中值定理

在数学分析中，均值定理（mean value theorem）大致是讲，给定平面上固定两端点的可微曲线，则这曲线在这两端点间至少有一点，在这点该曲线的切线的斜率等于两端点连结起来的直线的斜率。

更仔细点讲，假设函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 连续且在开区间 $(a,b)$ 可微，则存在一点$c,\, a<c<b$，使得

$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

中值定理包括微分中值定理和积分中值定理。

## 微分中值定理

微分中值定理分为罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，内容粗略的说是指平面上一段固定端点的可微曲线，两端点之中必然有一点，它的斜率与连接两端点的直线斜率相同（严格的数学表达参见下文）。

当提到均值定理时在没有特别说明下一般指拉格朗日均值定理。

### 罗尔中值定理

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如果函数$f(x)$满足

- 在闭区间$[a,b]$上连续。
- 在开区间$(a,b)$内可导。
- 在区间端点处的函数值相等，即$f(a)=f(b)$。

那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi (a<\xi<b)$，使得$$f^\prime(\xi)=0$$

这个定理称为罗尔定理。

### 拉格朗日中值定理（均值定理）

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令$f:[a,b]\rightarrow \mathbf R$为闭区间$[a,b]$上的一个连续函数，且在开区间$(a,b)$内可导，其中$a<b$。那么在$(a,b)$上存在某个$c$使得

$$f ' (c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

此定理称为拉格朗日中值定理，也简称均值定理，是罗尔中值定理的更一般的形式，同时也是柯西中值定理的特殊情形。

这个定理在可以稍微推广一点。只需假设 $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ 在 $[a,b]$ 连续，且在开区间 $(a,b)$ 内对任意一点 $x$，极限

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

存在，为一个有限数字或者等于+∞或−∞.如果有限，则极限等于$f'(x)$。这版本定理应用的一个例子是函数 $x \to x^{1/3}$，实值三次方根函数，其导数在原点趋于无穷。

注意若一个可微函数的值域是复数而不是实数，则上面这定理就未必正确。例如，对实数 $x$ 定义$f(x)=e^{ix}$。那么

$$f(2\pi)-f(0)=0\neq f'(c)(2\pi - 0)$$

因$|f'(x)| = 1\neq 0$ 时，$c$ 为开区间 $(0, 2\pi)$ 中任意一点。

### 柯西中值定理

柯西中值定理，也叫拓展中值定理，是中值定理的一般形式，其叙述为：如果函数 $f$ 和 $g$ 都在闭区间$[a, b]$ 上连续，且在开区间 $(a, b)$ 上可导，那么存在某个$c \in (a, b)$，使得

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$$(f(b)-f(a))g\,'(c)=(g(b)-g(a))f\,'(c)\,$$

当然，如果$g(a) \ne g(b)$ 且 $g'(c) \ne 0$，则可表示成：

$$\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$$

在几何上，这表示曲线$$\begin{cases}[a,b] \to \mathbb{R}^2\\t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}$$ 上存在一点其切线平行于由两点（$f(a), g(a)$）和（$f(b), g(b)$）所连接的直线。但柯西定理不能表明在任何情况下这种切线都存在，因为可能存在一些$c$值使$f(c) = g(c) = 0$，所以在这些点曲线根本没有切线。下面是这种情形的一个例子

$$t\mapsto (t^3,1-t^2)$$

在区间$[-1,1]$上，曲线由$(-1,0)$到$\left(1,0\right)$，却并无一个水平切线，但在$t=0$处有一个驻点（实际上是一个尖点）。

柯西中值定理可以用来证明洛必达法则。拉格朗日中值定理是柯西中值定理当$g(t) = t$时的特殊情况。

## 积分中值定理

积分中值定理分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其退化状态均指在ξ的变化过程中存在一个时刻使两个图形的面积相等（严格表述在下面）。

### 积分第一中值定理

设$f:[a,b]\rightarrow \mathbb R$为一连续函数，$g:[a,b]\rightarrow \mathbb R$要求$g(x)$是可积函数且在积分区间不变号，那么存在一点$\xi\in (a,b)$使得

$\int_a^b f(x)g(x)\,dx= f(\xi)\int_a^b g(x)\,dx$。

#### 证明

在不失去一般性的条件下，设对所有$x$，有$g(x) \geq 0$。

因为$f$是闭区间上的连续函数，$f$取得最大值$M$和最小值$m$。于是$$mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)$$

对不等式求积分，我们有$m\int_a^b g(x)\,dx\leq \int_a^b f(x)g(x)\,dx \leq M\int_a^b g(x)\,dx$。

若$\int_a^b g(x)\,dx=0$，则$\int_a^b f(x)g(x)\,dx=0$。$\xi$可取$[a,b]$上任一点。

若不等于零那么$\int_a^b g(x)\,dx>0$。

$$m\leq \frac{\int_a^b f(x)g(x)\,dx}{\int_a^b g(x)\,dx}\leq M$$ 因为$m\leq f(x)\leq M$是连续函数，根据介值定理，则必存在一点$\xi\in [a,b]$，使得$$f(\xi)= \frac{\int_a^b f(x)g(x)\,dx}{\int_a^b g(x)\,dx}$$

$g(x)<0$的情况按同样方法证明。

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#### 推论（拉格朗日中值定理的积分形式）

在上式中令$g(x)=1$，则可得出：

设$f:[a,b]\rightarrow \mathbf R$为一连续函数，则∃$\xi \in [a,b]$，使

$$f(\xi)= \frac{\int_a^b f(x)\,dx}{b-a}$$

它也可以由拉格朗日中值定理推出：

设$F(x)$在$[a,b]$上可导，$f(x)=F^\prime(x)$，则∃$\xi \in [a,b]$，使

$$f(\xi) = F^\prime(\xi)= \frac{F(b)-F(a)}{b-a} = \frac{\int_a^b f(x)\,dx}{b-a}$$

### 积分第二中值定理

积分第二中值定理与积分第一中值定理相互独立，却又是更精细的积分中值定理。它可以用来证明Dirichlet-Abel反常Riemann积分判别法。

#### 内容

若$f,g$在$[a,b]$上黎曼可积且$f(x)$在$[a,b]$上单调，则存在$[a,b]$上的点ξ使$$\int_a^b {f(x)g(x)\mathrm{d}x = } f(a)\int_a^\xi {g(x)\mathrm{d}x+ } f(b)\int_\xi ^b {g(x)\mathrm{d}x}$$

#### 退化态的几何意义

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令$g(x)=1$，则原公式可化为：

$$\int_a^b {f(x)dx}=f(a)(\xi-a)+f(b)(b-\xi)$$ 进而导出：

$$\int_a^\xi {f(x)dx}-f(a)(\xi-a)=f(b)(b-\xi)-\int_\xi^b {f(x)dx}$$

此时易得其几何意义为：

能找到ξ∈a,b，使得S红+S蓝=S阴影，即SI=SII

### 应用

关于积分中值定理的一个重要应用是可以去除掉积分号，或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。