以豪斯多夫維度排序的分形列表

據本華·曼德博所說：「分形的定義是豪斯多夫-貝西科維奇維度嚴格大於拓撲維度的集合。」

本文的分形列表以豪斯多夫維度升序排列，展示所謂分形維度的意義。

## 定分形

豪斯多夫維度（精確值）｜豪斯多夫維度（近似值）｜名稱｜圖片｜注釋

計算得到｜0.538｜費根鮑姆吸引子｜

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｜費根鮑姆吸引子（見箭頭之間）是臨界參數值$\scriptstyle{\lambda_\infty = 3.570}$的邏輯斯諦映射連續迭代產生的點的集合，其周期減半是無限的。這個維度對任何可微函數和單峰函數都一樣。

$\log_3(2)$｜0.6309｜康托爾集｜

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｜每次迭代都會去掉中間的三分之一。無處稠密集，不可數集。

$\frac{-\log(2)}{\log\left(\displaystyle\frac{1-\gamma}{2}\right)}$｜02 + 1/4的朱利亞集。

$2|\alpha|^{3s}+|\alpha|^{4s}=1$中s的解｜1.0933｜羅茲分形的邊界｜

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｜G.Rauzy提出了與Tribonacci態射有關的動力學分形表示法：$1\mapsto12$、$2\mapsto13$、$3\mapsto1$。$\alpha$是$z^3-z^2-z-1=0$的共軛根之一。

$2\log_7(3)$｜1.12915｜高斯帕曲線｜

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｜高斯帕島是高斯帕曲線的極限。

分格測量｜1.2｜樹突朱利亞集｜

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｜f(z) = z2 + i的朱利亞集。

$3\frac{\log(\varphi)}{\log\left(\displaystyle\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right)}$｜1.2083｜斐波那契字分形60°｜

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｜從斐波那契字構建。另見標準斐波那契字分形 $\varphi = (1+\sqrt{5})/2$（黃金比例）。

$\begin{align}&2\log_2\left(\displaystyle\frac{\sqrt[3]{27-3\sqrt{78}}+\sqrt[3]{27+3\sqrt{78}}}{3}\right),\\ &\text{or root of }2^x-1=2^{(2-x)/2}\end{align}$｜1.2108｜tame twindragon的邊界｜

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｜平面上6個2-rep-tile之一（可分為2片更小的自相似子圖）

1.26｜厄農映射｜

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｜規範厄農映射（參數a = 1.4；b = 0.3）的豪斯多夫維度為1.261 ± 0.003。不同參數會產出不同維度。

$\log_3(4)$｜1.2619｜Triflake｜

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｜Three anti-snowflakes arranged in a way that a koch-snowflake forms in between the anti-snowflakes.

$\log_3(4)$｜1.2619｜科赫曲線｜

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｜3片反雪花的排列方式是在反雪花之間形成科赫曲線。

$\log_3(4)$｜1.2619｜Terdragon曲線的邊界｜

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｜L系統：與龍興曲線相同，角度= 30°。Fudgeflake基於三角形中的3條初始線段。

$\log_3(4)$｜1.2619｜2D康托爾集｜

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$\log_3(4)$｜1.2619｜2DL系統分支｜

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｜L系統，分支圖案有4個1/3大的新片段。以統計而非精確自相似生成圖案，可得到相同的分形維度。

計算得到｜1.2683｜z2 − 1的朱利亞集｜

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｜f(z) = z2 - 1的朱利亞集。

1.3057｜阿波羅分形墊｜

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｜從3個相切的圓開始，反覆將新的圓填入互補的間隙。也是由4個互切圓的反射產生的極限集。見

1.328｜5反演圓分形｜

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｜相對於5個互切圓（紅色）的迭代反演產生的極限集。也是阿波羅分形墊。見

$\log_5(9)$｜1.36521｜平方科赫島，生成自一型曲線｜

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｜也稱為閔可夫斯基香腸

計算得到｜1.3934｜杜阿迪兔｜

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｜f(z) = -0.123 + 0.745i的朱利亞集。

$\log_3(5)$｜1.4649｜維則克分形｜

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｜每個方格由5個交叉方格反覆交換而成。

$\log_3(5)$｜1.4649｜平方科赫曲線（1型）｜

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｜可以看出維則克分形的結構（如上）。

$\log_{\sqrt{5}}\left(\frac{10}{3}\right)$｜1.4961｜四角十字架｜

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｜

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每個方格由5個交叉方格反覆交換而成。

$2-\log_2(\sqrt{2})=\frac{3}{2}$｜1.5000｜魏爾施特拉斯函數：$\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2^k x)}{\sqrt{2}^k}$｜

