电容

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在电路学里，给定电压，电容器储存电荷的能力，称为电容（capacitance），标记为C。采用国际单位制，电容的单位是法拉（farad），标记为F。

平行板电容器是一种简单的电容器，是由互相平行、以空间或介电质隔离的两片薄板导体构成。假设这两片导板分别载有负电荷与正电荷，所载有的电荷量分别为$-Q\,\!$、$+Q\,\!$，两片导板之间的电位差为$V$，则这电容器的电容$C$为

$C = \frac{Q}{V}$。

由上式知1法拉（Farad）等于1库仑（Coulomb）每伏特（Voltage）。在正常状况下1法拉的电容多加1伏特的电位差可以多储存1库仑的电荷。

电容器所储存的能量等于充电所做的功。思考前述平行板电容器，搬移微小电荷元素$\mathrm{d}q$从带负电薄板到带正电薄板，每对抗1伏特的电位差，需要做功$\mathrm{d}W$：

$\mathrm{d}W = \frac{q}{C}\,\mathrm{d}q$。

将这方程式积分，可以得到储存于电容器的能量。从尚未充电的电容器（$q=0$）开始，搬移电荷从带负电薄板到带正电薄板，直到这两片薄板分别拥有电荷量$-Q$、$+Q$，所需要做的功$W$为

$W_\text{charging} = \int_{0}^{Q} \frac{q}{C} \, \mathrm{d}q = \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2}CV^2 = U_\text{stored}$。

其中，$U_\text{stored}$是储存的能量。

## 单位

电容的单位是法拉，简称“法”，单位符号为“F”，是国际单位制导出单位。与其他物理量的关系：一法拉等于一库仑除以一伏特。一般来说，1法拉算是很大的电容，大多数用于电子电路的电容器，其电容会小于法拉几个数量级，常用的单位有“微法拉”（microfarad，μF），等于$10^{-6}$法拉；以及“纳法拉”（nanofarad，nF），等于$10^{-9}$法拉。在微波工程领域中，有时会使用到较小的“皮法拉”（picofarad，pF），等于$10^{-12}$法拉；甚至更小的“飞法拉”（femtofarad，fF），等于$10^{-15}$法拉。

$$1 F = 10^3 mF = 10^6 \mu F = 10^9 nF = 10^{12} pF = 10^{15} fF$$

## 电容器

假设，给定电容器的几何形状和电容器内部的介质性质，则可以计算出电容。如前图所示，假设平行板电容器的两片导板的面积都是$A$，间隔距离为$d$，则两片导板的面电荷密度分别为$-\sigma$、$+\sigma$：

$\sigma= Q/A$。

应用高斯定律（详尽细节，请参阅条目电位移），在两片导板之间的电场$E$为

$E=\sigma/\varepsilon= Q/\varepsilon A$。

其中，$\varepsilon$是介质的电容率。

两片导板的电位差为

$V=Ed=\sigma d/\varepsilon= Q d/\varepsilon A$。

所以，电容为

$C=Q/V= \varepsilon A/d$。

电容与导板面积A成正比，与导板间隔距离d呈反比，这是在假设平板电容器的面积A相当大的情况下，可以忽略电容器边缘的效应。假设间隔距离$d$远小于导板的长度与宽度，则上述方程式乃优良近似；在电容器内大部分区域的电场是均匀的；在电容器周围的边缘电场只给出很小贡献，可以被忽略。

### 电压依赖性电容器

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许多常用的电介质，其电容率会随着外电场的变化而改变，是外电场的函数。铁电性物质就是这种电介质。使用这种电介质的电容器，其电容会比较复杂。例如，当这种电容器在充电时，电荷与电压（电位差）的关系为

