恢復係數

恢復係數（coefficient of restitution）衡量兩個物體在碰撞後的反彈程度。假若恢復係數為1，則此碰撞為彈性碰撞；假若恢復係數小於1而大於0，則此碰撞為非彈性碰撞；假若恢復係數為0，則此碰撞為完全非彈性碰撞，兩個物體黏貼在一起。

恢復係數是兩個碰撞物體之間的共同性質。但是，時常在文獻中，恢復係數會被表現為單獨物體所具有的內秉性質，而隻字不提這物體到底是與哪個物體相互碰撞。在這狀況裏，第二個物體被假定為完美彈性剛體。

## 細節

恢復係數通常在0與1之間；但理論上，恢復係數可以大於1。這代表一種產生出動能的碰撞案例。例如，當兩個地雷碰撞在一起，引起爆炸。近期一些研究發現，「斜碰撞」（oblique collision）的恢復係數可以大於1的特別案例。這是因為當圓球碰到軟牆時，回彈軌道改變而發生的現象。

恢復係數的數值也可以小於0，這代表另一種碰撞案例，這意味著，其中一個物體會超過另外一個物體，例如，子彈穿過了彈靶。

恢復係數是兩個物體相互碰撞的特性，而不是單獨物體的屬性。如果用 5 種不同的物體作碰撞實驗，則會有 ${5 \choose 2} = 10$ 種不同的組合，每種組合會有它特別的恢復係數。

## 運動器材

至少在高爾夫球運動社團，恢復係數已經融入日常詞彙裡了。這是因為高爾夫球桿廠商製造出一種長打桿，由於其桿頭的桿面很薄，會產生一種特別的「跳躍床效應」，當桿面的壓縮與恢復的自然頻率相近於高爾夫球壓縮與恢復的自然頻率時，則在恢復期間，桿面會給予高爾夫球額外的推力，能夠將球打的更遠。通常，高爾夫球的自然頻率大約為800-1300 Hz，比桿面的自然頻率低很多。採用鈦材料，能夠製出體積更大的桿頭、厚度更薄的桿面，從而降低桿面的自然頻率。根據實驗查證，150 cc體積不銹鋼桿頭的自然頻率大約為1800 Hz，而較大的250-300 cc體積鈦桿頭的自然頻率大約為1200 Hz。另外，將鈦桿面的厚度從6.35 mm減少到2.54 mm，可以提升恢復係數大約15%。應用跳躍床效應，假若桿面的自然頻率在高爾夫球的自然頻率附近，則恢復係數可以提升12%之多，這對應於大約提升發球初始速度5%。為了要最佳化跳躍床效應，必需匹配桿面與高爾夫球的自然頻率。美國高爾夫球協會核准的高爾夫球與球桿的恢復係數大約在0.79與0.85之間。

國際網球總會對於比賽用網球有很嚴格的規定。網球的恢復係數必需在0.73與0.76之間；對於高海拔比賽（超過海平面4000英呎以上），網球的恢復係數則必需在0.69與0.76之間。

國際桌球總會規定，從30.5 cm高度自由掉落的桌球，當碰撞到標準鋼鐵板塊後，應該彈回至24–26 cm高度，這對應為恢復係數在0.89與0.92之間。

對於鋪在混凝土上的油氈（linoleum）硬地板，真實皮革籃球的恢復係數大約在0.81與0.85之間，而合成皮革籃球的恢復係數大約在0.79與0.84之間。

## 相關理論

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整個碰撞過程可以分為四個時期。在「碰撞前時期」，兩個物體朝著碰撞對方移動，但尚未接觸到對方。從兩個物體互相接觸開始，然後互相壓縮對方，施加壓縮力於對方，兩個物體各自質心之間的距離越來越近，直到無法再繼續壓縮為止，這段時期是「壓縮時期」。緊接著是「恢復時期」，由於恢復力的作用，兩個物體開始恢復先前的形狀，兩個物體各自質心之間的距離越來越遠，直到不再接觸對方為止。最後是「碰撞後時期」，兩個物體完全分離，朝著不同方向越移動越遠。

假定「無磨擦模型」，壓縮力與恢復力正切於物體接觸面的分量為零，只有沿著衝擊線L的分量不等於零；另外，其它作用力可以被忽略。那麼，兩個物體在碰撞後的分離速度與碰撞前的接近速度，這兩個速度對於衝擊線L的分量的絕對值比率，就是恢復係數，以方程式表達為

$C_r=\left|\frac{\mathbf{u}_f\cdot\hat{\mathbf{n}}}{\mathbf{u}_i\cdot\hat{\mathbf{n}}}\right|$。

