牟合方盖

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牟合方盖（Steinmetz solid）是几何体，是两支等半径圆柱躺在平面上垂直相交的交集，像两个方形盖子合在一起，称作“牟合方盖”。而其英文名称是源自于一名数学家查尔斯·普罗透斯·斯泰因梅茨，计算出了交集的体积。

但更早之前，阿基米德与祖冲之已经解决了这个问题。他们用不同方法计出球体积是$\frac{4}{3} \pi r^3$，$r$为圆柱半径。祖冲之正是计出牟合方盖体积为$\frac{16}{3} r^3$，从而推出球体积公式。

## 性质

由两个半径为r的圆柱体交集的部分所形成的牟合方盖体积为

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$$V = \frac{16}{3} r^3$$ 且表面积为$$A = 16 r^2.$$

### 以体积公式证明

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将交集部分平分成8个大小相同的体积。利用积分计算其中的一块体积的计算方法如下：

发现对$z$轴进行切割，切下来的每一块都是一厚度为$\mathrm{d}z$的正方形，高度为$z$的时候其边长为$\sqrt{r^2-z^2}$，因此可以得此块体积为

$$\begin{align} V = \int^{r}_{0}((\sqrt{r^2-z^2})^2)\mathrm{d}z <pre> = \int^{r}_{0}(r^2-z^2)\mathrm{d}z = \bigg[r^2z-\frac{z^3}{3}\bigg|^r_0 = r^3-\frac{1}{3} r^3 = \frac{2}{3}r^3 </pre> \end{align}$$

因为一个牟合方盖由8个上述的形体组成，因此牟合方盖的体积为

$$8V=\frac{16}{3}r^3$$

### 以多重积分证明

考虑圆柱体的算式：

$$\begin{align} <pre> x^2+z^2 &= r^2 \\ x^2+y^2 &= r^2 </pre> \end{align}$$ 体积为：

$$\begin{align} \iiint_V \mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x \end{align}$$有以下限制：

$$\begin{array}{rcccl} <pre> -\sqrt{r^2-x^2} &\leqslant& z &\leqslant& \sqrt{r^2-x^2} \\[4pt] -\sqrt{r^2-x^2} &\leqslant& y &\leqslant& \sqrt{r^2-x^2} \\[4pt] -r &\leqslant& x &\leqslant& r </pre> \end{array}$$

代入后得到

$$\begin{align} V &= \int_{-r}^{r}\int_{-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}}\int_{-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}} \mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x \\[2pt] <pre> &= 8r^3-\frac{8r^3}{3} \\[2pt] &= \frac{16r^3}{3} </pre> \end{align}$$

## 初出

《九章算术》曾认为，球体外切圆柱体积与球体积之比等于正方形与其内切圆面积之比。魏国数学家刘徽在他为《九章算术》作的注释指出，原书说法不正确，只有“牟合方盖”（两支垂直相交圆柱体的交集之体积）与球体积之比，才正好等于正方形与其内切圆的面积之比，即是：

球体积：牟合方盖体积＝$\pi:4$

但刘徽没有提供牟合方盖体积公式，也就得不出球体积公式。

## 推导

一直到南北朝，数学家祖冲之和其子祖暅之才另创新法求出牟合方盖与球体体积。他们的求法纪录在唐代李淳风为九章算数作的注解中，流传至今。

（臣淳风等谨按：祖暅之谓刘徽、张衡二人皆以圆囷为方率，丸为圆率，乃设新法。）祖暅之开立圆术曰：以乘积开立方除之，即立圆径。其意何也？取立方棋一枚，令立枢于左后之下隅，从规去其右上之廉。又合而横规之，去其前上之廉。于是立方之棋分而为四，规内棋一，谓之内棋；规外棋三，谓之外棋。

这段说明的形状可看做是$\tfrac{1}{8}$块牟合方盖，外接一立方体；$\tfrac{1}{8}$块牟合方盖即“内棋”，立方体减去内棋余部即为“外棋”。

更合四棋，复横断之。以勾股言之，令余高为勾，内棋断上方为股，本方之数，其弦也。勾股之法，以勾幂减弦幂，则余为股幂。若领余高自乘，减本方之幂，余即内棋横断上方之幂也。本方之幂，即外四棋之断上幂。然则余高自乘，即外三棋之断上幂矣。不问高卑，势皆然也。然固有所归同而途殊者尔。而乃控远以演类，借况以析微。

