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懒猴科

懒猴科（学名 Lorisidae）是灵长目的一个科。懒猴外表很象狐猴，但是其夜间的活动习惯不一样。

懒猴主要分布在非洲的南撒哈拉地区、东南亚以及南亚。

## 分类

- 树熊猴亚科 Perodicticinae
- 金熊猴属 Arctocebus
- 金熊猴 Arctocebus calabarensis
- 小金熊猴 Arctocebus aureus
- 树熊猴属 Perodicticus
- 树熊猴 Perodicticus potto
- 蜂猴亚科 Lorinae
- 蜂猴属 Loris
- 灰蜂猴 Loris lydekkerianus
- 高地蜂猴 L. lydekkerianus grandis
- 迈索尔蜂猴 L. lydekkerianus lydekkerianus
- 马拉巴蜂猴 L. lydekkerianus malabaricus
- 北斯里兰卡蜂猴 L. lydekkerianus nordicus
- 蜂猴 Loris tardigradus
- 干燥带蜂猴 L. tardigradus tardigradus
- 霍顿平原蜂猴 L. tardigradus nyctoceboides
- 懒猴属 Nycticebus
- 邦加懒猴 Nycticebus bancanus
- 孟加拉懒猴 Nycticebus bengalensis
- 婆罗洲懒猴 Nycticebus borneanus
- 懒猴 Nycticebus coucang
- 爪哇懒猴 Nycticebus javanicus
- 加央河懒猴 Nycticebus kayan
- 菲律宾懒猴 Nycticebus menagensis
- †Nycticebus linglom（化石，发现于中新世）
- 小懒猴 Nycticebus pygmaeus

## 基本资料

- 学名：Lorisidae
- 命名者：Gray, 1821
- 说明：蜂猴
- subdivision_ranks：属
- 栽培群成员：金熊猴属 Arctocebus、树熊猴属 Perodicticus、蜂猴属 Loris、懒猴属 Nycticebus
人类学家列表

此处提出各国知名人类学家列表，分为亚洲、欧美两大部分。亚洲的华人部分以姓名笔划简繁为序，日本人部分以姓氏五十音顺排列。欧美部分以姓氏英文字母为序：

## 亚洲

### 中国大陆

- 蔡元培（1868年－1940年）
- 吴定良（1894年－1969年）
- 黄现璠（1899年－1982年）
- 吴文藻（1901年－1985年）
- 杨成志（1902年－1991年）
- 林耀华（1910年－2000年）
- 费孝通（1910年－2005年）
- 田汝康（1916年－2006年）
- 梁钊韬（1916年－1987年
- 董悌忱（1931年－1966年）
- 陈庆德（1953年－）

### 台湾

- 李亦园（1931年-2017年）
- 李济
- 陈其南
- 黄应贵（1947年-2022年）
- 黄树民（1945年-）
- 胡台丽（1950年-2022年）

### 日本

- 大贯惠美子（Emiko Ohnuki-Tierney）
- 笠原政治（KASAHARA Masaharu）
- 鸟居龙藏（TORII Ryūzō，とりい りゅうぞう，1870年－1953年）
- 马渊东一（MABUCHI Tōichi，まぶち とういち，1909年－1988年）
- （YAMAZI Katsuhiko，やまじ かつひこ）（日文维基）

## 欧美

### A

- 朱利奥·安焦尼（Giulio Angioni，1939年）意大利
- 艾德温·阿登纳（Edwin Ardener，1927年-1987年）英国
- 塔拉勒·阿萨德（1952年-）美国
- 斯科特·阿特兰（1952年-）美国、法国

### B

- 弗雷德里克·巴特（Thomas Fredrik Weybye Barth，1928年-）挪威、美国
- 格雷戈里·贝特森（Gregory Bateson，1904年-1980年）英国
- 露丝·潘乃德（Ruth Benedict，1887年-1948年）美国
- 路易斯·宾佛（1930年-2011年）美国
- 法兰兹·鲍亚士（Franz Boas，1858年 - 1942年）德国、美国
- 皮耶·布迪厄（Pierre Bourdieu，1930年－2002年）法国

### CDE

- 拿破仑·夏侬（拿破仑·沙尼翁，Napoleon A. Chagnon，1938年-）美国
- 詹姆斯·克里夫（, 1945年-）美国 历史学家
- 珍·可马洛夫（, 1946年-）南非、英国、美国
- 约翰·可马洛夫（John L. Comaroff, 1945年-）南非、英国、美国
- 玛丽·道格拉斯（Mary Douglas，1921年-2007年）英国
- 路易·杜蒙（Louis Dumont, 1911年-1998年）法国
- 艾德华·伊凡-普理查（Edward Evans-Pritchard，1902年-1973年）英国
- 孔迈隆(Myron L.Cohen)美国

### FGHIJK

- 詹姆斯·乔治·弗雷泽（James George Frazer，1854年-1941年）英国
- 克利福德·格尔茨（卡里弗·葛兹，Clifford Geertz，1926年-2006年）美国
- 威廉·琼斯（William Jones）美国
- 亚当·库帕（Adam Kuper，1941年-）英国

### LMNO

- 艾德蒙·李区（Edmund Leach，1910年-1989年）英国
- 克劳德·李维史陀（Claude Lévi-Strauss，1908年-2009年）法国
- 布罗尼斯拉夫·马林诺夫斯基（Bronislaw Malinowski，1884年-1942年）波兰、英国
- 马瑟·牟斯（Marcel Mauss）法国
- 玛格丽特·米德（Margaret Mead，1901年-1978年）美国
- 悉德尼·敏兹（又译文思理，Sidney Mintz，1922年-）美国
- 路易斯·亨利·摩尔根（Lewis Henri Morgan，1818年-1881年）美国

### PQRS

- 阿弗列·芮克里夫-布朗（Afred Radcliff-Brown，1881年-1955年）英国
- 米雪·罗萨多（Michelle Rosalto，1944年-1981年）美国
- 雷纳多·罗萨多（Renato Rosalto，1941年-）美国
- 马歇尔·萨林斯（Marshall David Sahlins，1930年-）美国
- 爱德华·萨丕尔（Edward Sapir，1884年-1939年）美国
- 大卫·施耐德（1918年-1995年）美国
- 朱利安·史都华（Julian Steward，1902年-1972年）美国
- 玛丽莲·史翠山（1941年-）英国

### TUVWXYZ

- 维克多·特纳（Victor Turner，1920年-1983年）英国
- 爱德华·伯内特·泰勒（E. B. Tylor，1832年-1917年）英国
- 安奈特·芭芭拉·维娜（Annette Barbara Weiner，1933年-1997年）美国
- 本杰明·霍夫（1897年-1941年）美国
- 戈登·蓝道夫·威利（Gordon Randolf Willey，1913年-2002年）美国
- 艾瑞克·沃尔夫（Eric R. Wolf，1923年-1999年）美国

