拉普拉斯变换

拉普拉斯变换（Laplace transform）是应用数学中常用的一种积分变换，又名拉氏转换，其符号为$\displaystyle\mathcal{L} \left\{f(t)\right\}$。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有实数变量$t(t \ge 0)$的函数转换为一个变量为复数$s$的函数：

$$F(s) = \int_0^\infty f(t) e^{-st}\,\mathrm{d}t.$$

拉氏变换在大部分的应用中都是对射的，最常见的$f(t)$和$F(s)$组合常印制成表，方便查阅。拉普拉斯变换得名自法国天文学家暨数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon marquis de Laplace），他在几率论的研究中首先引入了拉氏变换。

拉氏变换和傅里叶变换有关，不过傅里叶变换将一个函数或是信号表示为许多弦波的叠加，而拉氏变换则是将一个函数表示为许多矩的叠加。拉氏变换常用来求解微分方程及积分方程。在物理及工程上常用来分析线性非时变系统，可用来分析电子电路、谐振子、光学仪器及机械设备。在这些分析中，拉氏变换可以作时域和频域之间的转换，在时域中输入和输出都是时间的函数，在频域中输入和输出则是复变角频率的函数，单位是弧度每秒。

对于一个简单的系统，拉氏变换提供另一种系统的描述方程，可以简化分析系统行为的时间。像时域下的线性非时变系统，在频域下会转换为代数方程，在时域下的卷积会变成频域下的乘法。

## 正式定义

对于所有实数$t \ge 0$，函数$f(t)$的拉普拉斯变换是函数$F(s)$，定义为：

$$F(s) =\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,\mathrm{d}t$$

其中频率参数$s$是一个复数：

$s = \sigma + i \omega, \,$ $\sigma$和$\omega$为实数。

除了$F$，有时我们也使用 $\displaystyle\mathcal{L}f$ 或 $\displaystyle\mathcal{L}_t\left\{f(t)\right\}$ 来表示拉普拉斯变换。$\mathcal{L}$ 是一个运算符号。

这个积分的具体含义取决于被积函数的类型。它存在的一个必要条件是在 $f$ 在 $[0, \infty)$ 上局部可积。对于在无穷大处衰减的局部可积函数或指数型函数，这积分可以被理解成（恰当）勒贝格积分。然而，在很多应用中，我们有必要将其视作在 $\infty$ 处条件收敛的反常积分。更一般的，这个积分可以在较弱的意义上理解，在下面会去处理。

可以用勒贝格积分定义拉普拉斯变换为一个有限博雷尔测度 $\mu$

$$\mathcal{L}\{\mu\}(s) = \int_{[0,\infty)} e^{-st}\, \mathrm{d}\mu(t).$$

以上定义的一个特殊情况是 $\mu$ 为概率测度，或者更具体地说，是狄拉克δ函数时。在运算微积分中，拉普拉斯变换的测度常常被视作由分布函数 $f$ 带来的测度。在这种情况下，为了避免混淆，一般写作

$$\mathcal{L}\{f\}(s) = \int_{0^-}^\infty e^{-st}f(t)\, \mathrm{d}t,$$

其中积分下限 $0^-$ 是

$$\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_{-\varepsilon}^\infty$$

简化符号。

这个极限强调任何位于 0 的质点都被拉普拉斯变换完全捕获。虽然在使用勒贝格积分时，我们没有必要取这个极限，但它让我们更自然地与拉普拉斯–斯蒂尔吉斯变换建立联系。

### 双边拉普拉斯转换

更广义地，对于定义于整个实数轴上的实值函数或复值函数 $f(t)$，其双边拉普拉斯转换为

$$\mathcal{B}\left\{f\right\}(s) =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} f(t) \,\mathrm{d}t$$

### 拉普拉斯逆变换

两个相异的可积函数，只有其在勒贝格测度为零的集合上具有不同的值时，才会有相同的拉普拉斯变换。因此以转换的角度而言，存在其反转换。包括可积分函数在内，拉普拉斯变换是单射映射，将一个函数空间映射到其他的函数空间。典型的函数空间包括有界连续函数、函数空间L∞(0, ∞)、或是更广义，在 (0, ∞) 区间内的缓增广义函数（函数的最坏情形是多项式成长）。

