橢球

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橢球是一種二次曲面，是橢圓在三維空間的推廣。

## 標準方程

橢球在xyz-笛卡兒坐標系中的方程式：

$${x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}=1$$

其中a和b是赤道半徑（沿著x和y軸），c是極半徑（沿著z軸）。這三個數都是固定的正實數，決定了橢球的形狀。

如果三個半徑都是相等的，那麼就是一個球；如果有兩個半徑是相等的，則是一個類球面。

- $a=b=c\,\!$：球。
- $a=b>c\,\!$：扁球面（類似盤狀）。
- $a=b<c\,\!$：長球面（類似條狀）。
- $a \neq b,b \neq c,c \neq a\!$：不等邊橢球（「三條邊都不相等」）。

點(a,0,0)、(0,b,0)和(0,0,c)都在曲面上。從原點到這三個點的線段，稱為橢球的半主軸。它們與橢圓的半長軸和半短軸相對應。

## 參數化

使用球坐標系，其中${\color{white}+}\!\!\!\theta{\color{white}'}\,\!$是天頂角，${\color{white}+}\!\!\!\varphi{\color{white}\!\!\!-}\,\!$是方位角，則橢球可以表示為以下的參數形式：

$$\begin{align} x&=a\,\sin \theta\cos\varphi;\!{\color{white}|}\\ y&=b\,\sin \theta\sin \varphi;\\ z&=c\,\cos\theta;\end{align}\,\!$$

$$\begin{matrix}0\leq\theta\leq{180}^\circ; \quad{0}\leq\varphi\leq{360}^\circ;\!{\color{white}\big|}\end{matrix}\,\!$$

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使用地理坐標系，其中$\beta\,\!$是一點的參數緯度，${\color{white}+}\!\!\!\lambda{\color{white}'}\,\!$是該點的經度：

$$\begin{align} x&=a\,\cos\beta\cos\lambda;\!{\color{white}|}\\ y&=b\,\cos\beta\sin\lambda;\\ z&=c\,\sin\beta;\end{align}\,\!$$

$$\begin{matrix}-90^\circ\leq\beta\leq 90^\circ; \quad-180^\circ\leq\lambda\leq 180^\circ;\!{\color{white}\big|}\end{matrix}\,\!$$

（注意，當$\scriptstyle{{\color{white}|}\beta=\pm{90}^\circ}{\color{white}|}\,\!$時，也就是在極點時，這個參數不是一一對應的）

## 體積和表面積

### 體積

橢球的體積由以下公式給出：

$$\frac{4}{3}\pi abc.\,\!$$

注意，當三個半徑都相等時，這個公式便化為球的體積；兩個半徑相等時，便化為扁球面或長球面的體積。

### 表面積

橢球的表面積由以下公式給出：

$$S=2\pi\left[c^2+b\sqrt{a^2-c^2}F\left(o\!\varepsilon,\frac{b^2-c^2}{b^2\sin^2 o\!\varepsilon}\right)+\frac{bc^2}{\sqrt{a^2-c^2}}E\left(o\!\varepsilon,\frac{b^2-c^2}{b^2\sin^2 o\!\varepsilon}\right)\right],\,\!$$

其中

$o\!\varepsilon=\arccos \frac{c}{a} \;$（扁球面）或$\arccos \frac{a}{c}\;$（長球面），是角離心率；$F(x,k )\,\!$、$E(x,k)\,\!$是第一類和第二類不完全橢圓積分。

與球的表面積不同，橢球的表面積一般不能用初等函數來表示。

一個近似公式為：

$$S\approx 4\pi\!\left(\frac{ a^p b^p+a^p c^p+b^p c^p }{3}\right)^{\frac{1}{p}}.\,\!$$

其中$p \approx 1.6075\,$。這樣相對誤差最多為$1.061\,$%（Knud Thomsen公式）；$p= \frac{8}{5} = 1.6\,$的值對於接近於球的橢球較為適宜，其相對誤差最多為$1.178\,$%（David W. Cantrell公式）。

