傅里叶变换

傅里叶变换（Transformation de Fourier，Fourier transform，缩写：FT）是一种线性变换，通常定义为一种积分变换。其基本思想是一个函数可以用（可数或不可数，可数的情况对应于傅里叶级数）无穷多个周期函数的线性组合来逼近，从而这些组合系数在保有原函数的几乎全部信息的同时，还直接地反映了该函数的“频域特征”。

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因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。在现代数学理论中，傅里叶积分变换可以得到各种推广，并在分析学中有广泛应用，构成了调和分析这一数学领域。

经过傅里叶变换生成的函数 $\hat f$ 称作原函数 $f$ 的傅里叶变换，应用意义上称作频谱。在特定情况下，傅里叶变换是可逆的，即将 $\hat f$ 通过逆变换可以得到其原函数 $f$。通常情况下，$f$ 是一个实函数，而 $\hat f$ 则是一个复数值函数，其函数值作为复数可同时表示振幅和相位。

## 定义

对于不同种类的函数，有一些不同版本的傅里叶变换的定义。对于定义在欧几里得空间 $\mathbb R^d$ 上的函数，可给出通常的连续傅里叶变换；对于定义在 $d$ 维环面 $\mathbb T^d$ 上的函数，或者说周期函数，就给出傅里叶级数。进行傅里叶变换的函数的定义域可以推广到拓扑群，如局部紧交换群。

若“傅里叶变换”一词不加任何限定语，则往往是指所谓“连续傅里叶变换”，下文我们默认讨论连续傅里叶变换。其他的常见变种列于傅里叶变换的其他变种一节。

### 傅里叶积分变换

对于一个多实变量的复函数 $f:\mathbb R^d\to \mathbb C$，其傅里叶变换的结果（记作 $\hat f:\mathbb R^d\to \mathbb C$ 或 $\mathcal F(f)$）最常见的定义方式是下面的傅里叶积分

$$\mathcal F(f)(\mathbf k) = \hat{f}(\mathbf k) = \int_{\mathbb R^d} f(\mathbf x)\ e^{- 2\pi i \mathbf k\cdot \mathbf x}\ \mathrm{d}\mathbf x,$$

称为傅里叶积分变换，其中粗体的 $\mathbf x,\mathbf k\in\R^d$ 是 $d$ 维实向量，点乘号 $\cdot$ 则表示欧几里得内积。值得一提的是，不同的作者可能在定义中对积分号前的系数 $1$ 和指数上的系数 $-2\pi i$ 进行调整，不同领域有不同的惯用约定，参见变换参数的常见约定。

常可定义另一积分变换 $\mathcal F^{-1}$：

$$\mathcal F^{-1}(f)(\mathbf x) = \check{f}(\mathbf x) = \int_{\mathbb R^d} f(\mathbf k)\ e^{2\pi i \mathbf x\cdot \mathbf k}\ \mathrm{d}\mathbf k,$$

它称作傅里叶积分逆变换，满足 $\mathcal F\circ\mathcal F^{-1}=\mathrm{id}$。

若某函数的傅里叶积分不收敛，则这一版本的傅里叶变换对其就无法定义；即便傅里叶积分收敛，所得的函数的积分逆变换也可能不收敛；或者这两个变换非互逆关系。所以须了解什么样的函数是可变换的，而且满足不同假设的函数的傅里叶变换可能性质不同。

另外，可行上述变换的函数太少，如各种多项式函数都无法用上面的积分定义，这些情况对于信号频域分析等直接应用而言也十分重要，从而有必要进行推广，这就是下面几小节的主题。

### 收敛性

对于一个 $\mathbb R^d$ 上的连续函数 $f$ 而言，要使其黎曼积分收敛，主要需限制其在趋向无穷远时的衰减速度。为使前述傅里叶积分收敛，可以考虑使得 $|x^{d+\epsilon}||f(x)|$ 有界的连续函数 $f$，其中 $\epsilon>0$。容易验证这些函数在通常加法和数乘下构成一个向量空间，记作 $\mathcal M_\epsilon$。这些函数都是黎曼可积的，并且乘上模为1的指数函数所得函数仍在 $\mathcal M_\epsilon$ 中，也就是说其傅里叶积分也是收敛的。

