PSL(2,7)

數學上，射影特殊線性群 PSL (2,7)（同構於 GL(3,2)）是一個有限單群，在代數、幾何和數論中有重要應用。它是Klein四次曲線的自同構群，也是Fano平面的對稱群。具有168個元素的 PSL (2,7) 是繼交錯群 A5（5文字的對稱群的子群，有60個元素，同構於正二十面體的旋轉對稱群，也同構於 PSL (2,5)）之後第二小的非阿貝爾單群。

## 定義

一般線性群 GL (2,7) 由 F7（七元素的有限域）上所有可逆的二階方陣組成。它們的行列式不為零。子群 SL (2,7) 包含所有行列式為單位的矩陣。PSL (2,7) 則定義為在

SL(2, 7)/{I, −I}

上視 I 和 -I 等同得到的商群，其中 I 是單位矩陣。在本文中，我們用 G 表示任一與 PSL (2,7) 同構的群。

## 性質

G = PSL(2, 7) 有 168 個元素，這可通過統計可能的列數得到：第一列有72−1 = 48 種可能，第二列有 72−7 = 42。為使行列式為 1，必須再除以 7−1 = 6，又因視 I 和 -I 為等同，必須再除以 2，結果是 (48×42)/(6×2) = 168.

有一個普遍的結果，即 PSL(n, q) 是單群當 n, q ≥ 2 (q 是某質數之冪), 除非 (n, q) = (2, 2) or (2, 3). PSL(2, 2) 同構於對稱群 S3, 而 PSL(2, 3) 同構於交錯群 A4. 實際上，PSL(2, 7) 是第二小的非阿貝爾單群，僅次於交錯群 A5 = PSL(2, 5) = PSL(2, 4).

共軛類和不可約表示的個數是 6。共軛類的大小分別是 1, 21, 42, 56, 24, 24。不可約表示的維數分別是 1, 3, 3, 6, 7, 8.

特徵標表

$$\begin{array}{r|cccccc} <pre> & 1A_{1} & 2A_{21} & 4A_{42} & 3A_{56} & 7A_{24} & 7B_{24} \\ \hline </pre> \chi_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \chi_2 & 3 & -1 & 1 & 0 & \sigma & \bar \sigma \\ \chi_3 & 3 & -1 & 1 & 0 & \bar \sigma & \sigma \\ \chi_4 & 6 & 2 & 0 & 0 & -1 & -1 \\ \chi_5 & 7 & -1 &-1 & 1 & 0 & 0 \\ \chi_6 & 8 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1 \\ \end{array},$$

這裡：

$$\sigma = \frac{-1+i\sqrt{7}}{2}.$$

下表按類中元素的階、類的大小、每個代表元在 GL(3, 2) 中的最小多項式和一個代表元在 PSL(2, 7) 中的函數表示描述各個共軛類。注意類 7A 在 7B 在一個自同構下互換，因此出自 GL(3, 2) 和 PSL(2, 7) 的代表元可任意切換。

階｜大小｜最小多項式｜函數

1｜1｜x+1｜x

2｜21｜x2+1｜−1/x

3｜56｜x3+1｜2x

4｜42｜x3+x2+x+1｜1/(3−x)

7｜24｜x3+x+1｜x + 1

7｜24｜x3+x2+1｜x + 3

群的階是 168=3×7×8，因此必有 3，7，8 階的 Sylow 子群。頭兩個容易描述，它們是循環群，因為任何質數階群是循環群。共軛類 3A56 中任一元素生成 Sylow 3-子群。共軛類 7A24, 7B24 中任一元素生成 Sylow 7-子群。Sylow 2-子群是八階二面體群。它可以描述為共軛類 2A21 中任一元素的中心化子。在用 GL(3, 2) 表示時，任一 Sylow 2-子群由上三角矩陣組成。

