交換環

在抽象代數之分支環論中，一個交換環（commutative ring）是乘法運算滿足交換律的環。對交換環的研究稱為交換代數學。

某些特定的交換環在下列類包含鏈中：

- 交換環 ⊃ 整環 ⊃ 惟一分解整環 ⊃ 主理想整環 ⊃ 歐幾里得整環 ⊃ 域

## 定義與例子

### 定義

一個帶有兩個二元運算的集合 R 是環，即將環中的任意兩個元素變為第三個的運算。他們稱為加法與乘法，通常記作 + 與 ⋅，例如 $a+b$ 與 $a \cdot b$。為了形成一個群這兩個運算需滿足一些性質：環在加法下是一個阿貝爾群，在乘法下為一個么半群，使得乘法對加法有分配律，即 $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$。關於加法與乘法的單位元素分別記作 0 和 1。

另外如果乘法也是交換的，即

$a \cdot b = b \cdot a$。

環 $R$ 稱為交換的。除非另有特別聲明，下文中所有環假設是交換的。

### 例子

一個重要的例子，在某種意義下是最關鍵的，是帶有加法與乘法兩個運算的整數環 $\mathbb{Z}$。因為整數乘法是一個交換運算，這是一個交換環。通常記作 $\mathbb{Z}$，是德語詞 Zahlen（數）的縮寫。

一個域是每個非零元素 $a$ 是可逆的交換環，即有一個乘法逆 $b$ 使得 $a \cdot b =1$。從而，由定義知任何域是一個交換環。有理數、實數、複數都是域。

2×2 的矩陣不是交換的，因為矩陣乘法不滿足交換律，如下例所示：

$\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix}$，不等於 $\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 1 & 1\\ \end{bmatrix}.$

但是，能被相同的相似變換對角化的矩陣形成一個交換環。一個例子是關於一個固定節點集合差商的矩陣集合。

如果 $R$ 是一個給定的交換環，關於變量 $X$ 係數位於 $R$ 中的所有多項式形成一個多項式環，記作 $R[X]$。對多個變量同樣成立。

如果 $V$ 是某個拓撲空間，例如某個 $\mathbb{R}^n$ 的子集，$V$ 上實值或復值連續函數形成一個交換環。同樣對可微函數或全純函數也對，只要兩者有定義，比如 $V$ 是一個複流形。

## 理想與譜

和域中每個非零元素是乘法可逆不同，環的理論更複雜。有多個概念處理這種情形。首先，$R$ 的一個元素如果有乘法逆稱之為單位。另一種特別的元素類型是零因子，即非零元素 $a$ 使得存在環中一個非零元素 $b$ 使得 $ab=0$。如果 $R$ 沒有零因子，稱為整環，因為在很多方面像整數。

下列許多概念對非交換環也存在，但定義與性質一般更加複雜。例如，交換環中所有理想自動是雙邊的，相當簡化了情形。

### 理想與商環

交換環的內部結構通過考慮它的理想來確定，即在與環中任何元素相乘以及加法下封閉的非空子集 $I$：對所有 $r$ 屬於 $R$，$i$ 與 $j$ 屬於 $I$，$ri$ 與 $i+j$ 都要求屬於 $I$。給定 $R$ 的任何子集 $F=\{f_j\}_{j\in J}$（這裡 $J$ 是某個指標集），由 $F$ 生成的理想是最小的包含 $F$ 的理想。等價地，它有有限線性組合給出

$r_1f_1 + r_2f_2 + \cdots + r_nf_n$。

由一個元素生成的理想叫做主理想。若環中所有理想都是主理想稱為主理想環，兩個重要的情形是 $\mathbb{Z}$ 與一個域 $k$ 上的多項式環 $k [\mathbb{X}]$。任何環有兩個理想，零理想 $\{ 0 \}$ 與整個環 $R$。不包含於任何真理想（即 $\neq R$）的理想稱為極大的。一個理想 m 是極大的若且唯若 R / m 是一個域。任何環至少有一個極大理想，這可由與選擇公理等價的佐恩引理得出。

理想的定義使得「除以」 $I$ 中的元素給出另一個環，商環 $R / I$：它是 $I$ 的陪集，兩個運算為

$(a + I) + (b + I) = (a + b) + I \ \text{and} \ (a + I)(b + I) = ab + I$。

例如，環$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$（也記作 $\mathbb{Z}_n$），其中 $n$ 是一個整數，是整數模 $n$ 環。它是模算術的基礎。

### 局部化

一個環的局部化是商環的對立面，在商環 $R / I$ 中某些元素（$I$ 中的元素）變為零，而在局部化中某些元素變為可逆的，即乘法逆添進環中。具體的，如果 $S$ 是 $R$ 的一個乘法閉子集（即只要 $s$ 與 $t \in S$ 則 $st \in S$）在 $R$ 在 $S$ 處的局部化，或分母在 $S$ 中的分式環，通常記作 $S^{-1}R$ 由符號

