質數間隙

<image>

質數間隙是指兩個相鄰質數間的差值。第n個質數間隙，標記為gn 或g(pn)，指第n個質數和第n+1個質數間的差值，即

$$g_n = p_{n + 1} - p_n.\ $$

可知，g1 = 1、g2 = g3 = 2，以及g4 = 4。由質數間隙組成的數列(gn) 已被廣泛地研究，但仍有許多問題及猜想尚未獲得解答。

前30個質數間隙為：

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14 .

由gn 的定義，可得gn 及第n+1個質數的關係式如下：

$p_{n+1} = 2 + \sum_{i=1}^n g_i$ .

張益唐在2013年證明：存在有無限多對質數，其間隙小於七千萬；之後於同年十一月，詹姆斯·梅納德用精進版的GPY篩法將間隙改進至600，而由陶哲軒發起的Polymath計畫將這數字降到246。

## 簡單觀察

第1個、最小，且唯一為奇數的質數間隙為1，是在「唯一一個偶質數2」與「第一個奇質數3」之間的質數間隙。剩下的其他質數間隙均為偶數。在3個相鄰的質數間的1對質數間隙均為質數，只有在質數3、5及7之間的g2 及g3 一種而已。

對任一質數P，可定義一質數乘積P#，為所有小於等於P的質數之乘積。若Q為P之後的質數，則數列

$$P\#+2, P\#+3,\ldots,P\#+(Q-1)$$

為由相鄰的Q-2個合數組成的數列，亦即存在一個長度至少為Q-1的質數間隙。因此，質數間的間隙可以是任意大的，亦即對任一質數P，總存在一個整數n，使得gn ≥ P。（可選定n，使得pn為小於P# + 2 的最大質數）另外，依據《質數定理》，質數的密度會隨著數值增大而趨近於0，亦可知存在任意大的質數間隙。實際上，依《質數定理》，P# 的值約略為 exp(P)的大小，且於 exp(P)附近，相鄰質數的「平均」間隙為 P。

實際上，質數間隙為P 的數可能會遠小於P#。例如，由71個相鄰合數組成的最小數列介於31398至31468間，但71#有「27個數位」，其完整的十進位表示為 557940830126698960967415390。

孿生質數猜想主張存在無限多個整數n，使得 gn = 2。

## 數值結果

一般將$\frac{g_n}{\ln(p_n)}$給稱作$g_n$的努力值（merit）。非正式地，一個質數間隙$g_n$的努力值可視為一個質數間隙和$p_n$附近的平均間隙大小之間的比值。

目前最大的、和一個可能質數相關的間隙，其大小為16,045,848，和一個385,713位的可能質數有關，而其努力值$M=18.067$。這數由Andreas Höglund在2024年3月發現。而最大的和確認的質數相關的質數間隙，其大小為1,113,106，努力值為25.90，和一個18,662位的質數有關，發現者是P. Cami, M. Jansen和J. K. Andersen。

為止，已知最大的及第一個超過40的努力值由Gapcoin網路所發現，其數值為41.93878373，和一個87位的質數有關2，這個質數和下一個質數之間的間隙的大小為8350。

努力值｜$g_n$｜位數｜$p_n$｜日期｜發現者

41.938784｜8350｜0087｜見上｜2017｜Gapcoin

39.620154｜15900｜175｜3483347771 × 409#/0030 − 7016｜2017｜Dana Jacobsen

38.066960｜18306｜209｜650094367 × 491#/2310 − 8936｜2017｜Dana Jacobsen

38.047893｜35308｜404｜100054841 × 953#/210 − 9670｜2020｜Seth Troisi

37.824126｜8382｜0097｜512950801 × 229#/5610 − 4138｜2018｜Dana Jacobsen

Cramér–Shanks–Granville比值指的是$g_n/(\ln{p_n})^2$這個比值。若不計2、3及7的異常高的值的話，那這比值已知最大的數值是1693182318746371的0.9206386。其他已知的數值可見。

