電阻率與電導率

$\mathsf M \mathsf L^3 \mathsf T^{-3} \mathsf I^{-2}$ $\rho = R \frac{A}{\ell}$ $\mathsf M^{-1} \mathsf L^{-3} \mathsf T^3 \mathsf I^2$ $\sigma = \frac{1}{\rho}$電阻率（resistivity），也稱為體積電阻率或比電阻，是材料的特性，用於測量其電阻或抵抗電流的能力。低電阻率表示材料容易通過電流。電阻率通常用希臘字母ρ表示。電阻率的SI單位是歐姆·米（Ω· m）。例如，如果1m3實心立方體材料在兩個相對面上具有片狀觸點，這些觸點之間的電阻為1Ω，則材料的電阻率為1Ω·m。

電導率（conductivity），或比電導，是電阻率的倒數，代表材料傳導電流的能力。通常用希臘字母σ表示（西格瑪），但特別在電氣工程中，有時會用到字母κ（kappa）和γ（gamma）。電導率的SI單位是西門子每米（S/m）。電阻率和電導率是材料的內含性質。電阻和電導是相對應的外延屬性，它們表現特定物體對電流相反的反應。

## 定義

### 理想情況

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在理想情況下，被測材料的橫截面和物理成分在整個樣品中都是均勻的，電場和電流密度在各處都是平行且恆定的。事實上，許多電阻器和導體都具有均勻的橫截面和均勻的電流，並且由單一材料製成，是很好的模型。(在這種情況下，導體的電阻與其長度成正比，與其橫截面積成反比，其中電阻率ρ是比例常數。寫為： $$R \propto \frac\ell A$$ $$\begin{align} <pre> R &= \rho \frac\ell A \\[3pt] {}\Leftrightarrow \rho &= R \frac A \ell, </pre> \end{align}$$其中

- * $R$ 是材料均勻樣本的電阻 * $\ell$ 是樣本的長度 * $A$ 是樣本的橫截面積電阻率可以使用SI單位歐姆·米（Ω·m）來表示，即歐姆乘以平方米（對橫截面積），然後除以米（對長度）。

「電阻」和「電阻率」都描述了使電流流過材料的困難程度，但電阻率與電阻不同，是一種固有屬性，不依賴材料的幾何屬性。這表示所有純銅（Cu）線（其晶體結構等未受到扭曲），無論其形狀和尺寸如何，都具有相同的電阻率，但又長又細的銅線比粗而短的銅線具有更 大的電阻。每種材料都有其自身的電阻率特性。

在液壓類比中，使電流通過高電阻率材料就像將水推過裝滿沙子的管道一樣。讓電流通過低電阻率材料就像將水推過空管一樣。如果管道尺寸和形狀相同，則充滿沙子的管道具有更高的流動阻力。然而，阻力不僅取決於沙子的存在與否。它還取決於管道的長度和寬度，短或寬的管道比窄或長的管道具有更低的阻力。

將上式轉置即可得到普耶定律（以克勞德·普耶命名）：$$R = \rho \frac{\ell}{A}.$$給定元件的電阻與長度成正比，但與橫截面積成反比。例如，如果A = 1m2, $\ell$ = 1m（形成一個在相對面上具有完美導電觸點的立方體），則該元件的電阻（以歐姆為單位）在數值上等於其構成材料的電阻率（以Ω·m為單位）。

電導率σ是電阻率的倒數：$$\sigma = \frac{1}{\rho}.$$電導率的SI單位為西門子每米（S/m）。

### 一般標量

對於非理想狀況，例如更複雜的幾何形狀，或當電流和電場在材料的不同部分變化時，有必要使用更通用的表達式，其中特定點的電阻率定義為電場到它在該點產生的電流密度：$$\rho = \frac{E}{J},$$其中：

- * $\rho$ 是導體材料的電阻率，* $E$ 是電場的大小，* $J$ 是 電流密度 的大小，$E$和$J$位於導體內部。

電導率是電阻率的倒數：$$\sigma = \frac{1}{\rho} = \frac{J}{E}$$例如，橡膠是一種ρ大、σ小的材料，即使橡膠中存在非常大的電場，也幾乎沒有電流流過。另一方面，銅是一種ρ小、σ大的材料，即使是很小的電場也會吸引大量電流通過。

