阿达马变换

阿达马变换（Hadamard transform），或称沃尔什-阿达玛转换，是一种广义傅立叶变换（Fourier transforms），作为变换编码的一种在影片编码当中使用有很久的历史。在近来的影片编码标准中，阿达马变换多被用来计算SATD(一种影片残差信号大小的衡量)。

在数字信号处理大型积体电路算法的领域中，阿达马变换是一种简单且重要的算法之一，主要能针对频谱做快速的分析。

## 变换矩阵

在H.264中使用了4阶和8阶的阿达马变换来计算SATD，其变换矩阵为：

$$H_4 = \begin{bmatrix} <pre> 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 </pre> \end{bmatrix}$$

$$H_8 = \begin{bmatrix} <pre> 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 </pre> \end{bmatrix}$$

## SATD计算方法

当计算4x4块$\begin{bmatrix}L_4\end{bmatrix}$的SATD时，先使用下面的方法进行二维的阿达马变换：

$$<pre> \begin{bmatrix} L_4' \end{bmatrix} </pre> = <pre> \begin{bmatrix} H_4 \end{bmatrix} </pre> \times <pre> \begin{bmatrix} L_4 \end{bmatrix} </pre> \times <pre> \begin{bmatrix} H_4 \end{bmatrix} </pre>$$

然后计算$\begin{bmatrix}L_4'\end{bmatrix}$所有系数绝对值之和并归一化。

类似的，当计算8x8块$\begin{bmatrix}L_8\end{bmatrix}$的SATD时，先使用下面的方法进行二维的Hadamard变换：

$$<pre> \begin{bmatrix} L_8' \end{bmatrix} </pre> = <pre> \begin{bmatrix} H_8 \end{bmatrix} </pre> \times <pre> \begin{bmatrix} L_8 \end{bmatrix} </pre> \times <pre> \begin{bmatrix} H_8 \end{bmatrix} </pre>$$

然后计算$\begin{bmatrix}L_8'\end{bmatrix}$所有系数绝对值之和并归一化。

## 建构阿达马变换

阿达马变换转换主要型式为 $\boldsymbol{2^k}$ 点的转换矩阵，其最小单位矩阵为 2x2 的阿达马变换矩阵，以下分别为二点、四点与如何产生 $\boldsymbol{2^k}$ 点的阿达马变换转换步骤。

$$\boldsymbol{W_2} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$

$$\boldsymbol{W_4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$$

- 产生 $\boldsymbol{2^k}$ 点阿达马变换的步骤：

步骤一： $\boldsymbol{V_{2^{k+1}}} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{W_{2^k}} & \boldsymbol{W_{2^k}} \\ \boldsymbol{W_{2^k}} & \boldsymbol{-W_{2^k}} \end{bmatrix}$

步骤二：根据正负号次序 (Sign change,正负号改变次数) 将矩阵 (Matrix) 内的列向量做顺序上的重新排列。

$$\boldsymbol{V_{2^{k+1}}} \longrightarrow \boldsymbol{W_{2^{k+1}}}$$

## 范例

$$\boldsymbol{V_4} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{W_2} & \boldsymbol{W_2} \\ \boldsymbol{W_2} & \boldsymbol{-W_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} ,\quad \boldsymbol{W_4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}.$$

$$\boldsymbol{V_8} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{W_8} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}.$$

## 特性

- 正交性

$$\sum_{n=0}^{N-1} W\left[ {h, n} \right]W\left[ {m, n} \right] = 0, \quad \mathrm{if} \, h \ne m.$$

其表示 Walsh-Hadamard 转换矩阵中，不同的列向量 (Row verctor) 做内积 (Inner product) 为零。

- 奇偶函数性质

可简单从 Walsh-Hadamard 转换矩阵中发现，其奇数列向量呈现左右两边偶对称(Even symmetric)。反之，其偶数列向量呈现左右两边奇对称(Odd symmetric)。

- 线性关系

若 $f\left[{n}\right] \Rightarrow F\left[{m}\right] \, and \, \, g\left[{n}\right] \Rightarrow G\left[{m}\right],$

则 $a\,f\left[{n}\right] + b\,g\left[{n}\right] \Rightarrow a\,F\left[{m}\right] + b\,G\left[{m}\right].$

- 逻辑相加性质

$$W\left[{m, n}\right] \cdot W\left[{l, n}\right] = W\left[{m \oplus l, n}\right].$$

范例：

$$0 \oplus 0 = 0, \quad 0 \oplus 1 = 1, \quad 1 \oplus 0 = 1, \quad 1 \oplus 1 = 0,$$

