割圓術 (劉徽)

割圓術是三國時期數學家劉徽在注釋《九章算術》時提出的一種數學方法，用於計算圓周率。這種方法通過計算圓內接正多邊形的面積來逼近圓的面積，蘊含了極限思想，是中國古代數學中的重要成就。

## 歷史背景

在劉徽之前，圓周率的計算多採用經驗值。常見的"周三徑一"（即圓周率=3）僅是粗略估計。東漢科學家張衡曾採用$\pi = \frac{736}{232}=3.172$和$\pi=\sqrt{10}\approx3.16$，但劉徽認為$\pi=\sqrt{10}$的數值過大。孫吳天文學家王蕃則採用$\pi=\frac{142}{45}\approx3.156$。

這些數值都只準確到兩位數字，且缺乏系統的數學推導。劉徽首次創立了可以計算圓周率到任意精確度的迭代程序，為中國古代數學開闢了新的方向。

## 基本原理

### 極限思想

劉徽割圓術的核心思想是：將圓分割為內接正多邊形，分割越細，多邊形的邊數越多，其面積就越接近圓的面積。劉徽用以下文字描述這一思想：

以六觚之一面乘半徑，因而三之，得十二觚之冪。若又割之，次以十二觚之一面乘半徑，因而六之，則得二十四觚之冪。割之彌細，所失彌少。割之又割，以至於不可割，則與圓周合體，而無所失矣。

用現代數學語言表達，即：

$$\lim_{N \to \infty} S_{6\times 2^N} = S_{\text{圆}}$$

其中$S_{6\times 2^N}$表示圓內接正$6\times 2^N$邊形的面積。

### 圓面積公式的證明

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劉徽利用出入相補原理證明了圓面積公式。他將內接正2N邊形分割後重新排列，形成一個寬為$\frac{N}{2} \cdot L$、高為R的長方形（其中L為N邊形的邊長，R為圓半徑）。由此可得：

$S_{2N} = \frac{N}{2} \cdot L \cdot R =$（N邊形的半周長）$\times R$

當$N \to \infty$時，N邊形的半周長趨近於圓的半周長，因此：

$S$圓$=$（圓的半周長）$\times R$

由此推導出圓周率公式：

$\pi = {}$ 圓周/直徑 ${} = \frac{2 \times S_{\text{圆}} / R}{2R} = \frac{S_{\text{圆}}}{R^2}$

## 現代數學視角下的割圓術

從現代數學的角度審視，劉徽割圓術蘊含了豐富的分析學思想，可以視為微積分先驅工作的重要組成部分。

### 極限思想的早期體現

劉徽提出的「割之彌細，所失彌少。割之又割，以至於不可割，則與圓合體而無所失矣」，實質上描述了極限過程。若用現代數學語言表達，設圓面積為$S$，圓內接正$n$邊形面積為$S_n$，則劉徽斷言：

$$\lim_{n \to \infty} S_n = S$$

這一思想比歐洲數學中類似的極限概念早了約一千餘年。劉徽不僅直觀地認識到多邊形面積可以無限逼近圓面積，還通過「余徑」的概念從上下兩個方向進行夾逼，實際上構建了早期的夾逼定理應用實例。

### 無窮小分割與積分思想

劉徽割圓術的另一重要貢獻在於其對無窮小量的處理。當他考慮「余徑」$d$（即圓心到多邊形邊的距離與半徑之差）時，實際上引入了後來微積分中無窮小量的概念。他指出，隨著分割的細化，余徑$d$趨近於0，而「以面乘余徑」所得的長方形面積也趨近於0。

這一思路可以看作定積分思想的雛形：圓面積可以理解為無數個窄條矩形面積之和的極限。用現代積分符號表示，設圓的半徑為$R$，則圓面積可表達為：

$$S = 2 \int_{-R}^{R} \sqrt{R^2 - x^2} \, dx$$

劉徽通過多邊形逼近的方法，實際上是在用初等方式計算這一積分，儘管他並未發展出積分符號和系統理論，但其演算法已暗含了積分計算的基本邏輯。

### 數列收斂與誤差分析

劉徽在計算過程中實際上構造了一個數列：$\{S_6, S_{12}, S_{24}, S_{48}, S_{96}, \ldots\}$。他不僅觀察到此數列單調遞增且有上界（圓面積），還進一步分析了相鄰兩項之差（即面積差$D_{2N}=S_{2N}-S_N$）的變化規律。

