数

数是一个用作计数、标记或用作量度的抽象概念，是用以比较同质性或同属性物件等级的简单符号记录形式（或称度量）。因此，“数”是“量”的抽象化，数是用来界定某物件的量与一单位量的关系；用集合的概念来说，数是相似的类所构成的集合，其由各种物件中抽象而得，例如5个人、5升、5小时等相似的类（所有5个量的物件）所构成的集合，用5表示之。

“纯数”是一历史术语，相对于“名数”（concrete number），前者为“无量纲之数”，后者是“带单位之数”。但现代国际标准与新课标已摒弃这些名称或此二分法，而使用“数”和“量”表述。

代表“数”的一系列符号，包括数字、运算符号等统称为记数系统。在日常生活中，数通常出现在在标记（如公路、电话和门牌号码）、序列的指标（序列号）和代码（ISBN）上。在数学里，数的定义延伸至包含如如分数、负数、无理数、超越数及复数等抽象化的概念。

起初人们只觉得某部分的数是数，后来随着需要，逐步将数的概念扩大；例如毕达哥拉斯认为，数必须能用整数和整数的比表达的，后来发现无理数无法这样表达，引起第一次数学危机，但人们渐渐接受无理数的存在，令数的概念得到扩展。

数的算术运算（如加减乘除）在抽象代数这一数学分支内被广义化成抽象数字系统，如群、环和体等。

## 数的类别

数可以被分类为数系的集合内。对于以符号表示数的不同方式，则请看记数系统。

### 自然数

最常用的数为自然数，有些人指正整数，有些人则指非负整数。前者多在数论中被使用，而在集合论和电脑科学中则多使用后者的定义。

在十进制数字系统里，自然数的标记符号为0至9等十个数字，将以十为基数的进位制使用在大于九的数上。

因此，大于九的数会有两个或两以上的位数。表示所有自然数的集合为ℕ、$\mathbb{N} \ $。

### 整数

负整数是小于 0 的整数，通常在其前面加上一负号(−)，来表示其为正整数的对立。

例如，若一个正整数是用来表示距一定点 0 右边多少的距离，则一个负整数即表示距此定点 0 左边多少的距离。

相似地，若一正整数表示一银行存款，则一负整数即表示一银行提款。

负整数、正整数和零三者即合称为整数ℤ、$\mathbb{Z} \ $（德语 Zahl 的缩写）。

### 有理数

有理数是指可以被表示成整数分子($\mathit{m}$)和非零整数分母($\mathit{n}$)的分数的数，即$\tfrac{m}{n}$，其代表 1 被分做相同的$\mathit{n}$份，再取$\mathit{m}$份后的量。两个不同分数可能会对应到相同的有理数，如：$\tfrac{-10}{-20} =\tfrac{2}{4} = \tfrac{1}{2}$。若$\mathit{m}$的绝对值大于$\mathit{n}$的绝对值时，其分数的绝对值会大于 1。分数可以是正的、负的、或零。所有分数所组成的集合包含有整数，因为每一个整数都可以写成分母为 1 的分数。有理数的符号为ℚ，$\mathbb{Q}$（quotient 的缩写）。

### 实数

不严谨地说，实数可以和一连续的直线数线视为同一事物。

所有的有理数都是实数，实数也包含无理数。

所有实数可以分成正数、零和负数。

实数可以被其数学性质独特地描绘出：它是唯一的一个完备全序体。

但它不是个代数闭域。

十进制数是另一种能表示数的方式。

在以十为底的数字系统内，数可以被写成一连串的数字。

且在个位数右边加上句号（小数点）（在美国和英国等地）或逗号（在欧洲大陆），负实数则在再前面加上一个负号。以十进制标记的有理数，其位数会一直重复或中断（虽然其后面可以加上任意数量的零），而0是唯一不能以重复位数定义的实数。例如，分数$\frac{5}{4}$能够写做中断位数的十进制数1.25，也能写做重复位数的十进制数1.24999...（无限的9）。

