柏拉图立体

在几何学中，凸正多面体，又称为柏拉图立体，是指各面都是全等的正多边形且每一个顶点所接的面数都是一样的凸多面体，是一种三维的正几何形状，符合这种特性的立体总共只有5种。在汉语文化中，正多面体通常是指只有5种的凸正多面体，然而在只讨论每面全等、每个个角等角且每条边等长的情况下，亦有其他多种几何结构存在，也称为正多面体。

正多面体的别称柏拉图立体是因柏拉图而命名的。柏拉图的朋友泰阿泰德告诉柏拉图这些立体，柏拉图便将这些立体写在《蒂迈欧篇》（Timaeus）内。正多面体的作法收录《几何原本》的第13卷。在命题13描述正四面体的作法；命题14为正八面体作法；命题15为立方体作法；命题16则是正二十面体作法；命题17则是正十二面体作法。

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- 正四面体

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- 正六面体

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- 正八面体

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- 正十二面体

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- 正二十面体

## 判断依据

判断正多面体的依据有三条

- 正多面体的面由正多边形构成
- 正多面体的各个顶角相等
- 正多面体的各条棱边都相等

这三个条件都必须同时满足，否则就不是正多面体，比如黄铁矿的晶形五角十二面体，虽然和正十二面体一样是由十二个五角形围成的，但是由于它的各个顶角并不等价因此不是正多面体。

正多面体具有很高的对称性，每个正多面体是相似多面体所属点群中对称性最高的，对正多面体加以变化就会导致对称性下降，如正十二面体属于Ih点群，当它变化为五角十二面体的时候对称性也随之下降为Td群。

## 存在的凸正多面体

凸正多面体共有五个，均由古希腊人发现：（表中a为正多面体的边长）

名称｜透视图｜旋转透视图｜立体图｜构成面｜面｜边｜顶点｜几何数据｜所属点群

正四面体｜

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｜正三角形｜4｜6｜4｜表面积：$\sqrt{3}a^2$ $\approx 1.732a^2$ 体积：${1\over12}\sqrt{2}a^3$ $\approx 0.118a^3$ 二面角角度：$\arccos \frac 1 3$ $\approx 70^\circ 52'$ 外接球半径：$\frac {\sqrt 6}{4} a$ $\approx 0.612 a$ 内切球半径：$\frac {\sqrt 6}{12} a$ $\approx 0.204 a$ 对偶多面体：正四面体｜Td群

正六面体（立方体）｜

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｜正四边形｜6｜12｜8｜表面积：$6a^2\ $ 体积：$a^3\ $ 二面角角度：$90^\circ$ 外接球半径：$\sqrt{\frac{3}{4}}a$ $\approx 0.866 a$ 内切球半径：$\frac a 2$ 对偶多面体：正八面体｜Oh群

正八面体｜

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｜正三角形｜8｜12｜6｜表面积：$2\sqrt{3}a^2$ $\approx 3.464 a^2$ 体积：$\frac{\sqrt{2}}{3}a^3$ $\approx 0.471 a^3$ 二面角角度：$\arccos \left(-\frac 1 3 \right)$ $\approx 109^\circ 28'$ 外接球半径：$\frac a {\sqrt 2}$ $\approx 0.707a$ 内切球半径：$\frac a {\sqrt 6}$ $\approx 0.408a$ 对偶多面体：立方体｜Oh群

正十二面体｜

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｜正五边形｜12｜30｜20｜表面积：$3\sqrt{25+10\sqrt5}a^2$ $\approx 20.65a^2$ 体积：${1\over4}(15+7\sqrt5)a^3$ $\approx 7.663a^3$ 二面角角度：$\arccos \bigg({-\frac{\sqrt 5}5}\bigg)$ $\approx 116^\circ 57'$ 外接球半径：$\frac{\sqrt{6}}{4} \sqrt{3 +\sqrt{5}} a$ $\approx 1.401 a$ 内切球半径：$\frac{a}{4} \sqrt{ \frac{50+22\sqrt{5}}{5} }$ $\approx 1.114 a$ 对偶多面体：正二十面体｜Ih群

正二十面体｜

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｜正三角形｜20｜30｜12｜表面积：$5\sqrt3a^2$ $\approx 8.660a^2$ 体积：${5\over12}(3+\sqrt5)a^3$ $\approx 2.182a^3$ 二面角角度：$\arccos \bigg({-\frac {\sqrt 5}3}\bigg)$ $\approx 138^\circ 19'$ 外接球半径：$\frac{a}{4} \sqrt{10 +2\sqrt{5}}$ $\approx 0.951 a$ 内切球半径：$\frac{a}{12} \sqrt{3} \left(3+ \sqrt{5} \right)$ $\approx 0.756 a$ 对偶多面体：正十二面体｜Ih群

