超現實數

在數學上，超現實數系統（Surreal Numbers）是一種連續統，其中含有實數以及無窮量，即無窮大（小）量，其絕對值大（小）於任何正實數。超現實數與實數有許多共同性質，包括其全序關係「≤」以及通常的算術運算（加減乘除）；也因此，它們構成了有序域但當初在使用馮諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論來建立超現實數理論時，全體超現實數並不構成集合，而只構成真類，因此使用「域」（field）此一術語看來不甚精確；在嚴格區分集合和真類顯然重要時，有些作者會使用首字母大寫的「Field」或全大寫的「FIELD」來指稱那些其實是真類，但又具有域的算術性質的對象。暫時可稱作「琙」（音同域）或「真類域」。如想得到一個真正的、作為集合的域，可以把構造限制在格羅滕迪克宇集中，這樣的話就得到一個集合，其基數為一種強不可達基數；又或者使用另一種形式的集合論，在其中，任何超限遞歸構造總要在可數序數（比如 $\varepsilon_0$ ,即艾普塞朗數）處停下。在嚴格的集合論意義下，超現實數是可能出現的有序域中最大的；其他的有序域，如有理數域、實數域、有理函數域、列維-奇維塔域、上超實數和超實數域等，全都是超現實數域的子域。超現實數域也包含可達到的、在集合論裡構造過的所有超限序數。

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超現實數是由約翰·何頓·康威所定義和構造的。這個名稱早在1974年便已由高德納在他的書《研究之美》Surreal number正式中文譯名尚未出現，但英語Surreal一詞與Surrealism聯繫起來的話，在中文裡後者譯為「超現實主義」，因此「超現實數」便作為surreal number的可能譯名。中就被引進了。《研究之美》是一部中短篇數學小說，而值得一提的是，這種把新的數學概念在一部小說中提出來的情形是非常少有的。在這部由對話體寫成的著作裡，高德納造了「surreal number」一詞，用來指稱康威起初只叫做「number」（數）的這個新概念。康威樂於採用新的名稱，後來在他1976年的著作《論數字與博弈》（On Numbers and Games）中就描述了超現實數的概念並使用它來進行了一些博弈分析。

## 概述

康威使用遞歸構造了超現實數，其中每個數都是兩個數集構成的序對，記為 $\{ L | R \}$。這兩個集合要求 $L$ 里的每個元素都嚴格小於每個 $R$ 里的元素。不同的序對可能表達同樣的數字：$\{1|3\}=\left\{\frac 32|\frac 52\right\}=2$。

### 整數及二進分數

讓我們先來看幾個簡單的例子。

$$\{|\}=0$$

$$\{0|\}=1$$

$$\{1|\}=2$$

$$\{|0\}=-1$$

$$\{|-1\}=-2$$

因此整數都是超現實數。（以上幾行是定義而非等式。）

$$\{0|1\}=\frac 12$$

$$\left\{0|\frac 12\right\}=\frac 14$$

$$\left\{\frac 12|1\right\}=\frac 34$$

至此我們可以通過超現實數定義二進分數（分母為2的冪次的分數）。

### 其他實數

為了定義更多的實數，我們可以將使用無限的左右集合：$\frac13 = \{0, \frac14, \frac5{16}, \ldots | \frac12, \frac38, \ldots\}$，$\pi = \{ 3, \frac{25}{8},\frac{201}{64},\ldots | 4, \frac{7}{2}, \frac{13}{4}, \frac{51}{16},\ldots \}$，事實上可以同樣地使用二進位展開的方法定義出所有實數。

### 無窮數

根據歸納法，我們可以構造出 $\omega=\{0,1,2,3\ldots|\}$，$\omega-1=\{0,1,2,3\ldots|\omega\}$ 等無窮大的數，$\frac 1\omega=\{0|1,\frac 12,\frac 14,\frac 18\ldots\}$ 等無窮小數。以上超現實數皆不屬於實數。

### 更多的數

我們定義 $P_0 = {0}$。

若 $x=\{L|R\},\ L,R\subset P_i$ 且 $x\not\in P_i$，那麼 $x\in P_{i+1}$，這在直觀上等價於「$x$是在第$i$天中出生的」。

那麼我們可以觀察發現：

- $$1,-1\in P_1$$
- $$2,-2,\frac 12, -\frac 12\in P_2$$
- $$\pi, \omega, \frac 13\in P_\omega$$
- $$\omega-1, \omega+1 \in P_{\omega+1}$$
- $\omega+\pi \in P_{2\omega}$，其中$2\omega=\{0,1,2,\ldots,\omega+1,\omega+2,\ldots|\}$
- $$\forall i \in \mathbb{Ord}: i\in P_i$$

我們將超現實數集合稱作 $\mathbb{No}$。

## 序關係

給定 $x=\{X_L|X_R\},\ y=\{Y_L|Y_R\}$，我們（遞歸地）定義 $x\leq y$ 若且唯若以下兩命題同時成立：

- 沒有一個 $x_L\in X_L$ 符合 $y \leq x_L$。
- 沒有一個 $y_R\in Y_R$ 符合 $y_R\leq x$。

那麼可以自然地定義 $x<y,x>y,x=y,x\geq y$。可以證明，這樣的二元關係是一個全序關係。

我們分別將 $x<0, x>0, x\leq 0, x\geq 0$ 稱為 $x$ 負、 $x$ 正、 $x$ 非正、 $x$ 非負。

我們定義 $x\|y$ 表示 $x\leq y$ 與 $y\leq x$ 同時不成立。事實上這樣的二元關係在超現實數中不可能存在，但是這個關係會在之後的博弈章節出現。

