有限深方形阱

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在量子力學裏，有限深方形阱，又稱為有限深位勢阱，是無限深方形阱的延伸。有限深方形阱是一個阱內位勢為0，阱外位勢為有限值的位勢阱。關於一個或多個粒子，在這種位勢作用中的量子行為的問題，稱為有限深位勢阱問題。與無限深方形阱問題不同的是，在阱外找到粒子的機率大於0。

在經典力學裏，假若，粒子的能量小於阱壁的位勢，則粒子只能移動於阱內，無法存在於阱外。截然不同地，在量子力學裏，雖然粒子的能量小於阱壁的位勢，在阱外找到粒子的機率大於0。

## 一維阱定義

一維有限深方形阱的阱寬為$L\,\!$，左邊阱壁與右邊阱壁的位置分別為$x= - L/2\,\!$與$x=L/2\,\!$。阱內位勢為0。在阱壁，位勢突然升高為$V_0\,\!$。阱外位勢保持為$V_0\,\!$。這一維阱將整個一維空間分為三個區域：阱左邊，阱內，與阱右邊。在每一個區域內，對應著不同的位勢，描述粒子的量子行為的波函數$\psi\,\!$也不同，標記為：

$\psi=\psi_1\,\!$：阱左邊，$x< - L/2\,\!$（阱外區域）。

$\psi=\psi_2\,\!$：阱內，$- L/2<x<L/2\,\!$（阱內區域）。

$\psi=\psi_3\,\!$：阱右邊，$x>L/2\,\!$（阱外區域）。

這些波函數，都必須滿足，一維不含時間的薛丁格方程式：

$- \frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) \psi = E \psi\,\!$；(1)

其中，$\hbar\,\!$是約化普朗克常數，$m\,\!$是粒子質量，$x\,\!$是粒子位置，$V(x)\,\!$是位勢，$E\,\!$是能量。

### 阱內區域

在阱內，位勢$V(x) = 0\,\!$，方程簡化為：

$- \frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi_2}{d x^2} = E \psi_2 \,\!$。(2)

設定波數$k\,\!$為

$k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\,\!$。(3)

代入方程(2)：

$\frac{d^2 \psi_2}{d x^2} = - k^2 \psi_2 \,\!$。

這是一個經過頗多研究的二階常微分方程。一般解本徵函數$\psi_2(x)\,\!$是正弦函數與餘弦函數的線性組合：

$\psi_2 = A \sin(kx) + B \cos(kx)\quad\,\!$。

其中，$A\,\!$與$B\,\!$都是複值常數，由邊界條件而決定。

### 阱外區域

在阱外，位勢$V(x) =V_0>0\,\!$，薛丁格方程為：

$- \frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi_1}{d x^2} =( E - V_0) \psi_1 \,\!$。

視能量是否大於位勢而定，有兩種不同的解答。一種是自由粒子解答，另一種是束縛粒子解答。

## 束縛態

假若，粒子的能量小於位勢：$E < V_0 \,\!$，則這粒子束縛於位勢阱內．稱這粒子的量子態為束縛態（bound state）。設定

$\alpha = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar}\,\!$。(4)

代入方程(1)：

$\frac{d^2 \psi_1}{d x^2} = \alpha^2 \psi_1 \,\!$。

一般解是指數函數。所以，阱左邊區域與阱右邊區域的波函數分別是

$\psi_1 = Fe^{ - \alpha x}+ Ge^{ \alpha x}\,\!$。

$\psi_3 = He^{ - \alpha x}+ Ie^{ \alpha x}\,\!$。

其中，$F\,\!$，$G\,\!$，$H\,\!$，$I\,\!$都是常數。

從正確的邊界條件，可以找到常數$A\,\!$，$B\,\!$，$F\,\!$，$G\,\!$，$H\,\!$，$I\,\!$的值。

### 束縛態的波函數

薛丁格方程的解答必須具有連續性與連續可微性。這些要求是前面導引出的微分方程的邊界條件。

總結前面導引出的結果，波函數$\psi\,\!$的形式為：

$\psi_1=Fe^{ - \alpha x}+ Ge^{ \alpha x}\,\!$：阱左邊，$x< - L/2\,\!$（阱外區域）。

$\psi_2=A \sin(kx) + B \cos(kx)\,\!$：阱內，$- L/2<x<L/2\,\!$（阱內區域）。

$\psi_3=He^{ - \alpha x}+ Ie^{ \alpha x}\,\!$：阱右邊，$x>L/2\,\!$（阱外區域）。

當$x\,\!$趨向負無窮，包含$F\,\!$的項目趨向無窮。類似地，當$x\,\!$趨向無窮，包含$I\,\!$的項目趨向無窮。可是，波函數在任何$x\,\!$都必須是有限值。因此，必須設定$F=I=0\,\!$。阱外區域的波函數變為

