列維-奇維塔符號

列維-奇維塔符號（Levi-Civita symbol），又稱列維-奇維塔ε，為一在線性代數，張量分析和微分幾何等數學範疇中常見到的符號。對於正整數 n，它以1, 2, ..., n 所形成排列的奇偶性來定義。它以義大利數學家和物理學家圖利奧·列維-齊維塔命名。其他名稱包括排列符號、反對稱符號與交替符號。這些名稱與它排列和反對稱的性質有關。

列維-奇維塔符號的標準記號是希臘小寫字母 ε 或 ϵ，較不常見的也有以拉丁文小寫 e 記號。下標符能與張量分析兼容的方式來顯示排列：

$$\varepsilon_{a_1a_2\cdots a_n}$$

其中每個下標指標 a1, a2, ..., an 取值介乎 1 到 n。在 εa1a2...an 中，共有 nn 個指標排列，可以排成為一個 n 維陣列。

當任何兩個指標相等，則定義符號值等於 0：

$\varepsilon_{\cdots a_p \cdots a_p \cdots }=0$。

當全部指標都不相等時，我們定義：

$\varepsilon_{a_1 a_2 \cdots a_n} = (-1)^p \varepsilon_{1 2 \cdots n}$。

其中 p 稱為「排列的奇偶性」 (parity of permutation)，是要將 a1, a2, ..., an 變換成自然次序 1, 2, ..., n，所需的對換次數。而因子 (−1)p 被稱為「排列正負號」 (signum of permutation)。這裡， ε12...n 的值必須有定義，否則其他特定排列的符號值將無法確定。大多數作者選擇 +1 作為自然次序的值：

$\varepsilon_{12\cdots n}=+1$。

在本文中，也將使用這個定義。

從定義可知，當任何兩個指標互換，則須加上負號：

$\varepsilon_{\cdots a_p \cdots a_q \cdots }=-\varepsilon_{\cdots a_q \cdots a_p \cdots }$。

這稱為「完全反對稱性」。

「n 維列維-奇維塔符號」一詞是指符號上的指標數 n，和所討論的向量空間維度相符，其中可指歐幾里得空間或非歐幾里得空間，例如 R3 的 n = 3 或閔可夫斯基空間的 n = 4。

列維-奇維塔符號的值，與參考座標系無關。此外，這裡使用「符號」一詞。強調了它並不是一個張量；然而，它可以被理解為張量的密度。

列維-奇維塔符號可用來表示正方矩陣的行列式，及三維歐幾里德空間中的兩個向量的叉積。

## 定義

列維-奇維塔符號最常用於三維和四維，並在一定程度上用於二維，因此在定義一般情況之前，先給出這些符號值。

### 二維

在二維中，列維-奇維塔符號定義如下：

$\varepsilon_{ij} = \begin{cases} +1 \\ -1 \\ 0 \end{cases} \,$｜當 $\left( i,j \right )=\left( 1,2 \right)$

當 $\left( i,j \right )=\left( 2,1 \right)$ 當 $i=j$

這些值可以排列成 2×2 反對稱矩陣：

$$\begin{pmatrix} <pre> \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} \\ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 </pre> \end{pmatrix}$$

相對於其他維度，二維的列維-奇維塔符號並不常見，雖然在某些專門的主題，如超對稱和扭量理論中，談及2-旋量時會用到。

### 三維

<image>

三維以上的列維-奇維塔符號更常使用。在三維中，列維-奇維塔符號定義如下：

$\varepsilon_{ijk} = \begin{cases} +1 \\ -1 \\ 0 \end{cases} \,$｜當 $\left ( i,j,k \right )=\left( 1,2,3 \right)$、 $\left( 2,3,1 \right)$ 或 $\left( 3,1,2 \right)$

當 $\left ( i,j,k \right )=\left(3,2,1 \right)$、 $\left( 2,1,3 \right)$ 或 $\left( 1,3,2 \right)$ 當 $i=j$、 $j=k$ 或 $i=k$

