普朗克單位制

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普朗克單位制是一種計量單位制度，由德國物理學家馬克斯·普朗克最先提出，因此命名為普朗克單位制。這種單位制是自然單位制的一個實例，將某些基礎物理常數的值定為1，這些基礎物理常數是：

- 真空光速$c$
- 萬有引力常數$G$
- 普朗克勞侖茲-黑維塞單位制將$4\pi G$定為1，普朗克高斯單位制將$G$定為1
- 狄拉克常數$\hbar$
- 真空電容率$\epsilon_0$
- 普朗克勞侖茲-黑維塞單位制將$\epsilon_0$定為1，普朗克高斯單位制將$4\pi \epsilon_0$定為1
- 波茲曼常數$k_B$

上述每一個常數都至少出現於一個基本物理理論：$c\,\!$在狹義相對論、$G\,\!$在廣義相對論與牛頓的萬有引力定律、$\hbar\,\!$在量子力學、$\epsilon_0\,\!$在靜電學、$k_B\,\!$在統計力學與熱力學。實際上，以上的五個常數在許多物理定律的代數表達式中多次出現，因此引入普朗克單位制可以將這些代數表達式簡化，普朗克單位制也因此成為了理論物理學一個非常有用的工具。在統一理論方面的研究，特別如量子重力學中，普朗克單位制能夠給研究者一點大概的提示。

普朗克單位制是一種獨特的自然單位制，因為普朗克單位制不是以任何原器、人體的性質（例如：發光強度（燭光）、光通量（流明）、等效劑量（西弗））、地球或宇宙的性質（例如：標準重力、標準大氣壓、哈伯常數）、特定物質的性質（例如：水的熔點、水的密度、水的比熱）、或甚至基本粒子的性質（例如：基本電荷、電子質量、質子質量）來定義的。普朗克單位制只以自由空間的性質（例如：真空光速、自由空間阻抗、波茲曼常數）來定義及作為歸一化對象。

有些學者認為普朗克單位制比其它自然單位制更為自然。例如，有些其它自然單位制使用電子質量為基本單位。但是電子只是許多種已知具有質量的基本粒子之一。這些粒子的質量都不一樣。在基礎物理學裏，並沒有任何絕對因素，促使選擇電子質量為基本單位，而不選擇其它粒子質量。

物質的量（莫耳）的自然單位就用「個」（一個就是1）就可以了，不必用到「莫耳」，而發光強度（燭光）的自然單位就用「瓦特/立弳」就可以了，因為這兩者的比值僅為發光效率，而發光效率是沒有單位因次的，就跟角度（弳）以及精細結構常數一樣，另外電荷的部分，雖然SI制的基本單位是電流而非電荷，但是實際上，電荷才是更基本的單位（就好比重力米制的基本單位是力而非質量，但是實際上，質量才是更基本的單位）。

（或者你也可以這樣說：普朗克單位制也將亞佛加厥常數$N_A$定為1，從而用「個」（一個就是1）作為物質的量的單位（對應國際單位制的莫耳），並且普朗克單位制不考慮發光強度（對應國際單位制的燭光），僅以輻射強度（對應國際單位制的「瓦特每立弳」來表示，就好比普朗克單位制不考慮等效劑量（對應國際單位制的西弗），僅以輻射劑量（對應國際單位制的戈雷）來表示，在普朗克單位制中，發光效率屬於無因次量，就跟弧度和立弳一樣）

## 基本普朗克單位

每一個單位制都有一組基本單位。（在國際單位制裏，長度的基本單位是公尺，時間的基本單位是秒，等等）在普朗克單位制裏，長度的基本單位是普朗克長度，時間的基本單位是普朗克時間，等等。這些單位都是由表1的五個基礎物理常數衍生的。表2展示出這些基本普朗克單位。

