Delta位勢阱

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在量子力學裏，Delta位勢阱是一個阱內位勢為負狄拉克Delta函數，阱外位勢為0的位勢阱。Delta位勢阱問題專門研討，在這種位勢的作用中，一個粒子的量子行為。這是一個常見的理論問題。假若，粒子的能量是正值的，我們想要知道的是，在被Delta位勢壘散射的狀況下，粒子的反射係數與透射係數。假若，粒子的能量是負值的，這粒子會被束縛於Delta位勢阱的阱內。這時，我們想要知道的是粒子的能量與束縛的量子態。

## 定義

一個粒子獨立於時間的薛丁格方程為

$- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x)= E\psi(x)\,\!$。

其中，$\hbar\,\!$是約化普朗克常數，$m\,\!$是粒子質量，$x\,\!$是粒子位置，$E\,\!$是能量，$\psi(x)\,\!$是波函數，$V(x)\,\!$是位勢，表達為

$V(x)= - \lambda\delta(x)\,\!$。

其中，$\delta(x)\,\!$是狄拉克Delta函數，$\lambda\,\!$是狄拉克Delta函數的強度。

## 導引

這位勢阱將一維空間分為兩個區域：$x<0\,\!$與$x>0\,\!$。在任何一個區域內，位勢為常數，薛丁格方程的解答可以寫為往右與往左傳播的波函數的的疊加（參閱自由粒子）：

$\psi_L(x)= A_r e^{i k x} + A_l e^{-ikx}\quad x<0 \,\!$。

$\psi_R(x)= B_r e^{i k x} + B_l e^{-ikx}\quad x>0\,\!$。

其中，$A_r\,\!$、$A_l\,\!$、$B_r\,\!$、$B_l\,\!$都是必須由邊界條件決定的常數，下標$r\,\!$與$l\,\!$分別標記波函數往右或往左的方向。$k=\sqrt{2m E/\hbar^{2}}\,\!$是波數。

當$E>0\,\!$時，$\psi_L\,\!$與$\psi_R\,\!$都是行進波。可是，當$E<0\,\!$時，$\psi_L\,\!$與$\psi_R\,\!$都隨著座標$x\,\!$呈指數遞減或指數遞增。

在$x=0\,\!$處，邊界條件是：

$\psi_L=\psi_R\,\!$。

$\frac{d}{dx}\psi_L = \frac{d}{dx}\psi_R - \frac{2m\lambda}{\hbar^2} \psi_R\,\!$。

特別注意第二個邊界條件方程式，波函數隨位置的導數在$x=0\,\!$並不是連續的，在位勢阱兩邊的差額有$\frac{2\lambda}{\hbar^2} \psi_R\,\!$這麼多。這方程式的推導必須用到薛丁格方程。將薛丁格方程積分於$x=0\,\!$的一個非常小的鄰域：

$- \frac{\hbar^2}{2 m} \int_{ - \epsilon}^{\epsilon} \frac{d^2 \psi}{d x^2}\, dx +\int_{ - \epsilon}^{\epsilon}V(x) \psi \, dx = E \int_{ - \epsilon}^{\epsilon} \psi \, dx\,\!$；(1)

其中，$\epsilon\,\!$是一個非常小的數值。

方程式(1)右邊的能量項目是

$E \int_{ - \epsilon}^{\epsilon} \psi \, dx \approx E \cdot 2 \epsilon \cdot \psi(0)\,\!$。(2)

當$\epsilon \to 0\,\!$時，該項趨向於0。

方程式(1)左邊是

$- \frac{\hbar^2}{2 m} \left( \frac{d\psi_R}{dx}\bigg|_{\epsilon} - \frac{d\psi_L}{dx}\bigg|_{ - \epsilon} \right) - \lambda\int_{-\epsilon}^{\epsilon}\delta(x) \psi \, dx = 0\,\!$(3)

根據狄拉克Delta函數的定義。

$\int_{-\epsilon}^{\epsilon}\delta(x) \psi \, dx =\psi_R(0)\,\!$。(4)

而在$\epsilon \to 0\,\!$的極限。

$\lim_{\epsilon \to 0}\frac{d\psi_L}{dx}\bigg|_{ - \epsilon}=\frac{d\psi_L}{dx}\bigg|_0\,\!$，(5)

$\lim_{\epsilon \to 0}\frac{d\psi_R}{dx}\bigg|_{\epsilon}=\frac{d\psi_R}{dx}\bigg|_0\,\!$。(6)

將這些結果(4)，(5)，(6)代入方程式(3)，整理後，可以得到第二個邊界條件方程式：在$x=0\,\!$。

$\frac{d\psi_L}{dx}=\frac{d\psi_R}{dx}+\frac{2m\lambda}{\hbar^2}\psi_R\,\!$。

從這兩個邊界條件方程式。稍加運算，可以得到以下方程式：

$A_r+A_l=B_r+B_l\,\!$。

$ik(A_r - A_l - B_r+B_l)=\frac{2m\lambda}{\hbar^2}(B_r+B_l)\,\!$。

### 散射態

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假若，能量是正值的，粒子可以自由的移動於位勢阱外的兩個半空間，$x<0\,\!$或$x>0\,\!$。在這裏，粒子的量子行為主要是由Delta位勢阱造成的散射行為。稱這粒子的量子態為散射態。設定粒子從左邊入射。在Delta位勢阱，粒子可能會被反射回去，或者會被透射過去。我們想要知道散射的反射係數與透射係數。設定$A_r=1\,\!$，$A_l=r\,\!$，$B_l=0\,\!$，$B_r=t\,\!$。求算反射的機率幅$r\,\!$與透射的機率幅$t\,\!$：

