幾何代數

數學中，幾何代數（也稱作實克利福德代數）是初等代數的推廣，用於處理向量等幾何對象。幾何代數由加法與幾何積兩種基本運算組成，向量的乘積是更高維對象，稱作多重向量。與其他處理幾何對象的形式相比，幾何代數在支持不同維度的對象的向量除法與加法方面具有優勢。

幾何積最早由赫爾曼·格拉斯曼簡單提及，他的興趣主要在於發展與之緊密相關的外代數。1878年，威廉·金頓·克利福德大大擴展了格拉斯曼的工作，形成現在所謂克利福德代數以紀念他（雖然克利福德自己稱之為「幾何代數」）。克利福德將克利福德代數及其積定義為格拉斯曼代數和哈密頓的四元數代數的統一。加上格拉斯曼外積的對偶（「相遇」）就可以使用格拉斯曼–凱萊代數，後者的共形版本與共形克利福德代數一起產生了共形幾何代數（CGA），為經典幾何提供了框架。實踐中，這些運算和一些可派生運算可將代數的元素、子空間、運算同幾種幾何解釋對應起來。幾十年來，幾何代數有些被忽視了，因為當時為描述電磁學產生的向量分析擠占了幾何代數的地盤。1960年代，「幾何代數」由大衛·黑斯廷斯重新發掘出來，主張其對相對論物理學的重要性。

標量和向量有其通常的解釋，並構成幾何代數的不同子空間。二重向量可更自然地表示向量分析中的偽向量，如有向面積、旋轉的有向角度、撓、角動量與電磁場。三重向量可表示有向體積，等等。稱作刃的元素可用於表示V的子空間，及其上的正交投影。旋轉與反射也可用元素表示。不同於向量分析，幾何代數可自然地容納任何維度和任何二次型，如相對論中的二次型。

幾何代數在物理學中的應用有時空代數（及不太常見的物理空間代數）與共形幾何代數。幾何微積分是幾何代數的推廣，包含了微分和積分，可用於形成其他理論，如複分析和微分幾何，例如用克利福德代數代替微分形式。大衛·黑斯廷斯和Chris Doran等人一直主張將幾何代數作為物理學的主要數學框架。支持者聲稱，幾何代數為包括經典力學、量子力學、電磁學、相對論等許多領域提供了緊湊而直觀地描述。幾何代數還被用作電腦圖形學和機器人學的計算工具。

## 定義與符號

幾何代數有多種定義。黑斯廷斯最初的定義是公理化的、「充盈著幾何意義」，等價於泛克利福德代數。給定域F上的有限維向量空間V，並配備對稱雙線性形式（即內積，如歐氏或洛倫茲度量）$g : V \times V \to F$，則二次空間$(V, g)$的幾何代數是克利福德代數$\operatorname{Cl}(V, g)$，成員稱作多重子或多重向量（多重向量一詞更常用於指外代數的具體元素）。按領域內的通常做法，本文將只考慮實數情形，即$F = \R$。符號$\mathcal G(p,q)$（分別為$\mathcal G(p,q,r)$）將用於表示雙線性形式g具有符號$(p,q)$（分別是$(p,q,r)$）的幾何代數。

代數中的本質積稱作幾何積，包含的外代數的積稱作外積（更多叫楔積）。標準寫法分別是並列（省去任何符號）和楔形$\wedge$。幾何代數的上述定義是抽象的，因此我們用下面一組公理概括幾何積的性質。對於多子$A, B, C\in \mathcal{G}(p,q)$，幾何積具有如下性質：

- $AB \in \mathcal{G}(p,q)$（封閉）
- $1A = A1 = A$，其中$1$是單位元（單位元的存在）
- $A(BC)=(AB)C$（結合律）
- $A(B+C)=AB+AC$ and $(B+C)A=BA+CA$（分配律）
- $a^2 = g(a,a)1$，其中a是代數子空間V的任意元素。

