运动学

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运动学（kinematics）是力学和几何学的一门分支。运动学作为力学的分支看待时，在物理上只专门描述物体的运动，即物体在空间中的位置随时间的演进而作的改变，而不考虑作用力或质量等等影响运动的因素。运动学与动力学（dynamics）不同。动力学专门研究造成运动或影响运动的各种因素。互相由机械连杆连接的机械约束运动的研究有时候也会被称为运动学。动力学综合运动学与动理学（Kinetics）在一起，研究力学系统由于力的作用随着时间演进而造成的运动。在几何上，运动学研究几何量相对于参考系随时间变化的规律，例如位置、距离和角度。运动学研究这些量的时间导数，以及它们之间的相互关系，同时也研究运动的对象：点，以及欧几里得空间中刚体运动的子集。

在开始研讨经典力学时，很自然地应该先思考各种可能的运动样式，而暂时不将任何造成运动的因素纳入考量。这初步探询的知识就是运动学的学术领域。

任何一个物体，像是车子、火箭、星球等等，不论其尺寸大小，假若能够忽略其内部的相对运动，假若其内部的每一部分都是朝相同的方向、以相同的速度移动，那么，可以简易地将此物体视为质点，将此物体的质心的位置当作质点的位置。在运动学里，这种质点运动，不论是直线运动或是曲线运动，都是最基本的研究对象。

假若不能忽略物体内部的相对运动，则当解析其运动时，必须先将物体理想化为刚体，即一群彼此之间距离不变的质点。涉及刚体的问题比较困难。刚体可能会进行平移运动、旋转运动或两者的综合。更困难的案例是多刚体系统的运动。在这系统内，几个刚体由连杆连结在一起。运动学分析某连杆装置的可能运动范围，或反过来，设计满足预定运动范围的连杆装置。起重机或引擎活塞系统都是简单的运动系统。起重机是一种开运动链。活塞系统是四连杆组的一部分。

运动学研究描述物体位置与速度的坐标或参考系统，以及不同系统之间的数学变换。这些系统可以是直角坐标系，如笛卡尔坐标系；也可以是曲线坐标系，如极坐标系，或其他坐标系统。物体的运动轨迹可以相对于其他物体来给出，而这些参照物本身也可能相对于标准参考系运动。此外，也可以采用旋转参考系。

## 质点运动学

质点运动学研究关于单独质点的运动。该学科可以应用于质点动力学、质点系动力学和其它力学领域。按照路径的弯曲与否，质点运动可以分为直线运动与曲线运动。

### 位置、参考系

在三维空间里，详细设定一个点P的位置需要完成三件事，找到参考点O（通常称为原点）、给出从点O到点P的距离、给出从点O到点P的直线方向；缺少其中任何资料，都会使得位置的描述不完全。

将上述的资料数学化，用向量来描述位置。首先，为了要能够一致地表示距离或方向，必须选择一个三维坐标系，设定坐标系的原点O为参考点，以三维坐标系为参考系。这样，位置向量的大小就是点P离参考点的距离，而位置向量的方向就是从参考点到点P的直线方向。

质点的位置向量是从参考系的原点到质点的位置的向量。这向量表达了从原点到质点位置的距离和方向。在三维空间里，点P的位置向量 $\mathbf{r}$ 表达为

$\mathbf{r} = (x,y,z)$。

其中，$x$、$y$、$z$ 分别为点P的直角坐标。

位置向量 $\mathbf{r}$ 的大小是点P与原点之间的距离：

$|\mathbf{r}| = \sqrt{x^{\ 2} + y^{\ 2} + z^{\ 2}}$。

从不同的参考系观测点P的位置，可以得到不同的位置向量。

### 静止与移动

从某参考系观测，假若质点的位置向量随着时间的演进而改变，则称此质点处于“移动状态”；假若质点的位置向量保持不变，则称此质点处于“静止状态”。物体的移动状态或静止状态不是绝对的，而是取决于所选择的参考系：对于某参考系，处于静止状态的质点，对于另一个参考系，可能处于移动状态。例如，假设在一列行驶的火车内有一位乘客坐在座位上不动。相对于火车，这乘客处于静止状态；但相对于火车外面的山岭，这乘客处于移动状态。

