重整化群

在理論物理中，重整化群（renormalization group，簡稱RG）是一個在不同長度標度下考察物理系統變化的數學工具。

標度上的變化稱為「標度變換」。重整化群與「標度不變性」和「共形不變性」的關係較為緊密。共形不變性包含了標度變換，它們都與自相似有關。在重整化理論中，系統在某一個標度上自相似於一個更小的標度，但描述它們組成的參量值不相同。系統的組成可以是原子，基本粒子，自旋等。系統的變量是以系統組成之間的相互作用來描述。

## 方程

基本想法就是耦合常數依賴長度縮放或能量標度，重整化群幫助陳述耦合數量和能量標度的關係。默里·蓋爾曼和Francis E. Low於1954年提出了下面量子電動力學的重整化群方程：border

費恩曼、朱利安·施溫格、朝永振一郎在1965年贏了物理學的諾貝爾獎，因為他們都把重整化以及正規化等想法應用於量子電動力學。

利奧·卡達諾夫在1966年推出塊自旋的概念來解釋重整化。

然後肯尼斯·威爾森使用重整化群解決近藤問題，以及描述臨界現象和第二相變。他1982年贏了諾貝爾獎。

## 塊自旋

這一節介紹重整化群的一個簡單圖像：塊自旋重整化群。這是由利奧·卡達諾夫在1966年推導出來的。

首先考慮一個固體，如圖所示，原子以二維正方形形式排列。假設每一個原子只與它最鄰近的原子有相互作用，且這一系統的溫度為$T$，相互作用的強度使用耦合常數$J$來描述。這一物理系統可以用一個特定的式子來表達，記為$H(T, J)$。

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現在，我們把這個系統分為有著$2\times 2$個方塊的塊區，進而用塊變量來描述這個系統，這些變量可以是塊內變量的平均數。我們假設這些塊變量可以用相同的方程來描述，只不過參數$T$和$J$不同（事實上這一假設當然並不成立，但在實際應用中這一近似已足夠好）。

原本這個系統內有較多的原子，現在，在問題重整化後，只有四分之一個原子需要求解。按照上面的方法再迭代一次後得到$H(T'', J'')$，這次只需要計算最初的十六分之一個原子。當然，最好是能夠迭代直到只剩下一個最大的塊區。一般來說，當迭代很多次後，重整化群變換將趨向於一個不動點上的數。

現在考慮一個具體的例子：鐵磁-順磁相變中的伊辛模型。在這個模型里，耦合常數$J$代表鄰近電子自旋平行時候的相互作用力。這一模型中有三個不動點：

- $T=0$和$J\to\infty$。從宏觀上來看，溫度對系統的影響變得可以忽略不計。這時系統處於鐵磁相。
- $T\to\infty$和$J\to 0$。與第1種情形正好相反，溫度對系統的影響占據了主導，系統在宏觀上變得無序。
- $T=T_c$且$J=J_c$。在這一特定的狀態上，改變系統的標度不改變系統的物理性質，因為系統處於分形態上。這對應居里相變，這個點稱為臨界點。

## 基本理論

假設有一個可以用狀態變量$\{s_i\}$和一組耦合常數$\{J_k\}$表示的函數$Z$。這個函數必須能夠用來描述整個物理系統，比如某個配分函數、作用量、哈密頓量等等。

現在我們考慮狀態變量上的塊變換$\{s_i\}\to \{\tilde s_i\}$，$\tilde s_i$所包含的數目必須小於$s_i$。接下來我們可以把函數$Z$只用$\tilde s_i$來表示。如果$\{J_k\}\to \{\tilde J_k\}$也是可以實現的，那麼就說這個物理系統是可重整化的。

最基本的物理理論都是可以重整化的，比如量子電動力學，量子色動力學，電弱相互作用等，但是引力是無法重整化的。此外，凝聚態物理中的大部分理論也是可以被重整化的，比如超導，超流。

變量的變換可以由一個β函數實現：$\{\tilde J_k\}=\beta(\{ J_k \})$。這一函數可以在$J$空間上導出流圖。系統的宏觀狀態由流圖上的不動點給出。

