達布積分

在實分析或數學分析中，達布積分（Darboux integral）是一種定義一個函數的積分的方法，它是通過達布和構造的。達布積分和黎曼積分是等價的，也就是說，一個實值函數是達布可積的若且唯若它是黎曼可積的，並且積分的值相等。達布積分的定義比黎曼積分簡單，並且更具操作性。達布積分的名字來自於數學家讓·加斯東·達布。

## 區間的分割

一個閉區間$[a,b]$的一個分割是指在此區間中取一個有限的點列$a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b$。每個閉區間$[x_i, x_{i+1}]$叫做一個子區間。定義$\lambda$ 為這些子區間長度的最大值：$\lambda = \max (x_{i+1}-x_i)$，其中$0 \le i \le n - 1$。

再定義取樣分割。一個閉區間$[a,b]$的一個取樣分割是指在進行分割$a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b$後，於每一個子區間中$[x_i, x_{i+1}]$取出一點 $x_i \le t_i \le x_{i+1}$。$\lambda$的定義同上。

精細化分割：設$x_0,\ldots,x_n$以及$t_0,\ldots,t_{n-1}$構成了閉區間$[a,b]$的一個取樣分割，$y_0,\ldots,y_m$和$s_0,\ldots,s_{m-1}$是另一個分割。如果對於任意$0 \le i \le n$，都存在$r(i)$使得$x_i = y_{r(i)}$，並存在$r(i) \le j \le r(i+1)$使得$t_i = s_j$，那麼就把分割：$y_0,\ldots,y_m$、$s_0,\ldots,s_{m-1}$稱作分割$x_0,\ldots,x_n$、$t_0,\ldots,t_{n-1}$的一個精細化分割。簡單來說，就是說後一個分割是在前一個分割的基礎上添加一些分點和標記。

於是我們可以在此區間的所有取樣分割中定義一個偏序關係，稱作「精細」。如果一個分割是另外一個分割的精細化分割，就說前者比後者更「精細」。

## 達布和

設$f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ 為一個有界函數，又設

$$P : x_0, \ldots, x_n$$

是閉區間$[a,b]$的一個分割。令:

$$M_i = \sup_{x\in[x_{i-1},x_{i}]} f(x)$$

$$m_i = \inf_{x\in[x_{i-1},x_{i}]} f(x)$$

<image>

$f$在分割$P$下的上達布和定義為：

$$U_{f, P} = \sum_{i=1}^n M_i (x_{i}-x_{i-1})$$

同樣的有下達布和的定義：

$$L_{f, P} = \sum_{i=1}^n m_i (x_{i}-x_{i-1})$$

$f$的上達布積分指的是所有上達布和的下確界：

$U_f = \inf\{U_{f,P} : P$是閉區間$[a,b]$的一個分割$\; \}$

同樣的$f$的下達布積分指的是所有下達布和的上確界：

$L_f = \sup\{L_{f,P} : P$是閉區間$[a,b]$的一個分割$\; \}$

如果$U_f=L_f$那麼$f$就稱作達布可積的，並用$\int_a^b{f(t)\,dt}$表示，記作$f$在區間$[a,b]$的達布積分。

## 性質

- 對於任何給定的分割，上達布和永遠大於等於下達布和。此外，下達布和被限制在以$b-a$為寬，以$\mathrm{inf}(f)$為高的矩形下，占據$[a,b]$。同樣，上達布和被限制在以$b-a$為寬，以$\mathrm{sup}(f)$為高的矩形上。

$$(b-a)\inf_{x \in [a,b]} f(x) \leq L_{f,P} \leq U_{f,P} \leq (b-a)\sup_{x \in [a,b]} f(x)$$

- 下達布和和上達布和滿足

$$\underline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx \leq \overline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx$$

- 對處於$(a,b)$的任意$c$

$$\begin{align} \underline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx &= \underline{\int_{a}^{c}} f(x) \, dx + \underline{\int_{c}^{b}} f(x) \, dx\\ \overline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx &= \overline{\int_{a}^{c}} f(x) \, dx + \overline{\int_{c}^{b}} f(x) \, dx \end{align}$$

- 下達布積分和上達布積分不必要是線性的。令$g:[a,b]\rightarrow R$是一個有界函數，則上達布積分和下達布積分滿足下面的不等關係。

$$\begin{align} \underline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx + \underline{\int_{a}^{b}} g(x) \, dx &\leq \underline{\int_{a}^{b}} f(x) + g(x) \, dx\\ \overline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx + \overline{\int_{a}^{b}} g(x) \, dx &\geq \overline{\int_{a}^{b}} f(x) + g(x) \, dx \end{align}$$

- 對於一個常數$c\geq 0$我們有

$$\begin{align} \underline{\int_{a}^{b}} cf(x) &= c\underline{\int_{a}^{b}} f(x)\\ \overline{\int_{a}^{b}} cf(x) &= c\overline{\int_{a}^{b}} f(x) \end{align}$$

- 對於一個常數$c\leq 0$我們有

$$\begin{align} \underline{\int_{a}^{b}} cf(x) &= c\overline{\int_{a}^{b}} f(x)\\ \overline{\int_{a}^{b}} cf(x) &= c\underline{\int_{a}^{b}} f(x) \end{align}$$

