拓扑空间

拓扑空间（Topological space）是一种赋予“一点附近”这个概念的抽象数学结构；拓扑空间也是一个集合，其元素称为点，由此可以定义出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。

## 定义动机

拓扑结构最实用的动机，在于怎么去定义“一点的附近”，用以定义函数极限。

对于度量空间 $(M,\,d)$ 内的任一点 $x$，可定义中心为 $x$，半径为 $r > 0$ 的开球

$$B(x;r) := \left\{ y \in M \,\bigg|\, d(x,\,y) < r \right\}$$

然后把开球视为点 $x$ 附近的“开放边界区域”。但考虑到“区域”应该是有任意形状的，那一般的“开放边界区域”，应该是任取里面的点 $x$，都会有一个够小的开球 $B(x;r)$ 完全落在这个区域里，也就是说，可以定义 $(M,\,d)$ 的开子集 $O \subseteq M$ 为满足如下条件的子集合

$$(\forall x \in O)(\exist r > 0) [\, B(x;r) \subseteq O \,]$$

这样定义的开集有一些有趣的性质：

(1) 任二开集的交集也是开集

任取两个 $(M,\,d)$ 的开子集 $O_1,\,O_2 \subseteq M$，若 $x \in O_1 \cap O_2$，根据定义存在 $r_1,\,r_2 > 0$ 使得

$$B(x;r_1) \subseteq O_1$$

$$B(x;r_2) \subseteq O_2$$

这样若取 $r = \min{\{r_1,\,r_2\}}$，则会有：

$$B(x;r) \subseteq O_1 \cap O_2$$

也就是说， $O_1 \cap O_2$ 也是个开集。

(2) 任意个开集的并集也会是开集

若 $\mathfrak{A} \subseteq \mathcal{P}(M)$ 是一群开集所构成的集合，也就是说

$$\forall O\{ (O \in \mathfrak{A}) \Rightarrow (\forall x \in O)(\exist r > 0) [\, B(x;r) \subseteq O \,] \}$$

如果取

$$a \in \bigcup \mathfrak{A}$$

换句话说：

$$\exists O[\, (O \in \mathfrak{A})\wedge (a \in O) \,]$$

这样的话，显然有

$$(\exist r > 0) \left[\, B(a;r) \subseteq \bigcup \mathfrak{A} \,\right]$$

所以 $\bigcup \mathfrak{A}$ 也会是一个开集。

以上的性质促使人们在不依托度量情况下，去定义一个描述“一点的附近”的结构，换句话说，去抽象的定义一群开集是这么样的特殊集合，任二开集的交集是开的且任意开集的联集也是开的。

## 正式定义

<image>

拓扑结构一词涵盖了开集系，闭集系，邻域系，开核，闭包，导集，滤子等若干概念。可以从这些概念出发，给出若干种等价结构，但大部分书籍都以开集系为准。

### 开集系

根据定义动机一节可以作如下的定义：

$X$ 的子集族 $\mathfrak{O} \subseteq \mathcal{P}(M)$ 若满足以下开集公理

正式定义｜直观解释

$X,\,\varnothing \in \mathfrak{O}$｜$X$ 本身和空集合也是开的

$\forall O_1 \forall O_2 [\, (O_1,\,O_2 \in \mathfrak{O}) \Rightarrow (O_1 \cap O_2 \in \mathfrak{O}) \,]$｜有限个开集的交集也是开的

$\forall \mathfrak{A} \left[\, (\mathfrak{A} \subseteq \mathfrak{O}) \Rightarrow \left(\bigcup \mathfrak{A} \in \mathfrak{O} \right) \,\right]$｜任意个开集的并集也是开的

则称 $\mathfrak{O}$ 为 $X$ 的开集系（其中的元素称为开集）或拓扑，$(X,\,\mathfrak{O})$ 则被称为一拓扑空间，$X$ 内的元素 $x \in X$ 则称为拓扑空间 $(X,\,\mathfrak{O})$ 的点。

