叶状结构

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微分几何中，叶状结构（foliation）是n-流形上的等价关系，等价类是连通单射浸入子流形，都具有相同维度p，以实坐标空间$\mathbb{R}^n$的分解为标准嵌入子空间$\mathbb{R}^p$的陪集$x+\mathbb{R}^p$为模型。等价类称作叶状结构的叶（leaf）。若要求流形和/或子流形具有（$C^r$类的）分段线性、微分或解析结构，就可分别定义分段线性、微分、解析叶状结构。在最重要的$C^r$类微分叶状结构中，通常r ≥ 1（否则$C^0$就是拓扑叶状结构）。p（叶的维度）称作叶状结构的维度，$q=n-p$称作其余维数。

在数学物理学家关于广义相对论的一些论文中，“叶状结构”用于描述：相关的洛伦兹流形（(p+1)维时空）分解为p维超平面，指定为梯度处处不为零的实值光滑函数（标量场）的水平集；这光滑函数通常被假定为时间函数，梯度处处类时间，因此其水平集都是类空间超平面。为与标准数学术语保持一致，这些超平面通常称作叶状结构的叶。注意，虽然这情形确实构成标准数学意义上的余维-1叶状结构，但这类例子是全局平凡的。虽然（数学）余维-1叶状结构的叶局部上总是函数的水平集，但一般不能在全局这样表达，因为叶可能无限多次通过局部平凡化坐标图，叶周围的完整也可能阻碍叶的全局一致定义函数的存在。例如，虽然3-球面有一个由里布发现的余维1-叶状结构，但闭流形的余维-1叶状结构不能由光滑函数的水平集给出，因为闭流形上的光滑函数必然在最值点有临界点。

叶状结构好比是一种给流形穿的条纹织物的衣服。在流形的每个足够小的片上，这些条纹给了流形一个局部乘积结构，不需在局部区域之外一致（不用有良定义的整体结构）：沿着一个条纹走足够远，可能回到不同的邻近的条纹。

## 叶状图与图册

为给叶状结构下精确定义，需先定义一些辅助元素。

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$\mathbb{R}^n$中的矩邻域是形式为$B=J_1\times\cdots\times J_n$的开子集，其中$J_i$是第i个坐标轴上（可能无界）的相对开区间。若$J_1$具有形式$(a,\ 0]$，则称B具有边界

$$\partial B = \left \{ \left(0,x^2, \ldots, x^n \right ) \in B \right \}.$$

在下面的定义中，坐标图（coordinate chart）被认为是在$\mathbb{R}^p\times\mathbb{R}^q$，允许流形具有边界和（凸）角的可能。

n-流形M上余维为q的叶状图（foliated chart）是$(U,\ \varphi)$，其中$U\subset M$是开集，$\varphi: U \to B_{\tau} \times B_{\pitchfork}$是微分同胚，$B_{\pitchfork}$是$\mathbb{R}^q$中的矩邻域，$B_{\tau}$是$\mathbb{R}^p$中的矩邻域。集合$P_y=\varphi^{-1}(B_{\tau}\times\{y\})$，其中$y \in B_{\pitchfork}$称作这叶状图的斑（plaque）。$\forall x\in B_{\tau}$，集合$S_x=\varphi_x=\varphi^{-1}(\{x\}\times B_{\pitchfork})$称作叶状图的横截（transversal）。集合$\partial_{\tau}U=\varphi^{-1}(B_{\tau}\times(\partial B_{\pitchfork}))$称作U的切边界（tangential boundary），$\partial_{\pitchfork}U=\varphi^{-1}((\partial B_{\tau})\times B_{\pitchfork})$称作U的横截边界（transverse boundary）。

叶状图是所有叶状结构的基本模型，斑就是叶。$B_{\tau}$表示“B-切”，$B_{\pitchfork}$表示“B-截”。还有多种可能。若$B_{\pitchfork},\ B_{\tau}$都有空边界，则叶状图就建模了无界n-流形的余维-q叶状结构。若其中一个矩邻域有界，则叶状图建模了有界无角n-流形的叶状结构的各种可能性。具体来说，若$\partial B_{\pitchfork}\neq \varnothing=\partial B_{\tau}$，则$\partial U=\partial_{\tau}U$是斑之并，斑表示的叶状结构切于边界。若$\partial B_{\tau}\neq\varnothing=\partial B_{\pitchfork}$，则$\partial U=\partial_{\pitchfork}U$是横截之并，叶状结构横截于边界。最后，若$\partial B_{\pitchfork}\neq\varnothing\neq\partial B_{\tau}$，则建模了叶状流形（foliated manifold），角分开了切边界与横截边界。

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n-流形M上余维为q的$C^r\ (0\le r\le\infty)$类叶状图册（foliated atlas）是余维为q的叶状图的$C^r$-图册$\mathcal{U} = \{(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})\mid \alpha \in A\}$，只要P、Q在$\mathcal{U}$的不同图中都是斑，P ∩ Q在P、Q中都是开的，它们就是相干叶状结构（coherently foliated）。

重新表述相干叶状图的有效方法是将$w\in U_{\alpha}\cap U_{\beta}$写作：

$$\varphi_{\alpha} (w) = \left ( x_{\alpha} (w), y_{\alpha} (w) \right ) \in B_{\tau}^{\alpha} \times B_{\pitchfork}^{\alpha},$$

$$\varphi_{\beta} (w) = \left ( x_{\beta} (w), y_{\beta} (w) \right ) \in B_{\tau}^{\beta} \times B_{\pitchfork}^{\beta}.$$

$(U_{\alpha},\ \varphi_{\alpha})$常写作$(U_{\alpha},\ x_{\alpha},\ y_{\alpha})$，其中

$$x_{\alpha} = \left (x_{\alpha}^1, \dots,x_{\alpha}^p \right ),$$

$$y_{\alpha} = \left (y_{\alpha}^1, \dots,y_{\alpha}^q \right ).$$

在$\varphi_{\beta}(U_{\alpha}\cap U_{\beta})$上，坐标公式可改写为

$$g_{\alpha \beta} \left ( x_{\beta},y_{\beta} \right ) = \varphi_{\alpha} \circ \varphi_{\beta}^{-1} \left ( x_{\beta}, y_{\beta} \right ) = \left ( x_{\alpha} \left ( x_{\beta}, y_{\beta} \right ), y_{\alpha} \left ( x_{\beta}, y_{\beta} \right ) \right ).$$

