電路拓撲

電路拓撲是電子電路的組件互連網路所呈現的形式。組件的不同具體數值或額定值被視作相同的拓撲。拓撲並不關注電路中組件的物理布局，也不關注它們在電路圖上的位置；類似於數學拓撲學概念，它只關注組件之間的連接關係。眾多物理布局和電路圖可能都構成相同的拓撲。

嚴格來說，將組件替換為完全不同類型的組件仍屬於相同的拓撲。然而在某些情況下，這些可以被籠統地描述為不同的拓撲。例如，在一個低通濾波器中互換電感和電容會得到一個高通濾波器。儘管網路拓撲相同，這些仍可能被描述為高通和低通拓撲。對於這類對象（即僅指定組件類型而不指定絕對數值的網路），更準確的術語是原型網路。

電子網絡拓撲與數學拓撲相關。特別是，對於僅包含二端器件的網路，電路拓撲可以視為圖論的一個應用。從拓撲角度對這種電路進行網路分析時，網路的節點是圖論的頂點，網路分支則是圖論的邊。

標準圖論可以擴展以處理有源組件和多端器件，如積體電路。圖也可用於分析無窮網路。

## 電路圖

本條目中的電路圖遵循電子學中的常用約定；實線表示導體，實心小圓點表示導線的連接節點，空心小圓點表示與外部世界連接的端子。在大多數情況下，阻抗用矩形表示。實際的電路圖通常會使用電阻器、電感器、電容器等專用符號，但拓撲並不關心網路中元件的類型，因此此處採用了一般阻抗的符號。

本文的圖論部分給出了另一種表示網路的方法。

## 拓撲名稱

許多拓撲名稱源於其示意圖的外觀。大多數電路可以用多種方式繪製，因此也有多種名稱。例如，圖1.1所示的三種電路外觀不同，但具有相同的拓撲。

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此示例還展示了將拓撲按字母命名的常見約定。也可使用希臘字母，例如Π（pi）拓撲和Δ（delta）拓撲。

## 串聯和並聯拓撲

當網路僅包含兩個元件或支路時，僅存在兩種可能的拓撲：串聯和並聯電路。

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即使對於最簡單的這些拓撲，電路的表現形式也可以多種多樣。

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當網路具有三條支路時，存在四種可能的拓撲。

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注意，後文討論的Δ拓撲也可表示為並-串組合的另一形式。

串、並聯拓撲可以無限擴展，得到越來越多的支路。對於n條串聯或並聯支路，可得到的不同拓撲數量分別為 1、2、4、10、24、66、180、522、1532、4624、… A000084。

## Y型和Δ型拓撲

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Y型與Δ型是線性網絡分析中最簡單的三端網路，可通過Y-Δ變換進行相互轉換。該變換之所以重要，是因為某些網路無法僅用串聯或並聯組合規則來分析。這類網路常見於三相電機或變壓器繞組的三相電路中。

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圖 1.6所示網路由一個Y型網路與一個Δ型網路並聯組成。若需計算其兩節點間的阻抗，許多網路可通過連續應用串並聯阻抗組合規則來求解，但本例中還需使用Y-Δ變換。Y型拓撲也稱為星形拓撲；但「星形拓撲」有時也泛指多條分支匯聚於同一節點的更一般情形。

## 簡單濾波器拓撲

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圖 1.7所示拓撲常用於濾波器和衰減器設計。L段拓撲與分壓器拓撲相同；T段拓撲與Y型相同；Π段拓撲與Δ型相同。

所有這些拓撲都可視為梯形拓撲結構的一小段，更長的部分通常稱為階梯拓撲。這類電路常以二埠網絡進行分析和特性描述。

## 橋式拓撲

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橋式拓撲是一種重要的拓撲結構，在線性和非線性應用中有多種用途，包括但不限於橋式整流器、惠斯登電橋和晶格相位均衡器。橋式拓撲在電路圖中有多種表示方式。圖 1.8中的第一種表示是傳統的橋式電路示意；第二種表示清晰地展示了橋式拓撲與由串聯和並聯組合而來的拓撲的等價性；第三種表示更常被稱為晶格拓撲，拓撲等價性不那麼直觀，但可以通過將左上角節點「移動」到右上角節點右側來觀察其等價性。

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通常，只有當某網路作為具有一對對角相對節點組成的輸入和輸出二埠網絡來使用時，才稱其為橋式拓撲。圖 1.7 中的盒式拓撲與橋式拓撲在結構上是相同的，但在濾波器情況下，其輸入和輸出埠各由一對相鄰節點組成。有時，如圖 1.9所示，橋式電路輸出埠上的負載（或零位指示）元件也會包含在橋式拓撲中。

