量纲

量纲（quantity dimension，dimension）即 “物理量纲”（physical dimension）或“物理量的量纲”（dimension of a physical quantity），在数学结构上又称因次，是给定量对量制中各基本量的一种依从关系，用与基本量相应的因子的幂的乘积去掉所有数字因子后的部分表示。量纲为物理量的基本性质和特征，用以表示物理量与基本物理量（如长度、质量、时间、电流、温度、物质的量和光强度）的关系。

- 量纲的汉语命名，着重在物理学“量”的“纲”目，强调物理量在科学体系中的归属，将繁复的导出物理量简化为几个基本物理量（量）的核心类别（纲），侧重于定义某物理量本质上是什么的身份证明。
- 因次的汉语命名，着重在数学“因”子的幂“次”，强调物理量的数学结构并描述幂次的变化，将繁复的导出物理量表达为基本物理量（因）的几次方（次），侧重于表达某物理量是怎么组合出来的拆解公式。

量纲的表示使用大写字母，例如：长度（$\mathrm{L}$），质量（$\mathrm{M}$），温度（$\mathrm{\Theta}$），电流（$\mathrm{I}$），时间（$\mathrm{T}$），物质的量（$\mathrm{N}$），发光强度（$\mathrm{J}$）。这些基本量纲可以组合形成复合量纲。例如，速度的量纲是长度除以时间，表示为 $LT^{-1}$；加速度的量纲是长度除以时间的平方，表示为 $LT^{-2}$；力的量纲是质量乘以加速度，表示为 $MLT^{-2}$。

通过量纲，可以分析物理量的性质、比较不同物理量之间的关系，以及检验物理方程的正确性。例如，如果两边的量纲不同，则方程必定是错误的。通过量纲分析，还可以简化复杂的物理问题。例如，在进行实验或计算时，通过无量纲化处理，可以减少变量的数量，使问题变得更易分析和解决。

## 由来

物理学中，不同的物理量有着不同的单位，然而这些单位之间都有相互的联系。实际上，恰当地规定一些基本的单位（称为基本单位），可以使任何其他的单位（称为导出单位）都表达为这些单位的乘积，将其统一以便于研究各个物理量之间的关系。如在国际单位制中，功的单位焦耳（$\mathrm{J}$），可以表示为“千克平方米每平方秒”（$\mathrm{kg \cdot m^{2}/s^{2}}$）。

然而，仅仅用单位来表示会面临一些问题：

- 在不同的单位制下，各个物理量用单位来表示也会不同，以至于起不到预期的“统一各单位”的效果。如英里每小时（mph）与米每秒（m/s）乍看之下无甚联系，然而它们却都是表示速度的单位。虽然说经过转换可以将各个基本单位也统一，然而这样终究不够直观，需记忆也不甚方便，而且选择哪一个单位作为统一单位似乎都不甚公平。
- 把一个既有的单位表达为拆分了的基本单位的形式实际上没有任何意义，功的单位无论如何都不是“千克二次方米每二次方秒”，因为实际上这个单位根本不存在，它只是与“焦耳”恰好相等而已。况且，这样做也会导致一些拆分后相同但实质不同的单位被混淆，如力矩的单位牛米（$\mathrm{N \cdot m}$）被拆分后也是$\mathrm{kg \cdot m^{2}/s^{2}}$，然而它与功显然是完全不同的。

因此量纲被作为表达导出单位组成的专有方式引入物理学中。

## 表示方法

将一个物理导出量用若干个基本量的幂之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲乘积式或量纲式，亦简称量纲。

规定七个基本物理量，在量纲中分别用七个字母表示它们的量纲，他们是：长度（$\mathrm{L}$），质量（$\mathrm{M}$），温度（$\mathrm{\Theta}$），电流（$\mathrm{I}$），时间（$\mathrm{T}$），物质的量（$\mathrm{N}$），发光强度（$\mathrm{J}$）。

则对于任意一个物理量$A$，都可以写出下列量纲式：

$$\dim A = \mathrm{L^{\alpha}\,M^{\beta}\,\Theta^{\gamma}\,I^{\delta}\,T^{\epsilon}\,N^{\zeta}\,J^{\eta}}$$

等号左边也可以表示为$\left[ A \right]$。

上式右边称为物理量$A$的量纲。其中，$\alpha\, \beta\, \gamma\, \delta\, \epsilon\, \zeta\, \eta$称为量纲指数。在表示时，七个量纲不一定会全部用上。量纲指数为1的可以省略指数，指数为0的可以省略对应量纲；然而，当所有量纲指数皆为0时（称为无量纲），要将量纲记为“1”。

- 对于功，$\dim W = \mathrm{L^{2}MT^{-2}}$
- 对于磁感应强度，$\dim B = \mathrm{MT^{-2}I^{-1}}$
- 对于弧度，$\dim \theta = \mathrm{1}$

值得注意的是，虽然物理量的量纲与取什么单位无关，但量纲却只有在一定的单位制下才有意义。

## 量纲分析

量纲分析（dimensional analysis），又叫因次分析，是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法。量纲分析就是在量纲法则的原则下，分析和探求物理量之间关系。

量纲分析的基础是量纲法则。而在深层次运用中，几乎都还会运用到白金汉π定理，以至于有时候把量纲分析直接看作了“运用Π定理进行无量纲化的过程”。

### 量纲的乘除计算

对于不同物理量之间乘、除法导出新的物理量，量纲的计算满足数学上的指数计算法则，即：相乘则对应指数相加，相除则对应指数相减。

例如，根据安培力计算公式$F = I L B$，可导出磁感应强度的量纲，有

$$\begin{align} \dim B & = \dfrac{(\dim F)}{(\dim I)(\dim L)} \\ & = \mathrm{\dfrac{LMT^{-2}}{IL}} \\ & = \mathrm{MT^{-2}I^{-1}} \end{align}$$

