哈代悖論

哈代悖論是盧西安·哈代 在 1992 年至 1993 年期間提出的量子力學思想實驗，其中粒子和它的反粒子可以相互作用而不會相互湮滅。

實驗 使用弱測量技術研究了偏振光子的相互作用，並證明了這種現象確實存在。然而，這些實驗的結果僅僅是，過去的事件可以在它們發生後推斷為機率波坍縮。這些弱測量本身被認為是一種觀察，因此是波坍縮原因的一部分，使得客觀結果只是一個機率函數，而不是固定的現實。這證實了，要與實驗一致，隱變量量子理論必須是非局域的（在貝爾意義上）和情境化的。

## 設置描述和結果

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哈代思想實驗的基本構建模塊是兩台分別用於量子粒子和反粒子的馬赫-曾德爾干涉儀。我們將以電子和正電子為例進行說明。每台干涉儀由彎曲路徑和兩個分束器（在附圖中分別標記為BS 1和BS 2）組成，並經過調整，使得在單獨運行時，粒子始終從同一個粒子探測器（圖中標記為c 的探測器； c代表「相長干涉」， d代表「相消干涉」）射出。例如，對於右側的干涉儀，在單獨運行時，進入的電子（標記為e −）會變成由沿路徑v − 的電子和沿路徑w − 的電子組成的量子疊加態（圖中， w −路徑的後半部分標記為u −），但它們會發生相長干涉，因此始終從c −臂射出：

$$\left|e^-\right\rangle \to \frac{\left|v^-\right\rangle + i \left|w^-\right\rangle}{\sqrt{2}} \to i \left|c^-\right\rangle.$$

類似地，正電子（標記為e +）總是在c +處被檢測到。

在實際實驗中，干涉儀的布置使得它們的部分路徑重疊，如圖所示。如果一臂中粒子的振幅，比如說 w-, 被 w + 中的第二個粒子碰撞而阻礙，那麼只有 v 振幅會到達第二個分束器，並分裂成振幅相等的 c + 和 d + 臂。因此，在 d + 中檢測到粒子將表明阻礙粒子的存在，但不會發生湮滅。因此，這種方案被稱為無相互作用測量。

如果（從經典角度來說）電子和正電子在各自的干涉儀中都採用w路徑，它們將湮滅並產生兩束伽馬射線： $\left|w^+\right\rangle \left|w^-\right\rangle \to \left|\gamma\right\rangle \left|\gamma\right\rangle$發生這種情況的機率是四分之一。我們可以將最終分束器之前的系統狀態表示為

$$\frac{1}{2}\left(\left|v^+\right\rangle \left|v^-\right\rangle + i \left|v^+\right\rangle \left|w^-\right\rangle + i \left|w^+\right\rangle \left|v^-\right\rangle - \left|\gamma\right\rangle \left|\gamma\right\rangle\right).$$

自$|c\rangle$探測器點擊$\frac{1}{\sqrt{2}}(|v\rangle + i |w\rangle)$，以及$|d\rangle$探測器$\frac{1}{\sqrt{2}}(|v\rangle - i |w\rangle)$，這就變成了

$$\left|e^+ e^-\right\rangle \to \frac{1}{4} \left(3\left|c^+\right\rangle \left|c^-\right\rangle + \left|c^+\right\rangle \left|d^-\right\rangle + \left|d^+\right\rangle \left|c^-\right\rangle - \left|d^+\right\rangle \left|d^-\right\rangle - 2\left|\gamma\right\rangle \left|\gamma\right\rangle\right).$$

