高斯定律

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高斯定律（Gauss' law）表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系：

- 其定性描述为：穿越出任意闭合曲面的净电通量等于该闭合曲面内的净电荷除以电容率。该闭合曲面称为高斯曲面。
- 真空中高斯定律积分形式为：$\Phi_E =\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\vec{E}\cdot d\vec{a}=\dfrac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}$。

其中，$\vec{E}$ 为电场， $d\vec{a}$ 为闭合曲面 $\mathbb{A}$ 的微分面积，由曲面向外定义为其方向，$Q_{enc}$ 为闭合曲面内的电荷，$\varepsilon_0$ 为真空电容率。

- 其微分形式为：$\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$；其中，$\rho$ 为电荷密度（单位 C/m3）。
- 在线性材料中，等式变为$\nabla\cdot\varepsilon\vec{E}=\rho_{free}$；其中 $\varepsilon$ 为材料的电容率，$\rho_{free}$ 为自由电荷密度。

此方程是卡尔·高斯在1835年提出的，但直到1867年才发布。高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由反平方定律决定的物理量，例如引力或者辐照度。参看散度定理。

## 积分形式

采用国际单位制，对于空间内的任意体积 $\mathbb{V}$，其表面 $\mathbb{A}$，真空中的高斯定律的积分形式可以用方程式表达为

$\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset \vec{E}\cdot d\vec{a}=\dfrac{Q_{enc}}{\varepsilon _0}$。

其中，$\vec{E}$ 为电场， $d\vec{a}$ 为闭合曲面 $\mathbb{A}$ 的微分面积，由曲面向外定义为其方向，$Q_{enc}$ 是在体积 $\mathbb{V}$ 内的总电荷数量。

- 电通量 $\Phi_E$ 是穿过曲面 $\mathbb{A}$ 的电场线数量：

$\Phi_E=\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\vec{E} \cdot d\vec{a}$。

- $Q_{enc}$ 包括自由电荷和束缚电荷（在电介质内，因电极化强度而产生的电荷）。
- $\varepsilon_0$ 是真空电容率。

### 应用

给予空间的某个区域内，任意位置的电场。原则上，应用高斯定律，可以很容易地计算出电荷的分布。只要积分电场于任意区域的表面，再乘以真空电容率，就可以得到那区域内的电荷数量。

但是，更常遇到的是逆反问题。给予电荷的分布，求算在某位置的电场。这问题比较难解析。虽然知道穿过某一个闭合曲面的电通量，这资料仍旧不足以解析问题。在闭合曲面任意位置的电场可能会是非常的复杂。

假若，问题本身显示出某种对称性，促使在闭合曲面位置的电场大小变得均匀。那么，就可以借着这均匀性来计算电场。像圆柱对称、平面对称、球对称等等，这些空间的对称性，都能帮助高斯定律来解析问题。若想知道怎样利用这些对称性来计算电场，请参阅高斯曲面（Gaussian surface）。

## 微分形式

高斯定律的方程式的微分形式为

$\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$。

其中 $\rho$ 为体电荷密度，$\epsilon_0$ 为真空电容率。

在数学里，高斯定律的微分形式等价于其积分形式。这等价关系可以用散度定理来证明。

## 自由电荷的高斯定律

### 自由电荷与束缚电荷

自由电荷是自由移动，不被束缚于原子或分子内的电荷；而束缚电荷则是束缚于原子或分子内的电荷。当遇到涉及电介质的问题时，才需要考虑到束缚电荷所产生的效应。当电介质被置入于外电场时，电介质内的束缚电荷会被外电场影响，虽然仍旧束缚于其微观区域（原子或分子），但会做微小位移。所有这些微小位移的贡献造成了宏观的电荷分布的改变。

虽然微观而言，不论是自由电荷，还是束缚电荷，本质上都是电荷。实际而言，对于某些案例，使用自由电荷的概念可以简化问题的解析。但有时候，由于问题比较复杂，缺乏对称性，必需采用其它方法来解析问题。

### 积分形式

对于空间内的任意体积 $\mathbb{V}$，其表面 $\mathbb{A}$，这个高斯定律表述，可以用积分形式的方程式表达为

$\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathbf{D}\cdot \mathrm{ds}=Q_{\mathrm{free}}$ ;

其中，$\mathbf{D}$ 为电位移， $\textrm{ds}$ 为闭合曲面 $\mathbb{A}$ 的微分面积，由曲面向外定义为其方向，$Q_{\mathrm{free}}$ 是在体积 $\mathbb{V}$ 内的自由电荷数量。

### 微分形式

只涉及自由电荷，这个高斯定律表述的微分形式可以表达为

$$\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{D} = \rho_{\mathrm{free}}$$

其中，$\rho_{\mathrm{free}}$ 是自由电荷密度，完全不包括束缚电荷。

请注意，在某种状况下，虽然区域内可能没有自由电荷，$\rho_{\mathrm{free}}=0$。但是，这并不表示电位移等于 0。因为。

$\mathbf{D}=\epsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$。

其中，$\mathbf{P}$ 是电极化强度。

取旋度于方程式的两边。

$\mathbf{\nabla}\times\mathbf{D}=\mathbf{\nabla}\times\epsilon_0 \mathbf{E} +\mathbf{\nabla}\times \mathbf{P}=\mathbf{\nabla}\times \mathbf{P}$。

