莫爾圓

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莫爾圓（Mohr's circle）得名自德國土木工程師克里斯汀·奧圖·莫爾，是一種用二維方式表示柯西應力張量轉換關係的圖。

先針對假設為連續的物體進行應力應變分析，之後特定一點的柯西應力張量分量會和坐標系有關。莫爾圓是用圖形的方法去確認一個旋轉坐標系上的應力分量，也就是在同一點上，但是作用在不同方向平面上的分量。

圓上每一個點的橫坐標$\sigma_\mathrm{n}$及縱坐標$\tau_\mathrm{n}$都是在這個旋轉坐標系統上某一個方向的正應力及剪應力。換句話說，莫爾圓表示了在所有方向平面上應力狀態的軌跡，而X軸和Y軸為應力元素的主軸。

卡爾·卡爾曼是第一個想到用圖形來表示應力的人，他是在分析水平樑承受彎曲時的縱向應力及垂直應力時所想到的。莫爾的貢獻不止是用莫爾圓表示二維及三維的應力，他也根據莫爾圓發展了結構失效判定的準則。

其他表示應力狀態的方式有拉梅應力橢球及柯西應力二次曲線（Cauchy's stress quadric）。

莫爾圓可以擴展到對稱的 2x2 張量，包括應變及轉動慣量張量。

## 應力及莫爾圓

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考慮一個會變形的物體（假設為連續體），若受到外力（可能是表面力或是體積力），物體的內部就會有力的分布。物體內部的力會依循歐拉運動定律，正如物體受力依循牛頓運動定律一様。物體內部力的強度可以用應力來表示。因為物體假設為連續體，其內部的力也是會均勻分佈在其體積中。

在工程中（例如結構工程、機械工程或土力工程）會透過應力－應變分析來分析一物體中應力的的分佈，例如隧道中岩石的應力，飛機機翼的應力，或是建築物中梁柱的應力等。計算應力分布也就表示要知道物體中每一點的應力。據奧古斯丁·路易·柯西的理論，（假設為連續體的）物體中任何一點的應力（圖2），可以完全由二階張量種類的張量中的九個應力元素 $\sigma_{ij}$完全決定，此二階張量稱為柯西應力張量, $\boldsymbol\sigma$:

$$\boldsymbol{\sigma}= \left[{\begin{matrix} \sigma _{11} & \sigma _{12} & \sigma _{13} \\ \sigma _{21} & \sigma _{22} & \sigma _{23} \\ \sigma _{31} & \sigma _{32} & \sigma _{33} \\ \end{matrix}}\right] \equiv \left[{\begin{matrix} \sigma _{xx} & \sigma _{xy} & \sigma _{xz} \\ \sigma _{yx} & \sigma _{yy} & \sigma _{yz} \\ \sigma _{zx} & \sigma _{zy} & \sigma _{zz} \\ \end{matrix}}\right] \equiv \left[{\begin{matrix} \sigma _x & \tau _{xy} & \tau _{xz} \\ \tau _{yx} & \sigma _y & \tau _{yz} \\ \tau _{zx} & \tau _{zy} & \sigma _z \\ \end{matrix}}\right]$$

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若確定了一物體在特定坐標系統$(x,y)$下的應力分佈，有可能需要知道特定一點$P$相對另一個有旋轉的坐標系統$(x',y')$下的應力張量，也就是在需要關注的點，在特定角度下的的應力張量。而此坐標系統$(x',y')$和原有的坐標系統$(x,y)$之間有一個角度差（圖3）。例如，一般會需要知道最大的正向應力以及最大的剪應力，也需要知道其對應的方向。因此，需要發展一種張量轉換的方式，可以配合坐標系統的旋轉得到新坐標系統的張量。依照張量的定義，柯西應力張量遵守張量轉換定律。應力的莫爾圓是用圖解方式來說明柯西應力張量轉換定律的方式。

## 二維張量下的莫爾圓

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在二維下，一點$P$相對於垂直方向的應力張量可以用三個應力向量完全表示。在垂直坐標系統$(x,y)$下，其應力分量為：法向應力$\sigma_x$及$\sigma_y$，以及剪應力$\tau_{xy}$。由於角動量守恆，柯西應力張量會有對稱性，也就是$\tau_{xy}=\tau_{yx}$，因此柯西應力張量可以寫成：

$$\boldsymbol{\sigma}= \left[{\begin{matrix} \sigma _x & \tau _{xy} & 0 \\ \tau _{xy} & \sigma _y & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}}\right] \equiv \left[{\begin{matrix} \sigma _x & \tau _{xy} \\ \tau _{xy} & \sigma _y \\ \end{matrix}}\right]$$

