质数定理

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在数论中，素数定理（Prime number theorem）描述素数在自然数中分布的渐进情况，给出随着数字的增大，质数的密度逐渐降低的直觉的形式化描述。1896年法国数学家雅克·阿达马和比利时数学家德·拉·瓦莱布桑先后独立给出证明。证明用到了复分析，尤其是黎曼ζ函数。

素数的出现规律一直困惑着数学家。一个个地看，素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看，素数的个数竟然有规可循。对正实数x，定义π(x)为素数计数函数，亦即不大于x的素数个数。数学家找到了一些函数来估计π(x)的增长。以下是第一个这样的估计。

$$\pi(x)\approx\frac{x}{\ln\,x}$$

其中 ln x 为 x 的自然对数。上式的意思是当 x 趋近无限，π(x)与x/ln x的比值趋近 1。但这不表示它们的数值随着 x 增大而接近。

下面是对π(x)更好的估计：

$\pi(x)={\rm Li} (x) + O \left(x e^{-\frac{1}{15}\sqrt{\ln\,x}}\right)$，当x 趋近∞。

其中${\rm Li} (x) = \int_2^x \frac{dt}{\ln\,t}$（对数积分），而关系式右边第二项是误差估计，详见大O符号。

## 叙述

定义 π(x) 为素数计数函数，也就是小于等于x 的质数个数。例如 π(10)=4，因为共有 4 个质数小于等于 10，分别是 2、3、5、7。质数定理的叙述为：当 x 趋近无限，π(x) 和 $\frac{x}{\ln x}$ 的比值趋近 1。其数学式写做

$\lim_{x\to\infty}\frac{\;\pi(x)\;}\frac{x}{\ln(x)}=1$。

浅白的说，当 x 很大的时候，π(x) 差不多等于 $\frac{x}{\ln x}$。该定理被认为是质数的渐进分布定律，以渐进符号可简化为

$\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}$。

注意到，上式并不是说指随着 x 趋近无限，$\pi(x)$ 与 $\frac{x}{\ln x}$的差趋近于 0。而是随着 x 趋近无限，$\pi(x)$ 与 $\frac{x}{\ln x}$的相对误差趋近于 0。

因此，质数定理也可以被想像成描述从正整数中抽到素数的概率：从不大于 n 的正整数中随机选出一个数，它是素数的概率大约是$\frac{1}{\ln n}$。

质数定理有一个相关的定理，是关于第$n$个素数 $p_n$的下界，也就所谓的Rosser定理：

$$p_n > n\ln\,n$$

## 关于 π(x)、x / ln x 和 li(x) 的数值

下表比较了π(x)，x/ln x和Li(x)：

$x$｜$\boldsymbol{\pi}(x)$｜$\boldsymbol{\pi}(x)-\frac{x}{\ln x}$｜$\frac{\boldsymbol{\pi}(x)}{\frac{x}{\ln x}}$｜${\rm Li} (x) - \boldsymbol{\pi} (x)$｜$\frac{x}{\boldsymbol{\pi}(x)}$

10｜4｜−0.3｜0.921｜2.2｜2.500

102｜25｜3.3｜1.151｜5.1｜4.000

103｜168｜23｜1.161｜10｜5.952

104｜1,229｜143｜1.132｜17｜8.137

105｜9,592｜906｜1.104｜38｜10.425

106｜78,498｜6,116｜1.084｜130｜12.740

107｜664,579｜44,158｜1.071｜339｜15.047

108｜5,761,455｜332,774｜1.061｜754｜17.357

109｜50,847,534｜2,592,592｜1.054｜1,701｜19.667

1010｜455,052,511｜20,758,029｜1.048｜3,104｜21.975

1011｜4,118,054,813｜169,923,159｜1.043｜11,588｜24.283

1012｜37,607,912,018｜1,416,705,193｜1.039｜38,263｜26.590

1013｜346,065,536,839｜11,992,858,452｜1.034｜108,971｜28.896

1014｜3,204,941,750,802｜102,838,308,636｜1.033｜314,890｜31.202

1015｜29,844,570,422,669｜891,604,962,452｜1.031｜1,052,619｜33.507

1016｜279,238,341,033,925｜7,804,289,844,393｜1.029｜3,214,632｜35.812

1017｜2,623,557,157,654,233｜68,883,734,693,281｜1.027｜7,956,589｜38.116

1018｜24,739,954,287,740,860｜612,483,070,893,536｜1.025｜21,949,555｜40.420

1019｜234,057,667,276,344,607｜5,481,624,169,369,960｜1.024｜99,877,775｜42.725

1020｜2,220,819,602,560,918,840｜49,347,193,044,659,701｜1.023｜222,744,644｜45.028

1021｜21,127,269,486,018,731,928｜446,579,871,578,168,707｜1.022｜597,394,254｜47.332

1022｜201,467,286,689,315,906,290｜4,060,704,006,019,620,994｜1.021｜1,932,355,208｜49.636

1023｜1,925,320,391,606,803,968,923｜37,083,513,766,578,631,309｜1.020｜7,250,186,216｜51.939

1024｜18,435,599,767,349,200,867,866｜339,996,354,713,708,049,069｜1.019｜17,146,907,278｜54.243

1025｜176,846,309,399,143,769,411,680｜3,128,516,637,843,038,351,228｜1.018｜55,160,980,939｜56.546