## 橋接T與雙T拓撲

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橋接T拓撲來源於橋式拓撲，詳情見Zobel網路一文，文中還討論了許多派生拓撲。

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雙T拓撲（Twin-T topology）常用於需要輸入和輸出共用同一接地端的場合，例如採用同軸電纜連接時。標準橋式拓撲無法直接將輸入和輸出埠相連，因此在平衡或零位測量應用中使用雙T拓撲。在雙T振盪器中，雙T拓撲也用作正弦波發生器。圖 1.11 下部的示意圖將雙T拓撲重新繪製，以突顯其與橋式拓撲的對應關係。

## 無限拓撲

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梯形拓撲可以無限擴展，在濾波器設計中得到廣泛應用。關於階梯拓撲的多種變體，可參見電子濾波器拓撲結構和組合圖像濾波器條目。

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平衡形式的階梯拓撲可視為任意階數稜柱側面的圖，而反稜柱的側面則形成反階梯拓撲。反階梯拓撲應用於電壓倍增器中，特別是在Cockcroft-Walton發電機中。此外，還有一種採用雙重反階梯拓撲的全波版本。

也可通過級聯多個簡單拓撲（如晶格或橋接T段）來構成無限拓撲。這種無限晶格級聯在理論分析和傳輸線的人工模擬中出現，但在實際電路實現中較少使用。

## 多端元件拓撲

包含三端或多端元件的電路大大增加了可用拓撲的數量；相應地，由拓撲所代表的不同電路數量減少，在許多情況下即使不指明具體元件，也可以僅憑拓撲識別電路。

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對於更複雜的電路，描述可通過指定網路各埠之間的傳遞函數來進行，而非僅靠元件拓撲。

## 圖論

圖論是研究圖的數學分支。在網路分析中，圖被廣泛用於表示被分析的網路。網路圖僅捕捉網路的連通性，即其拓撲結構；由於許多網路方程在相同拓撲下保持不變的性質，這種表示和推廣十分有用，包括源自基爾霍夫定律和特勒根定理的方程。

### 歷史

自基爾霍夫定律提出之初，圖論便被用於線性無源網路的分析。古斯塔夫·基爾霍夫於1847年在對電阻電路的迴路分析中使用圖作為網路的抽象表示；此後，該方法推廣至RLC電路，將電阻替換為阻抗。1873年，詹姆斯·克拉克·麥克斯韋在節點分析中提出了該分析的對偶形式。麥克斯韋還提出了一個拓撲定理：節點導納矩陣的行列式等於所有生成樹導納積之和。1900年，亨利·龐加萊引入了用關聯矩陣來表示圖的思想，從而奠定了代數拓撲的基礎。1916年，奧斯瓦爾德·維布倫將龐加萊的代數拓撲方法應用於基爾霍夫分析，並提出了使用生成樹來輔助選擇兼容的網路變量的方法。

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對電路中網路圖進行全面分類的工作始於1891年由珀西·麥克馬洪對串並聯組合的研究（並於1892年在《The Electrician》上發表了面向工程師的文章）。麥克馬洪將這些圖稱為「軛鏈」（yoke-chains）。1932年，羅納德·M·福斯特按圖的零度或秩進行分類，並繪製了少節點圖的圖表；該研究來源於他1920年與喬治·坎貝爾在四埠電話中繼器方面的早期合作，當時共識別出83,539種不同的圖。

長期以來，電路理論中的拓撲研究僅限於線性無源網路。隨著半導體器件和電路的發展，電路複雜度大幅提升，促使在圖論中引入組合數學以提高電腦計算效率。

### 圖與電路圖

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網路通常按其組成的電氣元件種類進行分類。在電路圖中，這些元件以各自專用符號表示。僅含電阻元件的網路稱為單一元件網路；同理，僅含電容或電感的網路亦為單一元件網路。RC電路、RL電路和LC電路是簡單的雙元件網路；RLC電路是最簡單的三元件網路。常用於低通濾波的LC階梯網路雖可包含多種元件，卻仍屬雙元件網路。

相反，拓撲僅關心網路元件之間的幾何連接關係，而不關心元件本身的種類。網路拓撲的核心是網路的圖，其中元件對應圖的邊，邊以線段表示，端點處連接於可發出其他邊的點或小圓圈。在電路分析中，圖的邊稱為「支路」，點則稱為圖的頂點，對應網路的節點。「節點」和「頂點」在討論網路圖時可互用。圖 2.2展示了圖 2.1電路的圖表示。

