马克士威方程组

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马克士威方程组（Maxwell's equations），或称马克士威-黑维塞方程组（Maxwell-Heaviside equations），是一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。该方程组由四个方程式组成，分别是描述电荷如何产生电场的高斯定律、表明磁单极子不存在的高斯磁定律、解释时变磁场如何产生电场的法拉第感应定律，以及说明电流和时变电场怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律。马克士威方程组是因英国物理学家詹姆斯·马克士威而命名。马克士威在19世纪60年代构想出这方程组的早期形式。

在不同的领域会使用到不同形式的马克士威方程组。例如，在高能物理学与引力物理学里，通常会用到时空表述的马克士威方程组版本。这种表述建立于结合时间与空间在一起的爱因斯坦时空概念，而不是三维空间与第四维时间各自独立展现的牛顿绝对时空概念。爱因斯坦的时空表述明显地符合狭义相对论与广义相对论。在量子力学里，基于电势与磁势的马克士威方程组版本比较获人们青睐。

自从20世纪中期以来，物理学者已明白马克士威方程组不是精确规律，精确的描述需要借助更能显示背后物理基础的量子电动力学理论，而马克士威方程组只是它的一种经典场论近似。尽管如此，对于大多数日常生活中涉及的案例，通过马克士威方程组计算获得的解答跟精确解答的分歧甚为微小。而对于非经典光、双光子散射、量子光学与许多其它与光子或虚光子相关的现象，马克士威方程组不能给出接近实际情况的解答。

从马克士威方程组，可以推论出光波是电磁波。马克士威方程组和劳仑兹力方程式是经典电磁学的基础方程式。得益于这一组基础方程式以及相关理论，许多现代的电力科技与电子科技得以被发明并快速发展。

## 概论

马克士威方程组是由四个一阶线性偏微分方程共同组成。虽然一阶与线性都是良好的数学性质，除了具有高度对称性的案例以外，通常找不到它的解析解，因此必须使用数值方法来找到它的数值解。但由于电动力学是一种线性理论，可以利用叠加原理来求解。电动力学是线性理论。假设源电荷与源电流为（$\rho_1$、$j_1$）、（$\rho_2$、$j_2$）的两个电系统，其解答分别为（$E_1$、……、$B_1$）与（$E_2$、……、$B_2$），则按照叠加原理，源电荷与源电流为（$\rho_1+\rho_2$、$j_1+j_2$）的电系统，其解答为（$E_1+E_2$、……、$B_1+B_2$）。

### 高斯定律

高斯定律描述电场是怎样由电荷生成。电场线开始于正电荷，终止于负电荷。从估算穿过某给定闭曲面的电场线数量，即电通量，可以得知包含在这闭曲面内的总电荷。更详细地说，该定律描述穿过任意闭曲面的电通量与这闭曲面内的电荷数量之间的关系。

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### 高斯磁定律

高斯磁定律表明，磁单极子（磁荷）并不存在于宇宙。在实验方面，物理学者迄今仍尚未发现磁单极子存在的明确证据。由物质产生的磁场是被一种称为偶极子的位形所生成。磁偶极子最好是用电流回路来表示。磁偶极子好似不可分割地被束缚在一起的正磁荷和负磁荷，其净磁荷为零。磁场线没有初始点，也没有终止点。磁场线会形成循环或延伸至无穷远。换句话说，进入任何区域的磁场线，也必须从那区域离开。以术语来说，通过任意闭曲面的磁通量等于零，磁场是一个螺线向量场。

部分学者认为这个定律没有名字或称之为无自由磁单极子定律。

### 法拉第感应定律

法拉第感应定律描述时变磁场怎样感应出电场。电磁感应是许多发电机的运作原理。例如，一块旋转的条形磁铁会产生时变磁场，这又会生成电场，使得邻近的闭循环因而感应出电流。

### 马克士威-安培定律

马克士威-安培定律阐明，磁场可以用两种方法生成：一种是靠电流（最初安培定律描述的方法）产生，另一种是靠随时间变化的电场（马克士威修正项描述的方法）产生。在电磁学里，马克士威修正项意味着时变电场可以生成磁场，而由于法拉第感应定律，时变磁场又可以生成电场。这样，如果时变电场恰好产生变磁场，则根据这两个方程式，这种相互产生的电场和磁场（即电磁波）将可以自我持续在空间里传播（更详尽内容，请参阅条目电磁波方程式）。

## 方程组汇览

这里展示出马克士威方程组的两种等价表述：微观表述与宏观表述。

微观表述专门计算在真空中原子尺度的有限源电荷与有限源电流所产生的电场与磁场。物质可以视为由点电子与点原子核所组成，而内部其它大部分空间都是真空。但是，由于电子与原子核的数量很大，实际而言，无法一一纳入计算。事实上，古典电磁学也不需要过度精确的答案。使用微观马克士威方程组有两个主要目的，一是推导出宏观马克士威方程组，二是从原子性质估算出宏观物质参数，例如电容率、磁导率等等。微观表述可以给出很多宏观表述所无法给出的极具价值的信息。

