欧姆定律

在电路学里，欧姆定律（Ohm's law）表明：定温下，电导体两端的电压 $V$与通过电导体的电流 $I$ 成正比。数学表达式为：

$$V \propto I$$

因此，对于任意电导体（电路、电路元件、甚至电阻器），电阻 $R$ 可定义为此正比关系的比例常数：

$$R\ \stackrel{def}{=}\ \frac{V}{I}$$

且可得到下列方程式：

$$V=I*R$$

不论电流、电压为何，电阻定义均为电压除以电流。此外，任何电导体都有电阻，即使超导体在一般温度下也具有微小的电阻。

然而并不是每一种元件都遵守欧姆定律，此定律是经过多次实验而推断的法则，只有在理想状况下，才会成立。凡是遵守欧姆定律的元件或电路都称为“欧姆元件”或“欧姆电路”或“欧姆式导体”，其电阻与电流、电压的变动无关；不遵守欧姆定律的元件或电路称为“非欧姆元件”或“非欧姆电路”或“非欧姆式导体”，其电阻可能会与电流、电压的变动有关。

欧姆定律是因德国物理学家格奥尔格·欧姆命名。于1827年，在他发表的一本通论《直流电路的数学研究》（The galvanic Circuit investigated mathematically）里，他详细的论述简单电路两端的电压与流动于电路的电流之间的关系。他所论述的关系比较复杂，稍后会有更详细说明。上述方程式乃是欧姆定律的现代版本。

对于电阻物质或导电物质，欧姆定律可以推广为：

$$\mathbf{E} = \rho \mathbf{J}$$

$$\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$$

其中，$\mathbf{E}$是电场，$\mathbf{J}$是物质的电流密度，$\rho$是物质的电阻率，$\sigma=1/\rho$是物质的电导率。

遵守欧姆定律的物质，称为“欧姆物质”，其电阻率$\rho$和电导率$\sigma$与电流密度、电场无关。

## 历史

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早于1753年，意大利物理学家乔凡尼·贝卡立亚就在研究物质的导电性质。他在电路里加装了盛满了水的玻璃管。当开启电路后，发现玻璃管的截面面积越大，电流的放电强度越大。

英国物理学家亨利·卡文迪什也曾做过很多实验，研究电动势、电流、电阻之间的关系。他使用莱顿瓶为电流源，将电流通过在各种尺寸的玻璃试管里盛装的盐溶液，靠着调整盐溶液的高度，他可以控制放电强度。卡文迪什把自己身体当作一台生理检流计，从亲身体验被电击后的感觉，来估计电流的放电强度。他又选择出一个装满盐溶液的玻璃试管为标准，然后比较标准放电与试样放电，按照放电强度的大小来估计它们的电阻。这样，他可以定量地描述每一种试样。于1781年1月，他记录在笔记里，电流与电动势成正比。但是，他并没有将这些珍贵的实验结果告诉任何科学家。一直到马克士威于1879年替他编辑注释为著作《卡文迪什的电学研究》（The electrical researches of the Honourable Henry Cavendish）后，才见诸世面。注意到卡文迪什使用的仪器相当原始粗陋，靠身体感觉很难做出精准的测量，莱顿瓶并不是稳定电流源。所以，学术界认为这耽搁了近百年的实验结果并不足以证实欧姆定律。

从1825年到1826年之间，欧姆做了很多关于电阻的实验。于1827年，他将得到的结果一同发表在著作《直流电路的数学研究》（The galvanic Circuit investigated mathematically）里。他从傅立叶对于热传导的研究得到了相当多的灵感，借用了很多傅立叶的点子来论述自己的结果。

