反三角函數

幾個反三角函數的圖形，其中，反餘切以複變分析定義，因此在原點處出現不連續斷點

在數學中，反三角函數（inverse trigonometric function）是三角函數的反函數。

## 數學符號

符號$\sin^{-1}, \cos^{-1}$等常用於$\arcsin, \arccos$等。但是這種符號有時在$\sin^{-1} x$和$\frac{1}{\sin x}$之間易造成混淆。

在編程中，函數$\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$通常叫做$\mathrm{asin}$, $\mathrm{acos}$, $\mathrm{atan}$。很多程式語言提供兩自變量atan2函數，它計算給定$y$和$x$的$\frac{y}{x}$的反正切，但是值域為$[-\pi, \pi]$。

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- 在笛卡爾平面上$f(x)=\arcsin x$(紅)和$f(x)=\arccos x$(綠)函數的常用主值的圖像。

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- 在笛卡爾平面上$f(x)=\arctan x$(紅)和$f(x)=\arccot x$(綠)函數的常用主值的圖像。

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- 在笛卡爾平面上$f(x)=\arccsc x$(紅)和$f(x)=\arcsec x$(綠)函數的常用主值的圖像。

## 主值

下表列出基本的反三角函數。

名稱｜常用符號｜定義｜定義域｜值域

反正弦｜$y=\arcsin x$｜$x=\sin y$｜$[-1,1]$｜$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$

反餘弦｜$y=\arccos x$｜$x=\cos y$｜$[-1,1]$｜$[0,\pi]$

反正切｜$y=\arctan x$｜$x=\tan y$｜$\mathbb{R}$｜$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$

反餘切｜$y=\arccot x$｜$x=\cot y$｜$\mathbb{R}$｜$(0,\pi)$

反正割｜$y=\arcsec x$｜$x=\sec y$｜$(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$｜$[0,\frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2},\pi]$

反餘割｜$y=\arccsc x$｜$x=\csc y$｜$(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$｜$[-\frac{\pi}{2},0)\cup(0,\frac{\pi}{2}]$

（注意：某些數學教科書的作者將$\arcsec$的值域定為$[0,\frac{\pi}{2})\cup[\pi,\frac{3\pi}{2})$因為當$\tan$的定義域落在此區間時，$\tan$的值域$\geq 0$，如果$\arcsec$的值域仍定為$[0,\frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2},\pi]$，將會造成$\tan(\arcsec x)=\pm\sqrt{x^2-1}$，如果希望$\tan(\arcsec x)=\sqrt{x^2-1}$，那就必須將$\arcsec$的值域定為$[0,\frac{\pi}{2})\cup[\pi,\frac{3\pi}{2})$，基於類似的理由$\arccsc$的值域定為$(-\pi,-\frac{\pi}{2}]\cup(0,\frac{\pi}{2}]$）

如果$x$允許是複數，則$y$的值域只適用它的實部。

## 反三角函數之間的關係

餘角：

$$\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x$$

$$\arccot x = \frac{\pi}{2} - \arctan x$$

$$\arccsc x = \frac{\pi}{2} - \arcsec x$$

負數參數：

$$\arcsin (-x) = - \arcsin x \!$$

$$\arccos (-x) = \pi - \arccos x \!$$

$$\arctan (-x) = - \arctan x \!$$

$$\arccot (-x) = \pi - \arccot x \!$$

$$\arcsec (-x) = \pi - \arcsec x \!$$

$$\arccsc (-x) = - \arccsc x \!$$

倒數參數：

$$\arccos \frac{1}{x} \,= \arcsec x$$

$$\arcsin \frac{1}{x} \,= \arccsc x$$

$\arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \arctan x =\arccot x, \ $ $\ x > 0$

$\arctan \frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2} - \arctan x = -\pi + \arccot x, \ $ $\ x < 0$

$\arccot \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \arccot x =\arctan x, \ $ $\ x > 0$

