归纳推理

归纳法或归纳推理（Inductive reasoning），有时叫做归纳逻辑，是论证的前提支持结论但不确保结论的推理过程。它基于对特殊的代表（token）的有限观察，把性质或关系归结到类型；或基于对反复再现的现象的模式（pattern）的有限观察，公式表达规律。例如，使用归纳法在如下特殊的命题中：

- 冰是冷的。
- 弹子球在击打球杆的时候移动。

推断出普遍的命题如：

- 所有冰都是冷的。
- 所有弹子球都在击打球杆的时候移动。

广义而言，归纳推理泛指多种推理方法，其中论证的结论并非以演绎的确定性获得支持，而至多具有某种程度的概然性。与演绎推理（例如数学归纳法）不同（在演绎推理中，只要前提正确，结论便是“确定的”），归纳推理在给定前提下得出的结论至多是“概然的”。

## 例子

强归纳：

所有观察到的乌鸦都是黑的。

所以所有乌鸦都是黑的。

这例示了归纳的本质：从特殊归纳出普遍。结论明显不是确定的。除非我们见过所有的乌鸦 - 我们怎能都知道呢? - 可能还有些罕见的蓝(乌)鸦或是白(乌)鸦。

弱归纳：

我总是把画像挂在钉子上。

所以所有画像都是挂在钉子上的。

在这个例子中，前提建立在确定事物之上： “我总是把画像挂在钉子上”，但是不是所有的人都把画像挂在钉子上，而那些确实使用钉子的人也可能只是有时使用。有很多物体可以用来挂画像，包括但不限于：螺丝钉、螺栓和夹子。我做的结论是过度普遍化，并在某些情况下是错的。

少年们得到了许多超速罚单。

所以所有少年都超速。

在这个例子中，基础前提不是建立在确定事物之上：不是所有我发现超速的少年得到了罚单。这可能在于少年要超速的普遍本质 - 同乌鸦是黑的一样 - 但是前提所基于的更像痴心妄想而不是直接的观察。

## 有效性

多数人学习的形式逻辑是演绎的，而归纳推理则是属于非形式逻辑。虽然如此，但一些哲学家仍坚持建立归纳逻辑的系统，但是对归纳的逻辑是否可能是有争议的。相对于演绎推理，归纳推理达成的结论并非必然与最初的假定有相同的确定程度。例如，所有天鹅都是白色的结论明显是错的，但在殖民于澳大利亚之前在欧洲一直被认为是正确的。归纳论证从来就不是有约束力的但它们可以是有说服力的。归纳推理在演绎上是无效的。（在形式逻辑中的论证是有效的，当且仅当论证的前提为真而结论却为假是不可能的。）

在归纳法中，总是有很多结论可以合理的关联于特定前提。归纳是开放的；而演绎是封闭的。

归纳问题的经典哲学处理，意味着为归纳推理找到了正当理由，是苏格兰人大卫·休谟完成的。休谟突出了依据重复经验的模式的我们的日常推理，而不是演绎上的有效论证。比如我们相信面包对我们有益，因为过去一直如此，但是面包将来对我们有害至少是可以想象的。

休谟说对所有事情都坚持可靠的演绎上的正当有理的人会饿死的。替代激进怀疑论关于所有事物的无所作为，他提倡基于常识的实用怀疑论，这里接受归纳法是必然的。

二十世纪的开发者很不同的为归纳问题加了外框。胜过选择对将来做什么预测，它可以被看作是选择适合于观察的概念（参见条目蓝绿色）或适合于观测数据点的曲线图。

归纳法有时被加边框为关于从过去做关于将来的推理，但是在最广泛的意义上它涵盖了在已观察的事物的基础上达成对未观察的事物的结论。从现在的证据推论过去（比如考古）也算做归纳法。归纳法也可以跨越空间而不是时间，比如从在我们的星系得出关于整个宇宙的结论，基于本地经济业绩得出关于国家经济政策的结论。

## 归纳推理的类型

归纳推理的类型包括普遍化、预测、统计三段论、类比论证和因果推断。它们的结果如何被看待也各有差异。

### 归纳普遍化

普遍化（更准确地说是“归纳普遍化”）是从关于样本的前提推出关于总体的结论的过程。从样本获得的观察被投射到更广的总体之上。

样本中比例为Q的部分具有性质A。

所以，总体中比例为Q的部分具有性质A。

例如，坛中有20个非黑即白的球：为了估计黑球和白球各自的数目，抽取四个球作为“样本”，其中三个是黑球、一个是白球。一种归纳普遍化的结论可能是：坛中有15个黑球和5个白球。然而就坛中（“总体”）各色球的“实际”数目而言，这只是17种可能性之一——也可能是19个黑球而仅有1个白球，或只有3个黑球而有17个白球，或介于其间的任何组合。每种可能分布是实际黑白球数的概率，可以使用贝叶斯推断（以观察到的样本更新关于分布的先验假设）或最大似然估计（找出在观察样本下最可能的分布）等技术来估计。

前提对结论的支持程度，取决于样本群体中的个体数目、总体中的成员数目，以及样本代表总体的程度（对于静态总体，这可以通过随机抽样来达成）。样本代表总体的程度取决于个别观察所用程序的可靠性，这并不总像从静态总体中随机取出一个元素那样简单，而后者本身也并不总是简单的。样本相对于总体的规模越大、样本越能贴切地代表总体，普遍化就越强。轻率概化和抽样偏差（以偏概全）是与普遍化有关的谬误。

#### 统计普遍化

统计普遍化是一种归纳论证，其中关于总体的结论是使用具有统计代表性的样本推断出来的。例如：

在相当规模的随机抽样的选民中，66%支持Z法案。

所以，大约66%的选民支持Z法案。

只要抽选过程真正随机，且样本中具有所考察性质的项目数量足够大，这一测量在明确界定的误差范围内就是高度可靠的，并且易于量化。将上述论证与下面的论证作比较：“我读书会里的十个人中有六个是自由意志主义者。所以，大约60%的人是自由意志主义者。”这个论证很弱，因为样本不是随机的，而且样本规模非常小。

