卡尔·弗里德里希·高斯

约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauß，Carolus Fridericus Gauss；1777年4月30日－1855年2月23日），德国数学家、天文学家、大地测量学家、物理学家，在数学和科学的诸多领域都有重要贡献。他曾担任德国哥廷根天文台台长，并自1807年起担任天文学教授，直至1855年去世。

高斯在哥廷根大学求学期间便已提出若干数学定理。作为独立学者，他撰写了经典著作《算术研究》和《天体运动理论》（Theoria motus corporum coelestium）。高斯提供了代数基本定理的第二和第三个完整证明。在数论方面，他作出了诸多重要贡献，包括复合律、二次互反律、费马多边形数定理的一个特殊情况。他还研究了二元和三元二次型理论、十七边形作图方法以及超几何函数理论。由于他在科学与数学方面的广泛而深刻的贡献，现今有超过一百个数学与科学概念以他的名字命名。

在识别谷神星为矮行星的过程中，高斯起到了关键作用。他研究大行星对小行星运动的扰动，进而引入了高斯引力常数，并发展了最小二乘法（在阿德里安-马里·勒让德发表前就已发现）。1820年至1844年间，高斯主持了汉诺威王国的大地测量工作以及一项测弧计划；他是地球物理学的奠基人之一，并提出了磁学的基本原理。他的实用工作成果包括1821年发明的日照仪、1833年发明的磁强计，以及他与威廉·爱德华·韦伯共同于1833年建造的世界上第一台电磁电报机。

高斯是第一个发现并研究非欧几里得几何的人，这一理论也是由他命名。他还比约翰·图基和詹姆斯·库利早约160年就发展出了快速傅里叶变换。

高斯拒绝发表未完成的研究，他的一些重要成果是在他去世后才由他人整理出版。他认为，学习的过程本身，而非知识的占有，才是最大的乐趣。尽管他并不热衷于教学而更倾向于专注于自己的研究，但他的部分学生，如戴德金和黎曼，后来也成为了杰出而有影响力的数学家。

## 生平

### 青年及学生时期

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高斯于1777年4月30日出生在布伦瑞克-沃尔芬比特尔亲王国的不伦瑞克（今德国下萨克森州）。他的家庭社会地位较低。父亲盖布哈特·迪特里希·高斯（Gebhard Dietrich Gauss，1744–1808）从事过多种职业，包括屠夫、泥瓦匠、园丁以及丧葬互助基金的出纳员。高斯形容父亲为正直且受人尊敬，但在家中性格粗暴而专横。他的父亲在书写和计算方面颇有经验，而高斯的母亲多萝西娅（Dorothea，盖布哈特的第二任妻子）几乎不识字。高斯还有一个同父异母的哥哥。

高斯是数学神童。当小学老师注意到他的非凡才智时，便向不伦瑞克公爵报告，公爵随即资助他就读当地的查理学院（Collegium Carolinum查理学院是布伦瑞克工业大学的前身，但在高斯的时代它还没有大学地位。），他在那里从1792年读到1795年，期间曾师从埃伯哈德·奥古斯特·威廉·冯·齐默尔曼。此后，公爵继续资助他在哥廷根大学攻读数学、自然科学及古典语言，直至1798年。在哥廷根期间，他的数学教授是亚伯拉罕·戈特黑尔夫·克斯特纳。高斯因克斯特纳擅写讽刺短诗，戏称他为“诗人中最会做数学的，数学家中最会写诗的”。高斯曾画过一幅素描，描绘克斯特纳在课上展示一个简单的计算时出现了错误。天文学课程则由卡尔·费利克斯·赛费尔教授，高斯毕业后仍与他保持通信，不过高斯与天文学家奥伯斯在信中常对赛费尔颇多揶揄。相较之下，他对物理学教师格奥尔格·克里斯托夫·利希滕贝格评价颇高，对古典学教授克里斯蒂安·戈特洛布·海涅也十分敬重，常欣然聆听其讲座。在此期间的同学包括约翰·弗里德里希·本岑贝格、鲍耶·法尔卡斯以及海因里希·威廉·布兰德斯。

高斯大概主要靠自学掌握了数学，他曾多次独立重新发现一些数学定理。1796年，他解决了一个自古希腊以来困扰数学家的几何难题：确定哪些正多边形可以尺规作图。这一发现促使他最终决定将数学而非语文学身事业。高斯的数学日记记录了他自1796年至1814年间的若干重要发现，这些简短的笔记表明，他的数学巨著《算术研究》（1801年）中的许多思想都萌芽于这一时期。

小学时，高斯所在的班级被老师J·G·比特纳（Büttner）要求将1到100的自然数求和。令比特纳惊讶的是，高斯以远超预期的速度给出了正确的答案5050。他发现这个求和可以通过配对简化：1 + 100 = 101，2 + 99 = 101，以此类推，总共50组，每组和为101，于是结果是50 × 101 = 5050。另有版本说他是将100个数字看作是100组101，再除以2，得出同样结果。

### 私人学者

1799年，高斯获得哲学博士学位。与一些说法不同例如，这一错误在马斯登（1977年）中出现。他并不是在哥廷根大学毕业的，而是在不伦瑞克公爵的特别要求下，于公国唯一的国立大学——黑尔姆施泰特大学取得学位。其博士论文由约翰·弗里德里希·普法夫评审。高斯无需再参加口试，便以“缺席授予”（in absentia）的方式获得学位。随后，公爵继续资助他在不伦瑞克作为私人学者的生活费用。在接下来的几年中，高斯谢绝了来自圣彼得堡俄罗斯科学院和兰茨胡特大学的聘请。1804年，公爵承诺为他在不伦瑞克建立一座天文台，并由建筑师彼得·约瑟夫·克拉厄草拟了初步设计图。但这一计划最终因拿破仑战争而夭折：公爵于1806年在耶拿战役中阵亡。次年，不伦瑞克公国被废除，高斯也因此失去了经济支持。

在19世纪初计算小行星轨道的过程中，高斯开始与不来梅和利林塔尔 (下萨克森)的天文学界建立联系，尤其是与海因里希·奥伯斯、卡尔·路德维希·哈丁、弗里德里希·威廉·贝塞尔。他们共同构成了非正式的天文学团体，称为天体警察，其目标之一是寻找更多的行星。他们收集了关于小行星和彗星的大量观测数据，作为高斯研究其轨道的基础。这些研究成果后来被高斯汇编成他的天文学大作《天体运动理论》（Theoria motus corporum coelestium，1809年）。

### 在哥廷根担任教授

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1807年11月，高斯受聘于哥廷根大学，担任正教授及天文台台长。此时，哥廷根大学已隶属于新成立的威斯特法伦王国，由热罗姆·波拿巴统治。高斯自此一直在该职位上工作，直至1855年去世。不久之后，威斯特法伦政府要求高斯缴纳两千法郎作为战争赔款，但他无力支付。奥伯斯和皮埃尔-西蒙·拉普拉斯都希望为他筹款相助，但高斯婉拒了他们的帮助。最终，一位来自法兰克福的匿名人士代为缴纳了这笔费用，后来被证实是采邑主教达尔贝格。

高斯接管的哥廷根天文台已有60年历史，最初由选帝侯乔治二世于1748年创建，建在一座改建的防御塔上，仪器尚可使用，但已有部分过期。早在1802年，乔治三世就原则上批准了新天文台的建设计划，威斯特法伦政府也继续推动相关工程，但高斯直到1816年9月才得以迁入新的办公场所。他还获得了全新的现代化仪器，包括由雷普索尔德和格奥尔格·弗里德里希·冯·赖兴巴赫制造的两架子午仪，以及由夫琅和费制造的量日仪。

除纯数学研究外，高斯的科学活动大致可以分为三个阶段：19世纪前二十年，他的主要研究方向是天文学；第三个十年集中于大地测量学；第四个十年则以物理学为主，特别是磁学。

