紹爾-謝拉赫引理

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組合數學和極值集合論中，紹爾-謝拉赫引理（Sauer–Shelah lemma）斷言，若集合族的VC維低，則該族不能有太多個集合。引理得名於諾貝特·紹爾和薩哈龍·謝拉赫，兩人分別獨立於1972年發表此結果。多個來源斷言此處（以及與下文VC二氏的發現）的獨立性，如。較之略早，在1971年，弗拉基米爾·瓦普尼克和亞歷克塞·澤范蘭傑斯合著的論文已有此結果（「VC維」即以兩人為名）。謝拉赫發表引理時，亦歸功於米哈·佩爾萊斯，故引理又稱為佩爾萊斯-紹爾-謝拉赫引理。

布薩格洛等人稱其為「關於VC維的最根本結論之一」。引理在若干方面有應用，就各發現者的研究動機而言，紹爾是研究集族的組合學，謝拉赫研究模型論，VC二氏則研究統計學。後來，引理亦用於離散幾何和圖論。

## 定義及敍述

設$\textstyle \mathcal{F}=\{S_1,S_2,\dots\}$為一族集合，$T$為另一集，此時所謂$T$為$\mathcal{F}$的碎裂集，意思是$T$的每個子集（包括空集和$T$本身），皆可表示成$T$與該族某集之交$T\cap S_i$。$\mathcal{F}$的VC維是其打碎的最大集的大小。

利用以上術語，紹爾-謝拉赫引理可以寫成：

若$\mathcal{F}$是一族集合，且各集合中，合共衹有$n$個不同元素，但$\textstyle |\mathcal{F}| > \sum_{i=0}^{k-1} {\binom{n}{i}}$，則$\mathcal{F}$打碎某個$k$元集合。

所以，若$\mathcal{F}$的VC維為$k$（故不打碎任何$k + 1$元集），則$\mathcal{F}$中至多衹有$\textstyle \sum_{i=0}^{k} {\binom{n}{i}} =O(n^k)$個集合。

引理所給的界已是最優：考慮$n$元集$\{1,2,\dots, n\}$中，所有小於$k$個元素的子集，所成的族$\mathcal{F}$。該族的大小恰為$\textstyle \sum_{i=0}^{k-1} {\binom{n}{i}}$，但是不打碎任何$k$元集。

## 打碎多少集合

帕約爾將紹爾-謝拉赫引理加強為：Sous-espaces $l^n_1$ des espaces de Banach 由引述。

有限族$\mathcal{F}$必打碎至少$|\mathcal{F}|$個集合。

紹爾-謝拉赫引理為其直接推論，因為$n$元全集的子集中，衹有$\textstyle \sum_{i=0}^{k-1} {\binom{n}{i}}$個的元素個數小於$k$。故$\textstyle |\mathcal{F}|>\sum_{i=0}^{k-1} {\binom{n}{i}}$時，即使全部小集皆已打碎，仍不足$|\mathcal{F}|$個，故必有打碎某個不少於$k$元的集合。

亦可將「碎裂」的概念加以限縮，變成「順序碎裂」（order-shattered）。此時，任意集族順序打碎的集合數，必恰好等於該族的大小。

## 證

紹爾-謝拉赫引理的帕約爾變式可使用數學歸納法證明，此證法一說出自諾加·阿隆，一說出自朗·阿哈羅尼及朗·霍爾茲曼（Ron Holzman）。

作為歸納法的起始步驟，單一個集合組成的族$\mathcal F$，能打碎空集，已足$|\mathcal F|$個。

至於遞推步驟，可假設引理對任意少於$|\mathcal F|$個集合組成的族皆成立，且族$\mathcal{F}$有至少兩個集合，故可選取元素$x$為其一的元素，但不屬於另一集。如此便可將$\mathcal{F}$的集合分成兩類：包含$x$的集合歸入子族$\mathcal F_1$，不含$x$的則歸入$\mathcal F_0$。

