爱因斯坦求和约定

在数学里，特别是将线性代数套用到物理时，爱因斯坦求和约定（Einstein summation convention）是一种标记的约定，又称为爱因斯坦标记法（Einstein notation），在处理关于坐标的方程式时非常有用。这约定是由阿尔伯特·爱因斯坦于1916年提出的。后来，爱因斯坦与友人半开玩笑地说：“这是数学史上的一大发现，若不信的话，可以试着返回那不使用这方法的古板日子。”

按照爱因斯坦求和约定，当一个单独项目内有标号变数出现两次，一次是上标，一次是下标时，则必须总和所有这单独项目的可能值。通常而言，标号的标值为1、2、3（代表维度为三的欧几里得空间），或0、1、2、3（代表维度为四的时空或闵可夫斯基时空）。但是，标值可以有任意值域，甚至（在某些应用案例里）无限集合。这样，在三维空间里。

$$y = c_i x^i\,\!$$

意思是

$y = \sum_{i=1}^3 c_i x^i = c_1 x^1 + c_2 x^2 + c_3 x^3\,\!$。

请特别注意，上标并不是指数，而是标记不同坐标。例如，在直角坐标系里，$x^1\,\!$、$x^2\,\!$、$x^3\,\!$分别表示$x\,\!$坐标、$y\,\!$坐标、$z\,\!$坐标，而不是$x\,\!$、$x\,\!$的平方、$x\,\!$的立方。

## 简介

爱因斯坦标记法的基本点子是余向量与向量可以形成纯量：

$y = c_1 x^1+c_2x^2+c_3x^3+ \cdots + c_nx^n\,\!$。

通常会将这写为求和公式形式：

$y = \sum_{i=1}^n c_ix^i\,\!$。

在基底变换之下，纯量保持不变。当基底改变时，一个向量的线性变换可以用矩阵来描述，而余向量的线性变换则需用其逆矩阵来描述。这样的设计为的是要保证，不论基底为何，伴随余向量的线性函数（即上述总和）保持不变。由于只有总和不变，而总和所涉及的每一个项目都有可能会改变，所以，爱因斯坦提出了这标记法，重复标号表示总和，不需要用到求和符号：

$$y = c_i x^i \,\,\!$$

采用爱因斯坦标记法，余向量都是以下标来标记，而向量都是以上标来标记。标号的位置具有特别意义。请不要将上标与指数混淆在一起，大多数涉及的方程式都是线性，不超过变数的一次方。在方程式里，单独项目内的标号变数最多只会出现两次，假若多于两次，或出现任何其它例外，则都必须特别加以说明，才不会造成含意混淆不清。

## 向量的表示

在线性代数里，采用爱因斯坦标记法，可以很容易的分辨向量和余向量（又称为1-形式）。向量的分量是用上标来标明，例如，$a^i\,\!$。给予一个$n\,\!$维向量空间$\mathbb{V}\,\!$和其任意基底$\mathbf{e}=(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_n)\,\!$（可能不是标准正交基），那么，向量$\mathbf{a}\,\!$表示为

$\mathbf{a}= a^i \mathbf{e}_i= \begin{bmatrix}a^1\\a^2\\\vdots\\a^n\end{bmatrix}\,\!$。

余向量的分量是用下标来标明，例如，$\alpha_i\,\!$。给予$\mathbb{V}\,\!$的对偶空间$\mathbb{V}^*\,\!$和其任意基底$\boldsymbol{\omega}=(\boldsymbol{\omega}^1,\boldsymbol{\omega}^2,\dots,\boldsymbol{\omega}^n)\,\!$（可能不是标准正交基），那么，余向量$\boldsymbol{\alpha}\,\!$表示为

$\boldsymbol{\alpha}= \alpha_i \boldsymbol{\omega}^i= \begin{bmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n\end{bmatrix}\,\!$。

采用向量的共变和反变术语，上标表示反变向量（向量）。对于基底的改变，从$\mathbf{e}\,\!$改变为$\overline{\mathbf{e}}\,\!$，反变向量会变换为

${\overline{a}}^{i}= \frac{\partial {\overline{x}}^{i}}{\partial x^j} a^j\,\!$。

其中，${\overline{a}}^{i}\,\!$是改变基底后的向量的分量，${\overline{x}}^{i}\,\!$是改变基底后的坐标，$x^j\,\!$是原先的坐标。

下标表示共变向量（余向量）。对于基底的改变，从$\boldsymbol{\omega}\,\!$改变为$\overline{\boldsymbol{\omega}}\,\!$，共变向量会会变换为

