小波分析

小波分析（wavelet analysis）或小波转换（wavelet transform）是指用有限长或快速衰减的“母小波”（mother wavelet）的振荡波形来表示信号。该波形受缩放和平移以匹配输入的信号。

“小波”（wavelet）一词由法国学者吉恩·莫莱特和亚历克斯·格罗斯曼在1980年代早期提出。他们用的是法语词ondelette，意思就是“小波”。后来在英语里，“onde”改为“wave”而成了wavelet。

小波变化的发展，承袭加伯转换的局部化思想，并且克服了傅立叶和加伯转换的部分缺陷，小波变换提供了一个可以调变的时频窗口，窗口的宽度（width）随着频率变化，频率增高时，时间窗口的宽度就会变窄，以提高分辨率．小波在整个时间范围内的振幅平均值为0，具有有限的持续时间和突变的频率与震幅，可以是不规则，或不对称的讯号。

小波变换分成两个大类：离散小波变换（DWT）和连续小波转换（CWT）。两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。

小波理论和几个其他课题相关。所有小波变换可以视为时域频域表示的形式，所以和调和分析相关。所有实际有用的“离散小波变换”使用包含有限脉冲响应滤波器的滤波器段（filter band）。

## 母小波

简单来说（技术上并非如此），母小波函数$\psi\ (t)$必须满足下列条件：

$\int_{-\infty}^{\infty} |\psi (t)|\ ^2\, dt = 1$,也即$\psi\in L^2(\R)$并单位化

$\int_{-\infty}^{\infty} |\psi\ (t)|\, dt <\infty$,也即$\psi\in L^1(\R)$

$$\int_{-\infty}^{\infty} \psi\ (t)\, dt = 0$$

多数情况下，需要要求$\psi$连续且有一个矩(moment)为0的大整数M，也即对所有整数m1时，母小波变宽、变化较慢，所以对应到低频。b则是平移参数，用来决定母小波的位置。

根据信号处理的屈普夫缪勒不确定性原理：

$$\Delta t \Delta \omega \geqq \frac{1}{2\pi}$$

t 是时间，ω是角频率(ω = 2πf，f是瞬时频率)。

当时间分辨率较高时，频率分辨率就会下降，反之，频率分辨率高时，时间分辨率下降。当母小波或窗函数取的越宽，$\Delta t$的值越大。

当$\Delta t$越大:

- 缩放因子越大，对应低频。

- 频率分辨率高。

- 时间分辨率低。

当$\Delta t$越小:

- 缩放因子越小，对应高频。

- 频率分辨率低。

- 时间分辨率高。

虽然跟短时距傅立叶转换一样能同时分析时间和频率，但是小波转换在高频的时间分辨率较好，在低频时则是频率分辨率较好。

刚好符合我们对讯号分析在高低频的分辨率要求，因为在低频时，例如频率从1Hz变到2Hz，频率差了一倍，所以频率的变化相较时间的变化是比较明显且重要的，然而在高频时，例如频率从1000Hz变到1001Hz，频率相较时间的变化不大，所以对时间分辨率的要求较高。但是短时距傅立叶转换的分辨率并不会随着频率而变化，下图显示两者分辨率变化的比较:

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## 母小波的限制

- 为了分析局部的高频成分，有值区间必须是有限长度的区间(compact support)
- 必须是实函数
- 偶对称(Even Symmetric)或是奇对称(Odd Symmetric)，较容易计算
- 消失动量(vanish moment)尽量大
- 可采纳性(Admissibility Criterion)要存在才存在反小波转换

补充：

1.紧支撑（compact support）定义：

支撑（support）：函数值非零的区间

紧支撑（compact support）：支撑的长度是有限的

2.偶对称、奇对称较容易计算的原因：

若母小波$\psi (t)$为偶对称：

$$\psi (t) = \psi (-t)$$

$$\int_{-\infty}^{\infty} f\ (t)\,\psi \left( {{{t - a} \over b}} \right) dt = \int_{a}^{\infty} \ (\ f(t)+f(2a-t)\,)\psi \left( {{{t - a} \over b}} \right) dt$$

若母小波$\psi (t)$为奇对称：

$$\psi (t) =- \psi (-t)$$

$$\int_{-\infty}^{\infty} f\ (t)\,\psi \left( {{{t - a} \over b}} \right) dt = \int_{a}^{\infty} \ (\ f(t)-f(2a-t)\,)\psi \left( {{{t - a} \over b}} \right) dt$$

3.可采纳性(Admissibility Criterion):

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{|\overset{\frown}{\psi} (\omega)|^{2}}{|\omega|} d\omega <\infty\ \ $，称作可采纳性(admissibility condition)，其中$\overset{\frown}{\psi}(\omega)$是 $\psi(t)$的傅立叶转换。

## 消失矩

母小波$\psi (t)$尽量选越高频(意即vanish moment大的)越好．因此我们必须线先认识消失矩（vanish moment）的定义

k阶动量(k-th moment)：

$$m _{k} = \int_{-\infty}^{\infty} t^k\,\psi\ (t)\, dt$$

若$m _{0} = m _{1} = m _{2} = .....=m _{p-1} =0$，则我们称母小波$\psi (t)$的消失动量为p

消失动量越高，经内积后被滤掉的低频成分越多．

一些计算消失动量的例子：

1.哈尔基底(haar basis)：

哈尔基底函数的数学表示式:

$$\psi(t) = \begin{cases}1 \quad & 0 \leq t < 1/2,\\ <pre> -1 & 1/2 \leq t < 1,\\0 &\mbox{otherwise.}\end{cases}$$

