電磁場的動力學理論

《電磁場的動力學理論》（A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field）是一篇詹姆斯·馬克士威發於1864年的論文，這篇論文是他所寫的第三篇關於電磁學的論文。在這篇論文裏，他首次系統性地陳列出馬克士威方程組。馬克士威又應用了先前在他的1861年論文《論物理力線》裏提出的位移電流的概念，來推導出電磁波方程式。由於這導引將電學、磁學和光學聯結成一個統一理論。這創舉現在已被物理學術界公認為物理學史的重大里程碑。

這篇論文明確地闡明，能量儲存於電磁場內。因此，它在歷史上首先建立了場論的基礎概念。

## 馬克士威原本的方程式

在這篇論文的標題為電磁場一般方程式的第三章裏，馬克士威列出了涉及二十個未知量的二十個方程式，在那時期，稱為馬克士威方程組。由於向量微積分尚在發展中，這二十個方程式都是以分量形式表示，其中，有十八個方程式可以用六個向量方程式集中表示（對應於每一個直角坐標，有一個方程式），另外剩下的兩個是純量方程式。所以，以向量標記，馬克士威方程組可以表示為八個方程式。1884年，從這八個方程式，奧利弗·黑維塞重新編排出四個方程式，並且稱這一組方程式為馬克士威方程組。今天廣泛使用的馬克士威方程組就是黑維塞編成的這一組方程式。

黑維塞版本的馬克士威方程組是以現代向量標記法寫出。在原先版本的八個方程式裏，只有一個方程式，高斯定律的方程式(G)，完整不變地出現於黑維塞版本。另外一個在黑維塞版本的方程式，乃是由總電流定律的方程式(A)與安培環路定理的方程式(C)共同湊合而成。這方程式包含了馬克士威的位移電流，是安培環路定理的延伸。

以向量標記，馬克士威方程組的原先版本的八個方程式，分別寫為

(A) 總電流定律：$\mathbf{J}_{tot} = \mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}$。

(B) 磁場方程式：$\mu \mathbf{H} = \nabla \times \mathbf{A}$。

(C) 安培環路定理：$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_{tot}$。

(D) 勞侖茲力方程式：$\mathbf{E} = \mu \mathbf{v} \times \mathbf{H} - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-\nabla \phi$。

(E) 電彈性方程式：$\mathbf{E} = \frac{1}{\epsilon} \mathbf{D}$。

(F) 歐姆定律：$\mathbf{E} = \frac{1}{\sigma} \mathbf{J}$。

(G) 高斯定律：$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho$。

(H) 連續方程式：$\nabla \cdot \mathbf{J} = -\frac{\partial\rho}{\partial t}$。

標記符號：$\mathbf{H}$ 是磁場強度。

$\mathbf{J}$ 是傳導電流密度。

$\mathbf{J}_{tot}$ 是總電流密度（包括位移電流密度）。

$\mathbf{D}$ 是電位移。

$\rho$ 是自由電荷密度。

$\mathbf{A}$ 是磁向量勢。

$\mathbf{E}$ 是電場。

$\phi$ 是電勢。

$\mu$ 是磁導率。

$\epsilon$ 是電容率。

$\sigma$ 是電導率。

關於介質的性質，馬克士威並沒有試著處理比較複雜的狀況。他表述的主要是線性、均向性、非色散性物質；他也稍微談到一些有關異向性的晶體物質的問題。

值得注意的是，馬克士威將 $\mu \mathbf{v} \times \mathbf{H}$ 項目包括於他的合勢方程式(D)。這項目表達一個以速度 $\mathbf{v}$ 移動的導體所感受到的單位電荷的磁場力而產生的動生電動勢。這意味著合勢方程式(D)表達了勞侖茲力。這方程式最先出現為論文《論物理力線》的方程式(77)，比勞侖茲想到這問題早了很多年。現在，勞侖茲力方程式列為馬克士威方程組之外的額外方程式，並沒有被包括在馬克士威方程組裏面。

## 光波是電磁波

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在論文《電磁場的動力學理論》裏，馬克士威應用了的1861年論文《論物理力線》第三節裏對於安培環路定理的修正，將位移電流與其它已成立的電磁方程式合併，因而得到了描述電磁波的波動方程式。最令人振奮的是，這方程式所描述的波動的波速等於光波的速度。他於是說：

這些殊途一致的結果，似乎意味著光波與電磁波都是同樣物質的屬性，光波是按照著電磁定律傳播於電磁場的電磁擾動。

馬克士威在對於光波是一種電磁現象的推導裏，並沒有使用法拉第電磁感應定律，而是使用方程式(D)來解釋電磁感應作用。由於不考慮導體的運動，項目 $\mu \mathbf{v} \times \mathbf{H}$ 可以被刪除。事實上，他的八個方程式裏，並沒有包括法拉第電磁感應定律方程式在內。

