電磁場的數學表述

本條目中，向量與標量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。

在電磁學裏，有幾種電磁場的數學表述，這篇文章會講述其中三種表述。

## 向量場表述

物理學家時常會用三維的向量場來表達電場和磁場。這些向量場在時空的每一點都有一個定義值，被認為是空間坐標和時間坐標的函數。電場和磁場分別寫為 $\mathbf{E}(x, y, z, t)$ 和 $\mathbf{B}(x, y, z, t)$。

假設只有電場存在，而且不含時間，則電場稱為靜電場。類似地，假設只有磁場存在，而且不含時間，則電場稱為靜磁場。但是，假若其中任何一個場是含時的，則電場和磁場都必須一起以耦合的電磁場來計算。

自由空間的電場和磁場，不論是在靜電學裏，靜磁學裏或電動力學裏，都遵守馬克士威方程組：

名稱｜微分形式｜積分形式

高斯定律｜$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}$｜$\oint_{\mathbb{S}}\ \mathbf E\cdot\mathrm{d}\mathbf{a} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$

高斯磁定律｜$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$｜$\oint_{\mathbb{S}}\ \mathbf B\cdot\mathrm{d}\mathbf{a} = 0$

法拉第感應定律｜$\nabla \times \mathbf{E} = - \ \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$｜$\oint_{\mathbb{L}}\ \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= - \ \frac {\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}$

馬克士威-安培定律｜$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$｜$\oint_{\mathbb{L}}\ \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= \mu_0 I + \mu_0 \varepsilon_0 \frac {\mathrm{d}\Phi_E}{\mathrm{d} t}$

以下表格給出每一個符號所代表的物理意義，和其單位：

符號｜物理意義｜國際單位

$\mathbf{E}$｜電場｜伏特／公尺，牛頓／庫侖

$\mathbf{B}$｜磁場｜特斯拉，韋伯／公尺2，伏特-秒／公尺2

${\nabla \cdot}$｜散度算符｜／公尺

${\nabla \times}$｜旋度算符

$\frac {\partial}{\partial t}$｜對於時間的偏導數｜／秒

$\mathbb{S}$｜曲面積分的運算曲面｜公尺2

$\mathbb{L}$｜路徑積分的運算路徑｜公尺

$\mathrm{d}\mathbf{a}$｜微小面元素向量｜公尺2

$\mathrm{d} \boldsymbol{\ell}$｜微小線元素向量｜公尺

$\varepsilon_0 \ $｜真空電容率，又稱為電常數｜法拉／公尺

$\mu_0 \ $｜真空磁導率，又稱為磁常數｜亨利／公尺，牛頓／安培2

$\ \rho \ $｜總電荷密度｜庫侖／公尺3

$Q$｜在閉曲面 $\mathbb{S}$ 裏面的總電荷｜庫侖

$\mathbf{J}$｜總電流密度｜安培／公尺2

$I$｜穿過閉迴路 $\mathbb{L}$ 所包圍的曲面的總電流｜安培

$\Phi_{B}=\int_{\mathbb{S}}\ \mathbf B\cdot\mathrm{d}\mathbf{a}$｜穿過閉迴路 $\mathbb{L}$ 所包圍的曲面 $\mathbb{S}$ 的磁通量｜特斯拉-公尺2

$\Phi_{E}=\int_{\mathbb{S}}\ \mathbf E\cdot\mathrm{d}\mathbf{a}$｜穿過閉迴路 $\mathbb{L}$ 所包圍的曲面 $\mathbb{S}$ 的電通量｜庫侖-公尺2

對於線性物質，馬克士威方程組內的電常數和磁常數，必須分別改換為線性物質的電容率和磁導率。有些更複雜的物質，由於電磁場的作用，會給出更複雜的響應。這些性質可以用張量來表示。假若電磁場變化很快，張量可能會含時間。假若電磁場的場振幅很大，張量也可能會跟電磁場有關，顯示出非線性或非局域的物質響應。更詳盡細節，請參閱光的色散和非線性光學。

