集合 (数学)

集合（set）简称集，是一个基本的数学模型，指由若干物件（object）所形成的整体，且并不限于有限个物件所组成，甚至可以由零个物件所形成。

集合在现代数学无处不在，其基本理论（即朴素集合论，或称直观集合论）于十九世纪末创立。自二十世纪上半叶以来，为规避逻辑悖论而发展出的集合理论，更确切地说是策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC），一直作为最常被使用的公理系统，为所有数学分支奠定严格而实际的基础。

## 基本介绍

### 定义

一个“集合”，是由若干对象所构成的整体，这些对象被称作“元素”或“成员”；集合的本质完全由这些元素所决定。集合的元素可以是任何事物，从现实中的实物、文字，到各式数学物件——例如数字、函数和向量，甚至是其他集合。

在交流时为了方便，集合有一些别名。比如以下皆代表着“一组集合”或“集合的集合”，使用时却有细微的、语意上的区别：

- 搜集（collection）：最广义且非正式的统称。常用来刻意模糊“集合”与“类”的学术边界，或单纯作口语上的替代词。
- 集族（family of sets）：常用来强调这组集合具有某种共同的几何或组合特征，如“直线族”和“开集族”。在现代数学中，也指代与指标集存在对应关系的集合，即 $\{A_j\}_{j \in J}$。
- 系（system of sets / system）：常用来强调这组集合构成了一个具有内部代数结构的“系统”，如拓扑学中的“邻域系”和测度论中的“登金系统”。

### 符号

元素通常用$\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$、$\boldsymbol{c}$、$\boldsymbol{d}$、$\boldsymbol{x}$等小写字母来表示；而集合通常用$\boldsymbol{A}$、$\boldsymbol{B}$、$\boldsymbol{C}$、$\boldsymbol{D}$、$\boldsymbol{X}$等大写字母来表示。

- 当物件$a$是集合$A$的元素时，可称$a$属于$A$，记作$a \in A$；反之，可称$a$不属于$A$，记作$a \not\in A$。
- 当集合$A_1$的元素与集合$A_2$完全相同时，可称$A_1$和$A_2$相等，记作$A_1 = A_2$。

在公理化集合论中，此论述成为了外延公理，以形式语言写作：$(\forall A_1)(\forall A_2)[(\forall a)(a \in A_1 \iff a \in A_2) \implies A_1 = A_2]$。

### 表示

若要指明一个集合，实务上有三种常用的方法：

- 描述法：利用日常文字或数学语句来描述集合或其元素的性质。例如：

$A_1 =$ 大于零的最小的三个自然数的集合。

$B_1 =$ 光的三个原色的集合。

- 列举法：于大括号中列出集合所有的元素。例如：

$A_2 = \left\{1, 2, 3\right\}$。

$B_2 = \{$红色$,$ 蓝色$,$ 绿色$\}$。

- 集合构建式：在公理化集合论中，可以根据分类公理，从一个母集$X$中，利用合式公式$P()$去“筛选”出目标集合，写作$S = \{x \in X \mid P(x)\}$，这表示$x \in S \iff x \in X \land P(x)$。例如：