$\arccot \frac{1}{x} = \frac{3\pi}{2} - \arccot x = \pi + \arctan x,\ $ $\ x < 0$

$$\arcsec \frac{1}{x} = \arccos x$$

$$\arccsc \frac{1}{x} = \arcsin x$$

如果有一段正弦表：

$\arccos x = \arcsin \sqrt{1-x^2},$ $\ 0 \leq x \leq 1$

$$\arctan x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$

注意只要在使用了複數的平方根的時候，我們選擇正實部的平方根(或者正虛部，如果是負實數的平方根的話)。

從半角公式$\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}$，可得到：

$$\arcsin x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}$$

$\arccos x = 2 \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x},$ $-1 < x \leq +1$

$$\arctan x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}$$

## 三角函數與反三角函數的關係

通過定義可知：

$\theta$｜$\sin \theta$｜$\cos \theta$｜$\tan \theta$｜圖示

$\arcsin x$｜$\sin (\arcsin x) = x$｜$\cos (\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}$｜$\tan (\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$｜

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$\arccos x$｜$\sin (\arccos x) = \sqrt{1-x^2}$｜$\cos (\arccos x) = x$｜$\tan (\arccos x) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$｜

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$\arctan x$｜$\sin (\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$｜$\cos (\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$｜$\tan (\arctan x) = x$｜

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$\arccot x$｜$\sin (\arccot x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$｜$\cos (\arccot x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$｜$\tan (\arccot x) = \frac{1}{x}$｜

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$\arcsec x$｜$\sin (\arcsec x) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}$｜$\cos (\arcsec x) = \frac{1}{x}$｜$\tan (\arcsec x) = \sqrt{x^2-1}$｜

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$\arccsc x$｜$\sin (\arccsc x) = \frac{1}{x}$｜$\cos (\arccsc x) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}$｜$\tan (\arccsc x) = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$｜

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## 一般解

每個三角函數都周期於它的參數的實部上，在每個$2\pi$區間內通過它的所有值兩次。正弦和餘割的周期開始於$2\pi k-\frac{\pi}{2}$結束於$2\pi k+\frac{\pi}{2}$（這裡的$k$是一個整數），在$2\pi k+\frac{\pi}{2}$到$2\pi k+\frac{3\pi}{2}$上倒過來。餘弦和正割的周期開始於$2\pi k$結束於$2\pi k +\pi$，在$2\pi k +\pi$到$2\pi k +2\pi$上倒過來。正切的周期開始於$2\pi k-\frac{\pi}{2}$結束於$2\pi k+\frac{\pi}{2}$，接著(向前)在$2\pi k+\frac{\pi}{2}$到$2\pi k+\frac{3\pi}{2}$上重複。餘切的周期開始於$2\pi k$結束於$2\pi k +\pi$，接著（向前）在$2\pi k +\pi$到$2\pi k +2\pi$上重複。

這個周期性反應在一般反函數上：

$$\sin y= x \ \Leftrightarrow\ (\ y = \arcsin x+ 2k\pi \text{ } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z} \ \lor\ y= \pi - \arcsin x+ 2k\pi \text{ } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z}\ )$$

$$\cos y= x \ \Leftrightarrow\ (\ y = \arccos x+ 2k\pi \text{ } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z} \ \lor\ y = 2\pi - \arccos x+ 2k\pi \text{ } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z}\ )$$

$$\tan y= x \ \Leftrightarrow\ \ y = \arctan x+ k\pi \text{ } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z}$$

$$\cot y= x \ \Leftrightarrow\ \ y = \arccot x+ k\pi \text{ } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z}$$

$$\sec y= x \ \Leftrightarrow\ (\ y = \arcsec x+ 2k\pi \text{ } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z} \ \lor\ y = 2\pi - \arcsec x+ 2k\pi \text{ } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z}\ )$$

$$\csc y= x \ \Leftrightarrow\ (\ y = \arccsc x+ 2k\pi \text{ } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z} \ \lor\ y = \pi - \arccsc x+ 2k\pi \text{ } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z}\ )$$

## 反三角函數的導數

對於實數$x$的反三角函數的導函數如下：

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \arcsin x & {}= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}; \qquad |x| < 1\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \arccos x & {}= \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}; \qquad |x| < 1\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \arctan x & {}= \frac{1}{1+x^2}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \arccot x & {}= \frac{-1}{1+x^2}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \arcsec x & {}= \frac{1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \arccsc x & {}= \frac{-1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1\\ \end{align}$$

舉例說明，設$\theta = \arcsin x \!$，得到：

$$\frac{d \arcsin x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sin \theta} = \frac{1} {\cos \theta} = \frac{1} {\sqrt{1-\sin^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上$|x|<1$，其他導數公式同理可證