1865年，詹姆斯·馬克士威發表了馬克士威方程組的完整形式於論文《電磁場的動力學理論》。後來，物理學家發現這組方程式居然與狹義相對論相容。更令人驚訝的是，兩個處於不同參考系的觀察者，所觀察到的由兩個不同物理現象產生的明顯的巧合，按照狹義相對論，可以推論出並不是巧合。這論點非常重要，阿爾伯特·愛因斯坦的1905年講述狹義相對論的論文《論動體的電動力學》用了大半篇幅解釋怎樣轉換馬克士威方程組。

當從一個參考系S1轉換至另外一個以相對速度 $\mathbf{v}$ 移動的參考系S2時，可以用勞侖茲變換來變換電場和磁場，其方程式為

$$\bar{\mathbf{E}}= \gamma \left( \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right ) - \left (\frac{\gamma-1}{v^2} \right ) ( \mathbf{E} \cdot \mathbf{v} ) \mathbf{v}$$

$\bar{\mathbf{B}}= \gamma \left( \mathbf{B} - \frac {\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2} \right ) - \left (\frac{\gamma-1}{v^2} \right ) ( \mathbf{B} \cdot \mathbf{v} ) \mathbf{v}$。

其中，$\bar{\mathbf{E}}$ 和 $\bar{\mathbf{B}}$ 是參考系S2的電場和磁場，$\gamma=1/\sqrt{1- {v^2}/{c^2}}$ 是勞侖茲因子，$c$ 是光速。

假設相對運動是沿著x-軸，$\mathbf{v}=v \hat{\mathbf{x}}$，則每一個分量的轉換方程式分別為

$\bar{E}_x = E_x$。

$\bar{E}_y = \gamma \left ( E_y - v B_z \right )$。

$\bar{E}_z = \gamma \left ( E_z + v B_y \right )$。

$\bar{B}_x = B_x$。

$\bar{B}_y = \gamma \left ( B_y + \frac{v}{c^2} E_z \right )$。

$\bar{B}_z = \gamma \left ( B_z - \frac{v}{c^2} E_y \right )$。

很值得注意的一點是，假設對於某一個參考系，電場或磁場其中有一個場是零。這並不意味著，對於所有其他參考系，這個場都等於零。這可以從方程式看出，假設 $\mathbf{E}=0$，則

$\bar{E}_x =0$。

$\bar{E}_y =- \gamma v B_z$。

$\bar{E}_z = \gamma v B_y$。

$\bar{B}_x = B_x$。

$\bar{B}_y = \gamma B_y$。

$\bar{B}_z = \gamma B_z$。

除非 $B_y=B_z=0$，電場 $\bar{\mathbf{E}}$ 絕對不會等於零。

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這並不意味分別處於兩個不同參考系的觀察者，所觀察到的是兩種完全不同的事件；它們所觀察到的是以兩種不同方式描述的同樣的事件。愛因斯坦在他的1905年論文裏所提到的移動中的磁鐵與導體問題，是個經典例子。如圖右所示，假若環狀導線固定不動，而磁鐵以等速移動，則穿過環狀導線的磁通量會隨著時間而改變。按照法拉第電磁感應定律，會產生感應電動勢和伴隨的電場，因而造成電流流動於環狀導線。可是，假若磁鐵固定不動，改由環狀導線以等速移動，則在環狀導線內部的電荷會因為感受到勞倫茲力而產生動生電動勢和伴隨的電場，因而造成電流流動於環狀導線。假設，對於這兩個案例，移動的速率相等，而方向相反。則感應出的電流是一樣的。

## 勢場表述

在解析有些電磁學問題時，物理學家會暫時不計算電場或磁場，而先計算伴隨的電勢或磁勢。電勢 $V$ 為純量，又被稱為純勢；磁勢 $\mathbf A$ 為向量，又被稱為向量勢，或磁矢勢。從這些位勢，可以得到電場和磁場：

$\mathbf E = - \nabla V - \frac{\partial \mathbf A}{\partial t}$。

$\mathbf B = \nabla \times \mathbf A$。

將這兩個方程式代入馬克士威方程式。法拉第電磁感應定律和高斯磁定律的方程式都會約化為恆等式。另外兩個馬克士威方程式變得比較複雜：

$\nabla^2 V + \frac{\partial}{\partial t} \left ( \nabla \cdot \mathbf A \right ) = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}$。

