下推自动机

在自动机理论中，下推自动机（Pushdown automaton）是使用了包含数据的栈的有限自动机。

## 综述

下推自动机比有限自动机复杂：除了有限状态组成部分外，还包括一个长度不受限制的栈；下推自动机的状态迁移不但要参考有限状态部分，也要参照栈当前的状态；状态迁移不但包括有限状态的变迁，还包括一个栈的出栈或入栈过程。下推自动机可以形象的理解为，借由加上读取一个容量无限栈的能力，扩充一个能做$\epsilon$-转移的非确定有限自动机。

下推自动机存在“确定”与“非确定”两种形式，两者并不等价。（对有限自动机两者是等价的）

每一个下推自动机都接受一个形式语言。被“非确定下推自动机”接受的语言是上下文无关语言。

如果我们把下推自动机扩展，允许一个有限自动机存取两个栈，我们得到一个能力更强的自动机，这个自动机与图灵机等价。

下推自动机作为一个形式系统最早于1961年出现在 Oettinger 的论文中。它与上下文无关文法的等价性是由乔姆斯基于1962年发现的。

## 形式定义

PDA 形式定义为 6-元组：

$$M=(Q,\ \Sigma,\ \Gamma,\ \delta, \ q_{0}, \ F)$$ 这里的

- $\, Q$ 是状态的有限集合
- $\,\Sigma$ 是输入字母表的有限集合
- $\,\Gamma$ 是栈字母表的有限集合
- $\,\delta$: $Q \times \Sigma_{\epsilon} \times \Gamma_{\epsilon} \longrightarrow \mathcal{P}( Q \times \Gamma_{\epsilon} )$ 是转移函数
- $q_{0}$ 是“开始状态”
- $F\subset Q$ 是“接受状态”的集合
- $$\Gamma_{\epsilon} = \Gamma\cup\{\epsilon\}$$
- $$\Sigma_{\epsilon} = \Sigma\cup\{\epsilon\}$$

计算定义 1

对于任何 PDA $M=(Q,\ \Sigma,\ \Gamma,\ \delta, \ q_{0}, \ F)$，计算路径是一个有序的（n+1）-元组 $(q_{0},\, q_{1}, ...., \,q_{n})$，这里的 $q_{i} \in Q, n \geq 0$，它满足如下条件：

(i) $\ \ (q_{i+1}, b_{i+1}) \in \delta (q_{i}, w_{i+1}, a_{i+1})$ 对于 i = 0, 1, 2,......, n-1,

这里的 $w_{i+1}\in \Sigma_{\epsilon}, \ a_{i+1}, \ b_{i+1}\in \Gamma_{\epsilon}$

(ii) $\exists\, s_{0},\, s_{1},\,s_{2},\,s_{3},\,\cdots,\,s_{n}\,\in\Gamma^{*}$ 使得

$$s_{i} = a_{i+1}t_{i},\,s_{i+1} = b_{i+1}t_{i},\, t_{i}\in\Gamma^{*}$$

在直觉上，PDA 在计算过程中任何一点上都面对着多种可能性，从栈顶读一个符号并把它替代为另一个符号，从栈顶读一个符号并删除它而不替换，不从栈顶读任何符号但压入另一个符号进去，或什么都不做。所有这些都同时由等式 $s_{i} = a_{i+1}t_{i} \,$ 和 $s_{i+1} = b_{i+1}t_{i} \,$ 来支配。$s_{i} \,$ 是紧接在第 i+1 次转移移动之前的栈内容，而 $a_{i+1} \,$ 是要从栈顶去除的符号。$s_{i+1} \,$ 是紧接在第 i+1 次转移移动之后栈内容，而 $b_{i+1} \,$ 是在第 i+1 次转移移动期间要增加到栈上的符号。

