伽羅瓦理論

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數學中，特別是抽象代數理論中，得名於法國數學家埃瓦里斯特·伽羅瓦的伽羅瓦理論（Galois theory）提供了域論和群論之間的聯繫，即伽羅瓦理論基本定理。這樣可以將域論中的某些問題還原到群論，使其更簡單、更易理解。

若方程的根可用只涉及有限次整數、方根與4種基本算術運算的式子表示，就稱方程是根式可解的。伽羅瓦將多項式的根引入為研究課題，這樣能根據多項式根置換群的性質描述根式可解多項式方程的特徵。這廣泛地概括了阿貝爾-魯菲尼定理，其指出五次及以上的一般多項式不是根式可解的。

伽羅瓦理論證明古典的倍立方、三等分角按其表述不可解，描述可作圖多邊形的特徵（高斯曾給出這一特徵，即$\varphi(n)$是2的冪次，其中$\varphi(n)$是歐拉函數，n是正多邊形的邊數，但沒有證明可作圖的多邊形的列表是完整的（沒有證明必要性）。所有已知完整證明都需要伽羅瓦理論。）

伽羅瓦最初使用置換群來描述給定的多項式的根與係數間的關係。約瑟夫·劉維爾在伽羅瓦去世14年後將他的著作編輯成冊並出版。伽羅瓦理論在數學界流行起來需要更長時間。理察·戴德金、利奧波德·克羅內克、埃米爾·阿廷等人發展起來的現代伽羅瓦理論引入了關於域擴張及其自同構的研究。

伽羅瓦理論的進一步抽象為伽羅瓦連接與格羅滕迪克伽羅瓦理論。

## 在經典問題上的應用

伽羅瓦理論的誕生最初是由於如下的現在稱之為阿貝爾-魯菲尼定理的問題，19世紀初之前一直是主要的未解決數學問題之一：

阿貝爾-魯菲尼定理提供了一個反例，證明對一部分多項式方程不存在這樣的公式。伽羅瓦理論為這問題提供了更完整的解答，而且詳細的解釋了為什麼四次及更低次方程有代數解，以及它們的代數解為什麼是那樣的形式。此外，它還提供了一種確定特定方程可不可解的方法，這種方法概念清晰，易於用演算法表示。

伽羅瓦理論還對尺規作圖問題提出了清晰的洞察，給出了所有可以尺規作圖的長度比的一個優雅描述。這樣，一些經典幾何問題的解答變得相對容易：

哪些正多邊形是可以尺規做出的？

為何不能三等分任意角？

## 歷史

### 伽羅瓦之前

伽羅瓦理論源於對稱函數研究，即首一多項式的係數（在符號意義上）是根的初等對稱多項式。例如，$(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab$，其中1、$a+b$、$ab$是0、1、2次二元初等多項式。

16世紀法國數學家弗朗索瓦·韋達在韋達定理中首次正式表述了正實數根的情形。18世紀英國數學家查爾斯·赫頓認為，用多項式係數表示方程的根（不只是正根）的方法始見於17世紀法國數學家Q548301，赫頓這樣寫道：

...Girard是第一個理解由根及其乘積之和形成冪的係數的一般學說的人。他是第一個發現任何方程根的冪的求和規則的人。

因此，判別式是根的對稱函數，反映了根的性質：若且唯若多項式有重根時，判別式為零；對於2、3次多項式，若且唯若所有根都是互不相等的實數時，判別式為正；若且唯若有一對不同的復共軛根時，判別式為負。

15–16世紀義大利數學家希皮奧內·德爾·費羅首次發現了部分一元三次方程的解法，但沒有公布自己的成果。1535年，尼科洛·塔爾塔利亞獨立發現了這套解法，並與吉羅拉莫·卡爾達諾分享，但要求他不要發表。卡爾達諾用類似方法將其推廣，可見三次方程#卡爾達諾法。發現德爾·費羅的研究後，他認為塔爾塔利亞的方法不再是秘密，因此在《大術》（Ars Magna，1545）中發表了自己的解法。他的學生洛多維科·費拉里解出了一元四次方程，解法也收錄在《大術》中。不過書中沒有一元三次方程解的一般式，因為那時還沒有複數和充足的代數符號來描述一般三次方程。用現代符號與複數可以驗證，書中公式在一般情形下確實有效，但卡爾達諾不知道。拉斐爾·邦貝利設法用複數求解所有形式的三次方程。

法國義大利裔數學家約瑟夫·拉格朗日的論文《關於代數方程解的思考》（Réflexions sur la résolution algébrique des équations，1770）在拉格朗日預解式法中，分析了卡爾達諾和費拉里的解法，認為其根的排列組合（置換）可以得到低次的輔助多項式，從而對解法有了統一認識，並為群論與伽羅瓦理論奠定了基礎。但至關重要的是，他沒有考慮置換的組合。拉格朗日法沒有推廣到五次及以上的方程，因為預解式的次數更高。

