尼姆遊戲

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尼姆遊戲（Nim），又譯為拈，是一種兩個人玩的回合制數學戰略遊戲。遊戲者輪流從幾排棋子（或者任何道具）中選擇一排，再由這一排中取走一個或者多個，依規則不同，拿走最後一個的可能是輸家，也有可能是贏家。當指定相應數量時，一堆這樣的棋子稱作一個尼姆堆。古代就有許多尼姆遊戲的變體。最早歐洲有關尼姆遊戲的參考資料是在16世紀，目前使用的名稱是由哈佛大學的Charles L. Bouton命名，他也在1901年提出了此遊戲的完整理論，不過沒有說明名稱的由來。

尼姆遊戲最常見的玩法是拿到最後一個棋子的人輸（misère game）。尼姆遊戲也可以改為拿到最後一個棋子的人贏（normal play）。大部份類似的遊戲都是最後一個棋子的人贏，不過這不是尼姆遊戲最常見的玩法。不論哪一種玩法，只要剛好剩下一排的棋子是二個或二個以上（其他排可能沒有棋子，或是只有一個），下一個遊戲者可以輕易的獲勝。下一個遊戲者可以將數量最多的這排棋子全部拿走或只留一個。剩下的各排都只有一個棋子。

若是misère版本，下一個遊戲者下完之後，只要留下奇數排就會勝利，若是normal版本，下一個遊戲者下完之後，只要留下偶數排就會勝利。

normal版本的尼姆遊戲（也就是尼姆數系統）是斯普萊格–格隆第定理的基礎，其中提到在normal版本中，每一個normal版本的無偏博弈（從任何一個局勢出發，雙方可以採取完全相同的行動，也就是說棋盤上沒有顏色的區分）都等價於一個特定大小的尼姆堆。所有的normal版本的無偏博弈都可以給與尼姆值，但misère版本的就不一定。只有Genus理論才能用misère版本尼姆的策略來進行。尼姆遊戲是一種特殊的偏序遊戲，其中的偏序關係包括了不交集的全序關係（堆）。三排棋子尼姆遊戲的演進圖和Ulam-Warburton自動機演進圖的三個分支相同。

## 遊戲玩法以及說明

normal版本是由二位遊戲者一起玩，有三排棋子，各排的棋子為任意正整數。二位遊戲者輪流選一排棋子，拿走上面至少一個棋子，也可以拿同一排的多個棋子。normal版本的目的是要拿到最後一個棋子。misère版本的目的就是要讓對方被迫拿走最後一個棋子（拿到最後一個棋子的人輸）。

以下是normal版本的遊戲，由愛麗絲與鮑伯二個人玩，三排棋子分別有三個、四個及五個棋子。

各排數量A B C｜走法

3 4 5｜鮑伯從A排拿走2個棋子

1 4 5｜愛麗絲從C排拿走3個棋子

1 4 2｜鮑伯從B排拿走1個棋子

1 3 2｜愛麗絲從B排拿走1個棋子

1 2 2｜鮑伯拿走所有A排的棋子，只剩下二排，各有2個

0 2 2｜愛麗絲從B排拿走1個棋子

0 1 2｜鮑伯從C排拿走1個棋子，只剩下二排，各有1個（若是misère版本，會從C排拿走2個棋子，留下(0, 1, 0)）

0 1 1｜愛麗絲拿走B排的1個棋子

0 0 1｜鮑伯拿走所有C排的棋子，鮑伯勝利。

## 必勝組態

尼姆遊戲的策略就是在拿完棋子後，使棋子個數符合以下任何一個組態，接下來再輪到時，一定可以再拿走適當數量的棋子，使棋子個數仍符合以下任何一個組態。normal版本和misere版本的差別只在最後一兩步，前面都相同：

2排｜3排｜4排

1 1、｜1 1 1 **｜1 1 1 1 *

2 2｜1 2 3｜1 1 n n

3 3｜1 4 5｜1 2 4 7

4 4｜1 6 7｜1 2 5 6

5 5｜1 8 9｜1 3 4 6

6 6｜2 4 6｜1 3 5 7

7 7｜2 5 7｜2 3 4 5

8 8｜3 4 7｜2 3 6 7

9 9｜3 5 6｜2 3 8 9

n n｜4 8 12｜4 5 6 7

4 9 13｜4 5 8 9

5 8 13｜n n m m

5 9 12｜n n n n

`*`只在normal版本有效

`**`只在misere版本有效

其中有出現n和m，是任何正整數，n和m可以相同。

## 數學理論

尼姆遊戲在數學上是已解遊戲，針對任意排數及個數的初始狀態都已有解法，而且有簡單的方式可以判斷哪一個遊戲者會勝利，並且此遊戲者要如何取子才會勝利。

這遊戲理論的關鍵是在各排個數在二進位下XOR位操作的結果，此操作也稱為是在GF(2)中的向量加法（在模數2以下的位元加法）。在組合博弈論中常稱為是「尼姆和」（nim-sum），以下也使用此一名稱。x和y的尼姆和會寫成x ⊕ y，以和一般的和區別x + y。像3, 4, 5的尼姆和計算如下：