开集系的代号 $\mathfrak{O}$ 是字母“O”的德文尖角体，取名自德语形容词“offen”（开的）。

从开集系出发定义其它概念：（$A \subseteq X$ 为 $X$ 的子集）

- 闭集：若 $X - A$ 是开集，则称 $A$ 是闭集。
- 邻域：若存在开集 $O$ 使得 $x \in O \subseteq A$，则称 $A$ 是点 $x$ 的邻域。
- 开核：$A$ 的开核（或内部）$A^{\circ}$ 定义为$A$ 内所有开集之并，也就是$A^{\circ} := \bigcup \left\{ O \in \mathfrak{O} \,\big|\, O \subseteq A \right\}$

### 闭集系

$X$ 的子集族 $\mathfrak{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$ 若满足如下闭集公理：

正式定义｜直观解释

$X,\,\varnothing\in\mathfrak{F}$｜$X$ 本身和空集合也是闭的

$\forall F_1 \forall F_2 [\, (F_1,\,F_2 \in \mathfrak{F}) \Rightarrow (F_1 \cup F_2 \in \mathfrak{F}) \,]$｜有限个闭集的并集是闭的

$\forall \mathfrak{B} \left[\, (\mathfrak{B} \subseteq \mathfrak{F}) \Rightarrow \left(\bigcap \mathfrak{B} \in \mathfrak{F} \right) \,\right]$｜任意个闭集的交集是闭的

则称 $\mathfrak{F}$ 为 $X$ 的闭集系（其中的元素称为闭集）。

闭集系的代号 $\mathfrak{F}$ 是字母“ F” 的德文尖角体，取名自法语动词“fermer”（关闭）的过去分词“fermé”（封闭的）。

根据德摩根定理和量词符号的意义，以下的子集族

$$\mathfrak{O}_{\mathfrak{F}} = \left\{ O \in \mathcal{P}(X) \,\big|\, X - O \in \mathfrak{F} \right\}$$

为开集系，类似地，对于开集系 $\mathfrak{O}$，以下的子集族

$$\mathfrak{F}_{\mathfrak{O}} = \left\{ F \in \mathcal{P}(X) \,\big|\, X - F \in \mathfrak{O} \right\}$$

为闭集系，所以闭集系跟拓扑是等价的结构。

从闭集系出发定义其它概念：（$A \subseteq X$ 为 $X$ 的子集）

- 开集：$X - A$ 是闭集，则称 $A$ 是开集。
- 闭包：$A$ 的闭包$\overline{A}$ 定义为包含A的所有闭集之交，也就是$\overline{A} := \bigcap \left\{ F \in \mathfrak{F} \,\big|\, A \subseteq F \right\}$

### 邻域系

函数 $\mathfrak{U}:X \to \mathcal{P}[\mathcal{P}(X)]$（$\mathcal{P}[\mathcal{P}(X)]$ 指 $X$ 的幂集的幂集，也就是由所有子集族所构成的集合）若对任意 $x \in X$ 满足如下邻域公理：

正式定义｜直观解释

$\forall U\{\, [\,U\in\mathfrak{U}(x)\,] \Rightarrow (x \in U) \,\}$｜$x$ 属于 $\mathfrak{U}(x)$ 的任意元素（$\mathfrak{U}(x)$ 里的元素都是 $x$ 的邻域）

$\forall U\forall V\{\, [\,U,\,V \in \mathfrak{U}(x)\,] \Rightarrow [\,U \cap V \in \mathfrak{U}(x)\,] \,\}$｜$x$ 的任二邻域的交集也是 $x$ 的邻域

$(\forall V \subseteq X)[\,\forall U \in \mathfrak{U}(x)\,]\{\, (U \subseteq V ) \Rightarrow [\,V \in \mathfrak{U}(x)\,] \,\}$｜包含任何 $x$ 的邻域的任意子集也是 $x$ 的邻域

