新里曼理論

新里曼理論（Neo-Riemannian theory）是一些現代音樂理論學家，例如戴維·勒溫，布賴恩·海爾（Brian Hyer），理察·孔恩與亨利·科朗彭霍沃爾（Henry Klumpenhouwer）等人所發表的某些鬆散觀點的集合。這些觀點均在不藉助相對主音關係的條件下，致力於構造一種和聲之間的直接聯繫。最初被研究的和聲是大小三和弦；之後，新里曼理論將研究範圍拓展到一般的不協和的和弦。聲部進行的效率可被用於規範化地表徵和聲接近度（harmonic proximity）；例如，若比較C大三和弦和E小三和弦，即可發現兩個和弦只有一個音不同，而這兩個不同的音之間只有半音的差距，因此這兩個和弦被認為在和聲上是相互接近的。相近的和聲之間的運動可由簡單的變換（transformations）來描述。例如，從C大三和弦到E小三和弦的運動（或從E小三和弦到C大三和弦），可由「L」變換來實現。延伸出的和聲進行可以在一個幾何平面上特徵性地表示出來，由此描繪出表示整個和聲關係的系統。大家還未就新里曼理論的核心達成共識：到底是平滑的聲部進行，還是變換，亦或是通過幾何進行映射的關係系統。在浪漫主義晚期音樂（包括舒伯特、李斯特、華格納和布魯克納的音樂）的和聲實踐的分析中，新里曼理論常常被援引，因為這些音樂中出現了高度的半音創作手法。

<image>

新里曼理論得名於胡戈·里曼（1849–1919），他的用於聯繫各個三和弦的「二元（dualist）」系統取自於早期的19世紀和聲理論家。術語「二元論（dualism）」強調了大調與小調可相互轉換的關係；即小三和弦是大三和弦的負和聲「倒影」。這種二元性造成了右圖中音階方向的不同。在1880年代，里曼提出了變換系統（system of transformations），將三和弦直接兩兩聯繫在一起。David Lewin（1933–2003）在他的文章《Amfortas's Prayer to Titurel and the Role of D in Parsifal》（1984）以及他的一本具有影響力的書——《Generalized Musical Intervals and Transformations》（1987）中獨立於里曼最初的構想，不把二元性作為前提的情況下，重新發展了這一方面的工作。1990年代與2000年代後續的發展，將數學系統進一步整合到理論的基本原則中，並且加入了20世紀的音樂作品以及音樂心理學，極大地拓寬了新里曼理論的研究範圍。

## 三元變換與聲部進行

新里曼三元（triadic）理論的主要變換將不同種類（大調與小調）的三和弦（及其轉位）連接在了一起。這些變換是純和聲的（purely harmonic）；在這些和弦之間不需要任何特定的聲部進行。從C大三和弦到C小三和弦的所有可能的進行，不論音符在音區（音樂）中如何分布，都能表示成一個相同的新里曼變換。

三種變換均通過移動組成三和弦中三個音的其中一個音，來生成一個不同的三和弦：

- P變換（Parallel）將一個三和弦轉換成它的同根音和弦：將大三和弦的三音向下移動半音，或是將小三和弦的三音向上移動半音，例如C大三和弦與C小三和弦之間的轉換。
- R變換（Relative）將一個三和弦轉換成它在關係大小和弦：將大三和弦的五音向上移動一個全音，或是將小三和弦的根音向下移動一個全音，例如C大三和弦與A小三和弦之間的轉換。
- L變換（Leading Tone）通過轉換一個三和弦的導音來轉換和弦：將大三和弦的根音向下移動半音，或是將小三和弦的五音向上移動半音，例如C大三和弦與E小三和弦之間的轉換。

注意到P變換保持了和弦中的純五度音程不變（即如果確定了和弦中有 C 和 G 兩個音，則剩下的一個音為 E 或者 E♭）；L變換保持了和弦中的小三度音程不變（即如果確定了和弦中有 E 和 G 兩個音，則剩下的一個音為 C 或者 B）；R變換保持了和弦中的大三度音程不變（即如果確定了和弦中有 C 和 E 兩個音，則剩下的一個音為 G 或者 A）。

進一步的操作可以通過組合上述三種基本操作來實現：

- N關係（Nebenverwandt）將一個大三和弦變換成其根音的下屬音小三和弦，或是將一個小三和弦變換成其根音的屬音大三和弦，例如C大三和弦與F小三和弦之間的轉換；可以通過依次應用R、L、P變換來實現。
- S關係（Slide）可以使兩個具有相同三音的三和弦（例如C大三和弦與C♯小三和弦）相互轉換；可以通過依次應用L、P、R變換來實現。
- H關係（LPL）將一個三和弦變換成它的六聲音階對應和弦（hexatonic pole），例如C大三和弦與A♭小三和弦之間的轉換。