OEIS

## 历史

1797年至1798年间，法国数学家勒让德根据上述的质数表猜测，$\pi(x)$大约等于 $\frac{x}{A\ln x +B}$，其中$A$、$B$是未知的函数。勒让德于1808年出版一本关于数论的书的第二版，书中他给出更精确的猜测：$A = 1$，$B = -1.08366$。根据高斯自己在1849年的回忆，他在15岁或16岁(1792或1793年)的时候就已经考虑过类似的问题了。1832年，狄利克雷经过跟高斯的交流之后，给出了一个新的逼近函数 $li(x)$，(事实上他是用一个有点不一样的级数表达式)。勒让德和狄利克雷的式子皆等价于现在的版本，但如果考虑逼近式与 $\pi(x)$ 的差，而不是比值的话，狄利克雷的式子是准确许多的。

俄国数学家切比雪夫参考了欧拉在1731年的工作，引进了定义在实数轴上黎曼ζ函数，企图证明质数分布的渐进式，并将他所得到的结果写成两篇论文，分别在1848和1850年发表。切比雪夫可以证明，如果$\lim_{x\to\infty}\frac{\;\pi(x)\;}\frac{x}{\ln(x)}$存在且有限，则它一定是1。此外，在没有假设任何结果之下，他也证明当 x 足够大，$\frac{\;\pi(x)\;}\frac{x}{\ln(x)}$会界在两个很靠近 1 的数字之间。虽然切比雪夫的论文没办法证明质数定理，但它对 $\pi(x)$ 已经可以推论出伯特兰-切比雪夫定理：对任何大于$1$的正整数$n$，存在一个质数介于$n$和$2n$之间。

1859年，黎曼提交了一篇关于质数分布的非常重要的报告《论小于给定数值的质数个数》，这也是黎曼在这个领域的唯一一篇文章。黎曼在报告中使用了创新的想法，将$\zeta$函数的定义解析延拓到整个复数平面，并且将质数的分布与$\zeta$函数的零点紧密的联系起来。因此，这篇报告是历史上首次用复分析的方法研究实函数 $\pi(x)$。1896年法国数学家雅克·阿达马和比利时数学家夏尔-让·德拉瓦莱·普桑先后独立给出证明。两个证明延著黎曼的思路继续拓展，且都使用复分析的工具，其中的关键步骤是证明如果复数$s$可以写成 $1 + it$ 的形式，且 $t>0$，则 $\zeta(s)\neq 0$。

进入20世纪之后，阿达马和普桑证明的定理经常被称作质数定理，定理的其他不同证明也陆陆续续被发现，这之中包括1949年阿特勒·塞尔伯格和艾狄胥·帕尔发现的“初等证明”。原本的证明是既冗长，又复杂，于是有很多后面发现的证明使用了陶伯定理让证明变得比较简短，但却变得让人比较难以消化。1980年，美国数学家唐纳德·J·纽曼发现了一个简洁的证明，这可能是目前已知最简单的证明。不过，证明中使用了柯西积分公式，因此一般不被视为是为初等的证明。

因为黎曼ζ函数与$\pi(x)$关系密切，关于黎曼$\zeta$函数的黎曼猜想对数论很重要。一旦猜想获证，便能大大改进素数定理误差的估计。1901年瑞典数学家海里格·冯·科赫证明出，假设黎曼猜想成立，以上关系式误差项的估计可改进为

$$\pi(x) = {\rm Li} (x) + O\left(\sqrt x \ln\,x\right)$$

Schoenfeld在1976年证明了在黎曼猜想成立的状况下，对于任意的$2657\le x$而言，有以下关系式，以下的$\log{x}$是自然对数：

$$\big|\pi(x) - \operatorname{li}(x)\big| < \frac{\sqrt x \log x}{8\pi}$$

在同一篇论文中，Schoenfeld还证明了在黎曼猜想成立的状况下，有以下跟切比雪夫函数有关的关系式，以下的$\log{x}$是自然对数：

$$\begin{align} |\vartheta(x)-x| &< \frac{1}{8\pi}\sqrt{x}\log^2{x}, \forall 599\le x\\ |\psi(x)-x| &< \frac{1}{8\pi}\sqrt{x}\log^2{x}, \forall 73.2\le x \end{align}$$

而在不假定黎曼猜想的情况下，在2016年，Timothy Trudigan证明了对于任意的$x \ge 229$而言，有以下明确公式，以下的$\log{x}$是自然对数：

$$\big| \pi(x) - \operatorname{li}(x) \big| \le 0.2795 \frac{x}{(\log x)^{3/4}} \exp \left( -\sqrt{ \frac{\log x}{6.455} } \right)$$

## 证明

质数定理的证明最初在1896年由法国数学家雅克·阿达马和比利时数学家夏尔-让·德拉瓦莱·普桑先后独立给出证明；而之后许多数学家给出了不同的证明。

### 初等证明

素数定理有些初等证明只需用数论的方法。第一个初等证明于1949年由匈牙利数学家保罗·艾狄胥和挪威数学家阿特利·西尔伯格合作得出。

在此之前一些数学家不相信能找出不需借助艰深数学的初等证明。像英国数学家哈代便说过素数定理必须以复分析证明，显出定理结果的“深度”。他认为只用到实数不足以解决某些问题，必须引进复数来解决。