切比雪夫多项式

切比雪夫多项式（Chebyshev polynomials）是与棣莫弗定理有关，以递归定义的一系列正交多项式序列。通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。切比雪夫多项式 Tn 或 Un 代表 n 阶多项式。

切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。

在微分方程的研究中，帕夫努季·切比雪夫提出切比雪夫微分方程：

$$(1-x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0$$

和

$$(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + n(n+2)\,y = 0$$

相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形。

## 定义

第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定

$$T_0(x) = 1 \,$$

$$T_1(x) = x \,$$

$$T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x). \,$$

也可以用母函数表示

$$\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}.$$

第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出

$$U_0(x) = 1 \,$$

$$U_1(x) = 2x \,$$

$$U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x). \,$$

此时母函数为

$$\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x) t^n = \frac{1}{1-2tx+t^2}.$$

## 从三角函数定义

<image>

第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定

$$T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta) \,$$

其中 n = 0, 1, 2, 3, .... . $\cos n\theta \,$ 是关于 $\cos\theta \,$ 的 n次多项式，这个事实可以这么看： $\cos n\theta \,$是:$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=e^{i n\theta}=\cos(n\theta)+i\sin n\theta \,$的实部（参见棣莫弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含$\sin\theta \,$的项中，$\sin\theta \,$都是偶数次的，从而可以表示成 $1-\cos^2\theta \,$的幂。

用显式来表示

$$T_n(x) = \begin{cases} \cos(n\arccos(x)), & \ x \in [-1,1] \\ \cosh(n \, \mathrm{arccosh}(x)), & \ x \ge 1 \\ (-1)^n \cosh(n \, \mathrm{arccosh}(-x)), & \ x \le -1 \\ \end{cases}$$

尽管能经常碰到上面的表达式，但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有

$$\begin{matrix} T_n(x) & = & \cos (n \arccos (x)) \\ & = & \mathrm{cosh} (n \, \mathrm{arccosh} (x)) \end{matrix} \ , \quad \forall x \in \mathbb{R}.$$

类似，第二类切比雪夫多项式满足

$$U_n(\cos(\theta)) = \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin\theta}.$$

## 以佩尔方程定义

切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程

$$T_i^2 - (x^2-1) U_{i-1}^2 = 1 \,\!$$

在多项式环Rx 上的解(e.g., 见 Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:

$$T_i + U_{i-1} \sqrt{x^2-1} = (x + \sqrt{x^2-1})^i. \,\!$$

## 递归公式

两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:

$$T_0(x) = 1$$

$$U_{-1}(x) = 1$$

$$T_{n+1}(x) = xT_n(x) - (1 - x^2)U_{n-1}(x)$$

$$U_n(x) = xU_{n-1}(x) + T_n(x)$$

证明的方式是在下列三角关系式中用$\cos\vartheta$ 代替$x$

$T_{n+1}(x) = T_{n+1}(\cos\vartheta) = {}$ $\cos((n + 1)\vartheta) = {}$ $\cos(n\vartheta)\cos\vartheta - \sin(n\vartheta)\sin\vartheta = {}$ $T_n(\cos\vartheta)\cos\vartheta - U_{n-1}(\cos\vartheta)\sin^2\vartheta = {}$ $xT_n(x) - (1 - x^2)U_{n-1}(x)$

## 正交性

Tn 和Un 都是区间−1,1 上的正交多项式系.

第一类切比雪夫多项式带权

$$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$$

即:

$$\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\left\{ \begin{matrix} 0 &: n\ne m~~~~~\\ \pi &: n=m=0\\ \pi/2 &: n=m\ne 0 \end{matrix} \right.$$

可先令x= cos(θ) 利用Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.

类似地，第二类切比雪夫多项式带权

$$\sqrt{1-x^2}$$

即:

$$\int_{-1}^1 U_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}\,dx = \begin{cases} 0 &: n\ne m\\ \pi/2 &: n=m \end{cases}$$

其正交化后形成的随机变量是 Wigner 半圆分布).