也就是說，如果 (i, j, k) 是 (1, 2, 3) 的偶排列，則符號值為 +1。如果是奇排列，則符號值為 −1。如果任何兩個索引重複，則符號值為 0。

僅在三維中， (1, 2, 3) 的循環排列都是偶排列，反循環排列都是奇排列。這意味著在三維中，僅觀察 (i, j, k) 是 (1, 2, 3) 的循環排列，還是反循環排列，就足以分辨其奇偶性。

類似於二維矩陣，三維列維-奇維塔符號的值可以排成 3×3×3 陣列：

<image>

其中 i 是深度 (藍色: 1=i = 1; 紅色: 1=i = 2; 綠色: 1=i = 3)， j 是橫行，k 是直列。

以下是一些例子：

$$\begin{align} <pre> \varepsilon_{\color{BrickRed}{1} \color{Violet}{3} \color{Orange}{2}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1} \color{Orange}{2}\color{Violet}{3}} &= - 1 \\ \varepsilon_{ \color{Violet}{3}\color{BrickRed}{1} \color{Orange}{2}} = -\varepsilon_{ \color{Orange}{2}\color{BrickRed}{1}\color{Violet}{3}} &= -(-\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{2}\color{Violet}{3}}) = 1 \\ \varepsilon_{ \color{Orange}{2} \color{Violet}{3}\color{BrickRed}{1}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1} \color{Violet}{3}\color{Orange}{2}} &= -(-\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{2}\color{Violet}{3}}) = 1 \\ \varepsilon_{ \color{Orange}{2} \color{Violet}{3} \color{Orange}{2}} = -\varepsilon_{ \color{Orange}{2} \color{Violet}{3}\color{Orange}{2}} &= 0 </pre> \end{align}$$

### 四維

在四維中，列維-奇維塔符號定義如下：

$\varepsilon_{ijkl} = \begin{cases} +1 \\ -1 \\ 0 \end{cases} \,$｜當 $\left ( i,j,k, l \right )=\left( 1,2,3, 4 \right)$ 的偶排列

當 $\left ( i,j,k, l \right )=\left( 1,2,3, 4 \right)$ 的奇排列其餘情況，即任意兩個指標相等

這些值可以排成 4×4×4×4 陣列，然而四維以上較難描繪出示意圖。

以下是一些例子：

$$\begin{align} \varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{RedViolet}{4}\color{Violet}{3}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{Violet}{3}\color{RedViolet}{4}} &= - 1\\ \varepsilon_{\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{BrickRed}{1}\color{Violet}{3}\color{RedViolet}{4}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{Violet}{3}\color{RedViolet}{4}} &= -1\\ \varepsilon_{\color{RedViolet}{4}\color{Violet}{3}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{BrickRed}{1}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Violet}{3}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{RedViolet}{4}} &= -(-\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{Violet}{3}\color{RedViolet}{4}}) = 1\\ \varepsilon_{\color{Violet}{3}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{RedViolet}{4}\color{Violet}{3}} = -\varepsilon_{\color{Violet}{3}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{RedViolet}{4}\color{Violet}{3}} &= 0 \end{align}$$

### 推廣到高維

更一般地推廣到 n 維中，則列維-奇維塔符號的定義為：

$\varepsilon_{a_1 a_2 a_3 \ldots a_n} = \begin{cases} +1 \\ -1 \\ 0 \end{cases}$｜當 $(a_1 , a_2 , a_3 , \ldots , a_n)$ 是 $(1,2,3,\dots,n)$ 的偶排列

當 $(a_1 , a_2 , a_3 , \ldots , a_n)$ 是 $(1,2,3,\dots,n)$ 的奇排列其餘情況，即任意兩個指標相等

又可使用求積符號 表達為：

$$\begin{align} <pre> \varepsilon_{a_1 a_2 a_3 \ldots a_n} & = \prod_{1\leq i < j \leq n} \sgn ( a_j-a_i ) \\ & = \sgn(a_2 - a_1)\sgn(a_3 - a_1)\dots\sgn(a_n - a_1)\sgn(a_3 - a_2)\sgn(a_4 - a_2)\dots\sgn(a_n - a_2)\dots\sgn(a_n - a_{n-1}) </pre> \end{align}$$

