群作用

数学上，对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的：群的每个元素作为一个双射（或者对称作用）作用在某个集合上。在这个情况下，群称为置换群（特别是在群有限或者不是线性空间时）或者变换群（特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时）。一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示（通常该集合有限），并且可以表述为置换矩阵，一般在有限的情形作此考虑－这和作用在有序的线性空间基上是一样的。

## 定义

令 $G$ 为一个群， $X$ 为一个集合， $G$ 在 $X$ 上的一个(左) 群作用 $\alpha$ 是一个二元函数

$$\alpha : G \times X \rightarrow X$$

该函数满足如下两条公理：

- 对所有 $g, h \in G$ 以及 $x \in X$，$\alpha(g h, x) = \alpha(g, \alpha(h, x))$。
- 对每个 $x \in X$，有 $\alpha(e, x) = x$ ( $e$ 为群 $G$ 的单位元)。

一般称群 $G$ （在左边）作用于集合 $X$ 上，或称 $X$ 是一个 $G$-集合。

为简化在群作用 $\alpha$ 上使用的符号，我们可以将其柯里化：令 $\alpha_g : X \rightarrow X$ 为由单个元素 $g$ 给出的映射 $x \mapsto \alpha(g, x)$，这样可以通过考虑函数集 $\{\alpha_g \mid g \in G\}$ 来研究群作用。上述两条公理可以写作

- $$\alpha_e(x) = x$$
- $$\alpha_g(\alpha_h(x)) = (\alpha_g \circ \alpha_h)(x) = \alpha_{gh}(x)$$

其中 $\alpha_g \circ \alpha_h$ 表示两函数的复合。所以第二条公理说明函数的复合可以与群运算互相对应，它们可以组成一个交换图表。该公理甚至可以简写为 $\alpha_g \circ \alpha_h = \alpha_{gh}$。

$\alpha(g, x)$ 一般简写为 $g \cdot x$ 或 $gx$。

由上述两条公理可知，对固定的元素 $g \in G$，从$X$映射到$X$ $x \mapsto g \cdot x$ 是一个双射（单射和满射的条件可以分别通过考虑 $g^{-1}$ 和 $e$ 给出）。因此，也可以将 $G$ 在 $X$ 上的群作用定义为从 $G$ 到对称群上$S_{X}$ 的群同态。

### 右群作用

我们可以类似地定义一个 $G$ 在 $X$ 上的右群作用为函数$X \times G \rightarrow X$，满足以下公理：

- $$x \cdot (g h) = (x \cdot g) \cdot h$$
- $$x \cdot e = x$$

注意左和右作用的区别仅在于像 $gh$ 这样的积在 $x$ 上作用的次序。左群作用中， $h$ 先作用，然后才到 $g$，而对于右作用 $g$ 先作用，然后才到 $h$。右作用与群上的逆操作复合可以构造出一个左作用。如果 $r$ 为一右作用，则

$$l : G \times M \to M : (g, m) \mapsto r(m, g^{-1})$$

是一左作用，因为

$$l(gh, m) = r(m, (gh)^{-1}) = r(m, h^{-1}g^{-1}) = r(r(m, h^{-1}), g^{-1}) = r(l(h, m), g^{-1}) = l(g, l(h, m))\,$$

而

$$l(e, m) = r(m, e^{-1}) = r(m, e) = m\,$$

所以我们可以不失一般性地考虑左群作用。

## 群作用的种类

群G作用在集合X上的作用称为:

递移性(Transitive):如果X是一个非空集合，对于每对数对 x,y $\in$ X，则存在一个g$\in$G，使得$g \cdot x = y$，我们就称此作用为递移性。

忠实性(Faithful):如果群G嵌入(embbeding)到X的置换群中，我们就称此作用为忠实的。换言之，就是群G到X的置换群之中为单射。

自由性(Free):如果给定 $g, h\in G$，存在$x \in X$，则有着$g {\cdot}x=h{\cdot}x {\;\;}{\Rightarrow}\;\;\; g=h$，则称为此作用为自由性。

正则的(Regular):同时具有自由性以及递移性的作用称为正则的，又称简单递移（simply transitive）。

n-递移性(n-transitive):如果集合X 至少有 n 个元素, 对所有不同的元素x1, ..., xn 和所有不同的y1, ..., yn, 存在一个 g 在群G 使得 g⋅xk = yk 对所有 1 ≤ k ≤ n，我们就称其为n-递移性。

