橢圓幾何

橢圓幾何是歐幾里得平行公設不成立的幾何的一個例子。與此公設相反，就像在球面幾何中一樣，不存在平行線，因為任何兩條線都必須相交。然而，與球面幾何不同，通常假設兩條線相交於一個點（而不是兩個點）。因此，本文中描述的橢圓幾何有時被稱為單橢圓幾何，而球面幾何有時被稱為雙橢圓幾何。

十九世紀這種幾何的出現刺激了非歐幾何的普遍發展，包括雙曲幾何。

橢圓幾何具有多種不同於經典歐幾里得平面幾何的性質。例如，任何三角形的內角和總是大於 180°。

## 定義

橢圓幾何可以通過將球體的對跖點識別為單個橢圓點，從球面幾何推導出來。橢圓線對應於通過識別對跖點而縮小的大圓。由於任何兩個大圓相交，因此在橢圓幾何中沒有平行線。

在橢圓幾何中，垂直於給定直線的兩條直線必定相交。事實上，給定線的所有垂直線都會交於一個點，這個點稱為該線的絕對極點。

每個點都對應一條絕對極線，該點就是這條極線的絕對極點。該極線上的任意一點都與極點構成絕對共軛對。這樣的一對點是正交的，它們之間的距離是一個象限。

一對點之間的距離與它們的絕對極線之間的角度成正比。

正如HSM Coxeter所解釋的那樣：

「橢圓」這個名稱可能會產生誤導。它並不意味著與橢圓曲線有任何直接聯繫，而只是一種相當牽強的類比。中心圓錐曲線根據其沒有漸近線或有兩條漸近線而被稱為橢圓或雙曲線。類似地，非歐幾里得平面可以根據其每條線不包含無窮遠點或包含兩個無窮遠點而被稱為橢圓形或雙曲線形。

## 二維

### 橢圓平面

橢圓平面是具有度量的實射影平面。克卜勒和笛沙格使用心射投影將平面σ與半球上與其相切的點聯繫起來。以O為半球中心， σ上的點P確定一條與半球相交的直線OP，任何直線L ⊂ σ確定一個平面OL，它與半球相交於大圓的一半。該半球以通過 O 且平行於σ平面為界。沒有一條普通的σ線與該平面相對應；而是在σ上附加了一條無窮遠線。由於σ的延伸中的任意一條線都對應於通過O 的一個平面，並且任意一對這樣的平面都會與通過O 的一條線相交，因此可以得出結論，延伸中的任意一對線都會相交：交點位於平面交點與σ或無窮遠線的交點處。這樣就證實了射影幾何的公理，即平面內所有直線對必定相交的公理。

給定σ中的P和Q，它們之間的橢圓距離是角度POQ的度量，通常以弧度為單位。阿瑟·凱萊在撰寫《論距離的定義》時開創了橢圓幾何的研究。費利克斯·克萊因 (Felix Klein)和伯恩哈德·黎曼 (Bernhard Riemann)隨後對幾何抽象進行了探索，並由此產生了非歐幾里得幾何和黎曼幾何。

### 與歐幾里得幾何的比較

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在歐幾里得幾何中，圖形可以無限放大或縮小，並且得到的圖形是相似的，即它們具有相同的角度和相同的內部比例。在橢圓幾何中，情況並非如此。例如，在球形模型中，我們可以看到任意兩點之間的距離必須嚴格小於球體周長的一半（因為確定了對跖點）。因此，線段不能無限擴大。

歐幾里得幾何的很大一部分內容直接延伸到了橢圓幾何。例如，歐幾里得公設的第一和第四條公設，即任意兩點之間都有一條唯一的線，並且所有直角都相等，在橢圓幾何中成立。假定 3，可以構造具有任何給定中心和半徑的圓，如果將「任何半徑」理解為「任何實數」，則不成立，但如果將其理解為「任何給定線段的長度」，則成立。因此，歐氏幾何中任何由這三個公設得出的結果在橢圓幾何中也成立，例如《幾何原本》第一卷中的命題 1，其中指出給定任何線段，都可以以其線段為底構造一個等邊三角形。