如下所示，當材料中的電場和電流密度恆定時，該表達可簡化。

組合三個方程式。第一個是並聯電流和電場的電阻率：$$\rho = \frac{E}{J},$$如果電場恆定，則電場由總電壓V除以長度ℓ：$$E = \frac{V}{\ell}.$$如果電流密度恆定，則等於總電流除以橫截面積：$$J = \frac{I}{A}.$$將E和J的值代入第一個表達式，我們得到： Plugging in the values of E and J into the first expression, we obtain:$$\rho = \frac{V A}{I\ell}.$$最後應用到歐姆定律1=V/I = R：$$\rho = R\frac{A}{\ell}.$$

### 張量電阻率

當材料的電阻率具有方向性成分時，必須使用電阻率的最一般定義。它以歐姆定律的張量-矢量形式為起點，將材料內部的電場與電流流聯繫起來。這個等式是完全通用的，這意味著它適用於所有情況，包括上述情況。不過，這個定義最為複雜，因此只直接用於各向異性的情況，在這種情況下無法應用更簡單的定義。如果材料不是各向異性的，則可以忽略張量矢量定義，而使用更簡單的表達式。

各向異性是指材料在不同方向上有不同的性質。例如，石墨晶體在微觀上由一堆薄片組成，電流很容易流過每個薄片，但從一個薄片流向相鄰的薄片就不容易了。在這種情況下，電流的流動方向與電場的方向不完全相同。因此，適當的方程式被推廣到三維張量形式：$$<pre> \mathbf{J} = \boldsymbol\sigma \mathbf{E} \,\,\rightleftharpoons\,\, \mathbf{E} = \boldsymbol\rho \mathbf{J}, </pre>$$其中電導率σ和電阻率ρ是2階張量，電場E和電流密度J是向量。這些張量可以用3×3矩陣、帶有 3×1矩陣的向量表示，並且在這些方程式的右邊使用矩陣乘法。以矩陣形式，電阻率關係由下式給出：$$<pre> \begin{bmatrix} E_x \\ E_y \\ E_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \rho_{xx} & \rho_{xy} & \rho_{xz} \\ \rho_{yx} & \rho_{yy} & \rho_{yz} \\ \rho_{zx} & \rho_{zy} & \rho_{zz} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} J_x \\ J_y \\ J_z \end{bmatrix}, </pre>$$其中

- * $\mathbf{E}$ 是電場向量，其分量為 (Ex, Ey, Ez); * $\boldsymbol{\rho}$ 是電阻率張量，一般是一個三乘三的矩陣；* $\mathbf{J}$ 是電流密度向量，其分量為 (Jx, J y, Jz)。或者$$\mathbf{E}_i = \boldsymbol\rho_{ij} \mathbf{J}_j ~.$$在任一情況下，每個電場分量的結果表達式為：

$$\begin{align} E_x &= \rho_{xx} J_x + \rho_{xy} J_y + \rho_{xz} J_z, \\ E_y &= \rho_{yx} J_x + \rho_{yy} J_y + \rho_{yz} J_z, \\ E_z &= \rho_{zx} J_x + \rho_{zy} J_y + \rho_{zz} J_z. \end{align}$$

由於座標系的選擇是自由的，通常的約定是透過選擇與目前方向平行的 x軸來簡化表達式，因此1=Jy = Jz = 0，得到：$$<pre> \rho_{xx} = \frac{E_x}{J_x}, \quad \rho_{yx} = \frac{E_y}{J_x}, \text{ and } \rho_{zx} = \frac{E_z}{J_x}. </pre>$$電導率的定義形式類似：$$<pre> \begin{bmatrix} J_x \\ J_y \\ J_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} E_x \\ E_y \\ E_z \end{bmatrix} </pre>$$或者$$\mathbf{J}_i = \boldsymbol{\sigma}_{ij} \mathbf{E}_{j},$$得到$$\begin{align} J_x &= \sigma_{xx} E_x + \sigma_{xy} E_y + \sigma_{xz} E_z \\ J_y &= \sigma_{yx} E_x + \sigma_{yy} E_y + \sigma_{yz} E_z \\ J_z &= \sigma_{zx} E_x + \sigma_{zy} E_y + \sigma_{zz} E_z \end{align}.$$對比兩式，$\boldsymbol{\rho}$和$\boldsymbol{\sigma}$互為逆矩陣。然而，在最一般的情況下，各個矩陣元素不一定是彼此的倒數；例如， σxx不一定等於1/ρxx。這可以從$\rho_{xy}$是非零的霍爾效應中看出，由於繞z軸的旋轉不變性，$\rho_{yy}=\rho_{xx}$和$\rho_{yx}=-\rho_{xy}$，因此電阻率和電導率之間的關係簡化為：$$<pre> \sigma_{xx} = \frac{ \rho_{xx}}{\rho_{xx}^2 + \rho_{xy}^2}, \quad \sigma_{xy} = \frac{-\rho_{xy}}{\rho_{xx}^2 + \rho_{xy}^2}. </pre>$$如果電場與施加的電流平行，$\rho_{xy}$和$\rho_{xz}$為零。當它們為零、或一個數時，$\rho_{xx}$足以描述電阻率。然後簡單地寫成$\rho$，這簡化為更簡單的表達式。

