莫列波紋

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摩爾紋（moiré pattern），或稱莫列波紋、莫爾條紋，是一個有透明間隙且部分不透明的規則圖案疊加在另一個類似圖案時，產生大範圍的干涉條紋。在數位相機或者掃描儀等設備上，會使圖片出現彩色、高頻率且不規則的條紋。摩爾紋因為是不規則的，所以並沒有明顯的形狀規律。

## 原理

當感光元件像素的空間頻率與影像中條紋的空間頻率接近時，可能產生一種新的波浪形的干擾圖案，即所謂的莫列波紋。傳感器的網格狀紋理構成了一個這樣的圖案。當圖案中的細條狀結構與傳感器的結構以小角度交叉時，這種效應也會在圖像中產生明顯的干擾。這種現象在一些細密紋理情況下，比如時尚攝影中的布料上，非常普遍。這種莫列波紋可能通過亮度也可能通過顏色來展現。消除這種干擾的措施匝是在傳感器前使用抗混疊濾鏡（也稱為低通濾鏡），然而這種濾鏡會降低鏡頭的解析度。因此，在這個問題上，必須要在莫列波紋以及解析度之間做出取捨與妥協，不同型號相機的問題嚴重性不一，選擇也不一樣。

對於相機來說，如果設計時在鏡頭上安裝低通濾波器會有很好效果，但會影響照片銳度；對於掃描儀來說，並無很好的方法解決。對於CRT顯示器來說，指畫面中出現波紋形色彩干擾的現象。主要在文字焦點突出時發生，是由於CRT顯示器中電子束與螢光體碰撞時電子束的殘留值影響周圍螢光體引起干擾所致。通過改變焦點值可以解決這種問題。不過CRT莫列波紋是蔭罩柵陰極射線管本身所固有的、內在的特質，無法完全消除，只能在一定限度內抑制減輕（如通過顯示器的OSD菜單中MOIRE消除選項）。

簡單地說，莫列波紋是差拍原理的一種表現。從數學上講，兩個頻率接近的等幅正弦波疊加，合成信號的幅度將按照兩個頻率之差變化。差拍原理廣泛應用到廣播電視和通信中，用來變頻、調製等。

同樣，差拍原理也適用於空間頻率。空間頻率略有差異的條紋疊加，由於條紋間隔的差異、重合位置會逐漸偏移，也會形成差拍。

如果感光元件CCD/CMOS像素的空間頻率與影像中條紋的空間頻率接近，就會產生莫列波紋。要想消除莫列波紋，應當使鏡頭解析度遠小於感光元件的空間頻率。當這個條件滿足時，影像中不可能出現與感光元件相近的條紋，也就不會產生莫列波紋了。有些數位相機中為了減弱莫列波紋，安裝有低通濾波器濾除影像中較高空間頻率部分，這當然會降低圖像的銳度。將來的數位相機如果像素密度能夠大大提高、遠遠超過鏡頭解析度，也不會出現莫列波紋。

## 字源

莫列波紋來自moiré，是一種紡織品，它的紋路類似於水波。最早這種紡織品是由絲作成，後來也用棉線或人造纖維來呈現相同的效果。

## 計算

### 平行圖樣中的摩列

#### 幾何手法

考慮兩組由平行且等距之線構成的圖樣。第一個圖樣線距為 $p$，第二個線距則為 $p+\delta p$，並有 $0 < \delta < 1$。

假如圖樣的線重疊於左側，則線之間的位移隨著往右而加大。給定數值支線以後，圖樣相反了：第二個圖樣之線位於第一個圖樣線之間。從遠距離觀察，當線重疊時看起來空白，線『倒反』時看起來暗。

第一暗區的中央在位移等於 $\frac{p}{2}$ 處. 第二個圖樣第$n$th 線與第一圖樣第$n$th 線相比，移動了 $n \cdot \delta p$。於是，第一暗區的中央為：$n \cdot \delta p = \frac{p}{2}$ 即

$$n = \frac{p}{2 \delta p}.$$

一暗區與一亮區之間的距離 d 為

$$d = n \cdot p = \frac{p^2}{2 \delta p}$$

兩暗區（同時也是兩亮區）之間距離

$$2d = \frac{p^2}{\delta p}$$

由此公式，易見：線距愈大，亮區與暗區之間距離越大。線距之差 $\delta p$ 愈大，亮區與暗區愈近。當然，當 $\delta p = \frac{p}{2}$，無例外的可得一均勻灰階圖案。

#### 數學方程手法

於此節中我們將給出一個數學上的實例，與其中一種得出圖樣與摩列效應可以數學表示的方法。

圖案的可見性取決於其基底或介質，可能為 不透明（如紙本）或透明（如於塑膠片上）。為求討論，我們可假設兩原始圖樣皆為白紙灰階，且其列印處之不透明度由 0 (白) 至 1 (黑)之範圍給出。（1/2 表示純灰）任何小於0或大於1之灰階皆 "無法列印".