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$(U_{\alpha},\ x_{\alpha},\ y_{\alpha}),\ (U_{\beta},\ x_{\beta},\ y_{\beta})$是相干叶状结构这一条件意味着，若$P\subset U_{\alpha}$是斑，则$P\cap U_{\beta}$的连通分量位于$U_{\beta}$的（可能不同的）斑中。等价地，由于$U_{\alpha},\ U_{\beta}$的斑分别是横坐标$y_{\alpha},\ y_{\beta}$的水平集，$\forall z\in U_{\alpha}\cap U_{\beta}$都有邻域，其中公式

$$y_\alpha = y_\alpha(x_\beta, y_\beta) = y_\alpha(y_\beta)$$

与$x_{\beta}$无关。

叶状图册的主要用处是将重叠的斑连接起来，形成叶状结构；上述一般定义显得有点笨拙，一个问题是，$(U_{\alpha},\ \varphi_{\alpha})$的斑可以与多个$(U_{\beta},\ \varphi_{\beta})$的斑相遇。甚至可能出现，一个图的斑与另一图的无穷多个斑相遇。不过，如下所示，假设情形更规则，也不失一般性。

若$\mathcal{U} \cup \mathcal{V}$是叶状$C^r$图册，则M上两具有相同余维和光滑度的$C^r$类叶状图册$\mathcal{U},\ \mathcal{V}$是相干的：$\left ( \mathcal{U} \thickapprox \mathcal{V} \right )$。叶状图册的相干是等价关系。

证明自反关系和对称关系是直接的。要证传递关系，令$\mathcal{U} \thickapprox \mathcal{V}$ and $\mathcal{V} \thickapprox \mathcal{W}$。令$(U_{\alpha},\ x_{\alpha},\ y_{\alpha})\in\mathcal{U},\ (W_{\lambda},\ x_{\lambda},\ y_{\lambda})\in\mathcal{W}$，并假设有点$w\in U_{\alpha}\cap W_{\lambda}$。择$(V_{\delta},\ x_{\delta},\ y_{\delta})\in\mathcal{V}$，使得$w\in V_{\delta}$。根据上述说明，w有属于$U_{\alpha}\cap V_{\delta}\cap W_{\lambda}$的邻域，使得 :$y_\delta = y_\delta( y_\lambda) \quad \text{on} \quad \varphi_\lambda ( N ),$ :$y_\alpha = y_\alpha(y_\delta) \quad \text{on} \quad \varphi_\delta ( N ),$ 由此 :$y_{\alpha} = y_\alpha \left ( y_\delta( y_\lambda) \right ) \quad \text{on} \quad \varphi_\delta ( N ).$ 由于$w\in U_{\alpha}\cap W_{\lambda}$是任意的，可以总结$y_{\alpha}(x_{\lambda},\ y_{\lambda})$局部依赖于$x_{\lambda}$。于是可以证明$\mathcal{U} \thickapprox \mathcal{W}$，因为相干是可传递的。

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上面定义的开集上的斑与横截也是开的。不过，我们也可以谈论闭的斑与横截：若$(U,\ \varphi),\ (W,\ \psi)$都是叶状图，使得$\overline{U}$（U的闭包）是W的子集，$\varphi=\psi|U$；则，若$\varphi(U) = B_{\tau} \times B_{\pitchfork},$可知$\psi|\overline{U}$，写作$\overline{\varphi}$，将$\overline{U}$微分同胚地带到$\overline{B}_{\tau} \times \overline{B}_{\pitchfork}.$

符合以下条件的叶状图册称作规则的（regular）：

- $\forall\alpha\in A,\ \overline{U}_{\alpha}$是叶状图$(W_{\alpha},\ \psi_{\alpha})$的紧子集，且$\varphi_{\alpha}=\psi_{\alpha}|U_{\alpha}$。
- 覆盖$\{U_{\alpha}|\alpha\in A\}$是局部有限的。
- 若$(U_{\alpha},\ \varphi_{\alpha}),\ (U_{\beta},\ \varphi_{\beta})$都是叶状图册的元素，则每个闭斑$P\subset\overline{U}_{\alpha}$的内部与最多与$\overline{U}_{\beta}$中的1个斑相遇。

根据性质 (1)，坐标$x_{\alpha},\ y_{\alpha}$延伸到$\overline{U}_{\alpha}$上的坐标$\overline{x}_{\alpha},\ \overline{y}_{\alpha}$，可以写成$\overline{\varphi}_{\alpha} = \left (\overline{x}_{\alpha},\overline{y}_{\alpha} \right ).$性质 (3)等价于要求：若$U_{\alpha}\cap U_{\beta}\neq\varnothing$，横坐标变化$\overline{y}_{\alpha} = \overline{y}_{\alpha} \left ( \overline{x}_{\beta}, \overline{y}_{\beta} \right )$独立于$\overline{x}_{\beta}.$即

$$\overline{g}_{\alpha \beta} = \overline{\varphi}_{\alpha} \circ \overline{\varphi}_{\beta}^{-1} : \overline{\varphi}_{\beta} \left ( \overline{U}_{\alpha} \cap \overline{U}_{\beta} \right ) \rightarrow \overline{\varphi}_{\alpha} \left ( \overline{U}_{\alpha} \cap \overline{U}_{\beta} \right )$$

有公式

$$\overline{g}_{\alpha \beta} \left ( \overline{x}_{\beta}, \overline{y}_{\beta} \right ) = \left ( \overline{x}_{\alpha} \left ( \overline{x}_{\beta}, \overline{y}_{\beta} \right ), \overline{y}_{\alpha} \left ( \overline{y}_{\beta} \right ) \right ).$$

类似论断也适于开图（无覆盖线）。横坐标映射$y_{\alpha}$可视作浸没

$$y_{\alpha} : U_{\alpha} \rightarrow \mathbb{R}^q$$

公式$y_{\alpha}=y_{\alpha}(y_{\beta})$可视作微分同胚

$$\gamma_{\alpha \beta} : y_{\beta} \left ( U_{\alpha} \cap U_{\beta} \right ) \rightarrow y_{\alpha} \left ( U_{\alpha} \cap U_{\beta} \right ).$$