拉普拉斯逆变换有许多不同的名称，如维奇积分、傅立叶-梅林积分、梅林逆公式，是一个复数积分：

$$f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F\}(t) = \frac{1}{2 \pi i} \lim_{T\to\infty}\int_{\gamma - i T}^{\gamma + i T} e^{st} F(s)\, \mathrm{d}s$$

其中$\gamma$是一个使$F(s)$的积分路径在收敛域内的实数。另一个拉普拉斯逆变换的公式是由Post反演公式而来。

在实务上一般会配合查表，将函数的拉普拉斯变换分换为许多已知函数的拉普拉斯变换，再利用观察的方式产生其拉普拉斯逆变换。在微分方程中会用到拉普拉斯逆变换，会比用傅里叶转换的处理方式要简单。

## 性质和定理

函数$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换分别为$F(s)$和$G(s)$：

$$\begin{align} <pre> f(t) &= \mathcal{L}^{-1} \{ F(s) \} \\ g(t) &= \mathcal{L}^{-1} \{ G(s) \} </pre> \end{align}$$

下面的表格是一系列单边拉普拉斯变换的性质：

时域｜s域｜注释

线性叠加｜$a f(t) + b g(t) \ $｜$a F(s) + b G(s) \ $｜可以用积分的基本规则证明。

s域一阶微分｜$t f(t) \ $｜$-F'(s) \ $｜$F'$是$F$的一阶导数。

s域一般微分｜$t^{n} f(t) \ $｜$(-1)^{n} F^{(n)}(s) \ $｜更一般的形式是$F(s)$的$n$阶导数。

时域一阶微分｜$f'(t) \ $｜$s F(s) - f(0) \ $｜$f$是一个可微函数，并且其导数为指数类型。这条性质可以通过分部积分得到。

时域二阶微分｜$f''(t) \ $｜$s^2 F(s) - s f(0) - f'(0) \ $｜$f$为二阶可微且二阶导数是指数型的。通过对$f(t)$应用微分性质可得。

时域一般微分｜$f^{(n)}(t) \ $｜$s^n F(s) - \sum_{k=1}^{n} s^{k-1} f^{(n - k)}(0) \ $｜$f$为$n$阶可微，其$n$阶导数是指数型的。通过数学归纳法证明。

s域积分｜$\frac{1}{t}f(t) \ $｜$\int_s^\infty F(\sigma)\, \mathrm{d}\sigma \ $｜这是由s域微分和条件收敛推导出来的。

时域积分｜$\int_0^t f(\tau)\, \mathrm{d}\tau = (u * f)(t)$｜${1 \over s} F(s)$｜$u(t)$是阶跃函数，注意到$(u * f)(t)$是$u(t)$和$f(t)$的卷积。

时间标度｜$f(at)$｜$\frac{1}{a} F \left ( {s \over a} \right )$｜$a > 0 \ $

s域平移｜$e^{at} f(t) \ $｜$F(s - a) \ $

时域平移｜$f(t - a) u(t - a) \ $｜$e^{-as} F(s) \ $｜$u(t)$表示阶跃函数

乘法｜$f(t)g(t)$｜$\frac{1}{2\pi i}\lim_{T\to\infty}\int_{c - iT}^{c + iT}F(\sigma)G(s - \sigma)\,\mathrm{d}\sigma \ $｜积分沿完全处在$F$收敛域内的竖直线$Re(\sigma) = c$。

卷积｜$(f * g)(t) = \int_{0}^{t} f(\tau)g(t - \tau)\,\mathrm{d}\tau$｜$F(s) \cdot G(s) \ $

复共轭｜$f^*(t)$｜$F^*(s^*)$

互相关｜$f(t)\star g(t)$｜$F^*(-s^*)\cdot G(s)$

周期函数｜$f(t)$｜${1 \over 1 - e^{-Ts}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,\mathrm{d}t$｜$f(t)$是一个周期为$T$的周期函数，于是对所有$t \ge 0$，有$f(t) = f(t + T)$。这条性质是时域平移和几何级数的结果。