## 参考书目

### 台湾正体

- 《返景入深林：人类学的观照、理论与实践》，黄应贵著，台北：三民书局，2008年出版。ISBN 9789571450346
- 《人类学的历史与理论》，艾伦‧巴纳德（Alan Barnard）著，徐雨村译，高雄：巨流出版公司，2012年出版。ISBN 9789577324511
- 《文化人类学》，科塔克（Conrad Phillip Kottak）著，徐雨村译，高雄：巨流出版公司，2009年出版。ISBN 9789861576459
- 《台湾人类学刊》第八卷第二期，中央研究院民族学研究所，2010年出版。ISSN 17271878
阿浓

朱溥生（1934年），笔名阿浓，祖籍江苏泰兴，生于浙江省湖州，为香港男作家、退休教师，近年定居加拿大。

## 背景

阿浓的父亲任职于慈善机构，母亲任职纱厂女工。他12岁时正就读一所位于上海市的市立中学，1947年定居香港，1947年至1953年就读岭英中学（1953年中六，于同年中文中学会考中取得中文、英文、历史及物理科“良”等，化学科“优”等成绩），1953年升读葛量洪师范学院（即现今香港教育大学，教育学院前身）。他由1954年起先后于乡村学校、官立中小学、工业学校和情绪问题儿童学校任教，持续教育工作39年。他曾担任香港教育专业人员协会理事及监事、香港儿童文艺协会会长以及加华作协副会长。

阿浓曾为十种以上报刊撰写专栏，亦曾担任《青年乐园》、《教协报》、《新教育》、《松鹤天地》等报刊编辑。散文、小说、新诗都是阿浓常写的文学体裁，曾出版文集过百种。其电视剧本《天生我材》获得“纽约电影电视节银奖”、“芝加哥电影电视节银奖”及“国际复康联会电影节戏剧组亚军”。多年来有15本著作入选中学生好书龙虎榜之“一本好书”，十度被中学生票选为“最喜爱作家”。而作品又曾获香港文学双年奖、冰心儿童文学奖，以及陈伯吹园丁奖。

直至1993年7月，阿浓退休且移居加拿大，除了持续写作之外，也曾主持电台节目。2009年2月，香港教育学院（现已正名香港教育大学）颁授荣誉院士衔予阿浓以表彰其对教育和教院发展的贡献。

## 作品列表

- 《浓情集》
- 《一刀集》
- 《得心集》
- 《点心集》
- 《点心二集》
- 《点心三集》
- 《铁嘴鸡》
- 《快乐人》
- 《摘星园》
- 《有趣集》
- 《细说心语》枣田(图)
- 《天生我材》
- 《因臭得福》
- 《香港少女日记》
- 《好说好说》
- 《点到即止》
- 《人间喜剧》
- 《听，这蝉鸣！》
- 《新爱的教育》
- 《节日情感线》
- 《童眼看世界》
- 《痴心留一角》
- 《新爱的教育》
- 《比蜜糖还甜》
- 《波比的诡计》
- 《假如我是……》
- 《一百个看不惯》
- 《一百个看不厌》
- 《阿浓说故事100》
- 《汉堡包和叉烧包》
- 《也想潇洒走一回》
- 《是我心上的温柔》
- 《生活，一瞬间……》
- 《笑一笑‧想一想》
- 《本班最后一个乖仔》
- 《阿浓与年轻人的真情对话》
- 《古典今趣──中国人的幽默》
- 《老井新泉——中国人的智慧》
- 《去中国人的幻想世界玩一趟》
- 《声动千载》
- 《快乐红簿仔》
- 《不一样的故事》
- 《童话家VS童画家》
- 《洞》
- 《片刻永恒》
- 《美丽的中国人》
- 《幸福穷日子》
- 《开心家庭启示录》
- 《别骂我胆子小》
- 《香港儿童文学名家精选》
- 《日日是好日》
- 《童年的我 少年的我》
- 《何紫》
- 《时间的艺术》
- 《展眉集》
- 《何紫散文精选集》
- 《校园密令谷》
- 《美言一百》
- 《共行人生路》
- 《最后的团圆》
- 《红发安妮》
- 《阿浓小小说》
- 《改变世界的超能力》
- 《我在乎天长地久》
- 《橡皮擦男孩》
- 《难忘的故事》
- 《想当作家不是梦》
- 《零点五分》
- 《马翠萝》
- 《阿浓陪你读唐诗》
- 《给中学生的信》
- 《当好学生遇上好老师》
- 《阿浓》
- 《流星的女儿》
- 《馨香盈怀䄂》
- 《也想潇洒走一回》
- 《古典今趣》
- 《时代新词》
- 《假如我是》
- 《如何浪费时间说明书2.O》
- 《点到即止》
- 《青果一集》
- 《青果二集》
- 《信是有缘》
- 《听君一夕话》
- 《要你给like的故事》
- 《字字珠玑》
- 《阿浓的有情世界》
- 《意料之外事件簿》
- 阿浓・阿芸《微雨好风集》
- 阿浓・冯浪波《含英咀华》一至四集
- 阿浓・阿狸《恶人》
- 阿浓・47人等《童年》—《父亲与我》
- 阿浓・（未知）《美丽的香港》
- 阿浓・会识草蜢的男孩《是我心上的温柔=It’s my heartwarming tendmess》
- 音乐剧《浓情集．成长的乐章》，改编自《浓情集》及《听，这蝉鸣！》

## 基本资料

- 出生：朱溥生
- 出生：浙江省吴兴县
- 职业：作家、教师
- 国籍：加拿大
- 母校：岭英中学、葛量洪师范学院
费县

费县位于中国山东省南部，是临沂市下辖的一个县；地处蒙山沂水，蒙山南部。县人民政府驻费城街道。

总面积1660平方公里，辖12个乡镇（街道）、1个省级经济开发区，现有381个行政村、34个城市社区，93万人。

## 地理

费县位于山东省南部，是临沂市下辖的一个县；蒙山之阳，抱犊崮之阴；东经117°36'~118°18'，北纬35°01'~35°33'。

## 交通

- 鲁南高铁、兖石铁路、日兰高速和327过境。
- 境内有铁路车站费县站及高铁站费县北站。

## 名称来源及读音

费县名称来源于鲁国大夫季友的私邑——费邑，而费邑的名称来源于季孙氏的采邑鄪（今音bì）国，所以"费"在此做地名的老派文读音是bi4，《广韵》也记载“鄪：邑名，在鲁。费，上同。兵媚切”。兵媚切，就是和“秘”等字同音。然而至迟到清道光年间，费县的费字已被民间讹读作fèi。之后以讹传讹，广为流传。目前，在当地方言及普通话中，费县的费皆读作fèi。其实fei4源自《广韵》芳未切，另有字义。

## 历史

费县上古时为东夷之地。

东周春秋时期，被称鄪邑。《左传·僖公元年》:“公赐季友汶阳之田及费”即此。前566年，鄪邑作为鲁国季孙氏的私邑，季武子曾在此筑城。前530年，季平子的家臣南蒯占据鄪邑反叛，季平子以武力攻打两年才获胜。