### 路径、路径距离、位移

一个质点的移动“路径”是从初始点移动到终结点所经过的轨迹。假设这初始点就是终结点，而移动时，其它每一个经过的点都只经过一次，则称此路径为“闭合回路”。

路径的样子与参考系的选择有关。对于某参考系，路径可能是直线；对于另一个参考系，同样的路径可能是曲线。

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位移向量表达两点之间位置的向量差。它可以表达一个质点在某时间间隔内由于运动而造成的位置改变。假设，点P的位置为 $\mathbf{r}_P = (x_P,y_P,z_P)$，点Q的位置为 $\mathbf{r}_Q = (x_Q,y_Q,z_Q)$，则从点Q到点P的位移 $\mathbf{r}_{P/Q}$ 为

$\mathbf{r}_{P/Q} = \mathbf{r}_P - \mathbf{r}_Q = (x_P - x_Q,y_P - y_Q,z_P - z_Q)$。

位移向量的大小是点P与点Q之间的最短距离。位移向量与位置向量不同，位移向量不会因为选择不同的参考系而改变。但是，在相对论里，假设两个参考系的相对速度不为零，则分别从这两个参考系测量得到的位移向量也不相等。

距离是一种纯量，表达一个质点从某一位置移动到另外一位置，所经过的路径的长度。例如，一部跑车从初始点行驶到终结点，一共行驶了10公里距离的路程。但是，假若这路程是个闭合回路，初始点与终结点相同，则这跑车的最终位移的大小（径向距离）是０，这跑车最终回到了初始点。

假设质点的位置是时间的函数，$\mathbf{r} =\mathbf{r}(t)$，则从时间 $t_1$ 到时间 $t_2$，这质点所移动的距离 $s$ 为

$s = \int_{t_1}^{t_2} |\mathrm{d}\mathbf{r}| = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}s =\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 + \mathrm{d}z^2} = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)^2}\; \mathrm{d}t$。

这方程式应用到一个论据：在一段无穷小时间间隔内，位移的大小等于经过的路径的长度。这论据类似于几何论据：曲线的一段无穷小曲弧与对应这曲弧的直弦重叠在一起。

### 速度、加速度

平均速度是在一段时间间隔内的速度的平均值，以方程式定义为

$\overline{\mathbf{v}} = \frac {\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}$。

其中，$\overline{\mathbf{v}}$ 是平均速度，$\Delta \mathbf{r}$ 是质点的位移，$\Delta t$ 是时间间隔。

由于时间间隔 $\Delta t$ 大于零，平均速度 $\overline{\mathbf{v}}$ 与位移 $\Delta \mathbf{r}$ 同向。

速度是一种向量，表达随着时间的演进而发生的位移改变。瞬时速度定义为，当 $\Delta t$ 变得越来越小时，平均速度 $\overline{\mathbf{v}}$ 的极限值。注意到，在这里，$\Delta \mathbf{r}$ 与 $\Delta t$ 都会趋向于零，但是它们的比例 $\overline{\mathbf{v}}$ 会趋向于非零极限 $\mathbf{v}$：

$\mathbf{v}\ \stackrel{def}{=}\ \lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta\mathbf{r}}{\Delta t} = \frac {\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}$。

以微分形式定义，速度是位移对于时间的导数。由于无穷小位移 $\mathrm{d}\mathbf{r}$ 正切于实际路径，速度也正切于实际路径。

速率 $v$ 是速度的数值大小，是一种纯量：

$v=|\mathbf{v}| = \left|\frac {\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} \right| = \frac {\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$。

一个质点移动所经过的路程随时间单调递增，因此 $\frac {\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$ 即速率为非负数。

平均加速度是在一段时间间隔内的加速度的平均值，以方程式定义为

$\overline{\mathbf{a}} = \frac {\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}$。

其中，$\overline{\mathbf{a}}$ 是平均加速度，$\Delta \mathbf{v}$ 是质点在微小时间间隔 $\Delta t$ 内的微小速度改变。

加速度是一种表达质点移动速度随着时间的演进而改变的向量。瞬时加速度定义为当 $\Delta t$ 趋向于零时，平均加速度的极限值，以方程式表达。

$\mathbf{a}\ \stackrel{def}{=}\ \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t} = \frac {\mathrm{d} \mathbf{v}}{\mathrm{d} t}$。

以微分形式定义，加速度是速度对于时间的导数。

上述速度和加速度的定义式可以逆反过来，以积分形式表达为

$\mathbf{v}(t) =\mathbf{v}_0 + \int_{t_0}^t \mathbf{a}(t) \ \mathrm{d}t$。

$\begin{align} <pre> \mathbf{r}(t) &=\mathbf{r}_0 + \int_{t_0}^t \mathbf{v}(t) \ \mathrm{d}t \\ &= \mathbf{r}_0 + \mathbf{v}_0 t + \int_{t_0}^t \left[\int_{t_0}^{t} \mathbf{a}(t) \mathrm{d}t \right]\ \mathrm{d}t \\ \end{align}$。

