傳輸線

傳輸線（transmission line）是電子工程中的專用電纜或者其他結構，用於傳輸無線電頻率的交流電流，也就是說，電流的頻率高到一定程度時必須考慮它們波的性質。傳輸線一般用於連接發送器與接收器的天線，傳輸有線電視信號，中繼電信交換中心之間的路由呼叫，電腦網絡連接以及高速電腦數據總線。

本文僅討論雙導體傳輸線，包含平行線（梯線）、同軸電纜、帶狀線和微帶線。一些來源認為波導管、介質波導甚至光纖也是傳輸線，但這些線需要用其他方法來分析，所以不在此進行討論；可參見電磁波導。

## 概述

普通電纜足以傳輸低頻交流電，如家庭用電（每秒鐘變換100~120次方向）和聲音信號。然而，普通電纜不能用於輸送無線電頻率範圍的電流或更高頻率的電流，這種頻率的電流每秒鐘變更百萬次方向，能量易於從電纜中以電磁波的形式輻射出來，從而造成能量損耗。射頻電流也容易在電纜的連接處（如連接器和節點）反射回發射源。這些反射作為瓶頸，阻止了信號功率到達目的地。傳輸線使用了特殊的結構和阻抗匹配的方法，能以最小的反射和最小的功率損耗傳輸電磁信號。大多數傳輸線的顯著特點是它們具有沿其長度方向均勻的橫截面尺寸，使得傳輸線有著一致的阻抗，被稱為特性阻抗，從而防止了反射的發生。傳輸線有多種形態，例如平行線（梯線、雙絞線）、同軸電纜、帶狀線以及微帶線。電磁波的頻率與波長成反比。當線纜的長度與傳輸信號的波長相當時，就必須要使用傳輸線了。

傳輸微波頻率信號時，傳輸線的功率損失也會比較明顯，這時應當使用波導管替代傳輸線，波導管的功能是作為限制和引導電磁波的「管道」。一些人將波導管視為一種傳輸線；然而，這裡認為波導管和傳輸線是不同的。在更高的頻率上，例如太赫茲、紅外線、光的範圍，波導管也將對信號造成損失，這時需要使用光學方法（如稜鏡和鏡子）來引導電磁波。

聲波傳播的理論與電磁波的傳播理論在數學上是非常相似的，因此傳輸線的理論也被用來製作傳導聲波的結構；叫做聲學傳輸線。

## 歷史

電傳輸線的數學分析源於麥克斯韋、開爾文男爵和亥維賽的工作。1855年開爾文男爵建立了一個關於海底電纜電流的擴散模型。這個模型正確的預測了1858年穿越大西洋海底通信電纜的不佳性能。在1885年，亥維賽發表了第一篇關於描述他的電纜傳播分析和現代通信模式方程的論文。

## 適用範圍

在許多電子線路中，連接各器件的電線的長度是基本可以被忽略的。也就是說在電線各點同一時刻的電壓可以認為是相同的。但是，當電壓的變化和信號沿電線傳播下去的時間可以比擬時，電線的長度變得重要了，這時電線就必須被處理成傳輸線。換言之，當信號所包含的頻率分量的相應的波長較之電線長度小或二者可以比擬的時候，電線的長度是很重要的。

常見的經驗方法認為如果電纜或者電線的長度大于波長的1/10，則需被作為傳輸線處理。在這個長度下相位延遲和線中的反射干擾非常顯著，那麼沒有用傳輸線理論仔細的研究設計過的系統就會出現一些不可預知行為。

## 四終端模型

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為了分析的需要，傳輸線可以用二埠網絡（四端網路）進行建模，如下圖所：

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在最簡單的情況，假設網路是線性的（即任何埠之間的復電壓在沒有反射的情況下正比於復電流），且兩個埠可以互換。如果傳輸線在長度範圍內是均勻的，那麼其特性可以只用一個參數描述：特性阻抗，符號是 Z0。特性阻抗是某一給定電波在傳輸線上任意一點復電壓與復電流的比值。常見電纜阻抗Z0的典型數值：同軸電纜 - 50或75歐姆, 扭絞二股線 - 約100歐姆，廣播傳輸用的平行二股線 - 約300歐姆。

當在傳輸線上發送功率時，最好的情況是儘可能多的功率被負載吸收，儘可能少的功率被反射回發送端。在負載阻抗等於特性阻抗Z0時，這一點可以被保證，這時傳輸線被稱為阻抗匹配。

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由於傳輸線電阻的存在，一些被發送到傳輸線上的功率被損耗。這種現象叫做電阻損耗。在高頻處，另一種介電損耗變得非常明顯，加重了電阻引起的損耗。介電損耗是由於在傳輸線內的絕緣材料從電域吸收能量轉化為熱引起的。傳輸線模型表現為電阻 (R) 與電感 (L) 的串聯以及電容 (C) 與電導 (G) 的並聯。電阻與電導引起了傳輸線的損耗。

