距离

距离是对两个物体或位置间相距多远的数值描述，是个不具方向性的纯量，且不为负值。

在物理或日常使用中，距离可以是个物理长度，或某个估算值，指人、动物、交通工具或光线之类的媒介由起点至终点所经过的最短路径长。

在数学里，距离是个称之为度量的函数，为物理距离这个概念之推广。度量是个函数，依据一组特定的规则作用，且有具体的方法可用来描述一些空间内的元素互相“接近”或“远离”。除了欧氏空间内常见的距离定义外，在图论与统计学等数学领域里，亦存在其他的“距离”概念。在大多数的情形下，“从$A$至$B$的距离”与“从$B$至$A$的距离”的意义是相同的。

## 两点间的距离公式

### 欧几里得距离

在解析几何里，xy-平面上两点的距离可使用距离公式求得。

$$d=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.\,$$

同样地，给定三维空间里的两个点$(x_1,y_1,z_1)$ 与$(x_2,y_2,z_2)$。

$$d=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.$$

这些公式可以很容易地透过建构直角三角形，并利用勾股定理来导出。在平面上，可取得平行于座标轴的两股长求出斜边长；在三维空间里，可由垂直于平面的一股与将第一个直角三角形的斜边作为另一股来求解。在研究复杂的几何时，此类距离称之为欧几里得距离，因为此类距离用到的勾股定理，于非欧几何内并不成立。此一距离公式亦可延伸用来取得弧长公式。

### 其他范数

在欧氏空间$\mathbb{R}^n$里，两点间的距离通常由欧几里得距离（2-范数距离）所给出。不过，有时也会使用由其他范数导出之距离。

对于点$(x_1,x_2,\ldots,x_n)$与点$(y_1,y_2,\ldots,y_n)$，p阶明可夫斯基距离（p-范数距离）定义为：

1-范数距离｜$= \sum_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|$

2-范数距离｜$= \left( \sum_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|^2 \right)^{1/2}$

p-范数距离｜$= \left( \sum_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|^p \right)^{1/p}$

无限范数距离｜$= \lim_{p \to \infty} \left( \sum_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|^p \right)^{1/p}$

$$= \max \left(|x_1 - y_1|, |x_2 - y_2|, \ldots, |x_n - y_n| \right).$$

p 不一定要是整数，但不可以小于 1，不然三角不等式不会成立。

2-范数距离为欧几里得距离，是勾股定理在两维以上空间之推广。2-范数距离为两个点间使用直尺量测时所得之数值，为距离的“直观”概念。

1-范数距离亦称为“计程车范数”或曼哈顿距离，因为此一距离为汽车在以方形规划（且假设无单行道）的城市里驾驶之距离。

无限范数距离亦称为切比雪夫距离。在二维空间里，为国王在棋盘上的两个方块间移动所需之最少步数。

p-范数很少使用 1、2 与无限大以外的值，但可见于超椭圆内。

在物理空间里，欧几里得距离是最自然的形式，因为刚体的长度于此一距离下不会因旋转而改变。

### 距离的变分法公式

在空间内，两个点 $A = \vec{r}(0)$ 与 $B = \vec{r}(T)$ 间的欧几里得距离可写成变分法的形式，其距离为下列积分的最小值：

$$D = \int_0^T \sqrt{\left({\partial \vec{r}(t) \over \partial t}\right)^2} \, dt$$

其中，$\vec{r}(t)$为两点间的轨迹（路径）。积分的值$D$表示该轨迹之长度。两点间的距离为该积分的最小值，且会在$r = r^{*}$时求得，其中的$r = r^{*}$为最佳轨迹。在熟悉的欧氏空间里，该最佳轨迹为一直线。每个人都知道，两点间的最短距离为直线。直线在形式上可透过解上式之欧拉-拉格朗日方程式求得。在非欧流形（弯曲空间）里，该空间的性质可使用度量张量$g_{ab}$来表示，而被积的函数则需修改为$\sqrt{g^{ac}\dot{r}_c g_{ab}\dot{r}^b}$。须注意，上式使用了爱因斯坦求和约定。

## 推广至更高维物件

两个物件间的欧几里得距离亦可推广至两个物件不再是个点，而是更高维之流形（如曲线）的情形，所以除了谈论两点间的距离外，亦可讨论两条线间的距离之类的概念。

### 集合间及一点与一集合间之距离

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物体间可以有不同的距离定义。例如，天体间的距离即有表面间距离与中心间距离两种。近地轨道的物体适用前者，并以高度标示该物体与地球表面的距离；其他如地球与月球间之距离，则适用后者。

两个非空集合间之距离的常见定义如下：

- 两个非空集合间的距离为两者内各自的点之间的距离之下确界，这是距离这一词在日常中的含义，即

$$d(A,B)=\inf_{x\in A, y\in B} d(x,y).$$

此类距离是个对称预度量。若两个集合有部分接触或重叠，即不是“可分”的，因为这两个不同但接触或重叠的集合之距离为零。此外，该距离亦不满足三角不等式。因此，只有在某些特殊情况下，此类距离才能构成度量空间。

- 郝斯多夫距离是先取一集合内的点至另一集合各个点之距离的下确界，再取这些距离之上确界所得到的值，与两个集合互换所得之值的最大值。亦即，令$X$与$Y$为度量空间$(M.d)$内的子集。

$$d_{\mathrm H}(X,Y) = \max\{\,\sup_{x \in X} \inf_{y \in Y} d(x,y),\, \sup_{y \in Y} \inf_{x \in X} d(x,y)\,\}\mbox{.} \!$$