它们满足上循环条件，即，在$y_{\delta}(U_{\alpha}\cap U_{\beta}\cap U_{\delta})$上。

$$\gamma_{\alpha \delta} = \gamma_{\alpha \beta} \circ \gamma_{\beta \delta}$$

尤其是。

$$\gamma_{\alpha \alpha} \equiv y_{\alpha} \left ( U_{\alpha} \right ),$$

$$\gamma_{\alpha \beta} = \gamma_{\beta \alpha}^{-1}.$$

用上述关于相干性和规则性的定义，可证明每个叶状图册都有规则的相干细化。

证明固定M上的一个度量核一个叶状图册$\mathcal{W}.$传递到子覆盖，如有必要，可假设$\mathcal{W} = \left \{ W_j,\psi_j \right \}_{j=1}^l$有限。令ε > 0是$\mathcal{W}$的勒贝格数，即直径< ε的$\forall\subset X\subseteq M$都完全位于某个$W_j$中。$\forall x\in M$，择j使得$x\in W_j$、择叶状图$(U_x,\ \varphi_x)$使得 :$x\in U_x\subseteq \overline{U}_x\subset W_j,$ :$\varphi_x=\psi_j|U_x,$ :${\rm diam}(U_x)<\varepsilon/2.$ 设$U_x\subset W_k\ (k\neq j)$，并照常记$\psi_k=(x_k,\ y_k)\ (y_k:\ W_k\to\mathbb{R}^q)$是横坐标映射。这是浸没，以$W_k$中的斑为水平集。因此，$y_k$限制到浸没$y_k:\ U_x\to\mathbb{R}^q.$ 这在$x_j$中是局部为常的；因此，若有必要可以选择较小的$U_x$，假定$y_k|\overline{U}_x$以$\overline{U}_x$的斑为水平集。即，$W_k$的斑最多与$\overline{U}_x$的一个（紧）斑相遇（因此包含）。由于1 < k < l < ∞，可以择$U_x$，使得只要$U_x\subset W_k$，$\overline{U}_x$的不同斑就位于$W_k$的不同斑中。传递到$\{(U_x,\ \varphi_x)|x\in M\}$的有限子图册$\mathcal{U} = \left \{U_i,\varphi_i \right \}_{i=1}^N$。若$U_i\cap U_j\neq 0,\ {\rm diam}(U_i\cup U_j)<\varepsilon$，于是存在索引k使得$\overline{U}_i \cup \overline{U}_j \subseteq W_k$。$\overline{U}_i$的不同斑（分别是$\overline{U}_j$的不同斑）位于$W_k$的不同斑中。因此$\overline{U}_i$的每个斑内部最多与$\overline{U}_j$的一个斑相交，反之亦然。根据构造，$\mathcal{U}$是$\mathcal{W}$的相干细化，是规则叶状图册。若M非紧，局部紧性和第二可数性允许我们选择紧子集序列$\left \{ K_i \right \}_{i=0}^{\infty}$，使得$\forall i\ge 0,\ M = \bigcup_{i=1}^{\infty} K_i,\ K_i\subset {\rm int}K_{i+1}$。传递到子图集，假定$\mathcal{W} = \left \{ W_j, \psi_j \right \}_{j=0}^{\infty}$可数，且可找到严格递增正整数列$\left \{ n_l \right \}_{l=0}^{\infty}$使$\mathcal{W}_l = \left \{ W_j, \psi_j \right \}_{j=0}^{n_l}$是$K_l$的覆盖。令$\delta_l$表示$K_l$到$\partial K_{l+1}$的距离，并择$\varepsilon_l>0$，小到对于$l\ge 1,\ \varepsilon_0<\delta_0/2$，都有$\varepsilon_l<{\rm min}\{\delta_l/2,\ \varepsilon_{l-1}\}$（$\varepsilon_l$是$\mathcal{W}_l$（作为$K_{l}$的开覆盖）与$\mathcal{W}_{l+1}$（作为$K_{l+1}$的开覆盖）的勒贝格数）。更确切地说，若$X\subset M$与$L_l$相遇（或$K_{l+1}$），且${\rm diam} X<\varepsilon_l$，则X位于$\mathcal{W}_l$的某个元素中（或$\mathcal{W}_{l+1}$）。$\forall x\in K_l\diagdown{\rm int}K_{l-1}$，与紧情形一样构造$(U_x,\ \varphi_x)$，要求$\overline{U}_x$是$W_j$的紧子集，且$\forall j\le n_l,\ \varphi_x=\psi_j|U_x$。同时，要求${\rm diam}\overline{U}_x<\varepsilon_l/2$。和之前一样，传递到$K_l\diagdown{\rm int}K_{l-1}$的有限子覆盖$\left \{U_i,\varphi_i \right \}_{i=n_{l-1} + 1}^{n_l}$（此处取$n_{-1}=0$。）这样就创造了规则叶状图册$\mathcal{U} = \left \{U_i,\varphi_i \right \}_{i=1}^{\infty}$，细化了$\mathcal{W}$并与$\mathcal{W}$相干。

## 叶状结构的定义

根据实现叶状结构的方式，有几种不同的定义。最常见方式是通过流形分解，得到

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定义 n维流形M的p-维$C^r$类叶状结构是将M分解为不交连通子流形$\{L_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$的并，称作叶状结构的叶（leaf），具有如下性质：M的点都有邻域U和局部$C^r$类坐标系$x=(x^1,\ \ldots,\ x^n):\ U\to \mathbb{R}^n$，使得对每片叶$L_{\alpha}$，$U\cap L_{\alpha}$的组分都由方程组$x^{p+1}=\text{常数},\ \ldots,\ x^n=\text{常数}$描述。则，叶状结构记作$\mathcal{F}=\{L_{\alpha}\}_{\alpha\in A}.$

叶的概念可以让我们直观地思考叶状结构。若用稍微几何化的定义，n维流形M的p维叶状结构$\mathcal{F}$也许可简单视作M的逐对不交、连通浸没的p维子流形（叶状结构的叶）的集合$\{M_a\}$，使得对点$\forall x\in M$，都有图$(U,\varphi)$，其中U同胚于$\mathbb{R}^n$，包含的x使得对每片叶$M_a$，与U相遇或为空集或为子空间的可数集，其在$\varphi (M_a \cap U)$中$\varphi$的像下是前n-p个坐标为常数的p维仿射子空间。

叶状结构局部上都是浸没，允许下列定义

定义 令M、Q是n维流形，q≤n，并令$f:\ M\to Q$是浸没，即假设函数微分矩阵（雅可比矩阵）的秩为q，则据隐函数定理，ƒ在M上诱导了余维为q的叶状结构，其中的叶定义为$x\in Q,\ f^{-1}(x).$

这定义描述了n维流形M的p维叶状结构$\mathcal{F}$，是由图（chart）$U_i$与下列映射覆盖的：

$$\varphi_i:U_i \to \mathbb{R}^n$$

这样，对重叠对$U_i,\ U_j$，转移函数$\varphi_{ij}:\ \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$定义为

$$\varphi_{ij} =\varphi_j \varphi_i^{-1}$$

形式为

$$\varphi_{ij}(x,y) = (\varphi_{ij}^1(x),\varphi_{ij}^2(x,y))$$

其中x表示前$q=n-p$个坐标，y表示后p个坐标（co-ordinates），即

$$\begin{align} \varphi_{ij}^1:{} &\mathbb{R}^q\to\mathbb{R}^q \\ \varphi_{ij}^2:{} &\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^p \end{align}$$

