電流密度

在電磁學裏，電流密度（current density）是電荷流動的密度，即每單位截面面積電流量。電流密度是一種向量，一般以符號$\mathbf{J}$表示。採用國際單位制，電流密度的單位是安培／米2（ampere/meter2，A/m2）。

## 定義

電流密度 J 可以簡單地定義為通過單位面積 A（國際單位：m2）的電流 I（國際單位：A）。它的量值由極限給出：

$$J = \lim\limits_{A \rightarrow 0}\frac{I(A)}{A}$$

當電流密度作為向量 J 時，在曲面 S 上進行曲面積分後，再對持續時間 t1 到 t2 積分，得到 (t2 − t1) 這段時間流過該面的電荷總量：

$$q=\int_{t_1}^{t_2}\iint_S \mathbf{J}\cdot\mathbf{\hat{n}}{\rm d}A{\rm d}t$$

計算通量所用到的面積可實可虛，可平可曲，可為截面也可為表面。例如，對於通過導體的載流子來說，這裡遇到的面積是導體的截面。

## 重要性

對於電力系統和電子系統的設計而言，電流密度是很重要的。電路的性能與電流量緊密相關，而電流密度又是由導體的物體尺寸決定。例如，隨著積體電路的尺寸越變越小，雖然較小的元件需要的電流也較小，為了要達到晶片內含的元件數量密度增高的目標，電流密度會趨向於增高。更詳盡細節，請參閱摩爾定律。

在高頻頻域，由於趨膚效應，傳導區域會更加侷限於表面附近，因而促使電流密度增高。

電流密度過高會產生不理想後果。大多數電導體的電阻是有限的正值，會以熱能的形式消散功率。為了要避免電導體因過熱而被熔化或發生燃燒，並且防止絕緣材料遭到損壞，電流密度必須維持在過高值以下。假若電流密度過高，材料與材料之間的互連部分會開始移動，這現象稱為電遷移（electromigration）。在超導體裡，過高的電流密度會產生很強的磁場，這會使得超導體自發地喪失超導性質。

對於電流密度所做的分析和觀察，可以用來探測固體內在的物理性質，包括金屬、半導體、絕緣體等等。在這科學領域，材料學家已經研究發展出一套非常詳盡的理論形式論，來解釋很多機要的實驗觀察。

安培力定律描述電流密度與磁場之間的關係。電流密度是安培力定律的一個重要參數。

## 計算電流密度

### 自由電流

大自然有很多種載有電荷的粒子，稱為「帶電粒子」，例如，導電體內可移動的電子、電解液內的離子、電漿內的電子和離子、強子內的夸克。這些帶電粒子的移動，形成了電流。電荷流動的分佈可以由電流密度來描述：

$\mathbf{J}(\mathbf{r}, t) = qn(\mathbf{r},t)\; \mathbf{v}_d(\mathbf{r},t) = \rho(\mathbf{r},t) \; \mathbf{v}_d(\mathbf{r},t)$。

其中，$\mathbf{J}(\mathbf{r}, t)$是在位置$\mathbf{r}$、在時間$t$的電流密度向量，$q$是帶電粒子的電荷量，$n(\mathbf{r},t)$是帶電粒子密度，是單位體積的帶電粒子數量，$\rho(\mathbf{r},t)$是電荷密度，$\mathbf{v}_d(\mathbf{r},t)$是帶電粒子的平均漂移速度。

電流密度時常可以近似為與電場成正比，以方程式表達為

$\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}$。

其中，$\mathbf{E}$是電場，$\mathbf{J}$是電流密度，$\sigma$是電導率，是電阻率的倒數。

推導

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電阻公式闡明，一個均勻截面的物體的電阻與電阻率和導體長度成正比，與截面面積成反比。以方程式表達， :$R=\rho\frac{\ell}{A}$；其中，$R$是電阻，$\ell$是物體長度，$A$是物體的截面面積，$\rho$是電阻率。根據歐姆定律，電壓$V$等於電流$I$乘以電阻： :$V=IR$。所以， :$V=I \rho\frac{\ell}{A}$。注意到在物體內，電場與電壓的關係為 :$\mathbf{E}=\frac{V}{\ell}\hat{z}$；其中，$\hat{z}$是電流方向。所以， :$\mathbf{E}=\rho\frac{I}{A}\hat{z}=\rho\mathbf{J}$。電導率為電阻率的倒數，$\sigma=1/\rho$。電流密度與電場的關係為 :$\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}$。