此类距离会构成度量空间的一非空紧致子集，该子集亦会是个度量空间。

### 点线面间的距离公式

在点、直线与平面之间的距离多采上述的第一种定义。这些物件在笛卡儿座标系下的距离公式列举如下：

#### 点到直线的距离

若在平面坐标几何上的直线定义为$ax+by+c=0$，点的座标为$(x_0,y_0)$。

$$d = \frac{\left|ax_0 + by_0 + c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

#### 异面直线间的距离

设两直线的方程分别为：

$$\frac{x-x_1}{L_1} = \frac{y-y_1}{M_1} = \frac{z-z_1}{N_1}$$

$$\frac{x-x_2}{L_2} = \frac{y-y_2}{M_2} = \frac{z-z_2}{N_2}$$

则，该两直线间的距离

$$d = \left| \frac{\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ L_1 & M_1 & N_1 \\ L_2 & M_2 & N_2 \end{vmatrix}} {\sqrt{ \begin{vmatrix} M_1&N_1 \\ M_2&N_2 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} N_1&L_1 \\ N_2&L_2 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} L_1&M_1 \\ L_2&M_2 \end{vmatrix}^2 }} \right|$$

#### 点到平面的距离

若点坐标为$(x_0,y_0,z_0)$，平面为$Ax+By+Cz+D=0$。

$$d = \frac{\left|Ax_0+By_0+Cz_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

#### 两平行直线

若直线分别为$ax+by+c_1=0$，和$ax+by+c_2=0$。

$$d = \frac{\left|c_1-c_2\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

#### 两平行平面间的距离

若两平行平面分别为$Ax+By+Cz+D_1=0$和$Ax+By+Cz+D_2=0$。

$$d = \frac{\left|D_1-D_2\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

### 广义距离泛函

当需要处理的新物件为更广义的物件（不再只是个点）时，不可扩展性、曲率限制与非局部互动等额外概念需要被加入距离的概念之内。两个流形间的距离为一纯量，可由最小化广义距离泛函（表示两个流形间的转换）而导出：

$$\mathcal {D} = \int_0^L\int_0^T \left \{ \sqrt{\left({\partial \vec{r}(s,t) \over \partial t}\right)^2} + \lambda \left[\sqrt{\left({\partial \vec{r}(s,t) \over \partial s}\right)^2} - 1\right] \right\} \, ds \, dt$$

上面的二重积分是两个聚合物结构间的广义距离泛函。$s$是空间参数，$t$是伪时间（轨迹参数）。亦即，$\vec{r}(s,t=t_i)$ 为时间 $t_i$ 时的聚合物结构，且以$s$作为其线段之参数。类似地，$\vec{r}(s=S,t)$ 则为无限小之线段由结构 $\vec{r}(s,0)$ 转换成结构 $\vec{r}(s,T)$ 的轨迹。其中的$\lambda$为拉格朗日乘数，用来确保聚合物的长度在转换的过程中维持不变。若两个聚合物不可扩展，则两者间之转换最小距离不会只有直线运动，即使是在欧几里得度量之上。此类广义距离可适用于蛋白质折叠的问题上。此类广义距离可类比弦论里的南部-后藤作用量，但无法完全地对应，因为三维空间里的欧几里得距离不等价于古典相对论弦中最小化的时空距离。

## 一般度量

在数学里，集合$M$上的距离函数为一函数$d:M\times M\rightarrow R$，其中$R$为实数集，且满足下列条件：

- $d(x,y)\geq 0$，且$d(x,y)= 0$当且仅当$x=y$。（两个不同的点间之距离为正值，且仅在同个点间的距离为零。）
- $d(x,y)=d(y,x)$。（对称性：不论方向为何，距离不变。）
- $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$。（三角不等式：两点间的距离是所有路径里的最短距离。）

此一距离函数称之为度量。具有度量之集合，称为度量空间。

举例而言，两个实数$x$与$y$间的距离通常定义为：$d(x,y)=\left \vert x-y \right \vert$。此一定义满足上述三个条件，且会对应至实数线上的标准拓扑。不过，集合上的距离是可选择的，例如下面的定义：$d(x,y)=0$，若$x=y$，否则为 1。此一定义亦符合度量的三个条件，但会形成一个完全不同的拓扑，称之为“离散拓扑”；在此一定义里，数字间无法随意地接近。

### 图论

在图论里，两个顶点间的距离为这些顶点间最短路径之长度。

## 其他“距离”

下面为名称中带有“距离”的名词：

- 堪培拉距离
- 切比雪夫距离
- 能量距离，为统计观测量间的距离函数
- 汉明距离与李距离，用于编码理论中
- KL距离，用来量测两个几率分布间的差异
- 编辑距离
- 马氏距离，用于统计学里。

## 参见

、天文学单位系统、同移距离、宇宙距离尺度、距离 (图论)、距离几何问题、距离测量 (宇宙学)、戴克斯特拉算法、距离矩阵、测距仪、公差 (工程学)、大圆距离、位移、长度 ｜、汉明距离、李距离、度量、度量空间、里程碑、数量级 (长度)、静止长度、空间行为学 - 人与人之间的距离、有号距离函数、曼哈顿距离、轨迹、运价里程