ROC曲線

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在信號檢測理論中，接收者操作特徵曲線，或者叫ROC曲線（Receiver operating characteristic curve），是一種坐標圖式的分析工具，用於選擇最佳的信號偵測模型、捨棄次佳的模型或者在同一模型中設定最佳閾值。

在做決策時，ROC分析能不受成本／效益的影響，給出客觀中立的建議。

ROC曲線首先是由二戰中的電子工程師和雷達工程師發明的，用來偵測戰場上的敵軍載具（飛機、船艦），也就是信號檢測理論。之後很快就被引入了心理學來進行信號的知覺檢測。數十年來，ROC分析被用於醫學、無線電、生物學、犯罪心理學領域中，而且最近在機器學習（machine learning）和數據挖掘（data mining）領域也得到了很好的發展。

## 基本概念

- 陽性 (P, positive)
- 陰性 (N, Negative)
- 真陽性 (TP, true positive) : 正確的肯定。又稱：命中 (hit)
- 真陰性 (TN, true negative) : 正確的否定。又稱：正確拒絕 (correct rejection)
- 偽陽性 (FP, false positive) : 錯誤的肯定，又稱：假警報 (false alarm)，第一型錯誤
- 偽陰性 (FN, false negative) : 錯誤的否定，又稱：未命中 (miss)，第二型錯誤
- 真陽性率 (TPR, true positive rate) : 又稱：命中率 (hit rate)、敏感度(sensitivity) : TPR = TP / P = TP / (TP+FN)
- 偽陽性率(FPR, false positive rate) : 又稱：錯誤命中率，假警報率 (false alarm rate) : FPR = FP / N = FP / (FP + TN)
- 準確度 (ACC, accuracy) : ACC = (TP + TN) / (P + N) : 即：(真陽性+真陰性) / 總樣本數
- 真陰性率 (TNR) : 又稱：特異度 (SPC, specificity) : SPC = TN / N = TN / (FP + TN) = 1 - FPR
- 陽性預測值 (PPV) : PPV = TP / (TP + FP)
- 陰性預測值 (NPV) : NPV = TN / (TN + FN)
- 假發現率 (FDR) : FDR = FP / (FP + TP)
- Matthews相關係數 (MCC)，即 Phi相關係數 : $MCC = \frac{(TP*TN - FP*FN)}{\sqrt{P N P' N'}}$
- F1評分 : F1 = 2TP/(P+P')

Source: Fawcett (2006).

分類模型（又稱分類器，或診斷）是將一個實例映射到一個特定類的過程。ROC分析的是二元分類模型，也就是輸出結果只有兩種類別的模型，例如：（陽性／陰性）（有病／沒病）（垃圾郵件／非垃圾郵件）（敵軍／非敵軍）。

當訊號偵測（或變數測量）的結果是一個連續值時，類與類的邊界必須用一個閾值（threshold）來界定。舉例來說，用血壓值來檢測一個人是否有高血壓，測出的血壓值是連續的實數（從0~200都有可能），以收縮壓140／舒張壓90為閾值，閾值以上便診斷為有高血壓，閾值未滿者診斷為無高血壓。二元分類模型的個案預測有四種結局：

- 真陽性（TP）：診斷為有，實際上也有高血壓。
- 偽陽性（FP）：診斷為有，實際卻沒有高血壓。
- 真陰性（TN）：診斷為沒有，實際上也沒有高血壓。
- 偽陰性（FN）：診斷為沒有，實際卻有高血壓。

這四種結局可以畫成2 × 2的混淆矩陣：

真實值｜總數

p｜n

預測輸出｜p｜真陽性(TP)｜偽陽性(FP)｜P'

n｜偽陰性(FN)｜真陰性(TN)｜N'

總數｜P｜N

## ROC空間

ROC空間將偽陽性率（FPR）定義為 X 軸，真陽性率（TPR）定義為 Y 軸。

- TPR：在所有實際為陽性的樣本中，被正確地判斷為陽性之比率。（相當於靈敏度。）

$$TPR=TP/(TP+FN)$$

- FPR：在所有實際為陰性的樣本中，被錯誤地判斷為陽性之比率。

$$FPR=FP/(FP+TN)$$

給定一個二元分類模型和它的閾值，就能從所有樣本的（陽性／陰性）真實值和預測值計算出一個 (X=FPR, Y=TPR) 座標點。

在這條線的以上的點代表了一個好的分類結果（勝過隨機分類），而在這條線以下的點代表了差的分類結果（劣於隨機分類）。

完美的預測是一個在左上角的點，在ROC空間座標 (0,1)點，X=0 代表著沒有偽陽性，Y=1 代表著沒有偽陰性（所有的陽性都是真陽性）；也就是說，不管分類器輸出結果是陽性或陰性，都是100%正確。一個隨機的預測會得到位於從 (0, 0) 到 (1, 1) 對角線（也叫無識別率線）上的一個點；如果分類器採用「拋硬幣」的設定，那麼該預測會在點(0.5, 0.5)上。