$\overline{\alpha}_i= \frac{\partial x^i}{\partial {\overline{x}}^{j}} \alpha_j\,\!$。

## 一般运算

矩阵$A\,\!$的第$m\,\!$横排，第 $n\,\!$竖排的元素，以前标记为$A_{mn}\,\!$；现在改标记为$A_n^m\,\!$。各种一般运算都可以用爱因斯坦标记法来表示如下：

### 内积

给予向量$\mathbf{a}\,\!$和余向量$\boldsymbol{\alpha}\,\!$，其向量和余向量的内积为纯量：

$\mathbf{a}\cdot\boldsymbol{\alpha}=a_i \alpha^i\,\!$。

### 向量乘以矩阵

给予矩阵$A\,\!$和向量$\mathbf{a}\,\!$，它们的乘积是向量$\mathbf{b}\,\!$：

$b^i=A^i_j a^j\,\!$。

类似地，矩阵$A\,\!$的转置矩阵$B=A^\mathrm{T}\,\!$，其与余向量$\boldsymbol{\alpha}\,\!$的乘积是余向量$\boldsymbol{\beta}\,\!$：

$\beta_j=B^i_j \alpha_i=\alpha_i B^i_j\,\!$。

### 矩阵乘法

矩阵乘法表示为

$C^i_k = A^i_j \, B^j_k \,\!$。

这公式等价于较冗长的普通标记法：

$C_{ik} = (A \, B)_{ik} = \sum_{j=1}^N A_{ij} B_{jk}\,\!$。

### 迹

给予一个方块矩阵$A^i_j\,\!$，总和所有上标与下标相同的元素$A^i_i\,\!$，可以得到这矩阵的迹$t\,\!$：

$t=A^i_i\,\!$。

### 外积

M维向量$\mathbf{a}\,\!$和N维余向量$\boldsymbol{\alpha}\,\!$的外积是一个M×N矩阵$A\,\!$：

$A= \mathbf{a} \, \boldsymbol{\alpha} \,\!$。

采用爱因斯坦标记式，上述方程式可以表示为

$$A^i_j = a^i \, \alpha_j\,\!$$

由于$i\,\!$和$j\,\!$代表两个不同的标号，在这案例，值域分别为M和N，外积不会除去这两个标号，而使这两个标号变成了新矩阵$A\,\!$的标号。

## 向量的内积

一般力学及工程学会用互相标准正交基的基底向量$\hat{\mathbf{i}}\,\!$、$\hat{\mathbf{j}}\,\!$及$\hat{\mathbf{k}}\,\!$来描述三维空间的向量。

$\mathbf{u} = u_x\hat{\mathbf{i}} + u_y\hat{\mathbf{j}} + u_z\hat{\mathbf{k}}\,\!$。

把直角坐标系的基底向量$\hat{\mathbf{i}}\,\!$、$\hat{\mathbf{j}}\,\!$及$\hat{\mathbf{k}}\,\!$写成$\hat{\mathbf{e}}_1\,\!$、$\hat{\mathbf{e}}_2\,\!$及$\hat{\mathbf{e}}_3\,\!$，所以一个向量可以写成：

$\mathbf{u} = u_1 \hat{\mathbf{e}}_1 + u_2 \hat{\mathbf{e}}_2 + u_3 \hat{\mathbf{e}}_3 <pre> = \sum_{i = 1}^3 u_i \hat{\mathbf{e}}_i\,\!$。

根据爱因斯坦求和约定，若单项中有标号出现两次且分别位于上标及下标，则此项代表着所有可能值之总和：

$\mathbf{u} =u^i \hat{\mathbf{e}}_i = \sum_{i = 1}^3 u^i \hat{\mathbf{e}}_i \,\!$。

由于基底是标准正交基，$\mathbf{u}\,\!$的每一个分量$u^i= u_i \,\!$，所以。

$\mathbf{u}= \sum_{i = 1}^3 u_i \hat{\mathbf{e}}_i \,\!$。

两个向量$\mathbf{u}\,\!$与$\mathbf{v}\,\!$的内积是

$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (u^i\hat{\mathbf{e}}_i) \cdot (v^j <pre> \hat{\mathbf{e}}_j) = \left( \sum_{i = 1}^3 u_i\hat{\mathbf{e}}_i \right) \cdot \left( \sum_{j = 1}^3 v_j \mathbf{e}_j \right)=\sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 1}^3 u_i v_j ( \hat{\mathbf{e}}_i \cdot \hat{\mathbf{e}}_j ) \,\!$。

