相位

相位（Phase）又称位相、相、相角，是描述信号波形变化的度量，或是物体周期运动的阶段，通常以度（角度）为单位；当讯号波形以周期的方式变化，波形循环一周即为360º。常应用在科学领域，如数学、物理学（电学）等。

在物理学或是数学上，一个波或是其他周期性函数如 $F(t)$（$t$ 为一实数，例如时间）的相位是种类似于角度的量值，用以表达对于一个周期的比例，也就是几分之几周期。相位常以 $\phi(t)$ 做为表示，表达了个会随每次 $t$ 完成一个周期而循环一次的数值，而 $F(t)$ 也会完成每一个经过的循环。相位可以用任何角度单位来表示，例如度数制或弧度制，并在每次 $t$ 经过一个周期后分别上升 360° 或 $2\pi$。

这样的手法特别适合于正弦曲线，因为它在任何 $t$ 下的值，都可以以 $\phi(t)$，相位的正弦函数乘上其振幅。（也可以使用余弦曲线作为代替，取决于以曲线的哪一点作为一周期的起点。）

通常，在表达相位时，完整的轮回会被忽略。所以相位同是一个周期性函数，随着 $t$ 每完成一个周期，便扫过相同的范围，且其周期与 $F(t)$ 相同。而如果 $t_1$ 与 $t_2$ 的差为周期的整数倍（即 $\phi(t_1) = \phi(t_2)$），那此时$F(t)$ 在 $t_1$ 以及 $t_2$ “同相位”。

相位 $\phi(t)$ 的数值取决于对周期起点的选择，以及每一个周期对应到的角度区间。

“相位”这个词也常被用于比较周期性函数 $F(t)$ 与其位移后的函数 $G(t)$。如果以一个角度 $\varphi$ 来表达 $t$ 的位移，以此可以得到 $G$ 和 $F$ 的相位移、相位叠加或是相位差。而如果 $F$ 是能以初等函数如正弦曲线 $\sin(t)$ 的一些讯号， $\varphi$ 便会被称为 $G$ 的初相位。

## 数学定义

取一个函数 $F(t)$(一个单实变数函数)，以及其周期 $T$(在 $t$ 之中使得 $F(t + T) = F(t)$ 的最小正实数)。则 $F(t)$ 在任意 $t$ 的相位为：

$$\phi(t) = 2\pi\left[\!\!\left[\frac{t - t_0}{T}\right]\!\!\right]$$

在这里 $[\![\,\cdot\,]\!]\!\,$ 这个符号代表去除内部分数的整数部分，即 $[\![ x ]\!] = x - \left\lfloor x \right\rfloor\!\,$。而 $t_0$ 则是被视作周期起点的那一点。

这个概念可以将其类比于一个每 $T$ 秒指针便绕完一圈的时钟，而且指针的起点在 $t_0$，相位则是以顺时针的方向来看十二点整的方向与 $t$ 的夹角。

当起点 $t_0$ 是 依照函数 $F$ 的特性来选择时，相位这个概念会更加的有用。例如以一个正弦曲线而言，起点取于函数值正好由零转正的点最为方便。

上述的公式适用于弧度区间取在 0 与 $2\pi$ 之间，若要改取在区间 $\pi$ 到 $-\pi$ 之间，则其公式为：

$$\phi(t) = 2\pi\left(\left[\!\!\left[\frac{t - t_0}{T} + \frac{1}{2}\right]\!\!\right] - \frac{1}{2}\right)$$

以角度来表达的相位(从 0° 到 360°,或从 −180° 到 +180°)也能以相同的方式定义,只需将 “2π” 换作 “360°”.

