爱因斯坦场方程

爱因斯坦场方程（Einstein field equations）是由阿尔伯特·爱因斯坦于1915年在广义相对论中提出。场方程定义引力为一种几何效应，而时空的曲率则是取决于物质的能量-动量张量。也就是说，如同牛顿的万有引力定律中质量作为引力的来源，亦即有质量就可以产生吸引力，但牛顿的万有引力定律将引力描述成瞬时传播的力，而爱因斯坦认为并不存在所谓的“引力”，他从谐和座标的弱场近似得出弱力场的传递速度为光速，而且场方程只要通过近似手段，如弱场、静态、空间缓变，就能推出牛顿近似。

爱因斯坦重力场方程是用来计算动量与能量所造成的时空曲率，再搭配测地线方程，就可以求出物体在重力场中的运动轨迹。这个想法与电磁学的想法是类似的：当我们知道了空间中的电荷与电流(电磁场的来源)是如何分布的，借由马克士威方程组，我们可以计算出电场与磁场，再借由劳伦兹力方程，即可求出带电粒子在电磁场中的轨迹。

仅在一些简化的假设下，例如：假设时空是球对称，此方程组才具有精确解。这些精确解常常被用来模拟许多宇宙中的重力现象，像是黑洞、宇宙加速膨胀、重力波。如著名的史瓦西解。

## 数学形式

### 爱因斯坦重力场方程式

$$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu} R = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu}$$

其中

- $G_{\mu\nu}\,$称为爱因斯坦张量。
- $R_{\mu\nu}\,$是从黎曼张量缩并而成的里奇张量，代表曲率项。
- $R\,$是从里奇张量缩并而成的纯量曲率(或曲率标量)。
- $g_{\mu\nu}\,$是从(3+1)维时空的度规张量。
- $T_{\mu\nu}\,$是能量-动量-应力张量。
- $G\,$是牛顿重力常数。
- $c\,$是真空中光速。

爱因斯坦场方程是一组含有若干4阶对称张量的张量方程。每一个张量都有10个独立的分量。由于4个毕安基恒等式，我们可以将10个爱因斯坦场方程式减少至6个独立的方程组。这导致了度规张量gμν有4个自由度，与座标选取的4个自由度是对应的。

虽然爱因斯坦场方程一开始是一个应用在四维时空的理论，但是一些理论学家尝试将它应用在探索n维时空上。真空中的场方程(当方程式右边的T张量等于零)定义了爱因斯坦流形。

尽管爱因斯坦方程的形式看起来很简单，实际上他们是一组复杂的二阶非线性微分方程。只要给定一个质量与能量分布，亦即能量-动量张量，爱因斯坦场方程就变成一个度规张量gμν的微分方程。

一般我们借由定义爱因斯坦张量( 一个对称的与度规gμν有关的二阶张量)

$G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - \tfrac{1}{2} R \, g_{\mu \nu},$ 来将爱因斯坦场方程写成一个更加简单的形式：

$G_{\mu \nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu}.$。

若使用几何化单位制或称自然单位制，则G = c = 1，场方程因此简化为：

$$G_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu}\,.$$

如果是使用相对论中的几何化单位制（有理化的几何化单位制），则场方程为：

$$G_{\mu \nu} = 2 T_{\mu \nu}\,.$$

### 等价形式

经爱因斯坦方程组两边同乘以gμν：

$$R - \frac{D}{2} R + D \Lambda = {8 \pi G \over c^4} T \,$$ 其中D是时空维度。

两边再同除以$\frac{D}{2} -1$：

$$-R + \frac{D \Lambda}{(\tfrac{D}{2} -1)} = {8 \pi G \over c^4} \frac{T}{\tfrac{D}{2}-1} \,.$$

两边再同乘−1gμν：

$$R_{\mu \nu} - \frac{ \Lambda g_{\mu \nu}}{\tfrac{D}{2}-1} = {8 \pi G \over c^4} \left(T_{\mu \nu} - {1 \over {D-2}}T\,g_{\mu \nu}\right) .\,$$