他發現這些面積差構成一個等比數列，公比約為$\frac{1}{4}$：

$$D_{192} : D_{96} \approx 1:4,\quad D_{384} : D_{192} \approx 1:4,\ldots$$

這一發現使他能夠用等比數列求和公式估算無窮多項的總和，從而發展出快捷演算法。從現代數值分析的角度看，這相當於對收斂速度進行了定量估計，並利用級數求和加速收斂——這是數值分析中加速收斂技術的早期範例。

### 與微積分基本定理的暗合

劉徽在證明圓面積公式$S = \frac{1}{2} \times$周長$\times$半徑時，利用出入相補原理將多邊形面積轉化為長方形面積。這一過程從現代視角看，實質上是將曲線下的面積問題轉化為直線圖形面積問題，與微積分基本定理中積分與反導數的關係有著內在的相似性。雖然劉徽未能發展出系統的微分學，但他的工作為後世理解曲線形面積的計算提供了重要的思想工具。

### 歷史評價

數學史家李文林指出：「劉徽的割圓術不僅是一個計算圓周率的有效演算法，更重要的是它展現了中國古代數學家對無限過程的深刻理解。在微積分誕生之前，能夠如此自覺地運用極限思想處理數學問題，在世界數學史上都是罕見的。」吳文俊則從機械化數學的角度評價道：「劉徽割圓術的程序化特徵，體現了中國古代數學的機械化思想，與《九章算術》的演算法傳統一脈相承，為後世數學機械化研究提供了歷史借鑑。」

## 計算程序

劉徽從圓內接正6邊形開始，逐次倍增邊數，計算各多邊形面積。以下以半徑1尺（=10寸=1000000忽）為例說明計算過程。

### 從6邊形到12邊形

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已知圓內接正6邊形邊長等於半徑，即M=10寸。設圓心為O，AB為6邊形一邊，C為AB中點，連接OC並延長交圓周於D，則AD為12邊形一邊。

根據勾股定理：

$OP = \sqrt{r^2 - \left(\frac{M}{2}\right)^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} \approx 8.660254$寸

$PC = r - OP = 10 - 8.660254 = 1.339746$寸

$AC = \sqrt{AP^2 + PC^2} = \sqrt{5^2 + 1.339746^2} \approx 5.17638$寸

因此正12邊形的邊長為5.17638寸。

### 從12邊形到24邊形

將上一步求得的12邊形邊長作為新一輪計算的起點。重複上述步驟，可得24邊形邊長為2.61052寸。具體計算過程與上一步類似，逐次逼近。

### 計算至192邊形

劉徽繼續計算至96邊形和192邊形，得到：

- 正96邊形面積 ≈ 313.584625平方寸
- 正192邊形面積 ≈ 314.1024平方寸

### 圓周率不等式

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劉徽利用多邊形面積之差推導出圓周率的取值範圍。在圖中，黃色部分是N邊形的面積，設為$S_N$，黃色部分加上綠色部分是2N邊形的面積，設為$S_{2N}$。因此，綠色部分是2N邊形與N邊形的面積差：

$$D_{2N}=S_{2N}-S_N$$

紅色部分面積與綠色部分相等。所以紅色部分面積等於$D_{2N}$。故

黃色面積 + 綠色面積 + 紅色面積 = $S_{2N} + D_{2N}$

$$S_{2N} < S_{\text{圆}} < S_{2N} + D_{2N}$$

以N=96為例：

$$S_{192} \approx 314.1024$$

$$S_{96} \approx 313.584625$$

$$D_{192} = S_{192} - S_{96} \approx 0.517775$$

因此：

$$314.1024 < S_{\text{圆}} < 314.1024 + 0.517775 = 314.620175$$

換算為圓周率：

$$3.141024 < \pi < 3.142704$$

劉徽取圓面積為314平方寸，得到圓周率的近似值：

$$\pi \approx \frac{314}{100} = \frac{157}{50} = 3.14$$

此即著名的"徽率"。

## 快捷演算法

在計算到192邊形後，劉徽發現了一個可以簡化計算的規律。他將多邊形的面積差構成一個數列，發現：

$$D_{384} \approx \frac{1}{4}D_{192},\quad D_{768} \approx \frac{1}{4}D_{384},\quad D_{1536} \approx \frac{1}{4}D_{768},\ldots$$

