圆锥曲线

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圆锥曲线（英语：conic section），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次平面曲线，是数学、几何学中透过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的曲线，包括圆，椭圆，抛物线，双曲线及一些退化类型。

圆锥曲线在约公元前200年时就已被命名与研究，其发现者为古希腊的数学家阿波罗尼奥斯，当时阿波罗尼阿斯已对它们的性质做过系统性的研究。

圆锥曲线应用最广泛的定义为（椭圆，抛物线，双曲线的统一定义）：动点到一定点（焦点）的距离与其到一定直线（准线）的距离之比为常数（离心率$e$）的点的集合是圆锥曲线。对于$0<e<1$得到椭圆，对于$e=1$得到抛物线，对于$e>1$得到双曲线。

## 定义

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设$F$为定点，$l$为定直线，$e$为正常数，称满足$\frac{|PF|}{|Pl|}=e$的动点$P$的轨迹为圆锥曲线。

其中$F$为其焦点，$l$为准线，$e$为离心率。

由此可知，圆锥曲线的极坐标参数方程为$\rho=e(d-\rho\cos\theta)$或$\rho=\frac{ed}{1\pm e\cos\theta}$（正负号由所选焦点与定直线所处的位置不同而引起）。

其中$\theta$为$PF$与极轴的夹角，$d$为定直线$x=d$，即准线到焦点的距离。

将参数方程转换成直角坐标方程易得。

当$e=1$时，曲线为抛物线。

当$e\neq 1$时。

当$0<e<1$时，曲线为椭圆。

当$e>1$时，曲线为双曲线。

## 圆锥曲线的类型

圆锥曲线｜方程｜离心率（e）｜半焦距（c）｜半正焦弦（ℓ）｜焦点准线距离（p）

圆｜$x^2+y^2=a^2$｜$0$｜$0$｜$a$｜$\infty$

椭圆｜$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $\left( a > b > 0 \right)$｜$\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$ $\left( 0<e<1\right)$｜$\sqrt{a^2-b^2}$｜$\frac{b^2}{a}$｜$\frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}$

抛物线｜$y^2=4ax$｜$1$｜$\infty$｜$2a$｜$2a$

双曲线｜$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$｜$\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$ $\left( e>1\right)$｜$\sqrt{a^2+b^2}$｜$\frac{b^2}{a}$｜$\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}$

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椭圆，圆：当平面只与圆锥面一侧相交，交截线是闭合曲线的时候，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。如果截面与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。

抛物线：截面仅与圆锥面的一条母线平行，结果为抛物线。

双曲线：截面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线。

在平面通过圆锥的顶点的时候，有一些退化情况。交截线可以是一个直线、一个点、或一对直线。

## 几何性质

### 椭圆

椭圆上的点到两个焦点的距离和等于长轴长（2a）。

### 抛物线

抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

### 双曲线

双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于贯轴长（2a）。

### 离心率

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对于椭圆和双曲线，可以采用两种焦点-准线组合，每个都给出同样完整的椭圆或双曲线。从中心到准线的距离是$a/e \ $，这里的$a \ $是椭圆的半长轴，或双曲线的半实轴。从中心到焦点的距离是$ae \ $。

在圆的情况下，$e=0$且准线被假想为离中心无限远。这时声称圆由距离是到L的距离的e倍的所有点组成是没有意义的。

圆锥曲线的离心率因此是对它偏离于圆的程度的度量。

对于一个给定的$a \ $，$e \ $越接近于1，半短轴就越小。

## 笛卡尔坐标

在笛卡尔坐标系内，二元二次方程的图像可以表示圆锥曲线，并且所有圆锥曲线都以这种方式引出。方程有如下形式

$$Q(x,y) = Ax^2+Bx y+Cy^2+Dx+Ey+F=0$$

此处参数$A\,$，$B\,$和$C\,$不得皆等于$0 \ $。

### 矩阵表示

上述方程可以使用矩阵表示为

$$\left [\begin{matrix}x & y \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix}A & B/2\\B/2 & C\end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix}D & E \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right] +F= 0$$

亦可以写作

$$\left[\begin{matrix}x & y & 1\end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix}A & B/2 & D/2\\B/2 & C & E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}\right] = 0$$

这是在射影几何中使用的齐次形式的一个特例。(参见齐次坐标)

