傑恩斯-卡明斯模型

傑恩斯-卡明斯模型（Jaynes–Cummings model (JCM)）是一個量子光學的理論模型。這是一個描述雙態系統和量子化光腔(optical cavity)交互作用的模型，這種交互作用和光子的存在與否無關(在電磁輻射能造成光子自發性的放射與吸收)。它主要被運用在原子物理學、量子光學、固態量子信息電路的理論與實驗上。

## 公式

系統哈密頓量

$$\hat{H} = \hat{H}_{\text{field}} +\hat{H}_{\text{atom}} +\hat{H}_{\text{int}}$$

由自由場哈密頓量，原子激發態哈密頓量，JCM哈密頓量組成：

$$\begin{array}{lcl} \hat{H}_\text{field} &=& \hbar \omega_c \hat{a}^{\dagger}\hat{a}\\ \hat{H}_\text{atom} &=& \hbar \omega_a \frac{\hat{\sigma}_z}{2}\\ \hat{H}_\text{int} &=& \frac{\hbar \Omega}{2} \hat{E} \hat{S}. \end{array}$$

為方便起見，設真空場能量為 $0$.

其中：

- $\begin{smallmatrix}\hat{E} = \hat{a} +\hat{a}^{\dagger}\end{smallmatrix}$場運算符，目的是把量化輻射場轉化為玻色子的模型，另外雙態原子是能被三維布洛赫球面所描述的半自旋粒子
- $\begin{smallmatrix}\hat{a}^{\dagger}\end{smallmatrix}$是玻色子的創生算符
- $\begin{smallmatrix}\hat{a}\end{smallmatrix}$ 是玻色子的湮滅算符
- $\begin{smallmatrix}\hat{S} = \hat{\sigma}_+ +\hat{\sigma}_-\end{smallmatrix}$是原子耦合區的偏振運算符
- $\begin{smallmatrix}\hat{\sigma}_+ = |e \rangle \langle g |\end{smallmatrix}$與$\begin{smallmatrix}\hat{\sigma}_- = |g \rangle \langle e |\end{smallmatrix}$ 是原子的階梯算符
- $\begin{smallmatrix}\hat{\sigma}_z = |e \rangle \langle e | - |g \rangle \langle g |\end{smallmatrix}$ 是原子反轉運算符
- $\begin{smallmatrix}\omega_a\end{smallmatrix}$是原子的躍遷頻率
- $\begin{smallmatrix}\omega_c\end{smallmatrix}$ 是模型的角頻率

### JCM哈密頓量

通過把薛丁格繪景轉換為相互作用繪景(又名旋轉框架(rotating frame))，使得$\begin{smallmatrix}H_0 = \hat{H}_{\text{field}} +\hat{H}_{\text{atom}}\end{smallmatrix}$，可以得到：

$$\hat{H}_\text{int}(t) = \frac{\hbar \Omega}{2} \left(\hat{a}\hat{\sigma}_{-} e^{-i(\omega_c+\omega_a)t} +\hat{a}^{\dagger}\hat{\sigma}_{+}e^{i(\omega_c+\omega_a)t} +\hat{a}\hat{\sigma}_{+}e^{i (-\omega_c+\omega_a) t} +\hat{a}^{\dagger}\hat{\sigma}_{-}e^{-i (-\omega_c+\omega_a) t}\right).$$

這個哈密頓量同時包含了兩個部分：

- $\begin{smallmatrix}(\omega_c + \omega_a)\end{smallmatrix}$ 是快速震蕩。
- $\begin{smallmatrix}(\omega_c - \omega_a)\end{smallmatrix}$ 是慢速震蕩。

為了求解這個方程，簡化模型是再所難免的。注意到，當 $\begin{smallmatrix}|\omega_c - \omega_a| \ll \omega_c+\omega_a\end{smallmatrix}$ 的時候，快速振盪的 「反向旋轉」項（也就是快速震蕩項）可被忽略，這被稱為旋波近似。再將之轉換回薛丁格繪景，JCM哈密頓量就變成了：

$$\hat{H}_{\text{JC}} = \hbar \omega_c \hat{a}^{\dagger}\hat{a} +\hbar \omega_a \frac{\hat{\sigma}_z}{2} +\frac{\hbar \Omega}{2} \left(\hat{a}\hat{\sigma}_+ +\hat{a}^{\dagger}\hat{\sigma}_-\right).$$

