量子场论

在理论物理学里，量子场论（Quantum field theory，简称：QFT）是结合了量子力学、狭义相对论和经典场论的一套自洽的概念和工具。在粒子物理学和凝聚态物理学中，量子场论可以分别为亚原子粒子和准粒子建立量子力学模型。量子场论将粒子视为更基础的场上的激发态，即所谓的量子，而粒子之间的交互作用则是以相应的场之间的交互项来描述。每个交互作用都可以用费曼图来表示，这些图不但是一种直观视化的方法，而且还是相对论性协变微扰理论中用于计算粒子交互过程的一个重要的数学工具。

## 历史

量子场论的发展并非一蹴而就，而是在整个二十世纪期间，经多代理论物理学家的逐步推进，一波三折，才成为今天完整的理论框架。最早的量子场论是描述光和电子之间相互作用的量子电动力学，在1920年代逐步建成。之后，由于在计算中有各种无限大的出现，量子场论进入了第一个低谷；1950年左右，重整化程序的发明使它走出低谷。由于无法用来解释弱相互作用和强相互作用，量子场论又进入了第二个低谷，落入近乎被舍弃的境况。1970年代规范场论的完善和基本粒子标准模型的建成，使它再次复兴。

### 理论背景

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今天的量子场论是量子力学、狭义相对论与经典场论共同结合的成果，所以它的历史起源，必须从这几条线索说起。

最早成功建立的经典场论是基于牛顿万有引力定律。然而，在巨著《自然哲学的数学原理》里，艾萨克·牛顿并没有提到任何关于场的论述，他的万有引力定律所描述的引力是一种超距作用，具有瞬时性质，不管距离有多远。可是，在一封写给剑桥大学三一学院院长理查·本特利的信里，牛顿表示，他不认为物质会作用或影响于别的不与其接触的物质，如果没有通过任何其它非物质的媒介。后来，到了18世纪，数学物理学者发现，万有引力的影响可以很方便地用一个“数学场”来描述，即在空间的每一个位置给定一个数量来展示作用于那位置的引力。但是，他们并没有赋予这数学场任何实在的物理意义。

19世纪电磁理论的发展真正地开启了场的概念。麦可·法拉第于1845年11月7日最早使用“场”（field）一词。他主张，形成场的磁力线是空间的物理状况，而这空间可以是虚无一物的空间。倚赖满布于空间的磁力线，作用力可以从一个物体经过一段时间传递到另一个物体；这不是一种瞬时现象，不会出现超距作用。直到今日，这仍旧是对于场的标准描述，即场是空间的物理状况。

1862年，詹姆斯·麦克斯韦以完整的麦克斯韦方程组建成电磁学理论。通过麦克斯韦方程组，电场、磁场、电荷与电流这四种物理量彼此之间的关系被确定。从麦克斯韦方程组，可以推论出电磁波的存在，即电磁波是电场与磁场从空间的某一点传播至另一点的现象，并且给出电磁波以有限速度传播于空间，即光速。这些结果严格地反驳了超距作用的物理确据。经典电磁理论的功能很强大，它能够描述电荷与电流怎样产生电场与磁场，怎样感受到电场与磁场的作用，但是，它无法被应用于原子辐射，因为人们不清楚在原子里电荷与电流的物理性质。它无法解释原子谱线的离散性质，它也不能正确地计算出黑体所发射出的电磁辐射能量按照不同波长的分布。这些问题的解答都必须等待量子力学的来临。

量子力学之始，可追溯至1900年马克斯·普朗克对黑体辐射的研究。普朗克将在物体里发射与吸收辐射的原子视为微小的量子谐振子，并且假设这些量子谐振子的能量不是连续的，而是离散的数值，并且单独量子谐振子吸收和发射的辐射能是量子化的。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦对光电效应给出解释，光是由一个个分开的能量团所组成，这些能量团被称为光子，是光的量子。这意味着电磁辐射是以粒子的形式存在。

1913年，尼尔斯·玻尔提出描述原子结构的波尔模型，其中电子在原子中所具有的能量并不是一个连续的值，而是限制在一系列离散的特殊能量值上。这是量子化现象的又一例。波尔模型可以被用来解释原子谱线的离散性质。1924年，路易·德布罗意提出波粒二象性假说，即微观粒子在不同情况下会分别呈现波和粒子的性质。早期的量子理论是由很多类似上述的粗略运算与直觉猜测共同构成，它的成功是建立于它能够解释一些先前无法解释的实验结果。1925至1926年间，由于德布罗意、维尔纳·海森堡、马克斯·玻恩、埃尔温·薛定谔、保罗·狄拉克、华夫冈·鲍利等人的宝贵贡献，量子理论被发展成为一套自洽的学术理论，称为“量子力学”，其能为早期的提供量子理论给出更为精致的论述。

就在发表光电效应论文的同年，爱因斯坦又在麦克斯韦电磁学的基础上建成狭义相对论，摒弃了时间和空间之间划清界限的观点，并提出所有物理定律必须在劳仑兹变换下相同。狭义相对论意味着以太是多余的装饰，电磁波的传播不需要以太为媒介，电磁波只需要空间的存在就可以进行传播的动作。爱因斯坦认同法拉第对于场的看法，即场是空间的物理状况

这时的难题至少有两处。在观测验证方面，量子力学的薛定谔方程可以解释受激发射，即原子中的电子在外在电磁场作用下释放一个新光子，但无法解释自发发射，即电子在完全没有外在电磁场作用之下，仍然自发性地降低能级并释放光子。在理论方面，薛定谔方程无法描述光子；而且，量子力学并不符合相对论，因为它把时间视为一个普通数值，却把粒子在空间上的位置提升为一个线性算符。

### 量子电动力学

1920年代，电磁场是唯一已知的场。因此，很自然的，量子场论开启于对于电磁相互作用的量子化研究。

1925至1926年，马克斯·玻恩、海森堡和帕斯库尔·约当利用正则量子化程序，将电磁场视为一组量子谐振子，建立了自由电磁场（即不与物质相互作用）的量子理论。由于此理论不含任何相互作用，因此无法做出有用的量化预测。

在1927年论文《描述辐射的发射和吸收的量子理论》中，狄拉克首先给出“量子电动力学”一词（Quantum electrodynamics，简称QED）。他将在真空中的辐射场也描述为一组量子谐振子，又创意地给出辐射场与在原子中的带电粒子的耦合项，然后一并将辐射场、带电粒子与耦合项共同纳入考量，应用第一阶微扰理论来处理这耦合项，狄拉克成功地对自发发射现象给出解释。按照量子力学的不确定性原理，量子谐振子不能完全停止不动，而是必须不断的振动，即使是处于最低能量态，否则量子谐振子的动能会变得无穷大，因此，在真空中，处于真空态的电磁场仍旧会进行零点能量的振动，这也是最低能量态。自发发射现象其实就是电磁场在真空中的量子涨落对电子所引起的受激发射。狄拉克的理论极具功能，可以对于所有原子的发射与吸收电磁辐射给出合理解释，应用第二阶微扰理论，狄拉克的理论还可以解释光子散射、共振荧光、非相对论性康普顿散射等现象。然而，更高阶的微扰理论计算却遇到了无限大值的难题。

