蚌线

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在平面几何中，蚌线是一类曲线，可以由一条给定的曲线、一个定点和一个给定的长度来确定。更具体地说，过定点 $O$ 的动直线与给定曲线 $c$ 相交，动直线上满足“与交点距离为定长 $k$ ”的点的轨迹定出的新曲线，就是原曲线 $c$ 关于极点 $O$ 和迹距 $k$ 的蚌线。

用解析几何的方式来表述：平面曲线 $c$ 的极坐标方程为 $\rho = f(\theta)$，则以 $\rho = f(\theta)\pm k$ 为方程的曲线是 $c$ 关于原点的蚌线。

“蚌线”也常特指原曲线为直线的蚌线，即尼科美迪斯蚌线。尼科美迪斯是古希腊数学家，他利用这种蚌线来解决古希腊数学三大难题中的两个——三等分角和倍立方体。

## 尼科美迪斯蚌线

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### 性质

有定直线 $l$ 和直线外一固定点 $O$，过点 $O$ 的动直线与 $l$ 相交，动直线上满足“与交点距离为定长”的点的轨迹，就是直线 $l$ 关于极点 $O$ 的蚌线 $c$，即尼科美迪斯蚌线。一条尼科美迪斯蚌线有内外两支，两支的渐近线都为 $l$。

通常记 $l$ 与点 $O$ 的距离为 $a$，迹距为 $b$。根据 $a$ 和 $b$ 的关系，内支有三种不同形态：

- 当 $b < a$ 时，蚌线内支没有尖点或结点，极点与内支不相交。
- 当 $a = b$ 时，蚌线内支有一个尖点，尖点与极点重合。
- 当 $b > a$ 时，蚌线内支有一个结点，结点与极点重合。

尼科美迪斯蚌线是轴对称图形，对称轴与 $l$ 垂直并通过极点 $O$。

### 历史和应用

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古希腊数学家尼科美迪斯是最早研究蚌线的人。他发明了绘制直线之蚌线的工具，这是人们第一次用仪器绘制出直线和圆之外的几何曲线。他关于蚌线的论著已经失传，只有一部分通过帕普斯的《数学汇编》得以保存下来。帕普斯指出，存在“四种”蚌线，但只记录了“第一种”蚌线，也就是直线蚌线的外支，用来解决尺规作图三大难题中的两个：三等分角和倍立方体。剩下的“三种”蚌线，很可能指的是直线蚌线内支的三种形态。

帕普斯将该曲线称为“螺线”（κοχλοειδὴς γραμμή），这很可能是尼科美迪斯最初的叫法。后来的普罗克洛等人才改称该曲线为“蚌线”（κογχοειδὴς γραμμή）。

17世纪的大数学家艾萨克·牛顿认为蚌线是仅次于直线和圆的、定义第三简洁的曲线，并利用蚌线构造出多种三次平面曲线。但及至当代，蚌线变得很少被数学家研究和关注。

#### 倍立方体

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作线段 $AB = 1$。以点 $A$ 为圆心、$AB$ 为半径作圆，以点 $B$ 为圆心、$AB$ 为半径作圆，交于点 $C$。

过点 $A$ 作线段 $AC$ 的垂线 $l$。以点 $C$ 为极点、$AB$ 为迹距作直线 $l$ 的蚌线外支。

延长 $BA$ 交蚌线于点 $D$。延长 $AB$ 交圆 $B$ 于点 $E$。连接 $CD$ 交 $l$ 于点 $F$。线段 $CF$ 的长度即为 $\sqrt[3]{2}$。

代数证明设 $CF = x$。显然 $x$ 是正实数。因为 $\triangle AFC$ 为直角三角形，所以 $AF = \sqrt {CF^2-CA^2}=\sqrt {x^2-1}$。又因为 $\triangle ADF \sim \triangle EDC$，所以 $AF = {EC \over CD} \cdot FD={{\sqrt 3} \over x+1}$。:$\sqrt {x^2-1} ={{\sqrt 3} \over x+1}$ :$(x^2-1)(x+1)^2 = 3$ :$x^4+2x^3-2x-4=0$ :$(x+2)(x^3-2)=0$ :$x^3-2=0$ :$x=\sqrt[3]{2}$

尼科美迪斯的几何证明

作长方形 $ABGH$，$AH=BG=2AB=2GH$。:延长 $DH$，延长 $BG$，交于点 $K$。:连接 $EH$，交 $BG$ 于点 $L$，点 $L$ 是 $BG$ 中点。:取 $AB$ 中点 $M$，连接 $MC$。｜

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$AD \cdot BD =(MD-MA)\cdot (MD+MB)$ :$AD \cdot BD +MA^2 =MD^2$ :$AD \cdot BD +MA^2 +MC^2=MD^2+MC^2$ :$AD \cdot BD +AC^2=CD^2$

