虛數單位

在數學、物理及工程學裏，虛數單位是指二次方程$x^2 + 1 = 0$的解。雖然沒有這樣的實數可以滿足這個二次方程，但可以通過虛數單位將實數系統$\mathbb{R}$延伸至複數系統$\mathbb{C}$。延伸的主要動機為有很多實係數多項式方程式無實數解。例如剛才提到的方程式$x^2 + 1 = 0$就無實數解。可是倘若我們允許解答為虛數，那麼這方程式以及所有的多項式方程式都有解。虛數單位通常標記為$i$，但在涉及電氣、電機工程等電學相關領域時，則往往標記為$j$，這是為了避免與電流（記為$i(t)$或$i$）相混淆。

## 定義

$$\ldots$$ i^-3 i^-2 i^-1 i^0 i^1 i^2 i^3 i^4 i^5 i^6 $$\ldots$$

虛數單位$i$定義為二次方程式$x^2 + 1 = 0$的兩個根中的一個。這方程式又可等價表達為：

hide(x←i);x^2。

由於實數的平方絕不可能是負數，我們假設有這麼一個數目解答，給它設定一個符號$i$。很重要的一點是，-1是一個良定義的數學構造。

另外，虛數單位同樣可以表示為：

sqrt(-1)

然而sqrt(-1)往往被誤認為是錯的，他們的證明的方法是：

因為$-1 = i\cdot i=\left(\sqrt{-1}\right)\times\left(\sqrt{-1}\right)=\sqrt{\left(-1\right)\times\left(-1\right)}=\sqrt{1}=1$，但是-1不等於1。

但請注意：$\sqrt{a \cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$成立的條件有$a$,$b$不能為負數。

實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時，我們只需要假設$i$是一個未知數，然後依照$i$的定義，替代任何$i^2$的出現為-1。$i$的更高整數冪數也可以替代為$-i$，$1$，或$i$，根據下述方程式：

$i^3 = i^2 i = (-1) i = -i$。

$i^4 = i^3 i = (-i) i = -(i^2) = -(-1) = 1$。

$i^5 = i^4 i = (1) i = i$。

一般地，有以下的公式：

$$i^{4n} = 1$$

$$i^{4n+1} = i$$

$$i^{4n+2} = -1$$

$$i^{4n+3} = -i$$

$$i^n = i^{n \bmod 4}$$

其中$\bmod 4$表示被4除的餘數。

## 補充定義

虛數單位 $i$ 是複數域 $\mathbb{C}$ 中的一個基本元素，其核心性質由以下等價方式之一定義：

### 代數定義

作為二次方程 $x^2 + 1 = 0$ 的一個解。即，$i$ 是滿足方程

$$i^2 = -1$$

數。由於該方程在實數域 $\mathbb{R}$ 內無解，引入 $i$ 是構造更廣的數系——複數域的關鍵步驟。

### 作為有序對

在複數嚴格的公理化構造中，複數定義為有序對 $(a, b)$，其中 $a, b \in \mathbb{R}$。在此框架下，虛數單位 $i$ 被定義為有序對

$i := (0, 1)$。

而複數的乘法規則定義為 $(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc)$。由此可驗證：

$i^2 = (0, 1) \cdot (0, 1) = (0\cdot0 - 1\cdot1, 0\cdot1 + 1\cdot0) = (-1, 0) = -1$。

這一定義完全繞開了「負數的平方根」這一初始概念，從而在邏輯上更為基礎。

## i和-i

方程$x^2 = -1$有兩個不同的解，它們都是有效的，且互為共軛虛數及倒數。更加確切地，一旦固定了方程的一個解$i$，那麼$-i$（不等於$i$）也是一個解，由於這個方程是$i$的唯一的定義，因此這個定義表面上有歧義。然而，只要把其中一個解選定，並固定為$i$，那麼實際上是沒有歧義的。這是因為，雖然$-i$和$i$在數量上不是相等的（它們是一對共軛虛數），但是$i$和$-i$之間沒有質量上的區別（-1和+1就不是這樣的）。在任何的等式中同時將所有i替換為-i，該等式仍成立。

$$-i^2 = 1$$

$$-i = i^{-1} = \frac{1}{i}$$

## 正當的使用

虛數單位有時記為$\sqrt{-1}$。但是，使用這種記法時需要非常謹慎，這是因為有些在實數範圍內成立的公式在複數範圍內並不成立。例如，公式$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$僅對於非負的實數$a$和$b$才成立。

