斯特林数

在数学中，史特灵数用于解决各种数学分析和组合数学问题，史特灵数是两组不同的数，均是18世纪由詹姆士·史特灵 (数学家)引入并以其命名，以第一类史特灵数和第二类史特灵数的称呼区分。此外，有时候也将拉赫数称为第三类史特灵数。

## 第一类史特灵数

### 定义

第一类史特灵数可以定义为对应递降阶乘展开式的各项系数，即$$(x)_n=\sum^{n}_{k=0}s(n,k)x^k\,$$ 其中，$s(n,k)\,$（$0\leq k\leq n\,$）即为第一类史特灵数。例如：

$$(x)_3=x(x-1)(x-2)\,$$

则

$$(x)_3=0\cdot x^0+2\cdot x-3\cdot x^2+1\cdot x^3\,$$

于是$s(3,0)=0\,$。

$s(3,1)=2\,$。

$s(3,2)=-3\,$。

$s(3,3)=1\,$。

由此可知，$s(n,k)\,$是代数数，或称为有符号（第一类）史特灵数（英语：signed Stirling numbers of the first kind）。

有符号史特灵数的绝对值$|s(n,k)|\,$可以看作（或直接定义为）把$n\,$个元素排列成$k\,$个非空圆圈（循环排列）的方法数目。所以$|s(n,k)|\,$是算术数，或称为无符号（第一类）史特灵数（英语：unsigned Stirling numbers of the first kind）。无符号史特灵数一般可以记为$c(n,k)\,$或$\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]\,$。例如：把$1\,$，$2\,$，$3\,$三个数排列成$0\,$个非空圆圈，显然有零种方法；排列成$1\,$个非空圆圈，有$\left(\begin{matrix} & 1 & \\ 2 & & 3\end{matrix}\right)\,$，$\left(\begin{matrix} & 1 & \\ 3 & & 2\end{matrix}\right)\,$两种方法；排列成$2\,$个非空圆圈，有$\left(\begin{matrix}1\end{matrix}\right)\,$ $\left(\begin{matrix}2 & 3\end{matrix}\right)\,$，$\left(\begin{matrix}1 & 2\end{matrix}\right)\,$ $\left(\begin{matrix}3\end{matrix}\right)\,$和$\left(\begin{matrix}1 & 3\end{matrix}\right)\,$ $\left(\begin{matrix}2\end{matrix}\right)\,$三种方法；排列成$3\,$个非空圆圈，有$\left(\begin{matrix}1\end{matrix}\right)\,$ $\left(\begin{matrix}2\end{matrix}\right)\,$ $\left(\begin{matrix}3\end{matrix}\right)\,$一种方法，所以$\left[\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right]=0\,$ $\left[\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right]=2\,$，$\left[\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right]=3\,$，$\left[\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right]=1\,$。可以看到这和前面有符号史特灵数$s(n,k)\,$在$n=3\,$时的结果一致（只是符号差异）。

与有符号史特灵数类似，无符号史特灵数可以定义为对应递进阶乘展开式的各项系数，即

$$(x)^{\overline n}=\sum^{n}_{k=0}\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]x^k\,$$

其中，$\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]\,$（$0\leq k\leq n\,$）即为无符号史特灵数。不过要注意，这里的记号$\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]\,$有时候会用来表示高斯二项式系数。

有符号史特灵数和无符号史特灵数有如下关系：

$$s(n,k)=(-1)^{n-k}\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]\,$$

### 拓展示例

无符号史特灵数有更多的应用。例如，将$n\,$个元素分成$k\,$组，每组内的元素再进行排列的方法数目即可用无符号史特灵数$\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]\,$求得。以$\left[\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}\right]=11\,$为例：

- (A,B)(C,D)
- (A,C)(B,D)
- (A,D)(B,C)
- (A)(B,C,D)
- (A)(B,D,C)
- (B)(A,C,D)
- (B)(A,D,C)
- (C)(A,B,D)
- (C)(A,D,B)
- (D)(A,B,C)
- (D)(A,C,B)