## 用途

因为正多面体的形状的骰子会较公平，所以正多面体骰子经常出现于角色扮演游戏。

正四面体、立方体和正八面体，亦会自然出现于结晶体的结构。

正多面体经过削角操作可以得到其他对称性类似的结构，比如著名的球状分子碳六十空间结构就是正二十面体经过削角操作得到的，称为截角二十面体。因此可以知道，碳六十分子所属的对称性群也是与正十二面体相同的Ih群。

由于正多面体和由正多面体衍生的削角正多面体大多有很好的空间堆积性质，即可以在空间中紧密堆积，因此常常选择正多面体形或者削角正多面体形的盒子作为分子模拟计算的周期边界条件。

除了上面提到的正十二面体，还有一种由五边形（其中四条边等长）构成的多面体——黄铁矿形五角十二面体，黄铁矿形五角十二面体是黄铁矿的一种可能的晶体外形，尽管黄铁矿形五角十二面体是由五边形构成的，但并不是柏拉图体，它所属的对称性群也不是正十二面体的Ih群而是与黄铁矿内部结构一致的Th群。

## 象征意义

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柏拉图视“四古典元素”为元素，其形状如正多面体中的其中四个。

- 火的热令人感到尖锐和刺痛，好像小小的正四面体。
- 当水放到人的手上，它会自然流出，那它就应该是由很多小球所组成，好像正二十面体。
- 风可以粗略感受到，它极细小的结合体十分顺滑，好像正八面体。
- 地与其他的元素相异，因为它可以被堆叠，正如立方体。

剩下没有用的正多面体——正十二面体，柏拉图以不清晰的语调写：“神使用正十二面体以整理整个天空的星座。”柏拉图的学生亚里士多德添加了第五个元素——以太（希腊文：Αιθήρ，拉丁转写：aithêr；拉丁文：aether），并认为天空是用此组成，但他没有将以太和正十二面体连系。

约翰内斯·开普勒依随文艺复兴建立数学对应的传统，将五个正多面体对应五个行星——水星、金星、火星、木星和土星，同时它们本身亦对应了五个古典元素。

## 正多面体只有 5 个的证明

所有正多面体的相关于顶点数 V、棱数 E 和面数 F 的性质都可以由每个面上的边（棱）的数目 p 和每个顶点出发的棱的数目 q 给出。由于每条棱有两个顶点又在两个面上，我们有

$$pF = 2E = qV.$$

另一个关系是欧拉公式:

$$V - E + F = 2.$$

（这个不显然的事实可以通过多种途径证明。在几何拓扑中，这是因为球面的欧拉示性数是 2。）

上面三个等式可以解出 V, E和 F：

$$V = \frac{4p}{4 - (p-2)(q-2)},\quad E = \frac{2pq}{4 - (p-2)(q-2)},\quad F = \frac{4q}{4 - (p-2)(q-2)}.$$

注意交换 p 和 q 会交换 F 和 V 但 E 不变。

正多面体只有五种这个定理是一个经典结果。下面给出了两个证明。注意这两个证明都只证明了正多面体至多有五种，这五种的存在性需要靠构造给出。

### 几何证明

下面的几何讨论和欧几里得在几何原本中给出的证明非常相似：

- 多面体的每个顶点至少在三个面上。
- 这些相交的面处的角（也就是顶点发出的角）的和必须小于 360°。
- 正多面体的顶点发出的角是相等的，所以这个角必须小于 360°/3 = 120°。
- 正六边形及边更多的正多边形的角大于等于 120°，所以正多面体上的面只能是正三角形，正方形或正五边形。于是：
- 正三角形：每个角是 60°，所以正多面体每个顶点发出的角数目小于 360°/60° = 6，也就是每个顶点只能在三、四、五个面上，这分别对应于正四面体、正八面体、正二十面体。
- 正方形：每个角是 90°，所以正多面体每个顶点发出的角数目小于 360°/90° = 4，也就是每个顶点只能在三个面上，这对应于正方体。
- 正五边形：每个角是 108°，所以正多面体每个顶点发出的角数目小于 360°/108° = 10/3，也就是每个顶点只能在三个面上，这对应于正十二面体。

### 拓扑证明

纯粹的拓扑证明可以只利用正多面体的性质．关键在于 $V - E + F = 2$ 和 $pF = 2E = qV$．综合上面等式，我们有

$$\frac{2E}{q} - E + \frac{2E}{p} = 2.$$

于是

$${1 \over q} + {1 \over p}= {1 \over 2} + {1 \over E}.$$

由于 $E > 0$。

$$\frac{1}{q} + \frac{1}{p} > \frac{1}{2}.$$

注意到 p 和 q 必须大于等于 3，我们可以容易地找到所有五组 (p, q)：

$(3, 3),\quad (4, 3),\quad (3, 4),\quad (5, 3),\quad (3,5)$。