灰光學粘團

灰光學粘團（Gray molasses）是一種針對原子的亞都卜勒雷射冷卻方法。它運用了西西弗斯冷卻的原理，並結合了一種特殊的不與共振雷射相互作用（躍遷）的「暗態」（dark state）。在超冷原子物理實驗中，對於那些具有分辨不清的超精細結構的原子種類（例如鋰和鉀的同位素），通常在普遍使用的磁光阱（MOT）之後，採用灰光學粘團而非西西弗斯冷卻作為次級冷卻階段，以達到低於都卜勒極限的溫度。與同時具備黏膠力和囚禁力的磁光阱（MOT）不同，灰光學粘團只能減速原子而不能將其囚禁；因此，其作為冷卻機制的有效性僅持續毫秒量級，之後必須採用進一步的冷卻和囚禁階段。

## 概述

與西西弗斯冷卻類似，灰光學粘團的冷卻機制依賴於一種由激發態介導的、發生在兩個超精細分裂基態之間的類拉曼雙光子躍遷（two-photon Raman-type transition）。這些基態的正交疊加構成了「亮態」（bright state）和「暗態」（dark state），如此命名是因為前者通過雷射驅動的偶極躍遷與激發態耦合，而後者只能通過從激發態的自發輻射才能到達。由於兩者都不是動能算符的本徵態，暗態也會演化為亮態，其頻率正比於原子的外部動量。黏膠光束（molasses beam）的偏振梯度為亮態創造了一個正弦勢能形貌，原子在此形貌中通過「上坡」運動到達勢能最大值處而損失動能，這些最大值處恰好對應於能夠執行到激發態的電偶極躍遷的圓偏振光。處於激發態的原子隨後被光抽運到暗態，並接著演化回亮態以重新開始循環。或者，這對亮暗基態也可以通過電磁誘導透明（EIT）產生。

原子在經歷多次從亮態到激發態再到暗態的循環後，其總體效果是：原子在亮態下受到類似西西弗斯冷卻的效應，同時，速度最低（即最冷）的一部分原子會被選擇性地布居到暗態，從而脫離這個冷卻循環。後一個篩選過程構成了速度選擇相干布居囚禁（velocity-selective coherent population trapping, VSCPT）。正是這種與雷射相互作用的亮態和不相互作用的暗態的結合，使得該冷卻技術被稱為「灰光學粘團」。

### 歷史

1988年，由威廉·菲利普斯（William Phillips）領導的位於華盛頓的美國國家標準與技術研究院（NIST）小組，首次在光學粘團中的鈉原子內測量到了低於都卜勒極限的溫度，這引發了對亞都卜勒冷卻（sub-Doppler cooling）理論基礎的探索。1989年，讓·達利巴（Jean Dalibard）和克洛德·科恩-塔諾季（Claude Cohen-Tannoudji）確認其機制為西西弗斯冷卻的多光子過程，而朱棣文（Steven Chu）的小組同樣認為亞都卜勒冷卻本質上是一種光抽運方案。基於這些工作，菲利普斯、科恩-塔諾季和朱棣文共同獲得了1997年諾貝爾物理學獎。T.W.亨施（T.W. Hänsch）等人在1994年首次提出了灰光學粘團的理論框架，次年（1995年），G. Grynberg 在銫原子中實現了一種四光束的實驗方案。此後，灰光學粘團被常規性地用於冷卻所有其他鹼金屬（類氫）原子。

### 與西西弗斯冷卻的比較

在西西弗斯冷卻中，原子基態 $J=1/2$ 能級組的兩個塞曼能級，受到近共振相向傳播光束的作用，經歷大小相等、符號相反的AC斯塔克位移。這些光束同樣也產生偏振梯度，使得光的偏振在圓偏振和線偏振之間交替變化。某一個 $m_J$ 態的勢能最大值處恰好對應純圓偏振光的位置，此處的圓偏振光會將原子光抽運至另一個 $m_J$ 態，而後者在該位置恰好經歷其勢能最小值。在此過程中，原子不斷「爬越」這種由光場產生的勢壘起伏，消耗自身動能，並將經歷了AC斯塔克位移的基態能級上勢壘「波峰」和「波谷」之間的勢能差傳遞給發射的光子。

相比之下，灰光學粘團中只有一個基態（即亮態）經歷正弦形式的光位移；在該勢能形貌的峰值處，光抽運過程將原子轉移到暗態。處於暗態的原子會在特定條件下（例如，具有足夠動量時）選擇性地演化回亮態，並重新進入冷卻循環。當原子的激發態能級組分辨不清（即其超精細結構間距與相應的自然線寬相當甚至更小）時，西西弗斯冷卻難以有效實施；對於這類原子種類，基於拉曼過程的灰光學粘團是更適用的冷卻方法。

## 理論

### 綴飾態繪景

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表示電子的兩個基態和激發態$|g_{-1}\rangle,|g_1\rangle,$和$|e_0\rangle$，分別。原子還具有總動量，因此原子的總狀態是其內部狀態和動量的乘積狀態，如圖所示。在相反偏振的反向傳播光束存在的情況下，內部狀態經歷原子-光相互作用哈密頓量

