正常重力

正常重力或理論重力（Normal gravity 或 Theoretical gravity）是正常橢球體在其外部空間所產生的重力，由義大利數學物理學家卡洛·索米里安在1929年引入，在大地測量學與地球物理學的研究中常用於對真實地球所產生的重力進行近似。在正常重力場中，正常橢球所產生的重力位和能夠以較為簡單的函數關係表達，且與真實的地球重力位相接近，而正常重力即為這一正常重力位所對應的重力。根據不同的定義方式，真實重力與正常重力之間的差異被稱為重力異常或重力擾動。正常重力與真實重力之間的比例約為 $99.995\%$。

由於正常重力能夠被精確計算，其在高程系統中也用於代替真實重力來作為正常高系統所採用的測量值。

## 分布情況

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正常重力值在兩極最大，在赤道處最小，隨緯度降低呈遞減趨勢，相對於赤道面對稱而與經度無關。橢球面上幾個特殊的重力值分別為：

符號｜數值｜含義｜參考文獻

$\gamma_e$｜$9.780\,326\,7715 \,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$｜橢球赤道處的正常重力值

$\gamma_p$｜$9.832\,186\,3685 \,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$｜橢球極點處的正常重力值

$\gamma_{45}$｜$9.806\,199\,203 \,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$｜橢球45°緯線處的正常重力值

$\bar{\gamma}$｜$9.797\,644\,656 \,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$｜整個橢球面上的平均正常重力值

## 數學表達

設正常橢球體在其外部空間產生的正常重力位為 $U$，則正常重力矢量被定義為該正常重力位的梯度：

$$\boldsymbol{\gamma} = \nabla U$$

在橢球坐標系 $(u, \beta, \lambda)$其中 $u$ 表示橢球的半短軸，$\beta$ 表示歸化緯度，$\lambda$ 表示經度 中，正常重力矢量的三個分量具體表示為：

- $$\gamma_u = {1 \over w}{\partial U \over \partial u}$$
- $$\gamma_\beta = {1 \over w\sqrt{u^2+E^2}}{\partial U \over \partial \beta}$$
- $$\gamma_\lambda = {1 \over \sqrt{u^2+E^2} \cos \beta}{\partial U \over \partial \lambda} = 0$$

上式中的 $w = \sqrt{u^2+E^2\sin^2\beta \over u^2+E^2}$ 是為簡化公式而引入的輔助量，$E$ 是橢球的半焦距。又因正常重力位 $U$ 與經度無關，所以正常重力矢量的經度分量為零。

## 計算公式

由正常重力的數學表達式可以得出，正常重力的值可以根據正常重力位 $U$ 的偏導數，以及正常橢球體本身的幾何性質得到。而正常橢球體的確定只需要四個基本參數：橢球的半長軸 $a$、幾何扁率 $f$、赤道上的正常重力值 $\gamma_e$，以及地球自轉的角速度 $\omega$，其他的幾何參數可以由上述基本參數確定：

- 橢球的半短軸 $b = a(1-f)$
- 橢球的第一偏心率 $e = \sqrt{a^2 - b^2}/a = 2f - f^2$
- 橢球的第二偏心率 $e = \sqrt{a^2 - b^2}/b$

亦有一些坐標系統會選擇其他的基本參數，例如GRS80橢球選用的是地心引力常數 $GM$、地球動力學形狀因子 $J_2$、地球自轉角速度 $\omega$ 和橢球的半長軸 $a$，但其他的橢球參數仍能由這些基本參數計算而得。

### 克萊羅定理

法國數學家克萊羅在其發表於1743年的著作中給出了地球的幾何扁率 $f$ 與重力扁率 $f^*$ 之間的對應關係，即克萊羅定理。在顧及至扁率的平方項的情況下，該定理可表述為：

$$f + f^* = {5\over2}{\omega^2 b \over \gamma_e} (1+{9\over35}{e'}^2)$$

重力扁率 $f^*$ 的定義與幾何扁率類似，其由橢球赤道處的重力 $\gamma_e$ 和橢球極點處的重力 $\gamma_p$ 決定：

- $$f^*= {\gamma_p - \gamma_e \over \gamma_e}$$
- $$\gamma_e = {GM \over a^2}\left(1+m+{3\over7}{e'}^2m\right)$$
- $$\gamma_p = {GM \over ab}\left(1-{3\over2}m-{3\over14}{e'}^2m\right)$$

