高次諧波產生

高次諧波產生（英語：High harmonic generation，縮寫：HHG）是一種非線性光學過程，其中靶材（氣體、電漿、固體或液體樣本）受強烈雷射脈衝照射，進而發射生成光束的高階諧波（高於第五諧波）。由於其高度相干性，此過程是阿秒物理學的基礎技術，可用於產生極短脈衝光源，應用於材料科學與量子成像。

## 微擾諧波產生

微擾諧波產生是利用頻率為ω且光子能量為 ħω 的雷射光產生新頻率光的一種現象，且新頻率為原始光頻率的整數倍nω。此現象最早於1961年由Franken等人發現，他們使用紅寶石雷射，且以石英作為非線性介質晶體。

在介電質固體中，諧波產生已被充分研究且廣泛應用於現代雷射物理學。1967年，New等人首次在氣體中觀測到三次諧波產生。在單原子氣體中，由於對稱性限制，只能產生奇數次諧波。在微擾（弱場）的條件下，隨著諧波階數增加，效率會迅速下降。這可以被解釋為原子吸收n個光子後發射單一高能光子，隨著n增加，吸收機率遞減，使得初始諧波強度快速衰弱。

## 發展

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高次諧波產生最早於1977年被觀察到，在高強度CO2的雷射脈衝照射條件下，與固體靶材產生電漿的相互作用中發生。目前應用更為廣泛的氣體中的高次諧波產生則是由McPherson等人在1987年首次發現，Ferray等人於1988年進行驗證，結果卻出乎意料：高次諧波的強度在低階下如預期下降，但隨著階數上升，強度形成「穩定區」，在多個階數內維持近似恆定。穩定區的諧波強度可達數百電子伏特（eV），延伸至軟X射線的範圍，並在「高次諧波截止點」突然終止。

## 性質

高次諧波具備多項有趣性質，作為可調諧的桌上型XUV/軟X射線光源，它與驅動雷射同步並以相同的重複頻率產生。諧波的截止能量隨著雷射強度呈線性增加，直到雷射達到飽和強度Isat為止，此時諧波停止產生。若改用較輕的惰性氣體，可提高飽和強度，但降低轉換效率，因此需依所需的光子能量權衡。

高次諧波的產生高度依賴驅動雷射場，因此在時間與空間相干性上與驅動雷射相似。高次諧波脈衝持續時間常短於驅動雷射，這是源自於非線性、相位匹配及電離效應的影響。通常諧波只會在相位匹配時的短暫瞬間產生。此外，電離導致產生的介質有耗損，也使諧波產生主要受限於脈衝前緣。

高次諧波的光束方向與驅動雷射相同，並具有極小的發散角度，有時甚至小於基頻場的發散角，且其光束截面近似於高斯分佈。

## 半古典方法

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高次諧波產生的最大光子能量由諧波平台的截止能量決定，可透過古典力學計算得出，即檢視電離電子在雷射電場中獲得的最大能量。截止能量公式為：

$$E_{\mathrm{max}}=I_p+3.17\ U_p$$

其中，Up為雷射場的質動力能，Ip為電離勢。

此截止能量源於半古典計算，稱為「三步模型」。電子在穿隧電離時視為量子力學處理；但後續的動力學則為古典力學處理，假設電子以零初速度在真空生成，並隨後受雷射電場加速。

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電離後的半個光學週期內，電子會因電場極性反轉而改變方向，並加速返回母體原子核，返回時，電子可透過與原子重組過程發射類似軔致輻射，從而回到基態。此即高次諧波產生的「再碰撞模型」。

由於發射輻射的頻率依賴動能及電離勢，不同頻率在不同的重組時間發射（即脈衝為啁啾的）。此外，每個頻率對應到兩個重組時間，我們稱之為「短軌跡」（先發射）和「長軌跡」。

在半古典圖像中，高次諧波產生僅在驅動雷射場為線性偏振時發生。雷射束的橢圓度會使返回的電子偏離母體原子核。從量子力學觀點來看，返回的電子波包與原子核波包形成的重疊減少，此效應已透過實驗證實：隨著橢圓度增加，諧波強度急速下降。另一限制驅動雷射強度的效應為勞侖茲力，在強度超過1016 W·cm−2時，雷射脈衝的磁分量（弱場光學中忽略）足以偏轉使電子返回，「錯過」母體原子核，從而抑制高次諧波產生。