將兩個基態和激發態分別記為 $|g_{-1}\rangle,|g_1\rangle,$和$|e_0\rangle$。原子也具有整體動量，因此原子的整體狀態是其內部電子態和動量態的乘積態，如圖所示。在具有相反偏振的相向傳播光束的作用下，內部電子態受到原子-光相互作用哈密頓量的作用

$$H_\mathrm{AL}=\frac{\hbar\Omega}{2\sqrt{2}}\left(|e_0\rangle\langle g_1|e^{ikx}-|e_0\rangle\langle g_{-1}|e^{-ikx}\right)e^{-i\omega t}+\mathrm{h.c.}$$

其中 $\Omega$ 是拉比頻率，近似認為其對於兩個躍遷過程的值相同。利用動量空間中平移算符的定義。

$$e^{\pm ikx}=\int|p\rangle\langle p\mp\hbar k|\mathrm{d}p,$$

$H_\mathrm{AL}$對態 $|e_0,p\rangle$的作用為

$$H_\mathrm{AL}|e_0,p\rangle=\frac{\hbar\Omega}{2\sqrt{2}}\left(|g_1,p+\hbar k\rangle-|g_{-1},p-\hbar k\rangle\right)e^{i\omega t}$$

這表明，與 $|\psi_\mathrm{e}(p)\rangle=|e_0,p\rangle$耦合的綴飾態 $|\psi_\mathrm{c}(p)\rangle$ 是描述這兩個基態子空間的一個更方便的基矢。與之正交的基矢 $|\psi_\mathrm{nc}(p)\rangle$（其定義見下文）則完全不與 $|\psi_\mathrm{e}(p)\rangle$ 發生耦合。

$$\begin{align} |\psi_\mathrm{c}(p)\rangle&\equiv\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|g_1,p+\hbar k\rangle-|g_{-1},p-\hbar k\rangle\right)\\ |\psi_\mathrm{nc}(p)\rangle&\equiv\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|g_1,p+\hbar k\rangle+|g_{-1},p-\hbar k\rangle\right)\\ |\psi_\mathrm{e}(p)\rangle&\equiv|e_0,p\rangle \end{align}$$

$H_\mathrm{AL}$ 對這些態的作用為

$$\begin{align} H_\mathrm{AL}|\psi_\mathrm{c}(p)\rangle&=\frac{\hbar\Omega}{2}e^{-i\omega t}|\psi_\mathrm{e}(p)\rangle\\ H_\mathrm{AL}|\psi_\mathrm{nc}(p)\rangle&=0\\ H_\mathrm{AL}|\psi_\mathrm{e}(p)\rangle&=\frac{\hbar\Omega}{2}e^{i\omega t}|\psi_\mathrm{c}(p)\rangle \end{align}$$

由此可見，$|\psi_\mathrm{c}(p)\rangle$和$|\psi_\mathrm{e}(p)\rangle$之間經歷了類似西西弗斯冷卻的過程，表明前者 $|\psi_\mathrm{c}(p)\rangle$ 是亮態。$|\psi_\mathrm{nc}(p)\rangle$ 態在光學上是不可及的，構成了暗態。然而，$|\psi_\mathrm{c}(p)\rangle$ 和 $|\psi_\mathrm{nc}(p)\rangle$ 都不是動量算符的本徵態，因此它們會通過未受擾動哈密頓量的動能項而發生運動耦合：

$$\left\langle\psi_\mathrm{c}(p)\left|\frac{p^2}{2M}\right|\psi_\mathrm{nc}(p)\right\rangle=\frac{\hbar kp}{M}$$

由於這種運動耦合，暗態會以正比於動量的頻率演化為亮態，這實際上篩選出了動量較大的（較熱的）原子，使其重新進入西西弗斯冷卻循環。這種非絕熱耦合主要發生在經歷了光位移的耦合態（即亮態）的勢能最小值處。隨著時間推移，原子逐漸冷卻，直到它們缺乏足夠的動量來「爬越」亮態的正弦光位移勢壘，從而更多地布居在暗態中。

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### 拉曼條件

任何 $\Lambda$ 型拉曼過程的共振條件要求：參與過程的兩個光子的能量之差，必須等於 $\Lambda$ 型結構「兩條腿」對應的末態之間的能量差，在這裡這兩個末態即為前文所述的基態 $|g_{-1}\rangle,|g_1\rangle,$。在實驗上，當循環光頻率和再泵浦光頻率相對於 $|g_{-1}\rangle\rightarrow|e_0\rangle$和$|g_1\rangle\rightarrow|e_0\rangle$躍遷頻率的失諧量相等時，此條件得以滿足。

與大多數都卜勒冷卻技術不同，灰光學粘團中使用的光必須對其共振躍遷採用藍失諧；由此產生的都卜勒加熱效應會被偏振梯度冷卻效應所抵消。定性地說，這是因為對$|F=2\rangle\rightarrow|F'=2\rangle$ 躍遷的選擇意味著，在任意給定位置處，所涉及的三個能級的AC斯塔克位移符號均相同。選擇勢能最大值處作為向暗態進行光抽運的位置，要求總體光場是藍失諧的；這樣做可以使處於亮態的原子經歷最大的勢能差「爬坡」過程，從而損耗掉最多的動能。關於黏膠力與失諧量關係的完整定量解釋，可以在T.W. 亨施（Hänsch）的論文中找到。