這是一個公比為$\frac{1}{4}$的等比數列。由此可得：

$$\begin{align} \pi &\approx S_{192} + D_{384} + D_{768} + D_{1536} + D_{3072} + \cdots \\ &\approx S_{192} + D_{192}\left(\frac{1}{4} + \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^3 + \cdots \right) \\ &\approx S_{192} + D_{192} \cdot \frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}} \\ &\approx S_{192} + \frac{1}{3}D_{192} \end{align}$$

代入數值：

$$\pi \approx 314.1024 + \frac{1}{3} \times 0.517775 \approx 3.1416$$

即$\pi \approx \frac{3927}{1250} = 3.1416$。這一方法只需用到96邊形的數據，就能達到相當於計算到1536邊形的精度，大大簡化了計算過程。

## 迭代公式與連平方根表示

劉徽的割圓術可以用現代數學語言表示為迭代公式。設$m_k$為圓內接正$6\times 2^k$邊形的邊長（半徑=1），則：

$$m_0 = 1$$

$$m_{k+1} = \sqrt{2 - \sqrt{4 - m_k^2}}$$

由此可得圓周率的連平方根表示：

$$\pi \approx 3 \times 2^k \times m_k$$

具體地：

$\pi \approx 6 \times \sqrt{2-\sqrt{2+1}}$ （正12邊形）

$\pi \approx 12 \times \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}$ （正24邊形）

$\pi \approx 24 \times \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}}$ （正48邊形）

$\pi \approx 48 \times \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}}}$ （正96邊形）

## 祖沖之的進一步發展

南北朝時期的數學家祖沖之沿用了劉徽的割圓術，繼續計算至正12288邊形，求得正24576邊形的面積：

$$S_{24576} \approx 3.14159261864$$

利用劉徽的不等式：

$$S_{24576} < \pi < S_{24576} + (S_{24576} - S_{12288})$$

其中$S_{24576} - S_{12288} \approx 0.0000001021$，因此：

$$3.14159261864 < \pi < 3.14159272074$$

取八位有效數字，即得著名的祖沖之圓周率不等式：

$$3.1415926 < \pi < 3.1415927$$

這一精度保持了世界紀錄長達900年。祖沖之還用何承天的調日法，通過計算得到約率$\frac{22}{7} \approx 3.142857$和密率$\frac{355}{113} \approx 3.14159292$。

## 與阿基米德割圓術的比較

比劉徽早約500年的希臘數學家阿基米德也提出了割圓術，但兩者的方法有所不同：

比較維度｜劉徽割圓術｜阿基米德割圓術

核心方法｜以多邊形面積逼近圓面積｜以多邊形邊長逼近圓周長

計算對象｜多邊形面積｜內接和外切多邊形邊長

極限思想｜單方向內接多邊形逼近｜內外夾逼（內接和外切）

結果精度｜3.141024 < π < 3.142704｜3.140845 < π < 3.142857

阿基米德通過計算正96邊形，得到不等式$\frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7}$（即3.140845 < π < 3.142857）。劉徽的弱值3.141024和強值3.142704均優於阿基米德的相應值。

## 影響與評價

劉徽割圓術是中國數學史上第一個具有嚴謹理論基礎的圓周率計算方法。它不僅給出了具體的計算程序，更重要的是蘊含了樸素的極限思想，為後世數學發展開闢了道路。

吳文俊評價道："劉徽割圓術是一個十分精彩的演算法"。這一方法後來傳入印度，對印度數學產生了影響，古印度數學中出現的$\frac{3927}{1250}$即源自劉徽。