幻方

幻方，有时又称魔术方阵（其简称“魔方”现一般指立方体的魔术方块）或纵横图，由一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及每一条主对角线的和均相等。通常幻方由从$1$到$N^2$的连续整数组成，其中$N$为正方形的行或列的数目。因此$N$阶幻方有$N$行$N$列，并且所填充的数为从$1$到$N^2$。

幻方可以使用$N$阶方阵来表示，方阵的每行、每列以及两条对角线的和都等于常数$M_2(N)$，如果填充数为$1,2,\dots,N^2$，那么有

$$M_2(N) = \frac{N(N^2+1)}{2}$$

## 幻方简史

《系辞》云：“河出图，洛出书，圣人则之。”在宋朝之前，洛书的记述只有文字。

九宫图实物最早发现于西汉，1977年中国考古学家在安徽阜阳县双古堆西汉古墓中发现汉文帝七年（前173年）的太乙九宫占盘，乃是中国汉代幻方的实物。东汉《数术记遗》也有记载。

后来陈抟以降认为河图洛书的洛书代表九宫图，为$1,\dots,9$这$9$个数，而$3$行、$3$列以及两对角线上各自的数之和均为15。

## 杨辉纵横图

<image>

南宋数学家杨辉著《续古摘奇算法》把类似于九宫图的图形命名为纵横图，书中列举3、4、5、6、7、8、9、10阶幻方。其中所述三阶幻方构造法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”，比法国数学家Claude Gaspar Bachet提出的方法早三百余年。

## 构造法

根据构造方法的不同，幻方可以分成三类：奇数阶幻方、$4k$阶幻方和$4k+2$阶幻方，其中$M$为自然数，$2$阶幻方不存在。幻方构造法主要有：连续摆数法、阶梯法（楼梯法）、奇偶数分开的菱形法、对称法、对角线法、比例放大法、斯特雷奇法、LUX法、拉伊尔法（基方、根方合成法）、镶边法、相乘法、幻方模式等。

### 奇数阶幻方构造法

#### 右斜角降位法1

假设要建构$n$阶幻方，$n$为奇数。

- 先在第一横列中央的方格填入$1$。
- 向右上方的格子推进，依次填入$2$、$3$、$4$、…、$n^2$，若超过方阵框外，则将数字填入到该横列或该直行的相对位置。
- 若右上方的格子已有数字，则将数字填入下面的格子中。

以下图$5$阶幻方为例，$1$填写在$(1,3)$（第一行第三列）的位置上；$2$应当填写在其右上方格即$(0,4)$中，由于$(0,4)$超出顶边界，所以从最底行进入，即$(5,4)$；$3$填写在$(5,4)$的右上方格$(4,5)$中；$4$填写在$(4,5)$的右上方格$(3,6)$中，由于$(3,6)$超出右边界，所以从最左列进入，即$(3,1)$；$5$填写在$(3,1)$的右上方格$(2,2)$中；$6$应该填写的方格$(1,3)$已经被$1$所占据，因此填写在$(2,2)$的正下方格$(3,2)$中；按照上面的步骤直到所有数填入。

$\begin{bmatrix} 8 & 1 & 6 \\ 3 & 5 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \\ \end{bmatrix}$｜$\begin{bmatrix} 17 & 24 & 1 & 8 & 15 \\ 23 & 5 & 7 & 14 & 16 \\ 4 & 6 & 13 & 20 & 22 \\ 10 & 12 & 19 & 21 & 3 \\ 11 & 18 & 25 & 2 & 9 \end{bmatrix}$｜$\begin{bmatrix} 47 & 58 & 69 & 80 & 1 & 12 & 23 & 34 & 45 \\ 57 & 68 & 79 & 9 & 11 & 22 & 33 & 44 & 46 \\ 67 & 78 & 8 & 10 & 21 & 32 & 43 & 54 & 56 \\ 77 & 7 & 18 & 20 & 31 & 42 & 53 & 55 & 66 \\ 6 & 17 & 19 & 30 & 41 & 52 & 63 & 65 & 76 \\ 16 & 27 & 29 & 40 & 51 & 62 & 64 & 75 & 5 \\ 26 & 28 & 39 & 50 & 61 & 72 & 74 & 4 & 15 \\ 36 & 38 & 49 & 60 & 71 & 73 & 3 & 14 & 25 \\ 37 & 48 & 59 & 70 & 81 & 2 & 13 & 24 & 35 \end{bmatrix}$

