二十四面體

在幾何學中，二十四面體是指有24個面的多面體，在二十四面體當中沒有任何一個形狀是正多面體，換言之即正二十四面體並不存在，但仍有許多由正多邊形組成的二十四面體，例如三側錐正十二面體和五角錐球狀屋頂，也有一些接近球狀但並非由正多邊形組成的二十四面體，其中對稱性較高的是三角化八面體和鳶形二十四面體等卡塔蘭立體、對稱性較低的是部分詹森多面體的對偶多面體，例如雙四角帳塔反角柱的對偶和異相雙四角帳塔柱的對偶。此外要構成二十四面體至少要有14個頂點。

## 常見的二十四面體

常見的二十四面體中有一些柱體與錐體以及部份的詹森多面體和卡塔蘭立體。

### 二十三角錐

二十三角錐是一種底面為二十三邊形的錐體，為二十四面體的一種，具有24個面、46條邊和24個頂點，其對偶多面體是自己本身。正二十三角錐是一種底面為正二十三邊形的二十三角錐，在施萊夫利符號中可以用{}∨{23}來表示。底邊長為$s$、高為$h$的正二十三角錐體積$V$和表面積$S$為：

$$V=\frac{23 h s^2 \cot{\frac{\pi}{23}}}{12}\approx 13.9448 h s^2$$

$$S=\frac{23s\left(\sqrt{4h^2+s^2\cot^{2}{\frac{\pi}{23}}}+s\cot{\frac{\pi}{23}}\right)}{4}\approx 5.75s\left(\sqrt{4h^2+52.9335s^2}+7.27554s\right)$$

### 二十二角柱

二十二角柱是一種底面為二十二邊形的柱體，是二十四面體的一種，由24個面和66條邊和44個頂點組成。正二十二角柱代表每個面都是正多邊形的二十二角柱，其每個頂點都是2個正方形和1個二十二邊形的公共頂點，頂點圖以$4{.}4{.}22$表示。其在施萊夫利符號中可以用{22}×{}或t{2,22}來表示，在考克斯特-迪肯符號中可以用node_1來表示，在威佐夫符號中可以利用2 22 | 2來表示，在康威多面體表示法中可以利用P22來表示。底邊長為$s$、高為$h$的正二十二角柱體積$V$和表面積$S$為：

$$V=\frac{11 h s^2 \cot{\frac{\pi}{22}}}{2}\approx 38.2533 h s^2$$

$$S=11s\left( 2h+s\cot{\frac{\pi}{22}}\right)\approx 11s\left(2h+6.95515s\right)$$

### 十一角反稜柱

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十一角反稜柱是指底面為十一邊形的反稜柱，由24個面、44條邊和22個頂點組成。正十一角反稜柱代表每個面都是正多邊形的十一角反稜柱，其每個頂點都是3個三角形和1個十一邊形的公共頂點，頂點圖以3.3.3.11表示。

### 十二方偏方面體

十二方偏方面體是一種以十二邊形為底的偏方面體，由24個全等的鳶形組成，為十二角反角柱的對偶多面體，同時也是鳶形多面體，是偏方面體系列的第十個成員。所有十二方偏方面體都有24個面、48條邊和26個頂點，其中，頂點有兩種，分別為12個鳶形的公共頂點和3個鳶形的公共頂點。

十二方偏方面體是一個等面圖形，即面可遞多面體，其所有面都相等。更具體來說，其不僅所有面都全等，且面與面必須能在其對稱性上傳遞，也就是說，面必須位於同一個對稱性軌道內。這種凸多面體是能做成公正的骰子的形狀。

十二方偏方面體在施萊夫利符號中可以用{ }⨁{12}來表示，在考克斯特符號中可以用或來表示，在康威多面體表示法中可以用dA12來表示。

### 詹森多面體

在二十四面體中，有2個是詹森多面體，它們分別為：五角錐球狀屋頂和三側錐正十二面體。

名稱｜種類｜圖像｜編號｜頂點｜邊｜面｜面的種類｜對稱性｜展開圖

五角錐球狀屋頂｜球狀屋頂變體｜

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｜J90｜16｜38｜24｜20個正三角形

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4個正方形

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｜D2d｜

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三側錐正十二面體｜側錐正多面體｜

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｜J61｜23｜45｜24｜15個正三角形

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9個五邊形

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｜C3v｜

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### 卡塔蘭立體

在二十四面體中，有5種拓樸結構明顯不同的卡塔蘭立體，分別為三角化八面體、四角化六面體、鳶形二十四面體和五角化二十四面體，其中五角化二十四面體具有2個手性鏡像，因此幾何上只包含了四種不同的卡塔蘭立體。

