譜序列

在同調代數中，譜序列是一種藉著逐步逼近以計算同調或上同調群的技術，由讓·勒雷在1946年首創。其應用見諸代數拓撲、群上同調與同倫理論。

## 動機

讓·勒雷當初為了研究代數拓撲學，而引入層的概念，從而面臨計算層上同調的問題。為此，勒雷發明了現稱勒雷譜序列的計算方法，它聯繫了一個層的上同調群與其正像的上同調群。

人們很快就發現：勒雷譜序列只是一個特例。譜序列還現身於纖維化等幾何問題；更抽象地說，對合成函子取導函子也會得到譜序列，稱為格羅滕迪克譜序列。雖然導範疇在理論層面提供了較簡鍊的框架，譜序列仍是最有效的計算工具。

由於譜序列包含大量的項，實際計算時往往會陷入帶（至少）三重指標的群或模的迷陣。在許多實際狀況中，譜序列最後會「塌陷」，此時譜序列可以給出明確的資訊。若譜序列不塌陷，則須靠一些竅門取得有用的資訊。

## 形式定義

以下固定一個阿貝爾範疇 $\mathcal{A}$，常見例子是一個環上的模範疇。譜序列是一個非負整數 $r_0$ 及下述資料：

- 對所有整數 $r \geq r_0$，有範疇中的一個對象 $E_r$。
- 自同態 $d_r: E_r \to E_r$，滿足 $d_r^2 = 0$，稱為邊界映射或微分。
- 從 $E_{r+1}$ 到 $H(E_r, d_r)$ 的同構。

通常省去 $E_{r+1}$ 與 $H(E_r, d_r)$ 的同構，而寫成等式。

最基本的例子是鏈複形 $C_\bullet$，它帶有一個微分 $d$。取 $r_0=0$，並令 $E_0 = C_\bullet$，於是必有 $E_1 = H(C_\bullet)$；這個新鏈複形上的微分只有一個自然的選擇，就是零映射。於是有 $E_1 = E_2 = \cdots$。綜之，我們得到一個鏈複形範疇上的譜序列：

- $$E_0 = C_\bullet$$
- $$E_r = H(C_\bullet) \; (r \geq 1)$$

由於只有 $r=0$ 時微分映射才可能非零，此序列在第一步後就不含任何新資訊。

較常見的是雙分次模（或層）範疇上的譜序列，表作 $E_r^{p,q}$，此時的微分映射次數與 $r$ 有關：對於上同調譜序列，$d_r: E_r \to E_r$ 的次數是 $(r, -r+1)$。對於同調譜序列，通常將各項寫成 $E_r$，微分映射 $d^r: E_r \to E_r$ 的次數是 $(-r,r-1)$。

譜序列之間的態射 $f: E \to E'$ 定義為一族態射 $f_r: E_r \to E_r'$，使之與同構 $E_{r+1} \simeq H(E_r, d_r)$ 交換。譜序列對此構成了一個阿貝爾範疇。

## 正合偶

交換代數中大部分的譜序列來自鏈複形，而已知構造譜序列最有力的方法是 William Massey 的正合偶。正合偶在代數拓撲學中很常見，此時對於許多譜序列，正合偶是唯一已知的構造法。事實上，正合偶可以用來構造所有已知的譜序列。

