三段论

三段论在传统逻辑中，是在其中一个命题（结论）必然地从另外两个命题（叫做前提）中得出的一种推论。这个定义是传统的，可以宽松地从亚里士多德的《前分析》Book I, c. 1中推出来。希腊语“sullogismos”的意思是“演绎”。对传统意义上的三段论的详细描述参见直言三段论。

三段论由三个部分组成：大前提、小前提和结论。逻辑上，结论是于小前提之上应用大前提得到的。大前提是一般性的原则，小前提是一个特殊陈述。

在古代，存在两种相互竞争的三段论理论：亚里士多德式三段论（直言三段论）与斯多葛式三段论。自中世纪以降，“直言三段论”与“三段论”通常被视为同义。本条目关注的正是这一历史用法。三段论是历史上演绎推理的核心——透过组合既有陈述来确定事实，有别于归纳推理（即通过反复观察预测事实）。在部分学术语境中，三段论已被一阶谓词逻辑所取代，这主要归功于戈特洛布·弗雷格的工作，尤其是其1879年的著作《概念文字》。作为一种有效逻辑推理的方法，三段论在大多数情况下仍具有实用价值，并广泛用于面向普通读者的逻辑学与清晰思维入门教育。

## 正式定义

在数理逻辑里，三段论证可以能代表：(若 $\mathcal{A}$、 $\mathcal{B}$、 $\mathcal{C}$ 都为合式公式)

$$\mathcal{A} \Rightarrow \mathcal{B},\, \mathcal{B} \Rightarrow \mathcal{C} \vdash \mathcal{A} \Rightarrow \mathcal{C}$$

也就是一个元定理，事实上是演绎定理的直截结果。

但另一方面，若

$$\mathcal{A},\,\mathcal{B}\vdash\mathcal{C}$$

成立，则也会被称为以 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 为前提，$\mathcal{C}$ 为结论的三段论证。

## 范例

亚里士多德给出的经典的“Barbara”三段论：

如果所有人（M）都是必死的（D），（大前提）：$\forall x[M(x)\Rightarrow D(x)]$

并且所有希腊人（G）都是人（M），（小前提）：$\forall x[G(x)\Rightarrow M(x)]$

那么所有希腊人（G）都是必死的（D）。（结论）：$\forall x[G(x)\Rightarrow D(x)]$

严谨地说，这段论证宣称

$$\forall x[M(x)\Rightarrow D(x)],\,\forall x[G(x)\Rightarrow M(x)]\vdash \forall x[G(x)\Rightarrow D(x)]$$

这个论证会正确，是基于

$$\forall x \mathcal{A}\vdash \mathcal{A}$$

和

$$\mathcal{A} \Rightarrow \mathcal{B},\, \mathcal{B} \Rightarrow \mathcal{C} \vdash \mathcal{A} \Rightarrow \mathcal{C}$$

还有普遍化：（若变数$x$在$\Gamma$里的所有合式公式中，都不自由）

若 $\Gamma \vdash \mathcal{A}$，那就会有 $\Gamma \vdash \forall x\mathcal{A}$

另一方面，含常数符号(特殊个体)的例子如

所有人（M）都是必死的（D），（大前提）：$\forall x[M(x)\Rightarrow D(x)]$

苏格拉底（S）是人（M），（小前提）：$M(S)$

苏格拉底是必死的。（结论）：$D(S)$

上面的例子也可以抽换成

(所有)金属可以导电，（大前提）

铜是金属，（小前提）

铜可以导电。（结论）

## 历史

### 亚里士多德

亚里士多德对三段论的定义为：

“一种论述，在其中某些（特定的）事物被假定之后，由于这些事物之所是，某种不同于被假定事物的东西必然地得出。”

尽管这一定义极为宽泛，亚里士多德在《前分析篇》中仍将自身限定于由三个直言命题构成的直言三段论，包括直言模态三段论。

将三段论作为认知工具加以运用，可追溯至亚里士多德的逻辑推理讨论。在12世纪中叶以前，中世纪逻辑学家仅熟悉亚里士多德著作的部分内容，包括《范畴篇》和《论诠释》等，这些著作对当时盛行的“旧逻辑”（logica vetus）贡献良多。新逻辑（logica nova）的兴起，则伴随着《前分析篇》的重新面世——正是在这部著作中，亚里士多德建立了他的三段论理论。

《前分析篇》重被发现后，立即被逻辑学家视为“一套封闭而完整的学说体系”，几乎没有留给后人加以辩论和重组的空间。亚里士多德关于断言命题三段论的理论尤受推崇，这一概念在此后仅经历了细微的系统性调整。这套三段论理论直至14世纪中叶让·布里丹等人对逻辑学进行全面改造之后，才真正进入更为广泛的结果逻辑语境之中。

