拉格朗日方程式

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拉格朗日方程式（Lagrange equation），因數學物理學家約瑟夫·拉格朗日而命名，是分析力學的重要方程式，可以用來描述物體的運動，特別適用於理論物理的研究。拉格朗日方程式的功能相當於牛頓力學中的牛頓第二定律。

## 定義

假設一個物理系統符合完整系統的要求，即所有廣義座標都互相獨立，則拉格朗日方程式成立：

$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot\mathbf{q}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{q}} = \mathbf{0}\,\!$。

其中，$\mathcal{L}(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)\,\!$是拉格朗日量，$\mathbf{q} = \left( q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{N} \right)\,\!$是廣義座標，是時間$t\,\!$的函數，$\dot{\mathbf{q}} = \left( \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{N} \right)\,\!$是廣義速度。

## 導引

在分析力學裏，有三種方法可以導引出拉格朗日方程式。最原始的方法是使用達朗貝爾原理導引出拉格朗日方程式（參閱達朗貝爾原理）；更進階層面，可以從哈密頓原理推導出拉格朗日方程式（參閱哈密頓原理）；最簡明地，可以借用數學變分法的歐拉-拉格朗日方程式來推導：

設定函數$\mathbf{y}(x)\,\!$和$f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)\,\!$：

$\mathbf{y}(x)=(y_1(x),\ y_2 (x),\ \ldots, y_N (x))\,\!$。

$\dot{\mathbf{y}}(x)=(\dot{y}_1(x),\ \dot{y}_2 (x),\ \ldots,\ \dot{y}_N (x))\,\!$。

$f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)=f(y_1(x),\ y_2 (x),\ \ldots,\ y_N (x),\ \dot{y}_1 (x),\ \dot{y}_2 (x),\ \ldots,\ \dot{y}_N (x),\ x)\,\!$。

其中，$x\,\!$是自變數（independent variable）。

若$\mathbf{y}(x)\in(C^1[a,\ b])^N\,\!$使泛函$J(\mathbf{y})=\int_a^bf(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)dx\,\!$取得局部平穩值，則在區間$(a,\ b)\,\!$內，歐拉-拉格朗日方程式成立：

$\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial}{\partial \dot{y}_i}f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)\right) - \frac{\partial}{\partial y_i}f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)=0\ ,\qquad\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ \ldots,\ N\!$。

現在，執行下述轉換：

- 設定獨立變數$x\,\!$為時間$t\,\!$。
- 設定函數$y_i\,\!$為廣義坐標$q_i\,\!$。
- 設定泛函$f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)\,\!$為拉格朗日量$\mathcal{L}(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)\,\!$。

則可得到拉格朗日方程式

$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot\mathbf{q}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{q}} = \mathbf{0}\,\!$。

- 為了滿足這轉換的正確性，廣義坐標必須互相獨立，所以，這系統必須是完整系統。
- 拉格朗日量是動能減去位勢，而位勢必須是廣義位勢。所以，這系統必須是單演系統。

## 半完整系統

主項目：參閱半完整系統

一個不是完整系統的物理系統是非完整系統，不能用上述形式論來分析。假若，一個非完整系統的約束可以以方程式表示為

$g_i(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}})=0\ ,\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots n\,\!$。

則稱此系統為半完整系統。

半完整系統可以用拉格朗日形式論來分析。更具體地說，分析半完整系統必須用到拉格朗日乘子$\lambda_i\,\!$：

$\sum_{i=1}^n\ \lambda_i g_i=0\,\!$。

其中，$\lambda_i=\lambda_i(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)\,\!$是未知函數。

由於這$N\,\!$個廣義坐標中，有$n\,\!$個相依的廣義坐標，泛函$f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)\,\!$不能直接被轉換為拉格朗日量$\mathcal{L}\,\!$；必須加入拉格朗日乘子，將泛函$f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)\,\!$轉換為$\mathcal{L}+\sum_{i=1}^n\ \lambda_i g_i\,\!$。這樣，可以得到拉格朗日廣義力方程式：

$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot\mathbf{q}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{q}} = \boldsymbol{\mathcal{F}}\,\!$。

