均輪和本輪

鈞輪和本輪，或者本輪鈞輪系統，是天文學中用來解釋和描述天體運動的一套幾何模型，在歷史上的地心體系和日心體系中，他被用來解釋月球、太陽和行星視運動的速度和方向。在這套體系里，本輪（epicycle，源自ἐπίκυκλος，字面是在圓之上）的意思在另一個圓圈之上運動的圓圈。本輪沿著運動的這個較大圓圈則被稱之為鈞輪（deferent）。本輪在數學和機械上也是一個重要概念。在那些領域，它更多的被稱作周轉圓。

本輪概念最初是由佩爾加的阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga）在紀元前3世紀末提出的。它由阿波羅尼奧斯和羅德島的喜帕恰斯（Hipparchus）在紀元前2世紀發展並廣泛的使用，然後在西元2世紀被底比斯的托勒密 （Claudius Ptolemy）正式收錄在《天文學大成》之中。在喜帕恰斯和托勒密的地心體系中，本輪和鈞輪的套用是解釋行星與地球視距離變化和行星視逆行運動的關鍵假設。十六世紀時候，哥白尼發展了日心體系，在這一體系中，行星與地球的距離變化和行星的逆行都可以由地球的運動解釋，不再需要本輪假設。但由於哥白尼體系保留了正圓形的行星軌道，所以仍然需要在軌道上加入本輪來保證行星位置的理論計算和天文觀測數據相符。直到十七世紀初，克卜勒發展了行星的橢圓軌道理論，本輪概念才被完全擯棄。

本輪-鈞輪系統，儘管被證實錯誤，但歷史上它在地心和日心體系中都較好的模擬了行星的真實軌道。在數學上運用傅立葉分析可以顯示，足夠數量的周轉圓（本輪），可以以任意精度近似模擬任何平滑曲線。

## 概論

<image>

日心體系中的鈞輪本輪模型，最早由阿波羅尼奧斯（公元前3世紀）提出，經由喜帕恰斯（公元前2世紀）發展，最終由公元2世紀的克勞狄烏斯·托勒密集大成，並在在其《天文學大成》（Almagest）中正式確立。

這一模型的核心概念包括：

- 本輪（Epicycles）：最初由阿波羅尼奧斯提出。這是行星運行的小型圓周，而本輪的中心則沿著以地球為中心的大圓（稱為「均輪」）移動。這兩個圓都大致平行於太陽的軌道平面（黃道）順時針旋轉。這解釋了為什麼行星在夜空中會變慢並「逆行」。
- 偏心圓（Eccentrics）：由喜帕恰斯引入並廣泛應用。儘管這個系統是以地心為名，但每顆行星的鈞輪運動其實不是以地球為中心，而是以地球稍遠，稱為偏心點（或偏心）的一個點為中心。在這個系統中，行星的軌道與外旋輪線相似。正因為地球不在鈞輪的正中心，這可以解釋行星運行速度在視覺上的變化：離地球最近時看似變快，最遠時看似變慢。
- 均衡點（The Equant）：這是由托勒密引入的機制，用來進一步擬合行星的速度變化。托勒密發現舊有模型無法完全調和巴比倫的觀測數據，特別是在可見的逆行形狀和大小上的差別。他引入一個與均輪中心（偏心點）錯開的點（均衡點）。均衡點在偏心點的另一邊，與地球位置相對且等距，從這個點觀察，本輪的運動速度是完全勻速的。托勒密通過均衡點將本輪中心點在鈞輪上的運動和均輪自身的運動分離開來。鈞輪是相對於偏心點勻速運動，但本輪中心在鈞輪上的運動卻是相對於均衡點勻速的。

托勒密在《天文學大成》中並沒有計算行星均輪的相對大小，所以行星的排列順序也沒有完全確定下來。後來，他在《行星假設》一書中計算了距離，（見下表的第一列數據），並據此確定了行星在地心體系中的排列順序。

