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光学显微镜

光学显微镜（optical microscope，light microscope），简称光镜，是一种利用光学透镜产生影像放大效应的显微镜。

由物体入射的光被至少两个光学系统（物镜和目镜）放大。首先物镜产生一个被放大实像，人眼通过作用相当于放大镜的目镜观察这个已经被放大了的实像。一般的光学显微镜有多个可以替换的物镜，这样观察者可以按需要更换放大倍数，也就是增加放大倍率，放大倍率是由目镜倍率乘上物镜倍率所得来的。这些物镜一般被安置在一个可以转动的物镜盘上，转动物镜盘就可以使不同的物镜方便地进入光路，物镜盘的英文是Nosepiece，直译为鼻轮。

十八世纪，光学显微镜的放大倍率已经提高到了1000倍，使人们能用眼睛看清微生物体的形态、大小和一些内部结构。直到物理学家发现了放大倍率与分辨率之间的规律，人们才知道光学显微镜的分辨率是有极限的，分辨率的这一极限限制了放大倍率的无限提高，1600倍成了光学显微镜放大倍率的最高极限，使得形态学的应用在许多领域受到了很大限制。光学显微镜的分辨率受到光波长的限制，一般不超过0.3微米。假如显微镜使用紫外线作为光源或物体被放在油中的话，分辨率还可以得到提高。

光学显微镜依样品的不同可分为反射式和透射式。反射显微镜的物体一般是不透明的，光从上面照在物体上，被物体反射的光进入显微镜。这种显微镜经常被用来观察固体等，多应用在工学、材料领域，在正立显微镜中，此类显微镜又称作金相显微镜。透射显微镜的物体是透明的或非常薄，光从可透过它进入显微镜。这种显微镜常被用来观察生物组织。

光学显微镜依其聚光镜（condenser）和物镜（Objective）的设计，可用来观察不同的样品。明视野（Brightfield）用来观察薄的染色生物组织样品，暗视野（Darkfield）功能的视野下，背景为黑色，能突显样品的细微面貌，观察未染色样品时，如活细胞，可利用相位差（Phase）功能。另外还有微分干涉差（differential interference contrast，DIC）功能，都常搭配在光学显微镜上。

依光源的不同，还有萤光显微镜、共聚焦显微镜等类别。

2014年10月8日，诺贝尔化学奖颁给了艾力克·贝琪格（Eric Betzig），W·E·莫尔纳尔（William Moerner）和斯特凡·W·赫尔（Stefan Hell），奖励其发展超分辨萤光显微镜（Super-Resolved Fluorescence Microscopy），这将带来光学显微镜进入纳米级尺度中。

## 分类

### 常规显微镜

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常规显微镜（Regular microscope）像与物同方向的显微镜。

### 复式显微镜

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复式显微镜（Compound microscope）像与物反方向的显微镜。

### 正立显微镜

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正立显微镜的光源在机身下方，光由下方光源经过聚光镜到达样品，再穿过位于样品上方的物镜，然后借由反射镜和透镜到达观察者的眼睛或其他成像仪器。因物镜和聚光镜中间的空间较小，适用于观察的物品通常较薄，可夹于玻片中。此显微镜的优点是结构简单，因此一般光学显微镜多属此类。

### 倒立显微镜

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倒立显微镜（Inverted microscope）明视野用之照明光源和聚光镜是来自机身上方，光线穿过聚光镜到达样品，再穿过位于样品下方的物镜，然后借由反射镜和透镜到达观察者的眼睛或成像仪器。对萤光显微镜而言,萤光激发光源和物镜同位于底部。由于激发光源可以是高功率大型激光光源或弧光灯,倒立式的设计更能稳定显微镜镜的结构。倒立显微镜常用于观察培养中的细胞或组织，特别是应用在萤光的生物样品上。

### 解剖显微镜

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解剖显微镜（Dissecting microscope），又被称为实体显微镜或立体显微镜（Stereo、Stereoscopic），是为了不同的工作需求所设计的显微镜。利用解剖显微镜观察时，进入两眼的光各来自一个独立的路径，这两个光路径夹了一个小小的角度，因此在观察时，样品可以呈现立体的样貌。解剖显微镜的光路设计有两种：The Greenough Concept和The Telescope Concept。

解剖显微镜常常用在一些固体样本的表面观察，或是解剖、钟表制作和小电路板检查等工作上。

## 显微镜成像原理

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现在的光学显微镜的构造非常的复杂精密，为了精准成像，显微镜的光学路径必须严谨的设计与控制。尽管如此，光学显微镜的运作原理是非常简单的。

最简单的物镜是由高分辨率的玻璃镜制成，有非常短的焦距，大概是160 mm左右，而产生了放大倒立成像，因此像是非常靠近试片来观察，经由对焦，其产生的是实像，不用经由目镜即可用肉眼看到，或者成像于纸张上。在多数的显微镜，目镜是双镜组成的，一个在眼睛，产生虚像，使肉眼看到放大成像；一个则靠近物镜，产生实像。

## 图片

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- 已知最古老的公开显微照片:蜜蜂，由Francesco Stelluti于1630年发表

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- 一个现代显微镜，带有水银灯的萤光显微镜。该显微镜具有数码相机，并连接到一台电脑。

## 参看

- 数码显微镜
- 科勒照明(Köhler illumination)
- 消色差透镜

## 基本资料

- 日语原文：光学显微镜
- 使用：小型样品的观察
- 知名实验：生物细胞的发现
- 发明者：汉斯·李普希、Zacharias Janssen
- 相关事物：显微镜、电子显微镜
项目

专案（project），又译为专案、计划、计画，是为完成某一独特的产品或服务所做的临时或时限性质行为。“临时性”是指计划有确定的开始日期及结束日期。“独特”意味着项目的最终结果不重复。

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著名的项目包括：

- 曼哈顿计划：开发出第一个核武器。
- 北极星导弹计划：一个洲际弹道导弹控制系统。

日常的项目包括:

- 学生的功课
- 开放日
- 时装表演
- 游行示威
- 工程

根据项目管理协会（PMI）的定义，项目是"为创造独特的产品、服务或成果而进行的临时性工作"。项目管理知识体系将项目视为不同于日常运营的组织形式，具有明确的开始和结束、独特的目标，以及范围、时间和成本的三重约束。

## 定义

关于项目的定义有多种视角。其中最有影响力的是项目管理协会的定义：项目是"为创造独特的产品、服务或成果而进行的临时性工作"。

另一种管理学视角将项目定义为"在固定时期内、在特定成本和其他限制条件下执行的一系列相互关联的任务"。在此意义上，项目可以被视为一个临时性社会系统（工作系统），由团队（组织内部或跨组织）在时间限制下完成特定任务。

项目目标通常遵循SMART原则：具体性（Specific）、可衡量性（Measurable）、可达成性（Achievable）、相关性（Relevant）和有时限性（Time-bound）。

