精度衰減因子

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在衛星導航領域，精度衰減因子（Dilution of precision）是一類衡量使用者在進行GNSS測量時所具備的幾何條件的定量指標，又簡稱為DOP值或精度因子。DOP值的大小取決各導航衛星在使用者視場中的分布情況，反映了使用者與衛星之間組成的幾何圖形對測距誤差的放大作用：在相同測距精度的條件下，DOP值越低，表明該使用者與衛星之間組成的幾何圖形越為健壯，對測距誤差的放大作用越小，GNSS服務提供的導航精度越高。

精度衰減因子的概念最早用於20世紀中期問世的遠距離無線電導航系統，自GPS問世後則更多地見於衛星導航領域。由於衛星導航系統採用交會測量的方式確定使用者的位置，當測距誤差相同時，兩個方向上更加接近的發射天線，較兩個在各方向分布更為均勻的發射天線會交會出更大的誤差範圍。兩種情況下誤差範圍的差異並非源於使用者自身的測距誤差，而是源於幾何圖形的差異。對於使用者來說，其自身的導航精度相較於理想情況發生了「衰減」，或者說被「稀釋」了，「精度衰減因子」或「精度稀釋因子」也因此得名。

## 數學定義

### 函數模型

在GNSS提供的標準定位服務下，使用者獲取自身位置的原理是觀測各導航衛星播發出的導航信號，通過搭載在導航信號上的測距碼獲取衛星與使用者接收機之間的距離，並通過同樣搭載在導航信號上的導航電文獲取衛星的位置，以及衛星的鐘誤差、電離層延遲等測距誤差的改正資訊。在測量過程中，接收機獲得距離觀測值受到鍾誤差以及傳播過程中的大氣延遲等因素的影響，與兩者間的幾何距離有所差異，因而又被稱作「偽距」。設接收機 $\text{r}$ 觀測到其與衛星 $\text{s}$ 之間的偽距為 $p^\text{s}_\text{r}$，並設兩者間的幾何距離為 $\rho^\text{s}_\text{r}$，兩者間的關係由偽距觀測方程描述：

$$p^\text{s}_\text{r} = \rho^\text{s}_\text{r} + (dt_\text{r}-dt_\text{s}) + I^\text{s}_\text{r} + T^\text{s}_\text{r} + \varepsilon^\text{s}_\text{r}$$

其中，$dt_\text{r}$ 和 $dt^\text{s}$ 分別表示接收機鍾和衛星鐘在引入的鐘誤差；$I^\text{s}_\text{r}$ 和 $T^\text{s}_\text{r}$ 分別表示導航信號在傳播過程中經受的電離層延遲與對流層延遲；其他未改正的誤差項則以 $\varepsilon^\text{s}_\text{r}$ 表示，在標準單點定位的模型下被假設為隨機誤差。

在偽距觀測方程中，衛星的鐘誤差 $dt^\text{s}$、電離層延遲 $I^\text{s}_\text{r}$ 與對流層延遲 $T^\text{s}_\text{r}$ 可以通過導航電文及其他模型進行預先計算，而接收機的鐘誤差 $dt_\text{r}$ 則和使用者的三維坐標 $(e_\text{r},n_\text{r},u_\text{r})$ 一起作為未知參數進行估計。當同時觀測到 $n$ 顆導航衛星時，未知參數可由各偽距觀測方程進行聯立求解：

$$\begin{pmatrix} <pre> \hat{p}^\text{1}_\text{r} \\ \hat{p}^\text{2}_\text{r} \\ \vdots \\ \hat{p}^\text{n}_\text{r} </pre> \end{pmatrix} <pre> = \begin{pmatrix} \frac{\partial\rho^1_\text{r}}{\partial{e}_\text{r}} & \frac{\partial\rho^1_\text{r}}{\partial{n}_\text{r}} & \frac{\partial\rho^1_\text{r}}{\partial{u}_\text{r}} & 1 \\ \frac{\partial\rho^2_\text{r}}{\partial{e}_\text{r}} & \frac{\partial\rho^2_\text{r}}{\partial{n}_\text{r}} & \frac{\partial\rho^2_\text{r}}{\partial{u}_\text{r}} & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \frac{\partial\rho^n_\text{r}}{\partial{e}_\text{r}} & \frac{\partial\rho^n_\text{r}}{\partial{n}_\text{r}} & \frac{\partial\rho^n_\text{r}}{\partial{u}_\text{r}} & 1 </pre> \end{pmatrix} <pre> \cdot </pre> \begin{pmatrix} <pre> \hat{e}_\text{r} \\ \hat{n}_\text{r} \\ \hat{u}_\text{r} \\ \hat{dt}_\text{r} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -dt_\text{1} + I^\text{1}_\text{r} + T^\text{1}_\text{r} \\ -dt_\text{2} + I^\text{2}_\text{r} + T^\text{2}_\text{r} \\ \vdots \\ -dt_\text{n} + I^\text{n}_\text{r} + T^\text{n}_\text{r} </pre> \end{pmatrix}$$

