全集

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数学上，特别是在集合论和数学基础的应用中，全类（Universe，若是集合，则称作全集）是一个（在某种程度上）包含了所有的研究对象和集合的类。

## 在特定场合下

这个一般概念有数个精确的版本。最简单的情况下可以将任意集合$U$定义成全集，只要研究的对象都是其子集。若研究实数，则所有实数的集合实数线$\mathbb{R}$就是全集。在1870年代和1880年代，康托尔第一次发展现代朴素集合论和势的概念以应用于实分析，这时他默认地使用着的全集就是实数线$\mathbb{R}$。康托尔一开始关心的也只是$\mathbb{R}$的子集。

这种全集概念在文氏图的应用中有所反映。在文氏图中，所有的操作按例都是在一个表示全集$U$的大长方形内进行。集合通常表示为圆形，但这些集合只能是$U$的子集。集合$A$的补集则为长方形中表示$A$的圆形的外面的部分。严格地说，这是$A$对$U$的相对补集$U\backslash A$；但在$U$是全集的场合下，这可以被当成是$A$的绝对补集$A^C$。同样的，有一个称为空交集的概念，即零个集合的交集（指没有集合，而不是空集）。要是没有全集，空交集就会是所有东西组成的集合，这一般被认为是不可能的；但有了全集，空交集可以被当成是有条件（即$U$）下的所有东西组成的集合。

在基于布尔格的代数方法研究基础集合理论时，这种惯例非常有用。但对公理化集合论的一些非标准形式并非如此，例如新基础集合论，这里所有集合的类并不是布尔格，而仅仅是相对有补格。相反，$U$的幂集，即$U$的所有子集组成的集合，是一个布尔格。上述的绝对补集是布尔格中的补运算；而空交集$U$则作为布尔格中的最大元（或空交）。这里，适用于补运算、交运算和并运算（集合论中的并集）的德·摩根律成立，而且对空交和空并（即空集）也成立。

## 在一般数学中

然而，当考虑过给定集合$X$的子集（在康托尔的例子中，$X=\mathbb{R}$），可能就会进一步关心$X$的子集组成的集合。

（例如：$X$上的一个拓扑就是一个$X$的子集组成的集合。）

这些不同的$X$的子集组成的集合本身，一般而言并不是$X$的子集，却是$X$的幂集$\mathbf{P} X$的子集。当然，这还没有完；可以进一步考虑$X$的子集组成的集合所组成的集合，等等。另一个方向是：可以考虑笛卡尔积$X\times X$，或从$X$映射到其自身的函数。接着，还可以考虑笛卡尔积上的函数，或从$X$映射到$X\times \mathrm{P} X$的函数，等等。

这样，尽管主要关心的是$X$，仍然需要一个比$X$大很多的全集。顺着上面的思路，可能需要$X$上的超结构。这可以通过结构递归来定义，如下：

- 设$\mathbf{S}_0X$为$X$自身。
- 设$\mathbf{S}_1X$为$X$和$\mathbf{P} X$的并集。
- 设$\mathbf{S}_2X$为$\mathbf{S}_1X$和$\mathbf{P}(\mathbf{S}_1X)$的并集。
- 一般的，设$\mathbf{S}_{n+1}X$为$\mathbf{S}_nX$和$\mathbf{P}(S_nX)$的并集。则$X$上的超结构，写作$\mathbf{S}X$，为$\mathbf{S}_0X$，$\mathbf{S}_1X$，$\mathbf{S}_2X$，等等，的并集；或

$$\mathbf{S}X := \bigcup_{i=0}^{\infty} \mathbf{S}_{i}X \mbox{.} \!$$

注意到，无论初始集合$X$如何，空集总是属于$\mathbf{S}_1X$。重定义空集为冯·诺伊曼序数$[0]$。则$\{[0]\}$，是仅含有空集为元素的集合，属于$\mathbf{S}_2X$；定义为冯·诺伊曼序数$[1]$。类似的，$\{[1]\}$属于$\mathbf{S}_3X$，则$\{[0]\}$和$\{[1]\}$的并集$\{[0],[1]\}$也属于该集合；定义为冯·诺伊曼序数$[2]$。重复这个过程，所有的自然数都通过其冯·诺伊曼序数在超结构中表现出来。然后，若$x$和$y$属于这个超结构，则$\{\{x\},\{x,y\}\}$（这个集合表示了有序对$(x,y)$）也属于它。从而，这个超结构将包含各种所想要的笛卡尔积。而且，这个超结构也包含各种函数和关系，因为他们可以被表示为笛卡尔积的子集。以及，还能够得到有序 n元组，表示定义域为冯·诺伊曼序数$[n]$的函数。等等。