$\mathrm{d}Q = C(V) \ \mathrm{d}V$。

在上述方程式里，电容对于电压的依赖性$C(V)$，是因为电场产生的。一个平行板电容器的电场为

$E= V/d$。

这电场将电介质电极化，从而增加导板储存电荷的能力。如右图所示，对于铁电性物质，电极化强度对电场曲线显示出迟滞现象。这是一个非线性关系。

假设电极化强度$P$与电场、电压的关系为

$P=f(E)=f(V/d)=g(V)$。

其中，$f(E)$、$g(V)$分别为良态函数（well-behaved function）。

根据电位移$D$的定义。

$D=P+\epsilon_0 E=g(V)+\epsilon_0 V/d$。

应用自由电荷高斯定律，导板载有的电荷量为

$Q=DA=(g(V)+\epsilon_0 V/d)A$。

所以，电容为

$C(V)=\frac{Q}{V}=\frac{g(V)A}{V}+\frac{\epsilon_0A}{d}$。

假设$g(V)$是线性函数，$g(V)=kV$，$k$是常数，则电容与电压无关：

$C=\frac{Q}{V}=kA+\frac{\epsilon_0A}{d}$。

否则，假设$g(V)$是非线性函数，则电容与电压成非线性关系。

继续思考这跟电压有关的电容，假若将电容器充电至电压$V$，则电容器的两片导板会分别带有电量$+Q$、$-Q$：

$Q =\int_0^V C(V') \ \mathrm{d}V'$。

当电容与电压无关时，这方程式变为$Q = CV$。

储存于电容器的微分能量为

$\mathrm{d}U_\text{stored} =Q \mathrm{d}V'' =\left[ \int_0^{V''}\ C(V') \ \mathrm{d}V' \right] \mathrm{d}V''$。

应用分部积分法：

$\int_a^z f(x) g'(x)\ \mathrm{d}x = \left[ f(x) g(x) \right]_a^z - \int_a^z f'(x) g(x)\ \mathrm{d}x$。

分别设定$f (x)= \int_a^x \ h(y)\ \mathrm{d}y$、$g(x)=x$，带入上述方程式，则可得到

$\int_a^z \int_a^x \ h(y) \ \mathrm{d}y\ \mathrm{d}x=\left[\int_a^x \ xh(y)\ \mathrm{d}y \right]_a^z - \int_a^z xh(x) \ \mathrm{d}x = \int_a^z zh(y) \ \mathrm{d}y - \int_a^z yh(y) \ \mathrm{d}y= \int_a^z \ \left(z-y\right) h(y)\ \mathrm{d}y$。

设定$x=V''$、$y=V'$、$h(y)=C(V')$、$a=0$、$z=V$，则可计算出储存于电容器的能量：

$U_\text{stored}=\int_0^{V}\ \left[ \int_0^{V''}\ C(V') \ \mathrm{d}V' \right] \mathrm{d}V'' =\int_0^V \ \left(V- V'\right) C(V')\ \mathrm{d}V'$。

扫描非线性介质显微镜（scanning nonlinear dielectric microscope）的探针扫描于铁电性物质表面所测量到的非线性电容，可以用来研究铁电性物质的铁电畴（ferroelectric domain）结构。

有些半导体元件的电容可以用电压控制。例如，当变容二极管的逆向偏压增加时，空乏层厚度也会增加，因而使得电容降低。

### 频率依赖性电容器

假若电容器两端驱动的含时电压变化太快，则电介质的电极化强度可能会无法跟上讯号。从微观层次解释这机制，在电介质内部，决定电容率的微小电偶极子无法瞬时地移动，因此，当施加的交流电压的频率增加时，电偶极子只能给出有限的响应，从而造成电容率降低。电容率与频率的关系称为介电色散（dielectric dispersion），是由介电弛豫（dielectric relaxation）过程所主控，像德拜弛豫（Debye relaxation）。从更基本的微观分析来计算，例如对于介质内的电偶极子行为的微观分析，处于暂态状况，电位移场可以表达为（更详尽细节，请参阅电极化率）

$\boldsymbol D (t) = \frac{\varepsilon_0}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^t \mathrm{d}t' \ \varepsilon_r (t-t') \boldsymbol E (t')$。

其中，$\varepsilon_0$是电常数，$\varepsilon_r\ \stackrel{def}{=}\ \varepsilon/\varepsilon_0$是相对电容率。

相对电容率的时间依赖可以用线性响应函数（linear response function）来描述。上述方程式显示出相对电容率的时间依赖所产生的滞后响应。这积分式的积分域从整个过去历史一直延伸至现时。假设每当$\Delta t < 0\,\!$时，$\varepsilon_r(\Delta t) = 0\,\!$，则这积分的上限可以延伸至无穷大：