二進位｜十進位｜備註

0112｜310｜A排

1002｜410｜B排

1012｜510｜C排

0102｜210｜三排數字的尼姆和，3 ⊕ 4 ⊕ 5 = 2

另一個等效，比較容易心算的作法，是將三排的個數分別表示為相異二次冪的和，再設法消除成對的次冪，再將最後留下的數字相加即可：

```
3 = 0 + 2 + 1 =     2   1      A排
4 = 4 + 0 + 0 = 4              B排
5 = 4 + 0 + 1 = 4       1      C排

2 =                 2          1和4都消去了, 剩下的是2
```

在normal版本（拿到最後一個棋子的贏）中，勝利的策略就是在取走棋子後，使尼姆和為0。只要取走棋子前，尼姆和不為0，一定有辦法取走部份棋子使尼姆和為0。另一個遊戲者無論怎麼拿，取走棋子後尼姆和都不會為0。以此策略，只要在取棋子時照策略進行，一定會勝利。要找到要拿走的棋子，可以令X是原來各排棋子數的尼姆和，遊戲策略是要分別計算各排棋子數和X的尼姆和(Yi)，找到尼姆和(Yi)比該排棋子數少的那一排，接下來就要取走這一排的棋子，使該排棋子數等於該行的尼姆和(Yi)。以上例中，原來各排棋子數的尼姆和是1=X = 3 ⊕ 4 ⊕ 5 = 2。A=3、B=4、C=5且X=2，因此得到

YA = A ⊕ X = 3 ⊕ 2 = 1 因為 (011) ⊕ (010) = 001

YB = B ⊕ X = 4 ⊕ 2 = 6

YC = C ⊕ X = 5 ⊕ 2 = 7

因此下一步是取走A排的棋子，使其數量變1（拿走二個棋子）。

有一個特別簡單的例子，是只剩二排的情形，其策略是在個數較多的那牌拿走部份棋子，使兩者數量相同。接下來對手不論怎麼下，都繼續使二排的數量相同，最後即可勝利。

若是玩misère版本。前面的策略都一樣，只到只剩一排的棋子超過一個（二個或二個以上）時才有不同。此時的策略都是針對超過一個棋子的那排棋子取子，使留下來的每一排都只有一個棋子。接下來玩的人只能從這幾排中選一排拿走。取子可能是那排全部取完，或是只剩一個，視遊戲版本而定，在玩misère版本（拿到最後一個棋子的輸）時，要使留下來的排數是單數（因此對方會拿到最後一個棋子），在玩normal版本遊戲時，要使留下來的排數是偶數。（因此自己會拿到最後一個棋子）。