然而，《前分析篇》并未包含一套完善的模态三段论理论——所谓模态三段论，是指至少包含一个模态化前提（即含有“必然”、“可能”或“偶然”等模态词）的三段论。亚里士多德在这一方面的术语被认为含糊不清，在许多情况下甚至与他在《论诠释》中的某些陈述相矛盾。他在这一具体问题上的原始主张引发了大量讨论，各家注疏者提出了形形色色的解决方案。亚里士多德所建立的模态三段论体系最终被认定不适于实际应用，并被新的概念区分和新的理论所取代。

### 中世纪三段论

#### 波爱修斯

波爱修斯（约475–526年）致力于使古代亚里士多德逻辑更易为人所理解。尽管他的《前分析篇》拉丁译本在12世纪以前几乎未被采用，但他关于直言三段论的教科书对拓展三段论的讨论居功至伟。波爱修斯的逻辑学遗产并不在于他对该领域的个人贡献，而在于他有效地将早先的理论传递给了后世逻辑学家，并对亚里士多德的贡献作出了清晰而大体准确的阐述。

#### 彼得·阿伯拉尔

彼得·阿伯拉尔（1079–1142年）是拉丁西方中世纪逻辑学的另一位早期贡献者，他在《辩证法》（Dialectica）中——这是一部以波爱修斯的注疏与专著为基础的逻辑学论著——对三段论概念及其附随理论作出了深入的评述。他对三段论的见解亦见于其他著作，例如《逻辑学入门》（Logica Ingredientibus）。借助阿伯拉尔对指称模态命题（de dicto）与实质模态命题（de re）的区分，中世纪逻辑学家开始形成对亚里士多德模态三段论模型更为连贯的理解。

#### 让·布里丹

法国哲学家让·布里丹（约1300–1361年）被一些人视为中世纪晚期最重要的逻辑学家，他贡献了两部重要著作：《结果论》（Treatise on Consequence）与《辩证法大全》（Summulae de Dialectica），书中讨论了三段论的概念、组成部分与各种区分，以及扩展其逻辑能力的方法。布里丹之后长达200年间，三段论逻辑几乎无人问津。逻辑史学家评估认为，中世纪后期的主要变化在于：公众对原始文献的了解程度、对该逻辑体系之精妙与复杂性的欣赏能力，以及逻辑素养本身的水平均有所下降——以至于20世纪初的逻辑学家竟将整个体系视为荒谬可笑。

### 近现代

亚里士多德式三段论主导西方哲学思想长达数百年。三段论本身是关于从假设（公理）推导出有效结论的学问，而非关于验证这些假设的方法。然而，人们日渐只专注于逻辑推演的层面，遗忘了验证假设的重要性。

17世纪，弗朗西斯·培根强调，公理的实验验证必须严格进行，三段论本身并非在自然界得出结论的最佳方式。培根提倡一种更具归纳精神的自然观察方法，包括实验，并以此发现和积累公理，以求得出更具普遍性的结论。不过，在自然界得出结论的完整方法并不在逻辑学或三段论的范畴之内，归纳法在亚里士多德的后续著作《后分析篇》中已有所论述。

19世纪，为处理选言（“A或B”）与条件（“若A则B”）命题，三段论的修正版本相继问世。伊曼努尔·康德在其《逻辑学》（1800年）中著名地宣称，逻辑学是一门已完成的科学，亚里士多德逻辑已大体涵盖了逻辑学的全部知识。（这部著作未必能代表康德的成熟哲学，后者本身常被视为对逻辑学的创新。）康德的这一观点在西方世界无人挑战，直至1879年戈特洛布·弗雷格发表其《概念文字》，引入了一种演算——一种借助量词和变量来表示直言命题（及三段论所不能涵盖的命题）的方法。

值得注意的例外是伯纳德·博尔扎诺在其著作《科学理论》（Wissenschaftslehre，1837年）中发展的逻辑学，其原则被应用为对康德的直接批判，见于遗著《新反康德论》（New Anti-Kant，1850年）。博尔扎诺的工作长期被忽视，其原因之一是他所处的波希米亚（当时隶属奥地利帝国）的学术环境。近二十年来，博尔扎诺的著作重获重视，成为翻译和当代研究的对象。一个值得注意的例外，是亚里士多德逻辑在信理部官员以及使徒法庭罗马圣轮中的持续应用——该法庭至今仍要求诉讼代理人以三段论形式呈递论点。