$\psi_1(x) = Ge^{ \alpha x} \,\!$。

$\psi_3(x) = He^{- \alpha x} \,\!$。

在阱左邊，隨著$x\,\!$越小，波函數$\psi_1(x)\,\!$呈指數遞減。而在阱右邊，隨著$x\,\!$越大，波函數$\psi_3(x)\,\!$呈指數遞減。這是合理的。這樣，波函數才能夠歸一化。

由於有限深方形阱對稱於$x=0\,\!$，可以利用這對稱性來省略計算步驟。波函數不是奇函數就是偶函數。

### 奇的波函數

假若，波函數$\psi\,\!$是奇函數，則

$\psi_2=A \sin(kx)\,\!$。

$G= - H\,\!$。

$\psi_1( - x) = - \psi_3(x) ,\qquad\qquad x\ge 0\,\!$。

由於整個波函數$\psi \,\!$必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁，兩個波函數的函數值與導數值都必須相配：

$$\psi_1( - L/2) = \psi_2( - L/2) \,\!$$

$$\left. \frac{d\psi_1}{dx}\right|_{x= - L/2} =\left. \frac{d\psi_2}{dx}\right|_{x= - L/2} \,\!$$

將波函數的公式代入：

$G e^{-\alpha L / 2} = - A \sin(k L / 2)\,\!$，(5)

$\alpha G e^{- \alpha L / 2} = k A \cos(k L / 2)\,\!$。(6)

方程(6)除以方程(5)，可以得到：

$\alpha = - k \cot(k L / 2)\,\!$。

從方程(3)與(4)，可以求得常數$\alpha\,\!$與波數$k\,\!$的關係：

$\alpha^2=\frac{2mV_0}{\hbar^2} - k^2\,\!$。

所以，波數是離散的，必須遵守以下方程：

$k^2=\frac{2mV_0}{\hbar^2} \sin^2(k L / 2)\,\!$。

這也造成了離散的能量。

### 偶的波函數

假若，波函數$\psi\,\!$是偶函數，則

$\psi_2=A \cos(kx)\,\!$。

$G= H\,\!$。

$\psi_1( - x) = \psi_3(x) ,\qquad\qquad x\ge 0\,\!$。

由於整個波函數$\psi \,\!$必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁，兩個波函數的函數值與導數值都必須相配：

$$\psi_1( - L/2) = \psi_2( - L/2) \,\!$$

$$\left. \frac{d\psi_1}{dx}\right|_{x= - L/2} =\left. \frac{d\psi_2}{dx}\right|_{x= - L/2} \,\!$$

將波函數的公式代入：

$G e^{-\alpha L / 2} = A \cos(k L / 2)\,\!$，(7)

$\alpha G e^{- \alpha L / 2} = k A \sin(k L / 2)\,\!$。(8)

方程(8)除以方程(7)，可以得到：

$\alpha = k \tan(k L / 2)\,\!$。

從方程(3)與(4)，可以求得常數$\alpha\,\!$與波數$k\,\!$的關係：

$\alpha^2=\frac{2mV_0}{\hbar^2} - k^2\,\!$。

所以，波數是離散的，必須遵守以下方程：

$k^2=\frac{2mV_0}{\hbar^2} \cos^2(k L / 2)\,\!$。

這也造成了離散的能量。

## 散射態

假若，一個粒子的能量大於位勢，$E > V_0 \,\!$，則這粒子不會被束縛於位勢阱內。因此，在這裏，粒子的量子行為主要是由位勢阱造成的散射（scattering）行為。稱這粒子的量子態為散射態。稱這不被束縛的粒子為自由粒子。更強版的定義還要求位勢為常數。假若，一維空間分為幾個區域，只有在每個區域內，位勢為常數；而在區域與區域之間，位勢不相等，則稱此粒子為半自由粒子。自由粒子和半自由粒子的能量大於位勢，$E > V_0 \,\!$，不會被束縛於位勢阱內，能量不是離散能量譜的特殊值，而是大於或等於$V_0\,\!$的任意值。波數$\kappa\,\!$，用方程式表達為$\kappa=\frac{\sqrt{2m(E - V_0)}}{\hbar}\,\!$，也不是離散量。代入方程(1)：

$\frac{d^2 \psi_1}{d x^2} = - \kappa^2 \psi_1 \,\!$。

$\frac{d^2 \psi_3}{d x^2} = - \kappa^2 \psi_3 \,\!$。

解答形式與阱內區域的解答形式相同：

$\psi_1 = C_1 \sin(\kappa x) + D_1 \cos(\kappa x)\,\!$。

$\psi_3 = C_3 \sin(\kappa x) + D_3 \cos(\kappa x)\,\!$。

其中，$C_1\,\!$、$D_1\,\!$、$C_3\,\!$、$D_3\,\!$，都是常數。

## 參閱

- 自由粒子
- 無限深方形阱
- 有限位勢壘
- 球對稱位勢
- Delta位勢阱
- Delta位勢壘
- 量子穿隧效應
- 盒中氣體