高斯从不掩饰他对授课的厌烦。但自他在哥廷根开始学术生涯起，他仍持续讲授课程，直至1854年。他常抱怨教学占据了他太多时间，认为这浪费了自己的研究精力。然而他偶尔也会赞扬某些学生的才华。他的授课内容以天文学、大地测量学和应用数学为主，纯数学方面只开设过三门课程。高斯总共讲了195场讲座，其中70%与天文学相关，15%与数学相关，9%与大地测量学相关，6%与物理学相关。他的学生中有不少后来成了著名的数学家、物理学家或天文学家，包括：莫里茨·康托尔、戴德金、恩诺·迪克森、恩克、古尔德通信目录显示，高斯生前收到的最后一封信便是古尔德撰写的。这是一封真正的告别信，但尚不清楚这封信是否有及时送达高斯。海涅、威廉·克林克富斯、阿道夫·特奥多尔·库普费尔、利斯廷、莫比乌斯、弗里德里希·伯恩哈德·戈特弗里德·尼古拉、黎曼、李特尔、恩斯特·克里斯蒂安·尤利乌斯·舍林、谢尔克、舒马赫、卡尔·格奥尔格·克里斯蒂安·冯·施陶特、莫里茨·亚伯拉罕·施特恩、格奥尔·弗雷德里克·乌尔辛等。此外，他在地球科学领域的学生还包括沃尔夫冈·萨托里乌斯·冯·瓦尔特斯豪森和约翰·爱德华·瓦佩乌斯。

高斯从未撰写过教科书，也反感大众科学。他尝试科普写作仅两次，分别是关于复活节日期计算的论文（1800/1802年）以及1836年的随笔《地磁与磁强计》（Erdmagnetismus und Magnetometer）。他发表论文和著作一律使用拉丁语或德语。在他去世后，人们在他的遗物中发现了一篇关于智神星摄动的法语论文，这很可能是他为法国科学院的一项奖项竞赛所作的投稿。《天体运动理论》原于1806年以德语写成，但高斯按照出版商弗里德里希·克里斯托夫·佩尔特斯的请求翻译成了拉丁语。其拉丁文风格古典，但也吸收了当时数学界的一些通用写法。

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高斯第一次在哥廷根大学上课是1808年。他阐述自己的天文学方法为：依赖可靠的观测和精确的计算，而非凭信念或空洞的假设来推理。他的教学任务由其他讲师共同承担，以完成整个教学计划。其中包括数学家伯恩哈德·弗里德里希·蒂鲍特、以其撰写的教科书闻名的物理学家约翰·托比亚斯·迈尔、1831年起接替迈尔的韦伯，以及负责天文台事务的哈丁，后者主讲实用天文学课程。新天文台建成后，高斯居住在西翼，而哈丁则在东翼。两人曾关系友好，但后来关系疏远。一些传记作家推测，原因可能是高斯始终希望与他职位相当的哈丁只是作为他的助手或观测员。高斯几乎完全垄断了新购置的子午仪，仅在极少数情况下允许哈丁参与联合观测。

马丁·布伦德尔将高斯的天文学研究划分为七个阶段，其中自1820年起被视为“天文学活动减弱时期”。尽管新天文台设备先进，但其运作效率并不如其他台站；高斯的天文研究更多体现为个人性质，没有系统的长期观测计划。直到哈丁于1834年去世，大学才为天文台设立了一个助手职位。高斯的第一个助手是卡尔·沃尔夫冈·本亚明·戈尔德施密特，第二个是威廉·克林克费斯，后者后来成为他的继任者之一。

尽管如此，高斯两次拒绝了能让他摆脱教学负担、专注科研的绝佳机会：1810年和1825年，他拒绝了柏林普鲁士科学院的正式院士职位；他还分别于1810年和1842年，拒绝了莱比锡大学和维也纳大学的教授邀请。这些决定可能部分出于家庭经济状况困难的考虑。高斯的薪酬从1810年的1000帝国塔勒提高到1824年的2500塔勒，而在他晚年时，他已成为哥廷根大学收入最高的教授之一。

1810年，高斯的同事兼朋友弗里德里希·威廉·贝塞尔因在柯尼斯堡大学缺乏正式学术头衔而陷入困境，向高斯求助。高斯遂在1811年3月以哥廷根大学哲学院的名义，为贝塞尔申请并授予了荣誉博士学位。贝塞尔从未接受过大学教育。他还曾为索菲·热尔曼撰写荣誉博士推荐信，但时间临近她去世，因此她未能获得这一学位。此外，高斯还成功支持了柏林数学家费迪南·艾森斯坦的学术晋升。

高斯始终忠于汉诺威王室。1837年，威廉四世去世后，新任汉诺威国王恩斯特·奥古斯特废除了1833年的宪法。包括高斯的朋友和合作者威廉·韦伯以及女婿海因里希·埃瓦尔德在内的七位教授公开抗议，被后人称为“哥廷根七君子”。七人皆被革职，其中三人更被驱逐出境，不过埃瓦尔德和韦伯得以继续留在哥廷根。高斯对此事深感痛心，但也认为自己无能为力，无法施以援手。

高斯还参与了大学的学术行政工作，曾三次当选哲学院院长。他还受托管理大学的遗孀抚恤基金，并为其稳定营收策略撰写过精算学分析报告。他也曾担任哥廷根皇家科学院的院长长达九年。

尽管晚年患有痛风，情绪亦不甚愉快，高斯仍保持着极高的学术活力。1855年2月23日，他在哥廷根因心脏病去世，葬于当地的阿尔巴尼公墓。他的葬礼上，女婿海因里希·埃瓦尔德以及挚友兼传记作者沃尔夫冈·萨托里乌斯·冯·瓦尔特斯豪森发表了悼词。

高斯理财颇有成效，投资股票和证券积累了相当可观的财富，资产总额超过15万塔勒。他去世后，人们在其住所还发现了藏匿的约1.8万塔勒现金。

### 高斯的大脑

高斯去世的次日，他的大脑被摘除、保存，并由鲁道夫·瓦格纳研究。瓦格纳测得高斯大脑的重量略高于平均水平，为1492克。他的儿子、地理学家赫尔曼·瓦格纳在博士论文中估算高斯的大脑皮层面积为219588平方毫米。然而，2013年，位于哥廷根的马克斯·普朗克生物物理化学研究所的一位神经生物学家发现：高斯大脑在最初研究后不久因标签错误被与另一人混淆。被误认为是高斯大脑的，实际上属于几个月后同样在哥廷根去世的医生康拉德·海因里希·富克斯。进一步的研究显示，这两人的大脑均未表现出明显异常。因此，除鲁道夫与赫尔曼·瓦格纳的最初研究外，直到1998年之前所有关于“高斯大脑”的研究实际上都是关于富克斯的大脑。

### 家庭

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1805年10月9日，高斯在不伦瑞克的圣凯瑟琳教堂与约翰娜·奥斯特霍夫（Johanna Osthoff）结婚。他们育有两子一女：约瑟夫·高斯（1806–1873）、明娜·埃瓦尔德（1808–1840）和路易斯（Louis，1809–1810）。路易斯出生一个月后，约翰娜于1809年10月11日去世，而路易斯也在几个月后夭折。高斯选择的这三个名字是为了纪念小行星最早的发现者之三：朱塞佩·皮亚齐、威廉·奥伯斯和路德维希·哈丁。

1810年8月4日，高斯再婚，迎娶了他第一任妻子的朋友威廉明妮·“明娜”·瓦尔德克（Wilhelmine “Minna” Waldeck）。他们又育有三名子女：欧根·高斯（后改名为Eugene，1811–1896）、威廉·高斯（后改名为William，1813–1879）和特蕾泽·施陶芬瑙（1816–1864）。明娜在患病十余年后，于1831年9月12日去世。此后，特蕾泽接管家务，照顾高斯直至其去世。她后来嫁给了演员康斯坦丁·施陶芬瑙。她的姐姐威廉明妮则嫁给了东方学家海因里希·埃瓦尔德。高斯的母亲多萝西娅（Dorothea）曾从1817年起与海因里希同住，直到她1839年去世。

