黏塑性

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黏塑性是連續介質力學中的一種理論，用於描述固體在速率依賴下的不可恢復（非彈性，inelastic）行為。此處的速率依賴意味著材料的變形取決於施加荷重的速率。黏塑性所研究的不可恢復行為是塑性變形，即當載荷達到一定水平時材料發生不可恢復的變形。速率依賴的塑性對於瞬態塑性計算至關重要。速率無關塑性模型與黏塑性模型的主要區別在於：後者不僅在加載後表現出永久變形，而且在所施加載荷作用下隨時間持續發生作為時間函數的蠕變流動。

黏塑性材料的彈性響應在一維中可用胡克彈簧元件表示。速率依賴性可類似於黏彈性，用非線性黏壺元件表示。塑性可通過在圖1所示的模型中加入滑動摩擦元件來考慮。圖中$E$為楊氏模量，$\lambda$為黏度參數，$N$為冪律型參數，表示非線性黏壺關係$[\sigma (\mathrm{d}\varepsilon/\mathrm{d}t) = \sigma = \lambda(\mathrm{d}\varepsilon/\mathrm{d}t)^{1/N}]$。滑動元件可具有一個與應變速率相關的或恆定的屈服應力$\sigma_y$。

黏塑性通常在三維中採用Perzyna或Duvaut-Lions類型的「超應力」（overstress）模型來建模。在這些模型中，施加載荷時允許應力超出速率無關的屈服面，然後隨著時間鬆弛回屈服面。通常在此類模型中假定屈服面不隨速率變化。另一種方法是向屈服應力添加應變速率依賴，並利用速率無關塑性技術來計算材料響應。

對金屬與合金而言，黏塑性是由與晶粒中位錯運動相關的機制引起的宏觀行為，且常疊加晶間滑移的效應。該機制通常在溫度高於絕對熔點的大約三分之一時占主導地位；然而某些合金在室溫（300K）下亦表現出黏塑性。對於聚合物、木材和瀝青，描述超出彈性或黏彈性極限後的行為需要黏塑性理論。

一般而言，黏塑性理論在以下領域有用：

- 永久變形的計算。
- 結構塑性破壞的預測。
- 穩定性研究。
- 碰撞/衝擊仿真。
- 暴露於高溫的系統（例如發電廠內的渦輪）。
- 動態問題及高應變率作用下的系統。

## 歷史

對塑性理論的研究始於1864年，源自Henri Tresca的工作，以及Saint Venant（1870年）和Maurice Lévy（1871年）關於最大剪切判據（maximum shear criterion）的工作。1913年Von Mises提出的改進塑性模型現稱為馮·米塞斯屈服判據。在黏塑性方面，數學模型的發展可追溯到1910年，用以表徵初期蠕變的安德拉德定律（Andrade's law）。1929年，Norton發展了一維黏壺模型，將二級蠕變速率與應力聯繫起來。1934年，Odqvist將Norton定律推廣到多軸情形。

諸如塑性流率法線性（流動方向垂直於屈服面）及塑性流動規則等概念由路德維希·普朗特（1924年）和Reuss（1930年）提出。1932年，Hohenemser與威廉·普拉格提出了首個慢速黏塑性流動模型，為不可壓縮的賓漢流體建立了偏應力與應變速率之間的關係。然而這些理論在1950年前並未廣泛應用，限值定理（limit theorems）的發現促使其應用開始擴大。

1960年，Hoff組織的第一屆國際理論與應用力學聯合會（IUTAM）研討會「結構中的蠕變」為黏塑性帶來了重要發展，Hoff、Rabotnov、Perzyna、Hult與Lemaitre在各向同性硬化定律方面的工作，以及Kratochvil、Malinini和Khadjinsky、Ponter與Leckie及Chaboche在運動學硬化定律方面的工作，均具有重大貢獻。Perzyna在1963年引入了依賴溫度與時間的黏性係數。所形成的模型以不可逆過程熱力學和現象學觀點為支撐，這些思想構成了後續大多數速率依賴塑性研究的基礎。

