波函数

本条目中，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。

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在量子力学里，量子系统的量子态可以用波函数（Wave function）来描述。薛定谔方程式设定波函数如何随着时间流逝而演化。

波函数 $\Psi (\mathbf{r},t)$ 是一种复值函数，表示粒子在位置 $\mathbf{r}$、时间 $t$ 的几率幅，它的绝对值平方 $|\Psi(\mathbf{r},t)|^2$ 是在位置 $\mathbf{r}$、时间 $t$ 找到粒子的几率密度。以另一种角度诠释，波函数$\Psi (\mathbf{r},t)$是“在某时间、某位置发生相互作用的概率幅”。

## 历史

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在1920年代与1930年代，理论量子物理学者大致分为两个阵营。第一个阵营的成员主要为路易·德布罗意和埃尔温·薛定谔等等，他们使用的数学工具是微积分，他们共同创建了波动力学。第二个阵营的成员主要为维尔纳·海森堡和马克斯·玻恩等等，使用线性代数，他们建立了矩阵力学。后来，薛定谔证明这两种方法完全等价。

德布罗意于1924年提出的德布罗意假说表明，每一种微观粒子都具有波粒二象性。电子也不例外，具有这种性质。电子是一种波动，是电子波。电子的能量与动量分别决定了它的物质波频率与波数。既然粒子具有波粒二象性，应该会有一种能够正确描述这种量子特性的波动方程式，这点子给予埃尔温·薛定谔极大的启示，他因此开始寻找这波动方程式。薛定谔参考威廉·哈密顿先前关于牛顿力学与光学之间的类比这方面的研究，在其中隐藏了一个奥妙的发现，即在零波长极限，物理光学趋向于几何光学；也就是说，光波的轨道趋向于明确的路径，而这路径遵守最小作用量原理。哈密顿认为，在零波长极限，波传播趋向于明确的运动，但他并没有给出一个具体方程式来描述这波动行为，而薛定谔给出了这方程式。他从哈密顿-雅可比方程成功地推导出薛定谔方程式。他又用自己设计的方程式来计算氢原子的谱线，得到的答案与用波耳模型计算出的答案相同。他将这波动方程式与氢原子光谱分析结果，写为一篇论文，1926年，正式发表于物理学界。从此，量子力学有了一个崭新的理论平台。

薛定谔给出的薛定谔方程式能够正确地描述波函数的量子行为。那时，物理学者尚未能解释波函数的涵义，薛定谔尝试用波函数来代表电荷的密度，但遭到失败。1926年，玻恩提出几率幅的概念，成功地解释了波函数的物理意义。可是，薛定谔本人不赞同这种统计或几率方法，和它所伴随的非连续性波函数塌缩，如同爱因斯坦认为量子力学只是个决定性理论的统计近似，薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释。在他有生最后一年，他写给玻恩的一封信内，薛定谔清楚地表明了这意见。

1927年，道格拉斯·哈特里与弗拉基米尔·福克在对于多体波函数的研究踏出第一步，他们发展出哈特里－福克方程来近似方程的解。这计算方法最先由哈特里提出，后来福克将之加以改善，能够符合包立不相容原理的要求。

薛定谔方程式不具有劳仑兹不变性，无法准确给出符合相对论的结果。薛定谔试着用相对论的能量动量关系式，来寻找一个相对论性方程式，并且描述电子的相对论性量子行为。但是这方程式给出的精细结构不符合阿诺·索末菲的结果，又会给出违背量子力学的负几率和怪异的负能量现象，他只好将这相对论性部分暂时搁置一旁，先行发表前面提到的非相对论性部分。

1926年，奥斯卡·克莱因和沃尔特·戈尔登将电磁相互作用纳入考量，独立地给出薛定谔先前推导出的相对论性部分，并且证明其具有劳仑兹不变性。这方程式后来称为克莱因-戈尔登方程式。

1928年，保罗·狄拉克最先成功统一了狭义相对论与量子力学，他推导出狄拉克方程式，适用于电子等等自旋为1/2的粒子。这个方程式的波函数是一个旋量，拥有自旋性质。

## 概述

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### 位置空间波函数

假设一个自旋为零的粒子移动于一维空间。这粒子的量子态以波函数表示为 $\Psi(x,t)$；其中，$x$ 是位置，$t$ 是时间。波函数是复值函数。测量粒子位置所得到的结果不是决定性的，而是几率性的。粒子的位置 $x$ 在区间 $[a,b]$ （即 $a\le x\le b$）的几率$P_{a\le x\le b}$为

