李群

李群（Lie group，ˈ）是一个数学概念，指具有群结构的光滑微分流形，其群作用与微分结构相容。李群的名字源于挪威数学家索菲斯·李的姓氏，以其为连续变换群奠定基础。1893年，法文名词groupes de Lie首次出现在李的学生亚瑟·特雷斯（Arthur Tresse）的论文第三页中。

粗略地说，李群是连续的群，也即其元素可由几个实参数描述。因此，李群为连续对称性的概念提供了一个自然的模型，例如三维旋转对称性。李群被广泛应用于现代数学和物理学。索菲斯·李引入李群的最初动机是为微分方程的连续对称性建模，就像有限群被用于伽罗瓦理论对代数方程的离散对称性建模一样。

## 总览

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李群是光滑可微流形，因而可以用微分学来研究，这点与更一般的拓扑群不同。李群理论中的关键是替换掉“全局”的对象，也即群本身，而代之以其“局部”或线性化的版本。这个局部版本被索菲斯·李本人称为该李群的“无穷小群”，而后来以“李代数”为人熟知。

李群在现代几何学中在多个层面扮演了重要的角色。费利克斯·克莱因在他的爱尔兰根纲领中认为，可以通过选定适当的保持某种几何性质不变的变换群来考察各种“几何”。例如，欧氏几何对应于欧式空间R3中保距变换构成的欧几里得群E(3)；共形几何对应于把群扩大到共形群；而在射影几何中引起人们兴趣的是射影群的不变属性。这个观念后来发展为G-结构的概念，其中G是流形"局部"对称性形成的李群。

李群（以及与之关联的李代数）在现代物理学中起到了重要作用，并通常扮演了物理系统中的对称性。这里，李群表示或相应的李代数表示尤为重要。表示理论在粒子物理中被频繁使用。一些具有较为重要的表示的群包括旋转群SO(3)（或其双覆盖特殊酉群SU(2))，特殊酉群SU(3)以及庞加莱群。

## 定义与样例

- $G$为有限维实解析流形
- 两个解析映射，二元运算$G \times{} G \rightarrow{} G$，和逆映射$G \rightarrow{} G$满足群公理，从而具有群结构。

实李群是一个满足下列条件的群：它也是一个有限维实光滑流形，其中群的乘法和求逆操作是光滑映射。群乘法的光滑性

$$\mu:G\times G\to G\quad \mu(x,y)=xy$$

意味着$\mu$是一个从积流形$G \times G$到$G$的光滑映射。这两个条件可以合并成一条，即映射

$$(x,y)\mapsto x^{-1}y$$

是一个从积流形$G \times G$到$G$的光滑映射。

### 初步的样例

- 所有$2\times 2$实可逆矩阵构成了一个乘法群，记作$GL(2, \R)$或$GL_2(\R)$:

$$\operatorname{GL}(2, \R) = \left\{A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}: \det A=ad-bc \ne 0\right\}.$$

这是一个非紧致的四维实李群；它是$\mathbb \R^4$的一个开子集。这个群是非连通的；它有两个连通分量，对应于行列式的正负两种情况。

- 旋转矩阵构成了$GL(2, \mathbf{R})$的一个子群，记为$SO(2, \mathbf{R})$。它自己本身也是一个李群：具体地说，它是一个与圆微分同胚的一维紧致连通李群。使用旋转角$\varphi$ 作为参数，这个群可以被参数化为如下形式：

$$\operatorname{SO}(2, \mathbf{R}) =\left\{\begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{pmatrix}: \varphi\in\mathbf{R}/2\pi\mathbf{Z}\right\}.$$

其中，角度的加法对应于$SO(2, \mathbf{R})$中元素的乘法，角度的相反数对应于逆元。因此，乘法和求逆操作也都是可微映射。

- 一维仿射群是一类二维上三角阵组成的李群，其中第一个对角线上的元素为正，第二个对角线上的元素为1。因此，该群包含了如下形式的矩阵：

$$A= \left( \begin{array}{cc} a & b\\ 0 & 1 \end{array}\right),\quad a>0,\, b\in\mathbb{R}.$$

