色散關係

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在物理科學和電機工程學中，色散關係描述波在介質中傳播的色散現象的性質。色散關係將波的波長或波數與其頻率建立了聯繫。由這組關係，波的相速度和群速度有了方便的確定介質中折射率的表達式。克拉莫-克若尼關係式可以描述波的傳播、衰減的頻率依賴性，這關係比與幾何相關和與材料相關的色散關係更具一般性。

色散的原因可能是幾何邊界條件（波導、淺水）或是波與傳輸介質間的相互作用。基本粒子（被認為是物質波）即使在沒有集合約束和其他介質存在下也會有非平凡的色散關係。

在存在色散的情況下，波速不再唯一定義，從而產生了相速度和群速度的區別。

## 色散

當不同波長的平面波表現出不同的傳播速度時，色散會發生，如此造成混合各種波長的波包漸漸地在空間中擴展開來。平面波的速率v為波長$\lambda$的函數：

$v = v(\lambda) \,$。

波速、波長、頻率f之間具有恆等式：

$v(\lambda) = \lambda\ f(\lambda) \,$。

函數f(λ)指出了該介質中的色散關係。色散關係更常用角頻率$\omega=2\pi f$與波數$k=2 \pi /\lambda$來表示。上述式子可改寫為

$\omega(k)= v(k)\ k \,$。

在此ω成為k的函數。使用ω(k)來描述色散關係已經成為一種標準寫法，因為相速度 ω/k 與群速度 ∂ω/∂k 可以輕鬆地從這樣寫法的色散關係中求得。

因此所關注的平面波可寫為如下數學式：

$A(x, t) = A_0e^{2 \pi i \frac{x - v t}{\lambda}}= A_0e^{i (k x - \omega t)}$。

其中

A是波的振幅。

A0 = A(0,0)。

x是波傳遞方向上的任一特定位置，以及

t是描述波的任一特定時間。

## 真空中的平面波

真空中的平面波是波傳遞最簡單的例子：無幾何上的限制，無傳導介質的交互作用。

### 電磁波

對真空中的電磁波而言，角頻率與波數呈正比：

$\omega = c k\,$。

這是「線性」的色散關係。在此情形下，相速度與群速度乃是相同的：

$v = \frac{\omega}{k} = \frac{d\omega}{d k} = c$。

兩者皆為c，真空中的光速，為與頻率無關的常數。

### 德布羅意色散關係

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粒子的總能量、動量與質量透過如下相對論關係連結：

$E^2 = (mc^2)^2+(pc)^2\,$

其中$m$是靜質量。

當靜質量m為零時，比如光子的例子：

$E = p c\,$。

又靜質量不為零的粒子，當其接近光速時，pc項遠大於mc2項，因此關係式可趨近於E = pc。其在非相對論極限，也就是速度遠小於光速c的情形，可趨近於如下關係式：

$$E = m c^2 + \frac{p^2}{2m}$$

此情形下，$m c^2$是常數，而$p^2/2 m$是常見的動能，可以動量$p = m v$來寫出關係式。

從近光速的例子過渡到低速度極限，可看到E與p的關係是從p轉成p2，在垂直軸跟水平軸皆取對數log的色散關係圖中可看出斜率的改變。

基本粒子、原子核、原子，甚至是分子，皆有物質波的波動表現。根據描述物質波的「德布羅意關係」，能量E與角頻率ω之間以及動量p與波數k之間皆為正比關係，比值為約化普朗克常數ħ：

