十進位

十進制是以10爲底數的數字系統，是在世界上應用最廣泛的進位制。

十進制有兩大類：

- 無位值概念的十進制：古希臘、古埃及和古印度的佉盧十進位和婆羅米十進位都屬於這一類。
- 具有位值（place value）概念的十進制，稱為「十進位制」，如中國古代的算籌數，和印度阿拉伯數字，以及現代數學廣泛使用的，由印度-阿拉伯數字發展而來的阿拉伯數字。

「十進制」與「十進位制」不同，十進制包括十進位制。

## 來源

人類算數採用十進制，可能跟人類有十根手指有關。亞里斯多德稱人類普遍使用十進制，只不過是絕大多數人生來就有10根手指這樣一個解剖學事實的結果。實際上，在古代世界獨立開發的有文字的記數體系中，除了巴比倫文明的楔形數字為60進制，瑪雅數字為20進制外，幾乎全部為十進制。只不過，這些十進制記數體系並不是按位的，沒有位值這個概念。

### 世界各國的數字系統

無位值十進制

- 古埃及十進制：以一個豎道代表1，二並排豎道代表2，三豎道代表3，一橫道代表4，左二撇右豎道代表5，上三撇下三撇代表6，上下兩道代表8，四個「（」並排代表9，一個「人」字形代表10，「人」上加一橫代表20，20左加一點代表30，橫道上加一點代表40，橫道上加三豎道（如中國籌算的8）代表60，橫道上加四豎道代表80（形同中國籌算中的9）代表80，兩橫道上加三豎代表90……。
- 古希臘十進制，1至9，10至90，100至900各有不同的單字母代表。
- 古印度Kharosshi十進制，以一個豎道代表1，二並排豎道代表2，三豎道代表3，一個X代表4，IX代表5。

X代表6，XX代表8，10，20個有單字符代表。

- 古印度和Brahmi十進制，和希臘十進制相似，1至9，10至90，100至900各有不同的單字母代表。符號很多。

十進位制

- 中國古代的十進制有書寫式和算籌兩種型式。
- 印度-阿拉伯十進位制。

## 方法

### 用文字表示十進整數位

十進位制可以表示任何整數。利用小數點，還可以表示一些小數。

n｜10n｜前綴｜n｜10n｜前綴｜n｜10n｜前綴｜n｜10n｜n｜10n｜n｜10n｜n｜10n

0｜個｜12｜兆／萬億｜太｜24｜秭｜堯｜36｜澗｜48｜極｜60｜那由他｜72｜大數

1｜十｜13｜十兆｜25｜十秭｜37｜十澗｜49｜十極｜61｜十那由他｜73｜十大數

2｜百｜14｜百兆｜26｜百秭｜38｜百澗｜50｜百極｜62｜百那由他｜74｜百大數

3｜千｜千｜15｜千兆｜拍｜27｜千秭｜容｜39｜千澗｜51｜千極｜63｜千那由他｜75｜千大數

4｜萬｜16｜京｜28｜穰｜40｜正｜52｜恆河沙｜64｜不可思議｜76

5｜十萬｜17｜十京｜29｜十穰｜41｜十正｜53｜十恆河沙｜65｜十不可思議｜……

6｜百萬｜兆｜18｜百京｜艾｜30｜百穰｜昆｜42｜百正｜54｜百恆河沙｜66｜百不可思議｜100｜古戈爾

7｜千萬｜19｜千京｜31｜千穰｜43｜千正｜55｜千恆河沙｜67｜千不可思議|

8｜億｜20｜垓｜32｜溝｜44｜載｜56｜阿僧祇｜68｜無量｜……

9｜十億｜吉｜21｜十垓｜澤｜33｜十溝｜45｜十載｜57｜十阿僧祇｜69｜十無量｜10100｜古戈爾普勒克斯

10｜百億｜22｜百垓｜34｜百溝｜46｜百載｜58｜百阿僧祇｜70｜百無量

11｜千億｜23｜千垓｜35｜千溝｜47｜千載｜59｜千阿僧祇｜71｜千無量｜......

### 用文字表示十進小數位

n｜10n｜前綴｜n｜10n｜前綴｜n｜10n｜前綴

0｜個｜-12｜漠｜皮｜-24｜涅槃寂靜｜攸

-1｜分｜分｜-13｜模糊｜-25

-2｜厘｜厘｜-14｜逡巡｜-26

-3｜毫｜毫｜-15｜須臾｜飛｜-27｜柔

-4｜絲｜-16｜瞬息｜-28

-5｜忽｜-17｜彈指｜-29

-6｜微｜微｜-18｜剎那｜阿｜-30｜虧

-7｜纖｜-19｜六德｜-31

-8｜沙｜-20｜虛空｜-32

-9｜塵｜奈／納｜-21｜清靜｜仄｜-33

-10｜埃｜-22｜阿賴耶｜-34

-11｜渺｜-23｜阿摩羅｜-35

註：

- 厘亦作釐。
- 毫亦作毛。
- 漠是正寫，而莫並非正確寫法。
- 比漠微細的，是自天竺佛經上的數字。而這些「佛經數字」已成為古代用法了。

## 歷史沿革

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中文自始至終都是使用十進制，沒有任何使用其他進制的證據。

