量子测量

在量子力学之中，所谓的“测量”需要有较严谨的定义，而特别称之为量子测量。量子测量不同于一般经典力学中的测量，量子测量会对被测量子系统产生影响，比如改变被测量子系统的状态；处于相同状态的量子系统被测量后可能得到完全不同的结果，这些结果符合一定的概率分布。量子测量是量子力学解释体系的核心问题，而量子力学的解释目前还没有统一的结论。

## 量子测量的数学形式

与经典物理中的测量不同，量子测量不是独立于所观测的物理系统而单独存在的，相反，测量本身即是物理系统的一部分，所作的测量会对系统的状态产生干扰。

### 一般形式：量子公设III

量子公设的第三条是对测量下的定义。量子测量可以通过一个测量算符的集合$\{ M_m \}$来表示，它作用在系统的状态空间上。测量算符$M$的序列号$m$表示测量所得出的不同结果。如果系统在测量前处于状态$|\psi \rang$，那么测量后得到结果m的概率是：

$$p( m ) = \lang \psi | M^\dagger_mM_m | \psi \rang$$

测量后系统的状态变为：

$$\frac{ M_m| \psi \rang } {\sqrt{\lang \psi | M^\dagger_mM_m | \psi \rang} }$$

测量算符必须满足以下的完备性条件：

$$\sum_m M^\dagger_mM_m = I$$

上述完备性条件与下式等价，即完备性条件决定了测量得到各个结果的概率和为1：

$$1 = \sum_m p_m = \sum_m \lang \psi | M^\dagger_mM_m | \psi \rang$$

### 射影测量

射影测量（projective measurement）是一般形式量子测量的一个特例，即测量算子集合是一组射影算子$\{P_m\}$的情况，值得注意的是很多介绍量子力学的书比如只介绍射影测量，这种测量结合量子系统的演化（evolution）与一般形式测量等价。对于射影测量，可以定义可观测量（observable）$M$使得

$$M=\sum_{m}mP_m$$

其中的射影算子$P_m$的定义为：

$$P\equiv\sum_{i=1}^{k}|i\rangle\langle i|$$

$\{|i\rangle\}$构成被测量子系统状态空间的某个子空间$W$的一组基向量，射影算子$P$可以将一个状态向量投影到该子空间$W$，因此得名射影算子。显然射影算子有以下性质：

$$P_{m}^{\dagger}P_m=P_m^2=P_m$$

于是射影测量测得结果$m$的概率为：

$$p(m)=\langle \psi | P_{m} |\psi \rangle$$

测量后量子系统的状态为

$$|\psi^{'}\rangle=\frac{P_m|\psi \rangle} {\sqrt{p(m)}}$$

射影测量的结果的平均值一般计为：

$$\begin{align} \langle M\rangle &= \sum_m mp(m)\\ &=\langle \psi |(\sum_m m P_m )|\psi \rangle\\ &=\langle \psi | M |\psi \rangle \end{align}$$

### 示例

一个量子比特$|\psi \rangle = a|0\rangle + b |1 \rang$被$\{ M_m \} = \{ M_0, M_1 \}$测量，所谓量子比特可以认为是一个二维量子系统的状态，比如一个光子的极化状态。

$$M_0 = |0 \rang \lang 0|; M^\dagger_0M_0 = M_0$$

$$M_1 = |1 \rang \lang 1|; M^\dagger_1M_1 = M_1$$

$$I = |0 \rang \lang 0| + |1 \rang \lang 1| = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$p( 0 ) = \lang \psi | M^\dagger_0M_0 | \psi \rang <pre> = \lang \psi | M_0 | \psi \rang = \lang \psi | 0 \rang \lang 0 | \psi \rang = |a|^2$$

$$p( 1 ) = |b|^2$$

测量得到0和1的概率分别是$|a|^2$和$|b|^2$，而

$$1=\langle \psi|\psi\rangle = |a|^2+|b|^2$$

即概率和为1

$$\frac{ M_0| \psi \rangle }{|a|} = \frac{a}{|a|} | 0 \rangle$$

$$\frac{ M_1| \psi \rangle }{|b|} = \frac{b}{|b|} | 1 \rangle$$

可以发现测量后，系统的状态要么变成$\frac{a}{|a|}|0\rangle$要么变成$\frac{b}{|b|}|1\rangle$，而对于量子力学来说，量子状态的相位是没有意义的，因而系统的状态在测量之后不是$|0\rangle$就是$|1\rangle$，即投影到了基向量$|0\rangle$或$|1\rangle$构成的状态空间中去，显然${|0\rangle}$或$|1\rangle$只能构成一个一维状态空间。

