霍奇猜想

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在数学中，霍奇猜想（Hodge conjecture）是代数几何和复几何中一个主要的未解决问题，它将代数簇的奇点复代数簇的代数拓扑与其子簇联系起来。

简单来说，霍奇猜想断言，对于某些几何空间（复代数簇），像“洞的数量”这类基本的拓扑信息，可以通过研究位于这些空间内部的、看起来像多项式方程的零点集的优良形状来理解。后者可以使用代数和解析函数的微积分来研究，这使得人们能够间接地理解那些通常无法轻易可视化的高维空间的整体形状和结构。

更具体地说，该猜想指出某些德拉姆上同调类是代数的；也就是说，它们是子簇的同调类的庞加莱对偶之和。它由苏格兰数学家威廉·瓦伦斯·道格拉斯·霍奇（William Vallance Douglas Hodge）提出，这是他在1930年至1940年间致力于丰富德拉姆上同调的描述，以包含复代数簇中存在的额外结构的成果。在霍奇于1950年在马萨诸塞州剑桥举行的国际数学家大会上发表演讲之前，这个猜想几乎没有受到关注。霍奇猜想是克雷数学研究所的千禧年大奖难题之一，任何能够证明或证伪霍奇猜想的人将获得100万美元的奖金。

## 通俗解释

霍奇猜想试图在数学的两个主要领域之间建立联系：拓扑学（研究形状的连续变形）和代数几何（研究由方程定义的形状）。

为了直观通俗理解，我们可以采用以下类比：

如果有一个复杂的多维形状（复流形）。

- 拓扑学（柔性）：关注形状的整体特征，例如“这个形状有多少个洞？”。在拓扑学中，这些特征是“柔软”的，只要不撕裂形状，路径可以任意弯曲。这些“洞”在数学上通过上同调类来描述，它们是抽象的几何特征。
- 代数几何（刚性）：关注那些能用严格的多项式方程定义出来的结构（代数簇）。这些结构是“刚性”的，不能随意变形。

霍奇猜想的作用则是断言，对于一类特定的良好空间（非奇异射影代数簇），那些由拓扑学家发现的抽象的“洞”（具体来说是具有特定对称性的霍奇类），并非凭空存在的虚无。相反，每一个这样的“洞”内部，实际上都支撑著一个由代数方程定义的坚硬“骨架”（代数闭链）。

简而言之，霍奇猜想认为：在这些复杂的几何世界里，任何拓扑上的特征，背后都有其代数的根源。这意味着我们可以用精确的代数方程来描述那些原本看起来模糊或抽象的形状特征。

## 动机

令 X 是一个复维数为 n 的紧致复流形。那么 X 是一个实维数为 $2n$ 的可定向光滑流形，因此其上同调群的阶数从 0 到 $2n$。假设 X 是一个凯勒流形，因此其具有复系数的上同调有一个分解：

$$H^n(X, \mathbb{C}) = \bigoplus_{p+q=n} H^{p,q}(X),$$

其中 $H^{p,q}(X)$ 是由 $(p,q)$ 类型的调和形式表示的上同调类子群。也就是说，这些上同调类由微分形式表示，这些形式在某些局部坐标 $z_1, \ldots, z_n$ 的选择下，可以写成一个调和函数乘以

$$dz_{i_1} \wedge \cdots \wedge dz_{i_p} \wedge d\bar z_{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z_{j_q}.$$

通俗来说，我们可以将霍奇分解看作是一种对几何形状的“光谱分析”。

- 普通的上同调（$H^n$）告诉我们空间中有多少个“洞”。这就像是看到一束混合的白光。
- 霍奇分解则像是一个棱镜，将这束白光分解成了不同的颜色（$H^{p,q}$）。
- 在复几何中，方向分为“全纯方向”（$z$）和“反全纯方向”（$\bar{z}$）。$H^{p,q}$ 告诉我们，这个“洞”在几何上是由 $p$ 个全纯方向和 $q$ 个反全纯方向组成的。
- 只有那些在两个方向上“平衡”的洞（即 $p=q$ 的情况），才有可能由代数方程定义的子簇（如曲线、曲面）来填充。这就是为什么霍奇猜想特别关注 $H^{k,k}$ 的原因。

