可均群

可均群是數學上一個特別的局部緊拓撲群G，具備了一種為在G上的有界函數取平均的操作，而且G在函數上的群作用，不會改變所取得的平均。

## 緣起

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在$\mathbb R^n$上的勒貝格測度，存在不可測的有界子集。豪斯多夫研究能否在$\mathbb R^n$上定義新的測度，使之可以對所有有界子集都是可測的。他要求新的測度保留勒貝格測度的等距變換不變性，就是移動及反射一個有界子集，不會改變其測度。不過，新測度無需有勒貝格測度的σ可加性（可數無限可加性），就是可數無限個不相交子集的測度總和，等於其並集的測度。他只要求新測度滿足較弱的有限可加性，就是有限個不相交子集的測度總和，等於其並集的測度。

但是，豪斯多夫、巴拿赫和塔斯基後來的研究，發現了維度不小於3的$\mathbb R^n$中，任意兩個有內點的有界子集，可以將其一分成有限塊，再移動拼合成另一個，這就是著名的巴拿赫－塔斯基悖論。因此3維以上$\mathbb R^n$不可能有豪斯多夫所要的測度。而在2維就不存在這種情況。

馮紐曼研究他們的證明，發現問題關鍵不是在$\mathbb R^n$的結構，而是在$\mathbb R^n$的旋轉群上。3維以上的$\mathbb R^n$，其旋轉群有子群是秩2的自由群；而2維時，旋轉群沒有這樣的子群。

於是豪斯多夫原來的測度問題，可以把對象轉到群上面。新的問題是：在一個群G上，是否存在有限可加的機率測度$\mu$，是G-不變的，即是在G對其中的子集的群作用下不變：對任何$E\subset G$和任何$g \in G$，$\mu(gE) = \mu(E)$。這樣的機率測度稱為不變平均。（函數以這測度積分，像是取加權平均。）由此產生了可均群的概念。因為有限可加測度不像σ可加測度有好的理論，便改為考慮與有限可加測度對應的連續線性泛函。

## 外文名稱

可均群的德文名稱Mittelbare Gruppe，法文名稱groupe moyennable，其中Mittel、moyenne分別為德文及法文中的平均一字，故此Mittelbare，moyennable兩字意思就是可以有平均。英文名稱amenable group，是英國數學家Mahlon M. Day所譯，字面上與德文及法文不同，但這是藉諧音玩的文字遊戲，因為amenable的英式讀音，與"a mean able"相同（用美式讀音就失去諧音效果），故此說出來其實也是「可以有一個平均」。

## 定義

設G為局部緊群。G上存在左哈爾測度$\mu$。考慮在測度空間$(G,\mu)$上的複值本質有界函數空間$L^\infty(G)$。

線性泛函$\Lambda:L^\infty(G)\to \mathbb C$稱為平均，如果$\Lambda$的範數是1，並且是非負的：若實值函數$f\in L^\infty(G)$適合$f\geq 0$，則$\Lambda(f) \geq 0$。

如果$\Lambda$是一個平均，則有$\Lambda(1_G)=1$，其中$1_G$是G的特徵函數。而且對任何實值函數$f\in L^\infty(G)$。

$$\operatorname*{ess\ inf}_{x\in G} f(x) \leq \Lambda (f) \leq \operatorname*{ess\ sup}_{x\in G} f$$

其中ess sup和ess inf分別是函數的本質上確界和本質下確界。

一個平均是左不變的，如果對任何$s\in G$，$f\in L^\infty(G)$，在左作用$s\cdot f(x)=f(s^{-1}x)$下，都有$\Lambda(s\cdot f)=\Lambda(f)$。

局部緊群G如果有一個左不變平均，就稱為可均群。

可均群有很多等價定義。其中一個是Følner條件：

對任何$\epsilon >0$，任何緊子集$C\subset G$，都存在一個緊子集$K\subset G$，$0<\mu(K)<\infty$，使得對所有$x\in C$都符合不等式

$$\mu(xK \triangle K) / \mu(K) <\epsilon$$

此處$\triangle$是對稱差。

如果G是可數無限的離散群，Følner條件等價於：

G中存在有限子集$S_n$，使得對任何$g\in G$。

$$\lim_{n\to \infty}\frac{\left|g S_n \triangle S_n\right|}{\left|S_n\right|} = 0$$

這樣的$(S_n)$稱為Følner序列。

## 性質

可均群的閉子群都是可均的。

若H是可均群G的閉正規子群，那麼$G/H$是可均群。

若H是局部緊群G的閉正規子群，而且H和$G/H$都是可均群，那麼G也是可均群。

設G是局部緊群，I是有向集合，$(H_i)_{i\in I}$是G的閉可均子群組成的網，對任何$i\leq j$，有$H_i \subset H_j$。那麼$H=\overline{\cup_{i\in I}H_i}$是G的可均子群。

## 例子

有限群是可均群。更一般地，緊群是可均群，其哈爾測度是一個不變平均。

整數群$(\mathbb Z,+)$和實數群$(\mathbb R,+)$是可均群，一個在$\mathbb Z$或$\mathbb R$中長度趨向無窮的有界區間序列是一個Følner序列。