### 结论

依据上述的结果，一个周期性讯号的相位同样具周期性，且两者周期相同皆为 $T$：

$\phi(t + T) = \phi(t){}$，$t$为任意数。

相位在各个周期的起点皆为零：

$\phi(t_0 + kT) = 0$，$k$为任意整数。

此外，讯号的量值 $F(t)$ 只与其在 $t$ 的相位有关，而非 $t_0$ 的选择。也就是说 $F(t) = f(\phi(t))$，其中 $f$ 是一个角度的函数，只有在一个循环中有所定义，表达了 $F$ 与 $t$ 在单一周期中的对应关系。

事实上，任何具特定波形的周期性讯号 $F$ 都可以被表示为：

$$F(t) = A\,w(\phi(t))$$

在这里 $w$ 代表的是个只描述一个循环，即角度从 0 到 2π 的相位角函数；而 $A$ 则代表着振幅。(这里假设了用来计算 $F$ 的相位所选定的起始点 $t_0$ 与 $w$ 为 0 的点重合。

## 相位的叠加与比较

相位是种角度，因此在以算式表达它们时，任何完整的循环常会被忽略。而相位的和与差则需以下列公式分别计算（角度制）：

$360\,\left[\!\!\left[\frac{\alpha + \beta}{360}\right]\!\!\right]\quad\quad$ 和 $\quad\quad 360\,\left[\!\!\left[\frac{\alpha - \beta}{360}\right]\!\!\right]$

例如：两相位角的和190° + 200° 是 30°（190 + 200 = 390，再减去一个完整的循环），而将 30°减去 50° 则会得到 340° （30 - 50 = −20, 再加上一个完整的循环）。

## 相位移

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两个周期性函数 $F$ 和 $G$ 相位的差 $\varphi(t) = \phi_G(t) - \phi_F(t)$ 被称为相位差或 $G$ 相对于 $F$ 的相位移。

将这个概念类比成一个时钟，则每个讯号便是一个指针，并且皆以不变但可能与彼此不同的速度转动。而相位移便是两指针以顺时针方向所形成的夹角。

当计算过程两个讯号被叠加起来时，相位移将尤显重要，例如两个周期性的声波同时被同一个麦克风给接收到。在一个线性系统也就是当叠加原理成立时这种情况时常发生。

在 $t$ 时如果相位差是零，则两个讯号为同号且会加强彼此，这种现象被称为建设性干涉。若此时相位不同，则两讯号的大小总和将由波形决定。

### 正弦曲线

对正弦讯号而言，若相位差 $\varphi(t)$ 为 180°（弧度$\pi$），这种情况被称为相位是“相反”的，而两个讯号“反相”。此时若两讯号为异号则会发生破坏性干涉。反过来说，反转一个相位便代表着 180 度的相位移。

当相位差 $\varphi(t)$ 为四分之一圈（一个直角 +90° = π/2 或 −90° = 270° = −π/2 = 3π/2）时，这种情况被称为九十度相位差。

如果频率不同，相位差 $\varphi(t)$ 会随着 $t$ 线性的增加，这种周期性的对讯号造成加强或减弱的效果会形成一种称为拍频的现象。

### 位移过的讯号

当比较一个周期性讯号 $F$ 和其位移过且可能还缩放过而成的讯号 $G$，相位差便显得特别重要，意即： $G(t) = \alpha\,F(t + \tau)$（$\alpha,\tau$ 各为某些常数）。如果 $G$ 的起点也被位移过，在这种情况下，相位差 $\varphi$ 便会是个常数（独立于 $t$），并被称为 $G$ 相对于 $F$ 的相位移或相位偏移。若将此情形类比于时钟上的话，此时的情况便是由于两根指针的速度一致，以至于其两者间的夹角不变。

此时的相位差便会是 $\tau$ 与两个讯号的周期 $T$ 的比例再乘上 $2\pi$：

$$\varphi = 2\pi \left[\!\!\left[ \frac{\tau}{T} \right]\!\!\right].$$

因此当两周期性讯号拥有相同的频率时，他们总是同相或者反相，在物理上这种情形时常发生。例如同一个周期性声波被坐落于不同处的麦克风同时接收，或是同个信号源通过不同的喇叭发声再由同一个麦克风接收，也有可能是一个广播讯号的一部分直接传至了天线，但剩下的部分仍在大楼间反射、回荡。

关于相位差其中一个广为人知的例子是影子的长度会因在地球上的位置不同而有所改变。粗略地说，如果 $F(t)$ 是在某时间 $t$ 在地球某处所看到的影子长度，而$G(t)$ 是在同一时间但在经度相差西 30°的地方所得的影子长度，则两者的相位差会是 30°（假设每个讯号的周期始于影子最短的时候）。

