CW复形

CW复形，又称胞腔复形，在拓扑学上属于拓扑空间之一类，由J.H.C.怀特海德引入，用于同伦理论。其思想是构造一类空间，比单纯复形更为广泛（我们现在可以说，有更好的范畴论属性）；但还要保留组合的本质，因此计算方面的考虑没有被忽略。

## 形式表述

粗略地说，CW复形由称作胞腔的基本元件组成。其精确定义规定胞腔如何在拓扑意义上“粘合”。CW复形名称中的“C”代表“闭有限”（closure-finite），而“W”则代表“弱拓扑”（weak topology）。

单个 $n$ 维闭胞腔是指 $n$ 维闭球在贴映射下的像。例如，每个单纯形都是一个闭胞腔，或更一般地，每个凸多面体都是一个闭胞腔。单个 $n$ 维开胞腔则是一个同胚于 $n$ 维开球的拓扑空间。零维的开（或闭）胞腔是指一个单元素空间。而“闭有限”条件要求每个闭胞腔都可由有限个开胞腔所覆盖。

CW复形是一个豪斯多夫空间 $X$，连同一个将 $X$ 划为开胞腔（维度不必统一）的划分，并满足以下性质：

- 对 $X$ 的划分中的任意一个 $n$ 维开胞腔 $C$，存在一个从 $n$ 维闭球到 $X$ 的连续映射 $f$，使得：
- $f$ 限制在闭球的内部上是到胞腔 $C$ 的同胚，且
- 闭球的边界在 $f$ 下的像包含于 $X$ 的划分中的有限个维度小于 $n$ 的元素的并集内。
- $X$ 的闭子集即是与每一个开胞腔交于闭集（相对于开胞腔本身的拓扑）的集合（$X$ 的拓扑为所有开胞腔的并的弱拓扑）。

### 相对CW复形

笼统地说，相对CW复形与CW复形的区别在于它容许一个额外的、不须带有任何胞腔结构的组件。遵照上文的定义，这个组件被视作负一维胞腔。

## CW复形的归纳法定义

如果一个CW复形中胞腔的维度最大为 $n$，那么我们称这个CW复形是 $n$ 维的。若胞腔的维度没有上限，那么我们说这个CW复形是无穷维的。CW复形的 $n$ 维骨架是指所有维度不超过 $n$ 的胞腔的并。如果这个并集是闭集，那么它本身就是一个CW复形，称为原复形的子复形。因此，CW复形的 $n$ 维骨架是维度不超过 $n$ 的最大子复形。

CW复形常常由其各个维度上的骨架通过归纳来定义。首先定义0维骨架为离散空间。紧接着将1维胞腔黏着到0维骨架上。这一步先将每个1维胞腔先视作1维闭球，然后通过某个从这个闭球的边界——即0维球面 $S^0$ ——到0维骨架的连续影射贴合。$S^0$ 上的每一点都与其在该映射下的像与0维骨架上的某一点等同；这构成一个等价关系。如此，1维骨架就定义成0维骨架和所有1维胞腔的并、再模去此等价关系后的商空间。

概括而言，给定 $(n-1)$ 维骨架，$n$ 维骨架是由在此基础上黏着 $n$ 维胞腔得到。每个 $n$ 维胞腔同样先视作 $n$ 维闭球，然后通过某个从这个闭球的边界——即 $(n-1)$ 维球面 $S^{n-1}$ ——到 $(n-1)$ 维骨架的连续影射贴合。$S^{n-1}$ 上的每一点都与其在该映射下的像与 $(n-1)$ 维骨架上的某一点等同；这同样构成一个等价关系。这样，$n$ 维骨架就定义成 $(n-1)$ 维骨架和所有 $n$ 维胞腔的并、再模去此等价关系后的商空间。

在同构意义上，每个 $n$ 维CW复形都可依此由其 $(n-1)$ 维骨架构造而成，因此每个有限维CW复形都能按以上方法构造。甚至对于无穷维CW复形也成立，只要借助拓扑空间的归纳极限来描述以上无穷过程的结果，这个结论也是对的：在极限的集合 $X$ 中，子集是闭集当且仅当它与每一个骨架都交于闭集（相对于骨架本身的拓扑）。

