歐拉運動定律

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歐拉運動定律（Euler's laws of motion）是牛頓運動定律的延伸，可以應用於多粒子系統運動或剛體運動，描述多粒子系統運動或剛體的平移運動、旋轉運動分別與其感受的力、力矩之間的關係。在艾薩克·牛頓發表牛頓運動定律之後超過半個世紀，於1750年，萊昂哈德·歐拉才成功地表述了這定律。

剛體也是一種多粒子系統，但理想剛體是一種有限尺寸，可以忽略形變的固體。不論是否感受到作用力，在剛體內部，點與點之間的距離都不會改變。

歐拉運動定律也可以加以延伸，應用於可變形體內任意部分的平移運動與旋轉運動。

## 剛體

### 歐拉第一運動定律

歐拉第一定律表明，從某慣性參考系觀測，施加於剛體的淨外力，等於剛體質量與質心加速度的乘積。歐拉第一定律以方程式表達為

$\mathbf{F}^{(ext)}=m\mathbf {a}_{cm}$。

其中，$\mathbf{F}^{(ext)}$ 是剛體感受到的淨外力，$m$、$\mathbf {a}_{cm}$ 分別是剛體的質量、質心加速度。

剛體的平移運動等同於位於其質心、具有其質量的粒子，感受到同樣的淨外力，而呈現的運動。

#### 導引

思考由 $n$ 個粒子組成的多粒子系統，其質心位置 $\mathbf{r}_{cm}$ 為

$\mathbf{r}_{cm}\stackrel{def}{=} \frac{\sum_{i = 1}^n m_i \mathbf{r}_i}{m}$ ;

其中，$m_i$、$\mathbf{r}_i$ 分別為第 $i$ 個粒子的質量、位置，$m=\sum_{i = 1}^n m_i$ 是系統的質量。

質心速度 $\mathbf{v}_{cm}$ 為

$\mathbf{v}_{cm}= \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_{cm}}{\mathrm{d}t}= \cfrac{\sum_{i = 1}^n m_i \mathbf{v}_i}{m}$。

其中，$\mathbf{v}_i=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_{i}}{\mathrm{d}t}$ 是第 $i$ 個粒子的速度。

質心加速度 $\mathbf{a}_{cm}$ 為

$\mathbf{a}_{cm}= \frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_{cm}}{\mathrm{d}t}= \cfrac{\sum_{i = 1}^n m_i \mathbf{a}_i}{m}$。

其中，$\mathbf{a}_i=\frac{\mathrm{d^2}\mathbf{r}_{i}}{\mathrm{d}t^2}$ 是第 $i$ 個粒子的加速度。

第 $i$ 個粒子感受到的力 $\mathbf{F}_{i}$ 為

$\mathbf{F}_{i}=\mathbf{F}_i^{(ext)}+ \sum_{j = 1, j\ne i}^n \mathbf{F}_{ji}$。

其中，$\mathbf{F}_i^{(ext)}$ 是這粒子感受到的外力，$\mathbf{F}_{ji}$ 是第 $j$ 個粒子施加於第 $i$ 個粒子的內力。

系統感受到的淨力 $\mathbf{F}$ 是所有粒子感受到的力的向量和：

$\mathbf{F}=\sum_{i = 1}^n \mathbf{F}_{i}=\sum_{i = 1}^n \mathbf{F}_i^{(ext)}+ \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1, j\ne i}^n \mathbf{F}_{ji}$。

根據牛頓第三定律，內力與其反作用力的關係為

$\mathbf{F}_{ji}=-\mathbf{F}_{ji}$。

所以，所有粒子彼此施加於對方的內力的向量和為零，淨力等於所有外力的向量和 （淨外力 $\mathbf{F}^{(ext)}$）：

$\mathbf{F}=\sum_{i = 1}^n \mathbf{F}_i^{(ext)}=\mathbf{F}^{(ext)}$。

根據牛頓第二定律，第 $i$ 個粒子感受到的力 $\mathbf{F}_{i}$ 與這粒子的加速度之間的關係為

$\mathbf{F}_{i}=m_i \mathbf{a}_i$。

總和所有粒子所感受到的力。

$\mathbf{F}=\sum_{i = 1}^n \mathbf{F}_{i}=\sum_{i = 1}m_i \mathbf{a}_i=m\mathbf{a}_{cm}$。

所以，淨外力 $\mathbf{F}^{(ext)}$ 與質心加速度的關係為

$\mathbf{F}^{(ext)}=m\mathbf{a}_{cm}$。

#### 動量守恆定律

多粒子系統的動量 $\mathbf{p}$ 是組成這系統的所有粒子的動量的向量和：

$\mathbf{p}= \sum_{i = 1}^n \mathbf{p}_i =\sum_{i = 1}^n m_i \mathbf{v}_i=m\mathbf{v}_{cm}$。