以下是棋子數分別是3, 4, 5個，在misère版本的玩法：

A｜B｜C｜尼姆和｜下法

3｜4｜5｜0102=210｜我從A排拿走2個，使剩下的尼姆和為0

1｜4｜5｜0002=010｜你從C排拿走2個

1｜4｜3｜1102=610｜我從B排拿走2個

1｜2｜3｜0002=010｜你從C排拿走1個

1｜2｜2｜0012=110｜我從A排拿走1個

0｜2｜2｜0002=010｜你從C排拿走1個

0｜2｜1｜0112=310｜我將B排的都拿走，只留下C排（使剩下的排數是奇數）（若是normal版本，我會從C排拿走1個，使剩下的排數是偶數）

0｜0｜1｜0012=110｜你從C排拿走1個，也是最後一個，你輸

### 實現尼姆遊戲策略的程式範例

上述的策略可以寫成程式，以下就是Python的範例：

```python3
import functools

MISERE = 'misere'
NORMAL = 'normal'

def nim(heaps, game_type):
    """Computes next move for Nim, for both game types normal and misere.

    if there is a winning move:
        return tuple(heap_index, amount_to_remove)
    else:
        return "You will lose :("

    - mid-game scenarios are the same for both game types

    >>> print(nim([1, 2, 3], MISERE))
    misere [1, 2, 3] You will lose :(
    >>> print(nim([1, 2, 3], NORMAL))
    normal [1, 2, 3] You will lose :(
    >>> print(nim([1, 2, 4], MISERE))
    misere [1, 2, 4] (2, 1)
    >>> print(nim([1, 2, 4], NORMAL))
    normal [1, 2, 4] (2, 1)

    - endgame scenarios change depending upon game type

    >>> print(nim([1], MISERE))
    misere [1] You will lose :(
    >>> print(nim([1], NORMAL))
    normal [1] (0, 1)
    >>> print(nim([1, 1], MISERE))
    misere [1, 1] (0, 1)
    >>> print(nim([1, 1], NORMAL))
    normal [1, 1] You will lose :(
    >>> print(nim([1, 5], MISERE))
    misere [1, 5] (1, 5)
    >>> print(nim([1, 5], NORMAL))
    normal [1, 5] (1, 4)
    """

    print(game_type, heaps, end=' ')

    is_misere = game_type == MISERE

    is_near_endgame = False
    count_non_0_1 = sum(1 for x in heaps if x > 1)
    is_near_endgame = (count_non_0_1 <= 1)

    # nim sum will give the correct end-game move for normal play but
    # misere requires the last move be forced onto the opponent
    if is_misere and is_near_endgame:
        moves_left = sum(1 for x in heaps if x > 0)
        is_odd = (moves_left % 2 == 1)
        sizeof_max = max(heaps)
        index_of_max = heaps.index(sizeof_max)

        if sizeof_max == 1 and is_odd:
            return "You will lose :("

        # reduce the game to an odd number of 1's
        return index_of_max, sizeof_max - int(is_odd)

    nim_sum = functools.reduce(lambda x, y: x ^ y, heaps)
    if nim_sum == 0:
        return "You will lose :("

    # Calc which move to make
    for index, heap in enumerate(heaps):
        target_size = heap ^ nim_sum
        if target_size < heap:
            amount_to_remove = heap - target_size
            return index, amount_to_remove

if __name__ == "__main__":
    import doctest
    doctest.testmod()
```

## 必勝策略的證明

以下是必勝策略的證明，由C. Bouton所提出。

定理：在normal版本的尼姆遊戲中，第一個玩家有必勝的策略，若且唯若各排棋子數的尼姆和不為零。否則，第二個玩家有必勝的策略。

證明：注意尼姆和（⊕）遵守一般加法的結合律及交換律，還有另外一個性質x ⊕ x = 0。

令x1, ..., xn是移動前的各排棋子數，y1, ..., yn是移動後的各排棋子數。令 s = x1 ⊕ ... ⊕ xn且 t = y1 ⊕ ... ⊕ yn。若這次是移動第k排的棋子，可得xi = yi針對所有 i ≠ k，且xk > yk。依照⊕的性質，可得

```
    ''t'' = 0 ⊕ ''t''
      = ''s'' ⊕ ''s'' ⊕ ''t''
      = ''s'' ⊕ (''x''<sub>1</sub> ⊕ ... ⊕ ''x<sub>n</sub>'') ⊕ (''y''<sub>1</sub> ⊕ ... ⊕ ''y<sub>n</sub>'')
      = ''s'' ⊕ (''x''<sub>1</sub> ⊕ ''y''<sub>1</sub>) ⊕ ... ⊕ (''x<sub>n</sub>'' ⊕ ''y<sub>n</sub>'')
      = ''s'' ⊕ 0 ⊕ ... ⊕ 0 ⊕ (''x<sub>k</sub>'' ⊕ ''y<sub>k</sub>'') ⊕ 0 ⊕ ... ⊕ 0
      = ''s'' ⊕ ''x<sub>k</sub>'' ⊕ ''y<sub>k</sub>''
&nbsp;
(*) ''t'' = ''s'' ⊕ ''x<sub>k</sub>'' ⊕ ''y<sub>k</sub>''.
```

此定理會由以下二個引理推導而來。

引理1：若s = 0，則無論如何移動，接下來t ≠ 0。

證明：若沒有任何可以移動的棋子，此引理空虛的真（依定義，接下來要玩的遊戲者輸，因為在他前一手的遊戲者拿了最後一個棋子）。否則，任何k排的移動都會因為(*)，造成 t = xk ⊕ yk。因為xk ≠ yk，上述數字不為0。

引理2：若s ≠ 0，有可能讓t = 0.

