动量

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在古典力学里，动量（momentum，p）被量化为物体的质量和速度的乘积（$\mathbf{p} = m \mathbf{v}.$）。例如，一辆快速移动的重型卡车拥有很大的动量。若要使这重型卡车从零速度加速到移动速度，则需要使到很大的作用力；若要使重型卡车从移动速度减速到零，则也需要使到很大的作用力；若卡车轻一点或移动速度慢一点，则它的动量也会小一点。

动量在国际单位制中的单位为kg·m/s。有关动量的更精确的量度的内容，请参见本页的动量的现代定义部分。

一般而言，一个物体的动量指的是这个物体在它运动方向上保持运动的趋势。动量实际上是牛顿第一定律的一个推论。动量是个向量，其方向与速度方向相同。动量同时也是一个守恒量，这表示为在一个封闭系统内动量的总和不可改变。在经典力学中，动量守恒暗含在牛顿定律中，但在狭义相对论中依然成立，（广义）动量在电动力学、量子力学、量子场论、广义相对论中也成立。

勒内·笛卡儿认为宇宙中总的“运动的量”是保持守恒的，这里所说的“运动的量”被理解为“物体大小和速度的乘积”——但这不宜被解读为现代动量定律的表达方式，因为笛卡尔并没有把“质量”这个概念与物体“重量”和“大小”之间的关系区分开来，更重要的是他认为速率（标量）而不是速度（向量）是守恒的。因此对于笛卡儿来说：一个移动的物体从另一个表面弹回来的时候，该物体的方向发生了改变但速率没有发生改变，运动的量应该没有发生改变。

## 古典力学中的动量

物体在任何一个参考系中运动时，它都具有在该参考系中的动量。需要注意的是，动量是一个参考系决定量。也就是说，同一个物体在一个参考系中具有确定的动量，但在另一个参考系中却有可能具有不同的动量。

物体动量的数值取决于两个物理量的数值：运动物体在参考系中的质量与速度。在物理学中，动量以小写的$\mathbf{p}$（黑体代表$\mathbf{p}$是一个向量）表示，动量的定义如下：

$$\mathbf{p} = m\mathbf{v}$$

动量对时间的一阶导数的定义如下：

$${\frac {\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d}t}} = \frac {\mathrm{d} (m\mathbf{v})}{\mathrm{d}t} = m \frac {\mathrm{d} \mathbf{v}}{\mathrm{d}t}+v \frac {\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}$$

其中p为动量，t为时间，d为微分算符。

当物体在运动中质量不变的情形下，$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}=0$，此时，可以将动量对时间的一阶导数简写作

$${\frac {\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d}t}} = m \frac {\mathrm{d} \mathbf{v}}{\mathrm{d}t}$$

一个物体的速度包括了该物体的速率与运动方向。因为动量由速度决定，所以动量也具有数量与方向，是一个空间向量。例如，要表示出5 kg的保龄球的动量的话，可以以它有以2m/s的速率向西运动的状态来说明；但是，只认为该保龄球具有10 kg·m/s的动量的想法是不全面的，因为没有表示出它的运动方向。

### 定理

动量定理指出：

物体所受合力的冲量等于物体的动量变化。

$$\sum \mathbf{I} = \Delta \mathbf{p}$$

### 推导

设一个质量为m的物体，初速度为v，那么初动量为p=mv,在合力F的作用下，经过一段时间t速度变为$v^'$，末动量则变为$p^'=mv^'$。物体的加速度为$a= \frac{v^'-v}{t}$。由牛顿第二定律$F=ma= \frac{mv^'-mv}{t}$可得$Ft=mv^'-mv$，即$Ft=p^'-p$。在动量定理的推导过程中，我们假定合力F是恒定的，但是在实际生活当中要比这个复杂的多。如用球拍击打球或是用脚踢踢球时作用力就不是恒定的。但可以证明，动量定理不但适用于恒力，也可以随时间而变化的变力，对于变力的情况，动量定理中的F应理解为在作用时间内的平均值。此时作用力$\mathbf{F}= \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}$ 也称作动量的变化率。

## 碰撞中的动量守恒

动量具有一个特殊属性：只要是在一个封闭系统中，它总会保持恒定，即使是物体碰撞发生时。而对动能而言，非弹性碰撞的物体的动能将不会守恒。因此，当碰撞过后可利用动量守恒来计算未知速度。

在物理学上，这个特殊属性被用来来解决两个相碰物体的问题。因为动量始终保持恒定，碰撞前动量的总和一定与碰撞后动量的总和相等：

$$m_1 \mathbf{v}_{1\text{i}} + m_2 \mathbf{v}_{2\text{i}} = m_1 \mathbf{v}_{1\text{f}} + m_2 \mathbf{v}_{2\text{f}}$$

