态叠加原理

在量子力学里，态叠加原理（superposition principle）表明，假若一个量子系统的量子态可以是几种不同量子态中的任意一种，则它们的归一化线性组合也可以是其量子态。称这线性组合为“叠加态”。假设组成叠加态的几种量子态相互正交，则这量子系统处于其中任意量子态的几率是对应权值的绝对值平方。态叠加原理是数学上线性系统叠加原理在量子力学里的一个应用。

从数学表述，态叠加原理是薛定谔方程式的解所具有的性质。由于薛定谔方程式是个线性方程式，任意几个解的线性组合也是解。这些形成线性组合（称为“叠加态”）的解时常会被设定为相互正交（称为“基底态”），例如氢原子的电子能级态；换句话说，这几个基底态彼此之间不会出现重叠。这样，对于叠加态测量任意可观察量所得到的期望值，是对于每一个基底态测量同样可观察量所得到的期望值，乘以叠加态处于对应基底态的几率之后，所有乘积的总和。

更具体地说明，假设对于某量子系统测量可观察量$A$，而可观察量$A$的本征态$|a_1\rang$、$|a_2\rang$分别拥有本征值$a_1$、$a_2$，则根据薛定谔方程的线性关系，叠加态$|\psi\rang=c_{1}|a_1\rang+c_{2}|a_2\rang$也可以是这量子系统的量子态；其中，$c_1$、$c_2$分别为叠加态处于本征态$|a_1\rang$、$|a_2\rang$的几率幅。假设对这叠加态系统测量可观察量$A$，则测量获得数值是$a_{1}$或$a_{2}$的几率分别为$|c_{1}|^2$、$|c_{2}|^2$，期望值为$\langle\psi |A|\psi\rang=|c_{1}|^2 a_1 +|c_{2}|^2 a_2$。

举一个可直接观察到量子叠加的实例，在双缝实验里，可以观察到通过两条狭缝的光子相互干涉，造成了显示于侦测屏障的明亮条纹和黑暗条纹，这就是双缝实验著名的干涉图样。

再举一个案例，在量子运算里，量子位元是的两个基底态$|0 \rangle$与$|1 \rangle$的线性叠加。这两个基底态$|0 \rangle$、$|1 \rangle$的本征值分别为$0$、$1$。

## 理论

在数学里，叠加原理表明，线性方程式的任意几个解所组成的线性组合也是这方程式的解。由于薛定谔方程式是线性方程式，叠加原理也适用于量子力学，在量子力学里称为态叠加原理。假设某量子系统的量子态可以是 $|f_1\rang$或$|f_2\rang$，这些量子态都满足描述这量子系统物理行为的薛定谔方程式。则这量子系的量子态也可以是它们的线性组合$|f\rang=c_1|f_1\rang+c_2|f_2\rang$，也满足同样的薛定谔方程式；其中，$c_1$、$c_2$是复值系数，为了归一化$|f\rang$，必须让$|c_{1}|^2+|c_{2}|^2=1$。

假设$\theta$为实数，则虽然$e^{i\theta}|f_2\rang$与$|f_2\rang$标记同样的量子态，他们并无法相互替换。例如，$|f_1\rang+|f_2\rang$、$|f_1\rang+e^{i\theta}|f_2\rang$分别标记两种不同的量子态。但是，$|f_1\rang+|f_2\rang$和$e^{i\theta}(|f_1\rang+|f_2\rang)$都标记同一个量子态。因此可以这样说，整体的相位因子并不具有物理意义，但相对的相位因子具有重要的物理意义。这种相位因子固定不变的量子叠加称为“相干量子叠加”。

### 电子自旋范例

设想自旋为$1/2$的电子，它拥有两种相互正交的自旋本征态，上旋态$|\uparrow \rang$与下旋态$|\downarrow \rang$，它们的量子叠加可以用来表示量子位元：

$|\psi\rang= c_{\uparrow}|\uparrow \rang + c_{\downarrow}|\downarrow \rang$。

其中，$c_{\uparrow}$、$c_{\downarrow}$分别是复值系数，为了归一化$|\psi\rang$，必须让$|c_{\uparrow}|^2+|c_{\downarrow}|^2=1$。

