连杆机构

连杆机构（mechanical linkage）是由许多构件组成，用来传递力及运动的机械结构。会假设各构件为刚体。可以用几何学的方式分析构件的运动，构件和构件之间的连接可能是纯移动、纯转动或是滑动，一般会称为机械连接（joint）。若连杆是用刚性的构件以及理想的机械连接来模拟，会称为是运动链。

连杆机构可以用开放链（其几何形状无法形成封闭曲线）、封闭链（其几何形状可形成封闭曲线）组成，也可以两者都用。每一个构件都是透过机械连接连接到一个或是多个构件。因此运动链也可以绘成由边和顶点组成的图，其中的构件为边，机械连接为顶点，称为连杆图（linkage graph）。

理想机械连接的运动会和欧氏位移群中的子群有关。子群的数量称为是机械连接的自由度。连杆机构一般会设计将给定的输入力以及位移转换为想要的输出力以及位移。输出力和输入力的比例称为连杆机构的机械利益，而输入速度和输出速度的比例称为速度比。理想连杆的机械利益会等于速度比。

运动链中若有一个构件是固定不动的，此运动链会称为是机构（mechanism），若连杆机构是设计为固定不动的，会称为是结构（structure）。

## 应用

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杠杆应该是最简单的连杆，杠杆的枢纽位在支点上，支点是在固定点（或地面）上。若杠杆受力旋转，离支点较远的点速度会比离支点较近的点要快。输入旳功等于输出的功，因此在离支点较远的位置施较小的力，会等于在离支点较近的位置施较大的力。输出力和输入力的比例称为机械利益。

若二个杆件分别有一端有枢纽，分别固定在固定点上，二杆件的另一端连接到同一杆件的两端，此机构称为四杆机构，二个有枢纽，接到固定点的杆件称为曲柄，连接二曲柄的为结合杆（coupler）。

连杆是机器及工具中重要的零件，四连杆的例子有可以将力放大的断线钳、车辆中的悬吊系统、机器手臂以及行走机器人里面的复杂连杆机构。内燃机使用滑块—曲柄的四连杆，由活塞、连杆及曲轴组成，可以将气体膨胀及收缩产生的功转换为旋转的功。许多简单的连杆可以进行复杂的功能。

其他比较特殊的连杆例子有雨刷、自行车悬吊系统、行走机器人的腿形机构，以及重型动力机械的液压缸。在这些例子中，若所有连杆都是在同一平面上运动，称为平面连杆。若其中至少有一个连杆是在三维空间下运动，称为空间连杆。机器人系统的骨架即为空间连杆。这些系统的几何设计要透过计算机辅助设计软件进行。

## 历史

阿基米德应用几何学来研究连杆。在1500年代时，阿基米德及亚历山大港的希罗的研究是机械理论的主要来源。列奥纳多·达·芬奇则发明了许多的机器以及机构。

瓦特蒸汽机在1700年代中期有相当的重要性。詹姆斯·瓦特理解到若用不同的气缸处理蒸气的膨胀及凝结，其效率可以提升。这让他开始寻找可以将旋转运动转换为直线运动的机构，他发明的机构称为瓦特连杆。这开始了如何用连杆产生直线（或近似直线）的研究，也让数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特发明了波塞利耶-利普金机械，可以将旋转运动转换为真正的直线。

西尔维斯特的研究也影响了Alfred Kempe，他证明了可以在一系统中将加法及乘法结合，让系统可以追踪特定的代数曲线。Kempe的设设计方式产生了电脑科学以及几何学共同领域的研究。

1800世纪末的Franz Reuleaux、A. B. W. Kennedy、Ludwig Burmester将连杆系统的分析及合成由画法几何来进行，而巴夫努提·列沃维奇·切比雪夫开创了研究以及发明连杆的解析技巧。

1900年代中期的Ferdinand Freudenstein和G. N. Sandor用新开发的数位电脑来求解连杆的方程式，并针对特定功能的需求决定其尺寸，开始了连杆的电脑辅助设计。二十年后这些电脑技术是复杂机械系统分析以及机器手臂控制分析中不可或缺的一部分。

R. E. Kaufman结合了电脑快计算多项式方式根的能力，以及图形化界面，配合Reuleaux的几何方法及Burmester理论，产生了Freudenstein技巧，并且形成了KINSYN，是互动式连杆设计的电脑绘图程式。

连杆的现代研究包括机器人、机床中铰接系统（articulated systems）的分析及设计，以及线缆驱动和张力系统的分析及设计。这些技术可以应用在生物系统中，甚至是蛋白质的研究。

## 可动性

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由理想转动副连接刚体连杆形成的系统，可以由一组的组态参数来定义其位置，例如在转动副上连杆旋转的角度，或是移动副上滑块相对邻近连杆的距离。由于连杆的几何限制，只要有组态参数中的最小集，即可计算所有的组态参数。最小集即为“输入参数”。输入参数的个数称为连杆系统的可动性（mobility）或自由度。

