磁矩

磁矩是磁铁的一种物理性质。处于外磁场的磁铁，会感受到力矩，促使其磁矩沿外磁场的磁场线方向排列。磁矩可以用向量表示。磁铁的磁矩方向是从磁铁的指南极指向指北极，磁矩的大小取决于磁铁的磁性与量值。不只是磁铁具有磁矩，载流回路、电子、分子或行星等等，都具有磁矩。

科学家至今尚未发现宇宙中存在有磁单极子。一般磁性物质的磁场，其泰勒展开的多极展开式，由于磁单极子项目恒等于零，第一个项目是磁偶极子项、第二个项目是磁四极子（quadrupole）项，以此类推。磁矩也分为磁偶极矩、磁四极矩等等部分。从磁矩的磁偶极矩、磁四极矩等等，可以分别计算出磁场的磁偶极子项目、磁四极子项目等等。随着距离的增远，磁偶极矩部分会变得越加重要，成为主要项目，因此，磁矩这术语时常用来指称磁偶极矩。有些教科书内，磁矩的定义与磁偶极矩的定义相同。

## 概述

一个载流循环的磁偶极矩是其所载电流乘以回路面积：

$\boldsymbol{\mu}=I\mathbf{a}\,\!$。

其中，$\boldsymbol{\mu}\,\!$为磁偶极矩，$I\,\!$为电流，$\mathbf{a}\,\!$为面积向量。磁偶极矩、面积向量的方向是由右手定则决定。

处于外磁场的载流循环，其感受到的力矩和其势能与磁偶极矩的关系为：

$\boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\mu}\times\mathbf{B}\,\!$。

$U= - \boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}\,\!$。

其中，$\boldsymbol{\tau}\,\!$为力矩，$\mathbf{B}\,\!$为磁场，$U\,\!$为势能。

许多基本粒子，例如电子，都具有内禀磁矩。这种内禀磁矩是许多巨观磁场力的来源，许多物理现象也和此有关。这种磁矩和古典物理的磁矩不同，而是和粒子的自旋有关，必须用量子力学来解释。这些内禀磁矩是量子化的，最小的基本单位，常常称为“磁子”（magneton）。例如，电子自旋的磁矩与波耳磁子的关系式为：

$\boldsymbol{\mu}_s= - g_s \mu_B \mathbf{S}/\hbar\,\!$。

其中，$\boldsymbol{\mu}_s\,\!$为电子自旋的磁矩，电子自旋g因子$g_s\,\!$是一项比例常数，$\mu_B\,\!$为波耳磁子，$\mathbf{S}\,\!$为电子的自旋，$\hbar\,\!$是约化普朗克常数。

## 单位

采用国际单位制，磁偶极矩的因次是面积×电流。磁偶极矩的单位有两种等价的表示法：

1 安培·米2 = 1 焦耳／特斯拉。

CGS单位制又可细分为几种亚单位制：静电单位制（electrostatic units），电磁单位制（electromagnetic units）、高斯单位制。

光速 c = 29,979,245,800 ≈ 3·1010｜语言｜国际单位制｜静电单位制｜电磁单位制｜高斯单位制

中文｜1 安培·米2 = 1 焦耳／特斯拉｜= (103 c) 静安培·公分2｜= (103) 绝对安培·公分2｜= (103) 尔格／高斯

英文｜1 A·m2 =1 J/T｜= (103 c) statA·cm2｜= (103) abA·cm2｜= (103) erg／Gauss

磁偶极矩在电磁单位制与在静电单位制的比例正好等于单位为公分／秒的光速。

在这篇文章内，所有的方程式都采用国际单位制。

## 两种磁源

在任何物理系统里，磁矩最基本的源头有两种：

- 电荷的运动，像电流，会产生磁矩。只要知道物理系统内全部的电流密度分布（或者所有的电荷的位置和速度），理论上就可以计算出磁矩。
- 像电子、质子一类的基本粒子会因自旋而产生磁矩。每一种基本粒子的内禀磁矩的大小都是常数，可以用理论推导出来，得到的结果也已经通过做实验核对至高准确度。例如，电子磁矩的测量值是−9.284764×10−24焦耳／特斯拉。磁矩的方向完全决定于粒子的自旋方向（电子磁矩的测量值是负值，这意味着电子的磁矩与自旋呈相反方向）。

