馮·曼戈爾特函數

馮·曼戈爾特函數（Von Mangoldt function）$\Lambda(n)$是一個算術函數，它出現在質數定理的研究中，以提出的19世紀數學家漢斯·馮·曼戈爾特命名。這個函數是算術函數中一個既非積性函數也非加性函數的例子。

## 定義

若$n$是質數冪，$\Lambda(n)$則等於該個質數的自然對數，即$\Lambda(p^k) = \log(p)$。若$n$不是質數冪，$\Lambda(n)=0$。

以公式表示，可記如下：

$$\Lambda(n) = \begin{cases} \log p & \text{if }n=p^k \text{ for some prime } p \text{ and integer } k \ge 1, \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases}$$

$\Lambda(n)$對最初九個正整數的值分別如下：

$$0 , \log 2 , \log 3 , \log 2 , \log 5 , 0 , \log 7 , \log 2 , \log 3,\dots$$

這些數值和有關。

## 性質

這個函數滿足以下恆等式：

$$\sum_{d|n} \Lambda(n) = \log(n)$$

這和遍歷所有可整除n的正整數d，這點可由算術基本定理證明，而這是因為就這函數的定義而言，不是質數的冪的值都為零之故。像例如說，設n = 12 = 22 × 3，則有

$$\begin{align} \sum_{d \mid 12} \Lambda(d) &= \Lambda(1) + \Lambda(2) + \Lambda(3) + \Lambda(4) + \Lambda(6) + \Lambda(12) \\ &= \Lambda(1) + \Lambda(2) + \Lambda(3) + \Lambda \left (2^2 \right ) + \Lambda(2 \times 3) + \Lambda \left (2^2 \times 3 \right) \\ &= 0 + \log(2) + \log(3) + \log(2) + 0 + 0 \\ &=\log (2 \times 3 \times 2) \\ &= \log(12). \end{align}$$

對這函數套用默比烏斯反演公式，可得以下恆等式：

$\Lambda(n) = \mu * \log = \sum_{d|n} \mu(d) \log(\frac{n}{d})$ （參見狄利克雷卷積）

此外有

$$\Lambda(n) \log(n) + \sum_{d|n} \Lambda(d) \Lambda(\frac{n}{d}) = \sum_{d|n} \mu(d) \log^2 \frac{n}{d}$$

其中$\mu(d)$是默比烏斯函數。

另外利用對數的乘法規則，可得

$$\Lambda (n) = - \sum_{d \mid n} \mu(d) \log(d)$$

對於任意的$x\ge 1$而言，有

$$\sum_{n\le x}\frac{\Lambda(n)}{n}=\log x+O(1).$$

此外，對於和馮·曼戈爾特函數密切相關的切比雪夫第二函數$\psi(x)$，有正常數c1和c2，使得對於任意的$x\ge 1$而言，有

$$\psi(x)\le c_1x,$$

且對於任意大的x而言，有

$$\psi(x)\ge c_2x,$$

## 狄利克雷級數

馮·曼戈爾特函數對狄利克雷級數的理論，尤其是黎曼ζ函數的理論扮演了重要的角色。以下是一個相關的例子：

$$\log \zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}\,\frac{1}{n^s}, \qquad \text{Re}(s) > 1.$$

其對數微分則為

$$\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}.$$

上述例子是此函數與狄利克雷級數一般關係的特例。實際上，假如對一個在Re(s) > σ0這範圍收斂的完全積性函數f(n)而言，有以下關係：

$$F(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}$$

那麼其對數微分在Re(s) > σ0這範圍收斂：

$$\frac {F^\prime(s)}{F(s)} = - \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\Lambda(n)}{n^s}$$

## 切比雪夫函數

切比雪夫第二函數$\psi(x)$是馮·曼戈爾特函數的和：

$$\psi(x) = \sum_{p^k\le x}\log p=\sum_{n \leq x} \Lambda(n) \ .$$

切比雪夫函數最初由帕夫努季·利沃維奇·切比雪夫引入，他以此函數證明說質數計數函數$\pi(x)$的大小量級為$x/\log x$；而馮·曼戈爾特函數則對$\psi(x)$提供了一個精確的、在黎曼ζ函數的非平凡零點上的和的公式，而這點是質數定理的第一個證明的重要部分。