由于 X 是一个紧致定向流形，X 拥有一个基本类，因此可以对 X 进行积分。

令 Z 为 X 的一个复子流形，维数为 k，并令 $i\colon Z\to X$ 为包含映射。选择一个类型为 $(p,q)$ 的微分形式 $\alpha$。我们可以使用拉回函数 $i^*$ 在 Z 上对 $\alpha$ 进行积分：

$$\int_Z i^*\alpha.$$

为了计算这个积分，选择 Z 上的一点并将其称为 $z=(z_1, \ldots, z_k)$。Z 在 X 中的包含意味着我们可以在 X 上选择一个局部基，使得 $z_{k+1} = \cdots = z_n = 0$（秩-零化度定理）。如果 $p>k$，那么 $\alpha$ 必须包含某个 $dz_i$，其中 $z_i$ 在 Z 上的拉回为零。如果 $q > k$，对于 $d\bar z_j$ 也是如此。因此，如果 $(p,q) \ne (k,k)$，这个积分为零。

霍奇猜想（粗略地）问道：

$H^{k,k}(X)$ 中的哪些上同调类来自复子簇 Z？

## 霍奇猜想的陈述

令

$$\operatorname{Hdg}^k(X) = H^{2k}(X, \mathbb{Q}) \cap H^{k,k}(X).$$

我们称此为 X 上 2k 阶的“霍奇类”（Hodge classes）群。

通俗来说，霍奇类（Hodge Class）的定义要求一个对象必须同时满足两个看似不相关的条件，这就像是在寻找地图上的“宝藏点”：

- 拓扑条件（有理数网格）：它必须属于 $H^{2k}(X, \mathbb{Q})$。这意味着这个“洞”不是随意变化的连续量，而是可以“计数”的（比如 1 个洞、2 个洞）。这保证了它在拓扑上是一个稳定的特征，就像地图上的整数坐标点。
- 几何条件（对称性）：它必须属于 $H^{k,k}(X)$。这意味着这个对象在复结构下是对称的（全纯与反全纯维度相等）。这保证了它的形状“像”一个代数簇。

霍奇猜想本质上是在问：如果我们在地图上找到了一个点，它既在整数坐标格点上（拓扑条件），又刚好落在特定的对称轴上（几何条件），那么这个点是否一定对应着某个实际存在的代数物体？

如此，霍奇猜想的现代陈述是：

令 X 为一个非奇异复射影流形。那么 X 上的每一个霍奇类都是 X 的复子簇的上同调类的有理系数线性组合。

射影复流形是可以嵌入到复射影空间中的复流形。由于射影空间带有凯勒度量（富比尼–施图迪度量），这样的流形总是凯勒流形。根据周定理（Chow's theorem），射影复流形也是光滑射影代数簇，也就是说，它是一组齐次多项式的零点集。

### 用代数闭链重述

霍奇猜想的另一种表述方式涉及代数闭链（algebraic cycle）的概念。X 上的一个“代数闭链”是 X 的子簇的形式组合；也就是说，它是如下形式的东西：

$$\sum_i c_iZ_i.$$

系数通常取为整数或有理数。我们定义代数闭链的上同调类为其组成部分的上同调类之和。这是德拉姆上同调的闭链类映射的一个例子，参见韦伊上同调。例如，上述闭链的上同调类将是：

$$\sum_i c_i[Z_i].$$

这样的上同调类被称为“代数的”。使用这种记法，霍奇猜想变为：

令 X 是一个射影复流形。那么 X 上的每一个霍奇类都是代数的。

霍奇猜想中关于 X 是代数的（射影复流形）这一假设不能被减弱。1977年，史蒂芬·朱克（Steven Zucker）证明了可以构造霍奇猜想的反例，即具有 $(p,p)$ 类型解析有理上同调的复环面，它不是射影代数的。（参见 的附录 B）

通俗来说，用代数闭链来重述，其实是把霍奇猜想变成了一个逆向工程（Reverse Engineering）的问题：

- 正向过程（容易）：如果你给我一些代数方程（子簇 $Z_i$），我可以算出它们对应的拓扑形状（上同调类）。这些形状一定会落在 $H^{k,k}$ 里，并且是有理的。这就像是用积木搭出一个模型，然后画出它的蓝图。
- 逆向过程（霍奇猜想，困难）：现在我手里有一张蓝图（一个霍奇类），它看起来完全符合代数模型的特征（既是有理的，又是 $(k,k)$ 类型的）。请问，我是否一定能用手头的积木（代数子簇）把这个模型搭出来？

霍奇猜想说“是的，一定可以”。也就是说，任何理论上看起来像代数几何形状的拓扑特征，实际上都是由代数几何形状构成的。并不存在那种“看着像代数簇，但实际上造不出来”的虚假蓝图。

## 霍奇猜想的已知情况

### 低维数和余维数

关于霍奇猜想的第一个结果归功于。事实上，它早于该猜想，并为霍奇提供了一些动机。

定理（莱夫谢茨 (1,1) 类定理） $H^2(X,\mathbb{Z})\cap H^{1,1}(X)$ 的任何元素都是 $X$ 上一个除子的上同调类。特别是，霍奇猜想对于 $H^2$ 成立。