下文中记$A_{3 3} = \left[ \begin{matrix}A & B/2\\B/2 & C\end{matrix}\right]$，记$A_Q = \begin{bmatrix} <pre> A & B/2 & D/2 \\ B/2 & C & E/2 \\ D/2 & E/2 & F </pre> \end{bmatrix}$。

### 类别

借由$A_Q$，我们可以判定圆锥曲线是否退化。

- 若$\det (A_Q) = 0$，则圆锥曲线$Q$退化。
- 若$\det (A_Q) \neq 0$，则圆锥曲线$Q$未退化。

若圆锥曲线未发生退化，则

- 若 $\det (A_{3 3}) > 0$, 方程表示一个椭圆。
- 对于椭圆，当$(A + C) \det (A_Q) < 0$时，$Q$为一个实椭圆；当$(A + C) \det (A_Q) > 0$时$Q$为一个虚椭圆。（例如，$2x^2 + y^2 + 10 = 0$没有任何实值解，是一个虚椭圆）
- 特别的，若$A=C$，$B=0$且$D^2+E^2-4AF>0\,$，作为椭圆的特殊情况，$Q$表示一个圆。
- 若 $\det (A_{3 3}) = 0$，$Q$表示一条抛物线。
- 若 $\det (A_{3 3}) < 0$，$Q$表示一条双曲线。
- 若$A+C=0$，$Q$表示一条直角双曲线。

若圆锥曲线发生退化，则

- 若$\det (A_{3 3}) > 0$，作为椭圆的退化，$Q$为一个点。
- 若$\det (A_{3 3}) = 0$，作为抛物线的退化，$Q$为两条平行直线。
- 若$D^2+E^2>4(A+C)F$，$Q$为两条不重合的平行直线。
- 若$D^2+E^2=4(A+C)F$，$Q$为两条重合直线。（特别的，此时$A_Q$的秩为1）
- 若$D^2+E^2<4(A+C)F$，$Q$为两条虚直线。
- 若$\det (A_{3 3}) < 0$，作为双曲线的退化，$Q$为两条相交直线。（同时，也是双曲线的渐近线）

在此处的表达中，$A$和$B$为多项式系数，而非半长轴$A$和半短轴$B$。

### 不变量

矩阵$A_Q$、$A_{3 3}$的行列式，以及$A+C$（$A_{3 3}$的迹）在任意的旋转和座标轴的交换中保持不变。常数项$F$以及$D^2+E^2$仅在旋转中保持不变。

### 离心率

$Q$的离心率可被写作关于$Q$系数的函数。若 $\det (A_{3 3}) = 0$，$Q$为 抛物线，其离心率为1。其它情况下，假设$Q$表达一个未退化的椭圆或双曲线，那么

$$e=\sqrt{\frac{2\sqrt{(A-C)^2 + B^2}}{\eta (A+C) + \sqrt{(A-C)^2 + B^2}}},$$

此处若$\det (A_Q)$为负则$\eta=1$；若$\det (A_Q)$为正则$\eta=-1$。

此外，离心率$e$也是下述方程的一个正根

$$\Delta e^4+[(A+C)^2-4\Delta]e^2-[(A+C)^2-4\Delta]=0,$$

此处 $\Delta =\det (A_{3 3})$。对于椭圆或抛物线，该方程只有一个正根，即其离心率；对于双曲线，其有两个正根，其中的一个为其离心率。

### 转换为标准方程

对于椭圆或双曲线，$Q$可用变换后的变量$x', y'$表示为如下所示的标准形式

$$\frac{x'^2}{-S / \lambda_1^2\lambda_2}+\frac{y'^2}{-S / \lambda_1\lambda_2^2}=1,$$

或等价的

$$\frac{x'^2}{-S / \lambda_1\Delta}+\frac{y'^2}{-S / \lambda_2\Delta}=1,$$

此处，$\lambda_1$和$\lambda_2$为$A_{3 3}$的特征值，也即下述方程的两根：

$$\lambda^2-(A+C)\lambda +(AC-(B/2)^2) =0$$

同时，$S = \det (A_Q)$，$\Delta=\lambda_1\lambda_2=\det (A_{3 3})$。

透过座标变换，各种类型的圆锥曲线都可以表示为其标准形式：

方程式｜圆｜椭圆｜抛物线｜双曲线

标准方程式｜${x^2} + {y^2}=a^2 \ $｜${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2}=1 \ $｜$y^2=4ax\,$｜${x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2}=1 \ $