其中 $m = {\omega^2a^2b \over GM}$，且有 ${\omega^2 b \over \gamma_e} = m + {3\over2}m^2$。

### 正常重力公式

#### 對稱形式

克萊羅定理給出了橢球赤道處的正常重力值和極點處的正常重力值，而橢球面上其他緯度的正常重力則可由正常重力公式計算得到，這一公式由索米里安在1929年給出：

$$\gamma = {a\gamma_p\sin^2\beta+b\gamma_e\cos^2\beta \over \sqrt{a^2\sin^2\beta+b^2\cos^2\beta}}$$

其中 $\beta$ 是橢球面上某點的歸化緯度，顧及到大地緯度 $\varphi$ 與歸化緯度 $\beta$ 存在如下轉換關係：

$$\tan\beta = {b \over a}\tan\varphi$$

則正常重力公式也可以表達成大地緯度 $\varphi$ 的函數：

$$\gamma = {a\gamma_e\cos^2\varphi+b\gamma_p\sin^2\varphi \over \sqrt{a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi}}$$

#### 截斷形式

正常重力公式也可以展開為幾何扁率 $f$ 的級數，其截斷形式為：

$$\gamma = \gamma_e(1+f_2\sin^2\varphi+f_4\sin^4\varphi)$$

其中的係數為：

- $$f_2 = -f+{5\over2}m+{1\over2}f^2-{26\over7}fm+{15\over4}m^2$$
- $$f_4 = -{1\over2}f^2+{5\over2}fm$$

這一公式也可寫為：

$$\gamma = \gamma_e(1+f^*\sin^2\varphi-{1\over4}f_4\sin^4 2\varphi)$$

其中的 $f^* = f_2+f_4$ 為上述提到的重力扁率。

#### 閉合形式

正常重力公式還可以閉合形式表達：

$$\gamma = \gamma_e{1+k\sin^2\varphi \over \sqrt{1-e^2sin^2\varphi}}$$

其中的係數 $k$ 為：

$$k = {b\gamma_p-a\gamma_e \over a\gamma_e}$$

#### 數值形式

採用不同的橢球參數和不同的表達形式，正常重力公式可以有不同的數值計算形式，常用的幾條公式包括：

說明｜時間｜公式｜精度｜參考文獻

由國際大地測量協會推薦使用｜1930年｜$\gamma = 9.780\,490\,(1 + 0.005\,2884\sin^2\varphi - 0.000\,0059 \sin^4 2\varphi)\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$

由國際大地測量與地球物理聯合會推薦使用 使用於GRS80坐標系｜1979年｜$\gamma = 9.780\,327\,(1 + 0.005\,3024\sin^2\varphi - 0.000\,0058 \sin^4 2\varphi)\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$｜$0.1\,\text{mgal}$

使用於WGS84坐標系｜1984年｜$\gamma = 9.780\,325\,3359\left[\frac{1+0.001\,931\,852\,646\,396\sin^2\varphi} {\sqrt{1-0.006\,694\,379\,990\,141\sin^2\varphi}}\right]\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$

### 向上延拓公式

在橢球面外部不遠處，其正常重力 $\gamma_h$ 可以在其沿法線到橢球面上投影處展開為正常高 $h$ 的級數：

$$\gamma_h = \gamma + {\partial\gamma \over \partial h}h + {1\over2}{\partial^2\gamma \over \partial h^2}h^2 + \cdots$$

由廣義布隆斯方程，橢球面的外部空間的重力梯度與橢球面（水準面）的平均曲率半徑 $J$ 的關係為：

$${\partial\gamma \over \partial h} = -2\gamma J-2\omega^2 = -{2\gamma \over a}\left(1+f+m-2f\sin^2\varphi\right)$$

又二次導數 $\partial^2\gamma/\partial h^2$是微小量，可以將其近似近似於在球面外部微分（即以半長軸 $a$ 代替 $r$），得到：

$${\partial^2\gamma \over \partial h^2} = {6GM \over a^4} = {6\gamma \over a^2}$$

得到正常重力的向上延拓公式為：

$$\gamma_h = \gamma\left[1-{2 \over a}\left(1+f+m-2f\sin^2\varphi\right)h+{3 \over a^2}h^2 \right]$$

上式的數值形式近似為：

$$\gamma_h = \gamma-0.3086h+0.72\times10^{-7}h^2$$