代数

<image>

代数是一个较为基础的数学分支。它的研究对象有许多。诸如数、数量、代数式、关系、方程理论、代数结构等等都是代数学的研究对象。

初等代数一般在中学时讲授，介绍代数的基本思想：研究当我们对数字作加法或乘法时会发生什么，以及了解变数的概念和如何建立多项式并找出它们的根。

代数的研究对象不仅是数字，还有各种抽象化的结构。例如整数集作为一个带有加法、乘法和序关系的集合就是一个代数结构。在其中我们只关心各种关系及其性质，而对于“数本身是什么”这样的问题并不关心。常见的代数结构类型有群、环、域、模、线性空间等。

## 历史

<image>

代数的起源可以追溯到古巴比伦的时代，当时的人们发展出了较之前更进步的算术系统，使其能以代数的方法来做计算。经由此系统的被使用，他们能够列出含有未知数的方程并求解，这些问题在今日一般是使用线性方程、二次方程和不定线性方程等方法来解答的。相对地，这一时期大多数的埃及人及公元前1世纪大多数的印度、希腊和中国等数学家则一般是以几何方法来解答此类问题的，如在《莱因德数学纸草书》、《绳法经》、《几何原本》及《九章算术》等书中所描述的一般。希腊在几何上的工作，以几何原本为其经典，提供了一个将解特定问题解答的公式广义化成描述及解答方程之更一般的系统之架构。

代数的英语为 algebra，源于阿拉伯语单字“al-jabr”，出自《代数学》（阿拉伯语：al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala）这本书的书名上，意指移项和合并同类项之计算的摘要，其为波斯回教数学家花拉子米于820年所著。Al-Jabr此词的意思为“重聚”。传统上，希腊数学家丢番图被认为是“代数之父”，但现在则有些争论，是否花拉子米比丢番图更适合此称号。支持花拉子米的人指出其对于约化的成果到今日都还有用途，且他更给出了一个解答二次方程的一详尽说明。而支持丢番图的人则主张在Al-Jabr里出现的代数比在Arithmetica里出现的更为基本，且Arithmetica是简字的而Al-Jabr却完全是文辞的。另一位波斯数学家欧玛尔·海亚姆发展出代数几何，且找出了三次方程的一般几何解法。印度数学家摩诃吠罗和婆什迦罗与中国数学家朱世杰解出了许多三次、四次、五次及更高次多项式方程的解了。

代数更进一步发展的另一个关键事件在于三次及四次方程的一般代数解，其发展于16世纪中叶。行列式的概念发展于17世纪的日本数学家关孝和手中，并于十年后由莱布尼茨继续发展着，其目的是为了以矩阵来解出线性方程组的答案来。加布里尔·克拉默也在18世纪时在矩阵和行列式上做了一样的工作。抽象代数的发展始于19世纪，一开始专注在今日称为伽罗瓦理论及规矩数的问题上。

### 发展历程

符号代数的发展历程漫长而曲折，大致可分为四个阶段。最初的文辞代数，兴起于巴比伦时期，并一直延续到16世纪。它完全依靠文字来表述和解决代数问题。随后，几何建构代数逐渐兴起，在吠陀时期和古希腊数学家那里得到重视，他们利用几何图形来解决代数问题。第三个阶段是简字代数，由丢番图在其著作巴赫沙里手稿中发展而来，引入了缩写和符号来表示未知数和运算。最终，在莱布尼茨时期，符号代数发展到顶峰，成为了人们今天所熟知的代数形式。

<image>

追溯代数发展的历史，最早可以追溯到公元前1800年左右，旧巴比伦的斯特拉斯堡泥板书中就记载了人们对二次椭圆方程解法的探索。公元前1600年左右，普林顿322号泥板书中以巴比伦楔形文字记录了勾股数列表。公元前800年左右，印度数学家包德哈亚那在其著作包德哈尔那绳法经中使用代数方法找到了勾股数，并给出了线性方程和二次方程的几何解法。约公元前600年，阿帕斯檀跋在其著作中提出了一次方程的一般解法和包含至多五个未知数的丢番图方程组的解法。

