同構基本定理

同構基本定理，或稱同態基本定理、同型定理（Isomorphism theorems），包含三個定理，在泛代數領域有廣泛的應用。它們證明了一些自然同構的存在性。

## 歷史

同構基本定理最早由埃米·諾特（Emmy Noether）在她於1927在德國數學期刊數學分析（Mathematische Annalen）發表的論文Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern中明確闡述。

## 群同構基本定理

群論中的同構基本定理形式相對簡單，卻表達了商群的重要性質。定理的敘述中用到了關於正規子群的等價類概念。

### 群同構第一定理

給定一個群同態 $f:G\to G'$，根據群同態第一基本定理，我們可以把$G$除以$f$的核，使$f$ 變成單射。

直觀來講，把一個群$G$除以$G$的子群$H$相當於把$H$裡的元素看成0(一元素）。把$f$的核除掉後，我們使得$f(x)=0$只在 $x=0$時才會成立，這是$f$的單射性的等價敘述。

我們必須先確定商群具有群的結構，才可以對$G/\operatorname{Ker} f\to G'$進行討論。

定理：

給定$G$和$G'$兩個群，和$f:G\rightarrow G'$群同態。則$\operatorname{Ker} f$是一個$G$的正規子群。

證明：

記 $\cdot$ 為$G$和$G'$的運算符號，記$e$和$e'$他們的單位元，我們可以驗證$\operatorname{Ker} f$ 在共軛運算下封閉，即對於所有$x\in G$、所有$h\in\operatorname{Ker} f$，有$x\cdot h\cdot x^{-1}\in\operatorname{Ker} f$。

我們有$f(x\cdot h\cdot x^{-1}) = f(x)\cdot f(h)\cdot f(x^{-1})$。由於$h$在$\operatorname{Ker} f$裡面，即$f(h)=e'$，我們推論$f(x\cdot h\cdot x^{-1}) = f(x)\cdot f(x^{-1}) = f(x\cdot x^{-1}) = f(e) = e'$。因此，$x\cdot h\cdot x^{-1}$在$\operatorname{Ker} f$裡面，故$\operatorname{Ker} f$是$G$的正規子群。

$\operatorname{Ker} f$是$G$的正規子群的這個性質讓我們可以在商群$G / \operatorname{Ker} f$上定義一個與$G$的運算規則相容的運算規則。因為相容性的緣故，群同態$f : G \rightarrow G'$誘導出群同構$\widehat f : G / \operatorname{Ker} f \rightarrow \operatorname{Im} f$。

我們有以下的定理：

群同構第一定理給定$G$和$G'$兩個群，$f:G \rightarrow G'$群同態，則$f$誘導出一個從$G/\operatorname{Ker} f$打到$f(G)$的群同構。

證明：

記$H$為$f$的核。我們定義$\hat f$為$\widehat f(xH) = f(x)$.

- 函數$\widehat f$定義良好，即$\widehat f(xH)$只依賴於$xH$而與代表$x$的選擇無關。理由是，若$y\in G$是$xH$的一個代表，即若$xH=yH$，則$xy^{-1}\in H=\operatorname{Ker} f$，所以$f(x)=f(y)$，從而$\widehat f(xH)=\widehat f(yH)$。
- 由商群運算的定義，$\widehat f$是一個群同態。
- 群同態$\widehat f$滿射：對於所有$y\in f(G)$，存在$x\in G$使得$f(x)=y$，由此$\widehat f(xH)=f(x)=y$。
- 群同態$\widehat f$單射。理由是：考慮$\widehat f$的核裡的任意元素$xH$，則$e'=\widehat f(xH)=f(x)$，即$x$在$f$的核$H$裡面。又$xH=H$是$G/H$的單位元。

這個定理也可以想成是一個單射與一個滿射的複合，以下為示意圖

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### 群同構第二定理

群同構第二定理：

給定群 $G$、其正規子群 $N$、其子群 $H$，則 $N \cap H$ 是 $H$ 的正規子群，且我們有群同構如下：

$$H/(H\cap N)\simeq HN/N$$

證明：

- 必須先證明$HN$確實是一個群，以及$N$限定在$HN$ 中亦是一個正規子群，才能討論商群 $HN/N$。

設 $hn$ 和 $h'n'$ 為 $HN$ 中的兩個元素。我們有 $hnh'n'=hh'(h'^{-1}nh')n'$，其中 $hh'\in H$, $h'^{-1}nh'\in N$ (因為 $N$ 在 $G$ 中正規) 且 $n'\in N$，故 $hnh'n'$ 在 $HN$ 中，其證明了 $HN$ 在乘法下封閉。不難證明他不是空集合、以及反元素的封閉性。

