能量守恒定律

<image>

能量守恒定律（law of conservation of energy）阐明，孤立系统的总能量 $E$ 保持不变。大量实验表明:能量既不会凭空消失，也不会凭空产生，它只会从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到其他物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。例如，在炸弹爆炸的过程中，化学能可以转化为动能。

从能量守恒定律可以推导出第一类永动机永远无法实现。没有任何孤立系统能够持续对外提供能量。

## 历史

<image>

早从约公元前五百年时，古希腊哲学家泰勒斯就认为在所有物质之中，有某种潜藏的物质会守恒不变化，不过当时泰勒斯当时认为守恒的物质是水，而这和现在认知的质量或质能都没有关系，恩培多克勒（490–430 BCE）认为在宇宙是由四元素（气、水、火、土）组成，“没有一样会增加或是减少。”，不过这些元素会不断的重组。

1638年时伽利略发表了许多研究，包括著名的单摆的实验，可以表示为势能和动能之间不停的转换。

戈特弗里德·莱布尼茨在1676年至1689年间，首先试着将和运动有关的能量以数学公式表示，莱布尼茨发现在许多力学系统中（有多个质量$m_i$，各自的速度为$v_i$），只要各质量之间没有碰撞，以下物理量会守恒：

$$\sum_{i} m_i v_i^2$$

他将此物理量称为系统的“活力”。此定律精确的描述了在没有摩擦力时动能的守恒。当时许多物理学家发现动量守恒，也就是在一个没有摩擦力的系统中，以下式表示的动量会守恒：

$$\,\!\sum_{i} m_i v_i$$

后来发现在适当条件（例如弹性碰撞）时，动能和动量都会守恒。

像约翰·斯米顿、彼得·尤尔特、卡尔·霍尔茨曼、古斯塔夫-阿道夫·希恩及马克·塞甘等工程师反对只使用动量守恒定律，他们使用莱布尼茨的公式。而约翰·普莱费尔就指出动能明显的不平衡，在现在利用热力学第二定律为基础，可以得到上述的结果，但在18世纪及19世纪，还不晓得失去的能量去哪里了。最后大家开始怀疑在有摩擦力时，产生的热是一种活力的型式。1783年时安托万-洛朗·德·拉瓦锡和皮耶尔-西蒙·拉普拉斯重新确认二种互相竞争的理论：热质说及活力。本杰明·汤普森，伦福德伯爵在1798年观察到加农炮鋿孔时一直发热，表示力学的运动可以转换为热能，而且（重要的）其转换是可以量化的，可以预测其发热量（因此有一个有关热和能量的通用转换系数。）“活力”开始称为energy（能量），第一个提出的是1807年的托马斯·杨。

<image>

活力后来又定义为

$$\frac {1} {2}\sum_{i} m_i v_i^2$$

可以用来了解功和动能之间的转换，这大部分是贾斯帕-古斯塔夫·科里奥利和让-维克托·彭赛列在1819至1839年之间的贡献，前者称之为“quantité de travail”（功的量），后者称之为“travail mécanique”（力学功）。

1837年时卡尔·弗里德里希·莫尔在欧洲物理期刊发表的《Über die Natur der Wärme》用以下的文字表示能量守恒，是最早期的叙述之一：“在54种已知的化学元素以外，在物理世界中还有一种量称为Kraft（功或是能）。依照运动、化学亲和力、凝聚、电力、光或是磁力的条件不同，这种量可能会出现，也可能会改变为其他形式。”

### 机械能和热的等效性

在能量守恒定律发展过程中，热功当量的发现是其中重要的阶段。热质说认为热不会增加也不会减少，而能量守恒定律认为热和机械能是可以互相转换的。

在18世纪中，俄国科学家米哈伊尔·瓦西里耶维奇·罗蒙诺索夫提出热和动能的理论，反对热质说的概念。在分析实验的结果后，罗蒙诺索夫认为热不是由热质流体所传播。

1798年本杰明·汤普森量测了加农炮镗孔时因摩擦所产生的热，提供了热是一种动能形式的概念，其量测结果也反对热质说，不过精确度不够，因此造成当时的怀疑。

<image>

机械能和热等价的概念最早是由德国外科医师尤利乌斯·冯·迈尔在1842年提出，这是他在去荷属东印度航行途中发现的，他发现他的病人在天气较热时，其血液呈较深的红色，因为消耗较少的氧气（也就是较少的能量）来维持体温。迈尔发现热和机械能都是能量的形式，在物理知识进步后，他在1845年发表声明，说明两者之间的量化关系。

同时，詹姆斯·普雷斯科特·焦耳在1843年借由一连串的实验，独立的发现机械能和热等价。在著名的“焦耳设备”中，一个渐渐下降的重物连接一个绳子，绳子会使水中的桨旋转，他证明重物下降减少的重力势能等于因桨在水中的摩擦力，带来水内能的增加。

