域 (数学)

在抽象代数中，域（field）又称体，是一种具有加法跟乘法的集合（代数结构），且其加法跟乘法运算就如同普通的有理数还有实数。事实上，体正是数域以及四则运算的推广，所以被广泛运用在代数、数论等数学领域中。

体是环的一种。但区别在于域要求它的非零元素可以做除法，且体的乘法有交换律。

最有名的体结构的例子就是有理数体、实数体还有复数体。还有其他形式的体，例如有理函数体、代数函数体、代数数体、p进数体等，都很常在数学的领域中被使用或是研究，特别是数论或是代数几何。此外还有一些密码学上的安全协定都是依靠着有限体。

在两个体中的关系被表示成体扩张的观念。Galois理论，由Évariste Galois在1830年代提出，致力于理解体扩展的对称性。其中Galois理论还有其他结果，解决了不能用尺规作图做出三等份角以及化方为圆的问题。此外，还解决了五次方程不能有公式解的问题。

## 正式定义

给定集合 $K$，它具有了以下两种二元运算：

- $\oplus:K \times K \to K$ （其中 $\oplus(a,\,b)$ 惯例上简记为 $a \oplus b$）
- $\otimes:K \times K \to K$ （其中 $\otimes(a,\,b)$ 惯例上简记为 $a \otimes b$ 或 $a \cdot b$ 甚至是 $ab$）

满足：

- $(K,\,\oplus)$ 为交换群，且其单位元为 $0_K$。
- $(K-\{0_K\},\,\otimes)$ 为交换群。
- 分配律：对所有 $a,\,b,\,c \in K$，$a \otimes (b \oplus c) = (a \otimes b) \oplus (a \otimes c)$ 且 $(b \oplus c) \otimes a = (b \otimes a) \oplus (c \otimes a)$。

那称“ $(K,\,\oplus,\,\otimes)$ 为体”，当二元运算（$\oplus$和$\otimes$）的定义显而易见而不需特别强调时，亦可将 $(K,\,\oplus,\,\otimes)$ 简记为 $K$。

### 惯用符号与称呼

(1)体的代号：

有时会基于德语 Körper，以字母 $K$ 代称体，但也会基于英语 Field 以 $F$ 代称。

(2)加法与乘法：

习惯上，$\otimes$ 被称为乘法， $(K-\{0_K\},\,\otimes)$ 的单位元会记为 $1_K$，并称为 $(K,\,\oplus,\,\otimes)$ 的乘法单位元。

类似地， $\oplus$ 被称为加法， $0_K$ 被称为体的加法单位元。

类似于实数的加乘法，这两个二元运算的运算式如果没有括弧，会依照先乘后加的顺序理解。

(3)减法与除法：

对于任意 $a,\,b \in K$，一般会遵循群的习惯，将 $a$ 的加法逆元素记做 $-a$，并将 $b+(-a)$ 简记为 $b-a$，并可将之称为减法。

类似地，若 $a \neq 0_K$， $a$ 的乘法逆元素记做 $\frac{1}{a}$，并将 $b \otimes \frac{1}{a}$ 简记为 $\frac{b}{a}$，并可将之称为除法。

这些运算跟实数四则运算不必然相同，上面的约定惯例只是方便记忆和理解。但另一方面，在不与实数四则运算混淆的前提下，$\otimes$也可简记为$\times$，$\oplus$也可简记为$+$。

### 子体

类似于子群，也可以定义如下的子体：

$(K,\,\oplus,\,\otimes)$ 为体。若$K$的非空子集$A \subseteq K$使$(A,\,\oplus_{A \times A},\,\otimes_{A \times A})$也为体，则称$(A,\,\oplus_{A \times A},\,\otimes_{A \times A})$为$(K,\,\oplus,\,\otimes)$的子体(subfield)；如果二元运算（$\oplus$和$\otimes$）不须特别强调，也可以简称为“$A$为$K$的子体”。

$\oplus_{A \times A}$意思就是保留原来$\oplus$的对应规则，但把定义域缩小到$A \times A$所生成的新函数（也就是函数的限制）。所以直观上“$A$是$K$的子体”的意思就是：“把$\oplus$和$\otimes$的定义范围由$K$缩小成$A$时，$\oplus$和$\otimes$仍然保有体的运算性质”。

## 基本性质

$\left(K,\,+,\,\times\right)$ 为体，那对任意 $a \in K$ 有

$$0_K \times a = a \times 0_K = 0_K$$

证明根据分配律和加法单位元的性质会有 : $a \times 0_K = a \times (0_K + 0_K) = a \times 0_K + a \times 0_K$ : $0_K \times a= (0_K + 0_K) \times a = 0_K \times a + 0_K \times a$ 这样的话，根据加法结合律还有加法单位元的性质有 $\begin{align} 0_K & = -(a \times 0_K) + a \times 0_K\\ & = -(a \times 0_K) + (a \times 0_K + a \times 0_K)\\ & = [-(a \times 0_K) + a \times 0_K] + a \times 0_K\\ & = 0_K + a \times 0_K\\ & = a \times 0_K \end{align}$ $\begin{align} 0_K & = -(0_K \times a) + 0_K \times a\\ & = -(0_K \times a) + (0_K \times a + 0_K \times a)\\ & = [-(0_K \times a) +0_K \times a] + 0_K \times a\\ & = 0_K + 0_K \times a\\ & = 0_K \times a \end{align}$ 故得证。$\Box$

