包絡

物理學和工程學中，振盪信號的包絡是一條勾勒出極值的光滑曲線。因此，包絡將恆定振幅的概念推廣為瞬時振幅。下圖展示了在上包絡與下包絡之間振盪的調製正弦曲線。包絡函數可以是時間、空間、角度或任何變量的函數。

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## 拍頻波

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在空間x和時間t中產生包絡函數的常見情況是波長和頻率幾乎相同的兩個波的疊加：

$$\begin{align} F(x, \ t) & = \sin \left[ 2 \pi \left( \frac {x}{\lambda - \Delta \lambda } - ( f + \Delta f )t \right) \right] + \sin \left[ 2 \pi \left( \frac {x}{\lambda + \Delta \lambda } - ( f - \Delta f )t \right) \right] \\[6pt] & \approx 2\cos \left[ 2 \pi \left( \frac {x} {\lambda_{\rm mod}} - \Delta f \ t \right) \right] \ \sin \left[ 2 \pi \left( \frac {x}{\lambda} - f \ t \right) \right] \end{align}$$

其中使用了兩個正弦波相加的三角函數，以及近似值Δλ ≪ λ：

$$\frac{1}{\lambda \pm \Delta \lambda}=\frac {1}{\lambda}\ \frac{1}{1\pm\Delta \lambda / \lambda }\approx \frac{1}{\lambda}\mp \frac {\Delta \lambda}{\lambda^2} .$$

此處調製波長λmod來自下式：

$$\lambda_{\rm mod} = \frac {\lambda^2}{\Delta \lambda}\ .$$

調製波長是包絡波長的兩倍，因為餘弦波的每半個波長都控制著正弦波的正負值。同樣，拍頻是包絡波的頻率，是調製波頻率的兩倍，即2Δf。

如果這種波是聲波，耳朵聽到的是與f有關的頻率，振幅隨拍頻的變化而變化。

### 相速度與群速度

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除2Π之外，上述正弦波的參數是：

$$\xi_C =\left( \frac {x}{\lambda} - f \ t \right)\ ,$$

$$\xi_E=\left( \frac {x} {\lambda_{\rm mod}} - \Delta f \ t \right) \ ,$$

下標C、E分別指載波和包絡。同樣的振幅F來自相同的ξC、ξE值，在適當相關的x、t選擇下，每個本身都可能返回到相同的值。這種不變性意味著可以在空間中追蹤波形，並找到固定振幅的位置在時間中傳播時的速度；要使載波參數保持不變，條件為：

$$\left( \frac {x}{\lambda} - f \ t \right) = \left( \frac {x+\Delta x}{\lambda} - f (t + \Delta t) \right)\ ,$$

這表明，要保持恆定振幅，距離Δx與時間間隔Δt的關係是相速度 vp

$$v_{\rm p} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \lambda f \ .$$

另一方面，同樣的考慮表明包絡線是群速度 vg:

$$v_{\rm g} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \lambda_{\rm mod}\Delta f =\lambda^2 \frac{\Delta f}{\Delta \lambda} \ .$$

引入波向量k，可得更常見的群速度表達式：

$$k=\frac{2\pi}{\lambda} \ .$$

注意到，對於微小變化Δλ而言，相應的波向量小變化Δk為：

$$\Delta k = \left|\frac{dk}{d\lambda}\right|\Delta \lambda = 2\pi \frac{\Delta \lambda}{\lambda^2} \ ,$$

於是群速度可重寫為：

$$v_{\rm g}= \frac {2\pi\Delta f}{\Delta k} =\frac {\Delta \omega}{\Delta k}\ ,$$

其中ω是以弧度/秒為單位的頻率：ω = 2Πf。在所有介質中，頻率和波向量都與色散關係ω = ω(k)有關，群速度可以寫成：

$$v_{\rm g} =\frac{d\omega (k)}{dk} \ .$$

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在經典真空等介質中，電磁波的色散關係為：

$$\omega = c_0 k$$

其中c0是經典真空中的光速。這種情況下，相速度和群速度都是c0。

在所謂色散介質中，色散關係可能是波向量的複雜函數，相速度和群速度也不盡相同。例如，對於GaAs中原子振動（聲子）表現出的幾種波，不同波向量k方向的色散關係如圖所示。一般而言，相速度和群速度的方向可能不同。

## 函數近似

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凝聚態物理學中，晶體中移動電荷載流子的能量本徵函數可表為布洛赫波：

$$\psi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})=e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) \ ,$$

其中n是帶的編號（如導帶或價帶），r是空間位置，k是波矢。指數是正弦變化函數，對應一個緩慢變化的包絡，調製波函數un, k的快速變化部分，描述波函數在晶格原子核心附近的行為。包絡只限於晶體布里淵區限定範圍內的k值，這就限制了它隨位置r變化的速度。

用量子力學確定載流子行為時，通常使用包絡近似法。其中薛丁格方程被簡化到僅指包絡的行為，邊界條件直接應用於包絡函數，而非完整的波函數。例如，被困在雜質附近的載流子波函數受包絡函數F支配，函數是布洛赫函數的疊加：

$$\psi( \mathbf r )= \sum_{\mathbf k } F( \mathbf k ) e^{i\mathbf{k\cdot r}}u_{\mathbf {k}}(\mathbf r ) \ ,$$

其中包括F(k)的傅立葉分量由近似薛丁格方程求得。在某些應用中，周期部分uk被帶緣附近的值取代，如k=k0，接著：

$$\psi( \mathbf r )\approx \left( \sum_{\mathbf k } F( \mathbf k ) e^{i\mathbf{k\cdot r}}\right)u_{\mathbf{k}=\mathbf{k}_0}(\mathbf r ) = F( \mathbf r )u_{\mathbf{k}=\mathbf{k}_0}(\mathbf r ) \ .$$

## 衍射圖樣

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多縫衍射圖樣的包絡由單縫衍射圖樣決定，後者的包絡線如下：

$$I_1=I_0 \sin^2\left(\frac {\pi d \sin \alpha}{\lambda}\right) / \left(\frac {\pi d \sin \alpha }{\lambda}\right)^2 \ ,$$

其中α是衍射角，d是狹縫寬度，λ是波長。對多個狹縫，圖樣為

$$I_q = I_1 \sin^2 \left( \frac {q\pi g \sin \alpha} {\lambda} \right) / \sin^2 \left( \frac{ \pi g \sin \alpha}{\lambda}\right) \ ,$$

其中q為狹縫數量，g是光柵常數。第一個因子即單縫結果I1，調製著第二個變化更快的因子，取決於狹縫數量與間距。

## 估計

包絡檢波器是從信號中提取包絡的電子電路。

在數位訊號處理中，可用希爾伯特變換或滑動平均RMS振幅估計包絡。