$\boldsymbol D (t) = \frac{\varepsilon_0}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty \mathrm{d}t' \ \varepsilon_r (t-t') \boldsymbol E (t')$。

对于时间做傅立叶变换，根据折积定理，可以得到

$\boldsymbol D(\omega) = \varepsilon_0 \varepsilon_r(\omega)\boldsymbol E (\omega)$。

其中，$\omega$是角频率。

$\varepsilon_r(\omega)$是复函数，其虚值部分与介质的电场能量吸收有关。更详尽细节，请参阅条目电容率。由于电容与电容率成正比，电容也具有这频率行为。对于时间做傅立叶变换于高斯定律：

$Q(\omega) =\oint_{\mathbb{S}} \mathbf{D} (\mathbf{r} ,\omega)\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}$。

其中，$\mathbb{S}$是闭曲面，$Q$是在$\mathbb{S}$内的自由电荷量，$\mathbf{r}$是场位置，$\mathrm{d}\mathbf{a}$是微小面元素。

流入闭曲面$\mathbb{S}$的电流$I(t)=\frac{dQ}{dt}$，变换至角频率空间为

$\begin{align}I(\omega) & = j\omega Q(\omega) = j\omega\oint_{\mathbb{S}} \mathbf{D} (\mathbf{r} ,\omega)\cdot \mathrm{d}\mathbf{a} \\ <pre> & =\left[ G(\omega) + j \omega C(\omega)\right]V(\omega)= \frac {V(\omega)}{Z(\omega)} \\ </pre> \end{align}$。

其中，$j$是虚数单位，$G(\omega)$、$C(\omega)$、$V(\omega)$、$Z(\omega)$、分别是角频率空间的电导、电容、电压、复值阻抗。

假设平行板电容器的两片导板之间填满了电介质，按照下述关系式，电介质的性质可以测量出来：

$\varepsilon_r(\omega) = \varepsilon_{r}'(\omega) - j \varepsilon_{r}''(\omega) = \frac{1}{j\omega Z(\omega) C_0} = \frac{C(\omega)}{C_0}$。

其中，$\varepsilon_{r}' (\omega)$是实值部分，$\varepsilon_{r}'' (\omega)$是虚值部分，$C(\omega)$是填满电介质时的复值电容，$C_0$是没有电介质时的电容（即平行板电容器的两片导板之间是自由空间时的电容）。

深能级暂态谱学（deep-level transient spectroscopy）利用电容的时间响应来研究半导体的深能级缺陷。按照能级在半导体能隙的位置，缺陷分类为浅能级缺陷和深能级缺陷。浅能级缺陷的能级离导带或价带的能带边缘比较近，在0.1eV以内，处于这能级的电子或电洞很容易因热运动而变成自由电子或自由电洞；一般而言，深能级缺陷离能带边缘比较远，超过0.1eV。但也有些物质的深能级缺陷离能带边缘虽然只有0.001eV，仍旧能够显示出深能级缺陷的通常性质。

金属氧化物半导体电容器（MOS capacitor）是另一个电容与频率有关的例子。对于这案例，少数载流子的缓慢生成意味着在高频率状况，只有多数载流子的响应能够贡献出电容，而在低频率状况，两种载流子的响应都能够贡献出电容。

当频率为光学频率时，半导体的电容会展示出类似固体的能带结构。精密的调制光谱学（modulation spectroscopy）测量方法，使用压力或其它种应力来调制晶体结构，然后观测光波的吸收或反射的相关变化。这方法贡献出很多关于这些物质的性质的结果。

## 电容矩阵

前面论述的范围局限于两片任意尺寸、形状的平行导板的案例。对于单独的带电导板，电容的定义方程式$C\ \stackrel{def}{=}\ Q/V$仍旧成立；这单独的带电导板案例，可以视为这带电导板处于带有异性同量电荷圆球的中心，而这圆球的半径趋向无穷大的案例。

对于多个导体的案例，或当两个导体所带净电荷量不等于零的案例，方程式$C=Q/V$不成立。为了处理这案例，詹姆斯·马克士威提出了“电位系数”和“感应系数”（coefficients of induction）的概念。假设三个导体分别带有电荷量$Q_1$、$Q_2$、$Q_3$，则这三个导体的电位$V_1$、$V_2$、$V_3$分别为

