阿贝尔群

阿贝尔群（Abelian group），又称交换群（commutative group）或加群，是运算满足交换律且不依赖于其元素的次序（交换律公理）的群。阿贝尔群推广了整数集合的加法运算。阿贝尔群以挪威数学家尼尔斯·阿贝尔命名。

阿贝尔群的概念是抽象代数的基本概念之一。其基本研究对象是模和向量空间。阿贝尔群的理论比其他非阿贝尔群简单。有限阿贝尔群的结构已基本明晰，相关理论较为成熟；而无限阿贝尔群由于元素无限性，其分类与性质仍具复杂性，是当前群论研究的前沿领域。

## 定义

一个群 $(A, \circ)$，若对任意 $a,\,b\in A$，满足 $a \circ b = b \circ a$ （交换律），则称 $(A, \circ)$ 为“阿贝尔群”（或“交换群”），反之被称为“非阿贝尔群”（或“非交换群”）。

$(A, \circ)$想符合阿贝尔群的定义，则集合$A$及其运算需满足以下核心性质：

闭合性: 对任意 $a,\,b\in A$，运算 $a \cdot b\in A$。

结合律: 对任意 $a,\,b,\,c\in A$，有 $(a \cdot b)\cdot c = a \cdot (b \cdot c)$。

单位元: 存在 $e\in A$，使得对任意 $a\in A$，有 $a \cdot e = e \cdot a = a$。

逆元: 对任意 $a\in A$，存在 $a^{-1}\in A$，使得$a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e$。

交换律: 对任意 $a,\,b\in A$，有 $a \cdot b = b \cdot a$。

## 定理

设 $(G, \circ)$是一个群，则 $(G, \circ)$是阿贝尔群的充要条件是对任意 $a,\,b\in G$，有 $(a \cdot b)\cdot (a\cdot b) = (a \cdot a)\cdot (b\cdot b)$。

### 符号

阿贝尔群有两种主要运算符号——加法和乘法。

运算｜表示法｜单位元｜幂｜逆元

加法运算｜$x + y$｜0｜$nx$｜$-x$

乘法运算｜$x \cdot y$ 或 $xy$｜1｜$x^n$｜$x^{-1}$

群论常用乘法符号，环与模的理论则惯例使用加法符号。但需特别说明的是，为突显其性质，当同时涉及交换群与非交换群时，会优先用加号表示交换群——此规则在近环与偏序群论中存在特例：即便群结构非交换，其运算仍被强制写成加法形式。

### 乘法表

欲证有限群是阿贝尔群，可构造凯莱表，一种类似乘法表的表格（即矩阵）。若一个群 $G = \{g_1 = e, g_2, \dots, g_n \}$ 在乘法运算下，其乘法表中第 $(i, j)$ 元素即为 $g_i \cdot g_j$。

一个群 $G$ 是阿贝尔群，当且仅当其乘法表关于主对角线对称（或说这个矩阵是对称矩阵）。这一结论源于阿贝尔群的定义要求群运算满足交换律：对于任意元素$g_i,\,g_j\in G$，均有 $g_i \cdot g_j = g_j \cdot g_i$，即表格中 $(i, j)$ 项与 $(j, i)$ 项的值必须相等。详见下表：

$e$｜$\cdots$｜$g_j$｜$\cdots$

$e$｜$e$

$$\vdots$$

$g_i$｜$g_i \cdot g_j$

$$\vdots$$

## 举例

- 整数集与加法运算构成阿贝尔群，记为$(\mathbb{Z}, +)$。两个整数相加仍是整数，且加法有结合律和交换律。$0$ 是加法单位元，所有整数 $n$ 都有加法逆元 $-n$。
- 所有循环群 $G=\langle g \rangle$ 都是阿贝尔群。如果 $x,y\in G$，则 $xy = g^m g^n = g^{m+n} = g^ng^m = yx$。因此整数集 $\mathbb{Z}$ 形成了在加法下的阿贝尔群，整数模$n$ $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$亦同。
- 所有环都是关于它的加法运算的阿贝尔群。交换环中的可逆元形成了阿贝尔乘法群。特别是实数集是在加法下的阿贝尔群，非零实数集在乘法下是阿贝尔群。
- 所有阿贝尔群的子群都是正规子群，因此每个子群均可生成对应的商群。阿贝尔群的子群、商群和直和均保持阿贝尔性质，即这些结构本身仍为阿贝尔群。

