阻力

外形和流场｜形状阻力｜摩擦阻力

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｜~10%｜~90%

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阻力（Drag），又称后曳力或流体阻力，是物体在流体动力学中相对运动所产生与运动方向相反的力。

对于一个在流体中移动的物体，阻力为周围流体对物体施力，在移动方向的反方向上分量的总和。而施力和移动方向垂直的分量一般则视为升力。因此阻力和物体移动方向恰好相反，像飞机前进时会产生推力来克服阻力的影响。

在航天动力学中，大气阻力可以视为太空飞行器在发射时的低效率，其影响则是在发射时需要额外的能量，不过在返回轨道时大气阻力有助于太空飞行器减速，可减少减速额外需要的能量，不过大气阻力产生的热量甚至可以将物体熔化。

## 分类

阻力一般可以分为以下几类：

- 寄生阻力（parasitic drag），包括
- 形状阻力（form drag）
- 摩擦阻力（skin friction drag）
- 干扰阻力（interference drag）
- 诱导阻力（induced drag）

对于高速（或高雷诺数）的流场而言，一物体的阻力的特性可以用一个无因次的阻力系数来描述，配合阻力系数，可以用阻力方程式来计算阻力。若阻力系数为一常数，阻力约和相对速度的平方成正比，因此需克服阻力需要的功率则和速度的立方成正比。

## 高速时的阻力

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阻力方程式可计算物体在较高速（雷诺数$R_e>\sim 1000$）流体下的阻力，此阻力也称为二次阻力或平方阻力。此方程式是由瑞利勋爵所提出，提出时用$L^2$（$L$代表某特定长度）代替$A$，物体所受的流体阻力如下：

$$F_D\, =\, \tfrac12\, \rho\, v^2\Complex_d\, A$$

其中

$\mathbf{F}_D$ 为阻力

$\mathbf{} \rho$ 为流体密度

$\mathbf{} v$ 为流体相对于物体的速度

$\mathbf{} C_d$ 为阻力系数，为一无因次的参数，像汽车的阻力系数约为0.25至0.45

$\mathbf{} A$ 为参考面积

参考面积$A$一般定义为物体在运动方向上的正交投影面积。对于形状简单的物体（例如球），参考面即为截面。有时会使用其他的参考面积来定义一物体的阻力系数，此时需特别标明使用的参考面。

以机翼而言，若阻力及升力使用的参考面积相同，阻力及升力的比值（升阻比）即为阻力系数及升力系数的比值，在比较阻力及升力的大小时最为方便。因此机翼阻力系数的参考面积一般会是机翼的翼面积（即机翼沿垂直方向的投影面积），而不是沿飞行方向的投影面积。

若物体有光滑的表面，在流场中没有固定的分离点（例如球或圆柱），其阻力系数会随着雷诺数$R_e$而变化，甚至在雷诺数很高（其量级到107）时也是如此。若物体有在流场中有固定的分离点（例如一法向量和流场方向平行的圆盘），在雷诺数$R_e>3500$时，阻力系数不随雷诺数而变化。若物体不是球对称，阻力系数也是流场和物体本身对称轴夹角的函数。

### 自由落体的速度

一物体在在时间$t=0$时的初速$v=0$，在非浓稠的介质落下（因此不考虑介质的浮力），其速度可以用以下的双曲函数表示：

$$v(t) = \sqrt{ \frac{2mg}{\rho A C_d} } \tanh \left(t \sqrt{\frac{g \rho C_d A}{2 m}} \right). \,$$