其中，$C_r$ 是恢復係數，$\mathbf{u}_f$ 是碰撞後的分離速度，$\mathbf{u}_i$ 是碰撞前的接近速度，$\hat{\mathbf{n}}$ 是與衝擊線同線、任意設定的單位向量，衝擊線是這兩個物體接觸時連結其各自質心的直線。

接近速度 $\mathbf{u}_i$、分離速度 $\mathbf{u}_f$ 都是相對速度，分別以方程式表達為

$\mathbf{u}_i=\mathbf{v}_{1i}-\mathbf{v}_{2i}$。

$\mathbf{u}_f=\mathbf{v}_{1f}-\mathbf{v}_{2f}$。

其中，$\mathbf{v}_{1i}$、$\mathbf{v}_{1f}$、$\mathbf{v}_{2i}$、$\mathbf{v}_{2f}$ 分別是第一個物體、第二個物體在碰撞前與碰撞後的速度。

根據這定義，恢復係數是正值，不能小於0。對於一些特別狀況，可以採用另一種恢復係數的定義，則恢復係數可能會是負值。這定義以方程式表達為

$C_r=-\ \frac{\mathbf{u}_f\cdot\hat{\mathbf{n}}}{\mathbf{u}_i\cdot\hat{\mathbf{n}}}$。

更嚴謹地定義，兩個物體碰撞的恢復係數 $C_r$ 可以以方程式表達為

$C_r\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}_{1r}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}t}{\int_{t_0}^{t_1} \mathbf{F}_{1c}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}t} =\frac{\int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}_{2r}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}t}{\int_{t_0}^{t_1} \mathbf{F}_{2c}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}t}$。

其中，$\mathbf{F}_{1c}$、$\mathbf{F}_{1r}$ 分別是第2個物體施加於第1個物體的壓縮力與恢復力，是第1個物體分別在壓縮時期與恢復時期所感受到的作用力，$\mathbf{F}_{2c}$、$\mathbf{F}_{2r}$ 分別是第1個物體施加於第2個物體到的壓縮力與恢復力，$\hat{\mathbf{n}}$ 是與衝擊線同線的單位向量，$t_0$、$t_1$、$t_2$ 分別為兩個物體開始接觸、質心距離最近、開始完全分離的時間。

這分式的分母、分子分別是物體在壓縮時期與恢復時期所感受到的衝量。由於 $\mathbf{F}_{1r}$ 與 $\mathbf{F}_{2r}$、$\mathbf{F}_{1c}$ 與 $\mathbf{F}_{2c}$ 分別是作用力與反作用力對，根據牛頓第三定律，$\mathbf{F}_{1r}=-\mathbf{F}_{2r}$、$\mathbf{F}_{1c}=-\mathbf{F}_{2c}$，所以，這方程式的兩個分式相等。

思考一維碰撞案例，則所有的速度都是純量。設定坐標軸為x-軸，與正x-軸同方向的運動的速度為正值，反方向的運動的速度為負值。恢復係數可以表達為

$C_r= -\frac{u_f}{u_i}=\frac{v_{2f} - v_{1f}}{v_{1i} - v_{2i}}$。

其中，$v_{1i}$、$v_{1f}$、$v_{2i}$、$v_{2f}$ 分別是第一個物體、第二個物體在碰撞前和碰撞後的速度。

假設一個物體碰撞的另一個物體是固定不動，像地板、牆壁，則恢復係數為

$C_r = \frac{v_{f}}{v_{i}}$。

其中，$v_{i}$ 是碰撞前的速率，$v_{f}$ 是碰撞後的速率。

假設，一個自由落體碰撞到剛硬地面，然後反彈起來，則其恢復係數是

$C_r = \sqrt{\frac{h}{H}}$。

其中，$H$ 是物體掉落前的高度，$h$ 是物體彈回的高度。

延伸至多維空間，相關的速度，皆為物體移動速度對於衝擊線的分量（衝擊線與碰撞點的正切線或正切面S相垂直）；而物體平行於正切線或正切面的移動速度，仍舊保持不變。

### 導引

從衝量的定義，可以得到

$\int_{t_0}^{t_1} \mathbf{F}_{1c}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}t =m_1 v_{c}-m_1 \mathbf{v}_{1i}\cdot\hat{\mathbf{n}}$。

$\int_{t_0}^{t_1} \mathbf{F}_{2c}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}t =m_2 v_{c}-m_2\mathbf{v}_{2i}\cdot\hat{\mathbf{n}}$。

$\int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}_{1r}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}t =m_1\mathbf{v}_{1f}\cdot\hat{\mathbf{n}}-m_1 v_{c}$。

$\int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}_{2r}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}t =m_2\mathbf{v}_{2f}\cdot\hat{\mathbf{n}}-m_2 v_{c}$。