傳輸線功率總損耗的單位是分貝每米 (dB/m)，並與信號頻率相關。生產廠家一般會提供一定範圍內以dB/m為單位的損耗圖。3dB代表大約損失一半的功率。

設計用於承載波長小於或可比於傳輸線長度電磁波的傳輸線稱為高頻傳輸線。在這種情況下，在低頻下的估值方法不再適用。高頻傳輸線常見於無線電，微波，光信號，金屬網濾光片和高速電子線路中的信號。

## 電報員方程

電報員方程（電報方程）是描述傳輸線上電壓交電流和距離時間的關係的一組線性差分方程。奧利弗·亥維賽提出這個方程並創建了傳輸線模型。這組方程基於麥克斯韋方程組。

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傳輸線模型將傳輸線表示為一個無限串聯的二埠元件，每個都代表傳輸線的無限短的一段：

- 導體的分布電阻 $R$ 表示為電阻串聯（單位為歐姆每單位長度）。
- 分布電感 $L$（源於電線周圍的磁場、自感等）表示為電感串聯（亨利每單位長度）。
- 兩個導體之間的電容 $C$ 表示為並聯電容 C（法拉每單位長度）。
- 分開兩個導體的電介質材料的電導 $G$ 表示為信號線與回線間的並聯電阻（西門子每單位長度）。

該模型包含途中所示的無限串聯的部分，這些成分的值都是以每單位長度為單位的，所以圖中部分可能會有誤導。$R$、$L$、$C$ 與 $G$ 也可能是頻率的函數，另外一種符號是用 $R'$、$L'$、$C'$ 及 $G'$ 來強調這些值是對長度的導數。這些量也被稱為一次線常量，以區別於從它們推到出的二次線常量，包括傳播常數、衰減常數和相位常數。

頻域的線電壓 $V(x)$ 和電流 $I(x)$ 可以表示為

$$\frac{\partial V(x)}{\partial x} = -(R + j \omega L)I(x)$$

$$\frac{\partial I(x)}{\partial x} = -(G + j \omega C)V(x).$$

當參數 $R$ 與 $G$ 小到可以忽略時，就認為傳輸線是無損結構。在這種假想情形中，該模型只取決於 $L$ 和 $C$ 參數，大大簡化了分析。對於無損傳輸線，二階穩態電報員方程為：

$$\frac{\partial^2V(x)}{\partial x^2}+ \omega^2 LC\cdot V(x)=0$$

$$\frac{\partial^2I(x)}{\partial x^2} + \omega^2 LC\cdot I(x)=0.$$

這些是正向和反向解具有相同傳播速率的平面波的波動方程。它的物理意義在於電磁波沿傳輸線傳播，通常會有反射成分干擾原始信號。這些是傳輸線理論的基本方程。

若不忽略 $R$ 與 $G$，電報員方程就會是：

$$\frac{\partial^2V(x)}{\partial x^2} = \gamma^2 V(x)$$

$$\frac{\partial^2I(x)}{\partial x^2} = \gamma^2 I(x)$$

其中 γ 為傳播常數

$$\gamma = \sqrt{(R + j \omega L)(G + j \omega C)}$$

而特性阻抗可以表示為

$$Z_0 = \sqrt{\frac{R + j \omega L}{G + j \omega C}}.$$

$V(x)$ 與 $I(x)$ 的解為：

$$V(x) = V^+ e^{-\gamma x} + V^- e^{\gamma x} \,$$

$$I(x) = \frac{1}{Z_0}(V^+ e^{-\gamma x} - V^- e^{\gamma x}). \,$$

常數 $V^\pm$ 與 $I^\pm$ 必須由邊界條件確定。對於一個電壓脈衝 $V_{\mathrm{in}}(t) \,$，從 $x=0$ 開始向 $x$ 軸正向移動，則在 $x$ 位置的傳輸脈衝 $V_{\mathrm{out}}(x,t) \,$ 可以通過傅立葉變換來計算，將 $V_{\mathrm{in}}(t) \,$變換為 $\tilde{V}(\omega)$，各頻率分量衰減 $e^{\mathrm{-Re}(\gamma) x} \,$，它的相位提前 $\mathrm{-Im}(\gamma)x \,$，並做傅立葉逆變換。$\gamma$ 的實部和虛部為

$$\mathrm{Re}(\gamma) = (a^2 + b^2)^{1/4} \cos(\mathrm{atan2}(b,a)/2) \,$$

$$\mathrm{Im}(\gamma) = (a^2 + b^2)^{1/4} \sin(\mathrm{atan2}(b,a)/2) \,$$

其中atan2是兩參數的反正切，而

$$a \equiv \omega^2 LC \left[ \left( \frac{R}{\omega L} \right) \left( \frac{G}{\omega C} \right) - 1 \right]$$

$$b \equiv \omega^2 LC \left( \frac{R}{\omega L} + \frac{G}{\omega C} \right).$$

對於低損耗高頻率，首先以 $R / \omega L$ 與 $G / \omega C$ 為整體重新整理等式，就能得到

$$\mathrm{Re}(\gamma) \approx \frac{\sqrt{LC}}{2} \left( \frac{R}{L} + \frac{G}{C} \right) \,$$

$$\mathrm{Im}(\gamma) \approx \omega \sqrt{LC}. \,$$

注意到相位提前 $- \omega \delta$ 等價於延時 $\delta$，$V_{out}(t)$ 可以簡單計算出來

$$V_{\mathrm{out}}(x,t) \approx V_{\mathrm{in}}(t - \sqrt{LC}x) e^{- \frac{\sqrt{LC}}{2} \left( \frac{R}{L} + \frac{G}{C} \right) x }. \,$$

