雷诺数

在流体力学中，雷诺数（Reynolds number）是流体的惯性力$\frac{\rho v^2}{L}$与黏性力$\frac{\mu v}{L^2}$的比值，它是一个无量纲量。

雷诺数较小时，黏滞力对流场的影响大于惯性力，流场中流速的扰动会因黏滞力而衰减，流体流动稳定，为层流；反之，若雷诺数较大时，惯性力对流场的影响大于黏滞力，流体流动较不稳定，流速的微小变化容易发展、增强，形成紊乱、不规则的紊流流场。

## 定义

雷诺数一般表示如下：

$$\mathrm{Re} = \frac{\rho u L}{\mu} = \frac{u L}{\nu}$$

其中

- $u$是特征速度（国际单位：m/s）
- $L$是特征长度（m）
- $\mu$是流体动力黏度（Pa·s或N·s/m²）
- $\nu$是流体运动黏度（$\nu = \mu / \rho$）（m²/s）
- $\rho$是流体密度（kg/m³）

对于不同的流场，雷诺数可以有很多表达方式。这些表达方式一般都包括流体性质（密度、黏度）再加上流体速度和一个特征长度或者特征尺寸。特征长度取决于观察的流场情况，以及约定俗成的使用习惯。当观察在水管中流动内流场，或是放在流场中的球体外流场时，前者可能会选择水管直径或是管长，而后者通常使用直径作为特征长度。而半径和直径对于球型、圆形来说其实是同一件事，但是计算上就差了一倍，因此习惯上常用直径来代表。

### 管内流场

对于在管内的流动，雷诺数定义为：

$$\mathrm{Re} = \frac{\rho u D}{\mu} = \frac{u D}{\nu} = \frac{Q D}{\nu A}$$

式中：

- $u$特征速度选择平均流速（国际单位：m/s）
- $D$特征长度选择管径（m）
- $Q$是体积流量（m³/s）
- $A$是横截面积（m²）

其中 $Q = u A$。注意到横截面积和管径之间存在制约关系 $A = \frac{\pi}{4} D^2$（其中 $\pi$ 是圆周率），因此上式可进一步变形为

$$\mathrm{Re} = \frac{4 Q}{\pi \nu D} = \frac{4 \rho Q}{\pi \mu D} = \frac{2 Q}{\sqrt{\pi A} \nu} = \frac{2 \rho Q}{\sqrt{\pi A} \mu} = \frac{2 \sqrt{Q u}}{\sqrt{\pi} \nu} = \frac{2 \rho \sqrt{Q u}}{\sqrt{\pi} \mu}$$

注意到质量流量 $W$ 满足 $W = \rho Q$，因此上式可改写为

$$\mathrm{Re} = \frac{4 W}{\pi \mu D} = \frac{2 W}{\sqrt{\pi A} \mu} = \frac{2 \sqrt{W u}}{\sqrt{\pi} \mu}$$

要计算雷诺数，您可以使用 此雷诺数计算器 来简化流程。

### 平板流

对于在两个宽板（板宽远大于两板之间距离）之间的流动，特征长度为两倍的两板之间距离。

### 流体中的物体

对于流体中的物体的雷诺数，经常用Rep表示。用雷诺数可以研究物体周围的流动情况，是否有漩涡分离，还可以研究沉降速度。

#### 流体中的球

对于在流体中的球，特征长度就是这个球的直径，特征速度是这个球相对于远处流体的速度，密度和黏度都是流体的性质。在这种情况下，层流只存在于Re=10或者以下。

在小雷诺数情况下，力和运动速度的关系遵从斯托克斯定律。

球在流体中的雷诺数可以用下式计算，其中$v_f$为流体速度，$v_s$为球速度，$d_s$为球直径，$\rho_f$为流体密度，$\mu_f$为流体粘度。

$$Re = \frac{|v_f-v_s| d_s \rho_f}{\mu_f}$$

### 搅拌槽

对于一个圆柱形的搅拌槽，中间有一个旋转的桨或者涡轮，特征长度是这个旋转物体的直径D。速度V等于ND,其中N是转速(周/秒)。雷诺数表达为:

$$\mathrm{Re} = {{\rho V D} \over {\mu}} = {{\rho N D^2} \over {\mu}}.$$

当Re>10,000时，这个系统为完全湍流状态。

## 过渡流雷诺数

在外流场中由于有边界层的影响，实验中发现当流体流过一定长度后，会由层流过渡到完全为湍流。对于不同的尺度和不同的流体，只要雷诺数达到某个特定值，这种不稳定性都会发生。外流场通常以雷诺数$\mathrm{Re}_x \approx 5 \times 10^5$代表层流结束, 这里特征长度 x 是从物体前缘起算的距离，特征速度是边界层以外的自由流场速度。