## 基本性质

对每个非负整数$n$， $T_n(x)$ 和 $U_n(x)$ 都为 $n$次多项式。

并且当$n$为偶（奇）数时，它们是关于$x$ 的偶（奇）函数，在写成关于$x$的多项式时只有偶（奇）次项。

$n \ge 1$时，$T_n$ 的最高次项系数为 $2^{n-1}$，$n = 0$时系数为$1$。

## 最小零偏差

对$n \ge 1$，在所有最高次项系数为1的$n$次多项式中， $f(x) = \frac1{2^{n-1}}T_n(x)$ 对零的偏差最小，即它是使得$f(x)$在$[-1, 1]$ 上绝对值的最大值最小的多项式。

其绝对值的最大值为$\frac1{2^{n-1}}$，分别在$-1$、 $1$ 及 $f$ 的其他 $n - 1$ 个极值点上达到。

## 两类切比雪夫多项式间的关系

两类切比雪夫多项式间还有如下关系：

$$\frac{d}{dx} \, T_n(x) = n U_{n-1}(x) \mbox{ , } n=1,\ldots$$

$$T_n(x) = \frac{1}{2} (U_n(x) - \, U_{n-2}(x)).$$

$$T_{n+1}(x) = xT_n(x) - (1 - x^2)U_{n-1}(x)\,$$

$$T_n(x) = U_n(x) - x \, U_{n-1}(x).$$

切比雪夫多项式是超球多项式或盖根堡多项式的特例, 后者是雅可比多项式的特例.

切比雪夫多项式导数形式的递推关系可以由下面的关系式推出：

$$2 T_n(x) = \frac{1}{n+1}\; \frac{d}{dx} T_{n+1}(x) - \frac{1}{n-1}\; \frac{d}{dx} T_{n-1}(x) \mbox{ , }\quad n=1,2,\ldots$$

## 例子

<image>

前几个第一类切比雪夫多项式是

$$T_0(x) = 1 \,$$

$$T_1(x) = x \,$$

$$T_2(x) = 2x^2 - 1 \,$$

$$T_3(x) = 4x^3 - 3x \,$$

$$T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,$$

$$T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,$$

$$T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,$$

$$T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,$$

$$T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \,$$

$$T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x. \,$$

<image>

前几个第二类切比雪夫多项式是

$$U_0(x) = 1 \,$$

$$U_1(x) = 2x \,$$

$$U_2(x) = 4x^2 - 1 \,$$

$$U_3(x) = 8x^3 - 4x \,$$

$$U_4(x) = 16x^4 - 12x^2 + 1 \,$$

$$U_5(x) = 32x^5 - 32x^3 + 6x \,$$

$$U_6(x) = 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1. \,$$

第一类切比雪夫多项式前几阶导数是

$$T_n'(1) = n^2 \,$$

$$T_n'(-1) = - (-1)^n * n^2 \,$$

$$T_n''(1) = (n^4 - n^2)/3 \,$$

$$T_n''(-1) = (-1)^n * (n^4 - n^2)/3 \,$$

## 按切比雪夫多项式的展开式

一个N 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下：

$$p(x) = \sum_{n=0}^{N} a_n T_n(x)$$

多项式按切比雪夫多项式的展开可以用 Clenshaw递推公式计算。

## 切比雪夫根

两类的n次切比雪夫多项式在区间−1,1上都有n 个不同的根, 称为切比雪夫根, 有时亦称做 切比雪夫节点，因为是多项式插值时的 插值点 . 从三角形式中可看出Tn 的n个根分别是：

$$x_i = \cos\left(\frac{2i-1}{2n}\pi\right) \mbox{ , } i=1,\ldots,n.$$

类似地， Un 的n个根分别是：

$$x_i = \cos\left(\frac{i}{n+1}\pi\right) \mbox{ , } i=1,\ldots,n.$$