碰撞

碰撞（collision）在物理學中表現為兩粒子或物體間極短的相互作用。碰撞前後參與物發生速度，動量或能量改變。由能量轉移的方式區分為彈性碰撞和非彈性碰撞。彈性碰撞是碰撞前後整個系統的動能不變的碰撞。彈性碰撞的必要條件是動能沒有轉成其他形式的能量（熱能、轉動能量），例如原子的碰撞。非彈性碰撞是碰撞後整個系統的部分動能轉換成至少其中一碰撞物的內能，使整個系統的動能無法守恆。

下面示例的碰撞原理的數學表述是由克里斯蒂安·惠更斯於1651年到1655年間提出的。

## 碰撞過程的總述和分類

通過作用在兩個碰撞物接觸點的切線稱為「撞擊線」。通過撞擊線的接觸點構成兩個碰撞物的總切面，稱作「接觸面」。

設兩個物體的質量為$m_1$ 和 $m_2$, 它們的初速度為 $\vec{v}_1$ 和 $\vec{v}_2$, 末速度為 $\vec{v}_{1}'$ 和$\vec{v}_{2}'$. 碰撞瞬時總速度為$\vec{u}$.

在「垂直碰撞」中，兩個碰撞物的重心在同一撞擊線上，在「斜碰撞」中則不然。當末速度向量隨撞擊線平行擺動，則稱為「正面撞擊」，否則稱為「非正面撞擊」。

碰撞後碰撞物能夠恢復碰撞前的形態稱為「彈性碰撞」，某些機械能沒有轉換為熱能並產生變形的碰撞，稱為「非彈性碰撞」，二者之間的情況則是「實際碰撞」。

## 正面碰撞

下面將只針對正面撞擊進行闡述，預設碰撞物可以自由移動，兩個碰撞物的速度因子較撞擊線不變： $\vec{v}_{n}=\vec{v}_{n}'$, 因此碰撞力只能沿著撞擊線作用。碰撞物中心垂直於撞擊線，物體碰撞後不會發生旋轉運動。由此速度因子$v_1$ 和 $v_2$ (標量) 平行於撞擊線.

## 彈性碰撞

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兩個物體互相碰撞，能量不轉換為內能（如熱或變形），碰撞前動能和與碰撞後動能和相等。在動量守恆定律中碰撞前的動量（向量）和同樣等於碰撞後的動量和。

理想彈性碰撞在宏觀上是一個物理模型。由於摩擦和其他因素的存在，系統總會損失動能。相關的模型如撞球和橡膠球。

在原子和基本粒子的碰撞中，依據量子力學存在一個最小能，這個最小能給原子或其他粒子以推動力，或在量子物理學中創造和和轉換粒子提供必要條件。這個能量仍然不足以發生理想彈性碰撞。

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對於理想彈性碰撞，碰撞前後的動能和必須相等：

$$\begin{align} <pre> \frac{m_1 \cdot |v_1|^2}{2} + \frac{m_2 \cdot |v_2|^2}{2} & = \frac{m_1 </pre> \cdot |v_1'|^2}{2} + \frac{m_2 \cdot |v_2'|^2}{2} \\ <pre> \frac{m_1 \cdot v_1^2}{2} - \frac{m_1 \cdot v_1'^2}{2} & = \frac{m_2 \cdot </pre> v_2'^2}{2} - \frac{m_2 \cdot v_2^2}{2} \\ <pre> \frac{m_1}{2}\cdot (v_1-v_1')(v_1+v_1') & = \frac{m_2}{2}\cdot (v_2'-v_2) </pre> (v_2'+v_2) \\ <pre> \end{align}$$

按照動量守恆定律，速度向量為：

$$\begin{align} <pre> (m_1 \cdot v_1) + (m_2 \cdot v_2) & = (m_1 \cdot v_1') + (m_2 \cdot v_2') \\ (m_1 \cdot \vec{v_1}) - (m_1 \cdot \vec{v_1'}) & = (m_2 \cdot \vec{v_2'}) - </pre> (m_2 \cdot \vec{v_2}) \\ <pre> m_1 \cdot (\vec{v_1} - \vec{v_1'}) & = m_2 \cdot (\vec{v_2'} - \vec{v_2}) \\ \end{align}$$

動量的方向不可忽略，因為向量和在n維空間（n>1）中是一個大數值。向量平方在能量守恆定律中視作標量。因此請注意，以下算式中速度與碰撞方向相同（相切），而不是相交。

