速率

速率（speed）是物理学中的一个基本概念，是指物体在单位时间内经过的路程，用来表示物体运动的快慢程度。

在日常生活中，“速率”和“速度”（Velocity）混用，但两者在物理学中对应着不同的概念：速率是一个标量（只有大小、没有方向），它的量纲是路程除以时间；速度是一个向量（有方向），它的量纲是位移除以时间。物体的瞬时速率等于瞬时速度的大小，而平均速率则不一定等于平均速度的大小。

国际单位制中，速率的单位为米每秒（m/s），但日常生活中较常用的单位是公里每小时（km/h）或是英制系统下的英里每小时（mph）。海上船只或物体的行进速率，一般会使用节作为单位。

依照狭义相对论，能量或信息所能传递的最快速率为真空中的光速c = 299,792,458 米每秒，大约是1,080,000,000千米每小时或671,000,000英里每小时。静止质量不为零的物质要加速到此速率，需要无限大的能量。在相对论物理学中，会用快度来取代古典力学中的速度。

## 定义

用数学语言来描述，如果一个物体在一段时间$t$内移动的路程为$s$，那么它的平均速率（用$\bar{v}$表示）便是$s$与$t$的比，具体可由下式给出：

$$\bar{v}=\frac{s}{t}$$

例如，一辆汽车在2小时内行驶了60公里，它在这段时间内的平均速率是30公里每小时。而一个物体在某个时刻的速率，则是它在这个时刻前后的一段极短时间中经过的路程$ds$与这段时间长度$dt$的比：

$$v=\frac{ds}{dt}$$

精确地说，假设路程$s$是一个关于时间$t$的函数，那么物体在某个时刻$t_0$的瞬时速率，是以上比值在$dt$趋向于0时的极限值。或者说，是$s$在$t_0$时刻对时间的导数。

$$v_{t_0}=\left.\lim_{dt \to 0}\frac{ds}{dt}\right|_{t=t_0} = \left.\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right|_{t=t_0}$$

在某些简化的物理模型中，物体在某个时刻之前的速率$v_{t_0}^-$可能不等于其之后的速率 $v_{t_0}^+$：

$$v_{t_0}^- = \left.\lim_{dt \to 0}\frac{s(t) - s(t-dt)}{dt}\right|_{t=t_0} \neq \left.\lim_{dt \to 0}\frac{s(t+dt) - s(t)}{dt}\right|_{t=t_0} = v_{t_0}^+$$

比如简单的碰撞模型中的碰撞前速率和碰撞后速率。但在经典物理学中，总假设物体的路程，以及瞬时速度和瞬时速率都是连续变化的。简化模型中出现不连续的速率是忽略了极短时间内速率变化的结果。

物体的瞬时速率等于其瞬时速度的大小。然而，物体的平均速率一般不等于其平均速度的大小。盖因路程和位移的概念不同。例如一个物体做匀速圆周运动一周，则其平均速率为一个不为零的定值，但其平均速度是0。

## 例子

### 瞬时速率

车辆上的速度表可以显示任何时刻的瞬时速率p.42。瞬时速率可能会随时间而变动，一辆车在某个时刻的瞬时速率50公里/小时，但它维持此速率的时间可以是一秒、一分钟或一小时。不过假若此车连续一小时以50公里/小时的（瞬时）速率行驶，则它所走路程为50公里。

### 平均速率

如果一辆车在一小时内行驶了80公里，则它在这一个小时中的平均速率为80公里/小时；若一辆车在第一个小时内行驶了140公里，在接下来的三个小时中行驶了180公里，则它在这四小时内的平均速率也是80公里/小时。但若分别考虑此车第一个小时以及其后三个小时内的平均速率，其数值就不是80公里/小时了。

平均速率可能会和过程中的瞬时速率有相当的差异p.42。若已知平均速率和时间，可以求得这段时间所走的路程：

$$s = \bar{v}t$$

依上述公式可得，若一辆车行驶了四小时，这四小时的平均速率为80公里/小时，则它在四个小时中行驶的总路程为320公里。

若以图像的方式，可以利用路程－时间图来显示速率。路程－时间图上的曲线表示了物体移动的路程是如何随时间变化的。曲线上任意一点对应着一个时刻和物体在这一时刻移动的路程。曲线在一点上切线的斜率即为此时刻的瞬时速率，而曲线上两点的割线斜率即为对应的二个时刻之间的平均速率。

