电动势

在电路学里，电动势（electromotive force，缩写为EMF，或以 $\mathcal{E}$ 表示）表征一些电路元件供应电能的特性。这些电路元件称为“电动势源”。电化电池、太阳能电池、燃料电池、热电装置、发电机等等，都是电动势源。电动势源所供应的能量每单位电荷是其电动势。假设，电荷 $Q\,$ 移动经过一个电动势源后，获得能量 $W\,$，则此元件的电动势定义为 $\mathcal{E} =\frac{W}{Q}$。通常，这能量是分离正负电荷所做的功，由于这正负电荷被分离至元件的两端，会出现对应电场与电势差。

在电磁学里，电动势又分为两种：感应电动势（induced EMF）与动生电动势（motional EMF）。根据法拉第感应定律，处于含时磁场的闭电路，由于磁场随着时间而改变，会有感生电动势出现于闭电路。感生电动势等于电场沿着闭电路的路径积分。处于闭电路的带电粒子会感受到电场，因而产生电流。

移动于磁场的细直导线，其内部会出现动生电动势。处于这导线的电荷，根据劳仑兹力定律，会感受到劳仑兹力，从而造成正负电荷分离至直棍的两端。这动作会形成一个电场与伴随的电场力，抗拒劳仑兹力，直到两种作用力达成平衡。

## 历史

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从1825年到1826年之间，格奥尔格·欧姆做了很多有关于电路的实验。1827年，在他发表的书《直流电路的数学研究》（Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet）里面，论述很多这些实验和从这些实验中得到的结果，包括著名的“欧姆定律”。欧姆注意到电路所需要的电源是由电池供给的，电池与电路内的各种物理现象应该有密切关系。他推论电池具有某种“驱动力”，能够驱使电流流动于电路。他将几个伏打电池串联在一起，发觉电流与伏打电池的数量成正比。因此，他提出驱动力与电流成正比。这驱动力就是现在的电动势，在一个简单的电阻电路里，电动势等于电流乘以电阻。

后来，于1831年，麦可·法拉第做了一系列有关电磁感应的实验，从这些实验，他发现以下几点：

- 当改变载流导线的电流时，附近的闭电路会被感应出电流。
- 当移动磁铁时，附近的闭电路会被感应出电流。
- 当移动闭电路于载流导线或磁铁附近时，这闭电路会被感应出电流。

于1832年，法拉第又发现，产生于不同导线的感应电流与导线的电导率成正比。由于电导率与电阻成反比，这显示出感应作用涉及了电动势，感应电流是由电动势驱使导线的电荷移动而形成的；而且，不论导线是开电路，或是闭电路，都会感应出电动势。

## 严格定义

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当处于平衡状态时，在一个呈开电路状态的电动势源元件（例如电池）内部，电动势促使正电荷和负电荷被分离至元件两端。电荷分离形成的保守性静电场 $\mathbf{E}_{cs}$ 所产生的电场力，完全抵销了产生电动势 $\mathcal{E}$ 的作用力。电场 $\mathbf{E}_{cs}$ 沿着电动势源的内部路径，从负端点 $a$ 到正端点 $b$ 的积分，与电动势大小相等，正负相反。电动势乃是迁移正电荷于电动势源的内部路径，从负端点到正端点，抗拒电场 $\mathbf{E}_{cs}$ 所做的功每单位电荷。以方程式表达。

$\mathcal{E} = - \int_{a}^{b} \mathbf{E}_{cs} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\ell}$。

其中，$\mathrm{d} \boldsymbol{\ell}$ 是微小线元素向量。

从电动势源，这正电荷会感受到的电场 $\mathbf{E}_{emf}$，其与电动势的关系为

$\mathcal{E} =\int_{a}^{b} \mathbf{E}_{emf} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\ell}$。（1）

对于闭回路案例，假设闭回路 $\mathbb{C}$ 所围住的固定曲面，在这曲面的磁场 $\mathbf{B}$ 与时间有关，则根据法拉第感应定律，会有感生电动势 $\mathcal{E}$ 出现于这闭回路：

$\mathcal{E}= - \int_{\mathbb{S}} \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}= - \frac{\mathrm{d}\phi_B}{\mathrm{d}t}$。