同樣固定一個阿貝爾範疇（通常取一個環上的雙分次模）$\mathcal{A}$，一個正合偶是：

<image>

- 一對對象 $A, C$
- $$f: A \to A$$
- $$g: A \to C$$
- $$h: C \to A$$

使之滿足下述正合條件：

- Image f = Kernel g
- Image g = Kernel h
- Image h = Kernel f

將這組資料簡記為 $(A,C,f,g,h)$。正合偶通常以三角形表示。$C$ 對應到譜序列的 $E_0$ 項，而 $A$ 是一些輔助資料。

為了得到譜序列的後續項，以下將構造導出偶。令：

- $$d := g \circ h$$
- $$A' := f(A)$$
- $$C' := \mathrm{Ker}(d) /\mathrm{Im}(d)$$
- $$f' := f|_{A'}$$
- $h': C' \to A'$ 由 $h$ 導出。
- $g' : A' \to C'$ 定義如下：若 $\mathcal{A}$ 為某個環上的模範疇，對任一 $a \in A'$，存在 $b \in A'$ 使得 $a = f(b)$，定義 $g'(a)$ 為 $g(b)$ 在 $C'$ 中的像。一般而言，可利用 Mitchell 嵌入定理構造態射 $g'$。

現在可以驗證 $(A', C', f', g', h')$ 構成正合偶。$C'$ 對應到譜序列的 $E_1$ 項。續行此法，可以得到一族正合偶 $(A^{(n)}, C^{(n)}, f^{(n)}, g^{(n)}, h^{(n)})$。相應的譜序列定義為 $E_n := C^{(n)}$，$d_n := g^{(n)} \circ h^{(n)}$。

## 圖解

<image>

一個雙分次譜序列含有大量要追蹤的資訊，不過有個常見的圖解法有助於闡明其結構。以下取上同調譜序列為例。在此有三個指標 $r, p, q$。對每個 $r$，設想有一張方格紙，分別讓 $p, q$ 對應於橫、縱軸。每一個格子點 $(p,q)$ 對應到對象 $E_r^{p,q}$。微分 $d_r$ 的次數為 $(r,-r+1)$，方向如圖所示。

## 收斂與退化

在第一個簡單的例子中，譜序列在 $r \geq 1$ 後的微分映射皆為零，故不再改變。這時可定義該譜序列的極限為 $E_\infty := E_r \; (r \geq 1)$。對於一般的譜序列，也往往存在一個極限，極限與各項的關係可說是譜序列的眾妙之門。

定義：若譜序列 $E_r^{p,q}$ 對每個 $(p,q)$ 都存在 $r(p,q) \in \N$，使得當 $r \geq r(p,q)$ 時，$d_r^{p-r,q+r-1}: E_r^{p-r,q+r-1} \to E_r^{p,q}$ 及 $d_r^{p,q}: E_r^{p,q} \to E_r^{p+r,q-r+1}$ 皆為零，則稱 $E_r^{p,q}$ 之極限項為 $E_\infty^{p,q} := E_r^{p,q}$（取充分大的 $r$）。最常見的例子是集中在第一象限的譜序列，此時極限項恆存在。

其中的指標 $p$ 指涉過濾結構。

若存在對象 $E^\bullet$、過濾結構 $\cdots \subset F^{p+1}E^\bullet \subset F^{p} E^\bullet \subset \cdots$，及一族同構 $\beta^{p,q}: E_\infty^{p,q} \simeq \mathrm{gr}^p E^{p+q}$，滿足 $\bigcap_p F^p E^\bullet = (0), \bigcup_p F^p E^\bullet = E^\bullet$（這種過濾稱為「正則過濾」），則稱 $E_r^{p,q}$ 收斂到 $E^\bullet$，通常表為下述符號：

$$E_r^{p,q} \Rightarrow_p E_\infty^{p,q}$$

習慣上，人們也常將左式寫成 $E_2^{p,q}$，因為譜序列中最重要的頁往往是 $E_2^{p,q}$。

最簡單的收斂特例是退化：

定義：固定 $r \in \N$，若對每個 $s \geq r$，微分映射 $d_s$ 都是零，則稱該譜序列在第 $r$ 頁退化。

退化性保證了 $E_r \simeq E_{r+1} \simeq \cdots$，此時 $E_r$ 即其極限。如果一個雙分次譜序列 $E_r^{p,q}$ 的非零項集中於某一條水平或垂直線上，則必在 $r=2$ 時退化。