$[\,\forall U \in \mathfrak{U}(x)\,] [\,\exists V \in \mathfrak{U}(x)\,]\{\, (V \subseteq U) \wedge (\forall y \in V)[\, U \in \mathfrak{U}(y) \,] \,\}$｜$x$ 的每个邻域内有个 $x$ 的邻域，使的大邻域都是小邻域里面点的领域

这样任意 $\mathfrak{U}(x)$ 被称为 $x$ 的邻域系， $\mathfrak{U}(x)$ 里的元素 $U \in \mathfrak{U}(x)$ 则称为 $x$ 的邻域。

换句话说，函数 $\mathfrak{U}$ 将 $X$ 的每个点 $x \in X$ 映射至 $\mathfrak{U}(x)$，而 $\mathfrak{U}(x)$ 则是所有 $x$ 的邻域所构成的集族。

邻域系的代号 $\mathfrak{U}$ 是字母“ U” 的德文尖角体，取名自德语动词“ umgeben”（环绕）的名词化“Umgebung”（周围、环境）。

若取以下的子集族

$$\mathfrak{O}_{\mathfrak{U}} = \left\{ O \in \mathcal{P}(X) \,\big|\, (\forall x)\{\, (x \in O) \Rightarrow [\,O \in \mathfrak{U}(x)\,] \,\} \right\}$$

因为 $X$ 包含任意邻域， $X$ 本身显然为任意 $x \in X$ 的领域，故 $X \in \mathfrak{O}_\mathfrak{U}$；另外空集合 $\varnothing$ 没有任何属于它的点，所以根据实质条件的意义，$\varnothing \in \mathfrak{O}_\mathfrak{U}$。

若取 $O_1,\,O_2 \in \mathfrak{O}_\mathfrak{U}$，根据邻域公理的第二项有 $O_1 \cap O_2 \in \mathfrak{O}_\mathfrak{U}$；若取 $\mathfrak{B} \subseteq \mathfrak{O}_\mathfrak{U}$，且 $x \in \bigcup \mathfrak{B}$，那换句话说

$$\exists O[\, (O \in \mathfrak{B}) \wedge (x \in O) \,] <pre>$$

这样的话有

$$\exists O[\, (O \in \mathfrak{B}) \wedge (x \in O) \wedge (O \in \mathfrak{O}_\mathfrak{U}) \,] <pre>$$

那这样根据邻域公理第三项，$\bigcup \mathfrak{B} \in \mathfrak{O}_\mathfrak{U}$，所以 $\mathfrak{O}_{\mathfrak{U}}$ 的确是个开集合系。

类似地对于开集系 $\mathfrak{O}$，若对任意 $x \in X$ 取

$$\mathfrak{U}(x) = \left\{ U \in \mathcal{P}(X) \,\big|\, \exists O[\, (O \in \mathfrak{O}) \wedge (O \subseteq U) \wedge (x \in O) \,] \right\}$$

那 $\mathfrak{U}(x)$ 也会符合上面四款邻域系公理（注意到第四项取 $V = U^{\circ}$），所以对所有 $x \in X$ 定义了邻域系等同于定义了一个拓扑。

从邻域系出发定义其它概念：（$A \subseteq X$ 为 $X$ 的子集）

- 开集：对任意 $x \in A$，有 $A \in \mathfrak{U}(x)$，则称 $A$ 是开集。（开集本身是它所有点的邻域）
- 开核：$A^{\circ} = \left\{ x \in X \,\big|\, \exists U\{\, [\,U\in \mathfrak{U}(x)\,]\wedge (U \subseteq A) \,\} \right\}$（开核里的每一点，都有一个包含于 $A$ 的领域。）
- 闭包：$\overline{A} = \left\{ x \in X \,\big|\, \forall U\{ [\,U\in \mathfrak{U}(x)\,] \Rightarrow (U\cap A\ne\varnothing) \} \right\}$。（闭包里每一点的领域，都跟 $A$ 有交集。）