一般情况下，D=4：

$$R_{\mu \nu} - \Lambda g_{\mu \nu} = {8 \pi G \over c^4} \left(T_{\mu \nu} - \tfrac{1}{2}T\,g_{\mu \nu}\right) .\,$$

## 爱因斯坦场方程式的性质

### 能量与动量守恒

场方程式的一个重要结果是遵守局域的（local）能量与动量守恒，透过应力-能量张量（代表能量密度、动量密度以及应力）可写出：

$$\nabla_\nu T^{\mu \nu}= T^{\mu \nu}{}_{;\nu}=0$$

场方程式左边（弯曲几何部分）因为和场方程式右边（物质状态部分）仅成比例关系，物质状态部分所遵守的守恒律因而要求弯曲几何部分也有相似的数学结果。透过微分比安基恒等式，以描述时空曲率的里奇张量$R^{\mu \nu} \,$（以及张量缩并后的里奇纯量$R \equiv R^\mu_\mu \,$）之代数关系所设计出来的爱因斯坦张量$G^{\mu \nu} \equiv R^{\mu \nu} - {1\over 2} g^{\mu \nu} R$可以满足这项要求：

$$\nabla_\nu G^{\mu \nu}=G^{\mu \nu}{}_{;\nu}=0$$

### 场方程式为非线性的

爱因斯坦场方程式的非线性特质使得广义相对论与其他物理学理论迥异。举例来说，电磁学的麦克斯韦方程组跟电场、磁场以及电荷、电流的分布是呈线性关系（亦即两个解的线性叠加仍然是一个解）。另个例子是量子力学中的薛定谔方程，对于几率波函数也是线性的。

### 对应原理

透过弱场近似以及慢速近似，可以从爱因斯坦场方程式退化为牛顿重力定律。事实上，场方程式中的比例常数是经过这两个近似，以跟牛顿重力理论做连结后所得出。

## 添加宇宙常数项

爱因斯坦为了使宇宙能呈现为静态宇宙（不动态变化的宇宙，既不膨胀也不收缩），在后来又尝试加入了一个常数$\Lambda\,$相关的项$\Lambda g_{\mu\nu} \,$于场方程式中，使得场方程式形式变为：

$$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu}= \kappa T_{\mu\nu}$$

可以注意到$\Lambda g_{\mu\nu} \,$这一项正比于度规张量，而维持住守恒律：

$$\nabla_\nu (\Lambda g_{\mu \nu})= \Lambda \nabla_\nu (g_{\mu \nu}) = 0$$

此一常数$\Lambda$被称为宇宙常数。

这个尝试后来因为两个原因而显得不正确且多此一举：

- 此一理论所描述的静态宇宙是不稳定的。
- 十年后，由爱德温·哈伯对于远处星系所作观测的结果证实我们的宇宙正在膨胀，而非静态。

因此，$\Lambda$项在之后被舍弃掉，且爱因斯坦称之为“一生中最大的错误”("biggest blunder he ever made")。之后许多年，学界普遍设宇宙常数为0。

尽管最初爱因斯坦引入宇宙常数项的动机有误，将这样的项放入场方程式中并不会导致任何的不一致性。事实上，近年来天文学研究技术上的进步发现，要是存在不为零的$\Lambda$确实可以解释一些观测结果。

爱因斯坦当初将宇宙常数视为一个独立参数，不过宇宙常数项可以透过代数运算移动到场方程式的另一边，而将这一项写成应力-能量张量的一部分：

$$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu} R = {8 \pi G \over c^4} \left( T_{\mu\nu} - \frac{c^4\Lambda g_{\mu\nu}}{8 \pi G} \right)$$