用於網路分析的圖通常同時為有向圖（以捕捉電流和電壓的方向）和標記圖（以區分不同支路和節點）。例如，一個由四條支路構成的方形圖，如果沒有唯一標記，則交換任意兩條支路後仍表示相同拓撲；在有向圖中，支路連接的兩個節點分別稱為源節點和終節點，通常在線上以箭頭指示方向。

### 關聯

關聯是圖的基本性質之一。與某個頂點相連的邊稱為該頂點的「關聯」邊。圖的關聯性質可用稱為「關聯矩陣」的矩陣表示出來，作為圖的另一種數學表達形式，無需繪圖即可描述。矩陣的行對應節點，列對應支路；矩陣元素為 0 表示無關聯，為 1 表示有關聯；在有向圖中，通過元素符號表示方向。

### 等價性

當一個圖形可通過形變變換為另一個圖形時，稱兩者等價。形變可包括平移、旋轉和反射；彎曲和拉伸支路；以及交叉或打結支路。通過形變等價的兩個圖形稱為「全等」。

在電氣網路領域，還考慮另外兩種變換，它們會產生等價圖形但非全等圖形。其一是交換串聯支路；這是並聯支路交換的對偶，後者可僅通過形變而無需特殊規則來實現。其二涉及那些被劃分為兩個或多個「分離部分」的圖形，即具有兩組節點且每組節點之間無支路關聯的圖形。將此類兩個分離部分中的各取一節點合併為單一節點，即可將它們視為與原分離圖等價。反之，將某節點分裂為兩個可將圖分成兩部分，此圖亦視為等價。

### 樹與連線

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樹是一種圖，其中所有節點都通過分支直接或間接連接，但不形成任何閉環。由於沒有閉合環路，因此樹中沒有電流。在網路分析中，我們感興趣的是生成樹，即連接網路圖中每個節點的樹。在本文中，除非另有說明，生成樹均指不合格樹。給定的網路圖可以包含許多不同的樹。為了形成樹而從圖中刪除的分支稱為連結；留在樹中的分支稱為細枝。對於具有n 個節點的圖，每棵樹的分支數t必須是：

樹是這樣一種圖：其所有節點都通過支路直接或間接相連，且不形成任何閉環。由於無閉環，樹中無電流。在網路分析中，我們關注的是將圖中所有節點連接起來的生成樹；在本條目中，若無特別說明，「樹」即指生成樹。給定的網路圖可包含多棵不同的樹。為了形成樹而從圖中移除的支路稱為連線（「link」）；保留在樹中的支路稱為「枝」（twig）。對於具有 n 個節點的圖，每棵樹中支路數 t 必須滿足：

$$t = n - 1 \ $$

電路分析中的一個重要關係是：

$$b = \ell + t \ $$

其中b是圖中的支路總數，ℓ是為了形成樹而移除的連線數。

### 系聯集與割集

電路分析的目標是確定網路中所有支路電流和電壓。這些網路變量並非相互獨立。支路電壓與支路電流由其元件的傳遞函數相關聯。因此，網路的完整解可僅用支路電流或僅用支路電壓來表示。同樣，並非所有支路電流都相互獨立。完成解所需的最少支路電流數為ℓ，這源於樹中移除了ℓ條連線且樹中無電流；因此，樹中剩餘支路電流為零，必然依賴於連線電流。選為獨立變量的支路電流集必須對應於某棵樹的連線：不能任意選擇ℓ條支路。

就支路電壓而言，網路的完整解可用t條支路電壓獲得，因為將樹的所有支路短路後，電壓處處為零，連線電壓必然依賴於樹中支路電壓。

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常用的分析方法是先求迴路電流，再根據迴路電流求各支路電流。同樣，迴路電流集不能任意選取。為保證變量獨立，所選迴路必須與某棵樹的連線對應：每替換該樹的一條連線即可獲得一個唯一迴路，因此迴路電流數等於ℓ。本上下文中「迴路」不同於圖論中的環路。由給定迴路所形成的支路集稱為系聯集。網路方程通過將迴路電流與系聯集支路電流的代數和相等來建立。

也可在無需引用樹和系聯集的情況下選取獨立迴路電流。一個充分（但非必要）的條件是：保證每個所選迴路至少包含一條此前未被選迴路包含的支路。一個特別直接的選擇是網格分析，其中所選迴路均為網格（mesh），即不包含其他環路的環路。網格分析僅適用於可將圖映射到平面或球面且無支路交叉的圖，此類圖稱為平面圖。平面映射與球面映射是等價條件；任何映射到平面的有限圖都可縮放至球面上的一小區域，反之亦然。

