布朗运动

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布朗运动（Brownian motion）是微小粒子或者颗粒在流体中做的无规则运动。布朗运动过程是一种正态分布的独立增量连续随机过程。它是随机分析中基本概念之一。其基本性质为：布朗运动W(t)是期望为0、方差为t（时间）的正态随机变量。对于任意的r小于等于s，W(t)-W(s)独立于的W(r)，且是期望为0、方差为t-s的正态随机变量。可以证明布朗运动是马尔可夫过程、鞅过程和伊藤过程。

它是在公元1827年英国植物学家罗伯特·布朗利用一般的显微镜观察悬浮于水中由花粉所迸裂出之微粒时，发现微粒会呈现不规则状的运动，因而称它布朗运动。布朗运动也能测量原子的大小，因为就是由水中的水分子对微粒的碰撞产生的，而不规则的碰撞越明显，就是原子愈小，因此根据布朗运动，定义原子的直径为10−8厘米。

## 定义

自1860年以来，许多科学家都在研究此种现象，后来发现布朗运动有下列的主要特性：

- 粒子的运动由平移及转移所构成，显得非常没规则而且其轨迹几乎是处处没有切线。
- 粒子之移动显然互不相关，甚至于当粒子互相接近至比其直径小的距离时也是如此。
- 粒子越小或液体粘性越低或温度越高时，粒子的运动越活泼。
- 粒子的成分及密度对其运动没有影响。
- 粒子的运动永不停止。

## 爱因斯坦的理论

在1905年，爱因斯坦提出了相关理论。他的理论有两个部分：第一部分定义布朗粒子扩散方程式，其中的扩散系数与布朗粒子平均平方位移相关，而第二部分连结扩散系数与可测量的物理量。以此方式，爱因斯坦的理论可决定原子的大小，一莫耳有多少原子，或气体的克分子量。根据阿伏伽德罗定律，所有理想气体在标准温度和压力下体积为22.414升，其中包含的原子的数目被称为“阿伏伽德罗常数”。由气体的莫耳质量除以阿伏伽德罗常数等同原子量。

爱因斯坦论证的第一部分是，确定布朗粒子在一定的时间内运动的距离。经典力学无法确定这个距离，因为布朗粒子将会受到大量的撞击，每秒大约发生 1014 次撞击。因此，爱因斯坦将之简化，即讨论一个布朗粒子团的运动。

他把粒子在一个的空间中，把布朗粒子在一维方向上的运动增量 (x) 视作一个随机值（$\Delta$ 或者 x，并对其坐标进行变换，让原点成为粒子运动的初始位置）并给出概率密度函数 $\varphi(\Delta)$。另外，他假设粒子的数量有限，并扩大了密度（单位体积内粒子数量)，展开成泰勒级数。

$$\begin{align} \rho(x,t) + \tau \frac{\partial\rho(x)}{\partial t} + \cdots = \rho(x, t+\tau) ={}& \int_{-\infty}^{+\infty} \rho(x + \Delta, t) \cdot \varphi(\Delta) \, \mathrm{d} \Delta \\ ={}& \rho(x, t) \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\Delta) \, d \Delta + <pre> \frac{\partial\rho}{\partial x} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \Delta \cdot \varphi(\Delta) \, \mathrm{d} \Delta </pre> \\ &{}+ <pre> \frac{\partial^2 \rho}{\partial x^2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2} \cdot \varphi(\Delta) \, \mathrm{d} \Delta + \cdots </pre> \\ ={}& \rho(x, t) \cdot 1 + 0 + <pre> \frac{\partial^2 \rho}{\partial x^2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2} \cdot \varphi(\Delta) \, \mathrm{d} \Delta + \cdots </pre> \end{align}$$

第一行中的第二个等式是被 $\varphi$ 这个函数定义的。第一项中的积分等于一个由概率定义函数，第二项和其他偶数项（即第一项和其他奇数项）由于空间对称性而消失。化简可以得到以下关系关系：

$$\frac{\partial\rho}{\partial t} = \frac{\partial^2 \rho}{\partial x^2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2\, \tau} \cdot \varphi(\Delta) \, \mathrm{d} \Delta + \text{(更 高 阶 的 项 )}$$

拉普拉斯算子之前的系数，是下一刻的随机位移量 $\Delta$，让 D 为质量扩散系数：

$$D = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2\, \tau} \cdot \varphi(\Delta) \, \mathrm{d} \Delta$$

那么在 t 时刻 x 处的布朗粒子密度 ρ 满足扩散方程：

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}=D\cdot \frac{\partial^2\rho}{\partial x^2},$$

假设在初始时刻t = 0时，所有的粒子从原点开始运动，扩散方程的解

$$\rho(x,t)=\frac{\rho_0}{\sqrt{4\pi Dt}}e^{-\frac{x^2}{4Dt}}.$$

## 数学模型

### 定义

满足下列条件的鞅我们称之为布朗运动

- 这个鞅是关于时间连续的。
- 他的平方减去时间项也是一个鞅。

$(M_t)$是一个布朗运动当且仅当$(M_t)$为鞅，且$(M_t^2-t)$也为鞅.

