不等

数学上，不等是表明两个对象的大小或者顺序的二元关系，与相等相对。不等关系主要有四种：

- $a<b$，即$a$小于$b$
- $a>b$，即$a$大于$b$

上述两个属于严格不等。

- $a\leq b$，即$a$小于等于$b$
- $a\geq b$，即$a$大于等于$b$
- $a\neq b$，即$a$不等于$b$

将两个表达式用不等符号连起来，就构成了不等式。

若不等关系对变量的所有元素都成立，则称其为“绝对的”或“无条件的”。若不等关系只对变量的部分取值成立，而对另一部分将改变方向或失效，则称为条件不等。

不等式两边同时加或减相同的数，或者两边同时乘以或除以同一个正数，不等关系不变。不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等关系改变方向。

符号$a\gg b$表示$a$“远大于”$b$。其含义是不确定的，可以是 100 倍的差异，也可能是10个数量级的差异。和方程相联系，它被用来给出一个非常大的值而使方程的输出满足一个特定的结果。

## 性质

不等具有下列性质：

三一律：对任意实数$a$、$b$，只有下列之一是真的：

- $$a<b$$
- $$a=b$$
- $$a>b$$

调换性质：对任意实数$a$、$b$：

- $a < b$ 和 $b > a$ 是等价的。
- $a \le b$ 和 $b \ge a$ 是等价的。

transitive-property：对任意实数$a$、$b$、$c$：

- 如果 $a < b$ 且 $b < c$，则 $a<c$。
- 如果 $a \le b$ 且 $b \le c$，则 $a \le c$。
- 如果 $a < b$ 且 $b \le c$，则 $a < c$。
- 如果 $a \le b$ 且 $b < c$，则 $a < c$。

加法性质：对任意实数$a$、$b$、$c$：

- 若 $a > b$；则 $a + c > b + c$。
- 若 $a < b$；则 $a + c < b + c$。

乘法性质：对任意实数$a$、$b$、$c$，且有$c\ne 0$：

- 若$c$为 正数 且 $a > b$；则 $ac > bc$。
- 若$c$为 正数 且 $a < b$；则 $ac < bc$。
- 若$c$为 负数 且 $a > b$；则 $ac < bc$。
- 若$c$为 负数 且 $a < b$；则 $ac > bc$。

注意：当遇上不等关系求解时，比如已知 $A>B$，$C>D$，不可以认为 $A-C>B-D$，但根据此描述可知 $A-D>B-C$ 是真的。

## 链式表示法

- $a < b < c$ 代表“$a < b$ 且 $b < c$”。
- $a \le b \le c$ 代表“$a \le b$ 且 $b \le c$”。
- $a < b \le c$ 代表“$a < b$ 且 $b \le c$”。
- $a \le b < c$ 代表“$a \le b$ 且 $b < c$”。

## 举例

- 若$x>0$；则

$$x^x \ge \left( \frac{1}{e}\right)^\frac{1}{e},$$

- 若$x>0$；则

$$x^{x^x} \ge x\,$$

- 若$x,y,z>0$；则

$$(x+y)^z + (x+z)^y + (y+z)^x > 2\,$$

- 若$x,y,z>0$；则

$$x^x y^y z^z \ge (xyz)^\frac{x+y+z}{3},$$

- 若$a,b>0$；则

$$a^a + b^b \ge a^b + b^a\,$$

- 若$a,b>0$；则

$$a^{ea} + b^{eb} \ge a^{eb} + b^{ea}\,$$

- 若$a,b,c>0$；则

$$a^{2a} + b^{2b} + c^{2c} \ge a^{2b} + b^{2c} + c^{2a}\,$$

- 若$a_1,\ldots,a_n>0$；则

$$a_1^{a_2}+a_2^{a_3}+\cdots+a_n^{a_1}>1$$

```
   <li>
       對於實數 <math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>、<math>d</math>，若 <math>a < b</math> 且 <math>c < d</math>；則
       <dl>
           <dd>
               <math>a + c < b + d</math>
               {| class="wikitable collapsible" style="width: 75%;"
                ! style="text-align: left;" | 證明
                |-
                |
                {| class="hover-highlight" style="width: 100%; border-collapse: collapse;"
                |-
                | <math>a < b</math>
                |-
                | <math>c < d</math>
                |-
                | <math>a - b< 0</math>
                |-
                | <math>0 < d - c</math>
                |}
                <p style="text-align: left;">'''('''20''')''' 及 '''('''25''')''' 經由[[#transitive-property|遞移性質]]可以得到</p>
                {| class="hover-highlight" style="width: 100%; border-collapse: collapse;"
                |-
                | <math>a - b < d - c</math>
                |-
                | <math>a - b + (b + c) < d - c + (b + c)</math>
                |-
                | <math>a + c < b + d</math>
                |}
               |}
           </dd>
       </dl>
   </li>
```

- 对于实数 $a$、$b$、$c$、$d$，若 $a < b$ 且 $c < d$；则

```
<math>a - d < b - c</math>

  <div style="margin-left: 3.2em;">
  {| class="wikitable collapsible" style="width: 75%;"
   ! style="text-align: left;" | 證明
   |-
   |
   {| class="hover-highlight" style="width: 100%; border-collapse: collapse;"
   |-
   | <math>a < b</math>
   |-
   | <math>c < d</math>
   |-
   | <math>- c > - d</math>
   |-
   | <math>- d < - c</math>
   |}
   <p>'''('''45''')''' 及 '''('''60''')''' 經由 '''('''ex1''')''' 可以得到</p>
   {| class="hover-highlight" style="width: 100%; border-collapse: collapse;"
   |-
   | <math>a + (- d) < b + (- c)</math>
   |-
   | <math>a - d < b - c</math>
   |}
  |}
  </div>
```