代数数域

代数数域是数学中代数数论的基本概念，数域的一类，有时也被简称为数域，指有理数域$\mathbb{Q}$的有限扩张形成的扩域。任何代数数域都可以视作$\mathbb{Q}$上的有限维向量空间。

对代数数域的研究，或者更一般地说，对有理数域的代数扩张的研究，是代数数论的中心主题。

## 定义

### 预备知识

代数数域是域的一类。域是装备了两个二元运算（通常称之为“加法”、“乘法”）的代数系统。这两种运算各自满足结合律与交换律，完全可逆，同时乘法对加法满足分配律（详细定义参见域）。域的一个重要的例子是有理数域$\mathbb{Q}$。

域的扩张

域的扩张研究各类域之间的关系，最早的应用包括多项式方程一般求根公式问题等。在给定的域F中加入不属于此域的元素（一般以集合S记录），规定相互间的运算法则后，“最小的”将它们都包含在内的域L称为“F（添加S中元素得到）的扩域”。称F是L的子域。一般将“F到L的域扩张”记作F⊂L或L/F。

向量空间

另一个基础概念是向量空间。向量空间，特别是有限维向量空间的概念是三维空间以及其中向量概念的推广（具体定义参见向量空间条目）。以某个域F为系数域的向量空间（通常称作F上的向量空间或F-向量空间），其中的向量除了可以相加减，还可以乘以F中元素进行放缩。有限维的向量空间可以借助其中的有限个向量来刻画。这些向量之间必须满足特定的条件，称为空间的基。选定了空间的基以后，空间里的任何向量都可以表达为以F中元素组成的有序数组：$(x_1, x_2, \cdots , x_n)$。其中的n是基中向量的个数，也称为空间的维数。

有限扩张

设L是域F的一个扩域。将L中的元素看作向量，以F作为系数域，可以证明L是一个F-向量空间。如果这个向量空间是有限维的，就称L是F的有限扩张。L作为F-向量空间的维数，称为扩张的次数，记作L : F。

### 定义

若域L是有理数域$\mathbb{Q}$的有限扩张，则称之为代数数域。

## 例子

最小最基本的代数数域是有理数域$\mathbb{Q}$。因为$\mathbb{Q}$自身是$\mathbb{Q}$向量空间，维数是1。因此$\mathbb{Q}$是$\mathbb{Q}$自身的域扩张，$[\mathbb{Q} : \mathbb{Q}] = 1.$

高斯有理数$\mathbb{Q}(i)$（i为虚数单位）是数学家发现的第一个非平凡代数数域的例子，它是所有形同：

$$a + bi , \; \; a, b \in \mathbb{Q}$$

数构成的集合。可以证明，$\mathbb{Q}(i)$是域，而且是$\mathbb{Q}$向量空间，以$\{1, i \}$为基，空间维数是2。所以$\mathbb{Q}(i)$是$\mathbb{Q}$的二次扩张，$[\mathbb{Q}(i) : \mathbb{Q}] = 2.$

给定不是完全平方数的正整数或相反数不是完全平方数的负整数d，二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$在$\mathbb{Q}$中添加d的平方根而得的扩域。与高斯有理数域类似，可以证明$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$是$\mathbb{Q}$向量空间，以$\{1, \sqrt{d} \}$为基，空间维数是2，即$[\mathbb{Q}(\sqrt{d}) : \mathbb{Q}] = 2.$

考虑多项式方程$x^n = 1$的n个复根$\xi_1, \xi_2, \cdots , \xi_n$，它们被称做n次单位根，具体可以写作：

$$\xi_i = e^{\frac{2i\pi}{n}}, \; \; i \in \{0, 1, \cdots, n-1 \}.$$

在$\mathbb{Q}$中添加$\xi_1, \xi_2, \cdots , \xi_n$得到的扩域称为n次分圆域，记作$\mathbb{Q}(\xi_n)$。可以证明$\mathbb{Q}(\xi_n)$是有限维$\mathbb{Q}$向量空间，维数为$\varphi(n)$（$\varphi$是数论中的欧拉函数），即$[\mathbb{Q}(\xi_n) : \mathbb{Q}] = \varphi(n).$

实数域$\mathbb{R}$、复数域$\mathbb{C}$和p进数域$\mathbb{Q}_p$都不是$\mathbb{Q}$的有限扩张，因此都不是代数数域。任何有限域都不是$\mathbb{Q}$的扩域，因此也不是代数数域。

全体规矩数构成的域$\mathcal{C}$和全体代数数构成的域$\mathcal{A}$（有时也被简称为代数数域，与本文主题同名，但不是同一个概念）不是$\mathbb{Q}$的有限扩张，因此都不是代数数域。

