無效證明

在數學裡，有著許多明顯矛盾的虛假證明存在。即使其證明是有缺陷的，其錯誤——通常是經過設計的——卻常是較難抓摸的。這些謬誤一般都儘止於好奇而已，但可以被用來顯示嚴謹在數學中的重要性。

大多數此類的證明都仰賴著同種錯誤的變形。此一錯誤為採一非單射的函數$f$，以觀察對某些$x$和$y$，會有$f(x)=f(y)$，來（錯誤地）做出$x=y$的結論。零除數是此類錯誤的一特例；$f$為將$x$映射至$x\times 0$的函數，而其錯誤的一步是起於將$x\times 0=y\times 0$的等式做成$x=y$的結論。相似地，下面證明了$5=4$的句子也是以函數$f(x)=x^{2}$的同一種錯誤造成的。其錯誤的一步始於有某個$x$和$y$會使得$x^{2}=y^{2}$的一正確申論，然後做出了$x=y$的一錯誤結論。

## 算術例子

### 證明1是最大的正整數

- 假設最大的正整數不是$1$，而是$a$，有$a > 1$。
- $a > 1 > 0$，$a$為正的，所以由$a > 1$得到$a \times a > a$。
- 但是$a \times a$還是正整數，可是沒有任何正整數比$a$大，矛盾。
- 所以最大的正整數是1。

Q.E.D.

此一證明是無效的，因為最大的正整數不存在，因此不能如此假設。

### 證明-1等於1

- 由一等式開始
- $$-1 = -1 \,$$
- 將兩邊轉成假分數
- $$\frac{-1}{1} = \frac{1}{-1}$$
- 將兩邊開方
- $$\sqrt{\frac{-1}{1}} = \sqrt{\frac{1}{-1}}$$
- 其會等於
- $$\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}$$
- 兩邊同乘$\sqrt{-1}$以來消去分數
- $$\sqrt{ -1}\sqrt{-1} = \sqrt{1}\sqrt{1}$$
- 但任一數的開方之平方會給出原本的數來，故
- $$-1 = 1 \,$$

Q.E.D.

此一證明是無效的，因為負數的開方不是實數，$\sqrt{\frac{1}{-1}} = \sqrt{\frac{-1}{1}}$推出$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = \frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}$是錯誤的（事實上，$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = -i$，$\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}} = i$）。

### 證明1等於2

1.令$a = b \,$，且$a \ne 0$

2.將兩邊乘以a

$$a^{2} = ab \,$$

3.將兩邊減掉$b^{2} \,$

$$a^{2} - b^{2} = ab - b^{2} \,$$

4.將兩邊因式分解

$$(a + b)(a - b) = b(a - b) \,$$

5.將兩邊除以$a - b \,$

$$a + b = b \,$$

6.因為$a = b \,$因此

$$b + b = b \,$$

7.簡化

$$2b = b \,$$

8.將兩邊除以b

$$2 = 1 \,$$

Q.E.D.

這個證明的錯誤點在於第五步，$\,$正因為a=b所以a-b等於零，而除以零是無效的。

### 證明4等於5

- 由一等式開始
- $$-20 = -20 \,$$
- 將等式兩邊以稍微不同但相等的方式表示
- $$25 - 45 = 16 - 36 \,$$
- 將兩邊做因式分解
- $$5^2 - 5 \times 9 = 4^2 - 4 \times 9$$
- 將兩邊加上相同的數
- $$5^2 - 5 \times 9 + \frac{81}{4} = 4^2 - 4 \times 9 + \frac{81}{4}$$
- 將兩邊再做一次因式分解
- $$\left(5 - \frac{9}{2}\right)^2 = \left(4 - \frac{9}{2}\right)^2$$
- 將兩邊開方
- $$5 - \frac{9}{2} = 4 - \frac{9}{2}$$
- 消去相同的項
- $$5 = 4 \,$$

Q.E.D.

