同调

数学上（特别是代数拓扑和抽象代数），同调 （homology，在希腊语中homos = 同）是一类将一个可换群或者模的序列和特定数学对象（例如拓扑空间或者群）联系起来的过程。背景知识请参看同调论。

对于一个特定的拓扑空间，同调群通常比同伦群要容易计算得多，因此通常来讲用同调来辅助空间分类要容易处理一些。

## 同调群的构造

其过程如下：给定对象$X$，首先定义链复形，它包含了$X$的信息。一个链复形是一个由群同态联系起来的可换群或者模$A_0,A_1,A_2,\dots$的序列，群同态$d_n : A_n \rightarrow A_{n-1}$满足任何两个相连的同态的复合为0: $d_n \circ d_{n+1} = 0$对于所有$n$成立。这意味着第$n+1$个映射的像包含在第$n$个映射的核中，我们定义$X$的$n$阶同调群为商群（商模）

$$H_n(X) = \mathrm{ker}(d_n) / \mathrm{im}(d_{n+1}).$$

链复形称为正合的，如果（$n+1$）阶映射的像总是等于$n$阶映射的核。因此$X$的同调群是衡量$X$所关联的链复形离正合有“多远”的障碍。

## 非正式的例子

非正式地，拓扑空间X的同调是X的拓扑不变量的集合，用其同调群来表示

$$H_0(X), H_1(X), H_2(X), \ldots$$

其中第$k$个同调群$H_k(X)$描绘了$X$中的$k$维圈 (cycle)，实现为$k+1$维圆盘边界 (boundary) 的障碍。0维同调群刻画了两个零维圈，也即点，实现成一维圆盘，也即线段的边界的障碍，因此$H_0(X)$刻画了$X$中的道路连通分支。

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一维球面 $S^1$是一个圆。它有一个连通分支和一个一维圈，但没有更高维圈。其对应的同调群由下式给出

$$H_k(S^1) \cong \begin{cases} \mathbb Z & k=0, 1 \\ 0 & k \neq 0, 1 \end{cases}$$

其中$\mathbb Z$表示整数加群，$0$表示平凡群。$H_1(S^1) \cong \mathbb Z$表示$S^1$的一阶同调群为由一个元素生成的有限生成阿贝尔群，其唯一的生成元表示圆中包含的一维圈。

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二维球面$S^2$有一个连通分支，零个一维圈，一个二维圈（即球面），无更高维的圈，其对应的同调群为

$$H_k(S^2) \cong \begin{cases} \mathbb Z & k=0, 2 \\ 0 & k \neq 0, 2 \end{cases}$$

一般地，对$n$维球面$S^n$，其同调群为

$$H_k(S^n) \cong \begin{cases} \mathbb Z & k=0, n \\ 0 & k \neq 0, n \end{cases}$$

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二维实心球$B^2$有一个道路连通分支，但与圆不同的是，$B^2$没有一维或更高维的圈，其对应的同调群除了零阶同调群$H_0(B^2) \cong \mathbb Z$以外，其余阶的同调群均为平凡群。

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环面被定义为两个圆$T^2 = S^1 \times S^1$的笛卡尔积。环面有一个道路连通分支，两个独立的一维圈（在图中以红圈和蓝圈分别标出），以及一个二维圈（环面的内部）。其对应的同调群为

$$H_k(T^2) \cong \begin{cases} \mathbb Z & k=0, 2 \\ \mathbb Z\times \mathbb Z & k=1 \\ 0 & k \geq 3 \end{cases}$$

两个独立的一维圈组成了一组有限生成阿贝尔群的独立生成元，表示为笛卡尔积群$\mathbb Z\times \mathbb Z$.