将转移函数$\varphi_{ij}$拆分为$\varphi_{ij}^1(x),\ \varphi_{ij}^2(x,y)$，作为浸没的一部分完全类似于将$\overline{g}_{\alpha \beta}$拆分为$\overline{y}_{\alpha} \left ( \overline{y}_{\beta} \right ),\ \overline{x}_{\alpha} \left ( \overline{x}_{\beta}, \overline{y}_{\beta} \right )$，作为规则叶状图册定义的一部分。这使得可以用规则叶状图册定义叶状结构成为可能。为此，必须首先证明，余维度为q的规则叶状图册都与唯一的余维度为q的叶状结构$\mathcal{F}$相关联。

证明令$\mathcal{U} = \left \{U_a,\varphi_{\alpha} \right \}_{\alpha \in A}$是余维为q的规则叶状图册。在M上定义等价关系：x ~ y，当且仅当$\exists\mathcal{U}$-斑$P_0$使得$x,\ y\in P_0$，或有$\mathcal{U}$-斑的序列$L=\{P_0,\ P_1,\ \dots,\ P_p\}$使得$x \in P_0,\ y \in P_p,\ P_i \cap P_{i-1} \neq \varnothing \ (1\le i\le p)$成立。称序列L为连接x、y的长p的斑链。$x,\ y\in P_0$时，可以说$\{P_0\}$是连接x、y的长度为0的斑链。~是等价关系，这很清楚；同样明显的是，等价类L都是斑的并。由于$\mathcal{U}$-斑只能在彼此的开子集中相互重叠，所以L在局部是维度为n-q的拓扑浸入（immerse）子流形。斑$P\subset L$的开子集在L上构成了n-q维的局部欧氏拓扑的基，L在这拓扑中显然是连通的。要检验L是否为豪斯多夫空间也是平凡的，主要问题是要证明L第二可数。由于斑都是第二可数的，所以对L只需证L中$\mathcal{U}$-斑集最多为可数无穷。固定一个这样的斑$P_0$，根据规则叶状图册的定义，其只与有限多个其他斑相遇。即，只有有限多长1的斑链$\{P_0,\ P_i\}$。归纳始于$P_0$的p长斑链，同样可证明长度≤ p的斑链只有有限多条。根据~的定义，L中所有$\mathcal{U}$-斑都可通过始于$P_0$的有限斑链抵达，因此可得上述论断。

正如证明所示，叶状结构的叶是长度 ≤ p的斑链的等价类，也是拓扑浸入豪斯多夫p维子流形。接着，我们将证明叶上斑的等价关系可用相干叶状图册的等价来表示，即它们与叶状结构的联系。更具体地说，若$\mathcal{U},\ \mathcal{V}$是M上的叶状图册、且若$\mathcal{U}$与叶状结构$\mathcal{F}$相关联，则当且仅当$\mathcal{V}$也与$\mathcal{F}$相关联时，$\mathcal{U},\ \mathcal{V}$相干。

证明若$\mathcal{V}$也与$\mathcal{F}$相关联，则每片叶L都是$\mathcal{V}$-斑与$\mathcal{U}$-斑的并。这些斑在L的流形拓扑中是开子集，因此交于彼此的开子集。由于斑是连通的，所以不在同一片叶的$\mathcal{U}$-斑不能交$\mathcal{V}$-斑；因此叶状图册是相干的。反之，若只知道$\mathcal{U}$与$\mathcal{F}$相关联、$\mathcal{V} \approx \mathcal{U}$，令Q是$\mathcal{V}$-斑。若L是$\mathcal{F}$的叶，且$w\in L\cap Q\ (w\in P)$，令$P\in L$是$\mathcal{U}$-斑，则$P\cap Q$是w在Q中的开邻域，且$P\cap Q\subset L\cap Q$。由于$w\in L\cap Q$是任意的，可知$L\cap Q$是开的；由于L也是任意的叶，所以Q可分解为不交的开子集，每个都是Q与$\mathcal{F}$中某叶的交。又由于Q连通，$L\cap Q=Q.$最后，Q也是任意的$\mathcal{V}$-斑，所以$\mathcal{V}$与$\mathcal{F}$相关联。

现在很明显，M上的叶状结构与叶状图册间的关联关系产生了M的叶状结构集同叶状图册的相干类集之间的一一对应，换句话说，M上余维为q的$C^r$类叶状结构$\mathcal{F}$是余维为q的$C^r$类叶状图册的相干类。据佐恩引理，叶状图册相干类显然包含唯一的最大叶状图册。于是。

定义 M上余维为q的$C^r$类叶状结构是M上余维为q的最大叶状$C^r$-图册。

实践中，通常用较小的叶状图册表示叶状结构，通常还要求是规则的。

在图$U_i$中，条纹$x=\text{常数}$与别的图$U_j$上的条相匹配。这些子流形在图之间拼接成最大连通单射浸入子流形，就是叶状结构的叶（leaf）。

若缩小图$U_i$，可以写成$U_{ix}\times U_{iy}$，其中$U_{ix}\subset\mathbb{R}^{n-p},\ U_{iy}\subset\mathbb{R}^p.\ \ U_{}iy$与斑同构，$U_{ix}$的点参数化了$U_i$中的斑。若择$y_0\in U_{iy}$，则$U_{ix}\times\{y_0\}$是$U_i$的子流形，与每个斑恰交一次，这叫做叶状结构的局部横截面。注意，由于单值性的原因，全局横截面可能不存在。

r = 0的情形比较特殊。实践中出现的$C^0$叶状结构通常是“光滑叶”。更确切地说，是以下意义的$C^{r,\ 0}$类：

定义 若叶状图册的相应相干类包含规则叶状图册$\{U_{\alpha},\ x_{\alpha},\ y_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$，使得坐标变换式

$$g_{\alpha \beta}(x_\beta, y_\beta) = ( x_\alpha( x_\beta, y_\beta), y_\alpha ( y_\beta)).$$

属于$C^k$类，但$x_{\alpha}$在坐标$x_{\beta}$中是$C^r$类，其阶数≤ r、与$x_{\beta}$的混合偏导数在坐标$(x_{\beta},\ y_{\beta}$中是$C^k$类，则称叶状结构$\mathcal{F}$属于$C^{r,\ k}\ (r>k\ge 0)$类。

上述定义是所谓“叶状空间”的更一般概念。我们可以放宽横截的条件为$\mathbb{R}^q$的相对紧开子集，允许横坐标$y_{\alpha}$在更一般的拓扑空间Z中取值。斑仍是$\mathbb{R}^q$的相对紧开子集，横坐标公式$y_{\alpha}(y_{\beta})$的变化是连续的，$x_{\alpha}(x_{\beta},\ y_{\beta})$在坐标$x_{\beta}$中属于$C^r$类，其阶数 ≤ r、与$x_{\beta}$的混合偏导数在坐标$(x_{\beta},\ y_{\beta})$中连续。一般要求M、Z为局部紧可测第二可数空间。这似乎是很狂野的推广，但在一些情形下很有用。

