偶極子天線

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偶極子天線（Dipole antenna或doublet）是在無線電通信中，使用最早、結構最簡單、應用最廣泛的一類天線。它由一對對稱放置的導體構成，導體相互靠近的兩端分別與饋電線相連。用作發射天線時，電信號從天線中心饋入導體；用作接收天線時，也在天線中心從導體中獲取接收信號。常見的偶極子天線由兩根共軸的直導線構成，這種天線在遠處產生的輻射場是軸對稱的，並且在理論上能夠嚴格求解。偶極子天線是共振天線，理論分析表明，細長偶極子天線內的電流分布具有駐波的形式，駐波的波長正好是天線產生或接收的電磁波的波長。因而製作偶極子天線時，會通過工作波長來確定天線的長度。最常見的偶極子天線是半波天線，它的總長度近似為工作波長的一半。除了直導線構成的半波天線，有時也會使用其他種類的偶極子天線，如直導線構成全波天線、短天線，以及形狀更為複雜的籠形天線、蝙蝠翼天線等。歷史上，海因里希·赫茲在驗證電磁波存在的實驗中使用的天線就是一種偶極子天線。

## 直天線的理論分析

在洛侖茲規範下，任意電流電荷體系在場點$r$產生的矢勢由推遲勢公式給出：

$$\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\ =\ \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'$$

其中$t_r$是推遲時刻。

### 積分方程法

對於一般的偶極子天線，天線上變化的電流會產生輻射場，輻射場也會影響天線上的電流分布。求解一般的偶極子天線產生的輻射場是一個複雜的邊值問題。對於導體構成的直天線，設其內部的電場的切向分量為$E_z$。這樣在天線內部，矢勢的切向分量$A_z$滿足方程：

$$\frac{\partial^{2}A_z}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^{2}A_z}{\partial t^2}=-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial z \partial t}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^{2}A_z}{\partial t^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial E_z}{\partial t}$$

將推遲勢公式代入，即可得到天線內部的電流密度$J_z$滿足的積分方程：

$$\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'}(\frac{\partial^{2}}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^{2}}{\partial t^2})( \frac{J_z (\mathbf{r}',\,t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|})\, d^3\mathbf{r}'=\frac{1}{c^2}\frac{\partial E_z}{\partial t}$$

如果使用單頻交流電饋電，利用分離變量法，可以將方程轉化為：

$$\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'}J_z (\mathbf{r}')(\frac{\partial^{2}}{\partial z^2}+k^{2})( \frac{\exp{(-ik|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|)}}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|})\, d^3\mathbf{r}'=\frac{ik}{c}E_z$$

該方程被稱為波克靈頓（Pocklington）積分方程。它需要在適當的邊界條件（如天線末端$J_z=0$）下求解。

如果天線由良導體構成，則$E_z$只在天線中心的空氣隙中（$z=0$）明顯地不為零，而在導體中近似為零，可以用狄拉克δ函數$U\delta (z)$代替。此時$A_z$滿足一維波動方程，具有駐波形式，滿足：

$$\int_{\mathbb{V}'}J_z (\mathbf{r}')( \frac{\exp{(-ik|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|)}}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|})\, d^3\mathbf{r}'=C \cos{(kz)} - i\frac{\omega \epsilon_0}{2k}U\sin{(k|z|)}$$

待定係數C由邊界條件給出。此為海倫(Hallen)積分方程。利用矩量法可以求得兩個方程的數值解。

### 細空心圓柱形天線

對於截面為圓形，半徑遠小於工作波長的細空心天線，可以近似認為其上的電流成軸對稱分布，可對角度變量進行積分，方程轉化為：

$$\int_{-L/2}^{L/2}I (z')( \frac{\exp{(-ik|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|)}}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|})\, d^3\mathbf{r}'=C \cos{(kz)} - i\frac{\omega \epsilon_0}{2k}U\sin{(k|z|)}$$

如果進一步假定天線的半徑遠小於其長度(兩者之比小於1/60)，可以近似認為在積分中，只有z附近的$I (z')$才對$A_z$有貢獻，$I$與$A_z$具有類似的形式。這樣天線內部的電流強度也近似滿足一維波動方程。電流在天線上的分布近似為駐波形式：

$$I(z,t)=I_0cos(\frac{2\pi}{\lambda}(L/2-|z|))\cos(\omega t)$$

其中$L$是天線全長，$\omega$是交流電的頻率。這種情形下，天線在場點$r$處產生的矢勢為：

$$\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\ =\ \frac{\mu_0 I_0 \mathbf{\hat z}}{4\pi}\int_{-L/2}^{L/2} \frac{\cos(k(L/2-|z|'))\cos(\omega t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, dz'$$

如果場點離天線的距離足夠遠，以至於下列三個條件同時滿足時，場點處於輻射區：

$$r>>L$$

$$r>>\lambda$$

$$r>>L^2/\lambda$$

此時推遲勢公式可近似為：

$$\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\ =\ \frac{\mu_0 I_0 \mathbf{\hat z}}{4\pi r}\int_{-L/2}^{L/2} \cos(k(L/2-|z|'))\cos(\omega t-kr+kz'\cos{\theta})dz'= \frac{\mu_0 I_0 \cos(\omega t-kr) \mathbf{\hat z}}{2\pi k r}(\frac{\cos{(kL/2 \cos{\theta})-\cos{(kL/2)}}}{\sin^{2}{\theta}})$$

略去不屬於輻射場的高階項，場點的磁感應強度$\mathbf{B}$滿足：

$$\mathbf{B}=\mathbf{\nabla} \times \mathbf{A} \approx \frac{\mu_0 I_0 \sin{(\omega t-kr)} \mathbf{\hat \phi}}{2\pi r}(\frac{\cos{(kL/2 \cos{\theta})-cos{(kL/2)}}}{\sin{\theta}})$$

輻射功率的角分布為：

$$\frac {d P}{d \Omega} =\frac{\mu_0 c I_0^2}{8 \pi^2}(\frac{\cos{(kL/2 \cos{\theta})-cos{(kL/2)}}}{\sin{\theta}})^2$$

對上式積分，利用三角積分函數，可以給出輻射總功率以及輻射阻抗的表達式:

$$P = \frac{\mu_0 c I_0^2}{2 \pi \sin^2(kL/2)} <pre> \{\gamma + \ln(kL) - \operatorname{Ci}(kL) + \tfrac{1}{2}\sin(kL) \operatorname{Si}(2kL)- 2\operatorname{Si}(kL) + \tfrac{1}{2}\cos(kL)[ \gamma + \ln(kL/2) + \operatorname{Ci}(2kL) - 2\operatorname{Ci}(kL)]\} =R_\mathrm{dipole} I_0^2$$

若天線的半徑與長度之比$a/L$並不小，使用「電流駐波分布」的近似並不準確：有限的$a/L$會為這一定律引入$(\ln{a/L})^{-1}$量級的相對修正。

### 短天線

長度遠小於工作波長的天線為短天線。