由於馬克士威的推導比較冗長，現代的教科書已不再採用這推導，改而選擇另一種比較簡易了解的推導，這推導主要是使用馬克士威-安培定律（安培環路定理的延伸）與法拉第電磁感應定律。

## 馬克士威的推導

假設電磁波是一個平面波，以波速 $V$ 向正z-軸的方向傳播於某介質，則描述此電磁波的每一個函數都擁有參數 $w=z - Vt$。根據磁向量定義式(B)。

$\mathbf{B}= - \hat{x}\frac{\partial A_y}{\partial z}+ \hat{y}\frac{\partial A_x}{\partial z}$。

其中，$B\ \stackrel{def}{=}\ \mu\mathbf{H}$ 是磁感應強度的定義式。

注意到 $B_z=0$，還有，$\mathbf{B}$ 垂直於平面波的傳播方向，這電磁波是個橫波。

根據安培環路定理(C)。

$\mathbf{J}_{tot}= - \hat{x}\frac{\partial H_y}{\partial z}+ \hat{y}\frac{\partial H_x}{\partial z} = - \frac{1}{\mu}\left(\hat{x}\frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2}+\hat{y}\frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2}\right)$。

假設介質是個絕緣體，傳導電流密度 $\mathbf{J}$ 等於零，則根據總電流定律(A)和電彈性方程式(E)。

$\mathbf{J}_{tot}=\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}=\epsilon\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$。

假設導體的速度等於零，即動生電動勢項目等於零，則根據合勢方程式(D)。

$\frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 A_x}{\partial t^2}=0$。

$\frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 A_y}{\partial t^2}=0$。

再應用磁向量定義式(B)，就可以得到磁場的波動方程式：

$\frac{\partial^2 B_x}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 B_x}{\partial t^2}=0$。

$\frac{\partial^2 B_y}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 B_y}{\partial t^2}=0$。

鏈式法則要求

$\frac{\partial}{\partial z}=\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}$。

$\frac{\partial}{\partial t}=\frac{\partial w}{\partial t}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}= - V\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}$。

所以。

$\frac{\mathrm{d}^2 B_x}{\mathrm{d} w^2} - \mu\epsilon V^2\frac{\mathrm{d}^2 B_x}{\mathrm{d} w^2}=0$。

$\frac{\mathrm{d}^2 B_y}{\mathrm{d} w^2} - \mu\epsilon V^2\frac{\mathrm{d}^2 B_y}{\mathrm{d} w^2}=0$。

傳播的速度為

$V=1/\sqrt{\mu\epsilon}$。

設定磁導率為磁常數 $\mu_0$，電容率為電常數 $\epsilon_0$，則傳播速度是電磁波傳播於自由空間的速度。

類似地，應用合勢方程式(D)，可以得到電場的波動方程式：

$\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}=0$。

$\frac{\partial^2 E_y}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2}=0$。

$E_z= - \frac{\partial A_z}{\partial t} - \frac{\partial \phi}{\partial z}$。

注意到，$E_z$ 可能不等於零。在尚未更清楚了解電荷密度的性質之前，馬克士威不排除電場波為縱波的可能性。

## 現代推導

在自由空間裏，黑維塞版的馬克士威方程組的四個微分方程式為

$\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$、(1)

$\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$、(2)

$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$、(3)

$\nabla \times \mathbf{B} =\mu_0 \varepsilon_0 \frac{ \partial \mathbf{E}} {\partial t}$；(4)

其中，$\mu_0$ 是磁常數，$\varepsilon_0$ 是電常數。

分別取公式 (2)、(4) 的旋度。

$\nabla \times(\nabla \times \mathbf{E})= - \frac{\partial } {\partial t} (\nabla \times \mathbf{B})= - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E} } {\partial t^2}$。

$\nabla \times(\nabla \times \mathbf{B})= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial } {\partial t}(\nabla \times \mathbf{E})= - \mu_o \varepsilon_o \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}$。

應用一則向量恆等式

$\nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{Z} \right) = \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{Z} \right) - \nabla^2 \mathbf{Z}$。

其中，$\mathbf{Z}$ 是任意向量函數。

將公式 (1)、(3) 代入，即可得到波動方程式：

$\left(\nabla^2 - \frac{ 1}{{c}^2 }\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{E}\ =\ 0$、(5)

$\left(\nabla^2 - \frac{ 1}{{c}^2 }\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{B}\ =\ 0$；(6)

其中，$c=c_0 = { 1 \over \sqrt{ \mu_0 \varepsilon_0 } } = 2.99792458 \times 10^8$ ［公尺／秒］是電磁波傳播於自由空間的速度。

## 參閱

- 《論法拉第力線》
- 電磁波方程式
- 彎曲時空中的麥克斯韋方程組
- 非齊次的電磁波方程
- 馬克士威應力張量
- 麥克斯韋方程組的歷史
- 電磁學與經點光學時間表(Timeline of electromagnetism and classical optics)