Z转换

在数学和信号处理中，Z转换（Z-transform）把离散的实数或复数时间讯号从时域转为复频域（z域或z平面）表示。

可以把它认为是拉普拉斯变换的离散时间等价。在时标微积分中会探索它们的相似性。

## 历史

现在所知的Z变换的基本思想，拉普拉斯就已了解，而1947年维托尔德·胡列维茨用作求解常系数差分方程的一种容易处理的方式。后来由1952年哥伦比亚大学的采样控制组的Q740408和查德称其为“Z变换”。

Q740408后来发展并推广了改进或高级Z变换。

Z变换中包含的思想在数学里称作母函数方法，该方法可以追溯到1730年的时候，棣莫弗与概率论结合将其引入。

从数学的角度，当把数字序列视为解析函数的（洛朗）展开时，Z变换也可以看成是洛朗级数。

## 定义

像很多积分变换一样，Z变换可以有单边和双边定义。

### 双边Z变换

双边Z转换把离散时域信号$x[n]$转为形式幂级数$X(z)$。

$$X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$$

当中 $n$ 是整数，$z$ 是复数变量，其表示方式为

$$z = A e^{j\phi} = A(\cos{\phi}+j\sin{\phi})\,$$

其中 A 为 z 的模，j 为虚数单位，而 ɸ 为辐角（也叫相位角），用弧度表示。

### 单边Z变换

另外，只对 n ≥ 0 定义的 xn，单边Z变换定义为

$$X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}.$$

在信号处理中，这个定义可以用来计算离散时间因果系统的单位冲激响应。

单边Z变换的一个重要例子是概率母函数，其中 xn 部分是离散随机变量取 n 值时的概率，而函数 X(z) 通常写作 X(s)，用 s = z−1 表示。Z变换的性质（在下面）在概率论背景下有很多有用的解释。

### 地球物理学定义

地球物理中的Z变换，通常的定义是 z 的幂级数而非 z−1 的。例如，Q102443451和Q112388807都使用这个惯例。地球物理定义为：

$$X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n} x[n] z^{n}.$$

这两个定义是等价的；但差分结果会有一些不同。例如，零点和极点的位置移动在单位圆内使用一个定义，在单位圆外用另一个定义。

因此，需要注意特定作者使用的定义。

## 逆Z变换

逆Z变换为

$$x[n] = \mathcal{Z}^{-1} \{X(z) \}= \frac{1}{2 \pi j} \oint_{C} X(z) z^{n-1} dz$$

其中 C 是完全处于收敛域（ROC）内的包围原点的一个逆时针闭合路径。在 ROC 是因果的情况下（参见例2），这意味着路径 C 必须包围 X(z) 的所有极点。

这个曲线积分的一个特殊情形出现在 C 是单位圆的时候（可以在ROC包含单位圆的时候使用，总能保证 X(z) 是稳定的，即所有极点都在单位圆内）。逆Z变换可以化简为逆离散傅里叶变换：

$$x[n] = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{+\pi} X(e^{j \omega}) e^{j \omega n} d \omega.$$

有限范围 n 和有限数量的均匀间隔的 z 值的Z变换可以用Bluestein的FFT算法方便地计算。离散时间傅里叶变换 (DTFT)—不要与离散傅里叶变换（DFT）混淆—是通过将 z 限制在位于单位圆上而得到的一种Z变换的特殊情况。

## 收敛域

收敛域（ROC）是指Z变换的求和收敛的复平面上的点集。

$$ROC = \left\{ z : \left|\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}\right| < \infty \right\}$$

### 例1（收敛域不存在）

令 $x[n] = (0.5)^n$。在区间 $(-\infty, \infty)$上展开 $x[n]$ 成为

$$x[n] = \left \{\cdots, 0.5^{-3}, 0.5^{-2}, 0.5^{-1}, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, \cdots \right \} = \left \{\cdots, 2^3, 2^2, 2, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, \cdots \right\}.$$

