级数

级数（Series）代表某序列之和，例如序列$a_1,\,a_2,\, a_3,\,a_4,\,\ldots$的级数$S_n$可以表示成$S_n = a_1 + \ldots + a_n$，如果被取和的序列是有穷序列，相对应的级数被称为有穷级数；反之，称为无穷级数。常见的级数包括等差数列和等比数列的级数。

级数本身也是一种序列（代表加到第$n$项）。就跟普通序列一样，级数的通项可以是实数、矩阵或向量等常量，也可以是关于其他变量的函数，不一定是一个数，但某序列要能定义相应级数，前提是必须要有加法（如实数加法、向量加法与矩阵加法等等）。

如果某级数来自于对常数序列取和，则称之为常数（项）级数，如果来自于函数序列，则称之为函数（项）级数。

无穷级数不像有穷级数可以加到最后一项，所以作为替代，通常会尝试将项数趋近于无穷大来取“最终的和”，具体来说，也就是对级数$S_n$取极限$\lim_{n\to\infty} S_n$。如果这个极限存在，会仿造数列极限，将这个无穷级数称为收敛的（convergent）；反之称为发散的（divergent）。（而且要能定义极限还需要距离来比较远近）

## 正式定义

$(A,\,\circ)$ 是个交换群，对于定义在 $A$ 上的序列 ${\{a_i \in A\}}_{i \in \N}$，存在唯一的序列 ${\{s_n \in A\}}_{n \in \N}$满足：

(1) $s_1 = a_1$

(2) 对所有正整数 $n \in \N$， $s_{n + 1} = s_n \circ a_{n + 1}$

这个唯一存在的序列被称为 ${\{a_i \in A\}}_{i \in \N}$ 的级数（series）。

也就是说，只要 $A$ 上有定义一种有交换律的“运算”，那定义在 $A$ 的序列${\{a_i \in A\}}_{i \in \N}$都可以“取和”，而它的“部分和”可以构成某个唯一的序列${\{s_n \in A\}}_{n \in \N}$。也就是说，一般会将 $\circ$ 视为加法“$+$”，而将$s_n$更加直观的记为：

$$s_n = a_1 + \ldots + a_n$$

然后把$s_n$直观地称为部分和。

通常会做以下的符号定义：

$$\sum^{n}_{j = 1} a_j := s_n$$

而将 ${\{s_n \in A\}}_{n \in \N}$ 记为 ${\left\{\sum^{n}_{j = 1} a_j \right\}}_{n \in \N}$甚至是更直观的 $\sum^{n}_{j = 1} a_j$

### 有穷级数

以上定义的级数，在直观上被理解成“无穷级数”（infinite series）；但所谓的“有穷序列”，也只是从某个正整数 $m \in \N$ 开始，只要正整数 $i \geq m$ 就有 $a_i = 0_A$ （$(A,\,\circ)$的单位元，可直观理解成一般加法的“零”）。所以“有穷序列”取部分和而得到的“有穷级数”（finite series），事实上包含在上述定义中；换句话说，有穷级数是对从某项 $m \in \N$ 开始为零的特殊序列取部分和得到的，所以不管怎么加，部分和最大都只能到 $\sum^{m}_{j = 1} a_j$。

## 无穷级数的敛散性

对于级数$\sum_{n=1}^\infty u_n$，如果当$n$趋于正无穷大时，$s_n$趋向一个有限的极限：$s=\lim_{n\to\infty}s_n$，那么这个无穷级数就叫做是收敛的，$s$叫做级数$\sum_{n=1}^\infty u_n$的和。如果极限不存在，这个无穷级数就是发散的。收敛的无穷级数存在唯一的一个和$s$。这时可以定义级数$\sum u_n$的余项和：$R_n=S-S_n$。

### 任意项级数

如果级数$\sum_{n=1}^\infty u_n$中的各项可以是正数，负数或零，则级数$\sum_{n=1}^\infty u_n$称为任意项级数。

将任意项级数各项$u_n$取绝对值，得到正项级数。

$$\sum_{n=1}^\infty |u_n|=|u_1|+|u_2|+|u_3|+\cdots+|u_n|+\cdots$$

### 条件收敛

如果任意项级数$\sum_{n=1}^\infty u_n$收敛，而级数$\sum_{n=1}^\infty |u_n|$发散，则称级数$\sum_{n=1}^\infty u_n$条件收敛。

