直言三段论

直言三段论是所有前提都是直言命题的演绎推理。前两个命题被分别称为大前提和小前提。如果这个三段论是有效的，这两个前提逻辑上蕴涵了最后的命题，它叫做结论。结论的真实性建立在前提的真实性和它们之间的联系之上：中项在前提中必须周延（distribute）至少一次，形成在结论中的主词和谓词之间的连接。例如：

所有生物都会死。

所有人都是生物。

所以，所有人都会死。

这里的中项“生物”在大前提中周延，大项“会死者”在大前提和结论中都不周延，小项“人”在小前提和结论中周延；这个三段论符合周延规则：中项至少在一个前提中周延。一些直言三段论不是有效的，例如：

所有鸟都有翅膀。

所有人都不是鸟。

所以，没有人有翅膀。

即使此例子的两个前提和结论都是正确的，中项“鸟”在大前提和小前提中周延，大项“有翅膀”在结论中周延，小项“人”在小前提和结论中周延；此三段论却是一种大项不当谬误，将结论“没有人有翅膀”理解为同样表达的“所有人没有翅膀”如此一来方便了解其中的谬误；此三段论不有效的原因是它不符合另一个周延规则：在结论中周延的词项，在前提中也必须周延。在该三段论中大项“有翅膀”在结论被否定了，也就是说表达了人没有“有翅膀”，大项在此周延，但在大前提中未周延，因为在大前提中“有翅膀”并没有涉及该项的所有个体。

## 历史

亚里士多德在公元前350年左右的《前分析篇》中第一次系统阐述了三段论理论。他将三段论定义为“一种论证，在其中某些东西被设定后，由于它们如此，就必然得出另外不同的东西”。亚里士多德的理论主要针对包含三个直言命题的直言三段论，但也涉及模态三段论（包含“必然”、“可能”等模态词的命题）。

### 中世纪

波埃修斯（约475-526）将亚里士多德的逻辑学著作翻译为拉丁文并编写了教科书，使三段论理论得以在欧洲传承。彼得·阿伯拉尔（1079-1142）在其《辩证术》中对三段论概念进行了深入讨论，特别是在模态句的“de dicto”与“de re”区分方面作出了重要贡献。让·布里丹（约1300-1361）在其《推论论》和《辩证术纲要》中进一步拓展了三段论理论，此后近两百年间三段论逻辑没有重大变化。

### 近现代

17世纪，弗朗西斯·培根在《新工具》中强调对公理必须进行严格的实验验证，不能将三段论本身视为理解自然的最佳方法，从而推动了归纳逻辑的发展。伊曼努尔·康德在其《逻辑学》（1800）中声称逻辑学已是完成科学，亚里士多德的三段论几乎包含了关于逻辑的一切知识。1879年，戈特洛布·弗雷格在《概念文字》中引入了谓词演算，用量词和变量表示范畴命题，最终以一阶逻辑取代了三段论作为逻辑学核心的地位。

与此同时，乔治·布尔在《思维规律的研究》（1854）中全面接受并扩展了亚里士多德逻辑，为其提供了方程形式的数学基础，并将可处理的问题从仅判定有效性扩展到求解方程。

## 语气和格式

<image>

三段论有如下典型形式：

大前提：所有M是P。

小前提：所有S是M。

结论：所有S是P。

其中S代表结论的主词（Subject），P代表结论的谓词（Predicate），M代表中词（Middle）。

三段论的命题可分为全称（universal）、特称（particular），及肯定、否定，组合起来有以下四类语气（Mood）：

类型｜代号｜形式｜范例

全称肯定型｜A（SaP）｜所有S是P｜所有人是会死的

全称否定型｜E（SeP）｜没有S是P｜没有人是完美的

特称肯定型｜I（SiP）｜有些S是P｜有些人是健康的

特称否定型｜O（SoP）｜有些S不是P｜有些人不是健康的

三段论中，结论中的谓词称作大词（P，或称大项），包含大词在内的前提称作大前提；结论中的主词称作小词（S，或称小项），包含小词在内的前提称作小前提；没有出现在结论，却在两个前提重复出现的称作中词（M，或称中项）。大词、中词、小词依不同排列方式，可分成四种格（Figure）：