其中，$v_{c}$ 是兩個黏貼在一起的物體的移動速度對於 $\hat{\mathbf{n}}$ 的分量。

從這些積分式與恢復係數的嚴謹定義式，可以得到

$m_1\mathbf{v}_{1f}\cdot\hat{\mathbf{n}}-m_1 v_{c} =C_r(m_1 v_{c}-m_1 \mathbf{v}_{1i}\cdot\hat{\mathbf{n}})$。

$m_2\mathbf{v}_{2f}\cdot\hat{\mathbf{n}}-m_2 v_{c} =C_r(m_2 v_{c}-m_2\mathbf{v}_{2i}\cdot\hat{\mathbf{n}})$。

所以，$v_{c}$ 為

$v_{c} =\frac{(\mathbf{v}_{1f}+C_r\mathbf{v}_{1i})\cdot\hat{\mathbf{n}}}{1+C_r} =\frac{(\mathbf{v}_{2f}+C_r\mathbf{v}_{2i})\cdot\hat{\mathbf{n}}}{1+C_r}$。

再經過一番運算，可以得到恢復係數的另一種定義式

$C_r=\frac{(\mathbf{v}_{2f}-\mathbf{v}_{1f}) \cdot\hat{\mathbf{n}}}{(\mathbf{v}_{1i}-\mathbf{v}_{2i}) \cdot\hat{\mathbf{n}}} =-\ \frac{\mathbf{u}_{f} \cdot\hat{\mathbf{n}}}{\mathbf{u}_{i} \cdot\hat{\mathbf{n}}}$。

假設第二個物體固定不動，則 $\mathbf{v}_{2i}=\mathbf{v}_{2f}=\boldsymbol{0}$。

$C_r=-\ \frac{\mathbf{v}_{1f}\cdot\hat{\mathbf{n}}}{\mathbf{v}_{1i} \cdot\hat{\mathbf{n}}} =\frac{v_{f}}{v_{i}}$。

假設第一個物體是自由落體，從高度 $H$ 掉落，碰撞到地面後，又彈回高度 $h$，則根據能量守恆定律。

$m_1 g H=m_1 {v_i}^2/2$。

$m_1 g h=m_1 {v_f}^2/2$。

因此，恢復係數與自由落體彈跳高度的關係為

$C_r=\frac{v_f}{v_i}=\sqrt{\frac{h}{H}}$。

## 碰撞後的速度

使用恢復係數，可以用方程式來計算彈性碰撞、完全非彈性碰撞、非彈性碰撞，這些碰撞事件後的速度：

$v_{1f}=\frac{m_1 v_{1i}+m_2 v_{2i}+C_r m_2( v_{2i}-v_{1i})}{m_1 + m_2}$。

$v_{2f}=\frac{m_1 v_{1i}+m_2 v_{2i}+C_r m_1( v_{1i}-v_{2i})}{m_1 + m_2}$。

其中，$m_1$、$m_2$ 分別是第一個物體、第二個物體的質量。

### 導引

前面所列方程式可以由恢復係數的方程式和動量守恆定律推導出：

$C_r=\frac{v_{2f} - v_{1f}}{v_{1i} - v_{2i}}$。

$m_1 v_{1i}+ m_2 v_{2i} = m_{1}v_{1f} + m_{2}v_{2f}$。

將這兩個方程式重新編排，可以得到

$v_{2f}=C_r(v_{1i} - v_{2i})+v_{1f}$。

$v_{1f}=(m_1 v_{1i}+ m_2 v_{2i}- m_{2}v_{2f})/m_{1}$。

將 $v_{2f}$ 的方程式代入 $v_{1f}$ 的方程式，可以得到

$v_{1f}=[m_1 v_{1i}+ m_2 v_{2i}-C_r m_{2}(v_{1i} - v_{2i})-m_{2}v_{1f}]/m_{1}$。

經過一番運算，可以得到

$v_{1f}=\frac{m_1 v_{1i}+m_2 v_{2i}+C_r m_2( v_{2i}-v_{1i})}{m_1 + m_2}$。

注意到恢復係數的方程式和動量守恆定律對於第一個物體與第二個物體的對稱性，下標1與2可以對換，而不會改變方程式的形式，所以。

$v_{2f}=\frac{m_1 v_{1i}+m_2 v_{2i}+C_r m_1( v_{1i}-v_{2i})}{m_1 + m_2}$。

## 參閱

- 碰撞
- 彈性碰撞
- 非彈性碰撞
- 完全非彈性碰撞

## 外部連結

- 物理事實書（Physics Factbook）網頁：各種材質的恢復系數列表。
- 美國物理學會網頁： Getting an extra bounce。
- 國際足球總會網頁： FIFA Quality Concepts for Footballs - Uniform Rebound。