對於$a=b\,$的情況，有一個精確的公式：

扁球面：$S=2\pi\!\left(a^2+c^2\frac{\operatorname{arctanh} \sin o\!\varepsilon}{\sin o\!\varepsilon}\right);\,\!$

長球面：$S=2\pi\!\left(a^2+c^2\frac{o\!\varepsilon}{\tan o\!\varepsilon}\right);\,\!$

$c\,$比$a\,$和$b\,$都小很多時，表面積近似等於$2\pi ab.\,\!$。

## 橢球與平面相交的橫截面

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橢球與平面相交的橫截面為橢圓。如右圖所示，橢圓的兩個直徑 ${d_2}$ 與 ${d_1}$ 可表示為

$${d_{1,2}^2}={{8(1-{z_c^2\over{\sum_{i=1}^3r_i^2\sin^2p_i}})} \over{\sum_{i=1}^3{\cos^2p_i\over{r_i^2}}}\pm\sqrt{(\sum_{i=1}^3{\cos^2p_i\over{r_i^2}})^2-4(\sum_{i=1}^3r_i^2\sin^2p_i)/r_1^2r_2^2r_3^2}}$$

## 線性變換

如果我們對球使用可逆的線性變換，便可以得到一個橢球；它可以用旋轉的方法來化成以上標準的形式，這是譜定理的結果。如果該線性變換用一個對稱的3乘3矩陣來表示的話，那麼這個矩陣的特徵向量就是正交的（根據譜定理），它表示了軸的方向：而半軸的長度則由特徵值給出。

橢球與平面的交集是空集、一個點，或一個橢圓。

我們也可以利用經過線性變換的球來定義多維空間的橢球，並使用譜定理來得出一個標準方程。

## 質量性質

均勻密度的橢球的質量為：

$$m = \rho V = \rho \frac{4}{3} \pi abc\,\!$$

其中$\rho\,\!$是密度。

均勻密度的橢球的轉動慣量為：

$$I_{\mathrm{xx}} = m {b^2+c^2 \over 5}$$

$$I_{\mathrm{yy}} = m {c^2+a^2 \over 5}$$

$$I_{\mathrm{zz}} = m {a^2+b^2 \over 5}$$

其中$I_{\mathrm{xx}}\,\!$、$I_{\mathrm{yy}}\,\!$和$I_{\mathrm{zz}}\,\!$分別是關於x、y和z軸的轉動慣量。慣性積為零。

容易知道，如果a=b=c，那麼上述公式便化為均勻密度的球的轉動慣量。

反過來，如果知道了一個任意剛體的質量和主慣性矩，那麼就可以構造出一個等價的均勻密度的橢球，使用以下特徵：

$$a = \sqrt{{5 \over 2} {I_{\mathrm{yy}}+I_{\mathrm{zz}}-I_{\mathrm{xx}} \over m}}$$

$$b = \sqrt{{5 \over 2} {I_{\mathrm{zz}}+I_{\mathrm{xx}}-I_{\mathrm{yy}} \over m}}$$

$$c = \sqrt{{5 \over 2} {I_{\mathrm{xx}}+I_{\mathrm{yy}}-I_{\mathrm{zz}} \over m}}$$

$$\rho = \frac{3}{4} {m \over \pi abc}\!$$

## 雞蛋形

雞蛋的形狀可以近似地認為是半個長球面與半個球在赤道處相拼合而成，共用一個旋轉對稱的主軸。雖然雞蛋形通常意味著在赤道平面沒有反射對稱，它也可以用來指真正的長球面。它也可以用來描述相應的二維圖形。參見鵝蛋形。

## 參考文獻

- 橢球 by Jeff Bryant, The Wolfram Demonstrations Project, 2007.
- 橢球 和 二次曲面 , MathWorld.