弹性 (物理学)

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在物理学和材料力学中，弹性（ἐλαστός）是指物体受到外力时变形，并且当该外力解除时恢复其初始形状的能力。这与塑性形成了鲜明对比。

不同材料的弹性行为其物理机理存在显著差异。对于金属，施加外力会导致原子晶格内被注入能量，其尺寸和形状发生变化；而当外力移除时，晶格则会回归原始的能量状态。而对于橡胶等聚合物，弹性源于聚合物分子链在受力时的伸展。

胡克定律指出，使弹性物体发生形变，伸长量与作用力成正比。这种情况被称作完全弹性，但这仅是理想状态。现实中，大多数弹性材料仅能在极小形变范围内保持纯弹性，这个范围称作弹性范围，超出该范围后就会发生塑性形变。

在工程学中，材料的弹性通过弹性模量来量化，例如杨氏模量、体积模量或剪切模量，它模量越高，表明材料越难变形。

## 概述

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当弹性材料受外力作用发生形变时，其内部会产生抵抗形变的阻力，并在外力消失时会恢复原始状态。为了衡量这种状态，引入弹性模量，比如杨氏模量、剪切模量、体积模量来量化材料在荷载作用下抵抗形变的内在弹性。不同模量适用于不同类型的形变：杨氏模量适用于物体的拉伸或压缩形变，而剪切模量则适用于剪切形变。杨氏模量与剪切模量仅适用于固体，体积模量则适用于固体、液体和气体。

材料的弹性特性可以通过应力-应变曲线描述，该曲线展示了应力（单位面积的平均恢复内营力）与应变（相对形变）之间的关系。该曲线通常呈非线性，但在足够小的形变范围内可通过泰勒级数近似为线性关系。若材料各方向同性，线性化的应力-应变关系则称为胡克定律，通常适用于大多数金属或晶体材料的弹性范围；而对于橡胶类材料，即使在弹性范围内，模拟大范围形变通常也需要非线性弹性模型。当应力进一步增大时，应力-应变曲线斜率随应力增加而出现明显上升或下降，材料会表现出塑性形变，发生不可逆形变，外力移除后无法恢复原始形状。

弹性并非固体独有的特性；非牛顿流体在特定条件下也会呈现弹性。对于快速施加和移除的小应变，这类流体会形变后恢复原状；但在较大应变或长期荷载下，它们会开始像粘性液体一样流动。

对于小应变，常用柯西应力作为应力度量，使用无穷小应变张量作为应变度量，由此推导出的材料行为称为线性弹性。

## 弹性力学

弹性力学是固体力学的一个分支，研究弹性体在弹性状态下受外力作用、边界约束或温度改变等外界因素下所产生的应力、应变和位移。在弹性力学中，普遍假设应力应变间呈线性关系，也即物体处于完全弹性状态。

## 线性弹性

对于微小形变，大多数弹性材料会表现出线性弹性，其应力应变关系可通过胡克定律用线性方程描述。胡克定律由罗伯特·胡克于17世纪70年代提出，也即伸长量与作用力成正比。该定律可表述为作用力F与相应伸长量x之间的关系：

$F=k x$。

其中k称作劲度系数或弹簧常数。

亦可表述为应力σ与应变ε之间的关系：

$\sigma = E\varepsilon$。

其中E即杨氏模量。

虽然在三维空间中，应力应变间的通用比例系数是一个被称为刚度张量的四阶张量，但对于具有对称性的系统，通常仍可通过胡克定律求解。

## 有限弹性

物体在有限变形下的弹性行为可通过多种模型描述，例如柯西弹性材料模型、亚弹性材料模型、超弹性材料模型。在有限应变理论中，无限小应变理论假设下的理论并不符合，变形梯度张量 (F) 是最基本的变形度量。