观察上面的和

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} \to \infty.$$

因此，没有一个 $z$ 值可以满足这个条件。

### 例2（因果的收敛域）

<image>

令 $x[n] = 0.5^n u[n]\ $（其中 u 是单位阶跃函数）。在区间 (−∞, ∞) 上展开 xn 得到

$$x[n] = \left \{\cdots, 0, 0, 0, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, \cdots \right \}.$$

观察这个和

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}0.5^nz^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{0.5}{z}\right)^n = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}.$$

最后一个等式来自无穷几何级数，而等式仅在 |0.5z−1| 0.5。因此，收敛域为 |z| > 0.5。在这种情况下，收敛域为复平面“挖掉”原点为中心的半径为 0.5 的圆盘。

### 例3（非因果的收敛域）

<image>

令 $x[n] = -(0.5)^n u[-n-1]\ $（其中 u 是单位阶跃函数）。在区间 (−∞, ∞) 上展开 xn 得到

$$x[n] = \left \{ \cdots, -(0.5)^{-3}, -(0.5)^{-2}, -(0.5)^{-1}, 0, 0, 0, 0, \cdots \right \}.$$

观察这个和

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} = -\sum_{n=-\infty}^{-1}0.5^nz^{-n} = -\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{z}{0.5}\right)^{m} = 1-\frac{1}{1 - 0.5^{-1}z} =\frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}$$

再次使用无穷几何级数，此等式只在 |0.5−1z| < 1 时成立，可以用 z 为变量写成 |z| < 0.5。因此，收敛域为 |z| < 0.5。在这种情况下，收敛域为中心在原点的半径为 0.5 的圆盘。

本例与上例的不同之处仅在收敛域上。这是意图展示只有变换结果是不够的。

### 实例结论

实例2和3清楚地表明，当且仅当指定收敛域时，$x[n]$ 的Z变换 X(z) 才是唯一的。画因果和非因果情形的零极点图表明，在这两种情况下收敛域都不包含极点位于 0.5 的情形。这可以拓展到多个极点的情形：收敛域永远不会包含极点。

在例2中，因果系统产生一个包含 |z| = ∞ 的收敛域，而例3中的非因果系统产生包含 $|z| = 0$ 的收敛域。

<image>

在有多个极点的系统中，收敛域可以既不包含 |z| = ∞ 也不包含 |z| = 0。画出的收敛域与一个圆形带。例如。

$$x[n] = 0.5^nu[n] - 0.75^nu[-n-1]$$

极点为 0.5 与 0.75。收敛域会是 0.5 < |z| < 0.75，不包含原点和无穷大。这样的系统称为混合因果系统，因为它包含一个因果项 (0.5)nun 和一个非因果项 −(0.75)nu−n−1。

一个系统的稳定性可以只通过了解收敛域来确定。如果收敛域包含单位圆（即 |z| = 1），那么系统是稳定的。在上述系统中因果系统（例2）是稳定的，因为 |z| > 0.5 包含单位圆。

如果我们有一个没有给定收敛域Z变换（即模糊的 $x[n]$），则可以确定一个唯一的 $x[n]$ 满足下列：

- 稳定性
- 因果性

如果要求满足稳定性，则收敛域必须包含单位圆；如果要求为一个因果系统，则收敛域必须包含无穷大，并且系统函数应为一个右边序列。如果要求为一个非因果系统，那么收敛域必须包含原点，且系统函数为左边序列。如果既要满足稳定性，也要满足因果性，则系统函数的所有极点都必须在单位圆内。

通过这种方法可以找到唯一的 $x[n]$。

## 性质

时域｜Z域｜证明｜收敛域

记法｜$x[n]=\mathcal{Z}^{-1}\{X(z)\}$｜$X(z)=\mathcal{Z}\{x[n]\}$｜$r_2<|z|<r_1$

线性｜$a_1 x_1[n] + a_2 x_2[n]$｜$a_1 X_1(z) + a_2 X_2(z)$｜$\begin{align}X(z) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} (a_1x_1(n)+a_2x_2(n))z^{-n} \\ &= a_1\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_1(n)z^{-n} + a_2\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_2(n)z^{-n} \\ &= a_1X_1(z) + a_2X_2(z) \end{align}$｜包含 ROC1 ∩ ROC2