为什么霍奇猜想在低维度（如 $H^2$）是已解决的，而在高维度却很难？

- $H^2$ 的情况（除子）：在一个二维复曲面（实维度 4）上，霍奇类对应的是“曲线”。在数学上，我们要用方程定义一条曲线是相对容易的（这就是莱夫谢茨定理告诉我们的）。这就像是在一张纸上用笔画线，我们总能找到描述它的笔迹。
- 高维的情况：当我们进入更高维度，霍奇类对应的不再是简单的线，而是复杂的“高维子空间”。要在一个高维空间内部，精确地用方程“雕刻”出一个悬空的、形状特定的高维物体，比画线要困难得多。霍奇猜想的难点就在于证明这些复杂的高维雕塑一定存在。

使用层上同调和指数正合序列可以给出一个非常快速的证明。（除子的上同调类结果等于其第一陈类。）莱夫谢茨最初的证明是通过正规函数进行的，这是由昂利·庞加莱引入的。然而，格里菲斯横截性定理表明，这种方法无法证明更高余维数子簇的霍奇猜想。

根据硬莱夫谢茨定理，可以证明：

定理. 如果对于某个 $p < \frac{n}{2}$，霍奇猜想对于 $p$ 阶霍奇类成立，那么霍奇猜想对于 $2n-p$ 阶霍奇类也成立。

结合上述两个定理意味着霍奇猜想对于 $2n-2$ 阶霍奇类是正确的。这证明了当 $X$ 的维数至多为 3 时，霍奇猜想成立。

莱夫谢茨 (1,1) 类定理还意味着，如果所有霍奇类都由除子的霍奇类生成，那么霍奇猜想成立：

推论. 如果代数 $\operatorname{Hdg}^*(X) = \bigoplus\nolimits_k \operatorname{Hdg}^k(X)$ 由 $\operatorname{Hdg}^1(X)$ 生成，那么霍奇猜想对于 $X$ 成立。

### 超曲面

根据强和弱莱夫谢茨定理，对于超曲面，霍奇猜想唯一非平凡的部分是 $2m$ 维超曲面 $X \subset \mathbf P^{2m+1}$ 的 $m$ 阶部分（即中间上同调）。如果次数 d 为 2，即 X 是一个二次曲面，则霍奇猜想对所有 m 成立。对于 $m = 2$，即四维流形（fourfolds），对于 $d \le 5$ 霍奇猜想已知成立。

### 阿贝尔簇

对于大多数阿贝尔簇，代数 Hdg*(X) 在一阶生成，因此霍奇猜想成立。特别是，霍奇猜想对于足够一般的阿贝尔簇、椭圆曲线的积以及素数维数的简单阿贝尔簇成立。然而，构造了一个阿贝尔簇的例子，其中 Hdg2(X) 不由除子类的积生成。推广了这个例子，表明只要簇具有通过虚二次域的虚乘，那么 Hdg2(X) 就不由除子类的积生成。证明了在维数小于 5 的情况下，要么 Hdg*(X) 在一阶生成，要么簇具有通过虚二次域的虚乘。在后一种情况下，霍奇猜想仅在特殊情况下已知。

## 推广

### 整霍奇猜想

霍奇最初的猜想是：

整霍奇猜想. 令 X 为一个射影复流形。那么 $H^{2k}(X, \mathbb{Z}) \cap H^{k,k}(X)$ 中的每一个上同调类都是 X 上具有整数系数的代数闭链的上同调类。

最初的霍奇猜想认为可以使用“整数系数”（$\mathbb{Z}$）。这失败的原因可以用“颗粒度”来比喻：

- 整数系数（乐高积木）：要求系数为整数，就像是用固定大小的乐高积木去搭建一个形状。
- 有理数系数（黏土）：允许使用有理数（分数），就像是允许将积木切碎，或者使用更细腻的黏土。

反例告诉我们，有些拓扑形状带有一种微妙的“扭曲”（数学上称为扭扰元素，Torsion）。这种扭曲使得我们无法用标准的“整数积木”完美对齐并搭建出来。但是，如果我们被允许使用分数（有理数），我们就可以把这个误差“除掉”或者“平摊”，从而在更细的颗粒度上搭建出骨架。这就是为什么现代霍奇猜想强调使用有理数系数 $\mathbb{Q}$ 的原因。

现在已知这是错误的。第一个反例由 构造。他们使用 K-理论构造了一个扭扰（torsion）上同调类的例子——即一个上同调类 α，使得对于某个正整数 n 有 nα = 0——它不是代数闭链的类。这样的类必然是霍奇类。在配边（cobordism）的框架下重新解释了他们的结果，并发现了许多这样的类的例子。