第1格｜第2格｜第3格｜第4格

大前提｜M-P｜P-M｜M-P｜P-M

小前提｜S-M｜S-M｜M-S｜M-S

结论｜S-P｜S-P｜S-P｜S-P

将以上整合在一起，三段论的大前提、小前提、结论分别可为A、E、I、O型命题之一，又可分为4格，故总共有256种三段论（若考虑大前提与小前提对调，便有512种，但逻辑上是相同的）。

三段论依语气与格的分类缩写，例如AAA-1（也可以写成1-AAA）代表“大前提为A型，小前提为A型，结论为A型，第1格”的三段论。

此外，三段论的四种格之间可相互转换：

- 第1格：对换大前提的主词和谓词的位置就变成第2格，对换小前提的主词和谓词的位置就变成第3格。
- 第2格：对换大前提的主词和谓词的位置就变成第1格，对换小前提的主词和谓词的位置就变成第4格。
- 第3格：对换大前提的主词和谓词的位置就变成第4格，对换小前提的主词和谓词的位置就变成第1格。
- 第4格：对换大前提的主词和谓词的位置就变成第3格，对换小前提的主词和谓词的位置就变成第2格。

E和I命题对换主词和谓词的位置而保持同原命题等价。A命题和O命题不能对换主词和谓词的位置，但是可以采用直接推理中的“对置法”。A命题还可以在确实主词有元素存在的前提下，转换成弱于原命题的I命题后再对换主词和谓词的位置。

## 有效性

考虑各种直言三段论的有效性将是非常冗长耗时的。前人想出了三个可供选择的方法来找出有效性。方法之一是记住下一章节中列出的所有论式。

还可以通过构造文氏图的方法得到有效形式。因为有三种项，文氏图需要三个交叠的圆圈来表示每一个类。首先，为小项构造一个圆圈。临近小项的圆圈的是同小项有着交叠的大项的圆圈。在这两个圆圈之上是中项的圆圈。它应当在三个位置有着交叠：大项，小项和大项与小项交叠的地方。一个三段论是有效的，其必然条件是通过图解两个前提得出结论的真实性。永不图解结论，因为结论必须从前提推导出来。总是首先图解全称命题。这是通过对一个类在另一个类中没有成员的区域加黑影来实现的。所以在前面例子的AAA-1形式中大前提“所有M是P”中，对M不与P交叠的所有区域加黑影，包括M与S交叠的部分。接着对小前提重复同样的过程。从这两个前提中可推导出在类S中所有成员也是类P的成员。但是，不能推出类P的所有成员都是类S的成员。

<image>

作为文氏图方法的另一个例子，考虑形式EIO-1的三段论。它的大前提是“没有M是P”，它的小前提是“有些S是M”，它的结论是“有些S不是P”。这个三段论的大项是P，它的小项是S，它的中项是M。大前提在图中通过对交集M ∩ P加阴影表示。小前提不能通过对任何区域加黑影表示。转而，我们可以在交集S ∩ M的非黑影部分使用x符号来表示“有些S是M”。（注意：黑影区域和存在量化区域是互斥的）。接着因为存在符号位于S内但在P外，所以结论“存在一些S不是P”是正确的。

<image>

本文最后一节列出了所有24个有效论式的文氏图。

最后一种方法是记住下面非形式表述的几条规则以避免谬论。尽管文氏图对于诠释目的是好工具，有人更喜欢用这些规则来检验有效性。

基本规则：

- 结论中周延的词必须在前提中周延（谬误：大词不当、小词不当）。
- 中词必须周延至少一次（谬误：中词不周延）。
- 二前提皆肯定，则结论必须为肯定（谬误：肯定前提推得否定结论）。
- 一前提是否定，则结论必须为否定（谬误：否定前提推得肯定结论）。
- 二前提皆否定，则三段论必无效（谬误：排它前提谬误）。
- 二前提皆全称，则结论必须为全称。
- 一前提是特称，则结论必须为特称。
- 二前提皆特称，则三段论必无效。

若一个三段论式满足以上的所有规则，就必定有效。

其他检查：

- 如果语境上不能假设所有提及的集合非空，部分推论将会无效（谬误：存在谬误）。
- 必须包含严格的三个词，不多不少。且须注意所有关键词和结构的语义是否一致（谬误：四词谬误、歧义谬误）。

### 有效三段论式

唯有第一格的所有有效三段论式的结论涵盖了A、E、I、O全部四种命题，第二格的所有有效三段论式皆为否定结论（E或O），第三格的所有有效三段论式皆为特称结论（I或O），第四格的所有有效三段论式皆为否定结论或特称结论（E、I或O）。下面表格中加下划线者必须假设所有提及的集合非空才有效。