其中。

- $\begin{smallmatrix}\hbar \Omega/2 = d (\omega_a/\hbar V \epsilon_0)^{1/2}\end{smallmatrix}$是原子場的耦合常數。
- $\begin{smallmatrix}d\end{smallmatrix}$是原子躍遷時刻。
- $\begin{smallmatrix}V\end{smallmatrix}$是腔模的體積。

### 本徵態

一般情況下，將哈密頓量拆分為2部分有助於對其進行求解:

$$\hat{H}_\text{JC} = \hat{H}_I +\hat{H}_{II},$$

其中，$\begin{array}{lcl} \hat{H}_{I} &=& \hbar \omega_c \left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a} +\frac{\hat{\sigma}_z}{2}\right)\\ \hat{H}_{II} &=& \hbar \delta \frac{\hat{\sigma}_z}{2} +\frac{\hbar \Omega}{2} \left(\hat{a}\hat{\sigma}_+ +\hat{a}^{\dagger}\hat{\sigma}_-\right) \end{array}$ $\begin{smallmatrix}\delta = \omega_a - \omega_c\end{smallmatrix}$ 稱之為場與雙態系統的失諧量（頻率）。為了更好地求解哈密頓量，把$\begin{smallmatrix}\begin{smallmatrix}\hat{H}_{I}\end{smallmatrix}\end{smallmatrix}$的本徵態轉換成張量積 $\begin{smallmatrix}|n,g\rangle, |n,e\rangle\end{smallmatrix}$（$\begin{smallmatrix}n \in \mathbb{N}\end{smallmatrix}$，表示模型中輻射量子的數量。）

對位任意正整數n，狀態$\begin{smallmatrix}|\psi_{1n}\rangle := |n,e\rangle\end{smallmatrix}$ 與狀態$\begin{smallmatrix}|\psi_{2n}\rangle := |n+1,g\rangle\end{smallmatrix}$ 會退化為$\begin{smallmatrix}\hat{H}_{I}\end{smallmatrix}$，$\begin{smallmatrix}\hat{H}_{\text{JC}}\end{smallmatrix}$ 足以在子空間$\begin{smallmatrix}\text{span} \{ |\psi_{1n}\rangle ,|\psi_{2n}\rangle\}\end{smallmatrix}$對角化。$\begin{smallmatrix}\hat{H}_{\text{JC}}\end{smallmatrix}$的元素屬於$\begin{smallmatrix}{H}^{(n)}_{ij} := \langle\psi_{in}|\hat{H}_{\text{JC}}|\psi_{jn}\rangle\end{smallmatrix}$的子空間，表示為：

$$H^{(n)} = \hbar \begin{pmatrix} n \omega_c +\frac{\omega_a}{2} & \frac{\Omega}{2} \sqrt{n+1} \\[8pt] \frac{\Omega}{2} \sqrt{n+1} & (n+1)\omega_c -\frac{\omega_a}{2} \end{pmatrix}$$

對於任意正整數n，能量本徵態$\begin{smallmatrix}H^{(n)}\end{smallmatrix}$為：

$$E_{\pm}(n) = \hbar\omega_c \left(n+\frac{1}{2}\right) \pm \frac{1}{2} \hbar\Omega_n(\delta),$$

其中，$\begin{smallmatrix}\Omega_n(\delta) = \sqrt{\delta^2 +\Omega^2(n+1)}\end{smallmatrix}$ 是拉比頻率特殊的失諧參數。

含能量本徵態 $\begin{smallmatrix}|n,\pm\rangle~\end{smallmatrix}$的特徵值是：

$$|n,+\rangle= \cos \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|\psi_{1n}\rangle+\sin \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|\psi_{2n}\rangle$$

$$|n,-\rangle= -\sin \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|\psi_{1n}\rangle+\cos \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|\psi_{2n}\rangle$$

其中，$\begin{smallmatrix}\angle\alpha_n = \tan^{-1}\left(\frac{\Omega \sqrt{n+1}}{\delta}\right)\end{smallmatrix}$