讓我們來看在實際有100個陽性和100個陰性的案例時，四種預測方法（可能是四種分類器，或是同一分類器的四種閾值設定）的結果差異：

A｜B｜C｜C'

109 100｜100｜200｜154 46 100｜100｜200｜112 88 100｜100｜200｜88 112 100｜100｜200

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將這4種結果畫在ROC空間裡：

- 點與隨機猜測線的距離，是預測力的指標：離左上角越近的點預測（診斷）準確率越高。離右下角越近的點，預測越不準。
- 在A、B、C三者當中，最好的結果是A方法。
- B方法的結果位於隨機猜測線（對角線）上，在例子中我們可以看到B的準確度（ACC，定義見前面表格）是50%。
- C雖然預測準確度最差，甚至劣於隨機分類，也就是低於0.5（低於對角線）。然而，當將C以 (0.5, 0.5) 為中點作一個鏡像後，C的結果甚至要比A還要好。這個作鏡像的方法，簡單說，不管C（或任何ROC點低於對角線的情況）預測了什麼，就做相反的結論。

## ROC曲線

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上述ROC空間裡的單點，是給定分類模型且給定閾值後得出的。但同一個二元分類模型的閾值可能設定為高或低，每種閾值的設定會得出不同的FPR和TPR。

- 將同一模型每個閾值 的 (FPR, TPR) 座標都畫在ROC空間裡，就成為特定模型的ROC曲線。

例如右圖，人體的血液蛋白濃度是呈正態分布的連續變數，病人的分布是紅色，平均值為A g/dL，健康人的分布是藍色，平均值是C g/dL。健康檢查會測量血液樣本中的某種蛋白質濃度，達到某個值（閾值，threshold）以上診斷為有疾病徵兆。研究者可以調整閾值的高低（將左上圖的B垂直線往左或右移動），便會得出不同的偽陽性率與真陽性率，總之即得出不同的預測準確率。

- 由於每個不同的分類器（診斷工具、偵測工具）有各自的測量標準和測量值的單位（標示為：「健康人－病人分佈圖」的橫軸），所以不同分類器的「健康人－病人分佈圖」都長得不一樣。

- 比較不同分類器時，ROC曲線的實際形狀，便視兩個實際分佈的重疊範圍而定，沒有規律可循。

- 但在同一個分類器之內，閾值的不同設定對ROC曲線的影響，仍有一些規律可循：

- 當閾值設定為最高時，亦即所有樣本都被預測為陰性，沒有樣本被預測為陽性，此時在偽陽性率 FPR = FP / ( FP + TN ) 算式中的 FP = 0，所以 FPR = 0%。同時在真陽性率（TPR）算式中， TPR = TP / ( TP + FN ) 算式中的 TP = 0，所以 TPR = 0%

→ 當閾值設定為最高時，必得出ROC座標系左下角的點 (0, 0)。

- 當閾值設定為最低時，亦即所有樣本都被預測為陽性，沒有樣本被預測為陰性，此時在偽陽性率FPR = FP / ( FP + TN ) 算式中的 TN = 0，所以 FPR = 100%。同時在真陽性率 TPR = TP / ( TP + FN ) 算式中的 FN = 0，所以 TPR=100%

→ 當閾值設定為最低時，必得出ROC座標系右上角的點 (1, 1)。

- 因為TP、FP、TN、FN都是累積次數，TN和FN隨著閾值調低而減少（或持平），TP和FP隨著閾值調低而增加（或持平），所以FPR和TPR皆必隨著閾值調低而增加（或持平）。

→ 隨著閾值調低，ROC點 往右上（或右／或上）移動，或不動；但絕不會往左下(或左／或下)移動。

## 曲線下面積（AUC）

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在比較不同的分類模型時，可以將每個模型的ROC曲線都畫出來，比較曲線下面積做為模型優劣的指標。

### 意義

ROC曲線下方的面積（Area under the Curve of ROC (AUC ROC)），其意義是：

- 因為是在1x1的方格裡求面積，AUC必在0~1之間。
- 假設閾值以上是陽性，以下是陰性。
- 若隨機抽取一個陽性樣本和一個陰性樣本，分類器正確判斷陽性樣本的值高於陰性樣本之機率 $=AUC$。
- 簡單說：AUC值越大的分類器，正確率越高。

