格奥尔格·康托尔

格奥尔格·费迪南德·路德维希·菲利普·康托尔（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor，1845年3月3日－1918年1月6日），出生于俄国的德国数学家。他创立了现代集合论，是实数系以至整个微积分理论体系的基础，还提出了势和良序概念的定义；康托尔确定了在两个集合中的成员，其间一对一关系的重要性，定义了无限且有序的集合，并证明了实数比自然数更多。康托尔对这个定理所使用的证明方法，事实上暗示了“无限的无穷” 的存在。他定义了基数和序数及其算术。康托尔很清楚地自知自觉他的成果，富有极浓厚的哲学兴趣。康托尔提出的超限数，最初被当时数学界同侪认为如此反直觉-甚至令人震惊-因而拒绝接受他的理论，且以利奥波德·克罗内克为首的众多数学家长期攻击。克罗内克反对代数数为可数的，而超越数为不可数的证明。

康托尔本身是一位虔诚的路德派，相信这个理论是经由上帝传达给他；但一些基督教神学家认为康托尔的理论，是在挑战神学中只有上帝才具有绝对而唯一的无限性质。康托尔自 1869年任职于德国哈勒大学直到1918年在哈勒大学附属精神病院逝世；他的抑郁症一直再发的病因，被归咎于当代学界的敌对态度，尽管有人将这些事件解释为，是他本人所患有的情感双极障碍的病征。他所受到的严厉攻击，与后来的赞誉相匹配：在 1904年伦敦皇家学会授予他西尔维斯特奖章，这是皇家学会可授予数学研究者的最高荣誉。

在康托尔死后数十年，维特根斯坦撰文哀悼昔时学术界指责“集合论是假借通过数学而有害处的方言”的氛围，他认为那是“可笑”和“错误”的“完全无稽之谈”。当代数学家绝大多数接受康托尔的理论，并认为这是数学史上一次重要的变革。大卫·希尔伯特说：“没有人能够把我们从康托尔建立的乐园中赶出去。”（原文另译：我们屏息敬畏地自知在康托所铺展的天堂里，不会遭逢被驱逐出境的。）

## 生平

### 青年时期

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康托尔1845年出生于俄国圣彼得堡的商人家庭，并在城里生活直到他11岁，他的祖父母是来自哥本哈根的丹麦人，因躲避拿破仑战争的战乱而逃到圣彼得堡，父亲是商人，母亲则是来自奥匈帝国的德裔音乐家。他是六个孩子中最年长的一个，被认为是一位杰出的小提琴手。他的祖父弗兰兹伯姆（Franz Böhm, 1788-1846，小提琴家约瑟夫·伯姆的兄弟）是俄罗斯帝国管弦乐团的著名音乐家和独奏家。康托尔的父亲曾是圣彼得堡证券交易所的成员；当他生病时，为了寻求比圣彼得堡更温和的冬天，于 1856年他们全家先迁移到了德国的威斯巴登，然后到了法兰克福。1860年康托尔从达姆施塔特实科中学（Realschule）毕业；他在数学方面的学业成绩优异，尤其是三角学。1862年康托尔从达姆施塔特高等职业学院（Höhere Gewerbeschule Darmstadt），即今日的达姆施塔特工业大学毕业，后进入瑞士联邦理工学院。在1863年6月他父亲去世后，他继承了丰厚的财产；康托尔将他的学业转移到腓特烈·威廉大学（1928年后改称柏林大学），研习卡尔·魏尔施特拉斯、利奥波德·克罗内克和恩斯特·库默尔的课程。1866年夏天他在哥廷根大学度过了一段时间。格奥尔格·康托尔在1867年于柏林大学获得了博士学位。

