能量-動量關係式

在物理學中，能量動量關係，或稱相對論色散關係，是將總能量（也稱為相對論能量）與不變質量（也稱為靜止質量）和動量聯繫起來的相對論方程。它是質能等價關係在非零動量的物體或系統中的推廣。

它可以表述為：

$$E^2 = (p c)^2 + \left(m_0 c^2\right)^2\,$$

該方程適用於一個物體或系統，例如一個或多個粒子，其總能量為E，質量m0，動量大小為p；常數c為光速。它假設狹義相對論中平坦時空的情況，並且粒子是自由的。總能量是靜止能量的總和$E_0 = m_0 c^2$和相對論動能： $$E_\text{K} = E - E_0 = \sqrt{(p c)^2 + \left(m_0 c^2\right)^2}- m_{0}c^2$$不變質量是在動量中心坐標系中測量的質量。對於動量為零的物體或系統，它簡化為質能方程$E_0 = m_0 c^2$，其中在這種情況下總能量等於靜止能量。

用於預測反物質存在的狄拉克海模型與能量動量關係密切。

## 與 E = mc 2 的聯繫

<image>

能量動量關係在兩種解釋中都與我們熟悉的質量能量關係一致： E = mc2將總能量E與（總）相對論質量m （或者表示為mrel或mtot）聯繫起來，而E0 = m0c2將靜止能量E0與（不變的）靜止質量m0聯繫起來。

與上述任何一個方程不同，能量動量方程 ( 1 ) 將總能量與靜止質量m0聯繫起來。這三個方程同時成立。

## 特殊情況

- 如果物體是一個無質量粒子（m0 = 0），則（1）式簡化為E = pc。對於光子來說，這是19世紀經典電磁學中發現的輻射動量（導致輻射壓）與輻射能量之間的關係。
- 如果物體的速度v遠小於c，則 ( 1 ) 簡化為 E = 1m0v2 + m0c2; 也就是說，物體的總能量就是它的經典動能 1m0v2 加上其靜止能量。
- 如果物體處於靜止狀態（v = 0），即在其動量中心繫中（p = 0），我們有 E = E0 且 m = m0；因此，能量-動量關係式和（上文提到的）兩種形式的質能關係式都將變得相同。

關係 ( 1 ) 的更一般形式適用於廣義相對論。

不變質量（或靜止質量）是所有參考系的不變量（因此得名），不僅適用於平坦時空的慣性系，也適用於在彎曲時空中運動的加速系（見下文）。然而，粒子的總能量E及其相對論動量p是與參考系相關的；兩個參考系之間的相對運動會導致這兩個參考系中的觀察者測量到不同的粒子能量和動量值；一個參考系測量到E和p，而另一個參考系測量到E和p′，其中E ≠ E且p′ ≠ p，除非觀察者之間沒有相對運動，在這種情況下每個觀察者測量到的能量和動量相同。儘管在平坦時空中我們仍然有：

$${E'}^2 - \left(p'c\right)^2 = \left(m_0 c^2\right)^2\,.$$

E、 p、 E、 p′這些量都通過洛倫茲變換關聯起來。該關係允許人們在僅確定能量和動量的大小時，通過使不同參考系中的關係相等，從而避開洛倫茲變換。同樣在平坦時空中，這轉化為：

$${E}^2 - \left(pc\right)^2 = {E'}^2 - \left(p'c\right)^2 = \left(m_0 c^2\right)^2\,.$$

由於m0在各個參考系中保持不變，因此能量動量關係用於相對論力學和粒子物理計算，因為能量和動量是在粒子的靜止參考系中給出的（即，與粒子一起移動的觀察者會得出的E和p），並在實驗室參考系中測量（即， E和p由粒子物理學家在實驗室中確定，而不是與粒子一起移動）。

在相對論量子力學中，它是構建相對論波動方程的基礎，因為如果描述粒子的相對論波動方程與該方程一致，則它與相對論力學一致，並且是洛倫茲不變的。在相對論量子場論中，它適用於所有粒子和場。

## 方程的起源和推導

能量動量關係可以追溯到馬克斯·普朗克1906 年發表的文章。1926 年，沃爾特·戈登 (Walter Gordon)使用了它，1928 年，保羅·狄拉克 (Paul Dirac)又使用了它，其形式為$E=\sqrt{c^2p^2+(m_0c^2)^2} + V$其中V是勢能的總量。

