信賴區間

在統計學中，一個機率樣本的置信區間（confidence interval，CI），是對產生這個樣本的總體的參數分布（parametric distribution）中的某一個未知母數值，以區間形式給出的估計。相對於點估計（point estimation）用一個樣本統計量來估計參數值，置信區間還蘊含了估計的精確度的資訊。在現代機器學習中越來越常用的置信集合（confidence set）概念是置信區間在多維分析的推廣。

置信區間在頻率學派中間使用，其在貝葉斯統計中的對應概念是可信區間（credible interval）。兩者建立在不同的概念基礎上的，貝葉斯統計將分布的位置參數視為隨機變量，並對給定觀測到的數據之後未知參數的後驗分布進行描述，故無論對隨機樣本還是已觀測數據，構造出來的可信區間，其可信水平都是一個合法的機率；而置信區間的置信水平，只在考慮隨機樣本時可以被理解為一個機率。

## 定義

### 對隨機樣本的定義

定義置信區間最清晰的方式是從一個隨機樣本出發。考慮一個一維隨機變量${\cal X}$服從分布${\cal F}$，又假設$\theta$是${\cal F}$的參數之一。假設我們的數據採集計劃將要獨立地抽樣$n$次，得到一個隨機樣本$\{X_1,\ldots,X_n\}$，注意這裡所有的$X_i$都是隨機的，我們是在討論一個尚未被觀測的數據集。如果存在統計量（統計量定義為樣本$X=\{X_1,\ldots,X_n\}$的一個函數，且不得依賴於任何未知參數）$u(X_1,\ldots,X_n),v(X_1,\ldots,X_n)$滿足$u(X_1,\ldots,X_n)<v(X_1,\ldots,X_n)$使得：

$$\mathbb{P}\left(\theta\in\left(u(X_1,\ldots,X_n),v(X_1,\ldots,X_n)\right)\right)=1-\alpha$$

則稱$\left(u(X_1,\ldots,X_n),v(X_1,\ldots,X_n)\right)$為一個用於估計參數$\theta$的$1-\alpha$置信區間，其中的，$1-\alpha$稱為置信水平，$\alpha$在假設檢驗中也稱為顯著性水平。

### 對觀測到的數據的定義

接續隨機樣本版本的定義，現在，對於隨機變量${\cal X}$的一個已經觀測到的樣本$\{x_1,\ldots,x_n\}$，注意這裡用小寫x表記的$x_i$都是已經觀測到的數字，沒有隨機性了，定義基於數據的$1-\alpha$置信區間為：

$$\left(u(x_1,\ldots,x_n),v(x_1,\ldots,x_n)\right)$$

注意，置信區間可以是單尾或者雙尾的，單尾的置信區間中設定$u=-\infty$或者$v=+\infty$，具體前者還是後者取決於所構造的置信區間的方向。

初學者常犯一個概念性錯誤，是將基於觀測到的數據所同樣構造的置信區間的置信水平，誤認為是它包含真實未知參數的真實值的機率。正確的理解是：置信水平只有在描述這個同樣構造置信區間的過程（或稱方法）的意義下才能被視為一個機率。一個基於已經觀測到的數據所構造出來的置信區間，其兩個端點已經不再具有隨機性，因此，類似的構造的間隔將會包含真正的值的比例在所有值中，其包含未知參數的真實值的機率是0或者1，但我們不能知道是前者還是後者。

## 例子

### 例1：正態分布，已知總體方差$\sigma^2$

$1-\alpha$水平的正態置信區間為：

$\left( \bar{x}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$ (雙尾)

$\left( -\infty, \bar{x}+z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$ (單尾)

$\left( \bar{x}-z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, +\infty \right)$ (單尾)

以下為方便起見，只列出雙尾置信區間的例子，且區間中用"$\pm$"進行簡記：

### 例2：正態分布，未知總體方差$\sigma^2$

$1-\alpha$水平的雙尾正態置信區間為：

$$\left( \bar{x}\pm t_{n-1;\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

### 例3：兩個獨立正態樣本

設有兩個獨立正態樣本$x$和$y$，樣本大小為$m$和$n$，估計總體均值之差$\mu_1-\mu_2$，假設總體方差未知但相等：$\sigma_1=\sigma_2$(如果未知且不等就要應用Welch公式來確定t分布的自由度)

$1-\alpha$水平的雙尾正態置信區間為：

$\left( \bar{x}-\bar{y}\pm t_{m+n-2;\alpha/2}\cdot s_p\cdot \sqrt{\frac1m+\frac1n} \right)$，其中$s_p=\sqrt{\frac{(m-1)s_x^2+(n-1)s_y^2}{m+n-2}}$且$s_x,s_y$分別表示$x$和$y$的樣本標準差。

## 常見誤解

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信賴區間及信心水準常被誤解，出版的研究也顯示出既使是專業的科學家也常做出錯誤的詮釋。

