載流子散射

載流子散射是指半導體中的電荷載流子（包括電子和空穴)在輸運過程中受到散射的現象。了解外部場效應下的載流子散射過程是半導體晶片設計的核心，以方便後續使用電子設計自動化（EDA）或電子計算機輔助設計（ECAD）系統，進行積體電路和印刷電路板的設計。

半導體中存在兩種不同的電荷載流子，即攜帶負電荷的電子和攜帶正電荷的空穴。非超導相的半導體中電子和空穴的輸運會受到半導體內部的長程無序和短程無序而發生散射，從而表現出電阻、熱電勢和電子熱阻等效應。

測量載流子的平均散射時間通常比較容易。可以測量在不同柵極電壓下的電導率，再通過一級近似，來擬合來獲得一個散射時間的平均值。也可以通過觀測快速雷射輔助下的光子-電子相互作用來實時獲得。

測量載流子散射對能量的靈敏度比較困難。根據麻省理工學院唐爽和崔瑟豪斯的研究成果，可以通過調節費米能級位置以測量熱電勢的最大值的方式，來檢測載流子散射的能量敏感度。此後，「唐-崔瑟豪斯理論」被廣泛用於測量各種新型半導體材料中載流子的散射機制，包括超晶格、納米管、石墨烯、過渡金屬二硫化物單層和黑磷。

## 半導體懸掛鍵的電子能級

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確定懸掛鍵能級的一種更簡單、更定性的方法是使用哈里森圖。金屬具有非定向性和較小的德拜長度，由於其帶電性，即可認為懸掛鍵即使存在也無關緊要。半導體是電介質，因此電子可以感受到並被困在缺陷能態中。這些狀態的能級由構成固體的原子決定。圖 1 顯示了元素半導體矽的哈里森圖。從左到右，s軌道和 p軌道雜化形成 sp3 鍵，當多個sp3 雜化的矽-矽二聚體相連接時，就形成了導帶和價帶。如果存在空位，例如固/真空界面處每個原子上的空位，則會導致至少一個斷裂的 sp3 鍵，其能量相當於單個自雜化矽原子的能量，如圖1所示。該能量大致對應於矽帶隙的中間，價帶上方約0.55 eV處。當然，這是最理想的情況，而如果發生化學鍵鈍化效應（見下文）和表面重構效應，情況就會有所不同。實驗上，如果儀器靈敏度和/或缺陷密度足夠高，則可以使用吸收光譜或X射線光電子能譜來確定這些狀態的能量。

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化合物半導體（例如砷化鎵）具有更靠近能帶邊緣的懸掛鍵（見圖 2）。隨著成鍵變得越來越離子化，這些狀態甚至可以充當摻雜劑。這是眾所周知的 $p$-型氮化鎵摻雜困難的原因，其中氮空位由於其高蒸汽壓導致高鎵懸掛鍵密度。這些狀態接近導帶邊緣，因此充當供體。當引入p型受體摻雜劑時，它們會立即被氮空位填充。對於這些淺能態，它們的處理通常被認為類似於氫原子，對於陰離子或陽離子空位的情況如下（$m*$為陽離子中空穴的有效質量或陰離子中電子的有效質量為）。結合能為:

$$E_{c} - E_{db}=U+KE=\frac{1}{2}U\; \; (1)$$

其中 $U=-q^2/(4\pi\epsilon\epsilon_r)$是占據懸掛鍵的電子與其離子核心之間的靜電勢，其中$\epsilon$為自由空間介電常數，$\epsilon_r$為相對介電常數，$r$為電子-離子核間舉例。電子平移能 $KE=-U/2$ 的簡化是由於中心對稱勢的維里定理。正如玻爾模型所描述的，$r$ 受到量化

$n\lambda=2\pi r \; \; (2)$。

電子動量為$p=mv=h/\lambda$ 使得$$KE=\frac{p^{2}}{2m^{*}}=\frac{h^{2}n^{2}}{8m^{*}\pi ^{2}r^{2}}=-\frac{U}{2}=\frac{q^{2}}{8\pi \varepsilon \varepsilon _{r}r} \; \; (3)$$

