电感

电感（Inductance）是闭合回路的一种属性，即当通过闭合回路的电流改变时，会出现电动势来抵抗电流的改变。如果这种现象出现在自身回路中，那么这种电感称为自感（self-inductance），是闭合回路自己本身的属性。假设一个闭合回路的电流改变，由于感应作用在另外一个闭合回路中产生电动势，这种电感称为互感（mutual inductance）。电感以方程式表达为

$\mathcal{E} = - L { \mathrm{d}i \over \mathrm{d}t}$。

其中，$\mathcal{E}$是电动势，$L$是电感，$i$是电流，$t$是时间。

术语“电感”是1886年由奥利弗·黑维塞命名。通常自感是以字母“L”标记，以纪念物理学家海因里希·楞次。互感是以字母“M”标记，是其英文（Mutual Inductance）的第一个字母。采用国际单位制，电感的单位是亨利（Henry），标记为“H”，以纪念科学家约瑟·亨利。与其他物理量的关系：一亨利等同一韦伯除以一安培（1 H = 1 Wb/A）。

电感器是专门用在电路里实现电感的电路元件。螺线管是一种简单的电感器，指的是多重卷绕的导线（称为“线圈”），内部可以是空心的，或者有一个金属芯。螺线管的电感是自感。变压器是两个耦合的线圈形成的电感器，由于具有互感属性，是一种基本磁路元件。在电路图中电感的电路符号多半以L开头，例如，L01、L02、L100、L201等。

## 概述

应用马克士威方程组，可以计算出电感。很多重要案例，经过简化程序后，可以被解析。当涉及高频率电流和伴随的集肤效应，经过解析拉普拉斯方程式，可以得到面电流密度与磁场。假设导体是纤细导线，自感仍旧跟导线半径、内部电流分布有关。假若导线半径超小于其它长度尺寸，则这电流分布可以近似为常数（在导线的表面或体积内部）。

### 自感

<image>

如右图所示，流动于闭合回路的含时电流$i(t)$所产生的含时磁通量$\Phi (i)$，根据法拉第电磁感应定律，会促使闭合回路本身出现感应电动势$\mathcal{E}$：

$\mathcal{E} = - N{{\mathrm{d}\Phi} \over \mathrm{d}t} = - N{{\mathrm{d}\Phi} \over \mathrm{d}i} \ { \mathrm{d}i \over \mathrm{d}t}$。

其中，$N$是闭合回路的卷绕匝数。

设定电感$L$为

$L= N \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}i}$。

则感应电动势与含时电流之间的关系为

$\mathcal{E} = - L { \mathrm{d}i \over \mathrm{d}t}$。

由此可知，一个典型的电感元件中，在其几何与物理特性都固定的状况下，产生的电压$v$为：

$v= L {{\mathrm{d}i} \over \mathrm{d}t}$。

电感的作用是抵抗电流的变化，但是这种作用与电阻阻碍电流的流动是有区别的。电阻阻碍电流的流动的特征是消耗电能，而电感则纯粹是抵抗电流的变化。当电流增加时电感抵抗电流的增加；当电流减小时电感抵抗电流的减小。电感抵抗电流变化的过程并不消耗电能，当电流增加时它会将能量以磁场的形式暂时储存起来，等到电流减小时它又会将磁场的能量释放出来，其效应就是抵抗电流的变化。

### 互感

<image>

如右图所示，流动于闭合回路1的含时电流$i_1(t)$，会产生磁通量$\Phi_{2}(t)$穿过闭合回路2，促使闭合回路2出现感应电动势$\mathcal{E}_2$。穿过闭合回路2的磁通量和流动于闭合回路1的含时电流，有线性关系，称为互感$M_{21}$，以方程式表达为。

$\Phi_{2} = M_{21} i_1$。

计算互感，可使用纽曼公式（Neumann formula)：

- $M_{21} = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{\mathbb{C}_1} \oint_{\mathbb{C}_2} \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_1\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_2}{|\mathbf{X}_2-\mathbf{X}_1|}$。