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｜魏爾施特拉斯函數$f:[0,1]\to\mathbb{R}$圖像的豪斯多夫維度由$f(x)=\sum_{k=1}^\infty a^{-k}\sin(b^k x)(\frac{1}{b}<a<1;\ b>1;\ 2 +\log_b(a))$定義。

$\log_4(8)=\frac{3}{2}$｜1.5000｜平方科赫曲線（2型）｜

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｜也稱為「閔可夫斯基香腸」。

$\log_2\left(\frac{1+\sqrt[3]{73-6\sqrt{87}}+\sqrt[3]{73+6\sqrt{87}}}{3}\right)$｜1.5236｜龍形曲線的邊界｜

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｜cf. Chang & Zhang.

$\log_2\left(\frac{1+\sqrt[3]{73-6\sqrt{87}}+\sqrt[3]{73+6\sqrt{87}}}{3}\right)$｜1.5236｜雙龍曲線的邊界｜

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｜可由兩條龍興曲線構造。平面上6個2-rep-tile之一（可由兩個大小相等的自相似部分組成）。

$\log_2(3)$｜1.5850｜3支樹｜

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｜每個樹枝都有3個分支（此處為 90°和 60°）。整棵樹的分形維度就是末端樹枝的分形維度。注意：2支樹的分形維度只有1。

$\log_2(3)$｜1.5850｜謝爾賓斯基三角形｜

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｜是帕斯卡三角模2的極限形。

$\log_2(3)$｜1.5850｜謝爾賓斯基曲線｜

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｜極限與上方的三角相同，但由一維曲線構建。

$\log_2(3)$｜1.5850｜T方形分形的邊界｜

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｜分形本身的維度（不是邊界）是$\log_2(4)=2$

$\log_{\sqrt[\varphi]{\varphi}}(\varphi)=\varphi$｜1.61803｜黃金龍形曲線｜

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｜由相似比為$r$、$r^2(r = 1 / \varphi^{1/\varphi})$構造。維度等於$\varphi$，因為$({r^2})^\varphi+r^\varphi = 1$。$\varphi = (1+\sqrt{5})/2$（黃金比例）。

$1+\log_3(2)$｜1.6309｜帕斯卡三角模3｜

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｜對於k模三角形，若k為質數，則分形維度為$\scriptstyle{1 + \log_k\left(\frac{k+1}{2}\right)}$（參史蒂芬·沃爾夫勒姆）。

$1+\log_3(2)$｜1.6309｜謝爾賓斯基六邊形｜

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｜以謝爾賓斯基地毯的方式，在六邊形網格上繪製的6個相似比為1/3的模擬圖。科赫曲線見於所有尺度。

$3\frac{\log(\varphi)}{\log (1+\sqrt{2})}$｜1.6379｜斐波那契詞分形｜

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｜基於斐波那契詞Sloane A005614的分形。圖片為23步後的分形曲線（F23 = 28657組分）。$\varphi = (1+\sqrt{5})/2$（黃金比例）。

$(1/3)^s + (1/2)^s + (2/3)^s = 1$的解｜1.6402｜有1/3、1/2、2/3 三種相似比的迭代函數系統｜

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｜推廣：只要開集條件成立，由比率$c_n$的n個相似圖形組成的迭代函數系統的吸引子具有豪斯多夫維度$s$，滿足的方程與歐幾里得縮放因子的迭代函數重合：$\sum_{k=1}^n c_k^s = 1$。

$\log_{8}(32)=\frac{5}{3}$｜1.6667｜32段四邊形分形（1/8比例）｜

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｜

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每次迭代將32段生成線段（見圖）縮放1/8，並用整個生成線段的縮放拷貝替換前一個結構的每一段。所示結構由4個生成單元組成，并迭代3次。理論結構的分形維度為log 32/log 8 = 1.6667。

$1+\log_5(3)$｜1.6826｜帕斯卡三角模5｜

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｜對於k模三角形，若k為質數，則分形維度為$\scriptstyle{1 + \log_k\left(\frac{k+1}{2}\right)}$（參史蒂芬·沃爾夫勒姆）。