## 特征

项目具有以下关键特征：

- 临时性——每个项目都有明确的开始和结束。当项目目标达成、或者项目因无法达成目标而终止时，项目即告结束。临时性并不意味着项目持续时间短，许多项目可持续数年。
- 独特性——项目所创造的产品、服务或成果在某种程度上是独一无二的。即使是例行重复的工作，也会因不同的时间、地点、环境等因素而产生独特性。
- 渐进明细——项目的范围、计划和目标随着信息的逐步积累而逐步细化和完善。
- 三重约束——项目通常受到范围、时间和成本三个方面的约束，三者相互制衡。质量通常被视为第四重约束。

### 项目管理三角形

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项目管理三角形（Project management triangle），又称三重约束（triple constraint）或铁三角（iron triangle），是描述项目管理中核心约束因素的经典模型。该模型认为项目工作的质量受到预算（成本）、截止日期（时间）和范围（特性）三方面的约束；项目经理可以在三者之间进行权衡；其中任一约束条件的改变必然要求其他条件做出相应调整，否则质量将受到影响。

该模型的起源可追溯至20世纪50年代。马丁·巴恩斯（Martin Barnes）在其1968年的博士论文中提出了基于成本、时间和资源（CTR）的项目成本模型，随后在1969年设计了以成本、时间和质量（CTQ）为三顶点的培训课程。实践中最简明的表述是"好、快、省，三选二"（Good, fast, cheap. Choose two.）。

三重约束之间存在典型的竞争关系：增加范围通常意味着时间和成本的增加；时间紧迫可能导致成本增加和范围缩减；预算紧张则可能导致时间延长和范围缩减。然而在实际操作中，约束之间的权衡并非总是可行的。例如，向一个人员已饱和的项目追加资金和人力反而可能使其进度放缓，这一现象被称为布鲁克斯法则。

随着项目管理理论的发展，三重约束模型也经历了演变。PMBOK 4.0提出了包含6个因素的星形模型，将输入-输出因素（范围、成本、时间）与过程因素（风险、质量、资源）区分开来。也有研究者指出三重约束作为项目成功标准是不够充分的，因为它忽略了利益相关者影响、学习和用户满意度等重要维度。因此，后续出现了菱形模型、金字塔模型、六约束模型等多种改进方案，项目成功标准也从三个参数扩展到多个参数。

## 类型

项目可按规模和战略意义进行分类。战略性项目以获取竞争优势为长期目标，关注组织的整体发展方向；战术性项目则具有单一操作目标，通常关注按时、按预算交付。

在规模上，大型项目因其规模和重要性而被专门界定；极其大规模的建设或投资项目则被称为巨型项目。例如，英国重大项目管理局曾覆盖约200个全生命周期成本接近5000亿英镑的重大项目。

## 具体应用

### 学校与科研

在学校和大学中，项目是指分配给一个学生或学生小组的研究任务——通常需要比普通论文作业更大的努力和更多的独立工作。学生需从图书馆或互联网研究中收集数据或通过实证方式采集数据，书面报告通常包含项目的启动、分析、发现和结论等部分。

### 项目管理

在项目管理领域，项目由临时性工作组成，旨在创造独特的产品、服务或成果。项目受到三重约束的限制——范围、时间和成本——每一项都可以在项目生命周期内客观地确定和衡量。

### 土木与军事建设

在土木工程、军事和工业（如石油和天然气）领域，资本项目指建造和安装设备、设施和建筑物的活动。由于这些活动是临时性的且有明确的开始和结束日期，因此适用"项目"这一术语。这些活动的结果通常是长期性的基础设施，使用寿命以年或几十年计，因此在财务会计中被作为资本支出处理。

### 计算机软件

在计算机软件中，项目可以包含程序、配置定义和相关数据。例如在Microsoft Visual Studio中，一个"解决方案"由多个项目和其他定义组成。

### 企业财务

在企业财务中，"项目"通常指新的资本投资，涵盖从盈利性投资到成本节约的各种规模和目的。这些通常是重大的战略决策，例如进入新的业务领域或市场、收购其他公司，或现有业务内的新创项目。

### 国家项目

国家项目可定义为一组围绕特定议题或任务而组织的国家政策和/或机构的集合。此类项目涉及持续的变化和动态调整，以适应不断演变的社会条件。

## 取消

项目取消是指在项目完成之前终止项目，通常包括停止对项目资金和其他资源的投入。项目取消可能由成本超支、进度延误、预算变更、项目目标变更或取消、政治因素或上述因素的任意组合引起。合同通常规定项目可能被取消的时间和方式。承包项目通常有指定的结束日期，届时合同可能续签也可能不再续签——不再续签通常与取消具有相同效果，但具有不同的法律后果。

## 著名实例

- 曼哈顿计划——开发出第一个核武器。
- 北极星导弹计划——一个洲际弹道导弹控制系统。
- 阿波罗计划——实现人类登月。
- 人类基因组计划——绘制人类基因组图谱。
- 苏联原子弹计划——苏联第一颗原子弹的研发。
- 埃及金字塔——古代巨型建设项目。
天妇罗

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天妇罗（Ja-tempura.oga），又译日式炸虾，是指日本的一种裹面糊的油炸食品，一般指炸虾，但也可以指油炸的鱼类、贝类、鱿鱼或番薯、地瓜叶、海苔、莲藕等蔬菜。就像日本的大多数食物一样，天妇罗的原型并不是日本料理，而是葡萄牙菜中的一个叫花园鱼的菜，经过日本人改造后逐渐变为日本风格的食品。

传统的日式天妇罗是用海产或蔬菜裹上厚重的小麦粉和木薯粉的浆油炸，粉浆一般只会用水调和，也有高级料理会加入蛋黄、蛋清、酱油、味噌来增加风味。关西的天妇罗中有一种叫做“萨摩炸鱼饼”的种类，在台湾日治时代引进，称为“甜不辣”。

## 语源

“天妇罗”一词是葡萄牙语的tempero的日式汉字写法，在葡萄牙有极度类似的食物。是由16世纪时的葡萄牙传教士传入日本，当初是葡萄牙人在大斋期（Lent，天主教节日，指复活节六个半星期以前）期间因禁吃兽肉，只能食用海鲜，而以吃鱼代替肉而烹煮的一种食物。其中，拉丁文的“ad tempora quadragesima”就是“在四旬斋期间”的意思。后来在日本逐渐流行起来。

## 历史

16世纪时，葡萄牙阿兰特茹的传教士和商人将裹面粉和鸡蛋糊油炸的烹调方法传入日本长崎。

天妇罗首次出现在文献中，是在1669年（宽文9年）的《食道记》。一般认为，最先记载天妇罗制作方法的文献，是1748年出版的《歌仙の组糸》或1746年出版的《里白精味集》。但是，详细记载现代的天妇罗料理方法却是在1671年出版的料理献立抄中。

