斯涅尔定律

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当光波从一种介质传播到另一种具有不同折射率的介质时，会发生折射现象，其入射角与折射角之间的关系，可以用斯涅尔定律（Snell's law）来描述。斯涅尔定律是因荷兰物理学家威理博·斯涅尔而命名，又称为“折射定律”。它只是在无吸收损耗介质间的界面才严格成立，对于有损耗介质参与的情况，请参见下面的章节“耗损性、吸收性、导电性介质”。

在光学里，光线跟踪科技应用斯涅尔定律来计算入射角与折射角。在实验光学与宝石学里，这定律被应用来计算物质的折射率。对于具有负折射率的负折射率超材料（metamaterial），这定律也成立，允许光波因负折射角而朝后折射。

斯涅尔定律表明，当光波从介质1传播到介质2时，假若两种介质的折射率不同，则会发生折射现象，其入射光和折射光都处于同一平面，称为“入射平面”，并且与界面法线的夹角满足如下关系：

$n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$。

其中，$n_1$、$n_2$分别是两种介质的折射率，$\theta_1$和$\theta_2$分别是入射光、折射光与界面法线的夹角，分别叫做“入射角”、“折射角”。

这公式称为“斯涅尔公式”。

斯涅尔定律可以从费马原理推导出来，也可以从惠更斯原理、平移对称性或马克士威方程组推导出来。

## 历史

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最早有系统研究折射问题的学者是住在埃及的希腊人托勒密。西元二世纪，在著作《光学》（Optics）第五卷里，他提出了他的折射实验与定律。但是，他从做实验得到的数据与结论并不准确，没有给出正弦定律。在那时候，希腊学者不清楚正弦的概念。

为巴格达宫廷效劳的伊朗学者伊本·沙尔（Ibn Sahl）在984年的专著《论点火镜子与透镜》（On Burning Mirrors and Lenses）里最先正确地描述折射定律。他应用这定律来找出能够将光聚焦而不会产生几何像差的透镜的形状。这种透镜称为曲折透镜（anaclastic lens）。很可惜的是其它学者并没有注意到他的研究结果。之后很多年，人们都是从托勒密的错误理论开始研究折射。

十一世纪初，阿拉伯学者海什木重做托勒密的实验。他在著作《光学书》（Kitab al-Manazir, Book of Optics）里，从做实验得到的数据，粗略地总结出一些定则。他也没有得到正弦定律。

1602年，英国天文学者托马斯·哈里奥特又重新发现了折射定律，可是，他并没有发表他的结果，虽然他曾经在与约翰内斯·开普勒通信中提到这件事。1621年，斯涅尔推导出一个数学等价形式，但是在他有生之年，学术界并不知道他的成就。勒内·笛卡儿在1637年专著《屈光学》（Dioptrics）里，独立地推导出这个定律，并且用他的理论解析了一系列光学问题。在这导引里，他做了两个假定，第一个假定是光的传播速度与介质密度呈正比，第二个假定是光速度沿着界面方向的分量守恒。1662年，皮埃尔·德·费马发表了另一种导引，从他的版本的最小作用量原理推导出同样的定律，但是费马的假定是光的传播速度与介质密度呈反比。因此，他激烈地反驳笛卡儿的解答，认为笛卡尔的假定有误。1802年，托马斯·杨做实验发现，当光波从较低密度介质传播到较高密度介质时，光波的波长会变短，他因此推论光波的传播速度会降低。

根据历史学者以撒·福雪斯（Issac Vossius）在著作《De natura lucis et proprietate》里的叙述，笛卡儿先阅读了斯涅尔的论文，然后调制出自己的导引。有些历史学者觉得这指控太过夸张，难以置信；但是很多历史学者都存疑曾经发生了这回事，费马与惠更斯分别多次重复地谴责笛卡儿的行为缺失。尽管这不名誉事件所造成的风波，在法国，斯涅尔定律被称为“笛卡儿定律”，或“斯涅尔-笛卡儿定律”

1678年，克里斯蒂安·惠更斯在著作《光论》（Traité de la Lumiere）里表明，应用惠更斯原理，可以从光的波动性质，解释或推导出斯涅尔定律。

## 从费马原理推导

光线从点Q传播至点O时，会被半圆形镜子反射，最终抵达点P。

费马原理又称为“最短时间原理”：光线传播的路径是需时最少的路径。费马原理更正确的版本应是“平稳时间原理”。对于某些状况，光线传播的路径所需的时间可能不是最小值，而是最大值，或甚至是拐值。例如，对于平面镜，任意两点的反射路径光程是最小值；对于半椭圆形镜子，其两个焦点的光线反射路径不是唯一的，光程都一样，是最大值，也是最小值；对于半圆形镜子，其两个端点$Q$、$P$的反射路径光程是最大值；又如最右图所示，对于由四分之一圆形镜与平面镜组合而成的镜子，同样这两个点$Q$、$P$的反射路径的光程是拐值。