### 闭包公理

$X$的幂集$P(X)$上的一元运算$c : P(X) \to P(X)$（即将$X$的子集A映射为$X$的子集$c(A)$）称为闭包运算（像称为原像的闭包）。当且仅当运算$c$满足下述的闭包公理：

- A1：$A \subseteq c(A)$。
- A2：$c(c(A)) = c(A)$。
- A3：$c(A \cup B) = c(A) \cup c(B)$。
- A4：$c(\varnothing) = \varnothing$。

集合$A$的闭包通常记为$\overline{A}$。

从闭包出发定义其它概念：

- 从闭包定义闭集：$X$的子集$A$是闭集，当且仅当$A = \overline{A}$。
- 从闭包定义开核：$X$的子集$A$的开核$A^{\circ} = X - \overline{X-A}$。
- 从闭包定义邻域：$X$的子集$U$是点$x$的邻域，当且仅当$x \notin \overline{X-U}$。

### 开核公理

$X$的幂集$P(X)$上的一元运算$o: P(X) \to P(X)$（即将$X$的子集A映射为$X$的子集$o(A)$）称为开核运算（像称为原像的开核或内部）。当且仅当运算$o$满足如下开核公理：

- I1：$o(A) \subseteq A$。
- I2：$o(o(A)) = o(A)$。
- I3：$o(A \cap B) = o(A) \cap o(B)$。
- I4：$o(X) = X$。

集合$A$的开核通常记为$A^{\circ}$。

（显然，开核运算是闭包运算的对偶概念）。

从开核出发定义其它概念：

- 从开核定义开集：$X$的子集$A$是开集，当且仅当$A = A^{\circ}$。
- 从开核定义邻域：$X$的子集$U$是点$x$的邻域，当且仅当$x\in U^{\circ}$。
- 从开核定义闭包：$X$的子集$A$的闭包$\overline{A} = X - (X-A)^{\circ}$。

### 导集公理

$X$的幂集$\mathcal{P}(X)$上的一元运算$d: \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)$（即将$X$的子集$A$映射为$X$的子集$d(A)$）称为导集运算（像称为原像的导集），当且仅当$d$满足以下导集公理：

- D1：$d(\varnothing) = \varnothing$。
- D2：$d(d(A)) \subseteq d(A) \cup A$。
- D3：$\forall x \in X,\ d(A) = d(A - \{x\})$。
- D4：$d(A\cup B) = d(A)\cup d(B)$

从导集出发定义其它概念：

- 从导集定义闭集：$X$的子集$A$是闭集，当且仅当$d(A)\subseteq A$。

## 拓扑之间的关系

同一个全集可以拥有不同的拓扑，有些是有用的，有些是平庸的，这些拓扑之间可以形成一种偏序关系。当拓扑$\mathfrak{T}_1$的每一个开集都是拓扑$\mathfrak{T}_2$的开集时，称拓扑$\mathfrak{T}_2$比拓扑$\mathfrak{T}_1$更细，或称拓扑$\mathfrak{T}_1$比拓扑$\mathfrak{T}_2$更粗。

仅依赖于特定开集的存在而成立的结论，在更细的拓扑上依然成立；类似的，仅依赖于特定集合不是开集而成立的结论，在更粗的拓扑上也依然成立。

最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑，最细的拓扑是离散拓扑，这两个拓扑都是平庸的。

在有些文献中，我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。

## 连续映射与同胚

类似定义拓扑空间，连续映射也有基于开集，闭集，开核，闭包和邻域等概念的等价定义。

$(X,\,\mathfrak{O}_X)$ 与 $(Y,\,\mathfrak{O}_Y)$ 都是拓扑空间，如果函数 $f:X \to Y$ 满足：

$$(\forall B \in \mathfrak{O}_Y)[f^{-1}(B) \in \mathfrak{O}_X]$$

称 $f$ 为 $\mathfrak{O}_X$-$\mathfrak{O}_Y$ 连续。

若更进一步，$f$ 为双射而有反函数 $f^{-1}:Y \to X$ 且 $f^{-1}$ 为 $\mathfrak{O}_Y$-$\mathfrak{O}_X$ 连续，则称 $f$ 为 $\mathfrak{O}_X$-$\mathfrak{O}_Y$ 同胚映射，且称$X$ 与 $Y$ 是同胚的。