### 柯西弹性材料

若某材料的柯西应力张量σ可表示为变形梯度F的唯一函数，即：

$$\ \boldsymbol{\sigma} = \mathcal{G}(\boldsymbol{F})$$

则该材料称为柯西弹性材料。

需要特别指出的是，仅将柯西应力表述为某个应变张量的函数通常是不准确的。因为这类模型无法正确处理各向异性介质在不同路径下的响应差异。例如，材料在垂直拉伸与先水平拉伸再旋转90度这两种状况下，虽然其空间应变张量相同，但产生的柯西应力值必然不同。尽管柯西弹性材料的应力仅取决于瞬时形变状态，但应力所做的功却可能依赖于变形路径。因此，柯西弹性低弹性材料理论既包含非保守的"非超弹性"模型（应力所做的功依赖于变形路径），也包含保守的"超弹性材料"模型（其应力可由标量"弹性势能"函数导出）。

### 亚弹性材料

亚弹性材料可通过满足以下两个基本准则的本构方程严格定义：

- 柯西应力σ仅与物体所经历的历史构型序列有关，而与达到这些构型的时间速率无关。柯西弹性材料即其特例。
- 存在一个张量值函数 G，使得应力率满足：$\dot{\boldsymbol{\sigma}} = G(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{L}) \,,$ 其中$\dot{\boldsymbol{\sigma}}$是柯西应力张量的客观应力率，L是变形梯度的时间导数。

若仅依据这两个准则定义亚弹性，则超弹性也是其特例。因此，部分本构模型研究者追加了第三条准则，明确要求亚弹性模型不得为超弹性，也即亚弹性材料的应力不能通过能量势函数导出。

需注意，准则二仅要求函数G存在，具体的亚弹性模型通常采用所谓的客观应力率，因此函数G仅以隐式形式存在，且仅在通过直接积分实际（非客观）应力率进行数值应力更新时，才需要其显式表达式。

### 超弹性材料

超弹性材料，也称为格林弹性材料，是一类保守模型，其本构关系源于一个应变能密度函数 (W)。当且仅当柯西应力张量能够通过以下形式的关系表示为变形梯度的函数时，该模型是超弹性的：

$$\boldsymbol{\sigma} = \cfrac{1}{J}~ \cfrac{\partial W}{\partial \boldsymbol{F}}\boldsymbol{F}^\textsf{T} \quad \text{当} \quad J := \det\boldsymbol{F} \,.$$

此公式将能量势（W）视作变形梯度F的函数。若同时满足材料客观性的要求，该能量势亦可视为柯西-格林变形张量（C = FᵀF）的函数。此时，超弹性模型亦可等价表述为：

$$<pre> \boldsymbol{\sigma} = \cfrac{2}{J}~ \boldsymbol{F}\cfrac{\partial W}{\partial \boldsymbol{C}}\boldsymbol{F}^\textsf{T} \quad \text{where} \quad J := \det\boldsymbol{F} \,.$$

## 影响弹性的因素

对于已知理论杨氏模量的各向同性固体，其有效弹性将受孔隙率支配。一般而言，孔隙率越高的材料会表现出更低的刚度。更具体地说，孔隙的比例、孔隙的尺寸分布及其内部填充流体的性质，共同导致固体材料呈现不同的弹性。

在含裂缝的各向同性材料中，裂缝的存在会产生应力集中，影响垂直于裂纹平面的杨氏模量和剪切模量，随着裂纹密度增加，这两个模量均会下降而且杨氏模量的下降速度比剪切模量更快，这表明裂纹的存在会使物体更易脆性断裂。

从微观角度看，材料的应力-应变关系由热力学中的亥姆霍兹自由能所主导。分子会在其结构决定的约束条件下，趋于自由能最小化的排列方式。根据自由能中占主导地位的是能量项还是熵项，材料可大致分为能弹性与熵弹性两大类。因此，影响自由能的微观因素都会对材料弹性产生显著影响。

温度对弹性的影响涉及众多相互关联的因素，难以单独剥离出来。例如，材料的体积模量同时取决于其晶格形式、热膨胀行为以及分子振动特性，而这些因素都与温度密切相关。

## 应用

线性弹性理论广泛应用于梁、板、壳及夹层复合材料等结构的设计与分析，也是断裂力学的重要理论基础。超弹性理论则主要应用于弹性体类物件（如密封垫圈）和生物材料（如软组织、细胞膜）的力学响应分析。

气动弹性及其模拟不仅应用于航空航天工程，也应用于风力涡轮机。