傑斐緬柯方程式

本條目中，向量與標量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。檢驗變數或場變數的標記的後面沒有單撇號「$'\,\!$」；源變數的標記的後面有單撇號「$'\,\!$」。

在電磁學裏，給予含時電荷密度分佈和電流密度分佈，可以使用傑斐緬柯方程式（Jefimenko equation）來計算電場和磁場。這方程式因其發現者物理學家歐雷格·傑斐緬柯而命名。傑斐緬柯方程式是馬克士威方程組對於這些電荷密度分佈和電流密度分佈的解答。

## 在真空內的電磁場

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在真空內，電場$\mathbf{E}$和磁場$\mathbf{B}$可以用傑斐緬柯方程式表達為：

$\mathbf{E}(\mathbf{r},\,t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathcal{V}'} \left[\rho(\mathbf{r}',\,t_r)\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} +\frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}',\,t_r)}{c}\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{ |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^2} - \frac{\dot{\mathbf{J}}(\mathbf{r}',\,t_r)}{c^2 |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right] d^3\mathbf{r}'$。

$\mathbf{B}(\mathbf{r},t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathcal{V}'} \left[\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} +\frac{\dot{\mathbf{J}}(\mathbf{r}',\,t_r)}{c |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^2}\right]\times(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\ d^3\mathbf{r}'$ ;

其中，$\mathbf{r}$是場位置，$\mathbf{r}'$是源位置，$t$是現在時間，$t_r$是推遲時間，$\epsilon_0$是電常數，$\mu_0$是磁常數，$\rho$是電荷密度，$\dot{\rho}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\partial\rho}{\partial t}$定義為電荷密度對於時間的偏導數，$\mathbf{J}$是電流密度，$\dot{\mathbf{J}}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\partial\mathbf{J}}{\partial t}$定義為電流密度對於時間的偏導數，$\mathcal{V}'$是體積分的空間，$d^3\mathbf{r}'$是微小體元素。

### 推導

給予電荷密度分佈$\rho(\mathbf{r}',\,t)$和電流密度分佈$\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t)$，推遲純量勢$\Phi(\mathbf{r},\,t)$和推遲向量勢$\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)$分別用方程式定義為（參閱推遲勢）

$\Phi(\mathbf{r},\,t)\ \stackrel{def}{=}\ \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathcal{V}'} \frac{\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'$。

$\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathcal{V}'} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'$。

推遲時間$t_r$定義為現在時間$t$減去光波傳播的時間：

$t_r\ \stackrel{def}{=}\ t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{c}$。

其中，$c$是光速。

在這兩個非靜態的推遲勢方程式內，源電荷密度和源電流密度都跟推遲時間$t_r$有關，而不是跟時間無關。

推遲勢與電場$\mathbf{E}$、磁場$\mathbf{B}$的關係分別為

$\mathbf{E}= - \nabla\Phi - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}$。

$\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$。

設定$\boldsymbol{\mathfrak{R}}$為從源位置到場位置的分離向量：

$\boldsymbol{\mathfrak{R}}=\mathbf{r} - \mathbf{r}'$。

場位置$\mathbf{r}$、源位置$\mathbf{r}'$和時間$t$都是自變數。分離向量$\boldsymbol{\mathfrak{R}}$和其大小$\mathfrak{R}$都是應變數，跟場位置$\mathbf{r}$、源位置$\mathbf{r}'$有關。推遲時間$t_r=t - \mathfrak{R}/c$也是應變數，跟時間$t$、分離距離$\mathfrak{R}$有關。

推遲純量勢$\Phi(\mathbf{r},\,t)$的梯度是

$\nabla\Phi(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathcal{V}'} \nabla\left(\frac{\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\mathfrak{R}}\right)\, d^3\mathbf{r}'= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathcal{V}'} \left[\frac{\nabla\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\mathfrak{R}}+\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)\nabla\left(\frac{1}{\mathfrak{R}}\right)\right]\, d^3\mathbf{r}'$。

注意到

$\frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\partial t}=\frac{\partial t_r}{\partial t}\ \frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\partial t_r}=\frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\partial t_r}$。

$\nabla \mathfrak{R}=\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}$。

所以，源電荷密度$\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)$的梯度是

$\nabla\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)= - \frac{1}{c}\ \frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\partial t_r}\nabla \mathfrak{R}= - \frac{1}{c}\ \frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\partial t}\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}= - \frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c}\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}$。

其中，$\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)$定義為$\frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\partial t}$。

將這公式代入，推遲純量勢$\Phi(\mathbf{r},\,t)$的梯度是

$\nabla\Phi(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathcal{V}'} \left[ - \frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c}\frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}} - \rho(\mathbf{r}' ,\, t_r) \left(\frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}^2}\right)\right]\, d^3\mathbf{r}'$。

推遲向量勢$\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)$對於時間的偏導數為：

$\frac{\partial \mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)}{\partial t}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathcal{V}'} \frac{ \dot{\mathbf{J}}(\mathbf{r}',\,t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}' =\frac{1}{4\pi\epsilon_0 c^2}\int_{\mathcal{V}'} \frac{ \dot{\mathbf{J}}(\mathbf{r}',\,t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'$。

綜合前面這兩個公式，可以得到電場的傑斐緬柯方程式。同樣方法，可以得到磁場的傑斐緬柯方程式。

## 在介質內的電磁場

對於任意介質，將前面所述電場和磁場的方程式加以延伸，可以從電荷密度$\rho$、電流密度$\mathbf{J}$、電極化強度$\mathbf{P}$、磁化強度$\mathbf{M}$，計算出電場$\mathbf{E}$、電位移$\mathbf{D}$、磁感應強度$\mathbf{B}$、磁場強度$\mathbf{H}$。

## 電場和磁場的因果關係

很多物理學家藉著馬克士威方程組來詮釋為甚麼含時電場與含時磁場會互相生成。這詮釋常常會被納入電磁波形成的理論。但是，傑斐緬柯方程式顯示出，實際上並不是這樣。傑斐緬柯闡明：

馬克士威方程組和其解答，都沒有指明電場和磁場之間的因果關係。因此總結，電磁場是一個對偶實體，是由含時電荷分佈和含時電流分佈共同同時產生的電場和磁場。｜歐雷格·傑斐緬柯｜Causality Electromagnetic Induction and Gravitation，第16頁

## 參閱

- 電磁波方程式
- 非齊次的電磁波方程式
- 電磁場的數學表述
- 黎納-維謝勢
- 拉莫方程式
- 阿布拉罕-勞侖茲力
- 狹義相對論