弗羅貝尼烏斯代數

表示論和模理論中，弗羅貝尼烏斯代數是一種有限維酉結合代數，具有特殊的雙線性形式，賦予了代數以良好的對偶理論。1930年代，理察·布饒爾和Cecil J. Nesbitt開始研究弗羅貝尼烏斯代數，以費迪南德·格奧爾格·弗羅貝尼烏斯命名。中山正發現了豐富的對偶理論的雛形Nakayama、Nakayama。讓·迪厄多內利用利用這一點描述了弗羅貝尼烏斯代數Dieudonné。弗羅貝尼烏斯代數被推廣到准弗羅貝尼烏斯環，即正則表示右式為內射模的諾特環。近來，由於與拓撲量子場論的聯繫，人們對弗羅貝尼烏斯代數重新產生了興趣。

## 定義

定義在域k上的有限維酉結合代數A若有非退化雙線性形式σ : A × A → k，滿足方程σ(a·b, c) = σ(a, b·c)，則稱作弗羅貝尼烏斯代數。這一雙線性形式被稱作代數的弗羅貝尼烏斯形式。

等價地，我們可以給A加上線性泛函λ : A → k，使λ的核不包含A的非零左理想。

若σ是對稱雙線性形式，或等價地，λ滿足λ(a·b) = λ(b·a)，則稱弗羅貝尼烏斯代數對稱。

向量空間中有另一個基本不相關的對稱代數概念。

## 中山自同態

對於配備上述σ的弗羅貝尼烏斯代數A，A的自同態ν，使σ(a, b) = σ(ν(b), a)是與A、σ相關的中山自同態。

## 例子

- 任何定義在域k上的矩陣代數都是弗羅貝尼烏斯代數。其弗羅貝尼烏斯形式為$\sigma(a,\ b)={\rm tr}(a\cdot b)$，其中tr表示跡。
- 任意有限維酉結合代數A都與其自同態環${\rm End}(A)$自然同態。在前例的意義上，可在A上定義一個非退化雙線性形式，就使得A具有弗羅貝尼烏斯代數的結構。
- 域k上有限群G的群環kG都是對稱弗羅貝尼烏斯代數，弗羅貝尼烏斯形式σ(a,b)由a·b中單位元的係數給出。
- 對於域k，四維k代數$k[x,\ y]/(x^2,\ y^2)$是弗羅貝尼烏斯代數。這可以從下面的交換局部弗羅貝尼烏斯環的特徵得出，因為它是局部環，最大理想由x、y生成，唯一的最小理想由xy生成。
- 對於域k，三維k代數$A=k[x,\ y]/(x,\ y)^2$不是弗羅貝尼烏斯代數。由x ↦ y 引導的xA到A的同態不能擴展為A到A的同態，表明此環不是自內射的，因此也不是弗羅貝尼烏斯代數。
- 任意有限維霍普夫代數都是弗羅貝尼烏斯代數，據Larson-Sweedler (1969)關於霍普夫模和積分的定理。

## 性質

- 弗羅貝尼烏斯代數的直積及張量積都是弗羅貝尼烏斯代數。
- 域上的有限維交換局部代數是弗羅貝尼烏斯代數，若且唯若其右正則模是內射的，若且唯若其極小理想唯一。
- 交換局部弗羅貝尼烏斯代數正是包含其剩餘域並在其上有限維的零維局部葛侖斯坦環。
- 弗羅貝尼烏斯代數是准弗羅貝尼烏斯環，特別是，它們是左右阿廷環、是左右自內射環。
- 對於域k，若且唯若內射的右A模${\rm Hom}_k(A,\ k)$與A的右正則表達同構時，一個有限維酉結合代數才是弗羅貝尼烏斯代數。
- 對於無限域k，若有限維酉結合k代數只有有限多個極小右理想，則它是弗羅貝尼烏斯代數。
- 若F是k的有限維擴張，則有限維F代數通過標量的限制，自然就是有限維k代數，且只有當它是弗羅貝尼烏斯F代數時，它才是弗羅貝尼烏斯k代數。即，只要代數是有限維，弗羅貝尼烏斯性就與域無關。
- 同樣，若F是k的有限維擴張，則k代數A都會自然產生F代數$F\otimes_kA$，其中A是弗羅貝尼烏斯k代數，若且唯若$F\otimes_kA$是弗羅貝尼烏斯F代數。
- 在右正則表達為內射的有限維酉結合代數中，弗羅貝尼烏斯代數A是單模M與其A對偶${\rm Hom}_A(M,\ A)$同維度的代數。其中，單模的A對偶總是單的。
- 有限維雙弗羅貝尼烏斯代數或嚴格雙弗羅貝尼烏斯代數是k向量空間A，其有兩個乘法結構，即酉弗羅貝尼烏斯代數(A, • , 1)和(A, $\star$ , $\iota$)：必須有A到k的乘法同態$\phi$、$\varepsilon$，使$\phi(a\cdot b)$、$\varepsilon(a\star b)$非退化，且A到自身的的k同構S對這兩種結構都是反自同構，於是$\phi(a\cdot b) = \varepsilon(S(a)\star b).$當A是k上的有限維霍普夫代數且S是其對徑（antipode）。有限群的群代數給出了一個例子。

