扁球面坐標系

扁球面坐標系（Oblate spheroidal coordinates）是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於xz-平面；兩個焦點$F_{1}$與$F_{2}$的直角坐標分別為$( - a,\ 0,\ 0)$與$(a,\ 0,\ 0)$。將橢圓坐標系繞著z-軸旋轉，則可以得到扁球面坐標系。（假若，繞著y-軸旋轉，則可以得到長球面坐標系。）橢圓坐標系的兩個焦點，變為一個半徑為$a$的圓圈，包含於三維空間的xy-平面。稱這圓圈為焦圓，又稱為參考圓。扁球面坐標系可以被視為橢球坐標系的極限案例，其兩個最大的半軸的長度相同。

當邊界條件涉及扁球面或旋轉雙曲面時，扁球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式。例如，關於佩蘭摩擦因子（Perrin friction factors）的計算，扁球面坐標扮演了極重要的角色。讓·佩蘭因此而榮獲1926年諾貝爾物理獎。佩蘭摩擦因子決定了分子的旋轉擴散（rotational diffusion）。這程序又影響了許多科技，像蛋白質核磁共振光譜學（protein NMR），的可行性。應用這程序，我們可以推論分子的流體動力體積與形狀。扁球面坐標也時常用來解析電磁學（例如，扁球形帶電的分子的電容率），聲學（例如，聲音通過圓孔時產生的散射），流體動力學（水通過消防水帶的噴口），擴散理論（紅熱的錢幣在水裏的冷卻），等等方面的問題。

## 第一種表述

在三維空間裏，一個點P的扁球面坐標$(\mu,\ \nu,\ \phi)$常見的定義是

$x = a \ \cosh \mu \ \cos \nu \ \cos \phi$。

$y = a \ \cosh \mu \ \cos \nu \ \sin \phi$。

$z = a \ \sinh \mu \ \sin \nu$。

其中，$\mu\ge 0$是個實數，角度$- 90^{\circ} \le \nu \le 90^{\circ}$，角度$- 180^{\circ} \le \phi \le 180^{\circ}$。

學術界比較中意這一種扁球面坐標，因為沒有簡併；三維空間內每一點都擁有自己獨特的扁球面坐標。

### 坐標曲面

$\mu$坐標曲面是扁球面：

$\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \cosh^{2} \mu} + \frac{z^{2}}{a^{2} \sinh^{2} \mu} = \cos^{2} \nu + \sin^{2} \nu = 1$。

它們是由橢圓繞著z-軸旋轉形成的。橢球面與xz-平面的相交，是一個的橢圓。沿著x-軸，長半軸長度為$a\cosh\mu$，沿著z-軸，短半軸長度為$a\sinh\mu$。橢圓的焦點都包含於x-軸，x-坐標分別為$\pm a$。

$\nu$坐標曲面是半個單葉旋轉雙曲面：

$\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \cos^{2} \nu} - \frac{z^{2}}{a^{2} \sin^{2} \nu} = \cosh^{2} \mu - \sinh^{2} \mu = 1$。

假若$\nu$是正值，$z$也是正值，這半個單葉旋轉雙曲面在xy-平面以上；假若是負值，則在xy-平面以下。$\nu$是雙曲線的漸近線的角度。所有雙曲線的焦點都在x-軸，x-坐標分別為$\pm a$。

$\phi$坐標曲面是個半平面：

$x\sin\phi - y\cos\phi=0$。

### 逆變換

用直角坐標$(x,\ y,\ z)$來計算扁球面坐標$(\mu,\ \nu,\ \phi)$，方位角$\phi$的公式為

$\tan \phi = \frac{y}{x}$。

設定$d_1$與$d_2$分別為點P與焦圓的最遠距離與最近距離，以方程式表示為

$d_{1}^{2} = (\sqrt{x^{2}+y^{2}} + a)^{2} + z^{2}$。

$d_{2}^{2} = (\sqrt{x^{2}+y^{2}} - a)^{2} + z^{2}$。

坐標$\mu$和$\nu$的方程式分別為

$\cosh \mu = \frac{d_{1} + d_{2}}{2a}$。

$\cos \nu = \frac{d_{1} - d_{2}}{2a}$。

### 標度因子

扁球面坐標$\mu$與$\nu$的標度因子相等：

$h_{\mu} = h_{\nu} = a\sqrt{\sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu}$。

方位角$\phi$的標度因子為

$h_{\phi} = a \cosh\mu \ \cos\nu$。

無窮小體積元素是

$dV = a^{3} \cosh\mu \ \cos\nu \ \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right) d\mu d\nu d\phi$。

拉普拉斯算子是

$\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{a^{2} \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right)} \left[ \frac{1}{\cosh \mu} \frac{\partial}{\partial \mu} \left( \cosh \mu \frac{\partial \Phi}{\partial \mu} \right) + \frac{1}{\cos \nu} \frac{\partial}{\partial \nu} \left(\cos \nu \frac{\partial \Phi}{\partial \nu} \right) \right] + \frac{1}{a^{2} \left( \cosh^{2}\mu\cos^{2}\nu \right)} \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}$。

其它微分算子，像$\nabla \cdot \mathbf{F}$、$\nabla \times \mathbf{F}$，都可以用$(\mu,\ \nu,\ \phi)$坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

## 第二種表述

另外有一組有時會用到的扁球面坐標$(\zeta,\ \xi,\ \phi)$；其中，$\zeta = \sinh \mu$，$\xi = \sin \nu$。$\zeta$坐標曲面是個扁球面，$\xi$坐標曲面是個旋轉雙曲面。從直角坐標變換至扁球面坐標：

