音高

音高（pitch）在音乐领域里指的是人类心理对音符基本频率之感受。

## 对音高的感知

虽然不同乐器的频谱不同，但国际标准乐器演奏中央区的A音符基频为440Hz，因此所感受之音高皆同。此外，即使频率有些许改变，听者感受之音高未必改变，但若音高改变通常意味频率亦改变。事实上，最小可觉差（just noticeable difference，此为一个临界值，指可被感受到的音高变化量）大约等于五音分（也就大约等于半音的百分之五），但是其会随着人耳可听频率的不同而改变，且同时比较两个音高会更为精确。一般，某些相似的音高亦会迷惑听觉系统，导致听觉错觉产生。其中的例子包括三全音矛盾和谢泼德音调。

## 标准音高

中央区的A音符发出的频率为440Hz（表示成“A=440Hz”，或是“A440”），通常被当作“标准音高”。但历史上并非一开始就是以A440做为标准音高（参见西方音乐音高标准演进一节）。而音高通常是人类对音乐最基本的观点。

## 音高标记

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音高通常使用科学音高记号法或使用结合字母与数字（用以表示基频）而成的记录法。举例而言，“A4”或“A440”都用来表示中央C上的A音符。然而，这样的记谱法会造成两个麻烦。首先，在西方十二平均律中，一个音的称呼法并不是唯一的，比如“重升G4”所指的音高其实就是“A4”。另外，人类对音高的感受与基频成对数性的：对人耳而言，“A220”到“A440”之间的差距跟“A440”到“A880”之间相同。

为了避免这些问题，音乐理论家有时候利用数位尺度，将一个数字与基频之间的对数关系表达一个音的音高。比方说，我们可以由广为使用的MIDI标准，将基频$f$对应成一数字$p$

$$p = 69 + 12\times\log_2 { \left(\frac {f}{440} \right) }$$

当然我们也可用这数字$p$由下列的方程式转换回基频$f$

$$f = 440 \times 2^{(p-69)/12}$$

此方程式创造了一线性的音高空间，每一个八度大小都是12，半音（在钢琴上相邻的两个键所拥有的音程）之间则相差1，至于“A440”的号码则指定为69。在这个空间中的距离与心理学实验得到的音乐距离相符，而且这个表示法也被音乐家接受。这个系统具有一定程度的弹性，可以用来表示一个在标准钢琴键盘上不存在的音。例如，若要表示C（60）与C#（61）中间的音高时，我们可以标示为60.5。

## 改变音高

音高可以由多种不同的性质，如高或低、断或续、是否随时间改变（称为啁啾，若有，则以何种方式改变，如滑奏、滑音、震音等）以及可定或不定…等来定义。在音乐上，音高与其他音高之间的关系比起音高本身的频率多少来得重要。两个音的关系可以用比例或者是之间的频率差距（以分表示）来代表。可以明确感受到这些关系的人称为拥有相对音感，至于能够感知一音高的频率高低而不假其他音高的人则被称为拥有绝对音感。

## 音程

一个音符在音阶里的相对音高可以利用调律系统决定。在西方，12音符的半音音阶是最常用的方法，再加上十二平均律，就构成了目前最常使用的调律音程。在这调律中，两个相接邻的音高频率比为12次根号2（$\sqrt[12]{2}$，大约为 1.05946）。在平均律（well temperament）系统（在巴哈的时代中被广泛使用）中，也存在有不同的调律（简而言之，平均律为一种建立调律的原则，而十二平均律则为符合平均律的调律的一种，详情请参考相关条目）。几乎在所有的调律系统内，都有一个音程是相同的，那就是八度，两个相差八度的音其频率必定相差一倍。举例而言，若中央C上的A为440Hz，则高八度的则为880Hz。

## 其他调律系统中的音高

在无调性、十二音技法及乐集理论中，一个“音高”乃是一个特殊频率，而一个音高集合是此频率的所有八度。音高在这些系统中使用整数命名，用来避免八度的混淆以及异名同音的问题。比方说，C♯和D♭是同一个音却拥有不同的名字，而C4与C5名字相似，但差了一个八度。

离散的音高在某种层面上拥有举世皆然的标准，然而连续性的音高则否。但是离散音高中也有例外，如"tumbling strains"及"indeterminate-pitch chants"。大部分的文化都采用这种离散性的音高，但是其参考的标准则有所差别。