时间膨胀｜$x_K[n] = \begin{cases} x[r], & n = rK \\ 0, & n \not= rK \end{cases}$ r: 整数｜$X(z^K)$｜$\begin{align} X_K(z) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_K(n)z^{-n} \\ &= \sum_{r=-\infty}^{\infty}x(r)z^{-rK}\\ &= \sum_{r=-\infty}^{\infty}x(r)(z^{K})^{-r}\\ &= X(z^{K}) \end{align}$｜$R^{\frac{1}{K}}$

降采样｜$x[nK]$｜$\frac{1}{K} \sum_{p=0}^{K-1} X\left(z^{\tfrac{1}{K}} \cdot e^{-i \tfrac{2\pi}{K} p}\right)$｜ ohio-state.edu 或 ee.ic.ac.uk

时移｜$x[n-k]$｜$z^{-k}X(z)$｜$\begin{align} Z\{x[n-k]\} &= \sum_{n=0}^{\infty} x[n-k]z^{-n}\\ &= \sum_{j=-k}^{\infty} x[j]z^{-(j+k)}&& j = n-k \\ &= \sum_{j=-k}^{\infty} x[j]z^{-j}z^{-k} \\ &= z^{-k}\sum_{j=-k}^{\infty}x[j]z^{-j}\\ &= z^{-k}\sum_{j=0}^{\infty}x[j]z^{-j} && x[\beta] = 0, \beta < 0\\ &= z^{-k}X(z)\end{align}$｜ROC，除了 k > 0 时 z = 0 和 k < 0 时 z = ∞

Z域的 尺度性质｜$a^n x[n]$｜$X(a^{-1}z)$｜$\begin{align}\mathcal{Z} \left \{a^n x[n] \right \} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} a^{n}x(n)z^{-n} \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)(a^{-1}z)^{-n} \\ &= X(a^{-1}z) \end{align}$｜$|a|r_2 < |z|< |a|r_1$

时间反转｜$x[-n]$｜$X(z^{-1})$｜$\begin{align} \mathcal{Z}\{x(-n)\} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(-n)z^{-n} \\ &= \sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m)z^{m}\\ &= \sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m){(z^{-1})}^{-m}\\ &= X(z^{-1}) \\ \end{align}$｜$\tfrac{1}{r_1}<|z|<\tfrac{1}{r_2}$

共轭复数｜$x^*[n]$｜$X^*(z^*)$｜$\begin{align} \mathcal{Z} \{x^*(n)\} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x^*(n)z^{-n}\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left [x(n)(z^*)^{-n} \right ]^*\\ &= \left [ \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)(z^*)^{-n}\right ]^*\\ &= X^*(z^*) \end{align}$

实部｜$\operatorname{Re}\{x[n]\}$｜$\tfrac{1}{2}\left[X(z)+X^*(z^*) \right]$

虚部｜$\operatorname{Im}\{x[n]\}$｜$\tfrac{1}{2j}\left[X(z)-X^*(z^*) \right]$

微分｜$nx[n]$｜$-z \frac{dX(z)}{dz}$｜$\begin{align} \mathcal{Z}\{nx(n)\} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} nx(n)z^{-n}\\ &= z \sum_{n=-\infty}^{\infty} nx(n)z^{-n-1}\\ &= -z \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)(-nz^{-n-1})\\ &= -z \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\frac{d}{dz}(z^{-n}) \\ &= -z \frac{dX(z)}{dz} \end{align}$

卷积｜$x_1[n] * x_2[n]$｜$X_1(z)X_2(z)$｜$\begin{align} \mathcal{Z}\{x_1(n)*x_2(n)\} &= \mathcal{Z} \left \{\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l)x_2(n-l) \right \} \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left [\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l)x_2(n-l) \right ]z^{-n}\\ &=\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l) \left [\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_2(n-l)z^{-n} \right ]\\ &= \left [\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l)z^{-l} \right ] \! \!\left [\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_2(n)z^{-n} \right ] \\ &=X_1(z)X_2(z) \end{align}$｜包含 ROC1 ∩ ROC2

