勒貝格積分

勒貝格積分（Lebesgue integral）是現代數學中的一個積分概念，它將積分運算擴展到任何測度空間中。在最簡單的情況下，對一個非負值的函數的積分可以看作是函數圖像與$x$軸之間的面積。勒貝格積分則將積分運算擴展到更廣的函數（可測函數），並且也擴展了可以進行積分運算的集合（可測空間）。

最早的積分運算對於非負值的函數來說，其積分相當於使用求極限的手段來計算一個多邊形的面積，但這過程需要函數足夠規則。但是隨著對更加不規則的函數的積分運算的需要不斷產生，很快就產生了對更加廣義的求極限手段的要求來定義相應的積分運算。

在實分析和在其它許多數學領域中勒貝格積分擁有一席重要的地位。勒貝格積分是以昂利·勒貝格命名的，他於1904年引入了這個積分定義。

今天勒貝格積分有狹義和廣義兩種意義。廣義地說是對於一個在一般測度空間（的子集合）上的函數積分，在這情況下其測度不必然是勒貝格測度。狹義則是指對于勒貝格測度在實數線或者更高維數的歐幾里得空間的一個子集合上函數的積分。

## 引入

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在閉區間$a$和$b$之間對函數$f$的積分可以被看作是求$f$的函數圖像下的面積。對於多項式這樣比較常見的函數來說這個定義簡而易懂。但是對於更加稀奇古怪的函數來說，「函數圖下的面積」不能那麼簡答的定義。廣義地來說，「函數圖像下的面積」對於什麼樣的函數有意義？這個問題的答案具有很大的理論性和實際性意義。

19世紀裡在數學中有把整個數學理論放到一個更加堅固的基礎上的趨勢。在這個過程中數學家也試圖給積分計算提供一個穩固的定義。波恩哈德·黎曼提出的黎曼積分成功地為積分運算提供了一個這樣的基礎。黎曼積分的出發點是構造一系列容易計算的面積，這些面積最後收斂於給定的函數的積分。這個定義很成功，為許多其它問題提供了有用的答案。

但是在求函數序列的極限的時候黎曼積分的效果不良，這使得這些極限過程難以分析。而這個分析比如在研究傅立葉級數、傅立葉變換和其它問題時卻是極其重要的。勒貝格積分能夠更好地描述在什麼情況下積分有極限，這是勒貝格積分更加成功的主要原因。勒貝格的定義也使得數學家能夠計算更多種類的函數的積分。比如輸入值為無理數時函數值為0，輸入值為有理數時函數值為1的狄利克雷函數沒有黎曼積分，但是有勒貝格積分。

勒貝格在一份致保羅·蒙特爾的信中總結了他的方法：

我必須支付一筆錢，這筆錢已經在我口袋裡攢好了。我從口袋裡把紙幣和硬幣逐一掏出來，按摸到的順序交給債主，直到湊夠總額——這就是黎曼積分。但還有另一種方式：我可以先把口袋裡所有的錢都掏空，把相同面值的鈔票和硬幣歸類堆疊，然後按面值一沓一沓地支付給債主——這就是我的積分。

## 推導

以下的介紹是遵循最常見的勒貝格積分的介紹進行的。在這個介紹中積分理論分兩部分：

- 可測集和在這些集合上可以進行的測量的理論
- 可測函數和對這些函數積分的理論

### 測度理論

最初測度理論是用來對歐幾里得空間中直線的長度，以及更廣義地，歐幾里得空間的子集的面積和體積進行仔細分析發展出來的。它尤其可以為$R$的哪些子集擁有長度這個問題提供一個系統性的回答。後來發展的集合論證明，實際上不可能為$R$的所有子集都分配一個長度，且保持天然的可加性和平移不變的性質。因此給出一個合適的，可測量的子集類是一個關鍵的前提。

當然，黎曼積分隱含了長度的概念。事實上計算黎曼積分的元素是a, b × c, d所組成的長方形，它的面積為(b−a)(d−c)。b−a是這個長方形的寬度，而d−c則是其高度。黎曼只能用平面的長方形來估算曲線下的面積，因為當時還沒有其它適當的理論來測量更一般的集合。

