新基础集合论

在数理逻辑中，新基础集合论（NF）是公理化集合论的一种，由蒯因构想出来作为对《数学原理》中类型论的简化。蒯因1937年于《数理逻辑的新基础》一文中首次提及NF（此即其名称的由来）。请注意，此条目大多是在谈论NFU，这是Jensen于1969年所提出，并由Holmes于1998年阐述的一重要变体。

## 类型论TST

改进版本的类型论TST的基本谓词是等于和成员关系。TST有一个线性的类型层次：类型0由不加描述的个体组成。对于每个（元-）自然数n，类型n+1的对象是类型n对象的集合；类型n的集合有类型为n-1的成员。用等号连接的对象必须有相同的类型。下列两个原子公式简洁的描述了定类型规则：$x^{n} = y^{n} \ $和$x^{n} \in y^{n+1}$（符号仍可改进）。

TST的公理是：

- 外延性：带有相同成员的相同（正数）类型的集合是相等的。
- 概括公理模式，也就是：

如果$\phi(x^n)\ $是公式，则集合$\{x^n \mid \phi(x^n)\}^{n+1}$存在。

换句话说，给定任何公式$\phi(x^n) \ $，存在集合$A^{n+1}\ $使得$\forall x^n \exists A^{n+1} [x^n \in A^{n+1} \leftrightarrow \phi(x^n)]$为真。

这个类型论比于《数学原理》首次发表的类型论简单许多，因为它还得包括其参数不必然都有同样类型的关系类型。在1914年，诺伯特·维纳展示了如何把有序对编码为集合的集合。这使得以这里描述的集合层次的方式消除了关系类型。

## 蒯因集合论

### 公理和层化

新基础（NF）是通过放弃TST的类型区别而获得的。NF的公理有：

- 外延性：有相同元素的两个对象是同一个对象。
- 概括模式：所有TST的概括实例，但去掉了类型索引（并且不用引入在变量之间新的同一性）。

通过约定，NF的概括模式使用层化公式的概念来陈述，而不直接提及类型。一个公式$\phi$被称为是层化的，如果存在从语法片段到自然数的一个函数f，使得对于任何$\phi$的原子子公式$x \in y$有f(y) = f(x) + 1；而对于任何$\phi$的原子子公式$x=y$，有f(x) = f(y)。概括接着变成：

对于每个层化公式$\phi$存在$\{x \mid \phi \}$。甚至在层化概念内隐含的对类型的间接提及也可以消除。Hailperin在1944年证实了概括等价于它的一些推论的有限合取，所以NF可以有限的公理化而不提及类型的概念。

对于朴素集合论概括好像是不自洽的，但是在这里不是。例如，不可能的罗素类$\{x \mid x \not\in x\}$不是NF集合，因为$x \not\in x$不能被层化。

### 有序对

关系和函数在TST（以及NF和NFU）中以通常的方式定义为有序对。首先由Kuratowski在1921年提议的有序对常用的定义对于NF和相关理论有个严重缺陷：结果的有序对必定有比它的参数（它的左和右投影）的类型高2的类型。所以为了决定分层，函数有比它的定义域的成员高3的类型。

如果能以其类型是同它的参数一样的类型的方式定义对（导致一个类型齐平有序对），则关系或函数有只比它的域的成员的类型高1的类型。所以NF和相关理论通常采用蒯因的有序对的集合论定义，这样得出的是类型的类型-齐平的有序对。Holmes（1998）把有序对与它的左和右投影定为原始概念。幸运的是，无论有序对是通过定义或通过假定（就是作为原始概念）而类型齐平，通常是不重要的。

类型齐平有序对的存在蕴涵了“无穷公理”，而NFU +“无穷公理”解释了NFU +“存在着类型齐平的有序对”（它们不是同样的理论，但是区别无关紧要）。反过来，NFU +“无穷公理”+“选择公理”证明了类型齐平有序对的存在。

### 有用的大集合的可容纳性

NF（以及NFU +“无穷公理”+“选择公理”，下面描述并已知是相容的）允许构造两种集合，它们都是ZFC和它的真扩展所不允许的，因为“太大”的缘故（某些集合论在真类的名义下接受这些实体）：

- 全集V。因为$x=x$是层化公式，通过概括存在全集$V = \{x \ | \ x=x \} \ $。直接的推论是所有集合都有补集，而在NF下的整个集合论全集有一个布尔结构。
- 基数和序数。在NF（和TST）中，存在n个元素的所有集合的集合（这里循环性只是外观上的）。所以弗雷格的基数定义在NF和NFU中可行；基数是集合在等势关系下的等价类：集合A和B是等势的，如果存在它们之间的双射，在这种情况下我们写为$A \sim B \ $。类似的，序数是良序集合在相似关系下的等价类。

## NF(U)如何避免集合论悖论

NF清除了三个周知的集合论悖论。NFU这个{相对}相容的理论也避免了这些悖论，增强了我们对这些理论的信心。

罗素悖论：$x \not\in x$不是层化公式，所以不会通过概括的任何推论得出$\{x \mid x \not\in x\}$的存在性。蒯因构造NF的时候大概最关注于这个悖论。