## 現象學

為了進行定性分析，通常進行幾種特徵試驗來描述黏塑性材料的唯象行為。這些試驗包括：

- 恆定應力或應變率下的硬化試驗
- 恆定力下的蠕變試驗
- 恆定伸長下的應力鬆弛試驗

### 應變硬化試驗

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屈服的一個後果是，隨著塑性變形的進行，需要增加應力才能產生額外的應變。這種現象被稱為應變硬化或加工硬化。對於黏塑性材料，其硬化曲線與速率無關塑性材料沒有顯著差異，但可以觀察到三個基本區別：

- 在相同應變下，應變率越高，應力越高。
- 試驗過程中應變率的變化會導致應力-應變曲線立即發生變化。
- 塑料屈服極限的概念不再嚴格適用。

在小應變情況下，通過解耦彈性部分和塑性部分來劃分應變的假設仍然適用，即：$$<pre> \boldsymbol{\varepsilon} = \boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{e}} + \boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{vp}}$$其中$\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{e}}$是彈性應變，$\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{vp}}$是黏塑性應變。圖中藍色曲線所示的應力-應變行為是通過初始以0.1/s的應變率加載，隨後瞬間提高到100/s並保持，最後再降回0.1/s得到的。應變率變化與應力響應之間存在明顯的滯後。過應力模型（如Perzyna模型）可以相當準確地模擬這種滯後，而具有速率相關屈服應力的速率無關塑性模型則無法做到。

### 蠕變試驗

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蠕變是指固體材料在恆定應力下緩慢發生永久變形或移動的趨勢。蠕變試驗測量恆定應力下的應變響應。典型的蠕變曲線描述了在恆定溫度下受單軸應力作用的材料中應變隨時間演化的過程。通常，該曲線表現出三個階段的行為：

- 初始蠕變階段（又稱瞬態蠕變）：開始階段，材料的硬化導致流動速率降低，初始速率非常高（$0 \le \boldsymbol{\varepsilon} \le \boldsymbol{\varepsilon}_1$）。
- 穩態蠕變階段（又稱第二階段）：應變率保持恆定（$\boldsymbol{\varepsilon}_1 \le \boldsymbol{\varepsilon} \le \boldsymbol{\varepsilon}_2$）。
- 加速蠕變階段（又稱第三階段）：應變率逐漸增加，直至發生斷裂（$\boldsymbol{\varepsilon}_2 \le \boldsymbol{\varepsilon} \le \boldsymbol{\varepsilon}_R$）。

### 鬆弛試驗

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鬆弛試驗定義為在一段時間內保持恆定應變所產生的應力響應。在黏塑性材料中，鬆弛試驗展示了單軸加載下恆定應變時的應力鬆弛。事實上，這些試驗表徵了黏性，並可用於確定應力與黏塑性應變率之間的關係。應變率的分解式為：$$\cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon}}{\mathrm{d}t} = \cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{d}t} + \cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{vp}}}{\mathrm{d}t} ~$$應變率彈性部分為：$$\cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{d}t} = \mathsf{E}^{-1}~\cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\sigma}}{\mathrm{d}t} <pre>$$對於應變-時間曲線的平坦區域，總應變率為零。因此，我們有：$$</pre> \cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{vp}}}{\mathrm{d}t} = -\mathsf{E}^{-1}~\cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\sigma}}{\mathrm{d}t} <pre>$$因此，鬆弛曲線可用於確定黏塑性應變率，進而確定一維黏塑性材料模型中阻尼器的黏度。當應力在鬆弛試驗結束時達到平台期所達到的殘餘值對應於彈性的上限。對於某些材料（如岩鹽），這種彈性上限發生在極小的應力值下，鬆弛試驗可以持續一年以上而觀察不到任何明顯的應力平台。

值得注意的是，鬆弛試驗極難執行，因為在試驗中維持 $\cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon}}{\mathrm{d}t} = 0$ 的條件需要相當高的精密程度。

