正算子值測度

在泛函分析和量子信息科學中，正算子值測度（Positive operator valued measure, POVM）是一種推廣的測度，這種測度的值為希爾伯特空間上半正定算子。POVM是投影值測度（Projection valued measure, PVM）的推廣，相應地，POVM描述的量子測量是PVM描述的量子測量 (稱為投影測量) 的推廣。

粗略比喻來說：POVM之於PVM，就如同混合態之於純態一樣。混合態對於刻畫一個較大系統的子系統的狀態而言是必須的（見量子態的純化）；類似地，POVM的概念則在刻畫在較大系統上進行的投影測量對子系統的影響時自然地產生。

POVM是量子力學中最普遍的測量類型，也用於量子場論。它們在量子信息領域有著廣泛的應用。

## 定義

設 $\mathcal{H}$ 是一希爾伯特空間，而 $(X, M)$ 是一可測空間，其中 $M$ 是 $X$ 上的博雷爾σ-代數。若 $M$ 上的一個函數 $F$，其值為 $\mathcal{H}$ 上的正有界自伴算子，且對於任意 $\psi \in \mathcal{H}$ 和 $E\in M$ 滿足

$$E \mapsto \langle F(E) \psi|\psi \rangle,$$

則 $F$ 是σ-代數 $M$ 上的非負可數可加測度，且總質量為恆等算子 $F(X) = \operatorname{I}_{\mathcal{H}}$，那麼稱 $F$ 是一個POVM。

在最簡單的情況下，POVM是有限維希爾伯特空間 $\mathcal{H}$ 上的一組半正定埃爾米特矩陣 $\{F_i\}$，其和為單位矩陣

$$\sum_{i=1}^n F_i = \operatorname{I}.$$

POVM與投影值測度的不同之處在於，對於投影值測度， $F$必須是正交投影。

在量子力學中，POVM的關鍵性質是它確定了結果空間上的一個機率測度，因此 $\langle F(E) \psi|\psi \rangle$ 可以解釋為測量量子態 $| \psi \rangle$ 時得到結果 $E$ 的機率（密度）。也就是說，POVM元素 $F_i$ 是關聯於測量結果 $i$ 的，從而對量子態 $\rho$ 進行量子測量時得到它的機率

$\text{Prob}(i) = \operatorname{tr}(\rho F_i)$。

其中 $\operatorname{tr}$ 是跡運算。若被測量的量子態是純態 $|\psi\rangle$，則此公式簡化為

$\text{Prob}(i) = \operatorname{tr}(|\psi\rangle\langle\psi| F_i) = \langle\psi|F_i|\psi\rangle$。

POVM的最簡單情況推廣了PVM的最簡單情況，即PVM是一組和為恆等矩陣的正交投影 $\{\Pi_i\}$ 的情況：

$$\sum_{i=1}^N \Pi_i = \operatorname{I}, \quad \Pi_i \Pi_j = \delta_{i j} \Pi_i.$$

PVM的機率公式與POVM的機率公式相同。一個重要的區別是POVM的元素不一定正交。因此，POVM元素的數量 $n$ 可以大於其所作用的希爾伯特空間的維數，而PVM元素的數量 $N$ 不會超過希爾伯特空間的維數。

## 奈馬克擴張定理

奈馬克擴張定理展示了如何從作用於更大空間的PVM中得到POVM。這一結果在量子力學中至關重要，因為它提供了一種物理實現正算子值測量的方法。

最簡單的情況是，POVM元素作用於一個有限維希爾伯特空間且數目有限。奈馬克擴張定理指出，若 $\{F_i\}_{i=1}^n$ 是 $d_A$ 維希爾伯特空間 $\mathcal{H}_A$ 上的POVM，則存在一個 $d_{A'}$ 維希爾伯特空間 $\mathcal{H}_{A'}$ 上的PVM $\{\Pi_i\}_{i=1}^n$ 以及等距同構 $V : \mathcal{H}_A \to \mathcal{H}_{A'}$，使得對於任意 $i$ 有

$$F_i = V^\dagger \Pi_i V.$$

對於秩為一的POVM的特殊情況，即存在某（未歸一化的）向量 $|f_i\rangle$ 使得 $F_i = |f_i\rangle\langle f_i|$，該等距映射可以構造為