其中，$\mathbf{p}_i$ 是第 $i$ 個粒子的動量。

歐拉第一定律又可以表達為

$\mathbf{F}^{(ext)}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}$。

假設淨外力為零，則系統的動量守恆。

### 歐拉第二運動定律

歐拉第二定律表明，設定某慣性參考系的固定點O（例如，原點）為參考點，施加於剛體的淨外力矩，等於角動量的時間變化率。歐拉第二定律以方程式表達為

$\boldsymbol{\tau}_O^{(ext)} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_O}{\mathrm{d}t}$。

其中，$\boldsymbol{\tau}_O^{(ext)}$ 是對於點O淨外力矩，$\mathbf{L}_O$ 是對於點O的角動量。

#### 導引

思考由 $n$ 個粒子組成的多粒子系統。對於點O，第 $i$ 個粒子的角動量 $\mathbf{L}_i$ 為

$\mathbf{L}_i =\mathbf{r}_i\times\mathbf{p}_i=\mathbf{r}_i\times m_i\mathbf{v}_i$。

$\mathbf{L}_i$ 對於時間的導數為

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t} =\frac{\mathrm{d}(\mathbf{r}_i\times m_i\mathbf{v}_i)}{\mathrm{d}t} =\mathbf{v}_i\times m_i\mathbf{v}_i+\mathbf{r}_i\times m_i\mathbf{a}_i =\mathbf{r}_i\times m_i\mathbf{a}_i$。

根據牛頓第二定律，施加於第 $i$ 個粒子的力 $\mathbf{F}_{i}$ 是這粒子的質量與加速度的乘積。所以，$\mathbf{L}_i$ 對於時間的導數為

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t} =\mathbf{r}_i\times \mathbf{F}_i$。

第 $i$ 個粒子所感受到的淨力矩 $\boldsymbol{\tau}_i$ 為 $\boldsymbol{\tau}_i=\mathbf{r}_i\times \mathbf{F}_i$。所以，$\boldsymbol{\tau}_i$ 與 $\mathbf{L}_i$ 的關係為

$\boldsymbol{\tau}_i=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t}$。

總和所有粒子所感受到的淨力矩，系統所感受到的淨力矩 $\boldsymbol{\tau}_O$ 與其角動量 $\mathbf{L}_O$ 的關係為

$\boldsymbol{\tau}_O=\sum_{i = 1}^n \boldsymbol{\tau}_i=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\sum_{i = 1}^n \mathbf{L}_i=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_O}{\mathrm{d}t}$。

第 $i$ 個粒子所感受到的淨力 $\mathbf{F}_i$ 為

$\mathbf{F}_i=\mathbf{F}_i^{(ext)} +\sum_{j = 1, j\ne i}^n \mathbf{F}_{ji}$。

第 $i$ 個粒子所感受到的淨力矩 $\boldsymbol{\tau}_i$ 為

$\boldsymbol{\tau}_i=\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i=\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i^{(ext)} +\sum_{j = 1, j\ne i}^n \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_{ji}$。

物體感受到的淨力矩 $\boldsymbol{\tau}_O$ 為：

$\boldsymbol{\tau}_O=\sum_{i = 1}^n \boldsymbol{\tau}_i =\sum_{i = 1}^n\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i^{(ext)} +\sum_{i = 1}^n\sum_{j = 1, j\ne i}^n \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_{ji}$。

應用牛頓第三定律。

$\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_{ji}+\mathbf{r}_j \times\mathbf{F}_{ji} =\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_{ji}-\mathbf{r}_j \times\mathbf{F}_{ji}=(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j)\times\mathbf{F}_{ji}=\mathbf{r}_{ij}\times\mathbf{F}_{ji}$。

其中，$\mathbf{r}_{ij}=\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j$ 是從粒子 $\mathbf{r}_j$ 到粒子 $\mathbf{r}_i$ 的位移向量。

假設這系統的粒子遵守強版牛頓第三定律，即粒子運動為經典運動，速度超小於光速，則$\mathbf{r}_{ij}$ 與 $\mathbf{F}_{ji}$ 同向，叉積為零。那麼，物體感受到的淨力矩是所有外力矩的向量和 $\boldsymbol{\tau}_O^{(ext)}$：

$\boldsymbol{\tau}_O=\sum_{i = 1}^n\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i^{(ext)}=\boldsymbol{\tau}_O^{(ext)}$。

這樣，可以得到歐拉第二定律方程式

$\boldsymbol{\tau}_O^{(ext)} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_O}{\mathrm{d}t}$。

假設施加於系統的淨外力矩為零，則系統的角動量的時間變化率為零，系統的角動量守恆。

#### 相對於質心的歐拉第二運動定律

所有粒子所感受到的淨力矩的向量和為

$\boldsymbol{\tau}_O=\sum_{i = 1}^n\boldsymbol{\tau}_i=\sum_{i = 1}^n\mathbf{r}_i\times(m_i\mathbf{a}_i)=\sum_{i = 1}^n(\mathbf{r}_{cm}+\mathbf{r}'_i)\times(m_i(\mathbf{a}_{cm}+\mathbf{a}'_i))$。

