高斯散度定理

高斯公式（Gauss's law），又称为高斯通量理论（Gauss' flux theorem）、散度定理（Divergence Theorem）、高斯散度定理（Gauss's Divergence Theorem）、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式或高－奥公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过闭合曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。该定理与斯托克斯定理（Stokes' Theorem）是向量中两大重要定理。

更加精确地说，高斯公式说明向量场穿过曲面的通量，等于散度在曲面围起来的体积上的积分。直观地，所有源点的和减去所有汇点的和，就是流出这区域的净流量。

高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果，特别是静电学和流体力学。

在物理和工程中，散度定理通常运用在三维空间中。然而，它可以推广到任意维数。在一维，它等价于分部积分法。

## 定理

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设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围起来的三维区域，函数$P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)$在$\Omega$上具有一阶连续偏导数，则有

$\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}v=$ $\scriptstyle \Sigma$ $P\,\mathrm{d}y\land \mathrm{d}z+Q\,\mathrm{d}z\land \mathrm{d}x+R\,\mathrm{d}x\land \mathrm{d}y$

或

$\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}v=$ $\scriptstyle \Sigma$ $(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,\mathrm{d}S$

这里$\Sigma$是$\Omega$的边界（boundary），$\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma$是$\Sigma$在点$(x,y,z)$处的单位法向量的方向余弦。

这两个公式都叫做高斯公式，不过这两公式仅仅是表达方式不同，其实是相同的定理，这可以用变数变换得到两公式的右边都等于 $\iint_\Sigma (P,Q,R)\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}S$，其中 $\mathbf{n}$ 是曲面 $\Sigma$ 的向外单位法向量。

这个定理是更一般的斯托克斯公式的特殊情形。

## 用散度表示

高斯公式用散度表示为：

$\iiint_{\Omega}\mathrm{div}\mathbf{F}\,\mathrm{d}v=$ $\scriptstyle \Sigma$ $\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}S .$

其中Σ是空间闭区域Ω的边界曲面，而 $\mathbf{n}$ 是曲面Σ上的朝外的单位法向量。

## 用向量表示

令V代表有一简单闭曲面S为边界的体积，$\mathbf{F}$是定义在V中和S上连续可微的向量场。如果$d\mathbf{S}$是外法向向量面元，则

$$\int_S \mathbf{F}\cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=\int_V \nabla\cdot\mathbf{F}\mathrm{d}V$$

## 推论

- 对于标量函数g和向量场F的积，应用高斯公式可得：

$$\iiint_V\left(\mathbf{F}\cdot \left(\nabla g\right) + g \left(\nabla\cdot \mathbf{F}\right)\right) \mathrm{d}V <pre> = \iint_{\partial V}g \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} </pre>$$

- 对于两个向量场$\mathbf{F}\times \mathbf{G}$的向量积，应用高斯公式可得：

$$\iiint_V \left(\mathbf{G}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{F}\right) - \mathbf{F}\cdot \left( \nabla\times\mathbf{G}\right)\right)\, \mathrm{d}V = \iint_{\partial V}\left(\mathbf{F}\times\mathbf{G}\right)\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}$$

- 对于标量函数f和非零常向量的积，应用高斯公式可得：

$$\iiint_V \nabla f\, \mathrm{d}V = \iint\limits_{\partial V} f \,\mathrm{d}\mathbf{S}$$

- 对于向量场F和非零常向量的向量积，应用高斯公式可得：

$$\iiint_V \nabla\times\mathbf{F}\, \mathrm{d}V = \iint_{\partial V}\mathrm{d}\mathbf{S} \times\mathbf{F}.$$

## 例子

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假设我们想要计算

$\scriptstyle S$ $\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} \, \mathrm{d}S,$

其中S是一个单位球面，定义为

$$S = \left \{ x,y, z \in \mathbb{R}^3 \ : \ x^2+y^2+z^2 = 1 \right \}.$$

F是向量场

$$\mathbf{F} = 2 x\mathbf{i}+y^2\mathbf{j}+z^2\mathbf{k}.$$

直接计算这个积分是相当困难的，但我们可以用高斯公式来把它简化：

$$<pre> \iiint_W (\nabla \cdot \mathbf{F})\,\mathrm{d}V </pre> = 2\iiint_W (1 + y + z)\,\mathrm{d}V = 2\iiint_W \mathrm{d}V + 2\iiint_W y\,\mathrm{d}V + 2\iiint_W z\,\mathrm{d}V.$$

其中W是单位球:

$$W = \left \{ x,y, z \in \mathbb{R}^3 \ : \ x^2+y^2+z^2\leq 1 \right \}.$$

由于函数y和z是奇函数，我们有：

$$\iiint_W y\, \mathrm{d}V = \iiint_W z\, \mathrm{d}V = 0.$$

因此：

$\scriptstyle S$ $\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}S = 2\iiint_W\, \mathrm{d}V = \frac{8\pi}{3},$

因为单位球W的体积是4π.

