超越数

在数论中，超越数（transcendental number）是指任何一个不是代数数的复数。只要它不是任何一个有理系数代数方程的根，它即是超越数。最著名的例子是自然对数底e以及圆周率π。

几乎所有的实数和复数都是超越数，这是因为代数数的集合是可数集，而实数和复数的集合是不可数集之故。

## 定义

超越数是代数数的相反，也即是说若$x$是一个超越数，那么对于任何整数$a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0$都符合：

$$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \ne 0$$

（其中$a_n\neq 0$）

## 例子

超越数的例子包括：

- 钱珀瑙恩数
- 刘维尔数：$\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!} = 0.110001000000000000000001000\ldots$它是第一个确认为超越数的数，是于1844年刘维尔发现的。
- 自然对数底$\boldsymbol{e}$（参见：e）。
- $\boldsymbol{e}^a$，其中$a$是除0以外的代数数。
- $\boldsymbol{\pi}$（参见：圆周率）林德曼-魏尔斯特拉斯定理，1882年，注：因$\pi \,$是超越数而证明尺规作图中的“化圆为方”的不可实现性。
- $\boldsymbol{e^{\pi}}$（参见：e的π次方）
- $2^{\sqrt{2}}$（参见：2的√2次方）。更一般地，若$a \,$为零和一以外的任何代数数及$b \,$为无理代数数则$a^b \,$必为超越数。这就是格尔丰德-施奈德定理。
- $\sin 1 \,$（参见：正弦）
- $\ln a \,$（参见：自然对数），其中$a \,$为一不等于1的正有理数。
- $\mathbf{W}(a)\,$（参见：朗伯W函数），其中$a \,$为一正有理数。
- $\Gamma (\frac{1}{3}) \,$ $\left(\approx 2.67894 \right) \,$，$\Gamma (\frac{1}{4}) \,$ $\left(\approx 3.62561 \right) \,$及$\Gamma (\frac{1}{6}) \,$ $\left(\approx 5.56632 \right) \,$（参见伽㐷函数）。

所有超越数构成的集是一个不可数集，也就是说，几乎所有的实数和复数都是超越数；尽管如此，现今发现的超越数极少，甚至连$\pi + e\,$是不是超越数也不知道，因为要证明一个数是超越数或代数数是十分困难的。

超越数的证明，给数学带来了大的变革，解决了几千年来数学上的难题——尺规作图三大问题，即倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题。随着超越数的发现，这三大问题被证明为不可能。

## 可能的超越数

以下数仍待证明为超越数或代数数：

- 数 e 和$\pi$的大多数和、积、幂等等，例如$\pi + e$, $\pi - e$, $\pi e$, $\frac{\pi}{e}$, $\pi^{\pi}$, $e^e$, $\pi^e$, $\pi^{\sqrt{2}}$, $\pi^{\pi^2}$尚未得知是有理数、代数无理数或超越数。值得注意的例外是$\pi + e^\pi$, $\pi e^\pi$和 $e^{\pi\sqrt{n}}$（对于所有正整数 $n$）已被证明是超越数
- 欧拉-马歇罗尼常数$\gamma$，尚未被证明是无理数
- 卡塔兰常数，未被证明是无理数
- 阿培里常数$\zeta(3)$，是无理数
- 黎曼ζ函数在其他奇整数的取值，$\zeta(5), \zeta(7), \ldots$（尚未被证明是无理数）
- 费根鲍姆常数，$\delta$与$\alpha$，皆未证明是否为无理数
- 米尔斯常数，未证明是否为无理数
- 辛钦常数，未证明是否为无理数
- 科普兰-埃尔德什常数，是无理数

猜想：

- Schanuel猜想
- 四指数猜想

## 简要地证明$e$是超越数

第一个对自然对数底 e是超越数的证明可以追溯到1873年。我们现在跟随的是大卫·希尔伯特的策略。他给出了夏尔·埃尔米特的原始证明的简化。思路如下所示：

为寻找矛盾，假设$e$是代数数。那就存在一个有限的整系数集$c_0, c_1, \ldots, c_n$满足下列等式：

$$c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots+c_{n}e^{n}=0, \qquad c_0, c_n \neq 0.$$