## 完整性

令$(M,\ \mathcal{F})$是叶状流形（foliated manifold）。设L是$\mathcal{F}$的叶，s是L中的路径，我们感兴趣的是M中s的邻域中叶状结构的行为。直观地说，在叶上可以沿路径s行走，同时关注附近所有叶。在他（以下写作s(t)）行走时，一些叶可能会“掉落”、变得不可见；另一些可能会突然进入可视范围，渐渐接近L；还有些可能会以接近平行的方式跟随L，或垂直地打转之类。若s是环路，则随着t增大，s(t)会反复回到同一个点s(t0)，每次都会有更多叶螺旋状地进入或离开视野。这种行为经过适当的形式化，叫做叶状结构的完整性（holonomy）。

完整性在叶状流形上有多种具体实现方式：叶状丛（foliated bundle）的总完整群、一般叶状流形的完整伪群、一般叶状流形的亏格完整广群、叶的亏格完整群、叶的无穷小完整群。

### 叶状丛

最容易理解的完整性是叶状丛的总完整性，这是庞加莱映射概念的推广。

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“第一回归映射”来自动力系统理论。令$\Phi_t$是紧n-流形上的非奇异$C^r\ (r\ge 1)$流。应用中，可以想象M是个回旋加速器或流体的闭合回路。若M有界，则假定流与界相切。流生成了1维叶状结构$\mathcal{F}$。若知道流的正方向，但不知道其他参数（轨迹形状、速度等），则称底叶状结构（underlying foliation）$\mathcal{F}$有向。假设流有全局横截面N，即N是M的n-1维紧正合嵌入的$C^r$子流形，叶状结构$\mathcal{F}$垂直于N，每条流线都与N相遇。由于N的维度与叶的维度是互补的，横截性条件是

$$T_y (M) = T_y(\mathcal{F}) \oplus T_y(N) \text{ for each } y\in N.$$

令$y\in N$，考虑M中所有序列$\left \{\Phi_{t_k}(y)\right\}_{k=1}^\infty$的所有堆积点的ω-极限集合ω(y)，其中$t_k$为无穷大。可以证明，ω(y)是紧非空的，是流线的并。若$z = \lim_{k \rightarrow \infty} \Phi_{t_k} \in \omega(y),$则有值$t^*\in \mathbb{R}$使得$\Phi_{t^*}(z)\in N$，由此可得

$$\lim_{k \to \infty} \Phi_{t_k + t^\ast} (y) = \Phi_{t^\ast}(z) \in N.$$

由于N是紧的，$\mathcal{F}$横截于N，因此集合$\{t>0|\Phi_t(y)\in N\}$是单调递增序列$\{\tau_k(y)\}_{k=1}^\infty$，并发散。

当$y\in N$变化，令$\tau(y)=\tau_1(y)$，这样定义一个正函数$\tau\in C^r(N)$（第一回归时间），使得$\forall y\in N,\ \Phi_t(y)\notin N,\ 0<t<\tau(y),\ \Phi_{\tau(y)}(y)\in N.$

定义$f:\ N\to N,\ f(y)=\Phi_{\tau(y)}(y).$这是$C^r$映射。若流反向，则完全相同的构造会得到逆的$f^{-1}$；所以$f\in {\rm Diff}^r(N)$。这个微分同胚是第一回归映射，τ称作第一回归时间。虽然第一回归时间取决于流的参数化，但f显然只取决于有向叶状结构$\mathcal{F}$。可以将流$\Phi_t$重参数化，使其保持非奇异、是$C^r$类，且方向不翻转，从而使$\tau\equiv 1.$

流有横截面N的假设是很受限的，意味着M是$S^1$上纤维丛的总空间。事实上在$\mathbb{R}\times N$上，可将$\sim_f$定义为以下条件生成的等价关系：

$$(t,y) \sim_f (t-1,f(y)).$$

等价地，这是加法群Z在$\mathbb{R}\times N$上的作用的轨等价，定义如下

$$\forall k\in\mathbb{Z},\ \forall(t,\ y)\in\mathbb{R}\times N,\ k \cdot (t,y) = (t - k,f^k(y) ).$$

f的映射圆柱定义为$C^r$流形

$$M_f = (\mathbb{R} \times N)/{\sim_f}.$$

由第一回归映射f的定义与第一回归时间$\tau\equiv 1$的假设，可立即得出映射

$$\Phi : \mathbb{R} \times N \rightarrow M.$$

流的定义可诱导一个规范$C^r$微分同胚

$$\varphi : M_f \rightarrow M.$$

若记$M_f=M$，则$\mathbb{R}\times N$到R的投影诱导了$C^r$映射

$$\pi : M \rightarrow \mathbb{R} / \mathbb{Z} = S^1$$

使M变为圆上纤维丛的总空间。这只是$S^1\times D^2$到$S^1$的投影。叶状结构$\mathcal{F}$横截于这丛的纤维，限制到每片叶L的丛投影π是覆盖映射$\pi:\ L\to S^1$，这就是叶状丛（foliated bundle）。

以$x_0\in S^1$的等价类$0+\mathbb{Z}$为基点，$\pi^{-1}(x_0)$就是原横截面N。对$S^1$上以$x_0$为基点的每个环路s，同伦类$[s]\in\pi_1(S^1,\ x_0)$的唯一特征是${\rm deg}s\in\mathbb{Z}$。环路s提升到每条流线中的一条路径，很明显提升$s_y$始于$y\in N$、终于$f^k(y)\in N\ (k={\rm deg}s)$。微分同胚$f^k\in{\rm Diff}^r(N)$也用$h_s$表示，称作环路s的总整体性。由于只取决于s，因此定义了同胚

$$h : \pi_1(S^1,x_0) \rightarrow \operatorname{Diff}^{\,r}(N),$$

称作叶状丛的总整体同胚。

更直观地运用纤维丛，令$(M,\ \mathcal{F})$是余维为q的叶状n-流形，令$\pi:\ M\to B$是纤维丛，具有q维纤维F与连通基空间B。假设所有这些结构都属于$C^r\ (0\le r\le \infty)$类，若r = 0，B支持一个$C^1$结构。由于B上的最大$C^1$图册都包含$C^{\infty}$子图册，因此假设B如所期望那般光滑并不失一般性。最后，$\forall x\in B$，假设x有连通开邻域$U\subseteq B$，和局部平凡化

$$\begin{matrix} \pi^{-1}(U) & \xrightarrow{\varphi} & U\times{F} \\ \scriptstyle{\pi} \Bigg\downarrow & {\qquad} & \Bigg\downarrow{\scriptstyle{p}} \\ U & \xrightarrow{\text{id}} & U \end{matrix}$$

