Β函數

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Β函數，又稱為貝塔函數或第一類歐拉積分，是一個特殊函數，由下式定義：

$$<pre> \mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,\mathrm{d}t </pre> \!$$

其中$\textrm{Re}(x), \textrm{Re}(y) > 0\,$。

## 性質

Β函數具有以下對稱性質：

$$<pre> \Beta(x,y) = \Beta(y,x). </pre> \!$$

當$x$, $y$是正整數的時候，我們可以從階乘或是伽馬函數其中$\Gamma(x)\,$得到如下式子：

$$<pre> \Beta(x,y)=\dfrac{(x-1)!\,(y-1)!}{(x+y-1)!} </pre> \!$$

它有許多其它的形式，包括：

$$<pre> \Beta(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} </pre> \!$$

$$<pre> \Beta(x,y) = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,\mathrm{d}\theta, \qquad \textrm{Re}(x)>0,\ \textrm{Re}(y)>0 </pre> \!$$

$$<pre> \Beta(x,y) = \int_0^\infty\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,\mathrm{d}t, \qquad \textrm{Re}(x)>0,\ \textrm{Re}(y)>0 </pre> \!$$

$$<pre> \Beta(x,y) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{{n-y \choose n}} {x+n}, </pre> \!$$

$$<pre> \Beta(x,y) = \prod_{n=0}^\infty \left( 1+ \dfrac{x y}{n (x+y+n)}\right)^{-1}, </pre> \!$$

$$<pre> \Beta(x,y) \cdot \Beta(x+y,1-y) = \dfrac{\pi}{x \sin(\pi y)}, </pre> \!$$

$$<pre> \Beta(x,y) = \dfrac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\dfrac{y^{n+1}}{n!(x+n)} </pre> \!$$

就像伽瑪函數描述了階乘一樣，我們也可以用貝塔函數來定義二項式係數：

$${n \choose k} = \frac1{(n+1) \Beta(n-k+1, k+1)}$$

## 伽瑪函數與貝塔函數之間的關係

為了推出兩種函數之間的關係，我們把兩個階乘的乘積寫為：

$$<pre> \Gamma(x)\Gamma(y) = \int_0^\infty\ e^{-u} u^{x-1}\,\mathrm{d}u \int_0^\infty\ e^{-v} v^{y-1}\,\mathrm{d}v. </pre> \!$$

現在，設$u = a^2$, $v = b^2$，因此：

$$\begin{align} <pre> \Gamma(x)\Gamma(y) & {} = 4\int_0^\infty\ e^{-a^2} a^{2x-1}\mathrm{d}a \int_0^\infty\ e^{-b^2} b^{2y-1}\,\mathrm{d}b \\ </pre> & {} = \int_{-\infty}^\infty\ \int_{-\infty}^\infty\ e^{-(a^2+b^2)} |a|^{2x-1} |b|^{2y-1} \,\mathrm{d}a \,\mathrm{d}b. \end{align} \!$$

利用變量代換$a = r\cos\theta$和$b = r\sin\theta$，可得：

$$\begin{align} <pre> \Gamma(x)\Gamma(y) & {} = \int_0^{2\pi}\ \int_0^\infty\ e^{-r^2} |r\cos\theta|^{2x-1} |r\sin\theta|^{2y-1} r \, \mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta \\ </pre> & {} = \int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2x+2y-2} r\, \mathrm{d}r \int_0^{2\pi}\ |(\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1}| \, \mathrm{d}\theta \\ & {} = \frac{1}{2}{\color{red}{\int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2(x+y-1)}\, \mathrm{d}(r^2)}} \, 4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ (\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1} \,\mathrm{d}\theta \\ & {} = {\color{red}{\Gamma(x+y)}} \, 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ (\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1} \, \mathrm{d}\theta \\ & {} = \Gamma(x+y) \Beta(x,y). \end{align}$$

因此，有：

$$<pre> \Beta(x,y) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}. </pre>$$

## 導數

貝塔函數的導數是：

$${\partial \over \partial x} \mathrm{B}(x, y) = \mathrm{B}(x, y) \left( {\Gamma'(x) \over \Gamma(x)} - {\Gamma'(x + y) \over \Gamma(x + y)} \right) = \mathrm{B}(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y))$$

其中$\psi(x)$是雙伽瑪函數。

## 估計

斯特靈公式給出了一個用來近似計算貝塔函數的公式：

$$\Beta(x,y)\approx\sqrt {2\pi } \frac{{x^{x - \frac{1}{2}} y^{y - \frac{1}{2}} }}{{\left( {x + y} \right)^{x + y - \frac{1}{2}} }}.$$

## 不完全貝塔函數

不完全貝塔函數是貝塔函數的一個推廣，把貝塔函數中的定積分用不定積分來代替，就像不完全伽瑪函數是伽瑪函數的推廣一樣。

不完全貝塔函數定義為：

$$\Beta(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt. \!$$

當$x=1$，上式即化為貝塔函數。

正則不完全貝塔函數（或簡稱正則貝塔函數）由貝塔函數和不完全貝塔函數來定義：

$$I_x(a,b) = \dfrac{\Beta(x;\,a,b)}{\Beta(a,b)}. \!$$

當$a$和$b$是整數時，計算以上的積分（可以用分部積分法），可得：

$$I_x(a,b) = \sum_{j=a}^{a+b-1} {(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!} x^j (1-x)^{a+b-1-j}.$$

正則不完全貝塔函數是Β分布的累積分布函數，可由二項式分布描述一個實隨機變量$X$的機率分布：

$$F(k;n,p) = \Pr(X \le k) = I_{1-p}(n-k, k+1) = 1 - I_p(k+1,n-k)$$

其中$p$為試驗成功機率，$n$為樣本數。

### 性質

$$I_0(a,b) = 0 \,$$

$$I_1(a,b) = 1 \,$$

$$I_x(a,b) = 1 - I_{1-x}(b,a) \,$$