## 简介

### 日本关东

关东的天妇罗一般会油炸完整的鱼、贝和蔬菜，小麦粉里面也通常会混合蛋汁，在台湾会把这种类型的天妇罗根据日本汉字而叫做天妇罗，一般只在餐厅中贩卖。

关东天妇罗用的海鲜比例高，以芝麻油炸（有时会混进大豆油），油温不高，需要的时间长，油脂味和酱油味都非常浓厚。

### 日本关西

除了一般常见的天妇罗，萨摩炸鱼饼在近畿关西也称为てんぷら。台湾叫法与关西相同，但避免与一般的天妇罗产生歧义，台湾人会直接音译成甜不辣，以作区别。

关西天妇罗用的是水和面粉，蔬菜比例高，以热油炸，时间短；所以关西天妇罗颜色清凉，口味清淡。

台湾夜市中的天妇罗摊贩就是萨摩炸鱼饼，即黑轮的一种。

## 料理方式

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淀粉浆是用冰水、面粉、和蛋黄混合而成，厨师会将拌好的粉浆用筷子沾取甩下油锅做成炸面衣，测试油温有无达到标准。扬物做法是将小块的方便入口的食材先上面粉，再沾淀粉浆，然后热油炸约2到3分钟。常见的炸大虾天妇罗做法可以是将大虾剥去外壳（只留尾部），用混合淀粉浆将虾肉裹好，用油炸熟。

常见的用来油炸作成天妇罗的食材有竹䇲鱼、虾、墨鱼、香菇、番薯、南瓜、菜豆、蔬菜的花、牛蒡、茄子、胡萝卜、节瓜、白肉鱼等等。传统上一般不用来做天妇罗的食材有米和其它谷类，加工处理过的食品，例如豆腐和水果。

在日本关西也被称为天妇罗的萨摩炸鱼饼，只有薄片一种。炸好的天妇罗在吃之前可以撒上些海盐，或是沾混合酱油，高汤等的调味料。天妇罗一般会再配上磨碎的萝卜泥，而且在炸好时要趁热吃。天妇罗可以和其他菜配合，作成便当，也可以和荞麦面一起作早餐。

## 食物变化

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在日本关西也被称为天妇罗的萨摩炸鱼饼传至台湾后，音译成为甜不辣，成为台湾料理。例如以高汤熬煮的关东煮和以烧烤这两者最为普遍。

厨师测试油温做成的天妇罗渣可以当小菜吃，也可以加在乌冬面上。

## 类似食品

欧洲其他国家有类似料理之道，多用于甜食：以奶油面糊包裹水果（苹果、香蕉、凤梨等）或冰淇淋油炸（参见炸冰淇淋、fritter）。葡萄牙的菜园小鱼与天妇罗关系最密切。

## 逸事

德川家康的真正死因是胃癌，但也有传说德川家康在听闻一位贸易商人茶屋四郎次郎谈到现在在京都很流行的一种叫做天妇罗的料理之后，感到非常新奇，于是吩咐人做来吃吃看。当时他所吃的是用芝麻油油炸的真鲷，搭配韭菜一起吃。没想到本来肠胃就不好的德川家康，在吃了天妇罗之后，病况恶化，三个月后就去世了。

二战后的冲绳由于食物匮乏，不少人利用美军机油炸制机油天妇罗。

## 基本资料

- 别名：天麸罗
- place_of_origin：日本
- 地区：东亚
- serving_size：100 g
- 相关的国家菜系：日本料理
荞麦面

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荞麦面，是一种日式食物，是用荞麦、面粉和水，和成面团压平后切制的细面条，煮熟食用。关于荞麦进入日本最早文献于《续日本纪》公元722年元正天皇为了对抗干旱而令全国种植荞麦与大小麦。荞麦面则直至日本战国时代才出现，起源有甲州（山梨县天目山栖云寺）和信州（长野县）两种说法。

在日本，除了正式面馆以外，在火车站站台等也有供应荞麦面条的小面摊，也有干面和保丽龙杯装的方便面条出售，可以在许多种不同的场合吃到荞麦面条。荞麦面也出现在比较特别的场合，如年底过年时吃荞麦面条、祝长寿、搬家到新房子时向邻居送荞麦挂面等。

## 常见的食用、调理方法

食用时加上各式不同的佐料，如热吃的汤面可用柴鱼片、海带、酱油、清酒等浇制的汤和葱花、七味粉等，凉式面或拌面，用比热吃时较浓的酱汁，加上葱花、山葵糊、生鹌鹑蛋、紫菜丝等。也可以配上许多不同的菜，如天妇罗、红烧油炸豆腐、生鸡蛋、萝卜泥等等。比较特殊的也有紫菜卷、咖喱荞麦面条等不同风味的食品。

## 荞麦面的种类

### 依照制造方式分类

- 手打荞麦面
- 手工制的荞麦面，相对于机械制面的称呼。荞麦粉的好坏、还有对其进行各种加工手续的适切程度，这些都会影响到荞麦面的香味、外观、口感。习得手打荞麦面专业技术的人在日本被称作荞麦面职人。有一些把制作荞麦面当作兴趣的人，他们把制作出品质优良的荞麦面当作目标，近几年日本各地因而开始举办“荞麦面制作技术认证”。
- 手打风机械制面
- 利用机械制作出类似手打风格的荞麦面。
- 机械制面
- 押出式制面

### 依照荞麦粉比例分类

在日文中的“割””在中文是成数的意思，十割为百分之百、九割为百分之九十，以此类推。

- 十割荞麦面（十成荞麦粉，又称做生荞麦）
- 利用热水将荞麦粉的淀粉糊化、制成黏稠状的面团，也需要用热水以外的方式将荞麦粉糊化的情况。相较于其他混合了面粉的荞麦面，纯荞麦粉制作的荞麦面更柔软易切。此外材料与制法方面，也有利用“细磨荞麦粉”制作、“粗磨荞麦粉”制作、押出式制面等不同的原料与方法进行制作的十割荞麦面。“せいろそば（蒸笼荞麦面）”就是十割荞麦面，其缘由是在江户时代的主流是利用蒸笼来蒸熟荞麦面来贩卖，而非现在水煮的形式。
- 九割荞麦面（九成荞麦粉混合一成面粉）
- 二八荞麦面（二成面粉混合八成荞麦粉）
- 名称的由来有两个说法，一种是按照其材料比例来命名，另一种说法是在江户时代后期，其普遍价格为16文钱然后将其拆成“二乘以八”来命名，目前并没有明确的证据支持说哪一边是正确的。
- 外二八荞麦面
- 外二八与其他名称不同点在于，其将荞麦粉和面粉按照十比二混制而成，而非百分比。
- 七割荞麦面（七成荞麦粉）
- 七成荞麦面粉和三成面粉混合而制，口感较滑嫩。
- 六割荞麦面
- 五割荞麦面
兰州牛肉面