其中我们可以计算：

$$m _{0} = \int_{-\infty}^{\infty} \,\psi\ (t)\, dt=0$$

$$m_1= \int t\psi(t)\, dt \neq 0$$

因此，哈尔基底(haar basis)的消失动量为1

2.墨西哥帽函数

墨西哥帽函数的数学表示式:

$$\psi(t)=\frac{2^{5/4}}{\sqrt{3}}(1-2 \pi t^2)e^{- \pi t^2}$$

仔细观察，$\psi(t)$ 其实是高斯函数的二次微分:

$\psi(t) = C \frac{d^2}{dt^2}e^{- \pi t^2}, C=$ 常数。

而高斯函数做傅立叶转换仍是高斯函数

$$\psi(t) = C \frac{d^2}{dt^2}e^{- \pi t^2} \to -C4 \pi ^2 f^2 e^{- \pi f^2}$$

利用$\frac{1}{(-j2 \pi)^k}G^{(k)}(0) = \int t^kg(t)\, dt$

可以算出$m_0=m_1=0, m_2 \neq 0$

所以墨西哥帽函数的消失动量为2。

3.高斯函数的p次微分

高斯函数的p次微分的数学表示式:

$$\psi(t) = \frac{d^p}{dt^p}e^{- \pi t^2}$$

其傅立叶转换为$(j2 \pi f)^p e^{- \pi f^2}$。

利用$\frac{1}{(-j2 \pi)^k}G^{(k)}(0) = \int t^kg(t)\, dt$

可以算出$m_0=m_1=m_{p-1}, m_p \neq 0$。

所以高斯函数p次微分的消失动量为p。

同时也可以印证，墨西哥帽函数是高斯函数的二次微分，消失动量为2

## 尺度函数

尺度函数（scaling function）的定义为：

$\int^{\infty}_{-\infty} \Phi(f)e^{j2\pi ft}df$ ,where $|\Phi(f)|^2 = \int^{\infty}_{f} \frac{|\Psi(f)|^2}{|f_1|} df_1$ for $f>0, \Phi(-f)= \Phi^*(f)$

性质：

- 当 $f>0$, $\Phi(-f)=\Phi^*(f)$
- $|\Phi(f)|^2$ 数值会随 $f$ 数值增加而减少，所以 $\Phi(f)$ 是一个低通滤波器。
- 尺度函数就相当于哈尔转换矩阵的第一列。

实作用途：

原本小波转换的逆转换：

$$x(t)=\frac{1}{C_{\psi}} \big[ \int^{\infty}_{0} \int^{\infty}_{-\infty} \frac{1}{b^{5/2}} X_W(a,b) \psi( \frac{t-a}{b}) da db \big]$$

使用尺度函数，我们可以把b的积分范围从 $(0, \infty)$ 改为 $(0, b_0)$，变为有限范围的积分计算，并修正小波转换的逆转换为以下式子：$x(t)=\frac{1}{C_{\psi}} \big[ \int^{b_0}_{0} \int^{\infty}_{-\infty} \frac{1}{b^{5/2}} X_W(a,b) \psi( \frac{t-a}{b}) da db + \int^{\infty}_{-\infty} \frac{1}{b^{3/2}_{0}} LX_W(a,b_0) \phi (\frac{t-a}{b_0}) da \big]$

其中$LX_W(a,b_0) = \frac{1}{\sqrt{b_0}} \int^{\infty}_{-\infty} x(t) \phi( \frac{t-a}{b_0} )$

证明：

If $y_1(t)=\frac{1}{C_{\psi}} \big[ \int^{b_0}_{0} \int^{\infty}_{-\infty} \frac{1}{b^{5/2}} X_W(a,b) \psi( \frac{t-a}{b}) da db <pre>$, and $y_2(t)=\frac{1}{C_{\psi}} \int^{\infty}_{-\infty} \frac{1}{b_0^{3/2}} LX_W(a,b_0) \psi( \frac{t-a}{b_0}) da$,

$$Y_1(f)=X(f) \frac{1}{C_{\psi}} \int^{b_0}_{0} |\Psi(bf)|^2 \frac{db}{b} = X(f) \frac{1}{C_{\psi}} \int^{b_0 f}_{0} |\Psi(f_1)|^2 \frac{df_1}{f_1} <pre>$$

$$y_2(t)=\frac{1}{b_0^2 C_{\psi}} x(t) \cdot \phi(\frac{-1}{b_0}) \cdot \phi(\frac{t}{b_0}) <pre>$$

$$Y_2(f)= X(f) \frac{1}{C_{\psi}} \Phi(-b_0 f) \Phi(b_0 f) = X(f)\frac{1}{C_{\psi}} \Phi^*(b_0 f) \Phi(b_0 f) = X(f)\frac{1}{C_{\psi}} | \Phi(b_0 f) |^2 = X(f) \frac{1}{C_{\psi}} \int^{\infty}_{b_0 f} \frac{|\Psi(f_1)|^2}{|f_1|} df_1 <pre>$$

Therefore, if $y(t)=y_1(t) + y_2(t) <pre>$, then

$$Y(f)=Y_1(f) + Y_2(f) = X(f) \frac{1}{C_{\psi}} \int^{b_0f}_{0} |\Psi(f_1)|^2 \frac{df_1}{f_1} + X(f) \frac{1}{C_{\psi}} \int^{\infty}_{b_0 f} |\Psi(f_1)|^2 \frac{df_1}{f_1} = X(f) \frac{1}{C_{\psi}} \int^{\infty}_{0} |\Psi(f_1)|^2 \frac{df_1}{f_1} = X(f) <pre>$$

得证 $y(t)=x(t) <pre>$.

