质能等价

E = mc²，即质能等价（mass-energy equivalence）、质能互换，亦称为质能转换公式、质能方程，是阐述能量（E）与质量（m）间相互关系的理论物理学公式，公式中的 c 是物理学中代表真空光速的常数。从现代物理的观点来看，这个方程表示静质量相当于静能量。

## 方程式的含义

该公式表明，有质量的物体相对于一个参照系静止时仍然有巨大的能量。而在牛顿力学中，静止的物体没有动能，可能有势能、化学能或热能，这些能量通常远小于物体的质量乘c²。

## 背景及其影响

这个等式源于阿尔伯特·爱因斯坦对于物体惯性和它自身能量关系的研究。研究的著名结论就是物体质量实际上就是它自身能量的量度。为了便于理解此关系的重要性，可以比较一下电磁力和引力。电磁学理论认为，能量包含于与力相关而与电荷无关的场（电场和磁场）中。在万有引力理论中，能量包含于物质本身。因此物质质量能够使时空扭曲，但其它三种基本相互作用（电磁相互作用，强相互作用，弱相互作用）的粒子却不能，这并不是偶然的。

一千克物质完全等价于

- 89,875,517,873,681,764 焦耳或
- 大约21,470,501,160,000 卡路里
- 24,965,421,632 千瓦时
- 21.48076431 百万吨TNT

要注意实际的静质量到能量的转换不大可能是百分之百有效的。一个理论上完美的转化是物质和反物质的湮灭；对于多数情况，转换会有很多含静质量的副产品，因而只有少量的静质量真正被转换成能量。在该方程中，质量就是能量，但是为了简明起见，转换这个词常常被用于代替质能等价关系，实际上通常所指的一般是静质量和能量的转换。

### 影响

这个方程表示质量和能量等价，现今即以能量单位eV（电子伏特）描述夸克等物质的质量。

虽然很多人并不确切的知道这个公式的真实含义，但它已经成为人类历史上最有名的公式之一，并成为文化的一部分。

有人认为这一公式直接导致了原子弹的设计和制造，但事实上质能转换公式对于原子理论和原子弹的设计和制造并无任何的直接或间接促进作用，而仅仅是后人用来解释原子弹原理的工具之一。通过测量不同原子核的质量和那个数量的独立质子和中子的质量和的差，可以得到原子核所包含的结合能的估计值。这不仅显示可能通过轻核的核聚变和重核的核裂变释放这个结合能，也可用于估算会释放的结合能的量。

## 方程的推导

令$m_0$表示静止质量，$m$表示相对论质量，$m = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$。

以一外力$\mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}$对物体作功，根据动能定理，物体的微小动能变化为

$${dE_k}=\mathbf{F}{dx}= \frac{d\mathbf{p}}{dt}{dx} = d\mathbf{p} \frac{dx}{dt}$$

因为$\mathbf{p}=mv, \frac{dx}{dt}=v$，所以${dE_k}=vd(mv)=v^2dm+mvdv$

由$m = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$得：$m^2c^2-m^2v^2=m_0^2c^2$

因为m,v都是t的函数，将该式两边对t微分，得：$c^2dm=v^2dm+mvdv$，将结果代入上式${dE_k}$，得

$${dE_k}=c^2dm$$

对其积分，有：${E_k}={\int_{m_0}^{m}c^2\,dm}=mc^2-m_0c^2$

这就是相对论的动能公式。

把$E=mc^2$解释为物体以速率$v$运动时的能量，则$E_0=m_0c^2$为物体静止时的能量。因此总能量$E=E_k+E_0$.

## 低速近似

上面得到的动能的相对论表达式是：

$${E_k}=mc^2-m_0c^2 = m_0c^2 \left[ \frac{1} {\sqrt{1-v^2/c^2}} - 1\right]$$

将$\frac{1} {\sqrt{1-v^2/c^2}}$展开为幂级数，则有：

$$\frac{1} {\sqrt{1-v^2/c^2}} =1 + \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c}\right)^2 + \frac{3}{8} \left(\frac{v}{c}\right)^4 + \frac{5}{16} \left(\frac{v}{c}\right)^6 + \cdots.$$

