Slope one

Slope One 是一系列應用於協同過濾的演算法的統稱。由 Daniel Lemire和Anna Maclachlan於2005年發表的論文中提出。有爭議的是，該演算法堪稱基於項目評價的non-trivial 協同過濾演算法最簡潔的形式。該系列演算法的簡潔特性使它們的實現簡單而高效，而且其精確度與其它複雜費時的演算法相比也不相上下。. 該系列演算法也被用來改進其它演算法。.

## 協同過濾簡介及其主要優缺點

協同過濾推薦（Collaborative Filtering recommendation）在資訊過濾和資訊系統中正迅速成為一項很受歡迎的技術。與傳統的基於內容過濾直接分析內容進行推薦不同，協同過濾分析使用者興趣，在使用者群中找到指定使用者的相似（興趣）使用者，綜合這些相似使用者對某一信息的評價，形成系統對該指定使用者對此資訊的喜好程度預測。

與傳統文本過濾相比，協同過濾有下列優點:

- 能夠過濾難以進行機器自動基於內容分析的資訊。如藝術品、音樂。
- 能夠基於一些複雜的，難以表達的概念（資訊質量、品位)進行過濾。
- 推薦的新穎性。

儘管協同過濾技術在個性化推薦系統中獲得了極大的成功，但隨著站點結構、內容的複雜度和使用者人數的不斷增加，協同過濾技術的一些缺點逐漸暴露出來。

主要有以下三點:

- 稀疏性(sparsity)：在許多推薦系統中，每個使用者涉及的資訊量相當有限，在一些大的系統如亞馬遜網站中，使用者最多不過就評估了上百萬本書的1%~2%。造成評估矩陣數據相當稀疏，難以找到相似使用者集，導致推薦效果大大降低。
- 擴展性(scalability)：「最近鄰居」演算法的計算量隨著使用者和項的增加而大大增加，對於上百萬之巨的數目，通常的演算法將遭遇到嚴重的擴展性問題。
- 精確性(accuracy)：通過尋找相近使用者來產生推薦集，在數量較大的情況下，推薦的可信度隨之降低。

## Item-based協同過濾 和 過適

當可以對一些項目評分的時候，比如人們可以對一些東西給出1到5星的評價的時候，協同過濾意圖基於一個個體過去對某些項目的評分和（龐大的）由其他使用者的評價構成的資料庫，來預測該使用者對未評價項目的評分。

例如: 如果一個人給披頭四的評分為5（總分5）的話，我們能否預測他對席琳狄翁新專輯的評分呢？

這種情形下, item-based 協同過濾系統根據其它項目的評分來預測某項目的分值，一般方法為 線性回歸 ($f(x)=ax+b$). 於是，需要列出x^2個線性回歸方程和2x^2個回歸量，例如：當有1000個項目時，需要列多達1,000,000個線性回歸方程，以及多達2,000,000個回歸量。除非我們只選擇某些使用者共同評價過的項目對，否則協同過濾會遇到過適(過擬合) 問題。

另外一種更好的方法是使用更簡單一些的式子，比如 $f(x)=x+b$：實驗證明當使用一半的回歸量的時候，該式子（稱為Slope One）的表現有時優於線性回歸方程。該簡化方法也不需要那麼多存儲空間和延遲。

Item-based 協同過濾只是 協同過濾的一種形式.其它還有像 user-based 協同過濾一樣研究使用者間的聯繫的過濾系統。但是，考慮到其他使用者數量龐大，item-based協同過濾更可行一些。

## 電子商務中的Item-based協同過濾

人們並不總是能給出評分，當使用者只提供二進位數據（購買與否）的時候，就無法應用Slope One 和其它基於評分的演算法。

二進位 item-based協同過濾應用的例子之一就是Amazon的 item-to-item 專利演算法，該演算法中用二進位向量表示使用者-項目購買關係的矩陣，並計算二進位向量間的cosine相關係數。

