曲面積分

數學上，曲面積分，也稱為面積分（Surface integral），是在曲面上的定積分（曲面可以是空間中的彎曲子集）；它可以視為和線積分相似的雙重積分。給定一個曲面，可以在上面對標量場（也就是實數值的函數）進行積分，也可以對向量場（也就是向量值的函數）積分。

面積分在物理中有大量應用，特別是在電磁學的經典物理學中。

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## 標量場的面積分

考慮定義在曲面S上的實函數 $f$，計算面積分的一個辦法是將曲面分割成很多小片，假設函數 $f$ 在每小片的變化不大，且每個小片的近似計算的面積跟實際面積誤差不大，任意取每片中函數 $f$ 的值，然後乘以小片的近似面積，最後全部加起來得到一個值，當這種分割越來越細時，如果這值趨近一個實數，我們稱這個實數為實數值函數 $f$ 在曲面 $S$ 上的面積分。

要找到面積分的直接公式，首先需要參數化曲面S，也即在S上建立坐標系，就像球面上的經緯度。令參數化為x(s, t)，其中(s, t)在某個平面上的區域T中變化。則 $f$ 在曲面 $S$ 的面積分為

$$\iint_S f \,\mathrm{d}S = \iint_T f(\mathbf{x}(s, t)) \left|\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right| \mathrm{d}s\, \mathrm{d}t$$

其中 $\textstyle \left|\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right|$ 是x(s, t)的偏導數的外積這向量的長度，而 $\textstyle \left|\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right|\mathrm{d}s\mathrm{d}t$ 在微分幾何裡又叫作流形 $S$ 的面積元素（Surface element）。

例如，如果要找出某個函數（$z=f\,(x,y)$）形狀的曲面面積，就有

$$A = \iint_S \,\mathrm{d}S = \iint_T \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}\right| \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y$$

其中$\mathbf{r}=(x, y, z)=(x, y, f(x,y))$。所以，$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x}=(1, 0, f_x(x,y))$，且$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}=(0, 1, f_y(x,y))$。因此

$$\begin{align} A &{} = \iint_T \left\|\left(1, 0, {\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0, 1, {\partial f \over \partial y}\right)\right\| \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y \\ &{} = \iint_T \left\|\left(-{\partial f \over \partial x}, -{\partial f \over \partial y}, 1\right)\right\| \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y \\ &{} = \iint_T \sqrt{\left({\partial f \over \partial x}\right)^3+\left({\partial f \over \partial y}\right)^3+1}\, \, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y \end{align}$$

這就是一般以 $(x,y,f(x,y))$ 為參數的曲面其面積的標準公式。很容易認出第二行中的向量是曲面的法向量。

注意，因為外積的存在，這裡的公式只在曲面嵌入在三維空間中時適用。

## 向量場的面積分

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考慮S上的向量場v，對於每個S上的點x，v(x)是一個向量。想像一個穿過S的液體流，使得v(x)決定液體在x的速度。則流量定義為單位時間穿過S的液體量。

這個解釋意味著如果向量場和S在每點相切，則流量為0，因為液體平行於S流動，從而不進不出。這也意味著如果v不僅僅沿著S流動，也即，如果v既有切向分量也有法向分量，則只有法向分量對流量作出貢獻。基於這個推理，要找出流量，我們必須取v和S上每點的單位法向量的點積，這就給出了一個標量場，然後就可以用上述方式積分。公式如下

$$\int_S {\mathbf v}\cdot \,\mathrm{d}{\mathbf {S}} = \int_S ({\mathbf v}\cdot {\mathbf n})\,\mathrm{d}S=\iint_T {\mathbf v}(\mathbf{x}(s, t))\cdot \left({\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}\right) \mathrm{d}s\, \mathrm{d}t.$$

右手邊的叉積是由參數化所決定的法向量。

該公式定義為向量場v在S上的面積分。

## 微分2-形式的面積分

令

$$\omega= f_{x} \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z + f_{y} \mathrm{d}z \wedge \mathrm{d}x+f_{z} \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y$$

為定義在曲面S上的2階微分形式，並令

$$\mathbf{x} (s,t)=( x(s,t), y(s,t), z(s,t))\!$$

為一保定向的在曲面 $S$ 上的參數化，其中$(s,t) \in D\subseteq \mathbb{R}^2$。利用變數變換，則 $\omega$ 在S上的面積分變成

$$\iint_D \left[ f_{x} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)} + f_{y} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)}+ f_{z}(\mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)} \right]\, \mathrm{d}s \mathrm{d}t$$

其中

$${\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}=\left(\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t))}\right)$$

為S的法向量。利用微分形式（2-form）的變數變換，我們有

$$\int_S \omega=\iint_S (f_x, f_y, f_z)\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\iint_S (f_x, f_y, f_z)\cdot \mathbf{n}\, \mathrm{d}S$$

也就是說，對 $\omega$ 該2-形式的積分和以$f_x$、$f_y$和$f_z.$為分量的向量場的面積分相同。

## 涉及面積分的定理

面積分中很多有用的結果可以用微分幾何和向量微積分導出，例如散度定理及其推廣斯托克斯定理。

## 進階問題

注意面積分的定義中用到曲面S的參數化。而給定曲面可以有多種參數化。例如，如果移動球面上南極和北極的位置，所有球面上的點的經度和緯度都會改變。很自然就有面積分是否依賴於給定參數化的問題。對於標量場的積分，答案很簡單：無論參數化為何，面積分不變。

對於向量場，情況複雜一些，因為積分時涉及到曲面的法向量。如果兩個參數化下法向量的定向相同，則積分值不變。如果法向量定向相反，則積分值相反。因此，不需要規定特定的參數化，但是對於法向量，不同的參數化的定向必須保持一致。

另外一個問題是，有時曲面沒有覆蓋整個曲面的單一參數化；譬如對於有限長的圓柱面就是這樣。一個直接的解決辦法就是將曲面切成幾片，在每一片上求面積分，然後加起來。這就是正確的辦法，但是對向量場積分的時候，必須小心，要讓每個小片的法向量定向和周圍的一致。對於柱面來講，也就是讓所有片的法向量向外指。

最後一個問題是，有些曲面沒有一個一致的法向量（譬如莫比烏斯帶）。對於這樣的曲面，無法找到一致的定向。這樣的曲面稱為不可定向的，在其上無法進行向量場的積分。