橢圓積分

在積分學中，橢圓積分最初出現於橢圓的弧長有關的問題中。朱利奧·法尼亞諾和歐拉是最早的研究者。現代數學將橢圓積分定義為可以表達為如下形式的任何函數 $f \,$的積分

$$f(x) = \int_{c}^{x} R[t,\sqrt[]{P(t)} ]\ dt \,\!$$

其中$R \,$是其兩個參數的有理函數，$P \,$是一個無重根的$3 \,$或$4 \,$階多項式，而$c \,$是一個常數。

通常，橢圓積分不能用基本函數表達。這個一般規則的例外出現在$P \,$有重根的時候，或者是$R \,$,$\left(x,y \right) \,$沒有$y \,$的奇數冪時。但是，通過適當的簡化公式，每個橢圓積分可以變為只涉及有理函數和三個經典形式的積分。（也即，第一，第二，和第三類的橢圓積分）。

除下面給出的形式之外，橢圓積分也可以表達為勒讓德形式和Carlson對稱形式。通過對施瓦茨-克里斯托費爾映射的研究可以加深對橢圓積分理論的理解。歷史上，橢圓函數是作為橢圓積分的逆函數被發現的，特別是這一個：$F [ \textrm{sn} \left(z;k \right);k] = z\,$其中$\textrm{sn} \,$是雅可比正弦橢圓函數。

## 記法

橢圓積分通常表述為不同變量的函數。這些變量完全等價（它們給出同樣的橢圓積分），但是它們看起來很不相同。很多文獻使用單一一種標準命名規則。在定義積分之前，先來檢視一下這些變量的命名常規：

- $\alpha$ 模角;
- $k=\sin \alpha$ 橢圓模;
- $m=k^2=\sin^2 \alpha$ 參數;

上述三種常規完全互相確定。規定其中一個和規定另外一個一樣。橢圓積分也依賴於另一個變量，可以有如下幾種不同的設定方法：

- $\phi\,\!$ 幅度
- $x\,$ 其中$x=\sin \phi= \textrm{sn} \; u\,\!$
- $u\,$，其中$x = \textrm{sn} \; u \,$而$\textrm{sn} \,$是雅可比橢圓函數之一

規定其中一個決定另外兩個。這樣，它們可以互換地使用。注意$u\,$也依賴於$m\,$。其它包含$u\,$的關係有

$$\cos \phi = \textrm{cn}\; u\,\!$$

和

$$\sqrt{1-m\sin^2 \phi} = \textrm{dn}\; u.\,\!$$

後者有時稱為δ幅度並寫作$\Delta(\phi)=\textrm{dn}\; u\,\!$。有時文獻也稱之為補參數，補模或者補模角。這些在四分周期中有進一步的定義。

## 第一類不完全橢圓積分

第一類不完全橢圓積分 $F \,$定義為

$$F(\phi\setminus \alpha ) = F(\phi|m) = \int_0^\phi\frac{{\rm{d}}\theta}{\sqrt{1-(\sin\theta\sin \alpha)^2}}.\,\!$$

與此等價，用雅可比的形式，可以設$x=\sin \phi ~,~ t=\sin \theta\;\!$；則

$$F(\phi\setminus \alpha ) = F(x;k) = \int_{0}^{x} \frac{{\rm{d}}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)} }\,\!$$

其中，假定任何有豎直條出現的地方，緊跟豎直條的變量是（如上定義的）參數；而且，當反斜槓出現的時候，跟著出現的是模角。

在這個意義下，$F(\sin\phi;\sin \alpha) = F(\phi|\sin^2 \alpha) = F(\phi\setminus \alpha )~ \,\!$，這裡的記法來自標準參考書Abramowitz and Stegun。

但是，還有許多不同的用於橢圓積分的記法。取值為橢圓積分的函數沒有（像平方根，正弦和誤差函數那樣的）標準和唯一的名字。甚至關於該領域的文獻也常常採用不同的記法。Gradstein, Ryzhik , $Eq\,$.(8.111)採用$F(\phi,k) \,\!$。該記法和這裡的$F(\phi|k^2)~ \,\!$；以及下面的$E(\phi,k)=E(\phi|k^2)~ \,\!$等價。

和上面的不同對應的是，如果從Mathematica語言翻譯代碼到Maple語言，必須將EllipticK函數的參數用它的平方根代替。反過來，如果從Maple翻到Mathematica，則參數應該用它的平方代替。Maple中的EllipticK($x$)幾乎和Mathematica中的EllipticK$x^2$相等；至少當$0<x<1\,$時是相等的。