有學者認為，北京周口店的一萬多年前的山頂洞人遺址出土的骨管，以一個圓點代表1，兩個圓點並列代表2，三個圓點並列代表3，五個圓點上二下三排列代表5，長圓形可能代表十。中國數學史家，國際科學史研究院通訊院士李迪教授認為山頂洞人骨管符號是「一種十進制思想」。

另有學者對中國青海樂都縣柳灣出土一千多枚新石器時代骨片進行研究，發現它們分屬馬廠、半山、齊家和辛店四個中文化型。骨片長度為2-2.4厘米，厚約1毫米。骨片上有刻痕，少的一個，多不超過八個，每個骨片上的刻痕數目不超過十個，他們以此認為新石器時代已有加法運算和十進制。

另有學者認為，甲骨文中一橫代表1，兩橫相疊代表二，三橫代表三，四橫代表四，X 代表五，「人」形代表六，「十」代表七，「）（」代表八， 「九」已經是九；| 代表十。

代表四十；此外50，60，70，80，90，100，200，300，400，500，600，700，800，900，1000，2000，……9000，10000……40000 都有不同的符號。商代甲骨文「已形成完整的十進制系統」。

北京的中國歷史博物館藏有一把安陽殷墟出土的象牙尺，長15.78厘米，分為十寸，說明中國商代的十進制幾經用在長度上了。

中國周代金文的紀數法，繼承商代的十進制，又有明顯的進步，十進數量級符號有十、百、千、萬、億，如西周金文「伐鬼方……俘萬三千八十一人」，「武王遂征四方，俘人三億萬有二百三十」，出現了位值記數，例如 「俘牛三百五十五「，其中三百五十五寫成「三全XX」，前面的「全」是金文的「百」，後面兩個XX是五十五，省去了「十」，出現了位置概念，但尚未形成完整的位值概念。金文商鞅量銘還出現分數。

春秋戰國時代，出現嚴格的十進位制籌算記數，以空代表0，也發明了用於十進位制乘法、除法的九九表和《算表》。

公元前3400年左右，古埃及有基於十進制的記數法。但這種十進制並無位值的概念。

吠陀時代前800年的印度儀軌經類文獻中的繩法經中包含大量分數的應用，但並無證據顯示此時的文字記數系統是十進制的。

公元前500年，希臘古典時期的阿提卡數字為十進制系統。

公元前300年，印度的婆羅迷數字為十進制。婆羅迷十進位毫無位值概念。

出土於巴基斯坦的古印度巴克沙利手稿可能是世界上最早的包括0的「真正的」十進制系統，但它的具體時間有爭議。

### 起源

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一般「共識」認為現在世界通行的十進制起源於印度。從20世紀初，國際上許多學者，包括李約瑟在內對印度起源論提出了質疑。

- 早在1907年印度學者Kaye指出「我研究的目的，在於指出我們關於現代數學記數的基礎很不牢固，值得重新研究。從印度文字，碑文證據，早期印度日的記數法，以及現代印度土著的風俗習慣等方面，指明現代記數可能來自外國
- 印度學者Datta and Singh認為，「印度不存在記述這些數字及其基本算術運算方法的早期文獻，發明人不可知」
- 德國學者Menninger 認為印度十進制的起源，模糊不清。
- 李約瑟指出，古印度的數字系統，用單獨的符號表示10和10的倍數，相對於希臘或希伯來數字系統，毫無進步……印度數字中的0，很可能起源於東印度和中國南方文化接壤的地區。印度是否採納中國算籌的空檔而受啟發？關鍵在於中國在比孫子算經早很多的時期，已經擁有十進位制。
- 曾任小學教師的法國通俗作家Ifrah斷言，458年的印度耆那教文獻Lokavibhaga中的 panchabhyah khalu shunyebhyah param dve sapta chambaram ekam trini cha rupam cha代表「五空和二和七和天，一和三和形，就是13107200000」，「是世界上最早的帶零的十進制數字」。他還說，印度的零、一、二、……九的詞多了，有eka，pitamaha,adi,tanu……都指「一」，dvi,ashvin,Yama, yamala, netra,bahu,guophau, paksha 都可以是「二」……。有學者認為現在世界各國使用的阿拉伯數字都起源於這一系統。
- 美國學者Robert Temple根據李約瑟《中國科學技術史》縮寫的「Genius of China」，認為今日世界通行的十進制，真正起源地在中國。
- 新加坡著名數學史家蘭麗蓉認為阿拉伯數字的基本概念，不可能起源於印度婆羅迷數字，而是起源於中國籌算。籌算用九個符號代表一切數，其加法減法，天然包含在算籌之中，三減三就是從算版上取去三個算籌，算版上自然而然留下一個空位，這就是零，籌算中稱為『空』。無獨有偶，印度在沒有發明『0』這個符號之前，和中國的籌算一摸一樣，也用一格空檔來表示零，稱為「sunya」！這就沒有天然的理由了；而「983 542」到底是一個數字還是兩個數值，容易產生混淆，後來印度才用「.」或「0」代表sunya。此外印度的加減乘除運算程序，上、中、下三行排列的方式，除數和被除數首位對齊，留籌算式的空白（！）而非「0」，從左往右計算的規則，商數右邊留空白而沒有補「0」，每算一步之後，除數右移一位，甚至餘數表示為分數的上、中、下三行表示方法，居然和孫子算經中敘述的孫子除法雷同，這三點是印度十進制數字系統的基礎概念全盤來自籌算的鐵證。