- 以95%的信賴區間來說，建構出一個信賴區間，不代表分佈的參數有95%的機率會落在該信賴區間內（也就是說該區間有95%的機率涵蓋了分佈參數）。依照嚴格的頻率學派詮釋，一旦信賴區間被建構完全，此區間不是涵蓋了參數就是沒涵蓋參數，已經沒有機率可言。95%機率指的是建構信賴區間步驟的可靠性，不是針對一個特定的區間。內曼本人（信賴區間的原始提倡者）在他的原始論文提出此點：「在上面的敘述中可以注意到，機率是指統計學家在未來關心的估計問題。事實上，我已多次說明，正確結果的頻率會趨向於α。考慮到一個樣本已被抽取，特定端點也已被計算完成。我們能說在這個特定的例子裡真值落到端點中的機率等於α嗎？答案明顯是否定的。參數是未知的常數，無法做出對其值的機率敘述……」

Deborah Mayo針對此點進一步說道：「無論如何必須強調，在看到資料的數值後，Neyman–Pearson理論從不允許做出以下結論，特定產生的信賴區間涵蓋了真值的機率或信心為(1 − α)100%。Seidenfeld的評論似乎源於一種（並非不尋常的）期望，Neyman–Pearson信賴區間能提供他們無法合理提供的，也就是未知參數落入特定區間的機率大小、信心高低或支持程度的測度。隨著Savage (1962)之後，參數落入特定區間的機率可能是指最終精密度的測度。最終精密度的測度令人嚮往而且信賴區間又常被(錯誤地)解釋成可提供此測度，然而此解釋是不被保證的。無可否認的，『信賴』二字助長了此誤解。」

- 95%信賴區間不代表有95%的樣本資料落在此信賴區間。
- 信賴區間不是樣本參數的可能值的確定範圍，雖然它常被啟發為可能值的範圍。
- 從一個實驗中算出的一個95%信賴區間，不代表從不同實驗得到的樣本參數有95%落在該區間中

## 構造法

一般來說，置信區間的構造需要先找到一個樞軸變量（pivotal quantity，或稱pivot），其表達式依賴於樣本以及待估計的未知參數(但不能依賴於總體的其它未知參數)，其分布不依賴於任何未知參數。

下面以上述例2為例，說明如何利用樞軸變量構造置信區間。對於一個正態分布的隨機樣本${X_1,\ldots,X_n}$，可以證明(此證明對初學者並不容易)如下統計量互相獨立：

$\bar{X}=\frac1n \sum_{i=1}^n X_i$ 和 $S^2=\frac{\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2}{n-1}$

它們的分布是：

$\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$ 和 $(n-1)\frac{S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}$

所以根據t分布的定義，有

$$t = \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t_{n-1}$$

於是反解如下等式左邊括號中的不等式

$$\mathbb{P}\left( -t_{n-1;\alpha/2}<t=\frac{\bar{X}-\mu}{S\sqrt{n}}<t_{n-1;\alpha/2} \right)=1-\alpha$$

就得到了例2中雙尾置信區間的表達式。

## 與參數檢驗的聯繫

有時，置信區間可以用來進行母數檢驗。例如在上面的例1中構造的雙尾$1-\alpha$水平置信區間，可以用來檢驗具有相應的顯著水平為$\alpha$的雙尾對立假說，具體地說是如下檢驗：

正態分布總體，知道總體方差$\sigma^2$，在$\alpha$顯著水平下檢驗：

$H_0: \mu=\mu_0$ vs $H_1: \mu \neq\mu_0$

檢驗方法是：當（且僅當）相應的$1-\alpha$水平置信區間不包含$\mu_0$時拒絕零假設$H_0$

例1中構造的雙尾$1-\alpha$水平置信區間也可以用來檢驗如下兩個顯著水平為$\alpha/2$的單尾對立假設：

$H_0: \mu\leq \mu_0$ vs $H_1: \mu >\mu_0$

和

$H_0: \mu\geq \mu_0$ vs $H_1: \mu <\mu_0$

檢驗方法是完全類似的，比如對於上述第一個單尾檢驗$H_1: \mu >\mu_0$，若且唯若雙尾置信區間的左端點大於$\mu_0$時拒絕零假設。

## 參考書目

- 羅納德·費雪 (1956) Statistical Methods and Scientific Inference. Oliver and Boyd, Edinburgh. (See p. 32.)
- 弗羅因德 (1962) Mathematical Statistics Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ. (See pp. 227–228.)
- 伊安·海金 (1965) Logic of Statistical Inference. Cambridge University Press, Cambridge
- 齊平 (1962) Introduction to Statistical Inference. D. Van Nostrand, Princeton, NJ.
- 傑克·基弗(1977) "Conditional Confidence Statements and Confidence Estimators (with discussion)" Journal of the American Statistical Association, 72, 789–827.
- 澤西·內曼 (1937) "Outline of a Theory of Statistical Estimation Based on the Classical Theory of Probability" Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 236, 333–380. (Seminal work.)
- G.K.羅賓遜 (1975) "Some Counterexamples to the Theory of Confidence Intervals." Biometrika, 62, 155–161.