從而有

$$r=\frac{4\pi\hbar^{2}n^{2}\varepsilon \varepsilon _{r}}{q^{2}m^{*}} \; \; (4)$$

和

$E_{c} -E_{db}=\frac{U}{2} = \frac{m^{*}q^{4}}{8h^{2}(\varepsilon \varepsilon _ {r})^{2}}\; \; (5)$。

由於缺陷傾向於遠離任一能帶邊緣，因此這種處理會相對失去準確性。

## 缺陷散射

懸掛鍵能級是描述缺陷附近電子的波函數的特徵值。在載流子散射的經典模型中，這對應於散射頻率的費米黃金法則的最終狀態：

$$S_{k'k}=\frac{2\pi}{\hbar}|<f|H'|i>|^{2}\delta (E_{f}-E_{i}) \; \; (6)$$

其中 $H'$ 為相互作用參數，狄拉克δ函數 $\delta(E_f -E_i)$ 表示彈性散射。簡單關係 $1/\tau= \Sigma_{k',k} S_{k'k}$與 $\sigma=ne_2\tau/m^*$ 和Matthiessen規則結合使用以合併其他散射過程時，使其成為表徵材料輸運特性的方程。

$S_{k'k}$ 的值主要由交互參數$H'$決定。該術語根據是否考慮淺能態或深能態而有所不同。對於淺能態，$H'$ 是重新定義的哈密頓量 $H=H_o+H'$的擾動項，其中$H_o$的特徵值能量為$E_i$。這種情況的矩陣是

$$<f|H'|i>\equiv M_{k'k}=\frac{1}{V}\int d\bar{r} H'e^{i\bar{r}(\bar{k}-\bar{k}')}=\frac{1}{V}\sum_{\bar{q}}\int d\bar{r} H_{\bar{q}}e^{i\bar{r}(\bar{k}-\bar{k}'+\bar{q})} = \frac{1}{V}\sum_{\bar{q}} H_{\bar{q}}\delta _{\bar{k}-\bar{k}'},_{\bar{q}}=\frac{1}{V}H_{\bar{q}} \;\; (7)$$

其中$k'$ 是最終狀態的波矢，由於缺陷密度足夠小而無法形成能帶 ($~<10^{10}/cm^2$)，因此其只有一個值。使用傅立葉周期點電荷的泊松方程。

$\nabla ^{2} V(\bar{r}) =\frac{-e\delta (\bar{r})}{\varepsilon \varepsilon _r}= -\sum_{\bar{q}}\bar{q}^{2}V_{\bar{q}}e^{i\bar{q}\bar{r}} = \frac{-e}{V\varepsilon \varepsilon _{r}}\ \sum_{\bar{q}}e^{i\bar{q}\bar{r}} \;\; (8)$ ,

給出懸掛鍵勢的傅立葉係數 $V_q=e/(q^2\epsilon\epsilon_r V)$ 其中$V$是體積。這使得

$$H_{\bar{q}}=-eV_{\bar{q}} =\frac{-e^{2}}{\bar{q}^{2}\varepsilon \varepsilon _{r} V}=\frac{-e^{2}}{(\bar{q}^{2} + q_{s}^{2})\varepsilon \varepsilon _{r} V} \;\; (9)$$

其中$q_s$是由於電荷屏蔽而產生的德拜長度波矢校正。那麼，散射頻率為

$$\frac{1}{\tau} = \sum_{\bar{k}',\bar{k}} S_{\bar{k}'\bar{k}}=n\sum_{\bar{k}}\frac{2\pi}{\hbar}\frac{e^{4}\delta (E_{\bar{k}}-E_{\bar{k}'})}{\varepsilon \varepsilon _{r}V[\bar{q}^{2}-q_{s}^{2}]^{2}}=\frac{ne^{4}}{4\pi^{2}\hbar \varepsilon \varepsilon _{r}}\int \int \int dk d\theta d\phi \frac{k^{2} sin\theta \; \delta (E_{\bar{k}}-E_{\bar{k}'})}{[\bar{q}^{2}-q_{s}^{2}]^{2}} \;\; (10)$$

