电阻

$$\mathsf{M} \mathsf{L}^2 \mathsf{T}^{-3} \mathsf{I}^{-2}$$ $$\mathsf{M}^{-1} \mathsf{L}^{-2} \mathsf{T}^3 \mathsf{I}^2$$

$$G = \frac{1}{R}$$

在电磁学里，电阻（resistance）是一个物体对于电流通过的阻碍能力，以方程式定义为：

$R\ \stackrel{def}{=}\ \frac{V}{I}$。

其中，$R$为电阻，$V$为物体两端的电压，$I$为通过物体的电流。

假设一个物体具有均匀截面面积，则其电阻与电阻率、长度成正比，与截面面积成反比。

在国际单位制中，电阻的单位为欧姆（Ω，Ohm）。电阻的倒数为电导，单位为西门子（S）。

假设温度不变，则很多种物质会遵守欧姆定律，即这些物质所组成的物体，其电阻为常数，不跟电流或电压有关，一般称这些物质为“欧姆物质”；不遵守欧姆定律的物质为“非欧姆物质”。

在电路符号中，常以前缀R表示恒定电阻的电阻值，例如R1、R02、R100等。

## 导体与电阻器

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像电线一类的物体，具有低电阻，可以很有效率地传输电流，这类物体称为“导体”。通常导体是由像铜、金和银一类具有优等导电性质的金属制造，或者次等导电性质的铝。电阻器是具有特定电阻的电路元件。制备电阻器所使用的原料有很多种；应该使用哪种原料，要视指定的电阻、能量耗散、准确度和成本等因素而定。

### 直流电

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在物理学里，对于物质的微观层次电性质研究，会使用到的欧姆定律，以向量方程式表达为

$\mathbf{E} = \rho \mathbf{J}$。

其中，$\mathbf{E}$是电场，$\rho$是电阻率，$\mathbf{J}$是电流密度。

在导体内任意两点g、h，定义电压为将单位电荷从点g移动到点h，电场力所需做的机械功：

$V_{gh}\stackrel{def}{=}\ \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}q}=\int_g^h {\mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}}=\rho\int_g^h {\mathbf{J} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}}$。

其中，$V_{gh}$是电压，$w$是机械功，$q$是电荷量，$\mathrm{d} \mathbf{l}$是微小线元素。

假设，沿着积分路径，电流密度$\mathbf{J}=J\hat{\mathbf{l}}$为均匀电流密度，并且平行于微小线元素：

$\mathrm{d} \mathbf{l}=\mathrm{d} l\hat{\mathbf{l}}$。

其中，$\hat{\mathbf{l}}$是积分路径的单位向量。

那么，可以得到电压：

$V_{gh}=J\rho l$。

其中，$l$是积分路径的径长。

假设导体具有均匀的电阻率，则通过导体的电流密度也是均匀的：

$J = I/a$。

其中，$a$是导体的截面面积。

电压$V_{gh}$简写为$V$。电压与电流成正比：

$V=V_{gh}= I \rho l/a$。

总结，电阻与电阻率的关系为

$R = \rho l/a$。

假设$J>0$，则$V>0$；将单位电荷从点g移动到点h，电场力需要作的机械功$w>0$。所以，点g的电势比点h的电势高，从点g到点h的电势差为$- V$。从点g到点h，电压降是$V$；从点h到点g，电压升是$V$。

### 交流电

假设电线传导的电流是高频率交流电，则由于趋肤效应，电线的有效截面面积会减小。假设平行排列几条电线在一起，则由于邻近效应，每一条电线的有效电阻会大于单独电线的电阻。对于普通家用交流电，由于频率很低，这些效应非常微小，可以忽略这些效应。

## 测量电阻

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电阻计是测量电阻的仪器。由于探针电阻和接触电阻会造成电压降，简单电阻器不能准确地测量低电阻。高准确度测量工作必须使用四端点测量技术（four-terminal measurement technology）。

### 能带理论概述

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根据量子力学，束缚于原子内部的电子，其能量不能假定为任意数值，而只能占有某些固定能级，在这些能级之间的数值不可能是电子的能量。这些能级可以分为两组，一组称为导带，另一组称价带。导带的能级通常比较高一些。处于导带的电子可以自由地移动于物体内部。

在绝缘体和半导体中，原子之间会相互影响，使得导带和价带之间出现能隙，电子无法处于能隙。为了要产生电流，必须给予电子相当大的能量，协助电子从价带，跳过能隙，进入导带。因此，即使对这些物质施加很大的电压，产生的电流仍旧很小。

## 电阻种类

- 碳膜电阻
- 金属氧化膜电阻
- 精密电阻
- 绕线电阻
- 水泥电阻
- 固定瓷管电阻
- 低感瓷管电阻
- 铝壳精密电阻
- 光敏电阻：收到光线改变就会跟着改变电阻值的电阻
- 热敏电阻
- 压敏电阻