$P_{a\le x\le b} = \int_a^b \,|\Psi(x,t)|^2 \mathrm{d} x$。

其中，$t$ 是对于粒子位置做测量的时间。

换句话说，$|\Psi(x,t)|^2$ 是粒子在位置 $x$、时间 $t$ 的几率密度。

这导致归一化条件：在位置空间的任意位置找到粒子的几率为100%：

$\int_{-\infty}^\infty \, |\Psi(x,t)|^2 \mathrm{d}x = 1$。

### 动量空间波函数

在动量空间，粒子的波函数表示为 $\Phi(p,t)$；其中，$p$ 是一维动量，值域从 $-\infty$ 至 $+\infty$。测量粒子动量所得到的结果不是决定性的，而是几率性的。粒子的动量 $p$ 在区间 $[a,b]$ （即 $a\le p\le b$）的几率为

$P_{a\le p\le b} = \int_a^b \,|\Phi(p,t)|^2 \mathrm{d}p$。

动量空间波函数的归一化条件也类似：

$\int_{-\infty}^{\infty} \, \left | \Phi ( p, t ) \right |^2 \mathrm{d}p = 1$。

### 两种波函数之间的关系

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位置空间波函数与动量空间波函数彼此是对方的傅立叶变换。他们各自拥有的信息相同，任何一种波函数都可以用来计算粒子的相关性质。两种波函数之间的关系为

$\Phi(p,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^\infty \, e^{-ipx/\hbar} \Psi(x,t) \mathrm{d}x$。

$\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^\infty \, e^{ipx/\hbar} \Phi(p,t) \mathrm{d}p$。

### 波函数实质

量子力学中体系的态实际上由一个希尔伯特空间里的 $|\mathfrak{J}(t)\rangle$ 矢量来描述。我们可以用任何不同的基来表示它。

波函数 $\Psi(x, t)$ 实际上是 $|\mathfrak{J}(t)\rangle$ 在坐标本征函数为基上展开的$x$“分量”：

$$\Psi(x, t)=\langle x \mid \mathfrak{J}(t)\rangle,$$

（这里基矢量 $|x\rangle$ 对应于本征值为 $x$ 的算符 $\hat{x}$ 的本征函数）。

动量空间波函数 $\Phi=(p, t)$ 是 $|\mathfrak{J}(t)\rangle$ 用动量本征函数的基展开时的展开系数:

$$\Phi(p, t)=\langle p \mid \mathfrak{\Im}(t)\rangle$$

（这里基矢量 $|p\rangle$ 对应于属于本征值 $p$ 的 $\hat{p}$ 的本征函数）在位置空间它应该为$f_p(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \mathrm{e}^{\mathrm{i} p x / \hbar}$。

我们也可以把 $|\mathfrak{F}(t)\rangle$ 用能量本征函数的基展开（简单起见，假设谱是分立的）：

$$c_n(t)=\langle n \mid \mathfrak{\Im}(t)\rangle$$

（这里基矢量 $|n\rangle$ 对应属于 $\hat{H}$ 的第 $n$ 个本征函数：$c_n=\left\langle f_n \mid \Psi\right\rangle=\int f_n(x)^* \Psi(x, t) \mathrm{d} x$)。

波函数 $\Psi$ 与 $\Phi$ 和系数的集合 $\left\{c_n\right\}$，所有这些所表示的都是同一个状态，包含完全一样的信息——它们仅是描述同一矢量的三种不同途径而已：

$$|\mathfrak{J}(t)\rangle \rightarrow \int \Psi(y, t) \delta(x-y) d y=\int \Phi(p, t) \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^{i p x / \hbar} d p <pre> =\sum c_n e^{-i E_n t / \hbar} \psi_n(x) </pre>$$

## 薛定谔方程式

在一维空间里，运动于位势 $V(x)$ 的单独粒子，其波函数满足含时薛定谔方程式

$- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t)+V(x)\Psi(x,t)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)$。

其中，$m$ 是质量，$\hbar$ 是约化普朗克常数。

不含时薛定谔方程式与时间无关，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。应用分离变数法，猜想 $\Psi(x,\,t)$ 的函数形式为

$\Psi(x,\,t)= \psi_E(x) e^{ - iEt/\hbar}$。

其中，$E$ 是分离常数，稍加推导可以论定 $E$ 就是能量，$\psi_E(x)$ 是对应于 $E$ 的本征函数。

代入这猜想解，经过一番运算，可以推导出一维不含时薛定谔方程式：

$- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi_E(x)+V(x)\psi_E(x)=E\psi_E(x)$。

## 波函数的概率诠释

波函数 $\Psi (\mathbf{r},t)$ 是概率波。其模的平方 $\vert\Psi (\mathbf{r},t)\vert^2\,$ 代表粒子在该处出现的概率密度，并且具有归一性，全空间的积分

