中国算学

中国算学是指古代中国传统的数学体系，简称中算，具有发展的独创性，且具备完整体系。其基本特征在于将实用问题（包括几何学问题）代数化，转化为线性方程组、高次多项式方程、或高次多项式方程组，主要利用机械化的算具和算法求解，或进行刻板的、有系统的逐次消元过程，为求将多元线性方程组、或多元高次方程组转化为单变数式或单变数多项式。由于中国传统数学以算为主，故称为算学。算筹、算盘就是中国古代的“计算机”，又称为算具。算经中的术文和珠算口诀就是计算程序，又称为算法。中国数学史又称为中算史，并影响到汉字文化圈其他地区的传统数学，如日本的和算，朝鲜半岛的韩算，以及越南、琉球的算学。

从秦汉以来，直到宋元，中国算学一直领先世界。而代数学基本是中国的创造。

## 历史

中国算学起源于仰韶文化，距今有五千余年历史，在周公时代，数乃是六艺之一。在春秋时代十进位制的筹算已经普及。著名日本数学史家三上义夫指出，“中国之算学史，其有长期之发展，不能不谓之为世界中稀有之例也”，中国算学的发展有二三千年之久，如此长久的发展历史为世界罕见。

### 上古至西汉

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中国考古学家在陕西发现的几十万年前蓝田猿人遗留的不规则的石球。几万年前山西原始人制作的石球形状规则。到了新石器时代，出现空心陶球。七千年前河姆渡人遗址中发现圆筒，圆珠等形状。新石器时代陶器上出现有规则的图案。半坡出土文物中有双耳陶器，三足陶器，有的陶器上刻有四叶纹，说明上古时代已有1，2，3，4等数字概念。

十进位制起源于古中国，最迟在公元前1400年的商代就已经出现。从一万多年前山顶洞人遗址中出土的骨管，上刻有可能表示十进位制的圆形、长形刻符。1974年－1978年中国考古学家从青海乐都县出土数万件新石器时代的遗物，其中有些骨片上有不同数目的刻纹，表示1到8之数，未发现有10道以上刻纹，与存在十进位制相符。

筹算至少在战国初年已然出现。它使用商代发明的十进位制计数，利用九九表可以很方便地进行四则运算以及乘方、开方等较复杂运算，并可以对零、负数和分数作出表示与计算。

春秋战国时代已经形成数学的九个分支-九数，包括方田（田地测算）、粟米（粮食换算比率）、差分（赋税的分配）、少广（田亩面积和长阔）、商功（工程土方估计）、均输（运输费用的分配）、方程（方程式）、盈不足、旁要（勾股问题）。郑玄引《周礼注》：“九数：、方田、粟米、差分、少广、商功、军输、方程、盈不足、旁要。”。

西汉初期出现了一本数学教科书《算数书》，其一些内容明显和《九章算术》平行。有学者认为算数书可能是九章算术的母本。《九章算术》成书于大约1世纪，但也可能早在200BC就已存在。多数学者相信直到九章算术定形时中国的数学和古代地中海世界的数学多少是独立的发展的。当中的开平方、开立方、算术应用、正负数、连立一次方程、二次方程等都领先世界几个世纪西汉的张苍、耿寿昌增补和整理《九章算术》，写成定本，详细说明开平方、开立方、和求解线性方程组的算法。张衡发明$\sqrt{10}$、$\frac{92}{29}$、$\frac{730}{232}$作为圆周率的值。

## 魏晋南北朝

此一时期（220年-581年），中国数学在四方面有长足进展，分别为直角三角形三边关系的确认、测量学、平面面积和立体体积的计算，以及推算圆周率，由赵爽、刘徽、祖冲之与祖暅父子4人个别或相继完成。赵爽是魏晋时人，著有《周髀算经注》，其中“勾股圆方图注”附有图示，列出有关直角三角形三边关系的命题21条，分属“勾股”定理、“弦图”定理、“勾实之矩”定理与“股实之矩”定理。当中唯有“勾股”定理已见于《周髀算经》。

稍后的刘徽亦魏晋时人，著有《九章算术注》，为《九章算术》各种算法提出简括证明。他并在注文中提出割圆术，以内接正六边形开始，逐次倍加边数的方法，逐步逼近圆周率。前三世纪，希腊数学家阿基米德已用正多边形逐渐增加边数的方法求圆周率，但他兼用内接和外切两种计算，得到出的估计值:${223 \over 71} <\Pi < {22 \over 7}$；也就是 $3.140845 < \pi < 3.142857$。刘徽的割圆术相比更为简便，刘徽所得的π=3.1416也优于阿基米德。《九章算术注》亦提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，来测量山高水深等数值。他又指出《九章算术》计算球体体积方法错误，但亦未能提出更准确方法。这个疑问须留待祖冲之解决。

