因式分解

因式分解 (英语: factorization)，此处特指多项式因式分解（Polynomial Factorization），是代数学中的一种运算，指将一个多项式表示为两个或多个较低次多项式的乘积。其目的通常是将原本较复杂的多项式转化为较简单的形式，以利于求根、化简或进一步分析。

例如：

单元多项式$x^2 - 1^2$可被因式分解为$\left( x+1 \right) \left( x-1 \right)$。

又如二元多项式$x^2 - y^2$因式分解为$\left( x+y \right) \left( x-y \right)$。

如果将系数域由整数扩张至复数域，则。

$x^2 + 1^2$可被因式分解为$\left( x+i \right) \left( x-i \right)$。

通常，多项式因式分解最终会写为若干不可约多项式（irreducible）的乘积。

## 定义

数域$P$上每个高于一次的多项式$f(x)$都可以分解为该数域P上的多个不可约多项式$p_i(x)$的乘积，为因式分解。

在复数域上，每个不可约多项式都是一次的，因此高于一次的复系数多项式，都可以唯一地分解为多个一次式之积。

在实数域上，不可约的多项式都是一次或二次的，因此高于一次的实系数多项式，都可以唯一地分解为一次、二次多项式之积。

在有理数域上，不可约多项式可以有任何次。例如，在有理数范围内，当$n$为正整数时，关于$x$的多项式$x^n + 2$无法再分解。

## 因式分解定理

数域F上每个次数$\ge 1$的多项式$f(x)$都可以分解成数域F上一些不可约多项式的乘积，并是唯一的，即如果有两个分解式

$$f(x)=p_1(x)p_2(x)p_3(x) \cdots p_s(x)=q_1(x)q_2(x) \cdots q_t(x)$$

其中$p_i(x)(i=1,2,\cdots,s)$和$q_j(x)(j=1,2,\cdots,t)$都是数域F上的不可约多项式，那么必有$s=t$，而且可以适当排列因式的次序，使得

$p_i(x)=c_iq_i(x)(i=1,2,\cdots,s)$,其中$c_i(i=1,2,\cdots,s)$是一些非零常数

## 分解方法

### 公因式分解(抽)

原则：

- 分解必须要彻底（即分解后之因式均不能再做分解）
- 结果最后只留下小括号
- 结果的多项式首项为正。

在一个公式内把其公因子抽出，例子：

- $$7a+98ab$$
- 其中，$7a$是公因子。因此，因式分解后得到的答案是：$7a(1+14b)$
- $$51a^4b^7+24a^3b^2+75a^5b^5$$
- 其中，$3a^3b^2$是公因子。因此，因式分解后得到的答案是：$3a^3b^2(17ab^5+25a^2b^3+8)$

### 公式法

两个立方数之和$$a^3 + b^3 = (a +b)(a^2 - ab + b^2)$$

两个立方数之差$$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$

两个n次方数之差$$a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^{2}...... ab^{n-1}+ b^{n-1})$$

两个奇数次方数之和$$a^n + b^n = (a + b) (a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^{2}...... ab^{n-1}+ b^{n-1})$$

### 分组分解法

透过公式重组，然后再抽出公因数，例子：

$$\begin{align} &3a^2b-5y+12a^3b^2-20aby\\ =& (3a^2b+12a^3b^2)-(5y+20aby)\\ =& 3a^2b(1+4ab)-5y(1+4ab)\\ =& (1+4ab)(3a^2b-5y) \end{align}$$

$$\begin{align} &15n^2+2m-3n-10mn \\ =&(15n^2-3n)+(2m-10mn) \\ =&3n(5n-1)+2m(1-5n) \\ =&3n(5n-1)-2m(5n-1) =&(5n-1)(3n-2m) \end{align}$$

### 拆添项法

透过添项然后减掉，然后再抽出公因数，例子：

$$\begin{align} &x^4+x^2+1 \\ =&x^4+x^2+x^2-x^2+1 \\ =&x^4+2x^2-x^2+1 \\ =&x^4+2x^2+1-x^2 \\ =&\left(x^2+1\right)^2-x^2 \\ =&\left(x^2+1-x\right)\left(x^2+1+x\right) \\ =&\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)\end{align}$$

或者透过分裂某项，然后再抽出公因数，例子：

$$x^3-7x+6$$

其中，$-7x$可以被拆成$-x$和$-6x$。所以，$x^3-7x+6$可以被写成$x^3-x-6x+6$。因此。

$$\begin{align} &x^3-7x+6 \\ =&x^3-x-6x+6 \\ =&\left(x^3-x\right)-\left(6x-6\right) \\ =&x\left(x^2-1\right)-6\left(x-1\right) \\ =&x\left(x+1\right)\left(x-1\right)-6\left(x-1\right) \\ =&\left[x\left(x+1\right)-6\right]\left(x-1\right) \\ =&\left(x^2+x-6\right)\left(x-1\right) \end{align}$$

其中，$+x$可以被拆成$+3x$和$-2x$。所以，$x^2+x-6$可以被写成$x^2+3x-2x-6$。因此。

$$\begin{align} &\left(x^2+x-6\right)\left(x-1\right) \\ =&\left(x^2+3x-2x-6\right)\left(x-1\right) \\ =&\left[\left(x^2+3x\right)-\left(2x+6\right)\right]\left(x-1\right) \\ =&\left(x\left(x+3\right)-2\left(x+3\right)\right)\left(x-1\right) \\ =&\left(x-2\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right) \\ =&\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x+3\right) \end{align}$$

### 十字交乘法

十字交乘法（cross method），也叫做十字相乘法。它实际上是拆添项法的一个变形，只不过用十字形矩阵来表示。

## 一次因式检验法

一个整系数的一元多项式$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ...... a_1 x + a_0$，假如它有整系数因式$p x + q$，且p,q互质，则以下两条必成立：（逆叙述并不真）

- $$p | a_n$$
- $$q | a_0$$

不过反过来说，即使当$p | a_n$和$q | a_0$都成立时，整系数多项式$p x + q$也不一定是整系数多项式$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ...... a_1 x + a_0$的因式

另外一个看法是：

一个整系数的ｎ次多项式$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ...... a_1 x + a_0$，若$p x - q$是f(x)之因式，且p,q互质，则：（逆叙述并不真）

- $$p - q | f(1)$$
- $$p + q | f(-1)$$

## 延伸阅读

- Burnside, William Snow; Panton, Arthur William (1960) 1912, The Theory of Equations with an introduction to the theory of binary algebraic forms (Volume one), Dover
- Dickson, Leonard Eugene (1922), First Course in the Theory of Equations, New York: John Wiley & Sons
- Fite, William Benjamin (1921), College Algebra (Revised), Boston: D. C. Heath & Co.
- Klein, Felix (1925), Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint; Arithmetic, Algebra, Analysis, Dover
- Selby, Samuel M., CRC Standard Mathematical Tables (18th ed.), The Chemical Rubber Co