通量

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通量（Flux），或稱流束，是通過一個表面或一個物質的量，是一個物理學和應用數學的概念。在熱學和流體力學領域中，研究輸運現象時，是指在單位時間內通過單位面積的具有方向的流量，它是一個向量；在電磁學領域中，是指在單位面積上垂直於其表面的磁場或電場的強度，它是一個標量。

給定一個三維空間中的向量場$\mathbf{A}$以及一個簡單有向曲面$\Sigma$，則向量場$\mathbf{A}$通過曲面$\Sigma$的通量就是曲面每一點$x$上的場向量$\mathbf{A}(x)$在曲面法向方向上的分量的積分:

$$\Phi_{\mathbf{A}}( \Sigma ) = \iint\limits_{\Sigma}\mathbf{A}\cdot\mathbf{n}\mathrm{d}S$$

其中$\mathrm{d}S$是積分的面積元，n是Σ在點(x,y,z)處的單位法向量。如果曲面是封閉的，例如球面，那麼通常約定法向量是從裡朝外的，所以這時候的通量是描述曲面上的場向量朝外的程度。

## 術語

通量這個詞源於拉丁語：fluxus 意為「流」，fluere 是「流動」的意思。而 fluxion 一詞是由牛頓引入微積分。

熱通量的概念是約瑟夫·傅立葉對熱傳遞現象分析的重要貢獻之一。他的重要著作《熱的分析理論》（The Analytical Theory of Heat）中，將 fluxion 定義為一個核心量，並推導出了現在的通量表達式。這些表達式與平板的溫度差異有關，且更廣義地在其他幾何形狀的溫度梯度或溫度差異有關。根據詹姆斯·克拉克·馬克士威的研究，可以顯示其傳輸的定義早於磁通量定義。馬克士威的具體引言是：

根據傳輸的定義，通量可為單一向量，也可以是位置的向量場／函數。後者的通量可以很容易地在一個表面上積分。相比之下，根據電磁學定義，通量是對表面的積分；對於第二種定義的通量進行積分是沒有意義的，因為這樣會對表面進行兩次積分。因此，馬克士威的引言只有在「通量」按照傳輸定義使用時才有意義（進一步來說，是向量場而不是單一向量）。這很諷刺，因為馬克士威是我們現在所稱的「電通量」和「磁通量」的主要發展者之一，而這些名稱是根據電磁學定義來的。根據該引言（和傳輸定義），它們應該被稱為「電通量的曲面積分」和「磁通量的曲面積分」。在這種情況下，「電通量」應定義為「電場」，「磁通量」應定義為「磁場」。這意味著馬克士威將這些場視為某種形式的流動／通量。

根據電磁學定義的通量，其相應的通量密度（假設使用這個術語）指的是沿積分表面的導數。根據微積分基本定理，相應的通量密度是根據傳輸定義的通量。給定一個流，例如電流——每單位時間的通電量，電流密度根據傳輸定義也是一個通量——每單位時間每單位面積的通電量。由於通量的定義衝突，以及在非技術性英語中通量、流動和電流的互換性，本文中的所有術語有時會被互相使用且可能含義模糊。本文其餘部分中具體的通量將根據其在文獻中的廣泛接受度來使用，無論該術語對應哪種通量的定義。

## 以單位面積流量表示的通量

在輸送現象（熱傳、質傳和流體動力學），通量被定義為「每單位面積的流量的流動率」，其因次組成為 量 (物理)·時間−1·面積−1。這個面積是流「通過」或「穿過」的表面。例如，每秒鐘流經河流橫截面的水量除以橫截面的面積，或是每秒鐘落在地面一塊區域上的陽光能量除以該區域的面積，都是通量的例子。

### 一般數學定義（傳輸）

以下是按複雜度遞增的三個定義。每個定義都是下面這個的一個特例。在所有情況下，常用符號 $j$（或 $J$）表示通量，$q$ 表示流動的物理量，$t$ 表示時間，$A$ 表示面積。當且唯當這些標識符是向量時，它們將以粗體顯示。

首先，通量作為一個（單一的）純量時：

$$j=\frac{I}{A}$$

其中

$$I = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta q}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$$

在這種情況下，測量固定的通量的表面，且具有面積$A$。假設該表面是平坦的，而流量在各處相對於位置是恆定的，並且垂直於表面。

其次，通量作為沿著表面定義的純量場，即作為表面上各點的函數：

$$j(\mathbf{p}) = \frac{\partial I}{\partial A}(\mathbf{p}),$$ $$I(A,\mathbf{p}) = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}(A, \mathbf{p}).$$