$x = a\sqrt{(1+\zeta^2)(1-\xi^2)}\,\cos \phi$。

$y = a\sqrt{(1+\zeta^2)(1-\xi^2)}\,\sin \phi$。

$z = a \zeta \xi$。

其中，實數$0 \le \zeta < \infty$，實數$-1 \le \xi < 1$，角度$- 180^{\circ} \le \phi \le 180^{\circ}$。

### 標度因子

扁球面坐標$(\zeta,\ \xi,\ \phi)$的標度因子分別為：

$h_{\zeta} = a\sqrt{\frac{\zeta^2 + \xi^2}{1+\zeta^2}}$。

$h_{\xi} = a\sqrt{\frac{\zeta^2 + \xi^2}{1 - \xi^2}}$。

$h_{\phi} = a\sqrt{(1+\zeta^2)(1 - \xi^2)}$。

無窮小體積元素是

$dV = a^{3} (\zeta^2+\xi^2)\,d\zeta\,d\xi\,d\phi$。

拉普拉斯算子是

$\nabla^{2} V = \frac{1}{a^2 \left( \zeta^2 + \xi^2 \right)} \left\{ \frac{\partial}{\partial \zeta} \left[ \left(1+\zeta^2\right) \frac{\partial V}{\partial \zeta} \right] + \frac{\partial}{\partial \xi} \left[ \left( 1 - \xi^2 \right) \frac{\partial V}{\partial \xi} \right] \right\} + \frac{1}{a^2 \left( 1+\zeta^2 \right) \left( 1 - \xi^{2} \right)} \frac{\partial^2 V}{\partial \phi^{2}}$。

## 第三種表述

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另外，還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系$(\sigma,\ \tau,\ \phi)$：

$\sigma=\cosh\mu$。

$\tau=\cos \nu$。

$\phi=\phi$。

坐標$\sigma$必須大於或等於1。坐標$\tau$必須在正負1之間。$\sigma$坐標曲面是扁球面。$\tau$坐標曲面是單葉雙曲面，包含了對應於正負$\nu$的半雙曲面。第三種坐標有雙重簡併：三維空間的兩點（直角坐標$(x,\ y,\ \pm z)$映射至一組扁球面坐標系$(\sigma,\ \tau,\ \phi)$）。這雙重簡併可以從直角坐標變換至扁球面坐標的公式觀察到：

$x = a\sigma\tau \cos \phi$。

$y = a\sigma\tau \sin \phi$。

$z^{2} = a^{2} \left( \sigma^{2} - 1 \right) \left(1 - \tau^{2} \right)$。

坐標$\sigma$與$\tau$有一個簡單的公式來表達任何一點P與焦圓的最遠距離$d_1$，最近距離$d_2$：

$d_{1}+d_{2} = 2a\sigma$。

$d_{1} - d_{2}= 2a\tau$。

所以，點P與焦圓的最遠距離是$a(\sigma+\tau)$，點P與焦圓的最近距離是$a(\sigma - \tau)$。

### 坐標曲面

$\sigma$坐標曲面是扁球面：

$\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \sigma^{2}} + \frac{z^{2}}{a^{2} \left(\sigma^{2} - 1\right)} = 1$。

$\tau$坐標曲面是單葉旋轉雙曲面：

$\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \tau^{2}} - \frac{z^{2}}{a^{2} \left( 1 - \tau^{2} \right)} = 1$。

$\phi$坐標曲面是半個平面：

$x\sin\phi - y\cos\phi=0$。

### 標度因子

扁球面坐標$(\sigma,\ \tau,\ \phi)$的標度因子分別為：

$h_{\sigma}=a\sqrt{\frac{\sigma^{2} + \tau^{2}}{\sigma^{2} + 1}}$。

$h_{\tau}=a\sqrt{\frac{\sigma^{2} + \tau^{2}}{1 - \tau^{2}}}$。

$h_{\phi}=a \sigma \tau$。

無窮小體積元素是

$dV = a^{3} \sigma \tau \frac{\sigma^{2} + \tau^{2}}{\sqrt{\left( \sigma^{2} + 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)}} d\sigma d\tau d\phi$。

拉普拉斯算子是

$\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right)} \left\{ \frac{\partial}{\partial \sigma} \left[ \left( \sigma^{2} + 1 \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma} \right] + \frac{\partial}{\partial \tau} \left[ \left( 1 - \tau^{2} \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \tau} \right] \right\} + \frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} + 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)} \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}$。

其它微分算子，像$\nabla \cdot \mathbf{F}$、$\nabla \times \mathbf{F}$，都可以用$(\sigma,\ \tau,\ z)$坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

如同球坐標解答的形式為球諧函數，拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解，得到形式為扁球諧函數的答案。假若，邊界條件涉及扁球面，我們可以優先選擇這方法來解析。

## 參考目錄

### 不按照命名常規

- 採用$\xi_1=a\sinh\mu$、$\xi_2=\sin\nu$、$\xi_3=\cos\phi$。
- 如同Morse & Feshbach (1953)，採用$u_k$來替代$\xi_k$。
- 採用混合坐標$\xi=a\sinh\mu$、$\eta=\sin\nu$、$\phi=\phi$。

### 按照命名常規

- 採用第一種表述$(\mu,\ \nu,\ \phi)$，又加介紹了簡併的第三種表述$(\sigma,\ \tau,\ \phi)$。
- 如同Korn and Korn (1961)，但採用餘緯度$\theta=90^{\circ} - \nu$來替代緯度$\nu$。
- Moon and Spencer採用餘緯度常規$\theta=90^{\circ} - \nu$，又改名$\phi$為$\psi$。

### 特異命名常規

- 視扁球面坐標系為橢球坐標系的極限。採用第二種表述。