小角度近似

小角度近似（small-angle approximations）可以在角度以弧度表示，且角度很小的情形下，近似部份三角函數的值：

$$\begin{align} \sin \theta &\approx \theta \\ \cos \theta &\approx 1 - \frac{\theta^2}{2} \approx 1\\ \tan \theta &\approx \theta \end{align}$$

上述的近似常用在物理學和工程學的各分支學科中，包括力學、電磁學、光學、地圖學、天文學和電腦科學。近似的一個理由是可以大幅簡化微分方程的計算，可以用在不需要精確解的情形下。

小角度近似可以用許多的方式說明，最直接的是用三角函數的馬克勞林級數，依照逼近的階數不同，$\textstyle \cos \theta$可以近似為$1$或$1-\frac{\theta^2}{2}$.。

## 理由

### 繪圖

圖1和圖2可以看出此近似的精度。在角度趨近零時，原始函數和近似函數的差也趨近零。

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- 圖1：基本的奇三角函數的比較，當角度θ趨近0時，近似函數很接近原函數。

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- 圖2：cos θ和1 − θ2的比較。當角度θ趨近0時，兩函數相當接近。

### 幾何學

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右圖中紅色部份d，是斜邊長度H和鄰邊長度A的差。如圖所示，H和A幾乎一樣長，意思是cos θ接近1，利用θ2可以減去紅色的部份

$\cos{\theta} \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$。

其對邊O長度近似於藍色圓弧的長度s。根據幾何學，s = Aθ，根據三角函數，sin θ = O和tan θ = O，根據圖上O ≈ s且H ≈ A可得：

$$\sin \theta = \frac{O}{H}\approx\frac{O}{A} = \tan \theta = \frac{O}{A} \approx \frac{s}{A} = \frac{A\theta}{A} = \theta.$$

簡化後可得

$$\sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta.$$

### 微積分

利用夾擠定理，可以證明$\lim_{\theta\to 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} = 1,$這是在小角度θ時，$\sin(\theta) \approx \theta$近似式的正式敘述。

比較小心的應用夾擠定理可得 $\lim_{\theta\to 0} \frac{\tan(\theta)}{\theta} = 1,$，因此可以得到在小角度θ時，$\tan(\theta) \approx \theta$。

最後，利用洛必達法則可得$\lim_{\theta\to 0} \frac{\cos(\theta)-1}{\theta^2} = \lim_{\theta\to 0} \frac{-\sin(\theta)}{2\theta} = -\frac{1}{2},$可以整理為$\cos(\theta) \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$，在小角度θ時成立。也可以用倍角公式$\cos 2A \equiv 1-2\sin^2 A$。令$\theta = 2A$，可得$\cos\theta=1-2\sin^2\frac{\theta}{2}\approx1-\frac{\theta^2}{2}$。

### 代數

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將正弦函數進行馬克勞林展開（在零附近的泰勒展開）可得

$$\begin{align} \sin \theta &= \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \theta^{2n+1} \\ &= \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots \end{align}$$

其中θ是以弧度表示的角度，上式也可以改寫如下：

$$\sin \theta = \theta - \frac{\theta^3}{6} + \frac{\theta^5}{120} - \frac{\theta^7}{5040} + \cdots$$

可以看出在θ很小時，第二項（三次方項）會非常小。用θ為0.01為例，第二項的數量級為第一項的 0.000001或。因此可以單純的近似為：

$$\sin \theta \approx \theta$$

另外，因為小角度的餘弦函數接近1，因此正切函數（正弦函數除以餘弦函數）可以表示如下

$\tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta$,

## 近似的誤差

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圖3是小角度近似的誤差，若以誤差在1%為準，以下是各近似函數誤差超過1%的角度：

- cos θ ≈ 1，約為 0.1408 弧度 (8.07°)
- tan θ ≈ θ，約為 0.1730 弧度 (9.91°)
- sin θ ≈ θ，約為 0.2441 弧度 (13.99°)
- cos θ ≈ 1 − θ2，約為 0.6620 弧度 (37.93°)

## 和角和差角

三角恆等式中的和角公式和差角公式，當其中一個角度很小時（β ≈ 0），可以簡化為下式：

cos(α + β)｜≈ cos(α) − β sin(α),

cos(α − β)｜≈ cos(α) + β sin(α),

sin(α + β)｜≈ sin(α) + β cos(α),

sin(α − β)｜≈ sin(α) − β cos(α).

## 應用

### 天文學

在天文學上，天體的角直徑多半只有幾個角秒，其角度很小，因此可以用小角度近似。線性大小（D）和角直徑（X）以及與觀察者距離（d）之間有以下的公式：

$$D = X \frac{d}{206\,265}$$

其中X是用角秒表示。

數字206265是圓用角秒表示的值（1296000），除以2π。

精確的公式是

$$D = d \tan \left( X \frac{2\pi}{1\,296\,000} \right)$$

若tan X改為X，上式也適用。

### 擺的運動

在計算擺的勢能時，二次餘弦近似非常的好用，可以應用在拉格朗日力學上，找到運動的間接方程（能量方程）。

在計算擺的頻率時，可以用正弦函數的小角度近近，將擺的微分方程轉換為簡諧運動的微分方程。

### 光學

在光學上，小角度近似是近軸近似的基礎。

### 波干涉

正弦和正切的小角度近似可以用在雙縫實驗或衍射光柵中，以簡化計算。

### 結構力學

小角度近似常用在結構力學上，特別是和穩定性和分岔分析上（主要是軸向受壓力的柱，是否會產生挫曲的分析）。這部份簡化的程度很大。不過不過用在精確的分析上。

### 導航

空中導航中的1 in 60 rule就是以小角度近似為基礎，加上一個弧度近似於60度的事實。

### 內插

小角度的和角和差角公式可以在三角函數表的插值：

例如：sin(0.755)

sin(0.755)｜= sin(0.75 + 0.005)

≈ sin(0.75) + (0.005) cos(0.75)

≈ (0.6816) + (0.005)(0.7317)｜sin(0.75)和cos(0.75)的值是由三角函數表求得

≈ 0.6853.