$\left ( \nabla^2 \mathbf A - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} \right ) - \nabla \left (\nabla \cdot \mathbf A + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial V}{\partial t} \right ) = - \mu_0 \mathbf J$。

這兩個勢場方程式組合起來，具有與馬克士威方程組同樣的功能和完整性。原本的馬克士威方程組需要解析六個分量。因為電場和磁場各有三個分量。勢場表述只需要解析四個分量，因為電勢只有一個分量，磁矢勢有三個分量。可是，勢場表述涉及了二次微分，方程式也比較冗長。

值得慶幸地是有一種方法可以簡化這兩個勢場方程式。由於勢場不是唯一定義的，只要最後計算得到正確的電場和磁場就行。這性質稱為規範自由。對於這兩個勢場方程式，選擇參數為位置和時間的任意函數 $\lambda(\mathbf{r},t)$，勢場可以改變為

$\mathbf A' = \mathbf A + \nabla \lambda$。

$V' = V - \frac{\partial \lambda}{\partial t}$。

電場和磁場不變：

$\mathbf{B}' =\nabla\times\mathbf{A}' = \nabla\times\mathbf{A} + \nabla\times( \nabla \lambda)= \nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B}$。

$\mathbf{E}'= - \nabla V' - \frac{\partial \mathbf{A}'}{\partial t} = - \nabla V+\frac{\partial \nabla\lambda}{\partial t} - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} - \frac{\partial \nabla\lambda}{\partial t}= - \nabla V - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}=\mathbf{E}$。

這規範自由可以用來簡化方程式。最常見的規範自由有兩種。一種是庫侖規範（Coulomb gauge），選擇 $\lambda(\mathbf{r},t)$ 的值來使得 $\nabla \cdot \mathbf{A}= 0$。這對應於靜磁學案例。這選擇導致兩個勢場方程式分別變為

$\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}$。

$\nabla^2 \mathbf{A} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} = - \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \nabla \left ( \frac{\partial V}{\partial t} \right )$。

庫侖規範有幾點值得注意之處。第一點，解析電勢很簡單，這電勢方程式的形式為帕松方程式。第二點，解析磁矢勢很困難，這是庫侖規範的一大缺點。第三點，庫侖規範與狹義相對論不很相容，當轉換參考系時，勞侖茲變換會撤除原本參考系的庫侖規範。每做一次勞侖茲變換，就要再重新做一次庫侖規範。第四點比較令人困惑，隨著在某一局域的源電荷的改變，在任何位置的電勢的改變是瞬時的，這現象稱為超距作用（Action at a distance）。

例如，假使於下午一時，在紐約的電荷稍微移動了一下，那麼在完全同樣時間，一位假想觀察者在上海會測量出電勢有所改變。這現象似乎違背了狹義相對論，因為狹義相對論禁止以超過光速之速度來傳輸資訊、信號或任何實體。然而，由於沒有任何觀察者曾經測量到電勢，他們只能測量到電場，而電場是由電勢和磁矢勢共同決定的。所以，由於磁矢勢方程式為含時的，電場遵守狹義相對論要求的速度限制。所有可觀測量都與相對論一致。

另外一種常見的規範自由是勞侖次規範。選擇 $\lambda(\mathbf{r},t)$ 的值來使得 $\nabla \cdot \mathbf{A}= - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial V}{\partial t}$。這選擇導致兩個勢場方程式分別變為

$$\nabla^2 \mathbf{A} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} = \Box^2 \mathbf{A} = - \mu_0 \mathbf{J}$$

$$\nabla^2 V - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 V}{\partial t^2} = \Box^2 V = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

算符 $\Box^2$ 稱為達朗白算符。這兩個勢場方程式為非齊次波動方程式，其右邊項目是波源函數。勢場方程式有兩種解答：一種是源頭組態為未來時間（源電荷或源電流是設定於未來時間）的超前勢，另外一種是源頭組態為過去時間（源電荷或源電流是設定於過去時間）的推遲勢。因為不符合物理的因果關係，不具有任何物理意義，物理學家時常會刪除第一種解答，偏好選擇第二種解答。