式中，$\hat{p}^\text{s}_\text{r}$ 與 ${(\hat{e}_\text{r},\hat{n}_\text{r},\hat{u}_\text{r},\hat{dt}_\text{r})}^\text{T}$ 分別表示各偽距觀測值和未知參數的無偏估計值，分別以向量 $\hat{\mathbf{p}}$ 和向量 $\hat{\mathbf{x}}$ 表示，在以 $\mathbf{l}$ 代表方程組中的常數項，該方程組亦可寫作：

$$\hat{\mathbf{p}} = \mathbf{H}\hat{\mathbf{x}}+ \mathbf{l}$$

其中設計矩陣 $\mathbf{H}$ 代表方程組的各項係數，也是向量 $\hat{\mathbf{p}}$ 和向量 $\hat{\mathbf{x}}$ 之間函數關係的線性表示。

當上述方程組展開於原始觀測值 $\mathbf{p}_0$ 和參數近似數 $\mathbf{x}_0$ 處時，兩向量與其近似值的差異之間的數學關係亦由設計矩陣決定，即：

$$d\mathbf{p} = \mathbf{H}d\mathbf{x}$$

$$d\mathbf{p} = \hat{\mathbf{p}}-\mathbf{p}_0$$

$$d\mathbf{x} = \hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}_0$$

由於向量 $\mathbf{x}$ 的維數為4，當方程組中方程的數量 $n$ 滿足 $n \ge 4$ 時，由該方程組組成的平差模型才有解。其中，當 $n = 4$ 時，該平差模型可得到唯一解 $d\mathbf{x}=\mathbf{H}^{-1}d\mathbf{p}$；而當 $n > 4$ 時，該平差模型有無數解，其中滿足最小二乘準則的估計解為：

$$d\mathbf{x} = \left(\mathbf{H}^\text{T}\mathbf{H}\right)^{-1}\mathbf{H}^\text{T}d\mathbf{p}$$

式中的 $\left(\mathbf{H}^\text{T}\mathbf{H}\right)^{-1}\mathbf{H}^\text{T}$ 被稱為設計矩陣 $\mathbf{H}$ 的偽逆。

### 隨機模型

由於 $d\mathbf{p}$ 為隨機誤差，且 $d\mathbf{x}$ 與 $d\mathbf{p}$ 具有線性關係，因而 $d\mathbf{x}$ 亦可以隨機誤差進行描述，兩者均具有方差、協方差和期望值等統計性質。$d\mathbf{x}$ 值的協因數陣 $\operatorname{cov}(d\mathbf{x})$ 可表示為：

$$\operatorname{cov}(d\mathbf{x}) <pre> = \begin{pmatrix} \sigma^2_{e_\text{r}} & \sigma^2_{e_\text{r}n_\text{r}} & \sigma^2_{e_\text{r}u_\text{r}} & \sigma^2_{e_\text{r}dt_\text{r}} \\ \sigma^2_{e_\text{r}n_\text{r}} & \sigma^2_{n_\text{r}} & \sigma^2_{n_\text{r}u_\text{r}} & \sigma^2_{n_\text{r}dt_\text{r}} \\ \sigma^2_{e_\text{r}u_\text{r}} & \sigma^2_{n_\text{r}u_\text{r}} & \sigma^2_{u_\text{r}} & \sigma^2_{u_\text{r}dt_\text{r}} \\ \sigma^2_{e_\text{r}dt_\text{r}} & \sigma^2_{n_\text{r}dt_\text{r}} & \sigma^2_{u_\text{r}dt_\text{r}} & \sigma^2_{dt_\text{r}dt_\text{r}} \\ \end{pmatrix}$$

其中，對角線上的元素為各參數的方差，非對角線上的元素為各參數與其他參數的協方差。

根據協因數傳播定律， $d\mathbf{x}$ 與 $d\mathbf{p}$ 的協因數陣滿足如下關係：

$$\begin{align} \operatorname{cov}(d\mathbf{x}) <pre> &= \operatorname{E}\left[d\mathbf{x}d\mathbf{x}^\text{T}\right] \\ &= \operatorname{E}\left[{\left(\mathbf{H}^\text{T}\mathbf{H}\right)}^{-1} \mathbf{H}^\text{T}d\mathbf{p}d\mathbf{p}^\text{T}\mathbf{H} {\left(\mathbf{H}^\text{T}\mathbf{H}\right)}^{-1}\right] \\ &= {\left(\mathbf{H}^\text{T}\mathbf{H}\right)}^{-1}\mathbf{H}^\text{T} \operatorname{cov}(d\mathbf{p}) \mathbf{H}{\left(\mathbf{H}^\text{T}\mathbf{H}\right)}^{-1} </pre> \end{align}$$