### 绝对收敛

如果级数$\sum_{n=1}^\infty |u_n|$收敛，则称级数绝对收敛

定理：如果任意项级数$\sum_{n=1}^\infty u_n$的各项的绝对值所组成的正项级数$\sum_{n=1}^\infty |u_n|$收敛，则级数$\sum_{n=1}^\infty u_n$收敛。

证明：

令 ::::$a_n=\frac{1}{2}(|u_n|+u_n),b_n=\frac{1}{2}(|u_n|-u_n)$ ::于是，有 ::::$0\le a_n\le|u_n|,0\le b_n\le|u_n|$ ::因为$\sum_{n=1}^\infty a_n$,$\sum_{n=1}^\infty b_n$均为正项级数，且$\sum_{n=1}^\infty |u_n|$收敛，由比较审敛法知，级数$\sum_{n=1}^\infty a_n$和$\sum_{n=1}^\infty b_n$收敛。:::又因为$\sum_{n=1}^\infty u_n=\sum_{n=1}^\infty (a_n-b_n)$,所以由级数的定义可得，级数$\sum_{n=1}^\infty u_n$收敛。该定理表明，如果级数$\sum_{n=1}^\infty u_n$绝对收敛，则级数$\sum_{n=1}^\infty u_n$必收敛。

## 收敛级数的性质

- 若一个无穷级数$\sum u_n \ : \ u_1+u_2+u_3+ \cdots +u_n+ \cdots$收敛，其和为$s$，则如果每一项乘以一个常数$a$，得到的级数$\sum a u_n : \ au_1+au_2+au_3+\cdots+au_n+\cdots$也收敛，且和等于as。
- 收敛的无穷级数可以逐项相加或相减，如有两个无穷级数：

$\sum_{n=1}^\infty u_n = s$和 $\sum_{n=1}^\infty v_n = t$，则

$\sum_{n=1}^\infty (u_n \pm v_n) =s \pm t$.

- 级数前面加上有限项或减去有限项不影响其敛散性，如：

$s=u_1+u_2+u_3+\cdots+u_n+\cdots$和 $s=u_{12}+u_{15}+u_{16}+u_{17}+\cdots+u_n+\cdots$

这两个级数的敛散性是一样的。

- 当$n$趋向无限大时，任何一个收敛级数的通项都趋于0：$\lim_{n\to\infty}u_n=0$
- 在一个完备空间中，也可以运用柯西收敛的准则来判断级数是否收敛：一个无穷级数$\sum_{n=1}^ {+ \infty} u_n$收敛的充要条件是，对任意$\epsilon > 0$，总存在$N_ 0 > 0$，使得任意的$n > m > N_ 0$，$|s_n - s_m|=|\sum_{k=m+1}^n u_{k}|=|u_{m+1}+u_{m+2}+\cdots+u_{n}| < \epsilon$。

## 无穷级数的研究历史

将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自14世纪印度的马德哈瓦。他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理逼近以及无穷连分数做了研究。他发现了正弦、余弦、正切函数等的泰勒展开，还用幂级数计算了 π 的值。他的学生继承和发展了他关于级数的工作。

17世纪，詹姆斯·格里高利也开始研究无穷级数，并发表了若干函数的麦克劳林展开式。1715年，布鲁克·泰勒提出了构造一般解析函数的泰勒级数的方法。18世纪时欧拉又发展了超几何级数和q-级数的理论。

### 对审敛法的研究

14世纪时，马德哈瓦已经开始讨论判别无穷级数敛散性的方法。他提出了一些审敛的准则，后来他的学生将其推广。

然而在欧洲，审查无穷级数是否收敛的研究一般被认为是从19世纪由高斯开始的。他于1812年发表了关于欧拉的超几何级数

$$1 + \frac{\alpha\beta}{1\cdot\gamma}x + \frac{\alpha(\alpha+1)\beta(\beta+1)}{1 \cdot 2 \cdot \gamma(\gamma+1)}x^2 + \cdots$$

论文，提出了一些简单的收敛准则，并对余项和以及收敛半径进行了讨论。

柯西提出了严格的审敛法的重要性，他证明了两个收敛级数的乘积不一定是收敛的，同时开始研究严格的审敛准则。欧拉和高斯各自给出了各种审敛法则。柯西更研究了复函数的幂级数展开。

1826年，阿贝尔在他的关于二项式级数

$$1 + \frac{m}{1}x + \frac{m(m-1)}{2!}x^2 + \cdots$$

论文中更正了柯西的若干个结论，并给出了二项式级数的严格的求和方法，指出了连续性在收敛问题中的重要性。

柯西提出的审敛法并不是普遍适用的，只能用于判别某些特定函数的敛散性。同时代的其他数学家，比如拉贝（Joseph Ludwig Raabe）的对数判别法，德·摩根的对数判别法（被 DuBois-Reymond和普林斯海姆证明对某些函数失效）