$V_1 = P_{11}Q_1 + P_{12}Q_2 + P_{13}Q_3$。

$V_2 = P_{21}Q_1 + P_{22}Q_2 + P_{23}Q_3$。

$V_3 = P_{31}Q_1 + P_{32}Q_2 + P_{33}Q_3$。

其中，$P_{ij}$是电位系数，$i,j=1,2,3$。

解析这线性方程组，可以得到电荷量分别为

$Q_1 = C_{11}V_1 + C_{12}V_2 + C_{13}V_3$。

$Q_2 = C_{21}V_1 + C_{22}V_2 + C_{23}V_3$。

$Q_3 = C_{31}V_1 + C_{32}V_2 + C_{33}V_3$。

其中，$C_{ii}$是第$i$个导体的电容，$C_{ij}$是感应系数，$i\ne j$。

延伸至$n$个导体。

$V_i=\sum_{j=1}^n P_{ij}Q_j,\qquad\qquad i=1,2,\dots,n$。

$Q_i=\sum_{j=1}^n C_{ij}V_j,\qquad\qquad i=1,2,\dots,n$。

设定第$i$个导体的电位为1Volt，其它导体的电位为0Volt，则对于这系统，第$i$个导体的载电量等于其电容。

这样，整个系统可以用一组系数来描述，称为“倒电容矩阵”，以方程式定义为

$P_{ij}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\partial V_{i}}{\partial Q_{j}}$。

整个系统又可以用另一组系数来描述，称为“电容矩阵”，以方程式定义为

$C_{ij}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\partial Q_{i}}{\partial V_{j}}$。

赫尔曼·冯·亥姆霍兹和威廉·汤姆森证明这些电位系数与感应系数都具有对称性：

$P_{ij}=P_{ji}$。

$C_{ij}=C_{ji}$。

对于这$n$导体系统，假设任意两个导体分别载有负电荷$-Q\,\!$与正电荷$+Q\,\!$，其它导体皆与接地连结，则这两个导体的电容定义为$Q\,\!$除以其电位差：

$C\ \stackrel{def}{=}\ Q/\Delta V$。

假设第$i$与第$j$个导体分别载有负电荷$-Q\,\!$与正电荷$+Q\,\!$，则第$i$与第$j$个导体的电位与电荷的关系式分别为

$V_i = -P_{ii}Q + P_{ij}Q$。

$V_j = -P_{ji}Q + P_{jj}Q$。

这两个导体的电容为

$C=Q/(V_j - V_i)=1/(P_{ii}+P_{jj} - 2P_{ij})$。

## 自电容

在电路学里，电容通常是术语“互电容”（mutual capacitance）的简称，即两个邻近导体（像平行板电容器的两片薄板）之间的电容。另外还有一种电路学性质术语“自电容”（self-capacitance），即单独导体的电位每增加1V所需的电荷量。设定零电位的参考点为一个理论球壳导体，其半径为无穷远，其球心与单独导体同位置。假设这单独导体是半径为$R$的球形导体，则其球表面电位为

$V=Q/4\pi\varepsilon_0 R$。

其自电容是

$C=Q/V=4\pi\varepsilon_0R$。

### 范例

范德格拉夫起电机顶端的圆球形金属导体，其半径通常为20 cm，这金属导体的自电容为

$C=4\pi\varepsilon_0R=4\pi\times 8.85\times 10^{-12}\times 0.2\approx 22[pF]$。

地球的半径约为6.378×106m，其自电容为

$C=4\pi\times 8.85\times 10^{-12}\times 6.378\times10^{6}\approx 700[\mu F]$。

## 杂散电容

任意两个相邻导体，除非长久保持很近的距离，其电容通常很微小，但仍旧可以被视为电容器。这不受欢迎的效应称为“杂散电容”。原本各自孤立的电路，由于杂散电容的作用，可能会让两个电路互相干扰对方的信号，这效应称为串扰。杂散电容是电路在短波波段正常操作的限制因子。

为了消除跟远方形成的杂散电容，可以将电路装置于金属机壳内，再将金属机壳跟地线连结。

## 简单系统的电容

欲求得一个系统的电容，必须先解析拉普拉斯方程式$\nabla^2\phi=0$，并且满足其边界条件，即在每一个导体表面的电位$\phi$为某不同的已设定常数。对于具有高对称性的案例，这方法很简单。但是，对于较复杂案例，可能不存在以基本函数表示的解答。

