十二平均律

十二平均律（英语：12 equal temperament），又称十二等程律，音乐律式的一种，也是当今最主流的律式。将一个八度平均分成十二等份，每等分称为半音，音高八度音指的是频率乘上二倍。八度音的频率分为十二等分，即是分为十二项的等比数列，也就是每个音的频率为前一个音的2的12次方根倍：

其近似值约为$\,\sqrt[12]{2}=2^{\frac{1}{12}}\approx\,$2 倍。

## 历史

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公元400年左右，中国南朝数学家何承天提出世界历史上最早有记载的十二平均律数列 900 849 802 758 715 677 638 601 570 536 509.5 479 450（原文：……黄钟长九寸，太簇长八寸二厘，林钟长六寸一厘，应钟长四寸七分九厘强）。

意大利的物理学家伽利略·伽利莱的父亲温琴佐·伽利莱曾试图解决十二平均率问题，但他用的倍率是18:17，而不是$\sqrt [12] {2}$，因此自乘12次后只得1.98556，不是2，他的系统只可算近似十二音阶平均律。

1605年荷兰数学家西蒙·斯特芬在一篇未完成的手稿“Van de Spiegheling der singconst”提出用$\sqrt [12] {1/2}$ 计算十二平均律，但因计算精度不够，他算出的弦长数字，有些偏离正确数字一至二单位之多。

西蒙·斯特芬的弦长表：

音｜弦 10000｜比率｜正确的弦长

半音｜9438｜1.0595465｜9438.7

全音｜8909｜1.0593781｜8909.0

1.5 音｜8408｜1.0595861｜8409.0

2 倍全音｜7936｜1.0594758｜7937.0

2.5 音｜7491｜1.0594046｜7491.5

3 音｜7071｜1.0593975｜7071.1

3.5 音｜6674｜1.0594845｜6674.2

4 音｜6298｜1.0597014｜6299.6

4.5 音｜5944｜1.0595558｜5946.0

5 音｜5611｜1.0593477｜5612.3

5.5 音｜5296｜1.0594788｜5297.3

八度｜5000｜1.0592000｜5000.0

西蒙·斯特芬的频率比，每音一率，且各不相同，这是不正确的。

### 朱载堉计算十二平均律

中国明代音乐家朱载堉于万历十二年（1584年）首次提出“新法密率”（见《律吕精义》、《乐律全书》），推算出以比率$\sqrt [12] {2}$ 将八度音等分为十二等分的算法，并制造出十二平均律律管及律准，是世界上最早的十二平均律乐器。他用九九八十一位算盘计算出来准确到25位数字新法密率为：

律名｜比率

正黄钟｜1.000000000000000000000000

倍应锺｜1.059463094359295264561825

倍无射｜1.122462048309372981433533

倍南吕｜1.189207115002721066717500

倍夷则｜1.259921049894873164767211

倍林锺｜1.334839854170034364830832

倍蕤宾｜1.414213562373095048801689

倍仲吕｜1.498307076876681498799281

倍姑洗｜1.587401051968199474751706

倍夹锺｜1.681792830507429086062251

倍太蔟｜1.781797436280678609480452

倍大吕｜1.887748625363386993283826

倍黄钟｜2.000000000000000000000000

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- 朱载堉新法密率

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### 朱载堉首创十二平均律乐器

朱载堉为了验证所创的十二平均律理论，计算出所需的长度和律管内径，特选用上等竹子，按数据截取所需的长度，按数据镟出内径，分别创制世界上最早的十二平均律律管36根，分别为新法密率倍率管12根、正律管12根和半律管12根。选上好竹子制造，金门竹、班竹或紫竹都可，而当时朱载堉采用的是江南出产的笔管竹。

