对应原理

对应原理（correspondence principle）表明，在大量子数极限下，量子物理对于物理系统所给出的预测应该符合经典物理的预测。更仔细地说，为了在微观层级正确地描述物质而对于经典理论做出的任何修改，其所获得的结果当延伸至宏观层级时，必须符合通过多次实验检试的经典定律。

尼尔斯·玻尔于1920年表述出对应原理，但他先前于1913年在发展原子的玻尔模型时，就已经使用到这原理。

更广义地，对应原理代表一种信念，即在大量子数极限下，新理论应该能够在旧理论的工作区域内复制已建立的旧理论。

经典物理量是以可观察量的期望值的形式出现于量子力学。埃伦费斯特定理展示出，在量子力学里，可观察量的期望值随着时间流易的演化方式，这演化方式貌似经典演化方式。因此，假若将经典物理量与可观察量的期望值关联在一起，则对应原理是埃伦费斯特定理的后果。

## 概述

量子力学理论可以成功精确地描述微观物体、原子与基本粒子，而宏观的物体，例如弹簧、电容器等等，则可以用经典力学和经典电动力学来描述。对应原理规定，当物理系统渐近至某种状况时，经典物理与量子物理给出同样的结果。这种状况称为“对应极限”或经典极限。玻尔认为，这极限是大量子数。

终结旧量子论时期（1920-1925）的新量子理论有两种不同的表述，矩阵力学与波动力学。维尔纳·海森堡使用对应原理为准则来构想与发展出矩阵力学。虽然在埃尔温·薛定谔的波动力学里，并不能找到经典行为的影响，因为波函数会随着运动而散开，一旦薛定谔方程式的波函数被诠释为一种几率幅，埃伦费斯特定理立刻展示出，经过平均运算后的牛顿运动定律成立，即位置与动量这两个可观察量的期望值遵守牛顿运动定律。

## 普朗克对应原理

1906年，马克斯·普朗克最先发现对应原理，他的对应原理版本为，在普朗克常数趋于零的极限，量子物理趋于经典物理。根据普朗克定律，能量密度方程式为

$u(\nu) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3(e^{h\nu/kT} - 1)}$。

其中，$u(\nu)$是参数为频率$\nu$的能量密度函数，$h$是普朗克常数，$c$是光速，$k$是波兹曼常数，$T$是温度。

取普朗克极限 $h \rightarrow 0$，这方程式约化为瑞利-金斯方程式：

$u(\nu)=\frac{8\pi\nu^2 kT}{c^3}$。

普朗克总结，经典理论的特征是作用量子变得无穷小。作用量子指的就是普朗克常数$h$。

### 薛定谔方程式

取普朗克极限 $h\rightarrow 0$，猜想波函数 $\Psi(\mathbf{r},\,t)$ 的形式为

$\Psi(\mathbf{r},\,t) = A e^{iS(\mathbf{r},\,t)/\hbar}$。

则可从量子力学的薛定谔方程式

$- \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi(\mathbf{r},\,t) +U(\mathbf{r})\Psi(\mathbf{r},\,t)=i\hbar\frac{\partial \Psi(\mathbf{r},\,t)}{\partial t}$。

推导出经典物理的哈密顿-雅可比方程式

$\frac{1}{2m} \left( \boldsymbol\nabla S \right)^{2} + U(\mathbf{r}) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0$。

其中，$m$ 是质量，$\mathbf{r}$ 是位置，$t$ 是时间，$S(\mathbf{r},\,t)$ 是作用量，$\nabla^2$ 是拉普拉斯算符，$U(\mathbf{r})$ 是位势。

这意味着所有从薛定谔方程式推导出的量子行为，在普朗克极限 $h \rightarrow 0$，都会趋于经典物理行为。

### 基本物理常数

普朗克常数是个基本物理常数。“恒定性”是所有基本物理常数都具有的特性。恒定性指的是基本物理常数，在不同的时间或空间，不会呈现出不同的数值。假若基本物理常数会因为时间或空间的不同而出现任何变化，这意味着宇宙存在着一种几乎零质量的场，其会与物质耦合，这会导致自由下落的普适性被违背。

