雙體模型

在統計力學和圖論中，雙體模型（dimer model）是二維空間密鋪的模型，也稱為骨牌密鋪（Domino tiling，多米諾密鋪）或隨機密鋪模型（random tiling model）。這也是平方格子的完美匹配。

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## 介紹

若有 $m \times n$ 平方格子G、以及$mn/2$ 把骨牌，覆蓋數量或密鋪數量是

$$Z = \sqrt{|\det K|} = \prod_{j=1}^{\lceil\frac{m}{2}\rceil} \prod_{k=1}^{\lceil\frac{n}{2}\rceil} \left ( 4\cos^2 \frac{\pi j}{m + 1} + 4\cos^2 \frac{\pi k}{n + 1} \right ).$$

K是G的鄰接矩陣。Z也是統計力學的配分函數。

例如：

- $2 \times n$ 格子：$Z_n$是斐波那契數列
- $m = n = 2k = 0, 2, 4, \ldots$，可以使用普法夫值計算Z

若G是環面，則

$\lim_{m,n\to \infty}Z(m, n) / (mn) = C / \pi$。

其中Z依賴同調、C是卡塔蘭常數。

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## 阿茲特克鑽石與北極圈現象

Z也依賴格子的邊界（參看阿茲特克鑽石）。

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- 阿茲特克鑽石（Aztec diamond）密鋪，有1024個密鋪

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- 一個可能的密鋪

阿茲特克鑽石表示所謂的「北極圈的現象」（Arctic circle phenomena），即邊界看起來很同質（冰凍地區），但是中間的「北極圈」不同質（非冰凍地區）。可以使用高度函數解釋這個現象。

這些文章有更多阿茲特克圖：

http://faculty.uml.edu/jpropp/tiling/www/intro.html

## 高度函數

一個密鋪定義一個0微分形式（函數）：

$$s(v) = \pm 1$$

s是自旋（參看易辛模型）、v是頂點。那麼可以定義一個1-形式：

$$ds(e=uv) = s(u) - s(v) = \pm 2$$

這個形式是閉形式。注意上面的形式不等於0因為G是二分圖。也定義密鋪函數

$$\delta(e) = 0, 1$$

若雙體e存在，$\delta(e) = 1$，不然等於0。高度差函數是

$$dh(e) = h(u) - h(v) = (1+\delta(e))ds(e) = \pm 3$$

這個函數定義一個$\Z^2 \to \Z$的隨機函數。這也是閉形式。的確威廉·瑟斯頓表示了若$\delta(e)$真的是密鋪函數，這是一個必要條件。h是高度函數。

NxN平方格子的高度函數在中間逼近O(N)。但是阿茲特克鑽石的高度函數逼近h的平均值。的確，CKP定理說h最小化一個熵（或熱力學自由能）的泛函（變分法）：

$$F = \log Z$$

## 共形場論

### 高斯自由場

雙體模型的縮放極限（即高度函數的縮放極限是高斯自由場），高斯自由場是一種二維布朗運動。所以$h(x) \to \phi(x)$成為二維純量場。

若G是一定的加權圖，K的縮放極限是反全純導數 $\bar{\partial}$。若

$$Kf = f(w+1) - f(w-1) + if(w+i) - if(w-i)= 0$$

f是「反全純函數」。再說 f 是調和函數（和諧函數）。這是因為$KK^* = L$是調和矩陣（harmonic matrix）。

非冰凍地區描述一個極限形（limit shape），比如這張文章描述一個心臟線：（跟代數幾何有關）。高斯自由場也許描述這些極限形。2020年這還是未解決的問題。

數學家知道極限形滿足一個類似伯格斯方程（$\phi_x - \phi \phi_y = 0$）的橢圓型偏微分方程。這些極限形可以相似極小曲面的魏爾斯特拉斯-恩內佩爾參數化。

### 傳播子

鄰接矩陣的反函數$K^{-1}(x, y)$是一種格林函數。

$$D(x, y) = \langle h(x) h(y) \rangle$$

是傳播子（量子場論）。可以表示這等於狄利克雷問題的核子

$$D(u, v) = -\frac{1}{2\pi} \log(v-u)$$

$$d_u D(u, v) = \frac{1}{2\pi} (\frac{du}{v-u} - \frac{d\bar{u}}{v-\bar{u}})$$

由於維克定理。

$$\langle h(x_1)\ldots h(x_{2k})\rangle \propto \sum_{\text{对 }} D(x_{i_1}x_{i_2}) \ldots D(x_{i_{2k-1}}x_{i_{2k}})$$

## 閱讀

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