## 母小波的一些例子

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## 和傅里叶变换比较

小波变换经常和傅里叶变换做比较，在后者中信号用正弦函数的和来表示。

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转换形式｜数学式｜参数

傅立叶变换｜$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j2 \pi ft}\, dt$｜f, 频率

短时距傅立叶变换｜$X(t, f) = \int_{-\infty}^{\infty} w(t-\tau)x(\tau) e^{-j 2 \pi f \tau} \, d\tau$｜t, 时间; f, 频率

小波转换｜$X(a,b) = \frac{1}{\sqrt{b}}\int_{-\infty}^{\infty}\ x(t){\Psi\left(\frac{t - a}{b}\right)} \, dt$｜b, 尺度; a, 平移

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标准的傅立叶变换将讯号从时域转换到频率域上做分析，但没办法从频率域上得知讯号在不同时间的频率信息，只能知道该讯号包含哪些频率成分，因此不适合用来分析一个频率会随着时间而改变的讯号，例如:音乐讯号。

然而短时距傅立叶变换（Short-time Fourier transform）（STFT）比傅立叶变换多了一个窗函数(window function)，可以分析出随着时间变化的频率,随着窗函数大小的不同会有不同的频率和时间分辨率，以方形窗函数为例，当窗函数宽度越大，频率的分辨率越好，但时间分辨率下降，反之，当窗函数宽度越小，时间的分辨率越好，频率分辨率下降，然而有限长度的窗函数大小会限制频率分辨率，不过小波转换能解决这个问题，通过多分辨率分析通常可以给出更好的讯号表示。

另外，当输入讯号为二维时（例如：影像），短时距傅立叶变换的输出为四维度，但小波转换仍是二维讯号，所以在影像处理上通常会使用小波转换而非短时距傅立叶变换。

小波变换的计算复杂度也更小，只需要$\mathcal{O}(N)$时间，快于快速傅里叶变换的$\mathcal{O}(N \log N)$，其中$N$代表数据大小。

## 小波的定义

wavelet是指小型波(在傅立叶分析里的弦波是大型波)，简单说来，小波(wavelet)是一个衰减迅速的振荡。

有几种定义小波（或者小波族）的方法:

### 缩放滤波器

小波完全通过缩放滤波器g——一个低通有限脉冲响应（FIR）长度为2N和为1的滤波器——来定义。在双正交小波的情况，分解和重建的滤波器分别定义。

高通滤波器的分析作为低通的QMF来计算，而重建滤波器为分解的时间反转。例如Daubechies和Symlet小波。

### 缩放函数

小波由时域中的小波函数$\psi (t)$ (即母小波)和缩放函数$\phi (t)$ (也称为父小波)来定义。

小波函数实际上是带通滤波器，每一级缩放将带宽减半。这产生了一个问题，如果要覆盖整个谱需要无穷多的级。缩放函数滤掉变换的最低级并保证整个谱被覆盖到。详细解释请参看。

对于有紧支撑的小波，$\phi (t)$可以视为有限长，并等价于缩放滤波器g。例如Meyer小波。

### 小波函数

小波只有时域表示，作为小波函数$\psi (t)$。例如墨西哥帽小波。

## 小波转换的分类

小波转换以输入、输出的连续或离散性质来区分，有三种:

输入｜输出｜小波转换名称

第一种｜连续函数｜连续函数｜连续小波变换（Continuous Wavelet Transform）

第二种｜连续函数｜离散函数｜离散系数连续小波变换（Continuous Wavelet Transform with Discrete Coefficients) 有时候称为discrete wavelet transform

第三种｜离散函数｜离散函数｜离散小波变换（Discrete Wavelet Transform）

傅立叶转换(Fourier Transform)与小波转换比较共有四种类型：

输入｜输出｜傅立叶转换名称

第一种｜连续函数｜连续函数｜傅立叶转换(Fourier Transform)

第二种｜连续函数｜离散函数｜傅立叶级数(Fourier Series)

第三种｜离散函数｜离散函数｜离散傅立叶转换(Discrete Fourier Transform)

第四种｜离散函数｜连续函数｜离散时间傅立叶转换(Discrete-time Fourier Transform)

两相比较我们可以看出，小波转换并没有输入为离散函数、输出为连续函数的类型（傅立叶转换表格的第四种），原因在于该种类型并不实用．

## 应用

离散小波变换（DWT）通常用于信号编码，比如在工程和计算机科学，而连续小波转换（CWT）通常用于信号分析，即科学研究类。小波变换现在获大量不同的应用领域采纳，有时甚至会取代了傅里叶变换的位置，在许多领域都有这样的转变。例如很多物理学的领域亦经历了这个转变，包括分子动力学，从头计算（ab initio calculations），天文物理学，密度矩阵局部化，地球物理学，光学，湍流，和量子力学。其他经历了这种变化的学科有图像处理，血压，心率和心电图分析，DNA分析，蛋白质分析，气象学，通用信号处理，语言识别，计算机图形学，和多分形分析。

所有小波适用的运用中, 大致上有下列两项特点：

- 信号的频率分布，会随着不同的时间(或地点)有较大变异
- 多尺度的分析扮演重要的角色

通常在做讯号或影像处理的过程中，会面临到取样点的取舍:

- 较长的采样间隔会忽略部分细节
- 较短的采样间隔会产生大量的数据

而小波变换折中了这两个问题。

### 影像分割

影像分割可以定义为，将影像分成若干个区域，而这些像素组成区域必须为各个类似的像素所连结而成．

影像的分割大略可以分为:

- 临界值法
- 区域法
- 边界法
- 边缘法

临界值法：

主要是靠设定临界值，来去区分物体与背景．

区域法：

将影像分为若干个子区域，这些子区域有相连性

边界法：

借由求影像梯度大小，来找出正确影像边界的方法

边缘法：

利用一阶导数的大小来侦测出边缘所在的位置，之后再使用一阶导数的方向将小的边缘连结成边界的方法．

借由小波转换的方法，将原始的影像，经过特定的小波转换的技巧后, EX: symlets wavelet, 滤除掉噪声，并且对Ｘ轴方向做一次小波转换，对Y轴方向做一次小波转换，之后采用影像分割的方法，提高影像分割的精确度．

