整除規則

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整除是數學中兩自然數間一種關係。自然數甲可被自然數乙整除，是指乙是甲的因數，且甲是乙的整數倍數，也就是甲除以乙沒有餘數。下面列出了十進位中判斷整數除以另一整數的商為整數，且餘數為零的一些規則。

## 基本判別

- 0：所有非0的整數之倍數。
- ±1：所有整數之因數。

## 可於最後幾位判別

2和5都是10的因數，在十進位判別是否有$2^k$或$5^k$的因數只須取其最後k位，除以$2^k$或$5^k$，可除盡即是：

- ±2：所有偶數（0、2、4、6、8結尾）皆有此因數。如2、−6、989896、11111112、−454
- ±4：最後兩位數可以被4除盡，即是。如9898989898540→40/4＝10
- ±8：若最後三位數可以被8除盡，即是。如8000、1256000、95872
- ±5：查看最後一位數。如果可以被5除盡（為0或5），即是。如5454545、45454500、50
- ±10：看最後一位數為0（即末兩位為10的整倍數）即是。如530、73500、50
- ±$2^n$：最後n位數可以被$2^n$除盡。
- ±$5^n$：最後n位數可以被$5^n$除盡。
- ±$10^n$：最後n位數字都全部是0。

上面的性質亦可推廣到求餘數：

$\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv \sum_{r=0}^{k-1} 10^r a_r \pmod{2^k}$ $\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv \sum_{r=0}^{k-1} 10^r a_r \pmod{5^k}$ $\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv \sum_{r=0}^{k-1} 10^r a_r \pmod{10^k}$

甚至非十進位下也是一樣。例如十二進位：2、3、4、6都是12的因數，故某數的末k位除以$2^k$、$3^k$、$4^k$、$6^k$，所得餘數與原數同餘。

## 可由各數位判別

$$\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv \sum_{r=0}^n a_r \pmod{3}$$

$$\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv \sum_{r=0}^n a_r \pmod{9}$$

- ±3：所有位數加起來為3的倍數，即是。如69255：（6＋9＋2＋5＋5）/3＝27/3＝9
- ±9：所有位數加起來為9的倍數，即是。如69255：（6＋9＋2＋5＋5）/9＝27/9＝3

注意到我們現在是在十進位運算，而9＝10－1。對於任意$p$進位的非負整數除法，當除數是$p-1$時被除數中所有數字相加的和仍與該被除數同餘。證明：

- 如被除數為零，命題是平凡。
- 在任何$p$進位，首先考慮僅有最高位數字非零、其餘位均是零的正數，該數可寫成$d p^i$，其中$d$是最高位（第$i$位）數字、$1\le d \le p-1$，而$p^i$表示後面有$i$個零。（$p$進位逢$p$進一，$p$的$i$次方自然是1後面$i$個零。）
- 那麼$d p^i=d p^{i-1} p$，除以$p-1$得$\frac{d p^{i-1} p}{p-1} = \frac{d p^{i-1}(p-1)+d p^{i-1}}{p-1}$，前項顯然整除，故$d p^i = d p^{i-1}(p-1)+d p^{i-1} \equiv d p^{i-1} \pmod{p-1}$，推論得$d p^i \equiv d p^0 = d \pmod{p-1}$。
- 而任何$p$進位正整數均可寫成$\sum_{i=0}^n d_i p^i$的形式，根據上面的結果，這個和（即是該數本身）顯然與所有數字之和$\sum_{i=0}^n d_i$同餘。證畢。

$$\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv \sum_{r=0}^n (-1)^r a_r \pmod{11}$$

- ±11：將其奇數位之和及偶數位之和相減，如果是0、11等11的倍數，即是。如19866→1＋8＋6－（9＋6）＝0
- ±7，±11，±13：設正整數$a=\sum_{r=0}^n 1000^r a_r$，$1001=7\times 11\times 13$，所以

$$a\equiv \sum_{r=0}^n (-1)^r a_r\pmod{7},a\equiv \sum_{r=0}^n (-1)^r a_r\pmod{13}$$

若a＝75312289，則a=75×1000²＋312×1000＋289，289－312＋75＝52，a能被13整除，不能被7和11整除。

## 合數判別

若某整數能整除某合數則某整數必同時整除所有某合數的質因數。

- ±6：同時符合±2（末位是0、2、4、6、8）和±3（相加可除盡）的條件（6＝2×3），如66、7986252、99999996
- ±12：同時符合±4和±3（相加可除盡）的條件（12＝$2^2$×3），如60

## 連續割頭法

$$\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv a_0+10\sum_{r=1}^n 10^{r-1} a_r \pmod{k}$$

- ±7：將個位前的數字乘以3再與個位數相加，得出7的倍數即7的倍數。如154→49→21→7
- ±13：將個位前的數字乘以3再與個位數相減，得出13的倍數即13的倍數。如156→39→0

$$\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv a_0+10a_1+100\sum_{r=2}^n 10^{r-2} a_r \pmod{k}$$