天體｜平均距離（地球半徑）｜現代值（半長軸地球半徑）｜比率（現代/托勒密）｜比率（現代/托勒密以太陽=1做標準）

月球｜00,048.0｜000,060.3｜1.26｜0.065

水星｜00,115.0｜009,090.0｜79.0｜4.100

金星｜00,622.5｜16,980.0｜27.3｜1.400

太陽｜1,210.0｜23,480.0｜19.4｜1

火星｜5,040.0｜35,780.0｜7.10｜0.37

木星｜11,504.0｜122,200.0｜10.6｜0.55

土星｜17,026.0｜225,000.0｜13.2｜0.68

恆星層｜20,000.0｜不適用｜不適用｜不適用

托勒密的模型能較為準確地預測行星位置，並統治了天文學界一千多年，直到哥白尼提出日心說，將行星運動所環繞的中心從地球移到太陽。哥白尼依舊堅持天體的勻速圓周運動觀念，這導致他的模型不得不繼續採用均輪與本輪系統，以保證模型預測符合觀測數據。

和托勒密體系相比，哥白尼日心體系下的鈞輪本輪系統有以下特點：

- 體系的中心是太陽，而非地球。地球和其他行星同樣圍繞太陽運轉，而月亮則圍繞地球運轉。
- 對逆行的解釋不再需要本輪的存在。日心體系認為逆行是視覺效應，由地球和行星在不同軌道上的公轉速度差導致（行星被地球「超車」）。
- 使用更小的本輪。哥白尼稱其為「小輪」（epicyclets）。
- 廢除了均衡點。哥白尼認為均衡點違背了真正的均勻圓周運動。

直到17世紀初，約翰尼斯·克卜勒（Johannes Kepler）證明行星軌道其實是橢圓形，拋棄勻速圓周運動，才真正簡化了宇宙模型，徹底終結了長達千年的鈞輪本輪系統。

## 歷史

當古代的天文學家注視天空時，他們看見太陽、月球和星星在頭頂上以規律的型式運動，他們也看見「漫遊者」，即我們所謂的行星。行星在空間中的運動更加複雜但並非無規可循。古巴比倫人的觀測表明，外側行星在夜空中的移動速度通常會比恆星慢。每天晚上，這顆行星似乎都落後於恆星，這稱為順行運動。在靠近衝的附近時，行星會出現相反方向的運動，並且在夜空中移動得比恆星快，這稱之為逆行，之後會再次反轉並恢復向前的運動。內側行星則永遠在太陽的附近，只在日出前不久或日落後不久短暫的出現在夜空。它們的逆行運動發生在穿越地球和太陽之間，即昏星與晨星轉換的過程。

行星在運動上的規律表明，它們的位置可能也是可以預測的。預測天體運動問題最直觀的方法是根據星場繪製它們的位置，然後使用數學函數與不斷變化的位置擬合，換句話說，就是為行星的運動建立模型。

<image>

最初的行星運動模型是公元前4世紀的古希臘哲學家亞里斯多德的同心球模型。在這個模型中，太陽，月亮和習慣行星都以地球為中心，以多層同心球的方式環繞地球運動。為了解釋逆行，一個行星被配以多個不同轉動方向和速度的同心球。

公元前3世紀的阿波羅尼奧斯意識到行星的逆行和運動速度的變化可以通過小圓形軌道（本輪）在較大的圓形軌道（均輪）上旋轉來解釋。公元前2世紀的希臘天文學家喜帕恰斯發展了這一理論，並引入了偏心點的概念來擬合行星視運動速度的變化。

公元2世紀的克勞狄烏斯·托勒密進一步完善了均輪和本輪的模型，並引入了均衡點來改善對行星運動速度變化的計算。經他完善的本輪模型，在當時被證明是相當準確的，並且直到哥白尼時代都仍在使用。

<image>

到了16世紀，隨著天文觀測水平的提高，托勒密模型和實際觀測數據之間的差別開始被注意到。根據歐文·金格瑞契的敘述，哥白尼在1504年通過對一次行星合的觀測，發現相對於以托勒密模型編纂的標準星表，"火星的位置超出2度以上，土星則落後了1.5度。"使用現代的電腦程式計算，金格瑞契證實在那次合的時刻，土星確實落後表中數值1.5度，火星則超前約2度。