$r= -\ \cfrac{1}{\cfrac{i\hbar^2 k}{m\lambda} + 1}\,\!$。

$t=\cfrac{1}{ - \ \cfrac{i m\lambda}{\hbar^2k}+1}\,\!$。

反射係數是

$R=|r|^2=\cfrac{1}{1+\cfrac{\hbar^4k^2}{m^2\lambda^2}}= \cfrac{1}{1+\cfrac{2\hbar^2 E}{m\lambda^2}}\,\!$。

這純粹是一個量子力學的效應；在經典力學裏，這是不可能發生的。

透射係數是

$T=|t|^2=1 - R=\cfrac{1}{1+\cfrac{m^2\lambda^2}{\hbar^4k^2}}= \cfrac{1}{1+\cfrac{m\lambda^2}{2\hbar^2 E}}\,\!$。

- 由於模型的對稱性，假若，粒子從右邊入射，我們也會得到同樣的答案。
- 很奇異地，給予同樣的能量、質量、與狄拉克Delta函數的強度，Delta位勢壘與Delta位勢阱有同樣的反射係數與透射係數。

### 束縛態

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每一個一維的吸引位勢，都至少會存在著一個束縛態（bound state）。由於$E<0\,\!$，波數變為複數。設定$\kappa= - ik=\sqrt{2m |E|/\hbar^2}\,\!$。前述的振盪的波函數$\psi_L\,\!$與$\psi_R\,\!$，現在卻隨著座標$x\,\!$呈指數遞減或指數遞增。為了要符合物理的真實性，我們要求波函數不發散於$x\to\pm \infty\,\!$。那麼，$A_r\,\!$與$B_l\,\!$必須被設定為0。波函數變為

$\psi_L(x)= A_l e^{\kappa x}\,\!$。

$\psi_R(x)= B_r e^{ - \kappa x}\,\!$。

從邊界條件與歸一條件，可以得到

$A_l=B_r=\sqrt{\kappa}\,\!$。

$\kappa=\frac{m\lambda}{\hbar^2}\,\!$。

Delta位勢阱只能有一個束縛態。束縛態的能量是

$E= -\ \frac{\hbar^2\kappa^2}{2m}= -\ \frac{m\lambda^2}{2\hbar^2}\,\!$。

束縛態的波函數是

$\psi(x)= \frac{\sqrt{m\lambda}}{\hbar}e^{ - m\lambda\mid x\mid /\hbar^2}\,\!$。

Delta位勢阱是有限深方形阱的一個特別案例。在有限深位勢阱的深度$V_0\to\infty\,\!$與阱寬$L\to 0\,\!$的極限，同時保持$V_0 L=\lambda\,\!$，就可以從有限深位勢阱的波函數，得到Delta位勢阱的波函數。

## 雙井迪拉克Delta函數模型

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Delta函數模型其實是氫原子的一維版本根據維度比例由 達德利·赫施巴赫（「Dudley R. Herschbach」）團隊所研發。此 delta函數模型以雙井迪拉克Delta函數模型最有用，因其代表一維版的水分子離子。

雙井迪拉克Delta函數模型是用以下薛丁格方程描述：

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi}{dx^2}(x) +V(x)\psi(x) = E\psi(x)$$

電位現為：

$$V(x)=-q \left[ \delta(x - \frac{R}{2}) + \lambda \delta(x+ \frac{R}{2}) \right]$$

其中$0 < R < \infty$是「核間」距離於迪拉克Delta函數（負）峰值位於$x= \pm {\textstyle \frac{R}{2}}$（圖表中棕色所示）。記得此模型與其三維分子版本的關係，我們用原子單位制且設$\hbar = m=1$。此處$0 < \lambda < 1$為一可調參數。從單井的例子，可推論擬設於此解為：

$$\psi(x) ~ = ~ A e^{-d \left|x - \frac{R}{2}\right|} + B e^{-d \left|x + \frac{R}{2} \right|}$$

令波函數於Delta函數峰值相等可得行列式：

$$\left| \begin{array}{cc} q - d & q e^{-d R} \\ q \lambda e^{-d R} & q \lambda - d \end{array} \right| = 0 ~, \qquad E = -\frac{d^2}{2} ~.$$

因此，$d$是由偽二次式方程：

$$d_{\pm}(\lambda)~=~{\textstyle\frac{1}{2}}q(\lambda+1) \pm {\textstyle\frac{1}{2}} \left\{ q^2(1+\lambda)^{2}-4\,\lambda q^2 \lbrack 1-e^{-2d_{\pm }(\lambda )R}]\right\} ^{1/2}$$

它有兩解$d=d_{\pm}$。若等價情況（對稱單核），$\lambda =1$則偽二次式化為：

$$d_{\pm} = q [1 \pm e^{-d_{\pm} R}]$$

此「+」代表了對稱於中點的波函數（圖中紅色）而$A = B$稱為偶態。接著，「-」情況為反對稱於中點的波函數其$A = -B$稱為非偶態（圖中綠色）。它們代表著三維$H_2^{+}$的兩種最低能態之近似且有助於其分析。對稱電價的特徵能分析解為：

$$d_{\pm} = q ~+~ W(\pm q R e^{-q R} )/R$$

其中W是標準朗伯W函數注意此最低能對應於對稱解$d_{+}$。當非等電價，此為三維分子問題，其解為一般化Lambert W函數（見一般化朗伯W函數章節與相關參考）。

## 參閱

- 自由粒子
- 無限深方形阱
- 有限深方形阱
- 有限位勢壘
- 球對稱位勢
- Delta位勢壘
- 量子穿隧效應