特殊直角三角形

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特殊直角三角形是一些有特殊性質的直角三角形，其特殊性質可能是使三角形的計算更加方便，或是存在一些較簡單的公式。例如有些三角形的內角有一些簡單的關係，例如45–45–90度三角形，這是各角有特殊關係的直角三角形。也有些直角三角形的各邊有特殊關係，例如各邊的比例可以用自然數表示，例如3 : 4 : 5，或是可以用黃金比例表示等。若在處理這些三角形時知道其特殊的邊關係或角關係，可以快速的計算一些幾何問題而不需用到一些較複雜的公式。

## 各角有特殊關係

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直角三角形的各角有其基本關係：最大角（直角）為90度，也等於另外二角的和。但有些直角三角形的各角還有其他特殊關係。

直角三角形的邊長一般會用單位圓或其他幾何方式推導而成，若角度為30°, 45°或60°，其三角函數的數值計算會比其他的角度會簡單很多。

以下是一些特殊角的三角函數

角度｜弧度｜sin｜cos｜tan

0｜0｜$\tfrac{\sqrt{0}}{2}=0$｜$\tfrac{\sqrt{4}}{2}=1$｜$0$

30｜$\tfrac{\pi}{6}$｜$\tfrac{\sqrt{1}}{2}=\tfrac{1}{2}$｜$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$｜$\tfrac{1}{\sqrt{3}}$

45｜$\tfrac{\pi}{4}$｜$\tfrac{\sqrt{2}}{2}=\tfrac{1}{\sqrt{2}}$｜$\tfrac{\sqrt{2}}{2}=\tfrac{1}{\sqrt{2}}$｜$1$

60｜$\tfrac{\pi}{3}$｜$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$｜$\tfrac{\sqrt{1}}{2}=\tfrac{1}{2}$｜$\sqrt{3}$

90｜$\tfrac{\pi}{2}$｜$\tfrac{\sqrt{4}}{2}=1$｜$\tfrac{\sqrt{0}}{2}=0$｜$\infty$

45–45–90度三角形、30–60–90度三角形以及正三角形是平面上的三種莫比烏斯三角形，任一內角都可以找到對應整數，使內角和整數的乘積為180，參照三角形群。

### 45–45–90度三角形

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在平面幾何中，將正方形繪製一條對角線會產生一個角度比例為$1:1:2$的三角形，而內角和為180度（或是$\pi$弧度），因此各角角度為45° （$\frac{\pi}{4}$）、45° （$\frac{\pi}{4}$）和90° （$\frac{\pi}{2}$）。依畢氏定理可得其邊長比例為$1:1:\sqrt{2}$，因此45–45–90度三角形為等腰直角三角形。若繪製45–45–90度三角形斜邊的中線，中線會將45–45–90度三角形分割為另外二個較小的45–45–90度三角形，邊長是原來的$\frac{1}{\sqrt{2}}$。

45–45–90度三角形為等腰直角三角形，在平面幾何中，這也是唯一是等腰三角形的直角三角形。不過在球面幾何學或雙曲幾何中，有無限種也是等腰三角形的直角三角形。

### 30–60–90 度三角形

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若三角形各角的比例是$1:2:3$，其各角角度會是30°、60°和90°。各邊的比例會是$1:\sqrt{3}:2$。

使用三角函數可以證明上述的事實．利用幾何學的證明如下：

繪製邊長為2的正三角形$ABC$，並令$D$點為線段$BC$的中點。連接線段$AD$，則三角形$ABD$為 30–60–90度三角形，其斜邊長度為2，一股$BD$長度為1。

另一股$AD$的長度為$\sqrt{3}$，可以由畢氏定理求得。

30–60–90度三角形是平面幾何中唯一一個角度呈等差數列的直角三角形。其證明很簡單：假設三個角的角度為等差數列，可以表示為為$\alpha$, $\alpha + \delta$, $\alpha + 2\delta$，因為內角和為180°，可得$3\alpha + 3\delta = 180^\circ$，其中有一角會是60度，而且最大角需為90度，因此最小角會是30度。

### 角度呈等比數列的直角三角形

在平面幾何中，30–60–90度三角形是唯一一個角度呈等差數列的直角三角形，角度呈等比數列的直角三角形也只有一種，其角度為$\frac{\pi}{2\varphi ^2}$、$\frac{\pi}{2\varphi}$、$\frac{\pi}{2}$，其中公比為黃金比例$\varphi$。三個內角的比例為$1:\varphi:\varphi^2.\,$。

