斯坦豪斯-莫澤表示法

斯坦豪斯-莫澤表示法，又稱斯坦豪斯-莫澤記號、斯坦豪斯-莫澤多邊形記號、多邊形記號，為利用多邊形來表示大數的一種表示法。此表示法由雨果·斯坦豪斯發明，後來李奧·莫澤擴展了該表示法。

## 斯坦豪斯的多邊形記號

斯坦豪斯多邊形記號的定義如下：

-

<image>

= nn
-

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= 「n放進n個三角形中」
-

<image>

= 「n放進n個正方形中」

斯坦豪斯使用這個符號定義了一些數：

-

<image>

被稱為Mega數。
-

<image>

被稱為Megiston數。

## 莫澤的多邊形記號

莫澤多邊形記號是斯坦豪斯多邊形記號的擴張，這個記號不使用圓形，而使用一般的多邊形。

-

<image>

、

<image>

與斯坦豪斯的記號相同。
-

<image>

= 「n放進n個正方形中」（=

<image>

）
- 一般來說，「n放進m邊形中」=「n放進n個m - 1邊形中」

而「2放進

<image>

邊形中」則被稱為莫澤數。

## 中括號表示法

紐約大學的蘇珊·史蒂芬教授在自己的網站中使用以下替代符號：

- 「n放進p邊形中」使用$n[p]\,$來表示。（請注意：在本條目中，$[n]$都是表示某個數字放進正$n$邊形中，並不是第$n$級的超運算，為了避免搞混，第$n$級的超運算在本條目中是使用$n-2$個向上的箭號表示，請見高德納箭號表示法）
- $[\ldots]$可以重複使用。例如，「『n放進q邊形中』放進p邊形中」可以表示為$(n[q])[p]\,$。
- 「n放進k個p邊形中」表示為$n[p]_k\,$。換句話說，$n[p]_k$可以定義為$n \underbrace{ [p][p]...[p] }_k$。

多邊形記號可以使用這種表示法來定義：

-

<image>

$= n[3] = n^n=n\uparrow\uparrow 2 \,$
-

<image>

$= n[4] = n[3]_n \,$
-

<image>

$=\,$

<image>

$= n[5] = n[4]_n \,$
- 一般來說，$n[m] = n[m-1]_n = n \underbrace{[m-1][m-1]...[m-1]}_n \,$。

上面所使用的↑為高德納箭號表示法中的記號。

其他例子：

-

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$= n[3]_4$

斯坦豪斯和莫澤所定義的大數可如下表示：

-

<image>

（Mega數）$= 2[5]$
-

<image>

（Megiston數）$= 10[5]$
- 莫澤數 = $2[2[5]]$

## 一些例子的計算

### 簡單的例子

- 23 = 22 = 4
- 24 = 232 = 233 = 43 = 44 = 256

### Mega數

<image>

= 25

= 242

= 244

= 2564

= 2563256

2563n所代表的值如下（n從1開始）：

$$256[3]=256^{256}$$

$256[3]_2=256[3][3]= \left( 256^{256} \right) ^{256^{256}}=256^{256} \uparrow\uparrow 2=256^{256\times 256^{256}}= 256^{256^{257}} = (256 \uparrow) ^2 257$,

$$256[3]_3=256[3]_2[3]= 256[3]_2\uparrow\uparrow 2 = \left( 256^{256^{257}} \right) ^{256^{256^{257}}}=256^{ \left( 256^{257}\times 256^{256^{257}} \right) }=256^{256^{(257 + 256^{257})}} = (256 \uparrow) ^2 \left( 257 + 256^{257} \right)$$

這個數字可以「近似」如下：

$$256[3]_3= 256^{256^{257 + 256^{257}}} \risingdotseq 256^{256^{256^{257}}} = (256 \uparrow) ^3 257$$

這個近似值跟$256[3]_3$實際上差了非常多倍：

$$256^{256^{257 + 256^{257}}} = \left( 256^{256^{256^{257}}} \right) ^ {256 ^ {257}} \gg 256^{256^{256^{257}}}$$

通常人們會感覺這兩個數很近，其實差很遠。

類似地。

$$256[3]_4 \risingdotseq \left( 256^{256^{256^{257}}} \right) ^ {256^{256^{256^{257}}}} = 256^{ \left( 256^{256^{257}} \times 256^{256^{256^{257}}} \right) } = 256^{256^{(256^{257} + 256^{256^{257}})}} \risingdotseq 256^{256^{256^{256^{257}}}} = (256 \uparrow) ^4 257$$

$$256[3]_5 \risingdotseq 256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}} = (256 \uparrow) ^5 257$$

