判別式

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判別式是代數學中的概念，它可以推斷出一個實係數或復係數多項式的根的屬性。

當多項式的係數不是實數或複數域時，同樣有判別式的概念。判別式總是係數域中的元素。這時，判別式為零若且唯若多項式在它的分裂域中有重根。判別式的通常形式為：

$$a_n^{2n-2}\prod_{i<j}{(r_i-r_j)^2}$$

其中的$a_n$是多項式的最高次項係數，$r_1, ..., r_n$是多項式在某個分裂域中的根（如有重根的按重數重複排列）。

判別式的概念也被推廣到了多項式以外的其它代數結構，比如說圓錐曲線、二次型和代數數域中。在代數數論中，判別式與所謂的「分歧」的概念緊密相關。實際上，愈為幾何的分歧類型對應著愈為抽象的判別式類型，因此在許多方面判別式都是一個中心概念。判別式在本質上表現為相應行列式的計算。

## 定義

### 二次方程的判別式

最簡單的判別式情形出現在二次多項式方程的求解中。假設有二次多項式方程$ax^2+bx+c\,$，其中係數$a,b,c$為實數，則它的判別式定義為：

$$\Delta=b^2-4ac\,$$

判別式也是一個實數。如果設方程的兩個根為$r_1$和$r_2$，那麼根據二次方程的求根公式，兩個根可以表示為：

$$r_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad \; \; r_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}.$$

方程的根與判別式的關係為：

$$\Delta = a^2 (r_1- r_2)^2.$$

兩個根都是實數，若且唯若判別式大於等於零。若且唯若兩根相等時，判別式等於零。如果判別式小於零，則兩根是共軛的複數。

### 三次方程的判別式

- 一般三次多項式$ax^3+bx^2+cx+d\,$的判別式是

$$\Delta=b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\,$$

- 首項為一元，二次項系數為零的三次方程$x^3+px+q\,$的判別式是：

$$\Delta=-4p^3-27q^2\,$$

### 四次方程的判別式

- 四次多項式$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\,$的判別式是：

$$\begin{align}\Delta =&b^2c^2d^2-4b^3d^3-4ac^3d^2+18abcd^3\\ &-27a^2d^4+256a^3e^3-4b^2c^3e+18b^3cde\\ &+16ac^4e-80abc^2de-6ab^2d^2e+144a^2cd^2e\\ &-27b^4e^2+144ab^2ce^2-128a^2c^2e^2-192a^2bde^2 \,\end{align}$$

## 二次判別式

二次多項式$P(x)=ax^2+bx+c\,$的判別式是$D=b^2-4ac\,$。在一元二次方程的求解中，判別式用來判斷方程根的情況，並出現在根的表達式中。

- 如果$D>0\,$，那麼$P(x)\,$有兩個相異實根$x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$，即$P(x)\,$的圖像穿過$x\,$軸兩次。
- 如果$D=0\,$，那麼$P(x)\,$有兩個相等實根$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\,$，$P(x)\,$的圖像與$x\,$軸相切。
- 如果$D<0\,$，那麼$P(x)\,$沒有實根，即$P(x)\,$的圖像與$x\,$軸沒有交點。

## 一般多項式的判別式

對於一般的一個多項式

$p(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_1 x+a_0$。

其判別式等於（差一個係數）以下的$(2n-1)\times(2n-1)\,$的矩陣的行列式（見西爾維斯特矩陣）：

$$\left[\begin{matrix} <pre> & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & 0 \ldots & \ldots & 0 \\ & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & 0 \ldots & 0 \\ & \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\ & 0 & \ldots\ & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 \\ & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & a_1 & 0 & \ldots &\ldots & 0 \\ & 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & a_1 & 0 & \ldots & 0 \\ & \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\ & 0 & 0 & \ldots & 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2}& \ldots\ & a_1 \\ </pre> \end{matrix}\right].$$

這個矩陣的行列式稱為$p(x)\,$和$p'(x)\,$的結式，記為$R(p,p')\,$。$p(x)\,$的判別式$D(p)\,$由以下公式給出：

$D(p)=(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}\frac{1}{a_n}R(p,p')\,$.

例如，在$n= 4\,$的情況下，以上的行列式是：

$$\begin{vmatrix} <pre> & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 & 0 \\ & 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 \\ & 0 & 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 & 0 \\ & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 \\ & 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1& 0 \\ & 0 & 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 \\ </pre> \end{vmatrix}$$

這個四次多項式的判別式就是這個行列式除以$a_4\,$。

作為等價條件，多項式的判別式等於：

$$a_n^{2n-2}\prod_{i<j}{(r_i-r_j)^2}$$

其中$r_1,\cdots,r_n\,$是多項式$p(x)\,$的複根（重根按重數計算）：

$$\begin{matrix}p(x)&=&a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0\\ &=&a_n(x-r_1)(x-r_2)\ldots (x-r_n)\end{matrix}$$

在這個表達式中可以清楚地看到$p\,$有重根若且唯若判別式為零。

多項式的判別式可以在任意的域中定義，定義方式一樣。帶有根$r_i\,$的表達式仍然有效，只是根要在係數域的某個分裂域中取。

## 圓錐曲線的判別式

對於以下多項式所定義的圓錐曲線：

$$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$$

它的判別式為：

$$b^2-4ac$$

它決定了圓錐曲線的形狀。如果判別式小於0，則是橢圓或圓。如果判別式等於0，則是一條拋物線。如果大於0，則是雙曲線。這個公式不適用於退化的情形（當這個多項式可以因式分解時）。

## 二次型的判別式

判別式的概念可以推廣到任意特徵不為2的域$K$上的二次型$Q$上。一個化簡後的二次型可以表示為一系列的平方和：

$$Q = \sum_{i=1}^k a_{i} L_{i}^2$$

其中$L_i$是$n$個變量的線性組合。這時可以定義$Q$的判別式為所有$a_i$的乘積。另外一個定義是$Q$所對應的矩陣的行列式。