幺半群

在抽象代数中，幺半群，又称为单群、亚群、独异点、具幺半群或四分之三群（Monoid）是指一个带有可结合二元运算和单位元的代数结构。

幺半群在许多的数学分支中都会出现。在几何学中，幺半群捉取了函数复合的概念；更确切地，此一概念是从范畴论中抽象出来的，之中的幺半群是个带有一个物件的范畴。幺半群也常被用来当做电脑科学的坚固代数基础；在此，变换幺半群和语法幺半群被用来描述有限状态自动机，而迹幺半群和历史幺半群则是做为进程演算和并行计算的基础。幺半群的研究中一些较重要的结论有克罗恩-罗德斯定理和星高问题。

## 定义

幺半群是一个带有二元运算 *: M × M → M 的集合 M，其符合下列公理：

- 结合律：对任何在 M 内的a、b、c， (a*b)*c = a*(b*c)。
- 单位元：存在一在 M 内的元素e，使得任一于 M 内的 a 都会符合 a*e = e*a = a。

通常也会多加上另一个公理：

- 封闭性：对任何在 M 内的 a、 b， a*b 也会在 M 内。

但这不是必要的，因为在二元运算中即内含了此一公理。

另外，幺半群也可以说是带有单位元的半群。

幺半群除了没有逆元素之外，满足其他所有群的公理。因此，一个带有逆元素的幺半群和群是一样的。

### 生成元和子幺半群

幺半群 M 的 子幺半群是指一个在 M 内包含着单位元且具封闭性（即若x,y∈N，则 x*y∈N）的子集 N。很明显地， N 自身会是个幺半群，在导自 M 的二元运算之下。等价地说，子幺半群是一个子集 N，其中 N=N*，且上标 * 为克莱尼星号。对任一于 M 内的子集 N 而言，子幺半群 N* 会是包含着 N 的最小幺半群。

子集 N 被称之为 M 的生成元，当且仅当 M=N*。若 N 是有限的， M 即被称为是有限生成的。

### 可交换幺半群

运算为可交换的幺半群称之为可交换幺半群（或称为阿贝尔幺半群）。可交换幺半群经常会将运算写成加号。每个可交换幺半群都自然会有一个它自身的代数预序 ≤，定义为下： x ≤ y 当且仅当存在 z 使得 x+z=y。可交换幺半群 M 的序单位是一个在 M 内的元素 u，其中对任一在 M 内的元素 x 而言，总会存在一个正整数 n 使得 x ≤ nu。这经常用在 M 是偏序阿贝尔群 G 的正锥体的情况，在这种情况下我们称 u 是 G 的序-单位。有接受任何交换幺半群，并把它变成全资格阿贝尔群的代数构造；这个构造叫做格罗滕迪克群。

### 部分可交换幺半群

运算只对某些元素而不是所有元素是交换性的的幺半群是迹幺半群；迹幺半群通常出现在并发计算理论中。

## 例子

- 每一个单元素集合 {x}都可给出一个单元素(当然)幺半群。对定固的x，其幺半群是唯一的，当其幺半群公理在此例子必须满足x*x=x时。
- 每一个群都是幺半群，且每一个阿贝尔群都是可交换幺半群。
- 每一半格都是等幂可交换幺半群。
- 任一个半群S都可以变成幺半群，简单地加上一不在S内的元素e，并定义ee=e和对任一在S内的s，es=s=se。
- 自然数N是加法及乘法上的可交换幺半群。
- 以加法或乘法为运算，任何单作环的元素
- 以加法或乘法为运算的整数、有理数、实数及复数
- 以矩阵加法或矩阵乘法为运算，所有于一环内n×n矩阵所组成的集合

某些固定字母Σ的有限字元串所组成的集合，会是个以字元串串接为运算的幺半群。空字元串当成单位元。这个幺半群标记为Σ*，并称为在Σ内的自由幺半群。

- 给定一幺半群M，并考虑包含其所有子集的幂集P(M)。这些子集的二元运算可以定义成S * T = {s * t : s在S内且 t在T内}。这使得P(M)变成了具有单位元{e}的幺半群。依同样的方法，一个群的幂集是一在群子集的乘积下的幺半群。
- 设S为一集合。由所有函数S → S所组成的集合会是在复合函数下的幺半群。其单位元为恒等函数。若S为有限的且有n个元素，其幺半群也会是有限的，且有nn个元素。
- 广义化上述的例子，设C为一范畴且X为C内的一对象。由X所有自同态组成的集合，标记为EndC(X)，是一在态射复合下的幺半群。更多有关范畴论和幺半群的关系请见下述。
- 在连通和下的闭流形同态类所组成的集合，其单位元为一般二维球面类。此外，当a标记为环面类且b标记为射影平面类，此一幺半群的每一个元素c都会有一唯一的表示式c=na+mb，其中n是大于等于零的整数，m为0、1或2，且会有3b=a+b。
- 设是一个数为n的循环幺半群，亦即$<f> = \{f^0,f^1,..,f^{n-1}\}$。然后，$f^n = f^k$，其中$0 \le k \le n$。事实上，不同的k会给出不同的幺半群，且每个幺半群都会和另一个同构。

此外，f也可以想成在点${0,1,2,..,n-1}$上的函数，给定如下

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & ... & n-2 & n-1 \\ 1 & 2 & 3 & ... & n-1 & k\end{bmatrix}$$

或等价地表示成

$$f(i) := \begin{cases} i+1, & \mbox{if } 0 \le i < n-1 \\ k, & \mbox{if } i = n-1. \end{cases}$$