其目的是在另一個通過$P$點，但存在角度差的坐標系統$(x',y')$下，找到應力分量$\sigma_\mathrm{n}$及$\tau_\mathrm{n}$（圖4）。坐標系統$(x',y')$和原坐標系統$(x,y)$的角度差即為$\theta$。

### 莫爾圓的方程

要推導二維平面應力及平面應變的莫爾圓方程，先考慮一個位在位置$P$的二維的無限小方形元素（圖4），和$y$-$z$平面平行。

利用無限小元素上的力平衡，正向應力$\sigma_\mathrm{n}$及剪應力$\tau_\mathrm{n}$的大小為：

$$\sigma_\mathrm{n} = \frac{1}{2} ( \sigma_x + \sigma_y ) + \frac{1}{2} ( \sigma_x - \sigma_y )\cos 2\theta + \tau_{xy} \sin 2\theta$$

$$\tau_\mathrm{n} = -\frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y )\sin 2\theta + \tau_{xy}\cos 2\theta$$

莫爾圓參數式的推導－利用力平衡利用$\sigma_\mathrm{n}$方向（$x'$軸）的力平衡（圖4），而且假設$\sigma_\mathrm{n}$ 作用的面積為$dA$，可得： :$\ \begin{align} \sum F_{x'} &= \sigma_\mathrm{n} dA - \sigma_x dA \cos ^2 \theta - \sigma_y dA \sin ^2 \theta - \tau_{xy} dA \cos \theta \sin \theta - \tau_{xy} dA \sin \theta \cos \theta = 0 \\ \sigma_\mathrm{n} &= \sigma_x \cos ^2 \theta + \sigma_y \sin ^2 \theta + 2\tau_{xy} \sin \theta \cos \theta \\ \end{align}$ 再考慮以下的關係 :$\cos ^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}, \qquad \sin ^2 \theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2} \qquad$ 及 $\qquad \sin 2\theta= 2\sin\theta\cos\theta$ 可以得到 :$\sigma_\mathrm{n} = \frac{1}{2} ( \sigma_x + \sigma_y ) + \frac{1}{2} ( \sigma_x - \sigma_y )\cos 2\theta + \tau_{xy} \sin 2\theta$ 再考慮$\tau_\mathrm{n}$方向（$y'$軸）的力平衡（圖4），再假設 $\tau_\mathrm{n}$作用的面積是$dA$，可得： :$\ \begin{align} \sum F_{y'} &= \tau_\mathrm{n} dA + \sigma_x dA \cos \theta \sin \theta - \sigma_y dA \sin \theta \cos \theta - \tau_{xy} dA \cos ^2 \theta + \tau_{xy} dA \sin ^2 \theta = 0 \\ \tau_\mathrm{n} &= -(\sigma_x-\sigma_y) \sin\theta\cos\theta + \tau_{xy} \left( \cos^2 \theta -\sin^2 \theta \right) \\ \end{align}$ 再考慮以下的關係 :$\cos ^2 \theta - \sin^2\theta=\cos 2\theta \qquad$ 及 $\qquad \sin 2\theta= 2\sin\theta\cos\theta$ 可以得到 :$\tau_\mathrm{n} = -\frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y )\sin 2\theta + \tau_{xy}\cos 2\theta$

