偽多邊形

$\frac{i\pi}{\lambda}$ $\infty$

$$\left[\frac{i \pi}{\lambda}\right]$$ 在幾何學中，偽多邊形（pseudogon）又稱為超無限邊形，是一種位於雙曲平面上的無限邊形，具有偽多邊形群（pseudogonal group）的對稱性，諾曼·約翰遜 (數學家)將一般的發散鏡射形式的無限邊形稱為偽多邊形，其外接圓為極限圓，正偽多邊形在施萊夫利符號中用$\left\{ \frac{i\pi}{\lambda} \right\}$表示，其中$\lambda$表示發散垂直鏡射的週期距離，用來表示其拓撲結構具有比無限邊形更多的邊與頂點，換句話說，若其不為發散鏡射形式則只能看做為普通的無限邊形，也因此偽多邊形無法在平面上存在。此外，偽多邊形也可以解釋為未完全具備多邊形性質的多邊形，此種情況下未必需要位於雙曲面，這種偽多邊形其英文也可以寫為pseudo polygon。

## 正偽多邊形

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正偽多邊形（regular pseudogon）又稱雙曲正無限邊形，是雙曲線$H^1$（並非歐幾里得線）分割為每段長度為$2\lambda$線段形成的無限邊形，為具有$\left[\frac{i\pi}{\lambda}\right]$考克斯特群的羅氏無限邊形，可以視為正無限邊形的一種類似物。依據其考克斯特群，其邊數和頂點數將會是$\frac{i\pi}{\lambda}$個，事實上它頂點數為正無窮大，邊長為$2\lambda$，其中$\frac{i\pi}{\lambda}$用來表示超平形（ultraparallel）的鏡射，虛數值使鏡射變換的角度以一個雙曲線的形式，而存在等式$\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) = \cos\left(\frac{\pi\lambda}{i\pi}\right) = \cosh(2\lambda)$，而$\lambda \in \left\{ \frac{\pi}{n} \mid n \in \Bbb{Z} \right\}$。

其亦可以視為二維空間的雙曲密鋪，和三維雙曲密鋪如：正七邊形鑲嵌、七階三角形鑲嵌等，做類比。其屬於非緊湊空間。

正偽多邊形無法在平面上存在，但可以構造在雙曲面。其可以擁有外接圓和內切圓，但他們必須是雙曲超圓形。

## 扭歪偽多邊形

扭歪偽多邊形（Skew pseudogon）是偽多邊形對應的扭歪多邊形，即位於非緊雙曲空間的雙曲扭歪無限邊形。

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圍繞著偽多邊形的三角形也可以構造出等邊扭歪偽多邊形

{3,7}的皮特里多邊形｜t{3,7}的皮特里多邊形

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正扭歪｜

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半正扭歪

## 鑲嵌與密鋪

正偽多邊形不能構成平面鑲嵌，但可以構成雙曲鑲嵌，如三階偽多邊形鑲嵌，其考克斯特記號計為node_1。該鑲嵌可以視為偽多邊形在三維空間的類比，稱為偽多面體（pseudohedron）。

二個偽多邊形即可完全鑲嵌整個雙曲平面，稱為二階偽多邊形鑲嵌。

正｜半正

∞.∞｜2∞｜4.4.∞｜3.3.3.∞

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{iπ/λ, 2}node_1｜{2, iπ/λ}node_1｜t{2, iπ/λ}node_1｜sr{2, iπ/λ}node_h

對稱群：iπ/λ,iπ/λ, (、iπ/λ iπ/λ 2)｜iπ/λ,iπ/λ+, (iπ/λ iπ/λ 2)

node_1｜node_1｜node｜node｜node｜node_1｜node_1｜node_h

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{9i,9i}超無限階偽多邊形鑲嵌｜t{9i,9i}截角超無限階偽多邊形鑲嵌｜r{9i,9i}截半超無限階偽多邊形鑲嵌｜2t{9i,9i}=t{9i,9i}截角超無限階偽多邊形鑲嵌｜2r{9i,9i}={9i,9i}超無限階偽多邊形鑲嵌｜rr{9i,9i}小斜方截半超無限階偽多邊形鑲嵌｜tr{9i,9i}大斜方截半超無限階偽多邊形鑲嵌｜sr{9i,9i}扭稜超無限階偽多邊形鑲嵌

