狭义相对论

狭义相对论（Special relativity）是由阿尔伯特·爱因斯坦、亨德里克·洛仑兹和亨利·庞加莱等物理学家创立的一个应用在惯性参考系下的时空理论，是对牛顿时空观的拓展和修正。爱因斯坦在其于1905年完成的论文《论动体的电动力学》中提出了狭义相对论。

牛顿力学是狭义相对论在低速情况下的近似。

## 背景

### 伽利略变换与电磁学理论的不自洽

在19世纪末，以麦克斯韦方程组为核心的经典电磁理论的正确性已经被大量实验所证实，但麦克斯韦方程组在经典力学中的伽利略变换下并不具有协变性，而经典力学中的相对性原理则要求一切物理规律在伽利略变换下都具有协变性。

### 以太假说

为了解决这一矛盾，物理学家们提出了“以太假说”，即放弃相对性原理，认为麦克斯韦方程组只对一个绝对参考系（以太）成立。根据这个假说，由麦克斯韦方程组计算得到的真空光速是相对于绝对参考系（以太）的速度；在相对于“以太”运动的参考系中，光速具有不同的数值。

### 实验的结果——零结果

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但斐索实验和迈克耳孙-莫雷实验表明了光速跟参考系的运动无关。该实验结果否定了以太假说，并表明相对性原理的正确性。亨德里克·洛伦兹把伽利略变换修改为洛伦兹变换，在洛伦兹变换下，麦克斯韦方程组具有相对性原理所要求的协变性。洛伦兹的假说解决了上述的矛盾，但他不能对洛伦兹变换的物理本质做出合理的解释。随后数学家亨利·庞加莱猜测洛伦兹变换其实和时空性质有关。

## 爱因斯坦的狭义相对论

阿尔伯特·爱因斯坦意识到伽利略变换实际上是牛顿经典时空观的体现，如果承认“真空中的光速独立于参考系”这一实验事实为基本原理，可以建立起一种新的时空观（相对论时空观）。在这一时空观下，由相对性原理即可导出洛伦兹变换。1905年，爱因斯坦发表论文《论动体的电动力学》，建立狭义相对论，成功描述了在亚光速领域宏观物体的运动。

### 狭义相对论的基本原理

爱因斯坦提出两个假设：

- 狭义相对性原理。

在所有惯性系中，物理定律拥有相同的表达形式，这是力学相对性原理的推广，它适用于天下所有物理定律，其本质是所有惯性系平权。

- 光速不变原理。

在所有惯性系中，真空中的光速都等于$c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}=$299 792 458 m/s（$\mu_0$：真空磁导率，$\epsilon_0$：真空介电常数），与光源运动无关。

牛顿的时空观认为运动空间是平直非线性的时空，可以用一个三维的速度空间来描述；时间并不是独立于空间的单独一维，而是空间坐标的自变量。狭义相对论是仅描述平直线性的时空（指没有引力的，即闵可夫斯基时空）的相对论理论。

狭义相对论认为空间和时间并不是相互独立的，而它们应该用一个统一的四维时空来描述，并不存在绝对的空间和时间。在狭义相对论中，整个时空仍然是平直线性的，所以在其中就存在“全局惯性系”。狭义相对论将狭义相对性原理和“真空中光速为常数”作为基本假设，结合上述时空的性质可以推出洛伦兹变换。

狭义相对论描述的是时空的基本结构。尽管其中一条原理提到了“光”（电磁波）的速度，但狭义相对论与光并没有任何关联。真空中的“光速”是一个基本常数，只是光恰好以这个速度运动而已。即便宇宙中所有电荷消失即不存在任何电磁现象，狭义相对论依然成立。

### 洛伦兹坐标变换

狭义相对论中，洛伦兹变换描述时空中两个惯性参考系的时间、空间坐标之间的变换关系的。它最早由洛伦兹从以太说推出，用以解决经典力学与经典电磁学间的矛盾（即迈克耳孙-莫雷实验的零结果）。后被爱因斯坦用于狭义相对论。

#### 形式

当两个参考系 $s$ 与 $s'$ 在时刻 $t=0$ 时重合，且 $s'$ 相对 $s$ 以速度 $v$ 沿 $x$ 轴正方向运动时，一个事件在 $s$ 系的坐标 $(x,y,z,t)$ 与在 $s'$ 系的坐标 $(x',y',z',t')$ 满足以下关系：

$$x' = \frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

$$y' = y$$

$$z' = z$$

$$t' = \frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

或使用矩阵乘法的形式，写作：

$$\begin{bmatrix}x'\\ct'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma&-\beta\gamma\\ -\beta\gamma&\gamma \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ct\end{bmatrix}$$

