高斯光束

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在光學中，高斯光束（Gaussian beam）是橫向電場以及輻照度分布近似滿足高斯函數的電磁波光束。許多雷射都近似滿足高斯光束的條件，在這種情況中，雷射在光諧振腔中以TEM00波模（橫向基模）傳播。當它在滿足近衍射極限的鏡片中發生折射時，高斯光束會變換成另一種不同參數的高斯光束，因此，高斯光束是雷射光學中一種方便、廣泛應用的模型。

描述高斯光束的數學函數是亥姆霍茲方程的一個近軸近似解（屬於小角近似的一種）。這個解具有高斯函數的形式，代表了光束中電場分量的復振幅。儘管電磁波的傳播包括電場和磁場兩部分，研究其中任一個場，就足以描述波在傳播時的性質。

高斯光束中，場的行為可以通過幾個參數加以刻畫，如光斑大小，曲率半徑，古依相移等。

亥姆霍茲方程的近軸近似解可能不止一個。笛卡爾坐標系下求解可得一類稱為厄米-高斯模的解，在柱坐標中求解則得到一類稱為拉蓋爾-高斯模的解。對這兩類解，最低階都是高斯光束，高階解則描述了光學諧振腔中的高階橫向模。

## 數學形式

高斯光束作為電磁波的橫向電磁模，通過求解近軸亥姆霍茲公式，可得電場的振幅

$$E(r,z) = E_0 \frac{w_0}{w(z)} \exp \left( \frac{-r^2}{w^2(z)}\right) \exp \left( -ikz -ik \frac{r^2}{2R(z)} +i \zeta(z) \right)\ ,$$

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這裡

$r$ 為徑向坐標，以光軸中心為參考點

$z$ 為軸向坐標，以光軸上光波最狹窄（束腰）位置為參考點

$i$ 為虛數單位（即 $i^2 = -1$）

$k = { 2 \pi \over \lambda }$ 為波數（以「弧度/米」為單位）

$$E_0 = |E(0,0)|$$

$w(z)$ 為當電磁場振幅降到軸向的1/e、強度降到軸向的1/e2的點的半徑

$w_0 = w(0)$ 為雷射的束腰寬度

$R(z)$ 為光波波前的曲率半徑

$\zeta(z)$ 為軸對稱光波的 Gouy 相移，對高斯光束的相位也有影響

此外，上式中默認忽略了含時項 $e^{i \omega t}$。

對應的輻照度時域平均值為

$$I(r,z) = { |E(r,z)|^2 \over 2 \eta } = I_0 \left( \frac{w_0}{w(z)} \right)^2 \exp \left( \frac{-2r^2}{w^2(z)} \right)\ ,$$

這裡 $I_0 = I(0,0)$ 為光波束腰中心處的輻照度。常數 $\eta \,$ 為光波所在傳播介質中的波阻抗。在真空中，$\eta = \eta_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} = 1/(\varepsilon_0 c) \approx 376.7 \ \mathrm{\Omega}$。

## 波束參數

高斯光束的許多性質由一系列波束參數決定，下面將分別予以介紹。

### 束腰

對於在自由空間傳播的高斯光束，其腰斑位置的半徑在光軸方向總大於一個最小值 $w_0$，這個最小值被稱為束腰（beam waist）。波長為 $\lambda$ 的光波的腰斑位置在 $z$ 軸上的分布為

$$w(z) = w_0 \, \sqrt{ 1+ {\left( \frac{z}{z_\mathrm{R}} \right)}^2 } \ .$$

這裡將 $z = 0$ 定義為束腰的位置。

$$z_\mathrm{R} = \frac{\pi w_0^2}{\lambda}$$

被稱為瑞利距離。

### 瑞利距離和共焦參數

與束腰軸向距離等於瑞利距離 $z_R$ 處的束寬為

$$w(\pm z_\mathrm{R}) = w_0 \sqrt{2}. \,$$

這兩點之間的距離稱作共焦參數或光束的焦深。

$$b = 2 z_\mathrm{R} = \frac{2 \pi w_0^2}{\lambda}\ .$$

### 曲率半徑

$R(z)$ 是光束波前的曲率半徑，它是軸向距離的函數

$$R(z) = z \left[{ 1+ {\left( \frac{z_\mathrm{R}}{z} \right)}^2 } \right] \ .$$

### 光束偏移

當 $z \gg z_\mathrm{R}$，參數 $w(z)$ 與 $z$ 呈線性關係，趨近於一條直線。這條直線與中央光軸的夾角被稱為光束的「偏移」，它等於

$$\theta \simeq \frac{\lambda}{\pi w_0} \qquad (\theta \mathrm{\ in \ radians}).$$