统计普遍化也称为“统计投射”和“样本投射”。

#### 轶事普遍化

轶事普遍化是一种归纳论证，其中关于总体的结论是使用非统计样本推断出来的。换言之，这种普遍化是基于轶事证据的。例如：

今年到目前为止，他儿子的少棒队十场比赛赢了六场。

所以，到赛季结束时，他们大约会赢得60%的比赛。

这种推论不如统计普遍化可靠（因而更容易犯轻率概化的谬误），首先因为样本事件不是随机的，其次因为它不能化约为数学表达式。从统计上说，根本无从得知、测量和计算将在未来出现的影响赛绩的各种情况。在哲学层面上，这一论证依赖于“未来事件的运行将反映过去”这个预设。换言之，它把自然的齐一性视为理所当然——那是一条无法从经验数据本身推导出来的未经证明的原理。默认预设这种齐一性的论证有时被称为“休谟式的”，得名于最先对其加以哲学审视的哲学家。

### 预测

归纳预测从其他实例的样本得出关于未来、当前或过去实例的结论。与归纳普遍化一样，归纳预测依赖于由某现象的具体实例构成的数据集。但归纳预测不以普遍陈述作结，而是以一个具体陈述作结：关于单个实例将具有（或不具有）其他实例所共有（或不共有）的某性质的概率。

群体G中比例为Q的已观察成员具有性质A。

所以，群体G的其他成员在下次被观察时，有相当于Q的概率具有性质A。

### 统计三段论

统计三段论是从关于一个群体的普遍化推出关于一个个体的结论的过程。

总体P的已知实例中比例为Q的部分具有性质A。

个体I是P的另一个成员。

所以，I具有A的概率相当于Q。

例如：

Excelsior预备学校90%的毕业生继续升读大学。

Bob是Excelsior预备学校的毕业生。

所以，Bob很可能会升读大学。

这就是“统计三段论”。尽管无法确定Bob会上大学，但（在没有进一步信息的情况下）这一结果的确切概率是完全有保证的。两种dicto simpliciter谬误可能出现在统计三段论中：“意外”和“反意外”。

### 类比论证

类比推论的过程是：注意到两个或多个事物的共有性质，并在此基础上推论它们也共有某个进一步的性质：

P和Q在性质a、b、c方面相似。

已观察到对象P还具有性质x。

所以，Q很可能也具有性质x。

类比推理在常识、科学、哲学、法律和人文学科中非常常见，但有时它只被接受为一种辅助方法。案例推理是其精致化的形式。

矿物A和矿物B都是常含石英矿脉的火成岩，最常见于南美洲有古代火山活动的地区。

矿物A还是一种适合雕刻成珠宝的软石。

所以，矿物B很可能也是一种适合雕刻成珠宝的软石。

这就是“类比归纳”，据此，在某些方面相似的事物更倾向于在其他方面也相似。哲学家约翰·斯图尔特·密尔在其《逻辑体系》中详细探讨了这种归纳形式，他说：“毫无疑问，每一种〔未知为不相干的〕相似之处，都在原有基础之外为结论提供了某种程度的概率支持。”参见密尔五法。

一些思想家主张，类比归纳是归纳普遍化的一个子类别，因为它假定了一种支配事件的预先确立的齐一性。类比归纳还需要对被引为两者共有的那些特征的“相干性”进行辅助考察。在前面的例子中，如果加上一个前提，说这两种石头都曾见载于早期西班牙探险者的记录，那么这一共同属性对于石头本身是外在的，无助于它们之间的概然亲缘性。

类比的一个陷阱是特征可能被选择性地挑选：即使对象显示出惊人的相似之处，并置的两个事物也可能各自具有类比中未指出的、截然“不”相似的其他特征。因此，如果不进行所有相关的比较，类比可能产生误导。

### 因果推断

因果推断基于效果发生的条件，得出关于可能的或概然的因果联系的结论。关于两个事物相关性的前提可以指示它们之间的因果关系，但必须确认额外的因素，才能确立因果关系的确切形式。

### 其他类型

简单归纳:简单归纳是从关于一个样本群体到关于另一个个体的结论的过程。

- 全体P的比例为Q的已知实例有性质A。
- 个体I是P的另一个成员。
- 结论：个体I有性质A的概率相当于Q。

这实际上是普遍化和统计三段论的组合，这里的普遍化的结论也是统计三段论的第一个前提。

诉诸权威（典据论证）:引经据典论证基于来源说真命题的比例得出关于一个陈述的真实性的结论。它与推测有相同的形式。

- 权威A的比例为Q的主张是对的。
- 权威A的这个主张是对的概率相当于Q。

例子：

来自关于逻辑的网站的所有的评述都是对的。

这个信息来自关于逻辑的网站。

所以，这个信息（可能）是对的。

## 方法

达成归纳普遍化的两种主要方法是“枚举归纳”和“消除归纳”。

### 枚举归纳

枚举归纳是一种归纳方法，其中普遍化是根据支持它的实例的“数目”构造的。支持的实例越多，结论就越强。

最基本形式的枚举归纳从特殊实例推理到所有实例，因而是一种无限制的普遍化。如果观察了100只天鹅，而全部100只都是白的，人们可能推出一个概然的全称直言命题：“所有天鹅都是白的”。由于这种推理形式的前提即使为真也不蕴涵结论为真，这是归纳推论的一种形式。结论可能为真，也可能被认为概然为真，但它仍可能为假。关于枚举归纳的证成和形式的问题一直是科学哲学的核心议题，因为枚举归纳在科学方法的传统模型中具有枢纽地位。

