電弱交互作用

在粒子物理學中，電弱交互作用是電磁作用與弱交互作用的統一描述，而這兩種作用都是自然界中四種已知基本力。雖然在日常的低能量情況下，電磁作用與弱作用存在很大的差異，然而在超過統一溫度，即數量級在100 GeV的情況下，這兩種作用力會統合成單一的電弱作用力。因此如果宇宙是足夠的熱（約1015K，在大爆炸發生不久以後溫度才降至比上述低的水平），就只有一種電弱作用力，不會有分開的電磁作用與弱交互作用。

由於將基本粒子的電磁作用與弱作用統一的這項貢獻，阿卜杜勒·薩拉姆、謝爾登·格拉肖以及史蒂文·溫伯格獲頒1979年的諾貝爾物理獎。電弱交互作用的理論目前經以下兩個實驗證明存在：

- 1973年在Gargamelle氣泡室首次在微中子散射實驗中發現中性流的存在。
- 1983年在超級質子同步加速器進行的UA1和UA2質子反質子對撞實驗中發現W及Z玻色子。

## 數學表述

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數學上統一電磁作用及弱作用是經由一個SU(2)×U(1)的規範群。當中對應的零質量規範玻色子分別是三個來自 SU(2)弱同位旋的W玻色子(W boson+、W boson0和W boson-)以及一個來自U(1)弱超荷的B0玻色子。

在標準模型裡W boson+-和Z boson0玻色子和光子是經由SU(2)×U(1)Y的電弱對稱性自發對稱破缺成U(1)em所產生的，此一過程稱作希格斯機制（見希格斯玻色子）。U(1)Y和U(1)em都屬於U(1)群，但兩者不同；U(1)em的生成元是電荷Q=Y/2+I3，而其中Y是U(1)Y（叫弱超荷）的生成元，I3（弱同位旋的一個分量）則是SU(2)的其中一個生成元。

自發對稱破缺使W boson0和B0玻色子組合成兩種不同的玻色子：Z boson0玻色子和光子(γ)。

如下：

$$\begin{pmatrix} \gamma \\ Z^0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta_W & \sin \theta_W \\ -\sin \theta_W & \cos \theta_W \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B^0 \\ W^0 \end{pmatrix}$$

其中θW為弱混合角。對稱破缺使得代表粒子的軸在(W boson0, B0)平面上旋轉，其旋轉角為θW（見右圖）。對稱破缺同時使得Z boson0和W boson+-的質量變得不一樣（它們的質量分別以MZ和MW表示）：

$$M_Z=\frac{M_W}{\cos\theta_W}$$

電磁作用與弱力在對稱破缺後變得不同，是因為希格斯玻色子的Y及I3，可以組成一個答案為零的線性組合：U(1)em的定義生成元（電荷）正是這個組合，所以電磁作用不與希格斯場作用，亦因此保留對稱性（光子零質量）。

## 拉格朗日量

### 自發對稱破缺之前

電弱交互作用的拉格朗日量在自發對稱破缺之前分成四個部分：

$$\mathcal{L}_{EW} = \mathcal{L}_g + \mathcal{L}_f + \mathcal{L}_h + \mathcal{L}_y.$$

$\mathcal{L}_g$項描述三種W粒子及一種B粒子的交互作用：

$$\mathcal{L}_g = -\frac{1}{4}W^{a\mu\nu}W_{\mu\nu}^a - \frac{1}{4}B^{\mu\nu}B_{\mu\nu}$$

其中$W^{a\mu\nu}$ ($a=1,2,3$)及$B^{\mu\nu}$分別為弱同位旋及弱超荷的場強度張量。

$\mathcal{L}_f$為標準模型費米子的動能項。規範玻色子與費米子間的交互作用是由共變導數所描述的。

$$\mathcal{L}_f = \overline{Q}_i iD\!\!\!\!/\; Q_i+ \overline{u}_i iD\!\!\!\!/\; u_i+ \overline{d}_i iD\!\!\!\!/\; d_i+ \overline{L}_i iD\!\!\!\!/\; L_i+ \overline{e}_i iD\!\!\!\!/\; e_i$$

其中下標$i$代表費米子代，根據愛因斯坦求和約定，各項中重覆的下標會把三代的結果都加起來，而$Q$、$u$和$d$分別代表夸克的左手性雙重態、右手性上單重態和右手性下單重態，$L$和$e$則代表輕子的左手性雙重態和右手性電子單重態。注意右手性中微子是不參與弱相互作用的，因此輕子比夸克少一個項。

$\mathcal{L}_h$描述希格斯場F：

$$\mathcal{L}_h = |D_\mu h|^2 - \lambda \left(|h|^2 - \frac{v^2}{2}\right)^2$$

$\mathcal{L}_y$負責提供湯川耦合，它會把希格斯場所產生的真空期望值變成質量。

$$\mathcal{L}_y = - y_{u\, ij} \epsilon^{ab} \,h_b^\dagger\, \overline{Q}_{ia} u_j^c - y_{d\, ij}\, h\, \overline{Q}_i d^c_j - y_{e\,ij} \,h\, \overline{L}_i e^c_j + h.c.$$