矩阵，哪怕是可逆矩阵，在乘法运算下通常不构成阿贝尔群，因为矩阵乘法普遍不满足交换律——例如两个不同阶数的矩阵相乘时，交换操作会导致结果不同。然而，存在某些特殊矩阵群在乘法运算下仍保持阿贝尔性质，典型例子是二维旋转矩阵构成的群：所有 2×2 旋转矩阵在合成旋转操作时满足交换律，其对应的乘法表关于主对角线对称，从而形成阿贝尔群结构。这一特性源于二维旋转操作的角度可叠加性，即连续旋转两个不同角度的结果与顺序无关。

## 命名意义

阿贝尔群是卡米耶·若尔当以挪威数学家尼尔斯·阿贝尔命名的，这是因为阿贝尔曾发现：若一个多项式方程根的对称群满足交换性，则该多项式的根可通过根式求解（即有限次加、减、乘、除及开方运算）。这一发现揭示了群论与多项式方程可解性之间的深刻联系，并成为抽象代数发展史上的里程碑。阿贝尔的成果不仅为群论的命名提供了历史渊源，也推动了后续数学家对群结构的系统性研究。

## 性质

如果 $n$ 是一个自然数，而 $x$ 是阿贝尔群 $(G,+)$ 的一个元素，则 $nx$ 可以定义为 $x + x + \cdots + x$（$n$个数相加）并且 $(-n)x = -(nx)$。以这种方式，$G$ 变成在整数的环 $\mathbb{Z}$ 上的模。事实上，在 $\mathbb{Z}$ 上的模都可以被识别为阿贝尔群。

关于阿贝尔群（比如在主理想整环 $\mathbb{Z}$ 上的模）的定理，常常可以推广到在任意主理想整环上的模。典例是，有限生成阿贝尔群的分类是在主理想整环上的有限生成模的结构定理的特殊情况。在有限生成阿贝尔群的情况下，这个定理保证阿贝尔群可以分解为挠群和自由阿贝尔群的直和。前者可以被写为形如 $\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}$ 对于素数 $p$ 的有限多个群的直和，而后者是有限多个 $\mathbb{Z}$ 的复本的直和。

如果 $f, g: G \to H$ 是在阿贝尔群之间的两个群同态，则两者之和 $f + g$，定义为 $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$，也是阿贝尔同态。（若 $H$ 是非阿贝尔群，则不成立）所有从 $G$ 到 $H$ 的群同态的集合 $\text{Hom}(G,H)$ 因此本身就是阿贝尔群。

某种程度上类似于向量空间的维度，所有阿贝尔群都有秩。它定义为群的线性无关元素最大集合的势。整数集、有理数集和所有的有理数集的子群都有秩。

阿贝尔群的所有子群都是正规子群，反之则不成立——四元群 $Q_8$ 就是一个例子——它不是一个交换群，但它的所有子群都是正规子群。所有子群都是正规子群的群叫做戴德金群。

## 有限阿贝尔群

整数模以 $n$ 的循环群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是最常见的群。已被证实的是，任意有限阿贝尔群都同构于素数阶的有限循环群的直和，且这些阶数是唯一确定的，形成了一个不变量的完备系统。有限阿贝尔群的自同构群可用这些不变量来直接描述。有关理论最初发展自费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯和Ludwig Stickelberger在1879年的论文，后来被简化和推广到在主理想整环上的有限生成模，形成了线性代数的一个重要组成部分。

### 分类

有限阿贝尔群的基本定理称，所有有限阿贝尔群 $G$ 都可表示为质数幂阶循环子群的直和。以下是有限生成阿贝尔群的基本定理在 $G$ 有零秩时的特殊情况。

$mn$阶的循环群$\mathbb{Z}_{mn}$同构于$\mathbb{Z}_m$与$\mathbb{Z}_n$的直和，当且仅当$m$与$n$互素。借此，可推出任何有限阿贝尔群 $G$ 同构于如下形式的直和：

$$\mathbb{Z}_{k_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{k_u}$$

采用下列任何一种规范方式为准：

- 数 $k_1, k_2, \dots, k_u$ 是素数的幂
- $k_1$ 整除 $k_2$，它又整除 $k_3$，如此直到 $k_u$。

例如，$\mathbb{Z}_{15}$可被表达为3阶和5阶两个循环群的直和：$\mathbb{Z}_{15} \cong \{0,5,10\} \oplus \{0,3,6,9,12\}$。对于任何15阶的阿贝尔群同样成立，因此很明显，所有15阶阿贝尔群都是同构。

