歐拉-麥克勞林求和公式

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歐拉-麥克勞林求和公式在1735年由萊昂哈德·歐拉與科林·麥克勞林分別獨立發現，該公式提供了一個聯繫積分與求和的方法，由此可以導出一些漸進展開式。

## 公式

設為一至少階可微的函數，則$$\begin{align} \sum_{a<n \le b} f(n) & = \int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d}t \\ & \quad + \sum_{r=0}^{k} \frac{(-1)^{r+1} B_{r+1}}{(r+1)!} \cdot (f^{(r)}(b)-f^{(r)}(a)) \\ & \quad + \frac{(-1)^k}{(k+1)!} \int_{a}^{b} \bar{B}_{k+1}(t)f^{(k+1)}(t)dt \\ \end{align}$$

其中

- 表示的階乘
- 表示的階導函數
- 其中
- 表示第個伯努利多項式
- $$\begin{cases} B_0(x) \equiv 1 \\ B'_r(x) \equiv r B_{r-1}(x) \quad (r \ge 1) \\ \int_{0}^{1} B_r(x) \, \mathrm{d} x = 0 \quad (r \ge 1) \end{cases}$$
- 表示的小數部分
- 為第個伯努利數

## 證明

證明使用數學歸納法以及黎曼－斯蒂爾傑斯積分，下文中假設的可微次數足夠大。

為了方便，將原式的各項用不同顏色表示：

$$\sum_{a<n \le b} f(n) = {\color{red} \int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d}t} + {\color{OliveGreen} \sum_{r=0}^{k} \frac{(-1)^{r+1} B_{r+1}}{(r+1)!} \cdot (f^{(r)}(b)-f^{(r)}(a))} + {\color{blue} \frac{(-1)^k}{(k+1)!} \int_{a}^{b} \bar{B}_{k+1}(t)f^{(k+1)}(t)dt}$$

### k=0的情形

容易算出$\bar{B}_1(t)={\color{Purple}\left \langle t \right \rangle - \frac{1}{2}}$ $$\begin{align} \sum_{a<n \le b} f(n) & = \int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d}\left \lfloor t \right \rfloor \\ & = {\color{red}\int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d} t} - \int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d}\left \langle t \right \rangle \\ & = {\color{red}\int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d} t} - \int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d}({\color{Purple}\left \langle t \right \rangle - \frac{1}{2}}) \\ & = {\color{red}\int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d} t} - {\color{BurntOrange}\int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d}\bar{B_1}(t)} \\ \end{align}$$

其中橙色的項通過分部積分可化為$$\begin{align} {\color{BurntOrange}\int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d}\bar{B_1}(t)} & = (f(t)\bar{B_1}(t))|_{t=a}^{t=b} - \int_{a}^{b} \bar{B_1}(t) \, \mathrm{d}f(t) \\ & = f(b)B_1(\left \langle b \right \rangle)-f(a)B_1(\left \langle a \right \rangle) - {\color{blue}\int_{a}^{b} \bar{B_1}(t)f'(t) \, \mathrm{d}t} \\ & = {\color{OliveGreen}B_1 \cdot (f(b)-f(a))} - {\color{blue}\int_{a}^{b} \bar{B_1}(t)f'(t) \, \mathrm{d}t} \\ \end{align}$$

### 假設k=n-1時原式成立

$$\sum_{a<n \le b} f(n) = {\color{red} \int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d}t} + {\color{OliveGreen} \sum_{r=0}^{n-1} \frac{(-1)^{r+1} B_{r+1}}{(r+1)!} \cdot (f^{(r)}(b)-f^{(r)}(a))} + {\color{blue} \frac{(-1)^{n-1}}{n!} \int_{a}^{b} \bar{B}_{n}(t)f^{(n)}(t) \, \mathrm{d}t }$$

