初等代数

初等代数是一个初等且相对简单形式的代数，教导对象为还没有数学和算术方面较深知识的中小学生，大学学习的则称为高等代数。当在算术中只有数字与其运算（如：加、减、乘、除）出现时，在代数中也会使用字母符号诸如 $x$、$y$ 或 $a$、$b$ 等表示数字，习惯上用前者表示未知数与变数，用后者表示任意的已知数。

## 概述

初等代数中还会使用诸如 $f(x)$、$g(x)$、$f(g(x))$、$f(x_1, x_2)$ 等映射符号来表示关于某个字母符号的代数式。

- 它使得算术等式（或不等式）可以被描述成命题或定理（如：$\forall$ 实数 $a$ 和 $b$，$a + b = b + a$），因此这是系统化学习实数性质的第一步。
- 它允许涉及未知的数字。在一个问题的内容里，变数或许代表某一还不确定，但可能可以经由方程的规划及操纵来解开的数值。
- 它允许探究数量之间的数学关系的可能（如“若你卖了 $x$ 张票，你的收益将有 $(3x+10)$ 元”）。

这三个是初等代数的主要组成部分，以区隔其与目的为教导大学生更高深主题的抽象代数的不同。

在初等代数里，表示式包含有数字、变数及运算。它们通常把较高次项（习惯上）写在表示左边（参考多项式），举几个例子来说：

$$x + 3$$

$$y^{2} + 2x - 3$$

$z^{7} + a(b + x^{3}) + \frac{42}{y} - \pi$。

在更进阶的代数里，表示式也会包含有初等函数。

一个等式表示其等号两边的表示式是相等的。某些等式对于其中变数的所有取值都成立（如 $a + b = b + a$）；这种等式称为恒等式。而其他只有变数在某些值时才正确（如 $x^{2} - 1 =4$），此一使等式成立的变数值则称为这等式的解。

## 定理

### 与代数运算相关的定理

- 加法是一可交换的运算（两个数不论顺序为何，它加起来的总和都一样）。
- 减法是加法的逆运算。

$$a - b = a + (-b)$$

例如：若 $5 + x = 3$，则 $x = -2$。

- 乘法是一可交换的运算。
- 除法是乘法的逆运算。

$${a \over b} = a \cdot {1 \over b}$$

例如：若 $3 x = 2$，则 $x = \frac{2}{3}$。

- 幂不是一可交换的运算。
- 但幂却有两个逆运算：对数 和 开方（如平方根）。
- 例如：若 $3^x = 10$，则 $x = \log_3 10$。
- 例如：若 $x^{2} = 10$，则 $x = {\sqrt {10}}_\C$，即 $x_1 = {\sqrt {10}}_\R$，$x_2= -{\sqrt {10}}_\R$。
- 负数的平方根不存在于实数内。（参考：复数）
- 加法的结合律性质：$(a + b) + c = a + (b + c)$。
- 乘法的结合律性质：$(ab)c = a(bc).$。
- 对应加法的乘法分配律性质：$c(a + b) = ca + cb$。
- 对应乘法的幂分配律性质：$(a b)^c = a^c b^c$。
- 幂的乘法：$a^b a^c = a^{b+c}$。
- 幂的幂：$(a^b)^c = a^{bc}$。

### 与“等于”相关的定理

- $a = a$ （等于的自反性）。
- 若 $a = b$，则 $b = a$ （等于的对称性）。
- 若 $a = b$ 且 $b = c$，则 $a = c$ （等于的递移律）。
- 若 $a - b = n$，则 $a^2 - b^2 = na+nb$。

### 其他定理

- 若 $a = b$ 且 $c = d$，则 $a + c = b + d$。
- 若 $a = b$，则对任一 c，$a + c = b + c$（等于的可加性）。
- 若 $a = b$ 且 $c = d$，则 $ac$ = $bd$。
- 若 $a = b$，则对任一 c，$ac = bc$（等于的可乘性）。
- 若两个符号相等，则一个总是能替换另一个（替换原理）。
- 若 $a > b$ 且 $b > c$，则 $a > c$（不等式的递移律）。
- 若 $a > b$，则对任一 c，$a + c > b + c$。
- 若 $a > b$ 且 $c > 0$，则 $ac > bc$。
- 若 $a > b$ 且 $c < 0$，则 $ac < bc$。

