雙擺

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雙擺是將一根單擺連接在另一個單擺的尾部所構成的系統。雙擺同時擁有著簡單的構造和複雜的行為。高能量雙擺的擺動軌跡表現出對於初始狀態的極端敏感。兩個初始狀態差異極小的雙擺在一段時間的運行後表現非常不同，是一種具有混沌性質的簡單動力系統。

## 分析以及詮釋

可以考慮許多不同種類的雙擺：二個擺的長度及重量可能相同，也可能不同。二個擺可能都是單擺，也有可能是複擺（compound pendulum），其運動可能限制在二維空間，也可以在三維空間內進行。在以下的分析中，二個擺的擺長l及質量都相同m，運動限制在二維空間內。

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複擺的質量假設是延著其長度均勻分佈，則其複擺的質心是在中點，複擺的臂對中點的轉動慣量為I = 1ml2。

比較方便定義系統位形空間的方式是用複擺臂和垂直線之間的夾角為廣義座標。角度名稱為θ1及θ2。二桿質心的位置可以用二個座標表示。若笛卡爾坐標系的原點是在第一個擺（最上方擺）的固定點，則其第一個擺的質心在：

$$\begin{align} x_1 &= \frac{l}{2} \sin \theta_1 \\ y_1 &= -\frac{l}{2} \cos \theta_1 \end{align}$$

第二個擺的質心在：

$$\begin{align} x_2 &= l \left ( \sin \theta_1 + \tfrac{1}{2} \sin \theta_2 \right ) \\ y_2 &= -l \left ( \cos \theta_1 + \tfrac{1}{2} \cos \theta_2 \right ) \end{align}$$

上述資訊已經可以建立拉格朗日量（Lagrangian）。

### 拉格朗日力學

雙擺系統的拉格朗日量為

$$\begin{align}L & = \text{kinetic energy} - \text{potential energy} \\ <pre> & = \tfrac{1}{2} m \left ( v_1^2 + v_2^2 \right ) + \tfrac{1}{2} I \left ( {\dot \theta_1}^2 + {\dot \theta_2}^2 \right ) - m g \left ( y_1 + y_2 \right ) \\ & = \tfrac{1}{2} m \left ( {\dot x_1}^2 + {\dot y_1}^2 + {\dot x_2}^2 + {\dot y_2}^2 \right ) + \tfrac{1}{2} I \left ( {\dot \theta_1}^2 + {\dot \theta_2}^2 \right ) - m g \left ( y_1 + y_2 \right ) \end{align} </pre>$$

第一項是質心的平移動能，第二項是擺延著質心旋轉的轉動動能，最後一項是雙擺在均勻重心場下的勢能。其點標示表示變數的時間導數。

將以上的座標代入，重組後可得

$$L = \tfrac{1}{6} m l^2 \left ( {\dot \theta_2}^2 + 4 {\dot \theta_1}^2 + 3 {\dot \theta_1} {\dot \theta_2} \cos (\theta_1-\theta_2) \right ) + \tfrac{1}{2} m g l \left ( 3 \cos \theta_1 + \cos \theta_2 \right ).$$

這裡只有一個守恆量（能量），沒有守恆的動量，二個廣義的動量可以表示為

$$\begin{align} p_{\theta_1} &= \frac{\partial L}{\partial {\dot \theta_1}} = \tfrac{1}{6} m l^2 \left ( 8 {\dot \theta_1} + 3 {\dot \theta_2} \cos (\theta_1-\theta_2) \right ) \\ p_{\theta_2} &= \frac{\partial L}{\partial {\dot \theta_2}} = \tfrac{1}{6} m l^2 \left ( 2 {\dot \theta_2} + 3 {\dot \theta_1} \cos (\theta_1-\theta_2) \right ). \end{align}$$

上式可以求得

$$\begin{align} {\dot \theta_1} &= \frac{6}{ml^2} \frac{ 2 p_{\theta_1} - 3 \cos(\theta_1-\theta_2) p_{\theta_2}}{16 - 9 \cos^2(\theta_1-\theta_2)} \\ {\dot \theta_2} &= \frac{6}{ml^2} \frac{ 8 p_{\theta_2} - 3 \cos(\theta_1-\theta_2) p_{\theta_1}}{16 - 9 \cos^2(\theta_1-\theta_2)}. \end{align}$$

運動方程式為

$$\begin{align} {\dot p_{\theta_1}} &= \frac{\partial L}{\partial \theta_1} = -\tfrac{1}{2} m l^2 \left ( {\dot \theta_1} {\dot \theta_2} \sin (\theta_1-\theta_2) + 3 \frac{g}{l} \sin \theta_1 \right ) \\ {\dot p_{\theta_2}} &= \frac{\partial L}{\partial \theta_2} = -\tfrac{1}{2} m l^2 \left ( -{\dot \theta_1} {\dot \theta_2} \sin (\theta_1-\theta_2) + \frac{g}{l} \sin \theta_2 \right ). \end{align}$$

最後四個方程是有系統目前狀態時，系統隨時間演進的顯式方程。不太可能再進一步求得方程的積分解析解，得到θ1和θ2時間顯函數的解。不過利用龍格－庫塔法或其他數值方式，可以進行數值積分來求解。

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## 混沌運動

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雙擺的運動是混沌運動，且對初始條件非常敏感。右圖是雙擺在不同初始條件下，是否會翻倒（成為倒擺）的圖。其θ1初始值的範圍是在x方向的−3到3，而θ2初始值的範圍是在y方向的−3到3。點的顏色說明擺在以下時間內會翻倒：

- 10l（綠色）
- 100l（紅色）
- 1000l（紫色）
- 10000l（藍色）

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若在10000l時間後，仍然不會翻倒，其顏色為白色。

中心白色區域的邊界可以依能量守恆推得，為以下的曲線：

$$3 \cos \theta_1 + \cos \theta_2 = 2.$$

因此若

$$3 \cos \theta_1 + \cos \theta_2 > 2,$$

以能量的關係，雙擺不可能翻倒。在此區域外，以能量來說，雙擺有可能翻倒，但是否會翻倒本身是很複雜的問題。若雙擺的末端是點質量，不是質量均勻分佈的桿子，情形類似。

雙擺沒有自然共振頻率，因此可用在大樓調諧質量阻尼器中，大樓本身是主要的倒擺，而上面又有一個質量，形成倒雙擺。

## 參考資料

- Eric W. Weisstein, Double pendulum (2005), ScienceWorld (contains details of the complicated equations involved) and " Double Pendulum " by Rob Morris, Wolfram Demonstrations Project, 2007 (animations of those equations).
- Peter Lynch, Double Pendulum, (2001). (Java applet simulation.)
- Northwestern University, Double Pendulum , (Java applet simulation.)
- Theoretical High-Energy Astrophysics Group at UBC, Double pendulum, (2005).

## 外部連結

- 麻省理工學院TSG小組進行的雙擺行為演示（實物）
- Youtube上的雙擺軌跡演示（電腦模擬）