分数傅立叶变换

在数学中，分数傅立叶变换（Fractional Fourier transform，缩写：FRFT）指的就是傅立叶变换（Fourier Transform）的广义化。近几年来，分数傅立叶变换除了在信号处理领域有相当广泛的应用，其也在数学上被单独地研究，而定义出如分数回旋积分（Fractional Convolution）、分数相关（Fractional Correlation）等许多相关的数学运算。

分数傅立叶变换的物理意义即做傅立叶变换 $a$ 次，其中 $a$ 不一定要为整数；而做了分数傅立叶变换之后，信号或输入函数便会出现在介于时域与频域之间的分数域（Fractional Domain）。

若再更进一步地广义化分数傅立叶变换，则可推广至线性标准变换。

## 由来

对信号 $x(t)$ 做一次傅立叶变换的结果为$\mathcal{F}(x)$，做两次傅立叶变换的结果为$\mathcal{F}(\mathcal{F}(x))$，表示成$\mathcal{F}^2=\mathcal{F}(\mathcal{F}(x))$，而当做了 $a$ 次的傅立叶变换可以写成一般式 $\mathcal{F}^a(x)=\mathcal{F}^{(a-1)}(\mathcal{F}(x))$。至此，都以 $a$为整数做考量，当令 $a=\frac{2\phi}{\pi}$ 即 $\phi=\frac{1}{2} a\pi$ 时，将 $x(t)$ 的分数傅立叶变换定义为 $\mathcal{F}_\phi (x)=\mathcal{F}^{2\phi /\pi}(x)$，其中 $\phi$ 可以不必为整数。

## 历史

分数傅立叶变换这个概念，其实最早在公元1929年，N.Wiener就已提出，但是并没有受到太多的瞩目。过了约莫50年，V.Namias 在公元1980年重新提出（称之为重发明）这个概念，但是一直到公元1994年，才有人真正把分数傅立叶变换用在信号处理上，此人为 L. B. Almeida。详细历史：1937年提出分数傅立叶变换的概念雏形; 1980年Namias较明确地提出分数傅立叶变换的数学表达式，并将其用于具有确定边界条件的量子力学薛定谔方程的求解1987年Bride & Kerr 给出严格的数学定义以及性质1993年由德国的学者罗曼，土耳其的Ozaktas和以色列的Mendlovic等人首次将分数傅立叶变换概念引入光学并给出了相应的光学过程; Mendlovic＆Ozaktas：渐变折射率GRIN介质中光传播。A. W. Lohmann: 维格纳分布函数和以及透镜实现，自由空间的光衍射。1993年Ozaktas，罗曼，Mendlovic等人在光学中全面引入分数傅立叶变换; 1995年Shih提出了另外一种分数傅立叶变换的形式; 1997年刘树田等人根据Shih的定义给出了广义分数傅立叶变换，1999年刘树田等人将分数傅立叶变换应用于图像加密研究中; 2001年Ozaktas等人出版“分数傅立叶变换及其在光学和信号处理中应用”一书。

## 定义

第一种定义:

$$X_\phi (u) = \sqrt{1-j\cot\phi}\cdot e^{j\pi \cdot \cot\phi\cdot u^2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j2\pi \cdot \csc\phi \cdot ut} e^{j\pi \cdot \cot\phi \cdot t^2} x(t) dt$$

第二种定义:

$$X_\phi (u) = \sqrt{\frac{1-j\cot\phi}{2\pi}}\cdot e^{j\frac{\cot\phi}{2}\cdot u^2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\csc\phi \cdot ut} e^{j\frac{\cot\phi}{2}\cdot t^2} x(t) dt$$