上述二個方程也可以用柯西應力張量的張量變換定律來求得，這和在$\sigma_\mathrm{n}$及$\tau_\mathrm{n}$方向用力平衡計算是等效的。

莫爾圓參數式的推導－利用張量變換應力張量變換定律可以表示為 :$\begin{align} \boldsymbol{\sigma}' &= \mathbf A \boldsymbol{\sigma} \mathbf A^T \\ \left[{\begin{matrix} \sigma_{x'} & \tau_{x'y'} \\ \tau_{y'x'} & \sigma_{y'} \\ \end{matrix}}\right] &=\left[{\begin{matrix} a_{x} & a_{xy} \\ a_{yx} & a_{y} \\ \end{matrix}}\right] \left[{\begin{matrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} \\ \tau_{yx} & \sigma_{y} \\ \end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix} a_{x} & a_{yx} \\ a_{xy} & a_{y} \\ \end{matrix}}\right] \\ &= \left[{\begin{matrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \\ \end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} \\ \tau_{yx} & \sigma_{y} \\ \end{matrix}}\right] \left[{\begin{matrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \\ \end{matrix}}\right] \end{align}$ 將等號右側展開，再配合$\sigma_{x'}=\sigma_\mathrm{n}$及$\tau_{x'y'}=\tau_\mathrm{n}$，可得： :$\sigma_\mathrm{n} = \sigma_x \cos ^2 \theta + \sigma_y \sin ^2 \theta + 2\tau_{xy} \sin \theta \cos \theta$ 再加上以下的條件 :$\cos ^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}, \qquad \sin ^2 \theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2} \qquad$ 及$\qquad \sin 2\theta= 2\sin\theta\cos\theta$ 可得 :$\sigma_\mathrm{n} = \frac{1}{2} ( \sigma_x + \sigma_y ) + \frac{1}{2} ( \sigma_x - \sigma_y )\cos 2\theta + \tau_{xy} \sin 2\theta$ $\tau_\mathrm{n} = -(\sigma_x-\sigma_y) \sin\theta\cos\theta + \tau_{xy} \left( \cos^2 \theta -\sin^2 \theta \right)$ 再加上以下的條件 :$\cos ^2 \theta - \sin^2\theta=\cos 2\theta \qquad$ 及$\qquad \sin 2\theta= 2\sin\theta\cos\theta$ 可得 :$\tau_\mathrm{n} = -\frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y )\sin 2\theta + \tau_{xy}\cos 2\theta$ 此時不需要計算$\sigma_{x'}$垂直的應力成份$\sigma_{y'}$，因為在推導莫爾圓時還不需要此成份

這二個方程是莫爾圓的參數式。在方程中，$2\theta$為參數，而$\sigma_\mathrm{n}$和$\tau_\mathrm{n}$為坐標，因此表示若選擇適當的坐標系統，使$\sigma_\mathrm{n}$為橫軸，$\tau_\mathrm{n}$縱軸，給定參數$\theta$，會給定在莫爾圓上的一點。

若從參數式中消去參數$2\theta$，可以得到非參數式的莫爾圓方程。可以用重組$\sigma_\mathrm{n}$及$\tau_\mathrm{n}$的方程來達到。先將第一式等號右側的第一項移到等號左邊，二式平方後相加，可得

$$\begin{align} \left[ \sigma_\mathrm{n} - \tfrac{1}{2} ( \sigma_x + \sigma_y )\right]^2 + \tau_\mathrm{n}^2 &= \left[\tfrac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y)\right]^2 + \tau_{xy}^2 \\ (\sigma_\mathrm{n} - \sigma_\mathrm{avg})^2 + \tau_\mathrm{n}^2 &= R^2 \end{align}$$

其中

$$R = \sqrt{\left[\tfrac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y)\right]^2 + \tau_{xy}^2} \quad \text{and} \quad \sigma_\mathrm{avg} = \tfrac{1}{2} ( \sigma_x + \sigma_y )$$

這就是圓（莫爾圓）的方程

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

在$(\sigma_\mathrm{n},\tau_\mathrm{n})$坐標系統中，其半徑$r=R$，圓心在坐標$(a,b)=(\sigma_\mathrm{avg}, 0)$處。

### 符號體系

在使用莫爾圓時，需考慮兩組分別的符號體系，一個是針對實體空間下應力分量的符號體系，另一個是針對「莫爾圓空間」下應力分量的符號體系。此外，工程力學（結構工程及機械工程）文獻用的體系和地質力學用的符號體系不同。沒有所有系統都適用的標準符號體系，是否要使用特定的符號體系取決於計算及詮釋特定問題的方便程度。

上述圖4的莫爾圓推導都是使用工程力學的符號體系，以下也會繼續使用工程力學的符號體系。

#### 實體空間符號體系

為了描述柯西應力張量的方便（圖3及圖4），應力分量的第一個下標表示應力分量作用的面，第二個下標表示應力分量的方向。因此$\tau_{xy}$是作用在以$x$軸正向為其法向量的平面上，而方向是往$y$軸的正方向。

