畢奧-薩伐爾定律

本條目中，向量與標量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。檢驗變數或場變數的標記的後面沒有單撇號「$'\,\!$」；源變數的標記的後面有單撇號「$'\,\!$」。

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在靜磁學裏，必歐-沙伐定律（Biot-Savart Law）以方程式描述，電流在其周圍所產生的磁場。採用靜磁近似，當電流緩慢地隨時間而改變時（例如當載流導線緩慢地移動時），這定律成立，磁場與電流的大小、方向、距離有關。必歐-沙伐定律是以法國物理學者讓-巴蒂斯特·畢奧與菲利克斯·沙伐命名。

必歐-沙伐定律表明，假設源位置為$\mathbf{r}'$的微小線元素$\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}'$有電流$I$，則$\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}'$作用於場位置$\mathbf{r}$的磁場為

$\mathrm{d}\mathbf{B} =\frac{\mu_0 I }{4\pi} \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}' \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}$。

其中，$\mathrm{d}\mathbf{B}$是微小磁場（這篇文章簡稱磁通量密度為磁場），$\mu_0$是磁常數。

已知電流密度$\mathbf{J}(\mathbf{r}')$，則有：

$\mathbf{B}(\mathbf{r}) =\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathbf{J}(\mathbf{r}') \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\ \mathrm{d}^3{r}'$。

其中，$\mathrm{d}^3{r}'$為微小體積元素，$\mathbb{V}'$是積分的體積。

在流體力學中，以渦度對應電流、速度對應磁場強度，便可應用必歐-沙伐定律以計算渦線（vortex line）導出的速度。

## 概念

必歐-沙伐定律適用於計算一個穩定電流所產生的磁場。這電流是連續流過一條導線的電荷，電流量不隨時間而改變，電荷不會在任意位置累積或消失。採用國際單位制，用方程式表示。

$\mathbf{B}(\mathbf{r}) =\frac{\mu_0 I }{4\pi} \int_{\mathbb{L}'} \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}' \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}$。

其中，$I$是源電流，$\mathbb{L}'$是積分路徑，$\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}'$是源電流的微小線元素。

應用這方程式，必須先選出磁場的場位置。固定這場位置，積分於源電流的路徑，就可以計算出在場位置的磁場。請注意，這定律的應用，隱性地依賴著磁場的疊加原理成立；也就是說，每一個微小線段的電流所產生的磁場，其向量的疊加和給出總磁場。對於電場和磁場，疊加原理成立，因為它們是一組線性微分方程式的解答。更明確地說，它們是馬克士威方程組的解答。

當電流可以近似為流過無窮細狹導線，上述這方程式是正確的。但假若導線是寬厚的，則可用包含導線體積$\mathbb{V}'$的積分方程式：

$\mathbf{B}(\mathbf{r}) =\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathbf{J}(\mathbf{r}') \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \mathrm{d}^3{r}'$。

其中，$\mathbf{J}$是電流密度，$\mathrm{d}^3 r'$是微小體積元素。

必歐-沙伐定律是靜磁學的基本定律，在靜磁學的地位，類同於庫侖定律之於靜電學。必歐-沙伐定律和安培定律的關係，則如庫侖定律之於高斯定律。

假若無法採用靜磁近似，例如當電流隨著時間變化太快，或當導線快速地移動時，就不能使用必歐-沙伐定律，必須改用傑斐緬柯方程式。

### 等速運動的點電荷所產生的電場和磁場

由於點電荷的運動不能形成電流，所以，必須使用推遲勢的方法來計算其電場和磁場。假設一個點電荷$q$以等速度$\mathbf{v}$移動，在時間$t$的位置為$\mathbf{w}=\mathbf{v}t$。那麼，麥克斯韋方程組給出此點電荷所產生的電場和磁場：

$\mathbf{E} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{1 - v^2/c^2}{(1 - v^2\sin^2\theta/c^2)^{3/2}}\frac{\mathbf{r} - \mathbf{w}}{|\mathbf{r} - \mathbf{w}|^3}$。

$\mathbf{B} = \mathbf{v} \times \frac{1}{c^2} \mathbf{E}$。

其中，$\theta$是$\mathbf{v}$和$\mathbf{r} - \mathbf{w}$之間的夾角。

當$v^2 \ll c^2$時，電場和磁場可以近似為

$\mathbf{E} =\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{\mathbf{r} - \mathbf{w}}{|\mathbf{r} - \mathbf{w}|^3}$。

