亥姆霍茲共振

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亥姆霍茲共振（Helmholtz resonance）指的是空氣在一個腔中的共振現象，例如在一個空瓶子的瓶口吹氣引起的共振。在1850年代由赫爾曼·馮·亥姆霍茲設計並命名，亥姆霍茲共振器一開始的目的是為了分辨複雜聲音環境下的不同頻率，比如音樂的樂調。

## 歷史

亥姆霍茲在他1862年出版的書中描述了：「On the Sensations of Tone」，一個可以在複雜聲音環境中分辨出特殊頻率的裝置。現在叫亥姆霍茲共振器，包括了一個已知容積的剛性容器，形狀非常接近球形，容器一端有一個細口，另外一端開了一個大口為了讓聲音進來。

當共振器的『嘴』放在耳邊時，某種特殊頻率的聲音將被篩選出並被清楚的聽到。在亥姆霍茲的書中我們能看到這樣的句子：

When we "apply a resonator to the ear, most of the tones produced in the surrounding air will be considerably damped; but if the proper tone of the resonator is sounded, it brays into the ear most powerfully…. The proper tone of the resonator may even be sometimes heard cropping up in the whistling of the wind, the rattling of carriage wheels, the splashing of water."

當我們「把共振器放在耳邊，來自背景中的大部分的音將會顯著耗散，但是如果捕捉到了特定的音，它將把這個音以最大的強度送到耳邊……。諧振器對應的恰當頻率可能捕捉到風的呼嘯，馬車輪子的晃動聲以及水濺射時的泠泠作響。」

一組不同尺寸的共振器作為商品出售，目的是為了在複雜聲音中過濾並分析特定頻率的聲音。從柯尼希公司1889年的的聲音諧振器產品目錄中可知，一系列14個諧振器價值380法郎。

還有一種可調節的被稱為通用共振器（universal resonator），由兩個圓柱體組成，一個在另一個內部，通過滑動可以連續調節共振器的容積。這種共振器被用在傅立葉分析中，相當於方程中的音調變換器。當空氣進入共振腔時，引起了腔內氣壓的變化。第一階段空氣被壓縮，氣壓上升，第二階段外力撤除後，高氣壓驅使空氣排出共振腔。又因為慣性，之後的氣壓會比平衡氣壓稍微的第一些，然後空氣又反覆進入共振腔。這個過程就是共振。共振開始和結束時會有一個漸進的過程。

埠（腔室的開口）被放置在外耳道附近，使得實驗者可以聽到聲音，並確定它的響度。參與共振的空氣品質由第二個大一些的孔的位置決定，這個孔沒有一個瓶頸。

一個腹足貝殼（海螺）可形成低品質因數Q值的亥姆霍茲共振器，從而貼在耳朵附近能聽到「海的聲音」。

向一個瓶子口吹氣引起的空氣振動的現象現在也被稱為亥姆霍茲共振。在這種情況下，瓶口的長度和直徑將影響共振頻率和品質因數Q。

還有其他有關亥姆霍茲共振器的定義，比如亥姆霍茲共振器是通過吸收環境中的聲音而使得一個封閉空腔中的空氣產生振動的裝置。此外，還有一個定義，亥姆霍茲共振指的是由均勻空氣流動使某一體積下的封閉空氣產生振動的現象。

## 定性解釋

共振角頻率由下式給出：

$\omega_{H} = \sqrt{\gamma\frac{A^2}{m} \frac{P_0}{V_0}}$ (rad/s),

其中：

- $\gamma$ (gamma) 指的是絕熱指數 或某種比熱容。對於空氣和其他雙原子分子氣體來說，這個值通常是1.4。
- $A$ 是開口的橫截面積。
- $m$ 是開口的質量。
- $P_0$ 是共振腔的靜態壓力。
- $V_0$ 是共振腔的靜態容積。

對於開口是圓柱形或者是長方體的，我們可以得到：

$A = \frac{V_n}{L_{eq}}$,

其中：

- $L_{eq}$ 是校正後瓶口的等效長度，可以由：$L_{eq} = L_n + 0.3 D$計算出來，其中$L_n$是瓶口的實際長度，$D$ 是瓶口的水力直徑。
- $V_n$ 是開口處的空氣體積。

因此：

$\omega_{H} = \sqrt{\gamma\frac{A}{m} \frac{V_n}{L_{eq}} \frac{P_0}{V_0}}$.

