概率

概率，是对随机事件发生之可能性的度量，为数学概率论的基本概念；几率的值是一个在0到1之间的实数，也常以百分数来表示。

概率常用来量化对于某些不确定命题的想法，命题一般会是以下的形式：“某个特定事件会发生吗？”，对应的想法则是：“我们可以多确定这个事件会发生？”。确定的程度可以用0到1之间的数值来表示，这个数值就是几率。因此若事件发生的几率越高，表示我们越认为这个事件可能发生。像抛硬币就是一个简单的例子，正面朝上及背面朝上的两种结果看来几率相同，每个的几率都是1/2，也就是正面朝上及背面朝上的几率各有50%。

这些概念可以形成几率论中的数学公理（参考概率公理），在像数学、统计学、金融、博弈论、科学（特别是物理）、人工智能/机器学习、电脑科学及哲学等学科中都会用到。几率论也可以描述复杂系统中的内在机制及规律性。

应用到具体问题，“概率”常常被用来视作是对某一事件是否发生（过）的“推测”。这种涵义下，在宏观世界（非量子力学情况）中，概率来源于信息的缺失，有效信息越多，对某一事件发生的把握度（概率）就越大，直至“必然发生”——例如理论上知道抛一枚硬币时的位置、受力情况，便可以计算出落下时正面还是反面，所知参数越精确，算得概率就能越接近1。但“混沌效应”仍然会制约所得概率的大小。

## 历史

第一位系统性地推算概率的人是16世纪的卡尔达诺，记载在他的著作《关于几率游戏之书（Liber de Ludo Aleae）》中；书中关于概率的内容是由Gould从拉丁文翻译来的。

卡尔达诺的著作中有很多给赌徒的建议，都写成短文，例如：《谁，在什么时候，应该赌博？》、《为什么亚里士多德谴责赌博？》、《那些教别人赌博的人是否也擅长赌博呢？》等。

然而，卡尔达诺的书要等到他死后八十余年（1663年）才出版。首次提出系统研究概率的是在帕斯卡和费马来往的一系列信件中，最初是由帕斯卡提出的，他想找费马请教几个关于由Chevalier de Méré提出的问题。Chevalier de Méré是一知名作家，路易十四宫廷的显要，也是一名狂热的赌徒；问题主要有两个：掷骰问题和比赛奖金应分配问题。

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## 概念

在日常生活中，我们常常会遇到一些涉及可能性或发生机会等概念的事件（event）。一个事件的可能性或一个事件的发生机会是与数学有关的。例如：

“从一班40名学生中随意选出一人，这人是男生吗？”

事实上，人们问“……可能会发生吗？”时，他们是在关注这个事件发生的机会。在数学上，事件发生的机会可用一个数来表示，称该数为概率（Probability）。

我们日常所见所闻的事件大致可分为两种：

一种是确定性事件，其中又包含必然事件和不可能事件，如太阳从东方升起，或者在标准大气压下，水在100℃时会沸腾，我们称这些事件为必然事件；如掷一个点数只有1到6的骰子，向上一面的数字是7，这类事件称为不可能事件。

此外，有大量事件在一定条件下是否发生，是无法确定的。如明天的气温比今天低、掷一枚硬币得正面向上，又或者在下一年度的:NBA比赛中，芝加哥公牛队会夺得全年总冠军，像以上可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。

## 理论

几率论是一种用正式的用语表达几率概念的方式，这些词语可以用数学及逻辑的规则处理，结果再转换到和原来问题有关的领域。

至少有两种成功的将几率公式化的理论，分别是柯尔莫哥洛夫公式化以及理察·T·考克斯公式化。在柯尔莫哥洛夫公式化（参考概率空间）中，用集合代表事件，几率则是对集合的测度。在考克斯定理中，几率是不能再进一步分析的基元，强调在几率值及命题之间建立一致性的关系。在二种公式化方法中，概率公理都相同，只有一些技术细节不同。

有其他量度不确定性的方式，例如Dempster-Shafer理论或是可能性理论，但两者都有本质上的不同，无法和一般了解的几率论相容。

## 应用

概率的概念常常应用在生活中，例如风险评估及以金融市场的交易等。政府也在环境法中应用概率，称为路径分析（pathway analysis）。例如中东冲突可能会对油价有某程度的影响，而油价对世界经济可能会有涟漪效应的影响。某个油品交易商认为中东冲突会使油价上升或下降，并将他的意见提供给其他交易商。因此几率不是各自独立的进行评估，评估的过程也不一定合理。行为经济学就是描述团体迷思对定价、政策甚至和平或冲突的影响。

有关概率评估及组合的严谨方式也改变了社会。对大部分的社会大众而言，重要的是了解概率评估的方式以及概率和决策之间的关系。

概率理论另一个明显的应用是可靠度理论。像汽车及消费性产品会在产品开发时应用可靠度理论来减少产品失效的几率。失效几率会影响厂商在产品保用证上的决策。

像自然语言处理中用的快取语言模型及其他语言模型等也属于是概率理论的应用。

## 数学处理

事件A的几率一般会写成P(A)、p(A)或Pr(A)。几率的数学概念可延伸到无限的样本空间甚至不可数的样本空间，但需要用上概率测度的概念。

概率的公理化定义将概率的相关范畴从具体问题中抽象出来，从而可以在数学意义下考察概率的相关概念和由之引出的问题。以下给出概率的公理化定义：

设随机事件的样本空间为Ω，Ω的一个子集称为事件。对于Ω中的每一个事件A，都有实函数P(A)，满足：

- 非负性：$P(A) \geq 0$。
- 规范性：$P( \Omega ) = 1$
- 可数可加性：对可数个两两互斥事件{Ai}i∈N有：${\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}P(A_{i})=P\left( \bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}\right)}$