常數｜符號｜因次｜國際單位等值與不確定度

真空光速｜$c\,\!$｜LT−1｜299 792 458 m s−1

萬有引力常數｜$G\,\!$｜L3M−1T−2｜6.674 30(15)×10−11 m3 kg−1 s−2

約化普朗克常數｜$\hbar\,\!$｜L2MT−1｜1.054 571 817…×10−34 J s

真空電容率｜$\epsilon_0\,\!$｜L−3M−1T2Q2｜8.854 187 8128(13)×10−12 F/m

波茲曼常數｜$k_B\,\!$｜L2MT−2Θ−1｜1.380 649×10−23 J K−1

字鍵：$\mathrm{L}\,\!$ = 長度，$\mathrm{T}\,\!$ = 時間，$\mathrm{M}\,\!$ = 質量，$\mathrm{Q}\,\!$ = 電荷，$\Theta\,\!$ = 溫度。因為定義的關係，光速、約化普朗克常數與波茲曼常數的數值是精確值，不存在誤差（在2019年以前，約化普朗克常數與波茲曼常數的數值還不是精確值，反倒真空電容率的數值是精確值，只有光速從1983年以來一直都是精確值，見2019年國際單位制基本單位重新定義）。

單位名稱｜因次｜表達式｜國際單位制等值

普朗克勞侖茲-黑維塞單位制｜普朗克高斯單位制｜普朗克勞侖茲-黑維塞單位制｜普朗克高斯單位制

普朗克長度｜長度 (L)｜$l_\text{P} = \sqrt{\frac{4\pi \hbar G}{c^3}}$｜$l_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}$｜5.72938×10^-35 m｜1.61623×10^-35 m

普朗克質量｜質量 (M)｜$m_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar c}{4\pi G}}$｜$m_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar c}{G}}$｜6.13971×10^-9 kg｜2.17647×10^-8 kg

普朗克時間｜時間 (T)｜$t_\text{P} = \sqrt{\frac{4\pi \hbar G}{c^5}}$｜$t_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}}$｜1.91112×10^-43 s｜5.39116×10^-44 s

普朗克電荷｜電荷 (Q)｜$q_\text{P} = \sqrt{\hbar c \epsilon_0}$｜$q_\text{P} = \sqrt{4\pi \hbar c \epsilon_0}$｜5.29082×10^-19 C｜1.87555×10^-18 C

普朗克溫度｜溫度 (Θ)｜$T_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{4\pi G {k_\text{B}}^2}}$｜$T_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G {k_\text{B}}^2}}$｜3.99674×10^31 K｜1.41681×10^32 K

使用普朗克單位後，表1的五個基礎物理常數的數值都約化為1，因此表2的普朗克長度，普朗克質量，普朗克時間，普朗克電荷，與普朗克溫度這些計量也都約化為1。這可以無因次地表達為

（普朗克勞侖茲-黑維塞單位制）因為$c = 4 \pi G = \hbar = \epsilon_0 = k_B = 1\,\!$，所以$l_\text{P} = m_\text{P} = t_\text{P} = q_\text{P} = T_\text{P} = 1\,\!$。

（普朗克高斯單位制）因為$c = G = \hbar = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = k_B = 1\,\!$，所以$l_\text{P} = m_\text{P} = t_\text{P} = q_\text{P} = T_\text{P} = 1\,\!$。

## 衍生普朗克單位

在任何單位系統裏，許多物理量的單位是由基本單位衍生的。表3展示了一些在理論物理研究裏常見的衍生普朗克單位。實際上，大多數普朗克單位不是太大，就是太小，並不適合於實驗或任何實際用途。

單位名稱｜因次｜表達式｜國際單位制等值

普朗克勞侖茲-黑維塞單位制｜普朗克高斯單位制｜普朗克勞侖茲-黑維塞單位制｜普朗克高斯單位制

普朗克面積｜面積（L2）｜$A_\text{P} = l_\text{P}^2 = \frac{4\pi \hbar G}{c^3}$｜$A_\text{P} = l_\text{P}^2 = \frac{\hbar G}{c^3}$｜3.28258×10^-69 m2｜2.61220×10^-70 m2

