相量

物理和工程領域中，常會使用到正弦信號（例如交流電路分析），這時可以使用相量來簡化分析。相量（phasor）是振幅（A）、相位（θ）和頻率（ω）均為非時變的正弦波的一個複數，是更一般的概念解析表示法的一個特例。而將正弦信號用複數表示後進行電路分析的方法稱為相量法，而在相量圖中利用向量表示正弦交流電的圖解法稱為向量圖法。相量法可以將這幾個參數的相互依賴性降低，使這3個參數相互獨立，這樣就能簡化特定的計算。Phasor是Phase Vector的混成詞。Phasor也被稱作複振幅，在比較古老的英文工程文獻當中，也常被寫作sinor，甚至寫作complexor。

參數中的頻率參數對正弦波的線性組合的所有分量都一樣，若利用相量法將這一因子提取出來，留下的只是振幅和相位資訊的代數組合而不是三角函數的組合。同樣，線性微分方程的求解也可以通過相量法簡化為代數運算。不過因為要提取頻率，所以只有同頻率的正弦量才能進行相量運算。由此可知，相量是一種簡化的表示方法，紀錄一正弦波的振幅和相位資訊。因此，相量一般指振幅和相位部分。

忽略一些數學細節，相量變換也可以看作是拉普拉斯變換的特定情況，該變換還能同時導出RLC電路的瞬態響應。然而拉普拉斯變換在數學上應用較為困難，因而在只需要進行穩態分析時沒有必要使用。

## 定義

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通過歐拉公式，我們可以將正弦信號表示為二複數函數項的和：

$A\cdot \cos(\omega t + \theta) = \frac{A\cdot e^{j(\omega t + \theta)}}{2}+\frac{A\cdot e^{-j(\omega t + \theta)}}{2}$。

$j^2 = -1$

（其中A和θ分別表波的振幅以及相位，而其頻率f則定義為$\frac{\omega}{2\pi}$。）

也可單用實部表示：

$$\begin{align} A\cdot \cos(\omega t + \theta) &= \operatorname{Re} \left\{ A\cdot e^{j(\omega t + \theta)}\right\} \\ &= \operatorname{Re} \left\{ A e^{j\theta} \cdot e^{j\omega t}\right\} \\ \end{align}$$

或可單用虛部表示：

$$\begin{align} A\cdot \cos(\omega t + \theta) &= A\cdot \sin(\omega t + \theta + \frac{\pi}{2}) \\ &= \operatorname{Im} \left\{ A\cdot e^{j(\omega t + \theta+\tfrac{\pi}{2})}\right\} \\ &= \operatorname{Im} \left\{ A e^{j(\theta+\tfrac{\pi}{2})} \cdot e^{j\omega t}\right\} \end{align}$$

更進一步，若所分析電路為線性，由於訊號源只為單一固定頻率ω而不產生其他雜項（例如諧波），因此可以只取其複數的常數部分$Ae^{j\theta}\,$，一般把這部分定義為相量。我們也可以用另一種更精簡的極坐標形式表示：$A \angle \theta\,$。

在電機工程領域當中，相角通常是以度來定義，而非弧度；振幅大小則通常是以方均根定義，而非峰－峰值。

正弦波可以被理解成複平面上的旋轉矢量在實軸上的投影。這一矢量的模是振動的幅度，而矢量的幅角是總相位$\omega t+\theta$。相位常數$\theta$代表複矢量於$t=0$時刻與實軸的夾角。

## 運算法則

### 與常數（標量）相乘

相量$A e^{j\theta} e^{j\omega t}\,$與複常數$B e^{j\phi}\,$的乘積也是一個相量，這意味著相量乘法只會改變正弦波的振幅和相位：

$$\begin{align} \operatorname{Re}\{(A e^{j\theta} \cdot B e^{j\phi})\cdot e^{j\omega t} \} &= \operatorname{Re}\{(AB e^{j(\theta+\phi)})\cdot e^{j\omega t} \} \\ &= AB \cos(\omega t +(\theta+\phi)) \end{align}$$

在電子學中，$B e^{j\phi}\,$是獨立於時間的阻抗，且並不是另一相量的簡短記法。阻抗乘以相量電流可得到相量電壓。但2個相量相乘或相量乘方運算的結果表示2個正弦波的乘積，這種運算是非線性運算，會產生新的頻率分量。相量記法只能表示同一頻率的系統，例如正弦波模擬的線性系統。

### 微分和積分

一個相量的時間導數或積分可以產生另一個相量

$\frac{d}{dt}(e^{j \omega t}) = j \omega e^{j \omega t}$

例如：

$$\begin{align} \operatorname{Re}\left\{\frac{d}{dt}(A e^{j\theta} \cdot e^{j\omega t})\right\} &= \operatorname{Re}\{A e^{j\theta} \cdot j\omega e^{j\omega t}\} \\ &= \operatorname{Re}\{A e^{j\theta} \cdot e^{j\tfrac{\pi}{2}} \omega e^{j\omega t}\} \\ &= \operatorname{Re}\{\omega A e^{j(\theta + \tfrac{\pi}{2})} \cdot e^{j\omega t}\} \\ &= \omega A\cdot \cos(\omega t + \theta + \frac{\pi}{2}) \end{align}$$