其中，$t_0$ 是初始时间，$\mathbf{v}_0$ 是初始速度，$\mathbf{r}_0$ 是初始位置。

### 相对运动

假设，已知质点P、质点Q对于某参考点G的相对运动，应用向量代数，就可以描述质点P对于质点Q的相对运动。假设，从某参考系观测，质点P、质点Q、参考点G的位置分别为 $\mathbf{r}_P$、$\mathbf{r}_Q$、$\mathbf{r}_G$，则质点P、质点Q对于参考点G的相对位置分别为

$\mathbf{r}_{P/G} = \mathbf{r}_P - \mathbf{r}_G$。

$\mathbf{r}_{Q/G} = \mathbf{r}_Q - \mathbf{r}_G$。

质点P对于质点Q的相对位置为

$\mathbf{r}_{P/Q}= \mathbf{r}_P - \mathbf{r}_Q=\mathbf{r}_P - \mathbf{r}_G- \mathbf{r}_Q + \mathbf{r}_G=\mathbf{r}_{P/G} - \mathbf{r}_{Q/G}$。

换句话说，质点P对于参考点G的相对位置为

$\mathbf{r}_{P/G} = \mathbf{r}_{P/Q} + \mathbf{r}_{Q/G}$。

上述这些位移关系式，通过取时间导数，可以得到速度关系式：

$\mathbf{v}_{P/Q}= \mathbf{v}_{P}-\mathbf{v}_{Q}$。

取时间导数于这些速度关系式，可以得到加速度关系式：

$\mathbf{a}_{P/Q}= \mathbf{a}_P - \mathbf{a}_Q$。

特别注意，当速度接近光速时，上述这些位移关系式或速度关系式并不正确，必须改用狭义相对论推导出的关系式计算。

### 直线运动

在直线运动中，质点沿着直线移动。如果将一个一维坐标系的坐标轴放在这直线上，那么，就可以用其坐标来设定位置，从而计算出速度和加速度等等。假设，在时间是 $t$ 时，质点P的位置是 $x$；经过 $\Delta t$ 时间间隔后，时间是 $t+\Delta t$，质点P的位置是 $x+\Delta x$。那么，位移是 $\Delta x$。质点P的平均速度 $\overline{v}$ 和瞬时速度 $v$ 分别为∶

$\overline{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$。

$v=\lim_{{\Delta t} \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}$。

质点P的平均加速度 $\overline{a}$ 和瞬时加速度 $a$ 分别为：

$\overline{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}$。

$a=\lim_{{\Delta t} \to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}$。

假设，质点P的位置是时间的函数 $x=x(t)$，则其速度、加速度分别为

$v(t)=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$。

$a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}$。

等速直线运动的加速度是零，速度 $v$ 是常数，位置是

$x_f=x_i+vt$。

其中，$x_i$ 是初始位置，$x_f$ 是终结位置。

等加速直线运动的加速度 $a$ 是常数，位移与速度分别是

$x_f - x_i = v_i t + \frac{1}{2} at^2$。

$x_f - x_i = \frac{1}{2} (v_f + v_i)t$。

$v_f = v_i + a t$。

$v_f^2 = v_i^2 + 2 a (x_f - x_i)$。

其中，$x_i$ 是初始位置，$x_f$ 是终结位置，$v_i$ 是初始速度，$v_f$ 是终结速度。

#### 实例：等加速直线运动

思考一个向上发射的物体；它将以一定初速度上升，减速到静止后再加速落回到地面。若不计空气阻力，且规定竖直向上为正方向，则该物体将以 -9.81m/s2的匀加速度直线运动。那么它会在空中运动多久？在它开始往下落以前，它会升到多高？当它碰到地面时，它的最终速度是多少？假设物体的最初速度是 50 m/s。

它会在空中多久？

应用位移公式来计算时间：

$$x_f=x_i+v_it+\frac{1}{2}at^2$$

因为这物体先飞离开地面，然后又落回到地面，净位移是零：

$$0 = v_i t + \frac{1}{2} at^2 = t(v_i + \frac{1}{2} at)$$

从这程式，可以求解到两个答案。第一个答案是零；虽然这明显解是正确的答案；但是，它代表的时间间隔是那物体开始移动前的时间间隔。离开地面与回到地面所需要的时间为

$$t = -\frac{2v_i}{a} = -\frac{2*50}{-9.81} = 10.2 \ s$$

在它开始往下落以前，它会飞到多高呢？

当这物体升到最高点的时候，它的速度是零。所以可以应用速度平方公式。

$$v_f^2 = v_i^2 + 2 a (x_f - x_i)$$

假设以地面为座标系统的原点，那么，$x_i$是零。$x_f$ 则是最高高度：

$$x_f = \frac{v_f^2 - v_i^2}{2 a} + x_i = \frac{0-50^2}{2*-9.81}+0 = 127.55 \ m$$