## 黏塑性的流變模型

基於彈簧-阻尼器-滑塊元件的黏塑性一維本構模型包括完全黏塑性固體、彈性完全黏塑性固體和硬化彈黏塑性固體。這些元件可以串聯或並聯連接。在元件串聯的模型中，應變具有加和性，而每個元件中的應力相等。在並聯連接中，應力具有加和性，而每個元件中的應變相等。許多此類一維模型可以推廣到小應變範圍內的三維情況。在隨後的討論中，應變率和應力率分別記為$\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}$和$\dot{\boldsymbol{\sigma}}$。

### 完全黏塑性固體（Norton-Hoff模型）

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在完全黏塑性固體（也稱為黏塑性的Norton-Hoff模型）中，應力（與黏性流體類似）是永久應變率的函數。該模型忽略了彈性的影響，即$\boldsymbol{\varepsilon}_e = 0$，因此不存在初始屈服應力，即$\sigma_y = 0$。黏性阻尼器的響應由下式給出：$$<pre> \boldsymbol{\sigma} = \eta~\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\!\mathrm{vp}} \implies \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\!\mathrm{vp}} = \frac{\boldsymbol{\sigma}}{\eta}$$其中$\eta$是阻尼器的黏度。在Norton-Hoff模型中，黏度$\eta$是施加應力的非線性函數，由下式給出：$$\eta = \lambda\left(\frac{\lambda}{\|\boldsymbol{\sigma}\|}\right)^{N-1}$$其中$N$是擬合參數，$\lambda$是材料的運動黏度，且$\|\boldsymbol{\sigma}\| = \sqrt{\boldsymbol{\sigma}:\boldsymbol{\sigma}} = \sqrt{\sigma_{ij} \sigma_{ij}}$。則黏塑性應變率由以下關係式給出：$$\cfrac{\boldsymbol{\sigma}}{\eta} = \cfrac{\boldsymbol{\sigma}}{\lambda}\left[\cfrac{\|\boldsymbol{\sigma}\|}{\lambda}\right]^{N-1}$$在一維形式中，Norton-Hoff模型可以表示為：$$\sigma = \lambda~\left(\dot{\varepsilon}_{\!\mathrm{vp}}\right)^{1/N}$$當$N = 1.0$時，該固體為黏彈性體。

如果我們假設塑性流動是等容過程（體積守恆），那麼上述關係可以表示為更常見的形式：$$<pre> \boldsymbol{s} = 2 K~\left(\sqrt{3}\dot{\varepsilon}_{\mathrm{eq}}\right)^{m-1}~\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\mathrm{vp}}$$其中$\boldsymbol{s}$是偏應力張量，$\dot{\varepsilon}_{\mathrm{eq}}$是馮·米塞斯等效應變率，$K$，$m$是材料參數。等效應變率定義為：$$\dot{\bar{\epsilon}} = \sqrt{\frac{2}{3} \dot{\bar{\bar{\epsilon}}}:\dot{\bar{\bar{\epsilon}}} }$$這些模型可應用於溫度高於絕對熔點（以開爾文為單位）三分之二的金屬和合金，以及高溫下的聚合物/瀝青。此類材料對應變硬化、蠕變和鬆弛試驗的響應如圖所示。

### 彈性完全黏塑性固體（Bingham–Norton模型）

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可以使用兩種基本的途徑來構建彈性完全黏塑性模型。在第一種情況下，滑動摩擦元件和阻尼器並聯布置，然後與彈性彈簧串聯，如圖所示。該模型被稱為Bingham–Maxwell模型（類比麥克斯韋模型和賓漢模型）或 Bingham–Norton模型。在第二種情況下，所有三個元件都並聯布置。此類模型被稱為Bingham–Kelvin模型（類比於開爾文-沃伊特模型）。