## 電導率和載流子

### 電流密度與電流速度的關係

電流是電荷的有序運動。

## 導電率的原因

### 能帶理論的簡化

根據基本量子力學，原子或晶體中的電子只能具有一定的精確能階；這些水平之間的能量是不可能的。當大量這樣的允許能階具有緊密間隔的能量值時——即具有僅微小差異的能量——這些接近的能階組合被稱為「能帶」。材料中可能存在許多這樣的能帶，取決於組成原子的原子序數及其在晶體內的分佈。

材料的電子試圖透過進入低能態來最小化材料中的總能量；然而，泡利不相容原理意味著每種這樣的狀態只能存在一個。因此電子從底部開始「填充」能帶結構。電子所填充的特徵能階稱為費米能級。費米能階相對於能帶結構的位置對於電傳導非常重要：只有能階接近或高於費米能級的電子才能在更廣泛的材料結構內自由移動，因為電子可以輕鬆地在部分佔據的電子之間跳躍。相較之下，低能態始終完全充滿電子數量的固定限制，而高能態始終沒有電子。

電流由電子流組成。在金屬中，有許多電子能階接近費米能階，因此有許多電子可移動。這就是金屬具有高電子導電性的原因。

能帶理論的一個重要部分是可能存在能量禁帶：不包含能階的能量區間。在絕緣體和半導體中，電子的數量剛好可以填滿一定整數個低能帶，剛好達到邊界。在這種情況下，費米能階落在帶隙內。由於費米能階附近沒有可用的態，且電子不能自由移動，因此電子電導率非常低。

### 金屬

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金屬由原子晶格組成，每個原子都有一個電子外殼，電子可以自由地從其母原子中解離並穿過晶格。這也叫正離子晶格。這種可離解電子的「海洋」使金屬能夠傳導電流。當在金屬上施加電位差（電壓）時，產生的電場導致電子向正極漂移。電子的實際漂移速度通常很小，約為每小時米的數量級。然而，由於移動電子的數量龐大，即使很慢的漂移速度也會導致很大的電流密度。該機制類似牛頓擺中，球的動量傳遞，但電能沿著導線的快速傳播不是由於機械力，而是由導線引導的載能電磁場的傳播。

大多數金屬都具有電阻。在更簡單的模型（非量子力學模型）中，這可以透過用波狀結構取代電子和晶格來解釋。當電子波穿過晶格時，波會發生干涉，從而產生電阻。晶格越規則，發生的干擾越少，因此阻力越小。因此，阻力的大小主要由兩個因素所引起。首先，它是由溫度以及晶格的振動量引起的。較高的溫度會導致更大的振動，從而導致晶格不規則。其次，金屬的純度也很重要，因為不同離子的混合物也是不規則的。純金屬熔化時電導率的小幅下降是由於長程晶序的損失。短程有序仍然存在，並且離子位置之間的強相關性導致相鄰離子衍射的波之間的相干性。

### 半導體和絕緣體

金屬中，費米能級位於導帶，產生自由傳導電子。然而，半導體中，費米能級的位置位於帶隙內，大約在導帶最小值（未填充電子能級的第一能帶的底部）和價帶最大值（充滿電子能階的導帶下方的帶頂）。這適用於本徵（未摻雜）半導體，這意味著在絕對零溫度下，不會有自由傳導電子，並且電阻無窮大。然而，隨著導帶中電荷載流子密度（即在不引入進一步複雜性的情況下的電子密度）增加，電阻減小。在外在（摻雜）半導體中，摻雜原子透過嚮導帶提供電子或在價帶中產生電洞來增加多數電荷載子濃度。（「電洞」是缺少電子的位置；此類電洞的行為方式與電子類似。）對於這兩種類型的施主或受主原子，增加摻雜劑密度會降低電阻。因此，高摻雜半導體表現出金屬性。在非常高的溫度下，熱產生的載子的貢獻超過摻雜劑原子的貢獻，且電阻隨著溫度呈指數下降。