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兰州牛肉面，是中国大陆的常见面条类主食，在甘肃兰州本地直称牛肉面、牛大。

## 历史

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最早的兰州牛肉面馆是成立于清朝初年的“月阳楼”，当时只给上层社会人士提供服务。1915年时回族人马保子以“一清（汤）、二白（萝卜）、三绿（香菜蒜苗）、四红（辣子）、五黄（面条黄亮）”统一兰州牛肉面的标准，并使用煮羊肝、牛肝的汤来煮面以提升其风味。

2007年7月，兰州市政府开始征集专门的兰州牛肉面标志，方案选定后最终在2010年获得审批。其图案以绿色为主，同时象征着拉面的动作和牛头。同年7月1日《兰州牛肉面商标使用管理暂行办法》实施，此后凡符合注册商标使用条件的个人或企业都可以免费使用此标志。

兰州市以外地区常见的“兰州拉面”与兰州牛肉面并非同一种食物，实为借用兰州之名宣传的清真化青海化隆拉面。

### 牛肉面文化

牛肉面作为兰州人生活中不可缺少的一部分，已经不能单纯的用“小吃”加以定义。对于某些人来说牛肉面是每日的必须，是一天的开始。

在兰州市区，大部分牛肉面馆在一天的下午14:00左右就会打烊，近年来一直持续到晚餐时间营业的牛肉面馆逐渐增多，但主要集中于汉族开的面馆，由回民开的清真面馆仍然以下午打烊为主。

### 牛肉面的发展

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自牛肉面发明以来，一直作为平民食品存在，其价格非常便宜，目前在兰州这样的中型城市，其价格一直保持在8元人民币左右。在兰州的历史上牛肉面馆的足迹可以说是随处可见，九十年代初随着连锁店的建立。牛肉面开始大规模向外扩张，到目前牛肉面馆遍布全中国乃至世界各地的华人社会。

但目前中国各地的兰州拉面馆很少有兰州人开办的，多为青海的循化与化隆两县的回民开办，口味和兰州牛肉面的差别主要体现在牛肉的肉料选择、肉汤的用料和制作方法上，在中国南方很多省份都添加青椒等蔬菜以适合当地口味，而对于面的火候掌握各地也不同。

上海本地的牛肉拉面大多为非兰州人开设。1990年代，有部分河南襄城县人在上海开设的拉面店亦取名“兰州拉面”，后逐渐改良形成河南拉面。2019年7月，上海花桥餐饮管理有限公司注册成立，马记永品牌兰州牛肉面开始运营。2020年，上海陈香贵餐饮管理有限公司和上海张啦啦餐饮管理有限公司开张。

## 作法

由厨师手工现场将面团拉抻制成面条后下锅煮熟，出锅后加入牛肉老汤，撒上小块牛肉、辣椒油、香菜、蒜苗而完成一碗兰州牛肉面。从顾客点面开始到面条制作完成的过程只要大约两分钟的时间，所以牛肉面在兰州做为快食早餐或午餐非常受欢迎。

### 老汤

牛肉面汤是用老汤加水烹煮牛肉、羊肝，再加入传统佐料，熬制而成。完成后的牛肉面汤必须清澈见底，而有牛肉的鲜味。肉汤锅中水少了添水，肉少了添肉，所以俗称“千年牛肉汤”。

### 面条

用蓬灰面、过滤水和制而成，蓬灰面中含有大量的碱，从而增强面的筋度。拉制牛肉面的手法非常独特，与中国其它地方的面条有很大不同，由于生面具有很强的韧性，起先的一大块面坯必须由年轻力壮的小伙子来完成。面坯和好后，均匀地分成若干个小面团。当有客人叫面时，才可以开始整个牛肉面的制作过程。

面的拉制方法大体上是把面团先压成带状（宽面）或搓成长条（细面），再由中间对折拉扯几次，放入大煮面锅中。

### 蓬灰

牛肉面在和面时使用的“灰”，实际上是纯碱，是用戈壁滩所产的蓬草烧制出来的碱性物质，俗称蓬灰。作为一种抻面剂加进面里（当地称“使灰”），能使面筋韧有劲，且有一种特殊的香味。

蓬灰的主要成分是碳酸钾，在这里用它代替碳酸钠。起使面粉增加韧劲和柔软抻开的功能。目前，市面上已很少有牛肉面馆使用蓬灰和面，多半用的是市售的成品拉面剂代替。但据说由于拉面剂和蓬灰在面味上存在少许差距，便有人打出纯天然的噱头“蓬灰牛肉面”，以其绿色和环保作为其面馆的推销招牌，但众说纷纭，孰是孰非，至今仍无结论。

蓬灰是造拉面中常用的一种添加剂，在2008年中国奶制品污染事件之后，民众对食品安全意识提高，因而开始怀疑蓬灰对人体是否有害。最终根据官方声称“蓬灰水及散装蓬灰作为食品添加剂是安全的”。蓬灰中是否含有铅及砷等物质与拉面及蓬灰传统工艺无关，工艺中并无混入铅及砷的必然程序，实际上仅取决于蓬草产地的环境状况。

目前中国市面上使用的拉面添加剂蓬灰，一般有两种，一种是野生植物蓬蓬草烧制成，另一种是工业合成量产，称作速溶蓬灰。

### 形状

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牛肉面的面条可以分为多种不同形状，拉面师会根据顾客的不同需求制作。按面条形状分，可将牛肉面分为圆形、扁形、棱形三大类。

圆形面，指面条的横截面呈圆形。圆形面按照由细到粗，可分为“毛细”、“细面（一细, 本地人常称‘细的’）”、“三细”、“二细”、“粗（二柱子）”5种，其中“毛细”直径约0.5－1mm，“二柱子”直径约5－7mm（注意“三细”位于“一细”和“二细”之间，而非比“二细”更粗）。

扁形面，指面条的横截面呈扁平状。扁形面按照由窄到宽，可分为“韭叶”、“薄宽”、“宽”、“大宽”和“皮带宽”等几种，其中“韭叶”宽约5mm（意为与韭菜叶一样宽），“皮带宽”宽约30－40mm（意为和皮带一样宽）。

棱形面，指面条的横截面呈三角形、四边形等独特形状。常见的棱形面有“荞麦棱子（三棱子）”、“四棱子”等。

另有比较独特的空心面，也可归为圆形面的类型。

以上各类面条，最受欢迎的当属“细”、“二细”、“三细”、“韭叶”等形状。过于细的面，容易在汤里吸水泡软，过于粗或过于宽的面则不易煮熟，或煮熟后较硬。棱形面及空心面则因对拉面师的技术要求较高，普及程度不高。

## 特色

- 好的牛肉面讲究一清、二白、三红、四绿、五黄，即汤清、萝卜片白、辣椒油红、香菜和蒜苗绿，以及面条黄亮。辣椒油是将辣椒面和芝麻混合浇上热油得来的，特别讲究不能把汤染红。
- 还可以佐以卤制或酱制的牛腱子肉、各类凉拌小菜食用。

