微分

函数的微分（differential）是指对函数的局部变化的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。

微分在数学中的定义：由$y$是$x$的函数($y=f(x)$)。从简单的平面直角坐标系来看，自变量$x$的变化量趋近于0时($\frac\mathrm d{\mathrm dx}$)，因变量$y$的变化量也趋近于0，但$x$和$y$的变化量都趋近于0。当$x$有极小的变化量时，这称为$x$的微分。

当某些函数$\textstyle f$的自变量$\textstyle x$有一个微小的改变$\textstyle h$时，函数的变化可以分解为两个部分。

一个部分是线性部分：在一维情况下，它正比于自变量的变化量$\textstyle h$，可以表示成$\textstyle h$和一个与$\textstyle h$无关，只与函数$\textstyle f$及$\textstyle x$有关的量的乘积；在更广泛的情况下，它是一个线性映射作用在$\textstyle h$上的值。

另一部分是比$\textstyle h$更高阶的无穷小，也就是说除以$\textstyle h$后仍然会趋于零。当改变量$\textstyle h$很小时，第二部分可以忽略不计，函数的变化量约等于第一部分，也就是函数在$\textstyle x$处的微分，记作$\displaystyle f'(x)h$或$\displaystyle \textrm{d}f_x(h)$。如果一个函数在某处具有以上的性质，就称此函数在该点可微。

不是所有的函数的变化量都可以分为以上提到的两个部分。若函数在某一点无法做到可微，便称函数在该点不可微。

在古典的微积分学中，微分被定义为变化量的线性部分，在现代的定义中，微分被定义为将自变量的改变量$\textstyle h$映射到变化量的线性部分的线性映射$\displaystyle \textrm{d}f_x$。这个映射也被称为切映射。给定的函数在一点的微分如果存在，就一定是唯一的。

## 一元微分

### 定义

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设函数$y = f(x)$在某区间$\mathcal{I}$内有定义。对于$\mathcal{I}$内一点$x_{0}$，当$x_{0}$变动到附近的$x_{0}+\Delta x$（也在此区间内）时，如果函数的增量$\Delta y = f(x_{0}+ \Delta x) - f(x_{0})$可表示为$\Delta y = A \Delta x + o( \Delta x)$（其中$A$是不依赖于$\Delta x$的常数），而$o( \Delta x)$是比$\Delta x$高阶的无穷小，那么称函数$f(x)$在点$x_{0}$是可微的，且$A \Delta x$称作函数在点$x_{0}$相应于自变量增量$\Delta x$的微分，记作$\textrm{d}y$，即$\textrm{d}y = A \Delta x$，$\textrm{d}y$是$\Delta y$的线性主部。

通常把自变量$x$的增量$\Delta x$称为自变量的微分，记作$\textrm{d}x$，即$\textrm{d}x = \Delta x$。

### 和导数的关系

微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的概念。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分$\textrm{d}x$，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。于是函数$y = f(x)$的微分又可记作$\textrm{d}y = f'(x)\textrm{d}x$。

### 几何意义

设$\Delta x$是曲线$y = f(x)$上的点$P$在横坐标上的增量，$\Delta y$是曲线在点$P$对应$\Delta x$在纵坐标上的增量，$\textrm{d}y$是曲线在点$P$的切线对应$\Delta x$在纵坐标上的增量。当$\left| \Delta x \right|$很小时，$\left| \Delta y - \textrm{d}y \right|$比$\left| \Delta x \right|$要小得多(高阶无穷小)，因此在点$P$附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

### 例子

设有函数$f : x \mapsto x^2$，考虑它从某一点$x$变到$x + \textrm{d}x$。这时，函数的改变量$f(x +\textrm{d} x) - f(x)$等于：

$$f(x+\textrm{d} x) - f(x)= (x + \textrm{d} x)^2 - x^2$$

$$= 2x \cdot \textrm{d}x + (\textrm{d}x)^2 = A\textrm{d}x + o(\textrm{d}x)$$

其中的线性主部：$Adx = 2xdx$，高阶无穷小是$o(\textrm{d}x)= (\textrm{d}x)^2$。

因此函数$\textstyle f$在点$\textstyle x$处的微分是$\textrm{d}y = 2x\textrm{d}x$。函数的微分与自变量的微分之商$\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x} = 2x = f^{\prime}(x)$，等于函数的导数。

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}(ax^n)}{\mathrm{d}x}$，尤其$y=ax^n$

$$=nax^{(n-1)}$$

以下有一例子：

当方程式为$y=2x^2$时，就会有以下的微分过程。

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$$

$$=\frac{\mathrm{d}2x^2}{\mathrm{d}x}$$

$$=2 \cdot 2x^{(2-1)}$$

$$=4x$$

### 微分法则

和求导一样，微分有类似的法则。例如，如果设函数$u$、$v$可微，那么：

- $$\mathrm{d}(au + bv) =\mathrm{d}au+\mathrm{d}bv= a\mathrm{d}u + b\mathrm{d}v$$
- $$d(uv) = udv + vdu$$
- $$d\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{vdu - udv}{v^2}$$
- 若函数$y(u)$可导，那么$d[y(u)] = y'(u)du$