$$V = \sum_{i=1}^n |i\rangle_{A'}\langle f_i|_{A}$$

而PVM則由 $\Pi_i = |i\rangle\langle i|_{A'}$ 給出。注意這裡 $d_{A'} = n$。

一般情況下，等距同構和PVM可以通過定義 $\mathcal{H}_{A'} = \mathcal{H}_{A}\otimes \mathcal{H}_{B}$、 $\Pi_i = \operatorname{I}_A \otimes |i\rangle\langle i|_B$ 和

$$V = \sum_{i=1}^n \sqrt{F_i}_A \otimes {|i\rangle}_B$$

來構造。注意這裡 $d_{A'} = nd_A$，因此這是一個更加「浪費」的構造。

無論哪種情況，對經過等距映射後的態進行該投影測量得到結果 $i$ 的機率與進行原始正算子值測量得到該結果的機率相同：

$$\text{Prob}(i) = \operatorname{tr}\left( V \rho_A V^\dagger \Pi_i \right) <pre> = \operatorname{tr}\left( \rho_A V^\dagger \Pi_i V \right) = \operatorname{tr}(\rho_A F_i) </pre>$$

通過將該等距同構 $V$ 擴張為一個么正算子 $U$，可以將這種構造轉化為POVM的一個物理實現方案。也就是說尋找 $U$ 使得

$$\forall 1\leq i\leq d_A,\quad V|i\rangle_A = U|i\rangle_{A'}.$$

這總是可以做到。

實現對量子態 $\rho$ 進行的正算子值測量 $\{F_i\}_{i=1}^n$ 的方法是，將 $\rho$ 嵌入希爾伯特空間 $\mathcal{H}_{A'}$，然後進行其么正演化 $U$，再進行對應於PVM $\{\Pi_i\}_{i=1}^n$ 的投影測量。

### 測量後的狀態

測量後的狀態不是由POVM本身決定的，而是由物理上實現它的PVM來決定。由於相同的POVM有無窮個不同的PVM實現，因此 $\{F_i\}_{i=1}^n$ 這些算子本身並不能確定測量後的狀態。為看出這一點，注意對於任何么正算子 $W$，算子

$$M_i = W\sqrt{F_i}$$

也滿足性質 $M_i^\dagger M_i = F_i$，那麼結合第二種構造的等距同構

$$V_W = \sum_{i=1}^n {M_i}_A \otimes {|i\rangle}_B$$

也將實現相同的 POVM。在被測狀態為純態 $|\psi\rangle_A$ 的情況下，由此得到的么正 $U_W$ 在該態（連同輔助態）上的作用結果是

$$U_W(|\psi\rangle_A |0\rangle_B) = \sum_{i=1}^n M_i |\psi\rangle_A |i\rangle_B,$$

當得到的測量結果為 $i_0$ 時，輔助態上的投影測量將會使 $|\psi\rangle_A$ 坍縮到態

$$|\psi'\rangle_A = \frac{M_{i_0} |\psi\rangle}{\sqrt{\langle \psi |M_{i_0}^\dagger M_{i_0} | \psi \rangle}}.$$

若被測態的密度矩陣為 $\rho_A$，其被測量後的狀態是

$$\rho'_A = {M_{i_0} \rho M_{i_0}^\dagger \over {\rm tr}(M_{i_0} \rho M_{i_0}^\dagger)}.$$

因此可見，測量後狀態明確依賴於么正算子 $W$。注意雖然 $M_i^\dagger M_i = F_i$ 總是埃爾米特的， $M_i$ 一般未必是埃爾米特的。

正算子值測量與投影測量的另一個區別在於它通常是不可重複的。若第一次測量得到結果 $i_0$，第二次測量得到不同結果 $i_1$ 的機率為

$\text{Prob}(i_1|i_0) = {\operatorname{tr}(M_{i_1}M_{i_0} \rho M_{i_0}^\dagger M_{i_1}^\dagger) \over {\rm tr}(M_{i_0} \rho M_{i_0}^\dagger)}$。

它在 $M_{i_0}$ 和 $M_{i_1}$ 不正交時可以是不為零的。在投影測量中，這些算子必然是正交的，因此測量始終是可重複的。

## 一個例子：無歧義量子態分辨

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假定有一量子系統對應的希爾伯特空間為二維的，其態要麼是 $|\psi\rangle$ 要麼是 $|\varphi\rangle$，現在想要知道是其中的何者。若 $|\psi\rangle$ 與 $|\varphi\rangle$ 正交，那麼這將是一個簡單的任務：此時 $\{|\psi\rangle\langle\psi|,|\varphi\rangle\langle\varphi|\}$ 將構成一個PVM，而在該基下的投影測量將對前述問題給出確定性的回答。然而若 $|\psi\rangle$ 與 $|\varphi\rangle$ 不正交，那麼該任務在這樣一種意義上將是不可能的：沒有一種測量，無論是PVM還是POVM，能確定地辨別這兩個態。完美辨認非正交態的不可實現性是各種量子信息協議（如量子密碼學、量子硬幣翻轉、量子貨幣）的基礎。