战国时期有鄪国。

秦朝，为薛郡地。

西汉初年，置费县，属东海郡，郡都尉治此。武帝时设十三刺史部，东海郡属徐州。新莽时，改称顺从。

东汉，为列侯食邑，即侯国，属兖州泰山郡。

三国魏，属徐州琅琊郡。

晋朝，属徐州琅琊国。

南朝宋泰始间，改隶徐州琅琊郡。

北魏永安二年，随琅琊郡改属北徐州。

北齐时，承魏制不变。

北周时，属沂州琅琊郡。

隋开皇间废郡，实行州县两级制，费县属沂州；大业间改州为郡，费县属琅琊郡。

隋末，费县因动乱废。

唐武德四年，复置费县，属河南道沂州(琅琊郡)。

宋朝，属京东东路沂州(琅琊郡)。

金时，属山东东路沂州。

元朝，地方设行中书省，今山东地区直属中书省，称腹里。费县属腹里山东益都路沂州。

明朝，改行中书省为承宣布政使司(习惯仍称行省),费县先后属山东承宣布政使司的青州府沂州和兖州府沂州。

清雍正二年，沂州由散州改为直隶州，十二年升为府，费县属山东省沂州府。

民国初年，属济宁道；1925年，改属琅琊道；1928年，直属山东省。

1929年，建立共产党的组织，陈毅、罗荣桓、徐向前、谷牧等老一辈革命家曾在费县这里战斗生活，进行过大青山突围战、柱子山歼灭战等大小战斗百余次。所以费县是革命老区。

1936年，属山东省第三行政区。

1940年6月，中共山东分局根据抗日斗争需要，将滋临公路以北、汶河以西地区划为费北县，属鲁中行政区；将滋临公路以南的西半部地区划为费南县，属鲁南行政区。

同时，将费县东北部及临沂县、沂水县边联地区划为临费沂边联县；1941年1月，临费沂边联县费县部分又划回，改为费东行署；1942年底，费东行署改为费东县，隶鲁中行政区。1942年7月，费县、滕县边联地区建立费滕边县，属鲁南行政区1942年10月，在原费县西部天宝山一带成立费西办事处，在南部新庄、石井及临沂县西南部成立临费办事处，均隶属鲁南行政区。

1943年7月，费滕边县、费西办事处和临费办事处撤销；1944年1月，建立温河县，隶属鲁南行政区第一专区。同时，费南县改称费县；1946年4月，又改称平邑县。

1947年以前，国民党政权的建置及区划沿袭抗日战争以前未变，费县仍山东省第三行政区督察专员公署领导。随着抗日斗争的开展，国民党政权对中共领导下的抗日根据地及日伪占领区已失去控制，名存实亡。1946年1月，费北县、费东县合并建立蒙山县。1946年4月，温河县改为费县，仍隶属鲁南行政区第一专区，1948年1月划归鲁南行政区第三专区。

1948年7月，置鲁中南行政区，费县隶属鲁中南行政区第五专区(1949年7月改台枣专区)。

1950年5月，鲁中南行政区台枣专区撤销，费县划属临沂专区。

1952年3月，撤销蒙山县，上冶、白埠、薛庄、诸满、汪沟五区划归费县。

1956年春，朱田区由平邑县划入费县。

1994年12月17日，经中华人民共和国国务院批准，同意山东省撤销临沂地区，设立地级临沂市。费县同被临沂市所管辖。

## 人口

根据第七次全国人口普查数据，截至2020年11月1日零时，费县常住人口798403人。

## 地理

费县县城距临沂市40千米。

费县素有“奇石之乡”的美誉，集瘦、漏、皱、透、丑诸特点于一身，被誉为“世纪之交在中国北方发现的最伟大的自然奇迹”。

## 古迹

费县境内存有大量历史古迹，有大汶口文化、龙山文化等遗址150多处，有国家二级文物徐子鼎、王莽“金错刀”古币等馆藏文物2000多种，有乾隆皇帝下江南时留下的诗文，费城街道鲁公庙颜鲁公碑系宋代学士秦观和书法家米芾所留下的墨宝。费县是唐代政治家、书法家颜真卿的故里。

费县境内上冶镇西毕城、古城、宁国庄有“费县故城”，水湖村有西汉“九女坟”；另有费城街道潘家疃“东汉画像墓”、朱田镇“苑上汉墓群”、胡阳镇城头村西隋朝四面50人造像碑、石井镇金代“荆山寺碑”等。

## 旅游特色

- 费县奇石
- 费县塔山森林公园
- 沂蒙云瀑洞天景区

## 名人

- 闵损
- 臧霸
- 颜含
- 颜真卿
- 颜杲卿
- 王雅量
- 左宝贵

## 歌曲

- 沂蒙山小调诞生地

## 教育

- 青岛理工大学费县校区位于费县东外环开发区
- 临沂大学费县分校位于费县文化路中段

## 方言

费县方言属北方方言中的中原官话区。费县方言与普通话的语音差别较大，词汇次之，语法差别最小。随着社会政治、经济的发展和科学文化的日益普及，费县话正逐渐向普通话靠近。许多方言土语正逐步被普通话代替。但与普通话比较，差异仍然不小。

由于历史、地理的原因，费县境内形成东西两块方言小区，语音方面各具特点。费县东部在部分中老年人的发音中存有尖音,如将“精、修”读作“tsin、siou”。费县西部在发音中有一组唇齿音声母与普通话差别大,如把“猪”读作“pfu”。

费县方言有四个单字调(不包括变调和轻声)，即阴平、阳平、上声、去声。但与普通话声调比较，调值不同。

费县话｜普通话

例字｜调类｜调值｜调类｜调值

高梯衣灯｜阴平｜314｜阴平｜55

时图渠灵｜阳平｜53｜阳平｜35

使体堵举｜上声｜55｜上声｜214

是度巨户｜去声｜312｜去声｜51

## 基本资料

- – 拼音：Fèi Xiàn
- 隶属：山东省临沂市
- 类型：县
- 行政中心：费城街道
- 分区：12
- 地址：9
- 分区：2
- 分区：1
- 邮政编码：273400
- phone code：539
- 面积：1893
- 人口：2020年
- 人口：79.84万人
- 车辆号牌：鲁Q、鲁W
- 网站：www.feixian.gov.cn
- 网站：费县政府网
曲线

曲线（curve，curved line）指动点在空间中运动方向连续变化的轨迹。直线是特殊的曲线。在现代数学中，曲线的定义是连续函数在拓扑空间上区间的图像。

弧（arc），即曲线段（curve segment），是任何光滑连续曲线上的任意一段，包括不限制在平面上的空间弧。平面弧（plane arc）有：圆弧、椭圆弧、双曲弧等；立体弧（space arc）有：圆柱螺旋线弧、鞍面上的交线弧等。而圆弧则特指圆周上任意两点之间的一段曲线。当要表示平面上或空间内一条曲线上 $A$ 与 $B$ 两点之间所形成的弧（不限定为圆弧）时，会写成 $\mathrm{arc}\; AB$，此表示法具有高度的普适性，可以泛指任何平面弧或空间弧。