当它碰到地面时，它的最终速度会是多少？

正当这物体从最高点往回落的时候，它的速度是零。因此，可以同样的用速度平方公式。代入 $x_i$ 的值 127.55m：

$$v_f=\sqrt{v_i^2+2a(x_f-x_i)}=\sqrt{0^2+2(-9.81)(0-127.55)}=50\ m/s$$

注意到初始速度与最终速度大小相等，这符合能量守恒定律。

### 曲线运动

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定义质点在空间中沿着曲线的运动为“曲线运动”。曲线运动的位置、速度、加速度等等，皆须用向量来表示。参考右图，假设质点在时间 $t$ 的位置是 $\mathbf{r}(t)$；在间隔 $\Delta t$ 时间后，位移是 $\Delta \mathbf{r}$、位置是 $\mathbf{r}(t+\Delta t)$，则质点的速度是

$\mathbf{v}=\lim_{{\Delta t} \to 0}\frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}$。

在 $\Delta t\to 0$ 极限得到的速度向量，正切曲线于质点的位置。

定义速率为速度的大小。假设这曲线从 $\mathbf{r}$ 到 $\mathbf{r}+\Delta \mathbf{r}$ 的路径长度是 $\Delta s$，则速率为

$v=\begin{vmatrix}\mathbf{v}\end{vmatrix}=\lim_{{\Delta t} \to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$。

假设质点在间隔 $\Delta t$ 时间的速度差是 $\Delta \mathbf{v}$，则加速度是

$\mathbf{a}=\lim_{{\Delta t} \to 0}\frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}$。

求解曲线运动问题时，选择合适的坐标系是一项非常重要的步骤。运动所遭遇到的约束、或作用力的几何特性，往往是决定合适坐标的主要因素。假设，限制一粒串珠只能绕圆环移动，那么，以圆心为顶点，包含串珠与圆环的另一点的角，其角弧可能是合适的坐标。类似地，假设施加于质点的作用力是连心力，则合适的坐标系可能是极坐标系。

#### 直角坐标系

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三维空间的直角坐标系有三个坐标轴：x-轴、y-轴、z-轴。采用直角坐标系，位置、速度、加速度表示为

$\mathbf{r}=x\hat{\mathbf{x}}+y\hat{\mathbf{y}}+z\hat{\mathbf{z}}$。

$\mathbf{v}=v_x\hat{\mathbf{x}}+v_y\hat{\mathbf{y}}+v_z\hat{\mathbf{z}}$。

$\mathbf{a}=a_x\hat{\mathbf{x}}+a_y\hat{\mathbf{y}}+a_z\hat{\mathbf{z}}$。

其中，$x$、$y$、$z$ 分别是质点的位置的三个分量，速度和加速度的三个分量分别为

$v_x=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\ \ , \qquad \qquad v_y=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\ \ ,\qquad \qquad v_z=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}$。

$a_x=\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t}\ , \qquad\qquad a_y=\frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t}\ ,\qquad \qquad a_z=\frac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t}$。

#### 极坐标系

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在二维空间里，极坐标系用半径坐标 $r$、角坐标 $\theta$ 来表示质点的位置。半径坐标是极点与质点的直线距离；角坐标是极点与质点的连线对于极轴的角弧。位置、速度、加速度分别表示为

$\mathbf{r}=r\hat{\mathbf{r}}$。

$\mathbf{v}=\dot{r}\hat{\mathbf{r}}+r\dot{\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}}$。

$\mathbf{a}=(\ddot{r} - r \dot{\theta}^2)\hat{\mathbf{r}} +(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\hat{\boldsymbol{\theta}}$。

其中，$\hat{\mathbf{r}}$ 是半径单位向量，$\hat{\boldsymbol{\theta}}$ 是角单位向量。

质点的“角位置”就是它的角坐标 $\theta$，“角位移” $\Delta \theta$ 则是质点在运动时前后角位置的差值，角速度的大小 $\omega$ 是角位置对于时间的导数 $\omega=\dot{\theta}$，角加速度的大小 $\alpha$ 是角速度对于时间的导数：

