科恩系列分佈

科恩系列分佈（Cohen's class distribution）於1966年由L. Cohen首次提出，且其使用雙線性轉換亦是此種轉換形式中最通用的一種。在幾種常見的時頻分佈中，Cohen's class分佈是最強大的轉換之一。隨著近幾年來時頻分析發展，應用也越來越多元。Cohen's class分佈和短時距傅立葉變換比較起來有較高的清晰度，但也相對的有交叉項(cross-term)的問題，不過可選擇適當的遮罩函數(mask function)來將交叉項的問題降到最低。

## 數學定義

$C_x(t, f)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}A_x(\eta,\tau)\Phi(\eta,\tau)\exp (j2\pi(\eta t-\tau f))\, d\eta\, d\tau,$。

其中 $A_x\left(\eta,\tau \right)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tau /2)x^*(t-\tau /2)e^{-j2\pi t\eta}\, dt.$ 為模糊函數(Ambiguity Function)，且$\Phi \left(\eta,\tau \right)$為一遮罩函數，通常是低通函數用來濾除雜訊。

## 科恩系列分佈函數

### 韋格納分布(Wigner Distribution Function)

當Cohen's class分佈中的$\Phi \left(\eta,\tau \right)=1$時，Cohen's class分佈會成韋格納分布(Wigner distribution function)$W_x(t, f)= \int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tau /2)x^*(t-\tau /2)e^{-j2\pi f\tau}\, d\tau$。

利用韋格納分佈對函數$x(t)=exp(j0.015t^4+j0.06t^3-j0.3t^2+jt)$作時頻分析的結果可見右圖。

### 錐狀分布(Cone-Shape Distribution)

當Cohen's class分佈中的$\phi(t,\tau)=\frac{1}{\left|\tau\right|}exp(-2\pi\alpha\tau^2)\Pi(\frac{t}{\tau})$，且$\Phi \left(\eta,\tau \right)=sinc(\eta\tau)exp((-2\pi\alpha\tau^2)$時。

其中$\phi(t,\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}\Phi(\eta,\tau)exp(j2\pi\eta t)d\eta$，Cohen's class分佈會成錐狀分布。

右圖為不同的$\alpha$值下的錐狀分佈時頻分析圖。

### 喬伊-威廉斯(Choi-Williams)

當Cohen's class分佈中的$\Phi \left(\eta,\tau \right)=exp[-\alpha(\eta\tau)^2]$時，Cohen's class分佈會成喬伊-威廉斯分布。

右圖為不同的$\alpha$值下的錐狀分佈時頻分析圖。

## 科恩系列分佈優缺點

優點:

1.可選擇適當的遮罩函數來避免掉交叉項問題。

2.具有高畫質晰度。

缺點

- 需要較高的計算量與時間。

- 缺乏良好的數學特性。

## 科恩系列分佈的實現

$$C_x(t, f)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}A_x(\eta,\tau)\Phi(\eta,\tau)\exp (j2\pi(\eta t-\tau f))\, d\eta\, d\tau,$$

$$=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}x(u+\frac{\tau}{2})x^*(u-\frac{\tau}{2})\Phi(\eta,\tau)e^{-j2\pi u\eta+j2\pi(\eta t-\tau f)}dud\tau d\eta$$

### 簡化方法一:不是所有的$A_x(\eta,\tau)$的值都要計算出

對$\ \left|\eta\right|>B\ $或$\ \left|\tau\right|>C$，若$\Phi(\eta,\tau)=0$，則$C_x(t, f)=\int_{-C}^{C}\int_{-B}^{B}\int_{-\infty}^{\infty}x(u+\frac{\tau}{2})x^*(u-\frac{\tau}{2})\Phi(\eta,\tau)e^{-j2\pi u\eta+j2\pi(\eta t-\tau f)}dud\tau d\eta$

### 簡化方法二:注意，$\eta$這個參數和輸入及輸出都無關

$$C_x(t, f)=\int_{-C}^{C}\int_{-\infty}^{\infty}x(u+\frac{\tau}{2})x^*(u-\frac{\tau}{2})[\int_{-B}^{B}\Phi(\eta,\tau)e^{-j2\pi,\eta(t-u)}d\eta]e^{-j2\pi\tau,f}dud\tau$$

