中子截面

中子截面（Neutron cross-section）常用於核物理學與粒子物理學中，表示入射中子與靶核交互作用的一種帶有機率意義的常數。單位以barn表示，等於10−24cm2。中子截面與中子通量、核反應速率計算有關，例如：計算一座核電廠的功率。

## 決定中子截面的參數

中子截面與下列幾個參數有關：

- 靶材核種
- 交互作用方式
- 入射中子能量或強度
- 靶材溫度

### 核種

核種與中子截面有關，例如：1H與同位素2H的中子吸收截面並不一樣，後者較小。這就是為何重水作為中子減速劑的效果較輕水佳，前者吸收中子較後者少，因而使用天然鈾即可達到臨界，減少使用濃縮鈾的成本。

### 交互作用方式

若我們只考慮總反應截面σT，則與個別作用方式無關。然而，σT可由不同交互作用方式的反應截面加總得到：

$$\sigma_T = \sigma_S + \sigma_A$$

σS是總中子散射截面，σA是總中子吸收截面。

#### 中子吸收

核子吸收中子後，會成為其核種的同位素。以U-235為例，其吸收中子成為U-236*（星號代表能量較高）。

不穩定的原子核會透過不同的方式將能量釋放出來：

- 釋出一個中子（與散射情況類似）。

$$^A_ZN + n \rightarrow ~ ^A_ZN' + n'$$

- 放出γ射線（不會改變質子數）。
- β-衰變。使中子變換成質子、電子和反電子微中子（會改變質子數）。以此作為主要釋放能量方法的核種：232Th。

$$n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu_e}.$$

- 約81%的U-236*能量較高，會直接產生核分裂，其能量會以分裂產物的動能形式表現出來，並釋放出5個自由中子。以此作為主要釋放能量方法的核種：233U、235U、237U、239Pu、241Pu。

#### 中子散射

散射可分為相干散射和非相干散射。因為中子極為靠近原子核時會產生核力作用，且不同的同位素有不同的截面變化。一個明顯的例證是1H和2H，前者的總截面是後者的10倍，這是因為氫的非相干散射長度較大所造成的。鋁和鋯也有類似的情況。

### 入射中子能量

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當確定了反應方式與核種後，中子截面大小明顯地會與入射中子速率有關。在極端情況下，若入射中子速率過低，無法使核子超過閾能，則無法啟動核反應。因此，中子截面的數值取決於特定能量或某個能量區間內。

舉例來說，右方的U-235核分裂中子截面隨能量變化圖中，隨著能量增高，反應截面下降。所以在核反應爐中，我們會使用中子減速劑來降低中子能量，便於促使核分裂連鎖反應發生。

一個簡單估計能量與中子截面關係的模型——拉姆紹爾模型。是以中子熱德布羅意波長作為核反應的有效體積大小：

$$\lambda(E) = \frac {\hbar} {\sqrt{2mE}}$$

$\lambda$為中子有效半徑，$\sigma$為圓形截面面積，$R$為原子核半徑，它們有以下關係：

$$\sigma(E) \propto \pi (R+\lambda(E))^2$$

若中子有效半徑遠大於原子核半徑（1–10fm，E = 10–1000keV），則原子核半徑$R$可忽略。對低能量中子來說（如熱中子），$\sigma(E)$與中子能量成反比關係，這可用來解釋在核反應器內中子減速劑的使用。另一方面，高能中子（1MeV以上）的$\lambda$可忽略，中子截面約為常數，只與原子核有關。

然而，這個模型無法解釋中子共振區（1eV–10keV）和一些核反應的閾能大小的影響。

### 靶材溫度

目前中子截面的數據大多是20°C的測量值，為了計算中子截面隨靶材溫度的變化，可利用下列公式：:

$$\sigma = \sigma_0 \, \left(\frac{T_0}{T} \right)^\frac{1}{2}$$

σ是在溫度T下的中子截面，σ0則是在溫度T0下的中子截面，溫度單位為K。

## 與反應速率的關係

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讓我們想像一個靜置不動的球形靶（右圖黑色圓形），和一群以速率v向右移動的入射粒子（右圖藍色圓形）。假設一個入射粒子在dt單位時間和σ單位截面內，以速率v移動所形成的體積（右圖黑色圓柱）：

$$V = \sigma \, v \, dt$$

若有每單位體積有n個粒子使靶材以r的反應速率進行反應：

$$r \, dt = n \, V = n \, \sigma \, v \, dt$$

代入中子通量Φ = n v：

$$r = \sigma \, \Phi$$

若每單位體積有N個靶材粒子以每單位體積R的反應速率進行反應：

$$R = N \, r = N \, \Phi \, \sigma$$

一個典型原子核半徑r約為10−12公分，其截面π r2約為10−24平方公分（這也是使用靶恩作為單位的原因），但是不同的截面有較大的數量級變化。例如，慢中子的（n,γ）反應截面約等於1,000 b，但伽瑪射線的反應吸收截面就只有0.001 b。

