反常积分

广义积分，又称为反常积分、异常积分（Improper integral），是对普通定积分的推广。

广义积分可以分成两类，第一类又称为无穷积分，指积分区间的上限或下限为无穷的积分。第二类称为瑕积分，指被积函数在积分区间中含有不连续点的积分。

## 第一类反常积分

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### 定义

第一类反常积分是无穷积分，指积分区间的上限或下限中含有无穷 ∞ 的积分。数学定义如下：

设函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续且可积。定义无穷积分：

$\int_a^{\infty}f(x)\,dx=\lim_{u\to +\infty} \int_a^u f(x)\,dx$。

类似的，设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,a]$ 上连续且可积。定义无穷积分：

$\int_{-\infty}^a f(x)\, dx=\lim_{u\to -\infty} \int_u^a f(x)\,dx$。

当上述极限存在时，称该积分收敛。当上述极限不存在时，称该积分发散。

例子如下：

$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{u\to+\infty} \int_1^u\frac{1}{x^2}\,dx = 1$。

$\int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx=\lim_{u\to+\infty} \int_1^u\frac{1}{x}\,dx = +\infty$，即发散。

$\int_1^\infty x \sin x\,dx=\lim_{u\to+\infty} \int_1^u x \sin x \,dx$，振动发散。

### 推广定义

第一类反常积分的定义能进一步推广至上限及下限皆为无穷 ∞ 的积分。

设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续且可积。定义无穷积分：

$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \lim_{u\to -\infty} \lim_{v\to+\infty} \int_u^vf(x)\,dx$。

或者取区间上任意一点 $c$，分拆写成：

$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \lim_{u\to -\infty} \int_u^cf(x)\,dx + \lim_{v\to+\infty} \int_c^vf(x)\,dx$。

当上述极限同时存在时，称该积分收敛。当上述极限至少有一个不存在时，称该积分发散。

例子如下：

$\int_{-\infty}^\infty x e^{-x^2} \,dx = \lim_{u\to -\infty} \int_u^0 x e^{-x^2}\,dx + \lim_{v\to+\infty} \int_0^v x e^{-x^2}\,dx= -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$。

$\int_{-\infty}^\infty x \,dx = \lim_{u\to -\infty} \int_u^0 x \,dx + \lim_{v\to+\infty} \int_0^v x\,dx= -\infty + \infty$，即发散。

### 与柯西主值的联系

在无穷积分的推广定义中，两个极限须分别处理，即两者的收敛速度可能不同。在柯西主值的理解下，可假设两个极限的收敛速度相同。

设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续且可积。定义无穷积分的柯西主值：

$\mathrm{PV}\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^Rf(x)\,dx$。

若在相同收敛速度下，两者可以互相抵消，则该积分的柯西主值存在。举例来说：

$\mathrm{PV}\int_{-\infty}^\infty x \,dx = \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^R x \,dx = 0$。

根据定义，若无穷积分收敛，则其柯西主值收敛，且二者相等。但无穷积分的柯西主值收敛，该积分未必收敛。

## 第二类反常积分

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### 定义

第二类反常积分是瑕积分，指积分区间的上限或下限是被积函数的不连续点。数学定义如下：

设函数 $f(x)$ 在 $(a,b]$ 上连续且可积，但在点 $a$ 不连续。定义瑕积分：

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{u\to a^+} \int_u^bf(x)\,dx$。

类似的，设函数 $f(x)$ 在 $[a,b)$ 上连续且可积，但在点 $b$ 不连续。定义瑕积分：

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{u\to b^-} \int_a^uf(x)\,dx$。

当上述极限存在时，称该积分收敛。当上述极限不存在时，称该积分发散。

例子如下：

$\int_0^3 \frac{1}{\sqrt{3-x}} \,dx = \lim_{u\to 3^-} \int_0^u \frac{1}{\sqrt{3-x}}\,dx=2\sqrt{3}$。

$\int_0^1 \frac{1}{x^2} \,dx = \lim_{u\to 0^+} \int_u^1 \frac{1}{x^2}\,dx=+\infty$，即发散。

### 推广定义

第二类反常积分的定义能进一步推广至上限及下限皆为不连续点，或上限及下限之间含有不连续点的积分。

设函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上连续且可积，但在点 $a$ 及 $b$ 不连续。定义瑕积分：

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{u\to a^+} \lim_{v\to b^-} \int_u^vf(x)\,dx$。

或者取区间上任意一点 $c$，分拆写成：

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{u\to a^+} \int_u^cf(x)\,dx + \lim_{v\to b^-} \int_c^vf(x)\,dx$。

设函数 $f(x)$ 在 $[a,c)$ 及 $(c,b]$上连续且可积，但在点 $c$ 不连续。定义瑕积分：

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{u\to c^-} \int_a^uf(x)\,dx + \lim_{v\to c^+} \int_v^bf(x)\,dx$。

当上述极限同时存在时，称该积分收敛。当上述极限至少有一个不存在时，称该积分发散。

例子如下：

$\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \,dx = \lim_{u \to 0^-} \int_{-1}^u \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \,dx + \lim_{v \to 0^+} \int_{v}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \,dx = 6$。

$\int_{-1}^{1} \frac{1}{x} \,dx = \lim_{u \to 0^-} \int_{-1}^u \frac{1}{x} \,dx + \lim_{v \to 0^+} \int_{v}^{1} \frac{1}{x} \,dx = -\infty +\infty$，即发散。

### 与柯西主值的联系

在瑕积分的推广定义中，两个极限须分别处理，即两者的收敛速度可能不同。在柯西主值的理解下，可假设两个极限的收敛速度相同。

设函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上连续且可积，但在点 $a$ 及 $b$ 不连续。定义瑕积分的柯西主值：

$\mathrm{PV}\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon} f(x) \,dx$。

设函数 $f(x)$ 在 $[a,c)$ 及 $(c,b]$上连续且可积，但在点 $c$ 不连续。定义瑕积分的柯西主值：

$$\mathrm{PV}\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^+} \left[\int_a^{c-\varepsilon} f(x)\,dx+\int_{c+\varepsilon}^b f(x)\,dx\right]$$

若在相同收敛速度下，两者可以互相抵消，则该积分的柯西主值存在。举例来说：

$\mathrm{PV}\int_{-1}^1 \frac{1}{x} \,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_{-1+\varepsilon }^{1-\varepsilon} \frac{1}{x} \,dx = 0$。

根据定义，若瑕积分收敛，则其柯西主值收敛，且二者相等。但瑕积分的柯西主值收敛，该积分未必收敛。

## 参考文献

- 欧阳光中、朱学炎、陈传璋 (2007)。《数学分析（下册）》。第三版。高等教育出版社。ISBN 978-7-04-020743-9。
- Weisstein, Eric W. Improper Integral. From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ImproperIntegral.html
- Weisstein, Eric W. Cauchy Principal Value. From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CauchyPrincipalValue.html