克爾效應

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克爾效應（Kerr effect），也稱「二次電光效應」，是物質因響應外電場的作用而改變其折射率的一種效應。克爾效應與泡克耳斯效應不同，前者感應出的折射率改變與外電場平方成正比，後者則與外電場成線性關係；前者可以在液體或非晶物質出現，後者只出現於沒有對稱中心的晶體物質。克爾效應或多或少會出現在每一種物質，但在某些液體會比較顯著。這效應最先由蘇格蘭科學家約翰·克爾（John Kerr）在1878年發現。

克爾效應又分為克爾電光效應與克爾光學效應。

## 克爾電光效應

克爾電光效應又稱為「直流克爾效應」。假設施加緩慢外電場於物質樣品，即在連結樣品兩端的電極之間施加電壓，在這影響下，樣品會變為具有雙折射性質，對於光波的偏振平面平行與垂直於外電場的兩種方向，會出現不同的折射率，其差值$\Delta n$為

$\Delta n = \lambda K E^2$。

其中，$\lambda$是光波的波長，$K$是「克爾常數」，$E$是電場。

假設光波入射於樣品的方向垂直於外電場，則折射率的不同會使得這樣品的物理性質類似波片（waveplate）。假若置放物質於兩塊正交偏振片之間（請參閱條目偏光儀（polariscope）），當設定外電場為零之時，不會有任何光波透射過這兩塊正交偏振片；但當設定外電場為某最佳值之時，幾乎全部光波會透射過這兩塊正交偏振片。

某些極性液體，例如一硝基甲苯（C7H7NO2）、硝基苯（C6H5NO2），會展示出很大的克爾常數。「克爾盒」指的是裝滿了這種液體的小盒。因為克爾效應對於電場變化的響應速度很快，克爾盒時常被用來調制光波，頻率可高達10 GHz，可以用來製作電控光開關，在高速攝影、雷射通訊方面很有用處，是未來光聯網的重要技術。由於克爾效應相當微弱，典型的克爾盒需要電壓高達30 kV才能達到完全透明。泡克耳斯效應的工作電壓比這低很多。克爾盒的另一大缺點是製作材料硝基苯具有毒性。克爾盒光調制器也可以採用某些透明晶體為克爾效應材料，雖然他們的克爾常數較小。

在有些缺乏反演對稱性的介質裏，克爾效應通常會被更強勁的泡克耳斯效應屏蔽；但是，克爾效應仍舊存在，時常可以獨立地被探測到，不論泡克耳斯效應的貢獻有多強勁。

## 克爾光學效應

克爾光學效應又稱為「交流克爾效應」。在克爾光學效應裏，光波本身的電場造成了折射率的改變，這改變與光波的局域輻照度有關。折射率的變化促成了自聚焦（self-focusing）、自調相（self-phase modulation）、調制不穩定性（modulational instability）的非線性光學效應，是克爾透鏡鎖模技術（Kerr-lens modelocking）的基礎機制。只有當光束非常強勁時，這效應才會變得很顯著，例如，雷射所產生的雷射束。

## 磁光克爾效應

在磁光克爾效應裏，從磁性物質反射出來的光波，其偏振平面會稍微偏轉。這效應與法拉第效應類似，在法拉第效應裏，透射光的偏振平面會稍微偏轉。

## 理論

### 直流克爾效應

在介質裏，電極化向量$\mathbf{P}$與電場$\mathbf{E}$的關係為

$\mathbf{P} = \varepsilon_0 \boldsymbol{\chi}^{(1)}\mathbf{E} + \varepsilon_0 \boldsymbol{\chi}^{(2)}\mathbf{EE} + \varepsilon_0\boldsymbol{\chi}^{(3)}\mathbf{EEE} + \cdots$。

其中，$\varepsilon_0$是電常數，$\boldsymbol{\chi}^{(n)}$是介質的第n階電極化率張量。

這是個張量公式。採用直角坐標系，x坐標、y坐標、z坐標分別以下標1、2、3代表，這公式表示為

$P_i = \varepsilon_0 \sum_{j=1}^{3} \chi^{(1)}_{i j} E_j + \varepsilon_0 \sum_{j=1}^{3} \sum_{k=1}^{3} \chi^{(2)}_{i j k} E_j E_k + \varepsilon_0 \sum_{j=1}^{3} \sum_{k=1}^{3} \sum_{l=1}^{3} \chi^{(3)}_{i j k l} E_j E_k E_l + \cdots$。

在這公式的右手邊，第一項是介質的線式響應，所產生的電極化向量與電場成正比；第二項給出了泡克耳斯效應；第三項給出了直流克爾效應。對於展示出不可忽略的克爾效應的物質，第三項很重要。經過一番運算，第三項以方程式表示為

$P_i(\omega) =3\varepsilon_0 \sum_{j=1}^{3} \sum_{k=1}^{3} \sum_{l=1}^{3} \chi^{(3)}_{i j k l}(\omega;0,0,\omega) E_j(0) E_k(0) E_l(\omega)$。

在這公式裏，物理量右邊圓括號內的角頻率表示這物理量必須具有的角頻率數值，否則，整個乘積為零。第3階電極化率張量$\boldsymbol{\chi}^{(3)}$有34=81個分量，假設介質為結構各向同性，則由於對稱性，只會有21 個非零分量，分為4種數值:

$\chi_1=\chi_{iiii}$。

$\chi_2=\chi_{jjkk}$。

$\chi_3=\chi_{jkjk}$。

$$\chi_4=\chi_{jkkj}$$

其中，下標$i$、$j$、$k$的數值可以是1、2或3，但是$j\ne k$。

設想外電場$\mathbf{E}_0$的方向為$\hat{y}$：

$\mathbf{E}_0=E_{0} \hat{y}$。

光波的的傳播方向為$\hat{z}$，光波的電場為

$\mathbf{E}_L=(E_{x}\hat{x}+E_{y}\hat{y})\cos(kz-\omega t)$。

兩個電場合併為

$\mathbf{E}= E_0 + \mathbf{E}_L = \mathbf{E}_{0}\hat{y} + (E_{x}\hat{x}+E_{y}\hat{y})\cos(kz-\omega t)$。

則所有涉及到z-坐標的分量都可以被忽略。

將這電場代入第三項，可以得到電極化向量的第三項部分，其x-分量、y-分量分別為

$P_x=3\varepsilon_0 \chi_{xyyx} E_0 E_0 E_{x}=3\varepsilon_0 \chi_2 E_0 E_0 E_{Lx}$。

$P_y=3\varepsilon_0 \chi_{yyyy} E_0 E_0 E_{y} =3\varepsilon_0 \chi_1 E_0 E_0 E_{Ly}$。

由於直流電場的作用，朝著x、y兩個方向的電極化向量造成了折射率不同，因此產生雙折射現象：

$\Delta n=n_{\parallel}-n_{\perp}\approx \frac{3\varepsilon_0 (\chi_2-\chi_1) E_0 E_0 }{2n}$。

其中，$n_{\parallel}$、$n_{\perp}$是偏振光的偏振平面與直流電場分別平行、垂直時傳播於介質的折射率，$n$是當沒有直流電場時傳播於介質的折射率。

因此，可以將介質的克爾常數定義為

$K\ \stackrel{def}{=}\ \frac{n_{\parallel}-n_{\perp}}{\lambda_0 E_0^2}$。

其中，$\lambda_0$是光波傳播於自由空間的波長。

### 交流克爾效應

在交流克爾效應裏，傳播於介質的光波，假若輻照度夠強勁，就可以自己提供調製電場，不需要施加外電場。對於這案例，假設偏振光的電場為

$\mathbf{E} =E_y \cos(\omega t)\hat{y}$。

其中，$\mathbf{E}_y$是光波的波幅。

將這公式代入偏振方程式，只取線性項與第三項，可以得到

$P_y \simeq \varepsilon_0 \left( \chi^{(1)} + \frac{3}{4} \chi^{(3)} |E_y|^2 \right) E_y \cos(\omega t)$。

這像是個線性項和額外的非線性項總和在一起的電極化率：

$\chi = \chi_{\mathrm{LIN}} + \chi_{\mathrm{NL}} = \chi^{(1)} + \frac{3\chi^{(3)}}{4} |E_y|^2$。

由於折射率為

$n = (1 + \chi)^{1/2} = \left( 1+\chi_{\mathrm{LIN}} + \chi_{\mathrm{NL}} \right)^{1/2} \simeq n_0 \left( 1 + \frac{1}{2 {n_0}^2} \chi_{\mathrm{NL}} \right)$。

其中，$n_0=(1+\chi_{\mathrm{LIN}})^{1/2}$是線性折射率。

由於$\chi_{\mathrm{NL}}\ll n_0\,^2$，應用泰勒展開，可以得到與輻射度有關的折射率：

$n = n_0 + \frac{3\chi^{(3)}}{8 n_0} |E_y|^2 = n_0 + n_2 I$。

其中，$n_2$是二次非線性折射率，$I$是光波的輻照度。

對於這光波傳播於介質的案例，折射率的變化與光波的輻照度成正比。

大多數介質的$n_2$相當微小，一般玻璃的$n_2$大約為10-20 m2 W-1。因此，光波的輻射度至少必須為1 GW cm-2才能使得折射率通過交流克爾效應產生顯著變化。

與輻射度有關的折射率是一種非常重要的三次過程，又分為空間調製與時間調製兩種過程。空間調製過程可以改變光束的傳播。時間調製可以改變光波的波幅與相位結構。

藉著空間調製折射率，傳播於介質的強勁光束會改變這介質的折射率，這改變的圖樣模仿光束的橫向輻照度圖樣。例如，高斯光束會造成高斯折射率剖面，類似漸變折射率透鏡（gradient-index lens）所產生的效應；越接近光束的中間區域，折射率越高；越接近邊緣區域，折射率越低。由於介質折射率被改變，使得光束在介質內自動聚焦，這現象稱為自聚焦（self-focus）。

由於光束的自聚焦，峰值輻照度會增加，因此又更加自聚焦。假若這效應贏過了對抗的衍射，則自聚焦會成為主導物理機制，光束會變得越來越狹窄，這時，假若操作不當，則會造成光束塌縮災難，從而損毀介質。

自聚焦與衍射彼此對抗抵銷，這意味著，對於每一種介質，存在一個閾值，只要輻照度不超過這閾值，就不會發生損毀。但是，另一種稱為「小尺寸自聚焦」的現象，會造成局域熱點與光束絲狀形成。為了避免這類問題出現於雷射系統，通常，會先使用空間過濾器將光束波前的粗燥部分加以平滑。