长子约瑟夫早在上学期间便在1821年夏天的测量工作中担任高斯的助手。1824年他短暂就读大学后加入汉诺威军队，并于1829年再次参与测量任务。1830年代，他负责将测量网络扩展至王国西部地区。凭借其测地学背景，他后来离开军职，转而投身铁路建设，并成为汉诺威王国国家铁路的主任。1836年，他曾赴美国考察数月，研究当地铁路系统。途中，他遇到了大地测量学家费迪南德·鲁道夫·哈斯勒，他与卡尔·弗里德里希·高斯曾有科学通讯往来。

欧根于1830年9月离开哥廷根，移民美国，在军中服役五年后，加入中西部的美国皮毛公司。之后他迁居密苏里州，成为一名成功的商人。威廉娶了天文学家贝塞尔的侄女，随后也移居密苏里州，初为农夫，后来在圣路易斯的制鞋业中致富。欧根与威廉在美国均有大量后代，而留在德国的高斯后裔则全部来自约瑟夫，因为高斯的两个女儿都未育有子女。

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- 约瑟夫·高斯

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- 索菲·埃里特罗佩尔约瑟夫的妻子

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- 威廉明妮·高斯

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- 海因里希·埃瓦尔德威廉明妮的丈夫

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- 欧根·高斯

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- 亨利埃塔·福西特欧根的妻子

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- 威廉·高斯

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- 路易莎·阿莱塔·法伦斯坦威廉的妻子

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- 特蕾泽·高斯

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- 康斯坦丁·施陶芬瑙特蕾泽的丈夫

### 个性

#### 学者

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在19世纪最初的二十年间，高斯是德国唯一一位能与当时法国顶尖数学家相媲美的重要人物。他的《算术研究》成为第一本被翻译成法语的德国数学著作。

自1799年起，高斯已“走在新发展的前沿”，他拥有丰富的新思想，并以严谨的论证风格著称。他与之前的数学家如莱昂哈德·欧拉形成鲜明对比，欧拉的写作常常让读者参与其思考过程，其中甚至包含某些偏离正解的尝试。而高斯则开创了一种新的表达方式：直接而完整，不暴露自己的思维路径，而是以最终形式呈现结果。

高斯是第一个恢复了我们在古人中所钦佩的论证严谨性的人，这种严谨曾在前一时期被对新发现的热情所掩盖。

然而，对他自己来说，他所追求的理想却与此截然不同。在写给好友鲍耶·法尔卡斯的一封信中，他写道：

并非知识本身，而是学习的过程；并非占有，而是抵达的过程，才带来最大的乐趣。当我彻底澄清并穷尽一个课题之后，我就会转身离开，重新走入黑暗之中。

高斯的身后遗稿、科学高斯的日记，以及他在自编教材中留下的简短注释表明，他在数学研究中大量采用经验方法。他始终不厌其烦地计算，且计算速度极快，通过估算来验证自己的结果。然而，他的计算也并非总是无误。为了应对巨大的计算工作量，他使用了多种巧妙的工具。他参考大量数学用表，检验其准确性，并亲自编制了许多用于私人用途的新表格。他还发明了新的高效计算工具，例如高斯消去法。高斯所做的计算和所编的表格往往远比实际需要的精度更高，这种方式很可能为他的理论工作提供了进一步的素材。

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高斯只愿在认为作品完整无瑕时才予以发表，这种完美主义态度体现在他个人印章上的格言：“少但成熟”（Pauca sed Matura）。他的一些同行鼓励他尽早公布新思想，有时甚至批评他拖延太久。但高斯为自己辩护称，初步的发现并不困难，真正难的是将其整理成可展示的详细形式，而这往往因为时间不足或“精神状态不安”而难以完成。尽管如此，高斯还是在各类期刊中发表了不少短篇通讯，以表达一些迫切的想法；他也留下了数量可观的遗稿。他曾称数学为“科学的女王”，而算术则是“数学的女王”。据说他曾表示：能否立即理解欧拉恒等式是一个人是否能成为一流数学家的试金石。

高斯有时会声称某位学者的思想早已被他掌握。他关于优先权的观念——“谁先发现，而非谁先发表”——与同时代科学家的观点相左。与他在呈现数学思想时追求完美的态度形成对比的是，他的引用被批评为疏忽大意。他对正确的引用方法有着不同寻常的观点：只对那些重要的、任何人都不应忽视的前人工作给出完整的参考文献；但如此引用，作者就必须对科学史有相当的了解，这反而要花费大量的时间。

#### 私人生活

高斯去世后不久，他的朋友萨托里乌斯于1856年发表了第一部高斯传记，文风颇为热情洋溢。萨托里乌斯将他描绘成一位内心平和、不断奋进的人，具有孩童般的谦逊，同时具有“铁石般的性格”，拥有不可动摇的坚强意志。除了他亲近的朋友圈之外，其他人往往认为他拘谨寡言，难以接近，仿佛是“一位坐在科学高峰之上的奥林匹斯神祇”。与他关系密切的同代人普遍认为高斯性格难以相处。他常常拒绝接受他人的赞美。他在接待访客时，有时会表现得脾气暴躁，令来者不悦，但过不了多久，他的情绪又可能发生转变，变成得和蔼可亲、思想开明。高斯不喜欢好争论的人；他曾与同事约翰·弗里德里希·路德维希·豪斯曼一起反对聘请尤斯图斯·冯·李比希担任哥廷根大学的教职，“因为他总是卷入各种争论之中”。

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高斯的一生也被家庭中的重大问题所笼罩。当他的第一任妻子约翰娜在他们第三个孩子出生后不久突然去世时，他写了一封写给亡妻的诀别信，用古典挽歌的风格表达了自己的悲痛——这是他留下的最为私人化的文字记录。他的第二任妻子以及两个女儿都患上了结核病。1831年12月他写给贝塞尔的信中暗示了自己的苦楚，称自己是“经受了最严重的家庭苦难”。

由于妻子长期患病，高斯将两个年幼的儿子送到远离哥廷根的策勒接受了几年的教育。长子约瑟夫虽在大地测量方面积累了相当的知识，但他的军旅生涯在服役二十余年后仍停留在薪资微薄的一级中尉军衔，最终无果而终。即使在结婚之后，他仍需父亲给予经济上的资助。次子欧根在计算和语言方面部分继承了父亲的才能，但性格活泼，有时反叛。他希望学习语文学，而高斯则希望他成为律师。欧根因欠债累累、在公共场合制造丑闻，于1830年9月在戏剧性的情形下突然离开哥廷根，经不来梅移民至美国。他很快将随身携带的少量钱财挥霍一空，其后高斯拒绝再给予他任何经济资助。最小的儿子威廉希望在农业管理领域获得资质，但在接受适当教育方面遇到困难，最终也选择了移民海外。高斯唯一陪伴他走完人生最后岁月的，是他最小的女儿特蕾泽。

高斯在晚年养成了收集各种有用或无用的数字资料的习惯，比如从他家到哥廷根某些地点的路径数量，或是某人的年龄（具体至天数）；他曾于1851年12月致信亚历山大·冯·洪堡，祝贺对方已达到艾萨克·牛顿去世时的年龄。

除了精通拉丁语之外，高斯还掌握了多种现代语言。他阅读古典与现代文学，并能用原文阅读英文和法文著作。他从大学图书馆借阅的第一本书是塞缪尔·理查森的小说《克拉丽莎；或，一位年轻女士的历史》，借于1795年。他最喜爱的英文作家是沃尔特·司各特，最喜欢的德语作家是让·保罗。62岁时，他开始自学俄语，很可能是为了理解来自俄罗斯的科学著作，其中包括罗巴切夫斯基关于非欧几何的论文。高斯喜欢唱歌，也常去听音乐会。他勤奋地阅读报纸；在生命的最后几年里，他几乎每天中午都会去大学的学术阅报室。高斯对哲学兴趣不大，并嘲讽“那些所谓形而上学家的咬文嚼字”，他所指的是当时德国唯心主义中自然哲学学派的拥护者。

