正交座標系

在數學裏，一個正交坐標系定義為一組正交坐標$\mathbf{q}=(q_1,\ q_2,\ q_3,\ \dots\ q_n)$，其坐標曲面都以直角相交（注意：很多作者採用愛因斯坦記號對坐標標號使用上標並非表示指數）。坐標曲面定義為特定坐標$q_i$的等值曲面，即$q_i$為常數的曲線、曲面或超曲面。例如，三維直角坐標$(x,\ y,\ z)$是一種正交坐標系，它的$x$為常數，$y$為常數，$z$為常數的坐標曲面，都是互相以直角相交的平面，都互相垂直。正交坐標系是曲線坐標系的特殊的但極其常見的形式。

## 動機

正交座標時常用來解析一些出現於量子力學、流體動力學、電動力學、熱力學等等的偏微分方程。舉例而言，選擇一個恰當的的正交座標來解析氫離子$H_2\,^-$的波函數或消防水管的噴水，也許會比用直角座標方便的多。這主要是因為恰當的正交座標能夠與一個問題的對稱性相配合，從而促使應用分離變數法來成功的解析關於這問題的方程式。分離變數法是一種數學技巧，專門用來將一個複雜的$n$維問題變為$n$個一維問題。很多問題都可以簡化為拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程，這些方程式可以用很多種正交座標來分離。拉普拉斯方程可以在13個正交坐標系中分離（本文列出的14個中圓環坐標系除外），而亥姆霍茲方程可以在11個正交坐標系中分離。

## 概述

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正交坐標的度規張量絕對沒有非對角項目。換句話說，無窮小距離的平方$ds^2$，可以寫為無窮小坐標位移的平方和：

$ds^{2} = \sum_{i=1}^{n} \left( h_{i} dq_{i} \right)^{2}$。

其中，$n$是維數，標度因子$h_i$是度規張量的對角元素$g_{ii}$的平方根：

$h_{i}(\mathbf{q})\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{g_{ii}(\mathbf{q})}$。

這些標度因子可以用來計算一個正交坐標系的微分算子。例如，梯度、拉普拉斯算子、散度、或旋度。

在數學裏，存在有各種各樣的正交座標系。應用二維直角座標系$(x,\ y)$的共形映射方法，可以簡易的生成這些正交座標系。一個複數$z=x+iy$的任何全純函數$w=f(z)$，其複值的導數，如果不等於零，則會造成一個共形映射。如果答案可以表達為$w=u+iv$，則$u$與$v$的等值曲線以直角相交，就如同原本的$x$與$y$的等值曲線以直角相交。

三維與更高維的正交座標系可以由一個二維正交座標系生成，只要將二維正交座標往一個新的座標軸投射（形成類似圓柱座標系的座標系），或者將二維正交座標繞著其對稱軸旋轉。可是，也有一些三維正交座標系，例如橢球座標系，則不能夠用上述方法得到。更一般的正交坐標可以從一些必要的坐標曲面/曲線起步並通過考慮它們的正交軌跡線而得到。

## 向量代數

在正交坐標系裏，內積的公式仍舊不變：

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \sum_{i=1}^{n} A_{i} B_{i}$。

## 向量微積分

從前面的距離公式，可以觀察出，一個正交坐標$q_{i}$的無窮小改變$dq_{i}$，其相伴的長度是$ds_{i} = h_{i} dq_{i}$。因此，一個位移向量的全微分$d\mathbf{r}$等於

$d\mathbf{r} = \sum_{i=1}^{n} h_{i} dq_{i} \mathbf{e}_{i}$。

其中，$\mathbf{e}_{i}$是垂直於$q_{i}$等值曲面的單位向量，指向著$q_{i}$增值最快的方向，這些單位向量形成了一個局部直角坐標系的坐標軸。

