九连环

九连环是一种源于中国的传统智力游戏，韩国称为留客珠、留客环，这种古老玩具以往在民间极为普及。它包含着九个相同的圆环及一把“剑”，游戏目标是把九个圆环全套上或卸下。

## 结构

- 每个圆环上都连着一根直杆。
- 每根直杆都从后一环内穿过，除最后一环。
- 一个剑框（木、铁…）：
- 每个圆环最后都穿过这剑框。
- 一根长形剑（铁棒、钗…）：
- 穿在九个环上，可由复杂步骤取出或装上。

## 名称

- 中国称做“九连环”。
- 其实九连环不一定是要“九”连环，也可以是“七”连环、“十一”连环等，但其中却是“九连环”最广为人知。中国人心目中以九为尊，且“九”代表一种“多数”。有这种说法：“‘巧环’难解，‘九连环’更难解”，“九”个“连环”表示着一种不能轻易得解的等级，难度达到了颠峰。其中次出名的为“六连环”，取其六六无穷之意。
- 西方称为“中国环 (Chinese Ring)”。
- 意大利叫作“卡丹环 (Cardan's Rings)”。
- 威尼斯称做“所罗门王之封 (Sigillo Salomen)。
- 因可被当做不用钥匙开启的锁。

## 历史

传说九连环源于中国古代民间，一说发明于战国时代，另一说发明于三国时期，但能确认就是九连环的记载是明代杨慎（1488-1559，号升庵）的《丹铅总录》（见《升庵集》卷六十八）。

- 中国
- 战国时代名家惠施曾著立《连环可解》的立论。
- 惠施所说连环是指《战国策》卷第十三中提到的玉连环，南宋鲍彪注称这种玉连环是“两环相贯”，显然不是这里所说的九连环。
- 据说三国时期，诸葛亮常带兵打仗，为排遣妻子寂寞而发明。
- 于明代普及，明代中期时，流传更是极广。
- 清代上至士大夫，下至贩夫走卒，个个爱玩“九连环”。
- 《红楼梦》中曾有描写在深闺中玩九连环的细节。
- 西方
- 1550年
- 巴黎刊行的数学文献，清楚地讨论过这“中国难题”。
- 著名意大利数学家卡当的著作中将之称为“中国九连环”。
- 1685年，英国数学家瓦里斯对此作了详细的数学说明。
- 19世纪，格罗斯用二进制数给了它一个十分优美的解答。

## 原理和数学结构

九连环背后的数学结构是一种二进制系统，因为其九个环有固定的顺序，且每个环都有位于上方和下方两种状态，因此若将环的两种状态分别给予代号1和0，则九连环某时刻的状态011010010，可以被给予代号$S$，本段将讨论各不同状态间的转换和可能性。

### 两种基本操作

九连环有且只有两种操作方法，本段中将最右端的数位定为九连环的刀尖末端的环。

- 操作一或操作$A$，刀尖指向右方时，切换最右方的环的状态，原先位于上的下移，原先位于下的上移，该可切换之环以代号x表示。

例如:$00110101x$

- 操作二或操作$B$，刀尖指向右方时，切换位于上排处最右端环的左侧邻近环，原先位于上的下移，原先位于下的上移，该可切换之环以代号x表示。

例如:$001101x10$

### 基本操作之可逆性

定义描述方式:

$$\cdots S_n\cdot A\cdot S_{n+1}\cdot B\cdot S_{n+2} \cdots$$

意涵为：

当处于$S_n$状态之九连环向式子右方进行了$A$操作后会转换至$S_{n+1}$的状态，该$S_{n+1}$状态再继续向右方进行了$B$操作后会转换至$S_{n+2}$的状态。

因为操作之可逆性，因此也可以解读成当处于$S_{n+2}$状态之九连环向式子左方进行了$B$操作后会转换至$S_{n+1}$的状态，该$S_{n+1}$状态再继续向左方进行了$A$操作后会转换至$S_n$的状态。

