可分辨邊帶冷卻

可分辨邊帶冷卻（Resolved sideband cooling）是一種雷射冷卻技術，旨在將強束縛於勢阱中的原子或離子冷卻至多普勒冷卻極限之下，甚至達到其運動量子基態。實現粒子的零點能狀態具有基礎研究價值；此外，以高機率將粒子製備（初始化）至特定的運動量子態，對於量子光學與量子計算領域的量子態操控實驗至關重要。

## 歷史

現代意義上的「可分辨邊帶冷卻」方案，通常認為由戴維·J·瓦恩蘭（D. J. Wineland）和漢斯·德默爾特（H. Dehmelt）在其1975年題為「Proposed $10^{14}\delta\nu/\nu$ laser fluorescence spectroscopy on Tl+ mono-ion oscillator III (sideband cooling)」的會議摘要中首次提出。值得注意的是，在該論文發表的時代，「邊帶冷卻」一詞亦可指代現今所稱的都卜勒冷卻。都卜勒冷卻於1978年由 W. Neuhauser及 D. J. Wineland等研究組分別獨立地在囚禁離子實驗中實現。首次明確展示現代可分辨邊帶冷卻技術的實驗由 F. Diedrich 等人於1989年完成。針對非里德伯中性原子，類似的可分辨邊帶冷卻實驗由 S. E. Hamann 等人於1998年通過拉曼邊帶冷卻技術實現。

## 概念描述

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可分辨邊帶冷卻運用雷射將強束縛的原子冷卻至其運動量子基態。該技術通常在都卜勒冷卻初步降溫之後進行，可將原子進一步冷卻至多普勒冷卻極限之下。

一個被囚禁且經過冷卻的原子，其運動狀態可近似視為量子諧振子。當自發衰變率 $\Gamma$ 遠小於原子在囚禁勢阱中的振動頻率 $\nu$ 時（即滿足「可分辨邊帶」條件 $\nu \gg \Gamma$），系統呈現出分立的能級結構。每個電子能級（內態）均伴隨有一組振動能級，這些振動能級等間隔排列，間距為 $\hbar\nu$，並由振動量子數 $n=0, 1, 2, \dots$ 標記。原子總能量因此包含內部能量和振動能量。如圖所示，原子的基態 $g$ 與激發態 $e$ 均擁有各自的振動能級階梯。

考慮一個簡化的二能級原子模型，基態記為 $g$，激發態記為 $e$。雷射頻率 $\omega$ 被調諧至第一個「紅邊帶」（red sideband），即 $\omega = \omega_0 - \nu$，其中 $\omega_0$ 為原子內部躍遷頻率（$g \leftrightarrow e$），$\nu$ 為原子在勢阱中的振動頻率。在此條件下，雷射驅動原子發生如下躍遷：

$$|g, n\rangle \rightarrow |e, n - 1\rangle,$$ 其中 $|a, n\rangle$ 表示內態為 $a$、振動量子數為 $n$ 的原子態。

隨後，原子經自發輻射返回基態。在蘭姆-迪克區域（Lamb-Dicke regime），即原子在振動基態的空間局域化尺度遠小於輻射波長時，自發輻射過程大機率不改變原子的振動量子數（$\Delta n = 0$）。此躍遷過程表示為：

$$|e, n - 1\rangle \rightarrow |g, n - 1\rangle.$$

因此，每個冷卻循環（雷射吸收 + 自發輻射）淨效果是使原子的振動量子數減少 1 ($n \to n-1$)。通過重複此循環，原子被逐步冷卻，最終以高機率占據振動基態 $|g, n = 0\rangle$。

## 理論基礎

考慮一個被囚禁的二能級原子（或離子），其質心運動被限制在遠小於其內部躍遷波長 $\lambda_0 = 2\pi c/\omega_0$ 的空間範圍內，此即蘭姆-迪克區域（Lamb-Dicke regime）。原子與單色雷射場的相互作用可在旋轉波近似（rotating wave approximation, RWA）下由如下哈密頓量描述：

$$H = H_\text{HO} + H_\text{AL}$$ 其中$$H_\text{HO} = \hbar\nu\left(\hat{n} + \frac 1 2\right),$$ $$H_\text{AL} = -\hbar\Delta |e\rangle \langle e| + \hbar \frac \Omega 2 \big(|e\rangle \langle g| e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r} + |g\rangle \langle e|e^{-i\mathbf k\cdot\mathbf r}\big),$$ 這裡：

