自然对数

自然对数（Natural logarithm）为以数学常数$e$为底数的对数函数，标记作$\ln x$或$\log_e x$，其反函数为指数函数$e^x$。根据微积分学，某函数之定义域为其反函数之值域，反之其值域为其反函数之定义域。因$e^x$的值域为$(0,\infty)$，且其为$\ln x$之反函数，故可知$\ln x$之定义域为$(0,\infty)$，即$\ln x$在非正实数系无法定义。

自然对数积分定义为对任何正实数$x$，由$1$到$x$所围成，$xy=1$曲线下的面积。如果$x$小于1，则计算面积为负数。

$$\ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}\,$$

$e$则定义为唯一的实数$x$使得$\ln x = 1$。

自然对数一般表示为$\ln x\!$，数学中亦有以$\log x\!$表示自然对数。若要避免与底为10的常用对数 $\log x\!$ 混淆，可用“全写” $\log_{\boldsymbol{e}} x\!$。

## 历史

### 十七世纪

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约翰·纳皮尔在1614年以及约斯特·比尔吉在6年后，分别发表了独立编制的对数表，当时通过对接近1的底数的大量乘幂运算，来找到指定范围和精度的对数和所对应的真数。当时还没出现有理数幂的概念，按后世的观点，约翰·纳皮尔的底数0.999999910000000相当接近$\frac{1}{e}$，而约斯特·比尔吉的底数1.000110000相当接近自然对数的底数$e$。实际上不需要做开高次方这种艰难运算，约翰·纳皮尔用了20年时间进行相当于数百万次乘法的计算，亨利·布里格斯建议纳皮尔改用10为底数未果，他用自己的方法

$10^{\frac{1}{2^{54}}}$

于1624年部分完成了常用对数表的编制。

形如$f(x)=x^p$的曲线都有一个代数反导数，除了特殊情况$p=-1$对应于双曲线的弓形面积，即双曲线扇形；其他情况都由1635年发表的卡瓦列里弓形面积公式给出

$$\int_0^a x^n\,dx = \tfrac{1}{n+1}\, a^{n+1} \qquad n \geq 0,$$

$$\int x^n\,dx = \tfrac{1}{n+1}\, x^{n+1} + C \qquad n \neq -1.$$

其中抛物线的弓形面积由公元前3世纪的阿基米德完成（抛物线的弓形面积），双曲线的弓形面积需要发明一个新函数。1647年圣文森特的格列高利将对数联系于双曲线$xy=1$的弓形面积，他发现x轴上$[a,b]$两点对应的双曲线线段与原点围成的双曲线扇形同$[c,d]$对应的扇形，在$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$时面积相同，这指出了双曲线从$x=1$到$x=t$的积分$f(t)$满足：

$$f(tu) = f(t) + f(u)\,$$

1649年，萨拉萨的阿尔丰斯·安东尼奥将双曲线下的面积解释为对数。大约1665年，伊萨克·牛顿推广了二项式定理，他将$\frac{1}{1+x}$展开并逐项积分，得到了自然对数的无穷级数。“自然对数”最早描述见于尼古拉斯·麦卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中，他也独立发现了同样的级数，即自然对数的麦卡托级数。

### 十八世纪

大约1730年，欧拉定义互为逆函数的指数函数和自然对数为

$$\int_1^a x^n\,dx = \tfrac{1}{n+1} (a^{n+1} - 1) \qquad n \neq -1.$$

$$\begin{align} \ln(x) &=\lim_{n \rightarrow \infty} n(x^{1/n} - 1) \\ &=\lim_{n \rightarrow -1} \tfrac{1}{n+1} (x^{n+1} - 1) \\ \end{align}$$

$$e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n,$$

$$\ln(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} n\left(x^{\frac{1}{n}} - 1\right)$$

1742年威廉·琼斯发表了现在的幂指数概念

$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^x=\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right)^{\frac {x}{n}}$。

## 形式定义

欧拉定义自然对数为序列的极限：

$$\ln(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} n\left(x^{\frac{1}{n}} - 1\right).$$