### 其他定义

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一维的定义

一维布朗运动$\scriptstyle (B_t)_{t \ge 0}$是关于时间t的一个随机过程，他满足：

- （独立增量）设时间t和s满足t > s,增量$\scriptstyle B_t-B_s$独立于时间s前的过程$\scriptstyle (B_u)_{0\leq u \leq s}$。
- （稳定增量和正态性）设时间t和s满足t > s,增量$\scriptstyle B_t-B_s$服从均值为0方差为t−s的正态分布。
- $\scriptstyle (B_t)_{t \ge 0}$几乎处处连续，也就是说在任何可能性下，函数$\scriptstyle t\mapsto B_t(\omega)$是连续的.
- 通常假设$\scriptstyle B_0=0$。这种布朗运动我们称它为标准的。

等价定义

一维布朗运动$\scriptstyle (B_t)_{t \ge 0}$是关于时间t的一个随机过程，他满足：

- $\scriptstyle (B_t)_{t \ge 0}$是一个高斯过程，也就是说对于所有的时间列：$\scriptstyle t_1\leq t_2\leq ...\leq t_n$,随机向量：$\scriptstyle (B_{t_1},B_{t_2},...,B_{t_n})$服从高维高斯分布（正态分布）。
- $\scriptstyle (B_t)_{t \ge 0}$几乎处处连续。
- 对于所有s和t,均值$\scriptstyle \mathbb E[B_t]=0$，协方差$\scriptstyle E[B_s B_t]=min (s,t)$.

高维定义

$\scriptstyle (B_t)_{t \ge 0}:=\left(B^1_t,B^2_t,...,B^d_t\right)_{t \ge 0}$是d维布朗运动，只需满足$\scriptstyle B^1,B^2,...,B^d$为独立的布朗运动。

换句话说，d维布朗运动 取值于$\scriptstyle \mathbb R^d$，而它在$\scriptstyle \mathbb R,\mathbb R^2,...,\mathbb R^{d-1}$空间上的投影均为布朗运动。

Wiener测度的定义

设$\scriptstyle \mathcal C(\mathbb R^+,\mathbb R)$为从$\scriptstyle \mathbb R^+$到$\scriptstyle \mathbb R$的连续函数空间，$\scriptstyle (\Omega,\mathcal T, \mathbb P)$为概率空间。布朗运动为映射

$$B: \Omega \longrightarrow C(\mathbb R^+,\mathbb R)$$

$\omega \mapsto \left( t\mapsto B_t(\omega) \right)$.

Wiener测度 （或称为布朗运动的分布）设为$\scriptstyle W(d\omega)$,是映射B关于$\scriptstyle \mathbb P(d\omega)$的图测度。

换句话说， W是$\scriptstyle \mathcal C(\mathbb R^+,\mathbb R)$上的一个概率测度，满足对于任何$\scriptstyle A\subset \mathcal C(\mathbb R^+,\mathbb R)$，有

$W(A)=\mathbb P((B_t)_{t\geq0}\in A)$。

备忘

- 布朗运动是一种增量服从正态分布的莱维过程。
- 这个定义可以帮助我们证明布朗运动的很多特性，比如几乎处处连续，轨迹几乎处处不可微等等。
- 我们可以利用二次变差的期望为时间来等价定义布朗运动。这个定义由Levy定理演化而来，即：轨迹连续且二次变差为$t$的随机过程为布朗运动。