退而求其次，實際能做到的最好效果是所謂無歧義量子態分辨（Unambigious quantum state discrimination, UQSD）：在系統處於 $|\psi\rangle$ 還是 $|\varphi\rangle$ 的問題不犯任何錯誤，但代價是有時會得到一個概然的答案。這一點可由投影測量做到。例如，設 $|\psi^\perp\rangle$ 是正交於 $|\psi\rangle$ 的那個量子態，現在按PVM $\{|\psi\rangle\langle\psi|,|\psi^\perp\rangle\langle\psi^\perp|\}$ 進行測量，若得到了 $|\psi^\perp\rangle\langle\psi^\perp|$ 的對應結果，那麼就可得知態必然是 $|\varphi\rangle$；若結果是 $|\psi\rangle\langle\psi|$，就無法得到確鑿的答案。類似的推理對PVM $\{|\varphi\rangle\langle\varphi|,|\varphi^\perp\rangle\langle\varphi^\perp|\}$ 也有效，其中 $|\varphi^\perp\rangle$ 表示正交於 $|\varphi\rangle$ 的態。

然而這並不足以令人滿意，這種方法無法用單一測量來探測 $|\psi\rangle$ 與 $|\varphi\rangle$，並且得到確定性結果的機率也低於基於POVM的測量。下面的POVM在此任務中具有最高的機會來給出一個確定性的結論：

$$F_{\psi}=\frac{1}{1+|\lang\varphi|\psi\rang|}|\varphi^\perp\rangle\langle\varphi^\perp|$$

$$F_{\varphi}=\frac{1}{1+|\lang\varphi|\psi\rang|}|\psi^\perp\rangle\langle\psi^\perp|$$

$$F_?= \operatorname{I}-F_{\psi}-F_{\varphi}= \frac{2|\lang\varphi|\psi\rang|}{1+|\lang\varphi|\psi\rang|} |\gamma\rangle\langle\gamma|,$$

其中

$$|\gamma\rangle = \frac1{\sqrt{2(1+|\lang\varphi|\psi\rang|)}}(|\psi\rangle+e^{i\arg(\lang\varphi|\psi\rang)}|\varphi\rangle).$$

注意到 $\operatorname{tr}(|\varphi\rangle\langle\varphi|F_{\psi}) = \operatorname{tr}(|\psi\rangle\langle\psi|F_{\varphi}) = 0$，所以當得到結果 $\psi$ 時，便可確鑿地知曉系統是處於 $|\psi\rangle$，而當結果為 $\varphi$ 時就知曉系統處於 $|\varphi\rangle$。

當系統處於 $|\psi\rangle$ 或 $|\varphi\rangle$ 的機率相同時，該測量方案得到確定性結果的機率是

$$1-|\lang\varphi|\psi\rang|.$$

這一結果稱為 Ivanović-Dieks-Peres 極限，冠名於UQSD研究的先驅者.

由於這些POVM是秩為一的，可以看到通過前文敘述的構造投影測量的方法，便可在物理上實現這些POVM。將擴大後的希爾伯特空間中的三種可能的態分別標記為 $|\text{result ψ}\rangle$、 $|\text{result φ}\rangle$、 $|\text{result ?}\rangle$，么正算子 $U_\text{UQSD}$ 在態 $|\psi\rangle$ 上的作用結果是

$$U_\text{UQSD}|\psi\rangle = \sqrt{1-|\lang\varphi|\psi\rang|}|\text{result ψ}\rangle + \sqrt{|\lang\varphi|\psi\rang|} |\text{result ?}\rangle,$$

類似地，它在 $|\varphi\rangle$ 上作用的結果是

$$U_\text{UQSD}|\varphi\rangle = \sqrt{1-|\lang\varphi|\psi\rang|}|\text{result φ}\rangle + e^{-i\arg(\lang\varphi|\psi\rang)}\sqrt{|\lang\varphi|\psi\rang|}|\text{result ?}\rangle.$$

於是投影測量便可以相同於POVM的機率來得到所要的結果。

這種POVM已在實驗上用於區分一個光子的非正交偏振態。不過實現該POVM的投影測量與此處闡述的有輕微的不同。