1928年，狄拉克给出描述相对论性电子的波动方程──狄拉克方程，成功解释光子和相对论性电子之间的相互作用。这方程立刻给出四个成果，第一是计算出电子的自旋为1/2、第二是计算出电子的g因子为2、第三是推导出描述氢原子光学谱精确结构的索莫菲公式、第四是推导出克莱因-仁科公式，其能够描述相对论性康普顿散射与穆勒散射等等结果。虽然硕果累累，但这一理论却有着诸多问题。例如，它似乎需要负能量态的存在，意味着所有原子都不具稳定性，它们可以通过辐射从普通态跃迁至负能量态。

当时的普遍观点，仍然是把构成宇宙的物质粒子（如电子）和量子场（如光子）看作是截然不同的概念。物质粒子具有永久性，物质粒子的量子态可以给出物质粒子处于空间某个位置的几率。光子不具有永久性，是电磁场经量子化后的激发态，光子可以被衍生或湮灭。直到1928至1930年，约当、尤金·维格纳、海森堡、鲍利和费米发现物质粒子也同样可以视为量子场上的激发态，就如光子是电磁场的激发态，且每一种粒子都有其对应的量子场：电子有电子场，质子有质子场等等。

在此基础上，恩里科·费米在1932年提出解释β衰变的费米相互作用：原子核本身虽不含电子，但在衰变的过程中，会在其周边的电子场中激发出一个电子，就像光子可以在电磁场中被激发出来一样。

1929年，狄拉克等人发现，要解决狄拉克方程解中有负能量态的问题，必须假设某种电荷和电子相反但质量相同的粒子──正电子。这不但在理论上确保了原子的稳定性，而且首次提出了反物质的存在。1932年，卡尔·戴维·安德森在宇宙射线中发现了正电子存在的证据。只要有足够能量（例如吸收光子），就可以产生一对电子和正电子；电子和正电子还可以互相湮灭，产生光子。这点证明，粒子数目在相互作用中没有必要是固定的。正电子在最初并不被视为一种新粒子，而是在无限电子海中的空穴，因此这一理论也称为“狄拉克空穴理论”。量子场论很自然地描述了这一现象。

### 无限大与重整化

罗伯特·欧本海默在1930年证明量子电动力学的高阶微扰计算必定会得出无限大值，如电子自能以及电子和光子的真空零点能量，意味着当时的理论方法无法正确处理极高动量光子的相互作用。从意识到无限大值的理论难题，至发展出系统性的解决方法，花了整整二十年的时间。

1934至1938年间，厄恩斯特·斯蒂克尔堡发表了几篇重要的论文，建立了相对论性不变的量子场论表述。1947年，他还独立发展出一套完整的重整化程序。不幸的是，其他理论学家并没有明白斯蒂克尔堡的概念。

约翰·阿奇博尔德·惠勒和海森堡分别在1937年和1943年提出，以所谓的S矩阵理论取代困难重重的量子场论。前者的大意是，既然现实中无法观察到微观相互作用的具体细节，那么理论就应该只描述相互作用中少数可观察量（如原子的能量等）之间的关系，而不在乎微观细节。1945年，理查德·费曼和惠勒甚至提出完全抛弃量子场论，以粒子间的超距作用作为相互作用的原理。

1947年，威利斯·兰姆和罗伯特·雷瑟福测量出氢原子2S1/2和2P1/2能级之间的细微差异，即兰姆位移。汉斯·贝特利用量子场论，通过忽视所有能量高于电子质量的光子的作用，成功估算出这一能级差异的数值。之后，诺曼·迈尔斯·克罗尔、兰姆、詹姆斯·布鲁斯·弗伦奇（James Bruce French）和维克托·魏斯科普夫利用一种无限大和无限大相互抵消的方法，再次证实了兰姆位移的值。不过，这种方法并不可靠，也不可推广至其他计算。

在1950年前后，朱利安·施温格、费曼、弗里曼·戴森和朝永振一郎终于建立起去除无限大值的更可靠方法。大意是，理论中的最初参数（所谓的“裸值”：质量、电荷等）并没有实际物理意义；在计算中，须做重新定义，用测量所得的有限数值取代这些裸值。为了抵消表面上无限大的参数，须要加入无限大的“抵消项”。这种系统性的计算程序称为重整化，可以应用于微扰理论的任何一阶。

重整化程序能够解释电子异常磁矩、电子g因子和真空极化，计算结果和高精度实验之间的吻合程度在当时是空前的。重整化成功攻破了量子电动力学中无限大的难题。

与此同时，费曼发明了费曼图和路径积分表述。费曼图可以用于很直观地整理和计算微扰级数的各个项：每个图可以视为相互作用过程中粒子路径的示意图，其中每个节点和每条线都有相对应的数学表达式，结合后可得出图所表达的相互作用的散射振幅。

在重整化程序和费曼图方法出现之后，量子场论终于成为了一个完整的、成熟的理论框架。

### 第二次低潮

1950年代初，在量子电动力学成功的基础上，许多理论学家都相信量子场论最终可以描述和解释所有微观物理现象，并不仅限于电子、正子和光子间的相互作用。然而，这时量子场论进入了又一个低谷，足足持续近二十年。

难题之一，是重整化程序无法放诸四海通用。量子电动力学微扰计算中的所有无限大值，都可以通过重新定义少数几个物理量（电子的质量和电荷）来去除。戴森在1949年证明，具有这样良好属性的理论（即所谓的可重整化理论）只占少数，大多数理论反而是不可重整化的。其中一例，就是描述弱相互作用的费米相互作用。此理论在量子场论框架下，任何高于第一阶的微扰计算都会产生无限大值，而且仅仅重新定义物理量是无法移除这些无限大值的。

第二个难题在于费曼图方法的适用范围。由于费曼图建立在微扰理论级数展开的基础上，所以理论中描述相互作用强度的耦合常数必须是一个很小的数值。费曼图之所以适用于量子电动力学，是因为其耦合常数为精细结构常数α ≈ 1/137。这使得在实际计算中，只须要考虑最简单的（低阶）费曼图。不过，强相互作用，顾名思义，有着较大的耦合常数（约等于1），因此极为复杂的（高阶）费曼图与最简单的费曼图重要性相近，计算中不能够再忽略复杂的图。

在这些理论难题的困扰下，不少理论学家开始对量子场论失去信心。有的以对称性原则和守恒定律为理论重点，有的则重拾惠勒和海森堡的S矩阵理论。虽然量子场论概念在这些探索方向中起到了启发性的作用，但它并没有被用到确切的计算当中。