有人認為Item-to-Item 演算法甚至比Slope One 還簡單，例如：

顧客｜項目 1｜項目 2｜項目 3

John｜買過｜沒買過｜買過

Mark｜沒買過｜買過｜買過

Lucy｜沒買過｜買過｜沒買過

在本例當中，項目1和項目2間的cosine相關係數為：

$\frac{(1,0,0)\cdot (0,1,1) }{ \Vert (1,0,0)\Vert \Vert (0,1,1)\Vert }= 0$,

項目1和項目3間的cosine相關係數為：

$\frac{(1,0,0)\cdot (1,1,0) }{ \Vert (1,0,0)\Vert \Vert (1,1,0)\Vert }= \frac{1}{\sqrt{2}}$,

而項目2和項目3的cosine相關係數為：

$\frac{(0,1,1)\cdot (1,1,0)}{ \Vert (0,1,1)\Vert \Vert (1,1,0)\Vert }= \frac{1}{2}$.

於是，瀏覽項目1的顧客會被推薦買項目3(兩者相關係數最大),而瀏覽項目2的顧客會被推薦買項目3,瀏覽了項目3的會首先被推薦買項目1（再然後是項目2,因為2和3的相關係數小於1和3）。該模型只使用了每對項目間的一個參數（cosine相關係數）來產生推薦。因此，如果有n個項目，則需要計算和存儲 n（n-1）/2 個cosine相關係數。

## Slope One 協同過濾

為了大大減少過適(過擬合)的發生，提升演算法簡化實現， Slope One 系列易實現的Item-based協同過濾演算法被提了出來。本質上，該方法運用更簡單形式的回歸表達式($f(x)=x+b$) 和單一的自由參數，而不是一個項目評分和另一個項目評分間的線性回歸 ($f(x)=ax+b$)。該自由參數只不過就是兩個項目評分間的平均差值。甚至在某些實例當中，它比線性回歸的方法更準確，而且該演算法只需要一半（甚至更少）的存儲量。

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例:

- User A 對 Item I 評分為1 對Item J.評分為1.5
- User B 對 Item I 評分為2.
- 你認為 User B 會給 Item J 打幾分?
- Slope One 的答案是：2.5 (1.5-1+2=2.5).

舉個更實際的例子，考慮下表：

顧客｜項目 1｜項目 2｜項目 3

John｜5｜3｜2

Mark｜3｜4｜未評分

Lucy｜未評分｜2｜5

在本例中，項目2和1之間的平均評分差值為 (2+(-1))/2=0.5. 因此，item1的評分平均比item2高0.5。同樣的，項目3和1之間的平均評分差值為3。因此，如果我們試圖根據Lucy 對項目2的評分來預測她對項目1的評分的時候，我們可以得到 2+0.5 = 2.5。同樣，如果我們想要根據她對項目3的評分來預測她對項目1的評分的話，我們得到 5+3=8.

如果一個使用者已經評價了一些項目，可以這樣做出預測：簡單地把各個項目的預測通過加權平均值結合起來。當使用者兩個項目都評價過的時候，權值就高。在上面的例子中，項目1和項目2都評價了的使用者數為2,項目1和項目3 都評價了的使用者數為1,因此權重分別為2和1.

我們可以這樣預測Lucy對項目1的評價：

$$\frac{2 \times 2.5 + 1 \times 8 }{2+1} = \frac{13 }{3} = 4.33$$ 於是，對「n」個項目，想要實現 Slope One，只需要計算並存儲「n」對評分間的平均差值和評價數目即可。

## Slope One 的演算法複雜度

設有「n」個項目，「m」個使用者，「N」個評分。計算每對評分之間的差值需要n(n-1)/2 單位的存儲空間，最多需要 m n2步. 計算量也有可能挺悲觀的:假設使用者已經評價了最多 y 個項目, 那麼計算不超過n2+my2個項目間計算差值是可能的。.

如果一個使用者已經評價過「x」個項目，預測單一的項目評分需要「x」步，而對其所有未評分項目做出評分預測需要最多 (n-x)x 步.

當一個使用者已經評價過「x」個項目時，當該使用者新增一個評價時，更新資料庫需要 x步.

可以通過分割數據（參照分割和稀疏存儲（沒有共同評價項目的使用者可以被忽略）)來降低存儲要求。

## 應用Slope One的推薦系統

- hitflip DVD推薦系統
- How Happy
- inDiscover MP3推薦系統
- RACOFI Composer
- Value Investing News 股票新聞網站
- AllTheBests 購物推薦引擎