估计理论

估计理论是统计学和信号处理中的一个分支，主要是通过测量或经验数据来估计概率分布参数的数值。这些参数描述了实质情况或实际对象，它们能够回答估计函数提出的问题。

例如，估计投票人总体中，给特定候选人投票的人的比例。这个比例是一个不可观测的参数，因为投票人总体很大；估计值建立在投票者的一个小的随机采样上。

又如，雷达的目的是物体（飞机、船等）的定位。这种定位是通过分析收到的回声（回波）来实现的，定位提出的问题是“飞机在哪里？”为了回答这个问题，必须估计飞机到雷达之间的距离。如果雷达的绝对位置是已知的，那么飞机的绝对位置也是可以确定的。

在估计理论中，通常假定信息隐藏在包含噪声的信号中。噪声增加了不确定性，如果没有不确定性，那么也就没有必要估计了。

## 使用估计理论的领域

有非常多的领域使用参数估计理论。这些领域包括（当然不局限于以下列出的领域）:

- 信号处理
- X射线断层成像
- 脑电图
- 心电图
- 核磁共振
- 医学超声波扫描术
- 雷达、声纳、地震学——物件的定位
- 噪声方差
- 参数化（例如周期图和相关图谱）分析
- 非参数化（例如MUSIC、Root-MUSIC和ESPRIT）谱分析
- 维纳滤波
- 粒子滤波器
- 临床试验
- 民意调查
- 质量控制
- 通讯
- 信道参数
- DC增益（请看下边的例子）
- 控制理论
- 卡尔曼滤波
- 随时间改变的执行器（英文：Actuator）
- 网络入侵侦查系统

测量参数包含噪声或者其他不确定性。通过统计概率，可以求得最优化的解，用来从数据中提取尽可能多的信息。

## 估计过程

估计理论的全部目的都是获取一个估计函数，最好是一个可以实现的估计函数。估计函数输入测量数据，输出相应参数的估计。

我们通常希望估计函数能最优，一个最优的估计意味着所有的信息都被提取出来了；如果还有信息没有提取出来，那就意味着它不是最优的。

一般来说，求估计函数需要三步：

- 为了实现一个预测单个或者多个参数的所期望的估计器，首先需要确定系统的模型。这个模型需要将需要建模的过程以及不确定性和和噪声融合到一起，这个模型将描述参数应用领域的物理场景。
- 在确定模型之后，需要确定估计器的限制条件。这些限制条件可以通过如Cramér-Rao不等式这样的方法找到。
- 下一步，需要开发一个估计器或者应用一个已知的对于模型有效的估计器。这个估计器需要根据限制条件进行测试以确定它是否是最优估计器，如果是的话，它就是最好的估计器。
- 最后，在估计器上运行试验或者仿真以测试性能。

当实现一个估计器之后，实际的数据有可能证明推导出估计器的模型是不正确的，这样的话就需要重复上面的过程重新寻找估计器。不能实现的估计器需要抛弃，然后开始一个新的过程。总的来说，估计器根据实际测量的数据预测物理模型的参数。

## 基础

对于给定模型，估计器需要若干统计 "成分"才能实现。第一，统计样本从长度为 N 的随机向量（Random Variable，RV）中采样获得，观测值构成向量：

$$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x[0] \\ x[1] \\ \vdots \\ x[N-1] \end{bmatrix}.$$

第二，有 M 个参数：

$$\boldsymbol{\theta} = \begin{bmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \\ \vdots \\ \theta_M \end{bmatrix},$$

它们的值需要被估计。第三，用于生成连续数据的概率密度函数（Probability density function，PDF）或离散数据的概率质量函数（Probability mass function，PMF）以参数值为条件（这些概率函数潜在存在），即条件概率为：

$$p(\mathbf{x} | \boldsymbol{\theta}).\,$$

参数自身可能也存在概率分布（如贝叶斯统计），此时就需要定义贝叶斯概率：

$$\pi( \boldsymbol{\theta}).\,$$

模型形成后，目标是估计参数，估计的参数通常表示为 $\hat{\boldsymbol{\theta}}$，其中 $\hat{\cdot}$ 表示估计值。

常用的估计器包括最小均方误差（Minimum mean squared error，MMSE）估计器，它利用了估计参数和参数实际值之间的误差：

$$\mathbf{e} = \hat{\boldsymbol{\theta}} - \boldsymbol{\theta}$$

作为优化的基础。该误差项平方的期望对MMSE估计器来说是最小的。

## 估计函数（估计子）

以下是一些相关的估计函数以及相关的主题

- 最大似然估计（Maximum likelihood estimation，简称MLE）
- 贝叶斯估计器（Bayes estimator）
- 矩估计（Method of moments estimators，简称MME）
- Cramér-Rao界
- 最小二乘法（Least squares）
- 最小均方差（Minimum mean squared error，简称MMSE）
- 最大后验概率（Maximum a posteriori probability，简称MAP）
- 最小方差无偏估计（Minimum variance unbiased estimator，简称MVUE）
- 非线性系统识别（Nonlinear system identification）
- 最佳线性非偏估计（BLUE）
- 非偏估计，见偏差 (统计学)。
- 粒子滤波器（Particle filter）
- 马尔可夫链蒙特卡洛（Markov chain Monte Carlo，简称MCMC）
- 卡尔曼滤波
- 维纳滤波

## 例子：高斯白噪声中的直流增益

考虑由$N$个独立采样点构成的离散信号$x[n]$，它由常数$A$和零均值、方差为$\sigma^2$的加性高斯白噪声$w[n]$（即$\mathcal{N}(0, \sigma^2)$）构成。方差已知，未知参数为$A$。