- ±23：將十位前的數字乘以15再與末兩位數相減，得出23的倍數即23的倍數。如207→23
- ±31：將十位前的數字乘以7再與末兩位數相加，得出31的倍數即31的倍數。如155→62
- ±37：將十位前的數字乘以11再與末兩位數相減，得出37的倍數即37的倍數。如333→0

## 連續割尾法

若$\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv 0 \pmod{k}$，且$10x \equiv 1 \pmod{k}$

則$a_0+10\sum_{r=1}^n 10^{r-1} a_r \equiv xa_0+\sum_{r=1}^n 10^{r-1} a_r \equiv 0 \pmod{k}$

- ±7：將個位數乘以2再與個位前的數字相減，得出7的倍數即7的倍數。如154→7
- ±19：將個位數乘以2再與個位前的數字相加，得出19的倍數即19的倍數。如152→19

## 2到31的整除規則總表

整除數｜整除規則｜示例

2｜末位是偶數（0、2、4、6、8）。｜1294：末位4是偶數，能被2整除。

3｜計算各位之和，其結果能被3整除。｜405：4＋0＋5＝9，636：6＋3＋6＝15，兩者都能被3整除。16兆4992億0585萬4376：1＋6＋4＋9＋9＋2＋0＋5＋8＋5＋4＋3＋7＋6＝69→6＋9＝15→1＋5＝6，能被3整除。

分別統計1、4、7出現總數與2、5、8出現總數，兩者之差能被3整除。｜16兆4992億0585萬4376：數字1、4、7出現總數是4，數字2、5、8出現總數是4，4－4＝0，能被3整除。

4｜末兩位能被4整除。｜40832：末兩位32，能被4整除。

十位數為偶數時，個位數為0、4、8。十位數為奇數時，個位數為2、6。｜40832：十位數3是奇數，個位數為2，能被4整除。

十位數乘2加個位數，其結果能被4整除。｜40832：2×3＋2＝8，能被4整除。

5｜末位是0、5。｜495：末位是5，能被5整除。

6｜能同時被2、3整除。｜1458：1＋4＋5＋8＝18，能被3整除；末位數8是偶數，能被2整除，繼而能被6整除。

7｜每三位分組，從右往左每組交替加減，其結果能被7整除。｜136萬9851：851－369＋1＝483，能被7整除。

從右往左每六位為一組，每組相加的結果能被7整除。｜1649萬8888：16＋498888＝498904，能被7整除。

個位數乘2，並從其餘位中減去，其結果能被7整除。｜483：48－3×2＝42，能被7整除。

個位數乘5，加到其餘位中，其結果能被7整除。｜483：48＋3×5＝63，能被7整除。

最高位乘3，與次高位相加，替換掉頭兩位，其能被7整除。｜483：4×3＋8＝20，將20替換掉48； 203：2×3＋0＝6，將6替換掉20；63：6×3＋3＝21，能被7整除。

末兩位加其餘位乘以2，其結果能被7整除。｜48萬3595：4835×2＋95＝9765，97×2＋65＝259，2×2＋59＝63，能被7整除。

從末位起由右至左依次乘1、3、2、−1、−3、−2（循環），相加的結果能被7整除。｜48萬3595：4×（−2）＋8×（−3）＋3×（−1）＋5×2＋9×3＋5×1＝7，能被7整除。