其中 $n$ 是體積缺陷密度。利用 $|k|=|k'|$ 執行積分，給出

$\frac{1}{\tau} = \frac{ne^{4}}{2\pi\sqrt{2m^{*}(E_{c}-E_{db})}\hbar ^{2}\varepsilon \varepsilon _{r}} \left( \frac{1}{q_s^{2}}-\frac{1}{q_{s}^{2}+\frac{8m^{*}(E_{c}-E_{db})}{\hbar^{2}}} \right) \;\; (11)$。

當缺陷為非周期性時，上述以傅立葉級數表示懸掛鍵勢的處理會失敗。由於缺陷密度較低，才可能將方程 (10) 中的總和簡化為 $n$。如果每個原子（或可能每個其他原子）都有一個懸掛鍵（這對於非再構表面來說是相當合理的），則還必須對 $k'$ 進行積分。由於在定義相互作用矩陣時使用微擾理論，上面假設$H'$ 值較小，或者接近能帶邊緣的淺缺陷態。幸運的是，費米黃金法則本身非常通用，如果傳導電子和缺陷之間的相互作用被充分理解，可以將它們的相互作用建模為替代 $H'$ 的算子，則可以用於深態缺陷。

## 鈍化

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表面缺陷總是可以被原子「鈍化」，有目的地占據相應的能級，這樣輸運電子就不能散射到這些態中（有效地減少等式 $(10)$中的$n$）。例如，用氫在金屬氧化物半導體場效電晶體的溝道/氧化物界面處進行矽的鈍化（圖 4）是一種經典程序，有助於將 $~10^{10} cm^{-2}$的缺陷密度降低12倍，從而提高遷移率和開關速度。去除中間態會減少隧穿勢壘，同時也會減少柵極漏電流並增加柵極電容以及瞬態響應。其效果是矽的sp3鍵變得完全飽和。這裡明顯的要求是半導體氧化鈍化原子的能力，或者，$E_c-E_{db}+ \chi>E_I$，其中 $\chi$為半導體的電子親和力，而$E_I$為原子的電離能。

## 聲子散射

我們現在考慮帶有稱為聲子晶格變形的載流子散射。考慮這種傳播波產生的體積位移，$\Delta V_{0}$，從而導致具有時間依賴性的應變， $\Delta V_{0}/V_{0}=\bigtriangledown u(r,t)$ 其中使用簡單的平面波來描述聲子傳播， $u(r,t)\propto exp\pm(iqr-i\omega t)$。原子遠離其平衡位置的位移通常會導致電子能帶結構的變化（圖 5），其中，對於散射，我們關注能量為$~E_{CB}$的導帶中的電子。

$\Delta E_{CB}=\frac{\mathrm{d} E_{CB} }{\mathrm{d} V_{0}}\Delta V_{0} = V_{0} \frac{\mathrm{d} E_{CB} }{\mathrm{d} V_{0}} \frac {\Delta V_{0}}{V_{0}}=Z_{DP}\cdot \bigtriangledown u(r,t) \; \; (12)$。

經驗參數$Z_{DP}$稱為變形勢，描述電子-聲子耦合強度。乘以聲子布居（玻色-愛因斯坦分布，$N_{q}$給出總變形勢。

$$\Delta E_{CB}^{Tot}=\widehat{H}_{int}=Z_{DP}\cdot \bigtriangledown u(r,t)\sqrt{N_{q}+\frac{1}{2}\pm \frac{1}{2}}=\pm i q Z_{DP} u(r,t)\sqrt{N_{q}+\frac{1}{2}\pm \frac{1}{2}} \; \; (13)$$

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這裡，$+$ 對應於聲子發射，$-$對應於散射事件期間的聲子吸收。一個注釋，因為$q\perp u(r,t)$對於橫向聲子，只有與縱向聲子的相互作用是非零的。因此，完整的相互作用矩陣為

$$<k'|\widehat{H}_{int}|k>=\pm i q Z_{DP} u(r,t)\sqrt{N_{q}+\frac{1}{2}\pm \frac{1}{2}}\delta _{k', k \pm q} \; \; (14)$$