在實體空間符號體系，正的正向應力是由作用平面往外（張力），負的正向應力是由作用平面往內（壓縮力）（圖5）。

在實體空間符號體系中，正剪應力在法向量為正的材料元素平面上，其作用方向會往軸的正方向，同樣的，正剪力在法向量為負的材料元素平面上，其作用方向會往軸的負方向。例如作用在正向平面的剪應力$\tau_{xy}$和$\tau_{yx}$為正，因為這二個剪應力的作用方向往$y$軸及$x$軸的正方向（圖3）。而相對應的作用在負向平面的剪應力$\tau_{xy}$和$\tau_{yx}$，其作用方向往$y$軸及$x$軸的負方向，因此這二個剪應力也為正。

#### 莫爾圓空間符號體系

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在莫爾圓空間符號體系中，應力的符號體系和實體空間符號體系中的相同：正的正向應力是由作用平面往外（張力），負的正向應力是由作用平面往內（壓縮力）

不過剪應力的符號體系和實體空間符號體系中的不同。在莫爾圓空間符號體系中，正的剪應力會使材料往逆時針方向旋轉，而負的剪應力會使材料往順時針方向旋轉。因此在莫爾圓空間中，剪應力分量$\tau_{xy}$為正，而$\tau_{yx}$為負。這和實體空間符號體系中$\tau_{xy}$和$\tau_{yx}$符號相同的情形不同。

在繪製莫爾圓時，有二個作法可以繪製在數學上正確的莫爾圓：

- 將正的剪應力畫在上方（圖5，符號體系#1）
- 將正的剪應力畫在下方，也就是$\tau_\mathrm n$軸倒置（圖5，符號體系#2）

將正的剪應力畫在上方會讓莫爾圓上的$2\theta$角為正值時，旋轉方向是順時針旋轉，這和實體空間符號體系中的相反。因此有些作者會選擇讓正的剪應力畫在下方，這會讓莫爾圓上的$2\theta$角為正值時，旋轉方向是逆時針旋轉，類似實體空間符號體系的情形。

為了克服剪應力軸往下才是正向的問題，有另外一種「替代的」符號體系，其中正的剪應力假設為將材料將順時針方向旋轉，而負的剪應力假設為將材料將逆時針方向旋轉（圖5，符號體系#3）。在「替代」體系下，正的剪應力軸往上，而且在莫爾圓上$2\theta$為正值時，旋轉方向為逆時針。此符號體系產生的莫爾圓和圖5，符號體系#2中的相同，因為正的剪應力$\tau_\mathrm n$也是會逆時針旋轉的剪應力，也畫在下方。而負的剪應力$\tau_\mathrm n$也是會順時針旋轉的剪應力，也畫在上方。

此條目在實體空間符號體系中，會依照工程力學的符號體系，而在莫爾圓空間中，會使用「替代的」符號體系（圖5，符號體系#3）。

### 繪製莫爾圓

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假設已知待研究物體上的點$P$的應力分量$\sigma_x$、$\sigma_y$及$\tau_{xy}$，如圖4所示。以下方法可以繪製點$P$的莫爾圓，以表示其應力狀態。

- 繪制笛卡爾坐標系統$(\sigma_\mathrm{n},\tau_\mathrm{n})$，橫軸為$\sigma_\mathrm{n}$，縱軸為$\tau_\mathrm{n}$。
- 在$(\sigma_\mathrm{n},\tau_\mathrm{n})$空間中，畫出二點$A(\sigma_y, \tau_{xy})$及$B(\sigma_x, -\tau_{xy})$，分別是作用在二垂直平面$A$平面和 $B$平面上的應力分量（圖4及圖6），需依照選擇的符號體系。
- 用線段$\overline{AB}$連接$A$點和$B$點，此即為圓的直徑。
- 繪製莫爾圓，其圓心$O$是線段$\overline{AB}$的中點，也就是此線和$\sigma_\mathrm{n}$軸的交點。

### 找主要正向應力

主要應力的大小是點$C$和點$E$（圖6中圓和 $\sigma_\mathrm n$軸的交點）中的橫坐標。最大正向應力$\sigma_1$的大小恆為這二個橫坐標中最大的那一個，而$\sigma_2$最小正向應力的大小恆為這二個橫坐標中最小的那一個。這二個點的縱坐標為0，對應在主要平面上的剪應力為零，主要應力的大小也可以表示為

$$\sigma_1 = \sigma_\max = \sigma_\text{avg}+R$$

$$\sigma_2 = \sigma_\min = \sigma_\text{avg}-R$$

其中平均正向應力$\sigma_\text{avg}$的大小是圓心$O$的橫坐標，為

$$\sigma_\text{avg} = \tfrac{1}{2}(\sigma_x+ \sigma_y)$$

其半徑的長度$R$為

$$R = \sqrt{\left[\tfrac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y)\right]^2 + \tau_{xy}^2}$$