### 标准模型

1954年，杨振宁和罗伯特·米尔斯对量子电动力学的局域对称性进行推广，从纯粹理论的角度建立了基于更复杂的对称性的理论──非阿贝尔规范场论（又称杨-米尔斯理论）。在量子电动力学中，带电荷粒子之间的相互作用是由光子传递的；同样，在非阿贝尔规范场论中，带某种新的“荷”的粒子之间的相互作用则是由无质量的规范玻色子传递的。与光子不同的是，这些规范玻色子自身也带荷。

谢尔登·格拉肖在1960年利用规范场论，建立了一个统合电磁相互作用和弱相互作用的理论；阿卜杜勒·萨拉姆和约翰·克莱夫·沃德则在1964年从另一条思路达到了同一个理论。不过，该理论是不可重整化的。

彼得·希格斯、罗伯特·布绕特和弗朗索瓦·恩格勒在1964年提出，杨-米尔斯理论中的规范对称性是可以被破坏的，使得原本无质量的规范玻色子获得质量，是为自发对称破缺机制。

1967年，史蒂文·温伯格和萨拉姆在先前的理论上加以希格斯玻色子的自发对称破缺机制，建成描述轻子之间电弱相互作用的理论。起初，人们对此理论置若罔闻。直到1971年，杰拉德·特·胡夫特证明非阿贝尔规范场论是可重整化的，才把电弱相互作用理论从深渊中拯救出来。1970年，格拉肖、约翰·李尔普罗斯和卢西恩·梅安尼把温伯格和萨拉姆的轻子电弱相互作用理论推广至夸克上，电弱相互作用理论终于变得完善。

1971年，哈拉尔德·弗里奇、默里·盖尔曼和海因里希·洛伊特维勒发现非阿贝尔规范场论还可以解释一些强相互作用现象，就这样建立了量子色动力学。两年后，大卫·格罗斯、弗朗克·韦尔切克和休·波利策证明非阿贝尔规范场论具有渐进自由的特性，即在重整化后，强相互作用耦合常数在高能量下会变得很小。因此，至少在高能量相互作用中，可以对量子色动力学进行微扰级数展开，做实际的量化预测。

这些理论成果使量子场论摆脱了前二十年的阴霾并进入了又一次复兴。电弱相互作用理论和量子色动力学形成的整体，称为基本粒子标准模型。标准模型非常成功地解释了除引力以外的所有基本相互作用，其理论预测也相继得到实验的证实：电弱相互作用中自发对称破缺机制所需的希格斯玻色子也在2012年于欧洲核子研究组织发现，这是最后证实存在的标准模型组成粒子。

### 其他发展

1970年代见证了非阿贝尔规范场论非微扰方法的发展：特·胡夫特和亚历山大·泊里雅科夫发现特·胡夫特-泊里雅科夫单极子，霍尔格·贝克·尼尔森和波尔·奥勒森（Poul Olesen）发现流量管，泊里雅科夫等人发现瞬子。这些概念都是无法用微扰理论方法来描述的。

超对称概念也在同一段时期出现。1970年，尤里·阿布拉莫维奇·高尔方和叶夫根尼·利希特曼（Evgeny Likhtman）建成首个具有超对称性的四维量子场论。但由于铁幕的隔阂，这项研究并没有得到广泛的重视。要到1973年，朱利斯·外斯和布鲁诺·朱米诺建立一类四维超对称量子场论，才把超对称概念推向理论界。

在四个基本相互作用之中，引力是唯一一个无法一致地用量子场论来描述的。理论学家在量子引力方面的各种尝试，促使了1970年代弦理论的发展。（弦理论本身是一种具有共形对称性的二维量子场论。）若埃尔·舍克和约翰·施瓦茨在1974年首次提出，弦理论有望成为解释引力的量子理论。

### 凝聚态物理学

量子场论最早源于对基本粒子相互作用的研究，但其中的各种方法还可以推广至其他的物理系统，在凝聚态物理学等研究多体系统的范畴上应用成果尤其丰盛。

从历史的角度，南部阳一郎将超导体理论应用于基本粒子，最终发展出希格斯自发对称破缺机制；重整化群概念也出自对物质第二阶相变的研究。

在提出光子概念后不久，爱因斯坦提出对晶体中的振动进行量子化，这最终发展成第一个准粒子概念──声子。列夫·朗道主张，各种各样凝聚态系统的低能量激发态都可以用一组准粒子之间的相互作用来描述。理论学家发现，量子场论中的费曼图方法能够很自然地描述凝聚态系统的各种现象。

规范场论可以描述超导体的磁通量量子化、量子霍尔效应中的电阻率以及交流电约瑟夫森效应中频率和电压之间的关系。

## 原理

为简化公式，本节采用自然单位制，设约化普朗克常数ħ和光速c为1。

### 经典场与量子场

经典场是在时间和空间上定义的函数。例子包括：牛顿万有引力中的引力场g(x, t)，以及经典电磁学中的电场E(x, t)和磁场B(x, t)。经典场在空间上的每一个点都有一个随时间变动的数值，所以它们具有无限自由度。

然而，经典场论无法解释具有量子力学性质的物理现象。例如，一些物理现象（包括光电效应）必须以一颗颗独立的粒子──光子──来描述，而非在空间上连续的场。“量子”场论的目的，是既要以场为基础，又要能够解释各种量子力学现象。

量子场论的两种常用表述分别是正则量子化和路径积分表述。61为了展示量子场论的基础原理，以下先简述经典场论。

以最简易的经典场为例，假设在空间上每一个点都有一个可以随时间变动的实数，记作ϕ(x, t)，其中x是位置矢量，t是时间。这就是实纯量场。又假设这个场的拉格朗日量为

$$L = \int d^3x\,\mathcal{L} = \int d^3x\,\left[\frac 12 \dot\phi^2 - \frac 12 (\nabla\phi)^2 - \frac 12 m^2\phi^2\right],$$

其中$\dot\phi$是场的时间导数，是散度算符，m是一个参数（可视为场的“质量”）。在此拉格朗日量上应用适用于场论的欧拉-拉格朗日方程

$$\frac{\partial}{\partial t} \left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial\phi/\partial t)}\right] + \sum_{i=1}^3 \frac{\partial}{\partial x^i} \left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial\phi/\partial x^i)}\right] - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = 0,$$

可得出场的运动方程，描述其在时间和空间上的变动：

$$\left(\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 + m^2\right)\phi = 0.$$

这就是克莱恩-戈登方程式。

克莱恩-戈登方程式是一条波动方程，因此它的解可以表示为简正模之和（可用傅里叶变换所得）：

$$\phi(\mathbf{x}, t) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}}\left(a_{\mathbf{p}} e^{-i\omega_{\mathbf{p}}t + i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + a_{\mathbf{p}}^* e^{i\omega_{\mathbf{p}}t - i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right),$$