$3$阶｜$5$阶｜$9$阶

魔方阵不是唯一的，比如5阶魔方阵还可以是：

$$\begin{bmatrix} 15 & 6 & 19 & 2 & 23 \\ 16 & 12 & 25 & 8 & 4 \\ 9 & 5 & 13 & 21 & 17 \\ 22 & 18 & 1 & 14 & 10 \\ 3 & 24 & 7 & 20 & 11 \end{bmatrix}$$ $5$阶

#### 右斜角降位法2

假设要建构$n$阶幻方，$n$为奇数。

- 先在第一横列中央的方格填入1。
- 向“右$\frac{n-1}{2}$格、上$\frac{n-1}{2}$格”的格子推进，依次填入$2,3,4,\dots,n^2$，若超过方阵框外，则将数字填入到该横列或该直行的相对位置。
- 若右上方的格子已有数字，则将数字填入下面的格子中。

#### 右斜角升位法

假设要建构$n$阶幻方，$n$为奇数。

- 先在中央格的正上方一格的方格填入1。
- 向右上方的格子推进，依次填入$2,3,4,\dots,n^2$，若超过方阵框外，则将数字填入到该横列或该直行的相对位置。
- 若右上方的格子已有数字，则将数字填入上面两格的格子中。

#### 菱形法

假设要建构$n$阶幻方，$n$为奇数。

- 先以对角线为两边，做一个包含$n$阶方阵的菱形方阵，此方阵总共有$2n^2-2n+1$（第$n$个中心正方形数）个格子。
- 从这个菱形方阵中的最上方的尖端格子，由左上往右下，再由右上往左下，依次填入$1,2,3,4,\dots,n^2$。
- 将原先方阵上侧外的格子向下平行移动$n$格，填入原方阵的空格处，相同的步骤，若格子是在下侧，往上移，若格子是在左侧，往右移，若格子是在右侧，往左移。

### 偶数阶幻方构造法

#### 4k阶幻方构造法

##### 消去对角线法

- 将1、2、3、4、…、n2由上到下、再由左到右，依次填入。
- 将方阵以四阶方阵为单位分割（可分割成n2个四阶方阵），然后在每个四阶方阵中，对角线上的数字擦掉。
- 把擦掉的数字由大的数开始，由上到下、再由左到右，依次填入。

##### 保留对角线法

假设要建构n阶幻方，n为4的倍数。

- 将1、2、3、4、…、n2由上到下、再由左到右，依次填入。
- 将方阵以四阶方阵为单位分割（可分割成n2个四阶方阵），然后在每个四阶方阵中，不在对角线上的数字擦掉。
- 把擦掉的数字由大的数开始，由上到下、再由左到右，依次填入。

如4阶幻方的排列法：

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{bmatrix}$ 按如上图排列好，再将非主副对角线上的各个数关于中心对调，即成下图：

$\begin{bmatrix} 1 & 15 & 14 & 4 \\ 12 & 6 & 7 & 9 \\ 8 & 10 & 11 & 5 \\ 13 & 3 & 2 & 16 \end{bmatrix}$ 八阶幻方构造如下$\left[ \begin{array}{cccc|cccc} <pre> \diagdown & \bigstar & \bigstar & \diagup & \diagdown & \bigstar & \bigstar & \diagup \\ \bigstar & \diagdown & \diagup & \bigstar & \bigstar & \diagdown & \diagup & \bigstar \\ \bigstar & \diagup & \diagdown & \bigstar & \bigstar & \diagup & \diagdown & \bigstar \\ \diagup & \bigstar & \bigstar & \diagdown & \diagup & \bigstar & \bigstar & \diagdown \\ \hline \diagdown & \bigstar & \bigstar & \diagup & \diagdown & \bigstar & \bigstar & \diagup \\ \bigstar & \diagdown & \diagup & \bigstar & \bigstar & \diagdown & \diagup & \bigstar \\ \bigstar & \diagup & \diagdown & \bigstar & \bigstar & \diagup & \diagdown & \bigstar \\ \diagup & \bigstar & \bigstar & \diagdown & \diagup & \bigstar & \bigstar & \diagdown \\ </pre> \end{array} \right]$ 即：

$$\begin{bmatrix} <pre> 1 & 63 & 62 & 4 & 5 & 59 & 58 & 8\\ </pre> 56 & 10 & 11 & 53 & 52 & 14 & 15 & 49\\ 48 & 18 & 19 & 45 & 44 & 22 & 23 & 41\\ 25 & 39 & 38 & 28 & 29 & 35 & 34 & 32\\ 33 & 31 & 30 & 36 & 37 & 27 & 26 & 40\\ 24 & 42 & 43 & 21 & 20 & 46 & 47 & 17\\ 16 & 50 & 51 & 13 & 12 & 54 & 55 & 9\\ 57 & 7 & 6 & 60 & 61 & 3 & 2 & 64 \end{bmatrix}$$