## 历史

- 若尔当曲线定理
- 变分法（最速降线问题、等时降线）
- 希尔伯特第十六问题
- 皮亚诺曲线和其他Space-filling curve
- 卷绕数

## 定义

在数学上，一条曲线的定义为：

设$I = [a, b]$为一实数区间，即实数集的非空子集，那么曲线$c$就是一个连续函数$c : I \rightarrow X$的映射，其中$X$为一个拓扑空间。

我们常遇到的平面曲线的拓扑空间为$\mathbb{R}^2$。

若f是单射的，则 c是简单曲线（simple curve）。

若$I = [a, b]$和$f(a) = f(b)$，f是闭曲线（closed curve）或环圈。

## 曲线方程

一般来说，当在$\mathbb{R}^n$下一些符合一条方程的点的集合组成一条曲线时，那方程就叫那曲线的曲线方程（curvilinear equation，curve equation）。

例如，$x^2 + y^2 = 1$是单位圆的曲线方程，因为有且仅有单位圆上的点符合这条方程；因这些点组成一个单位圆，故该方程正代表着平面上的单位圆。

## 曲线长度

若$\gamma(t):[a, b] \to X \subset R^n$。

$$L(\gamma) = \int_a^b \left|\gamma'(t)\right| \mathrm dt$$

### 平面曲线

例如，若一条平面曲线可表达成标准方程$y= f(x)$，那么它的长度就是：

$$\int_a^b {\sqrt {\left[ f'\left( x \right) \right] ^ 2 + 1} \;{\rm{d}}x}$$

其中$a\,$、$b \,$为$x\,$的上下限。

若平面曲线可表达成参数方程$x(t), y(t)$，那么它的长度就是：

$$\int_\alpha ^\beta {\sqrt {\left( {x'} \right)^2 + \left( {y'} \right)^2 } {\rm{d}}t}$$

其中$\alpha\,$、$\beta\,$为$t\,$的上下限。
米哈伊尔·罗蒙诺索夫

米哈伊尔·瓦西里耶维奇·罗蒙诺索夫（Михаил Васильевич Ломоносов；1711年11月19日－1765年4月15日），俄国博学家、化学家、哲学家、诗人，俄国自然科学的奠基者。

## 生平

1711年11月19日，罗蒙诺索夫生于俄国阿尔汉格尔斯克省的米沙宁斯卡亚村（今罗蒙诺索沃），父亲是个兴旺的渔民。阿尔汉格尔斯克是当时俄国最大的海港城市，英、荷等国的商船经常来往于此，这种环境对他从小的兴趣和志向颇有影响。他从10岁起就协助父亲捕鱼，与狂风恶浪搏斗锻炼了他坚韧不拔的性格，美妙幻化的自然景色开阔了他的视野。罗蒙诺索夫从小就有强烈的求知欲，但是目不识丁的父亲不能给他以任何帮助。他只能向邻居学习识字，如饥似渴地阅读所能得到的一切书籍。

1735年他保送到圣彼得堡科学院学习。1736年被派往德意志学习矿业，先入马尔堡大学学习物理学和化学等，后到弗莱贝格学习矿业和冶金学。1741年罗蒙诺索夫回圣彼得堡科学院，任物理学副教授。从此，他在这里开始了他的的科学研究工作和社会活动。1745年8月成为圣彼得堡科学院院士和化学教授。1748年秋他按照自己的计划创建了俄国第一个化学实验室。1755年创办了莫斯科大学。1760年他当选为瑞典科学院院士，1764年当选为意大利波伦亚科学院院士。

罗蒙诺索夫从立志要为俄国科学文化的独立发展作出自己的贡献。他曾在一首诗中写道：

“俄罗斯大地能够

诞生自己的柏拉图

和智力灵敏的牛顿。”

1765年4月15日罗蒙诺索夫逝世于圣彼得堡。工作了24年。他对物理、化学都有杰出的贡献，对语言学、文学和哲学都有所建树，对历史、天文、地质、矿物、航海都有所研究。

## 贡献

### 化学成就

罗蒙诺索夫积极探索燃烧奥秘。用实验证明金属在密闭容器内加热，质量不会增加，而放在空气里加热，质量就会增加。这为后来拉瓦锡推翻燃素说、建立氧化学说打下基础。

罗蒙诺索夫用实验证明化学反应前后物质的质量相等，这一发现比拉瓦锡发现物质不灭定律早18年。他反对当时盛行的热素说，最早提出热只是物质微粒运动的结果。

罗蒙诺索夫对气体压强给以正确解释，它是空气质点对器壁撞击的结果。

在应用化学方面，罗蒙诺索夫曾研究过彩色玻璃制造和植物营养等，很有成效。

### 物理成就

罗蒙诺索夫对气体压强给以正确解释，它是空气质点对器壁撞击的结果。

在物理学方面，罗蒙诺索夫创立了热的动力学说，指出热是物质本身内部的运动，从本质上解释了热的现象；他提出了气体分子运动论，认为空气微粒对容器器壁的撞击是空气产生压力的结果；1741年，他创立了物质结构的原子一分子学说，认为微粒（分子）由极小的粒子（原子）所组成，如果物质是由同一种粒子组成的，它便是单质；如果物质是由几种不同粒子组成的，它们便是化合物，物质的性质并不是偶然形成的，它取决于组成物体微粒的性质……。这些理论为俄国的物理化学的发展奠定了基础。

#### 守恒定律

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罗蒙诺索夫在自然科学方面的贡献范围非常广泛，涉及化学，天文学，物理学，地质学等。他第一个记录了水银的凝结现象。1761年5月26日他在观测金星凌日时第一个发现了金星上存在着大气。罗蒙诺索夫对热的动力学说和物质结构的原子-分子学说也有相当贡献。

罗蒙诺索夫也是一个出色的人文学者，在历史学、语言学、哲学方面都有研究。他也被誉为俄罗斯现代语言之父。

借助于实验，罗蒙诺索夫推翻了1703年施塔尔提出的“燃素”学说。“燃素”是否进入了容器？它是否同金属化合了？如果它进入了容器，那么容器的重量就应该增加，但称重结果表明，这些容器的重量都没有变化！而金属灰却比原来重了。据此，罗蒙诺索夫得到了这样一个结论：“金属没有与‘燃素’化合！因为所有的容器重量都没有变化，这是无可辩驳的事实。“然而容器内部有一定数量的空气，肯定是金属与空气的微粒化合了！因此重量增加了，有多少空气与金属化合，金属就应该增重多少！”。罗蒙诺索夫是最早应用天平来测量化学反应重量关系的化学家，经过大量的实验之后，1756年，罗蒙诺索夫得到了这样一个结论：“参加反应的全部物质的重量，等于全部反应产物的重量。”这就是今天人们所熟知的，作为化学科学基石的质量守恒定律。实际上，早在1748年2月16日，在罗蒙诺索夫写给彼得堡科学院院士列昂纳德·欧拉的信中就曾经写道：“自然界所发生的一切变化，都是这样的：一种东西失去多少，另一种东西就获得多少。因此，如果某个物体增加了若干物质，另一物体必然有若干物质消失。我在梦中消耗了多少小时，那么我必然失眠多少小时，如此等等。因为这是一条具有普遍意义的规律，所以它也应推广适应运动的诸法则：一个物体如果靠本身的动力，引起另一物体产生运动，那么前者由于推动而失去的动量，必然等于后者受推动时获得的动量。”应该说，这种观点是质量守恒定律和能量守恒定律的雏形。

