分数微积分

数学上，分数微积分（fractional calculus）是数学分析的一个分支，它研究微分算子$D= \frac{d}{dx}$和积分算子J的实数次幂的可能应用（通常不写作I,以避免和其他I形符号产生混淆）。

在这个上下文中，幂指反复应用，和

$$\, f^2 (x) = f(f(x))$$

中的平方意义相同。例如，可以提出如何解释如下符号的问题

$$\sqrt{D}=D^{\frac{1}{2}}$$

作为微分算子的平方根（半次操作），也就是一种算子操作两次以后可以有微分的效果。

更一般的。

$$D^n$$

对于实数值的n，使得当n为整数时，若n>0,它等同于通常的幂n次操作，当n<0,它等同于n次积分J。

讨论这个问题有几个原因。一个是，这样幂Dn组成的半群可以看作一个连续的半群中取离散值的部分。连续半群在数学上有很好的研究，有一个有趣的理论。注意，分数是个错误的记号，因为指数可以取非有理数，但是分数微积分已成为习惯用法。

## 历史缘由

在应用数学与数学分析中，一个分数阶的导数是一个可以为任意阶实数或是复数的导数。这个概念第一次出现在1695年，莱布尼兹写给洛必达的书信中。分数微积分则是第一次被介绍在阿贝尔的早期论文中，其中关于各种分数阶的积分与微分的概念、微分与积分的关系、关于分数阶的微分与积分其实都可以被视作一种广义算子，以及统一关于实数阶微分与积分的概念。该主题的基础由刘维尔(Liouville)在1832年的论文中独立奠定的，奥利弗·黑维塞(Oliver Heaviside)在1890年引入分数微分算子在电力传输分析中。分数微积分的理论与应用在19世纪跟20世纪中得到发展，许多贡献者都给出了分数阶导数与积分的定义。

## 试探法

一个很自然的想法是问，是否存在一个算子$H$起到半导数的作用，即使得：

$$H^{2}f (x)=Df (x)=\frac{d}{dx}f (x)=f'(x)$$

结论是：这样的算子是存在的，对于任意$a > 0$,存在一个算子$P$,满足：

$(P ^ a f)(x) = f'(x)$。

或者换一个说法, $\dfrac{d^ny}{dx^n}$的定义可以从正整数n扩充到所有的实数n.

在这里我们引入Γ函数将阶乘扩展到实数和复数域上. Γ函数的定义如下：

$n! = \Gamma(n+1)$。

假设对函数$f (x)$ $( x > 0 )$在0到x上求积分，我们可以形式的定义积分算子J:

$$(J f )( x ) = \int_0^x f (t) \; dt$$

重复这个过程，可得：

$(J^2 f)(x) = \int_0^x ( J f )(t ) dt = \int_0^x \left( \int_0^t f(s) \; ds \right) \; dt$,

这个过程可以任意的重复下去。

利用重复积分的柯西公式，即：

$$(J^{n} f)(x) = \frac{1}{(n-1)!}\int_0^x (x-t)^{n-1}f (t) \; dt$$

我们可以直截了当的写出任意实数n的积分算子。

直接利用$\Gamma$函数将离散的阶乘扩展为连续的函数。我们可以自然的得到分数积分算子的表达形式

$$(J^{\alpha}f)(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^x (x-t)^{\alpha-1}f (t)\; dt$$

这个算子定义明确而且具有良好的性质。

可以证明J算子满足如下关系

$$(J^{\alpha})(J^{\beta})f=(J^{\beta})(J^{\alpha})f=(J^{\alpha+\beta})f=\frac{1}{\Gamma(\alpha+\beta)}\int_0^x (x-t)^{\alpha+\beta-1}f (t) \; dt$$

这个性质叫微分积分算符的半群性。然而用类似方法定义微分算子将变得相当困难，而且定义出来的微分算子D一般来说不对易也不具有叠加性。

## 分数微分在一个简单函数上的应用

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假设有一个函数

$f (x)=x^k\;$。它的一阶导数一般是：

$f'(x)=\dfrac{d}{dx}f (x)=k x^{k-1}\;$。重复这一过程，得到更一般的结果：

$\dfrac{d^a}{dx^a}x^k=\dfrac{k!}{(k-a)!}x^{k-a}\;$，将阶乘用伽玛函数替换，可得：

$\dfrac{d^a}{dx^a}x^k=\dfrac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k-a+1)}x^{k-a}\;$。当k = 1,并且a = 1/2时我们可以得到函数$x$的半导数：