其中克羅內克δ函數強制動量守恆，其源於假設電子波函數（最終狀態， $<k'|$，和初始狀態， $|k>$）也是平面波。

## 聲學聲子

使用費米黃金法則，可以近似計算低能聲學支聲子的散射率。這些聲子的相互作用矩陣是

$$|<k'|\widehat{H}_{int}|k>|^{2}=Z_{DP}^{2}\frac{\hbar \omega _{q}}{2V\rho c^{2}} (N_{q}+\frac{1}{2}\pm \frac{1}{2})\delta _{k', k \pm q} \; \; (15)$$

聲子角頻率 $\omega_q=cq$、體積$V$、固體密度$\rho$和聲子群速度$c$。將其代入方程式 6 給出

$S_{k'k}^{Ac}=\frac{2\pi}{\hbar} Z_{DP}^{2}\frac{\hbar \omega _{q}}{2V\rho c^{2}} (N_{q}+\frac{1}{2}\pm \frac{1}{2})\delta _{k', k \pm q}\delta [E(k')-E(k) \pm \hbar \omega _{q}] \; \; (16)$。

假設 $N_q >>1>>$、$\hbar \omega<<kT$ 和 $g(E')~ g(E)$（這通常適用於三維晶體，因為傳導電子能量通常遠大於$\hbar \omega$並且 $g(E)$ 缺乏任何范霍夫奇點) 給出散射率：

$$\frac{1}{\tau} = \sum_{k'} S_{k'k}^{Ac}=\sum_{k} S_{k\pm q ,k}^{Ac}$$ $$=\frac{2\pi}{\hbar} Z_{DP}^{2}\frac{\hbar \omega _{q}}{2V\rho c^{2}} (\frac{kT}{\hbar \omega _{q}}) \sum_{k} \delta _{k', k \pm q}\delta [E(k')-E(k) \pm \hbar \omega _{q}]$$ $$=\frac{2\pi}{\hbar} Z_{DP}^{2}\frac{kT}{2V\rho c^{2}} V \times g(E)$$

$$=\frac{\sqrt 2}{\pi}\frac{Z_{DP}^{2} m^{*\frac{3}{2}}kT}{\rho \hbar ^{4}c^{2}} \sqrt{E-E_{CB}} \; \; (17)$$

其中 $g(E)$ 是電子的態密度，使用具有拋物線色散的三維解來獲得最終答案。

## 光學聲子

通常，光學支聲子色散關係中的能量具有相當於或大於 $kT$ 的兩級，因此，無法進行近似 $\hbar\omega<<kT$和 $N_q>>1$。然而，仍然可以使用愛因斯坦模型近似處理複雜的聲子色散，該模型假設固體中只存在一種聲子模式。對於光學支的聲子，由於$\omega(q)$的斜率變化非常小，這種近似是足夠的。因此，我們可以假設$\hbar\omega(q)\approx\hbar\omega(q)$是一個常數，而$N_q$ 也是一個僅與溫度相關的常數。最後的近似值 $g(E')=g(E\pm\hbar\omega)~g(E)$ 無法進行，因為$\hbar\omega \sim E$ 並且無解，但$\tau$總和所增加的複雜性是最小的。

$\frac{1}{\tau} = \sum_{k'} S_{k'k}^{Op}=\frac{2\pi}{\hbar} Z_{DP}^{2}\frac{\hbar \omega}{2V\rho c^{2}} (N_{q}+\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2}) \sum_{k'} \delta _{k', k \pm q}\delta [E(k')-E(k) \pm \hbar \omega]$`</br>` $=Z_{DP}^{2}\frac{\hbar \omega}{8 \pi ^2 \hbar\rho c^{2}} (N_{q}+\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2}) g(E \pm \hbar \omega) \; \; (18)$。

其相加的和轉化為 $E'$ 處的態密度，並且由於 $\hbar\omega(q) \approx \hbar\omega$，可以從總和中取出玻色-愛因斯坦分布。