多元微積分

在微積分學中，多元微積分，也稱為多變量微積分（Multivariable calculus，multivariate calculus）是涉及多元函數的微積分學的統稱。相較於只有單個變量的一元微積分，多元微積分在函數的求導和積分等運算中含有至少兩個變量。例如微分多元函數時，就引申出偏微分、全微分，對多元函數進行積分計算時，又會涉及多重積分。

## 歷史

多元函數的概念很早就出現在物理學中，因為人們常常要研究取決於多個其他變量的物理量。例如托馬斯·布拉德華曾試圖尋找運動物體的速度、動力和阻力之間的關係。不過從十七世紀開始，這個概念有了長足發展。1667年，詹姆斯·格雷果里在 Vera circuli et hyperbolae quadratura 一文中給出了多元函數最早的定義之一：「（多元）函數是由幾個量經過一系列代數運算或別的可以想像的運算得到的量。」十八世紀，人們發展了基於無窮小量的微積分，並研究了常微分方程和偏微分方程的解法。那時多元函數的運算與一元函數類似。直到十九世紀末和二十世紀，人們才嚴格建立起偏導數（包括二階偏導數）的計算法則。

## 多元函數

多元函數是指定義域為$\scriptstyle \R^n$或其一部分，值域為$\scriptstyle \R$或$\scriptstyle \R^m$的函數。第二種情況可歸結為第一種情況，因為它實際上可看成$m$個定義在$\scriptstyle \R^n$上，值域是$\scriptstyle \R$的坐標函數。這樣的函數讓定義域中的每個元素（即n元組$x=(x_1,x_2,\dots,x_n)$）對應唯一一個值域中的元素，記為$f(x)$或$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$，如下所示：

$f\colon \begin{array}{rcl} E & \longrightarrow & F\\ (x_1,\ldots,x_n) & \longmapsto & f(x_1,\ldots,x_n)\end{array}$

如果線性空間$\scriptstyle \R^n$和$\scriptstyle \R^m$上賦有範數，就可以研究這種多元函數的連續性和可微性。如果固定除一個變量外的其他變量，多元函數的研究就可歸結為值域是$\scriptstyle \R^m$的函數。如果分別考慮坐標函數的話，甚至可歸結為值域是$\scriptstyle \R$的函數。比如，這種函數的導數存在的話，就稱為原來多元函數的偏導數。

## 多元函數的分析

數學分析中的經典概念可以推廣到多元函數，但也要引入線性代數中的概念。

### 極限與連續性

設$E$是$\scriptstyle \R^n$中的一個開集，$f$是定義在$E$上的函數。給$\scriptstyle \R^n$賦予一個範數之後，就可以這樣定義連續性：對$E$中的每個點$a$，$f$在$a$處連續若且唯若

$$\forall \varepsilon >0\, \exists \alpha >0 , (||x-a|| < \alpha \wedge x \in E) \Rightarrow |f(x)-f(a)|< \varepsilon$$

在多元微積分領域，對函數極限和連續性的研究可導致許多違反直覺的結果。例如，一些二元標量函數，當$x$，$y$沿不同路徑（例如直線與拋物線）趨近於極限點時，函數的值不同。例如，函數

$$f(x,y) = \frac{x^2y}{x^4+y^2}$$

沿任何直線 $y=kx$ 趨近於原點 $(0,0)$ 時，f趨近於0。然而，當變量x，y沿拋物線 $y=x^2$ 趨近於原點時，f趨近於0.5。由於沿不同路逕取極限時函數值不同，故該函數在原點的極限不存在。

每一個變量的連續不是多元函數連續的充分條件:

例如, 含有兩個變量的實數函數 $f(x,y)$，對於每一個固定的 $y$， $f$ 關於 $x$ 的函數在其定義域內連續。同樣的，對於每一個固定的 $x$， $f$ 關於 $y$ 的函數在其定義域也內連續，但這不能說明原函數連續。