### 影像压缩

影像压缩的过程

原始的图形资料 -> 色彩模式的转换 -> DCT转换 -> 量化器 -> 编码器 -> 压缩完成

小波转换最常见的应用是用于影像压缩。和其他变换一样，小波变换可以用于原始影像（例如图像），然后将变换后的数据编码，得到有效的压缩。影像压缩通常可分为三大步骤，分别是转换(Transform)、量化(Quantization)和编码(Coding)。其中转换这个步骤是将原始资料转换成另一种表示法，可经由逆转换得到原始讯号。转换的目的在于除去讯号取样的相关性，也就是去除取样间的累赘。在对影像资料转换时，通常是将影像先分割成不重叠小区块，再对小区块进行单位转换，而单位转换是一种可逆的转换，其演算的核心为正交的基底函数。讯号可以分为规则性讯号与非规则性讯号两类，所谓规则性讯号即是讯号中所有组成物是同时发生的；而非规则性讯号其组成物并非是同时发生。对于规则的讯号，理想且有效的转换方式是傅立叶转换。而适用于非规则性信号的工具就是小波转换。较为知名的影像压缩档案格式JPEG 2000就是采用小波的图像标准，算法细节请参考小波压缩。

小波影像压缩未来的趋势为:

- 支援更多的色彩, EX: RGB
- 加强运算能力，使其能够支援更多影像格式
- 使用小波变换消除高频讯号，加快运算
- 应用在视讯处理上

### 边缘侦测

小波转换亦常应用于影像的边缘侦测（edge detection），传统的影像边缘侦测采用二维差分运算子以侦测影像边缘，乃假设影像边缘上和边缘旁之影像灰阶值必然不同，当取微分时，在边缘上会呈现非常大梯度值，借由调整影像灰阶值的临界值参数可强化边缘，但二维小波转换则是一种效果较佳的影像边缘侦测方法，当取小波转换时，在影像边缘上亦会呈现非常大的梯度值。在电脑视觉或影像处理上经常使用动态轮廓或蛇行模式来侦测物体的边界或边缘。

在物体纹路及表面瑕疵检测上亦有其应用，由于小波转换有局部性处理的能力，对于小区域之瑕疵能有效凸显，其频率特性使得在处理瑕疵上不易受环境影响。相对于频率域之转换方法，小波转换处理速度快，因不须事先经过训练与繁复的数学计算，使得小波转换在速度处理上获得不错效果，其具有多解析(Multi-resolution)与多尺度(Multi-scale)能力，使得在处理纹路瑕疵上不会产生方块效应。小波转换不会变动影像物体的相对位置，且保留纹路与瑕疵的空间关系与影像大小。

### 音乐讯号分析

小波转换亦可用在音乐讯号上，像是乐器自动辨识的应用，第一种为先使用一维小波转换将声音讯号分解为不同频率范围的各个频带，接着再对各个频带中撷取能量平均值以及能量标准差视为一维小波转换之特征向量。而第二种方法为先将声音讯号转成频谱图并视为一张二维影像，对此频谱图做二维小波转换分解出各个频带，再对频带中撷取能量平均值和能量标准差做为二维小波的特征向量。最后，利用相邻近似法使用欧基里德距离来计算测试资料的特征向量和每一乐器的特征向量之距离，并取最小距离为辨识结果的乐器类别。

而小波转换也常用在音乐讯号的压缩，由于人耳对声音各频带是有其感知力的，故有些频带人无法听见，有些频带人耳特别灵敏。利用离散小波转换来将音乐讯号做高低频切割多次，就可以将原讯号分成许多子频带(sub-band)，但传统离散小波转换计算架构，将波型分成高频与低频后，下一次的切割只对低频做切割，故没办法完全分割出与人耳感知频带相符合的子频带。于是提出更精细的计算架构，称为离散小波包转换(discrete wavelet packet transform)，原理就是音乐讯号受分成高频讯号后，会再做分割。一段音乐讯号就可以受分割成更贴近人耳25个频带的讯号，这样的分割法更优于一般傅立叶分析所使用的滤波器，从这些子频带中，找出能够被屏蔽的讯号，滤除之后，就可以将原本音乐讯号档案大小压缩了。

在辨识音乐讯号的乐谱上也有其应用，音乐讯号由一个个音符组成，而每个音符以特定的节奏出现，通常是成群的谐音出现，若要分辨出一段讯号最主要的频率为何，必须滤除其泛音才能判断，而由离散小波转换的多重分辨率分割就可以将泛音区隔在不同的子频带中，而且讯号中的噪声也可以依同样方法被滤除。由于是要侦测transient 现象，基于要侦测什么样的讯号就使用跟它很像的讯号当作基底拆解它这个原则，故在选择小波基底时，就要选择较有突然剧烈变化的母小波，如此一来小波转换后的小波系数，能量就会聚集在原讯号有剧烈变化之处了，由此方法可有效辨识音乐讯号的音高(也就是频率)。

音乐讯号简易压缩

原始音乐讯号 -> MDCT ->去除不重要的系数 -> IMDCT -> 输出结果

MDCT: Modified Discrete Cosine Transform

### 遥测影像分析

连续小波转换常应用于遥测影像分析上，如海底地形之解析，利用具有分析非均匀讯号的高维连续小波转换理论作为遥测影像的分析工具，从中求取影像波浪谱，再从影像波浪谱中反算出观测区域的水深值。传统的研究多将海洋遥测影像假设为均匀(homogeneous)的海面影像，并采用受分析影像为均匀性前提所发展出的方法进行谱转换，其分析所得之影像谱实际上为整个遥测影像波数谱的平均值。然而自然界的讯号常存在有非均匀的特性，近岸海域的波浪亦不例外。为能从分析非均匀影像讯号中分析得到合理且准确的水深资讯，可引入非均匀讯号分析理论-小波转换。如高维小波转换理论可应用在分析海洋遥测影像之研究，藉以从中计算出底床地形的资讯，透过小波转换的非定常讯号的解析能力，可将整张遥测影像分解为不同的子影像，每一块子影像区域的波场理论上具有一定程度之均匀性，再进而从各子影像中求解水深值，藉以描绘出观测海域的水深资讯。