### 速降函数

$\mathcal M_\epsilon$ 上的傅里叶变换已具备许多良好的性质。然而，由于未必有 $f\in M_\epsilon \implies \hat f\in M_\epsilon$，所以 $\mathcal F:\mathcal M_\epsilon\to\mathcal M_\epsilon$ 可能不具可逆性。一些分析表明， $\hat f$ 趋向无穷远时的衰减行为与 $f$ 的连续性与可微性有关：为使 $\hat f$ 更快地衰减， $f$ 应具有更好的光滑性，反过来也一样。这启发我们研究所谓速降函数，其任意阶导数的衰减速度都快于任意负幂次函数，其构成的向量空间称为速降函数空间，记作 $\mathcal S$。速降函数的傅里叶变换仍是速降函数，那么上面的积分逆变换可以定义在整个 $\mathcal S$ 上。可以证明该积分确实是逆变换，于是傅里叶积分变换是 $\mathcal S$ 上的一个自同构。

### 勒贝格积分与勒贝格可积函数

上述积分变换是基于黎曼积分的。然而相比之下，使用基于测度的勒贝格积分来定义傅里叶积分变换有许多的优势。下文提到傅里叶积分变换时都默认是勒贝格积分意义上的。

$\mathbb R^d$ 上全体勒贝格可积的函数构成的向量空间记作 $L^1(\mathbb R^d)$ 或此处省略地记为 $L^1$，其是Lp空间的一种。对于勒贝格可积函数 $f\in L^1$ 而言，由于 $|f(x) e^{2\pi i \mathbf{k}\cdot \mathbf x}|=|f(x)||e^{2\pi i \mathbf k\cdot \mathbf x}|=|f(x)|$，$f(x) e^{2\pi i \mathbf{k}\cdot \mathbf x}$ 也是勒贝格可积的，也就是说傅里叶积分变换在 $L^1$ 上有定义。

一般来说可积函数 $f\in L^1$ 的傅里叶变换 $\hat f$ 未必是可积的。但对于其中可积的 $\hat f\in L^1$ 可以证明，积分逆变换

$$\int_{\mathbb R_d} \hat f(\mathbf k)\ e^{2\pi i \mathbf x\cdot \mathbf k}\ \mathrm{d}\mathbf k$$

对于 $\mathbf x\in \mathbb R^d$ 几乎处处收敛于 $f(\mathbf x)$。

### 平方可积函数

对于勒贝格积分定义的傅里叶积分变换而言，它仍是速降函数空间 $\mathcal S$ 上的自同构。更具体地说，这是一个连续线性等距自同构（可查阅连续线性算子以了解可能导出的其他性质；另，这里所涉及的范数是L2范数）。

一个重要的事实是， $\mathcal S$ 在平方可积函数空间 $L^2$ 中稠密，而 $L^2$ 是一个希尔伯特空间。这意味着 $\mathcal S$ 上的任一连续线性算子可以映射的扩张到 $L^2$ 上且保持连续性，且这样的扩张唯一。也就是说，若可找到速降函数序列 $f_n$ 收敛于一个平方可积函数 $f$，那么 $f$ 的傅里叶变换可定义为序列 $\hat{f_n}$ 的极限，而不产生收敛性与对 $f_n$ 选择的依赖问题。

更进一步地，这个扩张还可以保持等距同构性质，在 $L^2$ 上满足这一性质意味着傅里叶变换是一个幺正算子，这就是普朗歇尔定理的内容。

这一变换并不对于所有的平方可积函数都具有一个积分定义式，对于补集 $L^2 \setminus L^1$ 中的函数则需要通过极限来定义。故不再称其为积分变换，而是称为傅里叶-普朗歇尔变换或简单称为傅里叶变换或普朗歇尔变换。

### 缓增分布

如前面所提到的，非零多项式函数不是可积或平方可积的，从而无法使用上面的方法来定义傅里叶变换。这一点可以通过考虑缓增分布来解决。

分布（也称为是一种广义函数）是测试函数空间上的连续线性泛函（即，该空间的连续对偶空间的成员）。而缓增分布则是以速降函数为测试函数的情况。测试函数空间所要求的收敛性与前文提及的由范数诱导的收敛性都不同，实际上作为测试函数空间的 $\mathcal S$ 的这种收敛性无法由任何范数诱导，它构成一个可数范数空间。另可参见LF-space、Spaces of test functions and distributions。

缓增分布 $f$ 的傅里叶变换 $\hat f$ 定义为

$$\hat{f}:\mathcal S\to \mathbb{C}:\varphi\mapsto f(\hat \varphi).$$

也就是说，若记 $\mathcal S$ 上的傅里叶变换为 $\mathcal F_0$、 $\mathcal S$ 的连续对偶空间为 $\mathcal S'$，则 $\mathcal F_0$ 的共轭算子 $\mathcal F_0^*$ 在 $\mathcal S'$ 上的限制就是缓增分布的傅里叶变换。

