微积分学

微积分学（calculus）或微分积分学，简称微积分，主要包括微分学和积分学两个部分，是研究极限、微分、积分和无穷级数等的一个数学分支。本质上，微积分学是一门研究连续变化的学问。

微积分学在科学、商学和工程学领域皆有广泛的应用，并成为了现代大学教育的重要组成部分，用于有效解决一些仅以代数学和几何学无法处理的问题。

微积分学于代数学和几何学的基础上建立，其中微分是指函数的局部变化率的一种线性描述，包括求导数和其运算，即一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和斜率等均可用一套通用的符号进行演绎；积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念，包括求积分的运算，为定义和计算长度、面积、体积等提供一套通用的方法。

微积分基本定理指出，微分和不定积分互为逆运算，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。

历史上，微积分曾被称作无穷小演算。直至现今，在更深层次的数学领域中，高等微积分学通常被称为分析学，并被定义为研究函数的科学，是高等数学的主要分支之一。相应的，微积分学又称为初等数学分析。

## 概念

微积分是研究‘非线性连续变化关系’的核心数学工具。微积分最初步的简易思想是‘以直代曲’与‘逼近’，可以看成：先“无限分割”，化曲为直；再“无限累加”，还直为曲。其进阶思想，则推广至多维空间、概率分布或是函数空间的研究。

简单来说，“微积分”将非线性且连续的对象看成无穷多个、无穷小的‘线性单元’叠加构成，进行“微分”就是无穷分割的过程，进行“积分”就是还原的过程。微分与积分两者是微积分两大分支，因互为逆运算，而常被一并提及。对一个函数微分，就是把这个函数无穷分割成一系列无穷小的线性单元。对一个函数积分，就是把这个函数加权的线性单元还原成无穷分割前的原函数。

进一步说，“微积分”的思想是将非线性的对象（曲线、曲面或高维流形），在局部看作是无穷多个、无穷小的‘线性近似’（如切线段、切平面块）的叠加。“线性”是指满足线性变换的性质，并不局限于几何上的线。

微分借由无限“分割”，将复杂的非线性过程局部转化为无穷多个线性增量；积分再借无限“累加”，将这些局部增量还原为整体的改变量。因此，微分本质上是求瞬时变化率，即将函数局部线性化的过程；积分则是这一过程的逆运算，通过对无穷小单元进行连续求和，从而还原出原函数或计算累积效应。微积分的思想将局部与整体、瞬时与过程统一在‘极限’的框架之下。

## 汉语语源

微分与积分的现代用法，源于李善兰和伟烈亚力的《代微积拾级》(1859年，上海，共18卷)一书，在译著中，李善兰解释了为什么使用微分一词：“凡线、面、体皆设为由小渐增，尤为微小之中所增之积，即微分也；其全积，即积分也。”也就是说，微分意指将物体（如曲线）细分为无数的微小部分，求出变化率；积分意指将这些微小部分累积起来，以得到完整的体积或面积。

## 历史

现代微积分是在17世纪的欧洲由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨（相互独立，在同一时间首次出版）发展起来的，其元素最先出现在古希腊，再则是在中国和中东，此后是在中世纪的欧洲和印度。

无穷小演算（Infinitesimal calculus）是微积分的早期名称，在17世纪60年代由莱布尼茨和牛顿基于巴罗和笛卡尔等数学家的工作各自独立发展出来。它包括了微分演算和积分演算，分别用来指微分学和积分学的技术。无穷小演算以后发展为标准微积分及非标准分析等体系。

在早期微积分中，无穷小量的使用被认为是不严格的，被一些作者严厉地批评，其中最有名的包括米歇尔·罗尔和贝克莱主教。后者在1734年的著作《分析家》中称它为“已死量的幽灵”。

一些数学家，如麦克劳林，试图去证明使用无穷小量在定理上的完备性。但直到150年后，才由柯西和威尔斯特拉斯完成了这一证明，结束了只能使用模糊的概念去定义无穷小量的历史。

