黎曼积分

在实分析中，由黎曼创立的黎曼积分（Riemann integral）首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼－斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分得到修补。

## 概念

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让函数 $f$ 为定义在区间 $[a,b]$ 的非负函数，我们想要计算 $f(x)$所代表的曲线与 $x$坐标轴跟两条垂直线 $x=a$ 跟 $x=b$ 所夹图形的面积（既右图区域 $S$ 的面积），可将区域 $S$ 的面积以下面符号表示：

$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx.$$

黎曼积分的基本概念就是对 x-轴的分割越来越细，则其所对应的矩形面积和也会越来越趋近图形 $S$ 的面积（参考右方第二张图）。同时请注意，如函数为负函数， $f:[a,b]\mapsto \R_{< 0}$，则其面积亦为负值。

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## 定义

### 区间的分割

一个闭区间$[a,b]$的一个分割P是指在此区间中取一个有限的点列$a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b$。(由a至b内的所有x)

每个闭区间$[x_i, x_{i+1}]$叫做一个子区间。定义$\lambda$为这些子区间长度的最大值：$\lambda = \max (x_{i+1}-x_i)$，其中$0 \le i \le n - 1$。

再定义取样分割。一个闭区间$[a,b]$的一个取样分割是指在进行分割$a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b$后，于每一个子区间中$[x_i, x_{i+1}]$取出一点$x_i \le t_i \le x_{i+1}$。$\lambda$的定义同上。

精细化分割：设$x_0,\ldots,x_n$以及$t_0,\ldots,t_{n-1}$构成了闭区间$[a,b]$的一个取样分割，$y_0,\ldots,y_m$和$s_0,\ldots,s_{m-1}$是另一个分割。如果对于任意$0 \le i \le n$，都存在$r(i)$使得$x_i = y_{r(i)}$，并存在$r(i) \le j < r(i+1)$使得$t_i = s_j$，那么就把分割：$y_0,\ldots,y_m$、$s_0,\ldots,s_{m-1}$称作分割$x_0,\ldots,x_n$、$t_0,\ldots,t_{n-1}$的一个精细化分割。简单来说，就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。

于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。

### 黎曼和

对一个在闭区间$[a,b]$有定义的实值函数$f$，$f$关于取样分割$x_0,\ldots,x_n$、$t_0,\ldots,t_{n-1}$的黎曼和（积分和）定义为以下和式：

$$\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) (x_{i+1}-x_i)$$

和式中的每一项是子区间长度$x_{i+1}-x_i$与在$t_i$处的函数值$f(t_i)$的乘积。直观地说，就是以标记点$t_i$到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。

### 黎曼积分

不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。下面的证明中，会对“越来越‘精细’”作出严格的定义。

要使得“越来越‘精细’”有效，需要把$\lambda$趋于0。如此$[x_i, x_{i+1}]$中的函数值才会与$f(t_i)$接近，矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差也会越来越小。实际上，这就是黎曼积分定义的大概描述。

严格定义如下：$S$是函数$f$在闭区间$[a,b]$上的黎曼积分，当且仅当对于任意的$\epsilon > 0$，都存在$\delta > 0$，使得对于任意的取样分割$x_0,\ldots,x_n$、$t_0,\ldots,t_{n-1}$，只要它的子区间长度最大值$\lambda \le \delta$，就有：

$$\left|\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) (x_{i+1}-x_i) - S \right| < \epsilon.\,$$

也就是说，对于一个函数$f$，如果在闭区间$[a,b]$上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数$f$的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么$f$在闭区间$[a,b]$上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数$f$为黎曼可积的。

这个定义的缺陷是没有可操作性，因为要检验所有$\lambda \le \delta$的取样分割是难以做到的。下面引进另一个定义，然后证明它们是等价的。

另一个定义: $S$是函数$f$在闭区间$[a,b]$上的黎曼积分，当且仅当对于任意的$\epsilon > 0$，都存在一个取样分割$x_0,\ldots,x_n$、$t_0,\ldots,t_{n-1}$，使得对于任何比其“精细”的分割$y_0,\ldots,y_m$ and $s_0,\ldots,s_{m-1}$，都有：

$$\left|\sum_{i=0}^{m-1} f(s_i) (y_{i+1}-y_i) - S \right| < \epsilon.\,$$

这两个定义是等价的。如果有一个$S$满足了其中一个定义，那么它也满足另一个。首先，如果有一个$S$满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值$\lambda \le \delta$的分割中任取一个。对于比其精细的分割，子区间长度最大值显然也会小于$\delta$，于是满足

$$\left|\sum_{i=0}^{m-1} f(s_i) (y_{i+1}-y_i) - S \right| < \epsilon.\,$$

其次证明满足第二个定义的$S$也满足第一个定义。首先引进达布积分的概念，第二个定义和达布积分的定义是等价的，具体见达布积分。其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。任选一个分割$x_0,\ldots,x_n$使得它的上达布和与下达布和都与$S$相差不超过$\frac{\epsilon}{2}$。令$r$等于$\max_{0 \le i \le n-1} (M_i-m_i)$，其中$M_i$和$m_i$是$f$在$[x_i,x_{i+1}]$上的上确界和下确界。再令$\delta$是$\frac{\epsilon}{2rn}$和$\min_{0 \le i \le n-1} (x_{i+1}-x_i)$中的较小者。可以看出，当一个分割的子区间长度最大值小于$\delta$时，$f$关于它的黎曼和与上达布和或下达布和至多相差$\frac{\epsilon}{2}$，所以和$S$至多相差$\epsilon$。