## 範疇論定義

範疇論中，弗羅貝尼烏斯對象是在範疇中對弗羅貝尼烏斯代數的抽象定義。么半範疇$(C,\otimes,I)$中的弗羅貝尼烏斯對象$(A,\mu,\eta,\delta,\varepsilon)$由C的對象A和4個態射組成：

$$\mu:A\otimes A\to A,\qquad \eta:I\to A,\qquad\delta:A\to A\otimes A\qquad\mathrm{and}\qquad\varepsilon:A\to I$$

使

- $(A,\mu,\eta)\,$是C中的么半對象。
- $(A,\delta,\varepsilon)$是C中的余么半對象。
- 圖

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可交換（簡單起見，此處給出的圖是嚴格么半範疇C），稱作弗羅貝尼烏斯條件。

更簡潔地說，C中的弗羅貝尼烏斯代數是所謂弗羅貝尼烏斯么半函子A：1 → C，其中1是由一個對象和一個態射組成的範疇。

若$\mu\circ\delta = \mathrm{Id}_A$，稱弗羅貝尼烏斯代數等距或特殊。

## 應用

弗羅貝尼烏斯代數最初來自有限群表示論研究，並對數論、代數幾何和組合數學的研究做出了貢獻。它們還被用來研究霍普夫代數、編碼理論和緊有向流形的上同調環。

### 拓撲量子場論

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最近有人發現，它們在拓撲量子場論的代數處理和公理基礎中發揮著重要作用。交換弗羅貝尼烏斯代數唯一確定了（同構意義上）(1+1)維拓撲量子場論。更準確地說，交換弗羅貝尼烏斯$K$代數範疇等價於從$2-\textbf{Cob}$（1維流形間的2維配邊的範疇）到$\textbf{Vect}_K$（$K$上的向量空間的範疇）的對稱強么半函子範疇。

拓撲量子場論和弗羅貝尼烏斯代數之間的對應如下：

- 1維流形是圓的不交並：拓撲量子場論將向量空間與圓聯繫起來，將向量空間的張量積與圓的不交並聯繫起來。
- 拓撲量子場論將流形間的每個配邊與向量空間之間的映射聯繫起來（函子式地）。
- 與褲面（1個圓和2個圓之間的配邊）相關聯的映射給出了積射$V \otimes V \to V$或余積射$V \to V \otimes V$，取決於邊界成分的分組方式是交換還是余交換。
- 根據邊界分組方式的不同，與圓盤相關聯的映射給出了余單位（跡）或單位（標量）。

弗羅貝尼烏斯代數及(1+1)維拓撲量子場論的這種關係可用來解釋科瓦諾夫對瓊斯多項式的分類。

## 推廣

### 弗羅貝尼烏斯擴張

令B為與酉結合環A有同樣單位元的子環。這也稱作環擴張A | B，滿足以下條件的環擴張稱作弗羅貝尼烏斯擴張：

- $\forall b,\ c\in B,\ a\in A$，有線性映射$E:\ A\to B$滿足雙模條件$E(bac)=bE(a)c$。
- $\{x_i \}^n_{i=1},\ \{y_i \}^n_{i=1}\in A$，使得對$\forall a\in A$都有：

$$\sum_{i=1}^n E(ax_i) y_i = a = \sum_{i=1}^n x_i E(y_i a)$$

映射E也稱作弗羅貝尼烏斯同態，元素$x_i, y_i$稱作對偶基。（可給出弗羅貝尼烏斯擴張的等價定義：B-B雙模範疇中的弗羅貝尼烏斯代數-共代數對象，剛才的等式變成了余單位E的余單位方程。）

例如，交換環K上的弗羅貝尼烏斯代數A，配備結合非退化雙線性形式(-,-)與射影K基$x_i, y_i$，則稱為弗羅貝尼烏斯擴展A | K，其中E(a) = (a,1)。例子還有：與有限指數子群相聯繫的群代數對、半單霍普夫代數的霍普夫子代數、伽羅瓦擴張和某些有限指數的馮·諾依曼代數子因子。弗羅貝尼烏斯擴張（及扭曲版本）的另一個來源是弗羅貝尼烏斯代數的某些子代數對，當中的子代數通過上代數（overalgebra）的對稱自同構得到穩定。

