热传播

热传播（heat transfer）有三种方式：

- 热传导（heat conduction）：一个分子向另一个分子传递振动能，使热能从高温向低温部分转移。各种材料的热传导性能不同，传导性能好的，如金属，还包括了自由电子的移动，所以传热速度快，可以做热交换器材料；传导性能不好的，如石棉，可以做热绝缘材料。
- 热对流（heat convection）：是指由于流体的宏观运动而引起的流体各部分之间发生相对位移，冷热流体相互掺混所引起的热量传递过程。不同的温度导致引起系统的密度差是造成对流的原因。对流传导因为牵扯到动力过程，所以比直接传导迅速。
- 热辐射（heat radiation）：是直接通过电磁波辐射向外发散热量，传导速度取决于热源的绝对温度，温度越高，辐射越强。

根据传热的方式和工艺要求，设计热交换器，几乎各种化学工业都有热交换过程，需要各种热交换器。

## 热传播分析

热传播以其所有模式（即传导，对流和辐射）发生，一般运输方程的微分形式如下：

${ \frac{\partial{(\rho \phi)}}{\partial t}} + { div\, (\rho u \phi )} ={div\, (k\, grad\, \phi )} + {S_{\phi}}$｜（1）

可以通过有限差分法（FDM），有限体积法（FVM）和有限元素法（FEM）获得上述方程的数值解。为了进行传热分析，将等式（1）中的标量函数ф替换为温度（T），将扩散系数Γ替换为导热系数k和源项$S_{\phi}$由发热项e或任何热辐射源代替$Q_i$或两者兼而有之（取决于可用来源的性质），并且针对不同情况存在不同形式的方程式。为了简单和容易理解，仅讨论了一维情况。

可以通过以下两种方式对物体进行传热分析

- 稳态热分析
- 瞬态热分析

### 稳态热分析

稳态热分析包括以下类型的控制微分方程。

情况1：一般稳态导热方程。

在这种情况下，控制微分方程（1）变为：

$${ div\, (\rho u T )} ={div\, (k\, grad\, T )}+ {S_{T}} \,$$

情况2：稳态热传导方程（不产生热量）

在这种情况下，控制方程（1）变为：

$${ div\, (\rho u T )} ={div\, (k\, grad\, T )} \,$$

情况3：稳态热传导方程（不产生热，不对流）

在这种情况下，控制微分方程（GDE）（1）变为：

$${div\, (k\, grad\, T )} = 0 \,$$

### 瞬态热分析

瞬态热分析包括以下类型的控制微分方程。

情况1：瞬态热传导

在这种情况下，控制微分方程（1）变为：

$${ \frac{\partial{(\rho T)}}{\partial t}} + { div\, (\rho u T )} ={div\, (k\, grad\, T )}+ {S_{T}} \,$$

情况2：瞬态热传导（不发热）

在这种情况下，控制微分方程（GDE）（1）变为：

$${ \frac{\partial{(\rho T)}}{\partial t}} + { div\, (\rho u T )} ={div\, (k\, grad\, T )}$$

情况3：瞬态热传导（不产生热也没有对流）

在这种情况下，控制微分方程（GDE）（1）变为：

$${ \frac{\partial{(\rho T)}}{\partial t}} = {div\, (k\, grad\, T )} \,$$

### 稳态传热分析中控制微分方程的离散化

考虑某物体厚度为L，发热为e，导热系数为k。将物体细分为M个相等的厚度区域$\Delta x$ = x / T沿x方向，距一定间格分割为各节点，如图2所示。

<image>

如图所示，x方向上的整个墙区域按元素划分，所有内部元素的大小相同，而外部元素的大小为一半。

现在，要获得内部节点的有限差分解，请考虑由节点m表示的元素，该元素被相邻节点m-1和m + 1包围。有限差分技术假定墙壁中的温度线性变化（如图3所示）。

有限差分解决方案是（对于除0和最后一个节点之外的所有内部节点）：

$$\frac{(T_{m-1}^i - 2T_{m}^n +T_{m}^i )}{\Delta {x}^2} + \frac {e}{k} = 0$$

<image>

#### 边界条件

上式仅对内部节点有效。为了获得外部节点的解决方案，我们必须应用如下边界条件（如适用）。

##### 规定的热通量边界条件

$$q_{0} A+ k A\frac{(T_{1} - T_{0} )}{\Delta {x}} + \frac {e_{0}}{2}A \Delta {x} = 0$$