整个物理系统的净磁矩是所有磁矩的向量和。例如，氢原子的磁场是以下几种磁矩的向量和：

- 电子的自旋。
- 电子环绕着质子的轨域运动。
- 质子的自旋。

再举个例子，构成条形磁铁的物质，其未配对电子的内禀磁矩和轨域磁矩的向量和，是条形磁铁的磁矩。

## 计算磁矩的方程式

### 平面循环

<image>

对于最简单的案例，平面载流循环的磁偶极矩$\boldsymbol{\mu}\,\!$是

$\boldsymbol{\mu}=I \mathbf{a}\,\!$。

其中，$I\,\!$是循环所载有的恒定电流，$\mathbf{a}\,\!$是平面循环的面积向量。

面积向量和磁偶极矩的方向是由右手定则给出：令四只手指朝着电流方向弯曲，伸直大拇指，则大拇指所指的方向即是面积向量的方向，也是磁偶极矩的方向。

这有限面积的载流循环还有更高阶的磁矩，像磁四极矩，磁八极矩等等。假设载流循环的面积趋向于零、电流趋向于无穷大，同时保持$\boldsymbol{\mu}=I\mathbf{a}\,\!$不变，则所有更高阶的磁矩会趋向于零，这真实的载流循环趋向于理想磁偶极子，或纯磁偶极子。

### 任意回路

对于任意回路案例，假设回路载有恒定电流$I\,\!$，则其磁偶极矩为

$\boldsymbol{\mu}=I\int_{\mathbb{S}} \mathrm{d} \mathbf{a}\,\!$。

其中，$\mathbb{S}\,\!$是积分曲面，$\mathbb{C}\,\!$是$\mathbb{S}\,\!$边缘的闭合回路，$\mathrm{d} \mathbf{a}\,\!$是微小面积元素，$\mathrm{d} \boldsymbol{\ell}\,\!$是微小线元素，$\mathbf{r}\,\!$是$\mathrm{d} \boldsymbol{\ell}\,\!$的位置。

引用向量恒等式

$\int_{\mathbb{S}} \mathrm{d} \mathbf{a}=\frac{1}{2}\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{r}\times\mathrm{d} \boldsymbol{\ell}\,\!$。

即可得到磁偶极矩的路径积分方程式

$\boldsymbol{\mu}=\frac{I}{2}\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{r}\times\mathrm{d} \boldsymbol{\ell}\,\!$。

### 任意电流分布

对于最广义的任意电流分布案例，磁偶极矩为

$\boldsymbol{\mu}=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{V}}\mathbf{r}\times\mathbf{J}\ \mathrm{d}V\,\!$。

其中，$\mathbb{V}\,\!$是积分体积，$\mathbf{r}\,\!$是源电流位置，$\mathbf{J}\,\!$是电流密度，$\mathrm{d}V\,\!$是微小体积元素。

任意一群移动电荷，像旋转的带电固体，都可以用这方程式计算出其磁偶极矩。

### 基本粒子

在原子物理学和核子物理学里，磁矩的大小标记为$\mu\,\!$，通常测量单位为波耳磁子或核磁子（nuclear magneton）。磁矩关系到粒子的自旋，和／或粒子在系统内的轨域运动。以下列表展示出一些粒子的内禀磁矩：

粒子｜内禀磁矩（10−27 焦耳／特斯拉）｜自旋量子数

电子｜-9284.764｜1/2

质子｜+14.106067｜1/2

中子｜-9.66236｜1/2

缈子｜-44.904478｜1/2

重氢｜+4.3307346｜1

氢-3｜+15.046094｜1/2

欲知道更多有关于磁矩与磁化强度之间的物理关系，请参阅条目磁化强度。

## 载流回路产生的磁场

<image>

载流回路会在周围产生磁场。这磁场包括偶极磁场与更高次的多极项目。但是，随着距离的增远，这些多极项目会更快速地减小，因此，在远距离位置，只有偶极项目是磁场的显要项目。

