希尔伯特空间

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在数学里，希尔伯特空间（Hilbert space）即完备的内积空间，也就是一个带有内积的完备向量空间。内积的构造推广了欧几里得空间的距离和角的概念；完备则确保了其上所有的柯西序列会收敛到此空间里的一点，从而微积分中的许多概念都可以推广到希尔伯特空间中。

希尔伯特空间为基于任意正交坐标系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。另外希尔伯特空间也是量子力学的重要数学基础之一。

## 简介

希尔伯特空间以大卫·希尔伯特的名字命名，他在对积分方程的研究中研究了希尔伯特空间。冯·诺伊曼在其1929年出版的关于无界自伴算子的著作中，最早使用了“希尔伯特空间”这个名词。冯·诺伊曼可能是最早清楚地认识到希尔伯特空间的重要性的数学家之一，他在进行对量子力学的基础性和创造性地研究的时候认识到了这一点。此项研究由冯·诺伊曼与希尔伯特和朗道展开，随后由尤金·维格纳（Eugene Wigner）继续深入。“希尔伯特空间”这个名字迅速被其他科学家所接受，例如在外尔1931年出版的著作《群与量子力学的理论》（The Theory of Groups and Quantum Mechanics）中就使用了这一名词。

一个抽象的希尔伯特空间中的元素往往被称为向量。在实际应用中，它可能代表了一列复数或是一个函数。例如在量子力学中，一个物理系统可以表示为一个复希尔伯特空间，其中的向量是描述系统可能状态的波函数。详细的资料可以参考量子力学的数学表述相关的内容。量子力学中由平面波和束缚态所构成的希尔伯特空间，一般被称为装备希尔伯特空间（rigged Hilbert space）

在所有的无穷维拓扑向量空间中，希尔伯特空间性质最好，也最接近有限维空间的情形。例如

- 酉群（unitary group）的表示论。
- 平方可积的随机过程理论。
- 偏微分方程的希尔伯特空间理论，特别是狄利克雷问题。
- 函数的谱分析及小波分析。
- 量子力学的数学描述。

傅立叶分析的一个重要目的是将一个给定的函数表示成一族给定的基底函数的和（可能是无穷和）。这个问题可以在希尔伯特空间中更抽象地描述为：任何一个希尔伯特空间都有一族标准正交基，而且每个希尔伯特空间中的元素都可以唯一地表示为这族基底中的元素或其倍数的和。

## 定义

若在复（或实）内积空间 $H$ 取值的柯西序列，都收敛于 $H$ 内的某个向量，那 $H$ 就被称为是希尔伯特空间，也就是说$H$ 是个复（或实）内积空间，若其上的向量序列 ${\{v_i \in H\}}_{i\in\N}$ 满足 （注意 $d(v,\,w):= \|v - w\| = \sqrt{\langle v - w,\,v - w \rangle}$，详请参见 内积空间#范数）

“对所有的正实数 $\epsilon > 0$，存在正整数 $n \in \N$ 使所有的正整数 $i,\,j \in \N$，只要有 $i,\,j > n$ 就有 $d(v_i,\,v_j) < \epsilon$”

就存在向量 $v \in H$，使得

“对所有的正实数 $\epsilon > 0$，存在正整数 $n \in \N$ 使所有的正整数 $i, \in \N$，只要有 $i > n$ 就有 $d(v_i,\,v) < \epsilon$”

这时称 $H$ 就被称为复（或实）希尔伯特空间（Hilbert space）。

## 例子

### 欧几里得空间

$\mathbb{C}^n$及其上的内积

$$\langle x, y \rangle = \sum_{k=1}^n \overline{x_k} y_k$$

构成了一个复希尔伯特空间（其中短横线表示一个复数的复共轭。），因为$\mathbb{C}^n$本身就是定义在域 $(\mathbb{C}^n, +, \times)$上的 $n$ 维向量空间，但有限维内积空间必完备，故 $\mathbb{C}^n$是个复希尔伯特空间。

### 序列空间

更一般的希尔伯特空间都是无穷维的，假设$B$是一个任意集合，可以定义其上的$\ell^2$序列空间，记为

$$\ell^2(B) =\left\{ x:B \rightarrow \mathbb{C}\,\bigg|\,\sum_{b \in B} \left|x \left(b\right)\right|^2 < \infty \right\}$$