## 運算

### 加法

我們定義超現實數之間的加法為 $x+y=\left\{X_L+y\cup x+Y_L | X_R+y\cup x+Y_R\right\}$，其中 $X+y=\left\{ x + y | x \in X\right\}, x+Y=\left\{x+y|y\in Y\right\}$。

#### 加法逆元

我們定義負號（加法逆元）為 $-x=\left\{-X_R|-X_L\right\}$，其中 $-X=\left\{-x|x\in X\right\}$。

可以驗證這兩個運算構成了（真類上的）阿貝爾群。

### 乘法

我們定義乘法運算為$x y = \left\{ (X_Ly+xY_L-X_LY_L) \cup (X_Ry+xY_R-X_RY_R)|(X_Ly+xY_R-X_LY_R) \cup (X_Ry+xY_L-X_RY_L) \right\}$，其中 $XY=\{xy|x\in X,y\in Y\},\ xY=\{x\}Y,\ Xy=X\{y\}$。

#### 乘法逆元

我們定義（正數的）乘法逆元為$\frac 1y = \Bigg \{0, \frac{1+(y^R-y)(\frac1y)^L}{y^R}, \frac{1+(y^L-y)(\frac1y)^R}{y^L} \Bigg | \frac{1+(y^L-y)(\frac1y)^L}{y^L}, \frac{1+(y^R-y)(\frac1y)^R}{y^R} \Bigg \}$，這樣除法就是 $\frac{x}{y}=x\left(\frac{1}{y}\right)$。我們可以發現這個定義是遞歸的，但是實際上這個數字是良定義的：我們取$y = 3 = \{2|\}$ 那麼 $\frac 13$ 會有一個 $0$ 作為左項，導致了$\frac{1+(2-3)0}2=1/2$ 會是一個右項。這又意味著 $\frac{1+(2-3)\left(\frac12\right)}2=\frac14$ 作為左項、$\frac{1+(2-3)\left(\frac14\right)}2 = \frac 38$ 作為右項，以此類推，所以我們有$\frac13 = \{0, \frac14, \frac5{16}, \ldots | \frac12, \frac38, \ldots\}$ （考慮兩邊的序列在實數中分別收斂到 $\frac 13$，因此是相容的）。

對於負數，我們定義 $\frac 1x= -\frac1{-x}\quad (x<0)$。

## 子集對應

有理數、實數、序數分別是超現實數的子集。

### 有理數

所有二進分數都可以定義為超現實數，而所有分數都可以表示為兩個整數之比，因此所有有理數都可以表示為超現實數。

### 實數

在定義出了有理數之後，使用戴德金分割可以立刻將實數映射到超現實數中。

假設$x\in \mathbb R, x=A|A'$，其中 $A, A' \subset \mathbb{Q}$，那麼立刻可知存在 $X\in \mathbb{No}, X=\left\{f(A) | f(B)\right\}$ 是 $x$ 的一個超現實數表示，其中 $f:\mathbb Q \to \mathbb {No}$ 是有理數到超現實數的域同態。

### 序數

我們將所有序數定義為小於它的序數構成的集合。所有序數的全體記為$\mathbb{Ord}$，那麼我們有：

- $$f:\mathbb{Ord}\to \mathbb {No},\ f(X)=\left\{f(x), x\in X|\right\}$$

這樣的同態可以保持序關係的結構，但是並不能保證算術的一一對應，比如 $\omega-1$ 這一式子的值在序數中的結果是 $\omega$，而在超現實數中則是 $\{0,1,2,\ldots|\omega\}$.

## 博弈

如果去除超現實數定義中對所有 $L<R$ 的約定，那麼這樣（遞歸）定義出來的真類被稱做遊戲。對其仍然可以（一模一樣的）定義加法、加法逆元以及比較。

顯然，所有的超現實數都是遊戲，但並非所有遊戲都是超現實數，例如 $\star=\{0|0\}$ 就不是，其滿足 $\star \| 0$。

可以發現，所有的遊戲都體現了一個兩人輪流、確定、公開的博弈遊戲，其中左集合表示第一位玩家（下稱左玩家）可以走到的局面，右集合則表示第二位玩家（下稱右玩家）的選擇，不能操作者負。

兩個遊戲的和的意義就是同時進行兩個遊戲，而每個玩家選擇其中一個進行操作，不能操作者負。

我們可以發現，這個遊戲的勝負取決於 $G$ 和 $0$ 的相對關係。

- 若 $G=0$，則後手必勝。
- 若 $G>0$，則左玩家必勝。
- 若 $G<0$，則右玩家必勝。
- 若 $G\|0$，則先手必勝（fuzzy game）。

有以下這些特殊的遊戲：

- $$\star=\{0|0\}$$
- $$\uparrow=\{0|\star\},\ \downarrow=\{\star|0\}$$
- $$\pm 1=\{1|-1\}$$

可以發現，關於他們有這麼幾個性質：

- $$\star \| 0$$
- $$\forall i: -1\leq i \leq 1 \implies \pm 1 \| i$$
- $\forall x\in \mathbb{No}, x>0:-x<\downarrow<0<\uparrow<x$ （比所有超現實數更接近0）
- $$\star+\star=\uparrow+\downarrow=0$$
- $$(\uparrow+\star)\|0,\ \uparrow+\uparrow+\star>0$$

可以用於分析複雜的遊戲。

## 暫譯術語

- 超現實數（Surreal）
- 無窮量（Infinitesimal）
- 格羅滕迪克宇集