#### 4k+2阶幻方构造法

##### LUX法

在(4M+2)×(4M+2）个方格的适当格点上，先排出2M+1阶的幻方。在前M+1行的格点，全部标上“L”；在第M+1行的中间格点标上“U”，其余格点标上“L”；在第M+2行的中间格点标上“L”，其余格点标上“U”；在余下的M-1行的格点全部标上“X”。将格点上的数乘以4再减4，再按下面的规则加上1至4其中一个数，填入对应的格上：

```
 4 1    1 4    1 4
  L      U      X
 2 3    2 3    3 2
```

例子：

```
[ 68  65  96  93   4   1  32  29  60  57 ]
   17L     24L      1L      8L     15L
[ 66  67  94  95   2   3  30  31  58  59 ]

[ 92  89  20  17  28  25  56  53  64  61 ]
   23L      5L      7L     14L     16L
[ 90  91  18  19  26  27  54  55  62  63 ]

[ 16  13  24  21  49  52  80  77  88  85 ]
    4L      6L     13U     20L     22L
[ 14  15  22  23  50  51  78  79  86  87 ]

[ 37  40  45  48  76  73  81  84  9   12 ]
   10U     12U     19L     21U      3U
[ 38  39  46  47  74  75  82  83  10  11 ]

[ 41  44  69  72  97  100  5  8   33  36 ]
   11X     18X     25X      2X      9X
[ 43  42  71  70  99  98   7  6   35  34 ]
```

### 任何阶数的幻方都适用的构造法

#### 艾歆缇雅法

此方法可用来建构任何阶数的幻方，当要建构$n$阶幻方时，使用两个方阵，一个填入正整数$1$到$n$各$n$次，另一个则填入$0,n,2n,3n,\dots,(n-1)n$各$n$次，尽管奇数阶幻方与偶数阶幻方的填入方式有所不同。

对于奇数阶幻方：

第一个方阵：在第一横列中央的方格填入$1$，并且往左下角不断填入$1$，若超出方阵外，则向右平移$n$格，直到每一横列都有一个方格填入$1$为止，再把所有填入$1$的方格右边的格子填入$2$（若超出方阵外，则向左平移$n$格），再把所有填入$2$的方格右边的格子填入$3$，一直到填入$n$为止。

第二个方阵：在第一直行中央的方格填入$0$，并且往右下角不断填入$0$，若超出方阵外，则向上平移$n$格，直到每一直行都有一个方格填入$0$为止，再把所有填入$0$的方格右边的格子填入$n$（若超出方阵外，则向上平移$n$格），再把所有填入$n$的方格右边的格子填入$2n$，一直到填入$(n-1)n$为止。

再把两个方阵中的数相加。

事实上，你可以将这两个方阵中的每一个相同数字都替换为另一个数字，只要这两个方阵中原本有出现的$n$个数字都仍然各出现$n$次即可，唯一的条件是第一个方阵中$\frac{n+1}{2}$这个数字，以及第二个方阵中$\frac{(n-1)n}{2}$这个数字，不能被替换。

对于偶数阶幻方：

第一个方阵：第一直行由上到下依次填入$1$到$n$，第二直行由下到上依次填入$1$到$n$，第三直行与第二直行相同，第四直行与第一直行相同，若超过四直行，则重复第一到第四直行的步骤。

第二个方阵：第一横列由上到下依次填入$0$到$n(n-1)$，第二横列由下到上依次填入$0$到$n(n-1)$，第三横列与第二横列相同，第四横列与第一横列相同，若超过四横列，则重复第一到第四横列的步骤。

此方法暂时只适用于$4k$阶的幻方。

事实上，你可以将这两个方阵中的每一个相同数字都替换为另一个数字，只要这两个方阵中原本有出现的$n$个数字都仍然各出现$n$次即可，唯一的条件是第一个方阵中每个直行相对的两个数字之和必须是$n+1$，以及第二个方阵中每个横列相对的两个数字之和必须是$n(n-1)$。