一般来讲测量不是幺正算符，而是从系统里获取信息的一个过程。

### 可测量的量值（“物理量”）作为算符

量子力学中，可观测量在数学上常以厄米算符（Hermitian）或自伴算符来表示。此算符的本征值集合代表测量可能结果的集合。对于每个本征值而言，存在有一个对应的本征态（或本征向量），其为系统在测量之后的状态。这种表征具有一些特质：

- 厄米矩阵的本征值是实数。一个测量的可能结果恰好是给定的可观测量的本征值。
- 一个厄米矩阵可以幺正式地对角化（参见谱定理（Spectral theorem）），产生了本征向量的一组正交归一基，可以架构出系统的态空间。一般来说，系统的状态可以写为任何厄米算符的线性组合。如此在物理上的意义即为任何状态可以表示为一可观测量其本征态的叠加。

重要的例子有：

- 哈密顿算符，代表系统的总能量；非相对论性的特例为：${\hat H} = {\hat p^2 \over 2m} + V( \hat x )$.
- 动量算符：${\hat p} = {\hbar \over i}{\partial \over \partial x}$（以位置基底表示。）
- 位置算符：${\hat x} = {-\hbar \over i}{\partial \over \partial p}$（以动量基底表示。）

算符可以是非对易性（或称非交换性）的。在有限维度的例子，如果两个厄米算符拥有相同的归一化的本征向量集合，则它们可以对易。非对易的两个可观测量被称为“不相容”（incompatible）而无法同时测量。比较知名的例子是位置与动量，也可以透过海森堡不确定原理来描述。

## 量子测量的哲学议题

### 什么样的物理交互作用构成测量？

在量子去相干于二十世纪末出现之前，量子力学及哥本哈根诠释一直存在一个重大的观念性问题。那就是没有一个明确的准则来判别怎样的物理交互作用属于“测量”并且会造成波函数崩溃。薛定谔的猫即是最好的例子。现在，对于弱测量的了解以及什么程度的交互作用或测量足以摧毁量子相干性有了定量的分析，因此在量子去相干理论的架构下，一些问题已经可以被理解。但对于构成测量的一些面向，物理学家仍然没有一致的认同。

### 测量是否真的决定状态？

测量是否决定一个状态在不同的量子诠释下有不同的答案。(这也与对波函数崩溃的理解有很大的关联。)举例来说，在哥本哈根诠释大多数的版本中，测量会决定一个系统的状态，并且在测量后系统的态一定是测量中得到的。但根据多世界诠释，测量在不同的世界有不同的结果，所以测量后其他的可能状态仍然存于不同的世界中。

### 测量过程是随机的或是决定性的？

一般一致认为量子力学的测量显现出随机的特性，但这究竟是本质上的随机，或只是看似随机，则仍然没有定论。量子力学背后可能存在隐变数理论，以决定性的方式，在特定的安排方式下，使实验结果看似随机。隐变数理论如果存在，将会是“非定域性的”。这仍是热门的研究领域之一。

### 测量过程是否违反定域性原理?

定域性原理要求任何资讯皆不能以超越光速的速度传递(详见狭义相对论)。实验上我们知道，如果量子力学是决定性的(借由隐变数理论)，那么它必须是非定域性的，因此违反定域性原理(详见贝尔定理、EPR佯谬)。然而，物理学家对于量子力学是非决定性、非定域性或著两者皆是，仍然没有定论。

## 外部链接

- 斯坦福大学哲学数据库—— 量子理论中的测量