## 相位匹配

如同所有非線性過程，高次諧波產生在氣相中，相位匹配扮演關鍵角色。在自由聚焦的配置中，相位不匹配源自於四個因素：中性色散、電漿色散、Gouy相移，及偶極相移。

中性色散是由原子造成的，而電漿色散則是由離子所引起，兩者相位速度變化方向相反。Gouy相移源自於焦點附近的波前相位跳躍，並沿著焦點變化。偶極相移則是來自於高次諧波產生過程中的原子響應。在氣體射流幾何中，產生短軌跡高次諧波的最佳條件為產生氣體位於焦點之後；長軌跡高次諧波則可在焦點之前離軸產生。

此外，採用鬆散聚焦幾何可讓更多發射體及光子參與產生過程，從而提升諧波產率。在氣體射流幾何中，將雷射聚焦至馬赫盤可提高諧波產生效率。

更廣泛地來說，在X射線光譜區域，材料的折射率極接近1。為平衡相位不匹配$\Delta k = k_q - qk_L$，需在高維參數空間中尋找有效條件使驅動雷射波長的綜合折射率接近1。

為了使雷射強度達到足以扭曲原子束縛勢的水平，必須聚焦驅動雷射束。在此引入影響相位不匹配的分散參數，視不同幾何結構（如平面波傳播、自由聚焦、空心波導等）而定。此外，在高次諧波產生的過程中，電子被加速，其中部分會返回母離子而產生X射線脈衝，由於經歷了電離、重組及傳播，電子會累積相位；但多數電子並不會返回，而是造成驅動雷射和高次諧波的色散。另外，離化原子亦可影響介質折射率，提供另一色散源。

相位不匹配（> 0，表示雷射相速度快於X射線）可表示為：

$$\Delta k = k_q-qk_L = \underbrace{\Delta k_{\mathrm{neutrals}}}_{<0} + \underbrace{\Delta k_{\mathrm{ions}}}_{<0} + \underbrace{\Delta k_{\mathrm{electrons}}}_{>0} + \underbrace{\Delta k_{\mathrm{geometry}}}_{>0} + \underbrace{\Delta k_{\mathrm{intrinsic}}}_{>\;\!0} + \cdots$$

其中，$\Delta k_{\mathrm{neutrals}}$為中性原子貢獻，$\Delta k_{\mathrm{ions}}$為離子貢獻（中性電離後，此項在 UV 區仍可足夠大），$\Delta k_{\mathrm{electrons}}$為電漿貢獻，$\Delta k_{\mathrm{geometry}}$為自由聚焦、平面波或波導幾何貢獻，$\Delta k_{\mathrm{intrinsic}}$ 為為電子遠離原子時累積的相位等。各項符號可在特定時間與頻率平衡不匹配。

電子貢獻正比於波長平方：$\Delta n_{\mathrm{electrons}} \sim -\lambda^2$，而原子貢獻則反比於波長平方：$\Delta n_{\mathrm{atoms}} \sim 1/\lambda^2$。因此，在長紅外波長下，每個電子的$\left|\Delta n_{\mathrm{electrons}}\right|$很大，而$\Delta n_{\mathrm{atoms}}$很小且接近於1。為了相位匹配使高次諧波產生，需在高壓與低電離的環境下，從而提供大量的發射體。在相反的 UV 光譜範圍內，因鄰近UV共振而$\Delta n_{\mathrm{atoms}}$大，且$\left|\Delta n_{\mathrm{electrons}}\right|$小。相位匹配需低壓，且可容忍極高電離水平（遠超 100%），這使得高次諧波產生的光子能量可隨著驅動UV雷射強度擴展。

平面波或鬆散聚焦幾何允許高度同軸的相位匹配，並在$\vec{v} \times \vec{B}$小時最大化通量提取，在波導中產生高階諧波，可實現接近平面波傳播的特徵，這種幾何結構特別利於紅外線光束所產生的X射線光譜，此應用需較長的交互作用體積以實現最佳的功率提取，目前已產生延伸至1.6 keV的光譜。而對於UV-VIS驅動高次諧波，其波導項小，因此相位匹配圖像類似平面波，此類幾何結構已產生頻譜延伸至碳1s軌域的吸收邊緣（300 eV）的窄頻寬諧波。