$\alpha=\dot{\omega}=\ddot{\theta}$。

类似等加速直线运动，假设曲线运动的角加速度 $\alpha$ 是常数，则角位移与角速度分别是

$\theta_f - \theta_i = \omega_i t + \frac{1}{2} \alpha t^2$。

$\theta_f - \theta_i = \frac{1}{2} (\omega_f + \omega_i)t$。

$\omega_f = \omega_i + \alpha t$。

$\omega_f^2 = \omega_i^2 + 2 \alpha (\theta_f - \theta_i)$。

其中，$\theta_i$ 是初始角位置，$\theta_f$ 是终结角位置，$\omega_i$ 是初始角速度，$\omega_f$ 是终结角速度。

#### 实例：等加速曲线运动

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如果一个物体不是垂直向上发射，而是与地平面呈 $\Phi$ 角度射出，那么，这物体会按照抛物线轨迹移动，它的水平运动与垂直运动可以各自独立计算。假设，这物体是以最初速率 $v_0=50 m/s$，与地平面呈 $\Phi=30^{\circ}$ 角度射出。

请问在碰到地面以前，它会在空中飞行多远？

垂直方向，这物体会感觉到 $-9.81m/s^2$ 加速度；水平方向，不会感觉到有任何加速度。所以，水平位移是

$$\Delta x=x_f-x_i=v_i\cos (\Phi) \ t+\frac{1}{2}at^2=v_i\cos (\Phi)\ t$$

为要解答这问题，必须找到 $t$ 值。这是可以做到的，只需分析垂直的运动。假设垂直位移为零，用类似前面直线运动的方法来找 $t$ 值：

$$0=v_i\sin (\Phi)\ t+\frac{1}{2}at^2=t(v_i\sin (\Phi)+\frac{1}{2}at)$$

现在求解 $t$ 的表达式，代入原先的水平位移方程式。

$$\Delta x=v_i\cos(\Phi)\left(\frac{-2v_i\sin(\Phi)}{a}\right)=-\frac{v_i^2\sin 2(\Phi)}{a}=220.70\ m$$

### 二维旋转参考系

在三维空间内，设定两个参考系：空间参考系S与旋转参考系R。空间参考系S的标准正交基为 $\hat{\mathbf{x}}$、$\hat{\mathbf{y}}$、$\hat{\mathbf{z}}$。旋转参考系R的标准正交基为 $\hat{\mathbf{e}}_x$、$\hat{\mathbf{e}}_y$、$\hat{\mathbf{e}}_z$。两个参考系的原点共点。空间参考系S静止不动，旋转参考系R绕着固定轴 $\hat{\mathbf{z}}=\hat{\mathbf{e}}_z$ 旋转。四个单位向量 $\hat{\mathbf{x}}$、$\hat{\mathbf{y}}$、$\hat{\mathbf{e}}_x$、$\hat{\mathbf{e}}_y$ 共平面。这旋转运动可以简化为一个二维平面运动。

#### 单位向量的时间变化率

当计算质点的位置、速度、加速度之时，必须特别注意到旋转参考系R是在持续地旋转，单位向量 $\hat{\mathbf{e}}_x$、$\hat{\mathbf{e}}_y$ 也跟着旋转。在取这些单位向量对于时间的导数时，必须顾虑到旋转运动。假设 $\hat{\mathbf{e}}_x$ 和 $\hat{\mathbf{e}}_y$ 以角速度 $\boldsymbol{\omega}=\omega\hat{z}$ 绕着 $\hat{z}$ 旋转，在初始时间 $t=0$。

$\hat{\mathbf{e}}_x=\hat{\mathbf{x}}$。

$\hat{\mathbf{e}}_y=\hat{\mathbf{y}}$。

则在时间 $t$。

$\hat{\mathbf{e}}_x=\cos(\omega t)\hat{\mathbf{x}}+\sin(\omega t)\hat{\mathbf{y}}$。

$\hat{\mathbf{e}}_y= - \sin(\omega t)\hat{\mathbf{x}}+\cos(\omega t)\hat{\mathbf{y}}$。

两个单位向量 $\hat{\mathbf{e}}_x$、$\hat{\mathbf{e}}_y$ 对于时间的导数分别为

$\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{e}}_x}{\mathrm{d}t}= - \omega\sin(\omega t)\hat{\mathbf{x}}+\omega\cos(\omega t)\hat{\mathbf{y}}=\omega\hat{\mathbf{e}}_y$。

$\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{e}}_y}{\mathrm{d}t} = - \omega\cos(\omega t)\hat{\mathbf{x}} - \omega\sin(\omega t)\hat{\mathbf{y}} = - \omega\hat{\mathbf{e}}_x$。