第1格｜第2格｜第3格｜第4格

AAA｜AEE｜AAI｜AAI

EAE｜EAE｜EAO｜EAO

AII｜AOO｜AII｜AEE

EIO｜EIO｜EIO｜EIO

AAI｜AEO｜IAI｜IAI

EAO｜EAO｜OAO｜AEO

在全部256种三段论式中，有24种有效，但是如果不能确定所有提及的集合为非空，则只有15种有效。

### 常犯的无效三段论式

```
1-AEE, 1-AEO, 1-EEA, 1-EEE, 1-EEI, 1-AIA, 1-IAA, 1-IAI, 1-III, 1-AOO, 1-OAO, 1-IEO
2-AAA, 2-AAI, 2-AII, 2-IAI, 2-OAO, 2-IEO, 2-EOI, 2-OEI, 2-IOO, 2-OIO
3-AAA, 3-AEE, 3-EAE, 3-AEO, 3-AOO, 3-AIA, 3-IAA, 3-III, 3-EOI, 3-OEI, 3-IEO
4-AAA, 4-EAE, 4-AII, 4-IEO
```

## 三段论式列表

总共有19个有效的论式，算结论弱化（全称弱化为特称）的5个论式则为24个有效论式，其中每一格刚好各有6个有效论式。为便于记忆，中世纪的学者将这些有效论式分别取了对应的拉丁语名字，每个名字的加了下划线的元音即是对应的语气：

第1格｜第2格｜第3格｜第4格

Barbara｜Camestres｜Darapti｜Bamalip

Celarent｜Cesare｜Felapton｜Fesapo

Darii｜Baroco｜Datisi｜Calemes

Ferio｜Festino｜Ferison｜Fresison

Barbari｜Camestros｜Disamis｜Dimaris

Celaront｜Cesaro｜Bocardo｜Calemos

### 经典三段论式

下面列出的是亚里士多德的《前分析篇》中关于前3个格的14个三段论式。

#### 第1格

- AAA（Barbara）

所有M是P。

所有S是M。

∴所有S是P。

$$\cfrac{\forall x(M(x)\rightarrow P (x)) \qquad \forall x(S(x)\rightarrow M (x))} <pre> {\forall x(S(x) \rightarrow P (x))}$$

- EAE（Celarent）

没有M是P。

所有S是M。

∴没有S是P。

$$\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x)) \quad \forall x(S(x)\rightarrow M (x))} <pre> {\forall x(S(x) \rightarrow \lnot P (x))}$$

- AII（Darii）

所有M是P。

有些S是M。

∴有些S是P。

$$\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P (x)) \qquad \exists x(S(x)\land M (x))} <pre> {\exists x(S(x) \land P (x))}$$

- EIO（Ferio）

没有M是P。

有些S是M。

∴有些S不是P。

$$\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x)) \quad \exists x(S(x)\land M (x))} <pre> {\exists x(S(x) \land \lnot P (x))}$$

#### 第2格

- AEE（Camestres）

所有P是M。

没有S是M。

∴没有S是P。

$$\cfrac {\cfrac { \begin{matrix} \quad \\ \forall x(P(x)\rightarrow M (x)) \end{matrix} \qquad \cfrac {\forall x (S(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x (M(x)\rightarrow \lnot S (x))}}{\forall x (M(x)\rightarrow \lnot S (x)) \qquad \forall x(P(x)\rightarrow M(x))}} <pre> {\cfrac {\forall x(P(x) \rightarrow \lnot S (x))} {\forall x(S(x) \rightarrow \lnot P (x))}}$$

（AEE-2是AEE-4的等价形式。这种形式还有其他推导方法。）

- EAE（Cesare）

没有P是M。

所有S是M。

∴没有S是P。

$$\cfrac { \cfrac { \forall x(P(x)\rightarrow \lnot M (x))} {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x))} \qquad \begin{matrix} \quad \\ \forall x(S(x)\rightarrow M (x)) \end{matrix}} <pre> {\forall x(S(x) \rightarrow \lnot P (x))}$$