思考一个载有恒定电流$I\,\!$的任意局域回路$\mathbb{C}\,\!$，其磁矢势$\mathbf{A}\,\!$为

$\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint_{\mathbb{C}'}\ \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\,'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\,\!$。

其中，$\mathbf{r}\,\!$是检验位置，$\mathbf{r}'\,\!$是源头位置，是微小线元素$\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\,'\,\!$的位置，$\mu_0\,\!$是磁常数。

假设检验位置足够远，$r>r'\,\!$，则表达式$\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\,\!$可以泰勒展开为

$\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}=\frac{1}{r}\sum_{n=0}^{\infty}\ \left(\frac{r'}{r}\right)^n P_n(\cos \theta')\,\!$。

其中，$P_n(\cos \theta')\,\!$是勒让德多项式，$\theta'\,\!$是$\mathbf{r}\,\!$与$\mathbf{r}'\,\!$之间的夹角。

所以，磁矢势展开为

$\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\ \frac{1}{r^{n+1}}\oint_{\mathbb{C}'}\ (r')^n P_n(\cos \theta') \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\,'\,\!$。

思考$n=0\,\!$项目，也就是磁单极子项目：

$\mathbf{A}_0(\mathbf{r})=\frac{\mu_0 I}{4\pi r}\oint_{\mathbb{C}'}\ \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\,'=0\,\!$。

由于闭合回路的向量线积分等于零，磁单极子项目恒等于零。

再思考$n=1\,\!$项目，也就是磁偶极子项目：

$\mathbf{A}_1(\mathbf{r})=\frac{\mu_0 I}{4\pi r^{2}}\ \oint_{\mathbb{C}'}\ r' \cos \theta' \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\,'=\frac{\mu_0 I}{4\pi r^{2}}\ ( - \hat{\mathbf{r}}\times \oint_{\mathbb{S}'}\mathrm{d}\mathbf{a}')\,\!$。

注意到磁偶极矩为$\boldsymbol{\mu}=I\oint_{\mathbb{S}'}\mathrm{d}\mathbf{a}'\,\!$，偶极磁矢势可以写为

$\mathbf{A}_1(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi }\ \frac{\boldsymbol{\mu}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}\,\!$。

偶极磁场$\mathbf{B}_1\,\!$为

$\mathbf{B}_1(\mathbf{r})=\nabla\times\mathbf{A}_1(\mathbf{r})\,\!$。

由于磁偶极子的向量势有一个奇点在它所处的位置（原点$\mathbf{O}$），必须特别小心地计算，才能得到正确答案。更仔细地推导，可以得到磁场为

$\mathbf{B}_1(\mathbf{r}) = \frac {\mu_0} {4\pi r^3} \left[3(\boldsymbol{\mu}\cdot\hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mu}\right] +\frac{2\mu_0}{3}\boldsymbol{\mu}\delta^3(\mathbf{r})\,\!$。

其中，$\delta^3(\mathbf{r})\,\!$是狄拉克δ函数。

偶极磁场的狄拉克δ函数项目造成了原子能级分裂，因而形成了超精细结构（hyperfine structure）。在天文学里，氢原子的超精细结构给出了21公分谱线，在电磁辐射的无线电波范围，是除了3K背景辐射以外，宇宙弥漫最广阔的电磁辐射。从复合纪元（recombination）至再电离纪元（reionization）之间的天文学研究，只能依靠观测21公分谱线无线电波。

给予几个磁偶极矩，则按照叠加原理，其总磁场是每一个磁偶极矩的磁场的总向量和。

## 处于外磁场的磁偶极子

### 磁偶极子感受到的磁力矩

<image>

如图右，假设载有电流$I\,\!$的一个方形循环处于外磁场$\mathbf{B}=B_0\hat{\mathbf{z}}\,\!$。方形循环四个边的边长为$w\,\!$，其中两个与$\hat{\mathbf{y}}\,\!$平行的边垂直于外磁场，另外两个边与磁场之间的夹角角弧为$- \theta+\pi/2\,\!$。