对于含时向量 $\mathbf{F}(t)=f_x\hat{x}+f_y\hat{y}=F_x\hat{\mathbf{e}}_x+F_y\hat{\mathbf{e}}_y$，其对于时间的导数为

$\begin{align}\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}t}\right) <pre> & =\dot{f}_x\hat{\mathbf{x}}+\dot{f}_y\hat{\mathbf{y}} \\ & =\dot{F}_x\hat{\mathbf{e}}_x+\dot{F}_y\hat{\mathbf{e}}_y </pre> +F_x\left(\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{e}}_x}{\mathrm{d}t}\right)+F_y\left(\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{e}}_y}{\mathrm{d}t}\right) \\ <pre> & =\dot{F}_x\hat{\mathbf{e}}_x+\dot{F}_y\hat{\mathbf{e}}_y </pre> +F_x\omega\hat{\mathbf{e}}_y - F_y\omega\hat{\mathbf{e}}_x \\ <pre> & =\dot{F}_x\hat{\mathbf{e}}_x+\dot{F}_y\hat{\mathbf{e}}_y </pre> +\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{F} \\ \end{align}$。

设定 $\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}=\dot{f}_x\hat{\mathbf{x}}+\dot{f}_y\hat{\mathbf{y}}$、$\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{rotate}}=\dot{F}_x\hat{\mathbf{e}}_x+\dot{F}_y\hat{\mathbf{e}}_y$ 分别为从空间参考系S、旋转参考系R观测到的向量 $\mathbf{F}(t)$ 对于时间的导数，上述方程式可以表达为

$\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}=\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{rotate}}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{F}$。

这方程式的叉积项目可以这样理解：假设向量 $\mathbf{F}$ 的尾部与空间参考系S的原点同点，向量 $\mathbf{F}$ 以角速度 $\boldsymbol{\omega}$ 绕着固定轴 $\hat{\mathbf{z}}$ 旋转，则向量 $\mathbf{F}$ 的头部的速度是 $\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{F}$。

向量 $\mathbf{F}(t)$ 是任意向量，因此可以将 $\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}$、$\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{rotate}}$ 当作算符，这样，对应的算符方程式的形式为：

$\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}=\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{rotate}}+\boldsymbol{\omega}\times$。

#### 位置、速度、加速度

假设，从空间参考系S观测，质点P的位置为

$\mathbf{r}= x_S \ \hat{\mathbf{x}}+ y_S \ \hat{\mathbf{y}}$。

而从旋转参考系R观测，同一质点P的位置为

$\mathbf{r} = x_R\ \hat{\mathbf{e}}_x + y_R\ \hat{\mathbf{e}}_y$。

从空间参考系S观测，质点P的速度 $\mathbf{v}= \dot{x}_S \ \hat{\mathbf{x}}+ \dot{y}_S \ \hat{\mathbf{y}}$ 为

$\mathbf{v}\ \stackrel{def}{=}\ \left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}} = \left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{rotate}} +\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r} = \mathbf{v}_R + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$。

其中，$\mathbf{v}_R\ \stackrel{def}{=}\ \left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{rotate}}=\dot{x}_R\ \hat{\mathbf{e}}_x+\dot{y}_R\ \hat{\mathbf{e}}_y$ 是从旋转参考系R观测到的质点P的速度。

质点P的加速度为

$\begin{align}\mathbf{ a} & \ \stackrel{def}{=}\ \left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}} \\ <pre> & =\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_R}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}} </pre> +\left(\frac{\mathrm{d}(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}} \\ <pre> & =\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_R}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}} </pre> +\left(\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}\times\mathbf{r} +\boldsymbol{\omega}\times\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}} \\ <pre> & =\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_R}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}} </pre> +\boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{r} +\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v} \\ \end{align}$。

其中，$\boldsymbol{\alpha}\ \stackrel{def}{=}\ \left(\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}=\dot{\omega}\hat{\mathbf{z}}$ 是从空间参考系S观测到的旋转参考系R的角加速度。

应用算符方程式。

$\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_R}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}} =\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_R}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{rotate}} +\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}_R =\mathbf{a}_R+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}_R$。

其中，$\mathbf{a}_R\ \stackrel{def}{=}\ \left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_R}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{rotate}}=\ddot{x}_R\ \hat{\mathbf{e}}_x+\ddot{y}_R\ \hat{\mathbf{e}}_y$ 是从旋转参考系R观测到的质点P的加速度。

总合起来，质点P的加速度 $\mathbf{a}= \ddot{x}_S \ \hat{\mathbf{x}}+ \ddot{y}_S \ \hat{\mathbf{y}}$ 是