如果是$4k+2$阶的幻方，就必须在第二个方阵中，检查每个直行相对的两个数字之和为$n(n-1)$的格子，对于这些格子，第一个方阵的对应格子。

#### 加边法

当n为大于等于5的正整数时，此方法可由n-2阶幻方外围加上一圈来构造n阶幻方。

以$6$阶为例子，先排出$4$阶的幻方，如上图，再将图中每一个数都加上$8m+2=10$，有下图：

$\begin{bmatrix} 11 & 25 & 24 & 14 \\ 22 & 16 & 17 & 19 \\ 18 & 20 & 21 & 15 \\ 23 & 13 & 12 & 26 \end{bmatrix}$

在外围加上一圈格子，把$1,2,3,\dots,8m+2$和$16m^2+8m+3,16m^2+8m+4,\dots,(4m+2)^2$这些数安排在外圈格子内，但要使相对两数之和等于$16m(m+1)+5$。对于$m=1$这些数是：$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$；$27,28,29,30,31,32,33,34,35,36$。结果如下：

$$\begin{bmatrix} 1 & 9 & 34 & 33 & 32 & 2 \\ 6 & 11 & 25 & 24 & 14 & 31 \\ 10 & 22 & 16 & 17 & 19 & 27 \\ 30 & 18 & 20 & 21 & 15 & 7 \\ 29 & 23 & 13 & 12 & 26 & 8 \\ 35 & 28 & 3 & 4 & 5 & 36 \end{bmatrix}$$

#### 方阵合成法

当n可以分解成两个大于等于3的正整数a与b的乘积时，此方法可由a阶幻方与b阶幻方来构造n阶幻方。

- 以a(k)表示a阶幻方中的每一个数字加上k*a2的结果，则所有的a(k)都是幻方，且a(0)=原本的a阶幻方。
- 将b阶幻方中的数字k都用幻方a(k-1)取代。

### 编程语言参考实现

#### 四阶幻方全解搜索(C/C++)

```C
#include<stdio.h>
int a[17],b[17],m;
void s(int i)
{  /*搜索全部四阶幻方，C代码,运行时间7秒*/
    int n=0,j=0;
    while(++j<17)
        if(!a[j])
        {
            a[b[i]=j]=1;
            switch(i)
            {
                case 1:case 2:case 3:case 5:case 6:case 7:case 9:case 10:s(i+1);break;
                case 11:if(b[6]+b[7]+b[10]+b[11]==34)s(12);break;
                case 4:case 8:case 12:if(b[i-3]+b[i-2]+b[i-1]+b[i]==34)s(i+1);break;
                case 13:if(b[1]+b[5]+b[9]+b[13]==34&&b[4]+b[7]+b[10]+b[13]==34)s(14);break;
                case 14:case 15:if(b[i-12]+b[i-8]+b[i-4]+b[i]==34)s(i+1);break;
                case 16:for(printf("\n"),++m;++n<17;n%4?0:printf("\n"))printf("%2d ",b[n]);
             }
             a[j]=0;
        }
}
int main(void)
{
    s(1);
    printf("四阶幻方总数量:%d(含旋转反射相同)",m);
    return 0;
}
```

#### 奇数阶幻方算法的Java语言实现

```java
/**
* @author: contribute to wikipedia according GNU
* @description:用于创建奇数阶的幻方
*/

public class magic_squre_odd {
       static int[][]  matrix;
       static int   n;
       public static void magic_squre_odd_generate()
       { matrix = new int[n][n];
         //所有的数初始化为0

         matrix[0][(n-1)/2] = 1;
         int x = 0,y = (n-1)/2;

         //count:记住已经插入过的数
          for(int count = 2; count<=n*n;count++)
          while(true)
          {
          //先x-1 y+1
        	  x--;
        	  y++;

        	  //判断是否可以插入
          	  while(true)
                 {//循环判断是否越界，直到一个地方不越界为止
                    //判断是否越界：
                    //越上界x<0，则移到最下方x=x+n，y不变; continue
                   if(x<0)
                   {
                   	x += n;
                   	continue;
                   }

                   //越右界y>=n，则y=y-n，x不变;continue
                   if(y>=n)
                   {
                   	y -= n;
                   	continue;
                   }

        	    //循环判断是否该位置已经有数据，直到找到一个空位
                      //如果有数据，则移到x = x + 2;y = y - 1; continue
                   if (y<0){y+=n;continue;}
                   if(matrix[x][y] != 0 )
                   {
                   	x += 2;y -= 1;
                   	if (x>=n){x-=n;continue;}
                   	if (y<0){y+=n;continue;}
                   	continue;
                   }
                   break;
                 }

                 //将当前的count值赋给选出的空位
                      matrix[x][y]= count;
                      break;
         }
       }

       public static void print()
       {
        	for(int i = 0; i < n; i++)
        	{
        		for(int j = 0; j < n; j++)
        	    {
        			//System.out.println(matrix[i][j]);
        			System.out.print(matrix[i][j]);
        			System.out.print("_");
        	    }
        		System.out.println();
        	}
       }

       public  static void main(String[] args)
       {   //手工输入n的值，并确保为奇数
             n = 11;
           magic_squre_odd_generate();
           print();
       }
}
```