現存最古老的運用印度數字的算術著作：10世紀波斯數學家伊本·拉班在所著《印度算術原理》中詳細敘述的印度除法，印度開平方術，開立方術也同樣源自孫子算經

0……9符號來自印度，但背後的十進位制概念，則來自籌算。將空寫成0，只是書寫方式，沒有概念上的發明。至於中國籌算十進制如何傳入印度，蘭麗蓉認為中國古時官員，商人僧侶和旅行家，腰掛算籌袋很平常，而中國和印度來往密切，傳入印度不難理解。事實上早於458年一個半世紀，從公元266-399年間，就有竺法護，康法郎，於法藍，竺佛念，慧常，進行，慧辯，支法領，法淨等高僧到過印度了，此後還有著名的法顯到過佛國。

### 印度與阿拉伯的十進位制

- 七世紀之前，印度數字用一到九個符號，以空代零。時至今日，南印度泰米爾納德邦仍通行九個符號加空代零，另有十、百、千符號。
- 公元七世紀，印度Nagari數字出現0。
- 公元八世紀唐朝太史監印度人瞿曇悉達在開元年間主持編纂的《開元占經》卷104將印度數字「·」（零）引入中國，「右天竺演算法用上件九個字乘除，其字皆一舉扎而成，凡數至十進入前位，每空位處恆安一點」，但只有文字敘述，未曾畫出印度數嗎的形狀。
- 學界公認，印度帶「0」的十進位制最早出現在876年印度瓜廖爾Bhojadera碑文，「933」年印度歷(公元876年)碑文文記述一塊「270」乘 「187」的花園，每日給廟奉獻「50」個花圈。「933」、「270」、「187」、「50」四個印度數字，已經是現代阿拉伯數字了。
- 印度本土用印度數字的算術著作已蕩然無存，但保留在多種阿拉伯文著作中。存世最古老的一本用印度數字的算術書，當推十世紀波斯數學家伊本·拉班所著的《印度算術原理》，他在該書第一章詳細敘述印度十進位制數字的原理。他寫道「必須認識九個數字۹۸۷۶۵۴۳۲۱，第一個是一，第二個是二，一直到九，並且頭一個是個位，第二個是十位，第三百位，第四千位，第五萬……十之後必須加一個零，一百之後必須加兩個零，即記十為10，百為100。
- 九世紀花拉子米，十世紀伊本·拉班，十一世紀烏克里迪西等阿拉伯數學家都著有關於印度算術的著作，所述的加、減、乘、除、開平方、開立方的程序，從排列方式，留空方式，數字位移方式，以至餘數、分數的表示格式，都和中國公元一世紀的九章算術、5世紀孫子算經所述的相應算術運算相同。中世紀的印度-阿拉伯數學家用沙盤進行計算.沙盤可以是帶沙子的地面或一塊木板，上鋪一層薄沙，劃上格子，用手指頭或一根棍將阿拉伯數字劃在格子裡面。因為有格子，所以空格就代表零，不必寫「0」，這和中國籌算以空代零的習慣一樣。
- 印度文數字的0，1，2……9中的「0」，是印度數學對十進位制的重要貢獻，它克服了算籌數碼空檔的缺點，例如

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可以指6，600，60000……使十進位制草算在中世紀阿拉伯國家大為流行。
- 中國南宋數學家秦九韶在算籌碼中引入圓圈

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可能受到印度「0」的影響。

## 十進位與度量衡

- 中國十進制度量衡有久遠的歷史。公元前6世紀的一把周朝尺刻有十分之一的寸和百分之一的分。
- 王莽官定一百副青銅容量標準，一斛=十斗，一斗=十升，一升=十合。

傳統度量衡不是完全使用十進位，例如1斤等於16兩、1呎等於12吋等。公制完全使用十進位，使換算較直接。中華民國政府於1920年代推行市制以與公制接軌。1980年代香港政府便曾大力宣傳十進位的好處，當時有口號如「採用十進位，公道又易計」或「十進位，好易計」等，但民間至今仍常用舊制、英制等非十進制換算。

## 清華簡算表

成於公元前300年左右的清華簡《算表》是世界上最早的十進制乘法表。

美國數學史家約瑟夫·道本周（Joseph Dauben）說《算表》是世界上最早的十進制乘法表文物。

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