### 性质

- $f$对任何闭集的原像是闭集。
- 对点$f(x)$的任一邻域$V$，都存在点$x$的一个邻域$U$，使得$f(U) \subset V$，则称$f(x)$在点$x$连续，而连续映射即点点连续的映射。
- 对任一集合$A$，$f(\overline{A}) \subseteq \overline{f(A)}$成立。
- 对任一集合$A$，$f^{-1}(A^{\circ}) \subseteq (f^{-1}(A))^{\circ}$成立。

## 拓扑空间范畴

拓扑空间作为对象，连续映射作为态射，构成了拓扑空间范畴，它是数学中的一个基础性的范畴。试图通过不变量来对这个范畴进行分类的想法，激发和产生了整个领域的研究工作，包括同伦论、同调论和K-理论。

## 相关概念

### 基本概念

给定拓扑空间$(X,\tau)$，A是X的子集，有以下概念（继续使用上面的符号）：

内部，内点：A的开核o(A)又称为A的内部，其元素称为A的内点。

外部，外点：X - c(A)称为A的外部，其元素称为A的外点。

边界，边界点：c(A)∩c(X-A)称为A的边界，其元素称为A的边界点。

触点：A的闭包c(A)中的点称为A的触点。

稠密性，稠密集：称A在X中是稠密的（或称稠密集），当且仅当c(A) = X。

边缘集：称A是X的边缘集，当且仅当X-A在X中是稠密的。

疏性，疏集：称A在X中是疏的（或称疏集），当且仅当c(A)是X中的边缘集。

第一范畴集，第二范畴集：称A是X中的第一范畴集，当且仅当A可以表示为可数个疏集的并。称A是X中的第二范畴集，当且仅当A不是X中的第一范畴集。

聚点，导集：X中的点x称为A的聚点，当且仅当x ∈ c(A - {x})（或者等价地，x的任意邻域至少包含x以外的A的一个点）。A的所有聚点组成的集合称为A的导集。

孤立点：A中的点x称为A的孤立点，当且仅当它不是A的聚点。

孤点集，离散集：称A为孤点集或离散集，当且仅当A中所有的点都是A的孤立点。

自密集：称A为自密集，当且仅当A中的点都是A的聚点（等价地，A中没有A的孤立点）。

完备集：称A为完备集，当且仅当A等于其导集。

自密核：A的最大自密子集称为A的自密核。

无核集：称A是无核集，当且仅当A的自密核是∅（或等价地，A的任意非空子集都含有孤立点）。

### 网

网的目的在推广序列及极限，网的收性称作Moore-Smith收敛。其关键在于以有向集合代替自然数集$\mathbb{N}$。

空间$X$上的一个网$(x_\alpha)_{\alpha \in A}$是从有向集合$A$映至$X$的映射。

若存在$x \in X$，使得对每个$x$的邻域$U$都存在$\beta \in A$，使得$\alpha \geq \beta \Rightarrow x_\alpha \in U$，则称网$(x_\alpha)_{\alpha \in A}$收敛至$x$。

