逻辑斯谛映射

单峰映射（Logistic map）是种二次多项式的映射（递回关系式），是一个由简单非线性方程式产生混沌现象的经典范例。这种映射因生物学家Robert May在1976年发表的一篇论文而著名，一定程度上是离散时间的种群/人口模型，类似于皮埃尔·弗朗索瓦·韦吕勒的逻辑斯谛函数。单峰映射实质上是逻辑斯谛函数的差分方程，其数学表达为：

$$x_{n+1} = r x_n (1-x_n)$$

其中

- $x_n$是介于0和1之间的数，表示当前种群数量/人口数量与环境承载力的比值。
- $r$是正整数，是根据繁殖和死亡率而得出的数。

单峰映射的方程旨在描述以下两个现象：

- 当种群数量/人口少时，繁殖增加的个体数大致跟种群原本的总数目成正比。
- 高密度导致的死亡，环境资源有其承载力（最大容量），当种接近最大容量时，增长率下降的速度与环境承载力减去当前种群数量的差成正比。

参数r通常取0, 4区间内的值，因此xn在0, 1上保持有界。r = 4的情景是dyadic映射及参数μ=2的帐篷映射的非线性变换。当r > 4时，种群数量会出现负值（该问题在更早前的同样表现出混沌动态的Ricker模型中不会出现）。也可在−2, 0的区间内取r值，该情形下xn有界，处于−0.5, 1.5之间。

## r的值对结果的影响

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变化参数$r$的值，其结果如下：

- 0和1之间：不论起始值数值为何，$x_n$会越来越少，最后趋近于0。
- 1和2之间：不论起始值数值为何，$x_n$会快速的趋近$\frac{r-1}{r}$。
- 2和3之间：经过几次迭代，$x_n$也会越来越接近$\frac{r-1}{r}$，但一开始会在这个值左右振动，而收敛速率是线性的。
- 3：$x_n$仍然会越来越接近$\frac{r-1}{r}$，但收敛速率极为缓慢，不是线性的。
- 3和$1+\sqrt{6}$（约3.45）之间：针对几乎所有的初值，$x_n$最后会在2个值之间持续的震荡，即$x_n$最后会是a,b,a,b...的变化，其数值和$r$有关。
- 3.45和大约3.54之间，针对几乎所有的初值，$x_n$最后会在4个值之间持续的震荡。
- 约大于3.54：$x_n$最后会在8个、16个、32个值……之间持续的震荡，至于$r$何时会令$x_n$的值由n个到2n个，则和费根鲍姆常数$\delta=4.669...$有关。
- 约为3.5699：这样的振动消失，整个系统开始在混沌的状态之中。针对几乎所有的初值，都不会出现固定周期的震荡，初值再微小的变化，随着时间都会使结果产生明显的差异，这就是典型混沌的特性。
- 大于3.5699：整个系统在混沌的状态之中。不过，当中有些特定的$r$值还是使系统变成非混沌，有周期性的结果，这些区间称为“稳定岛”。例如当$r$约大于3.82，会出现3个值的周期，再大一点出现6个值及12个值的周期。
- 当$r$从大约3.5699到大约3.8284之间，系统混沌性质发展的现象有时会称为Pomeau–Manneville场景，其特征是周期性的震荡和非周期性的行为会穿插出现。此特征可以应用在半导体元件中。也有其他区域会使系统的周期为5个值，不管任意周期都存在某特定的$r$，使周期为指定值。
- 大于4：针对几乎所有的初值，系统最后都会超过区间0,1并且发散。

对于任一个$r$值，最多只有一个稳定的极限环，若稳定极限环存在，几乎所有的点最后都会趋近极限。若某一个$r$值有一个稳定的极限环，可能也有无限个不同周期的不稳定极限。

这些情况可用分枝图表示，分枝图中的横轴是参数$r$的数值，纵轴中显示大部分初值下，稳态可能的$x$值，若最后数值会在2个值中震荡，分枝图上对应的数值就会有2点。若某特定$r$值下，已无法明确的看到有几个对应的点，当时系统可能已经在混沌状态下。

分枝图有自相似的特性。若将分枝图中$r = 3.82$的部分展开，只取三个分支中的一个。其图形会好像是原分枝图缩放及扭曲后的结果。针对所有非混沌的参数$r$都有此一特性。以此可以看出混沌和分形深入及明显的关系。

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## 单峰映射和混沌

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和其他混沌系统比较，单峰映射较为简单，是一个说明混沌特性的很好的例子。简单来说，混沌就是对初始条件的高度灵敏度。$r$是在3.57及4之间的大部分数值都可以使单峰映射出现此一特性。对初始条件有高度灵敏度的常见原因是映射本身是对定义域的拉伸及折叠。单峰映射的二次差分方程可视为是对于区间(0,1)拉伸及折叠的过程。

利用二维及三维的相图可以看出一些单峰映射的特性。以$r=4$的单峰映射为例，二维相图为一抛物线，但是若用$(x_n, x_{n+1}, x_{n+2})$绘制三维相图，可看出进一步的结构，例如几个一开始很接近的点在迭代后开始发散．特别是位在斜率较大位置的点。