$\mathbf{B} =\frac{\mu_0 q \mathbf{v}}{4\pi} \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{w}}{|\mathbf{r} - \mathbf{w}|^3}$。

這方程式最先由奧利弗·黑維塞於1888年推導出來，稱為必歐-沙伐點電荷定律。

## 安培定律和高斯磁定律的導引

這裏，我們要從必歐-沙伐定律推導出安培定律和高斯磁定律。若想查閱此證明，請點選「顯示」。

證明必歐-沙伐定律所計算出來的磁場，永遠滿足高斯磁定律：

首先，列出必歐-沙伐定律， :$\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathrm{d}^3{r}' \mathbf{J}(\mathbf{r}')\times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}$。應用一個向量恆等式， :$\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} = - \nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right)$，將這恆等式帶入必歐-沙伐方程式。由於梯度只作用於無單撇號的坐標，可以將梯度移到積分外： :$\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \nabla\times\int_{\mathbb{V}'} \mathrm{d}^3{r}' \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}$。應用一個向量恆等式， :$\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0$。所以，高斯磁定律成立： :$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$。

證明必歐-沙伐定律所計算出來的磁場，永遠滿足安培定律：

首先，列出必歐-沙伐定律： :$\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathrm{d}^3{r}' \mathbf{J}(\mathbf{r}')\times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}$。任意兩個向量$\mathbf{A}_1$和$\mathbf{A}_2$的叉積，取其旋度，有以下向量恆等式，： :$\nabla\times(\mathbf{A}_1\times\mathbf{A}_2) =(\mathbf{A}_2\cdot\nabla)\mathbf{A}_1 - (\mathbf{A}_1\cdot\nabla)\mathbf{A}_2 +\mathbf{A}_1(\nabla\cdot\mathbf{A}_2) - \mathbf{A}_2(\nabla\cdot\mathbf{A}_1)$，取旋度於必歐-沙伐方程式的兩邊，稍加運算，可以得到 :$\nabla\times\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathrm{d}^3{r}'\left\{ - [\mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot\nabla]\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} +\mathbf{J}(\mathbf{r}')\left[\nabla\cdot\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} -\mathbf{r}'|^3}\right] \right\}$。應用著名的狄拉克δ函數關係式 :$\nabla\cdot\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}= 4\pi \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')$，可以得到 :$\begin{align}\nabla\times\mathbf{B}(\mathbf{r}) & =\mu_0\mathbf{J}(\mathbf{r})+\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathrm{d}^3{r}'\left\{ - [\mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot\nabla]\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \right\} \\ & =\mu_0\mathbf{J}(\mathbf{r})+\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathrm{d}^3{r}'\left\{[\mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot\nabla']\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \right\} \\ \end{align}$。注意到x-分量， :$[\mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot\nabla']\frac{x - x'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} =\nabla'\cdot\left[\mathbf{J}(\mathbf{r}')\frac{x - x'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\right] - \frac{x - x'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \nabla'\cdot\mathbf{J}(\mathbf{r}')$。由於電流是穩定的，$\nabla^'\cdot\mathbf{J}(\mathbf{r}') =0$，所以， :$\begin{align} (\nabla \times \mathbf{B}(\mathbf{r}))_x & = \mu_0 J_x(\mathbf{r}) + \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathrm{d}^3{r}' \nabla'\cdot\left(\mathbf{J}(\mathbf{r}')\frac{x - x'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\right) \\ & =\mu_0 J_x(\mathbf{r}) + \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{\mathbb{S}'} \mathrm{d}\mathbf{a}' \cdot \mathbf{J}(\mathbf{r}')\frac{x - x'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \\ \end{align}$；其中，$\mathrm{d}\mathbf{a}'$是一個微小源面積元素，$\mathbb{S}'$是體積$\mathbb{V}'$外表的閉曲面。這個公式右邊第二項目是一個閉曲面積分，只與體積內所包含的被積函數，或體積外表曲面的電流密度有關。而體積可大可小，我們可以增大這體積，一直增大到外表的閉曲面沒有任何淨電流流出或流入，也就是說，電流密度等於零。這樣，就可以得到安培定律。:$\nabla\times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$。

## 參閱

- 狹義相對論
- 向量分析
- 散度定理
- 安培律