### 自發對稱破缺之後

在希格斯玻色子獲得真空期望值後，拉格朗日量

$$\mathcal{L}_{EW} = \mathcal{L}_K + \mathcal{L}_N + \mathcal{L}_C + \mathcal{L}_H + \mathcal{L}_{HV} + \mathcal{L}_{WWV} + \mathcal{L}_{WWVV} + \mathcal{L}_Y$$

動能項$\mathcal{L}_K$含有拉格朗日量中所有的二次項，當中包括動力項（偏微分）和質量項（明顯地沒有出現於對稱破缺之前的拉格朗日量之中）。

$$\mathcal{L}_K = \sum_f \overline{f}(i\partial\!\!\!/\!\;-m_f)f-\frac14A_{\mu\nu}A^{\mu\nu}-\frac12W^+_{\mu\nu}W^{-\mu\nu}+m_W^2W^+_\mu W^{-\mu}-\frac14Z_{\mu\nu}Z^{\mu\nu}+\frac12m_Z^2Z_\mu Z^\mu+\frac12(\partial^\mu H)(\partial_\mu H)-\frac12m_H^2H^2$$

其中總和把理論中費米子（夸克和輕子）的各代都加起來，而場$A_{\mu\nu}^{}$、$Z_{\mu\nu}^{}$、$W^-_{\mu\nu}$及$W^+_{\mu\nu}\equiv(W^-_{\mu\nu})^\dagger$的形式如下：

$X_{\mu\nu}=\partial_\mu X_\nu - \partial_\nu X_\mu + g f^{abc}X^{b}_{\mu}X^{c}_{\nu}$，（將X替換成相應的場，而$f^{abc}$則是規範群的架構常數）。

拉格朗日量中的中性流分量$\mathcal{L}_N$與載荷流分量$\mathcal{L}_C$，就是費米子與規範玻色子間的交互作用。

$\mathcal{L}_{N} = e J_\mu^{em} A^\mu + \frac g{\cos\theta_W}(J_\mu^3-\sin^2\theta_WJ_\mu^{em})Z^\mu$,

其中電磁流$J_\mu^{em}$及中性弱流$J_\mu^3$分別為

$J_\mu^{em} = \sum_f q_f\overline{f}\gamma_\mu f$,

及

$$J_\mu^3 = \sum_f I^3_f\overline{f} \gamma_\mu\frac{1-\gamma^5}{2} f$$

$q_f^{}$和$I_f^3$分別是費米子的電荷和弱同位旋。

拉格朗日量的載荷流部分如下：

$$\mathcal{L}_C=-\frac g{\sqrt2}\left[\overline u_i\gamma^\mu\frac{1-\gamma^5}2M^{CKM}_{ij}d_j+\overline\nu_i\gamma^\mu\frac{1-\gamma^5}2e_i\right]W_\mu^++h.c.$$

$\mathcal{L}_H$代表希格斯場的三點及四點自身交互作用。

$$\mathcal{L}_H=-\frac{gm_H^2}{4m_W}H^3-\frac{g^2m_H^2}{32m_W^2}H^4$$

$\mathcal{L}_{HV}$代表規範向量玻色子的希格斯交互作用。

$$\mathcal{L}_{HV}=\left(gm_WH+\frac{g^2}4H^2\right)\left(W_\mu^+W^{-\mu}+\frac1{2\cos^2\theta_W}Z_\mu Z^\mu\right)$$

$\mathcal{L}_{WWV}$代表規範場的三點自身交互作用。

$$\mathcal{L}_{WWV}=-ig[(W_{\mu\nu}^+W^{-\mu}-W^{+\mu}W_{\mu\nu}^-)(A^\nu\sin\theta_W-Z^\nu\cos\theta_W)+W_\nu^-W_\mu^+(A^{\mu\nu}\sin\theta_W-Z^{\mu\nu}\cos\theta_W)]$$

$\mathcal{L}_{WWVV}$代表規範場的四點自身交互作用。

$$\mathcal{L}_{WWVV} = -\frac{g^2}4 \left\{[2W_\mu^+W^{-\mu} + (A_\mu\sin\theta_W - Z_\mu\cos\theta_W)^2]^2 - [W_\mu^+W_\nu^- + W_\nu^+W_\mu^- + (A_\mu\sin\theta_W - Z_\mu\cos\theta_W) (A_\nu\sin\theta_W - Z_\nu\cos\theta_W)]^2\right\}$$

而$\mathcal{L}_Y$則代表費米子與希格斯場間的湯川交互作用。

$$\mathcal{L}_Y = -\sum_f \frac{gm_f}{2m_W}\overline ffH$$

注意各個弱耦合裏$\frac{1-\gamma^5}{2}$這個因子：這些因子會把旋量場的左手性分量投映出來。因此（對稱性破缺後的）電弱理論一般由被稱為手徵理論。

## 參考資料

### 一般讀物

- 在沒有正規數學的情況下，傳遞出標準模型的大部份內容。在弱交互作用方面非常地深入。