宏观表述不将物质内部的原子结构纳入考量，而是将物质视为一种连续性介质，其性质决定于电容率、磁导率等等宏观物质参数。从做实验可以获得宏观物质参数与物质的本质、密度、温度等等的关系。宏观马克士威方程组可以用来预测带电粒子、电场与磁场的平均性质。采用这种表述会使得在介电质或磁化物质内各种物理计算更加简易。

采用不同的单位制，马克士威方程组的形式会稍微有所改变，大致形式仍旧相同，只是不同的常数会出现在方程式内部不同位置。国际单位制(SI)是最常使用的单位制，在工程学、化学领域大多都采用这种单位制，大学物理教科书也几乎都使用这种单位制。其它常用的单位制有高斯单位制、洛伦兹-亥维赛单位制和普朗克单位制。由厘米-克-秒制衍生的高斯单位制，比较适合于教学用途，能够使得方程式看起来更简单、更易懂。稍后会详细阐述高斯单位制。劳仑兹-黑维塞单位制也是衍生于厘米-克-秒制，主要用于粒子物理学。普朗克单位制是一种自然单位制，其单位都是根据大自然的性质定义，不是由人为设定。普朗克单位制是研究理论物理学非常有用的工具，能够在理论论述里给出很大的启示。

在本条目中，除非特别指出，所有方程式都采用国际单位制。

### 在真空里的马克士威方程组

名称｜微分形式｜积分形式

高斯定律｜$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}$｜${\scriptstyle\mathbb{S}}$ $\mathbf E\cdot\mathrm{d}\mathbf{s} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$

高斯磁定律｜$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$｜${\scriptstyle\mathbb{S}}$ $\mathbf B\cdot\mathrm{d}\mathbf{s} = 0$

法拉第电磁感应定律｜$\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$｜$\oint_{\mathbb{L}}\ \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= - \frac {\mathrm{d} \Phi_\mathbf{B}}{\mathrm{d} t}$

马克士威-安培定律｜$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ $｜$\oint_{\mathbb{L}}\ \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= \mu_0 I + \mu_0 \varepsilon_0 \frac {\mathrm{d} \Phi_\mathbf{E}}{\mathrm{d} t}$

这种形式的马克士威方程组又称为“微观马克士威方程组”，可以用来推导出宏观马克士威方程组，也可以用来找出原子性质与宏观性质两者之间的关联。

### 有电介质时的马克士威方程组

名称｜微分形式｜积分形式

高斯定律｜$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_f$｜${\scriptstyle\mathbb{S}}$ $\mathbf D\cdot\mathrm{d}\mathbf{s} = Q_{f}$

高斯磁定律｜$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$｜${\scriptstyle\mathbb{S}}$ $\mathbf B\cdot\mathrm{d}\mathbf{s} = 0$

法拉第电磁感应定律｜$\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$｜$\oint_{\mathbb{L}}\ \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = - \frac {\mathrm{d} \Phi_\mathbf{B}}{\mathrm{d} t}$

马克士威-安培定律｜$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_f + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}$｜$\oint_{\mathbb{L}}\ \mathbf{H} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = I_{f} + \frac {\mathrm{d} \Phi_\mathbf{D}}{\mathrm{d} t}$

