迭代稀疏漸近最小方差演算法

迭代稀疏漸近最小方差演算法是用於信號處理中的譜估計和到達方向（DOA）估計的無參數超解析度演算法。這個名稱是為了強調漸近最小方差（AMV）標準的創造基礎。它是在惡劣環境下恢復多個高相關源的幅度和頻率特性的有力工具，例如有限數量的快照，低信噪比。它可以用於合成孔徑雷達。

## 概述

迭代稀疏漸近最小方差演算法是一種基於壓縮感知的超高解析度成像程式, 可以用於合成孔徑雷達成像, 訊號處理, 核磁共振成像等醫學影像領域。

## 定義

SAMV演算法的公式在DOA估計的背景下作為反問題給出。假設 $M$ -元素 均勻線性陣列（ULA）分別接收從位於$\mathbf{\theta} = \{\theta_a, \ldots, \theta_K \}$ 位置發出的$K$窄帶信號。ULA中的傳感器在特定時間累積$N$快照。$M\times 1$維快照向量是

$$\mathbf{y}(n) = \mathbf{A} \mathbf{x}(n) + \mathbf{e}(n), n = 1, \ldots, N$$

其中 $\mathbf{A} = [ \mathbf{a}(\theta_1), \ldots, \mathbf{a}(\theta_K) ]$ 是轉向矩陣, ${\bf x}(n)=[{\bf x}_1(n), \ldots, {\bf x}_K(n)]^T$ 包含源波形，和 ${\bf e}(n)$ 是噪音詞。假設$\mathbf{E}\left({\bf e}(n){\bf e}^H(\bar{n})\right)= \sigma{\bf I}_M\delta_{n,\bar{n}}$, $\delta_{n,\bar{n}}$ 是 Dirac delta 函數 並且它僅等於1，唯一存在 $n=\bar{n}$ 否則為0。並且假設 ${\bf e}(n)$ and ${\bf x}(n)$ 是獨立的，而 $\mathbf{E}\left({\bf x}(n){\bf x}^H(\bar{n})\right)={\bf P}\delta_{n,\bar{n}}$, where ${\bf P}= \operatorname{Diag}( {p_1,\ldots,p_K})$. Let ${\bf p}$ 是包含未知信號功率和噪聲方差的向量， ${\bf p} = [p_1,\ldots,p_K, \sigma]^T$.

${\bf y}(n)$的協方差矩陣，其中有關$\boldsymbol{\bf p}$的是

$${\bf R} = {\bf A}{\bf P}{\bf A}^H+\sigma{\bf I}.$$

該協方差矩陣可以通過樣本協方差矩陣進行傳統估計 ${\bf R}_{N} = {\bf Y}{\bf Y}^H/N$，其中 ${\bf Y} =[{\bf y}(1), \ldots,{\bf y}(N)]$。將向量化運算符應用於矩陣 ${\bf R}$ 後，獲取的向量 ${\bf r}(\boldsymbol{\bf p}) = \operatorname{vec}({\bf R})$ 與未知參數線性相關$\boldsymbol{\bf p}$ 當

${\bf r}(\boldsymbol{\bf p}) = \operatorname{vec}({\bf R})={\bf S}\boldsymbol{\bf p}$,

其中 ${\bf S}= [{\bf S}_1,\bar{\bf a}_{K+1}]$, ${\bf S}_1 =[\bar{\bf a}_1,\ldots,\bar{\bf a}_K]$, $\bar{\bf a}_k = {\bf a}^{*}_k \otimes{\bf a}_k$, $k=1,\ldots, K$, 和使 $\bar{\bf a}_{K+1} = \operatorname{vec}({\bf I})$.

## SAMV演演算法

要從統計的${\bf r}_N$去估算$\boldsymbol{\bf p}$，我們基於漸近最小方差準則開發了一系列迭代SAMV方法。從開始，從協方差矩陣 $\operatorname{Cov}^\operatorname{Alg}_{\boldsymbol{p}}$ 的任意一致的估計值 $\boldsymbol{p}$，基於二階統計值 ${\bf r}_N$，以實數對稱-正定矩陣為界

$$\operatorname{Cov}^\operatorname{Alg}_{\boldsymbol{p}}\geq[{\bf S}^H_d {\bf C}^{-1}_r{\bf S}_d]^{-1},$$