### 找最大和最小剪應力

最大剪應力和最小剪應力對應圓上最大及最小的縱坐標。這二個點是圓和通過圓心$O$的垂直線的交點。因此，最大和最小剪應力的大小為圓的半徑$R$

$$\tau_{\max,\min}= \pm R$$

### 找任意平面的應力分量

如前面所述，在二維應力分析後，可以知道在材料某一點$P$上的應力分量$\sigma_x$、$\sigma_y$及 $\tau_{xy}$。這些應力分量作用在通過$P$點的二垂直平面 $A$ 及 $B$，如圖5及圖6所述。莫爾圓也可以計算在莫爾圓上$D$的應力分量$\sigma_\mathrm{n}$及$\tau_\mathrm{n}$，事實是作用在$D$平面上，此平面也通過$P$點，和$B$平面有夾角$\theta$，計算應力分量有二種方式：倍角法以及平面原點法（origin of planes）

#### 倍角法

如圖6所示，若平面$D$是平面$B$再逆時針旋轉角度$\theta$後的平面，要找到在平面$D$上的應力分量$(\sigma_\mathrm{n}, \tau_\mathrm{n})$，可以在莫爾圓上從已知應力點 $B(\sigma_x, -\tau_{xy})$同樣以逆時針旋轉，但旋轉角度 $2\theta$，旋轉到點$D(\sigma_\mathrm{n}, \tau_\mathrm{n})$，也就是讓$\overline {OB}$線和$\overline {OD}$線之間的夾角是$2\theta$。

倍角法的作法源自於通過$P$點的二實際平面之間的夾角$\theta$（圖4），是其對應應力點 $(\sigma_\mathrm{n}, \tau_\mathrm{n})$在莫爾圓上和圓心連線形成夾角的一半。

倍角關係是因為莫爾圓的參數式是$2\theta$的函數。也可以從在材料點 $P$上的平面$A$和$B$夾角是90度，而在莫爾圓上其應力點夾角為180度看出（90度的兩倍）。

#### 極點法（或平面原點法）

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第二種方式和要找到莫爾圓上的一個點，稱為極點（pole）或是平面原點（origin of planes）。從極點畫的任何直線都會和莫爾圓相交，交點表示在和直線相同角度的平面上的應力狀態。因此若知道任何特定平面上的應力分量$\sigma$及$\tau$，可以畫一條線通過莫爾圓上的 $\sigma_\mathrm{n}$和$\tau_\mathrm{n}$，且和平面平行，找到莫爾圓上這些線的交點，即為極點。例如，假設有應力狀態如圓7所示，其分量是$\sigma_x,\!$, $\sigma_y,\!$及$\tau_{xy},\!$。首先先從$B$點畫一條線，平行$\sigma_x$的作用平面，或是從$A$點畫一條線，平行$\sigma_y$的作用平面，任一條線都會和莫爾圓交會，交會的點即為極點。在找到極點後，若要找到和垂直有$\theta$夾角的平面上的應力，可以從極點畫一條平行該平面的線（見圖7）。可以根據直線和莫爾圓的交點找到平面上的正向應力以及剪應力。

### 找主要平面的方向

最大主要應力及最小主要應力所在的平面方向也稱為主要平面（principal planes），可以用莫爾圓中的∠BOC及∠BOE判斷，然後將二個角度都取一半。因此$\overline{OB}$和$\overline{OC}$之間的夾角是角∠BOC，是$\theta_p$（主要平面和平面$B$夾角）角度的二倍。

而$\theta_{p1}$和$\theta_{p2}$也可以用以下的方程取得

$$\tan 2 \theta_\mathrm{p} = \frac{2 \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}$$

此方程的解會是二個角度，彼此相差$90^\circ$。可以直接用圓的幾何求解此方程，或是用圓的參數式，並且讓$\tau_\mathrm n$等於零（主要平面上的剪應力為0）。

## 一般三維應力下的莫爾圓

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若要繪製三維應力下的莫爾圖，需要先量測其主應力的大小$\left(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \right)$以及方向$\left(n_1, n_2, n_3 \right)$。

