模糊数学

模糊数学，亦称弗晰数学或模糊性数学。1965年以后，在模糊集合、模糊逻辑的基础上发展起来的模糊拓扑、模糊测度论等数学领域的统称。是研究现实世界中许多界限不分明甚至是很模糊的问题的数学工具。在模式识别、人工智能等方面有广泛的应用。

## 模糊集

### 定义和表示

给定一个论域 U，那么从 U 到单位区间 0,1 的一个映射$$\mu_{A}: U \mapsto [0,1]$$ 称为 U 上的一个模糊集 或 U 的一个模糊子集。

记为 A。

映射（函数） μA(·) 或简记为 A(·) 叫做模糊集 A 的隶属函数。

对于每个 x ∈ U， μA(x) 叫做元素 x 对模糊集 A 的隶属度。

模糊集的常用表示法有下述几种：

- 解析法，也即给出隶属函数的具体表达式。
- Zadeh 记法，例如$A={1\over x_1}+{0.5\over x_2}+{0.72\over x_3}+{0\over x_4}$。分母是论域中的元素，分子是该元素对应的隶属度。有时候，若隶属度为0，该项可以忽略不写。
- 序偶法，例如$A=\{(x_1,1),(x_2,0.5),(x_3,0.72),(x_4,0)\}$，序偶对的前者是论域中的元素，后者是该元素对应的隶属度。
- 向量法，在有限论域的场合，给论域中元素规定一个表达的顺序，那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式，如 A = (1,0.5,0.72,0)。

### 一些相关概念

- 模糊集 A 的承集或支集记为 $\text{supp}A=\{x\in U\mid A(x)\neq 0\}$。
- 模糊集 A 的核记为 $\text{ker}A=\{x\in U\mid A(x)=1\}$。
- 模糊集 A 的高度记为 $\text{hgt}A=\sup\{A(x)\mid x\in U\}$。
- 模糊集 A 的深度记为 $\text{dpn}A=\inf\{A(x)\mid x\in U\}$。

### 模糊度

一个模糊集 A 的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度，一个直观的定义是这样的：

设映射 D : F(U) → 0,1 满足下述5条性质：

- 清晰性：D(A) = 0 当且仅当 A ∈ P(U)。（经典集的模糊度恒为0。）
- 模糊性：D(A) = 1 当且仅当 ∀ u ∈ U 有 A(u) = 0.5。（隶属度都为0.5的模糊集最模糊。）
- 单调性：∀ u ∈ U，若 A(u) ≤ B(u) ≤ 0.5，或者 A(u) ≥ B(u) ≥ 0.5，则 D(A) ≤ D(B)。
- 对称性：∀ A ∈ F(U)，有 D(Ac) = D(A)。（补集的模糊度相等。）
- 可加性：D(A∪B) + D(A∩B)=D(A) + D(B)。

则称 D 是定义在 F(U) 上的模糊度函数，而 D(A) 为模糊集 A 的模糊度。

可以证明符合上述定义的模糊度是存在的，一个常用的公式（分别针对有限和无限论域）就是$\begin{align} D_p(A)&=\frac{2}{n^{1/p}}\left(\sum\limits_{i=1}^n\left|A(u_i)-A_{0.5}(u_i)\right|^p\right)^{1/p}\\ D(A)&=\int_{-\infty}^{+\infty}|A(u)-A_{0.5}(u)|\mbox{d}u \end{align}$ 其中 p > 0 是参数，称为 Minkowski 模糊度。特别地，当 p = 1 的时候称为 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指标，当 p = 2 的时候称为 Euclid 模糊度。

## 模糊集的运算

### 各种算子

- Zadeh 算子，max 即为并，min 即为交

$$\begin{align}a\vee b&=\max\{a,b\}\\ a\wedge b&=\min\{a,b\}\end{align}$$

- 代数算子（概率和、代数积）

$$\begin{align}a\stackrel{\wedge}{+} b &=a+b-ab\\ a\cdot b &= ab\end{align}$$

- 有界算子

$$\begin{align}a\oplus b &=\min\{1,a+b\}\\ a\odot b &= \max\{0,a+b-1\}\end{align}$$

- Einstein 算子

$$\begin{align}a\stackrel{+}{\epsilon} b &= \frac{a+b}{1+ab}\\ a\stackrel{\cdot}{\epsilon} b &= \frac{ab}{1+(1-a)(1-b)}\end{align}$$

- Hamacher 算子，其中ν ∈ 0,+∞) 是参数，等于1时转化为代数算子，等于2时转化为 Einstein 算子

$$\begin{align} a\stackrel{+}{\nu} b &= \frac{a+b-ab-(1-\nu)ab}{\nu+(1-\nu)(1-ab)}\\ a\stackrel{\cdot}{\nu} b &= \frac{ab}{\nu+(1-\nu)(a+b-ab)} \end{align}$$