其中a为复数，星号代表复共轭，ωp则是简正模的频率：

$$\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}.$$

故此，对应于每个p简正模都可以视为频率为ωp的经典谐振子。

### 正则量子化

以上经典场的量子化过程，和单个经典谐振子推广为量子谐振子的过程相似。

一个经典谐振子的波动程度（一般想象为做谐波运动的粒子之位置x，但不应与目前的场的位置标签x所混淆）随时间之变化为

$$x(t) = \frac{1}{\sqrt{2\omega}} a e^{-i\omega t} + \frac{1}{\sqrt{2\omega}} a^* e^{i\omega t},$$

其中a是复数，ω是谐振子的频率。

要提升为量子谐振子，经典谐振子的x(t)从普通数字提升为线性算符$\hat x(t)$。同时，a和a*也提升为算符，分别变成消灭算符$\hat a$和创生算符$\hat a^\dagger$，其中表示埃尔米特伴随：

$$\hat x(t) = \frac{1}{\sqrt{2\omega}} \hat a e^{-i\omega t} + \frac{1}{\sqrt{2\omega}} \hat a^\dagger e^{i\omega t}.$$

两者的对易关系为

$$[\hat a,\hat a^\dagger] = 1.$$

单个谐振子的所有量子态都可以从真空态$|0\rang$开始，通过创生算符$\hat a^\dagger$的重复作用，逐一产生：

$$|n\rang = (\hat a^\dagger)^n|0\rang.$$

同样，上文的实纯量场ϕ（对应于单个谐振子的x）提升为算符$\hat\phi$，而ap和ap*则提升为对应于p的消灭算符$\hat a_{\mathbf{p}}$和创生算符$\hat a_{\mathbf{p}}^\dagger$：

$$\hat \phi(\mathbf{x}, t) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}}\left(\hat a_{\mathbf{p}} e^{-i\omega_{\mathbf{p}}t + i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + \hat a_{\mathbf{p}}^\dagger e^{i\omega_{\mathbf{p}}t - i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right).$$

创生和消灭算符的对易关系为：

$$[\hat a_{\mathbf p},\hat a_{\mathbf q}^\dagger] = (2\pi)^3\delta(\mathbf{p} - \mathbf{q}),\quad [\hat a_{\mathbf p},\hat a_{\mathbf q}] = [\hat a_{\mathbf p}^\dagger,\hat a_{\mathbf q}^\dagger] = 0,$$

其中δ是狄拉克δ函数。场的所有量子态都可以从真空态$|0\rang$开始，通过各个创生算符$\hat a_{\mathbf{p}}^\dagger$的重复作用，逐一产生，如：

$$(\hat a_{\mathbf{p}_3}^\dagger)^3 \hat a_{\mathbf{p}_2}^\dagger (\hat a_{\mathbf{p}_1}^\dagger)^2 |0\rang.$$

虽然写在拉格朗日量中的场在空间上具有连续性，但在量子化之后，态空间却是离散的。单个谐振子的态空间包含一个粒子的所有离散能级，而与之不同的是，量子场的态空间包含任意粒子数目的所有离散能级。这样的态空间称为福克空间，它能够描述相对论性量子系统中粒子数目不固定的现象。从单粒子提升为任意粒子数的量子化过程，有时也称为第二量子化。

以上将场量子化的过程直接应用了非相对论性量子力学的表述，可以用于对纯量场、狄拉克场、矢量场（如电磁场）甚至是弦进行量子化。不过，只有在不含相互作用的最简单理论（所谓的“自由理论”）中，创生和消灭算符才有良好的定义。在实纯量场的例子中，这些算符的存在纯粹是因为其经典运动方程的解可以分解成简正模之和。要对具有相互作用的理论进行任何计算，必须在自由理论的基础上应用微扰理论。

在自然界中，量子场的拉格朗日量都含有相互作用项。例如，可以在实纯量场的拉格朗日量密度上另加一个四次方项：

$$\mathcal{L} = \frac 12 (\partial_\mu\phi)(\partial^\mu\phi) - \frac 12 m^2\phi^2 - \frac{\lambda}{4!}\phi^4,$$

其中μ是时空标号：$\partial_0 = \partial/\partial t,\ \partial_1 = \partial/\partial x^1$等等；此处根据爱因斯坦标记法省去了对标号μ求和的记号。如果参数λ足够小，四次方相互作用项就可算作微扰。

### 路径积分

与正则量子化表述不同的是，路径积分表述的重点并不在建立算符和态空间上，而是在于直接计算某过程的振幅。费曼路径积分的大意是，要计算一个系统从某初始态$|\phi_I\rang$（时间t = 0）演变到某终结态$|\phi_F\rang$（t = T）的振幅，先把总时间T分成N个很小的时段，然后考虑它在每个时段内的演变振幅，最后对每个时段所对应的中间态求积分。将哈密尔顿量（即时间演化算符）记作H，则

$$\lang \phi_F|e^{-iHT}|\phi_I\rang = \int d\phi_1\int d\phi_2\cdots\int d\phi_{N-1}\,\lang \phi_F|e^{-iHT/N}|\phi_{N-1}\rang\cdots\lang \phi_2|e^{-iHT/N}|\phi_1\rang\lang \phi_1|e^{-iHT/N}|\phi_I\rang.$$

在取N → ∞极限后，以上无限个积分之积就成为了路径积分，记作：

$$\lang \phi_F|e^{-iHT}|\phi_I\rang = \int \mathcal{D}\phi(t)\,\exp\left\{i\int_0^T dt\,L\right\},$$

其中L是包含ϕ及其时间和空间导数的拉格朗日量，与哈密尔顿量H之间有勒壤得转换的关系，而路径积分的初始和终结条件分别为

$$\phi(0) = \phi_I,\quad \phi(T) = \phi_F.$$

换句话说，从开始至终结的振幅，是此二态之间所有路径的振幅之和，而每条路径的振幅由被积分的指数给出。

### 两点相关函数

现在假设理论中包含相互作用，且拉格朗日量中的相互作用项是一个微扰。

在实际计算中，往往会遇到这样的表达式：

$$\lang\Omega|T\{\phi(x)\phi(y)\}|\Omega\rang,$$

其中x和y是位置四维矢量，T是时间排序算符（即根据x和y的时间分量顺序，把ϕ(x)和ϕ(y)从最迟至最早，从左至右排列），$|\Omega\rang$则是在相互作用下的基态（真空态），一般来说不同于自由理论下的基态$|0\rang$。上式所表达的是场从y至x传播的几率幅，称为两点相关函数 (量子场论)，又称两点格林函数。