（EAE-2是EAE-1的等价形式。）

- AOO（Baroco）

所有P是M。

有些S不是M。

∴有些S不是P。

$$\cfrac {\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M (x))}{\forall x(P(x)\rightarrow \lnot (\lnot M (x)))} } {\forall x((\lnot M(x)) \rightarrow \lnot P (x))} \quad \cfrac {\exists x(S(x)\land \lnot M (x))} {\exists x(S(x)\land (\lnot M (x)))}} <pre> {\exists x(S(x) \land \lnot P (x))}$$

（这种形式还有其他推导方法。）

- EIO（Festino）

没有P是M。

有些S是M。

∴有些S不是P。

$$\cfrac { \cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M (x))} {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x))} \qquad \begin{matrix} \quad \\ \exists x(S(x)\land M (x))\end{matrix}} <pre> {\exists x(S(x) \land \lnot P (x))}$$

（EIO-2是EIO-1的等价形式。）

#### 第3格

- AAI（Darapti）

所有M是P。

所有M是S。

∴有些S是P。

（这种形式需要假定有些M确实存在。）

$$\cfrac {\cfrac {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P (x)) \qquad \forall x(M(x)\rightarrow S (x))} {\forall x(M(x)\rightarrow(P(x)\land S (x)))}}{\forall x(M(x)\rightarrow(S(x)\land P (x)))} \qquad \begin{matrix} \quad \\ \exists x M(x) \end{matrix} }{\exist x(S(x) \land P (x))}$$

$$\cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \quad \\ \quad \\ \forall x(M(x)\rightarrow P (x)) \end{matrix} \ \cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \forall x(M(x)\rightarrow S (x)) <pre> \end{matrix} \quad \cfrac {\exist x M(x)}{\exist x (M(x) \land M(x))} } {\cfrac {\exist x (M(x)\land S(x))} {\exist x (S(x)\land M(x))}}} {\exist x(S(x) \land P (x))}$$

- EAO（Felapton）

没有M是P。

所有M是S。

∴有些S不是P。

（这种形式需要假定有些M确实存在。）

$$\cfrac {\cfrac {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x)) \qquad \forall x(M(x)\rightarrow S (x))} {\forall x(M(x)\rightarrow((\lnot P(x))\land S (x)))}}{\forall x(M(x)\rightarrow(S(x)\land \lnot P (x)))} \quad \begin{matrix} \quad \\ \exists x M(x) \end{matrix} }{\exist x(S(x) \land \lnot P (x))}$$

$$\cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \quad \\ \quad \\ \forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x)) \end{matrix} \, \cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \forall x(M(x)\rightarrow S (x)) <pre> \end{matrix} \quad \cfrac {\exist x M(x)}{\exist x (M(x) \land M(x))} } {\cfrac {\exist x (M(x)\land S(x))} {\exist x (S(x)\land M(x))}}} {\exist x(S(x) \land \lnot P (x))}$$

- AII（Datisi）

所有M是P。

有些M是S。

∴有些S是P。

$$\cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \forall x(M(x)\rightarrow P (x)) \end{matrix} \qquad \cfrac {\exist x(M(x)\land S (x))} {\exist x(S(x)\land M (x))}} <pre> { \exists x(S(x) \land P (x))}$$

（AII-3是AII-1的等价形式。）

- EIO（Ferison）

没有M是P。

有些M是S。

∴有些S不是P。

$$\cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x)) \end{matrix} \quad \cfrac {\exist x(M(x)\land S (x))} {\exist x(S(x)\land M (x))}} <pre> {\exists x(S(x) \land \lnot P (x))}$$

（EIO-3是EIO-1的等价形式。）

- IAI（Disamis）

有些M是P。

所有M是S。

∴有些S是P。

$$\cfrac {\cfrac {\cfrac {\exist x(M(x)\land P (x))}{\exist x(P(x)\land M(x))} \qquad \begin{matrix} \quad \\ \forall x (M(x)\rightarrow S (x)) \end{matrix}}{\forall x (M(x)\rightarrow S (x)) \qquad \exist x(P(x)\land M(x))}} <pre> {\cfrac {\exists x(P(x) \land S (x))} {\exists x(S(x) \land P (x))}}$$

（IAI-3是IAI-4的等价形式。）

- OAO（Bocardo）

有些M不是P。

所有M是S。

∴有些S不是P。

$$\cfrac {\cfrac { \cfrac {\exist x(M(x)\land \lnot P (x))}{\exist x((\lnot P(x))\land M (x))} \quad \begin{matrix} \quad \\ \forall x (M(x)\rightarrow S (x))\end{matrix}}{\forall x (M(x)\rightarrow S (x)) \quad \exist x((\lnot P(x))\land M (x))}} <pre> {\cfrac {\exists x((\lnot P(x)) \land S (x))}{\exists x(S(x) \land \lnot P(x))}}$$