$f(0^+)=\lim_{s\to \infty}{sF(s)}$，要求 ${F(s)}$ 为真分式，即分子的最高次小于分母的最高次，否则使用多项式除法将${F(s)}$分解

$f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)}$，要求 $s F(s)$ 的所有极点都在左半复平面或原点为单极点。

由于终值定理无需经过部分分式分解或其他困难的代数就能给出长期的行为，它就很有用。如果 $F(s)$ 在右侧面或虚轴上有极点，如当 $f(t) = e^t$ 或 $f(t) = \sin(t)$ 时，这个公式的行为就是未定义的。

### 与幂级数的关系

拉普拉斯变换可以看成是幂级数的一个连续模拟。如果 a(n) 是正整数 n 的一个离散函数，那么与 a(n) 相关的幂级数为

$$\sum_{n=0}^{\infty} a(n) x^n$$

其中 x 是实变量（参见Z变换）。将对 n 的加和替换成对 t 的积分，则此幂级数的连续形式为

$$\int_{0}^{\infty} f(t) x^t \,\mathrm{d}t$$

其中离散型函数 a(n) 被替换成连续型的 f(t)。（参见下文梅林变换。）改变幂的基底 x 为 e 得

$$\int_{0}^{\infty} f(t) \left(e^{\log{x}}\right)^t \,\mathrm{d}t$$

要使这个积分对任何有界函数 f 都收敛，就需要满足$\log{x} < 0$。使用−s = log x代换就能得到拉普拉斯变换：

$$\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} \,\mathrm{d}t$$

换句话说，拉普拉斯变换是幂级数的一个连续模拟，只是把离散参数 n 换成了连续变量 t， x 换成了 e−s。

### 与矩的关系

函数 f 的矩为

$$\mu_n = \int_0^\infty t^nf(t)\,\mathrm{d}t$$

如果 f 的前 n 阶矩绝对收敛，则通过反复在积分符号内取微分，就得到$(-1)^n(\mathcal L f)^{(n)}(0) = \mu_n$。这在概率论里是有特别重要的意义的，其中随机变量 X 的矩是$\mu_n=E[X^n]$。下面的关系成立：

$$\mu_n = (-1)^n\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}s^n}E\left[e^{-sX}\right].$$

### 证明函数导数的拉普拉斯变换

很方便用拉普拉斯变换的微分性质来求函数导数的变换。从拉普拉斯变换的基本表达式就可以推导如下：

$$\begin{align} <pre> \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} &= \int_{0^-}^{\infty} e^{-st} f(t)\,\mathrm{d}t \\ &= \left[\frac{f(t)e^{-st}}{-s} \right]_{0^-}^{\infty} - \int_{0^-}^\infty \frac{e^{-st}}{-s} f'(t) \, \mathrm{d}t\quad \text{(by parts)} \\ &= \left[-\frac{f(0^-)}{-s}\right] + \frac{1}{s}\mathcal{L}\left\{f'(t)\right\}, </pre> \end{align}$$

导出

$$\mathcal{L}\left\{ f'(t) \right\} = s\cdot\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\}-f(0^-),$$

而在双边的情形下。

$$\mathcal{L}\left\{ { f'(t) } \right\} = s \int_{-\infty}^\infty e^{-st} f(t)\,\mathrm{d}t = s \cdot \mathcal{L} \{ f(t) \}.$$

一般化的结果是

$$\mathcal{L} \left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n \cdot \mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} - s^{n - 1} f(0^-) - \cdots - f^{(n - 1)}(0^-),$$

其中 f(n) 表示 f 的 n阶导数，可以由归纳假设得出。

### 计算广义积分

令$\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=F(s)$，则（参见上面的表格）

$$\mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t}\right\}=\int_{s}^{\infty}F(p)\, \mathrm{d}p,$$

或

$$\int_{0}^{\infty}\frac{f(t)}{t}e^{-st}\, \mathrm{d}t=\int_{s}^{\infty}F(p)\, \mathrm{d}p.$$