## 事件

### 兰州面限价事件

2007年上半年，由于成本的上涨，兰州有些地区的大碗牛肉面价格，从原来的每碗2.5元上涨到3元。2007年6月26日，兰州市人民政府相关部门出台文件，把该市的牛肉面馆（店）划分为特级、一级、二级、普通级四个级别，规定普通级牛肉面馆大碗牛肉拉面不得超过2.5元，小碗与大碗的差价为每碗0.2元，并限制每个级别的最高售价。兰州市人民政府称兰州牛肉面的价格是兰州的民生价格，必须加以限制。
哥德尔、埃舍尔、巴赫

《哥德尔、埃舍尔、巴赫：集异璧之大成》（Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid），是一本赢得普利策奖的书。它是侯世达的著作，由Basic Books出版社在1979年出版的。这本书的二十周年版本在1999年发行，而且由侯世达加上新的前言。《集异璧之大成》（ISBN 7-100-01323-2）是商务印书馆在1996年出版的根据1995年英文版翻译的中文版。本书的英文副标题意译为“一条永恒的金带”，其首字母与哥德尔、埃舍尔、巴赫三人的英文名字首字母GEB相同，而商务印书馆中文译本的副标题中的“集异璧”则与GEB谐音。

本书一共有两篇，上篇译为“集异璧 GEB”，下篇译为“异集璧 EGB”。

本书主要讲述了逻辑学家库尔特·哥德尔，艺术家莫里茨·科内利斯·埃舍尔，和作曲家约翰·塞巴斯蒂安·巴赫的创造性的成就怎样交织在一起。正如作者所说：“我认识到，哥德尔、埃舍尔和巴赫只是用不同的方式来表达一样相同的本质。我尝试重现这种本质而写出这本书。”

此书在深层次上并非研究这三个人。那只不过是通往该书中心主题的其中一条路——侯世达在序言指出：“到底文字和思想是否依从俱形式的规则？这正是此书的中心问题。”（Do words and thoughts follow formal rules, or do they not? That problem is the problem of this book.）

## 基本资料

- 原始文本：哥德尔、埃舍尔、巴赫：集异璧之大成
- 说明：中文版封面
- 原名：Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid
- 作者：侯世达
- 国家：美国
- 语言：英文
- 主题：人工智能
- 出版社：Basic Books
- 出版时间：1979年
- 页数：777
- ISBN：978-0465026562
- 出版机构：商务印书馆
库尔特·哥德尔

库尔特·弗雷德里希·哥德尔（Kurt Friedrich Gödel，1906年4月28日－1978年1月14日），出生于奥匈帝国的美国数学家、逻辑学家和哲学家，维也纳学派（维也纳小组）的成员。哥德尔是二十世纪最伟大的逻辑学家之一，其最杰出的贡献是哥德尔不完备定理和连续统假设的相对协调性证明。

哥德尔1906年出生于捷克的布尔诺（原奥匈帝国），毕业于维也纳大学，1940年移民美国，任职于普林斯顿高等研究院（IAS）直至1976年退休。1978年，哥德尔于新泽西州的普林斯顿市去世。

## 生平

### 学术生涯

大学时，哥德尔曾参加石里克小组的聚会。

1930年9月7日，他正式宣布其哥德尔不完备定理，引起当时重要数学家如冯·诺伊曼和希尔伯特等的重视。后来又钻研连续统假设，但未能完全解决该问题。

### 逝世情况

哥德尔自幼多病，而且从小就患了强迫症（疑病症）。他还患过抑郁症。后来他在普林斯顿的医院绝食而死，因为他认为那些食物有毒。

## 生活轶事

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### 国籍

虽然他的传记列出很多国家，他通常被视为奥地利人。他出生在奥匈帝国的布尔诺，在十二岁时成为捷克斯洛伐克公民，在二十三岁时成为奥地利公民。当希特勒吞并奥地利时，哥德尔自动成为德国人。第二次世界大战后，他再次成为奥地利公民，而且取得美国公民权利。

1947年12月5日，阿尔伯特·爱因斯坦和奥斯卡·摩根斯特恩作为见证人陪同哥德尔参加美国公民权考试，哥德尔向他两人吐露自己发现了美国宪法中存在一个矛盾可以使一位美国公民成为独裁者，后称哥德尔漏洞。于是爱因斯坦和摩根斯特恩非常担心他们的朋友会因为自己行为让人捉摸不定而影响他申请公民权。移民法官飞利浦·福曼正好认识爱因斯坦并主持过爱因斯坦的入籍宣誓听证会。开始一切进展顺利，但是当福曼恰好问到哥德尔在美国是否可能产生像纳粹一样的独裁政权，哥德尔便开始对福曼解释起自己的发现。福曼理解了是什么情况，将哥德尔打断，继续问其他问题并按常规结束了听证。

### 其它

哥德尔的大部分手稿使用加贝尔斯贝格速记法写成。格言：“有些事实被认知为真，但不必然可证。”

## 外部链接

- 《哥德尔》（Reflections on Kurt），王浩著，康宏逵译
- 哥德尔，Kurt Godel

## 基本资料

- 日语原文：库尔特·哥德尔、Kurt Gödel
- 出生：Kurt Friedrich Gödel
- 出生日期：1906年4月28日
- 出生地：奥匈帝国布尔诺、（今捷克布尔诺）
- 逝世日期：1978年1月14日
- 逝世地：美国新泽西州普林斯顿
- 居住地：、美国
- 国籍：、美国
- 国籍：美国
- 研究领域：数学、数理逻辑
- 机构：普林斯顿高等研究院
- 母校：维也纳大学
- 论文：Über die Vollständigkeit des Logikkalküls (On the Completeness of the Calculus of Logic)
- 论文：http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=9079526&fileId=S0022481200026633
- 论文：1929年
- 博士导师：汉斯·哈恩
- 知名于：哥德尔不完备定理、哥德尔完备性定理、哥德尔距离函数、哥德尔本体论证明、中间逻辑
- 获奖：阿尔伯特·爱因斯坦奖（1951年）、美国国家科学奖章（1974年）、ForMemRS（1968年）、英国国家学术院院士
金属材料

金属材料一般是指工业工程应用中的纯金属或合金。自然界中大约有70多种纯金属，其中常见的有金、银、铜、铁、铝、锡、镍、铅、锌、碳等等。而合金常指二种或二种以上的金属或金属与非金属结合而成，且具有金属特性的材料。常见的合金如铁和碳所组成的钢合金；铜和锌所形成的合金为黄铜等。

