高線

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在數學中，三角形的高線（或稱高、垂線）是指過它的一個頂點並垂直於對邊的直線，或這條直線上從頂點到與對邊所在直線的交點之間的線段。高線與對邊所在之直線的交點稱為垂足。過一個頂點的高線的長度被稱為三角形在這個頂點上的高，而對應的對邊稱為底邊，其長度稱為底。

三角形的三條高線交於一點，該點稱為三角形的垂心，一般記作$H$。

## 高線與垂心

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任意一個三角形的三條高線交於一點，稱為該三角形的垂心。證明如下：

設有三角形$ABC$。過頂點$A$做$BC$的高線交$BC$於點$D$，過頂點$B$做$AC$的高線交$AC$於點$E$；直線$AD$和$BE$交於點$H$（如右圖）。只需證明直線$CH$垂直於$AB$，就證明了$CH$是過$C$點的高線，即三條高線相交於一點$H$。因為歐氏幾何中，給定一點與一直線，只存在一條直線過這個定點並與給定的直線垂直。

下證$CH$垂直於$AB$。設$CH$和$AB$的交點為$F$。由於角$AEB$和角$ADB$（右圖中藍色角）都是直角，$A$、$B$、$D$、$E$四點共圓，同理，$C$、$D$、$H$、$E$四點共圓。所以角$DCH$等於角$DAB$，角$DCH$等於角$DEB$等於角$DAB$（紅色角相等）。

然而角$DAB$與角$ABD$（綠色角）的和是90度，所以角$DCH$與角$ABD$的和也是90度，即角$FCB$與角$FBC$的和是90度。因此三角形$BCF$是直角三角形，角$BFC$（紫色角）是直角。也就是說$CH$垂直於$AB$。因此三角形的三條高線交於一點$H$。證畢。

垂心坐標為$(\frac{\begin{vmatrix} x_2x_3+y_2y_3 & 1 & y_1\\x_3x_1+y_3y_1 & 1 & y_2\\x_1x_2+y_1y_2 & 1 & y_3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1\\x_2 & y_2 & 1\\x_3 & y_3 & 1\end{vmatrix}},\frac{\begin{vmatrix} x_2x_3+y_2y_3 & x_1 & 1\\x_3x_1+y_3y_1 & x_2 & 1\\x_1x_2+y_1y_2 & x_3 & 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1\\x_2 & y_2 & 1\\x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}})$

## 性質

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- 三角形的高可以用來計算其面積：三角形的面積$S$等於過一個頂點的高乘以對邊的長度再除以2：
- $$S = \frac{ah_a}{2}$$

其中$a$為某一條邊的邊長，$h_a$為所對的頂點的高。

- 如果三角形$ABC$是等腰三角形，$AB=AC$，那麼過$A$點的高線與過$A$點的中線和角平分線重合。
- 直角三角形的垂心是斜邊所對的頂點。如果三角形$ABC$是直角三角形，其中角$ACB$是直角，那麼過$A$點的高線是$AC$，過$B$點的高線是$BC$。三角形的垂心就是點$C$。
- 銳角三角形的垂心在三角形內部；鈍角三角形的垂心在三角形外部。
- 歐拉定理斷言，三角形的重心$G$、外心$O$和垂心$H$共線（稱為歐拉線），並且重心是連接外心和垂心的線段的一個三等分點：$HG =2GO$
- 垂心將高線分成的兩段的乘積相等：如右圖中，$A_1 H\times HH1=A_2H\times HH_2=A_3H\times HH_3$
- 三角形的垂心到一邊的距離，等於這邊上的高線的延長線從垂足到外接圓的長度。
- 外心$O$和垂心$H$為等角共軛點。
- 三角形的三個垂足都在九點圓的圓周上。每個頂點和垂心所連成的線段的中點也在九點圓上。實際上，九點圓的九個點就是三邊的中點和以上的六個點。九點圓的圓心也在歐拉線上，並且在垂心到外心的線段的中點。此外九點圓平分垂心與外接圓上的任一點的連線。
- 一個三角形$ABC$的三個頂點$A$、$B$、$C$和它的垂心$H$構成一個垂心組： $A$、$B$、$C$、$H$。也就是說，這四點中任意的三點的垂心都是第四點。

## 垂心的垂足三角形

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過平面上一點$P$分別做垂直於三角形每條邊的垂線，與這條邊相交於一點（垂足）。這三個點連成的三角形稱為點$P$的垂足三角形。垂心$H$的垂足三角形是$H_1 H_2 H_3$。$H$是三角形$H_1 H_2 H_3$的內心，而三角形$A_1 A_2 A_3$的三個頂點是三角形$H_1 H_2 H_3$的三個旁心。

