实变函数论

实分析，也称为实数分析、实变函数论（Real analysis、Theory of functions of a real variable），是处理实数及实函数的数学分析。专门研究实数函数及数列的解析特性，包括实数数列的极限，实函数的微分及积分、连续性、光滑性以及其他相关性质。

实分析常以基础集合论，函数概念定义等等开始。

## 内容

### 实数的构造

有许多种将实数定义为有序域的方式。合成的作法会提供许多实数的公理，将实数变成完备有序域。在一般集合论的公理下，可以证明这些公理都是明确的，也就是说有一个公理的模型，任两个模型都是同构的。这些模型中需要有一个有明确的定义，而大部分的模型都可以用实数为有序域时的基本性质来得到。

### 实数的有序性

实数有许多重要的特性是和数学中格的定义有关，这些性质也是复数所没有的。其中最重要的是，实数形成有序域，实数的有序满足反对称性、传递性及完全性，属于全序关系，而且实数有最小上界性。实数中的偏序关系带来了实变分析中许多重要的定理，例如单调收敛定理、介值定理及中值定理。

在实变分析中这些定理只针对实数，不过许多的结果可以应用在其他的数学对象。特别是许多泛函分析及算子理论中的概念是来自实数中概念的扩展，这类的扩展包括里斯空间及正算子的理论。也有数学家考虑复数数列的实部及虚部，例如算子数列的强算子拓扑。

### 序列

序列是一个定义域为可数全序集合的函数，多半会让定义域是自然数或是所有整数。例如，一个实数的序列为以下定义的映射$a:\mathbb{N}\to\mathbb{R},\ n\mapsto a_n$，常会表示为$(a_n)=(a_n)_{n\in\mathbb{N}}=(a_1, a_2, a_3, \cdots)$。若一序列会慢慢的接近一个极限（也就是存在$\lim_{n\to\infty}a_n$），称此序列为收敛，否则则称此序列为发散。

### 极限

极限是指函数或序列在其输入接近一定值时，其输出数值所接近的特定定值。极限是微积分学及广义数学分析的基础，连续函数、导数及积分也是利用极限来定义。

### 连续函数

若函数的输入及输出值都是实数，可以表示成笛卡儿坐标系上的图形。粗略来说，若函数图形是一条连续未分割的曲线，其中没有“洞”或是“断点”，函数即为连续函数。

针对上述粗略的定义，在数学上有许多严谨的定义。这些定义彼此是等价的，因此会用最简单而方便的定义来确认一个函数是否是连续，在以下的定义中

$$f\colon I \rightarrow \mathbf R.$$

是一个定义在实数$\boldsymbol{R}$以内子集的函数，子集$I$称为函数$f$的定义域。子集$I$的一些可能选择包括$I=\boldsymbol{R}$（所有实数）、以下的开区间

$$I = (a, b) = \{x \in \mathbf R \,|\, a < x < b \},$$

或闭区间

$$I = [a, b] = \{x \in \mathbf R \,|\, a \leq x \leq b \}.$$

因此$a$及$b$是实数。

一致连续是连续函数中，比连续函数更强的性质。若X和Y是实数子集，函数$f:X\rightarrow Y$为一致连续的条件是针对所有大于0的实数$\varepsilon$，存在一实数$\delta >0$，使得针对所有的$x,y\in X,\left \vert x-y \right \vert <\delta$即表示$\implies \left \vert f(x)-f(y) \right \vert <\varepsilon$。

一致连续和每一点连续的差异在一致连续时，$\delta$值只和$\varepsilon$值有关，和该值在定义域中的位置无关。一般情况下，连续不意味着均匀连续。

### 级数

给定一无穷序列 $(a_n)$，即可定义相关的级数为$a_1+a_2+a_3+\cdots=\sum_{n\in\mathbb{N}}a_n$，有时会简称为$\sum a_n$。级数的部分和$\sum a_n$为$s_n=\sum_{j=1}^n a_j$。级数$\sum a_n$收敛的条件是部分和的数列$(s_n)$收敛，否则级数即称为发散。收敛级数的和$s=\sum_{n=1}^\infty a_n$定义为$s=\lim_{n\to\infty}s_n$.