在正则量子化表述下，两点相关函数可以写作：

$$\lang\Omega|T\{\phi(x)\phi(y)\}|\Omega\rang = \lim_{T\to\infty(1-i\epsilon)} \frac{\lang 0|T\left\{\phi_I(x)\phi_I(y)\exp\left[-i\int_{-T}^T dt\, H_I(t)\right]\right\}|0\rang}{\lang 0|T\left\{\exp\left[-i\int_{-T}^T dt\, H_I(t)\right]\right\}|0\rang},$$

此处的ε是一个无穷小量，ϕI是前文自由理论下的场算符，HI是哈密尔顿量中的相互作用项。对于ϕ4理论，有

$$H_I(t) = \int d^3x\,\frac{\lambda}{4!}\phi_I(x)^4.$$

由于λ是一个小参数，所以指数函数还可以展开为λ的级数，逐阶计算。这条方程式的用途在于，可以用右边有良好定义的自由场算符和基态，代替左边难以定义的场算符和基态做计算。

在路径积分表述下，两点相关函数可以写作：

$$\lang\Omega|T\{\phi(x)\phi(y)\}|\Omega\rang = \lim_{T\to\infty(1-i\epsilon)} \frac{\int\mathcal{D}\phi\,\phi(x)\phi(y)\exp\left[i\int_{-T}^T d^4z\,\mathcal{L}\right]}{\int\mathcal{D}\phi\,\exp\left[i\int_{-T}^T d^4z\,\mathcal{L}\right]},$$

其中$\mathcal{L}$是拉格朗日量密度。和前一段一样，指数函数中对应于相互作用项的因子也可以展开为λ的级数。

根据威克定理，任何自由理论下的n点相关函数都可以写成两点相关函数之积之和。例如。

$$\begin{align} \lang 0|T\{\phi(x_1)\phi(x_2)\phi(x_3)\phi(x_4)\}|0\rang =& \lang 0|T\{\phi(x_1)\phi(x_2)\}|0\rang \lang 0|T\{\phi(x_3)\phi(x_4)\}|0\rang\\ &+ \lang 0|T\{\phi(x_1)\phi(x_3)\}|0\rang \lang 0|T\{\phi(x_2)\phi(x_4)\}|0\rang\\ &+ \lang 0|T\{\phi(x_1)\phi(x_4)\}|0\rang \lang 0|T\{\phi(x_2)\phi(x_3)\}|0\rang. \end{align}$$

由于相互作用理论下的相关函数可以用自由理论下的相关函数来表达，因此只须计算自由理论下的两点相关函数$\lang 0|T\{\phi(x)\phi(y)\}|0\rang$，就足以计算（微扰）相互作用理论下的所有物理量。

通过正则量子化或路径积分表述，都可以得出：

$$D_F(x-y) \equiv \lang 0|T\{\phi(x)\phi(y)\}|0\rang = \int\frac{d^4p}{(2\pi)^4} \frac{i}{p_\mu p^\mu - m^2 + i\epsilon} e^{-ip_\mu (x^\mu - y^\mu)}.$$

这就是实纯量场的费曼传播子。

### 费曼图

相互作用理论下的相关函数可以表达为一个微扰级数，级数中每项都是一些自由理论下的费曼传播子之积，而且可以非常形象地用费曼图来表达。例如，ϕ4理论两点相关函数的级数展开的λ1阶为

$$\frac{-i\lambda}{4!}\lang 0|T\{\phi(x)\phi(y)\int d^4z\,\phi(z)\phi(z)\phi(z)\phi(z)\}|0\rang,$$

经维克定理展开后含这一重复12次的项：

$$12\cdot \frac{-i\lambda}{4!}\int d^4z\, D_F(x-z)D_F(y-z)D_F(z-z),$$

相对应的费曼图为

<image>

图中每个点对应于一个ϕ场因子，位于外端（标为x和y）的称为“外点”，位于内部的称为“内点”（此处只有一个）。要得回这一项的数值，须遵循一套适用于此理论的“费曼规则”：每个内点对应于$-i\lambda\int d^4z$，每条线对应于费曼传播子$D_F(x-y)$（x和y是线两端点的位置标签），把这些因子全部相乘后，再除以“对称因子”。（此费曼图的对称因子为2，但此处不作详细解释。）

要计算任何n点相关函数，可以以内点的数目为阶，列出每一阶符合条件的所有费曼图，再用费曼规则得出每一项的数值。确切地说。

$$\lang\Omega|T\{\phi(x_1)\cdots\phi(x_n)\}|\Omega\rang$$

等于所有含n个外点的连通费曼图（相应的数值）之和。（所谓的连通费曼图，指的是不允许有内点不与任何外点经线连通的情况。与外点完全断开的部分，有时亦称“真空泡沫”。）在此处考虑的ϕ4相互作用理论中，每个内点必须接上四条腿。

在现实应用中，某个相互作用过程的散射振幅或某种粒子的衰变率都能够从S矩阵算出，而S矩阵本身可以用上述的费曼图方法计算。

不含循环的费曼图称为“树图”，它所描述的是最低阶的相互作用过程；含有循环的则称为“圈图”，它描述在树阶以上的更高阶项（这些项称为辐射修正）。两端为内点的线，可以想象成一个虚粒子的传播。

### 重整化

树图的计算可以直接应用上文所述的费曼规则，但如果单纯地计算圈图（如上文例子），就会遇到动量积分发散的问题。这似乎意味着，相互作用振幅微扰展开后，绝大部分的项都是无限大的。要去除这些无限大值，必须用到重整化程序。

拉格朗日量中所出现的质量m和耦合常数λ等参数，并不能视为有物理意义的量：m、λ和场强度ϕ都不能通过实验测量，此处分别称为裸质量、裸耦合常数和裸场。现实中的质量和耦合常数可以通过测量某个相互作用过程所得，一般与它们的裸值不同。在计算这些相互作用时，如果遇到发散的动量积分，可以先把积分域限制在某个动量值Λ以下，当得出有物理意义的量后，再取Λ → ∞极限。在中间步骤采用动量截值使得积分不发散的做法，是正规化的一种，而Λ则称为正规子。

以上程序称为裸微扰理论，因为它的计算用到的都是裸质量、裸耦合常数等等；另一重整化程序从一开始就用具有物理意义的质量、耦合常数等做计算，称为重整化微扰理论。以ϕ4理论为例，先对场强度做重新定义：

$$\phi = Z^{1/2}\phi_r,$$

其中ϕ是裸场，ϕr是已重整化场，Z则是一个尚未判定的常数。拉格朗日量密度变为：

$$\mathcal{L} = \frac 12 (\partial_\mu\phi_r)(\partial^\mu\phi_r) - \frac 12 m_r^2\phi_r^2 - \frac{\lambda_r}{4!}\phi_r^4 + \frac 12 \delta_Z (\partial_\mu\phi_r)(\partial^\mu\phi_r) - \frac 12 \delta_m\phi_r^2 - \frac{\delta_\lambda}{4!}\phi_r^4,$$

