数学符号表

数学不一定会加以说明。但绝大多数常见的符号都有相应标准或Unicode符号说明

下表列出很多常见数学符号，并附有名称、读法和应用领域。第四栏提供简单例子。

## 数学符号表

符号｜名称｜定义｜举例

读法数学领域

≫｜远大于号｜通常没有正式定义，但表示较小的量相对于另一个量可以忽略不计｜1 ≫0.01

远大于所有领域

≪｜远小于号｜通常没有正式定义，但表示较小的量相对于另一个量可以忽略不计｜0.01≪1

远小于所有领域

=｜等号｜$x=y$表示x和y是相同的东西或其值相等｜$2^2=4$

等于所有领域

≠｜不等号｜$x\neq y$表示x和y不是相同的东西或其值不相等｜$1\neq 2$

不等于所有领域

>｜严格不等号｜$x<y$表示x小于y$x>y$表示x大于y｜$3<4$ $5>4$

小于，大于序理论

≤≥｜不等号｜$x\leq y$表示x小于或等于y$x\geq y$表示x大于或等于y｜$x\leq 2,x=$2或1$2\geq x,x=$；2或1

小于等于，大于等于序理论

+｜加号｜$3+3$表示3加3｜$3+3=6$

加算术

−｜减号｜$6-3$表示6减3｜$6-3=3$

减算术

负号｜−5表示“负5”或“5的负数”｜$-(-5)=5$

负算术

补集｜$A-B$表示包含所有属于$A$但不属于$B$的元素的集合｜$\left \{ 1,2,4 \right \}-\left \{ 1,3,4 \right \}=\left \{ 2 \right \}$

减集合论

×、｜乘号｜$2\times 3$表示2乘以3｜$2\times 3=6$

乘以算术

直积｜$X\times Y$表示所有第一个元素属于$X$，第二个元素属于$Y$的有序对的集合｜$\left \{ 1,2 \right \}\times\left \{ 3,4 \right \}=\left \{ (1,3),(1,4),(2,3),(2,4) \right \}$

…和…的直积集合论

向量积｜$\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}$表示向量$\boldsymbol{u}$和$\boldsymbol{v}$的向量积｜$(1,2,5)\times(3,4,-1)=(-22,16,-2)$

向量积向量代数

$\cdot$｜纯量积｜$\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}$表示向量$\boldsymbol{u}$和$\boldsymbol{v}$的纯量积

纯量积向量代数

÷/｜除号｜$6\div 3$或$6/3$表示“6除以3”或“以3除6”｜$6\div 3=2$ $12/4=3$

除以算术

$\sqrt{}$ $\sqrt{\ }$｜根号｜$\sqrt{x}$表示其平方根为x的正数｜√4=±2

…的平方根实数

复根号｜若用极坐标表示复数$z=r\exp(i\varphi)$（满足$-\pi<\varphi<\pi$）则$\sqrt{z}=\sqrt{r}\exp(\frac{i\varphi}{2})$｜$\sqrt{-1}=i$

…的平方根复数

`| |`｜绝对值｜$\left \vert x \right \vert$表示实数轴（或复平面）上x和0的距离｜$\left \vert 3 \right \vert=3$，$\left \vert -5 \right \vert=5$，$\left \vert i \right \vert=1$，$\left \vert 3+4i \right \vert=5$

…的绝对值数

阶乘｜$n!$表示连乘积$1\times 2\times\ldots\times n$｜$4!=1\times 2\times 3\times 4=24$

…的阶乘组合论

~｜概率分布｜$X\sim D$表示随机变量$X$概率分布为$D$｜$X\sim N(0,1)$：标准正态分布

满足分布统计学

相似｜“图形甲～图形乙”表示两图形形状相似（则指图型按比例放大或缩细）｜当$\triangle ABC \sim \triangle DEF$，则$\angle A = \angle D$，$\angle B = \angle E$，$\angle C = \angle F$，但是不代表$\bar{AB} = \bar{DE}$，$\bar{BC} = \bar{EF}$，$\bar{AC} = \bar{DF}$