$=\int_{-C}^{C}\int_{-\infty}^{\infty}x(u+\frac{\tau}{2})x^*(u-\frac{\tau}{2})\Phi(\tau,t-u)e^{-j2\pi\tau,f}dud\tau$，其中

$\Phi(\tau,t-u)=\int_{-B}^{B}\Phi(\eta,\tau)e^{-j2\pi,\eta(t-u)}d\eta$，由於$\Phi(\tau,t-u)$和輸入無關，可事先算出，因此可簡化成兩個積分式。

### 簡化方法三:使用摺積方法(convolution)

$C_x(t, f)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}x(u+\frac{\tau}{2})x^*(u-\frac{\tau}{2})\phi(t-u,\tau)due^{-j2\pi f\tau}d\tau$，其中

$\phi(t,\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}\Phi(\eta,\tau)exp(j2\pi\eta t)d\eta$。對$\left|t\right|>b$或是$\left|\tau\right|>c$，則

$C_x(t, f)=\int_{-c}^{c}\int_{t-b}^{t+b}x(u+\frac{\tau}{2})x^*(u-\frac{\tau}{2})\phi(t-u,\tau)due^{-j2\pi f\tau}d\tau$，上式為一摺積式。

## 模糊函數 (Ambiguity Function)

模糊函數的定義為：

$$A_x\left(\eta,\tau \right)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tfrac{\tau}{2})x^*(t-\tfrac{\tau}{2})e^{-j2\pi t\eta}\, dt$$

### Modulation 和 Time Shifting 對模糊函數的影響

我們來看一下 $x(t)$ 對於模糊函數的影響

(1) 假設 $x_1(t)$ 是一個高斯函數: $a e^{-(t-b)^2 /2c^2}$, 其中 $a = 1, b = 0, c = \sqrt{\tfrac{1}{2\alpha}}$

那麼我們可以得到 $x_1(t) = e^{ -\alpha\pi t^2}$, 代入模糊函數 $A_x\left(\eta,\tau \right)$ 中：

$$A_{x_1}\left(\eta,\tau \right) = \textstyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} \displaystyle e^{-\alpha\pi {(t+\tfrac{\tau}{2})}^2} \ e^{-\alpha\pi {(t-\tfrac{\tau}{2})}^2} \ e^{-j2\pi t\eta } \ dt$$

$$= \textstyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} \displaystyle e^{-\alpha\pi(2t^2+{\tfrac{\tau}{2}}^2) } \ e^{-j2\pi t\eta } \ dt$$

(2) 假設 $x_2(t)$ 是一個經過 shifting 和 modulation 的高斯函數:

那麼我們可以得到 $x_2(t) = e^{ -\alpha\pi (t-t_0)^2 + j2\pi f_0 t}$, 代入模糊函數 $A_x\left(\eta,\tau \right)$ 中：

$$A_{x_2}\left(\eta,\tau \right) = \textstyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} \displaystyle e^{-\alpha\pi {(t+\tfrac{\tau}{2} -t_0)}^2 + j2\pi f_0 (t+\tfrac{\tau}{2})} \ e^{-\alpha\pi {(t-\tfrac{\tau}{2} -t_0)}^2 - j2\pi f_0 (t-\tfrac{\tau}{2})} \ e^{-j2\pi t\eta } \ dt$$

$$= \textstyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} \displaystyle e^{-\alpha\pi(2(t-t_0)^2+{\tau/2}^2) +j2\pi f_0\tau} \ e^{-j2\pi t\eta } \ dt$$

$$= \textstyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} \displaystyle e^{-\alpha\pi(2t^2+\tfrac{\tau ^2}{2}) } \ e^{j2\pi f_0\tau} \ e^{-j2\pi t\eta } \ e^{-j2\pi t_0\eta } \ dt$$

我們可以看到 $|A_{x_1} \left(\tau,\eta \right)| = |A_{x_2} \left(\tau,\eta \right)|$,

因此我們可以得出 time shifting $t_0$ 和 modulation $f_0$ 並不會影響 $|A_{x} \left(\tau,\eta \right)|$

積分後，$A_x \left(\tau,\eta \right)= \sqrt{\tfrac{1}{2\alpha}} e^{-\pi(\tfrac{\alpha \tau ^2}{2} + \tfrac{\eta ^2}{2 \alpha}) } e^{j2\pi (f_0\tau - t_0 \eta)}$