设定介质1、介质2的折射率分别为$n_1$、$n_2$，光线从介质1在点O传播进入介质2，$\theta_1$为入射角，$\theta_2$为折射角。

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从费马原理，可以推导出斯涅尔定律。光线在介质１与介质２的速度 $v_1$ 和 $v_2$ 分别为

$v_1=\frac{c}{n_1}$。

$v_2=\frac{c}{n_2}$。

其中，$c$是真空光速。

由于介质会减缓光线的速度，折射率$n_1$和$n_2$都大于$1$。

如右图所示，从点Q到点P的传播时间$T$为

$T=\frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (l - x)^2}}{v_2}$。

根据费马原理，光线传播的路径是所需时间为极值的路径，取传播时间$T$对变数$x$的导数，设定其为零：

$\frac{dT}{dx}=\frac{x}{v_1\sqrt{x^2 + a^2}} + \frac{ - (l - x)}{v_2\sqrt{(l-x)^2 + b^2}}=0$。

根据正弦函数定义，可以得到传播速度与折射角的关系式：

$\frac{dT}{dx}=\frac{\sin\theta_1}{v_1} - \frac{\sin\theta_2}{v_2}=0$。

将传播速度与折射率的关系式代入，就会得到斯涅尔定律：

$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$。

## 从惠更斯原理推导

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惠更斯原理表明，波前的每一点可以视为产生球面次波的点波源，而以后任何时刻的波前则可看作是正切这些次波的包络。假设传播速度为$v$的波前，在时间$t=0$为平面，在这波前的每一点所产生的球面次波，在时间$t=\Delta t$已传播了距离$v\Delta t$，由于正切这些球面次波的包络只能为平面，所以波前在时间$t+\Delta t$为平面。波前传播的方向垂直于这两个相互平行的平面。

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如右图所示，光波从介质1传播进入介质2，其入射角、折射角分别为$\theta_1$、$\theta_2$，传播速度分别为$v_1$、$v_2$，假设$v_1>v_2$。在时间$t_j$时，光波的波前会包含点$A_j$和点 $B_j$的位置，标记这时的波前为$\overline{A_j B_j}$。假设时间$t_j$与$t_{j+1}$之间的间隔为常数$\Delta t$，则以下几个直线段之间的长度相等关系成立：

$A_0 A_1=B_0 B_1=B_1 B_2=B_2 B_3=v_1 \Delta t$。

$A_1 A_2=A_2 A_3=A_3 A_4=B_3 B_4=v_2 \Delta t$。

从波前$\overline{A_1 B_1}$的每一个点波源发射出的球面次波，分别在介质1、介质2的传播速度为$v_1$、$v_2$，$\overline{A_2 B_2}$必须正切这些球面次波。特别而言，在时间间隔$\Delta t$之后，波前$\overline{A_2 B_2}$在介质1的部分必须平行于相距$v_1 \Delta t$的波前$\overline{A_1 B_1}$，而波前$\overline{A_2 B_2}$在介质2的部分必须正切从点波源$A_1$发射出的半径为$v_2 \Delta t$的球面次波。所以，在通过界面时，会出现弯曲的波前$\overline{A_2 B_2}$。

由于光波传播的方向垂直于波前，所以在介质1、介质2里，波前与界面之间的夹角分别等于入射角$\theta_1$、折射角$\theta_2$。直线段长度$B_1 B_3$与$A_1 A_3$之间的关系为

$\frac{B_1 B_3}{\sin\theta_1}=A_1 B_3=\frac{A_1 A_3}{\sin\theta_2}$。

即

$\frac{v_1}{\sin\theta_1}=\frac{v_2}{\sin\theta_2}$。

应用折射率$n$的定义式：

$n\ \stackrel{def}{=}\ \frac{c}{v}$。

其中，$c$为光速。

总结，斯涅尔定律成立：

$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$。

其中，$n_1$、$n_2$分别为介质1、介质2的折射率

## 从平移对称性推导

假设对某系统整体做一个平移之后，这系统仍旧保持不变，则称此系统具有平移对称性。从平移对称性，可以推导出斯涅尔定律。这是建立于横向均匀界面不能改变横向动量的道理。由于波向量$\mathbf{k}=(k_x,k_y,k_z)$与光子的动量成正比，假设介质1、介质2的界面垂直于z-方向，则在介质1、介质2里的光波横向传播方向必须保持不变：