高斯具有“贵族气质和彻头彻尾的保守性格”，他对他人的智力与道德普遍缺乏敬意，信奉的座右铭是“世界想要被欺骗，那就让它被欺骗”（Mundus vult decipi, ergo decipiatur）。他不喜欢拿破仑及其体制，对一切形式的暴力和革命深感厌恶。因此，尽管他赞同1848年革命的一些目标，如德国统一，却谴责其手段。当时的政治背景是德意志邦联的混乱局面，由39个几乎独立的州组成，其中三个州的主权者是其他国家（荷兰、丹麦、英国）的国王，而普鲁士王国和奥地利帝国则广泛延伸至邦联的边界之内。他对宪政制度评价甚低，批评当时的议会议员缺乏知识、逻辑混乱。

一些高斯的传记作者曾推测他的宗教信仰。他有时会说“上帝在做算术”和“我之所以成功，不是我的努力，而是主的恩典”。高斯是路德宗教会的成员，正如德国北部的大多数人一样，但他似乎并不全信路德宗的教义，也不将《圣经》完全按字面理解。据萨托里乌斯说，高斯的宗教信念激发了他“对真理永不满足的渴求”、对其他宗教的宽容以及强烈的正义感。

## 数学

### 代数和数论

#### 代数基本定理

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在他1799年的博士论文中，高斯证明了代数基本定理：每一个非常数的、复系数的一元多项式至少有一个复数根。在他之前，包括让·勒朗·达朗贝尔在内的一些数学家曾提出过错误的证明。高斯的论文中对达朗贝尔的工作进行了批评。此后，他又给出了另外三种证明方法，最后一次是在1849年，通常被认为是最严谨的。他在这项工作中极大地澄清了复数的概念。

#### 《算术研究》

在《算术研究》序言中，高斯将他对数论研究的起点追溯至1795年。在研读了费马、欧拉、拉格朗日、勒让德等前人的著作后，他意识到自己独立发现的许多成果早已被这些数学家部分得出。《算术研究》写于1798年，出版于1801年；它确立了数论作为一门独立学科的地位，涵盖了初等数论和代数数论的内容。在书中，高斯引入了同余符号，并以此清晰地展现模算数。他讨论了算术基本定理与原根问题。在主要章节中，高斯首次给出了二次互反律的两个证明，并发展了二元与三元二次型的理论。

《算术研究》中包含了二元二次型的高斯复合律，以及对一个整数表示为三个平方数之和的表达次数的计数。作为其“勒让徳三平方定理”的几乎直接的推论，他证明了费马多边形数定理中 n = 3 （即三角形）的情形。.在第五章末尾，高斯未给出证明地列出了一些关于类数的分析式结果，从中可以推测他在1801年时已经知道类数公式。

在最后一章，高斯证明了正十七边形可以尺规作图，这一几何问题被他归结为代数问题。他证明：一个正多边形可作，当且仅当其边数是2的幂，或是2的幂与若干互异的费马素数的乘积。在同一章节中，他还给出了一个关于某些系数在有限域上的三次多项式的解的个数的结果，该结果实质上是对椭圆曲线上的整点计数。他于1797至1799年间所做的一章未完成的工作，后来在他身后遗留下的手稿中被发现。

#### 其他研究

高斯最早的一项成果是他于1792年凭经验提出的一个猜想，后来被称为素数定理，其通过对数积分估算素数的数量。高斯后来在给恩克的信中详细讲述了这个故事。

1816年，奥伯斯鼓励高斯参加法国科学院设立的费马大定理证明的征文比赛；高斯却拒绝了，认为这个题目无趣。然而，在他去世后，人们发现了一篇未注明日期的短文，其中包含了对 n = 3 和 n = 5 两种特殊情形的证明。n = 3 的情形早已由莱昂哈德·欧拉证明过，但高斯给出了更为简洁的证明，他引入了艾森斯坦整数，使得证明更具一般性但也比使用实整数的方法更加简单。

1831年，高斯在评审路德维希·奥古斯特·泽贝尔关于正三元二次型简化理论的著作时，对开普勒猜想的求解作出了贡献。他在发现泽贝尔证明中存在一些不足之处后，对许多论证进行了简化，证明了核心猜想，并指出该猜想等价于规则排列下的开普勒猜想，即在三维空间中，当球心构成立方晶系结构时，球体堆积密度达到最大。

在两篇关于四次剩余的论文（1828年与1832年）中，高斯引入了高斯整数环$\mathbb{Z}[i]$，并证明它是唯一分解整环。他进一步推广了一些重要的算术概念，如费马小定理与高斯引理。引入这个整数环的主要目的是为了表述四次互反律。正如高斯所发现的那样，复整数环是研究更高次互反律的自然背景。

在第二篇论文中，他陈述了四次互反律的一般形式，并证明了其中若干特殊情形。在更早的1818年发表的一篇论文中，他给出了二次互反律的第五与第六种证明，并指出这些证明中使用的技术（高斯和）可以推广以证明更高次的互反律。

### 分析

高斯最早的发现之一是两个正实数的算术-几何平均数的概念。他在1798至1799年间通过兰登变换发现了其与椭圆积分之间的联系，并在日记中记录了高斯常数与双纽线椭圆函数之间联系的发现，这一结果被高斯称为“必将开启分析领域的全新天地”。他还很早就涉足了复分析基础中的一些形式问题。从1811年他写给贝塞尔的一封信可以看出，高斯已经知道复分析的基本定理（即柯西积分定理），并在研究围绕极点的积分时理解了留数的概念。

欧拉的五边形数定理，加之他在算术-几何平均数和双纽线函数方面的研究，使他得出了许多关于雅可比Θ函数的结果，并最终在1808年发现了后来称为雅可比三乘积恒等式的公式，其中欧拉定理是一个特例。他的相关工作表明，他早在1808年就已掌握椭圆函数的3阶、5阶、7阶模变换。后来，这些变换分别由勒让德于1824年（3阶）、雅可比于1829年（5阶）和路德维希·阿道夫·松克于1837年（7阶和其他阶）给出。高斯在 1828 年写给贝塞尔的一封信中评论道：“阿贝尔先生已经...抢先了我一步，并减轻了我三分之一的出版工作……”

他遗稿中的若干数学片段表明，高斯已掌握现代模形式理论的某些部分。在他对两个复数的多值算术-几何平均数的研究中，他发现了算术-几何平均数的无穷多个值与其两个“最简单值”之间的深刻联系。在尚未发表的笔记中，他识别出并勾画了模群的基本域这一关键概念。高斯对此类结构绘有一幅草图：单位圆盘内密铺着每个角都为π/4的等边双曲三角形。

高斯在分析中的洞察力一例，是他一句晦涩的评论：圆的尺规分割原理也可应用于双纽线曲线的分割，这一思路启发了阿贝尔的双纽线分割定理。这句话出现在《算术研究》第7章第335条中。另一个例子是他在1811年发表的论文《若干奇异级数的求和》（Summatio quarundam serierum singularium）中，通过引入二项式系数的q-模拟，并利用多个原创恒等式对其进行操作，解决了二次高斯和的正负性确定问题。这些恒等式似乎来源于他在椭圆函数理论中的工作；不过高斯将其论证以形式化方式展开，并未揭示其出自椭圆函数理论的本源，后来如雅可比与埃尔米特的工作才揭示了他论证的关键所在。

在1813年的《关于无穷级数……的一般研究》（Disquisitiones generales circa seriem infinitam...）中，高斯首次系统地研究了一般超几何函数$F(\alpha,\beta,\gamma,x)$，并证明当时已知的许多函数都是超几何函数的特例。这一工作是数学史上对收敛级数的首次精确探讨。此外，该文还研究了以超几何函数比值形式出现的无穷连分数，今称高斯连分数。

1823年，高斯凭借一篇关于共形映射的论文赢得了丹麦科学院的奖项。该论文包含多个涉及复分析领域的重要发展。高斯指出，复平面中保持角度不变的映射必须是复解析函数，并利用后来被称为贝尔特拉米方程的形式，证明了解析曲面上等温坐标的存在。论文最后举例说明了如何共形映射到球面和旋转类球面。