### 天文学

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1761年，罗蒙诺索夫在他位于圣彼得堡的家附近的一个小天文台观测金星凌日时，是第一个发现和欣赏金星大气的人。

2012年6月5日至6日，一群天文学家对罗蒙诺索夫在金星凌日期间发现的金星大气层进行了实验重建，并用古董折射镜进行了实验重建。他们得出的结论是，如果采用罗蒙诺索夫在其1761年论文中描述的适当实验技术，罗蒙诺索夫的望远镜完全足以完成探测金星进入或离开太阳盘时的光弧的任务。

### 教育贡献

罗蒙诺索夫创办了俄国第一所大学莫斯科大学。俄罗斯诗人普希金曾评价他是一位思想远远走在自己时代前面的人。

### 学术贡献

罗蒙诺索夫对热的动力学说和物质结构的原子-分子学说也有相当贡献。

罗蒙诺索夫也是一个出色的人文学者，在历史学、语言学、哲学方面都有研究。他也被誉为俄罗斯现代语言之父。

## 评语

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- 由于他在俄国科学史上的诸多贡献，特别是质量守恒定律和对俄罗斯语法的系统编辑，被誉为“俄国科学史上的彼得大帝”。
- 由于罗蒙诺索夫的学识非常渊博，俄罗斯诗人普希金曾把他比作“俄罗斯的第一所大学”，说“他是历史学家、修辞学家、机械学家、化学家、矿物学家、艺术家和诗人，他对一切都曾亲身体验过并深入地研究过”。

## 主要著作

- 《关于冷和热原因的探讨》
- 《论化学的效用》
- 《论地层》
- 《俄语语法》

## 命名事物

- 月球上的罗蒙诺索夫环形山
- 火星上的罗蒙诺索夫撞击坑 (火星)
- 罗蒙诺索夫金质奖章
- 北冰洋中的罗蒙诺索夫海岭
- 莫斯科大学（罗蒙诺索夫莫斯科国立大学）
- 罗蒙诺索夫院士浮动核能发电厂

## 参考文献

### 来源

- 《科学巨人丛书：罗蒙诺索夫》，治中著，三联书店(香港)有限公司出版，ISBN：9620416333

## 基本资料

- 日语原文：米哈伊尔·罗蒙诺索夫
- 原文名：Михаил Ломоносов
- 原文名：ru
- 出生日期：1711年11月19日
- 出生地：俄罗斯沙皇国阿尔汉格尔斯克省米沙宁斯卡亚、（今俄罗斯联邦阿尔汉格尔斯克州罗蒙诺索沃）
- 国籍：俄罗斯帝国
- 逝世日期：1765年4月15日
- 逝世地：俄罗斯帝国圣彼得堡
- 研究领域：化学、物理学、天文学、矿物学、冶金学、文学、诗学
- 母校：圣彼得堡科学院附属大学
- 知名于：物质不灭定律、对气体压强给以正确解释、彩色玻璃制造、植物营养、热动力学说、发现金星存有大气、利用天平来测量化学反应重量关系、水银凝结现象、创立俄语新诗的基础、创建莫斯科大学
碘化银

碘化银（AgI）为碘和银的化合物，黄色粉末（~558 °C分解），见光分解，并大量吸热，先变灰后变黑，不溶于水和氨水，用于照相术和人工降雨的晶核。

## 制备

碘化银可以通过硝酸银与碘化钾反应获得，同时会产生硝酸钾，化学反应方程式为：

$$AgNO3 + KI -> AgI v + KNO3$$

也可以通过硝酸银与氢碘酸反应，生成碘化银与硝酸:

$$AgNO3 + HI -> AgI v + HNO3$$

或者说是银阳离子与碘阴离子反应（只不过银离子通常由硝酸银提供）:

$$Ag+ + I- -> AgI v$$

或者银单质直接与氢碘酸反应，生成碘化银与氢气:

$$Ag + HI -> 2AgI v + H2 ^$$

## 性质

作为银的卤化物，碘化银易遇光分解, 其遇光分解会产生碘与银单质，化学反应方程式为：

$$2AgI ->[light] 2Ag + I2$$

## 基本资料

- 域：Silver-iodide-3D
- 其他名称：碘化银（I）
- CASNo：7783-96-2
- ChemSpiderID：22969
- UNII：81M6Z3D1XE
- InChI：1/Ag.HI/h;1H/q+1;/p-1
- InChIKey：MSFPLIAKTHOCQP-REWHXWOFAV
- 3D模型（JSmol）：AgI
- StdInChI：1S/Ag.HI/h;1H/q+1;/p-1
- StdInChIKey：MSFPLIAKTHOCQP-UHFFFAOYSA-M
- EINECS：232-038-0
- PubChem：6432717
- 化学式：AgI
- MolarMass：234.773
- 外貌：黄色晶体
- 密度：5.675 g/cm3
- 水溶性：难溶：2.14 × 10-7g/100mL (20 °C)
- MeltingPt：552 °C
- BoilingPt：1506 °C
- DeltaHf：-62.4 kJ/mol (1 atm)
- EUClass：未列明
- NFPA-H：2
- NFPA-R：0
- NFPA-F：0
碘酸

碘酸（化学式：HIO3）比溴酸和氯酸稳定，可以呈晶体状态存在，110℃分解同时有一部分脱水形成三碘酸（HI3O8），195℃脱水成五氧化二碘（I2O5），易溶于水，为强氧化剂及强酸。

