哈希表

散列表（Hash table）是根据键而直接访问在内存储存位置的数据结构。也就是说，它通过计算出一个键值的函数，将所需查询的数据映射到表中一个位置来让人访问，这加快了查找速度。这个映射函数称做散列函数，存放记录的数组称做散列表。

一个通俗的例子是，为了查找电话簿中某人的号码，可以创建一个按照人名首字母顺序排列的表（即建立人名$x$到首字母$F(x)$的一个函数关系），在首字母为W的表中查找“王”姓的电话号码，显然比直接查找就要快得多。这里使用人名作为关键字，“取首字母”是这个例子中散列函数的函数法则$F()$，存放首字母的表对应散列表。关键字和函数法则理论上可以任意确定。

## 基本概念

- 若关键字为$k$，则其值存放在$f(k)$的存储位置上。由此，不需比较便可直接取得所查记录。称这个对应关系$f$为散列函数，按这个思想建立的表为散列表。
- 对不同的关键字可能得到同一散列地址，即$k_1 \neq k_2$，而$f(k_1)=f(k_2)$，这种现象称为冲突（Collision）。具有相同函数值的关键字对该散列函数来说称做同义词。综上所述，根据散列函数$f(k)$和处理冲突的方法将一组关键字映射到一个有限的连续的地址集（区间）上，并以关键字在地址集中的“像”作为记录在表中的存储位置，这种表便称为散列表，这一映射过程称为散列造表或散列，所得的存储位置称散列地址。
- 若对于关键字集合中的任一个关键字，经散列函数映象到地址集合中任何一个地址的概率是相等的，则称此类散列函数为均匀散列函数（Uniform Hash function），这就使关键字经过散列函数得到一个“随机的地址”，从而减少冲突。

## 构造散列函数

散列函数能使对一个数据序列的访问过程更加迅速有效，通过散列函数，数据元素将被更快定位。

- 直接定址法：取关键字或关键字的某个线性函数值为散列地址。即$hash(k)=k$或$hash(k)=a\cdot k + b$，其中$a\,b$为常数（这种散列函数叫做自身函数）
- 数字分析法：假设关键字是以r为基的数，并且哈希表中可能出现的关键字都是事先知道的，则可取关键字的若干数位组成哈希地址。
- 平方取中法：取关键字平方后的中间几位为哈希地址。通常在选定哈希函数时不一定能知道关键字的全部情况，取其中的哪几位也不一定合适，而一个数平方后的中间几位数和数的每一位都相关，由此使随机分布的关键字得到的哈希地址也是随机的。取的位数由表长决定。
- 折叠法：将关键字分割成位数相同的几部分（最后一部分的位数可以不同），然后取这几部分的叠加和（舍去进位）作为哈希地址。
- 随机数法
- 除留余数法：取关键字被某个不大于散列表表长m的数p除后所得的余数为散列地址。即$hash(k)=k \,\bmod \,p$, $p\le m$。不仅可以对关键字直接取模，也可在折叠法、平方取中法等运算之后取模。对p的选择很重要，一般取素数或m，若p选择不好，容易产生冲突。

## 处理冲突

为了知道冲突产生的相同散列函数地址所对应的关键字，必须选用另外的散列函数，或者对冲突结果进行处理。而不发生冲突的可能性是非常之小的，所以通常对冲突进行处理。常用方法有以下几种：

- 开放定址法（open addressing）：$hash_i=(hash(key)+d_i) \,\bmod\, m$, $i=1,2...k\,(k \le m-1)$，其中$hash(key)$为散列函数，$m$为散列表长，$d_i$为增量序列，$i$为已发生冲突的次数。增量序列可有下列取法：

$d_i=1,2,3...(m-1)$称为线性探测（Linear Probing）；即$d_i=i$，或者为其他线性函数。相当于逐个探测存放地址的表，直到查找到一个空单元，把散列地址存放在该空单元。

