弗雷歇分布

$\ \alpha \in (0,\infty)\ $為 形狀參數. (推廣後可以包括兩個額外的參數$\ s\ $ 和 $\ m\ $) $\ s \in (0,\infty)\ $ 為尺度參數 (default: $\ s=1\ $) $\ m \in (-\infty,\infty)\ $ 為最小值的位置參數 (默認： $\ m=0\ $)

$$\ x > m\ $$

$$\ \frac{\ \alpha\ }{s} \left( \frac{\ x - m\ }{s}\right)^{-1-\alpha} ~ e^{-(\frac{x-m}{s})^{-\alpha}}\ $$

$$\ e^{-(\frac{x-m}{s})^{-\alpha}}\ $$

$$\ \left[\ -\ln p\ \right]^{-\tfrac{1}{\alpha}}\ s + m\ $$

$$\begin{cases} <pre> \ m\ +\ s\ \Gamma\left( 1 - \tfrac{1}{\alpha} \right) ~~ & ~ \alpha > 1 \\ \ \infty & \alpha \leq 1 \\ \end{cases}$$

$$\ m\ +\ \frac{s}{\ {\log_e(2)}^{\tfrac{1}{\alpha}}\ }$$

$$\ m\ +\ s \left(\frac{ \alpha }{\ 1 + \alpha}\right)^{1/\alpha\ }$$

$$\begin{cases} <pre> \ s^2\left[\ \Gamma\left(1 - \tfrac{2}{\alpha}\right)- \left[\Gamma\left(1 - \tfrac{1}{\alpha}\right)\right]^2\ \right] ~~ & ~ \alpha>2 \\ \ \infty & \alpha\leq2 \\ \end{cases}$$

$\begin{cases} <pre> \ \frac{\ A\ }{\ \sqrt{B^3\ }\ } ~~ & ~ \alpha > 3 \\ \ \infty & \alpha \leq 3 \\ \end{cases}$ $\begin{align}\text{其中} ~~ A\ \equiv\ &\Gamma\left( 1 - \tfrac {3}{\alpha} \right) \\ & -\ 3\ \Gamma\left( 1 - \tfrac {2}{\alpha}\right)\ \Gamma\left(1 - \tfrac {1}{\alpha}\right)\\ &\quad +\ 2\Bigl[\ \Gamma\left(1 - \tfrac {1}{\alpha} \right)\ \Bigr]^3 \ \end{align}$ $~ \quad ~~ B\ \equiv\ \Gamma\left( 1 - \tfrac{2}{\alpha} \right)\ -\ \Bigr[\ \Gamma\left( 1 - \tfrac{1}{\alpha} \right)\ \Bigr]^2 ~$。

$\begin{cases} <pre> \ -6\ +\ \frac{\ C\ }{\; D^2 } ~~ & ~ \alpha > 4 \\ \ \infty & ~ \alpha \leq 4 \\ \end{cases}$ $\begin{align}\text{其中} ~~ C\ \equiv\ &\Gamma \left( 1 - \tfrac{4}{\alpha} \right) \\ & -\ 4\ \Gamma\left( 1 - \tfrac{3}{\alpha} \right)\ \Gamma\left( 1 - \tfrac{1}{\alpha} \right) \\ & \qquad +\ 3\ \Bigl[\ \Gamma\left( 1 - \tfrac{2}{\alpha} \right)\ \Bigr]^2\ \end{align}$ $~ \quad ~~ D\ \equiv\ \Gamma \left( 1 - \tfrac{2}{\alpha} \right)\ -\ \Bigl[\ \Gamma\left( 1 - \tfrac{1}{\alpha} \right)\ \Bigr]^2 ~$。

$\ 1 + \frac{\gamma}{\alpha} + \gamma_e +\ln \left( \frac{s}{\alpha} \right)\ ,$ 其中 $\ \gamma_e\ $ 是歐拉-馬斯刻若尼常數。

註：如果 $\ \alpha > k\ $，矩 $\ k\ $ 存在。

弗雷歇分布（Fréchet distribution），也稱為逆韋伯分布，是一種極值分布，屬於廣義極值分布（Generalized Extreme Value Distribution, GEV）中的一類，主要用於描述在極端事件中可能出現的最大值。它的累積分布函數為

$$\ \Pr(\ X \le x\ ) = e^{-x^{-\alpha}} ~ ~~ ~~ (x > 0) ~.$$

其中α > 0是形狀參數。它可以推廣到包含位置參數m （最小值）和尺度參數s > 0的累積分布函數

$$\ \Pr(\ X \le x\ ) = \exp\left[\ -\left( \tfrac{\ x - m\ }{ s } \right)^{-\alpha}\ \right] ~~ ~~ ~~ (x > m) ~.$$

該分布以 1927 年發表相關論文的莫里斯·弗雷歇（Maurice Fréchet）的名字命名， 1928 年羅納德·艾爾默·費希爾和倫納德·亨利·卡勒布·蒂皮特（Fisher 和 Tippett）以及 1958 年埃米爾·朱利葉斯·甘貝爾（Gumbel）又對其進行了進一步的研究。