任意一个满足上述条件的函数P都可以作为样本空间Ω的概率函数，称函数值P(A)为Ω中事件A的概率。

### 概率的表示

通常来说，概率是0到1之间的实数。其严格定义基于测度理论，因此概率为0的事件，实际上是说该事件在概率空间里的概率测度为0。

如果某事件为样本空间全集，该事件是必然事件。必然事件的概率是1。如果某事件是空集，该事件则是不可能事件，不可能事件的概率是0。

对于有限的样本空间，概率为0的事件与不可能事件等价，概率为1的事件与必然事件等价，因为其试验次数是有限的，可以列举所有的结果并计算之。对于无限的样本空间，不仅并非其所有子集都能被定义为事件，而且不是所有事件都和样本空间等势，因此会出现“虽然概率为0，但却有可能发生”的佯谬，这是因为日常生活中所说的“可能性”，应当被定义为事件集合的大小，而不是概率的大小。

另外，应当注意不要把非零概率的倒数理解为“每几次试验中必然出现一次”，因为只要不是必然事件，都不能保证有限次的试验中一定会发生一次。就如同一个极其不走运的人，哪怕中奖概率是50%，他也可能抽两次奖都不中。

### 分布

概率分布函数是一个把概率分配给事件或者命题的函数。对于任何一个事件或者命题，总有很多分配概率的方法，所以选择不同的分布等同于对一个问题中的事件或者命题作出不同的假设。

分布还可分为“离散”和“连续”的。

### 概率计算总结

事件｜概率

A｜$P(A)\in[0,1]\,$

非A｜$P(A^c)=1-P(A)\,$

A或B｜$\begin{align} P(A\cup B) & = P(A)+P(B)-P(A\cap B) \\ P(A\cup B) & = P(A)+P(B) \qquad\mbox{if A and B are mutually exclusive} \\ \end{align}$

A和B｜$\begin{align} P(A\cap B) & = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)\\ P(A\cap B) & = P(A)P(B) \qquad\mbox{if A and B are independent}\\ \end{align}$

B的情况下A的概率｜$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} \,$

## 和随机的关系

在牛顿力学的概念，决定论的世界中，若所有条件皆是已知，都没有任何概率性的成分在内（拉普拉斯的恶魔），不过有可能一些系统对初始条件敏感，敏感程度甚至到超过可能量测的范围。以俄罗斯轮盘为例，若手的施力、出力的时间等资讯已知，轮盘最后停止的位置是可以计算而得的，不过此时需要知道轮盘的惯量及摩擦系数，球的质量、光滑度及圆度，出力过程中手速度的变化等；此时，相较于用牛顿力学的方式分析，概率性的描述可能更适合描述重复玩数次俄罗斯轮盘的结果。科学家发现在气体动力论中也有类似的情形，系统理论上是确定的，但因为气体分子个数约和阿伏伽德罗常数（≈6.022×10^23mol−1）量级相当，因此也只能用概率性的描述。

在描述量子理论时一定会用到概率论，二十世纪初期，物理学界有一个革命性发现，所有次原子层级的物理过程有随机性，依循量子力学。物理的波函数是确定的，是数个状态的叠加，但根据哥本哈根诠释，观察会带来波函数塌缩，因此只能观察到其中一个状态。不过这种缺乏决定论的观点未受到所有人的同意，爱因斯坦在给马克斯·玻恩的信上提到“我相信上帝不会玩骰子。”；而发现波函数的埃尔温·薛定谔认为量子力学只是内部决定论状态的统计近似。在近代的诠释中，量子退相干有相当的概率性质。

## 译名

概率论在19世纪30年代就已传入中国，长期以来，其译名并无统一，曾用译名有“决疑”、“可遇率”、“或是率”、“或然率”、“适遇率”、“公算”、“几率”、“几率”、“或然率”、“概率”等，也有借用日本汉字词作“确率”的。1935年，国立编译馆将译名范围缩小到“概率”和“几率”两个其中“几率”的“几”表示“接近”，和“几乎”的“几”类似。

1964年，中国科学院编写的《数学名词补编》确定使用“概率”作为正式译名；大陆的物理学界在一段时间内仍然沿用“几率”，但于1988年的《物理学名词》中采用了与数学界一致的“概率”，“最可几的”相应地改称“最概然的”。

而现代台湾则选用了“几率”作为标准译名。一说“几率”的由来是因为“几率”的“几”含义被误认为是“机会”（英语为opportunity）的意思，进而误写成“几率”，但实际上“几率”也是早期译名之一，例如“万有文库”收录的《统计学原理》（Elements of Statistics，亚瑟·里昂·鲍利著，李植泉译）就使用了“几率”的译法。

## 外部链接

- 概率笔记
- 出现字的实验
- 乱数出现可被整除的几率实验
- Virtual Laboratories in Probability and Statistics (Univ. of Ala.-Huntsville)
- Probability and Statistics EBook
- Edwin Thompson Jaynes. Probability Theory: The Logic of Science. Preprint: Washington University, (1996). — HTML index with links to PostScript files and PDF (first three chapters)
- People from the History of Probability and Statistics (Univ. of Southampton)
- Probability and Statistics on the Earliest Uses Pages (Univ. of Southampton)
- Earliest Uses of Symbols in Probability and Statistics on Earliest Uses of Various Mathematical Symbols
- A tutorial on probability and Bayes' theorem devised for first-year Oxford University students
- pdf file of An Anthology of Chance Operations (1963) at UbuWeb
- Introduction to Probability - eBook , by Charles Grinstead, Laurie Snell Source (GNU Free Documentation License)
- Bruno de Finetti, Probabilità e induzione , Bologna, CLUEB, 1993. ISBN 978-88-8091-176-0 (digital version)