品質因子

品質因子或Q因子是物理及工程中的無因次參數，是表示振子阻尼性質的物理量，也可表示振子的共振頻率相對於頻寬的大小。

高Q因子表示振子能量損失的速率較慢，振動可持續較長的時間，例如一個單擺在空氣中運動，其Q因子較高，而在油中運動的單擺Q因子較低。高Q因子的振子一般其阻尼也較小。

## 說明

Q因子較高的振子在共振時，在共振頻率附近的振幅較大，但會產生的共振的頻率範圍比較小，此頻率範圍可以稱為頻寬。例如一台無線電接收器內的調諧電路Q因子較高，要調整接收器對準一特定頻率會比較困難，但其選擇性較好，在過濾頻譜上鄰近電台的訊號上也有較佳的效果。Q因子較高的振子會產生共振的頻率範圍較小，也比較穩定。

系統的Q因子可能會隨著應用場合及需求的不同而有大幅的差異。強調阻尼特性的系統（例如防止門突然關閉的阻尼器）其Q因子為1，而時鐘、雷射或是其他需要強烈共振或是要求頻率穩定性的系統其Q因子也較高。音叉的Q因子大約為1000，原子鐘、加速器中的超導射頻或是光學共振腔的Q因子可以到1011甚至更高。

Q因子的概念是來自電子工程中，評量一調諧電路或其他振子的「品質」。

## 定義

Q因子可定義為在一系統的共振頻率下，當信號振幅不隨時間變化時，系統儲存能量和每個週期外界所提供能量的比例（此時系統儲存能量也不隨時間變化）：

$$Q = 2 \pi \times \frac{\mbox{Energy Stored}}{\mbox{Energy dissipated per cycle}} = 2 \pi f_r \times \frac{\mbox{Energy Stored}}{\mbox{Power Loss}}. \,$$

大部份的共振系統都可以用二階的微分方程表示，Q因子中2π的係數，使Q因子可以表示成只和二階微分方程係數有關的較簡單型式。在電機系統中，能量會儲存在理想無損失的電感及電容中，損失的能量則是每個週期由電阻損失能量的總和。力學系統儲存的能量是該時間動能及位能的和，損失的能量則是因為摩擦力或阻力所消耗的能量。

針對高Q因子的系統，也可以用下式計算的Q因子，在數學上也是準確的：

$$Q = \frac{f_r}{\Delta f} = \frac{\omega_r}{\Delta \omega}, \,$$

其中fr為共振頻率，Δf為頻寬，ωr = 2πfr是以角頻率表示的共振頻率，Δω是以角頻率表示的頻寬

在像電感等儲能元件的規格中，會用到和頻率有關的Q因子，其定義如下：

$$Q(\omega) = \omega \times \frac{\mbox{Maximum Energy Stored}}{\mbox{Power Loss}}, \,$$

其中ω是計算儲存能量和功率損失時的角頻率。若電路中只有一個儲能元件（電感或是電容），也可用上式來定義Q因子，此時Q因子會等於無功功率相對有功功率的比例。

## Q因子及阻尼

Q因子可決定一個簡單阻尼諧振子的量化特性（有關數學的細節及不同系統的行為，請參考諧振子及線性時不變系統理論等條目）。

- 低Q因子的系統（Q < ½）是過阻尼系統。過阻尼系統不會振盪，當偏離穩態輸出平衡點時，會以指數衰減的方式，漸近式的回到穩態輸出。其衝激響應是二個不同速度的指數衰減函數的和。當Q因子減少時，衰減較慢的響應函數其影響會變明顯，因此整個系統會變慢。一個Q因子很低的二階系統其步階響應類似一階系統。
- 高Q因子的系統（Q > ½）是欠阻尼系統。欠阻尼系統在特定頻率的輸入下，其輸出會振盪，其振幅也會指數衰減。Q因子略高於½的系統可能會振盪一或二次。若Q因子提高，阻尼的效果也會降低。高品質的鐘在敲擊後可以長時間發出單一音調的聲音，沒有阻尼的諧振系統其Q因子是無限大，類似一個敲擊後可永遠發出聲音的鐘。若二階低通濾波器有很高的Q因子，其步階響應一開始會快速上昇，在平衡點附近震盪，最後才收斂到穩態的值。
- Q因子為½的系統是臨界阻尼系統。臨界阻尼系統和過阻尼系統一様不會震盪，也不會有過沖的情形。臨界阻尼系統和欠阻尼系統一様，會對階躍有快速的響應，臨界阻尼可以使系統在不過沖的條件下有最快的反應，實際的系統若要求更快的反應，一般會允許一定程度的過沖，若系統不允許過沖，可能會使反應時間放慢，以提供一定的安全係數。

在負回授系統中，閉迴路系統的響應常常用二階系統來表示。設定開迴路系統的相位裕度可以決定閉迴路系統的Q因子，當相位裕度減少時，對應的二階閉迴路系統振盪會變大，也就是Q因子提高。

