外代数

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 實外代數中，''n'' 階元素的幾何詮釋：''n'' = 0（具有正負號的點），1（具有指向的線段，即[[向量]]），2（具有定向的平面元），3（具有定向的體積）。''n''個向量的外積可以圖像化為''n''維幾何物體（例如''n''維[[平行六面體]], ''n''維[[橢球]]）；其大小為[[超體積]]（hypervolume），其[[定向 (向量空間)|定向]]的定義由(''n'' − 1)維邊界以及物體內部在哪一側來決定。<ref></ref><ref></ref>
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外代数（Exterior algebra）也称为格拉斯曼代数（Grassmann algebra），以纪念数学家赫尔曼·格拉斯曼。

数学上，向量空间$V$的外代数是一个特定有单位的结合代数，其包含了$V$为其中一个子空间。它记为$\land (V)$或$\land\cdot(V)$. 而它的乘法，称为楔积或外积，记为$\land$. 楔积是结合的和双线性的；其基本性质是它在$V$上是交错的，也就是：

$v\wedge v = 0$，对于所有向量$v\in V$

这表示

$u\wedge v = - v\wedge u$，对于所有向量$u,v\in V$，以及

$v_1\wedge v_2\wedge\cdots \wedge v_k = 0$，当$v_1,\ldots,v_k\in V$ 线性相关时。

值得注意的是，以上三性质只对$V$中向量成立，不是对代数$\land (V)$中所有向量成立。

外代数事实上是“最一般的”满足这些属性的代数。这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出。$\land (V)$的这个一般性形式上可以用一个特定的泛性质表示，请参看下文。

形式为$v_1\land v_2\land\ldots\land v_k$的元素，其中$v_1,\ldots,v_k$在$V$中，称为$k$-向量。所有$k$-向量生成的$\land (V)$的子空间称为$V$的$k$-阶外幂，记为$\land^k(V)$。外代数可以写作每个$k$阶幂的直和：

$$\Lambda(V) = \bigoplus_{k=0}^{\infty} \Lambda^k V$$

该外积有一个重要性质，就是$k$-向量和$I$-向量的积是一个$k+I$-向量。这样外代数成为一个分次代数，其中分级由$k$给出。这些$k$-向量有几何上的解释：2-向量$u\land v$代表以$u$和$v$为边的带方向的平行四边形，而3-向量$u\land v\land w$代表带方向的平行六面体，其边为$u$, $v$, 和$w$。

外幂的主要应用在于微分几何，其中他们用来定义微分形式。因而，微分形式有一个自然的楔积。所有这些概念由格拉斯曼提出。

## 定义及运算律

外代数有很多种等价的定义，下面的定义是最简洁的一个。

定义: 设 $V$是域 $K$上的一个向量空间，让$T^k(V):=\underset{k}{\underbrace{V\otimes\cdots\otimes V}}$则定义

$$T(V) = \bigoplus_{k=0}^\infty T^k V <pre> = K \oplus V \oplus (V \otimes V) \oplus (V \otimes V \otimes V) \oplus \ldots </pre>$$

令 $I$为 $V$的张量代数的理想（即双边理想），该理想是由所有形如$v \otimes v$的张量生成的（其中$v \in V$任意），则将$V$上的外代数$\Lambda (V)$定义为商代数$T(V)/I$，即

$$<pre> \Lambda(V) := T(V)/I, </pre>$$

并且把$v_1 \otimes \ldots \otimes v_k \in T^k V$的等价类

$\sim$

$\forall u, v \in T(V)\, , u \sim v \Leftrightarrow u - v \in I \, .$

$[v_1 \otimes \ldots \otimes v_k] \in T(V)/I$记为$v_1 \wedge \ldots \wedge v_k$，其中 $v_1, \ldots, v_k \in V$。设$k = 0, 1, 2, \ldots \, ,$ 称

$$\Lambda^k(V) := (T^k V)/I$$

为$V$的$k$-阶外幂（$k$th exterior power of $V$），称$\land^k (V)$中的元素为$k$-向量（$k$-multivector）。