由於重整化群變換是有損的，這一變換不可逆，所以這一變換實際上是數學上的半群。

## 舉例計算

參見Phi fourth theory（四次交互論； $\phi^4$論）。歐幾里得空間的拉氏量是$\mathcal{L}(\phi) = {m^2 \over 2} \phi^2 + {1 \over 2} (\partial _\mu \phi)^2 + {\lambda \over 4!} \phi^4 .$配分函數或泛函積分是：$Z=\int \mathcal{D}\phi \exp\left[-\int d^{(d)} x \left({m^2 \over 2} \phi^2 + {1 \over 2} (\partial _\mu \phi)^2 + {\lambda \over 4!} \phi^4\right) \right].$通過重正化以及正規化 $\Lambda$：

$[D \phi]_\Lambda = \prod _{|p|<\Lambda} d \phi (p)$ $Z=\int \left[\mathcal{D}\phi \right]_\Lambda \exp\left[-\int d^{(d)} x \left({m^2 \over 2} \phi^2 + {1 \over 2} (\partial _\mu \phi)^2 + {\lambda \over 4!} \phi^4\right) \right].$若 $0<b<1$：$\hat{\phi}(p) = \begin{cases} <pre> \phi (p), & \mbox{if } b \Lambda \leqslant |p| < \Lambda \\ 0, & \mbox{if } |p|<b \Lambda </pre> \end{cases}$ $\phi(p) = \begin{cases} <pre> 0, & \mbox{if } b \Lambda \leqslant |p| < \Lambda \\ \phi (p), & \mbox{if } |p|<b \Lambda </pre> \end{cases}$所以$Z=\int \left[\mathcal{D}\phi \right]_{b \Lambda} \int \mathcal{D}\hat{\phi} \exp\left[-\int d^{(d)} x \left({m^2 \over 2} (\phi+\hat{\phi})^2 + {1 \over 2} (\partial _\mu \phi + \partial _\mu \hat{\phi})^2 + {\lambda \over 4!} (\phi+\hat{\phi})^4\right) \right].$介紹 $\phi \hat{\phi}$：$Z=\int \left[\mathcal{D}\phi \right]_{b \Lambda} e^{-\int d^{(d)} x \mathcal{L}(\phi)} \int \mathcal{D}\hat{\phi} \exp\left[-\int d^{(d)} x \left({m^2 \over 2} \hat{\phi}^2 + {1 \over 2} (\partial _\mu \hat{\phi})^2 + \lambda ({1 \over 6}\phi^3 \hat{\phi}+{1 \over 4}\phi^2 \hat{\phi}^2+{1 \over 6}\phi \hat{\phi}^3+{1 \over 4!}\hat{\phi}^4)\right) \right].$所以新的拉氏量是$\mathcal{L}_\textrm{eff} (\phi)$以及$Z=\int \left[ \mathcal{D}\phi \right]_{b \Lambda} \exp{\left[ -\int d^{(d)} x \mathcal{L}_\textrm{eff}(\phi) \right]} ,$ $\mathcal{L}_\textrm{eff} (\phi)$ 不同於$\mathcal{L} (\phi)$，因為$\lambda , \phi$ 改變了。上面的 Z 陳述一個effective field theory。若 $x'= b x, p'={p \over b}, |p|<\Lambda$.$\int d^{(d)} x \mathcal{L}_\textrm{eff} (\phi) = \int d^{(d)} x' b^{-d} \left[{1 \over 2}(1+\Delta Z)b^2(\partial' _\mu \phi)^2 +{1 \over 2}(m^2+\Delta m^2) \phi^2 + {1 \over 4!}(\lambda+\Delta \lambda)\phi^4 + \Delta B b^4 (\partial' _\mu \phi)^4 + \Delta C \phi^6 + ... \right]$假設$\phi'=[b^{(2-d)}(1+\Delta Z)]^{1/2} \cdot \phi$ $m'^2=(1+\Delta Z)^{-1}(m^2+\Delta m^2)b^{-2}$ $\lambda'=(1+\Delta Z)^{-2}(\lambda+\Delta\lambda)b^{d-4}$ $B'=(1+\Delta Z)^{-2}(B+\Delta B)b^{d}$ $C'=(1+\Delta Z)^{-3}(C+\Delta C)b^{2d-6}$所以$\int d^{(d)} x \mathcal{L}_\textrm{eff} (\phi) = \int d^{(d)} x' \left[{1 \over 2}(\partial' _\mu \phi')^2 +{1 \over 2}m'^2 \phi'^2 + {1 \over 4!}\lambda' \phi^4 + \Delta B (\partial' _\mu \phi')^4 + \Delta C' \phi'^6 + ... \right]$耦合常數的變量為 $\Delta m^2, \Delta Z, \Delta \lambda$。耦合常數的演進是動力系統的臨界點：$m'^2=m^2b^{-2}, \lambda'=\lambda b^{d-4}, B'=B b^d, C'=C b^{2d-6}$