其中 ${\bf S}_d = {\rm d}{\bf r}(\boldsymbol{p})/ {\rm d}\boldsymbol{p}$。此外，這個下界是通過最小化得到的$\hat{\bf p}$ 的漸近分佈的協方差矩陣得到的。

$$\hat{\boldsymbol{p}} =\arg \min_{\boldsymbol{p}} f(\boldsymbol{p}),$$

其中$$f(\boldsymbol{p}) = [{\bf r}_N-{\bf r}(\boldsymbol{p})]^H {\bf C}_r^{-1} [{\bf r}_N-{\bf r}(\boldsymbol{p})].$$

因此，可以迭代地獲 $\boldsymbol{\bf p}$ 的估計值。

$\{\hat{p}_k\}_{k=1}^K$ 和最小化$f(\boldsymbol{p})$的$\hat{\sigma}$ 可藉由以下計算獲得。

假設 $\hat{p}^{(i)}_k$ 和 $\hat{\sigma}^{(i)}$ 在第 $i$ 迭代中已被估算到某種程度, 第 $(i+1)$迭代可以被精簡成。

$$\hat{p}^{(i+1)}_k = \frac{{\bf a}^H_k{\bf R}^{-1{(i)}}{\bf R}_N {\bf R}^{-1{(i)}}{\bf a}_k}{ ({\bf a}^H_k{\bf R}^{-1{(i)}}{\bf a}_k)^2}+\hat{p}^{(i)}_k-\frac{1}{{\bf a}^H_k{\bf R}^{-1{(i)}}{\bf a}_k}, \quad k=1, \ldots,K$$

$$\hat{\sigma}^{(i+1)} = \left(\operatorname{Tr}({\bf R}^{-2^{(i)}}{\bf R}_N) + \hat{\sigma}^{(i)}\operatorname{Tr}({\bf R}^{-2^{(i)}}) -\operatorname{Tr}({\bf R}^{-1^{(i)}})\right)/{\operatorname{Tr}{({\bf R}^{-2^{(i)}})}},$$

其中 ${\bf R}$ 的估計值在第 $i$ 迭代是 ${\bf R}^{(i)}={\bf A}{\bf P}^{(i)}{\bf A}^H+\hat{\sigma}^{(i)}{\bf I}$ with ${\bf P}^{(i)}=\operatorname{Diag}(\hat{p}^{(i)}_1, \ldots, \hat{p}^{(i)}_K)$.

## 超越掃描網格精度

基於大多數壓縮感知的源定位技術的解析度受到覆蓋位置參數空間的方向網格的精細度的限制。在稀疏信號恢復模型中，真值信號的稀疏性 $\mathbf{x}(n)$ 取決於超完備字典${\bf A}$中相鄰元素之間的距離因此, 會出現選擇最佳超完備字典的難度。計算複雜度與方向網格的精細度成正比，高密度網格在計算上不實用。為了克服網格強加的解析度限制，提出了無網格SAMV-SML（迭代稀疏漸近最小方差 - 隨機最大似然, 它藉由迭代的最小化隨機最大似然估計的消耗函數，相對於單一純數$\theta_k$，改進了位置估計 $\boldsymbol{\bf \theta}=(\theta_1,\ldots,\theta_K)^T$。

## 應用於距離都卜勒成像

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在 SISO 雷達 / 聲納 距離 - 都卜勒成像問題中使用SAMV演算法的典型應用。該成像問題是單快照應用，並且包括與單快照估計兼容的演算法，即匹配濾波器（MF，類似於週期圖或反投影，這通常被有效地實現為快速傅立葉變換（FFT）），IAA 和SAMV演算法的變體（SAMV-0）。模擬條件與之相同: 一個 $30$-元素的多項 pulse compression使用P3代碼相同作為發射脈衝，模擬總共九個運動目標。在所有移動目標中，三個是$5$ dB功率，其餘六個是$25$ dB功率。假設接收信號被$0$ dB功率的均勻高斯白噪聲污染。

匹配濾波器檢測結果在都卜勒和範圍域都受到嚴重的拖尾和光譜洩漏影響，因此無法區分$5$ dB目標。相反，IAA演算法提供增強的成像結果，具有可觀察的目標範圍估計和都卜勒頻率。SAMV-0方法提供高度稀疏的結果並完全消除拖尾效應，但它錯過了弱$5$ dB目標。