黎納-維謝勢

本條目中，向量與標量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。檢驗變數或場變數的標記的後面沒有單撇號「$'\,\!$」；源變數的標記的後面有單撇號「$'\,\!$」。

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在電動力學裏，黎納-維謝勢指的是移動中的帶電粒子的推遲勢。從馬克士威方程組，可以推導出黎納-維謝勢；而從黎納-維謝勢，又可以推導出一個移動中的帶電粒子所生成的含時電磁場。但是，黎納-維謝勢不能描述微觀系統的量子行為。

阿弗雷-瑪麗·黎納於1898年，艾密·維謝於1900年，分別獨立地研究求得黎納-維謝勢的公式。於1995年，Ribarič和Šušteršič正確計算出移動中的偶極子和四極子的推遲勢。

## 歷史重要性

經典電動力學的研究，關鍵地助導阿爾伯特·愛因斯坦發展出相對論。愛因斯坦細心地分析黎納-維謝勢和電磁波傳播，所累積的心得，引領他想出在狹義相對論裏對於時間和空間的概念。經典電動力學表述是一個重要的發射台，使得物理學家能夠飛航至更複雜的相對論性粒子運動的學術領域。

雖然經典電動力學表述的黎納-維謝勢，可以很準確地描述，獨立移動中的帶電粒子的物理行為，但是在原子層次，這表述遭到嚴峻的考驗，無法給出正確地答案。為此緣故，物理學家感到異常困惑，因而引發了量子力學的創立。

對於粒子發射電磁輻射的能力，量子力學又添加了許多新限制。經典電動力學表述，表達於黎納-維謝勢的方程式，明顯地違背了實驗觀測到的現象。例如，經典電動力學表述所預測的，環繞著原子不停運動的電子，由於連續不斷地呈加速度狀態，應該會不停地發射電磁輻射；但是，實際實驗觀測到的現象是，穩定的原子不會發射任何電磁輻射。經過研究論證，物理學家發現，電磁輻射的發射完全源自於電子軌域的離散能級的躍遷（參閱波耳原子）。在二十世紀後期，經過多年的改進與突破，量子電動力學成功地解釋了帶電粒子的放射行為。

## 物理理論

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假設，從源頭位置$\mathbf{r}'\,\!$往檢驗位置$\mathbf{r}\,\!$發射出一束電磁波，而這束電磁波在檢驗時間$t\,\!$抵達觀測者的檢驗位置$\mathbf{r}\,\!$，則這束電磁波發射的時間是推遲時間$t_r\,\!$。由於電磁波傳播於真空的速度是有限的，觀測者檢驗到電磁波的檢驗時間$t\,\!$，會不同於這電磁波發射的推遲時間$t_r\,\!$。推遲時間 $t_r\,\!$定義為檢驗時間$t\,\!$減去電磁波傳播的時間：

$t_r\ \stackrel{def}{=}\ t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{c}\,\!$。

其中，$c\,\!$是光速。

推遲時間的概念意味著電磁波的傳播不是瞬時的。電磁波從發射位置傳播到終點位置，需要一段傳播期間，稱為時間延遲。與日常生活的速度來比，電磁波傳播的速度相當快。因此，對於小尺寸系統，這時間延遲，通常很難察覺。例如，從開啟電燈泡到這電燈泡的光波抵達到觀測者的雙眼，所經過的時間延遲，只有幾兆分之一秒。但是，對於大尺寸系統，像太陽照射陽光到地球，時間延遲大約為8分鐘，可以經過實驗偵測察覺。

### 表達方程式

假設，一個移動中的帶電粒子，所帶電荷為$q\,\!$，隨著時間$t\,\!$而改變的運動軌道為$\mathbf{w}(t)\,\!$。設定向量$\boldsymbol{\mathfrak{R}}\,\!$為從帶電粒子位置$\mathbf{r}'=\mathbf{w}(t)\,\!$到檢驗位置$\mathbf{r}\,\!$的分離向量：

$\boldsymbol{\mathfrak{R}}=\mathbf{r} - \mathbf{r}'=\mathbf{r} - \mathbf{w}(t)\,\!$。

則黎納-維謝純量勢$\Phi(\mathbf{r},\,t)\,\!$和黎納-維謝向量勢$\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\,\!$分別以方程式表達為

$\Phi(\mathbf{r},\,t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q c}{\mathfrak{R} c - \boldsymbol{\mathfrak{R}}\cdot \mathbf{v}}\,\!$。

$\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t) =\frac{\mathbf{v}}{c^2}\Phi(\mathbf{r},\,t) \,\!$。

其中，$\epsilon_0\,\!$是真空電容率，$\mathbf{v}\,\!$是帶電粒子的移動速度，$\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{w}}{dt}\,\!$。

雖然黎納-維謝純量勢$\Phi(\mathbf{r},\,t)\,\!$和黎納-維謝向量勢$\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\,\!$的時間參數是$t\,\!$，方程式右手邊的幾個變數，帶電粒子位置$\mathbf{r}'\,\!$和速度$\mathbf{v}\,\!$都是採推遲時間$t_r\,\!$時的數值：