我們同時選擇取同位置所有圖案透明度之平均為重疊後圖案之透明度，即，和之一半，不大於1。

考慮兩幾乎一樣，正弦相關之灰階圖樣重疊「列印」。先將其一印於紙上，第二個重疊於上且座標軸對齊。我們可以

$$f = \frac{1 + \sin(k x)}{2}$$

表示紙面上對一給定座標軸（舉例，x軸），對距離的正不透明度方程。

1的存在使得方程恆正，而除以2避免方程結果大於1。

$k$為強度週期/單位距離，表示圖樣灰階強度的週期變動。因正弦方程對 $2 \pi$有循環，當 $k \Delta x = 2 \pi$，或 $\Delta x = \frac{2 \pi}{k}$時，可得每強度週期（波長）之距離增長。

考慮以下週期變動有細微差異的兩圖樣:

$$f_1 = \frac{1 + \sin(k_1 x)}{2}$$

$$f_2 = \frac{1 + \sin(k_2 x)}{2}$$

使得 $k_1 \approx k_2$.

二方程之平均值，同時也表示重疊圖像，如下給出：

$$f_3 = \frac{f_1 + f_2}{2}$$

$$= \frac12 + \frac{\sin(k_1 x) + \sin(k_2 x)}{4}$$

$$= \frac{1 + \sin(A x) \cos(B x)}{2}$$

易見

$$A = \frac{k_1 + k_2}{2}$$

且

$$B = \frac{k_1 - k_2}{2}.$$

此方程平均， $f_3$，明顯位於 0,1之間。有鑒於 $A$為 $k_1$ 與 $k_2$之平均且近於兩者，摩列效應可 distinctively demonstrated by the sinusoidal envelope "拍頻"方程 $\cos(B x)$, 其週期變動為 $k_1$ 及 $k_2$ 之差的一半（"慢"許多).

其他常見一維摩列效應包括當兩幾乎一樣之純音同時發聲時所產生的拍頻。此即在一維時間下聲音的摩列效應：原始的兩因仍在，但聽者只接收到兩者節拍之平均值與兩者頻率差之半。

本節總結：

### 旋轉圖樣

考慮兩相同線距 $p$之圖樣，但有第二個圖樣轉動 $\alpha$度。從遠處看，我們可見到暗紋與亮紋：亮紋相當於節線。即，通過兩圖樣交疊處的線。

考慮"網"之單位格，易見單位格 為 菱形：其為四邊邊長 $d = \frac{p}{\sin \alpha}$之 平行四邊形； (我們可得一斜邊為 $d$ 之三角形且 $\alpha$ 角之對邊為 $p$).

亮紋相當於菱形之短對角線。因對角線為鄰邊之 垂直平分線，易見亮紋與垂直於各圖案的線構成一等同於 $\frac{\alpha}{2}$ 的角度。

更進一步，兩亮紋之間距離為 $D$，長對角線之一半。長對角線唯一直角三角形之直角對邊，且直角鄰邊為 $d (1 + \cos \alpha)$ 和 $p$。由 畢氏定理

$$(2 D)^2 = d^2 (1 + \cos \alpha)^2 + p^2$$

id est

$$(2D)^2 = \frac{p^2}{\sin^2 \alpha}(1+ \cos \alpha)^2 + p^2 = p^2 \cdot \left ( \frac{(1 + \cos \alpha)^2}{\sin^2 \alpha} + 1\right )$$

從遠處看。

$(2D)^2 = 2 p^2 \cdot \frac{1+\cos \alpha}{\sin^2 \alpha}$ or $D = \frac{p}{2} / \sin\frac{\alpha}{2}.$

如 $\alpha$ 極小 ($\alpha < \frac{\pi}{6}$)，可做以下近似：

$$\sin \alpha \approx \alpha$$

$$\cos \alpha \approx 1$$

於是

$$D \approx \frac{p}{\alpha}.$$

可見， $\alpha$愈小，亮紋愈遠；當兩圖樣平行時($\alpha = 0$)，亮紋間距離為 "無限" (無亮紋)。

另外有給出 $\alpha$的兩個方法：

$$\alpha \approx \frac{p}{D}$$

如果選擇測量角度，最終的誤差正比於測量誤差。選擇測量空間關係，誤差正比於空間關係的倒數。因此，對於小角度，測量空間較為理想。

## 意義與應用

### 列印全彩圖案

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於圖像藝術與印前，列印全彩圖像需藉助半色調螢幕的重疊。有些無法避免的莫列波紋是可接受的，因其十分"緊緻"；即，其空間頻率高到難以察覺。有些印前作業藉由選定角度與半色調頻率來避免。莫列波紋的可見性不易預測，相同的螢幕對不同影像，成效不同。

於製造業中，波紋被用來研究材料的微觀形變。

### 電視螢幕與照片

當電視中人物穿戴有特定圖樣或紋路的服裝時會產生莫列波紋。移動時莫列波紋十分易見。也是因為如此，主播或其他相關從業人員皆會注意，避免穿著造成效應的服裝。

用數位相機拍攝電視螢幕也經常有莫列波紋。電視螢幕與數位相機皆用水平掃描線捕捉影像，因此導致莫列效應。將數位相機對電視做30度傾斜可避免效應。

### 海洋探勘

莫列效應也經常用於海岸警示 (通常有關管線或纜線).莫列效應會產生指向危險的箭頭，當指示器經過危險處時，警示的箭頭在轉換方向前會先呈垂直帶狀。(50°N 51°W).

### 紙鈔

許多紙鈔採用波浪或螺線設計，以利用數位掃瞄器產生莫列圖樣的傾向防止偽造。

## 外部連結

- A series of oil paintings based on Moiré principles by British artist, Pip Dickens
- A live demonstration of the Moiré effect that stems from interferences between circles
- An interactive example of various Moiré patterns Use arrow keys and mouse to manipulate layers.