这个变换也是可逆的，并且在某种意义上是 $\mathcal F_0$ 的扩张，也就是说可以用它来变换的函数比 $\mathcal S$ 中的更多。为说明这一点，下面在一维情况下举些例子。

#### 例子

对于实轴上的速降函数 $g\in\mathcal S(\R)$，其有这样唯一一个由积分定义的连续线性泛函 $g'$ 与之对应（这一点实际上只需局部可积函数）：

$$g':\varphi\mapsto\int_{\mathbb {R}} \varphi(x)g(x)\ \mathrm{d}x ,$$

现在对其做傅里叶变换，得到

$$\hat {g'}(\varphi)=\int_{\mathbb R} \hat\varphi(x)g(x)\ \mathrm{d}x=\int_{\mathbb R} \varphi(x)\hat{g}(x)\mathrm{d}x,$$

其中第二个等号源于 $\mathcal F_0$ 的如下性质（由富比尼定理易证）：

$$\int_{\mathbb R^d} \hat\psi(\mathbf x)\phi(\mathbf{x}) \mathrm{d}\mathbf{x}=\int_{\mathbb R^d} \psi(\mathbf{x})\hat\phi(\mathbf x) \mathrm{d}\mathbf{x}.$$

由此可看出线性泛函 $\hat{g'}$ 以前述的方式唯一对应于函数 $\hat g$ （唯一性在这样意义上理解：对应相同线性泛函的函数几乎处处相等）。在这个意义上它对于 $g\in\mathcal S$ 是与 $\mathcal F_0$ 的定义相重合的。

然而并非所有连续线性泛函都有这样的积分表示，如所谓求值泛函。0处的求值泛函作用于每个函数时，都给出该函数在0处的值：

$$\delta_0:\mathcal S\to \mathbb C:\varphi\mapsto \varphi(0),$$

它正是所谓狄拉克δ函数，其傅里叶变换满足

$$\hat{\delta_0}(\varphi)=\delta_0(\hat \varphi)=\hat\varphi(0)=\int_{\mathbb R} \varphi(x)\ \mathrm{d}x,$$

而这正是常值函数 $1$ 如前述方式对应的线性泛函 $1'$。也就是说在这个意义上，狄拉克δ“函数”的傅里叶变换是 $1$。从频谱意义上理解，这意味着常值函数的频谱集中在零频率处（或者说周期无穷大） $\exp\left(ikx\right)|_{k=0}=1$ 的情况。

### 变换参数的常见约定

如前面提到的，傅里叶积分变换中有可调整的参数，对它们的调整不会造成变换性质的显著变化，而仅仅是对变换结果的定义域或值域进行了放缩。通过显式地引入参数 $a,b$，傅里叶积分变换的通式可以写为

$$\hat f(\mathbf k):=\left(\frac{|b|}{(2\pi)^{1-a}}\right)^{d/2}\int_{\mathbb R^d}f(\mathbf x)e^{ib\mathbf k\cdot \mathbf x}\mathrm{d}\mathbf x ,$$

相应的满足 $\mathcal F\circ\mathcal F^{-1}=\mathrm{id}=\mathcal F\circ\mathcal F^{-1}$ 的逆变换定义为

$$\check f(\mathbf x):=\left(\frac{|b|}{(2\pi)^{1+a}}\right)^{d/2}\int_{\mathbb R^d}f(\mathbf k)e^{-ib\mathbf k\cdot \mathbf x}\mathrm{d}\mathbf k.$$

编号｜选择｜特性

1｜$a=0$｜变换与逆变换有相同的前置因子，且变换是幺正的

2｜$(2\pi)^{1-a}=|b|$｜正变换没有前置因子

3｜$(2\pi)^{1+a}=|b|$｜逆变换没有前置因子

4｜$|b|=1$｜变换的自变量 $k$ 对应于角频率

5｜$|b|=2\pi$｜变换的自变量 $k$ 对应于频率

6｜$b<0$｜$\exp(ix)$贡献正频率部分的谱

7｜$b>0$｜$\exp(-ix)$贡献正频率部分的谱

一些选择组合因同时满足上面多个特性或在特定领域中自然出现而变得常见，列在下表。

编号｜a｜b｜满足特性｜场景

1｜0｜1｜1、4、7｜现代物理

2｜1｜-1｜2、4、6｜纯数学、系统工程

3｜-1｜1｜3、4、7｜传统物理

4｜0｜$-2\pi$｜1、2、3、5、6｜信号处理

本节中使用的约定是 $(a,b)=(0,-2\pi)$。

## 应用

傅里叶变换在医学、数据科学、物理学、声学、光学、结构力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、大气科学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。