此空间在定义如下内积后，成为一个希尔伯特空间：

$$\langle x, y \rangle = \sum_{b \in B} \overline{x(b)} y(b)$$

其中$x$和$y$是$\ell^2(B)$中的任意元素。在这个定义中，$B$并非一定要是可数的，在$B$不可数之情形下，$\ell^2(B)$不是可分（separable）的。在下面更具体的例子中，所有的希尔伯特空间在选定适当的$B$的情况下，都可以表示成为$\ell^2(B)$的一个同构空间。特别地，当$B = \mathbb(N)$的时候，可以将其简单记为$\ell^2$。

### 勒贝格空间

勒贝格空间( 这里指 $L^2(X)$ 空间 )是指定义在测度空间$(X, \mathcal{M}, \mu)$ 上的函数空间，其中$X$ 代表函数的定义域，$\mathcal{M}$ 的元素是 $X$上的子集族，为 一个 $\sigma$ 代数，一般把 $\mathcal{M}$ 称作可测空间(measurable space)，而 $\mu$ 是 $\mathcal{M}$ 上的测度。

更仔细的说，$L^2(X, \mu)$( 简写做 $L^2(X)$ ) 表示 $X$ 上所有平方可积（square-integrable）的复数值的可测函数的集合。平方可积表示该函数的绝对值的平方的积分是有限的。要注意的是在 $L^2(X)$ 空间里，对于几乎处处( almost everywhere )相同的函数，也就是说如果两函数只在一个测度为0的集合上不相等，我们把这两函数当做在 $L^2(X)$ 中相同的元素。

此时两个函数$f$和$g$的内积定义为

$$\langle f,g\rangle=\int_X \overline{f(t)} g(t) \ d \mu(t)$$

- 因为 $f,g\in L^2(X)$，所以这内积的定义没有问题。

但需要证明的是：

- 此空间在此内积下是完备的。

这个证明可以在相关的书籍中找到，与此例相关的内容可以参看关于$L^p$空间的著作。

### 索伯列夫空间

索伯列夫空间一般表示为$H^s$或者$W^{s, 2}$是希尔伯特空间的另一个重要实例，它多被应用于偏微分方程的研究。

## 基本性质

### 有限维必完备

证明若复内积空间 $V$ 为 $N$ 维，那根据格拉姆-施密特正交化，存在一列向量： : $\{e_1,\,e_2,\,\ldots,\,e_N\}$ 为 $V$ 的正交基底，现在假设 ${\{v_i \in V\}}_{i\in\N}$ 是柯西序列，换句话说： : “对所有的正实数 $\epsilon > 0$，存在正整数 $n \in \N$ 使所有的正整数 $i,\,j \in \N$，只要有 $i,\,j > n$ 就有 $d(v_i,\,v_j) < \epsilon$” 这样，对每个正整数 $i \in \N$ 存在唯一的一组复数 $z_{i1},\,z_{i2},\,\ldots,\,z_{iN} \in \C$ 使得 : $v_i = \sum^N_{k=1} z_{ik} \cdot e_k$ 这样根据内积空间的勾股定理有 : ${[d(v_i,\,v_j)]}^2 = \sum^N_{k=1} {|z_{ik} - z_{jk}|}^2 < \epsilon^2$ 取 $x_{ik} = \operatorname{Re}(z_{ik})$ 和 $y_{ik} = \operatorname{Im}(z_{ik})$，则有 : $\sum^N_{k=1} {|z_{ik} - z_{jk}|}^2 = \sum^N_{k=1}{|x_{ik} - x_{jk}|}^2 + \sum^N_{k=1} {|y_{ik} - y_{jk}|}^2< \epsilon^2$ 所以 : ${|x_{ik} - x_{jk}|} < \epsilon$ : ${|y_{ik} - y_{jk}|} < \epsilon$ 这样的话，对每个正整数 $k \in \N$，实数数列 ${\{x_{ik} \in \R\}}_{i \in \N}$ 和 ${\{y_{ik} \in \R\}}_{i \in \N}$ 是柯西数列，这样根据实数完备性，存在唯一的 $x_k \in \R$ 和 $y_k \in \R$ 使得 :$\lim_{i \to \infty} x_{ik} = x_k$ :$\lim_{i \to \infty} y_{ik} = y_k$ 那这样根据数列极限的定义，对每个正整数 $k \in \N$，和所有的正实数 $\epsilon > 0$，存在正整数 $n_1,\,n_2,\,\ldots,\,n_{2N} \in \N$ 使所有的正整数 $i \in \N$，只要有 $i > \max\{n_1,\,n_2,\,\ldots,\,n_{2N}\}$ 就有 :${|x_{ik} - x_k|} < \frac{\epsilon}{\sqrt{2N}}$ :${|y_{ik} - y_k|} < \frac{\epsilon}{\sqrt{2N}}$ 这样的话，取 $z_k = x_k + i y_k$ 和 $v = \sum^N_{k=1} z_k \cdot e_k$ 会有 : ${[d(v_i,\,v)]}^2 = \sum^N_{k=1}{|x_{ik} - x_k|}^2 + \sum^N_{k=1} {|y_{ik} - y_k|}^2< \epsilon^2$ 换句话说： :$\lim_{i \to \infty} v_i = v$ 这样就证明了 $V$ 里的柯西序列必然收敛于 $V$ 里的向量，故 $V$ 为希尔伯特空间。$\Box$

