勒贝格测度

在测度论中，勒贝格测度（Lebesgue measure）是欧几里得空间上的标准测度。对维数为1，2，3的情况，勒贝格测度就是通常的长度、面积、体积。它广泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予勒贝格测度的集合称为勒贝格可测集；勒贝格可测集 A 的测度记作 λ (A)。一般来说，我们允许一个集合的勒贝格测度为，但是即使如此，在假设选择公理成立时，Rn 仍有勒贝格不可测的子集。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题，它是选择公理的一个结果。

勒贝格测度以法国数学家昂利·勒贝格命名。勒贝格于1901年首次提出这一测度，次年又给出勒贝格积分的定义，并收录进他的学位论文中。

## 问题起源

人们知道，区间的长度可以定义为端点值之差。若干个不交区间的并的长度应当是它们的长度之和。于是人们希望将长度的概念推广到比区间更复杂的集合。

我们想构造一个映射 m，它能将实数集的子集 E 映射到非负实数 m(E)，并称这个数为集合 E 的测度。最理想的情况下，m 应该具有以下性质：

- m 对于实数集的所有子集 E 都有定义。
- 对于一个区间 a, b，m(a, b) 应当等于其长度 b − a。
- m 具有可数可加性。如果 (En) 是一列不相交的集合，并且 m 在其上有定义，那么 $m\left(\bigcup_n E_n\right) = \sum_n m(E_n)$，其中 表示联集。
- m 具有平移不变性。设集合 E 及 （即将 E 的每个元素各加上同一个实数 k 所得到的集合），则 m(E+k) = m(E)。

遗憾的是，这样的映射是不存在的。人们只能退而求其次，寻找满足其中部分条件的映射。勒贝格测度是满足后三条性质的例子。另一个例子是若尔当测度，它只满足有限可加性。

## 定义

区间$I=[a,b]$的长度定义为$|I|=b-a$。对$E\subseteq\mathbb{R}$，勒贝格外测度定义为

对每一列能覆盖$E$的开区间$\{I_k\}_{k\in\mathbb{N}}$，作长度和$\mu=\sum_{k=0}^\infty{|I_k|}$。所有这些$\mu$组成一个有下界的数集，下确界称为勒贝格外测度，记做$\lambda^*(E)$。

勒贝格测度定义在勒贝格σ代数上。若集合$E$满足：

对所有$A\subseteq \mathbb R$，皆有$\lambda^*(A)=\lambda^*(A\cap E)+\lambda^*(A\cap E^c),$

则$E$为勒贝格σ代数的元素，称为勒贝格可测集。对勒贝格可测集，其勒贝格测度$\lambda (E)$就定义为勒贝格外测度$\lambda^*(E)$。

不在勒贝格σ代数中的集合不是勒贝格可测的，这样的集合确实存在，故勒贝格σ代数严格包含于$\mathbb{R}$的幂集。

## 例子

- 任何区间都是勒贝格可测的。闭区间$[a,b]$、开区间$(a,b)$的勒贝格测度都等于区间长度$b-a$。
- 如果 A 是区间 a, b 和 c, d的笛卡尔积，则它是一个长方形，测度为它的面积 (b−a)(d−c)。
- 博雷尔集都是勒贝格可测的。反之不然，存在不是博雷尔集的勒贝格可测集。
- 可数集的勒贝格测度为0。特别是，有理数集的勒贝格测度为0，尽管有理数集是稠密的。
- 康托尔集是一个勒贝格测度为零的不可数集的例子。
- 假设决定性公理成立，则实数集的所有子集都是勒贝格可测的。假设选择公理成立，则可以构造出勒贝格不可测的集合，例如维塔利集。决定性公理与选择公理是不相容的。
- 奥斯古德曲线（Osgood curve）是平面简单曲线，但具有大于0的勒贝格测度。龙形曲线是另一个例子。

