正圖形

正一百二十胞體是一個四維多胞體，是一個正圖形，由120個正十二面體胞組成的四維正多胞形，其施萊夫利符號為{5,3,3}。（這裡展示的是施萊格爾圖像）

caption4=正方體堆砌是一個三維空間堆砌，可被看作是四維的無窮胞體，施萊夫利符號為{4,3,4}

caption5=八維超正方體的256個頂點和1024條棱可以用正交投影來展示。（皮特里多邊形）

在幾何學中，正圖形或正幾何形狀（Regular Geometric Shape）是一類具有高度對稱性的幾何結構。其中，若該幾何結構是由線段、平面或超平面的邊界構成則又可稱為正多胞形（Regular polytope）。

和正圖形相對的概念為不規則圖形（Irregular Geometric Shape）或不規則幾何形狀、非正幾何形狀，其對稱性比正圖形低或無對稱性。在不規則圖形中，依照對稱性的高低又可以分為擬正圖形（Quasiregular）、半正圖形（Semiregular）、似正鑲嵌圖圖形（Demiregular）、均勻圖形（Uniform）等幾何結構。

## 正多胞形

正多胞形是一種對稱性對於標記可遞的幾何結構，且具有高度對稱性，對於該幾何體內所有同維度的元素（如：點、線、面）都完全具有相同的性質，並且每一個元素皆為一個正圖形，例如，正方體所有的面的面積及形狀皆相同，且皆為正方形，是一個二維正多胞形、所有邊的長度也相同，所有角的角度及形式也相同，因此正方體是一個正圖形或正多胞形。對於所有元素，或叫j維面（對所有的 0 ≤ j ≤ n，其中n是該幾何體所在的維度） — 胞、面等等 — 也都對於多胞形的對稱性可遞，也是≤ n維的正圖形。

正圖形是正多邊形（例如：正方形或者正五邊形）和正多面體（例如立方體）的向任意維度的推廣類比。正圖形極強的對稱性使它們擁有極強的審美價值，吸引著數學家和數學愛好者。

一般地，n維正圖形被定義為有正維面(n − 1)-表面和正頂點圖。這兩個條件已經能充分地保證所有面、所有頂點都是相似的。但要注意的是，這一定義並不適用於抽象多胞形。

一個正圖形能用形式為{a, b, c, ...., y, z}的施萊夫利符號代表，其正的面為{a, b, c, ..., y}，頂點圖為{b, c, ..., y, z}。

## 分類和描述

正圖形最基礎的分類是按其維度。

它們能夠按照對稱性進一步分類。例如，正方體和正八面體有著相同的對稱性，同樣，正十二面體和正二十面體也是。事實上，對稱群大多依照正圖形命名，例如正四面體對稱群和正二十面體對稱群。

3種特殊類型的正圖形存在於所有維度：

- 單純形（正單形）
- 超方形（正測形）
- 正軸形（交叉形）

在二維，這裡有無窮多個正多邊形。在三維和四維這裡有許多上述三種之外的正多面體和正多胞體。在五維及以上維，只存在這三種類型的正圖形。另見正圖形列表。

正圖形的概念有時被擴展，使其包括了另外一些相關的幾何對象。其中一些有正的例子，下面「歷史發現」一章將會詳細說明。

### 施萊夫利符號

施萊夫利符號是一個簡潔有力的多面體表示法，是19世紀由路德維希·施萊夫利所發明的，一個改進了的版本隨後成為了標準。這種記號可通過維度依次增加一獲得最好的解釋。

- 一個有n條邊的凸正多邊形可以標記為{n}。所以一個等邊三角形是{3}，一個正方形是{4}......一個繞其中心旋轉m圈的正星形多邊形被標記為分式{n/m}，這裡n和m是互質的，例如正五角星是{5/2}。
- 一個有著面{n}，並且一個頂點處有p個面相交的正多面體標記為{n, p}。九個正多面體是：{3, 3}、{3, 4}、{4, 3}、{3, 5}、{5, 3}、{3, 5/2}、{5/2, 3}、{5, 5/2}和{5/2, 5}。{p}就是這個正多面體的頂點圖。
- 一個有著胞{n, p}，並且每一條棱處有q個胞相交的正多胞體標記為{n, p, q}。其頂點圖為{p, q}。
- 一個五維正多胞體是{n, p, q, r}，等等。