### 同频率的正弦曲线

对正弦曲线（或一些其他的波形如：方形波或对称的三角形波）一个 180°的相位移相当于将讯号振幅大小变号。当两个有相同波形与周期但相位相反的讯号互相叠加时，其总和 $F+G$ 可能是零或是一个有着相同频率以及周期但振幅大小为原两讯号之差的讯号。

一个余弦函数相对于正弦函数的相位差是 90°。而若有着相同振幅 $B$ 以及频率 $A$ 的正弦讯号 $F$ 和 $G$，但 $G$ 相对于 $F$ 的相位差为 90°时，那么其总和 $F+G$ 便会是一个具相同频率而振幅变为 $C$，且具相对于 $F$ 的相位移 $-90^\circ < \varphi < +90^\circ$。这里 $C = \sqrt{A^2 + B^2}{}$，${}\sin(\varphi) = B/C$.

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## 相位的比较

相位比较在于比较两个具相同频率之波形的相位。相位比较的目的通常是在时间上或频率上决定某讯号相对于参考讯号的相位偏移（随着每次循环的变化）。

相位比较可透过将两讯号接于具两个轨道的示波器上。示波器会如右图那般秀出两个正弦的讯号，在一旁的图中顶部为待测讯号，而底部则是参考讯号。

如果两者的频率相同，则它们相位的关系不会改变且都会在示波器中呈现稳定的状态。反之则参考讯号仍保持稳定，但测试讯号不然。通过测量测试讯号的变化便可以得到其频率的偏移程度。

在图中每次正弦讯号通过零之处都会被画铅直线。再图中这些长条的宽度代表着讯号间的相位差，在这个例子中相位差逐渐增加，说明测试讯号的频率小于参考讯号。

## 方程

当描述简谐运动或一个为正弦函数讯号时可以用下列数学示表达：

$$\begin{align} x(t) &= A\cdot \cos( 2 \pi f t + \varphi ) \\ y(t) &= A\cdot \sin( 2 \pi f t + \varphi ) = A\cdot \cos\left( 2 \pi f t + \varphi - \tfrac{\pi}{2}\right) \end{align}$$

于此 $\textstyle A$, $\textstyle f$, 和 $\textstyle \varphi$ 都是常数，分别为正弦曲线的“振幅”、“频率”以及“相位”，这些周期性讯号的周期为 $\textstyle T = \frac{1}{f}$，他们完全相同，但在 $\textstyle t$ 轴上差了 $\textstyle \frac{T}{4}$，相位可能会随着下列几项事物而有所变化：

- 它可以随特定的参考函数而异动，如以 $\textstyle \cos(2 \pi f t)$ 来说 $\textstyle x(t)$ 的相位是 $\textstyle \varphi$，而 $\textstyle y(t)$ 的相位则是 $\textstyle \varphi - \frac{\pi}{2}$。
- 它也可以是 $\textstyle \varphi$，而此时 $\textstyle x(t)$ 和 $\textstyle y(t)$ 的相位相同，但是是相对于他们各自的参考点而言。
- 对于通讯波形而言其瞬间相位即其会随时间变化的角度 $\textstyle 2 \pi f t + \varphi$ 或是它的主值，而这数值常常就是相位本身。

## 相位差

两个频率相同的交流电相位的差叫做相位差，或者叫做相差。

相位差为$2n\pi$（其中n为整数）的两个波称为同相波，产生的干涉是相长干涉。

相位差为$2n\pi+\pi$（其中n为整数）的两个波称为反相波，产生的干涉是相消干涉。

这两个频率相同的交流电，可以是两个交流电流，可以是两个交流电压，可以是两个交流电动势，也可以是这三种量中的任何两个。例如研究加在电路上的交流电压和通过这个电路的交流电流的相位差。如果电路是纯电阻，那么交流电压和交流电流的相位差等于零。也就是说交流电压等于零的时候，交流电流也等于零，交流电压为最大值时，交流电流也是最大值。这种情况叫做同相位，或叫做同相。

如果电路含有电感和电容，交流电压和交流电流的相位差一般是不等于零的，也就是不同相，可能是电压超前于电流或电流超前于电压。加在晶体管放大器基极上的交流电压和从集电极输出的交流电压，这两者的相位差正好等于180°。这种情况叫做反相位，或叫做反相。

## 月相

- 月球的相位是指从地球上所见的月球盈亏，通常称为“月相”或“相”。