其中，$\mu_0$是磁常数，$\mathbb{C}_1$是闭合回路1，$\mathbb{C}_2$是闭合回路2，$\mathbf{X}_1$是微小线元素$\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_1$的位置，$\mathbf{X}_2$是微小线元素$\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_2$的位置。

由此公式可见，两个线圈之间互感相同：$M_{12} = M_{21}$，且互感是由两个线圈的形状、尺寸和相对位置而确定。

#### 推导

穿过闭合回路2的磁通量$\Phi_{2}(t)$为

$\Phi_{2}(t)=\int_{\mathbb{S}_2}\mathbf{B}_1(\mathbf{X}_2, t)\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}_2$。

其中，$\mathbb{S}_2$是边缘为$\mathbb{C}_2$的任意曲面，$\mathrm{d}\mathbf{a}_2$是微小面元素。

改用磁向量势$\mathbf{A}_1$计算：

$\mathbf{B}_1(\mathbf{X}_2, t)=\nabla_2\times\mathbf{A}_1(\mathbf{X}_2, t)$。

其中，$\nabla_2$是对于变向量$\mathbf{X}_2$的偏微分。

应用斯托克斯公式，可以得到

$\Phi_{2}(t)=\int_{\mathbb{S}_2}[\nabla_2\times\mathbf{A}_1(\mathbf{X}_2, t)]\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}_2=\oint_{\mathbb{C}_2}\mathbf{A}_1(\mathbf{X}_2, t)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_2$。

磁向量势$\mathbf{A}_1(\mathbf{X}_2, t)$的定义式为

$\mathbf{A}_1(\mathbf{X}_2, t)\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mu_0 i_1}{4\pi}\oint_{\mathbb{C}_1} \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_1}{|\mathbf{X}_2-\mathbf{X}_1|}$。

磁通量与流动于闭合回路1 $\mathbb{C}_1$的电流$i_1$的关系式为

$\Phi_{2}(t)=\frac{\mu_0 i_1}{4\pi} \oint_{\mathbb{C}_1}\oint_{\mathbb{C}_2}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_1\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_2}{|\mathbf{X}_2-\mathbf{X}_1|}$。

所以，互感为

$M_{21}=\frac{\mathrm{d}\Phi_2}{\mathrm{d}i_1}=\frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{\mathbb{C}_1}\oint_{\mathbb{C}_2}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_1\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_2}{|\mathbf{X}_2-\mathbf{X}_1|}$。

这方程式称为纽曼公式（Neumann formula）。注意到对换闭合回路$\mathbb{C}_1$与$\mathbb{C}_2$不会改变结果，$M_{21}=M_{12}$，因此，可以以变数$M$统一代表。

类似地，穿过闭合回路1的磁通量$\Phi_{1}(t)$为

$\Phi_{1}(t)=\frac{\mu_0 i_1}{4\pi} \oint_{\mathbb{C}_1}\oint_{\mathbb{C}'_1}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_1\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}'_1}{|\mathbf{X}_1-\mathbf{X}'_1|}$。

除去所有下标，令$\mathbb{C}$、$\mathbb{C}'$代表同一闭合回路，自感以方程式表示为

$L=\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}i}=\frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{\mathbb{C}}\oint_{\mathbb{C}'}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}'}{|\mathbf{X}-\mathbf{X}'|}$。

当$\mathbf{X}_1=\mathbf{X}'_1$时，这积分可能会发散，需要特别加以处理。另外，若假设闭合回路为无穷细小，则在闭合回路附近，磁场会变得无穷大，磁通量也会变得无穷大，所以，必须给予闭合回路有限尺寸，设定其截面半径$r_0$超小于径长$\ell_0$。

有很多种方法可以化解这困难。例如，令$\mathbb{C}$为闭合回路的中心曲轴，令$\mathbb{C}'$为闭合回路的表面，则$\mathbf{X}_1\ne\mathbf{X}'_1$，这积分就不会发散了。