其中φ是$C^r$微分同胚（若r = 0则是同胚），将$\mathcal{F} \mid \pi^{-1}(U)$带到积叶状结构$\{U\times\{y\}\}_{y\in F}$。其中，$\mathcal{F} \mid \pi^{-1}(U)$是叶为$L\cap\pi^{-1}(U)$的连通组分的叶状结构，L是$\mathcal{F}$的叶。这是$C^r$类“叶状丛”（foliated bundle）$(M,\ \mathcal{F},\ \pi)$的一般定义。

$\mathcal{F}$垂直于π的纤维（可以说$\mathcal{F}$是垂直于纤维的），π到$\mathcal{F}$的每片叶L的限制是覆盖映射$\pi:\ L\to B$。特别是，每条纤维$F_x=\pi^{-1}(x)$都与$\mathcal{F}$的每片叶相遇。纤维是$\mathcal{F}$的横截，与流的横截完全类似。

叶状结构$\mathcal{F}$横截于纤维不能保证叶是B的覆盖空间。这个问题的一个简单版本是$\mathbb{R}^2$的一个叶状结构横截于纤维

$$\pi : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R},$$

$$\pi(x,y) = x,$$

但有无限多叶缺失了y轴。在相应的图像中，“有箭头的”叶以及它们上面所有的叶都渐进于x = 0轴。一般称这种叶状结构为相对于纤维是不完备的，即当参数$x\in B$接近某个$x_0\in B$，一些叶“奔向无穷大”。更确切地说，可能有叶L，和一条连续路径$s:\ [0,\ a)\to L$使得$\lim_{t\to a-}\pi(s(t))=x_0\in B$，但$\lim_{t\to a-}s(t)$在L的流形拓扑中不存在。这类似于不完备流，某些流线会在有限时间内发散。虽然这样的叶L可能在别处与$\pi^{-1}(x_0)$相遇，但不能均匀覆盖$x_0$的邻域，因此不可能是B在π下的的覆盖空间。F是紧的时，$\mathcal{F}$对纤维的横截性确实保证了完备性，于是$(M,\mathcal{F},\pi)$是叶状丛。

B上有图册$\mathcal{U}=\{U_{\alpha},\ x_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$，包含开连通坐标图，以及平凡化$\varphi_{\alpha}:\ \pi^{-1}(U_{\alpha})\to U_{\alpha}\times F$，将$\mathcal{F}|\pi^{-1}(U_{\alpha})$带到积叶状结构。置$W_{\alpha}=\pi^{-1}(U_{\alpha})$，并记$\varphi_{\alpha}=(x_{\alpha},\ y_{\alpha})$，其中（滥用符号）$x_{\alpha}$表示$x_{\alpha}\circ \pi,\ y_{\alpha}:\ \pi^{-1}(U_{\alpha})\to F$是将$\varphi_{\alpha}$与规范投影$U_{\alpha}\times F\to F$组合而得的浸没。

图册$\mathcal{W}=\{W_{\alpha},\ x_{\alpha},\ y_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$的作用类似叶状图册。$W_{\alpha}$的斑是$y_{\alpha}$的水平集，这一族斑通过$y_{\alpha}$，与F相同。由于预设了B支持某个$C^{\infty}$结构，据怀特黑德定理，可在B上固定一个黎曼度量，择图册$\mathcal{U}$为测地凸的。于是，$U_{\alpha}\cap U_{\beta}$总是连通的。若这个交非空，则$W_{\alpha}$的每个斑都正好与$W_{\beta}$的一个斑相遇。然后，通过设下式，可定义一个完整上循环（holonomy cocycle）$\gamma = \left \{ \gamma_{\alpha \beta} \right \}_{\alpha,\beta \in A}$ by setting

$$\gamma_{\alpha \beta} = y_\alpha \circ y_\beta^{-1} : F \rightarrow F.$$

## 例子

### 平坦空间

考虑n维空间，是由前n-p个坐标为常数的点组成的子空间之积。这可以用一张图（chart）表示，其基本原理是$\mathbb{R}^n=\mathbb{R}^{n-p}\times\mathbb{R}^p$，叶或斑$\mathbb{R}^p$由$\mathbb{R}^{n-p}$枚举。置n = 3、p = 2，可以类比三维空间：书的2维叶由（1维）页码枚举。

### 丛

较平凡的叶状结构例子是积$M=B\times F$，叶$F_b=\{b\}\times F,\ b\in B$（M的另一个叶状结构由$B_f=B\times\{f\},\ f\in F$给出）。

对流形F而言，$G={\rm Homeo}(F)$的平坦G-丛是更一般的一类。给定表示$\rho:\ \pi_1(B)\to{\rm Homeo}(F)$，具有单值ρ的平坦${\rm Homeo}(F)$-丛由$M=\left(\widetilde{B}\times F\right)/\pi_1B$给出，其中$\pi_1(B)$通过甲板变换作用于万有覆盖$\widetilde{B}$，通过表示ρ作用于F。

平坦丛符合纤维丛的框架。若有流形F使得$\forall b\in B$，都有开邻域U使得有同胚$\varphi:\pi^{-1}(U)\to U\times F\ (\pi = p_1 \varphi,\ p_1:\ U\times F\to U)$（其中p1是到第一个因子的投影），则流形之间的映射$\pi:\ M\to B$是纤维丛。纤维丛产生了由纤维$F_b:=\pi^{-1}(\{b\}), b\in B$组成的叶状结构，其叶空间L与B同构，前者是豪斯多夫流形。

### 覆盖

若$M\to N$是流形间的覆盖映射，F是N上的叶状结构，则其拉回到M上的叶状结构。更一般地，若映射只是分歧覆盖（分歧轨迹横截于叶状结构），则叶状结构就可以被拉回。

### 浸没

若$M^n\to N^q,\ (q\le n)$是流形的浸没，则据反函数定理，浸没的纤维的连通组分定义了M的余维为q的叶状结构。纤维丛是这种类型的一个例子。

不是纤维丛的浸没的一个例子是

$$\begin{cases} f:[-1,1]\times \mathbb{R}\to \mathbb{R} \\f(x,y)=(x^2-1) e^y\end{cases}$$