这种形式的马克士威方程组又称为“宏观马克士威方程组”，特别适用于描述在介电质中的电磁性质，稍后会有更详细论述。

### 马克士威方程组术语符号表格

以下表格给出每一个符号所代表的物理意义，和其单位：

符号｜物理意义｜国际单位

$\mathbf{E} \ $｜电场强度｜伏特／米、牛顿／库仑

$\mathbf{B} \ $｜磁通量密度｜特斯拉、韦伯／米2、伏特·秒／米2

$\mathbf{D} \ $｜电位移｜库仑／米2、牛顿／伏特·米

$\mathbf{H} \ $｜磁场强度｜安培／米

$\mathbf{\nabla \cdot}$｜散度算符｜／米

$\mathbf{\nabla \times}$｜旋度算符

$\frac {\partial}{\partial t}$｜对于时间的偏导数｜／秒

$\mathbb{S}$｜曲面积分的运算曲面｜米2

$\mathbb{L}$｜路径积分的运算路径｜米

$\mathrm{d}\mathbf{s}$｜微小面元素向量｜米2

$\mathrm{d} \boldsymbol{\ell}$｜微小线元素向量｜米

$\varepsilon_0 \ $｜电常数｜法拉／米

$\mu_0 \ $｜磁常数｜亨利／米、牛顿／安培2

$\ \rho_f \ $｜自由电荷密度｜库仑／米3

$\ \rho \ $｜总电荷密度｜库仑／米3

$Q_f$｜在闭曲面$\mathbb{S}$里面的自由电荷｜库仑

$Q$｜在闭曲面$\mathbb{S}$里面的总电荷｜库仑

$\mathbf{J}_f$｜自由电流密度｜安培／米2

$\mathbf{J}$｜总电流密度｜安培／米2

$I_f$｜穿过闭路径$\mathbb{L}$所包围的曲面的自由电流｜安培

$I$｜穿过闭路径$\mathbb{L}$所包围的曲面的总电流｜安培

$\Phi_{B}$｜穿过闭路径$\mathbb{L}$所包围的曲面$\mathbb{S}$的磁通量｜特斯拉·米2、伏特·秒，韦伯

$\Phi_{E}$｜穿过闭路径$\mathbb{L}$所包围的曲面$\mathbb{S}$的电通量｜焦耳·米/库仑

$\Phi_{D}$｜穿过闭路径$\mathbb{L}$所包围的曲面$\mathbb{S}$的电位移通量｜库仑

### 微观尺度与宏观尺度

在经典电磁学里，微观尺度指的是系统尺寸的数量级大于10−14米的尺度范围。满足微观尺度，电子和原子核可以视为点电荷，微观马克士威方程组成立；否则，必需将原子核内部的电荷分布纳入考量。在微观尺度计算出来的电场与磁场仍旧变化相当剧烈，空间变化的距离数量级小于10−10米，时间变化的周期数量级在10−17至10−13秒之间。因此，从微观马克士威方程组，必需经过经典平均运算，才能得到平滑、连续、缓慢变化的宏观电场与宏观磁场。宏观尺度的最低极限为10−8米。这意味着电磁波的反射与折射行为可以用宏观马克士威方程组来描述。以这最低极限为边长，体积为10−24立方米的立方体大约含有106个原子核和电子。这么多原子核和电子的物理行为，经过经典平均运算，足以平缓任何剧烈的涨落。根据可靠文献记载，经典平均运算只需要在空间作平均运算，不需要在时间作平均运算，也不需要考虑到原子的量子效应。

经典平均运算是一种比较简单的平均程序，给定函数$F(\mathbf{r}, t)$，这函数的空间平均定义为

$F(\mathbf{r}, t)=\int_{\mathbb{V}}w(\mathbf{r}')F(\mathbf{r}-\mathbf{r}', t)\ \mathrm{d}^3 r'$。

其中，$\mathbb{V}$是平均运算的空间，$w(\mathbf{r}')$是权重函数。

很多函数都可以选为优良的权重函数，高斯函数正是一例：

$w(\mathbf{r})=\frac{1}{(\pi R^2)^{3/2}} e^{-r^2/R^2}$。

最早出现的马克士威方程式和其相关理论是为宏观物质设计的，是一种现象学。在那时候，物理学者并不清楚造成电磁现象的基本原因。后来，按照物质的粒子绘景，才推导出微观马克士威方程式。二十世纪前半期，在量子力学、相对论、与粒子物理学领域的突破与发展，其崭新理论与微观马克士威方程组相结合，成为建立量子电动力学的关键基石。这是物理学中最准确的理论，所计算出的结果能够精确地符合实验数据。

### 数学性质

马克士威方程组形似超定组：它只涉及到六个未知量（向量电场、磁场各拥有三个未知量，电流与电荷不是未知量，而是自由设定并符合电荷守恒的物理量），但却是由八个方程式所组成（两个高斯定律共有两个方程式，法拉第定律与马克士威-安培定律各有三个方程式）。经过仔细分析，即可明白，实际上并不是这么简单。

马克士威方程组的方程式具有“独立性”──从方程组内的任何一个或多个方程式，都不能推导出方程组内的任何其它方程式。这意味着马克士威方程组不是超定组，其内中没有重复任何功能的方程式。马克士威方程组、洛仑兹力方程式与牛顿第二运动定律总合起来具有“完备性”，他们可以说明所有经典电动力学的现象，不需要使用到任何其它方程式。在某区域内，给定适当的初始条件与边界条件，则马克士威方程组的解答具有“唯一性”，即每一个应变量只能有一种函数形式，其内部只含有常数或自变量，不含有任何其它应变量。

法拉第定律与马克士威-安培定律共同主导著在空间内电磁场随着时间流易的演化，而高斯定律与高斯磁定律则是约束方程式，电磁场必须在所有时间与空间遵守这两个约束方程式。理论而言，可以假设某种电磁场在所有空间服从法拉第定律与马克士威-安培定律的指挥，反之，如果他们不遵守高斯定律与高斯磁定律的约束，则它们无法实际存在于真实世界。换句话说，法拉第定律与马克士威-安培定律会给出额外的解答，其不符合高斯定律与高斯磁定律的约束。