互相关｜$r_{x_1,x_2}=x_1^*[-n] * x_2[n]$｜$R_{x_1,x_2}(z)=X_1^*(\tfrac{1}{z^*})X_2(z)$｜包含 $X_1(\tfrac{1}{z^*})$ 与 $X_2(z)$ 的ROC的交集

一阶差分｜$x[n] - x[n-1]$｜$(1-z^{-1})X(z)$｜包含 X1(z) 与 z ≠ 0 的ROC的交集

累积｜$\sum_{k=-\infty}^{n} x[k]$｜$\frac{1}{1-z^{-1} }X(z)$｜$\begin{align} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{k=-\infty}^{n} x[k] z^{-n}&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(x[n]+\cdots + x[-\infty])z^{-n}\\ &=X[z] \left (1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots \right )\\ &=X[z] \sum_{j=0}^{\infty}z^{-j} \\ &=X[z] \frac{1}{1-z^{-1}}\end{align}$

乘法｜$x_1[n]x_2[n]$｜$\frac{1}{j2\pi}\oint_C X_1(v)X_2(\tfrac{z}{v})v^{-1}\mathrm{d}v$｜At least $r_{1l}r_{2l}<|z|<r_{1u}r_{2u}$

帕塞瓦尔定理

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_1[n]x^*_2[n] \quad = \quad \frac{1}{j2\pi}\oint_C X_1(v)X^*_2(\tfrac{1}{v^*})v^{-1}\mathrm{d}v$$

初值定理：如果 xn 为因果的，那么

$$x[0]=\lim_{z\to \infty}X(z).$$

终值定理：如果 (z−1)X(z) 的极点在单位圆内，则

$$x[\infty]=\lim_{z\to 1}(z-1)X(z).$$

## 常见的Z变换对表

这里：

$$u : n \mapsto u[n] = \begin{cases} 1, & n \ge 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases}$$

是单位阶跃函数而

$$\delta : n \mapsto \delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases}$$

是离散时间单位冲激函数。两者通常都不认为是真正的函数，但由于它们的不连续性把它们看成是分布（它们在 n = 0 处的值通常无关紧要，除非在处理离散时间的时候，它们会变成衰减离散级数；在本章节中对连续和离散时间域，都在 n = 0 处取 1，否则不能使用下表中收敛域一栏的内容）。同时列出两个“函数”，使得（在连续时间域）单位阶跃函数是单位冲激函数的积分，或（在离散时间域）单位阶跃函数是单位冲激函数的求和，因此要令他们的值在 n = 0 处为 1。

信号，$x[n]$｜Z变换，$X(z)$｜ROC

1｜$\delta[n]$｜1｜所有 z

2｜$\delta[n-n_0]$｜$z^{-n_0}$｜$z \neq 0$

3｜$u[n] \,$｜$\frac{1}{1-z^{-1} }$｜$|z| > 1$

4｜$e^{-\alpha n} u[n]$｜$1 \over 1-e^{-\alpha }z^{-1}$｜$|z| > e^{-\alpha} \,$

5｜$-u[-n-1]$｜$\frac{1}{1 - z^{-1}}$｜$|z| < 1$

6｜$n u[n]$｜$\frac{z^{-1}}{( 1-z^{-1} )^2}$｜$|z| > 1$

7｜$- n u[-n-1] \,$｜$\frac{z^{-1} }{ (1 - z^{-1})^2 }$｜$|z| < 1$

8｜$n^2 u[n]$｜$\frac{ z^{-1} (1 + z^{-1} )}{(1 - z^{-1})^3}$｜$|z| > 1\,$

9｜$- n^2 u[-n - 1] \,$｜$\frac{ z^{-1} (1 + z^{-1} )}{(1 - z^{-1})^3}$｜$|z| < 1\,$