## 特徵

有單參數$\alpha\ $的弗雷歇分布，具有標準化矩$\mu_k,$

$$\mu_k = \int_0^\infty x^k f(x)\ \operatorname{d} x =\int_0^\infty t^{-\frac{k}{\alpha}}e^{-t} \ \operatorname{d} t\ ,$$

（$\ t = x^{-\alpha}\ $），對於$\ k<\alpha\ :$

$$\ \mu_k = \Gamma\left(1-\frac{k}{\alpha}\right)\ $$

其中$\ \Gamma\left(z\right)\ $是Gamma 函數。

它有以下特性：

- $\alpha>1$期望是$E[X]=\Gamma(1-\tfrac{1}{\alpha})$
- $\alpha>2$方差是$\text{Var}(X)=\Gamma(1-\tfrac{2}{\alpha})-\big(\Gamma(1-\tfrac{1}{\alpha})\big)^2.$

$y$的次序的分位數$q_y$可以通過分布的倒數來表示。

$q_y=F^{-1}(y)=\left(-\log_e y \right)^{-\frac{1}{\alpha}}$.

其中，中位數是：

$$q_{1/2}=(\log_e 2)^{-\frac{1}{\alpha}}.$$

分布的眾數是$\left(\frac{\alpha}{\alpha+1}\right)^\frac{1}{\alpha}.$

特別是對於 3 參數弗雷歇分布，第一個四分位數是$q_1= m+\frac{s}{\sqrt[\alpha]{\log(4)}}$和第三個四分位數$q_3= m+\frac{s}{\sqrt[\alpha]{\log(\frac{4}{3})}}.$

平均值和眾數的分位數也是：

$$F(mean)=\exp \left( -\Gamma^{-\alpha} \left(1- \frac{1}{\alpha} \right) \right)$$

$$F(mode)=\exp \left( -\frac{\alpha+1}{\alpha} \right).$$

## 應用

<image>

- 在水文學中，弗雷歇分布適用於極端事件，例如年度最大單日降雨量和河流流量。圖片由 CumFreq 製作，展示了將弗雷歇分布與阿曼年度最大單日降雨量次序擬合的示例，以及對應二項分布的 90% 置信區間。在累積頻率分析中，降雨數據的累積頻率通過繪製散點圖來表示。

然而，在大多數水文應用中，分布擬合往往是通過廣義極值分布進行的，因為這樣避免了強加分布沒有下限的假設（正如弗雷歇分布所要求的那樣）。需要引用

<image>

- 在下降曲線分析中，一口井的石油或天然氣產量隨時間序列數據呈下降趨勢，可以用弗雷歇分布來描述。
- 評估多變量分布是否漸近相關或獨立的一個測試是使用變換將數據轉換為標準弗雷歇邊界$Z_i = -1/\log F_i(X_i)$，然後從笛卡爾坐標映射到偽極坐標$(R, W)= (Z_1 + Z_2, Z_1/(Z_1 + Z_2))$。$R \gg 1$對應於至少一個比重較大的極值，而$W$近似 1 或 0 僅對應於一個成分為極值。
- 在經濟學中，它用於模擬個人對不同產品（產業組織）、地點（城市經濟學）或公司（勞動經濟學）的偏好的特殊成分。

## 相關的分布

- 弗雷歇分布的累積分布函數可用於求解最大穩定性假設方程

尺度關係

- 如果$\ X \sim U(\ 0, 1\ )\ $ （連續均勻分布）則$\ m + s\cdot\Bigl( -\log_e\!(X)\ \Bigr)^\frac{ -1\;}{\alpha} \sim \textsf{Frechet}( \alpha, s, m)\ $
- 如果$\ X \sim \textsf{Frechet}(\ \alpha, s, m=0\ )\ $那麼它的倒數服從韋伯分布： $\ \frac{\ 1\ }{ X } \sim \textsf{Weibull}\!\left(\ k = \alpha, \lambda = \tfrac{ 1 }{ s }\ \right)\ $
- 如果$\ X \sim \textsf{Frechet}( \alpha, s, m )\ $，然後$\ k\ X + b \sim \textrm{Frechet}(\ \alpha, k s, k\ m + b\ )\ $
- 如果 $\ X_i \sim \textsf{Frechet}(\ \alpha, s, m\ )\ $，並且 $\ Y=\max\{\ X_1, \ldots,X_n\ \}\ $，那麼 $\ Y \sim \textsf{Frechet}(\ \alpha, n^{\tfrac{1}{\alpha}} s, m\ )\ $

## 特性

- Frechet 分布是最大穩定分布
- 具有 Frechet 分布的隨機變量的負數是最小穩定分布

## 參見

- 2型甘貝爾分布
- Fisher–Tippett–Gnedenko定理

## 外部連結

continuous-semi-infinite