以及贝特朗、斯托克斯、切比雪夫等人的审敛法也是如此。

对普遍的审敛法则的研究由恩斯特·库默尔开始，之后的艾森斯坦、维尔斯特拉斯、尤里斯·迪尼等都曾致力于这一领域。普林斯海姆于1889年发表的论文阐述了完整的普适审敛理论。

### 对一致连续性的研究

1821年，柯西首先开始对一致连续性的研究，但其中有不少错误和局限。这些错误最早被阿贝尔指出，但首先得出正确结论的是西德尔和斯托克斯。1853年，柯西在注意到阿贝尔的批评后重新开展研究，并得到了与斯托克斯一样的结论。然而，一致连续性的重要性在很长一段时间里没有受到重视。

## 类别

更多级数请参见级数列表。

### 几何级数

几何级数（或等比级数）是指通项为等比数列的级数，比如：

$$1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2^n}=2$$

一般来说，几何级数$\sum_{n=0}^\infty z^n$收敛当且仅当$\left \vert z \right \vert < 1$。

### 调和级数

调和级数是指通项为${1 \over n}$的级数：

$$1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}$$

它是发散的。

### $p$-级数

$p$-级数是指通项为$\frac{1}{n^p}$的级数：

$$U_p =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}$$

对于实数值的$p$，当$p>1$时收敛，当$p\leq 1$时发散。这可以由积分比较审敛法得出。

函数$\zeta : p \mapsto U_p$是黎曼ζ函数在实轴大于1的部分的限制，关于黎曼$\zeta$函数有著名的黎曼猜想。

特别地，当$p=1$时，$p$-级数即为调和级数。

### 裂项级数

$$\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})$$

收敛当且仅当数列$b_n$收敛到某个极限$L$，并且这时级数的和是$b_1-L$。

### 泰勒级数

泰勒级数是关于一个光滑函数$f$在一点$a$附近取值的级数。泰勒函数由函数在点$a$的各阶导数值构成，具体形式为：

$$\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}$$

这是一个幂级数。如果它在$a$附近收敛，那么就称函数$f$在点$a$上是解析的。

### 交错级数

具有以下形式的级数

$$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\!$$

其中所有的$a_n$非负，被称作交错级数。交错级数的收敛通常要借助莱布尼茨判别法。

### 幂级数

形同$\sum a_n (x- x_0)^n$的函数项无穷级数称为$x- x_0$的幂级数。它的收敛与否和系数$a_n$有关。

### 傅里叶级数

任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，称为傅里叶级数。傅里叶级数是函数项无穷级数，也就是说每项都是一个函数。傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

例如，周期为$2 \pi$的周期函数$f(x)$可以表示为：

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx +b_n \sin nx), n=1, 2, 3, \ldots$$

其中，$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx dx$，$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx dx$，特别的，$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$

## 常数项无穷级数审敛法

### 正项级数

若通项为实数的无穷级数$\sum u_n$每一项$u_n$都大于等于零，则称$\sum u_n$是一正项级数。

如果无穷级数 $\sum u_n$ 是正项级数，则部分和$S_n$是一个单调递增数列。由数列极限的判别准则：单调有界数列必有极限。因此，倘若部分和数列Sn有界，$\sum u_n$收敛，且$\lim_{n \to \infty}S_n =s$ ;反之，若部分和数列趋于正无穷，级数发散。

#### 比较判别法

设$\sum u_n$ 和 $\sum v_n$是正项级数。

如果存在正实数$M$，使得从若干项开始，$u_n \le Mv_n$（也就是说$u_n = O_{\infty} (v_n)$），则

- 当$\sum v_n$ 收敛时，可推出 $\sum u_n$ 也收敛。
- 当$\sum u_n$ 发散时，可推出 $\sum v_n$ 也发散。

如果$\lim_{n \to \infty}{u_n \over v_n} =0$，则

- 当$\sum v_n$ 收敛时，可推出 $\sum u_n$ 也收敛。
- 当$\sum u_n$ 发散时，可推出 $\sum v_n$ 也发散。

如果$\lim_{n \to \infty}{u_n \over v_n} =1$或其它有限数，则$\sum v_n$ 和$\sum u_n$ 同时收敛或发散。

比如，我们已知级数：$\sum {1 \over n^2}$收敛，则级数：$\sum {|\sin n | \over n^2}$也收敛，因为对任意的$n$，$\sin n \le 1$。

