Abc猜想

abc猜想（abc conjecture）是一个未解决的数学猜想，最先由约瑟夫·奥斯特莱及大卫·马瑟在1985年提出。abc猜想以三个互质正整数a, b, c描述，c是a及b的和，猜想因此得名。京都大学数理解析研究所望月新一教授于2012年提出论文证明，经过8年同行审查后于2020年4月发表，但对于该证明的正确性仍存在极大争议。对此也衍生出一BOINC项目“ABC@Home”。

abc猜想若得证，数论中很多著名猜想可以立时得出。多利安·哥德费尔德称abc猜想为“丢番图分析中最重要的未解问题”。Goldfeld

## 内容

对正整数$n$，$\operatorname{rad}(n)$表示$n$的质因数的积，称为$n$的根基（radical）。例如

$\operatorname{rad}(16) = \operatorname{rad}\left(2^4\right) = 2$。

$\operatorname{rad}(17) = 17$。

$\operatorname{rad}(18) = \operatorname{rad}\left(2 \cdot 3^2\right) = 2 \cdot 3 = 6$。

$\operatorname{rad}(1000000) = \operatorname{rad}\left(2^6 \cdot 5^6\right) = 2 \cdot 5 = 10$。

若正整数a, b, c 彼此互质，且a + b=c，“通常”会有c < rad(abc)，例如：

$(a, b, c) = (2, 7, 9)$：$\operatorname{rad}(abc) = 42 > 9 = c$。

$(a, b, c) = (9, 16, 25)$：$\operatorname{rad}(abc) = 30 > 25 = c$。

但是也有反例，例如：

$a = 3$, $b = 125$, $c = 128$：因为$125=5^{3}$，$128=2^{7}$，故此$\operatorname{rad}(abc) = 30 < c$。

如上有多于一个整数可被小的质数的高次幂整除，使rad(abc) < c，是较特殊的情况。ABC@Home计划目的在寻找更多这样的例子。

abc猜想（一）

对于任何$\varepsilon >0$，只存在有限个互质正整数的三元组(a, b, c)，c = a + b，使得

$$c > \operatorname{rad}(abc)^{1+\epsilon}$$

abc猜想也有以下等价的表述方式：

abc猜想（二）

对于任何$\varepsilon >0$，存在常数$C_{\varepsilon}>0$，使得对于互质正整数的三元组(a, b, c)，c = a + b，有：

$$c < C_{\varepsilon} \operatorname{rad}(abc)^{1+\epsilon},$$

abc猜想第三个表述方式，用到了三元组(a, b, c)的品质（quality），定义为：

$$q(a,b,c)=\frac{\log(c)}{\log(\operatorname{rad}(abc))}$$

例如：

- q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...
- q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...

一般的互质正整数的三元组，通常有 rad(abc) > c，因此q(a, b, c) < 1。q大于1的情况较少出现。

abc猜想（三）

对于任何$\varepsilon > 0$，只存在有限个互质正整数的三元组(a, b, c)，c = a + b，使得

$$q(a,b,c) > 1+\epsilon$$

abc猜想中的ε不能去掉，不然命题就不成立。考虑以下例子：

$a_n = 3^{2^n} -1$, $b_n = 1$, $c_n = 3^{2^n}$

这三个正整数互质，且有$a_n+b_n=c_n$。注意到$a_n$可被$2^{n+2}$整除，因此有

$\operatorname{rad}(a_n b_n c_n) \le 3 \cdot 2 \cdot \frac {a_n}{2^{n+2}}= \frac {3 a_n}{2^{n+1}}$:

因此

$$c_n > a_n \ge \frac {2^{n+1}}{3} \operatorname{rad}(a_n b_n c_n)$$

当n趋向无限大时，$\frac {2^{n+1}}{3}$也趋向无限大。因此不存在常数C，使得 c < C rad(abc)对所有适合条件的三元组都成立。

## 可得出的结果

如果abc猜想得证，那么有很多结果可以推导出来。其中一些结果，在abc猜想提出后，已经以其他方法得到证明，一些则仍然为猜想。

- Thue–Siegel–Roth定理
- 费马大定理对所有足够大指数的情形（安德鲁·怀尔斯已证一般情形） Granville
- Mordell猜想（格尔德·法尔廷斯已证一般情形）Elkies
- Erdős–Woods猜想，除了有限多的反例。Langevin
- 存在无限多非维费里希素数Silverman
- Marshall Hall猜想的弱形式Nitaj
- 费马－卡塔兰猜想Pomerance
- 用勒让德符号构成的L函数L(s, χd)没有西格尔零点（需要abc猜想在代数数域上的一致形式，不只在有理整数上。）Granville
- 对有至少3个简单零点的多项式P(x)，在整数x取的所有值中，只有有限个次方数。
- Tijdeman定理的推广形式，关于ym = xn + k的解的个数（定理是k=1的情形），及Pillai猜想，关于Aym = Bxn + k的解的个数。
- 等价于Granville–Langevin 猜想
- 等价于修改后的Szpiro猜想Oesterlé
- 布罗卡问题n! + A= k2，对任何给定的整数A，都只有有限个解。Dąbrowski

## 理论结果

abc猜想导出c有abc的根基的接近线性函数的上界；不过，现在已知的是指数上界。确切结果如下：

$c < \exp{ \left(K_1 \operatorname{rad}(abc)^{15}\right) }$ Stewart,

$c < \exp{ \left(K_2 \operatorname{rad}(abc)^{\frac{2}{3} + \varepsilon}\right) }$ Stewart,

$c < \exp{ \left(K_3 \operatorname{rad}(abc)^{\frac{1}{3} + \varepsilon}\right) }$ Stewart.