## 傳輸線的輸入阻抗

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傳輸線的特性阻抗 Z0 是單一電壓波幅度與其電流波之比。由於大多數傳輸線還會有反射波，從線上測到的阻抗通常不是特性阻抗。

在負載阻抗為 ZL 時，給定距離 l 處測得的阻抗可以表示為

$Z_{in}\left(l\right)=\frac{V(l)}{I(l)}=Z_0 \frac{1 + \Gamma_L e^{-2 \gamma l}}{1 - \Gamma_L e^{-2 \gamma l}}$,

其中 γ 為傳播常數，$\Gamma_L=\left(Z_L - Z_0\right)/\left(Z_L + Z_0\right)$ 為傳輸線負載端的電壓反射係數。另外，上述公式可以重新整理，以用負載阻抗而非負載電壓反射係數來表示輸入阻抗：

$Z_{in}\left(l\right)=Z_0 \frac{Z_L + Z_0 \tanh\left(\gamma l\right)}{Z_0 + Z_L\tanh\left(\gamma l\right)}$.

### 無損傳輸線的輸入阻抗

對於無損傳輸線，傳播常數是純虛數 γ=jβ，因此上述公式可以改寫為。

$$Z_\mathrm{in} (l)=Z_0 \frac{Z_L + jZ_0\tan(\beta l)}{Z_0 + jZ_L\tan(\beta l)}$$

其中 $\beta=\frac{2\pi}{\lambda}$ 為波數。

在計算 β 中，傳輸線中的波長通常相對於自由空間的不同，並且在計算時需要考慮製作傳輸線的材料的速度常數。

## 電傳輸線的實際類型

### 微波傳輸帶

微波傳輸帶電路使用的是一個平行於地面的平薄導體

### 微波帶狀線

微波帶狀線電路使用的是一條夾於兩個平行地面之間的金屬平帶，基底的絕緣材料構成了電介體。帶寬、基底厚度和基底的相對介電常數決定了傳輸線帶的阻抗特性。

### 平衡傳輸線

#### 勒謝爾線

勒謝爾線是一類能夠用於共振生成電路特高頻(UHF)的平行導體。它們是一種方便實用的格式，填補了集總電路組件（用於短波/超短波）和諧振腔（用於特高頻/厘米波）之間的空白。

## 參考書目

- Steinmetz, Charles Proteus, "The Natural Period of a Transmission Line and the Frequency of lightning Discharge Therefrom". The Electrical world. August 27 1898. Pg. 203 - 205.
- Electromagnetism 2nd ed., Grant, I.S., and Phillips, W.R., pub John Wiley, ISBN 978-0-471-92712-9
- Fundamentals Of Applied Electromagnetics 2004 media edition., Ulaby, F.T., pub Prentice Hall, ISBN 978-0-13-185089-7
- Radiocommunication handbook, page 20, chaper 17, RSGB, ISBN 978-0-900612-58-9
- Naredo, J.L., A.C. Soudack, and J.R. Marti, Simulation of transients on transmission lines with corona via the method of characteristics. Generation, Transmission and Distribution, IEE Proceedings. Vol. 142.1, Inst. de Investigaciones Electr., Morelos, Jan 1995.

## 外部文章及更多讀物

- Annual Dinner of the Institute at the Waldorf-Astoria . Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, New York, January 13, 1902. (Honoring of Guglielmo Marconi, January 13 1902)
- Avant! software, Using Transmission Line Equations and Parameters. Star-Hspice Manual, June 2001.
- Cornille, P, On the propagation of inhomogeneous waves. J. Phys. D: Appl. Phys. 23, February 14 1990. (Concept of inhomogeneous waves propagation — Show the importance of the telegrapher's equation with Heaviside's condition.)
- Farlow, S.J., Partial differential equations for scientists and engineers. J. Wiley and Sons, 1982, p. 126. ISBN 978-0-471-08639-0.
- Han, Hsiu C., Transmission-Line Equations. EE 313 Electromagnetic Fields and Waves.
- Kupershmidt, Boris A., Remarks on random evolutions in Hamiltonian representation . Math-ph/9810020. J. Nonlinear Math. Phys. 5 (1998), no. 4, 383-395.
- Pupin, M. , Electrical wave transmission.
- Transmission line matching . EIE403: High Frequency Circuit Design. Department of Electronic and Information Engineering, Hong Kong Polytechnic University. (PDF format)
- Wilson, B. (2005, October 19). Telegrapher's Equations. Connexions.
- John Greaton Wöhlbier, " "Fundamental Equation" and "Transforming the Telegrapher's Equations". Modeling and Analysis of a Traveling Wave Under Multitone Excitation.
- Transmission Line Pulse