哥白尼開始對托勒密體系進行改造，將基於地球觀測的結果轉為日心座標。哥白尼依舊不能擺脫古希臘哲學的傳統觀念，即天體必須進行「完美的圓形軌道」運動，並且天體的運動應該是勻速的，這導致他的模型依然不能準確的描述行星的運動。根據過去的經驗，哥白尼在他的理論中繼續使用均輪和本輪來實現更好的數據擬合，不同的是他的本輪很小，被稱為 "小輪"（epicyclets）。

相比於托勒密體系，哥白尼的模型體現出很多優勢。哥白尼的理論至少和托勒密的一樣準確，但它對行星逆行的解釋完全不需要本輪概念。哥白尼模型為擬合軌道數據而使用的本輪較小，而且數目也較少。（對後者歷史上有所爭議，參見下節「本輪數目的爭議」。）哥白尼根據他的模型，可以計算出各個行星的軌道大小，並以此行星的排列順序。他對行星軌道大小的估算和今天我們知道的數據非常接近。

<image>

托勒密和哥白尼的理論證明了用均輪和本輪來擬合行星的運動是非常有效的。（參見後面「本輪擬合的有效性」一節。）年頓在1702年出版的《月球運動理論》一書，仍然運用了一些本輪，以使星曆表精度可以達到弧分；一些地區對本輪的使用持續了到19世紀以後。

第一個沒有本輪的行星模型是在西班牙安達魯斯的伊本·巴哲（阿文佩斯）在12世紀提出的，但直到17世紀，克卜勒的橢圓軌道模型逐漸取代了哥白尼基於完美圓圈的模型，歐洲才徹底消除了均輪和本輪的運用。

牛頓的經典力學為行星軌道的計算提供了更優越的理論。通過牛頓的萬有引力定律推導出的運動方程式，可以非常精確地計算行星的軌道和預測位置。特別是海王星的發現說明了牛頓力學解決軌道力學問題的能力。天文學家通過對天王星軌道中觀察到的擾動進行分析，預言了新行星的存在，並估算出這顆新行星的位置，並最終導致了海王星的發現，這是不可能由均輪和本輪系統來實現的。本輪系統的擬合，無論其精度有多高，也無法預測未知行星的軌道。

## 本輪數目的爭議

天文學史上一個比較通行的看法是，人們通過長期累績的更加精確的天文學觀測，發現原始的托勒密系統存在缺陷。於是天文學家開始在模型中增加更多的本輪（本輪上嵌套本輪﹚，以期得到對行星運動觀測數據的更準確匹配。到16世紀，增加的環圈越來越多，導致一個行不通而幾乎無法運作的系統，而哥白尼創造的日心系統，簡化了當時的托勒密天文學，從而成功的大量減少環圈的數量。比如下面的論述：

隨著更精確地觀測，更多的環圈和偏心被用來解釋新觀測到的現象。到了中世紀後期，宇宙成為一個球體與許多中心和偏心氾濫的軌道，迴圈和周轉圓充斥在天球的軌道上。

1960年代的《大英百科全書》，也引用了13世紀的卡斯提爾的國王阿方索十世（阿方索星曆表被認為是他創建的。﹚的話：

到這個時候，每顆行星都需要40到60個周轉圓，才能描述它在星空之間複雜的運動。阿方索對這個項目的困難感到驚訝，他感嘆的說，如果由他來創造，他可能會給更佳的建議。

一般認為，以複雜性作為衡量的標準，托勒密的環圈數多達80個，哥白尼只有34個。

但也有歷史學家對這一敘述提出了質疑。他們指出在研究中世紀文藝復興時期的托勒密天文學書籍時，並沒有發現天文學家大規模增加嵌套本輪的歷史記錄。而且在均輪和本輪的模型本身來看，整體部分是相互關聯的。參數的更改，可以改善在一個位置的擬合，但在某些地方又會不合，過多增加本輪並不能提高模型的有效性，托勒密的最初模型可能是綜合效能最佳的。有經驗的天文學家會認識到這點。他們的研究表明，阿方索星曆表顯然是使用了托勒密最初未經修飾的方法計算的。