### 内积为连续函数

$H$ 是个复希尔伯特空间，$v \in H$ 为某向量则：

- 函数 $f(h) = \langle v, h \rangle \; ( h \in H )$ 为 $\tau_H$-$\tau_\R$ 连续
- 函数 $f(h) = \langle h, h \rangle \; (h \in H )$ 为 $\tau_H$-$\tau_\R$ 连续

证明

在希尔伯特空间 H 中，若序列 满足对任意的 v ∈ H, 都有

$$\lim_n \langle x_n, v \rangle = \langle x, v \rangle,$$

则称该序列弱收敛到向量 x ∈ H.

例如，任何正交序列 都弱收敛到 0. 此为贝塞尔不等式的结果。根据一致有界原理，每个弱收敛序列 都有界。

反之，希尔伯特空间中的每个有界序列，都有一个弱收敛子序列，此谓巴拿赫-阿拉奥卢定理。这可用作证明某些连续凸泛函的最小值的存在性，正如波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理适用于 ℝd 上的连续函数。一个较简单的结果是：

若 f : H → ℝ 为凸的连续函数，使得当 ‖x‖ 趋向于 时，就有 f(x) 趋向于，则 f 在某点 x0 ∈ H 取得最小值。

此个结论（并其若干推广）是变分法中直接法的基础。更抽象地说，凸泛函的最小值存在，也是因为希尔伯特空间 H 上的闭有界凸集均为弱紧集（因为 H 是自反空间）。弱收敛子序列的存在性是 Eberlein–Šmulian theorem 的特殊情况。

### 帕塞瓦尔恒等式（勾股定理）

在希尔伯特空间 H 中，若两支向量 u 和 v 满足 u,v = 0，则称它们正交，记为 u ⊥ v. 更一般地，若 S 是 H 的子集，则 u ⊥ S 表示 u 与 S 的每个元素都正交。

当 u 和 v 正交时，就有

$$\|u + v\|^2 = \langle u + v, u + v \rangle = \langle u, u \rangle + 2 \, \operatorname{Re} \langle u, v \rangle + \langle v, v \rangle= \|u\|^2 + \|v\|^2\,.$$

对 n 使用数学归纳法，上式可以推广到对任意 n 支正交向量 u1, ..., un 成立，即

$$\|u_1 + \cdots + u_n\|^2 = \|u_1\|^2 + \cdots + \|u_n\|^2\,.$$

毕达哥拉斯恒等式对每个内积空间都成立，但希尔伯特空间具有完备性，故此恒等式可推广到对级数成立。一列 正交 向量组成的级数 ∑uk 在 H 中收敛当且仅当各项范数平方组成的级数收敛，且此时

$$\left\|\sum_{k=0}^\infty u_k \right\|^2 = \sum_{k=0}^\infty \left\|u_k\right\|^2\,.$$

此外，正交向量的级数和与求和顺序无关。

### 平行四边形恒等式和极化恒等式

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由定义，每个希尔伯特空间都是巴拿赫空间。而在每个希尔伯特空间中，以下平行四边形恒等式成立:

$$\|u+v\|^2+\|u-v\|^2=2\left(\|u\|^2+\|v\|^2\right)\,.$$

反之，若一个巴拿赫空间满足平行四边形恒等式，则其亦为希尔伯特空间，因为它的内积可由极化恒等式唯一确定。对实希尔伯特空间，极化恒等式是

$$\langle u,v\rangle = \tfrac{1}{4}\left(\|u+v\|^2-\|u-v\|^2\right)\,.$$

而对复希尔伯特空间，其为

$$\langle u,v\rangle = \tfrac{1}{4}\left(\|u+v\|^2-\|u-v\|^2+i\|u+iv\|^2-i\|u-iv\|^2\right)\,.$$

