中國數學史

中國數學史是指中國的數學發展史。中國傳統數學稱為算學，起源於仰韶文化，距今有五千餘年歷史，在周公時代，數乃是六藝之一。在春秋時代十進位制的籌算已經普及。著名日本數學史家三上義夫指出，中國算學的發展有二三千年之久，如此長久的發展歷史，世界各國未曾有過，希臘自公元前6世紀到公元4世紀，僅一千年歷史；阿拉伯數學限於公元8世紀到13世紀。「中國之算學史，其有長期之發展，不能不謂之為世界中稀有之例也」。

## 上古至西漢

### 上古時代幾何圖形

中國古代猿人已有初步的幾何形狀的認識。中國考古學家在陝西發現的幾十萬年前藍田猿人遺留的不規則的石球。幾萬年前山西原始人製作的石球形狀規則。到了新石器時代，出現空心陶球。七千年前河姆渡人遺址中發現圓筒，圓珠等形狀。新石器時代陶器上出現有規則的圖案。

### 上古時代的數字概念

半坡出土文物中有雙耳陶器，三足陶器，有的陶器上刻有四葉紋，說明上古時代已有1，2，3，4等數字概念。1963年中國考古學家在山西省朔縣峙峪村出土二萬八千年前的獸骨，上有不同數目的刻痕。從一萬多年前山頂洞人遺址中出土的骨管，上刻有可能表示十進位制的圓形、長形刻符，圓形的表示單位數，長形的可能代表十位數。

西安半坡和姜寨出土的新石器時代陶器上有代表一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、二十、三十的數字符號。

### 十進位制與籌算

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1974年－1978年中國考古學家從青海樂都縣出土數萬件新石器時代的遺物，其中有些骨片上有不同數目的刻紋，表示1到8之數，未發現有10道以上刻紋，與存在十進位制相符。

十進位制起源於中國，至少在公元前1400年的中國商代就已經出現。李約瑟指出：「在商代甲骨文，十進位制已經明顯可見，也比同時代的巴比倫和埃及的數字系統更為先進。巴比倫和埃及的數字系統，雖然也有進位，唯獨商代的中國人，能用不多於9個算籌數字，代表任意數字，不論多大，這是一項巨大的進步」。

籌算至少在戰國初年籌算已然出現。它使用中國商代發明的十進位制計數，利用九九表可以很方便地進行四則運算以及乘方，開方等較複雜運算，並可以對零、負數和分數作出表示與計算。

### 九數

春秋戰國時代已經形成數學的九個分支-九數：

鄭玄引《周禮注》：「九數：方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、盈不足、旁要。」

- 方田：田地測算。
- 粟米：糧食換算比率
- 差分：賦稅的分配。
- 少廣：田畝面積和長闊。
- 商功：工程土方估計。
- 均輸：運輸費用的分配。
- 方程：方程式。
- 盈不足：盈虧問題。
- 旁要：勾股問題。

### 算數書

算數書是一本中國古代數學教科書，約七千字，載於190竹編上。1983年，當考古學家在湖北省張家山挖掘一個墳墓（247號漢墓）時，它和其他一些文獻一起出土。從該墓的文檔證據看，它關閉於西元前186，屬於西漢代早期。它和九章算術的關係尚在學者的討論中，但其一些內容明顯和九章算術平行。有學者認為算數書可能是九章算術的母本。

### 九章算術

九章算術是中國古代數學著作，成書於大約1世紀，但也可能早在公元前200年就已存在。多數學者相信直到九章算術定形時中國的數學和古代地中海世界的數學多少是獨立的發展的。《九章算術》中的開平方、開立方、算術應用、正負數、聯立一次方程組、二次方程等都領先世界幾個世紀

### 漢代

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西漢的張蒼、耿壽昌增補和整理《九章算術》，寫成定本，詳細說明開平方、開立方、和求解線性方程組的演算法。

張衡 (78年－139年）發明$\sqrt{10}$、$\frac{92}{29}$、$\frac{730}{232}$作為圓周率的值。

## 魏晉南北朝

此一時期(220-581)，中國數學在四方面有長足進展，分別為直角三角形三邊關係的確認、測量學、平面面積和立體體積的計算，以及推算圓周率，由趙爽、劉徽、祖沖之與祖暅父子4人個別或相繼完成。

趙爽是魏晉時人，著有《周髀算經注》，其中「勾股圓方圖注」附有圖示，列出有關直角三角形三邊關係的命題21條，分屬「勾股」定理、「弦圖」定理、「勾實之矩」定理與「股實之矩」定理。當中唯有「勾股」定理已見於《周髀算經》。