若對於所有的$m < n$而言，都有$g_m < g_n$，則稱$g_n$是最大間隙。已知最大的最大間隙其值是1724，發現者為Martin Raab，而他是用Brian Kehrig寫的電腦程式發現這點的。這是第84個最大間隙，出現於68068810283234182907這質數之後。

其他已知的最大間隙可見於，而與之相關的質數$p_n$可見於，相關的n則可見於。目前猜想，不大於第n個質數的最大間隙組成的數列大約有$2\ln n$ 項。

- ｜gn｜pn｜n 1｜1｜2｜1 2｜2｜3｜2 3｜4｜7｜4 4｜6｜23｜9 5｜8｜89｜24 6｜14｜113｜30 7｜18｜523｜99 8｜20｜887｜154 9｜22｜1,129｜189 10｜34｜1,327｜217 11｜36｜9,551｜1,183 12｜44｜15,683｜1,831 13｜52｜19,609｜2,225 14｜72｜31,397｜3,385 15｜86｜155,921｜14,357 16｜96｜360,653｜30,802 17｜112｜370,261｜31,545 18｜114｜492,113｜40,933 19｜118｜1,349,533｜103,520 20｜132｜1,357,201｜104,071 21｜148｜2,010,733｜149,689 22｜154｜4,652,353｜325,852 23｜180｜17,051,707｜1,094,421 24｜210｜20,831,323｜1,319,945 25｜220｜47,326,693｜2,850,174 26｜222｜122,164,747｜6,957,876 27｜234｜189,695,659｜10,539,432 28｜248｜191,912,783｜10,655,462｜#｜gn｜pn｜n 29｜250｜387,096,133｜20,684,332 30｜282｜436,273,009｜23,163,298 31｜288｜1,294,268,491｜64,955,634 32｜292｜1,453,168,141｜72,507,380 33｜320｜2,300,942,549｜112,228,683 34｜336｜3,842,610,773｜182,837,804 35｜354｜4,302,407,359｜203,615,628 36｜382｜10,726,904,659｜486,570,087 37｜384｜20,678,048,297｜910,774,004 38｜394｜22,367,084,959｜981,765,347 39｜456｜25,056,082,087｜1,094,330,259 40｜464｜42,652,618,343｜1,820,471,368 41｜468｜127,976,334,671｜5,217,031,687 42｜474｜182,226,896,239｜7,322,882,472 43｜486｜241,160,624,143｜9,583,057,667 44｜490｜297,501,075,799｜11,723,859,927 45｜500｜303,371,455,241｜11,945,986,786 46｜514｜304,599,508,537｜11,992,433,550 47｜516｜416,608,695,821｜16,202,238,656 48｜532｜461,690,510,011｜17,883,926,781 49｜534｜614,487,453,523｜23,541,455,083 50｜540｜738,832,927,927｜28,106,444,830 51｜582｜1,346,294,310,749｜50,070,452,577 52｜588｜1,408,695,493,609｜52,302,956,123 53｜602｜1,968,188,556,461｜72,178,455,400 54｜652｜2,614,941,710,599｜94,906,079,600 55｜674｜7,177,162,611,713｜251,265,078,335 56｜716｜13,829,048,559,701｜473,258,870,471｜#｜gn｜pn｜n 57｜766｜19,581,334,192,423｜662,221,289,043 58｜778｜42,842,283,925,351｜1,411,461,642,343 59｜804｜90,874,329,411,493｜2,921,439,731,020 60｜806｜171,231,342,420,521｜5,394,763,455,325 61｜906｜218,209,405,436,543｜6,822,667,965,940 62｜916｜1,189,459,969,825,483｜35,315,870,460,455 63｜924｜1,686,994,940,955,803｜49,573,167,413,483 64｜1,132｜1,693,182,318,746,371｜49,749,629,143,526 65｜1,184｜43,841,547,845,541,059｜1,175,661,926,421,598 66｜1,198｜55,350,776,431,903,243｜1,475,067,052,906,945 67｜1,220｜80,873,624,627,234,849｜2,133,658,100,875,638 68｜1,224｜203,986,478,517,455,989｜5,253,374,014,230,870 69｜1,248｜218,034,721,194,214,273｜5,605,544,222,945,291 70｜1,272｜305,405,826,521,087,869｜7,784,313,111,002,702 71｜1,328｜352,521,223,451,364,323｜8,952,449,214,971,382 72｜1,356｜401,429,925,999,153,707｜10,160,960,128,667,332 73｜1,370｜418,032,645,936,712,127｜10,570,355,884,548,334 74｜1,442｜804,212,830,686,677,669｜20,004,097,201,301,079 75｜1,476｜1,425,172,824,437,699,411｜34,952,141,021,660,495 76｜1,488｜5,733,241,593,241,196,731｜135,962,332,505,694,894 77｜1,510｜6,787,988,999,657,777,797｜160,332,893,561,542,066 78｜1,526｜15,570,628,755,536,096,243｜360,701,908,268,316,580 79｜1,530｜17,678,654,157,568,189,057｜408,333,670,434,942,092 80｜1,550｜18,361,375,334,787,046,697｜423,731,791,997,205,041 81｜1,552｜18,470,057,946,260,698,231｜426,181,820,436,140,029 82｜1,572｜18,571,673,432,051,830,099｜428,472,240,920,394,477 83｜1,676｜20,733,746,510,561,442,863｜477,141,032,543,986,017 84｜1,724｜68,068,810,283,234,182,907｜1,524,717,378,371,224,128