$k_{x1} = k_{x2}$。

$k_{y1} = k_{y2}$。

因此。

$k_1 \sin\theta_1= k_2 \sin\theta_2$。

应用折射率$n$的定义式：

$n\ \stackrel{def}{=}\ \frac{c}{v}=\frac{ck}{\omega}$。

其中，$\omega$是光波的角频率。

总结，斯涅尔定律成立：

$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$。

微观至原子尺寸，虽然没有任何界面是完全均匀的，假若精细至光波波长尺寸，传播区域可以估视为均匀，则平移对称性仍不失为优良近似。

## 从马克士威方程组推导

几何光学的三条基础定律为

- 第一定律：入射波、反射波、折射波的波向量，与界面的法线共同包含于“入射平面”。
- 第二定律：反射角等于入射角。这定律称为“反射定律”。
- 第三定律：$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$。这定律称为“斯涅尔定律”，又称为“折射定律”。

从入射波、反射波、折射波之间的相位关系，就可以推导出几何光学的三条基础定律。

光波是电磁辐射，必须满足马克士威方程组与伴随的边界条件，其中一条边界条件为，在边界的临近区域，电场平行于边界的分量必须具有连续性。假设边界为xy-平面，则在边界。

$E_{||,i}(x,y,0)+E_{||,r}(x,y,0)=E_{||,t}(x,y,0)$。

其中，$E_{||,i}$、$E_{||,r}$、$E_{||,t}$分别为在入射波、反射波、折射波（透射波）的电场平行于边界的分量。

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假设入射波是频率为$\omega$的单色平面波，则为了在任意时间满足边界条件，反射波、折射波的频率必定为$\omega$。设定$E_{||,i}$、$E_{||,r}$、$E_{||,t}$的形式为

$E_{||,i}=E_{||,i0}\ e^{i\mathbf{k}_i\cdot\mathbf{r} -\omega t}$。

$E_{||,r}=E_{||,r0}\ e^{i\mathbf{k}_r\cdot\mathbf{r} -\omega t }$。

$E_{||,t}=E_{||,t0}\ e^{i\mathbf{k}_t\cdot\mathbf{r} -\omega t }$。

其中，$\mathbf{k}_i$、$\mathbf{k}_r$、$\mathbf{k}_t$分别是入射波、反射波、折射波的波向量，$E_{||,i0}$、$E_{||,r0}$、$E_{||,t0}$分别是入射波、反射波、折射波的波幅（可能是复值）。

为了在边界任意位置$(x,y,0)$满足边界条件，相位变化必须一样，必须设定

$k_{ix}x+k_{iy}y=k_{rx}x+k_{ry}y=k_{tx}x+k_{ty}y$。

因此。

$k_{ix}=k_{rx}=k_{tx}$。

$k_{iy}=k_{ry}=k_{ty}$。

不失一般性，假设$k_{iy}=k_{ry}=k_{ty}=0$，则立刻可以推断第一定律成立，入射波、反射波、折射波的波向量，与界面的法线共同包含于入射平面。

从波向量x-分量的相等式，可以得到

$k_{i}\sin\theta_i=k_{r}\sin\theta_r$。

而在同一介质里，$k_{i}=k_{r}$。所以，第二定律成立，入射角$\theta_i$等于反射角$\theta_r$。

应用折射率$n$的定义式：

$n\ \stackrel{def}{=}\ \frac{c}{v}=\frac{ck}{\omega}$。

可以推断第三定律成立：

$n_i\sin\theta_i=n_t\sin\theta_t$。

其中，$n_t$、$\theta_t$分别是折射介质的折射率与折射角。

第三定律的推导只适用于无耗损介质。此种情况下E，D，B和H都是同相位的，第三定律与电磁场的边界条件是相符合的，所以是成立的。但如果介质是耗损的，因折射率和波矢是复数，那四个场量是不同相的，因此，它与电磁场的边界条件是冲突的，是不成立的。详细请见以下章节“耗损性、吸收性、导电性介质”。

