指数分布

$\lambda > 0 \,$ 率

$$x \in [0;\infty)\!$$

$$\,\lambda e^{-\lambda x}$$

$$1 - e^{-\lambda x}$$

$$\lambda^{-1}\,$$

$$\ln(2)/\lambda\,$$

$$0\,$$

$$\lambda^{-2}\,$$

$$2\,$$

$$6\,$$

$$1 - \ln(\lambda)\,$$

$$\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{-1}\,$$

$$\left(1 - \frac{it}{\lambda}\right)^{-1}\,$$

在几率论和统计学中，指数分布（Exponential distribution）是一种连续几率分布。指数分布可用于建模平均发生率恒定且连续、独立事件的发生间隔，例如旅客进入机场的时间间隔、电话打进客服中心的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔、机器的寿命等。

## 记号

指数分布即形状母数 $\alpha$ 为1的伽玛分布。

若随机变数$X$服从母数为$\lambda$或$\beta$的指数分布，则记作

$$X\sim \text{Exp}(\lambda )$$ 或 $X\sim \text{Exp}(\beta )$

两者意义相同，只是$\lambda$与$\beta$互为倒数关系。只要将以下式子做${\color{Red}\lambda =\frac{1}{\beta}}$的替换即可，即，指数分布之几率密度函数为：

$$f(x;{\color{Red}\lambda}) = \left\{\begin{matrix} {\color{Red}\lambda} e^{-{\color{Red}\lambda} x} & x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.$$

或

$$f(x;{\color{Red}\beta}) = \left\{\begin{matrix} {\color{Red}\frac{1}{\beta}} e^{-{\color{Red}\frac{1}{\beta}} x} & x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.$$

累积分布函数为：

$$F(x;{\color{Red}\lambda}) = \left\{\begin{matrix} 1-e^{-\color{Red}{\lambda} x}&,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.$$

或

$$F(x;{\color{Red}\beta}) = \left\{\begin{matrix} 1-e^{-{\color{Red}\frac{1}{\beta}} x}&,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.$$

其中$\lambda>0$是分布的母数，即每单位时间发生该事件的次数；$\beta$为比例母数，即该事件在每单位时间内的发生率。两者常被称为率参数（rate parameter）。指数分布的区间是`[0,`∞)。

## 特性

### 期望值与变异数

随机变量 $X$（$X$ 的母数为 $\lambda$ 或 $\beta$）的期望值是：

$$\mathbf{E}(X) = \frac{1}{\color{Red}{\lambda}}={\color{Red}\beta}$$

例如：如果你平均每个小时接到2次电话，那么你预期等待每一次电话的时间是半个小时。

$X$ 的方差是：

$$\mathbf{Var}(X) = \frac{1}{\color{Red}{\lambda^2}}={\color{Red}\beta^2}$$

$X$ 的偏态系数是：

$$\mathbf{V}[X]=1$$

### 无记忆性

指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又称遗失记忆性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，它的条件概率遵循：

$$P(T > s + t\; |\; T > t) = P(T > s) \;\; \hbox{for all}\ s, t \ge 0.$$

### 与泊松过程的关系

泊松过程是一种重要的随机过程。泊松过程中，第 $k$ 次随机事件与第 $k+1$ 次随机事件出现的时间间隔服从指数分布。而根据泊松过程的定义，长度为 $t$ 的时间段内没有随机事件出现的概率等于

$\frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^0}{0!} = e^{-\lambda t}$,

长度为 $t$ 的时间段内随机事件发生一次的概率等于$\frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^1}{1!}=e^{-\lambda t} \lambda t$。

所以第 $k$ 次随机事件之后长度为 $t$ 的时间段内，第 $k+n$ 次（$n=1, 2, 3,\cdots$）随机事件出现的概率等于$1-e^{-\lambda t}$。这是指数分布。这还表明了泊松过程的无记忆性。

### 四分位数

率参数 $\lambda$ 的四分位数函数（Quartile function）是：

$$F^{-1}(p;\lambda) = \frac{-\ln(1-p)}{\lambda},\qquad 0 \le p < 1$$

- 第一四分位数：$\frac{\ln(\frac{4}{3})}{\lambda}$
- 中位数：$\frac{\ln(2)}{\lambda}$
- 第三四分位数：$\frac{\ln(4)}{\lambda}$

因此，四分位距为$\frac{\ln(3)}{\lambda}$。

## 参数估计

### 最大概似法

给定独立同分布样本 $x =x_1, \cdots, x_n$，$\lambda$ 的似然函数（Likelihood function）是：

$$L(\lambda) = \prod_{i=1}^n \lambda \, \exp(-\lambda x_i) = \lambda^n \, \exp\!\left(\!-\lambda \sum_{i=1}^n x_i\right)=\lambda^n\exp\left(-\lambda n \overline{x}\right)$$

其中：

$\overline{x}={1 \over n}\sum_{i=1}^n x_i$是样本期望値。

似然函数对数的导数是：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda} \ln L(\lambda) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda} \left( n \ln(\lambda) - \lambda n\overline{x} \right) = {n \over \lambda}-n\overline{x}\ \left\{\begin{matrix} > 0 & \mbox{if}\ 0 < \lambda < \frac{1}{\overline{x}}, \\ \\ = 0 & \mbox{if}\ \lambda = \frac{1}{\overline{x}}, \\ \\ < 0 & \mbox{if}\ \lambda > \frac{1}{\overline{x}}. \end{matrix}\right.$$

参数 $\lambda$ 的最大概似估计（Maximum likelihood）值是：

$$\widehat{\lambda} = \frac1{\overline{x}}$$