二階導數

微積分中，函數 $f$ 的二階導數（second derivative或second order derivative）是其導數的導數。粗略而言，某量的二階導數，描述該量的變化率本身是否變化得快。例如，物體位置對時間的二階導數是瞬時加速度，即該物體的速度隨時間的變化率。用萊布尼茲記法：

$$\boldsymbol{a} = \frac{\mathrm d\boldsymbol{v}}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d^2\boldsymbol{x}}{\mathrm dt^2},$$

其中 $\boldsymbol a$ 為加速度，$\boldsymbol v$ 為速度，$t$ 為時間，$\boldsymbol x$ 為位置，而 $\mathrm d$ 表示瞬時的差值（又稱「delta」值）。最後一式 $\tfrac{\mathrm d^2\boldsymbol{x}}{\mathrm dt^2}$ 是位置 $\boldsymbol x$ 對時間的二階導數。

繪製函數圖形時，二階導數描述曲線的曲率或凹凸性。若函數的二階導數為正，則其圖像是向上彎，像隻杯（$\cup$）。反之，若其二階導數為負，則向下彎，像頂帽（$\cap$）。

## 二階導數的冪法則

連續兩次用一階導數的冪法則，則會推導出二階導數的冪法則，如下所示：

$$\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left[x^n\right] = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[x^n\right] = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[nx^{n-1}\right] = n\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[x^{n-1}\right] = n(n - 1)x^{n-2}.$$

公式對任意實數 $n$ 成立。

## 記法

函數 $f$ 的二階導函數常記為 $f''$，其於 $x$ 處取值為 $f''(x)$。換言之。

$$f'' = \left(f'\right)',$$

其中 $'$ 表示一階求導。若用萊布尼茲記法表示導數，則因變數 $y$ 關於自變數 $x$ 的二階導數記為

$$\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}.$$

此種寫法的理由是，$\tfrac{\mathrm d}{\mathrm d x}$ 表示對 $x$ 求導，從而求導兩次應寫成：

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right) \,=\, \frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2} .$$

### 其他記法

如前段所記，二階導數標準的萊布尼茲記法為 $\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}$。然而，無法視之為純代數符號作運算。意思是，雖然看似兩個微分相除組成的分數，但是無法拆分、抵銷等。相對之下，一階導數的記法可以較好地「當成」分數作代數運算，如鏈式法則中的抵銷。不過，可藉另一種記法補救前述問題。此記法是基於一階導數的商法則。倘若視 $\frac{\mathrm d y}{\mathrm dx}$ 為兩微分之商，則求導時，根據商法則應有：

$$\begin{align} y''(x) &= \left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)' \\ &= \frac{ (\mathrm d y)' \cdot \mathrm dx - \mathrm dy \cdot (\mathrm dx)'}{(\mathrm d x)^2}\\ &= \frac{ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} (\mathrm d y) \cdot \mathrm dx - \mathrm dy \cdot \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm dx }{(\mathrm d x)^2}\\ &= \frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2} - \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dx^2}.\end{align}$$

上式中，$y''(x)$ 為二階導數，但 $\tfrac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}$ 則不然。$\mathrm du$ 表示微分算子施用於 $u$ 的結果，即 $\mathrm d(u)$，而 $\mathrm d^2u$ 表示微分算子疊代兩次的結果，即 $\mathrm d(\mathrm d(u))$。最後 $\mathrm du^2$ 是先微分再平方，即 $(\mathrm d(u))^2$。

若採此寫法（並依上段解讀各符號含義），則二階導數各項可以自由操作，與其他代數項作運算。例如，二階導數的反函數公式，可自上式經一輪代數運算而得。二階導數的鏈式法則亦然。不過，運算上的方便，與更換符號的不便，孰輕孰重，仍待定論。

## 例

考慮

$$f(x) = x^3,$$

運用冪法則，$f$ 的導數 $f'$ 由下式給出：

$$f^{\prime}(x) = 3x^2.$$

$f$ 的二階導數即是對導數 $f'$ 再次求導的結果，由下式給出：

$$f^{\prime\prime}(x) = 6x.$$

另一個例子，考慮正弦函數 $\sin$。有

$$\sin'(x) = \cos (x),$$

而再次求導後，得到

$$\sin''(x) = \cos'(x) = -\sin (x).$$

換言之，正弦函數的二階導數是自身的相反數。

## 與圖像的關係

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### 凹向

函數 $f$ 的二階導數，描述其圖像凹的方向和程度，即凹性（concavity）。若二階導數在某區間恆正，則函數在該區間向上凹（向上彎，又稱為凸函數或下凸函數），意即其切線總位於圖像下方「承托」。反之，若二階導數在某區間恆負，則函數在該區間向下凹（向下彎，又稱為凹函數或上凸函數），其切線總位於圖像的上方「壓制」著。

### 拐點

若函數的二階導數在某點的左右異號，則圖像由向上彎轉變成向下彎，或反之。此種點稱為拐點（inflection point）。假設二階導數連續，則在該點處必取零值，故可用「二階導數為零」之條件，篩選出可能的拐點。不過，二階導數為零的點不一定是拐點，如 $f(x) = x^4$ 有 $f''(0) = 0$，但 $f$ 在實數系上為凸，無拐點。