欧姆是一位优秀的实验者，很会设计与制造实验设备，又具有精湛的数学修养与严谨的敬业态度。刚开始，他使用伏打电堆为电源，用安装于扭秤（torsion balance）的磁针来测量电流的磁场力。载流导线的电流所产生的磁场与电流成正比，只要测量在载流导线附近的磁针所感受到的磁场力，就可以知道电流。他将电流通过不同长度的检验电线；由于长度不同，电阻也不同。欧姆仔细分析实验结果，得到经验方程式

$$\Delta I=m \ln\left(1+\frac{x}{a}\right)$$

其中，$\Delta I$是检验电线造成的电流差值，$m$是跟实验参数有关的系数，$x$是检验电线的长度，$a$是跟固定长度的载流导线有关的常数。

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欧姆很快地就觉得这方程式不太对劲。大约三年前，汤玛斯·泽贝克发明使用热电偶为电源。这种电源比伏打电源稳定。采纳《物理与化学年鉴》的总编辑约翰·波根多夫（Johann poggendorff）的建议，欧姆改用热电偶为电源，将实验重做一遍，得到经验方程式：

$$X= \frac{a}{b + x}$$

其中，$X$是扭秤读值，$a$是跟电动势有关的常数，$b$是跟内部电阻有关的常数，$x$是检验电线的长度。

仔细诠释这些变量，将$X$、$a$、$b$、$x$分别诠释为电流$I$、电压$V$、内部电阻$r$、检验电阻$R_x$，那么，假定总电阻$R$为$r + R_x$则经验方程式变为欧姆定律的现代方程式版本：

$$I= \frac{V}{R}$$

欧姆定律可能是早期电学史最重要的定量理论。但是，当欧姆最初发表他的结果时，很多学术界同仁都激烈地批评反对他的理论。德国教育部长指责：“鼓吹这种异端邪说的教授不配教导科学。”物理教授格奥尔格·魄尔（Georg Pohl）这样批评欧姆的著作：“以崇高眼光仰看这世界的人士，必须远离这本无可救药、妄生穿凿的谬书，其唯一目的乃是彻底诋毁大自然的尊严。”。那时候，德国正盛行的黑格尔哲学认为，因为大自然井井有序，而且只要经过合理推论就可获得科学真理，所以，并不需要靠做实验来了解大自然。欧姆的实验方法可能引起了黑格尔门徒的强烈反感。

1839年，法国物理学家，克劳德·普雷特（Claude Pouillet）确定欧姆的实验结果。同时，欧姆成为柏林科学院的院士。在英国，查尔斯·惠斯通又重新核对了欧姆的实验结果。1841年，欧姆被选为皇家学会的外籍会员。1852年，欧姆荣膺为慕尼黑大学的物理学系主任。

于1920年，物理学家发现，通过理想电阻器的电流会出现统计涨落，虽然当电压和电阻为常数时，统计涨落会跟温度有关。这种涨落称为詹森-奈奎斯特噪音（Johnson–Nyquist noise），是因为电荷的离散秉性而产生的现像。这热效应意味着，假若取样的时间间隔足够短暂，电流或电压的测值，其比例跟时间平均比例或系综平均（ensemble average）比例相比较，会出现涨落；也就是说，每一个电阻$R$的取样值，跟$R$的时间平均或系综平均相比较，会出现涨落。对于普通电阻物质案例，经过平均程序后，欧姆定律仍旧正确无误。

欧姆对于电阻的研究在马克士威方程组出现之前很久，那时科学家对于交流电路的频率相关效应也不了解。但是，在适当范围内，现代电磁理论与现代电路理论并没有发现任何与欧姆定律相悖之处。

## 水力学类比

欧姆定律可以用水力学类比（hydraulic analogy）来描述。测量单位为帕斯卡的水压，可以类比为电压。在一根水管里，由于任意两点之间的水压差会造成水流，水的流速（单位是升每秒），可以类比为电流（单位是库仑每秒）。“流量限制器”是安装于水管与水管之间控制流量的阀门，可以类比为电阻器。通过流量限制器的水流流量，跟流量限制器两端的水压成正比，类似地，通过电阻器的电荷流量（电流），跟电阻器两端的电压成正比。这正是欧姆定律的论述。

流体流动网络的流量和流压可以用水力学类比方法来计算。这方法可以应用于稳定流和暂态流（transient flow）。对于线性层流，泊肃叶定律（Poiseuille's law）描述水管的水阻，但是对于湍流，流压-流量关系变为非线性。

