双曲函数

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在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数$\sinh$和双曲余弦函数$\cosh$，从它们可以导出双曲正切函数$\tanh$等，其推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数。

双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做双曲角。双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。

## 基本定义

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最简单的几种双曲函数为：

- $$\sinh x = \frac{e^x - e^{ - x} }{2}$$
- $$\cosh x = \frac{e^x + e^{ - x} }{2}$$
- $$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}.$$
- 双曲余切：当$x\neq 0$
- $$\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1}.$$
- $$\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} + 1}.$$
- 双曲余割：当$x\neq 0$
- $$\operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} - 1}.$$

函数$\cosh x$是关于y轴对称的偶函数。函数$\sinh x$是奇函数。

如同当$t$遍历实数集$\mathbb{R}$时，点（$\cos t$, $\sin t$）的轨迹是一个圆$x^2 + y^2 = 1$一样，当$t$遍历实数集$\mathbb{R}$时，点（$\cosh t$, $\sinh t$）的轨迹是单位双曲线$x^2 - y^2 = 1$的右半边。这是因为有以下的恒等式：

$$\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1$$

参数t不是圆角而是双曲角，它表示在x轴和连接原点和双曲线上的点（$\cosh t$, $\sinh t$）的直线之间的面积的两倍。

## 历史

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在18世纪，约翰·海因里希·兰伯特引入双曲函数，并计算了双曲几何中双曲三角形的面积。自然对数函数是在直角双曲线$xy = 1$下定义的，可构造双曲线直角三角形，底边在线$y = x$上，一个顶点是原点，另一个顶点在双曲线。这里以自然对数即双曲角作为参数的函数，是自然对数的逆函数指数函数，即要形成指定双曲角$u$，在渐近线即x或y轴上需要有的$x$或$y$的值。显见这里的底边是$\left(e^u + e^{ -u}\right) \frac{\sqrt{2}}{2}$，垂线是$\left(e^u - e^{-u}\right) \frac{\sqrt{2}}{2}$。

通过旋转和缩小线性变换，得到单位双曲线下的情况，有：

- $$\cosh u = \frac{e^u + e^{-u}}{2}$$
- $$\sinh u = \frac{e^u - e^{-u}}{2}$$

单位双曲线中双曲线扇形的面积是对应直角双曲线$xy = 1$下双曲角的${1 \over 2}$。

## 虚数圆角定义

双曲角经常定义得如同虚数圆角。实际上，如果$x$是实数而$i ^ 2 = -1$，则

$\cos(i x) = \cosh(x), \quad$ $-i \sin(i x) = \sinh(x).$

所以双曲函数$\cosh$和$\sinh$可以通过圆函数来定义。这些恒等式不是从圆或旋转得来的，它们应当以无穷级数的方式来理解。特别是，可以将指数函数表达为由偶次项和奇次项组成，前者形成$\cosh$函数，后者形成了$\sinh$函数。$\cos$函数的无穷级数可从$\cosh$得出，通过把它变为交错级数，而$\sin$函数可来自将$\sinh$变为交错级数。上面的恒等式使用虚数$i$，从三角函数的级数的项中去掉交错因子$(-1)^n$，来恢复为指数函数的那两部分级数。

$$e^x = \cosh x + \sinh x\!$$

$$\begin{array}{lcl} \cosh x = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!} & \sinh x = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ \cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} & \sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ \end{array}$$

双曲函数可以通过虚数圆角定义为：

- $$\sinh x = -i \sin (i x) \!$$
- $$\cosh x = \cos (i x) \!$$
- $$\tanh x = -i \tan (i x) \!$$
- $$\coth x = i \cot (i x) \!$$
- $$\operatorname{sech} x = \sec (i x) \!$$
- $$\operatorname{csch} x = i \csc (i x) \!$$

这些复数形式的定义得出自欧拉公式。

## 与三角函数的类比

奥古斯都·德·摩根在其1849年出版的教科书《Trigonometry and Double Algebra》中将圆三角学扩展到了双曲线。威廉·金顿·克利福德在1878年使用双曲角来参数化单位双曲线。

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给定相同的角α，在双曲线上计算双曲角的量值（双曲扇形面积除以半径）得到双曲函数，角$\alpha$得到三角函数。在单位圆和单位双曲线上，双曲函数与三角函数有如下的关系:

- 正弦同样是从x轴到曲线的半弦。
- 余弦同样是从y轴到曲线的半弦（图中的余弦是长方形的另一条边）。
- 正切同样是过x轴上单位点（1,0）在曲线上的切线到终边的长度。
- 余切同样是从y轴与过终边和曲线交点的切线与y轴的交点和曲线连线之长度。
- 正割同样是在一个有正切和单位长的直角三角形上，但边不一样。
- 余割同样是y轴与过终边和曲线交点的切线与y轴的交点和原点之距离。
- 角的量值可以从0到无限大，但$\alpha$实际上只会介于$0$到$2\pi$（360度）之间，其余是$\alpha$的同界角，再绕着圆旋转，故三角函数可以有周期。双曲角的量值可以从$0$到无限大，但$\alpha$实际上不会超过$\frac{\pi}{4}$（45度），故无法如三角函数一样有周期性。

## 恒等式

与双曲函数有关的恒等式如下:

$$\begin{align} \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \\ 1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2x \\ \operatorname{coth}^2x - 1 = \operatorname{csch}^2x \\ \end{align}$$

$$\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y$$

$$\cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y$$

$$\tanh(x+y) = \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x \tanh y}$$

$$\sinh 2x\ = 2\sinh x \cosh x$$

$$\cosh 2x\ = \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2\cosh^2 x - 1 = 2\sinh^2 x + 1$$

$$\tanh 2x = \frac{2 \tanh x}{1 + \tanh ^2 x}$$

$$\begin{align} <pre> \sinh x + \sinh y &= 2 \sinh \left(\frac{x+y}{2}\right) \cosh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\ \cosh x + \cosh y &= 2 \cosh \left(\frac{x+y}{2}\right) \cosh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\ </pre> \end{align}$$

$$\sinh \frac{x}{2} = \frac{\sinh x}{\sqrt{2 (\cosh x + 1)} } = \sgn x \, \sqrt \frac{\cosh x - 1}{2}$$

$$\cosh\frac{x}{2} = \sqrt{ \frac{\cosh x + 1}{2} }$$

$$\tanh \frac{x}{2} = \frac{\sinh x}{\cosh x + 1} = \sgn x \, \sqrt \frac{\cosh x-1}{\cosh x+1} = \frac{e^x - 1}{e^x + 1}$$

其中 为符号函数。

若 x ≠ 0，则：

$$\tanh \frac{x}{2} = \frac{\cosh x - 1}{\sinh x} = \coth x- \operatorname{csch} x$$

由于双曲函数和三角函数之间的对应关系，双曲函数的恒等式和三角函数的恒等式之间也是一一对应的。对于一个已知的三角函数公式，只需要将其中的三角函数转成相应的双曲函数，并将含有有两个$\sinh$的积的项（包括$\coth^2 x, \tanh^2 x, \operatorname{csch}^2 x , \sinh x \sinh y$）转换正负号，就可得到相应的双曲函数恒等式。如

三角函数的三倍角公式为：

$$\sin 3x\ = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$$

$$\cos 3x\ = -3 \cos x + 4 \cos^3 x$$

而对应的双曲函数三倍角公式则是：

$$\sinh 3x\ = 3 \sinh x + 4 \sinh^3 x$$

$$\cosh 3x\ = -3 \cosh x + 4 \cosh^3 x$$

$$\begin{align} <pre> \sinh(x - y) &= \sinh x \cosh y - \cosh x \sinh y \\ \cosh(x - y) &= \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y \\ \tanh(x - y) &= \frac{\tanh x -\tanh y}{1- \tanh x \tanh y } \\ </pre> \end{align}$$

## 双曲函数的导数

$$\begin{align} <pre> \frac{d}{dx}\sinh x &= \cosh x \\ \frac{d}{dx}\cosh x &= \sinh x \\ \frac{d}{dx}\tanh x &= 1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x} \\ \frac{d}{dx}\coth x &= 1 - \coth^2 x = -\operatorname{csch}^2 x = -\frac{1}{\sinh^2 x} && x \neq 0 \\ \frac{d}{dx}\operatorname{sech} x &= - \tanh x \operatorname{sech} x \\ \frac{d}{dx}\operatorname{csch} x &= - \coth x \operatorname{csch} x && x \neq 0 </pre> \end{align}$$