其中，$\mathbf{r}'_{i}=\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{cm}$、$\mathbf{a}'_{i}=\mathbf{a}_{i}-\mathbf{a}_{cm}$ 分別是第 $i$ 個粒子相對於質心的相對位移與相對加速度。

注意到所有粒子的相對位移與相對加速度，其向量和分別為零，所以。

$\boldsymbol{\tau}_O=\mathbf{r}_{cm}\times m\mathbf{a}_{cm}+ \sum_{i = 1}^n \mathbf{r}'_i\times m_i\mathbf{a}'_i$。

現在，假設將質心設定為參考點，則 $\mathbf{r}_{cm}=0$，方程式變為

$\boldsymbol{\tau}_{cm}=\sum_{i = 1}^n \mathbf{r}'_i\times m_i\mathbf{a}'_i$。

以質心為參考點，角動量 $\mathbf{L}_{cm}$ 為

$\mathbf{L}_{cm}=\sum_{i = 1}^n \mathbf{r}'_i\times m_i\mathbf{v}'_i$。

所以，不論質心參考系是否為慣性參考系（即不論質心是否呈加速度運動），以質心為參考點，淨外力矩等於角動量的時間變化率：

$\boldsymbol{\tau}_{cm}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_{cm}}{\mathrm{d}t}$。

## 可變形體

在可變形體內部任意位置的內力密度不一定一樣，也就是說，其內部存在有應力分佈。這內部的內力的變化是由牛頓第二定律主控。通常，牛頓第二定律是應用於計算質點或粒子的動力運動，但在連續介質力學裏，被加以延伸後，可以應用於計算具有連續分佈質量的物體的運動行為。假設將物體模型化為由一群離散粒子組構而成，每一個粒子的運動都遵守牛頓第二定律，則可以推導出歐拉運動定律。不論如何，歐拉運動定律也可以直接視為專門描述大塊物體運動的公理，與物體結構無關。

在塑性力學（plasticity theory）裏，施加於一個連續物體B的力可以分類為兩種：「長程力」與「短程力」。長程力作用於整個物體的每一部分，稱為徹體力（body force），而短程力只能作用於物體表面，稱為接觸力（contact force）。這樣，施加於連續物體的淨力 $\mathbf {F}$ 分為淨徹體力 $\mathbf {F}_b$、淨接觸力 $\mathbf {F}_t$：

$\mathbf{F}_b=\int_\mathbb{V}\mathbf{b}\,\mathrm{d}m=\int_\mathbb{V} \rho\mathbf{b}\,\mathrm{d}V$。

$\mathbf{F}_t=\int_{\mathbb{S}}\mathbf{t}\,\mathrm{d}S$。

其中，$\mathbf{b}$ 是徹體力場（量綱為力每單位質量），$\mathrm{d}m$ 是微小質量元素，$\rho$ 是質量密度，$\mathrm{d}V$ 是微小體元素，$\mathbb{V}$ 是積分體區域，$\mathbf{t}$ 是表面曳力（surface traction）密度，$\mathrm{d}S$ 是微小面元素，$\mathbb{S}$ 是積分曲面。

由於徹體力與接觸力施加於物體，造成了以某設定點為參考點的對應力矩。這樣，對於原點的淨力矩 $\mathbf{L}$ 分為淨徹體力矩 $\mathbf {L}_b$、淨接觸力矩 $\mathbf {L}_t$：

$\mathbf {L}_b=\int_\mathbb{V} \mathbf{r}\times \rho\mathbf{b}\,\mathrm{d}V$。

$\mathbf {L}_t= \int_\mathbb{S} \mathbf{r}\times \mathbf{t}\,\mathrm{d}S$。

其中，$\mathbf{r}$ 是微小體元素或微小面元素的位置。

歐拉第一定律（「力平衡定律」）表明，從某慣性參考系觀測，施加於連續物體內部任意部分的淨外力等於淨動量的時間變化率：

$\mathbf{F}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}$。

也就是說。

$\int_\mathbb{V} \rho\mathbf{b}\,\mathrm{d}V+\int_{\mathbb{S}}\mathbf{t}\,\mathrm{d}S =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_\mathbb{V} \rho\mathbf{v}\,\mathrm{d}V$。

其中，$\mathbf{v}$ 是微小體元素的速度。

歐拉第二定律（「角動量平衡定律」）表明，從某慣性參考系觀測，施加於連續物體內部任意部分的淨力矩等於淨角動量的時間變化率：

$\boldsymbol{\tau}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}$。

也就是說。

$\int_\mathbb{V} \mathbf{r}\times \rho\mathbf{b}\,\mathrm{d}V+ \int_\mathbb{S} \mathbf{r}\times \mathbf{t}\,\mathrm{d}S=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_\mathbb{V} \mathbf{r}\times \rho\mathbf{v}\,\mathrm{d}V$。

## 參閱

- 歐拉方程 (剛體運動)
- 歐拉旋轉定理