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對於彈性完全黏塑性材料，彈性應變不再被視為可以忽略不計，但塑性應變率僅是初始屈服應力的函數，且不受硬化的影響。當超過彈性極限時，無論應變如何，滑動元件都代表恆定的屈服應力。該模型可以表示為：$$<pre> \begin{align} & \boldsymbol{\sigma} = \mathsf{E}~\boldsymbol{\varepsilon} & & \mathrm{for}~\|\boldsymbol{\sigma}\| < \sigma_y \\ & \dot{\boldsymbol{\varepsilon}} = \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\mathrm{e}} + \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\mathrm{vp}} = \mathsf{E}^{-1}~\dot{\boldsymbol{\sigma}} + \cfrac{\boldsymbol{\sigma}}{\eta}\left[1 - \cfrac{\sigma_y}{\|\boldsymbol{\sigma}\|}\right] & & \mathrm{for}~\|\boldsymbol{\sigma}\| \ge \sigma_y \end{align}$$其中$\eta$是阻尼器元件的黏度。如果阻尼器元件具有Norton形式的響應：$$\cfrac{\boldsymbol{\sigma}}{\eta} = \cfrac{\boldsymbol{\sigma}}{\lambda}\left[\cfrac{\|\boldsymbol{\sigma}\|}{\lambda}\right]^{N-1}$$我們得到Bingham–Norton模型：$$\dot{\boldsymbol{\varepsilon}} = \mathsf{E}^{-1}~\dot{\boldsymbol{\sigma}} + \cfrac{\boldsymbol{\sigma}}{\lambda}\left[\cfrac{\|\boldsymbol{\sigma}\|}{\lambda}\right]^{N-1}\left[1 - \cfrac{\sigma_y}{\|\boldsymbol{\sigma}\|}\right] \quad \mathrm{for}~\|\boldsymbol{\sigma}\| \ge \sigma_y$$

文獻中也可以觀察到應變率的其他表達式，其通用形式為：$$<pre> \dot{\boldsymbol{\varepsilon}} = \mathsf{E}^{-1}~\dot{\boldsymbol{\sigma}} + f(\boldsymbol{\sigma}, \sigma_y)~\boldsymbol{\sigma} \quad \mathrm{for}~\|\boldsymbol{\sigma}\| \ge \sigma_y$$此類材料對應變硬化、蠕變和鬆弛試驗的響應如圖所示。

### 硬化型彈黏塑性固體

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具有應變硬化特性的彈黏塑性材料由類似於具有完全塑性的彈黏塑性材料方程來描述。然而，在這種情況下，應力既取決於塑性應變率，也取決於塑性應變本身。對於彈黏塑性材料，應力在超過屈服應力後，繼續增加並超過初始屈服點。這意味著滑動元件中的屈服應力隨應變而增加，該模型可用通用術語表示為：$$<pre> \begin{align} & \boldsymbol{\varepsilon} =\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{e}} = \mathsf{E}^{-1}~\boldsymbol{\sigma} = ~\boldsymbol{\varepsilon} & & \mathrm{for}~\|\boldsymbol{\sigma}\| < \sigma_y \\ & \dot{\boldsymbol{\varepsilon}} = \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\!\mathrm{e}} + \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_{\!\mathrm{vp}} = \mathsf{E}^{-1}~\dot{\boldsymbol{\sigma}} + f(\boldsymbol{\sigma}, \sigma_y,\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{vp}})~\boldsymbol{\sigma} & & \mathrm{for}~\|\boldsymbol{\sigma}\| \ge \sigma_y \end{align}$$當金屬和合金處於中高溫以及木材處於高載荷下時，採用該模型。此類材料對應變硬化、蠕變和鬆弛試驗的響應如圖所示。