外積具有相同的性質，只是最後一條改為$a \wedge a = 0,\ \forall a \in V$。

注意，在上述最後一個性質中，若g不是正定的，則實數$g(a,a)$不必是非負的。幾何積的一個重要性質是元素有乘法逆元：$\forall\vec{a}$，若$a^2 \ne 0$，則$a^{-1}$存在，且等於$g(a,a)^{-1}a$。代數的非零元不一定有乘法逆元，例如若$\vec{u}\in V$，且使$u^2 = 1$，則元素$\textstyle\frac{1}{2}(1 + u)$既是非平凡冪等元素，也是非零零除子，於是沒有逆。給定$u^2 = 1$，可知$(\tfrac{1}{2}(1 + u))^2$ $= \tfrac{1}{4}(1 + 2u + uu)$ $= \tfrac{1}{4}(1 + 2u + 1)$ $= \tfrac{1}{2}(1 + u)$，說明$\tfrac{1}{2}(1 + u)$是冪等的，且$\tfrac{1}{2}(1 + u)(1 - u)$ $= \tfrac{1}{2}(1 - uu)$ $= \tfrac{1}{2}(1 - 1) = 0$，表明它是非零零除子。

通常將$\R$、V與其在自然嵌入$\R \to \mathcal{G}(p,q)$、$V \to \mathcal{G}(p,q)$下的像視作等同的。本文中，標量和向量分別指$\R$、V的元素（及它們在此嵌入下的像）。

### 幾何積

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實外代數中n次元素的幾何解釋：$n = 0$（有符號點）、$1$（有向線段或向量）、$2$（有向面元）、$3$（有向體積）。n個向量的外積可直觀視作任何n維形狀（如n-超平行體、n-橢球）；其大小（超體積）和方向由(n-1)維邊界上的方向和內部哪一邊的方向定義。

可將任意兩向量a、b的幾何積寫成對稱積與反對稱積之和：

$$ab = \frac{1}{2} (ab + ba) + \frac{1}{2} (ab - ba)$$

於是可以定義內積

$$a \cdot b := g(a,b),$$

於是，對稱積可寫作

$$\frac{1}{2}(ab + ba) = \frac{1}{2} \left((a + b)^2 - a^2 - b^2\right) = a \cdot b$$

反之，g完全由代數決定。反對稱部分是兩個向量的外積，即含外代數部分之積：

$$a \wedge b := \frac{1}{2}(ab - ba) = -(b \wedge a)$$

那麼從簡單加法就能有：

$ab=a \cdot b + a \wedge b$幾何積的非廣義或向量形式。

內外積與標準向量代數中的相應概念有關。幾何上，若a和b的幾何積等於其內積，則就是平行的；若等於其外積，則就是垂直的。在幾何代數中，非零向量的平方都是正的，因此兩向量的內積可視作標準向量代數的點積。兩向量外積可用向量形成的平行四邊形所包圍的有向面積來表示。3維中具有正定二次型的兩向量之叉積與其外積密切相關。

大多數相關幾何代數的實例都具有非退化二次型。若二次型是完全退化的，則任意兩向量的內積總是零，幾何代數就是簡單的外代數。除非另有說明，本文只討論非退化幾何代數。

外積可自然推廣為代數中任意兩元素之間的結合雙線性算子，且滿足

$$\begin{align} <pre> 1 \wedge a_i &= a_i \wedge 1 = a_i \\ a_1 \wedge a_2\wedge\cdots\wedge a_r &= \frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_r} \operatorname{sgn}(\sigma) a_{\sigma(1)}a_{\sigma(2)} \cdots a_{\sigma(r)}, </pre> \end{align}$$

其中，和是對指數的所有排列，$\operatorname{sgn}(\sigma)$是排列的符號，$a_i$是向量（不是代數的一般元素）。由於代數中的每個元素都可表示為這種形式的積之和，這也就定義了代數中每對元素的外積。從定義中可以看出，外積構成交替代數。

