埃雷斯曼联络

微分几何中，埃雷斯曼联络（Ehresmann connection）是应用于任意纤维丛的联络概念的一个版本。

特别的是，它可以是非线性的，因为一般的纤维丛上没有合适的线性的概念。

它适用于主丛这一类特殊的纤维丛，通过联络形式表述，在这种情况联络至少是在一个李群的作用下等变。

埃雷斯曼联络以法国数学家夏尔·埃雷斯曼命名。

## 简介

微分几何中经典的协变导数是一个线性微分算子，它以协变的方式取向量丛中截面的方向导数，也能用来阐述在在特定向量方向上丛中截面为平行的概念：截面s沿着向量V平行，如果∇Vs = 0。所以一个协变导数提供了两个观念：微分算子以及各个方向上的平行。埃雷斯曼联络完全放弃了微分算子，并用截面在各个方向平行的含义来公理化一个联络。精确一点讲，埃雷斯曼联络将纤维丛中的切丛的某些子空间指定为“水平空间”。如果 ds(V )处于水平空间中，则截面 s 是在 V 方向上是水平的（也即平行的）。在这里，我们把 s 视为从底空间 M 映射到向量丛 E 的函数 s : M → E，且 ds : TM → s*TE 是向量的前推。水平空间组成 TE 的一个子向量丛。

如此一来直接的好处是它可以用于比向量丛一般得多的场合。特别是，它对于一般的纤维丛都是有定义的。而且，很多协变导数的特色得到了保留：平行移动，曲率和和乐。

然而此定义除了线性之外还失去了协变性。在经典协变导数中，协变性乃是导数的后验特性。在构造过程中，要先指定“非协变”克氏记号的变换法则，才能给出符合协变的导数。对埃雷斯曼联络而言，可借由引入作用在纤维丛里纤维上的李群，来强加一个推广的协变原则。恰当的条件就是要求水平空间在某种意义下对应于群作用等变。

埃雷斯曼联络的点睛之笔是它可以表达为一个微分形式，和联络形式的情况类似。若一个群作用在纤维上，并且联络等变，则该形式也是等变的。而且，该联络形式也允许用曲率形式来定义曲率。

## 纤维丛上的埃雷斯曼联络

令π : E → M为纤维丛。E上的埃雷斯曼联络由如下数据组成：

- 对于每一点x ∈ E，给定E在x点的切空间向量子空间 Hx ⊂ TxE。Hx称为x点的水平空间。
- 随着x的变化，Hx必须定义出一个E的切丛的光滑子丛。（特别是，H必须有常数维度。）
- 令V = ker(dπ : TE → TM)为由所有沿着E的纤维方向的切向量组成的铅直丛。则Hx ∩ Vx = {0} 对于x ∈ E成立。
- 任何E的切向量必须可以分解为水平和铅直分量: TE = H + V。（特别是，根据上面第3条，这是一个直和分解。）

用更加看似深奥的术语来讲，满足属性1－4的这样的一个对水平空间的设定，精确地对应于给定一个射丛 JE → E的光滑截面。

等价的有，令Φ为到铅直丛V的投影。这可以由上述TE到水平和铅直分量的直和分解得到。则Φ满足：

- Φ2 = Φ
- Φ : TE → V是一个丛的满射。

反过来，若Φ是满足1和2的向量丛映射，则H = ker Φ定义了上述的一个埃雷斯曼联络的结构。

### 曲率

令Φ为一埃雷斯曼联络。则Φ的曲率为

$$R = \frac{1}{2}[\Phi,\Phi]$$

其中-,-表示Φ ∈ Ω1(E,TE)和它自己的Frölicher-Nijenhuis括号。这样R ∈ Ω2(E,TE)就是一个E上取值在TE中的2－形式，定义为

$R(X,Y) = \Phi\left([(Id - \Phi)X,(Id - \Phi)Y]\right)$,

或者说

$R(X,Y) = [X_H,Y_H]_V$,

其中X = XH + XV代表到H和V分量的分解。从上式可以看出，曲率为0当且仅当水平子丛是弗罗贝尼乌斯可积的。这样，曲率是否为0就是水平子丛能否构成纤维丛E → M的横截面的可积性条件。

