CIE 1931色彩空間

CIE 1931 XYZ色彩空間（CIE 1931色彩空間）在顏色感知的研究中最先採用數學方式來定義，它由國際照明委員會（CIE）於1931年創立。

1920年代後期，英國的William David Wright（Wright 1928）和John Guild（Guild 1931）做的一系列實驗中得出本空間。他們的實驗結果合併到了CIE RGB色彩空間的規定中，本空間再從它得出。為了說明本空間下面會涉及RGB。

Datacolor用XY軸分四個象限，X軸兩端為紅綠，Y軸為黃藍。https://www.datacolor.com/

## 三色刺激值

人類眼睛有對於短（S, 420-440nm）、中（M, 530-540nm）和長（L, 560-580nm）波長的光感受器視錐細胞。因此，根據三種視錐細胞的刺激比例，便能描述任一種顏色的感覺，此稱為LMS空間(long, medium, short)。

色彩空間敘述可見光在人眼上的感覺，通常需要三色刺激值。更精確地說，首先先定義三種原色（primary color），再利用顏色疊加模型，即可敘述各種顏色。

三原色可以是不可能的顏色，例如，本空間的X、Y、Z。

在三色加色法模型中，如果某一種顏色和另一種混合了不同分量例如RGB(255,255,255)中的255即為分量，三色刺激值也適用於色彩空間建立的過程。三種原色的顏色，均使人類看上去是相同的話，我們把這三種原色的份量稱作該顏色的三色刺激值。

色彩空間是指任何一種替每個顏色關聯到三個數（三色刺激值）的方法，本空間就是這種色彩空間之一。並且，本空間基於人類顏色視覺的直接測定，並充當很多其他色彩空間的定義基礎。

X、Y和Z的值，約略詳見本頁面「Wright–Guild數據構造CIE XYZ色彩空間」一節的矩陣對應於紅色、綠色和藍色（它們是從紅色、綠色和藍色導出來的參數），並使用顏色匹配函數來計算，見下。

同色異譜可以用來量化分析一種顏色的光怎麼對應到單色光：兩個由多種不同波長的光混合而成的光源可以表現出同樣的顏色。這也意味著兩組XYZ相同。

## CIE xy色度圖

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CIE Yxy(CIE xy, CIE xyY)是本空間的常見應用形式。

因為人類眼睛有響應不同波長範圍的三種類型的顏色傳感器，所有可視顏色的完整繪圖是三維的。

### 顏色的概念

顏色的概念可以分為兩部分：明度和色度。例如，白色是明亮的顏色，而灰色被認為是不太亮的白色。換句話說，白色和灰色的色度是一樣的，而明度不同。

Yxy故意設計得Y參數是顏色的亮度的測量。亮度線性，兩束不同顏色的光融合後，亮度為簡單相加，這是要顯示人眼的生理特點。亮度或許可以表示明度。

形如Y=1時，可能表示相對光亮度：借用工程概念理解，能產生白光的設備在產生特定光時的亮度。因此，雖然光度函數給出單色光555nm的草坪綠在同等功率最亮，白色的Y仍然最大，注意二者沒有直接關係。能產生白光的設備在產生白光時是全力運轉的，可參見白色是RGB(255,255,255)，而其它顏色數值上小於白色。

### 導出

本空間可以構造色度。色度(x,y)：

$$x = \frac{X}{X+Y+Z}$$

$$y = \frac{Y}{X+Y+Z}$$

顯然。

$$z = \frac{Z}{X+Y+Z} = 1 - x - y$$

導出的色彩空間用x, y, Y來指定，它在實踐中廣泛用於指定顏色。

- xyY的Y作為某一(x,y)坐標的相對光亮度時，xyY是三維的。
- Y作為整個圖片的統一亮度時，xy(Y=特定值)是二維的：應用中可以通過切片XYZ空間中的Y在xy的曲線內側塗上不同的顏色。因為可以塗上不同的顏色，顯示出本空間可以構造色度，可以展示選定亮度下所有的色度。展示出的顏色看起來都一樣亮，具體亮度取決於顯示器支持的最大亮度，相對於選定亮度。xy的曲線，本身表示單色光，亮度不限，因此，每個切片都有這條曲線。
- 不妨令xyz為XYZ中的一個平面XYZ(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)來理解從XYZ中得到xy(Y)