### 古代

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在古代数学中，产生了一些引申出后来积分学的思想，但当时对该些思想的探讨方式并不严格、系统。埃及的莫斯科数学纸草书（c. 1820 BC）记载了对不同种类的体积和面积的计算，而这即是积分学的目标之一。不过它的公式只属简单指示，没有提及推导方法，有的公式也只是粗疏的估算。

积分的起源较早，古希腊时期欧多克索斯（约公元前408-355年）就曾用穷竭法来求面积与体积。阿基米德（约公元前287-212年）用内接正多边形的周长来穷尽圆周长，而求得圆周率的近似值；也用一连串的三角形来填充抛物线的图形，以求得其面积。这些都是穷尽法的古典例子。

中国的刘徽在公元三世纪也应用穷竭法求圆的面积。在公元五世纪，祖冲之采用祖暅原理计算出球体积，该原理后来也被称之为卡瓦列里原理。

### 现代

欧洲文艺复兴之后，基于实际的需要及理论的探讨，积分技巧有了进一步的发展。譬如为了航海的方便，杰拉杜斯·麦卡托发明了所谓的麦卡托投影法，使得地图上的直线就是航海时保持定向的斜驶线。

在欧洲，基础性的论证来自博纳文图拉·卡瓦列里，他提出体积和面积应该用求无穷小横截面/段的体积/面积的总和来计算。他的想法类似于阿基米德在《力学定理的方法》（The Method）所提出的，但是卡瓦列里的著述丢失了，直到20世纪初期再被找到。卡瓦列里的努力没有得到认可，因为他的方法的误差巨大，而且他提出的那些无穷小的量一开始也不获认同。

17世纪的前半是微积分学的酝酿时期，观念在摸索中，计算是个别的，应用也是个别的。而后戈特弗里德·威廉·莱布尼茨和艾萨克·牛顿两人几乎同时使微积分观念成熟，澄清微、积分之间的关系，使计算系统化，并且把微积分大规模使用到几何与物理研究上。

在他们创立微积分以前，人们把微分和积分视为独立的学科，之后才确实划分出“微积分学”这门学科。

在对微积分的正式研究中，卡瓦列里提出的无穷小量，与当时在欧洲发展起来的有限差分演算连系到了一起。皮埃尔·德·费马声称他借用了丢番图的成就，引入了“准等式”（adequality）概念，表示两个项在除却一个无穷小误差项下等同。而把无穷小量与有限差分演算连系起来的工作，是由约翰·沃利斯、伊萨克·巴罗和詹姆斯·格雷果里完成的。后两者在1670年左右证明了微积分第二基本定理。

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两位独立确立微积分体系的数学家：艾萨克·牛顿爵士（左）与戈特弗里德·莱布尼茨（右）

牛顿的老师伊萨克·巴罗虽然知道微分和积分之间有互逆的关系，但他不能体会此种关系的意义，其原因之一就是求导数还没有一套有系统的计算方法。古希腊平面几何的成功对西方数学影响极其深远：一般认为唯有几何的论证方法才是严谨、真正的数学，代数不过是辅助的工具而已。直到笛卡儿及费马倡导以代数的方法研究几何的问题，这种态度才逐渐转变。可是一方面几何思维方式深植人心，而另一方面代数方法仍然未臻成熟，实数系统一时不能建立，所以许多数学家仍然固守几何阵营而不能发展出有效的计算方法，巴罗便是其中之一。牛顿虽然放弃了他老师的纯几何观点而发展出了有效的微分方法，可是他迟迟未敢发表。虽然他利用了微积分的技巧，由万有引力及运动定律出发说明了他的宇宙体系，但因害怕当时人们的批评，所以在他1687年的巨著《自然哲学的数学原理》中仍把微积分的痕迹抹去，而以古典的几何论证方式论述。