## 例子

### 過濾結構導出的譜序列

最常見的譜序列之一來自帶有過濾結構的對象，通常是鏈複形或上鏈複形。這是一個對象 $C$ 及微分映射 $d: C \to C$，使之滿足 $d^2=0$，以及

$$C = F^0 C \supset F^1 C \supset \cdots F^n C \supset F^{n+1}C = 0$$

$$d F^p C \subset F^p C$$

同調群上也有相應的過濾

$$F^p H(C,d) := \mathrm{Im}(H(F^p C, d) \to H(C,d)$$

對此，定義相應的分次對象

$$\mathrm{gr}_F C := \bigoplus_{p \geq 0} F^p C / F^{p+1} C$$

$$\mathrm{gr}_F H(C) := \bigoplus_{p \geq 0} F^p H(C) / F^{p+1} H(C))$$

取微分映射為零，可視之為複形。

以下式定義譜序列：

$$Z_r^p := {x \in F^p C : dx \in F^{p+r} C}$$

$$E_r^p := Z_r^p / (d Z_{r-1}^{p-r+1} + Z_{r-1}^{p+1}) = Z_r^p / (Z_r^p \cap (dF^{p-r+1}C + F^{p+1}C))$$

此時有 $E_0^p = F^p C / F^{p+1} C, E_1^p = H(\mathrm{gr}^p C)$，且譜序列收斂：

$$E_r^p \Rightarrow E_\infty^p = \mathrm{gr}^p H(C)$$

通常也寫成 $E_r \Rightarrow H(C)$。

取 $\mathcal{A}$ 為取值在某個阿貝爾範疇中的上鏈複形範疇。此時的對象 $C$ 是個上鏈複形 $\cdots \to C^q \to C^{q+1} \to \cdots$，$d$ 是上鏈複形的微分映射。上述譜序列帶有三個指標 $p,q,r$，並可進一步化成下述形式：

$$E_0^{p,q} = F^p C^{p+q}/F^{p+1} C^{p+q}$$

$$E_1^{p,q} = H^{p+q}(\mathrm{gr}^p C^\bullet)$$

$$E_\infty^{p,q} = \mathrm{gr}^p(H^{p+q}(C^\bullet))$$

### 雙複形的譜序列

以下考慮取值在某個阿貝爾範疇中的雙複形，即一組對象 $C^{p,q}$，及兩組微分映射 $d': C^{p,q} \to C^{p+1,q}$ 及 $d'': C^{p,q} \to C^{p,q+1}$，滿足

$$d'^2 = d''^2 = 0$$

$$d' d'' + d'' d' = 0$$

對一個雙複形，可定義其全複形 $(C, D)$（也記為 $T(C)$ 或 $\mathrm{Tot}(C)$）為

$$C^n := \bigoplus_{p+q=n} C^{p,q}$$

$$D := d' + d''$$

$C$ 上有兩組過濾，分別是：

$$('F^p C)^n := \bigoplus_{i+j=n,\, i \geq p} C^{i,j}$$

$$(''F^q C)^n := \bigoplus_{i+j=n,\, j \geq q} C^{i,j}$$

它們給出兩個譜序列 $'E_r$ 與 $''E_r$。首先計算 $'E_0, 'E_1, 'E_2$ 項：

$$'E_0^{i,j} = C^{i,j}$$

$$'E_1^{i,j} = H_{d''}^j(C^{i,\bullet})$$

$'E_2^{i,j} = H_{d'}^i(H_{d''}^j(C^{\bullet,\bullet})) \qquad$（即：先取縱向上同調，再取橫向上同調）

同理可計算 $''E_0, ''E_1, ''E_2$：

$$''E_0^{i,j} = C^{j,i}$$

$$''E_1^{i,j} = H_{d'}^j(C^{\bullet, i})$$

$''E_2^{i,j} = H_{d''}^i(H_{d'}^j(C^{\bullet,\bullet})) \qquad$（即：先取橫向上同調，再取縱向上同調）。