或用有向图表示如下：

<image>

### 递推关系式

无符号史特灵数有如下递推关系式：

$$\left[\begin{matrix} n+1 \\ k \end{matrix}\right]=n\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix} n \\ k-1 \end{matrix}\right]\,$$

其中，$k>0$，且初始条件为$\left[\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right]=1\,$，$\left[\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0 \\ n \end{matrix}\right]=0\,$（$n>0$）。

有符号史特灵数有如下递推关系式：

$$s(n+1,k)=-ns(n,k)+s(n,k-1)$$

### 第一类史特灵数表

下表其实是一部分无符号史特灵数，要想获得有符号史特灵数，可以通过它们之间的关系式：

$$s(n,k)=(-1)^{n-k}\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]\,$$

求得。

n ｜0｜1｜2｜3｜4｜5｜6

0｜1

1｜0｜1

2｜0｜1｜1

3｜0｜2｜3｜1

4｜0｜6｜11｜6｜1

5｜0｜24｜50｜35｜10｜1

6｜0｜120｜274｜225｜85｜15｜1

### 简单性质

观察前面的“第一类史特灵数表”，我们可以得到一些简单的性质：

$\left[\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right]=1\,$，$\left[\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}\right]=0\,$（$n>0\,$）。

如果$k>0\,$，我们有

$\left[\begin{matrix} 0 \\ k \end{matrix}\right]=0\,$。

或更一般地，如果$k>n\,$，我们有

$\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]=0\,$。

还有

$\left[\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}\right]=(n-1)!\,$。

$\left[\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}\right]=1\,$。

$\left[\begin{matrix} n \\ n-1 \end{matrix}\right]={n \choose 2}\,$。

$\left[\begin{matrix} n \\ n-2 \end{matrix}\right]=\frac{1}{4}(3n-1){n \choose 3}\,$。

$\left[\begin{matrix} n \\ n-3 \end{matrix}\right]={n \choose 2}{n \choose 4}\,$。

注：这里记号${n \choose k}\,$表示组合数。

## 第二类史特灵数

### 定义

第二类史特灵数与第一类史特灵数类似，可以用递降阶乘定义为

$$x^n=\sum^{n}_{k=0}\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}(x)_k\,$$

其中，$\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}\,$即为第二类史特灵数，也可以记为$S(n,k)\,$。例如：

$$x^3=\left\{\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right\}(x)_0+\left\{\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right\}(x)_1+\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}(x)_2+\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}(x)_3\,$$

即

$$x^3=\left\{\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right\}+\left\{\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right\}x+\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}x(x-1)+\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}x(x-1)(x-2)\,$$

将递降阶乘展开并合并同类项，得

$$x^3=\left\{\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right\}+\left(\left\{\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right\}-\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}+2\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}\right)x+\left(\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}- 3\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}\right)x^2+\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}x^3\,$$

比较等式两边系数，得

$$\begin{cases}\left\{\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right\}=0 \\ \left\{\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right\}-\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}+2\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}=0 \\ \left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}- 3\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}=0 \\ \left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}=1 \end{cases}\,$$

解得

$\left\{\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right\}=0\,$，$\left\{\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right\}=1\,$，$\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}=3\,$，$\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}=1\,$。

第二类史特灵数计算的是将含有$n\,$个元素的集合拆分为$k\,$个非空子集的方法数目。例如：对于集合$\left\{1,2,3\right\}\,$，若拆分为$0\,$个非空子集，显然有零种方法；拆分为$1\,$个非空子集，只有$\left\{1,2,3\right\}\,$一种方法；拆分为$2\,$个非空子集，有$\left\{1\right\}\,$ $\left\{2,3\right\}\,$，$\left\{1,2\right\}\,$ $\left\{3\right\}\,$，$\left\{2\right\}\,$ $\left\{1,3\right\}\,$三种方法；拆分为$3\,$个非空子集，有$\left\{1\right\}\,$ $\left\{2\right\}\,$ $\left\{3\right\}\,$一种方法。于是$\left\{\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right\}=0\,$，$\left\{\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right\}=1\,$，$\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}=3\,$，$\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}=1\,$。

第二类史特灵数可以使用以下公式进行计算：

$$\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\} =\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^{k}(-1)^i \left(\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}\right) (k-i)^n \,$$