$\phi = 0.5a\pi$, $a$ 为实数。

当 $a=1$ 时 (亦即 $\phi = 0.5\pi$ )，分数傅立叶变换就成了傅立叶变换。

## 表示法

$\mathcal{F}^2(f)=\mathcal{F}(\mathcal{F}(f))$，则可推广为$\mathcal{F}^{(n+1)}(f)=\mathcal{F}(\mathcal{F}^n(f))$;依此类推，$\mathcal{F}^{-n}(F)$表示$F(\omega)$的$n$次逆变换$\mathcal{F}^{-1}(F)$。

而分数傅立叶变换将以上定义推广至非整数次的$n=\frac{2\alpha}{\pi}$，且$\alpha$为实数，表示为

$\mathcal{F}_\alpha(f) = \mathcal{F}^{2\alpha/\pi}(f)$。

当$n=\frac{2\alpha}{\pi}$是一个整数时则代表傅立叶转换做$n$次。

例如:

$n=1$时相当于做一次傅立叶变换，如果在时频分析(Time-Frequency Analysis)图上，则是对讯号顺时针转90度

$n=2$时相当于做两次傅立叶变换，如果在时频分析(Time-Frequency Analysis)图上，则是对讯号顺时针转180度,$\mathcal{F}^2[x(t)]=x(-t)$

$n=3$时相当于做三次傅立叶变换，如果在时频分析(Time-Frequency Analysis)图上，则是对讯号顺时针转270度

$n=4$时相当于做四次傅立叶变换，如果在时频分析(Time-Frequency Analysis)图上，则是对讯号顺时针转360度,$\mathcal{F}^4[x(t)]=x(t)$

## 性质

对于任一实数$\alpha$，一个对$f$函数做$\alpha$角度分数傅立叶变换定义为

$$\mathcal{F}_\alpha(f)(\omega) = \sqrt{\frac{1-i\cot(\alpha)}{2\pi}} e^{i \cot(\alpha) \omega^2/2} \int_{-\infty}^\infty e^{-i\csc(\alpha) \omega t + i \cot(\alpha) t^2/2} f(t) dt$$

并且具备以下特性

- 加法性(Additivity)

$\mathcal{F}_{\alpha+\beta}(f) = \mathcal{F}_\alpha(\mathcal{F}_\beta(f)) = \mathcal{F}_\beta(\mathcal{F}_\alpha(f))$。

- 线性(Linearity)

$$\mathcal{F}_\alpha \left [\sum\nolimits_k b_kf_k(u) \right ]=\sum\nolimits_k b_k\mathcal{F}_\alpha \left [f_k(u) \right ]$$

- 整数傅立叶性质(Integer Orders)

若$\alpha=\frac{k\pi}{2}$,其中$k$为一整数则相当于做$k$次傅立叶转换。

当$\alpha=\frac{\pi}{2}$时，这个定义就变成了连续傅立叶变换的定义。

当${\displaystyle \alpha ={\frac {-\pi }{2}}}$时，它就变成了连续傅立叶变换之逆变换的定义。

若$\alpha$为$\pi$的整数倍，则余切函数和余割函数不会收敛。

有一方法可解决此问题，就是取函数极限，让以上定义变成有一个狄拉克δ函数被积分的情况，使得

$$\mathcal{F}_\alpha = \mathcal{F}_{\frac{k\pi}{2}} = \mathcal{F}^k = (\mathcal{F})^k$$

- 反转性质(Inverse)

$$(\mathcal{F}_\alpha)^{-1}=\mathcal{F}_{-\alpha}$$

- 交换性(Commutativity)

$$\mathcal{F}_{\alpha_1}\mathcal{F}_{\alpha_2}=\mathcal{F}_{\alpha_2}\mathcal{F}_{\alpha_1}$$

- 结合律(Associativity)

$$\left (\mathcal{F}_{\alpha_1}\mathcal{F}_{\alpha_2} \right )\mathcal{F}_{\alpha_3} = \mathcal{F}_{\alpha_1} \left (\mathcal{F}_{\alpha_2}\mathcal{F}_{\alpha_3} \right )$$

- 帕塞瓦尔定理(Parseval Theorem)