因此，向量$\mathbf{F}$沿著周線$\mathbb{C}$的線積分等於

$\int_{\mathbb{C}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \sum_{i=1}^{n} \int_{\mathbb{C}} F_{i} h_{i} dq_{i}$。

其中，$F_{i}$是向量$\mathbf{F}$在單位向量$\mathbf{e}_{i}$方向的分量：

$F_{i} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathbf{e}_{i} \cdot \mathbf{F}$。

類似地，一個無窮小面積元素是

$dA = ds_{i} ds_{j} = h_{i} h_{j} dq_{i} dq_{j},\qquad i\neq j$。

一個無窮小體積元素是

$dV = ds_{i} ds_{j} ds_{k} = h_{i} h_{j} h_{k} dq_{i} dq_{j} dq_{k},\qquad i \neq j \neq k$。

例如，向量$\mathbf{F}$對於一個曲面$\mathbb{S}$的曲面積分是

$\int_{\mathbb{S}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{A} = \int_{\mathbb{S}} F_{1} h_{2} h_{3} dq_{2} dq_{3} + \int_{\mathbb{S}} F_{2} h_{3} h_{1} dq_{3} dq_{1} + \int_{\mathbb{S}} F_{3} h_{1} h_{2} dq_{1} dq_{2}$。

### 球坐標系實例

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直角坐標$(x,\ y,\ z)$與球坐標$(r,\ \theta, \phi)$的變換方程式為

$x=r\sin\theta\cos\phi$。

$y=r\sin\theta\sin\phi$。

$z=r\cos\theta$。

直角坐標的全微分是

$dx=\sin\theta\cos\phi dr+r\cos\theta\cos\phi d\theta - r\sin\theta\sin\phi d\phi$。

$dy=\sin\theta\sin\phi dr+r\cos\theta\sin\phi d\theta+r\sin\theta\cos\phi d\phi$。

$dz=\cos\theta dr - r\sin\theta d\theta$。

所以，無窮小距離的平方是

$\begin{align}ds^{2} & = dx^{2}+dy^{2}+dz^{2} \\ <pre> & =dr^{2}+(rd\theta)^{2}+(r\sin\theta d\phi)^{2} \\\end{align}$。

標度因子是

$h_r=1$。

$h_{\theta}=r$。

$h_{\phi}=r\sin\theta$。

向量$\mathbf{F}$沿著周線$\mathbb{C}$的線積分等於

$\int_{\mathbb{C}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{\mathbb{C}}F_{r}\ dr+F_{\theta}\ rd\theta+F_{\phi}\ r\sin\theta d\phi$。

向量$\mathbf{F}$對於一個曲面$\mathbb{S}$的曲面積分是

$\int_{\mathbb{S}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{A} = \int_{\mathbb{S}} F_r\ r^2\sin\theta d\theta d\phi+ \int_{\mathbb{S}} F_{\theta}\ r\sin\theta dr d\phi + \int_{\mathbb{S}} F_{\phi}\ r dr d\theta$。

## 三維微分算子

算子｜正交坐標公式

標量場的梯度｜$\nabla \Phi = \hat{\mathbf{e}}_{1}\frac{1}{h_{1}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}} + \hat{\mathbf{e}}_{2}\frac{1}{h_{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}} + \hat{\mathbf{e}}_{3}\frac{1}{h_{3}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{3}}$

向量場的散度｜$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} \left[\frac{\partial}{\partial q_1}(F_1 h_2 h_3)+\frac{\partial}{\partial q_2}(F_2 h_3 h_1) + \frac{\partial}{\partial q_3}(F_3 h_1 h_2) \right]$

向量場的旋度｜$\begin{align}\nabla \times \mathbf{F} & =\frac{\mathbf{e}_{1}}{h_{2} h_{3}} \left[\frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( h_{3} F_{3} \right) - \frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( h_{2} F_{2} \right)\right] + \frac{\mathbf{e}_{2}}{h_{3} h_{1}} \left[\frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( h_{1} F_{1} \right) - \frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( h_{3} F_{3} \right)\right] \\ & +\frac{\mathbf{e}_{3}}{h_{1} h_{2}} \left[\frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( h_{2} F_{2} \right) - \frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( h_{1} F_{1} \right)\right] \\ \end{align}$

