集肤效应

在电磁学中，集肤效应（又称趋肤效应或直译作表皮效应，Skin effect）是指导体中有交流电或者交变电磁场时，导体内部的电流分布不均匀的一种现象。随着与导体表面的距离逐渐增加，导体内的电流密度呈指数衰减，即导体内的电流会集中在导体的表面。从与电流方向垂直的横切面来看，导体的中心部分几乎没有电流流过，只在导体边缘的部分会有电流。简单而言就是电流集中在导体的“皮肤”部分，所以称为集肤效应。产生这种效应的原因主要是变化的电磁场在导体内部产生涡电流，与原来的电流相抵消。

集肤效应使得导体的电阻随着交流电的频率增加而增加，并导致导线传输电流时效率减低，耗费金属资源。在铜中，当频率为60赫兹时，趋肤深度约为8.5毫米。在高频时，趋肤深度会更小得多。

由于趋肤效应导致的交流电阻增大，可通过使用一种专门的多股绞合导线（称为辫线）来缓解。因为大截面导体的内部几乎不承载电流，因此可使用中空管状导体以节省重量和成本。

趋肤效应在无线电频率的设计、微波线路和电力传输系统方面都要考虑到集肤效应的影响。在交流电力传输与配电系统（50-60 Hz）中，趋肤效应也十分重要。它也是在长距离输电中偏好使用高压直流输电（HVDC）的原因之一。

集肤效应最早在英国应用数学家贺拉斯·兰姆（Horace Lamb）1883年发表的一份论文中提及，只限于球壳状的导体。1885年，英国物理学家奥利弗·赫维赛德（Oliver Heaviside）将其推广到任何形状的导体。

## 原因

导体（通常为导线）可用于利用其中流动的交流传输电能或信号。构成电流的电荷载流子（通常为电子）在电源产生的电场作用下被驱动。导体中的电流会在导体内外产生磁场。当导体中电流强度变化时，磁场也随之变化。磁场的变化反过来又产生一个与电流强度变化方向相反的电场——这种反向电场称为反电动势（back EMF）。反电动势在导体中心处最强/最集中，从而使电流主要只能在导体外侧的皮层流动。

无论驱动力如何，电流密度在导体表面处最大，往导体深处其幅度逐渐减小。这种电流密度的下降称为“趋肤效应”，而“趋肤深度”则是指电流密度下降到表面处值的1/e（约37%）时所对应的深度。超过98%的电流将在距表面四倍趋肤深度的层内流动。该行为不同于直流情形——直流电通常在导线的整个横截面上均匀分布。

根据电磁感应定律，交变磁场也可以在导体中“感应”出交流电流。当电磁辐射入射到导体上时，通常会产生这样的感应电流；这解释了电磁波在金属中的衰减。尽管“趋肤效应”一词通常与电流传输的应用相关联，趋肤深度同样描述平面波在垂直入射导体表面时，电场和磁场以及感应电流密度在材料内部的指数衰减现象。

## 理论

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当单色平面电磁波从真空垂直射入表面为平面的无限大导体中时，随着与导体表面的距离逐渐增加，导体内的电流密度$J$随从表面到深度$d$呈指数衰减：$$J = J_\mathrm{S} \,e^{-{(1+j)d/\delta }}$$其中，$J_s$是导体表面的电流密度，$x$表示电流与导体表面的距离，$\delta$是一个和导体的电阻率以及交流电的频率有关的系数，称为趋肤深度（skin depth），定义为导体表面下方电流密度降至表面值的1/e（约 0.37）处的深度。指数项的虚部表明电流密度的相位随渗透深度而延迟：每增加一个趋肤深度，相位延迟1弧度。导体内完成一个完整的波长需要2π个趋肤深度，此时电流密度被衰减到e−2π（约 1.87×10−3，或 −54.6 dB）的表面值。导体内的波长远短于真空中的波长，等价地，导体内的相速度远小于真空中的光速。例如，1 MHz的无线电波在真空中的波长$\lambda_0$约为300 m，而在铜中波长仅约0.5 mm，相速度仅约500 m/s。因此根据斯涅尔定律及导体中极小的相速度，任何入射到导体的波，即使为掠入射，也几乎都会折射到与导体表面垂直的方向。

