三角形分布

$a:~a\in (-\infty,\infty)$ $b:~b>a\,$ $c:~a\le c\le b\,$

$$a \le x \le b \!$$

$$<pre> \left\{ \begin{matrix} \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \mathrm{for\ } a \le x \le c \\ & \\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \mathrm{for\ } c < x \le b \end{matrix} \right.$$

$$<pre> \left\{ \begin{matrix} \frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)} & \mathrm{for\ } a \le x \le c \\ & \\ 1-\frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)} & \mathrm{for\ } c < x \le b \end{matrix} \right.$$

$$\frac{a+b+c}{3}$$

$$<pre> \left\{ \begin{matrix} a+\frac{\sqrt{(b-a)(c-a)}}{\sqrt{2}} & \mathrm{for\ } c\!\ge\!\frac{b\!-\!a}{2}\\ & \\ b-\frac{\sqrt{(b-a)(b-c)}}{\sqrt{2}} & \mathrm{for\ } c\!\le\!\frac{b\!-\!a}{2} \end{matrix} \right.$$

$$c\,$$

$$\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18}$$

$$<pre> \frac{\sqrt 2 (a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^2\!+\!b^2\!+\!c^2\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^\frac{3}{2}}$$

$$\frac{12}{5}$$

$$\frac{1}{2}+\ln\left(\frac{b-a}{2}\right)$$

$$2\frac{(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}} {(b-a)(c-a)(b-c)t^2}$$

$$-2\frac{(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}} {(b-a)(c-a)(b-c)t^2}$$

在機率論與統計學中，三角形分布是低限為 a、眾數為 c、上限為 b 的連續機率分布。

$$f(x|a,b,c)=\left\{ <pre> \begin{matrix} \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \mathrm{for\ } a \le x \le c \\ & \\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \mathrm{for\ } c < x \le b \end{matrix} \right.$$

## 特例

### 已知兩點

當 c=a 或者 c=b，分布就可以進行簡化。例如，如果 a=0、b=1 並且 c=1，那麼上面的方程簡化為：

$$\left.\begin{matrix}f(x) &=& 2x \\ \\ F(x) &=& x^2 \end{matrix}\right\} \mathrm{for\ } 0 \le x \le 1$$

$$\begin{matrix} <pre> E(X) &=& \frac{2}{3} \\ & & \\ \mathrm{Var}(X) &=& \frac{1}{18} </pre> \end{matrix}$$

### 兩個標準一致變量的分布

a=0、b=1 且 c=0.5 的分布為 $X = \frac{X_1+X_2}{2}$，其中 $X_1, X_2$ 是兩個連續型均勻分佈的隨機變量。

$$<pre> f(x)=\left\{\begin{matrix} 4x & \mathrm{for\ }0 \le x < \frac{1}{2} \\ \\ 4-4x & \mathrm{for\ }\frac{1}{2} \le x \le 1 \end{matrix}\right. </pre>$$

$$<pre> F(x)=\left\{\begin{matrix} 2x^2 & \mathrm{for\ }0 \le x < \frac{1}{2} \\ \\ 1-2(1-x)^2 & \mathrm{for\ }\frac{1}{2} \le x \le 1 \end{matrix}\right. </pre>$$

$$\begin{matrix} <pre> E(X) &=& \frac{1}{2} \\ \\ \mathrm{Var}(X) &=& \frac{1}{24} </pre> \end{matrix}$$

## 三角形分布的應用

三角形分布通常用於表述只有有限採樣數據的人口資訊，尤其是已知變量之間的關係但是由於數據的收集成本太高而缺少採樣數據的場合。

這通常是根據已知最小值與最大值從而推算合理的常見值。

### 商務模擬

三角形分布經常用於商務決策，尤其是電腦模擬領域。通常，如果對結果的機率分布所知資訊很少，例如僅僅知道最大值與最小值，那麼可以使用平均分布模型。但是，如果已經知道了最可能出現的結果，那麼就可以用三角形分布進行模擬。

### 項目管理

三角形分布以及Beta分布在項目管理中大量地用作項目評估與審核技術以及關鍵途徑的輸入資訊，以建立在最大值與最小值之間事件發生的機率模型。

## 外部連結與參考文獻

- 三角形分布，mathworld.wolfram.com
- 三角形分布，decisionsciences.org
- 三角形分布，brighton-webs.co.uk

## 基本資料

- pdf_image：

<image>

- cdf_image：

<image>

- parameters：$a:~a\in (-\infty,\infty)$、$b:~b>a\,$、$c:~a\le c\le b\,$
- 值域：$a \le x \le b \!$
- 密度：$\left\{ \begin{matrix} \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \mathrm{for\ } a \le x \le c \\ & \\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \mathrm{for\ } c < x \le b \end{matrix} \right.$
- 累積分布函數：$\left\{ \begin{matrix} \frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)} & \mathrm{for\ } a \le x \le c \\ & \\ 1-\frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)} & \mathrm{for\ } c < x \le b \end{matrix} \right.$
- 期望值：$\frac{a+b+c}{3}$
- 中位數：$\left\{ \begin{matrix} a+\frac{\sqrt{(b-a)(c-a)}}{\sqrt{2}} & \mathrm{for\ } c\!\ge\!\frac{b\!-\!a}{2}\\ & \\ b-\frac{\sqrt{(b-a)(b-c)}}{\sqrt{2}} & \mathrm{for\ } c\!\le\!\frac{b\!-\!a}{2} \end{matrix} \right.$
- 眾數：$c\,$
- 密度：$\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18}$
- 偏度：$\frac{\sqrt 2 (a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^2\!+\!b^2\!+\!c^2\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^\frac{3}{2}}$
- 峰度：$\frac{12}{5}$
- 熵：$\frac{1}{2}+\ln\left(\frac{b-a}{2}\right)$
- mgf：$2\frac{(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}} {(b-a)(c-a)(b-c)t^2}$
- 特徵函數：$-2\frac{(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}} {(b-a)(c-a)(b-c)t^2}$