古希腊数学家欧几里德在其著作《几何原本》中，使用尺规作图的方法，基于毕达哥拉斯学派的几何学，给出了二次方程的解法。同一时期，倍立方问题的几何解法也被提出，然而，后人证明该问题无法使用尺规作图方法求解。公元前100年左右，中国数学家在《九章算术》中对代数方程进行了深入研究，其中包括使用试位法求解线性方程、二次方程的几何解法以及类似于现代消元法的方法求解线性方程组，并应用了一次内插法。与此同时，在古印度，巴赫沙里手稿中出现了使用字母和其他符号的代数标记法，其中包含三次和四次方程、多达五个未知数的线性方程的代数解、二次方程的一般代数公式以及不定二次方程和方程组的解法。

公元150年左右，希腊化埃及数学家希罗在其三卷数学著作中论述了代数方程。大约200年后，被誉为“代数之父”的丢番图在其著作算术中系统地论述了代数方程的解法和数论问题。

之后，印度数学家阿耶波多和婆罗摩笈多在5世纪和7世纪分别对线性方程、不定方程和二次方程做出了重要贡献。婆罗摩笈多甚至认识到了二次方程的负数根和无理数根。同一时期，中国数学家王孝通找到了三次方程的数值解，僧一行则将不等间距内插法应用于《大衍历》的计算中。

公元820年，波斯数学家花拉子米的著作完成和平衡计算法概要标志着现代代数学的诞生。他系统地论述了线性方程与二次方程的求解方法，被后世誉为“代数之父”。之后，波斯和印度数学家在高次方程和不定方程的研究方面取得了突破性进展。阿尔卡拉吉将花拉子米的代数方法进一步扩展，引入了未知数的整数次方和整数开方运算。印度数学家摩诃吠罗解出了许多高次方程和不定方程。中国数学家贾宪使用贾宪三角形找到了多项式方程的数值解，而朱世杰则在多项式代数和多元高次方程组的求解方面做出了重要贡献。

从16世纪开始，欧洲数学家在代数领域取得了重大突破。费罗、塔尔塔利亚和卡尔达诺等人先后解决了三次方程的求解问题。弗朗索瓦·韦达和托马斯·哈里奥特在改进代数符号系统方面做出了重要贡献。莱布尼茨在17世纪发展了形式规则的符号操作概念，为现代代数奠定了基础。与此同时，日本数学家关孝和在行列式和高次方程求解方面也取得了重要成果。

18世纪，加布里尔·克拉默提出了克莱姆法则，并对代数曲线、矩阵和行列式进行了研究。最后，在19世纪，埃瓦里斯特·伽罗瓦的工作发展出了伽罗瓦理论，标志着抽象代数的诞生。

## 分类

<image>

- 初等代数：学习以位置标志符(place holders)标记常数和变数的符号，与掌控包含这些符号的表示式及方程式的法则，来记录实数的运算性质。（通常也会涉及到中等代数和大学代数的部分范围。）
- 抽象代数：讨论代数结构的性质，例如群、环、域等。这些代数结构是在集合上定义运算而来，而集合上的运算则适合某些公理。
- 线性代数：专门讨论矢量空间，包括矩阵的理论。
- 泛代数，讨论所有代数结构的共有性质。
- 计算代数：讨论在电脑上进行数学的符号运算的算法。

## 初等代数

初等代数是代数中最基本的一种类型。其教导对象为假定不具有对算术基本原则之类的数学知识之学生。虽然在算术里，只有数和其算术运算（如加、减、乘、除）会出现；而在代数，数则通常会以 $a$、$b$、$m$、$n$、$x$、$y$ 等符号来标记，表达式则会以 $f(x)$、$g(x)$、$f(g(x))$、$f(x_1, x_2)$ 等符号来标记。这是很有用的，因为：

- 它允许对算术定理之一般性公式的描述（如$\forall a\in \R, b \in \R, a+b=b+a$），且此为对实数性质做系统性描述的第一步。
- 它允许指涉未知数、将方程公式化及学习如何去解答（如“找一数 $x$，使其 $3x+1=10$ 的方程成立）。
- 它允许将函数关系公式化（如“若你卖了 $x$ 张票，则你将获利 $(3x-10)$ 元，亦即 $f(x)=3x-10$，其中 $f$ 为其函数，且 $x$ 为此函数输入的值。”）。

