接觸力學

接觸力學(contact mechanics)主要研究相互接觸固體的變形問題，該科目的物理和數學理論用於材料力學和固體力學，主要集中在彈性、粘彈性體和塑性體在靜態和動態接觸中的計算。接觸力學中的核心是，法向的壓力、粘著和切向的摩擦力。

接觸力學是機械工程的基本領域，它為技術系統的安全和能量的有效設計提供了必要的資訊。接觸力學的原理應用於很多領域，例如機車輪-軌接觸、聯接裝置、剎車系統、疲勞、襯套、球軸承、內燃機、機械連接、密封墊片、金屬加工、金屬成型、超聲波電焊、電接觸等等。該領域目前面臨的挑戰包括接觸應力分析、耦合數、潤滑油影響和摩擦磨損上的材料設計。接觸力學的應用更可以擴展到微粒子和納米技術領域。

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## 歷史

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經典接觸力學主要跟海因里希·赫茲。1882年赫茲解決了兩個曲面彈性體的接觸問題（也叫赫茲接觸應力）。這種相關的典型的解決方法為現代接觸力學奠定了基礎。

直到近100年後，詹森，肯德爾和羅伯茨才找到一種近似的方法解決黏著接觸問題。

20世紀中期接觸力學領域的進步要歸功於Bowden和Tabor。Bowden和Tabor首次強調了接觸中物體表面粗糙度的重要性。通過對表面粗糙度的研究發現，互相摩擦體間的真實接觸面積要小於表面接觸面積。這種解釋也徹底改變了摩擦學的研究方向。Bowden和Tabor的著作產生了幾種粗糙表面的接觸力學理論。

在此領域中說到先驅著作，就必須提及1957年Archard的貢獻。Archard認為，即使是粗糙的彈性表面間，其接觸面積與法向力接近比例關係。Greenwood與Williamson、Bush和Persson分別於1966年、1975年和2002年在此方向上提出了更重要的認識。這些研究的主要發現如下：粗糙材料的接觸面積通常與法向作用力成正比，而單個微觀接觸參數（如壓力，微觀接觸尺寸）卻很少取決於載荷。

## 無黏著彈性接觸的經典問題

對於有簡單幾何外形的彈性體接觸，其接觸理論主要是計算接觸面積和壓入深度。常用的接觸求解如下。

### 球體和彈性半空間體的接觸

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一個半徑為 $R$ 的球體在一個彈性半空間上壓出的凹痕深度為 $d$，若產生的接觸區域的半徑為 $a=\sqrt{Rd}$，則作用力 $F$ 為$F=\frac{4}{3}E^*R^{1/2}d^{3/2}$ ,

式中

$\frac{1}{E^*}=\frac{1-\nu^2_1}{E_1}+\frac{1-\nu^2_2}{E_2}$ .

$E_1$,$E_2$ 分別為是接觸體的彈性模量，$\nu_1$,$\nu_2$ 是泊松比。

### 兩個球體的接觸

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若給定兩個球體的半徑為 $R_1$ 和 $R_2$, 定義 $R$ 為

$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$ ,

則接觸區域的壓力分布為

$p=p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)^{1/2}$ , 式中

$p_0=\frac{2}{\pi}E^*\left(\frac{d}{R}\right)^{1/2}$ .

對於 $\nu = 0.33$，最大剪應力發生在表面下 $z\approx 0.49a$ 位置。

### 兩個等半徑圓柱體的交叉接觸

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該接觸等同於一個半徑為 $R$ 的球體和一個平面的接觸（見上）。

### 剛性圓柱體和彈性半空間體的接觸

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一個剛性圓柱體壓在一個彈性半空間上，產生的壓力分布可寫為

$p=p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)^{-1/2}$ , 式中

$p_0=\frac{1}{\pi}E^*\frac{d}{a}$ .

凹痕的深度和法向力的關係可表述為

$F=2aE^*d\frac{}{}$ .

### 剛性圓錐體和彈性半空間體的接觸

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一個剛性圓錐體和一個彈性半空間作用時，壓痕的深度和接觸半徑的關係為

$d=\frac{\pi}{2}a\tan\theta$ ,

式中 $\theta$ 為圓錐側面和平面的夾角，則壓力分布為

$p(r)=-\frac{Ed}{\pi a\left(1-\nu^2\right)}ln\left(\frac{a}{r}+\sqrt{\left(\frac{a}{r}\right)^2-1}\right)$ .

在圓錐頂尖應力有個對數奇點。總作用力為

$F_N=\frac{2}{\pi}E\frac{d^2}{\tan \theta}$ .

### 兩個中心軸平行的圓柱體間的接觸

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兩個中心軸平行的圓柱體接觸時，作用力與壓痕深度成線性比例關係：

$F=\frac{\pi}{4}E^*Ld$ .

次關係式曲率半徑完全沒有關係。接觸半徑可用通常的關係式來描述：

$a=\sqrt{Rd}$ ,

與兩個球體的接觸一樣，式中

$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$ ,

最大壓力為

$p_0=\left(\frac{E^*F}{\pi LR}\right)^{1/2}$ .