其中的 sgn(x) 是符號函數，根據 x 的正負給出 +1、 0 或 −1。該公式對對於任何 n 及任何指標排列都有效（當 n = 0 或 1 時，定義為空積 1）。

然而，計算以上公式的時間複雜度為 O(n2)，而以不交循環排列的性質計算，則只需 O(n log(n))。

兩個列維-奇維塔符號的積，可以用一個以廣義克羅內克函數表示的行列式求得：

$$\varepsilon_{ijk\dots}\varepsilon_{mnl\dots} = \begin{vmatrix} \delta_{im} & \delta_{in} & \delta_{il} & \dots \\ \delta_{jm} & \delta_{jn} & \delta_{jl} & \dots \\ \delta_{km} & \delta_{kn} & \delta_{kl} & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ \end{vmatrix}$$

## 應用和範例

<image>

### 行列式

在線性代數中， 3×3 的方陣 A = (aij)：

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$。

其行列式可以寫為：

$\det(A) = \sum_{i,j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} \,a_{1i} \, a_{2j}\, a_{3k}$。

類似地， n×n 矩陣 A = (aij) 的行列式可以寫為：

$$\det(A) = \sum_{a_1,a_2,\cdots,a_n=1}^n \varepsilon_{a_1a_2\cdots a_n}\, a_{1a_1}\,a_{2a_2}\, \cdots\, a_{na_n},$$

### 向量的叉積

對於向量 a 與 b，它們的叉積：

$$\boldsymbol a \times\boldsymbol b = <pre> \begin{vmatrix} \boldsymbol e_1 & \boldsymbol e_2 & \boldsymbol e_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix} </pre> = \sum_{1\leq i,j,k\leq 3} \varepsilon_{ijk}\,a_ib_j\, \boldsymbol e_k$$

對於向量 a、 b 與 c，它們的三重積：

$$\boldsymbol a \cdot (\boldsymbol b \times \boldsymbol c)= <pre> \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix} </pre> = \sum_{1\leq i,j,k\leq 3} \varepsilon_{ijk}\,a_i b_j c_k$$

## 性質

由列維-奇維塔符號給出（共變等級為n）張量在正交基礎中的組成部份，有時稱為「置換張量」。

根據普通的張量變換規則，列維-奇維塔符號在純旋轉下不變，與正交變換相關的所有座標系統（在定義上）相同。然而，列維-奇維塔符號是一種贗張量，因為在雅可比行列式−1的正交變換之下，例如，一個奇數維度的鏡射，如果它是一個張量，它「應該」有一個負號。由於它根本沒有改變，所以列維-奇維塔符號根據定義，是一個贗張量。

由於列維-奇維塔符號是贗張量，因此取叉積的結果是贗張量，而不是向量。

在一般座標變換下，置換張量的分量乘以變換矩陣的雅可比。這表示在與定義張量的座標系不同的座標系中，其組成部份與列維-奇維塔符號表示的那些，不同之處在於一整體因子。如果座標是正交的，則根據座標的方向是否相同，因子將為±1。

在無指標的張量符號中，列維-奇維塔符號被霍奇對偶的概念所取代。

在使用張量的指標符號來操作分量的上下文中，列維-奇維塔符號可以將其指標寫為下標或上標，而不改變意義，這也許是方便的如下寫成：

$$\varepsilon^{ij\dots k} = \varepsilon_{ij\dots k} .$$

在這些例子中，上標應該被視為與下標相同。

使用愛因斯坦標記法可消除求和符號，其中兩個或多個項之間重複的指標表示該指標的求和。例如。

$\varepsilon_{ijk} \varepsilon^{imn} \equiv \sum_{i=1,2,3} \varepsilon_{ijk} \varepsilon^{imn}$.