這兩個譜序列通常是不同的，但隨著 $r$ 增大，它們都收斂到 $H(C)$，由此可以得到一些有趣的比較定理。

## 例子

### Tor函子的交換性

利用譜序列，可以迅速導出Tor函子的交換性，即一自然同構：

$$\mathrm{Tor}_i(M,N) = \mathrm{Tor}_i(N,M)$$

取定平坦分解 $P_\bullet \to M \to 0$ 及 $Q_\bullet \to N \to 0$。視之為集中於正項的複形，其微分映射分別記為 $d, e$。考慮雙複形 $C_{i,j} := P_i \otimes Q_j$，其微分映射定義為 $d_{i,j} := d_i \otimes \mathrm{id} + (-1)^j \mathrm{id} \otimes e_j$（以使微分映射滿足反交換性）。取其譜序列，遂得到：

$$'E^2_{p,q} = H^I_p(H^{II}_q(P_\bull \otimes Q_\bull)) = H^I_p(P_\bull \otimes H^{II}_q(Q_\bull))$$

$$''E^2_{p,q} = H^{II}_q(H^I_p(P_\bull \otimes Q_\bull)) = H^{II}_q(Q_\bull \otimes H^I_p(P_\bull))$$

由於複形 $P_\bullet, Q_\bullet$ 是平坦分解，其同調群只集中在零次項，此時其表示式為：

$$H^I_p(P_\bull \otimes N) = \mbox{Tor}_p(M,N)$$

$$H^{II}_q(Q_\bull \otimes M) = \mbox{Tor}_q(N,M)$$

故 $'E^2_{p,q}$ 只在 $p=0$ 上有非零項，而 $''E^2_{p,q}$ 只在 $q=0$ 上有非零項，這保證了譜序列在第二頁退化，由此導出同構：

$$\mbox{Tor}_p(M,N) \cong E^\infty_{p,q} = \mbox{gr}_p H^{p+q}(T(C_{\bull,\bull}))$$

$$\mbox{Tor}_q(N,M) \cong E^\infty_{p,q} = \mbox{gr}_q H^{p+q}(T(C_{\bull,\bull}))$$

當 $p=q$ 時，上述等式的右項同構（雖然其分次結構不同），由此得到 Tor 的交換性。

### 示性數

運用譜序列時，通常會假設某些項為零，或假設譜序列在第一或第二頁退化。但有時儘管對各項及微分映射一無所知，仍可從譜序列中萃取資訊，最簡單的例子是示性數：固定一個阿貝爾範疇 $\mathcal{A}$ 及一個交換群 $C$，所謂示性數是一個函數 $\chi: \mathrm{Ob}\mathcal{A} \to C$，滿足：

- $$\forall 0 \to Y \to X, \; \chi(X) = \chi(Y) + \chi(X/Y)$$
- $$X \simeq Y \Rightarrow \chi(X)=\chi(Y)$$

例如：取 $\mathcal{A}$ 為某個域 $k$ 上的有限維向量空間範疇，則 $\chi: V \mapsto \dim_k V$ 是一個示性數。

對任一 $\mathcal{A}$ 上的有限複形 $K^\bullet$，定義

$$\chi(K^\bullet) = \sum_i (-1)^i \chi(K^i)$$

容易證明 $\chi(K^\bullet) = \sum_i (-1)^i \chi(H^i(K^\bullet))$。考慮任一在 $\mathcal{A}$ 上的收斂譜序列 $(E_r^\bullet)$，由於譜序列的每一頁都是前一頁的同調，遂得到

$$\chi(E_r^\bullet) = \chi(E_{r+1}^\bullet) = \cdots = \chi(E_\infty^\bullet)$$

然而

$$\chi(E^n) = \sum_p \chi(F^p E^n / F^{p+1}E^n) = \sum_p \chi(E_\infty^{p,n-p})$$

於是得到

$$\forall r, \; \sum_n (-1)^n \chi(E^n) = \chi(E_r^\bullet)$$