### 反例

现在我们给出一个群的例子，它拥有不可数的元素，并且在某种拓扑下不是李群。我们给定如下群：

$$H = \left\{\left .\left(\begin{matrix}e^{2\pi i\theta} & 0\\0 & e^{2\pi ia\theta}\end{matrix}\right) \right| \theta \in \mathbb{R}\right\} \subset \mathbb{T}^2 = \left\{\left .\left(\begin{matrix}e^{2\pi i\theta} & 0\\0 & e^{2\pi i\phi}\end{matrix}\right)\right| \theta, \phi \in \mathbb{R}\right\},$$

其中$a \in \mathbb P = \mathbb R\setminus\mathbb Q$是一个固定的无理数。这是一个环面 $\mathbb T^2$ 的子群，它在子空间拓扑下不是李群。比如说，如果我们取$H$中的一个点$h$的任意小邻域$U$，那么$H$在 $U$中的部分是不连通的。群$H$在环面上反复缠绕，形成了一个$\mathbb T^2$的稠密子群。

另一方面，我们可以给群$H$指定另一个拓扑，使得两点$h_1,h_2\in H$之间的距离被定义为群H中连结 $h_1$和$h_2$的最短路径长度。在这个拓扑下，$H$通过其元素中对应的$\theta$与实直线同胚。在这种拓扑下，$H$仅仅是加法意义下的实数群，因此也是李群。

群$H$是李群的一个非闭"李子群"的样例。可参见下面基本概念部分关于李子群的讨论。

### 矩阵李群

用GL(n; C)表示复数域上的n × n可逆矩阵。GL(n, C)的任何闭子群也是一个李群；这类李群被称为矩阵李群。

由于李群中大多数有趣的例子都可以用矩阵李群实现，一些教科书把注意力限制在这类李群上，包括Hall以及 Rossmann等，这样可以简化李代数和指数映射的定义。下面是一些矩阵李群的标准样例：

- 定义在R和C上的特殊线性群SL(n, R)和SL(n, C)，分别包括了元素属于R或C的、行列式为1的n × n矩阵。
- 酉群U(n)（以及特殊酉群SU(n)）, 包含了满足$U^*=U^{-1}$（对于特殊酉群而言，还需满足$\mathrm{det}(U)=1$）的n × n复矩阵。
- 正交群O(n)（以及特殊正交群SO(n)），包含了满足$R^\mathrm{T}=R^{-1}$ （对于特殊正交群而言，还需满足$\mathrm{det}(R)=1$）的n × n实矩阵。

以上列举的群均为经典群。

### 相关概念

与实李群相对应，复李群是在复流形上定义的（例如SL(2, C)）。类似地，使用一种Q的度量完备化我们可以在 p-进数上定义p-进数李群，一种满足每个点都有一个p-进数邻域的拓扑群。

## 更多李群的样例

李群经常出现在数学和物理学中。矩阵群或代数群（大部分情况下）是由矩阵构成的群（例如正交群和辛群），而这些也是李群最常见的例子。

### 一维李群

一维情况下唯二的连通李群是实直线$\mathbb{R}$ （其群操作为加法）和由绝对值为1的复数组成的圆群 $S^1$ （其群操作为乘法）。$S^1$也常被记作$U(1)$，即$1\times 1$酉群。

### 二维李群

在二维情况下，如果我们只考虑简单连通群，那么可以通过它们的李代数来分类。若把同构的情况归为一类，那么此时只存在两种李代数。与这两种李代数关联的简单连通李群分别是$\mathbb{R}^2$（其群操作为向量加法）以及一维仿射群（在前面的小节"初步的样例"中有介绍）。

## 解析李群与光滑李群

部分书籍在定义李群时假设了解析性，本条目采相同定义。另一种进路则是定义李群为实光滑（简记为$C^\infty$）流形，并具有光滑的群二元运算与逆元运算。解析条件看似较强，实则两者等价：