其中，$\boldsymbol{\mathcal{F}}\,\!$是廣義力，$\boldsymbol{\mathcal{F}}=\frac{\partial}{\partial \mathbf{q}}\left(\sum_{i=1}^n\ \lambda_i g_i\right) - \frac{d}{dt}\left[\frac{\partial}{\partial \dot{\mathbf{q}}}\left(\sum_{i=1}^n\ \lambda_i g_i\right)\right]\,\!$。

這$N\,\!$個廣義力運動方程式加上$n\,\!$個約束方程式，給出$N+n\,\!$個方程式來解$N\,\!$個未知廣義坐標與$n\,\!$個拉格朗日乘子。

## 實例

這個段落會展示拉格朗日方程式的兩個應用實例。第一個實例展示出，用牛頓方法與拉格朗日方法所得的答案相同。第二個實例展示出拉格朗日方法的威力，因為這問題比較不適合用牛頓方法來分析。

### 自由落體

思考一個粒子從靜止狀態自由地下落。由於重力$F=mg\,\!$作用於此粒子，應用牛頓第二定律，可以得到運動方程式

$\ddot x = g\,\!$。

其中，x-坐標垂直於地面，由初始點（原點）往地面指。

這個結果也可以從拉格朗日形式論得到。動能$T\,\!$是

$T = \frac{1}{2} m v^2\,\!$。

位勢$V\,\!$是

$V = - m g x\,\!$。

所以，拉格朗日量$\mathcal{L}\,\!$是

$\mathcal{L} = T - V = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 + m g x\,\!$。

將$\mathcal{L}\,\!$代入拉格朗日方程式。

$0 = \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}= m\frac{d \dot x}{dt} - mg\,\!$。

運動方程式是

$\ddot x = g\,\!$。

與牛頓方法的運動方程式相同。

### 具有質量的移動支撐點的簡單擺

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思考一個簡單擺系統。系統的x-軸平行於地面，y-軸垂直於x-軸，指向地面。擺錘P的質量是$m\,\!$，位置是$(x,\ y)\,\!$。擺繩的長度是$l\,\!$。擺的支撐點Q的質量是$M\,\!$。這支撐點Q可以沿著一條平行於x-軸的直線移動。點Q的位置是$(X,\ 0)\,\!$。擺繩與y-軸的夾角是$\theta\,\!$。那麼，動能是

$T = \frac{1}{2} M \dot{X}^2 + \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right)\,\!$。

位勢為

$V= - mgy\,\!$。

所以，拉格朗日量是

$\mathcal{L}=\frac{1}{2}M\dot{X}^2+\frac{1}{2}m\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2\right)+mgy\,\!$。

兩個約束方程式為

$x=X+l\sin\theta\,\!$。

$y=l\cos\theta\,\!$。

將約束方程式代入拉格朗日量方程式,

$\mathcal{L}=\frac{1}{2} M \dot{X}^2 + \frac{1}{2} m \left[ \left( \dot{X} + l \dot\theta\cos\theta\right)^2 + \left( l \dot\theta \sin \theta \right)^2 \right]+ mgl\cos\theta\,\!$。

特別注意，在這裏，廣義坐標是$X\,\!$與$\theta\,\!$。應用拉格朗日方程式，經過微分運算，對於$X\,\!$坐標，可以得到

$\frac{d}{dt}\left[(M+m) \dot{X}+ml\dot{\theta}\cos\theta\right]=0\,\!$。

運動方程式為

$(M+m)\ddot{X}+ml\ddot{\theta}\cos\theta - ml\dot{\theta}^2\sin\theta = 0 \,\!$。

由於拉格朗日量不顯含廣義坐標$X\,\!$，稱$X\,\!$為可略坐標，而其相對應的廣義動量$p_X\,\!$是常數$K_1\,\!$：

$p_X=(M+m)\dot{X}+ml\dot{\theta}\cos\theta=K_1\,\!$。

對於$\theta\,\!$坐標，可以得到

$\frac{d}{dt}\left[m(l^2 \dot{\theta}+\dot{X}l\cos\theta)\right]+m(\dot{X}l\dot{\theta}+gl) \sin\theta=0\,\!$。

所以，運動方程式為

$\ddot{\theta}+\frac{\ddot{X}}{l}\cos\theta+\frac{g}{l}\sin\theta=0\,\!$。

假如用牛頓第二定律，則必須仔細地辨明所有的相關作用力。這是一項既困難又容易出錯的工作。