弦函數

<image>

弦函數（chord function），又稱全弦，是最早的三角函數之一，符號通常表示為$\operatorname{crd} \theta$，由古希臘數學家喜帕恰斯所定義，在三角學的早期發展中被廣泛使用，主要用於解決天文學計算的問題，現已鮮少使用，但部分的程式庫仍會提供弦函數的計算函式。

弦函數的函數值為該角在單位圓上的弦長或圓上特定圓心角 $\theta$ 對應的弦與半徑的比值，換句話說，就是單位圓上角的終邊端點到始邊端點的距離。

弦函數與正弦函數不太一樣，但關係十分密切。

在0到π弧度（180度）之間的全弦（crd）與正弦（sin）的關係為 $\operatorname{crd} \theta =2 \sin \frac{\theta}{2}$。

## 定義

<image>

假設角 $\theta$ 介於0和 $\pi$ 弧度（180度）之間，則$\operatorname{crd}\ \theta$的值由圓心角 $\angle AOB$ 構造等腰三角形$\bigtriangleup OAB$的底邊長$\overline{A B}$給出，其中 $O$ 為圓心，即圓心角的頂點。

弦函數的幾何定義如右圖所示。

角的弦函數值是單位圓上由該圓心角分隔的兩點之間的弦的長度。

角度 $\theta$ 取正值，必須位於$0<\theta\leq \pi$（以弧度為單位，或 $0<\theta\leq 180^\circ$ 度）區間內。

弦函數可以與現代的正弦函數連結起來，取其中一點為 $(1,0)$，另一點為$(\cos \theta,\sin\theta)$，然後利用勾股定理即可計算弦長度。

$\operatorname{crd}\ \theta = \sqrt{(1-\cos \theta)^2+\sin^2 \theta} = \sqrt{2-2\cos \theta} =2 \sin \left(\frac{\theta }{2}\right).$

$\operatorname{crd}\ \theta =2 \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)$

$2 \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)$

<image>

<image>

<image>

也就是說，弦長度可以透過下列等式來計算：

弦長 = $r\operatorname{crd}\ \theta = 2r\sin\frac\theta{2}$

其中，$r$ 為圓的半徑、$\theta$ 為弦對應的圓心角角度。

弦函數與正弦函數相關聯。

在下表中，弦函數可以滿足許多類似於眾所周知的現代函數的恆等式：

明成｜基於正弦函數｜基於弦函數

勾股定理｜$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \,$｜$\operatorname{crd}^2 \theta + \operatorname{crd}^2 (\pi- \theta) = 4 \,$

半角公式｜$\sin\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}} \,$｜$\operatorname{crd}\ \frac{\theta}{2} = \sqrt{2-\operatorname{crd}(\pi - \theta)} \,$

邊心距 (a)｜$c=2 \sqrt{r^2- a^2}$｜$c=\sqrt{D ^2-4 a^2}$

角 (θ)｜$c=2 r \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)$｜$c=\frac{D}{2} \operatorname{crd}\ \theta$

其中，$c$ 為半徑 $r$（直徑 $D$）的圓之圓心角 $\theta$ 對應的弦長。

弦函數也可以表達成如下指數定義：

$$\operatorname{crd}\ x = \sqrt{2-e^{i x}-e^{-i x}}$$

## 歷史

最早已知的弦函數表由喜帕恰斯編制，其列出了每 $7 \frac{1}{2}$ 度的弦函數值。

在公元二世紀，亞歷山大的托勒密在他的天文學書《天文學大成》中編制了弦函數的函數表——托勒密全弦表，其給出了從 $\frac{1}{2}$ 度到180度的角度的弦函數值，表中的每行以 $\frac{1}{2}$ 度為單位。

但其並非是直接以單位圓列出弦函數值，其列出的數值，參考的圓形直徑為120，弦長精確到整數部分後兩位60進位的數字。

也就是說，托勒密全弦表所列出的值是弦函數的60倍，例如 $\operatorname{crd} 60^\circ = 1$，而在托勒密全弦表中，60度角所記錄的值為弦的全長——60。