定理.任意$C^\infty$李群上具有唯一的实解析流形结构，使得群二元运算及逆元运算皆为解析映射。此时指数映射亦为解析映射。

## 同态和同构

$G,H$均为李群，二者之间的一个同态：$f\,:G\rightarrow H$为群同态并且是解析映射（事实上，可以证明这里解析的条件只需满足连续即可）。显然，两个同态的复合是同态。所有李群的类加上同态构成一个范畴。

两个李群之间存在一个双射，这个双射及其逆射均为同态，就称之为同构。

## 李代数

李代数刻划了李群在单位元附近的局部性状；借助指数映射或源自李代数的叶状结构，可以将李代数的性质提升到李群的层次。

设$G$为李群，其李代数$\mathfrak{g}$定义为$G$在单位元的切空间。$\mathfrak{g}$自然具备了矢量空间结构，$\mathfrak{g}$上的李括积$[,]: \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}$定义如下：

- 定义$G$对自身的伴随作用为 $\mathrm{Ad}(x)(y) := x y x^{-1}$，$x,y \in G$。
- 取Ad对变元$y \in G$在单位元上的微分，得到李代数上的伴随作用，通常记为$\mathrm{Ad}(x)(Y) = x Y x^{-1}$，$x \in G, Y \in \mathfrak{g}$。
- 再对变元$x \in G$微分，得到映射$\mathrm{ad}: \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}$。定义李括积为$[X,Y] := \mathrm{ad}(X)(Y)$。

不难验证$[,]$满足李代数的抽象定义。李括积蕴含了群乘法的无穷小性质，例如：连通李群$G$是交换群当且仅当$\mathfrak{g}$是交换李代数。

李括积也可以用左不变矢量场及泊松括号定义，或者取定局部坐标，用群乘法映射在原点的泰勒级数定义。

## 李群对应李代数

若$G$是李群，$H \subset G$是其子群，并带有李群结构，使得包含映射$H \to G$为浸入（不一定是闭的），则可得到子李代数$\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g}$。反之，任意子李代数$\mathfrak{h}$透过左平移定义了$G$上的叶状结构，取含单位元的极大积分流形，便得到满足前述条件的子群$H \subset G$。此子群未必是闭子群，它可能是$G$的稠密子集（考虑环面的例子）。

李代数的映射$\mathfrak{g}_1 \to \mathfrak{g}_2$未必能提升至李群的映射$G_1 \to G_2$，但可提升至映射$\tilde{G}_1 \to G_2$，其中$\tilde{G}_1$是$G_1$的万有覆叠空间。

## 指数映射

对于任意矢量$X \to \mathfrak{g}$，根据常微分方程式的基本理论，存在$G$中的单参数子群$c_X(t), c_X(0)=e$使得$c_X'(t) = c_X(t) \cdot X$。由此得到的映射

$$\mathrm{exp}: \mathfrak{g} \to G$$

$$X \mapsto c_X(1)$$

称为指数映射。它总是解析映射。

若$G$为$\mathrm{GL}(n)$的子群，则$\mathrm{exp}(X) = \sum_{i=0}^\infty \frac{X^i}{i!}$，这是指数映射一词的缘由。

当$G$连通且非交换时，指数映射$\mathfrak{g} \to G$并非同态；局部上，$\mathrm{exp}(X)\mathrm{exp}(Y)$可以由Campbell-Baker-Hausdorff公式表成涉及括积的无穷级数。

## 一般体上的李群

在任意体、环乃至于概形上，都可以定义群概形；这是概形范畴中的群对象。群概形具有深刻的几何与数论意义，然而李群未必是代数簇。

另一方面，若域$F$对某个绝对值是完备域，其特征为零，则可照搬解析李群的定义以定义体$F$上的李群、李代数与指数映射。较常见的例子是$F=\mathbb{C}$；至于数论方面，特别涉及自守表示的研究上，则须用到$F$为p进数体的情形。

## 参考条目

- 李型群

## 参考文献

### 来源

- D. Montgomery and L. Zippin, Topological Transformation Groups (1955), Interscience.
- Anthony W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction (2004), Birkhäuser. ISBN 0817642595 .
- Jean-Pierre Serre, Lie algebras and Lie groups (2005), Lecture Notes in Mathematics 1500, Springer-Verlag. ISBN 3540550089 .