克利福德代數的等價結構方程為

$$a_1 a_2 a_3 \dots a_n = \sum^{[\frac{n}2]}_{i=0} \sum_{\mu\in{}\mathcal{C}} (-1)^k Pf(a_{\mu_1}\cdot a_{\mu_2},\dots,a_{\mu_{2i-1}} \cdot a_{\mu_{2i}}) a_{\mu_{2i+1}}\land\dots\land a_{\mu_n}$$

其中$Pf(A)$是A的普法夫值。

$\mathcal{C} = \binom{n}{2i}$提供了將n個索引分為2i、n-2i兩部分的組合$\mu$，k是組合的奇偶性。

普法夫值為外代數提供了度量。另外，正如Claude Chevalley指出的，克利福德代數可還原為二次型為零的外代數。從幾何角度看，可從單純形出發，發展克利福德代數，來理解普法夫值所起的作用。這種推導為楊輝三角和單純形之間提供了更好的聯繫，因為提供了對楊輝三角第一層一個1的解釋。

### 刃、次、規範基

多重向量是r個線性獨立向量的外積，稱作一個刃（blade），次數為r（grade）。次（grade）是齊性元素之次的同義詞，是在作為代數的次與外積（$\mathrm{Z}$-分次）下的次，而非在幾何積下的次。提到幾何積下的分次時，文獻一般只關注$\mathrm{Z}_2$-分次，即分為奇數與偶數的$\mathrm{Z}$-次。$\mathrm{Z}_2$是幾何積完整的$\mathrm{Z}_2{}^n$-分次的一個子群。r次刃之和形成的多重向量稱作（齊性）r次多重向量。根據公理與閉包，幾何代數中的多重向量都是刃之和。

考慮r次線性獨立向量集合$\{a_1,\ldots,a_r\}$，跨越向量空間的r維子空間，之後就可定義實對稱矩陣（與構造格拉姆矩陣的方法相同）：

$$[\mathbf{A}]_{ij} = a_i \cdot a_j$$

根據譜定理，$\mathbf{A}$可由正交矩陣$\mathbf{O}$對角化為對角矩陣$\mathbf{D}$：

$$\sum_{k,l}[\mathbf{O}]_{ik}[\mathbf{A}]_{kl}[\mathbf{O}^{\mathrm{T}}]_{lj}=\sum_{k,l}[\mathbf{O}]_{ik}[\mathbf{O}]_{jl}[\mathbf{A}]_{kl}=[\mathbf{D}]_{ij}$$

定義一組新的向量$\{e_1, \ldots,e_r\}$，稱作正交基向量，是由正交矩陣變換的向量：

$$e_i=\sum_j[\mathbf{O}]_{ij}a_j$$

由於正交變換保內積，所以$e_i\cdot e_j=[\mathbf{D}]_{ij}$，$\{e_1, \ldots, e_r\}$垂直。也就是說，兩不同向量$e_i \ne e_j$的幾何積完全由外積決定，更一般地說

$$\begin{array}{rl} e_1e_2\cdots e_r &= e_1 \wedge e_2 \wedge \cdots \wedge e_r \\ &= \left(\sum_j [\mathbf{O}]_{1j}a_j\right) \wedge \left(\sum_j [\mathbf{O}]_{2j}a_j \right) \wedge \cdots \wedge \left(\sum_j [\mathbf{O}]_{rj}a_j\right) \\ &= (\det \mathbf{O}) a_1 \wedge a_2 \wedge \cdots \wedge a_r \end{array}$$

於是，r次刃都可寫作r個向量的外積。更一般地，若允許退化幾何代數，則正交矩陣將被替換為非退化塊中正交的分塊矩陣，對角陣的零值項沿退化維度分布。若非退化子空間的新向量是歸一化的單位向量：

$$\hat{e}_i=\frac{1}{\sqrt{|e_i \cdot e_i|}}e_i,$$

則這些歸一化向量必須平方為$\pm 1$。西爾維斯特慣性定理指出，沿對角陣的$+1$、$-1$的總數是不變的。推而廣之，平方得$+1$的向量總數p、得$-1$的向量總數q也是不變的。（平方為零的基向量總數也不變，若允許退化情形，則可能不為零。）記此代數為$\mathcal{G}(p,q)$。例如，$\mathcal G(3,0)$是3維歐氏空間的模型，$\mathcal G(1,3)$是相對論時空。$\mathcal G(4,1)$是3維空間的共形幾何代數。

