計算解剖學

計算解剖學是一門多領域交叉學科，是關註定量研究與解剖形狀可變性建模的生物學領域。其包含了數學、統計學和數據分析方法在建模及生物結構模擬上的發展與應用。

計算解剖學內容豐富，涵蓋解剖學、應用數學及純數學、機器學習、計算力學、計算科學、生物成像、神經科學、物理學、機率論與統計學內容；還與流體力學和幾何力學有聯繫。另外，還包含較新的跨領域學科，如生物資訊學和神經資訊學，它們的解釋用到了來自原傳感器成像方式（如磁共振成像）的元數據。其關注待測區域的解剖結構，而非成像設備。這與計算語言學的精神類似。

在計算解剖學中，微分同胚群主要通過坐標變換研究不同坐標系，坐標變換由${\mathbb R}^3$中流的拉格朗日與歐拉向量生成。不同坐標間的流受測地流約束，後者滿足流動能最小作用原理。動能由索伯列夫平滑度範數定義，流速的每個分量都有嚴格多於2個的廣義平方可積導數，保證$\mathbb{R}^3$中的流微分同胚。

這也說明，微分同胚形狀動量逐點滿足測地線的歐拉-拉格朗日方程，是通過速度場上鄰域的空間導數決定的。這與不可壓縮流的情形不同，後者的動量是速度的逐點函數。計算解剖學橫貫黎曼流形與非線性全局分析，其中微分同胚群是研究的重點。新出現的高維形狀理論是計算解剖學許多研究的重點，如形狀統計這一新興領域中出現的問題一樣。

計算解剖學的度量結構在精神上與形態測量學有關，區別在於，計算解剖學關注通過微分同胚變換的坐標系的無窮維空間。

## 計算解剖學的可變形模板軌道模型

人體解剖模型是可變形模板，是群作用下的軌道。可變形模板模型一直是格雷納德是度量模式理論的核心，通過模板說明典型性，通過模板的變換說明可變性。微分幾何中的經典表述是，將群作用下的軌道表示為可變形模板。形狀空間可表為$m \in \mathcal {M}$，群$(\mathcal{ G}, \circ )$具有組合律$\circ$；形狀上的群作用表為$g \cdot m$，當中群作用$g \cdot m \in \mathcal{M}, m \in \mathcal {M}$定義為滿足

$$(g \circ g^\prime) \cdot m=g \cdot (g^\prime \cdot m)\in \mathcal { M} .$$

模板軌道$\mathcal{M}$成為所有形狀的空間，$\mathcal{M} \doteq \{ m=g \cdot m_\mathrm{temp}, g \in \mathcal{G} \}$，在$\mathcal{G}$的元素的作用下同質。

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計算解剖學的軌道模型與線性代數相比像是抽象代數，因為群對形狀的作用不線性。這是對線性代數經典模型的推廣，有限維${\mathbb R}^n$向量推廣為有限維解剖子流形（點、線、面、體）及其圖像，線性代數的$n \times n$維矩陣推廣為基於線性與仿射變換和更一般的高維微分同胚群的坐標變換。

## 形狀與形式

中心對象是計算解剖學中的形狀或形式，如${\mathbb R}^3$的0、1、2、3維子流形，或由MRI及fMRI等醫學成像技術生成的圖像。0維流形是基準點；1維流形是腦溝回之類的曲線；2維流形對應解剖子結構的邊界，如中腦皮質下結構或新皮質迴旋面；子體對應於人體的子區域，如心臟、丘腦、腎臟等。

基準點$X \doteq \{ x_1,\dots,x_n \} \subset {\mathbb R}^3 \in \mathcal{M}$是無其他結構的點集。

子流形，如面$X \subset {\mathbb R}^3 \in \mathcal{M}$是局部表或浸入$m:U \subset {\mathbb R}^{1,2} \rightarrow {\mathbb R}^3$，$m(u), u \in U$參數化建模的點集（見圖中顯示的網格面形狀）。

MRI或DTI圖像等$I \in \mathcal{M}$，是稠密函數$I(x), x \in X \subset {\mathbb R}^{1,2,3}$是標量、向量與矩陣（見顯示標量圖的圖像）。

## 群與群作用

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隨著線性代數作為機械工程、電氣工程與應用數學中分析信號與系統的基本模型逐漸普及，群和群作用已為工程界所熟悉。線性代數的核心結構是矩陣群（可逆），對n階方陣A的群作用通常定義為$n \times 1$向量；線性代數中的軌道是$y=A \cdot x \in {\mathbb R}^n$給出的n個向量之集，其是通過${\mathbb R}^n$的軌道的矩陣的群作用。

計算解剖學中，定義在${\mathbb R}^3$的體上的中心群是微分同胚$\mathcal{G} \doteq Diff$，具有3分量映射$\phi(\cdot)=(\phi_1(\cdot),\phi_2 (\cdot),\phi_3 (\cdot))$、函數複合律$\phi \circ \phi^\prime (\cdot)\doteq \phi (\phi^\prime(\cdot))$、逆$\phi \circ \phi^{-1}(\cdot)=\phi ( \phi^{-1}(\cdot))=id$。

最常用的是標量圖像$I(x),x \in {\mathbb R}^3$，通過逆作用於右側。

$\phi \cdot I(x)=I \circ \phi^{-1} (x), x \in {\mathbb R}^3$.

對子流形$X \subset {\mathbb R}^3 \in \mathcal{M}$，參數化為圖或浸入$m(u), u \in U$，微分同胚作用流的位置

$\phi \cdot m(u) \doteq \phi\circ m(u), u \in U$.

