正扭歪無限面體

在幾何學中，正扭歪無限面體（Regular skew apeirohedron），又稱扭歪正多面體（ねじれ正多面體）是一種頂點並非全部共面的正無限面體，即每個面都全等、每個角也相等的扭歪無限面體。通常扭歪無限面體會具有正扭歪的面或扭歪的頂點圖。

## 歷史

關於考克斯特，1926年時，約翰·弗林德斯·皮特里將扭歪多邊形（非平面多邊形）的概念推廣到四維空間的扭歪多面體和三維空間的扭歪無限面體。

考克斯特找到了三種形式，他們具有平的面和扭歪的頂點圖，兩者彼此互補。它們都可以用施萊夫利符號的擴展符號{l,m|n}來表示。這個擴展符號{l,m|n}表示每個頂點都是$m$個正$l$邊形的公共頂點，且存在正$n$邊形的空洞。

若一扭歪無限面體是一個正扭歪無限面體，則其施萊夫利符號存在下列等式：

- 2 sin(Π/l) · sin(Π/m) = cos(Π/n)

## 三維空間的正扭歪無限面體

三維空間中有三種扭歪無限面體，分別為四角六片四角孔扭歪無限面體、六角四片四角孔扭歪無限面體和六角六片三角孔扭歪無限面體。約翰·康威將他們稱為多立方體（Mucube）、多八面體（Muoctahedron）和、多四面體（Mutetrahedron），英文中的字首mu-表示「多」（multiple）的意思，其意義分別代表「很多立方體」、「很多八面體」以及「很多四面體」。

- 四角六片四角孔扭歪無限面體（多立方體、Mucube）：{4,6|4}：每個頂點都是六個正方形的公共頂點
- 六角四片四角孔扭歪無限面體（多八面體、Muoctahedron）：{6,4|4}：每個頂點都是四個六邊形的公共頂點
- 六角六片三角孔扭歪無限面體（多四面體、Mutetrahedron）：{6,6|3}：每個頂點都是六個六邊形的公共頂點

考克斯特給予這些 {2q,2r|p} 形式的扭歪無限面體與抽象群 (2q,2r|2,p) 同構的(p,q,p,r)+的手徵對稱性。與之相關的堆砌就具有(p,q,p,r)`]]`的擴展對稱性。

考克斯特群對稱性｜無限面體{p,q|l}｜圖像｜面{p}｜洞{l}｜頂點圖｜相關堆砌

branch4,3,44,3,4+｜{4,6|4}四角六片四角孔扭歪無限面體多立方體｜

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動畫｜

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｜扭歪六邊形

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（黃色部分）｜brancht0,3{4,3,4}｜

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{6,4|4}六角四片四角孔扭歪無限面體多八面體｜

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動畫｜

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｜扭歪四邊形

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（綠色部分）｜branch_112t{4,3,4}｜

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branch3434+｜{6,6|3}六角六片三角孔扭歪無限面體多四面體｜

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動畫｜

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｜

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｜扭歪六邊形

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（綠色部分）｜branch_11過截角交錯立方體堆砌｜

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## 三維雙曲空間的正扭歪無限面體

1967年時，C. W. L. Garner以類似於在歐式三維空間尋找正扭歪無限面體的方式，發現了31種雙曲空間中具有扭歪多邊形頂點圖的正扭歪無限面體。

### 14種緊空間正扭歪無限面體

branch5,3,5｜{6,4|5}｜

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｜branch_11五階截角二十面體堆砌｜

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｜{4,6|5}｜

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｜branch截面五階十二面體堆砌｜

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label4(4,3,3,3)｜{8,6|3}｜

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｜

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｜label4ct{(4,3,3,3)}｜

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｜{6,8|3}｜

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｜label4ct{(3,3,4,3)}｜

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label5(5,3,3,3)｜{10,6|3}｜

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｜label5ct{(5,3,3,3)}｜

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｜{6,10|3}｜

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｜

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｜label5ct{(3,3,5,3)}｜

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label4(5,3,4,3)｜{8,10|3}｜

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｜label4ct{(4,3,5,3)}｜

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｜{10,8|3}｜

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｜label4ct{(5,3,4,3)}｜

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label5(5,3,5,3)｜{10,10|3}｜

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｜label5環截角十二面體二十面體堆砌｜

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｜{6,6|5}｜

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｜label5環截角二十面體十二面體堆砌｜

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### 17種仿緊空間正扭歪無限面體

label44,4,4｜{8,4|4}｜

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｜label4四階截角正方形鑲嵌蜂巢體｜

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｜{4,8|4}｜

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｜label4截面四階正方形鑲嵌蜂巢體｜

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label63,6,3｜{12,4|3}｜

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｜label6過截角三角形鑲嵌蜂巢體｜

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｜{4,12|3}｜

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｜label6截面三角形鑲嵌蜂巢體｜

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branch6,3,6｜{6,4|6}｜

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｜branch_11過截角六階六邊形鑲嵌蜂巢體｜

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｜{4,6|6}｜

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｜branch截面六階六邊形鑲嵌蜂巢體｜

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label4(4,4,4,3)｜{8,6|4}｜

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｜label4ct{(4,4,3,4)}｜

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｜{6,8|4}｜

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｜label4ct{(3,4,4,4)}｜

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label4(4,4,4,4)｜{8,8|4}｜

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｜label4四階正方形鑲嵌蜂巢體｜

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label6(6,3,3,3)｜{12,6|3}｜

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｜label6ct{(6,3,3,3)}｜

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｜{6,12|3}｜

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｜label6ct{(3,3,6,3)}｜

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label6(6,3,4,3)｜{12,8|3}｜

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｜label6ct{(6,3,4,3)}｜

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｜{8,12|3}｜

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｜label6ct{(4,3,6,3)}｜

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label6(6,3,5,3)｜{12,10|3}｜

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｜label6ct{(6,3,5,3)}｜

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｜{10,12|3}｜

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｜label6ct{(5,3,6,3)}｜

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label6(6,3,6,3)｜{12,12|3}｜

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｜label6ct{(6,3,6,3)}｜

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｜{6,6|6}｜

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｜label6ct{(3,6,3,6)}｜

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