积空间

在拓扑学的相关领域中，积空间是指一族拓扑空间的笛卡儿积与其配备的自然拓扑结构，这个自然拓扑结构被称为积拓扑（Product topology）。

## 无穷积空间

直观动机上，一族拓扑空间笛卡儿积，最“自然”的拓扑，应该是使投影映射都是连续函数的最粗拓扑；换句话说，设有集合族 $\mathcal{X}$，具有指标集 $I$ 与指标函数 $x$：

$$I \,\overset{x}{\cong}\, \mathcal{X}$$

且有相应的一族拓扑 $\mathcal{T}$ 与指标函数 $\tau$：

$I \,\overset{\tau}{\cong}\, \mathcal{T}$

$(\forall i \in I) [\tau(i) \text{ is topology of } x(i)]$

若 $\tau_{\pi}$ 就是无穷乘积 $\prod_{x} \mathcal{X}$ 上满足需求的那个拓扑，那对于任意指标 $j \in I$，以下的第 $j$ 投影映射：

$$\pi_j: \prod_{x} \mathcal{X} \to x(j)$$

$$\left(\forall f \in \prod_{x} \mathcal{X} \right) [\pi_{j}(f) = f(j)]$$

必须对所有开集 $o_j \in \tau(j)$ 须满足：

$${(\pi_j)}^{-1}(o_j) \in \tau_\pi$$

也就是说，$\pi_j$ 必须 $\tau_{\pi}$-$\tau(j)$ 连续。

首先从 $\pi_j$ 的定义，对任意 $f$ 有：

$$\left[f \in {(\pi_j)}^{-1}(o_j)\right] \Leftrightarrow \left\{ \left(\forall f \in \prod_{x} \mathcal{X} \right) <pre> \wedge </pre> \big[f(j)\in o_j\big] \right\}$$

那如果取个一对一函数 $o: I \to \bigcup \mathcal{T}$ 满足：

$$(\forall i \in I) \left\{(i\neq j) \Rightarrow \big[o(i) = x(i)\big] \right\}$$

$$o(j) = o_j$$

那以上的要求就可以写为：

$${(\pi_j)}^{-1}(o_j) = \prod_{o} o(I) \in \tau_\pi$$

也就是除了 $j \in I$ 取小开集，其他都选全集的无穷乘积，应该也要是 $\tau_{\pi}$ 的开集。所以目标所求的最“自然”的拓扑 $\tau_{\pi}$，应该是包含：

$$\left\{ \prod_{o} o(I) \,\Bigg|\, (\exists j \in I)\left\{ <pre> \left(o: I \to \bigcup \mathcal{T}\right) \wedge (\forall i \in I)\left\{(i\neq j) \Rightarrow \big[o(i) = x(i)\big]\right\} \wedge \big[o(j) \in \tau(j)\big] </pre> \right\} \right\}$$

最粗拓扑，总结如下：

设有集合族 $\mathcal{X}$，具有指标集 $I$ 与指标函数 $x$：

$$I \,\overset{x}{\cong}\, \mathcal{X}$$

且有相应的一族拓扑 $\mathcal{T}$ 与指标函数 $\tau$：

$I \,\overset{\tau}{\cong}\, \mathcal{T}$

$(\forall i \in I) [\tau(i) \text{ is topology of } x(i)]$

取：

$$\mathcal{C} = \left\{ \prod_{o} o(I) \,\Bigg|\, (\exists j \in I)\left\{ <pre> \left(o: I \to \bigcup \mathcal{T}\right) \wedge (\forall i \in I)\left\{(i\neq j) \Rightarrow \big[o(i) = x(i)\big]\right\} \wedge \big[o(j) \in \tau(j)\big] </pre> \right\} \right\} <pre>$$

那在 $\prod_{x} \mathcal{X}$ 上包含 $\mathcal{C}$ 的最粗拓扑 $\tau_{\pi}$ 被称为 $\prod_{x} \mathcal{X}$ 的积拓扑，而 $\left(\prod_{x} \mathcal{X},\, \tau_\pi\right)$ 被称为相应的积空间。

## 有限积空间

如果指标集为有限，则积拓扑有更简单的表述；这是因为可以免除用函数定义无穷乘积的迂回途径，而且还可以应用开集的有限交集为开集的特性。以下仿造上面无穷积空间一节来炮制更简明的有限积拓扑：

设 $(X_1,\,\tau_1),\,(X_2,\,\tau_2),\,\dots,\,(X_n,\,\tau_n)$ 都是拓扑空间，若对任意自然数指标 $j \leq n$ 来说，以下的投影映射 $\pi_j$：

$$\pi_j: \prod^{n}_{i=1} X_i \to x(j)$$

$$\pi_{j}(a_1,\,a_2,\,\dots,\,a_n) = a_j$$

对于 $\prod^{n}_{i=1} X_i$ 上的“自然拓扑 ”$\tau_\pi$，取任意开集 $O_j \in \tau_j$ 应满足：

$${(\pi_j)}^{-1}(O_j) \in \tau_\pi$$

也就是说，$\pi_j$ 都应 $\tau_{\pi}$-$\tau_j$ 连续。那从 $\pi_j$ 的定义，对任意 $p = (p_1,\,p_2,\,\dots,\, p_n)$ 有：

$$\left[p \in {(\pi_j)}^{-1}(O_j)\right] \Leftrightarrow (\forall i \in \N) \left\{ <pre> (p_i \in X_i) \wedge (p_j \in O_j) </pre> \right\}$$