由於機率是這些振幅絕對值的平方，這意味著每個粒子在其各自的c探測器中被探測到的機率為 9/16；一個粒子在其 c 探測器中被探測到，另一個在其d探測器中被探測到，或者兩個粒子在其 d探測器中都被探測到的機率均為1/16；電子和正電子湮滅的機率為 4/16（1/4），因此兩者都未被探測到。注意，在兩個d探測器中都探測到的機率表示為

$$\frac{|v^+\rangle - i |w^+\rangle}{\sqrt{2}} \frac{|v^-\rangle - i |w^-\rangle}{\sqrt{2}} = \frac 1 2\left(|v^+\rangle |v^-\rangle - i |v^+\rangle |w^-\rangle - i |w^+\rangle |v^-\rangle - |w^+\rangle |w^-\rangle\right).$$

這與上文中最終分束器之前狀態的表達式並不正交。它們之間的標量積是 1/4，這表明發生這種情況的機率為 1/16，這很矛盾。

這種情況可以用兩個同時進行的無相互作用測量來分析：從左側干涉儀的角度來看，在 d + 處的咔嗒聲意味著阻尼電子存在於 u - 中。類似地，對於右側干涉儀來說，在 d - 處的咔嗒聲意味著正電子存在於 u + 中。事實上，每當在 d+(或 d-) 處記錄到一次咔嗒聲時，另一個粒子就分別存在於 u-(或 u+) 中。如果我們假設這些粒子是獨立的 (由局部隱變量描述), 我們就得出結論，它們永遠不可能同時出現在 d + 和 d - 中。這將意味著它們存在於 u + 和 u - 中，但由於湮滅過程，這種情況不可能發生。

這時就會出現一個悖論，因為有時粒子確實會在d +和d −同時出現（機率為p = 1/16）。從量子力學角度來看， $\left|d^+\right\rangle \left|d^-\right\rangle$事實上，該項源於最終分束器之前狀態的非最大糾纏性質。

Yakir Aharonov及其同事在 2001 年發表的一篇文章指出，每個分支中的電子或正電子的數量在理論上是可觀測的，在w分支中為 0，在v分支中為 1。然而，任何組合中的電子-正電子對的數量也是可觀測的，並且不是由單粒子值的乘積給出的。因此，我們發現ww對（兩個粒子都在w路徑上）的數量為 0，每個wv對的數量為 1，而vv 組合中的數量為 −1！他們提出了一種物理觀測方法，即將v路徑中的電子和正電子暫時囚禁在盒子中，並觀察它們之間靜電吸引的影響。他們指出，人們實際上會發現盒子之間存在排斥力。

2009年， Jeff Lundeen和Aephraim M. Steinberg發表了論文，利用光子建立了「哈代悖論」系統。A 405 納米雷射穿過硼酸鋇晶體，產生 810 對 納米級光子，偏振方向相互正交。這些光子隨後撞擊分束器，分束器以50%的機率將光子送回硼酸鋇晶體。405 納米泵浦光束也會從鏡子反射回來，回到硼酸鋇。如果810 納米級的光子返回晶體後，會因與返回的泵浦光束相互作用而湮滅。無論如何，穿過晶體的光子束和穿過分束器的光子束都會被分離成「垂直偏振」和「水平偏振」光束，分別對應於哈代方案中的「電子」和「正電子」。兩束「電子」（具有一種偏振的光子）在分束器處匯合，並進入一個或兩個探測器，「正電子」（另一種光子）也是如此。經典情況下，在作者所謂的「暗埠」處應該檢測不到任何光子，因為如果光子從第一個分束器向兩個方向傳播，它們會發生自身干涉；而如果光子只沿一條路徑傳播，則由於悖論的存在，在暗埠處無法同時檢測到它們。通過引入20°偏振旋轉，並在某些光束上使用半波片，然後在探測器上測量重合率，他們能夠進行微弱的測量，從而計算出不同臂（路徑）和組合的「占據率」。正如Aharonov及其同事所預測的那樣，他們發現，當兩個光子都選擇外部（無湮滅）路徑時，組合的數值為負。結果與預期並不完全一致，他們將其歸因於不完美的切換（湮滅）和無相互作用的測量。

## 外部連結

- Aephraim Steinberg 的講座，2012年