常微分方程

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在数学分析中，常微分方程（ordinary differential equation，简称ODE）是未知函数只含有一个自变量的微分方程，与之相对的是偏微分方程（partial differential equation, 简称PDE）——后者可能涉及多个自变量。

很多科学问题都可以表示为常微分方程，例如根据牛顿第二运动定律，物体在力的作用下的位移$s$和时间$t$的关系就可以表示为如下常微分方程：

$$m\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}=f(s)$$

其中$m$是物体的质量，$f(s)$是物体所受的力，是位移的函数。所要求解的未知函数是位移$s$，它只以时间$t$为自变量。

## 定义

在下文中， $y$ 是因变量，代表独立变量 $x$ 的未知函数 $y=f(x)$。导数的记号因作者不同而异，也取决于具体任务中最便于使用的记号。其中，莱布尼茨记号$$\frac{dy}{dx},\frac{d^2y}{dx^2},\ldots, \frac{d^ny}{dx^n}$$ 在求导和积分时更为便利；而拉格朗日记号$$y',y'',\ldots,y^{(n)}$$ 在紧凑表示高阶导数时更有优势；牛顿记号$$(\dot y, \ddot y, \overset{...}{y})$$ 则常用于物理学中表示相对于时间的低阶导数。

### 一般定义

给定一个函数 $F$，它依赖于 $x$、$y$ 以及 $y$ 的导数。那么形如

$$F\left (x,y,y',\ldots, y^{(n-1)} \right )=y^{(n)}$$

方程称为 $n$ 阶显式常微分方程。

更一般地，$n$ 阶隐式常微分方程的形式为：

$$F\left(x, y, y', y'',\ \ldots,\ y^{(n)}\right) = 0$$

进一步分类如下：

如果微分方程不显式依赖于变量 x，则称其为自治（驻定）的。

如果 $F$ 可以写成 $y$ 的各阶导数的线性组合，即方程可以改写为

$$y^{(n)} = \sum_{i=0}^{n - 1} a_i(x) y^{(i)} + r(x)$$

其中 $a_i(x)$ 和 $r(x)$ 是 $x$ 的连续函数，则称该微分方程为线性的。

函数 $r(x)$ 称为源项（source term），从而引出进一步的分类。

如果 $r(x) = 0$，则线性微分方程是齐次的。此时总存在“平凡解” $y = 0$。

如果 $r(x) \neq 0$，则线性微分方程是非齐次的。

不是线性的微分方程。

### 常微分方程组

多个相互耦合的微分方程构成一个方程组。如果 $\mathbf{y}$ 是一个向量，其分量为函数

$$\mathbf{y}(x) = [y_1(x),y_2(x),\ldots, y_m(x)]$$

且 $\mathbf{F}$ 是 $\mathbf{y}$ 及其导数的向量值函数，则

$$\mathbf{y}^{(n)} = \mathbf{F}\left(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right)$$

称为 $n$ 阶 $m$ 维显式常微分方程组。用列向量形式表示为：

$$\begin{pmatrix} y_1^{(n)} \\ y_2^{(n)} \\ \vdots \\ y_m^{(n)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_1 \left (x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right ) \\ f_2 \left (x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right ) \\ \vdots \\ f_m \left (x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right) \end{pmatrix}$$

这些方程组不一定是线性的。其隐式对应形式为：

$$\mathbf{F} \left(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)} \right) = \boldsymbol{0}$$

其中 $\boldsymbol{0}=(0,0,\ldots,0)$ 是零向量。用矩阵形式表示为：

$$\begin{pmatrix} f_1(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)}) \\ f_2(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)}) \\ \vdots \\ f_m(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)}) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}$$

对于形如 $\mathbf{F} \left(x,\mathbf{y},\mathbf{y}'\right) = \boldsymbol{0}$ 的方程组，某些文献还要求雅可比矩阵 $\frac{\partial\mathbf{F}(x,\mathbf{u},\mathbf{v})}{\partial \mathbf{v}}$ 非奇异，才将其称为隐式常微分方程组；满足这一雅可比非奇异条件的隐式方程组可以转化为显式方程组。在同一文献中，雅可比矩阵奇异的隐式方程组被称为微分代数方程（DAE）。这一区分不仅仅是术语上的差异；微分代数方程具有本质上不同的特性，通常比（非奇异的）常微分方程组更难求解。