所以，电位移很可能不等于 0。最典型的例子是永电体。

在数学里，高斯定律的微分形式等价于其积分形式。这等价关系可以用散度定理来证明。

### 等价证明

两种高斯定律数学等价的证明本段落证明高斯定律对于总电荷的方程式 :$\nabla\cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$，等价于高斯定律对于自由电荷的方程式 :$\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho_{f}$。请注意，这里只处理微分形式，不处理积分形式。这已达成足够条件。因为，根据散度定理，两种高斯定律的方程式，其微分形式都分别等价于积分形式。电位移 $\mathbf{D}$ 的定义式为 :$\mathbf{D}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$；其中，$\mathbf{P}$ 是电极化强度。束缚电荷密度 $\rho_{bound}$ 的定义式为（请参阅电极化） :$\rho_{bound}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - \nabla\cdot \mathbf{P}$。注意到 $\rho$ 是总电荷密度： :$\rho =\rho_{free}+\rho_{bound}=\rho_{free} - \nabla\cdot \mathbf{P}=\rho_{free} - \nabla\cdot\mathbf{D}+\varepsilon_0\nabla\cdot \mathbf{E}$。稍加编排， :$\rho- \varepsilon_0\nabla\cdot \mathbf{E}=\rho_{free} - \nabla\cdot\mathbf{D}$。所以，$\nabla\cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$ 当且仅当 $\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho_{free}$。两个方程式等价。

### 线性电介质

线性电介质有一个简单良好的性质，其 $\mathbf{D}$ 和 $\mathbf{E}$ 的关系方程式为

$\epsilon \mathbf{E}=\mathbf{D}$。

其中，$\epsilon$ 是物质的电容率。

对于线性电介质，又有一对等价的高斯定律表述：

$\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{a}'=\frac{Q_{\mathrm{free}}}{\epsilon}$。

$\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho_{\mathrm{free}}}{\epsilon}$。

## 高斯定律与库仑定律的关系

### 从库仑定律推导高斯定律

库仑定律阐明，一个固定的点电荷的电场是

$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{q'}{4\pi \epsilon_0} \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}$。

其中，$q'$ 是点电荷，$\mathbf{\epsilon_{0}}$是真空电容率，$\mathbf{r}$ 是电场位置，$\mathbf{r}'$ 是点电荷位置。

根据这方程式，计算位于 $\mathbf{r}'$ 的无穷小电荷元素所产生的位于 $\mathbf{r}$ 的电场，积分体积曲域 $\mathbb{V}$ 内所有的无穷小电荷元素，可以得到电荷分布所产生的电场：

$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint_{\mathbb{V}} \rho(\mathbf{r}')\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \mathrm{d}^3 \mathbf{r}'$。

取这方程式两边对于 $\mathbf{r}$ 的散度：

$\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint_{\mathbb{V}}\rho(\mathbf{r}') \nabla\cdot\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \mathrm{d}^3 \mathbf{r}'$。

注意到

$\nabla\cdot\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} = 4\pi \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')$。

其中，$\delta(\mathbf{r})$是狄拉克δ函数。

所以，$\mathbf{E}(\mathbf{r})$ 的散度是

$\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\epsilon_0} \iiint_{\mathbb{V}} \rho(\mathbf{r}')\ \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3 \mathbf{r}'$。

利用狄拉克δ函数的挑选性质，可以得到高斯定律的微分形式：

$\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \rho(\mathbf{r})/\epsilon_0$。

或者可以这样得到高斯定理的积分形式：

点电荷电场通过面元的电通量为

$$\mathrm{d} \Phi_{E}=\boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\boldsymbol{e}_{r} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}}{r^{2}}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \mathrm{~d} \Omega$$

对于单点电荷情形。

( i ) 在高斯面内，$\iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} =\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathrm{~d} \Omega =\frac{q}{\varepsilon_{0}}$

( ii ) 在高斯面外，$\iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} =\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset \mathrm{~d} \Omega =0$

故可以得到，$\iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} =\frac{1}{\varepsilon_{0}} \sum_{i \in S_{inside}} q_{i}$，即$\iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} =\frac{Q_{enc}}{\varepsilon _0}$

若包围在S面内的电荷具有一定体分布，电荷体密度为$\rho$，则高斯定理可写成：

$$\iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} =\frac{1}{\varepsilon_{0}} \iiint _{V}\rho\,\mathrm{d} V$$

由于库仑定律只能应用于固定不动的电荷，对于移动电荷，这导引不能证明高斯定律成立。事实是，对于移动电荷，高斯定律也成立。所以，从这角度来看，高斯定律比库仑定律更一般化。

### 从高斯定律推导库仑定律

严格地说，从高斯定律不能从数学推导出库仑定律，高斯定律并没有给出任何关于电场的旋度的资料（参阅亥姆霍兹定理和法拉第电磁感应定律）。但是，假若能够添加一个对称性假定，即电荷造成的电场是球对称的（就像库仑定律本身一样，在固定不动电荷的状况，这假设是正确的；在移动电荷的状况，这假设是近乎正确的），那么，就可以从高斯定律推导出库仑定律。

高斯定律的方程式为

$\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}' = Q/\epsilon_0$。

设定高斯定律积分的曲面 $\mathbb{A}$ 为一个半径 $r$ 圆球面，圆心位置在电荷 $Q$ 的位置。那么，由于球对称性，$\mathbf{E}=E(r)\hat{\mathbf{r}}$，$E(r)$ 与 $d\mathbf{a}'$ 无关，可以将 $E(r)$ 从积分内提出：

$\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}' =E(r)\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\hat{\mathbf{r}}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}'=E(r)\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathrm{d}a=4\pi r^2E(r)=Q/\epsilon_0$。

所以，库仑定律成立：

$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}$。

## 参阅

- 卡尔·高斯
- 镜像法
- 恩绍定理（Earnshaw's theorem）
- 格林互反定理（Green's reciprocity theorem）
- 多极展开（multipole expansion）