五角星

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五角星，又称五芒星，是指一种有五只尖角、并以五条等长直线画成的星星图形。英文“五角星”（pentagram）一词出于希腊语“πεντάγραμμος”（pentagrammos）或“πεντέγραμμος”（pentegrammos）的名词形式“πεντάγραμμον”（pentagrammon），原意大概是“五条直线的”或“五条线”；而中文“五角星”的意义则显而易见，指有五只角的星形。然而，中文“五角星”不一定指本文所谈论的“标准”五角星，有时亦泛指所有有五只角的星形物。

## 历史

五角星曾在古代被用作基督教的象征，代表着五种感官或基督的五种伤口。五角星在14世纪的英语诗歌中起着重要作用，象征着高文之盾。未具名的诗人也将该象征的起源归于所罗门王。

## 几何

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五角星是边数最少的星形多边形。最简单画它的方法是先画一个正五边形，把各角和其对角用直线相连，并擦去原来的五边形。也可以延长原五边形的各边直到它们相交，从而得到一个大的五角星。

黄金分割比（golden ratio），$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}= 1.618 \cdots$，满足：

$$\varphi=1+2\sin\frac{\pi}{10}=1+2\sin 18^\circ\,$$

$$\varphi=\frac{1}{2\sin\frac{\pi}{10}}=\frac{1}{2\sin 18^\circ}\,$$

$$\varphi=2\cos\frac{\pi}{5}=2\cos 36^\circ\,$$

在正五边形和五角星中扮演一个重要的角色。每条边都被分割成几段小的线段，如果用一对线段中较长线段的长度除以较短线段的长度将得到$\varphi$。

$\varphi =$｜红色｜＝｜蓝色｜＝｜绿色

蓝色｜绿色｜紫色

大五边形的一条边与一条蓝色线段等长，同样的小五角星的一条对角线与一条绿色线段等长。

如果线段有长度（线条），那图中就有两个相似的正五边形。“线段”怎样，线条就怎样，并且它们的交点也可能变化。例如，在摩洛哥的国旗上，绿色五角星有一个黑色的外轮廓，它不“穿过”相交的线条。这跟埃塞俄比亚国旗上五角星中的完全黄色和没有外轮廓，是不一样的。

### 一些相关几何值

$$\sin \frac{\pi}{10} = \sin 18^\circ = \frac{\sqrt 5 - 1}{4}=\frac{\varphi-1}{2}=\frac{1}{2\varphi}$$

$$\cos \frac{\pi}{10} = \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{2(5 + \sqrt 5)}}{4}$$

$$\tan \frac{\pi}{10} = \tan 18^\circ = \frac{\sqrt{5(5 - 2 \sqrt 5)}}{5}$$

$$\cot \frac{\pi}{10} = \cot 18^\circ = \sqrt{5 + 2 \sqrt 5}$$

$$\sin \frac{\pi}{5} = \sin 36^\circ = \frac{\sqrt{2(5 - \sqrt 5)} }{4}$$

$$\cos \frac{\pi}{5} = \cos 36^\circ = \frac{\sqrt 5+1}{4} =\frac{\varphi}{2}$$

$$\tan \frac{\pi}{5} = \tan 36^\circ = \sqrt{5 - 2\sqrt 5}$$

$$\cot \frac{\pi}{5} = \cot 36^\circ = \frac{ \sqrt{5(5 + 2\sqrt 5)}}{5}$$

因此，在一个有一个或两个36°角的等腰三角形里，两边中较长边的长度，是较短边的$\phi$倍，无论是锐角三角形或者钝角三角形。

## 国旗上的五角星

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有许多国家的国旗设计都包含五角星：如智利、利比里亚、埃塞俄比亚、摩洛哥、越南、朝鲜民主主义人民共和国、中华人民共和国、美国等等。很多时候，五角星的中间被填满，移除了五角形和五个等腰三角形之间的分界。Ivan Sache 指出，摩洛哥国旗上的五角星代表神和摩洛哥国之间的联系。

## 其他方面

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- 五角星被很多国家的军队作为军官（尤其是高级军官）的军衔标志使用。
- 一直以来，五角星都与对金星和维纳斯的崇拜有密切关系。造成这关系的各个可能原因中，最可信的是史前天文学家的观察。由地球望去，围着太阳的金星轨道每八年重复一次。它自成的五个交叉点恰好画出一个近乎完美的五角星。
- 在古希腊，五角星是大地女神科尔(Kore)的象征。
- 在巴比伦，五角星被作为女神伊丝塔(Ishtar)的孪生姐姐冥界女神的符号。
- 在古埃及，五角星被作为冥界子宫的符号。
- 凯尔特人将五角星作为冥界女神摩根的象征。
- 五角星是魔术的代表符号，是非犹太教徒的符号。初期基督教会亦有用五角星代表耶稣的五个伤口，但现在则多代表异教徒和撒但崇拜者。
- 五角星在魔法中是一种特别的图形，用正的五角星作魔法阵是白魔法，用倒的五角星则是象征黑魔法。
- 而在东方阴阳五行里面，五行“相克”的连线刚好是五角星。在日本，安倍晴明使用桔梗纹变形的五芒星，被称为桔梗印，现在是晴明神社的神纹。
- 从最直观的方面看，五角星是最类似人形的多边形。
- 把五芒星倒过来（逆五芒星），在基督教内意思是把人的精神指向下，即地狱；在基督教里表示邪恶的符号，亦代表撒但，是撒旦教标志（倒五角星里面有山羊（罪人）的头象，重圆）撒旦教圣经的封皮为一个倒五角星标志。
- 五角星跟五角星的五的点连接的正五边形可以表示一个为五行的相生和相克，其中正五边形可以表示一个为五行的相生，而五角星为五行的相克。

## 参考

- Libri tres de occulta philosophia (book III, chapter xxxi) by Heinrich Cornelius Agrippa
- Le Imagini degli Dei degli Antichi by Vincenzo Cartari
- Hrant Arakelian. The History of the Pentagram, Chapter 6 in Mathematics and History of the Golden Section, pp. 207-270, Logos 2014, ISBN 978-5-98704-663-0 (rus.).

## 外部链接

- Pentagons & Pentagramsnew facts about pentagons and pentagrams by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas. Key concept: Menelaus Theorem.
- The PentagramThe Pentagram and Religion
- The Pythagorean Pentacle from the Biblioteca Arcana.
- Miquel's Pentagram - Dynamic Geometry by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas.
- The Pythagorean Pentacle
- The Pentagram by DMGould Ireland's Own Myths & Magic:
- The Pentagram and Freemasonry
- Pythagoreanism Web Site
- Signs of the Devil
- In-depth analysis of the Golden Ratio

## 基本资料

- 施莱夫利符号：正五角星
- 类型：星形正多边形
- 边：5
- 对称群：二面体 (D5)
- 内角（度）：36°
- 对偶：自身对偶
- 特性：星形, 共圆, 等边, 等角, 边可递