如上所述，假設表面是平坦的，且流量在各處都垂直於表面。然而，流不需要是恆定的。此時，$q$ 是 p（表面上的一個點）的函數，面積 $A$亦是。與其測量通過整個表面的總流量，不如 $q$ 測量的是以 p 為中心、沿表面上面積 A 的圓盤通過的流量。

最後，通量作為一個向量場時：

$$\mathbf{j}(\mathbf{p}) = \frac{\partial \mathbf{I}}{\partial A}(\mathbf{p}),$$ $$\mathbf{I}(A,\mathbf{p}) = \underset{\mathbf{\hat{n}}}{\operatorname{arg\,max}} \mathbf{\hat{n}}_{\mathbf p} \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}(A,\mathbf{p}, \mathbf{\hat{n}}).$$

在這種情況下，我們沒有固定的表面來測量。$q$ 是一個點、面積和方向（由單位向量 $\mathbf{\hat{n}}$ 給定）的函數，並測量與該單位向量垂直的面積 A 的圓盤中的流量。$I$ 的定義是選擇使該點周圍流量最大的單位向量，因為真正的流量在垂直於該單位向量的圓盤上達到最大值。因此，當單位向量指向流動的「真正方向」時，它唯一地最大化該函數。（嚴格來說，這是一種濫用符號，因為「arg max」無法直接比較向量；我們改為選擇具有最大範數的向量。）

#### 性質

這些直接的定義，尤其是最後一個，顯得相對不完善。例如，從經驗測度來看，arg max 的構造是人工的，而使用風向標或類似工具可以簡單推斷出某一點的通量方向。與其直接定義向量通量，通常更直觀的是陳述一些關於它的性質。此外，通量可以根據這些性質唯一確定。

若通量 j 以角度 $\theta$ 通過（$\theta$為該通量與該面積法向量 $\mathbf{\hat{n}}$ 形成之夾角），則其點積為：

$$\mathbf{j} \cdot \mathbf{\hat{n}} = j\cos\theta$$

也就是說，通過表面的通量分量（即垂直於表面的分量）是$j\cos{\theta}$，而沿切向通過表面的通量分量是 $j\sin{\theta}$，但實際上沒有通量沿切向通過表面。唯一通過且垂直表面的通量分量是其餘弦分量。

對於向量通量，通量 j在表面 $S$上的曲面積分給出了每單位時間通過該表面的適當流量：

$$\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = \iint_S \mathbf{j} \cdot \mathbf{\hat{n}}\, dA = \iint_S \mathbf{j} \cdot d\mathbf{A}$$

其中 A（及其無窮小量）是向量面積—— $\mathbf{A} = A \mathbf{\hat{n}}$ 的組合，結合了面積 A 的大小和垂直於該面的單位向量 $\mathbf{\hat{n}}$。與第二組方程式不同的是，這裡不需要平坦的表面。

最後，以時間區間 $t_1$ 到 $t_2$ 做積分，計算在該時間段 $(t_2-t_1)$ 內流過表面的總量：

$$q = \int^{t_2}_{t_1} \iint_S \mathbf{j} \cdot \operatorname{d} \mathbf{A} \operatorname{d}\!t$$

### 傳輸通量

八種在輸送現象文獻中最常見的通量定義如下：

- 動量通量（英語：momentum flux）：單位面積上動量的傳輸速率 (N·s·m−2·s−1)。（牛頓黏度定律）
- 熱通量（英語：heat flux）：單位面積上熱流動的速率 (J·m−2·s−1)。（傅立葉熱傳導定律）（也符合馬克士威對熱通量的原始定義。）
- 擴散通量（英語：diffusion flux）：單位面積上分子運動的速率 (mol·m−2·s−1)。（菲克定律）
- 體積通量（英語：volumetric flux）：單位面積上體積流動的速率 (m3·m−2·s−1)。（達西定律）
- 質量通量（英語：mass flux）：單位面積上質量流動的速率 (kg·m−2·s−1)。（質量通量可以是費克定律的另一種形式，其中包含分子質量；或者達西定律的另一種形式，其中包含密度。）
- 輻射通量（英語：radiative flux）：單位面積、每秒從光源在特定距離處以光子形式傳輸的能量量 (J·m−2·s−1)。這在天文學中用於確定恆星的星等和光譜類型。它也是熱通量的一種推廣，當限制在電磁頻譜範圍內時，輻射通量就等於熱通量。
- 能量通量（英語：energy flux）：單位面積上能量傳輸的速率 (J·m−2·s−1)。輻射通量和熱通量是能量通量的特例。
- 粒子通量（英語：particle flux）：單位面積上粒子傳輸的速率 (粒子數量 m−2·s−1)。