$\ln (a)$正式定义为积分。

$$\ln(a)=\int_1^a \frac{1}{x}\,dx.$$

这个函数为对数是因满足对数的基本性质:

$$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b). \,\!$$

这可以通过将定义了$\ln(ab)$的积分拆分为两部分，并在第二部分中进行换元$x=ta$来证实:

$$\ln (ab) = \int_1^{ab} \frac{1}{x} \; dx = \int_1^a \frac{1}{x} \; dx \; + \int_a^{ab} \frac{1}{x} \; dx =\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{at} \; d(at)$$

$$=\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{t} \; dt = \ln (a) + \ln (b).$$

幂公式$\ln (t^r)=r\ln (t)$可如下推出:

$$\ln(t^r) = \int_1^{t^r} \frac{1}{x}dx = \int_1^t \frac{1}{u^r} d\left(u^{r}\right) = \int_1^t \frac{1}{u^r} \left(ru^{r - 1} \, du\right) = r \int_1^t \frac{1}{u} \, du = r \ln(t).$$

第二个等式使用了换元$u=x^{\frac{1}{r}}$。

自然对数还有在某些情况下更有用的另一个积分表示：

$$\ln(x) = -\lim_{\epsilon \to 0} \int_\epsilon^\infty \frac{dt}{t}\left( e^{-xt} - e^{-t} \right).$$

## 性质

- $$\ln(1) =\int_1^1 \frac{1}{t}\,dt=0 \,$$
- $$\operatorname{ln}(-1) = i \pi \,$$

(参见复数对数)

- $$\ln(x) < \ln(y) \quad{\rm for}\quad 0 < x < y \,$$
- $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \,$$
- $$\ln(x^y) = y \, \ln(x) \,$$
- $$\frac{x-1}{x} \leq \ln(x) \leq x-1 \quad{\rm for}\quad x > 0 \,$$
- $$\ln{( 1+x^\alpha )} \leq \alpha x \quad{\rm for}\quad x \ge 0, \alpha \ge 1 \,$$

证明$$\lim_{h \to 0} \frac{\ln(1+h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(1+h)-\ln 1}{h} = \frac{d}{dx} \ln x \Bigg|_{x=1} = 1$$

## 导数

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自然对数的导数为

$$\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}.\,$$

证明一（微积分第一基本定理）:$\frac{d}{dx} \ln(x)=\frac{d}{dx} \int_1^x \frac{1}{t}\,dt = \frac{1}{x}$

证明二：按此影片

$$\frac{d}{dx} \ln (x) =\lim_{h \to 0} \frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h}$$

$$=\lim_{h \to 0} \frac{\ln(\frac{x+h}{x})}{h}$$

$$=\lim_{h \to 0} \left[ \frac{1}{h} \ln\left( 1 + \frac{h}{x} \right)\right]\quad$$

$$= \lim_{h \to 0} \ln\left( 1 + \frac{h}{x} \right)^\frac{1}{h}$$

设$u=\frac{h}{x} \Rightarrow ux=h$

$$\frac{1}{h}=\frac{1}{ux}$$

$$\frac{d}{dx} \ln (x)=\lim_{u \to 0} \ln (1+u)^\frac {1}{ux}$$

$$=\lim_{u \to 0}\ln\left[(1+u)^\frac{1}{u} \right]^\frac{1}{x}$$

$$=\frac{1}{x} \lim_{u \to 0} \ln(1+u)^\frac {1}{u}$$

设$n=\frac{1}{u} \Rightarrow u=\frac{1}{n}$

$$\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x} \lim_{n \to \infty} \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$$

$$=\frac{1}{x} \ln \left [ \lim_{n \to \infty}\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \right ]$$

$$=\frac{1}{x} \ln e$$

$$=\frac {1}{x}$$

用自然对数定义的更一般的对数函数，$\log_b(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(b)}$，根据其逆函数即一般指数函数的性质，它的导数为：

$$\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x\ln(b)}.$$

根据链式法则，以$f(x)$为参数的自然对数的导数为

$$\frac{d}{dx} \ln[f(x)] = \frac{f'(x)}{f(x)}.$$

右手端的商叫做$f$的对数导数，通过$\ln(f(x))$的导数的方法计算$f'(x)$叫做对数微分。

## 幂级数

自然对数的导数性质导致了$\ln(1+x)$在0处的泰勒级数，也叫做麦卡托级数：

$$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$$

对于所有$\left|x\right| \leq 1,$但不包括$x = -1.$

把$x-1$代入$x$中，可得到$\ln(x)$自身的级数。通过在麦卡托级数上使用欧拉变换，可以得到对绝对值大于1的任何$x$有效的如下级数:

$$\ln{x \over {x-1}} = \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n x^n}} = {1 \over x}+ {1 \over {2x^2}} + {1 \over {3x^3}} + \cdots \,.$$