分数$\frac{1}{3}$只能够写做 0.3333...（无限的3）。

所有重复与中断的十进制数定义了能被写成分数的有理数。

而不像重复与中断的十进制数一般，非重复且非中断的十进制数代表无理数，不能被写成分数的数。

例如，著名的数学常数，$\pi$（圆周率）和$\sqrt{2}$都是无理数，表示成十进制数 0.101001000100001...的实数也是无理数，因为其表示不会重复，也不会中断。

实数由所有能被十进制数表示的数所组成，不论其为有理数或无理数。

另外，实数也可以分为代数数和超越数。

其中超越数一定是无理数且有理数一定是代数数，其他则不一定。

实数的符号为$\mathbb{R}\ $ℝ(Real的缩写)。

实数可以被用来表示量度，而且对应至数线上的点。

当量度只可能精准至某一程度时，使用实数来表示量度总是会有一些误差。

这一问题通常以取定一适当位数的有效数字来处理。

### 复数

移动到更多层次的抽象化时，实数可以被延伸至复数$\mathbb{C}$。

历史上，此数的诞生源自于如何将负1取平方根的问题。

从这一问题，一个新的数被发现了：-1的平方根。

此数被标记为i，由莱昂哈德·欧拉介绍出的符号。

复数包含了所有有$a+bi$形式的数，其中$a$和$b$是实数。

当$a$为零时，$a+bi$被称为虚数。

相同地，当$b$为零时，$a+bi$为实数，因为它没有虚数部分。

一个$a$和$b$为整数的复数称为高斯整数。

复数是个代数闭域，即任一复数系数的多项式都能有解。

复数也可以对应至复数平面上的点。

上述就提到的各个数系，每个都是下一个数系的子集。

以符号来表示的话，即为$\mathbb{N} \sub \mathbb{Z} \sub \mathbb{Q} \sub \mathbb{R} \sub \mathbb{C}$。

### 其他类型

Superreal, 超实数和超现实数加上无限小和无限大两种数来延伸实数，但依然是体。

- 四元数
- 八元数
- 十六元数
- P进数

## 表示方式

- 分数
- 小数
- 科学记数法
- 数字系统
- 进位制

## 记数系统

数和以符号来表示数的记数系统不同。

五可以表示成十进制数5和罗马数字V。

记数系统在历史上的重要发展是进位制的发展。

如现今的十进位制，可以用来表示极大的数。

而罗马数字则需要额外的符号来表示较大的数。

记数系统是指用何种方式来记录数的系统，可以是符号形式，也可以是实物形式。

无论符号记数还是实物记数。

如今都抽象成了数码的有序左右排列形式，并且认定左面的数码是右面数码的N倍（N是一个大于1的自然数），这就是N进制记数法，简称为N进制。N＝2、3、4、5、8、10、16、...的进制，就分别称为二进制、三进制、四进制、五进制、八进制、十进制、十六进制、...各种进制数之间可以转化。

例如二进制的10111和十进制的23可以相互转化。

人们熟悉十进制，目前电子机器记数使用二进制，将来出现四进制的量子态记数方式也未必可知。

记数系统中使用的占位符号叫数码，N进制的数码所代表的数从0到N-1，分别用0、1、2、...、@来记，其中@代表的数是N-1，是最大数码。

例如十六进制使用的数码是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F，十六进制的最大数码@就是“F”。