保羅·魯菲尼在1799年幾乎證明了五次方程沒有一般的根式解，其中關鍵是置換群，而非單一的置換。他的證明有缺陷，柯西認為這無傷大雅。挪威數學家尼爾斯·阿貝爾在1824年發表的研究中補全了這缺陷，從而建立了阿貝爾-魯菲尼定理。

魯菲尼和阿貝爾確定了一般五次方程不可解，而$x^5-1=0$這種特殊五次方程是可解的。埃瓦里斯特·伽羅瓦找到了五次及以上方程的確切可解指標：多項式是否可解取決於其根的置換群（即其伽羅瓦群）是否具有某種結構（即是不是可解群）。對四次及以下的多項式，這個群總可解；而五次及以上的多項式則不總是可解的。

### 伽羅瓦

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1830年，18歲的伽羅瓦向巴黎科學院提交了一份備忘錄，介紹了他的根式可解性理論。次年，他的文章因過於簡略和給出的是方程根（而非係數）的條件而被否決。隨後，伽羅瓦在1832年的一場決鬥中喪生，他的論文《根式方程可解條件備忘錄》（Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux）到1846年才由約瑟夫·劉維爾發表，並附有他自己的一些解釋。劉維爾在1843年7月4日的一次演講中向學院宣布了伽羅瓦的結果。Allan Clark認為，伽羅瓦的描述「極大地取代了阿貝爾和魯菲尼的工作」。

### 後續

眾所周知，伽羅瓦理論很難為同時代的人理解。例如，劉維爾在1846年的評論中完全忽略了群論這一方法核心。約瑟夫·阿爾弗雷德·塞雷曾參加過幾次劉維爾的演講，將伽羅瓦理論寫入了1866年的教科書《高等代數》（Cours d'algèbre supérieure，第3版）。他的學生卡米爾·若爾當在《關於替代和代數方程》（Traité des substitutions et des équations algébriques，1870）中對伽羅瓦理論有了更深刻的理解。法國之外，伽羅瓦理論在更長的時期中仍然比較模糊。英國數學家阿瑟·凱萊沒能領會伽羅瓦理論的深刻內涵，英國流行的代數教科書到20世紀初才提到伽羅瓦理論。德國數學家利奧波德·克羅內克的著作更關注阿貝爾的結果；理察·戴德金對伽羅瓦理論著述甚少，但在1858年於哥廷根大學發表了關於伽羅瓦理論的演講，顯示了他的深刻理解。1880年代，歐根·內托根據若爾當的《關於替代和代數方程》編寫的書，以及海因里希·馬丁·韋伯1895年出版的代數教科書，讓更多德國和美國讀者了解了伽羅瓦理論。

## 置換群描述

給定一多項式，它的一些根可能是被不同的多項式方程聯繫起來的。例如，有兩個根A和B，滿足方程$A^2+5B^3=7$。伽羅瓦理論的核心思想是考慮具有以下性質的根的置換：根滿足的任何多項式方程，在置換之後仍成立。此理論最初是針對有理係數代數方程提出的，其實可以自然擴張到係數位於任意域的方程，但簡單起見，我們限制在有理數域。

這些置換形成了一個置換群，也稱為多項式的伽羅瓦群，可以很清晰的舉例說明。

### 例1：二次方程

考慮一元二次方程：

$$x^2 - 4x + 1 = 0$$

應用一元二次方程的求根公式，可得其兩個根

$$A = 2 + \sqrt{3}$$

$$B = 2 - \sqrt{3}$$

A和B滿足一些多項式方程：

$$\begin{cases} A + B = 4\\ AB = 1 \end{cases}$$

這些方程中，交換A和B，方程恆成立。例如，方程A + B = 4簡單的變成了B + A = 4。進一步的，這對於A和B滿足的所有可能的多項式方程都成立。這是對稱多項式理論的成果，這裡可以用二項式定理的公式來代替。

這裡會有人產生疑問：A和B同樣滿足另一個多項式方程$A - B - 2\sqrt{3} = 0$，但交換A和B後，這個方程將不成立。不過，這裡不考慮這種關係，因為它的係數$-2\sqrt{3}$是無理數。

我們可以總結出，多項式$x^2-4x+1$的伽羅瓦群由兩種置換構成：保持A和B不變的恆同變換，以及交換A與B位置的換位。它是一個二階循環群，因此同構於$\Z/2\Z$。