物理学者尚未从做实验发现，普朗克常数会随着时间或空间的不同而出现任何改变，也尚未完成任何能够改变普朗克常数的实验，更不知道是什么机制给定普朗克常数其所呈现的数值。但有一点相当明确，那就是，普朗克极限 $h \rightarrow 0$ 只是一种数学运算，无法实际体现，为了避免被这问题困扰，必须对每一个案例，更详细地设定状况，例如，对于普朗克定律案例，可以假设 $h \nu$ 超小于 $kT$，然后做近似运算。

有些简单的量子系统不能够使用普朗克对应原理来取得有意义的经典结果，例如，玻尔模型系统等等。稍后会对玻尔模型案例进行详细分析。

## 玻尔对应原理

玻尔仔细研究普朗克对应原理，他发现另外有一种方法能够使得普朗克辐射定律约化为瑞利-金斯定律，那就是取低频率极限 $\nu\rightarrow 0$。玻尔将这点子应用于他的原子模型。1913年，在表述玻尔模型的“三部曲”论文《论原子与分子的结构》里，玻尔阐明，对于氢原子案例，由于电子从量子数很大的初态跃迁至附近末态时，会发射出低频率辐射，因此当量子数很大时，氢原子发射出的电磁辐射频谱趋于经典频谱。这就是玻尔对应原理的雏型。

1920年，玻尔给出了术语“对应原理”。这原理成为在那时期（1900年—1925年）蓬勃发展的旧量子论的重要理论，它将古典理论与量子理论连结在一起，对于量子理论提供导航地标——在某种极限，正确的量子理论必须符合经典理论。虽然使用对应原理来解析量子问题需要很高深的造诣，玻尔在多个学术领域靠着对应原理获得很丰实的结果。玻尔的亲近研究伙伴奥斯卡·克莱因指出，玻尔在那时期争取到重大进展，尽管在量子理论与经典理论之间存在着万丈深渊。科学历史学者亚伯拉罕·派斯认为，玻尔对应原理是玻尔对量子力学做出的第二大贡献。玻尔对应原理开启了日后玻尔研究生涯的主要论题：

关于自然过程的任何描述，都必须基于经典理论引入与定义的点子。

玻尔对应原理主要有三种诠释，频率诠释、强度诠释与选择定则诠释。

在阐述这三种诠释之前，需要先说明一下它们所基于的原子模型，这样，可以更容易明白这三种诠释。设想一个简单的原子模型，其电子正在进行一维遵守牛顿第二运动定律的周期性运动，其运动轨迹为 $x(t)$，基本频率为 $\omega$。这运动轨迹可以用傅立叶级数表示为

$x(t)=C_1 \cos(\omega t)+C_2 \cos(2\omega t)+C_3 \cos(3\omega t)+\dots$。

其中，$t$是时间，$C_1$、$C_2$、$C_3$等等都是常数。

在这级数里，每一个项都是一个谐波，第 $\tau$ 个谐波的振幅为$C_\tau$，频率为$\omega_\tau=\tau\omega$。

按照经典电动力学，电子发射出的电磁辐射的频率应该为$\omega$、$2\omega$、$3\omega$等等。

### 频率诠释

按照频率诠释，在大量子数极限 $n\gg 1$，电子因轨道跃迁所发射的电磁辐射，其频率与经典预测相互统计符合。以方程式表示。

$\nu_{n\rightsquigarrow n^{\prime}}=\omega_\tau=\tau\omega$。

其中，$n$ 与 $n^{\prime}$ 分别是电子初态与末态的量子数，$\nu_{n\rightsquigarrow n^{\prime}}$ 是电子从初态跃迁至末态所发射出的电磁辐射频率，$\tau=n-n^{\prime}$ 是初态与末态的量子数差，$\omega$ 是电子运动的基本频率，$\omega_\tau$ 是电子的经典电磁辐射频率．更仔细地说，是电子轨道位置函数的傅立叶级数的第 $\tau$ 次谐波的频率。

注意到两种预测结果的关系是统计符合。在经典物理里，电子辐射的所有谐波组分都会一起发射出来。在量子物理里，每一次跃迁只会发射出一个光子，因此必须用一个统计系综的跃迁来做比较。

