數學原理

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伯特蘭·羅素曾跟我說過他的一個噩夢。公元2100年，他站在大學圖書館的頂樓看著一名圖書館助理拖著一隻大桶在書架間穿梭。助理時不時將書架上的書籍取下，隨手翻閱幾頁，然後把它放回書架或丟到桶里。最後，他走到世上僅存的最後一套《數學原理》前，取下一卷，翻開沉重的書頁掃視著，似乎對其中怪異的符號感到困惑。他合上書本，將書平放在他的手上猶豫著……

《數學原理》（Principia Mathematica，縮寫PM）是由伯特蘭·羅素與他的老師阿爾弗雷德·諾思·懷特黑德合著的一本數學書籍，書籍共分三卷，分別出版於1910年，1912年，1913年。

它通常縮寫為PM (Principia Mathematica)，為表述所有數學真理在一組數理邏輯內的公理和推理規則下，原則上都是可以證明的。因此這一雄心勃勃的項目對於數學史和哲學史都是非常重要的，然而在1931年，哥德爾不完備性定理證明對於數學原理或其他任何類似的嘗試，這個崇高的目標皆永遠無法達到；也就是說，任何嘗試以一組公理和推理規則來建立的數學系統，不是不自洽，就是不完備 (即存在一些數學真理不能由此系統推理演繹出來)。

數學原理的一個主要的靈感和動機來自於邏輯學家戈特洛布·弗雷格的工作，但伯特蘭·羅素發現其允許建設有矛盾的集合（羅素悖論）。數學原理排除無限制創建任意的集合來試圖避免這個問題，它以不同「類型」的集合來取代一般的集合，一組特定類型的集合只能包含套較低的類型。然而在當代數學，會使用如Zermelo-Fraenkel的集合理論體系，來避免如羅素的笨拙方式。

現代圖書館將此書排在二十世紀英文非虛構書籍中的第23名。

## 覆蓋範圍

原書僅囊括集合論、基數、序數和實數，並沒有包括實分析等複雜定理。然而，前三卷所設基礎已令許多讀者相信，從理論上來說，書中所用的形式邏輯可以用來推導出絕大多數的已知數學定理，但其實際工作的繁瑣程度亦顯而易見。

作者原本籌劃撰寫涵蓋幾何的第四卷，但在完成第三卷後，作者靈感匱乏，未能成書。

## 理論基礎

由於在理論上由庫爾特·哥德爾（下同）的批評指出，不同於形式主義理論，PM的「logicistic」理論有沒有「形式主義的語法明確說明」。另一種看法是，在理論上，（在模型論的意義上）解釋的真值的符號的行為來表述「⊢」（真理斷言），「〜」（邏輯非）和「V」（邏輯或）。

真值：PM嵌入「真」和「假」的概念，「原始命題」的概念。原料（純）形式主義理論所不能提供形成了「原始命題」誠，符號本身可能是絕對武斷和陌生的符號的含義。該理論將符號行為也只是如何基於理論的語法指定。再後來，通過「價值」的分配，模式將指定什麼公式說的解釋。因此，在正式的克萊尼符號下方設置，「解釋」什麼樣的符號通常是指，並暗示他們如何最終被採用，在括號內，例如，「¬（不）」。但是，這不是一個純粹的形式主義理論。

### 現代形式化理論的構建

下面的形式主義理論是作為對比PM的logicistic理論。一個現代的形式系統將構造如下：

使用的符號：該組是開始集合，其它符號可以出現，而是僅由從這些開始碼的定義。起始組可能是Kleene從中導出的以下一組：邏輯符號「→」（意味著，IF-THEN「⊃」），「＆」（和）中，「V」（或），「¬」（不） 「∀」（所有），「∃」（存在）;謂詞符號「=」（等於）;函數符號「+」（算術加法），「∙」（算術乘法），「'」（繼任者）;個別符號「0」（零）;變量「一」，「B」，「C」等;和括號「（」和「）」。

符號串：該理論將通過串聯（並列）建立這些符號的「弦」.

形成規則：理論指定的語法規則（語法規則），通常為以「0」開頭，並指定如何建立可接受的字串或「合式公式」（Wff）遞歸定義這包括對於所謂的「變量」（相對於其他符號類型）中的符號串的規則對「替代」。

變換規則（S）：指定符號和符號序列的行為的公理。

推理，支隊規則，肯定前件：允許理論從「前提」，導致到了「分離」一個「結論」的規則，並隨後放棄「處所」（符號到行的左邊│或符號線之上，如果水平）。如果不是這種情況，那麼取代會導致在必須進行前向越來越長的字串。事實上，假言推理的應用程式後，沒有什麼是離開，但結論，剩下的永遠消失。

當代理論往往指定為第一公理古典或假言推理或「脫離規則」：

A，A⊃乙│乙符號「│」通常寫為水平線，這裡「⊃」是指「意味著」。符號A和B是「替身」的字串;這種形式的符號被稱為「公理模式」（即，有一種特殊形式的符號可以採取可數）。這可以讀取類似的方式IF-THEN但有區別：給定的符號串IF A和A蘊涵B，那麼B（並保留進一步使用僅B）。但符號都沒有「解釋」（例如，沒有「真值表」或「真值」或「真理功能」）和假言推理機制上進行，由單獨的語法。

### 構成

PM理論既有相似之處顯著，以及類似的差異，當代形式理論。克林指出，「這種演繹的數學與邏輯提供了直觀希爾伯特的公理被設計成相信，或者至少被接受為關於世界的假設合理的。」事實上，PM理論不像形式主義理論，即操縱符號根據語法規則，PM引入了「真值」的概念，即在現實世界意義的真理和謬誤，以及「斷言真相」幾乎立即作為理論結構的第五和第六元素（PM 1962：4-36）：

## 版本差異

卷I有五個新增：

- 附錄A,編號為8.15新增謝費爾豎線
- 附錄B,編號為`*` 89,討論感應沒有還原性的公理
- 附錄C、8頁討論命題函數
- 8頁的列表定義最後,給急需的索引使用的大約500個符號。
- 1962年杯發表縮短平裝版包含部分的第二版的卷I:新介紹,正文* 56,和附錄a和C。

## 外部連結

- The first edition was reprinted in 2009 by Merchant Books, ISBN 978-1-60386-182-3, ISBN 978-1-60386-183-0, ISBN 978-1-60386-184-7.
- Stephen Kleene 1952 Introduction to Meta-Mathematics, 6th Reprint, North-Holland Publishing Company, Amsterdam NY, ISBN 0-7204-2103-9.
- Ivor Grattan-Guinness (2000) The Search for Mathematical Roots 1870–1940, Princeton University Press, Princeton N.J., ISBN 0-691-05857-1 (alk. paper).
- Ludwig Wittgenstein 2009 Major Works: Selected Philosophical Writings, HarperrCollins, NY, NY, ISBN 978-0-06-155024-9. In particular:

Tractatus Logico-Philosophicus (Vienna 1918, original publication in German).

- Jean van Heijenoort editor 1967 From Frege to Gödel: A Source book in Mathematical Logic, 1879–1931, 3rd printing, Harvard University Press, Cambridge MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk.)
- Michel Weber and Will Desmond (eds.). Handbook of Whiteheadian Process Thought , Frankfurt / Lancaster, Ontos Verlag, Process Thought X1 & X2, 2008.
- Principia Mathematica —by A. D. Irvine.
- The Notation in Principia Mathematica —by Bernard Linsky.
- Proposition ✸54.43 in a more modern notation (Metamath)