相似于，…与…相似几何

⇒→⊃｜实质蕴涵｜$A\Rightarrow B$表示$A$真则$B$也真；$A$假则$B$不定$\rightarrow$可能和$\Rightarrow$一样，或者有下面将提到的函数的意思（函数箭头）$\supset$可能和$\Rightarrow$一样，或者有下面将提到的交集的意思（父集）｜$x=2\Rightarrow x^2=4$为真，但$x^2=4\Rightarrow x=2$一般情况下为假（x可以是$-2$）

推出，若…则…

命题逻辑

⇔↔｜实质等价｜$A\Leftrightarrow B$表示$A$真则$B$真，$A$假则$B$假｜$x+5=y+2\Leftrightarrow x+3=y$

当且仅当（当且仅当）

命题逻辑

¬˜｜逻辑非｜命题$\neg A$为真当且仅当$A$为假将斜线穿过符号相当于将“$\neg$”放在符号前面｜$\neg(\neg A)\Leftrightarrow A$ $x\neq y\Leftrightarrow \neg(x=y)$

非，不命题逻辑

∧｜逻辑与或交运算｜$A$为真且$B$为真则命题$A\land B$为真；否则为假｜$n<4\land n>2\Leftrightarrow n=3$，当$n$是自然数

与命题逻辑，格理论

∨｜逻辑或或并运算｜$A$或$B$（或都）为真则命题$A\lor B$为真；两者都假则命题为假｜$n\geq 4\lor n\leq 2\Leftrightarrow n\neq 3$，当$n$是自然数

或命题逻辑，格理论

⊕ ⊻｜异或｜$A$和$B$刚好有一者为真则命题$A\oplus B$为真$A\veebar B$的意义相同｜$(\neg A)\oplus A$恒为真，$A\oplus A$恒为假

异或命题逻辑，布尔代数

∀｜全称量词｜$\forall x:P(x)$表示$P(x)$对于所有x为真｜$\forall n\in \mathbb{N}:n^2\geq n$

对所有；对任意；对任一谓词逻辑

∃｜存在量词｜$\exists x:P(x)$表示有至少一个x使得$P(x)$为真｜$\exists n\in \mathbb{N}:n$为偶数

存在谓词逻辑

∃!｜唯一量词｜$\exists! x:P(x)$表示有且仅有一个x使得P(x)为真｜$\exists!n\in \mathbb{N}:n+5=2n$

存在唯一谓词逻辑

=≡:⇔｜定义｜$x:=y$或$x\equiv y$表示x定义为y的一个名字（注意，$\equiv$也可表示其它意思，例如恒等于 or 也能表达 当且仅当 或 同余）$P:\Leftrightarrow Q$表示$P$定义为$Q$的逻辑等价｜$\cosh x:=\frac{1}{2}\left ( \exp x+\exp (-x) \right )$ $A\; \text{XOR}\; B:\Leftrightarrow (A\lor B)\land\neg(A\land B)$

定义为所有领域

{ , }｜集合括号｜$\left \{ a,b,c \right \}$表示$a,b,c$组成的集合｜$\mathbb{N}=\left \{ 0,1,2,\ldots \right \}$

…的集合集合论

{ : }`{ | }`｜集合构造记号｜$\left \{ x:P(x) \right \}$表示所有满足$P(x)$的x的集合$\left \{ x|P(x) \right \}$和$\left \{ x:P(x) \right \}$的意义相同｜$\left \{ n\in \mathbb{N}:n^2<20 \right \}=\left \{ 0,1,2,3,4 \right \}$

满足…的集合集合论

∅{}｜空集合｜$\varnothing$表示没有元素的集合$\left \{ \right \}$的意义相同｜$\left \{ n\in \mathbb{N}:1<n^2<4 \right \}=\varnothing$

空集合集合论

∈∉｜元素归属性质｜$a\in S$表示$a$属于集合$S$ $a\not\in S$表示$a$不属于$S$｜$\left ( \frac{1}{2} \right )^{-1}\in \mathbb{N}$ $2^{-1}\not\in \mathbb{N}$

属于；不属于所有领域

⊆⊂ ⫋｜子集｜$A\subseteq B$表示$A$的所有元素属于$B$ $A\subset B$表示$A\subseteq B$但$A\neq B$ （有的地方记作$A \subsetneqq B$）｜$A\cap B\subseteq A$ $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$ $\mathbb{Q}\subsetneqq \mathbb{R}$

