数列

数列（Number sequence）是由数字组成的序列。另一种略为抽象的说法是——以正整数为定义域、值域是一个数系的函数。级数也是一种数列，不过它的每一项是另外一个数列的部分和。在微积分的教材中经常讨论的数列是实数序列和实数级数。一般的“序列”则范围更广，可以由有序的一系列数字、一系列函数、一系列向量、一系列矩阵或一系列张量等等所组成。而在计算理论中，数列以及相关术语常用于有关递推规律的研究。

## 正式定义

由于最一般的数为复数，可以作如下的定义：

一个 $a:\N\to\C$ 的函数被称为无穷数列，可记为 ${\left\{ a_i \right\}}_{i\in\N}$、 ${\left\langle a_i \right\rangle}_{i\in\N}$ 或 ${\left( a_i \right)}_{i\in\N}$，而 $a(i)$ 会被简记为 $a_i$。

若 $I_n = \left\{ 1,\,2,\,\cdots,\,n \right\}$，则一个 $a:I_n\to\C$ 的函数被称为有限数列，可记为 ${\left\{ a_k \right\}}^{n}_{k=1}$、 ${\left\langle a_k \right\rangle}^{n}_{k=1}$ 或 ${\left( a_k \right)}^{n}_{k=1}$。

在教学上常会如下标示有限数列，来增进对定义的直观理解：

$$\left \langle a_k \right \rangle_{k=1}^n= \left \langle a_1,\, a_2,\, a_3,\, \cdots ,\,a_n \right \rangle$$

以上表达式中的每一个数被称为这个数列的“项”。$a_1$ 为数列的“第一项”、$a_2$ 为“第二项”，以此类推。$n$ 被称为有限数列的项数。数列中的第一项常称为“首项”，最后一项则称为“末项”。注意有限数列也可以设为 $\left \langle a_k \right \rangle_{k=0}^n$，换句话说，把 $0$ 包含在数列的定义域中，并以第零项 $a_0$ 作为首项。无穷数列只有首项，没有末项，但类似的，也可不将$0$包含在无穷数列的定义域中，让无穷数列的首项为 $a_1$。

由数列中各个项的和组成的数列称为“级数”，换句话说

一个数列 ${\left\{ a_i \right\}}_{i\in\N}$ 的级数是另外一个数列 ${\left\{ s_i \right\}}_{i\in\N}$，具有以下特性：

- $$s_0 = a_0$$
- 对所有的 $n\in\N$ 有 $s_{n+1} = s_n + a_n$

一般会将 $s_n$ 写为 $\sum^{n}_{i=0} a_i$，甚至更直观的 $a_0 + a_1 + \cdots + a_n$ 来凸显级数源于求和的直观概念。

级数的概念可以推广至数列以外的序列，比如说函数序列的函数级数。

## 分类

### 单调性

- 若对所有 n ∈ Z+，an+1 ≥ an，则称数列 ⟨ak⟩ 为“递增数列”。把 换成，则称为“严格递增数列”。
- 若对所有 n ∈ Z+，an+1 ≤ an，则称数列 ⟨ak⟩ 为“递减数列”。把 换成，则称为“严格递减数列”。
- 若对所有 n ∈ Z+，an+1 = an，则称数列 ⟨ak⟩ 为“常数数列”。

### 有限性

- 若数列 $\left \langle a_k \right \rangle_{k=1}^n$ 的项数有限，则 ⟨ak⟩ 为“有限数列”。
- 若数列 $\left \langle a_k \right \rangle_{k=1}^\infty$ 的项数无限，则 ⟨ak⟩ 为“无穷数列”。

### 有界性

- 若对所有 n ∈ Z+，M ≤ an ≤ N，则称数列 ⟨ak⟩ 为“有界数列”。M 称为“下界”， N 称为“上界”。
- 若对数列 ⟨ak⟩，上述的 M、 N 不存在，则称数列 ⟨ak⟩ 为“无界数列”。

## 收敛性与极限

收敛性是数列的一个重要性质。如果一个数列逐渐趋近于某一个值，就称该数列为收敛数列，否则称为发散数列。

简单的说，一个数列$\{x_n\}$有极限，便是它的数列中的元素逐渐地越来越靠近$L$（称为极限值），但是它们仍然任意得很靠近极限值$L$，而不一定恰好相等。

举例来说：当 $a_n=\frac{1}{n}$ 时，随着n的数字增加，可以看到它逐渐趋向于0。当 $a_n=5 - \frac{3n^2-9}{n^2+1}$时，随着n的数字增加，可以看到它逐渐趋向于2。

此外，值得注意的是，当一个数列有极限值时，它的极限值一定是唯一的。一般来说，当数列收敛，我们会记$\lim_{n \to \infty }a_{n} = L$。

### 收敛的严格定义

我们说一个实数数列$\{a_n\}$收敛于实数$L$；如果对任意的$\epsilon>0$，存在一个正整数$N \in \N$，使得对所有的$n \geq N$，有$|a_{n}-L|<\epsilon$。

## 重要的特殊数列

- 等差数列：是一种特殊数列。数列中，从第二项起，每一项与前一项的差相等。

例如数列$1,3,5,7,9,\cdots,9995,9997,9999,\cdots$。

这就是一个等差数列，因为第二项与第一项的差和第三项与第二项的差相等，都等于$2$；$9999$与$9997$的差也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的差称之为公差，符号为$d$，并且$d$可为0。