假若這個關係在虛數仍成立，則會出現以下情況：

$-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1$（不正確）

$-1 = i \cdot i = \pm \sqrt{-1} \cdot \pm \sqrt{-1} = \pm \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \pm \sqrt{1} = \pm 1$（不正確）

$\frac{1}{i} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = \sqrt{\frac{1}{-1}} = \sqrt{-1} = i$（不正確）

### 與主平方根的關係

在複數域中，「平方根」是一個多值函數。對於非負實數 $a$，符號 $\sqrt{a}$ 通常指其唯一的非負實平方根（稱為算術平方根或主平方根）。然而，對於負數或一般的複數，符號 $\sqrt{z}$ 必須明確其分支的選擇。通常，複數的主平方根函數定義為其輻角落在區間 $(-\pi, \pi]$ 內的那個根。

在這種約定下，$\sqrt{-1}$ 的主值是 $i$（而非 $-i$）。即便如此，涉及多個複數的主平方根的恆等式也普遍不成立。因此，在處理複數時，最安全且清晰的做法是直接使用符號 $i$ 及其基本性質 $i^2 = -1$ 進行計算，避免對負數直接應用根號運算法則。

## i的運算

<image>

利用複數的運算規則和歐拉公式，可以對虛數單位 $i$ 進行各種數學運算，包括平方根、冪、對數和三角函數。以下運算除特殊說明外，均為與 $i$ 有關的多值函數，在實際應用時必須指明函數的定義選擇在黎曼面的哪一支。下面列出的僅僅是最常採用的黎曼面分支的計算結果。

### 基本運算與冪循環

虛數單位 $i$ 的整數冪遵循一個周期為4的循環：

$$\begin{align} i^1 &= i, \\ i^2 &= -1, \\ i^3 &= -i, \\ i^4 &= 1, \end{align}$$

一般地，對任意整數 $n$，有：

$$i^n = i^{n \bmod 4}$$

其中 $\bmod 4$ 表示被4除的餘數。

### 平方根

$i$ 的平方根為：

$$\sqrt{i} = \pm \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i \right) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)$$

使用算術平方根符號表示其主值：

$$\sqrt{i} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)$$

其解法為先假設兩實數 $x$ 及 $y$，使得 $(x + iy)^2 = i$，然後求解 $x, y$。

### 一般冪運算

利用歐拉公式 $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$，可以將虛數單位表示為指數形式：

$i = e^{i\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right)}$，其中 $k \in \mathbb{Z}$ 為任意整數。

由此可推導出更一般的冪運算公式。設 $a, b, c \in \mathbb{R}$，且 $a > 0$，則有：

$$a^{i} = e^{i \ln a} = \cos(\ln a) + i \sin(\ln a)$$

這是一個模為1的複數，其幾何意義是在複平面上將點1旋轉 $\ln a$ 弧度。

$$a^{b i} = e^{b i \ln a} = \cos(b \ln a) + i \sin(b \ln a)$$

$$a^{b + c i} = a^{b} \cdot a^{c i} = a^{b} \left[ \cos(c \ln a) + i \sin(c \ln a) \right]$$

此公式清晰地分離了結果在複平面上的伸縮因子 $a^b$ 和旋轉因子 $a^{c i}$。

- 最為人熟知的特例：$i$ 的 $i$ 次冪

$i^i = \left[ e^{i (\frac{\pi}{2} + 2k \pi)} \right]^i = e^{i^2 (\frac{\pi}{2} + 2k \pi)} = e^{-(\frac{\pi}{2} + 2k \pi)}$，$k \in \mathbb{Z}$

代入不同的 $k$ 值，可計算出無限多的解。當 $k = 0$ 時，得到其主值 $e^{-\frac{\pi}{2}} \approx$ 0.207879576...

### 對數

對於正實數 $x > 0$，有：

$\log_i x = {{2 \ln x} \over i\pi} = -i \cdot \frac{2 \ln x}{\pi}$（取主值）

- 更一般地，對於正實數 $a > 0$ 且 $a \neq 1$，以 $i$ 為底的對數可由換底公式導出：

$\log_i a = \frac{\ln a}{\ln i} = \frac{\ln a}{i\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right)} = -i \cdot \frac{2 \ln a}{(4k+1)\pi}$， $k \in \mathbb{Z}$。