祖冲之与祖暅父子使中国数学发展创一高峰。祖冲之著有《缀术》、《九章术义注》及《重差注》（一说《缀术》乃祖暅所作），惜俱失佚。数学上祖冲之的最大贡献有推算圆周率及计算球体体积（一说后者乃祖暅之法）。他继承刘徽的割圆术，计算圆周率准确至小数点后7位数(3.1415926<π<3.1415927)，这个记录保持了900多年，至15世纪方为阿拉伯数学家卡西打破。祖冲之（或祖暅）并以直截面积相比的方法，解决球体体积问题（在西方，球体体积问题前三世纪阿基米德已解决），其法今存于唐代李淳风的《九章算术注》中。祖冲之计算方法巧妙，应用现今所谓“卡瓦列里定理”：“等高处的截面面积相等，则二立体的体积相等。”此定理今人公认是意大利数学家卡瓦列里（Gavalieri）所创，因而命名，其实早已为祖冲之所应用。

历法方面，祖冲之编定“大明历”，在身故后10年为梁朝所采用，取代何承天（370年-447年）欠准确的旧历。

## 隋唐

唐代，有关重差术的注文被抽出单行，题为《海岛算经》，成为《算经十书》之一。刘徽创造的四次重差观测术，“使中国测量学达到登峰造极的地步”，使“中国在数学测量学的成就，超越西方约一千年”（美国数学家弗兰克·斯委特兹语）

## 宋朝

秦九韶的 《数书九章》发展了一元高次方程求数值解的程序化、机械化算法。

## 金元

元代朱世杰的 《四元玉鉴》发展了多至四元的多项式方程组的消元和求解的算法。

## 明清

明代朱载堉发明十二平均律时，使用80档大算盘，计算开平方，开立方到小数点后25位。

- 算学宝鉴

## 著名古代中国数学家

南北朝时的祖冲之是第一个准确计算圆周率值到小数点后6位的人。

南宋末年时的秦九韶推导出中国剩余定理。

## 特点

### 实用性

中国算学具有强烈的实用数学特点，和抽象与系统化的希腊数学形成鲜明的对照。从《周髀算经》《九章算术》、 《海岛算经》到《数书九章》等算经十书其取材都和天文、历算、农业、测量、工程等实用问题。

### 机械化

中国算学有别于希腊数学的特点，是机械化、算法化、和构造性，与希腊数学重逻辑推理相对照。中国算学使用算筹、算盘为工具，以算经中的术文和珠算口诀作为计算程序。中国古代算学家擅长计算，祖冲之精确计算圆周率，领先世界近一千年就是一个很好的例子。明代朱载堉发明十二平均律时，使用80档大算盘，计算开平方，开立方到小数点后25位，又是一例。

### 代数化

中国算学基本特征在于将实用问题（包括几何学问题）代数化，转化为线性方程组、高次多项式方程、或高次多项式方程组。然后运用算具通过刻板的、机械的逐次消元程序求将多元线性方程组、或多元高次方程组转化为单变数式或单变数多项式。再经过机械化的算法和算具求解。这和西方数学讲究“存在性”，“完备性”而不重实用成鲜明的对照。经西汉的张苍、耿寿昌增补和整理成定本的《九章算术》已经详细说明开平方、开立方、和求解线性方程组的算法。宋代秦九韶的 《数书九章》发展了一元高次方程求数值解的程序化、机械化算法。元代朱世杰的 《四元玉鉴》更进一步发展了多至四元的多项式方程组的消元和求解的算法。

## 参考文献

- 吴文俊主编 《中国数学史大系》
- 吴文俊 《数学机械化》前言 《科学出版社》 ISBN 7-03-010765-0
- 郭书春 主编 李兆华副主编 《中国科学技术史》 《数学卷》科学出版社 2010 ISBN 978-7-03-029055-3
- 李约瑟原著，柯林·罗南改编：《中华科学文明史》第二卷第一章。The Shorter Science & Civilisation in China 2, p5, Cambridge University Press, ISBN 0-521-23582-0
- 《李俨.钱宝琮科学史全集》卷1-10 页辽宁教育出版社. 1998
- 王渝生 刘纯主编 《中国数学史大系》卷一至卷十一 河北科学技术出版社
- 邹大海著《中国数学的兴起和先秦数学》《中国数学史大系》河北科学技术出版社
- 孔国平著《李冶朱世杰与金元数学》》《中国数学史大系》河北科学技术出版社
- 劳汉生著《珠算与实用算术》》《中国数学史大系》河北科学技术出版社
- 张奠宙著 《中国近代数学的发展》》《中国数学史大系》河北科学技术出版社
- 三上义夫 《中国算学之特色》绪论 1933年 商务印书馆《万有文库》#0400
- 三上义夫 The Development of Mathematics in China and Japan 1913 Leipzig
- 沈康身编 《算数书解说》，吴文俊主编 《中国数学史大系》副卷第一卷 北京师范大学出版社 2004 ISBN 7-303-05292-5/O
- 杜石然：《数学．历史．社会》（沈阳：辽宁教育出版社，2003）。