網格測量法｜1.7｜池田函數吸引子｜

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｜池田函數$z_{n+1} = a + bz_n \exp\left[i\left[k - p/\left(1 + \lfloor z_n \rfloor^2\right)\right]\right]$參數取a=1、b=0.9、k=0.4、p=6時的圖案。其來自光學環形雷射器中平面波相互作用場的模型。不同的參數會產生不同的值。

$1+\log_{10}(5)$｜1.6990｜50段四邊形分形（1/10比例）｜

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｜每次迭代將50段生成線段（見圖）縮放1/10，並用整個生成線段的縮放拷貝替換前一個結構的每一段。所示結構由4個生成單元組成，并迭代3次。理論結構的分形維度為log 50/log 10 = 1.6990。

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$4\log_5(2)$｜1.7227｜針輪分形｜

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｜由康威的針輪平鋪構建而來。

$\log_3(7)$｜1.7712｜斯芬克斯分形｜

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｜由斯芬克斯六聯鑽石構建而來，去除了9個子部分中的2個。

$\log_3(7)$｜1.7712｜六聯雪花｜

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｜由7個六邊形組分迭代交換每個六邊形而成，其邊界為科赫片，包含無窮多科赫雪花（黑或白）。

$\log_3(7)$｜1.7712｜Fractal H-I de Rivera｜

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｜從單位正方形開始，將其三等分，形成九個自相似正方形。在未消除的7個小正方形中，再去掉上下中間的兩個，這樣無限重複。

$\frac{\log(4)}{\log(2+2\cos(85^\circ))}$｜1.7848｜科赫曲線85°｜

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｜科赫曲線的推廣，角度a在0到90°之間。分形維度為$\frac{\log(4)}{\log(2+2\cos(a))} \in [1,2]$。

$\log_2\left(3^{0.63}+2^{0.63}\right)$｜1.8272｜自仿射分形集｜

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｜從正方形上的$p \times q(p \le q)$矩陣迭代而來，豪斯多夫維度等於$\log_p\left(\sum_{k=1}^p n_k^a\right)(a=\log_q(p))$，且$n_k$是第$k$th列的元素個數。計盒維數給出的公式不一樣，因此值也不同。不同於自相似集，自仿射分形集的豪斯多夫維度取決於迭代元素的位置，到目前還沒有一般公式。

$\frac{\log(6)}{\log(1+\varphi)}$｜1.8617｜五聯雪花｜

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｜通過交替迭代6個五邊形中的每個五邊形構建。$\varphi = (1+\sqrt{5})/2$（黃金比例）。

$6(1/3)^s+5{(1/3\sqrt{3})}^s=1$的解｜1.8687｜猴子樹｜

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｜見於本華·曼德博的《自然分形幾何》（1983），基於相似比為$1/3$的6個圖和相似比為$1/3\sqrt{3}$的5個圖。

$\log_3(8)$｜1.8928｜謝爾賓斯基地毯｜

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｜門格海綿的每個面都是謝爾賓斯基地毯，與三維平方科赫曲面（1型）的底面一樣。

$\log_3(8)$｜1.8928｜3D 康托爾集｜

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$\log_3(4)+\log_3(2)=\frac {\log(4)} {\log(3)}+\frac {\log(2)} {\log(3)}=\frac {\log(8)} {\log(3)}$｜科赫曲線與康托爾集的笛卡兒積｜

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｜推廣：令F×G為分形集F、G的笛卡兒積，則$\dim_H(F \times G) = \dim_H(F) + \dim_H(G)$。另見2D康托爾集和康托爾體。

$2\log_2(x)$，其中$x^9-3x^8+3x^7-3x^6+2x^5+4x^4-8x^3+$ $8x^2-16x+8=0$｜1.9340｜萊維C形曲線的邊界｜

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｜Duvall & Keesling (1999)估計。曲線本身的分形維度為2。

2｜彭羅斯密鋪｜

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｜參見Ramachandrarao, Sinha & Sanyal。

$2$｜2｜曼德博集合的邊界｜

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｜邊界與集合本身有相同的豪斯多夫維度。

$2$｜2｜朱利亞集合｜

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｜對於確定的c值（包括屬於曼德博集邊界的c），朱利亞集的維度為2.