据推测，对于更高阶导数的情形，按照这一方案也假设黑塞矩阵等相应矩阵非奇异，不过需要注意，任何高于一阶的常微分方程都可以（且通常会）改写为一阶常微分方程组，这使得雅可比奇异性判别准则足以全面覆盖所有阶数的分类。

常微分方程组的性态可以通过相图来进行可视化。

### 常微分方程的解

给定微分方程

$$F\left(x, y, y', \ldots, y^{(n)} \right) = 0$$

一个函数 $u:I\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，其中 $I$ 是区间，如果 $u$ 在 $I$ 上 $n$ 次可微，且

$$F(x,u,u',\ \ldots,\ u^{(n)})=0 \quad x \in I.$$

则称 $u$ 为该方程的解或积分曲线。

给定两个解 $u:J\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 和 $v:I\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，如果 $I\subset J$ 且

$$u(x) = v(x) \quad x \in I.\,$$

则称 $u$ 是 $v$ 的延拓。

没有延拓的解称为极大解（maximal solution）。在整个 $\mathbb{R}$ 上定义的解称为全局解（global solution）。

$n$ 阶方程的通解是指含有 $n$ 个任意独立积分常数的解。特解是指通过给通解中的常数赋以特定值而得到的，通常选择这些值以满足给定的初值条件或边值条件。奇异解是指不能通过给通解中的任意常数赋以特定值而得到的解。

#### 解的存在唯一性

不止一个定理可在局部和整体意义下证实常微分方程初值问题解的存在唯一性，其中两个主要定理为皮亚诺存在性定理与柯西-利普希茨定理。这两个定理的基本形式均只保证局部结果，但后者可推广至整体结果，如满足格朗沃尔不等式的条件时。

此外，上述利普希茨型唯一性定理不适用于微分代数方程组，因其（非线性）代数部分本身可能导致多个解。

##### 局部存在唯一性

该定理可简述如下：

对于方程及初值问题

$$y' = F(x,y)\,,\quad y_0 = y(x_0)$$

若 $F$ 及 $\partial F/\partial y$ 在 $x - y$ 平面上的闭矩形

$$R = [x_0-a,x_0+a] \times [y_0-b,y_0+b]$$

内连续（$a,b\in\mathbb{R}$ 且符号 $\times$ 表示笛卡尔积，方括号表示闭区间），则存在某个$h\in \mathbb{R}$，使得区间

$$I = [x_0-h,x_0+h] \subset [x_0-a,x_0+a]$$

上的上述方程及初值问题存在解，且该解唯一。由于未要求 $F$ 为线性函数，故此结论适用于形如 $F(x,y)$的非线性方程，亦可应用于方程组。

##### 解的全局唯一性和最大定义域

满足柯西-利普希茨定理的假设条件时，局部存在唯一性可以扩展至全局。更确切地说：

对于每个初值条件 $(x_0,y_0)$，存在唯一的最大（可能无限）开区间

$$I_{\max} = (x_-,x_+), x_\pm \in \R \cup \{\pm \infty\}, x_0 \in I_{\max}$$

使得任何满足该初值条件的解，都是定义在 $I_{\max}$ 上且满足该初值条件的解的限制。

在 $x_{\pm} \neq \pm \infty$ 的情形下，只有以下两种可能：

- 有限时间爆炸：$\limsup_{x \to x_{\pm}} \|y(x)\| \to \infty$
- 离开定义域：$\lim_{x \to x_{\pm}} y(x) \in \partial \bar{\Omega}$

其中 $\Omega$ 是 $F$ 定义的开集，$\partial \bar{\Omega}$ 是其闭包的边界。

需要注意的是：

- 解的最大定义域总是开区间（以保证唯一性）。
- 解的最大定义域可能严格小于 $\mathbb{R}$。
- 解的最大定义域可能依赖于具体的初值条件 $(x_0, y_0)$。

#### 一些精确封闭形式的解

一些微分方程有精确封闭形式的解，这里给出几个重要的类型。

在下表中，$P(x), Q(x); P(y), Q(y)$和$M(x,y), N(x,y)$是任意关于$x,y$的可积函数，$b,c$是给定的实常数，$C,C_1 , C_2 \ldots$是任意常数（一般为复数）。这些微分方程的等价或替代形式通过积分可以得到解。