## 制备

碘单质可被硝酸、氯气、过氧化氢等强氧化剂氧化，生成碘酸。

$$I2 + 6 H2O + 5 Cl2 <=> 2 HIO3 + 10 HCl$$

## 性质

碘酸在酸性溶液中是强氧化剂：$2IO3- + 12H+ + 10e- -> I2 + 6H2O$

它亦是种一元强酸，在水中电离生成碘酸根离子和氢离子。

## 用途

碘酸在分析化学中可用作滴定，常见的指示剂有甲基橙和甲基红。

它已被用来合成碘酸钠和碘酸钾。

## 基本资料

- 域：碘酸分子的球棍模型
- 域：碘酸分子的空间填充模型
- 其他名称：碘(V)酸
- CASNo：7782-68-5
- ChemSpiderID：22761
- PubChem：24345
- InChI：1/HIO3/c2-1(3)4/h(H,2,3,4)
- InChIKey：ICIWUVCWSCSTAQ-UHFFFAOYAT
- ChEBI：24857
- 3D模型（JSmol）：O=I(=O)O
- ChEMBL：1161636
- StdInChI：1S/HIO3/c2-1(3)4/h(H,2,3,4)
- StdInChIKey：ICIWUVCWSCSTAQ-UHFFFAOYSA-N
- 化学式：HIO3
- MolarMass：175.91
- 外貌：白色固体
- 密度：4.62 g/cm3 (固)
- 水溶性：269 g/100 ml (20 °C)
- MeltingPt：110 °C
- pKa：0.75
- FlashPt：不可燃
- OtherAnions：次碘酸、高碘酸
- OtherCations：碘酸钾
- 类型：含氧酸
- OtherFunctn：氯酸、溴酸
- OtherCpds：五氧化二碘
新加坡外交

新加坡现已与194个国家建立正式外交关系（截至2023年10月），联合国成员国中尚缺两个非洲国家：中非共和国和南苏丹未与新加坡建交。

新加坡于1965年加入联合国和英联邦、1967年加入东南亚国家联盟（该联盟5个发起国之一）、1989年加入亚太经合组织。新加坡在2001年－2002年担任过联合国安理会非常任理事国，并派兵参与联合国在科威特、安哥拉、柬埔寨和东帝汶等地的维和任务，2004年新加坡还派出了一支120人的医疗救援队伍参加美伊战争之后伊拉克的管制工作。

新加坡是不结盟运动的成员国，但亦是美国在东南亚地区的主要盟友。2004年，新加坡提议为维护马六甲海峡的通航安全，邀请美国海军参与该海域的巡航工作，但遭到周边邻国如马来西亚和印度尼西亚的反对。

## 与马来西亚的关系

作为新加坡最近的邻国，新加坡与马来西亚有非常紧密的历史和外交关系，新加坡曾是马来西亚的一部分，但在1965年，由于政治上的分歧和种族关系之间的紧张（马来人和华人）而导致分离，尽管如此两国之间仍保持着高度紧密的关系，经济和社会相互依存，新加坡的新鲜肉类，干净水以及蔬菜都由马来西亚进口，许多马来西亚人民也会到新加坡去上班工作，一些马来西亚人在新加坡更有永久居住权，同时也有不少人是往来于柔佛州和新加坡之间，在这四十年之间，双方关系经历了四十年的高低起伏，现在依旧可以感受到两边的紧张，然而双边合作越来越紧密，譬如马六甲海峡的互相巡防（参照五国联防）等等，同时两国也经常进行联合军事演习。

外交上，与邻国马来西亚常在水源、领土、种族、宗教、教育有争执：例如马来西亚向新加坡供水的价格问题、白礁主权争议（2008年5月23日经国际法院裁决，白礁主权属于新加坡）、新加坡填海工程和新马长堤大桥修建、2002年新加坡的一所政府学校决定开除一名坚持戴头巾上学的穆斯林女学生后，许多马来西亚人马来人就曾到新加坡驻马来西亚高级专员公署前示威抗议。

新加坡电影跑吧！孩子提及到马来西亚和新加坡复杂的外交关系。

在李光耀逝世期间，马来西亚前首相马哈蒂尔·穆罕默德在其部落格发表了主题为“光耀与我”的文章。他对李光耀的逝世表示悲伤及哀悼。他说他经常跟这位新加坡老将交锋，但对这新生的国家茁壮成长上提供了不分仇敌的意见。他还写随着李光耀的逝世，东盟在没有李光耀及苏哈托总统下失去了强势领导。

### 马来西亚与印尼华人边缘论

2006年9月15日，李光耀在公共政策学院主办的莱佛士论坛上，发表“马来西亚和印尼政府有系统边缘化华人”相关言论，引起与邻国马来西亚与印尼的外交风波。李光耀在论坛上提到新加坡同印尼和马来西亚的关系时，指印尼前总统优素福·哈比比曾形容新加坡像绿色海洋所包围的“小红点”，而小红点就是迫使新加坡，像印尼国内的华人一样，对他言听计从。接着形容马来西亚华人被有系统地边缘化，激起马印两国政府强烈反响。马来西亚和印尼两国的政治人物纷纷对此表示不满，并要求新加坡对李光耀的言论作出解释和道歉。马来西亚前首相马哈蒂尔·穆罕默德批评李光耀傲慢及不尊重邻国，并反击说马来西亚也可以质疑新加坡把当地马来人边缘化。印尼前总统哈比比指形容“小红点”是激励印尼青年向新加坡学习，但原意被歪曲了。

9月30日，李光耀为其发表的言论向马来西亚首相阿都拉·巴达威道歉，但不收回言论。

10月3日，阿都拉·巴达威在新闻发布会上表明，无法接受李光耀在回函中以新加坡需要强势政府与马印周旋，作为他发表边缘化言论的前提，他也重申，李光耀没有必要发表上述言论，因为有关言论可能导致马来西亚的种族关系出现紧张局面。

10月14日，阿都拉·巴达威接受美国《有线电视新闻网》（CNN）的《亚洲名人聊天室》（Talk Asia）节目主持安琪莉劳伍（Anjali Rao）的访问时再次驳斥李光耀的这番言论，并指这是没有根据的指责：“是的，它（李光耀的指责）毫无根据。这是一个引起许多人民不高兴的议题。”“为什么？因为某些人认为他的言论干涉马来西亚内政。”“马来西亚华裔的生活很好。他们甚至比土著和马来人更成功”。

一些政治评论员认为，李光耀根本就没有就其言论道歉。马来西亚战略研究机构首席分析员黄永安表示，李光耀的信中虽向阿都拉·巴达威表示抱歉，但是这并不意味着他收回之前引起轩然大波的边缘论。隆雪华堂执行长陈亚才也深有同感地表示，李光耀并没有承认他的言论有错，他只是因为其言论引起马来西亚首相情绪上的波动而表示歉意。

## 与印度尼西亚的关系

新加坡在印尼雅加达设有大使馆，以及在棉兰设有总领事馆。两国关系往年因为印度尼西亚在东南亚的霸权主义而紧张，然在2005年，新加坡与印尼签暑一项谅解备忘录，两国之间互相开放更多的航权，新加坡总理李显龙在2005年印尼巴里岛会见了印尼总理苏西诺，并于2005年巴厘岛爆炸案仅止两天后，双方就同意加强打击恐怖主义，并讨论了经济、贸易和投资的合作，总体上印尼和新加坡关系是往好的一面展开，然而目前也有些问题如印尼禁止出口花岗岩和砂至新加坡，而这两项材料是新加坡建筑业所需要的。