关于最大基数的康托尔悖论利用了康托尔定理对全集的应用。康托尔定理声称（假定ZFC）任何集合的$A \ $的幂集$P(A) \ $大于$A \ $（没有从$P(A) \ $到$A \ $的单射函数）。但如果$V \ $是全集的话，当然有从$P(V) \ $到$V \ $的单射。为了解决这个问题，我们需要注意到$|A| < |P(A)| \ $在类型论中没有意义：$P(A) \ $的类型比$A \ $的类型高1。正确的有类型版本（它是在类型论中的定理，成立的原因就像康托尔定理在ZF中成立那样）是$|P_1(A)| < |P(A)| \ $，这里的$P_1(A) \ $是$A \ $的单元素子集的集合。在这个定理中，使我们感兴趣的特殊实例是$|P_1(V)| < |P(V)| \ $：单元素集合们少于集合们（因此一个元素的集合们少于全体对象，如果我们在NFU中的话）。从全集到这些单元素集合明显的双射$x \mapsto \{x\} \ $不是一个集合；它不是集合是因为它的定义是非层化的。注意在所有已知的NFU的模型中$|P_1(V)| < |P(V)| << |V| \ $都成立；“选择公理”允许我们不只证明有基本元素，而且在$|P(V)| \ $和$|V| \ $之间有很多基数。

我们现在引入某些有用的概念。若集合$A \ $满足$|A| = |P_1(A)| \ $，就被称为康托尔式的：康托尔式集合满足通常形式的康托尔定理。集合$A \ $满足进一步条件$(x \mapsto \{x\})\lceil A \ $，即单元素集合映射在A上的限制，则不只是康托尔式的而且是强康托尔式的。

下面是关于最大序数的布拉利-福尔蒂悖论。我们定义(跟从朴素集合论)序数是良序排序在相似性下的等价类。在序数上有一个明显的自然的良序排序；因为它是良序排序所以它属于一个序数$\Omega \ $。(通过超限归纳法)可直接证明在小于一个给定序数$\alpha \ $的序数们上的自然次序的序类型是$\alpha \ $自身。但是这意味着$\Omega \ $是小于$\Omega \ $的序数们的序类型，因此它严格小于所有序数的序类型 -- 但是通过定义，后者是$\Omega \ $自身！

在NF(U)中对这个悖论的解决开始于观察到在小于$\alpha \ $的序数们上的自然次序的序类型的类型比$\alpha \ $的类型高。因此类型齐平有序对的类型比它的参数的类型高1，而常规的Kuratowski有序对高3。对于任何序类型$\alpha \ $，我们可以定义比$\alpha \ $的类型高1的序类型：如果$W \in \alpha \ $，则$T(\alpha) \ $是次序$W^{\iota} = \{(\{x\},\{y\}) \mid xWy\}$的序类型。T运算的烦琐只是外观上的；可以轻易的证明T是在序数们上的严格的单调(序保持)运算。

我们可以用层化的方式重申关于序类型的引理：在小于$\alpha \ $的序数们上的自然次序的序类型是$T^2(\alpha) \ $或$T^4(\alpha) \ $，依赖于使用哪个有序对定义(我们在下文中假定类型齐平有序对)。从此我们可演绎出在小于$\Omega \ $的序数们上的序类型是$T^2(\Omega) \ $，从它我们演绎出$T^2(\Omega)<\Omega \ $。因此T运算不是个函数；我们不能有从序数到序数的严格单调集合映射，它向下映射一个序数！因为T是单调的，我们有$\Omega > T^2(\Omega) > T^4(\Omega)\ldots$，在序数们中的“递减序列”不能是集合。

某些人已经断言这个结果证实了没有NF(U)的模型是“标准”的，因此在任何NFU的模型中序数们外在的不是不是良序的。我们不接受这种立场，而我们注意到还有一个NFU的定理，任何NFU的集合模型都有非良序的“序数”；NFU不结论出全集V是NFU的模型，尽管V是集合，因为成员关系不是集合关系。

关于数学在NFU中的进一步开发，和与在ZFC中相同的开发的比较，请参见数学的集合论实现（Implementation of mathematics in set theory）。

蒯因在1940年第一版的《数理逻辑》的集合论中，结合了von Neumann-Bernays-Gödel集合论的真类于NF，并为真类包括了一个无限制概括的公理模式。在1942年，J. Barkley Rosser证明了蒯因的集合论遭受Burali-Forti悖论。在1950年，王浩展示了如何修正蒯因的公理来避免这个问题，蒯因在1951年第二和最终版本的《数理逻辑》中包括了结果的公理化。

## 外部链接

- Stanford Encyclopedia of Philosophy:
- Quine's New Foundations -- by Thomas Forster.
- Alternative axiomatic set theories -- by Randall Holmes.
- Randall Holmes: New Foundations Home Page.
- Randall Holmes: Bibliography of Set Theory with a Universal Set.