基爾霍夫積分定理

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基爾霍夫積分定理（Kirchhoff integral theorem）表明，假設點P在閉合曲面$\mathbb{S}$之外，只考慮單色波，則位於點P的波擾$\psi(\mathbf{r})$，可以以位於閉合曲面$\mathbb{S}$的所有波擾與其梯度表達為

$\psi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\oint_\mathbb{S} \left[\psi(\mathbf{r}')\nabla'\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right) -\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)\nabla'\psi(\mathbf{r}')\right] \cdot\,\mathrm{d}\mathbf{S}'$。

或者

$\psi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\oint_\mathbb{S} \left[\psi(\mathbf{r}')\frac{\partial}{\partial n'}\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right) -\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)\frac{\partial \psi(\mathbf{r}')}{\partial n'}\right] \,\mathrm{d}S'$。

其中，$\mathbf{R}=\mathbf{r}- \mathbf{r}'$是從閉合曲面$\mathbb{S}$的任意位置$\mathbf{r}'$到點P位置$\mathbf{r}$的位移向量，$R$是其數值大小，$k$是波數，$\nabla'$是對於源位置$\mathbf{r}'$的梯度，$\mathrm{d}\mathbf{S}'$是從閉合曲面$\mathbb{S}$向內指入的微小面元素向量，$\frac{\partial}{\partial n'}$是對於閉合曲面$\mathbb{S}$的法向導數。

基爾霍夫積分定理是因德國物理學者古斯塔夫·基爾霍夫而命名。這定理廣泛地應用於光學領域。對於很多案例，這定理的方程式可以近似成一種更簡單的形式，稱為基爾霍夫衍射公式。惠更斯－菲涅耳原理的傾斜因子專門依方向的不同而調整由點波源所產生的次波朝著不同方向傳播的波幅。從基爾霍夫衍射公式，可以推導出傾斜因子的確切形式。

## 導引

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根據格林第二恆等式，假若在體積$\mathbb{V}$內，函數$\phi$和$\psi$都是二次連續可微，則

$\int_\mathbb{V} \left( \psi \nabla^2 \phi - \phi \nabla^2 \psi\right)\, \mathrm{d}^3\mathbf{r} = \oint_{\mathbb{S}} \left( \psi \nabla\phi - \phi\nabla\psi\right)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}$。

其中，閉合曲面$\mathbb{S}$是體積$\mathbb{V}$的表面，$\mathrm{d}\mathbf{S}$是從閉合曲面$\mathbb{S}$向外指出的微小面元素向量。

這方程式的左手邊是積分於體積$\mathbb{V}$，右手邊是積分於這體積的閉合曲面$\mathbb{S}$。

設定函數$\psi(\mathbf{r})$滿足單色波的亥姆霍茲波動方程式：

$(\nabla^2 +k^2)\psi(\mathbf{r})=0$。

設定$\phi(\mathbf{r},\mathbf{r}')$為一種格林函數，是可以描述傳播於自由空間、滿足數值在無窮遠為零的邊界條件的圓球面出射波：

$\phi(\mathbf{r},\mathbf{r}')=\frac{e^{ikR}}{4\pi R}$。

其中，$R=|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|$。

這函數$\phi(\mathbf{r},\mathbf{r}')$滿足關係式

$(\nabla^2 +k^2)\phi(\mathbf{r},\mathbf{r}')=-\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')$。

其中，$\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')$是三維狄拉克δ函數。

將$\phi(\mathbf{r},\mathbf{r}')$、$\psi(\mathbf{r})$的滿足式代入，則格林第二恆等式變為

$-\int_\mathbb{V} \psi(\mathbf{r}) \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\, \mathrm{d}^3\mathbf{r} =\frac{1}{4\pi} \oint_{\mathbb{S}} \left[ \psi(\mathbf{r}) \nabla\left(\frac{e^{ikR}}{R}\right) - \left(\frac{e^{ikR}}{R}\right)\nabla\psi(\mathbf{r})\right]\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}$。

為了標記原因，對換無單撇號與有單撇號的變量。這樣，$\mathbf{r}$標記檢驗位置，$\mathbf{r}'$標記源位置：

$-\int_\mathbb{V} \psi(\mathbf{r}') \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\, \mathrm{d}^3\mathbf{r}' =\frac{1}{4\pi} \oint_{\mathbb{S}} \left[ \psi(\mathbf{r}') \nabla'\left(\frac{e^{ikR}}{R}\right) - \left(\frac{e^{ikR}}{R}\right)\nabla'\psi(\mathbf{r}')\right]\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}'$。