### 耦合系数

耦合系数为描述电感之间互感量与自感量的相对大小，两电感器的耦合系数定义为

$k = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}$。

其中$k$为耦合系数，无单位；$M$为两电感的互感值，$L_1, L_2$分别为两电感器的自感值。

### 电感与磁场能量

将前面论述加以推广，思考$K$条闭合回路，设定第$k$条闭合回路的卷绕匝数为$N_k$，载有电流$i_k$，则其磁链$N_{k}\Phi _{k}$为

$N_{k}\Phi _{k}=\sum_{n=1}^{K}L_{k,n}i_{n}$。

其中，$\Phi _{k}$是穿过第$k$条闭合回路的磁通量，$L_{k,k}=L_k$是自感，$L_{k,n}=M_{k,n}, k\ne n$是互感。

由于第$n$条闭合回路对于磁通量$\Phi _{k}$的总贡献是卷绕匝数乘以电流，即$N_n i_n$，所以，$L_{k,n}$与乘积$N_k N_n$成正比。

从法拉第电磁感应定律，可以得到

$v_{k}=-\mathcal{E}_k=N_{k}\frac{\mathrm{d}\Phi _{k}}{\mathrm{d}t} =\sum_{n=1}^{K}L_{k,n}\frac{\mathrm{d}i_{n}}{\mathrm{d}t} =L_k\frac{\mathrm{d}i_k}{\mathrm{d}t}+\sum_{n=1,\ n\ne k}^{K}M_{k,n}\frac{\mathrm{d}i_{n}}{\mathrm{d}t}$。

其中，$v_{k}$是第$k$条闭合回路的感应电压。

第$k$条闭合回路的电功率$p_k$为

$p_k=i_k v_k$。

假设原先所有电流为零，即$i_1=i_2=\dots=i_K=0$ ,

储存于所有闭合回路的总磁能为$0$。现在，将第一条闭合回路的电流$i_1$平滑地从$0$增加到$I_1$，同时保持其它闭合回路的电流不变，则储存于第一条闭合回路的磁能$W_1$为

$W_1=\int i_1 v_1 \mathrm{d}t=\int_0^{I_1} i_1 L_1\mathrm{d}i_1=\frac{1}{2}L_1 I_1^2$。

然后，将第二条闭合回路的电流$i_2$平滑地从$0$增加到$I_2$，同时保持其它闭合回路的电流不变，则储存于第二条闭合回路的磁能$W_2$为

$W_2=\int i_2 v_2 \mathrm{d}t=\int_0^{I_2} i_2 L_2\mathrm{d}i_2 +\int_0^{I_2} I_1 M_{1,2}\mathrm{d}i_2 =\frac{1}{2}L_2 I_2^2+M_{1,2}I_1 I_2$。

案照这方法继续地计算，储存于第$k$条闭合回路的磁能$W_k$为

$W_k=\int i_k v_k \mathrm{d}t=\int_0^{I_k} i_k L_k\mathrm{d}i_k +\sum_{n=1}^{k-1} \int_0^{I_k} I_n M_{n,k}\mathrm{d}i_k =\frac{1}{2}L_k I_k^2+\sum_{n=1}^{k-1}M_{n,k}I_n I_k$。

所以，当每一个闭合回路的电流都平滑地增加到其最终电流之后，储存于所有闭合回路的总磁能$W$为

$W=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{K}L_k I_k^2+\sum_{k=1}^{K}\sum_{n=1}^{k-1}M_{n,k}I_n I_k =\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{K}L_k I_k^2+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{K}\sum_{n=1,n\ne k}^{K}M_{n,k}I_n I_k$。

假设将$I_n$与$I_k$的数值交换，总磁能$W$不会改变。满足可积分条件$\frac{\partial^2{W}}{\partial I_n \partial I_k}=\frac{\partial^2{W}}{\partial I_k \partial I_n}$，必需要求$L_{k,n}=L_{n,k}$成立。所以，电感矩阵$L_{k,n}$是个对称矩阵。