注意

$$F(x;k) = u \,\!$$

其中$u\,$如上文所定義：由此可見，雅可比橢圓函數是橢圓積分的逆。

### 加法公式

$$\forall \varphi_1,\varphi_2 \in \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[,$$

$$F\left(\varphi_1,k\right) + F\left(\varphi_2,k\right) = F\left(\arctan\left(\tan\varphi_1\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi_2}\right) + \arctan\left(\tan\varphi_2\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi_1}\right),k\right)$$

$$\arctan\left(\tan\varphi_1\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi_2}\right) + \arctan\left(\tan\varphi_2\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi_1}\right) \in [-\pi/2;\pi/2] \Rightarrow$$

$$F\left(\varphi_1,k\right) + F\left(\varphi_2,k\right) = F\left(\arcsin\frac{\cos\varphi_1\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi_1}\sin\varphi_2+\cos\varphi_2\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi_2}\sin\varphi_1}{1-k^2\sin^2\varphi_1\sin^2\varphi_2},k\right)$$

$$\arctan\left(\tan\varphi_1\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi_2}\right) + \arctan\left(\tan\varphi_2\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi_1}\right) \in [0;\pi] \Rightarrow$$

$$F\left(\varphi_1,k\right) + F\left(\varphi_2,k\right) = F\left(\arccos\frac{\cos\varphi_1\cos\varphi_2-\sin\varphi_1\sin\varphi_2\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi_1}\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi_1}\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi_2}}{1-k^2\sin^2\varphi_1\sin^2\varphi_2},k\right)$$

### 性質

$$F(x+n\pi;k)=F(x;k)+2nK(k)\,\!$$

$$F(x+\frac{n\pi}{2};k)=nK(k)\,\!$$

$$n \in \mathbb{Z}\,\!$$

$$F(-x;k)=-F(x;k)\,\!$$

$$F(x;0)=x\,\!$$

$$F(0;k)=-F(x;k)\,\!$$

$$F(x;1)={\rm{arctanh}}\sin x\,\!$$

$$-\frac{\pi}{2}<\Re(x)<\frac{\pi}{2}\,\!$$

### 第一類不完全橢圓積分的導數

$$\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}x}F(x;k)=\frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2x}}\,\!$$

$$\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}k}F(x;k)=\frac{E(x;k)}{2k(1-k)}-\frac{F(x;k)}{2k}-\frac{\sin2x}{4(1-k)\sqrt{1-k\sin^2x}}\,\!$$

## 第二類不完全橢圓積分

第二類不完全橢圓積分 $E\!$是

$$E(\phi\setminus \alpha) = E(\phi|m) = \int_0^\phi\!E'(\theta)\ {\rm{d}}\theta = \int_0^\phi\sqrt{1-(\sin\theta\sin \alpha)^2}\ {\rm{d}}\theta.\,\!$$

與此等價，採用另外一個記法（作變量替換$t=\sin\theta\,\!$）。

$$E(x;k) = \int_{0}^{x} \frac{\sqrt{1-k^2 t^2} }{\sqrt{1-t^2}}\ {\rm{d}}t. \,\!$$

其它關係包括

$$E(\phi|m) = \int_0^u \textrm{dn}^2 w \;{\rm{d}}w = u-m\int_0^u \textrm{sn}^2 w \;{\rm{d}}w = (1-m)u+m\int_0^u \textrm{cn}^2 w \;{\rm{d}}w.\,\!$$

$$E(\phi|k^2)=(1-k^2)\int_0^{\phi}\frac{{\rm{d}}\theta}{(1-k^2\sin^2\theta)\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}+\frac{k^2\sin\theta\cos\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}\,\!$$

### 加法公式

$$\forall \varphi_1,\varphi_2 \in \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[,$$

$$\textstyle E\left(\varphi_1,k\right) + E\left(\varphi_2,k\right) = \left[\begin{align} E\left(\arctan\left(\tan\varphi_1\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi_2}\right) + \arctan\left(\tan\varphi_2\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi_1}\right),k\right) \\ +\frac{k^2\sin\varphi_1\sin\varphi_2\left(\cos\varphi_1\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi_1}\sin\varphi_2+\cos\varphi_2\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi_2}\sin\varphi_1\right)}{1-k^2\sin\varphi_1\sin\varphi_2} \end{align}\right]$$