牛顿利用了微积分的技巧，由万有引力及运动定律出发说明了他的宇宙体系，解决天体运动，流体旋转的表面，地球的扁率，摆线上重物的运动等问题。牛顿在解决物理问题时，使用了其独特的符号来进行计算，并提出了乘积法则、链式法则、高阶导数、泰勒级数。在其它著作中，牛顿给出了函数的级数展开式，当中包括分数和无理数的乘幂，而且明显地牛顿知道泰勒级数的原理。但是他没有发表所有的这些发现，因为无穷小方法在当时仍然饱受争议。

上述思想被戈特弗里德·威廉·莱布尼茨整合成为真正的微积分，而牛顿指责前者存在抄袭。莱布尼茨在今天被认为是独立发明微积分的另一人。他的贡献在于成功提供一套明确的规则来处理无穷小的量，能够允许计算二阶或更高阶的导数，以微分和积分的形式给出乘积法则和链式法则。与牛顿不同，莱布尼茨很注重形式，往往花上数天决定对概念予以什么适当的符号。

莱布尼茨和牛顿都被普遍认为是独立的微积分发明者。牛顿最先将微积分应用到普通物理当中，而莱布尼茨创作了不少今天在微积分所使用的符号。牛顿、莱布尼茨都给出了微分、积分的基本规则，二阶与更高阶导数，近似多项式级数的记法等。在牛顿的时代，微积分基本定理是已知的事实。

当牛顿和莱布尼茨第一次发表各自的成果时，数学界就发明微积分的归属和优先权问题爆发一场旷日持久的大争论。牛顿最先得出结论，而莱布尼茨最先将其发表。牛顿称莱布尼茨从他未发表的手稿中盗取了想法，皇家学会的一些成员也跟牛顿持同一观点。这场大纷争将使数学家分成两派：一派是英国数学家，捍卫牛顿；另一派是欧洲大陆数学家。结果是对英国数学家不利。日后对牛顿和莱布尼茨的论文的小心检视，证实两人是独立得出自己的结论。莱布尼茨从积分推导，牛顿从微分推导。在今天，牛顿和莱布尼茨被誉为发明微积分的两个独立创始者。不过，“微积分”之名则是莱布尼茨所创。而牛顿将其成果称为“流数术”（method of fluxions）。

微积分实际被许多人不断地完善，也离不开巴罗、笛卡儿、费马、惠更斯和沃利斯的贡献。最早的及最完整的一部有关有限和无穷小分析的著作由玛利亚·阿涅西于1748年所著。

牛顿和莱布尼茨虽然把微积分系统化，但是它还是不够严谨。可是当微积分被成功地用来解决许多问题，却使得十八世纪的数学家偏向其应用，而甚少致力于其严谨性。当时，微积分学的发展幸而掌握在几个非常优越的数学家，如欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、达朗贝尔及伯努利世家等人的手里。研究的问题由自然现象而来，所以能以自然现象的数据来验合微积分的许多推论，使微积分学不因基础不稳而隐含错误。在这一众数学家的手中，微积分学的范围很快已超越现在大学初阶段所授的微积分课程，而迈向更高深的分析学。

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### 基础

在微积分中，“基础”意味将一个概念从明确的公理和定义中严格地建构出来。早期微积分所使用的无穷小被认为是不严谨的，遭到了一些作者的严厉批评，特别是米歇尔·罗尔和乔治·贝克莱主教。贝克莱因在他1734年出版的《分析学家》（The Analyst）中将无穷小描述为“消失量之鬼”而著名。近代的一篇分析认为莱布尼茨版微积分比起贝克莱的经验主义批评还更严密。为微积分予以严谨基础，成为数学家们在牛顿、莱布尼茨之后几世纪的重要工作，时至今日仍在某程度上是研究的活跃领域。

