冪平均

冪平均（power mean），又稱廣義平均（generalized mean）或赫爾德平均（Hölder mean），是一族從數列到實數的函數。冪平均函數的特殊情況包括畢達哥拉斯平均（算術、幾何、調和平均），因此可視為畢達哥拉斯平均的一種推廣。

<image>

## 定義

若 $p$ 是一非零實數，可定義非負實數 $x_1,\dots,x_n$ 的p次冪平均為

$$M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n x_{i}^p \right)^{\frac{1}{p}}\,$$

冪平均在$p=0$等於幾何平均（冪平均函數$p$收斂於0時的收斂於幾何平均）

$$M_0(x_1,\dots,x_n) = \left( \prod_{i=1}^n x_{i} \right)^{\frac{1}{n}}\,$$

## 性質

- 和所有平均一樣，冪平均是各參數 $x_1,\dots,x_n$ 的一次齊次函數。即若 $b$ 是一個正實數，則 $b\cdot x_1,\dots, b\cdot x_n$ 指數為 $p$ 的冪平均等於 $b$ 倍 $x_1,\dots, x_n$ 的冪平均。
- 與幾何算術平均一樣，這種平均的計算可以分解成同樣大小的子塊來計算。

$$M_p(x_1,\dots,x_{n\cdot k}) = <pre> M_p(M_p(x_1,\dots,x_{k}), M_p(x_{k+1},\dots,x_{2\cdot k}), \dots, M_p(x_{(n-1)\cdot k + 1},\dots,x_{n\cdot k})) </pre>$$

### 冪平均不等式

一般地，如果 $p < q$，則 $M_p(x_1,\dots,x_n) \le M_q(x_1,\dots,x_n)$ 且這兩個平均相等若且唯若 $x_1 = x_2 = \cdots = x_n$。這由事實

$$\forall p\in\mathbb{R}\ \frac{\partial M_p(x_1,\dots,x_n)}{\partial p}\geq 0,$$

得出，上述不等式可由琴生不等式證明。

特別地，對 $p\in\{-1, 0, 1\}$，冪平均不等式蘊含了畢達哥拉斯平均不等式以及算術幾何平均不等式。

## 特例

<image>

$M_{-\infty}(x_1,\dots,x_n) = \lim_{p\to-\infty} M_p(x_1,\dots,x_n) = \min \{x_1,\dots,x_n\}$｜最小值

$M_{-1}(x_1,\dots,x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}$｜調和平均

$M_0(x_1,\dots,x_n) = \lim_{p\to0} M_p(x_1,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n}$｜幾何平均

$M_1(x_1,\dots,x_n) = \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$｜算術平均

$M_2(x_1,\dots,x_n) = \sqrt{\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n}}$｜平方平均

$M_3(x_1,\dots,x_n) = \sqrt[3]{\frac{x_1^3 + \dots + x_n^3}{n}}$｜立方平均

$M_{+\infty}(x_1,\dots,x_n) = \lim_{p\to\infty} M_p(x_1,\dots,x_n) = \max \{x_1,\dots,x_n\}$｜最大值

## 冪平均不等式的證明

### 不同符號的不等式之等價

假設指數 $p$ 與 $q$ 的冪平均間有不等式：

$$\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}$$

則

$\sqrt[p]{\sum_{i=1}^n\frac{w_i}{x_i^p}}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^n\frac{w_i}{x_i^q}}$.

我們在兩邊取倒數（正實數上的嚴格遞減函數，不等號反向）：

$\sqrt[-p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-p}}=\sqrt[p]{\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_i\frac{1}{x_i^p}}}\geq \sqrt[q]{\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_i\frac{1}{x_i^q}}}=\sqrt[-q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-q}}$,

我們得到了關於 $-p$ 與 $-q$ 的冪平均不等式，同樣的推理可以倒推，從而證明了兩個不等式等價，這在後面的證明中將用到。

### 幾何平均

對任何 $q$，指數為 $q$ 的冪平均與幾何平均之間的不等式為：

$$\prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}$$

$$\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i}$$

（第一個不等式對正數 $q$，第二個對負數）

我們在兩邊取 $q$ 次冪：

$$\prod_{i=1}^nx_i^{w_i\cdot q} \leq \sum_{i=1}^nw_ix_i^q$$

兩種情形我們都得到關於 $x_i^q$ 的加權算術幾何平均不等式，這可以用琴生不等式證明，利用對數函數是凸函數的事實：

$$\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i) \leq \log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i\right)$$

$$\log\left(\prod_{i=1}^nx_i^{w_i}\right) \leq \log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i\right)$$

兩邊取指數函數（嚴格遞增），我們得到了不等式：

$$\prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sum_{i=1}^nw_ix_i.$$

從而對任何正數 $q$，下式成立：

$$\sqrt[-q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-q}}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}.$$