### 離子液體、電解質

$$n_\text{e} \propto \exp\left(e\Phi/k_\text{B} T_\text{e}\right).$$電解質中，導電不是透過帶狀電子或洞發生，而是透過完整的原子種類（離子）移動，每個原子都攜帶電荷。離子溶液（電解質）的電阻率隨濃度變化很大－蒸餾水幾乎是絕緣體，而鹽水是合理的電導體。離子液體中的傳導也由離子的運動控制，但這裡我們討論的是熔鹽而不是溶劑化離子。生物膜中，電流由離子鹽攜帶。細胞膜上的小孔稱為離子通道，對特定離子具有選擇性並決定膜電阻。

液體（例如水溶液）中離子的濃度取決於溶解物質的離解程度，用離解係數$\alpha$來表徵，是離子濃度$N$和溶解物質的分子濃度$N_0$的比率：$$N = \alpha N_0 ~.$$比電導率（$\sigma$ ) 等於：$$\sigma = q\left(b^+ + b^-\right)\alpha N_0 ~,$$其中$q$是離子電荷的模數，$b^+$和$b^-$是帶正電和負電離子的遷移率。

### 超導

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金屬導體的電阻率隨著溫度降低而逐漸降低。在普通（即非超導）導體中，例如銅或銀，這種下降受到雜質和其他缺陷的限制。即使接近絕對零度，普通導體的真實樣本也會顯示出一定的電阻。在超導體中，當材料冷卻到其臨界溫度以下時，電阻突然降至零。在普通導體中，電流由電壓梯度驅動，而在超導體中，沒有電壓梯度，電流與超導序參數的相位梯度有關。結果在超導線環中流動的電流可以在沒有電源的情況下無限持續。

在第二類超導體的超導體中，包括所有已知的高溫超導體，當電流與強磁場結合使用時，在低於標稱超導轉變太遠的溫度下會出現極低但非零的電阻率，這可能是由電流引起的。這是由於電子超流體中磁渦流的運動，它消耗了電流攜帶的部分能量。與非超導材料相比，這種效應產生的電阻很小，但在敏感實驗中必須考慮到這一點。然而，當溫度降低到遠低於標稱超導轉變時，這些渦流可能會凍結，使材料的電阻真正為零。

### 等離子體

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等離子體是非常好的導體，電勢起著重要的作用。

電位均勻存在於帶電粒子之間的空間中的，與如何測量它的問題無關，被稱為等離子體電位或空間電位。如果將電極插入等離子體中，由於所謂的德拜鞘，其電位通常遠低於等離子體電位。等離子體良好的導電性使其電場非常小。這就產生了準中性的重要概念，即在大量等離子體中負電荷的密度大約等於正電荷的密度（1=ne = ⟨Z⟩ > ni )，但在德拜長度範圍內可能存在電荷不平衡。在形成雙層的特殊情況下，電荷分離可以延伸數十個德拜長度。

電勢和電場的大小必須通過簡單地求淨電荷密度以外的方法來確定。一個常見的例子是假設電子滿足玻爾茲曼關係：$$n_\text{e} \propto \exp\left(e\Phi/k_\text{B} T_\text{e}\right).$$區分這種關係提供了一種根據密度計算電場的方法：$$\mathbf{E} = -\frac{k_\text{B} T_\text{e}}{e}\frac{\nabla n_\text{e}}{n_\text{e}}.$$（∇ 是向量梯度運算符；有關詳細資訊，請參閱nabla 符號和梯度。）

在天體物理等離子體中，電場屏蔽可防止電場直接影響大距離（即大於德拜長度）的等離子體。然而，帶電粒子的存在導致等離子體產生磁場並受到磁場影響。這可能並且確實會導致極其複雜的行為，例如等離子體雙層的產生，這是一種將電荷分離到數十個德拜長度的物體。磁流體動力學學科研究等離子體與外部磁場和自生磁場相互作用的動力學。

