魏爾斯特拉斯橢圓函數

在數學中，魏爾斯特拉斯橢圓函數（Weierstrass's elliptic functions）又稱 p 函數並且以 $\wp$ 符號表示，是格外簡單的一類橢圓函數，也是雅可比橢圓函數的特殊形式。卡爾·魏爾斯特拉斯首先研究了這些函數。

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魏爾斯特拉斯p函數的符號

## 定義

固定 $\mathbb{C}$ 中的格 $\Lambda = \mathbb{Z}\omega_1 \oplus \mathbb{Z}\omega_2$（$\omega_1, \omega_2 \in \mathbb{C}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上線性無關），對應的魏爾斯特拉斯橢圓函數定義是

$\wp(z; \Lambda)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{(m,n) \ne (0,0)} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}$。

顯然右式只與格 $\Lambda\,$ 相關，無關於基 $\omega_1, \omega_2\,$ 之選取。$\Lambda\,$ 的元素也稱作週期。

另一方面，格 $\Lambda\,$ 在取適當的全純同態 $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 後可表成 $\Lambda = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}\tau$，其中 $\tau\,$ 屬於上半平面。對於這種形式的格。

$\wp(z; \Lambda) = \wp(z;\tau) =\frac{1}{z^2} + \sum_{n^2+m^2 \ne 0}{1 \over (z-n-m\tau)^2} - {1 \over (n+m\tau)^2}$。

反之，由此亦可導出對一般的格之公式

$$\wp(z; \mathbb{Z}\omega_1 \oplus \mathbb{Z}\omega_2) = \frac{\wp(\frac{z}{\omega_1}; \frac{\omega_2}{\omega_1})}{\omega_1^2} \quad (\mathrm{Im}(\frac{\omega_1}{\omega_2}) > 0)$$

在數值計算方面，$\wp$ 可以由Θ函數快速地計算，方程是

$$\wp(z; \tau) = \pi^2 \vartheta^2(0;\tau) \vartheta_{10}^2(0;\tau){\vartheta_{01}^2(z;\tau) \over \vartheta_{11}^2(z;\tau)}-{\pi^2 \over {3}}\left[\vartheta^4(0;\tau) + \vartheta_{10}^4(0;\tau)\right]$$

- 在週期格中的每個點，$\wp$ 有二階極點。
- $\wp$ 是偶函數。
- 複導函數 $\wp'$ 是奇函數。

## 加法定理

$$\det\begin{pmatrix} \wp(z) & \wp'(z) & 1\\ \wp(y) & \wp'(y) & 1\\ \wp(z+y) & -\wp'(z+y) & 1 \end{pmatrix}=0$$

假設 $u+v+w=0$，上式有一個較對稱的版本

$$\det\begin{pmatrix} \wp(u) & \wp'(u) & 1\\ \wp(v) & \wp'(v) & 1\\ \wp(w) & \wp'(w) & 1 \end{pmatrix}=0$$

此外

$$\wp(z+y)=\frac{1}{4} \left\{ \frac{\wp'(z)-\wp'(y)}{\wp(z)-\wp(y)} \right\}^2 -\wp(z)-\wp(y).$$

魏爾斯特拉斯橢圓函數滿足複製公式：若 $2z$ 不是週期，則

$$\wp(2z)= \frac{1}{4}\left\{ \frac{\wp''(z)}{\wp'(z)}\right\}^2-2\wp(z),$$

## 微分方程與積分方程

定義 $g_2, g_3$（依賴於 $\Lambda$）為

$$g_2 := 60 \sum_{w \in \Lambda}' w^{-4}$$

$$g_3 := 120 \sum_{w \in \Lambda}' w^{-6}$$

求和符號 $\sum'_w$ 意謂取遍所有非零的 $w$。當 $\Lambda = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}\tau$ 時，它們可由艾森斯坦級數 $G_4, G_6$ 表示。

則魏爾斯特拉斯橢圓函數滿足微分方程

$\wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3$。

故 $z \mapsto (\wp(z),\wp'(z))$ 給出了從複環面 $\mathbb{C}/\Lambda$ 映至三次複射影曲線 $y^2 = 4x^3 - g_2 x -g_3$ 的全純映射；可證明這是同構。

另一方面，將上式同除以 $\wp'$，積分後可得

$z_1 - z_2 = \int_{\wp(z_1)}^{\wp(z_2)} \frac {ds} {\sqrt{4s^3 - g_2s -g_3}}$。

右側是複平面上的路徑積分，對不同的路徑 $\wp(z_1) \to \wp(z_2)$，其積分值僅差一個 $\Lambda$ 的元素；所以左式應在複環面 $\mathbb{C}/\Lambda$ 中考慮。在此意義下，魏爾斯特拉斯橢圓函數是某類橢圓積分之逆。

## 模判別式

續用上節符號，模判別式 $\Delta$ 定義為下述函數

$$\Delta=g_2^3-27g_3^2.$$

視為週期格的函數，這是權 12 之模形式。模判別式也可以用戴德金η函數表示。

## 文獻

- Stein. Complex Analysis.
- Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
- Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (See chapter 1.)
- K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
- Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
- E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern analysis (1952), Cambridge University Press, chapters 20 and 21

## 外部連結

- Weierstrass's elliptic functions on Mathworld .
- Elliptic functions, Hans Lundmark's Complex analysis page.