### 性質

$$E(\phi+n\pi;k)=E(\phi;k)+2nE(k)\,\!$$

$$E(-\phi;k)=-E(\phi;k)\,\!$$

### 第二類不完全橢圓積分的導數

$$\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}\phi}E(\phi;k)=\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}\,\!$$

$$\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}k}E(\phi;k)=\frac{E(\phi;k)-F(\phi;k)}{2k}\,\!$$

$$\frac{{\rm{d}}^n}{{\rm{d}}k^n}E(\phi;k)=\frac{\pi}{2k^n}{}_2F_1\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2};1-n;k\right)-\frac{\sqrt\pi\cos\phi}{2k^{2n}} F_{2\times 1 \times0}^{1\times 3 \times2} \begin{bmatrix} \frac{1}{2};-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;\frac{1}{2},1;\\ 1,\frac{3}{2};1-n;;\\ -k^2\cos\phi,\cos^2\phi \end{bmatrix}+\frac{\pi m^{1-n}\cos\phi}{8}F_{3\times 1 \times1}^{2\times 1 \times1} \begin{bmatrix} \frac{1}{2},\frac{3}{2},2;\frac{1}{2},1;\\ 2,2-n;1-n;\frac{3}{2};\frac{3}{2};\\ -k^2\cos^2\phi,k^2 \end{bmatrix} \,\!$$

## 第三類不完全橢圓積分

第三類不完全橢圓積分$\Pi\,\!$是

$$\Pi(n; \phi|m) = \int_0^\phi \frac { {\rm{d}}\theta}{(1-n\sin^2 \theta)\sqrt{1-(\sin\theta\sin o\!\varepsilon)^2}},\,\!$$

或者

$$\Pi(n; \phi|m) = \int_{0}^{\sin\phi} \frac{{\rm{d}}t}{(1-nt^2) \sqrt{(1-k^2 t^2)(1-t^2) }},\,\!$$

或者

$$\Pi(n; \phi|m) = \int_0^{F(\phi|m)} \frac{{\rm{d}}w}{1-n \textrm{sn}^2 (w|m) }. \; \,\!$$

數字$n\,$稱為特徵數，可以取任意值，和其它參數獨立。但是要注意$\Pi(1;\frac{\pi}{2}|m)\,\!$對於任意$m\,\!$是無窮的。

### 加法公式

$$\Pi(n;\phi_1,k)+\Pi(n;\phi_2,k)=\Pi\left[n;\arccos\frac{\cos\phi_1\cos\phi_2-\sin\phi_1\sin\phi_2\sqrt{(1-k^2\sin^2\phi_1)(1-k^2\sin^2\phi_2)}}{1-k^2\sin^2\phi_1\sin^2\phi_2},k\right]-\sqrt{\frac{n}{ (1-n)(n-k^2)}}\arctan\frac{\sqrt{(1-n)n(n-k^2)}\sin\arccos\frac{\cos\phi_1\cos\phi_2-\sin\phi_1\sin\phi_2\sqrt{(1-k^2\sin^2\phi_1)(1-k^2\sin^2\phi_2)}}{1-k^2\sin^2\phi_1\sin^2\phi_2}\sin\phi_1\sin\phi_2}{\frac{n\cos\phi_1\cos\phi_2-n\sin\phi_1\sin\phi_2\sqrt{(1-k^2\sin^2\phi_1)(1-k^2\sin^2\phi_2)}}{1-k^2\sin^2\phi_1\sin^2\phi_2}\sqrt{1-k^2\sin^2\arccos\frac{\cos\phi_1\cos\phi_2-\sin\phi_1\sin\phi_2\sqrt{(1-k^2\sin^2\phi_1)(1-k^2\sin^2\phi_2)}}{1-k^2\sin^2\phi_1\sin^2\phi_2}}\sin\phi_1\sin\phi_2+1-n\sin^2\arccos\frac{\cos\phi_1\cos\phi_2-\sin\phi_1\sin\phi_2\sqrt{(1-k^2\sin^2\phi_1)(1-k^2\sin^2\phi_2)}}{1-k^2\sin^2\phi_1\sin^2\phi_2}}$$