### 数学

- 傅里叶变换可用于将索伯列夫空间 $W^{s,p}$ 上的范数从 $s\in\mathbb Z$ 的情况推广至为 $s\in\mathbb R$ 的情况。
- 一个随机变量的特征函数是几率密度函数的傅里叶变换 $E(e^{it\cdot X})=\int e^{it\cdot x}d\mu_X(x)$，尽管技术上往往使用傅里叶-斯蒂尔切斯变换的形式。

### 物理学

在处理具有波动方程背景的函数时，频域的信息处理起来通常更为方便，且信号的滤波等频域操作在器件方面有简单的实现。

除了力学振动、振荡电路等有明显波动方程背景的问题外，也有一些其他情况使得傅里叶变换在理论中自然地出现，如：

- 光学中，近轴近似下的菲涅耳衍射积分是一个傅里叶变换。
- 量子力学中，位置表象与动量表象之间的变换是一个傅里叶变换。
- 量子场论中，一个具有良好性质的场算子通常由创生及湮灭算符的傅里叶变换构造而来。

## 基本性质

下面性质的更直观的写法可参见常用傅里叶变换表。

### 线性性质

傅里叶变换是线性映射。也就是说对于 $\forall \alpha,\beta\in\mathbb{R},\quad \forall f,g\in\operatorname{Dom}(\mathcal F),$ 也存在 $\mathcal{F}(\alpha f+\beta g)=\alpha\mathcal{F}(f)+\beta\mathcal{F}(g).$

### 平移性质

可定义函数间的映射 $\tau_\alpha$ 满足

$$\tau_\alpha(f)(x)=f(x-\alpha),$$

称为平移算子。其可以推广到缓增分布上，定义为共轭算子 $\tilde\tau_\alpha=\tau_{-\alpha}^*$，也就是说对于

$$\forall \phi\in \mathcal S',\varphi\in\mathcal S,\quad\phi(\tau_{-\alpha}\varphi)=\tilde\tau_\alpha f(\varphi),$$

其中省略了表示平移算子作用于函数所需的括号。下文不再区分函数与分布的平移，采用相同记号。

傅里叶变换与平移算子满足如下关系：

$$\widehat{\tau_\alpha f}(k)=\exp(-2\pi i\alpha k)\hat f(k),$$

反过来，对于函数 $g(x) := \exp(2\pi i\alpha x)f(x)$，也有 $\hat g(k)=\tau_\alpha \hat f(k)$。

也就是说平移与相移相关联。

### 放缩性质

$$f(ax)\ \ \stackrel{\mathcal{F}}{\Longleftrightarrow}\ \ \frac{1}{|a|}\widehat{f}\left(\frac{\xi}{a}\right),\quad \ a \ne 0$$

$a=-1$ 的情况即给出所谓反射性质。

### 导数关系

傅里叶变换与导数算子满足如下关系：

$$\widehat{\partial^\alpha(f)}(k)=\exp(2\pi i k)^\alpha\hat f(k),$$

其中 $\alpha$ 是高阶导数，多元情况则一般化为多重指标。

反过来，对于函数 $g(x) := (-2\pi i x)^\alpha f(x)$，也有 $\hat g(k)=\partial^\alpha(\hat f)(k)$。

也就是说求导在乘上频率是相关联的。

这里的导数算子也可以是缓增分布的导数算子，同样由共轭算子定义为 $\tilde\partial^\alpha=(-1)^\alpha(\partial^\alpha)^*$。

### 卷积定理

若函数 $f,g$ 有傅里叶变换，且存在卷积 $f*g:x\mapsto\int_{\mathbb R} f(x-\xi)g(\xi)\,\mathrm d\xi$，则该卷积的傅里叶变换即 $\hat f\hat g$。

也可以推广地定义分布 $\phi$ 与测试函数 $\varphi$ 的卷积，这时同样有 $\widehat{\phi*\varphi}=\hat\varphi\hat\phi$。

### 帕塞瓦尔定理

$L^2$ 上的傅里叶变换是等距映射。或者说，若函数 $f \left( x\right )$ 平方可积，则$\int_{-\infty}^{+\infty} |f (x)|^2dx = \int_{-\infty}^{+\infty} |\hat f(\omega)|^{2}d\omega$。