若从时频分析图上来看，代表的意义是在时频分析上旋转一角度后能量守恒

$$\int f^*(u)g(u)du=\int f_\alpha^*(u)g_\alpha(u)du$$

## 定理

$x(t)$ 的分数傅立叶转换 ($\phi$)的时频分布，等同于 $x(t)$ 的时频分布(维格纳分布,加伯转换)顺时针旋转角度 $\phi$，用数学式子表示如下:

### 维格纳分布(Wigner distribution function)

假设

- $W_x(t,f)$ 是 $x(t)$ 的维格纳分布
- $W_{X_\phi}(u,v)$ 是 $X_\phi(u)$ 的维格纳分布
- $X_\phi(u)$ 是 $x(t)$ 的分数傅立叶转换

则$W_{X_\phi}(u,v)=W_x(u\cos(\phi)-v\sin(\phi),u\sin(\phi)+v\cos(\phi))$

### 加伯转换(Gabor transform)

假设

- $G_x(t,f)$ 是 $x(t)$ 的加伯转换
- $G_{X_\phi}(u,v)$ 是 $X_\phi(u)$ 的加伯转换
- $X_\phi(u)$ 是 $x(t)$ 的分数傅立叶转换

则$G_{X_\phi}(u,v)=G_x(u\cos(\phi)-v\sin(\phi),u\sin(\phi)+v\cos(\phi))$

例子一:

对一个加伯转换后的余弦函数做不同角度的分数傅立叶转换。如下图

<image>

例子二:

对一个加伯转换后的矩形函数做不同角度的分数傅立叶转换。如下图

<image>

## 应用

可用分解信号和滤除噪声；一般来说分为两种，一种是在时域(Time domain)上，一种是在频域(Frequency domain)上。

这边利用分数傅立叶转换使其在分数域当中滤波。

### 时域

假设现在$x(t)$是由两个信号组成:

$x(t)=x_1(t)+x_2(t)$。

$x_1(t)$和$x_2(t)$ 用数学表示分别如下:

$$x_1(t) = \begin{cases} 1, & \mbox{if }0<t<1\mbox{ } \\ 0, & \mbox{otherwise }\mbox{ } \end{cases}$$

$$x_2(t) = \begin{cases} 1, & \mbox{if }8<t<10\mbox{ } \\ 0, & \mbox{otherwise }\mbox{ } \end{cases}$$

$$h(t) = \begin{cases} 1, & \mbox{if }-2<t<2\mbox{ } \\ 0, & \mbox{otherwise }\mbox{ } \end{cases}$$

由式子可以很明显地看出，$x_1(t),x_2(t)$两信号是方波。

若要将这两个信号分开，是非常简单的一件事情，因为这两个信号在时域上毫无重叠，便可以直接在时域上将这两个信号分开。

则 $x(t)$ 乘上 $h(t)$ 时，$x_1(t)$这个信号会被保留，$x_2(t)$这个信号就被滤掉了。

此作法可成功将这两个信号分开。

#### 限制

此种方法的限制为欲分解的信号必须在时域不能重叠，否则无法成功分解。

### 频域

$x(t)=x_1(t)+x_2(t)$。

$x_1(t)=\sin(4\pi t)$，$x_2(t)=\cos(10\pi t)$。

可以很明显地看出$x_1(t)$和$x_2(t)$ 在时域上完全重叠，因此很难在时域分解这两个信号。

此时，可以妥善利用傅立叶转换将信号$x(t)$转到频域，其在频域的表示式如下所示:

$$X(f) = X_1(f)+X_2(f)$$

$$X_1(f) = {\frac{\delta (f-2)-\delta (f+2)}{2}}$$

$$X_2(f) = {\frac{\delta (f-5)+\delta (f+5)}{2}}$$

由$X(f)$可以很明显地看出，若要将这两个信号在频域上分开，是非常简单的一件事情，因为这两个信号经过傅立叶转换后，在频域上完全没有重叠。

#### 例子

假设 $H(f)$ 为一个低通滤波器(Low-pass Filter)

$$H(f) = \begin{cases} 1, & \mbox{if }-3<t<3\mbox{ } \\ 0, & \mbox{otherwise }\mbox{ } \end{cases}$$