比较判别法的特点是要已知若干级数的敛散性。一般来说，我们可以选择比较简单的级数：$U_p =\sum {1 \over n^p}$作为“标准级数”，依此判断其他函数的敛散性。需要知道的是当$p \le 1$时，$U_p$发散，当$p > 1$时，$U_p$收敛。

#### 达朗贝尔判别法

在比较判别法中，如果取几何级数为比较的标准级数，可得：

设$\sum u_n$是通项大于零的正项级数。并且$\lim_{n \to \infty} {u_{n+1} \over u_n}= p$，则

- 当$p < 1$ 时，级数$\sum u_n$收敛。
- 当$p > 1$ 时，级数$\sum u_n$发散。
- 当$p = 1$ 时，级数$\sum u_n$可能收敛也可能发散。

这个判别法也称为比值判别法或比值审敛法。

#### 柯西收敛准则

设 $\sum u_n$ 是正项级数。并且$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = p$，则

- 当$p < 1$时，级数 $\sum u_n$ 收敛。
- 当$p > 1$时，级数 $\sum u_n$ 发散。
- 当$p = 1$时，级数 $\sum u_n$ 可能收敛也可能发散。

这个判别法也称为根值判别法或根值审敛法。

### 交错级数

具有以下形式的级数

$$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\!$$

其中所有的$a_n$非负，被称作交错级数。

#### 莱布尼茨判别法

在上述的级数$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\!$中，如果当$n$趋于无穷时, 数列$a_n$的极限存在且等于 0，并且每个$a_n$小于$a_{n-1}$（即, 数列$a_n$是单调递减的），那么级数收敛。

### 任意项级数

对于通项为任意实数的无穷级数$\sum u_n$，将级数$\sum |u_n|$称为它的绝对值级数。可以证明，如果$\sum |u_n|$收敛，那么 $\sum u_n$也收敛，这时称 $\sum u_n$绝对收敛。如果$\sum u_n$收敛，但是$\sum |u_n|$发散，则称$\sum u_n$条件收敛。比如说，级数$\sum {\sin n \over n^2}$绝对收敛，因为前面已经证明 $\sum {| \sin n | \over n^2}$收敛。而级数$\sum {(-1)^n \over n}$是条件收敛的。它自身收敛到$\ln {1 \over 2}$，但是它的绝对值级数$\sum {1 \over n}$是发散的。

黎曼级数定理说明，如果一个无穷级数$\sum u_n$条件收敛，那么对于任意的实数$x$，存在一个正整数到正整数的双射$\sigma$，使得级数$\sum u_{\sigma(n)}$收敛到 $x$。对于正负无穷大，上述双射也存在。

## 函数项级数

设$(u_n (x))_{n \ge 0}$为定义在区间$\mathcal{I}$上的函数列，则表达式：$u_1 (x) + u_2 (x) + \cdots + u_n (x) + \cdots$称为函数项级数，简记为$\sum u_n (x)$。对函数项级数的主要研究是：

- 确定对哪些$x$，$\sum u_n (x)$收敛。
- $\sum u_n (x)$收敛的话，其和是什么，有什么性质？

### 收敛域

对区间$\mathcal{I}$上的每个 $x_0$，级数 $\sum u_n (x_0)$是常数项级数。若$\sum u_n (x_0)$收敛，则称$x_0$是$\sum u_n (x)$的一个收敛点，$\sum u_n (x)$全体收敛点的集合称为它的收敛域。若$\sum u_n (x_0)$发散，则称$x_0$是$\sum u_n (x)$的一个发散点，$\sum u_n (x)$全体发散点的集合称为它的发散域。$\sum u_n (x)$在其收敛域的每一点上都有定义，因此定义了一个函数，称为$\sum u_n (x)$的和函数，记为$S(x)$。按照定义，$S(x_0) = \lim_{n \to \infty} S_n(x_0)$，其中$S_n(x_0) = u_1 (x_0) + u_2 (x_0) + \cdots + u_n (x_0)$为函数项级数在$x_0$点上的部分和。

### 一致收敛

函数项级数的取值可以在它的收敛域上用和函数定义，但和函数的性质可能会和级数的每一项不同。比如说，当函数项级数$\sum u_n (x)$中的每一项$u_n (x)$在收敛域上都是连续函数时，和函数未必会是连续函数。以下是一个例子：

