葛立恒数

葛立恒数（Graham's number）由美国数学家葛立恒（Ronald Graham）提出，曾经被视为在正式数学证明中出现过最大的数，它大得连高德纳箭号表示法也难以简单表示，而必须使用64层高德纳箭号表示法才表示得出来。马丁·加德纳于1977年11月在美国科学人杂志的“数学游戏”专栏将此数刊登出来，1980年被吉尼斯世界纪录定为在正式数学证明中出现过最大的数。

## 问题背景

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葛立恒数与拉姆齐理论有关：考虑一个$n$维的超立方体，在连结所有顶点后，将形成一个$2^n$个顶点的完全图。将这个图的每条边填上红色或蓝色。求$n$的最小值，才使得所有填法中都必定存在一个在同一平面上有四个顶点的单色完全子图。

在1971年Graham与Rothschild证明了此题之解$N^*$的上下界为$6 \le N^* \le N$，其中$N$是一个极大但明确定义的数字$F^7(12) = F(F(F(F(F(F(F(12)))))))$，用高德纳箭号表示法，$F$可表示为$F(n) = 2 \uparrow^n 3$；康威链式箭号表示法也可以表示此数的大略范围，此数介于$4 \rightarrow 2 \rightarrow 8 \rightarrow 2$与$2 \rightarrow 3 \rightarrow 9 \rightarrow 2$之间，$N^*$的上界在2014年借由Hales–Jewett数的上界而降为$2 \uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow (3+2\uparrow \uparrow8)$，并于2019年进一步降低为$N''=(2 \uparrow \uparrow 5138)\times((2 \uparrow \uparrow 5140)\uparrow \uparrow (2\times2\uparrow \uparrow5137))\ll2 \uparrow \uparrow (2 \uparrow \uparrow 5138)$；下界则在2003年由Geoffrey Exoo提高为11

$N$

$G$

并由Jerome Barkley在2008年进一步的提高为13。因此目前所知最佳的$N^*$上下界为$13 \le N^* \le N''$。

葛立恒数$G$比$N$大得多，$G$可表示为$f^{64}(4)$，其中$f(n) = 3 \uparrow^n 3$。葛立恒数为此问题的较弱上界，是葛立恒未出版的工作，最后由马丁·加德纳刊登在1977年11月的美国科学人杂志。

## 定义

定义函数$f(n) = 3 \uparrow^n 3 = 3[n + 2]3 = 3 \rightarrow 3 \rightarrow n$（参见高德纳箭号表示法、超运算、康威链式箭号表示法），则葛立恒数可使用迭代函数表示为$f^{64}(4)$。

虽然葛立恒数不可以用康威链式箭号表示法很方便地表达，但康威链式箭号表示法能为它简单地定上下界：

$3 \rightarrow 3 \rightarrow 64 \rightarrow 2 <$葛立恒数$< 3 \rightarrow 3 \rightarrow 65 \rightarrow 2$

使用高德纳箭号表示法来表示葛立恒数：

$$G = \underbrace{3 \uparrow^{3 \uparrow^{3 \uparrow^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3}\cdot}\cdot}\cdot}3}3}3}_{64\text{ layers}} = \left. <pre> \begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\ 3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\ \underbrace{\qquad \quad \vdots \qquad \quad} \\ 3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \uparrow}3 \\ 3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3 \end{matrix} </pre> \right \} \text{64 layers}$$

## 巨大的葛立恒数

利用超运算，葛立恒数G可以表示为：

$$\underbrace{3 [3 [3 [ \cdots 3 [ 3[ 3}_{64} [6] 3+2] 3+2] 3 \cdots ] 3+2] 3+2] 3$$

其中，$64$表示共有64层超运算。从内至外，每一层中的超运算级数由方括号内的那一层所表示的数值决定。计算G值需要经过64步，首先从最内层开始计算：

$$g_1 = 3 [6] 3 = 3 [5] (3 [5] 3) = \underbrace{3 [4] (3 [4] (3 [4] \cdots (3 [4] (3 [4] 3}_{3 [5] 3})) \cdots ))$$

让：$X = 3 [5] 3 = 3 [4] (3 [4] 3) = 3 [4] (3 [3] (3 [3] 3)) = 3 [4] (3 [3] 27)$

$= 3 [4] 7625597484987 = \underbrace{3 [3] 3 [3] \cdots [3] 3}_{7625597484987} = \underbrace{3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^3}}}}}}_{7625597484987}$（迭代幂次）

$$g_1 = 3 [6] 3 = 3 [5] (3 [5] 3) = 3 [5] X = \underbrace{3 [4] 3 [4] \cdots [4] 3}_X = \left. \begin{matrix} \underbrace{3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}}_{ \underbrace{3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{3} }} \end{matrix} \right\} X$$

给定函数：

$$f(n) = 3 [n+2] 3$$

例如：$f(1) = 3 [3] 3,\ f(2) = 3 [4] 3$

$$g_1=f(4) = 3 [6] 3 = 3 [5] X = \underbrace{3 [4] 3 [4] \cdots [4] 3}_X = \left. \begin{matrix} \underbrace{3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}}_{ \underbrace{3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{3} }} \end{matrix}\right\} X$$

然后计算g2：

$$g_2 = f^{2}(4) = f(f(4)) = 3 [g_1+2] 3$$

接着计算：

$$g_3 = f(f^{2}(4)) = 3 [g_2+2] 3$$

$$\vdots \vdots$$

$$g_{63} = f(f^{62}(4)) = 3 [g_{62}+2] 3$$

最后：

$$G = g_{64} = f^{64}(4)= \underbrace{f(f(\cdots f}_{64}(4) \cdots )) = 3 [g_{63}+2] 3$$

一般来说：

$$g_n = 3 [g_{n-1}+2] 3$$

其中：

$f^{2}(n) = f(f(n)),\ f^{3}(n) = f(f(f(n))),$ 以此类推。

## 葛立恒数最尾端的1000位数字

...

69789 01699 96590 70368 75647 69571 41995 17294 68405 82682

71081 20793 88857 60678 08905 76605 97351 28204 06609 18730

71084 83992 11311 79579 18089 16067 30297 76868 73493 26380

38255 18970 12211 05348 18861 41584 87485 19200 98526 10652

52039 48232 20737 11493 41083 91687 37854 40379 86033 68448

47205 27292 48390 75786 66178 05529 41415 71193 66603 08189

28819 36678 77414 82317 80172 81269 34985 73578 32709 50758

57659 19749 47039 19315 29675 96669 23404 88030 23624 47049

10353 17809 08226 11674 69507 74641 91287 72824 43305 83239

50925 25499 35509 25261 68572 45956 57413 17934 41675 01485

02425 95069 50647 38395 65747 91365 19351 79833 45353 62521

43003 54012 60267 71622 67216 04198 10652 26316 93551 88780

38814 48314 06525 26168 78509 55526 46051 07117 20009 97092

91249 54437 88874 96062 88291 17250 63001 30362 29349 16080

25459 46149 45788 71427 83235 08292 42102 09182 58967 53560

43086 99380 16892 49889 26809 95101 69055 91995 11950 27887

17830 83701 83402 36474 54888 22221 61573 22801 01329 74509

27344 59450 43433 00901 09692 80253 52751 83328 98844 61508

94042 48265 01819 38515 62535 79639 96189 93967 90549 66380

03222 34872 39670 18485 18643 90591 04575 62726 24641 95387.

事实上，对于所有正整数$n > 500$，$3 [4] n$的末500位数也与葛立恒数相同。