所以 $A_x \left(\tau,\eta \right)$ 在 $\tau = 0, \eta = 0$ 的地方會有最大的 $|A_x \left(\tau,\eta \right)|$

### 交叉項 Cross-term 問題

上述所列出來的是當 $x(t)$ 只有一項而已 (one term only)，如果 $x(t)$ 有兩項以上的元素構成 (more than two terms), $x(t) = x_1(t) + x_2(t) +\cdot\cdot\cdot+x_n(t)$，依然會有交叉項 (cross-term) 的問題存在。

假設 $x(t) = x_1(t) + x_2(t)$ , 其中

$$\begin{cases} x_1(t) = e^{-\alpha_1 \pi (t-t_1)^2 + j2\pi f_1 t} \\ x_2(t) = e^{-\alpha_2 \pi (t-t_2)^2 + j2\pi f_2 t} \end{cases}$$

將 $x(t)$ 代入模糊函數 $A_x\left(\eta,\tau \right)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tfrac{\tau}{2})x^*(t-\tfrac{\tau}{2})e^{-j2\pi t\eta}\, dt$ 中：

$$A_x\left(\eta,\tau \right)= \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}x_1(t+\tfrac{\tau}{2})x_1^*(t-\tfrac{\tau}{2})e^{-j2\pi t\eta}\, dt}_{A_{x_1}(\tau,\eta)} + \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}x_2(t+\tfrac{\tau}{2})x_2^*(t-\tfrac{\tau}{2})e^{-j2\pi t\eta}\, dt}_{A_{x_2}(\tau,\eta)}$$

$$+ \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}x_1(t+\tfrac{\tau}{2})x_2^*(t-\tfrac{\tau}{2})e^{-j2\pi t\eta}\, dt}_{A_{{x_1}{x_2}}(\tau,\eta)} + \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}x_2(t+\tfrac{\tau}{2})x_1^*(t-\tfrac{\tau}{2})e^{-j2\pi t\eta}\, dt}_{A_{{x_2}{x_1}}(\tau,\eta)}$$

其中 $\begin{cases} Auto-terms: \quad A_{{x_1}}(\tau,\eta) , \ A_{{x_2}}(\tau,\eta) \\ Cross-terms: \ A_{{x_1}{x_2}}(\tau,\eta) , \ A_{{x_2}{x_1}}(\tau,\eta) \end{cases}$

#### Auto - terms

$$A_{x_1} \left(\tau,\eta \right)= \sqrt{\tfrac{1}{2 \alpha_1}} \ e^{-\pi(\tfrac{\alpha_1 \tau ^2}{2} + \tfrac{\eta ^2}{2 \alpha_1}) } \ e^{j2\pi (f_1\tau - t_1 \eta)}$$

$$A_{x_2} \left(\tau,\eta \right)= \sqrt{\tfrac{1}{ 2 \alpha_2}} \ e^{-\pi(\tfrac{\alpha_2 \tau ^2}{2} + \tfrac{\eta ^2}{2 \alpha_2}) } \ e^{j2\pi (f_2\tau - t_2 \eta)}$$

#### Cross - terms

(1) $\alpha_1 \neq \alpha_2$

$$A_{{x_1}{x_2}}(\tau,\eta) = \sqrt{\tfrac{1}{ {(\alpha_1 + \alpha_2)}}} \ e^{-\pi (\tfrac{(\alpha_1 + \alpha_2)(\tau - t_1+t_2)^2}{4} \ + \ \tfrac{[(\alpha_1 - \alpha_2)(\tau-t_1+t_2)-j2(\eta - f_1+f_2)]^2}{4(\alpha_1 + \alpha_2)} )} \ e^{j2\pi [ (\tfrac{f_1 + f_2}{2})\tau - \tfrac{t_1 + t_2}{2}\eta + \tfrac{(f_1 - f_2)(t_1+t_2)}{2}]}$$

$$= \sqrt{ \tfrac{1}{ 2 \alpha_u} } \ e^{-\pi (\tfrac{\alpha_u (\tau - t_d)^2}{2} \ + \ \tfrac{[\alpha_d (\tau-t_d)-j2(\eta - f_d)]^2}{8 \alpha_u} )} \ e^{j2\pi (f_u\tau - t_n\eta + f_dt_u)}$$

$$A_{{x_2}{x_1}}(\tau,\eta) = A_{{x_1}{x_2}}^*(-\tau,-\eta)$$

$$\begin{cases} t_u = \tfrac{t_1+t_2}{2}, \ f_u = \tfrac{f_1+f_2}{2}, \ \alpha_u = \tfrac{\alpha_1 + \alpha_2}{2} \\ t_d = t_1 - t_2, \ f_d = f_1 - f_2, \ \alpha_d = \alpha_1 - \alpha_2 \end{cases}$$