## 抽象代数

抽象代数将基本代数和数的算术中的一些相似概念延广成更一般的概念。

集合：不单只考量数的不同类型，抽象代数处理更为一般的概念－集合：一群称为元素之物件的聚集。所有相似类型的数都是一种集合。另一些集合的例子有所有两阶方阵组成之集合、所有两次多项式组成的集合、所有平面的二维向量所组之集合、及如如整数同余 $n$ 的群之循环群等各种有限群。集合论是逻辑的一个分支且技术上不属于代数的一种分支。

二元运算：加法$+$的概念被抽象化成了一种二元运算，称之为*。对于在集合 $S$ 内的两个元素 $a$ 和 $b$， $a*b$ 会给出集合内的另一个元素（技术上，此条件称之为封闭性）。加法$+$、减法$-$、乘法$\times$、除法$\div$都是二元运算，且矩阵、向量及多项式等之加法和乘法也是二元运算。

单位元素：零和一两个数被抽象化成单位元素的概念。零是加法的单位元素而一则是乘法的单位元素。对于一任意的二元运算*，单位元素$e$必须得满足$a*e=a$和$e*a=a$两个条件。其在加法中为$a+0=a$和$0+a=a$，而在乘法中则为$a\times 1=a$和$1\times a=a$。但若取正自然数和加法，则其不存在有单位元素。

逆元素：负数导致出了逆元素的概念。对加法而言，$a$的逆元素为$-a$，而对乘法而言，其逆元素则为$1/a$。一通常之逆元素$a^{-1}$必须满足$a*a^{-1}=e$和$a^{-1}*a=e$之性质。

结合律：整数的加法有一称为结合律的性质。亦即，数相加的顺序不影响其总和。例如：$\left ( 2+3 \right )+4=2+\left ( 3+4 \right )$。一般化地，其可以被写成$(a * b)* c = a *(b * c)$。此一性质在大多数的二元运算中存在着，但不包括减法和除法。

交换律：整数的加法有一称为交换律的性质。亦即，数被加的顺序不影响其总和。例如：$2+3=3+2$。一般化地，其可以被写成$a * b = b * a$。只有一些二元运算拥有此一性质。其在整数的加法和乘法上成立，但在矩阵乘法上则不成立。

### 群

结合上面的概念可给出在数学中最重要的结构之一：群。群为一个集合$S$和一二元运算*之结合，使其可有如下性质：

- 此运算是封闭的：若$a$和$b$为$S$之元素，则$a*b$也会是。

实际上，提及此性质是很多余的，因为每一个二元运算都已经说过其运算为封闭了。但封闭性经常被强调为群的一种性质。

- 存在单位元素$e$，使得对每个于$S$内的元素$a,e*a$和$a*e$都会等同于$a$。
- 每一元素都存在一逆元素：对每一于$S$内的元素$a$，存在一元素$a^{-1}$，使得$a * a^{-1}$和$a^{-1} * a$都会等同于单位元素。
- 此运算是可结合的：若$a$、$b$和$c$为$S$的元素，则$(a * b)* c$会等同于$a *(b * c)$。

若一群亦为可交换的－即对任两个于$S$内的元素$a$和$b,a*b$会等同于$b*a$－则此群称为阿贝尔群。

例如，加法的运算下之整数集合为一个群。在此一群中，其单位元素是 $0$ 且其任一元素 $a$ 的逆元素为其负数 $-a$。其有关结合律的要求亦是吻合的，因为对任何整数 $a$、$b$、$c$，$\left ( a+b \right )+c=a+\left ( b+c \right )$。

非零有理数会形成一个于乘法下的群。在此，其单位元为 $1$，当对于任一有理数 $a$，$1 \times a = a \times 1 = a$。$a$ 的逆元素为 $\frac{1}{a}$，当 $a \times \frac{1}{a} = 1$。

