交流电

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交流电流（alternating current，缩写：AC）是指电流强度和电流方向都发生周期性变化的电流，在一个周期内的平均值为零。不同于直流电，后者的方向是不会随着时间发生改变的，并且直流电没有周期性变化。

通常波形为正弦曲线。交流电可以有效传输电力。但实际上还有应用其他的波形，例如三角形波、正方形波。生活中使用的市电就是具有正弦波形的交流电。

## 发展历史

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当发现了电磁感应后，产生交流电流的方法就被知晓。早期的成品由英国人麦可·法拉第与法国人波利特·皮克西（Hippolyte Pixii）等人开发出来。

1882年，英国电工詹姆斯·戈登建造大型双相交流发电机。开尔文勋爵与塞巴斯蒂安·费兰蒂开发早期交流发电机，频率介于100赫兹至300赫兹之间。

1891年，尼古拉·特斯拉取得了“高频率”（15,000赫兹）交流发电机的专利。

1891年后，多相交流发电机被用来供应电流，此后的交流发电机的交流电流频率通常设计在16赫兹至100赫兹间，搭配弧光灯、白炽灯或电动机使用。

根据电磁感应定律，当导体周围的磁场发生变化，感应电流在导体中产生。通常情况下，旋转磁体称为转子，导体绕在铁芯上的线圈内的固定组，称为定子，当其跨越磁场时，便产生电流。产生交流电的基本机械称为交流发电机。

## 简谐交流电

根据傅里叶级数的原理，周期函数都可以展开为以正弦函数、余弦函数组成的无穷级数，任何非简谐的交流电也可以分解为一系列简谐正余弦交流电的合成。

### 频率

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交流电的频率是指它单位时间内周期性变化的次数，单位是赫兹，与周期成倒数关系。日常生活中的交流电的频率一般为50赫兹或60赫兹，而无线电技术中涉及的交流电频率一般较大，达到千赫兹（kHz）甚至百万赫兹（MHz）的度量。不同国家和地区的电力系统的交流电频率不同。在亚洲使用50赫兹的国家和地区主要有中华人民共和国、香港特别行政区、泰国、印度和新加坡，而韩国、菲律宾和台湾使用60赫兹。欧洲大部分国家使用50赫兹，美洲使用60赫兹的国家主要是墨西哥、美国、加拿大。

早在1800年代，东京的电力公司从德国引入50赫兹设备，大阪则从美国引入60赫兹设备，导致东日本及西日本处于不同频率的电网中。由于频率不相同，东、西电网只能透过高压直流互联，变频设施包括：新信浓变电所、南福光变电所及佐久间变电所。

### 峰值和有效值

正余弦交流电的峰值与振幅相对应，而有效值大小则由相同时间内产生相当焦耳热的直流电的大小来等效。交流电峰值$V_{P}$与均方根值$V_{RMS}$（有效值）的关系为$V_{P}=\sqrt{2}V_{RMS}$。若市电为220V（如中国大陆），则220V表示均方根值，其峰值为311V。

#### 任意的波

- 对任意周期函数 $v(t)$，设周期的一半是$T$，角速度为$\omega$，则$T=\frac{\pi}{\omega}$，均方根值为：

$$V_\mathrm{RMS}^2={\frac{1}{T} \int_0^{T}{[v(t)]^2 dt}}$$

#### 正弦波

设交流电电压$v(t)=V_{P}\sin( \omega t)$，因左右平移对求取面积没有影响且一个周期的面积等于两倍一半周期的面积

则$\begin{align} V_\mathrm{RMS}^2 &={\frac{1}{T} \int_0^{T}[{V_{P}\sin( \omega t)]^2 dt}}\\ \end{align}$

使用三角恒等式的幂简约公式中的$2sin\alpha^2=1-cos2\alpha$，则有

$$\begin{align} V_\mathrm{RMS}^2 <pre> &=V_{P}^2\times{\frac{1}{2T} \int_0^{T}[{1-\cos(2\omega t)] dt}}\\ &=V_{P}^2\times{\frac{1}{2T} \int_0^{T}{dt}}\\ &=\frac{V_{P}^2}{{2}} </pre> \end{align}$$

