方根

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在數學中，一數$b$為數$a$的$n$次方根，則$b^n=a$。在提及實數$a$的$n$次方根的時候，若指的是此數的主$n$次方根，則可以用根號（$\sqrt{\color{white} t}$）表示成$\sqrt[n]{a}$。例如：1024的主10次方根為2，就可以記作$\sqrt[10]{1024}=2$。當$n=2$時，則$n$可以省略。定義實數$a$的主$n$次方根為$a$的$n$次方根，且具有與$a$相同的正負號的唯一實數$b$。在$n$是偶數時，負數沒有主$n$次方根。習慣上，將2次方根叫做平方根，將3次方根叫做立方根。

方根也是冪的分數指數，即數$b$為數$a$的$\frac{1}{n}$次方：

$$b=\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$$

## 符號史

最早的根號「√」源於字母「r」的變形（出自拉丁語latus的首字母，表示「邊長」），沒有線括號（即被開方數上的橫線），後來數學家笛卡爾給其加上線括號，但與前面的方根符號是分開的，因此在複雜的式子顯得很亂。直至18世紀中葉，數學家盧貝將前面的方根符號與線括號一筆寫成，並將根指數寫在根號的左上角，以表示高次方根（當根指數為2時，省略不寫。）。形成了現在所熟悉的開方運算符號$\sqrt{\color{white} x}$。

考慮在電腦中的輸入問題，有時也可以使用sqrt(a,b)來表示a的b次方根。

## 基本運算

帶有根號的運算可由如下公式推導而得:

$$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \qquad a \ge 0, b \ge 0$$

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \qquad a \ge 0, b > 0$$

$$\sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m = a^{\frac{m}{n}},$$

這裡的a和b是正數。

對於所有的非零複數$a$，有$n$個不同的複數$b$使得$b^n=a$，所以符號$\sqrt[n]{a}$就會出現歧義（通常這樣寫是取$n$個值當中主幅角最小的）。$n$次單位根是特別重要的。

當一個數從根號形式變換到冪形式，冪的規則仍適用（即使對分數冪），也就是

$$a^m a^n = a^{m+n}$$

$$\left({\frac{a}{b}}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}$$

$$\left(a^m\right)^n = a^{mn}$$

例如:

$$\sqrt[3]{a^5}\sqrt[5]{a^4} = a^{\frac{5}{3}} a^{\frac{4}{5}} = a^{\frac{5}{3} + \frac{4}{5}} = a^{\frac{37}{15}}$$

若要做加法或減法，需考慮下列的概念。

$$\sqrt[3]{a^5} = \sqrt[3]{aaaaa} = \sqrt[3]{a^3a^2} = a\sqrt[3]{a^2}$$

若已可以簡化根式表示式，則加法和減法就只是群的「同類項」問題。

例如

$$\sqrt[3]{a^5}+\sqrt[3]{a^8}$$

$$=\sqrt[3]{a^3a^2}+\sqrt[3]{a^6 a^2}$$

$$=a\sqrt[3]{a^2}+a^2\sqrt[3]{a^2}$$

$$=({a+a^2})\sqrt[3]{a^2}$$

## 不盡根數

未經化簡的根數，一般叫做「不盡根數」（surd），可以處理為更簡單的形式。

如下恆等式是處理不盡根數的基本技巧:

- $$\sqrt{a^2 b} = abs(a) \sqrt{b}$$
- $$\sqrt[n]{a^m b} = a^{\frac{m}{n}}\sqrt[n]{b}$$
- $$\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$$
- $$\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{-1} = \frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}- \sqrt{b}} {a - b}$$

## 無窮級數

方根可以表示為無窮級數:

$$\begin{align} &(1+x)^\frac{s}{t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\displaystyle\prod_{k=0}^n (s+t-kt)}{(s+t)n!t^n}x^n\\ &(|x|<1) \end{align}$$

## 找到所有的方根

任何數的所有的根，實數或複數的，可以通過簡單的演算法找到。這個數應當首先被寫為如下形式$ae^{i\varphi}$(參見歐拉公式)。接著所有的n次方根給出為:

$$e^{(\frac{\varphi+2k\pi}{n})i} \times \sqrt[n]{a}$$

對於$k=0,1,2,\ldots,n-1$，這裡的$\sqrt[n]{a}$表示$a$的主$n$次方根。

### 正實數

所有$x^n=a$或$a$的$n$次方根，這裡的$a$是正實數，的複數解由如下簡單等式給出:

$$e^{2\pi i \frac{k}{n}} \times \sqrt[n]{a}$$

對於$k=0,1,2,\ldots,n-1$，這裡的$\sqrt[n]{a}$表示$a$的主$n$次方根。

## 解多項式

曾經有數學猜想，認為多項式的所有根可以用根號和四則運算來表達；但是阿貝爾-魯菲尼定理斷言了這不是普遍為真的。例如，方程

$$\ x^5=x+1$$

解不能用根號表達。

要解任何n次方程，參見求根算法。

## 演算法

對於正數$A$，可以通過以下演算法求得$\sqrt[n]{A}$的值：

- 猜一個$\sqrt[n]{A}$的近似值，將其作為初始值$x_0$
- 設 $x_{k+1} = \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]$。記誤差為$\Delta x_k = \frac{1}{n} \left[{\frac{A}{x_k^{n-1}}} - x_k\right]$，即$x_{k+1} = x_{k} + \Delta x_k$。
- 重複步驟2，直至絕對誤差足夠小，即：$| \Delta x_k | < \epsilon$。

### 從牛頓法導出

求$\sqrt[n]{A}$之值，亦即求方程$x^n-A=0$的根。

設$f(x)=x^n-A$，其導函數即$f'(x)=nx^{n-1}$。

以牛頓法作迭代，便得

$$x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$$

$$= x_k - \frac{x_k^n - A}{n x_k^{n-1}}$$

$$= x_k - \frac{x_k}{n}+\frac{A}{n x_k^{n-1}}$$

$$= \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]$$

### 從牛頓二項式定理導出

設$x_k$為迭代值，$y$為誤差值。

令$A=(x_k-y)^n$（*），作牛頓二項式展開，取首兩項：$A\approx x_k^n-n x^{n-1}_k y$

調項得$y\approx \frac{x_k^n-A}{n x_k^{n-1}}=\frac1n \left(x_k - \frac{A}{x_k^{n-1}}\right)$

將以上結果代回（*），得遞歸公式$x_{k+1}=x_k-y=\frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]$

## 外部連結

- 高階根號求解。此法亦可求任意正實數指數值
- 立方根與高次方根
- 指數-高中數學教案
- 法國心算天才70.2秒算出200位數13次方根(圖)