$d_i=\pm 1^2, \pm 2^2,\pm 3^2...\pm k^2$ $(k \le m/2)$称为 平方探测(Quadratic Probing)。相对线性探测，相当于发生冲突时探测间隔$d_i=i^2$个单元的位置是否为空，如果为空，将地址存放进去。

$d_i=$伪随机数序列，称为 伪随机探测。

显示线性探测填装一个散列表的过程：

关键字为{89,18,49,58,69}插入到一个散列表中的情况。此时线性探测的方法是取$d_i=i$。并假定取关键字除以10的余数为散列函数法则。

散列地址｜空表｜插入89｜插入18｜插入49｜插入58｜插入69

0｜49｜49｜49

1｜58｜58

2｜69

3 4 5 6 7

8｜18｜18｜18｜18

9｜89｜89｜89｜89｜89

第一次冲突发生在填装49的时候。地址为9的单元已经填装了89这个关键字，所以取$i=1$，往下查找一个单位，发现为空，所以将49填装在地址为0的空单元。第二次冲突则发生在58上，取$i=3$，往下查找3个单位，将58填装在地址为1的空单元。69同理。

表的大小选取至关重要，此处选取10作为大小，发生冲突的几率就比选择质数11作为大小的可能性大。越是质数，mod取余就越可能均匀分布在表的各处。

聚集（Cluster，也翻译做“堆积”）的意思是，在函数地址的表中，散列函数的结果不均匀地占据表的单元，形成区块，造成线性探测产生一次聚集（primary clustering）和平方探测的二次聚集（secondary clustering），散列到区块中的任何关键字需要查找多次试选单元才能插入表中，解决冲突，造成时间浪费。对于开放定址法，聚集会造成性能的灾难性损失，是必须避免的。

- 单独链表法：将散列到同一个存储位置的所有元素保存在一个链表中。实现时，一种策略是散列表同一位置的所有冲突结果都是用栈存放的，新元素被插入到表的前端还是后端完全取决于怎样方便。
- 双散列。
- 再散列：$hash_i = hash_i (key)$, $i=1,2...k$。$hash_i$是一些散列函数。即在上次散列计算发生冲突时，利用该次冲突的散列函数地址产生新的散列函数地址，直到冲突不再发生。这种方法不易产生“聚集”（Cluster），但增加了计算时间。
- 建立一个公共溢出区。

## 例程

在C语言中，实现以上过程的简要程序：

```c
// HashTable
InitializeTable(int TableSize) {
    HashTable H;
    int i;
    // 為散列表分配空間
    // 有些编譯器不支持為struct HashTable 分配空間，聲稱這是一個不完全的結構。
    // 可使用一个指向HashTable的指針為之分配空間。
    // 如：sizeof(Probe)，Probe作为HashTable在typedef定義的指針。
    H = malloc(sizeof(struct HashTable));
    // 散列表大小为一个質数
    H->TableSize = Prime;
    // 分配表所有地址的空間
    H->Cells = malloc(sizeof(Cell) * H->TableSize);
    // 地址初始為空
    for (i = 0; i < H->TableSize; i++)
        H->Cells[i].info = Empty;
    return H;
}
```

查找空单元并插入：

```c
// Position
Find(ElementType Key, HashTable H) {
    Position Current;
    int CollisionNum;
    // 冲突次数初始为0
    // 通過表的大小對關鍵字進行處理
    CollisionNum = 0;
    Current = Hash( Key, H->TableSize );
    // 不為空時進行查詢
    while (H->Cells[Current].info != Empty &&
            H->Cells[Current].Element != Key) {
        Current = ++CollosionNum * ++CollisionNum;
        // 向下查找超過表範圍時回到表的開頭
        if (Current >= H->TableSize)
            Current -= H->TableSize;
    }
    return Current;
}
```