在$t$很大时，双曲正切函数$\tanh$其函数极限值为1，因此上述的速度有一渐近值，称为终端速度$v_t$：

$$v_{t} = \sqrt{ \frac{2mg}{\rho A C_d} }. \,$$

对于形状接近球形、平均半径为$d$、密度为$\rho_{obj}$的物体，终端速度约为

$$v_{t} = \sqrt{ gd \frac{ \rho_{obj} }{\rho} }. \,$$

若物体的密度接近水（如雨滴、冰雹、鸟、昆虫等）差不多，在接近海平面的地表落下，终端速度约为

$$v_{t} = 90 \sqrt{ d }, \,$$

其中

$d$ 的直径，单位是米

$v_t$为速度，单位为m/s。

例如人体（$\mathbf{} d$ ~ 0.6 m）其$\mathbf{} v_t$ 约为 70 m/s，体型接近猫的动物（$\mathbf{} d$ ~ 0.2 m）其$\mathbf{} v_t$ 约为 40 m/s，小鸟（$\mathbf{} d$ ~ 0.05 m）其$\mathbf{} v_t$ ~ 20 m/s约为 40 m/s，而昆虫（$\mathbf{} d$ ~ 0.01 m）其$\mathbf{} v_t$ ~ 9 m/s。

非常小的物体（例如花粉）在低雷诺数流体中的终端速度可以用斯托克斯定律来描述。

较大的生物其终端速度较高，因此从高处落下时致命的可能性也较高。例如老鼠和人分别以各自的终端速度坠落时，老鼠其存活的可能性会比人高很多。若蚱蜢以其终端速度坠落时，可能甚至不会受伤。生物大小和其终端速度的关系，以及其肢体截面积和身体质量间的比例关系（一般称为平方立方定律）可用来说明为何有些小动物从高处落下时不会受伤。

## 雷诺数很低时的阻力

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当物体在雷诺数很低，没有紊流（雷诺数$R_e < 1$）的流体中移动时，其受到的阻力称为黏滞阻力、线性阻力。此情形下，阻力大约和速度成正比，但和速度方向相反。黏滞阻力的方程式如下：

$$\mathbf{F}_d = - b \mathbf{v} \,$$

其中：

$\mathbf{} b$ 为一常数，和流体特性及物体尺寸有关

$\mathbf{v}$ 为物体和流体的相对速度

若一物体由静止状态落下，其速度为

$$v(t) = \frac{(\rho-\rho_0)Vg}{b}\left(1-e^{- \frac{bt}{m}}\right)$$

其速度会趋近终端速度$\mathbf{} v_t = \frac{(\rho-\rho_0)Vg}{b}$。若$\mathbf{} b$为定值，较重的物体会较快落下。

对于小的球形物体缓慢的通过黏性流体（因此雷诺数很小）的情形，斯托克斯推导其阻力常数如下

$$b = 6 \pi \eta r\,$$

其中

$\mathbf{} r$为物体的当量球径

$\mathbf{} \eta$为流体的黏滞系数

例如，考虑一半径 $\mathbf{} r=$0.5 微米（直径=1.0 µm）的球形物体以10 µm/s的速度通过水中。依上式可得其阻力为0.09 pN，这也就是细菌游过水中所受到的阻力。

## 空气动力学中的阻力

飞行中飞机所受到的空气阻力。分成四大类。分别是摩擦阻力、压差阻力、寄生阻力及诱导阻力。

其中摩擦阻力、压差阻力、寄生阻力与速度的平方成正比，诱导阻力则与速度的平方成反比。飞行阻力是这四种阻力的合成。

### 诱导阻力

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诱导阻力（或称感应阻力）是指飞行体在产生升力时，一并衍生的阻力。诱导阻力包括二个主要组成成分，一个是因为涡流而产生的阻力（涡流阻力），另一个则是额外产生的黏滞阻力。在飞行体通过空气时，其上表面及下表面的气流压强不同，但在飞行体尾端，上方及下方不同压强的气流会混合，产生紊流及涡流。

在其他参数不变的条件下，当飞行体产生的升力增加时，其诱导阻力也随之增加。对飞行中的飞机而言，这表示在飞机失速前，当其攻角及升力系数增加时，其诱导阻力也随之增加。当失速时，升力及诱导阻力都突然下降，而此时飞行体表面形成独立的紊流，造成寄生阻力中的黏滞压差阻力上升

### 寄生阻力

寄生阻力是一物体在一不可压缩流体中移动所受到的阻力。寄生阻力中包括由秥滞力产生压强差的阻力（形状阻力）以及因表面粗糙度产生的阻力（表面摩擦阻力）。若物体附近有其他相邻近的物体，会产生干扰阻力，有时也会视为寄生阻力的一部分。