式中運算符 $\operatorname{cov}(\cdot)$ 和 $\operatorname{E}(\cdot)$ 分別表示取協因數與取期望值。

### DOP值的定義

為構建一個符合DOP值定義的簡單模型，假設各觀測值包含的測距誤差是相互獨立且大小相等的，這樣的測距誤差通常以使用者等效測距誤差（User Equivalent Range Error，縮寫：UERE）$\sigma_\text{UERE}$ 表示，即：

$$\operatorname{cov}(d\mathbf{p}) = I_{n{\times}n}\sigma^2_\text{UERE}$$

式中 $I_{n{\times}n}$ 為 $n$ 維的單位矩陣。

根據協因數傳播律，有：

$$\operatorname{cov}(d\mathbf{x}) = \left(\mathbf{H}^\text{T}\mathbf{H}\right)^{-1}\sigma^2_\text{UERE}$$

此時，使用者總的定位和授時誤差以各參數的方差描述，以幾何誤差 $\sigma_\text{G}$ 為例，其大小等於參數的方差之和的平方根，也即矩陣 $\operatorname{cov}(d\mathbf{x})$ 的跡 $\operatorname{tr}\left[\operatorname{cov}(d\mathbf{x})\right]$ 的平方根：

$$\sigma_\text{UERE} = \sqrt{\sigma^2_{e_\text{r}}+\sigma^2_{n_\text{r}}+\sigma^2_{u_\text{r}}+\sigma^2_{dt_\text{r}}} <pre> = \sqrt{\operatorname{tr}\left[\operatorname{cov}(d\mathbf{x})\right]}$$

因而，可定義精度衰減因子為該幾何誤差 $\sigma_\text{G}$ 和測距誤差 $\sigma_\text{UERE}$ 的比值：

$$\text{(G)DOP} = \frac{\sigma _{\text{G}}}{\sigma_\text{UERE}} <pre> = \frac{\sqrt{\operatorname{tr}\left[\operatorname{cov}(d\mathbf{x})\right]}}{\sigma_\text{UERE}} = \sqrt{\operatorname{tr}\left[\left(\mathbf{H}^\text{T}\mathbf{H}\right)^{-1}\right]}$$

該DOP值也被稱作幾何精度衰減因子（Geometric Dilution of Precision），簡稱GDOP值。

若將矩陣 $\left(\mathbf{H}^\text{T}\mathbf{H}\right)^{-1}$ 展開作：

$${\left(\mathbf{H}^\text{T}\mathbf{H}\right)}^{-1} <pre> = \begin{pmatrix} D_{11} & D_{12} & D_{13} & D_{14} \\ D_{21} & D_{22} & D_{23} & D_{24} \\ D_{31} & D_{32} & D_{33} & D_{34} \\ D_{41} & D_{42} & D_{43} & D_{44} \\ \end{pmatrix}$$

GDOP值亦可表示為：

$$\text{GDOP} = \sqrt{D_{11}+D_{22}+D_{33}+D_{44}} = \sqrt{\operatorname{tr}\left[\left(\mathbf{H}^\text{T}\mathbf{H}\right)^{-1}\right]}$$

類似地，還可定義與其他誤差項關聯的精度衰減因子，如與點位誤差 $\sigma _{\text{P}}$ 相關的點位精度衰減因子（Position Dilution of Precision，縮寫：PDOP）、與平面誤差 $\sigma _{\text{H}}$ 相關的平面精度衰減因子（Horizontal Dilution of Precision，縮寫：HDOP）、與高程誤差 $\sigma _{\text{V}}$ 相關的高程精度衰減因子（Vertical Dilution of Precision，縮寫：VDOP）、與接收機鐘差誤差 $\sigma _{\text{T}}$ 相關的時間精度衰減因子（Time Dilution of Precision，縮寫：TDOP）等等：

- $$\text{PDOP} = \frac{\sigma _{\text{P}}}{\sigma_\text{UERE}} <pre> = \frac{\sqrt{\sigma^2_{e_\text{r}}+\sigma^2_{n_\text{r}}+\sigma^2_{u_\text{r}}}}{\sigma_\text{UERE}} = \sqrt{D_{11}+D_{22}+D_{33}}$$
- $$\text{HDOP} = \frac{\sigma _{\text{H}}}{\sigma_\text{UERE}} <pre> = \frac{\sqrt{\sigma^2_{e_\text{r}}+\sigma^2_{n_\text{r}}}}{\sigma_\text{UERE}} = \sqrt{D_{11}+D_{22}}$$
- $$\text{VDOP} = \frac{\sigma _{\text{V}}}{\sigma_\text{UERE}} <pre> = \frac{\sigma^2_{u_\text{r}}}{\sigma_\text{UERE}} = \sqrt{D_{33}}$$
- $$\text{TDOP} = \frac{\sigma _{\text{T}}}{\sigma_\text{UERE}} <pre> = \frac{\sigma^2_{dt_\text{r}}}{\sigma_\text{UERE}} = \sqrt{D_{44}}$$

