循环小数

<image>

循环小数，也称为无限循环小数，是从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现的小数。

## 定义

循环小数都为有理数的小数表示形式，例：

$${5 \over 4}=1.25=1.25000000\cdots=1.25\overline{0}=1.24999999\cdots=1.24\overline{9}$$

$${1 \over 3}=0.3333333\cdots=0.\overline{3}$$

$${1 \over 7}=0.{\color{red}142857}{\color{blue}142857}\cdots=0.\overline{142857}$$

## 性质

- 一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。若该数为素数，循环节位数一定是N-1的因数（参见：费马伪素数）。为了证明这点，可用反证法。假设$n$的循环节为m，令m>n。将1/n乘以10，循环往复操作，会得到不同的余数。根据余数定义，余数的个数等于分母本身。又因为当余数为0的时候是整数而非循环小数，所以只有n-1种循环节。若长度为m位，则必有(m-n+1)种循环节无法轮替，所以一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。
- 根据分数$\frac{b}{a}$的情况分开讨论

1.除数a为$2^m\times 5^n\times K$的倍数时，$b\div a$有max(m,n)个不循环位数，其中$b$为任意自然数，$K$为非$2^m,5^n$之其他数。

2.如果$1 \leqslant b < a$，a不是2或5的倍数，并且a与b互质，那么存在一个正整数e，e为$b\div a$的循环节位数，而e=$\operatorname{min}\left \{ e\in \mathbb{N}:10^e\equiv 1 \pmod{a} \right \}$。

$10^e \equiv 1 \pmod{a}$表示$10^e-1$可以整除a，或称$10^e$与1同余）

事实上以该参考文献的定理一公式推导式子:$\frac {10^d \times b}{a} = q +\frac {b}{a}$来看，$b>a$也成立，例如$\frac{2}{7}$与$\frac{9}{7}$，两者循环小数一致，因为$\frac{8}{7}=1+\frac{1}{7}$，只差别在商，余数皆为1(同余)故成立。

3.承接以上两点，当除数a可以质因数标准分解式表示成$(2^m\times 5^n)\times (P1^{S1}\times P2^{S2}\times$⋯$\times Pn^{Sn})$时，会有max(m,n)个不循环位数，和$E$个循环节位数。

其中，$P1^{S1}$, $P2^{S2}$,⋯,$Pn^{Sn}$分别各有e1,e2,...,en个循环节位数，存在一个最小公倍数$E=[$e1,e2,...,en$]$。

例：$\frac{11}{2^2\times3^2\times5^3\times7\times17}$的循环节个数？

答：前三位不循环（2 和 5 的最高次方为 3），循环节个数是 48（因为$3^2$的循环节位数为1，7的循环节位数为6，17的循环节位数为16，1,6,16=48）

## 化为分数的方法

0.xxx...=x/((10^(上取(log(x))))-1)

(可能未约至最简)

(⬇另一方法)

- 先看有几位“非循环节位数（${\color{blue}n\,\!}$）”和“循环节位数（${\color{red}m\,\!}$）”，算出后，将${\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ {\color{red}m\,\!} \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ 000 \cdots 0 } \\ {\color{blue}n\,\!} \end{matrix}}$摆于“分母”。
- “分子”则是将“非循环节部分”和“循环节部分”并为一个数字，将其减去“非循环节部分”，即$a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n$，详细公式如下。
- 公式：$0. a_1 a_2 a_3 \cdots a_{\color{blue}n\,\!} \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_{\color{red}m\,\!} }={{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {{\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ {\color{red}m\,\!} \end{matrix}}{\begin{matrix} \underbrace{ 000 \cdots 0 } \\ {\color{blue}n\,\!} \end{matrix}}}}$
- 令$x=0. a_1 a_2 a_3 \cdots a_n \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_m }$。
- 则$10^n x=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n . \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_m }$──①式。
- $10^{n+m} x=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m . \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_m }$──②式。
- ②－①⇒$\left( 10^{n+m}-10^n \right)x=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n$。
- $\begin{align} x & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {10^{n+m}-10^n}} \\ <pre> & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {10^n\left( 10^m-1 \right)}} \\ & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {\begin{matrix} \underbrace{ 1000 \cdots 0 } \\ n \end{matrix}} \times {\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ m \end{matrix}}} \\ & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {{\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ m \end{matrix}}{\begin{matrix} \underbrace{ 000 \cdots 0 } \\ n \end{matrix}}}} \\ </pre> \end{align}$。
- 范例：$0.1 \overline{23} = \frac{123-1}{990} = \frac{61}{495}$。
- 令$x = 0.1 \overline{23}$
- 则$10x = 1 . \overline{23}$、$1000x = 123 . \overline{23}$
- 两式相减得$\left( 1000-10 \right)x = 123-1$，$990x = 122\,\!$
- ∴$x = \frac{61}{495}$。