藉由套用佩龍公式，可得切比雪夫函數的梅林變換：

$$\frac{\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = - s\int_1^\infty \frac{\psi(x)}{x^{s+1}}\,dx$$

這變換對於任意的$\operatorname{Re}(s)>1$皆成立。

## 指數級數

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哈代及李特爾伍德曾研究以下級數在y → 0+的行為：

$$F(y)=\sum_{n=2}^\infty \left(\Lambda(n)-1\right) e^{-ny}$$

在假定黎曼猜想成立的狀況下，他們證明了以下關係式：

$$F(y)=O\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)\quad \text{且}\quad F(y)=\Omega_\pm\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)$$

特別地，這函數是個發散性的震盪函數：存在一個常數K > 0使得下列兩個不等式對0的無限多個鄰域皆成立：

$$F(y)< -\frac{K}{\sqrt{y}}$$

$$F(z)> \frac{K}{\sqrt{z}}$$

右圖顯示了這函數的此種行為開始時在數值上並不顯著：在對這級數加總到一億項之前，這震盪並不明顯，且只有在y < 10−5時此震盪才變得可見。

## 李斯平均

馮·曼戈爾特函數的李斯平均如次：

$$\begin{align} \sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta \Lambda(n) &= -\frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(s)}{\Gamma(1+\delta+s)} \frac{\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} \lambda^s ds \\ &= \frac{\lambda}{1+\delta} + \sum_\rho \frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(\rho)}{\Gamma(1+\delta+\rho)} + \sum_n c_n \lambda^{-n}. \end{align}$$

其中λ和δ都是其李斯平均的特徵數。在此必須有c > 1。這和當中的ρ是黎曼ζ函數的零點，也就是這和乃是在將黎曼ζ函數的各零點代入$\frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(\rho)}{\Gamma(1+\delta+\rho)}$後所得的值的和。

此外可證明說對λ > 1而言，以下級數收斂：

$$\sum_n c_n \lambda^{-n}\,$$

## 使用黎曼ζ函數零點的估計

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馮·曼戈爾特函數的總和函數，也就是第二切比雪夫函數$\psi(x)$的一個明確公式如下：

$$\psi(x)=x-\sum_{\zeta(\rho)=0}\frac{x^\rho}\rho -\log(2\pi).$$

假若將實際上就是複偶數的平凡零點分離開來，可得

$$\psi(x)=x-\sum_{\zeta(\rho)=0,\ 0<\Re(\rho)<1}\frac{x^\rho}\rho -\log(2\pi)-\frac12\log(1-x^{-2})$$

注意這總和並非絕對收斂的，因此求零點時依其虛部的絕對值大小順序進行求值。

在另一方面，艾德蒙·蘭道在1911年證明了對於任意固定的$t > 1$而言有以下等式：

$$\sum_{0<\gamma \leq T} t^\rho=\frac{-T}{2 \pi} \Lambda(t)+\mathcal{O}(\log T)$$

其中$\rho = \beta + i\gamma$表示黎曼ζ函數的非平凡零點。

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因此若用黎曼的表記則對黎曼ζ函數非平凡零點而言，有以下總和：

$$\lim _{T \rightarrow+\infty} \frac{1}{T} \sum_{0<\gamma \leq T} \cos (\alpha \log t)=-\frac{\Lambda(t)}{2 \pi \sqrt{t}}$$

而這函數的峰值位於質數和質數冪之處。

馮·曼戈爾特函數的傅立葉變換給出的譜的尖端等於黎曼ζ函數非平凡零點的虛部。這有時又稱二元性。

## 廣義馮·曼戈爾特函數

以下函數是馮·曼戈爾特函數的推廣：

$$\Lambda_k(n)=\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)\log^k(n/d)$$

其中$\mu$是默比烏斯函數；而$k$則是一個正整數。

在這定義下，$\Lambda_1$就是原版的馮·曼戈爾特函數$\Lambda$。

## 參考

- Tom Apostol, Introduction to analytic number theory, Springer-Verlag, New York, 1976

## 外部連結

- Allan Gut, Some remarks on the Riemann zeta distribution (2005)
- Heike, How plot Riemann zeta zero spectrum in Mathematica? (2012)