E (数学常数)

$e$，亦称自然常数、自然底数，或是欧拉数（Euler's number），是无理数的数学常数，以瑞士数学家欧拉命名；还有个较少见的名字纳皮尔常数，用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔引进对数。它是一个无限不循环小数，数值约是（小数点后20位，A001113）：

$e = 2.71828182845904523536\cdots$，近似值为$\frac{271801}{99990}$。

有许多的函数都和$e$有关：自然对数函数的底数即为$e$，数学中的指数函数也常是指以$e$为底数的指数函数。

## 历史

约翰·纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表中第一次提到常数$e$，但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为这是由威廉·奥特雷德制作的。第一次把$e$看为常数的是雅各布·伯努利，他尝试计算下式的值：

$$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$

上式代表把1与无穷小相加，再自乘无穷多次。

已知的第一次用到常数$e$，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以$b$表示。1727年欧拉开始用$e$来表示这常数；而$e$第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》（Mechanica）。虽然往后年日有研究者用字母$c$表示，但$e$较常用，终于成为标准。

用$e$表示的原因确实不明，但可能因为$e$是指数函数（exponential）一字的首字母。另一看法则称$a, b, c, d$有其他经常用途，而$e$是第一个可用字母。

## 定义

就像圆周率$\pi$和虚数单位i，$e$是数学中最重要的常数之一。它有几种等价定义，下面列出一部分。

- $$e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$$
- $$e = \lim_{t \to 0} (1 + t)^\frac{1}{t}$$
- $$e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} <pre> + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots$$
- 其中$n!$代表$n$的阶乘。
- 定义$e$为唯一的正数$x$使得
- $$\int_{1}^{x} \frac{\mathrm{d}t}{t} = 1$$
- 定义$e$为唯一的实数$x$使得
- $$\lim_{h\to 0} \frac{x^h-1}{h} = 1$$

这些定义可证明是等价的，请参见文章指数函数的特征描述。

## 性质

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指数增长或指数衰减过程都可以用指数函数表示。指数函数$e^x$的重要性在于，唯独该函数（或其常数倍，即$x \mapsto ke^x$，其中$k$为任意常数）与自身导数相等。即：

$\frac{d}{dx} e^x=e^x$。

$e^{x}$的泰勒级数为$e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad \forall x$

$$= 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ...$$

$x$为复数时依然成立，因此根据$\sin x$及$\cos x$的泰勒级数，得出在数学中一条称为欧拉公式的重要等式：

$$e^{\mathrm{i}x} = \cos x + {\rm i}\sin x$$

当$x = \pi$的特例是欧拉恒等式：

$$e^{\mathrm{i}\pi} + 1 = 0$$

此式被理查德·费曼称为“欧拉的宝石”。

$$(\cos x + i\sin x)^n = \left(e^{ix}\right)^n = e^{inx} = \cos (nx) + i \sin (nx)$$

即棣莫弗公式。

- $e$是无理数和超越数（见林德曼－魏尔斯特拉斯定理）。这是第一个获证为超越数的数，而非故意构造的（比较刘维尔数）；由夏尔·埃尔米特（Charles Hermite）于1873年证明。有猜想它为正规数。
- 当$x = e$时函数$f(x) = \sqrt[x]{x}$有最大值。
- $e$的无穷连分数展开式有个有趣的模式，可以表示如下（A003417）

$$e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, \ldots]$$

就像以下的展开式：

$$e = 2+ \cfrac{1} <pre> {1+\cfrac{1} {\mathbf 2 +\cfrac{1} {1+\cfrac{1} {1+\cfrac{1} {\mathbf 4 +\cfrac{1} {1+\cfrac{1} {1+\cfrac{1} {\mathbf 6 +\cfrac{1} {1+\ddots} } } } } } } } } </pre>$$

## 无理数证明

### 反证法

证明$e$是无理数可以用反证法。假设$e$是有理数，则可以表示成$\frac{a}{b}$，其中$a, b$为正整数。以$e$的无穷级数展开式可以得出矛盾。

考虑数字

$x = b! \left(e-\sum_{i=0}^b {1 \over i!}\right)$。

以下将推导出$x$是小于1的正整数；由于不存在这样的正整数，得出矛盾，所以得证$e$是无理数。

- $x$是整数，因为
- $$0 < x = b! \left(e - \sum_{i=0}^b {1 \over i!}\right) = b! \left({a \over b} - \sum_{i=0}^b {1 \over i!}\right)$$
- $$= a (b-1)! - \sum_{i=0}^b {b! \over i!}$$
- $= a (b-1)! - \left[ 1 + \sum_{n=0}^{b-1} b(b-1)\cdots(n+1)\right]$。
- $x$是小于1的正数，因为
- $$0 < x = b! \sum_{n=b+1}^\infty {1 \over n!}$$
- $$= \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)(b+2)} + \frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)} + \cdots$$
- $< \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)^2} + \frac{1}{(b+1)^3} + \cdots = {1 \over b} \le 1$。