## 例子

### 一元一次方程

最简单的方程为一元一次方程，它们是含有一个常数和一没有幂的变数。例如：

$$2x + 4 = 12. \,$$

其中心解法为在等式的两边同时以相同数字做加、减、乘、除，以使变数单独留在等式的一侧。一旦变数独立了，等式的另一边即是此变数的值。例如，将上面式子两边同时减去4：

$2x + 4 - 4 = 12 - 4 \,$。

简化后即为

$$2x = 8. \,$$

再同时除以2：

$$\frac{2x}{2} = \frac{8}{2} \,$$

再简化后即为答案：

$$x = 4. \,$$

一般的情形

$$ax+b=c$$

也可以依同样的方式得出答案来：

$$x=\frac{c-b}{a}$$

【这就是一元一次方程简单的说明】

### 一元二次方程

一元二次方程可以表现成 $ax^{2} + bx + c = 0$，在这 $a$ 不等于零（假如 $a$ 等于零，则此方式为一次方程式，而非二次方程式）。二次方程式必须保持二次的形态，如 $ax^{2}$，二次方程式可以通过因式分解求解（多项式展开的逆过程），或者一般地使用二次方程求根公式。因式分解的举例：

$$x^{2} + 3x = 0. \,$$

这相当于

$$x(x + 3) = 0. \,$$

0 和 -3 是它的解，因为把 $x$ 置为 0 或 -3 便使上述等式成立。

所有二次方程式在复数体系中都有两个解，但是在实数系统中却不一定，例如：

$$x^{2} + 1 = 0 \,$$

没有实数解，因为没有实数的平方是 -1。

有时一个二次方程式会有2重根，例如：

$$(x + 1)^{2} = 0. \,$$

在这个方程中，-1是2重根。

### 线性方程组

在线性方程组内，如两个变数的方程组内有两个方程式的话，通常可以找出可同时满足两个方程式的两个变数。

下面为线性方程组的一个例子，有两个求解的方法：

$$4x + 2y = 14 \,$$

$$2x - y = 1. \,$$

#### 求解的第一种方法

将第2个等式的左右项各乘以2。

$$4x + 2y = 14 \,$$

$$4x - 2y = 2. \,$$

再将两式相加。

$$\, 8x = 16,$$

上式可化简为

$$x = 2. \,$$

因为已知$x=2$，于是就可以由两式中的任意一个推断出$y=3$。所以这个问题的完整解为

$$\begin{cases} x = 2 \\ y = 3. \end{cases}\,$$

注意：这并不是解这类特殊情况的唯一方法；$y$ 也可以在 $x$ 之前求得。

#### 求解的第二种方法

另一种求解的方法为替代。

$$\begin{cases}4x + 2y = 14 \\ 2x - y = 1.\end{cases} \,$$

$y$ 的等值可以由两个方程式中的其中一种推出。我们使用第二个方程：

$$2x - y = 1 \,$$

由方程的两边减去 $2x$：

$$2x - 2x - y = 1 - 2x \,$$

$$- y = 1 - 2x \,$$

再乘上 -1：

$$y = 2x - 1. \,$$

将此 $y$ 值放入原方程组的第一个方程式：

$$4x + 2(2x - 1) = 14 \,$$

$$4x + 4x - 2 = 14 \,$$

$$8x - 2 = 14 \,$$

在方程的两端加上 2：

$$8x - 2 + 2 = 14 + 2 \,$$

$$8x = 16 \,$$

此可简化成

$x = 2 \,$。

将此值代回两个方程式中的一个，可求得和上一个方法所求得的相同解答。

$$\begin{cases} x = 2 \\ y = 3. \end{cases}\,$$

注意：这并不是解这类特殊情况的唯一方法；在这个方法里也是一样的，$y$ 也可以在 $x$ 之前求得。

## 参考

- Charles Smith, A Treatise on Algebra, in Cornell University Library Historical Math Monographs.
- Beginning Algebra Tutorials and Reviews for basic algebra review and practice..
- Feferman, Anita Burdman and Solomon Feferman (1990) "Alfred Tarski- Life and Logic." Cambridge University Press. p.74-76. ISBN 0-521-80240-7.
- Algebra lessons in PowerPoint Algebra 2 in PowerPoint.All lessons introduce mathematical concepts, step by step, with animations of text, points, lines and figures in general. Solution of problems is also given step by step. Colors are used to give hints and clues to follow the concept or the solution of the problems.