用数码左右排列的数如果认定某数码间的位置有一个小数点，就可以表示具有小数部分的数。

小数点左移一位，该数就缩小N倍，相反则该数扩大N倍。

人们习惯用“-”放在数码排列的最左面来表示负数，例如十进制的-675.76。

机器表示正负数一般不用“+”、“-”，而使用限位数的方法。限位数就是数码位数固定的数。

例如，3位十进制数共有1000个，只能是000～999，不可能出现其他的表示。

如果认定某位置有小数点，这1000个数就可以表示具有小数部分的数。

限位数可以不用“+”、“-”就可以表示正负数，方法是将所有能表示出来的数按着大小分为对称的两部分。

对称的规则是“表示的两整数之和是数的总数”。

较大的那个对称数就表示较小那个对称数的相反数。

这种规定之下，3位十进制数的501～999就可以认定是负数-499～-1，由于500自身对称，去掉二义性。

规定500就表示是“-500”，这就是对称制（类似2补数表示法）。对称制中偶进制的负数会比正数多一个。

因而表数正负数的区间不对称，但N是奇数时，表数区间是对称的。对称制适合机器数值计算。

## 历史

### 整数的历史

#### 第一个数

数的第一次使用可回溯到大约公元前三万年前。

当计数符号被旧石器时代的人使用的时期。

现今所知最早的一个例子在南非的一个洞穴内。此一系统没有进位制的概念（如现今所用的十进位制），这使得它表示大数的能力受到了限制。

现今所知最早有进位制的系统则是美索不达米亚的六十进位制（约公元前3400年）。

而最早的十进位制在公元前3100年的埃及。

#### 0的历史

把零当成数来使用和其在进位制中当占位标记不同。

许多的古印度人使用梵文Shunya来指虚无这一概念。

而在数学文章内，这一词则常被拿来指零这一数。

波你尼（Pāṇini，公元前5世纪）在其以梵文写形式文法的书－八章书（Ashtadhyayi）里，使用了无效（零）算子。

文献显示古希腊似乎不确定零做成一个数的地位：

他们问自己"无物如何变成有物"，因而导致有趣的哲学问题。

在中世纪时，零和真空的性质和存在甚至成了宗教上的争论。

埃利亚人芝诺的悖论很大一部分便依靠在对零不确定的解释上。（古希腊人甚至怀疑过1是否是一个数。）

墨西哥中南部奥尔梅克文明晚期的人民已在新大陆上开始使用真正的零。

其时间可能是在公元前4世纪，但较肯定的是在公元前40年，它变成了玛雅数字和玛雅历的一部分。

但完全没有影响到旧大陆的记数系统。

公元130年时，托勒密被喜帕恰斯和巴比伦人在六十进位制里使用了零的符号（小圆圈加上一长上标线）所影响，将其使用在希腊数字上。因为它只是单独使用，而非做为一占位符，希腊的零是旧大陆第一个做为书写使用的真正的零。而在之后的拜占庭抄本上，希腊的零才演变成了希腊字母Ο（另外它也有70的意思）。

另一真正的零在公元525年被使用在以罗马数字编制的表格上（狄奥尼修斯·伊希格斯是现知第一位使用者），但当时是使用意思为无物的一个名词nulla，而非一个符号。当除法把零视为余数时，则使用另一意思也是无物的词nihil。中世纪的零被所有中世纪计算复活节的计算家们使用着。其首字母 N 的单独使用是在公元725年由圣比德或其同僚在罗字数字的表格上使用，一个真正的零的符号。

零的一个早期书写使用是于公元628年由婆罗摩笈多（写于宇宙的开始（Brāhmasphuṭasiddhānta））所使用的。他把零视为一个数，并讨论包含零的运算，包括除法。在同一时期（西元七世纪），其概念已很清楚地传到了柬埔寨，后来显示其观念的文书更传到了中国和伊斯兰世界。

#### 负数的历史

负数的抽象概念早在公元前100年至50年间就被确认过了。中国的九章算术里就提到寻找图形面积的方法：以红色棒子来标记正数，黑色来标记负数。这是负数在东方最早被提及的记录。而西方的第一次论述则是在西元三世纪的希腊，丢番图在其著作Arithhmetica里提及一个和$4x+20=0$（其解为负数）相等的方程，且说这个方程会给出荒谬的解答。

在西元七世纪间，负数在印度被用来表示负债。丢番图先前的论述被印度数学家婆罗摩笈多在宇宙的开始中讨论的更详尽，他使用负数来产生公式解，到现在还依然被使用着。但到了公元12世纪的印度，婆什迦罗第二在得出一元二次方程的负根之后，却还说这一负值“在此例不被采用，因为它不适合；人们不会同意有负根的。”