## 更多結果

### 上界

1852年得到證明的伯特蘭-切比雪夫定理顯示，在$k$跟$2k$之間，總有一個質數，特別地，$p_{n+1} < 2p_n$，因此$g_n < p_n$。

1896年得證的質數定理顯示說對足夠大的質數而言，一個質數$p$和下一個質數之間的間隙，會漸近地接近$\ln{p}$，也就是$p$的自然對數，而實際的質數間隙可能遠大或遠小於此。

然而我們可以從質數定理推出說質數間隙跟質數的比會變得任意小，如下式所示：

$$\lim_{n\to\infty}\frac{g_n}{p_n}=0.$$

以極限的定義來說，對於任意的$\epsilon > 0$，存在一個數$N$，使得對於所有的$n > N$而言，有

$$g_n < p_n\epsilon$$

基多·何海賽爾在1930年首次證明了以下的非線性關係，他證明了說，存在一個常數$\theta < 1$，使得下式成立：

$$\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\log(x)} \text{ as } x \to \infty,$$

由此他證明了，對於足夠大的n，有以下關係：

$$g_n < p_n^\theta$$

何海賽爾證明說$\theta$小於等於32999/33000；之後漢斯·海爾布龍將之給改進到249/250；而尼古拉·胡打科夫證明了說對於任意的$0 < \varepsilon$而言，$\theta = \frac{3}{4} + \varepsilon$。

一個主要的改進由阿爾伯特·英厄姆做出，他證明了說存在一個正的常數$c$，使得下式成立：

if $\zeta(1/2 + it) = O(t^c)$ then $\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\log(x)}$ for any $\theta > (1 + 4c)/(2 + 4c).$

此處，$O$代表大O符號，$\zeta$代表黎曼ζ函數，而$\pi$是質數計數函數。由於$\frac{1}{6} < c$是可行的數之故，因此可知$\theta$可以是任何大於$\frac{5}{8}$的數。

英厄姆結果的一個立即的推論是，在n足夠大時，在$n^3$及$(n+1)^3$之間總有一個質數；此外在2016年，Dudek給英厄姆結果證明了一個有明確數值版本，他證明了說對於任意的$n > e^{e^{33.217}}\approx1.01\cdot10^{115809466034000}$而言，兩個立方數之間必有一個質數。