#### 数值分析

高斯常常从他通过实验收集的数值数据中归纳出定理。因此，高效算法在辅助计算中的使用对他的研究至关重要；他在数值分析方面做出了许多贡献，例如1816年发表的高斯求积法。

在1823年写给克里斯蒂安·路德维希·格尔林的一封私人信件中，他描述了如何用高斯-赛德尔迭代解4×4的线性方程组——这是一种解线性系统的“间接”迭代法，并推荐在含有两个以上方程的系统中避免通常的“直接消元”法，而是使用这种方法。

1805年，在计算智神星和婚神星的轨道时，高斯发明了一种计算如今称为离散傅里叶变换的算法，比库利和图基找到他们相似的库利-图基快速傅里叶变换算法法早了160年。他将其发展为一种三角插值方法，但论文《插值理论的新方法处理》直到他去世后的1876年才发表，那时约瑟夫·傅里叶已在1807年独立提出了这一学科。

### 几何

#### 微分几何

汉诺威的大地测量工作激发了高斯对微分几何与拓扑学的兴趣，这些数学领域处理曲线与曲面。他在1828年发表的论文标志着现代曲面微分几何的诞生。该论文突破了传统方法——即将曲面视为双变量函数的笛卡尔图像——而转向从受限于其上运动的二维存在的“内部”视角来探索曲面。其结果就是绝妙定理（Theorema Egregium），确立了高斯曲率的一个性质。非正式地说，该定理表明，曲面的曲率可以完全通过在曲面上测量角度与距离来确定，而不依赖于曲面在三维或二维空间中的嵌入方式。

绝妙定理引出了将曲面抽象为二维流形的概念；它澄清了流形的内在性质（度量）与其所在空间中的物理实例之间的区别。其一个推论是：具有不同高斯曲率的曲面之间不存在等距变换。实用意义上，这意味着球面或椭球不能在不发生变形的情况下转化为平面，这在设计地图投影时造成了根本性问题。该论文的一部分专门研究测地线。高斯特别证明了关于测地三角形的局部高斯-博内定理，并将勒让德球面三角形定理推广到任意具有连续曲率的曲面上的测地三角形；他发现，“足够小”的测地三角形的角度总和与具有相同边长的平面三角形的角度总和之间的差异，仅依赖于三角形顶点处曲率的数值，而与三角形内部曲面的形状无关。

高斯1828年的论文中并未包含测地曲率的概念。然而，在一份先前未发表的手稿中（极有可能写于1822–1825年间），他引入了“侧曲率”（Seitenkrümmung）一词，并证明了其在等距变换下的不变性。这一结果后来由费迪南德·明金得到并于1830年发表。高斯论文包含了他关于总曲率引理的核心内容，但其推广则由皮埃尔·奥西安·博内在1848年发现并证明，即如今所知的高斯–博内定理。

#### 非欧几里得几何

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在高斯的一生中，欧几里得几何的平行公设是备受讨论的话题。许多人试图在欧几里得公理体系内证明该公设，同时也有数学家讨论在没有该公设的情况下建立几何体系的可能性。高斯自1790年代起便在思考几何的基础问题，但直到1810年代才意识到：一种没有平行公设的非欧几里得几何能够解决这一难题。在1824年写给弗朗茨·陶里努斯的信中，他提出了一份简明扼要的提纲，称之为“非欧几里得几何”，但他强烈禁止陶里努斯加以利用。高斯被认为是最早发现并研究非欧几何的人，这一术语甚至也是由他首创。

数学史上关于非欧几里得几何的首批出版物由尼古拉·罗巴切夫斯基于1829年和鲍耶·亚诺什于1832年发表。在随后的几年里，高斯也将自己关于这一主题的想法记录下来，但并未发表，从而避免影响当时的科学讨论。高斯在写给亚诺什之父、自己的好友鲍耶·法尔卡斯的信中称赞了亚诺什的思想，并声称这些思想与自己数十年来的设想一致。然而，他究竟在多大程度上早于罗巴切夫斯基和鲍耶，目前尚不清楚，因为他留下的文字记载含糊而晦涩。

沃尔夫冈·萨托里乌斯·冯·瓦尔特斯豪森于1856年首次提及高斯在非欧几里得几何上的工作，但直到1900年他的遗稿在《高斯全集》第八卷中出版，人们才看清他在这一问题上的思想，而当时非欧几里得几何仍是颇具争议的话题。

#### 早期拓扑学

高斯还是拓扑学的早期先驱之一，在他那个时代这一领域被称为位置几何学（Geometria Situs）。他1799年发表的代数基本定理的第一个证明中就包含了具有拓扑本质的论证；五十年后，在他对这一定理的第四个证明中，他进一步发展了这种拓扑论证。

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他在1804年从事天文学研究时，再次接触到拓扑的概念。当时他确定了彗星和小行星可能出现的天球区域的界限，并将这一带称为“黄道带”。他发现，如果地球轨道和彗星轨道相互“环绕 (纽结理论)”，那么基于拓扑原因，这一黄道带实际上就是整个天球。1848年，在小行星虹神星被发现的背景下，他又发表了一篇关于黄道带的定性讨论。

在1820年至1830年间的信件中，高斯对与位置几何学密切相关的主题进行了深入思考，并逐渐意识到这一领域的语义困难。这一时期的片段显示，他试图对所谓的“轨迹图形”进行分类，即具有有限个横截自交点的闭平面曲线，这些曲线也可能是扭结的平面投影。为此，他设计了一种符号体系，即高斯码，从某种意义上捕捉了轨迹图形的特征。

在1833年的一份手稿中，高斯通过某种二重积分定义了两条空间曲线的环绕数，并由此首次为一个拓扑现象提供了解析表述。在同一份文稿中，他感叹位置几何学的进展甚微，并指出该领域的核心问题之一将是“计算两条闭合曲线或无限曲线的环绕次数”。他那个时期的笔记还显示，他也在思考其他拓扑对象，例如辫与缠结。

在后来的岁月里，高斯对他高度重视的新兴拓扑学的影响主要通过他与莫比乌斯和利斯廷之间的零星评注和口头交流得以传递。

### 次要的数学成就

高斯运用复数的概念，以一种新的简洁方式解决了一些知名问题。比如，在他1836年关于三元形的几何方面及其在晶体学中的应用的一篇简短笔记中，他提出了轴测基本定理，即如何通过复数在二维平面上完全准确地表示三维立方体。他使用某些莫比乌斯变换在扩展复平面上的作用描述球体的旋转，并给出了三角形的三条高总是相交于一点（垂心）这一几何定理的新证明。

高斯数十年来一直关注约翰·纳皮尔的奇妙五角星——一种特殊的球面五角星；他从多个角度来研究它，逐渐全面理解了其几何、代数和分析方面的特征。特别是，在1843年，他提出并证明了若干定理，将椭圆函数、纳皮尔球面五边形以及平面上的彭赛列五边形联系起来。

此外，他还给出了在给定四边形内作面积最大的椭圆的解法，也在五边形面积的计算上发现了一个出人意料的结果。

## 科学

### 天文学

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1801年1月1日，意大利天文学家朱塞佩·皮亚齐发现了一颗新的天体，他根据提丢斯-波得定则认为这可能是长期寻觅的火星与木星之间的行星，并将其命名为谷神星。他只能观测到它一小段时间，之后它便消失在太阳的强光之中。当时的数学工具不足以根据有限的观测数据预测它再次出现的位置。高斯着手解决这个问题，并预测了1801年12月可能重新观测到它的位置。结果相当准确：弗朗茨·克萨韦尔·冯·察赫在12月7日和31日于哥达天文台、海因里希·奥伯斯在1月1日和2日于不来梅分别独立地在高斯预测的位置附近重新观测到了这颗天体。将一个天体明确识别为行星，需要至少两次间隔观测。