$\hat{n} = a^\dagger a$ 是聲子數算符。

$\nu$ 是原子在勢阱中的振動頻率。

$\Omega$ 是描述原子-光相互作用強度的拉比頻率。

$\Delta = \omega - \omega_0$ 是雷射頻率 $\omega$ 相對於原子躍遷頻率 $\omega_0$ 的失諧。

$\mathbf k$ 是雷射波矢。

$\mathbf r$ 是原子的位置算符。

此哈密頓量與描述腔量子電動力學中單原子與單模腔相互作用的傑恩斯-卡明斯哈密頓量具有相似形式。哈密頓量中的非對角項描述了原子對雷射光子的吸收與發射過程。原子在不同振動能級 $n$ 和 $m$ 之間躍遷的機率幅正比於矩陣元 $\langle m| e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r} |n\rangle$。系統的能級結構可以看作由一系列子能級$\mathcal{H}_n = \text{span}\{|g, n\rangle, |e, n\rangle\}$ 構成，其中每個子能級 $\mathcal{H}_n$ 包含了所有振動量子數為 $n$ 的基態和激發態。不同子空間之間通過雷射相互作用耦合，耦合強度與描述躍遷的矩陣元相關。圖中展示了 $n=1, 2, 3$ 對應的三個這樣的子能級。

當激發態的自然線寬 $\Gamma$ 遠小於陷阱頻率 $\nu$ 時 ($\Gamma \ll \nu$)，不同的躍遷邊帶在頻譜上是可分辨的。此時，可通過頻率足夠窄的雷射選擇性地驅動特定的躍遷，例如調諧至第 $q$ 個紅邊帶 $\omega = \omega_0 - q\nu$ ($q \in \{1, 2, 3, \dots\}$)。對於初始處於 $|g, n\rangle$ 的原子，雷射將優先驅動躍遷至 $|e, n - q\rangle$（如圖中箭頭「1」所示，對應 $q=1$）。如前所述，在蘭姆-迪克區域，隨後的自發輻射主要發生在載波頻率 $\omega_0$ 附近（$\Delta n = 0$），使原子回到 $|g, n-q\rangle$ 態（如圖中箭頭「2」所示）。

每個循環淨移除 $q$ 個振動量子（聲子）。通過重複此過程，原子的平均振動量子數 $\bar{n}$ 將降低。實踐中，為獲得最高冷卻效率，通常選擇驅動一階紅邊帶（$q = 1$）。在理想條件下，可達到的最低平均聲子數約為 $\bar n_{\text{min}} \approx (\Gamma / 2\nu)^2 \ll 1$。達到穩態時的實際 $\bar{n}$ 還依賴於紅邊帶與藍邊帶（$\omega = \omega_0 + q\nu$）躍遷速率之比以及雷射參數等。

關於該過程更嚴謹的理論分析，可參考文獻 及。針對多個囚禁離子的邊帶冷卻，可參考文獻。

## 實驗實現

為有效實施可分辨邊帶冷卻，原子需要首先被預冷卻到較低的平均聲子數 $\bar{n}$，通常使其處於蘭姆-迪克區域。實驗上，一般先採用都卜勒冷卻將原子冷卻至多普勒冷卻極限附近，隨後施加可分辨邊帶冷卻過程，最終進行量子態的測量或操控。

Diedrich 等人的開創性實驗基本遵循了上述理論方案。他們利用汞離子 (198Hg+)的窄線寬電四極躍遷進行冷卻。由於該躍遷連接基態與一個亞穩激發態，需要額外的雷射將粒子從亞穩態抽運回基態，以維持冷卻循環。