根據正弦定律，各邊的比例會是$\sin{\frac{\pi}{2\varphi^2}}:\sin{\frac{\pi}{2\varphi}}:1$。因為各邊長的關係也要滿足畢氏定理，因此可得$\sin^2{\frac{\pi}{2\varphi^2}}+\sin^2{\frac{\pi}{2\varphi}}=1$根據黃金比例的定義，$\frac{1}{\varphi}=\varphi-1$，由於$\sin \frac{\pi}{2\varphi}=\cos\left( \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2\varphi} \right)=\cos\left( \frac{\varphi \pi}{2 \varphi}-\frac{\pi}{2\varphi} \right)=\cos \frac{(\varphi-1) \pi}{2 \varphi}=\cos \frac{\frac{1}{\varphi} \pi}{2 \varphi}=\cos \frac{\pi}{2 \varphi^2}$，因此原式成立。

## 各邊有特殊關係

若三角形各邊為整數，三角形的三邊稱為勾股數，其各角的角度不會是整數。這類的直角三角形容易記憶，而且三角形的各邊比例只要一様，即為相似三角形，就會有一様的特質。利用歐幾里得產生勾股數的公式，勾股數的比例比必定滿足以下的關係

$$m^2-n^2 : 2mn : m^2+n^2\,$$

其中$m$和$n$均為正整數，而且$m>n$。

### 常見的勾股數

以下是前五個勾股數：

3:｜4｜:5

5:｜12｜:13

8:｜15｜:17

7:｜24｜:25

9:｜40｜:41

其中$3:4:5$三角形是唯一邊長呈等差數列的直角三角形，在埃及稱為「埃及三角形」。由勾股數的有理數組成的三角形都是海倫三角形，表示其邊長和面積都是有理數。

以下是所有二股都小於256的互質勾股數組：

3:｜4｜:5

5:｜12｜:13

8:｜15｜:17

7:｜24｜:25

9:｜40｜:41

11:｜60｜:61

12:｜35｜:37

13:｜84｜:85

15:｜112｜:113

16:｜63｜:65

17:｜144｜:145

19:｜180｜:181

20:｜21｜:29

20:｜99｜:101

21:｜220｜:221

24:｜143｜:145

28:｜45｜:53

28:｜195｜:197

32:｜255｜:257

33:｜56｜:65

36:｜77｜:85

39:｜80｜:89

44:｜117｜:125

48:｜55｜:73

51:｜140｜:149

52:｜165｜:173

57:｜176｜:185

60:｜91｜:109

60:｜221｜:229

65:｜72｜:97

84:｜187｜:205

85:｜132｜:157

88:｜105｜:137

95:｜168｜:193

96:｜247｜:265

104:｜153｜:185

105:｜208｜:233

115:｜252｜:277

119:｜120｜:169

120:｜209｜:241

133:｜156｜:205

140:｜171｜:221

160:｜231｜:281

161:｜240｜:289

204:｜253｜:325

207:｜224｜:305

### 斐波那契三角形

從5開始，斐波那契數列中的第6項、第8項、第10項……等偶數項（假設0為第1項）{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...} 為邊長為整數的直角三角形的斜邊，也就是勾股數中最大的一項。二股中較長的一股為上一個斐波那契三角形的三邊和，較短一股為跳過的斐波那契數減去上一個斐波那契三角形的最短邊。

第一個斐波那契三角形邊長為5, 4和3。跳過數字8，下一個斐波那契三角形邊長為13, 12（5 + 4 + 3）和5（8 − 3）。跳過數字21，下一個三角形邊長為34, 30（13 + 12 + 5）和16（21 − 5）。此數列會一直延伸，最後會趨近以下的比值：

$$1:2:\sqrt{5}.$$

Andrew Clarke建議將長度比例為$1:2:\sqrt{5}$的三角形稱為dom，因為此三角形可以由二格骨牌（domin）延對角線切割而成，此三角形是約翰·何頓·康威及查爾斯·雷丁提出的非週期性貼磚風車貼磚的基礎。

### 幾乎等腰的直角三角形

等腰直角三角形的三邊不可能都是整數，但存在無限個「幾乎等腰」的直角三角形，也就是直角三角形的邊長為整數，而且二股長度只差一。這類幾乎等腰的直角三角形可以用佩爾方程遞迴求解而得：

$a_0=1$, $b_0=2$

$$a_n=2b_{n-1}+a_{n-1}$$

$$b_n=2a_n+b_{n-1}$$

$a_n$為斜邊的長度，$n=1,2,3,\cdots$。最小的幾個三角形如下

3 :｜4｜: 5

20 :｜21｜: 29

119 :｜120｜: 169

696 :｜697｜: 985

4059 :｜4060｜: 5741

23660 :｜23661｜: 33461

### 各邊呈等比數列的三角形

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克卜勒三角形是特殊的直角三角形，它的三邊之比等於$1:\sqrt\phi:\phi$，為等比數列，其中$\phi$是黃金比，$\phi=\frac{\sqrt5+1}{2}$。德國數學家及天文學家克卜勒最早提出三邊滿足此比例的三角形。