## 性质

金属及合金具有下列共同特性：

- 固体状态下具有晶体结构。
- 具有独特的金属光泽且不透明。
- 导热性和导电性良好。
- 延展性。

### 物理性质

- 比重
- 熔点
- 比热
- 热膨胀系数
- 热传导性
- 导电性
- 磁性

### 化学性质

- 腐蚀性
- 氧化
- 高温腐蚀
- 电化学腐蚀

### 机械性质

- 强度
- 降伏强度、抗拉强度、抗压强度、抗剪强度、抗扭强度
- 延展性
- 伸长率、面积缩减率
- 硬度
- 韧性
- 破坏韧性
- 疲劳
- 潜变

## 分类

### 分类

一般可将金属材料分类为下述两大类：

- 铁基金属（ferrous metal）材料是指铁及铁之合金，例如纯铁、钢铁及铸铁皆属此。
- 非铁基金属（noferrous metal）材料是指铁基以外的金属材料，如Cu、Al、Mg、Zn、Pb等都如此。
笛卡儿积

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在数学中，两个集合$X$和$Y$的笛卡儿积（Cartesian product），又称直积，在集合论中表示为$\,X \times Y$，是所有可能的有序对组成的集合，其中有序对的第一个对象是$\,X\,$的成员，第二个对象是$\,Y\,$的成员。

$X \times Y = \left\{ \left( x,y \right) \mid x \in X \land y \in Y \right\}$。

举个实例，如果集合$\,X\,$是13个元素的点数集合$\left \{ A,K,Q,J,10,9,8,7,6,5,4,3,2 \right \}$，而集合$\,Y\,$是4个元素的花色集合$\{$♠, ♥, ♦, ♣$\}$，则这两个集合的笛卡儿积是有52个元素的标准扑克牌的集合$\{(A,$♠$),(K,$♠$), ...,(2,$♠$),...,(A,$♣$),...,(3,$♣$),(2,$♣$)\}$。

笛卡儿积得名于笛卡儿，因为这概念是由他建立的解析几何引申出来。

## 笛卡儿积的性质

易见笛卡儿积满足下列性质：

- 对于任意集合$A$，根据定义有$A \times \varnothing = \varnothing \times A = \varnothing$
- 一般来说笛卡儿积不满足交换律和结合律。
- 笛卡儿积对集合的并和交满足分配律，即

$$A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$$

$$(B \cup C) \times A = (B \times A) \cup (C \times A)$$

$$A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$$

$$(B \cap C) \times A = (B \times A) \cap (C \times A)$$

$$(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)$$

- 若一个集合$A$包含有无限多的元素，那这个集合对自身的笛卡尔积$A \times A$有和$A$一样多的元素。

## 笛卡儿平方和n元乘积

集合$X$的笛卡儿平方（或二元笛卡儿积）是笛卡儿积$X\times X$。一个例子是二维平面$R\times R$，（这里$R$是实数集） - 它包含所有的点$(x,y)$，这里的$x$和$y$是实数（参见笛卡儿坐标系）。

为了帮助枚举，可绘制一个表格。一个集合作为行而另一个集合作为列，从行和列的集合选择元素，以形成有序对作为表的单元格。

可以推广到在$n$个集合$X_1, ..., X_n$上的n-元笛卡儿积:

$\prod^n_{i=1} X_i := X_1\times\ldots\times X_n := \{(x_1, \ldots, x_n) \ | \ x_1\in X_1\;\land\;\ldots\;\land\;x_n\in X_n\}$。

实际上，它可以被等同为$\left ( X_1\times ...\times X_{n-1} \right )\times X_n$。它是n-元组的集合。

一个例子是欧几里得三维空间$R\times R\times R$，这里的$R$同样是指实数集。

## 无穷乘积

有限个集合可以看成某个一对一的有限集合序列 $x = {\{x(i)\}}^n_{i=1}$（因为序列是种以自然数系 $\N$ 为定义域的函数），而 $x$ 的值域恰好是预备要依序进行笛卡儿积的所有集合，换句话说：

$$I_x = \{x(1),\,x(2),\,\dots,\,x(n)\}$$

$$\{1,\,2,\,\dots,\,n\} \,\overset{x}{\cong}\, I_x$$

这样的话，若有函数 $f:I \to \bigcup I_g$ 满足：

$$(\forall i \in I)[f(i) \in x(i)] <pre>$$

那就等价于

$$(f(1),\,f(2),\,\dots,\,f(n)) \in \prod^{n}_{i =1}x(i) <pre>$$

换句话说，函数 $f$ 可以看做 $\prod^{n}_{i =1}x(i) <pre>$ 里的一个n-元组，而这就是以下无穷乘积定义的直观动机：

若 $I$ 是集合族 $\mathcal{X}$ 的指标集，换句话说有指标函数 $x$ 让二者等势：

$$I\,\overset{x}{\cong} \,\mathcal{X}$$

那以下的函数族

$$\prod_{x} \mathcal{X} := \left\{ f \,\bigg|\, <pre> \left(f:I \to \bigcup\mathcal{X}\right) \wedge (\forall i \in I)[f(i) \in x(i)] </pre> \right\}$$

被称为集合族 $\mathcal{X}$ 关于指标函数 $x$ 的无穷乘积。

更进一步的，若此时取一 $j \in I$，则以下定义的函数 $\pi_{j}$

$\pi_{j} : \prod_{x} \mathcal{X} \to x(j)$，$\left(\forall f \in \prod_{x} \mathcal{X} \right) [\pi_{j}(f) = f(j)]$

被称为第 $j$ 投影映射。

在无限情况，一个令人熟悉的特例是，当索引集合是自然数集$\mathbb N,$的时候：这正是其中第i项对应于集合$X_i$的所有无限序列的集合。再次，$\mathbb R$提供了这样的一个例子：

$$\prod_{n = 1}^\infty \mathbb R =\mathbb{R}^\omega= \mathbb R \times \mathbb R \times \ldots$$

是实数的无限序列的搜集，可视之为带有无限个构件的向量或元组。另一个特殊情况（上述例子也满足它）是在乘积中的各因子Xi都是相同的时候，类似于“笛卡儿指数”。这样，在最先定义中的无限并集自身就是这个集合自身，而其他条件被平凡的满足了，所以这正是从I到X的所有函数的集合。

在别的情况，无限笛卡儿积就不那么直观了；尽管在高等数学中的应用有其价值。

“非空集合的任意非空搜集的笛卡儿积为非空”这一陈述等价于选择公理。

## 函数的笛卡儿积

如果$f$是从$A$到$B$的函数，而$g$是从$X$到$Y$的函数，则它们的笛卡儿积$f\times g$是从$A\times X$到$B\times Y$的函数，带有

$$(f\times g)(a, x) = (f(a), g(x))$$

跟之前类似，函数的笛卡儿积也可以扩展到函数的元组和无限情况。

## 外部链接

- Cartesian Product at ProvenMath
金属基复合材料

金属基复合材料（Metal Matrix Composite，MMC）一般是以金属或合金为连续相而颗粒，晶须或纤维形式的第二相组成的复合材料。目前其制备和加工比较困难，成本相对较高，常用在航天航空和军事工业上。现在复合材料生产加工技术已经相对比较成熟，民用，商用领域均有使用。

