李超代數

李超代數是李代數的推廣，包含了Z2‑分次代數。李超代數在理論物理中十分重要，用於描述超對稱的數學理論。其中，超代數的偶元素大多對應玻色子，奇元素大多對應費米子（也有相反者，如BRST超對稱）。

## 定義

形式上看，李超代數是交換環（一般是R或C）上的非結合Z2-分次代數，或「超代數」，其積為·, ·，稱作李超括號或超交換子，滿足兩個條件（與分次的通常李代數類似）：

超反對稱性（skew-symmetry）：

$$[x,y]=-(-1)^{|x| |y|}[y,x].\ $$

超雅可比恆等式：

$$(-1)^{|x||z|}[x, [y, z]] + (-1)^{|y||x|}[y, [z, x]] + (-1)^{|z||y|}[z, [x, y]] = 0,$$

其中x、y、z在Z2分次中為純。|x|表示x的度（0或1）。x,y的度是x、y度之和模2。

有時，還會在$|x|=0$時添加公理$[x,x]=0$（若2可逆，則公理自動成立）；對$|x|=1$時，有$[[x,x],x]=0$（若3可逆，則公理自動成立）。當基環是整數或李超代數是自由模時，這些條件等同於龐加萊–伯克霍夫–威特定理成立的條件（一般而言是定理成立的必要條件）。

正如對李代數一樣，李超代數的泛包絡代數可被賦予霍普夫代數結構。

反交換、在分次意義上雅可比的分次李代數（按Z或N分次）也有$Z_2$分次（稱作將代數「卷」為奇偶部分），但不稱作「超」。

## 性質

令$\mathfrak g = \mathfrak g_0 \oplus \mathfrak g_1$為李超代數。通過觀察雅可比恆等式，可發現有8種情況取決於參數的奇偶。以奇元素個數為索引，分成4類：

- 無奇元素。即$\mathfrak g_0$為平凡李代數。
- 1個奇元素。則$\mathfrak g_1$是作用$\mathrm{ad}_a: b \rightarrow [a, b], \quad a \in \mathfrak g_0, \quad b, [a, b] \in \mathfrak g_1$的$\mathfrak g_0$模。
- 2個奇元素。雅可比恆等式說明括號$\mathfrak g_1 \otimes \mathfrak g_1 \rightarrow \mathfrak g_0$是對稱$\mathfrak g_1$映射。
- 3個奇元素。對所有$b \in \mathfrak g_1$，都有$[b,[b,b]] = 0$。

因此，李超代數的偶超代數$\mathfrak g_0$形成（正常）李代數，因為所有符號都消失了，超括號變為普通李括號；而$\mathfrak g_1$是$\mathfrak g_0$的線性表示，存在對稱$\mathfrak g_0$等變線性映射$\{\cdot,\cdot\}:\mathfrak g_1\otimes \mathfrak g_1\rightarrow \mathfrak g_0$使得

$$[\left\{x, y\right\},z]+[\left\{y, z\right\},x]+[\left\{z, x\right\},y]=0, \quad x,y, z \in \mathfrak g_1.$$

條件(1)–(3)是現行的，都可以用普通李代數來理解。條件(4)是飛現行的，且是在從普通李代數（$\mathfrak g_0$）和表示（$\mathfrak g_1$）開始構造李超代數時最難驗證的條件。

## 對合

∗李超代數是配備自身到自身的對合反線性映射的復李超代數，映射反映Z2分次且對李超代數中所有x、y都有$[x,\ y]^*=[y^*,\ x^*]$（有人更喜好約定$[x,\ y]^*=(-1)^{|x||y|}[y^*,\ x^*]$；將*改為−*可在兩種約定之間切換）。其泛包絡代數將是普通對合代數。

## 例子

給定結合超代數$A$，可通過以下方式定義齊次元素上的超交換子：

$$[x,y] = xy - (-1)^{|x||y|}yx\ $$

然後線性延伸到所有元素。代數$A$與超交換子共同構成李超代數。這個過程最簡單的例子也許是當$A$為超向量空間$V$中所有線性函數$\mathbf {End}(V)$的空間。$V = \mathbb K^{p|q}$時，該空間可表為$M^{p|q}$或$M(p|q)$。用上述李括號，空間可表為$\mathfrak {gl}(p|q)$。

同倫群上的懷特海德積給出了許多整數上的李超代數的例子。

超龐加萊代數生成了平面超空間的等距。

## 分類

維克托·卡茨對簡單復有限維李超代數進行了分類：（不包括李代數）

特殊線性李超代數 $\mathfrak{sl}(m|n)$.

