平行軸定理

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平行軸定理（英語：parallel axis theorem）能夠很簡易地，從剛體對於一支通過質心的直軸（質心軸）的轉動慣量，計算出剛體對平行於質心軸的另外一支直軸的轉動慣量。

讓 $I_{C}\,\!$ 代表剛體對於質心軸的轉動慣量、$M\,\!$ 代表剛體的質量、$d\,\!$ 代表另外一支直軸 z'-軸與質心軸的垂直距離。那麼，對於 z'-軸的轉動慣量是

$I_{z'}=I_{C}+Md^2\,\!$。

平行軸定理、垂直軸定理、伸展定則，這些工具都可以用來求得許多不同形狀的物體的轉動慣量。

平行軸定理也可以應用於截面二次軸矩（面積慣性矩）：

$I_z = I_x + Ad^2\,\!$。

這裏，$I_z\,\!$ 是對於 z-軸的面積慣性矩、$I_x\,\!$ 是對於平面質心軸的面積慣性矩、$A\,\!$ 是面積、$d\,\!$ 是 z-軸與質心軸的垂直距離。

因雅各·史丹納 (Jakob Steiner) 而命名，史丹納定理所指的幾個理論，其中一個理論就是平行軸定理。

## 進階理論

平行軸定理能夠很簡易的，從對於一個以質心為原點的座標系統的慣性張量，轉換至另外一個平行的座標系統。

對於三維空間中任意一參考點 Q 與以此參考點為原點的直角座標系 Qxyz，一個剛體的慣性張量 $\mathbf{I}\,\!$ 是

$\mathbf{I} = \begin{bmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz}\end{bmatrix}\,\!$。

這裏，對角元素 $I_{xx}\,\!$、$I_{yy}\,\!$、$I_{zz}\,\!$ 分別為對於 x-軸、y-軸、z-軸的慣性矩。設定 $(x,\ y,\ z)\,\!$ 為微小質量 $dm\,\!$ 對於點 Q 的相對位置。則這些慣性矩，可以精簡地用方程式定義為

$I_{xx}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int\ y^2+z^2\ dm\,\!$。

$I_{yy}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int\ x^2+z^2\ dm\,\!$。

$I_{zz}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int\ x^2+y^2\ dm\,\!$。

而非對角元素，稱為慣性積, 可以定義為

$I_{xy}=I_{yx}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - \int\ xy\ dm\,\!$。

$I_{xz}=I_{zx}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - \int\ xz\ dm\,\!$。

$I_{yz}=I_{zy}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - \int\ yz\ dm\,\!$。

假若已知剛體對於質心 G 的慣性張量 $\mathbf{I}_G\,\!$，質心 G 的位置是 $(\bar{x},\ \bar{y},\ \bar{z})\,\!$，則剛體對於原點 O 的慣性張量 $\mathbf{I}\,\!$，依照平行軸定理，可以表述為

$I_{xx}=I_{G,xx}+m(\bar{y}^2+\bar{z}^2)\,\!$。

$I_{yy}=I_{G,yy}+m(\bar{x}^2+\bar{z}^2)\,\!$。

$I_{zz}=I_{G,zz}+m(\bar{x}^2+\bar{y}^2)\,\!$。

$I_{xy}=I_{yx}=I_{G,xy} - m\bar{x}\bar{y}\,\!$。

$I_{xz}=I_{zx}=I_{G,xz} - m\bar{x}\bar{z}\,\!$。

$I_{yz}=I_{zy}=I_{G,yz} - m\bar{y}\bar{z}\,\!$。

證明：

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a) 參考右圖，讓 $(x\,',\ y\,',\ z\,')\,\!$、$(x,\ y,\ z)\,\!$ 分別為微小質量 $dm\,\!$ 對質心 G 與原點 O 的相對位置：

$y=y\,'+\bar{y}\,\!$，$z=z\,'+\bar{z}\,\!$。

依照慣性張量的慣性矩定義方程式。

$I_{G,xx}=\int\ y\,'\,^2+z\,'\,^2\ dm\,\!$。

$I_{xx}=\int\ y^2+z^2\ dm\,\!$。

所以。

$$\begin{align} I_{xx}&=\int\ (y\,'+\bar{y})^2+(z\,'+\bar{z})^2\ dm\\ &=I_{G,xx}+m(\bar{y}^2+\bar{z}^2)\ . \\ \end{align}\,\!$$

相似地，可以求得 $I_{yy}\,\!$、$I_{zz}\,\!$ 的方程式。

b) 依照慣性張量的慣性積定義方程式。

$I_{G,xy}= - \int\ x\,'y\,'\ dm\,\!$。

$I_{xy}= - \int\ xy\ dm\,\!$。

因為 $x=x\,'+\bar{x}\,\!$，$y=y\,'+\bar{y}\,\!$，所以

$$\begin{align} I_{xy}&= - \int\ (x\,'+\bar{x})(y\,'+\bar{y})\ dm \\ &=I_{G,xy} - m\bar{x}\bar{y}\ . \\ \end{align}\,\!$$

相似地，可以求得對於點 O 的其他慣性積方程式。

## 實例

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思考一個實心長方體對於質心 G 的慣性張量。

$$I_G =\begin{bmatrix} <pre> \frac{1}{12} m (w^2 + h^2) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{12} m (h^2 + d^2) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{12} m (w^2 + d^2)\end{bmatrix}\,\!$$

如圖右，質心 G 的位置是 $\left(\frac{d}{2},\ \frac{w}{2},\ \frac{h}{2}\right)\,\!$。依照平行軸定理，實心長方體對於點 O 的慣性矩與慣性積分別為

$I_{xx} =\frac{1}{12} m (w^2 + h^2) +m \left(\left(\frac{w}{2}\right)^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2\right)\,\!$。

$I_{yy} =\frac{1}{12} m (h^2 + d^2) +m \left(\left(\frac{h}{2}\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2\right)\,\!$。

$I_{zz} =\frac{1}{12} m (w^2 + d^2) +m \left(\left(\frac{w}{2}\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2\right)\,\!$。

$I_{xy}= - m\left(\frac{w}{2}\right)\left(\frac{d}{2}\right)= - \frac{mwd}{4} \,\!$。

$I_{xz}= - m\left(\frac{h}{2}\right)\left(\frac{d}{2}\right)= - \frac{mhd}{4} \,\!$。

$I_{yz}= - m\left(\frac{w}{2}\right)\left(\frac{h}{2}\right)= - \frac{mwh}{4} \,\!$。

因此，實心長方體對於點 O 的慣性張量是

$$I_G =\begin{bmatrix} <pre> \frac{1}{3} m (w^2 + h^2) & - \frac{1}{4}mwd & - \frac{1}{4}mhd \\ - \frac{1}{4}mwd & \frac{1}{3} m (h^2 + d^2) & - \frac{1}{4}mwh \\ - \frac{1}{4}mhd & - \frac{1}{4}mwh & \frac{1}{3} m (w^2 + d^2)\end{bmatrix}\,\!$$

## 參閱

- 轉動慣量列表
- 垂直軸定理

## 參考文獻

- Beer, Ferdinand; E. Russell Johnston, Jr., William E. Clausen (2004). Vector Mechanics for Engineers. 7th edition. USA: McGraw-Hill, ISBN 0-07-230492-8