那一證明內的錯誤在於$x^2 = y^2$不表示$x = y$的這一事實。到此之前的算術都是正確的，而事實上，$-\left(5 - \tfrac{9}{2}\right) = 4 - \tfrac{9}{2}$。需注意的是，若將4減去$\tfrac{9}{2}$，會得到$-\tfrac{1}{2}$。若再平方的話，則會得到正的$\tfrac{1}{4}$。其下一個邏輯的數學步驟為取兩邊的平方。若這樣做的話，則將會看見$\tfrac{1}{2}$會等於$\tfrac{1}{2}$。原始的$-20=-20$式子事實上是會導致一個正確的等式的（若此一問題是以此一純粹的方式運算的話）。

### 證明1+1=0

- 求$1+1$︰

$$\begin{align} 1+1&=1+\sqrt{1} \\ &=1+\sqrt{(-1)(-1)} \\ &=1+\sqrt{-1} \times \sqrt{-1} \\ &=1+i \times i \\ &=1+(-1) \\ &=0\\ \end{align}$$

Q.E.D.

此證明的錯誤在於$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$只有在a與b不皆為負數才成立，$\sqrt{(-1)(-1)}$並不等於$\sqrt{-1} \times \sqrt{-1}$。

### 證明0=1

首先，設定一個無窮級數。

$$0 = 0 + 0 + 0 + \cdots$$

因為$0 = 1 - 1$，因此：

$$0 = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + \cdots$$

拆括號之後在於不同的地方加上括號：

$$0 = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + \cdots$$

$-1 + 1 = 0$，因此：

$$0 = 1 + 0 + 0 + 0 + \cdots$$

$$0 = 1 \,$$

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於，無窮等比級數在公比的絕對值大於等於一的情況下，將括號插入無窮級數求無窮和是沒有意義的，因為這樣的無窮等比級數和發散。因此這類條件不適用於格蘭迪級數 $s = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$。

### 證明任何數字等於1/任何數字

$$-\frac{1}{b}$$

$$=-\frac{\frac{a}{a}}{b}$$

$$=-\frac{a}b{} \cdot \frac{1}{a}$$

$$\frac{-\frac{a}{b}}{-\frac{1}{b}} = \frac{1}{a}$$

$$-\frac{a}{b} \cdot -b = \frac{1}{a}$$

$$a = \frac{1}{a}$$

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於，$\frac{-\frac{a}{b}}{-\frac{1}{b}}$ 不等於 $\frac{1}{a}$，正確等式應是$\frac{-\frac{1}{b}}{-\frac{a}{b}} = \frac{1}{a}$（下一步：$\frac{1}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{1}{a}$）。

### 證明0/0等於0

首先，我們知道：

$$0 ^ 4 = 0 \times 0 \times 0 \times 0 = 0\,$$

$$0 ^ 2 = 0 \times 0 = 0\,$$

由於$a ^ {m - n} = \frac{a ^ m}{a ^ n}$

因此$\frac{0 ^ 4}{0 ^ 2} = 0^{4 - 2} = 0 ^ 2 = 0$

因此$\frac{0}{0} = 0$

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於，$a ^ {m - n} = \frac{a ^ m}{a ^ n}$成立的前提有$a \ne 0$。

### 證明任意兩數都是相等的

設$u = a \ , \ v = b - c\,$ 設$a = x - y \ , \ b = (x + y)^2 \ , \ c = 4 (x^2 - x y + y^2)\,$

由和立方與差立方公式可知：

$$(u + \sqrt {v})^3 = u^3 + 3 u^2 \sqrt{v} + 3 u v + v \sqrt{v}$$

$$(u - \sqrt {v})^3 = u^3 - 3 u^2 \sqrt{v} + 3 u v - v \sqrt{v}$$

由於$u = a \ , \ v = b - c\,$

$$(a + \sqrt {b - c})^3 = a \ (a^2 + 3 b - 3 c) + (3 a^2 + b - c)\sqrt{b - c}$$

$$(a - \sqrt {b - c})^3 = a \ (a^2 + 3 b - 3 c) - (3 a^2 + b - c)\sqrt{b - c}$$

將$a = x - y \ , \ b = (x + y)^2 \ , \ c = 4 (x^2 - x y + y^2)\,$代入$3 a^2 + b - c\,$，可得：

$$3 a^2 + b - c = 3 (x^2 - 2 x y + y^2) + x^2 + 2 x y + y^2 - 4 (x^2 - x y + y^2) = 0\,$$