其中，$\mathbb{S}$ 是边缘为闭回路 $\mathbb{C}$ 的任意曲面，$\mathrm{d}\mathbf{a}$ 是微小面元素向量，$\phi_B$ 是穿过曲面 $\mathbb{S}$ 的磁通量。

电场沿着闭回路的环流量不会等于零，而会等于感生电动势：

$\mathcal{E}=\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$。

其中，$\mathbf{E}$ 是总电场，包括保守性电场 $\mathbf{E}_{cs}$ 和非保守性电场 $\mathbf{E}_{ncs}$。

对于这案例，静电场并不是总电场的维一的贡献者。静电场部分是保守的。静电场部分沿着闭回路的电场环流量等于零，只有非保守性电场 $\mathbf{E}_{ncs}$ 会贡献出感生电动势：

$\mathcal{E}=\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{E}_{ncs}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$。

这定义可以延伸至任意电动势源和移动的闭回路 $\mathbb{C}$（在移动于磁场的闭回路内部会出现动生电动势 $\oint_{\mathbb{C}}\mathbf{v} \times \mathbf{B}\cdot\mathrm{d} \boldsymbol{ \ell }$）：

$\mathcal{E}=\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{E}_{emf}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=\oint_{\mathbb{C}}\left(\mathbf{E}_{ncs} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right)\cdot\mathrm{d} \boldsymbol{ \ell } +\frac{1}{q}\oint_{\mathbb{C}}\ \mathbf{f}_c\cdot\mathrm{d} \boldsymbol{ \ell }+\frac{1}{q}\oint_{\mathbb{C}}\ \mathbf{f}_t\cdot\mathrm{d} \boldsymbol{ \ell }$ ;

其中，$\mathbf{f}_c$ 是有效化学作用力，$\mathbf{f}_t$ 是有效热作用力，$\mathbf{v}$ 是微小线元素的移动速度。

将劳仑兹力方程式代入。

$\mathcal{E}=\frac{1}{q}\oint_{\mathbb{C}}\mathbf{f}_{lorentz}\cdot\mathrm{d} \boldsymbol{ \ell } +\frac{1}{q}\oint_{\mathbb{C}}\ \mathbf{f}_c\cdot\mathrm{d} \boldsymbol{ \ell }+\frac{1}{q}\oint_{\mathbb{C}}\ \mathbf{f}_t\cdot\mathrm{d} \boldsymbol{ \ell }$ ;

其中，$\mathbf{f}_{lorentz}=q(\mathbf{E}_{ncs} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})$ 是劳仑兹力。

由于很难准确的计算出有效化学作用力和有效热作用力，这方程式只是一个概念方程式。

## 标记与度量单位

电动势通常会以希腊字母 $\mathcal{E}$ 标记。

给予一个内部电阻为零的元件，假设电荷 $Q$ 由于移动经过元件，获得能量 $W$，则元件的净电动势为的获得的能量每单位电荷 $W/Q$。采用国际单位制，就像其它能量每单位电荷的度量，电动势的单位是伏特（volt），等价于焦耳／库仑（joules per coulomb）。

采用厘米-克-秒制，电动势的单位是静伏特（statvolt），等价于尔格／静库仑（erg per statcoulomb）。

## 电动势和路端电压的关系

理想电动势源不具有任何内阻，放电与充电不会浪费任何电能。理想电动势源给出的电动势与其路端电压相等。

在实际应用中，电动势源不可避免地有一定的内阻。实际电动势源的电阻可以视为一个理想电动势源串联一个电阻为内阻的电阻器。内阻的大小取决于电动势源的大小、化学性质、使用时间、温度和负载电流。

在通电的闭电路中，内阻相当于一个负载，并且消耗电能。

- 放电电路：在放电电路中，二者关系为 $\mathcal{E}= V + Ir$，其中 $V$ 表示电路端电压，$I$ 表示回路电流，$r$ 表示内阻。
- 充电电路：在充电电路中，二者关系为 $\mathcal{E}= V - Ir$，其中 $V$ 表示外加充电电源提供给被充电电源两端的电压。

