乘积法则

乘积法则（Product rule），也称积定则、莱布尼兹法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。

若已知两个可导函数$f,g$及其导数$f',g'$，则它们的积$fg$的导数为：

$$(fg)'=f'g+fg' \,$$

这个法则可衍生出积分的分部积分法。

## 莱布尼兹的发现

人们将这个法则的发现归功于莱布尼兹，以下是他的论述：设$u(x)$和$v(x)$为$x$的两个可导函数。那么，$uv$的微分是：

$$\begin{align} d(u\cdot v) & {} = (u + du)\cdot (v + dv) - u\cdot v \\ & {} = u\cdot dv + v\cdot du + du\cdot dv. \end{align}$$

由于$du\cdot dv$的可忽略性，因此有：

$$d(u\cdot v) = v\cdot du + u\cdot dv \,$$

两边除以$dx$，便得：

$$\frac{d}{dx} (u\cdot v) = v \cdot \frac{du}{dx} + u \cdot \frac{dv}{dx}$$

若用拉格朗日符号来表达，则等式记为

$$(u\cdot v)' = v\cdot u' + u\cdot v'. \,$$

## 例子

- 假设我们要求出$f(x)=x^2 \sin(x)$的导数。利用乘积法则，可得$f'(x)=2x \sin (x)+x^2 \cos(x)$（这是因为$x^2$的导数是$2x$，$\sin(x)$的导数是$\cos(x)$）。
- 乘积法则的一个特例，是“常数因子法则”，也就是：如果$c$是实数，$f(x)$是可微函数，那么$cf(x)$也是可微的，其导数为$(c\times f)'(x)=c\times f'(x)$。
- 乘积法则可以用来推出分部积分法和除法定则。

## 证明一：利用面积

假设

$$h(x) = f(x)g(x),\,$$

且$f$和$x$在x点可导。那么：

$$h'(x) = \lim_{w\to x}{ h(w) - h(x) \over w - x} = \lim_{w\to x}{f(w)g(w) - f(x)g(x) \over w - x}. \qquad\qquad(1)$$

现在，以下的差

$$f(w)g(w) - f(x)g(x)\qquad\qquad(2)$$

是图中大矩形的面积减去小矩形的面积。

<image>

这个区域可以分割为两个矩形，它们面积的和为：

$$f(x) \Bigg( g(w) - g(x) \Bigg) + g(w)\Bigg( f(w) - f(x) \Bigg).\qquad\qquad(3)$$

因此，(1)的表达式等于：

$$\lim_{w\to x}\left( f(x) \left( {g(w) - g(x) \over w - x} \right) + g(w)\left( {f(w) - f(x) \over w - x} \right) \right).\qquad\qquad(4)$$

如果(5)式中的四个极限都存在，则(4)的表达式等于：

$$\left(\lim_{w\to x}f(x)\right) \left(\lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x}\right) + \left(\lim_{w\to x} g(w)\right) \left(\lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} \right). \qquad\qquad(5)$$

现在：

$$\lim_{w\to x}f(x) = f(x)\,$$

因为当$w\rightarrow x$时，$f(x)$不变。

$$\lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x} = g'(x)$$

因为$g$在x点可导。

$$\lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} = f'(x)$$

因为$f$在x点可导；以及

$$\lim_{w\to x} g(w) = g(x)\,$$

因为$g$在x点连续（可导的函数一定连续）。

现在可以得出结论，(5)的表达式等于：

$$f(x)g'(x) + g(x)f'(x). \,$$

## 证明二：使用对数

设$f = uv$，并假设$u$和$v$是正数。那么：

$$\ln f = \ln u + \ln v.\,$$

两边求导，得：

$${1 \over f} {d \over dx} f = {1 \over u} {d \over dx} u + {1 \over v} {d \over dx} v$$

把等式的左边乘以$f$，右边乘以$uv$，即得：

$${d \over dx} f = v {d \over dx} u + u {d \over dx} v.$$

## 证明三：使用导数的定义

设 $h(x) = f(x)g(x),\,$

且$f$和$g$在x点可导。那么：

$$h'(x) = \lim_{\Delta{x}\to 0} \frac{h(x+\Delta{x})-h(x)}{\Delta{x}} = \lim_{\Delta{x}\to 0} \frac{f(x+\Delta{x})g(x+\Delta{x})-f(x)g(x)}{\Delta{x}}$$

$$= \lim_{\Delta{x}\to 0} \frac{f(x+\Delta{x})g(x+\Delta{x})-f(x)g(x+\Delta{x})+f(x)g(x+\Delta{x})-f(x)g(x)}{\Delta{x}}$$

$$= \lim_{\Delta{x}\to 0} \frac{[f(x+\Delta{x})-f(x)] \cdot g(x+\Delta{x}) + f(x) \cdot [g(x+\Delta{x})-g(x)]}{\Delta{x}}$$

$$= \lim_{\Delta{x}\to 0} \frac{f(x+\Delta{x})-f(x)}{\Delta{x}} \cdot \lim_{\Delta{x}\to 0} g(x+\Delta{x}) + \lim_{\Delta{x}\to 0} f(x) \cdot \lim_{\Delta{x}\to 0} \frac{g(x+\Delta{x})-g(x)}{\Delta{x}}$$

$= f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$.

## 推广

- 若有$n$个函数$f_1,f_2,...,f_n$，则：

$$\left( {\prod_{k = 1}^n {f_k } } \right)^\prime = \sum_{k = 1}^n {\left( {f'_k \cdot \prod_{j = 1 \atop j \ne k } ^n {f_j } } \right)}$$

- （莱布尼兹法则）若$f,g$均为可导$n$次的函数，则$fg$的$n$次导数为：

$$(f\cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(k)} g^{(n-k)}$$

其中${n \choose k}$是二项式系数。

## 应用

乘积法则的一个应用是证明以下公式：

$${d \over dx} x^n = nx^{n-1}$$

其中$n$是一个正整数（该公式即使当$n$不是正整数时也是成立的，但证明需要用到其它方法）。我们用数学归纳法来证明这个公式。如果$n=1$，$\frac{d}{dx}x^1=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)-x}{h}=1=1x^{1-1}$

假设公式对于某个特定的$k$成立，那么对于$k+1$，我们有：

$$\begin{align} {d \over dx}x^{k+1} &{}= {d \over dx}\left( x^k\cdot x\right) \\ \\ &{}= x{d \over dx} x^k + x^k{d \over dx}x \\ \\ &{}= x\left(kx^{k-1}\right) + x^k\cdot 1 \\ \\ &{}= (k+1)x^k. \end{align}$$

因此公式对于$k+1$也成立。