$\triangle KBD \sim \triangle KGH \sim \triangle HAD$ :$KG:GH = HA:AD$ :$\because GH=GL ,\ AH=2AB=AE$ :$\therefore KG:GL = AE:AD =FC:FD$ :$\because FD =AB=GL$ :$\therefore KG = FC$ :$KL=KG+GL=FC+FD=CD$ :$KL^2=CD^2$

$KL^2=(KL+GL)\cdot (KL-GL)+GL^2$ :$KL^2=KB\cdot KG+GL^2$ :$CD^2=AD \cdot BD +AC^2$ :$\therefore KB\cdot KG+GL^2 = AD \cdot BD +AC^2$ :$KB\cdot KG = AD \cdot BD$ :$AD:KG=KB:BD=KG:GH=HA:AD$

$HA:AD=AD:KG=KG:GH$ :$HA=2GH$ :$\therefore KG=\sqrt[3]{2}GH$

#### 三等分角

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作任意直角三角形 $\triangle OAB$，点 $A$ 为垂足。以点 $O$ 为极点、$2\ OB$ 为迹距作直线 $AB$ 的蚌线外支。

过点 $B$ 作直线 $AB$ 的垂线，交蚌线于点 $C$。$OC$ 就是 $\angle AOB$ 的三等分线。

证明作 $OC$ 与 $AB$ 的交点 $D$。取 $CD$ 的中点 $E$，连接 $BE$。根据蚌线和直角三角形的性质，可知 $OB = CE = DE = BE$。易证得 $\angle BOD = \angle BED = \angle EBC + \angle C = 2 \angle C = 2 \angle AOD$。故 $\angle AOD = {1 \over 3} \angle AOB$。

### 解析几何

在极坐标系中，设点 $O$ 为坐标原点，则直线 $l$ 和蚌线 $c$ 的方程可以表示为：

$$l : \ \rho = a {\sec \theta}$$

$$c : \ \rho = a {\sec \theta} \pm b$$

$(-{\pi \over 2} < \theta < {\pi \over 2} \ , \ a, b \in \mathbb{R}^+)$

在直角坐标系中，设点 $O$ 为坐标原点，则直线 $l$ 和蚌线 $c$ 的方程可以表示为：

$$l : \ x = a$$

$$c : \ (x-a)^2(x^2+y^2)=b^2x^2$$

$(a, b \in \mathbb{R}^+)$

或用参数方程表示为：

$$\begin{cases} x=a \pm b \cos \theta \\ y=a \tan \theta \pm b \sin \theta \end{cases}$$

（上下正负号同号，$-{\pi \over 2} < \theta < {\pi \over 2} \ , \ a, b \in \mathbb{R}^+$）

尼科美迪斯蚌线是四次平面曲线。

## 帕斯卡蜗线

帕斯卡蜗线是一类外旋轮线，同时也是一类特殊的蚌线，是圆关于圆上一个定点的蚌线。由于极点在原曲线上，所以蚌线的内支和外支光滑相连为一条曲线。当迹距等于圆的直径时，就是心脏线。

作圆 $O$ 关于圆上一个定点 $A$、迹距等于圆的半径的蚌线。对于圆上任意一点 $B$，延长 $BO$ 至圆外，与所作蚌线交于点 $C$。根据蚌线的性质，易知 $\angle ACB = {1 \over 3} \angle AOB$。这条特殊的蚌线被称为三等分角蜗线。

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- 圆关于圆上一点、迹距小于圆径的蚌线

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- 圆关于圆上一点、迹距等于圆径的蚌线，即心脏线

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- 三等分角蜗线

## 其他蚌线

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- 圆对圆外一点的蚌线，迹距大于极点与圆的最大距离。极点与蚌线内支分离

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- 圆对圆外一点的蚌线，迹距等于极点与圆的最大距离。极点为蚌线内支的尖点

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- 圆对圆外一点的蚌线，迹距小于极点与圆的最大距离，大于极点与圆的最小距离。极点为蚌线内支的结点

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- 圆对圆外一点的蚌线，迹距等于极点与圆的最小距离。极点为蚌线内支的尖点

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- 圆对圆外一点的蚌线，迹距小于极点与圆的最小距离。极点与蚌线内支分离

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- 圆对圆内一点的一条蚌线

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- 抛物线对线外一点的一条蚌线

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- 正弦曲线对线外一点的一条蚌线

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- 立方曲线对线外一点的一条蚌线

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- 双曲线一支对线上一点的蚌线

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- 椭圆对于中心、迹距等于半短轴的蚌线，内支有两个重合的尖点