迄今发现的所有生命形式都由细胞构成。

所以，所有生命形式都由细胞构成。

这就是“枚举归纳”，又称“简单归纳”或“简单预测归纳”。它是归纳普遍化的一个子类别。在日常实践中，这也许是最常见的归纳形式。就上述论证而言，结论颇具吸引力，但所作的预测远远超出了证据。首先，它假定迄今观察到的生命形式能够告诉我们未来的情形将会如何：这是一种对齐一性的诉求。其次，结论中的“所有”是一个大胆的断言。只要有一个相反的实例，论证就宣告失败。最后，以任何数学形式量化概然性的程度都是成问题的。我们用什么标准来衡量我们地球上已知生命的样本相对于所有（可能的）生命？假设我们确实发现了某种新的有机体——比如漂浮在中间层或某颗小行星上的某种微生物——而且它是由细胞构成的。这一佐证性证据的加入是否迫使我们提高对该命题的概率评估？一般认为回答“是”是合理的，而且对许多人来说这个“是”不仅合理而且无可争辩。那么这一新数据究竟应当使我们的概率评估改变“多少”？在这里，共识便消融了，取而代之的是这样一个问题：无论有没有数值量化，我们究竟能否融贯地谈论概率。

迄今发现的所有生命形式都由细胞构成。

所以，“下一个”被发现的生命形式将由细胞构成。

这是“弱形式”的枚举归纳。它把“所有”截短为仅仅单个实例，通过提出弱得多的主张，大大增强了其结论的概然性。除此之外，它与强形式有同样的缺陷：其样本总体不是随机的，而且量化方法难以捉摸。

### 消除归纳

消除归纳又称变异归纳，是最早由弗兰西斯·培根提出的一种归纳方法；在这种方法中，普遍化是根据支持它的实例的“多样性”构造的。与枚举归纳不同，消除归纳根据支持结论的实例的种类之不同进行推理，而不是根据支持它的实例数目。随着实例多样性的增加，就能识别出更多基于这些实例的可能结论彼此不相容而加以消除。这反过来又增强了任何仍与各种实例保持一致的结论的强度。在此语境下，信心是已被识别为不相容并被消除的实例数目的函数。这种信心表达为培根式概率 i|n（读作“n个之中的i个”），其中已识别出n个认为某主张不相容的理由，而其中i个已被证据或论证消除。

攻击一个论证有三种方式；这些方式——在可废止推理文献中称为“击败者”（defeaters）——是：反驳（rebutting）、削弱（undermining）和截断（undercutting）。反驳通过提出反例来击败论证；削弱通过质疑证据的有效性来击败论证；截断则通过指出推论成立而结论不成立的条件来击败论证。这一进路正是通过识别击败者并证明其错误来建立信心的。

这类归纳可以使用不同的方法论，例如准实验法，它检验并在可能时消除竞争假说。也可以采用不同的证据检验来消除所考虑的可能性。

消除归纳对科学方法至关重要，用于消除与观察和实验不一致的假说。它关注可能的原因，而不是观察到的因果联系的实际实例。

消除归纳也因其依赖于在排除之前必须识别出所有貌似合理的竞争假说而受到批评。萨尔蒙（Salmon）指出，这一要求在科学实践中很少能够达成，因为即使在现有替代方案被抛弃之后仍可能出现新的解释，这限制了该方法所能提供的确定性。托雷蒂（Torretti）同样论证说，消除策略面临更广泛的非充分决定问题：若干不同的假说可能与同一批证据保持相容，除非可能性的空间已被明确界定，否则消除就是不完全的。

## 历史

### 古代哲学

对于从特殊到普遍的推进，公元前300年代的亚里士多德使用了希腊语词“epagogé”，西塞罗将其翻译为拉丁语词“inductio”。

#### 亚里士多德与逍遥学派

亚里士多德的《后分析篇》涵盖了自然哲学和社会科学中归纳证明的方法。《后分析篇》第一卷描述了证明的本性与科学及其要素：包括定义、划分、对第一原理的直观理性、特殊证明与普遍证明、肯定证明与否定证明、科学与意见的区别等。

#### 皮浪主义

古代皮浪主义者是最早指出归纳问题的西方哲学家：在他们看来，归纳无法证成把全称陈述接受为真。

#### 古代医学

古希腊医学的经验学派采用“epilogism”作为推论方法。“Epilogism”是一种免于理论的方法，它通过事实的积累来看待历史，不作重大的普遍化，并顾及提出因果主张的后果。Epilogism是一种完全在可见和明显事物领域之内进行的推论，它力求不援引不可观察者。

古希腊医学的教条学派则采用“analogismos”作为推论方法。这种方法运用类比，从观察到的事物推理到不可观察的力量。

### 近代早期哲学

1620年，近代早期哲学家弗兰西斯·培根驳斥了单纯经验和单纯枚举归纳的价值。他的方法即归纳主义，要求把揭示自然界结构和因果关系的细致而多样的观察与枚举归纳结合起来，才能获得超出当前经验范围的知识。因此，归纳主义需要枚举归纳作为一个组成部分。

#### 大卫·休谟

经验主义者大卫·休谟1740年的立场认为，枚举归纳没有理性的基础，更遑论逻辑的基础；相反，归纳是本能而非理性的产物，是心灵的一种习惯和日常生活的必需。虽然观察（例如太阳的运动）可以与自然齐一性原理相结合，产生看似确定的结论，但归纳问题恰恰源于自然齐一性并不是一条逻辑上有效的原理：它既不能被辩护为演绎上理性的，也不能通过诉诸“自然齐一性准确地描述了过去，因此很可能准确地描述未来”而被辩护为归纳上理性的——因为这本身就是一个归纳论证，而归纳正是需要证成的东西，故而是循环论证。

