無限深方形阱

在物理學裏，無限深方形阱（infinite square potential），又稱為無限深位勢阱（infinite potential well），是一個阱內位勢為 0，阱外位勢為無限大的位勢阱。思考一個或多個粒子，永遠地束縛於無限深位勢阱內，無法逃出。關於這些粒子的量子行為的問題，稱為無限深方形阱問題，又稱為無限深位勢阱問題，盒中粒子問題（particle in a box problem），是一個理論問題。假若，阱內只有一個粒子，則稱為單粒子無限深方形阱問題。假若，阱內有兩個粒子，則稱為雙粒子無限深方形阱問題。假若，這兩個粒子是完全相同的粒子，則問題又複雜許多，稱為雙全同粒子無限深方形阱問題。在這裏，只討論單粒子無限深方形阱問題。

在經典力學裏，應用牛頓運動定律，可以非常容易地求得無限深方形阱問題的解答。假設粒子與阱壁的碰撞是彈性碰撞，粒子的動能保持不變。則這粒子在方形阱的兩阱壁之間來回移動，碰撞來，碰撞去，而速率始終保持不變。在任意時間，粒子在阱內各個位置的機率是均勻的。

在量子力學裏，這問題突然變得很有意思。許多基要的概念，在這問題的解析中，呈現了出來。由於問題的理想化與簡易化，應用薛丁格方程，可以很容易地，雖然並不是很直覺地，求得解答。滿足這薛丁格方程的能量本徵函數，是表達粒子量子態的波函數。每一個能量本徵函數的能量，只能是離散能級譜中的一個能級。很令人驚訝的是，離散能級譜中最小的能級不是 0，而是一個有限值，稱為零點能量！這系統的最小能級量子態的能級不是 0。

更加地，假若測量粒子的位置，則會發現粒子在阱內各個位置的機率大不相同。在有些位置，找到粒子的機率是 0，絕對找不到粒子。這些結果與經典力學的答案迥然不同。可是，這些結果所根據的原理，早已在許多精心設計的實驗中，廣泛地證明是正確無誤的。

## 簡介

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在量子力學裏，無限深方形阱問題是一個簡單化的，理想化的問題。無限深方形阱是一個有限尺寸的位勢阱，阱內位勢為 0，阱外位勢為無限大。在阱內，粒子感受不到任何作用力，可以自由的移動於阱內。可是，阱壁是無限的高，粒子完全地束縛於阱內。為了刪繁就簡，先從一維問題開始，研討粒子只移動於一維空間的問題。之後，可推廣至二維與三維空間。

這問題的薛丁格方程解答，明確地呈現出粒子的某些量子行為。這些量子行為與實驗的結果相符合；可是，與經典力學的理論預測，有很大的衝突。特別令人注目地是，這量子行為是自然地從邊界條件產生的，而不是人為勉強加添造成的。這解答乾淨俐落地展示出，任何類似波的物理系統，自然地會產生量子行為；與平常的想法恰恰相反，量子行為不是像變魔術一般變出來的。

無限深方形阱問題的粒子的量子行為包括：

- 能量量子化：表達粒子量子態的能量本徵函數，其伴隨的能量不是任意值，而只能是離散能級譜中的一個能級。
- 零點能量：粒子最小的允許能級，稱為零點能量，不是 0。
- 波節點：恰恰與經典力學相反，薛丁格方程預測會有波節的存在。這意味著在阱內某些地方，找到粒子的機率是零。

不論這問題有多麼地簡單，由於能夠完全地解析其薛丁格方程，這問題可以導致對量子力學有更深刻的理解。實際上，這問題也非常的重要。無限深方形阱問題可以用來模擬許多真實的物理系統。例如，一個導電電子在一根直的，極細的奈米金屬絲內的量子行為。更詳細內容，請參閱條目奈米線。

## 一維阱

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一個粒子束縛於一維無限深方形阱內，阱寬為 $L$。阱內位勢為 0，阱外位勢為無限大。粒子只能移動於束縛的方向（$x$ 方向）。如圖示，一維無限深方形阱的本徵函數 $\psi_n$ 與本徵值 $E_n$ 分別為

$\psi_n = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin{\left(\frac{n \pi x}{L} \right)}$。

$E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}$。

其中，$n$ 是正值的整數，$h$ 是普朗克常數，$m$ 是粒子質量。

### 導引

一維不含時薛丁格方程可以表達為

$- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2 \psi(x)}{\mathrm{d}x^2} + V(x) \psi(x) = E \psi(x)$；$\quad$(1)

其中，$\psi(x)$ 是複值的、不含時間的波函數，$V(x)$ 是跟位置有關的位勢，$E$ 是正值的能量。

在阱內，位勢 $V(x)= 0$。一維不含時薛丁格方程約化為

$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2 \psi(x)}{\mathrm{d} x^2} = E \psi(x)$。$\quad$(2)

