酉群

酉群，又叫么正群，是李群的一種。在群論中，$n$階酉群（unitary group）是$n\times n$酉矩陣組成的群，群乘法是矩陣乘法。酉群記作$\text{U}(n)$，是一般線性群$\text{GL}(n, \mathbf{C})$的一個子群。

在最簡單情形$n = 1$，群$\text{U}(1)$相當於圓群，由所有絕對值為1的複數在乘法下組成的群。所有酉群都包含一個這樣的子群。

酉群$\text{U}(n)$是一個$n^2$維實李群。$\text{U}(n)$的李代數由所有復$n\times n$斜埃爾米特矩陣組成，李括號為交換子。

一般酉群(也稱為酉相似群）由所有復矩陣$A$使得$A^*A$是恆同矩陣非零複數倍，這就是酉群與恆同矩陣的正數倍的乘積。

## 性質

因為酉矩陣的行列式是模長1複數，行列式給出了一個群同態

$$\det\colon \mathrm{U}(n) \to \mathrm{U}(1)$$

這個同態的核是行列式為單位的酉矩陣集合，這個子群稱為特殊酉群，記作$\text{SU}(n)$。我們有李群的短正合列：

$1\to\mathrm{SU}(n)\to\mathrm{U}(n)\to\mathrm{U}(1)\to 1\,$。

這個短正合列分裂，故$\text{U}(n)$可以寫成$\text{SU}(n)$與$\text{U}(1)$的半直積。這裡$\text{U}(1)$是$\text{U}(n)$中由$\mbox{diag} (e^{i\theta},1,1,\cdots,1)$形式的矩陣組成的子群。

酉群$\text{U}(n)$對$n > 1$是非交換的。$\text{U}(n)$的中心是數量矩陣$\lambda I$，這裡$\lambda \in \text{U}(1)$。這由舒爾引理得來。這樣中心同構於$\text{U}(1)$。因為$\text{U}(n)$的中心是一個1維阿貝爾正規子群，酉群不是半單的。

## 拓撲

酉群$\text{U}(n)$作為$M_n(\mathbf{C})$的子集賦予相對拓撲，$M_n(\mathbf{C})$是所有$n\times n$復矩陣集合，本身同構於$2n^2$維歐幾里得空間。

作為一個拓撲空間，$\text{U}(n)$是緊連通空間。因為$\text{U}(n)$是$M_n(\mathbf{C})$的一個有界閉子集，然後海涅-博雷爾定理可知緊性。欲證$\text{U}(n)$是連通的，回憶到任何酉矩陣$A$能被另一個酉矩陣$S$對角化。任何對角酉矩陣的對角線上都是絕對值為1的複數。從而我們可以寫成

$A = S\,\mbox{diag}(e^{i\theta_1},\dots,e^{i\theta_n})\,S^{-1}$。

$\text{U}(n)$中從單位到$A$的一條道路由

$$t\mapsto S\,\mbox{diag}(e^{it\theta_1},\dots,e^{it\theta_n})\,S^{-1}$$

給出。

酉群不是單連通的；對所有$n$，$\text{U}(n)$的基本群是無限循環群

$\pi_1(U(n)) \cong \mathbf{Z}$。

第一個酉群U(1)是一個拓撲圓周，熟知其有同構於$\mathbf{Z}$的基本群，包含映射$U(n) \to U(n+1)$在$\pi_1$上是同構（其商是斯蒂弗爾流形）。

行列式映射$\mathrm{det}\colon \mathrm{U}(n) \to \mathrm{U}(1)$誘導了基本群的同構，分裂映射$\mathrm{U}(1) \to \mathrm{U}(n)$誘導其逆。

## 相關的群

### 三選二性質

酉群是正交群、辛群與複數群的3重交集：

$$U(n) = O(2n) \cap GL(n,\mathbf{C}) \cap Sp(2n, \mathbf{R}),$$

從而一個酉結構可以視為一個正交結構、復結構與辛結構，他們要求是「一致的」（意思是說：復結構與辛形式使用同樣的$J$，且$J$是正交的；取定一個$J$將所有群寫成矩陣群便確保了一致性）。