举例而言，假设电荷源与电流源为零，采用直角坐标系，根据高斯定律与高斯磁定律，对于电场与磁场在空间每一个位置可以分别自由设定两个分量，$E_x$、$E_y$与$B_x$、$B_y$（需要给出4个函数），由于

$\frac{\partial E_z}{\partial z}=- \frac{\partial E_x}{\partial x} - \frac{\partial E_y}{\partial y}$。

$\frac{\partial B_z}{\partial z}=-\frac{\partial B_x}{\partial x}-\frac{\partial B_y}{\partial y}$。

只要在任意一个xy-平面的每一个位置分别设定$E_z$与$B_z$（需要给出2个函数），则可估算在空间每一个其它位置的$E_z$与$B_z$。知道这些$\mathbf{E}$与$\mathbf{B}$的信息，则可使用法拉第定律与马克士威-安培定律估算出在所有时间$\mathbf{E}$与$\mathbf{B}$的信息。

### 证明两种形式等价

前面所表述的马克士威方程组的两种形式，在数学上等价。

两种高斯定律数学等价的证明本段落证明高斯定律对于总电荷的方程式 :$\nabla\cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$，等价于高斯定律对于自由电荷的方程式 :$\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho_{f}$。请注意，这里只处理微分形式，不处理积分形式。这已达成足够条件。因为，根据散度定理，两种高斯定律的方程式，其微分形式都分别等价于积分形式。电位移$\mathbf{D}$的定义式为 :$\mathbf{D}\ \stackrel{def}{=}\ \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$；其中，$\mathbf{P}$是电极化强度。束缚电荷密度$\rho_{bound}$的定义式为（请参阅电极化） :$\rho_{bound}\ \stackrel{def}{=}\ - \nabla\cdot \mathbf{P}$。注意到$\rho$是总电荷密度： :$\rho =\rho_{f}+\rho_{bound}=\rho_{f} - \nabla\cdot \mathbf{P}=\rho_{f} - \nabla\cdot\mathbf{D}+\varepsilon_0\nabla\cdot \mathbf{E}$。稍加编排， :$\rho- \varepsilon_0\nabla\cdot \mathbf{E}=\rho_{f} - \nabla\cdot\mathbf{D}$。所以，$\nabla\cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$当且仅当$\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho_{f}$。两个方程式等价。

两种马克士威-安培定律数学等价的证明本段落证明马克士威-安培定律对于总电流的方程式 : $\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ $，等价于马克士威-安培定律对于自由电流的方程式 : $\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_f+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$。请注意，这里只处理微分形式，不处理积分形式。这已达成足够条件，因为，根据斯托克斯定理，对于这两种马克士威-安培定律的方程式，微分形式都分别等价于积分形式。束缚电流密度$\mathbf{J}_{bound}$的定义式为（请参阅磁化强度） :$\mathbf{J}_{bound}\ \stackrel{def}{=}\ \nabla\times \mathbf{M}$；其中，$\mathbf{M}$是磁化强度。假设总电流密度$\mathbf{J}$是 :$\mathbf{J} = \mathbf{J}_f + \mathbf{J}_{bound}$。根据电荷守恒定律， :$\nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t} =0$、 :$\nabla\cdot\mathbf{J}_f+\frac{\partial \rho_f}{\partial t} =0$。那么， :$\begin{align} \nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t} & =\nabla\cdot\mathbf{J}_f + \nabla\cdot\mathbf{J}_{bound}+\frac{\partial \rho_f}{\partial t}+\frac{\partial \rho_{bound}}{\partial t} \\ & = \nabla\cdot(\nabla\times \mathbf{M})+\frac{\partial \rho_{bound}}{\partial t} \\ & =\frac{\partial \rho_{bound}}{\partial t} \\ \end{align}$。假若束缚电荷密度$\rho_{bound}$含时间，则电荷守恒定律无法被满足。为了要满足这定律，总电流密度必须加入一个项目，“极化电流密度”$\mathbf{J}_p$，定义为： :$\mathbf{J}_p\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}$。那么， :$\nabla\cdot \mathbf{J}_p =\nabla\cdot\left(\frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}\right)= - \frac{\partial \rho_{bound}}{\partial t}$。因此，总电流密度$\mathbf{J}$是 :$\mathbf{J} = \mathbf{J}_f + \mathbf{J}_{bound}+\mathbf{J}_p= \mathbf{J}_f +\nabla\times \mathbf{M}+\frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}$。H场定义为 :$\mathbf{H}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mathbf{B}}{\mu_0} - \mathbf{M}$。稍加编排， :$\begin{align}\nabla\times\mathbf{H}-\mathbf{J}_f -\ \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} & =\frac{1}{\mu_0} \left(\nabla\times\mathbf{B}- \mu_0\nabla\times\mathbf{M}-\mu_0\mathbf{J}_f -\ \mu_0\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\right) \\ & =\frac{1}{\mu_0} \left(\nabla\times\mathbf{B}- \mu_0\nabla\times\mathbf{M}-\mu_0\mathbf{J}_f -\mu_0\frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right) \\ & =\frac{1}{\mu_0} \left(\nabla\times\mathbf{B}- \mu_0\mathbf{J}-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right) \\ \end{align}$。所以，$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$当且仅当$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_f+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$。两个方程式等价。