$\int\vert\Psi (\mathbf{r},t)\vert^2\,d^3\,x=1$。

波函数的另一个重要特性是相干性。两个波函数叠加，概率的大小取决于两个波函数的相位差，类似光学中的杨氏双缝实验。

## 波函数的本征值和本征态

在量子力学中，可观察量 $A$ 以算符 $\hat{A}$ 的形式出现。$\hat{A}$ 代表对于波函数的一种运算。例如，在位置空间里，动量算符 $\hat{\mathbf{p}}$ 的形式为

$\hat{\mathbf{p}}=-i\hbar\nabla$。

可观察量 $A$ 的本征方程式为

$\hat{A}\psi=a\psi$。

对应的 $a$ 称为算符 $\hat{A}$ 的本征值，$\psi$ 称为算符 $\hat{A}$ 的本征态。假设对于 $\hat{A}$ 的本征态 $\psi$ 再测量可观察量 $A$，则得到的结果是本征值 $a$。

## 态叠加原理

假设对于某量子系统测量可观察量 $A$，而可观察量 $A$ 的本征态 $|a_1\rang$、$|a_2\rang$ 分别拥有本征值 $a_1$、$a_2$，则根据薛定谔方程的线性关系，叠加态 $|\psi\rang$ 也可以是这量子系统的量子态：

$|\psi\rang=c_{1}|a_1\rang+c_{2}|a_2\rang$。

其中， $c_1$、$c_2$ 分别为叠加态处于本征态 $|a_1\rang$、$|a_2\rang$ 的几率幅。

假设对这叠加态系统测量可观察量 $A$，则测量获得数值是 $a_{1}$ 或 $a_{2}$ 的几率分别为 $|c_{1}|^2$、$|c_{2}|^2$，期望值为

$\langle\psi |A|\psi\rang=|c_{1}|^2 a_1 +|c_{2}|^2 a_2$。

## 定态

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在量子力学中，一类基本的问题是哈密顿算符 $\hat{H}$ 不含时间的情况。对于这问题，应用分离变数法，可以将波函数 $\Psi (\mathbf{r},t)$ 分离成一个只与位置有关的函数 $\psi (\mathbf{r})$ 和一个只与时间有关的函数 $f(t)$：

$\Psi (\mathbf{r},t)=\psi (\mathbf{r})f(t)$。

将这公式代入薛定谔方程，就会得到

$f(t)=\exp{(-iEt/\hbar )}$。

而 $\psi(\mathbf{r})$ 则满足本征能量薛定谔方程式：

$\hat{H}\psi(\mathbf{r})=E\psi(\mathbf{r})$。

## 例子

### 自由粒子

3D空间中的自由粒子，其波矢 为k，角频率 为ω，其波函数为：

$$\Psi (\mathbf{r},t) = A e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}\,.$$

### 无限深方形阱

粒子被限制在x = 0和x = L之间的1D空间中，其波函数为:

$$\begin{align} \Psi (x,t) & = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-i\omega_n t}, & \quad 0 \leq x \leq L \\ \Psi (x,t) & = 0, & x < 0, x > L \\ \end{align}$$

其中，$\hbar\omega_n=\frac{n^2 h^2}{8mL^2}$是能量本征值，$n$是正整数，$m$是质量。

### 有限位势垒

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在1D情况下，粒子处于如下势垒中：

$$V(x)=\begin{cases}V_0 & |x|<a \\ 0 & \text{otherwise,}\end{cases}$$

其波函数的定态解为($k, \kappa$为常数)

$$\psi (x) = \begin{cases} A_{\mathrm{r}}\exp(ikx)+A_{\mathrm{l}}\exp(-ikx) & x<-a, \\ B_{\mathrm{r}}\exp(\kappa x)+B_{\mathrm{l}}\exp(-\kappa x) & |x|\le a, \\ C_{\mathrm{r}}\exp(ikx)+C_{\mathrm{l}}\exp(-ikx) & x>a. \end{cases}$$

### 量子点

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量子点是在把激子在三个空间方向上束缚住的半导体纳米结构。粒子在三个方向上都处在势阱中。势阱可以由于静电势（由外部的电极，掺杂，应变，杂质产生），两种不同半导体材料的界面（例如：在自组量子点中），半导体的表面（例如：半导体纳米晶体），或者以上三者的结合。量子点具有分离的量子化的能谱。所对应的波函数在空间上位于量子点中，但延伸于数个晶格周期中。其中的能级可以用类似无限深方形阱的模型来描述，能级位置取决于势阱宽度。

## 参阅

- 波包