事實上，它是這三個中任何兩個的交集；從而一個一致的正交與複結構導致了一個辛結構，如此等等。

在方程的層次上，這可以由下面看出

辛：$A^TJA = J,$

複：$A^{-1}JA = J,$

正交：$A^T=A^{-1},$

任何兩個方程蘊含第三個。

在形式的層次上，這可從埃爾米特形式分解為實部與虛部看出：

實部是對稱的（或正交），虛部是斜正交（辛）——他們由複結構聯繫（這便是一致性）。在一個殆凱勒流形上，可以將這個分解寫成$h=g + i\omega$，這裡$h$是埃爾米特形式，$g$是黎曼度量，$i$是殆復結構，而$\omega$是殆辛結構。

從李群的觀點來看，這可部分地解釋如下：

$O(2n)$是$GL(2n,\mathbf{R})$的極大緊子群，而$U(n)$是$GL(n,\mathbf{C})$與$Sp(2n)$的極大緊子群。從而交集$O(2n) \cap GL(n,\mathbf{C})$或$O(2n) \cap Sp(2n)$是這些群的極大緊子群，即$U(n)$。從這個觀點來看，意料之外的是交集$GL(n,\mathbf{C}) \cap Sp(2n) = U(n)$。

### 特殊酉群與射影酉群

<image>

就像正交群有子群特殊正交群與商群射影正交群$\text{PO}(n)$，以及子商群射影特殊正交群；酉群也有關聯的特殊酉群$\text{SU}(n)$，射影酉群$\text{PU}(n)$，以及射影特殊酉群$\text{PSU}(n)$。他們的關係如左所示的交換圖表；特別地，兩個射影群相等：$\operatorname{PSU}(n) = \operatorname{PU}(n)$。

上面對經典酉群成立（複數上），對有限域，可以類似地得到特殊酉群與射影酉群，但是一般地$\operatorname{PSU}(n,q^2) \neq \operatorname{PU}(n,q^2)$。

## G-結構：殆埃米爾特

用G-結構的語言來說，一個具有$\mathrm{U}(n)$-結構的流形是一個殆埃米爾特流形。

## 推廣

從李群的觀點來看，典型酉群是斯坦伯格群${}^2\!A_n$的實形式，後者是由一般線性群的「圖表自同構」（翻轉丹金圖形 $A_n$，對應於轉置逆）與擴張$\mathbf{C}/\mathbf{R}$的域同構（即復共軛）的複合得到的代數群。兩個自同構都是代數群的自同構，階數為2，可交換，酉群作為代數群是乘積自同構的不動點。典型酉群是這個群的實形式，對應於標準埃爾米特形式$\Psi$，它是正定的。

這可從幾個方面推廣：

- 推廣到其它埃爾米特形式得到了不定酉群$\operatorname{U}(p,q)$。
- 域擴張可用任何2階可分代數取代，最特別地是一個2階有限域擴張。
- 推廣到其它圖表得出李型群，即其它斯坦伯格群${}^2\!D_n, {}^2\!E_6, {}^3\!D_4,$（以及${}^2\!A_n$）Suzuki-Ree群${}^2\!B_2\left(2^{2n+1}\right), {}^2\!F_4\left(2^{2n+1}\right), {}^2\!G_2\left(3^{2n+1}\right)$。
- 考慮一個推廣的酉群作為代數群，可取它的點在不同的代數上。

### 不定形式

類似於不定正交群，給定一個不必正定（但一般取為非退化）的埃爾米特形式，考慮保持這個形式的變換，我們可以定義不定酉群。這裡我們在復向量空間上考慮問題。

給定復向量空間$V$上的一個埃爾米特形式$\Psi$，酉群$U(\Psi)$是保持這個形式的變換群：變換$M$使得$\Psi(Mv,Mw)=\Psi(v,w)$，對所有$v,w\in V$。寫成矩陣，設這個形式用矩陣$\Phi$表示，這便是說$M^*\Phi M = \Phi$。

就像實數上的對稱形式，埃爾米特形式由符號確定，所有都是酉合同於對角線上$p$個元素為1，$q$個$-1$的對角矩陣。非退化假設等價於 $p+q=n$。在一組標準基下，這代表二次形式：

$$\lVert z \rVert_\Psi^2 = \lVert z_1 \rVert^2 + \dots + \lVert z_p \rVert^2 - \lVert z_{p+1} \rVert^2 - \dots - \lVert z_n \rVert^2 ,$$