類似討論適用於任意二次多項式$ax^2+bx+c$，其中a、b、c都是有理數。

- 如果多項式只有一個有理根，例如$x^2-4x+4=(x-2)^2$，則伽羅瓦群是平凡的，即只包括恆同變換。
- 如果多項式有兩個不同的有理根，例如$x^2-3x+2=(x-2)(x-1)$，伽羅瓦群同樣是平凡的。
- 如果多項式有兩個無理根（包括根是複數的情況），那麼伽羅瓦群包括上面例子中所描述的兩個置換。

### 例2：四次方程

考慮多項式

$$x^4-10x^2+1$$

也可以寫成

$$(x^2-5)^2-24$$

我們同樣希望在有理數域上描述這多項式的伽羅瓦群。這個多項式有四個根：

$$A = \sqrt{2} + \sqrt{3}$$

$$B = \sqrt{2} - \sqrt{3}$$

$$C = -\sqrt{2} + \sqrt{3}$$

$$D = -\sqrt{2} - \sqrt{3}$$

這四個根有24種可能的排列，但它們並不都是伽羅瓦群的元素。伽羅瓦群的元素必須保持所有A, B, C和D滿足的有理係數多項式方程。這樣的方程例如：

$$\begin{align} AB&=-1 \\ AC&=1 \\ A+D&=0 \end{align}$$

由此可知，如果φ是屬於伽羅瓦群的置換，則必須有：

$$\begin{align} \varphi(B)&=\frac{-1}{\varphi(A)}, \\ \varphi(C)&=\frac{1}{\varphi(A)}, \\ \varphi(D)&=-\varphi(A). \end{align}$$

因此置換由A的像確定，伽羅瓦群有4個元素：

$$(A,\ B,\ C,\ D)\to (A,\ B,\ C,\ D)$$

$$(A,\ B,\ C,\ D)\to (B,\ A,\ D,\ C)$$

$$(A,\ B,\ C,\ D)\to (C,\ D,\ A,\ B)$$

$$(A,\ B,\ C,\ D)\to (D,\ C,\ B,\ A)$$

## 現代的域論描述

現代的研究方法是從域擴張L/K開始，並分析固定K的L的自同構群。進一步的解釋和例子請參見關於伽羅瓦群條目。

這兩種描述的關係如下。多項式係數屬於基域K；擴域L應是在域K中添加多項式的根得到的域。滿足保上述多項式方程的根的置換，都對應L/K的一個自同構，反之亦然。

在上面的第一個例子中，我們研究的是域擴張$\mathbb{Q}(\sqrt{3})/\mathbb{Q}$，其中$\mathbb{Q}$是有理數域，而$\mathbb{Q}(\sqrt{3})/\mathbb{Q}$是在$\mathbb{Q}$中加入$\sqrt{3}$得到的域。在第二個例子中，我們研究的是域擴張$\mathbb{Q}(A,\ B,\ C,\ D)/\mathbb{Q}$。

現代的方法比起置換群方法，有幾點優勢：

- 它使得伽羅瓦理論基本定理的描述更為簡潔。
- 在數學中的很多其他領域需要使用Q以外的基域。例如，在代數數論中，人們經常在代數數域、有限域和局部域上應用伽羅瓦理論。
- 它使人們更容易研究無窮擴張。這在代數數論中同樣很重要，例如人們經常需要研究Q的絕對伽羅瓦群，即當K是Q的一個代數閉包時，K/Q的伽羅瓦群。
- 它使得人們可以研究不可分擴張。這在經典框架中並不成為問題，因為這時總是可以假定為特徵0的；但在數論和代數幾何中經常出現特徵非0的情況。
- 它去除了人們對多項式求根的依賴性。也就是說，不同的多項式可能產生同一個擴域，現代的方法可以識別這些多項式之間的聯繫。

## 可解群和根式解

群論中可解群的概念讓我們得以確定多項式何時有根式解，這取決於其伽羅瓦群是否有可解性。每個域擴張$L/K$實質上都對應伽羅瓦群合成列中的某因子群。若合成列的某因子群是n階循環群，且若相應域擴張$L/K$中，域K已經包含了原始n次單位根，則其就是一個根式擴域，L的元素就可以用K中某元素的n次根表示。若合成列中所有因子群都是循環群，則稱此伽羅瓦群可解，相應域中所有元素都可從基域（通常是$\mathbb{Q}$）通過取根、積、求和得到。

有根式解的充要條件是其分裂域L對基域F的伽羅瓦群可解。簡言之，取此伽羅瓦群的任一合成列，透過伽羅瓦理論基本定理，合成列對應到一族子域$L=L_n \supset L_{n-1} \supset \cdots \supset L_0=F$，各段$L_{i+1}/L_i$的伽羅瓦群一一對應於合成列的因子。若$L_{i+1}/L_i$之伽羅瓦群是n階循環群，則域擴張$L_{i+1}/L_i$由n次根式生成。伽羅瓦群可解若且唯若合成列的因子皆為循環群，於是若群可解，相應方程便有根式解。反向的結果亦不難證明。