从物理角度来看，上述增加电流方法并不是唯一方法，还有其它很多种增加电流方法。由于能量守恒，没有任何耗散能量。所以，不论选择哪一种方法，只要每一条闭合回路的电流增加到其最终电流，则储存的总磁能都相等。

## 串联与并联电路

### 串联电路

#### 自感现象

<image>

如右图所示，$n$个电感器串联的等效电感$L_{eq}$为

$L_{eq} = L_1 + L_2 + \cdots + L_n$。

将$n$个电感器串联在一起，并在这个串联电路的两端加上电源。按照电感的定义，第$k$个电感器两端的电压$v_k$等于其电感$L_k$乘以通过的电流的变率$\frac{\mathrm{d}i_k}{\mathrm{d}t}$：

$v_k=L_k \frac{\mathrm{d}i_k}{\mathrm{d}t}$。

按照克希荷夫电流定律，从电源（直流电或交流电）给出的电流$i$等于通过每一个电感器的电流$i_k$。所以。

$i=i_1=i_2= \cdots =i_n$。

根据克希荷夫电压定律，电源两端的电压等于所有电感器两端的电压的代数和：

$v=v_1 +v_2 + \cdots +v_n=L_1\frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t} +L_2\frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t} + \cdots +L_n\frac{\mathrm{d}i_n}{\mathrm{d}t}=(L_1 + L_2 + \cdots + L_n)\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$。

所以，$n$个电感器串联的等效电感$L_{eq}$为

$L_{eq} = L_1 + L_2 + \cdots + L_n$。

#### 互感现象

由于电感器产生的磁场会与其邻近电感器的缠绕线圈发生耦合，很难避免紧邻的电感器彼此互相影响。物理量互感$M$能够给出对于这影响的衡量。

例如，由电感分别为$L_1$、$L_2$，互感为$M$的两个电感器构成的串联电路，其等效互感$L_{eq}$有两种可能：

- 假设两个电感器分别产生的磁场或磁通量，其方向相同，则称为“串联互助”，其等效电感

$L_{eq} = L_1 + L_2 +2M$。

- 假设两个电感器分别产生的磁场或磁通量，其方向相反，则称为“串联互消”，其等效电感

$L_{eq} = L_1 + L_2 - 2M$。

对于具有三个或三个以上电感器的串联电路，必需考虑到每个电感器自己本身的自感和电感器与电感器之间的互感，这会使得计算更加复杂。等效电感是所有自感与互感的代数和。

例如，由三个电感器构成的串联电路，会涉及三个自感和六个互感。三个电感器的自感分别为$M_{11}$、$M_{22}$、$M_{33}$；互感分别为$M_{12}$、$M_{13}$、$M_{23}$、$M_{21}$、$M_{31}$、$M_{32}$。等效电感为

$L_{eq} = (M_{11} + M_{22} + M_{33}) + (M_{12} + M_{13} + M_{23}) + (M_{21} + M_{31} + M_{32})$。

由于任意两个电感器彼此之间的互感相等，$M_{ij}$ = $M_{ji}$，后面两组互感可以合并：

$L_{eq} = (M_{11} + M_{22} + M_{33}) +2 (M_{12} + M_{13} + M_{23})$。

#### 互感公式推导

<image>

<image>

如右图所示，两个电感器串联互助在一起。将电源连接于这串联电路的两端。应用克希荷夫电压定律，按照点规定，可以得到

$-v + L_1 \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + M \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + L_2 \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + M \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = 0$。

其中，$v$是电源两端的电压，$i$是电流。

电压$v$和电流$i$之间的关系为

$v = (L_1 + L_2 +2M) \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$。

所以，两个电感器串联互助的等效电感为

$L_{eq} = L_1 + L_2 + 2M$。

以类似的作法，也能得到两个电感器串联互消的等效电感。

### 并联电路

#### 自感现象

<image>

如右图所示，$n$个电感器并联在一起，类似前面所述方法，可以计算出其等效电感$L_{eq}$为

$\frac{1}{L_{eq}} =\frac{1}{L_1} +\frac{1}{L_2}+ \cdots +\frac{1}{L_n}$。

#### 互感现象

由于电感器产生的磁场会与其邻近电感器的缠绕线圈发生耦合，很难避免紧邻的电感器彼此互相影响。物理量互感$M$能够给出对于这影响的衡量。上述方程式描述$n$个电感器无互感并联的理想案例。