值得強調的是，勞侖次規範並不比其它規範更正確，勢場本身是無法觀測到的（當然，不考慮像阿哈諾夫－波姆效應的例外）。勢場展示的任何非因果關係都會消失於可觀測到的電場或磁場。只有電場或磁場是具有物理意義的物理量。

## 張量場表述

電場和磁場可以綜合起來，形成一個反對稱性二階協變張量，稱為電磁張量，寫為 $F_{\alpha \beta}$。電磁張量將電場和磁場聚集在一起，以方程式表達：

$F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix} 0 & {E_x}/{c} & {E_y}/{c} & {E_z}/{c} \\ { - E_x}/{c} & 0 & - B_z & B_y \\ { - E_y}/{c} & B_z & 0 & - B_x \\ { - E_z}/{c} & - B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right)$。

使用閔考斯基度規 $\eta$。

$\eta^{\alpha \beta} = \operatorname{diag}(+1, - 1, - 1, - 1)=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix} \right)$。

將 $F_{\alpha \beta}$ 的下標拉高為上標，可以得到反變張量 $F^{\mu \nu}$。採用愛因斯坦求和約定，這程序表達為

$F^{\mu \nu} =\eta^{\alpha\mu} \, \eta^{\beta \nu} \, F_{\alpha \beta}= \ \left(\begin{matrix} 0 & - {E_x}/{c} & - {E_y}/{c} & - {E_z}/{c} \\ {E_x}/{c} & 0 & -B_z & B_y \\ {E_y}/{c} & B_z & 0 & -B_x \\ {E_z}/{c} & -B_y & B_x & 0 \end{matrix}\right)$。

給予一個 $n$ 階反對稱協變張量 $F_{i_1 i_2 \dots i_n}$，則其 $m$ 階對偶張量（dual tensor） $G^{j_1 j_2 \dots j_m},\quad m<n$ 是一個反對稱反變張量：

$G^{j_1 j_2 \dots j_m}=\frac{1}{n!}\ \epsilon^{j_1 j_2 \dots j_m\ i_1 i_2 \dots i_n }\ F_{i_1 i_2 \dots i_n}$。

其中，$\epsilon^{j_1 j_2 \dots j_m\ i_1 i_2 \dots i_n }$ 是 $m+n$ 維列維-奇維塔符號。

根據這定義，$F_{\alpha \beta}$ 的二階對偶張量 $G^{\mu \nu}$ 是

$G^{\mu \nu} = \ \left(\begin{matrix} 0 & - B_x & - B_y & - B_z \\ B_x & 0 & {E_z}/{c} & - {E_y}/{c} \\ B_y & - {E_z}/{c} & 0 & {E_x}/{c} \\ B_z & {E_y}/{c} & - {E_x}/{c} & 0 \end{matrix}\right)$。

換一種方法，將 $F^{\mu \nu}$ 的項目做以下替換： ${\mathbf E}/{c} \to \mathbf B$、$\mathbf B \to - \ {\mathbf E}/{c}$，也可以得到二階對偶張量 $G^{\mu \nu}$。

給予兩個慣性參考系 $\mathcal{S}$、 $\bar{\mathcal{S}}$；相對於參考系 $\mathcal{S}$，參考系 $\bar{\mathcal{S}}$ 以速度 $\mathbf{v}=v\hat{\mathbf{x}}$ 移動。對於這兩個參考系，相關的勞侖茲變換矩陣 $\Lambda^{\mu}_{\nu}$ 是

$\Lambda^{\mu}_{\nu}=\ \left(\begin{matrix} \gamma & - \gamma\beta & 0 & 0 \\ - \gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)$。

其中，$\gamma=\cfrac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{v}{c}\right)^2}}$ 是勞侖茲因子，$\beta=\frac{v}{c}$ 是貝他因子。