名稱｜圖像｜展開圖｜對偶｜面｜邊｜頂點｜頂點布局｜點群

三角化八面體｜

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(動畫)｜

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｜截角立方體｜24｜36｜14｜等腰三角形V3.8.8｜Oh群

四角化六面體｜

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(動畫)｜

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｜截角八面體｜24｜36｜14｜等腰三角形V4.6.6｜Oh群

鳶形二十四面體｜

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(動畫)｜

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｜小斜方截半立方體｜24｜48｜26｜鳶形V3.4.4.4｜Oh群

五角二十四面體(有兩種手性鏡像)｜

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(動畫)

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(動畫)｜

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｜扭稜立方體｜24｜60｜38｜不等邊五邊形V3.3.3.3.4｜O群

### 均勻星形多面體

部分的均勻星形多面體也具有24個面：

名稱｜圖像｜威佐夫符號｜頂點圖｜對稱性｜C#｜W#｜U#｜K#｜頂點｜邊｜面｜歐拉｜密度_(多胞形)｜面種類

雙三斜十二面體｜

<image>

｜3 | 5/3 5｜

<image>

(5/3.5)3｜Ih｜C53｜W080｜U41｜K46｜20｜60｜24｜-16｜4｜12{5}+12{5/2}

截半大十二面體｜

<image>

｜3 | 5/3 5｜

<image>

(5/3.5)3｜Ih｜C53｜W080｜U41｜K46｜20｜60｜24｜-16｜4｜12{5}+12{5/2}

截角大十二面體｜

<image>

｜2 5/2 | 5｜

<image>

10.10.5/2｜Ih｜C47｜W075｜U37｜K42｜60｜90｜24｜-6｜3｜12{5/2}+12{10}

小星形截角十二面體｜

<image>

｜2 5 | 5/3｜

<image>

10/3.10/3.5｜Ih｜C74｜W097｜U58｜K63｜60｜90｜24｜-6｜9｜12{5}+12{10/3}

### 二十四面體列表

名稱｜種類｜圖像｜符號｜頂點｜邊｜面｜χ｜面的種類｜對稱性｜展開圖

二十二角柱｜稜柱體｜t{2,22}{22}x{}node_1｜44｜66｜24｜2｜2個Q303377922個矩形｜D22h, 22,2, (、22 2 2), order 88

二十三角錐｜稜錐體｜∨{23}｜24｜46｜24｜2｜1個二十三邊形23個三角形｜C23v, 23, (、23 23)

二十二角錐台｜錐台｜44｜66｜24｜2｜2個二十二邊形22個梯形｜D22h, 22,2, (、22 2 2), order 88

雙十二角錐｜雙錐體｜{ } + {12}node_f1｜14｜36｜24｜2｜12個三角形

<image>

｜D12h, 12,2, (、2 2 12), order 48

十二方偏方面體｜偏方面體｜

<image>

｜{ }⨁12｜26｜48｜24｜2｜24個鷂形｜D12d, 2+,12, (2、12)

十一角反稜柱｜反稜柱｜

<image>

｜s{2,22}sr{2,11}node_hnode_h｜22｜44｜24｜2｜2個十一邊形22個三角形｜D11d, 2+,22, (2、11), order 44

十一角帳塔｜帳塔｜33｜55｜24｜2｜11個正三角形

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11個正方形

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1個正十一邊形

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1個正二十二邊形

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｜D11d, 2+,22, (2、11), 44階

異相雙四角帳塔柱的對偶偽鳶形二十四面體｜詹森多面體對偶｜

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｜26｜48｜24｜2｜24個鳶形

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｜D4d｜

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