$\mathbf{a} = \mathbf{a}_R + 2\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}_R + \boldsymbol{\alpha} \times \mathbf{r} + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})$。

这方程式右手边第一个项目是从旋转参考系R观测到的质点P的加速度项目，第二个是科里奥利力项目，第三个是从空间参考系S观测到的旋转参考系R的角加速度项目，第四个是向心力项目。

## 刚体运动学

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在物理学里，理想刚体是一种有限尺寸，可以忽略形变的固体。不论是否感受到外力，在刚体内部，点与点之间的距离都不会改变。根据相对论，这种物体不可能实际存在，但物体通常可以假定为完美刚体，前提是必须满足运动速度超小于光速的条件。

刚体是由一群数量超多的质点组成。实际而言，不可能精确地追踪其中每一个质点的运动。为了简化运算，通常，整个刚体的空间位形可以简易地以参数设定：

- 刚体的“位置”：挑选刚体内部一点G来代表整个刚体，通常会设定物体的质心或形心为这一点。从空间参考系S观测，点G的位置就是整个刚体在空间的位置。位置可以应用向量的概念来表示：向量的起点为参考系S的原点，终点为点G。
- 刚体的取向：描述刚体取向的方法有好几种，包括方向余弦、欧拉角、四元数等等。这些方法设定一个附体参考系B的取向（相对于空间参考系S）。附体参考系是固定于刚体的参考系。相对于刚体，附体参考系的取向固定不变。由于刚体可能会呈加速度运动，所以附体参考系可能不是惯性参考系。空间参考系是某设定惯性参考系，例如，在观测飞机的飞行运动时，附着于飞机场控制塔的参考系可以设定为空间参考系，而附着于飞机的参考系则可设定为附体参考系。

### 欧拉旋转定理

欧拉旋转定理表明，在三维空间里，假设约束刚体内部一点固定不动，则其任意位移等价于绕着某固定轴的一个旋转，而这固定轴必包含这固定点。换句话说，设定附体参考系B的原点为这固定点，则附体参考系B不会因为这位移而涉及任何平移运动，这位移等价于绕着某固定轴的一个旋转。

### 沙勒定理

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当刚体移动时，它的位置与取向都可能会随着时间演进而改变。沙勒定理是欧拉旋转定理的一个推论。根据沙勒定理，刚体的最广义位移等价于一个平移加上一个旋转。因此，刚体运动可分为平移运动与旋转运动。刚体的现在位置与现在取向可以视为是从某个初始位置与初始取向经过平移与旋转而成。

如右图所示，从时间 $t_1$ 到时间 $t_2$，当刚体在做平移运动时，任意内部两点，点P与点Q的轨迹（以黑色实线表示）相互平行，线段 $\overline{PQ}$ （以黑色虚线表示）的方向保持恒定。

挑选刚体内部一点G来代表整个刚体，设定附体参考系B的原点于点G（称为“基点”），则从空间参考系S观测，在刚体内部任意一点P的位置 $\mathbf{r}_P$ 为

$\mathbf{r}_P=\mathbf{r}_{G}+\mathbf{r}_{P/G}$。

其中，$\mathbf{r}_{G}$、$\mathbf{r}_{P/G}$ 分别是基点G的位置、点P对于基点G的相对位置。

从附体参考系B观测，刚体内部每一点的位置都固定不变，但从空间参考系S观测，刚体从时间 $t_1$ 到时间 $t_2$ 的运动，可以分为基点G从 $\mathbf{r}_{G}(t_1)$ 到 $\mathbf{r}_{G}(t_2)$ 的平移运动，与位移 $\mathbf{r}_{P/G}$ 从时间 $t_1$ 到时间 $t_2$ 的旋转运动。

### 平移速度与角速度

从不同的参考系观测刚体运动，可能会获得不同的平移速度和不同的角速度。为了确保测量结果具有实际物理意义，必需先给定参考系。

刚体的平移速度是向量，是其位置向量的时间变化率，是附着于刚体的基点G的速度。对于纯平移运动（没有任何旋转运动），刚体内部所有点的移动速度相同。假设涉及旋转运动，则通常刚体内部任意两点的瞬时速度不相等；只有当它们恰巧处于同一直轴，而这直轴平行于转动瞬轴，则它们的瞬时速度相等。

角速度也是向量，描述刚体取向改变的角速率，和刚体旋转时的瞬时转轴的方向（欧拉旋转定理保证瞬时转轴的存在）。在任意时间，刚体内部每一个质点的角速度相同。

### 向量的时间变化率

假设一刚体呈纯旋转运动，旋转的角速度为 $\boldsymbol{\omega}$，其附体参考系B也会跟着旋转，因此，对于任意向量 $\mathbf{F}$，从这附体参考系B与从空间参考系S观测，会得到不同的结果。设定 $\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}$、$\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{body}}$ 分别为从空间参考系S、附体参考系B观测到的向量 $\mathbf{F}(t)$ 对于时间的导数，则

