韋伯電動力學

韋伯電動力學（Weber electrodynamics）是一種早於麥克斯韋電動力學的電磁理論，在19世紀末被後者取代。韋伯電動力學主要基於安德烈-馬里·安培、卡爾·弗里德里希·高斯和威廉·愛德華·韋伯的研究成果。在該理論中，庫侖定律依賴於速度和加速度。韋伯電動力學僅適用於靜電學、靜磁學與准靜態近似。它不適用於描述電磁波，也不適用於計算運動速度很快或加速度較大的帶電粒子之間的相互作用。

韋伯電動力學的顯著特點在於，它可以在不引入磁場的情況下，描述直流電、低頻交流電以及永磁體之間的磁力作用。

## 歷史

1820年左右，安德烈-馬里·安培進行了大量關於直流電的系統性實驗。最終在1823年，他提出了力學定律：

$$d^2\mathbf{F} = -\frac{\mu_0}{4\,\pi}\,I_1\,I_2\,\frac{\mathbf{r}}{r^3} \left(2 \left(d\mathbf{s}_1 \cdot d\mathbf{s}_2\right) - \frac{3}{r^2}\left(\mathbf{r}\cdot d\mathbf{s}_1\right) \left(\mathbf{r}\cdot d\mathbf{s}_2\right)\right),$$

該式可以用於計算電流元$I_2\,d\mathbf{s}_2$對另一個電流元$I_1\,d\mathbf{s}_1$所施加的力$d^2\mathbf{F}$。式中，矢量$\mathbf{r}$從電流元$I_2\,d\mathbf{s}_2$指向$I_1\,d\mathbf{s}_1$。電流元$I\,d\mathbf{s}$應被理解為導體長度$s$上極小的一段，其中有著電流$I$，沿$\mathbf{s}$的方向流動。

1835年，卡爾·弗里德里希·高斯認識到，安培力定律可以通過對庫侖定律的一個小幅推廣來加以解釋。他假設點電荷$q_2$對另一個點電荷$q_1$施加的電場力不僅取決於距離$\mathbf{r} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2$，還取決於相對速度$\mathbf{v} = \dot{\mathbf{r}}_1 - \dot{\mathbf{r}}_2$：

$$\mathbf{F} = \frac{q_1\,q_2}{4\,\pi\,\epsilon_0}\,\left(1 + \frac{v^2}{c^2} - \frac{3}{2}\left(\frac{\mathbf{r}}{r}\cdot\frac{\mathbf{v}}{c}\right)^2\right)\,\frac{\mathbf{r}}{r^3}.$$ 重要的是，高斯的力學定律是對安培力學定律的重要推廣，因為運動的點電荷並不等同於直流電流。事實上，今天安培力定律已不再以其原始形式呈現，因為對於直流電流，已經存在等效的表述方式，例如結合畢奧-薩伐爾定律與洛倫茲力的描述。這正是韋伯電動力學與麥克斯韋電動力學分道揚鑣的關鍵點，因為詹姆斯·克拉克·麥克斯韋決定將其理論建立在畢奧-薩伐爾定律的基礎之上，而該定律最初也僅適用於閉合導體迴路。

威廉·愛德華·韋伯對韋伯電動力學的貢獻在於，他對高斯的力學公式進行了擴展，使得可以為勢能提供一個表達式。他在1848年提出了如下的公式：$$U = \frac{q_1 q_2}{4 \pi \epsilon_0 r}\left(1-\frac{\dot{r}^2}{2 c^2}\right),$$ 其中，$\dot{r}$表示徑向速度。韋伯還進行了大量實驗，並在其重要著作中詳盡地記錄了當時的知識現狀。

自19世紀70年代左右位移電流的概念被引入以來，韋伯電動力學和高斯的假設逐漸被人遺忘，因為完整的麥克斯韋方程組首次使得對電磁波的描述成為可能。

從大約1880年起，麥可遜-莫雷實驗等一系列實驗表明，電磁波在真空中以光速傳播，並且不受發射源或接收器運動狀態的影響。這一結果與麥克斯韋方程的預測並不一致，因為麥克斯韋方程描述的是在介質中傳播的波動。為了解決這一問題，洛倫茲變換被發展出來。由此，高斯關於電力作用依賴於相對速度的假設以一種修正的形式被重新納入理論體系中。

## 數學表述

在韋伯電動力學中，一個軌跡為$\mathbf{r}_2(t)$的點電荷$q_2$在時間$t$對另一個軌跡為$\mathbf{r}_1(t)$的點電荷$q_1$的電磁力$\mathbf{F}$由下式給出

$$\mathbf{F} = \frac{q_1 q_2}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\mathbf{\mathbf{r}}}{r^3}\left(1-\frac{\dot{r}^2}{2 c^2}+\frac{r\ddot{r}}{c^2}\right).$$