自休谟首次论述“支持自然齐一性的演绎论证无效”与“归纳论证循环”之间的两难以来，这种仅在两种推论模式（演绎与归纳）之间的所谓二分法，已因第三种推论模式的发现而受到质疑，即溯因，或称溯因推理。它由查尔斯·桑德斯·皮尔士于1886年首先系统表述和提出，他当时称之为“以假说推理”（reasoning by hypothesis）。“最佳解释推论”经常（但仍有争议地）被视为溯因的同义词；它由吉尔伯特·哈曼于1965年首先辨识出来，他称之为“溯因推理”，但他对溯因的定义与皮尔士的定义略有不同。无论如何，如果溯因确实是理性上独立于其他两种模式的第三种推论模式，那么或者自然齐一性可以通过溯因获得理性证成，或者休谟的两难其实更是一个三难。休谟还对枚举归纳和理性被用于就不可观察者达成确定性持怀疑态度，尤其怀疑从“改变关系的一个方面会阻止或产生特定结果”这一事实推论出因果性。

#### 伊曼努尔·康德

被休谟著作的德译本从“教条的沉睡”中唤醒之后，康德试图解释形而上学的可能性。1781年，康德的《纯粹理性批判》引入理性主义，作为有别于经验主义的通往知识的道路。康德把陈述分为两类。分析陈述凭借其词项的排列和含义而为真，因此分析陈述是重言式，仅仅是逻辑真理，必然为真。而综合陈述的含义则指涉事实的状态，即偶然性。康德的《纯粹理性批判》既反对笛卡尔和莱布尼茨等理性主义哲学家，也反对洛克和休谟等经验主义哲学家，它持续论证：为了拥有知识，我们既需要心灵的贡献（概念），也需要感官的贡献（直观）。因此对康德而言，严格意义上的知识仅限于我们可能知觉到的东西（现象），而纯然思想的对象（“物自身”）原则上不可知，因为我们永远不可能知觉到它们。

康德推论说，心灵必须包含它自己的范畴来组织感觉材料，使对“空间”和“时间”中的对象（现象）的经验成为可能，因此他断定自然齐一性是一条先验真理。一类并非偶然而是必然为真的综合陈述，就是综合先验的。康德由此既拯救了形而上学，也拯救了牛顿的万有引力定律。基于“超出我们知识之外的东西对我们而言什么都不是”这一论证，他抛弃了科学实在论。康德关于知识经由知觉与我们的思维能力合作而产生的立场（先验唯心主义）催生了德国唯心主义运动。黑格尔的绝对唯心主义随后在欧洲大陆和英格兰盛行。

### 近代晚期哲学

实证主义由亨利·德·圣西门开创，并由其昔日学生奥古斯特·孔德在1830年代推广，是第一种近代晚期科学哲学。法国大革命之后，孔德担心社会崩坏，因而反对形而上学。孔德说，人类知识已从宗教演进到形而上学再到科学，而科学则从数学流向天文学、物理学、化学、生物学、社会学——依此顺序——描述日益复杂的领域。社会的全部知识都已成为科学的知识，神学和形而上学的问题则是无法回答的。孔德认为枚举归纳因其立足于现有经验而可靠。他主张以科学而非形而上学真理作为改善人类社会的正确方法。

按照孔德的看法，科学方法提出预测并加以确证，进而陈述规律——即实证陈述——是神学或形而上学所无法驳斥的。英国哲学家约翰·斯图尔特·密尔认为经验能够通过展示自然齐一性来证成枚举归纳，他欢迎孔德的实证主义，但认为科学规律可以被撤回或修正，而且密尔也不参与孔德的人性宗教。孔德确信可以把科学规律当作全部知识的不可驳斥的基础，并认为教会在尊崇杰出科学家之余，应当把公众的心智聚焦于“利他主义”——这个术语是孔德创造的——以通过孔德的领头科学社会学，把科学应用于人类的社会福祉。

在1830和1840年代，当孔德和密尔还是居于领导地位的科学哲学家时，威廉·惠威尔认为枚举归纳远不那么令人信服，并且不顾归纳主义的主导地位，提出了“超归纳”（superinduction）。惠威尔主张，应当承认“归纳一词的独特含义”：“有某种概念被‘叠加’（superinduced）于事实之上”，也就是说，“在每一个归纳推论中都有一个新概念的发明”。概念的创造容易被忽视，在惠威尔之前也很少获得承认。惠威尔解释道：

“尽管我们通过在事实之上叠加一个新概念而把事实捆绑在一起，但这个概念一旦被引入和应用，就被看作与这些事实不可分离地联系在一起，并必然地蕴涵于其中。人们一旦凭借这个概念在心中把诸现象捆绑起来，就再也不容易把它们恢复到此前那种分离而不融贯的状态。”

这些“叠加”出来的解释很可能有缺陷，但当它们展现出惠威尔所称的“融通”（consilience）——即同时预测多个领域中的归纳普遍化——其准确性便得到提示；按照惠威尔的看法，这一成就能够确立它们的真理性。也许是为了迁就当时把科学视为归纳主义方法的主流观点，惠威尔用数章篇幅论述“归纳的方法”，并时而使用“归纳逻辑”的说法——尽管事实上归纳缺乏规则，也无法加以训练。

在1870年代，实用主义的创始人C·S·皮尔士进行了大量研究，阐明了作为数学证明的演绎推论的基础（弗雷格也独立地做了同样的工作）。皮尔士承认归纳，但始终坚持存在第三种推论类型，他在不同时期称之为“溯因”（abduction）、“回推”（retroduction）、“假说”（hypothesis）或“推定”（presumption）。后来的哲学家把皮尔士的溯因等称为“最佳解释推论”（IBE）。

### 当代哲学

#### 伯特兰·罗素

在突出了休谟的归纳问题之后，约翰·梅纳德·凯恩斯提出“逻辑概率”作为其回答，或者说作为他所能达到的最接近解决的方案。伯特兰·罗素认为凯恩斯的《概率论》（A Treatise on Probability）是对归纳最好的考察，并认为如果与让·尼科的《归纳的逻辑问题》以及R·B·布雷斯韦特在1925年10月号《心灵》杂志上对凯恩斯著作的书评一起阅读，就能涵盖“关于归纳的已知内容的大部分”，尽管这一“主题是技术性的和困难的，涉及相当多的数学”。二十年后，罗素追随凯恩斯，把枚举归纳视为一条“独立的逻辑原理”。罗素认为：

