勒讓德多項式

數學上，勒讓德函數指以下勒讓德微分方程的解：

$$(1 - x^2 )\frac{{\mathrm{d}^2 P(x)}}{{\mathrm{d}x^2 }} - 2x\frac{{\mathrm{d}P(x)}}{{\mathrm{d}x}} + n(n + 1)P(x) = 0.$$

為求解方便一般也寫成如下施圖姆-劉維爾形式:

$${\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \left[ (1-x^2) {\mathrm{d} \over \mathrm{d} x} P(x) \right] + n(n+1)P(x) = 0.$$

上述方程及其解函數因法國數學家阿德里安-馬里·勒讓德而得名。勒讓德方程是物理學和其他技術領域常常遇到的一類常微分方程。當試圖在球坐標中求解三維拉普拉斯方程（或相關的其他偏微分方程）時，問題便會歸結為勒讓德方程的求解。

勒讓德方程的解可寫成標準的冪級數形式。當方程滿足 $|x| < 1$ 時，可得到有界解（即解級數收斂）。並且當n 為非負整數，即$n = 0, 1, 2,\ldots$.

## 正交性

勒讓德多項式的一個重要性質是其在區間 $-1 \leq x \leq 1$ 關於L2內積滿足正交性，即：

$$\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\,\mathrm{d}x = {2 \over {2n + 1}} \delta_{mn}$$

其中 $\delta_{mn}$ 為克羅內克δ記號，當$m = n$ 時為1，否則為0。

事實上，推導勒讓德多項式的另一種方法便是關於前述內積空間對多項式 ${1, x, x^2, \ldots}$ 進行格拉姆-施密特正交化。之所以具有此正交性是因為如前所述，勒讓德微分方程可化為標準的施圖姆-劉維爾問題：

$${\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \left[ (1-x^2) {\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} P(x) \right] = -\lambda P(x),$$

其中本徵值 $\lambda$ 對應於原方程中的 $n(n+1)$。

## 部分實例

下表列出了前11階（n 從0到10）勒讓德多項式的表達式：

n｜$P_n(x)\,$

0｜$1\,$

1｜$x\,$

2｜$\begin{matrix}\frac12\end{matrix} (3x^2-1) \,$

3｜$\begin{matrix}\frac12\end{matrix} (5x^3-3x) \,$

4｜$\begin{matrix}\frac18\end{matrix} (35x^4-30x^2+3)\,$

5｜$\begin{matrix}\frac18\end{matrix} (63x^5-70x^3+15x)\,$

6｜$\begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (231x^6-315x^4+105x^2-5)\,$

7｜$\begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (429x^7-693x^5+315x^3-35x)\,$

8｜$\begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)\,$

9｜$\begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)\,$

10 $\begin{matrix}\frac1{256}\end{matrix} (46189x^{10} - 109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)\,$

前6階（n 從0到5）勒讓德多項式的曲線如下圖所示：

<image>

## 在物理學中的應用

在求解三維空間中的球對稱問題，譬如計算點電荷在空間中激發的電勢時，常常要用到勒讓德多項式作如下形式的級數展開：

$$\frac{1}{\left| \mathbf{x} -\mathbf{x}^\prime \right|} = \frac{1}{\sqrt{r^2+r^{\prime 2} - 2rr'\cos\gamma}} = \sum_{\ell=0}^{\infty} \frac{r^{\prime \ell}}{r^{\ell+1}} P_{\ell}(\cos \gamma)$$

其中$r$和$r'$分別為位置向量$\mathbf{x}$和$\mathbf{x}^\prime$ 的長度(其中$r$和$r'$分別為對位置向量$\mathbf{x}$和$\mathbf{x}^\prime$ 的長度進行測量的結果)，$\gamma$為兩向量的夾角($\gamma$為對兩向量的夾角展開估計的結果)。當$r>r'$時上式成立。該式計算了在$\mathbf{x}'$處的點電荷激發的電場在$\mathbf{x}$點引起的電勢大小。在對空間中連續分布的電荷引起的電勢大小進行計算時(當計算由連續分佈之電荷所產生的電位時)，將涉及對上式進行積分(需積分上式中間項)。這時，上式右邊的勒讓德多項式展開將對此積分的計算帶來很大的方便(逐項積分上式右邊的展開式可得一級數解，此級數之第一項叫做電單極矩，第二項叫做電偶極矩，第三項叫做電四極矩)。