## 热力学类比

设定电导体的电导率与两端的电压，欧姆定律可以预测出通过这电导体的电流密度。类似地，设定热导体的热导率与两端的温差，约瑟夫·傅立叶的热传导定律可以预测通过这热导体的热流。同样的方程式形式可以描述这两种现象。对于每一种案例，方程式的变量有不同的意义。具体而言，欧姆定律的方程式为：

$$\mathbf{J}= - \sigma \nabla V$$

而热传导定律的方程式为：

$$\boldsymbol{\Gamma}= - k \nabla T$$

其中，$\boldsymbol{\Gamma}$是热通量（heat flux），$k$是导热体的热导率，$T$是温度。

思考参数为温度、热导率与热通量的热传导问体，和参数为电压、电导率与电流密度的电传导问体。这两个问题相互等价。假若能够解析一个热传导问体，则也能够解析电传导问题；反之亦然。

## 电路分析

在电路学里，电阻器（欧姆电阻器）是一种电路元件，其电阻与电压、电流无关。电阻器可以按照欧姆定律阻抗电荷的通过。每一个电阻器都有其设计制成的电阻$R$。更严格地说，电阻器是在某操作域内遵守欧姆定律的电路元件；欧姆定律和唯一电阻值足够描述这元件在相关操作域的行为。

### 串联电阻电路

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串联电阻的总电阻等于各个电阻之和，以方程式表示。

$$R_\mathrm{total} = R_1 + R_2 + \cdots + R_n$$

其中，$R_n$是第$n$个电阻，$R_\mathrm{total}$是总电阻。

假设在电路两端的电压为$V$，则通过的电流为$I = {V}/{R_{total}}$。假设每一个电阻器都遵守欧姆定律，则这电路是电阻为$R_\mathrm{total}$的欧姆电路。

### 并联电阻电路

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相互并联的电阻，其总电阻的倒数等于其每个电阻的倒数和，以方程式表示：

$${1 \over R_\mathrm{total}} = {1 \over R_{1}} + {1 \over R_{2}} + \cdots + {1 \over R_{n}}$$

假设在电路两端的电压为$V$，则通过的电流为$I = {V}/{R_{total}}$。假设每一个电阻器都遵守欧姆定律，则这电路是电阻为$R_\mathrm{total}$的欧姆电路。

### 周期性激发

电容器、电感器、传输线等等，都是电路的电抗元件。假设施加周期性电压或周期性电流于含有电抗元件的电路，则电压与电流之间的关系式变成微分方程式。因为欧姆定律的方程式只涉及实值的电阻，不涉及可能含有电容或电感的复值阻抗，所以，前面阐述的欧姆定律不能直接应用于这状况。

最基本的周期性激发，像正弦激发或余弦激发，都可以用指数函数来表达：

$$\sin{\omega t} =\frac{1}{2j}(e^{j\omega t} - e^{ - j\omega t})$$

$$\cos{\omega t} =\frac{1}{2}(e^{j\omega t} + e^{ - j\omega t})$$

其中，$j$是虚数单位，$\omega$是实值角频率，$t$是时间。

假设周期性激发为单频率正弦激发，其角频率为$\omega$。电阻为$R$的电阻器，其阻抗${Z}$为：

$${Z} =R$$

电感为$L$的电感器，其阻抗为：

$${Z} = j\omega L$$

电容为$C$的电容器，其阻抗为：

$${Z} =1/ j\omega C$$

电压${V}$与电流${I}$的关系式为：

$${V} = {I} {Z}$$

注意到将阻抗${Z}$替代电阻$R$，就可以得到这欧姆定律方程式的推广。只有${Z}$的实值部分会造成热能的耗散。

对于这系统，电流和电压的复值波形式分别为：

$${I} ={I}_0 e^{j\omega t}$$

$${V} ={V}_0 e^{j\omega t}$$

电流和电压的实值部分$real({I})$、$real({V})$分别描述这电路的真实正弦电流和正弦电压。由于${I}_0$、${V}_0$都是不同的复值纯量，电流和电压的相位可能会不一样。

周期性激发可以傅立叶分解为不同角频率的正弦函数激发。对于每一个角频率的正弦函数激发，可以使用上述方法来计算响应。然后，将所有响应总和起来，就可以得到解答。

### 线性近似

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欧姆定律是电路分析（circuit analysis）使用的几个基本方程式之一。它可以应用于金属导电体或特别为这行为所制备的电阻器。在电机工程学里，这些东西无所不在。遵守欧姆定律的物质或元件称为“欧姆物质”或“欧姆元件”。理论上，不论施加的电压或电流、不论是直流或交流、不论是正极或负极，它们的电阻都不变。

