終端速度

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在流體動力學中，當物體在流體中運動時，在流體向物體運動反方向所施的力下，物體的運動速度因而不變，這時物體所移動的速度就是終端速度。

當向下的重力（Fg）相等於向上的阻力（Fd）時，自由落體中的物體會達到終端速度。此時物體的淨力為零，因此物體的速度保持不變。

當物體加速的時候（一般是因為重力而向下加速），施向物體的抗力也在增加，使得加速度慢下來。在某一個速度下，所產生的抗力會相等於物體的重量（$mg$）。這時候物體停止加速，並持續以不變的速度下落，這個速度就是終端速度（也叫沉降速度）。終端速度直接隨著重量與阻力的比值而變。更大的抗力代表較低的終端速度，而更大的重量則代表較高的終端速度。若一向下移動物體的速度大於終端速度（比方說它受一向下的力影響，或它掉進了較薄的大氣層區域，或它的形狀改變），它的速度會慢下來，直至達到終端速度為止。

## 例子

舉例說，基於風阻，一個採取俯伏向下自由落體姿勢的跳傘員，其終端速度約為55m/s。這個速度是整個加速過程的漸近極限值，因為作用在身體上的有效力在接近終端速度的過程中，愈來愈接近互相平衡的狀態。在這個例子中，要達到終端速度的50%只需要3秒，達到90%則需要8秒，而達到99%就需要15秒，如此類推。

如果跳傘員把四肢收起來的話，終端速度會提高。在這個例子中，終端速度會提昇至90m/s，幾乎到達游隼向下追捕獵物時的速度；一粒典型的.30-06步槍子彈在垂直下墜時也會達到這樣的終端速度——垂直下墜可能是因為被向上射擊後要回到地面，又或是從高樓上掉下——其速度是來自於一份1920年的美軍軍械研究報告。

競速跳傘員會使用頭向下俯衝的姿勢來達到更高的速度，2012年之前的世界紀錄由約瑟夫·基廷格在1960年所創下，速度為988 km/h，當時位於海拔較高的地方，因此大氣層較為稀薄，空氣阻力較小。菲利克斯·保加拿為了打破此紀錄，在2012年10月15日從39公里高的同溫層跳下，最高時速高達1357.6 km/h，是目前的世界紀錄保持人。

一向著地球表面下墜物體的速度，每秒鐘會增加每秒鐘9.806米（即加速度為9.806m‧s-2）。物體會達到終端速度的原因是，阻力的大小與速度的平方成正比。在低速時，阻力比重力要小得多，所以物體加速。當物體在加速時，阻力增加，直至與重量相等。阻力同時亦取決於投影面積。就是因為這個原因，相對於質量有著大投影面積的物體，如降落傘，比其他這方面小的物體，如子彈，有著更低的終端速度。

數學上，無視浮力的終端速度可用下式表示：

$$V_t= \sqrt{\frac{2mg}{\rho A C_d }}$$

其中

$V_t$為終端速度。

$m$為物體重量。

$g$為地球所引起的加速度。

$C_d$為阻力係數。

$\rho$為物體落下時所處的流體密度。

$A$為物體的投影面積。

數學上，一物體漸近地到達終端速度。

由周遭流體向物體所施的向上力所造成的浮力效應，可用阿基米德定律來描述：質量$m$必須減去所排開的流體質量$\rho\mathcal{V}$，其中$\mathcal{V}$為物體的體積。所以不使用$m$，在各方程中改用約化質量$m_r=m-\rho\mathcal{V}$。

在地球上，一物體的終端速度取決於流體的性質、物體的質量及其橫截表面積的投影大小。

空氣密度隨著海拔減少而增加，海拔每減少80米，密度就增加約1%（使用氣壓公式）。若物體下降時穿越大氣層，每下降160米，終端速度就會減少1%。當物點達到所處點的終端速度後，若持續下降，則物體會因為新位置的終端速度而減速。