在1840至1843年之间，丹麦工程师路德维格·奥古斯特·柯丁也进行了类似的实验，但在丹麦以外的国家很少有人知道。

迈尔和焦耳的研究在当时都受到很大的阻力及忽视，不过最后焦耳还是得到较多的认可。

1844年时威廉·罗伯特·格罗夫提出有关机械能、热能、光、电及磁的关系，处理方式是将它们全部视为单一种“力”（以现在的观点来看，是能量）的表现，在1874年时格罗夫在《The Correlation of Physical Forces》中提及他的理论。1847年赫尔曼·冯·亥姆霍兹借着焦耳、尼古拉·卡诺及埃米尔·克拉佩龙的早期研究，得到了和格罗夫类似的结论，发表在《'Über die Erhaltung der Kraft》（保守力）一书中。此次出版代表此定律已得到一般性的认可。

1850年时，威廉·约翰·麦夸恩·兰金首次使用“热力学第一定律”来描述此定律。

1877年时，彼得·泰特在有创意的读了《自然哲学的数学原理》中的命题40和41后，声称此定律起源自牛顿。后来这被视为是辉格史的一个例子。

### 质能等价

物质是由原子、电子、中子和质子等粒子所组成，有静止质量。以19世纪的认知，这类的静止质量是守恒的，但爱因斯坦在1905年的相对论认为上述的质量对应“静止能量”，也就是说质量可以转换为其他等效（非质量）的能量形式，例如动能、势能及电磁辐射能。当发生上述情形时，静止质量是不守恒的。只有考虑质量及能量的总能量才会守恒。

像电子和中子都有静止质量，两者碰撞后会湮灭，将其质量转换为光子的电磁辐射能，没有静止质量。若这发生在一个封闭系统中，光子及能量都没有释放在外界的环境，其总能量或转换为质量的总质量都不会变化。产生的电磁辐射能恰好和电子和中子的静止质量相等。相对的，非物质的能量形式也可以产生有静止质量的物质。

因此能量守恒（总能量，包括静止能量）及质量守恒（总质量，不止是静止质量）在相对论下仍然成立，而且是等效的定律，但以19世纪的观点，这是两个不同的定律。

### β衰变下的能量守恒

1911年时发现β衰变发射的电子有连续光谱，而不是离散光谱，当时β衰变只是单纯由核子中发射一个电子，上述的现象认为看似不符合能量守恒定律。此问题后来在1933年由恩里科·费米用费米相互作用描述β衰变，认为β衰变时除了发射电子，还发射带有许多能量的反电子微中子，才解决上述的问题。

## 诺特定理

能量守恒是许多物理定律的特征，以数学的观点来看，能量守恒是诺特定理的结果。诺特定理可以表述为任一个具有对称性的物理定律会伴随一守恒的物理量。若一系统不随时间改变，其守恒的物理量即为能量。能量守恒定律是时间平移对称性下的结果。物理定律不随时间改变的事实也可说明能量守恒定律。

换句话说，若物理系统在时间平移时满足连续对称，则其能量（时间的共轭物理量）守恒。相反的，若物理系统在时间平移时无对称性，则其能量不守恒，但若考虑此系统和另一个系统交换能量，而合成的较大系统不随时间改变，这个较大系统的能量就会守恒。由于任何时变系统都可以放在一个较大的非时变系统中，因此可以借由适当的重新定义能量来达到能量的守恒。对于平坦时空下的物理理论，由于量子力学允许短时间内的不守恒（例如正-反粒子对），所以在量子力学中并不遵守能量守恒，而在狭义相对论中能量守恒定律会转换为质能守恒定律。

## 相对论

在爱因斯坦发现的狭义相对论中，能量是四维动量中的一个分量。一封闭系统若在任意惯性参考系下观测，这个向量的每一个分量（其中一个是能量，另外三个是动量）都会守恒，不随时间改变，此向量的长度也会守恒（闵可夫斯基模长），向量长度为单一质点的静止质量，也是由多质量粒子组成系统的不变质量。

单一具质量粒子的相对论能量包括其静止质量及其动能。若一质量粒子动能为零（或在静止参考系中），其能量和其静止质量或不变质量有关，其关系式即为著名的$E=mc^2$。

因此只要观测者的参考系没有改变，狭义相对论中能量对时间的守恒性仍然成立，整个系统的能量仍然不变，位在不同参考系下的观测者会量测的能量大小不同，但各观测者量到的能量数值都不会随时间改变。不变质量由能量-动量关系式所定义，是所有观测者可以观测到的系统质量和能量的最小值，不变质量也会守恒．而且各观测者量测到的数值均相同。

## 量子力学

在量子力学中，量子系统的能量由一个称为哈密顿算符的自伴算符来描述，此算符作用在系统的希尔伯特空间（或是波函数空间）中。若哈密顿算符是非时变的算符，随着系统变化，其出现概率的测量不随时间而变化，因此能量的期望值也不会随时间而变化。量子场论下定域性的能量守恒可以用能量-动量张量运算子配合诺特定理求得。由于在在量子理论中没有全域性的时间算子，时间和能量之间的不确定关系只会在一些特定条件下成立，和位置和动量之间的不确定关系作为量子力学基础的本质有所不同（参考不确定性原理）。在每个固定时间下的能量都可以准确的量测，不会受时间和能量之间的不确定关系影响，因此即使在量子力学中，能量守恒也是一个有清楚定义的概念。

## 延伸阅读

- 物理学基础 ISBN 978-7-111-15715-1(课) page170