從林德勒夫猜想可推出，英厄姆的公式對於任意正數$c$都成立；然而這兩者都不足以推出勒讓德猜想，也就是在$n^2$及$(n+1)^2$之間總有一個質數這猜想。要證明這點，像是克拉梅爾猜想等更強的結果會是必要的。

馬丁·赫胥黎在1972年證明說，$\theta=\frac{7}{12}=0.583\cdots$是可能的。

貝克、格林·哈曼和平茨·亞諾什在2001年正明說$\theta\cdots$可以縮小到0.525。

上述的結果適用於「所有的」間隙，而人們對「最小的」間隙也感興趣。孿生質數猜想說，有無限多的質數，其間隙為2。在2005年，丹尼爾·哥德斯頓、雅諾·品茨和謝姆·伊爾迪里姆三氏證明了以下關係：

$$\liminf_{n\to\infty}\frac{g_n}{\log p_n} = 0$$

兩年後他們又將之改進如下： to

$$\liminf_{n\to\infty}\frac{g_n}{\sqrt{\log p_n}(\log\log p_n)^2}<\infty.$$

2013年，張益唐證明了以下關係：

$$\liminf_{n\to\infty} g_n < 7\cdot 10^7,$$

這表示說，有無限多的質數間隙，其大小不超過七千萬。之後Polymath計畫的集體努力，在2013年7月20日，將張益唐界限給降到了4680。

在2013年11月，詹姆斯·梅納德改進了GPY篩法，並以之將上界給降到600，並證明了說兩個彼此間隔$m$個質數的質數，其間隙有上限。也就是說，對於任意的正整數$m$，總存在一個界限$\Delta_m$，使得對於無窮多的n而言，$p_{n+m}-p_n \le\Delta_m$。利用梅納德的想法，Polymath計畫將上界給降到了246，並證明了說在假定埃利奧特–哈爾伯斯坦猜想和其推廣的狀況下，分別可將上界給降到12和6。

### 下界

1931年，埃里克·韋斯欽蒂烏斯（Erik Westzynthius）證明質數間隙成長速度快過對數，也就是說。

$$\limsup_{n\to\infty}\frac{g_n}{\log p_n}=\infty.$$

羅伯特·亞歷山大·蘭金在1938年改進了韋斯欽蒂烏斯和艾狄胥·帕爾的結果，證明了說存在一個常數$c > 0$，使得以下不等式對無限多個n成立：

$$g_n > \frac{c\ \log n\ \log\log n\ \log\log\log\log n}{(\log\log\log n)^2}$$

之後他又證明了說上式對任何的$c < e^{\gamma}$都成立，其中$\gamma$是歐拉-馬斯刻若尼常數。常數$c$的值在1997年改進至$c < 2e^{\gamma}$。

艾狄胥·帕爾提供了10,000美元的獎金給任何能證明或否證上述的常數$c$可以任意大的人。這點在2014年由凱文·福特 (數學家)、本·格林 (數學家)、謝爾蓋·科尼亞金和陶哲軒四人組以及詹姆斯·梅納德分別獨立證出。

之後這結果被上述五人改進成對無限多個n而言，以下不等式成立：

$$g_n > \frac{c\ \log n\ \log\log n\ \log\log\log\log n}{\log\log\log n}$$

做為向艾狄胥原始獎金精神的致意，陶哲軒提供了10,000美元的獎金給任何能證明或否證上述的常數$c$可以任意大的人。

目前也已知關於質數鏈的下界。

## 關於質數間隙的猜想

如上所言，目前已知最好的關於質數間隙的結果是對於足夠大的n而言，$g_n < p_n^{0.525}$（因此諸如$5 - 3 > 3^{0.525}$或$29 - 23 > 23^{0.525}$這樣的情況是不考慮的）但目前觀察到的結果是，即使最大的間隙，也遠小於此，也因此生出了一系列未證明的猜想。