垂直于外磁场的两个边所感受的磁力矩为

$\boldsymbol{\tau}=\left(IwB_0 \frac{w\sin{\theta}}{2}+IwB_0 \frac{w\sin{\theta}}{2}\right)\hat{\mathbf{y}}=Iw^2B_0\sin{\theta}\hat{\mathbf{y}}\,\!$。

另外两个边所感受的磁力矩互相抵消。注意到这循环的磁偶极矩为 $\boldsymbol{\mu}=Iw^2\hat{\boldsymbol{\mu}}\,\!$。所以，这循环感受到的磁力矩为

$\boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\mu}\times\mathbf{B}\,\!$。

令载流循环的面积趋向于零、电流趋向于无穷大，同时保持$\boldsymbol{\mu}=I\mathbf{a}\,\!$不变，则这载流循环趋向于理想磁偶极子。所以，处于外磁场的磁偶极子所感受到的磁力矩也可以用上述方程式表示。

当磁偶极矩垂直于磁场时，磁力矩的大小是最大值$\mu B_0\,\!$；当磁偶极矩与磁场平行时，磁力矩等于零。

### 磁偶极子的势能

将载流循环从角弧$\theta_1\,\!$扭转到角弧$\theta_2\,\!$，磁场所做的机械功$W\,\!$为

$W= - \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau\ d\theta = - \int_{\theta_1}^{\theta_2} \mu B_0\sin{\theta}\ d\theta =\mu B_0(\cos{\theta_2} - \cos{\theta_1})\,\!$。

注意到磁力矩的扭转方向是反时针方向，而$\theta\,\!$是朝着顺时针方向递增，所以必须添加一个负号。设定$\theta_1=\pi/2\,\!$，则

$W=\mu B_0\cos{\theta_2}=\boldsymbol{\mu}\cdot \mathbf{B}\,\!$。

对抗这磁场的磁力矩，将载流循环从角弧$\pi/2\,\!$扭转到角弧$\theta_2\,\!$，所做的机械功$W_a\,\!$为

$W_a= - W= - \boldsymbol{\mu}\cdot \mathbf{B}\,\!$。

定义载流循环的势能$U\,\!$等于这机械功$W_a\,\!$，以方程式表示为

$U= - \boldsymbol{\mu}\cdot \mathbf{B}\,\!$。

与前段所述同理，磁偶极子的势能也可以用这方程式表示。当磁偶极矩垂直于磁场时，势能等于零；当磁偶极矩与磁场呈相同方向时，势能是最小值$- \mu B_0\,\!$；当磁偶极矩与磁场呈相反方向时，势能是最大值$\mu B_0\,\!$。

### 非均匀磁场

假设外磁场为均匀磁场，则作用于载流回路$\mathbb{C}'\,\!$的磁场力等于零：

$\mathbf{F}= I\oint_{\mathbb{C}'}\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}'\times\mathbf{B}=0\,\!$。

假设外磁场为非均匀的，则会有一股磁场力，作用于磁偶极子。依照磁矩模型的不同，求得的磁场力也会不同。采用常见的“电流模型”，则一个磁偶极子所感受到的磁场力为

$\mathbf{F}_{\ell}=\nabla(\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B})\,\!$。

另外一种采用“磁荷模型”。这类似电偶极矩的模型，计算出的磁场力为

$\mathbf{F}_d=(\boldsymbol{\mu}\cdot\nabla)\mathbf{B}\,\!$。

两者之间的差别为

$\mathbf{F}_l=\mathbf{F}_d + \boldsymbol{\mu}\times \left(\nabla \times \mathbf{B} \right) \,\!$。

假设，电流等于零，电场不含时间，则根据马克士威-安培方程式。

$\nabla \times \mathbf{B} = 0 \,\!$。

两种模型计算出来的磁场力相等。可是，假设电流不等于零，或电场为含时电场，则两种模型计算出来的磁场力不相等。1951年，两个不同的实验，研究中子的散射于铁磁性物质，分别得到的结果与电流模型预估的结果相符合。