標量場的拉普拉斯算子｜$\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} \left[ \frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( \frac{h_{2} h_{3}}{h_{1}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}} \right) + \frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( \frac{h_{3} h_{1}}{h_{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}} \right) + \frac{\partial}{\partial q_{3}} \left(\frac{h_{1} h_{2}}{h_{3}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{3}} \right) \right]$

上面表達式可以使用列維-奇維塔符號$\epsilon$的更簡潔形式書寫，定義$H = h_1 h_2 h_3$，並使用愛因斯坦記號，即在同時出現上標和下標的項目上求此項所有可能的總和:

算子｜表達式

標量場的梯度｜$\nabla \phi = \frac{\hat{ \mathbf e}_k}{h_k} \frac{\partial \phi}{\partial q^k}$

向量場的散度｜$\nabla \cdot \mathbf F = \frac{1}{H}\frac{\partial}{\partial q^k} \left(\frac{H}{h_k} F_k\right)$

向量場（只3D）的旋度｜$\left(\nabla \times \mathbf F\right)_k = \frac{h_k \hat{ \mathbf e}_k}{H} \epsilon_{ijk}\frac{\partial}{\partial q^i}\left(h_j F_j\right)$

標量場的拉普拉斯算子｜$\nabla^2 \phi = \frac{1}{H} \frac{\partial}{\partial q^k}\left(\frac{H}{h_k^2}\frac{\partial \phi}{\partial q^k}\right)$

## 二維正交坐標系表格

坐標系｜複數變換 $x+iy = f(u+iv)$｜$u$和$v$等值線的形狀｜注釋

直角｜$u + iv$｜直線, 直線

對數極坐標系｜$\exp(u+iv)$｜圓, 直線｜若$u = \ln r$則為極坐標系

拋物線｜$\frac12 (u+iv)^2$｜拋物線, 拋物線

點偶極｜$(u+iv)^{-1}$｜圓, 圓

橢圓｜$\cosh(u+iv)$｜橢圓, 雙曲線｜對於大距離看似對數極

雙極｜$\coth(u+iv)$｜圓, 圓｜對於大距離看似點偶極

$\sqrt{u+iv}$｜雙曲線, 雙曲線

$u = x^2 + 2y^2,\ y=vx^2$｜橢圓, 拋物線

## 三維正交坐標系表格

除了直角坐標系之外，下表列出其他常見的正交坐標系，為了簡明性在坐標列中使用了區間符號。

曲線坐標 (q1, q2, q3)｜從直角坐標(x, y, z)轉換｜縮放因子

球極坐標系 $(r, \theta, \phi)\in[0,\infty)\times[0,\pi]\times[0,2\pi)$｜$\begin{align} x&=r\sin\theta\cos\phi \\ y&=r\sin\theta\sin\phi \\ z&=r\cos\theta \end{align}$｜$\begin{align} h_1&=1 \\ h_2&=r \\ h_3&=r\sin\theta \end{align}$

圓柱坐標系 $(\rho, \phi, z)\in[0,\infty)\times[0,2\pi)\times(-\infty,\infty)$｜$\begin{align} x&=\rho\cos\phi \\ y&=\rho\sin\phi \\ z&=z \end{align}$｜$\begin{align} h_1&=h_3=1 \\ h_2&=\rho \end{align}$

拋物柱面坐標系 $(u, v, z)\in(-\infty,\infty)\times[0,\infty)\times(-\infty,\infty)$｜$\begin{align} x&=\frac{1}{2}(u^2-v^2)\\ y&=uv\\ z&=z \end{align}$｜$\begin{align} h_1&=h_2=\sqrt{u^2+v^2} \\ h_3&=1 \end{align}$