等離子體通常被稱為繼固體、液體和氣體之後的第四種物質狀態。與這些和其他低能物質狀態不同，儘管等離子體與氣相密切相關，因為它也沒有確定的形式或體積，但它在許多方面有所不同，包括以下方面：

特徵｜氣體｜等離子體

電導率｜非常低：空氣是極好的絕緣體，直到電場強度超過 30 kV/cm 時才會分解成等離子體。｜通常非常高：對於許多用途，等離子體的電導率可以被視為無限大。

獨立行動類型｜一：所有氣體粒子的行為方式都相似，受到重力和相互碰撞的影響。｜兩個或三個：電子、離子、質子和中子可以通過其電荷的符號和值來區分，以便它們在許多情況下獨立運行，具有不同的體速度和溫度，從而允許諸如新型波和不穩定性等現象。

速度分布｜麥克斯韋式：碰撞通常會導致所有氣體粒子的麥克斯韋速度分布，只有極少數相對較快的粒子。｜通常是非麥克斯韋式的：熱等離子體中的碰撞相互作用通常很弱，外力可以使等離子體遠離局部平衡，並導致大量異常快速的粒子。

互動｜二元：雙粒子碰撞是規則，三體碰撞極為罕見。｜集體：波或等離子體的有組織運動非常重要，因為粒子可以通過電力和磁力在遠距離相互作用。

## 各種材料的電阻率和電導率

- 諸如金屬之類的導體具有高電導率和低電阻率。
- 玻璃等絕緣體具有低電導率和高電阻率。
- 半導體的電導率通常處於中等水平，但在不同條件下變化很大，例如材料暴露於電場或特定頻率的光，最重要是，也隨著半導體材料的溫度和成分的變化。

半導體摻雜程度使電導率差異很大。某種程度上，摻雜更多會提高電導率。水、水溶液的電導率很大程度取決於其溶解鹽的濃度以及在溶液中電離的其他化學物質。水樣的電導率可用作樣品無鹽、無離子或無雜質程度的指標；水越純淨，電導率越低（電阻率越高）。水中的電導率測量通常以比電導的形式報告。EC計通常用於測量溶液中的電導率。粗略總結如下：

材料｜電阻率， ρ (Ω·m)

超導體｜0

金屬｜10 -8

半導體｜多變的

電解質｜多變的

絕緣子｜10 16

超級絕緣體｜無窮大

此表顯示了各種材料在20C的電阻率 ( ρ )、電導率和溫度係數。

Material｜Resistivity, ρ, at 20°C (Ω·m)｜Conductivity, σ, at 20°C (S/m)｜Temperature coefficient (K−1)｜Reference