此外，我們有 $N\subset HN\subset G$ 的包含關係，並且 $N$ 在 $G$ 中正規，所以也在 $HN$ 中正規。

- 為了建構群同構，我們將使用群同構第一定理。

取 $j:H\hookrightarrow HN$單射群同態，定義為 $j(h)=h$。

取標準滿射 $\sigma:HN\twoheadrightarrow HN/N$ (值域是個群，因為 $N$ 在 $G$ 中正規)。藉由複合兩個群同態，我們建構出一個新的群同態 $f=\sigma\circ j:H\to HN/N$ 定義為 $f(h)=hN$。

- 群同態 $f$ 是滿射。

理由是，設 $(hn)N\in HN/N$，其中 $h\in H$ 且 $n\in N$。由於 $n$ 在 $N$ 裡面， $hnN=hN$，故$hnN=f(h)$。

- $f$ 的核是 $H\cap N$。

理由是， $f(h)=hN$ 是 $HN/N$ 的單位元，即 $N$ 若且唯若， $h$ 在 $N$ 裡面。由於 $h$ 已經在 $H$ 裡面，所以證明這個相當於證明 $h$ 在 $N\cap H$ 裡面。

- 由群同構第一定理知 $N\cap H$ 是 $H$ 的正規子群，且其誘導出的映射 $\widehat f:H/(N\cap H)\to HN/N$ 是群同構。

如果我們弱化前提，假設 $N$ 的正規化子包含 $H$ (把相等改成包含)這個定理依然正確。

### 群同構第三定理

群同構第三定理：

給定群 $G$， $N$ 和 $M$ 為 $G$ 的正規子群，滿足 $M$ 包含於 $N$，則 $N/M$ 是 $G/M$ 的正規子群，且有如下的群同構：

$$(G/M)/(N/M)\simeq G/N.$$

證明：

$G/M\to G/N,~gM\mapsto(gM)N=g(MN)=gN$ 為滿射，其核為 $N/M$

所以可由群同構第一定理得到 $(G/M)/(N/M)\simeq G/N.$

## 環和模上的形式

- 將定理中的「群」換為「R-模」，將「正規子群」換為「子模」，就得到對於確定的環R上的模的同構基本定理，（因此同構基本定理對於確定的域上的向量空間也成立）對於向量空間，同構第一基本定理即是秩-零化度定理。
- 將定理中的「群」換為「環」，「子群」換為「子環」，「正規子群」換為「理想」，「商群」換為「商環」就得到環的同構基本定理。
- 與子群的乘積HK相對應的定義是子模，子環，子空間的並，用H + K而不再用HK表示。具體的定義是：

$$H+K=\left\{ a+b| a \in H,b \in K \right\}$$

## 推廣

在泛代數中，正規子群被推廣為更廣泛的共軛類的概念。

設A是一個代數結構，A的一個同餘類是A上的一個等價關係$\Phi$，可看作是A × A上的子代數。等價類A/$\Phi$的集合在定義了適合的運算法則後，便可成為與A同類型的代數結構。

### 第一同構定理

設A和B是兩個代數結構，f是A到B的態射，則A等價關係$\Phi$：a~b若且唯若f(a)=f(b) 是A上的一個同餘類，並且A/$\Phi$同構於f的像（B的子代數）。

### 第二同構定理

設B是A的子代數，$\Phi$是A上的同餘類。令B$\Phi$是所有包含B種元素的同餘類的集合，它是A/$\Phi$的一個子集；$\Phi_B$是$\Phi$限制在B × B上的部分。那麼B$\Phi$是A/$\Phi$的子代數結構，$\Phi_B$是B上的同餘類，並且B$\Phi$同構於B/$\Phi_B$。

### 第三同構定理

設A是一個代數結構，$\Phi$和$\Psi$是A上的兩個同餘關係，$\Psi$包含於$\Phi$。則$\Phi$定義了A/$\Psi$上的一個同餘類$\Theta$：a~b若且唯若a與b關於 $\Phi$同餘（a表示a所在的$\Psi$-等價類），並且A/$\Phi$同構於(A/$\Psi$)/$\Theta$。