$\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}=\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{body}}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{F}$。

项目 $\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{F}$ 可以想像为，从空间参考系S观测，刚体内部位置向量为 $\mathbf{F}$ 的质点，由于刚体旋转而产生的角速度。

向量 $\mathbf{F}(t)$ 是任意向量，因此可以将 $\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}$、$\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{body}}$ 当作算符，这样，对应的算符方程式的形式为：

$\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}=\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{body}}+\boldsymbol{\omega}\times$。

这算符方程式可以作用于任意含时向量。

### 运动学方程式

根据沙勒定理，刚体的最广义位移等价于一个平移加上一个旋转。挑选刚体内部一点G来代表整个刚体，设定附体参考系B的原点于基点G，则从空间参考系S观测，在刚体内部任意一点P的位置 $\mathbf{r}_P$ 为

$\mathbf{r}_P=\mathbf{r}_{G}+\mathbf{r}_{P/G}$。

其中，$\mathbf{r}_{G}$、$\mathbf{r}_{P/G}$ 分别是基点G的位置、点P对于基点G的相对位置。

点P的速度 $\mathbf{v}_P=\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_P}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}$ 为

$\mathbf{v}_P=\mathbf{v}_{G}+\mathbf{v}_{P/G}$。

其中，$\mathbf{v}_{G}=\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_G}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}$、$\mathbf{v}_{P/G}=\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_{P/G}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}$ 分别是基点G的速度、点P对于基点G的相对速度。

应用前段推导出的适用于任意含时向量的算符方程式，可以计算出$\mathbf{v}_{P/G}$。由于从附体参考系B观测，刚体内部每一点的位置都固定不变，项目 $\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_{P/G}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{body}}$ 等于零：

$\mathbf{v}_{P/G}=\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_{P/G}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{body}}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{P/G}=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{P/G}$。

其中，$\boldsymbol{\omega}$ 是刚体的角速度向量。

所以，点P的速度为

$\mathbf{v}_P=\mathbf{v}_{G}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{P/G}$。

点P的加速度 $\mathbf{a}_P=\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_P}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}$ 为

$\mathbf{a}_P=\mathbf{a}_{G}+\mathbf{a}_{P/G}$。

其中，$\mathbf{a}_{G}=\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_G}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}$、$\mathbf{a}_{P/G}=\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_{P/G}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}$ 分别是基点G的加速度、点P对于基点G的相对加速度。

再应用前段推导出的算符方程式，可以计算出

$\mathbf{a}_{P/G}=\left(\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}\times\mathbf{r}_{P/G}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}_{P/G} =\boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{r}_{P/G}+\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{P/G})$。

其中，$\boldsymbol{\alpha}=\left(\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}$ 是附体参考系B旋转的角加速度向量。

## 运动约束

“运动约束”指的是一个动态系统的运动必须符合的约束。以下列出一些例子：

### 纯滚动

假若，一个圆柱形物体滚动于平面上，不做任何滑动运动（物体与平面之间，没有任何滑动摩擦），则这物体的运动称为“纯滚动”，其质心的速度 $\mathbf{v}_{cm}$ 必须符合约束条件：

$\mathbf{v}_{cm}= \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{cm/O}$。

其中，$\boldsymbol{\omega}$ 是旋转的角速度，$\mathbf{r}_{cm/O}$ 是从物体与平面的接触点到物体质心的位移向量。

对于物体在滚动时不倾斜或不转弯的案例，这约束条件约化为

$v =r_{cm/O}\omega$。

### 无伸缩性绳子

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当感受到张力的作用时，“无伸缩性绳子”不会因为张力的大小而改变绳子的长度。对于涉及无伸缩性绳子的物理问题，约束条件是绳子长度保持不变。

- 单摆：将一根无伸缩性绳子的一端固定，另外一端系住一个锤。这就形成了一个简单摆。在基础动力学里，简单摆问题研究锤的摆动运动跟绳子长度、锤重量之间的关系。
- 溜溜球：在两片圆盘之间连结的卷轴，系着一根无伸缩性绳子。这就是古今中外、广为流行的溜溜球玩具。
- 悬链线：将无伸缩性绳子的两端分别固定于两点，由于均匀引力作用于绳子的每一部分而形成的曲线形状称为悬链线。