玻尔模型

玻尔模型是丹麦物理学家尼尔斯·玻尔于1913年提出的关于原子结构的模型。此模型引入量子化的概念来研究原子内电子的运动，对于计算氢原子光谱的里德伯公式给出了理论解释。玻尔模型是20世纪初期物理学取得的重要成就，对原子物理学产生了深远的影响。

## 玻尔模型的提出

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20世纪初期，德国物理学家普朗克为解释黑体辐射现象，提出能量量子化假说，揭开了量子理论的序幕。1885年，瑞士数学教师巴耳末将氢原子的谱线表示成巴耳末公式。然而巴耳末公式是经验公式，直到玻尔在1913年提出玻尔模型为止，人们并不了解它们的物理含义。

1911年，英国物理学家卢瑟福根据1909年开始进行的α粒子散射实验，提出了原子的拉塞福模型。在这个模型里，原子的中心有一个带正电（Ze）、带质量的原子核，在原子核的四周是带负电的电子云；其中，Z是原子数，e是单位电荷。从拉塞福模型，拉塞福推导出散射公式，其预测与实验结果相符合。然而，在拉塞福散射实验里，主角是原子核，而电子并不重要，因此拉塞福不能空口无凭地给出电子的排列方式，也无法用这模型对于化学结合、元素列表、原子谱线给出解释。

1912年，正在英国曼彻斯特大学工作的玻尔将一份被后人称作《曼彻斯特备忘录》的草稿提交给他的导师卢瑟福。在这份直到玻尔过世后才被发布的草稿中，玻尔在拉塞福模型的基础上引入了普朗克的量子概念，玻尔提议，原子可以维持力学稳定性，前提是电子的动能$T$与电子环绕原子核的公转频率$\nu$，两者之间的关系式假定为

$T=k\nu$。

其中，$k$与普朗克常数有关。

注意到他并没有确切给出$k$的形式，也没有将辐射稳定性纳入考量，更没有理论证实他的假定可以达成力学稳定性。

1913年2月4日前后的某一天，玻尔与同事汉斯·汉森讨论他的研究，汉森提问：“这研究与谱线方程有什么关系?”玻尔回答说他会去查阅这方面的资料。玻尔博览那时期的科学文献，而且巴耳末公式在科学文献里是常被引述的谱线方程，很可能他已看到过这公式，但并没有注意到这公式与自己研究有什么的关联，而且已完全忘掉这公式。不论如何，他详细阅读了约翰内斯·斯塔克撰写的教科书Prinzipien der Atomdynamik有关谱线方面的内容，特别是关于巴耳末公式的描述，后来他回忆：“就在我看到巴耳末公式的那一瞬间，突然一切都变得清楚了。”3月7日，他写好一篇诠释巴耳末公式的论文，其开启了原子结构的量子理论。

1913年7月、9月、11月，《哲学杂志》接连刊载了玻尔的三篇论文，标志着玻尔模型正式提出。这三篇论文成为物理学史上的经典，被称为玻尔模型的“三部曲”。他在第一篇论文中利用玻尔模型分析了氢原子，在第二篇论文中论述了其它原子结构与周期表，在第三篇论文中探讨了分子结构。

## 玻尔模型的主要内容

玻尔模型的两个主要假设为。

- 在氢原子中，电子围绕着原子核进行圆周运动。
- 在轨道中运动的电子的角动量的大小 $L$ 被量子化为正整数乘以约化普朗克常数 $\hbar$。

### 轨道半径量子化

按照第一个假设，在氢原子中的电子，围绕著原子核做圆周运动，其轨道是经典轨道。电子做圆周运动的向心力是由电子和原子核之间的库仑力所提供：

$m_e\frac{v^2}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}$。

其中，$m_e$ 是电子质量，$v$ 是电子速率，$r$ 是电子轨道半径，$\varepsilon_0$ 是电常数，$e$ 是基本电荷。

所以，半径为

$r = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{m_e v^2}$。

另外，圆周运动的角动量大小是半径乘以动量：

$L=rm_e v$。

所以，按照第二个假设，速度为

$v=L/rm_e =n\hbar/rm_e$。

其中，$n$ 是主量子数，$\hbar$ 是约化普朗克常数。

将速度的表达式代入半径的表达式，可以得到新的半径的表达式

$r = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2}n^2$。

这轨道半径表达式可以重写为

$r = a n^2$。

其中，$a = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2}\approx 5.29 \times 10^{-11} m$ 是玻尔半径。

在氢原子的波尔模型里，以原子核为圆心的电子圆周运动的半径被量子化，最小的半径是玻尔半径。由于电子被禁止离原子核更近，库仑力无法将电子吸引到原子核里，电子也不会因为进行圆周运动的加速度而释出电磁波。

### 轨道能量量子化

电子绕着原子核的轨道能量 $E$ 是动能 $K$ 加势能 $V$：

$E = K + V = \frac12 m_e v^2 - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r} = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0r}$。

将轨道半径表达式代入轨道能量表达式，可以得到

$E = -\frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^2}\ \frac{1}{n^2} \approx -\frac{13.60 eV}{n^2}$。