倍率黄钟管的内径取为五寸，下一根竹管的内径为上根竹管的直径除以$\sqrt [24] {2}$：

#### 乐器尺寸

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律数｜律名｜长度｜内径

1 倍律｜黄钟｜2.0000 尺｜0.500 尺

2 倍律｜大吕｜1.8877 尺｜0.485 尺

3 倍律｜太蔟｜1.7818 尺｜0.471 尺

4 倍律｜夹锺｜1.6818 尺｜0.458 尺

5 倍律｜姑洗｜1.5874 尺｜0.445 尺

6 倍律｜仲吕｜1.4983 尺｜0.432 尺

7 倍律｜蕤宾｜1.4142 尺｜0.420 尺

8 倍律｜林锺｜1.3348 尺｜0.408 尺

9 倍律｜夷则｜1.2599 尺｜0.396 尺

10 倍律｜南吕｜1.1892 尺｜0.385 尺

11 倍律｜无射｜1.1224 尺｜0.374 尺

12 倍律｜应锺｜1.0594 尺｜0.363 尺

1 正律｜黄钟｜1.0000 尺｜0.353 尺

2 正律｜大吕｜0.9439 尺｜0.343 尺

3 正律｜太蔟｜0.8909 尺｜0.333 尺

4 正律｜夹锺｜0.8409 尺｜0.324 尺

5 正律｜姑洗｜0.7937 尺｜0.314 尺

6 正律｜仲吕｜0.7491 尺｜0.306 尺

7 正律｜蕤宾｜0.7071 尺｜0.297 尺

8 正律｜林锺｜0.6674 尺｜0.288 尺

9 正律｜夷则｜0.6299 尺｜0.280 尺

10 正律｜南吕｜0.5946 尺｜0.272 尺

11 正律｜无射｜0.5612 尺｜0.264 尺

12 正律｜应锺｜0.5297 尺｜0.257 尺

1 半律｜黄钟｜0.5000 尺｜0.250 尺

2 半律｜大吕｜0.4719 尺｜0.242 尺

3 半律｜太蔟｜0.4454 尺｜0.235 尺

4 半律｜夹锺｜0.4204 尺｜0.229 尺

5 半律｜姑洗｜0.3968 尺｜0.222 尺

6 半律｜仲吕｜0.3745 尺｜0.216 尺

7 半律｜蕤宾｜0.3535 尺｜0.210 尺

8 半律｜林锺｜0.3337 尺｜0.204 尺

9 半律｜夷则｜0.3150 尺｜0.198 尺

10 半律｜南吕｜0.2973 尺｜0.192 尺

11 半律｜无射｜0.2806 尺｜0.187 尺

12 半律｜应锺｜0.2648 尺｜0.181 尺

倍率黄钟管的内径取为五寸，下一根竹管的内径为上根竹管的直径除以$\sqrt [24] {2}$。

### 十二平均律准

朱载堉依他对十二平均律所发明的新法密率理论，创制一种律准。用桐木制作，琴身厚四分，张琴弦12根，琴底藏一根黄钟律管，用来定黄钟。

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按第	1	弦为	黄钟 与本弦	散声	应

按第	2	弦为	大吕 与本弦	散声	应

按第	3	弦为	太蔟 与本弦	散声	应

按第	4	弦为	夹锺 与本弦	散声	应

按第	5	弦为	姑洗 与本弦	散声	应

按第	6	弦为	仲吕 与本弦	散声	应

按第	7	弦为	蕤宾 与本弦	散声	应

按第	8	弦为	林锺 与本弦	散声	应

按第	9	弦为	夷则 与本弦	散声	应

按第	10	弦为	南吕 与本弦	散声	应

按第	11	弦为	无射 与本弦	散声	应

按第	12	弦为	应锺 与本弦	散声	应

### 欧洲的十二平均律

16世纪末叶，中国与西方交流方兴未艾，1580年开始，明朝广东承宣布政使司每两年在广州举办一次为时数周的交易会，届时东西商人和传教士会交流货物和思想；朱载堉刊行十二平均律学说之时，正值耶稣会意大利传教士利马窦赴华之时，利马窦在其私人日记里提到朱载堉的历法新理论。利马窦本人又是精通天文学和数学，很可能知道朱载堉用$\sqrt [12]{2}$来解决春分与夏至三个月之间的比率。无独有偶，利马窦还是法国位居高位的科学家马兰·梅森的朋友，他们有共同的学术兴趣，因此当代音乐学者卓仁祥认为，在他们交往过程中，利马窦将朱载堉获得的$\sqrt [12]{2}=1.059463...$ 传达给梅森。1638年梅森出版《和谐音概论》，书中在西方世界第一次出现 $1.059463...$ 这个数字，在此之前西方无人知道这个数字。

十九世纪德国物理学家赫尔曼·冯·亥姆霍兹在所著的论音感一书中写道：“中国有一位王子名叫载堉，力排众议，创导七声音阶。而将八度分成十二个半音的方法，也是这个富有天才和智巧的国家发明的”。1890年布鲁塞尔皇家音乐博物馆馆长 Victor Charles Mahillon 按朱载堉十二平均律律管数据，复制了一套律管，经过测试之后，他写道：“关于乐管的管径，我们毫无所知，中国人比我们知道的多得多。我们按王子载堉的数据复制了一套律管，测试结果表明他的理论的准确性”。

#### 十二平均律流行世界

德国作曲家巴赫于1722年发表的《平均律键盘曲集》(Das Wohltemperierten Klavier，中文意思是“完美调音的键盘乐器”)，虽然现代中文翻译为“平均律”，但可能并不是为使用十二平均律的键盘乐器而著。十二平均律的德文是Gleichschwebende Temperatur，而不是Wohltemprierte。平均律的英文是Equal Temperament，Temperament是Temper（调律）的动词，因为百余年来欧美各国的调律都采十二平均律，故现在习惯以Temperament表示十二平均律。

