线性无关

在线性代数里，向量空间的一组元素中，若没有向量可用有限个其他向量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立（linearly independent），反之称为线性相关（linearly dependent）。例如在三维欧几里得空间R3的三个向量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关。但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。

## 定义

假设V是在域K上的向量空间。如果$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$是V的向量，若它们为线性相关，则在域K 中有非全零的元素$a_1, a_2, \dots, a_n$，使得

$a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0}$。

或更简略地表示成。

$\sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0}$。

（注意右边的零是V的零向量，不是K的零元素。）

如果K中不存在这样的元素，那么$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$是线性无关。

对线性无关可以给出更直接的定义。向量$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$线性无关，当且仅当它们满足以下条件：如果$a_1, a_2, \dots, a_n$是K的元素，适合：

$a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0}$。

那么对所有$i = 1, 2, \dots, n$都有$a_i = 0$。

在V中的一个无限集，如果它任何一个有限子集都是线性无关，那么原来的无限集也是线性无关。

线性相关性是线性代数的重要概念，因为线性无关的一组向量可以生成一个向量空间，而这组向量则是这向量空间的基。

## 相关性

- 含有零向量的向量组，必定线性相关。

若有向量组$a_1, a_2, ... , a_s$，其中$a_1=0$，则$a_1 = 0 \cdot a_2 + ... + 0 \cdot a_s$。

- 含有两个相等向量的向量组，必定线性相关。

若有向量组$a_1, a_2, ... , a_s$，其中$a_1=a_2$，则$a_1 = 1 \cdot a_2 + 0 \cdot a_3 + ... + 0 \cdot a_s$。

- 若一向量组相关，则加上任意个向量后，仍然线性相关；即局部线性相关，整体必线性相关。
- 整体线性无关，局部必线性无关。
- 向量个数大于向量维数，则此向量组线性相关。
- 若一向量组线性无关，即使每一向量都在同一位置处增加一分量，仍然线性无关。
- 若一向量组线性相关，即使每一向量都在同一位置处减去一分量，仍然线性相关。
- 若$a_1, a_2, ... , a_s$线性无关，而$b, a_1, a_2, ... , a_s$线性相关，则$b$必可由$a_1, a_2, ... , a_s$线性表示，且表示系数唯一。
- 有向量组$\textrm{I}\{a_1, a_2, ..., a_s\}$和$\textrm{II}\{b_1, b_2, ..., b_t\}$，其中$t>s$，且$\textrm{II}$中每个向量都可由$\textrm{I}$线性表示，则向量组$\textrm{II}$必线性相关。即向量个数多的向量组，若可被向量个数少的向量组线性表示，则向量个数多的向量组必线性相关。
- 若一向量组$b_1, b_2, ..., b_t$可由向量组$a_1, a_2, ..., a_s$线性表示，且$b_1, b_2, ..., b_t$线性无关，则$t \le s$。即线性无关的向量组，无法以向量个数较少的向量组线性表示。

## 例子1

设V = Rn，考虑V内的以下元素：

$$\begin{matrix} \mathbf{e}_1 & = & (1,0,0,\ldots,0) \\ \mathbf{e}_2 & = & (0,1,0,\ldots,0) \\ & \vdots \\ \mathbf{e}_n & = & (0,0,0,\ldots,1).\end{matrix}$$

则e1、e2、……、en是线性无关的。

### 证明

假设a1、a2、……、an是R中的元素，使得：

$$a_1 \mathbf{e}_1 + a_2 \mathbf{e}_2 + \cdots + a_n \mathbf{e}_n = 0 . \,\!$$

由于

$$a_1 \mathbf{e}_1 + a_2 \mathbf{e}_2 + \cdots + a_n \mathbf{e}_n = (a_1 ,a_2 ,\ldots, a_n) , \,\!$$

因此对于{1, ..., n}内的所有i，都有ai = 0。

## 例子2

设V是实变量t的所有函数的向量空间。则V内的函数et和e2t是线性无关的。

### 证明

假设a和b是两个实数，使得对于所有的t，都有：

aet + be2t = 0

我们需要证明a = 0且b = 0。我们把等式两边除以et（它不能是零），得：

bet = −a

也就是说，函数bet与t一定是独立的，这只能在b = 0时出现。可推出a也一定是零。

## 例子3

R4内的以下向量是线性相关的。

$$\begin{matrix} \\ <pre> \begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix} </pre> \\ \\ \end{matrix}$$

### 证明

我们需要求出标量$\lambda_1$、$\lambda_2$和$\lambda_3$，使得：

$$\begin{matrix} \\ \lambda_1 \begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}+ \lambda_2 \begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}+ \lambda_3 \begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}= <pre> \begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}. </pre> \end{matrix}$$

可以形成以下的方程组：

$$\begin{align} <pre> \lambda_1& \;+ 7\lambda_2& &- 2\lambda_3& = 0\\ 4\lambda_1& \;+ 10\lambda_2& &+ \lambda_3& = 0\\ 2\lambda_1& \;- 4\lambda_2& &+ 5\lambda_3& = 0\\ </pre> -3\lambda_1& \;- \lambda_2& &- 4\lambda_3& = 0\\ \end{align}$$

解这个方程组（例如使用高斯消元法），可得：

$$\begin{align} <pre> \lambda_1 &= \lambda_1 \\ \lambda_2 &= (-\lambda_1)/3 \\ \lambda_3 &= (-2\lambda_1)/3. \\ </pre> \end{align}$$

由于它们都是非平凡解，因此这些向量是线性相关的。