在一个呈开电路状态的电动势源内部，由于电流为零，电动势与路端电压相等。

## 电动势源元件

能够供应电动势的元件有很多种，例如，电化电池、太阳能电池、燃料电池、热电装置、发电机等等。

电池靠着位于电极的化学反应来产生电动势。这些化学反应分离正负电荷至电池的两端点，从而造成电势差。伏打电池是大多数电池的原型。伏打电池可以试想为，在每一个电极，都装有一个原子尺寸的电荷泵；也就是说。

试想电动势源为一种电荷泵；它能将正电荷，从低电势端，经过其本身，移动到高电势端.....使用化学，机械或其它机制，电动势源将这正电荷 $\mathrm{d}q$ 移至高电势端，所做出的功是 $\mathrm{d}W$。电动势源的电动势 $\mathcal{E}$ 定义为其所做的功每单位电荷 $\mathcal{E}=\mathrm{d}W/\mathrm{d}q$

在发电机里，电动势的运作所遵守的主要原理是法拉第感应定律。含时磁场通过电磁感应产生电动势，而这电动势造成了发电机两端的电荷分离和电势差。电荷从一个端点移动到另外一个端点，直到两端的分离电荷所产生的电场能够阻止更多的电荷分离。电动势与电荷分离产生的电势差相互抗衡。假设在发电机两端连结一个负载，则电动势会驱使电流流过负载。

太阳能电池或光电二极管是另外一种电动势源；太阳能电池使用光能为外来能源，可以将光能变为电能，是大面积的光电二极管。

燃料电池是一种使用燃料进行化学反应产生电力的装置。最常见的是一种以氢氧为燃料的质子交换膜燃料电池，由于燃料价格平宜，加上对人体无化学危险、对环境无害，发电后产生纯水和热，在商业与工业方面有相当广泛的用途。

## 电动势生成机制

### 电化电池

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在十九世纪的一大段时间，许多科学家都致力于寻找电池（伽凡尼电池）产生电动势的机制。最终，瓦尔特·能斯特发现电动势的作用点是处于电极与电解质之间的接触面。

分子是一群原子靠着化学键连接在一起而形成。这些化学键是电子与质子之间相互吸引的电场力。孤立的分子是稳定实体；但当将不同的分子集聚在一起时，有些种类的分子能够偷取其它分子的电子，造成电荷分离。这种电荷重新分布会改变整个系统的能量，以及分子内部原子的重新组态。

氧化反应是化合价升高，失去电子的反应；还原反应是化合价降低，获得电子的反应。发生这种电子交换事件的反应称为氧化还原反应。在电池里，阳极是发生氧化反应的电极（或者失去电子的电极）；而阴极则是发生还原反应的电极（或者获得电子的电极）。这同样的物理行为可以从原子本身观察出来。原子偷取电子的能力称为电负性

举例而言，在丹尼耳电池里，锌阳极的锌原子会溶解于硫酸锌溶液，溶解的锌原子会遗留其电子于阳极，根据氧化反应（s = 固体阳极，aq = 水溶液）：

$\mathrm{Zn}(s) \rightarrow \mathrm{Zn}^{2+}(aq) + 2 \mathrm{e} ^-$。

硫酸锌是一种电解质，在溶液内有可以导电的离子，锌离子 $\mathrm{Zn}_{} ^{2+}$ 与硫酸根离子 $\mathrm{SO}_4^{2-}$。

在丹尼尔电池的铜阴极区域，根据还原反应，硫酸铜电解质的铜离子会从阴极获得电子：

$\mathrm{Cu}^{2+}(aq) + 2 e^- \rightarrow \mathrm{Cu}(s)$。

被中性化的铜原子会电镀在铜阴极表面。

电子会通过外电路（示意图内的检流计），而硫酸根离子会通过盐桥，这样，可以保持电荷平衡。当反应进行时，锌阳极会缓慢的溶解，而铜阴极表面会被电镀。假若外电路被断开，由于电荷分离产生的电场会抗拒两个电极之间的电动势，反应会停止。

### 热力学电动势

在热力学里，电动势 $\mathcal{E}$ 乘以电荷量 $Z$，就是分离电荷所做的功项目。对于可逆过程，当电动势促使电荷在电池内移动时，内能的变化包括这项目：