由n个刚体组成的系统，相对于固定架，会有6n个自由度。若将固定架也算在内，刚体个数N = n + 1，而可动性M = 6(N − 1)，可动性不受选择哪一个刚体为固定架所影响。

连接刚体的连接会让系统的自由度以及可动性减少。转动副和移动副会增加五个限制条件，因此自由度会减5，为了方便起见，可以将连接的限制条件数c用连接的自由度f来表示，c = 6 − f。若以转动副和移动副的例子来看，其自由度为1，f = 1，因此c = 6 − 1 = 5。

因此，n个可动连杆以及j个连接（其自由度分别为fi, i = 1, ..., j）的连杆系统，可动性可以计算如下

$$M = 6n - \sum_{i=1}^j (6 - f_i) = 6(N-1 - j) + \sum_{i=1}^j\ f_i,$$

其中的N是包括固定杆件的数量。这称为Chebychev–Grübler-Kutzbach公式。

有二个重要的特例：简单开放运动键（simple open chain）及简单封闭运动键（simple closed chain）。

简单开放运动键中包括n个可动件，各可动件的端点由ｊ个连接相连，其中一个连到固定杆，因此，N = j + 1，可动性为

$$M = \sum_{i=1}^j\ f_i .$$

简单封闭运动键中包括n个可动件，各可动件的端点由n+1个连接相连，有二个连接接到固定杆，形成一封闭回路。此时，N=j，可动性为

$$M = \sum_{i=1}^j\ f_i - 6.$$

简单开放运动键的例子是串联的机械手臂。机械手臂由许多连杆组成，有六个单一自由度的转动副或移动副组成，因此系统有6个自由度。

简单封闭运动键的例子是由二个转动副（R）和二个移动副（S）组成的RSSR空间四连杆。三个连接的自由度总和为8，因此连杆的自由度为2

### 平面及球面上的运动

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常见的连杆系统其运动会限制在互相平行平面上，因此这种连杆会称为“平面连杆”。也有可能连杆系统其运动会限制在同球心的球面上，形成“球面连杆”。这二种连杆中，每一个杆件的自由度只有3，因此每个连接的限制为c = 3 − f.

可动性公式为

$$M = 3(N- 1 - j)+ \sum_{i=1}^j\ f_i,$$

针对以下的特例：

- 平面或是球面的简单开放运动键

$$M = \sum_{i=1}^j\ f_i,$$

- 平面或是球面的简单封闭运动键

$$M = \sum_{i=1}^j\ f_i - 3.$$

平面简单封闭运动键的例子是平面的四连杆，是四连杆封闭回路，有四个自由度为1的连接，因此可动性 M = 1.

## 连接

连杆机构最常见的连接是转动副（旋转接点，可以简称为R）以及移动副（棱柱接点、滑块，可以简称为P）。其他空间连杆中常见连接都可以用转动副及移动副的组合来表示，例如

- 圆柱副可以用PR或RP的串联运动链表示，而转动副的轴和移动副的轴是平行的。
- 万向接头包括RR的串联运动链，二个转动副的轴有90度的夹角。
- 球销副包括RRR的串联运动链，三个轴相交在同一点。
- 平面副可以用平面的RRR、RPR、或PPR串联运动链表示，有三个自由度。

## 连杆的分析及合成

分析连杆的主要数学工具是系统的动态方程式。是一连串的刚体变换，延著串联的运动链，会让浮动连杆相对固定座可以定位。可以找到一组方程式说明各连杆的位置，也满足系统的参数。此方程式是非线性方程式，用系统的输入参数来求得系统的所有组态参数。

Ferdinand Freudenstein有发展一种方法，用上述的方程式设计平面四连杆，来达到输入参数以及连杆组态之间的特定关系。另一种设计平面四连杆的方式是由Ludwig Burmester所发明的，称为Burmester理论。

## 平面单自由度连杆

可动性公式提供一种决定单自由度连杆的连杆数以及机械连接的方式。若需要让平面连杆的自由度M = 1，而fi = 1，其结果为

$$M = 3(N - 1 - j) + j = 1, \!$$

或

$$j = \frac{3}{2}N - 2. \!$$

由公式可知连杆数一定要是偶数。

- N = 2, j = 1：这是二杆的连杆，称为杠杆;
- N = 4, j = 4：这是平面四杆机构;
- N = 6, j = 7：这是六杆连杆。其中有二个连杆上面有三个机械连接, 称为三接头杆（ternary links），依三接头杆位置的不同，有二种组态，若二个三接头杆是以一个机械连接相接，称为Watt拓朴，若二个三接头杆是以一个连杆相接，称为Stephenson拓朴。
- N = 8, j = 10：八杆连杆有16种不同的拓朴
- N = 10, j = 13：十杆连杆有230种不同的拓朴
- N = 12, j = 16：十二杆连杆有6856种不同的拓朴。