假若波擾$\mathbf{r}$的位置在體積$\mathbb{V}$內，即點P被包圍在閉合曲面$\mathbb{S}$內，則$\psi(\mathbf{r})$寫為

$\psi(\mathbf{r})=-\ \frac{1}{4\pi} \oint_{\mathbb{S}} \left[ \psi(\mathbf{r}') \nabla'\left(\frac{e^{ikR}}{R}\right) - \left(\frac{e^{ikR}}{R}\right)\nabla'\psi(\mathbf{r}')\right]\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}'$。

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上述公式應用於點P被包圍在閉合曲面內的物理案例，即從位於閉合曲面的次波源所發射出的次波，在閉合曲面內的點P所產生的波擾。大多數衍射案例計算，從延伸尺寸波源發射出的波，其波前所形成的閉合曲面，在閉合曲面的所有次波源，所發射出的次波，在閉合曲面外的點P所產生的波擾；對於這些案例，點P在閉合曲面之外，延伸波源在閉合曲面之內。這公式也可以推導為點P在閉合曲面外，波源在閉合曲面之內的物理案例。如右圖所示，假設閉合曲面$\mathbb{S}$是由閉合曲面$\mathbb{S}_1$與閉合曲面$\mathbb{S}_2$共同組成，曲面$\mathbb{S}_1$被包圍在曲面$\mathbb{S}_2$的內部。點P處於曲面$\mathbb{S}_2$之內，曲面$\mathbb{S}_1$之外。

讓曲面$\mathbb{S}_2$的半徑趨於無窮大，則對於曲面$\mathbb{S}_2$的任意點Q，$R\to r'$、$\hat{\mathbf{R}}\to -\hat{\mathbf{r}'}$，被積函數趨向於零，快過$r'$平方反比的趨向於零，滿足「索莫菲輻射條件」（Sommerfeld radiation condition），因此在曲面$\mathbb{S}_2$的總貢獻為零。所以，在點P的波擾為

$\psi(\mathbf{r})=-\ \frac{1}{4\pi} \oint_{\mathbb{S}_1} \left[ \psi(\mathbf{r}') \nabla'\left(\frac{e^{ikR}}{R}\right) - \left(\frac{e^{ikR}}{R}\right)\nabla'\psi(\mathbf{r}')\right]\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}'$。

注意到微小面元素向量$\mathrm{d}\mathbf{S}'$的方向是從曲面$\mathbb{S}_1$向內指入。現在，將微小面元素向量$\mathrm{d}\mathbf{S}'$的方向改為與原本方向相反：$\mathrm{d}\mathbf{S}'\to-\mathrm{d}\mathbf{S}'$，即從閉合曲面$\mathbb{S}_1$向外指出，則可得到基爾霍夫積分定理的表達式：

$\psi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi} \oint_{\mathbb{S}_1} \left[ \psi(\mathbf{r}') \nabla'\left(\frac{e^{ikR}}{R}\right) - \left(\frac{e^{ikR}}{R}\right)\nabla'\psi(\mathbf{r}')\right]\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}'$。

假設$\hat{\boldsymbol{\eta}}$是與$\mathrm{d}\mathbf{S}'$同方向的單位向量，是垂直於閉合曲面$\mathbb{S}_1$的法向量。那麼，法向導數與梯度的關係為

$\frac{\partial}{\partial n'}= \hat{\boldsymbol{\eta}}\cdot\nabla'$。

所以，基爾霍夫積分定理的另一種表達式為

$\psi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\oint_{\mathbb{S}_1} \left[\psi(\mathbf{r}')\frac{\partial}{\partial n'}\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right) -\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)\frac{\partial \psi(\mathbf{r}')}{\partial n'}\right] \,\mathrm{d}S'$。

總結，只考慮單色波，位於點P的波擾$\psi(\mathbf{r})$，可以以位於閉合曲面$\mathbb{S}_1$的所有波擾$\psi(\mathbf{r}')$與其梯度$\nabla'\psi(\mathbf{r}')$來表達。