现在对于一个正整数$k$，我们定义如下的多项式：

$$f_k(x) = x^{k} \left [(x-1)\cdots(x-n) \right ]^{k+1},$$

并在上述等式的两端乘上

$$\int^{\infty}_{0} f_k e^{-x}\,dx,$$

于是我们得到等式：

$$c_{0} \left (\int^{\infty}_{0} f_k e^{-x}\,dx\right )+ c_1e\left ( \int^{\infty}_{0}f_k e^{-x}\,dx\right )+\cdots+ c_{n}e^{n} \left (\int^{\infty}_{0}f_k e^{-x}\,dx\right ) = 0.$$

该等式可以写成这种形式

$$P+Q=0$$

其中

$$P =c_{0}\left ( \int^{\infty}_{0}f_k e^{-x}\,dx\right )+ c_{1}e\left (\int^{\infty}_{1}f_k e^{-x}\,dx\right )+ c_{2}e^{2}\left (\int^{\infty}_{2}f_k e^{-x}\,dx\right ) +\cdots+ c_{n}e^{n}\left (\int^{\infty}_{n}f_k e^{-x}\,dx\right )$$

$$Q=c_{1}e\left (\int^{1}_{0} f_k e^{-x}\,dx\right )+c_{2}e^{2} \left (\int^{2}_{0} f_k e^{-x}\,dx\right )+\cdots+c_{n}e^{n}\left (\int^{n}_{0} f_k e^{-x}\,dx \right )$$

引理 1. 对于恰当选择的$k$， $\frac{P}{k!}$ 是非零整数。

证明： P 的每一项都是整数乘以阶乘的和，这可以从以下的关系式得出

$$\int^{\infty}_{0}x^{j}e^{-x}\,dx=j!$$

对于任何正整数 j 成立（考虑Γ函数）。

它是非零的，因为对于每一个满足 0< a ≤ n 的 a。

$$c_{a}e^{a}\int^{\infty}_{a} f_k e^{-x}\,dx$$

中的被积函数均为 e−x 乘以一些项的和，在积分中用 x - a 替换 x 后， x 的最低幂次是 k+1。然后这就变成了具有以下形式的积分的和

$$\int^{\infty}_{0}x^{j}e^{-x}\,dx$$

其中 k+1 ≤ j，而且它是一个能被 (k+1)! 整除的整数。在除以 k! 后，我们得到模 (k+1) 得 0 的数。

现在我们只须考虑a=0的项。我们有：

$$\int^{\infty}_{0} f_k e^{-x}\,dx = \int^{\infty}_{0} \left ([(-1)^{n}(n!)]^{k+1}e^{-x}x^k + \cdots \right ) dx$$

于是

$${\frac{1}{k!}}c_{0}\int^{\infty}_{0} f_k e^{-x}\,dx = c_{0}[(-1)^{n}(n!)]^{k+1} \qquad \mod (k+1).$$

通过选择 k，使得 k+1 是大于 n 与 |c0| 的质数，我们可以得出 $\tfrac{P}{k!}$ 模 (k+1) 为非零，从而该数为非零整数。

引理 2. 对于充分大的 k， $\left|\tfrac{Q}{k!}\right|<1$。

证明：注意到

$$f_k e^{-x} = x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots(x-n)]^{k+1}e^{-x} = \left ([x(x-1)\cdots(x-n)]^k \right ) \left ((x-1)\cdots(x-n)e^{-x}\right )$$

使用 $|x(x-1)\cdots(x-n)|$ 和 $|(x-1)\cdots(x-n)e^{-x}|$ 在区间 0,n 的上限 G 和 H，我们可以推出

$$|Q|<G^{k}H(|c_{1}|e+2|c_{2}|e^{2}+\cdots+n|c_{n}|e^{n})$$

由于

$$\lim_{k\to\infty}\frac{G^k}{k!}=0$$

我们有

$$\lim_{k\to\infty}\frac{Q}{k!}=0$$

这点足以完成对引理的证明。

注意可以选择满足两个引理的$k$，从而我们能得出矛盾。进而得以证明$e$的超越性。

## 马勒的分类

库尔特·马勒在1932年把超越数分为3类，分别叫做S数、T数和U数。这些类别的定义利用了刘维尔数思想的扩充。

### 实数的无理性度量

一种定义刘维尔数的方式是考虑对于给定的实数$x$，可以使得一次多项式$\vert qx-p \vert$尽可能小但不精确地等于 0。这里的$p$ , $q$是满足$\vert p \vert$, $\vert q \vert$以正整数$H$为界的整数。