令 s → 0，假定可以改变取极限顺序，就得到性质

$$\int_{0}^{\infty}\frac{f(t)}{t}\, \mathrm{d}t=\int_{0}^{\infty}F(p)\, \mathrm{d}p.$$

即便在不可以交换，此计算依然有暗示性。例如，形式上按此计算得到

$$\int_{0}^{\infty}\frac{\cos at-\cos bt}{t}\, \mathrm{d}t = <pre> \int_{0}^{\infty}\left(\frac{p}{p^{2} + a^{2}}-\frac{p}{p^{2} + b^{2}}\right)\, \mathrm{d}p = \frac{1}{2}\left.\ln\frac{p^{2} + a^{2}}{p^{2} + b^{2}} \right|_{0}^{\infty} = \ln b - \ln a. </pre>$$

这个性质的正确性可以用其他方法证明。它是傅汝兰尼积分（Frullani integral）的一个例子。

例子还有狄利克雷积分。

### 与其他变换的联系

#### 与傅里叶变换关系

连续傅里叶变换相当于计算令 $s = \imath \omega$ 或 $s = 2 \pi f \imath$ 的双边拉普拉斯变换：

$$\begin{align} \hat{f}(\omega) & = \mathcal{F}\left\{f(t)\right\} \\[1em] & = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}|_{s = i\omega} = F(s)|_{s = i \omega}\\[1em] & = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t.\\ \end{align}$$

#### 与z变换的联系

z 变换表达式为：

$$X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}$$

其中 $z \leftarrow e^{s T} \ $。比较两者表达式有：

$$X_q(s) = X(z) \Big|_{z=e^{sT}}.$$

## 拉普拉斯变换简表

下表提供了许多常用单变量函数的拉普拉斯变换。对于定义和解释，请参见表末的注释。

由于拉普拉斯变换是一个线性算子：

- 和的拉普拉斯变换等于各项拉普拉斯变换的和。

$$\mathcal{L}\left\{f(t) + g(t) \right\} = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} + \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}$$

- 一个函数的常数倍拉普拉斯变换等于其拉普拉斯变换的常数倍。

$$\mathcal{L}\left\{a f(t)\right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t)\right\}$$

使用这个线性性质，以及各种三角、双曲、和复数 （等）的性质，可以从其他拉普拉斯变换得到一些拉普拉斯变换，这会比直接通过使用定义更快。

单边拉普拉斯变换取时域为非负实数的函数作为输入，这就是下表中所有时域函数都乘以单位阶跃函数 u(t) 的原因。表中涉及时间延迟 τ 的条目必须是因果的 （即 τ > 0）。因果系统是 t = 0 之前的冲激响应 h(t) 都为零的一个系统。在一般情况下，因果系统的收敛区域和反因果系统是不相同的。

函数｜时域 $f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s) \right\}$｜拉普拉斯s域 $F(s) = \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\}$｜收敛区域｜参考

单位脉冲函数｜$\delta(t) \ $｜$1$｜所有 $s$｜检验

延迟脉冲函数｜$\delta(t - \tau) \ $｜$e^{-\tau s} \ $｜单位脉冲函数的时移

单位阶跃函数｜$u(t) \ $｜${ 1 \over s }$｜$\Re(s) > 0$｜对单位冲激函数积分

延迟单位阶跃函数｜$u(t - \tau) \ $｜$\frac{1}{s} e^{-\tau s}$｜$\Re(s) > 0$｜单位阶跃函数的时移

斜坡函数｜$t \cdot u(t)\ $｜$\frac{1}{s^2}$｜$\Re(s) > 0$｜两次积分单位脉冲函数

n次幂（n 为整数）｜$t^n \cdot u(t)$｜${ n! \over s^{n + 1} }$｜$$\Re(s) > 0 \text{ for } n > -1$$｜n次积分单位阶跃函数

q次幂（q 为复数）｜$t^q \cdot u(t)$｜${ \Gamma(q + 1) \over s^{q + 1} }$｜$\Re(s) > 0$ Re(q) > −1

n次方根｜$\sqrt[n]{t} \cdot u(t)$｜${ 1 \over s^{\frac{1}{n}+1} } \Gamma\left(\frac{1}{n} + 1\right)$｜$\Re(s) > 0$｜由前一条性质中令 q = 1/n 得到。