$E=\hbar\omega,\quad p=\hbar k$。

相應地，角頻率與波數之間也可透過色散關係連結。在非相對論極限（低速度極限的牛頓力學）條件下，利用能量（動能）與動量的關係式：

$$E= \frac{p^2}{2m}$$

此處省去常數mc2的效應。等式左右分別代入德布羅意關係，可得色散關係：

$\omega=\frac{\hbar k^2}{2m}$。

動畫：電子的相速度與群速度

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此動畫描繪了三顆（慢速度）自由電子以德布羅意相速度與群速度行經了寬度為0.4Å的區域。每單位質量的動量，稱為固有速度。中間電子的固有速度為光速c，其群速度則為0.707 c；上方電子則有中間電子的兩倍動量，下方電子則有中間電子的一半動量。注意到：當動量增加時，相速度下降到c，而群速度增加到c，而波包與相位峰值兩者以接近c的速度一同移動；在此同時，波長的下降則無下限值。實驗室中，這類高能電子的橫向與縱向的同調寬度（波包大小）可比此處粒子大上好幾個數量級。

## 頻率與波數的關係

當討論到介質的折射性質而不是吸收性質，亦即關注焦點為折射率的實部，則常會提及「色散關係」—角頻率與波數的函數關係。在粒子的情形，改由相對應的能量與動量的函數關係來描述。

### 波動與光學

「色散關係」一詞源自於光學。讓光穿過折射率不為常數的介質則有辦法使得光速與波長相依；另外的方法是使用非均勻介質中的光，比如波導。在此情形下，波形會隨著時間擴展開來，窄脈衝波會變成較寬的脈衝波。在這些材料中，$\frac{\partial \omega}{\partial k}$為群速度，對應到脈衝包絡線峰值的傳遞速度，並與相速度$\frac{\omega}{k}$不同。

### 深水波

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深水波的色散關係常寫為

$\omega = \sqrt{g k}$。

其中g是重力造成的加速度。深水的常見定義為水深大於波長之半。在此情形下，相速度為

$v_p = \frac{\omega}{k} = \sqrt{\frac{g}{k}}$。

而群速度為

$$v_g = \frac{d{\omega}}{dk} = \frac{1}{2} v_p.$$

### 弦波

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對一條理想弦而言，色散關係可寫為

$\omega = k \sqrt{\frac{T}{\mu}}$。

其中T為弦的張力，μ為弦每單位長度的質量。

如同真空中的電磁波，理想弦為非色散介質，其相速度與群速度相等，並且與振動頻率無關。

至於非理想弦則需考量到硬度的影響，色散關係變為

$\omega^{2} = \frac{T}{\mu}k^{2} + \alpha k^{4}$。

其中$\alpha$是與弦有關的常數。

### 固態物理

在固態物理領域，電子的色散關係佔有重要的角色。晶體的週期性意味著：對一給定的動量存在有多種可能的能階，而有些則是不論什麼樣的動量都不可能會具有的能量。所有可能的能量與動量的組合即為一物質的能帶結構。能帶結構的性質定義了一物質是絕緣體、半導體，抑或是導體。

### 聲子

聲子之於聲波一如光子之於光波：其為攜帶波動能量的量子。聲子的色散關係也是重要且非平凡的。許多系統都顯示出聲子存在於兩個分離的能帶。聲子尚可分為光學聲子支與聲學聲子支。

### 電子顯微術

關於穿透式電子顯微鏡中的高能電子（例如200 keV），收斂束電子繞射（Convergent beam electron diffraction, CBED）型態在高階勞厄區（higher order Laue zone, HOLZ）譜線的能量相依性，允許研究者能對晶體三維色散表面的橫斷面做直接「成像」。這種繞射的動態理論可用於晶格參數的準確測量、電子束能量，近期更應用在電子業上。

## 歷史

艾薩克·牛頓研究過稜鏡的折射現象。然而牛頓卻沒有認出色散關係與不同材料的相關性；假使有認出，他則可能發明出消色差透鏡。

水波的色散關係是由皮埃爾-西蒙·拉普拉斯於1776年研究得到。

在幾篇舉足輕重的論文中，色散關係與各種波及粒子散射理論中的因果律被連繫了起來，使得克拉莫-克若尼關係式（1926年－1927年間）的通則變得重要。

## 外部連結

- Poster on CBED simulations to help visualize dispersion surfaces, by Andrey Chuvilin and Ute Kaiser
- Angular frequency calculator