## 多元函数微分

当自变量是多元变量时，导数的概念已经不适用了（尽管可以定义对某个分量的偏导数，但偏导数只对单一自变量微分），但仍然有微分的概念。

### 定义

设$f$是从欧几里得空间Rn（或者任意一个内积空间）中的一个开集$\Omega$射到Rm的一个函数。对于$\Omega$中的一点$x$及其在$\Omega$中的邻域$\Lambda$中的点$x+h$。如果存在线性映射$A$使得对任意这样的$x+h$,

$$\lim_{h \to 0} \left( \frac{|f (x+h) - f(x) - A(h)|}{|h|} \right) = 0$$

那么称函数$f$在点$x$处可微。线性映射$A$叫做$f$在点$x$处的微分，记作$\textrm{d}f_x$。

如果$f$在点$x$处可微，那么它在该点处一定连续，而且在该点的微分只有一个。为了和偏导数区别，多元函数的微分也叫做全微分或全导数。

当函数在某个区域的每一点$x$都有微分$\textrm{d}f_x$时，可以考虑将$x$映射到$\textrm{d}f_x$的函数：

$$\textrm{d}f : x \mapsto \textrm{d}f_x$$

这个函数一般称为微分函数。

### 性质

- 如果$f$是线性映射，那么它在任意一点的微分都等于自身。
- 在Rn（或定义了一组标准基的内积空间）里，函数的全微分和偏导数间的关系可以通过雅可比矩阵刻画：

设$f$是从Rn射到Rm的函数，$f = (f_1, f_2, \cdots , f_m)$，那么：

$\textrm{d}f_x = J_f(x) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}$。

具体来说，对于一个改变量：$h = (h_1, h_2, \ldots , h_n) = \sum_{i=1}^n h_i e_i$，微分值：

$$\textrm{d}f_x(h) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix} \begin{pmatrix} h_1 \\ \vdots \\h_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^m \left(\sum_{j=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_j} h_j\right) e_i$$

- 可微的必要条件：如果函数$f$在一点$x_0$处可微，那么雅克比矩阵的每一个元素$\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)$都存在，但反之不真。
- 可微的充分条件：如果函数$f$在一点$x_0$的雅克比矩阵的每一个元素$\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)$都在$x_0$连续，那么函数在这点处可微，但反之不真。

### 例子

函数$f : (x, y) \mapsto \left(x^2 + y^2, (1 - x^2 - y^2)x -y, x - (1 - x^2 - y^2)y \right)$是一个从$\mathbb{R}^2$射到$\mathbb{R}^3$的函数。它在某一点$(x, y)$的雅可比矩阵为：

$$J_f(x,y) = \begin{bmatrix} 2x & 2y \\ 1 - 3x^2 - y^2 & -2xy - 1 \\ 1 + 2xy & -1 + x^2 + 3y^2 \end{bmatrix}$$

微分为：$\textrm{d}f_{(x, y)} : h \mapsto J_f(x,y)(h)$，也就是：

$$\textrm{d}f_{(x, y)} : h = \begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \end{pmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 2x & 2y \\ 1 - 3x^2 - y^2 & -2xy - 1 \\ 1 + 2xy & -1 + x^2 + 3y^2 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2xh_1 + 2yh_2 \\ (1 - 3x^2 - y^2)h_1 -(2xy +1)h_2 \\ (1 + 2xy)h_1 -(1 - x^2 - 3y^2)h_2 \end{pmatrix}$$

## 微分与微分形式

如果说微分是导数的一种推广，那么微分形式则是对于微分函数的再推广。微分函数对每个点$x$给出一个近似描述函数性质的线性映射$\textrm{d}f_x$，而微分形式对区域$\mathbf{D}$内的每一点给出一个从该点的切空间映射到值域的斜对称形式：$\omega(x):\mathbf{TD}_x \longrightarrow \mathbb{R}$。在坐标记法下，可以写成：

$$\omega(x) = \sum_{1 \le i_1 \le \cdots \le i_k \le n} a_{i_1 \cdots i_k}(x) \textrm{d}x^{i_1}\wedge \cdots \wedge \textrm{d}x^{i_k}$$

其中的$\textrm{d}x^{i}$是$i$-射影算子，也就是说将一个向量$v$射到它的第$i$个分量$v^{i}$的映射。而$\textrm{d}x^{i_1}\wedge \cdots \wedge \textrm{d}x^{i_k}$是满足：

$$\textrm{d}x^{i_1}\wedge \cdots \wedge \textrm{d}x^{i_k}(v_{1}, \cdots v_{k}) = \begin{vmatrix} v_{1}^{i_1} & \cdots & v_{1}^{i_k} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ v_{k}^{i_1} & \cdots & v_{k}^{i_k} \end{vmatrix}$$

k-形式。

特别地，当$f$是一个从Rn射到R 的函数时，可以将$\textrm{d}f_x$写作：

$$\textrm{d}f_x = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(x) \textrm{d}x^{i}$$

正是上面公式的一个特例。