$\frac{r}{s}$ 其中 $r \in R$, $s \in S$

組成，滿足與有理數的約分類似的法則。事實上，在這種語言中 $\mathbb{Q}$ 是 $\mathbb{Z}$ 在所有非零整數的局部化。此構造對所有整環 $R$ 也成立。如果 $S$ 由一個固定元素 $f$ 的所有冪組成，局部化寫成 $R_f$。

### 素理想與譜

一類特別重要的理想叫做素理想，通常記作 $p$。此概念源於19世紀代數學家們意識到，不像 $\mathbb{Z}$，在許多環中沒有素數惟一分解（有此性質的環稱為惟一分解整環）。由定義，素理想是一個真理想使得只要環中任何兩個元素 $a$ 與 $b$ 的乘積 $ab$ 屬於 $p$，則 $a$ 與 $b$ 中至少有一個已屬於 $p$。（相反的結論由定義對任何理想成立）。等價地，商環 $R / p$ 是一個整環。另一種表述是說補集 $R \backslash p$ 是乘法封閉的。局部化 $(R \backslash p)^{-1}R$ 足以重要到賦以單獨的記號：$R_p$。這個環只有一個極大理想，即 $pR_p$。這樣的環稱為局部環。

由上所述，任何極大理想都是素理想。證明一個理想是素的，或等價的一個環沒有零因子可能非常困難。

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素理想是幾何地理解一個環的關鍵步驟，通過環的譜 Spec $R$：它是 $R$ 的所有素理想集合。上已提到，至少有一個素理想，從而譜非空。如果 $R$ 是一個域，惟一的素理想是零理想，從而譜只有一個點。但 $\mathbb{Z}$ 的譜，包含零理想的一個點，以及任何素數 $p$（生成素理想 $p\mathbb{Z}$）的一個點。譜賦以一個拓撲叫扎里斯基拓撲，這由將子集 $D(f) = {p \in \text{Spec}\ R, f \not\in p}$ 設定為開集確定，這裡 $f$ 是任何環元素。此拓撲與分析或微分幾何中遇到的可能不同；例如，一般地存在點不是閉的。譬如，對應於零理想的點 0 ⊂ Z 的閉包，是整個 $\mathbb{Z}$ 的譜。

譜的概念是交換代數與代數幾何的公共基石。代數幾何將 Spec $R$ 賦予一個層 $\mathcal O$（將不同的開子集上局部定義的所有函數收集起來的實體）。此空間與層的數據稱為一個仿射概形。給定一個仿射概形，底環 R 可作為 $\mathcal O$ 的整體截面重新得到。而且，已建立起來的環與放射概形之間的一一對應也與環同態相容：任何 $f: R \rightarrow S$ 得出一個方向相反的連續映射

$\text{Spec}\ S \rightarrow \text{Spec}\ R, q \mapsto f^{-1}(q)$，即 $S$ 的任何素理想映到在 $f$ 下的原像，這是 $R$ 的一個素理想。

譜也使局部化和商環是互補的直覺確切化：自然映射 $R \rightarrow R_f$ 與 $R \rightarrow R / fR$ 分別對應於，將環的譜賦以他們的扎里斯基拓撲後，互補的開、閉嵌入。

總之所說的這兩個範疇的等價反應了環的代數性質以幾何方式表現出來。流形局部由 $\mathbb{R}^n$ 給出，與之類似，仿射概形的局部模型是概形，這是代數幾何中研究的對象。從而，環與同態中許多概念都源於幾何直覺。

## 環同態

與通常代數學中一樣，兩個對象之間的一個保持對象的結構的函數 $f$ 無疑稱為同態。在環的情形中，環同態是一個映射 $f: R \rightarrow S$ 使得

$f(a + b) = f(a) + f(b)$, $f(ab) = f(a)f(b)$ 且 $f(1) = 1$。

這些條件保證 $f(0) = 0$，但保持乘法單位元素 1 的要求不能從其它兩條性質推出。在這種情形下 $S$ 也成為一個 $R$-代數，理解為 $S$ 中 $s$ 可以被 $R$ 中 $r$ 乘，通過令

$r \cdot s := f(r) \cdot s$。

$f$ 的核與像定義為 $\ker(f) = \{r \in R, f(r) = 0\}$ 與 $\text{im} (f) = f(R) = \{f(r), r \in R\}$。核與像分別是 $R$ 與 $S$ 的子環。

## 模

交換代數的外部結構由考慮這個環上的線性代數確定，即研究它的模理論，這與向量空間類似，除了底不必是一個域而可以為任何環 $R$。$R$-模的理論比向量空間的線性代數要複雜得多。模理論必須處理一些困難比如模沒有基，自由模的秩（即向量空間的維數之類比）可能不是良好定義的，有限生成模的子模不必是有限生成的（除非 $R$ 是諾特環，見下）。

環 $R$ 中的理想可以視為 $R$-模，也是 $R$ 的子模。另一方面，欲很好的理解 $R$-模必須知道 $R$ 足夠資訊。然而反過來，交換代數中通過考慮 $R$ 的理想研究其結構的許多技巧，一般對研究模也成立。