因此：

$$\begin{align} (a + \sqrt{b - c})^3 &= (a - \sqrt {b - c})^3 \\ a + \sqrt{b - c} &= a - \sqrt {b - c} \\ \sqrt {b - c} &= 0 \\ b - c &= 0 \\ b &= c \\ \end{align}$$

代入$b = (x + y)^2 \ , \ c = 4 (x^2 - x y + y^2)\,$，可得：

$$\begin{align} (x + y)^2 &= 4 (x^2 - x y + y^2) \\ x^2 + 2 x y + y^2 &= 4 (x^2 - x y + y^2) \\ -3 x^2 + 6 x y - 3 y^2 &= 0 \\ (x - y)^2 &= 0 \\ x - y &= 0 \\ x &= y \\ \end{align}$$

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於：

1、在以上的假設下，可得$v=b-c=(x+y)^2-4(x^2-xy+y^2)=-3(x-y)^2=-3a^2=-3u^2$，所以$u$和$v$並不是獨立的。

2、在複數域中，由$x^3=y^3$得不出$x=y$。在此證明中，由$(a+\sqrt{b-c})^3=(a-\sqrt{b-c})^3$得出$a+\sqrt{b-c}=a-\sqrt{b-c}$是錯誤的。

## 幾何例子

### 第一題：證明任何三角形都是正三角形

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給定三角形△ABC，證明AB = AC:

- 作∠A的角平分線。
- 作BC的垂直平分線，並設BC的中點為D。
- 設這兩條直線的交點為P。
- 從P向AB和AC作垂線，並設垂足為E和F。
- 作直線PB和PC。
- △EAP ≅ △FAP（AP = AP；∠PAF ≅ ∠PAE由於AP平分∠A；∠AEP ≅ ∠AFP都是直角）。
- △PDB ≅ △PDC（∠PDB、∠PDC是直角；PD = PD；BD = CD由於PD平分BC）。
- △EPB ≅ △FPC（EP = FP由於△EAP ≅ △FAP；BP = CP由於△PDB ≅ △PDC；∠EPB ≅ ∠FPC由於它們是對頂角）。
- 因此，AE ≅ AF，EB ≅ FC，AB = AE + EB = AF + FC = AC。
- 同理，AB = BC，AC = BC。

證畢。

這個證明的錯誤在於，只有在△ABC為等腰三角形，P才會位於三角形的內部，而且AP與DP會重合。

### 第二題：證明直角等於鈍角

給定一個矩形ABCD，證明∠DCB=∠ECB。

- 在矩形ABCD外作CE=CD。
- 聯結AE。
- 作BC、AE的中垂線，它們的垂足分別是G、F，兩條直線交於H。
- 在中垂線上的點到線段兩端的距離是相等的，所以HA=HE，HB=HC。
- 矩形的對邊相等，得AB=DC；加上作圖要求，得AB=EC。
- 利用S.S.S得△ABH≅△ECH。於是得∠ABH=∠ECH。
- 由於HB=HC，則得∠HBC=∠HCB。
- 等量減等量，得∠ABC=∠ECB。
- 矩形的四個角都是90°，得∠ABC=∠ECB=90°。

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於，由於△ABH≅△ECH，則∠BHA=∠CHE，即∠AHE=∠BHC-∠BHA+∠CHE，可以把∠AHE看作是∠BHC的旋轉，因AH穿過了矩形ABCD，則EH是不可能穿過矩形ABCD的。

## 微積分例子

### 證明0等於1

我們從計算以下的不定積分開始：

$$\int \frac{1}{x} dx$$

利用分部積分法，可得：

$u=\frac{1}{x}$，$dv=dx$

因此：

$du=-\frac{1}{x^2}dx$，$v=x$

所以，有：

$$\int \frac{1}{x} dx=\frac{x}{x} - \int \left ( - \frac{1}{x^2} \right ) x dx$$

$$\int \frac{1}{x} dx=1 + \int \frac{1}{x} dx$$

$$0 = 1 \,$$

證畢。

這個證明的錯誤在於，忽略了積分完會出現的積分常數C。若繼續計算，會得到$1 + \int \frac{1}{x} dx=1 + \ln\ |x|+C=\ln\ |x|+C'$。