L變換、P變換、R變換的任意組合作用在大三和弦上的效果正好與作用小三和弦上的效果是相反的：例如，R-P變換將C大三和弦向下移動一個小三度（至A大三和弦），而將C小三和弦向上移動一個小三度（至E♭小三和弦）。

新里曼理論最初的工作使用一種大型的和聲方法整體地對待這些變換，而不是明確地把注意力放在單獨的聲部進行上。之後，Cohn 指出，當考慮聲部進行中的特定問題時，新里曼理論的概念會自然而然地產生。例如，兩個三和弦（大三和弦與小三和弦）可通過上述的L、P、R變換中的一種變換相互聯繫，若且唯若這兩個三和弦中有兩個音相同，且能通過對第三個音做級進的聲部進行連接起來（此性質被稱作聲部進行的奧卡姆剃刀）。注意這裡強調了作為「簡約」聲部進行副產物的倒影（inversional）關係的自然出現，而不是像在里曼的理論中把反轉關係作為基本的公理。

最近，Dmitri Tymoczko 提出說新里曼變換操作與聲部進行之間的聯繫只是一種近似關係。再者，新里曼理論的形式主義以一種較為隱晦的方式看待聲部進行：上述定義的「新里曼變換」均為純粹的和聲聯繫，不一定會涉及和弦上音符之間的任何特定的映射。

## 圖形表示

<image>

新里曼理論的變換可以通過一些相關的幾何結構來進行建模。里曼調性網絡（Riemannian Tonnetz，如右圖所示）將音高沿著三條單純軸（simplicial axes）排列為一個平面陣列（planar array）；這三條單純軸對應著三種和諧音程；鋪滿調性網絡的三角形表示著大三和弦和小三和弦。共用一條邊的三角形所表示的兩個三和弦共用兩個相同的音符，因此上一節的主要變換也可以被表示成調性網絡中的最小運動。不同於之前歷史上的某些音樂理論學家，新里曼理論一般假設異名同音等價（Gsharp = Aflat），使平面的調性網絡圖可被捲曲為一個環面。

<image>

新里曼理論中也討論了另一種調性幾何結構，其將傳統調性網絡中特定的性質分離出來或是進行延伸擴充。Richard Cohn 發展了超六音系統（Hyper Hexatonic system）用於描述在分離的大三和弦循環之內和之間的運動。他將其規範化地表示為「極大平滑性（maximal smoothness）」。Jack Douthett 發明了另一種幾何圖像，方塊舞蹈（Cube Dance）；它表徵了音調網路的幾何對偶（圖論）。頂點（而非三角形）被用來表示三和弦（Douthett 和 Steinbach，1998），其間插入增三和弦，允許更加平滑的聲部進行。

許多與新里曼理論相關的幾何表示通過 Clifton Callender、Ian Quinn 和 Dmitri Tymoczko 提出的連續的聲部連接空間（continuous voice-leading space）被合併到一個更加一般的框架中。在這個始於2004年的工作中，Callender 描述了一種連續空間；連續空間中的一個點代表著一個三音符「和弦類型」（例如「大三和弦」）；利用這個空間可以為「連續變換」（即音符可以從一個音符連續地滑向另一個的變換）建模。之後，Tymoczko 展示了Callender空間中的路徑同構於聲部進行的某些特定類型；「單獨T聯繫（individually T related）」聲部進行在 Tymoczko 於2008年發表的論文中被提到。同時，Tymoczko 發展了更相似於新里曼理論中的空間的一族。在Tymoczko空間中，點表示任意大小的某個特定和弦（例如C大三和弦），而不是更為一般的和弦類型（例如大三和弦）。最後，Callender、Quinn 和 Tymoczko 同時提出了一個統一的框架，將這些表示著廣泛音樂理論性質的幾何空間聯繫在一起。

和聲表音符布局是現代的一種創建圖形化表示音樂界面的實現手段。

<image>

2011年，Gilles Baroin 提出了Planet-4D模型。這是基於圖論的一個可視化系統，將傳統的調性網絡嵌入到一個4D超球體上。最近提出的調性網絡的另一個連續版本——同時有原形式和二元形式——叫做 相位環面（Torus of phases）。更為細緻的樂理分析，例如對早期浪漫主義音樂的分析，可以在相位環面上實現。

## 批評

新里曼理論學家常常用三種基本LPR變換的組合來分析和弦進行。C大三和弦到E大三和弦的進行會被分析為L-P變換；此變換也可將C小三和弦變為Aflat小三和弦。然而，通過變換定義出的和聲間距並不能完美地反映出聲部進行。例如，根據新里曼理論的共同音保留（common-tone preservation）優先的原則，C大三和弦距離F大三和弦比距離F小三和弦近（從C大三和弦變換到F大三和弦需經過R-L兩次變換，而變換到F小三和弦需經過R-L-P三次變換）。但是，從半音聲部進行的角度來看，F小三和弦相比於F大三和弦距離C大三和弦近；因為只要將F小三和弦上的兩個音移動半音就可以變為C大三和弦（Aflat->G 與 F->E），而F大三和弦需要移動三個半音才能變為C大三和弦。因此，LPR變換無法用於考慮 IV-iv-I進行（19世紀的一個基本和聲套路）的聲部進行效率。關於共同音也能得出相似的結論：在調性網絡上，F小三和弦與Eflat小三和弦一樣，需經三次變換才能從C大三和弦變換而來，然而F小三和弦與C大三和弦已經有一個共同音了，Eflat小三和弦和C大三和弦卻沒有共同音。