### 應變速率相關塑性模型

經典的微小應變唯象黏塑性模型通常分為兩類：

- Perzyna公式
- Duvaut–Lions公式

#### Perzyna公式

在Perzyna公式中，假設塑性應變率由如下形式的本構方程給出：$$<pre> \dot{\varepsilon}_{\mathrm{vp}} = \cfrac{\left\langle f(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{q})\right\rangle}{\tau} \cfrac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}} = \begin{cases} \cfrac{f(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{q})}{\tau} \cfrac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}}& \text{if}~f(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{q}) > 0 \\ 0 & \text{otherwise} \\ \end{cases}$$其中 $f(.,.)$ 是屈服函數，$\boldsymbol{\sigma}$是柯西應力，$\boldsymbol{q}$是一組內部變量（如塑性應變$\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{vp}}$），$\tau$是鬆弛時間。符號$\langle \dots \rangle$表示麥考利括弧。在各版本的 Chaboche 模型中使用的流動法則（flow rule）是 Perzyna 流動法則的一個特例，形式如下：$$\dot{\varepsilon}_{\mathrm{vp}} = \left\langle \frac{f}{f_0} \right\rangle^n \sgn (\boldsymbol{\sigma} - \boldsymbol{\chi})$$其中$f_0$是$f$的准靜態值，而$\boldsymbol{\chi}$是一個「背應力」（backstress）。若干個關於背應力的模型也冠以「Chaboche模型」之名。

#### Duvaut–Lions公式

Duvaut–Lions公式等價於Perzyna公式，可以表示為：$$<pre> \dot{\varepsilon}_{\mathrm{vp}} = \begin{cases} \mathsf{C}^{-1}:\cfrac{\boldsymbol{\sigma} - \mathcal{P}\boldsymbol{\sigma}}{\tau} & \text{if}~f(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{q}) > 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$其中$\mathsf{C}$是彈性剛度張量，$\mathcal{P}\boldsymbol{\sigma}$是應力狀態向界定所有可能彈性應力狀態區域邊界上的最近點投影。量值$\mathcal{P}\boldsymbol{\sigma}$通常通過塑性問題的速率無關解求得。

### 流動應力模型

量值$f(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{q})$代表屈服面的演化。屈服函數$f$通常表示為一個由某種應力不變量和屈服應力（或塑性流動應力）模型組成的方程。例如von Mises應力判據或$J_2$塑性。在這些情況下，塑性應變率的計算方式與速率無關塑性相同。在其他情況下，屈服應力模型提供了計算塑性應變率的直接手段。

計算塑性力學中使用了大量的經驗和半經驗流動應力模型。以下隨溫度和應變率變化的模型提供了當前使用的模型示例：

- Johnson-Cook模型
- Steinberg-Cochran-Guinan-Lund模型
- Zerilli-Armstrong模型
- 機械閾值應力（MTS）模型
- Preston-Tonks-Wallace（PTW）模型

Johnson-Cook（JC）模型是純經驗性的，且在上述五種模型中應用最廣。然而，該模型在高溫下表現出不切實際的微小速率相關性。Steinberg-Cochran-Guinan-Lund（SCGL）模型是半經驗性的。該模型在低應變率下是純經驗的且與速率無關。在低應變率下使用了基於的位錯擴展模型。SCGL模型被衝擊物理學界廣泛使用。Zerilli–Armstrong（ZA）模型是一個簡單的基於物理的模型，已被廣泛使用。一個基於位錯動力學思想的更複雜的模型是機械閾值應力（MTS）模型。該模型已用於模擬銅、鉭、鋼合金、以及鋁合金的塑性變形。然而，MTS模型僅限於應變率低於約107/s的情況。Preston-Tonks-Wallace（PTW）模型同樣具有物理基礎，其形式類似於MTS模型。然而，PTW模型具有可以模擬超驅動衝擊範圍內（應變率大於107/s）塑性變形的分量。因此，在五種流動應力模型中，該模型適用於最廣泛的應變率範圍。