几乎所有点集拓扑学的基本概念都能表述作网的收敛性，请参阅主条目网

## 拓扑空间的例子

- 实数集R构成一个拓扑空间：全体开区间构成其上的一组拓扑基，其上的拓扑就由这组基来生成。这意味着实数集R上的开集是一组开区间的并（开区间的数量可以是无穷多个，但进一步可以证明，所有的开集可以表示为可数个互不相交的开区间的并）。从许多方面来说，实数集都是最基本的拓扑空间，并且它也指导着我们获得对拓扑空间的许多直观理解；但是也存在许多“奇怪”的拓扑空间，它们有悖于我们从实数集获得的直观理解。
- 更一般的，n维欧几里得空间Rn构成一个拓扑空间，其上的开集就由开球来生成。
- 任何度量空间都可构成一个拓扑空间，如果其上的开集由开球来生成。这中情况包括了许多非常有用的无穷维空间，如泛函分析领域中的Banach空间和希尔伯特空间。
- 任何局部域都自然地拥有一个拓扑，并且这个拓扑可以扩张成为这个域上的向量空间。
- 除了由全体开区间生成的拓扑之外，实数集还可以赋予另外一种拓扑—下限拓扑（lower limit topology）。这种拓扑的开集由下列点集构成—空集、全集和由全体半开区间`[`a, b)生成的集合。这种拓扑严格地细于上面定义的欧几里得拓扑；在这种拓扑空间中，一个点列收敛于一点，当且仅当，该点列在欧几里得拓扑中也收敛于这个点。这样我们就给出了一个集合拥有不同拓扑的示例。
- 流形都是一个拓扑空间。
- 每一个单形都是一个拓扑空间。单形是一种在计算几何学中非常有用的凸集。在0、1、2和3维空间中，相应的单形分别是点、线段、三角形和四面体。
- 每一个单纯复形都是一个拓扑空间。一个单纯复形由许多单形构成。许多几何体都可以通过单纯复形—来建立模型，参见多胞形（Polytope）。
- 扎里斯基拓扑是一种纯粹由代数来定义的拓扑，这种拓扑建立在某个环的交换环谱之上或者某个代数簇之上。对Rn或者Cn来说，相应扎里斯基拓扑定义的闭集，就是由全体多项式方程的解集合构成。
- 线性图是一种能推广图的许多几何性质的拓扑空间。
- 泛函分析中的许多算子集合可以获得一种特殊的拓扑，在这种拓扑空间中某一类函数序列收敛于零函数。
- 任何集合都可以赋予离散拓扑。在离散拓扑中任何一个子集都是开集。在这种拓扑空间中，只有常数列或者网是收敛的。
- 任何集合都可以赋予平庸拓扑。在平庸拓扑中只有空集和全集是开集。在这种拓扑空间中，任和一个序列或者网都收敛于任何一个点。这个例子告诉我们，在某些极端情况下，一个序列或者网可能不会收敛于唯一的一个点。
- 有限补拓扑。设X是一个集合。X的所有有限子集的补集加上空集，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为有限补空间。有限补空间是这个集合上最小的T1拓扑。
- 可数补拓扑。设X是一个集合。X的所有可数子集的补集加上空集，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为可数补空间。
- 如果Γ是一个序数，则集合0, Γ是一个拓扑空间，该拓扑可以由区间(a, b`]`生成，此处a和b是Γ的元素。

### 例子

- X = {1,2,3,4} 和 X 内两个子集组成的集族 } 会形成一个平庸拓扑。
- X = {1,2,3,4} 和 X 内六个子集组成的集族 τ = {,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4 会形成另一个拓扑。
- X = ℤ（整数集合）及集族 τ 等于所有的有限整数子集加上 ℤ 自身不是一个拓扑，因为（例如）所有不包含零的有限集合的联集是无限的，但不是 ℤ 的全部，因此不在 τ 内。
- 1个元素的集上总拓扑数显然只有1个。
- 2个元素的集上总拓扑数显然只有4个。
- 3个元素的集上总拓扑数只有29个。
- 4个元素的集上总拓扑数只有355个。
- n个元素的集上总拓扑数规律还在研究中，不过已取得些成果。参见OEIS-A000798说明

