协变经典场论

近年来，协变经典场论又引起了研究者的兴趣。动力学在这里用有限维空间的在时空中的给定时间点上的场来表述。射流丛现在被认为是这种表述的正确定义域。

本文给出一阶经典场论的协变表述的一些几何结构。

## 记法

本条目记法和射流丛条目所引入的一致。并令$\bar{\Gamma}(\pi)$表示有紧支撑的$\pi\,$的截面。

## 作用量积分

一个经典场论数学上可以如下表述

- 一个纤维丛 $(\mathcal{E},\pi, \mathcal{M})$，其中$\mathcal{M}$表示一个$n\,$维时空。
- 一个拉格朗日量形式 $\Lambda:J^{1}\pi \rightarrow \Lambda^{n}M$

令$\star 1\,$代表$M\,$上的体积形式，则$\Lambda = L\star 1\,$，其中$L:J^{1}\pi \rightarrow \mathbb{R}$是拉格朗日量函数。

我们在 $J^{1}\pi\,$上选择纤维化坐标$\{x^{i},u^{\alpha},u^{\alpha}_{i}\}\,$，使得

$$\star 1 = dx^{1} \wedge \ldots \wedge dx^{n}$$

作用量积分定义为

$$S(\sigma) = \int_{\sigma(\mathcal{M})} (j^{1}\sigma)^{*}\Lambda \,$$

其中$\sigma \in \bar{\Gamma}(\pi)$，并定义于开集$\sigma(\mathcal{M})\,$，而$j^{1}\sigma\,$代表其第一射流延长(jet prolongation)。

## 作用量积分的变分

截面$\sigma \in \bar{\Gamma}(\pi)\,$的变分由曲线$\sigma_{t} = \eta_{t} \circ \sigma\,$给出，其中$\eta_{t}\,$是一个$\mathcal{E}\,$上的$\pi\,$-竖直向量场$V\,$的流，它在$\mathcal{M}\,$上有紧支撑。

截面$\sigma \in \bar{\Gamma}(\pi)\,$称为变分的驻点，如果

$$\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\int_{\sigma(\mathcal{M})}(j^{1}\sigma_{t})^{*}\Lambda = 0\,$$

这等价于

$$\int_{\mathcal{M}} (j^{1}\sigma)^{*}\mathcal{L}_{V^{1}}\Lambda = 0\,$$

其中$V^{1}\,$代表$V\,$的第一延长，按李导数的定义。

使用嘉当公式，$\mathcal{L}_{X}=i_{X}d + di_{X}\,$，斯托克斯定理以及$\sigma\,$的紧支撑，可以证明这等价于

$$\int_{\mathcal{M}} (j^{1}\sigma)^{*}i_{V^{1}}d\Lambda = 0 \,$$

## 欧拉－拉格朗日方程

考虑一个$\mathcal{E}$的$\pi\,$-竖直向量场

$$V = \beta^{\alpha}\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}}\,$$

其中$\beta^{\alpha} = \beta^{\alpha}(x,u)\,$。采用切触形式 $\theta^{j} = du^{j} - u^{j}_{i}dx^{i}\,$ on $J^{1}\pi\,$，我们可以计算$V\,$的第一延长。然后得到

$$V^{1} = \beta^{\alpha}\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}} + \left(\frac{\partial \beta^{\alpha}}{\partial x^{i}} + \frac{\partial \beta^{\alpha}}{\partial u^{j}}u^{j}_{i}\right)\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}_{i}}\,$$

其中$\gamma^{\alpha}_{i} = \gamma^{\alpha}_{i}(x,u^{\alpha},u^{\alpha}_{i})\,$。

据此，可以证明

$$i_{V^{1}}d\Lambda = \left[\beta^{\alpha}\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}} + \left(\frac{\partial \beta^{\alpha}}{\partial x^{i}} + \frac{\partial \beta^{\alpha}}{\partial u^{j}}u^{j}_{i}\right)\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}_{i}}\right]\star 1 \,$$

因而

$$(j^{1}\sigma)^{*}i_{V^{1}}d\Lambda = \left[(\beta^{\alpha} \circ \sigma)\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}} \circ j^{1}\sigma + \left(\frac{\partial \beta^{\alpha}}{\partial x^{i}} \circ \sigma + \left(\frac{\partial \beta^{\alpha}}{\partial u^{j}} \circ \sigma \right)\frac{\partial \sigma^{j}}{\partial x^{i}} \right)\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}_{i}} \circ j^{1}\sigma \right]\star 1 \,$$

分部积分并考虑$\sigma\,$的紧支撑，临界条件变为

$\int_{\mathcal{M}} (j^{1}\sigma)^{*}i_{V^{1}}d\Lambda \,$｜$= \int_{\mathcal{M}} \left[\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}} \circ j^{1}\sigma - \frac{\partial}{\partial x^{i}} \left(\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}_{i}} \circ j^{1}\sigma \right)\right]( \beta^{\alpha}\circ \sigma )\star 1 \,$

$$= 0 \,$$

因为$\beta^{\alpha}\,$为任意函数，我们得到

$$\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}} \circ j^{1}\sigma - \frac{\partial}{\partial x^{i}} \left(\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}_{i}} \circ j^{1}\sigma \right) = 0\,$$

这些就是欧拉－拉格朗日方程组。

## 参考

- Saunders, D.J., "The Geometry of Jet Bundles", Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7
- Bocharov, A.V. et al. "Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics", Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958
- De Leon, M., Rodrigues, P.R., "Generalized Classical Mechanics and Field Theory", Elsevier Science Publishing, 1985, ISBN 0-444-87753-3
- Griffiths, P.A., "Exterior Differential Systems and the Calculus of Variations", Boston: Birkhauser, 1983, ISBN 3-764-33103-8
- Gotay, M.J., Isenberg, J., Marsden, J.E., Montgomery R., Momentum Maps and Classical Fields Part I: Covariant Field Theory, November 2003
- Echeverria-Enriquez, A., Munoz-Lecanda, M.C., Roman-Roy,M., Geometry of Lagrangian First-order Classical Field Theories, May 1995