### 任教及研究生涯

康托尔于1867年在柏林大学提交了关于数论的论文。在柏林女子学校短暂讲授后，康托尔在哈勒大学任职并在那度过了他整个的职业生涯，在 1869年他任职时所提出的数论论文，因而取得了特许任教资格。1874年康托尔与 Vally Guttmann结婚，在他们度过哈尔茨山脉的蜜月期间，康托尔花了很多时间与理查德·戴德金讨论数学，两人结识是因他两年前的瑞士度假时而遇到戴德金。他们育有六个孩子，1886年出生的鲁道夫是他们最小的孩子。尽管他任教职的薪酬很低，但康托尔能负担这人口众多的家庭生计支出，要归功于他父亲的优渥遗产。康托尔在 1872年升任副教授，并在他三十四岁时(1879年)就成为教授，是一个显著的功名；但康托尔希望在德国柏林更有声望的领先大学中，担任主席；然而他的研究工作成果遭遇了太多的反对，每当康托尔在柏林申请更高阶的职位，他都被拒绝了。通常是因当时克罗内克有异议的关系，使其所望难以实现。所以康托尔相信因为克罗内克的反对立场，会让他无法离开哈勒。1881年康托尔的同事爱德华海涅去世，产生了一个主席空缺。哈勒大学采纳康托尔的提议，将主席此一职位依序提供给戴德金、安里西·韦伯或是弗朗茨·梅滕斯 这三位，但他们全都拒绝了；这个职位最终任命给弗里德里希·瓦格林（Friedrich Heinrich Albert Wangerin），但他从来没有接近过康托尔。1882年康托尔和戴德金之间通信联系的数学关系告一段落，显然是由于戴德金拒绝了哈勒大学的主席一职。

在 1884年5月康托尔遭受了自身抑郁症的第一次发作。对他工作的批评让他头脑昏沉：他在 1884年写给米塔·列夫勒的52封信，每封信中都提到克罗内克，其中一段内文揭漏了他自信心所受到的残害：

......我不知道何时会回到岗位上继续我的研究。此刻我无能为力，并将我自己限制在论文中最必要的责任上；如果我心智精神能有新鲜的感觉，我能比较快乐地参与学界的活动。

此后康托尔康复，随后作出了进一步的重要贡献，包括他的对角论证和定理。1889年康托尔组织建立了德国数学学会，并于1891年在哈勒大学主持了首次会议，在那里他首先介绍了他发明的对角线论证法；尽管克罗内克反对他的工作，但此时他的声誉已足够强大到确保当选，为这个学术社群的第一任主席。他最终撇开了克罗内克对他的敌意，并寻求与克罗内克的和解，康托尔邀请他在会上发言，但克罗内克却因为妻子因当时的滑雪事故中死亡而无法出席。而即使克罗内克在1891年12月29日去世之后，康托尔也再达不到其于 1874-84年发表论文的卓越水准。分裂它们的哲学分歧和困难依旧存在。康托尔在1897年在瑞士苏黎世举行的第一届国际数学家大会中也发挥了重要作用。

### 晚年时期

康托尔的后半生受到精神疾病的严重影响工作，他不得不经常入院治疗。根据后来他发表的论文推测，他患的可能是躁郁症。他曾写了一篇验证1000以下的歌德巴赫猜想的论文，其实几十年前已经有人验证到了10000。他又发表了几篇文学方面的论文，试图证明弗兰西斯·培根其实是莎士比亚作品的真正作者。以及神学方面的论文，企图证明绝对无限即是上帝。第一次世界大战期间，他陷于赤贫状态，最后死于哈雷大学的精神病院。

## 数学领域上的成就

康托尔在 1874至1884 这十年间的研究成果，是集合论的起源。在此之前追溯已往到亚里士多德时代，数学领域中的集合，从最初就隐含地使用了相当原始的集合概念。没有人意识到集合这个概念中，有任何未深入研讨的内容。在康托尔之前的集合概念，只区分为一般人直觉上容易理解的有限集合，而所谓的“无穷”集合被认为是哲学而非数学研讨的命题。康托尔证明无穷集合存在着许多可能的大小，而扩展了数学领域中对于集合概念，其真实涵义的研讨。

集合论已经发挥了现代数学基础理论的作用，因为它明确定义并解释了，几乎所有的传统数学领域（如代数，分析和拓扑）中的数学物件（例如数系和函数）的命题；根据康托尔所建立起的这一套集合理论，提供了标准的公理来证明或反证它们。因此集合论的基本概念，现在被应用在整个数学领域中。在他最早的一篇论文中，康托尔证明了实数系集合和自然数集合，在大小比较上实数系要“多更多了”；这首次表明即使两个元素都是无穷的集合，在大小上仍然会存在有不同的组合；他也是第一个理解集合论中的一对一对应关系（以下称为“一一对应关系”）的重要性的人。他用这种概念来定义有限和无穷集合，将后者再区分为可数的（或可数无穷）以及 非可数的无穷集合。