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在一維空間中兩個物體的速度滿足兩個未知量 $v_1'$、$v_2'$ :

$$v_1' = \frac{(m_1 - m_2) \cdot v_1 + 2\ m_2 \cdot v_2}{m_1 + m_2}$$

$$v_2' = \frac{(m_2 - m_1) \cdot v_2 + 2\ m_1 \cdot v_1}{m_1 + m_2}$$

$m_1=m_2$ 是以下方程的解:

$$v_1' = v_2$$

$$v_2' = v_1$$

在二維或多維空間中必須將碰撞依據碰撞角拆開分析。

## 非彈性碰撞

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在「非彈性碰撞」中一部分動能轉化為內能(U)。當物體在碰撞時發生變形或發熱時，碰撞稱為「非彈性的」。

兩個守恆定律依舊生效:

$$E_{kin} = \frac{m_1 \cdot v_1^2}{2}$$

$$p = m_1 \cdot v_1$$

$$E_{kin} = \frac{m_1 \cdot v_1'^2 + m_2 \cdot v_2'^2}{2} + U$$

$$p' = m_1 \cdot v_1' + m_2 \cdot v_2'$$

在完全非彈性碰撞中，儘可能多的動能部分轉化為內能。因此兩個物質在碰撞後「黏」在一起並按照相同的速度（見下$v_2'$）繼續飛行。例如兩個橡皮泥球在碰撞後互相粘在一起並按同一速度繼續移動。

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$$E_{kin} = \frac{(m_1 + m_2) \cdot v_2'^2}{2} + U$$

$$p' = (m_1 + m_2) \cdot v_2'$$

依據動量守恆定律可微分:

$$m_1 \cdot v_1 = (m_1 + m_2) \cdot v_2' - m_2 \cdot v_2$$

$$v_2' = \frac{m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2}{m_1 + m_2}$$

依據能量守恆定律可計算內能 $U$:

$$\begin{align} <pre> \frac{m_1}{2} \cdot v_1^2 & = \frac{(m_1 + m_2) \cdot v_2'^2}{2} + U \\ \frac{m_1}{2} \cdot v_1^2 & = \frac{m_1 + m_2}{2} \cdot \frac{m_1^2} </pre> {(m_1 + m_2)^2} \cdot v_1^2 + U \\ <pre> \end{align}$$

$$U = \frac{1}{2} \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{m_1 + m_2} \cdot v_1^2$$

## 實際碰撞

兩個物體間的實際碰撞是參考理想彈性碰撞和理想非彈性碰撞的混合模型來表述的。這個混合模型可以通過係數「k」來表達。

$$k = \frac{v_1' - v_2'}{v_2 - v_1}$$

k = 0: 完全非彈性碰撞

k = 1: 完全彈性碰撞

作為系統只考慮其中之一，所以並不考慮動能守恆，否則系統就改變了其狀態。

## 超彈性碰撞

在超彈性碰撞中內能轉換超過最少中一個碰撞物的動能。其動能在此次碰撞後大於其碰撞前的動能。數學表達同總述的非彈性碰撞，為 $U < 0$.

## 反應碰撞

反應碰撞來自反應，如化學反應或通過高能粒子在量子物理學中的碰撞產生新的粒子。在此必須注意，碰撞前後不同的粒子提供了能量和動量。在碰撞過程中速度變化的同時也存在粒子質量和數量的變化。

反應碰撞的一種類型如「電負性交換」：一個原子，分子或離子，一個或多個電子交換的原子物理學過程。很可能在此過程中一個電子給其中一個碰撞物帶上正電性。如太陽風中的正電子（參見高能離子）通過彗星周圍的氣層時被捕獲並發出x射線。

## 散射

在粒子物理，原子物理或者當一個光子作為碰撞物之一時，碰撞也稱為散射，散逸或漫射。當一個粒子在碰撞中向另一個能級躍遷時，也稱作非彈性碰撞（非彈性散射）。當多數光子參與一個非彈性散射時會改變其總波長。相關請參閱散射和散射原理

## 參閱

- 彈性碰撞
- 非彈性碰撞
- 撞擊坑
- 動力學
- 撞擊

## 參考書籍

- Christiaan Huygens, Felix Hausdorff: Christiaan Huygens' nachgelassene Abhandlungen: Über die Bewegung der Körper durch den Stoss : Über die Centrifugalkraft / Hrsg. von Felix Hausdorff. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig, um 1921 （德語）

## 連結

- Der elastische Stoß in drei Dimensionen einschließlich Herleitung unter Benutzung der Impuls- und Energieerhaltung (德語)