傅立葉變換家族中的關係

在數學領域的諧波分析中，連續傅立葉變換（continuous Fourier transform, CFT）與傅立葉級數 （Fourier series, FS）有非常微妙的關係。而且連續傅立葉變換也與離散時間傅立葉變換（discrete time Fourier transform, DTFT）和離散傅立葉變換（discrete Fourier transform, DFT）有很近的關係。傅立葉變換家族通常就是指這四種變換。

通過利用Dirac delta函數 $\delta(t)$，CFT可以應用到時間離散 （time-discrete）或時間周期（time-periodic）信號。實際上，FS、 DTFT和DFT都可以由最廣泛的CFT得到。從理論上看，它們也都是CFT的特殊情況。

在信號理論和數位訊號處理（digital signal processing, DSP）中，DFT擴展用於近似計算連續信號的頻譜，其變換的對象只是一個採樣點的有限序列，而且可以由快速傅立葉變換（fast Fourier transform, FFT）實現。

## 家族中各個變換的定義

下表中左上、左下、右上和右下分別對應了傅立葉變換家族中CFT、FS、DTFT和DFT四個變換對的定義。

×｜連續時間｜離散時間

時間非周期｜$x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}X(f)\ e^{i2\pi ft}\,df$｜$x[n]=T_s\int_{1/T_s}\bar{X}(f)\ e^{i2\pi fnT_s}\ df$

$X(f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\ e^{-i2\pi ft}\,dt$｜$\bar{X}(f)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]\ e^{-i2\pi fnT_s}$

時間周期｜$\bar{x}(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\! X[k]\; e^{i\frac{2\pi k}{T_0}t}$｜$x_n=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X_k \; e^{i\frac{2\pi}{N}kn}, \quad n=0,\dots,N-1.$

$X[k]=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}\bar{x}(t)\; e^{-i\frac{2\pi k}{T_0}t}\,dt$｜$X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n\; e^{-i\frac{2\pi}{N}kn}, \quad k=0,\dots,N-1.$

顯然，上表是從時域信號的角度來劃分的：表的列區分了連續時間和離散時間的信號，而表的行則區分了時間上非周期的信號和時間上周期的信號。其中重要的參量符號解釋為：

- $x[n]$ 和 $X[k]$ 都為無限序列，其採樣間隔，即間隔時間和間隔頻率分別為 $T_s$ 和 $f_0 =1/T_0$。
- $\bar{x}(t)$ 和 $\bar{X}(f)$ 都為周期函數，且時間周期和頻率周期分別為 $T_0$ 和 $f_s=1/T_s$。
- $x_n$ 和 $X_k$ 都為有限序列，且序列長度都為 $N$。

## 關係推導所需的公式

前面表中的定義都可以通過Dirac delta函數 $\delta(t)$ 的擴展形式，即Dirac comb函數，由CFT引入或推導。為計算離散和/或周期信號的CFT，我們需要引入一些公式，並使用傅立葉變換的一些特性。以下集中給出：

- Dirac comb函數的傅立葉變換

Dirac comb函數的定義為

$$\Delta_T(t)\stackrel{\text{def}}{=}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)$$

在電氣工程中通常又稱作衝擊串（impulse train）或採樣函數 （sampling function）。其重要的傅立葉變換為：

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{i\frac{2\pi k}{T}t} \quad\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta\left(f-\frac{k}{T}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-i2\pi nTf}$$

這個變換在傅立葉變換家族中各個變換之間轉換上起關鍵作用。

- 傅立葉變換的卷積定理（convolution theorem）

這包括了傅立葉變換的時域卷積和頻域卷積：

$$\begin{align} x_1(t)\ast x_2(t) &\quad\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad X_1(f)\cdot X_2(f) \\ x_1(t)\cdot x_2(t) &\quad\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad X_1(f)\ast X_2(f) \end{align}$$

- 泊松求和公式（Poisson summation formula）

由Dirac comb函數的傅立葉變換和卷積定理，容易證明泊松求和公式：

$$\begin{align} 1. \qquad &\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(t-nT_0)=\frac{1}{T_0}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X\left(\frac{k}{T_0}\right)e^{i\frac{2\pi k}{T_0}t} \\ 2. \qquad &\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)e^{-i2\pi nTf}=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X\left(f-\frac{k}{T}\right) \end{align}$$

若第1和第2公式中分別取 $t=0$ 和 $f=0$，得到相同等式：

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X\left(\frac{k}{T}\right)$$

這表明，傅立葉變換時時域函數 $x(t)$ 和頻域函數 $X(f)$ 分別以 $T$ 和 $1/T$ 為間隔採樣，則所有時域採樣點的總和與所有頻域採樣點擴大 $1/T$ 的總和相等。

