割圓連比例

割圓連比例是清代級數理論的幾何學基礎，最先由明安圖在《割圜密率捷法》卷三、四《法解》中闡明，其後經董祐誠、項名達等數學家的工作而趨於完善。割圓連比例的中心問題是已知圓弧長度，如何求弦長及矢高，或已知弦長、矢高，如何求得弧長。割圓連比例中心方法是結合由西方傳入的連比例方法，結合傳統中算方法，將圓弧分割成多等分，畫出多條矢，然後構造一系列相似三角形獲得一系列連比例式，再將圓弧分割越細，以折線逼近弧線，求得弧長。

## 歷史背景

1701年，法國耶穌會傳教士杜德美（Pierre Jartoux 1668年至1720年）來到中國，他帶來了由艾薩克·牛頓和J.格雷戈里創建的三個三角函數無窮級數

$$\pi=3\left(1+\frac{1}{4\cdot3!}+\frac{3^2}{4^2\cdot5!}+\frac{3^2\cdot5^2}{4^3\cdot7!}+\cdots\right)$$

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$$

$$\operatorname{vers} x=\frac{x^2}{2!}-\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots$$

這些計算Π的「捷法」只涉及乘法和加減運算，速度遠超傳統劉徽割圓術涉及的平方根計算，因而激起了中國數學家的極大興趣。然而杜德美沒有將推導這些無窮級數的方法帶來中國。明安圖懷疑西方人不願分享他們的秘密，於是他著手進行這項工作，前後歷時30年，完成了書稿《割圜密率捷法》，他在書中創建幾何模型用於獲得三角函數無窮級數，不僅推出杜德美的三個無窮級數，還發現了六個新的無窮級數。在這個過程中，他發現和應用卡塔蘭數。

## 連比例

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如圖一 ABC,BCD,CDE,DEF,FDG…… 是一系列相似三角形，於是。

AB:BC=BC:CD=CD:EF=EF:DF=DF:DG;

- AB為第一率，以$\phi_1$表示
- BC為第二率，以$\phi_2$ 表示
- BC為第二率，以$\phi_2$ 表示
- CD為第三率，以$\phi_3$ 表示
- DE為第四率，以$\phi_4$ 表示
- EF為第五率，以$\phi_5$ 表示
- FG為第六率，以$\phi_6$ 表示
- 第m率：$\phi_m$

於是：

$$\phi_6 = k* \phi_5$$

$$\phi_5 = k* \phi_4$$

$$\phi_4 = k* \phi_3$$

$$\phi_3 = k* \phi_2$$

$$\phi_2 = k* \phi_1$$

$$\phi_m=k^{m-1}*\phi_1$$

$\phi_m$……$\phi_6:\phi_5:\phi_4:\phi_3:\phi_2:\phi_1=k^{m-1}:k^{m-2}$……$k^5:k^4:k^3:k^2:k:k^0$

又：

$$\frac{\phi_m*\phi_n}{\phi_p}=(m+n-p-q)*\phi_q$$

## 明安圖割圓連比例

<image>

<image>

### 由二分弧通弦率數求全弧通弦率數法

如圖BCD為全弧，AB=AC=AD=為半徑,令半徑=1；BD為通弦，BC、CD為1/2 分弧。作BG=BC=x,作直線CG;又作DH=DC,連CH直線。因此。

$BD=2*x-GH$

作EJ=EF,FK=FJ；延長BE直線至L，並令EL=BE;作BF=BE,使F在AE線上。連BF延長至M，並BF=MF；連LM，顯然LM通過C點。將三角形BLM以BM為軸反轉成三角形BMN,C點重合G，L點重合N。將三角形NGB以BN為軸反轉至BMI；顯然BI=BC。

$$AB:BC:CI=1:x:x^2$$

作CG之平分線BM，並令BM=BC；連GM、CM；作CO=CM交BM於O;作MP=MO；作NQ=NR，R為BN與AC之交點。∠EBC=1/2 ∠CAE=1/2 ∠EAB;$\therefore$ ∠EBM=∠EAB;於是得到一系列相似三角形：ABE,BEF,FJK,BLM,CMO,MOP,CGH,而且三角形CMO=三角形EFJ;於是得:

- 連比第一率:AB=AC=AD=AE
- 連比第二率：BE=BC=BF=C
- 連比第三率:EF=CM
- 連比第四率:FJ
- 連比第五率:JK=OP

$$AB:BE:EF:FJ:JK=1:p:p^2:p^3:p^4$$

1:BE=BE:EF；即$EF=BE^2$

$$1:BE^2=x:GH$$

於是$GH=x*BE^2=x*p^2$,

即$BD=2*x -x*p^2$

因為 風箏形ABEC 與BLIN相似。

$$EF=LC=CM=MG=NG=IN$$

$$LM+MN=CM+MN+IN=CI+OP=JK+CI$$

$\therefore AB:(BE+EC)=BL:(LM+MN)$ 即 $AB:BL=BL:(CI+JK)$

令$BL=q$

$$AB:BL:(CI+JK)=1:q:q^2$$

$$JK=p^4$$

$$CI=y^2$$

$$CI+JK=q^2=BL^2=(2BE)^2=(2p)^2=4p^2$$

由此得$q^2=4p^2$ 或$p=\frac{q}{2}$

又$CI+JK=x^2+p^4=q^2$,代人p值得：

$x^2+\frac{q^4}{16}=q^2$,於是

$$x^2=q^2-\frac{q^4}{16}$$

上式平方之，兩邊除以16：

$$\frac{(x^2)^2}{16}=\frac{(q^2-\frac{q^4}{16})^2}{16}=\sum_{j=0}^2 (-1)^j*{2 \choose j}*\frac{q^{2*(2+j)}}{16^j}$$

即$\frac{x^4}{16} = \frac{q^4}{16}-\frac{q^6}{128}+\frac{q^8}{4096}{16}$

依次類推

$\frac{x^{2n}}{16^{n-1}}= \sum_{j=0}^n (-1)^j*{n \choose j}*\frac{q^{2*(n+j)}}{16^{n+j-1}}$。

將下列二式相加，可以消去$q^4$項：

$$x^2=q^2-\frac{q^4}{16}$$

$$\frac{x^4}{16} = {\frac{q^4}{16}-\frac{2*q^6}{16^2}+\frac{q^8}{4096}}{16}$$

$$x^2+\frac{x^4}{16} = q^2-\frac{q^6}{128}+*\frac{q^8}{4096}$$

同理

$x^2+\frac{x^4}{16}+\frac{2*x^6}{16^2} = q^2-\frac{5*q^8}{4096}+\frac{3*q^{10}}{32768}-\frac{q^{12}}{524288}$,

.......

$$\begin{align} & x ^ 2 + \frac{x^4}{16} + \frac{2 x^6}{16^2} + \frac{5x^8}{16^3} + \frac{14 x^{10}}{16^4} + \frac{42x^{12}}{16^5} \\[10pt] {} & +\frac{132 x^{14}}{16^6} + \frac{429x^{16}}{16^7} + \frac{1430x^{18}}{16^8} + \frac{4862 x^{20}}{16^9} \\[10pt] & {} + \frac{16796 x^{22}}{16^{10}} + \frac{58786 x^{24}}{16^{11}} + \frac{208012 x^{26}}{16^{12}} \\[10pt] & {} + \frac{742900 x^{28}}{16^{13}} + \frac{2674440 x^{30}}{16^{14}} + \frac{9694845 x^{32}}{16^{15}} \\[10pt] & {} + \frac{35357670 x^{34}}{16^{16}} + \frac{129644790 x^{36}}{16^{17}} \\[10pt] & {} + \frac{477638700 x^{38}}{16^{18}} + \frac{1767263190 x^{40}}{16^{19}} + \frac{6564120420 x^{42}}{16^{20}} \\[10pt] & = q^2 + \frac{62985}{8796093022208} q^{24} \end{align}$$

展開式各項分子的係數 1，1，2，5，14，42，132……（見圖二 明安圖原圖最後一行，由右至左讀）乃是卡塔蘭數,明安圖是發現此數的世界第一人。

因而得到：

$q^2=\sum_{n=1}^\infty C_n*\frac{x^{2n}}{4^{2n-2}}$。

其中

$C_n = \frac{1}{n+1}{2n \choose n}$為明安圖-卡塔蘭數。

明安圖利用他首創的遞推關係：

$$C_n=\sum_k (-1)^k*{n-k \choose k+1}*C_{n-k}$$

$$\because BC:CG:GH=AB:BE:EF=1:p:p^2=x:px:p^2*x$$

$$\therefore GH:=p^2*x=(\frac{q}{2})^2*x=\frac{q^2*x}{4}$$

代人$BD=2x-GH$

最後得到。

$$BD=2x-\frac{x}{4}*q^2$$

$$y_2=2x-\sum_{n=1}^\infty C_n*\frac{x^{2n+1}}{4^{2n-1}}$$

#### 三角學意義

在圖一中令BAE角=α，BAC角=2α

- x=BC=sinα
- q=BL=2BE=4sin(α/2)
- BD=2sin(2α)

明安圖獲得的 $BD=2*x -x*BE^2$

就是

$$\sin(2\alpha)=2\sin\alpha-\sum_{n=1}^\infty C_n*\frac{(\sin\alpha)^{2n+1}}{4^{n-1}}$$

$$=2*\sin(\alpha)-\frac{2*\sin(\alpha)^3}{1+\cos(\alpha)}$$

$$q^2=BL^2=\sum_{n=1}^\infty C_n*\frac{x^{2n}}{4^{2n-2}}$$

即$\sin(\frac{\alpha}{2})^2=\sum_{n=1}^\infty C_n*\frac{(sin\alpha)^{2n}}{4^{2n}}$