### 切线速率

物体在单位时间内经历的路程，是为速率或线速率，而如果物体在做圆周运动，那么它的速率也称为切线速率p.131，因为它运动的方向是沿着圆周的切线方向。旋转木马转一圈时，位置靠外的木马走过的路程比位置靠内的木马要多。这说明位置靠外的木马平均速率比位置靠内的木马要大。对于圆周运动的物体而言，切线速率及线速率二者可互换使用，二者的单位均为m/s或km/h。

转速或角速率是指单位时间内转的圈数。旋转木马中，不同位置的木马切线速率可能不同，但所有木马在相同时间内都旋转了相同的圈数，因此其角速率均相同。转速一般以每分钟转速或是以单位时间的弧度作为单位。旋转一圈的弧度略大于6个弧度（精确值为$2 \pi$弧度）。若将角速率加上方向，则成为角速度，前者为一纯量，后者则为一向量。若两片CD每秒都旋转20圈，一片顺时针旋转，另一片逆时针旋转，那么二者的角速率相同，但角速度不同。

圆周运动的物体（或距旋转轴固定距离的一点），其切线速率和转速成正比p.131。不过切线速率和转速不同，一点的切线速率和距旋转轴的距离有关，距旋转轴不同距离的二点，其转速相等，但切线速率不相等。旋转轴上的点，其切线速率甚至为零。在一旋转的物体上，离旋转轴越远，会发现线速率越快。若转速固定，则切线速率和一点距旋转轴的距离成正比p.132，因此可得下式：

$$v \sim \!\, r \omega$$

其中

v为切线速率

ω为转速

r为距旋转轴的距离

因此只要转速变快或是距旋转轴的距离变长，都会使切线速度变快。

若切线速率、转速及距离选择适当的单位（例如切线速率单位选择m/s，转速单位选择弧度/s，距离单位选择ｍ），上式的比例关系可以变成以下的等式：

$$v = r\omega$$

因此，一个系统只要所有部分的角速度相同，其切线速度只和距旋转轴的距离有关。（上述切线速度和距离的比例关系不适用于行星的运转，因为行星在不同位置的角速度不同）

## 单位

速率的单位包括：

- 米每秒（符号为m s-1或m/s），国际单位制导出单位
- 千米每小时（符号为km/h）
- 英里每小时（符号为m/h或mph）
- 节（即“海里每小时”，符号kt）
- 马赫, 由速率除以声速得到
- 真空中光速（c=2.997 924 58·108m s-1, 是自然单位之一）

速率各单位间重要的换算关系包括：

## 不同速率的例子

速率｜m/s｜ft/s｜km/h｜mph｜注解

大陆飘移的平均速率｜0.00000001｜0.00000003｜0.00000004｜0.00000002｜4厘米/年，速率依位置而异

普通蜗牛的速率｜0.001｜0.003｜0.004｜0.002｜1毫米每秒

轻快地步行｜1.7｜5.5｜6｜4

奥林匹克运动会短跑选手（100米内的平均速率）｜10｜32.8｜36｜22

大部分郊区道路的速限｜13.8｜45.3｜50｜30

台北101观光电梯｜16.7｜54.8｜60.6｜37.6｜1,010 m/min

香港巴士的最高运行速率｜20｜65.6｜72｜44.7

一般乡间道路的速限｜24.6｜80.66｜88.5｜56

萨菲尔-辛普森飓风等级的一级飓风｜33｜108｜119｜74｜一分钟平均风速需大于此数值

法国高速公路限速｜36.1｜118｜130｜81

人力驱动的最快速度｜37.02｜121.5｜133.2｜82.8｜加拿大自行车手Sam Whittingham利用斜躺脚踏车创下的记录

漆弹枪的枪口初速｜90｜295｜320｜200

波音747-8巡航速率｜255｜836｜917｜570｜0.85马赫

陆上速度记录｜341.1｜1119.1｜1227.98｜763｜由超音速推进号在1997年10月15日创下

在海平面大气压、20°C（293开尔文）的干燥空气中的声速｜343｜1,125｜1,235｜768｜由定义=1马赫

AK-47突击步枪的枪口初速｜710｜2,330｜2,600｜1600

正式的飞行速度记录｜980｜3,215｜3,530｜2,194｜由SR-71黑鸟式侦察机在1976年7月28日创下

航天飞机返回地球时的速率｜7,800｜25,600｜28,000｜17,500

相对于地球的逃逸速度｜11,200｜36,700｜40,000｜25,000｜地表的逃逸速度为11.2 km/s

地球的平均公转速率｜29,783｜97,713｜107,218｜66,623

真空中的光速（符号c）｜299,792,458｜983,571,056｜1,079,252,848｜670,616,629

## 基本资料

- 国际单位：m/s, m s−1