基数 (数学)

在日常交流中，基数（cardinal number，cardinal）或量数，是对应量词的数，例如“一颗苹果”中的“一”。与序数相对，序数是对应排列的数，例如“第一名”中的“一”及“二年级”中的“二”。

在数学集合论中，基数或势，即集合中包含的元素的“个数”（参见势的比较），是日常交流中基数的概念在数学上的精确化（并使之不再受限于有限情形）。有限集合的基数，其意义与日常用语中的“基数”相同，例如$\{a, b, c\}$的基数是3。无限集合的基数，其意义在于比较两个集的大小，例如整数集和有理数集的基数相同；整数集的基数比实数集的小。

## 历史

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康托尔在1874年－1884年引入最原始的集合论（现称朴素集合论）时，首次引入基数概念。

他最先考虑的是集合$\{1,2,3\}$和$\{2,3,4\}$，它们并非相同，但有相同的基数。骤眼看来，这是显而易见，但究竟何谓两个集合有相同数目的元素？

康托尔的答案，是通过所谓的一一对应，即把两个集合的元素一对一的排起来——若能做到，两个集合的基数自然相同。这答案，容易理解但却是革命性的，因为用相同的方法即可比较任意集合的大小，包括无穷集合。

最先被考虑的无穷集合是自然数集$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$及其无限子集。他把所有与$\mathbb{N}$能一一对应的集为可数集。令康托尔意外的是，原来$\mathbb{N}$的所有无限子集都能与$\mathbb{N}$一一对应。他把$\mathbb{N}$的基数称为$\aleph_0$，是最小的艾礼富数。

康托尔发现，原来有理数集合与代数数集合也是可数的。于是乎在1874年初，他尝试证明是否所有无限集合均是可数，其后他得出了实数集不可数的结论。原先的证明用到了涉及区间套的复杂论证，而在他1891年的论文中，他以简单而巧妙的对角论证法重新证明了这一结果。实数集的基数，记作c，代表连续统。

接着康托尔构作一个比一个大的集合，得出一个比一个大的基数，而这些巨大集合的元素已不可如实数般书写出来。因此关于基数的一般理论，需要一个新的语言描述，这就是康托尔发明集合论的主因。

康托尔随后提出连续统假设：c就是第二个超穷基数$\aleph_1$，即継$\aleph_0$之后最小的基数。现已知这假设是不能证明的，即接受或否定它会得出两套不同但逻辑上可行的公理化集合论。

## 动机

在非正式使用中，基数就是通常被称为计数的东西。它们同一于开始于$0$的自然数（就是$0, 1, 2, \ldots$）。计数可以形式化地定义为有限基数，而无限基数只出现在高等数学和逻辑中。

更正式地，一个非零的数可以用于两个目的：描述一个集合的大小，或描述一个元素在序列中位置。对于有限集合和序列，可以轻易的看出着两个概念是相符的，因为对于所有描述在序列中的一个位置的数，我们可以构造一个有正好大小的集合，比如3描述了$c$在序列$a,b,c,d,...$中的位置，并且我们可以构造有三个元素的集合$\{a,b,c\}$。但是在处理无限集合的时候，在这两个概念之间的区别是本质的—这两个概念对于无限集合实际上是不同的。考虑位置的方面会引申出序数的概念，而大小则被这里描述的基数所广义化。

在基数的形式定义背后的直观想法是，可以构造一个记号来指明集合的相对大小，而不需理会它有哪些种类的成员。对于有限集合这是容易的：只需简单的数算一个集合的成员数目。为了比较更大集合的大小，得借助更加巧妙的概念。

一个集合$Y$至少等大小于（或称大于等于）一个集合$X$，如果有从$X$到$Y$的一个单射（一一映射）。一一映射对集合$X$的每个元素确定了一个唯一的集合$Y$的元素。通过例子就最易理解了；假设有集合$X = \{1,2,3\}$和$Y = \{a,b,c,d\}$，我们可以注意到有一个映射：

$$1 \to a$$

$$2 \to b$$

$$3 \to c$$

这是一对一的，使用上述的大小概念，我们因此总结出$Y$有大于等于$X$的势。注意元素$d$没有元素映射到它，但这是允许的，因为我们只要求一一映射，而不必须是一对一并且完全的映射。这个概念的好处是它可以扩展到无限集合。