$a_{i+1} \,$ 和 $b_{i+1} \,$ 二者都可以 $\epsilon \,$。

如果 $a_{i+1}\neq\epsilon \,$ 而 $b_{i+1}\neq\epsilon \,$，则 PDA 从栈读一个符号并把它替代为另一个符号。

如果 $a_{i+1}\neq\epsilon \,$ 而 $b_{i+1} = \epsilon \,$，则 PDA 从栈读一个符号并删除它而不替换。

如果 $a_{i+1} = \epsilon \,$ 而 $b_{i+1}\neq\epsilon \,$，则 PDA 简单的增加一个符号到栈上。

如果 $a_{i+1} = \epsilon \,$ 而 $b_{i+1} = \epsilon \,$，则 PDA 保持栈不变动。

注意当 n=0 时，计算路径就是单元素集合 $(q_0) \,$。

计算定义 2

对于任何输入 $w = w_1w_2 \cdots w_m, \ w_i \in \Sigma , m \geq 0$，M 接受 w，如果存在计算路径 $(q_{0},\, q_{1}, ...., \,q_{n}) \,$ 和有限序列 $r_0, r_1, r_2,\cdots r_m \in Q, \ m \leq n$，使得

(i) 对于每个 i = 0, 1, 2,...m，$r_i \,$ 都在计算路径上。就是说

$\exists f(i)$ 这里的 $i \leq f(i) \leq n$ 使得 $r_i = q_{f(i)} \,$

(ii) $(q_{f(i)+1}, b_{f(i)+1}) \in \delta(r_i, w_{i+1}, a_{f(i)+1})$ 对于每个 i = 0, 1, 2,...m-1。

这里的 $a_{f(i)+1} \,$ 和 $b_{f(i)+1} \,$ 定义同于计算定义 1。

(iii) $(q_{j+1}, b_{j+1}) \in \delta(q_j, \epsilon, a_{j+1})$，如果 $q_j \notin \{ r_0, r_1, \cdots r_m \}$

这里的 $a_{j+1} \,$ 和 $b_{j+1} \,$ 定义同于计算定义 1。

(iv) $r_m = q_n \,$ 且 $r_m \in F$

注意上述定义不提供测试空栈的机制。要这么做你需要在所有计算开始前在栈上写一个特殊符号，使得 PDA 可以在检测到这个符号的时候有效的识别出栈已经空了。形式的说，实现它可通过介入转移 $\delta (q_0, \epsilon,\,\epsilon) = \{(q_1, \$)\}$这里的 $ 是特殊符号。

## 例子

下面是识别语言 $\{0^n1^n | n \ge 0 \}$ 的 PDA 的形式描述：

$$M=(Q,\ \Sigma,\ \Gamma,\ \delta, \ q_{1}, \ F)$$

- $$Q = \{ q_1, q_2, q_3, q_4 \} \,$$
- $$\Sigma = \{ 0, 1 \} \,$$
- $$\Gamma = \{0, \$ \} \,$$
- $$F = \{q_1, q_4 \} \,$$
- $$\delta (q_1, \epsilon, \epsilon) = \{ (q_2, \$), (q_1, \epsilon) \} \,$$
- $$\delta (q_2, 0, \epsilon) = \{ (q_2, 0) \} \,$$
- $$\delta (q_2, 1, 0) = \{ (q_3, \epsilon) \} \,$$
- $$\delta (q_3, 1, 0) = \{ (q_3, \epsilon) \} \,$$
- $$\delta (q_3, \epsilon, \$) = \{ (q_4, \epsilon) \} \,$$
- $\delta (q, w, a) = \varnothing$ 对于任何其他状态、输入和栈符号的值。

### 理解计算过程

下面展示上述 PDA 如何计算不同的输入字符串。

(a) 输入字符串 = 0011

(i) 写 $\delta$(q1, $\epsilon$, $\epsilon$) $\rightarrow$ (q2, $) 来表示 (q2, $) $\in$ $\delta$(q1, $\epsilon$, $\epsilon$)

s0 = $\epsilon$, s1 = $, t = $\epsilon$, a = $\epsilon$, b = $

设置 r0 = q2

(ii) $\delta$(r0, 0, $\epsilon$) = $\delta$(q2, 0, $\epsilon$) $\rightarrow$ (q2, 0)

s1 = $, a = $\epsilon$, t = $, b = 0, s2 = 0$

设置 r1 = q2

(iii) $\delta$(r1, 0, $\epsilon$) = $\delta$(q2, 0, $\epsilon$) $\rightarrow$ (q2, 0)