Silver｜1.59×10^-8｜6.30×10^7｜3.80×10^-3

Copper｜1.68×10^-8｜5.96×10^7｜4.04×10^-3

Annealed copper｜1.72×10^-8｜5.80×10^7｜3.93×10^-3

Gold｜2.44×10^-8｜4.11×10^7｜3.40×10^-3

Aluminium｜2.65×10^-8｜3.77×10^7｜3.90×10^-3

Brass (5% Zn)｜3.00×10^-8｜3.34×10^7

Calcium｜3.36×10^-8｜2.98×10^7｜4.10×10^-3

Rhodium｜4.33×10^-8｜2.31×10^7

Tungsten｜5.60×10^-8｜1.79×10^7｜4.50×10^-3

Zinc｜5.90×10^-8｜1.69×10^7｜3.70×10^-3

Brass (30% Zn)｜5.99×10^-8｜1.67×10^7

Cobalt｜6.24×10^-8｜1.60×10^7｜7.00×10^-3

Nickel｜6.99×10^-8｜1.43×10^7｜6.00×10^-3

Ruthenium｜7.10×10^-8｜1.41×10^7

Lithium｜9.28×10^-8｜1.08×10^7｜6.00×10^-3

Iron｜9.70×10^-8｜1.03×10^7｜5.00×10^-3

Platinum｜10.6×10^-8｜9.43×10^6｜3.92×10^-3

Tin｜10.9×10^-8｜9.17×10^6｜4.50×10^-3

Phosphor Bronze (0.2% P / 5% Sn)｜11.2×10^-8｜8.94×10^6

Gallium｜14.0×10^-8｜7.10×10^6｜4.00×10^-3

Niobium｜14.0×10^-8｜7.00×10^6

Carbon steel (1010)｜14.3×10^-8｜6.99×10^6

Lead｜22.0×10^-8｜4.55×10^6｜3.90×10^-3

Galinstan｜28.9×10^-8｜3.46×10^6

Titanium｜42.0×10^-8｜2.38×10^6｜3.80×10^-3

Grain oriented electrical steel｜46.0×10^-8｜2.17×10^6

Manganin｜48.2×10^-8｜2.07×10^6｜0.002×10^-3

Constantan｜49.0×10^-8｜2.04×10^6｜0.008×10^-3

Stainless steel｜69.0×10^-8｜1.45×10^6｜0.94×10^-3

Mercury｜98.0×10^-8｜1.02×10^6｜0.90×10^-3

Bismuth｜129×10^-8｜7.75×10^5

Manganese｜144×10^-8｜6.94×10^5

Plutonium (0 °C)｜146×10^-8｜6.85×10^5

Nichrome｜110×10^-8｜6.70×10^5｜0.40×10^-3

Carbon (graphite)parallel to basal plane｜250×10^-8 to 500×10^-8｜2×10^5 to 3×10^5

Carbon (amorphous)｜0.5×10^-3 to 0.8×10^-3｜1.25×10^3 to 2.00×10^3｜-0.50×10^-3

Carbon (graphite)perpendicular to basal plane｜3.0×10^-3｜3.3×10^2

GaAs｜to ｜to

Germanium｜4.6×10^-1｜2.17｜-48.0×10^-3

Sea water｜2.1×10^-1｜4.8

Swimming pool water｜3.3×10^-1 to 4.0×10^-1｜0.25 to 0.30

Drinking water｜2×10^1 to 2×10^3｜5×10^-4 to 5×10^-2

Silicon｜2.3×10^3｜4.35×10^-4｜-75.0×10^-3

Wood (damp)｜to｜to

Deionized water｜1.8×10^5｜4.2×10^-5

Ultrapure water｜1.82×10^9｜5.49×10^-10

Glass｜to｜to

Carbon (diamond)｜~

Hard rubber

Air｜to｜~ to

Wood (oven dry)｜to｜to

Sulfur

Fused quartz｜7.5×10^17｜1.3×10^-18

PET

PTFE (teflon)｜to｜to

有效溫度係數隨材料的溫度和純度等級而變化。20°C 值在其他溫度下使用時，只是一個近似值。例如，銅的溫度越高，係數就越低，且值0.00427 通常指定為0°C。

銀的極低電阻率（高導電率）是金屬的特性。喬治·伽莫夫在他的科普書One, Two, Three...Infinity中簡潔地總結了金屬與電子相互作用的本質：廣泛認為木材是一種極好的絕緣體，但其電阻率敏感地取決於水分含量，潮濕的木材的絕緣性比烘乾的木材差至少。足夠高的電壓（例如雷擊或某些高壓電線中的電壓）可能會導致絕緣擊穿和觸電風險，即使是明顯乾燥的木材也是如此。

## 溫度依賴性

### 線性近似

大多數材料的電阻率隨溫度變化。如果溫度T變化不大，通常使用線性近似：$$\rho(T) = \rho_0[1 + \alpha (T - T_0)],$$其中$\alpha$稱為電阻率溫度係數， $T_0$是固定的參考溫度（通常是室溫），並且$\rho_0$是溫度$T_0$下的電阻率。參數$\alpha$是根據測量資料擬合的經驗參數。線性近似只是一個近似，$\alpha$對不同的參考溫度來說不同。因此，通常會指定溫度$\alpha$測量時帶有後綴，例如$\alpha_{15}$，表示該關係僅在參考值附近的溫度範圍內成立。當溫度在很大的溫度範圍內變化時，線性近似不夠，應該更詳細分析和理解。

### 金屬

一般來說，金屬的電阻率隨溫度升高而增大。電子與聲子的相互作用起到了關鍵作用。在高溫下，金屬的電阻隨溫度呈線性增長。隨著金屬溫度的降低，電阻率的溫度依賴性遵循溫度的冪律函數。在數學上，金屬電阻率 ρ 的溫度依賴性可通過Bloch–Grüneisen公式近似表示：$$\rho(T) = \rho(0) + A\left(\frac{T}{\Theta_R}\right)^n \int_0^{\Theta_R/T} \frac{x^n}{(e^x - 1)(1 - e^{-x})} \, dx ,$$其中$\rho_0$是由於缺陷散射而產生的殘餘電阻率，A 是取決於費米表面電子速度、德拜半徑和金屬中電子數密度的常數。$\Theta_R$是從電阻率測量獲得的德拜溫度，與從比熱測量獲得的德拜溫度值非常匹配。n是一個整數，取決於交互作用的性質：