## 各种不同材料的电阻

### 金属

金属是一群原子以晶格结构形成的晶体，每个原子都拥有一层（或多层）由电子组成的外壳。处于外壳的电子能脱离原子核的吸引力而到处流动，形成一片电子海，使得金属能够导电。当施加电势差（即电压）于金属两端时，因为感受到电场的影响，这些自由电子会呈加速运动。但是每当自由电子与晶格发生碰撞，其动能会遭受损失，以热能的形式将能量释放，所以，电子的平均移动速度是漂移速度，其方向与电场方向相反。由于漂移运动，会产生电流。在现实中，物质的原子排列不可能为完全规则，因此电子在流动途中会被不按规则排列的原子散射，这是电阻的来源。

给予一个具有完美晶格的金属晶体，移动于这晶体的电子，其运动等价于移动于自由空间、具有有效质量的电子的运动。所以，假设热运动足够微小，周期性结构没有偏差，则这晶体的电阻等于零。但是，真实晶体并不完美，时常会出现晶体缺陷，有些晶格点的原子可能不存在，可能会被杂质侵占。这样，晶格的周期性会被扰动，因而电子会被散射。另外，假设温度大于绝对零度，则处于晶格点的原子会发生热震动，因而出现热震动的粒子——声子——移动于晶体。温度越高，声子越多。声子会与电子发生碰撞，这过程称为晶格散射（lattice scattering）。主要由于上述两种散射，自由电子的流动会被阻碍，晶体因此具有有限电阻。

### 半导体和绝缘体

对于金属，费米能级的位置在导带区域内，因此金属内部会出现自由的传导电子。可是，对于半导体，费米能级的位置在能隙区域内。

本征半导体是未被掺杂的半导体，其费米能级大约为导带最低值与价带最高值的平均值。当温度为绝对零度时，本征半导体内部没有自由的传导电子，电阻为无穷大。当温度开始上升，高于绝对零度时，有些电子可能会获得能量而进入传导带中；假设施加外电场，则这些电子在获得外电场的能量后，会移动于金属内部，因而形成电流。

杂质半导体是经过掺杂的半导体。靠着捐赠电子给导带，或价带接受空穴，外质半导体内部的杂质原子能够增加电荷载子的密度，从而减低电阻。高度渗杂的半导体的导电性质类似金属。在非常高温度状况，热生成电荷载子的贡献会超过杂质原子的贡献；随着温度的增加，电阻会呈指数递减。

### 离子液体／电解质

在电解质中，电流是由带电的离子的流动产生，因此液体的电阻很受盐的浓度所影响。譬如蒸馏水是绝缘体，但盐水就是很好的导电体。

在生物体内的细胞膜，离子盐负责电流的传送。细胞膜中的小孔道，称为离子通道，会选择什么离子可以通过。这直接决定了细胞膜的电阻。

## 非欧姆元件

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有些电路元件不遵守欧姆定律，它们的电压与电流之间的关系（I-V线）乃非线性关系。PN接面二极管是一个显明范例。如右图所示，随着二极管两端电压的递增，电流并没有线性递增。给定外电压，可以用I-V线来估计电流，而不能用欧姆定律来计算电流，因为电阻会因为电压的不同而改变。具有这种特性的电阻或元件称为“非线性电阻”或“非欧姆元件”。

非欧姆元件的常见实例包括二极管、气体放电灯（萤光灯）、压敏电阻等。

对于这类元件在特定电压电流下的电阻量，使用V-I线的斜率（或是I-V曲线斜率的倒数）$\mathfrak{r}$，称为小信号电阻（small-signal resistance）、增量电阻（incremental resistance）或动态电阻（dynamic resistance），定义为

$\mathfrak{r}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}I}$。

此动态的电阻量适用于计算非欧姆元件，动态电阻的单位一样也是欧姆。

## 温度对电阻的影响

温度对不同物质的电阻会有不同的影响。

### 导电体

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假设温度接近室温，则典型金属的电阻$R$通常与温度$T$成正比：

$R =R_* [\alpha(T - T_*) + 1]$。

其中，$R_*$是典型金属在参考温度为$T_*$时的参考电阻，$\alpha$是电阻温度系数。

$\alpha$是电阻变化百分比每单位温度。每一种物质都有其特定的$\alpha$。实际而言，上述关系式只是近似，真实的物理是非线性的；换句话说，$\alpha$本身会随着温度的改变而变化。因此，通常会在$\alpha$字尾添加测量时的温度。例如，$\alpha_{15}$是在温度为15 °C时测量的电阻温度系数；使用$\alpha_{15}$为电阻温度系数，则参考温度$T_*$为15 °C，参考电阻为金属在参考温度为15 °C时的参考电阻，而且上述关系式只适用于计算温度在15 °C附近的电阻$R$。