“休谟的怀疑论完全建立在他对归纳原理的拒斥之上。应用于因果性的归纳原理是说：如果A曾非常频繁地伴随B或继之以B出现，那么在下一次观察到A的场合，它很可能伴随B或继之以B。如果这条原理要成为充分的，足够多的实例就必须使这种概率离确定性不远。如果这条原理、或任何可以由之演绎出它的其他原理是真的，那么休谟所拒斥的因果推论便是有效的——当然不是作为给出确定性，而是作为给出对实践目的而言足够的概率。如果这条原理不是真的，那么从特殊观察达到普遍科学规律的一切尝试都是谬误的，而休谟的怀疑论对经验主义者来说便无可逃避。这条原理本身当然不能在不陷入循环的情况下从观察到的齐一性中推论出来，因为证成任何这类推论都需要它。因此，它必须是一条不基于经验的独立原理，或者可以从这样一条原理演绎出来。就此而言，休谟已经证明纯粹经验主义不是科学的充分基础。但只要承认这一条原理，其他一切便都可以按照‘我们的全部知识基于经验’的理论进行。必须承认，这是对纯粹经验主义的一次严重背离，而且那些并非经验主义者的人可能会问：既然允许了一次背离，为什么禁止其他背离？然而，这些并不是休谟的论证直接引起的问题。这些论证所证明的——我认为这个证明是无法反驳的——是：归纳是一条独立的逻辑原理，既不能从经验中推论出来，也不能从其他逻辑原理中推论出来；而没有这条原理，科学就是不可能的。”

#### 吉尔伯特·哈曼

在1965年的一篇论文中，吉尔伯特·哈曼说明，枚举归纳并不是一种自主的现象，而仅仅是最佳解释推论（IBE）的一种伪装了的结果。在其他方面，IBE与C·S·皮尔士的溯因同义。许多信奉科学实在论的科学哲学家一直主张，IBE是科学家发展出关于自然的近似为真的科学理论的方式。

## 与演绎推理的比较

归纳推理是一种论证形式，与演绎推理相反，它允许结论即使在所有前提为真的情况下仍可能为假。演绎推理与归纳推理之间的这一差异，反映在描述演绎论证和归纳论证的术语上。在演绎推理中，一个论证是“有效的”，若假定论证的前提为真，结论就“必定”为真。如果论证有效且前提“确实”为真，则该论证是“健全的”。相反，在归纳推理中，论证的前提永远不能保证结论“必定”为真。取而代之的是：一个论证是“强的”，若假定论证的前提为真，结论“很可能”为真。如果论证强而前提又被认为为真，则称该论证是“有说服力的”。较不正式地说，归纳论证的结论可以被称为“概然的”、“貌似可信的”、“可能的”、“合理的”或“有理据的”，但永远不能称为“确定的”或“必然的”。逻辑不提供从概然通往确定的桥梁。

想通过某种概率的临界积累来获得确定性是徒劳的，这可以用掷硬币的练习来说明。假设某人检验一枚硬币是公平硬币还是双头硬币。他掷硬币十次，十次都正面朝上。此时已有强的理由相信它是双头硬币。毕竟，连续十次正面的概率是0.000976，不到千分之一。然后，掷了100次之后，每一掷都正面朝上。这时对硬币是双头的已有“几乎”确定性，人们可以把“硬币很可能是双头的”视为“真”。然而，无论在逻辑上还是在经验上，都不能排除下一掷会出现反面。无论连续多少次正面朝上，情况都是如此。如果编程让一台机器不停地连续掷硬币，某个时刻结果将出现一串100次的正面。在时间的长河中，一切组合都会出现。

至于从公平硬币掷出十次全正面这一渺茫前景——正是这一结果使硬币显得有偏——许多人可能会惊讶地得知：任何一个正反面序列的概率都同样小（例如正-正-反-反-正-反-正-正-正-反），然而它在“每一次”十连掷的试验中都会出现。这意味着十连掷的“所有”结果都与掷出十次全正面有相同的概率，即0.000976。如果把正反面序列记录下来，那么无论结果为何，那个确切序列出现的概率都是0.000976。

一个论证是演绎的，当结论在给定前提下是必然的。也就是说，前提为真则结论必定为真。例如，在连续得到10次正面之后，人们可以演绎地得出：这枚硬币已满足某种统计标准而可被视为很可能是双头的——即使下一掷出现反面，这一结论也不会被证伪。

如果一个演绎结论恰当地从其前提推出，它就是有效的；否则就是无效的（说一个论证无效并不是说它的结论为假；它可能有一个真的结论，只是这并非凭借前提而然）。考察下面的例子将表明，前提与结论之间的关系是这样的：结论的真已经隐含在前提之中。单身汉未婚是因为我们“说”他们如此；我们就是这样定义他们的。苏格拉底会死是因为我们已把他归入会死的存在者的集合。有效演绎论证的结论已经包含在前提之中，因为其真严格说来只是逻辑关系的事情。它所能说的不能多于其前提。相反，归纳前提从事实和证据中汲取实质内容，结论相应地提出事实主张或预测。其可靠性随证据成比例地变化。归纳想要揭示关于世界的某种“新”东西。可以说，归纳想要说的“多于”前提中所包含的。

为了更好地看出归纳论证与演绎论证的差异，考虑这样说是没有意义的：“迄今考察过的所有矩形都有四个直角，所以我看到的下一个矩形将有四个直角。”这会把逻辑关系当作事实性的、可发现的东西，因而是可变的和不确定的。同样，从演绎上说，我们可以容许地说：“所有独角兽都会飞；我有一只名叫查理的独角兽；所以查理会飞。”这个演绎论证是有效的，因为逻辑关系成立；我们并不关心它们在事实上的健全性。