整霍奇猜想最简单的修正为：

模掉扭扰的整霍奇猜想. 令 X 为一个射影复流形。那么 $H^{2k}(X, \mathbb{Z}) \cap H^{k,k}(X)$ 中的每一个上同调类都是一个扭扰类与 X 上整数系数代数闭链的上同调类之和。

等价地，将 $H^{2k}(X, \mathbb{Z}) \cap H^{k,k}(X)$ 除以扭扰类后，每一个类都是整代数闭链上同调类的像。这也是错误的。发现了一个霍奇类 α 的例子，它不是代数的，但其整数倍是代数的。

```
表明，為了獲得正確的整霍奇猜想，需要用一種稱為「平展」（étale，或 Lichtenbaum）「動機上同調」的變體來替換周群（也可以表示為[[動機上同調]]群）。他們表明，有理霍奇猜想等價於這種修正後的動機上同調的整霍奇猜想。
```

### 凯勒簇的霍奇猜想

霍奇猜想的一个自然推广会问：

凯勒簇的霍奇猜想，朴素版本. 令 X 是一个复凯勒流形。那么 X 上的每一个霍奇类都是 X 的复子簇上同调类的有理系数线性组合。

这太过乐观了，因为没有足够的子簇来让它成立。一个可能的替代方案是问以下两个问题之一：

凯勒簇的霍奇猜想，向量丛版本. 令 X 是一个复凯勒流形。那么 X 上的每一个霍奇类都是 X 上向量丛的陈类的有理系数线性组合。

凯勒簇的霍奇猜想，相干层版本. 令 X 是一个复凯勒流形。那么 X 上的每一个霍奇类都是 X 上相干层的陈类的有理系数线性组合。

```
證明了相干層的陳類提供的霍奇類嚴格多於向量叢的陳類，並且相干層的陳類不足以生成所有的霍奇類。因此，凱勒簇霍奇猜想的所有已知表述都是錯誤的。
```

### 广义霍奇猜想

霍奇提出了一个比整霍奇猜想更强的附加猜想。如果 X 上的一个上同调类是 X 的一个余维数为 c 的子簇上的上同调类的前推（pushforward），则称其具有“余维数水平 c”（co-level c / coniveau c）。至少具有余维数水平 c 的上同调类过滤了 X 的上同调，并且很容易看出过滤的第 c 步 NcHk(X, Z) 满足

$$N^cH^k(X, \mathbf{Z}) \subseteq H^k(X, \mathbf{Z}) \cap (H^{k-c,c}(X) \oplus\cdots\oplus H^{c,k-c}(X)).$$

霍奇最初的陈述是：

广义霍奇猜想，霍奇版本. $N^cH^k(X, \mathbf{Z}) = H^k(X, \mathbf{Z}) \cap (H^{k-c,c}(X) \oplus\cdots\oplus H^{c,k-c}(X)).$

```
觀察到這不可能是真的，即使是有理係數，因為右邊並不總是一個霍奇結構。他修正後的霍奇猜想形式是：
```

广义霍奇猜想. NcHk(X, Q) 是包含在 $H^{k-c,c}(X) \oplus\cdots\oplus H^{c,k-c}(X)$ 中的 Hk(X, Z) 的最大子霍奇结构。

这个版本仍然是未解决的。

## 霍奇轨迹的代数性

支持霍奇猜想的最有力证据是 的代数性结果。假设我们在一个单连通基上变化 X 的复结构。那么 X 的拓扑上同调不会改变，但霍奇分解会改变。已知如果霍奇猜想为真，那么基上所有使得纤维的上同调是霍奇类的点的轨迹（locus）实际上是一个代数子集，即它是由多项式方程切出的。Cattani, Deligne & Kaplan (1995) 证明了这总是正确的，而无需假设霍奇猜想成立。

我们可以把这个结果想像成在调节一台精密的收音机：

- 整个空间的变形就像是在旋转收音机的“调频旋钮”。
- 大多数时候，我们听不到清晰的信号（霍奇类不存在）。
- 但在某些特定的频率上，信号会突然出现（上同调类变成了霍奇类）。

```
定理告訴我們：這些能收到信號的「特殊頻率」並不是隨機分佈的雜亂點，而是呈現出非常有規律的結構（代數子集）。既然這些「信號點」的分佈規律嚴格遵守代數方程，這強烈暗示了信號本身（霍奇類）也應該來源於代數結構，從而為霍奇猜想提供了強有力的側面證據。
```

## 外部链接

- Dan Freed (德克萨斯大学) 的霍奇猜想通俗讲座 (Real Video) (Slides)
- Burt Totaro, 为什么相信霍奇猜想？
- Claire Voisin, 霍奇轨迹