### 正圖形的對偶性

正圖形的對偶形也是正圖形。對偶圖形的施萊夫利符號就是將原來的符號倒過來寫：{3,3}為自身對偶，{3,4}與{4,3}對偶，{4,3,3}與{3,3,4}對偶，以此類推。

正圖形的頂點圖的對偶即是其對偶圖形的維面。例如{3,3,4}的頂點圖是{3,4}，其對偶即是{4,3} — {4,3,3}的一個胞。

任何維的超方形和正軸形都是互相對偶的。

如果其施萊夫利符號是回文，即正反讀都一樣，那麼這個正圖形就是自身對偶的。自身對偶正圖形包括：

- 點
- 線段，{}。
- 所有的正多邊形，{a}。
- 所有的n-正單純形，{3,3,3,...,3,3,3}。
- 四維正多胞形正二十四胞體，{3,4,3}。
- 所有n維超方形堆砌，{4,3,3,...,3,3,4}。這些在多胞形學中被看作無窮多胞形。

### 正單純形

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線段｜正三角形｜正四面體｜正五胞體

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我們從點A開始。標下與A相距r的點B，並連接它們，形成線段。在垂直與它的第二維度標下與A、B都相距r的第三點C，並連接AC、BC，形成正三角形。在垂直與它的第三維度標下與三點都相距r的第四點D，連接四點，便形成正四面體。用同樣的方法，我們可以得到更高維的類似正圖形。

這些就是正單純形。以維度來排序，它們是：

- 點

- 線段

- 正三角形（正三邊形）

- 正四面體

- 正五胞體 或 4-單純形

- 五維正六胞體 或 5-單純形

... n-單純形有n+1個頂點。

### 超方形

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正方形｜立方體｜超正方體

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從一個點A開始。連一條線到距離為r的B，形成一條線段。延伸第二條長為r的線，垂直於AB，將B連接到C，同樣連結A到D，形成一個正方形ABCD。從每個頂點同樣延伸出長為r的線，同時垂直於AB和BC，標記點E、F、G、H形成立方體ABCD-EFGH。用同樣的方法，我們可以得到更高維的類似正圖形。

它們就是超方形或稱正測形。以維度來排序，它們是：

- 點

- 線段

- 正方形（正四邊形）

- 立方體（正六面體）

- 四維超正方體（正八胞體）或4-超方體

- 五維超正方體（五維正十胞體）或5-超方體

...一個n-超方體有2n個頂點。

### 正軸形

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正方形｜正八面體｜正十六胞體

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從一個點O開始。從O向兩個相反的方向延出兩條線到距O點距離為r的A和B，互相之間距離為2r，形成一條線段。同樣再畫線段COD，長度為2r，以O為中點而垂直於AB。連接4個頂點形成正方形ACBD。再畫線段EOF，同樣長度為2r，中點為O，同時垂直於AB和CD（即上下方向）。將其頂點與正方形頂點一一相連得到正八面體。用同樣的方法，我們可以得到更高維的類似正圖形。

這樣得到的圖形稱為正軸形或交叉形。以維度來排序，它們是：

- 點

- 線段

- 正方形（正四邊形）

- 正八面體

- 正十六胞體或4-正軸形

- 正三十二超胞體（五維正三十二胞體）或5-正軸形

...n-正軸形有2n個頂點。

## 參見

- 正圖形列表
- 詹森多面體
- Bartel Leendert van der Waerden

## 參考文獻

- (Coxeter, 1948) Coxeter, H. S. M.; Regular Polytopes, (Methuen and Co., 1948).
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- Stella: Polyhedron Navigator Tool for exploring 3D polyhedra, 4D polytopes, and printing nets
- Ernst Haeckel's Kunstformen der Natur online (German)
- Interesting fold-out nets of the cube, octahedron, dodecahedron and icosahedron