另一个例子，所有8阶段阿贝尔群都同构于 $\mathbb{Z}_8$(整数0到7在模8加法下)，$\mathbb{Z}_4\oplus \mathbb{Z}_2$（奇数1到15在模16乘法下），或 $\mathbb{Z}_2\oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$。

小于或等于16阶的有限阿贝尔群可参见小群列表。

### 自同构

基本定理可用于计算并给定有限阿贝尔群 $G$ 的自同构：易知 $G$ 分为互素阶子群的直和 $H\oplus K$，则 $\operatorname{Aut}(H\oplus K) \cong \operatorname{Aut}(H)\oplus \operatorname{Aut}(K)$。这种方法证实，要计算$G$的自同构群，只须分别计算西罗 $p$-子群的自同构群就足够（亦即所有循环子群的直和，每个都有 $p$ 的幂的阶）。设素数 $p$，并设西罗 $p$-子群的循环因子指数 $e_i$ 以递增排序：

$$e_1\leq e_2 \leq\cdots\leq e_n$$

对于某个 $n > 0$，需寻到

$$\mathbf{Z}_{p^{e_1}} \oplus \cdots \oplus \mathbf{Z}_{p^{e_n}}$$

自同构。一个特殊情况是，$n=1$ 时，西罗 $p$-子群 $P$ 中只有唯一的循环素数幂因子。在这个情况下，可以使用有限循环群的自同构理论。而另一个特殊情况，是在 $n$ 取任意值，且 $e_i = 1$ 对于 $1 \le i \le n$ 时，这里不妨考虑 $P$ 为：

$$\mathbf{Z}_p \oplus \cdots \oplus \mathbf{Z}_p$$

所以，这个子群的元素可视作构成在 $p$ 元素的有限域 $\mathbb{F}_p$ 上的 $n$ 维向量空间，其自同构也因此得出，为可逆线性变换：

$$\mathrm{Aut}(P)\cong\mathrm{GL}(n,\mathbb{F}_p)$$

其早先已证明有阶：

$$\left|\operatorname{Aut}(P)\right|=(p^n-1)\cdots(p^n-p^{n-1})$$

在最一般情况下，这里的$e_i$和$n$可取任意值，自同构群则更难确定。但已知的是，如果定义：

$$d_k=\max\{r\mid e_r = e_k^{\,}\}$$

且

$$c_k=\min\{r\mid e_r=e_k\}$$

则可得 $k \le d_k$，$c_k \le k$，且

$\left|\operatorname{Aut}(P)\right| = \prod_{k=1}^n (p^{d_k}-p^{k-1}) \prod_{j=1}^n (p^{e_j})^{n-d_j} \prod_{i=1}^n (p^{e_i-1})^{n-c_i+1}.$。

可以验证的是，这会产生特殊前例的阶。

## 无限阿贝尔群

最简单的无限阿贝尔群是整数加法群$\mathbb{Z}$。

任何有限生成阿贝尔群$A$均可分解为$r$个整数加法群的直和与一个有限阿贝尔群的直和，其中$r$称为$A$的秩。该有限阿贝尔群本身可进一步分解为有限个素数幂阶循环群的直和。尽管这种分解方式不唯一，但秩$r$以及构成有限部分的素数幂阶数在忽略排列顺序后是唯一确定的。这一结论源于有限生成阿贝尔群的基本定理，其核心思想是通过不变因子分解和初等因子分解（素数幂的排列组合）实现群结构的完全分类。

一般无限阿贝尔群的分类问题远未解决，但可除群（即满足对任意自然数$n$和元素$a\in A$，方程$nx=a$均有解$x\in A$的阿贝尔群）构成了其中一类可完全刻画的特殊类型。每个可除群均同构于有理数群$\mathbb{Q}$与若干素数$p$对应的普吕弗群$\mathbb{Q}_p/Z_p$的直和，且各类直和项的基数在忽略排列顺序后唯一确定。进一步地，若可除群$A$是阿贝尔群$G$的子群，则$A$必存在直补子群$C\subseteq G$，使得 $G = A \oplus C$。这一性质表明，可除群在阿贝尔群范畴中是内射模，反之根据贝尔准则，所有内射阿贝尔群必为可除群。若一个阿贝尔群不含非零可除子群，则称其为约化群。

无限阿贝尔群理论中，两种性质截然相反的重要特殊类别是挠群（torsion groups）与无挠群（torsion-free groups）。挠群是指群中每个元素均具有有限阶的阿贝尔群，其典型例子是周期群$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$，该群中每个元素的阶均为素数或可除整数；而挠自由群则指不含非平凡挠元素的阿贝尔群，例如有理数加法群$\mathbb{Q}$，其所有元素均具有无限阶。