由質量密度的定義可知 (${\rho}$)： $\frac{V_n}{m} = \frac{1}{\rho}$, 我們有：

$\omega_{H} = \sqrt{\gamma\frac{P_0}{\rho} \frac{A}{V_0 L_{eq}}}$ ,

以及：$f_H = \frac{\omega_H}{2\pi}$ ,

其中：

- fH 是共振頻率 (單位是赫茲).

氣體中的聲速由下式給出：

$v = \sqrt{\gamma\frac{P_0}{\rho}}$ ,

因此，共振頻率不難得出：

$f_{H} = \frac{v}{2\pi}\sqrt{\frac{A}{V_0 L_{eq}}}$.

開口處的長度之所以出現在分母中是因為開口處空氣的慣性與長度成正比關係。以及，空腔的容積同樣出現在了分母中，這是因為腔中空氣的彈性係數和容積成反比。開口的橫截面積有兩方面的影響。增加橫截面積會按比例增加空氣的慣性，但是會減慢空氣流動的速率。

## 應用

亥姆霍茲共振在內燃機領域有著應用(參見：進氣箱、亞低音揚聲器、音響)。道奇Viper和Ram皮卡的克萊斯勒V10發動機和幾個Buell公司製造的系列摩托車引擎的進氣系統可以用一個「亥姆霍茲系統」來描述，在弦樂器如吉他和小提琴中，樂器的共振曲線具有亥姆霍茲共振作為其峰之一，以及來自木材振動共振的其它峰。陶笛本質上是亥姆霍茲諧振器，其中打開的指孔的組合面積決定了由儀器演奏的音符。西非手鼓也是一個亥姆霍茲諧振器，頸部面積小，可以發出深深的低音。

亥姆霍茲共振器的理論在摩托車和汽車尾氣排放管中也有應用，以通過向排氣管內添加空腔來改變排氣管的噪聲和用於不同輸送功率的排氣管。排氣共振器還可用於減小潛在的大分貝、煩人的發動機噪聲，其中經過計算得出的尺寸可以使得由共振器消除排氣管中某些噪聲的頻率。

在一些二衝程發動機中，亥姆霍茲共振器可用於替代簧片閥。類似的效果也用於大多數二衝程發動機的排氣系統，使用反射的壓力脈衝給氣缸過度增壓（參見Kadenacy效應）。

亥姆霍茲共振器還可用於建築聲學中，通過構建一個諧振器來篩選低頻率聲波（人們不想要的頻率：駐波，次聲波等對人體有害的頻率），從而消除它。

亥姆霍茲共振器還被應用於減少飛行器引擎的噪聲的聲襯(acoustic liners)上面。比如，這種聲襯由兩部分組成：

- 一個單片金屬（或其它材料）上面有很多小孔以規則或不規則的形式分布，這就是所謂的阻力片。
- 一系列的「蜂窩腔」（但實際上起作用的是容積）。

這種聲襯被應用於現今幾乎所有的飛行器引擎上。在飛機的內部或外部通常能見到多孔板，略低於一種蜂窩（honeycomb）結構。多孔板的厚度非常重要。有的時候會使用兩層的襯底，這種有著兩個自由度（Degrees Of Freedom）的聲襯叫做雙襯（"2-DOF liners"）為了和只有一個自由度的單襯（"single DOF liners"）區別。

這種效應也可用作減少飛行器翼的表面寄生阻力（表面摩擦阻力），效果可以減少到原來的60%。

亥姆霍茲共振還可以用來解釋高速行駛的汽車上稍微開一點側窗玻璃引起的巨大噪聲，這種現象也稱為「側窗抖振」（side window buffeting）或者風悸動（wind throb）。

## 參見

- Oxford Physics Teaching, History Archive, " Exhibit 3 - Helmholtz resonators " (archival photograph)
- HyperPhysics Acoustic Laboratory
- HyperPhysics Cavity Resonance
- Beverage Bottles as Helmholtz Resonators Science Project Idea for Students
- Helmholtz Resonance (web site on music acoustics)
- Helmholtz's Sound Synthesiser on '120 years Of Electronic Music'