作為對稱形式是：

$$\Psi(w,z) = \bar w_1 z_1 + \cdots + \bar w_p z_p - \bar w_{p+1}z_{p+1} - \cdots - \bar w_n z_n ,$$

得出的群記為$U(p,q)$。

### 有限群

在$q=p^r$個元素的有限域$\mathbf{F}_q$上，有一個惟一的2階擴張域 $\mathbf{F}_{q^2}$，帶有2階自同構$\alpha\colon x \mapsto x^q$（弗羅貝尼烏斯自同構的$r$次冪）。這使得我們可以定義$\mathbf{F}_{q^2}$上一個向量空間$V$上的埃爾米特形式，是一個$\mathbf{F}_q$-雙線性映射$\Psi\colon V \times V \to K$使得$\Psi(w,v)=\alpha\left(\Psi(v,w)\right)$以及$\Psi(w,cv)=c\Psi(w,v)$對$c \in \mathbf{F}_{q^2}$。另外，有限域上向量空間的所有非退化埃爾米特形式都酉合同與用恆同矩陣表示的標準形式。這便是說，任何埃爾米特形式酉等價於

$$\Psi(w,v)=w^\alpha \cdot v = \sum_{i=1}^n w_i^q v_i ,$$

這裡$w_i,v_i$表示$w,v \in V$在$n$-維空間$V$的某個特定$\mathbf{F}_{q^2}$-基下的坐標Grove。

從而我們對擴張$\mathbf{F}_{q^2}/\mathbf{F}_q$可以定義一個（惟一的）$n$維酉群，記作$U(n,q)$或$U\left(n,q^2\right)$（取決於作者的習慣）。酉群中矩陣的行列式為1的子群稱為特殊酉群，記作$SU(n,q)$或$SU(n,q^2)$。為方便起見，本文使用$U(n,q^2)$寫法。$U(n,q^2)$的中心的階數為$q+1$由為酉數量矩陣組成，這便是所有矩陣$cI_V$，這裡$c^{q+1}=1$。特殊酉群的中心的階數為$\gcd(n,q+1)$，由那些階數整除$n$的酉數量矩陣組成。酉群除以中心的商稱為射影酉群，$PU(n,q^2)$，特殊酉群除以中心是射影特殊酉群$PSU(n,q^2)$。在大多數情形（$n \geq 2$與$(n,q^2) \notin \{ (2,2^2), (2,3^2), (3,2^2) \}$），$SU(n,q^2)$是完全群而$PSU(n,q^2)$是有限單群Grove。

### 2階可分代數

更一般地，給定一個域$k$與一個2階可分$k$-代數$K$（可能是一個域擴張但也未必），我們可以定義關於這個擴張的酉群。

首先，存在$K$的惟一$k$-自同構$a \mapsto \bar a$是一個對合且恰好不動元為$k$（$a=\bar a$若且唯若$a \in k$)。這是復共軛與2階有限域擴張共軛的推廣，從而我們可以在它上面的定義埃爾米特形式與酉群。

### 代數群

定義酉群的方程是一些$k$上的多項式方程（但不是在$k$上）：對標準形式$\Phi=I$，這些方程由矩陣$A^*A=I$給出，這裡$A^*=\overline A^t$是共軛轉置。給定另外一個形式，它們是$A^*\Phi A=\Phi$。從而酉群一個代數群，它在一個$k$-代數$R$上的點由

$$\operatorname{U}(n,K/k,\Phi)(R) <pre> := \left\{ A\in \operatorname{GL}(n,K\otimes_k R) : A^*\Phi A=\Phi\right\}$$

給出。

對域擴張$\mathbf{C}/\mathbf{R}$與標準（正定）埃爾米特形式，這得出了具有實點與復點的代數群：

$$\operatorname{U}(n,\mathbf{C}/\mathbf{R})(\mathbf{R}) <pre> = \operatorname{U}(n),$$

$\operatorname{U}(n,\mathbf{C}/\mathbf{R})(\mathbf{C}) <pre> = \operatorname{GL}(n,\mathbf{C})$。

## 分類空間

關於U(n)的分類空間在條目U(n)的分類空間中描述。