該方程可以通過多種方式推導出來，其中最簡單的兩種方式包括：

- 從大質量粒子的相對論動力學來看。
- 通過計算系統四維動量的模。該方法適用於有質量和無質量粒子，並且可以相對輕鬆地擴展到多粒子系統（參見下面的）。

### 大質量粒子的啟發式方法

對於一個以三速度u = (ux, uy, uz)運動且星等u = u大質量物體，在實驗室坐標系中：

$$E=\gamma_{(\mathbf{u})}m_0c^2$$

是實驗室坐標系中運動物體的總能量。

$$\mathbf{p} = \gamma_{(\mathbf{u})} m_0\mathbf{u}$$

是物體在實驗室坐標系中的三維相對論動量，其量級為p = p。相對論能量E和動量p包含洛倫茲因子，其定義為：

$$\gamma_{(\mathbf{u})} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{u}{c}\right)^2}}$$

一些作者使用相對論質量來定義：

$$m = \gamma_{(\mathbf{u})} m_0$$

儘管靜止質量m0具有更基本的意義，並且在本文中將主要使用它來代替相對論質量m。

$$p^2 = \mathbf{p}\cdot\mathbf{p} = \frac{m_0^2 \mathbf{u}\cdot \mathbf{u}}{1 - \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}{c^2}} = \frac{m_0^2 u^2}{1 - \left(\frac{u}{c}\right)^2}$$

然後解出u2代入洛倫茲因子，得到其以 3-動量和質量（而不是 3-速度）表示的替代形式：

$$\gamma = \sqrt{1 + \left(\frac{p}{m_0 c}\right)^2}$$

將這種形式的洛倫茲因子代入能量方程可得：

$$E = m_0c^2\sqrt{1 + \left(\frac{p}{m_0 c}\right)^2}$$

經過進一步的重新排列，得到公式 ( 1 )。洛倫茲因子的消除也消除了公式 ( 1 ) 中粒子的隱式速度依賴性，以及任何對大質量粒子「相對論質量」的推論。這種方法並不具有普遍性，因為它沒有考慮無質量粒子。簡單地設定m0 = 0意味著E = 0和p = 0，從而無法推導出能量動量關係，這是不正確的。

### 四動量模

<image>

#### 狹義相對論

在閔可夫斯基空間中，能量（除以c）和動量是閔可夫斯基四維矢量的兩個分量，即四維動量。

$$\mathbf{P} = \left(\frac{E}{c}, \mathbf{p}\right)\,,$$

（這些是逆變分量）。

該向量與自身的Minkowski 內積⟨, ⟩給出了該向量範數的平方，它與物體的靜止質量m的平方成正比：

$$\left\langle\mathbf{P}, \mathbf{P}\right\rangle = |\mathbf{P}|^2 = \left(m_0 c\right)^2\,,$$

是洛倫茲不變量，因此與參考系無關。使用閔可夫斯基度量η其度量特徵為，內積為

$$\left\langle\mathbf{P},\mathbf{P}\right\rangle = |\mathbf{P}|^2 = - \left(m_0 c\right)^2\,,$$

和

$<pre> \left\langle\mathbf{P},\mathbf{P}\right\rangle$ $= P^\alpha\eta_{\alpha\beta}P^\beta$ $= \begin{pmatrix} \frac{E}{c} & p_x & p_y & p_z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{E}{c} \\ p_x \\ p_y \\ p_z \end{pmatrix}$ $= -\left(\frac{E}{c}\right)^2 + p^2\,, </pre>$

所以

$$-\left(m_0 c\right)^2 = -\left(\frac{E}{c}\right)^2 + p^2$$

或者，以c = 1 的自然單位表示。

$$|\mathbf{P}|^2 + (m_0)^2=0 .$$

#### 廣義相對論

在廣義相對論中，4-動量是定義在局部坐標系中的四向量，儘管根據定義，其內積與狹義相對論的內積類似。

$$\left\langle\mathbf{P},\mathbf{P}\right\rangle = |\mathbf{P}|^2 = \left(m_0 c\right)^2\,,$$

其中，閔可夫斯基度量η被度量張量場g代替：

$$\left\langle\mathbf{P}, \mathbf{P}\right\rangle = |\mathbf{P}|^2 = P^\alpha g_{\alpha\beta}P^\beta \,,$$

