勒壤得轉換

勒壤得轉換（Legendre transformation）是一個在數學和物理中常見的技巧，得名於阿德里安-馬里·勒壤得（Adrien-Marie Legendre）。該操作是一個實變量的實值凸函數的對合變換。它經常用於經典力學中從拉格朗日形式到哈密頓形式的推導、熱力學中熱力學勢的推導以及多變量微分方程的求解。勒壤得轉換若推廣到一般的，（可能）不可微分的函數上，則在最佳化理論中很常見，稱為凸共軛。

## 概述

為了研究一個系統內部蘊藏的數學結構，表述此系統的函數關係 $f(x)\,\!$ 改用一個新函數 $f^{\star}(p)\,\!$ 來表示，其變數 $p\,\!$ 是 $f(x)\,\!$ 的導數，$p=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\,\!$。而 $f^{\star}(p)\,\!$ 的值是如右圖藍線在 y 軸的負截距

換句話說，從$(x,f(x))\,\!$ x 值到 y 值的函數，轉換成$(p,f^{\star}(p))\,\!$ f(x) 在 x 點的導數到在 x 點切線 y 截距的函數

該方法由阿德里安-馬裡·勒壤得發明，因此被命名為勒壤得轉換：函數 $f^{\star}(p)\,\!$ 為 $f(x)\,\!$ 的勒壤得轉換。

用方程式表示

$f^\star(p) = pu-f(u) | _{{\mathrm{d} [ pu-f(u) ] \over \mathrm{d}u} = 0} \,\!$。

此式子表示 $f^\star(p) = pu-f(u)$ 中的 u 對 $f^\star(p)$ 而言是個參數，且參數 u 會滿足 ${{\mathrm{d} [ pu-f(u) ] \over \mathrm{d}u} = 0} \,\!$ 的 $u$。即求算表達式關於變數 $u\,\!$ 的極值。

為方便討論，把討論限定在 $f(x)$為嚴格單調遞增。會有這方程式是因為在 $p=f'(x_0)$ 也就是斜率不變的狀況下，對每個$x_0$而言，所有與曲線$(u,f(u))$相交且斜率為$f'(x_0)$的直線族為 $y = f'(x_0) (x-u)+f(u)\,\!$。若令$u = x_0$，該直線即是$f(x)$在$x_0$的切線方程式。把x當作常數並由右圖直接觀察可知，在$u = x_0$的情況下，$y = f'(x_0) (x-u)+f(u) = f'(x_0) x-[f'(x_0) u-f(u)]$值是最小的，也就是說直線方程式中$[f'(x_0) u-f(u)]$這部分是最大的，而正好 $f^\star(p) = pu-f(u) | _{{\mathrm{d} [ pu-f(u) ] \over \mathrm{d}u} = 0} \,\!$，正是原方程式所求的極值。

勒壤得轉換是點與線之間對偶性關係（duality）的一個應用。函數 $f(x)\,\!$ 設定的函數關係可以用 $(x,\ y=f(x))\,\!$ 點集合來表示；也可以用切線(在嚴格單調遞增的討論下，切線跟導數p有一對一的關係)集合表示。

若將勒壤得轉換廣義化，則會變為勒壤得-芬伽轉換（Legendre-Fenchel transformation）。勒壤得轉換時常用於熱力學與哈密頓力學。

## 定義

給定區間I ⊂ ℝ和凸函數f : I → ℝ，則其勒讓德變換為函數f* : I* → ℝ。

$$f^*(x^*) = \sup_{x\in I}(x^*x-f(x)),\quad x^*\in I^*$$

其中$\sup$表示上確界，定義域$I^*$為

$$I^*= \left \{x^*\in \R:\sup_{x\in I}(x^*x-f(x))<\infty \right \} ~.$$

當f(x)為凸函數時，這個函數有良好的定義。

不難將勒讓德變換推廣到定義在凸集X ⊂ ℝn 上的凸函數f : X → ℝ：其變換f * : X* → ℝ為定義在

$$X^*= \left \{x^* \in \R^n:\sup_{x\in X}(\langle x^*,x\rangle-f(x))<\infty \right \}$$