$A_3 = \{n \in \mathbb{N} \mid 0 < n < 4\}$。

$B_3 = \{c \in$ 颜色 $\mid \ c$ 是光的一个原色$\}$。

在朴素集合论中，集合构建式通常写作$\{x \mid P(x)\}$或$\{x : P(x)\}$，不提及母集。

即使是以不同方法表示集合，它们仍可能是相同的。例如可以注意到，在上述集合中，$A_1 = A_2 = A_3$而$B_1 = B_2 = B_3$。

值得注意的是，若描述法采用自然语言，其语意可能因措辞而产生歧义；相对而言，列举法与集合构建式通常能更精确地表达集合。

### 性质

集合不同于具有顺序的文字清单或数字序列。在集合论的框架下，利用集合相等及逻辑学的排中律，可得以下三个核心特性：

- 无序性：对于任意集合$A$，其元素之间是无序的。例如：$\{1, 2\} = \{2, 1\}$。

在集合上可以定义“序关系”，并以此为元素排序。但就集合本身而言，元素之间没有必然的序（参见序理论）。

- 互异性：对于任意集合$A$，其元素之间彼此相异。

因此对$A$的元素$a$，即使在$A$的列举表达式中重复写入$a$，其结果仍为$A$。例如：$\{1, 2\} = \{1, 2, 2\}$。

由于列举法中元素的出现次数并不改变集合的本质，若需要强调同一元素出现多次的状态，可以使用多重集（使用符号$[]$），其中元素的出现次数将会造成影响，例如：$[1, 2, 2] \ne [1, 2]$。

- 确定性：对于任意物件$a$和集合$A$，必定有$a \in A$或$a \notin A$两者之一成立。

## 子集（包含关系）

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### 定义

给定集合$A$和$B$，若$A$中所有元素皆属于$B$，则称$A$是$B$的子集，$B$是$A$的超集，亦称$A$包含于$B$，$B$包含$A$，以形式语言写作：

$(\forall a)(a \in A \implies a \in B) \iff A \subseteq B \iff B \supseteq A$。

反之，我们称$A$不是$B$的子集，并记作$A \nsubseteq B$。

此时若$A \subseteq B$，但$B \nsubseteq A$，则称$A$是$B$的真子集，$B$是$A$的真超集，亦称$A$真包含于$B$，$B$真包含$A$，记作$A \subset B$或$B \supset A$（有时也记作$A \subsetneqq B$或$B \supsetneqq A$）。

### 性质

包含关系“$\subseteq$”是集合间的一个非严格偏序关系。它具有如下性质：

- 自反性：对于任意集合$S$，有$S \subseteq S$。
- 反对称性：对于任意集合$S_1$和$S_2$，满足$S_1 \subseteq S_2$且$S_2 \subseteq S_1$，则$S_1 = S_2$。
- 传递性：对于任意集合$S_1$、$S_2$和$S_3$，满足$S_1 \subseteq S_2$且$S_2 \subseteq S_3$，则$S_1 \subseteq S_3$。
- $\varnothing$是此偏序关系的最小元素，即：对于任意集合$S$，有$\varnothing \subseteq S$。

真包含关系“$\subset$”是集合间的一个严格偏序关系。它具有如下性质：

- 反自反性：对于任意集合$S$，有$S \not\subset S$。
- 非对称性：对于任意集合$S_1$和$S_2$，满足$S_1 \subset S_2$，则$S_2 \not\subset S_1$。
- 传递性：对于任意集合$S_1$、$S_2$和$S_3$，满足$S_1 \subset S_2$且$S_2 \subset S_3$，则$S_1 \subset S_3$。
- $\varnothing$是此严格偏序关系的极小元素，即：对于任意集合$S$，若$S \subset \varnothing$则$S = \varnothing$。由于$S \subset \varnothing$的前件恒假，因此命题虚空真，表示$\varnothing$满足极小元素定义。

### 示例

包含于（$\subseteq$）的例子：

- $\{1, 2, 3, 4\} \subseteq \{1, 2, 3, 4\}$。
- 闭区间$[0, 1] \subseteq$ 实数集$\mathbb{R}$。
- $\{x \in S \mid P(x)\} \subseteq S$，其中$S$为任意的集合，$P(x)$为任意合式公式。
- $\left\{3n^2, \frac{1}{2} n^2 + 5n - 2, n \log{n}, n^{\log_2{3}}, \sum_{k = 0}^n k\right\}\subseteq O\left(n^2\right)$，其中$O$为大O记号。

在此处的$O\left(n^2\right) = \left\{f(n):(\exists N)(\exists M)(\forall n > N)\left(|f(n)| \le M n^2\right)\right\}$。

真包含于（$\subset$）的例子，由于$A \subset B$的同时会有$A \subseteq B$，因此常是被用以强调$A \ne B$，以下亦是如此：