高斯法构造了一个八次方程，其中一个已知解是地球的轨道，所求的解则根据物理条件从剩下的七个解中排除出来。在这项工作中，高斯使用了为此而创建的综合近似方法。

谷神星的发现促使高斯研究行星受大行星扰动的运动理论，最终在1809年发表为《天体绕太阳以圆锥曲线运动之理论》（Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum）。该著作引入了高斯引力常数。

随着新小行星的发现，高斯开始研究它们轨道根数的摄动。他首先用类似拉普拉斯的方法分析谷神星，但他最关注的是智神星，其轨道离心率和倾角较大，拉普拉斯的方法因而不适用。高斯使用了自己的工具：算术-几何平均数、超几何函数以及自己的插值法。他在1812年发现了它与木星之间18:7的轨道共振；高斯以密码形式记录了这一结果，只在给奥伯斯和贝塞尔的信中给出明确含义。马丁·布伦德尔认为该密码无解，但实际上颇为简单。经过多年努力，他在1816年完成了这项工作，但结果仍未令他满意。这标志着他在理论天文学方面活动的结束。

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高斯关于智神星摄动的研究成果之一是《引力的测定……》（Determinatĭo Attractionis...，1818年），该文提出了一种后来被称为“椭圆环法”的理论天文学方法。文中引入了一个平均化的概念：将轨道上的行星替换为一个虚拟环，其质量密度与行星沿相应轨道弧运动所需的时间成正比。高斯详细介绍了计算这种椭圆环引力的方法，其中包括多个步骤；其中一步直接应用了算术-几何平均数算法来计算椭圆积分。

即便高斯在理论天文学方面的工作告一段落，他在观测天文学上的更为实用的活动仍然持续贯穿了他的整个职业生涯。早在1799年，高斯就研究了利用月球视差确定经度的问题，并为此推导出了比当时常用公式更为便利的计算方法。担任天文台台长后，从他与贝塞尔的通信中可以得知他非常重视基本天文常数。高斯本人提供了章动与光行差、太阳坐标、折射的表格。他对球面几何学作出了诸多贡献，并在此背景下解决了天文航海的一些实际问题。他发表了大量观测结果，主要涉及小行星和彗星；他的最后一次观测是1851年7月28日日食。

### 历法

高斯在博士论文之后发表的第一篇论文（1800年）涉及复活节日期的确定，这是一个基础的数学课题。高斯的目标是为没有教会历法乃至天文历法知识的人提供便利的算法，因此避免使用通常的术语，如金数、闰余、太阳周期、主日字母，也在表述上避免任何宗教色彩。这一选题选择很可能有历史背景。16世纪儒略历被格里高利历取代，这在神圣罗马帝国引发混乱，而德国直到1700年才完成替换，将相差的十一天删除。即便如此，复活节在新教和天主教地区仍然日期不同，直到1776年通过协议才消除了这一差异。在新教诸侯国，例如不伦瑞克公国，1777年的复活节——在高斯出生前五周——是首次按新方法计算的复活节。

### 误差理论

高斯在计算谷神星轨道时，很可能使用了最小二乘法以减小测量误差的影响。该方法于1805年由阿德里安-马里·勒让德首次发表，但高斯在《运动理论》（Theoria motus，1809年）中声称自己早在1794或1795年就已使用过这一方法。在统计学史上，这一分歧被称为“最小二乘法发现的优先权之争”。高斯在1823年发表的两部分论文《易受最小误差影响之观测组合理论》（Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae）中证明了：在误差服从正态分布的假设下，最小二乘法在所有线性无偏估计量中具有最小的抽样方差（即高斯-马尔可夫定理）。

在第一部分论文中，他证明了针对单峰分布的高斯不等式（切比雪夫型不等式），并在未给出证明的情况下陈述了另一个关于四阶矩的不等式（即高斯–温克勒不等式的特例）。他给出了样本方差的方差的上下界。在第二部分论文中，高斯描述了递回最小平方滤波器。他在误差理论方面的研究后来被大地测量学家弗里德里希·罗伯特·黑尔默特在多个方向上加以拓展，形成了高斯–黑尔默特模型。

高斯还对概率论中一些与误差理论并不直接相关的问题作出贡献。其中一个例子出现在他的日记中：他试图描述在 (0,1) 区间内均匀分布的随机数，其连分数展开中各项的渐近分布。他推导出了这一分布，即如今所称的高斯–库兹明分布，这是他在发现高斯–库兹明–维尔辛算子的遍历性过程中顺带得到的结果。高斯的解决方案是连分数度量论中有史以来的首个成果。

### 大地测量学

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自1799年起，高斯便忙于大地测量方面的工作。当时他在卡尔·路德维希·冯·勒科克对西发里亚地区的测量中协助进行计算。自1804年开始，他在不伦瑞克和哥廷根自学了一些实用的大地测量技术。

自1816年起，高斯的前学生、当时在哥本哈根任教授、但居住在荷尔斯泰因公国汉堡阿尔托纳区任区内天文台台长的海因里希·克里斯蒂安·舒马赫开始从北部的斯卡恩到南部的劳恩堡对日德兰半岛开展三角测量。劳恩堡是荷尔斯泰因公国最南端的城镇，该公国由丹麦国王共同统治。该项目不仅为地图制作奠定基础，也旨在确定两个端点之间的大地测量弧。大地测量弧的数据用于确定地球大地水准面的尺寸，而较长的弧段可带来更精确的结果。舒马赫请求高斯将此项工作向南延伸到汉诺威王国；高斯经过短暂犹豫后同意。1820年5月，乔治四世国王最终下令委托高斯执行此项任务。

弧长测量需要对测量网络中至少两个点进行精确的天文定位。巧合的是，哥廷根和阿尔托纳两个天文台（后者位于舒马赫住宅的花园中）几乎处在同一经线上，这一点被高斯和舒马赫加以利用。纬度则通过他们各自的仪器，运输至两地的杰西·拉姆斯登天顶望远镜共同测定。这架拉姆斯登天顶望远镜由军械委员会借出，此前曾被威廉·马奇用于大不列颠主三角测量。

高斯和舒马赫早在1818年10月就已测定了一些用于大地连接的角度，如吕讷堡、汉堡和劳恩堡之间的角度。1821年至1825年的夏季间，高斯亲自指导三角测量工作，从南部的图林根一直到北部的易北河。位于高哈根、图林根林山中的大伊瑟尔山以及哈茨山中的布罗肯峰之间的三角形，是高斯测量过的最大三角形，其最大边长达107公里。在地广人稀、缺乏显著天然山峰或人工建筑的吕讷堡石楠草原上，他很难找到合适的三角测量点；有时不得不在植被中开辟测量通道。

为了信号指示，高斯发明了一种带可动反射镜和小型望远镜的新仪器，用以将太阳光反射到三角测量点上，并将其命名为“日照仪”。另一种适用于相同目的的装置是加装了额外反射镜的六分仪，他称之为“副日照仪”。在测量工作中，高斯由汉诺威军队的士兵协助，其中包括他的长子约瑟夫。1820年，高斯参与了舒马赫在汉堡附近布拉克进行的基线 (测量学)测量（布拉克基线），并将其结果用于评估汉诺威的三角测量。

这一系列工作还带来了对参考椭球扁率的更佳取值。瓦尔贝克于1820年给出的数值1/302.78被改进为1/298.39；该计算由哥廷根大学的私人讲师爱德华·施密特完成。高斯为在平面图上表示大地测量数据发展了参考椭球的保角投影，即今日所谓的横轴麦卡托投影。

弧长测量完成后，经1828年3月25日的王室法令授权，高斯开始将三角测量向西扩展，以完成整个汉诺威王国的测量。实际工作由三位军官负责，其中包括中尉约瑟夫·高斯。全部数据的最终处理则由高斯承担，他在其中应用了自己的数学发明，如最小二乘法和消元法。项目于1844年完成，高斯向政府递交了最终报告；而他所发展的投影方法直到1866年才正式出版。