銳角三角形$A_1 A_2 A_3$的所有內接三角形中，有最小周長的是垂心$H$的垂足三角形$H_1 H_2 H_3$。如果一束光從三角形的某一個高線垂足$H_1$、$H_2$或$H_3$出發沿著三角形$H_1 H_2 H_3$的邊的方向射出，那麼它的光路將是閉合的，也就是三角形$H_1 H_2 H_3$。這個性質僅對於垂心的垂足三角形成立：如果從三角形某一邊某一點出發的光線經過反射能形成一個三角形的閉合光路，那麼這個光路必然是三角形$H_1 H_2 H_3$。

垂心H 的垂足三角形的各個邊分別平行於三角形的外接圓在各個頂點處的切線。

在三角形$A_1 A_2 A_3$中，三角形$A_1H_2H_3$、三角形$H_1A_2H_3$和三角形$H_1H_2A_3$的外接圓交於一點，這點就是$A_1 A_2 A_3$的垂心$H$。

## 高線的長度

過三角形某一頂點的高線的長度稱為過這點的高或這一點上的高。三角形$ABC$的三個頂點 $A$、$B$、$C$上的高通常分別記作$h_a$、$h_b$、$h_c$。它們可以用三角形三邊的邊長$a$、$b$、$c$（分別是頂點$A$、$B$、$C$的對邊：$BC$、$CA$和$AB$的長度）來表示：

$$h_a=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{a}.$$

$$h_b=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{b}.$$

$$h_c=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{c}.$$

其中s是三角形的半周長：$2s = a+b+c$。這三個關係式可以通過海倫公式：

$$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

以及三角形的面積公式：$S = \frac{ah_a}{2}$推出來。

### 高與內切圓半徑

三角形內切圓的半徑$r$與三個頂點上的高$h_a$、$h_b$、$h_c$有如下的關係：

$\displaystyle \frac{1}{r}=\frac{1}{ h_a }+\frac{1}{ h_b }+\frac{1}{ h_c }.$ 而三角形的三個旁切圓的半徑也和高有類似的關係：

$\displaystyle \frac{1}{r_a}=-\frac{1}{ h_a }+\frac{1}{ h_b }+\frac{1}{ h_c }.$

$\displaystyle \frac{1}{r_b}=\frac{1}{ h_a }-\frac{1}{ h_b }+\frac{1}{ h_c }.$ $\displaystyle \frac{1}{r_c}=\frac{1}{ h_a }+\frac{1}{ h_b }-\frac{1}{ h_c }.$ 其中的$r_a$、$r_b$、$r_c$分別指圓心在三個頂點$A$、$B$、$C$射出的內角平分線上的旁切圓$J_a$、$J_b$、$J_c$的半徑。

### 反海龍公式

如果設$h_s=\frac{h_a^{-1} + h_b^{-1} + h_c^{-1}}{2}$，那麼有以下類似於海龍公式的三角形面積公式：

$$A^{-1} = 4 \sqrt{h_s(h_s-h_a^{-1})(h_s-h_b^{-1})(h_s-h_c^{-1})}.$$

### 高與外切圓半徑和面積之關係

令$a, b, c$是與三高$h_a, h_b, h_c$成反比的一組數字：

「三高線之三角形」的外切圓半徑可以表示為此：

$$R=\frac{abc^2h_c}{8(S_{abc})^2}$$ 「三高線之三角形」的面積可以表示為此：

$$S=\frac{(ch_c)^2}{4(S_{abc})^2}$$。證明在下方。

### 高與外切圓半徑、面積之證明

令$a_0:b_0:c_0=h_a^{-1}:h_b^{-1}:h_c^{-1}$，將 $a_0,b_0,c_0$形成一與原三角形相似的三角形

我們可知當 $s=\frac{a_0+b_0+c_0}{2}$ 時，$S_{a_0b_0c_0}=\sqrt{s(s-a_0)(s-b_0)(s-c_0)}$

由上可得$h_{c_0}=\frac{2S_{a_0b_0c_0}}{c_0}$，因此兩三角形之比值$r=\frac{h_c}{h_{c_0}}=\frac{c_0h_c}{2S_{a_0b_0c_0}}$

故原三角形ABC中$a=a_0r$，$b=b_0r$，$c=c_0r$

所以外切圓半徑$R=\frac{ab}{2h_c}=\frac{r^2a_0b_0}{2h_c}=\frac{(\frac{c_0h_c}{2S_{a_0b_0c_0}})^2a_0b_0}{2h_c}=\frac{abc^2h_c}{8(S_{abc})^2}$

而面積S則為$S=S_{a_0b_0c_0}r^2=S_{a_0b_0c_0}(\frac{c_0h_c}{2S_{a_0b_0c_0}})^2=\frac{(ch_c)^2}{4(S_{abc})^2}$