注：

- $\forall \lambda \in K$，当且仅当$\lambda = 0$时才有$\lambda \in I$，因此，可以把$\Lambda^0 (V) = K/I$等同于$K$，并且把$[\lambda] \in \Lambda^0 (V)$记为$\lambda$；基于类似的原因，可以把$\Lambda^1 (V) = V/I$等同于$V$，而且把$[v] \in \Lambda^0 (V)$记为$v$。这一点是前面所讲的能够把$[v_1 \otimes \ldots \otimes v_k] \in \Lambda^k (V)$记为 $v_1 \wedge \ldots \wedge v_k$的特例和前提。
- 当$k > 1$时，$k$-向量并不仅限于形如$v_1 \wedge \ldots \wedge v_k$的元素，例如，$v_1 \wedge v_2 + w_1 \wedge w_2$也是2-向量，其中$v_1, v_2, w_1, w_2 \in V$.
- 理想$I$中的元素并不仅限于形如$v \otimes v$的张量，例如。
- $\forall v \in V, \forall t \in T(V)$, 必定有 $v \otimes v \otimes t \in I$和$t \otimes v \otimes v \in I$.
- $\forall v, w \in V$, 由于$(v + w) \otimes (v + w) \in I$和$v \otimes v \in I$以及$w \otimes w \in I$，显然有$v \otimes w + w \otimes v = (v + w) \otimes (v + w) - v \otimes v - w \otimes w \in I$，这就有一个推论：所有的二阶对称张量都在理想$I$中。
- 由于上面的两个结论，$\forall v, w \in V$，我们有$v \otimes w \otimes v = v \otimes (w \otimes v + v \otimes w) - v \otimes v \otimes w \in I$，这是因为等式右边的每一项都在$I$中。对张量$t \in T(V)$的阶数作数学归纳法，则可以证明：$\forall v \in V$, $\forall t \in T(V)$，总有$v \otimes t \otimes v \in I$。
- 设$k = 2, 3, \ldots$，则$\forall \alpha \in \Lambda^k (V)$，$\alpha$作为等价类含有唯一的一个完全反对称的代表元$t \in T^k (V)$，可以把这个$k$-阶的完全反对称张量等同于$\alpha$, 详见后面的“反对称算子和外幂”一节。在有些文献中，$k$-向量就是以这种方式定义的。

运算律 将上面的注中的内容用$\wedge$写出，则分别给出

(1) $\forall \lambda \in K, \alpha \in \Lambda(V)$, $\lambda \wedge \alpha = \alpha \wedge \lambda = \lambda \alpha.$

证明如下：作为等价类，我们从$\alpha \in \Lambda(V) = T(V)/I$中任意挑选一个代表元$t$，则$t \in T(V)$而且$\alpha = [t]$。根据商代数的定义。

$$\lambda \wedge \alpha = [\lambda] \wedge [t] = [\lambda \otimes t] = [\lambda t] = \lambda [t] = \lambda \alpha.$$

类似地，可以证明$\alpha \wedge \lambda = \lambda \alpha \, .$

(2) 根据注3.1中的内容，显然有$v \wedge v = 0, \, \forall v \in V$.

(3) 根据注3.2中的内容，对任意$v, w \in V$成立着

$$v \wedge w = - w \wedge v.$$

注：即使$K$的特征为2，这个公式也是对的，只不过此时有$-1 = 1$而已。

(4) 根据商代数的定义以及张量代数的性质，运算$\wedge: \Lambda(V) \times \Lambda(V) \rightarrow \Lambda(V)$满足结合律和分配律：

$$(\alpha \wedge \beta) \wedge \theta = \alpha \wedge (\beta \wedge \theta),$$

$$(\alpha + \beta) \wedge \theta = \alpha \wedge \theta + \beta \wedge \theta,$$

$$\alpha \wedge (\beta + \theta) = \alpha \wedge \beta + \alpha \wedge \theta,$$

其中$\alpha, \beta, \theta \in \Lambda (V)$都是任意的。

以前两条性质为例，其证明如下：设张量$a, b, t \in T(V)$分别是$\alpha, \beta, \theta$中的代表元，即$\alpha = [a]$, $\beta = [b]$, $\theta = [t]$, 则

$$(\alpha \wedge \beta) \wedge \theta = ([a] \wedge [b]) \wedge [t] = [a \otimes b] \wedge [t] = [(a \otimes b) \otimes t] = [a \otimes (b \otimes t)] = [a] \wedge [b \otimes t] = [a] \wedge ([b] \wedge [t]) = \alpha \wedge (\beta \wedge \theta),$$

$$(\alpha + \beta) \wedge \theta = ([a] + [b]) \wedge [t] = [a + b] \wedge [t] = [(a + b) \otimes t] <pre> = [a \otimes t + b \otimes t] = [a \otimes t] + [b \otimes t] = [a] \wedge [t] + [b] \wedge [t] = \alpha \wedge \theta + \beta \wedge \theta.$$