## 外部链接

- Assessment of Metal Matrix Composites for Innovations
- Space application of MMCs
- Metal Matrix Composites
等价关系

在数学中，等价关系（Equivalence relation）是具有自反性，对称性，传递性的二元关系。等价关系也称为同值关系。一些等价关系的例子包括整数集上的同余，. 欧几里得几何中的等量（Equipollence），以及普通的相等关系。

集合$A$上的每个等价关系都提供了一个$A$的划分，将$A$划分为不相交的等价类。$A$中的两个元素等价当且仅当它们属于同一等价类。

## 定义

若集合$A$上的二元关系$R$满足以下条件：

- 自反性：$\forall x \in A,~~x R x$
- 对称性：$\forall x, y \in A,~~ x R y ~~ \implies ~~y R x$
- 传递性：$\forall x, y, z \in A, ~~~( x R y ~~ \wedge ~~ y R z) ~~\implies~~x R z$

则称$R$是一个定义在$A$上的等价关系。习惯上会把等价关系的符号由$R$改写为$\sim$。

## 事例

### 等价关系的例子

例如，设$A = \{1, 2, \ldots, 8\}$，定义$A$上的关系$R$如下：

$$xRy \iff \forall x, y \in A, ~ x \equiv y \pmod{3}$$

其中$x \equiv y \pmod{3}$叫做$x$与$y$模3同余，即$x$除以3的余数与$y$除以3的余数相等。例子有1R4, 2R5, 3R6。不难验证$R$为$A$上的等价关系。

并非所有的二元关系都是等价关系。一个简单的反例是比较两个数中哪个较大：

- 没有自反性：任何一个数不能比自身为较大（$n \ngtr n$）
- 没有对称性：如果$m > n$，就肯定不能有$n > m$

### 不是等价关系的关系的例子

- 实数之间的"≥"关系满足自反性和传递性，但不满足对称性。例如，7 ≥ 5 无法推出 5 ≥ 7。它是一种全序关系。

## 参考文献

- Brown, Ronald, 2006. Topology and Groupoids. Booksurge LLC. .
- Castellani, E., 2003, "Symmetry and equivalence" in Brading, Katherine, and E. Castellani, eds., Symmetries in Physics: Philosophical Reflections. Cambridge Univ. Press: 422-433.
- and Crawley, Peter, 1973. Algebraic Theory of Lattices. Prentice Hall. Chpt. 12 discusses how equivalence relations arise in lattice theory.
- Higgins, P.J., 1971. Categories and groupoids. Van Nostrand. Downloadable since 2005 as a TAC Reprint.
- , 1973. A Treatise on Time and Space. London: Methuen. Section 31.
- Rosen, Joseph (2008) Symmetry Rules: How Science and Nature are Founded on Symmetry. Springer-Verlag. Mostly chpts. 9,10.
- (1965) Introduction to the Foundations of Mathematics 2nd edition, Chapter 2-8: Axioms defining equivalence, pp 48–50, John Wiley & Sons.

## 外部链接

- Bogomolny, A., " Equivalence Relationship " cut-the-knot. Accessed 1 September 2009
- Equivalence relation at PlanetMath
- Binary matrices representing equivalence relations at OEIS.
666

666（六百六十六）是665与667之间的自然数。

## 在数学中

- 666是第667个非负整数。
- 666是第333个双数，又是第544个合数。（第666个合数是806 = 2 × 13 × 31）。
- 666不是质数，第666个质数是4973。666不是幸运数，第666个幸运数是5559。
- 666是史密夫数：$666=2\times3\times3\times37$，$6+6+6=2+3+3+3+7=18$。
- 666的数字的调和平均值是3/（1/6 + 1/6 + 1/6）= 6。666是第54个拥有这个特质的数。
- 在十进制里，666是第76个回文数。它亦是两个连续回文素数之和（666=313+353）。它亦是第62个回文合数。
- 666是第36个三角形数，因为1至36这36个整数之和是666。这刚好是赌场轮盘上的数字总和，所以轮盘又称为魔鬼轮。第666个三角形数是222111。
- 666是前七个质数之平方和：2^2+3^2+5^2+7^2+11^2+13^2+17^2。
- 666是个非对称数1=(1)+6+6+6=19，1+9=10，如分的话非对称是左1+右9。
- $666=(6^1+6^1+6^1)+(6^3+6^3+6^3)$且$666=1^6-2^6+3^6$
- 把罗马数字I, V, X, L, C, D （1, 5, 10, 50, 100, 500）加起来，等于666。
- 666的前后两个数是楔形数与“连续两个质数的乘积”，即5*7*19且23*29；666是第2个具有此性质的数，前一个是436，下一个是898。
- $666^2+667^2+668^2+ \cdots +684^2 = 685^2+686^2+687^2+ \cdots +702^2 = 8657445$，即$\sum_{k=666}^{684}k^2 = \sum_{k=685}^{702}k^2$，而$666,667,668, \cdots ,702$是连续37个正整数。

## 在人类文化中

- 6在中国为吉利、幸运数字（粤语“六”同“禄”音），有一帆风顺的意思。网络时代后，6因谐音“溜”，666或者更多的6则表示赞扬“某一操作或某一动作十分熟练、顺畅”，“一个人在某一事件中表现得很厉害、极为出彩”等意思。
- 在中国大陆的吸毒者中，6或666是对吸食冰毒的暗喻，来自于“溜冰”。
- 该数字被犹太人认为是不祥数字。
- 该数字在西方文化中是代表魔鬼的数字，在《圣经·启示录》中，666是兽名数目。参见666恐惧症。
- 生活于十九世纪后期到二十世纪中期期间的著名神袐学家阿莱斯特·克劳利弃绝了其信奉基督教的父母传授给他的普利茅斯弟兄会的信念并创立了泰勒玛教。许多批评他的人声称他信奉撒但教。虽然克劳利自己及一些学者否认他是撒但教的信奉者，但是克劳利在其作品中运用了撒但教式意像等事物且把自己称为“野兽666”（the Beast 666），又在其作品中表达了对基督教的憎恶等等，其思想也影响了后世的。他的作品被认为包含了与敌基督式角色有关的元素。
- 以最广为人知的解码方法来拼写的话（A=100、B=101，如此类推）。希特勒的姓“HITLER”加起来就等于666。
- 第一部苹果电脑（Apple I）的售价是$666.66。

