數字圖像相關與追蹤

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數字圖像相關法與追蹤（Digital image correlation and tracking）是一種光學方法，它採用追蹤和圖像配准技術，對2D圖像或3D體積的變化進行精確的2D和3D測量。該方法常用於測量全場位移和應變，並廣泛應用於科學和工程的許多領域。與應變片和引伸計相比，數字圖像相關法能提供更精細的變形細節，因為它能夠提供局部和平均數據。

## 概述

數字圖像相關法（DIC）技術越來越受歡迎，特別是在微納尺度的機械測試應用中，因為其實施和使用相對容易。電腦技術和數位相機的進步是該方法的關鍵技術，雖然白光光學一直是主要方法，但DIC可以且已經擴展到幾乎任何成像技術。

使用互相關測量數據集偏移的概念由來已久，至少從20世紀70年代初就開始應用於數字圖像。今天的應用幾乎數不勝數，包括圖像分析、圖像壓縮、測速和應變估計。DIC在力學領域的許多早期工作是由南卡羅來納大學的研究人員在20世紀80年代初主導的，並在近年來得到了優化和改進。通常，DIC依賴於尋找兩幅或多幅對應圖像上像素強度陣列子集之間相關陣列的最大值，從而得出它們之間的整數平移量。也可以估算出比原始圖像解析度更精細的偏移量，這通常被稱為「亞像素」配准，因為測得的偏移量小於一個整數像素單位。對於偏移的亞像素插值，其他方法不僅僅是最大化相關係數。也可以使用迭代方法，通過非線性優化技術來最大化插值的相關係數。非線性優化方法在概念上往往更簡單，並且能更準確地處理大變形，但與大多數非線性優化技術一樣，它速度較慢。

二維離散互相關$r_{ij}$有多種定義方式，其中一種是：

$$r_{ij} = \frac{\sum_m \sum_n [f(m+i,n+j)-\bar{f}][g(m,n)-\bar{g}]}{\sqrt{\sum_m \sum_n {[f(m,n)-\bar{f}]^2} \sum_m \sum_n {[g(m, n)-\bar{g}]^2}}}$$

這裡$f(m,n)$是原始圖像中點$(m,n)$處的像素強度或灰度值，$g(m,n)$是平移圖像中點$(m,n)$處的灰度值，$\bar{f}$和$\bar{g}$分別是強度矩陣$f$和$g$的平均值。

然而，在實際應用中，相關陣列通常使用傅立葉變換方法計算，因為快速傅立葉變換比直接計算相關性要快得多。

$$\mathbf{F} = \mathcal{F}\{f\}, \quad \mathbf{G} = \mathcal{F}\{g\}$$

然後取第二個結果的復共軛，並將傅立葉變換結果逐元素相乘，我們得到相關圖的傅立葉變換$\ R$：

$$R = \mathbf{F} \circ \mathbf{G}^*$$

其中$\circ$是阿達馬乘積（逐元素乘積）。此時將幅度歸一化為單位值也很常見，這會產生一種稱為「相位相關」的變體。

然後通過應用逆傅立葉變換獲得互相關：

$$\ r = \mathcal{F}^{-1}\{R\}$$

此時，$r_{ij}$最大值的坐標給出了整數偏移量：

$$(\Delta x, \Delta y) = \arg\max_{(i, j)}\{r\}$$

## 變形映射

對於變形映射，可以通過比較整個圖像上的一組子窗口對來推導出關聯圖像的映射函數。坐標或網格點$(x_i,y_j)$和$(x_i^*,y_j^*)$通過兩幅圖像之間發生的平移相關聯。如果變形很小且垂直於相機的光軸，則$(x_i,y_j)$和$(x_i^*,y_j^*)$之間的關係可以用2D仿射變換近似，例如：

$$x^* = x + u + \frac{\partial u}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial u}{\partial y}\Delta y$$

$$y^* = y + v + \frac{\partial v}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial v}{\partial y}\Delta y$$