但是0与1之间（不含0与1）不存在有整数，故原先假设矛盾，得出$e$为无理数。

### 二项式定理

视$n$为存在的数值，所以用二项式定理可证出：

$$e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$

$$=\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n}C_{k}^{n}1^{n-k}\left(\frac{1}{n}\right)^k$$

$$=\lim_{n\to\infty} \left[C_{0}^{n}1^{n}\left(\frac{1}{n}\right)^0+C_{1}^{n}1^{n-1}\left(\frac{1}{n}\right)^1+C_{2}^{n}1^{n-2}\left(\frac{1}{n}\right)^2+C_{3}^{n}1^{n-3}\left(\frac{1}{n}\right)^3+...+C_{n}^{n}1^0\left(\frac{1}{n}\right)^n\right]$$

$$=\lim_{n\to\infty} \left[1\times 1+n\times \frac{1}{n}+\frac{n!}{\left(n-2\right)!2!}\times \frac{1}{n^2}+\frac{n!}{\left(n-3\right)!3!}\times \frac{1}{n^3}+...+1\times \frac{1}{n^n}\right]$$

$$=\lim_{n\to\infty} \left[1+1+\frac{n\times \left(n-1\right)}{2n^2}+\frac{n\times \left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3\times 2n^3}+...+\frac{1}{n^n}\right]$$

$$=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+...$$

$$=2.71828...$$

## 已知位数

日期｜位数｜计算者

1748年｜18｜李昂哈德·欧拉

1853年｜137｜William Shanks

1871年｜205｜William Shanks

1884年｜346｜J. M. Boorman

1946年｜808｜？

1949年｜2,010｜约翰·冯·诺伊曼

1961年｜100,265｜Daniel Shanks & 约翰·威廉·伦奇

1978年｜116,000｜史蒂芬·盖瑞·沃兹尼克

1994年｜10,000,000｜Robert Nemiroff & Jerry Bonnell

1997年5月｜18,199,978｜Patrick Demichel

1997年8月｜20,000,000｜Birger Seifert

1997年9月｜50,000,817｜Patrick Demichel

1999年2月｜200,000,579｜Sebastian Wedeniwski

1999年10月｜869,894,101｜Sebastian Wedeniwski

1999年11月21日｜1,250,000,000｜Xavier Gourdon

2000年7月10日｜2,147,483,648｜近藤茂、Xavier Gourdon

2000年7月16日｜3,221,225,472｜Colin Martin、Xavier Gourdon

2000年8月2日｜6,442,450,944｜近藤茂、Xavier Gourdon

2000年8月16日｜12,884,901,000｜近藤茂、Xavier Gourdon

2003年8月21日｜25,100,000,000｜近藤茂、Xavier Gourdon

2003年9月18日｜50,100,000,000｜近藤茂、Xavier Gourdon

2007年4月27日｜100,000,000,000｜近藤茂、Steve Pagliarulo

2009年5月6日｜200,000,000,000｜近藤茂、Steve Pagliarulo

2010年2月21日｜500,000,000,000｜余智恒（Alexander J. Yee）

2010年7月5日｜1,000,000,000,000｜近藤茂、余智恒（Alexander J. Yee）

2014年11月15日｜1,048,576,000,000｜David Galilei Natale

## 谐取

- 在Google2004年的首次公开募股，集资额不是通常的整头数，而是$2,718,281,828，这当然是取最接近整数的$e$十亿美元。Google2005年的一次公开募股中，集资额是$14,159,265，与圆周率有关。
- Google也是首先在硅谷心脏地带，接着在马萨诸塞州剑桥出现的神秘 广告版 的幕后黑手，它写着{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com（在$e$的连续数字中第一个发现的十位质数.com）。解决了这问题（第一个$e$中的十位质数是7427466391，出奇地到很后才出现，由第100个数字开始），进入网站后还有个更难的题目要解决，最后会到达Google的招聘页。但这个挑战已结束，上述网站都已关闭。
- 著名电脑科学家高德纳的软件Metafont的软件版本号趋向$e$（就是说版本号码是2，2.7，2.71，2.718等），与之相对的有TeX的软件版本号号是趋向于圆周率的。

## 基本资料

- 日语原文：欧拉数
- 制造数量：$e\approx$2.7182818285
- 作战范围：数表—无理数$\color{blue}\sqrt{2}$ - $\color{blue}\varphi$ - $\color{blue}\sqrt{3}$ - $\color{blue}\sqrt{5}$ - $\color{blue}\delta_S$ - $\color{blue}e$ - $\color{blue}\pi$
- 货币符号：$e$
- OEIS编号：A001113
- 发现者：雅各布·伯努利
- 别名：纳皮尔常数
- 类型：无理数、超越数
- 定义：$e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$、$e = \lim_{t \to 0} (1 + t)^\frac{1}{t}$
- 以此为根的多项式或函数：$\int_{1}^{x} \frac{\mathrm{d}t}{t} = 1$
- nowrap（线性表示）：2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12...
- 系列：$e=\sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}$
- 二进制：2
- 八进制：8
- 十二进制：12
- 十六进制：16
- 六十进制：60…