向量分析

向量分析，或称为向量微积分（Vector calculus）是数学的一个分支，主要研究在3维欧几里得空间$\mathbb{R}^3$中向量场的微分和积分。“向量分析”有时也用作多元微积分的代名词，其中包括向量分析，以及偏微分和多重积分等更广泛的问题。

向量分析在微分几何与偏微分方程的研究中起着重要作用。它被广泛应用于物理和工程中，特别是电磁场、引力场和流体流动的描述中。

向量分析由约西亚·吉布斯和奥利弗·黑维塞于19世纪末从四元数分析发展而来，大多数符号和术语由吉布斯和爱德华·比德韦尔·威尔逊在《向量分析》（1901）中提出。向量演算的常规形式中使用外积，不能推广到更高维度，而另一种几何代数的方法运用了可推广的外积，下文将会讨论。

## 基本对象

### 标量场

标量场将空间中的每点与标量值相关联。标量是代表物理量的数字。标量场的应用如空间中的温度分布、流体中的压强分布、零旋量子场（称为标量玻色子）如希格斯场。这些场是标量场论的研究对象。

### 向量场

向量场将向量分配给空间中的每一点。例如，平面中的向量场可形象地理解为一组箭头的集合，每个都有给定的大小与方向，并与平面上的点相关联。向量场常用于模拟运动流体在整个空间中的速度和方向，或某种力（如磁力或引力）在点之间变化时的强度和方向。例如，这可用于计算在一条线上所做的功。

### 向量和伪向量

在更高级的处理中，进一步区分了伪向量场和赝标量场，它们只在反向映射下符号会变化：例如，向量场的旋度是伪向量场，若反射一个向量场，旋度会指向相反的方向。这种区别在几何代数中有阐述，下详。

## 向量运算

### 代数运算

向量分析中的基本代数（非微分）的运算称为向量代数，定义在一向量空间，然后应用到整个向量场，基本代数运算有：

运算｜记作｜描述

向量加法｜$\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2$｜两个向量相加，产生向量。

标量乘法｜$a \mathbf{v}$｜标量和向量相乘，产生向量。

内积 / 点积｜$\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2$｜两个向量相乘，产生标量。

外积 / 叉积｜$\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2$｜$\mathbb R^3$中两向量相乘，产生（伪）向量。

两种三重积也比较常见：

运算｜记作｜描述

标量三重积｜$\mathbf{v}_1\cdot\left( \mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3 \right)$｜向量与两向量叉积的点积。

向量三重积｜$\mathbf{v}_1\times\left( \mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3 \right)$｜向量与两向量叉积的叉积。

三重积不常作为基本运算，不过仍可以用内积及外积表示。

### 微分运算

向量分析研究定义在标量场或向量场定义的不同微分算子，通常用的向量算子（∇）来表示，也被称为“Nabla算子”。向量分析的五个最重要的微分运算：

算子｜表示｜叙述｜界域

梯度｜$\operatorname{grad}(f) = \nabla f$｜纯量场 $f$ 于场中某点增加率最大的速率与方向｜ 纯量场的梯度是向量场

散度｜$\operatorname{div}(\vec{F}) = \nabla \cdot \vec{F}$｜向量场 $\vec{F}$ 于场中某点附近发散或汇聚的程度｜向量场的散度是纯量场

旋度｜$\operatorname{curl}(\vec{F}) = \nabla \times \vec{F}$｜向量场 $\vec{F}$ 于场中某点附近旋转的程度｜向量场的旋度是向量场

向量拉普拉斯算子｜$\nabla^2\mathbf{F}=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{F})-\nabla\times(\nabla\times\mathbf{F})$｜均值在无穷小的球内向量场的值不同的程度｜向量场的向量拉普拉斯是向量场

拉普拉斯算子｜$\Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f$｜对纯量场 $f$ 作梯度运算后，再作散度运算｜纯量场的拉普拉斯是纯量场

## 定理

同样，也有几个与这几个相关的重要定理，将微积分基本定理拓展到了更高维度：

定理｜表示｜注解

梯度定理｜$\int_{L[\mathbf p \to \mathbf q] \subset \mathbb R^n} \nabla\varphi\cdot d\mathbf{r} = \varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right)$｜梯度（向量）场中的曲线积分与它的标量场中两个端点的差。

格林定理｜$\int\!\!\!\!\int_{A\,\subset\mathbb R^2} \left (\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, d\mathbf{A}=\oint_{\partial A} \left ( L\, dx + M\, dy \right )$｜平面内向量场中区域的标量旋度，等于向量场沿逆时针方向的封闭曲线的线积分。

斯托克斯定理｜$\int\!\!\!\!\int_{\Sigma\,\subset\mathbb R^3} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}$｜$\mathbb R^3$ 内向量场的旋度的曲面积分，等于向量场在曲面边界上的线积分。

高斯散度定理｜$\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int_{V\,\subset\mathbb R^3}\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)d\mathbf{V}=$ $\scriptstyle \partial V$ $\mathbf F\;\cdot{d}\mathbf S$｜向量场的散度对体积的积分，等于穿过包围体积的闭曲面通量的积分。