伽羅瓦理論的重大成就之一是證明了當$n>4$時，一般的n次多項式無根式解（「一般」意謂將多項式係數視為獨立變元）（幾年前尼爾斯·阿貝爾用相似方法獨立證明了這一點，這就是阿貝爾-魯菲尼定理），並得到了檢驗多項式是否根式可解的方法。原因是對稱群$S_n$在$n>4$時包含的正規子群中有個單群是交錯群$A_n$，不是循環群，因此不可解。

### 例3：不可解的五次方程

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以多項式方程 $x^5 -x -1=0$ 為例。

根據有理數根定理，方程無有理零點，也無模2或3的線性因子。$f(x)$模2的伽羅瓦群是6階循環群，因為$f(x)$模2可以分解為2、3次多項式：$(x^2+x+1)(x^3+x^2+1)$。

$f(x)$模3無線性或二次因子，因此是不可約多項式，於是其模3伽羅瓦群包含5階元素。

眾所周知，素數模的伽羅瓦群同構於有理數上伽羅瓦群的一個子群。

5個對象（其中包含5、6階元素）上的置換群只能是對稱群$S_5$，因此對稱群$S_5$就是$f(x)$的伽羅瓦群，故無根式解。

這是不可解五次多項式最簡單的例子之一。塞爾日·蘭說埃米爾·阿廷很喜歡這個例子。

## 逆伽羅瓦問題

逆伽羅瓦問題是尋找具有給定伽羅瓦群的域擴張的問題。

不指定基域的話問題並不難，而且所有有限群都能作為伽羅瓦群出現。證明這一點可以這樣做：選定域K和有限群G。凱萊定理指出，G（在同構意義上）是對稱群S在G的元素上的子群。選擇不定項$\{x_{\alpha}\}$，G的每個元素$\alpha$對應一個不定項，與K相配得到域$F=K(\{x_{\alpha}\})$。F中包含了$\{x_{\alpha}\}$中的對稱有理函數域L。根據埃米爾·阿廷的基本結果，$F/L$的伽羅瓦群是S。G通過S的作用的限制作用於F，若此作用的定域是M，則據伽羅瓦理論基本定理，$F/M$的伽羅瓦群就是G。

另一方面，是否每個有限群都能作為有理數域$\mathbb{Q}$某域擴張的伽羅瓦群，仍是未知的。伊戈爾·沙法列維奇證明可解有限群都是$\mathbb{Q}$的某擴張的伽羅瓦群。很多人已解決了某些非阿貝爾單群的逆伽羅瓦問題。在26個散在單群中，除馬蒂厄群$M_{23}$外，其他解都已證明了存在性。甚至還有一種整係數多項式，其伽羅瓦群是魔群.

## 不可分擴張

在上述形式中，特別是伽羅瓦理論基本定理中，只考慮伽羅瓦擴張，是可分擴張。一般的域擴張可以分為可分擴張與純不可分擴張，對後者如$F/K$，有一種伽羅瓦理論，其中伽羅瓦群被導子的向量空間$Der_K(F, F)$取代，即滿足萊布尼茨法則的F的K-線性自同態。這種對應關係中，中介域F被賦予$Der_E(F, F) \subset Der_K(F, F)$。相反，滿足進一步適當條件的子空間$V \subset Der_K(F, F)$映射到$\{x \in F, f(x)=0\ \forall f \in V\}$。在$F^p \subset K$的假設下，證明，這建立了一一對應關係。利用導出代數幾何概念給出對應關係，消除了Jacobson提出的條件。

## 參考文獻

- Serge Lang, 'Algebraic Number Theory', Addison-Wesley (1970).
- (Galois' original paper, with extensive background and commentary.)
- (Chapter 4 gives an introduction to the field-theoretic approach to Galois theory.)
- (This book introduces the reader to the Galois theory of Grothendieck, and some generalisations, leading to Galois groupoids.)
- . English translation (of 2nd revised edition): (Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)

## 外部連結

以下是一些網上的教學資料：

- ABSTRACT ALGEBRA ON LINE: Galois Theory
- nrich.maths.org Mathematics Enrichment: An Introduction to Galois Theory

中英夾雜的教學資料：

- 簡介Galois理論 /李華介

以下網站提供德語、中文、英語、法語、義大利語、西班牙語及羅馬尼亞語版的線上教材：

- Evariste Galois: whatsnew

以下網站提供伽羅瓦生平及其理論的應用：

- 稱對的對稱——遊走於科學與藝術間
- 伽羅瓦理論