但是，有些电路元件不遵守欧姆定律，它们的电压与电流之间的关系（V-I线）乃非线性关系。PN接面二极管是一个显明范例。如右图所示，随着二极管两端电压的递增，电流并没有线性递增。给定外电压，可以用V-I线来估计电流，而不能用欧姆定律来计算电流，因为电阻会因为电压的不同而改变。另外，只有当外电压为正值时，电流才会显著地递增；当施加的电压为负值时，电流等于零。对于这类元件，V-I线的斜率$\mathfrak{r}$，称为“小信号电阻”（small-signal resistance）、“增量电阻”（incremental resistance）或“动态电阻”（dynamic resistance），定义为

$$\mathfrak{r}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}I}$$

单位也是欧姆，是很重要的电阻量，适用于计算非欧姆元件的电性。

## 温度效应

詹姆斯·马克士威诠释欧姆定律为，处于某状态的导电体，其电动势与产生的电流成正比。因此，电动势与电流的比例，即电阻，不会随着电流而改变。在这里，电动势就是导电体两端的电压。参考这句引述的上下文，修饰语“处于某状态”，诠释为处于常温状态，这是因为物质的电阻率通常跟温度有关。根据焦耳定律，导电体的焦耳加热（Joule heating）与电流有关，当传导电流于导电体时，导电体的温度会改变。电阻对于温度的相关性，使得在典型实验里，电阻跟电流有关，从而很不容易直接核对这形式的欧姆定律。于1876年，马克士威与同事，共同设计出几种测试欧姆定律的实验方法，能够特别凸显出导电体对于加热效应的响应。

## 其它版本的欧姆定律

在电机工程学和电子工程学里，欧姆定律妙用无穷，因为它能够在宏观层次表达电压与电流之间的关系，即电路元件两端的电压与通过的电流之间的关系。在物理学里，对于物质的微观层次电性质研究，会使用到的欧姆定律，以向量方程式表达为：

$$\mathbf{E} = \rho \mathbf{J}$$

$$\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$$

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在导体内任意两点g、h，定义电压为将单位电荷从点g移动到点h，电场力所需做的机械功：

$$V_{gh}\stackrel{def}{=}\ \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}q}=\int_g^h {\mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}}=\rho\int_g^h {\mathbf{J} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}}$$

其中，$V_{gh}$是电压，$w$是机械功，$q$是电荷量，$\mathrm{d} \mathbf{l}$是微小线元素。

假设，沿着积分路径，电流密度$\mathbf{J}=J\hat{\mathbf{l}}$为均匀电流密度，并且平行于微小线元素：

$$\mathrm{d} \mathbf{l}=\mathrm{d} l\hat{\mathbf{l}}$$

其中，$\hat{\mathbf{l}}$是积分路径的单位向量。

那么，可以得到电压：

$$V_{gh}=J\rho l$$

其中，$l$是积分路径的径长。

假设导体具有均匀的电阻率，则通过导体的电流密度也是均匀的：

$$J = I/a$$

其中，$a$是导体的截面面积。

电压$V_{gh}$简写为$V$。电压与电流成正比：

$$V=V_{gh}= I \rho l/a$$

总结，电阻与电阻率的关系为：

$$R = \rho l/a$$

假设$J>0$，则$V>0$；将单位电荷从点g移动到点h，电场力需要作的机械功$w>0$。所以，点g的电势比点h的电势高，从点g到点h的电势差为$- V$。从点g到点h，电压降是$V$；从点h到点g，电压升是$V$。

给予一个具有完美晶格的晶体，移动于这晶体的电子，其运动等价于移动于自由空间的具有有效质量（effective mass）的电子的运动。所以，假设热运动足够微小，周期性结构没有偏差，则这晶体的电阻等于零。但是，真实晶体并不完美，时常会出现晶体缺陷（crystallographic defect），有些晶格点的原子可能不存在，可能会被杂质侵占。这样，晶格的周期性会被扰动，因而电子会发生散射。另外，假设温度大于绝对温度，则处于晶格点的原子会发生热震动，会有热震动的粒子，即声子，移动于晶体。温度越高，声子越多。声子会与电子发生碰撞，这过程称为晶格散射（lattice scattering）。主要由于上述两种散射，自由电子的流动会被阻碍，晶体因此具有有限电阻。