拉伸及折叠的结果使迭代的数列以指数形式发散（参照李亚普诺夫指数），可以用有混沌特性时，单峰映射的复杂及不可预测性说明这一点。事实上，数列的指数发散说明了混沌和不可预测性之间的关系：初值微小的误差在迭代过程中会以指数成长的方式增加。因此当对于初始状态的资讯中有微小的误差时．对未来状态的预测准确度也会随迭代次数增加而快速变差。

由于映象是限制在实数数线的一段范围内，其维度小于或等于1。依数值分析的结果，在r=3.5699456...时（刚开始混沌特性时），其关联维度为0.500 ± 0.005（Peter Grassberger,1983）、豪斯多夫维数大约是0.538，而分形维数为0.5170976...。

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有些混沌系统可对于其未来状态的可能性作准确的描述。若一个可能有混沌特性的动态系统存在吸引子，则存在一几率量测描述系统长期下，在吸引子各部分所花时间的比例。以$r=4$的单峰映射而言，起始状态在区间(0,1)中，而吸引子也在间(0,1)中，其几率量测对应参数$a=0.5, b=0.5$的Β分布，其不变测度为$\pi ^{-1}x^{-1/2}(1-x)^{-1/2}$。不可预期性和随机不同，不过在一些情形下这二很类似，而且即使对单峰映射（或其他混沌系统）初值只有很少的资讯，仍然可以针对长期的分布作某种程度的预测。

## 部分情形下的解

在$r = 4$及$r = 2$的特殊情形下，单峰映射有解析解。不过大部分情形下的通解只能以统计的方式预测。

$r = 4$的解为

$$x_{n+1}=\sin^{2}(2^{n} \theta \pi)$$

其中初始条件参数$\theta$是由$\theta = \tfrac{1}{\pi}\sin^{-1}(x_0^{1/2})$求得。针对有理数的$\theta$，有限次数的迭代后$x_n$就会变成一个周期性的数列。不过几乎所有的$\theta$都是无理数，此时$x_n$不会重复，因此没有周期解。此解可以清楚的看出混沌的二个重要特征：拉伸及折叠。系数2n表示拉伸的指数成长，因此造成蝴蝶效应，也就是对初始值的高度灵敏性，而解中包括正弦函数的平方，使解折叠在0, 1的范围内。

$r = 2$的解为：

$$x_n = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}(1-2x_0)^{2^{n}}$$

对于$x_0 \in [0,1)$。此解没有混沌的特性。由于对于不包括不稳定固定点0在内的$x_0$，当n趋近无限大时$(1-2x_0)^{2^{n}}$会趋近于零，因此$x_n$会趋近稳定的固定点$\tfrac{1}{2}.$。

## r = 4时找任意周期的循环

r = 4时，几乎所有的初值都会使单峰映射出现混沌特性，不过也存在无限个初值会使单峰映射最后呈周期性变化，而且对于所有正整数，都存在一初值使单峰映射的周期为该正整数。可以利用单峰映射和位元位移映射之间的关系来找出任何周期的循环。若x依照单峰映射$x_{n+1} = 4 x_n(1-x_n) \,$而y依照位元位移映射

$$y_{n+1}=\begin{cases}2y_n & 0 \le y_n < 0.5 \\2y_n -1 & 0.5 \le y_n < 1, \end{cases}$$

则二个变数的关系如下：

$x_{n}=\sin^{2}(2 \pi y_{n})$.

位元位移映射其名称是因为当y以二进制表示时，映射会将二进制的数字左移一位。例如若数字是二进制的循环小数，循环节为001，则位元位移映射的序列为001001001... →010010010... →100100100... →001001001...，为周期为3的循环，循环节为010, 011, 100, 101, 110 时也会有类似情形，这些循环小数都可以转换为对应的分数，上例若以分数表示为：1/7 → 2/7 → 4/7 → 1/7。转换到r=4的单峰映射后，为611260467... → .950484434... → .188255099... → .611260467...。其他周期为3的循环也可以转换为单峰映射。依相同方式也可以找出在位元位移映射下，任意周期的循环，再转换为单峰映射。

不过几乎所有在区间0, 1)的数字都是无理数，而初始值为无理数的位元位移映射没有循环的特性，因此对应的单峰映射也没有循环的特性。

## 外部链接

- 曼德博集合和单峰映射的联系
- The Chaos Hypertextbook
- Java Applet
- Logistic Map Simulation. A Java applet simulating the Logistic Map by Yuval Baror.
- Logistic Map. Contains an interactive computer simulation of the logistic map.
- The Chaos Hypertextbook. An introductory primer on chaos and fractals.
- Interactive Logistic map with iteration and bifurcation diagrams in Java.
- Interactive Logistic map showing fixed points.
- Macintosh Quadratic Map Program
- The transition to Chaos and the Feigenbaum constant- JAVA applet
- The Logistic Map and Chaos by Elmer G. Wiens
- Complexity & Chaos (audiobook) by Roger White. Chapter 5 covers the Logistic Equation.
- " History of iterated maps," in 一种新科学 by 史蒂芬·沃尔夫勒姆. Champaign, IL: Wolfram Media, p. 918, 2002.
- Discrete Logistic Equation by Marek Bodnar after work by Phil Ramsden, Wolfram 演示项目.
- Multiplicative coupling of 2 logistic maps by C. Pellicer-Lostao and R. Lopez-Ruiz after work by Ed Pegg Jr, Wolfram 演示项目.
- Using SAGE to investigate the discrete logistic equation