大多数的欧洲数学家直到西元十七世纪仍不接受负数的概念，虽然斐波那契允许负数在金融问题上被解释为负债，后来又允许视为损失。负数在欧洲的第一次被使用是在西元十五世纪被尼古拉斯·丘凯所使用的。他把负号加上数的右上方（幂的位置）上来表示负数，但也说这些负数是“荒谬的数”。亚诺用$(-1):1=1:(-1)$这个比例式来反对引进负数这个概念，在这个比例式中，大数比小数等于小数比大数。

十七世纪，数学家沃利斯主张负数会大于无限，而且一般的实作应该忽略任何由题目导出的负数，因为它们是无意义的。

### 有理数、无理数和实数的历史

#### 有理数的历史

有理数的概念，相信起源于史前时期。就连古埃及的数学手稿中已经出现了将一般的分数转换成古埃及分数的方法。古希腊和古印度数学家也将有理数理论的研究作为一般数论研究的一部分。其中最有名的是公元前300年左右的欧几里得的几何原本。在古印度手稿中与此最为相关的则是研究数论的Sthananga Sutra。

小数的概念与十进制记号有紧密的关系；它们似乎是串联地发展的。比如说，在印度耆那教的箴言集就提到了$\pi$和2的算术平方根。

### 复数

最早但短暂论及负数平方根的是在西元一世纪希腊数学家和发明家希罗的工作中，当他在思考一金字塔可能的平截头体体积时。复数在西元十六世纪开始变得很显著，因为意大利数学家（见塔塔利亚和卡尔达诺）所发现三次及四次多项式的公式解。这一公式很快就被知道，而即使只注意实数解的部分，有时也会有需要操作负数平方根的时候。

这使人感到双倍的不安，因为当时连负数都不被认为是很牢固的了。虚（imaginary）这一词因此在1637年被笛卡尔创造出来，并且带有些许贬义（参考虚数中讨论复数真实性的部分）。更令人困惑的来源是等式$\sqrt{-1}^2=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=-1$似乎任性地不和代数恒等式$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$相合，而这一代数恒等式却是在$a$和$b$都是正数时成立，而且也在$a$和$b$一正一负时可以被使用在复数计算上。这一恒等式（和另一相关的恒等式$\frac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{\frac{1}{a}}$）在$a$和$b$皆为负数时的错误使用甚至使得莱昂哈德·欧拉感到迷惑。这一困难最终导致他使用一特别的符号$i$来取代$\sqrt{-1}$来警惕此一错误。

观看十八世纪时亚伯拉罕·棣莫弗和莱昂哈德·欧拉的工作。棣莫弗于公元1730年完成了以他为名的著名公式，棣莫弗定理：

$$(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta \,$$

而欧拉则在公元1748元完成复数分析中的欧拉公式：

$$\cos \theta + i\sin \theta = e ^{i\theta }. \,$$

复数的存在在公元1799年由卡斯帕尔·韦塞尔提出了几何解释之前都没有被完全地接受，这一解释在几年后被高斯重新发现并普及，结果使复数理论得到了显要的扩张。复数图像表示的概念早在1685年便在沃利斯的De Algebra tractatus一书中提及。

也是在1799年，高斯提出了第一个广为人接受的代数基本定理证明，表示任一复数系数多项都有完全的复数解。复数理论被广泛地接受，奥古斯丁·路易·柯西和尼尔斯·阿贝尔的工作也占了很大的功劳，尤其是后者，他是第一个大胆成功使用复数的人。

高斯研究过高斯整数（$a+bi$中的$a$和$b$是整数或有理数）。而其学生费迪南·艾森斯坦则研究过$a+b\omega$中的ω是$x^3-1=0$复数根的类型。其他种类的复数还有由较大$k$值的单位根$x^k-1=0$推出的类型。其普遍化大部分归功于恩斯特·库默尔的工作，他也引进了理想数的概念，它在1893年被菲利克斯·克莱因表示成几何实体。域的一般理论由埃瓦里斯特·伽罗瓦创造出来，他主要在研究由多项式方程$F(x)=0$产生出来的体。

公元1850年，皮瑟成功地把极点（pole）和分支点（branch point）区别出来，而且引起了数学奇点的概念，这一概念最终导致出了黎曼球的概念。