一些数学家，包括科林·麦克劳林，试图证明使用无穷小是可靠的做法，但直到150多年之后才得以成功。奥古斯丁·路易·柯西和卡尔·魏尔斯特拉斯的工作，实现了对无穷小的记号的回避。微分和积分的基础终于被打下了。在柯西的著作中，可以看到一系列的基础进路尝试，包括通过无穷小来对连续进行定义，和在微分定义中一个不太精确的函数极限原型。而在魏尔斯特拉斯的著述中，对极限概念作了形式化，回避了无穷小的使用。继魏尔斯特拉斯之后，微积分就常以极限作为基础，而非无穷小了。波恩哈德·黎曼使用这些概念来对积分进行严格定义。在这一时期，微积分的概念也被推广到欧几里得空间和复平面。

在现代数学里，微积分基础被包含在实变函数论中，后者包括了对微积分理论的完全数学证明。微积分的范围也被大大拓宽了。昂利·勒贝格建立了测度论，以测度概念来定义绝大多数函数（除却特别病态的函数）上的积分。洛朗·施瓦茨引入了分布概念，可以用其取任意函数的导数。

极限不是对微积分基础唯一的严格进路。另一种方法是采用亚伯拉罕·鲁滨逊的非标准分析。罗宾逊在1960年左右所采取的进路袭承了牛顿——莱布尼茨的最初概念，借用数理逻辑的技术将实数系统扩大，得以将无穷小和无穷大数包含在内。所得出的数为超实数，可以用它们来对微积分法则作莱布尼茨式的推导。

### 重要性

早期的微积分概念来自于埃及、希腊、中国、印度、伊拉克、波斯、日本，但现代微积分则来自于欧洲。17世纪时，艾萨克·牛顿与戈特弗里德·莱布尼茨在前人的基础上提出微积分的基本理论。微积分基本概念的产生是建立在求瞬间运动和曲线下面积这两个问题之上的。

微分应用包括对速度、加速度、曲线斜率、最优化等的计算。积分应用包括对面积、体积、弧长、质心、做功、压力的计算。更高级的应用包括幂级数和傅里叶级数等。

微积分也使人们更加精确地理解到空间、时间和运动的本质。多个世纪以来，数学家和哲学家都在争论除以零或无限多个数之和的相关悖论。这些问题在研究运动和面积时常常出现。古希腊哲学家埃利亚的芝诺便给出了好几个著名的悖论例子。微积分提供了工具，特别是极限和无穷级数，以解决该些悖论。

## 主要概念

微积分主要有三大类分支：极限、微分学、积分学。微积分的基本理论表明了微分和积分是互逆运算，牛顿和莱布尼茨发现了这个定理以后才引起了其他学者对于微积分学的狂热的研究，而这个发现也使得我们在微分和积分之间可以互相转换。这个基本理论也提供了一个用代数计算许多积分问题的方法，也就是用不定积分法取代极限运算法。该理论也可以解决一些微分方程的问题，解决未知数的积分。微分问题在科学领域无处不在。

微积分的基本概念还包括函数、无穷序列、无穷级数和连续等，运算方法主要有符号运算技巧，该技巧与初等代数和数学归纳法紧密相连。

微积分被延伸到微分方程、向量分析、变分法、复分析、时域微分和微分拓扑等领域。微积分的现代版本是实分析。

### 极限和无穷小

微积分中最重要的概念是“极限”。微商（即导数）是一种极限。定积分也是一种极限。

从牛顿实际使用它到制定出周密的定义，数学家们奋斗了200多年。现在使用的定义是魏尔斯特拉斯于19世纪中叶给出的。

数列极限就是当一个有顺序的数列往前延伸时，如果存在一个有限数（非无限大的数），使这个数列可以无限地接近这个数，这个数就是这个数列的极限。

数列极限的表示方法是：

$$\lim_{n \to \infty}x_n = L$$

其中$L$就是极限的值。例如当$x_n = {1 \over 2n}$时，它的极限为$L=0$。就是说$n$越大（越往前延伸），这个值越趋近于$0$。

微积分通常是透过对很小的数的处理，而发展起来的。历史上，一开始是用无穷小量来做。无穷小量可以被看作是一个数，但是从某种意义上来说，它“无穷小”。一个无穷小数$\mathrm{d}x$能够比$0$大，但是小于数列$1$，$\tfrac{1}{2}$，$\tfrac{1}{3}$，⋯⋯任一个数，以及小于任何正实数。任何整数倍数的无穷小还是无穷小，换句话说，无穷小不满足阿基米德性质。从这角度来看，微积分是一组处理无穷小的技巧，这种方法于19世纪已不被推崇，因为很难使无穷小成为精确概念。但是，这个概念在20世纪由于非标准分析以及光滑无穷小分析的引进被重新提及，非标准分析为无穷小的操作提供了坚实的基础。

