十二律

十二律是中国传统音乐使用的音律，后来逐渐传入到朝鲜、日本、越南等东南亚国家。律，本指用来定音的竹管，古人用十二个不同长度的律管，吹出十二个高度不同的标准音高，以定出音阶的高低，故这十二个标准音高也叫十二律。

中国古代以“三分损益法”定律，将十二个音逐个导出；而前五个音与主音的数学关系较为简单，同时也是常用音阶，故又与十二个音并称五音十二律。

## 音调

十二律分为阴阳两类，奇数六律为阳律，叫做六律；偶数六律为阴吕，称为六吕，合称律吕。一般所说的六律包括阴阳各六的十二律。

律名｜相对黄钟之音程｜相对黄钟之频率比例｜音讯

黄钟｜主音/纯一度｜$1:1$｜$1$｜$1$｜Unison on C.mid

大吕｜小二度（=自然半音）｜$3^{7}:2^{11}$｜${2187\over2048}$｜$1.06787109375$｜Pythagorean apotome on C.mid

太簇｜大二度｜$3^{2}:2^{3}$｜${9\over8}$｜$1.125$｜Major tone on C.mid

夹钟｜增二度（≈小三度）｜$3^{9}:2^{14}$｜${19683\over16384}$｜$1.20135498046875$｜Pythagorean augmented second on C.mid

姑洗｜大三度｜$3^{4}:2^{6}$｜${81\over64}$｜$1.265625$｜Pythagorean major third on C.mid

仲吕｜增三度（≈完全四度）｜$3^{11}:2^{17}$｜${177147\over131072}$｜$1.35152435302734$｜Pythagorean augmented third on C.mid

蕤宾｜增四度｜$3^{6}:2^{9}$｜${729\over512}$｜$1.423828125$｜Pythagorean augmented fourth on C.mid

林钟｜纯五度｜$3:2$｜${3\over2}$｜$1.5$｜Just perfect fifth on C.mid

夷则｜增五度（≈小六度）｜$3^{8}:2^{12}$｜${6561\over4096}$｜$1.601806640625$｜Pythagorean augmented fifth on C.mid

南吕｜大六度｜$3^{3}:2^{4}$｜${27\over16}$｜$1.6875$｜Pythagorean major sixth on C.mid

无射｜增六度（≈小七度）｜$3^{10}:2^{15}$｜${59049\over32768}$｜$1.80203247070312$｜Pythagorean augmented sixth on C.mid

应钟｜大七度｜$3^{5}:2^{7}$｜${243\over128}$｜$1.8984375$｜Pythagorean major seventh on C.mid

清黄钟｜增七度（≈纯八度）｜$3^{12}:2^{18}$｜${531441\over262144}$｜$2.02728652954102$

## 三分损益法

相传三分损益法为管仲所发明。

司马迁的《史记》“律书第三”中写到：“……九九八十一以为宫。三分去一，五十四以为征。三分益一，七十二以为商。三分去一，四十八以为羽。三分益一，六十四以为角。”

意思是取一根用来定音的竹管，长为81单位，定为“宫音”。然后将81乘上2/3，就得到54单位，定为“征音”。将征音的竹管长度54乘上4/3，得到72单位，定为“商音”。将商音72乘2/3，得48单位，为“羽音”。羽音48乘4/3，得64单位，为“角音”。而这宫、商、角、征、羽五个音高，被称为中国的五音。

中国音乐中用来定音律的“三分损益法”的确立是考“中声”而量之以制。儒家的“中声”指音高、速度适中的有节制的音乐，“琴瑟尚宫，锺尚羽，石尚角，匏竹利制，大不逾宫，细不过羽”，要舍却弹奏中的“烦手”（复杂多变）。《左传》有鲜明排斥过度追求音响、速度变化的“淫声”、以能使人保持平和“中声”为美的思想。“毕氏学派”中的“五度相生律”与三分损益法相似，但是五度相生律与三分益损法上下生成次序有不同，产生的音阶相对应为中国音阶中的燕调式，与中国流行的宫调式不同。

### 三分损益与十二律的相关物理

在声学中，音高指物体振动的频率。取一简单物体（如竹管、丝弦）用来定音高时，其频率与长度成反比关系；若物体材质固定，长度愈长，则音高愈低。

特别地，当长度减为一半时，频率变为原先的两倍；长度增为两倍时，频率变为原先的一半。将这种互为二倍的特殊比例定义为彼此互为八度，便可由此从九九八十一的长度出发，试算前述借由“三分损益”求得的长度所得到的十二律（宫调）：

黄钟（C）：$81$（$n = 0$）

林钟（G，由黄钟三分损而来）：${81 \times \frac{2}{3}} = 54$（$n = 0 + 7 = 7$）

太簇（D，由林钟三分益而来）：${54 \times \frac{4}{3}} = 72$（$n = 7 - 5 = 2$）

南吕（A，由太簇三分损而来）：${72 \times \frac{2}{3}} = 48$（$n = 2 + 7 = 9$）

姑洗（E，由南吕三分益而来）：${48 \times \frac{4}{3}} = 64$（$n = 9 - 5 = 4$）

应钟（B，由姑洗三分损而来）：${64 \times \frac{2}{3}} = 42\frac{2}{3}\approx 42.6666667$（$n = 4 + 7 = 11$）

蕤宾（F♯，由应钟三分益而来）：${42\frac{2}{3} \times \frac{4}{3}} = 56\frac{8}{9}\approx 56.8888889$（$n = 11 - 5 = 6$）