李超代數$\mathfrak{sl}(m|n)$是$\mathfrak{gl}(m|n)$的超代數，包含超跡為0的矩陣。$m\not=n$時是簡單的；$m=n$時，單位矩陣$I_{2m}$產生一個理想。對理想取商，可得 $\mathfrak{sl}(m|m) / \langle I_{2m} \rangle$，對$m \geq 2$是簡單的。

正交辛李超代數 $\mathfrak{osp}(m|2n)$.

考慮$\mathbb{C}^{m|2n}$上的偶、非退化、超對稱雙射形式$\langle \cdot, \cdot \rangle$，則正交辛李超代數是$\mathfrak{gl}(m|2n)$的超代數，包含的矩陣滿足下式不變：$$\mathfrak{osp}(m|2n) = \{ X \in \mathfrak{gl}(m|2n) \mid \langle X u,v \rangle + (-1)^{|X||u|} \langle u, X v\rangle =0 \text{ for all } u,v \in \mathbb{C}^{m|2n} \}.$$其偶部由$\mathfrak{so}(m) \oplus \mathfrak{sp}(2n)$給出。

例外李超代數 $D(2,1;\alpha)$.

有一族取決於參數$\alpha$的(9∣8)維李超代數，它們是$D(2,1)=\mathfrak{osp}(4|2)$的變形。若$\alpha\not=0$、$\alpha\not=-1$，則D(2,1,α)是簡單的；若$\alpha$、$\beta$在映射$\alpha \mapsto \alpha^{-1}$、$\alpha \mapsto -1-\alpha$的作用下處於同一軌道，則$D(2,1;\alpha) \cong D(2,1;\beta)$。

例外李超代數 $F(4)$.

具有維度(24|16)。偶部由$\mathfrak{sl}(2) \oplus \mathfrak{so}(7)$給出。

例外李超代數 $G(3)$.

具有維度(17|14)。偶部由$\mathfrak{sl}(2) \oplus G_2$給出。

還有2個所謂「奇異」序列，分別叫做$\mathfrak{pe}(n)$、$\mathfrak{q}(n)$.

Cartan類型。可分為4族：$W(n)$、$S(n)$、$\widetilde{S}(2n)$、$H(n)$。對於簡單李超代數的Cartan類型，奇部在偶部的作用下不再完全可還原。

## 無窮維簡單線性緊李超代數的分類

分類包含10個系列W(m, n), S(m, n) ((m, n) ≠ (1, 1)), H(2m, n), K(2m + 1, n), HO(m, m) (m ≥ 2), SHO(m, m) (m ≥ 3), KO(m, m + 1), SKO(m, m + 1; β) (m ≥ 2), SHO ∼ (2m, 2m), SKO ∼ (2m + 1, 2m + 3)及5個例外代數：

E(1, 6), E(5, 10), E(4, 4), E(3, 6), E(3, 8)

最後兩個特別有趣（據Kac所說），因為它們的零級代數是標準模型規範群SU(3)×SU(2)×U(1)。無窮維（仿射）李超代數是超弦理論中重要的對稱，具體來說，具有$\mathcal{N}$超對稱的Virasoro代數是$K(1, \mathcal{N})$，其只有中心擴展到$\mathcal{N} = 4$。

## 範疇論定義

範疇論中，李超代數可定義為非結合超代數，其積滿足

- $$[\cdot,\cdot]\circ ({\operatorname{id}}+\tau_{A,A})=0$$
- $$[\cdot,\cdot]\circ ([\cdot,\cdot]\otimes {\operatorname{id}} \circ({\operatorname{id}}+\sigma+\sigma^2)=0$$

其中σ是循環包絡辮$({\operatorname{id}} \otimes\tau_{A,A}) \circ (\tau_{A,A}\otimes {\operatorname{id}})$。以圖表示：

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## 外部連結

- Irving Kaplansky + Lie Superalgebras