證明：令d是s二進位表示法中最左邊１的位置，選擇k使xk的第d位元也不是零。（這個k一定存在，不然s的第d位元都是零了）

令yk = s ⊕ xk，可以聲稱 yk < xk：xk和yk所有d左邊的位元都相同，d位元從1變為0（數值減少2d），剩下位元的變化最多是2d−1。因此接下來的遊戲者可以在第k'排拿走xk− yk個棋子，則

```
''t'' = ''s'' ⊕ ''x<sub>k</sub>'' ⊕ ''y<sub>k</sub>''           (by (*))
  = ''s'' ⊕ ''x<sub>k</sub>'' ⊕ (''s'' ⊕ ''x<sub>k</sub>'')
  = 0.
```

misère版本的策略剛剛已經看過，只有在只剩一排的棋子是二個或二個以上時才不同。在這種情形s ≠ 0，接下來玩的人有必勝策略，若是normal版本，就是設法留下偶數排的棋子，每排都只有一個棋子，misère版本則反過來，設法留下奇數排的棋子，每排都只有一個棋子。

## 社會文化

在1939年紐約世界博覽會中，西屋電氣有展示一個機器，會玩尼姆遊戲的Nimatron。自1940年的5月11日到10月27日為止，在六週的週期內只有少數的人可以打敗Nimatron：若他們勝了，會得到一個稱為Nim Champ的硬幣。尼姆遊戲也是最早電腦化的游戲。Ferranti曾製作可以玩尼姆遊戲的Nimrod電腦，在1951年的英國節上展示。1952年時，W. L. Maxon公司的工程師Herbert Koppel、 Eugene Grant和Howard Bailer開發了重達50lbs的機器，可以和人玩尼姆遊戲，而且多半會贏。Tinkertoy也可以製作尼姆遊戲機。

尼姆遊戲是馬丁·加德納在《科學美國人》（Scientific American）雜誌中，1958年2月〈數學遊戲專欄〉的主題。在1961年法國新浪潮電影《去年在馬倫巴》中，有玩過特定版本的尼姆遊戲，而且有象徵的重要性。

## 類似遊戲

### subtraction game

另一個有點類似的遊戲稱為subtraction game，會先列出總數，以及每一次可以拿走的最大數量。可能每一次只能拿走1個、2個...至k個。例如在《Survivor: Thailand》節目中的Thai 21，就是k = 3的版本。

若棋子只有一排，共有n個棋子，其必勝策略若且唯若

n ≡ 0 (mod k + 1)（拿到最後一個棋子的人贏的玩法）或

n ≡ 1 (mod k + 1)（拿到最後一個棋子的人輸的玩法）

### 21遊戲

21遊戲一般會用拿到最後一個棋子的人輸的玩法。可以有數個遊戲者參與。第一個遊戲者說1，其他的遊戲者可以在前一個人的數字加1,2或是3。數到21的遊戲者輸。若是二個遊戲者玩，有必勝的策略，就是讓加完的數字維持是4的倍數。這可以使另一方最後一定會數到21。

21遊戲的數字也可以修改，例如改為「最多加5，數到34的人輸」。

以下是一個21遊戲的例子，第二個遊戲者使用必勝的策略：

```
遊戲者     數字
  1           1
  2           4
  1        5, 6 或 7
  2           8
  1       9, 10 或 11
  2          12
  1      13, 14 或 15
  2          16
  1      17, 18 或 19
  2          20
  1          21
```

### 100遊戲

另一個類似的遊戲是100遊戲：從0開始加，每一次可以加1到10之間的任一個整數，數到100的人勝利。必勝的策略是搶到類似01、12、23、34......、89的數字，接下來另一遊戲者不論加多少，都設法搶到下一個01、12、23、34......、89的數字（因為這些數字之間的差是11，不論對方加1到10之間的哪一個數字，都可以可以再加數字，使二人加的數字總計為11）。只要到89之後，接下來不論對方加多少，都可以再加數字使結果為100，因此必勝。

### 多排尼姆的規則

另一個版本的尼姆，是允許在每一排中取走相同數量的棋子。

### 循環尼姆

另一種尼姆的變體是循環尼姆，將一定數量的棋子擺成圓形，二個遊戲者輪流取棋子，可以取相鄰的一個、二個或三個棋子。以下是一個例子：

```
. . . . . . . . . .
```

一開始取走三個棋子

```
_ . . . . . . . _ _
```

接下來又取走三個棋子

```
_ . _ _ _ . . . _ _
```

又拿走一個棋子

```
_ . _ _ _ . . _ _ _
```

最後剩下三個棋子，但是不相鄰，無法一次取走。

### Grundy遊戲

Grundy遊戲也是尼姆遊戲的變體，一開始有一排特定數量的棋子，遊戲者要輪流將某一排棋子分為二排數量不同，且都不為0的棋子。例如6個棋子可以分為5+1、4+2，但不能分為3+3。此遊戲可以讓最後一個人贏或是輸。

## 外部連結

- 50-pound computer plays Nim- The New Yorker magazine "Talk of the Town" August, 1952