### 薛丁格繪景動量

為了得到動量的一般情況。首先考慮一個場疊加態的初態 $\begin{smallmatrix}~|\psi_\text{field}(0)\rangle=\sum_n{C_n|n\rangle}~\end{smallmatrix}$，若置一激發態原子於場內，則系統初態為：

$$|\psi_\text{tot}(0)\rangle= \sum_n C_n \left[ \cos \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|n,+\rangle-\sin \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|n,-\rangle\right].$$

其中 $\begin{smallmatrix}~|n,\pm\rangle~\end{smallmatrix}$ 是該系統的定態, 含時狀態向量是：

$$|\psi_\text{tot}(t)\rangle = e^{-i\hat{H}_{\text{JC}}t/\hbar}|\psi_\text{tot}(0)\rangle = \sum_n C_n \left[ \cos \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|n,+\rangle e^{-iE_+(n)t/\hbar}- \sin \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|n,-\rangle e^{-iE_-(n)t/\hbar}\right] , t > 0$$

### 相互作用繪景動量

可以直接通過海森堡記法（Heisenberg notation）來確定么正演化算符（unitary evolution operator） :

$$\begin{matrix}\begin{align} \hat{U}(t) &= e^{-i\hat{H}_{\text{JC}}t/\hbar}\\ &= \begin{pmatrix} e^{- i \omega_c t (\hat{a}^{\dagger} \hat{a} + \frac{1}{2})}\left( \cos t \sqrt{\hat{\varphi} + g^2} - i \delta/2 \frac{\sin t \sqrt{\hat{\varphi} + g^2}}{\sqrt{\hat{\varphi} + g^2}}\right) & - i g e^{- i \omega_c t (\hat{a}^{\dagger} \hat{a} + \frac{1}{2})} \frac{\sin t \sqrt{\hat{\varphi} + g^2}}{\sqrt{\hat{\varphi} + g^2}} \,\hat{a} \\ -i g e^{- i \omega_c t (\hat{a}^{\dagger} \hat{a} - \frac{1}{2})}\frac{\sin t \sqrt{\hat{\varphi}}} {\sqrt{\hat{\varphi}}}\hat{a}^{\dagger} & e^{- i \omega_c t (\hat{a}^{\dagger} \hat{a} - \frac{1}{2})} \left( \cos t \sqrt{\hat{\varphi}} + i \delta/2 \frac{\sin t \sqrt{\hat{\varphi}}}{\sqrt{\hat{\varphi} }}\right) \end{pmatrix} \end{align}\end{matrix}$$

其中，定義算符$~\hat{\varphi}~$為

$$\hat{\varphi} = g^2 \hat{a}^{\dagger} \hat{a} + \delta^2/4$$

$~\hat{U}~$的么正(unitary )被恆等定義：

$$\frac{\sin t\,\sqrt{\hat{\varphi} + g^2}}{\sqrt{\hat{\varphi} + g^2}}\; \hat{a} = \hat{a}\; \frac{\sin t\,\sqrt{\hat{\varphi}}}{\sqrt{\hat{\varphi}}} ,$$

$$\cos t\, \sqrt{\hat{\varphi} + g^2}\; \hat{a} = \hat{a}\; \cos t \sqrt{\hat{\varphi}},$$

么正算符可以計算被密度矩陣$~\hat{\rho}(t)~$所描述的含時系統狀態的演變，么正算符包含了所有可觀測量。給定初態$~\hat{\rho}(0)~$，則有：

$\hat{\rho}(t)=\hat{U}^{\dagger}(t)\hat{\rho}(0)\hat{U}(t)$。

$\langle\hat{\Theta}\rangle_{t}=\text{Tr}[\hat{\rho}(t)\hat{\Theta}]$。

其中，$~\hat{\Theta}~$ 是表示可觀測量的算符。

## 量子震盪的崩塌和復興

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原子反轉的量子震盪圖像（二次反比失諧參數 $\begin{smallmatrix}a = (\delta/(2g))^2 = 40\end{smallmatrix}$，其中$\delta$是失諧參數），基於 A.A. Karatsuba 和 E.A. Karatsuba 取得的基本公式。

## 延伸閱讀

- C.C. Gerry and P.L. Knight (2005). Introductory Quantum Optics, Cambridge: Cambridge University Press.
- M. O. Scully and M. S. Zubairy (1997), Quantum Optics, Cambridge: Cambridge University Press.
- D. F. Walls and G. J. Milburn (1995), Quantum Optics, Springer-Verlag.