则 $X(f)$ 乘上 $H(f)$ 时，$X_1(f)$ 会被保留，$X_2(f)$ 就被滤掉了。

反之，若要保留 $X_2(f)$ 而滤掉 $X_1(f)$，则可以使用高通滤波器(High-pass Filter)。

这种把欲处理信号先转换到频域，再做分解的动作，是滤波器设计的常见方法之一。

#### 限制

欲分解的信号必须在频域不能重叠，否则无法成功分解。

### 时频域分解

$x(t)=e^{j0.5(t-4)^2}$ (啁啾噪声) + 三角波信号。

三角波信号(蓝色)是我们要的信号，将前面的啁啾(绿色)视为噪声，由图中可以发现到。

不论在时域或是频域，皆无法直接将噪音项$e^{j0.5(t-4)^2}$去除，这是因为$e^{j0.5(t-4)^2}$和三角波信号在时域和频域皆重叠(如下图左上、右上)。

因此，对于两个在时、频域皆重叠的信号来说，很难在一维的时域和频域中将其分解。

但若使用二维的时频分析，则将有机会可以将两个在时、频域皆重叠的信号分解。

这是因为两个在时、频域皆重叠的信号其时频分布并不一定会重叠。因此，只要这两个信号的时频分布没有互相重叠，就可以善用分数傅立叶变换将其成功分解(如下图左下、右下)。

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#### 例子一

假设有噪音干扰，所以接收到的信号除了原始信号以外，还包含了噪声。

用时频分析方法来处理接收到的信号，黑色为原始信号(signal)的时频分布，而绿色为噪音(noise)的时频分布，如下图。

<image>

现在想把噪声滤掉，以下探讨3种方法来还原原始信号。

方法1 : 使用垂直的截至线（Cutoff line）

若在时频分布图中使用垂直的 Cutoff line，就相当于在一维时域中，要把信号和噪音分离。

但是由下图可清楚看出，使用垂直的 Cutoff line 后，仍然会有一部分的噪音无法被去除。

因此方法1无法完美重建原始信号，而会有扭曲的情形发生。

<image>

方法2 : 使用水平的 Cutoff line

若在时频分布图中使用水平的 Cutoff line，就相当于在一维频域中，要把信号和噪音分离。

但是由下图可清楚看出，使用水平的 Cutoff line 后，仍然会有一部分的噪音无法被去除。

因此方法2也无法完美重建原始信号，而会有扭曲的情形发生。

<image>

方法3 : 使用斜的 Cutoff line

若在时频分布图中使用斜的 Cutoff line，则可以完美分离信号和噪音。如下图。

Cutoff line 的参数包含了 $\phi$ 和 $u_0$，$\phi$ 是cutoff line和纵轴f-axis的夹角，而 $u_0$ 则是cutoff line 距离原点的距离。

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以下示范如何使用分数傅立叶转换和Cutoff line来将噪音滤除:

步骤(1) 首先决定cutoff line和纵轴f-axis的夹角 $\phi$

步骤(2) 利用分数傅立叶转换对时频分布旋转 $\phi$，使 cutoff line 垂直横轴 t-axis。

步骤(3) 算出 $u_0$后，再利用低通遮罩(Low pass Mask)将噪音滤掉。

步骤(4) 最后再做一次分数傅立叶转换 $-\phi$，将时频分布旋转回原来的位置。

令接收到的信号为 $x_i(t)$，最后得到的信号为 $x_o(t)$，可将以上步骤用数学式子表示如下:

$$x_o(t)=X_{-\phi}[{X_\phi(x_i(t))H(u)}]$$

$$H(u) = \begin{cases} 1, & \mbox{if} u<u_0\mbox{ } \\ 0, & \mbox{if} u>u_0\mbox{ } \end{cases}$$