## 双曲函数的泰勒展开式

双曲函数也可以以泰勒级数展开:

$$\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

$$\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}$$

$$\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}$$

$\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi$（罗朗级数）

$$\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2}$$

$\operatorname {csch}\, x = \frac {1} {x} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , 0 < \left |x \right | < \pi$（罗朗级数）

其中

$B_n$是第$n$项伯努利数

$E_n$是第$n$项欧拉数

## 无限积与连续分数形式

下列的扩展在整个复数平面上成立：

$$\sinh x = x\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right) = \cfrac{x}{1 - \cfrac{x^2}{2\cdot3+x^2 - \cfrac{2\cdot3 x^2}{4\cdot5+x^2 - \cfrac{4\cdot5 x^2}{6\cdot7+x^2 - \ddots}}}}$$

$$\cosh x = \prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{x^2}{(n-1/2)^2\pi^2}\right) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{x^2}{1 \cdot 2 + x^2 - \cfrac{1 \cdot 2x^2}{3 \cdot 4 + x^2 - \cfrac{3 \cdot 4x^2}{5 \cdot 6 + x^2 - \ddots}}}}$$

$$\tanh x = \cfrac{1}{\cfrac{1}{x} + \cfrac{1}{\cfrac{3}{x} + \cfrac{1}{\cfrac{5}{x} + \cfrac{1}{\cfrac{7}{x} + \ddots}}}}$$

## 双曲函数的积分

$$\int\sinh cx\,\mathrm{d}x = \frac{1}{c}\cosh cx + C$$

$$\int\cosh cx\,\mathrm{d}x = \frac{1}{c}\sinh cx + C$$

$$\int \tanh cx\,\mathrm{d}x = \frac{1}{c}\ln(\cosh cx) + C$$

$$\int \coth cx\,\mathrm{d}x = \frac{1}{c}\ln\left|\sinh cx\right| + C$$

$$\int \operatorname{sech} cx\,\mathrm{d}x = \frac{1}{c}\arctan (\sinh cx) + C$$

$$\int \operatorname{csch} cx\,\mathrm{d}x = \frac{1}{c}\ln\left|\tanh\frac{cx}{2}\right| + C$$

## 与指数函数的关系

从双曲正弦和余弦的定义，可以得出如下恒等式:

$$e^x = \cosh x + \sinh x$$

和

$$e^{-x} = \cosh x - \sinh x$$

## 复数的双曲函数

因为指数函数可以定义为任何复数参数，也可以扩展双曲函数的定义为复数参数。函数$\sinh z$和$\cosh z$是全纯函数。

指数函数与三角函数的关系由欧拉公式给出：

$$\begin{align} <pre> e^{i x} &= \cos x + i \;\sin x \\ e^{-i x} &= \cos x - i \;\sin x </pre> \end{align}$$

所以:

$$\begin{align} <pre> \cosh ix &= \frac{1}{2} \left(e^{i x} + e^{-i x}\right) = \cos x \\ \sinh ix &= \frac{1}{2} \left(e^{i x} - e^{-i x}\right) = i \sin x \\ \tanh ix &= i \tan x \\ </pre> \end{align}$$

$$\begin{align} <pre> \cosh(x+iy) &= \cosh(x) \cos(y) + i \sinh(x) \sin(y) \\ \sinh(x+iy) &= \sinh(x) \cos(y) + i \cosh(x) \sin(y) \\ </pre> \end{align}$$

$$\begin{align} <pre> \cosh x &= \cos ix \\ \sinh x &= - i \sin ix \\ \tanh x &= - i \tan ix </pre> \end{align}$$

因此，双曲函数是关于虚部有周期的，周期为$2 \pi i$（对双曲正切和余切是$\pi i$）。

## 反双曲函数

反双曲函数是双曲函数的反函数。它们的定义为：

$$\begin{align} <pre> \operatorname {arsinh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right) \\ \operatorname {arcosh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right); x \ge 1 \\ \operatorname {artanh} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right); \left| x \right| < 1 \\ \operatorname {arcoth} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{x + 1}{x - 1} \right); \left| x \right| > 1 \\ \operatorname {arsech} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x} \right); 0 < x \le 1 \\ \operatorname {arcsch} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\left| x \right|} \right); x \ne 0 </pre> \end{align}$$