$2$｜2｜謝爾賓斯基曲線｜

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｜所有能填滿平面的空間填充曲線的豪斯多夫維度都是2。

$2$｜2｜希爾伯特曲線｜

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$2$｜2｜皮亞諾曲線｜

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｜還有以類似方法構建的曲線族，如Wunderlich曲線。

$2$｜2｜摩爾曲線｜

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｜可擴展到3維。

2｜勒貝格曲線或Z階曲線｜

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｜與前幾種不同的是，這種空間填充曲線幾乎處處可導。另一種類型可定義在二維中。與希爾伯特曲線一樣，也可擴展到三維空間。

$\log_\sqrt{2}(2)=2$｜2｜龍形曲線｜

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｜其邊界的分形維度為1.5236270862。

2｜雙龍曲線｜

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｜L系統：F → F + F – F, angle = 120°.

$\log_2(4)=2$｜2｜高斯帕曲線｜

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｜曲邊界為高斯帕島。

$7({1/3})^s+6({1/3\sqrt{3}})^s=1$的解｜2｜填充科赫曲線的曲線｜

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｜曼德博提出於1982年，填充了科赫曲線。基於7個相似比為1/3的部分和6個相似比為$1/3\sqrt{3}$的部分。

$\log_2(4)=2$｜2｜謝爾賓斯基四面體｜

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｜每個四面體都被替代為4個更小的四面體。

$\log_2(4)=2$｜2｜H樹｜

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｜與之有相似模式的有曼德博樹。

$\frac{\log(2)}{\log(2/\sqrt{2})}=2$｜畢達哥拉斯樹｜

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｜每個正方形都以$1/\sqrt{2}$的比例擴張出兩個小正方形。

$\log_2(4)=2$｜2｜2D希臘十字分形｜

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｜每段由4段組成的十字形取代。

測量得到｜2.01 ±0.01｜若斯叻吸引子｜

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｜若斯叻吸引子的分數維度略大於2，在a=0.1、b=0.1、c=14時大約位於2.01到2.02之間。

測量得到｜2.06 ±0.01｜洛倫茨吸引子｜

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｜對於參數$\rho=40,\ \sigma,\ \beta=4$。見McGuinness (1983)

$4+c^D+d^D=(c+d)^D$｜2（精確值）｜豪斯多夫維度（近似值）｜名稱｜圖片｜注釋

1/2｜0.5｜維納過程的零點｜

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｜維納過程（布朗運動）的零點是勒貝格測度為0的無處稠密集，帶分形結構。

$E(C_1^s + C_2^s)=1(E(C_1)=0.5,\ E(C_2)=0.3)$的解｜0.7499｜隨機康托爾集（50% - 30%）｜

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｜推廣：每次迭代，左側間隙的長度為隨機變量$C_1$，與原間隙長度之比隨機。右側間隙同理，隨機變量$C_2$。其豪斯多夫維度$s$滿足：$E(C_1^s + C_2^s)=1$($E(X)$是$X$的期望）。

$s+1=12\cdot2^{-(s+1)}-6\cdot3^{-(s+1)}$的解｜1.144...｜間隔隨機的科赫曲線｜

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｜中間間隙的長度是隨機變量，服從間隙的(0,1/3)上的均勻分布。

測量得到｜1.22±0.02｜愛爾蘭島海岸線｜

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｜愛爾蘭島全部海岸線的分形維度由阿爾斯特大學與都柏林三一學院理論物理系學生McCartney、Abernethy、Gault在S. Hutzler指導下測得。注意愛爾蘭島西部海岸線較曲折（分形維度約1.26），東部較平滑（分形維度約1.10）。

測量得到｜1.25｜大不列顛島海岸線｜

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｜大不列顛島西海岸海岸線，的分形維度，由劉易斯·弗賴伊·理查森測得，本華·曼德博引用。

$\frac {\log(4)} {\log(3)}$｜1.2619｜隨機轉向的科赫曲線｜

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｜在這裡，我們引入了一個不影響維度的隨機因素，即在每次迭代時選擇將等邊三角形置於曲線的上方或下方。

$\frac {4}{3}$｜1.333｜布朗運動的邊界｜

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｜（參曼德博、Lawler、Schramm、維納）。

$\frac {4}{3}$｜1.333｜2D聚合物｜與二維不自交布朗運動相似。

$\frac {4}{3}$｜1.333｜2D滲流前沿、2D腐蝕前沿｜

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｜滲流前沿（包括外緣）的分形維度，於逾滲閾值（59.3%）。也是腐蝕前沿的分形維度。