### 生物医学讯号分析

离散小波转换亦常应用在生医领域中，因为其具有较低的复杂度与较佳的时域-频域分析之特性，而受选择作为分析生医讯号的方法。心电图 (Electrocardiography) 与脑波图 (Electroencephalography) 是两项常见的生医应用。在心电图方面，为了诊断心脏相关疾病，可使用离散小波转换去除原始讯号中冗余的特征，并由重建的讯号中侦测R-R区间。

小波分析被广泛应用于将心电图信号分解为不同频带，提取与疾病相关的重要特征，如平均值、中位数、标准差、均方根值及熵等统计指标。这些特征用于训练机器学习模型，如支持向量机（SVM）、随机森林和多层感知机（MLP），以分类心律失常和心肌梗塞等心脏疾病。离散小波变换（DWT）因其高效的多层分解特性而广泛使用，可以将信号精确分解到不同频率。

一般而言，病患之心电图时常需要全天候的观察与分析，因此资料量相当庞大，此时便需要很大的储存空间来储存这些资料，因此有必要将心电图之资料加以压缩，才可有效减少所需之储存设备成本。讯号的压缩可分为无失真(lossless)压缩和失真(lossy)压缩两种，若是依传统医学观念，或许应该使用无失真压缩，才可避免因资讯不完整而造成误诊等医疗疏失，但由于传送资讯之网络带宽有限且资料庞大，因此使用失真(lossy)压缩以达到更大的压缩效率已成必然，在增大压缩效率的同时，亦可保证其重建讯号之可靠度，以避免不必要的医疗疏失便是一重要课题，小波转换便可达到此项目标。

而小波转换亦有去除不必要噪声之功用，以正确判读心电图，此方法称为小波系数临界法(wavelet coefficients thresholding)，讯号经小波转换后，噪声会成为较小的讯号(low scale)，因此将较小scale的讯号去除，即可去除噪声，一般的做法为设立一临界值，将低于此临界值的讯号舍弃，高于临界值的讯号保留。而选择临界值的方式有两种，一种为硬式临界值(hard threshold)，其临界值为一常数，不随输入讯号改变而改变，此法优点为设计简单，但得到的结果并不理想，若改由不同输入讯号形成不同临界值，则称为软式临界值，将经小波转换后每一频带之变异数(variance)开根号后形成标准差，而后以标准差当作参数作为临界值，此法产生之临界值会因输入讯号长度的不同而改变。小波去噪技术在清除心电图中的各类噪声（如肌电噪声和基线漂移）方面表现突出。研究显示，使用适当的小波（如Daubechies家族的db4、db6和Symlet sym5）进行三层分解，能有效滤除高频和低频噪声，同时保留信号的重要特征。这些去噪技术已在嵌入式系统中应用，用于即时新生儿ECG监测和远程医疗设备。

小波分析与深度学习技术结合成为新的研究热点。例如，连续小波变换（CWT）将心电图信号转换为时频图，然后输入卷积神经网络（CNN）进行自动化分类。这种方法能捕捉时间和频率特征，提高对心律失常的检测准确性。此外，使用小波散射特征进一步增强深度学习模型的泛化能力，改善在多源数据中的表现。小波技术在物联网医疗设备（IoMT）中的应用逐渐增多，特别是在新生儿干电极心电图的噪声消除和实时分析中表现出色。助小波变换，心电图可以被分割成心跳级的片段，并用于同时检测多种类型的心脏疾病，例如房颤、心房扑动和心肌缺血。

另一个小波转换在生医领域的应用则是应用在脑电图上，早期脑电图讯号分析技术，普遍以傅里叶转换为主，近年来，小波转换技术逐渐获采用，其特性在对于未知讯号的频率分布，在时间轴上可以得到很好的分辨率，适合应用于脑波的不稳定讯号分析处理。再配合类神经网络非线性分辨能力，可有效分辨α波、β波。

亦有一个应用是在于脑电图中正常的背景讯号与不正常的尖峰讯号之区分，患有癫痫的病人其不正常的尖峰讯号其形状会类似一个凸起的尖峰，故此讯号可称为尖峰讯号(spike)，利用多重解析变换的小波转换(multi-resolution wavelet transform)可用来分析这类型态类似、但大小区间变异很大的癫痫讯号。

### 交通领域的应用

小波分析在交通领域中有多样的应用，这些应用已有许多学者提出研究与相应的解决方法，例如路面不平度分析、车辆震动分析等。

由于小波分析有非常适合拿来分析非平稳讯号的特性，所以也可以拿来分析车辆故障诊断讯号，并且进一步建构出故障诊断所需要的特征、又或者是分析出有利于诊断的资讯。

### 变速器轴承故障诊断

变速器是汽车传动系统的一个部分，它对汽车而言十分重要，但是却容易面对损坏的问题。变速器是由齿轮所构成，这些齿轮的轴承和工作状况非常复杂，并且因着变速器性能的提高，导致结构越来越复杂，传统的方法，例如说直接拆开解体诊断已经很难解决修缮问题，因此亟需一个更好的方法来做故障诊断。

滚动轴承的故障类型，可以按震动讯号的特征分为两类，一种是表面损伤类故障，例如点蚀、剥落、擦伤等。另一类则称为磨损故障。

对于表面损伤类故障，当损伤处经过轴承元件表面时，会产生一个有异的冲击脉冲宽带讯号，进而引起轴承的震动，这样的震动就是损伤类故障引起的震动讯号的基本特征。但是，这种由表面损伤故障引起的震动响应往往会被较大的震动讯号所掩盖，导致无法很好地从功率谱中分辨。

