大津算法

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在電腦視覺和圖像處理領域，大津二值化法（Otsu's method）是由大津展之命名的一種用於自動圖像閾值分割的方法。該方法用於對基於聚類的圖像進行二值化，即將一個灰度圖像轉化為二值圖像。演算法假定圖像根據雙模直方圖（前景像素和背景像素）包含兩類像素，並計算出能將這兩類像素分開的最佳閾值，使得類內方差最小，或等效地，類間方差最大。

因此，大津二值化法是一種一維離散的費舍爾判別分析的類似方法，與Jenks優化方法相關，並且等同於在強度直方圖上執行的全局最優k-means演算法。

原始論文中還描述了多級閾值擴展方法，並且後來提出了計算效率高的實現方法。

## 方法

在大津算法中，我們窮舉搜索能使類內方差最小的閾值，定義為兩個類的方差的加權和：

$$\sigma^2_w(t)=\omega_1(t)\sigma^2_1(t)+\omega_2(t)\sigma^2_2(t)$$

權重 $\omega_i$ 是被閾值 $t$ 分開的兩個類的機率，而 $\sigma^2_ i$ 是這兩個類的方差。

大津證明了最小化類內方差和最大化類間方差是相同的：

$$\sigma^2_b(t)=\sigma^2-\sigma^2_w(t)=\omega_1(t)\omega_2(t)\left[\mu_1(t)-\mu_2(t)\right]^2$$

用類機率 $\omega_i$ 和類均值 $\mu_i$ 來表示。

類機率 $\omega_1(t)$ 用閾值為 $t$ 的直方圖計算：

$$\omega_1(t)=\Sigma_0^t p(i)$$

而類均值 $\mu_1(t)$ 為：

$$\mu_1(t)=\left[\Sigma_0^t p(i)\,x(i)\right]/\omega_1$$

其中 $x(i)$ 為第 $i$ 個直方圖面元中心的值。

同樣的，你可以對大於 $t$ 的面元求出右側直方圖的 $\omega_2(t)$ 與 $\mu_2$。

類機率和類均值可以迭代計算。這個想法會產生一個有效的演算法。

大津算法得出了0:1範圍上的一個閾值。這個閾值用於圖像中出現的像素強度的動態範圍。例如，若圖像只包含155到255之間的像素強度，大津閾值0.75會映射到灰度閾值230（而不是192，因為圖像包含的像素不是0–255全範圍的）。常見的攝影圖像往往包含全範圍的像素強度，就會讓這一點有爭論，但其他應用會對這點區別很敏感。

### 演算法

- 計算每個強度級的直方圖和機率
- 設置 $\omega_i(0)$ 和 $\mu_i(0)$ 的初始值
- 遍歷所有可能的閾值 $t = 1 \ldots$ 最大強度
- 更新 $\omega_i$ 和 $\mu_i$
- 計算 $\sigma^2_b(t)$
- 所需的閾值對應於最大的 $\sigma^2_b(t)$
- 你可以計算兩個最大值（和兩個對應的）。$\sigma^2_{b1}(t)$ 是最大值而 $\sigma^2_{b2}(t)$ 是更大的或相等的最大值
- 所需的閾值 = $\frac{\text{threshold}_1 + \text{threshold}_2 }{2}$

### JavaScript實現

註：輸入參數total是給定圖像中的像素數。輸入參數histogram是灰度圖像不同灰度級（典型的8位圖像）的256元直方圖。此函數輸出圖像的閾值。

```javascript
function otsu(histogram, total) {
    var sum = 0;
    for (var i = 1; i < 256; ++i)
        sum += i * histogram[i];
    var sumB = 0;
    var wB = 0;
    var wF = 0;
    var mB;
    var mF;
    var max = 0.0;
    var between = 0.0;
    var threshold1 = 0.0;
    var threshold2 = 0.0;
    for (var i = 0; i < 256; ++i) {
        wB += histogram[i];
        if (wB == 0)
            continue;
        wF = total - wB;
        if (wF == 0)
            break;
        sumB += i * histogram[i];
        mB = sumB / wB;
        mF = (sum - sumB) / wF;
        between = wB * wF * (mB - mF) * (mB - mF);
        if ( between >= max ) {
            threshold1 = i;
            if ( between > max ) {
                threshold2 = i;
            }
            max = between;            
        }
    }
    return ( threshold1 + threshold2 ) / 2.0;
}
```