3点集 X={a,b,c}的拓扑总共有29个,可分为九类，具体如下：

- {∅, X}
- {∅,{a},X},{∅,{b},X},{∅,{c},X}
- {∅,{a,b},X},{∅,{a,c},X},{∅,{b,c},X}
- {∅,{a},{b,c},X},{∅,{b},{a,c},X},{∅,{c},{a,b},X}
- {∅,{a},{a,b},X},{∅,{a},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},X},{∅,{b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},X},{∅,{c},{b,c},X}
- {∅,{a},{a,b},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},{b,c},X}
- {∅,{a},{b},{a,b},X},{∅,{a},{c},{a,c},X},{∅,{b},{c},{b,c},X}
- {∅,{a},{b},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{a},{c},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{c},{a,c},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,b},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,c},{b,c},X}
- {∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},X}

## 拓扑空间的构造

- 拓扑空间的任何一个子集都可以被赋予一个子空间拓扑，子空间拓扑中的开集是全空间上的开集和子空间的交。
- 对任何非空的拓扑空间族，我们可以构造出这些拓扑空间的积上的拓扑，这种拓扑称为积拓扑。对于有限积来说，积空间上的开集可以由空间族中各个空间的开集的积生成出来。
- 商拓扑可以被如下地定义出来：若X是一个拓扑空间，Y是一个集合，如果f : X → Y是一个满射，那么Y获得一个拓扑；该拓扑的开集可如此定义，一个集合是开的，当且仅当它的逆像也是开的。可以利用f自然投影确定下X上的等价类，从而给出拓扑空间X上的一个等价关系。
- Vietoris拓扑

## 拓扑空间的分类

依据点和集合分离的程度、大小、连通程度、紧性等。可以对拓扑空间进行各种各样的分类。并且由于这些分类产生了许多不同的术语。

以下假设X为一个拓扑空间。

### 分离公理

详细资料请参照分离公理以及相关条码。有些术语在老的文献中采用了不同地定义方式，请参照分离公理的历史。

拓扑不可区分性：X中两个点x，y称为拓扑不可区分的，当且仅当如下结论之一成立：

- 对X中每个开集U，或者U同时包含x，y两者，或者同时不包含它们。
- x的邻域系和y的邻域系相同。
- $x\in\overline{\{y\}}$，且$y\in\overline{\{x\}}$。

### 可数公理

可分的：X称为可分的，当且仅当它拥有一个可数的稠密子集。

第一可数：X称为第一可数的，当且仅当其任何一个点都有一个可数的局部基。

第二可数：X称为第二可数的，当且仅当其拥有一个可数的基。

### 连通性

连通：X称为连通的，当且仅当它不是两个无交的非空开集的并。（或等价地，该空间的闭开集（既开又闭的集合）只有空集和全空间两者）。

局部连通：X称为局部连通的，当且仅当它的每个点都存在一个特殊的局部基，这个局部基由连通集构成。

完全不连通：X称为完全不连通的，当且仅当不存在多于一个点的连通子集。

道路连通：X称为道路连通的，当且仅当其任意两点x和y，存在从x到y的道路p，也即，存在一个连续映射p: 0,1 → X，满足p（0）= x 且p（1）= y。道路连通的空间总是连通的。

局部道路连通：X称为局部道路连通的，当且仅当其每个点都有一个特殊的局部基，这个局部基由道路连通集构成。一个局部道路连通空间是连通的，当且仅当它是道路连通的。

单连通：X称为单连通的，当且仅当它是道路连通且每个连续映射$f: \mathbb{S}^1 \rightarrow X$都与常数映射同伦。

可缩：X称为可缩的，当且仅当它同伦等价到一点。

超连通：X称为超连通的，当且仅当任两个非空开集的交集非空。超连通蕴含连通。

极连通：X称为极连通的，当且仅当任两个非空闭集的交集非空。极连通蕴含道路连通。

平庸的：X称为平庸的，当且仅当其开集只有本身与空集。

### 紧性

（详细资料请参照紧集）

紧性：X称为紧的，当且仅当其任意开覆盖都有有限开覆盖的加细。

林德洛夫性质：X称为拥有林德洛夫性质，当且仅当其任意开覆盖都有可数开覆盖的加细。

仿紧：X称为仿紧的，当且仅当其任意开覆盖都有局部有限开覆盖的加细。

可数紧：X称为可数紧的，当且仅当其任意可数开覆盖都有限开覆盖的加细。

列紧：X称为可数紧的，当且仅当其任意点列都包含收敛子列。

伪紧：X称为伪紧的，当且仅当其上的任意实值连续函数都有界。

### 可度量化

可度量性意味着可赋予空间一个度量，使之给出该空间的拓扑。目前已有许多版本的度量化定理，其中最著名的是Urysohn度量化定理：一个第二可数的正则豪斯多夫空间可被度量化。由此可导出任何第二可数的流形皆可度量化。

