五維正六胞體

五維正六胞體（Hexateron）或稱正六超胞體（Hexateron）是3個五維凸正多超胞體之一，一種自身對偶的五維多胞體，是五維的單純形，四維正五胞體、三維正四面體、二維正三角形的五維類比。由6個正五胞體胞、15個正四面體胞、20個正三角形面、15條棱、6個頂點組成。它的二超胞角是cos−1(1/5)，約等於78.46°。正如其它維的正單純形一樣，正六超胞體可以被看作是正五胞體的稜錐，即正五胞體稜錐，它由一個正五胞體底面一個與正五胞體5個頂點距離都相等且等於正五胞體棱長的頂點相連而成，正五胞體的正四面體胞與頂點相連成為5個正四面體稜錐（即正五胞體）側面。

## 幾何性質

正六超胞體的頂點處有5條棱相交，因此它的頂點圖是正五胞體，在它的棱處有4個正五胞體維脊相交，應此它的棱圖是正四面體。它有施萊夫利符號{3,3,3,3}，考斯特-迪肯符號node_1，它像其它正單純形一樣是自身對偶的。

對於一個邊長為a的正六超胞體，其超胞積是$\cfrac{\sqrt{3}a^5}{480}$,表胞積是$\cfrac{\sqrt{5}a^4}{16}$,高是$\cfrac{\sqrt{30}a}{5}$。

若一個正六超胞體的棱長為1，則其外接五維超球的半徑為$\frac{\sqrt{15}}{6}$,內切五維超球的半徑為$\frac{\sqrt{15}}{30}$。

### 坐標系

為了得到正六超胞體的頂點坐標，我們可以將其看作是由正五胞體和一個與正五胞體5個頂點距離都相等且等於正五胞體棱長的頂點相連而成。經過計算之後，我們便可將棱長為2，中心在五維直角坐標系原點的正六超胞體頂點坐標表示為：

$$\left(\sqrt{\frac{1}{15}},\ \sqrt{\frac{1}{10}},\ \sqrt{\frac{1}{6}},\ \sqrt{\frac{1}{3}},\ \pm1\right)$$

$$\left(\sqrt{\frac{1}{15}},\ \sqrt{\frac{1}{10}},\ \sqrt{\frac{1}{6}},\ -2\sqrt{\frac{1}{3}},\ 0\right)$$

$$\left(\sqrt{\frac{1}{15}},\ \sqrt{\frac{1}{10}},\ -\sqrt{\frac{3}{2}},\ 0,\ 0\right)$$

$$\left(\sqrt{\frac{1}{15}},\ -2\sqrt{\frac{2}{5}},\ 0,\ 0,\ 0\right)$$

$$\left(-\sqrt{\frac{5}{3}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)$$

如果我們將正六超胞體當作是位於六維直角坐標系中的超平面，則正六超胞體的頂點坐標可以簡單地表示為(0,0,0,0,0,1)或者(0,1,1,1,1,1)的全排列，這樣的正六超胞體實則是六維正軸體（前者）或者截半六維超正方體（後者）的一個表面。

### 對稱群構造

作為五維的正單純形，一個五維凸正多超胞體，它具有A5考克斯特平面對應的對稱群構造，對應施萊夫利符號{3,3,3,3}，考斯特-迪肯符號node_1。同時，它可被看作是四維正五胞體的稜錐，只具有A4對應對稱性。

## 圖像

五維正六胞體可以以自身的對稱性被平行投影到2維平面上：

Ak考克斯特平面｜A5｜A4

圖像｜

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｜

<image>

二面體對稱群｜6｜5

Ak考克斯特平面｜A3｜A2

圖像｜

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｜

<image>

二面體對稱群｜4｜3

<image>

正六超胞體的五維到四維施萊格爾圖像的四維到三維球極投影的三維到二維透視投影。

## 參考文獻

- T. Gosset：On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions，Messenger of Mathematics，Macmillan，1900
- H.S.M.考克斯特：
- 考克斯特，Regular Polytopes，(第三版，1973)，Dover edition，ISBN 0-486-61480-8，p.296，Table I (iii)：Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n≥5)
- H.S.M.考克斯特，Regular Polytopes，第三版，Dover New York，1973，p.296，Table I (iii)：Regular Polytopes，three regular polytopes in n-dimensions (n≥5)
- Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter，editied by F. Arthur Sherk，Peter McMullen，Anthony C. Thompson，Asia Ivic Weiss，Wiley-Interscience Publication，1995，ISBN 978-0-471-01003-6
- (第22頁) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10
- (第23頁) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, Math. Zeit. 188 (1985) 559-591
- (第24頁) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, Math. Zeit. 200 (1988) 3-45
- John H. Conway，Heidi Burgiel，Chaim Goodman-Strass，The Symmetries of Things 2008，ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 26. pp. 409: Hemicubes: 1n1)
- 諾曼·詹森 Uniform Polytopes，Manuscript (1991)
- N.W.詹森: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs，Ph.D. (1966)
- polytera.htm

五維正多胞體

五維正六胞體｜五維超正方體｜五維正三十二胞體

{3,3,3,3}｜{4,3,3,3}｜{3,3,3,4}

## 基本資料

- 名稱：五維正六胞體
- 名稱：五維正六胞體、（6-超胞）、5-體
- 類型：凸五維正多胞體
- 家族：單純形
- 維度：5
- dim：四維
- dim 胞：6 {4,3,3}

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- 胞：15 (3.3.3)

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- 面：20 {3}

<image>

- 邊：15
- 頂點：6
- 頂點圖：

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、正五胞體
- 施萊夫利符號：{3,3,3,3}、{3,3,3}x{}、{3,3}x{1}、{3,3}x{}x{}、{3}x{3}x{}、{3}x{}x{}x{}、{}x{}x{}x{}x{}
- Coxeter_diagram：node_1
- 類比：正四面體
- 皮特里多邊形：六邊形
- 對稱群：BC5, 3,3,3,3
- 對偶多胞形：自身對偶
- 屬性：凸