### 布尔对亚里士多德逻辑的接受

逻辑史学家约翰·科科伦在为《思维规律》撰写的导言中，着重强调了乔治·布尔对亚里士多德逻辑的坚定认同。科科伦亦撰文对《前分析篇》与《思维规律》进行了逐点比较。科科伦认为，布尔完全接受并认可亚里士多德的逻辑学。布尔的目标是“在亚里士多德之下、之上与之外”进行推进，具体而言：

- 以涉及方程的数学基础为其奠基。
- 扩展其所能处理的问题范围——解方程被添加至有效性评估之中。
- 拓展其应用范围——例如将仅含两个项的命题扩展至含任意多项的命题。

更具体地说，布尔同意亚里士多德所说的内容；布尔的“异议”（若可如此称之）针对的是亚里士多德未曾言及之处。首先，在基础层面，布尔将亚里士多德的四种命题形式化约为一种形式——方程形式，这本身已是一个革命性的观念。其次，在逻辑问题层面，布尔将解方程引入逻辑学——另一个革命性的观念——涉及布尔的主张：亚里士多德的推论规则（“完全三段论”）必须以解方程的规则加以补充。第三，在应用层面，布尔的系统可以处理多项命题与论证，而亚里士多德只能处理两项主谓命题与论证。例如，亚里士多德的系统无法从“没有作为四边形的正方形是作为菱形的矩形”或“没有作为矩形的菱形是作为四边形的正方形”推演出“没有作为正方形的四边形是作为菱形的矩形”。

## 类型

三段论由三个部分组成：两个前提与一个结论。这三个部分的相互关系因三段论的类型而异。三段论的三种主要类型为直言三段论、假言三段论与选言三段论。复合三段论则是由多个相互重叠的三段论所构成的扩展论证，其中一个三段论的结论成为下一个三段论的前提。

### 直言三段论

最常见的三段论类型是直言三段论，由三个部分组成：

- 大前提
- 小前提
- 结论

每个部分都是一个直言命题，每个直言命题包含两个直言项。在亚里士多德的体系中，每个前提的形式为“所有S是P”、“有些S是P”、“没有S是P”或“有些S不是P”，其中“S”为主项，“P”为谓项：

- “所有S是P”与“没有S是P”称为全称命题。
- “有些S是P”与“有些S不是P”称为特称命题。

每个前提都有一项与结论共有：在大前提中，这是大项（即结论的谓项）；在小前提中，这是小项（即结论的主项）。例如：

大前提：所有人都是必死的。

小前提：所有希腊人都是人。

结论：所有希腊人都是必死的。

三个不同的项各代表一个类别：此例中为“人”、“必死的”和“希腊人”——“必死的”是大项，“希腊人”是小项。两个前提还有一个共同项，称为中项；此例中为“人”。

大多数逻辑学家认为单称命题是全称命题的一种子类型，其类别只限于单个成员。因此，含单称命题的三段论仍被大多数逻辑学家视为直言三段论。例如“苏格拉底是人”虽含单称小项，但可改写为逻辑等值的全称形式：“苏格拉底——其自身类别的全体成员——是必死的”。部分逻辑学家将含单称命题的三段论称为准三段论。

### 假言三段论

假言三段论（亦称条件三段论）是指至少一个前提为条件句的三段论。条件句的形式为“若P则Q”。纯粹假言三段论的两个前提均为条件句；混合假言三段论仅有一个前提为条件句。

### 选言三段论

选言三段论包含一个选言陈述作为其前提之一。选言陈述的形式为“P或Q”。

### 复合三段论

复合三段论（或称连锁三段论，sorites）是一种包含多个相互重叠之三段论的扩展论证形式。在复合三段论中，一个三段论的结论成为下一个三段论的前提，最后一个三段论提供整个论证的最终结论。中间各三段论的结论可以不明示；在此情形下，一系列三段论被排列成每个前提的谓项成为下一个前提的主项，直至第一个前提的主项与最后一个前提的谓项在结论中结合。例如，若论证“所有狮子都是大型猫科动物，所有大型猫科动物都是掠食者，所有掠食者都是肉食动物”，从而得出“因此所有狮子都是肉食动物”，即构成一个连锁三段论论证。

## 直言三段论的形式

直言三段论共有无限多种可能形式，但逻辑上不同的类型仅有256种，其中有效的仅24种（详见直言三段论）。前提和结论各有四种类型，依照惯例以字母标记：

代码｜量词｜主项｜系词｜谓项｜类型｜例子

A｜所有｜S｜是｜P｜全称肯定｜所有人都是必死的。

E｜没有｜S｜是｜P｜全称否定｜没有人是完美的。

I｜有些｜S｜是｜P｜特称肯定｜有些人是健康的。

O｜有些｜S｜不是｜P｜特称否定｜有些人不是年老的。

中项（M）的位置不同，形成四种“格”：

第一格｜第二格｜第三格｜第四格

大前提｜M–P｜P–M｜M–P｜P–M

小前提｜S–M｜S–M｜M–S｜M–S

256种可能形式中，绝大多数无效。24种有效形式以拉丁助记名称命名（如 Barbara、Celarent 等），其中名称中的元音字母依次代表大前提、小前提与结论的命题类型。其中若干有效形式在涉及空类别时可能犯存在谬误，以斜体标示。

## 有效性

与之相对的是隐喻，它组织叫做肯定后件的一种形式的三段论，是逻辑谬论：

草（P）会死（M）.