#### Johnson-Cook流動應力模型

Johnson-Cook（JC）模型是純經驗性的，給出了如下流動應力（$\sigma_y$）的關係式：$$\text{(1)} \qquad <pre> \sigma_y(\varepsilon_{\text{p}},\dot{\varepsilon}_\text{p},T) = \left[A + B \left(\varepsilon_{\text{p}}\right)^n\right] \left[1 + C \ln \dot{\varepsilon}_{\!\text{p}}^{*} \right] \left[1 - (T^*)^m\right] </pre>$$其中$\varepsilon_{\text{p}}$是等效塑性應變，$\dot{\varepsilon}_\text{p}$是塑性應變速率，而$A, B, C, n, m$是材料常數。

方程 (1) 中的歸一化應變率和溫度定義為：$$<pre> \dot{\varepsilon}_{\!\text{p}}^{*} := \frac{\dot{\varepsilon}_{\!\text{p}}}{\dot{\varepsilon}_{\!\text{p0}}} \qquad\text{and}\qquad T^* := \frac{T - T_0}{T_m-T_0} </pre>$$其中$\dot{\varepsilon}_\text{p0}$是用於確定屈服和硬化參數A、B和n的准靜態試驗的有效塑性應變率。這並不像人們通常認為的那樣僅僅是一個使$\dot{\varepsilon}_\text{p}^{*}$無量綱化的參數。$T_0$是參考溫度，而$T_m$是參考熔點。對於$T^* < 0$的情況，我們假設$m = 1$。

#### Steinberg-Cochran-Guinan-Lund流動應力模型

Steinberg–Cochran–Guinan–Lund（SCGL）模型是一個半經驗模型，由Steinberg等針對高應變率情況開發，並由Steinberg和Lund擴展到低應變率和bcc材料。該模型中的流動應力由下式給出：$$\text{(2)} \qquad <pre> \sigma_y(\varepsilon_{\text{p}}, \dot{\varepsilon}_{\!\text{p}}, T) = \left[\sigma_a f(\varepsilon_{\text{p}}) + \sigma_t (\dot{\varepsilon}_{\!\text{p}}, T)\right] \frac{\mu(p,T)}{\mu_0}; \quad \sigma_a f \le \sigma_{\text{max}} ~~\text{and}~~ \sigma_t \le \sigma_p </pre>$$其中$\sigma_a$是流動應力的非熱分量，$f(\varepsilon_{\text{p}})$是代表應變硬化的函數，$\sigma_t$是流動應力的熱激活分量，$\mu(p,T)$是隨壓力和溫度變化的剪切模量，而$\mu_0$是標準溫度和壓力下的剪切模量。非熱應力的飽和值為$\sigma_{\text{max}}$。熱激活應力的飽和值是Peierls應力（$\sigma_p$）。該模型的剪切模量通常使用Steinberg-Cochran-Guinan剪切模量模型計算。

應變硬化函數（$f$）的形式為：$$<pre> f(\varepsilon_{\text{p}}) = [1 + \beta(\varepsilon_{\text{p}} + \varepsilon_{\text{p}}i)]^n </pre>$$其中$\beta, n$是加工硬化參數，而$\varepsilon_{\text{p}}i$是初始等效塑性應變。

熱分量（$\sigma_t$）使用二分演算法從以下方程計算：$$<pre> \dot{\varepsilon}_\text{p} = \left[\frac{1}{C_1}\exp\left[\frac{2U_k}{k_\text{B} T} \left(1 - \frac{\sigma_t}{\sigma_p}\right)^2\right] + \frac{C_2}{\sigma_t}\right]^{-1}; \quad \sigma_t \le \sigma_p </pre>$$其中$2 U_k$是在長度為$L_d$的位錯線段中形成一個扭結對所需的能量，$k_b$是波茲曼常數，$\sigma_p$是Peierls應力。常數$C_1, C_2$由如下關係式給出：$$<pre> C_1 := \frac{\rho_d L_d a b^2 \nu}{2 w^2}; \quad C_2 := \frac{D}{\rho_d b^2} </pre>$$其中$\rho_d$是位錯密度，$L_d$是位錯線段的長度，$a$是Peierls谷之間的距離，$b$是Burgers矢量的大小，$\nu$是德拜頻率，$w$是扭結環的寬度，而$D$是阻力係數。