這些通量在空間中的每一個點都是向量，具有明確的大小和方向。此外，可對任何這些通量取散度，以確定在空間中給定點周圍的控制體積內該量的累積速率。對於不可壓縮流，體積通量的散度為零。

#### 化學擴散

如上所述，化學的莫耳通量在等溫、等壓系統中，成分 A 在菲克擴散定律中定義為：

$$\mathbf{J}_A = -D_{AB} \nabla c_A$$

其中 nabla 符號 $\nabla$ 表示梯度算子，$D_{AB}$ 是成分 A 透過成分 B 擴散時的擴散係數 (m2·s−1)，$c_A$ 是成分 A 的濃度 (mol/m3)。

這個通量的單位是 mol·m⁻²·s⁻¹，符合馬克士威對通量的原始定義。

對於稀薄氣體，分子動力學理論將擴散係數 D 與粒子密度 n=N/V、分子質量 m、碰撞截面 σ 以及絕對溫度 T 聯繫起來，關係式如下：

$$D = \frac{2}{3n\sigma} \sqrt{\frac{kT}{\pi m}}$$

其中，第二個因子是平均自由徑，而平方根（包含波茲曼常數 k）項 則是粒子的平均速率。

在紊流中，渦旋運動所造成的傳輸可以表示為一個大幅增加的擴散係數。

### 量子力學

在量子力學中，質量為 m 的粒子在量子態 ψ(r, t) 下，其機率幅定義為：

$$\rho = \psi^* \psi = |\psi|^2$$

因此，在微分體積元素 d3r 中找到粒子的機率是：

$$dP = |\psi|^2 \, d^3\mathbf{r}$$

那麼，單位時間內垂直穿過截面單位面積的粒子數就是機率通量（英語：probability flux）。

$$\mathbf{J} = \frac{i \hbar}{2m} \left(\psi \nabla \psi^* - \psi^* \nabla \psi \right)$$

有時也被稱為機率流、機率流密度，或者機率通量密度。

## 通量作為曲面積分

### 廣義上的數學定義（曲面積分）

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在數學概念中，通量是以向量場的曲面積分來表示：

$$\Phi_F = \iint_A \mathbf{F} \cdot d\mathbf{A}$$ $$\Phi_F = \iint_A \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dA$$

其中 $\mathbf{F}$ 是一個向量場，$d\mathbf{A}$ 是表面 $A$ 的向量面積元，其方向與表面法線一致。在第二種表達方式中，$\mathbf{n}$ 是指向表面的向外單位法向量。

該表面必須是可定向的，即可以區分出兩個側面：表面不會折疊回自身。此外，表面必須具備實際的定向，即我們需要約定哪一個流動方向被計為正值，則反向流動則計為負值。

表面法向量通常由右手定則決定。

相反地，人們可以將通量視為更基本的物理量，並將向量場稱為通量密度。向量場通常由遵循「流向」的曲線（場線）繪製而成；此時向量場的大小即為線密度，而穿過表面的通量則是線的數量。場線起源於正散度區域（源，sources），並終止於負散度區域（匯，sinks）。

參見右圖，穿過單位面積的紅色箭頭數量即為通量密度，圍繞紅色箭頭的曲線表示表面的邊界，而箭頭相對於表面的方向則表示向量場與表面法向量內積的正負號。

如果該表面包圍一個三維區域，通常表面的定向方式會使流入（influx）計為正，反之則為流出（outflux）。

散度定理（Divergence theorem）指出，穿過封閉表面的淨流出量（換言之，即來自一個三維區域的淨流出量），可以藉由加總該區域內各點的局部淨流出量（由散度表示）來求得。

如果表面不是封閉的，則它擁有一條定向曲線作為邊界。斯托克斯定理（Stokes' theorem）指出，向量場之旋度的通量，等於該向量場沿此邊界的曲線積分。這種路徑積分也被稱為環量，尤其在流體力學中更是如此。因此，旋度即為環量密度。