### 无挠群

与挠群相反，无挠群被定义为所有非零元素均具有无限阶的群。此类群的研究主要聚焦于以下几类典型结构：自由阿贝尔群（即由整数加法群$Z$通过任意直和生成的群）、余挠群、代数紧群以及纤细群，其特性表现为任何可数直和仅包含有限个非平凡同态像。这些分类体系揭示了无挠阿贝尔群在结构复杂性上的多样性，同时为研究其同构分类、秩理论及表示理论提供了重要框架。

### 不变量及归类

无限阿贝尔群的最基本不变量之一是秩，即群中极大线性无关子集的基数。秩为0的阿贝尔群必为周期群（即每个元素均有有限阶），而秩为1的无挠阿贝尔群必为有理数域$\mathbb{Q}$的子群，其结构可被完全刻画。更一般地，有限秩$r$的无挠阿贝尔群可嵌入到$\mathbb{Q}_r$中。然而此不变量并非万能：例如，$p$-进整数群$\mathbb{Z}_p$ 是秩为无限的无挠阿贝尔群，而不同素数幂次$\mathbb{Z}_p^n$（$n$可以不同）虽同为无挠群却非同构，说明秩无法完全捕捉某些熟悉群的全部特性。

有限生成、可除、可数周期及秩1无挠阿贝尔群的分类定理均于20世纪上半叶前确立，构成了更一般的无限阿贝尔群分类基础。这些成果依赖于纯子群与基本子群等关键技术工具。近年来，通过引入无挠阿贝尔群的各类新不变量，分类理论得以进一步深化。

### 环的加法群

作为阿贝尔群的特殊子类，环的加法群本质特征在于继承环的加法运算结构，但并非所有阿贝尔群均可通过赋予非平凡乘法运算构成环。该领域包括以下方向：张量积理论揭示了环加法群与其他代数结构间的关联；A.L.S. Corner在可数无挠群分类方面取得的突破性成果；Shelah通过引入新的基数理论框架消除了传统分类中的基数限制；而Burnside ring的构造则为研究有限生成环加法群的表示理论提供了重要工具。这些成果共同推动了环加法群结构分类的深化，特别是在处理无限生成情形时，通过结合同调代数与模型论方法，实现了对复杂群结构的精确刻画。

## 与其它数学分支的联系

许多大型阿贝尔群具有自然拓扑结构，因此它们也是拓扑群。

全体阿贝尔群与其间的群同态构成的范畴$\textbf{Ab}$（即由所有阿贝尔群作为对象、群同态作为态射构成的范畴），是阿贝尔范畴的原型。这一范畴不仅满足加法结构（态射集合具有阿贝尔群运算）、零对象存在性及有限积/余积存在性，更通过严格态射性质成为同调代数研究的核心框架。作为最最基础的阿贝尔范畴实例，其结构特性（如正合序列的短五引理、九引理等）为一般阿贝尔范畴提供了范式基础。

在现代阿贝尔群理论研究中，以下方向仍存在活跃的探索空间：

- 有限秩无挠阿贝尔群中，仅有限生成情形与秩1情形被充分刻画，更高秩的一般情形仍缺乏系统性理论框架。
- 无限秩无挠阿贝尔群的分类问题存在诸多未解难题，其结构复杂性远超有限秩情形。
- 可数挠阿贝尔群通过简单表示与乌尔姆不变量（Ulm invariants）已实现完全分类，但可数混合群（含非平凡挠子群的无挠群）的理论体系尚未成熟。
- 阿贝尔群一阶理论的若干温和扩张（如引入模条件或拓扑学约束）已被证实不可判定，这揭示了群论与数理逻辑的深层关联。
- 有限阿贝尔群在计算群论中持续受到关注，尤其在群表示、同调计算及密码学应用中展现新活力。

## 引用

- Fuchs, László（1970）Infinite abelian groups, Vol. I. Pure and Applied Mathematics, Vol. 36. New York-London: Academic Press. xi+290 pp.
- ------（1973）Infinite abelian groups, Vol. II. Pure and Applied Mathematics. Vol. 36-II. New York-London: Academic Press. ix+363 pp.
- Hillar, Christopher and Rhea, Darren (2007), Automorphisms of finite abelian groups. Amer. Math. Monthly 114, no. 10, 917-923. .
- Szmielew, Wanda (1955) "Elementary properties of abelian groups," Fundamenta Mathematica 41: 203-71.