因此在相量表示法中，正弦波的時間導數僅需要與常數$j \omega = (e^{j\tfrac{\pi}{2}} \cdot \omega)\,$相乘就能得到；同樣，對相量進行積分運算也只需要乘以常數$\frac{1}{j\omega} = \frac{e^{-j\tfrac{\pi}{2}}}{\omega}\,$就能得到；不論是微分還是積分運算，時間變量因子$e^{j\omega t}\,$均不受影響。當利用相量法求解線性微分方程時，我們只需要將方程中全部項中的因子$e^{j\omega t}\,$提取出來後，計算完成後將這一因子重新引入答案中，就可完成全部求解。例如，求解RC電路中電容上的電壓，可建立下列微分方程：

$$\frac{d\ v_C(t)}{dt} + \frac{1}{RC}v_C(t) = \frac{1}{RC}v_S(t)$$

當電路中的電壓源是正弦變化時：

$$v_S(t) = V_P\cdot \cos(\omega t + \theta),\,$$

可以代換成如下方程：

$$\begin{align} v_S(t) &= \operatorname{Re} \{V_s \cdot e^{j\omega t}\} \\ \end{align}$$

$$v_C(t) = \operatorname{Re} \{V_c \cdot e^{j\omega t}\},$$

其中相量$V_s = V_P e^{j\theta},\,$，相量$V_c\,$是需要求取的未知量。

利用相量的簡短記法，微分方程可化簡為：

$$\frac{d\ \operatorname{Re} \{V_c \cdot e^{j\omega t}\}}{dt} + \frac{1}{RC}\operatorname{Re} \{V_c \cdot e^{j\omega t}\} = \frac{1}{RC}\operatorname{Re} \{V_s \cdot e^{j\omega t}\}$$

$t\,$

$t-\frac{\pi}{2\omega },\,$

$$\frac{d\ \operatorname{Im} \{V_c \cdot e^{j\omega t}\}}{dt} + \frac{1}{RC}\operatorname{Im} \{V_c \cdot e^{j\omega t}\} = \frac{1}{RC}\operatorname{Im} \{V_s \cdot e^{j\omega t}\}$$

$$\frac{d\ \operatorname{Re} \{V_c \cdot e^{j\omega t}\}}{dt} = \operatorname{Re} \left\{ \frac{d\left( V_c \cdot e^{j\omega t}\right)}{dt} \right\} = \operatorname{Re} \left\{ j\omega V_c \cdot e^{j\omega t} \right\}$$

$$\frac{d\ \operatorname{Im} \{V_c \cdot e^{j\omega t}\}}{dt} = \operatorname{Im} \left\{ \frac{d\left( V_c \cdot e^{j\omega t}\right)}{dt} \right\} = \operatorname{Im} \left\{ j\omega V_c \cdot e^{j\omega t} \right\}$$

$j\,$

$j\,$

$$j\omega V_c \cdot e^{j\omega t} + \frac{1}{RC}V_c \cdot e^{j\omega t} = \frac{1}{RC}V_s \cdot e^{j\omega t}$$

$$\left(j\omega V_c + \frac{1}{RC}V_c = \frac{1}{RC}V_s\right) \cdot e^{j\omega t}$$

$$j\omega V_c + \frac{1}{RC}V_c = \frac{1}{RC}V_s$$

$$j \omega V_c + \frac{1}{RC} V_c = \frac{1}{RC}V_s$$

解得相量電容電壓為：

$$V_c = \frac{1}{1 + j \omega RC} \cdot (V_s) = \frac{1-j\omega R C}{1+(\omega R C)^2} \cdot (V_P e^{j\theta})\,$$

如上所示，結果為一個因子與$V_s\,$的乘積，這代表了關聯於$V_P\,$和$\theta\,$的$v_C(t)\,$的幅值和相位的不同之處。

用極坐標形式表示，則結果為：

$\frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}\cdot e^{-j \phi(\omega)}\,$，其中$\phi(\omega) = \arctan(\omega RC)\,$。（簡化的極坐標形式為：$\frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}} \angle -\arctan(\omega RC)$）

因此得到電容電壓為：

$$v_C(t) = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}\cdot V_P \cos(\omega t + \theta- \phi(\omega))$$

### 加法

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多個相量相加可以得到另一個相量，因為同頻率的正弦波相加可得到頻率相同的合成正弦波：

$$\begin{align} A_1 \cos(\omega t + \theta_1) + A_2 \cos(\omega t + \theta_2) &= \operatorname{Re} \{A_1 e^{j\theta_1}e^{j\omega t}\} + \operatorname{Re} \{A_2 e^{j\theta_2}e^{j\omega t}\} \\ &= \operatorname{Re} \{A_1 e^{j\theta_1}e^{j\omega t} + A_2 e^{j\theta_2}e^{j\omega t}\} \\ &= \operatorname{Re} \{(A_1 e^{j\theta_1} + A_2 e^{j\theta_2})e^{j\omega t}\} \\ &= \operatorname{Re} \{(A_3 e^{j\theta_3})e^{j\omega t}\} \\ &= A_3 \cos(\omega t + \theta_3), \end{align}$$