近代美国音乐学家James Murray Barbour 研究“调律技术演进史”，认为1842年由英国乐器制造厂Broadwood找到十二平均律的调律法，十二平均律才能普及。巴赫的键盘乐器则是使用他的学生，音乐理论家Johann Philipp Kirnberger综合中庸全音律与五度相生律的原理，所发明的调律法。

### 历史上各种十二平均律的音分

年份｜人名｜比率｜音分

400｜何承天｜1.060070671｜100.99

1580｜伽利略·文森佐｜18:17｜98.95

1581｜朱载堉｜1.059463094｜100.00

1585｜西蒙·斯泰芬｜1.059546514｜100.14

1630｜马兰·梅森｜1.059322034｜99.77

1630｜Johann Faulhaber｜1.059490385｜100.04

朱载堉显然是历史上最先获得准确的100音分半音十二平均律的人；半世纪之后德国数学家Johann Faulhaber也获得了近似准确的100音分。

## 十二平均律表

将主音设为a1(440Hz)，来计算所有音的频率，结果如下 （为计算过程更清晰，分数不进行约分）：

音程名称｜间隔半音数｜十二平均律的倍数｜频率

纯一度(A1)｜0｜$2^0=1 \,$｜$440 \times 1=440 \,$

增一度/小二度(A♯1/B♭1)｜1｜$\sqrt[12]{2}=2^{\frac{1}{12}}\approx 1.0594630943592952645618252949463$｜$440 \times 2^{\frac{1}{12}}\approx 466.1637615180899164072031297762$

大二度(B1)｜2｜$\sqrt[6]{2}=2^{\frac{2}{12}}\approx 1.1224620483093729814335330496792$｜$440 \times 2^{\frac{2}{12}}\approx 493.8833012561241118307545418586$

小三度(C)｜3｜$\sqrt[4]{2}=2^{\frac{3}{12}}\approx 1.1892071150027210667174999705605$｜$440 \times 2^{\frac{3}{12}}\approx 523.2511306011972693556999870466$

大三度(C♯)｜4｜$\sqrt[3]{2}=2^{\frac{4}{12}}\approx 1.2599210498948731647672106072782$｜$440 \times 2^{\frac{4}{12}}\approx 554.3652619537441924975726672023$

纯四度(D)｜5｜$\sqrt[12]{32}=2^{\frac{5}{12}}\approx 1.3348398541700343648308318811845$｜$440 \times 2^{\frac{5}{12}}\approx 587.3295358348151205255660277209$

增四度/减五度(D#/E♭)｜6｜$\sqrt{2}=2^{\frac{6}{12}}\approx 1.4142135623730950488016887242097$｜$440 \times 2^{\frac{6}{12}}\approx 622.2539674441618214727430386522$

纯五度(E)｜7｜$\sqrt[12]{128}=2^{\frac{7}{12}}\approx 1.4983070768766814987992807320298$｜$440 \times 2^{\frac{7}{12}}\approx 659.2551138257398594716835220930$

小六度(F)｜8｜$\sqrt[3]{4}=2^{\frac{8}{12}}\approx 1.5874010519681994747517056392723$｜$440 \times 2^{\frac{8}{12}}\approx 698.4564628660077688907504812795$

大六度(F#)｜9｜$\sqrt[4]{8}=2^{\frac{9}{12}}\approx 1.6817928305074290860622509524664$｜$440 \times 2^{\frac{9}{12}}\approx 739.9888454232687978673904190852$

小七度(G)｜10｜$\sqrt[6]{32}=2^{\frac{10}{12}}\approx 1.781797436280678609480452411181$｜$440 \times 2^{\frac{10}{12}}\approx 783.9908719634985881713990609195$

大七度(G#)｜11｜$\sqrt[12]{2048}=2^{\frac{11}{12}}\approx 1.8877486253633869932838263133351$｜$440 \times 2^{\frac{11}{12}}\approx 830.6093951598902770448835778670$

纯八度(A)｜12｜$2^{1}=2 \,$｜$440 \times 2=880 \,$

其中$\,\sqrt[12]{2}=2^{\frac{1}{12}}\approx\,$2

$\approx \frac {18}{17} =1.05882$ 99 音分

$\approx \frac {196}{185}=1.0594595$ 99.99 音分

$\approx \frac {18904}{17843}=1.05946309477$ 100 音分

## 参考文献

### 来源

- 李约瑟：《中国科学技术史》第四卷第一分册
- Robert Temple：The Genius of CHINA （李约瑟《中国科学技术史》的浓缩本）
- 戴念祖：《朱载堉———明代的科学和艺术巨星》
- 程贞一 著，王翼勋 译：《黄钟大吕：中国古代和十六世纪声学成就》（上海：上海科技教育出版社，2007）。
- Cho, Gene Jinsiong. (2003). The Discovery of Musical Equal Temperament in China and Europe in the Sixteenth Century. Lewiston, NY: The Edwin Mellen Press.