直接推理

直接推理（immediate inference），是日常語言和亞里斯多德的詞項邏輯中常見的基本推理形式。不同於從兩個直言命題得出一個直言命題的直言三段論，它從一個直言命題得出另一個直言命題，所以被稱為是直接的。

在傳統邏輯中，有效的直接推理是換質法（Obversion）、換位法（Conversion）、對置法（Contraposition）和反對置法（Obverted Contraposition）。

## 四種直言命題之間的關係

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直言命題的四種類型的謂詞邏輯表示：

- 全稱肯定命題（A）：$\forall x(S(x) \rightarrow P(x))$，所有S是P。
- 全稱否定命題（E）：$\forall x(S(x) \rightarrow \lnot P(x))$，所有S不是P。
- 特稱肯定命題（I）：$\exists x(S(x) \land P(x))$，有些S是P。
- 特稱否定命題（O）：$\exists x(S(x) \land \lnot P(x))$，有些S不是P。

全稱肯定命題和特稱否定命題之間以及全稱否定命題和特稱肯定命題之間是矛盾關係：

$\forall x (S(x) \rightarrow P(x)) \land \exists x(S(x) \land \lnot P(x)) \implies \exist x((\lnot P(x)) \land P(x)) \implies \bot$。$\forall x (S(x) \rightarrow \lnot P(x)) \land \exists x(S(x) \land P(x)) \implies \exist x(P(x) \land \lnot P(x)) \implies \bot$。

全稱肯定命題和全稱否定命題二者如果並立，就會在主詞對應的範疇確有個體存在之時產生矛盾，它們之間是反對關係：

$\forall x ( S(x) \rightarrow P(x)) \land \forall x(S(x) \rightarrow \lnot P(x)) \implies \forall x ( S(x) \rightarrow (P(x) \land \lnot P(x))) \implies \forall x ( S(x) \rightarrow \bot)$，$\exists x S(x) \land \forall x ( S(x) \rightarrow \bot) \implies \bot$。

從矛盾關係可以直接得出全稱量詞和存在量詞之間的對偶關係：

- 全稱肯定命題（A）：$\forall x(S(x) \rightarrow P(x)) \iff \lnot \exists x(S(x) \land \lnot P(x))$，沒有S不是P。
- 全稱否定命題（E）：$\forall x(S(x) \rightarrow \lnot P(x)) \iff \lnot \exists x(S(x) \land P(x))$，沒有S是P。
- 特稱肯定命題（I）：$\exists x(S(x) \land P(x)) \iff \lnot \forall x(S(x) \rightarrow \lnot P(x))$，並非所有S不是P。
- 特稱否定命題（O）：$\exists x(S(x) \land \lnot P(x)) \iff \lnot \forall x(S(x) \rightarrow P(x))$，並非所有S是P。

四種直言命題的上述加粗表述，是亞里斯多德《解釋篇》中採用的表述形式。

### 蘊含關係

全稱命題和特稱命題之間是有條件的蘊涵關係：

- 在主詞對應的範疇確有個體存在的條件下，全稱肯定命題（A），蘊涵特稱肯定命題（I）：$\exists x S(x) \land \forall x ( S(x) \rightarrow P(x)) \implies \exists x (S(x) \land S(x)) \land \forall x ( S(x) \rightarrow P(x)) \implies \exists x(S(x) \land P(x))$。
- 在主詞對應的範疇確有個體存在的條件下，全稱否定命題（E），蘊涵特稱否定命題（O）：$\exists x S(x) \land \forall x ( S(x) \rightarrow \lnot P(x)) \implies \exists x (S(x) \land S(x)) \land \forall x ( S(x) \rightarrow \lnot P(x)) \implies \exists x(S(x) \land \lnot P(x))$。

全稱肯定命題蘊涵特稱肯定命題，在亞里斯多德《前分析篇》中用於建立特定的三段論形式，即AAI-3和EAO-3。

將蘊涵關係中的特稱命題替代爲其對偶的全稱命題，則全稱命題之間的反對關係體現爲：

- 在主詞對應的範疇確有個體存在的條件下，如果全稱肯定命題（A）為真，則全稱否定命題（E）為假：$\exists x S(x) \land \forall x ( S(x) \rightarrow P(x)) \implies \lnot \forall x(S(x) \rightarrow \lnot P(x))$。
- 在主詞對應的範疇確有個體存在的條件下，如果全稱否定命題（E）為真，則全稱肯定命題（A）為假：$\exists x S(x) \land \forall x ( S(x) \rightarrow \lnot P(x)) \implies \lnot \forall x(S(x) \rightarrow P(x))$。