其中：

$$A_3^2 = (A_1 \cos{\theta_1}+A_2 \cos{\theta_2})^2 + (A_1 \sin{\theta_1}+A_2 \sin{\theta_2})^2,$$

$$\theta_3 = \arctan{\left(\frac{A_1 \sin{\theta_1} + A_2 \sin{\theta_2}}{A_1 \cos{\theta_1} + A_2 \cos{\theta_2}}\right)},$$

由複平面上的餘弦定理或角的和差恆等式也可得到相同結果：

$$A_3^2 = A_1^2 + A_2^2 - 2 A_1 A_2 \cos(180^\circ - \Delta\theta), <pre> = A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\Delta\theta), </pre>$$

其中$\Delta\theta = \theta_1 - \theta_2$。

這種計算方法的關鍵是A3和θ3 並不取決於ω或t，因為在這種情況下才可以使用相量法。方程中的時間和頻率因子可以在計算時去掉，在相量運算完成後的結果中乘以這一因子即可。若使用極坐標表示法，運算的形式則為：

$$A_1 \angle \theta_1 + A_2 \angle \theta_2 = A_3 \angle \theta_3.$$

另外一個考慮問題的角度是將加法運算視為A1 cos(ωt+θ1), A1 sin(ωt+θ1)與A2 cos(ωt+θ2), A2 sin(ωt+θ2)的矢量和，最終得到矢量A3 cos(ωt+θ3), A3 sin(ωt+θ3)，如上圖所示。

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在物理學中，當正弦波發生相長或相消干涉時，可被視為相量加法。若將3個大小相當的矢量首尾相接，得到的是一個等邊三角形，因此每2個相量間的夾角是120°（2π/3弧度），即波長的三分之一λ/3。因此每一波形之間的相位差必須為120°時，正弦波才能發生完全相消干涉，而這種相位條件與三相交流電是相同的。用公式可表示為：

$\cos(\omega t) + \cos(\omega t + \frac{2\pi}{3}) + \cos(\omega t +\frac{4\pi}{3}) = 0\,$。

在三個波相消干涉的情況下，第一個波和第三個波的相位相差240°，而兩個波發生相消干涉的條件是相位相差180°時。若多個波進行相消干涉，第一個相量和最後一個相量幾乎平行。這意味著對於多個波源的情況，第一個波和最後一個波發生相消干涉的條件是相位相差360°，即一個全波長$\lambda$。因此，單縫衍射的極小值位置是光程差為全波長的位置。

### 相量圖

電機工程師、電子工程師、電氣工程師以及飛機工程師都使用相量圖使複常數和相量變量可視化。與矢量一樣，在圖紙或電腦中都用箭頭代表相量。相量可以用指數形式或極坐標形式表示，各有優點。

## 電路定律

用相量法表示正弦交流電後，就可以將直流電路的分析方法直接用於分析交流電路，這些基本定律如下：

- 歐姆定律：V=IZ，其中Z是複阻抗。
- 在交流電路中，有功功率P表示輸入電路的平均功率，無功功率Q是使電路內電場與磁場進行能量交換而需要的電功率，不對外做功。這樣我們可以定義複功率S=P+jQ，其幅值就是視在功率。由此，由相量表示的複功率為：S=VI *，其中I *是I 的共軛複數）。
- 基爾霍夫電路定律的複數形式也可用於相量計算中。

由以上定律，我們可以使用相量法進行阻性電路分析，可分析包含電阻、電容和電感的單一頻率交流電路。分析多頻率線性交流電路和不同波形的交流電路時，可以先將電路化為正弦波分量的組合（由疊加定理滿足），然後對每一頻率情況的正弦波進行分析，找出電壓和電流。

## 電力工程

在三相交流電力系統的分析中，通常會有一組相量被定義為3個複單位立方根，並以圖表示為角0°、120°以及240°處的單位幅值。將多相交流電路的量化為相量後，平衡電路可被化簡，而非平衡電路可被當作對稱電路的代數組合。這種方法簡化了電學計算中計算電壓降、功率流以及短路電流所需的工作。在電力系統分析中，相位角的單位常為度，而幅值大小則通常是以方均值而不是峰值來定義。

同步相量技術中使用數字式儀表來測量相量，先進的測量設備包括同步相量測量裝置（PMU），能直接即刻測得某節點的相量，不需要花費時間進行大量的計算。在輸電系統中，相量一般被廣泛地認為是表示輸電系統電壓。相量的微小變化是功率流和系統穩定性的靈敏指示參數。

## 外部連結

- Phasor Phactory
- Visual Representation of Phasors