最大公因数

最大公因数（highest common factor，hcf）也称最大公约数（greatest common divisor，gcd）是数学词汇，指能够整除多个非零整数的最大正整数。例如8和12的最大公因数为4。

最大公因数的值至少为1，例如$\gcd(3,7) = 1$；最大则为该组整数中绝对值最小的绝对值，例如$\gcd(3,9) = 3$和$\gcd(-3,9) = 3$。

求两个整数最大公因数主要的方法：

- 列举法：分别列出两整数的所有因数，并找出最大的公因数。
- 质因数分解：分别列出两数的质因数分解式，并计算共同项的乘积。
- 短除法：两数除以其共同质因数，直到两数互质时，所有除数的乘积即为最大公因数。
- 欧几里得算法：$\gcd(a,b) = \gcd(b, a \,\mathrm{mod}\, b)$

两个整数$a, b$的最大公因数和最小公倍数（lcm）的关系为：

$$\gcd(a, b) \operatorname{lcm}(a, b) = |ab|$$

两个整数的最大公因数可用于计算两数的最小公倍数，或分数化简成最简分数。

两个整数的最大公因数和最小公倍数中存在分配律：

$$\gcd(a, \operatorname{lcm}(b, c)) = \operatorname{lcm}(\gcd(a, b), \gcd(a, c))$$

$$\operatorname{lcm}(a, \gcd(b, c)) = \gcd(\operatorname{lcm}(a, b), \operatorname{lcm}(a, c))$$

在直角坐标中，两顶点为$(0, 0), (a, b)$的线段会通过$\gcd(a, b)+1$个格子点。

## 概述

### 例子

54和24的最大公因数是多少？

数字54可以表示为几组不同正整数的乘积：

$$54 = 1 \times 54 = 2 \times 27 = 3 \times 18 = 6 \times 9$$

故54的正因数为$1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54$。

同样地，24可以表示为：

$$24 = 1 \times 24 = 2 \times 12 = 3 \times 8 = 4 \times 6$$

故24的正因数为$1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$。

这两组数列中的共同元素即为54和24的公因数：

$$1, 2, 3, 6$$

其中的最大数6即为54和24的最大公因数，记为：

$$\gcd(54,24) = 6$$

### 互质数

如果两数的最大公因数为1，那么这两个数互质。例如，9和28就是互质数。

### 几何角度的说明

<image>

假设有一个大小为24乘60的矩形区域，这个区域可以按照不同的大小划分正方形网格：1乘1、2乘2、3乘3、4乘4、6乘6、12乘12。因此，12是24和60的最大公因数。大小为24乘60的矩形区域，可以按照12乘12的大小划分正方形网格，一边有两格（$\frac{24}{12}=2$）、另一边有五格（$\frac{60}{12}=5$）。

## 计算

### 质因数分解法

可以通过质因数分解来计算最大公因数。例如计算$\gcd(18, 84)$，可以先进行质因数分解 $18 = 2 \times 3^2$ 和 $84 = 2^2 \times 3 \times 7$，因为其中表达式$2 \times 3$的“重合”，所以$\gcd(18, 84) = 6$。实践中，这种方法只在数字比较小时才可行，因为对较大数进行质因数分解通常会耗费大量的时间。

再举一个用文氏图表示的例子，计算48和180的最大公因数。首先对这两个数进行质因数分解：

$$48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$$

$$180= 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5$$

它们之中的共同元素是两个2和一个3：

<image>

最小公倍数$=2 \times 2 \times (2 \times 2 \times 3) \times 3 \times 5 =720$

最大公因数$=2 \times 2 \times 3 =12$

### 辗转相除法

相比质因数分解法，辗转相除法的效率更高。

计算$\gcd(18,48)$时，先将48除以18得到商2、余数12，然后再将18除以12得到商1、余数6，再将12除以6得到商2、余数0，即得到最大公因数6。我们只关心每次除法的余数是否为0，为0即表示得到答案。这一算法更正式的描述是这样的：

$$\gcd(a, 0) = a$$

$$\gcd(a, b) = \gcd(b, a \,\mathrm{mod}\, b)$$

其中

$$a \,\mathrm{mod}\, b = a - b \left\lfloor {a \over b} \right\rfloor$$

如果参数都大于0，那么该算法可以写成更简单的形式：

$\gcd(a,a) = a$,

$\gcd(a,b) = \gcd(a - b,b)\quad$ 如果 a > b

$\gcd(a,b) = \gcd(a, b-a)\quad$ 如果 b > a

<image>

## 性质

- 任意a和b的公因数都是$\gcd(a,b)$的因数。
- $\gcd$函数满足交换律：$\gcd(a, b) = \gcd(b, a)$。
- $\gcd$函数满足结合律：$\gcd(a, \gcd(b, c)) = \gcd(\gcd(a, b), c)$

## 程式代码

以下使用辗转相除法实现。

### C#

```csharp
private int GCD(int a, int b) {
	if(0 != b) while(0 != (a %= b) && 0 != (b %= a));
	return a + b;
}
```

### C++

运行时计算实现：

```cpp
template<typename T>
T GCD(T a, T b) {
	if(b) while((a %= b) && (b %= a));
	return a + b;
}
```

编译时计算实现：

```cpp
#include <iostream>
#include <type_traits>

template<typename T, std::enable_if_t<std::is_integral<T>::value, T> a, std::enable_if_t<std::is_integral<T>::value, T> b>
struct HCF{
public:
    static const T value=HCF<T, (a>b? b: a), (a>b? a%b: b%a)>::value;
};
template<typename T, std::enable_if_t<std::is_integral<T>::value, T> a>
struct HCF<T, a, 0>{
public:
    static const T value=a;
};
int main(){
    std::wcout<<HCF<int, 12, 64>::value<<std::endl;//Output: 4
}
```

### C

```c
int GCD(int a, int b) {
	if (b) while((a %= b) && (b %= a));
	return a + b;
}
```

### Java

```java
private int GCD(int a, int b) {
    if (b==0) return a; 
	return GCD(b, a % b);
}
```

### JavaScript

```javascript
const GCD = (a, b) => b ? GCD(b, a % b) : a;
```

### Python

```py
GCD = lambda a, b: (a if b == 0 else GCD(b, a % b))

# or

def GCD(a, b):
    if b == 0:
        return a
    return GCD(b, a % b)
```

## 政治用法

最大公约数又指一社会中不同阵营勉强所达之共同利益。