由愛因斯坦場方程求解。則：

$$P^\alpha g_{\alpha\beta}P^\beta = \left(m_0 c\right)^2\,.$$

## 能量、質量和動量的單位

在c = 1自然單位中，能量動量方程簡化為

$$E^2 = p^2 + m_0^2 \,.$$

在粒子物理學中，能量通常以電子伏特(eV) 為單位，動量以 eV· c −1為單位，質量以 eV· c −2為單位。

理論上，能量也可以用克為單位來表示，但實際上，要達到這個範圍內的質量，需要很大的能量。例如，第一顆原子彈釋放了約1克的熱量，最大的熱核炸彈產生的熱量可達一公斤或更多。熱核炸彈的能量通常以數十千噸和百萬噸來表示，指的是爆炸相同重量的三硝基甲苯(TNT) 所釋放的能量。

## 特殊情況

### 動量中心框架（一個粒子）

對於處於靜止坐標系的物體，動量為零，因此該方程簡化為

$$E_0 = m_0 c^2 \,,$$

其中m0是身體的靜止質量。

### 無質量粒子

如果物體沒有質量，就像光子的情況一樣，那麼方程就簡化為

$$E = pc \,.$$

這是一個有用的簡化。它可以使用德布羅意關係以其他方式重寫：

$$E = \frac{hc}{\lambda} = \hbar c k \,.$$

如果給定波長λ或波數k。

### 對應原理

將大質量粒子的關係重寫為：

$$E = m_0 c^2 \sqrt{1 + \left(\frac{p}{m_0c}\right)^2}\,,$$

並根據二項式定理展開為冪級數（或泰勒級數）：

$$E = m_0 c^2 \left[1 + \frac{1}{2}\left(\frac{p}{m_0c}\right)^2 - \frac{1}{8}\left(\frac{p}{m_0c}\right)^4 + \cdots \right]\,,$$

在u ≪ c極限下，我們有γ(u) ≈ 1因此動量具有經典形式p ≈ m0u，然後到一階(p)

$$E \approx m_0 c^2 \left[1 + \frac{1}{2}\left(\frac{m_0u}{m_0c}\right)^2 \right]\,,$$

或者

$$E \approx m_0 c^2 + \frac{1}{2} m_0 u^2 \,,$$

其中第二項是經典動能，第一項是粒子的靜能量。這種近似不適用於無質量粒子，因為膨脹需要動量除以質量。順便說一句，經典力學中不存在無質量粒子。

## 多粒子系統

### 四個動量的加法

對於具有相對論動量pn和能量En的許多粒子的情況，其中n = 1, 2, ... （最多為粒子總數），只需標記粒子，如在特定框架中測量的那樣，就可以添加該框架中的四動量。

$$\sum_n \mathbf{P}_n = \sum_n \left(\frac{E_n}{c} , \mathbf{p}_n\right) = \left( \sum_n \frac{E_n}{c}, \sum_n \mathbf{p}_n \right)\,,$$

然後取範數；得到多粒子系統的關係：

$$\left|\left(\sum_n \mathbf{P}_n \right)\right|^2 = \left(\sum_n \frac{E_n}{c}\right)^2 - \left(\sum_n \mathbf{p}_n\right)^2 = \left(M_0 c\right)^2\,,$$

其中M0是整個系統的不變質量，除非所有粒子都處於靜止狀態，否則它不等於所有粒子的靜止質量之和（參見狹義相對論中的質量（更多細節）。代入並重新排列，得到 1 的推廣。

$$\left(\sum_n E_n \right)^2 = \left(\sum_n \mathbf{p}_n c\right)^2 + \left(M_0 c^2\right)^2$$

方程中的能量和動量都與框架有關，而M0與框架無關。

### 動量中心框架

在動量中心框架（COM框架）中，根據定義我們有：

$$\sum_n \mathbf{p}_n = \boldsymbol{0}\,,$$

由 ( 2 ) 式可知，除了c2之外，不變質量也是動量中心 (COM) 質能：

$$\left(\sum_n E_n \right)^2 = \left(M_0 c^2\right)^2 \Rightarrow \sum_n E_{\mathrm{COM}\,n} = E_\mathrm{COM} = M_0 c^2 \,,$$

由於M0與參考系無關，因此所有參考系都適用。能量ECOM n是 COM 參考系中的能量，而不是Lab 參考系中的能量。然而，許多常見的束縛系統將 Lab 參考系視為 COM 參考系，因為系統本身不運動，因此動量全部抵消為零。一個例子是一個簡單的物體（其中原子的振動動量抵消）或一個處於靜止狀態的氣體容器。在這樣的系統中，系統的所有能量都以質量來衡量。例如，物體在秤上的熱量，或容器中氣體在秤上的總動能，都由秤測量為系統的質量。