- $\{1, 3\} \subset \{1, 2, 3, 4\}$。
- $\{2, 3, 5\} \subset$ 质数集$\mathbb{P} \subset$ 自然数集$\mathbb{N} \subset$ 整数集$\mathbb{Z} \subset$ 有理数集$\mathbb{Q} \subset$ 实数集$\mathbb{R}$。
- 多项式函数的集合 $\subset$ 解析函数的集合$C^\omega$ $\subset$ 光滑函数的集合$C^\infty \subset$ 可微函数的集合$C^1 \subset$ 连续函数的集合$C^0$。

## 运算

### 并

两个集合之间可以“取所有”。对于集合$A$和$B$，“取”两者“所有”的元素的结果称作$A$和$B$的联集。

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#### 定义

给定集合$A$和$B$，定义运算$\cup$如下：

$A \cup B = \{x : (x \in A) \lor (x \in B)\}$。

集合$A\cup B$被称为$A$和$B$的联集，其元素至少属于$A$和$B$两者之一。

在公理化集合论中，配对公理保证了$\{A, B\}$存在，而后定义联集$A \cup B = \bigcup \{A, B\}$，其中$\bigcup$表示任意联集。

#### 性质

假设$A$、$B$和$C$皆用以代表任意的一个集合，联集（$\cup$）具有以下性质：

- 交换律：$A \cup B = B \cup A$。
- 结合律：$\left(A \cup B\right) \cup C = A \cup \left(B \cup C\right)$。
- 幂等律：$A \cup A = A$。
- 单位元素：$A \cup \varnothing = A$，其中$\varnothing$是$\cup$运算的单位元素。

其它性质还有：

- $A \cup B = B \iff A \subseteq B$。

#### 示例

- $\{1, 2\} \cup \{a, b\}=\{1, 2, a, b\}$。
- $\{1, 2, 3, a\} \cup \{3, a, b, c\} = \{1, 2, 3, a, b, c\}$。
- 闭区间$[-2, 1]$和开区间$(0, 2)$的联集为区间$[-2, 2)$。
- 自然数集$\mathbb{N}$和负整数集$\mathbb{Z}^{-}$的联集为整数集$\mathbb{Z}$。
- 上半圆$\left\{(x, y):y = \sqrt{1 - x^2}\right\}$和下半圆$\left\{(x, y):y = -\sqrt{1 - x^2}\right\}$的联集为圆$\left\{(x, y):x^2 + y^2 = 1\right\}$。

### 交

两个集合之间可以“取相同”。对于集合$A$和$B$，“取”两者“相同”的元素的结果称作$A$和$B$的交集。

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#### 定义

给定集合$A$和$B$，定义运算$\cap$如下：

$A \cap B = \{x : (x \in A) \land (x \in B)\}$。

集合$A \cap B$被称作$A$和$B$的交集，其元素同时属于$A$和$B$两者。

在公理化集合论中，定义交集有两种方法，分别为：

- $A \cap B = \{x \in A \mid x \in B\}$。
- $A \cap B = \{x \in A \cup B \mid (x \in A) \land (x \in B)\}$。

若交集$A \cap B = \varnothing$，则称集合$A$和$B$不相交。

#### 性质

假设$A$、$B$和$C$皆用以代表任意的一个集合，交集（$\cap$）具有以下性质：

- 交换律：$A \cap B = B \cap A$。
- 结合律：$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$。
- 幂等律：$A \cap A = A$。
- 空集合：$A \cap \varnothing = \varnothing$，其中$\varnothing$是$\cap$运算的空集合。

其它性质还有：

- $A \cap B = A \iff A \subseteq B$。

#### 示例

- $\{1, 2\} \cap \{a, b\} = \varnothing$。
- $\{1, 2, 3, a\} \cap \{3, a, b, c\} = \{3, a\}$。
- 等腰三角形的集合和含有$60^{\circ}$内角的三角形集合，其交集为正三角形的集合。
- 数集$\{x \in \mathbb{N} \mid x < 12\}$与质数集$\mathbb{P}$的交集为数集$\{2, 3, 5, 7, 11\}$。
- 区域$\{(x, y):-1 \le y \le 1\}$与区域$\{(x, y):-1 \le x \le 1\}$的交集为一个正方形区域，其顶点分别为$(1, 1)$、$(-1, 1)$、$(-1, -1)$和$(1, -1)$。

