時間反演對稱

時間反演對稱（T-symmetry或time reversal symmetry）描述的是在時間反演$T: t \mapsto -t$運算下，物理系統所保有的對稱性，又可標作T對稱。

雖然在一些限定條件下存在時間反演對稱性，但是由於熱力學第二定律我們觀測到的宇宙並不具有時間反演對稱性。

發生不對稱性有兩種情況：第一種是物理定律時間反演的不對稱性，比如弱相互作用；第二個則是宇宙初始條件所導致的不對稱性。

## 時間反演的不變性

除了微觀系統物理定律的時間反演對稱性以外，物理學家也試圖找出物理系統中具有時間反演不變性的定域量或者宏觀量。宏觀系統通常不具有時間反演不變性，比如說在具有一定吸收率材料內部的麥克斯韋方程組和在有摩擦力環境下的牛頓力學，這時候系統是不具有時間反演對稱性的。但是當我們從微觀層面考慮並考慮到原子的熱運動的話，系統還是具有時間反演對稱性的。

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## 宏觀現象：熱力學第二定律

我們的日常經驗表明對於宏觀物質，時間反演對稱性並不適用。這些宏觀定律中，最著名的是熱力學第二定律。很多現象，比如物體間相對運動產生的摩擦，流體的粘滯運動，都可以用熱力學第二定律解釋，因為潛在的機理是有用的能（如，動能）都會損耗成熱能。

是不是這種導致時間不對稱的損耗真的不可避免？很多物理學家都考慮過這個問題——麥克斯韋妖。這個名字來源於麥克斯韋的一個思想實驗,在實驗中，一個封閉的空間被分成兩塊區域，有一個妖在臨界面上守護。它會讓慢的分子到一邊，而快的分子弄到另一邊。最後，會發現其中一塊區域越來越冷，而另一塊區域越來越熱，這樣看起來就可以減小這個封閉空間的熵了，從而扭轉時間的方向。物理學家對這個實驗做了很多的分析，都說明了一點就是：當封閉空間的熵和妖的熵一起考慮的話，那總的熵還是一直增加的。對這個問題的現代觀點考慮了香農的熵和資訊的關係。現代計算的很多有趣結果都和這個問題有密切關係——可逆計算,量子計算和物理極限計算。這些看起來形上學的問題，在今天用這些方法，都慢慢轉變成了自然科學的內容了。

現在大多數觀點是把一個相空間中的香農資訊和熵等價起來，這樣就可以很好的解決上述的問題了。在這個觀點中，宏觀系統的一個固定的初始狀態相對地會有較小的熵，因為物體分子的坐標被束縛了。隨著系統的分子熱運動，分子將會運動到更大的相空間中，它的坐標也就變得更不確定，因此導致了系統熵的增加。

我們同樣地設想宇宙的一個狀態：宇宙中所有粒子在某一瞬間都發生反演了（嚴格講，CPT對稱反演）。然後這樣一狀態將會逆向的發展下去，因此宇宙的熵大概就會減小了（洛施密特悖論）。為什麼「我們的」狀態會優先於其他的呢？

有一個觀點指出我們觀察到熵增加的發生，只是由我們宇宙的初始狀態決定的。其他可能的宇宙狀態（如，處於熱寂平衡的宇宙）不會導致熵增加。在這個觀點中，宇宙的時間反演對稱性在宇宙學中顯然有個問題：為什麼宇宙初始狀態熵會很低？這樣看來，若時間反演對稱性根據未來宇宙觀測依然可行，那就會引出一個超出現在物理知識的問題——宇宙初始條件問題。

## 宏觀現象：黑洞

一個物體從一個黑洞外部穿過它的事件視界，然後會很快陷入它的中心區域，也就是我們物理學失效的地方。因為在黑洞內，向前的光錐是指向中心，而向後的光錐指向黑洞的外部，我們甚至不能以正常的方式來定義時間反演。一個物體唯一能逃離黑洞的方式是霍金輻射。

我們可以先假設存在一種黑洞時間反演後的產物，稱之為白洞。從外部來看，他們顯得很相似。黑洞具有一個起點並且不可逃脫的，而白洞是具有一個終點並且是不可進入的。白洞向前的光錐是指向外部；它的向後的光錐是指向中心的。