## 代数数域与代数数

代数数是指能够成为某个有理数系数多项式（不是零多项式）的根的数。显然所有的有理数都是代数数。给定一个代数数域L，依定义，域扩张$\mathbb{Q} \subset L$是有限扩张。设其次数为正整数m

$\mathbb{Q}$。将L看作是m维$\mathbb{Q}$向量空间，在L中任意选一个不属于$\mathbb{Q}$的数z，它可以被看作是m维$\mathbb{Q}$向量空间中的一个（非零）向量。考虑以下的m + 1个向量：

$$1, z, z^2, \cdots, z^m$$

它们都属于L。根据向量空间的性质，它们是线性相关的。即存在不全为零的m + 1个有理数：$a_0, a_1, \cdots , a_m$，使得：

$a_0 + a_1 z + \cdots + a_m z^m = 0$.

考虑非零多项式$P = a_0 + a_1 X+ \cdots + a_m X^m$，$P(z) = 0$，即z是多项式$P$的根。所以z是代数数。由上可知，任一代数数域的元素都是代数数。

## 代数整数

代数整数是指能够成为某个首一整数系数多项式的根的数。显然代数整数是一种代数数。任何整数n都是一次整系数多项式X - n的根，因此是代数整数。给定代数数域F，F中所有代数整数构成一个环，称作F中的（代数）整数环，也称为F-整数环，记作$\mathcal{O}_F$。例如$\mathbb{Q}$上的代数整数环就是$\mathbb{Z}$，因此在代数数域研究中$\mathbb{Z}$也被称作“有理整数”（有理数域中的整数），以区别于其余的代数整数。

代数数域F中的整数环$\mathcal{O}_F$与$\mathbb{Z}$有不同的代数性质。$\mathcal{O}_F$不一定是唯一分解整环。举例来说，设$F = \mathbb{Q}(\sqrt{-5})$，F中的整数环是$\mathcal{O}_F = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$。$2, 3, 1+\sqrt{-5}, 1-\sqrt{-5}$都是$\mathcal{O}_F$中的“素数”

$\mathcal{O}_F$。正整数6，作为$\mathcal{O}_F$中的元素，它的素因数分解有两种方式：

$$6 = 2 \times 3 = \left(1+\sqrt{-5}\right) \times \left(1 - \sqrt{-5}\right) .$$

有理整数的唯一分解性质在不少代数数域的整数环中失效。这个事实说明了拉梅对费马大定理的证明是错误的。为此库默尔等引进了理想数来作为弥补，由此发展出理想理论。代数数论中一个重要的事实是：$\mathcal{O}_F$的每个理想都可以唯一表示为素理想的乘积，即为戴德金整环。这种“理想的唯一素分解”可部分弥补“代数整数一般不能唯一素因子分解”的不足，在历史上使代数数论发展起来。

## 代数数域的基

### 整数基

设F为n次代数数域，F的整数基是任一由n个F-整数组成的集合：

$$B = \{b_1, b_2, \cdots, b_n \}$$

使得任一个F-整数x都能唯一地表示为这n个F-整数的整线性组合，即：

$\forall x \in \mathcal{O}_F, \; \; \exists ! \; (m_1, m_2, \cdots, m_n) \in \mathbb{Z}^n$，使得$x = m_1 b_1 + m_2 b_2 + \cdots + m_n b_n.$

换句话说，整数基B是$\mathcal{O}_F$作为自由$\mathbb{Z}$模的基。给定F的一组整数基B，可以证明，所有F中元素x都可以唯一地表示为其中元素的有理线性组合，即：

$\forall x \in F, \; \; \exists ! \; (q_1, q_2, \cdots, q_n) \in \mathbb{Q}^n$，使得$x = q_1 b_1 + q_2 b_2 + \cdots + q_n b_n.$

这说明B是F作为n维$\mathbb{Q}$向量空间的一组基。而且由于B中元素都是F-整数，故B名为整数基。此外可以证明，x是F-整数当且仅当所有$q_1, q_2, \cdots, q_n$都是有理整数。

### 乘幂基

设F为n次代数数域。作为n维$\mathbb{Q}$向量空间，F包含如下形式的基：

$$B = \{ 1, \beta, \beta^2, \cdots , \beta^{n-1} \}$$

其中每个元素都是某个特定的数β的乘幂。根据域扩张理论中的本原元定理，这样的β一定存在，称为域扩张$\mathbb{Q} \subset F$的本原元。如果β不仅是本原元，还是F-整数，那么这时B也是整数基，称作乘幂整数基，称F为单衍域（monogenic field）。

## 参考来源

- Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
- Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999
- Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005
- Andre Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995