### 差

两个集合之间可以“相减”。对于集合$A$和$B$，其“相减”的结果有两种：$A$和$B$的相对差集、$A$和$B$的对称差集。

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若限制讨论范围在给定的全集$U$内，则从$U$中去除集合$A$后，剩下的部分称作$A$的绝对差集。

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#### 定义

相对差：

给定集合$A$，$B$，定义运算$\setminus$如下：

$A \setminus B = \{x : (x \in A) \land (x \notin B)\}$。

集合$A \setminus B$被称作$A$和$B$的相对差集，有时也记为$A - B$，其元素属于$A$但不属于$B$。

在公理化集合论中，定义相对差集$A \setminus B = \{x \in A \mid x \notin B\}$。

对称差：

给定集合$A$，$B$，定义运算$\triangle$如下：

$A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$。

集合$A \triangle B$被称作$A$和$B$的对称差集，亦等于$(A \cup B) \setminus (A \cap B)$，其元素属于$A$和$B$两者之一。

绝对差：

给定相对全集$U$，满足任意被讨论的集合$S \subseteq U$。对于集合$A$，定义：

$A^c = U \setminus A = \{x \in U \mid x \notin A\}$。

集合$A^c$被称作$A$（对于$U$）的绝对差集、补集或余集，有时也记为$A'$、$\bar{A}$、$\complement_U A$或$\complement A$。

#### 性质

假设$A$、$B$和$C$皆用以代表任意的一个集合，则

相对差（$\setminus$）运算具有以下性质：

- $A \setminus A = \varnothing$。
- $A \setminus \varnothing = A$。
- $\varnothing \setminus A = \varnothing$。
- $A \setminus B = \varnothing \iff A \subseteq B$。

对称差（$\triangle$）运算具有以下性质：

- $A \triangle B = B \triangle A$。
- $(A \triangle B) \triangle C = A \triangle (B \triangle C)$。
- $A \triangle \varnothing = A$。
- $A \triangle A = \varnothing$。

#### 示例

相对差（$\setminus$）的例子：

- $\{1, 2\} \setminus \{a, b\} = \{1, 2\}$。
- $\{1, 2, 3, a\} \setminus \{3, a, b, c\} = \{1, 2\}$。
- $\{1, 2\} \setminus \{1, 2, 3, 4\} = \varnothing$。
- 非零整系数多项式$\mathbb{Z}[x] \setminus \{0\}$。
- 复数集$\mathbb{C}$与代数数集$\mathbb{A}$的相对差集为集合$\{z \in \mathbb{C} \mid (\forall f \in \mathbb{Z}[x] \setminus \{0\})(f(z) \neq 0)\}$。

对称差（$\triangle$）的例子：

- $\{1, 2\} \triangle \{a, b\} = \{1, 2, a, b\}$。
- $\{1, 2, 3, a\} \triangle \{3, a, b, c\} = \{1, 2, b, c\}$。
- $\big\{x \in \mathbb{R} \;\big|\; x^2 > 1\big\} \triangle \big\{x \in \mathbb{R} \;\big|\; x^3 > x\big\} = (-\infty, -1) \cup (-1, 0)$。

给定实系数多项式$p(x)$，满足$p(0) < 0$，并令$R = \{y \in \mathbb{R} \mid (p(y) = 0) \land (y < 0)\}$，考虑$S = \{z \in \mathbb{R} \mid p(z) > 0\} \triangle \{z \in \mathbb{R} \mid zp(z) > 0\}$。

此时，对于$z > 0$，因为$p(z)$和$zp(z)$同号，故$z \notin S$；对于$z = 0$，$p(0) < 0$而$0 \cdot p(0) = 0$，故$z \notin S$；对于$z < 0$，若$z \in R$，则$p(z) = zp(z) = 0$，故$z \notin S$。若$z \notin R$，则$p(z)$和$zp(z)$异号且皆不为$0$，故$z \in S$。