设$\displaystyle u_n (x) = x^n - x^{n+1}$，也就是说$\displaystyle u_0 (x) = 1 - x$，$\displaystyle u_1 (x) = x - x^2$等等，它们显然都是连续函数（甚至是光滑函数）。这时函数项级数在$x$ 点上的部分和$S_n(x) = \sum_{k=0}^n (x^k - x^{k+1}) =1 - x^{n+1}$。在区间$[0, 1]$的每一点上，部分和都有极限：

当$x \neq 1$时，$S_n(x) \rightarrow 1$

当$\displaystyle x = 1$时，$S_n(x) \rightarrow 0$

于是在区间$[0, 1]$上，级数$\sum u_n (x)$ 收敛，其和函数$S(x)$为：

当$0 \le x < 1$时，$S(x) = 1$；$S(1) = 0$。

这不是一个连续函数。

然而，如果函数项级数能够满足某些更严格的条件的话，可以证明级数的和函数的规则性将会等于每一项函数的规则性，这就是所谓的一致收敛性质。和函数列的一致收敛性质一样，函数项级数$\sum u_n (x)$在某个区间$\mathcal{I}$内（关于某个范数$\left \| \cdot \right \|$）一致收敛的定义是它的部分和函数$S_n$ 在区间$\mathcal{I}$上一致收敛到和函数$S$。

$$\lim_{n \rightarrow \infty } \left \| S - S_n \right \|_{\mathcal{I}} = 0$$

或者写成$\lim_{n \rightarrow \infty } \left \| \sum_{k=n}^{\infty} u_k \right \|_{\mathcal{I}} = 0$

可以证明：

如果级数$\sum u_n (x)$ 在区间$\mathcal{I}$ 内一致收敛，并且每个$u_n (x)$ 都是连续函数，那么和函数$S$ 在区间$\mathcal{I}$ 上也是连续函数。

进一步的，如果导函数级数的每一项都是$\mathcal{C}^p$函数（$p$阶连续可微函数），并且各阶导函数级数$\sum u_n (x), \sum u_n^{(1)} (x), \sum u_n^{(2)} (x), \ldots, \sum u_n^{(p)} (x)$在区间$\mathcal{I}$内都一致收敛，那么级数和函数$S(x) = \sum u_n (x)$ 也是$\mathcal{C}^p$函数，并且：

$\forall 0 \le i \le p$，$S^{(i)}(x) = \sum u_n^{(i)} (x)$。

### 绝对收敛

函数项级数也有绝对收敛的概念。对于某个给定的区间$\mathcal{I}$和范数$\left \| \cdot \right \|_{\mathcal{I}}$，函数项级数$\sum u_n (x)$在区间$\mathcal{I}$内绝对收敛，当且仅当常数级数$\sum \left \| u_n \right \|_{\mathcal{I}}$收敛。

绝对收敛的（连续？）函数在每一点都收敛，并且在区间$\mathcal{I}$内一致收敛。

### 幂级数

形同$\sum a_n (x- x_0)^n$的函数项无穷级数称为$x- x_0$的幂级数。一般只需讨论形同$\sum a_n x^n$的幂级数。

#### 幂函数的收敛域

根据阿贝尔定理，它的收敛域是一个关于零对称的区间，即为$( -R,R )$（可开可闭）的形式。这个正数$R$（可以是无穷大）叫做幂级数的收敛半径。并有定理：

设幂级数$\sum a_n x^n$满足$\lim_{n \to \infty} {a_{n+1} \over a_n} = \rho$，则：

- $\rho$是正实数时，$R = {1 \over \rho}$。
- $\rho = 0$时，$R = \infty$。
- $\rho = \infty$时，$R = 0$。

#### 幂级数的和函数

求解幂级数的和函数有时需要利用先对各项积分（或求导）以得到一个方便利用已有公式进行求和的形式，在求和后在对各项求导（或积分）。

## 渐进级数

渐进级数是用来对某些函数的间断点附近的情况进行逼近的级数。渐进级数一般是发散的，它的部分和趋于无穷大，因此可以很好地逼近一个趋于无穷大的函数。但要注意的是，渐进级数提供的逼近是相对的，即只是比值趋于一致，与函数值之间的误差并不像收敛的级数一样趋于无穷小。一般来说，渐进级数在若干项后便达到最小的绝对误差，之后的绝对误差一般会增大甚至趋于无穷。

## 发散级数的和

发散级数的部分和没有极限，但是在应用中可以使用比较弱的级数和定义，比如切萨罗求和、阿贝尔求和、拉马努金求和以及欧拉求和

## 推广

级数的概念可以在任何的对称拓扑群中定义，常用的是在一个巴拿赫空间（比如实数或复数空间）中。