### 第三類不完全橢圓積分的導數

$$\frac{\partial}{\partial n}\Pi(n;\phi,k)= \frac{1}{2(k^2-n)(n-1)} \left[E(\phi;k)+\frac{(k^2-n)F(\phi;k)}{n}+\frac{(n^2-k^2)\Pi(n;\phi,k)}{n}-\frac{n\sqrt{1-k^2\sin\phi}\sin2\phi}{2(1-n\sin^2\phi)}\right]$$

$$\frac{{\partial}^m}{\partial n^m}\Pi(n;\phi,k)=\frac{\sin \phi}{n^m}\sum_{q=0}^{\infty}\frac{q! (n\sin^2\phi)^q}{(2q+1)\Gamma(q-m+1)}F_1\left(q+\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2};q+\frac{3}{2};\sin^2\phi,k^2\sin^2\phi\right)$$

$$\frac{\partial}{\partial \phi}\Pi(n;\phi,k)=\frac{1}{(1-k^2\sin^2\phi)}\!$$

$$\frac{\partial}{\partial k}\Pi(n;\phi,k)=\frac{k}{n-k^2}\left[\frac{E(\phi;k)}{k^2-1}+\Pi(n;\phi,k)-\frac{k^2\sin2\phi}{2(k^2-1)\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}}\right]\!$$

### 特殊值

$$\Pi(n; \phi,1) =\frac{1}{2n-2}\left[\sqrt n \ln \frac{1+\sqrt n\sin\phi}{1-\sqrt n\sin\phi}-2\ln(\sec\phi+\tan\phi)\right]\!$$

$$- \frac{\pi}{2}\leq\Re(\phi)\leq \frac{\pi}{2}\!$$

$$\Pi(0;\phi,k)=F(\phi,k) \!$$

$$\Pi(n;\phi,0)=\frac{{\rm{arctanh}}(\sqrt{n-1}\tan \phi)}{\sqrt{n-1}}\!$$

$$- \frac{\pi}{2}\leq\Re(\phi)\leq \frac{\pi}{2}\!$$

$$\Pi(n;\phi,\sqrt n)=\frac{1}{1-n}\left[E(\phi,\sqrt n)-\frac{n\sin2\phi}{2\sqrt{1-n\sin^2\phi}}\right]\!$$

$$\Pi\left(n;\frac{1}{k},k\right)=\frac{1}{k}\Pi\left(\frac{n}{k^2},\frac{1}{k}\right)\!$$

$$\Pi\left(1;\phi,k\right)=\frac{\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}\tan\phi-E(\phi,k)}{1-k^2}+F(\phi,k)\!$$

## 第一類完全橢圓積分

<image>

如果幅度為$\frac{\pi}{2}\,$或者$x=1 \,$，則稱橢圓積分為完全的。

第一類完全橢圓積分$K \,$可以定義為

$$K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{{\rm{d}}\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}$$

或者

$$K(k) = \int_{0}^{1} \frac{{\rm{d}}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}}.\!$$

它是第一類不完全橢圓積分的特例：

$$K(k) = F(1;\,k) = F\left(\frac{\pi}{2}\,|\,k^2\right)\!$$

這個特例可以表達為冪級數

$$K(k) = \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left[\frac{(2n)!}{2^{2 n} n!^2}\right]^2 k^{2n}\!$$

它等價於

$$K(k) = \frac{\pi}{2}\left\{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 k^{2} + \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 k^{4} + \cdots + \left[\frac{(2n-1)

}{(2n)

}\right]^2 k^{2n} + \cdots \right\}.\!$$

其中$n

\,$表示雙階乘。利用高斯的超幾何函數，第一類完全橢圓積分可以表達為

$$K(k) = \frac{\pi}{2} \,_2F_1 \left( \frac{1}{2} , \frac{1}{2}; 1; k^2\right).\,\!$$

第一類完全橢圓積分有時稱為四分周期。它可以利用算術幾何平均值來快速計算。

$$K(k)=\frac{\frac{\pi}{2}}{\mathrm{agm}(1,\sqrt{1-k^2})}.$$

### 複數值

$$\Re \left[K(x+y{\rm{i}})\right] =\frac{\pi}{2} F_{2\times 1 \times1}^{4\times 0 \times0} \begin{bmatrix} \frac{3}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{5}{4},;;;\\ 1,\frac{3}{2};\frac{1}{2};\frac{3}{2};\\ -y^2,x^2 \end{bmatrix} +\frac{\pi}{8}x F_{2\times 1 \times1}^{4\times 0 \times0} \begin{bmatrix} \frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{3}{4},;;;\\ 1,\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2};\\ -y^2,x^2 \end{bmatrix} \,\!$$