1.40｜2D凝聚體｜受到擴散限制時，凝聚體會逐漸聚合為維度1.4的特殊凝聚體。

$2-\frac{1}{2}$｜1.5｜規則分維布朗運動函數（維納過程）圖像｜

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｜函數$f$，對任意兩正實數$x,\ x+h$，像之差$f(x+h)-f(x)$服從中心方差分布，方差$= h$。推廣：$\alpha$分維布朗運動的方差為$= h^{2\alpha}$，豪斯多夫維度$=2-\alpha$。

測量得到｜1.52｜挪威海岸線｜

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｜見J. Feder。

測量得到｜1.55｜自避行走｜

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｜方格中的隨機行走，不重複到達同一格點，有「返回」過程避免掉進死胡同。

$\frac {5} {3}$｜1.66｜3D聚合物｜與體格中的布朗運動相似，但沒有自避。

1.70｜2D擴散限制凝聚體｜

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｜二維中形成的擴散限制凝聚體，分形維度約為1.70。

$\frac {\log(9\cdot0.75)} {\log(3)}$｜1.7381｜機率為75%的分形滲流｜

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｜分形滲流模型可由以下過程構建：將每個方格劃為$3\times3$的網格，在其中隨機放置一組正方形，正方形保留的機率為p。豪斯多夫維度趨近於$\textstyle{\frac {\log(9p)} {\log(3)}}$。

7/4｜1.75｜二維滲流簇殼｜

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｜滲流簇的邊界。也可通過生成簇殼遊走或Schramm-Loewner演化形成。

$\frac {91} {48}$｜1.8958｜二維滲流簇｜

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｜方格中，在場地滲流閾值（59.3%）下，滲漏殼的分形維度為91/48。在閾值之上，殼層將無限延伸，91/48則變為「空地」的分形維度。

$\frac {\log(2)} {\log(\sqrt{2})} = 2$｜2｜布朗運動｜

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｜或隨機遊走。多維情況的豪斯多夫維度=2（K.Falconer「分形集幾何」）。

測量得到｜約2｜星系團分布｜

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｜數據來自斯隆數字巡天（2005）。

2.5｜廢紙團｜

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｜將不同尺寸、同種、同長寬比的紙張（如ISO 216的A系列）揉成一團，則紙張面積大致會與紙團直徑的2到3之間某數的次方成正比。無論什麼尺寸都會形成褶皺（見普遍性 (物理學)）。

2.50｜3D擴散限制凝聚體｜

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｜三維中形成的擴散限制凝聚體，分形維度約為2.50。

2.50｜利希滕貝格圖｜

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｜其出現與生長似乎與擴散限制凝聚過程有關。

$3-\frac{1}{2}$｜2.5｜規則布朗面｜

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｜函數$f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$給出點$(x,y)$的高度，使得任給兩個正增量$h,\ k$，則$f(x+h,y+k)-f(x,y)$服從中心正態分布，方差= $\sqrt{h^2+k^2}$。推廣：$\alpha$分維布朗面方差為$=(h^2+k^2)^\alpha$，豪斯多夫維度$=3-\alpha$。

測量得到｜2.52｜3D滲流團｜

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｜體格中，在背景逾滲閾值（31.1%）下，3D滲流團的分形維度約為2.52。Beyond that threshold, the cluster is infinite.

測量、計算得到｜~2.7｜西藍花表面｜

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｜金山勛利用直接掃描法與交叉截面分析，得到西藍花表面分形維度~2.7。

測量得到｜~2.8｜人腦表面｜

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｜高分辨三維MRI成像得到

測量、計算得到｜~2.8｜花椰菜｜

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｜金山勛利用直接掃描法與交叉截面分析，得到花椰菜表面分形維度~2.8。

2.97｜肺表面｜

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｜肺泡形成的分形面接近3。

計算得到｜$\in(0,2)$｜乘階｜

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｜多分形分布的例子。通過挑選特定參數，可以使分布變為單分形。

## 外部連結

- The fractals on Mathworld
- Other fractals on Paul Bourke's website
- Soler's Gallery
- Fractals on mathcurve.com
- 1000fractales.free.fr - Project gathering fractals created with various software
- Fractals unleashed
- IFStile - software that computes the dimension of the boundary of self-affine tiles