$\mathbf{r}'=\mathbf{w}(t_r)\,\!$。

$\mathbf{v}=\mathbf{v}(t_r)\,\!$。

### 推導

從推遲勢，可以推導出黎納-維謝勢。推遲純量勢$\Phi(\mathbf{r},\,t)\,\!$與推遲向量勢$\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\,\!$分別以方程式定義為（參閱推遲勢）

$\Phi(\mathbf{r},\,t)\ \stackrel{def}{=}\ \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathcal{V}'} \frac{\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\mathfrak{R}}\, d^3\mathbf{r}'\,\!$。

$\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathcal{V}'} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t_r)}{\mathfrak{R}}\, d^3\mathbf{r}'\,\!$。

其中，$\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)\,\!$和$\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t_r)\,\!$分別是推遲時刻的電荷密度和電流密度，$\mathcal{V}'\,\!$是積分的體空間，$d^3\mathbf{r}'\,\!$是微小體元素，$\mathfrak{R}\,\!$向量還是採推遲時間$t_r\,\!$時的數值。

帶電粒子運動軌道的電荷密度可以用狄拉克δ函數表達為

$\rho(\mathbf{r},\,t)=q\delta(\mathbf{r} - \mathbf{w}(t))\,\!$。

其中，$\delta(\mathbf{r} - \mathbf{w}(t))\,\!$是狄拉克δ函數。

代入推遲純量勢$\Phi(\mathbf{r},\,t)\,\!$的方程式。

$\Phi(\mathbf{r},\,t)=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathcal{V}'} \frac{\delta(\mathbf{r}' - \mathbf{w}(t_r))}{\mathfrak{R}}\, d^3\mathbf{r}'\,\!$。

由於狄拉克δ函數$\delta(\mathbf{r}' - \mathbf{w}(t_r))\,\!$的積分會從$\mathbf{r}'\,\!$的可能值中，挑選出當$\mathbf{r}'=\mathbf{w}(t_r)\,\!$時，所有變數的數值。所以，在積分內的變數，都可以被提出積分，採推遲時間$\mathbf{r}'=\mathbf{w}(t_r)\,\!$時所計算出的數值。積分內，只剩下狄拉克δ函數等待進一步處理：

$\Phi(\mathbf{r},\,t)=\frac{q}{4\pi\epsilon_0\mathfrak{R}}\int_{\mathcal{V}'} \delta(\mathbf{r}' - \mathbf{w}(t_r))\, d^3\mathbf{r}'\,\!$。

由於推遲時間$t_r\,\!$跟三個變數$t\,\!$、$\mathbf{r}\,\!$、$\mathbf{r}'\,\!$有關，這積分比較難計算，需要使用換元積分法。設定變數$\boldsymbol{\eta}=\mathbf{r}' - \mathbf{w}(t_r)\,\!$。那麼，其雅可比行列式$\mathfrak{J}\,\!$為

$\mathfrak{J}=\cfrac{\partial \boldsymbol{\eta}}{\partial \mathbf{r}'} =\begin{vmatrix} <pre> \cfrac{\partial \eta_x}{\partial x'} & \cfrac{\partial \eta_x}{\partial y'} & \cfrac{\partial \eta_x}{\partial z'} \\ \cfrac{\partial \eta_y}{\partial x'} & \cfrac{\partial \eta_y}{\partial y'} & \cfrac{\partial \eta_y}{\partial z'} \\ \cfrac{\partial \eta_z}{\partial x'} & \cfrac{\partial \eta_z}{\partial y'} & \cfrac{\partial \eta_z}{\partial z'} \\ </pre> \end{vmatrix}\,\!$。

行列式內分量很容易計算，例如：

$\cfrac{\partial \eta_x}{\partial x'}=1 - \cfrac{\partial w_x}{\partial x'}=1 - \cfrac{\partial w_x}{\partial t_r}\ \cfrac{\partial t_r}{\partial x'}=1 - v_x\cfrac{\partial t_r}{\partial x'}\,\!$。

$\cfrac{\partial \eta_y}{\partial x'}=\cfrac{\partial w_y}{\partial x'}=\cfrac{\partial w_y}{\partial t_r}\ \cfrac{\partial t_r}{\partial x'}=v_y\cfrac{\partial t_r}{\partial x'}\,\!$。

按照上述方法，經過一番計算，可以得到

$\mathfrak{J}=1 - \mathbf{v}\cdot\nabla' t_r= 1 - \hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}\cdot\mathbf{v}/c\,\!$。