## 諾特環

一個環稱為諾特環（為了紀念埃米·諾特，她發展了這個概念），如果理想的升鏈

$$0 \subseteq I_0 \subseteq I_1 \cdots \subseteq I_n \subseteq I_n + 1 \subseteq\cdots$$

成為穩定的，即某個指標 $n$ 後變成常值。等價地，任何理想由有限多個元素生成，或同樣等價地有限生成模的子模是有限生成的。一個環稱為阿廷環（以埃米爾·阿廷命名），如果任何理想的降鏈

$$R \supseteq I_0 \supseteq I_1 \cdots \supseteq I_n \supseteq I_n + 1 \supseteq \cdots$$

最終變成穩定的。儘管這兩個條件對稱的出現，諾特環比阿廷環更一般。例如，$\mathbb{Z}$ 是諾特的，因為任何理想可由一個元素生成，但不是阿廷環，比如有降鏈

$\mathbb{Z} \supsetneq 2\mathbb{Z} \supsetneq 4\mathbb{Z} \supsetneq 8\mathbb{Z}\supsetneq \cdots$。

事實上，每個阿廷環是諾特環。

諾特環是一個特別重要的有限性條件。此條件在幾何中經常出現的許多運算下保持：如果 $R$ 是諾特環，則多項式環 $R[X_1, X_2, \cdots , X_n]$（由希爾伯特基定理）、任何局部化 $S^{-1}R$ 以及商環 $R / I$ 都是諾特環。

## 維數

一個環 $R$ 的克魯爾維數（或簡稱維數）$\dim R$ 是衡量環的「大小」的一個概念，非常粗略地說是數 $R$ 中無關元素。準確地說，它定義為譜中素理想鏈的長度 $n$

$0 \subseteq p_0 \subseteq p_1 \subseteq \cdots \subseteq p_n$。

例如，一個域是零維的，因為惟一的理想是零理想。一個環是阿廷環若且唯若它是諾特環且是零維的（即其素理想都是極大理想）。整數是 1 維的：任何素理想鏈具有形式

$0 = p_0 \subseteq p \mathbb{Z} = p_1$，這裡 $p$ 是一個素數

因為 $\mathbb{Z}$ 中任何理想都是主理想。

如果考慮的環是諾特環，維數表現良好：期待的不等式在這種情形下成立

$\dim R[X] = \dim R + 1$。

（一般地只有 $\dim R + 1 \leq \dim R[X] \leq 2 \cdot \dim R + 1$）。另外，維數隻取決於一個極大鏈，$R$ 的維數是其所有局部化 $R_p$ 的維數的上確界，這裡 $p$ 是任意一個素理想。直覺上，R 的維數是 R 譜的一個局部性質。所以，維數經常只對局部環考慮，也因為一般的諾特環仍有可能是無限維，儘管它所有局部化是有限維的。

確定

$k[X_1, X_2, \cdots, X_n] / (f_1, f_2, \cdots, f_m)$，其中 $k$ 是一個域而 $f_i$ 是某個 $n$ 變量多項式

維數一般不容易。對諾特環 $R$，$R/I$ 的維數，由克魯爾主理想定理，至少是 $\dim R - n$，如果 $I$ 由 $n$ 個元素生成。如果維數不能再小，即 $\dim R / I = \dim R - n$，則 $R/I$稱為完全交叉。

一個局部環 $R$，即只有一個極大理想 $m$，稱為正則的，如果 $R$ 的（克魯爾）維數等於維數餘切空間 $m / m^2$（作為域 $R / m$ 上的向量空間）的維數。

有如下更幾何化的另一個包含鏈：

科恩-麥考利環 ⊃ 葛侖斯坦環 ⊃ 正則環 ⊃ 正則局部環。

## 構造交換環

有多種方法從給定的環構造出新的。這樣構造的目的通常是為了改善環的某種性質使其更易理解。例如，一個整環在其分式域中整閉稱為正規環。這是一個值得嚮往的性質，比如任何正規 1-維環必是正則的。將一個環變為正規的稱為正規化。

### 完備化

如果 $I$ 是交換環 $R$ 中一個理想，$I$ 的冪組成 0 的一個拓撲鄰域，這使 $R$ 可視為一個拓撲環。這個拓撲稱為 I-進拓撲。這樣 $R$ 關於這個拓撲可以完備化。形式上，$I$-進拓撲完備化是環 $R/I^n$ 的反向極限。例如，如果 $k$ 是一個域，$k[[X]]$，$k$ 上一個變量形式冪級數環，是 $k[X]$ 的 $I$-進完備化，其中 $I$ 是由 $X$ 生成的主理想。類似地，$p$-進整數環是 $\mathbb{Z}$ 的 $I$-進完備化，其中 $I$ 是由 $p$ 生成的主理想。任何同構於它的完備化的環叫做完備。

## 性質

由韋德伯恩定理，任何有限除環是交換的，從而是一個有限域。另一個確保一個環的交換性的性質，屬於雅各布森，如下：對任何 $R$ 中元素 $r$，存在一個整數 $n>1$ 使得 $r^n=r$ 如果對每個 $r$ 有 $r^2=r$，環稱為布爾環。確保環的交換性的更一般的條件也為人所知。