透視變形

在攝影和電影拍攝中，透視變形指的是是一個物體及其周圍區域與標準鏡頭中看到的相比完全不同，由於遠近特徵的相對比例變化，發生了彎曲或變形。透視變形是由拍攝和觀看圖像的相對距離決定的，因為成像的視角也許會比觀看物體的視角更窄或是更廣，這樣看上去的相對距離就會與所期待的不一樣。與這一概念相關的是軸向放大率——在給定放大率下感受到的景深。

透視變形有兩種形式：擴展變形（extension distortion）和壓縮變形（compression distortion），在討論同一成像面積上的圖像時也稱作廣角失真和長焦失真。擴展變形（廣角失真）可以看作是用廣角鏡頭（視角比標準鏡頭廣）近拍得到的圖像。離鏡頭近的物體與遠處物體相比顯得比正常尺寸大，而遠處物體顯得比正常尺寸小而且遠——所以距離受擴展了。壓縮變形（長焦失真）可以看作是用長焦鏡頭（視角比標準鏡頭窄）在遠處拍攝到的圖像。物體無論遠近看起來大小大致相同——較近的物體顯得比正常尺寸小，而較遠的物體顯得比正常尺寸大，這樣便無法區分遠近物體的距離——所以距離受壓縮了。

要注意透視變形是由距離引起的，而非鏡頭——在同一距離拍攝同一場景，無論用什麼鏡頭，拍到的透視變形都是完全相同的。不過，由於廣角鏡頭的視角更寬，所以往往用於近距離拍攝，而長焦鏡頭視角較窄所以往往用於遠攝。例如，如果站在標準鏡頭剛好可以拍到全臉的距離上，用廣角鏡和長焦鏡在這一距離拍臉會有同樣的透視，但是廣角鏡也許會拍下整個身子，而長焦鏡只能拍下鼻子。然而將這三張照片拿來裁剪出相同的拍攝區域，它們的透視變形是完全一致的——三張裡面的鼻子會是一模一樣。相反，如果移動距離使得三個鏡頭都可以剛好拍下鼻子，那麼你會看到明顯的透視變形。

## 光學解釋

考慮一個理想的高斯光學系統。絕大多數情況下我們可以假設物體所在空間與成像空間是同一介質。這樣，聚焦的時候，像平面到透鏡的距離$s_i$，物體到透鏡的距離$s_o$，以及透鏡焦距$f$滿足以下關係：

$${1 \over s_i} + {1 \over s_o} = {1 \over f}$$

橫向放大率$M$由下式給出

$$M = {s_i \over s_o} = {f \over s_o-f}$$

假定物體到像平面的距離是$D$,

$$D={s_\mathrm{i}} + {s_\mathrm{o}}.$$

對於 $D \geq 4f$, 令 $D_\mathrm{f} = D/f$,

$$M = \frac{D -2 f -\sqrt{{D}^{2} -4 D f}}{2f} = \frac{D_f}{2} -1-\sqrt{\frac{{D_f}^{2}}{4} - D_f}\,.$$

在$s_o$處的物體的軸向放大率$M_{ax}$由像距$s_i$的變化與物距$s_o$的變化的比率給出：

$$\begin{align} M_\text{ax} &= \left| \frac{\mathrm{d}s_\mathrm{i}}{\mathrm{d}s_\mathrm{o}} \right| = \left| \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s_\mathrm{o}} \left(\frac{1}{f} - \frac{1}{s_\mathrm{o}}\right)^{-1} \right| \\ &= \left| -\left(\frac{1}{f} - \frac{1}{s_\mathrm{o}}\right)^{-2} s_\mathrm{o}^{-2} \right| \\ &= \frac{s_\mathrm{i}^2}{s_\mathrm{o}^2} = M^2\,. \end{align}$$