稍後的劉徽亦魏晉時人，著有《九章算術注》，為《九章算術》各種演算法提出簡括証明。他並在注文中提出割圓術，以內接正六邊形開始，逐次倍加邊數的方法，逐步逼近圓周率。《九章算術》僅以π=3，劉徽則先求得$\pi=\frac{157}{50}=3.14$，和晉武庫王莽銅律嘉量比較，覺得「此術微小」，於是再用圓周率捷法求得π=$\frac{3927}{1250}=3.1416$。前三世紀，希臘數學家阿基米德已用正多邊形逐漸增加邊數的方法求圓周率，但他兼用內接和外切兩種計算，得到出的估計值:${223 \over 71}<\pi<\frac{22}{7}$；也就是 $3.140845 < \pi < 3.142857$。

劉徽的割圓術相比更為簡便，劉徽所得的π=3.1416也優於阿基米德。

劉徽並在《九章算術注》提出重差術，應用中國傳統的出入相補原理，以多達4次的觀測，測量山高水深等數值。在唐代，有關重差術的注文被抽出單行，題為《海島算經》，成為《算經十書》之一。劉徽創造的四次重差觀測術，「使中國測量學達到登峰造極的地步」，使「中國在數學測量學的成就，超越西方約一千年」（美國數學家弗蘭克·斯委特茲語）

劉徽的注釋兼用圖形和模型作說明，以圖形相互拼湊方法解決各種面積計算問題，相當於一般平面幾何學中所用的平移與疊合的方法；並用直截面積的方法來計算立體體積。他指出《九章算術》計算球體體積方法錯誤，但亦未能提出更準確方法。這個疑問須留待祖沖之解決。

祖沖之(429-500)與祖暅父子使中國數學發展創一高峰。祖沖之著有《綴術》、《九章術義注》及《重差注》（一說《綴術》乃祖暅所作），惜俱失佚。

數學上祖沖之的最大貢獻有二：推算圓周率及計算球體體積（一說後者乃祖暅之法）。他繼承劉徽的割圓術，計算圓周率準確至小數點後7位數(3.1415926<π<3.1415927)，這個記錄保持了900多年，至15世紀方為阿拉伯數學家阿爾．卡西(al-Kashi)打破。祖沖之還採用了兩個分數值的圓周率：「約率」$\tfrac{22}{7}$以及「密率」$\tfrac{355}{113}$。日本數學家三上義夫說，「約率$\pi=\tfrac{22}{7}$，無非是幾百年前希臘數學家阿基米德已經得到的數值，但是$\pi=\tfrac{355}{113}$ 這個分數，卻是翻遍古希臘，古印度和阿拉伯的數學文獻都找不到的分數，希臘人肯定不知道它；在歐洲直到1586年才由荷蘭人安托尼斯宗（Adriaan Anthoniszoon）求出了$\tfrac{355}{113}$這個比值。因此，中國人掌握這個非凡的圓周率分數比歐洲早出整整一千年之久」。為紀念這位偉大的中國古代數學家，三上義夫要求把$355 \over 113$稱為「祖率」。

祖沖之（或祖暅）並以直截面積相比的方法，解決球體體積問題（在西方，球體體積問題前三世紀阿基米德已解決），其法今存於唐代李淳風的《九章算術注》中。祖沖之計算方法巧妙，應用現今所謂「卡瓦列里定理」：「等高處的截面面積相等，則二立體的體積相等。」此定理今人公認是義大利數學家卡瓦列里(Gavalieri)所創，因而命名，其實早已為祖沖之所應用。

曆法方面，祖沖之編定「大明曆」，在身故後10年為梁朝所採用，取代何承天(370-447)欠準確的舊曆。

## 宋朝

秦九韶的 《數書九章》發展了一元高次方程求數值解的程序化、機械化演算法。

## 金元

元代朱世傑的 《四元玉鑒》發展了多至四元的多項式方程組的消元和求解的演算法。

## 明清

明代朱載堉發明十二平均律時，使用80檔大算盤，計算開平方，開立方到小數點後25位。

- 算學寶鑑

## 近代

隨著西學東漸，中國數學逐漸與西方數學體系合流，並做出顯著的貢獻，但傳統算學仍然用於日常生活，如使用算盤的珠算仍然用於日常商業買賣中，尤其是傳統貨品的店舖。