一元二次方程

一元二次方程式是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的多项式方程。

例如，$x^2-3x+2= 2$，$\left (3-2i \right)x^2+\sqrt[\pi]{23-6i}x-\sin 2=0$，$t^2-3=0$ 等都是一元二次方程。

一元二次方程式的一般形式是$ax^2+bx+c=0 \left(a \ne 0 \right)$

其中，$ax^2$是二次项，$bx$是一次项，$c$是常数项。$a \ne 0$是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。当然，在强调了是一元二次方程之后，$a \ne 0$也可以省略不写。另外，一元二次方程式有时会出现复数根。

## 历史

古巴比伦留下的陶片显示，在大约公元前2000年（2000 BC）古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大约公元前480年，中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世纪印度的婆罗摩笈多（Brahmagupta）是第一位懂得用使用代数方程式且容许同时有正负根的数学家。

11世纪阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。

据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是（引自婆什迦罗第二）：

在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍；在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方；然后在方程的两边同时开二次方根。

将其转化为数学语言：解关于$x$的方程 $ax^2+bx=-c$

在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍，即$4a$，得 $4a^2x^2+4abx=-4ac$

在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方，即$b^2$，得 $4a^2x^2+4abx+b^2=-4ac+b^2$

然后在方程的两边同时开二次方根，得 $2ax+b=\pm\sqrt{-4ac+b^2}$

## 解法

阿贝尔指出，任意一元二次方程都可以根据$a$、$b$、$c$三个系数，通过初等代数运算来求解。求得的解也被称为方程的根。

一般来说，一元二次方程有两个根。

### 因式分解法

把一个关于 $x$ 一元二次方程变形成一般形式 $ax^2+bx+c=0$ 后，如果 $ax^2+bx+c=0$ 能够较简便地分解成两个一次因式的乘积，则一般用因式分解来解这个一元二次方程。

将方程左边分解成两个一次因式的乘积后（一般可用十字相乘法），分别令每一个因式等于零，可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程，得到的两个解都是原方程的解。

如果一元二次方程$ax^2+bx+c=0$存在两个实根$x_1,x_2$，那么它可以因式分解为$a(x-x_1)(x-x_2)=0$。

例如，解一元二次方程$x^2-3x+2=0$时，可将原方程左边分解成$\left (x-1 \right)\left (x-2 \right)=0$，所以$x-1=0 \quad x-2=0$，可解得$x_1=1 \quad x_2=2$

### 公式解法

对于$ax^2+bx+c=0\ (a\ne0)$，若$\Delta=\sqrt{{b^2-4ac\ }}>0$，则它的两个不等实数根可以表示为

$x_{1}=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a},\, x_{2}=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}$。

若$\Delta=\sqrt{{b^2-4ac\ }}=0$，则它的两个相等实数根可以表示为

$x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{2a}$。

若$\Delta=\sqrt{{b^2-4ac\ }}<0$，则它的两个共轭复数根可以表示为

$x_{1}=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\text{i},\,\, x_{2}=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\text{i}$。

#### 公式解的证明

公式解可以由配方法得出。

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+c=0,\,\, a\ne 0$

①移项，得：

$ax^2+bx=-c$。

②二次项系数化为 $1$，得：

$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$。

③配方，得：

$x^2+\frac{b}{a}x+\biggl(\frac{b}{2a}\biggl)^{2}=-\frac{c}{a}+\biggl(\frac{b}{2a}\biggl)^{2}$。

$\biggl(x+\frac{b}{2a}\biggl)^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$。

因为 $a\ne 0$，所以

若$\Delta=\sqrt{{b^2-4ac\ }}>0$，则它的两个不等实数根可以表示为

$x_{1}=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a},\, x_{2}=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}$。

若$\Delta=\sqrt{{b^2-4ac\ }}=0$，则它的两个相等实数根可以表示为

$x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{2a}$。

若$\Delta=\sqrt{{b^2-4ac\ }}<0$，则它的两个共轭复数根可以表示为

$x_{1}=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\text{i},\,\, x_{2}=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\text{i}$。

#### 一般化

一元二次方程的求根公式在方程的系数为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。

公式中的根式$\sqrt{b^2-4ac}$应该理解为“如果存在的话，自乘后为$b^2 - 4ac$之两数中的任何一个”。在某些数域中，有些数值没有平方根。

#### 根的判别式

对于实系数一元二次方程$ax^2+bx+c=0 \left( a\ne0 \right)$，$\Delta=b^2-4ac$称作一元二次方程根的判别式。根据判别式，一元二次方程的根有三种可能的情况：

- 如果$\Delta>0$，则这个一元二次方程有两个不等的实数根。如果系数都为有理数，且$\Delta$是一个完全平方数，则这两个根都是有理数，否则这两个根至少有一个是无理数。
- 如果$\Delta=0$，则这个一元二次方程有两个相等的实数根。这两个等根 $x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}$
- 如果$\Delta<0$，则这个一元二次方程有两个不等的复数根，两根互为共轭复数。这时两根分别为$x_{1}=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\text{i},\,\, x_{2}=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\text{i}$，其中 $\text{i}=\sqrt{-1}$。

### 非实系数一元二次方程

即系数为非实数时的一元二次方程，将系数扩展到复数域内，此时要注意根的判别式不适用于非实系数一元二次方程。

### 一元二次方程的根与系数的关系

根据韦达定理可以找出一元二次方程的根与系数的关系。$$x_1+x_2=\frac{-b+ \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} + \frac{-b- \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} = \frac{-2b}{2a} = - \frac{b}{a}$$ $$x_1 \cdot x_2 = \frac{-b+ \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} \cdot \frac{-b- \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} = \frac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$$

### 图像解法

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一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的几何意义是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像（为一条抛物线）与 $x$ 轴交点的坐标，即二次函数的零点。

<image>

另外一种解法是把一元二次方程$ax^2+bx+c=0$化为$x^2=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}$ 的形式。

则方程$ax^2+bx+c=0$的根，就是函数$y=x^2$和$y=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}$交点的横坐标。

通过作图，可以得到一元二次方程根的近似值。

### 计算机法

在使用计算机解一元二次方程时，跟人手工计算相似，大部分情况下也是根据以下公式去解$$x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}$$可以进行符号运算的程序，比如Mathematica，可以给出准确的解析表达式。而大部分程序则只会给出数值解。(但亦有部分显示平方根及虚数)

## 外部链接

- 101 uses of a quadratic equation: Part I， Part II