## 傅里叶变换的其他变种

### 傅里叶级数

连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数（Fourier series）的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的：

$$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx} ,$$

其中$F_n$为复振幅。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]$$

其中an和bn是实频率分量的振幅。

傅里叶分析最初是研究周期性现象，即傅里叶级数的，后来通过傅里叶变换将其推广到了非周期性现象。理解这种推广过程的一种方式是将非周期性现象视为周期性现象的一个特例，即其周期为无限长。

### 离散时间傅里叶变换

离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆转换。

### 离散傅里叶变换

为了在运算科学和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数xn定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下，使用离散傅里叶变换，将函数xn表示为下面的求和形式：

$$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-i\frac{2\pi}{N} kn} \qquad k = 0,\dots,N-1$$

其中$X_k$是傅里叶振幅。直接使用这个公式计算的计算复杂度为$\mathcal{O}(n^2)$，而快速傅里叶变换（FFT）可以将复杂度改进为$\mathcal{O}(n \log n)$。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。

### 在阿贝尔群上的统一描述

以上的傅里叶变换都可以被统一描述为任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一问题属于调和分析的范畴。在调和分析中，一个变换从一个群变换到它的对偶群。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。傅里叶变换的广义理论基础参见庞特里亚金对偶性中的介绍。

### 时频分析变换

小波变换，Chirplet变换和分数傅里叶变换的都是为了得到时间信号的频率信息。同时解析频率和时间的能力在数学上受不确定性原理的限制。

### 傅里叶变换家族

下表列出了傅里叶变换家族的成员。容易发现，函数在时（频）域的离散对应于其像函数在频（时）域的周期性。反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性。下表给出详细的情形：

变换｜时间｜频率

连续傅里叶变换｜连续，非周期性｜连续，非周期性

傅里叶级数｜连续，周期性｜离散，非周期性

离散时间傅里叶变换｜离散，非周期性｜连续，周期性

离散傅里叶变换｜离散，周期性｜离散，周期性

## 常用傅里叶变换表

下面的表记录了一些封闭形式的傅立叶变换。对于函数$f(x)$, $g(x)$和$h(x)$，它们的傅立叶变换分别表示为$\hat{f}$, $\hat{g}$ 和$\hat{h}$。只包含了三种最常见的形式。注意条目105给出了一个函数的傅里叶变换与其原函数，这可以看作是傅里叶变换及其逆变换的关系。

### 函数关系

下表列出的常用的傅里叶变换对可以在或中找到。

函数｜傅立叶变换 幺正，普通的频率｜傅立叶变换 幺正，角频率｜傅立叶变换 非幺正，角频率｜注释

$\displaystyle f(x)\,$｜$\displaystyle \hat{f}(\xi)=$ $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{-2\pi i x\xi}\, dx$｜$\displaystyle \hat{f}(\omega)=$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i \omega x}\, dx$｜$\displaystyle \hat{f}(\nu)=$ $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{-i \nu x}\, dx$｜基本定义

101｜$\displaystyle a\cdot f(x) + b\cdot g(x)\,$｜$\displaystyle a\cdot \hat{f}(\xi) + b\cdot \hat{g}(\xi)\,$｜$\displaystyle a\cdot \hat{f}(\omega) + b\cdot \hat{g}(\omega)\,$｜$\displaystyle a\cdot \hat{f}(\nu) + b\cdot \hat{g}(\nu)\,$｜线性性质

102｜$\displaystyle f(x - a)\,$｜$\displaystyle e^{-2\pi i a \xi} \hat{f}(\xi)\,$｜$\displaystyle e^{- i a \omega} \hat{f}(\omega)\,$｜$\displaystyle e^{- i a \nu} \hat{f}(\nu)\,$｜时域平移

103｜$\displaystyle e^{ 2\pi iax} f(x)\,$｜$\displaystyle \hat{f} \left(\xi - a\right)\,$｜$\displaystyle \hat{f}(\omega - 2\pi a)\,$｜$\displaystyle \hat{f}(\nu - 2\pi a)\,$｜频域平移，变换102的频域对应

104｜$\displaystyle f(a x)\,$｜$\displaystyle \frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\xi}{a} \right)\,$｜$\displaystyle \frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\omega}{a} \right)\,$｜$\displaystyle \frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\nu}{a} \right)\,$｜在时域中定标。如果$\displaystyle |a|\,$值较大，则$\displaystyle f(a x)\,$会收缩到原点附近，而$\displaystyle \frac{1}{|a|}\hat{f} \left( \frac{\omega}{a} \right)\,$会扩散并变得扁平。当$\displaystyle |a|\,$趋向无穷时，$\displaystyle f(a x)\,$成为狄拉克δ函数。