刚才提到的项即可定义为：

$$T_{\mu \nu}^{\mathrm{(vac)}} \equiv -\frac{c^4\Lambda g_{\mu\nu}}{8 \pi G}$$

而另外又可以定义常数

$$\rho_{\mathrm{vac}} \equiv \frac{c^2\Lambda}{8 \pi G}$$

为“真空能量”密度。宇宙常数的存在等同于非零真空能量的存在；这些名词前在广义相对论中常交替使用。也就是说可以将$T_{\mu \nu}^{\mathrm{(vac)}} \equiv -\frac{c^4\Lambda g_{\mu\nu}}{8 \pi G}$看成和$T_{\mu\nu} \,$是一样类型的量，只是$T_{\mu\nu} \,$的来源是物质与辐射，而$-\frac{c^4\Lambda g_{\mu\nu}}{8 \pi G}$的来源则是真空能量。物质、辐射与真空能量三者在物理宇宙学中扮演要角。

## 真空场方程式

### 宇宙常数为零

若能量-动量张量$T_{\mu \nu}$在所关注的区域中为零，则场方程式被称作真空场方程式。在完整的场方程式中设定$T_{\mu \nu}=0$，则真空场方程式可写为：

$$R_{\mu \nu} = {1 \over 2} g_{\mu \nu} R\ $$

对此式做张量缩并，亦即使指标μ跟ν相同：

$$R \equiv R^\mu_\mu = g^{\mu \nu} R_{\mu \nu} = g^{\mu \nu} {1 \over 2} g_{\mu \nu} R$$

由于$g^{\mu \nu}g_{\mu \nu} = \delta^\mu_\mu$，整理可得：

$$R = \delta^\mu_\mu {1 \over 2}R$$

而克罗内克尔δ在四维空间（时空）下取迹数为4，所以式子可写作：

$$R = 4 \cdot {1 \over 2} R = 2R$$

是故$R=0\,$。

因此可以得到此一更常见、等价的迹数反转（trace-reversed）式：

$$R_{\mu \nu} = 0\ $$

### 宇宙常数不为零

若宇宙常数不为零，则方程式为

$$R_{\mu \nu} = {1 \over 2} g_{\mu \nu} R - \Lambda g_{\mu \nu},\ $$

若同上面宇宙常数为零的例子，其迹数反转（trace-reversed）形式为

$$R_{\mu \nu} = \Lambda g_{\mu \nu}\ $$

真空场方程式的解顾名思义称作真空解。平直闵可夫斯基时空是最简单的真空解范例。不寻常的真空解范例包括了史瓦西解与克尔解。

附带一提的是：微分几何中，里奇张量为零（即：$R_{\mu \nu}=0$）的流形称作里奇平坦流形，另外里奇张量与度规成比例关系的流形，称为爱因斯坦流形（Einstein manifold）。

## 爱因斯坦-麦克斯韦方程

如果方程组右边的能量-动量张量等于电磁学中的能量-动量张量，也就是

$$T^{\alpha \beta} = \, -\frac{1}{\mu_0} \left( F^{\alpha}{}^{\psi} F_{\psi}{}^{\beta} + {1 \over 4} g^{\alpha \beta} F_{\psi\tau} F^{\psi\tau}\right)$$

则此方程组称为“ 爱因斯坦-麦克斯韦方程”：

$$R^{\alpha \beta} - {1 \over 2}R g^{\alpha \beta} + \Lambda g^{\alpha \beta} = \frac{8 \pi G}{c^4 \mu_0} \left( F^{\alpha}{}^{\psi} F_{\psi}{}^{\beta} + {1 \over 4} g^{\alpha \beta} F_{\psi\tau} F^{\psi\tau}\right).$$

其中$F_{\alpha\beta}$称为电磁张量，定义如下：

$$F_{\alpha\beta} = A_{\alpha;\beta} - A_{\beta;\alpha} = A_{\alpha,\beta} - A_{\beta,\alpha}\!$$

其中$A_{\alpha}$是4-向量势，分号代表协变微分，逗号代表偏微分。