在无介质或磁性损耗情况下，趋肤深度的一般公式为：$$\delta= \sqrt{ \frac{\, 2\rho \,}{\omega\mu } \left (\sqrt{1 + \left({\rho\omega\varepsilon}\right)^2 \,} + \rho\omega\varepsilon \right) \,}$$其中：

- $\rho$：导体的电阻率
- $\omega$：交流电的角频率 = 2π ×频率
- $\mu$：导体的磁导率 = $\mu_0 \cdot \mu_r$，其中$\mu_0$是真空磁导率，$\mu_r$是导体的相对磁导率
- $\varepsilon$：导体的电容率（介电常数），$\varepsilon$=$\varepsilon_r\varepsilon_0$，$\varepsilon_r$导体的相对介电常数，$\varepsilon_0$是真空的介电常数

当频率远低于$\frac{1}{\rho\varepsilon}$时，括号内的量接近1，此时常用的简化公式为：$$\delta=\sqrt{\frac{\, 2\rho \,}{\omega\mu} \,}$$该公式在远离强原子或分子谐振（此时$\varepsilon$会有较大虚部）和在频率远低于材料的等离子体频率（取决于材料中自由电子密度）以及远低于导电电子平均碰撞间隔的倒数时成立。在诸如金属等良导体中，这些条件至少在微波频率范围内都成立，因此上述简化公式是合理的。举例而言，对于铜来说，这一近似在远低于约1018 Hz的频率下成立。

然而在极差的导体中（导电性很低），在足够高的频率下，括号内的量会增大。当频率远高于$\frac{1}{\rho\varepsilon}$时，趋肤深度趋向以下渐近值：

$$\delta \approx {2 \rho} \sqrt{\frac{\, \varepsilon \,}{ \mu }\,}$$这种偏离通常仅在导电性较低的材料且在真空波长不远大于趋肤深度的频率下才会出现。例如，块状（未掺杂）硅是较差的导体，在100 kHz 时其趋肤深度约为40米（对应真空波长λ=3 km）。但当频率提高到兆赫范围时，其趋肤深度也不会低于渐近值约11米。结论是，对于诸如未掺杂硅等较差的固体导体，在大多数实际情况中不必考虑趋肤效应。

## 圆形导线

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假设$I(r)$是从离导线中心r处到导线表面的截面上通过的电流，$I$为截面上的总电流，那么有：

$$\frac{I(r)}{I} = \frac{Ber(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta})-Ber(\frac{\sqrt{2}\,r}{\delta}) + i \, [Bei(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta}) - Bei(\frac{\sqrt{2}\,r}{\delta})]}{Ber(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta}) + i \, Bei(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta})}$$

其中Ber和Bei为0阶的开尔文-贝塞尔函数的相应原函数（具体见下）。

考虑一个半径为a，长度无限大的圆柱形导体。假设电磁场是时变场，则在圆柱中有频率为ω的正弦交流电流。由麦克斯韦方程组。

麦克斯韦-法拉第方程：

$$\nabla\times \, \mathbf{E} = - i \, \omega \, \mathbf{B}$$

麦克斯韦-安培方程：

$$\nabla\times\, \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$$

其中：

- E是电场强度
- B是磁感应强度
- J是电流密度
- μ是导体的磁导率

在导体中，欧姆定律的微分形式为：

$$\mathbf{J} = \sigma \, \mathbf{E}$$

σ是导体的电导率。

我们假设导体是均匀的，于是导体各处的μ和σ都相同。于是有：

$$\nabla\times\, \mathbf{J} = - i \, \omega \, \sigma \, \mathbf{B}$$

$$\nabla\times\, \mathbf{B} = \mu \, \mathbf{J}$$

在圆柱坐标系(r, θ, z)（z为圆柱导体的轴心）中，设电磁波随z轴前进，由对称性，电流密度是一个只和r有关的函数：

$$\mathbf{J} = \begin{pmatrix}0\\0\\j(r)\end{pmatrix}$$

取麦克斯韦-法拉第方程两边的旋度，就有：

$$\nabla\times \,(\nabla\times \, \mathbf{J}) = - i \, \omega \, \sigma \,( \nabla\times \, \mathbf{B})$$

