测度

在数学中，测度（measure）是一种将几何空间的度量（长度、面积、体积）和其他共识（普通观念、共有概念，如大小、质量和事件的概率）广义化和形式化后产生的概念（concept）。

在信息技术、办公机械中，测度是通过执行一次测量，以测量结果来赋值（赋予对象属性）的变量（数或类别）。

传统的黎曼积分是在区间上进行的，为了把积分推广到更一般的集合上，人们就发展出测度的概念。一个特别重要的例子是勒贝格测度，它从 $n$ 维欧式空间 ${\R}^n$ 出发，概括了传统长度、面积和体积等等的概念。

研究测度的学问被统称为测度论（measure theory），因为指定的数值通常是非负实数，所以测度论通常会被视为实分析的一个分支，它在数学分析和概率论有重要的地位。

## 正式定义

$(X,\,\Sigma)$ 为可测空间，函数 $\mu:\Sigma\to[0,\,\infty)$ 若满足：

- $\mu(\varnothing) = 0$ (空集合的测度为零)
- 可数可加性( $\sigma$-可加性)：若集合序列 $\{E_n\in\Sigma\}_{n\in\N}$ 对所有不相等正整数 $i\neq j$ 都有 $E_i\cap E_j=\varnothing$，则

$\mu\left(\bigcup_{n\in\N} E_n\right) = \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n)$。

那 $\mu$ 被称为定义在 $\Sigma$ 上的一个非负测度，或简称为测度。为了叙述简便起见，也可称 $(X,\,\Sigma,\,\mu)$ 为一测度空间。

直观上，测度是“体积”的推广；因为空集合的“体积”当然为零，而且互相独立的一群（可数个）物体，总“体积”当然要是所有物体“体积”直接加总（的极限）。而要定义“体积”，必须先要决定怎样的一群子集合，是“可以测量的”，详细请见σ-代数。

如果将 $\mu$ 的值域扩展到复数，也就是说 $\mu:\Sigma\to\C$，那 $\mu$ 会被进一步称为复数测度。

### 定义的分歧

若照着上述定义，根据可数可加性，不少母集合本身的测度值会变成无穷大（如对 ${\R}^n$ 本身取勒贝格测度），所以实际上不存在。但某些书籍会形式上将无穷大视为一个数，而容许测度取值为无穷大；这样定义的书籍，会把只容许有限实数值的测度称为（非负）有限测度。但这样"定义"，会造成可数可加性与数列收敛的定义产生矛盾。

所以要延续体积是一种＂度量＂的这种直观概念（也就是严谨的定义勒贝格测度），那就必须把σ-代数换成条件比较宽松的半集合环，然后以此为基础去定义一个对应到＂体积＂的前测度。

更进一步的，如果对测度空间 $(X,\,\Sigma,\,\mu)$ 来说，母集合 $X$ 可表示为 $\Sigma$ 内的某可测集合序列 $\{E_n\in\Sigma\}_{n\in\N}$ 的并集：

$$X = \bigcup_{n\in\N} E_n$$

若 $E_n$ 皆为有限测度集，则 $\mu$ 会被进一步的称为（非负）σ-有限测度。

## 性质

### 单调性

测度$\mu\ $的单调性：

若$E_1\ $和$E_2\ $为可测集，而且$E_1 \subseteq E_2$，则$\mu(E_1) \leq \mu(E_2)$。

### 可数个可测集的并集的测度

若$E_1, E_2, E_3\cdots$为可测集（不必是两两不交的），则集合$E_n\ $的并集是可测的，且有如下不等式（“次可列可加性”）：

$$\mu(\bigcup_{i=1}^\infty E_i) \leq \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)$$

如果还满足并且对于所有的$n\ $，$E_n\ $⊆$E_{n+1}\ $，则如下极限式成立：

$$\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i).$$

### 可数个可测集的交集的测度

若$E_1,E_2,\cdots$为可测集，并且对于所有的$n\ $，$E_{n+1}\ $⊆$E_n\ $，则$E_n\ $的交集是可测的。进一步说，如果至少一个$E_n\ $的测度有限，则有极限：

$$\mu(\bigcap_{i=1}^\infty E_i) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i)$$

如若不假设至少一个$E_n\ $的测度有限，则上述性质一般不成立。例如对于每一个$n\in \mathbb{N}$，令

$$E_n = [n, \infty) \subseteq \mathbb{R}$$

这里，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。

## 完备性

$(X,\,\Sigma,\,\mu)$ 是测度空间，若$N \in \Sigma$ 且 $\mu(N)=0\ $，则 $N$ 被称为零测集（null set）。

若所有零测集的子集都可测，则 $\mu$ 称为完备的（complete）。

直观上，因为测度的单调性，只要包含于零测集的集合，也“应该”是零测集，完备测度的定义体现了这个直观的想法。更进一步的，任意测度可以按如下的定理扩展为完备测度：

$(X,\,\Sigma,\,\mu)$ 是测度空间，若取：

$$\Sigma^\star := \bigg\{ S \,\bigg|\, (S \subseteq X) \wedge (\exists A)(\exists B)\{ <pre> (A,\, B \in \Sigma) \wedge (A \subseteq S \subseteq B) \wedge [\mu(B-A) = 0] </pre> \} \bigg\}$$

那 $\Sigma^\star$ 是一个Σ-代数，此时若定义：

$$\mu^\star := \bigg\{ \langle S,\,r \rangle \,\bigg|\, (S \subseteq X) \wedge (\exists A)(\exists B)\{ <pre> (A,\, B \in \Sigma) \wedge (A \subseteq S \subseteq B) \wedge [\mu(B-A) = 0] \wedge [r = \mu(A)] </pre> \} \bigg\}$$

那 $\mu^\star$ 是定义在 $\Sigma^\star$ 上的完备测度，且有：

$$(\forall S \in \Sigma)[\mu^\star(S) = \mu(S)]$$

证明

## 例子

下列是一些测度的例子（顺序与重要性无关）。

- 计数测度 定义为$\mu(S) = S\ $的“元素个数”。
- 一维勒贝格测度是定义在$\mathbb{R}$的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、平移不变的、满足$\mu([0,1])=1\ $的唯一测度。
- Circular angle测度是旋转不变的。
- 局部紧拓扑群上的哈尔测度是勒贝格测度的一种推广，而且也有类似的刻划。
- 恒零测度定义为$\mu(S) = 0\ $，对任意的$S\ $。
- 每一个概率空间都有一个测度，它对全空间取值为1（于是其值全部落到单位区间0,1中）。这就是所谓概率测度。见概率论公理。

其它例子，包括：狄拉克测度、波莱尔测度、若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。

## 相关条目

- 外测度（Outer measure）
- 几乎处处（Almost everywhere）
- 勒贝格测度（Lebesgue measure）
- 勒贝格积分
- 法图引理(Fatou's lemma)
- 富比尼定理(Fubini's theorem)
- 可测基数

## 外部链接

- Tutorial: Measure Theory for Dummies（为初学者准备的测度论教学）