弦函數與現代常用的正弦函數之關係可以看做是正弦函數代入半角公式的結果。

$\operatorname{crd}\ \theta = 2 \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)$

上述等式只成立於 $0<\theta\leq \pi$（以弧度為單位，或 $0<\theta\leq 180$ 度）。

正如現代三角學是建立在正弦函數的基礎上一樣，古代三角學也是建立在和弦函數的基礎上。

據說喜帕恰斯寫了一本十二卷的關於弦函數的著作，雖然現在全部都失傳了，但想必人們對弦函數有一定的了解。Thurston, pp. 235–236

## 托勒密的弦函數

托勒密所建立的托勒密全弦表是紀錄特定圓心角 $\theta^\circ$在直徑120（半徑60）的圓形上所對應的弦之長度，換句話說，這個函數表所對應的函數$\operatorname{chord}(\theta)$與正弦函數的關係為：

$$\begin{align} & \operatorname{chord}(\theta) = 120\sin\left(\frac{\theta^\circ} 2 \right) \\ = {} & 60 \cdot \left( 2 \, \sin\left(\frac{\pi\theta^\circ}{360} \text{ radians} \right) \right). \end{align}$$

## 恆等式

### 導數

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\operatorname{crd}(\theta) = \cos\left(\frac\theta{2}\right)$，（0 < θ ≤ π）此等式是使用$\operatorname{crd}\ \theta =2 \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)$計算的，因此只適用於0 < θ ≤ π（以弧度為單位，或0 < θ ≤ 180度）的區間。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\operatorname{crd}(\theta) = \frac{\sin (\theta)}{\sqrt{2-2 \cos (\theta)}} = \frac{2 \sin (\theta) (1-\cos (\theta))+2 \sin (\theta) \cos (\theta)}{2 \sqrt{\sin ^2(\theta)+(1-\cos (\theta))^2}}$$

### 積分

$\int\operatorname{crd}(\theta)\,\mathrm{d}\theta = -4 \cos\left(\frac\theta{2}\right) + C$，（0 < θ ≤ π）

$$\int\operatorname{crd}(\theta)\,\mathrm{d}\theta = -2 \sqrt{2-2 \cos (\theta)} \cot \left(\frac\theta{2}\right) + C$$

### 其他恆等式

$\operatorname{crd}\left(\alpha\pm\beta\right)=\frac12\operatorname{crd}\left(\alpha\right)\sqrt{4-\operatorname{crd}^2\left(\beta\right)}\pm\frac12\operatorname{crd}\left(\beta\right)\sqrt{4-\operatorname{crd}^2\left(\alpha\right)}$

$$\operatorname{crd}\left(\frac\theta{2}\right)=\sqrt{2-\operatorname{crd}(\pi - \theta)}$$

$\operatorname{crd}\left(2\theta\right)=\operatorname{crd}\left(\theta\right)\sqrt{4-\operatorname{crd}^2(\theta)} = 2 \sin\theta$

$\operatorname{crd}\left(3\theta\right)=3\operatorname{crd}\left(\theta\right)-\operatorname{crd}^3\left(\theta\right)$

正弦定理也可以寫成基於弦函數的形式：

$$\frac{\operatorname{crd}\ 2A}a=\frac{\operatorname{crd}\ 2B}b=\frac{\operatorname{crd}\ 2C}c$$

其中，$a$、$b$ 和 $c$ 為三角形的三條邊；而 $A$、$B$ 和 $C$ 則為對應邊的對角。

### 與其他三角函數的關係

弦函數可以透過正弦、餘弦和正矢等函數來構造：

$\operatorname{crd}\ \theta =2 \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)$，0 < θ ≤ π（0 < θ ≤ 180°）