#### Zerilli-Armstrong流動應力模型

Zerilli-Armstrong（ZA）模型基於簡化的位錯力學。流動應力方程的一般形式為：$$\text{(3)} \qquad <pre> \sigma_y(\varepsilon_{\text{p}},\dot{\varepsilon}_\text{p},T) = \sigma_a + B\exp(-\beta T) + B_0\sqrt{\varepsilon_{\text{p}}}\exp(-\alpha T) ~.$$

在該模型中，$\sigma_a$是由下式給出的流動應力的非熱分量：$$<pre> \sigma_a := \sigma_g + \frac{k_h}{\sqrt{\ell}} + K\varepsilon_{\text{p}}^n, </pre>$$其中$\sigma_g$是由於溶質和初始位錯密度產生的貢獻，$k_h$是顯微結構應力強度，$\ell$是平均晶粒直徑，對於fcc材料$K$為零，$B, B_0$是材料常數。

在熱激活項中，指數$\alpha$和$\beta$的函數形式為：$$<pre> \alpha = \alpha_0 - \alpha_1 \ln(\dot{\varepsilon}_{\!\text{p}}); \quad \beta = \beta_0 - \beta_1 \ln(\dot{\varepsilon}_{\!\text{p}}); </pre>$$其中$\alpha_0, \alpha_1, \beta_0, \beta_1$是取決於材料類型（fcc、bcc、hcp、合金）的材料參數。為了在高溫下獲得更好的表現，Abed等對Zerilli-Armstrong模型進行了修正。

#### 機械閾值應力流動應力模型

機械閾值應力（MTS）模型 具有以下形式：$$\text{(4)} \qquad <pre> \sigma_y(\varepsilon_{\text{p}},\dot{\varepsilon},T) = \sigma_a + (S_i \sigma_i + S_e \sigma_e)\frac{\mu(p,T)}{\mu_0} </pre>$$其中$\sigma_a$是機械閾值應力的非熱分量，$\sigma_i$是由於熱激活位錯運動的本徵阻礙和位錯-位錯相互作用產生的流動應力分量，$\sigma_e$是由於隨變形量增加顯微結構演化(應變硬化)產生的流動應力分量，（$S_i, S_e$）是隨溫度和應變率變化的比例因子，而$\mu_0$是0 K和環境壓力下的剪切模量。

比例因子採用阿倫尼烏斯方程形式：$$\begin{align} <pre> S_i & = \left[1 - \left(\frac{k_\text{B} T}{g_{0i}b^3\mu(p,T)} \ln\frac{\dot{\varepsilon}_{\!0}}{\dot{\varepsilon}}\right)^{1/q_i} \right]^{1/p_i} \\ S_e & = \left[1 - \left(\frac{k_\text{B} T}{g_{0e}b^3\mu(p,T)} \ln\frac{\dot{\varepsilon}_{\!0}}{\dot{\varepsilon}}\right)^{1/q_e} \right]^{1/p_e} </pre> \end{align}$$其中$k_b$是波爾茲曼常數，$b$是伯格斯矢量的大小，（$g_{0i}, g_{0e}$）是歸一化激活能，（$\dot{\varepsilon}, \dot{\varepsilon}_0$）是應變率和參考應變率，而（$q_i, p_i, q_e, p_e$）是常數。

