龐加萊半平面模型

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在非歐幾里得幾何中，龐加萊半平面模型（Poincaré half-plane model）是賦有龐加萊度量的上半平面，這是二維雙曲幾何的一個模型。

它以昂利·龐加萊命名，但最初是貝爾特拉米（Eugenio Beltrami）發現的，他用這個模型與克萊因模型以及龐加萊圓盤模型（屬於黎曼）證明了雙曲幾何與歐幾里得幾何的相容性等價（equiconsistent）。圓盤模型與半平面模型在共形映射下是等價的。

## 對稱群

射影線性群 PGL(2,C) 由莫比烏斯變換作用在黎曼球面上。保持上半平面不動的子群是 PGL(2,R)，這些變化的係數是實數，它們傳遞、等距作用在上半平面上，將它變成一個齊性空間。

有四個非常相關的李群通過分式線性變換作用在上半平面上，且保持雙曲距離。

- 由行列式為 +1 的 2×2 實矩陣組成的特殊線性群SL(2,R)。注意許多書籍經常說 SL(2,R)，其實際是指 PSL(2,R)。
- 由行列式為 +1 或 -1 組成的 2×2 實矩陣 S*L(2,R)。注意 SL(2,R) 是這個群的一個子群。
- 射影線性群 PSL(2,R) = SL(2,R)/{±I}，由 SL(2,R) 中矩陣模去正負恆同矩陣。
- 群 PS*L(2,R) = S*L(2,R)/{±I} 同樣是射影群，同樣是模去正負恆同矩陣。

這些群與龐加萊模型的關係如下：

- H 的所有等距的群，通常記做 Isom(H)，同構於 PS*L(2,R)。這包括保持定向和反定向的等距。反定向的映射（鏡映射）是 $z\rightarrow -\overline{z}$。
- H 保持定向的等距，通常記做 Isom+(H)，同構於 PSL(2,R)。

等距群的一些重要的子群是富克斯群。其中一個經常見到的是模群 SL(2,Z)。這個群在兩個方面很重要。首先，它是正方形 2×2 格點的對稱群。從而在一個方形網格中周期函數，比如模形式以及橢圓函數，將從這個網格繼承一個 SL(2,Z) 對稱。另一方面，SL(2,Z) 當然也是 SL(2,R) 的一個子群，從而嵌入其中有雙曲表現。特別地，SL(2,Z) 可用來將雙曲平面鑲嵌為等（龐加萊）面積的單元。

## 等距對稱

特殊線性群 PSL(2,R) 在 H 上的作用定義為

$$\left(\begin{matrix}a&b\\ c&d\\ \end{matrix}\right) \cdot z = \frac{az+b}{cz+d} = {(ac|z|^2+bd+(ad+bc)\Re(z)) + i\Im(z)\over|cz+d|^2}.\,$$

注意到這個作用是傳遞的，從而任何對 $z_1,z_2\in\mathbb{H}$，存在一個 $g\in {\rm PSL}(2,\mathbb{R})$ 使得 $gz_1=z_2$。這個作用也是忠實的：如果對 z 屬於 H 有 $gz=z$，那麼 g=e。

H 中一個元素 z 穩定子或迷向子群是所有 $g\in{\rm PSL}(2,\mathbb{R})$ 使 z 不變 gz=z 的集合。$i$ 的穩定子是旋轉群

$${\rm SO}(2) = \left\{ \left(\begin{matrix}\cos\theta&\sin\theta\\ -\sin\theta&\cos\theta\\ \end{matrix}\right)\,:\,\theta\in{\mathbf R}\right\}.\,$$

由傳遞性，H 中任何元素 z 可由 PSL(2,R) 中一個元素映為 $i$，這意味著任何 z 的迷向子群同構於 SO(2)。從而 H = PSL(2,R)/SO(2)。或者，上半平面上的切向量叢，稱為單位切叢，同構於 PSL(2,R)。

利用模群 SL(2,Z)，上半平面鑲嵌成自由正則集合（free regular set）。

## 測地線

這個度量張量的測地線是垂直於實數軸的圓弧（即圓心位於實軸上的半圓周）以及終於實軸的豎直直線。

經過 $i$ 的單位速度豎直測地線為：

$$\gamma(t) = \left(\begin{matrix}e^{t/2}&0\\ <pre> 0&e^{-t/2}\\ \end{matrix}\right) \cdot i = ie^t.\,$$

因為 PSL(2,R) 作為等距傳遞作用在上半平面，這條測地線通過 PSL(2,R) 的作用映到其它測地線。從而，一般的單位速度測地線由

$$\gamma(t) = \left(\begin{matrix}a&b\\ c&d\\ \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}e^{t/2}&0\\ <pre> 0&e^{-t/2}\\ \end{matrix}\right) \cdot i = \frac {aie^t +b} {cie^t +d}$$

給出。這給出了上半平面上單位長切叢（複線叢）測地流的完整描述。

## 另見

- 平行角（Angle of parallelism）
- 阿諾索夫流（Anosov flow）
- 富克斯群（Fuchsian group）
- 富克斯模型（Fuchsian model）
- 克萊因群（Kleinian group）
- 克萊因模型
- 龐加萊度量
- 龐加萊圓盤模型（Poincaré disk model）
- 偽球面（Pseudosphere）
- 施瓦茨-阿爾福斯-皮克定理（Schwarz-Alhfors-Pick theorem）
- 超平行定理（Ultraparallel theorem）

## 參考文獻

- Eugenio Beltrami, Theoria fondamentale delgi spazil di curvatura constanta, Annali. di Mat., ser II 2 (1868), 232-255
- Henri Poincaré (1882) "Théorie des Groupes Fuchsiens", Acta Mathematica v.1,p.1.First article in a legendary series exploiting half-plane model.On page 52 one can see an example of the semicircle diagrams so characteristic of the model.
- Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
- Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See Section 2.3).
- Saul Stahl, The Poincaré Half-Plane, Jones and Bartlett, 1993, ISBN 0-86720-298-X.
- John Stillwell (1998) Numbers and Geometry,pp.100-104, Springer-Verlag,NY ISBN 0-387-98289-2 .An elementary introduction to the Poincaré half-plane model of the hyperbolic plane.