## 終端速度的推導

數學上，把向下定義為正方向，物體在接地球表面落下是所受的淨力Fnet為（根據牛頓第二運動定律）：

$F_{net} = m a = m g - F_D$。

其中：

a為加速度。

FD為阻力。

根據阻力公式：

$F_D\, =\, \tfrac12\, \rho\, v^2\, C_d\, A$。

將上兩式結合可得

$F_{net} = m g - {1 \over 2} \rho v^2 A C_\mathrm{d}$。

在平衡時，淨力為零（F=0）：

$m g - {1 \over 2} \rho v^2 A C_\mathrm{d} = 0 \ $。

解v可得。

$\sqrt\frac{2mg}{\rho A C_\mathrm{d}} \ $。

速度v作為時間t函數解的推導阻力方程為 :$m a = m \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = m g - \frac{1}{2} \rho v^2 A C_\mathrm{d}$。取'k = 1ρACd，此時方程的形式較為實用。兩邊一起除以m得 :$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=g-\frac{kv^2}{m}$。整理方程得 :$dt=\frac{\mathrm{d}v}{g-\frac{kv^2}{m}}$。取兩邊積分得 :$\int_0^t {\mathrm{d}t^\prime} = \int_0^v \frac{\mathrm{d}v^\prime}{g-\frac{kv^{\prime 2}}{m}} = {1 \over g}\int_0^v \frac{\mathrm{d}v^\prime}{1-\alpha^2 v^{\prime 2}}$，其中α = ( k )1. 積分後，得 :$t-0={1 \over g}\left[{\ln(1+\alpha v^\prime) \over 2\alpha}-\frac{\ln(1-\alpha v^\prime)}{2\alpha}+C \right]_{v^\prime=0}^{v^\prime=v}={1 \over g} \left[{\ln \frac{1+\alpha v^\prime}{1-\alpha v^\prime} \over 2\alpha}+C \right]_{v^\prime=0}^{v^\prime=v},$ 或簡化形式 :$t={1 \over 2\alpha g} \ln \frac{1+\alpha v}{1-\alpha v} \ .$ 反雙曲正切函數（arctanh）的定義為: :$\frac{1}{2} \ln \frac{1+\alpha v}{1-\alpha v}=\mathrm{arctanh}(\alpha v)$. 故方程解的積分為 :$t=\frac{\mathrm{arctanh}(\alpha v)}{\alpha g}$，上式可簡化成 :$\frac{1}{\alpha}\tanh(\alpha g t)=v$，其中tanh為雙曲正切函數。設g為正數（它的定義確實是正數），然後把α的值代入，得 :$v=\sqrt{\frac{mg}{k}} \tanh \left( \sqrt{\frac{k}{mg}} g t\right)$，代入k = 1ρACd，得v所需的形式 :$v=\sqrt\frac{2mg}{\rho A C_d} \tanh \left(t \sqrt{\frac{g \rho A C_d }{2m}}\right)$，當時間趨向無限（t → ∞），雙曲正切趨向1，得終端速度 :$\sqrt\frac{2mg}{\rho A C_d}$。

由能量守恆推導能量守恆方程為 :$mgh= k v^2 h + \frac{1}{2} m v^2$。分離v得到 :$v =\sqrt\frac{mgh}{kh + {1 \over 2}m} \ $。當時間趨近無限，即高度趨近於無限( h = vt , v 始終為正), h → ∞，故以上式子取極限得 :$v =\sqrt\frac{mg}{k} \ $。

## 有浮力情況下的終端速度

當考慮浮力效應時，因自身質量而在流體中下沉的物體，若其淨力為零，就會達到終端速度（沉降速度）。當達到終端速度時，物體的重量會正好等於向上的浮力與阻力之和。即：

$$\quad (1) \qquad W = F_b + D$$

其中

$W$為物體的重量。

$F_b$為作用於物體上的浮力，及

$D$ 為作用於物體上的阻力。

若下沉的物體是球狀的，則三種力的表示式如下：

$$\quad (2) \qquad W = \tfrac{\pi}{6} d^3 \rho_s g$$

$\quad (3) \qquad F_b = \tfrac{\pi}{6} d^3 \rho g$

$$\quad (4) \qquad D = C_d \tfrac{1}{2} \rho V^2 A$$

其中

$d$為球體的直徑。

$g$為重力加速度。

$\rho$為流體的密度。

$\rho_s$為球體的密度。

$A = \pi d^2/4$為球體投影面積。

$C_d$阻力係數，及

$V$為特徵速度（即終端速度，$V_t$）。

將方程(2)至(4)代入至方程(1)，求解$V_t$的值，得下式：

$\quad (5) \qquad V_t = \sqrt{\frac{4 g d}{3 C_d} \left( \frac{\rho_s - \rho}{\rho} \right)}$。

### 蠕流下的終端速度

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對流體內非常慢的運動而言，相對於其他力，流體的慣性力是無關重要的（假設流體無質量）。這樣的流被稱為蠕流，而蠕流需要滿足雷諾數$Re \ll 1$的條件。蠕流的運動方程（簡化後的納維-斯托克斯方程）如下：

$$\nabla p = \mu \nabla^2 {\mathbf v}$$

其中：

${\mathbf v}$為速度向量場。

$p$為壓力場，及

$\mu$ 為流體黏度。

流過球體的蠕流解析解最早由喬治·斯托克斯於1851年提出。從斯托克斯的解可得作用於球體的阻力

$\quad (6) \qquad D = 3\pi \mu d V \qquad \qquad$ 或 $\qquad \qquad C_d = \frac{24}{Re}$

其中雷諾數$Re = \tfrac{\rho d V}{\mu}$。方程(6)中表示阻力的式子又被稱為斯托克斯定律。

把$C_d$的值代入至方程(5)，可得球狀物體在蠕流條件下的終端速度表示式：

$V_t = \frac{g d^2}{18 \mu} \left(\rho_s - \rho \right)$。

### 應用

蠕流的計算結果可被用於研究近海底沉積粒子的沉降，及大氣層中下降的水滴。其原理被應用於落球式黏度計，一種量度高黏度流體黏度的實驗裝置。