其运算方式为布林代数内的 XOR 逻辑闸。

- 特殊函数

$$\delta\left[{n}\right] \Rightarrow 1, \quad 1 \Rightarrow N \cdot \delta\left[{n}\right].$$

其中， $\delta\left[{n}\right] = \begin{cases} \, 1, \quad \mathrm{when} \; n = 0 \\ \, 0, \quad \mathrm{when} \; n \ne 0 \end{cases}.$

- 平移性质

若 $f\left[{n}\right] \Rightarrow F\left[{m}\right],$

则 $f\left[{n \oplus k}\right] \Rightarrow W\left[{k, m}\right] F\left[{m}\right].$

- 调变性质

若 $f\left[{n}\right] \Rightarrow F\left[{m}\right],$

则 $W\left[{k, n}\right] f\left[{n}\right] \Rightarrow F\left[{m \oplus k}\right].$

- 帕塞瓦尔定理 (Parseval's Theorem)

若 $f\left[{n}\right] \Rightarrow F\left[{m}\right], \quad \sum_{n=0}^{N-1} \left| f\left[ n \right] \right|^2 = \left( \frac{1}{N} \right) \sum_{n=0}^{N-1} \left| F\left[ m \right] \right|^2.$

若 $f\left[{n}\right] \Rightarrow F\left[{m}\right] \, and \, \, g\left[{n}\right] \Rightarrow G\left[{m}\right],$

则 $\sum_{n=0}^{N-1} f\left[ n \right]g\left[ n \right] = \left( \frac{1}{N} \right) \sum_{n=0}^{N-1} F\left[ m \right]G\left[ m \right].$

- 折积性质 (Convolution Property)

若 $f\left[{n}\right] \Rightarrow F\left[{m}\right] \, and \, \, g\left[{n}\right] \Rightarrow G\left[{m}\right],$

则 $h\left[{n}\right] = f\left[{n}\right] \star g\left[{n}\right] \Rightarrow H\left[{m}\right] = F\left[{m}\right] G\left[{m}\right],$

其中 $\star$ 代表逻辑折积 (Logical convolution)。

## 优缺点比较

### 优点

- 仅需实数运算 (Real operation)。
- 不需乘法运算 (No multiplication)，仅有加减法运算。
- 有部分性质类似于离散傅立叶变换 (Discrete fourier transform)。
- 顺向转换 (Forward transform) 与反向转换 (Inverse transform ) 型式为相似式。

$$\begin{cases} \begin{matrix} F\left[ m \right] &=& \sum_{n=0}^{N-1} W\left[ {m, n} \right] f\left[ n \right] & & (\mbox{Forward Type}) \\ f\left[ n \right] &=& \left( \frac{1}{N} \right) \sum_{n=0}^{N-1} W\left[ {m, n} \right]F\left[ m \right] & &(\mbox{Inverse Type}) \end{matrix} \end{cases},$$

其中 $F\left[ n \right]$ 与 $f\left[ n \right]$ 分别都为行向量 (Column vector)。

### 缺点

- 其收敛速度较离散余弦变换慢，因此对于频谱分析的效果较差。
- 其加减法量较离散傅立叶变换、离散余弦变换多。

## 应用范围

阿达马变换转换主要为一种非常适合应用于频域分析 (Spectrum analysis)，去执行快速之分析。可惜的是对于折积性质是一种逻辑折积，与离散傅立叶变换上之折积性质截然不同。因此，较折积上无法取代离散傅立叶变换。

主要应用范围：

- 带宽降低 (Bandwidth reduction)。
- CDMA (Code division multiple access)。

其主要是一种调变 (modulation) 与解调 (Demodultion) 之技术。

- 资讯编码 (Information coding)。
- 特征识别 (Feature extraction)。
- 心电图分析 (ECG signal analysis in medical signal processing)。
- Hadamard 频谱量测 (Hadamard spectrometer)。
- 避免量化误差 (Avoiding quantization error)。由于阿达马变换转换输入输出皆为整数，因此不会有量化误差的问题。

## Jacket 转换

广义来说，其实阿达马变换转换是 Jacket 转换中的一项特例情况，其将 $w = \pm 2^0 = 1$ 即可求得。

以下为四点的 Jacket 转换：

$$\boldsymbol{J_4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -w & w & -1 \\ 1 & w & -w & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}, \quad where \ w = \pm 2^k.$$

- $\boldsymbol{2^{k+1}}$ 点的 Jacket 转换：

$$\boldsymbol{J_{2^{k+1}}} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{J_{2^{k}}} & \boldsymbol{J_{2^{k}}} \\ \boldsymbol{J_{2^{k}}} & -\boldsymbol{J_{2^{k}}} \end{bmatrix}.$$