由歸納假設，兩子族各自打碎的集合數，其和至少為$|\mathcal F_0| + |\mathcal F_1| = |\mathcal{F}|$。

該些碎裂集不能有元素$x$，因為若要打碎某個有$x$的集合$A$，則族中需要有含$x$的集合，也需要有不含$x$的集合，纔能使該族各集與$A$的交集出齊$A$的全體子集。

若集$S$衹被一個子族打碎，則數算兩子族打碎的集合時，$S$計為一個，數$\mathcal{F}$打碎的集合時亦計為一個。但$S$也可能同時被兩子族打碎，如此，數算兩子族打碎的集合時，會將$S$計兩次；不過$\mathcal F$既打碎$S$，也打碎$S\cup\{x\}$，所以$S$（和$S\cup\{x\}$）在數$\mathcal{F}$打碎的集合時，也計為兩次。由此，$\mathcal F$打碎的集合數，不小於兩子族各自打碎集合數之和，從而不小於$|\mathcal{F}|$。

紹爾-謝拉赫引理的原始形式還有另一種證明，利用線性代數及容斥原理，該證法由弗龍克爾·彼得和保奇·亞諾什給出。

## 應用

VC二氏原先將引理應用於證明，若考慮一族VC維固定的事件，則衹需有限多個取樣點，即可近似任意的機率分佈（使取樣所得的事件機率近似該分佈下的事件機率），且取樣點的個數衹取決於VC維數。具體而言，有兩種意義下的近似，各由參數$\varepsilon$定義：

- 取樣集$S$上的機率分佈定義為原分佈的「$\varepsilon$近似」（$\varepsilon$-approximation），意思是每個事件被$S$以該分佈取樣的機率，與原機率所差不過$\varepsilon$。
- 取樣集$S$（不設權重）定義為「ε網 (計算幾何)」，意思是機率不小於$\varepsilon$的任一事件中，必含$S$中至少一點。

由定義，$\varepsilon$近似必為$\varepsilon$網，反之則不一定。

VC二氏以此引理證明，若某集族的VC維為$d$，則必有大小不過$O(\tfrac{d}{\varepsilon^2}\log\tfrac{d}{\varepsilon})$的$\varepsilon$近似。其後，和等發表了類似的結果，證明必存在大小為$O(\tfrac{d}{\varepsilon}\log\tfrac{1}{\varepsilon})$的$\varepsilon$網，具體上界為$\tfrac{d}{\varepsilon}\ln\tfrac{1}{\varepsilon}+\tfrac{2d}{\varepsilon}\ln\ln\tfrac{1}{\varepsilon}+\tfrac{6d}{\varepsilon}$。證明存在小$\varepsilon$網的主要方法是，先揀選$O(\tfrac{d}{\varepsilon}\log\tfrac{1}{\varepsilon})$個點的隨機樣本$x$，再獨立揀選另$O(\tfrac{d}{\varepsilon}\log^2\tfrac{1}{\varepsilon})$個點的隨機樣本$y$，然後證明以下的不等式：存在某個較大事件$E$與$x$不交的機率$p_1$，與存在同樣的事件，且該事件與$y$相交點數大於中位值的機率$p_2$，兩機率之比至多為$2$。若固定$E$和$x \cup y$，則$x$不交$E$而$y$與$E$相交點數多於中位值的機率很小。由紹爾-謝拉赫引理，$E$與$x \cup y$的交集的可能情況並不太多，計算「存在$E$滿足條件」的機率時，衹需對每種交集的可能性考慮一個$E$，因此由併集上界，可得$p_1 \le 2p_2 < 1$，故$x$有非零機率為$\varepsilon$網。

以上論證說明隨機取樣足夠多個點就可能是$\varepsilon$網。此性質以及$\varepsilon$網、$\varepsilon$近似兩概念本身，皆在機器學習和機率近似正確學習方面有應用。計算幾何方面的應用則有範圍搜索、去隨機化、近似算法。

利用紹爾-謝拉赫引理的推廣，證明若干圖論結果，例如：圖的強定向為每條邊選定一方向，使全幅圖強連通。方案數介於其連通子圖數與邊k連通子圖數之間。