频移的 n 次方｜$t^{n} e^{-\alpha t} \cdot u(t)$｜$\frac{n!}{(s+\alpha)^{n+1}}$｜Re(s) > −α｜对单位阶跃函数积分，应用频移

延迟的频移的 n 次方｜$(t-\tau)^n e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau)$｜$\frac{n! \cdot e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}}$｜Re(s) > −α｜对单位阶跃函数积分，应用频移，应用时移

指数衰减｜$e^{-\alpha t} \cdot u(t)$｜${ 1 \over s+\alpha }$｜Re(s) > −α｜单位阶跃函数的频移

双侧指数衰减（仅对于双边变换）｜$e^{-\alpha|t|} \ $｜${ 2\alpha \over \alpha^2 - s^2 }$｜−α < Re(s) < α｜单位阶跃函数的频移

指数趋近｜$( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \ $｜$\frac{\alpha}{s(s+\alpha)}$｜$\Re(s) > 0$｜单位阶跃函数减去指数衰减

正弦｜$\sin(\omega t) \cdot u(t) \ $｜${ \omega \over s^2 + \omega^2 }$｜$\Re(s) > 0$

余弦｜$\cos(\omega t) \cdot u(t) \ $｜${ s \over s^2 + \omega^2 }$｜$\Re(s) > 0$

双曲正弦｜$\sinh(\alpha t) \cdot u(t) \ $｜${ \alpha \over s^2 - \alpha^2 }$｜Re(s) > |α|

双曲余弦｜$\cosh(\alpha t) \cdot u(t) \ $｜${ s \over s^2 - \alpha^2 }$｜Re(s) > |α|

指数衰减正弦波｜$e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \ $｜${ \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$｜Re(s) > −α

指数衰减余弦波｜$e^{-\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \ $｜${ s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$｜Re(s) > −α

自然对数｜$\ln (t) \cdot u(t)$｜$- { 1 \over s}\, \left[ \ln(s)+\gamma \right]$｜$\Re(s) > 0$

n 阶第一类贝塞尔函数｜$J_n( \omega t) \cdot u(t)$｜$\frac{ \left(\sqrt{s^2+ \omega^2}-s\right)^{n}}{\omega^n \sqrt{s^2 + \omega^2}}$｜$\Re(s) > 0$ (n > −1)

误差函数｜$\mathrm{erf}(t) \cdot u(t)$｜$\frac{1}{s}e^{\frac{1}{4}s^2} \left(1 - \operatorname{erf} \frac{s}{2}\right)$｜$\Re(s) > 0$

注释：

另外，数学家田士弘透过解析延拓的方式计算出了laplace(1/t)的值。已知laplace(1)=laplace(t*1/t)=-d/ds(laplace(1/t)，将两边做积分，即可得出laplace(1/t)=-lns+c。

## 变换及其性质的应用实例

拉普拉斯变换在物理学和工程中是常用的；线性时不变系统的输出可以通过卷积单位脉冲响应与输入信号来计算，而在拉氏空间中执行此计算将卷积通过转换成乘法来计算。后者是更容易解决，由于它的代数形式。

拉普拉斯变换也可以用来解决微分方程，这被广泛应用于电气工程。拉普拉斯变换把线性差分方程化简为代数方程，这样就可以通过代数规则来解决。原来的微分方程可以通过施加逆拉普拉斯变换得到其解。英国电气工程师奥利弗·黑维塞第一次提出了一个类似的计划，虽然没有使用拉普拉斯变换；以及由此产生的演算被誉为黑维塞演算。

## 在工程学上的应用

应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示，对于分析系统特性，系统稳定有着重大意义；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。

## 参考书目、资料来源

- 电机电子类科《工程数学》，ISBN 957-584-377-0，作者陈锡冠、胡曦、周祯晖老师，高立出版社。