其中mr和λr分别是能够被测量的已重整化质量和耦合常数，且

$$\delta_Z = Z-1,\quad \delta_m = m^2Z - m_r^2,\quad \delta_\lambda = \lambda Z^2 - \lambda_r,$$

均为尚未判定的常数。前三项为以已重整化量写出的ϕ4拉格朗日量密度，后三项则是所谓的抵消项。拉格朗日量多了几项，所以费曼图也要相应加入额外的组成元素，各有对应的费曼规则。此方法的大意是，先选择一种正规化程序（如上文的截值正规化或维度正规化），把正规子记作Λ，计算费曼图。图的发散项会包含Λ。最后，对δZ、δm和δλ做定义，使得在取Λ → ∞极限时，抵消项费曼图的值会与普通费曼图中的发散项完全抵消，得出有限、有意义的值。

重整化程序只有在可重整化理论下才会得出有限的数值，但在不可重整化理论下却无法去除所有的发散项。可重整化的理论包括基本粒子标准模型，不可重整化的理论包括量子引力。

#### 重整化群

重整化群是用于理解重整化过程的数学工具，由肯尼斯·威尔森所创。一个量子场论的所有参数（拉格朗日量中每一项的系数）的值与在什么尺度下测量它是密切相关的。每个参数如何随尺度变化，是由相应的β函数所描述；用于做物理预测的相关函数如何随尺度变化，则是由卡伦-西曼吉克方程所描述。

以量子电动力学为例，耦合常数（即基本电荷）随尺度的变化由以下β函数描述：

$$\beta(e) \equiv \frac{1}{\Lambda}\frac{de}{d\Lambda} = \frac{e^3}{12\pi^2} + O(e^5),$$

其中Λ是测量e时所在的质量尺度（或能量尺度）。这条微分方程意味着，随着质量尺度的上升，所测量出的基本电荷值也会上升。

SU(3)量子色动力学耦合常数的β函数为：

$$\beta(g) \equiv \frac{1}{\Lambda}\frac{dg}{d\Lambda} = \frac{g^3}{16\pi^2}\left(-11 + \frac 23 N_f\right) + O(g^5),$$

其中Nf是夸克味数。只要Nf ≤ 16（标准模型有Nf = 6），耦合常数g就会随质量尺度的上升而降低。因此，虽然量子色动力学所描述的强相互作用在低能量下极强，使得微扰理论不可适用，但它在高能量下会变得极弱，这种现象称为渐进自由。

有一类特殊的量子场论具有共形对称性，称为共形场论。这样的理论不对尺度的变化敏感，因此它所有耦合常数的β函数都为零。（然而，所有β函数为零并不代表理论一定具有共形对称性。）例子有：弦理论、N = 4超对称杨-米尔斯理论等等。

从威尔森的观点来看，每一个理论从根本上都伴随着它的截断能标Λ，也就是该理论在Λ以上截断能标不再适用，计算中也要忽略所有Λ以上的自由度。例如，凝聚态系统的截断能标是原子间距的倒数，而粒子物理学系统的截断能标可能和时空最深处由引力量子波动所产生的颗粒性有关。只要此截值足够大，该理论在低能量下的有效场论就必定是可重整化的。可重整化与不可重整化理论之间的分别在于，前者对高能量尺度的细节并不敏感，而后者则取决于这些细节。从此，不可重整化理论不再是不可驯服的怪物，而应视为某个更基础的理论的低能量有效场论；计算结果中无法去除的截值Λ，纯粹暗示著在Λ以上尺度的物理现象须要用新的理论来描述。

### 其他理论

以上对量子场论方法的简述只讨论了实纯量场的自由理论和ϕ4理论。类似的表述和程序也可以应用于其他类型的场，如复纯量场、矢量场、狄拉克场等等，以及各种相互作用项，如电磁相互作用、汤川相互作用等等。

例如，量子电动力学含有一个代表电子场的狄拉克场ψ，以及一个代表电磁场（光子场）的矢量场Aμ。（虽然在量子场论中称之为电磁“场”，但Aμ实际上对应于经典电磁学中的电磁四维矢量势。）整个理论的拉格朗日量密度为：

$$\mathcal{L} = \bar\psi(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi - \frac 14 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} - e\bar\psi\gamma^\mu\psi A_\mu,$$

其中γμ是狄拉克矩阵，$\bar\psi = \psi^\dagger\gamma^0$，$F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$。此处的参数分别是电子的（裸）质量m和（裸）基本电荷e。拉格朗日量密度的首两项分别对应于狄拉克场和矢量场的自由理论，最后一项则描述电子场和光子场之间的相互作用。

<image>

上图为量子电动力学中的树阶费曼图之一。它描述电子和正子互相歼灭，产生离壳光子，再衰变为新的电子正子对。时间从左至右前进，箭头顺着时间的直线代表正子，箭头与时间方向相反的直线代表电子，波浪线代表光子。量子电动力学费曼图中的每一个内点都必须连上一条指入和一条指出的费米子线（正子或电子），以及一条光子线。

#### 规范对称性

如果在每一个时空点x上做如下变换（又称局域变换），则量子电动力学的拉格朗日量会保持不变：

$$\psi(x) \to e^{i\alpha(x)}\psi(x),\quad A_\mu(x) \to A_\mu(x) + ie^{-1} e^{-i\alpha(x)}\partial_\mu e^{i\alpha(x)},$$

其中α(x)是任何在时空上变化的函数。如果某个理论的拉格朗日量（应该更广义地说作用量）在某种局域变换下不变，该变换就可以称作此理论的规范对称。以上的变换在每一个时空点上组成一个群：以$e^{i\alpha(x)}$和$e^{i\alpha'(x)}$相继进行变换，整体来说相当于直接进行单个变换$e^{i[\alpha(x)+\alpha'(x)]}$；而且，对于任意α(x)，$e^{-i\alpha(x)}$是一个能够复回$e^{i\alpha(x)}$的作用的变换，可视为$e^{i\alpha(x)}$的反元素。在每个空间点x上，$e^{i\alpha(x)}$都是U(1)群的元素，因此可以说量子电动力学具有U(1)规范对称性，其中光子场Aμ可称为U(1)规范玻色子。

U(1)属于阿贝尔群，即任意两个元素的作用先后次序并不重要。除此之外，还有建立在非阿贝尔群上的非阿贝尔规范场论（其中杨-米尔斯理论是最简单的一种）。以具有SU(3)群规范对称性的量子色动力学为例，任意两个SU(3)变换的作用次序不能随意调换，因此该理论的建构会比上述的量子电动力学更复杂。理论包含三个代表夸克场的狄拉克场ψi, i = 1,2,3，以及八个代表胶子场的矢量场Aa,μ, a = 1,…,8（胶子场是SU(3)规范玻色子）。夸克场和胶子场可分别视为量子电动力学中电子场和光子场的推广。量子色动力学的拉格朗日量密度为：

$$\mathcal{L} = i\bar\psi^i \gamma^\mu (D_\mu)^{ij} \psi^j - \frac 14 F_{\mu\nu}^aF^{a,\mu\nu} - m\bar\psi^i \psi^i,$$