$$\Im \left[K(x+y{\rm{i}})\right] =\frac{\pi}{8}y F_{2\times 1 \times1}^{4\times 0 \times0} \begin{bmatrix} \frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4},;;;\\ 1,\frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{1}{2};\\ -y^2,x^2 \end{bmatrix} +\frac{9}{64}\pi xy F_{2\times 1 \times1}^{4\times 0 \times0} \begin{bmatrix} \frac{5}{4},\frac{7}{4},\frac{7}{4},\frac{5}{4},;;;\\ 2,\frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2};\\ -y^2,x^2 \end{bmatrix} \,\!$$

### 特殊值

$$K(\pm \infty)=0\,$$

$$K(\pm {\rm{i}}\infty)=0\,$$

$$K(0) = \frac {\pi}{2}\!$$

$$K(1) = \infty\!$$

$$K(\frac{\sqrt2}{2})= \frac{8\pi}{\Gamma^2 \left(-\frac 1 4\right)}\sqrt\pi\,$$

$$K\left(\sqrt{17-12\sqrt2}\right) =\frac {(4+2\sqrt2)\pi}{\Gamma^2 \left(-\frac 1 4\right)}\sqrt\pi\,$$

$$K\left(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\right)=\frac{\sqrt[3]4\cdot\sqrt[4]3}{8\pi}\Gamma^3 \left(\frac 1 3\right)\,$$

$$K\left(\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\right)=\frac{\sqrt[3]4\cdot\sqrt[4]{27}}{8\pi}\Gamma^3 \left(\frac 1 3\right)\,$$

$$K(i)=\frac {\sqrt{2\pi}} {8\pi} \Gamma^2 \left(\frac 1 4\right)\,$$

$$K(\sqrt2)=\frac{4\sqrt{2\pi}\pi} {\Gamma^2 \left(\frac 1 4\right)}+\frac{4\sqrt{2\pi}\pi}{\Gamma^2 \left(\frac 1 4\right)}{\rm{i}}\,$$

$$K({\rm{i}}k)=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}K\left(\sqrt{\frac{k^2}{k^2+1}}\right)\,$$

其中

$$\Gamma \left(\frac 1 4\right) \approx 3.62561 \,$$

$$\Gamma \left(\frac 1 3\right) \approx 2.67893 \,$$

第一類完全橢圓積分滿足

$$E(k)K'(k)+E'(k)K(k)-K(k)K'(k)=\frac{\pi}{2}\,$$

### 導數

$$\frac{\rm{d}}{{\rm{d}}k}K^n(k) = \frac{nK^{n-1}(k)E(k)}{2k(1-k)}-\frac{nK^n(k)}{2k}$$

### 漸近表示

$$K(k^2)\approx\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{8}\frac{k^2}{1-k^2}-\frac{\pi}{16}\frac{k^4}{1-k^2}$$

這個近似在k<1/2時相對誤差小於3×10−4，若只保留前兩項則誤差在k<1/2時小於0.01

### 微分方程

此函數滿足以下微分方程

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}k}\left[k(1-k^2)\frac{\mathrm{d}K(k)}{\mathrm{d}k}\right]=k K(k)$$

此微分方程之另一解為$K(\sqrt{1-k^2})$，此解滿足以下關係。

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}k}K(\sqrt{1-k^2})=\frac{E(k)}{k(1-k^2)}-\frac{K(k)}{k}$.

## 第二類完全橢圓積分

<image>

第二類完全橢圓積分 $E \,$可以定義為

$$E(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt {1-k^2 \sin^2\theta}\ {\rm{d}}\theta\!$$

或者

$$E(k) = \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1-k^2 t^2}}{\sqrt{1-t^2}}\ {\rm{d}}t.\!$$

它是第二類不完全橢圓積分的特殊情況：

$$E(k) = E(1;\,k) = E(\frac{\pi}{2}\,|\,k^2)\!$$

它可以用冪級數表達

$$E(k) = \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left[\frac{(2n)!}{2^{2 n} n!^2}\right]^2 \frac{k^{2n}}{1-2 n}\!$$

也就是

$$E(k) = \frac{\pi}{2}\left\{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \frac{k^2}{1} - \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \frac{k^4}{3} - \cdots - \left[\frac{\left(2n - 1\right)

