环 (代数)

环（ring）是一种带有两个二元运算（抽象化的“加法”和“乘法”）、并且符合特定运算规则的集合。它包含且抽象化了诸如整数、有理数、实数、复数、多项式、矩阵、函数、算子等等的代数结构。环是环论的主要研究对象，并且是构成各种抽象代数理论的重要基本概念。

数环（number ring）是环的一个特定子类，其元素必须是“数”；若不特别指明，此数环的元素通常是代数整数。

环的具体定义并没有完全统一。不同研究方向的学者对于环是否要有乘法单位元有不同见解，在部分情况下甚至不要求乘法有结合律。然而除非明确声明，否则本条目所称的“环”是指有乘法单位元、乘法有结合律的环。关于乘法无单位元的环，请见伪环一文。

## 定义

给定一个集合 $R$ 以及两个定义在 $R$ 上的二元运算 $+$ 和 $\times$ 分别称为“$R$ 的加法”和“$R$ 的乘法”。如果 $R$、 $+$ 和 $\times$ 具有以下八个性质，则称 $(R,+,\times)$ 意思是$R$ 连同 $+$ 和 $\times$ 这两个二元运算一同提及构成了一个环。

- $(R,+)$ 是一个交换群：
- 加法有结合律——对所有的 $a, b, c \in R$，都有：$$(a + b) + c = a + (b + c)$$
- 加法有交换律——对所有的 $a, b \in R$，都有：$$a + b = b + a$$
- 有加法单位元——存在某个 $0_{R} \in R$，使得所有的 $r \in R$，都有： $$0_{R} + r = r$$
- 有加法反元素——对所有的 $r \in R$，存在某个 $-r \in R$，使得： $$-r + r = 0_{R}$$
- $(R,\times)$ 是一个有单位元的半群：
- 乘法有结合律——对所有的 $a,\,b,\,c \in R$，都有： $$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$$
- 有乘法单位元——存在某个 $1_{R} \in R$，使得所有的 $r \in R$，都有：$$1_{R} \times r = r \times 1_{R} = r$$
- （左）分配律——对所有的 $a,\,b,\,c \in R$，都有：$$a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$$
- （右）分配律——对所有的 $a,\,b,\,c \in R$，都有：$$(a + b) \times c = (a \times c) + (b \times c)$$

环的乘法经常依照惯例，不会写出“ $\times$ ”这个符号。例如（左）分配律就可以写成：$$a (b + c) = ab + ac$$此外，加法单位元也经常称为“零元素”或直接简称为“零”。

### 定义的分歧

环的定义的分歧通常在于是否要求乘法单位元的存在。在 1960 年代以前，多数抽象代数的教科书通常会采用埃米·诺特的定义，不要求乘法单位元存在。然而在1960年后，越来越多的著名教科书作者（例如：尼古拉·布尔巴基、大卫·艾森布德、塞尔日·兰）开始将乘法单位元的存在性纳入定义中。不要求乘法单位元存在的作者，通常会将有乘法单位元的环称为单位环（lang|en|unital ring）；反之，要求乘法单位元存在的作者，可能会将不含乘法单位元（identity）的环（ring）称为 rng 或伪环（pseudo-ring），或甚至干脆不提及任何没有单位元的环。