取$\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}\,$进行验算，有

$$\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}=\frac{1}{2!}\sum_{i=0}^{2}(-1)^i \left(\begin{matrix} 2 \\ i \end{matrix}\right) (2-i)^3 \,$$

即

$$\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}=\frac{1}{2}\left(\left(\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}\right)\times 2^3 - \left(\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}\right)\times 1^3 + \left(\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}\right)\times 0^3\right)\,$$

于是

$$\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}=\frac{1}{2}\left( 1\times 8 - 2\times 1 + 1\times 0\right)=3\,$$

### 拓展示例

将$n\,$个人分成$k\,$组的分组方法的数目。例如有甲、乙、丙、丁四人，若所有人分成$1\,$组，只能所有人在同一组，因此$\left\{\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}\right\}=1\,$；若所有人分成$4\,$组，只能每人独立一组，因此$\left\{\begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix}\right\}=1\,$；若分成$2\,$组，可以是甲乙一组、丙丁一组，或甲丙一组、乙丁一组，或甲丁一组、乙丙一组，或其中三人同一组另一人独立一组，即：

- {甲, 乙}{丙, 丁}
- {甲, 丙}{乙,丁}
- {甲, 丁}{乙, 丙}
- {甲}{乙, 丙, 丁}
- {乙}{甲, 丙, 丁}
- {丙}{甲, 乙, 丁}
- {丁}{甲, 乙, 丙}

因此$\left\{\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}\right\}=7\,$。同理，可以得到$\left\{\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}\right\}=6\,$。

### 递推关系式

第二类史特灵数有与第一类史特灵数类似的递推关系式：

$$\left\{\begin{matrix} n+1 \\ k \end{matrix}\right\}=k\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}+\left\{\begin{matrix} n \\ k-1 \end{matrix}\right\}\,$$

其中，$k>0$，且初始条件为$\left\{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right\}=1\,$，$\left\{\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}\right\}=\left\{\begin{matrix} 0 \\ n \end{matrix}\right\}=0\,$（$n>0$）。

### 第二类史特灵数表

下面为部分第二类史特灵数：

n ｜0｜1｜2｜3｜4｜5｜6

0｜1

1｜0｜1

2｜0｜1｜1

3｜0｜1｜3｜1

4｜0｜1｜7｜6｜1

5｜0｜1｜15｜25｜10｜1

6｜0｜1｜31｜90｜65｜15｜1

### 简单性质

观察前面的“第二类史特灵数表”，我们可以得到一些简单的性质：

$\left\{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right\}=1\,$，$\left\{\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}\right\}=0\,$（$n>0\,$）。

如果$k>0\,$，我们有

$\left\{\begin{matrix} 0 \\ k \end{matrix}\right\}=0\,$。

或更一般地，如果$k>n\,$，我们有

$\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}=0\,$。

还有

$\left\{\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}\right\}=1\,$。

$\left\{\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}\right\}=2^{n-1}-1\,$。

$\left\{\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}\right\}=\frac{1}{2}(3^{n-1}+1)-2^{n-1}\,$。

$\left\{\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}\right\}=1\,$。

$\left\{\begin{matrix} n \\ n-1 \end{matrix}\right\}={n \choose 2}\,$。

$\left\{\begin{matrix} n \\ n-2 \end{matrix}\right\}={n \choose 3}+3{n \choose 4}\,$。

$\left\{\begin{matrix} n \\ n-3 \end{matrix}\right\}={n \choose 4}+10{n \choose 5}+15{n \choose 6}\,$。

### 其他性质

贝尔数和第二类史特灵数有如下关系：

$$B_n=\sum_{k=0}^n\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}\,$$

## 两类之间的关系

第一类和第二类史特灵数可以看作互为逆矩阵的关系：

$$\sum _{j\geq 0}s(n,j)S(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{n-j}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j\\k\end{Bmatrix}}=\delta _{nk}} {\displaystyle \sum _{j\geq 0}s(n,j)S(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{n-j}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j\\k\end{Bmatrix}}=\delta _{nk}\,$$

