平方差

平方差公式是數學公式的一種，屬於乘法公式、因式分解及恆等式，被普遍使用。平方差指一個平方數減去另一個平方數得來的乘法公式：

$$a^2-b^2 = \left(a+b\right)\left(a-b\right)$$

因乘法具有交換律，故$(a+b)$及$(a-b)$的順序可前後交換且不影響結果。

## 驗證

### 主驗證

平方差可利用因式分解及分配律來驗證：

$$\begin{align} a^2-b^2 &=a^2-0-b^2 \\ &=a^2-(ab-ba)-b^2 \\ &=a^2-ab+ba-b^2 \\ &=(a^2-ab)+(ba-b^2) \\ &=a(a-b)+b(a-b) \\ &=(a-b)(a+b) \\ \end{align}$$

### 方格驗證

平方差能使用表格方式來驗證。

x)已知｜$a$｜$+b$

$a$｜$a^2$｜$+ab$

$-b$｜$-ab$｜$-b^2$

這樣可驗證出$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

### 幾何驗證

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平方差可利用一個普通的平面圖表驗證出來。右圖中，是正方形$a^2$減去正方形$b^2$，那即是$a^2 - b^2$。利用平方差，計算出陰影部分的面積就是$(a+b)(a-b)$。

#### 方法一

根據右圖，可先將陰影部分分割成三部分，分別為：

- $$b(a-b)\,\!$$
- $(a-b)^2\,\!$是灰正方
- $$b(a-b)\,\!$$

然後，將三部分加起：

$$b(a-b)+(a-b)^2+b(a-b)\,\!$$

$$=ab-b^2+a^2-2ab+b^2+ab-b^2\,\!$$

$$=ab+ab-2ab-b^2+b^2+a^2-b^2\,\!$$

$$=a^2-b^2\,\!$$

- 註：$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$運用了差平方。

#### 方法二

與方法一差不多，先將陰影部分分割為兩部分，分別為：

- $a(a-b)\,\!$大長方
- $b(a-b)\,\!$小長方

然後，將兩部分加起：

$$a(a-b)+b(a-b)\,\!$$

$$=a^2-ab+ab-b^2\,\!$$

$$=a^2-b^2\,\!$$

<image>

## 例子

### 例子一

$$x^2-16\,\!$$

計算此公式，必須把兩個數項都轉為平方。並得：

$$=x^2-4^2\,\!$$

$$=(x-4)(x+4)\,\!$$

### 例子二

$$16m^2-81n^2\,\!$$

計算此公式，同樣地把兩個數項轉為平方。並得：

$$=(4m)^2-(9n)^2\,\!$$

$$=(4m-9n)(4m+9n)\,\!$$

### 例子三

$$4y^2-36z^2\,\!$$

計算此公式，雖$4y^2$及$36z^2$的開方分別是$2y$及$6z$，但最好的方法是先抽出公因子，並得：

$$=4(y^2-9z^2)\,\!$$

同樣地把兩個數項轉為平方，並得：

$$=4\left[y^2-(3z)^2\right]\,\!$$

$$=4(y-3z)(y+3z)\,\!$$

### 例子四

$$\frac{1}{x^4} - \frac{13}{x^2} + 36$$

首先，可將該兩個分數轉成正數，並得：

$$=x^{-4} - 13x^{-2} + 36\,\!$$

$$=(x^{-2})^2 - 13(x^{-2}) + 36\,\!$$

運用因式分解的方法得出：

$$=x^{-2} \times x^{-2} - 9(x^{-2}) - 4(x^{-2}) + 9 \times 4$$

$$=(x^{-2} - 4)(x^{-2} - 9) \,\!$$

然後，把所有可被開方的數目轉為平方數，並得到：

$$= \left[(x^{-1})^2 - 2^2\right] \left[(x^{-1})^2 - 3^2\right]$$

運用平方差並得出：

$$=(x^{-1} - 2)(x^{-1} + 2)(x^{-1} - 3)(x^{-1} + 3) \,\!$$

或

$$= \left(\frac{1}{x} - 2\right) \left(\frac{1}{x} + 2\right) \left(\frac{1}{x} - 3\right) \left(\frac{1}{x} + 3\right) \,\!$$

## 運用

### 用平方差代替整數相乘

某些特別的整數相乘，能巧妙地使用平方差來計算，並可減省復雜的計算步驟。

例子一，兩個數項都分別是$10^n$的$+x$及$-x$：

- $$10\times 10 = (10-0)(10+0) = 10^2 - 0^2 = 100 - 0 = 100$$
- $$7\times13 = (10-3)(10+3) = 10^2 - 3^2 = 100 - 9 = 91$$
- $$95\times105 = (100-5)(100+5) = 100^2 - 5^2 = 10,000 - 25 = 9,975$$
- $$99,994\times100,006 = (100,000-6)(100,000+6) = 100,000^2 - 6^2 = 10,000,000,000 - 36 = 9,999,999,964$$

例子二：第一個數項減去第2個數項，都是$10^n$：

- $$14^2 - 4^2 = (14+4)(14-4) = 18\times 10 = 180 \,\!$$
- $$125^2 - 25^2 = (125+25)(125-25) = 150\times 100 = 15,000 \,\!$$
- $$1,750^2 - 750^2 = (1,750+750)(1,750-750) = 2,500\times 1,000 = 25,000,000 \,\!$$
- $$14,205^2 - 4,205^2 = (14,205+4,205)(14,205-4,205) = 18,410\times 10,000 = 184,100,000 \,\!$$

例子三：運用分配律、平方差來計出以下很大而覆雜的數項：

- $$3263 \times 3264 \times \left(\frac{3264}{3263} - \frac{3265}{3264}\right)$$

下一步先運用分配律：

$$=3263 \times 3264 \times \frac{3264}{3263} - 3263 \times 3264 \times \frac{3265}{3264}$$

並把所有相同數項約簡，並得：

$$=3264^2 - 3263 \times 3265$$

運用平方差，並得：

$$=3264^2 - (3264 - 1)(3264 + 1) \,\!$$

$$=3264^2 - (3264^2 - 1^2) \,\!$$

$$=3264^2 - 3264^2 + 1 \,\!$$

$$=1 \,\!$$

### 錯誤運用

很多人混淆了平方差、差平方，除了文字上外，不少人都錯誤計算。

$a^2-b^2 = \left(a+b\right)\left(a-b\right)$ $a^2-b^2 = (a-b)^2\,\!$

- 註：$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，詳見差平方

## 數論性質

因為平方數除以4的餘數衹能是0或1，所以兩個整數的平方差模4餘0、1或3。另一方面。

$$(k+1)^2 - (k-1)^2 = 4k$$

說明模4餘0的數皆可寫成平方差，而

$$(k+1)^2 - k^2 = 2k+1$$

說明模4餘1或3的數（奇數）可以寫成平方差。

## 內部連結

- 乘法公式
- 因式分解
- 恆等式
- 乘法
- 平方
- 平方數

## 外部連結

- Factoring the Difference of Two Squares
- Difference between 2 squares