### 量纲法则

量纲服从的规律称为量纲法则（dimensional rules），它有广泛的应用，一般只指出常用的两条：

1.只有量纲相同的物理量，才能彼此相加、相减和相等。

2.指数函数、对数函数和三角函数的宗量应当是量纲1的。

量纲法则是量纲分析的基础。若推出的公式不符合量纲法则，该式必然是错误的。

量纲齐次性原则（principle of dimensional homogeneity）是任何能够反映客观物理规律的数学方程，其等号两边的每一项、或者加减相连的每一项，都必须具有完全相同的量纲。量纲齐次性原则属于量纲法则的范畴，是量纲法则在物理方程（等式）中的最高体现。

### π定理

π定理是由白金汉（E.Buckinghan）于1915年提出的一个定理，故又叫作白金汉定理、白金汉π定理。

π定理是量纲分析领域中最核心的定理，其证明了任何一个包含n个物理变量的物理方程，都可以转化为一个包含k个无量纲参数（π项）的等价方程。按照这个定理，所有进入对数、指数或三角函数的复杂物理组合，最终都必须先凝练成一个无量纲的π项。

“π项”的意思，其实就是“无量纲组合项”或“无量纲的物理量组合”，亦即：将几个有单位的物理量乘除在一起，使它们的单位刚好全部抵消，变成一个纯数字的“公式组合”。

其内容为：

设影响某现象的物理量数为$n$个，这些物理量的基本量纲为$m$个，则该物理现象可用$N=n-m$个独立的无量纲数群（准数）关系式表示。

用数学方式表示为：

设n个物理量之间满足函数关系式：

$$f(X_1,X_2, \cdots ,X_n)=0$$

其中，$X_1,X_2, \cdots ,X_n$为物理量。共包含有m个基本量纲（m<n）。则上述关系式与下列关系式等价：

$$F(\Pi_1,\Pi_2, \cdots ,\Pi_k)=0$$

其中$k=n-m$,$\Pi_1,\Pi_2, \cdots ,\Pi_k$为无量纲量，F为未知函数关系。

<image>

设在水平面上有一质量为$m$的物体，受一水平力$F$的作用加速滑动，加速度为$a$，物体与水平面之间的滑动摩擦因数为$\mu$，重力加速度大小为$g$。则根据牛顿第二运动定律，可以写出以下关系式：

$$F-\mu mg=ma$$

式中有5个物理量，涉及到3个量纲（$\mathrm{L}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{T}$），根据Π定理，这个方程可以由两个无量纲量表示。比如：

$$\dfrac{F}{ma}-\dfrac{\mu mg}{ma}=1$$

式中$\dfrac{F}{ma}$与$\dfrac{\mu mg}{ma}$皆为无量纲量，1为常数不加考虑。

于是，原来有五个未知量的式子就被转化为只有两个未知量的了。实际应用当然会比这个复杂得多，然而原理是一样的。

π定理是量纲分析中一个非常重要的定理，它与量纲法则是量纲分析的两大方法，它在建立模型和简化物理过程方面有着巨大的用途。

### 量纲分析的主要用处

量纲分析是物理学的基础之一，更在空气动力学和流体力学中有重要应用。

- 可以在不同的单位制间进行导出单位的换算。

如，在推导牛顿与达因之间的换算关系时，已知$\dim F = \mathrm{LMT^{-2}}$，又知道牛顿使用国际单位制（千克米秒制），达因使用厘米克秒制，1 m = 100 cm，1 kg = 1000 g,于是

$$\mathrm{\dfrac{1\,N}{1\,dyn}=\left( \dfrac{1\,m}{1\,cm} \right)\left( \frac{1\,kg}{1\,g} \right)\left( \frac{1\,s}{1\,s} \right)^{-2}=10^5}$$

$$\mathrm{1\,N = 10^5\,dyn}$$

- 验证公式。在对一个公式踌躇不定的时候，可以对等号两边进行取量纲。因为根据量纲的一致性，只有量纲相同的物理量才能进行相加、相减、相等，故可用该方法排除一部分错误。（当然，这并不总是有效。）

比如，对于安培力公式$F = I L B$，如果不慎记成$F = I v B$，那么在验证时有。

$$\dim F = \mathrm{LMT^{-2}}$$

$$\dim IvB = \mathrm{ILT^{-1}MT^{-2}I^{-1} = LMT^{-3}}$$

显然是不等的，那么便可以得知公式错误；并且还可以知道是少了一个量纲$\mathrm{T}$，那么便会更有方向性地寻找错误原因。

- 为复杂公式提供线索，简化复杂物理现象。

比如，对于单摆的周期，可以猜测它与单摆的质量$m$、摆长$l$和重力加速度$g$有关，于是假设

$$T=\lambda m^x l^y g^z$$

其中$\lambda$为常数。两边取量纲，得

$$\mathrm{T=M^x L^y (L T^{-2})^z}$$

根据量纲的一致性。

$$\begin{cases} 0=y+z \\ 0=x \\ -2z=1 \end{cases}$$

解得x=0，y=0.5，z=-0.5，故

$$T=\lambda \sqrt{\frac{l}{g}}$$

只需用实验测出$\lambda$的值就可以了。

流体力学中诸如湍流、流体阻力之类的问题，理论非常复杂，有时也常采用实验的方式确定。已经看到，在量纲法则上建立的Π定理把n元关系式简化为n-m元关系式，于是在实际计算中只需要这n-m个值便可了解该物理过程了。力学涉及三个量纲（$\mathrm{L}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{T}$），因此通过无量纲化便减少了3个未知量，这实际上大大地简化了实验过程和理论计算。

## 参见条目

- 量纲分析