三重积

三重积，又称混合积，是三个向量相乘的结果。向量空间中，有两种方法将三个向量相乘，得到三重积，分别称作标量三重积和向量三重积。

## 标量三重积

### 定义

标量三重积是三个向量中的一个和另两个向量的叉积相乘得到点积，其结果是个赝标量。

设$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$、$\mathbf{c}$为三个向量，则标量三重积的定义为

$\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})$。

### 特性

设 $\mathbf{a}=a_1\mathbf{i}+a_2\mathbf{j}+a_3\mathbf{k}$、$\mathbf{b}=b_1\mathbf{i}+b_2\mathbf{j}+b_3\mathbf{k}$、$\mathbf{c}=c_1\mathbf{i}+c_2\mathbf{j}+c_3\mathbf{k}$，则有

$\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix}$。

证明

$$\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})$$

$$\begin{align} & =(a_1\mathbf{i}+a_2\mathbf{j}+a_3\mathbf{k})\cdot \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix} \\ & =(a_1\mathbf{i}+a_2\mathbf{j}+a_3\mathbf{k})\cdot (\mathbf{i} \begin{vmatrix} \ b_2 & b_3 \\ c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} \ b_1 & b_3 \\ c_1 & c_3 \\ \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} \ b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \\ \end{vmatrix}) \\ & = a_1 \begin{vmatrix} \ b_2 & b_3 \\ c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix} - a_2 \begin{vmatrix} \ b_1 & b_3 \\ c_1 & c_3 \\ \end{vmatrix} + a_3 \begin{vmatrix} \ b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \\ \end{vmatrix} \\ & = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix} \end{align}$$

利用行列式的特性，可知顺序置换向量的位置不影响标量三重积的值：

$$\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})= \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})= \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})$$

任意对换两个向量的位置，标量三重积与原来相差一个负号：

$$<pre> \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = </pre> -\mathbf{a}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{b})$$

$$<pre> \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = </pre> -\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{c})$$

$$<pre> \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = </pre> -\mathbf{c}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{a})$$

若任意两个向量相等，则标量三重积等于零：

$$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{a}) = \mathbf{b} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{a}) = \mathbf{b} \cdot \mathbf{0} = 0$$

### 其他记号

有时候，纯量三重积会以括号表示：

$$[\mathbf{a}\ \mathbf{b} \ \mathbf{c}] = \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})= (\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}$$

### 几何意义

几何上，由三个向量定义的平行六面体，其体积等于三个标量标量三重积的绝对值：

$$V = |\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})|= \left| \begin{vmatrix} <pre> a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \right|$$

证明

<image>

以 $\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{c}$ 来表示底面的边，则根据叉积的定义，底面的面积 $A$ 为

$A= |\mathbf{b}| |\mathbf{c}| \sin \theta = |\mathbf{b} \times \mathbf{c}|$。

其中 $\theta$ 是 $\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{c}$ 之间的角，而高 $h$ 为

$h=|\mathbf{a}| \cos \alpha$。

其中 $\alpha$ 是 $\mathbf{a}$ 与 $h$ 之间的角。

从图中我们可以看到， $\alpha$ 的大小限定为 $0^\circ \le \alpha < 90^\circ$。而向量 $\mathbf{b} \times \mathbf{c}$ 与 $\mathbf{a}$ 之间的角 $\phi$ 则有可能大于90°（$0^\circ \le \phi < 180^\circ$）。也就是说，由于 $\mathbf{b} \times \mathbf{c}$ 与 $h$ 平行， $\phi$ 的值要么等于 $\alpha$，要么等于 $180^\circ - \alpha$。因此

$\cos \alpha = \pm \cos \phi = |\cos \phi |$。

且

$h=|\mathbf{a}| |\cos \phi|$。

我们得出结论：

$V = Ah = |\mathbf{a}| |\mathbf{b} \times \mathbf{c}| |\cos \phi|$。

于是，根据点积的定义，它等于 $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ 的绝对值，即

$V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|$。

证毕。

## 向量三重积

向量三重积是三个向量中的一个和另两个向量的叉积相乘得到的叉积，其结果是个向量。

### 定义

对于三个向量$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$、$\mathbf{c}$，向量三重积的定义为

$\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c})$。

值得注意的是，一般来说。

$\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) \ne (\mathbf{a}\times \mathbf{b}) \times \mathbf{c}$。

### 特性

以下恒等式，称作三重积展开或拉格朗日公式，对于任意向量$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$、$\mathbf{c}$均成立：

$$\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})$$

$$\begin{align} (\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times \mathbf{c} & = -\mathbf{c}\times(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) \\ & = -\mathbf{a}(\mathbf{c}\cdot\mathbf{b}) + \mathbf{b}(\mathbf{c}\cdot\mathbf{a}) \end{align}$$

英文中有对于第一式有助记口诀BAC-CAB (BACK-CAB，后面的出租车)，但是不容易记住第一式跟第二式的变化，很容易搞混。

观察两个公式，可得到以下三点：

- 两个分项都带有三个向量 （$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$）
- 三重积一定是先做叉积的两向量之线性组合
- 中间的向量所带的系数一定为正（此处为向量$\mathbf{b}$）

### 证明

我们可以由叉积的定义计算$\mathbf{u} \times (\mathbf{v}\times \mathbf{w})$的$x$分量：

$$\begin{align} <pre> (\mathbf{u} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w}))_x &= \mathbf{u}_y(\mathbf{v}_x\mathbf{w}_y - \mathbf{v}_y\mathbf{w}_x) - \mathbf{u}_z(\mathbf{v}_z\mathbf{w}_x - \mathbf{v}_x\mathbf{w}_z) \\ &= \mathbf{v}_x(\mathbf{u}_y\mathbf{w}_y + \mathbf{u}_z\mathbf{w}_z) - \mathbf{w}_x(\mathbf{u}_y\mathbf{v}_y + \mathbf{u}_z\mathbf{v}_z) \\ &= \mathbf{v}_x(\mathbf{u}_x\mathbf{w}_x + \mathbf{u}_y\mathbf{w}_y + \mathbf{u}_z\mathbf{w}_z) - \mathbf{w}_x(\mathbf{u}_x\mathbf{v}_x + \mathbf{u}_y\mathbf{v}_y + \mathbf{u}_z\mathbf{v}_z) \\ &= (\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})\mathbf{v}_x - (\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{w}_x </pre> \end{align}$$

类推至$y$和$z$分量，可得：

$$\begin{align} <pre> (\mathbf{u} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w}))_y &= (\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})\mathbf{v}_y - (\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{w}_y \\ (\mathbf{u} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w}))_z &= (\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})\mathbf{v}_z - (\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{w}_z </pre> \end{align}$$

所以

$\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})$。

利用上述恒等式，可得以下结果：

$\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) \; + \mathbf{b}\times (\mathbf{c}\times \mathbf{a}) \; + \mathbf{c}\times (\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = 0$ （雅可比恒等式）

$$(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = \mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) \; - \mathbf{b}\times (\mathbf{a}\times \mathbf{c})$$

在向量分析中，有以下与梯度相关的一条恒等式：

$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{f}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{f} ) - (\nabla \cdot \nabla) \mathbf{f}$$

这是一个拉普拉斯－德拉姆算子$\Delta= \mathrm{d}\delta+\delta\mathrm{d}$的特殊情形。