有理数

在数学中，有理数（rational number）的定义是：可以表示为两个整数比的数；此处的整数比写为分数形式 $\frac{a}{b}$, $b\neq 0$。例如：0.375 可以表示为 $\frac{3}{8}$，因此 0.375 是有理数，当然 $\frac{3}{8}$ 本身也是有理数。

按上述有理数定义，可知整数和整数分数统称有理数；而与有理数相对的是无理数，不是有理数的实数遂称为无理数；例如 $\sqrt{2}$无法用整数比表示，因此 $\sqrt{2}$ 是无理数。

并非所有以分数表示的数字皆为有理数，例如 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 并不是有理数，其不符合可表示为整数比的定义。

所有有理数构成的集合常写作 $\mathbf{Q}$ 或 $\mathbb{Q}$，其定义为：

$$\mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} : m, n \in \mathbb{Z}, n \ne 0 \right\}$$

有理数写作小数时，其小数部分为有限或为循环。

## 词源

有理数在英文中称作rational number，来自拉丁语rationalis，意为理性的；词根ratio，拉丁语意为理性、计算。代表“比例”的英文ratio一词在历史上出现得要比有理数（rational number）一词更晚，前者最早有记录是1660，而后者是1570年。

## 运算

有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的（其中除法的除数不能为 0），亦即有理数加、减、乘、除有理数的结果仍为有理数。有理数的加法和乘法如下：

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd} \, \ \ \ \ \ \ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$

两个有理数 $\frac{a}{b}$ 和 $\frac{c}{d}$ 相等的充要条件为 $ad = bc$。

有理数中存在加法反元素与乘法反元素（除了 0 以外，0 不具乘法反元素）：

$- \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b}\, \ \ \ \ \ \ \ \ a \neq 0$时，$\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a}$

两数相乘，同号得正异号得负，并把绝对值相乘。

## 古埃及分数

古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如：

$$\frac{5}{7} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{21}$$

对于给定的正有理数，存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。

## 形式构建

数学上可以将有理数定义为建立在整数的有序对上$\left(a, b\right)$的等价类，这里$b, d$不为零。我们可以对这些有序对定义加法和乘法，规则如下：

$$\left(a, b\right) + \left(c, d\right) = \left(ad + bc, bd\right)$$

$$\left(a, b\right) \times \left(c, d\right) = \left(ac, bd\right)$$

为了使$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$，定义等价关系$\sim$如下：

$$\left(a, b\right) \sim \left(c, d\right) \mbox{ iff } ad = bc$$

这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的，而且可以将$\mathbf{Q}$定义为整数有序对关于等价关系~的商集：$\mathbb{Q} = \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} - \{0\}) / \sim$。例如：两个对$(a,b)$和$(c,d)$是相同的，如果它们满足上述等式。（这种构建可用于任何整数环，参见商域。）

### 定义大小

$\mathbf{Q}$上的大小可以定义为：

$\left(a, b\right) \le \left(c, d\right)$当且仅当下列任一条件成立：

- $bd > 0$并且$ad \le bc$
- $bd < 0$并且$ad \ge bc$

然后$x < y$是指$x \le y$但$y \nleq x$。亦可在“小于”概念之上引入“大于”的概念，即：$a<b$当且仅当$b>a$。此排序中，每一对有理数$a,b$之间皆可比较，必有且仅有以下关系之一：

$a=b$，$a>b$，$a<b$。

又满足传递性：若$a<b$，且$b<c$，则$a<c$。所以以上定义的大小关系是全序关系。

有理数集的序还满足稠密序：若$a<b$，则必存在有理数$c$，满足$a<c$，且$c<b$。

## 性质

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集合$\mathbb{Q}$，以及上述的加法和乘法运算，构成域，即整数$\mathbb{Z}$的商域。

有理数是特征为0的域最小的一个：所有其他特征为0的域都包含$\mathbb{Q}$的一个拷贝（即存在一个从$\mathbb{Q}$到其中的同构映射）。

$\mathbb{Q}$的代数闭包，例如有理数多项式的根的域，是代数数域。

所有有理数的集合是可数的，亦即是说$\mathbb{Q}$的基数（或势）与自然数集合$\mathbb{N}$相同，都是阿列夫数$\aleph_0$，这是因为可以定义一个从有理数集$\mathbb{Q}$映至自然数集合的笛卡尔积$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$的单射函数，而$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$是可数集合之故。因为所有实数的集合是不可数的，所以从勒贝格测度来看，可以认为绝大多数实数不是有理数。

有理数的序是个稠密序：任何两个有理数之间存在另一个有理数，事实上是存在无穷多个。此外，有理数集也没有最大和最小元素，所以是无端点的可数稠密全序（dense linear order without endpoints）。康托尔同构定理说明，任何无端点的可数稠密全序必定序同构于有理数的序，换言之，若不辨同构之异，则有理数的大小序是唯一具此性质的序结构。

## 实数

有理数是实数的稠密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。

依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量$d\left(x, y\right) = |x - y|$，有理数构成一个度量空间，这是$\mathbb{Q}$上的第三个拓扑。幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间；实数是$\mathbb{Q}$的完备集。

## $\mathit{p}$进数

除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将$\mathbb{Q}$转化到拓扑域：

设$p$是素数，对任何非零整数$a$设$|a|_p = p^{-n}$，这里$p^{n}$是整除$a$的$p$的最高次幂。

另外$|0|_p = 0$。对任何有理数$\frac{a}{b}$，设$\left|\frac{a}{b}\right|_p = \frac{|a|_p}{|b|_p}$。

则$d_p\left(x, y\right) = |x - y|_p$在$\mathbb{Q}$上定义了一个度量。

度量空间$\left(\mathbb{Q}, d_p\right)$不完备，它的完备集是p进数域$\mathbb{Q}_p$。