也就是：

$$\nabla \, \mathrm{div} \, \mathbf{J} - \Delta \mathbf{J} = - i \, \omega \, \sigma \, \mu \, \mathbf{J}$$

由之前对电流密度的假设，$\mathrm{div} \, \mathbf{J} = 0$，因此有：

$$\Delta \mathbf{J} = i \, \omega \, \sigma \, \mu \, \mathbf{J}$$

在圆柱坐标系中，拉普拉斯算子$\Delta$写作：

$$\frac{d^2\,j}{dr^2}(r) + \frac{1}{r} \, \frac{d\,j}{dr}(r) = i \, \omega \, \sigma \, \mu \, j(r)$$

令$k^2 = i \, \omega \, \sigma \, \mu$，再将方程两边乘上r2就得到电流密度应该满足的方程：

$$r^2 \, \frac{d^2\,j}{dr^2}(r) + r \, \frac{d\,j}{dr}(r) - r^2 \, k^2 \, j(r) = 0$$

在进行代换$\xi = i \, k \, r$后，方程变为一个齐次的贝塞尔方程：

$$\xi^2 \, \frac{d^2\,j}{d\xi^2}(\xi) + \xi \, \frac{d\,j}{d\xi}(\xi) + \xi^2 \, j(\xi) = 0$$

由电流密度在r = 0的连续性，方程的解具有$J_0(\xi)$的形式，其中J0是零阶的第一类贝塞尔函数。于是：

$$j(r) = j_0 \, J_0(i \, k \, r)$$

其中j0是一个常数，k为：

$$k = \sqrt{i} \, \sqrt{\omega \, \sigma \, \mu} = \frac{1+i}{\sqrt{2}} \, \sqrt{\omega \, \sigma \, \mu} = \frac{1+i}{\delta}$$

其中δ是集肤深度，$\delta = \sqrt{\frac{2}{\omega \, \sigma \, \mu}}$。

$$i \, k = \frac{-1+i}{\delta} = e^{i \, 3 \, \pi/4} \, \frac{\sqrt{2}}{\delta}$$

最后，电流密度为：

$$\begin{matrix}j(r) &=& j_0 \, J_0(e^{i \, 3 \, \pi/4} \, \frac{\sqrt{2} \, r}{\delta})\\ &=& j_0 \, (ber(\frac{\sqrt{2} \, r}{\delta}) + i \, bei(\frac{\sqrt{2} \, r}{\delta}))\end{matrix}$$

其中ber和bei是0阶的开尔文-贝塞尔函数。

于是通过整个截面的电流总和就是：

$$\begin{matrix}I &=& \int_0^a j(r) \, 2 \, \pi \, r \, dr\\ &=& 2 \, \pi \, j_0 \int_0^a J_0(e^{i \, 3 \, \pi/4} \, \frac{\sqrt{2} \, r}{\delta}) \, r \, dr\\ &=& \pi \, \delta^2 \, j_0 \, \int_0^{\sqrt{2} \, a / \delta}(ber(x) + i \, bei(x)) \, x \, dx\end{matrix}$$

记Ber和Bei为相应的原函数：

$$Ber(x) = \int_0^x ber(x^\prime)\, x^\prime \, dx^\prime \qquad \mbox{ et } \qquad Bei(x) = \int_0^x bei(x^\prime) \, x^\prime \, dx^\prime$$