## 计算方法

利用短除法可以将分数(有理数，$\mathbb{Q}$)转化为循环小数。

例如$\frac{3}{7}$可以用短除法计算如下：

```
7|<u>3.00000000000000000</u>
  0.42857142857142857...
```

## 表示方法

循环小数在不同国家地区都有不同的表示惯例，但没有一种惯例是通用的。

分数｜括线｜上点｜括号｜弧线｜省略号

1｜0.1｜0.｜0.(1)｜0.1｜0.111...

1｜= 3｜0.3｜0.｜0.(3)｜0.3｜0.333...

2｜= 6｜0.6｜0.｜0.(6)｜0.6｜0.666...

9｜= 81｜0.81｜0.｜0.(81)｜0.81｜0.8181...

7｜= 525｜0.583｜0.58｜0.58(3)｜0.583｜...

1｜=｜0.｜0.4285｜0.(142857)｜0.｜...

1｜=｜0.｜0.1234567｜0.(012345679)｜0.｜...

22｜=｜3.｜3.4285｜3.(142857)｜3.｜...

593｜=｜11.｜11.88679245283｜11.(1886792452830)｜11.｜...

- 括线：在美国、加拿大、印度、法国、德国、意大利、瑞士、捷克共和国、斯洛伐克、斯洛文尼亚、智利和土耳其，惯例是在重复的循环节上方绘制一条水平线（括线）。
- 上点：在一些伊斯兰国家，如马来西亚、摩洛哥、巴基斯坦、突尼西亚、伊朗、阿尔及利亚和埃及，以及英国、新西兰、澳大利亚、南非、日本、泰国、印度、大韩民国、新加坡和中国，惯例是将点放在重复的循环节最外围的数字上方。
- 括号：在欧洲的部分地区，包括奥地利、丹麦、芬兰、荷兰、挪威、波兰、俄罗斯和乌克兰，以及越南和以色列，惯例是将重复的循环节放在括号中。这会与标准不确定性的符号混淆。
- 弧线：在西班牙和一些拉丁美洲国家，例如阿根廷、巴西和墨西哥，括线和上点以重复的循环节上的弧线替代。
- 省略号：非正式地，重复小数通常用省略号表示（三个句点，0.333…），尤其是在学校首次教授以前的符号惯例时。这种符号会带来不确定性，即哪些数字应该循环，甚至是否会发生循环，因为这种省略号也用于无理数；例如，Π可以表示为3.14159…。

## 缺点

### 不唯一性

使用循环小数表示有理数的缺点在于表示方式的不唯一性，例如$1.000000\cdots=1.\overline{0}=0.\overline{9}=0.999999\cdots$

### 与进位制系统密切相关

由于循环小数与进位制系统密切相关，使得一些简单的有理数在循环小数表示法中的表示形式相当复杂。如：${1 \over 17}=0.{\color{red}0588235294117647}{\color{blue}0588235294117647}\cdots=0.\overline{0588235294117647}$

但在某些进位制当中反而因为循环节较短，使得看起来相当简单。如${1 \over 17}={1 \over 11}_{(16)}=0.{\color{red}0F}{\color{blue}0F}\cdots_{(16)}=0.\overline{0F}_{(16)}$

又或${1 \over 17}={1 \over 10}_{(17)}=0.1_{(17)}$