(5) 根据上面的(3)和(4)，用数学归纳法可以证明：$\forall \alpha \in \Lambda^k (V) \, , \, \beta \in \Lambda^l (V) \, ,$

$$\beta \wedge \alpha = (-1)^{kl} \alpha \wedge \beta.$$

证明从略。

## 基底和维数

若$V$的维数是$n$而$\left \{ e_1,\ldots,e_n \right \}$是$V$的基，则集合

$$\{e_{i_1}\wedge e_{i_2}\wedge\cdots\wedge e_{i_k} \mid 1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n\}$$

是$k$阶外幂$\land^k(V)$的一个基。理由如下：给定任何如下形式的楔积

$$v_1\wedge\cdots\wedge v_k$$

则每个向量$v_j$可以记为基向量$e_i$的一个线性组合；利用楔积的双线性性质，这可以扩张为那些基向量的楔积的线性组合。任何出现同样基向量两次的楔积为0；任何基向量出现的次序不正确的可以重新排序，在交换任何两个基向量的时候变换符号。一般来讲，最后基$k$-向量前的系数可以用通过积$e_i$来描述$v_j$的矩阵的子式来计算。

数一下基元素，我们可以看到$\land^k(V)$的维数是n 取 k。特别的有。

$\land^k(V)=\left \{ 0 \right \}$对于$k>n$.

外代数是一个分级代数，是如下直和

$$\Lambda(V) = \Lambda^0(V)\oplus \Lambda^1(V) \oplus \Lambda^2(V) \oplus \cdots \oplus \Lambda^n(V)$$

其维数等于二项式系数之和，也就是$2^n$.

## 例子: 欧氏三维空间的外代数

考虑空间$\mathbb{R}^3$，其基为$\left \{ i,j,k \right \}$。一对向量

$$\mathbf{u} = u_1 \mathbf{i} + u_2 \mathbf{j} + u_3 \mathbf{k}$$

$$\mathbf{v} = v_1 \mathbf{i} + v_2 \mathbf{j} + v_3 \mathbf{k}$$

楔积为

$$\mathbf{u} \wedge \mathbf{v} = (u_1 v_2 - u_2 v_1) (\mathbf{i} \wedge \mathbf{j}) + (u_1 v_3 - u_3 v_1) (\mathbf{i} \wedge \mathbf{k}) + (u_2 v_3 - u_3 v_2) (\mathbf{j} \wedge \mathbf{k})$$

其中$\left \{ i\land j,i\land k,j\land k \right \}$是三维空间$\land^2\left ( \mathbb{R}^3 \right )$的基底。

再加一个向量

$\mathbf{w} = w_1 \mathbf{i} + w_2 \mathbf{j} + w_3 \mathbf{k}$,

这三个向量的楔积是

$$\mathbf{u} \wedge \mathbf{v} \wedge \mathbf{w} = (u_1 v_2 w_3 + u_2 v_3 w_1 + u_3 v_1 w_2 - u_1 v_3 w_2 - u_2 v_1 w_3 - u_3 v_2 w_1) (\mathbf{i} \wedge \mathbf{j} \wedge \mathbf{k})$$

其中$i\land j\land k$是一维空间$\land^3\left ( \mathbb{R}^3 \right )$的基底。

空间$\land^1\left ( \mathbb{R}^3 \right )$是$\mathbb{R}^3$, 而空间$\land^0\left ( \mathbb{R}^3 \right )$是$\mathbb{R}$。取所有四个子空间的直和得到一个向量空间$\land\left ( \mathbb{R}^3 \right )$，这是八维向量空间

$\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8) := (a_1, a_2 \mathbf{i} + a_3 \mathbf{j} + a_4 \mathbf{k}, a_5 \mathbf{i} \wedge \mathbf{j} + a_6 \mathbf{i} \wedge \mathbf{k} + a_7 \mathbf{j} \wedge \mathbf{k}, a_8 \mathbf{i} \wedge \mathbf{j} \wedge \mathbf{k})$.

