超方形

立方體（3-超方形）｜超立方體（4-超方形）

在幾何學中，超方形（Hypercube），又稱立方形、正測形（Measure Polytope）是指正方形和立方體的 $n$ 維類比（對於正方形，$n=2$，對於立方體，$n=3$）。它是一類封閉的、緊緻的、凸的圖形，它們的1維骨架是由一群在其所在空間對準每個維度整齊排列的等長的線段組成的，其中相對的線段互相平行，而相交於一點的線段則互相正交。在n維空間中單位超方形（棱長為1）的對角線長等於$\sqrt{n}$.

一個 $n$ 維的超方形又被叫做n-超方形。「正測形」（Measure Polytope）也是一個常用的名字，尤其是在H.S.M.考克斯特的文章中（這個詞最先是由Elte，1912發明的），但它現在已被「超方形」和「立方形」代替了。（而然在日本，由「Measure Polytope」翻譯過來的「正測形」仍在使用）

超方形是一種特殊的超矩形（也被叫做正交形）。

一個單位超方形是棱長為1個單位長度的超方形。通常，一個角（或叫頂點）是 $2^n$ 個在 $R^n$ 中的各坐標值等於0或1的點的超方形被特指為在這個坐標系下的基本單位超方形。

## 構造

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0 – 點是零維唯一的超方形。

1 – 如果讓這個點移動一個單位長度，它會掃出一個線段，這就是一維的單位超方形。

2 – 如果讓這個線段沿著垂直於它自己的方向移動一個單位長度，它就會掃出一個二維的正方形。

3 – 如果讓這個正方形沿著垂直於它所在平面的方向移動一個單位長度，它就會創造出一個三維的立方體。

4 – 如果讓這個立方體沿著垂直於它所在空間的第四方向移動一個單位長度，它就會產生出一個四維的單位超方形（一個單位四維超正方體）。

這個過程可以被推進到任意維度。這個掃出體積的過程可以被數學形式化為閔可夫斯基和：d維超方形是d個互相垂直的單位長度線段的閔可夫斯基和，因此超方形是環帶多面體的一個很好的例子。

超方體的1階骨架是一個超方形圖。

## 頂點坐標

$n$ 維的單位超方形是所有由直角坐標系$\left(\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2}, \cdots, \pm \frac{1}{2}\right)$的所有符號排列所對應的點組成的凸包。它的棱長為1，而它的n維超體積是1。

一個 $n$ 維超方形有時也被表示為直角坐標$(\pm 1, \pm 1, \cdots, \pm 1)$的所有符號排列所對應的點組成的凸包。這頂點坐標寫法因為簡便而經常被使用。它的棱長是2，而 $n$ 維超體積是 $2^n$。

## 與其它多胞形家族的關係

超方形家族是少有的幾個在任何維度都出現的正多胞形家族之一。

超方形家族是三個正多胞形家族之一，被考克斯特標記為$\gamma_n$。另外兩個是超方形對偶正軸形家族，標記為 $\beta_n$，以及正單純形家族，標記為 $\alpha_n$。例外，還有第四個不由凸正多胞形而是正無窮胞形，即超空間密鋪組成的家族超方形堆砌家族，標記為 $\delta_n$，它們是超方形的超空間密鋪。

另外一個與超方形相關的由一系列半正多胞形組成的半正家族是半超方形家族，它們可由交錯地刪除對應維度超方形的頂點並在切口上添加新的正單純形面來構造，標記為hγn。

## 元素

任何一個$n$-超方體（$n>0$）都是由低維的超方形元素組成的：它的$(n-1)$維表面（「維面」）是$(n-1)$維的超方形，它的$(n-2)$維邊緣（「維脊」）是$(n-2)$維的超方形，它的$(n-3)$維元素（「維頂」）是$(n-3)$維的超方形......