### 由三分弧通弦率求全弧通弦率

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如圖，BE為全弧通弦，BC=CE=DE=a為三等分弧。AB=AC=AD=AE=1 為半徑。連BC、CD、DE、BD、EC；作BG、EH=BC，Bδ=Eα=BD,於是三角形Cαβ=Dδγ；又三角形Cαβ與三角形BδD相似。

因此：

$AB:BC=BC:CG=CG:GF$,$BC:FG=BD:\delta\gamma$

$$2*BD=BE+\delta\alpha$$

$$2*BD-\delta\gamma=BE+BC$$

$$\therefore 2*BD-\delta\gamma-BC=BE$$

依次類推，最後得：

$y_3=3*a-a^3$。

### 四分弦

<image>

$y_4=4*a-\frac{10*a^3}{4}+\frac{14*a^5}{4^3}-\frac{12*a^7}{4^5}$+……

$=4a-10*a^3/4+\sum_{n=1}^\infty (16C_n-2C_{n+1})*\frac{a^{2n+1}}{4^{2n-1}}$。

幾何意義：

$$\sin(4*\alpha)=4*sin(\alpha)-10*sin^3\alpha$$ $+\sum_{n=1}^\infty(16*C_n-2C_{n+1})*\frac{\sin^{2n+3}(\alpha)}{4^n}$。

### 五分弦

<image>

$$y_5=5a-5a^3+a^5$$

幾何意義：

$\sin(5\alpha)=5\sin(\alpha)-20\sin^3(\alpha)+16\sin^5(\alpha)$。

### 十分弦

<image>

從十分弦開始，明安圖不再作幾何模型，而是對無窮級數進行代數運算

顯然十分弦等於五分弦和二分弦的組合，即

$$y_{10}=y_5(y_2)$$

$y_{10}=5*y_2-5*(y_2)^3+(y_2)^5$;

展開即得：

$y_{10}(a)=10*a-\frac{165*a^3}{4}+\frac{3003*a^5}{4^3}-\frac{21450*a^7}{4^5}$+……。

### 百分弧

同理。

$y_{100}=y_{10}(y_{10})$,展開後即得：

$y_{100}=100*a-166650*\frac{a^3}{4}+333000030*\frac{a^5}{4*16}-316350028500*\frac{a^7}{4*16^2}+17488840755750*\frac{a^9}{4*16^3}+$……。

### 千分弧

$y_{1000}=1000*a-1666666500*\frac{a^3}{4}+33333000000300*\frac{a^5}{4*16}-3174492064314285000\frac{a^7}{4*16^2}+$……。

### 萬分弦

$y_{10000}=10000*a-\frac{166666665000*a^3}{4}+\frac{33333330000000300*a^5}{4^3}+$…………。

### 弧背求通弦

y100,y1000 and y10000 可表為:

$y100=100a-\frac{(100a)^3}{24.002400240024002400}+\frac{(100a)^5}{24.024021859697730358*80}+$..........

$y1000:=1000a-\frac{(1000a)^3}{24.000024000024000024}+\frac{(1000a)^5}{24.000240002184019680*80}+$..............

$y10000:=10000a-\frac{(10000a)^3}{24.000000240000002400}+\frac{(10000a)^5}{24.000002400000218400*80}+$..................

分弦數越大，分母24.000000240000002400、24.000002400000218400*80越接近24、 24*80；當分弦數n趨向無窮大， n*a, 就變成 弧背，於是

令c 為弦，a 為弧背。

$c= a -\frac{a^3}{4*3!}+\frac{a^5}{4^2*5!}-\frac{a^7}{4^3*7!}+$.....

$$=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}*a^{2*n-1}}{(4^{n-1}*(2*n-1)!)}$$

### 通弦求弧背

明安圖求得上述無窮級數的反逆，將弧表示為弦的無窮級數:

$a := c+\frac{c^3}{24}+\frac{3*c^5}{640}+\frac{5*c^7}{7168}+$............

## 正弦的無窮級數展開

$\because sin(\alpha)=\frac{c}{2}$,

令 r=1

$\therefore sin \alpha =a-\frac{a^3}{3}+\frac{a^5}{5}-\frac{a^7}{7}+\frac{a^9}{9}+$…………

$=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}*\frac{a^{2n-1}}{2n-1}$。

## 參考文獻

- 明安圖原著 羅見今譯註 《割圓密率捷法譯註》內蒙古教育出版社 1998 ISBN 7-5311-3584-1
- Yoshio Mikami, Development of Mathematics in China and Japan
- 李儼 《中算史論叢》第三集 《明清算家的割圓術研究》《李儼錢寶琮科學史全集》第7卷