这种浸没产生了$[-1,\ 1]\times\mathbb{R}$的叶状结构，在下列$\mathbb{Z}$作用下是不变的：

$$z(x, y)= (x,y+n ), \quad \text{or} \quad z(x, y)=\left((-1)^nx, y\right)$$

其中$(x,\ y)\in[-1,\ 1]\times\mathbb{R},\ n\in\mathbb{Z}$。$\mathbb{Z}\backslash([-1,\ 1]\times\mathbb{R})$的诱导叶状结构称作（环空的）2维里布叶状结构，或（莫比乌斯带的）2维无向里布叶状结构。它们的叶空间都不是豪斯多夫的。

### 里布叶状结构

定义一个潜没

$$\begin{cases} f:D^{n}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R} \\ f(r,\theta,t):=(r^2-1)e^t\end{cases}$$

其中$(r,\ \theta)\in[0,\ 1]\times S^{n-1}$是n维圆盘$D^n$上的圆柱坐标。这浸没产生了$D^n\times\mathbb{R}$的叶状结构，在如下Z作用下是不变的：

$$z(x,y)=(x,y+z)\ ((x,\ y)\in D^n\times\mathbb{R},\ z\in\mathbb{Z})$$

$\mathbb{Z}\backslash(D^n\times\mathbb{R})$的诱导叶状结构被称作n维里布叶状结构，其叶空间不是豪斯多夫的。

对于n = 2，这给出了实心环面的叶状结构，可由沿边界粘合两个实心环面，来定义3-球的里布叶状结构。奇数维球$S^{2n+1}$的叶状结构也是明确已知的。

### 李群

若G是李群、H是李子群，则G就会被H的陪集叶化。若H在G中闭合，则商空间$G/H$是光滑（豪斯多夫）流形，将G转化为纤维丛，纤维H、基为$G/H$。这个纤维丛实际上是主的，具有结构群H。

### 李群作用

令G是光滑作用于流形M的李群。若作用是局部自由作用或自由作用，则G的轨道定义了M的一个叶状结构。

### 线性叶状结构与克罗内克叶状结构

若$\tilde{X}$是非奇异（即无处为零）的向量场，则$\tilde{X}$定义的局部流拼凑在一起，就定义了维度为1的叶状结构。事实上，给定任一点$x\in M$，由于$\tilde{X}$是非奇异的，所以可找到一个关于x的坐标邻域$(U,\ x^1,\ ,\ldots,\ x^n)$，使得

$$- \varepsilon < x^i < \varepsilon, \quad 1 \le i \le n,$$

$$\frac{\partial}{\partial x^1} = \tilde{X}\mid U.$$

从几何角度来看，$\tilde{X} \mid U$的流线就是水平集

$$x^i = c^i, \quad 2 \le i \le n,$$

其中所有的$|c^i| < \varepsilon.$由惯例，流形是第二可数的，因此类似“长线”这样的叶异常现象会被M本身的第二可数性排除。要求$\tilde{X}$是完全域（例如M是紧的），从而要求每片叶都是流线，就可以避开这个难题。

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环面$T^2$上的一类重要1维叶状结构来自投影于其上的恒向量场。$\mathbb{R}^2$上的恒向量场

$$\tilde{X} \equiv \begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}$$

对$\mathbb{R}^2$中所有平移都不变，因此当投影到环面$T^2=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$时传递到良定义向量场X。假定a ≠ 0。$\tilde{X}$产生的$\mathbb{R}^2$上的叶状结构$\mathcal{\tilde{F}}$的叶具有斜率为$\theta=b/a$的平行线，这叶状结构在平移下也是不变的，并传递到X产生的$T^2$上的叶状结构$\mathcal{F}$。

$\mathcal{\tilde{F}}$每片叶的形式是

$$\tilde{L} = \{(x_0 + ta,y_0 + tb)\}_{t \in \mathbb{R}}.$$

若斜率是有理的，则所有叶都是与圆同胚的闭合曲线。这时，可取$a,\ b\in\mathbb{Z}$。对固定的$t\in\mathbb{R}$，$\tilde{L}$中与$t\in t_0+\mathbb{Z}$的值对应的点都投影到$T^2$的同一点，于是$\mathcal{F}$对应的叶L是$T^2$中的嵌入圆。由于L是任意的，所以$\mathcal{F}$是$T^2$对圆的叶状结构。由此很容易得出，这个叶状结构实际上就是纤维丛$\pi:\ T^2\to S^1$，这就是所谓线性叶状结构。

若斜率是无理的，则叶是非紧的，同胚于非紧实线，在环面中稠密（参无理旋转）。每个点$(x_0,\ y_0)$的轨迹永远不会回到同一点，而是在环面上产生“处处稠密”的环绕，会任意接近任何给定的点。于是，轨迹的闭包是整个2维环面。这种情形称作克罗内克叶状结构，得名于利奥波德·克罗内克与

克罗内克稠密性定理 若实数θ不等于π的所有有理倍数，则集合$\{e^{in\theta}|n\in\mathbb{Z}\}$在单位圆内稠密。

证明首先注意，若$\mathcal{\tilde{F}}$的叶$\tilde{L}$不是一一投影到$T^2$，则一定有实数$t\neq 0$使得ta、tb都是整数。但这意味着$b/a\in\mathbb{Q}$。要证$\mathcal{F}$的叶L在$T^2$中都稠密，只需证明$\forall v\in\mathbb{R}^2$，$\mathcal{\tilde{F}}$的每片叶$\tilde{L}$与陪集$v+\mathbb{Z}^2$中的适当点间距都是任意小的正距离。$\mathbb{R}^2$中的适当平移使我们可以假设v = 0，这样任务就简化为证明$\tilde{L}$任意地经过合适的点$(n,\ m)\in\mathbb{Z}^2$。线$\tilde{L}$具有斜截式 :$y = \theta x + c.$ 因此，对于任意$\eta>0$，只要找到整数n、m使得 :$|\theta n + c - m| < \eta.$ 等价地，$c\in\mathbb{R}$是任意的，就可以证明集合$\{\theta n-m\}_{m,\ n\in\mathbb{Z}}$在R中稠密。这实质上就是欧多克索斯关于θ与1不可通约（即θ无理）的标准。

用平行线对$\mathbb{R}^n$进行叶状结构的类似构造，可得与环面上的线性流相关的n-环面$\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n$的1维叶状结构。

### 纬悬叶状结构

平坦丛不仅有对纤维的线性结构，还有横截于纤维的叶状结构，其叶为

$$L_f:= \left\{p\left(\tilde{b},f\right): \tilde{b}\in\widetilde{B}\right\}, \quad \mbox{ for }f\in F,$$

其中$p:\ \widetilde{B}\times F\to M$是规范投影。这个叶状结构称作表示$\rho:\ \pi_1(B)\to{\rm Homeo}(F)$的纬悬。