在大多數現代的教科書中測度和積分都是公理性的。也就是說測度是一個定義在集合$E$的某些子集組成的集合$X$上的函數μ，這些子集必須擁有一定的特徵。在許多不同的情況下這些特徵成立。

關於測度理論詳見測度。

### 積分

從一個測度空間$(E,X,\mu)$出發，$E$是一個集合，$X$是由$E$的子集構成的σ代數，$\mu$是定義在$X$上的測度。

比如$E$可以是一個$n$維歐幾里得空間Rn或者它的一個勒貝格可測子集。則$X$是所有$E$的勒貝格可測子集構成的$\sigma$代數，$\mu$則是勒貝格測度。在討論機率論時，μ是機率空間$E$中的機率測度，滿足$\mu(E)=1$。

在勒貝格理論中只有對所謂的可測函數才能夠進行積分。一個函數$f$被稱為是可測的，假如每個區間 $(t, \infty)$ 的原像是 $E$ 中的可測集合，也就是：

$f^{-1}((t,\infty)) \in X\quad \mbox{ for all }t\in\mathbb{R}$。

可以證明，這與要求R中每個博雷爾子集的原像屬於$X$的條件是等價的。我們從現在起直接使用第二個條件。可測函數的集合在函數的代數運算下是封閉的，更重要的是在多種逐點序列極限下它們是封閉的：

$$\liminf_{k \in \mathbb{N}} f_k, \quad \limsup_{k \in \mathbb{N}} f_k$$

是可測的，假如原序列$f_k$是由可測函數組成的，其中$k\in$N。

我們對$E$上的可測實數值函數$f$積分

$\int_E f d \mu = \int_E f\left(x\right)\mu\left(dx\right)$。

分步進行構造：

指示函數：與給定的測度$\mu$一致的可測集合$S$的指示函數的積分唯一可選擇的值為：

$$\int 1_S d \mu = \mu (S)$$

簡單函數：指示函數的有限線性組合：

$$\sum_k a_k 1_{S_k}$$

這裡係數 $a_k$ 是實數，集合 $S_k$ 是可測集。這樣的函數稱為可測簡單函數。我們現在用線性性質將積分延拓到非負的可測簡單函數上。當 $a_k$ 非負時，令

$$\int \bigg(\sum_k a_k 1_{S_k}\bigg) d \mu = \sum_k a_k \int 1_{S_k}d \mu = \sum_k a_k \, \mu(S_k)$$

在這裡和可能是無限的。一個簡單函數可以通過不同方法的指示函數線性組合形成，但是其積分始終是一致的，這一點可由測度的可加性證明。

假如$E$是一個可測集合，$s$ 是一個可測簡單函數的話則

$$\int_E s \, d\mu = \int 1_E\, s \, d\mu = \sum_k a_k \, \mu(S_k \cap E)$$

非負函數：$f$ 為 $E$ 中的一個非負可測函數，其值可以取 +∞，即 $f$ 的對應域是廣義實數的非負部分。我們定義

$\int_E f\,d\mu = \sup\left\{\,\int_E s\,d\mu : \boldsymbol{0}\le s\le f \, \right\}$，其中 $s$ 是可測簡單函數，$\boldsymbol{0}$ 為零函數，這裡的大小關係是對定義域的每個點都成立

我們必須證明這個積分與上面定義在簡單函數集合上的積分相符。此外還有這個積分定義是否與黎曼積分的概念有對應關係的問題。事實上可以證明這兩個問題的答案都是肯定的。

這樣我們定義了 $E$ 中所有非負擴展實值可測的函數$f$的積分。要注意的是這裡定義的函數積分可以是無限大。

帶負數值的函數：為了解決有負數值的函數，我們還需要添加幾個定義。假設可測函數 $f$ 將可測集合$E$ 映射到廣義實數（既實數加上±∞），則有

$$f = f^+ - f^-, \quad$$

其中

$$f^+(x) = \left\{\begin{matrix} f(x) & \mbox{if} \quad f(x) > 0 \\ 0 & \mbox{otherwise} \end{matrix}\right.$$

$$f^-(x) = \left\{\begin{matrix} -f(x) & \mbox{if} \quad f(x) < 0 \\ 0 & \mbox{otherwise} \end{matrix}\right.$$