## 例子

- 实数集 $\mathbb R$ 上的标准CW结构中的0维骨架为整数集 $\mathbb Z$，而1维胞腔则是区间 $\{ [n,n+1] : n \in \mathbb Z\}$。相似地，在 $\mathbb R^n$ 上的标准CW结构中的胞腔是 $\mathbb R$ 的0维和1维胞腔的积。
- 多面体带有自然的CW复形结构。
- 图是一维CW复形。
- 无穷维希尔伯特空间不是CW复形：它是一个贝尔空间（见贝尔纲定理），因此不能写成其 $n$ 维骨架的并，因每个骨架都是闭集且内部为空。这个论证也可引申到许多无穷维空间。
- $n$ 维球面容许一个只有两个胞腔的CW结构：一个0维胞腔和一个 $n$ 维胞腔，依靠从 $S^{n-1}$ 到0维胞腔的常映射黏着。另外一个替代的胞腔分解也很受欢迎，因赤道包含映射 $S^{n-1} \to S^n$ 的补集恰好是两个球：上半球和下半球。由归纳法可得 $S^n$ 的一个CW分解，每个维度 $0 \leq k \leq n$ 上恰好有两个 $k$ 维胞腔。
- $n$ 维实射影空间容许一个CW结构，每个维度 $0 \leq k \leq n$ 上恰好有一个 $k$ 维胞腔。
- 格拉斯曼流形容许一个CW结构，其胞腔称作舒伯特胞腔.
- 微分流形、代数和射影簇都同伦于CW复形。
- 空间 $\{re^{2\pi i \theta} : 0 \leq r \leq 1, \theta \in \mathbb Q\} \subset \mathbb C$ 同伦于CW复形（甚至是可收缩的），但不容许任何CW结构，因其不是局部可收缩的。
- 夏威夷耳环是不同伦于CW的拓扑空间的一例。

## CW复形的同调与上同调

CW复形的奇异同调（或上同调）可以通过胞腔同调计算。此外，在CW复形和胞腔映射的范畴内，胞腔同调可以解读成一种同调论。如要计算CW复形的广义（上）同调，阿提亚-希策布鲁赫谱序列是胞腔同调的一个类比。

以下是一些计算的实例：

- 对于球面 $S^n$，取只带有一个0维胞腔和一个 $n$ 维胞腔的分解。胞腔链复形 $C_*$ 与同调皆为

$$H_k = C_k = \left\{ \begin{array}{lr} \mathbb Z & k \in \{0,n\} \\ 0 & k \notin \{0,n\} \end{array} \right.$$

因为所有微分算子皆为零（实际上，上链复形与上同调亦然）。或者，如果我们取赤道分解，使得每个维度上各有两个胞腔，那么

$$C_k = \left\{ \begin{array}{lr} \mathbb Z^2 & 0 \leq k \leq n \\ 0 & \text{otherwise} \end{array} \right.$$

而微分算子是形为 $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}$ 的矩阵。这个复形给出的同调与以上计算一致，因为复形在除 $C_0$ 与 $C_n$ 项外都是正合的。

- 对于复射影空间 $\mathbb{P}^n\mathbb{C}$，可以相似地算得

$$H^k(\mathbb{P}^n\mathbb{C}) = \begin{cases} <pre> \mathbb{Z} \quad\text{for } 0\le k\le 2n,\text{even}\\ 0 \quad\text{otherwise}. </pre> \end{cases}$$

之所以这两例中计算都尤其简单，是因为同调完全由胞腔数目确定——换言之，胞腔的黏着映射在计算中没有扮演任何角色。这个现象只是特例，在一般情况下并不成立。

## 同伦范畴

在某些专家眼中，CW复形的同伦范畴即使不是唯一的同伦范畴（基于技术原因，实际使用的版本是带基点的空间），也是同伦范畴的最佳候选。因此，可能会得出非CW复形的空间的辅助构造需尽量避免。在这方面的基本结论是布朗可表性定理：同伦范畴上的可表函子可以借助CW复形来相当精简地刻画。

## 性质

- CW复形是局部可收缩的。
- CW复形满足怀特黑德定理：CW复形之间的映射是同伦等价当且仅当在所有同伦群上都诱导出同构。
- 两个CW复形的积可以转化成一个CW复形。具体而言，设 $X$ 和 $Y$ 为CW复形，那么 $X\times Y$ 上容许一个CW复形的结构，其胞腔即 $X$ 中的胞腔与 $Y$ 中胞腔的积，并配备弱拓扑。不出所料，这个新的CW复形的底集合就是 $X\times Y$ 本身。此外，多数情况下弱拓扑与 $X\times Y$ 上的积拓扑一致，例如当 $X$ 或 $Y$ 之一是有限CW复形（或更一般地，当它们之一是局部有限的，也即在每个维度它有有限个胞腔）。然而，如果 $X$ 和 $Y$ 皆非局部紧，弱拓扑可能比积拓扑更精细。在这种不利的情形下，两个复形的积（作为拓扑空间） $X\times Y$ 不是一个CW复形。另一方面，$X$ 和 $Y$ 在紧生成空间范畴中的积的拓扑与弱拓扑一致，因此确实定义出一个CW复形。
- 设 $X$ 和 $Y$ 为CW复形。函数空间 $\operatorname{Hom}(X,Y)$ （带紧致开拓扑）一般不是CW复形。若 $X$ 是有限CW复形，那么 $\operatorname{Hom}(X,Y)$ 同伦等价于一个CW复形；这是由于约翰·米尔诺的一个定理 (1959)。注意到 $X$ 和 $Y$ 都是紧生成豪斯多夫空间，因此 $\operatorname{Hom}(X,Y)$ 常常取其紧生成的变种；以上结论对于这个变种仍然成立。
- CW复形的覆叠空间也是CW复形。
- CW复形是仿紧空间，而有限CW复形是紧空间。CW复形的紧子空间必定包含于一有限子复形内。