这个级数类似于贝利-波尔温-普劳夫公式。

还要注意到$x \over {x-1}$是自身的逆函数，所以要生成特定数$y$的自然对数，简单把$x \over {x-1}$代入$x$中。

$$\ln{x} = \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n}} \left( {x - 1 \over x} \right)^n = \left( {x - 1 \over x} \right) + {1 \over 2} \left( {x - 1 \over x} \right)^2 + {1 \over 3} \left( {x - 1 \over x} \right)^3 + \cdots \,$$

对于$\operatorname{Re} (x) \geq \frac12 \,.$

自然数的倒数的总和

$$1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k},$$

叫做调和级数。它与自然对数有密切联系：当$n$趋于无穷的时候，差

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n),$$

收敛于欧拉-马歇罗尼常数。这个关系有助于分析算法比如快速排序的性能。

## 积分

自然对数通过分部积分法积分:

$$\int \ln (x) \,dx = x \ln (x) - x + C.$$

假设:

$$u = \ln(x) \Rightarrow du = \frac{dx}{x}$$

$$dv = dx \Rightarrow v = x\,$$

所以:

$$\begin{align} \int \ln (x) \,dx & = x \ln (x) - \int \frac{x}{x} \,dx \\ & = x \ln (x) - \int 1 \,dx \\ & = x \ln (x) - x + C \end{align}$$

自然对数可以简化形如$g(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}$的函数的积分：$g(x)$的一个原函数给出为$\ln(\left \vert f(x) \right \vert)$。这是基于链式法则和如下事实:

$$\ {d \over dx}\ln \left| x \right| = {1 \over x}.$$

换句话说。

$$\int { 1 \over x} dx = \ln|x| + C$$

且

$$\int { \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx} = \ln |f(x)| + C.$$

### 例子

下面是$g(x)=\tan x$的例子：

$$\begin{align} \int \tan x \,dx &= \int {\sin x \over \cos x} \,dx \\ &= \int {-{d \over dx} \cos x \over {\cos x}} \,dx. \\ \end{align}$$

设$f(x)=\cos x$且$f'(x)=-\sin x$：

$$\begin{align}\int \tan x \,dx &= -\ln{\left| \cos x \right|} + C \\ &= \ln{\left| \sec x \right|} + C \\ \end{align}$$

## 与双曲函数的关系

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在18世纪，约翰·海因里希·兰伯特介入双曲函数，并计算双曲几何中双曲三角形的面积。对数函数是在直角双曲线$xy=1$下定义的，可构造双曲线直角三角形，底边在线$y=x$上，一个顶点是原点，另一个顶点在双曲线。这里以自然对数即双曲角作为参数的函数，是自然对数的逆函数指数函数，即要形成指定双曲角$u$，在渐近线即x或y轴上需要有的$x$或$y$的值。显见这里的底边是$\left(e^u + e^{ -u}\right) \frac{\sqrt{2}}{2}$，垂线是$\left(e^u - e^{-u}\right) \frac{\sqrt{2}}{2}$。

通过旋转和缩小线性变换，得到单位双曲线下的情况，有：

- $$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$$
- $$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$$

单位双曲线中双曲线扇形的面积是对应直角双曲线$xy=1$下双曲角的$\frac{1}{2}$。

## 连分数

尽管自然对数没有简单的连分数，但有一些广义连分数如:

$$\begin{align} \ln (1+x) &= \frac{x^1}{1}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\cdots \\ <pre> &= \cfrac{x}{1-0x+\cfrac{1^2x}{2-1x+\cfrac{2^2x}{3-2x+\cfrac{3^2x}{4-3x+\cfrac{4^2x}{5-4x+\ddots}}}}} \\ </pre> \end{align}$$

$$\begin{align} \ln \left( 1+\frac{x}{y} \right) &= \cfrac{x} {y+\cfrac{1x} {2+\cfrac{1x} {3y+\cfrac{2x} {2+\cfrac{2x} {5y+\cfrac{3x} {2+\ddots}}}}}} \\ <pre> &= \cfrac{2x} {2y+x-\cfrac{(1x)^2} {3(2y+x)-\cfrac{(2x)^2} {5(2y+x)-\cfrac{(3x)^2} {7(2y+x)-\ddots}}}} \\ </pre> \end{align}$$