## 連續與平均截面

但是一群粒子通常具有不同的入射速率，所對應的反應速率R可由積分式得出：

$$R = \int_E N \, \Phi (E) \, \sigma (E) \, dE$$

σ(E)是隨能量變化的連續截面，Φ(E)是隨能量變化的粒子通量，N是靶材原子密度。

平均截面定義為：

$$\sigma =\frac{\int_E \Phi (E) \, \sigma (E) \, dE }{\int_E \Phi (E) \, dE}=\frac{\int_E \Phi (E) \, \sigma (E) \, dE}{\Phi}$$

Φ= $\int$Φ(E) dE是整個能量範圍的粒子通量積分值。

利用Φ和σ可得出：

$$R = N \, \Phi \, \sigma$$

## 巨觀與微觀截面

從上可知，前面的截面都是指微觀截面σ。然而，我們可以定義巨觀截面Σ：

$$\Sigma = N \, \sigma$$

N是原子密度，單位cm−3。

因此，微觀截面的單位是cm2，巨觀截面單位是cm−1。所以反應速率R可表示成：

$$R = \Sigma \, \Phi$$

## 平均自由徑

平均自由徑λ是任一入射粒子在兩次與靶核交互作用之間所能移動的平均距離。L是在單位時間dt、單位體積dV內所有未碰撞粒子移動的總距離，可用個別粒子所走距離l與總粒子數N的乘積表示：

$$L = l \, N$$

l與N又可以用粒子速率v和單位體積粒子數n表示：

$$l = v \, dt$$

$$N = n \, dV$$

代入上式可得：

$$L = v \, dt \, n \, dV$$

利用中子通量Φ的定義：

$$\Phi = n \, v$$

得到：

$$L = \Phi \, dt \, dV$$

在這我們引入平均自由徑λ，用未碰撞粒子移動的總距離L與發生的反應數目R來表示：

$$\lambda = \frac{L}{R}= \frac{\Phi \, dt \, dV}{R}$$

且：

$$R = \Phi \, \Sigma \, dt \, dV$$

導出：

$$\lambda = \frac{1}{\Sigma}$$

在此，λ是微觀平均自由徑，Σ是巨觀平均自由徑。

## 常見中子截面數據

下表是常見的中子截面數據：

熱中子截面（barn）｜快中子截面（barn）

散射｜吸收（捕獲）｜核分裂｜散射｜吸收（捕獲）｜核分裂

減速劑｜H-1｜2E+1｜2E-1｜4E+0｜4E-5

H-2｜4E+0｜3E-4｜3E+0｜7E-6

C（自然）｜5E+0｜2E-3｜2E+0｜1E-5

結構材料與其他物質｜Zr-90｜5E+0｜6E-3｜5E+0｜6E-3

Fe-56｜1E+1｜2E+0｜2E+1｜3E-3

Cr-52｜3E+0｜5E-1｜3E+0｜2E-3

Ni-58｜2E+1｜3E+0｜3E+0｜8E-3

O-16｜4E+0｜1E-4｜3E+0｜3E-8

吸收劑｜B-10｜2E+0｜2E+3｜2E+0｜4E-1

Cd-113｜1E+2｜3E+4｜4E+0｜5E-2

Xe-135｜4E+5｜2E+6｜5E+0｜8E-4

In-115｜2E+0｜1E+2｜4E+0｜2E-1

核燃料｜U-235｜1E+1｜6E+1｜3E+2｜4E+0｜9E-2｜1E+0

U-238｜9E+0｜2E+0｜2E-5｜5E+0｜7E-2｜3E-1

Pu-239｜8E+0｜4E-2｜7E-2｜5E+0｜5E-2｜2E+0

## 外部連結

- Neutron scattering lengths and cross-sections
- Periodic Table of Elements: Sorted by Cross Section (Thermal Neutron Capture)