由于基底是标准正交基，基底向量相互正交归一：

$\hat{\mathbf{e}}_i \cdot \hat{\mathbf{e}}_j = \delta_{ij} \,\!$。

其中，$\ \delta_{ij}\,\!$就是克罗内克函数。当$i=j\,\!$时，则$\delta_{ij}=1\,\!$，否则$\delta_{ij}=0\,\!$。

逻辑上，在方程式内的任意项目，若遇到了克罗内克函数$\ \delta_{ij}\,\!$，就可以把方程式中的标号$i\,\!$转为$j\,\!$或者把标号$j\,\!$转为$i\,\!$。所以。

$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} =\sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 1}^3 u_i v_j\delta_{ij}= \sum_{i = 1}^3 u_i v_i \,\!$。

## 向量的叉积

采用同样的标准正交基$\hat{\mathbf{e}}_1\,\!$、$\hat{\mathbf{e}}_2\,\!$及$\hat{\mathbf{e}}_3\,\!$，两个向量$\mathbf{u}\,\!$与$\mathbf{v}\,\!$的叉积，以方程式表示为

$$\mathbf{u} \times \mathbf{v}= (u^j \hat{\mathbf{e}}_j ) \times (v^k <pre> \hat{\mathbf{e}}_k)= \left( \sum_{j = 1}^3 u_j \hat{\mathbf{e}}_j \right) \times \left( \sum_{k = 1}^3 v_k \hat{\mathbf{e}}_k \right) \,\!$$

$=\sum_{j = 1}^3 \sum_{k = 1}^3 u_j v_k (\mathbf{e}_j \times \mathbf{e}_k ) = \sum_{j = 1}^3 \sum_{k = 1}^3 u_j v_k\epsilon_{ijk} \mathbf{e}_i <pre> \,\!$。

注意到

$\hat{\mathbf{e}}_j \times \hat{\mathbf{e}}_k = \epsilon_{ijk} \hat{\mathbf{e}}_i\,\!$。

其中，张量$\ \epsilon_{ijk}\,\!$是列维-奇维塔符号，定义为

$\epsilon_{ijk} = \epsilon^{ijk}\ \stackrel{def}{=} \begin{cases} +1 \\ -1 \\ 0 \end{cases} \,\!$｜，若$(i,j,k)=\,\!$ $\{1,2,3\}\,\!$、$\{2,3,1\}\,\!$或$\{3,1,2\}\,\!$ （偶置换）

若$(i,j,k)=\,\!$ $\{3,2,1\}\,\!$、$\{2,1,3\}\,\!$或$\{1,3,2\}\,\!$（奇置换）

若 $i=j\,\!$、$j=k\,\!$或$i=k\,\!$

所以。

$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = (u^2 v^3 - u^3 v^2) \hat{\mathbf{e}}_1 + (u^3 v^1 - u^1 v^3) \hat{\mathbf{e}}_2 + (u^1 v^2 - u^2 v^1) \hat{\mathbf{e}}_3\,\!$。

设定$\mathbf{w} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}\,\!$，那么。

$w^i \hat{\mathbf{e}}_i= \epsilon^{ijk} u_j v_k\hat{\mathbf{e}}_i \,\!$。

所以。

$\ w^i = \epsilon^{ijk} u_j v_k \,\!$。

## 向量的共变分量和反变分量

在欧几里得空间$\mathbb{V}\,\!$里，共变向量和反变向量之间的区分很小。这是因为能够使用内积运算从向量求得余向量；对于所有向量$\mathbf{b}\,\!$，通过下述方程式，向量$\mathbf{a}\,\!$唯一地确定了余向量$\boldsymbol{\alpha}\,\!$：

$\boldsymbol{\alpha}(\mathbf{b})=\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\,\!$。

逆过来，通过上述方程式，每一个余向量$\boldsymbol{\alpha} \,\!$唯一地确定了向量$\mathbf{a}\,\!$。由于这向量与余向量的相互辨认，我们可以提到向量的共变分量和反变分量；也就是说，它们只是同样向量对于基底和其对偶基底的不同表现。

给予$\mathbb{V}\,\!$的一个基底$\mathfrak{f}=(X_1,X_2,\dots,X_n)\,\!$，则必存在一个唯一的对偶基底$\mathfrak{f}^{\sharp}=(Y^1,Y^2,\dots,Y^n)\,\!$，满足