其中Dμ是普通偏导数∂μ的推广，称为规范协变导数：

$$D_\mu = \partial_\mu - igA_\mu^a t^a,$$

g为耦合常数，ta为SU(3)基本表示下的八个生成元（3×3矩阵）。

$$F_{\mu\nu}^a = \partial_\mu A_\nu^a - \partial_\nu A_\mu^a + gf^{abc}A_\mu^b A_\nu^c,$$

fabc为SU(3)的结构常数（8×8×8个数字），此处要依照爱因斯坦标记法对所有重复的标号i,j,a等等求和。对于任意时空函数α(x)，此拉格朗日量在以下局域变换下保持不变：

$$\psi^i(x) \to U^{ij}(x)\psi^j(x),\quad A_\mu^a(x) t^a \to U(x)\left[A_\mu^a(x) t^a + ig^{-1} \partial_\mu\right]U^\dagger(x),$$

其中U(x)在任何时空点x上都是SU(3)群的元素（3×3矩阵）：

$$U(x) = e^{i\alpha(x)^a t^a}.$$

以上所讨论的只是在拉格朗日量层面上的对称性，可以说是经典对称性；但在量子化之后，某些理论可能会丧失它的经典对称性，这种现象称为量子反常。比如，在路径积分表述中，尽管拉格朗日量密度$\mathcal{L}[\phi,\partial_\mu\phi]$在场的某种规范变换下不变，但路径积分的测度$\int\mathcal D\phi$却有可能改变，从而导致整个路径积分乃至物理预测都会在变换下改变。描述现实的理论不能含有任何规范对称性上的反常，否则它就是不一致的。基本粒子标准模型属于规范场论，其规范群为SU(3) × SU(2) × U(1)，理论中所有可能出现的反常都恰好完全抵消。

等效原理是广义相对论的理论基础，它也可以视为一种规范对称性，所以广义相对论是基于劳仑兹群的规范场论。

根据诺特定理，每一个连续对称性（即对称变换中的参数是连续而不是离散的），都有一个相对应的守恒定律。例如，量子电动力学的U(1)对称性意味着电荷守恒。

规范转换并不是把一个量子态转换为另一个量子态，而是把对于同一个态的两种等价的数学描述联系起来。例如，光子场Aμ是一个四维矢量，似乎含有四个自由度，但实际上光子只有对应于偏振的两个自由度。其余的两个自由度，可以说是“多余”的：许多表面上不同的Aμ可以通过规范转换互相联系，因此实际上描述光子场的同一个态。规范对称性从严格上来说并不是一种“真实”的对称性，它只是反映了我们所选择的数学表达方式的“多余性”。

要在费曼路径积分表述中去除这种多余性，须进行所谓的法捷耶夫-波波夫规范固定程序。在非阿贝尔规范场论中，该程序会产生一种新的场──鬼场。鬼场所对应的粒子称为鬼粒子，它并不能够经实验测量得到。鬼场在拉格朗日量中有自己的项，起到固定到某个特定规范的作用。法捷耶夫-波波夫程序的推广，是相对严谨的BRST量子化表述。

#### 自发对称破缺

自发对称破缺是一种既保持原有拉格朗日量对称性，又能使得最终描述的系统破坏此对称性的机制。

以经典线性σ模型为例，设想有N个实纯量场，由以下拉格朗日量密度描述：

$$\mathcal{L} = \frac 12 (\partial_\mu\phi^i)(\partial^\mu\phi^i) + \frac 12 \mu^2 \phi^i\phi^i - \frac{\lambda}{4} (\phi^i\phi^i)^2,$$

其中μ和λ都是实参数。此理论具有O(N)全局对称（即在每个时空点上做相同的O(N)变换）：

$$\phi^i \to R^{ij}\phi^j,\quad R\in\mathrm{O}(N).$$

经典理论的最低能量态（基态、真空态）是任何符合

$$\phi_0^i \phi_0^i = \frac{\mu^2}{\lambda}$$

均匀场ϕ0。可以选择坐标，使得基态指向第N方向：

$$\phi_0^i = \left(0,\cdots,0,\frac{\mu}{\sqrt{\lambda}}\right).$$

原先的N个场可以重新写作

$$\phi^i(x) = \left(\pi^1(x),\cdots,\pi^{N-1}(x),\frac{\mu}{\sqrt{\lambda}} + \sigma(x)\right).$$

原来的拉格朗日量密度，以新的场写出：

$$\mathcal{L} = \frac 12 (\partial_\mu\pi^k)(\partial^\mu\pi^k) + \frac 12 (\partial_\mu\sigma)(\partial^\mu\sigma) - \frac 12 (2\mu^2)\sigma^2 - \sqrt{\lambda}\mu\sigma^3 - \sqrt{\lambda}\mu\pi^k\pi^k\sigma - \frac{\lambda}{2} \pi^k\pi^k\sigma^2 - \frac{\lambda}{4}(\pi^k\pi^k)^2,$$

其中k = 1,…,N-1。从表面上看，拉格朗日量不再具有O(N)全局对称，而只是剩下子群O(N-1)全局对称，所以自发对称破缺前的更大对称性，也被称为“隐藏的对称性”。

根据戈德斯通定理，在自发对称破缺机制下，每一个被破坏的连续全局对称性都对应于一个无质量场，这些场称为南部-戈德斯通玻色子。在以上的例子中，O(N)有N(N-1)/2个连续对称性，而O(N-1)则有(N-1)(N-2)/2个，两者之差为N-1，正好对应于N-1个无质量场πk。

另一方面，连续规范对称性（即局域对称性）被破坏后所生成的戈德斯通玻色子会被相应的规范玻色子“吃掉”，成为后者的一个额外自由度。根据戈德斯通玻色子等效定理，在高能下，吸收或发出一个纵向极化的有质量规范玻色子的振幅，与吸收或发出一个被此规范玻色子吃掉的戈德斯通玻色子的振幅相同。

在描述铁磁性系统的量子场论中，自发对称破缺可以解释低温下磁偶极子方向对齐的现象；在基本粒子标准模型中，希格斯机制利用自发对称破缺，使得原先因规范对称性而不允许有质量的规范玻色子（W和Z玻色子）获得质量。

#### 超对称

现实中所观测到的一切对称性，包括全局对称和局域对称性，都把玻色子和玻色子联系起来，并把费米子和费米子联系起来，而没有玻色子和费米子之间的联系。理论学家猜想可能存在一种把玻色子和费米子联系起来的对称性，称为超对称。