我们可以把这个概念扩展到一个类似于等式的关系。两个集合$X$和$Y$被称为有相同的"势"，如果存在$X$和$Y$之间的双射。通过Schroeder-Bernstein定理，这等价于有从$X$到$Y$和从$Y$到$X$的两个一一映射。我们接着记之为 $| X | = | Y |$。$X$的基数自身经常被定义为有着 $| a | = | X |$ 的最小序数$a$。这叫做冯·诺伊曼基数指派；为使这个定义有意义，必须证明所有集合都有同某个序数一样的势；这个陈述就是良序原理。然而即使不给集合的势指派一个名字，讨论集合之间相对的势还是可以的。

一个经典例子是无限旅馆悖论，也叫做希尔伯特旅馆悖论。假设你是有无限个房间的旅馆主人。旅馆客满，而又来了一个新客人。可以让在房间1的客人转移到房间2，房间2的客人转移到房间3，以此类推，腾空房间1的方式安置这个新客人。我们可以明确的写出这个映射的一个片段：

$$1 \longleftrightarrow 2$$

$$2 \longleftrightarrow 3$$

$$3 \longleftrightarrow 4$$

...

$$n \longleftrightarrow n+1$$

...

在这种方式下我们可以看出集合$\{1,2,3,...\}$和集合$\{2,3,4,...\}$有相同的势，因为已知这两个集合之间存在双射。这便给"无限集合"提供了一个合适的定义，即是与自身某个真子集有着相同的势的任何集合；在上面的例子中$\{2,3,4,...\}$是$\{1,2,3,...\}$的真子集。

当我们考虑这些大对象的时候，我们还想看看计数次序的概念是否符合上述为无限集合定义的基数。事实上是不一致的；通过考虑上面的例子，我们可以看到如果有“比无限大一”的某个对象存在，它必须跟起初的无限集合有一样的势。这时候可以使用另一种称为序数的形式概念，它是建基于计数并依次考虑每个数的想法上。而我们会发现，势和序（ordinality）的概念对于无限的情况是有分歧的。

可以证明实数的势大于刚才描述的自然数的势，透过对角论证法可以一目了然。跟势相关的经典问题（比如连续统假设）主要关注在某一对无限基数之间是否有别的基数。现时数学家已经在描述更大更大基数的性质。

因为基数是数学中如此常用的概念，有各种各样的名字指涉它。势相同有时也叫做等势、均势或等多（equipotence, equipollence, equinumerosity）。因此称有相同势的两个集合为等势的、均势的或等多的（equipotent, equipollent, equinumerous）。

## 定义

首先，给出集合$X$和$Y$，我们称$X$的势小于等于$Y$，记作 $| X | \leq | Y |$，当且仅当存在由$X$到$Y$的单射；称$X$的势与$Y$相等，记作 $| X | = | Y |$，当且仅当存在由$X$到$Y$的双射（即一一对应）。

康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理指出如果 $| X | \leq | Y |$ 及 $| Y | \leq | X |$ 则 $| X | = | Y |$。

假设选择公理，所有集合都可良序，且对于所有集合$X$与$Y$，有 $| X | \leq | Y |$ 或 $| Y | \leq | X |$。因此，我们可以定义序数，而集合$X$的基数则是与$X$等势的最小序数$\alpha$。

（若不接受选择公理，我们也可对非良序集$X$定义基数，就是所有与$X$等势的集的阶中下确界。）

### 有限集的基数

自然数的一种定义是$0=\{ \},1=\{0\},2=\{0,1\},3=\{0,1,2\},\ldots ,N=\{0,1,\ldots ,N-1\}$。可以见到，与数$N$等势的集必有$N$个元素。如集合$\{2, 3, 5\}$的基数为$3$。