這是一個純虛數，且由於 $\ln i$ 的多值性，其結果也有無窮多個值。

### 三角與雙曲函數

以下恆等式揭示了虛數單位如何聯繫三角函數與雙曲函數，這是歐拉公式的直接推論。對於實數 $x$：

$$\begin{align} \cos(i x) &= \cosh x \\ \sin(i x) &= i \sinh x \\ \tan(i x) &= i \tanh x \end{align}$$

這些公式表明，對虛自變量的三角函數求值，會轉化為實自變量的雙曲函數。

作為直接應用，可以計算：

$$\cos i = \cosh 1 = {{e + \frac{1}{e}} \over 2} = {{e^2 + 1} \over 2e} \approx 1.54308064...$$

$$\sin i = i\sinh 1 = {{e - \frac{1}{e}} \over 2} i = {{e^2 - 1} \over 2e} i \approx (1.17520119...) i$$

## 在程式語言

- 大部分的程式語言都不提供虛數單位，且平方根函數(大多為sqrt或Math.Sqrt)的引數不可以是負數，因此，必須自行建立類別後方可使用。
- 但Lisp的許多實現與方言，如Common Lisp，內建虛數和複數的支持。不少動態語言受其影響，也在語言本身或標準庫中支持虛數和複數，如Python、Ruby。
- 一些傳統程式語言，如C語言，也從C99開始支持虛數和複數。
- 在Matlab，虛數單位的表示方法為i或j，但i和j在for迴圈可以有其他用途。
- 在Mathematica，虛數單位的表示方法為I、𝕚或𝕛。
- 在Maple，必須啟用虛數功能，並選擇用i還是j表示虛數單位。
- Go語言於第 1.0 版就內建虛數和複數的支持，變數類型為 `complex64`和`complex128`。

### 代碼示例

以下是一些程式語言中定義虛數單位 $i$ 及進行基本複數運算的方法：

程式語言｜示例代碼 (定義虛數單位與基礎運算)｜備註與輸出示例

Python｜、Python 原生支持複數類型，屬於 `complex` 類。、虛部使用後綴 j 或 J 表示。、可用 `real` 和 `imag` 屬性獲取實部與虛部。、`cmath` 模塊提供複變函數。

```python
# 虚数单位用后缀 j 表示
i = 1j
print(f"虚数单位 i = {i}")
print(f"i 的平方 i² = {i ** 2}")
# 输出：虚数单位 i = 1j
# 输出：i 的平方 i² = (-1+0j)

# 复数构造与运算
z1 = 3 + 4j    # 复数字面量
z2 = complex(1, -2)  # complex(实部, 虚部) 函数
print(f"复数 z1 = {z1}")
print(f"复数 z2 = {z2}")
print(f"z1 + z2 = {z1 + z2}")  # 加法：(4+2j)
print(f"z1 * z2 = {z1 * z2}")  # 乘法：(11-2j)

# 使用 cmath 模块进行更多运算
import cmath
print(f"e^(i*π) = {cmath.exp(1j * cmath.pi)}")  # 欧拉公式，近似 (-1+1.2246467991473532e-16j)
```

C語言 (C99標準)｜、需包含 `<complex.h>` 頭文件，並使用標準宏 I 表示虛數單位。、複數類型為 `double complex`、`float complex` 等。、運算符號（+,、, -）與普通算術一致。、使用 `creal()` 和 `cimag()` 函數提取複數的實部與虛部。、編譯時需支持C99標準（如使用 `gcc -std=c99`）。

```c
#include <complex.h>
#include <stdio.h>

int main(void) {
    // 宏 I 表示虚数单位 i
    double complex i = I;
    double complex z1 = 3.0 + 4.0 * I;
    double complex z2 = 1.0 - 2.0 * I;

    // 基本运算
    double complex i_squared = i * i;
    double complex sum = z1 + z2;
    double complex product = z1 * z2;

    // 输出结果，creal()和cimag()分别提取实部和虚部
    printf("i² = %.2f %+.2fi\n", creal(i_squared), cimag(i_squared));
    // 输出：i² = -1.00 +0.00i
    printf("z1 + z2 = %.2f %+.2fi\n", creal(sum), cimag(sum));
    // 输出：z1 + z2 = 4.00 +2.00i
    printf("z1 * z2 = %.2f %+.2fi\n", creal(product), cimag(product));
    // 输出：z1 * z2 = 11.00 -2.00i

    return 0;
}
```

## 外部連結

- 歐拉對多項式的複數根的研究
- i作為-1的平方根（英文影片）
- $i^{7321}$的計算方法舉例（英文影片）