- 考慮函數$F:[a,b]\rightarrow R$定義為

$$F(x) = \underline{\int_{a}^{x}} f(x) \, dx$$

那麼$F$是利普希茨連續的。當$F$是用達布積分定義的，一個相似的結論也成立。

## 例子

### 一個達布可積函數

假設我們想證明函數$f(x) = x$在區間$[0,1]$上是達布可積的，並且確定它的值。我們需要把區間$[0,1]$分割為$n$個等大的子區間，每個區間長度為$\frac{1}{n}$。我們取$n$個等大的子區間中一個作為$P_n$。

現在因為$f(x) = x$在$[0,1]$上嚴格單增，在任意一個特定子區間上的下確界即它的起點。同樣，在任意一個特定子區間上的上確界即它的終點。在$P_n$中第$k$個子區間的起點是$\frac{k-1}{n}$，終點是$\frac{k}{n}$。那麼在一個分割$P_n$上的下達布和就是

$$\begin{align} L_{f,P_n} &= \sum_{k = 1}^{n} f(x_{k-1})(x_{k} - x_{k-1})\\ <pre> &= \sum_{k = 1}^{n} \frac{k-1}{n} \cdot \frac{1}{n}\\ &= \frac{1}{n^2} \sum_{k = 1}^{n} [k-1]\\ &= \frac{1}{n^2}\left[ \frac{(n-1)n}{2} \right] </pre> \end{align}$$

類似地，上達布和為

$$\begin{align} U_{f,P_n} &= \sum_{k = 1}^{n} f(x_{k})(x_{k} - x_{k-1})\\ <pre> &= \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{n} \cdot \frac{1}{n}\\ &= \frac{1}{n^2} \sum_{k = 1}^{n} k\\ &= \frac{1}{n^2}\left[ \frac{(n+1)n}{2} \right] </pre> \end{align}$$

由於

$$\begin{align} U_{f,P_n} - L_{f,P_n} &= \frac{1}{n} \end{align}$$

則對於任意$\varepsilon>0$，我們得到對於$n>\frac{1}{\varepsilon}$的任何分割$P_n$都滿足

$$\begin{align} U_{f,P_n} - L_{f,P_n} &< \epsilon \end{align}$$

得證$f$是達布可積的。要找到這個積分的值需要注意到

$$\begin{align} \int_{0}^{1}f(x) \, dx &= \lim_{n \to \infty} U_{f,P_n} =\lim_{n \to \infty} L_{f,P_n} = \frac{1}{2} \end{align}$$

### 一個不可積函數

如果我們有函數$f:[0,1]\rightarrow R$定義為

$$\begin{align} f(x) &= <pre> \begin{cases} 0, x\in\mathbb{Q} \\ 1, x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q} \end{cases} </pre> \end{align}$$

由於有理數和無理數都是R的稠密子集，因而斷定$f$在任何分割的任何子區間只能取0或1。所以對於任意分割$P$我們有

$$\begin{align} L_{f,P} &=\sum_{k = 1}^{n}(x_{k} - x_{k-1})\inf_{x \in [x_{k-1},x_{k}]}f = 0\\ U_{f,P} &=\sum_{k = 1}^{n}(x_{k} - x_{k-1}) \sup_{x \in [x_{k-1},x_{k}]}f = 1 \end{align}$$

從中我們可以看出上下達布和不等。

## 與黎曼積分的關係

<image>

如果分割$P' : y_0,\ldots,y_m$比分割$P : x_0,\ldots,x_n$「精細」，那麼有$U_{f, P} \ge U_{f, P'}$ 以及 $L_{f, P} \le L_{f, P'}$。這是因為$P'$實際上是將$P$中的若干個子區間再做分割，而分割後的子區間上$f$的上（下）確界必然比原來區間的上（下）確界小（大）。（見圖）

如果$P_1,P_2$是同一個區間的兩個分割（不一定要一個比另一個「精細」），那麼

$L_{f, P_1} \le U_{f, P_2}$.

所以。

$$L_f \le U_f$$

顯然，一個分割的黎曼和一定介於對應的上達布和與下達布和之間。正規的說，如果

$$P = (x_0,\ldots,x_n) \,\!$$

並且

$$T = (t_1,\ldots,t_n) \,\!$$

共同構成區間上的一個取樣分割

$$x_0 \le t_1 \le x_1\le \cdots \le x_{n-1} \le t_n \le x_n \,\!$$

(正如黎曼積分的定義中那樣)，對應$P$和$T$的黎曼和為$R$，就有

$$L_{f, P} \le R \le U_{f, P}.\,\!$$

由上可以看出，黎曼積分的第二個定義與達布積分的定義等價（見黎曼積分）。如果一個函數$f$在區間$[a,b]$的達布積分存在，那麼一個對於足夠精細的分割，上達布和與下達布和之間的差將能夠無限趨近於0（都趨近於共同的極限），因此比其更為精細的分割，黎曼和將介於上達布和與下達布和之間，於是趨於一個極限。同時，注意到對於一個分割，我們可以適當取樣使得取樣的函數值趨於上（下）確界（由確界的定義）。這表明如果黎曼和趨於一個定值，則上下達布和之間的差將趨於0，也就是說達布積分存在。