（这种形式还有其他推导方法。）

### 增补的论式

第4格由亚里士多德的学生泰奥弗拉斯托斯补充。

#### 第4格

- AAI（Bamalip）

所有P是M。

所有M是S。

∴有些S是P。

（这种形式需要假定有些P确实存在。）

$$\cfrac {\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M (x)) \qquad \forall x(M(x)\rightarrow S (x))} <pre> {\forall x(M(x)\rightarrow S (x)) \qquad \forall x(P(x)\rightarrow M (x))}} {\forall x(P(x)\rightarrow S (x))} \quad \cfrac {\exists x P(x)} {\exists x (P(x)\land P(x))}} {\cfrac {\exists x(P(x) \land S (x))} {\exists x(S(x) \land P (x))}}$$

- EAO（Fesapo）

没有P是M。

所有M是S。

∴有些S不是P。

（这种形式需要假定有些M确实存在。）

$$\cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \quad \\ \cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M (x))} {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x))} \end{matrix} \, \cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \forall x(M(x)\rightarrow S (x)) <pre> \end{matrix} \quad \cfrac {\exist x M(x)}{\exist x (M(x) \land M(x))} } {\cfrac {\exist x (M(x)\land S(x))} {\exist x (S(x)\land M(x))}}} {\exist x(S(x) \land \lnot P (x))}$$

（EAO-4是EAO-3的等价形式。）

- AEE（Calemes）

所有P是M。

没有M是S。

∴没有S是P。

$$\cfrac {\cfrac {\forall x( P(x)\rightarrow M (x)) \qquad \forall x(M(x)\rightarrow \lnot S (x))} <pre> {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot S (x)) \qquad \forall x( P(x)\rightarrow M (x))}} {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot S (x))} {\forall x(S(x) \rightarrow \lnot P (x))}}$$

- EIO（Fresison）

没有P是M。

有些M是S。

∴有些S不是P。

$$\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M (x))} <pre> {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x))} \qquad \cfrac {\exists x(M(x)\land S (x))} {\exists x(S(x)\land M (x))}} {\exists x(S(x) \land \lnot P (x))}$$

（EIO-4是EIO-1的等价形式。）

- IAI（Dimaris）

有些P是M。

所有M是S。

∴有些S是P。

$$\cfrac {\cfrac {\exists x( P(x)\land M (x)) \qquad \forall x(M(x)\rightarrow \ S(x))} <pre> {\forall x(M(x)\rightarrow \ S(x)) \qquad \exists x(P(x)\land M(x))}} {\cfrac {\exists x(P(x) \land S(x))} {\exists x(S(x) \land P(x))}}$$

#### 结论弱化的论式

历史上，AAI-3、EAO-3、AAI-4、EAO-4的拉丁语名字中有字母“p”，用来指示出这些论式通过引入了某个词项确实有元素存在的前提，将一个A命题弱化成了I命题。后人认为它们不是直言的即不是无条件的，这个问题被称为存在性引入问题。

在假定结论的主词确定有成员存在的前提下，可将论式中的结论A弱化为结论I，结论E弱化为结论O，它们也可以被增补为有效论式，从而得到所有可能的24有效论式。结论弱化论式有5个：AAI-1（Barbari），即弱化的AAA-1；EAO-1（Celaront），即弱化的EAE-1；AEO-2（Camestros），即弱化的AEE-2；EAO-2（Cesaro），即弱化的EAE-2；AEO-4（Calemos），即弱化的AEE-4。AAI-1的结论同于AII-1的结论，EAO-1、EAO-2的结论同于EIO-1的结论，AEO-2、AEO-4的结论同于AOO-2的结论，需要注意结论弱化论式原来的结论依然成立。

### 谓词演算公式的注解

按照布尔逻辑和集合代数的观点，三段论可以解释为：集合（类）$\, S \,$和集合$\, M \,$有某种二元关系，并且集合$\, M \,$和集合$\, P \,$有某种二元关系，从而推论出集合$\, S \,$和集合$\, P \,$是否存在进而为何种可确定的二元关系。两个集合之间的二元关系用直言命题可确定的有四种：