## 范例

### 圆形载流循环的磁偶极矩

一个载流循环的磁偶极矩与其面积和所载电流有关。例如，载有1安培电流，半径$r'\,\!$为0.05米的单匝圆形载流循环，其磁偶极矩为：

$\mu=\pi r'\,^2 I=\pi\times 0.05^2\times 1\approx 0.008\;[\mathrm{A}\cdot\mathrm{m}^2]=0.008\;[\mathrm{J/T}]\,\!$。

磁偶极矩垂直于载流循环的平面。载流循环的磁矩，可以用来建立以下几点论据：

- 假设场位置的距离$r\,\!$超远于循环半径$r'=0.05\ \mathrm{m}\,\!$，则磁场会呈反立方减弱：

沿着循环的中心轴，磁矩与场位置$\mathbf{r}\,\!$平行：

$B= \frac {\mu_0} {4\pi r^3} 2\mu=\frac{4\pi\times10^{ - 7}}{4\pi r^3}\times 2\times 0.008 \approx \frac{1.6\times 10^{ - 9}}{r^3} \;[\mathrm{T}\cdot\mathrm{m}^3]\,\!$。

在包含循环的平面的任意位置，磁矩垂直于场位置：

$B= - \frac {\mu_0} {4\pi r^3} \mu= - \ \frac{4\pi\times10^{ - 7}}{4\pi r^3}\times 0.008\approx -\ \frac{0.8\times 10^{ - 9}}{r^3} \;[\mathrm{T}\cdot\mathrm{m}^3]\,\!$。

负号表示平面任意位置案例与中心轴案例，这两个案例的磁场呈相反方向。

- 假设在地球的某地方，地磁场$\mathbf{B}_E\,\!$的数值大约为0.5 高斯（5×10−5 特斯拉），而且循环磁矩垂直于地磁场$\mathbf{B}_E\,\!$，则此循环所感受到的力矩为

$\tau\approx 0.008\times 5\times10^{-5}= 4\times10^{-7} \ [\mathrm{N} \cdot \mathrm{m}]\,\!$。

- 应用力矩的观念，可以制造出罗盘。假设这罗盘的磁针，由于力矩的作用，从磁针的磁矩垂直于地磁场$\mathbf{B}_E\,\!$，旋转至磁针的磁矩与地磁场$\mathbf{B}_E\,\!$呈相同方向，则这罗盘-地球系统释放出的能量$U\,\!$为

$U\approx 0.008\times 5\times10^{-5}= 4\times10^{-7} \ [\mathrm{J}]\,\!$。

由于罗盘悬浮系统的摩擦机制，这能量是以热量的形式耗散净尽。

### 螺线管的磁矩

<image>

一个多匝线圈（或螺线管）的磁矩是其每个单匝线圈的磁矩的向量和。对于全同匝（单层卷绕），只需将单匝线圈的磁矩乘以匝数，就可得到总磁矩。然后，这总磁矩可以用来计算磁场，力矩，和储存能量，方法与使用单匝线圈计算的方法相同。

假设螺线管的匝数为$N\,\!$，每一匝线圈面积为$a\,\!$，通过电流为$I\,\!$，则其磁矩为

$\mu=N Ia\,\!$。

### 载电粒子圆周运动的磁矩

假设，一个点电荷$q\,\!$以等速$v\,\!$绕着z-轴，移动于半径为$r\,\!$的平面圆形路径，则其电流为

$I=\frac{qv}{2\pi r}\,\!$。

其磁矩为

$\boldsymbol{\mu}=\frac{qv}{2\pi r} \pi r^2=\frac{qvr}{2}\hat{\mathbf{z}}\,\!$。

其角动量$\mathbf{J}\,\!$为

$\mathbf{J}=mvr\hat{\mathbf{z}}\,\!$。

其中，$m\,\!$是载电粒子的质量。

所以，磁矩与角动量的经典关系为

$\boldsymbol{\mu}=\frac{q}{2m}\mathbf{J}\,\!$。

对于电子，这经典关系为

$\boldsymbol{\mu}= - \ \frac{e}{2m_e}\mathbf{J}\,\!$。

其中，$m_e\,\!$是电子的质量，$e\,\!$是电子的绝对电量。

假设，这点电荷是个束缚于氢原子内部的电子。由于离心力等于库仑吸引力。

$\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\ \frac{e^2}{r^2}=m_e \frac{v^2}{r}\,\!$。