…的子集集合论

⊇⊃ ｜父集｜$A\supseteq B$表示$B$的所有元素属于$A$ $A\supset B$表示$A\supseteq B$但$A\neq B$ （有的地方记作$A \supsetneqq B$）｜$A\cup B\supseteq B$ $\mathbb{R}\supset\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}\supsetneqq\mathbb{Q}$

…的父集集合论

∪｜并集（联集）｜$A\cup B$表示包含所有$A$和$B$的元素但不包含任何其他元素的集合｜$A\subseteq B\Leftrightarrow A\cup B=B$

…和…的并集集合论

∩｜交集｜$A\cap B$表示包含所有同时属于$A$和$B$的元素的集合｜$\left \{ x\in \mathbb{R}:x^2=1 \right \}\cap\mathbb{N}=\left \{ 1 \right \}$

…和…的交集集合论

\ $\complement$ ｜补集｜$A\setminus B$表示所有属于$A$但不属于$B$的元素的集合 （有的地方记作$\complement_AB$）｜$\left \{ 1,2,3,4 \right \}\setminus\left \{ 3,4,5,6 \right \}=\left \{ 1,2 \right \}$ $\complement_UA=\left\{ x|x\in U\ \textrm{and}\ x \notin A\right\}$

减；除去集合论

函数应用｜$f(x)$表示$f$在x的值｜$f(x):=x^2$，则$f(3)=3^2=9$

$$f(x)$$ 集合论

优先组合｜先运算括号内的部分｜$\left ( \frac{8}{4} \right )\div2=\frac{2}{2}=1$ $8\div\left ( \frac{4}{2} \right )=\frac{8}{2}=4$

所有领域

ƒ:X→Y｜函数箭头｜$f:X\rightarrow Y$表示$f$从集合$X$映射到集合$Y$｜设$f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{N}$定义为$f(x)=x^2$

从…到…

集合论

o｜复合函数｜$f\circ g$是函数使得$(f\circ g)(x)=f(g(x))$｜$f(x)=2x$且$g(x)=x+3$则$(f\circ g)(x)=2(x+3)$

复合集合论

N ℕ｜自然数｜$\mathbb{N}$表示$\left \{ 0,1,2,3,\ldots \right \}$，另一定义参见自然数条目｜$\left \{ \left \vert a \right \vert :a\in \mathbb{Z}\right \}=\mathbb{N}$

N 数

Z ℤ｜整数｜$\mathbb{Z}$表示$\left \{ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \right \}$｜$\left \{ a:\left \vert a \right \vert \in \mathbb{N}\right \}=\mathbb{Z}$

Z 数

Q ℚ｜有理数｜$\mathbb{Q}$表示$\left \{ p|q:p,q\in \mathbb{Z},q\neq 0 \right \}$｜$3.14\in \mathbb{Q}$ $\pi\not\in \mathbb{Q}$

Q 数

R ℝ｜实数｜$\mathbb{R}$表示$\{\textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle a_n:\forall n\in \mathbb{N}:a_n\in\mathbb{Q},$极限存在$\}$｜$\pi\in \mathbb{R}$ $\sqrt{-1}\not\in \mathbb{R}$

R 数

C ℂ｜复数｜$\mathbb{C}$表示$\left \{ a+bi:a,b\in \mathbb{R} \right \}$｜$i=\sqrt{-1}\in \mathbb{C}$

C 数

∞｜无穷｜$\infty$是扩展的实数轴上大于任何实数的数；通常出现在极限中｜$\textstyle \lim_{x \to 0} \displaystyle \frac{1}{\left \vert x \right \vert}=\infty$

无穷数

π｜圆周率｜$\pi$表示圆周长和直径之比｜$A=\pi r^2$是半径为$r$的圆的面积

pi 几何

`||``||`｜范数｜$\left \Vert x \right \Vert$是赋范线性空间元素x的范数｜$\left \Vert x+y \right \Vert\leq\left \Vert x \right \Vert+\left \Vert y \right \Vert$

…的范数；…的长度线性代数

∑｜求和｜$\sum_{k=1}^na_k$表示$a_1+a_2+\ldots+a_n$｜$\begin{align} \sum_{k=1}^4 k^2&=1^2+2^2+3^2+4^2\\ & =1+4+9+16\\& =30 \end{align}$

从…到…的和(sigma)