他們認為傳統的歷史敘述誇大了托勒密體系的本輪數量，縮小了哥白尼體系的本輪數量。在16世紀，哥白尼和托勒密模型使用的本輪數量實際上是大致相等的。哥白尼系統34個本輪的數字，來自他自己一份未經發表，名為《評論》的文章中的陳述。但當他出版《天體運行論》時，哥白尼增加了更多的圓圈，創造了一個同樣複雜的系統。柯斯特勒（Koestler）在他《人類對宇宙的視覺史》中提到，在哥白尼體系中，等同於本輪的環有48個。而托勒密體系80個本輪的說法，可能是來自於在1898年流行的歐多克索斯系統，使用77或79個球體，但該系統受到非托勒密系統的吉羅拉莫·弗拉卡斯托羅的影響。有證據表明，在哥白尼的年代，普爾巴赫（Purbach）已將托勒密系統簡化為40個本輪；因此，哥白尼系統和托勒密系統在複雜性上是相似的。

## 本輪擬合的有效性

本輪-鈞輪系統，儘管被證實錯誤，但歷史上它在地心和日心體系中都較好的模擬了行星的真實軌道。

歷史學家諾伍德·羅素·漢森曾說過：

在天體物理學或觀測天文學的中，沒有任何一個雙邊對稱或者偏心週期的曲線，不可以用有限數目，相互嵌套，圍繞鈞輪運轉的本輪系統平滑地模擬出來。

在數學上運用傅立葉分析可以顯示，足夠數量的周轉圓（本輪），可以以任意精度近似模擬任何平滑曲線。任何路徑，無論有無週期、封閉或開放，都可以用無限數量的周轉圓表示。

這是因為周轉圓可以表示為複雜的傅立葉級數；因此，對於大量的周轉圓，複雜的路徑，可以在複平面中表示

讓複數$$z_0=a_0 e^{i k_0 t}\,,$$ 此處的a0和k0 是常數， i = −1是虛數單位，和t是時間，對應於以複平面的原點為中心，半徑為a0的均輪和角速度為$$k_0=\frac{2\pi}{T}\,,$$ 此處T是週期。

如果z1是一個周轉圓的路徑，然後均輪加上本輪表示為總和$$z_2=z_0+z_1=a_0 e^{i k_0 t}+a_1 e^{i k_1 t}\,.$$ 這是一個概週期函數，並且當比率常數kj是一個有理數時，則是一個週期函數。歸納為N個周轉圓，則概週期函數$$z_N=\sum_{j=0}^N a_j e^{i k_j t}\,,$$ 當每個kj都是有理數時，這就是週期性的。尋找到合適的係數aj在複平面上與時間相關的路徑z = f(t)，就能夠複製均輪和本輪的軌道，這是一個科學模式的應用。

古希臘的天文計算設備安提基特拉機械使用多個個齒輪的組合來計算月球的位置和相位，這其中就運用了本輪（周轉圓）的運動理論。

## 外部連結

- Ptolemaic System – at Rice University's Galileo Project
- Eccentrics, Deferents, Epicycles, and Equants at MathPages

### 動畫、插圖

- Java simulation of the Ptolemaic System – at Paul Stoddard's Animated Virtual Planetarium, Northern Illinois University
- Epicycle and Deferent Demo – at Rosemary Kennett's website at the University of Syracuse
- A flash animation showing epicycles with adjustable parameters and presets for various planets.
- An Applet showing the principle of the epicycle, with a side-by-side comparison of the geocentric and heliocentric models.
- An excellent presentation on Ptolemy, Copernicus, Brahe and Kepler, based on Kepler's writings. Part 1 examines the different systems and their equivalence, Parts 2 and onwards examine Kepler's derivation of his laws.
- Ptolemy and Homer (Simpson) Reconstruction of a planet's bizarre orbit with Ptolemy's system of epicycles and deferents.