大吕（C♯，由蕤宾三分益而来）：${56\frac{8}{9} \times \frac{4}{3}} = 75\frac{23}{27}\approx 75.8518519$（$n = 6 - 5 = 1$）

夷则（G♯，由大吕三分损而来）：${75\frac{23}{27} \times \frac{2}{3}} = 50\frac{46}{81}\approx 50.5679012$（$n = 1 + 7 = 8$）

夹钟（D♯，由夷则三分益而来）：${50\frac{46}{81} \times \frac{4}{3}} = 67\frac{103}{243}\approx 67.4238683$（$n = 8 - 5 = 3$）

无射（A♯，由夹钟三分损而来）：${67\frac{103}{243} \times \frac{2}{3}} = 44\frac{692}{729}\approx 44.9492455$（$n = 3 + 7 = 10$）

仲吕（E♯≈F，由无射三分益而来）：${44\frac{692}{729} \times \frac{4}{3}} = 59\frac{2039}{2187}\approx 59.9323274$（$n = 10 - 5 = 5$）

清黄钟（B♯≈C，即黄钟的高八度音，由仲吕三分损而来）：${59\frac{2039}{2187} \times \frac{2}{3}} = 39\frac{6265}{6561} \approx 39.9548849$（$n = 5 + 7 = 12$）

- 注意，最后一个“清黄钟”的长度$39.9548849$与直接取“黄钟”长度的一半$40.5$仍有一段小小的差距，这就是“黄钟不能还原”的问题；因连乘十二次$\frac{2}{3}$或$\frac{4}{3}$后的值不可能达到原始的$\frac{1}{2}$（$\frac{2^{6} \times 4^{6}}{3^{12}}\approx 0.493270184$），这个差距所对应的音高振动频率比被称作毕达哥拉斯音差（$\frac{3^{12}}{2^{7} \times 4^{6}}\approx 1.01364$）。
- 另外，若定律时不断使用三分损益的操作，最后一定会出现除不尽的小数，使得实际制作时易产生误差；然而现实上，准确度（Accuracy）与精密度（Precision）绝对有其极限，故经十二次三分损益后已可构成一个（不甚完美的）音阶循环；这也是中西乐理都不约而同发展为以12音阶为主流的原因，之后才出现如纯律、十二平均律等不同的改进或修正方法

将上方的计算结果对照《史记·律书》之记载，便可发现其中抄录错误。宋代沈括《梦溪笔谈》便指《律书》中“七分”等文字当为“十分”之误，故原文中黄钟“八寸七分一”为“八寸十分一”（81分）才合理。以下列出古音十二律与史记记载更正之比较，并附“西方参考音名”及“与十二平均律之偏差”之计算。

<image>

中国音名｜三分损益（由原文更正后）｜西方音名｜十二平均律｜三分损益与十二平均律之偏差（%）

黄钟｜81｜C｜81

林钟｜54｜G｜54.0610｜0.11

太簇｜72｜D｜72.1628｜0.23

南吕｜48｜A｜48.1629｜0.34

姑洗｜64｜E｜64.2898｜0.45

应钟｜42.6667｜B｜42.9083｜0.56

蕤宾｜56.8889｜F♯｜57.2757｜0.68

大吕｜75.8519｜C♯｜76.4538｜0.79

夷则｜50.5679｜G♯｜51.0268｜0.90

夹钟｜67.4239｜D♯｜68.1126｜1.01

无射｜44.9492｜A♯｜45.4597｜1.12

仲吕｜59.9323｜E♯≈F｜60.6814｜1.23

清黄钟｜39.9549｜B♯≈C'｜40.5000｜1.35

若不照音高排列，而是如上表照三分损益法排列十二律，则会发现其顺序与五度圈自C开始顺时钟方向的音位排列恰巧一样。

## 音律与历法的配合

由于音律与一年中的月分恰好都定有十二个，于是在中国上古时代，人们便把十二律和十二月联系起来，又名十二月律。例如大秦景教流行中国碑中有“太蔟月”即正月。依照《礼记·月令》上的记载，它们之间的对应为：

孟春之月，律中太簇。

仲春之月，律中夹钟。

季春之月，律中姑洗。

孟夏之月，律中仲吕。

仲夏之月，律中蕤宾。

季夏之月，律中林钟。

孟秋之月，律中夷则。

仲秋之月，律中南吕。

季秋之月，律中无射。

孟冬之月，律中应钟。

仲冬之月，律中黄钟。

季冬之月，律中大吕。

所谓“律中”就是“音律的对应”，其征验的方法则是凭“吹灰”。据说古人将十二根律管里塞入葭莩的灰，只要到了某个月分，相对应的那一只律管中的灰就会自动地飞扬出来，这便是“吹灰候气”、“夷则为七月之律”等词汇的典故。当然以今日的观点，吹灰候气并没有现实的根据。

值得注意的一点，十二律中最基本的是黄钟，而中国历法最基本的则是含有冬至的月份。《月令》中所列出的，正是以黄钟对应冬至所在的仲冬月分——子月（大雪至小寒之月）。

另外，《周髀算经》提及由于中国古代使用天干地支，以六十年甲子为一个周期，而60又有2、3、4、5、6、10、12、15、20、30等因数，所以不同时期规律出现的天象，会在60年内集中重复，这些看似奇异的现象实际上是可以用数理逻辑解释清楚的。

## 外部链接

- 戴振铎：〈广义三分损益律与朱载堉十二平均律及纯律的关系〉。
- 《史记》中记载的“律数”