在氢原子的波尔模型里，轨道能量被量子化，并与主量子数的平方成反比。这是束缚电子的能量。由于原子核被假设为固定不动，这能量也可以视为整个氢原子的能量。

### 跃迁能量变化

电子只能够稳定地存在于一系列的离散的能量状态之中，称为定态。假若电子的能量发生任何变化，都必须要在两个定态之间以跃迁的方式进行，所以电子只能处于一系列分立的定态。当电子从一个定态跃迁至另一个定态时，会以电磁波的形式放出或吸收能量：

$h\nu = \Delta E= E_{n'}-E_n$。

其中，$\nu$ 是电磁波的频率。

将轨道能量表达式代入这公式，可以得到

$\frac{1}{\lambda} = -\frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^3 c}\left(\frac{1}{n'^2}-\frac{1}{n^2}\right)$。

将这表达式重写，可以得到里德伯公式：

$\frac{1}{\lambda} = R\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n'^2}\right)$。

其中，$R=\frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^3 c}$ 是里德伯常数。

### 修正

英国光谱学家亚弗列德·福勒质疑：应用玻尔模型计算出里德伯常数的数值$R=109 737.315\,\mathrm{cm}^{-1}$；而实验值$R=109 677.58\,\mathrm{cm}^{-1}$，二者相差大约万分之五。1914年，玻尔提出，这是因为原来的模型假设原子核静止不动而引起的。实际情况是，原子核的质量不是无穷大，它与电子绕共同的质心转动。玻尔对其理论进行了修正，用原子核和电子的约化质量$\mu = \frac{m_e M}{m_e + M}$代替了电子质量。这样的话，不同原子的里德伯常数RA不同。

$$R_A = \frac{R}{1 + m_e/M}$$

电子到质心的距离仍为原来理论中的第一轨道半径，与原子核的质量无关。

## 玻尔模型的实验验证

1897年，美国天文学家爱德华·皮克林在恒星弧矢增二十二的光谱中发现了一组独特的线系，称为皮克林线系。皮克林线系中有一些谱线靠近巴耳末线系，但又不完全重合，另外有一些谱线位于巴耳末线系两临近谱线之间。起初皮克林线系被认为是氢的谱线，然而玻尔提出皮克林线系是类氢离子He+发出的谱线。随后英国物理学家埃万斯在实验室中观察了He+的光谱，证实玻尔的判断完全正确。

和玻尔提出玻尔模型几乎同一时期，英国物理学家亨利·莫塞莱测定了多种元素的X射线标识谱线，发现它们具有确定的规律性，并得到了经验公式——莫塞莱定律。莫塞莱看到玻尔的论文，立刻发现这个经验公式可以由玻尔模型导出，为玻尔模型提供了有力的证据。

1914年，詹姆斯·弗兰克和古斯塔夫·赫兹进行了用电子轰击汞蒸汽的实验，即弗兰克-赫兹实验。实验结果显示，汞原子内确实存在能量为4.9eV的量子态。1920年代，弗兰克和赫兹又继续改进实验装置，发现了汞原子内部更多的量子态，有力地证实了玻尔模型的正确性。

1932年，哈罗德·尤里观察到了氢的同位素氘的光谱，测量到了氘的里德伯常数，和玻尔模型的预言符合得很好。

## 玻尔模型的推广

随着光谱实验水平的提高，人们发现了光谱具有精细结构。1896年，阿尔伯特·迈克耳孙和爱德华·莫雷观察到了氢光谱的Hα线是双线，随后又发现是三线。玻尔提出这可能是电子在椭圆轨道上做慢进动引起的。1916年索末菲在玻尔模型的基础上将圆轨道推广为椭圆形轨道，并且引入相对论修正，提出了索末菲模型。在考虑椭圆轨道和相对论修正后，索末菲计算出了Hα线的精细结构，与实验相符。然而进一步的研究发现，这样的解释纯属巧合。Hα线的精细结构有7条，必须彻底抛弃电子轨道的概念才能完全解释光谱的精细结构。

## 玻尔模型的问题

玻尔模型将经典力学的规律应用于微观的电子，不可避免地存在一系列问题。根据经典电动力学，做加速运动的电子会辐射出电磁波，致使能量不断损失，而玻尔模型无法解释为什么处于定态中的电子不发出电磁辐射。玻尔模型对跃迁的过程描写含糊。因此玻尔模型提出后并不被物理学界所欢迎，还遭到了包括卢瑟福、薛定谔在内的诸多物理学家的质疑。玻尔曾经的导师、剑桥大学的约瑟夫·汤姆孙拒绝对其发表评论。薛定谔甚至评价说是“糟透的跃迁”。

此外，玻尔模型无法揭示氢原子光谱的强度和精细结构，也无法解释稍微复杂一些的氦原子的光谱，以及更复杂原子的光谱。因此，玻尔在领取1922年诺贝尔物理学奖时称：“这一理论还是十分初步的，许多基本问题还有待解决。”

玻尔模型引入了量子化的条件，但它仍然是一个“半经典半量子”的模型。完全解决原子光谱的问题必须彻底抛弃经典的轨道概念。尽管玻尔模型遇到了诸多困难，然而它显示出量子假说的生命力，为经典物理学向量子物理学发展铺平了道路。

## 参阅

- 尼尔斯·玻尔
- 里德伯公式
- 惰性电子对效应可以用玻尔模型解释。
- 原子轨域