另外在交换代数的文献中，通常还会额外约定环的乘法要满足交换律。这类文献的作者通常会事先声明。

## 例子

- 整数$\mathbb{Z}$、有理数$\mathbb{Q}$、实数$\mathbb{R}$和复数$\mathbb{C}$，连同寻常的加法和乘法，构成了一个环。它们的加法单位元是$0$，乘法单位元是$1$，是最典型的实际例子。
- 整系数多项式环$\mathbb{Z}[x]$、有理系数多项式环$\mathbb{Q}[x]$，实系数多项式环$\mathbb{R}[x]$、复系数多项式环$\mathbb{C}[x]$，连同多项式加法和乘法，构成一个环。它们的加法单位元也是$0$，乘法单位元也是$1$。更一般地，可以考虑任何环$R$的多项式环$R[x]$。
- 整系数有理函数$\mathbb{Z}(x)$、有理系数有理函数$\mathbb{Q}(x)$，实系数有理函数$\mathbb{R}(x)$、复系数有理函数$\mathbb{C}(x)$，连同有理函数的加法和乘法，构成一个环。它们的加法单位元依然是$0$，乘法单位元依然是$1$。更一般地，可以考虑任何环$R$的有理函数环$R(x)$；而“建构分式”的操作还是“分式体”以及更一般的“局部化”这些概念的起源。
- 大小为$n \times n$的整系数矩阵$\mathbf{M}_{n}(\mathbb{Z})$、有理系数矩阵$\mathbf{M}_{n}(\mathbb{Q})$、实系数矩阵$\mathbf{M}_{n}(\mathbb{R})$、或复系数矩阵$\mathbf{M}_{n}(\mathbb{C})$，连同矩阵加法和矩阵乘法，构成一个环。它们的加法单位元是零矩阵：$$\mathbf{0}_{n} := \begin{bmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 0 \\ \end{bmatrix}_{n \times n}$$乘法单位元则是单位矩阵：$$\mathrm{I}_{n} := \begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \\ \end{bmatrix}_{n \times n}$$同样的，可以考虑任何环$R$的矩阵环$\mathbf{M}_{n}(R)$。矩阵环也是典型的非交换环。
- 如果集合 $R$ 只有一个元素，那 $R$ 只可能定义出唯一的一种环结构——零环（Zero ring）。

## 基本性质

- 零元素是唯一的
- 零乘以任何东西都是零
- 乘法单位元是唯一的
- 任何元素如果有乘法反元素，那是唯一的
- 多个环元素的分配律：$$\left(\sum_{i = 1}^{n}a_i\right)\left(\sum_{j = 1}^{m}b_j\right) = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}a_ib_j$$
- 环元素的整数倍与整数次方——整数可以用来当作是任何环的系数，只要定义以下的系数运算规则：$$na := \underbrace{a + a + \cdots a}_{n \text{ 次}} \qquad (-n)a := \underbrace{(-a) + (-a) + \cdots (-a)}_{n \text{ 次}} \qquad 0a := 0_R$$这种系数运算规则和普通系数的概念有许多一致性，例如：
- $$n(ab) = (na)b = a(nb)$$
- $$(nm)a = n(ma) = m(na)$$
- $$n(a+b) = na + nb$$
- $$(n+m)a = na + ma$$

而类似地如果把多次相加改成多次相乘，那么可以这边暂定 $a$ 有乘法反元素。如果没有乘法反元素，那么有关负数次方的结果不一定成立。定义幂运算：$$a^n := \underbrace{a \times a \times \cdots a}_{n \text{ 次}} \qquad a^{-n} := \underbrace{a^{-1} \times a^{-1} \times \cdots a^{-1}}_{n \text{ 次}} \qquad a^{0} := 1_R$$

- 二项式展开——如果 $ab = ba$，那么它们总和的次方可以这样计算：$$(a + b)^n = a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^{2} + \cdots + \binom{n}{n-2}a^{2}b^{n-2} + \binom{n}{n-1}ab^{n-1} + b^n = \sum_{i+j = n}\frac{n!}{(i!)(j!)}a^ib^j$$这可以推广到多个元素 $a_1,a_2,\dots,a_m$ 总和的次方——如果任两个元素的 $a_i$ 和 $a_j$ 的乘法都可以交换（即 $a_ia_j = a_ja_i$），那么：$$(a_1 + a_2 + \cdots + a_m)^n = \sum_{i_1 + i_2 + \cdots + i_m = n}\frac{n!}{(i_1!)(i_2!)\cdots(i_n!)}a_{1}^{i_1}a_{2}^{i_2} \cdots a_{m}^{i_m}$$

## 基本的相关概念

### 特殊的环元素

在初等环论中，以下四类型的环元素在任意的环中都有定义，它们是经常被讨论的对象：

- 可逆元（Unit 或 Invertible element）：有乘法反元素的环元素。
- 零因子（Zero divisor）：相乘后为零的非零元素；相当于“零的因数”。
- 幂零元（Nilpotent）：自乘多次后变成零的环元素。
- 幂等元（Idempotent）：自乘任意多次都不变的环元素。

### 环同态、核、像

在环论中，环同态描述了环与环之间的关系。一个从环 $R$ 送往环 $S$ 的环同态（Ring homomorphism）$f : R \to S$ 简单来说是一种“维持环结构”的映射；而具体来说，$f$ 要具有以下三个性质：