這是一個已經經過頗多研究的二階常微分方程。一般解本徵函數 $\psi(x)$ 與本徵值 $E$ 是

$\psi(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx)$，$\quad$(3a)

$E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$；$\quad$(3b)

其中，$A$ 與 $B$ 是常數，可以是複值，$k$ 是實值的波數（因為 $E$ 是正值的，所以，$k$ 必須是實數。）。

為了求得一般解 $\psi(x)$ 的常數 $A$， $B$，與波數 $k$ 的值，必須具體表明這問題的邊界條件。由於粒子趨向於位勢低的地區，位勢越高，找到粒子的機率 $\left| \psi(x)\right|^2$ 越小。在 $x=0$， $x=L$ 兩個阱壁位置，位勢無限的高，找到粒子的機率是微乎其微：$\left| \psi(x)\right|^2=0$。所以，邊界條件是

$\psi(0)=\psi(L)=0$。(4)

代入方程 (3a)。在 $x=0$，可以得到

$\psi(0)=B=0$。(5)

在 $x=L$，可以得到

$\psi(L) = A \sin(kL) = 0$。(6)

方程 (6) 的一個簡易解是 $A=0$。可是，這樣，波函數是 $\psi = 0$。這意味著一個不可能的物理答案：粒子不在阱內！所以，不能接受這簡易解。設定 $A\neq 0$，則 $\sin(kL) = 0$。那麼，必須要求

$k = \frac{n \pi}{L}$ ;(7)

其中，整數 $n>0$。

注意到 $n = 0$ 狀況必須被排除，因為，不能容許波函數是 $\psi = 0$ 的物理答案：粒子不在阱內！

為了求得 $A$ 值，波函數需要歸一化，一個粒子必須存在於整個一維空間的某地方：

$1 = \int_{ - \infty}^{\infty} \left| \psi(x) \right|^2 \, \mathrm{d}x = \left| A \right|^2 \int_0^L \sin^2 (kx) \, \mathrm{d}x = \left| A \right|^2 \frac{L}{2}$。

常數 $A$ 的值為

$\left| A \right| = \sqrt{\frac{2}{L}}$。(8)

常數 $A$ 可以是任何複數，只要絕對值等於$\sqrt{\frac{2}{L}}$；可是，這些不同值的 $A$ 都對應於同樣的物理狀態。所以，為了方便計算，選擇 $A=\sqrt{\frac{2}{L}}$。

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最後，將方程 (7)，(8) 代入方程 (3a)，(3b)。一維無限深方形阱問題的能量本徵方程與能量本徵值（能級）是

$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right)$。

$E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}$。

- 如同前面所述，此問題只容許量子化的能級。由於 $n\neq 0$，最低的能級，稱為零點能量，大於 0。這答案可以用不確定原理解釋。因為粒子束縛於有限的區域，位置變異數有上界。所以，粒子的動量的變異數大於 0，粒子必須擁有能量。這能量隨著阱寬的減小而增加。
- 很重要的一點是，雖然表達粒子量子態的能量本徵函數，其能量只能是離散能級譜中的一個能級。這並不能防止粒子擁有任意的能量，只要這能量大於零點能量。根據態疊加原理，粒子的量子態，可以是幾個能量本徵函數的疊加。當測量粒子的能量時，測量的答案，只可能是疊加的幾個能級中的一個能級。由於測量會造成波函數塌縮，不能對同一個粒子做多次的測量，而指望得到有意義的答案。必須假設準備了許多同樣的系統。對每一個系統內的粒子，做同樣的測量。雖然，每一次的測量的答案，只可能是疊加的幾個能級中的一個能級。所有答案的的平均值，是粒子的能量期望值。

### 啟發導引

能量本徵值的公式可以啟發地被推導出來。試想，兩個阱壁必定是波函數的波節。這意味著，阱寬必須剛好能夠容納半個波長的整數倍：

$n\frac{\lambda}{2} = L$。

其中，$\lambda$ 是波長，$n$ 是正值的整數。

應用德布羅意假說，粒子的動量 $p$ 是

$p = \frac{h}{\lambda} = \frac{h}{2L}n$。

代入聯繫能量與動量的經典公式，則可以得到系統的能量本徵值。

$E = \frac{p^2}{2m} = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}$。

## 二維阱

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一個粒子束縛於二維無限深方形阱內，阱寬在 $x$ 與 $y$ 方向，分別為 $L_x$，$L_y$。阱內位勢為 0，阱外位勢為無限大。粒子只能移動於束縛的方向（$x$ 與 $y$ 方向）。二維無限深方形阱的本徵函數 $\psi_{n_x,n_y}$ 與本徵值 $E_{n_x,n_y}$ 分別為

$$\psi_{n_x,n_y} = \sqrt{\frac{4}{L_x L_y}} \sin \left( \frac{n_x \pi x}{L_x} \right) \sin \left( \frac{n_y \pi y}{L_y} \right)$$

$$E_{n_x,n_y} = \frac{h^2}{8m} \left[ \left( \frac{n_x}{L_x} \right)^2 + \left( \frac{n_y}{L_y} \right)^2 \right]$$