由电感分别为$L_1$、$L_2$，互感为$M$的两个电感器构成的并联电路，其等效互感$L_{eq}$为：

- 假设两个电感器分别产生的磁场或磁通量，其方向相同，则称为“并联互助”，其等效电感

$L_{eq}=\frac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2-2M}$。

- 假设两个电感器分别产生的磁场或磁通量，其方向相反，则称为“并联互消”，其等效电感

$L_{eq}=\frac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2+2M}$。

对于具有三个或三个以上电感器的并联电路，必需考虑到每个电感器自己本身的自感和电感器与电感器之间的互感，这会使得计算更加复杂。

#### 互感公式推导

<image>

<image>

如右图所示，两个电感器并联互助在一起。将电源连接于这并联电路的两端。应用克希荷夫电压定律，按照点规定，可以得到

$-v + L_1\frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t}+M\frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t}=0$。

$-v + L_2\frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t}+M\frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t}=0$。

其中，$v$是电源两端的电压，$i_1$和$i_2$分别是通过两个支路的电流。

利用二元一次联立方程组的克拉玛公式，可得

$\frac{di_1}{dt} = \frac{v(L_2 - M)}{L_1L_2 - M^2}$。

$\frac{di_2}{dt} = \frac{v(L_1 - M)}{L_1L_2 - M^2}$。

根据克希荷夫电流定律，$i = i_1 + i_2$，因此

$\frac{di}{dt} = \frac{di_1}{dt} + \frac{di_2}{dt} = \frac{v(L_1 + L_2 -2M)}{L_1 L_2 - M^2}$。

可得电压$v$和电流$i$之间的关系为

$v=\frac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2-2M}\ \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$。

所以，两个电感器并联互助的等效电感为

$L_{eq}=\frac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2-2M}$。

以类似的作法，也能得到两个电感器并联互消的等效电感。

## 镜像法

对于某些案例，不同的电流分布会在空间的一些区域产生同样的磁场。这论据可以用来计算电感。例如，思考以下两个系统：

- 一条笔直的载流导线与导体墙之间的距离为$d/2$。
- 两条互相平行、载有异向电流的导线，彼此之间的距离为$d$。

这两个系统的磁场在导体墙外的半空间（half-space）相等。第二个系统的磁能与电感分别是第一个系统的两倍。

## 非线性电感

很多电感器是用磁性材料制成。假若磁场超过材料的饱和度，则这些材料会显示出非线性磁导率行为与伴随的磁饱和效应，从而促使电感成为施加电流的函数。虽然法拉第电磁感应定律仍旧成立，但电感会具有多重歧义，依计算电路参数或磁通量而不同。

“大信号电感”是用来计算磁通量，以方程式定义为

$L_s(i)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \frac{N\Phi}{i} = \frac{\Lambda}{i}$。

“小信号电感”是用来计算电压，以方程式定义为

$L_d(i)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \frac{\mathrm{d}(N\Phi)}{\mathrm{d}i} = \frac{\mathrm{d}\Lambda}{\mathrm{d}i}$。

非线性电感器的电压为

$v(t) = \frac{\mathrm{d}\Lambda}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\Lambda}{\mathrm{d}i}\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = L_d(i)\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$。