採用更基礎性的方法來計算電流密度。這方法建立於方程式

$\mathbf{J}(\mathbf{r}, t) = \int_{-\infty}^t \mathrm{d}t' \int \mathrm{d}^3 r' \; \sigma(\mathbf{r}-\mathbf{r}', t-t') \; \mathbf{E}(\mathbf{r}',\ t')$。

其中，$\mathbf{r}'$和$t'$分別是位置積分變數和時間積分變數。

這方式顯示出電導率$\sigma$在時間方面的滯後響應，和在空間方面的非局域響應屬性。原則上，通過微觀量子分析，才能推導出來電導率函數。例如，對於足夠弱小的電場，可以從描述物質的電導性質的線性響應函數（linear response function）推導。經過一番沉思，可以了解，這電導率和其伴隨的電流密度反映出，在時間方面和在空間方面，電荷傳輸於介質的基本機制。

假設每當$\Delta t < 0$時，$\varepsilon_r(\Delta t) = 0$，則這積分的上限可以延伸至無窮大：

$\mathbf{J}(\mathbf{r}, t) = \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}t' \int \mathrm{d}^3 r' \; \sigma(\mathbf{r}-\mathbf{r}', t-t') \; \mathbf{E}(\mathbf{r}',\ t')$。

做一個對於時間與空間的傅立葉變換，根據摺積定理，可以得到

$\mathbf{J}(\mathbf{k}, \omega) = \sigma(\mathbf{k}, \omega) \; \mathbf{E}(\mathbf{k}, \omega)$。

其中，$\sigma(\mathbf{k}, \omega)$是參數為波向量$\mathbf{k}$和角頻率$\omega$的電導率複函數。

許多物質的電導率是張量，電流可能不會與施加的電場同方向。例如，晶體物質這是這樣的物質。磁場的施加也可能會改變電導行為。

## 穿過曲面的電流

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穿過曲面$\mathbb{S}$的電流$I$可以用面積分計算為

$I=\int_\mathbb{S}{ \mathbf{J} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}}$。

其中，$\mathbf{J}$是電流密度，$\mathrm{d}\mathbf{a}$是微小面元素。

## 連續方程式

由於電荷守恆，從某設定體積流出的電流的淨流量，等於在這體積內部的電荷量的淨變率。以方程式表達。

$\int_\mathbb{S}{ \mathbf{J} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}} = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_\mathbb{V}{\rho \ \mathrm{d}r^3} = -\ \int_\mathbb{V}{\left( \frac{\partial \rho}{\partial t} \right) \mathrm{d}r^3}$。

其中，$\rho$是電荷密度，$\mathrm{d}r^3$是微小體元素，$\mathbb{V}$是閉曲面$\mathbb{S}$所包圍的體積。

這方程式左邊的面積分表示電流從閉曲面$\mathbb{S}$所包圍的體積$\mathbb{V}$流出來，中間和右邊的體積分的負號表示，隨著時間的前進，體積內部的電荷量逐漸減少。

根據散度定理。

$\int_\mathbb{S}{ \mathbf{J} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}} = \int_\mathbb{V}\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{J} \ \mathrm{d}r^3$。

所以。

$\int_\mathbb{V}\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{J}\ \mathrm{d}r^3= - \int_\mathbb{V}\frac{\partial \rho}{\partial t}\ \mathrm{d}r^3$。

注意到對於任意體積$\mathbb{V}$，上述方程式都成立。所以，兩個被積式恆等：

$\nabla \cdot \mathbf{J} = -\ \frac{\partial \rho}{\partial t}$。

稱這方程式為連續方程式。

## 參閱

- 霍爾效應
- 量子霍爾效應
- 超導現象
- 漂移速度