### 性质

- 布朗运动的轨道几乎处处不可微：对于任何$\scriptstyle \omega\in \Omega$,轨道$\scriptstyle t\mapsto B_t(\omega)$为一个连续但是零可微的函数。
- 协方差$\scriptstyle \mathbb E[B_s B_t]=min (s,t)$。
- 布朗运动具有强马氏性：对于停时T,取条件$\scriptstyle [T < \infty ]$,过程$\scriptstyle (B^T_t)_{t\geq 0}:=(B_{T+t}-B_T)_{t\geq 0}$为一个独立于$\scriptstyle (B_{s})_{0 \leq s<T}$的布朗运动。
- 它的Fourier变换或特征函数为$\scriptstyle \mathbb E\left[ e^{i u B_t} \right] = e^{-\frac{tu^2}{2}}$。可见，布朗运动是一个无偏，无跳跃，二项系数为1/2的Levy过程。
- 布朗运动关于时间是齐次的：对于s > 0, $\scriptstyle (B_{t+s}-B_s)_{t\geq 0}$是一个独立于$\scriptstyle (B_u)_{0\leq u \leq s}$的布朗运动。
- -B是一个布朗运动。
- （稳定性）对于c > 0， $\scriptstyle \left(cB_{\frac{t}{c^2}}\right)_{t\geq 0}$是布朗运动。
- （时间可逆性）$\scriptstyle \left(tB_{\frac{1}{t}}\right)_{t > 0}$在t=0之外是布朗运动。

如果$\scriptstyle d\in \{1,2\}$,集合$\scriptstyle\{t\geq 0, B_t=x\}$不是有界的，对于任何$\scriptstyle x\in \mathbb R^d$。

如果$\scriptstyle d\geq 3, \,\,\,\lim_{t\rightarrow \infty} ||B_t||=+\infty$（几乎处处）。

- （反射原理）

$$\mathbb P[\sup_{0\leq s\leq t}B_s \geq a]=2 \mathbb P[B_t \geq a] = \mathbb P[|B_t| \geq a].$$

### 布朗运动的数学构造

#### 利用Kolmogorov一致性定理

设$(f_t)_{t\in{\mathbb{R}}_+}$为$L^2({\mathbb{R}}_+)$空间中一列实值函数。设：

$\forall(u,v)\in{\mathbb{R}}_+\text{, }s(u,v)={\langle f_u,f_v \rangle}_{L^2({\mathbb{R}}_+)}=\int_{\mathbb{R}_+} f_u(x)f_v(x)dx$

这列函数满足：

$\forall k\in\mathbb{N}^*$，任意的$t_1, ..., t_k\in\mathbb{R}_+$,矩阵$\left(s(t_i,t_j)\right)_{1\leq i,j\leq k}$为对称半正定的。

利用Kolmogorov一致性定理，我们可以构造高斯过程$\{Y_t\}_{t\in\mathbb{R}_+}$，它的均值$m$任意，协方差为上面定义的$s$。

当$(f_t)_{t\in{\mathbb{R}}_+}=\left(\sqrt{c}.1\!\!1_{[0,t]} \right)_{t\in\mathbb{R}_+}$，$c>0$为不依赖于t的常数，$1\!\!1_{[0,t]}$为$[0,t]$上的示性函数。则：

$s(u,v)=c\int\limits_{\mathbb{R}}1\!\!1_{[0,u]}(s)1\!\!1_{[0,v]}(s)ds=\text{c.min}(u,v)$

在这个情况下，矩阵$\left(s(t_i,t_j)\right)_{1\leq i,j\leq k}$是对称且正定的。

我们称一个高斯过程为 布朗运动当且仅当均值为0，协方差为s。$c = Var(B_1)$，当$c = 1$时，称之为 标准的布朗运动.

#### 利用随机过程

Donsker定理（1951）证明了逐渐归一化的随机游走弱收敛于布朗运动。

$$\left( \frac{1}{\sigma\sqrt{n}} \left(\sum_{k=1}^{[nt]} U_k +(nt - [nt])U_{[nt]+1} \right) \right)_{0\leq t\leq 1} \underset{n\rightarrow \infty}{\Longrightarrow} (B_t)_{0\leq t\leq 1}$$

其中（Un, n ≥ 1）独立同分布，均值为0,方差为σ的随机变量序列。

#### 利用傅立叶级数

设2列独立的正态$\scriptstyle \mathcal N(0,1)$随机变量序列$\scriptstyle (N_k,k\in \mathbb N)$和$\scriptstyle (N'_k,k\in \mathbb N)$。定义$\scriptstyle (B_t)_{t\geq0}$：

$$B_t := t N_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\sqrt{2}}{2\pi k} \left(N_k \cos(2\pi kt -1)+N_k'\sin(2\pi kt)\right)$$

为布朗运动。

## 争议

### 对于布朗运动之误解

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## 外部链接

- 漫谈布朗运动
- Brownian motion - an overview