舉一個例子，考慮函數

$$f(x,y)= \begin{cases} \frac{y}{x}-y & \text{if } 1 \geq x > y \geq 0 \\ \frac{x}{y}-x & \text{if } 1 \geq y > x \geq 0 \\ 1-x & \text{if } x=y>0 \\ 0 & \text{else}. \end{cases}$$

很容易驗證，在實數域中，定義函數：

$f_y(x):= f(x,y)$，則對於每一個固定的 $y$，$f_y(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上連續。同理，函數$f_x$ 也是關於 $y$ 的連續函數。然而，函數 $f$ 在原點是不連續的。

考慮序列 $f \left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)$ ( $n$ 為自然數)，若在原點連續其結果應為 $f(0,0)=0$。然而，通過計算知其在原點的極限為$\lim_{n \to \infty} f \left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) = 1.$。因此， $f$ 在原點不連續。

### 偏導數

偏導數將導數的概念推廣到更高維度。一個多變量函數的偏導數是一個相對於一個變量的導數，所有其他變量視作常數，保持不變。

偏導數可以組合起來，創造出形式更複雜的導數。在向量分析中，Nabla算子($\nabla$)依據偏導數被用於定義這些概念：梯度，散度，旋度。在含有偏導數的矩陣中，雅可比矩陣可以用來表示任意維空間之間的函數的導數。因此，導數可理解為從函數定義域到函數值域的逐點變化的線性映射。

含有偏導數的微分方程稱為偏微分方程或「PDE」。這些方程較只含有一個變量的常微分方程更難解出。

### 重積分

重積分將積分的概念拓展至任意數量的變量。二重積分和三重積分可用於計算平面和空間中區域的面積和體積。富比尼定理給出了使用逐次積分的方法計算二重積分的條件。

可以用曲面積分和曲線積分在曲面和曲線等流形上進行積分。

### 多元微積分基本定理

在一元微積分中，微積分基本定理建立了導數與積分的聯繫。多元微積分中導數與積分之間的聯繫，體現為矢量微積分的積分定理：

- 梯度定理
- 斯托克斯定理
- 高斯散度定理
- 格林公式

在對多元微積分更深層次的研究中，可以認為以上四條定理是一個更一般的定理的具體表現，即廣義斯托克斯定理，後者適用於在流形上對微分形式進行積分。

### 向量分析

向量分析研究歐式空間中足夠光滑的標量和矢量場，即歐式空間$E$中的一個開集到$\scriptstyle \R$和$E$的可微函數。因此向量分析是多元微積分的一個分支微分幾何里的內容。

不過，向量分析的重要性源自它在物理學和工程科學中的廣泛應用，所以上面的$E$常限制為$\scriptstyle \R^3$，即通常的三維空間。在這種語境下，矢量場給空間中的每個點賦予一個帶有三個實數分量的矢量，而標量場給每個點賦予一個實數。以湖水為例，湖水各處的溫度形成一標量場，而各處的速度則形成一矢量場。因此，矢量分析是流體力學、氣象學、靜電學、電動力學和地球物理學的基本工具。

## 應用

對象｜圖示｜定義域和值域｜適用運算

曲線｜

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｜$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$for $n>1$｜曲線長度、曲線積分、曲線曲率

曲面｜

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｜$f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^n$for $n>2$｜表面積、曲面積分、通量、曲面曲率

標量場｜

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｜$f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$｜極大值和極小值、拉格朗日乘數、方向導數

向量場｜

<image>

｜$f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$｜有關向量分析的運算、包括梯度、散度、旋度

## 外部連結

- UC Berkeley video lectures on Multivariable Calculus, Fall 2009, Professor Edward Frenkel
- MIT video lectures on Multivariable Calculus, Fall 2007
- Multivariable Calculus: A free online textbook by George Cain and James Herod
- Multivariable Calculus Online: A free online textbook by Jeff Knisley
- Multivariable Calculus – A Very Quick Review, Prof Blair Perot, University of Massachusetts Amherst