其中，i表示碰撞前的初量，f表示碰撞后的末量。要注意的是此时$\mathbf{v}$为向量。

通常来说，我们只需知道碰撞前（或碰撞后）物体的速度便可计算出碰撞后（或碰撞前）物体的速度。碰撞有两种类型，两种类型中动量都守恒：

- 弹性碰撞中，动能保持恒定。
- 非弹性碰撞中，动能不保持恒定

## 弹性碰撞

弹性碰撞的一个较好的例子是两个台球之间的碰撞。当两个球相碰时，除了动量保持恒定外，碰撞前后动能的总和也将保持不变：

$$\frac{1}{2} m_1 v_{1\text{i}}^2 <pre> + \frac{1}{2} m_2 v_{2\text{i}}^2 = \frac{1}{2} m_1 v_{1\text{f}}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2\text{f}}^2$$

因为每个因式中都含有系数$\frac{1}{2}$，所以亦可将该系数移除。

### 正向碰撞（一维）

正碰即对心碰撞（head on collision），两物体沿着一条直线碰撞后仍沿原来直线运动，属于弹性碰撞中的一种。

- 遵循动量守恒

$$m_1 v_{1\text{i}} + m_2 v_{2\text{i}} = m_1 v_{1\text{f}} + m_2 v_{2\text{f}}$$

- 遵循能量守恒

$$\frac{1}{2}m_1v_{1\text{i}}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2\text{i}}^2 = \frac{1}{2}m_1v_{1\text{f}}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2\text{f}}^2$$

联立两方程式可得出，两物体最终速度

$$v_{1\text{f}} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_{1\text{i}} + \frac{2 m_2}{m_1 + m_2}v_{2\text{i}}$$

$$v_{2\text{f}} = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} v_{1\text{i}} + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} v_{2\text{i}}$$

### 斜向碰撞（二维）

可以分别以$x$方向以及$y$方向的动量守恒决定出碰撞前后的速度关系。

## 动量守恒定律

动量是守恒量。动量守恒定律表示为：一个系统不受外力或者所受外力之和为零，这个系统中所有物体的总动量保持不变。它的一个推论为：在没有外力干预的情况下，任何系统的质心都将保持匀速直线运动或静止状态不变。动量守恒定律可由机械能对空间平移对称性推出。

在隔离系统（不存在外力）中总动量将是一个守恒量，这暗含在牛顿运动第一定律之中。

因为动量是向量，所以子弹从起先静止的枪中射出后，尽管子弹和枪都在运动，但由于子弹的动量与枪的动量等值反向，它们相互抵消，使得子弹与枪形成的系统中动量的总和依然为零。

若有系统外合（净）力为零，则系统内各质点相互作用力亦为零（可视为牛顿第三定律，作用力反作用力原理），故动量变化为零，所以动量守恒。动量守恒定律具有普适性，适用于宏观、微观系统，参考系。

## 动量的现代定义

### 相对论力学中的动量

在相对论力学中，动量被定义为：

$$\mathbf{p} = \gamma m\mathbf{u}$$

其中：

- $m$表示运动物体的静止质量。
- $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2/c^2}}$。
- u表示物体与观察者之间的相对速度。
- c表示光速。

当物体在低速极限（u/c -> 0）下运动时，相对论力学的动量式可变化为牛顿力学的动量式：$m\mathbf{u}$。

阿尔伯特·爱因斯坦由洛伦兹变换下的四维矢量守恒发展提出了相对论的四维动量。其中四维矢量可从量子场论使用格林函数自然导出。四维动量被定义为：

$$\left( {E \over c} , p_x , p_y ,p_z \right)$$

其中，$p_x$表示相对论动量的$x$分量，$E$表示系统的总能量：

$$E = \gamma mc^2 \;$$

令速度等于零，可得到一个物体的静止质量和能量之间的关系E=mc²。

矢量的“长度”保持恒定被定义为：

$$\mathbf{p} \cdot \mathbf{p} - E^2/c^2$$

#### 无静止质量物体的动量

无静止质量物体，譬如光子亦有动量。计算的公式为：

$$p = \frac{h}{\lambda} = \frac{E}{c}$$

其中

$h$表示普朗克常量。

$\lambda$表示光子的波长。

$E$表示光子的能量。

$c$表示光速。

#### 动量的普适性

动量是平移守恒的诺特荷。因此，甚至连场也与其他物质一样具有动量，而不止是粒子。但是，在弯曲时空（非闵可夫斯基式）中，动量根本没有被定义。

### 量子力学中的动量

在量子力学中，动量被定义为波函数的一个算符。海森堡不确定性原理定义了单一观测系统中一次测定动量和位置的精确极限。在量子力学中，动量与位置是一对共轭物理量。

对单个不带电荷且没有自旋的粒子来说，动量算符可被写作：

$$\mathbf{\hat p}={\hbar\over i}\nabla=-i\hbar\nabla$$

其中，$\nabla$表示梯度算符。这是动量算符的一个普通形式，而非最普遍的一个。

### 电磁学中的动量守恒

当电场和/或磁场移动时，它们带有动量。电磁波（可见光、紫外线、无线电波等）也有动量，即使是没有静止质量的光子，也同样带有动量。这被应用在诸如太阳帆上。

## 参看条目

- 角动量
- 守恒定律
- 牛顿摆