## 各種變換之間的關係

<image>

圖中立方體包含了頻域和時域兩個平面上各種變換的關係，同時兩平面相連的四個邊則分別代表了CFT、FS、DTFT和DFT。其中參量符號與前面表中相同，另外增加：

- $\tilde{X}_k$ 為由FS和DTFT推導DFT得到的DFT'頻域形式，與傳統DFT的頻域 $X_k$ 有關係： $X_k=T_0\tilde{X}_k$。
- 圖中粗的雙箭頭（$\leftrightarrow$）表示每個函數和其變換之間的聯繫。

總的說來，各種變換之間的轉換是一個周期擴展或採樣的過程：

- 如果時域進行周期擴展，則頻域為採樣；如果時域進行採樣，則頻域為周期擴展。
- 一個轉換中，周期擴展的周期與採樣的間隔有倒數關係。
- 頻域的周期擴展或者採樣，都有一個周期或採樣間隔作係數。

這裡的周期擴展就是與Dirac comb函數相卷積，而採樣則是與Dirac comb函數相乘。

從CFT分別到FS和DTFT的轉換都容易推導，下面具體說明FS和DTFT到DFT/DFT'轉換的推導，最後說明連續FT與DFT/DFT'的關係。

### 由DTFT推導DFT

設DTFT，及對應的CFT為：

$$\begin{align} x[n] &\quad\stackrel{\mathcal{DTFT}}{\longleftrightarrow}\quad \bar{X}(f) \\ \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\cdot\delta(t-nT) <pre> &\quad\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad \bar{X}(f) </pre> \end{align}$$

在時域作周期為 $T_0$ 的擴展，有:

$$\begin{align} &\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\cdot\delta(t-nT)\right) <pre> \ast\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)\right) \\ </pre> &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{i=-\infty}^{\infty}x(nT)\cdot\delta(t-nT-iNT) \\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(\sum_{i=-\infty}^{\infty}x(nT-iNT)\right)\delta(t-nT) \end{align}$$

其中代入了 $T_0=NT$，而由於 $n$ 和 $i$ 的求和區間都為 $-\infty$ 到 $\infty$，可以用 $n-iN$ 代替 $n$ 得到最後一步推導。取：

$$\begin{align} x_n &=\sum_{i=-\infty}^{\infty}x(nT-iNT)=\sum_{i=-\infty}^{\infty}x[n-iN] \\ <pre> &=\sum_{i=-\infty}^{\infty}x(nT-iT_0) </pre> \end{align}$$

在頻域作帶係數 $1/T_0$ 且間隔也為 $1/T_0$ 的採樣，有：

$$\begin{align} &\bar{X}(f)\cdot\frac{1}{T_0}\sum_{k=-\infty}^{\infty} <pre> \delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right) \\ </pre> &=\frac{1}{T_0T}\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty} <pre> X\left(f - \frac{k}{T}\right)\right) \cdot\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right)\right)\\ </pre> &=\frac{1}{T_0T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(\sum_{i=-\infty}^{\infty} <pre> X\left(f - \frac{i}{T}\right)\cdot \delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right)\right)\\ </pre> &=\frac{1}{T_0T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(\sum_{i=-\infty}^{\infty} <pre> X\left(\frac{k}{T_0} - \frac{i}{T}\right)\right) \cdot\delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right) </pre> \end{align}$$

取：

$$\tilde{X}_k=\frac{1}{T_0T}\sum_{i=-\infty}^{\infty} X\left( \frac{k}{T_0} - \frac{i}{T} \right) =\frac{1}{T_0}\bar{X}\left(\frac{k}{T_0}\right)$$

### 由FS推導DFT

設FS，及對應的CFT為：

$$\begin{align} \bar{x}(t) &\quad\stackrel{\mathcal{FS}}{\longleftrightarrow}\quad X[k] \\ \bar{x}(t) &\quad\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad <pre> \sum_{k=-\infty}^{\infty}X[k]\cdot\delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right). </pre> \end{align}$$

在時域作間隔為 $T$ 採樣，有：

$$\begin{align} &\bar{x}(t)\cdot\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT) \\ &=\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(t-nT_0)\right)\cdot <pre> \left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)\right) \\ </pre> &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left( <pre> \sum_{i=-\infty}^{\infty}x(t-iT_0)\cdot\delta(t-nT)\right) \\ </pre> &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left( <pre> \sum_{i=-\infty}^{\infty}x(nT-iT_0)\right)\cdot\delta(t-nT) </pre> \end{align}$$