以上的定理也证明了，只要$\left(K,\,+\right)$ 为交换群且有分配律，就足以决定 $0_K$ 相关乘法的值。所以正式定义虽然把 $0_K$ 排除在与乘法有关的运算性质之外，但事实上把$0_K$包含进去也会有交换律和结合律，也就是说

$\left(K,\,+,\,\times\right)$ 为体，那对任意 $a,\,b \in K$ 有 : $a \times b = b \times a$ $\left(K,\,+,\,\times\right)$ 为体，那对任意 $a,\,b,\,c \in K$ 有 : $a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$ $\left(K,\,+,\,\times\right)$ 为体，那对任意 $a,\,b \in K$ 有 : $-(a \times b)=(-a) \times b = a \times (-b)$

证明根据乘法交换律跟分配律有 $\begin{align} (a \times b)+[(-a) \times b] & = (b \times a)+[b \times (-a)]\\ & = b \times (a - a)\\ & = b \times 0_K \end{align}$ 这样根据定理(1)和加法交换律就有 : $(a \times b) + [(-a) \times b] = [(-a) \times b] + (a \times b) = 0_K$ 所以 : $-(a \times b) = [(-a) \times b]$ 再考虑到乘法的交换律有 : $-(a \times b) = -(b \times a) = (-b) \times a = a \times (-b)$ 故得证。$\Box$

$\left(K,\,+,\,\times\right)$ 为体，若 $a,\,b \in K$ 且 $a \neq 0_K$ 和 $b \neq 0_K$，则

$$\frac{1}{a\times b} = \frac{1}{a} \times \frac{1}{b}$$

证明根据乘法的结合律和交换律，还有乘法单位元的性质会有 $\begin{align} \left(\frac{1}{a}\times\frac{1}{b}\right)\times (a \times b) & = \left(\frac{1}{b}\times\frac{1}{a}\right)\times (a \times b)\\ & = \frac{1}{b}\times\left[\frac{1}{a}\times (a \times b)\right]\\ & = \frac{1}{b}\times\left[\left(\frac{1}{a}\times a \right)\times b\right]\\ & = \frac{1}{b}\times(1_K \times b)\\ & = \frac{1}{b}\times b\\ & = 1_K\\ & = (a \times b) \times (\frac{1}{a}\times\frac{1}{b}) \end{align}$ 故得证。$\Box$

$\left(K,\,+,\,\times\right)$ 为体，那对任意 $a,\,b \in K$，若 $a \times b = 0_K$，则 $a = 0_K$ 或 $b = 0_K$。

证明如果 $K-\{0_K\} = \varnothing$，那对任意 $a \in K$ 都有 $a = 0_K$，所以以下只考虑 $K-\{0_K\} \neq \varnothing$ 状况。假设存在 $a,\,b \in K$ 满足 $a \neq 0_K$ 和 $b \neq 0_K$，但同时 $a \times b = 0_K$，这样根据定理(1)和(3)有 $\begin{align} 1_K &= (\frac{1}{a}\times\frac{1}{b})\times(a\times b)\\ & = (\frac{1}{a}\times\frac{1}{b}) \times 0_K\\ & = 0_K \end{align}$ 这显然是矛盾的，所以根据反证法和德摩根定理，对所有的 $a,\,b \in K$，只能“ $a,\,b$ 其中一者为 $0_K$ ”或“ $a \times b \neq 0_K$ ”，也就等价于： :“对所有 $a,\,b \in K$，若 $a \times b = 0_K$ 则 $a,\,b$ 其中一者为 $0_K$。” 故得证。$\Box$

- 若$(K,\,\oplus,\,\otimes)$ 为体，$(K-\{0_K\},\,\otimes)$的有限子群都是循环群。
- 若存在正整数n使得0 = 1 + 1 + ... + 1（n个1），那么这样的n中最小的一个称为这个域的特征，特征要么是一个素数p，要么是0（表示这样的n不存在）。此时$F$中最小的子域分别是$\mathbb{Q}$或有限域$\mathbb{F}_p$，称之为$F$的素域。
- 一个交换环是域当且仅当它的理想只有自身和零理想。
- 在选择公理成立的假设下，对每个域F都存在着唯一的一个域G（在同构意义上），G包含F，G是F的代数扩张，并且G代数封闭。G称作由F确定的代数闭包。在很多情况下上述的同构并不是唯一的，因此又说G是F的一个代数闭包。