普朗克動量｜動量（LMT−1）｜$p_\text{P} = m_\text{P}v_\text{P} = \frac{\hbar}{l_\text{P}} = \sqrt{\frac{\hbar c^3}{4\pi G}}$｜$p_\text{P} = m_\text{P}v_\text{P} = \frac{\hbar}{l_\text{P}} = \sqrt{\frac{\hbar c^3}{G}}$｜1.84064 N⋅s｜6.52489 N⋅s

普朗克能量｜能量（L2MT−2）｜$E_\text{P} = m_\text{P}v_\text{P}^2 = \frac{\hbar}{t_\text{P}} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{4\pi G}}$｜$E_\text{P} = m_\text{P}v_\text{P}^2 = \frac{\hbar}{t_\text{P}} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G}}$｜5.51809×10^8 J｜1.95611×10^9 J

普朗克力｜力（LMT−2）｜$F_\text{P} = m_\text{P}a_\text{P} = \frac{p_\text{P}}{t_\text{P}} = \frac{c^4}{4\pi G}$｜$F_\text{P} = m_\text{P}a_\text{P} = \frac{p_\text{P}}{t_\text{P}} = \frac{c^4}{G}$｜9.63122×10^42 N｜1.21029×10^44 N

普朗克功率｜功率（L2MT−3）｜$P_\text{P} = \frac{E_\text{P}}{t_\text{P}} = \frac{\hbar}{t_\text{P}^2} = \frac{c^5}{4\pi G}$｜$P_\text{P} = \frac{E_\text{P}}{t_\text{P}} = \frac{\hbar}{t_\text{P}^2} = \frac{c^5}{G}$｜2.88737×10^51 W｜3.62837×10^52 W

普朗克密度｜密度（L−3M）｜$d_\text{P} = \frac{m_\text{P}}{V_\text{P}} = \frac{\hbar t_\text{P}}{l_\text{P}^5} = \frac{c^5}{16\pi^2 \hbar G^2}$｜$d_\text{P} = \frac{m_\text{P}}{V_\text{P}} = \frac{\hbar t_\text{P}}{l_\text{P}^5} = \frac{c^5}{\hbar G^2}$｜3.26456×10^94 kg/m3｜5.15518×10^96 kg/m3

普朗克角頻率｜角頻率（T−1）｜$\omega_\text{P} = \frac{\theta_\text{P}}{t_\text{P}} = \sqrt{\frac{c^5}{4\pi \hbar G}}$｜$\omega_\text{P} = \frac{\theta_\text{P}}{t_\text{P}} = \sqrt{\frac{c^5}{\hbar G}}$｜5.23254×10^42 rad/s｜1.85489×10^43 rad/s

普朗克壓力｜壓力（L−1MT−2）｜$\Pi_\text{P} = \frac{F_\text{P}}{A_\text{P}} = \frac{\hbar}{l_\text{P}^3 t_\text{P}} = \frac{c^7}{16\pi^2 \hbar G^2}$｜$\Pi_\text{P} = \frac{F_\text{P}}{A_\text{P}} = \frac{\hbar}{l_\text{P}^3 t_\text{P}} = \frac{c^7}{\hbar G^2}$｜2.93404×10^111 Pa｜4.63325×10^113 Pa

普朗克電流｜電流（T−1Q）｜$i_\text{P} = \frac{q_\text{P}}{t_\text{P}} = \sqrt{\frac{c^6 \epsilon_0}{4\pi G}}$｜$i_\text{P} = \frac{q_\text{P}}{t_\text{P}} = \sqrt{\frac{4\pi c^6 \epsilon_0}{G}}$｜2.76844×10^24 A｜3.47893×10^25 A