其中，$\epsilon_0\,\!$是电常数。

现在施加外磁场$\mathbf{B}=B\hat{\mathbf{z}}\,\!$于此氢原子，则会有额外的劳仑兹力作用于电子。假设轨道半径不变（这只是一个粗略计算），只有电子的速度改变为$v_B\,\!$，则

$\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\ \frac{e^2}{r^2}+ev_B B=m_e \frac{v_B^2}{r}\,\!$。

所以。

$v_B^2 - v^2=(v_B + v)(v_B - v)=\frac{ev_B B r}{m_e}\,\!$。

假设，两个速度的差别$\Delta v=v_B - v\,\!$超小，则

$\Delta v\approx \frac{e B r}{2 m_e}\,\!$。

所以，由于施加外磁场$\mathbf{B}\,\!$，磁矩的变化为

$\Delta \boldsymbol{\mu}= - \frac{e \Delta v r}{2}\hat{\mathbf{z}}= - \frac{e^2 r^2}{4m_e}B\hat{\mathbf{z}}\,\!$。

注意到$\Delta \boldsymbol{\mu}\,\!$与$\mathbf{B}\,\!$呈相反方向，因而减弱了磁场。这是抗磁性的经典解释。可是，抗磁性是一种量子现像，经典解释并不正确。

为了简略计算，使用半经典方法，可以求出磁矩的变化为

$\Delta \boldsymbol{\mu} = - \ \frac{e^2 \langle r^2\rangle}{4m_e}B\hat{\mathbf{z}}\,\!$。

其中，$\langle r^2\rangle\,\!$是半径平方的期望值。

### 电子的磁矩

电子和许多其它种类的粒子都具有内禀磁矩。这是一种量子属性，涉及到量子力学。详尽细节，请参阅条目电子磁偶极矩（electron magnetic dipole moment）。微观的内禀磁矩集聚起来，形成了巨观的磁效应和其它物理现象，例如电子自旋共振。

电子的磁矩是

$\boldsymbol{\mu}= - g_e \mu_B \mathbf{S}/\hbar\,\!$。

其中，$g_e\,\!$是电子的朗德g因子，$\mu_B=e\hbar/2m_e\,\!$是波耳磁子，$\mathbf{S}\,\!$是电子的自旋角动量。

按照前面计算的经典结果，$g_e = 1\,\!$；但是，在狄拉克力学里，$g_e = 2\,\!$；更准确地，由于量子电动力学效应，它的实际値稍微大些，$g_S = 2.002\,319\,304\,36\,\!$。

请注意，由于这方程式内的负号，电子磁矩与自旋呈相反方向。对于这物理行为，经典电磁学的解释为：假想自旋角动量是由电子绕着某旋转轴而产生的。因为电子带有负电荷，这旋转所产生的电流的方向是相反的方向，这种载流回路产生的磁矩与自旋呈相反方向。同样的推理，带有正电荷的正子（电子的反粒子），其磁矩与自旋呈相同方向。

### 原子的磁矩

在原子内部，可能会有很多个电子。多电子原子的总角动量计算，必须先将每一个电子的自旋总和，得到总自旋，再将每一个电子的轨角动量总和，得到总轨角动量，最后用角动量耦合（angular momentum coupling）方法将总自旋和总轨角动量总和，即可得到原子的总角动量。原子的磁矩$\mu\,\!$与总角动量$\mathbf{J}\,\!$的关系为

$\boldsymbol{\mu}= - g_J \mu_B\mathbf{J}/\hbar\,\!$。

其中，$g_J\,\!$是原子独特的朗德g因子。

磁矩对于磁场方向的分量$\mu_z\,\!$是

$\mu_z = - g_J \mu_B J_z/\hbar\,\!$。

其中，$J_z=J_m \hbar\,\!$是总角动量对于磁场方向的分量，$J_m\,\!$是磁量子数，可以取2J+1个整数値，-J、 -J+1、…、J-1、J，之中的任意一个整数值。