在积分解中，$\lambda$和$\epsilon$是积分变量（求和下标的连续形式），记号$\int^x F(\lambda )\mathrm{d}\lambda$只表示$F(\lambda )$对$\lambda$积分，在积分以后$\lambda{} = x$替换，无需加常数（明确说明）。

微分方程｜解法｜通解

可分离微分方程

一阶，变量$x$和$y$均可分离（一般情况,下面有特殊情况） $P_1(x)Q_1(y) + P_2(x)Q_2(y)\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0 \,\!$ $P_1(x)Q_1(y)\,\mathrm{d}x + P_2(x)Q_2(y)\,\mathrm{d}y = 0 \,\!$｜分离变量（除以$P_2 Q_1$）。｜$\int^x \frac{P_1(\lambda)}{P_2(\lambda)}\,\mathrm{d}\lambda + \int^y \frac{Q_2(\lambda)}{Q_1(\lambda)}\,\mathrm{d}\lambda = C \,\!$

一阶，变量$x$可分离 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = F(x)\,\!$ $\mathrm{d}y= F(x) \, \mathrm{d}x\,\!$｜直接积分。｜$y= \int^x F(\lambda) \, \mathrm{d}\lambda + C \,\!$

一阶自治，变量$y$可分离 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = F(y)\,\!$ $\mathrm{d}y= F(y) \, \mathrm{d}x\,\!$｜分离变量（除以$F$）。｜$x=\int^y \frac{\mathrm{d}\lambda}{F(\lambda)}+C\,\!$

一阶，变量$x$和$y$均可分离 $P(y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + Q(x)= 0\,\!$ $P(y)\,\mathrm{d}y + Q(x)\,\mathrm{d}x =0\,\!$｜整个积分。｜$\int^y P(\lambda)\,{\mathrm{d}\lambda} + \int^x Q(\lambda)\,\mathrm{d}\lambda = C\,\!$

一般一阶微分方程

一阶，齐次 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = F \left( \frac{y}{x} \right ) \,\!$｜令$y = ux$，然后通过分离变量$u$和$x$求解。｜$\ln (Cx) = \int^{\frac{y}{x}} \frac{\mathrm{d}\lambda}{F(\lambda) - \lambda} \, \!$

一阶，可分离变量 $yM(xy) + xN(xy)\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0 \,\!$ $yM(xy)\,\mathrm{d}x + xN(xy)\,\mathrm{d}y = 0 \,\!$｜分离变量（除以$xy$）。｜$\ln (Cx) = \int^{xy} \frac{N(\lambda)\,\mathrm{d}\lambda}{\lambda [N(\lambda)-M(\lambda)] } \,\!$ 如果$N = M$,解为$xy = C$。

正合微分，一阶 $M(x,y) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + N(x,y) = 0 \,\!$ $M(x,y)\,\mathrm{d}y + N(x,y)\,\mathrm{d}x = 0 \,\!$ 其中$\frac{\partial M}{\partial x} = \frac{\partial N}{\partial y} \, \!$｜全部积分｜$\begin{align} F(x,y) & = \int^y M(x,\lambda)\,\mathrm{d}\lambda + \int^x N(\lambda,y)\,\mathrm{d}\lambda \\ & + Y(y) + X(x) = C \end{align} \,\!$ 其中$Y(y)$和$X(x)$是积分出来的函数而不是常数，将它们列在这里以使最终函数$F(x, y)$满足初始条件。

非正合微分,一阶 $M(x,y) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + N(x,y) = 0 \,\!$ $M(x,y)\,\mathrm{d}y + N(x,y)\,\mathrm{d}x = 0 \,\!$ 其中$\frac{\partial M}{\partial x} \neq \frac{\partial N}{\partial y} \, \!$｜积分因子$\mu (x, y)$满足 $\frac{\partial (\mu M)}{\partial x} = \frac{\partial (\mu N)}{\partial y} \, \!$｜如果可以得到$\mu (x, y)$： $\begin{align} F(x,y) & = \int^y \mu(x,\lambda)M(x,\lambda)\,\mathrm{d}\lambda + \int^x \mu(\lambda,y)N(\lambda,y)\,\mathrm{d}\lambda \\ & + Y(y) + X(x) = C \\ \end{align} \, \!$

