餘切

$\left\{x\in\mathbb{R}|x\neq k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}$ $\left\{x\in\mathbb{R}|x\neq 180^\circ k,\,k\in\mathbb{Z}\right\}$

$\pi$（180°）

$x=k\pi$（1=x=180°k）

$k\pi+\tfrac{\pi}{2}$（180°k+90°）

餘切（Cotangent，一般記作$\cot$，或者ctg）是三角函數的一種，是正切的餘角函數。它的定義域是整個不等於$k\pi$（180°k）的實數的集合，$k$為整數，值域是整個實數集。它是周期函數，其最小正周期為$\pi$（180°）。餘切函數是奇函數。

餘切函數在各個小區間上單獨看為單調遞減函數，和正切互為倒數，其函數圖形和正切函數圖形對稱於$\frac{\pi}{4}$（45°）；該函數不連續，有奇點$k\pi$（180°k），其中$k$是一個整數。

## 符號說明

餘切最早用符號tan.com表示，該符號同正切一樣，最初由T.芬克使用。後來人們又逐漸將該符號簡化為ctg，後來又改為cot，與現代符號完全相同。

## 定義

### 直角三角形中

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在直角三角形中，一個銳角的餘切定義為它的鄰邊與對邊的比值，也就是：

$$\cot \theta = \frac {\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\, = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

可以發現其定義和正切函數互為倒數。

### 直角坐標系中

設$\alpha$是平面直角坐標系xOy中的一個象限角，$P\left( {x,y} \right)$是角的終邊上一點，$r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0$是P到原點O的距離，則α的正切定義為：

$$\cot \alpha = \frac{x}{y}$$

### 單位圓定義

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圖像中給出了用弧度度量的某個公共角。逆時針方向的度量是正角而順時針的度量是負角。設一個過原點的線，同 x 軸正半部分得到一個角$\theta$，並與單位圓相交，並令這個交點為y。另原點為O。做一直線，y點，垂直於$\overline{Oy}$，並與單位圓相切，令直線與y軸的交點，則此點與y點之距離為餘切比值。

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單位圓可以被認為是通過改變鄰邊和對邊的長度，產生斜邊等於 1 的無限數目個三角形的一種方式。

對於大於$2\pi$（360°）或小於$-2\pi$（-360°）的角度，簡單的繼續繞單位圓旋轉。在這種方式下，有些三角函數變成了周期為$2\pi$（360°）的周期函數；但由於餘切是切線，再繞單位圓旋轉時，會出現周期是$\pi$（180°），所以正切是周期為$\pi$（180°）的周期函數:

$$\cot\theta = \cot\left(\theta + \pi k \right) = \cot\left(\theta + 180^\circ k \right)$$

對於任何角度$\theta$和任何整數$k$。

### 級數定義

餘切函數也可以使用泰勒展開式定義

$$\cot x = \frac{1}{x}-\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}-\frac{2 x^5}{945}-\frac{x^7}{4725}-\frac{2 x^9}{93555}+...=\frac{1}{x}- \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n}{(2n)!} x^{2n-1}.$$

其中$B_{2n}$為伯努利數。

另外，我們也有

$$\cot x=\frac{1}{x}-2x\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2\pi^2-x^2}.$$

### 微分方程定義

cot的微分是負csc的平方

$$\cot 'x\ = -\csc^2 x$$

另外

$$\int \cot x \, dx = \ln (\sin x)$$

所以可以用

$\cot x = (\ln (\sin x))' \,$來定義。

### 指數定義

$$\cot \theta = \frac{{\mathrm{i}}(e^{{\mathrm{i}}\theta} + e^{-{\mathrm{i}}\theta})}{e^{{\mathrm{i}}\theta} - e^{-{\mathrm{i}}\theta}} \,$$

## 恆等式

### 用其它三角函數來表示餘切

函數｜$\sin$｜$\cos$｜$\tan$｜$\cot$｜$\sec$｜$\csc$

$\cot \theta$｜${\sqrt{1 - \sin^2\theta} \over \sin \theta}$｜${\cos \theta \over \sqrt{1 - \cos^2\theta}}$｜${1 \over \tan\theta}$｜$\cot\theta\ $｜${1 \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}}$｜$\sqrt{\csc^2\theta - 1}$

### 和差角公式

$$\cot(\theta\pm\psi)=\frac{\cot\theta\cot\psi\mp1}{\cot\psi\pm\cot\theta}$$

### 二倍角公式

$$\begin{align}\cot 2\theta &= \frac{\cot^2 \theta - 1} {2\cot\theta}\\ & = \frac{1}{\cot\theta - 1}-\frac{1}{\cot\theta + 1}\\ \end{align}$$

### 半角公式

$$\begin{align} \cot \frac{\theta}{2} &= \csc \theta + \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 + \cos \theta \over 1 - \cos \theta} \\ &= \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} \\ &= \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}\\ &= \frac{\cos \theta-\sin \theta+1}{\cos \theta+\sin \theta-1} \end{align}$$

### 三倍角公式

$$\cot 3\theta =\frac{\cot^3\theta - 3\cot\theta}{3 \cot^2\theta-1}$$

## 餘切定理

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餘切定理是三角學中關於三角形內切圓半徑的定理。

假設$\alpha$, $\beta$, 與$\gamma$是三角形的三個內角，$a$, $b$, 與$c$是與之對應的三個對邊，若

$\zeta = \sqrt{\frac{1}{s} (s-a)(s-b)(s-c)}$ （這個三角形的內切圓半徑），其中：

$s = \frac{a+b+c}{2 }$（$s$就是三角形的半周長）。

那麼餘切定理告訴我們：

$$\cot{ \frac{\alpha}{2 }} = \frac{s-a}{\zeta }$$

$$\cot{ \frac{\beta}{2 }} = \frac{s-b}{\zeta }$$

$$\cot{ \frac{\gamma}{2 }} = \frac{s-c}{\zeta }$$

還有

$$\frac{\cot\frac{\alpha}{2}}{s-a} = \frac{\cot\frac{\beta}{2}}{s-b} = \frac{\cot\frac{\gamma}{2}}{s-c}.$$

總而言之：餘切定理就是某個角一半的餘切等於半周長減去這個角所對的邊長再除以三角形的內切圓半徑。