我們可以將通量及這些定理應用於許多涉及電流、力等施加於面積上的學科領域。

## 電磁學中的通量

### 電通量

一個「電荷」，例如空間中的單個質子，其電量大小是以庫侖來定義的。這樣的電荷周圍存在著電場。在圖像化的表示中，來自正點電荷的電場可以被想像成一個向外輻射電場線（有時也稱為「力線」）的點。從概念上講，電通量可以被視為通過給定面積的「場線數量」。

在數學上，電通量是電場在給定面積上的法向分量積分。因此，在 MKS 制中，電通量的單位是牛頓每庫侖乘以平方公尺，即 $N \cdot m^2/C$。（電通量密度是指單位面積的電通量，它是電場法向分量在積分面積上的平均強度度量。其單位為 $N/C$，與 MKS 制中的電場單位相同。）

使用中的電通量共有兩種形式，一種用於 $\mathbf{E}$ 場（E-field，電場）：

$\Phi_E=$ ${\scriptstyle A}$ $\mathbf{E} \cdot {\rm d}\mathbf{A}$

另一種則用於 $\mathbf{D}$ 場（D-field，稱為電位移）：

$\Phi_D=$ ${\scriptstyle A}$ $\mathbf{D} \cdot {\rm d}\mathbf{A}$

這項物理量出現在高斯定律（Gauss's law）中——該定律指出，電場 $\mathbf{E}$ 穿過封閉曲面的通量與該曲面所包圍的電荷 $Q_A$ 成正比（且與電荷的分布方式無關），其積分形式為：

$${\scriptstyle A}$$

$$\mathbf{E} \cdot {\rm d}\mathbf{A} = \frac{Q_A}{\varepsilon_0}$$

其中 $\varepsilon_0$ 是真空電容率。

若考慮電場向量 $\mathbf{E}$ 在點電荷電場中某個管狀場（tube）的通量（該管位於電場中但不包含電荷，且側面由與場線相切的線組成），則側面的通量為零，且在場管兩端的通量大小相等、符號相反。這是高斯定律應用於平方反比場（inverse square field）的結果。穿過該場管任何截面的通量都將相同。對於任何包圍電荷 $q$ 的曲面，其總通量皆為 $q/\varepsilon_0$。

在真空中，電位移由本構方程式 $\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E}$ 給出，因此對於任何邊界曲面，$\mathbf{D}$ 場的通量等於其內部的電荷 $Q_A$。這裡的「...的通量（flux of...）」一詞表示一種數學運算，且如前所述，其結果並不一定代表某種「流動」，因為實際上並沒有任何物質沿著電場線流動。

### 磁通量

磁通量密度（磁場）的單位為 $Wb/m^2$（特斯拉，Tesla），以 $\mathbf{B}$ 表示，其磁通量的定義與前面相似：

$$\Phi_B=\iint_A\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{A}$$

其符號表示與前述相同。這項物理量出現在法拉第感應定律（Faraday's law of induction）中，在該定律中，磁通量會隨時間變化，原因可能是邊界隨時間改變，或者是磁場隨時間改變。其積分形式為：

$$- \frac{{\rm d} \Phi_B}{ {\rm d} t} = \oint_{\partial A} \mathbf{E} \cdot d \boldsymbol{\ell}$$

其中 $d\boldsymbol{\ell}$ 是封閉曲線 $\partial A$ 的無窮小向量線元，其大小等於該線元的長度，方向則由曲線 $\partial A$ 的切線方向給出，正負號則由積分方向決定。

穿過線圈的磁通量隨時間的變化率，等於該導線中產生的電動勢的負值。其方向規律為：若允許電流通過導線，該電動勢產生的電流將會「反抗」磁場的變化——藉由自身產生一個與變化方向相反的磁場來達成。這是電感器和許多發電機運作的基礎。

### 坡印廷通量

使用此定義，坡印亭向量 $\mathbf{S}$ 在指定表面上的通量，即為電磁能量流經該表面的變化率，其定義與先前相同：

$$\Phi_S=$$

$${\scriptstyle A}$$

$$\mathbf{S} \cdot {\rm d}\mathbf{A}$$

穿過表面的坡印廷向量通量即為電磁功率，或是單位時間內通過該表面的能量。這常用於電磁輻射的分析，但也適用於其他的電磁系統。

令人混淆的是，坡印廷向量有時被稱為功率通量（power flux），為上述通量第一種用法（通量即密度）的一個例子。它的單位是瓦特每平方公尺（$W/m^2$）。