上述的上界中，K1是不依赖a, b, c的常数，而K2和K3是（以可有效计算的方式）依赖于ε的常数，但不依赖于a, b, c。上述的上界对c > 2的三元组都成立。

## 计算结果

2006年，荷兰的莱顿大学数学系与Kennislink科学研究所合作，开展ABC@Home计划。这个计划是网格计算系统，目的在找出更多的正整数三元组a, b, c使得rad(abc) 1｜q > 1.05｜q > 1.1｜q > 1.2｜q > 1.3｜q > 1.4

c < 102｜6｜4｜4｜2｜0｜0

c < 103｜31｜17｜14｜8｜3｜1

c < 104｜120｜74｜50｜22｜8｜3

c < 105｜418｜240｜152｜51｜13｜6

c < 106｜1,268｜667｜379｜102｜29｜11

c < 107｜3,499｜1,669｜856｜210｜60｜17

c < 108｜8,987｜3,869｜1,801｜384｜98｜25

c < 109｜22,316｜8,742｜3,693｜706｜144｜34

c < 1010｜51,677｜18,233｜7,035｜1,159｜218｜51

c < 1011｜116,978｜37,612｜13,266｜1,947｜327｜64

c < 1012｜252,856｜73,714｜23,773｜3,028｜455｜74

c < 1013｜528,275｜139,762｜41,438｜4,519｜599｜84

c < 1014｜1,075,319｜258,168｜70,047｜6,665｜769｜98

c < 1015｜2,131,671｜463,446｜115,041｜9,497｜998｜112

c < 1016｜4,119,410｜812,499｜184,727｜13,118｜1,232｜126

c < 1017｜7,801,334｜1,396,909｜290,965｜17,890｜1,530｜143

c < 1018｜14,482,065｜2,352,105｜449,194｜24,013｜1,843｜160

ABC@Home找出 2380 万个三元组，现今目标在找出c不大于263的所有三元组(a,b,c)。

q｜a｜b｜c｜发现者

1｜1.6299｜2｜310·109｜235｜Eric Reyssat

2｜1.6260｜112｜32·56·73｜221·23｜Benne de Weger

3｜1.6235｜19·1307｜7·292·318｜28·322·54｜Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski

4｜1.5808｜283｜511·132｜28·38·173｜Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj

5｜1.5679｜1｜2·37｜54·7｜Benne de Weger

## 历史

1996年，艾伦·贝克（Alan Baker）提出一个较为精确的猜想，将$\operatorname{rad}(abc)$用$\varepsilon^{-\omega}\operatorname{rad}(abc)$取代，在此$\omega$是$a, b, c$的不同质因数的数目。

2007年，吕西安·施皮罗尝试给出证明，后来被发现有错误。

2012年8月，日本京都大学数学家望月新一发表长约五百页的abc猜想的证明，以他建立的宇宙际泰赫米勒理论（inter-universal Teichmüller theory）为基础。该证明目前正由其他数学专家检查中。当Vesselin Dimitrov和阿克沙伊·文卡泰什在2012年10月发现一处错误时，望月新一在他的网站确认了此错误，并声称这个错误能够在近期修补，不会影响最后的结果。2012年12月，望月新一在自己主页贴出了自己对所有四篇文章的修改稿。主要包含27条重要的修改。2012年12月-2013年2月，他又屡次对文章进行了修订，新修正了18处错误，当中很多也是打字错误。望月新一在网上公开了2013年以及2014年的检验进度报告。2018年8月，皮特·舒尔策和Jakob Stix指出，望月新一的证明论文中 Corollary 3.12 证明结尾的一行推理存在无法修复的缺陷。望月认为二者的批评存在“某种根本上的误解”。

## 参见

- 根基
- Mason-Stothers定理—多项式环上的对应定理

## 参考文献

### 来源

- On the diophantine equation $x!+A=y^2$

## 外部链接

- ABC@home 分布式计算项目ABC@Home.
- Easy as ABC: Easy to follow, detailed explanation by Brian Hayes.
- Abderrahmane Nitaj's ABC conjecture home page
- Bart de Smit's ABC Triples webpage
- http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf
- The amazing ABC conjecture
- The ABC's of Number Theory by Noam D. Elkies
- Questions about Number by Barry Mazur
- Philosophy behind Mochizuki’s work on the ABC conjecture on MathOverflow
- ABC Conjecture Polymath project wiki page linking to various sources of commentary on Mochizuki's papers.