其中$\mathbf{r} = \mathbf{r}_1(t) - \mathbf{r}_2(t)$為$q_1$相對於$q_2$的位移，而$r = \Vert\mathbf{r}\Vert$是距離。注意到

$$\dot{r} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \Vert\mathbf{r}\Vert = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \sqrt{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}} = \frac{\mathbf{r}\cdot\dot{\mathbf{r}}}{r}$$

是徑向速度，而

$$\ddot{r} = \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} \Vert\mathbf{r}\Vert = \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} \sqrt{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}} = \frac{\mathbf{r}\cdot\ddot{\mathbf{r}}}{r} - \frac{(\mathbf{r}\cdot\dot{\mathbf{r}})^2}{r^3} + \frac{\dot{\mathbf{r}}\cdot\dot{\mathbf{r}}}{r}$$

是徑向加速度。如果將此帶入韋伯力公式(4)，則通過$\dot{\mathbf{r}} = \mathbf{v}$和$\ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{a}$可以得到另一種表達形式：

$$\mathbf{F} = \frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\mathbf{r}}{r^3}\left(1 + \frac{v^2}{c^2} -\frac{3}{2} \left(\frac{\mathbf{r}}{r}\cdot\frac{\mathbf{v}}{c}\right)^2 +\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{a}}{c^2}\right).$$

對於$\mathbf{a} \approx \mathbf{0}$，可以得到方程(2)，這正是高斯在1835年提出的。

### 勢能與力的關係

韋伯力的勢能方程(3)與力的公式(4)相容，二者可以通過方程(5)與直接從牛頓運動定律得出的方程$$\mathbf{F} = -\frac{\mathbf{r}}{\mathbf{r}\cdot\dot{\mathbf{r}}}\,\dot{U}$$來證明。

### 能量、動量和角動量的守恆性

在韋伯電動力學中，能量、動量和角動量都是守恆量。動量守恆源於韋伯力遵守牛頓第三定律的特性：如果交換作用力的施力者和受力者，力的大小不變，僅改變方向。角動量守恆則是韋伯力屬於有心力的結果。

很容易證明僅包含兩個粒子的孤立系統能量守恆。方程(5)給出$\mathbf{r}\cdot\dot{\mathbf{r}} = r\, \dot{r}$，這可以推導出

$$\mathbf{F}\cdot\dot{\mathbf{r}} = \frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\dot{r}}{r^2}\left(1-\frac{\dot{r}^2}{2 c^2}+\frac{r\ddot{r}}{c^2}\right).$$

韋伯力的勢能(3)對時間的導數為

$$\dot{U} = \frac{q_1\,q_2}{4\,\pi\,\varepsilon_0} \left(-\frac{\dot{r}}{r^2} + \frac{\dot{r}^3}{2 r^2 c^2} - \frac{\dot{r} \ddot{r}}{r c^2}\right) = -\frac{q_1\,q_2}{4\,\pi\,\varepsilon_0} \frac{\dot{r}}{r^2} \left(1 - \frac{\dot{r}^2}{2 c^2} + \frac{r\ddot{r}}{c^2}\right).$$

比較兩式，可以得出$\dot{U}$等於$-\mathbf{F}\cdot\dot{\mathbf{r}}$。應用牛頓第二定律，可以得出$\dot{U} = -m\,\ddot{\mathbf{r}}\cdot\dot{\mathbf{r}}$。除了符號不同，右邊對應於動能對時間導數。這意味著勢能的每一次變化都會被動能的相應變化所完全抵消。因此，總能量——即勢能與動能之和——必然是一個守恆量。

## 韋伯電動力學的拉格朗日方程

根據韋伯電動力學，我們可以知道兩個帶電質點之間的位能可以下列形式表式：$U=\frac{q_1 q_2}{r}(1-\frac{{\dot{r}}^2}{c^2})$

其中$q_1$與$q_2$分別為質點1和2的帶電量，$\vec{r}=\vec{r_1}-\vec{r_2}$為兩個帶電質點間的距離。而平面上質點的動能可以表示成$T=\frac{1}{2}m\dot{r}+\frac{1}{2}mr^2{\dot{\theta}}^2$

因此拉格朗日量$L=T-U$可以寫成$$L=\frac{1}{2}m\dot{r}+\frac{1}{2}mr^2{\dot{\theta}}^2-\frac{q_1 q_2}{r}(1+\frac{{\dot{r}}^2}{c^2})$$