因為此不等式對任何 $q$ 成立，足夠小同樣成立，可以將證明（利用洛必達法則），當 $q$ 趨於 0 時，左右兩邊趨於幾何平均，$q$ 趨於 0 時的冪平均是幾何平均：

$$\lim_{q\rightarrow 0}\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{q}}=\prod_{i=1}^nx_i^{w_i}$$

### 冪平均不等式

我們將證明對任何 $p<q$ 如下不等式成立：

$$\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}.$$

如果 $p$ 是負數且 $q$ 是正數，不等式等價於上面已證過的

$$\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}$$

對正數 $p$ 與 $q$ 的證明如下：定義函數 $f:{\mathbb R_+}\rightarrow{\mathbb R_+}$， $f(x)=x^{\frac{q}{p}}$。$f$是一個冪函數，所以有二階導數：$f''(x)=\left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{q}{p}-1\right)x^{\frac{q}{p}-2}$，在 $f$ 的定義域內嚴格正，因為 $q>p$，從而我們知道 $f$ 是凸的。

利用這一點以及琴生不等式，我們得到：

$$f(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p)\leq\sum_{i=1}^nw_if(x_i^p)$$

$$\sqrt[\frac{p}{q}]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq\sum_{i=1}^nw_ix_i^q$$

兩邊取 $\frac{1}{q}$ 次冪（遞增函數，因 $\frac{1}{q}$ 為正數）我們得到了欲證之不等式：

$\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}$。

最後使用先前證過的等價性，我們得到了關於負數 $p$ 與 $q$ 的不等式，證畢。

## 最小值與最大值

此段最後將證明當指數 $p$ 趨於 $-\infty$ 與 $+\infty$，其冪平均的冪平均分別趨於最小值與最大值。定義指數為 $-\infty$ 與 $+\infty$ 的冪平均為最大值與最小值。從而應該有：

$$\min (x_1,x_2,\ldots ,x_n)\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}\leq \max (x_1,x_2,\ldots ,x_n)$$

對最大值證明如下：不失一般性假設序列 $x_i$ 非減且全不為零。則不等式等價於：

$$\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}\leq x_1$$

兩邊取 $q$ 次冪，我們得到不等式（取決於 $q$ 的符號）：

$$\sum_{i=1}^nw_ix_i^q\leq {\color{red} \geq} x_1^q$$

若 $q>0$ 為 ≤，若 $q<0$ 為 ≥。

兩邊同時減去 $w_1x_1^q$ 我們得到：

$$\sum_{i=2}^nw_ix_i^q\leq {\color{red} \geq} (1-w_1)x_1^q$$

除以 $(1-w_1)$：

$$\sum_{i=2}^n\frac{w_i}{(1-w_1)}x_i^q\leq {\color{red} \geq} x_1^q$$

$1-w_1$ 不為零，從而：

$$\sum_{i=2}^n\frac{w_i}{(1-w_1)}=1$$

減去 ${x_1}^q$ 剩下：

$$\sum_{i=2}^n\frac{w_i}{(1-w_1)}(x_i^q-x_1^q)\leq {\color{red} \geq} 0$$

這是顯然的，因為 $x_1$ 大於或等於任何 $x_i$，從而

$$x_i^q-x_1^q\leq {\color{red} \geq} 0$$

對最小值證明幾乎相同，只不過將 $x_1$、$w_1$ 換作 $x_n$、$w_n$，證畢。

另一方面，當 $q$ 大於零時，由簡單的推理以及上面的不等式有

$$\sqrt[q]{w_1x_1^q} < \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q} \leq x_1,$$

令 $q$ 趨於 $+\infty$ 時，左邊同樣趨於 $x_1$，由夾逼定理知中間項冪平均趨於 $x_1$。最小值的證明完全類似。

## 廣義 f-平均

冪平均可以推廣到更一般的廣義 f-平均：

$$M_f(x_1,\dots,x_n) = f^{-1} \left[{\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n{f(x_i)}}\right]$$

例如這包括了幾何平均而勿需使用極限。冪平均是由 $f\left(x\right)=x^p$ 得到的。

## 應用

### 信號處理

冪平均作為一個非線性移動平均。對於小 $p$ 值，冪平均比較偏重小信號值，對於大 $p$ 值，冪平均則會強調大信號值。給予一個高效率移動算術平均的實施函數，稱為 smooth，工程師可以按照下述 Haskell 代碼，設計一個移動冪平均實施函數：

```
 powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
 powerSmooth smooth p =
    map (** recip p) . smooth . map (**p)
```

- 對於大 $p$ 值，這可作為一個整流信號的包封檢測器（envelope detector）。
- 對於小 $p$ 值，這可作為一個質量譜的基線偵測器（baseline detector）。

## 參見條目

- 平均
- 平方平均
- 算術平均
- 幾何平均
- 調和平均
- 海倫平均（Heronian mean）
- 萊默平均（Lehmer mean）——也是一個與冪有關的平均數。
- 算術幾何平均不等式

## 外部連結

- Power mean at MathWorld
- Examples of Generalized Mean
- A proof of the Generalized Mean on PlanetMath
- 平均論