对于准二维问题，不同的几何构形之间可以用解析函数互相映射。详尽细节，请参阅条目施瓦茨-克里斯托费尔映射

种类｜电容｜注释

平行板电容器｜$\varepsilon A /d$｜

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$\varepsilon$: 介质的电容率

同轴电缆｜$\frac{2\pi \varepsilon l}{\ln ( R_2/R_1) }$｜

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$\varepsilon$: 介质的电容率

一对互相平行的导线｜$\frac{2\pi \varepsilon l }{\operatorname{arcosh}\left( \cfrac{d^2-2a^2}{2a^2}\right) }=\frac{\pi \varepsilon l}{\ \operatorname{arcosh}\left( \frac{d}{2a}\right)\ }$ $= \frac{\pi \varepsilon l}{\ \ln \left( \frac{d}{\ 2a\ } + \sqrt{\frac{d^2}{\ 4a^2\ } -1\ }\right)\ } \approx\frac{\pi \varepsilon l}{\ln \left( \cfrac{d}{a}\right)}\left(1+\frac{a^2}{\ln \left( \cfrac{d}{a}\right)d^2}\right)\ ,\qquad d\gg a$｜

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不相交的导线与平面导板｜$\frac{2\pi \varepsilon l}{\operatorname{arcosh}\left( \cfrac{d}{a}\right) }=\frac{2\pi \varepsilon l}{\ln \left( \cfrac{d}{a}+\sqrt{\cfrac{d^{2}}{a^{2}}-1}\right) }$｜$a$: 电线半径 $d$: 距离， $d>a$ $l$: 电线长度

两片共面平行窄长导板｜$\frac{\varepsilon l K\left( \sqrt{1-k^{2}} \right) }{ K\left(k \right) }$｜$d$: 距离$w_i$: 导板板宽$k_i=d/(2w_i+d)$ $k^2=k_1k_2$ $K$: 椭圆积分$l$: 长度

两个同心圆球｜$\frac{4\pi \varepsilon R_{1}R_{2}}{R_{2}-R_{1}}$｜

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$\varepsilon$: 介质的电容率

两个同半径圆球｜$2\pi \varepsilon a\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sinh \left( \ln \left( D+\sqrt{D^{2}-1}\right) \right) }{\sinh \left( n\ln \left( D+\sqrt{ D^{2}-1}\right) \right) }$ $=2\pi \varepsilon a\left\{ 1+\frac{1}{2D}+\frac{1}{4D^{2}}+\frac{1}{8D^{3}}+\frac{1}{8D^{4}}+\frac{3}{32D^{5}}+O\left( \frac{1}{D^{6}}\right) \right\}$ $=2\pi \varepsilon a\left\{ \ln 2+\gamma -\frac{1}{2}\ln \left( 2D-2\right) +O\left( 2D-2\right) \right\}$｜$a$: 半径$d$: 距离，$d>2a$ $D = d/2a > 1$ $\gamma$：欧拉-马歇罗尼常数

圆球与平面导板｜$4\pi \varepsilon a\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sinh \left( \ln \left( D+\sqrt{D^{2}-1}\right) \right) }{\sinh \left( n\ln \left( D+\sqrt{ D^{2}-1}\right) \right) }$｜$a$: 半径$d$: 距离，$d>a$ $D = d/a$

圆球｜$4\pi \varepsilon a$｜$a$: 半径

圆盘｜$8\varepsilon a$｜$a$: 半径

有限长度的细长直电线｜$\frac{2\pi \varepsilon l}{\Lambda }\left\{ 1+\frac{1}{\Lambda }\left( 1-\ln 2\right) +\frac{1}{\Lambda ^{2}}\left[ 1+\left( 1-\ln 2\right) ^{2}-\frac{\pi ^{2}}{12}\right] +O\left(\frac{1}{\Lambda ^{3}}\right) \right\}$｜$a$: 电线半径 $l$: 电线长度 $\Lambda=\ln(l/a)$

## 英文名称

电容的英文也称为Capacity。但现在Capacity又另有电量的意思。

## 参阅

- 电容位移传感器
- 水力学类比
- 量子电容
- 国际单位制导出单位