105｜$\displaystyle \hat{f}(x)\,$｜$\displaystyle f(-\xi)\,$｜$\displaystyle f(-\omega)\,$｜$\displaystyle 2\pi f(-\nu)\,$｜傅里叶变换的二元性性质。这里$\hat{f}$的计算需要运用与傅里叶变换那一列同样的方法。通过交换变量$x$和$\xi$或$\omega$或$\nu$得到。

106｜$\displaystyle \frac{d^n f(x)}{dx^n}\,$｜$\displaystyle (2\pi i\xi)^n \hat{f}(\xi)\,$｜$\displaystyle (i\omega)^n \hat{f}(\omega)\,$｜$\displaystyle (i\nu)^n \hat{f}(\nu)\,$｜傅里叶变换的微分性质

107｜$\displaystyle x^n f(x)\,$｜$\displaystyle \left (\frac{i}{2\pi}\right)^n \frac{d^n \hat{f}(\xi)}{d\xi^n}\,$｜$\displaystyle i^n \frac{d^n \hat{f}(\omega)}{d\omega^n}$｜$\displaystyle i^n \frac{d^n \hat{f}(\nu)}{d\nu^n}$｜变换106的频域对应

108｜$\displaystyle (f * g)(x)\,$｜$\displaystyle \hat{f}(\xi) \hat{g}(\xi)\,$｜$\displaystyle \sqrt{2\pi} \hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega)\,$｜$\displaystyle \hat{f}(\nu) \hat{g}(\nu)\,$｜记号$\displaystyle f * g\,$表示$f$和$g$的卷积—这就是卷积定理

109｜$\displaystyle f(x) g(x)\,$｜$\displaystyle (\hat{f} * \hat{g})(\xi)\,$｜$\displaystyle (\hat{f} * \hat{g})(\omega) \over \sqrt{2\pi}\,$｜$\displaystyle \frac{1}{2\pi}(\hat{f} * \hat{g})(\nu)\,$｜变换108的频域对应。

110｜当$\displaystyle f(x)$是实变函数｜$\displaystyle \hat{f}(-\xi) = \overline{\hat{f}(\xi)}\,$｜$\displaystyle \hat{f}(-\omega) = \overline{\hat{f}(\omega)}\,$｜$\displaystyle \hat{f}(-\nu) = \overline{\hat{f}(\nu)}\,$｜埃尔米特对称。$\displaystyle \overline{z}\,$表示复共轭。

111｜当$\displaystyle f(x)$是实偶函数｜$\displaystyle \hat{f}(\omega)$, $\displaystyle \hat{f}(\xi)$和$\displaystyle \hat{f}(\nu)\,$都是实偶函数。

112｜当$\displaystyle f(x)$是实奇函数｜$\displaystyle \hat{f}(\omega)$, $\displaystyle \hat{f}(\xi)$和$\displaystyle \hat{f}(\nu)$都是虚奇函数。

113｜$\displaystyle \overline{f(x)}$｜$\displaystyle \overline{\hat{f}(-\xi)}$｜$\displaystyle \overline{\hat{f}(-\omega)}$｜$\displaystyle \overline{\hat{f}(-\nu)}$｜复共轭，110的一般化

### 平方可积函数

时域信号｜角频率表示的傅里叶变换｜弧频率表示的傅里叶变换｜注释

$g(t)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} \mathrm{d} \omega \,$｜$G(\omega)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} \mathrm{d}t \,$｜$G(f)\!\equiv$ $\int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} \mathrm{d}t \,$

10｜$\mathrm{rect}(a t) \,$｜$\frac{1}{\sqrt{2 \pi a^2}}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi a}\right)$｜$\frac{1}{|a|}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{f}{a}\right)$｜矩形脉冲和归一化的sinc函数

11｜$\mathrm{sinc}(a t)\,$｜$\frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2 \pi a}\right)$｜$\frac{1}{|a|}\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{f}{a} \right)\,$｜变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。

12｜$\mathrm{sinc}^2 (a t) \,$｜$\frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \mathrm{tri} \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right)$｜$\frac{1}{|a|}\cdot \mathrm{tri} \left( \frac{f}{a} \right)$｜tri是三角形函数

13｜$\mathrm{tri} (a t) \,$｜$\frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}} \cdot \mathrm{sinc}^2 \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right)$｜$\frac{1}{|a|}\cdot \mathrm{sinc}^2 \left( \frac{f}{a} \right) \,$｜变换12的频域对应