在具體實現中，根據所選原子或離子的能級結構特性，通常需要設計更複雜的雷射方案。以下介紹 Ca+ 離子冷卻和 Cs 原子拉曼邊帶冷卻兩個典型實例。

### 示例：Ca+離子的冷卻

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Ca+ 離子冷卻方案涉及 S1/2、P1/2、P3/2、D3/2 和 D5/2 等電子能級。外加靜磁場會使這些能級發生塞曼分裂，產生子能級。

- 都卜勒冷卻：通常在 S1/2 $\leftrightarrow$ P1/2 電偶極躍遷（397 nm）上進行。但 P1/2 態有約 6% 的機率衰變到亞穩 D3/2 態，故需使用 866 nm 的「重泵浦」雷射將其抽運回 P1/2 $\to$ S1/2 循環，以維持都卜勒冷卻效率。
- 邊帶冷卻：在窄線寬的 S1/2 $\leftrightarrow$ D5/2 電四極躍遷（729 nm）上實施。D5/2 也是亞穩態，需要通過 854 nm 雷射將其抽運至 P3/2 態，隨後 P3/2 態快速衰變回 S1/2 基態，完成冷卻循環。

一種典型的實驗流程如下（例如，在測量 729 nm 躍遷譜線時，對每個頻率點重複數百次下列步驟）：

- 使用 397 nm 和 866 nm 雷射對離子進行都卜勒冷卻，同時開啟 854 nm 雷射清除 D5/2 態布居。
- 在都卜勒冷卻結束前，施加 $\sigma^-$ 偏振的 397 nm 雷射，通過光學抽運將離子進行自旋極化到 S1/2($m_J=-1/2$) 態。
- 施加調諧至 S1/2($m_J=-1/2$) $\leftrightarrow$ D5/2($m_J=-5/2$) 躍遷的第一個運動紅邊帶（$\Delta n = -1$）的 729 nm 雷射脈衝，執行邊帶冷卻。
- （可選）為確保布居累積在 S1/2($m_J=-1/2$) 態，可再次施加一個 $\sigma^-$ 偏振的 397 nm 脈衝。
- 進行量子態操控或分析：例如，施加特定頻率和時長的 729 nm 雷射脈衝。
- 量子態探測：施加 397 nm 和 866 nm 雷射。通過收集螢光光子數並與預設閾值比較，來區分離子是否發生躍遷（處於 D5/2 態，探測時無螢光，稱為「暗態」）或未發生躍遷（處於 S1/2 態，探測時散射光子，稱為「亮態」）。

許多離子囚禁實驗研究組採用此方案或其變種進行量子信息處理等研究，並持續探索優化方法。

### 示例：Cs原子的拉曼邊帶冷卻

拉曼邊帶冷卻利用雙光子拉曼躍遷替代單光子躍遷來實現邊帶冷卻，通過一個虛中間態連接初末態。

在 Hamann 等人利用 Cs 原子進行的實驗中，原子被囚禁於光晶格中。通過施加磁場並利用兩束拉曼光，可以實現與塞曼子能級相關的運動邊帶躍遷。其實驗流程大致如下：

- 在磁光阱中的光學粘膠（optical molasses）中製備包含約 $10^6$ 個 Cs 原子的冷樣本。
- 將原子裝載到一個二維近共振光晶格中。
- 將晶格參數絕熱地改變為遠失諧光晶格，進一步降低原子溫度，使其進入蘭姆-迪克區域，為有效的邊帶冷卻做準備。
- 施加外部靜磁場，使塞曼子能級劈裂。將兩束拉曼雷射的頻率差調諧至目標運動紅邊帶（例如，連接兩個不同超精細基態子能級，同時 $\Delta n = -1$）。
- 施加光抽運雷射，將被拉曼躍遷布居到非目標基態子能級的原子抽運回參與拉曼過程的初始子能級，以維持冷卻循環。
- 持續進行拉曼邊帶冷卻若干毫秒。
- （可選）冷卻結束後，通過增強光學抽運光強度，將原子布居製備到特定的超精細基態。
- 關閉光學晶格和磁場，讓原子自由飛行，並採用飛行時間法結合施特恩-格拉赫分析來測量原子在不同運動狀態和內部狀態上的布居。

## 參考文獻

$10^{14}\delta\nu/\nu$