益古演段

《益古演段》是李冶的一部數學著作。「益古」指蔣周的《益古集》，「演段」指蔣周的算書《益古集》中的條段法。基本上都是已知平面圖形的面積，求圓的半徑、正方形的邊長和周長等等。書中先用天元術建立方程（多數是二次方程），再用條段法旁證。

題目的格式，分四部分：「法曰」、「條段圖」、「依條段求之」、「義曰」、和「舊術曰」。

- 法即天元法。
- 條段圖和條段法是蔣周《益古集》的方法。
- 義就是文字說明。
- 舊術是《益古籍》中的方法。
- 依條段求之指用條段法證明天元術。

四庫全書所收知不足齋叢書《益古演段》三卷，一共64問。

## 卷上

<image>

卷上 第一問至第二十二問，全是關於正方形和圓形的問題。

例子：第八問：今有方田一段，內有園池水占之。外有地一十三畝七分半。只雲內外方圓周共相和，得三百步。問方圓周各多少？

答曰：外方周二百四十步，內圓周六十步。

法曰：立天元一為圓徑，以三之為圓周，以減共步，得

<image>

<image>

<image>

太

<image>

為方周，以自增乘，得

<image>

<image>

<image>

<image>

<image>

太

<image>

<image>

<image>

<image>

<image>

（天元：相當於未知數 x）

<image>

十六段方田積於頭，再立天元圓徑以自之又十二之，得

<image>

太

<image>

<image>

<image>

為十六個圓池積以減頭位得

<image>

<image>

<image>

<image>

<image>

太

<image>

<image>

<image>

<image>

<image>

為十六段如積，寄左然後列真積一十三畝七分半，以畝法通之得五萬二千八百步，與左相消得

<image>

<image>

<image>

<image>

<image>

<image>

<image>

<image>

<image>

<image>

開平方為圓池徑，又三之為圓池周。

## 卷中

<image>

第二十三問至第四十二問，共20 問，解長方形和圓形的問題。

例題：第三十六問

今有圓田一段，中有直池水占之，外計地六千步。只雲從內池四角斜至四楞各一十七步半。其內池長闊共相和得八十五步。問三事各多少？

答曰外田徑一百步，池長六十步，闊二十五步。

法曰 （天元術）：立天元一位內池斜角，加二倍池角到圓池的距離為圓的直徑

圓直徑：

<image>

<image>

太 （常數項）

<image>

（天元：相當於未知數 x）

圓直徑= x+35

將近似圓周率 3 乘圓直徑的平方 得圓面積的四倍= $3 (x+35)^2$= 3 $(x^2+70x+1225)$= $3x^2+210x+3675$

四段圓面積：

<image>

<image>

<image>

<image>

太（常數項）

<image>

<image>

<image>

元（x）

<image>

（$x^2$項）

四段圓面積減去四倍土地面積得池面積的四倍=$3x^2+210x+3675$- 4 x 6000 =$3x^2+210x-20325$

四段池積：

<image>

<image>

<image>

<image>

<image>

太

<image>

<image>

<image>

元（x）

<image>

（$x^2$項）

池長闊之和 85的平方

<image>

<image>

<image>

<image>

（7225）

等於 四段池面積加 一段較（水池長與闊之差）冪（平方）

又二段池面積 加一段較冪 等於 長的平方加闊的平方 等於

水池對角線冪（對角線長度的平方）：

<image>

太

<image>

元 （x）

<image>

（$x^2$）

（四池積 + 較冪） -(二池積+ 較冪) = 二池積 = 7225-$x^2$

<image>

<image>

<image>

<image>

（7225）

<image>

<image>

二段池積 乘二 = 四段池積:

<image>

<image>

<image>

<image>

<image>

<image>

<image>

與上四段池積：

<image>

<image>

<image>

<image>

<image>

太

<image>

<image>

<image>

元（x）

<image>

（$x^2$項）

合併得一元二次方程式 $5x^2+210x-34775$:

<image>

<image>

<image>

<image>

<image>

太

<image>

<image>

<image>

元

<image>

解之得池對角線長度為65步

圓直徑= 65 + 2 * 17.5 = 65+35=100

較 = 長 - 闊 =35步長 +闊 =85

由此 池長=60 步 池闊 =25 步

## 卷下

<image>

第四十三問至第六十四問，共22 問，是關於比較複雜的圖形。

第五十四問：今有方田一段，內有直池結角占之；外計地一千一百五十步只雲從田角至水兩邊各一十四步，一十九步；問三事各多少？

答曰：方四十五步，池長三十五步，闊二十五步。

法曰：設天元一為池闊：x

<image>

<image>

元

池闊加田角到池邊距離的2倍 （38步）等於 方田對角線的長度：x+38

<image>

<image>

<image>

元

取平方得展田（以方田對角線為邊的正方形）面積 $x^2 +76x +1444$

<image>

<image>

<image>

<image>

<image>

<image>

元

<image>

又池長-池闊 = 2 (19-14) = 10

池長 = 池闊 +10：x+10

<image>

<image>

太

<image>

池面積 = 池闊 乘 池長：x(x+10) =$x^2 +10x$

<image>

太

<image>

<image>

<image>

池面積 乘 1.96 ( $\sqrt(2) =1.4$ 的平方 =1.96) 得 $1.96x^2 +19.6x$

<image>

<image>

<image>

太

<image>

<image>

<image>

展田面積 - 池面積 乘 1.96得地積乘1.96：

$x^2 +76x +1444$ - $1.96x^2 +19.6x =$：$-0.96x^2 +56.4 x +1444$

<image>

<image>

<image>

<image>

<image>

<image>

<image>

元

<image>

<image>

<image>

占地 乘 1.96 =1150 * 1.96 =2254=$-0.96x^2 +56.4 x +1444$

由此得 =$-0.96x^2 +56.4 x -810$：

<image>

<image>

<image>

<image>

<image>

<image>

元

<image>

<image>

<image>

解方程得 池闊 25步由此得 池長 =池闊 +10 =35步放田邊長 =45 步

李冶在出版《測圓海鏡》之後，撰寫《益古演段》，將抽象的代數方法（天元術）和直觀性強的幾何方法（條段法）相結合來闡述問題，圖文並茂，便於學習天元術，使此書成為當時受人們歡迎的數學教材。蔣周的《益古集》已失傳，《益古演段》成為保留最詳盡的條段法資料的文獻。

1902年英國倫敦會傳教士偉烈亞力在1902年上海出版的《中國典籍扎記》簡略地介紹了《益古演段》.

1913年法國赫師慎（van Hée）將《益古演段》64問翻譯成法文，發表在通報上。

1984年新加坡大學藍麗蓉和馬來西亞的洪天賜發表英文論文題為《李冶及其益古演段》。

## 參考文獻

### 來源

- 吳文俊 主編：《中國數學史大系》第六卷 第104–127頁