14｜$e^{-\alpha t^2}\,$｜$\frac{1}{\sqrt{2 \alpha}}\cdot e^{-\frac{\omega^2}{4 \alpha}}$｜$\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{(\pi f)^2}{\alpha}}$｜高斯函数$\exp(-\alpha t^2)$的傅里叶变换是其本身；只有当$\mathrm{Re}(\alpha)>0$时，该函数可积的

15｜$e^{iat^2} = \left. e^{-\alpha t^2}\right|_{\alpha = -i a} \,$｜$\frac{1}{\sqrt{2 a}} \cdot e^{-i \left(\frac{\omega^2}{4 a} -\frac{\pi}{4}\right)}$｜$\sqrt{\frac{\pi}{a}} \cdot e^{-i \left(\frac{\pi^2 f^2}{a} -\frac{\pi}{4}\right)}$｜光学领域应用较多

16｜$\cos ( a t^2 ) \,$｜$\frac{1}{\sqrt{2 a}} \cos \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right)$｜$\sqrt{\frac{\pi}{a}} \cos \left( \frac{\pi^2 f^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right)$

17｜$\sin ( a t^2 ) \,$｜$\frac{-1}{\sqrt{2 a}} \sin \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right)$｜$- \sqrt{\frac{\pi}{a}} \sin \left( \frac{\pi^2 f^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right)$

18｜$\mathrm{e}^{-a|t|} \,$｜$\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{a}{a^2 + \omega^2}$｜$\frac{2 a}{a^2 + 4 \pi^2 f^2}$｜a>0

19｜$\frac{1}{\sqrt{|t|}} \,$｜$\frac{1}{\sqrt{|\omega|}}$｜$\frac{1}{\sqrt{|f|}}$｜变换本身就是一个公式

20｜$J_0 (t)\,$｜$\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{\mathrm{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}}$｜$\frac{2\cdot \mathrm{rect} (\pi f)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 f^2}}$｜J0(t)是0阶第一类贝塞尔函数。

21｜$J_n (t) \,$｜$\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{ (-i)^n T_n (\omega) \mathrm{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}}$｜$\frac{2 (-i)^n T_n (2 \pi f) \mathrm{rect} (\pi f)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 f^2}}$｜上一个变换的推广形式; Tn (t)是第一类切比雪夫多项式。

22｜$\frac{J_n (t)}{t} \,$｜$\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{i}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (\omega)\,$ $\cdot \ \sqrt{1 - \omega^2} \mathrm{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)$｜$\frac{2 \mathrm{i}}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (2 \pi f)\,$ $\cdot \ \sqrt{1 - 4 \pi^2 f^2} \mathrm{rect} ( \pi f )$｜Un (t)是第二类切比雪夫多项式。

### 分布

时域信号｜角频率表示的傅里叶变换｜弧频率表示的傅里叶变换｜注释

$g(t)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} d \omega \,$｜$G(\omega)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} dt \,$｜$G(f)\!\equiv$ $\int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} dt \,$｜基本定义

23｜$1\,$｜$\sqrt{2\pi}\cdot \delta(\omega)\,$｜$\delta(f)\,$｜$\delta(\omega)$代表狄拉克δ函数分布.这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换

24｜$\delta(t)\,$｜$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,$｜$1\,$｜变换23的频域对应

25｜$e^{i a t}\,$｜$\sqrt{2 \pi}\cdot \delta(\omega - a)\,$｜$\delta(f - \frac{a}{2\pi})\,$｜由变换103和23得到

26｜$\cos (a t)\,$｜$\sqrt{2 \pi} \frac{\delta(\omega\!-\!a)\!+\!\delta(\omega\!+\!a)}{2}\,$｜$\frac{\delta(f\!-\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})\!+\!\delta(f\!+\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})}{2}\,$｜由变换101和25得到，应用了欧拉公式：$\cos(a t) = (e^{i a t} + e^{-i a t})/2.$

27｜$\sin( at)\,$｜$\sqrt{2 \pi}\frac{\delta(\omega\!-\!a)\!-\!\delta(\omega\!+\!a)}{2i}\,$｜$\frac{\delta(f\!-\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})\!-\!\delta(f\!+\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})}{2i}\,$｜由变换101和25得到

28｜$t^n\,$｜$i^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)\,$｜$\left(\frac{i}{2\pi}\right)^n \delta^{(n)} (f)\,$｜这里, $n$是一个自然数. $\delta^{(n)}(\omega)$是狄拉克δ函数分布的$n$阶微分。这个变换是根据变换107和24得到的。将此变换与101结合使用，我们可以变换所有多项式函数。

29｜$\frac{1}{t}\,$｜$-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)\,$｜$-i\pi\cdot \sgn(f)\,$｜此处$\sgn(\omega)$为符号函数；注意此变换与变换107和24是一致的.