對於Y，在本空間XYZ(xy, xyY, Yxy)中，大致上白色、黃色亮度最高。因為黃色和藍色互補，而藍色的亮度較低且為原色詳見本頁面「Wright–Guild數據構造CIE XYZ色彩空間」一節的矩陣。

輔助公式：

$$X=\frac{Y}{y}x$$

$$Z=\frac{Y}{y}(1-x-y)$$

數學上，x和y是投影坐標，色度圖的顏色占據了實投影平面的一個區域。

色度圖展示了本空間一些有趣性質：

- 色度圖展示了對一般人類視覺的色域，每個切面都是相同的亮度的所有色度。色域是用顏色展示的馬蹄鐵形狀。色域的曲線邊界叫做「光譜軌跡」並對應於單色光，色度均為通俗說的完全飽和。色域底下的直線邊界叫做「紫線」，「紫線」沒有匹配的單色光。更低色度（更少飽和）的顏色位於圖形內部而白色位於中央。
- 所有可見色度的xyz、XYZ非負
- 如果你在色度圖上選擇了任何兩點，則位於這兩點之間直線上任何顏色都可以用這兩個顏色混合出來。這得出了色域的形狀必定是凸形的。混合三個光源形成的所有顏色都可以在色度圖內的色三角內找到（對於多個光源也如是）。
- 在xy色度圖上距離不對應於兩種顏色之間的差別程度。設計了其他色彩空間（CIELUV和CIELab等）來滿足這個問題。
- 給定三個真實光源的色三角不能覆蓋人類視覺的色域，因為那條曲線不是三角形。
- 平直能量頻譜的光對應於白點 (x,y) = (1/3,1/3)。

## CIE XYZ色彩空間定義

### 實驗結果— CIE RGB色彩空間

CIE RGB色彩空間是重要的RGB色彩空間，運用單色原色光，即原色都在色度圖曲線邊界。

在1920年代，W. David Wright（Wright 1928）和John Guild（Guild 1931）獨立進行了一系列人類視覺實驗，提供了CIE XYZ色彩空間規定的基礎，包括CIE RGB。

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實驗使用2度視角的圓形螢幕。螢幕的一半投影測試顏色，另一半投影觀察者可調整的顏色。可調整的顏色是三種原色的混合，它們每個都有固定的色度，但有可調整的明度。兩人選的原色有細微不同。

觀察者改變三種原色光的強度（明度）直到觀察到混合的顏色匹配了測試顏色。不是所有顏色都可使用這種技術匹配。當沒有匹配的時候，一種原色（就是紅色）不斷增加到測試顏色上直到餘下兩種原色加起來與它們匹配。記增加到測試顏色上的原色為負值通過這種方式，可以覆蓋完整的人類顏色感知。當測試單色光，假設紅、綠、藍總量各一份分散在每個波長（有負值），它們最終能混合為當時實驗室里的白光，每種原色的數量繪製成為這個單色光的波長的函數。這三個函數叫做這個特定實驗的「顏色匹配函數」。網上不同地方所說的「顏色匹配函數」可能不一樣，讀者應在包括閱讀下文時辨別意思

#### 標準化原色

建立客觀顏色表示法的國際系統——

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Wright和Guild的實驗使用了不同的觀察者，所有他們的結果都被映射為標準CIE RGB $\overline{r}(\lambda)$, $\overline{g}(\lambda)$和$\overline{b}(\lambda)$：對應700 nm（紅色）、546.1 nm（綠色）和435.8 nm（藍色）。