從AUC判斷分類器（預測模型）優劣的標準：

- AUC = 1，是完美分類器，採用這個預測模型時，存在至少一個閾值能得出完美預測。絕大多數預測的場合，不存在完美分類器。
- 0.5 < AUC < 1，優於隨機猜測。這個分類器（模型）妥善設定閾值的話，能有預測價值。
- AUC = 0.5，跟隨機猜測一樣（例：丟銅板），模型沒有預測價值。
- AUC < 0.5，比隨機猜測還差；但只要總是反預測而行，就優於隨機猜測。

### 計算

AUC的計算有兩種方式，都是以逼近法求近似值。

#### 梯形法

梯形法（trapezoid method）：簡單地將每個相鄰的點以直線連接，計算連線下方的總面積。因為每一線段下方都是一個梯形，所以叫梯形法。

- 優點：簡單，所以常用。
- 缺點：傾向於低估AUC。

### 潛在問題

AUC of ROC是機器學習的社群最常使用來比較不同模型優劣的方法。然而近來這個做法開始受到質疑，因為有些機器學習的研究指出，AUC的雜訊太多，並且很常求不出可信又有效的AUC值（此時便不能保證AUC傳達本節開頭所述之意義），使得AUC在模型比較時產生的問題比解釋的問題更多。

## 分析軟體

所有常用於統計分析的軟體（例：SPSS、SAS、SYSTAT、S-Plus、ROCKIT、RscorePlus）都有依據不同閾值自動計算真陽性和偽陽性比率、並依此繪製ROC曲線的功能。

離散分類器（discrete，或稱「間斷分類器」），如決策樹，產生的是離散的數值或者一個二元標籤。應用到實例中，這樣的分類器最後只會在ROC空間產生單一的點。而一些其他的分類器，如樸素貝葉斯分類器，邏輯斯諦迴歸或者人工神經網絡，產生的是實例屬於某一類的可能性，對於這些方法，一個閾值就決定了ROC空間中點的位置。舉例來說，如果可能值低於或者等於0.8這個閾值就將其認為是陽性的類，而其他的值被認為是陰性類。這樣就可以通過畫每一個閾值的ROC點來生成一個生成一條曲線。MedCalc是較好的ROC曲線分析軟體。

## 參考文獻

### 來源

- Zou, K.H., O'Malley, A.J., Mauri, L. (2007). Receiver-operating characteristic analysis for evaluating diagnostic tests and predictive models. Circulation, 6;115(5):654–7.
- Lasko, T.A., J.G. Bhagwat, K.H. Zou and Ohno-Machado, L. (2005). The use of receiver operating characteristic curves in biomedical informatics. Journal of Biomedical Informatics, 38(5):404–415.
- Balakrishnan, N., (1991) Handbook of the Logistic Distribution, Marcel Dekker, Inc., ISBN 978-0824785871.
- Gonen M., (2007) Analyzing Receiver Operating Characteristic Curves Using SAS, SAS Press, ISBN 978-1-59994-298-1.
- Green, W.H., (2003) Econometric Analysis, fifth edition, Prentice Hall, ISBN 0-13-066189-9.
- Heagerty, P.J., Lumley, T., Pepe, M. S. (2000) Time-dependent ROC Curves for Censored Survival Data and a Diagnostic Marker Biometrics, 56:337–344
- Hosmer, D.W. and Lemeshow, S., (2000) Applied Logistic Regression, 2nd ed., New York; Chichester, Wiley, ISBN 0-471-35632-8.
- Brown, C.D., and Davis, H.T. (2006) Receiver operating characteristic curves and related decision measures: a tutorial, Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems, 80:24–38
- Mason, S.J. and Graham, N.E. (2002) Areas beneath the relative operating characteristics (ROC) and relative operating levels (ROL) curves: Statistical significance and interpretation. Q.J.R. Meteorol. Soc., 128:2145–2166.
- Pepe, M.S. (2003). The statistical evaluation of medical tests for classification and prediction. Oxford. ISBN 0198565828.
- Carsten, S. Wesseling, S., Schink, T., and Jung, K. (2003) Comparison of Eight Computer Programs for Receiver-Operating Characteristic Analysis. Clinical Chemistry, 49:433–439
- Swets, J.A. (1995). Signal detection theory and ROC analysis in psychology and diagnostics: Collected papers. Lawrence Erlbaum Associates.
- Swets, J.A., Dawes, R., and Monahan, J. (2000) Better Decisions through Science. Scientific American, October, pages 82–87.

## 外部連結

- An introduction to ROC analysis
- A more thorough treatment of ROC curves and signal detection theory
- Tom Fawcett's ROC Convex Hull: tutorial, program and papers
- Peter Flach's tutorial on ROC analysis in machine learning
- The magnificent ROC — An explanation and interactive demonstration of the connection of ROCs to archetypal bi-normal test result plots