當$M>1$，放大率增加時，軸向放大率與橫向放大率的比率也增加。例如，如果$M = 2$，那麼$M_{ax} = 4$，並且圖像是物體的2倍高和4倍深。

對大多數照相機$D \geq 4f, M \leq 1$，如果$M = 0.5$，那麼$M_{ax} = 0.25$，並且圖像是物體的一半高和四分之一深。

在$s_{o}$處的物體的橫向放大率$M$相對於物距$s_{o}$的變化率為：

$${M_{s_{o}}=\left|{d \over d(s_{o})}{s_{i} \over s_{o}}\right|=\left|{d \over d(s_{o})}{f \over (s_{o}-f)}\right|=\left|{-f \over (s_{o}-f)^{2}}\right|={M^{2} \over f}}$$

可以看到，如果橫向放大率為定值，較長的焦距會帶來較小的橫向放大率變化，而較短的焦距會帶來較大的橫向放大率變化。意思是說，移動長焦鏡頭以獲得同樣的放大率$M$時，物體變化少，看起來更淺。反之也成立。

## 影響因素

透視變形由以下兩個因素的關系所影響：照片由照相機拍攝的視角和物體的照片受觀看的視角。

### 拍攝的視角

當站在正常觀看距離觀賞照片時，透視變形的感覺是完全由照片的視角導致的。很多人認為未經處理的照片不會使場景變形，這是不對的。當使用廣角鏡頭近距離拍攝肖像照時可以明顯觀察到透視變形。這時會使鼻子比其他五官要大，而且扭曲了臉部表情，成像效果令人不悅。用長焦鏡頭來拍的話就會讓畫面扁平一些。這就是為什麼85-135mm鏡頭是很好的人像鏡頭。（這裡討論的焦距都是換算成35mm等效焦距的。）但使用更長焦距的鏡頭會使得臉部特徵過於扁平，也會讓觀看者反感。

### 照片受觀看的視角

站在正常觀看距離（大致等於照片的對角線長度）觀看照片時可以獲得正常的透視感。而在比這個距離更近的地方觀看擴展變形（廣角失真）的照片，由於視角變廣了，變形現象會減弱。與此相仿，在比正常觀看距離更遠的地方觀看壓縮變形（長焦失真）的照片，由於視角變窄了，變形現象也會減弱。在某個特定的距離，透視變形會完全消失。

### 示例

下面三張照片是站在同一位置用三顆不同鏡頭拍到的：分別是標準鏡頭、廣角鏡頭和長焦鏡頭。將這三張照片拿來裁剪出相同的拍攝區域，它們的透視變形是完全一致的。

<image>

<image>

<image>

分別使用35mm底片相機和50mm鏡頭、28mm鏡頭和70mm鏡頭，在固定位置拍攝到的圖像。

下面四張照片是用四顆不同的鏡頭拍到儘可能同樣大小的同一物體。由於每顆鏡頭視角不同，拍攝者每次站的距離也不同，按照片順序離受攝物體越來越近。注意背景中建築與前面物體的距離隨著視角的變化。右下角第四幅圖中，由於使用了廣角鏡頭，建築看起來比實際遠得多。

<image>

<image>

<image>

<image>

分別使用35mm底片相機和100mm鏡頭、70mm鏡頭、50mm鏡頭、28mm鏡頭，在不同距離拍攝到的照片。

## 藝術運用

### 技術背景

<image>

儘管無意中造成的透視變形令人煩惱，但是它也會特意使用以達到某些藝術上的目的。擴展變形（廣角失真）常用於強調某一元素，因為可以使它放大或是遠離其它元素。壓縮變形（長焦失真）常用於壓縮物體間的距離，例如大樓或是汽車，以製造擁擠的感覺。長焦鏡頭會放大物體，壓縮距離並且（對焦在前景時）由於淺景深而模糊背景。廣角鏡頭會放大物體間的距離，並且有更大的景深。

使用廣角鏡頭還有一個結果就是當相機不與物體相垂直時會帶來明顯的透視變形：平行線在標準鏡頭中會和人眼看到的同樣比率匯集，但是在廣角鏡頭中由於視野變廣而匯聚得更厲害。例如，相機向上仰視時拍到的建築看上去向後倒得更厲害，因為在廣視角中可以看到的建築的部分更多了。