每种颜色的球有无限多颗，从8种色球中取出5颗球，好比是在5颗球间画上分隔号“|”代表球色的分布情形(隔板法)。例如第1种色球取1颗，第2种色球取2颗，第3种色球取2颗可以表示成：

球|球球|球球| | | | |

可以理解为8类球每类取多少个，一起构成5个球。我们把5个球排成一排，用7个分隔线去隔开。如上图，表示含义：第1根线前表示第一类球取的个数，第1根和第2根线表示第二类球取的个数...第6第7根线前表示第七类球的个数，第7根后表示第八类球的个数。亦即问题是从(5+8-1)个位置中挑选出(8-1)个位置摆分隔号，这组合数量为：

$$H_5^8 = C_{8-1}^{5+8-1} = C_7^{12} = \frac{12!}{7!5!} = 792$$

因为组合数量公式特性，重复组合转换成组合有另一种公式为：

$$H_k^n=C_{n-1}^{n+k-1}=\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}=C_{k}^{n+k-1}$$

另外$H_k^n$也可以记为$F_k^n$或$\left(\!\!\binom{n}{k}\!\!\right)$

$$F_k^n = H_k^n$$

$$\left(\!\!\binom{n}{k}\!\!\right) = H_k^n$$

## 取值范围的扩充

在$C_k^n$的定义中，由于它有意义的范围必须是满足条件$n \ge k \ge 1$，所以其他范围必须另外定义，我们有:

$C_k^n = \begin{cases} 1, & k = 0 \\ 0, & (0 \leq n < k) \lor (k < 0 \leq n)\\ (-1)^{k} C_k^{|n| + k - 1}, & (n<0) \land (k > 0) \\ (-1)^{n + k} C_{|n| - 1}^{|k| - 1}, & (n<0) \land (k < 0) \end{cases}$

## 演算范例

### 组合 C

#### 循环法

```cpp
/***********************/
/** This is C++ code. **/
/**   Comb  Example   **/
/***********************/

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

bool next_comb(vector<int>& comb, const int n, const int k) {
    int i = k - 1;
    const int e = n - k;
    do
        comb[i]++;
    while (comb[i] > e + i && i--);
    if (comb[0] > e)
        return false;
    while (++i < k)
        comb[i] = comb[i - 1] + 1;
    return true;
}

int main() {
    int n, k;
    cout << "comb(n, k):" << endl;
    cin >> n >> k;

    if (n < k || k <= 0) {
        cout << "Invalid input: n must be >= k and k must be > 0." << endl;
        return 0;
    }

    vector<int> comb(k);
    for (int i = 0; i < k; i++)
        comb[i] = i;

    do {
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            cout << comb[i] + 1;
            if (i < k - 1) cout << ',';
        }
        cout << endl;
    } while (next_comb(comb, n, k));

    return 0;
}
```

#### 递回法

```cpp
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

namespace comb {
int n, k;
int arr[12];
int count;
bool arrsame(int site) {
	if (site > 0 && arr[site - 1] >= arr[site])
		return 0;
	return 1;
}
inline void arrprint() {
	for (int i = 0; i < k; i++)
		printf("%3d", arr[i]);
	puts("");
	count++;
}
void calculate(int now) {
	if (now == k) {
		arrprint();
		return;
	}
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		arr[now] = i;
		if (arrsame(now)) {
			calculate(now + 1);
		}
	}
}
inline void run(int nn, int kk) {
	n = nn, k = kk;
	count = 0;
	if (k < 12 && n >= k && k > 0)
		calculate(0);
	if (count)
		printf("\n%d combination.\n\n", count);
	else
		puts("Input error!");
}
}

int main() {
	int n, k;
	while (scanf("%d%d", &n, &k) != EOF) {
		comb::run(n, k);
		fflush(stdout);
	}
	return 0;
}
```

### 重复组合 H

#### 循环法

```cpp
/***********************/
/** This is C++ code. **/
/**  ReComb  Example  **/
/***********************/

#include <iostream>
using namespace std;
bool next_re_comb(int* recomb, const int n, const int k) {
	int i = k - 1;
	do
		recomb[i]++;
	while (recomb[i] > n - 1 && i--);
	if (recomb[0] > n - 1)
		return 0;
	while (++i < k)
		recomb[i] = recomb[i - 1];
	return 1;
}
int main() {
	int n, k;
	cout << "recomb(n,k):" << endl;
	cin >> n >> k;
	if (n <= 0 || k <= 0)
		return 0;
	int* recomb = new int[k];
	for (int i = 0; i < k; i++)
		recomb[i] = 0;
	do
		for (int i = 0; i < k; cout << ((++i < k) ? ',' : '\n'))
			cout << recomb[i] + 1;
	while (next_re_comb(recomb, n, k));
	delete[] recomb;
	return 0;
}
```

#### 递回法

```cpp
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

namespace re_comb {
int n, k;
int arr[12];
int count;
bool arrsame(int site) {
	if (site > 0 && arr[site - 1] > arr[site])
		return 0;
	return 1;
}
inline void arrprint() {
	for (int i = 0; i < k; i++)
		printf("%3d", arr[i]);
	puts("");
	count++;
}
void calculate(int now) {
	if (now == k) {
		arrprint();
		return;
	}
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		arr[now] = i;
		if (arrsame(now)) {
			calculate(now + 1);
		}
	}
}
inline void run(int nn, int kk) {
	n = nn, k = kk;
	count = 0;
	if (k < 12 && k > 0)
		calculate(0);
	if (count)
		printf("\n%d combination.\n\n", count);
	else
		puts("Input error!");
}
}

int main() {
	int n, k;
	while (scanf("%d%d", &n, &k) != EOF) {
		re_comb::run(n, k);
		fflush(stdout);
	}
	return 0;
}
```

## 推广

组合数可以推广到多分类的情形，我们将n个物品分为m份，每份的个数分别为:$k_1,k_2\cdots k_m$个，那么，总的分类数为

$$\binom{n}{k_1,k_2,\cdots, k_m}=\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!}$$