本原的(Primitive):如果递移性作用满足只有trivial区块(block)，那我们称此作用为本原的。可以证明n-递移性皆为本原的。

## 轨道与稳定化子

### 轨道

令群 $G$ 作用在集合 $X$ 上，对 $X$ 中的元素 $x$， $x$ 在 $G$ 上的轨道是 $X$ 的子集，定义为

$$\{g \cdot x \mid g \in G\}$$

记作 $G \cdot x$ 或 $Gx$。

集合 $X$ 的两个轨道要么相等，要么完全不相交，因此轨道是集合的一个划分。如果两个轨道 $G \cdot x$ 和 $G \cdot y$ 存在公共元素 $a$，那么存在两个 $G$ 中的元素 $m$ 和 $n$，使得 $a = m \cdot x \in G \cdot x$， $a = n \cdot y \in G \cdot y$。因而 $x = m^{-1} \cdot a = m^{-1}n \cdot y \in G \cdot y$，反之亦可推出 $y = n^{-1} \cdot a = n^{-1}m \cdot x \in G \cdot x$，所以两个集合相等。

轨道的一个例子是陪集，假若 $H$ 是$G$ 的一个子集，且定义 $G$ 中元素的惯常运算规则为 $H$ 在$G$ 上的一个作用，那么 $H$ 的陪集 $aH$ ($a \in G$)就是 $a$ 的轨道。

### 不变子集

令 $S$ 为 $X$ 的一个子集，群 $G$ 作用在 $X$ 上，对于群 $G$ 中的所有元素 $g$，以及所有 $S$ 中的元素 $s$，有 $g \cdot s \in S$，则我们会说 $S$ 在 $G$ 的作用下是封闭的。

若$x$是$\mathrm{X}$的一个元素，对于群$\mathrm{G}$中的所有元素$g$而言，都有$g \cdot x = x$，那么就称$x$是$\mathrm{G}$-不变的（$\mathrm{G}$-invariant）。

### 不动点与稳定子群

令 $g \in G$ 和 $x \in X$，如果 $g \cdot x = x$，则 $x$ 是关于 $g$ 的一个不动点。

对 $X$ 的元素 $x$，所有令 $g \cdot x = x$ 的 $G$ 中的元素 $g$ 构成的集合称为 $G$ 关于 $x$ 的稳定子群，记作 $G_x$ 或 $Stab_G(x)$。

$G_x = \{g \in G \mid g \cdot x = x\}$。

$G_x$是$\mathrm{G}$的一个子群，因为根据定义$e \cdot x = x \in G_x$，因此 $G$ 的单位元 $e$ 在 $G_x$ 中。如果 $m \in G_x$，那么$m$的逆元$m^{-1}$也是$\mathrm{Gx}$的元素，因为$x = e \cdot x = m^{-1}m \cdot x = m^{-1} \cdot x$。

### 轨道－稳定点定理

轨道与稳定子群紧密相关。令群 $G$ 作用在 $X$ 上，令 $X$ 中的 $x$，考虑映射 $f : G \rightarrow X$， $g \mapsto g \cdot x$。该映射的值域等于轨道 $G \cdot x$。$G$ 中的两元素 $g$ 和 $h$ 的像 $f(g)$ 和 $f(h)$ 相同的条件是

$f(g) = f(h) \iff g \cdot x = h \cdot x \iff g^{-1} h \cdot x = x \iff g^{-1} h \in G_x \iff h \in g G_x$。

换言之， $f(g) = f(h)$ 当且仅当 $g$ 和 $h$ 在稳定子群 $G_x$ 的同一个陪集中。所以所有在轨道 $G \cdot x$ 中的元素 $y$ 的原像都包含于某个陪集中，每个陪集的像亦为 $X$ 的一个单元素集合。因此 $f$ 事实上是 $G_x$ 的所有陪集与 $X$ 的元素的一一对应， $f: G / G_x \rightarrow X$ 是一个双射函数。

这个结论称为轨道-稳定点定理，有

$$|G\cdot x|=[G:G_x]$$

### 伯恩赛德引理

而一个跟轨道-稳定点定理相似的结果就是伯恩赛德引理

$$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} |X^g|$$

其中 $X^g$ 是 $X$ 关于 $g$ 的稳定子群。$G$ 和 $X$ 都有限时该引理尤其重要，可以被诠释为“群作用的轨道数等于平均每个群元素的不动点的个数”。

## 范例

- 任意群G在任意集合X上的平凡的群作用定义为 g⋅x = x 对任意g属于G以及任意x属于X；换句话说，每个群元素对应 X上的恒等置换。