取：

$$x_n=\sum_{i=-\infty}^{\infty}x(nT-iT_0)=\bar{x}(nT)$$

在頻域作帶係數 $1/T$ 且周期也為 $1/T$ 擴展，有：

$$\begin{align} &\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty}X[k]\cdot <pre> \delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right)\right) \ast\left(\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta\left(f - \frac{k}{T}\right)\right) \\ </pre> &=\frac{1}{T_0T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{i=-\infty}^{\infty} <pre> X\left(\frac{k}{T_0}\right)\cdot \delta\left(f - \frac{k}{T_0} - \frac{iN}{T_0}\right) \\ </pre> &=\frac{1}{T_0T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(\sum_{i=-\infty}^{\infty} <pre> X\left(\frac{k-iN}{T_0}\right)\right)\cdot \delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right) </pre> \end{align}$$

其中也代入了 $T_0=NT$，而由於 $k$ 和 $i$ 的求和區間都為 $-\infty$ 到 $\infty$，可用 $k-iN$ 替代 $k$ 得到最後一步推導。取：

$$\begin{align} \tilde{X}_k &=\frac{1}{T_0T}\sum_{i=-\infty}^{\infty} <pre> X\left(\frac{k-iN}{T_0}\right) =\frac{1}{T}\sum_{i=-\infty}^{\infty}X[k-iN] \\ &=\frac{1}{T_0T}\sum_{i=-\infty}^{\infty} X\left(\frac{k}{T_0} - \frac{i}{T}\right) </pre> \end{align}$$

### CFT與DFT的關係

前面FS到DFT和DTFT到DFT的推導都得到相同的 $x_n$ 和 $\tilde{X}_k$。這裡的 $x_n$ 和 $\tilde{X}_k$ 可看作一種DFT變換對，有關係：

$$\begin{align} \tilde{X}_k & <pre> =\frac{1}{T_0}\sum\limits_{n=0}^{N-1}\ x_n e^{-\frac{2\pi i}{N}kn} \\ </pre> x_n &=T\sum\limits_{k=0}^{N-1}\ \tilde{X}_k e^{\frac{2\pi i}{N}kn} \end{align}$$

記為：

$$x_n \quad\stackrel{\mathcal{DFT'}}{\longleftrightarrow}\quad \tilde{X}_k$$

對比傳統DFT變換對的 $x_n$ 和 $X_k$，顯然有：

$$X_k=T_0\tilde{X}_k.$$

這一對變換的等式右邊係數的乘積為 $T/T_0=1/N$，符合我們在DFT中的說明，因而完全可以將這裡的DFT'看作傳統DFT的另一種變換形式。

而由前面轉換的推導過程可得到：

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_n\cdot\delta(t-nT) <pre> \quad\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad </pre> \begin{matrix} \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty} <pre> \tilde{X}_k\cdot \delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right)}\\ </pre> \displaystyle{=\frac{1}{T_0} <pre> \sum_{k=-\infty}^{\infty}X_k\cdot \delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right)} </pre> \end{matrix}$$

為一對CFT，其中要求 $T_0=NT$。加之如果 $x(t)\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}X(f)$，則有：

$$x_n=\sum_{i=-\infty}^{\infty}x(nT-iT_0) \begin{matrix} \displaystyle{\quad\stackrel{\mathcal{DFT'}}{\longleftrightarrow}\quad <pre> \tilde{X}_k=\frac{1}{T_0T}\sum_{i=-\infty}^{\infty}X\left(\frac{k}{T_0} - \frac{i}{T}\right)} \\ </pre> \displaystyle{\quad\stackrel{\mathcal{DFT}}{\longleftrightarrow}\quad <pre> X_k=\frac{1}{T}\sum_{i=-\infty}^{\infty}X\left(\frac{k}{T_0} - \frac{i}{T}\right)} </pre> \end{matrix}$$

其中可以任選 $T_0$ 和 $T$。這樣就建立了CFT和DFT之間的雙向關係。但應注意到，此時我們已經將DFT'和DFT都做了周期拓展，即 $n,k\in\mathbb{Z}$。

## 參考文獻

- Oppenheim, Alan V.; Schafer, R. W.; and Buck, J. R., (1999). Discrete-time signal processing, Upper Saddle River, N.J. : Prentice Hall. ISBN 0137549202
- Sklar, B., (2001). Digital Communications: Foundamentals and Applicatons, 2nd Edition, Prentice Hall PTR. ISBN 0130847887