$Y^i \cdot X_j = \delta^i_j\,\!$。

其中，张量$\delta^i_j\,\!$是克罗内克函数。

以这两种基底，任意向量$\mathbf{a}\,\!$可以写为两种形式

$\begin{align} \mathbf{a} &= \sum_i a^i[\mathfrak{f}]X_i = \mathfrak{f}\,\mathbf{a}[\mathfrak{f}]\\ &=\sum_i a_i[\mathfrak{f}]Y^i = \mathfrak{f}^\sharp\,\mathbf{a}[\mathfrak{f}^\sharp] \end{align} \,\!$。

其中，$a^i[\mathfrak{f}]\,\!$是向量$\mathbf{a}\,\!$对于基底$\mathfrak{f}\,\!$的反变分量，$a_i[\mathfrak{f}]\,\!$是向量$\mathbf{v}\,\!$对于基底$\mathfrak{f}\,\!$的共变分量。

### 欧几里得空间

<image>

在欧几里得空间$\mathbb{R}^3\,\!$里，使用内积运算，能够从向量求得余向量。给予一个可能不是标准正交基的基底，其基底向量为$\mathbf{e}_1\,\!$、$\mathbf{e}_2\,\!$、$\mathbf{e}_3\,\!$，就可以计算其对偶基底的基底向量：

$\mathbf{e}^1 = \frac{\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3}{\tau} ; \qquad \mathbf{e}^2 = \frac{\mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_1}{\tau}; \qquad \mathbf{e}^3 = \frac{\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2}{\tau}\,\!$。

其中，$\tau=\mathbf{e}_1\cdot(\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3)\,\!$是基底向量$\mathbf{e}_1\,\!$、$\mathbf{e}_2\,\!$、$\mathbf{e}_3\,\!$共同形成的平行六面体的体积。

反过来计算。

$\mathbf{e}_1 = \frac{\mathbf{e}^2 \times \mathbf{e}^3}{\tau'} ; \qquad \mathbf{e}_2 = \frac{\mathbf{e}^3 \times \mathbf{e}^1}{\tau'}; \qquad \mathbf{e}_3 = \frac{\mathbf{e}^1 \times \mathbf{e}^2}{\tau'}\,\!$。

其中，$\tau'=\mathbf{e}^1\cdot(\mathbf{e}^2 \times \mathbf{e}^3)=1/\tau\,\!$是基底向量$\mathbf{e}^1\,\!$、$\mathbf{e}^2\,\!$、$\mathbf{e}^3\,\!$共同形成的平行六面体的体积。

虽然$\mathbf{e}_i\,\!$与$\mathbf{e}^j\,\!$并不相互标准正交，它们相互对偶：

$\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}^j = \delta_i^j\,\!$。

虽然$\mathbf{e}^i\,\!$与$\mathbf{e}_j\,\!$并不相互标准正交，它们相互对偶：

$\mathbf{e}^i \cdot \mathbf{e}_j = \delta^i_j\,\!$。

这样，任意向量$\mathbf{a}\,\!$的反变分量为

$a^1 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^1; \qquad a^2 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^2; \qquad a^3 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^3\,\!$。

类似地，共变分量为

$a_1 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_1; \qquad a_2 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_2; \qquad a_3 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_3\,\!$。

这样，$\mathbf{a}\,\!$可以表示为

$\mathbf{a} = a_i \mathbf{e}^i = a_1 \mathbf{e}^1 + a_2 \mathbf{e}^2 + a_3 \mathbf{e}^3 \,\!$。

或者。

$\mathbf{a} = a^i \mathbf{e}_i = a^1 \mathbf{e}_1 + a^2 \mathbf{e}_2 + a^3 \mathbf{e}_3\,\!$。

综合上述关系式。

$\mathbf{a} = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_i) \mathbf{e}^i = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^i) \mathbf{e}_i \,\!$。

向量$\mathbf{a}\,\!$的共变分量为

$a_i = \mathbf{a}\cdot \mathbf{e}_i = (a^j \mathbf{e}_j)\cdot \mathbf{e}_i = (\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_i) a^j=g_{ji}a^j\,\!$。

其中，$g_{ji}=\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_i\,\!$是度规张量。

向量$\mathbf{a}\,\!$的反变分量为

$a^i = \mathbf{a}\cdot \mathbf{e}^i = (a_j \mathbf{e}^j)\cdot \mathbf{e}^i = (\mathbf{e}^j\cdot\mathbf{e}^i) a_j =g^{ji}a_j\,\!$ ;

其中，$g^{ji}=\mathbf{e}^j\cdot\mathbf{e}^i\,\!$是共轭度规张量。

共变分量的标号是下标，反变分量的标号是上标。假若共变基底向量组成的基底是标准正交基，或反变基底向量组成的基底是标准正交基，则共变基底与反变基底相互等价。那么，就没有必要分辨共变分量和反变分量，所有的标号都可以用下标来标记。