其中$\begin{align} {\int_0^{T}[{1-\cos(2\omega t)] dt}} <pre> &={\int_0^{T}{dt}}+{\int_0^{T}{-\cos(2\omega t) dt}}\\ &={\int_0^{T}{dt}}-{\int_0^{\frac{\pi}{\omega}}{\cos(2\omega t) dt}}\\ </pre> \end{align}$

用微积分基本定理，得${\int_0^{T}{dt}}-{\int_0^{\frac{\pi}{\omega}}{\cos(2\omega t) dt}}=t\bigg|_{0}^{T} -{\frac{1}{2}}sin(2\omega t)\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{\omega}}=T$

所以$\begin{align} V_\mathrm{RMS} &=\frac{V_{P}}{\sqrt{2}} \end{align}$，即$V_P=\sqrt{2}V_{RMS}$

### 电功率

单相电

假设使用单相电连接到纯电阻负载。

$$v(t)=V\sin\omega t$$

$$i(t)=\frac{v(t)}{R}=\frac{V \sin\omega t}{R}$$

$$p(t)=v(t)\ i(t)=\frac{V^2}{R} \sin^2\omega t$$

根据幂简约公式，可得知功率振荡是电压频率的两倍。使用50Hz或60Hz单相电时，电器的输出功率会以100Hz或120Hz振荡。不过，人类不会观察到电灯在高频闪烁，因为此数字高于肉眼所能捕捉的帧数。

单相电的平均功率是

$$P = \frac{1}{t_2 - t_1}\int_{t_1}^{t_2} p(t) \mathrm dt$$

若把常数忽略不计

$$\begin{align} <pre> P &= {\frac{1}{T} \int_0^{T}[{\sin(\omega t)]^2 dt}}\\ &= {\frac{1}{2T} \int_0^{T}[{1 - \cos(2\omega t )] dt}}\\ &= {\frac{1}{2T} \int_0^{T}{dt}}\\ &= \frac{1}{2} </pre> \end{align}$$

两相电

两相发电机的绕组以十字型分布，所以相差是90°，而不是180°。它的总功率是恒定的，每个相位需要2根电线，共4根。若容许使用两款不同截面的电线，则可采用1根较大的共用中线（common neutral）代替2根中线，此时共需3根电线。

相角$\theta=\omega t=2\pi f t$

$$\begin{align} p(t) &=p_1+p_2\\ &=\sin^{2} \theta+\sin^{2} (\theta+\frac{\pi}{2}) \\ &=\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta \\ &=1 \end{align}$$

三相电

三相发电机的输出电压具有120°相差，恒定的总功率。

$$\begin{align} p(t) &=p_1+p_2+p_3\\ &=\sin^{2} \theta+\sin^{2} \left(\theta-\frac{2\pi}{3} \right)+\sin^{2} \left(\theta+\frac{2\pi}{3} \right)\\ &=\frac{1}{2} [1 - \cos 2\theta + 1 - \cos 2(\theta-\frac{2\pi}{3}) + 1 - \cos 2(\theta+\frac{2\pi}{3}) ]\\ &=\frac{1}{2} [3 - \cos 2\theta - 2\cos2\theta \cos \frac{4\pi}{3} ]\\ &=\frac{1}{2} [3 - \cos 2\theta + \cos2\theta ]\\ &=\frac{3}{2} \end{align}$$

此外，共用中线的电流为零，所以三相平衡负载不需安装中线，节省了安装1根导体的成本和空间。同时，也没有因电流流过中线而产生的压降及铜损，三相电力系统具备最佳的经济效益，这是世界各国的电网均采用三相电的主要原因。

$$\begin{align} i(t) <pre> &=i_1+i_2+i_3\\ &=\sin \theta+\sin(\theta-\frac{2\pi}{3})+\sin(\theta+\frac{2\pi}{3})\\ &=\sin \theta+2 \sin \theta \cos \frac{2\pi}{3}\\ &=\sin \theta -\sin \theta\\ &=0 </pre> \end{align}$$