其中

$$\frac{\partial L}{\partial {\dot{r}}}=m\dot{r}-\frac{2\dot{r}}{rc^2}$$

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{r}}}=m\ddot{r}-\frac{2\ddot{r}}{rc^2}-\frac{2\dot{r}}{r^2c^2}$$

$$\frac{\partial L}{\partial r}=mr{\dot{\theta}}^2+\frac{q_1 q_2}{r}(1+\frac{{\dot{r}}^2}{c^2})$$

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{\theta}}}=\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta)}=mr^2{\ddot{\theta}}+2mr\dot{r}{\dot{\theta}}$$

$$\frac{\partial L}{\partial {\theta}}=0$$

將上列式子代入拉格朗日方程：

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{r}}}-\frac{\partial L}{\partial r}=0$$

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{\theta}}}-\frac{\partial L}{\partial {\theta}}=0$$

可得到運動方程

$$m\ddot{r}-mr\dot{\theta}=q_1 q_2\frac{1}{r^2}(1-\frac{{\dot{r}}^2-2\dot{r}\ddot{r}}{c^2})$$

$$\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta})=mr^2\ddot{\theta}+2mr\dot{r}\dot{\theta}$$

由極坐標系可知

$$m\ddot{r}-mr\ddot{\theta}=F_r$$

$$\frac{d}{dt}(mr^2{\dot{\theta}})=rF_e$$

所以運動方程可以寫成以下的形式

$$F_r=q_1 q_2\frac{1}{r^2}(1-\frac{{\dot{r}}-2\dot{r}\ddot{r}}{c^2})$$

$$F_e=0$$

從上式我們可以知到$\mathbf{r}$方向的作用力即為韋伯力，另外，注意到θ方向是沒有作用力的，即兩個帶電質點間沒有力矩作用，因此韋伯電動力學中的作用力是在兩個質點連心線上，遵守牛頓第三運動定律的強形式，此結果和麥克斯韋-洛倫茲電動力學中的洛倫茲力有很大的不同，接下來的部分將會對兩種不同形式的電動力學做討論。

## 韋伯電動力學與麥克斯韋電動力學的比較

### 洛倫茲力

在直流電和非相對論速度的條件下，麥克斯韋電動力學與韋伯電動力學是等效的，因為直流電只能在閉合導體迴路中流動。正如麥克斯韋大約150年前所示，在這種條件下，安培力定律可以有多種等效的表述方式。

麥克斯韋電動力學採用的是一種兩步式的方法：第一步是為每一個電流元賦予一個磁場$\mathbf{B}$；第二步是規定，作用於以速度$\mathbf{v}$運動的試驗電荷$q$上的力$\mathbf{F}$，可以通過公式$q \,\mathbf{v} \times \mathbf{B}$來計算。在麥克斯韋的時代，速度$\mathbf{v}$被理解為試驗電荷相對於傳播磁場的介質的速度。在麥克斯韋電動力學中，洛倫茲力是一條無法再進一步追溯其成因或機制的物理定律。

相比之下，韋伯電動力學並不引入磁場或洛倫茲力的概念，而是通過以下設想來解釋電流對試驗電荷$q$的作用力：攜帶電流的導體中包含正負點電荷，這些電荷相對於試驗電荷以略有差異的相對速度運動。這種差異進一步導致作用力發生輕微的畸變，從而在試驗電荷運動的不同速度下產生殘餘力。這些殘餘力的總和，恰好與洛倫茲力完全一致。

這意味著，韋伯電動力學通過相對性原理來解釋洛倫茲力，儘管這一解釋僅適用於遠低於光速的相對速度。因此，高斯在1835年提出的假設，實際上已經是將磁現象視為一種相對論效應的早期解釋。這一解釋並未被納入麥克斯韋的電動力學體系之中。

### 電磁波

對於交流電和點電荷，安培力定律的不同表述並不等價。麥克斯韋熟知韋伯電動力學，並曾給予積極評價。然而，他最終選擇以畢奧-薩伐爾定律為基礎，構建自己的理論，並將其推廣至導體迴路中存在不連續性的情形。位移電流的重要性可以通過研究一個加速電子對靜止試驗電荷所產生的電磁力場來體現。影片顯示的是一個電子在3納秒內被加速至光速的75%時所產生的場。

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在韋伯力的情形中，可以觀察到原本呈放射狀的力場在運動方向上變得扁平化。這種現象在當今通常被歸因於洛倫茲收縮。在利用麥克斯韋方程計算出的力場中也可以看到類似的現象。此外，還可以識別出一個波前的存在。值得注意的是，在波前區域內，作用力不再是有心力。這一效應被稱為「軔致輻射」。

