杨辉三角形

杨辉三角形，又称帕斯卡三角形、贾宪三角形、海亚姆三角形、巴斯卡三角形，是二项式系数的一种写法，形似三角形，在中国首现于南宋杨辉的《详解九章算法》得名，其在书中说明是引自贾宪的《释锁算书》，故又名贾宪三角形。前9行写出来如下：

$$\begin{array}{c} <pre> 1 \\ 1 \quad 1 \\ 1 \quad 2 \quad 1 \\ 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\ 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \\ 1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1 \\ 1 \quad 6 \quad 15 \quad 20 \quad 15 \quad 6 \quad 1 \\ 1 \quad 7 \quad 21 \quad 35 \quad 35 \quad 21 \quad 7 \quad 1 \\ 1 \quad 8 \quad 28 \quad 56 \quad 70 \quad 56 \quad 28 \quad 8 \quad 1 \\ 1 \quad 9 \quad 36 \quad 84 \quad 126 \quad 126 \quad 84 \quad 36 \quad 9 \quad 1 \\ 1 \quad 10 \quad 45 \quad 120 \quad 210 \quad 252 \quad 210 \quad 120 \quad 45 \quad10 \quad 1\\ </pre> \end{array}$$

杨辉三角形第 $n$ 层（顶层称第 0 层，第 1 行，第 $n$ 层即第 $n+1$ 行，此处 $n$ 为包含 0 在内的自然数）正好对应于二项式 $\left(a+b\right)^{n}$ 展开的系数。例如第二层 1 2 1 是幂指数为 2 的二项式 $\left(a+b\right)^{2}$ 展开形式 $a^{2}+2ab+b^{2}$ 的系数。

## 性质

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- 杨辉三角形以正整数构成，数字左右对称，每行由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。
- 杨辉三角形每一行的平方和在杨辉三角出现奇数次。
- 杨辉三角形第2的幂行所有数都是奇数亦即组合数$\binom{2^a-1}{b}$恒为奇数，其中$a$为非负整数，$b$为$0,1,2,3, \cdots ,(2^a-1)$中的某一数。此为卢卡斯定理的特殊情况。
- 第 $n$ 行的数字个数为 $n$ 个。
- 第 $n$ 行的第 $k$ 个数字为组合数 $C_{k-1}^{n-1}$。
- 第 $n$ 行数字和为 $2^{n-1}$，因为第 $n$ 行是 $\left(1+1\right)^{n-1}$ 的二项展开。
- 第 $n$ 行的数字按顺序写下所形成的数字为 $11^{n-1}$，因为该数字是 $\left(10+1\right)^{n-1}$ 的二项展开。例如第二行 $11=11^1$，第三行 $121=11^2$，第四行 $1331=11^3$，第五行 $14641=11^4$，第六行 $161051=11^5$（第六行之后需进位）。该规律可推广至任何进位制，例如在九进制下：$121_9=100_{10}$，$1331_9=1000_{10}$。
- 除每行最左侧与最右侧的数字以外，每个数字等于它的左上方与右上方两个数字之和（也就是说，第 $n$ 行第 $k$ 个数字等于第 $n-1$ 行的第 $k-1$ 个数字与第 $k$ 个数字的和）。这是因为有组合恒等式：$C_{k+1}^{n+1}=C_{k}^{n}+C_{k+1}^{n}$。可用此性质写出整个杨辉三角形。
- 如果 $n$ 为质数，则第 $\left(n+1\right)$ 行的数中除了两端的1以外均为 $n$ 的整数倍数。若 $n$ 为合数则不然。考虑二项式系数$\binom{p}{n}=\frac{p!}{n!(p-n)!}$，并限定n不为p或0，则由于分子有质数p，但分母不含p，故分子的p能保留，不被约分而除去，即$\binom{p}{n}$恒为p的倍数。另见中一新生之梦。
- 按照该三角形的斜边以及与之平行的斜线上的数所形成的数列为第 $\left(n-1\right)$ 维度的单纯形数。即第一列全为1（0维），第二列为自然数形成的数列，第三列为三角形数形成的数列，第四列为四面体数形成的数列，第五列为五胞体数形成的数列，以此类推。
- 第 $p$ 行（第 $n$ 层）的所有的数的平方和为第 $\left(2p-1\right)$ 行（第 $2n$ 层）正中央的数字。可用该式得出 $\sum_{k=0}^n {n \choose k}^2 = {2n \choose n}$。例如第五行（第四层）所有的数的平方和 $1^2+4^2+6^2+4^2+1^2=70$ 是第九行（第八层）正中央的数字。
- 将三角形左端对齐之后，沿右斜45度的对角线方向（不改变三角形形状的话则需要按照中国象棋的马的走法）取得的数之和为斐波那契数。
- 将第奇数行正中央的数减去其左侧（或右侧）第二个数，得到的差为卡塔兰数。
- 将杨辉三角形中所有的奇数与所有的偶数以不同颜色涂色的话，可以形成一个类似谢尔宾斯基三角形的图形。