$n$維的超方形有 $2n$ 個維面（一維線段有兩個端點；二維正方形有4條邊或叫棱；三維立方體有6個面；四維超正方體有8個胞......）和$2^{n}$個頂點（例如，立方體有$2^{3}$個頂點）。

一個簡單的計算$n$-超方體"$n-2$"-面個數的公式是：$2n^{2}-2n$

$n$-超方形表面上$m <pre>$維超方形（$0\leq m\leq n$）的個數是：

$E_{m,n} = 2^{n-m}{n \choose m} <pre>$, 這裡 ${n \choose m} </pre> =\frac{n!}{m!\,(n-m)!}$ 並且 $n!$ 代表著 $n$ 的階乘。

例如，四維超正方體（$n=4 <pre>$）包含了8個立方體（3-超方體）、24個正方形（2-超方體）、32個線段（1-超方體）和16個點（0-超方體）。

這個特性能夠用組合學來證明。$2^n$個頂點中的每一個都決定了n-超方體的一個$m$維表面。我們有${n \choose m}$種方法來選擇哪些線段（「邊」）決定了這表面所在的空間。但是因為每個表面都有$2^m$個頂點，所以每個表面都被算了$2^m$次，因此我們需要將結果再除以這個數。由此我們得到了上述性質。

這個結果也能被遞推關係式產生出來。

$E_{m,n} = 2E_{m,n-1} + E_{m-1,n-1} \!$, 並且 $E_{0,0} = 1 \!$, 並且未定義的元素 = 0.

例如，將二維空間中的正方形向三維空間延伸，在4個頂點處延伸出4條棱，最後加上第二個正方形來形成一個立方體，我們能算出總共有 $E_{1,3} \!$ = 12 條棱。

超方形的元素 $E_{m,n} \!$ m

### 圖像

一個n維超正方體能通過一個扭曲正交投影投影到2n邊形中，這裡展示出了從線段到十五維超正方體的15個超方形的正交投影。

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線段｜

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正方形｜

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立方體

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4-超方體 (超正方體)｜

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5-超方體 (五維超正方體)｜

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6-超方體 (六維超正方體)

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7-超方體 (七維超正方體)｜

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8-超方體 (八維超正方體)｜

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9-超方體 (九維超正方體)

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10-超方體(十維超正方體)｜

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11-超方體 (十一維超正方體)｜

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12-超方體 (十二維超正方體)

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13-超方體 (十三維超正方體)｜

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14-超方體 (十四維超正方體)｜

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15-超方體 (十五維超正方體)

## 與n-單純形的關係

$n$-超方體的棱的圖像等距同構於$(n-1)$-單純形的表面框架的哈斯圖。這種特殊關係可以通過以適當的角度看$n$-超方體使得相對的兩個頂點處在圖像的兩個頂點，對應於$(n-1)$-單純形自己和空集元素。每一個與最上方的頂點相連的頂點唯一的映射到$(n-1)$-單純形的維面，再與之相連的頂點映射到單純形的維脊，如此等等，並且與最下方的頂點相連的頂點映射到單純形的棱。

這個特殊關係可以被用來高效地產生$(n-1)$-單純形的表面框架，畢竟可用於計算所有多胞形表面框架的一般方法在計算上比較困難。

## 另見

- 超正八面體對稱群，超方形的對稱性
- 超球面
- 單純形
- 超立方體網際網路，網路工程學

## 參考

- p. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n dimensions (n ≥ 5)
- Cf Chapter 7.1 "Cubical Representation of Boolean Functions" wherein the notion of "hypercube" is introduced as a means of demonstrating a distance-1 code (Gray code) as the vertices of a hypercube, and then the hypercube with its vertices so labelled is squashed into two dimensions to form either a Veitch diagram or Karnaugh map.

## 外部連結

- www.4d-screen.de (Rotation of 4D – 7D-Cube)
- Rotating a Hypercube by Enrique Zeleny, Wolfram Demonstrations Project.
- Stereoscopic Animated Hypercube
- Rudy Rucker and Farideh Dormishian's Hypercube Downloads