上的函數

$$f^*(x^*) = \sup_{x\in X}(\langle x^*,x\rangle-f(x)),\quad x^*\in X^* ~,$$

其中$\langle x^*,x \rangle$表示x*和 x的點積。

### 從導數的角度理解勒讓德變換

對於實軸上具有可逆一階導數的凸函數$f$，其勒讓德變換$f^*$的一階導數與$f$的一階導數互為反函數，反過來說，這個條件可以給出至多相差一個常數的$f^*$。

### 最大值式定義

更詳細地定義勒壤得轉換，為了求得 $L(x,\ p)=px - f(x)\,\!$ 關於 $x\,\!$ 的最大值，設定 $L(x,\ p)\,\!$ 關於 $x\,\!$ 的偏導數為零：

$\frac{\partial}{\partial x} \left(px-f(x) \right) = p-{\mathrm{d}f(x) \over \mathrm{d}x} = 0\,\!$。

則

$p = {\mathrm{d}f(x) \over \mathrm{d}x}\,\!$。(1)

這表達式必為最大值。因為，凸函數 $L(x,\ p)\,\!$ 的二階導數是負數：

$\frac{\partial^2}{\partial x^2}(xp-f(x)) = -{\mathrm{d}^2f(x) \over \mathrm{d}x^2} < 0\,\!$。

用方程式 (1) 來計算函數 $f\,\!$ 的反函數 $x=g(p)\,\!$。代入 $L(x,\ p)\,\!$ 方程式，即可以得到想要的形式：

$f^\star(p)=g(p)\ p - f(g(p))\,\!$。

計算 $f(x)\,\!$ 的勒壤得轉換，所需的步驟為：

- 找出導函數 $p = \frac{\mathrm{d}f }{\mathrm{d}x}\,\!$。
- 計算導函數 $p = \frac{\mathrm{d}f }{\mathrm{d}x}\,\!$ 的反函數 $x=g(p)\,\!$。
- 代入 $F(x)\,\!$ 方程式來求得新函數 $f^\star(p)=g(p)\ p - f(g(p))\,\!$。

這定義切確地闡明：勒壤得轉換製造出一個新函數 $f^\star(p)\,\!$；其新自變數為 $p = {\mathrm{d}f \over \mathrm{d}x}\,\!$。

### 反函數式定義

另外一種勒壤得轉換的定義是：假若兩個函數 $f(x)\,\!$ 與 $f^\star(p)\,\!$ 的一階導數是互相的反函數。

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)=\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}f^*\right)^{ - 1}(x)\,\!$。

或者。

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}f^*(p)=\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f\right)^{ - 1}(p)\,\!$。

則 $f\,\!$ 與 $f^\star\,\!$ 互相為彼此的勒壤得轉換。

依照定義。

${\mathrm{d}f(x) \over \mathrm{d}x}=p\,\!$。

${\mathrm{d}f^\star(p) \over \mathrm{d}p}=x\,\!$。

思考下述運算：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}(xp - f(x))=x+p\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}p} - \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}p}=x={\mathrm{d}f^\star(p) \over \mathrm{d}p}=x\,\!$。

所以。

$f^\star(p)=xp - f(x)=g(p)\ p - f(g(p))\,\!$。

這裏，$x=g(p)\,\!$。

這答案是標準答案；但並不是唯一的答案。設定

$f^\star(p)=f(x) - xp\,\!$。

也可以滿足定義的要求。在某些情況下（例如：熱力勢（thermodynamic potential），會採用非標準的答案。除非另外註明，此頁面一律採用標準答案。

## 數學性質

以下討論，函數 $f\,\!$ 的勒壤得轉換皆標記為 $f^\star\,\!$。

### 標度性質

勒壤得轉換有以下這些標度性質：

$f(x)=a \cdot g(x)\rightarrow f^\star(p) = a \cdot g^\star\left(\frac{p}{a}\right) \,\!$。

$f(x) = g(a \cdot x)\rightarrow f^\star(p) = g^\star\left(\frac{p}{a}\right) \,\!$。

由此可知，一個 $r\,\!$ 次齊次函數的勒壤得轉換是一個 $s\,\!$ 次齊次函數；這裏。

$\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=1\,\!$。

### 平移性質

$f(x) = g(x) + b\rightarrow f^\star(p) = g^\star(p) - b\,\!$。

$f(x) = g(x + y)\rightarrow f^\star(p) = g^\star(p) - p \cdot y\,\!$。

### 反演性質

$f(x) = g^{-1}(x)\rightarrow f^\star(p) = - p \cdot g^\star\left(\frac{1}{p}\right) \,\!$。

