極點分離

極點分離（Pole splitting）是在放大器電路中進行頻率補償時，可能會出現的現象。若在放大器的輸入側和輸出側加上電容器，希望將最低頻率的極點（多半在輸入側）時，極點分離會使次低的極點頻率提高。此極點的移動會提昇放大器的穩定性，也會改善其階躍響應，但其速度會變慢。

## 舉例

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這些例子可以看出在圖1的運算放大器中加入電容器CC，有兩個目的：使得放大器最低頻的極點頻率再降低，並且將次低頻率的極點頻率提高。圖1的放大器其低頻的極點是因為加入的輸入阻抗Ri以及電容Ci，其時間常數是Ci ( RA

Ri )。因為密勒定理的緣故，此極點的頻率會降低。此放大器有一個頻率較高的極點，是因為負載電阻RL和電容CL，其時間常數是CL ( Ro

RL )。此極點的頻率會因為密勒放大的補償電容器CC影響了輸出電壓分壓器的頻率相依關係，因此頻率會提高。

第一個目的，也就是將最低頻率極點的頻率調低，可以用類似密勒效應條目中的作法。依照密勒定理中所述的程序，圖1的電路可以轉換為圖2的電路，兩者在電氣上是等效的。將基爾霍夫電路定律應用在圖2的輸入側，可以找到給理想運算放大器的電壓是信號電壓$\ v_a$的函數

$$<pre> \frac {v_i} {v_a} = \frac {R_i} {R_i+R_A} \frac {1} {1+j \omega (C_M+C_i) (R_A\|R_i)} \ ,$$

其滾降從頻率f1開始

$$\begin{align} <pre> f_{1} & = \frac {1} {2 \pi (C_M+C_i)(R_A\|R_i) } \\ & = \frac {1} {2 \pi \tau_1} \ , \\ </pre> \end{align}$$

其中的$\tau_1$是最低極點的時間常數，比原始的時間常數要低，原始的時間常數對應CC = 0 F時，是$\frac {1} {2 \pi C_i (R_A\|R_i)}$。

若考慮第二個目的，讓較高頻率的極點頻率再往上增加，需要看電路的輸出側，輸出側為整體增益增加了第二個因子，也有額外的頻率相依性，電壓$\ v_o$是由理想放大器的增益決定的

$$\ v_o = A_v v_i \ .$$

利用這個關係，再在輸出側應用基爾霍夫電路定律，可以得到負載電壓$v_{\ell}$相對於運算放大器輸入電壓$\ v_{i}$的函數：

$\frac {v_{\ell}} {v_i} = A_v \frac {R_L} {R_L+R_o}\,\!$ $\sdot \frac {1+j \omega C_C R_o/A_v } {1+j \omega (C_L + C_C ) (R_o\|R_L) } \ .$

這個運算式可以結合輸入側電路的增益，得到整體增益是

$$\frac {v_{\ell}} {v_a} = \frac {v_{\ell}}{v_i} \frac {v_i} {v_a}$$

$= A_v \frac {R_i} {R_i+R_A}\sdot \frac {R_L} {R_L+R_o}\,\!$ $\sdot \frac {1} {1+j \omega (C_M+C_i) (R_A\|R_i)} \,\!$ $\sdot \frac {1+j \omega C_C R_o/A_v } {1+j \omega (C_L + C_C ) (R_o\|R_L) } \ .$

增益公式中是一個單純的二階響應，有二個時間常數（其中也有一個零點，假設放大器增益Av很大的話，此零點只有在很高頻率才需要考慮，目前的討論可以假設分子是1）。不過，雖然放大器看似二極的行為，但這二個時間常數比上述的要複雜，因為密勒電容中有藏著一個頻率相依性，在較高頻時就需要考慮。假設輸出R-C乘積CL ( Ro

RL )，對應一個比低頻極點頻率要高很多的頻率。那麼密勒電容的值就不能用密勒近似的公式，需要用精確值。根據密勒定理，密勒電容為

$$\begin{align} C_M & = C_C \left( 1 - \frac {v_{\ell}} {v_i} \right) \\ <pre> & = C_C \left( 1 - A_v \frac {R_L} {R_L+R_o} \frac {1+j \omega C_C R_o/A_v } {1+j \omega (C_L + C_C ) (R_o\|R_L) } \right ) \ . \\ </pre> \end{align}$$

（針對一個正的密勒電容，Av為負值）。將此結果代入增益公式中，增益可以改寫如下：

$$\frac {v_{\ell}} {v_a} = A_v \frac {R_i} {R_i+R_A} \frac {R_L} {R_L+R_o} \frac {1+j \omega C_C R_o/A_v } {D_{ \omega }} \ ,$$

其中Dω是ω的二次式：

$D_{ \omega }\,\!$ $= [1+j \omega (C_L+C_C) (R_o\|R_L)] \,\!$ $\sdot \ [ 1+j \omega C_i (R_A\|R_i)] \,\!$ $\ +j \omega C_C (R_A\|R_i)\,\!$ $\sdot \left( 1-A_v \frac {R_L} {R_L+R_O} \right) \,\!$ $\ +(j \omega) ^2 C_C C_L (R_A\|R_i) (R_O\|R_L) \ .$

上述的二次式可以改寫如下：

$$\ D_{ \omega } =(1+j \omega { \tau}_1 )(1+j \omega { \tau}_2 )$$

$$= 1 + j \omega ( {\tau}_1+{\tau}_2) ) +(j \omega )^2 \tau_1 \tau_2 \ , \ $$

其中$\tau_1$ and $\tau_2$是Dω公式中結合了電阻和電容的值。可以對應放大器二個極點的時間常數。其中一個是比較大，假設$\tau_1$是較大的時間常數，對應最低的極點，另外再假設$\tau_1$ >> $\tau_2$（若要有良好的階躍響應，會需要$\tau_1$ >> $\tau_2$，可以看以下的如何選擇CC章節）