### 强度诠释

按照强度诠释，在大量子数极限 $n\gg 1$，电子因轨道跃迁而发射的电磁辐射，其量子强度与经典预测相互统计符合。以方程式表示。

$P_{n\rightsquigarrow n^{\prime}}\propto |C_\tau|^2$。

其中，$P_{n\rightsquigarrow n^{\prime}}$ 是电子从初态跃迁至末态的概率，$C_\tau$ 是经典运动的第$\tau$ 次谐波的振幅。

### 选择定则诠释

按照选择定则诠释，每一种量子跃迁对应于经典运动的一个谐波组分。更严格地表示，电子可以从定态 $n$ 量子跃迁至定态 $n^\prime$，若且惟若，其经典运动含有第 $\tau$ 次谐波；其中， $\tau=n-n^{\prime}$。

玻尔最初认为选择定则诠释也必须遵守大量子数极限 $n\gg 1$，后来，他大胆地排除了这要求，正确地将其外推为适用于所有量子数。玻尔表示。

当量子数很大时，某个跃迁的相对概率会以很简单地方式连结经典运动的对应谐波组分的振幅。这种独特关系意味着定态与定态之间所发生的跃迁是一种一般定律。因此，我们假定，甚至当量子数很小时，定态与定态之间跃迁的可能性关连到系统运动是否含有某个谐波组分。

## 案例

### 玻尔模型

按照玻尔模型，电子的角动量$L_n$与能量$E_n$分别为

$L_n=n\hbar$。

$E_n=-\ \frac{mk^2 e^4}{2\hbar^2 n^2}$。

其中，$n=1,2,3,\dots$是量子数，$\hbar$是约化普朗克常数，$m$是电子质量，$k$是库仑常数，$e$是单位电荷。

设想电子从能级为$E_n$的初态跃迁至能级为$E_{n-1}$的末态，则伴随发射出电磁辐射的频率$\nu$为

$\nu=\frac{E_n-E_{n-1}}{h}=\frac{mk^2e^4}{4\pi\hbar^3}\left[\frac{1}{(n-1)^2}\ -\ \frac{1}{n^2}\right]=\frac{mk^2e^4}{4\pi\hbar^3}\frac{2n-1}{n^2 (n-1)^2}$。

假设取普朗克极限 $h \rightarrow 0$，则频率$\nu\rightarrow \infty$，这是个没有意义的结果，所以，在这里不应该取普朗克极限。

在大量子数极限 $n\gg 1$，频率的公式近似为

$\nu=\frac{mk^2e^4}{2\pi\hbar^3 n^3}$。

注意到电子的移动速率 $v$ 与电子的轨道半径 $r$ 分别为根据牛顿第二定律，绕着原子核公转的电子感受到的静电力为:$F=ma=\frac{mv^2}{r}=\frac{k e^2}{r^2}$。稍加编排，可以得到电子的移动速率。由于电子的角动量 $L_n$ 为:$L_n=mvr=n\hbar$。稍加编排，可以得到电子的轨道半径。

$v=\left(\frac{ke^2}{mr}\right)^{1/2}$。

$r=\frac{n\hbar}{mv}$。

将这两个公式带入频率的近似公式，则可得到经典的电子公转频率：

$\nu=\frac{v}{2\pi r}$。

这结果符合对应原理。

### 谐振子

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设想一个质量为的粒子正在进行简谐运动，这粒子的经典概率密度为

$P_c(x)=\frac{1}{\pi\sqrt{x_0^2-x^2}}$。

其中，$x$与$x_0$分别为位移与最大位移。

在量子力学里，假设这个粒子的量子数是$n$的能量本征态为$\psi_n(x)$。

如右图所示，经典概率密度函数$P_c(x)$与量子概率密度函数$|\psi_n(x)|^2$相差很大。然而，在大量子数极限，取局域平均值，则可得到等式：

$P_c(x)=\lim_{n \gg 1}\lang|\psi_n(x)|^2\rang=\lim_{\epsilon \gg 1}\int_{x-\epsilon}^{x+\epsilon}|\psi_n(y)|^2 \mathrm{d}y$。

其中，量子数$n$越大，则区间$\epsilon$越小。

所以，强度诠释适用于谐振子问题。

## 参阅

- 量子退相干
- 经典极限