立方体

在几何学中，立方体，是由6个正方形面组成的正多面体，故又称正六面体、正方体或正立方体。它有12条棱（边）和8个顶点，是五个柏拉图立体之一。

立方体是一种特殊的正四棱柱、长方体、三方偏方面体、菱形多面体、平行六面体，就如同正方形是特殊的矩形、菱形、平行四边形一様。立方体具有正八面体对称性，即考克斯特BC3对称性，施莱夫利符号4,3，考克斯特-迪肯符号node_1，其对偶多面体为正八面体。

## 性质

面的组成：正方形面的数目：6 边的数目：12 顶点数目：8 表面积：$6a^2\ $ 体积：$a^3\ $ 二面角角度：$90^\circ$ 外接球半径：$\sqrt{\frac{3}{4}}a$ $\approx 0.866 a$ 内接球半径：$\frac a 2$ 对偶多面体：正八面体

在所有表面积一定的长方体中，立方体的体积最大，同样，在所有线性大小（长宽高之和）一定的长方体中，立方体的体积也是最大的。反过来，体积相等的长方体中，立方体拥有最小表面积和线性大小。

### 顶点坐标及表面方程

在三维直角坐标系中，对于以原点为中心的、各棱平行于坐标轴的、棱长为2的立方体，其顶点坐标为$$(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$$ 的全排列。其包含了所有满足$|x|\leq 1$且$|y|\leq 1$且$|z|\leq 1$的点$(x,y,z)$。

在$R^3$中，以点$(x_0,y_0,z_0)$为中心的立方体表面是点$(x,y,z)$的运动轨迹，其中$x$, $y$, $z$满足：

$$\lim_{n \to \infty} (x - x_0 )^n + (y - y_0 )^n + ( z - z_0 )^n - a^n = 0.$$

### 几何性质

立方体有11种不同的展开图，也就是说有11种不同的方法切开空心立方体的7条棱而将其展平为平面图形。

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如果要将立方体涂色而使相邻的面不带有相同的颜色，则至少需要3种颜色（类似于四色问题）。

立方体是唯一能够独立密铺三维欧几里得空间的柏拉图正多面体，因此立方体堆砌也是四维唯一的正堆砌（三维空间中的堆砌拓扑上等价于四维多胞体）。它又是柏拉图立体中唯一一个有偶数边面——正方形面的，因此，它是柏拉图立体中独一无二的环带多面体（它所有相对的面关于立方体中心中心对称）。

将立方体沿对角线切开，能得到6个全等的正4棱柱（但它不是半正的，底面棱长与侧棱长之比为$2:\sqrt{3}$）将其正方形面贴到原来的立方体上，能得到菱形十二面体（两两共面三角形合成一个菱形）。

## 正交投影

我们可以从不同角度将立方体投影到二维平面上，这些投影都各自携带有立方体原本BC3对称性的一部分。

正对于｜正方形面｜顶点

考克斯特群｜B2

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｜A2

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投影对称性｜4｜6

倾斜视角｜

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｜

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## 半正对称性与表面涂色

作为正多面体之一，立方体拥有较高的对称性，它的所有面在几何上都是相同的，不可区分的。可是我们也可以想象将立方体的面“涂上”不同的“颜色”，使它其的不同面拥有不同的“几何意义”，使立方体拥有不同的对称性。在立方体完全的对称性，即正八面体对称性Oh中，立方体的所有面都是相同的。二面体对称性D4h则将立方体描述得像一个正四棱柱，有两个颜色相同的上下底面，其余4个侧面颜色相同。立方体最低的对称性D2h也将立方体描述的像一个棱柱，不过是长方形棱柱，即一个长方体，它的相对的面颜色相同，而相邻的面是不同的。每一种半正对称性都有自己的施莱夫利符号、考克斯特-迪肯符号和Wythoff符号。此外，由于其对偶正八面体也可被看作是正三反棱柱，立方体也可被看作是正三反棱柱的对偶，即正三偏方面体。

名称｜正六面体｜正四棱柱｜长方体｜正三偏方面体

考克斯特符号｜node_1｜node_1｜node_1

施莱夫利符号｜{4,3}｜{4}×{}｜{}×{}×{}

Wythoff符号｜3 | 4 2｜4 2 | 2｜2 2 2 |

对称群列表｜Oh(、432)｜D4h(、422)｜D2h(、222)｜D3d(2、3)

对称群阶｜24｜16｜8｜12

图像(半正表面涂色)｜

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(111)｜

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(112)｜

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(123)｜

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(111), (112), (122), 及(222)

## 相关多面体及镶嵌

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- 将立方体的其中四个顶点相连，而这四个顶点任何两条都没有落在立方体同一条的边上，可得到一个正四面体，其边长为立方体边长的$\sqrt 2$，其体积为立方体体积的$\frac{1}{3}$。