以及

$$\sum _{j\geq 0}S(n,j)s(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{j-k}{\begin{Bmatrix}n\\j\end{Bmatrix}}{\begin{bmatrix}j\\k\end{bmatrix}}=\delta _{nk}} {\displaystyle \sum _{j\geq 0}S(n,j)s(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{j-k}{\begin{Bmatrix}n\\j\end{Bmatrix}}{\begin{bmatrix}j\\k\end{bmatrix}}=\delta _{nk}\,$$

其中，$\delta_{nk}\,$是克罗内克尔δ。

## 拉赫数

### 定义

拉赫数是由伊沃·拉赫在1954年发现的，因为拉赫数与史特灵数关系密切，所以有时拉赫数也被称为第三类史特灵数。可以用递进阶乘和递降阶乘定义为

$$x^{(n)} = \sum_{k=0}^n L(n,k) (x)_k\,$$

或

$$(x)_n = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} L(n,k) x^{(k)}\,$$

其中， $L(n,k)\,$即为拉赫数。例如：

$$x^{(3)}=\sum_{k=0}^3 L(3,k) (x)_k\,$$

即

$$x(x+1)(x+2)=L(3,0)\cdot 1 + L(3,1)\cdot x + L(3,2)\cdot x(x-1) + L(3,3)\cdot x(x-1)(x-2)\,$$

等式两边展开并合并同类项，得

$$0\cdot x^0 + 2\cdot x+3\cdot x^2+1\cdot x^3=L(3,0)+[L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)]\cdot x+[L(3,2)-3L(3,3)]\cdot x^2 +L(3,3)\cdot x^3\,$$

比较等式两边系数，得

$$\begin{cases}{L(3,0)=0} \\ {L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)=2} \\ {L(3,2)-3L(3,3)=3} \\ {L(3,3)=1}\end{cases}\,$$

解得$L(3,0)=0\,$，$L(3,1)=6\,$。

$L(3,2)=6\,$，$L(3,3)=1\,$。

或

$$(x)_3=\sum_{k=0}^3 (-1)^{3-k} L(3,k) x^{(3)}\,$$

即

$$x(x-1)(x-2)=L(3,0)\cdot 1 + L(3,1)\cdot x + L(3,2)\cdot x(x+1) + L(3,3)\cdot x(x+1)(x+2)\,$$

等式两边展开并合并同类项，得

$$0\cdot x^0 + 2\cdot x-3\cdot x^2+1\cdot x^3=-L(3,0)+[L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)]\cdot x+[-L(3,2)+3L(3,3)]\cdot x^2 +L(3,3)\cdot x^3\,$$

比较等式两边系数，得

$$\begin{cases}{L(3,0)=0} \\ {L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)=2} \\ {-L(3,2)+3L(3,3)=-3} \\ {L(3,3)=1}\end{cases}\,$$

解得$L(3,0)=0\,$，$L(3,1)=6\,$。

$L(3,2)=6\,$，$L(3,3)=1\,$。

以上定义的拉赫数是无符号拉赫数（英语： signed Lah numbers），有符号拉赫数（英语：signed Lah numbers）的定义如下：

$$x^{(n)} = (-1)^n \sum_{k=0}^n L(n,k) (x)_k\,$$

或

$$(x)_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k L(n,k) x^{(k)}\,$$

无符号拉赫数计算的是将含有$n\,$个元素的集合拆分为$k\,$个非空线性有序子集的方法数目。例如：对于集合$\left\{1,2,3\right\}\,$，若拆分为$0\,$个非空线性有序子集，显然有零种方法；拆分为$1\,$个非空线性有序子集，有$\left\{(1, 2, 3)\right\}\,$，$\left\{(1, 3, 2)\right\}\,$，$\left\{(2, 1, 3)\right\}\,$，$\left\{(2, 3, 1)\right\}\,$，$\left\{(3, 1, 2)\right\}\,$，$\left\{(3, 2, 1)\right\}\,$六种方法；拆分为$2\,$个非空线性有序子集，有$\left\{(1)\right\}\,$ $\left\{(2, 3)\right\}\,$，$\left\{(1)\right\}\,$ $\left\{(3, 2)\right\}\,$，$\left\{(2)\right\}\,$ $\left\{(1, 3)\right\}\,$，$\left\{(2)\right\}\,$ $\left\{(3, 1)\right\}\,$，$\left\{(3)\right\}\,$ $\left\{(1, 2)\right\}\,$，$\left\{(3)\right\}\,$ $\left\{(2, 1)\right\}\,$六种方法；拆分为$3\,$个非空线性有序子集，有$\left\{(1)\right\}\,$，$\left\{(2)\right\}\,$，$\left\{(3)\right\}\,$一种方法。于是$L(3,0)=0\,$，$L(3,1)=6\,$。