### 常見系統的Q因子

- 單位增益的Sallen–Key拓撲結構濾波器為臨界阻尼系統，Q因子為$1/2$。
- 巴特沃斯濾波器（有最平坦通帶頻率響應的的連續時間濾波器）為欠阻尼系統，Q因子為$1/\sqrt{2}$。
- 貝塞爾濾波器（有最平坦群延遲的連續時間濾波器）為欠阻尼系統，Q因子為$1/\sqrt{3}$。

## Q因子的物理意涵

根據物理學，Q因子等於$2\pi$乘以系統儲存的總能量，除以單一周期損失的能量，也可以表示為系統儲存的總能量和單位弳度損失能量的比值。

Q因子是無因次的參數，是比較系統振幅衰減的時間常數和振盪週期後的結果。當Q因子數值較大時，Q因子可近似為系統從開始振盪起，一直到其能量剩下原來的 $1/e^{2\pi}$（約1/535或0.2%），中間歷經的振盪次數。

共振的頻寬可以用下式表示

$\Delta f = \frac{f_0}{Q} \,$,

其中$f_0$為共振頻率，$\Delta f$為頻寬，也就是能量超過峰值能量一半以上的頻率範圍。

Q因子、阻尼比ζ及衰減率α之間有以下的關係

$$\zeta = \frac{1}{2 Q} = { \alpha \over \omega_0 }.$$

因此Q因子可表示為

$$Q = \frac{1}{2 \zeta} = { \omega_0 \over 2 \alpha },$$

而指數衰減率可表示為

$$\alpha = \zeta \omega_0 = { \omega_0 \over 2 Q }.$$

二階低通濾波器的響應函數可以用下式來表示

$$H(s) = \frac{ \omega_0^2 }{ s^2 + \underbrace{ \frac{ \omega_0 }{Q} }_{2 \zeta \omega_0 = 2 \alpha }s + \omega_0^2 } \,$$

若此系統的$Q > 0.5$（欠阻尼系統），系統有二個共軛複數極點，其實部為$\alpha$。衰減參數$\alpha$表示其衝激響應指數衰減的速率。Q因子大表示其衰減率較慢，因此Q因子很大的系統可以持續振盪較長的時間。例如高Q因子的鐘，用鎚子敲擊後，其輸出近似純音，且可以維持很長的時間。

## 電子系統

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對電子共振系統而言，Q因子表示電阻的影響，若針對機電共振系統（例如石英晶體諧振器），也包括摩擦力的影響。

### RLC電路

理想串聯RLC電路的Q因子為：

$$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac {1} {\omega_0 R C}$$

其中$R$、$L$及$C$分別是電路的電阻、電感和電容，若電阻值越大，Q因子越小。

並聯RLC電路的Q因子恰為對應串聯電路Q因子的倒數：

$$Q = R \sqrt{\frac{C}{L}} = \frac{R}{\omega_0 L} = \omega_0 R C$$

若將電阻、電感和電容並聯形成一電路，並聯電阻值越小，其阻尼的效果越大，因此Q因子越小。

若是電感和電容並聯的電路，而主要損失是電感內，和電感串聯的電阻R，其Q因子和串聯RLC電路相同，此時降低寄生電阻R可以提昇Q因子，也使頻寬縮小到需要的範圍內。

### 儲存元件

個別儲存元件的Q因子和對應信號頻率有關，一般是電路的共振頻率。電感器的Q因子為：

$$Q=\frac{X_L}{R_L}=\frac{\omega L}{R_L}$$

其中：

- $\omega$為頻率。
- $L$為電感。
- $X_L$為電感器的感抗。
- $R_L$為電感內的電阻。

電容器的Q因子為：

$$Q=\frac{X_C}{R_C}=\frac{1}{\omega C R_C}$$

其中:

- $\omega$為頻率。
- $C$為電容。
- $X_C$為電容器的容抗。
- $R_C$為電容內的電阻。

## 力學系統

對於一個有阻尼的質量－彈簧系統，可以用Q因子表示簡化的黏滯阻尼或阻力對系統的影響，其中的阻尼力（或阻力）和速度成正比。此系統的Q因子可以用下式表示：

$$Q = \frac{\sqrt{M k}}{D}, \,$$

其中M是質量，k是彈簧常數，而D是阻力係數，可用下式來定義：

$$F_{\text{damping}}=-Dv$$

其中$F_{\text{damping}}$是阻力，$v$是速度。

## 雷射系統

雷射系統中，光學共振腔的Q因子可以用下式表示

$$Q = \frac{2\pi f_o\,\mathcal{E}}{P}, \,$$

其中$f_o$為共振頻率，$\mathcal{E}$為共振腔中儲存的能量，$P=-\frac{dE}{dt}$為耗散的能量。光學共振腔的Q因子等於共振頻率和共振腔頻寬的比值。共振光子的平均壽命和Q因子成正比，若雷射共振腔中的Q因子突然地調高，共振腔會輸出雷射脈衝，其強度遠高於平常共振腔連結輸出的強度，此技術稱為為Q切換。