那么，给定一对8维向量$a$和$b$, 其中$a$如上给出，而

$\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, b_6, b_7, b_8)$,

$a$和$b$的楔积如下(用列向量表达),

$\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_1 b_1 \\ a_1 b_2 + a_2 b_1 \\ a_1 b_3 + a_3 b_1 \\ a_1 b_4 + a_4 b_1 \\ a_1 b_5 + a_5 b_1 + a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_1 b_6 + a_6 b_1 + a_2 b_4 - a_4 b_2 \\ a_1 b_7 + a_7 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3 \\ a_1 b_8 + a_8 b_1 + a_2 b_7 + a_7 b_2 - a_3 b_6 - a_6 b_3 + a_4 b_5 + a_5 b_4 \end{pmatrix}$.

容易验证8维楔积以向量$\left ( 1,0,0,0,0,0,0,0 \right )$为乘法幺元。也可以验证该$\land\left ( \mathbb{R}^3 \right )$代数的楔积是结合的(也是双线性的):

$$(\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}) \wedge \mathbf{c} = \mathbf{a} \wedge (\mathbf{b} \wedge \mathbf{c}) \qquad \qquad \forall \, \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \isin \Lambda (\mathbf{R}^3),$$

所以该代数是有单位且结合的。

## 叉乘的实质，赝向量与赝标量

对三维欧几里得空间$E^3$可以建立一个线性同构$\phi: \Lambda^2(E^3) \rightarrow E^3$如下：任取$E^3$的右手的标准正交基$\boldsymbol{i}$，$\boldsymbol{j}$，$\boldsymbol{k}$，规定$\phi$把$\boldsymbol{i} \wedge \mathbf{j}$，$\boldsymbol{j} \wedge \boldsymbol{k}$，$\boldsymbol{k} \wedge \boldsymbol{i}$分别映射为$\boldsymbol{k}$，$\boldsymbol{i}$，$\boldsymbol{j}$，则$\phi$的定义与右手的标准正交基如何选取无关。

不难看出，对任意向量$\boldsymbol{u}$和$\boldsymbol{v}$，这个线性同构把$\boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v}$映射为$\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v}$。这就是叉乘（向量积）的实质。例如，$E^3$中平行四边形$ABCD$的面积向量可以表示为$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}$. 经过推广之后，高维黎曼流形$(M, \mathbf{g})$中的紧的二维曲面$\Sigma$的面积则可以用

$$<pre> \int_\Sigma \sqrt{h} \, du^1 \wedge du^2 \, , \qquad h = \left|\begin{array}{cc} h_{11} & h_{12} \\ h_{21} & h_{22} \end{array}\right| \, , </pre>$$

来计算（其中$h_{ab}$是度规张量场$\mathbf{g}$在$\Sigma$上的诱导度规$$<pre> \mathbf{h} = h_{ab} \, du^a \otimes du^b </pre>$$ 的坐标分量），由此可以看到外积和叉乘的深刻关系。

在物理学中，向量（极向量）与赝向量（轴向量）两个概念经常需要加以区分。从根本上说，向量是$E^3$中的元素，所以在空间反演变换下不会改变方向；而赝向量其实是$\Lambda^2 (E^3)$中的元素，故在空间反演变换下会改变方向。

类似地，借助于右手的标准正交基，可以把$\Lambda^3 (E^3)$中的元素$a \, \boldsymbol{i} \wedge \boldsymbol{j} \wedge \boldsymbol{k}$映射为“标量"$a \in \mathbb{R} = \Lambda^0 (E^3)$。但是，在空间反演变换下它就会原形毕露，所以称它为赝标量。真正的标量在空间反演下是不变的，而赝标量在空间反演下会改变符号。

把 2-向量$\boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v}$映射为向量$\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v}$以及把 3-向量$a \, \boldsymbol{i} \wedge \boldsymbol{j} \wedge \boldsymbol{k}$映射为一个实数$a$的映射实际上是一个叫做霍奇对偶的线性映射。

## 泛性质及构造

令$V$为一个域$K$（在多数应用中，也就是实数域）上的向量空间。$\land(V)$是“最一般”的包含$V$的并有一个交替乘法在$V$上由单位的结合$K$-代数这个事实可以用如下的泛性质形式化的表达：

任给一个有单位的结合 $K$-代数$A$和一个$K$-线性映射$j:V\rightarrow A$使得$j(v)j(v)=0$对于每个$v$属于$V$成立，则存在恰好一个由单位的代数同态$f:\land(V)\rightarrow A$使得$f(v)=j(v)$所有$v$属于$V$成立。