## 拥有代数结构的拓扑空间

对于任一类代数结构，我们都可以考虑其上的拓扑结构，并要求相关的代数运算是连续映射。例如，一个拓扑群$G$乃是一个拓扑空间配上连续映射$m: G \times G \rightarrow G$（群乘法）及$i: G \rightarrow G$（反元素），使之具备群结构。

同样地，可定义拓扑向量空间为一个赋有拓扑结构的向量空间，使得加法与纯量乘法是连续映射，这是泛函分析的主题；我们可以类似地定义拓扑环、拓扑域等等。

结合拓扑与代数结构，往往可以引出相当丰富而实用的理论，例如微分几何探究的主齐性空间。在代数数论及代数几何中，人们也常定义适当的拓扑结构以简化理论，并得到较简明的陈述；如数论中的局部域（一种拓扑域），伽罗瓦理论中考虑的Krull拓扑（一种特别的拓扑群），以及定义形式概形所不可少的I-进拓扑（一种拓扑环）等等。

## 拥有序结构的拓扑空间

拓扑空间也可能拥有自然的序结构，例子包括：

- 谱空间（spectral space）上的序结构。
- 特殊化预序：定义$x \leq y \Leftrightarrow \mathrm{cl}(x) \sub \mathrm{cl}(y)$。常见于计算机科学。

## 参考书目

- John L. Kelley, General Topology (GTM 27). Springer-Verlag. ISBN 0387901256.
- James R. Munkres, Topology (second edition). Prentice Hall; ISBN 0131816292.
- 点集拓扑学初步 / 江泽涵著. - 上海: 上海科学技术出版社, 1979年1月。
- 点集拓扑学基础 / 吴东兴著. - 北京: 科学出版社, 1981年3月。
- 点集拓扑学原理 / 鲍姆著;蒲思立译. - 北京: 人民教育出版社, 1981年6月。
- 一般拓扑学 / 李普舒茨著;陈昌平等译. - 上海: 华东师大出版社, 1982年1月。
- 一般拓扑学 / 凯莱著;吴丛，吴让泉译. - 北京: 科学出版社, 1982年5月。
- 拓扑学引论 / 本特·门德尔森著;陈明蔚译. - 南宁: 广西人民出版社, 1983年1月。
- 基础拓扑学 / 阿姆斯特朗著;孙以丰译. - 北京: 北京大学出版社, 1983年1月。
- 点集拓扑学 / 方嘉琳编著. - 沈阳: 辽宁人民出版社, 1983年4月。
- 拓扑学的基础和方法 / 野口宏著;郭卫中，王家彦译. - 北京: 科学出版社, 1986年3月。
- 拓扑学初步 / 苏步青著. - 上海: 复旦大学出版社, 1986年4月。
- 拓扑学基础教程 / 曼克勒斯著;罗嵩龄等译. - 北京: 科学出版社, 1987年8月。
- 基础拓扑学 / 何伯和，廖公夫著. - 北京: 高等教育出版社, 1991年1月。
- 一般拓扑学专题选讲 / 蒋继光着. - 成都: 四川教育出版社, 1991年3月。
- 拓扑学导论 / 鲍里索维奇等著;盛立人等译. - 北京: 高等教育出版社, 1992年9月。
- 基础拓扑学讲义 / 尤承业编著. - 北京: 北京大学出版社, 1997年. ISBN 7-301-03103-3.