此外還有這性質

$$|f| = f^+ + f^-. \quad$$

$f^+$ 與 $f^-$ 兩者皆是非負可測函數，其勒貝格積分已經剛給出定義。

若 $\int f^+ \, d\mu \;\,$ 與 $\;\, \int f^- \, d\mu$ 兩個積分中有一個是有限的，則可以定義一般可測函數 $f$ 的勒貝格積分為：

$$\int f \, d \mu = \int f^+ \, d\mu - \int f^- \, d\mu,$$

注意函數積分不嚴格限制一定要有限，可以是正無窮大或負無窮大。但如果積分是有限的話，也就是若$\int f^+ d \mu < \infty \;\,$ 與 $\;\, \int f^- d \mu < \infty$ 都成立的話。

則稱函數 $f$ 為勒貝格可積（Lebesgue integrable）。

兩積分皆有限，這條件等價於：

$$\int |f| d \mu < \infty.$$

事實上這個定義給出了具有良好特性的積分。

複變函數也可以類似地定義積分，只要分別考慮實數部分和虛數部分就可以了。

比如對任意複變函數 $h=f+ig$ 其中 $f$跟 $g$ 都是實函數，則函數 $h$ 的積分定義為

$$\int h \, d \mu = \int f \, d \mu + i \int g \, d \mu.$$

函數是勒貝格可積的當且僅當其絕對值是勒貝格可積的。

### 直觀解釋

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要直觀地解釋兩種積分的原理，可以假設我們要計算一座山在海平面以上的體積。

黎曼積分是相當於把山分為每塊都是一平方米大的方塊，測量每個方塊正中的山的高度。每個方塊的體積約為1x1x高度，因此山的總體積為所有高度的和。

勒貝格積分則是為山畫一張等高線圖，每根等高線之間的高度差為一米。每根等高線內含有的岩石土壤的體積約等於該等高線圈起來的面積乘以其厚度。因此總體積等於所有等高線內面積的和。

佛蘭德（Folland）描述黎曼積分跟勒貝格積分的不同，以非負函數 $f:[a,b]\mapsto [0,\infty],\; a.b\in\R$ 這例子來講，黎曼積分是分割 $x$-軸上的定義域區間 $[a,b]$ 為更小的子區間，並計算黎曼和，當子區間越來越小時黎曼和的極限就是黎曼積分；而勒貝格積分則是將 $f$ 在 $y$-軸上的對應域分割成不相交的區間 $\{I_j\}_{j=1}^n$，並用定義域中的子集合 $\{f^{-1}(I_j)=E_j\}$ 來定義趨近 $f$ 的簡單函數

$s=\sum_{j=1}^n \inf_{x\in E_j}f(x)\cdot 1_{E_j},\quad s:[a,b]\mapsto \R_{\ge 0},\;\,0\le s\le f,\,\; s$為簡單函數。

而這簡單函數 $s$ 的積分為：$\sum_{j=1}^n \inf_{x\in E_j}f(x)\cdot \mu(E_j)$，當把對應域的分割越來越細時，這簡單函數積分的極限就是勒貝格積分。更簡化講的話就是：黎曼積分是分割定義域來計算積分；勒貝格積分則是用分割對應域來計算積分。

參見簡單函數的性質。

### 例子

有理數的指示函數$1_{\mathbb Q}(x) = \begin{cases} 1 , x \in {\mathbb Q}\\ 0 , x \notin {\mathbb Q} \end{cases}\quad$是一個無處連續的函數。