考慮以主應力軸為坐標系統，而不是用$x_1$, $x_2$, $x_3$坐標系統，並且假設$\sigma_1 > \sigma_2 > \sigma_3$，則在一法向量為 $\mathbf n$的平面，其應力向量$\mathbf T^{(\mathbf n)}$的應力分量及剪力分量會滿足下式

$$\begin{align} \left( T^{(n)} \right)^2 &= \sigma_{ij}\sigma_{ik}n_jn_k \\ \sigma_\mathrm{n}^2 + \tau_\mathrm{n}^2 &= \sigma_1^2 n_1^2 + \sigma_2^2 n_2^2 + \sigma_3^2 n_3^2 \end{align}$$

$$\sigma_\mathrm{n} = \sigma_1 n_1^2 + \sigma_2 n_2^2 + \sigma_3 n_3^2.$$

由於$n_i n_i = n_1^2+n_2^2+n_3^2 = 1$，可以用高斯消去法求解$n_1^2$, $n_2^2$, $n_3^2$：

$$\begin{align} n_1^2 &= \frac{\tau_\mathrm{n}^2+(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_2)(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_3)}{(\sigma_1 - \sigma_2)(\sigma_1 - \sigma_3)} \ge 0\\ n_2^2 &= \frac{\tau_\mathrm{n}^2+(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_3)(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_1)}{(\sigma_2 - \sigma_3)(\sigma_2 - \sigma_1)} \ge 0\\ n_3^2 &= \frac{\tau_\mathrm{n}^2+(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_1)(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_2)}{(\sigma_3 - \sigma_1)(\sigma_3 - \sigma_2)} \ge 0. \end{align}$$

因為$\sigma_1 > \sigma_2 > \sigma_3$及$(n_i)^2$都不是負值，因此其分子滿足

$\tau_\mathrm{n}^2+(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_2)(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_3) \ge 0$ 因為其分母$\sigma_1 - \sigma_2 > 0$而且$\sigma_1 - \sigma_3 > 0$

$\tau_\mathrm{n}^2+(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_3)(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_1) \le 0$ 因為其分母$\sigma_2 - \sigma_3 > 0$而且$\sigma_2 - \sigma_1 < 0$

$\tau_\mathrm{n}^2+(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_1)(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_2) \ge 0$ 因為其分母$\sigma_3 - \sigma_1 < 0$而且$\sigma_3 - \sigma_2 < 0.$

方程式可以寫成

$$\begin{align} \tau_\mathrm{n}^2 + \left[ \sigma_\mathrm{n}- \tfrac{1}{2} (\sigma_2 + \sigma_3) \right]^2 \ge \left( \tfrac{1}{2}(\sigma_2 - \sigma_3) \right)^2 \\ \tau_\mathrm{n}^2 + \left[ \sigma_\mathrm{n}- \tfrac{1}{2} (\sigma_1 + \sigma_3) \right]^2 \le \left( \tfrac{1}{2}(\sigma_1 - \sigma_3) \right)^2 \\ \tau_\mathrm{n}^2 + \left[ \sigma_\mathrm{n}- \tfrac{1}{2} (\sigma_1 + \sigma_2) \right]^2 \ge \left( \tfrac{1}{2}(\sigma_1 - \sigma_2) \right)^2 \\ \end{align}$$

是三個應力莫爾圓$C_1$, $C_2$和$C_3$的方程，其半徑分別是$R_1=\tfrac{1}{2}(\sigma_2 - \sigma_3)$, $R_2=\tfrac{1}{2}(\sigma_1 - \sigma_3)$及$R_3=\tfrac{1}{2}(\sigma_1 - \sigma_2)$，而其圓心分別在$\left[\tfrac{1}{2}(\sigma_2 + \sigma_3), 0\right]$, $\left[\tfrac{1}{2}(\sigma_1 + \sigma_3), 0\right]$, $\left[\tfrac{1}{2}(\sigma_1 + \sigma_2), 0\right]$。

有了上述三個應力莫爾圓的方程，所有可能的應力點$(\sigma_\mathrm{n}, \tau_\mathrm{n})$都會在三個應力莫爾圓之間的陰影區域（見圖10）。應力點$(\sigma_\mathrm{n}, \tau_\mathrm{n})$ 可能滿足圓$C_1$的方程，或是在圓$C_1$的外面，可能滿足圓$C_2$的方程，或是在圓$C_2$的裡面，可能滿足圓$C_3$的方程，或是在圓$C_3$的外面。

## 外部連結

- Mohr's Circle and more circles by Rebecca Brannon
- DoITPoMS Teaching and Learning Package- "Stress Analysis and Mohr's Circle"