顏色匹配函數是匹配單色測驗顏色所需要的原色的數量。這些函數展示於右側的（CIE 1931）繪圖中。注意$\overline{r}(\lambda)$和$\overline{g}(\lambda)$在435.8nm處為零，$\overline{r}(\lambda)$和$\overline{b}(\lambda)$在546.1nm處為零，而$\overline{g}(\lambda)$和$\overline{b}(\lambda)$在700 nm處為零，因為在這些情況下測試顏色是原色之一。選擇波長546.1 nm和435.8 nm的原色是因為它們是容易再生的水銀蒸氣放電的色線。1931年選擇的700 nm波長難於再生為單色光束，選擇它是因為眼睛的顏色感知在這個波長相當不變化，所以在這個原色波長上的小誤差將對結果有很小的影響。其實這三個波長的選擇都是思想實驗與擬合。

經過CIE的特別委員會確定了顏色匹配函數和原色（Fairman 1997）。在圖的短波和長波的側的取捨點某種程度上是隨意選擇的；人類眼睛實際上能看到波長直到810 nm的光，但是敏感度要數千倍低於綠色光。定義的這些顏色匹配函數叫做「1931 CIE標準觀察者」。

經過映射，顏色匹配函數經過曲線常規標準化為有固定的面積：

$$\int_0^\infty \overline{r}(\lambda)\,d\lambda= \int_0^\infty \overline{g}(\lambda)\,d\lambda= \int_0^\infty \overline{b}(\lambda)\,d\lambda$$

結果的規範化顏色匹配函數經常對源照度按r:g:b比率1:4.5907:0.0601縮放、和為源輻射功率按比率72.0962:1.3791:1縮放來重新生成真正的顏色匹配函數：每1:4.5907:0.0601的亮度的紅綠藍光同時被人類眼睛看到，等價的，每72.0962:1.3791:1的功率的紅綠藍光同時被人類眼睛看到，即看到平直能量頻譜的光。

給定這些縮放的顏色匹配函數，引入頻譜功率分布$I(\lambda)$：

$$R= \int_0^\infty I(\lambda)\,\overline{r}(\lambda)\,d\lambda$$

$$G= \int_0^\infty I(\lambda)\,\overline{g}(\lambda)\,d\lambda$$

$$B= \int_0^\infty I(\lambda)\,\overline{b}(\lambda)\,d\lambda$$

這些可以被認為是無限維頻譜到三維顏色的投影。當$I(\lambda)=1$且R=G=B，可退化為前式。

### 格拉斯曼定律

人類色彩感知的（幾乎）線性。

CIE RGB空間可以被用來以常規方式定義色度：色度坐標是r和g:

$$r= \frac{R}{R+G+B},$$

$$g= \frac{G}{R+G+B}.$$

## 從Wright–Guild數據構造CIE XYZ色彩空間

本空間是與CIE RGB色彩空間有關的一個色彩空間。它假定格拉斯曼定律定律成立，因此引用CIE RGB空間。假設紅、綠、藍各一份混合為平直能量頻譜的光，而不是當時實驗室里的白光。

以三個新顏色匹配函數來定義：$\overline{x}(\lambda)$、$\overline{y}(\lambda)$和$\overline{z}(\lambda)$。帶有頻譜功率分布I(λ)的顏色的對應的XYZ 三色刺激值為給出為：