换句话说，这个“自然拓扑”必须满足：

${(\pi_j)}^{-1}(O_j) = X_1 \times \dots \times X_{j-1} \times O_j \times X_{j+1} \times \dots \times X_n \in \tau_\pi$ （$1 < j \leq n$）

$${(\pi_j)}^{-1}(O_1) = O_1 \times X_2 \times \dots \times X_n \in \tau_\pi$$

那稍微推广一下，对任意满足以下条件的一对一有限开集序列：

$$V:\N \to \bigcup \{\tau_1,\,\tau_2,\,\dots,\,\tau_n\}$$

$$V(i) = V_i \in \tau_i$$

要求：

$$\prod^{n}_{i=1} V_i = V_1 \times \dots \times V_n \in \tau_\pi$$

那因为 $X_i \in \tau_i$ （母集合当然是开集合），这样要求的确可以推得稍早要求的“自然拓扑”条件；反过来，因为：

$$V_i = V_1 \times \dots \times V_n = \bigcap^{n}_{j=1} X_1 \times \dots \times X_{j-1} \times V_j \times X_{j+1} \times \dots \times X_n$$

所以根据开集的有限交集也是开集的性质，“自然拓扑”条件也可以得到刚刚的推广要求。综上所述，可以作如下的定义：

设 $(X_1,\,\tau_1),\,(X_2,\,\tau_2),\,\dots,\,(X_n,\,\tau_n)$ 都是拓扑空间，取：

$$\mathcal{C} = \left\{ \prod^{n}_{i=1} V_i \,\Bigg|\, V_i \in \tau_i \right\} <pre>$$

那在 $\prod^{n}_{i=1} X_i$ 上包含 $\mathcal{C}$ 的最粗拓扑 $\tau_{\pi}$ 被称为 $\prod^{n}_{i=1} X_i$ 的有限积拓扑，而 $\left(\prod^{n}_{i=1} X_i,\, \tau_\pi\right)$ 被称为相应的有限积空间。

## 例子

从实直线R上的标准拓扑开始，定义n份R的乘积，就得到普通的Rn上的欧几里得拓扑。

康托尔集同胚于可数个离散空间{0,1}的乘积而无理数的空间同胚于可数个自然数集的乘积，每个集合也是采用离散拓扑。

## 性质

如果 B1,B2,...,Bn 是拓扑 T1,T2,...,Tn 的基，则集合积 B1 × B2 × ... × Bn 是乘积拓扑 T1 × T2 × ... × Tn 的基。在无限乘积的情况下这仍适用，除了出现有限多个基元素之外全部都必须是整个空间之外。

乘积空间X加上标准投影，可以用如下的泛性质来刻划：若Y是拓扑空间，并且对于每个I中的i，fi : Y → Xi是一个连续映射，则存在恰好一个连续映射f : Y → X满足对于每个I中的i如下交换图成立：

<image>

这表明乘积空间是拓扑空间范畴中的积。从上述泛性质可以得出映射f : Y → X连续当且仅当fi = pi o f对于所有I中的i连续。在很多情况下，检查分量函数fi的连续性更为方便。检验映射f : Y→ X是否连续通常更难；可以试着用某种方式利用pi连续这一点。

除了连续，标准投影pi : X → Xi也是开映射。这表示每个积空间的开子集投影到Xi上还是开集。反过来不真：若W是到所有Xi的投影都是开集的积空间的子空间，则W不一定是X中的开集。（例如，W = R2 \ (0,1)2.）标准投影通常不是闭映射。

积拓扑有时称为点式收敛拓扑，因为：X上的一个序列 （或者网）收敛当且仅当它所有到Xi的投影收敛。特别是，如果考虑所有在空间X = RI 对于所有I上的实值函数，在积拓扑上的收敛就是函数的点式收敛。

积拓扑的一个重要定理就是吉洪诺夫定理：任何紧致空间的乘积是紧致的。对于有限乘积很容易证明，而其一般情况等价于选择公理。

## 和其它拓扑概念的联系

- 可分离性
- 每个T0空间的积是T0的。
- 每个T1空间的积是T1的。
- 每个豪斯多夫空间的积是豪斯多夫的。
- 每个正则空间的积是正则的。
- 每个吉洪诺夫空间的积是吉洪诺夫空间。
- 正规空间的积不一定是正规的。
- 紧致性
- 每个紧致空间的积是紧致的（吉洪诺夫定理）
- 局部紧致空间的积不一定是局部紧致的。
- 连通性
- 每个连通（路径－连通）空间是连通的（路径－连通的）。
- 每个遗传性不连通空间的积是遗传性不连通的。

每个"局部看起来"一个标准投影F × U → U的空间称为纤维丛。