道格拉斯-普克演算法

拉默-道格拉斯-普克演演算法（Ramer–Douglas–Peucker algorithm），又稱道格拉斯-普克演演算法（Douglas–Peucker algorithm）和迭代端點擬合演算法（iterative end-point fit algorithm），是一種將線段組成的曲線降採樣為點數較少的類似曲線的演算法。它是最早成功地用於製圖綜合的演算法之一。

## 思路

該演算法的目的是，給定一條由線段構成的曲線（在某些情況下也稱為折線），找到一條點數較少的相似曲線。該算法根據原曲線與簡化曲線之間的最大距離（即曲線之間的豪斯多夫距離）來定義 "不相似"。簡化曲線由定義原始曲線的點的子集組成。

## 演算法

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起始曲線是一組有序的點或線，距離維度 ε > 0。

該演算法遞歸劃分線。最初，它被賦予了第一點和最後一點之間的所有點。它自動標記要保留的第一點和最後一點。然後它找到離以第一點和最後一點為終點的線段最遠的點；這個點顯然是曲線上離終點之間的近似線段最遠的點。如果這個點離線段的距離比 ε 更近，那麼在簡化曲線不比 ε 差的情況下，可以捨棄任何當前沒有標記保留的點。

如果離線段最遠的點大於近似值 ε，那麼該點必須保留。該演算法以第一點和最遠點遞歸調用自身，然後以最遠點和最後一點調用自身，其中包括最遠點被標記為保留。

當遞歸完成後，可以生成一條新的輸出曲線，該曲線由所有且僅由那些被標記為保留的點組成。

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### 非參數化的拉默-道格拉斯-普克演演算法

ε 的選擇通常由使用者定義。像大多數線擬合/多邊形逼近/主點檢測方法一樣，它可以通過使用數位化/量化引起的誤差邊界作為終止條件來實現非參數化。

### 偽代碼

（假設輸入是一個索引從1開始的陣列）

```
'''function''' DouglasPeucker(PointList[], epsilon)
    // Find the point with the maximum distance
    dmax = 0
    index = 0
    end = length(PointList)
    '''for''' i = 2 to (end - 1) {
        d = perpendicularDistance(PointList[i], Line(PointList[1], PointList[end]))
        '''if''' (d > dmax) {
            index = i
            dmax = d
        }
    }

    ResultList[] = empty;

    // If max distance is greater than epsilon, recursively simplify
    '''if''' (dmax > epsilon) {
        // Recursive call
        recResults1[] = DouglasPeucker(PointList[1...index], epsilon)
        recResults2[] = DouglasPeucker(PointList[index...end], epsilon)

        // Build the result list
        ResultList[] = {recResults1[1...length(recResults1) - 1], recResults2[1...length(recResults2)]}
    } '''else''' {
        ResultList[] = {PointList[1], PointList[end]}
    }
    // Return the result
    '''return''' ResultList[]
'''end'''
```

連結：https://karthaus.nl/rdp/

## 應用

該演算法用於處理矢量圖形和製圖綜合。它並不總是保留曲線的非自交屬性，這導致了變體演算法的發展。

該演算法廣泛應用於機器人技術中，對旋轉式測距掃描儀獲取的測距數據進行簡化和去噪處理；在這個領域，它被稱為分割合併演算法，歸功於Duda和Hart。

## 複雜度

該演算法在由 $n-1$ 段和 $n$ 個頂點組成的折線上運行時的時間由遞歸 $T(n)=T(i+1)+T(n-i) + O(n)$ 給出，其中 $i\in\{1,\ldots,n-2\}$ 是偽代碼中的索引值。在最壞的情況下，每次遞歸調用時，$i=1$ 或 $i=n-2$，該演算法的運行時間為 $\Theta(n^2)$。在最好的情況下，在每次遞歸調用時，$i=\lfloor n/2\rfloor$ 或 $i=\lceil n/2\rceil$，在這種情況下，運行時間具有 $O(n\log n)$ 的眾所周知的解（通過分治法的主定理）。

使用（全或半）動態凸包數據結構，演算法所進行的簡化可以在 $O(n\log n)$ 時間內完成。

## 類似演算法

線簡化的替代演算法包括：

- Visvalingam–Whyatt
- Reumann–Witkam
- Opheim simplification
- Lang simplification
- Zhao-Saalfeld

## 延伸閱讀

- Urs Ramer, "An iterative procedure for the polygonal approximation of plane curves", Computer Graphics and Image Processing, 1(3), 244–256 (1972) 10.1016/S0146-664X(72)80017-0
- David Douglas & Thomas Peucker, "Algorithms for the reduction of the number of points required to represent a digitized line or its caricature", The Canadian Cartographer 10(2), 112–122 (1973) 10.3138/FM57-6770-U75U-7727
- John Hershberger & Jack Snoeyink, "Speeding Up the Douglas–Peucker Line-Simplification Algorithm", Proc 5th Symp on Data Handling, 134–143 (1992). UBC Tech Report TR-92-07 available at http://www.cs.ubc.ca/cgi-bin/tr/1992/TR-92-07
- R.O. Duda and P.E. Hart, "Pattern classification and scene analysis", (1973), Wiley, New York (https://web.archive.org/web/20110715184521/http://rii.ricoh.com/~stork/DHS.html)

## 外部連結

- Boost.Geometry支持Douglas-Peucker簡化演算法。
- Ramer-Douglas-Peucker等簡化演算法的C++開源實現
- 用於KML數據的演算法的XSLT實現。
- 您可以在本頁底部看到應用於自行車騎行的GPS日誌的演算法。
- 此演算法的交互式可視化
- F#實現
- Ruby gem實現
- JTS, Java Topology Suite，包含了許多演算法的Java實現，包括 Douglas-Peucker演算法。