在低速飞行时，由于维持升力需要的功率较大，飞机的攻角较大，其产生的诱导阻力也较大。不过当速度提高时诱导阻力随之下降，而流体相对物体的速度提高，因此寄生阻力会变大。若速度已到达穿音速，波动阻力也随之出现。其中速度提高时，诱导阻力下降，其他阻力却随之上升，因此总阻力会在某一速度时出现最小值，若飞机以此速度航行，其效率会等于或接近其最佳效率。飞行员会以此速度来使续航力最大化（使油耗最小化），或是在引撃故障时可以使滑翔距离最大化。

### 飞行时的功率曲线

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可以将寄生阻力及诱导阻力相对速度的特性曲线绘制在同一图上，此图在航空学中称为功率曲线。功率曲线可以让飞行员了解不同速度下，飞机飞行所需要输出的功率，是非常重要的曲线。

功率曲线中寄生阻力及诱导阻力有一交点，交点处的阻力总和最小。交点的右侧为正常控制区，当速度越高时，维持定速需要的推力越大。交点的左侧为反向控制区，此区域的功率特性恰好与一般直觉的认知相反：当速度越低时，维持定速需要的推力越大。当速度越高时，维持定速需要的推力越大。若飞机的速度低于此交点对应的速度，会出现一个不符合人类直觉的特性：当速度越低时，维持定速需要的推力越大。

### 跨音速及超音速的波动阻力

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波动阻力（压缩性阻力）是指一高速物体通过可压缩流体时所出现的阻力。在空气动力学中，依飞行速度的不同，波动阻力也可分为几种不同的组成成分。

在跨音速飞行（马赫数介于0.8及1.4之间）时，波动阻力是飞行体形成激波后的结果。一般会出现在出现局部超音速流（局部流体马赫数大于1.0）的区域。实务上，当飞行体较音速低很多，但加速时部分区域的空气速度超过音速，就会出现局部超音速流。因此飞机附近的气流既有超音速流，也有低于音速的亚音速。飞机在跨音速飞行的正常运作过程中常会产生波动阻力，这种波动阻力常称为跨音速压缩性阻力。当马赫数接近1时，跨音速压缩性阻力会显著的上升，远大于同速度下的其他阻力。

在超音速飞行（马赫数大于1.0）时，会在飞行体的前缘及后缘出现斜激波。若速度非常高，或是飞行体转弯角度够大时，则会出现舷波（bow wave）。在超音速飞行时，阻力一般可以分为二个成分：超音速升力相关的波动阻力，及超音速体积相关的波动阻力。

布斯曼双翼机是一种特殊型式的飞行体，当依其设计速度航行时，完全不产生波动阻力，不过它本身无法产生升力。

## 达朗伯特悖论

位流理论是18世纪最能解释非黏性流的理论。但1752年时法国物理学家达朗伯特依位流理论，推导到位流下其阻力为零的结果，此结果和实测结果矛盾，因此称为达朗伯特悖论。

19世纪时科学家圣维南、纳维、斯托克斯开始用纳维－斯托克斯方程来分析黏性流。斯托克斯推导了一球形物体在雷诺数很低的流体中的阻力，其结果即为斯托克斯定律。

纳维－斯托克斯方程在高雷诺数时会趋近非黏性流的欧拉方程式，此时可以用位流理论进行分析，得到阻力为零的结果，但所有在高雷诺数下进行的实验，均证实阻力的存在，和位流所得的结果矛盾。科学家也试着找出除了位流以外，欧拉方程在非黏性定常流的解，不过没有什么进展。

1904年德国科学家普朗特依理论及实验的结果，提出了边界层的概念，也说明了高雷诺数流体为何会产生阻力。

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## 外部链接

- Educational materials on air resistance
- Aerodynamic Drag and its effect on the acceleration and top speed of a vehicle.
- Vehicle Aerodynamic Drag calculator based on drag coefficient, frontal area and speed.