1828年，在研究纬度差异时，高斯首次将地球的形状定义为：在每一点上都与重力方向垂直的物理表面；后来他的博士生约翰·贝内迪克特·利斯廷将其命名为大地水准面。

### 磁学和电报

#### 地磁学

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高斯自1803年起便对磁学产生兴趣。1826年亚历山大·冯·洪堡访问哥廷根后，两位科学家开始对地磁进行深入研究，部分各自独立，部分则密切合作。1828年，高斯前往柏林做客洪堡主持的德国自然科学家和医师协会的会议，并在此结识了物理学家威廉·韦伯。

1831年，在高斯的推荐下，韦伯接替约翰·托比亚斯·迈尔担任哥廷根大学物理学教席，两人因此开始了卓有成效的合作。他们共同推动了磁学研究的发展，并以质量、电荷和时间为基准建立了新的磁学单位体系。他们还创立了“磁学协会”（Magnetischer Verein），这是一个由多家天文台组成的国际合作组织，1836至1841年间，它们在约定的日期、使用统一的方法，在世界各地进行地磁场测量。

1836年，洪堡致信时任皇家学会会长萨塞克斯公爵，建议在大英帝国领地内建立全球性的地磁观测站网络，并强调应按照他的方法在标准化的条件下进行磁场测量。在其他倡议者的推动下，这最终促成了由爱德华·赛宾领导的全球性计划，即所谓的“磁学十字军运动”。观测的日期、时间与间隔都预先规定，并统一采用哥廷根平均时间作为标准。来自五大洲的61个观测站参与了该计划。高斯与韦伯创办了出版观测结果的丛书，1837至1843年间共出版六卷。1843年，因哥廷根七君子事件的后续影响，韦伯离任前往莱比锡，这也标志着磁学协会活动的终结。

仿效洪堡的做法，高斯在天文台花园内建造了一座磁观测台，但二人对仪器设备的看法有所不同：高斯偏好固定式仪器，认为其能提供更精确的结果；而洪堡则习惯使用可移动式仪器。高斯关注磁偏角、磁倾角和磁强度的时间与空间变化，并且与洪堡不同，他将磁强度区分为“水平分量”和“垂直分量”。他与韦伯共同发展了测量地磁场各分量的方法，并构造出一种适用于测量地球磁场绝对强度的磁强计，使测量不再依赖仪器本身的相对值。该磁强计的精度约为以往仪器的十倍。通过这项工作，高斯成为第一个用基本力学量推导出非力学量的科学家。

高斯于1839年发表《地磁通论》（Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus），他认为其中描述了磁力的本质；但根据费利克斯·克莱因的评价，此作更像是利用球谐函数对观测资料进行整理，而非真正的物理理论。该理论预言地球上恰有两个磁极，从而使克里斯托弗·汉斯廷提出的四磁极学说被淘汰。此外，相关数据还使得磁极位置得以相当精确地确定。

高斯也对俄国地球物理学的开端产生影响。他的学生阿道夫·特奥多尔·库普费尔在圣彼得堡建立了一座磁观测台，以哥廷根观测台为典范；伊万·西蒙诺夫也在喀山做了类似的工作。

#### 电磁学

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汉斯·克里斯蒂安·奥斯特在电磁现象方面的发现，以及麦可·法拉第在电磁感应方面的成果，引起了高斯的关注。高斯与韦伯找出了带分支的电路规律，这些规律后来被古斯塔夫·基尔霍夫独立发现并首次发表，现称基尔霍夫电路定律。他们也对电磁学进行了探究。1833年，他们共同建造了世界上第一台机电式电报机；韦伯甚至将天文台与哥廷根市中心的物理研究所用电报线连接起来1845年的一场雷暴损坏了电缆。但这一发明并未被进一步商业化利用。

高斯试图制定描述电磁感应的定量规律，这表明了他对电磁学的主要理论兴趣。在这些年留下的笔记中，他记录了若干创新性的公式；其中包括他发现的向量势函数（后来于1845年被弗朗茨·恩斯特·诺伊曼独立重新发现）。1835年1月，他写下了一条“感应定律”，与法拉第定律等价，指出空间中某点的电动势等于该函数对时间的瞬时变化率。

高斯还试图为静电学、电动力学、电磁学、电磁感应的远距效应寻找一条统一规律，类似于牛顿的万有引力定律，但这项努力最终以“悲剧性的失败”告终。

### 势理论

自艾萨克·牛顿从理论上证明地球和自转的恒星会呈现非球形形状以来，椭球体的引力问题在天体数学中变得愈发重要。在他的第一篇关于势理论的论文《引力论……》（Theoria attractionis...，1813年）中，高斯给出了空间中任意一点处由均匀三轴椭球产生的引力的封闭形式。与此前麦克劳林、拉普拉斯和拉格朗日的研究不同，高斯的新解直接以椭圆积分的形式处理引力。在此过程中，他还证明并应用了若干后来被称作高斯定理的向量分析特例。

在《关于与距离平方倒数成比作用的吸引与排斥力的一般定理》（Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte，1840年）中，高斯建立了一个基于拉格朗日、拉普拉斯和泊松工作的磁矢势基本理论；他似乎并不了解乔治·格林在这一领域的早期成果。然而，高斯始终未能给出磁现象的成因，也未能建立类似牛顿万有引力定律那样的磁学理论，使科学家能够据此预测未来的地磁效应。

### 光学

高斯的计算使汉堡的仪器制造商约翰·格奥尔格·雷普索尔德在1810年得以构造出一种新的消色差透镜系统。此前，难题之一在于所用玻璃的折射率和色散并不精确可知。1817年发表的一篇短文中，高斯讨论了高斯镜中如何消除色差的问题，并计算了为将色差最小化所需的透镜形状和折射系数的调整量。他的工作引起了光学家卡尔·奥古斯特·冯·施泰因海尔的注意，后者在1860年推出了施泰因海尔消色差双合透镜，其中部分设计基于高斯的计算。大量关于几何光学的成果散布于高斯的书信与手稿中。

在《屈光研究》（Dioptrische Untersuchungen，1840年）中，高斯首次对在近轴近似（即高斯光学）下的成像进行了系统分析。他在近轴近似下仅用光学系统的基点刻画系统，并推导出适用于任意透镜厚度、无额外限制的高斯透镜公式。

### 力学

高斯在力学方面的首项研究与地球自转有关。1802 年，他的大学好友约翰·本岑贝格进行实验，以测定下落物体偏离垂直方向的量（即今日所谓的科里奥利力）。本岑贝格请高斯基于理论计算这些偏移值，以便与实验结果比较。高斯据此推导出一套描述运动的基本方程，其结果与本岑贝格的测量数据相当吻合。本岑贝格随后在其关于自由落体实验的著作中，将高斯的分析作为附录收入。

1851年傅科通过公开摆实验展示地球自转后，格尔林向高斯询问相关的进一步解释。这促使高斯设计了一种新的示范装置，其摆长远短于傅科摆。该装置通过读数望远镜观察摆动，并利用一个垂直刻度尺及安装在摆上的小镜子进行测量。装置的细节见于高斯与格尔林的通信中；韦伯曾于1853年用此装置做过一些实验，但并未发表数据。

高斯在1829年提出的高斯最小约束原理，旨在作为一个广义概念来克服力学中将静力学与动力学分割的传统，把达朗贝尔原理与拉格朗日虚功原理结合起来，并展现出与最小二乘法之间的类比关系。

### 计量学

1828年，高斯被任命为汉诺威王国度量衡委员会主席。他负责制定长度和计量标准 (计量学)。高斯亲自处理繁琐的测量工作，并对机械结构的制作提出了详细要求。在与同样从事该领域工作的舒马赫的通信中，他提出了若干用于高精度天平的新构想。1841年，他向政府提交了关于汉诺威英尺与磅的最终报告。由于1836年的一项法律将汉诺威的度量衡体系与英国体系相互接轨，这项工作因此获得了国际性的意义。