例子二:

假设发射一信号s(t)，中间受到噪声干扰，最后收到的讯号为f(t)=s(t)+noise

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(a) 发射讯号的时域图

(b) 接收讯号的时域图

(c) 发射讯号的韦格纳分布

<image>

(d) 接收讯号的韦格纳分布，有由此可见cross-term已经大大的影响时频图的可见姓，加上噪声后的韦格纳分布更是无法清楚地将讯号分离开来

(e) 发射讯号的加伯转换

(f) 接收讯号的加伯转换

<image>

(g) 接收讯号的加伯-维格纳转换

(h) 滤波器的设计，这边总共有四条cutoff lines，其中有两条平行，所以总共需要做三次不同的分数傅立叶转换，再借由cutoff lines来去除噪声

(i) 滤波器的设计，这边总共有四条cutoff lines，其中有两条平行，所以总共需要做三次不同的分数傅立叶转换，再借由cutoff lines来去除噪声

<image>

(j) 对(i)做分数傅立叶转换

(k) 利用高通滤波器滤波，把两条cutoff lines设置在低频

(l) 经过(k)滤波器以后

(m) 透过同上的手法再做两次低通滤波器，把旁边两条线给去除后可得到的还原讯号

(n) 发射讯号(蓝色)和还原讯号(绿色)的比较，两者的MSE仅有0.1128%

由以上可知，透过分数傅立叶旋转时频图的技巧来设计滤波器，我们可以精准地还原讯号

例子三:

一样假设接收讯号受到了噪声干扰

<image>

(a) 发射讯号

(b) 接收讯号

(c) 接收讯号的韦格纳分

(d) 接收讯号的加伯转换

(e) 接收讯号的加伯-维格纳转换，在这边的滤波器需要五条cutoff lines(蓝线)，但有两条是垂直时间轴，可以直接在时间轴上去除，剩下的三条则需要利用分数傅立叶转换来去除。

(f) 还原讯号，MSE仅0.3013%

## 比较傅立叶转换和分数傅立叶转换

傅立叶转换

优点: 运算复杂度较低，有快速傅立叶转换的算法。

缺点: 仅有一个维度，频域，来分析；噪声若和讯号重叠，则难以分离。

分数傅立叶转换

优点: 运用旋转的技巧在时频图上去除噪声，多了一个维度（时域）来分析；除非噪声和讯号同时在频域和时域上重叠，否则将可以分离两讯号。

缺点: 运算复杂度较高。

## 外部链接

- DiscreteTFDs -- software for computing the fractional Fourier transform and time-frequency distributions
- Class notes of Time frequency analysis and wavelet transform -- from Prof. Jian-Jiun Ding's course website

## 参考文献

- N. Wiener, "Hermitian polynomials and Fourier analysis," Journal of Mathematics Physics MIT, 18, 70-73 (1929).
- V. Namias, "The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics," J. Inst. Appl. Math. 25, 241–265 (1980).
- Luís B. Almeida, "The fractional Fourier transform and time-frequency representations," IEEE Trans. Sig. Processing 42 (11), 3084–3091 (1994).
- Soo-Chang Pei and Jian-Jiun Ding, "Relations between fractional operations and time-frequency distributions, and their applications," IEEE Trans. Sig. Processing 49 (8), 1638–1655 (2001).
- D. H. Bailey and P. N. Swarztrauber, "The fractional Fourier transform and applications," SIAM Review 33, 389-404 (1991). (Note that this article refers to the chirp-z transform variant, not the FRFT.)
- Haldun M. Ozaktas, Zeev Zalevsky and M. Alper Kutay. "The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing". John Wiley & Sons (2001). Series in Pure and Applied Optics.
- Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2013