電磁波方程式

在電磁學裏，電磁波方程式（英語：Electromagnetic wave equation）乃是描述電磁波傳播於介質或真空的二階微分方程式。電磁波的波源是局域化的含時電荷密度和電流密度，假若波源為零，則電磁波方程式約化為二階齊次微分方程式。這方程式的形式，以電場$\mathbf{E}\,\!$和磁場$\mathbf{B}\,\!$來表達為

$\left(\nabla^2 - \frac{ 1}{{c}^2 }\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{E}\ =\ 0\,\!$。

$\left(\nabla^2 - \frac{ 1}{{c}^2 }\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{B}\ =\ 0\,\!$。

其中，$\nabla^2\,\!$是拉普拉斯算符，$c\,\!$是電磁波在真空或介質中傳播的速度，$t\,\!$是時間。

由於光波就是電磁波，$c\,\!$也是光波傳播的速度，稱為光速。在真空裏，$c=c_0=299,792,458\,\!$ ［公尺／秒］，是電磁波傳播於自由空間的速度。

## 歷史

在詹姆斯·麥克斯韋的1864年論文《電磁場的動力學理論》內，麥克斯韋將位移電流與其它已成立的電磁方程式合併，因而得到了描述電磁波的波動方程式。最令人振奮的是，這方程式所描述的波動的波速等於光波的速度。他這樣說：

這些殊途一致的結果，似乎意味著光波與電磁波都是同樣物質的屬性，並且，光波是按照著電磁定律傳播於電磁場的電磁擾動。

## 理論推導

在真空裏，麥克斯韋方程組的四個微分方程式為

$\nabla \cdot \mathbf{E} = 0\,\!$、(1)

$\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\,\!$、(2)

$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\,\!$、(3)

$\nabla \times \mathbf{B} =\mu_0 \varepsilon_0 \frac{ \partial \mathbf{E}} {\partial t}\,\!$；(4)

其中，$\mu_0\,\!$是真空磁導率，$\varepsilon_0\,\!$是真空電容率。

分別取公式(2)、(4)的旋度。

$\nabla \times(\nabla \times \mathbf{E})= - \frac{\partial } {\partial t} (\nabla \times \mathbf{B})= - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E} } {\partial t^2} \,\!$。

$\nabla \times(\nabla \times \mathbf{B})= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial } {\partial t}(\nabla \times \mathbf{E})= - \mu_o \varepsilon_o \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} \,\!$。

應用一則向量恆等式（這裏，$\nabla^2 \mathbf{V}$應被理解爲對V的每個分量取拉普拉斯算子，卽拉普拉斯–德拉姆算子）

$\nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{V} \right) = \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{V} \right) - \nabla^2 \mathbf{V}\,\!$。

其中，$\mathbf{V} \,\!$是任意向量函數。

將公式(1)、(3)代入，即可得到亥姆霍茲方程形式的波動方程式：

$\left(\nabla^2 - \frac{ 1}{{c}^2 }\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{E}\ =\ 0\,\!$、(5)

$\left(\nabla^2 - \frac{ 1}{{c}^2 }\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{B}\ =\ 0\,\!$；(6)

其中，$c=c_0 = { 1 \over \sqrt{ \mu_0 \varepsilon_0 } } = 2.99792458 \times 10^8 \,\!$ ［公尺／秒］是電磁波傳播於自由空間的速度。

## 齊次的波動方程式的協變形式

電磁四維勢$A^{\mu}\,\!$是由電勢$\phi \,\!$與向量勢$\mathbf{A}\,\!$共同形成的，定義為

$A^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ ( \phi /c,\, \mathbf{A}) \,\!$。

採用勞侖次規範：

$\frac{\partial A^{\mu}}{\partial x^{\mu}} = 0\,\!$。

前述那些齊次的波動方程式(5)、(6)，可以按照反變形式寫為

$\ \Box A^{\mu} = 0\,\!$。

其中，$\Box=\partial^\nu\partial_\nu=\frac{\partial^2 }{\partial x_{\nu}\partial x^{\nu}}= \frac{ 1}{{c}^2 }{\partial^2 \over \partial t^2} - \nabla^2 \,\!$是達朗貝爾算子，又稱為四維拉普拉斯算子。

## 彎曲時空中的齊次的波動方程式

齊次的電磁波方程式在彎曲時空中需要做兩處修正，分別是將偏導數替換為協變導數，以及增加了一項有關時空曲率的項。假設洛倫茨規範在彎曲時空中的推廣為

${A^{\mu}}_{ ; \mu}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\partial A^{\mu}}{\partial x^{\mu}}= 0 \,\!$。