归纳推理的结论本质上是不确定的。它只处理在给定前提下结论按照某种证据理论而言“可信”的程度。例子包括多值逻辑、邓普斯特-谢弗理论，或带有贝叶斯规则等推论规则的概率论。与演绎推理不同，它不依赖在封闭论域上成立的全称命题来得出结论，因此即使在认知不确定的情形下它也可以适用（不过这方面可能出现技术问题；例如，概率的第二公理是一个封闭世界假定）。

这两类论证的另一个关键差异是：在非公理化的或经验的系统（例如实在）中，演绎的确定性是不可能的，这使归纳推理成为通往关于这类系统的（概率性）知识的主要途径。

给定“如果A为真，那将导致B、C、D为真”，演绎的一个例子是“A为真，因此我们可以演绎出B、C、D为真”。归纳的一个例子则是“观察到B、C、D为真，因此A可能为真”。A是B、C、D为真的一个合理解释。

例如：

足够大的小行星撞击会造成非常大的陨石坑，并引起严重的撞击冬天，足以使非鸟恐龙灭绝。

我们观察到墨西哥湾有一个非常大的陨石坑，其年代非常接近非鸟恐龙灭绝的时间。

所以，这次撞击有可能解释非鸟恐龙为何灭绝。

但要注意，对这场大灭绝的小行星解释不必然正确。其他有潜力影响全球气候的事件也与非鸟恐龙的灭绝时间吻合，例如印度德干暗色岩形成期间火山气体（尤其是二氧化硫）的释放。

归纳论证的另一个例子：

我们所知的所有生物生命形式都依赖液态水而存在。

所以，如果我们发现一种新的生物生命形式，它很可能依赖液态水而存在。

每当发现一种新的生物生命形式时，都可以提出这一论证，而且每次的结论都会是正确的；然而，将来仍有可能发现一种不需要液态水的生物生命形式。因此，该论证也可以表述为：

我们所知的所有生物生命形式都依赖液态水而存在。

所以，所有生物生命很可能都依赖液态水而存在。

约翰·维克斯（John Vickers）给出了一个“不正确的”统计三段论的经典例子：

我们见过的所有天鹅都是白的。

所以，我们“知道”所有天鹅都是白的。

这一结论之所以失败，是因为当时已知的天鹅总体实际上并不能代表所有天鹅。一个更合理的结论是：按照适用的惯例，我们或许可以合理地期望英格兰的所有天鹅至少在短期内都是白的。

简而言之：演绎关乎“确定性/必然性”；归纳关乎“概率”。任何单一断言都将符合这两个标准之一。分析推理的另一种进路是模态逻辑，它以一种不涉及被视为可能的事物之间概率的方式，处理必然与“可能”之间的区别。

归纳推理的哲学定义，比“从特殊/个别实例推进到更广的普遍化”更为细致。毋宁说，归纳逻辑论证的前提为结论指示某种程度的支持（归纳概率），但并不蕴涵结论；也就是说，前提暗示真但并不确保真。以这种方式，也可能存在从普遍陈述到个别实例的推进（例如统计三段论）。

要注意，这里所描述的“归纳”推理的定义不同于数学归纳法——后者实际上是一种“演绎”推理的形式。数学归纳法用于为递归定义的集合的性质提供严格证明。数学归纳法的演绎性质源自其立足于非有限数目的情形，这与枚举归纳这类涉及有限数目情形的归纳程序（如穷举证明）形成对比。数学归纳法和穷举证明都是完全归纳的例子。完全归纳是一种隐蔽形式的演绎推理。

## 归纳问题

尽管至少早自皮浪主义哲学家塞克斯图斯·恩丕里柯以来，哲学家们就已指出归纳推理的不健全性，对归纳问题的经典哲学批判是由苏格兰哲学家大卫·休谟给出的。尽管归纳推理的使用展现出相当大的成功，其应用的证成却一直是有疑问的。认识到这一点，休谟突出了这样一个事实：我们的心灵常常从相对有限的经验中得出看似正确、实则远非确定的结论。在演绎中，结论的真值以前提的真为基础。而在归纳中，结论对前提的依赖总是不确定的。例如，让我们假设“所有乌鸦都是黑的”。存在许多黑乌鸦这一事实支持这个假设。然而，一旦发现存在白乌鸦，我们的假设就失效了。因此，“所有乌鸦都是黑的”这样的一般规则不是那种能够成为确定的陈述。休谟进一步论证，证成归纳推理是不可能的：这是因为它不能被演绎地证成，于是我们唯一的选择是归纳地证成它。而由于这一论证是循环的，借助休谟之叉，他断定我们对归纳的使用在逻辑上是无法证成的。

尽管如此，休谟表示，即使归纳被证明不可靠，我们仍然不得不依赖它。因此，休谟提倡的不是严苛怀疑论的立场，而是基于常识的实用怀疑论，其中归纳的不可避免性得到接受。伯特兰·罗素用一个故事阐明了休谟的怀疑论：一只鸡每天早晨都被喂食，从不间断；它遵循归纳法则，断定这种喂食将一直持续下去，直到最后农夫割了它的喉咙。

1963年，卡尔·波普尔写道：“归纳，‘即’基于许多观察的推论，是一个神话。它既不是心理事实，不是日常生活的事实，也不是科学程序的事实。”波普尔1972年的著作《客观知识》——其第一章即专论归纳问题——开篇便说：“我认为我已经解决了一个重大的哲学问题：归纳问题”。在波普尔的图式中，枚举归纳是在“问题转移”过程中由猜想与反驳的步骤投射出的“一种视觉错觉”。作为想像力的飞跃，“尝试性解决方案”是即兴作出的，没有归纳规则加以指导。由此产生的不受限制的普遍化是演绎的，是全部解释性考量所蕴涵的结果。然而争论仍在继续：波普尔的所谓解决方案并未获得普遍接受。