## 生成微分同胚的拉格朗日流和歐拉流

在剛體運動學研究中，低維矩陣李群一直是研究的重點。矩陣群是低維映射，是提供了坐標系間一一對應的微分同胚，且具有光滑的逆。旋轉與標量的矩陣群可從閉形式的有限維矩陣生成，後者是簡單常微分方程的解，由矩陣指數給出。

在研究計算解剖學中的可變形形狀時，選擇了更一般的微分同胚群，是到無限維的類推。計算解剖學用到的高維微分同胚群從滿足拉格朗日與歐拉流場規範的光滑流$\phi_t, t \in [0,1]$生成，滿足常微分方程：

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$$<pre> \frac{d}{dt} \phi_t=v_t \circ \phi_t , \ \phi_0=id \ ;$$

$v \doteq (v_1,v_2,v_3)$是${\mathbb R}^3$上的向量場，稱為粒子在流的位置$\phi$處的歐拉速度。向量場是函數空間中的函數，被模擬為高維光滑希爾伯特空間；流的雅各比量$\ D\phi \doteq (\frac{\partial \phi_i}{\partial x_j})$也是函數空間中的高維場，而非矩陣群中的低維矩陣。流首先作為圖像匹配中的大變形被引入；$\dot \phi_t(x)$是粒子x在t時刻的瞬時速度。

群所需的逆$\phi_t^{-1}, t \in [0,1]$定義在具有平逆流的歐拉向量場上$\frac{d}{dt} \phi_t^{-1}=- (D \phi_t^{-1}) v_t , \ \phi_0^{-1}=id \ .$

## 計算解剖學的微分同胚群

微分同胚群特別大。為確保微分同胚的光滑流，避免逆出現類衝激的解，向量場必須在空間中至少1階連續可微。對${\mathbb R}^3$上的微分同胚，向量場被模擬為希爾伯特空間$(V, \|\cdot \|_V )$的元素，可用索博列夫嵌入定理實現，使元素都有嚴格大於2的廣義平方可積空間導數（因此$v_i \in H_0^3, i=1,2,3,$即可），從而得到一次連續可微函數。

微分同胚群是向量場在索博列夫範數下絕對可積的流：$Diff_V \doteq \{\varphi=\phi_1: \dot \phi_t=v_t \circ \phi_t , \phi_0=id, \int_0^1 \|v_t \|_V dt < \infty \} \ ,$ 其中$\|v\|_V^2 \doteq \int_X Av\cdot v dx, \ v \in V \ ,$ 線性運算A映射到對偶空間$A: V \mapsto V^*$，當$Av \in V^*$是對偶空間中的廣義函數時，用分部積分法計算積分。

## 微分同胚度量：形狀與形式的度量空間

微分同胚群與流形、面間度量的研究一直是很重要的研究領域。微分同胚度量描述了兩個圖形或圖像的間距；度量長度是將坐標系代入另一坐標系的流的最短長度。

通常，我們熟悉的歐氏度量不適用，因為形狀與形式的模式不構成向量空間。在計算解剖學的黎曼軌道模型中，作用於形式$\phi \cdot m \in \mathcal {M}, \phi \in Diff_V, m \in \mathcal{M}$的微分同胚並不線性。定義度量的方法有很多，對與形狀有關的集合可用豪斯多夫度量。我們用來誘導黎曼度量的方法是通過定義流的微分同胚坐標系變換間的度量長度，來誘導形狀軌道上的度量。測量形狀軌道中坐標系間的測地流長度，稱為微分同胚度量。

### 微分同胚上的右不變度量

定義微分同胚群上的距離$d_{Diff_V}(\psi, \varphi)=\inf_{v_t} \left(\int_0^1 \int_X Av_t \cdot v_t dx \ dt: \phi_0=\psi, \phi_1=\varphi, \dot \phi_t=v_t \circ \phi_t \right)^{1/2} \ ;$

這是微分同胚的右不變度量，由於$\forall \phi \in Diff_V,$

$$d_{Diff_V}(\psi, \varphi)=d_{Diff_V}(\psi \circ \phi, \varphi \circ \phi)$$

所以空間的重參數化是不變的。

### 形狀和形式的度量

關於形狀和形式的距離，$d_{\mathcal{M}}:\mathcal{M} \times \mathcal{M}\rightarrow \R^+$，$d_{\mathcal{M}}(m,n)=\inf_{\phi \in \operatorname{Diff}_V: \phi \cdot m=n } d_{\operatorname{Diff}_V}(id,\phi) \ ;$ 圖像用軌道表示為$I \in \mathcal{I}$及度量$, d_{\mathcal{I}}$。

## 微分同胚流上哈密頓原理的作用積分

經典力學中，物理系統的演化由與哈密頓原理的最小作用量原理相關的歐拉-拉格朗日方程描述。例如，這是獲得自由粒子牛頓運動定律的標準方法；更廣泛地說，歐拉-拉格朗日方程可用於廣義坐標。計算解剖學中的歐拉-拉格朗日方程描述了微分同胚度量坐標系間的測地最短路徑流，廣義坐標是微分同胚的流，其拉格朗日速度$\phi, \dot{\phi}$，兩者通過拉格朗日速度$v \doteq \dot{\phi} \circ \phi^{-1}$相關聯。

生成歐拉-拉格朗日方程的哈密頓原理要求拉格朗日量上的作用積分為$$J(\phi) \doteq \int_0^1 L(\phi_t,\dot \phi_t) dt \ ;$$ 拉格朗日量由動能給出：$L(\phi_t, \dot \phi_t ) \doteq \frac{1}{2} \int_X A (\dot \phi_t \circ \phi_t^{-1}) \cdot (\dot \phi_t \circ \phi_t^{-1} ) dx =\frac{1}{2} \int_X Av_t \cdot v_t \ dx \ .$