## 与中华人民共和国的关系

中华人民共和国成立后，虽然中国大陆与新加坡的经济往来尚未断绝，然而由于中国共产党支持马来亚共产党及社会主义阵线的斗争，以及李光耀在1965年新加坡独立后，打击共产主义等意识形态，甚至抑压华文的关系，中方批评新加坡当局是“帝国主义的走狗”。但1970年代末以来，中华人民共和国实行改革开放后态度改变，与新加坡的关系不断改善，不过两国直至1990年中国与印尼复交后不久才正式建交。新加坡是最后一个与中华人民共和国建交的东盟创始成员国。中国大陆与新加坡之间的贸易在近年迅速地发展。

2026年5月，新加坡国务资政的李显龙访问中国期间，在记者会上公开表示新加坡与中国合作是基于共同利益，并非两国拥有相同的种族血统。他又指出中国只是新加坡的经济伙伴之一，美国、日本、欧洲依然是新加坡非常重要的经济伙伴。外界认为李显龙的发言代表新加坡抗衡中国长期以来主张的“中华民族主义”，捍卫新加坡作为多元族群国家的主体性。

## 基本资料

- 位置：svg
等角螺线

等角螺线、对数螺线或生长螺线是在自然界常见的螺线，在极坐标系$(r,\theta)$中，这个曲线可以写为

$$r = ae^{b\theta}\,$$

或

$$\theta = \frac{1}{b}\ \ln\left(\frac{r}{a}\right)\ ,$$

因此叫做“对数”螺线。

## 定理

- 等角螺线的臂的距离以几何级数递增。
- 设$L$为穿过原点的任意直线，则$L$与等角螺线的相交的角永远相等（故其名），而此值为$\cot^{-1}b$。
- 设$C$为以原点为圆心的任意圆，则$C$与等角螺线的相交的角永远相等，而此值为$\tan^{-1}b$，名为“倾斜度”
- 等角螺线是自我相似的；这即是说，等角螺线经放大后可与原图完全相同。
- 等角螺线的渐屈线和垂足曲线都是等角螺线。
- 从原点到等角螺线的任意点上的长度有限，但由那点出发沿等角螺线走到原点却需绕原点转无限次。这是由托里拆利发现的。

## 历史

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等角螺线是由笛卡儿在1638年发现的。雅各布·伯努利后来重新研究之。他发现了等角螺线的许多特性，如等角螺线经过各种适当的变换之后仍是等角螺线。他十分惊叹和欣赏这曲线的特性，故要求死后将之刻在自己的墓碑上，并附词“纵使改变，依然故我”(eadem mutata resurgo)。但雕刻师误将阿基米德螺线（等速螺线）刻了上去。

## 自然现象

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- 鹦鹉螺的贝壳像等角螺线
- 菊的种子排列成等角螺线
- 鹰以等角螺线的方式接近它们的猎物
- 昆虫以等角螺线的方式接近光源
- 蜘蛛网的构造与等角螺线相似
- 旋涡星系的旋臂差不多是等角螺线。银河系的四大旋臂的倾斜度约为 12°。
- 低气压（热带气旋、温带气旋等）的外观像等角螺线

## 构造等角螺线

- 在复平面上定义一个复数$z=a+bi$，其中$a,b\neq 0$，那么连结$z,z^2,z^3,\ldots$的曲线就是一条等角螺线。

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- 若$L$是复平面中的一条直线且不平行于实数或虚数轴，那么指数函数$e^z$会将这些直线映像到以 0 为中心的等角螺线。

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- 在平面上, 质点围绕原点逐渐离开, 相对于原点的角速度恒定, 且相对于原点的距离以等比例增长, 则其轨迹为等角螺线。这是因为$r = ae^{b\theta}, r' = ae^{b\theta'}$，则有$r'/r = e^{b(\theta' - \theta)}$。

## 引用

- Jim Wilson, Equiangular Spiral (or Logarithmic Spiral) and Its Related Curves , University of Georgia (1999)
- Alexander Bogomolny, Spira Mirabilis - Wonderful Spiral , at cut-the-knot

## 外部链接

- Spira mirabilis 等角螺线的历史和数学
阿基米德螺线

阿基米德螺旋线（Archimedean spiral），亦称“等速螺线”。当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时，这射线又以等角速度绕点O旋转，点P的轨迹称为“阿基米德螺线”。它的极坐标方程为：$\, r=a+b\theta$。这种螺线的每条臂的间距永远相等于$2\pi b$。

## 应用

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准确地利用阿基米德螺线，可以三等分任意角。但是因为阿基米德螺线无法利用尺规作出，故几何三大难题中的三等份任意角仍然稳坐其宝座。

## 阿基米德螺线的画法

- 一、以适当长度（OA）为半径，画一圆O。
- 二、作一射线OA。
- 三、作一点P于射线OA上。
- 四、模拟点A沿圆O移动，点P沿射线OA移动。
- 五、画出点P的轨迹。
- 六、结果。（隐藏圆O、射线OA &点P）
螺线

螺线又称涡线、涡卷（spiral）是指一些围着某些定点或轴旋转且不断收缩或扩展的曲线。

## 二维螺线

- 费马螺线
- 等角螺线
- 双曲螺线
- 圆内螺线
- 阿基米德螺线
- 连锁螺线
- 柯奴螺线
- 欧拉螺线
双曲螺线

双曲螺线（Hyperbolic spiral）又称倒数螺线（reciprocal spiral）。

## 轨迹定义

极径与极角成反比的点的轨迹称为双曲螺线。

### 曲线特征

- 有一条平行于极轴的渐近线。
- 是阿基米德螺线的倒数。
- 曲线出发于极点。

## 曲线方程

### 极坐标方程

$$r \theta = c$$

其中c为常数。

直角坐标系中。

$$x = \frac{c}{\theta} \cos{\theta}$$

$$y = \frac{c}{\theta} \sin{\theta}$$

因此可见渐近线为：$y = c$。
圆内螺线

内摆线（圆内螺线）是所有形式为

$$x = \cos \theta + \frac{1}{n}\cos n\theta$$

$$y = \sin \theta - \frac{1}{n}\sin n\theta$$

曲线，其中 n 为正实数。

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## 轨迹定义

假设有一个定圆，若有另一个半径是刚才的圆形的$\frac{1}{{n + 1}}$倍的圆在其内部滚动，则圆周上的一定点在滚动时划出的轨迹就是一条内摆线（圆内螺线）。

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## 三尖瓣线和星形线

三尖瓣线（Deltoid，字自“Delta”$\Delta$）是内摆线（圆内螺线）一种，其$n$为 2（或$\frac{1}{2}$）。

星形线是内摆线（圆内螺线）一种，其$n$为 3 (或$\frac{1}{3}$)。
羊角螺线

羊角螺线（clothoid），又称欧拉螺线（Euler spiral），是形式为

$$x=C(t)$$

$$y=S(t)$$

曲线，其中$C(t)$、$S(t)$为 Fresnel积分：

$$S(x)=\int_0^x \sin(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!},$$

$$C(x)=\int_0^x \cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}.$$

上面参数方程的参数$t$，也是螺线于该点的曲率：$\kappa(t) = 2t$。

两个螺线的中心位于$\pm ( \frac{\sqrt{2\pi}}{4},\frac{\sqrt{2\pi}}{4})$

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由于此螺线的曲率与长度成正比，故常用于公路工程或铁路工程，以缓和直路线与圆曲路线之间的曲率变化（向心力变化）。

在光学上，近场绕射（Fresnel绕射）中会应用Fresnel积分。

## 性质

- $C(x)$和$S(x)$是$x$的奇函数。
- $C$和$S$是整函数。
- 利用以上的幂级数展开式，可以把Fresnel积分扩展到复数范围，它是解析函数。Fresnel积分可以用误差函数来表示：

$$S(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{i}\,\operatorname{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{-i}\,\operatorname{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right)$$

$C(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{-i}\,\operatorname{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{i}\,\operatorname{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right)$.