- 在區間$[0,1]$之間$1_{\mathbb Q}$沒有黎曼積分，因為在實數中有理數和無理數都是稠密的，因此不管怎樣把$[0,1]$分成子區間，每一個子區間裡面總是至少會有一個有理數和一個無理數，因此其達布積分的上限為1，而下限為0。
- 在區間$[0,1]$內$1_{\mathbb Q}$有勒貝格積分。事實上它等於有理數的指示函數，因為$\mathbb Q$是可數集，因此

$$\int_{[0,1]} 1_{\mathbb{Q}} \, d \mu = \mu(\mathbb{Q} \cap [0,1]) = 0$$

## 黎曼積分的不足

傅立葉級數出現後，許多包括積分的分析問題也隨之出現，要解決這些問題需要交換函數的無限求和和積分兩種運算。但是要找到以下兩個積分相等的條件

$$\sum_k \int f_k(x) dx,\quad\int \bigg[\sum_k f_k(x) \bigg] dx$$

在黎曼積分的理論中是很難解決的。除此之外黎曼積分還有一些其它的困難。這些困難主要涉及上面已經討論過的求極限的問題。

單調收歛性質不成立：如上所述，有理數的指示函數 $1_{\mathbb Q}$ 沒有黎曼積分。尤其是單調收斂定理在這例子不成立。要了解為什麼，設 {$a_k$}=$\mathbb Q\cap[0,1]$（為可數集合）。令

$$g_k(x) = \left\{\begin{matrix} 1 & \text{if } x = a_j,\,j\le k \\ 0 & \text{otherwise} \end{matrix} \right.$$

每個函數 $g_k$ 除了在限點之外皆為 0，因此其黎曼積分為 0。序列 $g_k$ 也是非負的，但卻單調遞增到不是黎曼可積的函數 $1_{\mathbb Q}$。

不適宜於無界區間：黎曼積分一般只用來在有界區間內對函數進行積分。雖然可以用以下方式擴展

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx := \lim_{a \rightarrow \infty} \int_{-a}^{+a} f(x) dx$。

但是這個定義打破了平移不變性：設$f$和$g$在區間$[a, b]$外為0，而且是可以黎曼積分的。設對於某$y, f(x)=g(x+y)$，則$\int f=\int g$。但按以上瑕積分的定義，雖然函數$f(x)=\begin{cases}1&x>0\\-1&x\le0\end{cases}$與$g(x)=\begin{cases}1&x>1\\-1&x\le1\end{cases}$互為平移，積分值卻不相等：

$$\int f(x) dx = 0, \quad \int g(x) dx= -2 , \quad$$

因此瑕積分不是平移不變。

## 基本定理

勒貝格積分不能區分僅在一個$\mu$測度0的集合上有區別的函數。精確地說，函數$f$和$g$幾乎處處相等若且唯若

$$\mu(\{x \in E: f(x) \neq g(x)\}) = 0$$

- 假如$f$和$g$是非負函數且幾乎處處$f=g$，則

$\int f d \mu = \int g d \mu$。

- 假如$f$和$g$是函數，且幾乎處處$f=g$，則$f$是勒貝格可積的，若且唯若$g$是勒貝格可積的，且$f$和$g$的積分是相等的。

勒貝格積分擁有以下特徵：

線性：設$f$和$g$為勒貝格可積的函數，$a$和$b$是實數，則$af+bg$是勒貝格可積的，且

$$\int (a f + bg) d \mu = a \int f d\mu + b \int g d\mu$$

單調性：設$f\leq g$則

$\int f d \mu \leq \int g d \mu$。

單調收斂定理：設$\{f_k\}_{k\in\mathbb{N}}$是一個實數值、非負可測函數的序列，且

$$f_k(x) \leq f_{k+1}(x) \quad \forall k\in \mathbb{N}, \forall x \in E.$$

則

$\lim_k \int f_k d \mu = \int \sup_k f_k d \mu$。

注意：任何積分的值均可以是無窮大。

法圖引理：設$\{f_k\}_{k\in\mathbb{N}}$是一個實數值、非負可測函數的序列，則

$\int \liminf_k f_k d \mu \leq \liminf_k \int f_k d \mu$。

在這裡所有積分的值也均可以是無窮大。

勒貝格控制收斂定理：設$\{f_k\}_{k\in\mathbb{N}}$是一個復可測函數的序列，並擁有逐點極限$f$，且如果有一個勒貝格可積的函數$g$（即$g\in\mathbb{L}_1$），對所有$k$滿足$|f_k|\leq g$，則$f$是勒貝格可積的，且