## 西方音乐音高标准演进

历史上，人类使用过许多不同的频率来当作音高的基准。而且人类也发明了许多不同的音高系统，由基准音高出发定义其他音高的频率。

### 19世纪前

在19世纪前，人类并没有在标准化音高上下过很大的努力，因此在欧洲内音高的标准差异极大。这个差异不只存在于两国之间或两个时代之间，甚至在同一个城市中都有可能不同。举例而言，一个17世纪的英国教堂管风琴，使用的音高可能就比同城市中平民使用的键盘乐器低了五个半音。

就算在同一个教堂中，随着时间的流逝，管风琴在经过调音以后其音高也会与过去不同。简单来说，管风琴管的末端可能被敲击成内弯如锥体或外弯如漏斗，前者提高音高，后者则降低。经过不断的调音后这些管子渐渐有所磨损，因此需要截除一部分，此举更会将整台管风琴的音准提高。

借由检验过去的音笛、管风琴或其他乐器，我们可以了解一些关于音高的更迭。举例而言，在1720年的英国音笛演奏中央A的频率为380赫兹，而巴赫在汉堡市、莱比锡及魏玛等地使用的管风琴则以480赫兹表示同一个音符，这两者约差四个半音。换句话说，1720年的英国音笛演奏的A音在巴赫的时代，会被认为是F音。

自18世纪早期，音叉（于1711年发明）的使用确实为音高带来了一个可靠的标准，然而差异仍然无法避免。比方说，韩德尔在1740年使用对应为A音的音叉，其频率为422.5赫兹，但在1780年时他使用同样对应A的音叉则有不同的频率：409赫兹，后者低了将近一个半音。不过，到了十八世纪末，中央C上的A所使用的频率渐渐地演进成在400赫兹到450赫兹之间。

上面提到的频率乃是经过现代仪器测量所得，当时的音乐家并没有方法得到如此准确的数值。虽然马兰·梅森在16世纪早期便对声音的频率有了初步的了解，直到十九世纪，在德国物理学家约翰·施布雷在1830年所做的努力之前，人们都没有足够精确的科学方法测量频率。至于用赫兹取代每秒循环次数（cps, cycles per second），则是直到20世纪才做出的改变。

#### 音域扩展

随着历史发展，乐器有了显著的成长，伴随此成长，音高也有升高的趋势。这种“音域扩展”可能来自于乐器间的竞争，每个乐器都希望能够发出相较于对手更美丽、超凡的音色。此趋势对于管乐器工匠们亦然，一位工匠后期制造的乐器通常比起他之前的作品有着更高的音高。

然而音域的扩展对音乐作品而言只是一个麻烦，因为记谱法便决定了作品的音高。也因此，在西方音乐历史中，结合了大量管乐器及使用记谱的作品一直大大限制了音域扩展这个事情。

经过一些事件后，音域扩展这件事变得越来越不可收拾使得人们必须找出解决办法。17世纪初，麦可·普莱托里士在他的百科全书：Syntagma musicum中提到这件事情的影响，由于音域实在太高，歌手在吟唱时喉咙都因此严重缩紧，而鲁特琴家与六弦古提琴手也常常抱怨那些断裂的弦。在这里面他陈述的音域代表当时的状况，德国，至少在他所居住的区域，音域比起现在至少比起现在高了小三度（也就是三个半音）。解决办法林散且区域性，不过一般都涉及到对人声、管风琴（"Chorton"）以及室内乐（"Kammerton"）建立个别的音高标准。对于那些结合其中两者的作品，如在一个清唱套曲中，歌手与乐手在表演时可能基于不同的调上。这个系统让音域扩展这个问题在两个世纪内渐渐失去能见度。

直到管弦乐团出现后，音域扩展又出现在历史的眼光之下。我们可以借由音叉的改变来发现音高的提升。在1815年，德累斯顿歌剧院中使用的A频率为423.2赫兹，七年之后，同一个地方使用的A音却升高为435赫兹。在米兰的斯卡拉大剧院中，这个中央C上的A甚至高到451赫兹。

### 十九与二十世纪的标准

对于音高提升的现象最大的反对势力来自于歌手，他们抱怨这样的趋势只是增加他们声音的紧张。由于他们的反对，法国政府在1859年2月16日通过了一个法案定义中央C上的A为435赫兹。这是把音高尺度标准化的第一个尝试，法文称为diapason normal（标准音域）。这个标准之后在法国之外也非常流行，随着时间发展它渐渐从法国音高、大陆音高，最后甚至被称为国际音高。（然后后者应与下面提到的1939年定义之“国际标准音高”分别。）