稍加排列，这方程式又可表示为

$\alpha=\frac{R - R_*}{R_*(T - T_*)}$。

取$R - R_*\to 0$的极限，则可得到微分方程式

$\alpha=\frac{1}{R_*}\left(\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}T}\right)_*$。

所以，在温度为$T_*$时，物质的电阻温度系数是，其电阻对温度的曲线在温度为$T_*$时的斜率，除以温度为$T_*$时的电阻。

于1860年代，奥古斯土·马西森想出马西森定则（Matthiessen's rule）。这定则表明，总电阻率$\rho$可以分为两个项目：

$\rho=\rho_d+\rho_p$。

其中，$\rho_d$是由于晶体缺陷而产生的电阻率，$\rho_p$是由于声子而产生的电阻率。

$\rho_d$与金属内部的缺陷密度有关，是电阻率对温度的曲线外推至0K时的电阻率。因此，$\rho_d$与温度无关。$\rho_p$等于$\rho - \rho_d$。假若缺陷密度不高，则$\rho_p$通常与缺陷密度无关。$\rho_p$与电子跟声子的碰撞率有关，而碰撞率与声子密度成正比。假设温度高于德拜温度，则声子密度与温度成正比，所以，$\rho_p$与温度成正比：

$\rho_p= C_h T$。

$\rho= \rho_d+C_h T$。

其中，$C_h$是比例常数。

这方程式等价于前面电阻与温度的关系方程式。

假设温度低于德拜温度，则电阻与温度的5次方成正比：

$\rho_p= C_l T^5$。

其中，$C_l$是比例常数。

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如右图所示，当温度接近绝对温度时，黄金和白金的电阻趋向于常数；而当温度小于4.2K时，水银的电阻突然从0.002欧姆陡降为10−6欧姆，成为超导体。

### 半导体

温度越高，本征半导体的导电性质越优良，电子会被热能撞跳至导带，从而可以自由的移动，也因而留下电洞于价带，也可以自由的移动于价带。这电阻行为以方程式表达为

$R= R_0 e^{-aT}$。

其中，$R_0$，$a$是常数。

外质半导体的电阻对于温度的反应比较复杂。从绝对零度开始，随着温度增加，由于载子迅速地离开施主或受主，电阻会急剧降低。当大多数的施主或受主都失去了载子之后，电阻会因载子的迁移率（mobility）下降而随温度稍为上升。当温度升得更高，外质半导体的电阻行为类似本征半导体；施主或受主的载子数量超小于因热能而产生的载子的数量，于是电阻会再度下降。

### 绝缘体和电解质

绝缘体和电解质的电阻与温度一般成非线性关系，而且不同物质有不同的变化，故不在此列出概括性的算式。

### 超导体

某些材料在温度接近绝对零度（-273.15°C）或极低的温度时会出现超导现象，目前发现的超导体的最高温度约是203开尔文（-70°C）。

## 应变对电阻的影响

导体的电阻受应变影响而改变。假设施加张力（一种应力的形式，会引起应变，即导体伸长）于导体，则导体沿张力的方向，其长度会增加，相对而言，导体于垂直张力方向的截面面积会减少。这两种效应共同贡献，使得受到张力的导体，其电阻会随之增加。假设施加压力，则由于压缩（方向相反的应变：导体缩短，截面面积增加），导体应变部分的电阻会减少。应用这效应，应变片（strain gauge）可以测量物体的应变与所受张力。

## 参看

- 电测量（electrical measurements）
- 热阻（thermal resistance）
- 薄膜电阻
- 量子霍尔效应，一种新的电阻测量标准。
- 近藤效应
- 四端点测量技术

导抗

实数｜虚数｜复数｜单位

导性｜电导（G）｜电纳（B）｜导纳（Y）｜西门子（S）

抗性｜电阻（R）｜电抗（X）｜阻抗（Z）｜欧姆（Ω）

## 外部链接

- 克莱门森大学车辆电子实验室网页：电阻计算机

## 基本资料

- 日语原文：电阻
- 国际单位：欧姆 (Ω)
- 基本单位：kg⋅m2⋅s−3⋅A−2
- 单位因次：$\mathsf{M} \mathsf{L}^2 \mathsf{T}^{-3} \mathsf{I}^{-2}$
- 日语原文：电导率
- 国际单位：西门子 (S)
- 单位因次：$\mathsf{M}^{-1} \mathsf{L}^{-2} \mathsf{T}^3 \mathsf{I}^2$
- 基本单位：kg−1⋅m−2⋅s3⋅A2
- 从其他物理量的推衍：$G = \frac{1}{R}$