s2 = 0$, a = $\epsilon$, t = 0$, b = 0, s3 = 00$

设置 r2 = q2

(iv) $\delta$(r2, 1, 0) = $\delta$(q2, 1, 0) $\rightarrow$ (q3, $\epsilon$)

s3 = 00$, a = 0, t = 0$, b = $\epsilon$, s4 = 0$

设置 r3 = q3

(v) $\delta$(r3, 1, 0) = $\delta$(q3, 1, 0) $\rightarrow$ (q3, $\epsilon$)

s4 = 0$, a = 0, t = $, b = $\epsilon$, s5 = $

(vi) $\delta$(q3, $\epsilon$, $) $\rightarrow$ (q4, $\epsilon$)

s5 = $, a = $, t = $\epsilon$, b = $\epsilon$, s6 = $\epsilon$

设置 r4 = q4

因为 q4 是接受状态，0011 被接受。

作为总结，计算路径 = (q1, q2, q2, q2, q3, q3, q4)

而 (r0, r1, r2, r3, r4) = (q2, q2, q2, q3, q4)

(b) 输入字符串 = 001

计算移动 (i), (ii), (iii), (iv) 将必定同于情况 (a)，否则，PDA 在到达 (v) 之前就已经进入死胡同。

(v) $\delta$(r3, $\epsilon$, a) = $\delta$(q3, $\epsilon$, a)

因为 s4 = 0$，要么 a = $\epsilon$ 要么 a = 0

在任何一种情况下，$\delta$(q3, $\epsilon$, a) = $\varnothing$

因此计算在 r3 = q3 进入死胡同，这不是接受状态。所以 001 被拒绝。

(c) 输入字符串 = $\epsilon$

设置 r0 = q1, r1 = q1

$\delta$(r0, $\epsilon$, $\epsilon$) $\rightarrow$ (q1, $\epsilon$)

因为 q1 是接受状态，$\epsilon$ 被接受。

## 广义下推自动机(GPDA)

GPDA 是在一个步骤内写入整个字符串到栈上或从栈上去除整个字符串的 PDA。

GPDA 形式定义为 6-元组 $M=(Q,\ \Sigma,\ \Gamma,\ \delta, \ q_{0}, \ F)$

这里的 Q, $\Sigma\,$, $\Gamma\,$, q0 和 F 的定义同于 PDA。

$\,\delta$: $Q \times \Sigma_{\epsilon} \times \Gamma^{*} \longrightarrow \mathcal{P}( Q \times \Gamma^{*} )$ 是转移函数。

GPDA 的计算规则同于 PDA，除了 ai+1 和 bi+1 现在是字符串而不是符号之外。

GPDA 和 PDA 是等价的，如果一个语言可被一个 PDA 识别，它也可被一个 GPDA 识别，反之亦然。

可以使用下列模拟公式化对 GPDA 和 PDA 的等价性的一个分析式证明：

设 $\delta$(q1, w, x1x2...xm) $\longrightarrow$ (q2, y1y2...yn) 是 GPDA 的转移。

这里的 q1, q2 $\in$ Q, w $\in\Sigma_{\epsilon}\,$, x1x2...xm $\in\Gamma^{*}$, m$\geq$0, y1y2...yn $\in\Gamma^{*}$, n$\geq$0。

构造 PDA 的下列转移：

$\delta^{'}$(q1, w, x1) $\longrightarrow$ (p1, $\epsilon$)

$\delta^{'}$(p1, $\epsilon$, x2) $\longrightarrow$ (p2, $\epsilon$)

$$\vdots$$

$\delta^{'}$(pm-1, $\epsilon$, xm) $\longrightarrow$ (pm, $\epsilon$)

$\delta^{'}$(pm, $\epsilon$, $\epsilon$ ) $\longrightarrow$ (pm+1, yn)

$\delta^{'}$(pm+1, $\epsilon$, $\epsilon$ ) $\longrightarrow$ (pm+2, yn-1)

$$\vdots$$

$\delta^{'}$(pm+n-1, $\epsilon$, $\epsilon$ ) $\longrightarrow$ (q2, y1)

## 外部链接

- non-deterministic pushdown automaton, on Planet Math.
- JFLAP，simulator for several types of automata including nondeterministic pushdown automata