这是最一般的量子态。系数$c_{\uparrow}$、$c_{\downarrow}$分别给定电子处于上旋态或下旋态的几率：

$p_{\uparrow}=|c_{\uparrow}|^2$。

$p_{\downarrow}=|c_{\downarrow}|^2$。

总几率应该等于1：

$p=p_{\uparrow}+p_{\downarrow}=|c_{\uparrow}|^2+|c_{\downarrow}|^2=1$。

这电子也可能处于这两个量子态的叠加态：

$|\psi\rangle = {3i\over 5} |\uparrow\rang + {4\over 5} |\downarrow\rang$。

电子处于上旋态或下旋态的几率分别为

$p_{\uparrow}=\left|\;\frac{3i}{5}\;\right|^2=\frac{9}{25}$。

$p_{\downarrow}=\left|\;\frac{4}{5}\;\right|^2=\frac{16}{25}$。

再次注意到总几率应该等于1：

$p=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$。

### 非相对论性自由粒子案例

描述一个非相对论性自由粒子的含时薛定谔方程式为

$- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \ \Psi(\mathbf{r},t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi (\mathbf{r},t)$。

其中，$\hbar$是约化普朗克常数，$\Psi(\mathbf{r},t)$是粒子的波函数，$\mathbf{r}$是粒子的位置，$t$是时间。

这薛定谔方程式有一个平面波解：

$\Psi(\mathbf{r},t) = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}$。

其中，$\mathbf{k}$是波向量，$\omega$是角频率。

代入薛定谔方程，这两个变数必须遵守关系式

$\frac{\hbar^2 k^2}{2m}=\hbar \omega$。

由于粒子存在的几率等于1，波函数$\Psi(\mathbf{r},t)$必须归一化，才能够表达出正确的物理意义。对于一般的自由粒子而言，这不是问题。因为，自由粒子的波函数，在位置或动量方面，都是局部性的。在量子力学里，一个自由粒子的动量与能量不必须拥有特定的值。自由粒子的波函数可以表示为很多平面波的量子叠加：

$\Psi(\mathbf{r},t)=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int_{\mathbb{K}} A(\mathbf{k})e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}\mathrm{d}\mathbf{k}$。

其中，积分区域$\mathbb{K}$是$\mathbf{k}$-空间。

为了方便计算，只思考一维空间。

$\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{ \infty}_{ - \infty} A(k) ~ e^{i(kx - \omega(k)t)} \ \mathrm{d}k$。

其中，振幅$A(k)$是量子叠加的系数函数。

逆反过来，系数函数表示为

$A(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{\,\infty}_{ - \infty} \Psi(x,0) ~ e^{ - ikx}\,\mathrm{d}x$。

其中，$\Psi(x,0)$是在时间$t=0$的波函数。

所以，知道在时间$t=0$的波函数$\Psi(x,0)$，通过傅立叶变换，可以推导出在任何时间的波函数$\Psi(x,t)$。

## 物理意义

我们常说的在量子力学里物质具有波动性，这其实就是态叠加原理的体现。相对于粒子性，波的关键特征就是满足叠加原理。量子态具有叠加性，就表明它所描述的物理系统状态在原则上是可以处于一种多个状态叠加的“混合态”，我们称之为物质具有波动性。而实验观测将会迫使系统退出混合态，进入一个“纯态”。比如单电子的双缝干涉实验中，电子通过两条狭缝后会形成干涉条纹，证实了电子的波动性，或者说明电子处在一个叠加态当中。

量子力学认为微观事物的运动和状态均是不确定的，如果将其推广到宏观世界上来，那么各种事物均可以被认为是处在多种可能状态的叠加中。在平行宇宙理论中，一个处在叠加状态的物质可以分裂，不同的状态发生在不同的宇宙之中。

## 参考文献

- Bohr, N. (1927/1928). The quantum postulate and the recent development of atomic theory, Nature Supplement 14 April 1928, 121: 580–590 .
- Cohen-Tannoudji, C., Diu, B., Laloë, F. (1973/1977). Quantum Mechanics, translated from the French by S. R. Hemley, N. Ostrowsky, D. Ostrowsky, second edition, volume 1, Wiley, New York, .
- Dirac, P. A. M. (1930/1958). The Principles of Quantum Mechanics, 4th edition, Oxford University Press.
- Einstein, A. (1949). Remarks concerning the essays brought together in this co-operative volume, translated from the original German by the editor, pp. 665–688 in Schilpp, P. A. editor (1949), Albert Einstein: Philosopher-Scientist , volume II, Open Court, La Salle IL.
- Feynman, R. P., Leighton, R.B., Sands, M. (1965). The Feynman Lectures on Physics, volume 3, Addison-Wesley, Reading, MA.
- Merzbacher, E. (1961/1970). Quantum Mechanics, second edition, Wiley, New York.
- Messiah, A. (1961). Quantum Mechanics, volume 1, translated by G.M. Temmer from the French Mécanique Quantique, North-Holland, Amsterdam.