該群及其 Sylow 2-子群提供了多個正規 p-補定理在 p = 2 情形時的反例。

## 在射影空間上的作用

G = PSL(2, 7) 通過分式線性變換作用在七元域上的射影直線 P1(7) 上：

$$\mbox{For } \gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mbox{PSL}(2, 7) \mbox{ and } x \in \mathbf{P}^1(7),\ \gamma \cdot x = \frac{ax+b}{cx+d}$$

P1(7) 的任一保定向的自同構均由此產生，而也因此 G = PSL(2, 7) 在幾何上可以考慮作射影直線 P1(7) 的對稱群；整個可能的保定向的射影直線自同構群卻是它的 2 階擴張 PGL(2, 7)，而這個射影直線的直射變換群則是整個點的對稱群。

但是， PSL(2, 7) 亦同構於 PSL(3, 2) (= SL(3, 2) = GL(3, 2))，二元域上三階方陣的特殊（一般）線性群。以相似的方式， G = PSL(3, 2) 作用在二元域上的射影平面 P2(2) —— 或叫Fano 平面上：

$$\mbox{For } \gamma = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \in \mbox{PSL}(3, 2) \mbox{ and } \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbf{P}^2(2),\ \gamma \ \cdot \ \mathbf{x} = \begin{pmatrix} ax+by+cz \\ dx+ey+fz \\ gx+hy+iz \end{pmatrix}$$

同樣，任一 P2(2) 的自同構由此產生，G = PSL(3, 2) 可視為該射影平面的對稱群。Fano 平面可用於描述八元數的乘法，因此 G 在八元數的乘法表上也有一個作用。

## Klein 四次曲面的對稱群

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Klein 四次曲面是是在複數域 C 上按下面的四次多項式定義的射影簇：

x3y + y3z + z3x = 0.

這是一個虧格 g=3 的緊黎曼面，也是僅有的使共形自同構群的大小達到最大值 84(g−1) 的緊黎曼面。這個界是因為 Hurwitz 自同構定理，該定理對所有 g>1 成立。這樣的「Hurwitz 曲面」很稀少；下一個存在這樣曲面的虧格數為 g = 7，再下一個是 g = 14。

如同所有的 Hurwitz 曲面，Klein 四次曲線可以給定一個常負曲率的度量，並以正 (雙曲的) 七邊形鑲嵌，作為3階七邊形鑲嵌之商，而曲面作為 Riemann 面或代數曲線的自同構也就是鑲嵌的自同構。對於 Klein 四次曲面來說，這會得到一個 24 個七邊形構成的鑲嵌，因此群的階為 24 × 7 = 168. 對偶地，它可以用 56 個等邊三角形鑲嵌，共計 24 個頂點，每個頂點度數為 7，成為7階三角形鑲嵌之商。

Klein 四次曲面在數學的多個領域都有出現，包括表示論、同調論、八元數乘法、Fermat 大定理和具有類數 1 的虛二次數域上的Stark 定理。

## Mathieu 群

PSL(2, 7) 是 Mathieu 群 M21 的極大子群。Mathieu 群 M21 和 M24 可由 PSL(2, 7) 作擴張得到。這些擴張可以用 Klein 四次曲面的鑲嵌的語言解釋，但不能通過鑲嵌的幾何對稱實現。

## 群作用

PSL(2,7) 作用在多種集合上：

- 解釋為 F7 上射影直線的線性自同構，它在一個 8 點集上的作用是 2-可遷的，而穩定化子為 3 階的。(PGL (2,7) 具有 3-可遷性，穩定化子是平凡的。)
- 解釋為 Klein 四次曲面鑲嵌的自同構，它在 24 個頂點（或對偶地，24個七邊形）上的作用是可遷的，穩定化子為7階（對應於頂點 / 七邊形的旋轉）。
- 將它解釋為 Mathieu 群 M21 的一個子群，後者作用於 21 個點，但它在這 21 個點上的作用並不可遷。

## 外部連結

- The Eightfold Way: the Beauty of Klein's Quartic Curve (Silvio Levy, ed.)
- This Week's Finds in Mathematical Physics - Week 214 (John Baez)
- The Klein Quartic in Number Theory (Noam Elkies)
- Projective special linear group:PSL(3,2)