可觀察量

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在物理學裏，特別是在量子力學裏，處於某種狀態的物理系統，它所具有的一些性質，可以經過一序列的物理運作過程而得知。這些可以得知的性質，稱為可觀察量（observable）。例如，物理運作可能涉及到施加電磁場於物理系統，然後使用實驗儀器測量某物理量的數值。在經典力學的系統裏，任何可以用實驗測量獲得的可觀察量，都可以用定義於物理系統狀態的實函數來表示。在量子力學裏，物理系統的狀態稱為量子態，其與可觀察量的關係更加微妙，必須使用線性代數來解釋。根據量子力學的數學表述，量子態可以用存在於希爾伯特空間的態向量來代表，量子態的可觀察量可以用厄米算符來代表。

## 數學表述

### 本徵態

假設，物理量$O$是某量子系統的可觀察量，其對應的量子算符$\hat{O}$，可能有很多不同的本徵值$O_i$與對應的本徵態$|e_i\rang$，這些本徵態$|e_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,n$，形成了具有正交歸一性的基底：

$\lang e_i |e_j\rang=\delta_{ij}$。

其中，$\delta_{ij}$是克羅內克函數。

任何描述這量子系統的量子態$|\psi\rang$，都可以用這基底的本徵態表示為

$|\psi\rang=\sum_i \ c_i|e_i\rang$。

其中，$c_i=\lang e_i |\psi \rang$是複係數，是在量子態$|e_i\rang$裏找到量子態$|\psi\rangle$的機率幅。

假設，量子態$|\psi\rang$等於這些本徵態之中的一個本徵態$|e_k\rang$，則對於這量子系統，測量可觀察量$O$，得到的結果必定等與本徵值$O_k$，機率為1，量子態$|\psi\rang$是「確定態」。

### 統計詮釋

根據統計詮釋，對應於可觀察量的量子算符可能有很多本徵值，測量結果只能是其中一個本徵值，而且，每一個本徵值出現的機會呈機率性。測量這個動作會將量子系統的量子態改變為對應於本徵值的本徵態，並且，在之後短暫片刻內，量子系統的量子態仍舊是這本徵態。

假設，某量子系統的量子態為

$|\psi\rang=\sum_i \ c_i|e_i\rang$。

測量這個動作會將量子系統的量子態改變為算符$\hat{O}$的一個本徵態。假設量子態改變為本徵態$|e_i\rang$，則改變為這本徵態的機率為$p_i=|c_i|^2$，測量結果是本徵值$O_i$，得到這本徵值的機率也為$p_i$。在測量之後短暫片刻內，量子系統的量子態仍舊是本徵態$|e_i\rang$。

將算符$\hat{O}$作用於量子態$|\psi\rang$，會形成新量子態$|\phi\rang$：

$|\phi\rang=\hat{O}|\psi\rang=\sum_i \ c_i\hat{O}| e_i\rang=\sum_i \ c_i O_i| e_i\rang$。

從左邊乘以量子態$\lang\psi|$，經過一番運算，可以得到

$\lang\psi|\phi\rang =\lang\psi|\hat{O}|\psi\rang=\sum_i \ c_i O_i\lang\psi| e_i\rang=\sum_i\ |c_i|^2O_i =\sum_i\ p_iO_i$。

所以，每一個本徵值與其機率的乘積，所有乘積的代數和就是可觀察量$O$的期望值：

$\lang O\rang\ \stackrel{def}{=}\ \lang\psi|\hat{O}|\psi\rang=\sum_i\ p_iO_i$。

### 厄米算符

每一種經過測量而得到的物理量都是實數，因此，可觀察量$O$的期望值是實數：

$\lang O\rang=\lang O\rang^*$。

對於任意量子態$|\psi\rang$，這關係都成立：

$\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang=\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang^*$。

根據伴隨算符的定義，假設$\hat{O}^{\dagger}$是$\hat{O}$的伴隨算符，則$\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang^*=\lang\psi |\hat{O}^{\dagger}|\psi\rang$。因此。