### C實現

```c
unsigned char otsu_threshold( int* histogram, int pixel_total )
{
    unsigned int sumB = 0;
    unsigned int sum1 = 0;
    float wB = 0.0f;
    float wF = 0.0f;
    float mF = 0.0f;
    float max_var = 0.0f;
    float inter_var = 0.0f;
    unsigned char threshold = 0;
    unsigned short index_histo = 0;

    for ( index_histo = 1; index_histo < 256; ++index_histo )
    {
        sum1 += index_histo * histogram[ index_histo ];
    }

    for (index_histo = 1; index_histo < 256; ++index_histo)
    {
        wB = wB + histogram[ index_histo ];
        wF = pixel_total - wB;
        if ( wB == 0 || wF == 0 )
        {
            continue;
        }
        sumB = sumB + index_histo * histogram[ index_histo ];
        mF = ( sum1 - sumB ) / wF;
        inter_var = wB * wF * ( ( sumB / wB ) - mF ) * ( ( sumB / wB ) - mF );
        if ( inter_var >= max_var )
        {
            threshold = index_histo;
            max_var = inter_var;
        }
    }

    return threshold;
}
```

### MATLAB實現

total為給定圖像中的像素數。

histogramCounts為灰度圖像不同灰度級（典型的8位圖像）的256元直方圖。

level為圖像的閾值（double）。

```matlab
function level = otsu(histogramCounts, total)
%% OTSU automatic thresholding method
sumB = 0;
wB = 0;
maximum = 0.0;
threshold1 = 0.0;
threshold2 = 0.0;
sum1 = sum((1:256).*histogramCounts.'); % the above code is replace with this single line
for ii=1:256
    wB = wB + histogramCounts(ii);
    if (wB == 0)
        continue;
    end
    wF = total - wB;
    if (wF == 0)
        break;
    end
    sumB = sumB +  ii * histogramCounts(ii);
    mB = sumB / wB;
    mF = (sum1 - sumB) / wF;
    between = wB * wF * (mB - mF) * (mB - mF);
    if ( between >= maximum )
        threshold1 = ii;
        if ( between > maximum )
            threshold2 = ii;
        end
        maximum = between;
    end
end
level = (threshold1 + threshold2 )/(2);
end
```

另一種方法是用向量化方法（可以很容易地轉換為便於GPU處理Python矩陣陣列版本）

```matlab
function  [threshold_otsu] = Thredsholding_Otsu( Image)
%Intuition:
%(1)pixels are divided into two groups
%(2)pixels within each group are very similar to each other 
%   Parameters:
%   t : threshold 
%   r : pixel value ranging from 1 to 255
%   q_L, q_H : the number of lower and higher group respectively
%   sigma : group variance
%   miu : group mean
%   Author: Lei Wang
%   Date  : 22/09/2013
%   References : Wikepedia, 
%   for multi children Otsu method, please visit : https://drive.google.com/file/d/0BxbR2jt9XyxteF9fZ0NDQ0dKQkU/view?usp=sharing
%   This is my original work

nbins = 256;
counts = imhist(Image,nbins);
p = counts / sum(counts);

for t = 1 : nbins
   q_L = sum(p(1 : t));
   q_H = sum(p(t + 1 : end));
   miu_L = sum(p(1 : t) .* (1 : t)') / q_L;
   miu_H = sum(p(t + 1 : end) .* (t + 1 : nbins)') / q_H;
   sigma_b(t) = q_L * q_H * (miu_L - miu_H)^2;
end

[~,threshold_otsu] = max(sigma_b(:));
end
```

該實現有一點點冗餘的計算。但由於大津算法快速，這個實現版本是可以接受，並且易於理解的。因為在一些環境中，如果使用向量化的形式，可以更快地運算循環。大津二值化法使用架構最小的堆－孩子標籤（heap-children label）可以很容易地轉變成多線程的方法。

## 外部連結

- Lecture notes on thresholding – covers the Otsu method.
- A plugin for ImageJ using Otsu's method to do the threshold.
- A full explanation of Otsu's method with a working example and Java implementation.
- Implementation of Otsu's method in ITK
- Otsu Thresholding in C# A straightforward C# implementation with explanation.
- Otsu's method using MATLAB