艾里函數

艾里函數（Ai(x)），英國英格蘭天文學家、數學家喬治·比德爾·艾里命名的特殊函數，他在1838年研究光學的時候遇到了這個函數。Ai(x)的記法是Harold Jeffreys引進的。Ai(x)與相關函數Bi(x)（也稱為艾里函數），是以下微分方程的解：

$$y'' - xy = 0 , \,\!$$

這個方程稱為艾里方程或斯托克斯方程。這是最簡單的二階線性微分方程，它有一個轉折點，在這一點函數由周期性的振動轉變為指數增長（或衰減）。

## 定義

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對於實數x，艾里函數由以下的積分定義：

$$\mathrm{Ai}(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \cos\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\, dt.$$

雖然這個函數不是絕對可積的（當t趨於+∞時積分表達式不趨於零），這個廣義積分還是收斂的，因為它快速振動的正數和負數部分傾向於互相抵消（這可以用分部積分法來檢驗）。

把:$y= Ai(x)$求導，我們可以發現它滿足以下的微分方程：

$$y'' - xy = 0 . \,\!$$

這個方程有兩個線性獨立的解。除了:$Ai(x)$以外，另外一個解稱為第二艾里函數，記為$Bi(x)$。它定義為當x趨於−∞時，振幅與$Ai(x)$相等，但相位與$Ai(x)$相差$\frac{\pi}{2}$ 的函數：

$$\mathrm{Bi}(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \ e^{\left(-\frac{t^3}{3} + xt\right)} + \sin\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\,dt.$$

## 性質

$x = 0$時，$\mathrm{Ai}(x)$和 $\mathrm{Bi}(x)$以及它們的導數的值為：

$$\begin{align} <pre> \mathrm{Ai}(0) &{}= \frac{1}{\sqrt[3]{9} \Gamma(\frac23)}, & \quad \mathrm{Ai}'(0) &{}= -\frac{1}{\sqrt[3]{3} \Gamma(\frac13)}, \\ \mathrm{Bi}(0) &{}= \frac{1}{\sqrt[6]{3}\Gamma(\frac23)}, & \quad \mathrm{Bi}'(0) &{}= \frac{\sqrt[6]{3}}{\Gamma(\frac13)}. </pre> \end{align}$$

在這裡，${\Gamma}$表示伽瑪函數。可以推出Ai(x)和Bi(x)的朗斯基行列式是$\frac{1}{\pi}$。

當x是正數時，Ai(x)是正的凸函數，指數衰減為零，Bi(x)也是正的凸函數，但呈指數增長。當x是負數時，Ai(x)和Bi(x)在零附近振動，其頻率逐漸上升，振幅逐漸下降。這可以由以下艾里函數的漸近公式推出。

## 漸近公式

當x趨於+∞時，艾里函數的漸近表現為：

$$\begin{align} <pre> \mathrm{Ai}(x) &{}\sim \frac{e^{-\frac23x^{3/2}}}{2\sqrt\pi\,x^{1/4}} \\ \mathrm{Bi}(x) &{}\sim \frac{e^{\frac23x^{3/2}}}{\sqrt\pi\,x^{1/4}}. </pre> \end{align}$$

而對於負數方向的極限，則有：

$$\begin{align} <pre> \mathrm{Ai}(-x) &{}\sim \frac{\sin(\frac23x^{3/2}+\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,x^{1/4}} \\ \mathrm{Bi}(-x) &{}\sim \frac{\cos(\frac23x^{3/2}+\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,x^{1/4}}. </pre> \end{align}$$

這些極限的漸近展開式也是可以得到的。

## 自變量是複數時的情形

我們可以把艾里函數的定義擴展到整個複平面：

$$\mathrm{Ai}(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{C} \exp\left(\frac{t^3}{3} - zt\right)\, dt,$$