唐纳德·吉利斯论证说，与归纳推理相关的推论规则在科学中压倒性地缺席，他把大多数科学推论描述为“涉及由人的机智和创造力想出的猜想，绝不是以任何机械的方式、或按照精确规定的规则推论出来的”。吉利斯也提供了一个罕见的反例：“在AI的机器学习程序中”。

### 偏差

归纳推理也被称为假说构造，因为所得出的任何结论都基于现有知识和预测。与演绎论证一样，偏差可能扭曲归纳论证的恰当应用，从而妨碍推理者根据线索形成最合乎逻辑的结论。这些偏差的例子包括可得性捷思、确认偏误和可预测世界偏差。

可得性捷思被认为会导致推理者主要依赖容易获得的信息。人们倾向于依赖周遭世界中容易取得的信息。例如，在调查中，当人们被要求估计死于各种原因的人口百分比时，大多数受访者会选择媒体上最常出现的原因，如恐怖主义、谋杀和飞机事故，而不是疾病和交通事故这类在技术上对个人“较不易得”的原因——因为后者在周遭世界中没有被那样强烈地强调。

确认偏误源于确认而非否认假说的自然倾向。研究表明，人们倾向于寻求与已知假说更一致的问题解决方案，而不是试图反驳这些假说。通常，在实验中，受试者会提出寻求符合既定假说的答案的问题，从而确认这些假说。例如，如果假设萨莉是个善于交际的人，受试者自然会通过提出会产生“萨莉确实是个善于交际的人”这类确认性答案的问题，来确认这一前提。

可预测世界偏差围绕这样一种倾向：在秩序未被证明存在之处（无论是完全不存在，还是在特定的抽象层次上不存在）知觉到秩序。赌博就是可预测世界偏差最流行的例子之一。赌徒往往开始认为自己看到了结果中简单而明显的模式，因此相信自己能够根据所目睹的东西预测结果。而实际上，这些博弈的结果难以预测，本质上高度复杂。一般而言，人们倾向于寻求某种简单化的秩序来解释或证成自己的信念和经验，而他们往往难以意识到，自己所知觉到的秩序可能与事实全然不同。

## 贝叶斯推理

作为归纳的逻辑而非信念的理论，贝叶斯推论并不决定哪些信念是先验理性的，而是决定我们在面对证据时应当如何理性地改变所持有的信念。我们从考虑一份穷尽的可能性清单开始，对其中每一种可能性给出确定的概率刻画（以似然表达），并给出精确的先验概率（例如基于逻辑或从既往经验归纳而来）；面对证据时，我们便使用贝叶斯逻辑以精确的方式调整对给定假说的信念强度，得出候选的“后验概率”——而不考虑新证据在多大程度上可能恰好给我们以具体的理由去怀疑自己的假定。若不然，则宜视需要重新审视并重复对可能性及其刻画的考虑，直到（或许）达到一种稳定的局面。

归纳逻辑的候选系统中，最有影响的是贝叶斯主义，它使用概率论作为归纳的框架。贝叶斯定理被用于在给定某些证据时计算你对一个假设的信任的强度应当改变多少。

关于从何得知最初的可信度是有争议的。客观贝叶斯主义者寻求对于假设为正确的概率的客观评估，而因此不能幸免于客观主义的哲学批判。主观贝叶斯主义者坚持表示主观可信度的先验概率，但是贝叶斯定理的反复应用导致了同后验概率的高度一致性。因此它们不能为在冲突的假设间做出选择提供客观标准。可以用这种理论理性的证明对某些假设的相信是正当的，但是要付出拒绝客观主义的代价。比如，不能使用这种方案在冲突的科学范例之间做客观决定。

Edwin Jaynes是率直的物理学家和贝叶斯主义者，他声称'主观'因素在所有推理中都存在（比如为演绎推理选择公理，选择最初的可信度或先验概率，选择可能度），并为来自定性知识的事物指派概率提出一系列的原理。最大熵（不关心原理的推广）和变换群组是他建立的两个结果工具；二者都尝试通过把知识比如条件的对称性转换成对概率分布的明确选择，减轻在特定条件下概率指派的主观性。

基本的贝叶斯推理可以作如下理解：

假设 α 为“法官判断案件的正确性”，其值可以是0至1的有理数

```
α ∈ {0..1} = “Correctness of Judgment”,  where
→ < 0.5 代表判斷不正確
→ > 0.5 代表判斷正確
→ = 1 代表判斷完全正確
→ = 0 代表判斷完全錯誤
```

假设 β¹ 为“法官的安全性”，其值可以是0至1的有理数

```
β¹ ∈ {0..1} = “Safty of Justice”,  where
→ < 0.5 代表不安全
→ > 0.5 代表安全
→ = 1 代表判斷完全安全
→ = 0 代表判斷完全危險
```

设 A 为 α > 0.75 的事件, B 为 β¹ = 0 的事件

那么“法官在危险状态下判断大致正确”的机会率就是 P(A|B)

```
Probability of In-danger-fair-correct-judgment of justice
= P(A|B) = P(α > 0.75 | β¹ =0)
```

使用贝叶斯推理，机会率 P(A|B) 可以以如下方法求解：

```
<math>P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)}</math>
```

如果在判决当时，地方局势非常危险，P(B) = P(β¹ = 0) 会大过 0.8

```
P(B) = 0.8
```

而根据以往判决，经裁决后，10个案件中有6.5个案件败方认为裁决不公平，而选择上诉

```
邏輯： 
      案件判決正確 ⇒ 就不會上訴
所以：
      選擇上訴 ⇒ 判決不正確
      P(A) = 0.65
```

因为地方局势不安全，法官如果判决正确，而身陷险境的机会率超过 30% (主观)

```
P(B|A) = 0.3
```

所以 “法官在危险状态下判断大致正确”的机会率就是

```
Probability of In-danger-fair-correct-judgment of justice
<math>= P(A|B) = \frac{0.3 \times 0.65}{0.8} = 0.24375</math>
```