- A（全称肯定）命题：所有$\, M \,$的元素是$\, N \,$的元素，确定了$\, M \,$“包含于”$\, N \,$的关系，$\, M \,$是$\, N \,$的子集，$\, N \,$是$\, M \,$的超集，这是一种偏序关系，$\, L \,$包含于$\, M \,$，并且$\, M \,$包含于$\, N \,$，则$\, L \,$包含于$\, N \,$。A命题允许两个推理方向，从元素属于$\, M \,$推出它属于$\, N \,$，从元素不属于$\, N \,$推出它不属于$\, M \,$。A命题确定了$\, M \,$减$\, N \,$的差集是空集。
- E（全称否定）命题：所有$\, M \,$的元素不是$\, N \,$的元素，确定了$\, M \,$和$\, N \,$是“无交集”的关系，这是一种对称关系，$\, M \,$无交集于$\, N \,$，同于$\, N \,$无交集于$\, M \,$。E命题允许两个推理方向，从元素属于$\, M \,$推出它不属于$\, N \,$，从元素属于$\, N \,$推出它不属于$\, M \,$。E命题确定了$\, M \,$与$\, N \,$的交集是空集。
- I（特称肯定）命题：有些$\, M \,$的元素是$\, N \,$的元素，确定了$\, M \,$和$\, N \,$是“有交集”的关系，这是一种对称关系，$\, M \,$有交集于$\, N \,$，同于$\, N \,$有交集于$\, M \,$。I命题确定了$\, M \,$与$\, N \,$的交集不是空集。
- O（特称否定）命题：有些$\, M \,$的元素不是$\, N \,$的元素，确定了$\, M \,$“不包含于”$\, N \,$的关系。O命题确定了$\, M \,$减$\, N \,$的差集不是空集。

两个全称命题可以推出一个新的全称命题，一个全称命题和一个特称命题可以推出一个新的特称命题，两个特称命题无法推理。A命题可以和所有四种命题组合。E命题还可以和I命题组合，两个否定命题和IE组合，不能得出属于四种命题之一的结论。故而有效的论式，要在AA、AE、EA、AI、IA、AO、OA、EI这8种组合乘以4种格，共32种情况中找出。

AA组合中AAA-1是直接推出的；第4格AA组合推论出谓词包含于主词的关系，这不是四种命题之一，只能在谓词确实有元素存在的前提下弱化为AAI-4。AE组合中AEE-4是直接推出的，EA组合中EAE-1是直接推出的。第3格AA组合和EA组合，在中项确定有元素存在的前提下，形成AAI-3和EAO-3。AAA-1、AAI-4、AAI-3没有等价者。通过对换其前提E命题中主词和谓词的位置，从AEE-4得出其等价者AEE-2，从EAE-1的得出其等价者EAE-2，从EAO-3得出其等价者EAO-4。

AII-1、IAI-4是直接推出的，通过对换其前提I命题中主词和谓词的位置，从AII-1得出其等价者AII-3，从IAI-4得出其等价者IAI-3。AOO-2和OAO-3在历史上采用了反证法，这里采用了直接推理中的“对置法”，AOO-2、OAO-3没有等价者。EIO-1是直接推出的，通过对换其前提E命题及/或I命题中主词和谓词的位置，从EIO-1得出其等价者EIO-2、EIO-3、EIO-4。

## 24论式图示

下表以文氏图展示24个有效直言三段论，不同栏表示不同的前提，不同外框颜色表示不同的结论，需要存在性预设的推理以虚线与斜体字标示。

格｜A ∧ A｜A ∧ E｜A ∧ I｜A ∧ O｜E ∧ I

AAA｜AAI｜AEE｜AEO｜EAE｜EAO｜AII｜IAI｜AOO｜OAO｜EIO

1｜

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Barbara｜

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Barbari｜

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Celarent｜

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Celaront｜

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Darii｜

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Ferio

2｜

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Camestres｜

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Camestros｜

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Cesare｜

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Cesaro｜

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Baroco｜

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Festino

3｜

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Darapti｜

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Felapton｜

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Datisi｜

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Disamis｜

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Bocardo｜

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Ferison

4｜

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Bamalip｜

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Calemes｜

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Calemos｜

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Fesapo｜

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Dimatis｜

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Fresison

## 外部链接

- aristotle-logic
- square
- medieval-syllogism
- Aristotle's Prior Analytics: the Theory of Categorical Syllogism an annotated bibliography on Aristotle's syllogistic
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