### 靜止質量和不變質量

在某些框架中測量的粒子的能量或動量可以通過使用每個粒子的能量動量關係來消除：

$$E^2_n - \left(\mathbf{p}_n c\right)^2 = \left(m_n c^2\right)^2 \,,$$

允許M0用能量與靜止質量，或動量與靜止質量來表示。在特定參考系中，平方和可以重寫為平方和（及乘積）的和：

$$<pre> \left(\sum_n E_n \right)^2 = \left(\sum_n E_n \right)\left(\sum_k E_k \right) = \sum_{n,k} E_n E_k = 2\sum_{n<k} E_n E_k + \sum_n E_n^2\,, </pre>$$

$$<pre> \left(\sum_n \mathbf{p}_n \right)^2 = \left(\sum_n \mathbf{p}_n \right)\cdot\left(\sum_k \mathbf{p}_k \right) = \sum_{n,k} \mathbf{p}_n \cdot \mathbf{p}_k = 2\sum_{n<k} \mathbf{p}_n \cdot \mathbf{p}_k + \sum_{n}\mathbf{p}_n^2\,, </pre>$$

因此代入這些和，我們可以在 ( 2 ) 式中引入它們的靜止質量mn：

$$\sum_n \left(m_n c^2\right)^2 + 2\sum_{n<k}\left(E_n E_k - c^2 \mathbf{p}_n \cdot \mathbf{p}_k\right) = \left(M_0 c^2\right)^2 \,.$$

可以通過以下方式消除這些能量：

$$E_n = \sqrt{\left(\mathbf{p}_n c\right)^2 + \left(m_n c^2\right)^2} \,,\quad E_k = \sqrt{\left(\mathbf{p}_k c\right)^2 + \left(m_k c^2\right)^2} \,,$$

類似地，動量可以通過以下方式消除：

$$<pre> \mathbf{p}_n \cdot \mathbf{p}_k = \left|\mathbf{p}_n\right|\left|\mathbf{p}_k\right| \cos\theta_{nk}\,,\quad |\mathbf{p}_n| = \frac{1}{c}\sqrt{E_n^2 - \left(m_n c^2\right)^2}\,,\quad |\mathbf{p}_k| = \frac{1}{c}\sqrt{E_k^2 - \left(m_k c^2\right)^2}\,, </pre>$$

其中θnk是動量矢量pn和pk之間的角度。

$$\left(M_0 c^2\right)^2 -\sum_n \left(m_n c^2\right)^2 = 2\sum_{n<k}\left(E_n E_k - c^2 \mathbf{p}_n \cdot \mathbf{p}_k\right) \,.$$

由於系統的不變質量和每個粒子的靜止質量與框架無關，因此右側也是不變量（即使能量和動量都是在特定框架中測量的）。

利用物質波的能量和動量的德布羅意關係。

$$E = \hbar \omega \,, \quad \mathbf{p} = \hbar\mathbf{k}\,,$$

其中ω是角頻率， k是波矢，其幅值k = k，等于波數，能量-動量關係可以用波量來表示：

$$\left(\hbar\omega\right)^2 = \left(c \hbar k\right)^2 + \left(m_0 c^2\right)^2 \,,$$

並通過除以(ħc)2來整理：

$\left(\frac{\omega}{c}\right)^2 = k^2 + \left(\frac{m_0c}{\hbar}\right)^2 \,.$這也可以從四波矢的大小推導出來

$$\mathbf{K} = \left(\frac{\omega}{c}, \mathbf{k}\right)\,,$$

與上面的四動量類似。

由於約化普朗克常數ħ和光速c同時出現並使方程變得複雜，因此自然單位就顯得尤為重要。將它們歸一化，使ħ = c = 1，可得：

$$\omega^2 = k^2 + m_0^2 \,.$$

## 超光速粒子和奇異物質

具有相對論能量動量關係的慢子速度

$$E^2 = p^2 c^2 + m_0^2 c^4\,.$$

永遠不會超過c。相反，對於能量動量方程為的快子來說，它總是大於c

$$E^2 = p^2 c^2 - m_0^2 c^4\,.$$

相比之下，假設的奇異物質具有負質量，其能量動量方程為

$$E^2 = -p^2 c^2 + m_0^2 c^4\,.$$