長球面坐標系

長球面坐標系（Prolate spheroidal coordinates）是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於 xz-平面；兩個焦點 $F_{1}$ 與 $F_{2}$ 的直角坐標分別為 $(0,\ 0,\ - a)$ 與 $(0,\ 0,\ a)$。將橢圓坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到長球面坐標系。（假若，繞著 y-軸旋轉，則可以得到扁球面坐標系。）橢圓坐標系的兩個焦點，包含於 z-軸。長球面坐標系可以被視為橢球坐標系的極限案例，其兩個最短的半軸的長度相同。

## 基本定義

在三維空間裏，一個點 P 的長球面坐標 $(\mu,\ \nu,\ \phi)$ 常見的定義是

$x = a \ \sinh \mu \ \sin \nu \ \cos \phi$。

$y = a \ \sinh \mu \ \sin \nu \ \sin \phi$。

$z = a \ \cosh \mu \ \cos \nu$。

其中，$\mu\ge 0$ 是個實數，弧度 $0 \le \nu \le \pi$，弧度 $0 \le \phi \le 2\pi$。

### 坐標曲面

$\mu$ 坐標曲面是長球面：

$\frac{z^{2}}{a^{2} \cosh^{2} \mu} + \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \sinh^{2} \mu} = \cos^{2} \nu + \sin^{2} \nu = 1$。

每一個長球面都是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交，是一個橢圓。沿著 x-軸，橢圓的短半軸長度為 $a\sinh\mu$，沿著 z-軸，橢圓的長半軸長度為 $a\cosh\mu$。橢圓的焦點都包含於 z-軸，z-坐標分別為 $\pm a$。

$\nu$ 坐標曲面是半個旋轉雙葉雙曲面：

$\frac{z^{2}}{a^{2} \cos^{2} \nu} - \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \sin^{2} \nu} = \cosh^{2} \mu - \sinh^{2} \mu = 1$。

當 $\nu<\pi/2$ 時，坐標曲面在 xy-平面以上；當 $\nu>\pi/2$ 時，坐標曲面在 xy-平面以下。

$\phi$ 坐標曲面是個半平面：

$x\sin\phi - y\cos\phi=0$。

### 標度因子

長球面坐標 $\mu$ 與 $\nu$ 的標度因子相等：

$h_{\mu} = h_{\nu} = a\sqrt{\sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu}$。

方位角 $\phi$ 的標度因子為

$h_{\phi} = a \sinh\mu \ \sin\nu$。

無窮小體積元素是

$dV = a^{3} \sinh\mu \ \sin\nu \ \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right) d\mu d\nu d\phi$。

拉普拉斯算子是

$\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{a^{2} \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right)} \left[ \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \mu^{2}} + \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \nu^{2}} + \coth \mu \frac{\partial \Phi}{\partial \mu} + \cot \nu \frac{\partial \Phi}{\partial \nu} \right] + \frac{1}{a^{2} \sinh^{2}\mu \sin^{2}\nu} \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}$。

其它微分算子，像 $\nabla \cdot \mathbf{F}$， $\nabla \times \mathbf{F}$，都可以用 $(\mu,\ \nu,\ \phi)$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

### 應用

當邊界條件涉及長球面時，長球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式。例如，位置分別在 z-軸兩個焦點的電子，會產生怎樣的靜電場？一個關於氫離子 $H_2^+$ 的問題是，當移動於兩個正價的原子核中間時，一個電子的波函數是什麼？另外一個很實際的問題是，兩個小電極尖端之間的電場是什麼？極限案例包括一根電線段 ($\mu=0$) 產生的電場，缺了一線段的一根電線 ($\nu=0$) 產生的電場。

## 第二種表述

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另外，還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系 $(\sigma,\ \tau,\ \phi)$：

$\sigma=\cosh\mu$。

$\tau=\cos \nu$。

$\phi=\phi$。

其中，$\sigma\ge 1$ 是個實數，$1\ge \tau\ge - 1$ 是個實數，弧度 $0 \le \phi \le 2\pi$。

與扁球面坐標系不同，長球面坐標系並沒有簡併。在三維空間裏，長球面坐標系與直角坐標有一一對應關係:

$x = a \sqrt{\left( \sigma^{2} - 1 \right) \left(1 - \tau^{2} \right)} \cos \phi$。

$y = a \sqrt{\left( \sigma^{2} - 1 \right) \left(1 - \tau^{2} \right)} \sin \phi$。

$z = a\ \sigma\ \tau$。

### 坐標曲面

$\sigma$ 坐標曲面是長球面：

$\frac{z^{2}}{a^{2} \sigma^{2}} + \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2}(\sigma^{2} - 1)}=1$。

每一個長球面都是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交，是一個橢圓。沿著 x-軸，橢圓的短半軸長度為 $a \sqrt{\sigma^2 - 1}$，沿著 z-軸，橢圓的長半軸長度為 $a\sigma$。橢圓的焦點都包含於 z-軸，z-坐標分別為 $\pm a$。

$\tau$ 坐標曲面是半個旋轉雙曲面：

$\frac{z^{2}}{a^{2}\tau^2} - \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2}(1 - \tau^2)}=1$。

當 $\tau>0$ 時，坐標曲面在 xy-平面以上；當 $\tau<0$ 時，坐標曲面在 xy-平面以下。

$\phi$ 坐標曲面是個半平面：

$x\sin\phi - y\cos\phi=0$。

任何一點 P 與焦點 $F_{1}$，$F_{2}$ 的距離 $d_1$，$d_2$，可以一個很簡單的公式表示：

$d_{1}+d_{2} = 2a\sigma$。

$d_{1} - d_{2}= 2a\tau$。

所以，點 P 與焦點 $F_{1}$ 的距離 $d_1$ 是 $a(\sigma+\tau)$，點 P 與焦點 $F_{2}$ 的距離 $d_2$ 是 $a(\sigma - \tau)$。（回想 $F_{1}$，$F_{2}$ 都是在 z-軸，分別位於 $z= - a$，$z=+a$。）

### 標度因子

第二種長球面坐標 $(\sigma,\ \tau,\ \phi)$ 的標度因子分別為:

$h_{\sigma} = a\sqrt{\frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{\sigma^{2} - 1}}$。

$h_{\tau} = a\sqrt{\frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{1 - \tau^{2}}}$。

$h_{\phi} = a \sqrt{\left( \sigma^{2} - 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)}$。

無窮小體積元素是

$dV = a^{3} \left( \sigma^{2} - \tau^{2} \right) d\sigma d\tau d\phi$。

拉普拉斯算子是

$\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} - \tau^{2} \right)} \left\{ \frac{\partial}{\partial \sigma} \left[ \left( \sigma^{2} - 1 \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma} \right] + \frac{\partial}{\partial \tau} \left[ \left( 1 - \tau^{2} \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \tau} \right] \right\} + \frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} - 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)} \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}$。

其它微分算子，像 $\nabla \cdot \mathbf{F}$， $\nabla \times \mathbf{F}$，都可以用 $(\mu,\ \nu,\ \phi)$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

### 應用

如同球坐標解答的形式為球諧函數，拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解，得到形式為長扁球諧函數的答案。假若，邊界條件涉及長球面，我們可以優先選擇這方法來解析。

## 參考目錄

### 不按照命名常規

- 採用 $\xi_1=a\cosh\mu$、$\xi_2=\sin\nu$、$\xi_3=\cos\phi$。
- 如同 Morse & Feshbach (1953)，採用 $u_k$ 來替代 $\xi_k$。
- 採用混合坐標 $\xi=\cosh\mu$、$\eta=\sin\nu$、$\phi=\phi$。

### 按照命名常規

- 採用第一種表述 $(\mu,\ \nu,\ \phi)$，又加介紹了簡併的第三種表述 $(\sigma,\ \tau,\ \phi)$。
- 如同 Korn and Korn (1961)，但採用餘緯度 $\theta=90^{\circ} - \nu$ 來替代緯度 $\nu$。
- Moon and Spencer 採用餘緯度常規 $\theta=90^{\circ} - \nu$，又改名 $\phi$ 為 $\psi$。

### 特異命名常規

- 視長球面坐標系為橢球坐標系的極限。