普朗克電壓｜電壓（L2MT−2Q−1）｜$U_\text{P} = \frac{E_\text{P}}{q_\text{P}} = \frac{P_\text{P}}{i_\text{P}} = \sqrt{\frac{c^4}{4\pi G \epsilon_0}}$｜1.04296×10^27 V

普朗克阻抗｜阻抗（L2MT−1Q−2）｜$Z_\text{P} = \frac{U_\text{P}}{i_\text{P}} = \frac{\hbar}{q_\text{P}^2} = \frac{1}{c \epsilon_0} = c \mu_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} = Z_0 = \frac{1}{Y_0}$｜$Z_\text{P} = \frac{U_\text{P}}{i_\text{P}} = \frac{\hbar}{q_\text{P}^2} = \frac{1}{4\pi c \epsilon_0} = \frac{c \mu_0}{4\pi} = \sqrt{\frac{\mu_0}{16\pi^2 \epsilon_0}} = \frac{Z_0}{4\pi} = \frac{1}{4\pi Y_0}$｜376.730 Ω｜29.9792 Ω

註：$Z_0$為自由空間阻抗，$Y_0$為自由空間導納。

## 簡化物理方程式

嚴格地說，不同因次的物理量，雖然它們的數值可能相等，仍舊不能用在相等式的兩邊。但是，在理論物理學裏，為了簡化運算，我們可以把這顧慮放在一邊。簡化的過程稱為無因次化。表4展示出普朗克單位怎樣通過無因次化使許多物理方程式變得更簡單。

通常形式（國際單位制形式）｜普朗克勞侖茲-黑維塞單位制形式｜普朗克高斯單位制形式

萬有引力定律｜$F = - G \frac{m_1 m_2}{r^2} \,\!$｜$F = - \frac{m_1 m_2}{4 \pi r^2} \,\!$｜$F = - \frac{m_1 m_2}{r^2} \,\!$

薛丁格方程式｜$- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r},\, t) + V(\mathbf{r},\, t) \psi(\mathbf{r},\, t) \,\!$ $= i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r},\, t) \,\!$｜$- \frac{1}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r},\, t) + V(\mathbf{r},\, t) \psi(\mathbf{r},\, t) \,\!$ $= i \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r},\, t) \,\!$

普朗克關係式｜${ E = \hbar \omega } \ \,\!$｜${ E = \omega } \ \,\!$

狹義相對論的質能方程式｜${ E = m c^2} \ \,\!$｜${ E = m } \ \,\!$

廣義相對論的愛因斯坦場方程式｜${ G_{\mu \nu} = 8 \pi {G \over c^4} T_{\mu \nu}} \ \,\!$｜${ G_{\mu \nu} = 2 T_{\mu \nu} } \ \,\!$｜${ G_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu} } \ \,\!$

一個粒子的每個自由度的熱能｜${ E = \frac{1}{2} k_B T } \ \,\!$｜${ E = \frac{1}{2} T } \ \,\!$

庫侖定律｜$F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \,\!$｜$F = \frac{q_1 q_2}{4 \pi r^2} \,\!$｜$F = \frac{q_1 q_2}{r^2} \,\!$

麥克斯韋方程組｜$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{1}{\epsilon_0}\rho\,\!$ $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \ \,\!$ $\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\,\!$ $\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\,\!$｜$\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho \ \,\!$ $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \ \,\!$ $\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\,\!$ $\nabla \times \mathbf{B} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\,\!$｜$\nabla \cdot \mathbf{E} = 4 \pi \rho \ \,\!$ $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \ \,\!$ $\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\,\!$ $\nabla \times \mathbf{B} = 4 \pi \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\,\!$

## 參閱

- 因次分析
- 物理常數
- 普朗克尺寸
- 普朗克粒子
- 普朗克紀元
- 勞侖茲-黑維塞單位制
- 高斯單位制
- 國際單位制

## 外部連結

- NIST 的基本物理常數數值列表，包括普朗克單位。