### 三種耦合

- 無關耦合（irrelevant）：耦合減少了
- 相關耦合（relevant）：耦合增加了
- 邊緣耦合（marginal）：耦合不變

若 $d=4$，因為$b<1$所以B和C是無關的，m是相關的，並且$\lambda$是邊緣的。

而且$\phi^4$論是可重整化的。

## 動力系統的重整化

米切爾·費根鮑姆使用重整化群計算費根鮑姆常數，而且將重整化應用於分岔理論。

阿圖爾·阿維拉（巴西數學家）也將重整化群應用於動力系統、費根鮑姆常數等

其他應用包括：

- 混沌理論
- 湍流
- 分形
- 隨機微分方程、Kardar–Parisi–Zhang equation、參見馬丁·海雷爾的研究
- 滲流理論

等

## 擴展閱讀

### 入門教程與歷史回顧

- S. R. White (1992): Density matrix formulation for quantum renormalization groups, Phys. Rev. Lett. 69, 2863. 有人說這是最成功的variational RG辦法
- N. Goldenfeld (1993): Lectures on phase transitions and the renormalization group. Addison-Wesley.
- D. V. Shirkov (1999): Evolution of the Bogoliubov Renormalization Group. arXiv.org:hep-th/9909024 . A mathematical introduction and historical overview with a stress on group theory and the application in high-energy physics.
- B. Delamotte (2004): A hint of renormalization. American Journal of Physics, Vol. 72, No. 2, pp. 170\u2013184, February 2004 . A pedestrian introduction to renormalization and the renormalization group. For nonsubscribers see arXiv.org:hep-th/0212049
- H.J. Maris, L.P. Kadanoff (1978): Teaching the renormalization group. American Journal of Physics, June 1978, Volume 46, Issue 6, pp. 652-657 . A pedestrian introduction to the renormalization group as applied in condensed matter physics.
- K. Huang 黃克孫 (2013): A Critical History of Renormalization. arXiv:1310.5533

### 相關著作

- T. D. Lee 李政道; Particle physics and introduction to field theory, Harwood academic publishers, 1981, ISBN 3-7186-0033-1. 是總結
- L. Ts. Adzhemyan, N.V.Antonov and A. N. Vasiliev; The Field Theoretic Renormalization Group in Fully Developed Turbulence; Gordon and Breach, 1999. ISBN 90-5699-145-0.
- Vasil'ev, A. N.; The field theoretic renormalization group in critical behavior theory and stochastic dynamics; Chapman & Hall/CRC, 2004. ISBN 9780415310024 (Self-contained treatment of renormalization group applications with complete computations);
- Zinn-Justin, Jean; Quantum field theory and critical phenomena, Oxford, Clarendon Press (2002), ISBN 0-19-850923-5 (a very thorough presentation of both topics);
- The same author: Renormalization and renormalization group: From the discovery of UV divergences to the concept of effective field theories, in: de Witt-Morette C., Zuber J.-B. (eds), Proceedings of the NATO ASI on Quantum Field Theory: Perspective and Prospective, June 15–26, 1998, Les Houches, France, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, 375-388 (1999) ISBN . Full text available in PostScript .
- Kleinert, H. and Schulte Frohlinde, V; Critical Properties of φ4-Theories, World Scientific (Singapore, 2001); Paperback ISBN 981-02-4658-7. Full text available in PDF .