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- 立方体的对偶多面体是正八面体。

当正八面体在立方体之内：

正八面体体积 : 立方体体积$=[\frac{1}{3}\times$高$\times$底面积$\times 2] :$ 边3 $= \frac{1}{3} \times \frac{n}{2} \times \frac{n^2}{2} \times 2 : n^3$ $$=1:6$$

- 星形八面体的对角线可组成一个立方体。
- 截半立方体：从一条棱斩去另一条棱的中点得出
- 截角立方体
- 超正方体：立方体在高维度的推广。更加一般的，立方体是一个大家族，即立方形家族（又称超方形、正测形）的3维成员，它们都具有相似的性质（如二面角都是90°、有类似的超体积公式，即$V_{n-cube}=a^n$等）。
- 长方体、偏方面体的特例。

将立方体对映映射后的到的商形成的一个实射影多面体，即立方体半形（hemicube）（不应叫其“半立方体”，因为其易与‘demicube’混淆）。

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正方体的对偶多面体是正八面体，如果原正方体棱长为1，则对偶正八面体棱长为$\sqrt{2}$。

正方体是一种最特殊的四边形正六面体：

名称｜棱长相等？｜对角相等？｜各角为直角？

立方体｜是｜是｜是

菱面体｜是｜是｜否

长方体｜否｜是｜是

平行六面体｜否｜是｜否

四边形正六面体｜否｜否｜否

立方体的8个顶点可以被交错地分为两组，每一组都构成一个完整的正四面体，更严格地说，这是作为超半方形（demicube）的正四面体。这两个正四面体组合到一起，就构成了一个正的复合多面体——星形正八面体（Stella Octagula）。两个正四面体重合的地方构成凸的正八面体。这意味着，正四面体的对称群A3是正方体对称群的子群，对应着能将半立方体变换到自身的对称变换，立方体其余的对称变换能将两个半立方体变换到对方。一个这样的正四面体占据了立方体体积的1/3,立方体剩余的部分是4个全等的、顶角是立方体立体角的正三棱锥，各占立方体体积的1/6。

如果从立方体各棱中点处切掉立方体的角，原先立方体的正方形面将变成其对偶的正方形面，而切掉的顶点处出现了新的正三角形面，这样的操作叫“截半”（rectification），得到的半正多面体叫截半立方体（rectified cube），又叫立方八面体（cuboctahedron）。如果不在棱中点处截断，则这种操作叫“截角”（truncation），正方形面变成了八边形。如果从合适处截断，则可将正方形截成正八边形，得到的半正多面体叫截顶立方体（truncated cube）。如果同时截掉立方体的棱和顶，则这种操作叫“截棱”（centellation），如果从合适处截断，得到·的半正多面体是小斜方截半立方体（rhombicuboctahedron）。

正十二面体有20个顶点，它们可以以不同组合分成由8个顶点组成的5组，这8个顶点两两相连，构成内接在正十二面体内部的立方体，它的棱都是正十二面体的各面的对角线。这五个立方体组合在一起，构成复合多面体——五复合立方体。

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如果完全切掉立方体相对的两个顶点，则会得到一个非正的八面体，将8个这样的八面体正三角形面对正三角形面贴到正八面体上，则得到截半立方体。

立方体与所有其它拥有BC3对称性的多面体（如正八面体和立方八面体）构成正八面体家族：

此外，立方体在拓扑上与其它3阶正镶嵌{n,3}相关：

立方体在拓扑上还和其它阶的正方形正镶嵌{4,n}(n≥3)有关：

立方体是正四棱柱：

类别｜柏拉图立体｜卡塔兰立体

种子｜

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{3,3}｜

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{4,3}｜

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{3,4}｜

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{5,3}｜

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{3,5}｜

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aC｜

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aD

倒角｜

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cT｜

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cC｜

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倒角八面体｜

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cD｜

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cI｜

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caC｜

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caD

## 应用

- 日常生活
- 食盐和糖的结晶体都是立方状。
- 骰子最常见的形状就是立方体。
- 1967年世界博览会的“立方体房间”
- 中国国家游泳中心俗称“水立方”
- 游戏
- 索马立方
- 魔方
- 扭扭骰
- 斯洛陶伯－赫拉茨马立方：以6个1×2×2及3个单位立方组成3×3×3的立方（仅有一个解法）
- 康威立方：以3个1×1×3，13个1×2×4，及1×2×2和2×2×2的长方体各一个，组成一个5×5×5的立方（572个解）
- 视错觉
- 奈克方块
- 不可能方块（下图）
- 数论
- 立方数

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## 数学问题

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### 倍立方体问题

参见尺规作图，已经证明此题无法用无刻度的直尺与圆规去画出$\sqrt[3]{2}$的位置

### 最大的横切面

立方体的横切面只有四种：

- 三角形
- 矩形
- 五边形
- 六边形

其中以正六边形的面积最大，若立方体的棱长为$a$，则正六边形的面积为$\frac{3\sqrt{3}a^2}{4}$。

## 外部链接

- 折纸立方体
- Mathematische Basteleien