也存在一種與迴路電流法對應並對偶的電壓變量選取方法：以節點對間電壓為主要變量，再由它們求支路電壓。此法同樣需選取圖的一棵樹以保證變量獨立。系聯集的對偶即為割集。系聯集通過將除一條連線外的所有連線開路形成；割集則通過將除一條樹支路外的所有樹支路短路形成。割集由未被短路的樹支路及未被其他樹支路短路的連線組成。割集將圖切分為兩個不相交的子圖，即最小的切割支路集。網路方程通過將節點對電壓與割集支路電壓的代數和相等來建立。網格分析的特殊對偶方法為節點分析。

### 零度與秩

具有s個分離部分和b條支路的圖的零度N定義為：

$$N = b - n + s \ $$

圖的零度表示其網路方程組的自由度。對於平面圖，零度等於圖中網格的數量。

圖的秩R定義為：

$$R = n - s \ $$

在節點分析中，秩與在網格分析中零度所起的作用相同，即給出所需的節點電壓方程數。秩與零度是對偶概念，滿足：

$$R + N = b \ $$

### 求解網路變量

一旦選定了一組幾何獨立的變量，網路狀態即可用這些變量表示。所得方程組為一組需要聯立求解的獨立線性方程。這些方程可用矩陣形式表示，從而得到網路的特徵參數矩陣。如果方程基於迴路分析，則參數矩陣為阻抗矩陣；如果方程基於節點分析，則為導納矩陣。

這些方程可以用多種著名方法解出。一種方法是系統地消除變量。另一種方法涉及行列式運算，即克萊姆法則，可直接用行列式表達未知量。這種方法能給出簡潔表達，但對於非平凡網路，手工計算量較大。

### 對偶性

當一個圖的支路與節點對關係，與另一個圖的支路與迴路關係相同時，稱二者為對偶圖。圖的對偶可完全通過圖解法來構造。

圖的對偶又是另一張圖。對於原圖中某棵樹，其補集支路（即不在該樹中的支路）在對偶圖中構成一棵樹。原圖及該樹的系聯集所對應的迴路電流方程組，與對偶圖的割集所對應的節點對電壓方程組完全相同。

下表列出了與電路理論中拓撲相關的對偶概念。

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電流｜電壓

樹｜迷宮

支路｜分支

網格｜節點

迴路｜節點對

連線｜樹枝

系聯集｜割集

短路｜開路

並聯｜串聯

零度｜秩

圖的對偶樹有時稱為「迷宮」。它由通過連線連接的面組成，類似於樹由通過樹支路連接的節點組成。

並非所有圖都能形成對偶。對偶性要求每個系聯集在對偶圖中都有對應的割集。若且唯若該圖可映射到無支路交叉的球面時，此條件才得以滿足。因為系聯集用於「繫緊」圖形將其分為兩部分，而其對偶割集則用於切割圖形。若有限網路的圖無法映射到球面，則需映射至n重環面，此時某些經環面孔的系聯集無法將圖「繫緊」成兩部分，對偶圖也無法被切割成兩部分，自然不存在所需割集。因此，只有平面圖才具有對偶。

含有互感的網路也無法直接形成對偶，因為不存在對應的電容元件。雖可構造等效電路以獲得對偶，但不能直接對互感形成對偶。

### 節點與網格消元

在網路方程組上進行的運算具有拓撲意義，可幫助直觀理解運算過程。從網路方程組中消除一個節點電壓對應於在圖中消去該節點。對於連接三個其他節點的節點，這對應於著名的Y-Δ變換。該變換可推廣到更多連接節點的情形，稱為星–網變換。

此變換的逆變換是Δ–Y變換，解析上對應消去一個網格電流，拓撲上對應在圖中去除一個網格。然而，若網格與任意數量的其他網格共享支路，消去該網格電流通常無法得到可實現的圖。這是因為一般星形圖的變換結果包含星形多邊形，無法映射到球面（存在多次交叉）。此類圖的對偶圖不存在，但它正是表示廣義網格消元所需的圖。