内流场雷诺数$\mathrm{Re} < 2100$为层流状态，$\mathrm{Re} > 4000$为湍流状态，介于2100～4000为过渡流状态。

- 层流(又可称作黏滞流动、线流)：流体沿着管轴以平行方向流动，因为流体很平稳，所以可看作层层相叠，各层间不互相干扰。流体在管内速度分布为抛物体的形状，面向切面的则是抛物线分布。因为是个别有其方向和速率流动，所以流动摩擦损失较小。
- 湍流(又可称作紊流、扰流)：此则是管内流体流动状态为各分子互相激烈碰撞，非直线流动而是漩涡状，流动摩擦损失较大。

## 管道中的摩擦阻力

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在管道中完全成形（fully developed）流体的压降可以用穆迪图来说明，穆迪图绘制出在不同相对粗糙度下，达西摩擦因子f和雷诺数${\mathrm{Re}}$及相对粗糙度$\epsilon / D$的关系，图中随着雷诺数的增加，管流由层流变为过渡流及湍流，管流的特性和流体为层流、过渡流或湍流有明显关系。

## 流动相似性

两个流动如果相似的话，他们必须有相同的几何形状和相同的雷诺数和欧拉数。当在模型和真实的流动之间比较两个流体中相应的一点，如下关系式成立：

$$\mathrm{Re}_m = \mathrm{Re} \;$$

$$\mathrm{Eu}_m = \mathrm{Eu} \; \quad\quad \mbox{i.e.} \quad {p_m \over \varrho_m {v_m}^{2}} = {p\over \varrho v^{2}} \; ,$$

带m下标的表示模型里的量，其他的表示实际流动里的量。

这样工程师们就可以用缩小尺寸的水槽或者风洞来进行试验，与数值模拟的模型比对数据分析，节约试验成本和时间。实际应用中也许会需要其他的无量纲量与模型一致，比如说马赫数，福禄数。

以下是一些雷诺数的例子：

- 纤毛虫~ 1×10−1
- 最小的鱼 ～1
- 大脑中的血液流 ～1×102
- 主动脉中的血流~ 1×103

湍流临界值~ 2.3×103-5.0×104(对于管内流)到106(边界层)

- 棒球（美国职业棒球大联盟投手投球）~2×105
- 游泳（人）~4×106
- 最快的鱼 ~1×108
- 蓝鲸~ 3×108
- 大型邮轮（伊丽莎白女王2号）~ 5×109

## 雷诺数的推导

雷诺数可以从无量纲的非可压纳维－斯托克斯方程推导得来:

$$\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}.$$

上式中每一项的单位都是加速度乘以密度。无量纲化上式，需要把方程变成一个独立于物理单位的方程。我们可以把上式乘以系数:

$$\frac{D}{\rho V^2}$$

这里的字母跟在雷诺数定义中使用的是一样的。我们设:

$$\mathbf{v'} = \frac{\mathbf{v}}{V},$$

$$\ p' = p\frac{1}{\rho V^2},$$

$$\ \mathbf{f'} = \mathbf{f}\frac{D}{\rho V^2},$$

$$\ \frac{\partial}{\partial t'} = \frac{D}{V} \frac{\partial}{\partial t},$$

$$\ \nabla' = D \nabla$$

无量纲的纳维-斯托克斯方程可以写为:

$$\frac{\partial \mathbf{v'}}{\partial t'} + \mathbf{v'} \cdot \nabla' \mathbf{v'} = -\nabla' p' + \frac{\mu}{\rho D V} \nabla'^2 \mathbf{v'} + \mathbf{f'}$$

这里:$\frac{\mu}{\rho D V} = \frac{1}{\mathit{Re}}.$

最后,为了阅读方便把撇去掉:

$$\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} = -\nabla p + \frac{1}{\mathit{Re}} \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}.$$

这就是为什么在数学上所有的具有相同雷诺数的流场是相似的。