小斜方截半二十面體

在幾何學中，小斜方截半二十面體是一種半正多面體，由於其具有點可遞的性質，因此屬於阿基米德立體。它由20個正三角形面、30個正方形面、12個正五邊形面、60個頂點和120條棱構成。其對偶多面體為鳶形六十面體。

## 命名

約翰內斯·克卜勒在他1618年出版的《世界的和諧》中，將這個多面體命名為小斜方截半二十面體（rhombicosidodecahedron），可以看做是截角截半二十面體菱形（truncated icosidodecahedral rhombus）的縮寫，由於小斜方截半二十面體可以看做是菱形三十面體透過截角變換後的像而得名，其中截半二十面體菱形（icosidodecahedral rhombus）是克卜勒給予菱形三十面體的命名。

菱形三十面體透過截角變換後的像在拓樸學上可以產生兩種不同的幾何形狀：左邊為最直接的截半；中間是在五階頂點截的較深的截半，其形成了均勻多面體；右邊的是小斜方截半二十面體與菱形三十面體的對偶多面體——截半二十面體的複合體。

## 性質

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小斜方截半二十面體是一種半正多面體，由三種正多邊形組成，分別為正三角形面、正方形面和正五邊形，每個頂點都是兩個正方形、一個正三角形和一個五邊形的公共頂點，在頂點圖中可計為3.4.5.4，因此具有點可遞的性質。由於其可以藉由正十二面體透過擴展_(幾何)變換，變換而成，因此又可以稱為擴展十二面體。由於此原因，小斜方截半二十面體在施萊夫利符號中可以用rr{5,3}來表示，其中，rr表示擴展變換，{5,3}表示正十二面體，亦可以簡寫為$r\begin{Bmatrix} 5 \\ 3 \end{Bmatrix}$。

### 幾何關聯

將一個正十二面體（正二十面體）三十條棱都切一刀，在二十（十二）個頂點處也切一刀，就可以得到一個小斜方截半二十面體。也可以透過將正二十面體移動到遠離原點適當的距離，並且不改變面的大小，然後對偶多面體（正十二面體）也做相同動作，並且在剩餘的空隙補上正方形也可以得到小斜方截半二十面體。一可以視為截半二十面體再次截半後的像。因此，小斜方截半二十面體具有與正二十面體相同數量的三角形和與正十二面體相同數量的五邊形，且正方形恰好等於正二十面體或正十二面體邊的數量。

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小斜方截半二十面體｜

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小十二面截半二十面體｜

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小斜方十二面體｜

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小星形截角十二面體｜

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六複合五角星柱｜

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十二複合五角星柱

小斜方截半二十面體與小星形截角十二面體、六複合五角星柱以及十二複合五角星柱共用相同的頂點布局。

### 其他特性

小斜方截半二十面體由上而下可以分成5層，如下圖所示，靠近頂面的那層可形成一個正十邊形，特別地，由於其對稱性，因此每十條棱皆可以成為一個正十邊形，整個小斜方截半二十面體共有十二個獨立的十邊形。

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小斜方截半二十面體的上下分層著色

### 頂點坐標

位於笛卡爾坐標系原點且邊長為2單位長的小斜方截半二十面體。

(±1, ±1, ±φ3),

(±φ2, ±φ, ±2φ),

(±(2+φ), 0, ±φ2),

其中，φ = $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$為黃金分割率。

因此，這個小斜方截半二十面體的外接球半徑是這些點與原點的共同距離，即$\sqrt{\phi^6+2}$。

而這個值的一半更為常見，計做R，其值等於邊長為1的小斜方截半二十面體之外接球半徑，代入恆等式φn+2 = φn+1 + φn五次可以得到：

R = $\frac{\sqrt{8\phi+7}}{2}$= $\frac{\sqrt{11+4\sqrt{5}}}{2}$≈ 2.233

### 體積與表面積

一個邊長為a的小斜方截半二十面體，其表面積A和體積V為：

$\begin{align} A & = \left \{ 30 + \sqrt{ 30 \left [ 10 + 3\sqrt{5} + \sqrt{15 (5 + 2\sqrt{5})} \right ] } \right \} a^2 \\ & \approx 59.3059828a^2 \\ V & = \frac{1}{3} (60+29\sqrt{5})a^3 \approx 41.6153238a^3 \\ \end{align}$