索引依次遞增的n個正交基向量的所有可能積集合，包括作為空積的$1$，構成了整個幾何代數的基（類似於PBW定理）。例如，下面是幾何代數$\mathcal{G}(3,0)$的基：

$$\{1, e_1, e_2, e_3, e_1e_2, e_2e_3, e_3e_1, e_1e_2e_3\}$$

這樣形成的基稱作規範基，V的任何其他正交基都會產生另外的規範基。每個規範基都有$2^n$個元素，幾何代數的每個多重想來那個都可表為規範基元素的線性組合。若規範基元素是$\{ B_i \mid i \in S \}$，其中S是索引集，則任意兩多重向量的幾何積是

$$\left( \sum_i \alpha_i B_i \right) \left( \sum_j \beta_j B_j \right) = \sum_{i,j} \alpha_i\beta_j B_i B_j .$$

在描述只含1次元素的多重向量時，常用「$k$-向量」。高位空間中，有些這樣的多重向量不能視作刃（不能分解為k個向量的外積）。舉例來說，$\mathcal{G}(4,0)$中的$e_1 \wedge e_2 + e_3 \wedge e_4$不能分解，不過通常情況下，代數中這類元素不能被幾何解釋為對象，儘管它們可能代表諸如旋轉之類的幾何量。只有$0,1,(n-1),n$-向量在n-空間中還是刃。

## 參考文獻

時間順序排列

- . Chapter 1 as PDF
- Extract online at http://geocalc.clas.asu.edu/html/UAFCG.html #5 New Tools for Computational Geometry and rejuvenation of Screw Theory
- 3D Oriented Projective Geometry Through Versors of $\mathbf{R}^{3,3}$

## 外部連結

- A Survey of Geometric Algebra and Geometric Calculus Alan Macdonald , Luther College, Iowa.
- Imaginary Numbers are not Real – the Geometric Algebra of Spacetime . Introduction (Cambridge GA group).
- Geometric Algebra 2015, Masters Course in Scientific Computing , from Dr. Chris Doran (Cambridge).
- Maths for (Games) Programmers: 5 – Multivector methods . Comprehensive introduction and reference for programmers, from Ian Bell.
- IMPA Summer School 2010 Fernandes Oliveira Intro and Slides.
- University of Fukui E.S.M. Hitzer and Japan GA publications.
- Google Group for GA
- Geometric Algebra Primer Introduction to GA, Jaap Suter.
- Geometric Algebra Resources curated wiki, Pablo Bleyer.
- Applied Geometric Algebras in Computer Science and Engineering 2018 Early Proceedings
- GAME2020 Geometric Algebra Mini Event
- AGACSE 2021 Videos

English translations of early books and papers

- G. Combebiac, "calculus of tri-quaternions" (Doctoral dissertation)
- M. Markic, "Transformants: A new mathematical vehicle. A synthesis of Combebiac's tri-quaternions and Grassmann's geometric system. The calculus of quadri-quaternions"
- C. Burali-Forti, "The Grassmann method in projective geometry" A compilation of three notes on the application of exterior algebra to projective geometry
- C. Burali-Forti, "Introduction to Differential Geometry, following the method of H. Grassmann" Early book on the application of Grassmann algebra
- H. Grassmann, "Mechanics, according to the principles of the theory of extension" One of his papers on the applications of exterior algebra.

研究組

- Geometric Calculus International. Links to Research groups, Software, and Conferences, worldwide.
- Cambridge Geometric Algebra group. Full-text online publications, and other material.
- University of Amsterdam group
- Geometric Calculus research & development (Arizona State University).
- GA-Net blog and newsletter archive. Geometric Algebra/Clifford Algebra development news.
- Geometric Algebra for Perception Action Systems. Geometric Cybernetics Group (CINVESTAV, Campus Guadalajara, Mexico).