$\operatorname{crd}\ \theta = \sqrt{2-2\cos \theta}$

$\operatorname{crd}\ \theta = \sqrt{2\operatorname{versin}\ \theta}$

## 特殊值

$$\operatorname{crd}\left(0\right)=0$$

$\operatorname{crd}\left(\frac\pi{15}\right)=\operatorname{crd}\left(12^\circ\right)=\frac{\sqrt{30-6\sqrt{5}}-\sqrt{6+2\sqrt{5}}}4$

$\operatorname{crd}\left(\frac\pi{5}\right)=\operatorname{crd}\left(36^\circ\right)=\frac{\sqrt{5}-1}2$

$\operatorname{crd}\left(\frac\pi{3}\right)=\operatorname{crd}\left(60^\circ\right)=1$

$\operatorname{crd}\left(\frac{2\pi}5\right)=\operatorname{crd}\left(72^\circ\right)=\frac{10-2\sqrt{5}}2$

$\operatorname{crd}\left(\frac\pi{2}\right)=\operatorname{crd}\left(90^\circ\right)=\sqrt 2$

$\operatorname{crd}\left(\frac{3\pi}5\right)=\operatorname{crd}\left(108^\circ\right)=\frac{6+2\sqrt{5}}2$

$\operatorname{crd}\left(\frac{2\pi}3\right)=\operatorname{crd}\left(120^\circ\right)=\sqrt 3$

$\operatorname{crd}\left(\frac{4\pi}5\right)=\operatorname{crd}\left(144^\circ\right)=\frac{10+2\sqrt{5}}2$

$$\operatorname{crd}\left(\pi\right)=\operatorname{crd}\left(180^\circ\right)=2$$

## 反函數

<image>

弦函數的反函數可以定義如下：

$$\operatorname{crd}^{-1}\ y = 2 \arcsin \frac{y}2$$

在這定義下只有 $0\leq y\leq 2$ 是有意義的（弦長沒有負值、單位圓的弦長不會超過兩倍半徑）。

或者用$\operatorname{crd}\ \theta = \sqrt{2-2\cos \theta}$回推得到：

$$\operatorname{crd}^{-1}\ y = \arccos \frac{2-y^2}2$$

反弦函數有時會簡稱為acrd。

因此已知弦長可以回推圓心角的角度：

$$\theta = 2\arcsin\frac{c}{2r}$$

其中，其中 $c$ 是弦長、$r$ 是圓的半徑。

## 相關函數

<image>

弦函數的值域範圍在0到2之間，類似的函數還有正矢函數（versin），值域範圍也在0到2之間，但函數圖形略有差異。

弦函數在範圍0到 $\pi$（180度）之間的圖形與正弦函數0到 $\frac{\pi}{2}$（90度）的形狀類似，但邊長差了1倍的縮放倍率。弦函數與其他「正」的三角函數（正弦、正切、正割、正矢）同樣是從零開始遞增的函數。

### arc θ

<image>

與弦函數（$\operatorname{crd}\ \theta$）類似的還有另一個符號——$\operatorname{arc}\ \theta$，用於表達指定角 $\theta$ 對應的圓弧之弧長，正弧。

早期為了計算天文學上的球面幾何問題，例如計算球面三角形和四邊形。

因此需要找出arc θ和crd θ的對應關係。在單位圓上，arc θ以黑色較粗的線標示在下圖上。

<image>

在單位圓上，$\operatorname{arc}\ \theta$ 的值在範圍0到 $2\pi$（360度）之間與 $\theta$ 相等，在 $2\pi$ 以上時，則為最小正同界角的弧度值。

#### 正弧與餘弧

<image>

相同的概念在割圓八線中也存在。

$\operatorname{arc}\ \theta$ 在割圓八線中對應「正弧」，即正角（$\theta$）對應的弧。在這概念下，除了正弧（$\operatorname{arc}\ \theta$）外，餘弧。

正弧與餘弧的概念早在清代就已經記載於梅文鼎的著作《平三角舉要》中了。

並且正弧和餘弧的概念與正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割、正矢和餘矢並列列出，同時也給角「正角」和「餘角」的概念。