由各表達式可以得出，上述DOP間滿足如下關係：

$$\text{GDOP} = \sqrt{\text{PDOP}^2+\text{TDOP}^2} = \sqrt{\text{HDOP}^2+\text{VDOP}^2+\text{TDOP}^2}$$

## 數值大小

由於設計矩陣 $\mathbf{H}$ 中僅包含了站星矢量在各坐標軸方向上的投影，DOP值的大小也僅取決於接收機觀測到的各導航衛星在天空中的分布情況。假設在沒有任何遮擋的情況下，使用者可以觀測到整個天球中的衛星，此時若使用者處於 $n$ 顆衛星所構成的均勻多面體的中心，能取得的最小GDOP值為 $\sqrt{10/n}$。而當設置有大於零度的截止高度角 $E$，即使用者只能觀測到該截止高度角以上的衛星時，最小的GDOP值出現在有一顆或多顆衛星位於天頂，其餘衛星均勻分布在截止高度角 $E$ 定義的等高圈處。受到截止高度角的限制，DOP值的大小通常在1以上。但對於低軌衛星等具有負截止高度角視野的使用者，DOP值的大小有可能小於1，對使用者的測距誤差起到削弱的作用。

### 四顆衛星的情況

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當衛星數量為4時，設計矩陣 $\mathbf{H}$ 是一個方陣。取一顆衛星位於天頂處，其他三顆衛星圍繞截止高度角 $E$ 所在的等高圈間隔120°均勻分布，此時設計矩陣 $\mathbf{H}$ 中的各項元素為：

$$H = <pre> \begin{pmatrix} \cos{E} & 0 & \sin{E} & 1 \\ -\displaystyle{\frac{1}{2}}\cos{E} & \displaystyle{\sqrt{\frac{3}{4}}}\cos{E} & \sin{E} & 1 \\ -\displaystyle{\frac{1}{2}}\cos{E} & -\displaystyle{\sqrt{\frac{3}{4}}}\cos{E} & 1 & 1 \\ 0 & 0 & \sin{E} & 1 \\ \end{pmatrix}$$

可計算出矩陣 $\left(\mathbf{H}^\text{T}\mathbf{H}\right)^{-1}$ 中，對角線上的各項元素為：

- $$D_{11} = D_{22} = \frac{2}{3}\sec^2{E}$$
- $$D_{33} = \frac{4}{3}\left(\cos^2\frac{E}{2}-\sin^2\frac{E}{2}\right)^{-4}$$
- $$D_{44} = \frac{1}{6}\left(\cos^2\frac{E}{2}-\sin^2\frac{E}{2}\right)^{-4}\left(5-3\cos{2E}\right)$$

該條件下計算出各DOP值的函數圖像如右圖所示。當 $E>0$ 時，GDOP值和PDOP值的隨 $E$ 的下降而逐漸減小，這一趨勢一直維持到 $E = \sin^{-1}(-1/3) = -19.47^\circ$ 時。當 $E = -19.47^\circ$ 時，位於同一平面上的三顆衛星與天頂處的衛星組成了一個正四面體，其體積相較於其他情況下組成的圖形是最大的，此時最小的GDOP值為 $\sqrt{5/2} = 1.5811$。當 $E$ 繼續下降時，GDOP值與PDOP值逐漸緩慢增大，而VDOP與TDOP值繼續減小。HDOP值則在 $E = 0^\circ$ 處取得最小值 $\sqrt{4/3} = 1.154$。

## 應用情況

在實際應用中，DOP值常用於GNSS測量時間段的規劃，或者是在接收機能觀測的最大衛星數量受限時挑選視場中的衛星以構成更佳的幾何圖形。在使用GNSS進行工程測量等應用時，通常也會對DOP值的最大值作出要求，如中國大陸使用的國家標準GB 50026-2007《工程測量規範》中即要求：「四等及以上等級限定為 PDOP≤6，一、二級限定為 PDOP≤8」。

DOP值｜等級｜含義

1｜理想｜置信度水平高

2－4｜優秀｜置信度水平滿足所有的應用需求

4－6｜良好｜置信度水平滿足高精度應用需求

6－8｜中等｜置信度水平滿足大部分應用需求

8－20｜一般｜置信度水平較低，應評估應用風險

20－50｜很差｜置信度水平很差，基本無法滿足應用需求