其中

$$\beta = \frac{v}{c}$$

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$，称为洛伦兹因子。

用张量表示方法可以简单的表示为

$$x'_i = a_{ij} x_j$$

其中$x'_i=\begin{bmatrix}x'\\ct'\end{bmatrix}$。

$x_j=\begin{bmatrix}x\\ct\end{bmatrix}$。

$$a_{ij}=\begin{bmatrix} \gamma&-\beta\gamma\\ -\beta\gamma&\gamma \end{bmatrix}$$

#### 注意事项

- 洛伦兹变换要求 $t=0$ 时，$x=0$，$y=0$，$z=0$，且相对速度仅有 $x$ 分量

### 时间膨胀（爱因斯坦延缓）

当物体运动时，它的一切（物理、化学变化）从参照系的角度来看都会变慢，就是时间膨胀（简称时慢）。等速运动的物体带在身上的时钟，用静系观察者的时钟去测量，不论运动方向，测量结果动钟都随着运动速度增加而变慢。光速运动的物体（如光子）在时间轴上的分量为零，它的时间是静止的。速度低于光速的物体，其时间膨胀的程度遵循洛仑兹变换$\ t = \frac{t_0}{\sqrt{1 - ( \frac{v}{c} )^2}}$。

动系的时间膨胀率 = 劳仑兹因子 $\gamma$,

爱因斯坦利用毕氏定理(勾股定理)以及假设光速对任何相对等速运动的观察者都一样就推论出:

动钟计时值 $t'$ = 静钟计时值 $t$ $\times$ 劳仑兹因子 $\gamma$

假如有一个绝对静止系，显然，我们就可以测得各种物体的绝对时慢。所以处于相对静止系的我们，所得之一切时慢之观测值，都是相对时慢的观测值。例如由劳仑兹变换的假说去推论，在动系的观察者就测量出静系的时间膨胀: $t' = \gamma t$, 同时也测量出静系的长度缩收: $x' = \frac{x}{\gamma}$

注意: 这里假设的时间膨胀率，绝非只因为多普勒效应让时频变低的视值。假设的时间膨胀率只跟受测物的相对速度有关，与近接或远离的方向无关。远离的多普勒效应时频视值$F_\gamma=\cfrac{c}{c+v'}F$是变慢的，但近接的多普勒效应时频视值$F_a=\cfrac{c}{c-v'}F$是变快的。按照爱因斯坦延缓假说，对静系观察者来说不论近接或远离，动系通过一段固定距离的时间都加长了。也就是说通过那段固定距离的动系速度$v'$被静系观察者计算成比较慢的$v$，慢率是劳仑兹因子， $v=\cfrac{v'}{\gamma}$。所以静系观察者所测出的多普勒效应被爱因斯坦延缓假说修改成为: $F_\gamma=\cfrac{c}{c+\tfrac{v'}{\gamma}}F$ 和 $F_a=\cfrac{c}{c-\tfrac{v'}{\gamma}}F$。

### 长度收缩（洛伦兹收缩）

$$\ L = L_0 \sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}$$

劳仑兹收缩就是指相对于某物体运动的观测者观测，在运动的那个轴向的长度，会比相对于物体静止的观测者观测到的同一长度要短。其收缩率，就是劳仑兹因子。其它轴向的长度，并不会有影响。

迈克生-莫雷实验那种实验，就是劳仑兹收缩的最佳证明。

当然，被劳仑兹收缩的人事物本身，并不会察觉到被收缩；从静系看来，动系上的观测者，就像拿着一根被收缩的尺，去测量被收缩的物体。

但是，因为绝对静止系不可得，所以我们仅能测得相对短缩。因为我们不知道自己设定的静止参考系，是否真的比我们要测的运动物体还要静止。

假如运动物体上面有个观测者，他又设定他的惯性系才是静止的，那我们就变成他的动系了。当他观测我们时，我们才是被收缩的一方，而他是正常的一方。

另外，劳仑兹收缩率，从移动电荷所产生的电场推迟的效应，也就可以推出来。

高速运动电荷产生的电场形变之等势面，因为电场传播不是无限快，所以必定会产生推迟，所以它向四周散发出的电场之等势面，就不再是正球面对称了。

### 同时的相对性

因为绝对静止系不可得，所以各惯性系的观测者，对于两事件发生，仅能作出是否相对同时的判断，而没有办法作出是否绝对同时的判断，除非两事件发生在同一时空点上。

当惯性系中的观测者，在对该系中的有距离之两钟，进行校正时，他把同步讯号源放在两钟的正中央，同步脉波呈球面对称，半径光速扩展，当钟被同步波缘触及时，即归零 (或重置在相同的计时初值)，此时两钟的计时步调，即相对同步计时，有时也简称相对同时。