- Yager 算子，其中 p 是参数，等于1时转化为有界算子，趋于无穷时转化为 Zadeh 算子

$$\begin{align}a\;Y_p\;b &= \min\{1,(a^p+b^p)^{1/p}\}\\ a\;y_p\;b &= 1-\min\{1,[(1-a)^p+(1-b)^p]^{1/p}\}\end{align}$$

- λ-γ 算子，其中 λ,γ ∈ 0,1 是参数

$$\begin{align}a\;\lambda\;b &= \lambda ab+(1-\lambda)(a+b-ab)\\ a\;\gamma\;b &= (ab)^{1-\gamma}(a-ab)^\gamma\end{align}$$

- Dobois-Prade 算子，其中 λ ∈ 0,1 是参数

$$\begin{align} a\vee_d b &= \frac{a+b-ab-\min\{(1-\lambda),a,b\}}{\max\{\lambda,1-a,1-b\}}\\ a\wedge_d b &= \frac{ab}{\max\{\lambda,a,b\}} \end{align}$$

### 算子的性质

参见集合代数和布尔代数。

主要算子的性质对比表如下（`.`表示不满足，`-`表示未验证）：

算子｜结合律｜交换律｜分配律｜互补律｜同一律｜幂等律｜支配律｜吸收律｜双重否定律｜德·摩根律

Zedah｜√｜√｜√｜.｜√｜√｜√｜√｜√｜√

代数｜√｜√｜.｜.｜√｜.｜√｜.｜√

有界｜√｜√｜.｜√｜√｜.｜√｜√｜√

线性补偿是指：

$(\forall x,y,k \in [0,1])(x+k \wedge y-k\ \Rightarrow\ U(x+k,y-k)=U(x,y))$

算子的并运算｜幂等律｜排中律｜分配律｜结合律｜线性补偿

Zadeh｜√｜.｜√｜√｜.

代数｜.｜.｜.｜√｜.

有界｜.｜√｜.｜.｜√

Hamacher r = 0｜.｜.｜.｜√｜.

Yager｜.｜.｜.｜√｜.

Hamacher｜.｜.｜.｜√｜.

Dobois-Prade｜.｜.｜.｜√｜.

## 模糊集与经典集的关系

### 截集与截积

设 $A\in \mathcal{F}(U)$，任取 $\lambda \in [0,1]$，则

$A_\lambda = \{ u\in U\mid A(u)\geq\lambda\}$。

称 Aλ 为 A 的 λ 截集，而 λ 称为阈值或置信水平。将上式中的 ≥ 替换为 >，记为 ASλ，称为强截集。

截集和强截集都是经典集合。此外，显然 A1 为 A 的核，即 kerA；如果 kerA ≠ ø，则称 A 为正规模糊集，否则称为非正规模糊集。

截积是数与模糊集的积：

设 λ ∈ 0,1，A ∈ F(U)，则 ∀ u∈U，λ 与 A 的截积（或称为 λ 截集的数乘，记为 λA）定义为：

$(\lambda A)(u)=\lambda \wedge A(u)= \begin{cases} <pre> A(u), &\lambda \geq A(u),\\ \lambda, &\lambda < A(u). </pre> \end{cases}$

根据定义，截积仍是 U 上的模糊集合。

### 分解定理与表现定理

分解定理：

设 A∈F(U)，则

$A=\bigcup\limits_{\lambda\in[0,1]}\lambda A_\lambda$

即任一模糊集 A 都可以表达为一族简单模糊集 {λAλ} 的并。也即，一个模糊集可以由其自身份解出的集合套而“拼成”。

表现定理：

设 H 为 U 上的任何一个集合套，则

$A=\bigcup\limits_{\lambda\in[0,1]}\lambda H(\lambda)$

是 U 上的一个模糊集，且 ∀ λ ∈ 0,1，有（1） ASλ = ∪α>λ H(α)

（2） Aλ = ∩α<λ H(α)

即任一集合套都能拼成一个模糊集。

## 模糊集之间的距离

### 使用度量理论

可以使用一般的度量理论来描述模糊集之间的距离。在这个意义上，我们需要在模糊幂集 F(U) 上建立一个度量，此外，我们还可能需要将此度量标准化，也即映射到 0,1 区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离：

$$\tilde{d}(x,y)=\left({1\over n}\sum\limits_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|^p \right)^{1\over p}$$

### 贴近度

另一种是使用贴近度概念。在某种意义上，贴近度就是 1 - 距离（这里的距离是上述标准化意义上的距离）。而之所以应用这个变换，是考虑到“度”的概念的直觉反映——距离越近，贴近的程度显然越“高”，因此它恰为距离的反数。