那麼，彎曲時空中的齊次的波動方程式為

$- {A^{\alpha ; \beta}}_{ \beta} + {R^{\alpha}}_{\beta} A^{\beta} =0\,\!$。

其中，${R^{\alpha}}_{\beta}\,\!$是里奇曲率張量。

## 非齊次的電磁波方程式

追根究底，局域化的含時電荷密度和電流密度是電磁波的波源。在有波源的情形下，馬克士威方程組可以寫成一個非齊次的電磁波方程式的形式。正是因為波源的存在，使得偏微分方程式變為非齊次。

## 波動方程式的解

在齊次的電磁波方程式中，電場和磁場的每一個分量都滿足純量波動方程式

$\frac{ 1}{{c}^2 }{\partial^2 f \over \partial t^2} - \nabla^2 f\ = \ 0\,\!$；(7)

其中，$f\,\!$是任意良態函數。

純量波動方程式的一般解的形式為

$f(\mathbf{r},t) = g(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)\,\!$。

其中，$g(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)\,\!$是任意良態函數，$\mathbf{r}\,\!$是位置向量，$t\,\!$是時間，$\mathbf{k}\,\!$是波向量，$\omega\,\!$是角頻率。

函數$g(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)\,\!$描述一個波動，隨著時間的演化，朝著$\mathbf{k}\,\!$的方向傳播於空間。將函數$g(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)\,\!$代入純量波動方程式(7)，可得到角頻率與波數的色散關係：

$\omega^2=c^2 k^2\,\!$。

或者，角頻率一定大於零，但波數可以是負值：

$\omega=c |k|\,\!$。

### 正弦波

<image>

假設，函數$g\,\!$的波形為正弦波：

$f= f_0 \cos(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t+ \phi_0)\,\!$。

其中，${f}_0\,\!$是實值波幅，$\phi_0\,\!$是初相位。

根據歐拉公式。

$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\,\!$。

函數$f\,\!$也可以表達為一個複數的實值部分

$f=\operatorname{Re}\{f_0 e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t+ \phi_0)}\}\,\!$。

以上方加有波浪號的符號來標記複值變數。設定複值函數$\tilde{f}\,\!$為

$\tilde{f}=f_0 e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t+ \phi_0)}=\tilde{f}_0 e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}\,\!$。

其中，$\tilde{f}_0=f_0 e^{i \phi_0}\,\!$是複值波幅。

那麼。

$f=\operatorname{Re}\{\tilde{f}\}\,\!$。

純量波動方程式的正弦波解的形式為$\tilde{f}\,\!$的實值部分。任意涉及實函數$f\,\!$的線性方程式，都可以用複函數$\tilde{f}\,\!$來代替$f\,\!$。最後得到的複值答案，只要取實值部分，就可以得到描述實際物理的答案。但是，當遇到非線性方程式，必須先轉換為實值函數，才能夠確保答案的正確性。

由於指數函數比三角函數容易計算，在很多場合，都可以使用這技巧。

### 線性疊加

任意波動$f(\mathbf{r},t)\,\!$可以表達為一個無限集合的不同頻率的正弦波的線性疊加：

$f(\mathbf{r},t) = \int^{\infty}_0 \tilde{f}_0(\mathbf{r},\omega) e^{ - i\omega t}\ d\omega\,\!$。

所以，只要能得知單獨頻率的波動$\tilde{f}_0(\mathbf{r},\omega) \,\!$（單色波）的表達式，就可以求算整個波動$f(\mathbf{r},t)\,\!$的表達式。

## 齊次的電磁波方程式的解

### 單色正弦平面波的解

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從前面的分析，可以猜到齊次的電磁波方程式的單色正弦平面波的解為：

$\tilde{\mathbf{E}}(\mathbf{r},t) =\tilde{\mathbf{E}}_0 e^{i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)} \,\!$。

$\tilde{\mathbf{B}}(\mathbf{r},t) =\tilde{\mathbf{B}}_0 e^{i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)} \,\!$。

其中，$\tilde{\mathbf{E}}_0\,\!$、$\tilde{\mathbf{B}}_0\,\!$分別為複值電場$\tilde{\mathbf{E}}$和複值磁場$\tilde{\mathbf{B}}$的複常數振幅向量。

這兩個方程式顯示出正弦平面波的傳播方向是$\mathbf{k}\,\!$的方向。由於方程式(1)和(3)。

$\mathbf{k}\cdot\tilde{\mathbf{E}}(\mathbf{r},t) =\mathbf{k}\cdot\tilde{\mathbf{E}}_0=0\,\!$。