## 非單色波

對於非單色波，必須使用更廣義的形式。以傅立葉積分來表達非單色波的分解：

$\Psi(\mathbf{r},t)= \frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \psi_ \omega(\mathbf{r}) e^{-i \omega t}\mathrm{d} \omega$。

其中，$\omega=kc$是角速度，$c$是光速。

根據傅立葉反演公式（Fourier inversion formula）：

$\psi_\omega(\mathbf{r})= \frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \Psi(\mathbf{r},t) e^{i \omega t}\mathrm{d}t$。

對於每一個傅立葉分量$\psi_\omega$，應用基爾霍夫積分定理，可以得到

$\psi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\oint_\mathbb{S} \left[\psi_\omega(\mathbf{r}')\frac{\partial}{\partial n'}\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right) -\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)\frac{\partial \psi_\omega(\mathbf{r}')}{\partial n'}\right] \,\mathrm{d}S'$。

將這公式代入$\Psi(\mathbf{r},t)$的傅立葉積分公式：

$\Psi(\mathbf{r},t)= \frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d} \omega\ e^{-i \omega t}\left\{ \frac{1}{4\pi}\oint_\mathbb{S}\mathrm{d}S' \left[\psi_\omega(\mathbf{r}')\frac{\partial}{\partial n'}\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right) -\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)\frac{\partial \psi_\omega(\mathbf{r}')}{\partial n'}\right]\right\}$。

設定$k=\omega/c$，注意到推遲時間$t_r=t-R/c$出現在相位因子裏，必須將光波傳播的時間納入計算。更換積分次序，公式變為

$$\begin{align}\Psi(\mathbf{r},t) & = \frac{1}{4\pi}\oint_\mathbb{S}\mathrm{d}S' \left\{ <pre> \frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d} \omega </pre> \left[\psi_\omega(\mathbf{r}')\frac{\partial}{\partial n'}\left(\frac{e^{-i\omega t_r}}{R} \right) -\left( \frac{e^{-i\omega t_r}}{R} \right)\frac{\partial \psi_\omega(\mathbf{r}')}{\partial n'}\right]\right\} \\ <pre> & =\frac{1}{4\pi}\oint_\mathbb{S}\mathrm{d}S' </pre> \left\{ \frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d} \omega \left[\psi_\omega(\mathbf{r}')\frac{\partial}{\partial n'}\left(\frac{1}{R} \right) +\psi_\omega(\mathbf{r}')\left(\frac{i\omega}{Rc} \right)\frac{\partial R}{\partial n'} -\left(\frac{1}{R}\right)\frac{\partial \psi_\omega(\mathbf{r}')}{\partial n'}\right] e^{-i\omega t_r} \right\} \\ \end{align}$$

在時間$t$，位於點P的波擾$\Psi(\mathbf{r},t)$，可以以位於閉合曲面$\mathbb{S}$的所有波擾在其推遲時間$t_r$的數值$\Psi(\mathbf{r}',t_r)$與其法向導數$\partial \Psi(\mathbf{r}',t_r)/\partial n'$來表達：

$\Psi(\mathbf{r},t)= \frac{1}{4\pi}\oint_\mathbb{S}\mathrm{d}S' \left\{ \Psi(\mathbf{r}',t_r)\frac{\partial}{\partial n'}\left(\frac{1}{R} \right) +\Psi(\mathbf{r}',t_r)\left(\frac{i\omega}{Rc} \right)\frac{\partial R}{\partial n'} -\left(\frac{1}{R}\right)\frac{\partial \Psi(\mathbf{r}',t_r)}{\partial n'} \right\}$。

這就是推廣後的基爾霍夫積分定理。

## 純量理論

光波是傳播於空間的電磁輻射，理當被視為一種電磁場向量現象。但是，基爾霍夫的理論是純量理論，將光波當作純量處理，這可能會造成偏差。因此，物理學者做了很多實驗來檢查結果是否準確。他們發現，只要孔徑尺寸比波長大很多、孔徑與觀察屏之間的距離不很近，則使用純量理論可以得到相當準確的答案。但是對於某些問題，例如高解析度光柵衍射，純量理論就不適用，必須使用向量理論。

## 參閱

- 衍射
- 帕松光斑
- 推遲勢
- 黎納-維謝勢