平面四杆机构是最简单及常见的连杆，也是单自由度系统。以下是一些平面四杆机构的例子

- 曲柄摇杆机构（crank-rocker），输入杆可以整周旋转（曲柄），输出杆只能一定角度内的转动（摇杆）。
- 双曲柄摇杆机构（double crank），输入杆及输出杆都可以整周旋转。（曲柄），输出杆只能一定角度内的转动（摇杆）。

旋转对也可以变为移动对，即为曲柄滑块机构。

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## 其他特殊的连杆

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- 缩放仪（四杆，2自由度）
- 五杆连杆多半会在两杆之间加上齿轮咬合，因此形成单自由度的连杆。传送功率的能力比四连杆强，而且设计的可变性较大。
- Jansen连杆是八杆的腿形机构，是由Theo Jansen所发明的，有用在仿生兽上
- Klann连杆是六杆的腿形机构
- 肘节机构（Toggle mechanism）也是四杆机构，有特别的尺寸设计，在行程的末端，可以在输入很小力的情形下，有很大的输出力。可以用在钳子上。

### 直线运动机构

- 瓦特的平行运动连杆及瓦特连杆。
- 波塞利耶-利普金机械，第一个可以由旋转运勋产生完美直线平面连杆机构，有8个连杆，自由度为1。
- Scott Russell连杆机构将直线运动转换为和其垂直，几乎是直线的运动。
- 切比雪夫连杆机构，用四连杆连构产生接近直线的轨迹。
- 霍肯连杆机构，用四连杆连构产生接近直线的轨迹。
- 萨鲁斯连杆机构，让两个表面在保持互相垂直的情形下运动。
- 哈特倒置器，在没有滑块的情形下可以产生完美的直线

### 生物内的连杆

连杆系统也常见于动物身上。Mees Muller提供了有关动物身上各种连杆最完整的叙述，他也设计了新的分类系统，特别适合用在生物系统上。其中一个例子是膝盖的十字韧带。

生物连杆和工程上的连杆有一个很大的差异：生物连杆很少有转动件，而且因为一些额外的结构限制（例如需要让血液及神经通过），其理论的运动范围可能不大。生物连杆多半是柔性机构。其中的一个或多个连杆是由韧带构成，连杆多半是三维的。目前已经发现有耦合连杆机构，也有五杆、六杆甚至七杆的连杆。最常见的还是四杆机构。

在动物的关节中常会看到连杆，例如四足类的膝盖、绵羊的踝关节、鸟和爬行动物的颅机构，后者让鸟类的上喙可以往上运动。

连杆机构也常见于硬骨鱼的鱼头，例如隆头鱼科，有许多特别的水中捕食机构，特别是下颌前突的连杆机构。针对吸取进食，也是四杆机构让嘴张开，同时和颊腔的3-D扩张。其他的连杆和前上颌骨的突出有关。

连杆机构在生物体也会作为锁定机构，因此动物可以在肌肉不收缩的情形下可以站着睡觉。有些硬骨鱼会pivot feeding，也是靠四连杆的锁定机构。锁定机构释放，让头往上，在5至10ms内咬住猎物。

## 图辑

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- 摇杆-滑块的函数产生器，可以在1 < u < 10的范围内计算Log(u)

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- 摇杆-滑块的函数产生器，可以在0 < u < 45°的范围内计算Tan(u)

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- 四连杆的固定和移动中心

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- 齿轮齿条式四连杆

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- RTRTR机构

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- RTRTR机构

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- 齿轮五连杆机构

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- 3D滑块曲轴机构

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- 动画的Pinochio

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- Crawford二次曲线规

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- 向外折叠展开机构

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- 向内折叠展开机构

## 延伸阅读

- — Connections between mathematical and real-world mechanical models, historical development of precision machining, some practical advice on fabricating physical models, with ample illustrations and photographs
- Hartenberg, R.S. & J. Denavit (1964) Kinematic synthesis of linkages , New York: McGraw-Hill — Online link from Cornell University.
- — "Linkages: a peculiar fascination" (Chapter 14) is a discussion of mechanical linkage usage in American mathematical education, includes extensive references
- How to Draw a Straight Line — Historical discussion of linkage design from Cornell University
- Parmley, Robert. (2000). "Section 23: Linkage." Illustrated Sourcebook of Mechanical Components. New York: McGraw Hill. Drawings and discussion of various linkages.
- Sclater, Neil. (2011). "Linkages: Drives and Mechanisms." Mechanisms and Mechanical Devices Sourcebook. 5th ed. New York: McGraw Hill. pp. 89–129. . Drawings and designs of various linkages.