機械閾值應力的應變硬化分量（$\sigma_e$）由經驗修正的Voce定律給出：$$\text{(5)} \qquad <pre> \frac{d\sigma_e}{d\varepsilon_{\text{p}}} = \theta(\sigma_e) </pre>$$其中$$\begin{align} <pre> \theta(\sigma_e) & = \theta_0 [ 1 - F(\sigma_e)] + \theta_{IV} F(\sigma_e) \\ \theta_0 & = a_0 + a_1 \ln \dot{\varepsilon}_{\!\text{p}} + a_2 \sqrt{\dot{\varepsilon}_{\!\text{p}}} - a_3 T \\ F(\sigma_e) & = \cfrac{\tanh\left(\alpha \frac{\sigma_e}{\sigma_{es}}\right)} {\tanh(\alpha)}\\ \ln\cfrac{\sigma_{es}}{\sigma_{0es}} & = \frac{k_\text{B} T}{g_{0es} b^3 \mu(p,T)} \ln \cfrac{\dot{\varepsilon}_{\!\text{p}}}{\dot{\varepsilon}_{\!\text{p}}} </pre> \end{align}$$且$\theta_0$是由於位錯積累產生的硬化，$\theta_{IV}$是由於階段IV硬化產生的貢獻，（$a_0, a_1, a_2, a_3, \alpha$）是常數，$\sigma_{es}$是應變硬化率為零時的應力，$\sigma_{0es}$是0 K變形時的飽和閾值應力，$g_{0es}$是常數，而$\dot{\varepsilon}_\text{p}$是最大應變率。請注意，最大應變率通常被限制在約107/s。

#### Preston-Tonks-Wallace流動應力模型

Preston–Tonks–Wallace（PTW）模型旨在提供一個適用於極端應變率（高達1011/s）和直至熔點溫度的流變應力模型。模型中使用了線性Voce硬化定律。PTW流變應力由下式給出：$$\text{(6)} \qquad <pre> \sigma_y(\varepsilon_{\text{p}},\dot{\varepsilon}_\text{p},T) = \begin{cases} 2\left[\tau_s + \alpha\ln\left[1 - \varphi \exp\left(-\beta-\cfrac{\theta\varepsilon_{\text{p}}}{\alpha\varphi}\right)\right]\right] \mu(p,T) & \text{thermal regime} \\ 2\tau_s\mu(p,T) & \text{shock regime} \end{cases} </pre>$$其中$$<pre> \alpha := \frac{s_0 - \tau_y}{d}; \quad \beta := \frac{\tau_s - \tau_y}{\alpha}; \quad \varphi := \exp(\beta) - 1 </pre>$$其中$\tau_s$是歸一化加工硬化飽和應力，$s_0$是0 K時$\tau_s$的值，$\tau_y$是歸一化屈服應力，$\theta$是Voce硬化定律中的硬化常數，而$d$是修正Voce硬化定律的無量綱材料參數。

飽和應力和屈服應力由下式給出：$$\begin{align} <pre> \tau_s & = \max\left\{s_0 - (s_0 - s_{\infty}) \text{erf}\left[\kappa \hat{T}\ln\cfrac{\gamma\dot{\xi}}{\dot{\varepsilon}_\text{p}}\right], \, s_0\left(\cfrac{\dot{\varepsilon}_\text{p}}{\gamma\dot{\xi}}\right)^{s_1}\right\} \\ \tau_y & = \max\left\{y_0 - (y_0 - y_{\infty}) \text{erf}\left[\kappa \hat{T}\ln\cfrac{\gamma\dot{\xi}}{\dot{\varepsilon}_\text{p}}\right], \, \min\left\{ y_1\left(\cfrac{\dot{\varepsilon}_\text{p}}{\gamma\dot{\xi}}\right)^{y_2}, \, s_0\left(\cfrac{\dot{\varepsilon}_\text{p}}{\gamma\dot{\xi}}\right)^{s_1}\right\}\right\} </pre> \end{align}$$其中$s_{\infty}$是接近熔點溫度時的$\tau_s$值，（$y_0, y_{\infty}$）分別是0 K時和接近熔點時的$\tau_y$ 值，（$\kappa, \gamma$）是材料常數，$\hat{T} = T/T_m$，（$s_1, y_1, y_2$）是高應變率範圍的材料參數，且：$$<pre> \dot{\xi} = \frac{1}{2}\left(\cfrac{4\pi\rho}{3M}\right)^{1/3} \left(\cfrac{\mu(p,T)}{\rho}\right)^{1/2} </pre>$$其中$\rho$是密度，而$M$是原子量。

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