## 荣誉和奖项

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高斯于1802年首次成为科学社团成员，加入俄罗斯科学院。此后，他陆续获得多个科学院（以通信院士、外国院士或正式院士等不同身份）的成员资格，包括：哥廷根科学院（1802/1807年）、法国科学院（1804/1820年）、伦敦皇家学会（1804年）、柏林普鲁士科学院（1810年）、维罗纳国家科学院（1810年）、爱丁堡皇家学会（1820年）、慕尼黑巴伐利亚科学与人文学院（1820年）、丹麦皇家科学院（1821年）、英国皇家天文学会（1821年）、瑞典皇家科学院（1821年）、美国文理科学院（1822年）、布拉格波希米亚皇家科学院（1833年）、比利时皇家科学、文学与美术院（1841/1845年）、乌普萨拉皇家科学院（1843年）、都柏林爱尔兰皇家学院（1843年）、荷兰皇家艺术与科学学院（1845/1851年）、西班牙科学院（1850年）、俄罗斯地理学会（1851年）、维也纳帝国科学院（1848年）、美国哲学学会（1853年）、剑桥哲学会，以及哈勒姆荷兰皇家科学与人文院。

喀山大学与布拉格大学哲学院均于1848年授予他名誉院士称号。

高斯于1809年获法国科学院颁发的拉朗德奖，以表彰他在行星理论以及只利用三次观测即可确定行星轨道的方法方面的贡献；1823年，他因关于保角投影的论文获得丹麦科学院奖；1838年，因“其在磁学方面的发明与数学研究”而获皇家学会授予的科普利奖章。

1837年，高斯被授予法国荣誉军团骑士勋位；1842年普鲁士设立功绩勋章（平民级）时，他成为首批成员。他还获得了威斯特法伦王冠勋章（1810年）、丹麦达尼布洛勋章（1817年）、汉诺威皇家圭尔夫勋章（1815年）、瑞典北极星勋章（1844）、狮子亨利勋章（1849年），以及巴伐利亚科学与艺术勋章（1853年）。

汉诺威国王授予他“宫廷顾问”（Hofrath，1816年）及“机密宫廷顾问”（Geheimer Hofrath，1845年）的荣誉头衔。1849年，在他的博士学位金禧纪念之际，他被授予不伦瑞克和哥廷根两地的荣誉市民称号。高斯逝世后不久，汉诺威国王格奥尔格五世下令铸造了一枚纪念章，背面题辞为“致首席数学家”。高斯常见的称号“数学王子”是这一题辞（GEORGIVS V REX HANNOVERAE MATHEMATICORVM PRINCIPI）的误译。

哥廷根高斯协会（Gauss-Gesellschaft Göttingen）成立于1964年，旨在研究高斯及相关人物的生平与著作，并出版《高斯协会通讯》（Mitteilungen der Gauss-Gesellschaft）。

## 以高斯命名的事物

- 以卡尔·弗里德里希·高斯命名的事物列表

## 部分著作列表

### 数学和天文

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- 1799: （关于代数基本定理的博士论文，赫尔姆斯泰德大学）原件
- 1816: 原件
- 1816: 原件
- 1850: 原件（1849年讲座）
- 1800: 原件
- （翻译自 德语第二版，哥廷根1860年）
- 1802: 原件
- 1804: 原件（关于黄道带）
- 1808: 原件（引入了高斯引理，在他第三个二次互反律证明中使用）
- 1809: Original book
- 1811: 1810年原件
- 1811: 1808年原件（计算二次高斯和的正负性，用于他第四个二次互反律证明）
- 1813: Disquisitiones generales circa seriem infinitam $1+\frac{\alpha\beta}{\gamma\cdot 1}+\frac{\alpha(\alpha+1)\beta(\beta+1)}{1\cdot 2\cdot \gamma(\gamma+1)}xx+\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)\beta(\beta+1)(\beta+2)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \gamma(\gamma+1)(\gamma+3)}x^3+\text{etc.}$ 关于无穷级数 $1+\frac{\alpha\beta}{\gamma\cdot 1}+\frac{\alpha(\alpha+1)\beta(\beta+1)}{1\cdot 2\cdot \gamma(\gamma+1)}xx+\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)\beta(\beta+1)(\beta+2)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \gamma(\gamma+1)(\gamma+3)}x^3+\text{etc.}$ 的一般研究 1812年原件（包含高斯连分数）
- 1816: 1814年原件
- 1818: 1817年原件（二次互反律的第五、六个证明）
- 1818: 原件（高斯唯一提及计算算术-几何平均数算法的文献）
- 1823: 1821年原件
- 1823: 原件
- 1825: （为他赢得丹麦科学院奖的保角投影论文）
- 1828: 原件
- 1828: （1826年写成）
- （关于将概率计算作为高斯误差传播律基础的三篇论文）
- 1828: 1827年原件
- 1828: 1825年原件
- 1832: 1831年原件（引入高斯整数，陈述（未证明）四次互反律，证明关于1 + i的补充律）
- 1845: 1843年原件
- 1847: 1846年原件
- 1848: 原件
- 1903: Wissenschaftliches Tagebuch 科学日记`]` 1847年原件（关于黄道带）

### 物理

- 1804: Fundamentalgleichungen für die Bewegung schwerer Körper auf der Erde 地球上重物运动的基本方程`]`，出版于 原件
- 1813: 原件（包含向量分析的高斯定理）
- 1830: 1829年原件
- 1841: 1832年原件高斯于1832年12月向哥廷根科学院提交了该文本，1833年出现了少量拉丁文预印本。不久后，该文本被翻译成德语和法语出版。拉丁文全集于1841年出版。
- The Intensity of the Earth's Magnetic Force Reduced to Absolute Measurement. 由Susan P. Johnson翻译.
- 1836: Erdmagnetismus und Magnetometer 地磁与磁强计`]`，出版于
- 1840: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte 关于与距离平方倒数成比作用的吸引与排斥力的一般定理`]`，出版于
- 1843: 1840年原件

### 作品集

- （包括遗物中发现的生前未出版材料）

### 信件

- （1804年12月至1844年8月）
- （包括高斯1835年2月至1848年1月致帕尔姆·海因里希·路德维希·冯博古斯瓦夫斯基的信件）
- （1802年2月至1826年10月）
- （1797年9月至1853年2月；也包括两人之外的信件）沃尔夫冈·鲍耶是鲍耶·法尔卡斯在德国使用的别名。
- （1810年6月至1854年6月)
- （1810年6月至1854年6月）
- （1807年7月至1854年12月；也包括两人之外的信件）
- （1835至1843年）
- （1799年2月至1800年9月）
- （1802年1月至1819年10月）
- （1820年1月至1839年5月；也包括两人之外的信件）
- 第1、2卷（1808年4月至1836年3月）
- 第3、4卷（1836年3月至1845年4月）
- 第5、6卷（1845年5月至1850年11月）
- （1795年至1815年）

哥廷根科学院提供了一套完整的卡尔·弗里德里希·高斯书信的收藏，并可在线访问。高斯的文献遗产由哥廷根州立与大学图书馆保存并提供。高斯本人及其家族成员的书面资料，也可在不伦瑞克市档案馆查阅。

## 参考文献

### 来源

- With a critical view on Dunnington's style and appraisals

## 基本资料

- 出生：Johann Carl Friedrich Gauss
- 出生日期：1777年4月30日
- 出生地：神圣罗马帝国布伦瑞克-沃尔芬比特尔亲王国不伦瑞克
- 逝世日期：1855年2月23日
- 逝世地：德意志邦联汉诺威王国哥廷根
- 研究领域：数学、天文学、大地测量学、磁学
- 母校：查理学院（Collegium Carolinum）、哥廷根大学、黑尔姆施泰特大学（哲学博士）
- 机构：哥廷根大学
- 论文：每个一元的整有理代数函数都可以分解为一次或二次实因式这一定理的新证明（Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse）
- 论文：http://www.e-rara.ch/zut/content/titleinfo/1336299
- 论文：1799年
- 博士导师：约翰·弗里德里希·普法夫
- 知名于：完整列表
- 配偶：约翰娜·奥斯特霍夫（Johanna Osthoff）、明娜·瓦尔德克（Minna Waldeck）
- 子女：6
- 获奖：拉朗德奖（1809年）、科普利奖章（1838年）