其中，$n_x$ 與 $n_y$ 是正值的整數。

### 導引

在這二維的問題裏，粒子束縛於一個二維位勢阱內，在阱內，二維的解答方程與方程 (2) 類似，是一個二階偏微分方程：

$- \frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} \right) =E\psi$。

應用分離變數法。首先，假設 $\psi(x,\ y)$ 是兩個不相關的函數 $X(x)$ 與 $Y(y)$ 的乘積，$X(x)$ 只含有變數 $x$，$Y(y)$ 只含有變數 $y$：

$\psi(x,y) = X(x) Y(y)$。

將 $\psi(x,\ y)$ 的假設方程代入二維方程，則可得到

$- \frac{\hbar^2}{2m} \left( Y\frac{\partial^2X}{\partial x^2}+X\frac{\partial^2 Y}{\partial y^2} \right) =E X Y$。

將這方程兩邊都除以 $XY$，則可得到

$- \frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{X''}{X}+\frac{Y''}{Y} \right) =E$。

由於方程左邊圓括號內的兩個項目 $\frac{X''}{X}$、$\frac{Y''}{Y}$ 分別只跟 $x$、$y$ 有關，兩個項目分別都必須等於常數：

$- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{X''}{X} = E_x$。

$- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{Y''}{Y} = E_y$。

其中，$E_x$ 與 $E_y$ 都是常數，$E_x+E_y=E$。

這樣，可以得到兩個約化的一維薛丁格方程：

$- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2X}{d x^2} = E_x X$。

$- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2Y}{d y^2} = E_y Y$。

前面，已經解析了同樣形式的一維薛丁格方程（方程 (2)）。將那裡的答案移接到這裡。

$X_{n_x}=\sqrt{\frac{2}{L_x}} \sin \left( \frac{n_x \pi x}{L_x} \right)$。

$Y_{n_y}=\sqrt{\frac{2}{L_y}} \sin \left( \frac{n_y \pi y}{L_y} \right)$。

其中，整數 $n_x=1,\ 2,\ 3,\ \dots$，$n_y=1,\ 2,\ 3,\ \dots$。

將兩個方程合併，可以得到解答：

$\psi_{n_x,n_y} = \sqrt{\frac{4}{L_x L_y}} \sin \left( \frac{n_x \pi x}{L_x} \right) \sin \left( \frac{n_y \pi y}{L_y} \right)$。

$E_{n_x,n_y} = \frac{h^2}{8m} \left[ \left( \frac{n_x}{L_x} \right)^2 + \left( \frac{n_y}{L_y} \right)^2 \right]$。

## 三維阱

同樣地，應用分離變數法於三維阱問題，可以得到能量本徵函數與能量本徵值：

$\psi_{n_x,n_y,n_z} = \sqrt{\frac{8}{L_x L_y L_z}} \sin \left( \frac{n_x \pi x}{L_x} \right) \sin \left( \frac{n_y \pi y}{L_y} \right) \sin \left( \frac{n_z \pi z}{L_z} \right)$。

$E_{n_x,n_y,n_z} = \frac{h^2}{8m} \left[ \left( \frac{n_x}{L_x} \right)^2 + \left( \frac{n_y}{L_y} \right)^2 + \left( \frac{n_z}{L_z} \right)^2 \right]$。

其中，$n_i=1,\ 2,\ 3,\ \ldots$。

當兩個以上的阱寬相等的時候，對應於同樣的總能量，會存在有多個不同的波函數。這狀況稱為簡併，是由物理系統的對稱性造成的。例如，假設 一個三維阱的 $L_x=L_y$，則 $n_x=2$，$n_y=1$，$n_z=1$ 的波函數與 $n_x=1$，$n_y=2$，$n_z=1$ 的波函數，兩個波函數的能量相等。由於在這物理系統裏，有兩個阱寬相等，這物理系統對稱於繞著 z-軸的 $90^{\circ}$ 旋轉。

## 參閱

- 態疊加原理
- 自由粒子
- 有限深方形阱
- 有限位勢壘
- 球對稱位勢
- Delta 位勢阱
- Delta 位勢壘
- 量子穿隧效應
- 盒中氣體
- 隨機電動力學