$\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}$。

這正是厄米算符的定義。所以，表現可觀察量的算符，都是厄米算符。

## 不相容可觀察量

假若兩種可觀察量的對易算符不等於0，則稱這兩種可觀察量為「不相容可觀察量」：

$[\hat{A},\hat{B}]\ne 0$。

其中，$\hat{A}$、$\hat{B}$分別是可觀察量$A$、$B$的算符。

這兩種算符$\hat{A}$與$\hat{B}$絕對不會有共同的基底。一般而言，$\hat{A}$的本徵態與$\hat{B}$的本徵態不同通常這句話成立，但也存在有例外。思考氫原子的角量子數為零（$\ell=0\ $）的量子態，它是$L_x$、$L_y$、$L_z$的本徵態，本徵值都為零，而這三個自伴算符都互不對易，它們對應的可觀察量彼此之間都是不相容可觀察量。假設量子系統的量子態為$|\psi\rang$。對於算符$\hat{A}$，所有本徵值為$a_i$的本徵態$|\alpha_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,n$，形成一個基底。量子態$|\psi\rang$可以表示為這組基底本徵態的線性組合：

$|\psi\rang=\sum_i \ c_i|\alpha_i\rang$。

其中，$c_i=\lang \alpha_i |\psi \rang$是複係數，是在量子態$|\alpha_i\rang$裏找到量子態$|\psi\rangle$的機率幅。

對於算符$\hat{B}$，所有本徵值為$b_i$的本徵態$|\beta_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,n$，形成了另外一個基底。量子態$|\psi\rang$可以表示為這組基底本徵態的線性組合：

$|\psi\rang=\sum_i \ d_i|\beta_i\rang$。

其中，$d_i=\lang \beta_i |\psi \rang$是複係數，是在量子態$|\beta_i\rang$裏找到量子態$|\psi\rangle$的機率幅。

對於量子系統的可觀察量$A$做測量，可能得到的結果是各種本徵態$|\alpha_i\rang$的本徵值$a_i$，獲得這些不同結果的機會具有機率性，可以表達為機率分佈，結果為$a_i$的機率是$|c_i|^2$。

假設測量的結果是本徵值$a_j$，則可以推斷，在測量之後短暫片刻內，量子態是本徵態$|\alpha_j\rang$。假若立刻再測量可觀察量$A$，由於量子態仍舊是本徵態$|\alpha_j\rang$，所得到的測量值是本徵值$a_i$機率為1。假若立刻再對本徵態$|\alpha_j\rang$測量可觀察量$B$，則會得到統計性的答案。假設測量的結果是本徵值$b_k$，則可以推斷，在測量之後短暫片刻內，量子態是本徵態$|\beta_k\rang$。

根據不確定性原理。

$\Delta A\ \Delta B \ge \left|\frac{\lang[ \hat{A},\hat{B}]\rang}{2i}\right|$。

設定$\chi=\left|\frac{\lang[ \hat{A},\hat{B}]\rang}{2i}\right|$。假設，$A$與$B$是兩個不相容可觀察量，則$\chi>0$。而$A$的不確定性與$B$的不確定性的乘積$\Delta A\ \Delta B$，必定大於或等於$\chi$。

## 實例

為了具體計算位置與動量的期望值，可以將量子態表現於位置空間，以位置空間的波函數來表示，使用對應的代數算符。

### 位置與動量

位置$x$，動量$p$都是可觀察量，它們的算符都是厄米算符：

$\lang x\rang=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^* x \psi \ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ (x\psi)^* \psi \ dx=\lang x\rang^*$。

$\lang p\rang=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^* \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}\psi\right)\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}\psi\right)^* \psi\ dx=\lang p\rang^*$。

### 角動量

在三維空間裏，角動量算符的x-分量$\hat{L}_x$是厄米算符。因為

$\lang L_x\rang^*=\lang yp_z-zp_y\rang^*=\lang yp_z-zp_y\rang=\lang L_x\rang$。

其中，$y$與$z$分別是位置的y-分量與z-分量，$p_y$與$p_z$分別是動量的y-分量與z-分量。

類似地，角動量算符的y-分量$\hat{L}_y$也是厄米算符。

## 參閱

- 位置算符
- 動量算符
- 角動量算符
- 哈密頓算符