由平行四边形恒等式，可以推出任何希尔伯特空间都是一致凸巴拿赫空间。

## 投影定理

### 最佳逼近

根据希尔伯特射影定理，若 C 是希尔伯特空间 H 的非空闭凸子集，x为 H 的任一点，则存在唯一的 y ∈ C 使其到 x 的距离是各个 C 中的点到 x 的距离中最小的，即

$$y \in C \,, \quad \|x - y\| = \operatorname{dist}(x, C) = \min \{ \|x - z\| : z \in C \}\,.$$

此等价于经平移的凸集 D = C − x 中有范数最小的元素。欲证之，可先证明对每个序列 (dn) ⊂ D，若各项范数趋向于D中范数的下确界，则其为柯西序列（利用平行四边形恒等式），故由完备性知其收敛到D 的某点。此结论对任意一致凸巴拿赫空间均适用。

当对 H 的闭子空间 F 应用此结论时，可以证明最靠近 x 的点 y ∈ F 满足

$$y \in F \,, \quad x - y \perp F \,.$$

该点 y 称为 x 到 F 上的 正交射影，而这给出的映射 PF : x ↦ y 是线性的。此结论于应用数学有用，而数值分析尤甚，因这结论是最小二乘法的基础。

特别到，当 F 不等于 H 时，可找到一支非零向量 v 与 F 正交（选 x ∉ F 并考虑 v = x − y）。由此得到一个有用的判定条件：

H 的子集 S 线性生成一个稠密的子空间当且仅当向量 0 是 H 中与 S 正交的唯一向量。

### 对偶性

对偶空间 H* 是所有由H 到其系数域的连续线性函数组成的空间。其具有一个自然的范数，由下式给出：

$$\|\varphi\| = \sup_{\|x\|=1, x\in H} |\varphi(x)| \,.$$

这满足平行四边形恒等式，故对偶空间亦为一个内积空间。同时它也是完备的，所以希尔伯特空间的对偶空间也是希尔伯特空间。

里斯表示定理 描述了这个对偶空间。对每个 H 的元素 u， H* 中有唯一的 φu 满足

$$\varphi_u(x) = \langle x,u\rangle \,.$$

则 u ↦ φu 是从 H 到 H* 的反线性映射。里斯表示定理说此映射是个反线性同构。所以对每个 H* 的元素 φ，都存在唯一的 uφ ∈ H 使得

$$\langle x, u_\varphi\rangle = \varphi(x)$$

对任意 x ∈ H 都成立。对偶空间 H* 上的内积满足

$$\langle \varphi, \psi \rangle = \langle u_\psi, u_\varphi \rangle \,.$$

注意右边的次序反转了，才使 uφ 的反线性变回上述内积对 φ 的线性。当 H 是实希尔伯特空间时，从 H 到其对偶的反线性同构实际上是一般的同构，所以实希尔伯特空间自然地与其对偶同构。

表示 φ 的向量 uφ 可藉下列方法找到。当 φ ≠ 0 时，核 F = Ker(φ) 是 H 的闭子空间，且不等于 H，故存在非零向量 v 与 F 正交。取向量 u 为 v 的纯量倍 λv，于是条件 φ(v) = ⟨v,u⟩ 给出

$$u = \langle v, v \rangle^{-1} \, \overline{\varphi (v)} \, v \,.$$

物理学上广泛应用的狄拉克符号正利用了φ ↔ u 的对应关系。物理学家通常约定，内积 x 对右边的算子线性，即

$$\langle x| y \rangle = \langle y, x \rangle \,.$$

于是 x 可以视为线性泛函 x （称为 左矢）作用在向量 y （称为 右矢）的结果。

里斯表示定理要求空间的完备性。事实上，从定理可知任意内积空间的拓扑对偶都与其完备化空间同构。作为里斯表示定理的直接推论，希尔伯特空间 H 是 自反空间, 即由 H 到其对偶之对偶的自然映射是同构。

## 希尔伯特空间的基

希尔伯特空间的一个中间概念是标准正交基，即其上的一族函数$\{e_k\}_{k \in B}$满足：

- 所有元素都是单位化的：即对于任意$x$，$\Vert e_k \Vert = 1$，$\forall k \in B$。
- 所有元素彼此正交：若$x$和$y$是这族基中的不同元素，那么$<x, y> = 0$。
- 其线性扩张稠密：即其中的所有元素的有限的线性组合是$H$的一个稠密子集。

有时也使用标准正交列或标准正交集指代。

标准正交基的一些实例：

- 集合（$\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$）

## 希尔伯特空间的相互作用

给定任意两个（或更多）希尔伯特空间，利用直和或张量积的方式，可以给出一个更大的希尔伯特空间。

## 请参见

- 完备的度量空间或完备的距离空间
- 完备的赋范空间
- n维欧几里得空间