等比数列的和就是一个收敛级数，也是芝诺悖论的基础：

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+\cdots=1$.

以下的调和级数即为发散级数：

$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots=\infty$.

（此处“$=\infty$”不是严谨的表示方式，只是表示部分和会无限制地増长）

### 微分

函数$f$在$a$位置的导数为以下的函数极限

$$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

若导数在所有位置都存在，称函数为可微分，可以再继续计算函数的高阶导数。

也可以将函数依其微分分类来区分。分类$C^0$包括所有连续函数，分类$C^1$包括所有导数连续的可微函数，这类函数称为“连续可微”。分类$C^1$是指其导数在分类$C^1$中的函数。一般来说，分类$C^k$可以用递归方式定义，定义方式是宣告分类$C^0$是所有的连续函数，而分类$C^k$（$k$为正整数）是所有可微，而且其导数为$C^{k-1}$的函数。而分类$C^k$包括在分类$C^{k-1}$中，对所有的正整数$k$都成立。分类$C^\infty$是所有$C^k$的交集，其中$k$为所有的非负整数。$C^\omega$包括所有的解析函数，是分类$C^\infty$的严格子集。

### 积分

#### 黎曼积分

黎曼积分定义函数的黎曼和，对应为一个区间内的标记分区（tagged partitions）。令$[a,b]$为实数下的封闭区间，则在区间$[a,b]$内的标记分区为有限数列

$$a = x_0 \le t_1 \le x_1 \le t_2 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le t_n \le x_n = b . \,\!$$

将区间$[a,b]$分隔为$n$个下标为$i$子区间$[x_{i-1},x_i]$，每一个用不同的点$t_i\in [x_{i-1},x_i]$来标记。函数f对应标记分区的黎曼和定义为

$$\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta_i ;$$

则和的每一项都是长方形的面积，其高为函数在给定子区间内，标示点的数值，宽和子区间的宽相等。令$\Delta_i=x_i-x_{i-1}$为子区间$i$的宽，则标记分区的网格为长子区间中最宽区间的宽度$\mathrm{max}_{i=1\ldots n}\Delta_i$。函数$f$在区间$[a,b]$内的黎曼积分等于$S$若：

对所有$\varepsilon >0$，存在$\delta>0$使得，对于任何有标示，且网格小于$\delta$的区间$[a,b]$，以下的式子成立

$$\left| S - \sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta_i \right| < \varepsilon.$$

若选定的标示都是每个区间内函数的最大值（或最小值），黎曼积分就会成为上（或下）达布和，因此黎曼积分和达布积分有紧密的关系。

#### 勒贝格积分

勒贝格积分是一种积分概念，可以将积分延伸到更大范围的函数，同时也拓展函数的定义域。

### 分布

分布或是广义函数是一种将函数扩展后产生的概念。透过分布可以针对一些在传统定义下其导数不存在的函数进行微分（例如单位阶跃函数）。而任何局部可积函数都一定会有广义函数下的导数。

### 和复变分析的关系

实变函数论是数学分析的一部分，探讨像数列及其极限、连续性、函数的导数及积分。实变分析专注在实数，多半会包括正负无穷大以形成扩展实轴。实变分析和研究复数对应性质的复分析紧密相关。在复分析中，很自然的会对全纯函数定义导数，全纯函数有许多有用的性质，包括多次可微、可以用幂级数表示，而且满足柯西积分公式。

实变分析中也很自然的去考虑可微、光滑函数或调和函数，这些也常常用到，不过仍少了一些复变中全纯函数中有力的性质。而且代数基本定理若以复数表示时会比较简单。

复变中解析函数理论的技巧也可以用在实变分析，例如应用留数定理来计算实变函数的定积分。

## 重要结果

实分析的重要结果包括波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理、海涅－博雷尔定理、介值定理、中值定理、微积分基本定理及单调收敛定理。

实分析的许多概念可以扩展到广义的度量空间，包括巴拿赫空间及希尔伯特空间。