在19世纪，无穷小被极限取代，极限描述的是与函数在某一点附近的值有关的值。它描述了函数在某处附近的行为，类似无穷小，但是使用了普通的实数系统。在这种做法下，微积分是一组处理极限的技巧。无穷小被很小的数代替，函数无穷小附近的行为是通过取距离越来越小时的极限来找到的。极限是提供微积分严格的基础最简单的方式，基于这个原因，它是标准的做法。

### 导数

在运动学中，平均速度等于位移除以所花费的时间——在一小段间隔的时间内，除上其位移，等于这一小段时间内的速度，但是当这一小段间隔的时间趋于零，也就是瞬时速度时，则无法按照通常的除法计算，这时的速度为时间的导数，得用求导的方法计算。而引入导数概念前，一般会先引入函数的平均变化率的概念。函数在某点处的平均变化率是指函数在该点处的因变量的增量和自变量的增量的比值。一个函数的自变量趋近某一极限时，其平均变化率的极限即为导数。在速度问题上，距离是时间的因变量，随时间变化而变化；当时间趋于某一极限时，距离增量除以时间增量的极限即为距离对时间的导数。

导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。

### 微分学

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微分学主要研究的是在函数自变量变化时如何确定函数值的瞬时变化率（导数或微商）。换言之，计算导数的方法就叫微分学。微分学的另一个计算方法是牛顿法，该算法又叫应用几何法，主要通过函数曲线的切线来寻找点斜率。费马常被称作“微分学的鼻祖”。

微分学研究的是一个函数的导数的定义，性质和应用。求出导数的过程被称为求导。给定一个函数和定义域内的一个点，在那个点的导数描述了该函数在那一点附近的表现。通过找出一个函数定义域内每一点的导数，可以生成一个新的函数，叫做原函数的导函数，或者导数。以数学术语说，导数是输入一个函数，输出另一个函数的线性算子。这比许多初等代数里所学的过程更为抽象，初等代数里的函数常常是输入一个数，并输出另一个数。例如，如果在倍增函数中输入$3$，则输出$6$，和如果在平方函数中输入$3$，则输出$9$。但是，微分能把平方函数作为输入，这意味着微分利用平方函数的所有信息去产生另一个函数（生成的函数是倍增函数）。

导数的最常见的符号是一个类似撇号的符号，叫作“撇（prime）”。从而函数f的导数是$f'$，读作“f一撇（f prime）”。例如，如果$f(x)=x^2$是平方函数，那么它的导数$f'(x)=2x$是倍增函数。

如果函数的输入量代表时间，那么导数就代表关于时间的变化。例如，如果f是输入时间，输出那个时间的球的位置的函数，则f的导数就是位置随着时间怎样变化，这就是球的速度。

如果一个函数是线性的（也就是说，如果函数的图像是一条直线），那么这个函数可以写成$y=mx+b$，$x$是自变量，$y$是因变量，$b$是$y$的纵截距，且

$$m = \frac{\Delta y}{\Delta x}.$$

这个公式给出一条直线的斜率的一个准确值。如果这个函数的图像不是一条直线，那么$y$的变化量除以$x$的变化量之值随$x$改变。导数给出了输出量关于输入量的变化率这一概念一个确切的含义。具体来说，设$f$是一个函数，并在它的定义域内取一个点$a$，$(a,f(a))$是这个函数图像中的一个点。假设$h$是一个接近于$0$的数，这时$a+h$是一个接近于$a$的数。所以$(a+h,f(a+h))$是接近于$(a,f(a))$的。这两点间的斜率是

$$m = \frac{f(a+h) - f(a)}{(a+h) - a} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.$$