因此，電磁波現象並不包含在韋伯電動力學之中。正因如此，韋伯電動力學僅適用於所有相關電荷都以緩慢且勻速運動的情況。

### 兩種電動力學中的牛頓第三定律

在麥克斯韋電動力學中，牛頓第三定律對粒子並不適用。粒子施加力於電磁場，電磁場施加力於粒子，但粒子之間並不直接相互施力。因此，兩個相鄰的粒子不一定會受到大小相等、方向相反的力。與此相關，麥克斯韋電動力學預測，只有當同時考慮粒子動量和周圍電磁場動量時，動量守恆定律和角動量守恆定律才成立。所有粒子總動量不一定守恆，因為粒子可能將一部分動量傳遞給電磁場，反之亦然。著名的輻射壓現象證明了電磁波確實能夠「推動」物質。有關更多細節，請參見麥克斯韋應力張量和坡印亭矢量。

韋伯力定律則大不相同：所有粒子，無論大小和質量，都嚴格遵循牛頓第三定律。因此，韋伯電動力學與麥克斯韋電動力學不同，粒子具備動量守恆和粒子角動量守恆。

### 點電荷在麥克斯韋電動力學中的勢能

在麥克斯韋方程中，來自鄰近電荷對某一電荷產生的力$\mathbf{F}$可以通過結合傑斐緬柯方程和洛倫茲力定律來計算。相應的勢能近似為：

$$U_{\rm Max} \approx \frac{q_1 q_2}{4 \pi \epsilon_0 r}\left(1-\frac{\mathbf{v_1}\cdot\mathbf{v_2}}{2 c^2}-\frac{(\mathbf{v_1}\cdot\mathbf{r})(\mathbf{v_2}\cdot\mathbf{r})}{2 r^2 c^2}\right),$$

其中$\mathbf{v}_1$和$\mathbf{v}_2$分別是$q_1$和$q_2$的速度；為了簡化，這裡忽略了相對論效應和推遲時間，詳見達爾文拉格朗日量。

利用這些表達式，可以推導出安培定律和法拉第電磁感應定律的常規形式。重要的是，韋伯電動力學並不預測類似畢奧-薩伐爾定律的表達式，而通過測試安培定律與畢奧-薩伐爾定律之間的差異，便成為檢驗韋伯電動力學的一種方法。

## 實驗檢驗

### 局限性

根據現有的認識，韋伯電動力學是一種不完整的理論。勢能表達式(3)表明它是泰勒級數的第一項，即僅在速度較小且加速度極低的情況下近似有效。然而，問題在於，即使在這些條件下，韋伯電動力學和麥克斯韋電動力學也並不等價。

由於韋伯電動力學僅在低速度和低加速度條件下近似有效，因此只有在滿足這些條件和要求的情況下，將其與麥克斯韋電動力學進行實驗比較才是合理的。在許多否定韋伯電動力學的實驗中，這些條件並未得到滿足。有趣的是，在遵守韋伯電動力學適用限制的實驗中，韋伯電動力學的預測結果往往比麥克斯韋電動力學更符合測量數據。

### 不支持韋伯電動力學的實驗

#### 速度依賴性檢驗·

韋伯力中的速度依賴項可能導致氣體從容器中逸出時帶電。然而，由於用於設定這些限制的電子是庫侖束縛的，重整化效應可能會抵消速度依賴的修正項。其他相關實驗包括旋轉載流螺線管、觀察金屬冷卻過程以及利用超導體實現較大的漂移速度。這些實驗均未發現與庫侖定律存在任何偏差。通過觀察粒子束的電荷可以提供較弱的限制，但可以測試高速度粒子對麥克斯韋方程速度依賴修正的影響。

#### 加速度依賴性檢驗

赫爾曼·馮·亥姆霍茲觀察到，韋伯電動力學預測某些配置下的電荷表現得好像具有負慣性質量。然而，一些科學家對亥姆霍茲的觀點提出了質疑。通過測量一個置於高電壓偏置球形導體內部的氖燈的振盪頻率，可以對這一預測進行檢驗。目前尚未觀察到與麥克斯韋理論存在顯著偏差的結果。

#### 與量子電動力學的關係

量子電動力學（QED）或許是物理學中經過最嚴格檢驗的理論，其極其複雜的預測已被驗證，精度優於十億分之十：詳見量子電動力學的精確檢驗。由於麥克斯韋方程可以作為QED方程的經典極限導出，因此如果QED是正確的（這也是主流物理學家廣泛認可的觀點），那麼麥克斯韋方程和洛倫茲力定律也必然是正確的。