由于以上原因，黎曼积分通常被定义为达布积分（即第二个定义），因为达布积分比黎曼积分更简单、更有可操作性。

## 黎曼积分的性质

- 线性性：黎曼积分是线性变换，也就是说，如果$f$和$g$在区间$[a,b]$上黎曼可积，$\alpha$和$\beta$是常数，则：

$$\int_{a}^{b}( \alpha f + \beta g)\,dx = \alpha \int_{a}^{b}f(x)\,dx + \beta \int_{a}^{b}g(x)\,dx.$$

由于一个函数的黎曼积分是一个实数，因此在固定了一个区间$[a,b]$后，将一个黎曼可积的函数设到其黎曼积分的映射$I: f \longrightarrow \int_{a}^{b} f dx$是所有黎曼可积的函数空间上的一个线性泛函。

- 正定性：如果函数$f$在区间$[a,b]$上几乎处处（勒贝格测度意义上）大于等于0，那么它在$[a,b]$上的积分也大于等于零。如果$f$在区间$[a,b]$上几乎处处大于等于0，并且它在$[a,b]$上的积分等于0，那么$f$几乎处处为0。
- 可加性：如果函数$f$在区间$[a,c]$和$[c,b]$上都可积，那么$f$在区间$[a,b]$上也可积，并且有

$$\int_{a}^{b} f dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx$$

无论a、b、c之间的大小关系如何，以上关系式都成立。

- $[a,b]$上的实函数$f$是黎曼可积的，当且仅当它是有界和几乎处处连续的。
- 如果$[a,b]$上的实函数是黎曼可积的，则它是勒贝格可积的。
- 如果${f_n}$是$[a,b]$上的一个一致收敛序列，其极限为$f$，那么：

$$\int_{a}^{b} f\, dx = \int_a^b{\lim_{n \to \infty}{f_n}\, dx} = \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n\, dx.$$

- 如果一个实函数在区间$[a,b],$上是单调的，则它是黎曼可积的。

## 黎曼积分的推广

黎曼积分可推广到值属于$n$维空间$\mathbb{R}^n$的函数。积分是线性定义的，即如果$\mathbf{f} = (f_1, \dots, f_n)$，则$\int\mathbf{f} = (\int f_1,\,\dots, \int f_n)$。特别地，由于复数是实数向量空间，故值为复数的函数也可定义积分。

黎曼积分只定义在有界区间上，扩展到无界区间并不方便。可能最简单的扩展是通过极限来定义积分，即如同反常积分（improper integral）一样。我们可以令

$$\int_{-\infty}^\infty f(t)\,dt = \lim_{x\to\infty}\int_{-x}^x f(t)\,dt.$$

不幸的是，这并不是很合适。平移不变性（如果把一个函数向左或向右平移，它的黎曼积分应该保持不变）丧失了。例如，令$f(x) = 1$若$x > 0$，$f(0)=0$，$f(x)=-1$若$x<0$。则对所有$x$

$\int_{-x}^x f(t)\,dt = \int_{-x}^0 f(t)\,dt + \int_0^x f(t)\,dt = -x + x = 0$.

但如果我们将$f(x)$向右平移一个单位得到$f(x-1)$，则对所有$x > 1$，我们得到

$\int_{-x}^x f(t-1)\,dt = \int_{-x}^1 f(t-1)\,dt + \int_1^x f(t-1)\,dt = -(x+1) + (x-1) = -2$.

由于这是不可接受的，我们可以尝试定义：

$$\int_{-\infty}^\infty f(t)\,dt = \lim_{a\to-\infty}\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(t)\,dt.$$

此时，如果尝试对上面的$f$积分，我们得到$+\infty$，因为我们先使用了极限$b\to\infty$。如果使用相反的极限顺序，我们得到$-\infty$。

这同样也是不可接受的，我们要求积分存在且与积分顺序无关。即使这满足，依然不是我们想要的，因为黎曼积分与一致极限不再具有可交换性。例如，令$f_n(x)=1/n$在$[0,n]$上，其它域上等于0。对所有$n$，$\int f_n\,dx = 1$。但$f_n$一致收敛于0，因此$\lim f_n$的积分是0。因此$\int f\,dx \not= \lim\int f_n\,dx$。即使这是正确的值，可看出对于极限与普通积分可交换的重要准则对反常积分不适用。这限制了黎曼积分的应用。

一个更好的途径是抛弃黎曼积分而采用勒贝格积分。虽然勒贝格积分是黎曼积分的扩展这点看上去并不是显而易见，但不难证明每个黎曼可积函数都是勒贝格可积的，并且当二者都有定义时积分值也是一致的。

事实上黎曼积分的一个直接扩展是Henstock–Kurzweil积分。

扩展黎曼积分的另一种途径是替换黎曼累加定义中的因子$x_i - x_{i+1}$，粗略地说，这给出另一种意义上长度间距的积分。这是黎曼-斯蒂尔切斯积分所采用的方法。