因此，$S = \mathbb{R}^- \setminus R$。

绝对差（$\complement_U$）的例子：

- 若$U$限定为$\{1, 2, 3, 4\}$，则$\{1\}^c = \{2, 3, 4\}$。
- 若$U$限定为整数集$\mathbb{Z}$，则奇数集的补集为偶数集。
- 若$U$限定为实数平面$\mathbb{R}^2$，则圆$\left\{(x, y):x^2 + y^2 \le 1\right\}$的补集为圆外区域$\left\{(x, y):x^2 + y^2 > 1\right\}$。

### 综合运算性质

集合的运算除了以上独立的性质外，还具有以下的综合运算性质：

$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$。

$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$。

- 德摩根律，或称对偶律:

$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$。

$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$。

## 集合大小

在讨论集合时，关注点有时是集合的“大小”，也就是其中元素的个数。集合论中，一个集合的基数或势被用以代称其元素个数。对于集合$S$，其势被记作$\operatorname{Card}(S)$、$|S|$、$\# S$或$n(S)$，更早期亦写作$\bar{\bar{S}}$。

### 定义

给定集合$A$和$B$，集合$B^A$表示所有“从$A$到$B$”的函数的集合，也就是$\{f:(f:A \to B)\}$，则

- $|A| \le |B|$，若存在单射函数$f \in B^A$。
- $|A| \ge |B|$，若存在满射函数$g \in B^A$。
- $|A| = |B|$，若存在双射函数$h \in B^A$。此时称$A$和$B$等势，记作$A \approx B$或$A \sim B$。

按照集合的势，可将集合分为有限集、可数无限集和不可数无限集（或称不可数集）。记自然数集为$\mathbb{N}$，集合$S$为

- 有限集，若存在自然数$n$与$S$等势，即$(\exists n \in \mathbb{N})(n \sim S)$。
- 无限集，若$S$不为有限集。另一种定义来自数学家戴德金，若存在$S$的真子集$R$与其等势，即$(\exists R \subset S)(R \sim S)$，则称$S$为（戴德金）无限集。需要注意的是，惟有在承认选择公理时，两种定义等价。

给定集合$T$，若存在自然数集的子集与其等势，即$(\exists N \subseteq \mathbb{N})(N \sim T)$，则称其为可数集；反之，则称其为不可数集。可以看出，所有的有限集皆为可数集，而无限集可进而分为可数无限集与不可数无限集：

- 可数无限集：若$T$与自然数集等势，即$T \sim \mathbb{N}$，则称其为可数无限集。
- 不可数无限集：若$T$为无限集而不为可数集，则称其为不可数无限集。由于$(\forall n \in \mathbb{N})(n \subseteq \mathbb{N})$，此时的$T$会满足$(\forall N \subseteq \mathbb{N})[\neg(N \sim T)]$，这代表着$T$同时为不可数集。

### 性质

根据数学家冯·诺伊曼的自然数设置，对自然数$n$有$|n| = n$（例如$|1| = |\{\varnothing\}| = 1$），因此有限集$S$满足$|S| \in \mathbb{N}$，而无限集$T$会满足$|T| \notin \mathbb{N}$。

给定有限集合$A$和$B$，有$\left|A^B\right| = |A|^{|B|} = \exp(|B|\ln|A|)$，中间为常见的指数运算。

对于无限集的势，常用的有两套记号：

- 阿列夫数：使用符号 $\aleph$（读作：aleph）加上下标。$\aleph_0 = |\mathbb{N}|$，表示最小的无限集的基数（无穷基数），$\aleph_1$表示大于$\aleph_0$的最小的无穷基数，依此类推，$\aleph_{\alpha + 1} > \aleph_\alpha$，而且两者之间没有任何无穷基数。
- 贝兹数：使用符号 $\beth$（读作：beth）加上下标。$\beth_0 = |\mathbb{N}|$，$\beth_1 = |\mathcal{P}(\mathbb{N})| = 2^{\beth_0}$，$\beth_2 = |\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N}))| = 2^{\beth_1}$，依此类推，$\beth_{\alpha + 1} = 2^{\beth_\alpha}$。