橢圓幾何也與歐幾里得幾何類似，空間是連續的、均勻的、各向同性的，並且沒有邊界。各向同性由第四條公設保證，即所有直角都相等。舉一個同質性的例子，請注意歐幾里得命題 I.1 意味著可以在任何位置構造相同的等邊三角形，而不僅僅是在某些特殊的位置。邊界的缺乏源於第二個假設，即線段的延展性。

橢圓幾何與歐幾里得幾何的一個不同之處在於，三角形的內角和大於 180 度。例如，在球面模型中，可以構造一個三角形，其頂點位於三個正笛卡爾坐標軸與球面相交的位置，並且其三個內角均為 90 度，總計 270 度。對於足夠小的三角形，超過 180 度數可以任意小。

勾股定理在橢圓幾何中不成立。在上述 90°–90°–90° 三角形中，三條邊的長度相等，因此不滿足$a^2+b^2=c^2$。在小三角形的極限內恢復了畢達哥拉斯的結果。

圓的周長與面積的比率小於歐幾里得幾何中的比率。一般來說，面積和體積並不按照線性尺寸的二次方和三次方來縮放。

## 橢圓空間（三維情況）

注意：本節使用術語「橢圓空間」來特指三維橢圓幾何。這與上一節關於二維橢圓幾何的內容形成對比。四元數用於闡明這個空間。

橢圓空間可以用類似於三維向量空間的構造方式來構造：具有等價類。人們在球體的大圓上使用有向圓弧。正如有向線段在平行、長度相同且方向相似時是等值的，大圓上的有向弧在長度、方向和圓周率相同時也是等值的。這些等價關係分別產生三維向量空間和橢圓空間。

通過威廉·羅文·漢密爾頓的矢量代數可以獲得橢圓空間結構：他將球面設想為負一平方根的區域。然後是歐拉公式$\exp(\theta r) = \cos \theta + r \sin \theta$ （其中r在球面上）表示包含 1 和r 的平面內的大圓。對立點r和-r分別對應方向相反的圓。θ 和 φ 之間的弧與 0 和 φ – θ 之間的弧等價。在橢圓空間中，弧長小於 π，因此弧可以用 0, π) 或 (-π/2, π/2) 中的 θ 參數化。

為了$z = \exp(\theta r), \ z^* = \exp(-\theta r) \implies z z^* = 1 .$據說z的模數或範數為 1（漢密爾頓稱之為 z 的張量）。但由於r 的範圍是三維空間中的一個球面，因此 exp( θ r) 的範圍也是四維空間中的一個球面，現在稱為三維球面，因為它的表面有三個維度。漢密爾頓將他的代數稱為四元數，它很快成為一種有用且受歡迎的數學工具。它的四維空間是在極坐標中演化的$t \exp(\theta r),$其中t為正實數。

在地球或天球上進行三角學時，三角形的邊是大圓弧。四元數的第一次成功是將球面三角學轉化為代數。漢密爾頓把範數為 的四元數稱為向量，這些是橢圓空間的點。

當r固定時，單位四元數

$$e^{ar}, \quad 0 \le a < \pi$$

形成一條橢圓線。距離$e^{ar}$到 1a。對於任意變量 u，距離將是 θ，使得1=cos θ = (u + u∗)/2，因為這是任何四元數的標量部分的公式。

橢圓運動由四元數映射描述

$q \mapsto u q v,$其中u和v是固定變量。

點之間的距離與橢圓運動的圖像點之間的距離相同。當u和v互為四元數共軛時，運動為空間旋轉，其矢量部分為旋轉軸。當1=u = 1時，橢圓運動稱為右`<i id="mwuA">Clifford 平移</i>`，或稱並列平移。情況1=v = 1對應於左 Clifford 平移。

橢圓線穿過 u可能的形式是

$\lbrace u e^{ar} : 0 \le a < \pi \rbrace$或者$\lbrace e^{ar}u : 0 \le a < \pi \rbrace$對於固定 r。