}{\left(2n\right)

}\right]^2 \frac{k^{2n}}{2 n-1} - \cdots \right\}.\!$$

用高斯超幾何函數表示的話，第二類完全橢圓積分可以寫作

$$E(k) = \frac{\pi}{2} \,_2F_1 \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; k^2\right).\,\!$$

有如下性質

$$E(\frac{n\pi}{2};k)=nE(k)\,\!$$

$$n \in \mathbb{Z}\,\!$$

### 複數值

$$E(x+y{\rm{i}})=\left\{\frac{\pi}{2} F_{2\times 1 \times1}^{4\times 0 \times0} \begin{bmatrix} \frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{1}{4},\frac{3}{4},;-;-;\\ 1,\frac{3}{2};\frac{1}{2};\frac{3}{2};\\ -y^2,x^2 \end{bmatrix} -\frac{\pi}{8}x F_{2\times 1 \times1}^{4\times 0 \times0} \begin{bmatrix} \frac{1}{4},\frac{3}{4},-\frac{1}{4},\frac{1}{4},;-;-;\\ 1,\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2};\\ -y^2,x^2 \end{bmatrix}\right\}+{\rm{i}}\left\{-\frac{\pi}{8}y F_{2\times 1 \times1}^{4\times 0 \times0} \begin{bmatrix} \frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{1}{4},\frac{3}{4},;-;-;\\ 1,\frac{3}{2};\frac{1}{2};\frac{3}{2};\\ -y^2,x^2 \end{bmatrix} -\frac{3}{64}\pi xy F_{2\times 1 \times1}^{4\times 0 \times0} \begin{bmatrix} \frac{5}{4},\frac{7}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4},;-;-;\\ 2,\frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2};\\ -y^2,x^2 \end{bmatrix}\right\} \,\!$$

### 特殊值

$$E(0) = \frac \pi 2\!$$

$$E(1) = 1\!$$

$$E(\infty)={\rm{i}}\infty\,$$

$$E(-\infty)=\infty\,$$

$$E( {\rm{i}}\infty)=(\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}{\rm{i}})\infty\,$$

$$E({\rm{i}})=\frac{\sqrt{2\pi}}{2\pi}\Gamma^2\left(\frac{3}{4}\right)+ \frac{\sqrt{2\pi}{\pi}^2}{4\pi\Gamma^2\left(\frac {3}{ 4}\right)}=\frac{\pi \sqrt{2\pi}}{\Gamma^2\left(\frac{1}{4}\right)} +\frac{\sqrt{2\pi}}{8\pi}\Gamma^2\left(\frac{1}{4}\right) \,$$

$$E(-{\rm{i}}\infty)=(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}{\rm{i}})\infty\,$$

$$E\left( \tfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = \pi^{\frac{3}{2}} \Gamma\left( \tfrac{1}{4} \right)^{-2} + \tfrac{1}{8 \sqrt{\pi}} \Gamma\left( \tfrac{1}{4} \right)^2$$

$$E\left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) = \frac{\sqrt[3]{2} \cdot\ \sqrt[4]{3}}{3\Gamma^3\left(\frac 1 3\right)}{\pi}^2+ \frac{\sqrt[3]{4}\left(3\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{27} \right)}{48{\pi}} \Gamma^3\left(\frac 1 3\right) \!$$

$$E\left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) =\frac{\sqrt[3]{2} \cdot\ \sqrt[4]{27}}{3\Gamma^3\left(\frac 1 3\right)}{\pi}^2+\frac{\sqrt[3]{4}\left(\sqrt[4]{27}-\sqrt[4]{3} \right)}{16{\pi}} \Gamma^3\left(\frac 1 3\right) \!$$

$$E(\sqrt2-1)=\frac{\sqrt{\pi}}{8}\left[\frac{\Gamma(\frac{1}{8})}{\Gamma(\frac{5}{8})}+\frac{\Gamma(\frac{5}{8})}{\Gamma(\frac{9}{8})}\right]\!$$

$$E(\sqrt2)=\sqrt{\frac{1}{2\pi}}\Gamma^2\left(\frac{3}{4}\right)+\sqrt{\frac{1}{2\pi}}\Gamma^2\left(\frac{3}{4}\right){\rm{i}}$$

