三角不等式

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三角不等式是数学上的一个不等式，表示从A到B再到C的距离永不少于从A到C的距离；亦可以说是两项独立物件的量之和不少于其和的量。它除了适用于三角形之外，还适用于其他数学范畴及日常生活中。

## 欧式几何

任意三角形$\Delta ABC$都有：

$$|\overline{AB} - \overline{BC}| < \overline{AC} < \overline{AB}+\overline{BC}$$

证明

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这个证明原记载于《几何原本》第一卷命题20。如图，取三角形$\Delta ABC$。朝点$B$ 方向延长$\overline{AB}$至点D，并使$\overline{BD}=\overline{BC}$，联结$\overline{DC}$。因为三角形 $\Delta BDC$ 为等腰三角形，根据第五公设可得$\angle BDC=\angle BCD$。令： :$\alpha = \angle BDC = \angle BCD$ :$\beta = \angle ACD$ 显然$\beta > \alpha$。由于角$\beta$对应边$\overline{AD}$，角$\alpha$对应边$\overline{AC}$，根据命题19（大角对大边），因此$\overline{AD}>\overline{AC}$。又由于$\overline{DB}=\overline{BC}$，所以： :$\overline{AD}=\overline{AB}+\overline{BD}=\overline{AB}+\overline{BC}>\overline{AC}$ 同样的，如果朝点$A$方向延长$\overline{AB}$，如法炮制的话，可以得到： :$\overline{BA}+\overline{AC}>\overline{BC}$ (1) 朝点$C$方向延长$\overline{BC}$，如法炮制的话，可以得到： :$\overline{BC}+\overline{CA}>\overline{BA}=\overline{AB}$ (2) (1)两边各减去$\overline{AB}$有： :$\overline{AC}>\overline{BC} - \overline{AB}$ (2)两边各减去$\overline{BC}$有： :$\overline{CA}>\overline{AB} - \overline{BC}$ 也就是 :$\overline{AC} > |\overline{AB} - \overline{BC}|$ 至此本定理得证。$\Box$

至于：

$$\overline{AC} = \overline{AB}+\overline{BC}$$

除非三点共线否则在欧氏几何中不可能，要有这种“三角形”只有在打破第五公设的非欧几里得几何里才会出现，如球面几何学的球面三角形。或闵考斯基时空：

$\| x+y \| \geq \| x \| + \| y \|$ 对所有 $x,y \in V$，使得$\| x \| \geq 0$, $\| y \| \geq 0$ 和 $t_x t_y \geq 0$

这个不等式的物理例子可以在狭义相对论中的双生子佯谬找到。

## 向量空间

一种推广三角不等式的方法是在“可相加和伸缩的空间”（向量空间）里定义“长度”(范数)，严格来说就是所谓的赋范向量空间。但三角不等式在赋范向量空间是个不能证明的前提，而且不一定具有几何中：

$$\left|\overline{AB} - \overline{BC} \right| \leq \overline{AB} + \overline{BC}$$

直观性质，要确保这种直观性质的话，需要退一步在向量空间假设内积的构造，换句话说有以下定理:

$V$ 是个复内积空间，则对所有的$v,\,w \in V$ 有：:$\left| \|v\| - \|w\| \right| \leq \| v \oplus w \| \leq \| v \| + \| w \|$（证明请见内积空间#三角不等式）

### 实数与复数

事实上，实数系$\R$跟复数系$\C$都是以自己为域（纯量母空间）的向量空间，它们的向量加法就是普通的加法；纯量积就是普通的乘法；至于内积的话，任二复数$z_1,\,z_2 \in \C$的内积可以定义成：

$$\langle z_1,\,z_2 \rangle := z_1\overline{z_2}$$

这样范数就会等于绝对值：

$$\|z_1\|^2 := \langle z_1,\,z_1 \rangle = z_1\overline{z_1} = |z_1|^2$$

而任二实数$a,\, b \in \R$的内积就只是普通的乘法：

$$\langle a,\,b \rangle := a\overline{b} = ab$$

$$\|a\|^2 = a\overline{a} = |a|^2$$

这样两系内的三角不等式都只是内积空间的特例：

$\left| |z_1| - |z_2| \right| \leq |z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ ($z_1,\,z_2 \in \C$)

$\left| |a| - |b| \right| \leq |a + b| \leq |a| + |b|$ ($a,\, b \in \R$)