## 历史

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波斯数学家凯拉吉和天文学家兼诗人欧玛尔·海亚姆（عمر خیام,Omar Khayyám）在10世纪都发现了这个三角形，而且还知道可以借助这个三角形找$n$次根，和它跟二项式的关系。但他们的著作已佚失。

11世纪北宋数学家贾宪发明了贾宪三角，并发明了增乘方造表法，可以求任意高次方的展开式系数。贾宪还对贾宪三角表（古代称数字表为“立成”）的构造进行描述。贾宪的三角表图和文字描写，仍保存在大英博物馆所藏《永乐大典》卷一万六千三百四十四。

13世纪中国南宋数学家杨辉在《详解九章算术》里解释这种形式的数表，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》。

1303年元代数学家朱世杰在《四元玉鉴》卷首绘制《古法七乘方图》。

意大利人称之为“塔塔利亚三角形”（Triangolo di Tartaglia）以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。

布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique（1655年）介绍了这个三角形。帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，皮埃尔·雷蒙·德蒙莫尔（1708年）和亚伯拉罕·棣莫弗（1730年）都用帕斯卡来称呼这个三角形。

历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家：

- Karaji 和 欧玛尔·海亚姆 波斯 10世纪（图文无存）
- 贾宪 中国北宋 11世纪 《释锁算术》 （图文现存大英博物馆所藏《永乐大典》）
- 杨辉 中国南宋 1261《详解九章算法》记载之功（图文现存大英博物馆所藏《永乐大典》）
- 朱世杰 中国元代 1299《四元玉鉴》级数求和公式
- 阿尔·卡西 阿拉伯 1427《算术的钥匙》（现存图文）
- 阿皮亚纳斯 德国 1527
- 施蒂费尔 德国 1544《综合算术》二项式展开式系数
- 薛贝尔 法国 1545
- B·帕斯卡 法国 1654《论算术三角形》

### 中国数学家的研究

中国贾宪是贾宪三角的发明人，贾宪/杨辉称之为“释锁求廉本源”，朱世杰称之为“古法七乘方图”（1303年），明代数学家吴敬《九章详注比类算法大全》称之为“开方作法本源”（1450年）；明王文素《算学宝鉴》称之为“开方本源图”（1524年）；明代程大位《算法统宗》称之为“开方求廉率作法本源图”（1592年）。

清代梅文鼎《少广拾遗》称之为“七乘府算法”（1692年）；清代孔广森《少广正负术》称之为“诸乘方乘率表”；焦循《加减乘除释》称之为“古开方本原图”；刘衡《筹表开诸乘方捷法》称之为“开方求廉率图”；项名达《象数一原》称之为“递加图”。伟烈亚力《数学启蒙》称之为“倍廉法表”；李善兰《垛积比类》称之为“三角垛表”。近代中算史家李俨称之为“巴斯噶三角形”，但根据《永乐大典》指出“巴斯噶三角形”最早由贾宪使用。著名数学家华罗庚，在1956年写的一本通俗读物《从杨辉三角谈起》，将贾宪的《开方作法本源》称为“杨辉三角”，首次将“巴斯噶三角形”回归宋代数学家名下；此后的中学数学教科书和许多数学科普读物都跟随之。另一方面，专业的中国数学史著作，都用“贾宪三角”这个称呼。

## 一个数在杨辉三角出现的次数

由1开始，正整数在杨辉三角形出现的次数为：∞,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, ... （OEIS:A003016）。最小而又大于1的数在贾宪三角形至少出现n次的数为2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... （OEIS:A062527）

- 除了1之外，所有正整数都出现有限次。
- 只有2出现刚好一次。
- 6,20,70等出现三次。
- 出现两次和四次的数很多。
- 还未能找到出现刚好五次或七次的数。
- 120,210,1540等出现刚好六次。（OEIS:A098565）
- 因为丢番图方程${n+1 \choose k+1} = {n \choose k+2},$有无穷个解，所以出现至少六次的数有无穷多个。
- 其解答，是

$n = F_{2i+2} F_{2i+3} - 1,\,$ $k = F_{2i} F_{2i+3} - 1,\,$

- 其中$F_n$表示第$n$个斐波那契数（$F_1 = F_2 = 1$）。
- 3003是第一个出现八次的数。

## 参见

- 贾宪、杨辉
- 莱布尼茨三角形