LOCC

LOCC 是 Local Operations（局域操作）and Classical Communications（經典通訊）的縮寫，它是一種用在量子信息上、對量子態進行操作的方法。簡單的說，當一個量子系統被分成許多部份，每個部份的測量和操作只限制在該部分上，各個部分之間允許經典通訊，例如：打電話。許多量子信息的工作必須藉由 LOCC 來完成，例如：假設某次實驗室製備了一個貝爾態，但是卻不能確定這個貝爾態是 $|\psi_1\rangle$ 還是 $|\psi_2\rangle$，其中 $|\psi_1\rangle$ 和 $|\psi_2\rangle$ 是

<image>

$$<pre> |\psi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle_A\otimes|0\rangle_B + |1\rangle_A\otimes|1\rangle_B\right) </pre>$$

$$<pre> |\psi_2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle_A\otimes|1\rangle_B + |1\rangle_A\otimes|0\rangle_B\right) </pre>$$

A和B兩個量子位元是分隔兩地的，並且由愛麗絲對量子位元A進行操作，由鮑勃對量子位元B進行操作。首先愛麗絲測量量子位元A並得到結果0，此時我們仍不知道當初實驗室製備的貝爾態是 $|\psi_1\rangle$ 還是 $|\psi_2\rangle$。這時候愛麗絲藉由打電話把結果告訴鮑勃，接著鮑勃對量子位元B進行測量並得到結果0，現在鮑勃得知波函數塌縮成 $|0\rangle_A\otimes|0\rangle_B$，所以推得實驗室製備的貝爾態是 $|\psi_1\rangle$。

## 糾纏轉換

將一個量子系統分成兩部分，利用 LOCC 操作，把一個糾纏態轉換成另一個糾纏態。

舉例說明：愛麗絲和鮑勃分別擁有一個糾纏態(純態)的一部分，例如 $\frac{1}{\sqrt{2}}(\mid\uparrow\downarrow\rangle-\mid\downarrow\uparrow\rangle )$。愛麗絲和鮑勃都只能對各自的自旋進行操作，也就是Local Operation的意思。當然這個操作也包含測量，當愛麗絲進行Sz的測量後，得到本徵值+ħ/2，波函數塌縮成 $\mid\uparrow\downarrow\rangle$，然後愛麗絲透過電話告訴鮑勃結果，這就是Classical Communications，鮑勃知道結果後也相應做了一個Local Operation，現在鮑勃做σx操作，於是波函數變為 $\mid\uparrow\uparrow\rangle$。如果剛才愛麗絲測得本徵值-ħ/2，波函數塌縮成 $\mid\downarrow\uparrow\rangle$，則愛麗絲立即進行σx操作，然後經由電話告訴鮑勃，要求鮑勃不做任何操作，結果仍然可將波函數透過利用LOCC轉換成 $\mid\uparrow\uparrow\rangle$。

顯然利用 LOCC 把某個態 $|\psi\rangle$ 轉換成 $|\phi\rangle$，A與B之間的糾纏只能變小或維持不變。但是並不是只要 $|\phi\rangle$ 的糾纏熵比 $|\psi\rangle$ 的糾纏熵還小就必定能透過 LOCC 作轉換。要判斷可不可轉，首先，可以把 $|\psi\rangle$ 和 $|\phi\rangle$ 分別做施密特分解：

$$|\psi\rangle=\sum_{i=1}^D\sqrt{\omega_i}|a_i\rangle |b_i\rangle$$

$$|\phi\rangle=\sum_{i=1}^D\sqrt{\omega_i'}|a_i'\rangle |b_i'\rangle$$

將Schmidt值由大至小排列然後進行比較。尼爾森(Nielsen)在1999年提出定理:

若Majorization

$\sum_{i=1}^k\omega_i\le\sum_{i=1}^k\omega_i'$,

對於所有 $k$ 都成立，則 $|\psi\rangle$ 可利用LOCC轉換成 $|\phi\rangle$。

然而若上述條件不成立，並不表示 LOCC 轉換必定不成立。如果允許引入催化態，LOCC 轉換仍有可能的。

### 催化轉換

Jonathan 和 Plenio 在尼爾森定理發表不久即給出一個催化轉換的例子：考慮

$$|\psi\rangle=\sqrt{0.4}|00\rangle+\sqrt{0.4}|11\rangle+\sqrt{0.1}|22\rangle+\sqrt{0.1}|33\rangle$$

$$|\phi\rangle=\sqrt{0.5}|00\rangle+\sqrt{0.25}|11\rangle+\sqrt{0.25}|22\rangle$$

$$|c\rangle=\sqrt{0.6}\mid\uparrow\uparrow\rangle+\sqrt{0.4}\mid\downarrow\downarrow\rangle$$

以上三個態已經過施密特分解且係數皆由大至小排列，以下進行 $|\psi\rangle$ 和 $|\phi\rangle$ 驗算係數的前 $k$ 項之和：

$k$｜$|\psi\rangle$｜$|\phi\rangle$

0｜0.4｜0.5

1｜0.8｜0.65

2｜0.9｜1.0

3｜1.0｜1.0

以上表格中，若「$|\psi\rangle$ 的前 $k$ 項之和」比「$|\phi\rangle$ 的前 $k$ 項之和」小的話，填入綠色；大的話，填入紅色；相等則是留下白色。如此一來，觀察 $k$ 方向的顏色便一目了然。如果所有顏色皆為綠色，則表示 $|\psi\rangle$ 可經由LOCC轉換成 $|\phi\rangle$；如果所有顏色皆為紅色，則表示 $|\phi\rangle$ 可經由LOCC轉換成 $|\psi\rangle$；如果顏色既有紅色又有綠色，則說明若無催化態便不可轉換。

那麼什麼是「催化轉換」和「催化態」呢？我們考慮直積態 $|\psi\rangle |c\rangle$ 和 $|\phi\rangle |c\rangle$：

$$\begin{align}|\psi\rangle |c\rangle &= \sqrt{0.24}|00\rangle\mid\uparrow\uparrow\rangle+\sqrt{0.24}|11\rangle\mid\uparrow\uparrow\rangle+ \sqrt{0.16}|00\rangle\mid\downarrow\downarrow\rangle+\sqrt{0.16}|11\rangle\mid\downarrow\downarrow\rangle\\ &+\sqrt{0.06}|22\rangle\mid\uparrow\uparrow\rangle+\sqrt{0.06}|33\rangle\mid\uparrow\uparrow\rangle+ \sqrt{0.04}|22\rangle\mid\downarrow\downarrow\rangle+\sqrt{0.04}|33\rangle\mid\downarrow\downarrow\rangle\end{align}$$

$$\begin{align}|\phi\rangle |c\rangle &= \sqrt{0.30}|00\rangle\mid\uparrow\uparrow\rangle+\sqrt{0.20}|00\rangle\mid\downarrow\downarrow\rangle+ \sqrt{0.15}|11\rangle\mid\uparrow\uparrow\rangle+\sqrt{0.15}|22\rangle\mid\uparrow\uparrow\rangle\\ &+\sqrt{0.10}|11\rangle\mid\downarrow\downarrow\rangle+\sqrt{0.10}|22\rangle\mid\downarrow\downarrow\rangle\end{align}$$

以上各項已按照由大至小排列，接著同樣進行製作表格計算前 $k$ 項之和：

$k$｜$|\psi\rangle |c\rangle$｜$|\phi\rangle |c\rangle$

0｜0.24｜0.30

1｜0.48｜0.50

2｜0.64｜0.65

3｜0.80｜0.80

4｜0.86｜0.90

5｜0.92｜1.00

6｜0.96｜1.00

7｜1.00｜1.00

表格做完馬上看出所有顏色皆為綠色，因此根據尼爾森定理，$|\psi\rangle |c\rangle$ 透過LOCC轉換成 $|\phi\rangle |c\rangle$ 是可以的。由於 $|c\rangle$ 只是從直積態中直接加入然後轉換完畢便可取走，很像化學反應中的催化劑，因此可稱 $|c\rangle$ 是催化態。

### 塔庫定理

2007年塔庫（Turgut）證明了定理