$\theta =\arccos x$

$$\frac{d\arccos x}{dx}=\frac{d\theta }{d\cos \theta }=\frac{-1}{\sin \theta }=\frac{1}{\sqrt{1-\cos ^{2}\theta }}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}$$

$|x|<1$

$\theta =\arctan x$

$$\frac{d\arctan x}{dx}=\frac{d\theta }{d\tan \theta }=\frac{1}{\sec ^{2}\theta }=\frac{1}{1+\tan ^{2}\theta }=\frac{1}{1+x^{2}}$$

$\theta =\arccot x$

$$\frac{d\arccot x}{dx}=\frac{d\theta }{d\cot \theta }=\frac{-1}{\csc ^{2}\theta }=\frac{1}{1+\cot ^{2}\theta }=\frac{-1}{1+x^{2}}$$

$\theta =\arcsec x$

$$\frac{d\arcsec x}{dx}=\frac{d\theta }{d\sec \theta }=\frac{1}{\sec \theta \tan \theta }=\frac{1}{\left| x \right|\sqrt{x^{2}-1}}$$

$|x|>1$

$\sec \theta$

$\sec ^{-1}\theta$

$0\le \theta \le \pi,\theta\ne\frac{\pi}{2}$

$\tan \theta = \pm \sqrt{x^{2}-1}$

$x$

$\theta =\arccsc x$

$$\frac{d\arccsc x}{dx}=\frac{d\theta }{d\csc \theta }=\frac{-1}{\csc \theta \cot \theta }=\frac{-1}{\left| x \right|\sqrt{x^{2}-1}}$$

$|x|>1$

$\csc \theta$

$\csc ^{-1}\theta$

$-\frac{\pi}{2}\le \theta \le \frac{\pi}{2},\theta\ne0$。

## 表達為定積分

積分其導數並固定在一點上的值給出反三角函數作為定積分的表達式：

$$\begin{align} \arcsin x &{}= \int_0^x \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1\\ \arccos x &{}= \int_x^1 \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1\\ \arctan x &{}= \int_0^x \frac 1 {z^2 + 1}\,dz,\\ \arccot x &{}= \int_x^\infty \frac {1} {z^2 + 1}\,dz,\\ \arcsec x &{}= \int_1^x \frac 1 {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1\\ \arccsc x &{}= \int_x^\infty \frac {1} {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1 \end{align}$$

當$x$等於1時，在有極限的域上的積分是瑕積分，但仍是良好定義的。

## 無窮級數

如同正弦和餘弦函數，反三角函數可以使用無窮級數計算如下：

$$\begin{align} \arcsin z & {}= z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots\\ & {}= \sum_{n=0}^\infty \left[ \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right] \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)} ; \qquad | z | \le 1 \end{align}$$

$$\begin{align} \arccos z & {}= \frac {\pi} {2} - \arcsin z \\ & {}= \frac {\pi} {2} - \left[z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots \right] \\ & {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left[ \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right] \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)} ; \qquad | z | \le 1 \end{align}$$

$$\begin{align} \arctan z & {}= z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots \\ & {}= \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1} ; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i \end{align}$$

$$\begin{align} \arccot z & {}= \frac {\pi} {2} - \arctan z \\ & {}= \frac {\pi} {2} - \left( z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots \right) \\ & {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1} ; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i \end{align}$$

$$\begin{align} \arcsec z & {}= \arccos\left(z^{-1}\right) \\ & {}= \frac {\pi} {2} -\left[z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^{-7}} {7} + \cdots \right] \\ & {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left[ \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right] \frac {z^{-(2n+1)}} {(2n+1)} ; \qquad \left| z \right| \ge -4 \end{align}$$

$$\begin{align} \arccsc z & {}= \arcsin\left(z^{-1}\right) \\ & {}= z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4 } \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {z^{-7}} {7} +\cdots \\ & {}= \sum_{n=0}^\infty \left[ \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right] \frac {z^{-(2n+1)}} {2n+1} ; \qquad \left| z \right| \ge 1 \end{align}$$

歐拉發現了反正切的更有效的級數：

$\arctan x = \infty{x}{1+x^2} \sum_{n=0}^\infty \prod_{k=1}^n \frac{2k x^2}{(2k+1)(1+x^2)}$。