### 線形變換性質

讓 $A\,\!$ 成為一個從 $R^n\,\!$ 到 $R^m\,\!$ 的線形變換。對於任何定義域為 $R^n\,\!$ 的凸函數 $f\,\!$，必有

$\left(A f\right)^\star = f^\star A^\star \,\!$。

這裏，$A^\star\,\!$ 是 $A\,\!$ 的伴隨算子定義為

$\left \langle Ax, y^\star \right \rangle = \left \langle x, A^\star y^\star \right \rangle \,\!$。

## 例子

### 例一

<image>

指數函數

$$f(x) = e^x$$

勒讓德變換為

$f^*(p) = p ( \ln p - 1 )$。

因為它們的一階導數 ex與 ln p互為反函數。

## 應用

<image>

### 熱力學

在熱力學裏，使用勒壤得轉換主要的目的是，將一個函數與所含有的一個自變數，轉換為一個新函數與所含有的一個新自變數，（此新自變數是舊函數對於舊自變數的偏導數）；將舊函數減去新自變數與舊自變數的乘積，得到的差就是新函數。勒壤得轉換可以用來在各種熱力勢（thermodynamic potential）之間作轉換。例如，內能 $U\,\!$ 是外延量（extensive）熵 $S\,\!$，體積 $V\,\!$，與化學成份（chemical composition）$N_i\,\!$ 的顯函數

$U = U(S,\ V,\ \{N_i\})\,\!$。

對於 $- PV\,\!$，函數 $U\,\!$ （非標準的）勒壤得轉換為焓函數 $H\,\!$：

$H(S,\ P,\ \{N_i\})= U + PV\,\!$。

$P= - \left( \frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,\ \{N_i\}}\,\!$。

一個熵與內含量（intensive）壓力的函數。當壓力是常數時，這函數很有用。

對於 $TS\,\!$，函數 $H\,\!$ 勒壤得轉換為吉布斯能函數 $G\,\!$ :

$G(T,\ P,\ \{N_i\}) = H - TS\,\!$。

$T=\left( \frac{\partial H}{\partial S}\right)_{P,\ \{N_i\}}\,\!$。

對於 $TS\,\!$，函數 $U\,\!$ 勒壤得轉換為亥姆霍茲自由能函數 $A\,\!$ :

$A(T,\ V,\ \{N_i\}) = U - TS\,\!$。

$T=\left( \frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,\ \{N_i\}}\,\!$。

這些自由能函數時常用在常溫的物理系統。

### 古典力學(哈密頓力學)

在經典力學裏，勒壤得轉換專門用來從拉格朗日表述導引出哈密頓表述，或反導之。拉格朗日量 $\mathcal{L}\,\!$ 是廣義坐標 $\mathbf{q}=(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_N)\,\!$ 與廣義速度 $\dot{\mathbf{q}}\,\!$ 的函數；而哈密頓量 $\mathcal{H}\,\!$ 將函數的自變量轉換為廣義坐標 $\mathbf{q}\,\!$ 與廣義動量 $\mathbf{p}=(p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_N)\,\!$：

$\mathbf{p}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\mathbf{q}}}\,\!$。

$\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)=\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{L}(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t),\ t)\,\!$。

### 正則變換

正則變換廣泛地應用勒壤得轉換在其理論裏。正則變換是一種正則坐標的改變，$(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})\,\!\,\!$，而同時維持哈密頓方程式的形式，雖然哈密頓量可能會改變。正則變換的方程式為

$\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{P}}=\dot{\mathbf{Q}}\,\!\,\!$。

$\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{Q}}= - \dot{\mathbf{P}}\,\!\,\!$。

$\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}= \mathbf{P}\cdot\dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}+\frac{dG}{dt}\,\!$。

這裏，$\mathbf{q},\ \mathbf{p}\,\!$ 是舊正則坐標，$\mathbf{Q},\ \mathbf{P}\,\!$ 是新正則坐標，$\mathcal{H}\,\!$ 是舊哈密頓量，$\mathcal{K}\,\!$ 是新哈密頓量，$G\,\!$ 是生成函數。

## 參閱

- 哈密頓力學
- 切觸幾何
- 正則變換