- n = 5 表示電阻由聲子對電子散射造成（簡單金屬）
- n = 3 表示電阻由於s-d 電子散射造成（過渡金屬）
- n = 2 表示電阻是由電子-電子相互作用引起的。

Bloch-Grüneisen公式假設所研究的金屬具有內接於第一布里淵區和德拜聲子譜的球形費米面而獲得的近似值。

如果同時存在多個散射源，Matthiessen規則（由 Augustus Matthiessen 在 1860 年代首次提出）指出，可以透過將幾個不同的項相加來近似總電阻，每個項都有適當的 n 值。

當金屬的溫度充分降低（從而「凍結」所有聲子）時，電阻率通常達到恆定值，稱為殘餘電阻率。該值不僅取決於金屬的類型，還取決於其純度和熱歷史。金屬的殘餘電阻率的值由其雜質濃度決定。由於超導效應，一些材料在足夠低的溫度下失去所有電阻率。

對金屬低溫電阻率的研究是海克·卡末林·昂內斯實驗的動機，該實驗於1911年發現了超導性。詳細資訊請參閱超導的歷史。

#### 維德曼-弗朗茨定律

維德曼-弗朗茲定律指出，對於熱和電荷傳輸由電子主導的材料，熱導率與電導率之比與溫度成正比：$${\kappa \over \sigma} = {\pi^2 \over 3} \left(\frac{k}{e}\right)^2 T,$$其中$\kappa$是熱導率， $k$是玻爾茲曼常數， $e$是電子電荷， $T$是溫度，並且$\sigma$是電導率。rhs上的比率稱為洛倫茲數。

### 半導體

一般來說，本徵半導體電阻率隨著溫度的升高而降低。電子透過熱能撞擊到導帶，在那裡自由流動，並在此過程中在價帶留下空穴，這些空穴也自由流動。典型本徵（非摻雜）半導體的電阻隨溫度呈指數下降，遵循阿倫尼烏斯模型：$$\rho = \rho_0 e^{\frac{E_A}{k_B T}}.$$Steinhart-Hart方程給出了半導體電阻率與溫度關係的更好近似值：$$\frac{1}{T} = A + B \ln\rho + C (\ln\rho)^3,$$其中A、 B和C是Steinhart-Hart 係數。

該方程用於校準熱敏電阻。

非本徵（摻雜）半導體的溫度分佈就複雜得多。隨著溫度從絕對零度開始升高，當載子離開供體或受體時，它們的電阻首先急劇下降。在大多數施主或受主失去載子後，由於載子遷移率的降低（與金屬中的情況非常相似），電阻開始再次略有增加。在較高溫度下，它們的行為類似於本徵半導體，因為與熱產生的載子相比，來自施主、受主的載子變得微不足道。

在非晶態半導體中，傳導可以通過從一個局部位置到另一個局部位置的電荷量子隧道發生。這稱為可變範圍跳變，其特徵形式為$$\rho = A\exp\left(T^{-1/n}\right),$$其中 n = 2, 3, 4，取決於系統的維度。

### 近藤絕緣子

近藤絕緣體是電阻率遵循以下公式的材料

$$\rho(T) = \rho_0 + aT^2 + bT^5 + c_m \ln\frac{\mu}{T}$$

其中$a$, $b$, $c_m$和$\mu$是常數參數， $\rho_0$是殘餘電阻率， $T^2$是費米液體貢獻， $T^5$是晶格振動項和$\ln\frac{1}{T}$近藤效應。

## 復電阻率和電導率

在分析材料對交變電場（介電譜）的響應時，在電阻抗斷層掃描等應用中，用稱為阻抗的複數（類似於電阻抗）代替電阻率很方便。阻抗是實部電阻率和虛部電抗性的總和（類似於電抗）。阻抗的大小是電阻率和電抗性大小的平方和的平方根。