因为电子带有负电荷，所以$\mu_z\,\!$是负值。

处于磁场的磁偶极子的动力学，不同于处于电场的电偶极子的动力学。磁场会施加力矩于磁偶极子，迫使它依著磁场线排列。但是，力矩是角动量对于时间的导数。所以，会产生自旋进动，也就是说，自旋方向会改变。这物理行为以方程式表达为

$\frac{1}{\gamma} \frac{d \boldsymbol{\mu}}{dt} = \boldsymbol{\mu}\times\mathbf{H}\,\!$。

其中，$\gamma \,\!$是回转磁比率（gyromagnetic ratio），$\mathbf{H}\,\!$是磁场。

注意到这方程式的左手边项目是角动量对于时间的导数，而右手边项目是力矩。磁场又可分为两部分：

$\mathbf{H}=\mathbf{H}_{eff} - \frac{\lambda}{\gamma \mu}\frac{d\boldsymbol{\mu}}{dt}\,\!$。

其中，$\mathbf{H}_{eff}\,\!$是有效磁场（外磁场加上任何自身场），$\lambda \,\!$是阻尼系数。

这样，可以得到兰道-李佛西兹-吉尔伯特方程式（Landau–Lifshitz–Gilbert equation）：

$\frac{1}{\gamma} \frac{d \boldsymbol{\mu}}{dt} = \boldsymbol{\mu}\times\mathbf{H}_{eff} - \frac{\lambda}{\gamma \mu}\boldsymbol{\mu} \times\frac{d\boldsymbol{\mu}}{dt} \,\!$。

方程式右边第一个项目描述磁偶极子绕着有效磁场的进动，第二个项目是阻尼项目，会使得进动渐渐减弱，最后消失。兰道-李佛西兹-吉尔伯特方程式是研究磁化动力学最基本的方程式之一。

### 原子核的磁矩

核子系统是一种由核子（质子和中子）组成的精密物理系统。自旋是核子的量子性质之一。由于原子核的磁矩与其核子成员有关，从核磁矩的测量数据，更明确地，从核磁偶极矩的测量数据，可以研究这些量子性质。

虽然有些同位素原子核的激发态的衰变期超长，大多数常见的原子核的自然存在状态是基态。每一个同位素原子核的能态都有一个独特的、明显的核磁偶极矩，其大小是一个常数，通过细心设计的实验，可以测量至非常高的精确度。这数值对于原子核内每一个核子的独自贡献非常敏感。若能够测量或预测出这数值，就可以揭示核子波函数的内涵。现今，有很多理论模型能够预测核磁偶极矩的数值，也有很多种实验技术能够进行原子核测试。

### 分子的磁矩

任何分子都具有明确的磁矩。这磁矩可能会跟分子的能态有关。通常而言，一个分子的磁矩是下列贡献的总和，按照典型强度从大至小列出：

- 假若有未配对电子，则是其自旋所产生的磁矩（顺磁性贡献）
- 电子的轨域运动，处于基态时，所产生常与外磁场成正比的磁矩（抗磁性贡献）
- 依照核自旋组态，核自旋所产生的总磁矩。

#### 分子磁性范例

- 氧分子，O2，由于其最外面的两个未配对电子的自旋，具有强顺磁性。
- 二氧化碳分子，CO2，由于电子轨域运动而产生的，与外磁场成正比的，很微弱的磁矩。在某些稀有状况下，假若这分子是由具磁性的同位素组成，像13C或17O，则此同位素原子核也会将其核磁性贡献给分子的磁矩。
- 氢分子，H2，处于一个弱磁场（或零磁场），会显示出核磁性。氢分子的两种自旋异构体，正氢或仲氢，都具有这种物理性质。

## 参阅

- 电偶极矩
- 磁化强度
- 磁化率
- 球多极矩
- 绝热不变数
- 磁偶极间交互作用（Magnetic dipole-dipole interaction）