它們是 Clifford 的左右翻譯 u沿著通過 1 的橢圓線。通過識別對映點，從S3形成橢圓空間。

橢圓空間具有稱為Clifford 平行線和Clifford 曲面的特殊結構。

橢圓空間的 versor 點通過凱萊變換映射到$\mathbb{R}^3$以獲得空間的另一種表現形式。

## 高維空間

### 超球面模型

超球面模型是球面模型向更高維度的推廣。n維橢圓空間的點是R n +1中的單位向量(x, −x)對，即(n + 1)維空間（n維超球面）中單位球表面上的對映點對。該模型中的線是大圓，即超球面與通過原點的n維平坦超曲面的交點。

### 射影橢圓幾何

在橢圓幾何的射影模型中， n維實射影空間的點被用作模型的點。這模擬了一種抽象的橢圓幾何，也稱為射影幾何。

n維射影空間中的點可以用(n + 1)維空間中通過原點的直線來表示，並且可以用R n +1中的非零向量非唯一地表示，前提是對於任何非零標量， u和λu λ，代表同一點。距離使用公制來定義

$$d(u, v) = \arccos \left(\frac{|u \cdot v|}{\|u\|\ \|v\|}\right);$$

即兩點之間的距離是它們在R n +1中對應線之間的角度。距離公式在每個變量中都是齊次的，如果λ和μ是非零標量，則1=d(λu, μv) = d(u, v)，因此它確實定義了射影空間點上的距離。

射影橢圓幾何的一個顯著性質是，對於偶數維度，例如平面，該幾何是不可定向的。它通過識別順時針和逆時針旋轉來消除它們之間的區別。

### 立體模型

利用立體投影的方法，可以得到與超球面模型表示同一空間的模型。令E n表示即由無窮遠點擴展的n維實空間。我們可以在E n上定義一個度量，即弦度量

$$\delta(u, v)=\frac{2 \|u-v\|}{\sqrt{(1+\|u\|^2)(1+\|v\|^2)}}$$

其中u和v是R n中的任意兩個向量，並且$\|\cdot\|$是通常的歐幾里得範數。我們還定義

$$\delta(u, \infty)=\delta(\infty, u) = \frac{2}{\sqrt{1+\|u\|^2}}.$$

結果是E n上的度量空間，它表示沿超球面模型上對應點的弦的距離，它通過立體投影雙射映射到該超球面模型上。如果我們使用度量，我們就會得到球面幾何模型

$$d(u, v) = 2 \arcsin\left(\frac{\delta(u,v)}{2}\right).$$

橢圓幾何由此通過識別對跖點u和−u/‖u‖2得到−u/‖u‖2，並將v到該對的距離設為v到這兩點中每個點的距離的最小值。

## 自洽性

因為球面橢圓幾何可以被建模為歐幾里得空間的球面子空間，所以如果歐幾里得幾何是自洽的，那麼球面橢圓幾何也是自洽的。因此，不可能根據歐幾里得幾何的其他四個公設來證明平行公設。

塔斯基證明了初等歐幾里得幾何是完備的：對於每一個命題，都存在一種演算法，可以證明它是真還是假。（這並不違反哥德爾定理，因為歐氏幾何無法描述足夠多的算術來使該定理得以應用。）因此，初等橢圓幾何也是自洽和完備的。

## 參考

- Alan F. Beardon， 《離散群的幾何學》，Springer-Verlag，1983
- HSM Coxeter (1942) 《非歐幾里得幾何》，第 5、6 和 7 章：1、2 和 3 維橢圓幾何，多倫多大學出版社，1998 年由美國數學協會重新發行，。
- HSM Coxeter（1969）幾何導論，§6.9橢圓平面，頁。92–95。約翰威利父子公司。
- Felix Klein (1871)《論所謂的非歐幾里得幾何》 Mathematische Annalen 4:573–625，翻譯並引入John Stillwell (1996) 《雙曲幾何的來源》，美國數學學會。
- 鮑里斯·奧德納爾 《論橢圓三維空間中各向同性線的全等性》
- Eduard Study （1913）DH Delphenich 譯者， 《分析運動學的基礎和目標》，第 20 頁。
- Alfred Tarski (1951)初等代數和幾何的決策方法。加州大學出版社。
- Alfred North Whitehead (1898) 普遍代數，第六卷第二章：橢圓幾何，第 371-98 頁。