上述矛盾的背後是關於最多的共同音，或是最短的聲部進行總距離是否能最大化和聲臨近度（harmonic proximity）的不同意見。例如，R變換將某個音移動了一個全音，而N變換或S變換則是將某個音移動半音。當共同音最大化比較優先的時候，R變換的效率較高；若通過假設單音移動來測量聲部進行的效率，則三種變換的效率是一樣的。早期的新里曼理論同時採用了這兩種概念。最近的工作已把這兩者分離開，獨立於共同音保留的原則，單方面地只通過對聲部進行鄰近度的分析來測量和聲距離。由此產生的問題是，初級變換和次級變換會分辨不清。早在1992年，Jack Douthett 建立了一個三和弦間聲部進行的準確幾何模型。這個模型是通過在R變換相關的三和弦之間內插增三和弦——一種被他稱作「方塊舞蹈（Cube Dance）」的機制——建立起來的。雖然 Douthett 的圖像在1998年就已發表，它作為聲部進行模型的優越性直到更晚的時候，由於Callender、Quinn 和 Tymoczko 在幾何相關工作的涉及，才為人所知。實際上直到2009年，對方塊舞蹈與新里曼理論調性網絡的詳細比較才出現。在這一系列的研究中，三元變換（triadic transformations）不再像在早期新里曼理論中一樣具有基本的地位。聲部進行鄰近度衍生出的幾何表示取得了中心地位；而LPR變換成為了特定類型套路的一種啟發性的思考方式（而不是作為像是定義的性質）。

雖說如此，在所有二十四種里曼三元變換中，相比於其他任何的變換組合，LPR變換的長度與半音聲部進行距離更為相關。例如，若只使用L變換和R變換來測定三和弦之間的距離，上述例子的情況下產生的矛盾數量比使用L、P、R三種變換要來得多。這也在某種程度上體現了初級變換和次級變換的不同。

## 延伸

除了在三元和弦進行方面的應用之外，新里曼理論也激發了數量眾多的後續延伸探索。這些探索包括了：

- 三個音組成的和弦之外的和弦、六音組（例如神秘和弦）之間的聲部進行臨近度（Voice-leading proximity）。
- 不諧和的三音組之間的共同音臨近度。
- 在所有可能的三和弦之間進行變換，而不一定局限於嚴格的模移（mode-shifting）對合。
- 在具有不同勢（cardinality）的和弦之間進行變換。被稱作「交叉類型變換（cross-type transformations）」。
- 流行音樂中的應用。
- 電影配樂中的應用。

一些延伸理論與新里曼理論一樣，關注著傳統調性和弦之間的非傳統的關係；另一些延伸理論將聲部進行臨近度或和聲變換應用到無調性的和弦中。

## 外部連結

- TouchTonnetz - 一個交互性的手機應用，用於探索新里曼理論（支持 Android 或 iPhone）

## 延伸閱讀

- Lewin, David. "Amfortas's Prayer to Titurel and the Role of D in 'Parsifal': The Tonal Spaces of the Drama and the Enharmonic Cb/B," 19th Century Music 7/3 (1984), 336–349.
- Lewin, David. Generalized Musical Intervals and Transformations (Yale University Press: New Haven, CT, 1987). .
- Cohn, Richard. 'An Introduction to Neo-Riemannian Theory: A Survey and Historical Perspective", Journal of Music Theory, 42/2 (1998), 167–180.
- Lerdahl, Fred. Tonal Pitch Space (Oxford University Press: New York, 2001). .
- Hook, Julian. Uniform Triadic Transformations (Ph.D. dissertation, Indiana University, 2002).
- Kopp, David. Chromatic Transformations in Nineteenth-century Music (Cambridge University Press, 2002). .
- Hyer, Brian. "Reimag(in)ing Riemann", Journal of Music Theory, 39/1 (1995), 101–138.
- Mooney, Michael Kevin. The 'Table of Relations' and Music Psychology in Hugo Riemann's Chromatic Theory (Ph.D. dissertation, Columbia University, 1996).
- Cohn, Richard. "Neo-Riemannian Operations, Parsimonious Trichords, and their Tonnetz Representations", Journal of Music Theory, 41/1 (1997), 1–66.
- Cohn, Richard. Audacious Euphony: Chromaticism and the Triad's Second Nature (New York: Oxford University Press, 2012). .
- Gollin, Edward and Alexander Rehding, Oxford Handbook of Neo-Riemannian Music Theories (New York: Oxford University Press, 2011). .