## 在《圣经》中

在《启示录》第十三章中，六百六十六是兽像的数目。

我又看见另有一个兽从地中上来，有两角如同羊羔，说话好像龙。它在头一个兽面前，施行头一个兽所有的权柄，并且叫地和住在地上的人拜那死伤医好的头一个兽。又行大奇事，甚至在人面前叫火从天降在地上。它因赐给它权柄在兽面前能行奇事，就迷惑住在地上的人，说要给那受刀伤还活着的兽做个像。又有权柄赐给它，叫兽像有生气，并且能说话，又叫所有不拜兽像的人都被杀害。它又叫众人，无论大小，贫富，自主的为奴的，都在右手上或是在额上受一个印记。除了那受印记，有了兽名或有兽名数目的，都不得做买卖。在这里有智慧：凡有聪明的，可以算计兽的数目，因为这是人的数目，它的数目是六百六十六。

## 在科学中

- 666是农药六氯环己烷C6H6Cl6的代号。其有效成分为γ-六氯环己烷。
全序关系

全序关系，也称为线性顺序（Total order, linear order）即集合$X$上的反对称的、传递的和完全的二元关系（一般称其为$\leq$）。

若$X$满足全序关系，则下列陈述对于$X$中的所有$a,b$和$c$成立：

- 反对称性：若$a\leq b$且$b\leq a$则$a= b$
- 传递性：若$a\leq b$且$b\leq c$则$a\leq c$
- 完全性：$a\leq b$或$b\leq a$

满足全序关系的集合叫做全序集合、线性序集合、简单序集合或链。

链还常用来描述偏序集合的全序子集。

全序关系的完全性可以如下这样描述：集合中的任何一对元素都是可相互比较的。

注意完全性条件蕴涵了自反性：$a\leq a$，因此全序关系也是（满足“完全性”条件的）偏序关系。

## 严格全序

对于每一（非严格）全序关系≤都有一关联的非对称的严格全序关系<，它可以用以下两种等价的方式定义：

- $a< b$当且仅当$a\leq b$且$a\neq b$
- $a< b$当且仅当$\neg(b\leq a)$（即$>$为$\leq$的逆补关系）

性质：

- 传递性：$a< b$且$b< c$蕴涵$a< c$。
- 三分性：$a< b$, $b< a$和$a= b$中有且仅有一个成立。
- 弱序性：其中关联的等价是相等的。

我们可以通过指定$<$为三分二元关系，用这两种等阶的方式来定义全序$\leq$：

- $a\leq b$当且仅当$a< b$或$a= b$
- $a\leq b$当且仅当$\neg(b< a)$

另两个关联的关系是补关系$\geq$和$>$，它们构成了四元组$\{<, >, \leq, \geq\}$。

我们可以用这四个关系中的任何一个来定义全序集，符号指明了全序集的严格性。

## 例子

- 字典序的字母表，比如$A <B < C$等等。
- 全序集的任何保持原次序不变的子集。
- 满足完全性的偏序集。
- 基数或序数集（严格地说，它们都是良序集）。
- 若$X$为任何集合，$f$为$X$到一全序集的单射，则$f$诱导$X$为$x_1 < x_2$当且仅当$f(x_1) < f(x_2)$的全序集。
- 有序数的全序集的直积的字典序是全序的，例如按字典序排序的任何单词表——长为$n$的单词可视为字母表集合的直积自乘$n$次所得结果集合中的元素。
- 拥有小于（$<$）和大于关系（$>$）的实数集是全序的，因此其子集（自然数集、整数集、有理数集等）均为全序集。
- 自然数集是最小的无上界全序集。
- 整数集是最小的无界全序集。
- 有理数集是最小的无界稠密全序集。
- 实数集是最小的无界连通全序集。

## 引用

- George Grätzer (1971). Lattice theory: first concepts and distributive lattices. W. H. Freeman and Co. ISBN 0-7167-0442-0
- John G. Hocking and Gail S. Young (1961). Topology. Corrected reprint, Dover, 1988. ISBN 0-486-65676-4
最小上界

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最小上界，亦称上确界（Supremum，记为sup S）是数学中序理论的一个重要概念，在格论和数学分析等领域有广泛应用。

## 定义

给定偏序集合(T,≤)，对于S⊆T，S的上确界sup(S)定义为S的所有上界组成的集合的最小元（若有）。即sup(S)满足：

- ∀s∈S ⇒ s≤sup(S)
- ∀t∈T，若t满足∀s∈S ⇒ s≤t，则有sup(S)≤t。
- sup(S)∈T。

上确界也被称为最小上界、lub 或 LUB，在格论中也被称为并，在序理论中S的上确界也被记为$\vee$S。

- 若S包含最大元素，则该元素就是上确界。
- 若S有上确界，则上确界是唯一的。
- 上确界的对偶概念最大下界叫做下确界或交。
- 偏序集合的子集可能没有上确界，即使它有上界。
- 上确界一定不能混淆于极小，上界，极大元或最大元。

## 数学分析中的上确界

在数学分析中，实数的集合S的上确界或最小上界记为 sup(S)，并被定义为大于或等于 S 中所有成员的最小实数。实数的一个重要性质是它的完备性：实数集合的所有非空子集是有上界的就是这个实数集合成员的上确界。

### 例子

$$\sup \{ 1, 2, 3 \} = 3\,$$

$$\sup \{ x \in \mathbb{R} : 0 < x < 1 \} = \sup \{ x \in \mathbb{R} : 0 \leq x \leq 1 \} = 1\,$$

$$\sup \{ (-1)^n - \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N} \} = 1\,$$

$$\sup \{ a + b : a \in A \mbox{ and } b \in B\} = \sup(A) + \sup(B)\,$$

$$\sup \{ x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2 \} = \sqrt{2}\,$$

这个有理数的集合的上确界是个无理数，这意味着有理数是不完备的。

此外，如果我们定义在 S 是空集的时候 sup(S) = −∞ 和在 S 没有上界的时候 sup(S) = +∞，则实数的所有集合都在扩展的实数轴上有上确界。

$$\sup \mathbb{Z} = \infty\,$$

$$\sup \varnothing = -\infty\,$$

如果上确界属于这个集合，则它是这个集合的最大元素。术语极大元在处理实数或任何其他全序集合的时候是同义的。

要证明 a = sup(S)，必须证明 a 是 S 的上界并且 S 的任何其他上界大于 a；等价地，也可以证明 a 是 S 的上界并且小于 a 的任何数都不是 S 的上界。

## 外部链接

- supremum (PlanetMath)
上界和下界

设$(A,\leq)$为一个偏序集，若存在$y\in A$，能满足$\forall x\in B\subseteq A$都有$x\leq y$，则$y$称作集合$B$的上界，若存在$z\in A$，能满足$\forall x\in B\subseteq A$都有$x\geq z$，则$z$称作$B$的下界。

例如在实变数中，若存在一个实数$b$，能满足$\forall x\in S\subseteq R$都有$x\leq b$，则$b$即为集合$S$的上界，若存在一个实数$c$，能满足$\forall x\in S\subseteq R$都有$x\geq c$，则$c$即为集合$S$的下界。

## 性质

连续性公理：在非空实数集中，若含上界，则必含最小上界（上确界）；若含下界，则必存在最大下界（下确界)。