### 處理積分（藍色項）

$$\begin{align} {\color{blue} \frac{(-1)^{n-1}}{n!} \int_{a}^{b} \bar{B}_{n}(t)f^{(n)}(t) \, \mathrm{d}t} & = \frac{(-1)^{n-1}}{n!} \int_{a}^{b} \frac{\bar{B'}_{n+1}(t)}{n+1}f^{(n)}(t) \, \mathrm{d}t \\ & = \frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)!} \int_{a}^{b} \bar{B'}_{n+1}(t)f^{(n)}(t) \, \mathrm{d}t \\ & = \frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)!} \int_{a}^{b} f^{(n)}(t) \, \mathrm{d}\bar{B}_{n+1}(t) \\ & = \frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)!} ((f^{(n)}(t)\bar{B_{n+1}}(t))|_{t=a}^{t=b} - \int_{a}^{b} \bar{B}_{n+1}(t) \, \mathrm{d}f^{(n)}(t)) \\ & = \frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)!} (f^{(n)}(b)B_{n+1}(\left \langle b \right \rangle)-f^{(n)}(a)B_{n+1}(\left \langle a \right \rangle) - \int_{a}^{b} \bar{B}_{n+1}(t)f^{(n+1)}(t) \, \mathrm{d}t) \\ & = \frac{(-1)^{n-1}B_{n+1}}{(n+1)!}\cdot (f^{(n)}(b)-f^{(n)}(a)) - \frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)!}\int_{a}^{b} \bar{B}_{n+1}(t)f^{(n+1)}(t) \, \mathrm{d}t) \\ & = {\color{OliveGreen}\frac{(-1)^{n+1}B_{n+1}}{(n+1)!}\cdot (f^{(n)}(b)-f^{(n)}(a))} + {\color{blue}\frac{(-1)^{n}}{(n+1)!}\int_{a}^{b} \bar{B}_{n+1}(t)f^{(n+1)}(t) \, \mathrm{d}t)} \\ \end{align}$$

### 將處理後的積分代入

$$\begin{align} \sum_{a<n \le b} f(n) & = {\color{red} \int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d}t} + {\color{OliveGreen} \sum_{r=0}^{n-1} \frac{(-1)^{r+1} B_{r+1}}{(r+1)!} \cdot (f^{(r)}(b)-f^{(r)}(a))} + {\color{blue} \frac{(-1)^{n-1}}{n!} \int_{a}^{b} \bar{B}_{n}(t)f^{(n)}(t) \, \mathrm{d}t } \\ & = {\color{red} \int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d}t} + {\color{OliveGreen} \sum_{r=0}^{n-1} \frac{(-1)^{r+1} B_{r+1}}{(r+1)!} \cdot (f^{(r)}(b)-f^{(r)}(a))} + {\color{OliveGreen}\frac{(-1)^{n+1}B_{n+1}}{(n+1)!}\cdot (f^{(n)}(b)-f^{(n)}(a))} + {\color{blue}\frac{(-1)^{n}}{(n+1)!}\int_{a}^{b} \bar{B}_{n+1}(t)f^{(n+1)}(t) \, \mathrm{d}t)} \\ & = {\color{red} \int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d}t} + {\color{OliveGreen} \sum_{r=0}^{n} \frac{(-1)^{r+1} B_{r+1}}{(r+1)!} \cdot (f^{(r)}(b)-f^{(r)}(a))} + {\color{blue} \frac{(-1)^{(n)}}{(n+1)!} \int_{a}^{b} \bar{B}_{n+1}(t)f^{(n+1)}(t) \, \mathrm{d}t } \\ \end{align}$$

得到想要的結果。

## 餘項（積分項）估計

歐拉-麥克勞林求和公式的精確度通常不一定隨著的增加而增加，相反地，如果相當大，則積分項也會很大。右圖是在計算調和級數的前100項時用Mathematica算出不同的對應的積分項的絕對值：

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## 應用

通過歐拉-麥克勞林求和公式可以給出黎曼ζ函數的漸進式：

$\begin{align} \zeta(s) & = \sum_{n=1}^{N-1} n^{-s} + \frac{N^{1-s}}{s-1} + \frac{1}{2}N^{-s} \\ & \quad + \frac{B_2}{2}s N^{-s-1} + ... + \frac{B_{2 \nu}}{(2 \nu)!} s(s+1)...(s+2 \nu -2) N^{(-s-2 \nu +1)}+R_{2 \nu} \end{align}$ 其中$$R_{2 \nu}= -\frac{s(s+1)...(s+2 \nu -1)}{(2 \nu)!} \int_{N}^{\infty} \bar{B}_{2 \nu}(x)x^{-s-2 \nu} \, \mathrm{d}x$$

## 其他形式

歐拉-麥克勞林求和公式有時也被寫成如下形式：

$\sum_{y<n \le x} f(n)= \int_{y}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t + \int_{y}^{x} (t-\left \lfloor t \right \rfloor)f'(t) \, \mathrm{d}t + f(x)(\left \lfloor x \right \rfloor - x)-f(y)(\left \lfloor y \right \rfloor - y)$ 這是歐拉給出的原始形式。