### 互耦合

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在傳統的電路圖表示中，無法顯式表示諸如變壓器中的互感耦合，這可能導致圖成為多個分離部分斷開的圖形。為便於分析，可將多部分圖通過將各部分中的一個節點統一為同一節點而合併為單一圖，這不改變理論行為，故分析仍然有效。但若實際按此方式實現電路，則隔離性將被破壞。例如，一台原副邊均接地的變壓器，雖仍以相同電壓比工作，卻不再具備隔離變壓器的功能。

近年來，圖論中新技術已能夠處理有源元件及互耦合問題。

### 有源元件

處理互耦合和有源元件的基本方法有兩種。其一，於1953年由塞繆爾·傑斐遜·梅森提出的信號流圖，這是一種帶權、有向圖，用於分析含互耦合及有源網路的電路。圖中有向邊的權值表示增益，如放大器的增益。一般而言，信號流圖不同於上述基於物理元件布局的有向圖。

第二種方法是擴展經典方法以包含互耦合和有源元件。已有多種實現途徑，其中一種構造兩張圖：一張表示電流，一張表示電壓；無源元件在兩棵樹中對應相同支路，而有源元件可能不然，該法依賴於識別兩圖共有的生成樹。另一種僅需一張圖的方法由Chen於1965年提出，基於有根樹。

#### 超圖

另一種擴展經典圖論以處理有源元件的方法是使用超圖。一些電子元件難以用普通圖表示：例如電晶體有三個連接點，而普通圖的一個支路只能連接兩個節點；現代積體電路更是連接點眾多。這個問題可以通過使用超圖代替常規圖來解決。

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傳統表示中的組件由邊表示，每條邊連接兩個節點。而在超圖中，組件由可以連接到任意數量節點的超邊表示。超邊可連接任意數量的節點，其與節點的連接通過稱為「觸鬚」的線段實現。超邊常以盒子表示，而觸鬚則由盒子引向各節點。在有向超圖中，觸鬚帶有由超邊標籤決定的標記。常規有向圖可視為每條超邊具有兩條觸鬚（源和目標）的特例；更一般的超圖因觸鬚更多，需要更複雜的標註。

超圖也可通過其關聯矩陣來表徵：普通圖因每行僅有兩處非零而區分於超圖——任一行若有超過兩處非零，則對應超圖。行中非零項數即為相應支路的秩，所有支路秩的最大值即為關聯矩陣的秩。

### 非齊次變量

經典網路分析分別發展出以電流（網格分析）或電壓（節點分析）為齊次變量的方程組，但所得變量集不一定為形成獨立方程組所需的最小集。網格分析與節點分析所需變量數可能各不相同；若放寬齊次性要求允許電流與電壓變量混用，則可能獲得更少的變量數。Kishi和Kajitani在1967年的研究表明，描述網路行為所需的最小變量數等於任意兩棵生成森林之間的最大距離（distance）。

### 網路綜合

圖論可應用於網路綜合。經典網路綜合按多種規範形實現所需網路，例如用柯爾（Cauer）規範的階梯網路或福斯特（Foster）規範形式實現輸入端阻抗（driving-point impedance），或用Brune的正實函數實現導納或阻納。不同於從規範形出發，拓撲方法讓網路形式由數學表示決定。某些規範形需要互感實現，而拓撲方法的一個主要目標是消除互感需求。拓撲定理指出：若一個輸入端阻抗的實現無互感，則若且唯若不存在全電感或全電容迴路時，該實現才是最小的。

圖論在網路綜合中的最強優勢體現在網路元件可表示為實數（一元件網路如電阻網路）或二元狀態（如開關網路）時。

### 無限網路

或許最早研究的無限圖網路是由奧利弗·黑維塞於1881年最終形式化的階梯網路，用以模擬傳輸線。早期對無限網路的研究幾乎局限於重複元素的周期結構（如階梯或網格）。直到20世紀末，才出現可分析任意拓撲無限網路的工具。

無限網路大多僅具理論意義，且可能表現出不符合物理規律的性質。例如，在某些情況下基爾霍夫定律可能失效，且無限電阻階梯的輸入阻抗可能取決於「無窮遠」終端情況；此外，若不對網路施加除歐姆定律和基爾霍夫定律外的約束，無限網路通常會耗散無限功率。然而也有部分實際應用：傳輸線示例屬於可用微分元件模型（distributed-element model）模擬的實際問題；還有向連續介質發射波、邊緣場（fringing field）問題，以及在基板或井筒中點對點測量電阻等應用。

超限網路（transfinite networks）則更進一層：可在無限網路的某個端點繼續接入另一無限網路，從而構建出某些節點對間無任何有限路徑的拓撲，這類由無限網路構成的網路即稱為超限網路。

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