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要构造最一般的包含$V$的代数，而且其乘法是在$V$上交替的，很自然可以从包含$V$的最一般的代数开始，也就是张量代数$T(V)$，然后通过合适的商来强制交替的性质。这样我们取$T(V)$中由所有形为$v\otimes v$的元素生成的双边理想$I$，其中$v$属于$V$，并定义$\land(V)$为商

$$\land(V)=T(V)/I$$

（并且使用$\land$为$\land(V)$中的乘法的代号）。然后可以直接证明$\land(V)$包含$V$并且满足上述泛性质。

如果不是先定义$\land(V)$然后把外幂$\land^k(V)$等同为特定的子空间，我们也可以先定义空间$\land^k(V)$然后把它们合并成为一个代数$\land(V)$。这个方法在微分集合中常常用到，并在下节中有描述。

## 反对称算子和外幂

给定两个向量空间$V$和$X$，一个从$V^k$到$X$的反对称算子是一个多线性映射

$$f:V^k\rightarrow X$$

使得只要$v_1,\ldots,v_k$是$V$中线性相关的向量，则

$f\left ( v_1,\ldots,v_k \right )=0$.

最著名的例子是行列式值，从$(K^n)^n$到$K$的反对称线形算子。

映射

$$w:V^k\rightarrow \land^k(V)$$

它关联$V$中的$k$个向量到他们的楔积，也就是它们相应的$k$-向量，这也是反对称的。事实上，这个映射是定义在$V^k$上的“最一般”的反对称算子：给定任何其它反对称算子$f:V^k\rightarrow X$，存在一个唯一的线性映射$\varphi:\land^k(V)\rightarrow X\mathrm{with}f=\varphi\circ w$。这个泛性质表述了空间$\land^k(V)$并且可以作为它的定义。

所有从$V^k$到基域$K$的反对称映射组成一个向量空间，因为两个这样的映射的和、或者这样一个映射和一个标量的乘积也是反对称的。若$V$是有限维的，维数$n$，则该空间可以认同为$\land^k(V^*)$，其中$V^*$表示$V$的对偶空间。特别的有，从$V^k$到$K$的反对称映射的空间是$n$取$k$维的。

在这个等同关系下，若基域是$R$或者$C$，楔积有一个具体的形式：它从两个给定的反对称映射得到一个新的反对称映射。设$\omega:V^k\rightarrow K$和$\eta:V^m\rightarrow K$为两个反对称映射。和在多线性映射的张量积的情况一样，楔积的变量数是每个映射的变量数之和。它定义如下：

$$\omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}{\rm Alt}(\omega\otimes\eta)$$

其中多线性映射的交替$\mathrm{Alt}$定义为其变量的所有排列的带符号平均：

$${\rm Alt}(\omega)(x_1,\ldots,x_k)=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}{\rm sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(k)})$$

注意：有一些书中楔积定义为

$$\omega\wedge\eta={\rm Alt}(\omega\otimes\eta)$$

## 指标记法

在主要由物理学家使用的指标记法中有：

$$(\omega\wedge\eta)_{a_1 \cdots a_{k+m}}=\frac{1}{k!m!}\epsilon_{a_1 \cdots a_{k+m}}^{b_1 \cdots b_k c_1 \cdots c_m} \omega_{b_1 \cdots b_k} \eta_{c_1 \cdots c_m}$$

## 微分形式

令$M$为一个微分流形。一个微分k-形式$\omega$是$\land^kT^*M$（$M$的余切丛的$k$阶外幂）的一个截面。等价的有：$\omega$是$M$的光滑函数，对于$M$的每个点$x$给定一个$\land^k\left ( T_xM \right )^*$的元素。大致来讲，微分形式是余切向量的全局版本。微分形式是微分几何的重要工具，其中，它们被用于定义德拉姆上同调和亚历山大-斯潘尼尔上同调。

## 推广

给定一个交换环$R$和一个$R$-模$M$，我们可以定义和上文一样的外代数$\land(M)$，它是张量代数$T(M)$适当的商。它会满足类似的泛性质。

## 物理应用

格拉斯曼代数在物理中有重要应用，它们被用于建模和费米子和超对称性相关的各种概念。

参看：超空间，超代数，超群

## 相关课题

- 多线性代数
- 张量代数
- 对称代数
- 克利福德代数