数列极限

数列极限（limit of a sequence）为某些数列才拥有的特殊值，当数列的下标越来越大的时候，数列的值也就越接近那个特殊值。

## 定义

取一复数数列 ${\{z_i \in \C\}}_{i \in \N}$，若有一复数 $z \in \C$，使得

“对于任意的正实数 $\epsilon > 0$，存在自然数 $n \in \N$，使得任意的自然数 $i \in \N$，只要 $i > n$，则 $|z_i - z| < \epsilon$ ”

用正式的逻辑语言来表示即

$$(\forall \epsilon > 0)(\exists n \in \N)(\forall i \in \N) [\,(i > n) \Rightarrow (|z_i - z| < \epsilon)\,]$$

则称数列${\{z_i \in \C\}}_{i \in \N}$收敛于 $z$（convergent to $z$），并记作

$$\lim _{i \to \infty} z_i = z$$

如果不存在这样的复数 $z \in \C$，则称 ${\{z_i \in \C\}}_{i \in \N}$ 是发散的（divergent）。

### 实数数列的极限

从上面的定义可以证明，对实数数列 $\{z_i \in \R\}_{i \in \N}$ 来说，若

$$\lim _{i \to \infty} z_i = z$$

则其极限 $z$ 一定为实数。

证明假设 $z$ 的虚部 $\operatorname{Im}(z) \neq 0$ 的话，则对极限定义取 $\epsilon = |\operatorname{Im}(z)| > 0$ 的话，会存在 $n \in \N$，使得任意的 $i \in \N$，只要 $i > n$有 :$|z - z_i| = \sqrt{{[\operatorname{Re}(z) - z_i]}^2 + {|\operatorname{Im}(z)|}^2} < |\operatorname{Im}(z)|$ 这是矛盾的，所以根据反证法，$\operatorname{Im}(z) = 0$，即 $z \in \R$。$\Box$

## 基本性质

### 唯一性

若数列 ${\{z_i \in \C\}}_{i \in \N}$ 的极限存在，则极限是唯一的。

证明设数列 ${\{z_i \in \C\}}_{i \in \N}$ 有两个不相等的极限值$z,\, z^\prime \in \C$，则根据假设，对任意的 $\epsilon > 0$，存在 $n_1,\,n_2 \in \N$，使任意 $i \in \N$，只要 $i > \max\{n_1,\,n_2\}$ 就有 :$|z_i - z| < \frac{\epsilon}{2}$ :$|z_i - z^\prime| < \frac{\epsilon}{2}$ 这样根据三角不等式，对任意的 $\epsilon > 0$，只要自然数 $i > n$ 就有则 :$|z - z^\prime| = |(z - z_i) - (z^\prime - z_i)| \le |z - z_i| + |z^\prime - z_i| < \epsilon$ 这样的话，根据不极限不相等的假设有 :$|z - z^\prime| > 0$ 所以可以取$\epsilon = |z - z^\prime|$而得到 :$|z - z^\prime| < |z - z^\prime|$ 这样是矛盾的，故根据反证法， $|z - z^\prime| = 0$，也就是 $z = z^\prime$，故极限唯一。$\Box$

### 有界性

若复数数列$\{x_i \in \C\}_{i \in \N}$有极限，则存在正实数 $M > 0$，使得对所有的自然数 $i \in \N$ 都有 $|x_i| \le M$。

（即 $\{x_i \in \R\}_{i \in \N}$ 有极限则必为有界数列）

证明因为$\{x_i \in \C\}_{i \in \N}$有极限，所以有复数 $L \in \C$ 满足 :$\lim _{n \to \infty} x_n=L$ 这样的话，对于 $\epsilon = 1 > 0$，存在自然数 $n \in \N$，使得任意的自然数 $i \in \N$，只要 $i > n$，则 :$|x_i - L| < \epsilon = 1$ 从而 :$|x_n| = |(x_n - L) + L| \le |x_n - L| + |L| < 1 + |L|$ 这样的话，令 :$M = \max \left( |x_1|,\ |x_2|,\cdots ,\ |x_n|,\ 1 + |L| \right)$ 就会有 :$|x_i| \le M$ 故得证。$\Box$

根据实质条件的意义，上面的定理等价于“如果一个复数数列无界，则这个复数数列一定发散。”

注意有界数列不一定有极限，如数列 $1,\ 0,\ 1,\ 0,\cdots ,\ \frac{1 - (-1)^n}{2},\cdots$ 是一个有界数列，但没有极限。

但是当数列有界，存在一个递增或是递减的子数列的话，在假设可数版本的选择公理成立的情况下，则可以证明此数列有极限。

### 保序性

有实数数列 $\{x_i \in \R\}_{i \in \N}$ 和 $\{y_i \in \R\}_{i \in \N}$，若

$$\lim _{n \to \infty} x_n=a$$

$$\lim _{n \to \infty} y_n=b$$

则“$a > b$ ”等价于“存在$n \in \N$ 使任何 $i \in \N$ 只要 $i > n$ 就有 $x_i > y_i$”。

证明左至右：取$\epsilon = \frac{a - b}{2} > 0$，则由前提假设，存在 $n_1,\,n_2 \in \N$ 使任何 $i \in \N$ 只要 $i > \max\{n_1,\,n_2\}$ 就有 :$|x_i - a| < \frac{a - b}{2}$ :$|y_i - b| < \frac{a - b}{2}$ 从而 :$y_n < b + \frac{a - b}{2} = \frac{a + b}{2}$ 故 :$y_n < \frac{a + b}{2} < x_n$ 这样取 $n = \max\{n_1,\,n_2\}$，左至右就得证。$\Box$ 右至左：由前提假设，对任意的 $\epsilon > 0$，存在 $n_1,\,n_2 \in \N$ 使任何 $i \in \N$ 只要 $i > \max\{n_1,\,n_2,\,n\}$ 就有 :$\epsilon -a < x_i < \epsilon + a$ :$\epsilon -b < y_i < \epsilon + b$ :$x_i > y_i$ 从而 :$0 < x_i - y_i < a- b$ 故得证。$\Box$