但无论如何，于乘法运算下的整数不会形成一个群。这是因此一整数的乘法逆元通常不会是一个整数。例如，$4$是一个整数，但其乘法逆元为$1/4$，不为一个整数。

群的理论被学习于群论中。此一理论的一主要成果为有限简单群分类，主要发表于1955年至1983年之间，其目的在于将所有的有限简单群分类至约30种的基本类型中。

例子

集合:｜自然数$\N$｜整数$\Z$｜有理数$\Q$（实数$\R$、复数$\Complex$）｜整数同余$3$: $\{0,1,2\}$

运算｜$+$｜$\times$ （不含零）｜$+$｜$\times$ （不含零）｜$+$｜$-$｜$\times$ （不含零）｜$\div$（不含零）｜$+$｜$\times$ （不含零）

封闭性｜是｜是｜是｜是｜是｜是｜是｜是｜是｜是

单位元素｜$0$｜$1$｜$0$｜$1$｜$0$｜NA｜$1$｜NA｜$0$｜$1$

逆元素｜NA｜NA｜$-a$｜NA｜$-a$｜$a$｜$\frac{1}{a}$｜$a$｜分别为| $0,2,1$｜分别为NA,$1,2$

结合律｜是｜是｜是｜是｜是｜否｜是｜否｜是｜是

交换律｜是｜是｜是｜是｜是｜否｜是｜否｜是｜是

结构｜幺半群｜幺半群｜阿贝尔群｜幺半群｜阿贝尔群｜拟群｜阿贝尔群｜拟群｜阿贝尔群｜阿贝尔群（$\Z_2$）

半群、拟群和幺半群是类似于群的结构，但更具一般性。它们由一个集合和一个封闭二元运算所组成，但不必然满足其他条件。半群有一结合二元运算，但没有单位元素。幺半群是一有单位元素但可能没有每个元素之逆元素的半群。拟群满足任一元素皆以一唯一的前或后运算转换成另一元素，但此一二元运算可能不具结合律。

所有的群都是幺半群，且所有的幺半群都是半群。

### 环和体－具两个二元运算的结构

群只有一个二元运算。但为了完整说明不同类型的数之行为，具两个运算子的结构是需要的。其中最重要的为环和体。

分配律广义化了数中的分配律，且要求其运算子运算时应采之顺序（称为优先权）。对于整数而言，$(a + b) \times c = a\times c+ b\times c$且$c \times (a + b) = c\times a + c\times b$，而且$\times$称之此于+上是可分配的。

环有两个二元运算$+$和$\times$，其中$\times$于$+$上是可分配的。在第一个运算$+$下，它会形成一个阿贝尔群。而在第二个运算$\times$下，其为结合的，但不需要有一单位元素或逆元素，所以除法是不被允许的。其加法$+$单位元写成$0$，而其$a$的加法逆元则写成$-a$。

整数是环的一个例子。其有使其为一整环的额外性质。

体是一具有在运算$\times$下，除了$0$的所有元素会形成一阿贝尔群之额外性质的环。其乘法$\times$单位元素写成$1$，而其$a$的乘法逆元则写成$a^{-1}$。

有理数、实数和复数都是体的例子。

## 代数

代数一词亦可用来称呼不同的代数结构，包含有：

- 交换环上的代数
- 集合上的代数
- 布尔代数
- 范畴论内的F-代数和F-对偶代数
- Σ代数

## 参考文献

- Donald R. Hill, Islamic Science and Engineering (Edinburgh University Press, 1994).
- Ziauddin Sardar, Jerry Ravetz, and Borin Van Loon, Introducing Mathematics (Totem Books, 1999).
- George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (Penguin Books, 2000).
- John J O'Connor and Edmund F Robertson, MacTutor History of Mathematics archive (University of St Andrews, 2005).
- Algebra Help Online algebra tutorials.
- Highlights in the history of algebra
- Explanation of Basic Topics
- I.N. Herstein: Topics in Algebra. ISBN 0-471-02371-X
- R.B.J.T. Allenby: Rings, Fields and Groups. ISBN 0-340-54440-6

## 外部链接

- Sparknotes' Review of Algebra I and II
- ExampleProblems.com Example problems and solutions from basic and abstract algebra.
- Purplemath.com "Your Algebra Resource"
- What Is Algebra?
- Online Algebra Graphing Calculator - WebGraphing.com
- Step by step algebra problem solver - algebrasolver.com
- Algebra Basics from kwizNET Learning System