讯号处理方法就是一个很好的手段。不过，传统的频谱分析方法较适合用来分析平稳讯号，而对于变速器，齿轮故障时会产生各样的震动讯号，这些讯号与时间有相当大的相依性。对这样特性的讯号处理，用传统方法单独在频域或时域进行分析，却没办法看出如此的相依性。

小波分析在此时就能很好的解决上述的问题，因为此方法能将时域和频域结合起来，精确地表达讯号的时频特征。并且，小波分析应用于变速器的故障诊断中，可以做到在不用拆解变速器的前提下，很好地检测故障。

小波分析因为可以同时分析讯号时域与频域，所以便可以利用小波分析对检测的讯号进行转换，然后针对具有故障讯号特征的讯号进行重构，再进一步透过希尔波特变换进行解调以及细化频谱分析，至此，故障讯息成分就可以检测出来，进一步判断发生故障的部位为何处。

### 汽车变速器齿轮故障诊断

点蚀是一种常见的齿轮故障方式。在齿轮啮合之时，齿面上的点蚀处会产生异常的冲击脉冲讯号，若能检测异常讯号便可以找到故障的位置所在。

但是在实际的讯号中，异常讯号往往受到各种噪声的干扰。因此，利用小波分析的去除噪声功能，就可以分离并检查出微弱的故障讯号。

### 路面不平度分析

汽车驾驶在不平的路面时，所造成的震动不仅影响汽车的行驶，更会影响汽车零件的使用寿命。因此，路面不平度的研究是一个重要的议题。

路面的不平度会让汽车在行驶过程中产生震动，如此的路面不平度程度是车辆运动分析中的一个输入。

不过应如何描述汽车的震动？若要精确描述，不仅需要对车辆动力学系统有所了解，而且也要知道道路所造成的干扰有怎样的性质。

由此可知，路面不平度的表示方法，是进行车辆震动响应计算的重要基础。

自回归模型（AR），是统计上一种处理时间序列的方法，在此用于路面不平度的模拟，可以得到良好的效果。

路面不平度由于是车辆对路面的震动响应，所以会有随机和不稳定的性质，并且取得的讯号中还含有大量的噪声。

如果直接对取得的含有噪声的讯号进行分析，则必定会有误差。

小波分析因为可以针对时频两域进行分析，也有滤波的性质，因此将小波分析拿来解决路面不平度的问题，不仅可以降低噪声，也能同时分析讯号的时频特性。

这样的分析方法，可以对路面不平度有更多的了解，并让我们更好的知道车辆的震动情形。

### 车辆非平稳震动分析

车辆的震动会导致行驶的不平稳，因此对车辆的震动研究并降低不平稳性十分重要。

但是，一般而言车辆大部分是在非定速的情况下行驶，例如说起步的加速或者是停止的减速等。

这样看来，汽车的系统讯号是非平稳讯号。而小波转换作为一种时频分析方法，可以很有效的处理非平稳讯号。因此，小波转换很适合拿来分析车辆行驶中的各样讯号。

### 在电力负载讯号处理中的应用

一个好的电力系统，必须要安全而可靠的运行。若要安全可靠的运行，必须要随时对电力系统进行运行状态监测，并且根据搜集到的电力讯号来观察与判断电力系统的运行状态。

如果电力系统发生了故障，那么在故障的瞬间，往往电力讯号会产生变异，如果能及时搜集到这样变异的讯号发生的时刻与大小，就能更有利于故障的排除，使电力系统恢复正常，并且提高电力系统的可靠度。但是，电力系统的监测过程中，所搜集到的监测讯号往往含有大量的背景噪声，使得用传统的方法来做故障诊断带来了不小的困难。

因此，在电力系统负载讯号处理中，引入能处理瞬时讯号、去除噪声的小波分析是近期学者研究的重要方向。

### 在影像去除噪声中的应用

影像去除噪声，是一个常见的问题，在讯号处理中也是一个经典问题。

一般传统的去除噪声方法，会采用平均或者线性的方法来去除噪声，例如说使用一种常见的线性滤波器称为维纳滤波器（Wiener filter）。但是，去除噪声效果并不够好。

另外，由于小波分析有非常好的时频特性，也有多分辨率的性质，可以提取讯号与噪声的特征，对讯号波形细节也有很好的分辨率，因此应用在影像去除噪声中，是一个可行的方向，另外它也可以看做是一个非线性的处理方法。

小波能够去除噪声，主要是因为小波有以下这些特点：

- 小波系数的分布稀疏，可以使影像经过变换后的熵降低。
- 小波可以非常好地表示讯号的非平稳特性，例如突然发生变化之处，或者是中断点等，因此允许在不同分辨率下，依照讯号和噪声的分布来去除噪声。
- 小波变换可对讯号做去相关，并且噪声在变换后会白化，所以更利于去除噪声。
- 小波转换可以自由地选择基函数，也可以自由地选择小波母函数。
- 小波转换可以依照讯号特点和去除噪声要求选择多带小波、小波包等。