## 描述在自由空间里的电磁波

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在自由空间里，不需要考虑到介电质或磁化物质。假设源电流和源电荷为零，则马克士威方程组写为

$\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$。

$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$。

$\nabla \times \mathbf{E} = -\ \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$。

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$。

从这方程组，应用一些向量恒等式，经过一番简单的运算，可以得到电场与磁场的波动方程式：

$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf{E} = 0$。

$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf{B} = 0$。

对于这两个波动方程式，平面行进正弦波是个解答波，其电场和磁场相互垂直，并且分别垂直于行进的方向，因此是个横波。电场与磁场同相位地以光速 $c$ 传播：国际标准化组织建议使用$c_0$为自由空间光速的国际标准标记（ISO 31-5）。

$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$。

仔细地观察马克士威方程组，就可以发现这方程组很明确地解释了电磁波怎样传播于空间。根据法拉第感应定律，时变磁场会生成电场；根据马克士威-安培定律，时变电场又生成了磁场。这不停的循环使得电磁波能够以光速传播于空间。

1856年，威廉·韦伯和鲁道夫·科尔劳施作莱顿瓶实验，从实验数据计算出 $c$ 的数值，他们发现，这数值非常接近于先前从天文学得到的光波传播于行星际空间的速度。从这实验结果，马克士威正确地断定光波就是一种电磁辐射。

## 描述在物质里的电磁性质

### 束缚电荷和束缚电流

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假设，施加外电场于介电质。施加这个电场的结果是，介电质的分子会形成一个微观的电偶极子，其伴随着电偶极矩。分子的原子核会朝着电场的方向稍微迁移位置，而电子则会朝着相反方向稍微迁移位置。这形成了介电质的电极化。如右图的理想状况所示，虽然，所有涉及的电荷都仍旧束缚于其原本的分子，由于这些微小迁移所造成的电荷分布，变得好像是在介电质的一边形成了一薄层正表面电荷，在另一边又形成了一薄层负表面电荷。电极化强度定义为介电质内部的电偶极矩密度，也就是单位体积的电偶极矩。在介电质内部，假设电极化强度$\mathbf{P}$是均匀的，则宏观的面束缚电荷只会出现于介电质表面，即$\mathbf{P}$进入或离开介电质之处；否则，假设$\mathbf{P}$是不均匀的，则介电质内部也会出现束缚电荷。

与静电学有些类似的是，在静磁学里，假设施加外磁场于物质，响应这动作，物质会被磁化，原子成分会显示出磁矩。在本质上，这磁矩与原子的各个亚原子粒子的角动量有关。其中，响应最显著的是电子。这角动量的连结，不禁令人联想到一副图画，在图画中，磁化物质变成了一群微观的束缚电流回路。虽然每一个电荷只是移动于其原子的微观回路，一群微观的束缚电流回路聚集在一起会形成宏观的束缚电流循环流动于物质的表面。这些束缚电流可以用磁化强度$\mathbf{M}$来描述。磁化强度定义为磁偶极矩在一个磁化物质内的密度，也就是单位体积的磁偶极矩。

这些非常复杂与粗糙的束缚电荷与束缚电流的物理行为，在宏观尺度，可以分别以电极化强度$\mathbf{P}$与磁化强度$\mathbf{M}$来表达。电极化强度与磁化强度分别将这些束缚电荷与束缚电流以恰当的尺度做空间平均，这样，可以除去单独整体原子形成的凹凸粗糙结构，但又能够显示出强度随着位置而变化的物理性质。由于所有涉及的向量场都已做过恰当体积的空间平均，宏观马克士威方程组忽略了微观尺度的许多细节。不过，对于了解物质的宏观尺度性质，这些细节可能不具什么重要性。

### 本构关系

为了要应用宏观马克士威方程组，必须分别找到$\mathbf{D}$场与$\mathbf{E}$场之间、$\mathbf{H}$场与$\mathbf{B}$场之间的关系。这些称为本构关系的物理性质，设定了束缚电荷和束缚电流对于外场的响应。它们实际地对应于物质响应外场作用而产生的电极化或磁化。

本构关系式的基础建立于附属场$\mathbf{D}$与$\mathbf{H}$的定义式：

$\mathbf{D}(\mathbf{r}, t)\ \stackrel{def}{=}\ \epsilon_0 \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) + \mathbf{P}(\mathbf{r}, t)$。