在遠離束腰的位置，光束彎散的總角度為

$$\Theta = 2 \theta\ .$$

由於這一性質，聚焦於一個小點的高斯雷射在遠離這個點的傳播過程中迅速散開。為了保持雷射的準直，雷射束必須具有較大的直徑。束寬和光束偏移的這一關係是由於衍射的緣故。非高斯光束同樣會表現這一效應，但是高斯光束是一種特殊情況，其束寬和偏移的乘積是可能達到的最小值。

由於高斯光束模型使用了近軸近似，當波前與光傳播方向傾斜程度大於30度之後，這種模型將不再適用。通過上述偏移的表達式，這意味著高斯光束模型僅對束腰大於 $2 \lambda / \pi$ 的光束適用。

雷射束的質量可以用束參數乘積（BBP）來衡量。對於高斯光束，BBP 的數值就是光束的偏移量與束腰 $w_0$ 的乘積。實際光束的 BPP 通過計算光束的最小直徑和遠場偏移量的乘積來獲得。在波長一定的情況下，實際光束的 BPP 數值與理想雷射束的 BPP 數值的比值被稱為「M2」。高斯光束的 M2 值為1，而所有的是雷射束的 M2 值均大於1，並且質量越好的雷射的 M2 值越接近1。

### Gouy 相位

光束的軸向上的相位延遲，或稱 Gouy 相位為

$$\zeta(z) = \arctan \left( \frac{z}{z_\mathrm{R}} \right) \ .$$

當光束通過焦點時，除了正常情況下平面波的相移 $e^{-i k z}$ 外，多出一個額外的 Gouy 相移 $\pi$。

### 複數形式的光束參數

可以通過複數形式的光束參數 $q(z)$ 囊括光斑尺寸與曲率半徑的資訊。

$$q(z) = z + q_0 = z + iz_\mathrm{R} \ .$$

倒數 $1/q(z)$ 顯式提供了 $q(z)$，$w(z)$ 與 $R(z)$ 間的關係：

$${ 1 \over q(z) } = { 1 \over z + iz_\mathrm{R} } = { z \over z^2 + z_\mathrm{R}^2 } - i { z_\mathrm{R} \over z^2 + z_\mathrm{R}^2 } = {1 \over R(z) } - i { \lambda \over \pi w^2(z) }.$$

光束參數的複數形式在高斯光束傳播的分析中有著重要地位，特別是當使用光線傳遞矩陣分析光諧振腔中光束傳播。

利用複數光束參數 $q$，具有一個橫向維度的高斯光束電磁場與下式成比例

$${u}(x,z) = \frac{1}{\sqrt{{q}_x(z)}} \exp\left(-i k \frac{x^2}{2 {q}_x(z)}\right).$$

在二維的情況中，可以將散光的光束表達為乘積的形式

$${u}(x,y,z) = {u}(x,z)\, {u}(y,z),$$

對於圓對稱的普遍情況，${q}_x = {q}_y = {q}$ 且$x^2 + y^2 = r^2$，可以得出

$${u}(r,z) = \frac{1}{{q}(z)}\exp\left( -i k\frac{r^2}{2 {q}(z)}\right).$$

## 功率和輻照度

### 流經孔隙的功率

流經距離 z 軸半徑為r的圓的功率為

$$P(r,z) = P_0 \left[ 1 - e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]\ ,$$

這裡

$P_0 = { 1 \over 2 } \pi I_0 w_0^2$ 為電磁波傳播的總能量

流經以 $r = w(z) \,$ 為半徑的圓的能量占總能量的比值為

$${ P(z) \over P_0 } = 1 - e^{-2} \approx 0.865\ .$$

類似的，占光波總能量約90%的部分將流經半徑為 $r = 1.07\cdot w(z) \,$ 的圓形面積，總能量的95%通過 $r = 1.224\cdot w(z) \,$ 的圓形面積，總能量的99%會通過 $r = 1.52 \cdot w(z)$ 的圓。

### 輻照度的峰值和平均值

在與束腰的軸向距離為 $z$ 的位置，利用洛必達法則，可以計算該位置的輻射照度峰值

$$I(0,z) =\lim_{r\to 0} \frac {P_0 \left[ 1 - e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]} {\pi r^2} <pre> = \frac{P_0}{\pi} \lim_{r\to 0} \frac { \left[ -(-2)(2r) e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]} {w^2(z)(2r)} = {2P_0 \over \pi w^2(z)}.$$

可以看出，輻照度峰值為平均值的兩倍，後者等於總能量除以半徑為 $w(z)$ 的圓的面積。

## 參考文獻

- Chapter 3, "Beam Optics," pp. 80–107.
- Chapter 5, "Optical Beams," pp. 267.
- Chapter 16.
- Gaussian Beam Propagation - CVI Melles Griot Technical Guide
- Gaussian Beam Optics Tutorial, Newport