## 应用

### 线性近似

线性近似用几乎相同的线性函数代替复杂函数。给定实值可微函数$f(x,\ y)$，对接近$(a,\ b)$的$(x,\ y)$，可以用下式近似$f(x,\ y)$

$$f(x,y)\ \approx\ f(a,b)+\tfrac{\partial f}{\partial x} (a,b)\,(x-a)+\tfrac{\partial f}{\partial y}(a,b)\,(y-b).$$

右式是$z=f(x,\ y)$图形在$(a,\ b)$处切线的平面方程。

### 最优化

对连续可微多变量函数，若其所有偏导数在P点都为零（梯度为零），则P点是一个临界点。临界值是函数在临界点上的值。

若函数光滑，或至少2次连续可微，则临界点可能是局部极值或鞍点。考虑二阶导的黑塞矩阵的特征值，可以区分不同情形。

由费马引理，可微函数的局部极值都出现在临界点上。因此，要找到局部极值，只需计算梯度的零点及当处的黑塞矩阵特征值。

### 物理学与工程学

向量分析尤其适于研究

- 质心
- 场论
- 运动学
- 麦克斯韦方程组

## 推广

向量分析还可推广到其他3-流形及高维空间。

### 不同3-流形

向量分析起初是在欧氏空间$\mathbb{R}^3$中，不仅是3维实向量空间，还具有额外结构，即：由内积定义范数（给出长度概念），又引出角度与方向，方向又分左右手。这些结构产生了体积形式，以及在向量分析中常用的叉积。

梯度与散度只需要内积，旋度和叉积还需要考虑坐标轴的手性。

若其他3维实向量空间有内积（或更一般的对称非退化形式）和方向，向量分析就可在这些空间上定义；这比欧氏空间的同构数据要少，因为不需要坐标轴集（参照系），这反映了向量分析在旋转（特殊正交群SO(3)）下不变的事实。

更一般地说，向量分析可定义在任意3维有向黎曼流形，或更一般的伪黎曼流形上。这种结构就是每点的切空间都有内积与方向，更一般地说是有对称非退化度量张量与方向。向量分析根据每点的切向量定义，所以有效。

### 其他维度

大多数分析结果都可以通过微分几何机制轻松理解，向量分析是其子集。梯度、散度、梯度定理、散度定理、拉普拉斯算子（产生调和分析）可轻易推广到其他维度，而旋度和叉积则不能直接推广。

从一般观点来看，（3维）向量分析中的各种场被统一视作k向量场：标量场是0-向量场，向量场是1-向量场，伪向量场是2-向量场，伪标量场是3-向量场。在更高维度中，还有更多类似的场（标量/向量/伪向量/伪标量对应0/1/n-1/n维，这在3维中详尽无遗），因此不能只用（伪）标量和（伪）向量。

在任意维度中，假定一个非退化形式，标量函数的梯度是向量场，而向量场的散度是标量函数，但只有3维、7维（1维、0维是平凡的）中，才能定义叉积（其他维度的推广或要n-1个向量才能得到一个向量，或要用李代数代替，即更一般的反对称双线性积）。总之，向量场的旋度是二重向量场，可解释为无穷小旋转的特殊正交李代数；但这不能视作向量场，因为维数不同——3维旋转有3维，但4维旋转有6维（n维中的旋转有$\textstyle{\binom{n}{2}=\frac{1}{2}n(n-1)}$维）。

向量分析有两个重要的替代性推广。第一个是几何代数，用k向量场（3维及以下时，k向量场都可用标量函数或向量场识别，但更高维并非如此）。外积取代了叉积，可在所有维度中，由两个向量场输出一个二重向量场。这产生了作为向量空间上代数结构的克利福德代数（具有有向非退化形式）。几何代数主要用于物理学等应用领域向更高维的推广。

第二个运用微分形式（k余向量场），在数学中有广泛应用，尤常见于微分几何、几何拓扑、调和分析等领域，在有向伪黎曼流形上产生了霍奇理论。从这个角度看，梯度、旋度、散度分别对应0形式、1形式、2形式的外导数，而向量分析的关键定理都是斯托克斯定理一般形式的特例。

从这两种推广来看，向量分析隐式地标识了不同的数学对象，使表述更简单，但底层的数学结构与推广却不那么清晰。从几何代数的角度来看，向量分析隐式地将k向量场与向量场与标量函数区分开来：0向量与3向量同标量有关，1向量和2向量同向量有关。从微分形式的角度来看，向量分析隐式地将k形式同标量场与向量场相联系：0形式、3形式与标量场有关，1形式、2形式与向量场有关。因此，举例来说，旋度自然地将向量场或1形式作为输入，将2向量场或2形式作为输出（因此是伪向量场），然后将其解释为向量场，而非直接从向量场映射到向量场，这在高维空间反映为旋度的输出不是向量场。

## 参考文献

### 参考资料

- Sandro Caparrini (2002) " The discovery of the vector representation of moments and angular velocity ", Archive for History of Exact Sciences 56:151–81.
- Barry Spain (1965) Vector Analysis, 2nd edition, link from Internet Archive.
- Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis . Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.

## 外部链接

- The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 2: Differential Calculus of Vector Fields
- A survey of the improper use of ∇ in vector analysis (1994) Tai, Chen-To
- Vector Analysis: A Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics, (based upon the lectures of Willard Gibbs) by Edwin Bidwell Wilson, published 1902.

## 延伸阅读

- A History of Vector Analysis