以下的例子使用愛因斯坦標記法。

### 二維

在二維上，當所有$i$，$j$，$m$，$n$各取值1和2時。

$$\varepsilon_{ij} \varepsilon^{mn} = {\delta_i}^m {\delta_j}^n - {\delta_i}^n {\delta_j}^m$$ $$\varepsilon_{ij} \varepsilon^{in} = {\delta_j}^n$$ $$\varepsilon_{ij} \varepsilon^{ij} = 2.$$

### 三維

#### 指標和符號值

在三維中，當所有$i$，$j$，$k$，$m$，$n$各取值1,2和3時：

$$\varepsilon_{ijk} \varepsilon^{imn}=\delta_j{}^{m}\delta_k{}^n - \delta_j{}^n\delta_k{}^m$$ $$\varepsilon_{jmn} \varepsilon^{imn}=2{\delta_j}^i$$ $$\varepsilon_{ijk} \varepsilon^{ijk}=6.$$

#### 乘積

列維-奇維塔符號與克羅內克函數有關。在三維中，關係由以下等式給出（垂直線表示行列式）：

$$\begin{align} <pre> \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn} &= \begin{vmatrix} \delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in} \\ \delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn} \\ \delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn} \\ \end{vmatrix} \\[6pt] &= \delta_{il}\left( \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}\right) - \delta_{im}\left( \delta_{jl}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{kl} \right) + \delta_{in} \left( \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl} \right). </pre> \end{align}$$

這個結果的一個特例是(4):

$$\sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}$$

有時候其被稱為「contracted epsilon identity」。

在愛因斯坦標記法中，$i$指標的重複表示對於$i$的求和。由此，上述結論可表記為：

$$\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn}=\delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}$$

進一步可以知道：

$$\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}$$

### n維

#### 指標和符號值

在n維中，當所有$i_1,\ldots,i_n,j_1,\ldots,j_n$take values$1,2,\ldots,n$：

$$\varepsilon_{i_1 \dots i_n} \varepsilon^{j_1 \dots j_n} = n! \delta_{[ i_1}^{j_1} \dots \delta_{i_n ]}^{j_n} = \delta^{j_1 \dots j_n}_{i_1 \dots i_n}$$ $$\varepsilon_{i_1 \dots i_k~i_{k+1} \dots i_n} \varepsilon^{i_1 \dots i_k~j_{k+1} \dots j_n} = k!(n - k)!~\delta_{[ i_{k+1}}^{j_{k+1}} \dots \delta_{i_n ]}^{j_n} = k!~\delta^{j_{k+1} \dots j_n}_{i_{k+1} \dots i_n}$$ $$\varepsilon_{i_1 \dots i_n}\varepsilon^{i_1 \dots i_n} = n!$$

驚嘆號($!$)代表階乘，而$\delta^{\alpha\ldots}_{\beta\ldots}$是廣義克羅內克函數，對於任意n有屬性：

$$\sum_{i, j, k, \dots = 1}^n \varepsilon_{ijk\dots}\varepsilon_{ijk\dots} = n!$$

從以下事實可得出：

- 每個排列是偶排列或奇排列。
- $(+1)^2=(-1)^2=1$，與
- 任何n-元素集合的排列數正好是$n!$。

#### 乘積

一般來說，對於n維，兩個列維-奇維塔符號的乘積可以寫成：

$$<pre> \varepsilon_{i_1 i_2 \dots i_n} \varepsilon_{j_1 j_2 \dots j_n} = \begin{vmatrix} \delta_{i_1 j_1} & \delta_{i_1 j_2} & \dots & \delta_{i_1 j_n} \\ \delta_{i_2 j_1} & \delta_{i_2 j_2} & \dots & \delta_{i_2 j_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \delta_{i_n j_1} & \delta_{i_n j_2} & \dots & \delta_{i_n j_n} \\ \end{vmatrix} </pre>$$