Σ-代数

在数学中，某个集合 X 上的 σ-代数（σ-algebra）又叫 σ-域（σ-field），是 X 的某群子集合所构成的特殊子集族。这个子集族对于补集运算和可数个联集运算具有封闭性（因此对于可数个交集运算也是封闭的）。σ-代数在测度论里可以用来定义所谓的“可测集合”，是测度论的基础概念之一。

σ-代数的概念大约起始于1900~1930年，它随着测度论的发展而逐渐清晰。最著名的 σ-代数是关于实数轴测度的波莱尔σ-代数（得名于法国数学家埃米·波莱尔），以及1901年亨利·勒贝格建立的勒贝格σ-代数。而现代的测度理论的公理化体系就建立在勒贝格的相关理论之上。在这个领域中，σ-代数不仅仅是用于建立公理体系，也是一个强有力的工具，在定义许多重要的概念如条件期望和鞅的时候，都需要用到。

## 动机

σ-代数的提出有至少三个作用：定义测度，操作集合的极限，以及管理集合所表示的部分信息。

### 测度

测度是给$X$的子集赋予非负实数值的函数；可以把测度想成给集合的一个精确的“大小”或“体积”的定义。直觉上来讲，若干个互不相交集合的并集的大小应当等于它们各自的大小之和，即使有无穷多个这样的不交集。

## 定义

$X$ 为一集合，假设有子集族 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$（$\mathcal{P}(X)$ 代表 $X$ 的幂集）满足下列条件

- $$X \in \mathcal{F}$$
- $$(\forall A \in \mathcal{F}) \left\{ (A \in \mathcal{F}) \Rightarrow [(X - A) \in \mathcal{F}] \right\}$$
- $$(\forall \mathcal{A}) \left\{ <pre> [(\mathcal{A} \cong \N) \wedge (\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F})] \Rightarrow \left( \bigcup \mathcal{A} \in \mathcal{F} \right) </pre> \right\}$$

则称 $\mathcal{F}$ 是 $X$ 的一个 σ-代数。

注意到定义第3条的$\mathcal{A} \cong \N$，意思是 $\mathcal{A}$ 和自然数系 $\N$ 等势，直观的意思就是 $\mathcal{A}$ 里的元素跟自然数一样多。

以上定义的直观意义为：一群 $X$ 的子集合所组成的集合 $\mathcal{F}$，为 $X$ 上的一个 σ-代数意思是满足：

- $X$ 本身就是 $\mathcal{F}$ 的元素。
- 如果集合 $A$ 在 $\mathcal{F}$ 中，那么它的补集 $X - A$ 也在$\mathcal{F}$中。
- 如果有可数个集合 $A_1 , A_2, \cdots$ 都在 $\mathcal{F}$ 中，那么它们的联集也在$\mathcal{F}$ 中。

在测度论里有序对 $\left(X,\mathcal{F}\right)$ 会被称为一个可测空间。而任何在 $\mathcal{F}$ 中的子集 $A$，则称为可测集合（measurable set）；而在概率论中， $\mathcal{F}$ 被称为事件族（family of events）， $\mathcal{F}$ 中的子集 $A$ 则称为事件。

### 例子

- $X$上最小的σ-代数是$\{ \varnothing, X \}$。
- $X$上最大的σ-代数是$X$的幂集$\mathcal{P}(X)$（也就是所有 $X$ 的子集合所组成的集合）

## 最小σ-代数

设 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$ 是 $X$ 的一个子集族，则：

$$\sigma(\mathcal{F}) := \bigcap \bigg\{ \Sigma \,\bigg|\, <pre> (\Sigma\text{ is a sigma algebra of } X) \wedge (\mathcal{F} \subseteq \Sigma) </pre> \bigg\}$$

也是$X$ 的σ代数。

证明根据 $\sigma(\mathcal{F})$ 的定义（严谨来说，依据分类公理所新增的公理），对所有集合 $A$ 有： : $A \in \sigma(\mathcal{F}) \Leftrightarrow (\forall \Sigma) \left\{ [\,(\Sigma \text{ is a algebra of } X) \wedge (\mathcal{F} \subseteq \Sigma)\,] \Rightarrow (A \in \Sigma) \right\}$ (a) 以下将逐条检验σ代数的定义，来验证 $\sigma(\mathcal{F})$ 的确是 $X$ 的σ代数： (1) $X \in \sigma(\mathcal{F})$ 对所有的集合族 $\Sigma$ 来说，只要 $\Sigma$ 是σ代数，按照定义理当有 $X \in \Sigma$，所以由式(a)的右方的确可以得出 $X \in \sigma(\mathcal{F})$。(2)若 $A \in \Sigma$，则 $X - A$ 也在 $\sigma(\mathcal{F})$ 中 若 $A \in \Sigma$，那根据式(a)，对所有的集合族 $\Sigma$ 来说，只要 $\Sigma$ 是σ代数 且$\mathcal{F} \subseteq \Sigma$，理当有 $A \in \Sigma$，所以对所有 $\Sigma$ 只要满足这两个条件，理当有 $X - A \in \Sigma$，所以由式(a)的右方的确有： : $(\forall A )\{ [A \in \sigma(\mathcal{F})] \Rightarrow [X - A \in \sigma(\mathcal{F})] \}$ (3)可数个并集也在 $\sigma(\mathcal{F})$ 中 若 $\{A_1,\,A_2,\,\dots\} \subseteq \sigma(\mathcal{F})$，由式(a)，只要 $\Sigma$ 满足(a)左方的两个条件，就有 $\{A_1,\,A_2,\,\dots\} \subseteq \Sigma$，所以： : $\bigcup\{A_1,\,A_2,\,\dots\} \in \Sigma$ 所以再从(a)右方，就可以得到： : $\bigcup\{A_1,\,A_2,\,\dots\} \in \sigma(\mathcal{F})$ 综上所述， $\sigma(\mathcal{F})$ 的确是 $X$ 的σ代数。$\Box$

根据以上的定理，可以做以下的定义：

$\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$ 是 $X$ 的一个子集族，则：

$$\sigma(\mathcal{F}) := \bigcap \bigg\{ \Sigma \,\bigg|\, <pre> (\Sigma\text{ is a sigma algebra of } X) \wedge (\mathcal{F} \subseteq \Sigma) </pre> \bigg\}$$

称为包含 $\mathcal{F}$ 的最小σ-代数。

### 例子

- 设集合$X=\{a,b,c,d\}$，那么$\sigma(\{\{a\}\}) = \{\varnothing, \{a\}, \{b, c, d\}, X\}$ 是集合$X$上含有 $\{a\}$ 的σ-代数中最“小”的一个。

## 性质

σ-代数是一个代数也是一个λ系，它对集合的交集、联集、差集、可数交集、可数联集运算都是封闭的。