对于远小于光速的速度，$v/c$很小，该式中的高阶项会越来越小。只保留前两项，则有：

$${E_k}= m_0c^2 \left[ \frac{1} {\sqrt{1-v^2/c^2}} - 1\right] \approx m_0c^2 \left[ 1 + \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c}\right)^2 -1 \right] = \frac{1}{2} m_0 v^2.$$

也就是经典力学的动能表达式。这表明经典力学是相对论在低速运动下的一个高度精确的近似。

## 狭义相对论中的质量

### 使用相对论质量

亨德里克·劳仑兹（Hendrik Lorentz，1853-1928）在他的电子理论里以力和加速度的比（代替动量和速率的比）来定义质量。他发现当外力平行或垂直与运动方向时的有效质量不一样：平行时$m_{\parallel} = \gamma^3 m_0$而垂直时$m_{\perp} = \gamma m_0$。其中$\gamma$被称为洛伦兹因子。

现在称为相对论质量的概念最初由R.C. Tolman在1912年提出。相对论质量和静质量$m_0$（也即物体相对于参照系静止时的质量）的关系如下：

$$m = \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

物体的相对论质量（或称“运动质量”）$m$正比于物体总能量$E$。对运动物体有$E=mc^2$。一束光子在真空中传播，其静止质量是0，但由于它们有能量，因此相对论质量不为0。

### 使用静止质量

爱因斯坦晚年认为“相对论质量”是无益的：

给运动物体引入质量$M = m/\sqrt{1 - v^2/c^2}$的概念是不好的，它没有明确的定义。除了‘静止质量’$m \,\!$之外，最好不再引入其他质量概念。与其引入$M \,\!$，不如提及运动物体的动量和能量表达式。

爱因斯坦于1948年写给林肯·巴涅特的一封信

It is not good to introduce the concept of the mass $M = m/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ of a moving body for which no clear definition can be given. It is better to introduce no other mass concept than the 'rest mass' $m \,\!$. Instead of introducing $M \,\!$ it is better to mention the expression for the momentum and energy of a body in motion.

埃德温·F·泰勒和约翰·惠勒不使用它，因为：

现代的物理学家很少使用“相对论质量”的概念，现代的物理学家都用m来表示静止质量，它是四维动量和四维速度的比：

$$p^{\mu} = m v^{\mu}$$

而物体的相对论能量就是四元动量的时间部：

$$E \equiv p^{0} = \sqrt{p^2c^2+m^2c^4} = \gamma mc^2$$

其中$p = \gamma mv$是物体的相对论动量。

有$E_0 = mc^2\,$，即物体的静能量相当于质量。

## 爱因斯坦和他1905年的论文

阿尔伯特·爱因斯坦没有在他的1905年论文中精确地表述这个方程。"Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?"（“一个物体的惯性依赖于它所包含的能量吗?”，发表于《物理学年鉴》9月27日），这是现在被称为“奇迹年论文”的文章之一。

爱因斯坦最初将方程写为$dm = \frac{\mathrm L}{\mathrm c^2}$（用“$L$”来表示能量）。该论文的确切内容是：“若一个物体以辐射形式发射能量L，它的质量减少$\frac{\mathrm L}{\mathrm c^2}$。”

## 其他贡献

爱因斯坦不是唯一将能量联系到质量的人，但他是第一个将这个作为更大的理论的一部分推出的，而且，是根据这个理论的前提所导出的结果。

根据Umberto Bartocci（佩鲁贾大学数学史家），该方程早在两年之前就由Olinto De Pretto发表了，他是一个意大利维琴查的工业家。但是没有主流史学家认为这个结论是真实的或者是重要的，他们认为即便De Pretto是首位发现该公式的人，但是只有在爱因斯坦将它和相对论建立联系之后，该公式才真正显示出价值。

## 外部链接

- E=mc² 100岁诞辰 BBC
- 爱因斯坦的E=mc²启发了芭蕾舞 BBC
- 兰伯特舞团：Constant Speed E=mc²
- 爱德华·马勒的主页>反物质计算器
- 核爆的能量
- 爱因斯坦在1905年9月27日发表的论文
- 爱因斯坦在1912年的手稿显示了E=mc²
- NOVA - 爱因斯坦的伟大构想，《爱因斯坦的伟大想法》是一部在2005年时播放的关于质能方程E=mc²的基础、诞生、应用的电视传记，该传记主要讲述1905年间的事情。