一個黑洞的事件視界可以被認為是一個以光速向外運動的表面，而且就是在逃脫和回落的邊緣。一個白洞的事件視界則可看做一個以光速向中心運動的表面，且就是在被排除出去和成功到達中心的邊緣。它們是兩種完全不同的視界——白洞視界就像是被翻轉過來的黑洞視界。

既然黑洞被看做是熱力學對象，那麼根據熱力學第二定律，黑洞具有不可逆轉性。甚至，根據規範-引力二象性猜想，在一個黑洞裡的所有微觀過程是可逆的，而只有集體行為是不可逆的，就像其他宏觀熱力學系統一樣。

## 物理學量受時間反演變換的影響

### 偶

時間反演後不變的經典變量有：

$\vec x\!$，粒子在三維空間中的位置

$\vec a\!$，粒子的加速度

$\vec f\!$，作用在粒子上的力

$E\!$，粒子具有的能量

$\phi\!$，電勢(伏特)

$\vec E\!$，電場

$\vec D\!$，電位移

$\rho\!$，電荷密度

$\vec P\!$，電極化強度

電場的能量密度

麥克斯韋應力張量

質量，電荷，耦合常數，和其他物理常量（除了與弱相互作用有關的）。

### 奇

時間反演後變號的經典變量：

$t\!$，事件發生的時刻

$\vec v\!$，粒子速度

$\vec p\!$，粒子動量

$\vec l\!$，一個粒子的角動量 (包括軌道和自旋)

$\vec A\!$，電磁矢勢

$\vec B\!$，磁感應強度

$\vec H\!$，磁場強度

$\vec j\!$，電流密度

$\vec M\!$，磁化強度

$\vec S\!$，坡印廷矢量

功率（單位時間內所做的功）.

## 微觀現象：時間反演的不變性

因為大多數系統在時間反演下都不保持不變，實際上問題變成是否能夠找出一個系統具有時間反演對稱性。在經典力學中，速度v在時間反演操作T下反向，但是加速度在時間反演操作下不變。因此耗散系統中必然包含速度v的奇次方項。但是如果設計一個精巧的實驗將耗散儘可能移除的話，力學定律被證明是時間反演不變的。耗散的出現源自熱力學第二定律。

當帶電物體在磁場中B中運動時，系統受到洛倫茲力，而洛倫茲力的表達式包括v×B項，這使得在磁場中的系統初看起來在T操作下並不保持不變。但是仔細觀察後發現B在時間反演操作下同樣改變了符號。這是因為磁場是因電流J產生的，因此在T操作下B會變號。因此帶電物體在電磁場中的運動是時間反演不變的（如果認為外場是固定不變的，則電磁場中運動的物體在局部仍然將不具有時間反演不變性，具體可參見法拉第旋光器）。引力在經典力學中一般也被認為是時間反演不變的。

物理理論可以被分為與運動有關的運動學和與力有關的動力學。以量子力學為基礎建立的運動學同以牛頓運動定律為基礎建立的運動學一樣，初始的時候並沒有假設動力學方程具有時間反演不變性。換句話說如果動力學方程具有時間反演不變性則運動學方程也會保持這種性質；如果動力學方程不具備這種性質，則運動學方程也會表現出來。量子力學相比經典力學包含了更豐富的內容，值得我們去進一步的探討。

### 量子力學中的時間反演操作

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量子力學中的時間反演操作有3個重要的特徵：

- 表示時間反演的算符是反么正的,
- 保證非簡併的量子態的電偶極矩為零,
- 可以由具有 T2 = −1性質的二維群表示.