這種「近似」方法也可以推展到所求的Mega數：

<image>

$= 256[3]_{256} \risingdotseq (256 \uparrow) ^{256} 257$

如果再採用更簡化的「近似值」，可以推得：

<image>

$\risingdotseq 256\uparrow\uparrow 257$

實際上。

<image>

$\gg (256 \uparrow) ^{256} 257 \gg 256\uparrow\uparrow 257$

如果以10為底，則可表示成：

<image>

$\approx(10\uparrow)^{255} \left( 1.99\times 10^{619} \right) \approx(10\uparrow)^{256} \left( 6.19\times 10^{2} \right) \approx(10\uparrow)^{257} \left(2.79 \right)$

因此Mega數的範圍為：

$10\uparrow\uparrow 257 <$

<image>

$< 10\uparrow\uparrow 258$

### Megiston數

<image>

= 105 = 10410 = (1049)4

通過類似於Mega數近似值的近似方法，可得：

$$a[4]=a[3]_a\risingdotseq a\uparrow\uparrow (a+1)$$

$a[4]\risingdotseq a\uparrow\uparrow (a+1) \risingdotseq a\uparrow\uparrow a \quad \mathrm{ when } \ a \gg 1$ (*)

將a換成10，可得：

$$10[4]=10[3]_{10} \risingdotseq 10\uparrow\uparrow 11$$

$$10[4]_2 = 10[4][4] \risingdotseq (10\uparrow\uparrow 11)\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11)$$

下式為把開頭的10換成a，11換成b，後面的$10 \uparrow\uparrow 11$換成n之後的計算（其中a↑b = ab）：

$$\begin{align} (a\uparrow\uparrow b)\uparrow\uparrow n & = (a\uparrow\uparrow b)\uparrow ((a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1)) \\ & = (a\uparrow (a\uparrow\uparrow (b-1)))\uparrow ((a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1)) \\ & = a\uparrow ((a\uparrow\uparrow (b-1)) \times (a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1)) \\ \end{align}$$

當a, b皆足夠大時：

$$a\uparrow\uparrow (b-1) \ll (a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1)$$

所以

$$(a\uparrow\uparrow b)\uparrow\uparrow n \risingdotseq a\uparrow ((a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1))$$

這是一個近似值。

此時重複上面的操作，直到n = 1為止：

$$\begin{align} (a\uparrow\uparrow b)\uparrow\uparrow n &\risingdotseq \underbrace{a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a}_{n-1} \uparrow ((a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow 1) \\ &= \underbrace{a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a}_{n-1} \uparrow (a\uparrow\uparrow b) \\ &\risingdotseq a\uparrow\uparrow ((n-1) + b) \end{align}$$

因此，當$n\gg b$時

$(a\uparrow\uparrow b)\uparrow\uparrow n \risingdotseq a\uparrow\uparrow n$ (**)

這是一個近似值。

使用(**)式，可得$10[4]_2$的近似值：

$$10[4]_2 \risingdotseq 10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11)$$

以下的近似值使用(*)和(**)式：

$$10[4]_3 = 10[4]_2[4] \risingdotseq (10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11)) \uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11)) \risingdotseq 10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11))= 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 11 = (10 \uparrow\uparrow)^3 11$$

$$10[4]_4 = 10[4]_3[4] \risingdotseq 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 11= (10 \uparrow\uparrow)^4 11$$

$$10[4]_5 = 10[4]_4[4] \risingdotseq 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 11 = (10 \uparrow\uparrow)^5 11$$

因此。

$$10[4]_{10} \risingdotseq 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 11= (10 \uparrow\uparrow)^{10} 11$$

所以Megiston數大致等於：

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$\risingdotseq 10\uparrow\uparrow\uparrow 11$

然而，實際上近似值遠小於真正的Megiston數：

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$\gg (10 \uparrow\uparrow)^{10} 11 \gg 10\uparrow\uparrow\uparrow 11$

### 莫澤數

莫澤數代表$2[$

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$] = 2[2[5]]$。由於

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是相當巨大的數字，

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邊形幾乎跟圓沒有差別，因此採用莫澤多邊形記號是不可能畫出莫澤數的。

儘管

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是非常巨大的，跟

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相比來說仍是微不足道的。

提姆·周在1998年證明了下式，可見莫澤數遠遠小於葛立恆數（因為下式中後者還比葛立恆數小很多）：

$$M < 3 \rightarrow 3 \rightarrow ((3 \rightarrow 3 \rightarrow 5)\times 2 - 1)$$

利用高德納箭號表示法來準確表示莫澤數幾乎是不可能的，但是可以用近似值來表示。莫澤數近似於$3 \uparrow \uparrow \! \cdots \! \uparrow 3$（

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-2個箭號）。

## 外部連結

- Susan Stepney's Big Numbers