$\mathrm{d}U = T\mathrm{d}S - P\mathrm{d}V+ \mathcal{E}\mathrm{d}Z$。

其中，$U$ 是内能，$S$ 是熵，$T$ 是绝对温度，$V$ 是体积，$P$ 是压强。

假设电池为丹尼耳电池，由于在这种电池内进行的反应不会产生气体，系统体积不变，方程式简化为

$\mathrm{d}U = T\mathrm{d}S + \mathcal{E}\mathrm{d}Z$。

让熵 $S$ 为 $T$ 和 $Z$ 的函数，熵的全微分为

$\mathrm{d}S =\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_Z \mathrm{d}T+ \left(\frac{\partial S}{\partial Z}\right)_T \mathrm{d}Z$。

假设等温过程，那么，方程式右手边的第一个项目等于零：

$\mathrm{d}S = \left(\frac{\partial S}{\partial Z}\right)_T \mathrm{d}Z$。

将这方程式带入内能的方程式：

$\mathrm{d}U =\left\{\mathcal{E}+T\left(\frac{\partial S}{\partial Z}\right)_T \right\}\mathrm{d}Z$。

这方程式右手边的第二个项目是“充电热”（heat of charging），定义为在一个等温可逆的充电过程，系统的热能吸收率 $C_T^{(Z)}$：

$C_T^{(Z)}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mathrm{d}Q_T}{\mathrm{d}Z}=T\left(\frac{\partial S}{\partial Z}\right)_T$。

吸收率 $C_T^{(Z)}$ 比较不容易计算，可以找更有用的变数替换。思考亥姆霍兹自由能 $F$：

$\mathrm{d}F = \mathrm{d}U - \mathrm{d}(TS)= - S\mathrm{d}T + \mathcal{E}\mathrm{d}Z$。

所以，$(\mathcal{E},\ Z)$ 是一对共轭变量（conjugate variables）。其马克士威关系式为：

$\left(\frac{\partial \mathcal{E}}{\partial T}\right)_Z= <pre> - \left(\frac{\partial S}{\partial Z}\right)_T$。

带入内能的方程式：

$\mathrm{d}U =\left\{\mathcal{E} - T\left(\frac{\partial \mathcal{E}}{\partial T}\right)_Z \right\}\mathrm{d}Z$。

通常，电动势跟温度 $T$、电荷量 $Z$ 有关。假若，能够使丹尼耳电池内的溶液保持饱和状态，有很多离子化合物随时准备分解进入溶液，则电动势跟电荷量无关，只跟温度有关：

$\mathrm{d}U =\left(\mathcal{E} - T\frac{\mathrm{d} \mathcal{E}}{\mathrm{d} T}\right) \mathrm{d}Z$。

对于丹尼耳电池，体积不变，假设等压过程，则焓的改变 $\Delta H$，称为“反应热”，等于内能的改变：

$\Delta H=\Delta(U+PV)=\Delta U$。

使得一莫耳的金属原子进入溶液所需要的电荷量为

$\Delta Z = zN_A e$。

其中，$z$ 是金属离子的电价，$N_A$ 是亚佛加厥常数，$e$ 是基本电荷量。

假设恒压、恒体积，则电池的热力学性质与电动势的紧密关系，以方程式表达为

$\Delta H = zN_A e \left( \mathcal{E} - T \frac {d\mathcal{E}}{\mathrm{d}T}\right)$。

这样，只要得到电动势与温度之间关系的资料，从测量电动势和温度的数据，很容易就能够准确地计算出某化学反应的反应热。

### 动生电动势

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许多发电机的基本运作原理涉及动生电动势概念。移动于磁场的导线，其内部会出现电动势，称为“动生电动势”。如图右所示，假设一条长度为 $L$ 的细直导线，以速度 $\mathbf{v}$ 移动于磁场 $\mathbf{B}$。磁场 $\mathbf{B}$ 以箭尾或叉叉表示。思考在这导线内的电荷 $q$，根据劳仑兹力定律，会感受到劳仑兹力 $\mathbf{F}_{lorentz}$：

$\mathbf{F}_{lorentz} =q\mathbf{v}\times\mathbf{B}$。

在这里，劳仑兹力也是磁场力。因为感受到这磁场力，正电荷会往导线的上端移动，负电荷会往导线的下端移动。在稳定平衡状态，这动作会形成一个电场 $\mathbf{E}$：