## 发电机

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交流发电机通常采用旋转磁场设计，电枢静止，这样便不需要使用电刷和滑环取电。

同步发电机的磁场来自永久磁铁或电磁铁。发电厂使用的大型同步发电机可透过控制励磁系统（电磁铁）来改变输出电压及无功功率。

异步发电机没有磁石，利用定子与转子间气隙旋转磁场，与转子绕组中感应电流相互作用来发电。异步发电机需要电容或同步发电机提供无功功率才可以运作，因此通常不能黑启动，即是不借助外部电力来启动。

## 电力传输

交流电被广泛运用于电力的传输，因为在以往的技术条件下交流输电比直流输电更有效率。传输的电流在导线上的耗散功率可用焦耳定律（$P=I^2 R$）求得，显然要降低能量损耗需要降低传输的电流或电线的电阻。由于成本和技术所限，很难降低目前使用的输电线路（如铜线）的电阻，所以降低传输的电流是唯一而且有效的方法。根据P=IU（实际上有功功率$P = IU \cos\phi$），提高电网的电压即可降低导线中的电流，以达到节约能源的目的。

而交流电升降压容易的特点正好适合实现高压输电。使用结构简单的升压变压器即可将交流电升至几千至几十万伏特，从而使电线上的电力损失极少。在城市内一般使用降压变压器将电压降至几万至几千伏以保证安全，在进户之前再次降低至市电电压或者适用的电压供用电器使用。

随着电力电子学的发展，愈来愈多长距离输电采用高压直流输电（HVDC），直流电功率因素是1，效率更高。在日本，糸鱼川静冈构造线以东为50Hz、以西为60Hz，在静冈县与长野县设有三处频率转换变电所联网，而本州与北海道及四国间则以海底HVDC连结。

## 交流电相位分类

目前各国使用的交流电相位主要为单相及三相。

### 单相电

单相交流电，其电缆有一条火线和一条中线，用于一般住宅及商业楼宇。

### 三相电

三相交流电，输电时只有三条火线，供电给低压设备时通常有三条火线和中线。只使用其中一条相线及中线，便是单相电。

三条火线上的正弦波各有120°相位差，主要为工业用。

$$V_\mathrm{AN}=220\angle 0^\circ$$

$$V_\mathrm{BN}=220\angle 120^\circ$$

$$V_\mathrm{CN}=220\angle 240^\circ$$

如果相电压是220V，线电压则是380V。

$$V_\mathrm{AB} = V_\mathrm{AN} - V_\mathrm{BN} = 380$$

## 外部链接

- "Alternating Current: Alternating Current". Interactive Java tutorial explaining alternating current. （National High Magnetic Field Laboratory）
- "AC/DC: What's the Difference?". Edison's Miracle of Light, American Experience. (PBS)
- "AC/DC: Inside the AC Generator". Edison's Miracle of Light, American Experience. (PBS)
- Kuphaldt, Tony R., "Lessons In Electric Circuits : Volume II - AC". March 8, 2003. (Design Science License)
- Nave, C. R., " Alternating Current Circuits Concepts". HyperPhysics.
- " Alternating Current（AC）". Magnetic Particle Inspection, Nondestructive Testing Encyclopedia.
- " Alternating current". Analog Process Control Services.
- Hiob, Eric, " An Application of Trigonometry and Vectors to Alternating Current". British Columbia Institute of Technology, 2004.
- " Introduction to alternating current and transformers". Integrated Publishing.
- "Wind Energy Reference Manual Part 4: Electricity". Danish Wind Industry Association, 2003.
- Chan. Keelin, " Alternating current Tools". JC Physics, 2002.
- Williams, Trip "Kingpin", " Understanding Alternating Current, Some more power concepts".
- " Table of Voltage, Frequency, TV Broadcasting system, Radio Broadcasting, by Country".
- Professor Mark Csele's tour of the 25 Hz Rankine generating station
- 50/60 hertz information
- AC circuits Animations and explanations of vector（phasor）representation of RLC circuits
- Blalock, Thomas J., " The Frequency Changer Era: Interconnecting Systems of Varying Cycles". The history of various frequencies and interconversion schemes in the US at the beginning of the 20th century