这个标准音域使得中央C的频率调整为约258.65赫兹。而另有一个称为“哲学的”或“科学性音高”的音高标准，把中央C定义为256赫兹（也就是28 Hz），为此必须把A音调为约430.54赫兹。由于此法提供了一些数学上的便利，所有的C音都是二的正整数次方（'C＝32、C＝64、c＝128、c'＝256），因此也得到了些支持者。不过比起A = 435赫兹，此法并没有得到官方的认可，也因此没有被大量采纳、使用。此种频率规格即称为“物理学音高（physical pitch）”。

1939年国际标准委员会(International Federation of the National Standardizing Associations)在伦敦将a1国际标准音高(Standard ISO 16)定为440赫兹，但现今已有部分调音的标准音高改使用442赫兹。

## 如何改变一个振动的弦的音高

改变一个振动的弦音高的方法有三种。

### 长度

弦越长，则音高越低；反之若弦越短，则音高越高。因此我们可以借由调整弦的长短来调整音高。这项关系主要是由于弦震动所发出的频率与它的长度成反比：

$$f \propto \frac{1}{l}$$

因此两条其他方面条件相同的弦，若其中一条为另外一条的两倍长，则他的频率则是另外一条的一半（也就是低了八度）。

### 张力

改变弦的张力也可以改变音高。若一条弦的张力越少（越松）则它所产生的音高越低，反之若张力提高，则音高提高。弦发出的频率与张力的平方根成正比：

$$f \propto \sqrt{T}$$

### 密度

在改变一条弦密度的同时，也会改变它所发出的音高。频率与密度的平方根成反比：

$$f \propto {1 \over \sqrt{\rho}}$$

## 音高频率表

频率，单位为赫兹。括号内为距离中央C（261.63赫兹）的半音距离。

八度→音名↓｜0｜1｜2｜3｜4｜5｜6｜7｜8｜9

C｜16.352（−48）｜32.703（−36）｜65.406（−24）｜130.81（−12）｜261.63（0）｜523.25（+12）｜1046.5（+24）｜2093.0（+36）｜4186.0（+48）｜8372.0（+60）

C♯/D♭｜17.324（−47）｜34.648（−35）｜69.296（−23）｜138.59（−11）｜277.18（+1）｜554.37（+13）｜1108.7（+25）｜2217.5（+37）｜4434.9（+49）｜8869.8（+61）

D｜18.354（−46）｜36.708（−34）｜73.416（−22）｜146.83（−10）｜293.66（+2）｜587.33（+14）｜1174.7（+26）｜2349.3（+38）｜4698.6（+50）｜9397.3（+62）

D♯/E♭｜19.445（−45）｜38.891（−33）｜77.782（−21）｜155.56（−9）｜311.13（+3）｜622.25（+15）｜1244.5（+27）｜2489.0（+39）｜4978.0（+51）｜9956.1（+63）

E｜20.602（−44）｜41.203（−32）｜82.407（−20）｜164.81（−8）｜329.63（+4）｜659.26（+16）｜1318.5（+28）｜2637.0（+40）｜5274.0（+52）｜10548（+64）

F｜21.827（−43）｜43.654（−31）｜87.307（−19）｜174.61（−7）｜349.23（+5）｜698.46（+17）｜1396.9（+29）｜2793.8（+41）｜5587.7（+53）｜11175（+65）

F♯/G♭｜23.125（−42）｜46.249（−30）｜92.499（−18）｜185.00（−6）｜369.99（+6）｜739.99（+18）｜1480.0（+30）｜2960.0（+42）｜5919.9（+54）｜11840（+66）

G｜24.500（−41）｜48.999（−29）｜97.999（−17）｜196.00（−5）｜392.00（+7）｜783.99（+19）｜1568.0（+31）｜3136.0（+43）｜6271.9（+55）｜12544（+67）

G♯/A♭｜25.957（−40）｜51.913（−28）｜103.83（−16）｜207.65（−4）｜415.30（+8）｜830.61（+20）｜1661.2（+32）｜3322.4（+44）｜6644.9（+56）｜13290（+68）

A｜27.500（−39）｜55.000（−27）｜110.00（−15）｜220.00（−3）｜440.00（+9）｜880.00（+21）｜1760.0（+33）｜3520.0（+45）｜7040.0（+57）｜14080（+69）

A♯/B♭｜29.135（−38）｜58.270（−26）｜116.54（−14）｜233.08（−2）｜466.16（+10）｜932.33（+22）｜1864.7（+34）｜3729.3（+46）｜7458.6（+58）｜14917（+70）

B｜30.868（−37）｜61.735（−25）｜123.47（−13）｜246.94（−1）｜493.88（+11）｜987.77（+23）｜1975.5（+35）｜3951.1（+47）｜7902.1（+59）｜15804（+71）