拋物線坐標系 $(u, v, \phi)\in[0,\infty)\times[0,\infty)\times[0,2\pi)$｜$\begin{align} x&=uv\cos\phi\\ y&=uv\sin\phi\\ z&=\frac{1}{2}(u^2-v^2) \end{align}$｜$\begin{align} h_1&=h_2=\sqrt{u^2+v^2} \\ h_3&=uv \end{align}$

橢圓柱坐標系 $(u, v, z)\in[0,\infty)\times[0,2\pi)\times(-\infty,\infty)$｜$\begin{align} x&=a\cosh u \cos v\\ y&=a\sinh u \sin v\\ z&=z \end{align}$｜$\begin{align} h_1&=h_2=a\sqrt{\sinh^2u+\sin^2v} \\ h_3&=1 \end{align}$

長球面坐標系 $(\xi, \eta, \phi)\in[0,\infty)\times[0,\pi]\times[0,2\pi)$｜$\begin{align} x&=a\sinh\xi\sin\eta\cos\phi\\ y&=a\sinh\xi\sin\eta\sin\phi\\ z&=a\cosh\xi\cos\eta \end{align}$｜$\begin{align} h_1&=h_2=a\sqrt{\sinh^2\xi+\sin^2\eta} \\ h_3&=a\sinh\xi\sin\eta \end{align}$

扁球面坐標系 $(\xi, \eta, \phi)\in[0,\infty)\times\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\times[0,2\pi)$｜$\begin{align} x&=a\cosh\xi\cos\eta\cos\phi\\ y&=a\cosh\xi\cos\eta\sin\phi\\ z&=a\sinh\xi\sin\eta \end{align}$｜$\begin{align} h_1&=h_2=a\sqrt{\sinh^2\xi+\sin^2\eta} \\ h_3&=a\cosh\xi\cos\eta \end{align}$

雙極圓柱坐標系 $(u,v,z)\in[0,2\pi)\times(-\infty,\infty)\times(-\infty,\infty)$｜$\begin{align} x&=\frac{a\sinh v}{\cosh v - \cos u}\\ y&=\frac{a\sin u}{\cosh v - \cos u}\\ z&=z \end{align}$｜$\begin{align} h_1&=h_2=\frac{a}{\cosh v - \cos u}\\ h_3&=1 \end{align}$

圓環坐標系 $(u,v,\phi)\in(-\pi,\pi]\times[0,\infty)\times[0,2\pi)$｜$\begin{align} x &= \frac{a\sinh v \cos\phi}{\cosh v - \cos u}\\ y &= \frac{a\sinh v \sin\phi}{\cosh v - \cos u} \\ z &= \frac{a\sin u}{\cosh v - \cos u} \end{align}$｜$\begin{align} h_1&=h_2=\frac{a}{\cosh v - \cos u}\\ h_3&=\frac{a\sinh v}{\cosh v - \cos u} \end{align}$

雙球坐標系 $(u,v,\phi)\in(-\pi,\pi]\times[0,\infty)\times[0,2\pi)$｜$\begin{align} x &= \frac{a\sin u \cos \phi}{\cosh v - \cos u}\\ y &= \frac{a\sin u \sin \phi}{\cosh v - \cos u} \\ z &= \frac{a\sinh v}{\cosh v - \cos u} \end{align}$｜$\begin{align} h_1&=h_2=\frac{a}{\cosh v - \cos u}\\ h_3&=\frac{a\sin u}{\cosh v - \cos u} \end{align}$