以下是有限集的三个等价定义：它与某自然数等势；它只有一个等势的序数，就是它的基数；它没有等势的真子集。

### 无限集的基数

最小的无限集合是自然数集。$\{1, 2, 3, 4,\ldots , n, \ldots \}$与$\{2, 4, 6, 8, \ldots , 2n, \ldots \}$基数相同，因为可以让前一集合的$n$与后一集合的$2n$一一对应。从这个例子可以看出，对于一个无穷集合来说，它可以和它的一个真子集有相同的基数。

以下是无限集的四个等价定义：它不与任何自然数等势；它有超过一个等势的序数；它有至少一个真子集和它等势；存在由自然数集到它的单射。

## 基数算术

我们可在基数上定义若干算术运算，这是对自然数运算的推广。

给出集合$X$与$Y$，定义 $X + Y = \{(x,0): x \in X\} \cup \{(y,1): y \in Y\}$，则基数和是

$|X| + |Y| = |X + Y|$。

若$X$与$Y$不相交，则 $|X| + |Y| = |X \cup Y|$。

基数积是

$$|X| |Y| = |X \times Y|$$

其中$X \times Y$是$X$和$Y$的笛卡儿积。

基数指数是

$$|X|^{|Y|} = |X^{Y}|$$

其中$X^{Y}$是所有由$Y$到$X$的函数的集合。

在有限集时，这些运算与自然数无异。一般地，它们亦有普通算术运算的性质：

- 加法和乘法是可交换的，即 $|X|+|Y|=|Y|+|X|$ 及 $|X||Y|=|Y||X|$
- 加法和乘法符合结合律，$(|X|+|Y|)+|Z|=|X|+(|Y|+|Z|)$及 $(|X||Y|)|Z|=|X|(|Y||Z|)$
- 分配律，即 $(|X|+|Y|)|Z|=|X||Z|+|Y||Z|$。
- $$|X|^{|Y| + |Z|} = |X|^{|Y|} |X|^{|Z|}$$
- $$|X|^{|Y| |Z|} = (|X|^{|Y|})^{|Z|}$$
- $$(|X||Y|)^{|Z|} = |X|^{|Z|} |Y|^{|Z|}$$

无穷集合的加法及乘法（假设选择公理）非常简单。若$X$与$Y$皆非空而其中之一为无限集，则

$$|X| + |Y| = |X||Y| = \max\{|X|, |Y|\}$$

注意$2^{| X |}$是$X$的幂集之基数。由对角论证法可知$2^{| X |} > | X |$，是以并不存在最大的基数。事实上，基数的类是真类。

还有些关于指数的性质：

- $|X|^{0} = 1$（特别地，$0^{0} = 1$）。
- $0^{|Y|} = 0$，若$Y$非空。
- $1^{|Y|} = 1$。
- 若$|X| \leq |Y|$，则 $|X|^{|Z|} \leq |Y|^{|Z|}$。
- 若 $|X|$ 和 $|Y|$ 俱有限且大于1，而$Z$是无穷集，则 $|X|^{|Z|} = |Y|^{|Z|}$。
- 若X是无穷而$Y$是有限及非空，则 $|X|^{|Y|} = |X|$。

## 基数序列及连续统假设

对每一个基数，存在一个最小比它大的基数。这在自然数当然是对的。自然数集的基数是$\aleph_0$，康托尔称下一个为$\aleph_1$，相类似的，还定义了如下一个序列：$\aleph_0, \aleph_1,\ldots,\aleph_n \ldots$。

设$c=2^{\aleph_0}$。连续统假设猜想，就是$c=\aleph_1$。

连续统假设是与一般集论公理（即Zermelo-Fraenkel公理系统加上选择公理）是独立的。

更一般的假设，即$\aleph_{n+1}=2^{\aleph_n}$。

广义连续统假设，就是对所有无穷基数$\aleph$，都不存在介乎$\aleph$与$2^\aleph$之间的基数。

## 外部链接

- https://web.archive.org/web/20010528181608/http://logweb.terrashare.com/text/logic/infini.txt
- Infinite Ink: Cardinal Numbers