8｜百位數是偶數時，末兩位是個能被8整除的數字。｜624：百位數6是偶數，末兩位24，能被8整除。

百位數是奇數時，末兩位加4是個能被8整除的數字。｜352：百位數3是奇數，末兩位52＋4＝56，能被8整除。

末位加其餘位乘2，其結果能被8整除。｜56：5×2＋6＝16，能被8整除。

末三位能被8整除。｜34152：末三位152能被8整除。

百位乘4加十位乘2加個位，其結果能被8整除。｜34152：1×4＋5×2＋2＝16，能被8整除。

9｜計算各位之和，其結果能被9整除。｜2880：2＋8＋8＋0＝18：1＋8＝9，能被9整除。

10｜末位是0。｜130：末位是0，能被10整除。

11｜從高位到低位交錯加減，其結果能被11整除。｜91萬8082：9－1＋8－0＋8－2＝22，能被11整除。

從右往左每兩位為一組，每組相加的結果能被11整除。｜627：6＋27＝33，能被11整除。50215：5＋02＋15＝22，能被11整除。

末位被其餘位減去，其結果能被11整除。｜627：62－7＝55，能被11整除。

將個位數加到百位中，其結果能被11整除。｜627：62＋70＝132：13＋20＝33，能被11整除。

該數為偶數位數時，首位減末位，加到其餘位，其結果能被11整除。｜91萬8082（六位數）：1808＋（9－2）＝1815，81＋1－5＝77，能被11整除。

該數為奇數位數時，首位加末位，從其餘位中減去，其結果能被11整除。｜14179（五位數）：417－（1＋9）＝407，0－（4＋7）＝−11，能被11整除。

12｜能同時被3、4整除。｜288：能同時被3、4整除，繼而能被12整除。

將末位從其餘位乘2中減去，其結果能被12整除。｜288：28×2－8＝48，能被12整除。

13｜每三位分組，從右往左每組交替加減，其結果能被13整除。｜291萬1272：2－911＋272＝−637，能被13整除。

從右往左每六位為一組，每組相加的結果能被13整除。｜1億6148萬0059：161＋480059＝480220，能被13整除。

末位乘4，加到其餘位中，其結果能被13整除。｜637：63＋7×4＝91，9＋1×4＝13，能被13整除。

將末兩位從其餘位乘4中減去，其結果能被13整除。｜923：9×4－23＝13，能被13整除。

末位乘9，從其餘位中減去，其結果能被13整除。｜637：63－7×9＝0，能被13整除。

14｜能同時被2、7整除。｜224：能同時被2、7整除，繼而能被14整除。

末兩位與其餘位乘2相加，其結果能被14整除。｜364：3×2＋64＝701764：17×2＋64＝98，兩者都能被14整除。

15｜能同時被3、5整除。｜390：能同時被3、5整除，繼而能被15整除。

16｜千位數是偶數時，末三位能被16整除。｜25萬4176：千位數4是偶數，末三位176，能被16整除。

千位數是奇數時，末三位加8能被16整除。｜3408：千位數3是奇數，末三位408＋8＝416，能被16整除。

末兩位與其餘位乘4相加，其結果能被16整除。｜176：1×4＋76＝80， 1168：11×4＋68＝112，兩者都能被16整除。

末四位能被16整除。｜15萬7648：末四位7648能被16整除。

17｜末位乘5，從其餘位中減去，其結果能被17整除。｜221：22－1×5＝17，能被17整除。

將末兩位從其餘位乘2中減去，其結果能被17整除。｜4675：46×2－75＝17，能被17整除。

從右往左每八位為一組，從右往左每組交替加減，其結果能被17整除。｜1億1725萬0581：17250581－1＝17250580，能被17整除。

18｜能同時被2、9整除。｜342：能同時被2、9整除，繼而能被18整除。

19｜末位乘2，加到其餘位中，其結果能被19整除。｜437：43＋7×2＝57，能被19整除。

末兩位乘4，加到其餘位中，其結果能被19整除。｜6935：69＋35×4＝209，能被19整除。

從右往左每九位為一組，從右往左每組交替加減，其結果能被19整除。｜11億7225萬0581：172250581－1＝172250580，能被19整除。

20｜末位是0，次末位是偶數。｜360：末位是0，次末位6是偶數，能被20整除。

末兩位能被20整除。｜480：末兩位80，能被20整除。

21｜末位乘2，從其餘位中減去，其結果能被21整除。｜168：16－8×2＝0，能被21整除。

能同時被3、7整除。｜231：能同時被3、7整除，繼而能被21整除。

22｜能同時被2、11整除。｜352：能同時被2、11整除，繼而能被22整除。

23｜末位乘7，加到其餘位中，其結果能被23整除。｜3128：312＋8×7＝368，36＋8×7＝92，能被23整除。

末兩位乘3，加到其餘位中，其結果能被23整除。｜1725：17＋25×3＝92，能被23整除。

末三位乘2，與其餘位相減，其結果能被23整除。｜13萬7931：931×2＝1862，1862－137＝1725，能被23整除。

24｜能同時被3、8整除。｜864：能同時被3、8整除，繼而能被24整除。

25｜末兩位是能被25整除的數（00、25、50、75）｜13萬4250：末兩位50，能被25整除。

26｜能同時被2、13整除。｜156：能同時被2、13整除，繼而能被26整除。

27｜每三位分組，各組相加，其結果能被27整除。｜264萬4272：2＋644＋272＝918，能被27整除。

末位乘8，從其餘位中減去，其結果能被27整除。｜621：62－1×8＝54，能被27整除。

將末兩位從其餘位乘8中減去，其結果能被27整除。｜6507：65×8－7＝520－7＝513，能被27整除。

28｜能同時被4、7整除。｜140：能同時被4、7整除，繼而能被28整除。

29｜末位乘3，加到其餘位中，其結果能被29整除。｜493：49＋3×3＝58，能被29整除。

末兩位乘9，加到其餘位中，其結果能被29整除。｜5510：55＋10×9＝145，能被29整除。

末三位乘2，與其餘位相減，其結果能被29整除。｜17萬3913：913×2＝1826，1826－173＝1653，能被29整除。

30｜末位是0，次各位之和能被3整除。｜270：能同時被3、10整除，繼而能被30整除。

31｜末位乘3，從其餘位中減去，其結果能被31整除。｜341：34－1×3＝31，能被31整除。

## 參見

- 除法、短除法
- 因數
- 同餘