五角六十面體

在幾何學中，五角六十面體是一種卡塔蘭立體，為由60個不等邊五邊形組成的六十面體，並且是阿基米德立體扭棱十二面體的對偶多面體。這種立體是一個等面圖形，也就是說它每個面都全等，但組成面不是正多邊形。五角六十面體有兩種不同的形式，它們互為鏡像（或「對映體」），是為手性鏡像，兩種手性鏡像的面、頂點、邊數皆相同，共有60個面、150個邊、92個頂點。五角六十面體是頂點數最多的卡塔蘭立體。在卡塔蘭立體和阿基米德立體中，五角六十面體的頂點數為第二多，僅次於具有120個頂點的大斜方截半二十面體。

## 性質

五角六十面體是一個手性 (數學)，也就是說，該多面體鏡射之後會跟原本的形狀不同，無法藉由旋轉半周再回到原本的形狀。這兩種形式互為鏡像（或「對映體」），又稱為手性鏡像，且其面、頂點、邊數皆相同，共有60個面、150個邊、92個頂點。在其92個頂點中，有80個頂點是三階頂點，即3個五邊形的公共頂點和12個頂點是五階頂點，即5個五邊形的公共頂點。

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五角六十面體的旋轉透視圖｜

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五角六十面體的另一個手性鏡像的旋轉透視圖

### 構造

五角六十面體是扭棱十二面體的對偶多面體。事實上，五角六十面體可以不經由對偶變換而從扭棱十二面體構造。首先在扭棱十二面體的所有12個五邊形面上加入五角錐，再將扭棱十二面體的所有不與五邊形面相鄰的20個三角形面上加入三角錐，並調整加入之錐體的錐高，使加入的錐體之側面與其餘60個三角形面共面則形成五角六十面體，然而這種方式構造的五角六十面體會稍微有點形變。

### 二面角

五角六十面體只有一種二面角，約為153.18度：

$\arccos{\left(-\frac{2\left(x+\frac{2}{x}\right)\left(1+15\varphi\right)+\left(15+16\varphi\right)}{209}\right)}\approx$2.67347322717678$\approx$153.178732558°

其中$\varphi$為黃金比例、$x$為$\sqrt[3]{\tfrac{\varphi+\sqrt{\varphi-\tfrac{5}{27}}}{2}}+\sqrt[3]{\tfrac{\varphi-\sqrt{\varphi-\tfrac{5}{27}}}{2}}$

### 面的組成

五角六十面體60個全等的五邊形面組成，每個五邊形都具有3條短邊和2條長邊，若令$x$為$\sqrt[3]{\tfrac{\varphi+\sqrt{\varphi-\tfrac{5}{27}}}{2}}+\sqrt[3]{\tfrac{\varphi-\sqrt{\varphi-\tfrac{5}{27}}}{2}}$，則短邊與長邊的比為：

$\frac{1}{x} : \frac{x\left( 2+7\varphi\right)+\left( 5\varphi-3\right)+\frac{2\left( 8-3\varphi\right)}{x}}{31}\approx$0.582899534744982414 : 1.019988247022845898

其中$\varphi=\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}$為黃金比例。

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若令$\xi\approx 0.943\,151\,259\,24$為多項式$x^3+2x^2-\varphi^2$的根，則長邊與短邊的比值$l$為：

$l=\frac{1+\xi}{2-\xi^2}\approx 1.749\,852\,566\,74$.

也就是說，若短邊為單位長，則長邊的長度約為1.74985單位長。

組成五角六十面體的五邊形有4個相等的鈍角和一個銳角（兩個長邊的夾角）。其中鈍角的角度為$\arccos(-\xi/2)\approx 118.136\,622\,758\,62^{\circ}$，約118度8分，而反餘弦內的值是多項式$64x^6-128x^5+64x^4+24x^3-24x^2+1$的第一個實根；銳角的角度為$\arccos(-\varphi^2\xi/2+\varphi)\approx 67.453\,508\,965\,51^{\circ}$，約67度28分，而反餘弦內的值是多項式$64x^6-384x^5+384x^4+888x^3+168x^2-128x-31$的第4個根。

### 幾何

扭棱十二面體的面心不能直接作為五角六十面體的頂點，因為4個三角形的面心位於同一個平面上，但五邊形的面心則否，它需要被徑向推出以使其與三角形中心共面。因此，五角六十面體的頂點並不都位於同一個球面上，因此根據定義，五角六十面體不是一個環帶多面體。

若其對偶多面體的邊長為單位長，則對應的五角六十面體八十個三階頂點所在的球面之半徑為：

$\frac{\sqrt{3\left(x\varphi+1+\varphi+\frac{1}{x}\right)}}{2}\approx$2.1172098986

十二個五階頂點所在的球面之半徑為：

$\frac{\sqrt{x^2\left(1009+1067\varphi\right)+x\left(1168+2259\varphi\right)+\left(1097+941\varphi\right)}}{62}\approx$2.220000699

### 體積與表面積

若要計算五角六十面體的體積和表面積，則需要將其中一個五邊形面的短邊表示為$b$，並令常數$t$為：

$t=\frac{\sqrt[3]{44+12\varphi(9+\sqrt{81\varphi-15})}+\sqrt[3]{44+12\varphi(9-\sqrt{81\varphi-15})}-4}{12}\approx0.471\,575\,629\,622$ .

則短邊長為$b$的五角六十面體表面積（A）為：

$A=\frac{30b^2\cdot(2+3t)\cdot\sqrt{1-t^2}}{1-2t^2}\approx162.698\,964\,198b^2$.

體積（V）為：

$V=\frac{5b^3(1+t)(2+3t)}{(1-2t^2)\cdot\sqrt{1-2t}}\approx189.789\,852\,067b^3$.

使用以上這些數值，可以計算此形狀的球形度量值：

$$\Psi = \frac{\pi^{\frac{1}{3}}(6V)^{\frac{2}{3}}}{A} \approx 0.98163$$

## 用途

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由於五角六十面體是一個等面多面體，因此可以製成骰子。

## 參考文獻

- (Section 3-9)
- (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 29, Pentagonal hexecontahedron)

## 基本資料

- 域：（按這裡觀看旋轉模型）
- 類型：卡塔蘭立體、六十面體
- 面：60
- 邊：150
- 頂點：92
- 頂點的種類：80個3階頂點、12個5階頂點
- Face_configuration：V3.3.3.3.5、V34.5
- 面的種類：

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、不等邊五邊形
- 康威表示法：gD
- 名稱：sapedit
- 對稱群：Ih, 1H3, 5,3+, (532)
- 旋轉對稱群：I, 5,3+, (532)
- 雙處理器晶片組：扭棱十二面體
- 二面角：153° 10′ 43′′