## 全内反射与临界角

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“光密介质”是折射率比较大的介质；“光疏介质”是折射率比较小的介质。假设光从折射率为$n_1$的光密介质传播进入到折射率为$n_2$的光疏介质（例如，从玻璃传播进入到空气中），而入射角$\theta_1$等于临界角$\theta_c$，则能量近乎为零的折射光线会沿折射界面的切线进行，即折射角$\theta_2=\frac{\pi}{2}$。此时会有$\sin\theta_2=1$。因此，可推得

$\sin\theta_c=\sin\theta_1=\frac{n_2}{n_1}$。

假若入射角$\theta_1>\theta_c$，则无法找到对应的折射角$\theta_2$，不存在折射光，而只存在反射光，这现象称为全内反射。临界角$\theta_c$是促使全内反射发生的最小入射零角，它的值取决于两种介质的折射率的比值：

$\theta_c=\sin^{-1}\left ( \frac{n_2}{n_1} \right )$。

例如，水的折射率为1.33，空气的折射率近似等于1.00，临界角为

$\theta_c=\sin^{-1}\left ( \frac{1}{1.33} \right )=0.851$弧度，即48.8°（角度）。

## 耗损性、吸收性、导电性介质

在导电性介质里，电容率与折射率都是复值，连带的，折射角与波向数都是复值。这意味着，等实相位曲面的法线与界面的法线之间的角度等于折射角，而等波幅曲面是与界面相互平行的平面。由于这两个曲面通常不会重叠在一起，这种波被称为“非均匀波”。折射波呈指数衰减，指数与折射率的虚数部分成正比。

最近的理论和实验研究表明, 斯涅尔定律对于有吸收损耗的介质是不成立的，复数折射角是一个错误的概念。电磁场的边界条件要求电磁波在无自由电子和自由电流界面的电场E，电位移D，磁场B 和磁场强度H的法向或切向分量是连续的。这首先要求它们的相位是连续的，而复数折射率和波矢让这四个场量都不同相。例如平面波$\mathbf{D} = \mathbf{\hat{\epsilon}}\mathbf{E}$，$\mathbf{B} = \mathbf{\hat{\mu}}\mathbf{H}$， $\omega\mathbf{B} = \mathbf{\hat{k}}\times\mathbf{E}$，其中ω是电磁波角频率，而$\hat{\epsilon}$，$\hat{\mu}$和$\mathbf{\hat{k}}$分别是复数介电常数，磁导率和波数，它们的相位各不相同，让D，B 和H都与E不同相。复数斯涅尔定律只能保证E的相位连续性，而与D，B 和H的相位连续性都是冲突的。

主要原因是两个介质的过渡层不能简单地当成一个界面来处理。考虑这个因素后，普适的折射定律是

$$\sqrt{n_1^2+\kappa_1^2}\sin\theta_1=\sqrt{n_2^2+\kappa_2^2}\sin\theta_2$$

其中$n$是折射率，$\kappa$是消光系数。即便消光系数不为零（损耗介质），折射角也是个实数而不是复数。

光束在损耗介质中的折射与在无损耗介质中的折射没有本质上的区别，只是由于波前（等相面）不同位置在损耗介质的光程不同（吸收损耗不同）会表现为”非均匀波“，但如果在与界面平行的截面上看折射波是均匀的（等幅的）。因此，如果损耗介质是平行平板，光透过平板后，这种”非均匀波“特性就会消失，就如透过衰减片你依然能清晰看东西，只是光线变暗而已，无论衰减片的角度如何。

## 各向异性物质

对于各向同性或镜面介质（例如玻璃），通常斯涅尔定律成立。对于各向异性介质，例如，方解石，双折射会将折射线分为两束射线，“寻常射线”与“非常射线”。寻常射线照样遵守斯涅尔定律，而非常射线可能会与入射线不共面。

折射光的等相面传播方向（波矢方向）不会违反以上章节“从马克士威方程组推导”中得到的第一定律，即折射光波矢方向与入射光波矢是共面的。对于各向异性介质，折射光通常不再是一束，而会分为两束，即折射介质中的寻常光和非寻常光。它们的波矢与入射光波矢是共面的，只是因折射率不同，它们的折射角会有偏差。非寻常光的能量传播方向与波矢方向通常有一个走离角。如果波矢的折射平面与走离方向不在同一平面，其光线（能量传播方向）与入射光线不共面，但不影响两者的波矢是共面的。

## 参阅

- 哈密顿光学（Hamiltonian optics）
- 隐失波（Evanescent wave）