失效率

失效率（Failure rate），也稱故障率，是一個工程系統或零件失效的頻率，單位通常會用每小時的失效次數，一般會用希臘字母λ表示，是可靠度工程中的重要參數。

系統的失效率一般會隨著時間及系統的生命週期而改變。例如車輛在第五年時的失效率會比第一年要高很多倍，一般新車是不會需要換排氣管、檢修煞車，也不會有重大傳動系統的問題。

實務上，一般會使用平均故障間隔（MTBF, 1/λ）而不使用失效率。若是失效率假設是定值的話，此作法是有效的（定值失效率的假設一般常用在複雜元件/系統，軍事或航太的一些可靠度標準中的也接受此假設），不過只有在浴缸曲線中平坦的部份（這也稱為「可用生命期」）才符合失效率是定值的情形，因此不適合將平均故障間隔外插去預估元件的生命期，因為當時會碰到浴缸曲線的損耗階段，失效率會大幅提高，生命期會較依失效率推算的時間要少。

失效率一般會用固定時間（例如小時）下的失效次數表示，原因是這樣的用法（例如2000小時）會比很小的數值（例如每小時0.0005次）容易理解及記憶。

在一些需要管理失效率的系統（特別是安全系統）中，平均故障間隔是重要的系統參數。平均故障間隔常出現在工程設計要求中，也決定了系統維護及檢視的頻率。

失效率是保險、財務、商業及管制行業中的一個重要因子，也是安全系統設計的基礎，應用在許多不同的場合中。

風險率（Hazard rate）及故障發生率（rate of occurrence of failures, ROCOF）的定義和失效率不同，常誤認為和失效率定義相同。

## 離散定義下的失效率

失效率可以用以下的方式定義：

在一特定的測試條件及測試時間下，統計群體內失效次數總和，除以統計群體在失效前的測試時間總和。

雖然失效率$\lambda (t)$常被視為假設時間$t$前沒有失效的情形下，在一段特定時間內出現失效的機率，但失效率可能會大於1，因此其實不是機率。若錯誤的將失效率以%表示，也很容易造成對於失效率不正確的認知。失效率可以用可靠度函數來定義，可靠度函數也稱為生存函數，是在時間$t$之前沒有失效的機率。

$\lambda(t) = \frac{f(t)}{R(t)}$，其中$f(t)$為（第一次）失效發生時間的分佈（失效密度函數），而$R(t)=1-F(t)$.

$$\lambda(t) = \frac{R(t_1)-R(t_2)}{(t_2-t_1) \cdot R(t_1)} <pre> = \frac{R(t)-R(t+\triangle t)}{\triangle t \cdot R(t)} \!$$

在從時間$t_1$ (或$t$)到$t_2$之間時間區間$(t_2-t_1)$，而$\Delta t$定義為$(t_2-t_1)$。

## 連續定義下的失效率

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計算較短時間區間下的失效率，可以得到風險率（或風險函數）$h(t)$，是$\scriptstyle\Delta t$趨近於零時的瞬時失效率：

$$h(t)=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{R(t)-R(t+\Delta t)}{\Delta t \cdot R(t)}.$$

連續的失效率和失效分佈$\scriptstyle F(t)$有關，失效分佈是描述失效機率的累積分布函數：

$$\operatorname{Pr}(T\le t)=F(t)=1-R(t),\quad t\ge 0. \!$$

其中${T}$失效時間。

失效分佈函數是機率密度函數f(t)的積分

$$F(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\, d\tau. \!$$

風險函數可以定義為

$$h(t)=\frac{f(t)}{1-F(t)}=\frac{f(t)}{R(t)}.$$

許多機率分佈可以用來做為失效分佈的建模，常見的模型是指數失效分佈：

$$F(t)=\int_{0}^{t} \lambda e^{-\lambda \tau}\, d\tau = 1 - e^{-\lambda t}, \!$$

是以指數分佈為基礎的失效分佈，風險函數為：

$$h(t) = \frac{f(t)}{R(t)} = \frac{\lambda e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}} = \lambda .$$