$\mathbf{k}\cdot\tilde{\mathbf{E}}(\mathbf{r},t) =\mathbf{k}\cdot\tilde{\mathbf{B}}_0=0\,\!$。

電場和磁場垂直於波向量，波動傳播的方向。所以，電磁波是橫波。

由於法拉第電磁感應定律方程式(2)。

$\nabla \times \tilde{\mathbf{E}}=\left(\nabla e^{i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)}\right) \times\tilde{\mathbf{E}}_0 =i \mathbf{k}\times\tilde{\mathbf{E}}= - \frac{\partial \tilde{\mathbf{B}}} {\partial t}=i\omega\tilde{\mathbf{B}}\,\!$。

將角頻率與波數的色散關係式$\omega=ck\,\!$帶入：

$\tilde{\mathbf{B}} =\frac{\mathbf{k}}{\omega}\times\tilde{\mathbf{E}}=\frac{1}{c}\hat{\mathbf{k}}\times\tilde{\mathbf{E}}\,\!$。

所以，電場與磁場相互垂直於對方；磁場的大小等於電場的大小除以光速。

### 電磁波譜分解

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由於馬克士威方程組在真空裡的線性性質，其解答可以分解為一集合的正弦波。將這集合的正弦波的疊加在一起，又可以形成原本的解答。這是傅立葉變換方法解析微分方程式的基礎概念。電磁波方程式的正弦波解的形式為

$\mathbf{E} ( \mathbf{r}, t ) = \mathbf{E}_0 \cos( \omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \phi_0 ) \,\!$。

$\mathbf{B} ( \mathbf{r}, t ) = \mathbf{B}_0 \cos( \omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \phi_0 ) \,\!$。

波向量與角頻率的關係為

$k = | \mathbf{k} | = { \omega \over c } = { 2 \pi \over \lambda } \,\!$。

其中，$\lambda\,\!$是波長。

按照波長長短，從長波開始，電磁波可以分類為電能、無線電波、微波、紅外線、可見光、紫外線、X-射線和伽馬射線等等。普通實驗使用的光譜儀就足以分析從2 奈米到2500 奈米波長的電磁波。使用這種儀器，可以得知物體、氣體或甚至恆星的詳細物理性質。這是天文物理學的必備儀器。例如，氫原子會發射波長為21.12公分的無線電波。

### 圓柱對稱性解

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如圖右，思考一條由半徑為$a\,\!$的無窮長的直導線，和半徑為$b\,\!$的無窮長的圓柱導電管，所組成的共軸傳輸線。假設這傳輸線與z-軸平行。由於共軸傳輸線的內部有一條直導線，不是空心的，它可以傳輸$E_z=0\,\!$和$B_z=0\,\!$的電磁橫波，採用圓柱坐標$(s, \phi, z)\,\!$，在傳輸線的內部空間，電場和磁場分別為

${\mathbf{E}}(\mathbf{r}, t )=\frac{{\mathbf{E}}_0}{s}\cos(kz - \omega t)\hat{s} \,\!$。

${\mathbf{B}}(\mathbf{r}, t )=\frac{\mathbf{E}_0}{cs}\cos(kz - \omega t)\hat{\phi} \,\!$。

這一組方程式顯示出電磁波方程式的圓柱對稱性解的一種形式。

### 球對稱性解

思考一個位於原點的振盪中的磁偶極矩$m=m_0 \cos(\omega t)\,\!$。這磁偶極矩會發射出電磁波，從原點往無窮遠輻射出去。採用球坐標$(r, \theta, \phi)\,\!$，則在離原點很遠的位置$\mathbf{r}\,\!$，電場和磁場分別為

${\mathbf{E}}(\mathbf{r}, t ) =\frac{\mathbf{E}_0\sin\theta}{r}\left[\cos(kr - \omega t) - \frac{1}{kr}[\sin(kr - \omega t) \right]\hat{\phi} \,\!$。

${\mathbf{B}}(\mathbf{r}, t ) = - \frac{\mathbf{E}_0\sin\theta}{cr}\left[\cos(kr - \omega t) - \frac{1}{kr}[\sin(kr - \omega t) \right] \hat{\theta}\,\!$。

這是一組滿足電磁波方程式的球面波方程式。

## 參閱

### 理論與實驗

- 電磁模型
- 電磁輻射
- 電磁場的數學表述
- 偏導
- 光學

### 應用領域

- 彩虹
- 宇宙微波背景輻射
- 雷射
- 核融合
- X-射線
- 雷達

## 參考文獻

- Landau, L. D., The Classical Theory of Fields (Course of Theoretical Physics: Volume 2), (Butterworth-Heinemann: Oxford, 1987). ISBN 0-08-018176-7.