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## 無黏著赫茲理論

經典接觸理論主要是無粘著接觸，也就是在接觸面內沒有張力，接觸雙方分開時沒有粘著力。目前分析方法和數值方法已經被用於解決這類問題。當兩個物體接觸時，存在複雜的力和單元的傳遞，因此該接觸問題變得很複雜。另外，接觸應力和應變關係通常是非線性的。為了簡化問題，通常參考系的定義使得處於其中的物體是靜態的（物體之間也可能有相對運動）。物體在接觸界面通過表面牽引力（或表面應力）相互影響。

考慮兩個物體接觸，接觸表面在($x$,$y$)-平面的方程為$S$，$z$-軸垂直於表面。其中一個物體在$S$內將經歷一個法向壓力分布$p_z=p(x,y)=q_z(x,y)$和平面上表面牽引力分布$q_x=q_x(x,y)$和$q_y=q_y(x,y)$。根據牛頓力平衡，得到下面這幾個力必須平衡，並與另外一個物體受的力相反：

$$<pre> P_z = \int_S p(x,y)~ \mathrm{d}A ~;~~ Q_x = \int_S q_x(x,y)~ \mathrm{d}A ~;~~ Q_y = \int_S q_y(x,y)~ \mathrm{d}A </pre>$$

這些力產生的力矩也要相互抵消，從而保證其運動穩定性：

$$<pre> M_x = \int_S y~p(x,y)~ \mathrm{d}A ~;~~ M_y = \int_S x~p(x,y)~ \mathrm{d}A ~;~~ M_z = \int_S [x~q_y(x,y) - y~q_x(x,y)]~ \mathrm{d}A$$

### 赫茲理論中的假設

- 應變很小並在彈性範圍內。
- 接觸物體可以看作是彈性半空間體，也就是說，接觸面遠小於物體半徑。
- 表面是連續的，不確定的。
- 表面無摩擦。

不滿足這些條件的接觸問題更加複雜，通常稱之為非赫茲接觸。

### 解析解的求解方法

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無粘著接觸的理論解可以按照接觸面的幾何形狀分為兩種。一種是確定性接觸，變形發生前兩個物體有多點接觸。另一種是非確定性接觸，兩個接觸物體的形狀完全不同，以至於在零載荷下，它們只有一個點或一條線接觸。在非確定性接觸中，接觸面積跟物體的尺寸相比，要小很多，而且該接觸面的應力非常大。

對於線彈性材料接觸，通常採用的方法是疊加，將不同接觸點的解直接相加。比如半空間體的加載問題，通常將Flamant解作為起始點，然後產生不同形狀的接觸面。兩個物體間的力平衡和力矩平衡作為附加約束再來求解。

## 粗糙表面間的接觸

當兩個粗糙表面相互擠壓時，真實的接觸面積 $A$ 遠小於表觀接觸面積 $A_0$。在一個「任意粗糙」的表面和一個彈性半球體接觸時，真實的接觸面積與法向作用力 $F$ 的關係為

$A=\frac{\kappa}{E^*h'}F$ ,

式中 $h'$ 等於表面斜度的均方根（也叫均方值），且 $\kappa \approx2$。真實接觸面積的平均壓力為

$$\sigma =\frac{F}{A}\approx\frac{1}{2}E^*h'$$

該壓力可適當估算為有效彈性模量與表面斜度 $h'$ 均方值的乘積的一半。

若給定壓力遠大於材料的硬度 $\sigma_0$時，下式

$$\Psi = \frac{E^*h'}{\sigma _0}>2$$

描述了完全塑性狀態下的微觀粗糙度。當 $\Psi <\frac{2}{3}$時，表面為彈性接觸。參數 $\Psi$ 由Greenwoord和Williamson引入作為塑性指數. 無論系統表現為塑性還是彈性，均與法向作用力為無關。

## 黏著接觸

在接觸問題中，黏著可以經常觀察到，尤其是一個固體和另一個非常軟的彈性物體接觸中，比如和果凍的接觸。由於范德華力的作用，在接觸邊界會產生黏著的「脖頸」。若想將兩個物體分開，必須給其施加一個最小作用力，其稱為黏著力。黏著在工程應用中非常常見，比如膠帶，或塑料吸盤等。球體和彈性半空間體的黏著力由Johnson，Kendall和Roberts 於 1971年給出，其等於

$$F_{A}=(3/2)\pi \gamma R$$

其中$\gamma$為單位面積的表面能，$R$為球體半徑。

半徑為$a$的圓柱體與彈性半空間體的黏著接觸由Kendall於1971年給出，其等於

$$F_{A}={\sqrt {8\pi a^{3}E^{*}\gamma }}$$

複雜形狀的柱體在黏著分離過程中總是從接觸邊緣開始向中心擴散。這種黏著分離過程可在短片中看到。

## 降維法

很多接觸問題都可以採用降維法來簡單地解決。降維法中，三維接觸問題可以用一個物體和一個線彈性或線粘彈性基體的接觸來替代（見圖）。如果根據降維法的法則來修改該物體的形狀並定義該彈性或粘彈性基體，則一維系統與原來的三維系統的性質完全一樣。