$\mathbf{H}(\mathbf{r}, t)\ \stackrel{def}{=}\ \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) - \mathbf{M}(\mathbf{r}, t)$。

其中，$\mathbf{P}$是电极化强度，$\mathbf{M}$是磁化强度。

电极化强度与磁化强度都是源自于物质对于外电场与外磁场的响应。电极化强度是电场的函数，磁化强度是磁场的函数。因此，本构关系式的一般形式为

$\mathbf{D}=\mathbf{D}[\mathbf{E}, \mathbf{B}]$。

$\mathbf{H}=\mathbf{H}[\mathbf{E}, \mathbf{B}]$。

在这里，使用方括号，而不是圆括号，这样标记主要是在提醒读者，函数与参数彼此之间的关系并不简单，很可能相当复杂，可能与过去历史有关，也可能是非线性相关。大多数实际物质的本构关系式的获得都需要使用近似手段，通常是从做实验找到结果。

在自由空间（即理想真空）里，不需考虑介电质和磁化物质，本构关系式变得很简单：

$\mathbf{D} = \varepsilon_0\mathbf{E}$。

$\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu_0$。

将这些本构关系式代入宏观马克士威方程组，则得到的方程组很像微观马克士威方程组，当然，在得到的高斯定律方程式和马克士威-安培方程式内，总电荷密度和总电流密度分别被自由电荷密度和自由电流密度替代。这符合期待的结果，因为，在自由空间里，没有束缚电荷、束缚电流和极化电流。

更一般而言，对于线性物质，本构关系式为

$\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}$。

$\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu$。

其中，$\varepsilon$是物质的电容率，$\mu$是物质的磁导率。

尽管只是线性案例，仍旧可能很复杂。

- 在均质材料里，$\varepsilon$与$\mu$为常数；在非均质材料里，则依位置而变换。
- 在各向同性材料里，$\varepsilon$与$\mu$为标量；在各向异性材料里，例如晶体，它们是张量。
- 对于色散材料，$\varepsilon$和$\mu$都跟入射电磁波的频率有关。

### 边界条件

如同其它微分方程组一般，必须设定边界条件与初始条件，才能给出马克士威方程组的唯一解答。

在经典电磁学里，在一个不含有任何自由电荷和自由电流的区域$\mathbb{R}$内的电磁场，必定是来自于其它区域。当解析这状况时，通过适当的边界条件或初始条件，可以将区域外的电磁场与这区域$\mathbb{R}$的电磁场连结在一起。举一个电磁波散射的例子，一个来自于散射区域之外的电磁波，遭遇到散射区域内的一个靶子，被这靶子散射出去。在这散射过程里，由于电磁波与靶子之间相互作用，散射的电磁波含有很多与这靶子性质相关的信息。经过仔细地分析，将这些信息萃取出来，就可以更详细地了解这靶子的性质。

对于某些案例，譬如波导或空腔共振器，因为像金属墙壁一类的隔离设施，解答区域大部分孤立于外部世界。在金属墙壁位置的边界条件决定了解答区域的电磁场。在解答区域以外的外部世界，只能靠着边界条件来影响内部的状况。对于另外一些案例，像光导纤维或薄膜，解答区域时常会被分割为几个亚区域，每个亚区域都有其简单独自的性质。通过亚区域与亚区域之间界面的边界条件，可以将每一个亚区域的解答连结起来。

应用边界条件，有时也可以简化问题，使得问题更容易被了解。例如，均匀物体的电极化可以被更换为在这物体外表的一层面电荷分布，或者，均匀物体的磁化被更换为在这物体外表的一层面电流分布。详尽细节，请参阅束缚电荷和束缚电流段落。

## 高斯单位制

厘米-克-秒单位制的三个基本单位是长度单位公分、质量单位克、时间单位秒。在经典力学里，厘米-克-秒单位制的单位是一致的；但在电磁学里，却出现了几种变型。高斯单位制是其中一种变形。采用高斯单位制，马克士威方程组的形式为

名称｜微观｜宏观

高斯定律｜$\nabla \cdot \mathbf{E} = 4\pi\rho$｜$\nabla \cdot \mathbf{D} = 4\pi\rho_\text{f}$

高斯磁定律｜$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$｜$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$

法拉第电磁感应定律｜$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$｜$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$

马克士威-安培定律｜$\nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c} \left(4\pi\mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right)$｜$\nabla \times \mathbf{H} = \frac{1}{c} \left(4\pi\mathbf{J}_\text{f} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} \right)$

## 进阶表述

### 平直时空里的协变形式

马克士威方程组与狭义相对论之间的关系密切。不只是因为马克士威方程组对于狭义相对论的初始发展，做了相当大的贡献，也因为狭义相对论激荡出一种更简洁的表述，能以协变张量来表达马克士威方程组。