局部緊的阿貝爾群是可均群。因此，局部緊的可解群是可均群：若G是局部緊的可解群，則有導出列

$$G=G^{(0)} \triangleright G^{(1)} \triangleright \cdots \triangleright G^{(k)}=\{1\}$$

其中$G^{(i+1)}=[G^{(i)},G^{(i)}]$。每個$G^{(i)}/G^{(i+1)}$都是阿貝爾群，所以是可均的，而平凡子群{1}也是可均群。從可均群的性質，得出G是可均群。

一個有限生成群G是次指數增長的，如果G中存在一個有限生成集合S，有對稱性$S=S^{-1}$，使得

$$\liminf_{n\to \infty}\frac{\left|S^{n+1}\right|}{\left|S^{n}\right|}=1$$

次指數增長的有限生成群是可均群。

從定義知對每個$i\in\mathbb N$，都存在$n_i$使得

$$\frac{\left|S^{n_i+1}\right|}{\left|S^{n_i}\right|}<1+\frac 1 i$$

對每個$a\in S$，有$S^{n_i},a S^{n_i}\subset S^{n_i+1}$。對任何$g\in G$都有$\left|g S^{n_i}\right|=\left|S^{n_i}\right|$。於是

$$\begin{align} & \left|a S^{n_i}\triangle S^{n_i}\right| \\ \leq & \left|a S^{n_i}\setminus S^{n_i}\right| + \left|S^{n_i}\setminus a S^{n_i}\right| \\ \leq & \left|S^{n_i+1}\setminus S^{n_i}\right| + \left|S^{n_i+1}\setminus a S^{n_i}\right| \\ = & (\left|S^{n_i+1}\right|-\left|S^{n_i}\right|) + (\left|S^{n_i+1}\right|-\left|a S^{n_i}\right|) \\ = & 2(\left|S^{n_i+1}\right|-\left|S^{n_i}\right|) \end{align}$$

每個$g\in G$都可寫成$g=a_1 a_2 \cdots a_m$。設$g_0=e$, $g_j=g_{j-1}a_j$。用集合關係式$A\triangle B \subset (A\triangle C) \cup (C\triangle B)$，得出

$$\begin{align} & \left|g S^{n_i}\triangle S^{n_i}\right| \\ \leq & \left|\bigcup_{j=1}^m \left(g_{j-1} S^{n_i}\triangle g_j S^{n_i}\right)\right| \\ \leq & \sum_{j=1}^m \left|\left(g_{j-1} S^{n_i}\triangle g_j S^{n_i}\right)\right| \\ = & \sum_{j=1}^m \left|g_{j-1}\left( S^{n_i}\triangle a_j S^{n_i}\right)\right| \\ \leq & 2m(\left|S^{n_i+1}\right|-\left|S^{n_i}\right|) \end{align}$$

因此

$$\frac{\left|g S^{n_i}\triangle S^{n_i}\right|}{\left|S^{n_i}\right|}<\frac {2m} {i}$$

所以$(S^{n_i})$是一個Følner序列，故G是可均群。

設$G_1$和$G_2$是有限生成群，而$G_2$是可均的。若$G_1$擬等距同構於$G_2$，那麼$G_1$也是可均群。

秩2的自由群$F_2$不是可均群。證明設a,b是$F_2$的生成元。$F_2$的元素都可以用a,b寫成字。假設$F_2$有不變平均M。考慮$F_2$的一個子集A，A包含所有簡約字以$a^n$開首的元素。（n是某個不等於0的整數。）那麼A, bA, $b^2 A$是$F_2$的不相交子集，所以

$$\begin{align} 3M(1_A) &= M(1_A) + M(1_{bA}) + M(1_{b^2 A}) \\ & \leq M(1_{F_2}) =1 \end{align}$$

另一方面，$A\cup aA=F_2$，所以

$$\begin{align} 2M(1_A) &= M(1_A) + M(1_{aA}) \\ &\geq M(1_{F_2}) \end{align}$$

這兩條不等式互相矛盾，故$F_2$上不存在不變平均，即$F_2$是非可均的。

所以一個群若包含$F_2$為離散子群，則不是可均群。

如把n維空間$\mathbb R^n$的旋轉群SO(n)看成離散群，則n不小於3時SO(n)包含$F_2$為（離散）子群，因此是非可均群，但SO(2)是阿貝爾群，因此是可均群。這是巴拿赫－塔斯基悖論證明中的構造法在n不小於3時可行，在n等於2時不可行的原因。不過若用SO(n)原來的拓撲，則對所有n，SO(n)都是緊群，所以都是可均群。

一個殆連通的局部緊群G是可均群，當且僅當G不包含$F_2$為離散子群。（設$G_e$是G的單位連通區。若$G/G_e$緊緻，則G稱為殆連通群。）

馮紐曼猜想推測非可均群都有子群是秩2的自由群，但是1980年Alexander Ol'shanskii找出反例。他證明了塔斯基魔群是非可均的。G是一個塔斯基魔群，如果有一個固定的素數p，G中所有真子群除了平凡子群外，都是p階循環群。所以塔斯基魔群沒有子群是秩2的自由群。