擺

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擺是一種實驗儀器，可用來展現種種力學現象。最基本的擺由一條繩或竿，和一個錘組成。錘繫在繩的下方，繩的另一端固定。當推動擺時，錘來回移動。擺可以作一個計時器。

## 類型

### 簡諧運動

若最高處（$v=0$）的繩子和最低處（速度最大值）的繩子的夾角 $\theta$ 相當小（$\theta\leq 5^{\circ}$）時，可使用下列公式近似算出它的振動週期。

#### 週期公式

- $T= 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$（$L$ 為擺長； $g$ 為當地重力加速度）

一擺長為 $1$ 公尺的單擺，於地表處作小角度擺動可近似為簡諧運動，週期 $T \approx 2.0s$，這種單擺稱之為秒擺。

#### 公式證明

一單擺擺錘正在擺盪最高處(此時 $v=0$ )，繩和鉛直線有夾角 $\theta$，繩長為 $L$，相對於平衡點的位移為 $x$

此物體受下列力的影響（下列說明錯誤，繩子的張力是因為擺錘重力引起，任何一瞬間擺錘法向（徑向）合力為零，但切線加速度為 $-g\sin \theta$）

- 繩子之拉力大小 $F$
- 重力大小 $F_{g}= mg$

繩子的拉力 $F$ 有分力

- $$F\cos \theta = mg$$
- $$F\sin \theta = kx$$

$\because \underset{\theta \to 0}{\mathop{\lim }}\,\cos \theta =1$ $\therefore F \approx m_Gg$ $F \sin{\theta} = m_Gg \left( \frac{x}{L} \right) = k x$ 解得 $k = \frac{m_Gg}{L}$

代入 $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m_I}{k}}$

得到 $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m_IL}{m_Gg}}$

根據廣義相對論可知，$m_I = m_G\,$

故 $T= 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

### 單擺

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取 $L$ 為繩的長度， $\theta$ 為繩和垂直平面的線的交角，$\theta_0$ 為 $\theta$ 的最大值，$m$ 為錘的質量，$\ddot{\theta}$ 表示角度加速度 $\alpha = \frac{{\rm{d}}^2 \theta}{{\rm{d}} t^2}$。

忽略空氣阻力以及繩的彈性、重量的影響：

- 錘速率最高是在 $\theta = 0$ 時。當錘升到最高點，其速率為 0。繩的張力沒有對錘做功，整個過程中動能和位能的和不變，機械能守恆。

$$m L \ddot{\theta} = -m {\rm{g}} \sin \theta$$

注意到不論θ的值為何，運動週期和錘的質量無關。

當 $\theta$ 相當小的時候，$\sin\theta \approx \theta$，因此可得到一條二階齊次常係數微分方程。此為一簡諧運動，週期 $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$。

準確的運動週期不可以用基礎函數求得。考慮微分方程：

$${{\rm{d}}t\over {\rm{d}}\theta} = {1\over\sqrt{2}}\sqrt{L\over {\rm{g}}}{1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}$$

$$T = \theta_0\rightarrow0\rightarrow-\theta_0\rightarrow0\rightarrow\theta_0 = 4\left(\theta_0\rightarrow0\right)$$

$$T = 4{1\over\sqrt{2}}\sqrt{L\over {\rm{g}}}\int^{\theta_0}_0{1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}\,{\rm{d}}\theta$$

將上式重寫成第一類橢圓函數的形式：

$$T = 4\sqrt{L\over {\rm{g}}}F\left({\sin{\theta_0\over 2}}, {\pi \over 2} \right)$$

其中$F(k,\phi) = \int^{\phi}_0 {1\over\sqrt{1-k^2\sin^2{\theta}}}\,{\rm{d}}\theta.$

週期可以用級數表示成：

$$T = 2\pi \sqrt{L\over {\mathrm{g}}} \left[ 1+ \left( \frac{1}{2} \right)^2 \sin^2\frac{\theta_0}{2} + \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right)^2 \sin^4 \frac{\theta_0}{2} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \right)^2 \sin^6 \frac{\theta_0}{2} + \cdots \right]$$

$$= 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \left( 1+ \frac{1}{16}\theta_0^2 + \frac{11}{3072}\theta_0^4 + \cdots \right) = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \left[ \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{\left(2n\right)!}{2^{2n} \left(n!\right)^2} \right)^2 \sin^{2n} \left(\frac{\theta_0}{2}\right) \right]$$

### 衝擊擺

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衝擊擺是來用計算子彈速度的實驗室儀器。它的原理為：物件碰撞前後動量守恆，擺運動時能量守恆。

衝擊擺和普通擺相似，特別之處它的錘會和射入子彈產生完全非彈性碰撞，即碰撞後兩者會合為一。

將子彈射向停止的錘，使錘和子彈合在一起擺動。設錘質量為$m_p\,$，子彈質量和初速度分別為$m_b\,$和v，錘和子彈碰撞後的速度為u。

以下是子彈速度的計算方法：

由動量守恆定律。

$$m_b \times v + m_p \times 0 = (m_b + m_p) \times u$$

由能量守恆定律。

$$\frac{1}{2} (m_b + m_p) u^2 = (m_b + m_p) g h$$

解得 $v = \frac{(m_b + m_p) \sqrt{2gh}}{m_b}$。

### 倒單擺

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倒單擺有許多不同的架構，常見的有二種。

最簡單的是無質量的直桿一端接在固定的樞紐上，另一端連結重量，此架構類似一般單擺，但因為重量在樞紐點上方，直桿在重量下方，需支持重物不落下，因此會將單擺的線改為有剛性的直桿。

另外一種是將倒單擺放在可以一維水平運動的台車上，透過台車的水平運動來控制擺的位置。

倒單擺在擺直立朝上時可以平衡，不過是不穩定平衡，需要透過控制系統才能維持平衡。

### 圓錐擺

錐擺的路徑是平面上圓。擺運動時，繩的路徑為一個圓錐面。這是圓周運動。

### 複擺（物理擺/compound pendulum)

當質量不集中或不規則的物體以轉軸吊起擺動時，此擺稱作複擺（物理擺）。由於有質量分佈的緣故，週期跟剛性物體重心對轉軸的轉動慣量（I）有關。根據平行軸定理及可以求出小角度複擺週期為 $T= 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$

### 雙擺(complex pendulum/double pendulum)

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雙擺系統是混沌的。

### 磁性擺

和雙擺一樣，磁性擺系統是混沌的。

## 應用

### 傅科擺

傅科擺的移動可作為地球自轉的證據。

### 鐘擺

擺鐘。

為了減少溫度變化的影響，有不同的設計：

- 柵形補償擺（Gridiron Pendulum）：以不同金屬（鋼和銅）配搭，保持擺的長度不變
- Graham's pendulum：有一個水銀管柱，保持擺的重心不變
- 以木製擺
- Ellicott compensated pendulum：用多個擺的結構配合