- $C(x)$和$S(x)$所定义的积分不能表示为初等函数。当$x$趋于无穷大时，函数的值为：

$$\int_{0}^{\infty} \cos t^2\,dt = \int_{0}^{\infty} \sin t^2\,dt = \frac{\sqrt{2\pi}}{4} = \sqrt{\frac{\pi}{8}}.$$
连锁螺线

Lituus 螺线 是所有形式为

$$r^2 \cdot \theta = k$$

螺线。

其中k为非零的常数。

其角度θ和半径r的平方成反比。

连锁螺线依r符号的不同而有二个分支，以x轴为其渐近线。其拐点在

$$(\theta, r) = \left(\tfrac12, \pm\sqrt{2k}\right).$$

此曲线得名自古罗马的利吐斯号，是由英国数学家罗杰·科茨写在名为Harmonia Mensurarum的论文集中，在1722年写成。

## 外部链接

- Interactive example using JSXGraph
- https://hsm.stackexchange.com/a/3181 on the history of the lituus curve.
摆线

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在数学中，摆线（Cycloid）的定义为圆在一条直线上滚动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。它是一般旋轮线的一种，亦称圆滚线。

摆线也是最速降线问题和等时降落问题的解。

## 历史

摆线的研究最初开始于库萨的尼古拉，之后马兰·梅森也有针对摆线的研究。1599年伽利略为摆线命名。1634年吉勒斯·德·罗贝瓦勒指出摆线一拱的区域面积是滚动圆的面积的三倍。1658年克里斯多佛·雷恩也向人们指出摆线的长度是滚动圆的直径的四倍。在这一时期，伴随着许多发现，也出现了众多有关发现权的争议，甚至抹杀他人工作的现象，而因此摆线也被人们称作“几何学中的海伦”（The Helen of Geometers）。

## 方程式

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过原点半径为r的摆线参数方程为

$$x = r(t - \sin t)\,$$

$$y = r(1 - \cos t)\,$$

在这里实参数t是在弧度制下，圆滚动的角度；摆线的第一道拱由参数t在(0, 2π)区间内的点组成。对每一个给出的t，圆心的坐标为(rt, r)。

通过替换解出t可以求的笛卡尔坐标方程为

$$x = r \cos^{-1} \left(1-\frac{y}{r}\right)-\sqrt{y(2r-y)}$$

也可写成

$$\cos\!\left(\frac{|x|+\sqrt{y(2r-y)}}{r}\right) + \frac{y}{r} = 1$$

摆线也满足下面的微分方程。

$$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{2r-y}{y}.$$

## 面积

一条由半径为r的圆所生成的拱形面积可以由下面的参数方程界定：

$$x = r(t - \sin t),\,$$

$$y = r(1 - \cos t),\,$$

$$0 \le t \le 2 \pi.\,$$

微分。

$$\frac{dx}{dt} = r(1- \cos t),$$

于是可以求得

$$\begin{align} A &= \int_{x=0}^{x=2 \pi r} y \, dx = \int_{t=0}^{t=2 \pi} r^2(1-\cos t)^2 \, dt \\ &= \left. r^2 \left( \frac{3}{2}t-2\sin t + \frac{1}{2} \cos t \sin t\right) \right|_{t=0}^{t=2\pi} \\ &= 3 \pi r^2. \end{align}$$

## 弧长

弧形的长度可以由下面的式子计算出：

$$\begin{align} S &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} \sqrt{\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dx}{dt}\right)^2} \, dt \\ &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} 2r \sin\left(\frac{t}{2}\right) \, dt \\ &= 8r. \end{align}$$

## 其它相关联的曲线

一些曲线同摆线紧密相关。当我们弱化定点只能固定在圆边界上时，我们得到了短摆线（curtate cycloid）和长摆线（prolate cycloid），两者合称为次摆线（trochoid），前面的情形是定点在圆的内部，后者则是在圆外。次摆线则是上述三种曲线的统称。更进一步，如果我们让圆也沿着一个圆滚动而不是直线的话，我们会得到外摆线（epicycloid，沿着圆的外部运动，定点在圆的边缘），内摆线（hypocycloid，沿着圆内部滚动，定点在圆的边缘）以及外旋轮线（epitrochoid）和内旋轮线（hypotrochoid，定点可以在圆内的任一点包括边界。）

## 应用

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在建筑物的设计方面，摆线曾被路易·卡恩用来设计德克萨斯州沃思堡的建筑金贝尔艺术博物馆。

它也曾被用于设计新罕布什尔州汉诺威的霍普金斯中心。

## 参考

- An application from physics: Ghatak, A. & Mahadevan, L. Crack street: the cycloidal wake of a cylinder tearing through a sheet. Physical Review Letters, 91, (2003). http://link.aps.org/abstract/PRL/v91/e215507

## 外部链接

- Cycloids at cut-the-knot
- A Treatise on The Cycloid and all forms of Cycloidal Curves , monograph by Richard A. Proctor, B.A. posted by Cornell University Library .
- Cicloides y trocoides
- Cycloid Curves by Sean Madsen with contributions by David von Seggern, Wolfram Demonstrations Project.
外摆线

$$x = \cos \theta + \frac{1}{n}\cos n\theta$$

$$y = \sin \theta + \frac{1}{n}\sin n\theta$$

曲线，其中n为正实数。

## 轨迹定义

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假设有一个定圆，若有另一个半径是刚才的圆形的$\frac{1}{{n - 1}}$倍的圆在上滚动，则圆周上的一定点在滚动时划出的轨迹就是一条外摆线。

## 心脏线

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心脏线是外摆线的一种，其n为2。它亦可以极坐标的形式表示：

这样的心脏线的周界为8，围得的面积为${3 \over 2} \pi$。

心脏线亦为蚶线的一种。

在曼德博集合正中间的图形便是一个心脏线。

心脏线的英文名称“Cardioid”是de Castillon在1741年的《Philosophical Transactions of the Royal Society》发表的；意为“像心脏的”。

## 肾形线

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肾形线亦是外摆线的一种，其n为3。