令$m(x,1,H)$为这些多项式所取的最小非零绝对值，并且令：

$$\omega(x, 1, H) = - \frac{\log m(x, 1, H)}{\log H}$$

$$\omega(x, 1)= \limsup_{H\to\infty} \omega(x,1,H).$$

$\omega(x, 1)$常称为实数$x$的无理性度量（measure of irrationality）。对于有理数$\omega(x, 1)=0$，而且对无理数其值至少为1。刘维尔数可以定义为具有无穷大的无理性度量的数。Thue–Siegel–Roth定理表明了实代数无理数的无理性度量均为 1。

### 复数的超越性度量

接下来考虑多项式对于复数$x$的取值，这些多项式系数为整数，次数至多为$n$，而且多项式的高至多为$H$，此处的$n$, $H$是正整数。

令$m(x,n,H)$为以$x$为变量的上述多项式所取的最小非零值，并且令：

$$\omega(x, n, H) = - \frac{\log m(x, n, H)}{n\log H}$$

$$\omega(x, n)= \limsup_{H\to\infty} \omega(x,n,H).$$

假如对于尽可能小的正整数$n$，$\omega(x,n)$为无穷大，则这种情况下复数$x$称为$n$次的U数。

现在我们可以定义

$$\omega (x) =\limsup_{n\to\infty}\omega(x,n).$$

$\omega (x)$常称为$x$的超越性度量（measure of transcendence）。假如$\omega(x,n)$有界，则$\omega (x)$有限，$x$称为S数。如果$\omega(x,n)$有限而无界，则$x$称为T数。$x$为代数数当且仅当$\omega (x)=0$。

显然刘维尔数是U数的子集。威廉·勒维克在1953年构造了任意次数的U数。刘维尔数是不可数集，从而U数也是。它们的测度为 0。

T数组成的集合测度亦为 0。人们花了 35 年时间证明它们存在。沃尔夫冈·M·施密特在 1968 年证明了T数的样例存在。由是可知几乎所有复数都是S数。马勒证明了当$x$为任意非零代数数时$e^x$均为S数：这点揭示了$e$是S数且给出了$\pi$的超越性证明。对于$\pi$我们至多知道它不是U数。其他更多的超越数仍未归类。

两个数$x$, $y$称为代数相关，当存在 2 个变量的整系数非零多项式$P$满足$P(x,y)=0$。一个有力的定理指出，属于相同马勒分类的 2 个复数是代数相关的。这允许我们构造新形式的超越数，例如刘维尔数与$e$或$\pi$的和。

通常推测 S 代表马勒的老师卡尔·西格尔（Carl Ludwig Siegel），而 T 和 U 是接下来的两个字母。

### Koksma 的等价分类

```
在 1939 年提出了基於代數數逼近的另一種分類<ref name=Bug250/><ref name=Baker87>Baker (1975) p.87</ref>。
```

考虑用次数$\leq n$且高$\leq H$的代数数逼近复数$x$。令$\alpha$为该有限集中满足$\vert x-\alpha \vert$取最小正值得代数数。定义$\omega^*(x,H,n)$和$\omega^*(x,n)$如下：

$$|x-\alpha| = H^{-n\omega^*(x,H,n)-1}.$$

$$\omega^*(x,n) = \limsup_{H\to\infty} \omega^*(x,n,H).$$

若对于最小的正整数$n$，$\omega^*(x,n)$为无穷大，则称$x$为$n$次的U*数。

若$\omega^*(x,n)$有界且不收敛到 0，则则称$x$为S*数。

一个数$x$被称为 A*数，当$\omega^*(x,n)$收敛到 0。

若所有的$\omega^*(x,n)$均为有限但无界，则称 x 为T*数。

Koksma和马勒的分类是等价的，因为它们将超越数以同样的方式分类。A*数就是代数数。

### 勒维克的构造

令

$$\lambda= \tfrac{1}{3} + \sum_{k=1}^\infty 10^{-k!}$$

可以证明$\lambda$（刘维尔数）的$n$次方根是$n$次的U数。

此构造可以改进以建立$n$次U数的不可数个系列。令$Z$为上述$\lambda$的级数中 10 的幂次的集合。$Z$所有子集的集合是不可数的。在表示$\lambda$的级数中删去任意一个$Z$的子集，将产生不可数个显然的刘维尔数，它们每一个的$n$次方根都是次数为$n$的U数。

### 类型

数列$\{\omega(x,n)\}$的上界称为类型（type）。几乎所有实数都是类型为 1 的S数，此类型数在实S数中是最小的。几乎所有复数都是类型为 1/2 的S数，此类型数在复S数中同样是最小的。以上判断对于几乎所有数成立的猜想由马勒提出，于 1965 年由 Vladimir Sprindzhuk 证明。