算术

∏｜求积｜$\prod_{k=1}^na_k$表示$a_1a_2\ldots a_n$｜$\begin{align} \prod_{k=1}^4(k+2)&=(1+2)(2+2)(3+2)(4+2)\\ & =3\times 4\times 5\times 6\\& =360\end{align}$

从…到…的积算术

直积｜$\prod_{i=0}^nY_i$表示所有(n+1)-元组($y_0,\ldots,y_n$)｜$\prod_{n=1}^3\mathbb{R}=\mathbb{R}^n$

…的直积集合论

'｜导数｜$f'(x)$函数$f$在x点的导数，也就是，那里的切线斜率｜$f(x)=x^2$则$f'(x)=2x$

…撇；…的导数微积分

∫｜不定积分或反导数｜$\int f(x)dx$表示导数为$f$的函数｜$\int x^2 dx=\frac{x^3}{3}+C$

…的不定积分；…的反导数微积分

定积分｜$\int _a^b f(x)dx$表示x-轴和$f$在$x=a$和$x=b$之间的函数图像所夹成的带符号面积｜$\int _0^bx^2dx=\frac{b^3}{3}$

从…到…以…为变量的积分微积分

∇｜梯度｜$\triangledown f(x_1,\ldots,x_n)$偏导数组成的向量$(df/dx_1,\ldots,df/dx_n)$｜$f(x,y,z)=3xy+z^2$则$\triangledown f=(3y,3x,2z)$

…的（del或nabla或梯度）

微积分

∂｜偏导数｜设有$f(x_1,\ldots,x_n),\partial f/\partial x$是$f$的对于$x_i$的当其他变量保持不变时的导数｜$f(x,y)=x^2y$则$\partial f/\partial x=2xy$

…的偏导数微积分

边界｜$\partial M$表示$M$的边界｜$\partial\left \{ x:\left \Vert x \right \Vert \leq 2\right \}=\left \{ x:\left \Vert x \right \Vert =2\right \}$

…的边界拓扑

次数｜$\partial f(x)$表示$f(x)$的次数（也记作$\deg f(x)$）

…的次数多项式

⊥｜垂直｜$x\perp y$表示x垂直于y；更一般的x正交于y｜$I\perp m$和$m\perp n$则$I\parallel n$

垂直于几何

底元素｜$x=\perp$表示x是最小的元素｜$\forall x:x\land\perp=\perp$

底元素格理论

⊧｜蕴涵｜$A\models B$表示$A$蕴涵$B$，在$A$成立的每件模型中，$B$也成立｜$A\models A\lor\neg A$

蕴涵。

模型论

⊢｜推导｜$x\vdash y$表示y由x导出｜$A\rightarrow B\vdash\neg B\rightarrow\neg A$

从…导出命题逻辑，谓词逻辑

◅ ｜正规子群｜$N\triangleleft G$表示$N$是$G$的正规子群｜$Z(G)\triangleleft G$

是…的正规子群群论

/ ｜商群｜$G/H$表示$G$模其子群$H$的商群

$\left \{ 0,a,2a,b,b+a,b+2a \right \}/\left \{ 0,b \right \}$ $=\left \{ \left \{ 0,b \right \} ,\left \{ a,b+a \right \},\left \{ 2a,b+2a \right \}\right \}$ 模群论

≈ ｜同构｜$G\approx H$表示$G$同构于$H$｜$Q/\left \{ 1,-1 \right \}\thickapprox V$，其中$Q$是四元数群，$V$是克莱因四群

同构于群论

近似｜甲≈乙表示甲约等于乙｜$\pi\approx 3.14$

约等于所有领域

∝｜正比｜$G\propto H$表示$G$正比于$H$｜$Q\propto V$则$Q=KV$

正比于所有领域

≅｜全等｜“图形甲≅图形乙”表示两图形全等（形状大小都一样）｜$\triangle ABC \cong \triangle DEF$则$\angle A = \angle D$，$\angle B = \angle E$，$\angle C = \angle F$，$\bar{AB} = \bar{DE}$，$\bar{BC} = \bar{EF}$，$\bar{AC} = \bar{DF}$

全等于，…与…全等几何

## 外部链接

- Compendium of Mathematical Symbols - Math Vault
- Math Symbols List - RapidTables
- Jeff Miller: Earliest Uses of Various Mathematical Symbols
- TCAEP - Institute of Physics