### 二階導數檢驗

二階導數與凹凸性的關係，有助判斷函數 $f$ 的駐點（即滿足 $f'(x)=0$ 的點 $x$）是否為局部極大點或極小點。具體言之：

- 若 $f^{\prime\prime}(x) < 0$，則 $f$ 於 $x$ 點取得局部極大值。
- 若 $f^{\prime\prime}(x) > 0$，則 $f$ 於 $x$ 點取得局部極小值。
- 若 $f^{\prime\prime}(x) = 0$，則二階導數檢驗無定論。該點或許是拐點，也可能是極大或極小點。

直觀理解，考慮一架賽車高速前進，但正在減速（加速度為負），則當速度降至零的一刻，賽車所在位置即為自起點出發，能達到的前方最遠處，因為此後速度降至負值，賽車會倒車。同樣，若考慮高速後退但加速度為正的賽車，則相應得到關於極小值的結論。

## 極限

二階導數若存在，則可以衹用一個極限寫出：

$$f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2}.$$

以上極限稱為二階對稱導數。但是，有時二階對稱導數存在，則函數仍沒有（平常的）二階導數。

右側欲求極限的分式，可理解成差商的差商：

$$\frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2} = \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h}.$$

故其極限可視作序列二階差分的連續版本。

然而，上述極限存在並不推出函數 $f$ 二階可導。該極限僅是二階導數存在時，計算該導數的一種方法，但並非其定義。反例有符號函數 $\sgn$，其定義為：

$$\sgn(x) = \begin{cases} -1, & \text{若 }\ x < 0, \\ 0, & \text{若 }\ x = 0, \\ 1, & \text{若 }\ x > 0. \end{cases}$$

符號函數在原點不連續，從而不可導，尤其並非二階可導。但是，在 $x=0$ 處，二階對稱導數存在：

$$\begin{align} \lim_{h \to 0} \frac{\sgn(0+h) - 2\sgn(0) + \sgn(0-h)}{h^2} &= \lim_{h \to 0} \frac{\sgn(h) - 2\cdot 0 + \sgn(-h)}{h^2} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\sgn(h) + (-\sgn(h))}{h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h^2} = 0. \end{align}$$

## 二次近似

正如導數與線性近似密切相關，二階導數也與二次近似如影隨形。某函數 $f$ 於某點的二次近似，是一個二次函數，與 $f$ 在該點處具有一樣的一、二階導數。函數 $f$ 於 $a$ 附近的二次近似可寫成：

$$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \tfrac12 f''(a)(x-a)^2.$$

函數的二次近似就是第二階的泰勒多項式。

## 本徵值與本徵函數

因為求導運算為線性，所以求導兩次亦可視為函數空間上的線性算子，從而可以研究其譜。換言之，可求微分方程 $v'' = \lambda v$ 的函數解 $v$（本徵向量）與常數 $\lambda$（本徵值）。對於許多種邊界條件，可以明確求出二階導數的本徵值與本徵向量。

舉例，以閉區間 $[0,L]$ 為定義域，邊界採用齊次狄利克雷條件（即 $v(0)=v(L)=0$），則諸本徵值為 $\lambda_j = -\tfrac{j^2 \pi^2}{L^2}$，對應本徵向量（亦稱本徵函數）$v_j$ 由

$$v_j(x) = \sqrt{\tfrac{2}{L}} \sin\left(\tfrac{j \pi x}{L}\right)$$

給出。此處 $v''_j(x) = \lambda_j v_j(x)$，$j$ 為任意正整數。

其他情況的解，見二階導數的本徵值與本徵向量。

## 高維推廣

### 黑塞方陣

二階導數的高維推廣，其一是同時考慮全體二階偏導數 $\tfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}$。對於三元函數 $f: \mathbb R^3 \to \mathbb R$，二階偏導數包括

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \; \frac{\partial^2 f}{\partial y^2},\; \frac{\partial^2 f}{\partial z^2},$$

以及混合偏導數

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}, \; \frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial z}, \; \frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial z}.$$

還有其他次序的混合偏導數，如 $\tfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}$，但由二階導數的對稱性，衹要 $f$ 滿足特定條件（如二階偏導數處處連續），則其他次序的混合偏導數等於上述已列出的偏導數。於是，各方向的二階偏導數可以砌成一個對稱方陣，稱為黑塞方陣（Hessian或Hessian matrix）。該方陣的本徵值適用於多變量情況的二階導數檢驗（稱為二階偏導數檢驗）。

### 拉普拉斯算子

另一種常見推廣，則是衹考慮對同一個變量的二階導數，再求和，得到拉普拉斯算子（Laplace operator或Laplacian）。拉氏微分算子記作 $\nabla^2$ 或 $\Delta$。以三維情形為例，定義為

$$\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.$$

函數的拉氏算子等於梯度的散度，亦是前述黑塞方陣之跡。

## 參見

- 啁啾度——某訊號瞬時相位的二階導數（瞬時頻率的一階導數）。