(2) $\alpha_1 = \alpha_2$

$$A_{{x_1}{x_2}}(\tau,\eta) = \sqrt{ \tfrac{1}{ 2 \alpha_u} } \ e^{-\pi (\tfrac{\alpha_u (\tau - t_d)^2}{2} \ + \ \tfrac{(\eta-f_d)^2}{2 \alpha_u} )} \ e^{j2\pi (f_u\tau - t_n\eta + f_dt_u)}$$

$$A_{{x_2}{x_1}}(\tau,\eta) = A_{{x_1}{x_2}}^*(-\tau,-\eta)$$

因此，我們目前得到 $A_{x_1} \left(\tau,\eta \right) , A_{x_2} \left(\tau,\eta \right)$ (auto-terms) 和 $A_{{x_1}{x_2}}(\tau,\eta) , A_{{x_2}{x_1}}(\tau,\eta)$ (cross-terms) 的公式，我們再仔細的分析 auto-terms 和 cross-terms 分別發生最大值的位置。

<image>

首先，先看 Auto-terms：

$|A_{x_1} \left(\tau,\eta \right)|$最大值發生在 $\tau = 0 , \eta = 0$的地方

$|A_{x_2} \left(\tau,\eta \right)|$最大值發生在 $\tau = 0 , \eta = 0$的地方

而 Cross-terms：

$|A_{{x_1}{x_2}}(\tau,\eta)|$最大值發生在 $\tau = t_d , \eta = f_d$的地方

$|A_{{x_2}{x_1}}(\tau,\eta)|$最大值發生在 $\tau = -t_d , \eta = -f_d$的地方

換句話說，如果我們繪製一個 x軸為 $\tau$, y軸為 $\eta$ 的座標圖，Auto-terms發生在原點 $(0,0)$ 的位置，而 Cross-terms 則是以原點為對稱中心，在第一象限和第三象限的位置。

這也是為什麼可以透過一個低通函數來濾除雜訊，把主成分 Auto-terms 分離出來，避免交叉項的問題。

## 與 維格納分布 Wigner Distribution Function 的不同

維格納分布是由尤金·維格納於 1932 年提出的新的時頻分析方法，對於非穩態的訊號有不錯的表現。

相較於傅立葉轉換或是短時距傅立葉轉換，維格納分布能有比較好的解析能力。

維格納分布的定義為:

$$W_x(t,f)= \int_{-\infty}^{\infty} x(t+\frac{\tau}{2})x^*( t-\frac{\tau}{2})e^{-j2\pi\tau f}\, d\tau$$

如果我們假設 $x(t)$ 是一個具有弦波特性的訊號, $x(t) = e^{j2\pi f_0 t}$

那麼將此 $x(t)$ 代入維格納分布中，

<image>

$$W_x(t,f) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{j2\pi f_0(t+\tfrac{\tau}{2})} e^{-j2\pi f_0(t-\tfrac{\tau}{2})} \ e^{-j2\pi \tau f} \ d\tau$$

$$= \int_{-\infty}^{\infty} e^{j2\pi f_0\tau} \ e^{-j2\pi \tau f} \ d\tau$$

$$= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j2\pi \tau (f-f_0)} d\tau$$

$$= \delta(f-f_0)$$

所以當 $x(t) = e^{j2\pi f_0 t}$ 時，$W_x(t,f)$ 在 $f = f_0$ 的地方會有最大值。

換句話說，當 $x(t)$有 modulation $f_0$ 或是有 time shifting $t_0$ 的情況發生時，會影響維格納分布 (Wigner Distribution Function) 最大值 $|W_x(t,f)|$ 的位置

然而，對於科恩系列分布 (Cohen's class distribution)而言，time shifting $t_0$ 和 modulation $f_0$ 並不會影響 $|A_{x} \left(\tau,\eta \right)|$