边界绝缘时（q = 0）

$$k A\frac{(T_{1} - T_{0} )}{\Delta {x}} + \frac {e_{0}}{2}A \Delta {x} = 0$$

##### 对流边界条件

$$h A {(T_{\infty} - T_{0} )}+k A\frac{(T_{1} - T_{0} )}{\Delta {x}} + \frac {e_{0}}{2}A \Delta {x} = 0$$

##### 辐射边界条件

$$\epsilon \sigma A {(T_{sur}^4 - T_{0}^4 )}+k A\frac{(T_{1} - T_{0} )}{\Delta {x}} + \frac {e_{0}}{2}A \Delta {x} = 0$$

##### 对流和辐射联合边界条件

$$h A {(T_{\infty} - T_{0} )}+\epsilon \sigma A {(T_{sur}^4 - T_{0}^4 )}+k A\frac{(T_{1} - T_{0} )}{\Delta {x}} + \frac {e_{0}}{2}A \Delta {x} = 0$$

如图4所示，或当将辐射和对流传热系数组合时，上式如下：

$$h A_{combined} {(T_{\infty} - T_{0} )}+k A\frac{(T_{1} - T_{0} )}{\Delta {x}} + \frac {e_{0}}{2}A \Delta {x} = 0 \,$$

<image>

##### 对流，辐射和热通量边界条件的组合

$$q_{0}A+h A {(T_{\infty} - T_{0} )}+\epsilon \sigma A {(T_{sur}^4 - T_{0}^4 )}+k A\frac{(T_{1} - T_{0} )}{\Delta {x}} + \frac {e_{0}}{2}A \Delta {x} = 0$$

##### 接触面边界条件

在非均质物体，如复合壁中，具有不同热物理特性的不同物质紧密接合在一起。假定两种不同的固体介质A和B完全接触，因此在节点m的界面处具有相同的温度（如图5所示）。

$$k_{A} A\frac{(T_{m-1} - T_{m} )}{\Delta {x}} +k_{B} A\frac{(T_{m+1} - T_{m} )}{\Delta {x}}+ \frac {e_{A,m}}{2}A \Delta {x}+\frac {e_{B,m}}{2}A \Delta {x} = 0$$

<image>

在上式中。

$q_0$ =表示指定的热通量在$(W/m^2)$。

h =对流系数。

$h_{combined}$ =对流和辐射的总纯热系数。

$T_sur$ =周围表面的温度。

$T_(\infty)$ =环境温度。

$T_0$ =初始节点的温度。$T_0$到$T_l$之间的热流关系，也可适用于$T_l$到$T_2$之间；将$T_0$到$T_\infty$之间的热流串联，便能得经过该复合墙面，从室外到室内的热流。

### 瞬态传热分析中控制微分方程的离散化

瞬态热分析比稳定热分析更重要，因为该分析包括随时间变化的环境条件。在瞬态热传导中，温度随时间和位置而变化。如图6所示，瞬态热传导的有限差分法解除了空间离散以外，还需要时间步阶离散。

<image>

如图7所示，存在平面壁中一维传导有限差分法瞬态公式的节点和体积元素。

<image>

对于这种情况，方程式（1）的有限差分显式解如下：

$$k A\frac{(T_{m-1}^i - T_{m}^i )}{\Delta {x}} +k A\frac{(T_{m+1}^i - T_{m}^i )}{\Delta {x}}+ {e_{m}}A \Delta {x}= (\rho c_{p} \Delta x A) \frac{(T_{m}^{i+1} - T_{m}^i )}{\Delta x}$$

上面的方程可以针对温度明确求解$(T_{m}^{i+1})$给

$${T_{m}^{i+1}}= \tau {(T_{m+1}^i - T_{m}^i )}+{(1-2\tau)}T_{m}^i +\tau \frac {(e_{m} \Delta {x}^2)}{k}$$

此处。

$$\tau = \frac{(\alpha \Delta t )}{\Delta x^2} \,$$

和

$$\alpha = \frac{k}{\rho c_p} \,$$

这里， $\tau$代表细胞傅立叶号， $\alpha$代表热扩散率$c_p$代表恒压下的比热， $\Delta t$代表时间步长， $\Delta x$代表空间步长。

上面的等式对所有内部节点均有效，并找到第一个和最后一个节点的关系，应用边界条件（如适用），如稳态传热中所述。对于对流和辐射边界，如照射物体的太阳辐射 $q_{solar}$，单位为 $(W/m^2)$，反照率常数K已知，与温度的关系如下：

$$h A {(T_{\infty}^i - T_{0}^i )}+ \kappa A q_{solar} = (\rho c_{p} \Delta x A) \frac{(T_{1}^i - T_{0}^i )}{\Delta x}$$