曲率半徑

在微分幾何中，曲率半徑R是曲率的倒數。對於曲線上一點，曲率半徑等於最貼近該點曲線的圓弧半徑。對於曲面上一點，曲率半徑是最貼合該點的法向截面或其組合的圓弧半徑。

## 定義

對於空間曲線，曲率半徑是曲率矢量的長度。

對於平面曲線，則曲率半徑是曲線上固定一點的弧長的微分與切角的微分之比的絕對值

$$R=\left\vert {ds \over d\varphi} \right\vert={1 \over \kappa}$$

而κ是曲率。

## 公式

### 二維

若曲線在笛卡爾坐標中為y(x) 作為函數圖，則其曲率半徑為（假設曲線可進行二階微分）

$$R =\left| \frac { \left(1 + y'^{\,2}\right)^\frac32}{y''}\right|\,,$$

其中$y' = \frac{dy}{dx}\,,$ $y'' = \frac{d^2y}{dx^2},$z為z的絕對值。

如果曲線是關於函數x(t)和y(t)的參數方程，則其曲率半徑為

$$R = \left|\frac{ds}{d\varphi}\right| = \left|\frac {\left({\dot{x}^2 + \dot{y}^2}\right)^\frac32}{\dot {x}\ddot{y} - \dot{y}\ddot{x}}\right|$$

其中$\dot{x} = \frac{dx}{dt},$ $\ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2},$ $\dot{y} = \frac{dy}{dt},$ $\ddot{y} = \frac{d^2y}{dt^2}.$

由此啟發，該結果可以表示為

$$R = \frac{\left|\mathbf{v}\right|^3}{\left| \mathbf{v} \times \mathbf{ \dot v} \right|}\,,$$

其中

$$\left| \mathbf{v} \right| = \big| (\dot x, \dot y) \big| = R \frac{d\varphi}{dt}\,.$$

### n維

若γ : ℝ → ℝn是ℝn中的參數方程曲線，則曲線上每個點的曲率半徑ρ : ℝ → ℝ，由此可知

$$\rho = \frac{\left|\boldsymbol\gamma'\right|^3}{\sqrt{\left|\boldsymbol\gamma'\right|^2 \, \left|\boldsymbol\gamma''\right|^2 - \left(\boldsymbol\gamma' \cdot \boldsymbol\gamma''\right)^2}}\,.$$

特殊情況下，若f(t)是從ℝ映射到ℝ的函數，則其圖象的曲率半徑γ(t) = (t, f (t))為

$$\rho(t)=\frac{\left|1+f'^{\,2}(t)\right|^\frac32}{\left|f''(t)\right|}.$$

### 推導過程

令γ如上，並固定t。我們想要找到一個與t處的γ零階、一階和二階導數相匹配的參數方程圓的半徑ρ。顯然，半徑與位置γ(t) 無關，而與速度γ′(t)和加速度γ″(t) 有關。由向量v和w只能獲得三個獨立標量，即v · v、 v · w和w · w。因此，曲率半徑一定是關於這三個標量函數。即 γ′(t)2, γ″(t)2，γ′(t) · γ″(t)。

ℝn中圓的一般參數方程為

$$\mathbf{g}(u) = \mathbf a \cos (h(u)) + \mathbf b \sin (h(u)) + \mathbf c$$

其中c ∈ ℝn是圓心（無關，因為它在求導過程中消失）， a,b ∈ ℝn是長度為ρ的相互垂直的向量（即， a · a = b · b = ρ2，a · b = 0 ), h : ℝ → ℝ是在t處可兩次微分任意函數。

g的相關導數為

$$\begin{align} |\mathbf g'|^2 &= \rho^2 (h')^2 \\ \mathbf g' \cdot \mathbf g'' &= \rho^2 h' h'' \\ |\mathbf g''|^2 &= \rho^2 \left((h')^4 + (h'')^2 \right) \end{align}$$

若現在將g的導數等同於t處γ的相應導數，可得

$$\begin{align} |\boldsymbol\gamma'(t)|^{2} &= \rho^2 h'^{\,2}(t) \\ \boldsymbol\gamma'(t) \cdot \boldsymbol\gamma''(t) &= \rho^2 h'(t) h''(t) \\ |\boldsymbol\gamma''(t)|^{2} &= \rho^2 \left(h'^{\,4}(t) + h''^{\,2}(t)\right) \end{align}$$

關於三個未知數（ρ、 h′(t)和h″(t)）的三個方程可以求解其中的ρ，可得曲率半徑的公式為：

$$\rho(t) = \frac{\left|\boldsymbol\gamma'(t)\right|^{3}}{\sqrt{\left|\boldsymbol\gamma'(t)\right|^{2} \, \left|\boldsymbol\gamma''(t)\right|^{2} - \big(\boldsymbol\gamma'(t) \cdot \boldsymbol\gamma''(t)\big)^2}}\,,$$

提高可讀性省略參數t，可得

$$\rho = \frac{\left|\boldsymbol\gamma'\right|^3}{\sqrt{\left|\boldsymbol\gamma'\right|^2 \; \left|\boldsymbol\gamma''\right|^2 - \left(\boldsymbol\gamma' \cdot \boldsymbol\gamma''\right)^2}}\,.$$

## 示例

### 半圓與圓

對於一個半徑為a的在上半平面的半圓

$$\begin{align} y &= \sqrt{a^2-x^2} \\ y' &= \frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}} \\ y'' &= \frac{-a^2}{\left(a^2-x^2\right)^\frac{3}{2}}\,. \end{align}$$

<image>

對於一個半徑為a的在下半平面的半圓$$y = -\sqrt{a^2-x^2}\,.$$

該半徑為a的圓有等於a的曲率半徑。

### 橢圓

在長軸為2a短軸為2b的橢圓中, 長軸的頂點有該橢圓上最小的曲率半徑, $R={b^2 \over a}$; 並且短軸的頂點有該橢圓上最大的曲率半徑 R = a2。

令橢圓的曲率半徑是關於參數t的方程, 即

$$R(t)= \frac{(b^2 \cos^2t + a^2\sin^2t)^{3/2}}{ab}\,,$$

其中$\theta = \tan^{-1}\Big(\frac{y}{x}\Big) = \tan^{-1}\Big(\frac{b}{a}\;\tan\;t\Big)\,.$

令橢圓的曲率半徑是關於參數θ的方程, 即

$$R(\theta)=\frac{a^2}{b}\biggl(\frac{1-e^2(2-e^2)(\cos\theta)^2)}{1-e^2(\cos\theta)^2}\biggr)^{3/2}\,,$$

其中橢圓的偏心率e, 是

$$e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}\,.$$

## 應用

- 在微分幾何中使用，參見切薩羅方程
- 在地球的曲率半徑（近似於扁橢球體）中使用；參見：弧度測量
- 曲率半徑也在彎曲梁的三部分方程中使用
- 曲率半徑 (光學)
- 薄膜技術
- 印刷電子學
- 最小曲線半徑
- AFM 探測器