二極體模型

在電子學中，二極體模型（diode modeling）是一種數學模型，用來近似的真實二極體的實際行為，以便計算和電路分析。二極體的電流-電壓特性曲線是非線性的。

有一種非常準確、但也非常複雜的物理模型，是由三個不同理想因子（ideality factor，詳見下文）的指數函數組成，三者分別對應於元件中的不同載子複合機制；在電流非常大或非常小的情況下，這條曲線可以用直線線段（即電阻行為）連接而成。

肖克利二極體方程是一種比較簡單的模型，它只包含單一指數函數。不過這仍然是非線性函數，會使電路中的計算變得很複雜，所以人們經常使用比肖克利二極體方程更簡單的模型。

本文討論PN結二極體的建模，但該技術可以被推廣到其它固態二極體。

## 大信號模型

### 肖克利二極體模型

肖克利二極體方程（Shockley diode equation）建立了PN結二極體的電流$I$和電壓$V_D$ 的關係。這個關係是在二極體的電流-電壓特性曲線（又稱伏安特性）：

$I=I_S\left(e^{V_D/(nV_T)}-1\right)$,

其中$I_S$是二極體的飽和電流（其大小為電壓$V_D$在負方向超過$V_T$的幾倍時流過電流的大小，通常為10−12 A）。反向飽和電流正比於二極體的橫截面面積。其餘符號的意思：$V_ T$是熱電壓（$kT/q$，在常溫下大約是26 mV），而$n$被稱為二極體理想因子（ideality factor，對於矽二極體$n$約是1~2）。

當$V_D\gg nV_ T$時，該公式可以簡化為：

$I \approx I_S \cdot e^{V_D/(nV_T)}$.

然而這個表達式只是更複雜的伏安特性的近似。在超淺結的情況下適用性特別受到限制，對於這種情況有更好的分析模型存在。

#### 二極體 - 電阻器電路的例子

為了說明在使用該法的複雜性，考慮求圖1中二極體兩端的電壓這個問題。

<image>

因為流過二極體的電流與流過整個電路的是相同的電流，我們可以列另一個方程。通過基爾霍夫定律知道，流過電路的電流

$I= \frac{V_S-V_D}{R}$.

這兩個方程可以確定二極體的電流和二極體的電壓。為了求解這兩個方程，我們可以把第二個方程的$I$代入第一個方程，然後嘗試重新整理所得的方程來得到$V_D$關於$V_S$的函數。這種方法的一個困難是，在二極體定律是非線性的，可以使用朗伯W函數得到一個不涉及$V_D$的直接用$V_S$表示$I$的式子。

##### 顯式解

將$V_D=V_S-IR$帶入第一式

$I=I_S\left(e^\frac{V_S-IR}{nV_T}-1\right)$.

將其以朗伯W函數的形式$we^w$整理後得:

$$\frac{(I+I_S)R}{nV_T} e^{\frac{(I+I_S)R}{nV_T}} = \frac {I_S R}{n V_T} e^\frac{V_S+I_S R}{nV_T}$$

對上式使用朗伯W函數，依其性質$W(we^w)=w$將左式轉換:

$$W\left(\frac{(I+I_S)R}{nV_T} e^{\frac{(I+I_S)R}{nV_T}}\right) = \frac{(I+I_S)R}{nV_T} = W\left(\frac {I_S R}{n V_T} e^\frac{V_S+I_S R}{nV_T}\right)$$

整理後可得二極體電流:

$I= \frac{nV_T}{R} W\left(\frac {I_S R}{n V_T} e^\frac{V_S+I_S R}{nV_T}\right) - I_S$,

確定電流後就可以知道二極體的電壓:

$V_D=V_S+I_SR-nV_T W\left(\frac {I_S R}{n V_T} e^\frac{V_S+I_S R}{nV_T}\right)$.

在導通的情況下 $V_S \gg I_sR$ 且 $I \gg I_S$，二極體的電壓與電流可近似成

$I \approx \frac{nV_T}{R} W\left(\frac {I_S R}{n V_T} e^\frac{V_S}{nV_T}\right)$,

$V_D \approx V_S-nV_T W\left(\frac {I_S R}{n V_T} e^\frac{V_S}{nV_T}\right)$.

當$x$很大時，可以被近似為$W(x)=\ln x-\ln\ln x+o(1)$。對於常見的物理參數和電阻而言，$\frac{I_S R}{n V_T} e^{V_s/(n V_T)}$通常在1040左右。

電流位於$d^3 I/d {V_S}^3=0$處有一個轉折點。在$V_S$小於此點時為一條接近$I=0$的水平線；$V_S$大於此點時則會變成斜率為$1/R$的斜直線。

此時的$W\left(\frac {I_S R}{n V_T} e^\frac{V_S+I_S R}{nV_T}\right)=\frac{1}{2}$，計算後得:

$V_S=nV_T ln\left(\frac {\sqrt{e}}{2} \frac {n V_T}{I_S R}\right)-I_S R \approx nV_T ln\left(\frac {n V_T}{I_S R}\right)$。

##### 圖解法

圖解分析法是一種簡單的方法來得出一個數值解描述了二極體的超越方程。與大多數圖解法一樣，它具有簡單、可視化的優點。通過繪製在伏安 曲線，因此能夠得到的近似解的精度的任意程度。這個過程就是前面兩種方法的圖形等價，更適合於電腦實現。