康托尔发展了拓扑中的重要概念，其与基数的关系。例如，他表明康托尔集不是密集的，而与实数系集合一样具有相同的基数，而有理数的集合是密集而且可数的。他还表明了线性稠密可数的、而没有终点的序，和有理数集合是同构的。康托尔介绍了集合论的基本结构，如$A$集合的幂集，是对于$A$集合其中所有元素，各种组合而构成的一个子集。他后来证明了即使 $A$属于无穷集合， $A$的幂集大小，也将会是严格大于 $A$的大小，这个结果很快就被称为康托尔定理。康托尔发展了整套的集合论和无穷集合的算术，称为基数和序数，它扩充了自然数的算术。他对基数的标记符号是希伯来文 $\aleph$与自然数下标；对于标示序的符号他采用了希腊字母 ω。这个符号表示法目前数学界仍在使用。

康托尔的连续统假说是 1900年巴黎数学家国际会议，大卫·希尔伯特提出23个尚无证明命题的第一个。康托尔的研究成果也吸引了其它人的关注。美国哲学家皮尔士赞扬他的集合论；而在 1897年苏黎世举行的第一届国际数学家会，康托尔发表的公开讲座之后，Hurwitz和阿达马也都表示了钦佩。在那次大会上康托尔重新与戴德金交换了友谊和信件。自 1905年起康托尔与英国翻译家菲利普朱尔丹就集合论的历史，和康托尔的宗教思想，进行了对谈，这些对谈后来集成出版为康托尔的讲述作品。

### 数论，三角级数和序数

康托尔的前十篇论文题目是关于数论。在哈勒大学教授爱德华海涅的建议下，康托转向分析。海涅提出了困惑著约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷、鲁道夫·利普希茨、波恩哈德·黎曼和海涅自己的问题：如何呈现三角级数的建构函数的唯一性质？康托尔在 1869年解决了这个难题，而在研究这个三角级数唯一定理的时候，他发现了超限序数，出现在对于三角级数的集合S，其下标为n的第n个索引的导出集合 Sn之中。

1870 至 1872年之间康托尔发表了更多关于三角函数的论文，并且还将无理数定义为有理数的收敛序列。戴德金引用了这篇论文，并在他的论文中首次提出了戴德金切割的实数定义。即使康托尔革命性地以无限基数的概念来扩大集合概念的同时，他却自相矛盾地反对同期数学分析学者 Otto Stolz 和 Paul du Bois-Reymond 的无限小理论；康托尔还发表了一个错误的“证明”，试图证明无穷小量的不一致性。

### 集合论

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#### 一一对应和对角线证明方法

康托尔提出了通过一一对应的方法对无限集合的大小进行比较，并将能够彼此建立一一对应的集合称为等势，即可以被认为是“一样大”的。他引入了可数无穷的概念，用来指与自然数集合等势的集合，并证明了有理数集合是可数无穷，而实数集合不是可数无穷，这表明无穷集合的确存在着不同的大小，他称与实数等势（从而不是可数无穷）的集合为不可数无穷。原始证明发表于 1874年，这个证明使用了较为复杂的归纳反证法。1891年他用对角线法重新证明了这个定理。另外，他证明了代数数集合是可数集，以及 $n$维空间与一维空间之间存在一一对应。在上述理论的基础上，康托尔又系统地研究了序数理论，提出了良序定理，即可以给任何集合内的所有元素定义一个大小关系，使得任意两个元素都可以比较大小，且该集合的任意子集都有最小元素。

#### 连续统假设

康托尔晚年致力于证明他自己提出的连续统假设，即任意实数的无穷集合或者是可数无穷或者是不可数无穷，二者必居其一，但没有成功。

## 基本资料

- 日语原文：格奥尔格·康托尔、Georg Cantor
- 出生：Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor
- 出生日期：1845年3月3日
- 出生地：俄罗斯帝国圣彼得堡
- 逝世日期：1918年1月6日
- 逝世地：德意志帝国萨克森省萨勒河畔哈勒
- 居住地：俄罗斯帝国（1845年－1856年）、德意志帝国（1856年－1918年）
- 国籍：德国
- 母校：瑞士联邦理工学院、柏林大学
- 论文：De aequationibus secundi gradus indeterminatis
- 论文：https://web.archive.org/web/20150704015954/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN237853094&DMDID=DMDLOG_0008&L=1
- 论文：1867
- 博士导师：恩斯特·库默尔、卡尔·魏尔施特拉斯
- 知名于：集合论
- 研究领域：数学
- 机构：哈勒大学
- 获奖：西尔维斯特奖章（1904年）