信号的模型为：

$$x[n] = A + w[n] \quad n=0, 1, \dots, N-1$$

参数$A$的两个可能的估计器是：

- $$\hat{A}_1 = x[0]$$
- $\hat{A}_2 = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n]$，即采样平均（Sample mean）

通过计算两个估计器的期望可以发现，它们的均值均为$A$：

$$\mathrm{E}\left[\hat{A}_1\right] = \mathrm{E}\left[ x[0] \right] = A$$

和

$$\mathrm{E}\left[ \hat{A}_2 \right] = \mathrm{E}\left[ \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \right] = \frac{1}{N} \left[ \sum_{n=0}^{N-1} \mathrm{E}\left[ x[n] \right] \right] = \frac{1}{N} \left[ N A \right] = A$$

两个估计器的均值没有差异，然而它们的方差不同：

$$\mathrm{var} \left( \hat{A}_1 \right) = \mathrm{var} \left( x[0] \right) = \sigma^2$$

和

$$\mathrm{var} \left( \hat{A}_2 \right) = \mathrm{var} \left( \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \right) = \frac{1}{N^2} \left[ \sum_{n=0}^{N-1} \mathrm{var}(x[n]) \right] = \frac{1}{N^2} \left[ N \sigma^2 \right] = \frac{\sigma^2}{N}$$

当$N>1$时，$\mathrm{var} \left( \hat{A}_1 \right) < \mathrm{var} \left( \hat{A}_2 \right)$，所以似乎采样平均$\hat{A}_2$是一个更好的估计器。

### 最大似然估计

使用最大似然估计继续上面的例子，噪声在采样点$w[n]$上的概率密度函数（pdf）为：

$$p(w[n]) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp\left(- \frac{1}{2 \sigma^2} w[n]^2 \right)$$

此时$x[n]$的概率为（$x[n]$服从分布$\mathcal{N}(A, \sigma^2)$）：

$$p(x[n]; A) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp\left(- \frac{1}{2 \sigma^2}(x[n] - A)^2 \right)$$

由于相互独立，$\mathbf{x}$的概率为：

$$p(\mathbf{x}; A) = \prod_{n=0}^{N-1} p(x[n]; A) = \frac{1}{\left(\sigma \sqrt{2\pi}\right)^N} \exp\left(- \frac{1}{2 \sigma^2} \sum_{n=0}^{N-1}(x[n] - A)^2 \right)$$

对上式取自然对数：

$$\ln p(\mathbf{x}; A) = -N \ln \left(\sigma \sqrt{2\pi}\right) - \frac{1}{2 \sigma^2} \sum_{n=0}^{N-1}(x[n] - A)^2$$

于是最大似然估计器为：

$$\hat{A} = \arg \max \ln p(\mathbf{x}; A)$$

计算对数-最大似然函数的一阶导数：

$$\frac{\partial}{\partial A} \ln p(\mathbf{x}; A) = \frac{1}{\sigma^2} \left[ \sum_{n=0}^{N-1}(x[n] - A) \right] = \frac{1}{\sigma^2} \left[ \sum_{n=0}^{N-1}x[n] - N A \right]$$

令其为0：

$$0 = \frac{1}{\sigma^2} \left[ \sum_{n=0}^{N-1}x[n] - N A \right] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n] - N A$$

得到最大似然估计器：

$$\hat{A} = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}x[n]$$

它是一个简单的采样平均。从这个例子中可以发现，被独立同分布的加性高斯白噪声污染的、由未知常数构成的$N$点信号的最大似然估计其就是采样平均。

### Cramér-Rao下限

为了找到采样平均估计器的Cramér-Rao下限（CRLB），需要找到Fisher information数

$$\mathcal{I}(A) = \mathrm{E} \left( <pre> \left[ \frac{\partial}{\partial\theta} \ln p(\mathbf{x}; A) \right]^2 </pre> \right) = -\mathrm{E} \left[ <pre> \frac{\partial^2}{\partial\theta^2} \ln p(\mathbf{x}; A) </pre> \right]$$

从上面得到

$$\frac{\partial}{\partial A} \ln p(\mathbf{x}; A) = \frac{1}{\sigma^2} \left[ \sum_{n=0}^{N-1}x[n] - N A \right]$$

取二阶导数

$$\frac{\partial^2}{\partial A^2} \ln p(\mathbf{x}; A) = \frac{1}{\sigma^2}(- N) = \frac{-N}{\sigma^2}$$

发现负的期望值是无关紧要的（trivial），因为它现在是一个确定的常数

$$-\mathrm{E} \left[ <pre> \frac{\partial^2}{\partial A^2} \ln p(\mathbf{x}; A) </pre> \right] = \frac{N}{\sigma^2}$$

最后，将Fisher information代入

$$\mathrm{var}\left( \hat{A} \right) \geq \frac{1}{\mathcal{I}}$$

得到

$$\mathrm{var}\left( \hat{A} \right) \geq \frac{\sigma^2}{N}$$

将这个值与前面确定的采样平均的变化比较显示对于所有的$N$和$A$来说采样平均都是等于Cramér-Rao下限。

采样平均除了是最大似然估计器之外还是最小变化无偏估计器（MVUE）。

这个直流增益 + WGN的例子是Kay的统计信号处理基础中一个例子的再现。

## 相关书籍

- Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory by Steven M. Kay (ISBN 0-13-345711-7)
- An Introduction to Signal Detection and Estimation by H. Vincent Poor (ISBN 0-38-794173-8)
- Detection, Estimation, and Modulation Theory, Part 1 by Harry L. Van Trees (ISBN 0-47-109517-6; website)