- 维持加法的结构——对所有的 $a, b \in R$，都有：$$f(a+b) = f(a)+f(b)$$
- 维持乘法的结构——对所有的 $a, b \in R$，都有：$$f(ab) = f(a)(b)$$
- 维持单位元的结构——也就是：$$f(1_{R}) = 1_{S}$$

对一个环同态 $f$ 来说，有以下两个密切相关的概念：

- 核（Kernel）——送到零元素的那些元素：$$\mathrm{Ker}(f) := f^{-1}(0_{S}) = \{ a \in R \mid f(a) = 0_{S} \} \subseteq R$$
- 像（Image）——把元素都送过去后的结果：$$\mathrm{Im}(f) := f(R) = \{ f(a) \in S \mid a \in R \} \subseteq S$$

### 子环、（双边）理想、商环

给定一个环 $R$，我们可以考虑它的：

- 子环（Subring）——某个送往 $R$ 的环同态在$R$ 内的像。
- 双边理想（Two side ideal）——某个定义在$R$ 上的环同态的核。
- 商环（Quotient）——（同构意义下）某个定义在$R$ 上的环同态的像。

一个环的环同态、子环、双边理想、商环共同刻划了环的结构。

## 具有额外性质的环

### 交换环（ commutative ring ）

如果一个环 $R$ 还额外满足：

乘法的交换律：对于所有 $a, b \in R$：

$$a \times b = b \times a$$

则称 $R$ 是一个交换环。交换环是最被深入研究的一类环，其中包括以下几类：

- 整环（Integral domain）：没有零因子的交换环。
- 唯一分解整环（Unique factorization domain）：可以唯一分解任何元素的整环。
- 主理想整环（Principal ideal domain）：所有理想都是主理想的整环。
- 欧几里得整环（Euclidean domain）：可以进行欧几里得算法（辗转相除法）的整环。
- 体（Field）：非零元素都有乘法反元素的交换环。
- 代数闭体（Algebraically closed field）：所有多项式都有根的体。

### 非交换环

所谓的非交换环实际上是指“不假设是交换环”的环，这样子的环有：

- 除环（Division ring）：非零元素都有乘法反元素的环（可能不交换）。
- 单环（Simple ring）：没有非平凡双边理想的环。

## 从已知的环建构出其他环的方式

### 直积

给定数个环 $R_1, R_2, \dots, R_n$，可以考虑这些环作为集合的笛卡尔积：

$$\prod_{i = 1}^{n} R_i := R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_n = \{ (a_1,a_2,\dots,a_n) \mid a_1 \in R_1, a_2 \in R_2 ,\dots, a_n \in R_n \}$$可以在这个集合上用以下方式定义加法和乘法：

$$(a_1,a_2,\dots,a_n) + (b_1,b_2,\dots,b_n) := (a_1 + b_1,a_2 + b_2, \dots,a_n + b_n)$$ $$(a_1,a_2,\dots,a_n) \times (b_1,b_2,\dots,b_n) := (a_1 \times b_1,a_2 \times b_2, \dots,a_n \times b_n)$$这使得$\prod_{i = 1}^{n} R_i$构成一个环。称为 $R_1, R_2, \dots, R_n$ 的直积（Direct product）；它的加法单位元是 $(0_{R_1},0_{R_2},\dots,0_{R_n})$ 乘法单位元是 $(1_{R_1},1_{R_2},\dots,1_{R_n})$

这种概念可以推广到无限多个环、甚至不可数多个环的直积。

### 多项式环

给定一个环 $R$，可以考虑以这个环作为系数的多项式：$$R[x] := \left\{ \sum_{i=0}^{n}a_ix^i ~\Bigg|~ a_i \in R, n = 1,2,3,\dots \right\}$$可以仿照一般的实系数多项式运算规则，为这个集合定义加法和乘法：$$\left( \sum_{i=0}^{n}a_ix^i \right) + \left( \sum_{i=0}^{n}b_ix^i \right) := \sum_{i=0}^{n}(a_i + b_i)x^i$$ $$\left( \sum_{i=0}^{n}a_ix^i \right) \times \left( \sum_{i=0}^{m}b_ix^i \right) := \sum_{i=0}^{n+m}\left( \sum_{j=0}^{i}a_jb_{i-j} \right)x^i$$在这样的运算规则下， $R[x]$ 被称为是 $R$ 的多项式环；它的加法单位元以及乘法单位元与 $R$ 相同。