因此對於指數失效分佈，風險函數對時間為定值（分佈為無記憶性）。但對於像韋伯分布或對數正態分布等其他分佈，風險函數對時間可能不是定值。

## 失效率遞減

失效率遞減（DFR）是指一零件或系統在一段特定時間內，失效率會隨著時間而減小的現象。像早期失效已被移除或是修正後，就會有一段時間有失效率遞減的情形，此時的λ(t)為遞減函數。

DFR的隨機變數混合後仍為DFR，而指數分布的隨機變數混合後也是為DFR。

### 應用

失效率遞增是因為零件老化所造成，失效率遞減則是指一個系統會隨著時間而漸漸強化。

在太空船的生命期中有發現失效率遞減的情形，Baker和Baker的註解是「這太空船會一直一直維持下去。」。太空船空調系統的可靠度發現符合指數分布，因此也會滿足失效率遞減的情形。

### 變異係數

當失效率遞減時，其變異係數⩾ 1，當失效率遞增時，其變異係數 ⩽ 1.，不過這只在失效率是定義在整個t ⩾ 0的時間下才有效，而且無法由變異係數去反推失效率。

## 失效率資料

失效率資料可以由許多方式求得，常見的有以下幾種方式：

待確認系統或設備的歷史資料:許多組織都對於生產設備或產品的故障有內部的資料庫，可以用來計算設備或系統的失效率。對於新的設備或是系統，則可以先用類似設備或是系統的失效率做為估計值。

政府或商用的失效率資料庫:政府及商業組織會有許多零件的失效率手冊。MIL-HDBK-217F（電子元件的可靠度預估）是有許多軍用電子零件失效率的軍用規範。也有許多商用的失效率資料庫，主要針對商用的零件，甚至包括一些非電子的元件。

測試:最準確的方式是用實際的設備或是系統進行測試，以得到失效率資料。但此作法常有成本極其高昂或是不可行的缺點，因此會改用上述的作法。

### 單位

失效率一般會用固定時間（例如小時）下的失效次數表示，不過也可以用其他的單位，像是公里數、旋轉圈數……等來代替固定的時間。

在工程應用上，因為失效率一般很低，個別零件失效率常以PPM表示，也就是每百萬工作小時的失效次數。

失效率也會以菲特（FIT, Failures In Time）表示，是109設備-小時下（例如一千個零件運轉百萬小時，一百萬個零件運轉一千小時……等）預期的失效次數，一般用在半導體產業中。

菲特和失效間隔時間（MTBF）之間的關係是MTBF = 1,000,000,000 x 1/FIT。

### 加成性

在一定的工程假設下（例如固定的失效率，以及考慮的系統沒有明顯的冗餘），複雜系統的失效率可以表示為個別元件失效率的和，但各元件的失效率需要有一致的單位，例如每百萬工作小時等。因此可以測試每個別的元件或子系統，將其失效率加總後即可以得到整體的失效率。

### 舉例

假設要估計特定元件的失效率，可以用以下的測試方式測試其失效率。用十個完全相同的元件測試到損壞或是滿1000小時為止，（此例中不考慮統計的信賴區間），記錄測試的總時間，以及總共損壞元件的個數，其結果如下：

$$\frac{6\text{ failures}}{7502\text{ hours}} = 0.0007998 \frac{\text{failures}}{\text{hour}} = 799.8 \times 10^{-6} \frac{\text{failures}}{\text{hour}},$$

或是每百萬工作小時會有799.8次失效。

## 估計

尼爾森-艾倫估測子可以用來估計累積危險率函數。

## 外部連結

- Reliability Prediction of Electronic Equipment, MIL-HDBK-217F(2), (DOD download site.)
- Bathtub curve issues by ASQC.
- Fault Tolerant Computing in Industrial Automation by Hubert Kirrmann, ABB Research Center, Switzerland
- Usenet FAQ about MTBF
- Reliability and Availability Basics
- Product failure behavior and wear out