### 相对论质量

$$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}}$$

m0指静止质量，m为相对论质量。

由公式可以看出：

1.对于一个有质量的物体，其速度v不可能等于或者超过光速，否则分母将会无意义或为一个虚数（注：光子没有静止质量，因此其速度可以达到光速；但是在其运动时，会有动量或者说能量，不属于质量范畴）。

2.当某有质量之物体移动速率越接近光速，相对论质量会变重。

3.当v远小于c时，m近似于m0，符合牛顿力学定律。

### 相对论力学

在狭义相对论中牛顿第二定律F = ma应改写成下式（F = ma可解释为下式的特例）

$$\mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt}$$

而动量P = Mv，其中M非定值，所以根据微分计算式d（uv）=udv+vdu，得

$$\mathbf{F} = \frac {d(M\mathbf{v})}{dt} = \frac {dM}{dt}\mathbf{v} + M\frac {d\mathbf{v}}{dt} = {m_0}\frac {d\gamma}{dt}\mathbf{v} + \gamma {m_0}\frac {d\mathbf{v}}{dt}$$

得

$$\mathbf{F} = \frac{\gamma^3 {m_0} \left( \mathbf{v} \cdot \mathbf{a} \right)}{c^2} \, \mathbf{v} + \gamma {m_0}\, \mathbf{a}.$$

由上式可见，加速度并不和力的方向一致，且随着速度逐渐趋向于光速，物体的质量趋向于无穷大，加速度趋向于零。

### 相对论能量

根据$m = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$，运动时物体质量增大，同时运动时将会有动能，质量与动能均随速度增大而增大。

根据$\mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}$

得${dE_k}=\mathbf{F}{dx}= \frac{d\mathbf{p}}{dt}{dx}$

因为$\frac{dx}{dt}=v$，所以${dE_k}=vd(mv)=v^2dm+mvdv$

由$m = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$得$m^2c^2-m^2v^2=m_0^2c^2$

因为m,v都是t的函数，将该式两边对t微分，得$mvdv=c^2dm-v^2dm$。

将结果带入上式${dE_k}$，得

$${dE_k}=c^2dm$$

对其积分，${E_k}={\int_{m_0}^{m}c^2\,dm}=mc^2-m_0c^2$

这就是相对论下的动能公式。当速度为0时，$m=m_0$，所以动能为0。$m_0c^2$为物体静止时的能量。而总能量=静止能量+动能，因此总能量$E=mc^2$.

### 相对论动量与能量

根据$m = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$。

等式左右两边平方，再同乘以光速的二次方

得:$E^2 = (p c)^2 + (m_0 c^2)^2 \,$

此外，不难证明:$\mathbf{p} c^2 = E \mathbf{v} \,.$

上两式说明动量与能量是密切相关的

当速度接近光速时，v约等于c，因此最后一式可改写为$\mathbf{E} = pc \,.$

### 相对论下的电效应——磁场与电场的统一

古典电磁学的理论研究开始了有关电磁波传播的探讨。由扩展电磁效应的方程式可推得，若E场和B场以有限的速度传播，带电粒子需要符合特定的条件，有关带电粒子的相关研究形成了黎纳-维谢势，已开始往狭义相对论前进。

一个移动粒子产生的电场，若用洛伦兹变换转换到固定坐标系下，会出现对应磁场的项。相对的，一个移动粒子产生的磁场，若在一个速度和粒子相同的坐标系来观察，磁场会消失，转变为电场。麦克斯韦方程组只是将狭义相对论的效应应用在古典模式下，经验性的结果。由于电场和磁场都和坐标系有关，而且会互相转换。狭义相对论提供电磁场从一个惯性坐标系转移到另一个惯性坐标系时，需要的转换公式。

### 实验验证

- 横向多普勒效应实验
- 高速运动粒子寿命的测定

1、在超新星爆发中产生的宇宙射线，在近光速运动中半衰期延长。

2、在粒子加速器中派介子半衰期延长。

3、携带原子钟的实验#在2010年时美国国家标准技术研究所比较一个在地面的原子钟和在高速火箭上的电子钟，证实了双生子佯谬成立。