靜電場中具有軸對稱邊界條件的問題可以歸結為在球坐標系中用分離變量法求解關於電勢函數的拉普拉斯方程$\nabla^2 \Phi(\mathbf{x})=0$（與和對稱軸的夾角無關）。若設$\widehat{\mathbf{z}}$為對稱軸，$\theta$為觀測者位置向量和$\widehat{\mathbf{z}}$軸的夾角，則勢函數的解可表示為：

$$\Phi(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^{\infty} \left[ A_\ell r^\ell + B_\ell r^{-(\ell+1)} \right] P_\ell(\cos\theta).$$

其中$A_\ell$和$B_\ell$由具體邊界條件確定。

## 其他性質

勒讓德多項式的奇偶性由其階數確定。當階數k為偶數時，$P_k(x)$為偶函數；當階數k為奇數時，$P_k(x)$為奇函數，即：

$$P_k(-x) = (-1)^k P_k(x). \,$$

### 遞推關係

相鄰的三個勒讓德多項式具有三項遞推關係：

$$(n+1) P_{n+1} = (2n+1) x P_n - n P_{n-1}\,$$

另外，考慮微分後還有以下遞推關係：

$${x^2-1 \over n} {\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} P_n = xP_n - P_{n-1}.$$

$$(2n+1) P_n = {\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \left[ P_{n+1} - P_{n-1} \right].$$

其中最後一個式子在計算勒讓德多項式的積分中較為有用。

使多項式的值：

```c++
#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
	float n,x;
	float polyaendl;

	return 0;
}

float polya(float n, float x)
{
	if (n == 0) return 1.0;
	eurn x;
	else return ((2.0 * n - 1.0) * x * polya(n - 1.0, x) - (n - 1.0) * polya(n - 2.0, x)) / n;
}
```

## 移位勒讓德多項式

移位勒讓德多項式$\tilde{P_n}(x)$的正交區間定義在$[0,1]$上，即：

$$\int_{0}^{1} \tilde{P_m}(x) \tilde{P_n}(x)\,\mathrm{d}x = {1 \over {2n + 1}} \delta_{mn}.$$

其顯式表達式為：

$$\tilde{P_n}(x)=(-1)^n \sum_{k=0}^n {n \choose k} {n+k \choose k} (-x)^k.$$

相應的羅德里格公式為：

$$\tilde{P_n}(x) = ( n!)^{-1} {\mathrm{d}^n \over \mathrm{d}x^n } \left[ (x^2 -x)^n \right].\,$$

下表列出了前4階移位勒讓德多項式：

n｜$\tilde{P_n}(x)$

0｜1

1｜$2x-1$

2｜$6x^2-6x+1$

3｜$20x^3-30x^2+12x-1$

## 分數階勒讓德多項式

分數階勒讓德多項式通過將分數階微分和通過Γ函數定義的非整數階乘代入羅德里格公式中來定義。

## 極限關係

大Q勒讓德多項式→勒讓德多項式

令大q雅可比多項式中的$c=0$,即勒讓德多項式

令連續q勒讓德多項式 q->1得勒讓德多項式

$$\lim_{q \to 1}P_{n}(x|q)=P_{n}(x)$$

小q勒讓德多項式→勒讓德多項式

$$\lim_{q \to 1}p_{n}(x|q)=P_{n}(1-2x)$$

## 外部連結

- 沃爾夫勒姆（Wolfram）數學世界對勒讓德多項式的介紹（英文）

## 參考文獻

- 2. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. (1965). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. ISBN 0-486-61272-4（參見 第8章 和 第22章）