$$X= \int_0^\infty I(\lambda)\,\overline{x}(\lambda)\,d\lambda$$

$$Y= \int_0^\infty I(\lambda)\,\overline{y}(\lambda)\,d\lambda$$

$$Z= \int_0^\infty I(\lambda)\,\overline{z}(\lambda)\,d\lambda$$

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它有如下性質：

- 新顏色匹配函數在所有地方都大於等於零。在1931年，計算是憑藉手工或滑尺進行的，正值的規定有用於計算簡化。
- $\overline{y}(\lambda)$顏色匹配函數精確的等於「CIE標準適應光觀察者」（CIE 1926）的光度函數V(λ）。它是描述感知明度對波長的變換的亮度函數。亮度函數可以構造為RGB顏色匹配函數的線性組合的事實是沒有任何方式來保證的，但是被認為幾乎是真實的，因為人類視覺的幾乎線性本質。還有，這個要求的主要原因是計算簡單。
- 對於平直能量頻譜的光，要求為x = y = z = 1/3。
- 由於色度定義和要求x和y為正值的優勢，可以在xy三角形1,0，0,0，0,1內見到XYZ能夠組成的色域。在實踐中必須把色域完全的充入這個空間中。
- $\overline{z}(\lambda)$可以在650 nm處被設置為零而仍保持在實驗誤差範圍內。為了計算簡單規定可以這樣做。

用幾何術語說，選擇新色彩空間等於在rg色度空間中選擇一個新三角形。在右側的圖形中，rg色度坐標展示在兩個黑色軸上，還有1931標準觀察者的色域。展示為上述要求所確定的是紅色CIE xy色度軸。要求XYZ坐標非負意味著Cr, Cg, Cb形成的三角形必須包圍標準觀察者的整個色域。連接Cr和Cb的直線由$\overline{y}(\lambda)$函數等於亮度函數的要求來確定，它叫做alychne。$\overline{z}(\lambda)$函數在650 nm處為零的要求意味著連接Cg和Cr的直線必須是Kr區域內的色域的切線。這定義了點Cr的位置。均等能量點定義自x = y = 1/3的要求對連接Cb和Cg的直線做了限制，最後，色域充入空間的要求對此線作了第二個限制，它要非常靠近在綠色區域的色域，這規定了Cg和Cb的位置。上面描述的變換是從CIE RGB空間到XYZ空間的線性變換。CIE特殊委員會確定了標準變換如下：

$$\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}=\frac{1}{b_{21}} \begin{bmatrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\\ b_{21}&b_{22}&b_{23}\\ b_{31}&b_{32}&b_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}R\\G\\B\end{bmatrix}=\frac{1}{0.17697} \begin{bmatrix} 0.49&0.31&0.20\\ 0.17697&0.81240&0.01063\\ 0.00&0.01&0.99 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}R\\G\\B\end{bmatrix}$$

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要求3確定了XYZ顏色匹配函數的積分必須相等，可通過要求2確定的適應光發光效率函數的積分得到它。必須注意到制表的敏感度曲線有一定量的任意性在其中。單獨的X、Y和Z敏感度曲線可以按合理的精度測量。但是整體的光度曲線（它事實上是這個三個曲線的加權和）是主觀的，因為它涉及到問測試人兩個光源是否有同樣的明度，即使它們是完全不同的顏色。雖然X、Y和Z的曲線的相對大小（magnitude）任意，但是本空間CIE 1931和1964 曲線被縮放為有相同的曲線下面積。

## 問題和解決

- 1924發光效率函數V（λ，CIE 1926）嚴重的低估了在460 nm波長下的敏感度。Judd（1951）和Vos（1978）提議了一個修改版本的發光效率函數，這也給出了一組新的XYZ顏色匹配函數。參見Stiles與Burch（1955）。
- CIE 1964標準觀察者顏色匹配函數是為10度視角定義的。它們是從Stiles與Burch（1959），和Speranskaya（1959）的工作得出的。1931標準觀察者視角是2度。對於10度實驗，指導觀察者忽略中心2度斑點。推薦對多於4度視角使用1964增補標準觀察者。
- CIE 1931色彩空間的一個問題是它沒有給出估量顏色差別的直接方式。希望在色度圖上距離能對應於在兩個顏色之間的差別程度。測量兩個顏色之間的差別的想法是D.L. MacAdam開發的並總結於MacAdam橢圓的概念中。基於MacAdam的工作，在1960年開發了CIE L*u*v*色彩空間，它後來被CIE L*a*b*色彩空間所替代，二者都設計為在顏色空間中相等的距離對應於相等的MacAdam所測量的顏色差別。儘管它們比CIE 1931系統有明顯的改進，它們沒有完全免除扭曲。