$\mathbf{E} = - \mathbf{v}\times\mathbf{B}$。

如同先前方程式（1）的定义，电动势定义为，迁移正电荷于导线路径 $\mathbb{L}$，从负端点到正端点，抗拒电场 $\mathbf{E}$ 所做的功每单位电荷，以方程式表示为

$\mathcal{E} =-\int_\mathbb{L} \mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=\int_L \frac{\mathbf{F_{lorentz}}}{q}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} =vBL$。

对于这案例，假若达到稳定平衡状态，则电流等于零。假设载流导线与其他元件连结成闭电路，则会因为动生电动势而产生电流。例如，将一个电阻 $R$ 与导线的两端相连结，则流过电阻的电流 $I$ 为

$I=\mathcal{E}/R=vBL/R$。

### 法拉第感应定律导引

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法拉第感应定律指出，穿过任意曲面的磁通量变化率，与围住这任意曲面的闭回路所出现的电动势，两者之间的关系为：

$\mathcal{E}= - \frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}$。

其中，$\mathcal{E}$ 是电动势，$\Phi_B$ 是磁通量，$t$ 是时间。

在时间 $t$ 穿过任意曲面 $\Sigma(t)$ 的磁通量 $\Phi_B(t)$ 定义为

$\Phi_B(t)\ \stackrel{def}{=}\ \int_{\Sigma(t)} \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}$。

其中，$\mathbf{r}$ 是场位置，$\mathrm{d}\mathbf{a}$ 是微小面元素。

法拉第感应定律的方程式，以积分形式表示为

$\mathcal{E}= - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{\Sigma(t)} \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}$。

法拉第感应定律表明了磁通量与电动势之间的关系。本段落会应用一些向量微积分的方法与工具，从这定律的积分形式推导出微分形式。

假设围住任意曲面 $\Sigma(t)$ 的闭回路 $\partial\Sigma(t)$ 以常速度 $\mathbf{v}$ 移动于磁场。那么，磁通量对于时间的全微分是

$\begin{align} \mathrm{d}\Phi_B(t) & =\int_{\Sigma(t+\mathrm{d}t)} \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t+\mathrm{d}t) \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} - \int_{\Sigma(t)} \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)\cdot \mathrm{d}\mathbf{a} \\ <pre> & =\int_{\Sigma(t+\mathrm{d}t)} \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t) \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} </pre> +\int_{\Sigma(t+\mathrm{d}t)} \frac{\partial \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t) }{\partial t} \mathrm{d}t \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} - \int_{\Sigma(t)} \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)\cdot \mathrm{d}\mathbf{a} \\ <pre> & =\int_{\Sigma(t+\mathrm{d}t)} \frac{\partial \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t) }{\partial t} \mathrm{d}t \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} +\int_{\Sigma_{total}} \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t) \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} </pre> - \int_{\Sigma_{ribbon}} \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)\cdot \mathrm{d}\mathbf{a} \\ \end{align}$。

其中，$\Sigma(t)$ 是边缘为 $\partial\Sigma(t)$ 的曲面，$\Sigma_{total}$ 是包括 $\Sigma(t+\mathrm{d}t)$、$- \Sigma(t)$ 和 $\Sigma_{ribbon}$ 的闭曲面，$\Sigma_{ribbon}$ 是边缘 $\partial\Sigma(t+\mathrm{d}t)$ 和 $\partial\Sigma(t)$ 形成的边缘曲面。

根据散度定理和高斯磁定律。

$\int_{\Sigma_{total}} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}=\int_{\mathbb{V}_{total}} \nabla\cdot\mathbf{B}\ \mathrm{d}r^3=0$。

其中，$\mathbb{V}_{total}$ 是闭曲面 $\Sigma_{total}$ 包含的空间，$\mathrm{d}r^3$ 是微小体积元素。

以线积分表示来表示穿过边缘曲面 $\Sigma_{ribbon}$ 的磁通量：

$\int_{\Sigma_{ribbon}} \mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a} =\int_{\partial\Sigma(t)}\mathbf{B}\cdot[\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times(\mathbf{v}\mathrm{d}t)] =\int_{\partial\Sigma(t)}[(\mathbf{v}\mathrm{d}t)\times\mathbf{B}]\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$。

