分形

分形（fractal，源自frāctus，有“零碎”、“破裂”之意），又称碎形、残形，通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”，即具有自相似的性质。分形在数学中是一种抽象的物体，用于描述自然界中存在的事物。人工分形通常在放大后能展现出相似的形状。分形也被称为扩展对称或展开对称。如果在每次放大后，形状的重复是完全相同的，这被称为自相似。自相似的一个例子是门格海绵。分形在不同的缩放级别上可以是近似相似的。曼德博集合的放大图像中显示了这种模式。分形也包有图像的细节重复自身的意味。

分形与其他几何图形相似但又有所不同。当缩放一个图形时，就能看出分形和其他几何图形的区别。将一个多边形的边长加倍，它的面积变为原来的四倍。新的边长与旧边长相比增加了2倍，而面积增加了4倍，即$2^2$倍。平面内的多边形在二维空间中，指数2刚好是多边形所在的二维空间的维数。类似的，对于三维空间中的球，如果它的半径加倍，则它的体积变为原来的8倍，即$2^3$倍，指数3依旧是球所在空间的维数。如果将分形的一维长度加倍，如将康托三分集的初始线段长加倍，分形空间的内容变为$2^n$倍，此时n不一定是个整数。幂指数n称为分形的维数，它通常大于分形的拓扑维数。

作为一个数学函数，分形通常是处处不可微的。无穷分形曲线可以理解为一条一维的曲线在空间中绕行，它的拓扑维数仍然是1，但大于1的分形维数暗示了它也有类似曲面的性质。

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我们可以从这些年来正式发表的文献中追踪分形概念的发展史。从17世纪有了递归的概念开始，到19世纪，伯纳德·波尔查诺、波恩哈德·黎曼和卡尔·魏尔斯特拉斯对连续不可微函数开创性的研究，这些严谨的数学概念推动着分形的发展。20世纪时，人们创造了分形这个词，随之而来的是人们对分形和计算机建模和兴趣的迅速增长。1975年本华·曼德博首次提出“分形(fractal)”这个术语。分形的拉丁文词源wikt:分形#拉丁语有“破坏”、“破碎”的意思，曼德博将分形的概念从理论分形维数拓展到自然界中的几何图形。

一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统。分形有几种类型，可以分别依据表现出的精确自相似性、半自相似性和统计自相似性来定义。权威学者们对分形的精确定义仍有争论。曼德博自己将分形总结为：“美丽、（研究起来）极其困难但又非常的有用，这就是分形”。1982年曼德博提出了更正式的定义：“分形是一种其豪斯多夫维数严格大于拓扑维数的集合”。后来他认为这种定义过于严格，于是简化并扩展了这个定义：“分形是由与整体在某些方面相似的部分构成的图形。”。又过了一段时间，曼德博决定使用以下方式来描述分形：“...在研究和使用分形时，不需要迂腐的定义。用分形维数作为描述各种不同分形的通用术语。”

通常认为，理论分形是无限迭代、自相似的、具有分形维数的详细数学结构。人们创造了许多分形图形并进行了充分的研究。分形并不限于几何图形，它也可以描述时间序列。虽然分形是一个数学构造，它们同样可以在自然界中被找到，这使得它们被划入艺术作品的范畴。分形在医学、土力学、地震学和技术分析中都有应用。在自然、技术、艺术、建筑和法律等领域，人们对图形、结构和音频中不同程度自相似的分形图形进行了研究，并反过来利用分形理论取生成图形、结构和音频。分形和混沌理论密切相关，因为混沌过程的图形大多数都是分形。

## 简介

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和数学家们相比，分形一词对大众来说含义不尽相同。相对于数学概念来说，大众可能更熟悉分形艺术。即使是对数学家来说分形也很难定义，但只要一点点数学背景就可以理解分形的核心特征。

分形的“自我相似”的特征很容易通过类比来理解，就像用镜头或其他设备放大数字图像，从而发现以前不可见的、更精细的新结构。如果你放大一个分形的图像，则不会出现新的细节；图像没什么变化，相似的图案一遍又一遍的重复出现。对于有些分形几乎完全一样的图像会不断地重复。自我相似的特征并非反直觉的。人们在生活中也能看到自我相似的现象，例如：两面平行的镜子间的无限重复、山上庙里老和尚的故事里的山......分形的不同之处在于重复的图案一定有详细的细节。

细节性的概念和分形的另一个特征——分形维数有关。分形维数不需要数学背景，也很容易理解：分形的分形维数大于它的拓扑维数，通过将分形尺度与普通的几何形状相比较，我们便能感受到他们的差别。举个例子，通常认为直线是是一维的，如果直线被分为三部分，每部分都是原来的1/3长，你会得到相等的三部分。相比之下，科赫雪花的拓扑维数是1，和普通的直线一样，但它的分形维数大于1，因为它有很多的细节。雪花曲线被分为原长的1/3，得到的是4条原始雪花曲线重组组合的结果。这种与众不同的关系是分形维数的基础。