## 性质

设集合 A 与 B 是在 Rn 上的集合。勒贝格测度有如下的性质：

- 如果 A 是一列区间 (In) 的笛卡尔积 $\prod_n I_n$，则 A 是勒贝格可测的，并且 $\lambda (A)= \prod_n \left|I_n\right|$，其中 表示区间 I 的长度。
- 如果 A 是有限个或可数个两两互不相交的勒贝格可测集 (En) 的并集，则 A 也是勒贝格可测的，并且 $\lambda\left(A\right) = \sum_n \lambda(E_n)$。
- 如果 A 是勒贝格可测的，那么它相对于$\mathbb{R}^n$的补集也是可测的。
- 对于每个勒贝格可测集 A， $\lambda(A)\ge0$。
- 如果 A 与 B 是勒贝格可测的，且 A ⊆ B，则 $\lambda(A)\le\lambda(B)$。
- 可数多个勒贝格可测集的交集或者并集，仍然是勒贝格可测的。
- $\mathbb{R}^n$上的博雷尔集（即由开集经可数多次交、并、差运算得到的集合）都是勒贝格可测的。
- 勒贝格可测集“几乎”是开集，也“几乎”是闭集。具体来说，$E$是勒贝格可测集当且仅当对任意的$\varepsilon>0$存在开集$G$与闭集$F$使得$F\subset E\subset G$且$\lambda(G\setminus F)<\varepsilon$。此性质曾用来定义勒贝格可测性。（见勒贝格测度的正则性定理）
- 勒贝格测度既是局部有限的，又是内正则的，所以是拉东测度。
- 非空开集的勒贝格测度严格大于0，所以勒贝格测度的支集是全空间$\mathbb{R}^n$。
- 如果 A 是勒贝格零测集，即 $\lambda(A)=0$，则 A 的任何一个子集也是勒贝格零测集。
- 如果 A 是勒贝格可测的，且 （即将 A 平移 k 个单位），则 B 也是勒贝格可测的，并且 $\lambda(B)=\lambda(A)$。
- 如果 A 是勒贝格可测的，且 （即将 A 缩放 k 倍，$k>0$），则 B 也是勒贝格可测的，并且 $\lambda(B)=k^n\cdot\lambda(A)$。
- 更一般地，设 T 是一个线性变换，det(T) 为其行列式。如果 A 是勒贝格可测的，则 T(A) 也是勒贝格可测的，并且 $\lambda(T(A))=|\det(T)|\lambda(A)$。
- 设 f 是一个从 A 到$\mathbb{R}^n$上的连续单射函数。如果 A 是勒贝格可测的，则 f(A) 也是勒贝格可测的。

简要地说，$\mathbb{R}^n$的勒贝格可测子集组成一个包含所有区间的笛卡尔积的σ-代数，且 λ 是其上唯一的完备的、平移不变的、满足$\lambda([0,1]\times [0, 1]\times \cdots \times [0, 1])=1$ 的测度。

勒贝格测度是σ-有限测度。

## 零测集

$\mathbb{R}^n$的子集 A 是零测集，如果对于任意$\varepsilon>0$，A 都可以用可数多个盒（即 n 个区间的乘积）来覆盖，且其总体积最多为$\varepsilon$。所有可数集都是零测集。

如果$\mathbb{R}^n$的子集的豪斯多夫维数小于$n$，那么它是关于$n$维勒贝格测度的零测集。在这里，豪斯多夫维数是相对于$\mathbb{R}^n$上的欧几里得度量（或任何与其利普希茨等价的度量）而言。另一方面，一个集合可能拓扑维数小于$n$，但具有正的$n$维勒贝格测度。一个这样的例子是史密斯-沃尔泰拉-康托尔集，它的拓扑维数为0，但1维勒贝格测度为正数。

为了证明某个集合A是勒贝格可测的，我们通常尝试寻找一个“较好”的集合B，与A 的对称差是零测集，然后证明B可以用开集或闭集的可数交集和并集生成。

## 勒贝格测度的构造

勒贝格测度的现代构造基于外测度，并应用卡拉西奥多里扩张定理。

固定$n\in\mathbb N.$ $\R^n$中的盒子是形如$B=\prod_{i=1}^n [a_i,b_i]$的集合，其中$b_i\ge a_i$，连乘号代表笛卡尔积。盒子的体积定义为$\operatorname{vol}(B)=\prod_{i=1}^n (b_i-a_i)$

对于$\mathbb{R}^n$的任何子集A，可以定义它的外测度$\lambda^*(A):$

$\lambda^*(A) = \inf \Bigl\{\sum_{B\in \mathcal{C}}\operatorname{vol}(B):\mathcal{C}$是可数个盒子的集合，它们的并集覆盖了$A\Bigr\}.$

然后定义集合A为勒贝格可测的，如果对于所有集合$S\subset \R^n$，都有：

$$\lambda^*(S) = \lambda^*(A \cap S) + \lambda^*(S \setminus A).$$

这些勒贝格可测的集合形成了一个σ代数。对于任何勒贝格可测的集合A, 其勒贝格测度定义为$\lambda(A)=\lambda^*(A)$

勒贝格不可测集合的存在性是选择公理的结果。根据维塔利定理，存在实数R的一个勒贝格不可测的子集。如果A是$\R^n$的子集，且其测度为正，那么A便有勒贝格不可测的子集。

1970年，罗伯特·M·梭罗维证明了，在不带选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论中，勒贝格不可测集的存在性是不可证的（见梭罗维模型）。

## 与其他测度的关系

若 A 博雷尔可测，则其博雷尔测度与勒贝格测度一致；然而，更多的勒贝格可测集是博雷尔不可测的。博雷尔测度是平移不变的，但不是完备的。

哈尔测度可以定义在任何局部紧群上，是勒贝格测度的一个推广（带有加法的$\mathbb{R}^n$是一个局部紧群）。

豪斯多夫测度（参见豪斯多夫维数）是勒贝格测度的一个推广，对于测量$\mathbb{R}^n$的维数比n低的子集是很有用的，例如R³上的曲线、曲面，以及分形集合。注意不能把豪斯多夫测度与豪斯多夫维数混淆。

可以证明，无法在无穷维空间上定义类似的勒贝格测度。