操作的可逆性可以表示为：

$$S_n \cdot A \cdot S_{n+1} \cdot A \cdot S_n$$

$$S_n \cdot B \cdot S_{n+1} \cdot B \cdot S_n$$

也就是说，相同的操作做两次，会回到原状态，是对于解开九连环没有帮助的，因此可以得到该系统的结构是:

$$\cdots S_n\cdot A \cdot S_{n+1} \cdot B\cdot S_{n+2}\cdot A\cdot S_{n+3}\cdot B \cdots$$

所示之两种操作交替进行的。

### 两种终点状态和所构成的一维操作宇宙

$A$操作可以进行于所有的状态$S$，但有两个状态是无法做$B$操作的，命名为$S_{00}$和$S_{01}$

其中

$S_{00}$ = $000000000$ 可以看出$S_{00}$是我们需要的解

$S_{01}$ = $100000000$

由于$S_{00}$和$S_{01}$无法作$B$操作，且因$A,B$两种操作的可逆性，因此该数学结构会是

$$S_{00}\cdot A \cdot S_{00} \cdots S_{n+1} \cdot B\cdot S_{n+2} \cdots A \cdot S_{01}$$

此处并没有作严密的数学证明，因为此情形将于接续的讨论而变得显而易见。

### 状态Sn的性质与葛雷码的等同性

<image>

此数学结构和葛雷码的编码结构完全相同，n位数葛雷码的建构方式可由右图中的镜射方法所看出，由建构方法可以看到葛雷码含有所有的位元资讯，因此九连环二位元系统可以达到九位数二位元所有的状态。

## 九连环解法

不断重复$A,B,A,B...$的盲目操作,即可以让状态在数学的数列结构中向左或向右移动至终点，且这也是唯一的方式。此性质和魔术方块是很不同的。对于没有受过近代数学分析训练者可能会花上较多时间处理此问题，但一般皆稍受提点即可快速上手，此性质也是和魔术方块很不同。

操作过程中若是移动方向错误，则会遇到端点状态，使操作折返即可。经提点后的操作者剩下的智力活动空间剩下对于判断半完成品的接续操作应该由$A$还是$B$开始才能够以最快的方式解决。

虽然在了解解决方法之后，九连环做为玩具的耐玩性会大幅下降，但就九连环背后的数学结构和实践其数学结构的机械设计巧思，九连环仍是一个非常巧妙的发明。

## 广义性

上述之讨论不限于九连环或九位数的二位元系统，较多或较少位元都是拥有相同结构的。市面上有一款英文名称为spin-out的益智玩具，数学结构和九连环完全相同，但采用七位数设计，较为省时简易。

## 解开多连环所需之操作次数

操作次数可由上述讨论的镜射法推演而出，对于ｎ环的需要操作次数所组成的$a_n$有递回的性质。

以下列出$a_n$的数值。

- 一连环：1
- 二连环：2
- 三连环：5
- 四连环：10
- 五连环：21
- 六连环：42
- 七连环：85
- 八连环：170
- 九连环：341

可于数据库A000975中找到$a_n$详细的递回性质和各种$a_n$的表示方法。

例如：

n = 环数

次数=$\frac{1}{6}(-3 - (-1)^n + 2^{2 + n})$

- 当 n 为奇数时
- $$U_n=\frac{(2^{n+1}-1)}{3}$$
- 当 n 为偶数时
- $$U_n=\frac{(2^{n+1}-2)}{3}$$

约略为$\frac{2}{3} (2^n)$ 种。

## 用处

- 当作防盗门锁

## 类似游戏

- 巧环类：六连环、七连环、十一连环、十三连环…
- 巧板类：四巧板、五巧板、七巧板、九巧板…
- 其他中国古代类：鲁班锁、四喜人…
- 西方类：河内塔、埃及拼图、阿基米德宝盒、人面狮身拼图…

粗体为其中较享负盛名的游戏。

## 九连环之最

- 2003年3月8日，王仲斌，以3分57秒成功解出，进入大世界基尼斯纪录。

## 参考文献

- 《新世纪版十万个为什么 - 数学分册》 - 怎样解九连环 (Pg. 160 - 163)