克拉克變換

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克拉克變換（Clarke transformation）也稱為$\alpha\beta\gamma$變換，是電機工程學裡簡化三相電分析的數學變換 (數學)，常用在三相逆變器的控制上，可以將平衡的三相系統轉換為互相垂直的二相系統，方便信號的處理。

克拉克變換和派克變換（park transform）都是簡化三相電分析用的數學變換，在電機控制時也常一起使用。

## 歷史

伊迪絲·克拉克在1937年和1938年發表了應用在不平衡三相電力系統的變換及計算，此方法可以簡化計算。

## 定義

伊迪絲·克拉克用在三相電流的克拉克變換如下：

$$i_{\alpha\beta\gamma}(t) = Ti_{abc}(t) = \frac{2}{3}\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\\i_c(t)\end{bmatrix}$$

其中

$i_{abc}(t)$是一般的三相電流

$i_{\alpha\beta\gamma}(t)$是經$T$變換後所得的電流

逆變換為：

$$i_{abc}(t) = T^{-1}i_{\alpha\beta\gamma}(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1\\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}i_\alpha(t)\\i_\beta(t)\\i_\gamma(t)\end{bmatrix}.$$

上述的克拉克變換保持了電機變數的量值。考慮以下對稱的三相電流信號

$$\begin{align} i_a(t)=&\sqrt{2}I\cos\theta(t),\\ i_b(t)=&\sqrt{2}I\cos\left(\theta(t)-\frac23\pi\right),\\ i_c(t)=&\sqrt{2}I\cos\left(\theta(t)+\frac23\pi\right), \end{align}$$

其中

$I$是$i_a(t)$、$i_b(t)$和$i_c(t)$的平方平均數

$\theta(t)$是隨時間變化的角度，可以表示為$\omega t$。

將上述三相電流信號進行變換，可得

$$\begin{align} i_{\alpha}=&\sqrt2 I\cos\theta(t),\\ i_{\beta}=&\sqrt2 I\sin\theta(t),\\ i_{\gamma}=&0, \end{align}$$

變換後的電流量值和變換前相同。

### 功率不變變換

電機系統的電壓和電流，經過上述的變換後，實功和虛功會和原系統會差一個係數，原因是因為$T$不是酉矩陣（unitary matrix）。若要讓實功和虛功的值在變換前後相同，需要用以下的變換

$$i_{\alpha\beta\gamma}(t) = Ti_{abc}(t) = \sqrt{\frac{2}{3}}\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\\i_c(t)\end{bmatrix},$$

變換矩陣是酉矩陣，而且其逆矩陣恰好為其轉置矩陣不過在此例中，變換後電流的量值就和變換前不同了，變換後的電流如下

$$\begin{align} i_{\alpha}=&\sqrt3 I\cos\theta(t),\\ i_{\beta}=&\sqrt3 I\sin\theta(t),\\ i_{\gamma}=&0. \end{align}$$

其逆變換為

$$i_{abc}(t) = \sqrt{\frac{2}{3}}\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_\alpha(t)\\i_\beta(t)\\i_\gamma(t)\end{bmatrix}.$$

### 簡化的變換

在平衡系統中，$i_a(t)+i_b(t)+i_c(t)=0$，因此，$i_\gamma(t)=0$。以下是簡化版的變換

$$\begin{align} i_{\alpha\beta}(t) &= \frac23 \begin{bmatrix} 1 & -\frac12 & -\frac12\\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\\i_c(t)\end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{3}} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\end{bmatrix} \end{align}$$

是只考慮前二個方程的克拉克變換，其逆變換如下

$$i_{abc}(t) = \frac32\begin{bmatrix} \frac23 & 0 \\ -\frac{1}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\ -\frac{1}{3} & -\frac{\sqrt{3}}{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}i_\alpha(t)\\i_\beta(t)\end{bmatrix}$$

## 幾何詮釋

克拉克變換可以視為是將三個相量（電壓或電流）投影到二個固定的座標軸（alpha軸和beta軸）上。若三相平衡的話，所有資訊都可以保留，因為方程$I_a+I_b+I_c=0$和變換後的$I_{\gamma}$的方程等效。若系統不平衡，則在投影後$I_{\gamma}$項會有誤差量。因此，$I_{\gamma}$為0表示三相系統平衡，可以只考慮二個座標下的運算。這是克拉克變換的優雅之處，在三相平衡的假設下，將三個分量的系統變換為二個分量的系統。

另一種理解的方式是方程$I_a+I_b+I_c=0$定義了一個在三維空間下的平面，alpha-beta座標空間可以理解為該平面上的座標，也就這二個座標軸都在$I_a+I_b+I_c=0$定義的平面上。

上圖是$\alpha\beta\gamma$變換應用在三個相差120度的對稱電流上。三個電流和對應電壓相量的角度差為$\delta$。圖中The $\alpha$-$\beta$軸的標示方式是讓$\alpha$軸和A相重合，電流向量$I_{\alpha\beta\gamma}$以角速度$\omega$旋轉，因為是三相平衡系統，沒有$\gamma$分量。