所以，就算仅从$X=\{\}$出发，也可以构造大量的用于数学研究的集合，它们都是在{}上的超结构里的某个元素。但是，这样$\mathbf{S}\{\}$的每个元素都会是有限集合。每个自然数都属于$\mathbf{S}\{\}$，但“所有”自然数的集合$\mathbb{N}$不属于$\mathbf{S}\{\}$（尽管它是$\mathbf{S}\{\}$的“子集”）。实际上，$X$上的超结构包含了所有的遗传有限集合。这样，它可以被认为是“有限主义数学的全集”。可以想像一下，假若19世纪的有限主义者利奥波德·克罗内克当时能使用到这个全集的话；他会相信每个自然数都存在，而集合$\mathbb{N}$（一个"完全的无穷大"）则不然。

然而，对一般的数学家（它们不是有限主义者）来说，$\mathbf{S}\{\}$是不足够的，因为尽管$\mathbb{N}$是$\mathbf{S}\{\}$的子集，但$\mathbb{N}$的幂集仍然不是。特别的，任意的实数集合都不是。所以，需要重新开始这个过程，来构造$\mathbf{S}(\mathbf{S}\{\})$。不过，为简单起见，就只用给出的自然数集合$\mathbb{N}$来构造$\mathbf{S}\mathbb{N}$，即$\mathbb{N}$上的超结构。这通常被认为是“一般数学的全集”。其意思是指，一般研究的所有数学物件，都已作为这个全集的元素而包含其中。例如：任何通常的实数的构造方式（比如通过戴德金分割）都会属于$\mathbf{S}\mathbb{N}$。即使是非标准分析，也能够在自然数的一个非标准模型上的超结构中进行。

应当注意，这个部分在观念上有些改变，这里全集是任何被关心的集合$U$。上个部分中，被研究的集合是全集的子集；而现在，它们是全集的元素。这样尽管$\mathbf{P}(\mathbf{S}X)$是一个布尔格，但相应的$\mathbf{S}X$不是。因此，几乎不直接采用布尔格和文氏图来描述这种超结构式的全集；在上个部分中，它们被用来描述幂集式的全集。作为替代，可以采用独立的布尔格$\mathbf{P}A$，这里$A$是$\mathbf{S}X$中任意相应的集合；则$\mathbf{P}A$是$\mathbf{S}X$的子集（实际上它属于$\mathbf{S}X$）。

## 在集合论中

正式来说，可以给出一个精确定义，来说明为何$\mathbf{S}\mathbb{N}$为一般数学的全集；这是策梅洛集合论的模型。策梅洛集合论是由恩斯特·策梅洛最初在1908年提出的公理集合论。策梅洛集合论的成功完全在于它能够公理化"一般"数学，完成了康托尔在三十年之前开始的课题。但策梅洛集合论对进一步发展公理集合论和数学基础中的其他工作，特别是模型论，是不够的。举一个戏剧性的例子：上述超结构的描述并不能独立地在策梅洛集合论中完成！

最后一步，构造$\mathbf{S}$成为一个无限并集，需要代换公理；这条公理在1922年被加入策梅洛集合论，成为如今通用的策梅洛-弗兰克尔集合论。所以，尽管一般数学可以在$\mathbf{S}\mathbb{N}$中进行，对$\mathbf{S}\mathbb{N}$的讨论则不再"一般"，而是转向元数学的领域。

但是，若在超级的集合论中，可以发现上述的超结构过程只是超限归纳法的开始。回到$X=\{\}$（空集），并用（标准的）符号$V_i$表示$\mathbf{S}_ i\{\}$。则有$V_0=\{\}$，$V_1=\mathbf{P}\{\}$，等等，和前面一样。但是，所谓"超结构"现在只是这个列中的下一项：$V_\omega$，这里$\omega$为第一个无穷序数。按照序数知识，得到：

$$V_{i} := \bigcup_{j<i} \mathbf{P}V_j \!$$

可以对任意序数$i$定义$V_i$。所有$V_i$的并集为冯·诺伊曼全集$V$：

$V := \bigcup_{i} V_{i} \!$。注意，每个单独的$V_i$都是集合，但他们的并集$V$是一个真类。跟代换公理差不多时候加入ZF系统的正则公理断言，每个集合都属于$V$。

## 参考书目

- Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Springer-Verlag New York, Inc.