在放大器最低極點還低的頻段，ω的線性項比二次項影響更大，因此Dω的低頻特性為：

$$\begin{align} \ D_{ \omega } & = 1+ j \omega [(C_M+C_i) (R_A\|R_i) +(C_L+C_C) (R_o\|R_L)] \\ <pre> & = 1+j \omega ( \tau_1 + \tau_2) \approx 1 + j \omega \tau_1 \ , \ \\ </pre> \end{align}$$

其中的CM會用密勒效應重新定義為

$$C_M= C_C \left( 1 - A_v \frac {R_L}{R_L+R_o} \right) \ ,$$

就是之前低頻計算的密勒電容。以此基礎下，假設$\tau_1$ >> $\tau_2$，可以確定$\tau_1$。因為CM很大，時間常數${\tau}_1$遠大於其原始值Ci ( RA

Ri ).

$\tau_1$

在高頻時平方項影響較小，假設上述有關$\tau_1$ 的結果有效，對應較高頻率的第二個時間常數，可以由Dω的二次項求得，為

$$\tau_2 = \frac {\tau_1 \tau_2} {\tau_1} \approx \frac {\tau_1 \tau_2} {\tau_1 + \tau_2}\ .$$

將平方項係數的公式代到$\tau_1 \tau_2$，再加上 $\tau_1$的估計值，可以得到第二個極點的估計位置：

$$\begin{align} <pre> \tau_2 & = \frac {(C_C C_L +C_L C_i+C_i C_C)(R_A\|R_i) (R_O\|R_L) } {(C_M+C_i) (R_A\|R_i) +(C_L+C_C) (R_o\|R_L)} \\ & \approx \frac {C_C C_L +C_L C_i+C_i C_C} {C_M} (R_O\|R_L)\ , \\ </pre> \end{align}$$

因為CM很大，$\tau_2$會比原來的值CL ( Ro

RL )要小，也就是說，較高頻率的極點其頻率會因為CC而提高.。

簡單來說，導入CC降低低頻極點，提高高頻極點。因此符合「極點分離」字面上的意思。

### 如何選擇CC

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在一般的應用中，傳統放大器設計（稱為「主極點」或「單極點補償」）會要求放大器增益在轉角頻率處以20 dB/decade的斜率下降，降到0 dB增益，甚至更低。在此設計下，放大器會穩定，而且有近乎最佳的階躍響應，類似增益為1的電壓緩衝器。而二極點補償是更冒險的作法。

在設計中選擇f2的方式如圖3所示。在最低極點f1處，波德增益圖開始以20 dB/decade的斜率下降。其目的是要維持20 dB/decade的下降斜率，一直到0dB為止，並且取20 log10 Av增益（以dB）表示的下降量，除以希望的頻率變化（在log頻率尺度上），( log10 f2 − log10 f1 ) = log10 ( f2 / f1），就是這段的斜率

斜率 $=20 \frac {\mathrm{log_{10}} ( A_v )} {\mathrm{log_{10}} (f_2 / f_1 ) } \ ,$

若f2 = Av f1，上述的值會是是20 dB/decade。若f2沒有這麼大，波德圖的第二個轉折會發生在增益降到0 dB之前，這會讓穩定性變差，而且階躍響應也會不好。

圖3也說明了正確的增益和頻率的關係，第二個極點至少要是第一個極點的Av倍。此增益會因為放大器輸入和輸出的電壓分配定則而減少一點，因此要修正輸入和輸出電壓分配下的Av，使用良好階躍響應下的「極點—比例條件」（pole-ratio condition）可得：

$$\frac {\tau_1} {\tau_2} \approx A_v \frac {R_i} {R_i+R_A}\sdot \frac {R_L} {R_L+R_o} \ ,$$

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利用上述時間常數的近似，可以得到

$$\frac {\tau_1} {\tau_2} \approx \frac {(\tau_1 +\tau_2 ) ^2} {\tau_1 \tau_2} \approx A_v \frac {R_i} {R_i+R_A}\sdot \frac {R_L} {R_L+R_o} \ ,$$

或

$\frac {[(C_M+C_i) (R_A\|R_i) +(C_L+C_C) (R_o\|R_L)]^2} {(C_C C_L +C_L C_i+C_i C_C)(R_A\|R_i) (R_O\|R_L) } \,\!$ ${\color{White}\sdot} = A_v \frac {R_i} {R_i+R_A}\sdot \frac {R_L} {R_L+R_o} \ ,$

這是一個可以求得CC近似值的二次式。圖4是此式的圖形。在低增益時放大器在沒有補償時就滿足極點－增益條件（在圖中低增益時的補償電容器CC很小），但增益增加時，因為需要的極點增益快速上昇，補償電容器就越來越重要（在圖4時，補償電容器隨頻率迅速的增加）。若增益更大時，因為CC的密勒放大作用，會隨著增益而增加（可以參考密勒方程式），因此必要的CC會隨著增益增加而減少。

若考慮設計的不確定性，保留較多的安全預度，Av會設計成等式右邊Av值的兩倍或三倍。可以參考Sansen或Huijsing的參考資料

### 迴轉率

上述都是小信號分析。不過若用在大信號時，因為補償電容器需要充電和放電，會對放大器的迴轉率有不良的影響。而且因為需要為CC充電，會限制斜坡函數輸入下的響應。