10｜$n^3 u[n]$｜$\frac{z^{-1} (1 + 4 z^{-1} + z^{-2} )}{(1-z^{-1})^4}$｜$|z| > 1\,$

11｜$- n^3 u[-n -1]$｜$\frac{z^{-1} (1 + 4 z^{-1} + z^{-2} )}{(1-z^{-1})^4}$｜$|z| < 1\,$

12｜$a^n u[n]$｜$\frac{1}{1-a z^{-1}}$｜$|z| > |a|$

13｜$-a^n u[-n-1]$｜$\frac{1}{1-a z^{-1}}$｜$|z| < |a|$

14｜$n a^n u[n]$｜$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$｜$|z| > |a|$

15｜$-n a^n u[-n-1]$｜$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$｜$|z| < |a|$

16｜$n^2 a^n u[n]$｜$\frac{a z^{-1} (1 + a z^{-1}) }{(1-a z^{-1})^3}$｜$|z| > |a|$

17｜$- n^2 a^n u[-n -1]$｜$\frac{a z^{-1} (1 + a z^{-1}) }{(1-a z^{-1})^3}$｜$|z| < |a|$

18｜$\cos(\omega_0 n) u[n]$｜$\frac{ 1-z^{-1} \cos(\omega_0)}{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2}}$｜$|z| >1$

19｜$\sin(\omega_0 n) u[n]$｜$\frac{ z^{-1} \sin(\omega_0)}{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }$｜$|z| >1$

20｜$a^n \cos(\omega_0 n) u[n]$｜$\frac{1-a z^{-1} \cos( \omega_0)}{1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2}}$｜$|z|>|a|$

21｜$a^n \sin(\omega_0 n) u[n]$｜$\frac{ az^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }$｜$|z|>|a|$

## 与傅里叶级数和傅里叶变换的关系

对于区域 |z|=1（称为单位圆）内的 z 值，我们可以通过定义 z=ejω 来用单一实变量的函数来表示该变换。于是双边变换就简化为了傅里叶级数：

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\ z^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\ e^{-j\omega n},$$

也被称作 xn 序列的离散时间傅里叶变换（DTFT）。这个以 2π 为周期的函数是傅里叶变换的周期性求和，这使得它成为广泛使用的分析工具。要理解这一点，令 X(f) 为任意函数 x(t) 的傅里叶变换，该函数以某个间隔 T 采样就与 xn 序列相等。于是 xn 序列的DTFT可以写作：

$$\underbrace{ \sum_{n=-\infty}^{\infty} \overbrace{x(nT)}^{x[n]}\ e^{-j 2\pi f nT} }_{\text{DTFT}} = \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} X(f-k/T).$$

若T的单位是秒，$\textstyle f$的单位即为赫兹。比较两个数列可得 $\textstyle \omega = 2\pi fT$ 为标准化频率，单位是radians per sample。数值ω=2π对应$\textstyle f = \frac{1}{T}$ Hz.，而且在替换 $\textstyle f = \frac{\omega }{2\pi T},$后， Eq.1可以表示为傅里叶变换X(•):

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\ e^{-j\omega n} = \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \underbrace{X\left(\tfrac{\omega}{2\pi T} - \tfrac{k}{T}\right)}_{X\left(\frac{\omega - 2\pi k}{2\pi T}\right)}.$$

若数列x(nT)表示线性时不变系统的冲激响应，这些函数也称为频率响应，当x(nT)是周期性数列，其DTFT在一或多个共振频率发散，在其他频率均为零。这一般会用在共振频率，振幅可变的狄拉克δ函数表示。因为其周期性，只会有有限个振幅，可以用较简单许多的离散傅里叶变换来计算。（参照离散傅立叶变换#周期性）