对于任意序数$\alpha$，都有$\aleph_\alpha \le \beth_\alpha$；若承认广义连续统假设（GCH），则$\aleph_\alpha = \beth_\alpha$。

### 示例

有限集的例子：

- $\{a, b, c\}$，$|\{a, b, c\}| = 3$。
- $\{1, 10, 11, 100\}$，$|\{1, 10, 11, 100\}| = 4$。
- 空集合$\varnothing$（没有元素的集合），$|\varnothing| = 0$。
- 任意的自然数$n$，$|n| = n$。
- 所有人类的集合，其势小于$10^{10}$。

可数无限集的例子：

- 自然数集$\mathbb{N}$，$|\mathbb{N}| = \beth_0$。
- 有理数集$\mathbb{Q}$，$|\mathbb{Q}| = \beth_0$。
- 代数数集$\mathbb{A}$，$|\mathbb{A}| = \beth_0$。

不可数无限集的例子：

- 实数集$\mathbb{R}$，$|\mathbb{R}| = \beth_1$。
- 开区间$(0, 1)$，其势为$\beth_1$。
- 实数平面$\mathbb{R}^2$，$\left|\mathbb{R}^2\right| = \beth_1$。
- 复数集$\mathbb{C}$，$|\mathbb{C}| = \beth_1$
- 所有实数函数的集合$\mathbb{R}^\mathbb{R}$，$\left|\mathbb{R}^\mathbb{R}\right| = \beth_2$。
- 实数轴上所有可能的拓扑结构的集合，其势为$\beth_3$。

## 类

在ZFC中，根据分类公理或正则公理可以证明：不存在所有集合的集合（即全类$V$）。有些公理系统（例如NBG与MK）则根据此对ZFC进行扩展，将万物视为“类（class）”，而非集合。

### 定义

类可根据以下条件进行区分：

- 良性类判断：$\operatorname{M}(x) \iff (\exists X)(x \in X)$。
- 本性类判断：$\operatorname{Pr}(x) \iff (\neg\exists X)(x \in X)$。

给定类$A$，若$\operatorname{M}(A)$为真，则称$A$为良性类或集合（也就是 ZFC 中的集合，因此有时也写作$\operatorname{Set}(A)$）；若$\operatorname{Pr}(A)$为真，则称$A$为本性类或真类。

### 类的建构

在允许类的公理系统中，建构新的类根据理解公理。对于任意合式公式条件$\phi(x)$，皆存在一个类$C$，使其包含所有满足该条件的“集合”：

$$(\exists C)(\forall x)\{x \in C \iff [\operatorname{M}(x) \land \phi(x)]\}.$$ 对于满足上述条件的类$C$，时常简写为：

$$C = \{x \mid \phi(x)\}.$$

### 公理系统的比较

不同集合论公理系统对使用的基本物件与新的物件的建构方法有所不同：

- ZFC：基本物件为“集合”，根据分类公理“筛选”出新集合。
- NBG：基本物件为“类”，根据理解公理得到新类，但使用的条件$\phi(x)$中的量词仅能限制于“集合”变量，使得NBG成为ZFC的保守扩展。
- MK：基本物件为“类”，根据理解公理得到新类，且使用的条件$\phi(x)$中的约束变量可以是“所有的类”，使得其表达能力与系统强度皆高于ZFC与NBG。

### 示例

数学中有许多著名的整体因为“过大”无法成为集合，而形式上成为真类：

- 全类（$V$）：由所有的集合组成，即$V = \{x \mid x = x\}$。
- 序数类（$\text{On}$或$\mathbf{ON}$）：由所有的序数组成。若 $\text{On}$ 是集合，将会导出布拉利-福尔蒂悖论。
- 基数类（$\text{Card}$或$\mathbf{CN}$）：由所有的基数组成。
- 罗素类（$R$）：由所有不属于自身之集合组成，即$R = \{x \mid x \notin x\}$。若承认正则公理，则$R = V$。

## 参考文献

- Dauben, Joseph W., Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.
- Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6.
- Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4.