## 例子

- 许多常见的数域都是域。比如说，全体复数的集合$\mathbb{C}$与其加法和乘法构成一个域。全体有理数的集合$\mathbb{Q}$ 与其加法和乘法也是一个域，它是$\mathbb{C}$的子域，并且不包含更小的子域了。
- 代数数域：代数数域是有理数域$\mathbb{Q}$的有限扩域，也就是说代数数域是$\mathbb{Q}$上的有限维向量空间。代数数域都同构于$\mathbb{C}$的子域，并且这个同构保持$\mathbb{Q}$不变，即这个同构把每个有理数都映射到它自身。代数数域是代数数论研究的对象。
- 代数数构成的域：所有的代数数的集合对于加法和乘法构成一个域，记作$\overline{\mathbb{Q}}$。$\overline{\mathbb{Q}}$是有理数域$\mathbb{Q}$的代数闭包（见下）。$\overline{\mathbb{Q}}$是特征为零的代数封闭的域的一个例子。
- 全体实数的集合$\mathbb{R}$对于加法和乘法构成一个域。实数域是复数域$\mathbb{C}$的子域，也是一个有序域。后者使得实数域上能够建立起微积分理论。
- 所有的实代数数的集合也构成一个域，它是$\mathbb{R}$的一个子域
- 任意一个有限域的元素个数是一个素数q的乘方，一般记作Fq，就是所谓的伽罗瓦域。任意一个元素个数是素数q的域都同构于Z/pZ = {0, 1, ..., p − 1}。令p = 2,就得到最小的域：F2。F2只含有两个元素0和1，运算法则如下：

- 设E和F是两个域，E是F的子域，则F是E的 扩域。设x是F中的一个元素，则存在着一个最小的同时包含E和x的F的子域，记作E (x)，E (x)称作E在F中关于 x的单扩张。比如说，复数域$\mathbb{C}$就是实数域$\mathbb{R}$在$\mathbb{C}$中关于虚数单位i的单扩张
- 每一个有乘法么元的环R都对应着一个包含它的域，称为它的分式域，记作K(R)。分式域的具体构造方法是定义类似于最简分数的等价类，再将环“嵌入”其中（详见分式域）。可以证明，K(R)是包含R的“最小”的域。
- 设F是一个域，定义F (X)是所有以F中元素为系数的分式的集合，则F (X)是F的一个扩域。F (X)是F上的一个无穷维的向量空间，这是域的超越扩张的一个例子。
- 设F是一个域，p(X)是多项式环FX上的一个不可约多项式，则商环FX/是一个域。其中的表示由p(X)生成的理想。举例来说，RX/是一个域（同构于复数域$\mathbb{C}$）。可以证明，F的所有单扩张都同构于此类形式的域。
- 若V是域F上的一个代数簇，则所有V → F 的有理函数构成一个域，称为V的函数域。
- 若S是一个黎曼曲面，则全体S → C 的亚纯函数构成一个域。
- 由于序数的类不是集合，因此在其上定义的尼姆数不能构成真正的域。但它满足域的所有条件，且其任意封闭子集（如小于$2^{2^n}$的所有自然数构成的子集）都是域。

## 有限体

有限体是一个体有着有限多个元素，其元素个数也跟体的阶数相同，按照体的定义，可以知道$\mathbb{F}_2$为最小的有限体，因为根据定义，一个体至少包含两个元素$1\neq 0$。

通常来说，最简单的质数阶体，就是$\mathbb{Z}/ p \mathbb{Z}=\{0,1,...p-1\}$，此处$p$为质数，在这个体上的加法与乘法等同于在整数$\mathbb{\Z}$上的运算，然后除以$p$，取它的余数。这个运算精确的建构了一个体，通常我们将这个体记作$\mathbb{F}_{p}$。要注意的是$\mathbb{Z}/ n \mathbb{Z}=\{0,1,...n-1\}$，当n为合成数时并不是一个有限体，例如在 $\mathbb{Z}/ 4 \mathbb{Z}$ 中 $2\times2=0$，因此 $(\{1,2,3\},\times)$ 不能形成群。

如果我们将向量空间$\mathit{V}=\mathbb{F}_{p}/m^n$，则我们将V称作有限体向量空间，其中$n=\dim\mathit{V}$，可知这个向量空间中，有$p^n$个元素。

如果我们将有限体放入矩阵，也就是$GL_{n}(\mathbb{F}_p)$，则此矩阵的元素有$(p^n-1)(p^n-p)...(p^n-p^{n-1})$

## 历史

历史上，三个代数中的学科导引到了体的概念:第一个是解多项式方程的问题，第二个是代数数论，第三个则是代数几何的问题。体的概念始于1770年，由拉格朗日所提出。拉格朗日他观察到关于三次方程的根x1, x2, x3的置换，在以下的表达

(其中ω是三次方程的单位根)只产生两个值。在这方向上，拉格朗日概念上的解释了由 希皮奥内·德尔·费罗 和 弗朗索瓦·韦达 的经典解法，其解法借由简化三次方程关于未知 x 到一个 x3的二次方程。四次方程上也和三次方程一样有相似的观察，拉格朗日因此连结的关于体的概念还有群的概念。数学家范德蒙也同样在1770年有着更全面的延伸。

## 伽罗瓦理论

请参见伽罗瓦理论