参数方程式｜$a\cos\theta,a\sin\theta\,$｜$a\cos\theta,b\sin\theta\,$｜$a t^2,2 a t\,$｜$a\sec\theta,b\tan\theta\,$或 $\pm a\cosh u,b \sinh u\,$

## 极坐标

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圆锥曲线的半正焦弦（semi-latus rectum）通常指示为$\ell$，是从单一焦点或两个焦点中的一个，到圆锥曲线自身的，沿着垂直于主轴（长轴）的直线度量的距离。它有关于半长轴$a$，和半短轴$b$，通过公式$a\ell=b^2 \ $或$\ell=a(1-e^2) \ $。

在极坐标系中，圆锥曲线有一个焦点在原点，如果有另一个焦点的话它在正x轴上，给出自方程

$r = {\ell \over (1 - e \cos \theta) }$。

或者。

$\frac{1}{r} = \frac{1}{\ell}(1 - e \cos \theta)$。

如上，对于$e=0$得到一个圆，对于$0<e<1$得到椭圆，对于$e=1$得到抛物线，对于$e>1$得到双曲线。

## 齐次坐标

在齐次坐标下圆锥曲线可以表示为：

$$A_1x^2 + A_2y^2 + A_3z^2 + 2B_1xy + 2B_2xz + 2B_3yz = 0\;$$

或表示为矩阵：

$$\begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}A_1 & B_1 & B_2\\B_1 & A_2 & B_3\\B_2&B_3&A_3\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = 0$$

矩阵$M=\begin{bmatrix}A_1 & B_1 & B_2\\B_1 & A_2 & B_3\\B_2&B_3&A_3\end{bmatrix}$叫做“圆锥曲线矩阵”。

$\Delta = det(M) = \begin{vmatrix}A_1 & B_1 & B_2\\B_1 & A_2 & B_3\\B_2&B_3&A_3\end{vmatrix}$叫做圆锥曲线的行列式。如果$\Delta=0$则这个圆锥曲线被称为退化的，这意味着圆锥曲线是两个直线的联合（两相交直线，两平行直线或两重合直线）或一点。

例如，圆锥曲线$\begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0&0&0\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = 0$退化为两相交直线：$\{ x^2 - y^2 = 0\} = \{(x+y)(x-y)=0\} = \{x+y=0\} \cup \{x-y=0\}$。

类似的，圆锥曲线有时退化为两重合直线（两直线重合成一条）:

$\{x^2+2xy+y^2 = 0\} = \{(x+y)^2=0\}=\{x+y=0\} \cup \{x+y=0\} = \{x+y=0\}$。

$\delta = \begin{vmatrix}A_1 & B_1\\B_1 & A_2\end{vmatrix}$被称为圆锥曲线的判别式。如果$\delta=0$则圆锥曲线是抛物线，如果$\delta<0$则是双曲线，如果$\delta>0$则是椭圆。如果$\delta>0$且$A_1=A_2$，圆锥曲线是圆；如果$\delta<0$且$A_1=-A_2$，它是直角双曲线。可以证明在复射影平面$\mathbb{CP}^2$中，两个圆锥曲线共有四个点（如果考虑重根），所以永不多于4个交点并总有1个交点（可能性：4个不同的交点，2个单一交点和1个双重交点，2个双重交点，1单一交点和1个三重交点，1个四重交点）。如果存在至少一个重根$>1$的交点，则两个圆锥曲线被称为相切的。如果只有一个四重交点，两个圆锥曲线被称为是共振的。

进一步的，每个直线与每个圆锥曲线相交两次。如果两交点是重合成一点，则这个线被称为切线。因为所有直线交圆锥曲线两次，每个圆锥曲线有两个点在无穷远（与无穷远线的交点）。如果这些点是实数的，圆锥曲线必定是双曲线；如果它们是虚共轭，圆锥曲线必定是椭圆，如果圆锥曲线有双重点在无穷远，则它是抛物线。如果在无穷远的点是$(1,i,0)$和$(1,-i,0)$，则圆锥曲线是圆。如果圆锥曲线有一个实数点和一个虚数点在无穷远，或它有两个不共轭的虚数点，它不是抛物线、不是椭圆、不是双曲线。

## 外部链接

- Conic sections at Special plane curves.
- Determinants and Conic Section Curves
- Occurrence of the conics. Conics in nature and elsewhere.