其中

$$\Gamma \left(\frac 1 8\right) \approx 7.53394 \,$$

$$\Gamma \left(\frac 5 8\right) \approx 1.43452 \,$$

$$\Gamma \left(\frac 9 8\right) \approx 0.94174 \,$$

$$\Gamma \left(\frac 3 4\right) \approx 1.22541 \,$$

### 導數、積分及微分方程

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}k}E(k)=\frac{E(k)-K(k)}{k}$$

$$\int E(k){\rm{d}}k=\frac{2}{3}\left[k K(k)-K(k)+kE(k)+E(k)\right]$$

$$(k^2-1) \frac {\mathrm{d}} {\mathrm{d}k} \left[ k \;\frac {\mathrm{d}E(k)} {\mathrm{d}k} \right] = k E(k)$$

此微分方程之另解為$E(\sqrt{1-k^2}) - K(\sqrt{1-k^2})$。

## 第三類完全橢圓積分

<image>

第三類完全橢圓積分$\Pi \,$可以定義為

$$\Pi(n,k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\ {\rm{d}}\theta}{(1-n\sin^2\theta)\sqrt {1-k^2 \sin^2\theta}}$$

注意有時第三類橢圓積分被定義為帶相反符號的$n \,$，也即

$$\Pi'(n,k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\ {\rm{d}}\theta}{(1+n\sin^2\theta)\sqrt {1-k'^2 \sin^2\theta}}.$$

用阿佩爾函數可表示為

$$\Pi(m,n)=\frac{\pi}{2}F_1\left(\frac{1}{2};1,\frac{1}{2};1;m,n\right)\,$$

第三類完全橢圓積分和第一類橢圓積分之間的關係

$$\Pi\left[\frac{(1+x)(1-3x)}{(1-x)(1+3x)},\frac{(1+x)^3(1-3x)}{(1-x)^3(1+3x)}\right]-\frac{1+3x}{6x}K\left[\frac{(1+x)^3(1-3x)}{(1-x)^3(1+3x)}\right]=\,$$

$$\begin{cases} <pre> 0 & \mbox{for }0<x<1\!\, \\ -\frac{\pi(x-1)\sqrt{(x-1)(1+3x)}}{12x} & \mbox{for }x < 0 ,x>1\!\, \\ \end{cases}$$

如

$$K\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{4\pi}\Gamma^2\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{3-\sqrt{6\sqrt3-9}}{2}\Pi\left(\frac{1-\sqrt{2\sqrt3-3}}{2},\frac{1}{2}\right)\,$$

$$=\frac{3+\sqrt{6\sqrt3-9}}{2}\Pi\left(\frac{1+\sqrt{2\sqrt3-3}}{2},\frac{1}{2}\right)-\pi \sqrt{2+\sqrt3+\sqrt{7+\frac{38}{9}\sqrt3}}\,$$

### 偏導數

$$\frac{\partial}{\partial n}\Pi(n,k)= \frac{1}{2(k^2-n)(n-1)} \left[E(k)+\frac{(k^2-n)K(k)}{n}+\frac{(n^2-k^2)\Pi(n,k)}{n}\right]$$

$$\frac{\partial}{\partial k}\Pi(n,k)= \frac{k}{n-k^2}\left[ \frac{E(k)}{k^2-1}+\Pi(n,k)\right]$$

### 特殊值

$$\Pi(0,0)=\frac{\pi}{2}\,$$

$$\Pi(n,0)=\frac{\pi}{2\sqrt{1-n}}\,$$

$$\Pi(n,1)=-\frac{\infty}{\sgn{n-1}}\,$$

$$\Pi(n,\sqrt n)=\frac{E(n)}{1-n}\,$$

$$\Pi(0,\sqrt n)=K(n)\,$$

$$\Pi(\pm \infty,\sqrt n)=0\,$$

$$\Pi(n,\pm \infty)=0\,$$

## 函數關係

勒讓得關係指出了第一類和第二類完全橢圓積分之間的聯繫:

$$K(k) E\left(\sqrt{1-k^2}\right) + E(k) K\left(\sqrt{1-k^2}\right) - K(k) K\left(\sqrt{1-k^2}\right) = \frac \pi 2.$$

## 參考

- Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. (See chapter 17).
- Harris Hancock Lectures on the theory of Elliptic functions (New York, J. Wiley & sons, 1910)
- Alfred George Greenhill The applications of elliptic functions (New York, Macmillan, 1892)
- Louis V. King On The Direct Numerical Calculation Of Elliptic Functions And Integrals (Cambridge University Press, 1924)