现将内外棋横向切开。内棋截面是正方形，可用勾股弦定理求出其边长与圆半径的关系式。圆半径（立方体边长）r，底面到截面高h，则正方形边长$\sqrt{r^2-h^2}$，面积$r^2-h^2$；也就是说外棋截面积为$r^2-(r^2-h^2)=h^2$。

按阳马方高数参等者，倒而立之，横截去上，则高自乘与断上幂数，亦等蔫。夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异。由此观之，规之外三棋旁蹙为一，即一阳马也。

现以立方体的底面和底面以外一粒顶点作一四角锥（这形状称阳马）。对阳马距离角锥h处横向切开，则截面是正方形，面积等于$h^2$。

祖氏父子在此解释：所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等。这就是今天所称的“祖暅原理”。套用此定理。

外棋截面积＝阳马截面积＝$h^2$

所以外棋体积也等于阳马体积。

三分立方，则阳马居一，内棋居二可知矣。合八小方成一大方，合八内棋成一合盖。内棋居小方三分之二，则合盖居立方矣三分之二，较然验矣。

《九章算术》已有提到，阳马体积等于其外接立方体积$\tfrac{1}{3}$，所以内棋体积是立方体的$\tfrac{2}{3}$，即$\tfrac{2 r^3}{3}$。由于内棋是牟合方盖的$\tfrac{1}{8}$，故牟合方盖体积为

$\frac{2}{3}\times8=\frac{16}{3}r^3$。

而球体积即为

$\frac{16}{3}r^3\times\frac{\pi}{4}=\frac{4}{3}\pi r^3$。

## 三圆柱体相交

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三个轴相互垂直的圆柱体的交集所形成的一个固体的表面，有三条边相交的顶点和四条边相交的顶点。这组顶点可以被视为一个菱形十二面体的边。确定体积和表面积的方法是观察到三圆柱体可以通过具有三条边相交的顶点（参见图表）和六个曲面金字塔（三角形是圆柱体表面的一部分）来重新取样为正方体。曲面三角形的体积和表面积可以通过类似的方法来确定，如上面对牟合方盖所做的操作。

对三个半径皆为$r$的圆柱体，其三轴相互垂直所形成的相交部分体积为：

$$V_3(r, r, r)=8(2-\sqrt{2})r^3$$

$$A_3(r,r,r)=24(2-\sqrt{2}) r^2$$

### 以体积公式证明

考虑相交部分的算式：

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$$\begin{align} <pre> x^2+z^2 &= r^2 \\ x^2+y^2 &= r^2 \\ y^2+z^2 &= r^2 </pre> \end{align}$$

把相交的部分拆成6个相等的“盖子”与1个正方体。盖子分别在正方体的6个面上。

正方体的体积为：$$V_{\text{cube}} = (\sqrt{2}r)^3$$每个盖子的体积为：$$\begin{align} V_{\text{cap}} &= \int_{\sqrt{2}r/2}^r 4(r^2-z^2) ~\mathrm{d}z \\ <pre> &= 4\bigg[r^{2}z-\frac{z^3}{3}\bigg|_{\sqrt{2}r/2}^{r}\bigg] \\ &= \frac{1}{3}(8-5\sqrt{2})r^3 </pre> \end{align}$$

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因此相交部分的体积为：

$$\begin{align} V_{\text{tricylinder}} &= V_{\text{cube}} + 6 V_{\text{cap}} \\ <pre> &= (\sqrt{2}r)^3 + 6[\frac{1}{3}(8-5\sqrt{2})r^3] \\ &= 8(2-\sqrt{2})r^3 </pre> \end{align}$$

## 参考资讯

- 祖冲之、球体公式及其他，EpisteMath | 数学知识
- 《缀术》中的开立圆术，中文数学数字图书馆
- 于Google SketchUp 3D 模型库的“牟合方盖”立体模型