除了距离外，还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义。

最大最小贴近度：$$\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\vee B(u_i))}$$

算术平均最小贴近度：$$\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{{1\over 2}\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)+B(u_i))}$$

几何平均最小贴近度：$$\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{\sum_{i=1}^{n}\sqrt{A(u_i)\cdot B(u_i)}}$$

指数贴近度：$$\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{1}{e^{\|A-B\|}}$$

## 模糊关系

模糊关系是建立在模糊集上的关系，此外，它也有一些特别的性质和应用。

### 定义

设 U 和 V 是论域，U × V = {(x , y) | x ∈ U, y ∈ V } 是 U 和 V 的笛卡尔直积，则每个模糊子集 R ∈ U × V 都称为从 U 到 V 的一个模糊关系。若 U = V，则称 R 是 U 中的模糊关系。如果 R(x,y) = α，则称 x 与 y 具有关系 R 的程度为 α。特别地：

- 若 ∀ (x,y) ∈ U × U，当 x = y 时 R = 1，当 x ≠ y 时 R = 0，则称 R 为 U 上的恒等关系，记为 I
- 若 ∀ (x,y) ∈ U × V，有 R(x,y) = 0，则称 R 为从 U 到 V 的零关系，记为 0
- 若 ∀ (x,y) ∈ U × V，有 R(x,y) = 1，则称 R 为从 U 到 V 的全称关系，记为 E

模糊关系的并、交、补、包含、相等、λ 截和截积运算，实质上就是模糊集的相应运算（采用 Zadeh 算子）。但模糊关系还有一个特殊的运算转置，定义为

RT(x,y) = R(y,x)

易知转置运算满足复原律、交换律和单调性等。

### 关系以及关系的合成的矩阵表达

关系的合成：

对于从 U x-m 到 V y-p 的关系 R，以及从 V y-p 到 W z-n 的关系 S，那么从 U 到 W 的模糊复合关系 R · S 为

$\displaystyle (R\circ S)(x_i,z_j)=\bigvee_{k\leq p}[R(x_i,y_k)\wedge S(y_k,z_j)]$

其中 ∧ 是取小 ∨ 是取大（即 Zedah 算子）。由此可知，模糊复合关系的运算，就是两个模糊关系的矩阵的乘法运算，只是要将矩阵乘法中的乘法改为 ∧，而加法改为 ∨ 即可。

例子：设 U = {1,2,3,4}, V = {a,b,c}, W = {α,β}：

从 U 到 V 的模糊关系 R ｜从 V 到 W 的模糊关系 S

```
(1,a)=0.7, (1,b)=0.5, (1,c)=0
(2,a)=1,   (2,b)=0,   (2,c)=0
(3,a)=0,   (3,b)=1,   (3,c)=0
(4,a)=0,   (4,b)=0.4, (4,c)=0.3
```

```
(a,&alpha;)=0,6 (a,&beta;)=0.8
(b,&alpha;)=0   (b,&beta;)=1
(c,&alpha;)=0   (c,&beta;)=0.9
```

那么这些模糊关系可以写成如下矩阵表达（注意行列位置）：

R｜a｜b｜c 1｜0.7｜0.5｜0 2｜1｜0｜0 3｜0｜1｜0 4｜0｜0.4｜0.3｜S｜α｜β a｜0.6｜0.8 b｜0｜1 c｜0｜0.9｜R · S｜α｜β 1｜0.6｜0.7 2｜0.6｜0.8 3｜0｜1 4｜0｜0.4

### 模糊关系与分类

模糊等价关系定义：

设 U 中的模糊关系 R 满足

- 自反性 : ∀ x ∈ U, R(x , x) = 1

- 对称性 : ∀ x, y ∈ U, R(x , y) = R(y , x)

- 传递性 : ∀ x, y, z ∈ U, ∀ λ ∈ 0,1, 当 R(x , y) ≥ λ 且 R(y , z) ≥ λ 时，R(x , z) ≥ λ

则称 R 为 U 中的一个模糊等价关系。易知，对于一个固定的 λ ∈ 0,1 来说，传递性条件刻画了模糊关系 R 具有 λ 水平上的传递性。

下述定理指出了模糊等价关系与普通等价关系的关系：U 中的模糊关系 R 是模糊等价关系的充要条件是，对于每个 λ ∈ 0,1，R 的 λ 截关系 Rλ 是 U 中的普通等价关系。

只满足自反性和对称性，不满足传递性的模糊关系称为模糊相似关系。而将等价关系与相似关系联系在一起的是下述定理：U 中的模糊关系 R 是模糊传递关系的充要条件是 R2 ⊆ R。

分类：

- 如果模糊关系是等价关系，取某一水平的 λ 截集，即可得到这个水平上的分类。
- 如果模糊关系是相似关系，计算 R* ≡ R2^k = R2^(k+1)，则 R* 可被证明是等价关系。