这个表达式称为差商。通过曲线上的两个点的一条直线称为割线，所以$m$是$(a,f(a))$和$(a+h,f(a+h))$间割线的斜率。割线仅仅是函数在$a$点行为的一个近似，因为它不能解释函数在$a$到$a+h$之间的情况。通过设定$h$为$0$来发现函数在$a$处的行为是不可能的，因为这需要除以$0$，而除以$0$是不可能的。导数定义为$h$趋向于$0$时差商的极限，就是说用h可取的所有可能小的值来研究f的行为，并取一个相容的值以适用于当$h$等于$0$的情况：

$$\lim_{h \to 0}{f(a+h) - f(a)\over{h}}.$$

几何上，导数是函数$f$在$a$点处切线的斜率。切线是割线的极限，正如导数是差商的极限。因此，导数有时也被称为f的斜率。这里有一个具体的例子，就是求一个平方函数在$x$等于$3$处的导数。令这个平方函数为$f(x)=x^2$：

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$$\begin{align}f'(3) &=\lim_{h \to 0}{(3+h)^2 - 3^2\over{h}} \\ &=\lim_{h \to 0}{9 + 6h + h^2 - 9\over{h}} \\ &=\lim_{h \to 0}{6h + h^2\over{h}} \\ &=\lim_{h \to 0} (6 + h) \\ &= 6. \end{align}$$

平方函数在点$(3,9)$处的切线斜率是$6$，也就是说，它朝上走的速度是朝右走的速度的6倍。对于平方函数的定义域中的任一点，都可以求得像刚才所描述的极限。因此这定义了平方函数的导函数，也简称为平方函数的导数。以上的一个相似计算表明平方函数的导数是倍增函数。

### 莱布尼茨记号

一个由莱布尼茨引进的常用导数记号，以上面为例，是：

$$\begin{align} y&=x^2 \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=2x. \end{align}$$

在以极限为基础的理论里，记号$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$并不理解成两个数的商，而是上面计算的极限的简记。然而，莱布尼茨打算将它表示成两个无穷小数的商，$x$的一个无穷小变化量$\mathrm{d}x$引起了一个无穷小的变化量$\mathrm{d}y$。我们也可以把$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$看作一个微分算子，它以一个函数为输入，以这个函数的导函数作为输出。例如：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2)=2x.$$

在这个用法中，分母中的$\mathrm{d}x$读作“关于x”。即使微积分理论是用极限的概念，而不是用无穷小的概念发展成的，人们还是常常把$\mathrm{d}x$，$\mathrm{d}y$这类记号当作实数来操作。尽管可以避免这样的操作，但是有时候它们在符号上可以方便地表达全导数这类操作。

### 积分学

积分是微分的逆运算，即从导数推算出原函数，又分为定积分与不定积分。一个一元函数的定积分可以定义为无穷多小矩形的面积和，即等于函数曲线下包含的实际面积。我们也可以用积分来计算平面上一条曲线所包含的面积、球体或圆锥体的表面积或体积等。从技术上来讲，积分学是研究对这两个相关的线性算子的研究。

不定积分是导数的逆运算，即反导数。当$f$是$F$的导数时，$F$是$f$的不定积分。（这种在公式中使用大小写字母以区分微分积分在数学中很常见。）

定积分输入公式，输出数字，即给出图像与横坐标之间各个面积的代数和。对定积分的技术定义是各个矩形之面积和的极限，又称黎曼积分。

举例：在给定时间内行径的路程：

路程 = 速度 × 时间

如果速度是一定的，那么上述参数简单相乘即可得出结果。但如果速度为变量，那么就不得不使用更强大的公式。其中的一个方式是将行径路程根据时间近似地划分成许多小部分，将每个间距中的时间乘以当时的速度，最后将每个间距所行径的近似路程累计为黎曼和。当中的基本想法是，如果时长间隔很短，那么速度会近似不变。然而，黎曼和只给出行径路程的近似值。我们必须对所有可能的黎曼和取极限，来得出精确的值。