群環例子的細節是以下群論基本概念的應用。令G為群，H為當中有限指數n的子群；設$g_1,\ \ldots,\ g_n$為左陪集表示，於是G是陪集$g_1H,\ \ldots,\ g_nH$的不交並。在任意交換基環k上定義群代數$A=k[G],\ B=k[H]$，於是B是A的子代數。通過使$\forall h\in H,\ E(h)=h;\ g\notin H,\ E(g)=0$，定義弗羅貝尼烏斯同態$E:\ A\to B$：這就從基群元素線性擴展到了A的所有元素，從而得到B-B雙模射影

$$E \left (\sum_{g \in G} n_g g \right ) = \sum_{h \in H} n_h h \ \ \ \text{ for } n_g \in k$$

（正交歸一性條件$E(g_i^{-1}g_j) = \delta_{ij} 1$由此得出。）對偶基由$x_i = g_i, y_i = g_i^{-1}$給出，因為

$$\sum_{i=1}^n g_i E\left(g_i^{-1} \sum_{g \in G} n_g g\right) = \sum_i \sum_{h \in H} n_{g_ih} g_ih = \sum_{g \in G} n_g g$$

另一個對偶基方程可通過觀察得出，即G也是右陪集$Hg_1^{-1},\ldots,Hg_n^{-1}$的不交並。

另外，根據Kreimer & Takeuchi (1989)的定理，霍普夫-伽羅瓦擴張也是弗羅貝尼烏斯擴張。簡單例子是有限群G通過自同構作用於具有不變子代數的代數A：

$$B = \{ x \in A \mid \forall g \in G, g(x) = x \}.$$

根據DeMeyer準則，A是B上的G伽羅瓦，若A中有元素$\{ a_i \}_{i=1}^n, \{ b_i \}_{i=1}^n$滿足：

$$\forall g \in G: \ \ \sum_{i=1}^n a_i g(b_i) = \delta_{g,1_G}1_A$$

因此

$$\forall g \in G: \ \ \sum_{i=1}^n g(a_i) b_i = \delta_{g,1_G}1_A.$$

那麼A是B的弗羅貝尼烏斯擴張，$E:\ A\to B$定義為

$$E(a) = \sum_{g \in G} g(a)$$

其滿足

$$\forall x \in A: \ \ \sum_{i=1}^n E(xa_i)b_i = x = \sum_{i=1}^n a_i E(b_i x).$$

（此外，可分代數擴張的例子：$e = \sum_{i=1}^n a_i \otimes_B b_i$是可分性元，滿足$\forall a\in A,\ ea=ae;\ '\sum_{i=1}^n a_i b_i = 1$。也是深度二子環（A中的B）的例子，因為

$$a \otimes_B 1 = \sum_{g \in G} t_g g(a)$$

其中

$$t_g = \sum_{i=1}^n a_i \otimes_B g(b_i)$$

$$\forall g\in G,\ \forall a\in A.$$

1950到60年代，Kasch & Pareigis、Nakayama & Tzuzuku等人開發了完備的弗羅貝尼烏斯擴張的誘導表示理論。例如，對每個B模M，誘導模$A\otimes_BM$（若M是左模）與余誘導模${\rm Hom}_B(A,\ M)$作為A模自然同構。Kasch (1960)的自同態環定理指出，若A | B是弗羅貝尼烏斯擴張，則$A\to{\rm End}(A_B)$也是弗羅貝尼烏斯擴張，其中映射由a ↦ λa(x)和$\forall a,\ x\in A,\ \lambda_a(x)=ax$給出。Mueller、Morita、Onodera等人又研究了自同態環定理和逆反。

### 弗羅貝尼烏斯伴隨

如上段暗示的，弗羅貝尼烏斯擴張有等價的範疇化表述。

即，給定環擴張$S \subset R$，從左S模範疇到左R模範疇的誘導函子$R \otimes_S - \colon \text{Mod}(S) \to \text{Mod}(R)$有左右伴隨，分別稱作余限制與限制。

若且唯若左右伴隨自然同構時，該環擴張才稱作「弗羅貝尼烏斯擴張」。

這就導致了對普通範疇論的明顯抽象：伴隨$F \dashv G$若也有$G \dashv F$，則稱作弗羅貝尼烏斯伴隨。

若函子F是弗羅貝尼烏斯伴隨的一部分，即有同構的左右伴隨，則是弗羅貝尼烏斯函子。