一个埃雷斯曼的曲率也满足比安基恒等式（Bianchi identity）的一个扩展版本：

$$[\Phi, R] = 0$$

其中-,-仍然是Φ ∈ Ω1(E,TE)和R ∈ Ω2(E,TE)的Frölicher-Nijenhuis括号。

### 水平提升

埃雷斯曼联络也给出了将曲线从基流形 M 提升到纤维丛 E 的总空间并且使得曲线得切向量为水平向量的方式。这些水平提升是其它版本的联络表述中的平行移动的直接对应。

精确来讲，设 γ(t) 为 M 中穿过点 P = γ(0) 的光滑曲线。令 e ∈ EP 为 P 上的纤维中的一点。γ 穿过 e 的一个提升就是一条曲线 $\tilde{\gamma}(t)$，它位于 E 中，并满足

$\tilde{\gamma}(0)=e$，与 $\pi(\tilde{\gamma}(t)) = \gamma(t).$

提升是水平的，当曲线的每个切向量位于 TE 的水平子丛中：

$$\tilde{\gamma}'(t) \in H_{\gamma(t)}.$$

对π和Φ利用秩-零化度定理可以证明每个向量v ∈ TPM有唯一的水平提升$\tilde{v}\in T_eE$。特别是，γ的切向量场在拉回丛 γ-1E的总空间上产生一个水平向量场。利用皮卡定理，这个向量场是可积的。这样，对于每个曲线γ和γ(0)的纤维上的一点e，对于足够小的时间t总是存在唯一的穿过e的γ的水平提升。

### 完备性

埃雷斯曼联络允许曲线有局部水平提升。对于一个完备埃雷斯曼联络，曲线可以在整个定义域上水平提升。

### 和乐群

联络的平坦性局部对应于水平空间的弗罗贝尼乌斯可积性。在另一个极端，非零曲率表示了联络的和乐群的存在。

## 主丛

对于主G-丛 $E\to B$，每个$x\in E$，令$T_x(E)$代表在x的切空间，用$V_x$代表和纤维相切的铅直子空间。则联络是对$T_x(E)$的水平子空间 $H_x$的指定，并要满足

- $T_x(E)$是$V_x$和$H_x$的直和。
- $H_x$的分布在G在E上的作用下不变，也即$H_{ax}=D_x(R_a)H_{x}$对于任何$x\in E$

和$a\in G$成立，这里$D_x(R_a)$代表a在x的群作用的微分。

- 分布$H_x$光滑地依赖于x。

使用射丛 $JE \rightarrow E$可以更加优美地表达这个定义。指定水平空间无非就是指定该射丛的一个光滑截面。

G的单参数子群铅直作用于E上。该作用的微分允许我们可以讲子空间$V_x$和G群的李代数g等同起来，譬如通过映射$\iota:V_x\to g$。

然后，联络形式就是$E$上的在g中取值的微分形式$\omega$，其定义为$\omega(X)=\iota\circ v(X)$ 其中$v$代表在$x \in E$的从$X \in T_x$到$V_x$的投影，且其核空间为$H_x$。

联络形式满足如下两个属性：

- 联络在G作用下等变：$R_h^*\omega=\hbox{Ad}(h^{-1})\omega$ 对于所有h∈G成立。
- 联络将铅直向量场映射为相应的李代数的元素：$\omega(X)=\iota(X)$对于所有X∈V成立。

反过来，可以证明这样一个g-值1－形式在一个主丛上产生一个水平分布，满足前面所说的属性。

给定一个局部平凡化，可以将$\omega$（在该平凡化中）简化为水平向量场。它通过拉回在B上定义了一个形式$\omega'$。该形式$\omega'$完全确定了$\omega$，但是它依赖于平凡化的选择。（这个形式经常也称为联络形式并也记为$\omega$。）

## 进阶阅读

- Bott, R. (1970) "Topological obstruction to integrability", Proc. Symp. Pure Math., 16 Amer. Math. Soc., Providence, RI.

## 参见条目

- 嘉当联络
- 仿射联络
- 曲率形式