一般二阶微分方程

二阶，自治 $\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = F(y) \,\!$｜原方程乘以$\frac{2\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$，代换$2 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}^2y}{dx^2} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2 \,\!$，然后两次积分。｜$x = \pm \int^y \frac{ \mathrm{d} \lambda}{\sqrt{2 \int^\lambda F(\epsilon) \, \mathrm{d} \epsilon + C_1}} + C_2 \, \!$

线性微分方程（最高到$n$阶）

一阶线性，非齐次的函数系数 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y=Q(x)\,\!$｜积分因子：$e^{\int^x P(\lambda)\,d\lambda}$。｜$y = e^{- \int^x P(\lambda) \, \mathrm{d}\lambda}\left[\int^x e^{\int^\lambda P(\epsilon) \, \mathrm{d}\epsilon}Q(\lambda) \, {\mathrm{d}\lambda} +C \right]$

二阶线性，非齐次的常系数 $\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + b\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + cy = r(x)\,\!$｜余函数$y_c$：设$y_c = \mathrm{e}^{\alpha x}$，代换并解出$\alpha$中的多项式，求出线性无关函数$e^{\alpha_j x}$。特解$y_p$：一般运用常数变易法，虽然对于非常容易的$r(x)$可以直观判断。｜$y=y_c+y_p$ 如果$b^2 > 4c$,则： $y_c=C_1e^{ \left ( -b+\sqrt{b^2 - 4c} \right )\frac{x}{2}} + C_2e^{-\left ( b+\sqrt{b^2 - 4c} \right )\frac{x}{2}}\,\!$ 如果$b^2 = 4c$，则： $y_c = (C_1x + C_2)e^{-\frac{bx}{2}}\,\!$ 如果$b^2 < 4c$,则： $y_c = e^{ -\frac{bx}{2}} \left [ C_1 \sin{\left ( \sqrt{\left | b^2-4c \right |}\frac{x}{2} \right )} + C_2\cos{\left ( \sqrt{\left | b^2-4c \right |}\frac{x}{2} \right )} \right ] \,\!$

$n$阶线性，非齐次常系数 $\sum_{j=0}^n b_j \frac{\mathrm{d}^j y}{\mathrm{d}x^j} = r(x)\,\!$｜余函数$y_c$：设$y_c = \mathrm{e}^{\alpha x}$，代换并解出$\alpha$中的多项式，求出线性无关函数$e^{\alpha_j x}$。特解$y_p$：一般运用常数变易法，虽然对于非常容易的$r(x)$可以直观判断。｜$y=y_c+y_p$ 由于$\alpha _j$为$n$阶多项式的解： $\prod_{j=1}^n \left ( \alpha - \alpha_j \right ) = 0 \,\!$，于是：对于各不相同的$\alpha _j$， $y_c = \sum_{j=1}^n C_j e^{\alpha_j x} \,\!$ 每个根$\alpha _j$重复$k_j$次， $y_c = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{\ell=1}^{k_j} C_\ell x^{\ell-1}\right )e^{\alpha_j x} \,\!$ 对于一些复数值的αj，令α = χj + iγj，使用欧拉公式，前面结果中的一些项就可以写成 :$C_je^{\alpha_j x} = C_j e^{\chi_j x}\cos(\gamma_j x + \phi_j)\,\!$ 的形式，其中ϕj为任意常量（相移）。

#### 有限持续时间（Finite Duration）的解

对于非线性自治常微分方程，在某些条件下可以构造有限持续时间的解（Solutions of Finite Duration），这里指的是系统在自身动力学的驱动下，在某个有限的终止时刻到达零值，并在之后永远停留在零。

这些有限持续时间的解不可能是整个实直线上的解析函数，而且由于它们在终止时刻处是非利普希茨函数，因此不被利普希茨型微分方程解的唯一性定理所涵盖。

举个例子，方程

$$y'= -\text{sgn}(y)\sqrt{|y|},\,\,y(0)=1$$

具有有限持续时间的解

$$y(x)=\frac{1}{4}\left(1-\frac{x}{2}+\left|1-\frac{x}{2}\right|\right)^2$$

该解在 $x > 2$ 时取值为零，并在 $x = 2$ 处平滑连接（右导数为零），但右端函数在 $y=0$ 处不满足利普希茨条件，从而允许这种“有限时间熄灭”并停留的行为。