相反，在這種情況下，電導率必須表示為複數（或者在各向異性材料的情況下甚至表示為複數矩陣），稱為導納率。介電常數是稱為電導率的實部和稱為磁化率的虛部的總和。

對交流電響應的另一種描述使用實數（但與頻率相關）電導率以及實數介電常數。電導率越大，交流信號被材料吸收的速度越快（即材料越不透明）。有關詳細資訊，請參閱opacity的數學描述。

## 複雜幾何形狀中的電阻與電阻率

即使材料的電阻率已知，在某些情況下，計算由其製成的物體的電阻可能比公式複雜得多$R = \rho \ell /A$多於。一個例子是擴散電阻分析，其中材料不均勻（不同地方的電阻率不同），電流的確切路徑並不明顯。

在這種情況下，公式$$J = \sigma E \,\, \rightleftharpoons \,\, E = \rho J$$替換為$$\mathbf{J}(\mathbf{r}) = \sigma(\mathbf{r}) \mathbf{E}(\mathbf{r}) \,\, \rightleftharpoons \,\, \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \rho(\mathbf{r}) \mathbf{J}(\mathbf{r}),$$其中E和J現在是向量場。該方程與J的連續性方程和E的泊松方程一起形成一組偏微分方程。在特殊情況下，可以手動計算出這些方程式的精確或近似解，但為了在複雜情況下獲得非常準確的答案，可能需要有限元分析等計算方法。

## 電阻率-密度乘積

在一些物品重量非常重要的應用中，電阻率和密度的乘積比絕對低電阻率更重要－通常可以使導體更厚以彌補更高的電阻率；然後需要低電阻率密度產品材料（或等效地高電導率與密度比）。例如，對於長距離架空電力線，經常使用鋁而不是銅 (Cu)，因為在相同的電導率下鋁更輕。

銀雖然是已知電阻最小的金屬，但具有高密度，以此標準衡量其性能與銅相似，但價格昂貴得多。鈣和鹼金屬具有最佳的電阻率密度乘積，但由於它們與水和氧的高反應性（並且缺乏物理強度）而很少用於導體。鋁更加穩定。毒性排除了鈹的選擇。（純鈹也很脆）因此，當導體的重量或成本是主要考慮因素時，鋁通常是首選金屬。

材料｜電阻率( nΩ·m )｜密度(g/cm3 )｜電阻率×密度｜相對於Cu的電阻率，即提供相同電導所需的橫截面積｜大約價格

( g·mΩ/m2 )｜相對Cu｜（美元每公斤）｜相對Cu

鈉｜47.7｜0.97｜46｜31%｜2.843

鋰｜92.8｜0.53｜49｜33%｜5.531

鈣｜33.6｜1.55｜52｜35%｜2.002

鉀｜72.0｜0.89｜64｜43%｜4.291

鈹｜35.6｜1.85｜66｜44%｜2.122

鋁｜26.50｜2.70｜72｜48%｜1.579｜2.0｜0.16

鎂｜43.90｜1.74｜76｜51%｜2.616

銅｜16.78｜8.96｜150｜100%｜1｜6.0｜1

銀｜15.87｜10.49｜166｜111%｜0.946｜456｜84

金｜22.14｜19.30｜427｜285%｜1.319｜39,000｜19,000

鐵｜96.1｜7.874｜757｜505%｜5.727

## 相關

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- Chemiresistor
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- Conductivity near the percolation threshold
- Contact resistance
- Electrical resistivities of the elements (data page)
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- Sheet resistance
- SI electromagnetism units
- Skin effect
- Spitzer resistivity
- Dielectric strength

## 進一步閱讀

- Measuring Electrical Resistivity and Conductivity

## 外部連結

- Comparison of the electrical conductivity of various elements in WolframAlpha

## 基本資料

- 日語原文：Resistivity
- 國際單位：ohm metre (Ω⋅m)
- 基本單位：kg⋅m3⋅s−3⋅A−2
- 單位因次：$\mathsf M \mathsf L^3 \mathsf T^{-3} \mathsf I^{-2}$
- 從其他物理量的推衍：$\rho = R \frac{A}{\ell}$
- 日語原文：Conductivity
- 國際單位：siemens per metre (S/m)
- otherunits：z
- 貨幣符號：σ, κ, γii
- 單位因次：$\mathsf M^{-1} \mathsf L^{-3} \mathsf T^3 \mathsf I^2$
- 從其他物理量的推衍：$\sigma = \frac{1}{\rho}$