其中積分路徑$C$從輻角為-(1/3)π的無窮遠處的點開始，在輻角為(1/3)π的無窮遠處的點結束。此外，我們也可以用微分方程$y'' - xy = 0$來把Ai(x)和Bi(x)延拓為複平面上的整函數。

以上Ai(x)的漸近公式在複平面上也是正確的，如果取主值為x2/3，且x不在負的實數軸上。Bi(x)的公式也是正確的，只要x位於扇形{x∈C : |arg x| < (1/3)π−δ}內，對於某個正數δ。最後，Ai(−x)和Bi(−x)是正確的，如果x位於扇形{x∈C : |arg x| < (2/3)π−δ}內。

從艾里函數的漸近表現可以推出，Ai(x)和Bi(x)在負的實數軸上都有無窮多個零點。Ai(x)在複平面內沒有其它零點，而Bi(x)在扇形{z∈C : (1/3)π < |arg z| < (1/2)π}內還有無窮多個零點。

### 圖像

$\Re \left[ \mathrm{Ai} ( x + iy) \right]$｜$\Im \left[ \mathrm{Ai} ( x + iy) \right]$｜$| \mathrm{Ai} ( x + iy) | \,$｜$\mathrm{arg} \left[ \mathrm{Ai} ( x + iy) \right] \,$

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$\Re \left[ \mathrm{Bi} ( x + iy) \right]$｜$\Im \left[ \mathrm{Bi} ( x + iy) \right]$｜$| \mathrm{Bi} ( x + iy) | \,$｜$\mathrm{arg} \left[ \mathrm{Bi} ( x + iy) \right] \,$

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## 與其它特殊函數的關係

當自變量是正數時，艾里函數與變形貝塞爾函數之間有以下的關係：

$$\begin{align} <pre> \mathrm{Ai}(x) &{}= \frac1\pi \sqrt{\frac13 x} \, K_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right), \\ \mathrm{Bi}(x) &{}= \sqrt{\frac13 x} \left(I_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) + I_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right). </pre> \end{align}$$

在這裡，I±1/3和K1/3是方程$x^2y'' + xy' - (x^2 + 1/9)y = 0$的解。

當自變量是負數時，艾里函數與貝塞爾函數之間有以下的關係：

$$\begin{align} <pre> \mathrm{Ai}(-x) &{}= \frac13 \sqrt{x} \left(J_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) + J_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right), \\ \mathrm{Bi}(-x) &{}= \sqrt{\frac13 x} \left(J_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) - J_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right). \end{align} </pre>$$

在這裡，J±1/3是方程$x^2y'' + xy' + (x^2 - 1/9)y = 0$的解。

Scorer函數是$y'' - xy = 1/\pi$的解，它也可以用艾里函數來表示：

$$\begin{align} <pre> \mathrm{Gi}(x) &{}= \mathrm{Bi}(x) \int_x^\infty \mathrm{Ai}(t) \, dt + \mathrm{Ai}(x) \int_0^x \mathrm{Bi}(t) \, dt, \\ \mathrm{Hi}(x) &{}= \mathrm{Bi}(x) \int_{-\infty}^x \mathrm{Ai}(t) \, dt - \mathrm{Ai}(x) \int_{-\infty}^x \mathrm{Bi}(t) \, dt. \end{align} </pre>$$

或是利用超幾何函數。

$$\operatorname{Gi}(z)\equiv\frac1 3\operatorname{Bi}(z)-\frac{z^2}{2\pi}{_1F_2}(1;4/3,5/3;z^3/9)$$

$$\operatorname{Hi}(z)\equiv\frac2 3\operatorname{Bi}(z)+\frac{z^2}{2\pi}{_1F_2}(1;4/3,5/3;z^3/9)$$

## 參考文獻

- Milton Abramowitz and Irene A. Stegun (1954). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (See §10.4) . National Bureau of Standards.
- Airy (1838). On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic. Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 6, 379–402.
- Olver (1974). Asymptotics and Special Functions, Chapter 11. Academic Press, New York.
- （含有許多圖像）