类似地，可以给出非线性互感的定义。

## 简单电路的自感

很多种电路的自感可以以闭形式给出：

种类｜$L/\mu_0$｜注释

单层螺线管｜$\quad\frac{r^{2}N^{2}}{3\ell}\left\{ -8w + 4\frac{\sqrt{1+m}}{m}\left( K\left( \sqrt{\frac{m}{1+m}} \right) -\left( 1-m\right) E\left( \sqrt{ \frac{m}{1+m}} \right) \right) \right\}$ $=\frac{r^2N^2\pi}{\ell}\left\{ 1-\frac{8w}{3\pi }+\sum_{n=1}^{\infty } \frac {\left( 2n\right)!^2} {n!^4 \left(n+1\right)\left(2n-1\right)2^{2n}} \left( -1\right) ^{n+1}w^{2n}\right\}$ $=\begin{cases}\frac {r^2N^2\pi}{\ell}\left( 1 - \frac{8w}{3\pi} + \frac{w^2}{2} - \frac{w^4}{4} + \frac{5w^6}{16} - \frac{35w^8}{64} + ... \right) \ ,& w\ll 1\\ rN^2 \left\{ \left( 1 + \frac{1}{32w^2} + O(\frac{1}{w^4}) \right) \ln \left( 8w \right) - \frac{1}{2} + \frac{1}{128w^2} + O(\frac{1}{w^4}) \right\} \ ,& w\gg 1\end{cases}$｜$N$：卷绕匝数$r$：半径$\ell$：长度$w = r/\ell$ $m = 4w^2$ $E,K$：椭圆积分

同轴电缆（高频率）｜$\frac {\mu_0 \ell}{2\pi}\, \ln{\frac {\;r_{\text{o}}}{\;r_i}}$｜$r_{\text{o}}$：外半径$r_{i}$：内半径$\ell$：长度

圆形循环｜$\mu_0 r \cdot \left( \ln{ \frac {8 r}{a}} - 2 + \frac{Y}{2} + O\left(a^2/r^2\right) \right)$｜$r$：循环半径$a$：导线半径

长方形循环｜$\frac{\mu_0}{\pi}\left(b\ln{\frac {2 b}{a}} + d\ln{\frac {2d}{a}} - \left(b+d\right)\left(2-\frac{Y}{2}\right) +2\sqrt{b^2+d^2} \right.$ $\left. -b\cdot\operatorname{arsinh}{\frac {b}{d}}-d\cdot\operatorname{arsinh}{\frac {d}{b}} + O\left(a\right) \right)$｜$a$：导线半径$b$：边长$d$：边宽$b,d\gg a$

一对平行导线｜$\frac {\mu_0 \ell}{\pi} \left( \ln{\frac {d}{a}} + Y/2 \right)$｜$a$：导线半径$d$：距离$d\ge 2a$ $\ell$：长度

一对平行导线（高频率）｜$\frac{\mu_0 \ell}{\pi }\operatorname{arcosh}\left( \frac{d}{2a}\right) = \frac{\mu_0 \ell}{\pi }\ln \left( \frac{d}{2a}+\sqrt{\frac{d^{2}}{4a^{2}}-1}\right)$｜$a$：导线半径$d$：距离$d\ge 2a$ $\ell$：长度

导线平行于导体墙｜$\frac {\mu_0 \ell}{2\pi} \left( \ln{\frac {2d}{a}} + Y/2 \right)$｜$a$：导线半径$d$：距离$d\ge a$ $\ell$：长度

导线平行于导体墙（高频率）｜$\frac{\mu_0 \ell}{2\pi }\operatorname{arcosh}\left( \frac{d}{a}\right)=\frac{\mu_0 \ell}{2\pi }\ln \left(\frac{d}{a}+\sqrt{\frac{d^{2}}{a^{2}}-1}\right)$｜$a$：导线半径$d$：距离$d\ge a$ $\ell$：长度

对于高频率案例，由于集肤效应，电流均匀地分布于导体表面。依几何组态不同，有时必须分为低频率和高频率案例，因此必须增加参数$Y$：

- $Y =1/2$：电流均匀地分布于整个导体截面。
- $Y = 0$：集肤效应，电流均匀地分布于导体表面。
- 对于高频率案例，假若导体彼此移向对方，另外会有屏蔽电流流动于导体表面，含有参数$Y$的表达式不成立。

## 参阅

- 点规定
- LC电路
- RLC电路
- RL电路
- 漏电感
- 磁动势
- 变压器