凝聚态物理学研究物质的性质，特别是其电子结构。在凝聚态物理学里，欧姆定律更复杂、更广义的方程式非常重要，属于本构方程式（constitutive equation）与运输系数理论（theory of transport coefficients）的范围。

## 经典微观表述

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当施加外电场于导电体时，电流密度的响应，基本上是属于量子力学性质。详尽细节，请参阅经典与量子电导率（classical and quantum conductivity）。保罗·德鲁德于1900年研究出的德鲁德模型，可以用经典物理解释欧姆定律，描述自由电子移动于金属导电体的物理行为。

在德鲁德模型里，自由电子会不停地移动碰撞于固定不动、组成整个金属导电体晶格的正价离子之间。金属里的每一个自由电子，感受到电场力的作用，会呈加速运动。但是每当自由电子与晶格发生碰撞，其动能会遭受损失，以热能的形式将能量释放给离子，所以，电子的平均移动速度是漂移速度，其漂移速度的方向与电场方向相反。

电子感受到的平均电场力$\mathbf{F}_{ave}$为：

$$\mathbf{F}_{ave} = - e \mathbf{E}_{ave}$$

其中，$\mathbf{E}_{ave}$是平均电场，$e$是单位电荷量。

德鲁德计算出漂移速度$\mathbf{v}_{d}$为：

$$\mathbf{v}_{d} = - e \mathbf{E}_{ave}\tau/m$$

其中，$\tau$是平均自由时间（mean free time），是碰撞之间的平均时间间隔，$m$是电子的质量。

在金属里，电荷载子为电子，所以电流密度与漂移速度的关系为：

$$\mathbf{J} = - ne\mathbf{v}_{d}=ne^2 \tau\mathbf{E}_{ave}/m$$

其中，$n$是电子密度。

假设电场是均匀电场，$\mathbf{E} =\mathbf{E}_{ave}$，设定电阻率为：

$$\rho=\frac{m}{ne^2 \tau}$$

则电场与电流密度的关系为：

$$\mathbf{E} =\rho\mathbf{J}$$

注意到漂移速率$v_{d}$超小于热速率$v_{t}$。

$$\frac{1}{2}m v^2_{t} =\frac{3}{2}k_B T$$

其中，$k_B$是波兹曼常数，$T$是温度。

因此，平均自由时间与热速率有关，与漂移速率无关，所以平均自由时间也与电流密度、电场无关。质量、电子密度、单位电荷，都与电流密度、电场无关。总结，电阻率与电流密度、电场无关。

### 磁效应

前面得到的答案只成立于导电体的参考系。在经典电磁学里，假设处于磁场$\mathbf{B}$的导电体，以相对速度$\mathbf{v}_0$移动于磁场的参考系$\mathcal{S}$，则电子感受到的平均劳仑兹力$\mathbf{F}_{ave}$为：

$$\mathbf{F}_{ave} = - e(\mathbf{E}_{ave}+\mathbf{v}_0\times\mathbf{B}_{ave})$$

漂移速度$\mathbf{v}_{d}$为：

$$\mathbf{v}_{d} = - e(\mathbf{E}_{ave}+\mathbf{v}_0\times\mathbf{B}_{ave})\tau/m$$

电场与电流密度的关系为：

$$\mathbf{J} = - ne\mathbf{v}_{d} =ne^2\tau(\mathbf{E}_{ave}+\mathbf{v}_0\times\mathbf{B}_{ave})/m$$

所以，欧姆定律的形式推广为：

$$\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B} =\rho \mathbf{J}$$

## 常见错误

不少人会认为欧姆定律是在说明

$$V=iR$$

实际上，上式只是电阻的定义，而欧姆定律所主张的是任何物件都会满足

$$V \propto i$$

是一个错误的主张。（仅对部分欧姆式导体正确）

## 参阅

- 薄膜电阻
- 菲克扩散定律
- 霍普金森定律（Hopkinson's law，静磁学的欧姆定律）