这也引出了第三个特征：分形在数学上是处处不可微的。具体的说，这意味着分形不能用传统的方法测量。测量非分形曲线，如波浪曲线的长度，只要放大到足够大，总能用直线拟合一小段曲线，然后就能用卷尺测量这段直线的长度，再将各段直线长度相加，就可以得出波浪的长度。这样做实质上是把曲线看作数学上的函数，在一小段范围内取一阶泰勒展开，近似为直线，然后求和总长度。但分形曲线是处处不可微的，如果尝试使用直线去拟合分形曲线，如科赫雪花曲线，缩放的过程永远不会停止，因为曲线图案的重复模式总会不断地出现，每次缩放，都需要使用更小的卷尺来贴合曲线。

## 历史

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分形的历史可以从主要理论的研究追溯到现代计算机图形学中的应用，在这个过程中有几个著名的人物对典型的分形形式做出了贡献。根据Pickover的说法，17世纪时，数学家兼哲学家莱布尼茨思考过递回的自相似，分形的数学从那时开始渐渐地成形（虽然他误认只有直线会自相似）。在他的著作中莱布尼茨使用了“分形指数”这个术语，但遗憾的是“几何”还不知道它们。根据不同史书的记载，在这之后，很少再有数学家尝试解决这些问题。已有的工作也模糊不清，主要的原因是人们对不熟悉新兴概念的抵触，这些概念有时被称为数学“怪物”。

因此直到两个世纪之后，1872年7月18日卡尔·魏尔斯特拉斯才在皇家普鲁士科学院给出分形的第一个定义：分形是一种具有处处连续，但又处处不可微等反直觉性质的函数图形。另外，随着求和计算值的增加，函数的导数变得任意大。不久之后，1883年，参加过魏尔施特拉斯课程的格奥尔格·康托尔也给出一个具有不寻常性质的例子：实直线上的子集——康托尔集，现在也被认为是分形。同样的，在那个世纪的末尾，菲利克斯·克莱因和儒勒·昂利·庞加莱也提出了一种称为“自逆”分形的分形。

分形发展的一个里程碑在1904年，当时海里格·冯·科赫不满意魏尔施特拉斯那抽象和基于分析的定义，它扩展了庞加莱的定义，给出了更加几何化的定义并附上了一个类似函数的手绘图形，今天称之为科赫雪花。另一个里程碑在十年之后，1915年瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基构造出了谢尔宾斯基三角形；隔年，又造出了谢尔宾斯基地毯。1918年，两名法国数学家皮埃尔·法图和加斯东·茹利亚通过各自独立的工作，基本上同时得出了描述复数映射以及函数迭代相关分形行为的结果，并由此引出了之后关于奇异吸引子的想法。吸引子理论之后在分形理论中占有十分重要的地位。在这项巩固走发表之后不久，1918年3月，费利克斯·豪斯多夫扩展了“维数”的定义，允许几何具有非整数维数，这对分形定义的发展意义重大。1938年，保罗·皮埃尔·莱维在他的论文《平面、空间曲线和由与整体自相似部件组成的曲面》中将自相似曲线的概念更进一步地推进，他在文中描述了一个新的分形曲线－莱维C形曲线。

1960年代，本华·曼德博开始研究自相似，且在刘易斯·弗赖伊·理查森之前工作的基础上，写下一篇论文《英国的海岸线有多长？统计自相似和分数维度》。最终，曼德博在1975年提出了“分形”一词，来标记一个豪斯多夫-贝西科维奇维数大于拓扑维数的物件。曼德博以显著的电脑绘制图像来描绘此一数学定义，这些图像征服了大众的想像；它们中许多都基于递归，导致了大众对术语“分形”的通俗理解。

不同的研究者推测，由于缺乏现代计算机图形学的帮助，早期的研究人员受限于工具，只能手绘图形。因此缺乏可视化分形之美的手段，也无法欣赏它们发现的许多分形模式的含义。如茱莉亚集，通过几次迭代，只能可视化为非常简单的图形。这种情况在20世纪60年代得到了改观，当时本华·曼德博正开始写他基于刘易斯·弗赖伊·理查森早期工作的论文：《英国的海岸线有多长？统计自相似和分数维度》。1975年，曼德博将数百年来关于分形的构思与发展固化在“分形”一词上，并用高超的计算机可视化构造来说明他的数学定义。这些图像，包括他定义的曼德博集合，抓住了大众的想象力。其中的很多图形都是基于递归的，这也让“分形”一词具有了现在的含义。

1980年，洛伦·卡彭特在计算机图形学顶级年会SIGGRAPH上发表了一次演讲，演讲中他介绍了他基于分形理论开发的用于产生风景的软件。

## 特征

分形一般有以下特质：

- 在任意小的尺度上都能有精细的结构。
- 太不规则，以致无论是其整体或局部都难以用传统欧氏几何的语言来描述。
- 具有（至少是近似的或统计的）自相似形式。
- 一般地，其“分形维数”（通常为豪斯多夫维数）会大于拓扑维数（但在空间填充曲线如希尔伯特曲线中为例外）。
- 在多数情况下有着简单的递归定义。