自由空间的马克士威方程组的形式，对于任意惯性坐标系，都是一样的。在狭义相对论里，为了要更明确地表达出这论点，必须以四维向量和张量写出协变形式的马克士威方程组。这表述的一个构成要素为电磁张量，其是结合了电场和磁场在一起的二阶反对称张量。电磁张量$F_{\alpha \beta}$表示为：

$F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix} 0 & -{E_x}/{c} & -{E_y}/{c} & -{E_z}/{c} \\ {E_x}/{c} & 0 & -B_z & B_y \\ {E_y}/{c} & B_z & 0 & -B_x \\ {E_z}/{c} & -B_y & B_x & 0 \\ \end{matrix} \right)$。

使用闵考斯基度规$\eta$。

$\eta^{\alpha \beta} = diag( -1,1,1,1)=\left( \begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$。

将下标拉高为上标，可以得到反变张量$F^{\mu \nu}$：

$F^{\mu \nu} \, \stackrel{\mathrm{def}}{=} \, \eta^{\alpha\mu} \, \eta^{\beta \nu} \, F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix} 0 & {E_x}/{c} & {E_y}/{c} & {E_z}/{c} \\ { -E_x}/{c} & 0 & B_z & -B_y \\ { -E_y}/{c} & -B_z & 0 & B_x \\ { -E_z}/{c} & B_y & -B_x & 0 \end{matrix} \right)$。

$F^{\alpha \beta}$的二阶对偶张量$G^{\mu \nu}$是

$G^{\mu \nu} = \left(\begin{matrix} 0 & B_x & B_y & B_z \\ -B_x & 0 & -{E_z}/{c} & {E_y}/{c} \\ -B_y & {E_z}/{c} & 0 & -{E_x}/{c} \\ -B_z & -{E_y}/{c} & {E_x}/{c} & 0 \end{matrix}\right)$。

另外一个要素是四维电流密度$J^{\alpha}$：

$J^{\alpha} = (c\rho,\mathbf{J})$。

其中，$\rho$是电荷密度，$\mathbf{J}$是电流密度。

借着这些要素，采用爱因斯坦求和约定，马克士威方程组可以写为

$\frac{\partial F^{\alpha\beta}}{\partial x^{\beta}}=\mu_0 J^{\alpha}$。

$\frac{\partial G^{\alpha\beta}}{\partial x^{\beta}}=0$ ;

其中，$\partial_{\alpha}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \nabla\right)$是四维梯度。

这两个张量方程式等价于马克士威方程组。第一个张量方程式表达两个非齐次马克士威方程式，高斯定律和马克士威-安培定律。第二个张量方程式表达两个齐次马克士威方程式，高斯磁定律和法拉第感应定律。

#### 势场表述

在高等经典力学里，电势与磁矢势可以较为便利地表达与分析电磁理论。这种表述称为“势场表述”。在量子力学层次，电动力学几乎完全使用势场表述。电场与磁场分别以电势$\phi$与磁矢势$\mathbf{A}$表示为

$\mathbf{E} = - \nabla \phi -\ \frac{\partial \mathbf {A}}{\partial t}$。

$\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$。

从这两个定义式，两个齐次马克士威方程式自动成立，另外两个非齐次方程式变为

$\nabla^2 \phi + \frac{\partial}{\partial t} \left (\nabla \cdot \mathbf{A} \right ) = -\ \frac{\rho}{\varepsilon_0}$。

$\left ( \nabla^2 \mathbf{A} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} \right ) - \nabla \left ( \nabla \cdot \mathbf A + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \phi}{\partial t} \right ) = - \mu_0 \mathbf{J}$。

这两个势场方程式组合起来，具有与原本马克士威方程组同样的功能和完备性。由于电场和磁场各有三个分量，原本的马克士威方程组需要解析六个分量。势场表述只需要解析四个分量，因为电势只有一个分量，磁矢势有三个分量。可是，势场表述涉及了二次微分，方程式也比较冗长。

许多不同的$\phi$与$\mathbf{A}$数值组可以得到同样的电场与磁场。因此，这些数值组相互物理等价，可以自由选择。这性质称为规范自由。恰当的选择可以简化方程式的形式，或者，可以专门适用于某特别状况。采用劳仑次规范

$\nabla\cdot{\mathbf A} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}=0$。

势场的两个向量方程式可以写为两个具有劳仑兹不变性的方程式：

$\nabla^2 \phi - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}= -\ \frac{\rho}{\varepsilon_0}$。

$\nabla^2 \mathbf{A} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2}= - \mu_0 \mathbf{J}$。

利用达朗白算符来表示将会更简洁。

$\Box \phi= -\ \frac{\rho}{\varepsilon_0}$。

$\Box \mathbf{A} = - \mu_0 \mathbf{J}$。

其中，$\Box=\partial^2=\partial_\alpha\partial^\alpha=\left(\nabla^2 - \frac{1}{c^2}\ \frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)$是达朗白算符，又称为“四维拉普拉斯算符”。