$\dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}x=\dfrac{\Gamma(1+1)}{\Gamma(1-\frac{1}{2}+1)}x^{1-\frac{1}{2}}=\dfrac{1!}{\Gamma(\frac{3}{2})}x^{\frac{1}{2}} = \dfrac{2x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\pi}}$。重复这一过程，得：

$\dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}2 \pi^{-\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}=2 \pi^{-\frac{1}{2}}\dfrac{\Gamma(1+\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1)}x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}=2 \pi^{-\frac{1}{2}}\dfrac{\Gamma(\frac{3}{2})}{\Gamma (1)}x^{0}=\dfrac{2 \sqrt{\pi}x^0}{2 \sqrt{\pi}0!}=1$，这正是期望的结果：

$\left(\dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}\dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}\right)x=\dfrac{d}{dx}x=1$。

以上微分算子的扩展不仅仅局限于实数次。举个例子，$(1+i)$阶导数作用后，$(1-i)$阶导数再作用，可以得到二阶导数。同时如果a为负则可为求积分。

分数微分可以得到上述相同的结果（当$0<\alpha<1$）。

$$D^{\alpha}f (x)=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}\frac{f (t)}{(x-t)^{\alpha}}dt$$

对于任意的$\alpha$,由于伽玛函数的参数在实数部为负整数时没有定义，需要在分数微分前先进行整数微分。例如

$$D^{\frac{3}{2}}f (x)=D^{\frac{1}{2}}D^{1}f (x)=D^{\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}f (x)$$

## 拉普拉斯变换

我们可以借由拉普拉斯变换提出一个问题。已知

$$\mathcal L \left\{Jf\right\}(s) = \mathcal L \left\{\int_0^t f(\tau)\,d\tau\right\}(s)=\frac1s\bigl(\mathcal L\left\{f\right\}\bigr)(s)$$

以及

$$\mathcal L \left\{J^2f\right\}=\frac1s\bigl(\mathcal L \left\{Jf\right\} \bigr)(s)=\frac1{s^2}\bigl(\mathcal L\left\{f\right\}\bigr)(s)$$

然后继续下去，我们可以推断:

$$J^\alpha f=\mathcal L^{-1}\left\{s^{-\alpha}\bigl(\mathcal L\{f\}\bigr)(s)\right\}$$

举例来说:

$$J^\alpha(t^k) = \mathcal L^{-1}\left\{\frac{\Gamma(k+1)}{s^{\alpha+k+1}}\right\} = \frac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(\alpha+k+1)} t^{\alpha+k}$$

如同预期一样。确，我们给出卷积性质。

$$\mathcal L\{f*g\}=\bigl(\mathcal L\{f\}\bigr)\bigl(\mathcal L\{g\}\bigr)$$

然后为了方便，令 p(x) = xα − 1，我们发现到:

$$\begin{align} \left(J^\alpha f\right)(t) &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\mathcal L^{-1}\left\{\bigl(\mathcal L\{p\}\bigr)\bigl(\mathcal L\{f\}\bigr)\right\}\\ &=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}(p*f)\\ &=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t p(t-\tau)f(\tau)\,d\tau\\ &=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t\left(t-\tau\right)^{\alpha-1}f(\tau)\,d\tau\\ \end{align}$$

即得到柯西所给出的样子。

拉普拉斯在一些较少的函数上有效，但是它在解分数微分方程上却非常有用。

## 应用

WKB近似

对于一个一维的量子系统进行准经典的近似时，系统哈密顿量$H=p^{2}+V (x)$中$V (x)$的倒数$V^{-1}(x)$可由对态密度的半阶微分求出

$$V^{-1}(x)=2\sqrt{\pi}\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}n (x)$$

这里采用了自然单位制，即$\hbar=2m=1$

## 外部链接

- 任意阶微积分 http://drhuang.com/chinese/science/mathematics/fractionalCalculus/
- MathWorld - Fractional calculus
- MathWorld - Fractional derivative
- Specialized journal: Fractional Calculus and Applied Analysis
- http://www.nasatech.com/Briefs/Oct02/LEW17139.html
- https://web.archive.org/web/20040502170831/http://unr.edu/homepage/mcubed/FRG.html
- Igor Podlubny's collection of related books, articles, links, software, etc.
- http://s.dugowson.free.fr/recherche/dones/index.html
- History, Definitions, and Applications for the Engineer（PDF）, by Adam Loverro, University of Notre Dame