具体地说，若$B=S^1$，$\varphi:F\to F$是F的同胚，则$\varphi$的纬悬叶状结构定义为表示$\rho:\ \mathbb{Z}\to{\rm Homeo}(F)$的纬悬叶状结构，由$\rho(z)=\Phi^z$给出。其叶空间是$L=\mathcal{F}/\sim$，其中只要对某个$n\in\mathbb{Z},\ y=\Phi^n(x),\ x\sim y$。

纬悬叶状结构最简单的例子是q维流形X。令$f:\ X\to X$是双射。将纬悬$M=S^1\times_f X$定义为$[0,\ 1]\times X$对等价关系$(1,\ x)\sim(0,\ f(x))$的商。

$$M=S^1\times_f X=[0,\ 1]\times X$$

则，M自动携带两个叶状结构：$\mathcal{F}_2$包含$F_{2,\ t}=\{(t,\ x)_{\sim}:\ x\in X\}$形式的集合；$\mathcal{F}_1$包含$F_{2,\ x_0}=\{(t,\ x):\ t\in[0,\ 1],\ x\in O_{x_0}\}$形式的集合，其中轨道$O_{x_0}$定义为

$$O_{x_0}=\{\ldots,\ f^{-2}(x_0),\ f^{-1}(x_0),\ x_0,\ f(x_0),\ f^2(x_0),\ \ldots\}$$

其中指数指的是函数f与自身复合的次数。注意$O_{x_0}=O_{f(x_0)}=O_{f^{-2}(x_0)},\ {\rm etc.}$，对$F_{1,\ x_0}$也同样。理解叶状结构$\mathcal{F}_1$等效于理解映射f的动力学。若流形X已经叶化，则只要f是叶间映射，就可以利用这构造增加叶状结构的余维数。

2-环面的克罗内克叶状结构是旋转$R_{\alpha}:\ S^1\to S^1$（角度为$\alpha\in[0,\ 2\pi)$）的纬悬叶状结构。

<image>

更具体地说，若$\Sigma=\Sigma_2$是2洞环面，$C^1,\ C^2\in\Sigma$是两个嵌入圆，则$\mathcal{F}$是叶$\Sigma\times\{y\},\ y\in S^1$的3-流形的积叶状结构$M=\Sigma\times S^1$。注意$N_i=C_i\times S^1$是嵌入环，$\mathcal{F}$横截于$N_i,\ i=1,\ 2$。令${\rm Diff}_{+}(S^1)$表示$S^1$的保向微分同胚群，并择$f_1,\ f_2\in{\rm Diff}_{+}(S^1)$。将M沿$N_1,\ N_2$切开，$N_i^{+},\ N_i^{-}$表示它们的副本。这时，流形$M'=\Sigma'\times S_1$有4个边界分量$\left \{N_i^{\pm} \right \}_{i=1,2}.$叶状结构$\mathcal{F}$横截边界$\partial M'$的叶状结构$\mathcal{F^{\prime}}$，叶的形式为$\Sigma'\times\{y\},\ y\in S^1$。

这片叶在4个圆$C_i^{\pm} \times \{y\} \subset N_i^{\pm}$中与$\partial M'$相遇。若$z\in C_i$，则$C_i^{\pm}$中的对应点记作$z^{\pm}$，$N_i^{-}$通过下列标识，“回到”$N_i^{+}$：

$$(z^{-},y) \equiv (z^{+},f_i(y)), \quad i = 1,2.$$

由于$f_1,\ f_2$是$S^1$的保向微分同胚，因此与恒同（identity）同痕，由这操作得到的流形同胚于M。$\mathcal{F^{\prime}}$的叶则重新组合，产生M新的叶状结构$\mathcal{F}(f_1,\ f_2)$。若$\mathcal{F}(f_1,\ f_2)$的叶L 包含一片$\Sigma'\times\{y_0\}$，则

$$L = \bigcup_{g \in G} \Sigma^{\prime} \times \{ g (y_0) \},$$

其中$G\subset{\rm Diff}_+(S^1)$是由$\{f_1,\ f_2\}$生成的子群。这些Σ'的副本通过标识彼此相连：

$$\forall z\in C_1,\ (z^-,\ g(y_0))\equiv(z^+,\ f_1(g(y_0)))$$

$$\forall z\in C_2,\ (z^-,\ g(y_0))\equiv(z^+,\ f_2(g(y_0)))$$

其中g在G上取值。叶完全由$y_0\in S^1$的G-轨道决定，可以很简单也可以很复杂。例如若相应的G-轨道有限，则叶就是紧的。举个极端的例子，若G是平凡的$(f_1=f_2={\rm id}_{S^1})$，则$\mathcal{F}(f_1,\ f_2)=\mathcal{F}$。若轨道在$S^1$中是稠密的，则对应的叶在M中也稠密。例如，若$f_1,\ f_2$是2π的有理独立倍的旋转，则每片叶都是稠密的。其他例子中，某些叶L的闭包$\bar{L}$与每个因子$\{w\}\times S^1$在康托尔集中相遇。在$\Sigma\times I$上也可做类似构造，其中I是紧非退化区间。这里，取$f_1,\ f_2\in{\rm Diff}_+(I)$，由于$\partial I$通过所有保向微分同胚逐点固定了，所以可得一个以$\partial M$的两分量为叶的叶状结构。若在这情形下形成M'，就会得到有角叶状流形。无论哪种情形，这种构造都被称作微分同胚对的纬悬，提供了余维为1的叶状结构的有趣例子。

## 叶状结构与可积性

假设一切都光滑，那么向量场之间有一种密切关系：给定M上不为零的向量场X，其积分曲线将给出1维叶状结构（即余维为n-1的叶状结构）。

这观察可推广为弗罗贝尼乌斯定理，即分布（流形切丛的n − p维子丛）与叶状结构的叶相切的充分必要条件是，与分布相切的向量场集对李括号闭合。这也可以解释为，将切丛的结构群从${\rm GL}(n)$约化为可约群。

弗罗贝尼乌斯定理中的条件作为可积条件出现，并断言若满足条件，就能约化，因为具有所需块结构的局部转移函数存在。例如，对某（非规范）$\alpha\in\Omega^1$（即非零余向量场），余维为1时可定义叶状结构的切丛为${\rm ker}(\alpha)$。若处处都有$\alpha\wedge{\rm d}\alpha=0$，则给定的α可积。

由于存在拓扑约束，因此存在全局叶状结构理论。例如，曲面情形中，处处非零向量场只能存在于环面的有向紧曲面上。这是庞加莱-霍普夫定理的结果，指出欧拉示性数需为0。其与切触几何有很多深层联系，专门研究不可积情形。

## 叶状结构的存在

给出连通非紧流形上的分布与可积分布同伦的充分必要条件。证明，任意有分布的紧流形都有同维度的叶状结构。

## 外部链接

- Foliations at the Manifold Atlas