$<f>$元素间的乘法即由复合函数给定。

注意当$k=0$时，函数f是$\{0,1,2,..,n-1\}$的置换，并给出个数为n的唯一循环群。

## 性质

在一幺半群内，可以定义一元素x的正整数幂：x1=x 及 xn=x*...*x (乘上n次)，其中n>1。幂的规则xn+p=xn*xp则是很明显的。

由定义可以证明其单位元e是唯一的。然后，对任一x，可以设x0为e，则其幂的规则在非负幂中依然会是成立的。

逆元素：一元素x称为可逆，若存在一元素y，使得x*y = e且y*x = e。此一元素y便称做x的逆元素。结合律使得其逆元素(若存在)是唯一的。

若 y是x的逆元素，则可以定义x的负幂，以x−1=y及 x−n=y*...*y (乘上n次)，其中n>1。如此幂的规则在所有整数就都成立了，这也是为什么x的逆元素通常会写做x−1。所有在幺半群M内的可逆元素，和其自身的运算可组成一个群。在这意思之下，每个幺半群都含有一个群。

但并不是每个幺半群都包含在一个群内的。例如，绝对可能有一个幺半群，其两个元素a和b会有a*b=a的关系，即使b不是单位元。如此的幺半群是不可能包含于一个群内的。

因为在群里，两边一同乘a的逆元素，就会得到b = e的结果，但这不是真的。一个幺半群(M,*)若具有消去性，即表示对任何在M内的a、b、c，a*b = a*c永远意指b = c且b*a = c*a也永远意指b = c。一具有消去性的可交换幺半群总是可以包含于一个群内。这是为什么整数(加法运算下的群)可以由自然数(具有消去性的加法运算下的可交换幺半群)建立。但一具有消去性的不可交换幺半群则一定不可能包含于一个群之中。

若一幺半群有消去性且是有限的，它会是一个群。

一可逆幺半群为一幺半群，其任一在M内的a，总存在一唯一在M内的a−1，使得a=aa−1a且a−1=a−1aa−1。

一幺半群G的子幺半群是G的子集H，其包含有单位元，且若x、y属于H，则xy属于H。很清楚地，H本身也是个幺半群，在G的二元运算之下。

## 作用和算子幺半群

算子幺半群是一作用在集合X上的幺半群M。亦即，存在一运算$ : M × X → X符合幺半群的运算。

- 对任一在X内的x：e$x=x。
- 对任何在M内的a、b及在X内的x：a $ (b $ x) = (a * b) $ x。) = (a * b) • x.

运算子幺半群也叫做作用(因为它们类似于群作用), 转移系统, 半自动机或变换半群。

## 幺半群同态

两个幺半群(M, *)和(M′, @)之间的同态是一个函数f : M → M′，会有如下两个性质：

- f(x*y) = f(x)@f(y) 对所有在M内的x和y
- f(e) = e′

其中e和e′分别是M和M′的单位元。

不是每一个群胚同态都会是个幺半群同态，因为它不一定会维持单位元。和上述不同，群同态的情况则会成立：群论的公理确保每一两群之间的群胚同态都会维持住单位元。对于幺半群，这不是永远成立的，而必须有另外的要求。

双射幺半群同态称做幺半群同构。

## 幺半群同余和商幺半群

幺半群同余是相容于幺半群乘积的等价关系。就是说它是子集

$$\sim\;\subseteq M\times M$$

使得它是自反的、对称的和传递的(如同所有等价关系必须的那样)，还要有如果 $x\sim y\,$ 且 $u\sim v\,$ 对于所有 M 中的 $x,y,u$ 和 $v$，则有 $x*u\sim y*v\,$ 的性质。

幺半群同余引发同余类

$$[m] = \{x\in M\vert\; x\sim m\}$$

而幺半群运算 * 引发在同余类上的二元运算 $\circ$:

$$[u]\circ [v] = [u*v]$$

它是幺半群同态。它明显的也是结合的，所以所有同余类的集合也是幺半群。这个幺半群叫做商幺半群，可以写为

$$M/\sim\; = \{[m]\,\vert\; m\in M\}$$

一些额外的符号是公用的。给定子集 $L\subseteq M$，写

$$[L] = \{[m] \,\vert\; m\in L\}$$

对于引发自 L 的同余类的集合。在这个表示法中，明显的 $[M]=M/\sim \,$。但是一般的说，$[L] \,$ 不是幺半群。走相反的方向，如果 $X\subseteq [M]$ 是商幺半群的子集，写

$$\bigcup X = \{m \,\vert\; [m]\in X\}$$

当然这只是 X 的成员的并集。一般的说，$\bigcup X$ 不是幺半群。

明显的有 $L\subseteq \bigcup[L]$ 且 $\left[\bigcup X\right]=X$。

## 和范畴论的关系

幺半群可视之为一类特殊的范畴。幺半群运算满足的公理同于范畴中从一个对象到自身的态射。换言之：

幺半群实质上是只有单个对象的范畴。

精确地说，给定一个幺半群 (M,*)，可构造一个只有单个对象的小范畴，使得其态射由 M 的元素给出，而其合成则由 幺半群的运算 * 给出。

同理，幺半群之间的同态不外是这些范畴间的函子。就此意义来说，范畴论可视为是幺半群概念的延伸。许多关于幺半群的定义及定理皆可推广至小范畴。

幺半群一如其它代数结构，本身也形成一个范畴，记作 Mon，其对象是幺半群而态射是幺半群的同态。

范畴论中也有幺半对象的概念，它抽象地定义了何谓一个范畴中的幺半群。