### 四则运算定理

有复数数列 $\{x_i \in \C\}_{i \in \N}$ 和 $\{y_i \in \C\}_{i \in \N}$，若

$$\lim _{n \to \infty} x_n=a$$

$$\lim _{n \to \infty} y_n=b$$

则

$$\lim _{n \to \infty} \left( {{x_n} \pm {y_n}} \right)= a \pm b$$

证明对任意$\epsilon > 0$ 有 $\frac{\epsilon}{2} > 0$，所以根据前提，对 $\epsilon > 0$ 存在 $n_1,\,n_2 \in \N$ 使任何 $i \in \N$ 只要 $i > \max\{n_1,\,n_2\}$ 就有 :$|x_i - a| < \frac{\epsilon}{2}$ :$|y_i - b| < \frac{\epsilon}{2}$ 这样根据三角不等式有 :$|(x_i-y_i) - (a - b)| \leq |x_i - a| + |b-y_i| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$ :$|(x_i + y_i) - (a + b)| \leq |x_i - a| + |y_i - b| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$ 故得证。$\Box$

有复数数列 $\{x_i \in \C\}_{i \in \N}$ 和 $\{y_i \in \C\}_{i \in \N}$，若

$$\lim _{n \to \infty} x_n=a$$

$$\lim _{n \to \infty} y_n=b$$

则

$$\lim _{n \to \infty } {x_n} \cdot {y_n} = a \cdot b$$

证明对任意正整数$j \in \N$ 有 :$x_j(y_j - b) + b(x_j - a) = x_j y_j - a b$ (1) 且根据上面的有界性，存在$M > 0$ 使得 :$|x_j| \leq M$ (2) 那对任意的$\epsilon > 0$ 有 $\frac{\epsilon}{|b| + M} > 0$，所以根据前提，对 $\epsilon > 0$ 存在 $n_1,\,n_2 \in \N$ 使任何 $i \in \N$ 只要 $i > \max\{n_1,\,n_2\}$ 就有 :$|x_i - a| < \frac{\epsilon}{|b| + M}$ :$|y_i - b| < \frac{\epsilon}{|b| + M}$ 这样根据三角不等式和(1)(2)式就有 :$|x_i y_i - a b| \leq |x_i||y_i - b| + |b||x_i - a| \leq M|y_i - b| + |b||x_i - a| < M\frac{\epsilon}{|b| + M} + |b|\frac{\epsilon}{|b| + M} = \epsilon$ 故得证。$\Box$

有实数数列${ \{ x_i \in \R \} }_{i \in \N}$ 满足

(1) $\lim_{n\to\infty} x_n = a$

(2) $a \neq 0$

(3) 存在正整数$m \in \N$ 使任意正整数 $j \in \N$ 只要 $j > m$ 则$x_j \neq 0$

则

$$\lim _{n \to \infty} \frac{1}{x_n} = \frac{1}{a}$$

证明根据前提(1)，对 $\frac{|a|}{2} > 0$ 存在 $n \in \N$ 使任何 $i \in \N$ 只要 $i > n$ 就有 :$a - \frac{|a|}{2}< x_i < a + \frac{|a|}{2}$ (a) 根据实数系的三分律跟前提(2)，不是 $a > 0$ 就是 $a < 0$；先假设$a > 0$，那根据(a)有 :$\frac{|a|}{2}=\frac{a}{2} < x_i = |x_i|$ (b) 另一方面，若$a < 0$，同样根据(a)有 :$x_i < \frac{a}{2} < 0$ (c) 所以综合(b)(c)，可以结论 :“存在 $n \in \N$ 使任何 $i \in \N$ 只要 $i > n$ 就有$\frac{1}{|x_i|} < \frac{2}{|a|}$”(d) 那对任意的$\epsilon > 0$ 有 $\frac{|a|^2\epsilon}{2} > 0$，所以根据前提(2)(3)和式(d)，对 $\epsilon > 0$ 存在 $n_1 \in \N$，使任何 $i \in \N$ 只要 $i > \max\{n_1,\,n,\,m\}$ 就有 :$\left| \frac{1}{x_i} - \frac{1}{a} \right| = \frac{|x_i - a|}{|a||x_i|} < \frac{2|x_i - a|}{|a|^2} < \frac{2}{|a|^2} \cdot \frac{|a|^2\epsilon}{2} = \epsilon$ 故得证。$\Box$

以上的除法定理配上乘法定理，就可以对一般$\frac{x_i}{y_i} = x_i \cdot \frac{1}{y_i}$的状况取极限。

## 审敛法

其中一个判断数列是否收敛的定理，称为单调收敛定理，和实数完备性相关：单调有界数列必收敛，即是说，有上界的单调递增数列，或是有下界的单调递减数列，必然收敛。