标准模型具有全局庞加莱对称性，生成子有：平移生成子Pμ和劳仑兹变换生成子Jμν。(3+1)维超对称在此对称群的基础上，再加上遵守外尔费米子转换法则的超对称生成子Qα。由以上所有生成子所生成的对称群称为超庞加莱群。广义地说，超对称生成子可以不止一个：QαI, I = 1,…,N，这样的对称性称为N = 1超对称、N = 2超对称，如此类推。其他维度时空上也可以定义超对称，特别是具有(1+1)维超对称性的超弦理论。

如果一个理论具有超对称性，那么其拉格朗日量就必须在超对称群的转换作用下不变，例子有：最小超对称标准模型、N = 4超对称杨-米尔斯理论、超弦理论等等。在这样的理论中，每一个费米子都有一个对应的玻色子超对称粒子，反之亦然。

如果把超对称性提升为局域对称性，所形成的规范场论是广义相对论的推广──超引力理论。

如果超对称性在自然界中真实存在，将解决物理学上的若干难题。把希格斯场和它的超对称场超希格斯粒子互相联系，可能可以解决标准模型中的级列问题：为什么希格斯玻色子的质量不会因为辐射修正而上升到更高的尺度，如大统一理论尺度或普朗克尺度。原理是，在费曼图中产生辐射修正项的希格斯玻色子循环，会被相应的超希格斯费米子循环所抵消。其他有可能经超对称性解决的问题还有规范耦合常数的高能大统一问题，以及暗物质的本质。

然而，实验物理学家并没有观测到任何超对称粒子的存在。如果超对称性真的存在，它必定是一个破缺的对称性，而且破缺所发生的能量尺度一定比现今实验探索的尺度更高。

#### 其他时空

前文讨论的ϕ4理论、量子电动力学、量子色动力学乃至整个标准模型，都假设量子场所在的时空是3+1维闵考斯基时空（3个空间维度及1个时间维度）。然而，量子场论本身并不限制时空的维数或几何。

在凝聚态物理学中，有二维电子气体。在高能物理学中，有属于1+1维量子场论的弦理论，还有利用额外维度中的引力产生低维度规范场论的卡鲁扎-克莱因理论等等。

在闵考斯基时空中，拉格朗日量的所有标号升降都利用平坦度规张量ημν，例如：

$$A_\mu A^\mu = \eta_{\mu\nu} A^\mu A^\nu,\quad \partial_\mu\phi \partial^\mu\phi = \eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi \partial_\nu\phi,$$

其中ημν是ημν的逆：ημρηρν = δμν。如果量子场所在的时空不是平坦的（见弯曲时空中的量子场论），就应使用更广义的度规张量gμν（例如描述黑洞的史瓦西度规）：

$$A_\mu A^\mu = g_{\mu\nu} A^\mu A^\nu,\quad \partial_\mu\phi \partial^\mu\phi = g^{\mu\nu}\partial_\mu\phi \partial_\nu\phi.$$

此处gμν是gμν的逆。以实纯量场为例，最广义的拉格朗日量在弯曲时空下变为

$$\mathcal{L} = \sqrt{|g|}\left(\frac 12 g^{\mu\nu} \nabla_\mu\phi \nabla_\nu\phi - \frac 12 m^2\phi^2\right),$$

其中g = det(gμν)，∇μ是协变导数。

由此可见，根据固定背景时空几何的不同，拉格朗日量也会随之改变，理论的种种计算和预测也会不同。

#### 拓扑量子场论

一般来说，对于不同的时空度规gμν，量子场论的相关函数乃至物理预测也会不同。有一类量子场论的所有相关函数都不随时空度规的值改变，此类理论称为拓扑量子场论。一般的弯曲时空量子场论会随时空的几何改变而改变，而拓扑量子场论则在一切微分同胚对时空的作用下不变，但对时空的拓扑敏感。这意味着，拓扑量子场论的所有计算结果，都是其底下时空的拓扑不变量。陈-西蒙斯理论就是拓扑量子场论的一例，可用于构建各种量子重力模型。拓扑量子场论可以应用在分数量子霍尔效应和拓扑量子计算机上。

### 微扰与非微扰方法

通过量子场论的微扰方法，可以用一个以参与相互作用的粒子总数所展开的级数，一阶一阶地近似相互作用项的整个效应。展开中的每一项都可以理解为粒子间通过其他虚粒子传递相互作用的一种可能途径，可以用非常形象的费曼图来表达。两个电子间的电磁力在量子电动力学中（在第一阶微扰）是以光子的传递来表达的。同样，W和Z玻色子传递弱相互作用，胶子传递强相互作用。这种把相互作用的中间态视为各种粒子交换过程的总和的看法，只有在微扰理论的框架下才有意义；非微扰方法则把相互作用项视为一个整体来对待，不进行级数展开，因此也没有虚粒子传递相互作用一说。取而代之描述相互作用的，是特·胡夫特-泊里雅科夫单极子、畴壁、流量管、瞬子等概念。具有非微扰完全解的量子场论包括一类称为极简模型的共形场论和蒂林模型等等。

## 数学严格性

虽然量子场论在粒子物理学和凝聚态物理学上的应用成果丰盛，其理论预测和实验之间的吻合程度极高，物理学家们也大胆地在量子场论框架下作出新的量化预测，但是量子场论本身却仍然缺乏严格的数学基础。比如，根据哈格定理，并不存在一个良好定义的量子场论交互作用绘景，意味着费曼图方法的基石──微扰理论──在量子场论上的应用是并不严格的。

从1950年代开始，有理论物理学家和数学家尝试把量子场论总结为一组公理，并从数学严格的角度证明相对论性量子力学模型的确切存在。这种研究称为构造量子场论，属于数学物理的范畴。其成果包括：CPT定理、自旋统计定理、戈德斯通定理等等。

拓扑量子场论和共形场论相比一般的量子场论来说，有更稳固的数学基础：两者都可以在对陪边的表示框架中进行分类。

另一条公理化方法称为代数量子场论，它以局域算符之间的代数关系为理论的根本结构。在这方面的公理系统有：怀特曼公理和哈格-卡斯特勒公理。构建符合怀特曼公理的理论之其中一种方法，是利用奥斯特瓦德-施拉德尔公理（Osterwalder–Schrader axioms）。这组公理给出能够从虚数时间理论解析延拓至实数时间理论（威克转动）的必要和充分条件。

一旦证实现实的物理模型符合以上的公理，在物理学和数学上将有重要意义。例如，杨-米尔斯存在性与质量间隙是千禧年大奖难题之一，其表述如下：

证明：对于任何紧单规范群，在$\mathbb{R}^4$上存在非凡量子杨-米尔斯理论，且有质量间隙Δ > 0。存在证明须包括确立公理化属性，公理须至少比、及所引用的强。

## 外部链接

- Stanford Encyclopedia of Philosophy: " Quantum Field Theory ", by Meinard Kuhlmann.
- Siegel, Warren, 2005. Fields. arXiv:hep-th/9912205.
- Quantum Field Theory by P. J. Mulders