由磁矢势和电势共同组成的四维势以方程式定义为

$A^\mu \ \stackrel{def}{=}\ \left( \varphi , \mathbf{A}\right)$。

二十世纪初，阿诺·索末菲提出了四维向量方程式，这是波恩哈德·黎曼先前想出的一个方程式的推广，因此，这个方程被命名为“黎曼-索莫菲方程式”，或马克士威方程组的势场表述的协变形式：

$\Box A^\mu = -\mu_0 j^\mu$。

### 弯曲时空里的协变形式

物质和能量会造成时空弯曲。这是广义相对论的主题。时空弯曲会影响电动力学的物理。一个电磁场所拥有的能量和动量也会造成时空弯曲。将平直时空的方程组中的偏导数改换为协变导数，就可以得到弯曲时空中的马克士威方程组：

$\nabla_{\beta} F^{\alpha\beta}= \mu_0 j^{\alpha}$。

$\nabla_{\alpha} F_{\beta\gamma} + \nabla_{\gamma} F_{\alpha\beta} + \nabla_{\beta} F_{\gamma\alpha} =0$。

其中，$F^{\alpha\beta}$是二阶电磁张量。

注意到二阶张量的协变导数为

$\nabla_{\beta} F^{\mu\nu}=\partial_{\beta} F^{\mu\nu} + {\Gamma^{\mu}}_{\alpha\beta} F^{\alpha\nu} + {\Gamma^{\nu}}_{\alpha\beta} F^{\mu \alpha}$。

其中，$\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}$是表现时空弯曲的克里斯托费尔符号。

所以，马克士威方程组又可以表示为

$\partial_{\beta} F^{\alpha\beta} + {\Gamma^{\alpha}}_{\omega\beta} F^{\omega\beta} + {\Gamma^{\beta}}_{\omega\beta} F^{\alpha \omega}= \mu_0 j^{\alpha}$。

$\partial_{\alpha} F_{\beta\gamma} + \partial_{\gamma} F_{\alpha\beta} + \partial_{\beta} F_{\gamma\alpha} =0$。

## 马克士威方程组的局限

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虽然马克士威方程组能够非常成功地解释与预测各种各样电磁现象，它对于真实物理给出的是一个近似描述，对于某些特别案例，它所估算出的结果可能会不够准确。例如，在极强劲场状况下产生的双光子散射（电场极值约为1020 V/m，位于经典电子表面的电场）、在两个电荷之间相隔极短距离所产生的真空极化现象（距离约为电子康普顿波长3.86×10-13 m）。马克士威方程组无法对于很多现象给出正确解释，例如，非经典光、电磁场的量子纠缠等等。由于马克士威方程组完全不能表达光子的概念，任何涉及到单独光子的现象，例如光电效应、普朗克定律、单光子探测器等等，假若使用马克士威方程组来解释，都会遇到困难。对于这些案例，必须用量子电动力学的理论来给予解释。

## 磁单极子

名称｜磁单极子表述

高斯定律｜$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho_e } {\varepsilon_0}$

高斯磁定律｜$\nabla \cdot \mathbf{B} = \mu_0 \rho_m$

法拉第感应定律｜$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} + \mu_0 \mathbf{j}_m$

马克士威-安培定律｜$\nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} + \mu_0 \mathbf{j}_e$

马克士威方程组明白显示出，在宇宙里，磁荷不存在，只有电荷存在。至今为止，确实从未有任何实验发现磁荷的存在。假若磁荷存在，则高斯磁定律与法拉第感应定律都需要修改，马克士威方程组内会增添两个新的变量，磁荷$\rho_m$和磁流$\mathbf{J}_m$。经过修正后的方程组，会对于以下对调运作，具有不变性：

$\begin{matrix} c\rho_e \to \rho_m\quad & \mathbf{E}\to c\mathbf{B}\quad & c\mathbf{j}_e \to \mathbf{j}_m \\ \rho_m \to -c\rho_e\quad & c\mathbf{B}\to -\mathbf{E}\quad & \mathbf{j}_m \to -c\mathbf{j}_e \end{matrix}$。

这种对调运作是一种广义对偶变换的一个特别案例。

近期，物理学者发现，有些凝聚体，例如自旋冰，会展示出貌似磁单极子的涌现行为。尽管这些事件被描述为发现盼望已久的磁单极子，它们只是模拟真正的磁单极子。真正的磁单极子必须满足方程式∇ ⋅ B ≠ 0。在凝聚体系统里，满足的是方程式∇ ⋅ B = 0与∇ ⋅ H ≠ 0。

## 参阅

- 马克士威方程组的历史
- 《论法拉第力线》
- 《论物理力线》
- 《电磁场的动力学理论》
- 阿布拉罕-劳仑兹力
- 制动辐射