一种常用的影像去除噪声方法是小波阈值去除噪声方法，它简单，效果又好，因此受到广泛的使用。

阈值去除噪声方法的步骤非常容易。首先，对小波进行分解后，对各系数分类模大于和小于某阈值，再分别进行处理，然后再利用处理后的小波系数，重新还原出去除噪声后的影像。

在阈值去除噪声方法中，阈值函数代表的是对小波分解系数不同的处理方法，还有不同的估计方法。

一般来说，阈值函数可以分成硬阈值函数及软阈值函数。

硬阈值函数的优点是较可以保留影像边缘的特征，缺点是影像会出现伪吉布斯效应。

软阈值函数处理上比较平滑，缺点是可能会导致边缘模糊。

小波阈值去除噪声方法不仅要很好的选取阈值，也要处理阈值的估计。

阈值太小会导致去除噪声去的并不干净；而如果阈值太大，又可能将重要的影像特征滤除。

一般来说，对小波系数，阈值会随着噪声越大而设的越大。

影像讯号的小波去除噪声的方法和一维讯号的去除噪声的基本概念完全和同，不同的地方在于，此时影像讯号为二维，因此选用二维小波分析工具。

也就是说，对二维影像讯号的去除噪声方法也能用在一维讯号的去除噪声。

二维小波分析用于影像去除噪声的步骤如下：

步骤1：将二维影像讯号做小波分解选择适合的小波，以及恰当的分解层次N，决定好后对所要分析的二维影像讯号进行N层分解。

步骤2：分解后的高频系数，对它进行阈值量化对分解的每一层，都要选择一个适中的阈值，然后对每一层高频系数做软阈值量化。

步骤3：二维小波重新还原影像讯号进行小波转换后，第N层的近似值，也就是低频系数，加上经过阈值量化的各层细节，也就是高频系数，两者可以拿来重新还原影像讯号。

### 在影像增强中的应用

一般来说，如果摄影、扫描等方法得到的影像品质没那么好，影像的对比度不够，就会让影像看起来比较模糊。

因此，为了让影像更清楚，就必须提高影像的对比度，而影像增强，就是一个能提高对比度的处理技术。

不过，影像增强技术并不能增加影像本身自带的讯息量，它是透过突出某些的特征，使影像更能受识别。

影像增强的目标就是将影像中所感兴趣的特征的对比度放大，使影像更容易受理解，并且减少影像中的噪声，使影像的品质提高。

一般来说，常用的增强技术可以分为两种：基于影像域，或者基于变换域。

基于影像域的方法，是直接对影像的像素点进行运算。

基于变换域的方法，比起基于影像域的方法，显得比较复杂。首先要将影像从空间域映射到另外某个域内（当然最常用的是从时域映射到频域），然后再修正相应域内的系数，用以提高影像的对比度。

而在使用小波转换处理影像增强时，小波转换会先将影像分解成大小、位置和方向都不同的分量。然后，在做逆转换之前，可以依照需要对不同的分量改变那些系数的大小，就能有让某些感兴趣的分量放大而让某些不需要的分量减小的效果。

## 历史

第一个小波转换是阿尔佛雷德·哈尔在 1909年提出来的哈尔小波(Haar wavelet)，但是当时小波的概念并不存在，直到1981年地球物理学家吉恩·莫莱特才提出小波的概念，且小波转换变成分析地震波的新工具。

之后在1984年吉恩·莫莱特和物理学家亚历克斯·格罗斯曼发明了"wavelet"一词，并且对于连续小波转换和其各种应用有比较详尽的数学研究。

在1985年之前，大家所熟知的正交小波(orthogonal wavelet)只有Haar小波，然而数学家伊夫·梅耶尔在1985年建立了第二种正交小波，即Meyer小波。接着越来越多人投入这个领域并在1987年法国办了第一届国际研讨会。

1988年, 史蒂芬·马拉特和伊夫·梅耶尔提出了多分辨率的概念，同年(1988)，英格丽·多贝西建立了紧支撑正交小波(compact support orthogonal wavelet)。隔年(1989)史蒂芬·马拉特提出了快速小波转换。随着快速小波转换的发展，许多小波转换的应用得以实现。

除了先前许多卓越的数学家像是英格丽·多贝西，亚历克斯·格罗斯曼，史蒂芬·马拉特，伊夫·梅耶尔，罗纳德·德沃尔，罗纳德·科夫曼，维克多·魏克尔豪斯在小波理论上都有显著的贡献，之后直到现在也陆续有人提出了许多方法和应用。

### 时间轴

- 1909年: 第一个小波（Haar小波）由阿尔佛雷德·哈尔提出
- 1981年: 吉恩·莫莱特提出小波概念
- 1984年: 吉恩·莫莱特和亚历克斯·格罗斯曼发明了"小波（wavelet）"一词
- 1985年: 伊夫·梅耶尔建立Meyer小波
- 1987年: 第一届国际研讨会在法国
- 1988年: 史蒂芬·马拉特和 伊夫·梅耶尔 提出了多分辨率的概念
- 1988年: 多贝西小波
- 1989年: 快速小波转换 （FWT）
- 1990年代: 离散小波变换 （DWT）
- 1999年: 方向小波转换
- 2000年: JPEG2000

## 小波转换

如果函数$f\in L_2(R)$，那么级数

$$\sum_{j\in Z} \sum_{k\in Z}\left \langle f,\psi_{j,k} \right \rangle \psi_{j,k}(t)$$

称作$f$的小波级数，且

$$\left \langle f,\psi_{j,k} \right \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\psi_{j,k}(t) \mathrm{d}t$$

为$f$的小波系数。

除连续小波变换和离散小波变换外，针对不同的应用，还有许多不同的小波变换类型。完整的清单参见与小波变换相关变换的清单。以下列举了一些常见的变换：

- 连续小波变换（Continuous wavelet transform，CWT）
- 离散小波变换（Discrete wavelet transform，DWT）
- 快速小波变换（Fast wavelet transform，FWT）
- 小波提升方法（Lifting scheme）和广义提升方法（Generalized lifting scheme）
- 小波包分解 （Wavelet package decomposition，WPD）
- 稳定小波变换（Stationary wavelet transform，SWT）
- 分数傅里叶变换（Fractional Fourier transform，FRFT）
- 分数小波变换（Fractional wavelet transform，FRWT）

### 小波转换的优点

- 可以同时观察频率和时间轴，在频率高时有较好的时间分辨率，在频率低时有较好的频率分辨率。
- 有快速小波转换可以加速运算。
- 可以分离出信号的精细或粗糙成分。
- 在小波理论中，可以用较少的小波系数去逼近一个函数。
- 对讯号去噪或压缩讯号时，不会对讯号造成明显的破坏。
- 适用于分析突变讯号，以及奇异讯号
- 可以分析讯号不同尺度大小样貌

### 小波转换的缺点

- 运算量大，比较难做到即时处理
- 母小波挑选的限制

### 小波转换和波的比较

- 小波的大小对比波的频率
- 小波的持续时间有限（窗长有限）对比波的持续时间无限
- 小波具备空间定位能力（Temporal localization）对比波不具备空间定位能力

### 小波转换，傅立叶转换，加伯转换的比较

傅立叶转换具有局部性，加伯转换没有具有局部性

小波转换具有局部性，并且可以改变参数来调整频谱的窗口和结构形状，进而做到"变焦"的作用.