這種方法在圖上繪製兩個電流 - 電壓方程，兩條曲線的交點同時滿足這兩個方程，從而得出流過電路的電流和二極體兩端的電壓的值。下圖演示了這種方法。

<image>

### 分段線性模型

在實踐中，圖形方法對於複雜電路是複雜且不切實際的。二極體的另一種建模方法被稱為分段線性 （PWL）模型。在數學上，這意味著把一個函數分解成若干直線段。這個方法用一系列線性段來近似二極體特性曲線。模型將真正的二極體表示為3部分串聯：理想二極體、電壓源和電阻器。下圖顯示了一個真正的二極體的伏安曲線被近似為兩段分段線性模型。通常會選擇與二極體曲線相切於Q點（靜態工作點）的傾斜線段。於是該線的斜率可以通過在Q點的二極體的小信號電阻的倒數給出。

<image>

#### 數學理想化二極體

首先，讓我們考慮一個數學理想化二極體。在這樣一種理想的二極體中，如果二極體被反向偏置時，流過它的電流是零。這個理想二極體開始導通，在0 V和為任意的正電壓無限流過電流，二極體的作用類似於短路。一個理想二極體的伏安特性如下所示：

<image>

#### 與電壓源串聯的理想二極體

現在讓我們考慮添加一個以如下方式與二極體串聯的電壓源的情況：

<image>

理想的二極體正向偏置時是短路，而反向偏置時形成開路。

如果上述二極體的陽極連接到0V，陰極處的電壓將為Vt，那麼陰極電位會高於陽極電位，二極體會被反向偏置。為了讓該二極體導通，陽極上的電壓應取Vt。這個電路近似了存在於真實二極體的導通電壓（也成開啟電壓）。該電路組合起來的伏安特性如下所示：

<image>

肖克萊二極體模型可以用於估算$V_t$的近似值。

$$I = I_S \left( e^{V_D/(n \cdot V_T)}-1 \right) \Leftrightarrow$$

$$\ln \left( 1 + \frac{I}{I_S} \right) = \frac{V_D}{n \cdot V_T} \Leftrightarrow$$

$$V_D = n \cdot V_T \ln\left(1+\frac{I}{I_S}\right) \approx n \cdot V_T \ln \left( \frac{I}{I_S} \right) \Leftrightarrow$$

$$V_D \approx n \cdot V_T \cdot \ln{10} \cdot \log_{10}{\left( \frac{I}{I_S} \right)}$$

使用$n = 1$和$T = 25 \,^\circ\!\text{C}$：

$$V_D \approx 0.05916 \cdot \log_{10}{\left( \frac{I}{I_S} \right)}$$

飽和電流在室溫下的典型值是：

- $I_S = 10^{-12}$矽二極體;
- $I_S = 10^{-6}$鍺二極體。

由於$V_D$會隨著$\frac{I}{I_S}$的對數變化而變化，在這個比值變化比較大的時候$V_D$的值變化非常小。利用10為底的對數可以更容易地看出數量級的差異。

對於1.0 mA的電流：

- 矽二極體的$V_D \approx 0.53 V$（9個數量級）。
- 鍺二極體的$V_D \approx 0.18 V$（3個數量級）。

對於100 mA的電流：

- 矽二極體的$V_D \approx 0.65 V$（11個數量級）;
- 鍺二極體的$V_D \approx 0.30 V$（5個數量級）。

常用的矽二極體的值為0.6或0.7伏特

#### 二極體與電壓源和限流電阻

需要做的最後一件事是用一個電阻來限制電流，如下圖所示：

<image>

最終電路的伏安 特性如下：

<image>

真正的二極體，現在可以被替換的組合理想二極體、電壓源和電阻器，然後就可以僅僅使用線性元素對電路建模。如果傾斜線段與真實二極體曲線相切於Q點，該近似電路具有與在Q點（靜態工作點）的真實二極體相同的小信號電路。

#### 雙PWL二極體模型/三線段線性模型

當對二極體的導通特性需要更加精確的模型時，可以將兩個PWL模型並聯，以更準確的對單個二極體建模。

<image>

<image>

<image>

## 小信號模型

### 電阻

運用肖克萊方程，可以導出二極體在某工作點（Q點）的小信號二極體電阻$r_D$，其中的直流偏置電流為$I_Q$和Q點施加的電壓$V_Q$。首先，可以算出二極體的小信號電導 $g_D$，也就是二極體兩端的電壓的變化較小時引起的二極體電流的變化，除以電壓的變化量為：

$g_D=\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}V}\Big|_Q = \frac{I_s}{V_T} e^{V_Q/V_T} \approx \frac{I_Q}{V_T}$.

上式中最後的近似是由於假定偏置電流$I_Q$足夠大，可以使的肖克萊二極體方程的括號內的係數1忽略不計。這種逼近即使在相當低的電壓時也是準確的，因為在300K的熱電壓 $V_T \approx 25\,\mathrm{mV}$，所以$V_Q/V_T$就會比較大，這意味著該指數函數是非常大的。

注意到小信號電阻$r_D$是剛才得到的小信號電導的倒數，二極體的電阻是獨立於交流電流的，但卻取決於直流電流，寫作

$r_D=\frac {n \cdot V_T}{I_Q}$.