## 抽象定义

思考维度为$n\,\!$的向量空间$\mathbb{V}\,\!$。给予一个可能不是标准正交基的基底$(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_n)\,\!$。那么，在$\mathbb{V}\,\!$内的向量$\mathbf{v}\,\!$，对于这基底，其分量为$v^1\,\!$、$v^2\,\!$、...$v^n\,\!$。以方程式表示。

$\mathbf{v} = v^i\mathbf{e}_i.\,\!$。

在这方程式右手边，标号$i\,\!$在同一项目出现了两次，一次是上标，一次是下标，因此，从$i\,\!$等于$1\,\!$到$n\,\!$，这项目的每一个可能值都必须总和在一起。

爱因斯坦约定的优点是，它可以应用于从$\mathbb{V}\,\!$用张量积和对偶性建立的向量空间。例如，$\mathbb{V}\otimes \mathbb{V}\,\!$，$\mathbb{V}\,\!$与自己的张量积，拥有由形式为$\mathbf{e}_{ij} = \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j\,\!$的张量组成的基底。任意在$\mathbb{V}\otimes \mathbb{V}\,\!$内的张量$\mathbf{T}\,\!$可以写为

$\mathbf{T} = T^{ij}\mathbf{e}_{ij}\,\!$。

向量空间$\mathbb{V}\,\!$的对偶空间$\mathbb{V}^*\,\!$拥有基底$(\mathbf{e}^1,\mathbf{e}^2,\dots,\mathbf{e}^n)\,\!$，遵守规则

$\mathbf{e}^i \cdot\mathbf{e}_j = \delta^i_j\,\!$。

其中，$\delta^i_j\,\!$是克罗内克函数。

## 范例

为了更明确地解释爱因斯坦求和约定，在这里给出几个简单的例子。

- 思考四维时空，标号的值是从0到3。两个张量，经过张量缩并（tensor contraction）运算后，变为一个纯量：

$c=a^\mu b_\mu = a^0 b_0 + a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3\,\!$。

$c^\nu=a^{\mu\nu} b_\mu +f^\nu= a^{0\nu} b_0 + a^{1\nu} b_1 + a^{2\nu} b_2 + a^{3\nu} b_3+f^\nu\,\!$。

由于运算结果与标号$\mu\,\!$和$\nu\,\!$无关，可以被其它标号随意更换，所以，$\mu\,\!$和$\nu\,\!$称为傀标号。

自由标号是没有被总和的标号。自由标号应该出现于方程式的每一个项目里，而且在每一个项目里只出现一次。在上述方程式里，$\nu\,\!$是自由标号，每一个项目都必须有同样的自由标号。注意到在项目$a^{\mu\nu} b_\mu\,\!$里，标号$\mu\,\!$出现了两次，一次是上标，一次是下标，所以，这项目的所有可能值都必须总和在一起。称$\mu\,\!$为求和标号。

- 思考在黎曼空间的弧线元素长度$ds\,\!$：

$ds^2=g_{ij}dx^i dx^j=g_{0j}dx^0 dx^j+g_{1j}dx^1 dx^j+g_{2j}dx^2 dx^j+g_{3j}dx^3 dx^j\,\!$。请将这两种标号跟自由变量和约束变量相比较。

进一步扩展。

$$ds^2=g_{00}dx^0 dx^0+g_{10}dx^1 dx^0+g_{20}dx^2 dx^0+g_{30}dx^3 dx^0\,\!$$

$$\qquad +g_{01}dx^0 dx^1+g_{11}dx^1 dx^1+g_{21}dx^2 dx^1+g_{31}dx^3 dx^1\,\!$$

$$\qquad +g_{02}dx^0 dx^2+g_{12}dx^1 dx^2+g_{22}dx^2 dx^2+g_{32}dx^3 dx^2\,\!$$

$\qquad +g_{03}dx^0 dx^3+g_{13}dx^1 dx^3+g_{23}dx^2 dx^3+g_{33}dx^3 dx^3\,\!$。

注意到$ds^2\,\!$是$ds\,\!$乘以$ds\,\!$，是$(ds)^2\,\!$，而不是$(s^2)\,\!$坐标的微小元素。当有疑虑时，可以用括号来分歧义。

## 参阅

- 狄拉克标记
- 抽象指标记号
- 潘洛斯图形标记法（Penrose graphical notation）