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如果左图中的$f(x)$代表根据时间而改变的速度，那么$a$时间点与$b$时间点之间的路程就可以用阴影区域$s$来表达。

要求得区域面积的近似值，直观的办法就是将$a$、$b$两点之间的路程分割为等长线段，每个线段的长度用符号$\Delta x$来标记。对于每个小线段，我们在方程上找到对应值$f(x)$，记为$h$。如此，以$\Delta x$为底、$h$为高的矩形面积（时间$\Delta x$乘以速度$h$），就是通过该线段的路程。和每个线段相关联的是线段上方程的平均值$f(x)=h$。所有矩形的总和就是数轴与曲线之间面积的近似值，即总行径路程的近似值。$\Delta x$的值越小，矩形数量就越多，近似值也就越精确。而如果我们要求得精确值，就必须寻找$\Delta x$的极限，令其数值逼近零。

积分的符号是$\int$，像一个拉长的S（S意味“求和”，sum）。定积分被记为如下：

$$\int_a^b f(x)\, \mathrm{d}x.$$

读作，$f(x)$由$a$到$b$的定积分。莱布尼茨的符号$\mathrm{d}x$意在表述将曲线下的面积分割为无穷多的矩形，以至于他们的宽$\Delta x$变成无穷小的$\mathrm{d}x$。对于建立在极限上的微积分，符号

$$\int_a^b \ldots\, \mathrm{d}x$$

应被理解为一个输入函数，输出数字（即面积）的算子。在终端的微分$\mathrm{d}x$不是数字，也不是与$f(x)$相乘—虽然，若作为$\Delta x$极限定义的提醒，可理解为积分里符号运算的相乘。从形式上来讲，微分说明了函数是关于哪个变量被积分。此外，亦作为积分算子的尾括弧。

不定积分，或反导数，记作：

$$\int f(x)\, \mathrm{d}x.$$

只相差一个常数的函数有着相同的导数，另外也可以证明一个给定函数的反导数实际上是一个只相差一常数的方程组。例如，考虑函数$y=x^2+C$，当中$C$为任意常数，则其导数均为$y'=2x$；后者的反导数可被写为：

$$\int 2x\, \mathrm{d}x = x^2 + C.$$

反导数中的未知常数$C$被称为积分常数。

### 微积分基本定理

微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）又称微积分基本公式，证实微分和积分互为逆运算。更精确地说，它将一个反导数的具体值与定积分联系起来。因为计算反导数通常比应用定积分定义更加简单，微积分基本公式为计算定积分提供了一个行之有效的方式。它也可以被理解为微分是积分逆运算的精确解释。

微积分基本公式：如果函数f在$\left[ a ,\; b\right]$区间是连续的，函数F在区间(a, b)的导数是f，那么。

设 $f(x) = F(x)+C.$

$$\int_{a}^{b} f'(x)\,\mathrm{d}x = f(b) - f(a).$$

$$\int f'(x)\,\mathrm{d}x = F(x) + C = F(x) + f(a) - F(a) = f(x), \text{where } C = f(a) - F(a), a, C\in \mathbf{R}.$$

$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t)\,dt = f(x).$$

这成为日后数学分析硕果的重要基石。基本公式为计算定积分提供了简单的计算反导数的代数方法，而无须使用其极限定义来计算。它也是解微分方程的雏形。微分方程把一个未知函数与其导数相关连，而在科学的不同领域中，微分方程都很常见。

## 微积分的符号

微分学中的符号“$\textrm{d}x$”、“$\textrm{d}y$”等，是由莱布尼茨首先使用。其中的$\textrm{d}$源自拉丁语中“差”（Differentia）的第一个字母。积分符号“$\int_{}\,$”亦由莱布尼茨所创，它是拉丁语“总和”（Summa）的第一个字母s的伸长（和Σ有相同的意义）。