人（S）会死（M）.

人（S）是草（P）.

Barbara三段论涉及文法和逻辑类型；它有一个主词（比如苏格拉底）和一个谓词（必死的）。肯定后件，是隐喻的基础。这种形式的三段论是逻辑上无效的。

三段论也可以是无效的，如果它们有四个项或者中项不周延。

归纳论证（epagoge）是依赖于归纳推理的弱三段论。

## 三段论谬误

人们在进行三段论推理时往往容易犯错。所谓形式谬误（亦称无效推论或三段论谬误），是指推理模式在逻辑结构上存在缺陷，即前提与结论之间的关系有误。举例来说，面对“有些A是B，有些B是C”的前提，人们往往倾向于得出“因此有些A是C”的确定结论。然而，这一结论在古典逻辑规则下并不成立。例如，虽然有些猫（A）是黑色的东西（B），有些黑色的东西（B）是电视机（C），但并不能从中得出有些猫（A）是电视机（C）。原因在于，所采用的三段论结构（III-1格）中，中项在大前提和小前提中均未周延，这一模式称为“不周延中项谬误”。正因如此，遵循形式逻辑并不容易，需要更加审慎地检验一个论证是否确实有效。

确定三段论是否有效，需要判断各陈述中每个项的周延情况，即是否涵盖了该项的所有成员。在直言三段论中，形式谬误包括：

- 不周延中项谬误：两个前提均未涵盖中项的全部成员，导致中项无法联系大项与小项。
- 大项不当谬误：结论涵盖大项（P）的全部成员（即命题为否定式），但大前提并未如此（即P在大前提中为肯定谓项或特称主项）。
- 小项不当谬误：与上述相同，但针对小项（S——即命题为全称式）和小前提（S在小前提中为特称主项或肯定谓项）。
- 排它前提谬误：两个前提均为否定，导致大项与小项之间无法建立联系。
- 从否定前提得肯定结论谬误：若任一前提为否定，结论亦必须为否定。
- 从肯定前提得否定结论谬误：若两个前提均为肯定，结论亦必须为肯定。

假言三段论与选言三段论则会犯称为“命题谬误”的形式谬误。假言三段论中的此类谬误包括：

- 肯定后件——在条件句中，因后件为真而宣称前件为真；“若A则B；B，故A”。
- 否定前件——在条件句中，因前件为假而宣称后件为假；“若A则B；非A，故非B”。

在选言三段论中，若肯定析取支——因逻辑析取的一个析取支为真而推论另一个析取支必定为假——则构成谬误；“A或B；A，故非B”。

## 24论式图示

下表以文氏图展示24个有效直言三段论，不同栏表示不同的前提，不同外框颜色表示不同的结论，需要存在性预设的推理以虚线与斜体字标示。

格｜A ∧ A｜A ∧ E｜A ∧ I｜A ∧ O｜E ∧ I

AAA｜AAI｜AEE｜AEO｜EAE｜EAO｜AII｜IAI｜AOO｜OAO｜EIO

1｜

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Barbara｜

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Barbari｜

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Celarent｜

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Celaront｜

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Darii｜

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Ferio

2｜

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Camestres｜

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Camestros｜

<image>

Cesare｜

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Cesaro｜

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Baroco｜

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Festino

3｜

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Darapti｜

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Felapton｜

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Datisi｜

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Disamis｜

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Bocardo｜

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Ferison

4｜

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Bamalip｜

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Calemes｜

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Calemos｜

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Fesapo｜

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Dimatis｜

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Fresison

## 其他类型

- Q422913 — 含有一个未明示前提的“截短”三段论
- Q336462 — 在法律推理语境中使用的三段论
- Q7250662
- Q7604417 — 并非真正的演绎三段论，而是一种类似三段论的归纳推理形式

## 外部链接

- Abbreviatio Montana article by Prof. R. J. Kilcullen of Macquarie University on the medieval classification of syllogisms.
- The Figures of the Syllogism is a brief table listing the forms of the syllogism.
- Stanford Encyclopedia of Philosophy entry on Medieval Theories of Syllogisms