大Q勒讓德多項式

大q-勒讓德多項式是一個以基本超幾何函數定義的正交多項式：

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$$\displaystyle P_n(x;c;q)={}_3\phi_2(q^{-n},q^{n+1},x;q,cq;q,q)$$

## 正交性

大q-勒讓德多項式滿足下列正交關係

$$\int_{cq}^{q}P_m(x;c;q)P_n(x;c;q)d_{q}x=q(1-c)\frac{1-q}{1-q^{2n+1}}\frac{(c^{-1}q;q)_n}{(cq;q)_n}(-cq^2)^{n}q^{n \choose 2}\delta_{mn}$$

## 極限關係

大Q勒讓德多項式→勒讓德多項式：$$\displaystyle\lim_{q \to 1} P_n(x;0;q)=P_n(2x-1)$$

令大q勒讓德項式中的$c=0$,並且q→1 即得勒讓德多項式

驗證

將c=0代人7階(n=7)大q勒讓德多項式得：

$$qL=P_n(x;0;q)=1+{\frac {q}{ \left( 1-q \right) ^{2}}}-{\frac {qx}{ \left( 1-q <pre> \right) ^{2}}}-{\frac {{q}^{9}}{ \left( 1-q \right) ^{2}}}+{\frac {x{ </pre> q}^{9}}{ \left( 1-q \right) ^{2}}}-{\frac {1}{{q}^{6} \left( 1-q <pre> \right) ^{2}}}+{\frac {x}{{q}^{6} \left( 1-q \right) ^{2}}}+{\frac {{ </pre> q}^{2}}{ \left( 1-q \right) ^{2}}}-{\frac {x{q}^{2}}{ \left( 1-q <pre> \right) ^{2}}}+ \left( 1-{q}^{-7} \right) \left( 1-{q}^{-6} \right) \left( 1-{q}^{8} \right) \left( 1-{q}^{9} \right) \left( 1-x \right) \left( 1-qx \right) {q}^{2} \left( 1-q \right) ^{-2} \left( </pre> 1-{q}^{2} \right) ^{-2}+ \left( 1-{q}^{-7} \right) \left( 1-{q}^{-6} <pre> \right) \left( 1-{q}^{-5} \right) \left( 1-{q}^{8} \right) \left( </pre> 1-{q}^{9} \right) \left( 1-{q}^{10} \right) \left( 1-x \right) <pre> \left( 1-qx \right) \left( 1-x{q}^{2} \right) {q}^{3} \left( 1-q \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{2} \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{3} \right) ^{-2}+ \left( 1-{q}^{-7} \right) \left( 1-{q}^{-6} \right) \left( 1-{q}^{-5} \right) \left( 1-{q}^{-4} \right) \left( 1-{q}^{8 </pre> } \right) \left( 1-{q}^{9} \right) \left( 1-{q}^{10} \right) <pre> \left( 1-{q}^{11} \right) \left( 1-x \right) \left( 1-qx \right) \left( 1-x{q}^{2} \right) \left( 1-x{q}^{3} \right) {q}^{4} \left( 1 </pre> -q \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{2} \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{3} <pre> \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{4} \right) ^{-2}+ \left( 1-{q}^{-7} \right) \left( 1-{q}^{-6} \right) \left( 1-{q}^{-5} \right) \left( 1-{q}^{-4} \right) \left( 1-{q}^{-3} \right) \left( 1-{q}^{8 </pre> } \right) \left( 1-{q}^{9} \right) \left( 1-{q}^{10} \right) <pre> \left( 1-{q}^{11} \right) \left( 1-{q}^{12} \right) \left( 1-x \right) \left( 1-qx \right) \left( 1-x{q}^{2} \right) \left( 1-x{q </pre> }^{3} \right) \left( 1-x{q}^{4} \right) {q}^{5} \left( 1-q \right) ^{ -2} \left( 1-{q}^{2} \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{3} \right) ^{-2} <pre> \left( 1-{q}^{4} \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{5} \right) ^{-2}+ \left( 1-{q}^{-7} \right) \left( 1-{q}^{-6} \right) \left( 1-{q}^{- </pre> 5} \right) \left( 1-{q}^{-4} \right) \left( 1-{q}^{-3} \right) <pre> \left( 1-{q}^{-2} \right) \left( 1-{q}^{8} \right) \left( 1-{q}^{9} \right) \left( 1-{q}^{10} \right) \left( 1-{q}^{11} \right) \left( 1-{q}^{12} \right) \left( 1-{q}^{13} \right) \left( 1-x \right) \left( 1-qx \right) \left( 1-x{q}^{2} \right) \left( 1-x{q </pre> }^{3} \right) \left( 1-x{q}^{4} \right) \left( 1-x{q}^{5} \right) {q }^{6} \left( 1-q \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{2} \right) ^{-2} \left( 1 -{q}^{3} \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{4} \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{5} <pre> \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{6} \right) ^{-2}+ \left( 1-{q}^{-7} \right) \left( 1-{q}^{-6} \right) \left( 1-{q}^{-5} \right) \left( 1-{q}^{-4} \right) \left( 1-{q}^{-3} \right) \left( 1-{q}^{- </pre> 2} \right) \left( 1-{q}^{-1} \right) \left( 1-{q}^{8} \right) <pre> \left( 1-{q}^{9} \right) \left( 1-{q}^{10} \right) \left( 1-{q}^{11 </pre> } \right) \left( 1-{q}^{12} \right) \left( 1-{q}^{13} \right) <pre> \left( 1-{q}^{14} \right) \left( 1-x \right) \left( 1-qx \right) \left( 1-x{q}^{2} \right) \left( 1-x{q}^{3} \right) \left( 1-x{q}^{ </pre> 4} \right) \left( 1-x{q}^{5} \right) \left( 1-x{q}^{6} \right) {q}^{ 7} \left( 1-q \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{2} \right) ^{-2} \left( 1-{q }^{3} \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{4} \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{5} <pre> \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{6} \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{7} \right) ^{-2}$$

- $$qL2=\lim_{q \to 1}qL=-1+56\,x+3432\,{x}^{7}-12012\,{x}^{6}+16632\,{x}^{5}-11550\,{x}^{4}+ 4200\,{x}^{3}-756\,{x}^{2}$$

另7階勒讓德多項式：

- $$P_7(2x-1)=-1+56\,x+3432\,{x}^{7}-12012\,{x}^{6}+16632\,{x}^{5}-11550\,{x}^{4}+ 4200\,{x}^{3}-756\,{x}^{2}$$

顯然qL2=P_7(2x-1) QED.

## 圖集

下列複數域三階大q勒讓德多項式:$\displaystyle P_n3(x+iy;-1.5;q)$的

一組三個虛數部、實數部與絕對值的複數三維動畫圖，以q為可變參數

一組三個虛數部、實數部與絕對值的複數密度動畫圖

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