便有如下更简洁的形式：

$$I = \pi \, \delta^2 \, j_0 \, \left(Ber(\frac{\sqrt{2}\, a}{\delta}) + i \, Bei(\frac{\sqrt{2}\, a}{\delta})\right)$$

我们还可以计算从圆柱表面到离轴心距离r处的电流总和：

$$\begin{matrix}I(r)&=& \int_{a-r}^a j(r^\prime) \, 2 \, \pi \, r^\prime \, dr^\prime\\ &=& \pi \, \delta^2 \, j_0 \, \left( Ber(\frac{\sqrt{2}\, a}{\delta})- Ber(\frac{\sqrt{2}\, r}{\delta}) + i \, [Bei(\frac{\sqrt{2}\, a}{\delta}) - Bei(\frac{\sqrt{2}\, r}{\delta})] \right)\end{matrix}$$

于是有电流的分布函数：

$$\frac{I(r)}{I} = \frac{Ber(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta})-Ber(\frac{\sqrt{2}\,r}{\delta}) + i \, [Bei(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta}) - Bei(\frac{\sqrt{2}\,r}{\delta})]}{Ber(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta}) + i \, Bei(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta})}$$

### 阻抗

#### 电阻

趋肤效应对单根导线阻抗影响中最重要的方面是电阻的增加，从而产生额外损耗（例如铜损）。当电流被限制在大于趋肤深度很多的导体表面附近流动时（导体厚度远大于$\delta$），可近似将电流视为在厚度为$\delta$的层中均匀流动，且该层的电阻基于材料的直流电阻率来计算。有效横截面积大约等于趋肤深度$\delta$与导体周长的乘积。因此，对于很长的圆柱形导体，比如导线来说，如果它的直径$D$比$\delta$大很多的话，它对于交流电的电阻将会相当于一个中空的厚度为$\delta$的圆柱导体对直流电的电阻。

$$R\approx{{\rho \over \delta}\left({l\over{\pi (D-\delta)}}\right)}\approx{{\rho}\left({l\over{\pi D \delta }}\right)}$$

其中：

$l$=导线的长度

$D$=导线直径

上式最后的近似假设$D \gg \delta$。

一个便捷的经验公式（来自弗雷德里克·特曼）给出了在频率$f$下，使得导线对交流电的电阻增加百分之十的直径$D_W$大约是：

$$D_\mathrm{W} = {\frac{200~\mathrm{mm}}{\sqrt{f/\mathrm{Hz}}}}$$

以上的导线对交流电的电阻只对于孤立的导线成立。对于邻近的导线（例如电缆或线圈），交流电阻会受到邻近效应的影响而显著增大，可能导致交流电阻进一步增加。单位长度段圆导线的“内部”阻抗为：$$\mathbf{Z}_\text{int} = \frac { k \rho } { 2 \pi R } \frac { J_0(k R) } { J_1(k R) }.$$该阻抗为复数，可视为实部（电阻）与虚部（由于导线内部自感引起的电抗）串联的等效阻抗，均按单位长度计。

#### 电感

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导线电感中可归因于导线内部磁场的那一部分称为内部电感，它对应于上面公式中给出的感抗（阻抗的虚部）。在大多数情况下，这只是导线电感的一小部分，导线电感的大头是由导线产生的外部磁场引起的电磁感应（即“外部电感”）。与外部电感不同，内部电感会被趋肤效应减小，也就是说，当趋肤深度不再远大于导体尺度（随频率升高而出现）时，内部电感会下降。该小量的电感在低频时趋近于$\frac \mu { 8 \pi }$（对于非磁性导线约为50 nH/m），与导线半径无关。随着频率增加、趋肤深度与导线半径的比值降到大约1以下，该内部电感的减少如随附图所示，这也解释了电话电缆电感随频率增加而减小的现象。