- 分离连接法

## 查找效率

散列表的查找过程基本上和造表过程相同。一些关键码可通过散列函数转换的地址直接找到，另一些关键码在散列函数得到的地址上产生了冲突，需要按处理冲突的方法进行查找。在介绍的三种处理冲突的方法中，产生冲突后的查找仍然是给定值与关键码进行比较的过程。所以，对散列表查找效率的量度，依然用平均查找长度来衡量。

查找过程中，关键码的比较次数，取决于产生冲突的多少，产生的冲突少，查找效率就高，产生的冲突多，查找效率就低。因此，影响产生冲突多少的因素，也就是影响查找效率的因素。影响产生冲突多少有以下三个因素：

- 散列函数是否均匀。
- 处理冲突的方法。
- 散列表的载荷因子（load factor）。

### 载荷因子

散列表的载荷因子定义为：$\alpha$ = 填入表中的元素个数 / 散列表的长度

$\alpha$是散列表装满程度的标志因子。由于表长是定值，$\alpha$与“填入表中的元素个数”成正比，所以，$\alpha$越大，表明填入表中的元素越多，产生冲突的可能性就越大；反之，$\alpha$越小，标明填入表中的元素越少，产生冲突的可能性就越小。实际上，散列表的平均查找长度是载荷因子$\alpha$的函数，只是不同处理冲突的方法有不同的函数。

对于开放定址法，荷载因子是特别重要因素，应严格限制在0.7-0.8以下。超过0.8，查表时的CPU缓存不命中（cache missing）按照指数曲线上升。因此，一些采用开放定址法的hash库，如Java的系统库限制了荷载因子为0.75，超过此值将resize散列表。

## 举例：Linux内核的bcache

Linux操作系统在物理文件系统与块设备驱动程序之间引入了“缓冲区缓存”（Buffer Cache，简称bcache）。当读写磁盘文件的数据，实际上都是对bcache操作，这大大提高了读写数据的速度。如果要读写的磁盘数据不在bcache中，即缓存不命中（miss），则把相应数据从磁盘加载到bcache中。一个缓存数据大小是与文件系统上一个逻辑块的大小相对应的（例如1KiB字节），在bcache中每个缓存数据块用`struct buffer_head`记载其元信息：

```c
struct buffer_head {
    char *b_data;               // 指向缓存的数据块的指针
    unsigned long b_blocknr;    // 逻辑块号
    unsigned short b_dev;       // 设备号
    unsigned char b_uptodate;   // 缓存中的数据是否是最新的
    unsigned char b_dirt;       // 缓存中数据是否为脏数据
    unsigned char b_count;      // 这个缓存块被引用的次数
    unsigned char b_lock;       // b_lock表示这个缓存块是否被加锁
    struct task_struct *b_wait; // 等待在这个缓存块上的进程
    struct buffer_head *b_prev; // 指向缓存中相同hash值的下一个缓存块
    struct buffer_head *b_next; // 指向缓存中相同hash值的上一个缓存块
    struct buffer_head *b_prev_free; // 缓存块空闲链表中指向下一个缓存块
    struct buffer_head *b_next_free; // 缓存块空闲链表中指向上一个缓存块
};
```

整个bcache以`struct buffer_head`为基本数据单元，组织为一个封闭定址（close addressing，即“单独链表法”解决冲突）的散列表`struct buffer_head * hash_table[NR_HASH];` 散列函数的输入关键字是b_blocknr（逻辑块号）与b_dev（设备号）。计算hash值的散列函数表达式为：

(b_dev ^ b_blocknr) % NR_HASH

其中NR_HASH是散列表的条目总数。发生“ 冲突”的`struct buffer_head`，以b_prev与b_next指针组成一个双向（不循环）链表。bcache中所有的`struct buffer_head`，包括使用中不空闲与未使用空闲的`struct buffer_head`，以b_prev_free和b_next_free指针组成一个双向循环链表free_list，其中未使用空闲的`struct buffer_head`放在该链表的前部。