所以，推遲純量勢$\Phi(\mathbf{r},\,t)\,\!$的方程式變為

$\Phi(\mathbf{r},\,t)=\frac{q}{4\pi\epsilon_0\mathfrak{R}}\int_{\mathcal{V}'} \delta(\boldsymbol{\eta})\cfrac{\partial \mathbf{r}'}{\partial \boldsymbol{\eta}}\, d^3\boldsymbol{\eta} =\frac{q}{4\pi\epsilon_0\mathfrak{R}}\int_{\mathcal{V}'} \cfrac{\delta(\boldsymbol{\eta})}{\mathfrak{J}}\, d^3\boldsymbol{\eta} =\frac{q}{4\pi\epsilon_0\mathfrak{R}}\int_{\mathcal{V}'} \cfrac{\delta(\boldsymbol{\eta})}{1 - \hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}\cdot\mathbf{v}/c}\, d^3\boldsymbol{\eta} \,\!$。

這樣，可以得到黎納-維謝純量勢：

$\Phi(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q c}{\mathfrak{R} c - \boldsymbol{\mathfrak{R}}\cdot \mathbf{v}}\,\!$。

類似地，也可以推導出黎納-維謝向量勢。

### 相對論性導引

從推遲勢的表達式可以看出它只依賴於推遲時刻源點的速度，而不依賴於源點的加速度，所以通過電磁勢的洛侖茲變換也可以推導出黎納-維謝勢。考慮一個在推遲時刻瞬時速度與電荷運動速度相同的慣性系，記作$S^{\prime}$。在$S^{\prime}$系中，電荷在推遲時刻的速度為零（雖然加速度未必為零），其標勢應由庫侖定律給出，矢勢為零。

$\phi'=\frac{q}{4\pi\epsilon_0 \mathfrak{R}'}$。

$A'=0$。

標勢和矢勢從$S^{\prime}$繫到$S$系的變換滿足洛侖茲變換：

$\phi=\gamma (\phi'- c\beta A')$。

$A=\gamma (-A'+\beta\phi' /c)$。

其中，$\gamma$是洛侖茲因子，$\boldsymbol{\beta}=\mathbf{v}/c$。

代入後可以得到：

$\phi =\frac{\gamma q}{4\pi\epsilon_0 \mathfrak{R}'}$。

$\boldsymbol{A}=\frac{\gamma q \boldsymbol{\beta}}{4\pi\epsilon_0 \mathfrak{R}'c}$。

$\mathfrak{R}'$和$\mathfrak{R}$的變換關係也由洛侖茲變換給出：

$$\mathfrak{R}'=c\Delta t'=c\gamma(\Delta t - \boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{\mathfrak{R}}/c)=\gamma(\mathfrak{R} - \boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{\mathfrak{R}})$$

將$\mathfrak{R}'$的表達式代入即得到黎納-維謝勢。

### 物理意義

對於固定不動的帶電粒子，電勢的方程式為

$\Phi(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q}{\mathfrak{R}}\,\!$。

這是黎納-維謝純量勢乘以雅可比行列式因子$\mathfrak{J}\,\!$。追根究柢，原因是移動中的帶電粒子，雖然理論上是點粒子，但是由於它是在移動中，在積分裏所佔有的體積顯得比較大，所帶的電荷因此比較多，所以產生的電勢不同。這也可以看作是一種都卜勒效應。

### 移動中的帶電粒子的電磁場

從黎納-維謝勢，可以計算電場$\mathbf{E}\,\!$和磁場$\mathbf{B}\,\!$：

$\mathbf{E} = - \nabla \Phi - \dfrac {\partial \mathbf{A}} { \partial t } \,\!$。

$\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\,\!$。

求得的電場$\mathbf{E}\,\!$和磁場$\mathbf{B}\,\!$分別為

$\mathbf{E}(\mathbf{r},\,t)= \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\ \cfrac{\mathfrak{R}}{(\boldsymbol{\mathfrak{R}}\cdot \mathbf{u})^3} [(c^2 - v^2)\mathbf{u}+\boldsymbol{\mathfrak{R}}\times(\mathbf{u}\times\mathbf{a})]\,\!$。

$\mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{c}\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}\times\mathbf{E}(\mathbf{r},\,t)\,\!$ ;

其中，向量$\mathbf{u}\,\!$設定為$c\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}} - \mathbf{v}\,\!$，帶電粒子的加速度是$\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}\,\!$。

檢查電場$\mathbf{E}\,\!$的方程式，右邊第一項稱為廣義庫侖場，又稱為速度場，因為這項目與加速度無關。當$v\ll c\,\!$，粒子速度超小於光速時，$\mathbf{u}\to c\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}\,\!$，這項目會趨向庫侖方程式：

$\mathbf{E} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 }\ \frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}^2}\,\!$。

右邊第二項稱為輻射場，又稱為加速度場，因為這項目的物理行為主要是由粒子的加速度決定。這個項目能夠描述電磁輻射的生成程序。

## 參閱

- 電磁波方程式
- 非齊次的電磁波方程式
- 傑斐緬柯方程式
- 拉莫方程式
- 阿布拉罕-勞侖茲力
- 電磁場的數學表述