## 和拉氏变换的关系

### 双线性变换

双线性变换可以用在连续时间滤波器（用拉氏域表示）和离散时间滤波器（用Z域表示）之间的转换，其转换关系如下：

$$s =\frac{2}{T} \frac{(z-1)}{(z+1)}$$

将一个拉氏域的函数$H(s)$转换为Z域下的$H(z)$，或是

$$z =\frac{2+sT}{2-sT}$$

从Z域转换到拉氏域。借由双线性变换，复数的s平面（拉氏变换）可以映射到复数的z平面（Z转换）。这个转换是非线性的，可以将S平面的整个jΩ轴映射到Z平面的单位圆内。因此，傅立叶变换（在jΩ axis计算的拉氏变换）变成离散时间傅立叶变换，前提是假设其傅立叶变换存在，也就是拉氏变换的收敛区域包括jΩ轴。

## 线性常系数差分方程

线性常系数差分（LCCD）方程是基于自回归滑动平均的线性系统表达形式。

$$\sum_{p=0}^{N}y[n-p]\alpha_{p} = \sum_{q=0}^{M}x[n-q]\beta_{q}$$

上面等式两边可以同时除以 α0，如果非零，正规化 α0 = 1，LCCD方程可以写成

$$y[n] = \sum_{q=0}^{M}x[n-q]\beta_{q} - \sum_{p=1}^{N}y[n-p]\alpha_{p}.$$

LCCD方程的这种形式有利于更加明确“当前”输出 yn 是过去输出 yn−p、当前输入 xn 与之前输入 xn−q 的一个函数。

### 传递函数

对上述方程去Z变换（使用线性和时移法则）得到

$$Y(z) \sum_{p=0}^{N}z^{-p}\alpha_{p} = X(z) \sum_{q=0}^{M}z^{-q}\beta_{q}$$

整理结果

$$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum_{q=0}^{M}z^{-q}\beta_{q}}{\sum_{p=0}^{N}z^{-p}\alpha_{p}} = \frac{\beta_0 + z^{-1} \beta_1 + z^{-2} \beta_2 + \cdots + z^{-M} \beta_M}{\alpha_0 + z^{-1} \alpha_1 + z^{-2} \alpha_2 + \cdots + z^{-N} \alpha_N}.$$

### 零点和极点

由代数基本定理得知分子有 M 个根（对应于 H 的零点）和分母有 N 个根（对应于极点）。用极点和零点重新整理传递函数为

$$H(z) = \frac{(1 - q_1 z^{-1})(1 - q_2 z^{-1})\cdots(1 - q_M z^{-1}) } { (1 - p_1 z^{-1})(1 - p_2 z^{-1})\cdots(1 - p_N z^{-1})}$$

其中 qk 为 k 阶零点，pk 为 k 阶极点。零点和极点通常是复数，当在复平面（z平面）作图时称为零极点图。

此外，在 z = 0 和 z = ∞ 也可能存在零点和极点。如果我们把这些极点和零点以及高阶零点和极点考虑在内的话，零点和极点的数目总会相等。

通过对分母因式分解，可以使用部分分式分解可以转换回时域。这样做会导出系统的冲激响应和线性常系数差分方程。

### 输出响应

如果一个系统 H(z) 由信号 X(z) 驱动，那么输出为 Y(z) = H(z)X(z)。通过对 Y(z) 部分分式分解并取逆Z变换可以得到输出 yn。在实际运用中，在分式分解 $\frac{Y(z)}{z}$ 之后再乘 z 产生 Y(z) 的一个形式（含有很容易计算逆Z变换的项）往往很有用。

## 延伸阅读

- Refaat El Attar, Lecture notes on Z-Transform, Lulu Press, Morrisville NC, 2005. ISBN 978-1-4116-1979-1.
- Ogata, Katsuhiko, Discrete Time Control Systems 2nd Ed, Prentice-Hall Inc, 1995, 1987. ISBN 978-0-13-034281-2.
- Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer (1999). Discrete-Time Signal Processing, 2nd Edition, Prentice Hall Signal Processing Series. ISBN 978-0-13-754920-7.

## 外部链接

- Z-Transform table of some common Laplace transforms
- Mathworld's entry on the Z-transform
- Z-Transform threads in Comp.DSP
- Z-Transform Module by John H. Mathews
- A graphic of the relationship between Laplace transform s-plane to Z-plane of the Z transform