## 微积分学的应用

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微积分学的发展与应用几乎影响了现代生活的所有领域。它与大部分科学分支关系密切，包括精算、计算机、卫生、工业工程、商业管理、商务统计、人口统计，特别是物理学；经济学亦经常会用到微积分学。几乎所有现代科学技术，如：水利、土木、建筑、机械、航海及航空等工业工程类科和医药及护理等卫生类科都以微积分学作为基本数学工具。微积分使得数学可以在（非常数）变化率和总改变之间互相转化，让我们可以在已知其中一者时求出另一者。

物理学大量应用微积分；古典力学、热传和电磁学都与微积分有密切联系。已知密度的物体质量、物体的转动惯量、物体在保守力场的总能量都可用微积分来计算。牛顿第二定律便是微积分在力学中的一个应用例子：它的最初陈述使用了“变化率”一词，而“变化率”即是指导数。陈述大意为：物体动量的变化率等于作用在物体上的力，而且朝同一方向。今天常用的表达方式是$\mathbf{F} = m\mathbf{a}$，它包括了微分，因为加速度是速度的导数，或是位置矢量的二阶导数。已知物体的加速度，我们就可以得出它的路径。

麦克斯韦尔的电磁学理论和爱因斯坦的广义相对论都应用了微分。生物学用微积分来计算种群动态，输入繁殖率和死亡率来模拟种群改变。化学使用微积分来计算反应速率，放射性衰退。

微积分可以与其它数学分支并用。例如，可与线性代数并用，来求得某区域中一组点的“最佳”线性近似。它也可以用在概率论中，来确定由给定密度函数所给出的连续随机变量之概率。在解析几何对函数图像的研究中，微积分可以用来求得最大值、最小值、斜率、凹度、拐点等。

格林公式将一个封闭曲线上的线积分，与一个边界为$C$且平面区域为$D$的双重积分联系起来。这一点被应用于求积仪这个工具，它用于量度在平面上的不规则图形面积。例如，它可以在设计住宅摆设时，计算不规则的花瓣床、游泳池所占的面积。

在医疗领域，微积分可以计算血管最优支角，将血流最大化。通过药物在体内的衰退规律，微积分可以推导出服药规律。

在经济学中，微积分可以通过计算边际成本和边际收益来确定最大利润。

微积分也被用于寻找方程的近似值；实践中，它是在各种应用里解微分方程、求根的标准做法。典型的方法有牛顿法、定点迭代法、线性近似等。比如：宇宙飞船利用一种欧拉方法的变体来求得零重力环境下的近似航线。

## 学科教育

在美国大学先修课程中，AP微积分AB、BC分别为对应大学一元微积分半年、全年课程。

在香港，微积分是新高中数学科延伸部分课程的一部分，这部分是选修的。

在台湾，普通型高中数学分成“数学甲”与“数学乙”两种。过去数学甲是自然组数学，三年级下学期才有基础微积分课程；数学乙是社会组数学，仅有提到极限的概念而已。但自2019年启用108课纲后，数学甲与数学乙皆从三年级上学期开始教学基础微积分课程。技术型高中数学分成“数学A”、“数学B”、“数学C”与“数学S”四种，各四册。数学A是家政数学；数学B商业数学；数学C是工业工程数学；数学S是影视数学，其中“数学A”、与“数学S”皆并未列入，仅“数学B”、“数学C”才有，并在医、农、理、工、商管学院大学部一年级上、下学期分别开设“微积分 (一) ”、“微积分 (二) ”课程，作为该学院之共同必修课程，也为该学院之各科系将来开设之进阶课程奠定基础，以方便学生修习，同时也是热门大学转学考及硕士班考试热门考科之一。

## 参见

### 其它相关议题

- 预科微积分
- 高等数学
- 数学分析
- 无穷级数
- 微分方程
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