圓錐坐標系 $\begin{align} & (\lambda,\mu,\nu)\\ & \nu^2 < b^2 < \mu^2 < a^2 \\ & \lambda \in [0,\infty) \end{align}$｜$\begin{align} x &= \frac{\lambda\mu\nu}{ab}\\ y &= \frac{\lambda}{a}\sqrt{\frac{(\mu^2-a^2)(\nu^2-a^2)}{a^2-b^2}} \\ z &= \frac{\lambda}{b}\sqrt{\frac{(\mu^2-b^2)(\nu^2-b^2)}{a^2-b^2}} \end{align}$｜$\begin{align} h_1&=1\\ h_2^2&=\frac{\lambda^2(\mu^2-\nu^2)}{(\mu^2-a^2)(b^2-\mu^2)}\\ h_3^2&=\frac{\lambda^2(\mu^2-\nu^2)}{(\nu^2-a^2)(\nu^2-b^2)} \end{align}$

拋物面坐標系 $\begin{align} & (\lambda, \mu, \nu)\\ & \lambda < b^2 < \mu < a^2 < \nu \end{align}$｜$\frac{x^2}{q_i - a^2} + \frac{y^2}{q_i - b^2} = 2 z + q_i$ 其中 $(q_1,q_2,q_3)=(\lambda,\mu,\nu)$｜$h_i=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{(q_j-q_i)(q_k-q_i)}{(a^2-q_i)(b^2-q_i)}}$

橢球坐標系 $\begin{align} & (\lambda, \mu, \nu)\\ & \lambda < c^2 < b^2 < a^2,\\ & c^2 < \mu < b^2 < a^2,\\ & c^2 < b^2 < \nu < a^2, \end{align}$｜$\frac{x^2}{a^2 - q_i} + \frac{y^2}{b^2 - q_i} + \frac{z^2}{c^2 - q_i} = 1$ 其中 $(q_1,q_2,q_3)=(\lambda,\mu,\nu)$｜$h_i=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{(q_j-q_i)(q_k-q_i)}{(a^2-q_i)(b^2-q_i)(c^2-q_i)}}$

## 微分算子導引

### 梯度導引

一個函數$\phi$的梯度朝某個方向$\hat{\mathbf{n}}$的分量，等於方向導數 $\frac{d\phi}{ds}$朝$\hat{\mathbf{n}}$方向的值：

$\nabla \Phi \cdot\hat{\mathbf{n}}=\frac{d\phi}{ds}$。

其中，$ds$是朝$\hat{\mathbf{n}}$方向的無窮小位移。

假若，這$\hat{\mathbf{n}}$與正交坐標軸$\hat{\mathbf{e}}_i$同方向。那麼，$ds=h_i dq_i$。所以，函數$\phi$的梯度朝$\hat{\mathbf{e}}_i$的分量是$\frac{\partial \phi}{h_i \partial q_i}$；也就是說。

$\nabla \Phi = \hat{\mathbf{e}}_{1}\frac{1}{h_{1}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}} + \hat{\mathbf{e}}_{2}\frac{1}{h_{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}} + \hat{\mathbf{e}}_{3}\frac{1}{h_{3}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{3}}$。

### 散度導引

$\nabla \cdot \mathbf{F} = \nabla \cdot (\hat{\mathbf{e}}_{1}F_1+\hat{\mathbf{e}}_{2}F_2+\hat{\mathbf{e}}_{3}F_3)$。

取右手邊第一個項目。

$\nabla \cdot (\hat{\mathbf{e}}_1F_1)= \nabla \cdot \left[\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_2 h_3}\right)\left(h_2 h_3 F_1\right)\right]$。

應用向量恆等式$\nabla \cdot (\mathbf{A}\phi)=\phi\nabla\cdot\mathbf{A}+\mathbf{A}\cdot(\nabla\phi)$與$\nabla \cdot (\nabla\phi_1 \times \nabla\phi_2)=0$，可以得到

