根軌跡圖

根軌跡圖（root locus）是控制理論及穩定性理論中，繪圖分析的方式，可以看到在特定參數（一般會是回授系統的環路增益）變化時，系統極點的變化。根軌跡圖是由Walter R. Evans所發展的技巧，是經典控制理論中的穩定性判據，可以判斷線性非時變系統是否穩定。

根軌跡圖是在複數s-平面中，系統閉迴路傳遞函數的極點隨著增益參數的變化（參照極零點圖）。

## 用途

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除了確認系統的穩定性外，根軌跡圖也可以用來設計回授系統的阻尼比（ζ）及自然頻率（ωn）。定阻尼比的線是從原點往外延伸的線，而固定自然頻率的線是圓心在原點的圓弧。在根軌跡圖上選擇有想要的阻尼比及自然頻率的點，可以計算增益K並且實現其控制器。在許多教材科書上有利用根軌跡圖設計控制器的精細技巧，例如超前-滯後補償器、PI、PD及PID控制器都可以用此技巧來近似設計。

以上使用阻尼比及自然頻率的定義，前提是假設整個回授系統可以用二階系統來近似，也就是說系統有一對主要的複數極點，不過多半的情形都不是如此，因此在實做時仍需要針對系統再進行模擬，確認符合需求。

## 定義

回授系統的根軌跡圖是用繪圖的方式在複數s-平面上畫出在系統參數變化時，回授系統閉迴路極點的可能位置。這些點是根軌跡圖中滿足角度條件（angle condition）的點。根軌跡圖中特定點的參數數值可以用量值條件（magnitude condition）來計算。

假設有個回授系統，輸入信號$X(s)$、輸出信號$Y(s)$。其順向路徑傳遞函數為$G(s)$，回授路徑傳遞函數為$H(s)$。

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此系統的閉迴路傳遞函數為

$$T(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$$

因此，閉迴路傳遞函數的極點為特徵方程式$1 + G(s)H(s) = 0$的根，方程式的根可以令$G(s)H(s) = -1$來求得。

若是一個沒有純粹延遲的系統，$G(s)H(s)$的乘積為有理的多項式函數，可以表示為

$$G(s)H(s) = K \frac{ (s + z_1) (s + z_2) \cdots (s + z_m)}{(s + p_1) (s + p_2) \cdots (s + p_n) }$$

其中$-z_i$為$m$個零點，$-p_i$為$n$個極點，而$K$為增益。一般而言，root locus diagram會標示在不同參數$K$時，傳遞函數極點的位置。而root locus plot就會畫出針對任意$K$值下，使$G(s)H(s) = -1$的極點，但無法看出$K$值變化時，極點移動的趨勢。

因為只有$K$的係數以及簡單的單項，此有理多項式的值可以用向量的技巧來計算，也就是將量值相乘或是相除，角度相加或是相減。向量公式的由來是因為有理多項式$G(s)H(s)$的每一個因式$(s-a)$就表示一個s-平面下由$a$到$s$的向量，因此可以透過計算每一個向量的量值及角度來計算多項式。

根據矩陣數學，有理多項式的相角等於所有分子項的角度和，減去所有分母項的角度和。因此若要測試s-平面上的一點是否在根軌跡圖上，只要看開迴路的零點及極點即可，這稱為角度條件。

有理多項式的量值也是所有分子項的量值乘積，再除以所有分母項量值的乘積。若只是要確認一個s-平面上的點是否在根軌跡圖上，不需要計算有理多項式的量值，因為$K$值會變，而且可以是任意的整數。針對根軌跡圖上的每一點，都可以計算其對應的$K$值，此即為量值條件。

以前繪製根軌跡圖會使用名叫Spirule的特殊量角器，可以用來確認角度並且繪製根軌跡圖

根軌跡圖只能提供在增益$K$變化時閉迴路極點的位置資訊。$K$的數值不影響零點的位置，閉迴路零點和開迴路的零點相同。

### 角度條件

複數s平面上的點$s$若滿足下式，即符合角度條件（angle condition）

$$\angle (G(s)H(s)) = \pi+2k\pi$$

其中$k$為整數。

也就是說

$$\sum_{i=1}^{m}\angle(s+z_i) - \sum_{i=1}^{n}\angle(s+p_i) = \pi+2k\pi$$

開迴路零點到$s$點角度的和，減去開迴路極點到$s$點角度的和，除$2\pi$後的餘數需等於$\pi$。

### 量值條件

在根軌跡圖上的特定點$s$，數值$K$若使下式成立，就符合量值條件（magnitude condition）

$$|G(s)H(s)| = 1$$

也就是說

$K\frac{ |s + z_1| |s + z_2| \cdots |s + z_m|}{|s + p_1| |s + p_2| \cdots |s + p_n| } = 1$.

## 繪製根軌跡圖

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利用一些基本的技巧，可以用根軌跡法繪製Ｋ值變化時極點的軌跡。根軌跡圖可以看出回授系統在不同 $K$ 下的穩定性以及動態特性。其規則如下：

- 標示開迴路的極點及零點
- 將實軸上，在奇數個極點及零點左邊的線段標示下來（例如一個、三個極點及零點）。
- 找漸近線

令P為極點的個數，Z為零點的個數，兩者相減即為漸近線的數量：

$$P - Z = \text{number of asymptotes} \,$$

漸近線和實軸的交點在$\alpha$（稱為形心），往外延伸的角度為$\phi$：

$$\phi_l = \frac{180^\circ + (l - 1)360^\circ}{P-Z}, l = 1, 2, \ldots, P - Z$$

$$\alpha = \frac{\sum_P - \sum_Z}{P - Z}$$

其中$\sum_P$為所有極點數值的和，$\sum_Z$為所有明確零點數值的和

- 根據測試點的相位條件判斷其往外延伸的角度
- 計算分離點（breakaway/break-in points）

根軌跡圖上的分離點（二條根軌跡圖上的軌跡相交的點）是滿足下式的根

$$\frac{dG(s)H(s)}{ds} = 0\text{ or }\frac{d\overline{GH}(z)}{dz} = 0$$

只要解開z，實根即為分離點，若是虛數，表示沒有分離點。

## 外部連結

- Wikibooks: Control Systems/Root Locus
- Carnegie Mellon / University of Michigan Tutorial
- Excellent examples. Start with example 5 and proceed backwards through 4 to 1. Also visit the main page
- The root-locus method: Drawing by hand techniques
- "RootLocs": A free multi-featured root-locus plotter for Mac and Windows platforms
- "Root Locus": A free root-locus plotter/analyzer for Windows
- Root Locus at ControlTheoryPro.com
- Root Locus Analysis of Control Systems
- MATLAB function for computing root locus of a SISO open-loop model
- Mathematica function for plotting the root locus