交换律

交换律（Commutative property）是被普遍使用的一个数学名词，意指能改变某物的顺序而不改变其最终结果。交换律是大多数数学分支中的基本性质，而且许多的数学证明需要倚靠交换律。简单运算的交换律许久都被假定存在，且没有给定其一特定的名称，直到19世纪，数学家开始形式化数学理论之后，交换律才得到正式的定义。

## 一般用法

交换律是一个和二元运算及函数有关的性质。而若交换律对一特定二元运算下的一对元素成立，则称这两个元素为在此运算下是“可交换”的。

在群论和集合论中，许多的代数结构被称做是可交换的，若其中的运算域满足交换律。在数学分析和线性代数中，一些知名的运算（如实数及复数上的加法和乘法）的交换律会经常被用于（或假定存在于）证明之中。

## 数学定义

“可交换”一词被使用于如下几个概念中：

- 若称集合$S$上的一个二元运算$*$为“可交换”的，若$(\forall x \in S)(\forall y \in S)(x * y = y * x)$。
- 若称$x$在$*$下和$y$为“可交换”的，则$x * y = y * x$。
- 若称二元函数$f:A \times A \to B$为“可交换”的，若$(\forall x \in A)(\forall y \in A)[f(x, y) = f(y, x)]$。

## 历史

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对交换律假定存在的应用早在很久之前便已有所记戴。埃及人用乘法的交换律来简化乘积的计算。且知欧几里得在《几何原本》中已有假定了乘法交换律的存在。对交换律形式上的应用产生于18世纪末19世纪初，那时数学家开始在研究函数的理论。今日，交换律已被普遍认知，且在大多数的数学分支中被当做基本性质来使用。交换律的简易版本通常会在初等数学教程中被教导。

第一个使用“可交换（commutative）”一词的是 Francois Servois 于1814年写下的笔记，这一词在笔记中被用来指有着现在称之为交换律的函数。这一词首次出现于英语中的是在1844年的英国皇家学会哲学汇刊中。

## 相关性质

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### 结合律

结合律和交换律密切相关着。结合律是指运算的顺序并不会影响其最终结果。相对地，交换律则是指算子的顺序不会影响其最终结果的性质。

### 对称

对称可以和交换律有直接的关连。若将一个可交换运算子写成一个二元函数，则此一函数会对 $y = x$ 这条线对称。举例来说，若设一函数 $f$ 来表示加法（一可交换运算），所以 $f(x,y) = x + y$，也因此 $f$ 会是个如右图所见的对称函数。

## 示例

### 日常生活

可交换的例子：

- 洗一双鞋子可类比为一可交换运算，因为不论是左边的鞋子先洗，还是右边的鞋子先洗，最终的结果（两只鞋子都洗好）是一样的。
- 成语“朝三暮四”也可看做是可交换运算的一个例子。

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不可交换的例子：

- 洗衣和干衣可类比成不可交换运算，因为先干衣再洗衣和先洗衣再干衣两者会得出很不同的结果来。
- 魔术方块是不可交换的。例如，将正面顺时针扭转，顶面顺时针扭转，再将正面逆时针扭转（FUF'），并不会得出如将正面顺时针扭转，再将正面逆时针扭转，最后再将顶面顺时针扭转（FF'U）一样的结果。扭转是不可交换的。这些扭转被研究于群论中。

### 数学

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可交换的例子：

$$y + z = z + y \quad \forall y,z\in \mathbb{R}$$

例如：$4 + 5 = 5 + 4 = 9$。

$$y \times z = z \times y \quad \forall y,z\in \mathbb{R}$$

例如：$3 \times 5 = 5 \times 3 = 15$。

- 更多可交换二元运算的例子包括复数的乘法、向量的加法、和集合的交集与联集。

不可交换的例子：

- 减法： $0-1\neq 1-0$，不过可将其减法符号转换成加上其相反数，即可使用交换律。
- 除法： $1\div2\neq 2\div1$，可将除法转换成乘上其倒数以使用交换律。

$\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$。

## 数学结构与交换律

- 阿贝尔群是一个群运算为可交换的群。
- 交换环是一个乘法为可交换的环。（环中的加法依定义总会是可交换的。）
- 域的加法与乘法都是可交换的。
- 中心是一个群最大的可交换子集。

## 参考资料

### 书籍

Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.

Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.

Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.

### 文章

- https://web.archive.org/web/20080228100512/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf Lumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript.

Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.

- Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 978-0-7141-0944-2

Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus.

### 线上资源

- Krowne, Aaron, , Accessed 2007-08-08.
- Definition of commutativity and examples of commutative operations
- , Accessed 2007-08-08.
- Explanation of the term commute
- , Accessed 2007-08-08
- Examples proving some noncommutative operations
- Article giving the history of the real numbers
- Page covering the earliest uses of mathematical terms
- Biography of Francois Servois, who first used the term