所以，磁通量对于时间的全导数，或磁通量的变化率为

$\frac{\mathrm{d}\Phi_B(t)}{\mathrm{d}t}=\int_{\Sigma(t)} \frac{\partial \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t) }{\partial t} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} - \int_{\partial\Sigma(t)} \mathbf{v}\times\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$。

假设，在以常速度 $\mathbf{v}$ 移动于实验室参考系的闭回路 $\partial\Sigma$ 内部，有一个电荷 $q$ 以相对速度 $\mathbf{u}$ 运动于闭回路 $\partial\Sigma(t)$，则电荷以相对速度 $\mathbf{w}$ 运动于实验室参考系：

$\mathbf{w}=\mathbf{u}+\mathbf{v}$。

注意到 $\mathbf{u}\times\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=0$，所以。

$\frac{\mathrm{d}\Phi_B(t)}{\mathrm{d}t}=\int_{\Sigma(t)} \frac{\partial \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t) }{\partial t} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} - \int_{\partial\Sigma(t)} \mathbf{w}\times\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$。

这电荷 $q$ 会感受到劳仑兹力

$\mathbf{F}_{Lorentz}=q(\mathbf{E} +\mathbf{w}\times\mathbf{B})$。

电动势 $\mathcal{E}$ 定义为

$\mathcal{E}\ \stackrel{def}{=}\ \int_{\partial\Sigma(t)}\frac{\mathbf{F}_{Lorentz}}{q}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=\int_{\partial\Sigma(t)}(\mathbf{E} +\mathbf{w}\times\mathbf{B})\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$。

应用斯托克斯定理。

$\mathcal{E}=\int_{\Sigma(t)}(\nabla\times\mathbf{E})\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}+\int_{\partial\Sigma(t)}(\mathbf{w}\times\mathbf{B})\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$。

从法拉第感应定律方程式的积分形式，除去相同的线积分项目，即动生电动势项目，令剩下的感生电动势项目相等，可以得到

$\int_{\Sigma(t)}(\nabla\times\mathbf{E})\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}=-\int_{\Sigma(t)} \frac{\partial \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t) }{\partial t} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}$。

由于 $\Sigma(t)$ 是任意曲面，可以将被积式从积分中取出：

$\nabla\times\mathbf{E}= - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$。

这就是法拉第感应定律方程式的微分形式，即马克士威-法拉第方程式。反之，也可以从微分形式推导出积分形式。

不论磁场是不含时的或含时的，不论闭回路是刚硬固定的、是在运动中、是在形变过程中，法拉第感应定律都成立。但是，对于某些案例，法拉第感应定律并不适用或使用起来很困难。这时候，必须使用劳仑兹力定律。详尽细节，请参阅法拉第感应定律不适用案例。

假设闭回路移动于不含时磁场 $\mathbf{B}$，穿过闭回路的磁通量 $\Phi_B$ 会因为几种因素而改变：例如，假若磁场 $\mathbf{B}$ 随着位置改变，闭回路移动至不同磁场 $\mathbf{B}$ 的位置，则磁通量 $\Phi_B$ 会改变。或者，假若相对于磁场，闭回路的定向改变，由于微小元素 $\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}$ 的改变，磁通量 $\Phi_B$ 也会改变。再举一个例子，假若闭回路扫掠过一个均匀的不含时磁场，由于闭回路的形变，磁通量 $\Phi_B$ 会改变。对于这三个案例，法拉第感应定律会正确地计算出磁通量变化率 $\frac{d \Phi_B}{\mathrm{d}t}$ 所产生的电动势。

对比前面所述状况，假设固定的闭回路处于含时磁场 $\mathbf{B}$，马克士威-法拉第方程式会显示出一个非保守性的电场 $\mathbf{E}$ 产生于闭回路，靠着劳仑兹力的 $q\mathbf{E}$ 项目，驱使带电粒子移动于闭回路。这状况也会改变磁通量 $\Phi_B$，法拉第感应定律会正确地计算出磁通量变化率 $\frac{d \Phi_B}{\mathrm{d}t}$ 所产生的电动势。

## 参阅

- 伽伐尼电池
- 伏打电堆
- 法拉第吊诡
- 磁动势