所以，根据贝纳斯推论，如果地方局势非常危险，法官的裁决只有 24.375% 大致正确。

再想深一层。

设 γ 为案件停留的日子

```
γ ∈ {1,2,3,...} 
```

再设 C 为案件停留超过18个月的事件 ≈ C = γ > 545 的事件

已知 案件通常审判 6个月，较多情况在150日至210日中间，在过往十年1000个C类案件中只有20件

```
γ ~ Gaussian Distribution with mean=180, variance=30
γ ~ N(180,30)
```

所以，可以相信，P(C) = P(γ > 545) < 0.005

```
without loss of generality, we can assume:
  P(C) = 0.005
```

设 β² 为“地方局势的危险性”，其值可以是0至1的有理数

```
β² ∈ {0..1} = “Country Safty”,  where
→ < 0.5 代表不安全
→ > 0.5 代表安全
→ = 1 代表判斷完全安全
→ = 0 代表判斷完全危險
```

再设 D 为 β² > 0.8的事件

而以现在的局势来看，失业率维持在3%

可以相信，P(D) > 97%

```
without loss of generality, we can assume:
  P(D) = 0.97
```

那么，在地方局势安全的情况下，案件停留超过 545日的机会率是多少呢？

这也可以用贝纳斯推论求解：

```
<math>P(C|D) = \frac{P(D|C) \times P(C)}{P(D)}</math>
```

根据常识统计，我们知道案件停留超过545日又地方局势很危险的情况 20单案件里面有 10件案件

```
邏輯： 
      案件通常審判 6個月，較多情況在 150日至210日中間
      γ ~ N(180,30)
      裁決正常 ⇒ 案件不會停留超過545日
所以，可以相信：
      P(D|C) = 0.5
```

所以。

```
<math>= P(C|D) = \frac{0.5 \times 0.005}{0.97} = 0.00258</math>
```

根据贝纳斯推论，在地方局势安全的情况下，案件停留超过 545日的机会率只有 0.258%

⇒ 所以，如果案件真的停留超过 545日，而失业率维持在3% (代表地方局势安全)，这代表 “裁决无理” Irrational Judgement 的机会率是 93.75%

⇒ 经推论，裁决很大机会是无理 Irrational

⇒ 或者，有可能，你会争议裁决真的不是无理，有40%以上是合理。但根据贝纳斯理论，要 P(C|D) = 0.4，除非“地方局势安全性”在 0.0025/0.4 = 0.00625，失业率高过99%。这是没有可能的，所以根据逆反式，裁决不可能有40%以上是合理。

而贝纳斯的理论中，有一个连环规则(Chain Rule)的

```
P(T|s,c) = P(s|T) P(T|c)
```

```
P(A|D) = P(D|A) x P(A) / P(D) = P(D|A) 0.65 / 0.97  
P(C|A) = P(A|C) x P(C) / P(A) = P(A|C) 0.005 / 0.65

P(A|C,D) = P(D|A) x P(A|C) x 0.005 / 0.97
```

设

```
 因為根據現實，地方安全基本上和裁決無太大關係，而現在地方大致安全。所以，without loss of generality，可設：
    P(D|A) = 0.9 
 而停留超過 545日而有裁決正確的案件的機會率只是一半一半。所以，without loss of generality，可設：
    P(C|A) = 0.5
```

所以

```
 P(A|C,D) = 0.9 x 0.5 x 0.005 / 0.97 = 0.00232
```

换句话说,

⇒ 在安全的情况下，案件停留超过 545日，而裁判正确的机会率是 0.232% (p-value)

⇒ 几乎是没有可能

## 归纳推断

1960年前后，雷·索罗门诺夫创立了普遍归纳推断理论，这是一种基于观察的预测理论，例如根据给定的一系列符号预测下一个符号。它是一个形式化的归纳框架，把算法信息论与贝叶斯框架结合起来。普遍归纳推断立足于坚实的哲学基础，同时被评论为“似乎是一种不足以应对任何相当复杂的或现实世界环境的工具”，它可以被视为数学形式化的奥卡姆剃刀。该理论的基本要素是算法概率和柯尔莫哥洛夫复杂度的概念。

归纳推断通常考虑可数规模的假说类。晚近的一项进展确立了归纳推断的一个充分必要条件：有限的错误界得到保证，当且仅当假说类是可在线学习类的可数并集。值得注意的是，这一条件允许假说类具有不可数的规模，同时仍在该框架内保持可学习。

## 实际例子

一件由A和B同时发生才能确立的事件C，明显地你会观察到：事件C成立则B必定发生。但绝对不能贸然将结论误解为“只要B发生则事件C一定发生”（而应该是要由A和B同时发生才能确定C的产生）。而且你也不能擅自扩充成为“只要C事件不发生则事件B一定没有发生”，同样的关键点仍旧是“当A不成立时，C就一定不成立”而B是否成立就不一定也无从得知了。

事实上你只能由现有实验结果推论，尤其是生物体的实验更不易有完美相同条件的控制组，及顾及全方面的对照组，你也无从判定究竟一共要有几个因素加起来才会导致你在观察的结果。更常见的情况是，你因为总是同时观察到了C跟D现象，就因此加以归纳为A+B会导致C+D，或是A+B+D会导致C的结论。在你做更进一步的实验来确认你的假设之前，你都无法排除这些不确定性，更夸张的就是C跟D说不定根本就没有关系，或是更复杂的要有D+E才有A，又要同时有B，才有C这个结果。所以，在科学实验中，演绎法才是比较不容易被质疑的一种判断法，但是也不一定保证这样做出的结论就是对的。

## 外部链接

- Four Varieties of Inductive Argument
- Stanford Encyclopedia of Philosophy entry on Inductive Logic