（注意對$x=0$在和中的項是空積1。）

## 反三角函數的不定積分

$$\begin{align} \int \arcsin x\,dx &{}= x\,\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C, \qquad x\le 1\\ \int \arccos x\,dx &{}= x\,\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C, \qquad x\le 1\\ \int \arctan x\,dx &{}= x\,\arctan x - \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C\\ \int \arccot x\,dx &{}= x\,\arccot x + \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C\\ \int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \sgn(x)\ln\left|x+\sqrt{x^2-1}\right| + C= x\,\arcsec x +\sgn(x)\ln\left|x-\sqrt{x^2-1}\right| + C\\ \int \arccsc x\,dx &{}= x\,\arccsc x + \sgn(x)\ln\left|x+\sqrt{x^2-1}\right| + C= x\,\arccsc x -\sgn(x)\ln\left|x-\sqrt{x^2-1}\right| + C\\ \end{align}$$

使用分部積分法和上面的簡單導數很容易得出它們。

### 舉例

使用$\int u\,\mathrm{d}v = u v - \int v\,\mathrm{d}u$，設

$$\begin{align} u &{}=&\arcsin x &\quad\quad\mathrm{d}v = \mathrm{d}x\\ \mathrm{d}u &{}=&\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}&\quad\quad{}v = x \end{align}$$

則

$$\int \arcsin(x)\,\mathrm{d}x = x \arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x$$

換元

$$k = 1 - x^2.\,$$

則

$$\mathrm{d}k = -2x\,\mathrm{d}x$$

且

$$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}k}{\sqrt{k}} = -\sqrt{k}$$

換元回x得到

$$\int \arcsin(x)\, \mathrm{d}x = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2}+C$$

## 加法公式和減法公式

### arcsin x + arcsin y

$$\arcsin x + \arcsin y = \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right), xy \leq 0 \lor x^2 + y^2\leq 1$$

$$\arcsin x + \arcsin y = \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right), x > 0, y > 0, x^2 + y^2 > 1$$

$$\arcsin x + \arcsin y = - \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right), x < 0 , y < 0, x^2 + y^2 > 1$$

### arcsin x - arcsin y

$$\arcsin x - \arcsin y = \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} - y\sqrt{1-x^2}\right), xy \geq 0 \lor x^2 + y^2\leq 1$$

$$\arcsin x - \arcsin y = \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} - y\sqrt{1-x^2}\right), x > 0, y < 0, x^2 + y^2 > 1$$

$$\arcsin x - \arcsin y = - \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right), x < 0, y > 0, x^2 + y^2 > 1$$

### arccos x + arccos y

$$\arccos x + \arccos y = \arccos\left(xy - \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}\right), x + y \geq 0$$

$$\arccos x + \arccos y = 2\pi - \arccos\left(xy - \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}\right), x + y < 0$$

### arccos x - arccos y

$$\arccos x - \arccos y = -\arccos\left(xy + \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}\right), x \geq y$$

$$\arccos x - \arccos y = \arccos\left(xy + \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}\right), x < y$$

### arctan x + arctan y

$$\arctan\,x + \arctan\,y =\arctan\,{\frac{x+y}{1-xy}}, xy < 1$$

$$\arctan\,x + \arctan\,y =\pi + \arctan\,{\frac{x+y}{1-xy}}, x > 0, xy > 1$$

$$\arctan\,x + \arctan\,y =-\pi + \arctan\,{\frac{x+y}{1-xy}}, x < 0, xy > 1$$

### arctan x - arctan y

$$\arctan x - \arctan y =\arctan{\frac{x-y}{1+xy}}, xy > -1$$

$$\arctan x - \arctan y =\pi + \arctan{\frac{x-y}{1+xy}}, x > 0, xy < -1$$

$$\arctan x - \arctan y =-\pi + \arctan {\frac{x-y}{1+xy}}, x < 0, xy < -1$$

### arccot x + arccot y

$$\arccot x + \arccot y =\arccot{\frac{xy-1}{x+y}}, x > -y$$

$$\arccot x + \arccot y =\arccot {\frac{xy-1}{x+y}}+\pi, x < -y$$

### arcsin x + arccos y

$$\arcsin x + \arccos x =\frac{\pi}{2}, |x|\leq1$$

### arctan x + arccot y

$$\arctan x + \arccot x =\frac{\pi}{2}$$