## 例子

引入同调的概念可以用单纯复形$X$的单纯同调：设$C_n$为$X$中的$n$维可定向单纯形生成的自由交换群或者模，映射$\partial_n:C_n\rightarrow C_{n+1}$映射称为边缘映射 (boundary map)，它将$n$维单纯形

$$\sigma:\Delta^n\rightarrow X$$

映射为如下交错和

$$\sum_{i=0}^n (-1)^i\sigma|_{[e_0,\ldots,e_{i-1},e_{i+1},\ldots,e_n]}.$$

其中$\sigma|_{[e_0,\cdots,e_{i-1},e_{i+1},\cdots,e_n]}$表示$\sigma$限制在$e_0,\cdots,e_{i-1},e_{i+1},\cdots,e_n$对应的面 (face)上。如果我们将模取在一个域上，则$X$的$n$阶同调的维数就是$X$中$n$维圈的个数。

仿照单纯同调群，可以定义任何拓扑空间$X$的奇异同调群。我们定义$X$的上同调的链复形中的空间为$A_n$为自由交换群（或者自由模），其生成元为所有从$n$为单纯形到$X$的连续函数。同态$d_n$从单纯形的边缘映射得到。

同调代数中，同调用于定义导出函子，例如，Tor函子。这里，我们可以从某个可加协变函子$F$和某个模$X$开始。$X$的链复形定义如下：首先找到一个自由模$F_1$和一个满同态$p_1 : F_1 \rightarrow X$。然后找到一个自由模$F_2$和一个满同态$p_2 : F_2 \rightarrow \mathrm{ker}(p_1)$。以该方式继续，得到一个自由模$F_n$和同态$p_n$的序列。将函子$F$应用于这个序列，得到一个链复形；这个复形的同调$H_n$仅依赖于$F$和$X$，并且按定义就是$F$作用于$X$的n阶导出函子。

## 同调函子

链复形构成一个范畴：从链复形$(d_n : A_n \rightarrow A_{n-1})$到链复形$(e_n : B_n \rightarrow B_{n-1})$的态射是一个同态的序列$(f_n : A_n \rightarrow B_n)$，满足$f_{n-1} \circ d_n = e_{n-1} \circ f_n$对于所有$n$成立。$n$阶同调 $H_n$可以视为一个从链复形的范畴到可换群（或者模）的范畴的协变函子。

若链复形以协变的方式依赖于对象$X$（也就是任何态射$X \rightarrow Y$诱导出一个从$X$的链复形到$Y$的链复形的态射），则$H_n$是从$X$所属的范畴到可换群（或模）的范畴的函子。

同调和上同调的唯一区别是上同调中的链复形以逆变方式依赖于$X$，因此其同调群（在这个情况下称为上同调群并记为$H^n$）构成从$X$所属的范畴到可换群或者模的范畴的逆变函子。

## 性质

若$(d_n : A_n \rightarrow A_{n-1})$是链复形，满足出有限个$A_n$外所有项都是零，而非零的都是有限生成可换群（或者有限维向量空间），则可以定义欧拉示性数

$$\chi = \sum (-1)^n \,\mathrm{rank}(A_n)$$

（可换群采用阶而向量空间的情况采用哈默尔维数）。事实上在同调水平上也可以计算欧拉示性数:

$$\chi = \sum (-1)^n \,\mathrm{rank}(H_n)$$

特别地，在代数拓扑中，欧拉示性数$\chi$是拓扑空间的重要不变量。

此外，每个链复形的短正合序列

$$0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0$$

诱导一个同调群的长正合序列

$$\cdots \rightarrow H_n(A) \rightarrow H_n(B) \rightarrow H_n(C) \rightarrow H_{n-1}(A) \rightarrow H_{n-1}(B) \rightarrow H_{n-1}(C) \rightarrow H_{n-2}(A) \rightarrow \cdots \,$$

这个长正合序列中的所有映射由链复形间的映射导出，除了映射$H_n(C) \rightarrow H_{n-1}(A)$之外。后者称为连接同态，由蛇引理给出。

## 参考文献

- 有仔细讨论单复形、流形的同调论、奇异同调等。