對稱群：iπ/λ,3, (、∞32)｜iπ/λ,3+(∞32)｜1+,iπ/λ,3(、∞33)｜iπ/λ,3+(3、∞)

考克斯特記號｜node_1｜node_1｜node｜node｜node｜node_1｜node_1｜node_h｜node_h1｜node_h1｜node

node_h0= branchu_11｜node_h0= branchu_11｜node_h0= branchu｜node_1｜node_h1 =branchu_10ru or branchu_01rd｜node_h1 =branchu_10ru or branchu_01rd｜node_h0= branchu_hh

圖像｜

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頂點圖｜∞.∞.∞｜3.∞.∞｜3.∞.3.∞｜∞.6.6｜3∞｜3.4.∞.4｜4.6.∞｜3.3.3.3.∞｜3.∞.3.∞.3.∞

類比｜{∞,3}｜t{∞,3}｜r{∞,3}｜t{3,∞}｜{3,∞}｜rr{∞,3}｜tr{∞,3}｜sr{∞,3}｜h{∞,3}｜h2{∞,3}｜s{3,∞}

半正對偶

考克斯特記號｜node_f1｜node_f1｜node｜node｜node｜node_f1｜node_f1｜node_fh｜node_fh｜node

圖像｜

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頂點布局類比｜V∞3｜V3.∞.∞｜V(3.∞)2｜V6.6.∞｜V3∞｜V4.3.4.∞｜V4.6.∞｜V3.3.3.3.∞｜V(3.∞)3｜V3.3.3.3.3.∞

## 高維類比

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偽多面體（pseudohedron）是偽多邊形在三維空間的類比，即在三維非緊雙曲空間中的無限面體，又稱為超無限面體。例如三階七邊形鑲嵌蜂巢體中的正七邊形鑲嵌，由於要使每個頂點都是3個正七邊形鑲嵌的公共頂點使得圖形被變換到非緊雙曲空間中，即幾何中心跑到龐加萊模型外，其外接球為三維雙曲極限球。

偽多胞體（pseudotope）則為非緊雙曲鑲嵌在四維或更高維度類比，例如四階一百二十胞體堆砌。

但嚴格來說，偽多胞形（pseudotope）只會在二維雙曲空間討論，由於二維的考克斯特群表達到無窮之後仍為平面，因此只能用雙曲鏡射的方式以虛數表達雙曲幾何圖形。

群｜赫爾曼莫金記號｜軌道流形｜考克斯特｜考克斯特圖｜階

有限

Zn｜n｜n•｜n+｜node_h2｜n

Dn｜nm｜、n•｜n｜node｜2n

仿射

Z∞｜∞｜∞•｜∞+｜node_h2｜∞

Dih∞｜∞m｜、∞•｜∞｜node｜∞

雙曲

Z∞｜πi/λ+｜node_h2｜∞

Dih∞｜πi/λ｜node｜∞

## 基本資料

- 施萊夫利符號：偽多邊形、超無限邊形
- 類型：正多邊形、二維雙曲鑲嵌
- 邊：$\frac{i\pi}{\lambda}$、$\infty$
- 施萊夫利符號：$\left\{ \frac{i\pi}{\lambda} \right\}$、$\{\infty\}$
- 對稱群：$\left[\frac{i \pi}{\lambda}\right]$
- 內角（度）：雙曲平角
- 對偶：自身對偶
- 特性：非嚴格凸, 圓內接多邊形, 等邊多邊形, 等角多邊形, 雙曲線, 發散