因为分形在所有的大小尺度下都显得相似，所以通常被认为是无限复杂的（以不严谨的用词来说）。自然界里一定程度上类似分形的事物有云、山脉、闪电、海岸线、雪片、植物根、多种蔬菜（如花椰菜和西兰花）和动物的毛皮的图案等等。但是，并不是所有自相似的东西都是分形，如实直线虽然在形式上是自相似的，但却不符合分形的其他特质，比如说它能被传统的欧氏几何语言所描述。

分形的图像可以用碎形生成软件作出。尽管用此类软件生成的图像并不具备上述分形的特征，比如说存在放大后无上述特征的局部区域，但是这些图像通常仍然被称为分形。而且这些图像可能含有由计算或显示造成的人为偏差——一些不属于分形的特征。

## 示例

一类分形的典型例子有：康托尔集、谢尔宾斯基三角形和地毯、门格海绵、龙形曲线、皮亚诺曲线和科赫曲线。其他的例子包括李亚普诺夫碎形及克莱因群的极限集。分形可以是确定性的，如上述所有的分形；也可以是随机的（即非确定性的）。比如说，平面上布朗运动的轨迹的豪斯多夫维数等于2。

混沌动力系统有时候会和分形联系起来。动力系统的相空间中的对象可以是分形（参见吸引子），一族系统的参数空间中的对象也可以是分形。一个有意思的例子就是曼德博集。这个集合包含很多完整的圆盘，所以它的豪斯多夫维数等于它的拓扑维数2；但是真正令人惊讶的是，曼德博集的边界的豪斯多夫维数也是2（而拓扑维数是1），这个结果由宍仓光广（Mitsuhiro Shishikura）在1991年证明。一个与曼德博集紧密相关的分形是朱利亚集。

即使将曼德博集合放大2000倍，还是会显示出类似整个集合的精细结构

## 造法

四个制造分形的一般技术如下：

- 逃逸时间分形：由空间（如复平面）中每一点的递回关系式所定义，例如曼德博集合、茹利亚集合、火烧船碎形、牛顿分形和李亚普诺夫碎形等。由一次或两次逃逸时间公式的迭代生成的二维向量场也会产生分形，若点在此一向量场中重复地被通过。
- 迭代函数系统：使用固定的几何替代规则生成分形，得到的结果可能是随机的或确定的。Haferman地毯、康托尔集、谢尔宾斯基三角形、谢尔宾斯基地毯、皮亚诺曲线、科赫雪花、龙形曲线、T-方形分形、门格海绵等都是此类分形的一些例子。
- 随机分形：由随机而无确定过程产生，如布朗运动的轨迹、莱维飞行、碎形风景和布朗树等。后者会产生一种称之为树状分形的分形，如扩散限制聚集或反应限制聚集束。
- 奇异吸引子：以一个映射的迭代或一套会显出混沌的初值微分方程所产生。

## 分类

分形也可以依据其自相似来分类，有如下三种：

- 精确自相似：这是最强的一种自相似，分形在任一尺度下都显得一样。由迭代函数系统定义出的分形通常会展现出精确自相似来。
- 半自相似：这是一种较松的自相似，分形在不同尺度下会显得大略（但非精确）相同。半自相似分形包含有整个分形扭曲及退化形式的缩小尺寸。由递回关系式定义出的分形通常会是半自相似，但不会是精确自相似。
- 统计自相似：这是最弱的一种自相似，这种分形在不同尺度下都能保有固定的数值或统计测度。大多数对“分形”合理的定义自然会导致某一类型的统计自相似（分形维数本身即是个在不同尺度下都保持固定的数值测度）。随机分形是统计自相似，但非精确及半自相似的分形的一个例子。

## 应用

如上所述，随机分形可以用来描述许多高度不规则的现实世界的物件。其他分形的应用亦包括：

- 医学中组织病理学切片的归类
- 碎形风景或海岸线复杂性
- 酵素/酵素学（米曼氏动力学）
- 制作新音乐
- 制作许多的艺术形式
- 复杂网络分析
- 信号及图像压缩
- 地震学
- 土壤力学
- 电脑及电视游戏设计，尤其是有机背景的CG和部分的过程生成
- 断口分析和断裂力学
- 碎形天线－使用分形形状的小尺寸天线
- 小角度X光散射
- 新嬉皮T恤和其他的时尚服饰
- 伪装图样的制作，如MARPAT
- 数位日晷
- 价格序列的技术分析（见艾略特波浪理论）

## 软件

- Apophysis (software)
- Ultra Fractal
- Visions of Chaos

## 外部链接

- 分形 Fractal（复杂性科学 - 复杂适应性系统）
- Fractal Geometry