## 二阶张量的高斯公式

二阶张量的高斯公式实际上是上面的高斯公式的推论。为了使内容完整，首先简要地介绍三维欧几里得空间上的二阶张量（详见并矢张量或张量积）以及相关的概念和记号。在这里，向量和向量场用黑斜体字母表示，张量用正黑体字母表示。

- 两个向量$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$并排放在一起所形成的量$\boldsymbol{ab}$被称为向量$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$的并矢或并矢张量。要注意，一般来说，$\boldsymbol{ab} \neq \boldsymbol{ba}$。
- $\boldsymbol{ab} = 0$的充分必要条件是$\boldsymbol{a} = 0$或$\boldsymbol{b} = 0$。
- 二阶张量就是有限个并矢的线性组合。
- $\boldsymbol{ab}$分别线性地依赖于$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$。
- 二阶张量$\mathbf{T}$和向量$\boldsymbol{a}$的缩并$\mathbf{T} \cdot \boldsymbol{a}$以及$\boldsymbol{a} \cdot \mathbf{T}$对 $\mathbf{T}$和$\boldsymbol{a}$都是线性的。
- 特别是，当$\mathbf{T} = \boldsymbol{uv}$时。

$$<pre> \mathbf{T} \cdot \boldsymbol{a} = (\boldsymbol{uv}) \cdot \boldsymbol{a} = \boldsymbol{u} (\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{a}) \, , \qquad \boldsymbol{a} \cdot \mathbf{T} = \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{uv}) = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{u}) \, \boldsymbol{v} , </pre>$$

所以，一般说来，$\mathbf{T} \cdot \boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{a} \cdot \mathbf{T}$。

下面举一个例子：用二阶张量及其与向量的缩并来重新写$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c}$和$\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})$。

$$<pre> (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c} = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \, \boldsymbol{b} - (\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}) \, \boldsymbol{a} = - (\boldsymbol{ab} - \boldsymbol{ba}) \cdot \boldsymbol{c} \, , \qquad \boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \, \boldsymbol{b} - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \, \boldsymbol{c} = - \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{bc} - \boldsymbol{cb}) \, . </pre>$$

我们还用到二阶张量$\mathbf{T}$的转置$\mathbf{T}'$（又可以记为$\mathbf{T}^{\mathrm{t}}$），定义如下：

- $\mathbf{T}'$仍然是一个二阶张量，并且线性地依赖于$\mathbf{T}$。
- $(\boldsymbol{uv})' = \boldsymbol{vu}$。

定理：设 $V$是三维欧几里得空间中的一个有限区域，$S$是它的边界曲面，$\hat{\boldsymbol{n}}$是$S$的外法线方向上的单位向量，$\mathbf{T}$是定义在$V$的某个开邻域上的$C^1$连续的二阶张量场，$\mathbf{T}'$是$\mathbf{T}$的转置，则

$$<pre> \iint_S \hat{\boldsymbol{n}} \cdot \mathbf{T} \, \mathrm{d}S = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{T} \, \mathrm{d}V \, , \qquad \iint_S \mathbf{T} \cdot \hat{\boldsymbol{n}} \, \mathrm{d}S = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{T}' \, \mathrm{d}V \, . </pre>$$

证明：下面以第二个式子为例进行证明。令第二个式子的左边为$\boldsymbol{F}$，则

$$<pre> \boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{F} = \boldsymbol{e}_i \cdot \iint_S \mathbf{T} \cdot \hat{\boldsymbol{n}} \, \mathrm{d}S = \iint_S \boldsymbol{e}_i \cdot \mathbf{T} \cdot \hat{\boldsymbol{n}} \, \mathrm{d}S = \iint_S T^{ij} \boldsymbol{e}_j \cdot \hat{\boldsymbol{n}} \, \mathrm{d}S \, . </pre>$$

接下来利用向量场的高斯公式，可得

$$<pre> \boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{F} = \iiint_V \nabla \cdot (T^{ij} \boldsymbol{e}_j) \, \mathrm{d}V = \iiint_V \frac{\partial T^{ij}}{\partial x^j} \, \mathrm{d}V \, , </pre>$$

于是

$$<pre> \boldsymbol{F} = \boldsymbol{e}_i \, (\boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{F}) = \boldsymbol{e}_i \iiint_V \frac{\partial T^{ij}}{\partial x^j} \, \mathrm{d}V = \iiint_V \boldsymbol{e}_i \frac{\partial T^{ij}}{\partial x^j} \, \mathrm{d}V = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{T}' \, \mathrm{d}V \, . </pre>$$

至此证毕。

## 参阅

- 格林定理
- 斯托克斯定理