其实上面两式也可以用更基础，只牵涉到复数运算的方式证明：

证明考虑到 :$|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ :$|z_1| = |\overline{z_1}|$ 有： $\begin{aligned} |z_1 + z_2 |^2 &= (z_1 + z_2)(\overline{z_1 + z_2}) \\ &= |z_1|^2 + \overline{z_1}z_2 + z_1\overline{z_2} + |z_2|^2 \\ &= |z_1|^2 + 2\operatorname{Re}{(\overline{z_1}z_2)} + |z_2|^2 \\ &\le |z_1|^2 + 2|\overline{z_1}z_2| + |z_2|^2 \\ &= |z_1|^2 + 2|z_1||z_2| + |z_2|^2 \\ &= {\left(|z_1| + |z_2| \right)}^2 \\ \end{aligned}$ $\begin{aligned} ||z_1| - |z_2| |^2 &= |z_1|^2 - 2|z_1||z_2| + |z_2|^2 \\ &\leq |z_1|^2 + 2\operatorname{Re}{(\overline{z_1}z_2)} + |z_2|^2 \\ &= |z_1 + z_2|^2 \end{aligned}$ 故复数三角不等式得证，实数只是复数的特例而以。$\Box$

### 坐标空间

$n$维（实数）坐标空间$\R^n$本身就是以实数系$\R$为域（纯量母空间）的向量空间，只要对任意$a = (a_1,\,\dots,\,a_n) \in \R^n$和$b = (b_1,\,\dots,\,b_n) \in \R^n$和纯量 $\lambda \in \R$作如下定义：

(1)向量加法： $a \oplus b := (a_1 + b_1,\,\dots,\,a_n + b_n)$

(2)纯量乘法：$\lambda \cdot a := (\lambda a_1,\,\dots,\,\lambda a_n)$

它也能成为实系数内积空间，只要作如下定义：

(3) 内积： $\langle a,\, b \rangle := a_1 b_1+\dots+a_n b_n$

也就是普通的点积。这样的话范数正好就等于直观上的长度：

$$\| a \| ^2 := \langle a,\,a \rangle = a_1^2+\dots+a_n^2$$

这样实数座标空间的三角不等式就是内积空间不等式的特例了：

$\left| \|a\| - \|b\| \right| \leq \|a \oplus b\| \leq \|a\| + \|b\|$ ($a,\, b \in \R^n$)

如果把把欧几里得平面和$\R^2$做一对一对应的话，欧式几何一节的三角不等式就可以视为上式的特例；但也可以使用$\R^2$空间座标的运算性质来证明：

对$\R^2$坐标系中任三点$A,\,B,\,C$有：

$$\left| \, \left\| \overrightarrow{AB} \right\| - \left\|\overrightarrow{BC} \right\| \, \right| \leq \left\|\overrightarrow{AC} \right\| \leq \left\| \overrightarrow{AB} \right\| + \left\|\overrightarrow{BC} \right\|$$

证明首先注意到： :$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ 那根据点积的性质有： :${\left\| \overrightarrow{AC} \right\|} ^ 2 = {\left\|\overrightarrow{AB} \right\|} ^ 2 + {\left\|\overrightarrow{BC} \right\|} ^ 2 + 2 \left( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} \right)$ 另一方面： :${\left( \left\|\overrightarrow{AB} \right\|+ \left\|\overrightarrow{BC} \right\| \right)}^2 ={\left\|\overrightarrow{AB} \right\|} ^ 2 + {\left\|\overrightarrow{BC} \right\|} ^ 2 + 2 \left\|\overrightarrow{AB} \right\|\left\|\overrightarrow{BC} \right\|$ 考虑到： :$- \left\| \overrightarrow{AB} \right\| \left\| \overrightarrow{BC} \right\| \leq \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} \leq \left\| \overrightarrow{AB} \right\| \left\| \overrightarrow{BC} \right\|$ 所以： :$\left\| \overrightarrow{AC} \right\| \leq \left\|\overrightarrow{AB} \right\| + \left\|\overrightarrow{BC} \right\|$ 同样的对 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{BC}$ 如法炮制就有： :$\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \leq \left\|\overrightarrow{AC} \right\| + \left\|\overrightarrow{CB} \right\|$ :$\left\| \overrightarrow{BC} \right\| \leq \left\|\overrightarrow{BA} \right\| + \left\|\overrightarrow{AC} \right\|$ 换句话说： :$\left| \, \left\| \overrightarrow{AB} \right\| - \left\|\overrightarrow{BC} \right\| \, \right| \leq \left\|\overrightarrow{AC} \right\|$ 至此三角不等式成立。$\Box$