$\lim_k \int f_k d \mu = \int f d \mu$。

## 證明技巧

在這裡我們通過證明上面已經提到過的勒貝格單調收斂定理，來說明勒貝格積分理論的證明技巧。

設$\{f_k\}_{k\in\mathbb{N}}$是一個非負可測函數的非遞減序列，令

$$f = \sup_{k \in \mathbb{N}} f_k$$

由積分的單調性可以立刻得出：

$$\int f d \mu \geq \lim_k \int f_k d \mu$$

由於該系列是單調的，因此可以推出右側的極限存在。

我們現在來證明另一個方向的不等式（它也可以通過法圖引理證明），即

$\int f d \mu \leq \lim_k \int f_k d \mu$。

由積分的定義可以推出，有一個非負簡單函數的非遞減序列$g_n$，幾乎處處逐點收斂於$f$，使得

$\lim_k \int g_k d \mu = \int f d \mu$。

因此只需證明對於任何$k\in\mathbb{N}$

$$\int g_k d \mu \leq \lim_j \int f_j d \mu$$

我們來證明假如$g$是一個簡單函數而且幾乎處處

$$\lim_j f_j(x) \geq g(x)$$

則

$\lim_j \int f_j d \mu \geq \int g d \mu$。

將函數$g$分解為其常數部分，可以化為$g$是一個集合的指示函數的情況。這樣的話我們只要證明

設$A$是一個可測集合，$\{f_k\}_{k\in\mathbb{N}}$是一個$E$上可測函數的非遞減序列，則幾乎對所有$x\in A$

$$\lim_n f_n (x) \geq 1$$

則

$$\lim_n \int f_n d\mu \geq \mu(A).$$

要證明這個結果，令$\epsilon>0$並定義可測集合的序列為

$B_n = \{x \in A: f_n(x) \geq 1 - \epsilon \}$。

由積分的單調性可以得出對於任何$n\in\mathbb{N}$。

$$\mu(B_n) (1 - \epsilon) = \int (1 - \epsilon) 1_{B_n} d \mu \leq \int f_n d \mu$$

由於對於足夠大的$n$，幾乎所有的$x$都位於$B_n$內，我們便有

$$\bigcup_i B_i = A$$

對於一個測度為0的系列成立。因此根據$\mu$的可數可加性

$\mu(A) = \lim_n \mu(B_n) \leq \lim_n (1 - \epsilon)^{-1} \int f_n d\mu$。

由於這個結果對於任何正的$\varepsilon$成立，因此定理得證。

## 其它表達方式

關于勒貝格測度的積分也可以不通過使用整個測度理論引導出來。一個這樣的方法是使用丹尼爾積分。

使用泛函分析的方法也可以發展出積分的理論。任何定義在$\mathbb{R}_n$（或一個固定的開子集）上的緊支撐連續函數$f$都有黎曼積分。從這些積分開始，我們可以建立更一般的函數的積分。設$C_c$為$\mathbb{R}$上所有實數值緊支撐連續函數所構成的空間。定義$C_c$的範數為

$$\|f\| = \int |f(x)| dx$$

這樣一來$C_c$是一個賦范向量空間（特別地，它是一個度量空間）。所有的度量空間都有完備化，因此令$L_1$為其完備空間。這個空間與勒貝格可積分函數余積分為零的子空間同構。而且黎曼積分$\int$關於$C_c$上的範數是一致連續的泛函，而$C_c$在$L_1$是稠密的。因此∫是所有$L_1$唯一的延伸。這個積分正好就是勒貝格積分。

這個結果可以被廣泛化來建立關於局部緊空間的拉東測度的積分理論。2004年尼古拉·布爾巴基就是使用了這個方法。

## 應用

值得指出的是許多拓撲向量空間（比如希爾伯特空間或者巴拿赫空間）中的定理以及其中的極限運算，通過使用勒貝格積分獲得了巨大的簡化。

## 書籍

- 《勒貝格-斯蒂爾吉斯積分》，1965年，E·卡姆克，吳蓮溪譯，高等教育出版社，無ISBN
- 《度量空間與勒貝格積分》，1994年，方欣華等編，河南大學出版社，ISBN 7-81041-061-X
- 《勒貝格積分與泛函分析基礎》，1992年，熊宏允等編，高等教育出版社，ISBN 7040033909