與宇稱反演相比，時間反演更為獨特。如果有一對量子態在宇稱變換操作下相互轉變，則可以對量子態相加及相減後得到的具有良好宇稱定義的新基底（一個為偶宇稱另一個為奇宇稱）。但是對於時間反演操作，我們並不能做類似的事情。這似乎與所有的阿貝爾群可由一維單模表示這一定理相矛盾。之所以如此是因為時間反演是由反么正算符表示的，這要求量子力學引入旋量這一概念。

### 由反么正算符表示的時間反演

維格納定理告訴我們，所有的與對稱性有關的算符S在量子力學中要麼為么正算符，要麼為反么正算符。S = U即么正算符，或者有S = UK即反么正算符：，其中U為么正的,而K為復共軛操作。之所以這麼規定是因為要保持希爾伯特空間上兩矢量內積的模平方不變。

以宇稱變換算符為例，當作用在座標上時有 P−1xP = −x。類似可知宇稱操作作用在動量上時同樣導致其反向,所以有PpP−1 = −p,其中x和p在量子力學中分別是坐標算符和動量算符。這說明正則對易關係 x, p = iħ在宇稱變換操作下保持不變, 其中ħ是約化普朗克常數，所以我們可以得出P是么正的既有PiP−1 = i.

四維動量的時間分量是能量，如果時間反演操作是么正變換的話則能量將在時間反演下變號，而這是不可能的，因為能量恆正。在量子力學中能量出現在相位因子exp(-iEt)上,反演時間的同時保持能量恆正要求"i"在時間反演下改變符號,這樣相位的意義就能保持下來。

類似的我們可以推出所有要求能量為正的反么正算符必然包含時間反演操作。

假設時間反演算符為T,則位置坐標不受影響有TxT−1 = x,但是動量方向被改變了,因此有TpT−1 = −p。要保持正則對易關係不變要求T是反么正的即TiT−1 = −i。對於有自旋的基本粒子而言,可以用如下方式表示時間反演

$$T = e^{-i\pi S_y/\hbar} K,$$

其中Sy是y方向的自旋分量,即TJT−1 = −J.

### 電偶極矩

當系統具有電偶極矩（EDM）時，情況會變得比較特殊。EDM被定義為系統置於外界電場時發生的能級移動：Δe = d·E + E·δ·E，其中d記為EDM而δ被定義為感應偶極矩。

EDM一個重要的特徵是在宇稱反演下，能級移動變號。d是矢量因此d在態|ψ>中的的平均值正比於，因此對一個穩態而言，EDM在時間反演下將會消失。換句話說，如果一個系統的EDM不為零，則系統在P和T變換下不具有對稱性。

但是如果基態存在簡併，例如水分子：宇稱反演操作下這些態相互轉換，則EDM和時間反演對稱性並不矛盾。

目前實驗給出的中子電偶極矩的上限給出了強相互作用以及其對應的理論量子色動力學是否違反時間反演對稱性的標準。相對論量子場論的CPT聯合反演不變性以及測量中子電偶極矩的實驗給出了強相互作用CP破缺的上限。

實驗上測出的電子電偶極矩上限給出了粒子物理中很多參數的上限。

### 克萊默定理

T是一個反么正的Z2對稱性生成元(symmetry generator)

$T^{2} = UKUK = U U^{*} = U (U^{T})^{-1} = \phi$,

其中 Φ 是個對角陣。可以推出 U = ΦUT 以及 UT = UΦ, 因此有

U = Φ U Φ.

這說明 Φ 中的矩陣元都為 ±1

## 相關條目

- 熱力學第二定律, 麥克斯韋妖 和時間箭頭 (洛施密特悖論).
- 應用包括可逆計算和量子計算機。
- 粒子物理學的標準模型以及有關的CP破壞, 和卡比博-小林-益川矩陣 以及 強相互作用的CP問題
- 中微子質量和CPT對稱.
- 惠勒-費曼時間對稱定律
- 時間倒流
- 信條 (電影)

## 參考文獻

- Maxwell's demon: entropy, information, computing, edited by H.S.Leff and A.F. Rex (IOP publishing, 1990) ISBN 0-7503-0057-4
- Maxwell's demon, 2: entropy, classical and quantum information, edited by H.S.Leff and A.F. Rex (IOP publishing, 2003) ISBN 0-7503-0759-5
- The emperor's new mind: concerning computers, minds, and the laws of physics, by Roger Penrose (Oxford university press, 2002) ISBN 0-19-286198-0
- CP violation, by I.I. Bigi and A.I. Sanda (Cambridge University Press, 2000) ISBN 0-521-44349-0
- Particle Data Group on CP violation
- the Babar experiment in SLAC
- the BELLE experiment in KEK
- the KTeV experiment in Fermilab
- the CPLEAR experiment in CERN