機率流

在量子力學裏，機率流，又稱為機率通量，是描述機率密度流動的物理量。假若將機率密度想像為非均勻流體，那麼，機率流就是這流體的流率（機率密度乘以速度）。

## 定義

在量子力學裏，從機率守恆可以得到「機率連續性方程式」。設定一個量子系統的波函數為 $\Psi(x,t)$。定義機率流 $\mathbf{J}$ 為

$\mathbf{J}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^* \boldsymbol{\nabla} \Psi - \Psi \boldsymbol{\nabla} \Psi^*\right) = \frac\hbar m \mbox{Im}(\Psi^*\boldsymbol{\nabla}\Psi)$。

其中，$\hbar$ 是約化普朗克常數，$m$ 是質量，$\Psi^*$ 是 $\Psi$ 是共軛複數，$\mbox{Im}()$ 是取括弧內項目的虛部。

### 連續方程式與機率守恆定律

機率流滿足量子力學的連續方程式：

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{J} = 0$。

其中，$\rho = |\Psi|^2$ 是機率密度。

應用高斯公式，等價地以積分方程式表示。

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_\mathbb{V} |\Psi|^2 \mathrm{d}^3{r} + \oint_\mathbb{S}\mathbf{J}\cdot {\mathrm{d}\mathbf{a}} = 0$；(1)

其中，$\mathbb{V}$ 是任意三維區域，$\mathbb{S}$ 是 $\mathbb{V}$ 的邊界曲面。

這就是量子力學機率守恆定律的方程式。

方程式 (1) 左邊第一個體積積分項目（不包括對於時間的偏微分），即是測量粒子位置時，粒子在 $\mathbb{V}$ 內的機率。第二個曲面積分是機率流出 $\mathbb{V}$ 的通量。總之，方程式 (1) 表明，粒子在三維區域 $\mathbb{V}$ 內的機率對於時間的微分，加上機率流出三維區域 $\mathbb{V}$ 的通量，兩者的總和等於零。

### 連續方程式導引

測量粒子在三維區域 $\mathbb{V}$ 內的機率 $P$ 是

$P= \int_\mathbb{V} \rho\,\mathrm{d}^3\mathbf{r} = \int_\mathbb{V} |\Psi|^2 \,\mathrm{d}^3\mathbf{r}$。

機率對於時間的導數是

$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_\mathbb{V} |\Psi|^2 \,\mathrm{d}^3{r} = \int_\mathbb{V} \left( \frac{\partial \Psi}{\partial t}\Psi^* + \Psi \frac{\partial \Psi^*}{\partial t} \right) \,\mathrm{d}^3{r}$；(2)

假設 $\Psi$ 的含時薛丁格方程式為

$i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{-\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi + U\Psi$。

其中，$U(\mathbf{r})$ 是位勢。

將含時薛丁格方程式代入方程式 (2)，可以得到

$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t} = - \int_\mathbb{V} \frac{\hbar}{2mi} \left(\Psi^* \nabla^2 \Psi - \Psi \nabla^2 \Psi^* \right)\,\mathrm{d}^3{r}$。

應用一則向量恆等式，可以得到

$\boldsymbol{\nabla} \cdot \left(\Psi^*\boldsymbol{\nabla} \Psi - \Psi \boldsymbol{\nabla} \Psi^* \right) = \boldsymbol{\nabla} \Psi^* \cdot \boldsymbol{\nabla} \Psi + \Psi^* \nabla^2 \Psi - \boldsymbol{\nabla} \Psi \cdot \boldsymbol{\nabla} \Psi^* - \Psi \nabla^2 \Psi^*$。

這方程式右手邊第一個項目與第三個項目互相抵銷，將抵銷後的方程式代入。

$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t} = - \int_\mathbb{V} \boldsymbol{\nabla} \cdot \left[\frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^* \boldsymbol{\nabla} \Psi - \Psi \boldsymbol{\nabla} \Psi^* \right)\right]\,\mathrm{d}^3{r}$。

將機率密度方程式與機率流定義式代入。

$\int_\mathbb{V} \frac{\partial \rho}{\partial t}\,\mathrm{d}^3{r}= - \int_\mathbb{V} \left( \boldsymbol{\nabla} \cdot\mathbf{J}\right)\,\mathrm{d}^3{r}$。

這相等式對於任意三維區域 $\mathbb{V}$ 都成立，所以，被積項目在任何位置都必須等於零：

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J} = 0$。

## 範例

### 平面波

設定一個粒子的波函數 $\Psi$ 為三維空間的平面波。

$\Psi(\mathbf{r},\,t)=A e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} e^{i \omega t}$。

其中，$A$ 是振幅常數，$\mathbf{k}$ 是波數，$\mathbf{r}$ 是位置，$\omega$ 是角頻率，$t$ 是時間。

$\Psi$ 的機率流是

$\mathbf{J}= \frac{\hbar}{2mi} |A|^2 \left( e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \boldsymbol{\nabla} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} - e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \boldsymbol{\nabla} e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\right) = |A|^2 \frac{\hbar\mathbf{k}}{m}$。

這只是振幅的平方乘以粒子的速度 $\mathbf{v} = \frac{\mathbf{p}}{m} = \frac{\hbar\mathbf{k}}{m}$。

請注意，雖然這平面波是定態，在每一個的地點，$\frac{d|\Psi|^2}{dt} = 0$，但是機率流仍舊不等於 $0$。因此可以推論，雖然機率密度不顯性地跟時間有關，粒子仍可能移動於空間中。

### 盒中粒子

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思考一維盒中粒子問題，能級為 $E_n$ 的本徵波函數 $\Psi_n$ 是

$\Psi_n = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left( \frac{n\pi}{L} x \right),\qquad 0 \le x \le L$。

其中，$L$ 是一維盒子的寬度，兩扇盒壁的位置分別在 $x=0$ 與 $x=L$。

由於 $\Psi_n = \Psi_n^*$，其機率流為

$J_n = \frac{\hbar}{2mi}\left( \Psi_n^* \frac{\partial \Psi_n}{\partial x} - \Psi_n \frac{\partial \Psi_n^*}{\partial x} \right) = 0$。

## 參閱

- 階梯位勢
- 透射係數