## 相关理论

### 奇异解

常微分方程和偏微分方程的奇异解理论从莱布尼茨时代起就是研究对象，但直到十九世纪中叶才受到特别关注。关于这一主题的一部有价值却鲜为人知的著作是乌坦（Houtain，1854）的成果。从1873年起，达布成为该理论的领军人物，他在奇异解的几何解释方面开辟了一个新领域，随后卡索拉蒂和凯莱等人对此进行了深入研究。凯莱在1872年建立了至今仍被接受的一阶微分方程奇异解理论。

### 化归为求积

早期处理微分方程的原始尝试旨在将其化归为求积，即用已知函数及其积分来表达解。对于常系数线性方程这是可行的，但在十九世纪人们发现，其他情况下通常不可能做到。因此，分析学家们开始专门研究作为微分方程解的函数本身，从而开辟了一个崭新而丰富的领域。柯西是最早认识到这一观点重要性的人。此后，真正的问题不再是解是否能通过求积表示，而是给定的微分方程是否足以定义一个函数，如果是，那么这类函数具有怎样的特征性质。

### 富克斯理论

富克斯（Fuchs）的两篇论文启发了一种新方法，随后由托梅（Thomé）和弗罗贝尼乌斯进一步发展。科莱（Collet）从1869年起是这一领域的突出贡献者。他在1868年向伯特兰（Bertrand）介绍了求解非线性方程组的一种方法。克莱布什（1873）沿着与其阿贝尔积分理论平行的思路研究了这一问题。正如阿贝尔积分可以根据在有理变换下保持不变的基本曲线的性质进行分类，克莱布施提出，应根据微分方程所定义的超越函数在对应的曲面 $f=0$ 经过一一有理变换后的不变量性质来进行分类。

### 李的理论

从1870年起，索菲斯·李的工作使微分方程理论建立在更坚实的基础上。他证明，早期数学家们的各种积分理论可通过李群统一到同一个源头，并且具有相同无穷小变换的常微分方程具有可比的积分难度。他还特别强调了接触变换的主题。

李的微分方程群论已证实具有两大优点：第一，它统一了已知的各种特殊求解方法；第二，它提供了寻找解的强大新工具。这一理论既适用于常微分方程，也适用于偏微分方程。

一种通用的求解方法利用微分方程的对称性质，即解到解的连续无穷小变换（李理论）。连续群论、李代数和微分几何被用来理解线性与非线性（偏）微分方程的结构，以生成可积方程、寻找其Lax对、递推算子、Bäcklund变换，并最终得到微分方程的精确解析解。

对称方法已被广泛应用于数学、物理、工程及其他学科中出现的微分方程。

### 施图姆-刘维尔理论

施图姆-刘维尔理论是关于一类特殊的二阶线性常微分方程的理论。其解基于通过二阶齐次线性方程定义的线性算子的特征值和相应的特征函数。这类问题被称为斯图姆-刘维尔问题（SLP），以十九世纪中叶研究它们的雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆和约瑟夫·刘维尔命名。SLP具有无穷多个特征值，对应的特征函数构成一个完备的正交集，从而使得正交展开成为可能。这是应用数学、物理和工程中的一个关键思想。

此外，斯图姆-刘维尔问题在分析某些偏微分方程时也非常有用。

## 降阶法

若微分方程的阶数可以降低，则通常更易于求解。

### 化为一阶方程组

任意 $n$ 阶显式微分方程

$$F\left(x, y, y', y'',\ \ldots,\ y^{(n-1)}\right) = y^{(n)}$$

均可通过定义一组新的未知函数

$$y_i = y^{(i-1)}.\!$$

其中 $i=1,2,\ldots,n$.

于是得到如下 $n$ 维一阶耦合微分方程组：

$$\begin{array}{rcl} <pre> y_1'&=&y_2\\ y_2'&=&y_3\\ &\vdots&\\ y_{n-1}'&=&y_n\\ y_n'&=&F(x,y_1,\ldots,y_n). </pre> \end{array}$$

用更紧凑的向量记号表示为：

$$\mathbf{y}'=\mathbf{F}(x,\mathbf{y})$$

其中

$$\mathbf{y}=(y_1,\ldots,y_n),\quad \mathbf{F}(x,y_1,\ldots,y_n)=(y_2,\ldots,y_n,F(x,y_1,\ldots,y_n)).$$