首先，有猜想認為，對於上述何海賽爾的結果，有$\theta = 0.5$。

勒讓德猜想認為，在兩個完全平方數之間，都總有一個質數，而這意味著說，$g_n = O(\sqrt{p_n})$；安德里卡猜想則指出說：

$$g_n < 2\sqrt{p_n} + 1$$

奧珀曼猜想意味著更強的結果，就是對於任意足夠大的n而言（或許對任何的$n > 30$而言），總有以下關係：

$$g_n < \sqrt{p_n}.$$

上述的關係都未得證明，而哈拉爾德·克拉梅爾證明了說若黎曼猜想成立，那在用大O符號表述的狀況下，質數間隙$g_n$會滿足以下關係：

$$g_n = O(\sqrt{p_n} \log p_n),$$

（實際上，如果允許任意大的指數的話，這結果只需要較弱的林德勒夫猜想）

Dudek在假定黎曼猜想成立的狀況下，對克拉梅爾上述的結果給出一個有明確值的版本，也就是若黎曼猜想成立，那麼對任意的$n\ge 2$而言，有如次不等式：

$$g_n < \frac{4}{\pi}\sqrt{p_n}\log p_n$$

此外Dudek指出，對於足夠大的n而言，不等式裝的常數項$4/\pi$可替換為任意大於一的常數。

<image>

與此同時，克拉梅爾也猜想說質數間隙遠小於此，而他的猜想即是克拉梅爾猜想，克拉梅爾猜想表示說：

$$g_n = O\!\left((\log p_n)^2\right)\!,$$

也就是說，其成長率是一個小於任何指數$\theta > 0$的多對數函數。

克拉梅爾猜想符合觀察到的質數間隙，此外也有其他類似的猜想。菲魯茲巴赫特猜想稍強於此，菲魯茲巴赫特猜想認為，$p_{n}^{1/n}\!$是個對n的嚴格遞減函數，也就是說，對於任意的$n\ge 1$而言，有以下關係：

$$p_{n+1}^{1/(n+1)} \!< p_n^{1/n}$$

若這猜想成立，就表示說對於任意的$n > 9$而言，有$g_n < (\log p_n)^2 - \log p_n - 1$從該猜想可推出強克拉梅爾猜想，而這與安德魯·格蘭維爾、平茨·亞諾什等人的猜測不一致。他們的猜測認為，對於$\varepsilon>0,$而言，有無限多質數間隙，使得$g_n > \frac{2-\varepsilon}{e^\gamma}(\log p_n)^2 > (1.1229-\varepsilon)(\log p_n)^2$，其中$\gamma$是歐拉-馬斯刻若尼常數。

波利尼亞克猜想表示說，對於任何的正偶數k，都總有無限多個質數間隙等於k。$k=2$的情況即孿生質數猜想。目前尚未對這猜想任何特定的k成立或不成立，但如上所言，由於張益唐以及隨後的改進，目前已知這猜想對至少一個$k \le 246$成立。

## 作為數論函數

表示第n個質數及其之後的質數間隙的$g_n$是數論函數的一個例子，在將之視為數論函數的狀況下，一般都把質數間隙給記做$d_n$並稱之為質數差函數。這函數非積性函數，也非加性函數。

## 外部連結

- Thomas R. Nicely, Some Results of Computational Research in Prime Numbers -- Computational Number Theory. This reference web site includes a list of all first known occurrence prime gaps.
- Armin Shams, Re-extending Chebyshev's theorem about Bertrand's conjecture , does not involve an 'arbitrarily big' constant as some other reported results.
- Chris Caldwell, Gaps Between Primes ; an elementary introduction
- www.primegaps.com A study of the gaps between consecutive prime numbers
- Andrew Granville, Primes in Intervals of Bounded Length ; overview of the results obtained so far up to and including James Maynard's work of November 2013.