$L(3,2)=6\,$，$L(3,3)=1\,$。

无符号拉赫数可以使用以下公式进行计算：

$$L(n,k) = {n-1 \choose k-1} \frac{n!}{k!}\,$$

有符号拉赫数可以使用以下公式进行计算：

$$L'(n,k) = (-1)^n {n-1 \choose k-1} \frac{n!}{k!}\,$$

### 拓展示例

<image>

### 递推关系式

无符号拉赫数有如下递推关系：

$$L(n,k+1) = \frac{n-k}{k(k+1)} L(n,k)$$

或

$$L(n+1,k) = (n+k) L(n,k) + L(n,k-1)\,$$

其中，$L(n,0)=0\,$，$L(n,0)=0\,$，$L(n,k)=0\,$（$k>n\,$），$L(1,1)=1\,$

### 拉赫数表

下面为部分无符号拉赫数：

n ｜0｜1｜2｜3｜4｜5｜6

0｜1

1｜0｜1

2｜0｜2｜1

3｜0｜6｜6｜1

4｜0｜24｜36｜12｜1

5｜0｜120｜240｜120｜20｜1

6｜0｜720｜1800｜1200｜300｜30｜1

### 简单性质

观察前面的“拉赫数表”，我们可以得到一些简单性质：

$L(0,0)=1$。

$L(n,0)=0$（$n>0$）

如果$k>n$，有$L(0,0)=1$，$L(n, k)=0$

还有

$$L(n,1) = n!$$

$$L(n,2) = \frac{(n-1)n!}{2}$$

$$L(n,3) = \frac{(n-2)(n-1)n!}{12}$$

$$L(n,n-1) = n(n-1)$$

$$L(n,n) = 1$$

$$\sum_{n\geq k}L(n,k)\frac{x^n}{n!}= \frac{1}{k!}\left( \frac{x}{1-x} \right)^k$$

### 其他性质

无符号拉赫数计算公式可以作进一步拓展：

$$L(n,k) = {n-1 \choose k-1} \frac{n!}{k!} = {n \choose k} \frac{(n-1)!}{(k-1)!} = {n \choose k} {n-1 \choose k-1} (n-k)!$$

$$L(n,k) = \frac{n!(n-1)!}{k!(k-1)!}\cdot\frac{1}{(n-k)!} = \left (\frac{n!}{k!} \right )^2\frac{k}{n(n-k)!}$$

无符号拉赫数与两类史特灵数都有关系，关系如下：

$$L(n,k)=\sum_{j=0}^n \left[\begin{matrix} n \\ j \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} j \\ k \end{matrix}\right\}\,$$

取$L(3,2)\,$进行验算，有

$$L(3,2)=\sum_{j=0}^3 \left[\begin{matrix} 3 \\ j \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} j \\ 2 \end{matrix}\right\}\,$$

即

$$L(3,2)= \left[\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix}\right\}+\left[\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}\right\}+\left[\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}\right\}+\left[\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}\,$$

于是

$$L(3,2)=\left[\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}\right\}+\left[\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}=3\times1+1\times3=6\,$$

由无符号拉赫数与两类史特灵数之间的关系，考虑到两类史特灵数之间的关系，有

$$\sum _{j\geq 0}L(n,j)L(j,k)=\delta _{nk}\,$$

其中，$\delta_{nk}\,$是克罗内克尔δ。

## 三类之间的关系

三类史特灵数以及乘方、阶乘之间的关系可以用下图表示：

<image>