### 矩阵环

给定一个环 $R$，可以考虑以这个环作为系数、大小为 $n \times n$ 的矩阵：

$$\mathbf{M}_{n}(R) := \left\{ \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \dots & a_{n,n} \\ \end{bmatrix}_{n \times n} ~\bigg|~ a_{i,j} \in R, \quad i,j = 1,2,\dots,n\right\}$$同样可以仿照一般的矩阵运算规则，为这个集合定义加法和乘法：

$$\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \dots & a_{n,n} \\ \end{bmatrix}_{n \times n} + \begin{bmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} & \dots & b_{1,n} \\ b_{2,1} & b_{2,2} & \dots & b_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n,1} & b_{n,2} & \dots & b_{n,n} \\ \end{bmatrix}_{n \times n} := \begin{bmatrix} a_{1,1} + b_{1,1} & a_{1,2} + b_{1,2} & \dots & a_{1,n} + b_{1,n} \\ a_{2,1} + b_{2,1} & a_{2,2} + b_{2,2} & \dots & a_{2,n} + b_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} + b_{n,1} & a_{n,2} + b_{n,2} & \dots & a_{n,n} + b_{n,n} \\ \end{bmatrix}_{n \times n}$$ $$\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \dots & a_{n,n} \\ \end{bmatrix}_{n \times n} \times \begin{bmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} & \dots & b_{1,n} \\ b_{2,1} & b_{2,2} & \dots & b_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n,1} & b_{n,2} & \dots & b_{n,n} \\ \end{bmatrix}_{n \times n} := \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i,1} & \sum_{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i,2} & \dots & \sum_{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i,n} \\ \sum_{i=1}^{n}a_{2,i}b_{i,1} & \sum_{i=1}^{n}a_{2,i}b_{i,2} & \dots & \sum_{i=1}^{n}a_{2,i}b_{i,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i,1} & \sum_{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i,2} & \dots & \sum_{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i,n} \\ \end{bmatrix}_{n \times n}$$那么 $\mathbf{M}_{n}(R)$ 在这样的运算规则下，构成一个环。它的加法单位元是零矩阵：$$\mathbf{0}_{n} := \begin{bmatrix} 0_{R} & 0_{R} & \dots & 0_{R} \\ 0_{R} & 0_{R} & \dots & 0_{R}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0_{R} & 0_{R} & \dots & 0_{R} \\ \end{bmatrix}_{n \times n}$$乘法单位元则是单位矩阵：$$\mathrm{I}_{n} := \begin{bmatrix} 1_{R} & 0_{R} & \dots & 0_{R} \\ 0_{R} & 1_{R} & \dots & 0_{R} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0_{R} & 0_{R} & \dots & 1_{R} \\ \end{bmatrix}_{n \times n}$$同样的，可以考虑任何环 $R$ 的矩阵环 $\mathbf{M}_{n}(R)$。矩阵环也是典型的非交换环。

### 局部化与分式体

局部化的概念并不是对任何的环都有效，在大多数时候，只会考虑交换环的局部化。粗略地说，局部化是“加入某些元素的乘法反元素”；而分式体则是透过“加入所有非零元素的乘法反元素”来定义。分式体最著名的例子就是从整数构造有理数的过程。

更抽象地讲，一个环对某些元素的局部化是“使得这些元素可逆的、最小的环”；在这种意义下，分式体就是“使得非零元素可逆的、最小的环”。而这个概念实际上就是——“包含这个环的最小的体”。

## 交换环与代数几何的关系

交换环是乘法满足交换律的环。这种环和代数几何有着深远的关联性，体现在交换环范畴 $\mathbf{CRing}$ 和仿射概形范畴 $\mathbf{AffSch}$ 有着如下对偶性：

$$\mathbf{CRing}^{\mathrm{op}} \cong \mathbf{AffSch}$$

这种对偶性使得交换环的代数性质可以转换成仿射概形的几何性质。

## 外部链接

- Database of Ring Theory 一个纪录了大量环的性质的数据库
- 《数学百科全书》对环的 定义
- MathWorld 对环的 定义
- nLab 对环的 定义