$\begin{align} \nabla \cdot (\hat{\mathbf{e}}_1F_1) & =(h_2 h_3 F_1)\nabla \cdot\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_2 h_3}\right)+\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_2 h_3}\right)\cdot \nabla(h_2 h_3 F_1) \\ <pre> & =(h_2 h_3 F_1)\nabla\cdot[(\nabla q_2)\times\nabla(q_3)] +\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_2 h_3}\right)\cdot \nabla(h_2 h_3 F_1) \\ & =\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_2 h_3}\right)\cdot \nabla(h_2 h_3 F_1) \\ & =\frac{1}{h_1 h_2 h_3} \frac{\partial}{\partial q_1}(F_1 h_2 h_3) \\ </pre> \end{align}$。

總合所有項目。

$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} \left[\frac{\partial}{\partial q_1}(F_1 h_2 h_3)+\frac{\partial}{\partial q_2}(F_2 h_3 h_1) + \frac{\partial}{\partial q_3}(F_3 h_1 h_2) \right]$。

### 旋度導引

$\nabla \times \mathbf{F}=\nabla \times (\hat{\mathbf{e}}_{1}F_1+\hat{\mathbf{e}}_{2}F_2+\hat{\mathbf{e}}_{3}F_3)$。

取右手邊第一個項目。

$\nabla \times (\hat{\mathbf{e}}_{1}F_1)=\nabla \times \left[\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_1}\right)\left(h_1 F_1\right)\right]$。

應用向量恆等式$\nabla \times (\mathbf{A}\phi)=\phi\nabla\times\mathbf{A} - \mathbf{A}\times(\nabla\phi)$。

$\begin{align} \nabla \times (\hat{\mathbf{e}}_{1}F_1) & =(h_1 F_1)\nabla\times\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_1}\right) - \left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_1}\right)\times\nabla(h_1 F_1) \\ <pre> & =(h_1 F_1)\nabla\times(\nabla q_1) - \left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_1}\right)\times\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_{2}}{h_{2}} \frac{\partial}{\partial q_{2}}(h_1 F_1) + </pre> \frac{\hat{\mathbf{e}}_{3}}{h_{3}} \frac{\partial}{\partial q_{3}}(h_1 F_1)\right) \\ \end{align}$。

應用向量恆等式$\nabla \times (\nabla\phi)=0$。

$\nabla \times (\hat{\mathbf{e}}_{1}F_1)=\frac{\hat{\mathbf{e}}_{2}}{h_1 h_{3}} \frac{\partial}{\partial q_{3}}(h_1 F_1) - \frac{\hat{\mathbf{e}}_{3}}{h_1 h_{2}} \frac{\partial}{\partial q_{2}}(h_1 F_1)$。

總合所有項目。

$\begin{align}\nabla \times \mathbf{F} & =\frac{\mathbf{e}_{1}}{h_{2} h_{3}} \left[\frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( h_{3} F_{3} \right) - \frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( h_{2} F_{2} \right)\right] + \frac{\mathbf{e}_{2}}{h_{3} h_{1}} \left[\frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( h_{1} F_{1} \right) - \frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( h_{3} F_{3} \right)\right] \\ <pre> & +\frac{\mathbf{e}_{3}}{h_{1} h_{2}} </pre> \left[\frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( h_{2} F_{2} \right) - \frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( h_{1} F_{1} \right)\right] \\ \end{align}$。

### 拉普拉斯算子

$\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} \left[ \frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( \frac{h_{2} h_{3}}{h_{1}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}} \right) + \frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( \frac{h_{3} h_{1}}{h_{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}} \right) + \frac{\partial}{\partial q_{3}} \left(\frac{h_{1} h_{2}}{h_{3}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{3}} \right) \right]$。

## 參考文獻

- Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill, pp. 164-182。
- Morse PM and Feshbach H. (1953) Methods of Theoretical Physics, McGraw-Hill, pp. 494-523, 655-666。
- Margenau H. and Murphy GM. (1956) The Mathematics of Physics and Chemistry, 2nd. ed., Van Nostrand, pp. 172-192。