### 二面角

小斜方截半二十面體有兩種二面角，一個為正五邊形和正方形的交角，另一個為正三角形與正方形的交角：

其中，正五邊形和正方形的交角為：

$\arccos{\left(-\frac{\sqrt{10 \left(5+\sqrt{5}\right)}}{10}\right)} \approx 148.282525589^\circ$

其中，正三角形與正方形的交角為:

$\arccos{\left(-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{6}\right)} \approx 159.094842552^\circ$

## 正交投影

小斜方截半二十面體有6個特殊的正交投影，分別為於中心投影、於頂點上投影、於稜上投影（兩種）和於面上投影（三種），其中「在正方形面上投影」以及「在正五邊形面上投影」其對稱性對應於A2 和 H2的考克斯特平面。

投影位置｜頂點｜三角形-正方形稜｜五邊形-正方形稜｜正方形面｜三角形面｜五邊形面

立體圖｜

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骨架｜

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投影對稱性｜2｜2｜2｜2｜6｜10

對偶骨架｜

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## 球面鑲嵌

小斜方截半二十面體也可以表示為球面鑲嵌，並通過球極投影，投影到平面上。這個投影是一個等角頭影，雖然長度發生改變，但保留了角度資訊。球面鑲嵌上的直線投影到了平面後成為了弧線。

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以正五邊形為中心｜

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以正三角形為中心｜

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以正方形為中心

正交投影｜球極平面投影

## 相關多面體與鑲嵌

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小斜方截半二十面體是正十二面體經過擴展_(幾何)變換後的結果，其他也是由正二十面體透過康威變換得到的多面體有：

### 變異對稱性

這個多面體在拓撲上與一系列頂點圖為(3.4.n.4)的多面體和鑲嵌相關，皆具有(*n32)的鏡射對稱性。

擴展鑲嵌對稱性 *n32 的變種： 3.4.n.4

對稱性、n32n,3｜球面對稱群列表｜平面對稱群列表｜緊湊雙曲｜仿緊雙曲

- 2322,3｜、3323,3｜、4324,3｜、5325,3｜、6326,3｜、7327,3｜、8328,3...｜、∞32∞,3

圖形｜

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頂點布局｜3.4.2.4｜3.4.3.4｜3.4.4.4｜3.4.5.4｜3.4.6.4｜小斜方截半七邊形鑲嵌｜小斜方截半八邊形鑲嵌｜小斜方截半無限邊形鑲嵌

### 詹森多面體

詹森多面體中，有13個與小斜方截半二十面體相關，其中包括5個小斜方截半二十面體的分割，以及8個與小斜方截半二十面體類似但部分結構被旋轉的結果：

J5

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｜小斜方截半二十面體欠一側台塔

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｜80

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｜小斜方截半二十面體欠鄰二側帳塔

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｜83

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單旋側帳塔小斜方截半二十面體

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｜對二旋側台塔小斜方截半二十面體

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｜鄰二旋側台塔小斜方截半二十面體

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｜三旋側台塔小斜方截半二十面體

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對單旋側台塔小斜方截半二十面體欠一側台塔

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｜鄰單旋側台塔小斜方截半二十面體欠一側台塔

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｜二旋側台塔小斜方截半二十面體欠一側台塔

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｜82

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## 參考文獻

- (Section 3-9)
- The Big Bang Theory Series 8 Episode 2 - The Junior Professor Solution: features this solid as the answer to an impromptu science quiz the main four characters have in Leonard and Sheldon's apartment, and is also illustrated in Chuck Lorre's Vanity Card #461 at the end of that episode.

## 外部連結

- polyhedra.htm
- Editable printable net of a Rhombicosidodecahedron with interactive 3D view
- The Uniform Polyhedra
- Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
- The Rhombi-Cosi-Dodecahedron Website
- The Rhombicosidodecahedron as a 3D puzzle