對於這兩個參考系，一個事件的四維位置分別標記為 ${x}^{\mu}$、 $\bar{x}^{\mu}$。那麼，這兩個四維位置之間的關係為

$\bar{x}^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}x^{\nu}$。

在相對論裏，使用勞侖茲變換，可以將電磁張量和其對偶張量從一個參考系變換到另外一個參考系，以方程式表達。

$\bar{F}^{\alpha \beta} = \Lambda^\alpha_\mu \Lambda^\beta_\nu F^{\mu \nu}$。

$\bar{G}^{\alpha \beta} = \Lambda^\alpha_\mu \Lambda^\beta_\nu G^{\mu \nu}$。

### 馬克士威方程組的張量標記

使用張量標記，馬克士威方程組的形式為

${F^{\alpha \beta}}_{,\alpha} = \mu_0 J^\beta$。

${G^{\alpha \beta}}_{,\alpha} = 0$。

其中，${F^{\alpha \beta}}_{,\alpha}$ 和 ${G^{\alpha\beta }}_{,\alpha}$ 分別是 $F^{\alpha \beta}$ 和 $G^{\alpha \beta}$ 對於曲線坐標（curvilinear coordinates） $x^{\alpha}$ 的協變導數，$J^\beta = \begin{pmatrix} \rho c & J_x & J_y & J_z \end{pmatrix}$ 是四維電流密度。

假設 $x^{\alpha}$ 為直角坐標，$x^{\alpha}=(ct,x,y,z)$，則協變導數 ${F^{\alpha \beta}}_{,\alpha}$ 和 ${G^{\alpha \beta}}_{,\alpha}$ 分別以方程式表達為

${F^{\alpha \beta}}_{,\alpha}=\frac{\partial F^{\alpha \beta}}{\partial x^{\alpha}}$。

${G^{\alpha \beta}}_{,\alpha}=\frac{\partial G^{\alpha \beta}}{\partial x^{\alpha}}$。

仔細分析，設定 $\beta = 0$，則可從 ${F^{\alpha \beta}}$ 的馬克士威方程式得到高斯定律的方程式：

${F^{\alpha 0 }}_{,\alpha}= \frac{1}{c}\left(\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}\right)=\mu_0 J^0=\mu_0 c \rho$ ;

又可從 ${G^{\alpha \beta}}$ 的馬克士威方程式得到高斯磁定律的方程式：

${G^{\alpha 0 }}_{,\alpha}= \frac{1}{c}\left(\frac{\partial B_x}{\partial x}+\frac{\partial B_y}{\partial y}+\frac{\partial B_z}{\partial z}\right)=0$。

另外 $\beta = 1,2,3$ 的 ${F^{\alpha \beta}}$ 的三條馬克士威方程式，對應於馬克士威-安培定律的方程式：

${F^{\alpha 1}}_{,\alpha}= - \frac{1}{c^2}\frac{\partial E_x}{\partial t}+\frac{\partial B_z}{\partial y} - \frac{\partial B_y}{\partial z}=\mu_0 J^1=\mu_0 J_x$。

${F^{\alpha 2}}_{,\alpha}= - \frac{1}{c^2}\frac{\partial E_y}{\partial t} - \frac{\partial B_z}{\partial x}+\frac{\partial B_x}{\partial z}=\mu_0 J^2=\mu_0 J_y$。

${F^{\alpha 3}}_{,\alpha}= - \frac{1}{c^2}\frac{\partial E_z}{\partial t}+\frac{\partial B_y}{\partial x} - \frac{\partial B_x}{\partial y}=\mu_0 J^3=\mu_0 J_z$。

而 ${G^{\alpha \beta}}$ 的三條馬克士威方程式，對應於法拉第電磁感應定律的方程式：

${G^{\alpha 1}}_{,\alpha}= - \frac{\partial B_x}{\partial t} - \frac{\partial E_z}{c \partial y} + \frac{\partial E_y}{c \partial z}=0$。

${G^{\alpha 2}}_{,\alpha}= - \frac{\partial B_y}{\partial t} + \frac{\partial E_z}{c \partial x} - \frac{\partial E_x}{c \partial z}=0$。

${G^{\alpha 3}}_{,\alpha}= - \frac{\partial B_z}{\partial t} - \frac{\partial E_y}{c \partial x} + \frac{\partial E_x}{c \partial y}=0$。

## 參閱

- 電磁波方程式
- 電磁場
- 量子電動力學