若设首项$a_1 = a$，则等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$。

- 多阶等差数列：又称高阶等差数列，中国则称之为“质数相关数列”。

把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，如果这个新的数列是普通等差数列，原数列就称为二阶等差数列。

由此类推，把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，再把这个新的数列的所有后项与前一项之差组成另一个新的数列，如此进行下去，直到最后的数列如果是普通等差数列，那么原数列就是多阶等差数列。

普通等差数列可以视为一阶等差数列，因而常数数列实际就是零阶等差数列。

- 等比数列：是一种特殊数列。它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。

例如数列$2,4,8,16,32,\cdots,2^{197},2^{198},2^{199},\cdots$。

这就是一个等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，都等于2，$2^{198}$与$2^{197}$的比也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的比称之为公比，符号为$r$。

若设首项$a_1 = a$，则等比数列的通项公式为$a_n=ar^{n-1}$。

- 斐波那契数列：是一种特殊数列。它的特点是：首两项均是1，从第3项起，每一项均为前两项的和。

以数学符号表示，即$a_1=a_2=1$，且对于$n\ge 3$，$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。

斐波那契数列的通项公式为$a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left({\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)^n-\left({\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\right)^n\right]$。

- 质数数列：目前找不到规律的特殊数列，即：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,............
- 正负相间：$(-1)^n$或$(-1)^{n-1}$
- 隔项有零：$\frac{1}{2} [(-1)^n+1]$或$\frac{1}{2} [(-1)^{n-1}+1]$

## 数列的求和

通常对第1项到第$n$项求和，记为$S_n=\sum_{k=1}^n a_k$。此求和符号是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉使用和推广的。

一个特殊数列求和：奇数数列。1，3，5，7，9，...。其和为项数$n$的平方。例如：1+3=22,1+3+5=32。

## 通项公式的求解

通常，从实际问题中会先得到一个递推关系式，但是可能会难以观察出数列中某一项的项数和具体大小之间的规律。所以需要求出这个数列的通项公式。以下是一些常见的递推式化简方法。通项公式的求解在积分学、线性代数、概率论、组合数学、趣味数学、数学物理、数学建模、数值分析、分形等领域中都会遇到。并不存在一种通用的解法。求不出通项公式或只能进行估算的情形也可能出现。

### 数学归纳法

求出该数列的前数项，归纳其通项公式，然后用数学归纳法证明公式正确。

数学归纳法是最基本的方法，但对观察和归纳的能力要求比较高。如果猜不出规律，则不能使用此方法。

### 逐差全加

给定数列差$d_n$时逐差全加，例如：

$a_1=1$，$d_n=a_n-a_{n-1}=2n$, 求$a_n$

$$a_n=a_1+\sum_{k=2}^n d_k=n^2+n-1$$

### 逐商全乘

给定数列比$r_n$时逐差全乘，例如：

$a_1=1$，$r_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n}{n-1}$，求$a_n$

$$a_n=a_1\prod_{k=2}^n r_k=n$$

### 从和式求通项

如果已知数列和的公式，那么通项的求解非常容易。由$S_n=\sum_{k=1}^n a_n$可知$S_n-S_{n-1}=a_n$

把$S_n$看成一个数列，可以先对$S_n$进行求解，然后得出$a_n$。

### 换元法

换元法用于从形式上简化表达式，以突出问题的本质。换元法一般不单独使用，而是和其它方法结合使用。中学数学中常用的有对数换元法、三角函数换元法，还有用得很少的双曲函数换元法。

### 不动点法

对于形如齐次分式的递推关系，可利用不动点来推导。

已知$Aa_{n+1}+Ba_n+C=0$，其中$A$、$B$、$C$都是常数，求$a_n$。

求这类数列的通项公式，一般的方法就是将之化成一个新的等比数列。

- 如果$A\ne-B$，那么这个式子就可以化成下面的形式：

$A(a_{n+1}+k)=-B(a_n+k)$。

求出$k$，那么数列${a_n+k}$就是一个等比数列，从而求出通项公式。

- 如果$A=-B$，这个递推关系就不能化为等比数列。如果$A=-B$，那么它就是等差数列。另外，当$A=B$的时候，它是一个等和数列。从这个问题我们可以看到，等和数列也可以化成一个等比数列。

$Aa_{n+1}+Ba_n+C=0$ $Aa_n+Ba_{n-1}+C=0$ 两边相减就有：$A(a_{n+1}-a_n)+B(a_n-a_{n-1})=0$，如此就化成了一个等比数列。

已知$Aa_{n+1}+Ba_n+Ca_{n-1}+D=0$,其中$A$、$B$、$C$、$D$都为常数，求$a_n$。

与上述数列一样，它们一定可以化成下面的形式：

$Aa_{n+1}+Ea_n=k(Aa_n+Ea_{n-1})-D$ 求出对应系数，于是就转化成了前面那种形式，然后就可以求出数列${Aa_n+Ea_{n-1}}$的通项公式，然后求出$a_n$的通项公式。实际上这是一种逐步化简的方法。

### 其它方法

其它常用方法包括导数求通项法、组合数学中的母函数方法、特征方程法，这些一般是在大学课程或是部分高中的进阶课程中学到。其中特征方程法专门用于线性递推关系式的化简，与求解线性微分方程的特征方程法非常类似。