参见下图所示同轴电缆的内外导体构型。由于趋肤效应使高频时电流主要流经导体表面，可以看出这将减少导线内部的磁场 —— 即在大部分电流流动深度以下的区域。可以证明，这对导线本身的自感只有很小的影响；关于该现象的数学处理见Skilling或Hayt等著作。

此处讨论的电感是指裸导体的电感，而不是作为电路元件使用的线圈的电感。线圈的电感主要由线圈匝间的互感主导，其使电感随匝数的平方增长。然而当仅涉及单根导线时，除了与导线外部磁场有关的“外部电感”（见下图白色区域）之外，还存在一项更小的“内部电感”成分，来自导体内部的磁场（图B中的绿色区域）。当电流集中在导体的表皮处（即趋肤深度不再远大于导线半径）时，这一小的内部电感成分会减小，高频时出现。

对于单根导线，当导线长度远大于其直径时，这种减少变得不那么重要，通常被忽略。然而，在传输线存在第二导体的情况下（例如同轴、双绞线等），外部磁场（以及总自感）的空间范围会被限制，不论导线长度如何，因此趋肤效应导致的电感减小仍然可能很重要。例如在下述的电话双绞线案例中，在趋肤效应显著的更高频率下，导体的电感明显减小（超过20%）。另一方面，当由于线圈几何（匝间互感）使外部电感分量被放大时，内部电感的重要性则更加微不足道，通常可忽略。

## 减缓集肤效应的方法

一种减缓集肤效应的方法是采用所谓的辫线（源自德语：Litzendraht，意为“编织起来的线”）。辫线采用将多条金属导线相互缠绕的方法，使得电磁场能够比较均匀地分布，这样各导线上的电流分布就会较为平均。使用利兹线后，产生显著集肤效应的频率可以从数千赫兹提高到数兆赫兹。辫线一般应用在高频交流电的传输中，可以同时减缓集肤效应和邻近效应。

高电压大电流的架空电力线路通常使用钢芯铝绞线，这样能使铝质部分的工作部分温度降低，减低电阻率，并且由于集肤效应，电阻率较大的钢芯上承载极少的电流，因而无关紧要。

还有将实心导线换成空心导线管，中间补上绝缘材料的方法，这样可以减轻导线的重量。

在传输的频率在甚高频或微波级别时，一般会使用镀银（已知的除超导体外最好的导体）的导线，因为这时集肤深度非常的浅，使用更厚的银层已是浪费。

## 其它应用

集肤效应使交流电只通过导体的表面，因此电流只在其表面产生热效应。钢铁工业中利用集肤效应来为钢进行表面淬火，使钢材表面的硬度增大。

集肤效应也可以描述为：导体中变电磁场的强度随着进入导体的深度而呈指数递减，因此在防晒霜中混入导体微粒（一般是氧化锌和氧化钛），就能使阳光中的紫外线（高频电磁波）的强度减低。这便是物理防晒的原理之一。此外，集肤效应也是电磁屏蔽的方法之一，利用集肤效应可以阻止高频电磁波透入良导体而作成电磁屏蔽装置，这也是电梯里手机信号不好的原因。

## 举例

频率为10 GHz（微波）时各种材料的集肤深度：

导体｜δ（μm）

铝｜0.80

铜｜0.65

金｜0.79

银｜0.64

在铜质导线中，集肤深度和频率的关系大致如下：

频率｜δ

60 Hz｜8.57 mm

10 kHz｜0.66 mm

100 kHz｜0.21 mm

1 MHz｜66 µm

10 MHz｜21 µm

## 外部链接

- Skin Effect and HiFi Cables
- More on the "skin effect"

## 相关

- http://group.ednchina.com/250/4713.aspx
- William Hart Hayt, Engineering Electromagnetics Seventh Edition, (2006), McGraw Hill, New York ISBN 0073104639
- Paul J. Nahin, Oliver Heaviside: Sage in Solitude, (1988), IEEE Press, New York, ISBN 0879422386
- Terman, F.E. Radio Engineers' Handbook, McGraw-Hill 1943 -- for the Terman formula mentioned above