因此小波分析可以达到多分辨率的效果

## 反小波转换

反小波转换(Inverse Wavelet Transform):当有某讯号的小波转换结果，可使用下列式子将原讯号还原$$x(t) = \frac{1}{C_{\psi}}\int_0^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{b^{5/2}} X_w(a,b) \psi(\frac{t-a}{b}) da db$$

其中 $C_\psi=\int_0^{\infty}\frac{{|\Psi(f)|}^2}{|f|}df < \infty$ (假设 $C_\psi$ 是 $\infty$，则 $\frac{1}{C_\psi}=0$，无法还原讯号 )

证明:

$$X_w(a,b)=\frac{1}{\sqrt{b}}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\psi(\frac{t-a}{b})dt$$

如果令 $y(t)=\frac{1}{C_\psi} \int_0^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{b^{5/2}} X_w(a,b) \psi(\frac{t-a}{b}) da db$

则 $y(t)= \frac{1}{C_\psi} \int_0^{\infty}x(t)* \psi(\frac{-t}{b})* \psi(\frac{t}{b}) \frac{db}{b^3}$

$*$是卷积，若是在时间域做卷积，则在频率域是相乘

因此将 $y(t)$ 做傅立叶转换可得出

$$Y(f)= \frac{1}{C_\psi} \int_0^{\infty} X(f) \Psi(-bf) \Psi(bf) \frac{db}{b}$$

其中 $Y(f)=FT[y(t)], X(f)=FT[x(t)], \Psi(f)=FT[\psi(t)]$

当如果 $\psi(t)$ 是实数，则 $\Psi(-f)=\Psi^*(f), \Psi(-bf) \Psi(bf)=\Psi^*(bf) \Psi(bf)={|\Psi(bf)|}^2$

所以 $Y(f) = X(f)\frac{1}{C_\psi} \int_0^{\infty} {|\Psi(bf)|}^2 \frac{db}{b}$

令 $f_1=bf, df_1=fab$

$$\begin{align} Y(f) &= X(f)\frac{1}{C_\psi} \int_0^{\infty} {|\Psi(f_1)|}^2 \frac{df_1}{bf} \\ <pre> &= X(f)\frac{1}{C_\psi} \int_0^{\infty} {|\Psi(f_1)|}^2 \frac{df_1}{f_1} \\ &= X(f) </pre> \end{align}$$

因此 $y(t)=x(t).$

- 当如果 $\psi(t) \approx 0, |t|>t_0$，则可以将a的积分变成有限范围

因此反小波转换可以简化成:

$$x(t) \approx \frac{1}{C_\psi} \int_0^{\infty} \int_{t-bt_0}^{t+bt_0} \frac{1}{b^{5/2}} X_w(a,b) \psi(\frac{t-a}{b}) da db$$

- 当如果尺度函数满足 $\phi(t) \approx 0, |t|>t_1$ 且 $\psi(t) \approx 0, |t|>t_0$，则a和b的积分都可以变成有限范围，将b的范围从 $(0,\infty)$ 改成 $(0,b_0)$ 和 $(b_0,\infty)$ 且使用修正型的小波转换，如下:

- $X_w(a,b) = \frac{1}{\sqrt{b}} \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \psi(\frac{t-a}{b}) dt, 0 < b<b_0$

- $LX_w(a_0,b_0) = \frac{1}{\sqrt{b_0}} \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \phi(\frac{t-a}{b_0}) dt$

因此反小波转换可以简化成:

$$x(t) \approx \frac{1}{C_\psi} [ \int_0^{b_0} \int_{t-bt_0}^{t+bt_0} \frac{1}{b^{5/2}} X_w(a,b) \psi(\frac{t-a}{b}) dadb + \int_{t-b_0t_1}^{t+b_0t_1} \frac{1}{b_0^{3/2}} LX_w(a,b_0) \phi(\frac{t-a}{b_0})] da$$

## 小波列表

### 离散小波

- Beylkin（18）
- Coiflet小波（6, 12, 18, 24, 30）
- 多贝西小波（Daubechies小波） （2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20）
- Cohen-Daubechies-Feauveau小波，有时称为“多贝西”9/7 (Daubechies 9/7)或CDF9/7
- 哈尔小波转换
- Vaidyanathan滤波器（24）
- Symlet
- 复小波变换
- Curvelet、Ridgelet
- Contourlet

### 连续小波

- 墨西哥帽小波
- 厄尔米特小波
- 厄尔米特帽小波
- 复墨西哥帽小波
- Morlet小波
- 修正Morlet小波
- Addison小波
- 希尔伯特-厄尔米特小波

## 外部链接

- Wavelet Digest
- Amaras Wavelet Page
- Wavelet Posting Board
- The Wavelet Tutorial by Polikar
- OpenSource Wavelet C Code
- An Introduction to Wavelets
- Filter Coefficients of Popular Wavelets
- Wavelets for Kids (PDF file) （introductory）
- Link collection about wavelets
- List of Wavelet resources, libraries and source codes
- A really friendly guide to wavelets
- Wavelet forums (French) Wavelet forum (English)
- R语言小波分析wavelet