30｜$\frac{1}{t^n}\,$｜$-i \begin{matrix} \sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\end{matrix} \sgn(\omega)\,$｜$-i\pi \begin{matrix} \frac{(-i 2\pi f)^{n-1}}{(n-1)!}\end{matrix} \sgn(f)\,$｜变换29的推广

31｜$\sgn(t)\,$｜$\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \frac{1}{i\ \omega }\,$｜$\frac{1}{i\pi f}\,$｜变换29的频域对应

32｜$u(t) \,$｜$\sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{i \pi \omega} + \delta(\omega)\right)\,$｜$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{i \pi f} + \delta(f)\right)\,$｜此处$u(t)$是单位阶跃函数;此变换根据变换101和31得到.

33｜$e^{- a t} u(t) \,$｜$\frac{1}{\sqrt{2 \pi} (a + i \omega)}$｜$\frac{1}{a + i 2 \pi f}$｜$u(t)$是单位阶跃函数，且$a > 0$.

34｜$\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (t - n T) \,$｜$\begin{matrix} \frac{\sqrt{2\pi }}{T}\end{matrix} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \omega -k \begin{matrix} \frac{2\pi }{T}\end{matrix} \right)\,$｜$\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( f -\frac{k }{T}\right) \,$｜狄拉克梳状函数——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变.

### 二元函数

时域信号｜傅立叶变换单一，普通频率｜傅立叶变换幺正，角频率｜傅立叶变换非幺正，角频率

400｜$\displaystyle f(x,y)$｜$\displaystyle \hat{f}(\xi_x, \xi_y)=$ $\displaystyle \iint f(x,y) e^{-2\pi i(\xi_x x+\xi_y y)}\,dx\,dy$｜$\displaystyle \hat{f}(\omega_x,\omega_y)=$ $\displaystyle \frac{1}{2 \pi} \iint f(x,y) e^{-i (\omega_x x +\omega_y y)}\, dx\,dy$｜$\displaystyle \hat{f}(\nu_x,\nu_y)=$ $\displaystyle \iint f(x,y) e^{-i(\nu_x x+\nu_y y)}\, dx\,dy$

401｜$\displaystyle e^{-\pi\left(a^2x^2+b^2y^2\right)}$｜$\displaystyle \frac{1}{|ab|} e^{-\pi\left(\xi_x^2/a^2 + \xi_y^2/b^2\right)}$｜$\displaystyle \frac{1}{2\pi\cdot|ab|} e^{\frac{-\left(\omega_x^2/a^2 + \omega_y^2/b^2\right)}{4\pi}}$｜$\displaystyle \frac{1}{|ab|} e^{\frac{-\left(\nu_x^2/a^2 + \nu_y^2/b^2\right)}{4\pi}}$

402｜$\displaystyle \mathrm{circ}(\sqrt{x^2+y^2})$｜$\displaystyle \frac{J_1\left(2 \pi \sqrt{\xi_x^2+\xi_y^2}\right)}{\sqrt{\xi_x^2+\xi_y^2}}$｜$\displaystyle \frac{J_1\left(\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2}\right)}{\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2}}$｜$\displaystyle \frac{2\pi J_1\left(\sqrt{\nu_x^2+\nu_y^2}\right)}{\sqrt{\nu_x^2+\nu_y^2}}$

注释

400：变量$\xi_x$、$\xi_y$、$\omega_x$、$\omega_y$、$\nu_x$、$\nu_y$为实数。二重积分是对整个平面积分。

401：这两个函数都是高斯函数，而且可能不具有单位体积。

402：此圆有单位半径，如果把 $\text{circ}(t)$认作阶梯函数 $u(1-t)$; Airy分布用 $J_1$（一阶第一类贝塞尔函数）表达。Stein

### 三元函数

时域信号｜角频率表示的傅里叶变换｜弧频率表示的傅里叶变换｜注释

$\mathrm{circ}(\sqrt{x^2+y^2+z^2})$｜$\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot\frac{\sin[\omega] - 2 \pi f_r \cos[\omega]}{\omega^3}$｜$4 \pi \frac{\sin[2 \pi f_r] - 2 \pi f_r \cos[2 \pi f_r]}{(2 \pi f_r)^3}$｜此球有单位半径；fr是频率矢量的量值{fx,fy,fz}.

## 外部链接

- Encyclopedia of Mathematics