这些连分数特别是最后一个对接近1的值快速收敛。但是，更大的数的自然对数，可以轻易的用这些更小的数的自然对数的加法来计算，带有类似的快速收敛。

例如，因为$2=1.25^3\times 1.024$，2的自然对数可以计算为:

$$\begin{align} \ln 2 &= 3 \ln \left( 1+\frac{1}{4} \right) + \ln \left( 1+\frac{3}{125} \right) \\ &= \cfrac{6} {9-\cfrac{1^2} {27-\cfrac{2^2} {45-\cfrac{3^2} {63-\ddots}}}} + \cfrac{6} {253-\cfrac{3^2} {759-\cfrac{6^2} {1265-\cfrac{9^2} {1771-\ddots}}}}. \\ \end{align}$$

进而，因为$10=1.25^{10}\times 1.024^3$，10的自然对数可以计算为:

$$\begin{align} \ln 10 &= 10 \ln \left( 1+\frac{1}{4} \right) + 3\ln \left( 1+\frac{3}{125} \right) \\ <pre> &= \cfrac{20} {9-\cfrac{1^2} {27-\cfrac{2^2} {45-\cfrac{3^2} {63-\ddots}}}} </pre> + \cfrac{18} {253-\cfrac{3^2} {759-\cfrac{6^2} {1265-\cfrac{9^2} {1771-\ddots}}}}. \\ \end{align}$$

## 复数对数

指数函数可以扩展为对任何复数$x$得出复数值为$e^x$的函数，只需要简单使用$x$为复数的无穷级数；这个指数函数的逆函数形成复数对数，并带有正常的对数的多数性质。但是它涉及到了两个困难：不存在$x$使得$e^x=0$；并且有着$e^{2\pi i}=1=e^0$。因为乘法性质仍适用于复数指数函数，$e^z=e^{z+2n\pi i}$，对于所有复数$z$和整数$n$。

所以对数不能定义在整个复平面上，并且它是多值函数，就是说任何复数对数都可以增加$2\pi i$的任何整数倍而成为等价的对数。复数对数只能在切割平面上是单值函数。例如，$\log i=\frac{1}{2}\pi i$或$\frac{5}{2}\pi i$或$-\frac{3}{2}\pi i$等等；尽管$i^4=1$，$4\log=i$不能定义为$2\pi i$或$10\pi i$或$-6\pi i$，以此类推。

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- z=Re(ln(x+iy))

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- Im(ln(x+iy))

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- ln(x+iy)

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- 前三图的叠加

### 主值定义

对于每个非0复数$z=x+yi$，主值$\log z$是虚部位于区间$(-\pi, \pi]$内的对数。表达式$\log 0$不做定义，因为没有复数$w$满足$e^w=0$。

要对$\log z$给出一个公式，可以先将$z$表达为极坐标形式，$z=re^{i\theta}$。给定$z$，极坐标形式不是确切唯一的，因为有可能向$\theta$增加$2\pi$的整数倍，所以为了保证唯一性而要求$\theta$位于区间$(-\pi, \pi]$内；这个$\theta$叫做幅角的主值，有时写为$\operatorname{arg} z$或$\operatorname{atan}2(y,x)$。则对数的主值可以定义为：

$$\operatorname{Log} z := \text{ln } r + i \theta = \ln |z| + i \operatorname{Arg} z = \operatorname{ln}\sqrt{x^2+y^2} + i \operatorname{atan2}(y,x).$$

例如，$\operatorname{Log}(-3i)=\ln 3-\frac{\pi i}{2}$。

## 科学应用

自然指数有应用于表达放射性衰变的过程，如放射性原子数目的微分方程$N$随时间变化率$\frac{dN}{dt}=-pN$，常数$p$为原子衰变概率，积分得$N(t)=N(0)\exp (-pt)$。