上极限和下极限

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在微积分学中，上极限和下极限（Limit superior and limit inferior）是指数列极限的上极限和下极限，可以大致想像为数列极限的上下界。举例来说，数列 $\{(-1)^n\}_{n=1}^{\infty}$ 的上极限为 1，下极限为 -1。

函数的上极限和下极限可以用类似方式考虑。集合的上极限和下极限分别是这个集合的极限点的上确界和下确界。

## 定义

序列$(x_n)$的上极限定义是

$\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n=\inf_{n\geq 0}\,\sup_{k\geq n}x_k=\inf\{\,\sup\{\,x_k:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}$。

或者

$\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sup_{m\geq n}x_m\right)$。

同样的，序列$x_n$的下极限定义是

$\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n=\sup_{n\geq 0}\,\inf_{k\geq n}x_k=\sup\{\,\inf\{\,x_k:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}$。

或者

$\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\inf_{m\geq n}x_m\right)$。

这些定义在任意的偏序集都适用，只需要上确界和下确界存在。

在完全格里，上确界和下确界总是存在，所以其中的序列一定有上极限和下极限。

每当$\liminf x_n$和$\limsup x_n$都存在，那么

$\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n$。

上极限和下极限也记为$\varlimsup_{n\rightarrow\infty} x_n$和$\varliminf_{n\rightarrow\infty} x_n$。

## 实数数列

实数集 R 的数列对微积分很重要。R 不是完备格，但可以加入正负无穷以得到完备全序集 $[-\infty,+\infty]$，形成完备格。那么在 $[-\infty,+\infty]$ 中数列 $(x_n)$ 收敛当且仅当 $\liminf x_n = \limsup x_n$，而这时 $\lim x_n$ 等于上面的共同值。注意当只是考虑 R 时，收敛至 $-\infty$ 或 $+\infty$ 并不当作收敛，而是视作极限不存在。

若实数数列 $(x_n)$ 的上极限为实数即为有限，不是 $\pm\infty$，那么上极限是最小的实数 a，使得对任意小的正实数 $\epsilon$，都存在足够大的正整数 N，使得对所有 $n\ge N$，都有 $x_n < a + \epsilon$。换言之，对任何大于上极限的实数，都存在 N 使得这实数是数列 $(x_n)_{n\ge N}$ 的上界。

若实数数列 $(x_n)$ 的下极限为实数，那么下极限是最大的实数 b，使得对任意小的正实数 $\epsilon$，都存在足够大的正整数 N，使得对所有 $n\ge N$，都有 $x_n > b - \epsilon$。换言之，对任何小于下极限的实数，都存在 N 使得这实数是数列 $(x_n)_{n\ge N}$的下界。

设 $(x_n)$ 是整数数列。若其上极限为实数 a，由于 $\lfloor a\rfloor$ 也符合上述条件，故此 a 必是整数。$\lfloor a\rfloor$ 是不大于 a 的最大整数。在条件中取 $\epsilon < 1$，得出 a 是最小的实数，使得存在正整数 N，对所有 $n\ge N$，都有 $x_n \le a$。因此 a 是最大的整数，使得有无限个 $x_n = a$。同样地，若其下极限为实数 b，则 b 是最小的整数，使得有无限个 $x_n = b$。

若 $I=\liminf x_n$ 和 $S=\limsup x_n$，那么区间 $[I,S]$ 不一定包含任何的 $x_n$，但是轻微扩大了的 I-ε,S+ε对任意小的ε > 0都会包含除了有限项外所有的 xn。区间 I, S 是适合这个性质的最小闭区间。

### 例子

- 设$x_n=(-1)^n\left(1+\frac 1 n\right)$，则$\liminf x_n=-1$，$\limsup x_n=1$。闭区间-1, 1中不包含任何$x_n$。
- 考虑数列$x_n=\sin \!n$。应用π的无理数性质，可以证明$\liminf x_n = -1$和$\limsup x_n = +1$。数列$\{1,2,3,...\}$取mod 2π后在0, 2π中是稠密的，故得出结果。由等分布定理可知这数列在区间中是等分布的。
- 一个数论例子是

$$\liminf_{n\to\infty}(p_{n+1}-p_n)$$

其中${p_n}$是第$n$个素数。下极限的值的猜测为2——这是孪生素数猜想。然而这个下极限是否为有限，是数论中长久以来的未解问题。直到2013年，张益唐首次证明下极限的值有限，并且小于7千万。截至2014年9月，下极限的值的上界已降至246。由整数数列的下极限性质可知，有无限多的正整数n，使得$p_{n+1}-p_n$不大于246。

## 集的序列

集合X的幂集P(X)是完备格。对于P(X)中的序列，也就是X的子集的序列，其上下极限也有用处。

若$X_n$是这样的序列，那么X的元素a属于$\liminf X_n$，当且仅当存在自然数$n_0$使得对于所有$n>n_0$，a在$X_n$里。元素a属于$\limsup X_n$，当且仅当对所有自然数$n_0$，都存在一个指数$n>n_0$使得a在$X_n$里。换句话说，$\limsup X_n$包含了所有这样的元素，其中的每一个，都有无限多个n，使得它在集合$X_n$里；而$\liminf X_n$包含了所有这样的元素，其中的每一个，都有除了有限多个外的所有n，使得它在$X_n$里。

以集合论的标准语言来说，一个集合序列的下确界是这些集合的可数交，也就是包含在所有集合里的最大集合：

$\inf\left\{\,X_m : m=1,2,3,\dots\,\right\}={\bigcap_{m=1}^\infty}X_m$。

令$I_n$为自$X_n$起的集合的下确界。那么序列$I_n$非递减，因为$I_n \sub I_{n+1}$。所以，第1至n个下确界的并集就是第n个下确界。下极限就是这序列的极限：

$\liminf_{n\rightarrow\infty}X_n={\bigcup_{n=1}^\infty}\left({\bigcap_{m=n}^\infty}X_m\right)$。

上极限可以相反方式定义。一个集合序列的上确界是包含这些集合的最小集合，也就是它们的可数并：

$\sup\left\{\,X_m : m=1,2,3,\dots\,\right\}={\bigcup_{m=1}^\infty}X_m$。

上极限是这个非递增的上确界序列的可数交（其中每个上确界都包含在前一个里面）。

$\limsup_{n\rightarrow\infty}X_n={\bigcap_{n=1}^\infty}\left({\bigcup_{m=n}^\infty}X_m\right)$。

例子或应用可见波莱尔－坎泰利引理，柯西-阿达马公式（Cauchy-Hadamard Formula）。