這裡$u$和$v$分別是子圖像中心在X和Y方向上的平移量。子圖像中心到點$(x,y)$的距離用$\Delta x$和$\Delta y$表示。因此，相關係數$r_{ij}$是位移分量$(u,v)$和位移梯度的函數：

$$\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial y}$$

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事實證明，DIC在宏觀機械測試的變形映射中非常有效，在這些測試中，應用鏡面標記（例如油漆、碳粉）或機械加工和拋光產生的表面光潔度提供了良好關聯圖像所需的對比度。然而，由於幾個原因，這些施加表面對比度的方法並不適用於獨立薄膜。首先，在常溫下在半導體級基底上進行氣相沉積會產生鏡面質量的薄膜，其均方根（RMS）粗糙度通常在幾納米的數量級。不需要後續的拋光或精加工步驟，除非採用能夠分辨微觀結構特徵的電子成像技術，否則薄膜不具備足夠的有用表面對比度來充分關聯圖像。通常可以通過噴漆在表面產生隨機散斑圖樣來規避這一挑戰，儘管噴塗或在獨立薄膜表面塗漆產生的大且湍流的力太高，會破壞試樣。此外，單個油漆顆粒的大小在微米數量級，而薄膜厚度只有幾百納米，這類似於在一張薄紙上支撐一塊巨石。

## 數字體積相關

數字體積相關（Digital Volume Correlation，DVC，有時也稱為體積DIC）將2D-DIC演算法擴展到三維，以從一對3D圖像計算全場3D變形。該技術不同於3D-DIC，後者僅使用傳統光學圖像計算「外表面」的3D變形。DVC演算法能夠以體素（voxel）而不是像素（pixel）的形式追蹤全場位移資訊。理論與上述相似，只是增加了一個維度：z維度。位移是通過參考圖像和變形體積圖像的3D子集的相關性計算得出的，這類似於上述2D子集的相關性。

DVC可以使用體積圖像數據集進行。這些圖像可以使用共聚焦顯微鏡、X射線電腦斷層成像、磁共振成像或其他技術獲得。與其他DIC技術類似，圖像必須呈現清晰、高對比度的3D「散斑圖樣」以確保精確的位移測量。

DVC最初於1999年開發，用於利用X射線電腦斷層掃描圖像研究松質骨的變形。此後，DVC的應用已擴展到顆粒材料、金屬、泡沫、複合材料和生物材料。迄今為止，它已被用於通過MRI成像、計算機體層成像（CT）、X射線顯微斷層成像（micro-CT）、共聚焦顯微鏡和光片顯微鏡獲取的圖像。目前，DVC被認為是研究界對生物標本的局部位移、應變和應力進行3D量化的理想方法。它之所以受到青睞，是因為該方法比傳統的實驗方法具有非侵入性。

提高DVC測量的速度和可靠性是兩個主要挑戰。3D成像技術產生的圖像比傳統的2D光學圖像噪聲更大，這降低了位移測量的質量。計算速度受到3D圖像文件大小的限制，其大小明顯大於2D圖像。例如，一幅8位（1024x1024）像素的2D圖像文件大小為1 MB，而一幅8位（1024x1024x1024）體素的3D圖像文件大小為1 GB。這可以通過使用並行計算來部分抵消。

## 用途

數字圖像相關技術已應用於以下行業：

- 汽車
- 航太
- 生物
- 工業的
- 研究與教育
- 政府和軍隊
- 生物力學
- 機器人技術
- 電子領域的數字圖像相關

數字圖像相關法也被用於繪製地震變形圖。

## DIC標準化

國際數字圖像相關學會（iDICs）是一個由來自學術界、政府和工業界的成員組成的機構，致力於培訓和教育最終使用者了解DIC系統，以及針對一般應用的DIC實踐標準化。iDIC成立於2015年，一直致力於為DIC使用者制定標準。

## 相關

- 光流法
- 應力
- 應變
- 位移矢量
- 粒子圖像測速法
- 電子領域的數字圖像相關