以下是本算法将n设置为11时得出的11阶幻方的构造结果：

```
68 81 94 107 120 1 14 27 40 53 66
80 93 106 119 11 13 26 39 52 65 67
92 105 118 10 12 25 38 51 64 77 79
104 117 9 22 24 37 50 63 76 78 91
116 8 21 23 36 49 62 75 88 90 103
7 20 33 35 48 61 74 87 89 102 115
19 32 34 47 60 73 86 99 101 114 6
31 44 46 59 72 85 98 100 113 5 18
43 45 58 71 84 97 110 112 4 17 30
55 57 70 83 96 109 111 3 16 29 42
56 69 82 95 108 121 2 15 28 41 54
```

#### 4阶幻方算法的Java语言实现

```java
 /**
 * @author: contribute to wikipedia according GNU
 * @description:用于创建4阶的幻方
 *
 */

 public class magic_square_4m {

 	/**
 	 * @param args
 	 */
 	static int  matrix[][];
 	static int   n;

 	static void magic_squre_4m_generate()
 	{
 	  //初始化matrix
 		matrix = new int[n][n];

 	  //将matrix里的位置用数顺序排列
 	  int ini = 0;
 	  for(int i = 0; i < n; i++)
 		  for(int j = 0; j < n; j++)
 			  matrix[i][j] = ++ini;
 		
 	  //输出对调前的样子
 	  System.out.println("对调之前的样子：");
 	  print();
 	
 	  //然后对调（仅对右上方的数进行遍历）
 	  for(int i = 0; i < n; i++)
 	      for(int j = i + 1; j < n; j++)
 	      {
 	    	  if(( i != j) && (i + j) != (n -1) )
 	    	  {   //对不在主付对角线上的数关于中心对调
 	    		  int temp;
 	    		  temp = matrix[i][j];
 	    		  matrix[i][j] = matrix[n -1 - i][n - 1 - j];
 	    		  matrix[n -1 - i][n - 1 - j] = temp;
 	    	  }
 		  }
 	}
 	
 	public static void print()
 	{
 		for(int i = 0; i < n; i++)
 		{
 			for(int j = 0; j < n; j++)
 		    {
 				System.out.print(matrix[i][j]);
 				System.out.print("_");
 		    }
 			System.out.print("\n");
 		}
 	}
 	
 	public static void main(String[] args) {
         //这里手动设置n的数值为4，这里只能设置为4，因为只求4阶幻方	
 		n = 4;
 		magic_squre_4m_generate();
 		System.out.println("对调之后的样子：");
 		print();
 	}
 }
 
```

以下是本算法输出的结果：

```
对调之前的样子：
1_2_3_4_
5_6_7_8_
9_10_11_12_
13_14_15_16_
对调之后的样子：
1_15_14_4_
12_6_7_9_
8_10_11_5_
13_3_2_16_
```

## 研究价值

知名华人数学家陈省身曾在数学演讲中说幻方只是一个奇迹，它在数学中没有引起更普遍深刻的影响，不属于“好的数学”。

对幻方的学习和研究一直局限于趣味数学本身，更接近数字游戏或文字游戏，缺乏与主流数学的联系(和璇玑图在中国诗歌中的地位有一些相似)。数学和物理中也有具有更多学术价值的特殊数字方阵，如推动了试验设计研究的拉丁方阵和已有应用的阿达玛矩阵，还有在量子力学中有重要价值的泡利矩阵及其推广版本盖尔曼矩阵。魔术方块则可以与群论建立联系(见魔方群)，可以作为抽象代数的入门教具，也是计算群论的研究案例之一，并非单纯的几何玩具。高性能的计算机诞生后，幻方、幻星、素数环(prime ring problem)等很多这类需要满足特殊规律的填数问题，只要所需的数字规模不大，都可以考虑通过深度优先搜索算法暴力求解和枚举。

## 艺术与流行文化

- 德国画家与雕刻家阿尔布雷希特·丢勒曾在一幅名作《忧郁》(Melencolia I)的角落中画下一个幻方。这个著名的幻方图也被知名工程数学软件MATLAB加入自己的帮助文档中。