### 下反對關係

將蘊涵關係中的全稱命題替代爲其對偶的特稱命題，還確立了特稱命題之間的下反對關係：

- 在主詞對應的範疇確有個體存在的條件下，如果特稱否定命題（O）為假，則特稱肯定命題（I）為真：$\exists x S(x) \land \lnot \exists x(S(x) \land \lnot P(x)) \implies \exists x(S(x) \land P(x))$。
- 在主詞對應的範疇確有個體存在的條件下，如果特稱肯定命題（I）為假，則特稱否定命題（O）為真：$\exists x S(x) \land \lnot \exists x(S(x) \land P(x)) \implies \exists x(S(x) \land \lnot P(x))$。

### 對立四邊形

四種直言命題之間的關係，通常用對立四邊形來表示。

- 在主詞對應的範疇沒有個體存在之時：特稱肯定命題（I）和特稱否定命題（O）都爲假，而全稱肯定命題（A）和全稱否定命題（E）都爲真。蘊涵關係的主詞非空的前提爲假，它與這兩個全稱命題的合取都爲假。
- 在主詞對應的範疇有$\,1\,$個個體存在之時：要麼特稱肯定命題（I）和全稱肯定命題（A）都爲真，而特稱否定命題（O）和全稱否定命題（E）都爲假；要麼特稱否定命題（O）和全稱否定命題（E）都爲真，而特稱肯定命題（I）和全稱肯定命題（A）都爲假。
- 隨著這個範疇中個體數量增加，可能保持此前的並立狀態，也可能轉變並保持為新的並立狀態：特稱肯定命題（I）和特稱否定命題（O）都爲真，而全稱肯定命題（A）和全稱否定命題（E）都爲假。

## 換位法

換位法對調主詞和謂詞的位置：

- 全稱否定命題（E）：$\forall x(S(x) \rightarrow \lnot P(x)) \iff \forall x(P(x) \rightarrow \lnot S(x))$，所有P不是S。
- 特稱肯定命題（I）：$\exists x(S(x) \land P(x)) \iff \exists x(P(x) \land S(x))$，有些P是S。

## 換質法

換質法否定謂詞本身而改變命題的性質，這裡有$\lnot A^{\complement} \iff A$：

- 全稱肯定命題（A）變為全稱否定命題（E）：$\forall x(S(x) \rightarrow P(x)) \iff \forall x(S(x) \rightarrow \lnot P^\complement(x))$，所有S不是非P。
- 全稱否定命題（E）變為全稱肯定命題（A）：$\forall x(S(x) \rightarrow \lnot P(x)) \iff \forall x(S(x) \rightarrow P^\complement(x))$，所有S是非P。
- 特稱肯定命題（I）變為特稱否定命題（O）：$\exists x(S(x) \land P(x)) \iff \exists x(S(x) \land \lnot P^\complement(x))$，有些S不是非P。
- 特稱否定命題（O）變為特稱肯定命題（I）：$\exists x(S(x) \land \lnot P(x)) \iff \exists x(S(x) \land P^\complement(x))$，有些S是非P。

## 對置法

對置法是換質後再換位：

- 全稱肯定命題（A）變為全稱否定命題（E）：$\forall x(S(x) \rightarrow P(x)) \iff \forall x(S(x) \rightarrow \lnot P^\complement(x)) \iff \forall x(P^\complement(x) \rightarrow \lnot S(x))$，所有非P不是S。
- 特稱否定命題（O）變為特稱肯定命題（I）：$\exists x(S(x) \land \lnot P(x)) \iff \exists x(S(x) \land P^\complement(x)) \iff \exists x (P^\complement(x) \land S(x))$，有些非P是S。

對置全稱肯定命題（A）和對置特稱否定命題（O），可以分別是三段論形式AOO-2和OAO-3的推導中的起始步驟。

## 反對置法

反對置法是對置後再換質：

- 全稱肯定命題（A）變為全稱肯定命題（A）：$\forall x(S(x) \rightarrow P(x)) \iff \forall x(S(x) \rightarrow \lnot P^\complement(x)) \iff \forall x(P^\complement(x) \rightarrow \lnot S(x)) \iff \forall x(P^\complement(x) \rightarrow S^\complement(x))$，所有非P是非S。
- 特稱否定命題（O）變為特稱否定命題（O）：$\exists x(S(x) \land \lnot P(x)) \iff \exists x(S(x) \land P^\complement(x)) \iff \exists x (P^\complement(x) \land S(x)) \iff \exists x (P^\complement(x) \land \lnot S^\complement(x))$，有些非P不是非S。