調和級數

調和級數（Harmonic series）是正整數的倒數之和，是發散的無窮級數，表達式為：

$$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots\,\!$$

這級數名字源於泛音及泛音列：振動的弦的泛音的波長依次是基本波長的$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{4}$......等。調和序列中，第一項之後的每一項都是相鄰兩項的調和平均數；而「調和平均數」一詞同樣也源自音樂。

## 歷史

早在14世紀，尼克爾·奧里斯姆已經證明調和級數發散，但知道的人不多。17世紀時，皮耶特羅·曼戈里、約翰·伯努利和雅各布·伯努利完成了全部證明工作。

調和序列歷來很受建築師重視；在巴洛克時期尤其明顯。當時建築師在建造教堂和宮殿時，運用調和序列為樓面布置和建築物高度建立比例，並使室內外的建築細節間呈現和諧的聯繫。

## 佯謬

<image>

對剛接觸這級數的人而言，調和級數違反直覺——儘管隨$n$不斷增大，$\frac{1}{n}$無限接近0，但它卻是發散級數。調和級數也因此成為一些佯謬的原型。「橡皮筋上的蠕蟲」就是其中一例。假設蠕蟲沿著1米長的橡皮筋爬行，而橡皮筋每分鐘勻速伸展1米。如果相對於其所在的橡皮筋，蠕蟲的爬行速度是每分鐘1厘米，那麼它最終會到達橡皮筋的另一頭嗎？與直覺相反，答案是肯定的：$n$分鐘之後，蠕蟲爬行過的距離與橡皮筋總長度的比值為：

$\frac{1}{100}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$。

調和級數發散（證明見本條目「發散」一節），即$n$趨於無窮大時級數也趨於無窮大，這比值也必定在某時刻超過1；也就是說，蠕蟲最終一定會到達橡皮筋另一頭。然而，在這時刻的n的值極其之大，約為$e^{100}$，超過1040（1後面有40個零）。這也說明了，儘管調和級數確確實實是發散，但它發散的速度非常慢。

另一例：假設有一堆完全相同的骨牌，可以肯定的是，它們可以疊在一起，並使得每塊骨牌都突出其下方骨牌外一定長度，最終使得最上層的骨牌完全在最底層骨牌以外甚至更遠。違反直覺的是，只要骨牌夠多，就可以使最上層的骨牌與最底層骨牌水平距離無窮遠。較簡單的證明如下：

設每一塊骨牌的長度為$l_0$。再設一疊$n$塊平衡的骨牌的質心與最底層骨牌最右端的距離為$d_n$；在只有1塊骨牌時，質心就在骨牌的幾何中心（假設骨牌密度均勻），即$d_1\,=\,\frac{l_0}{2}$。對於一疊剛好平衡的骨牌（即對於任意一層骨牌，在其之上的骨牌的質心恰好落在其邊緣），新骨牌不置於其上方（否則使得質心往右偏移而倒塌），而是墊在整疊骨牌之下，並使得原有骨牌的質心剛好落在新骨牌的最左端（則原來的骨牌不會倒塌）；設從上往下第n層骨牌突出其下方骨牌的長度為$l_n$，則有：$d_n+l_n=l_0$。根據質心的坐標系計算公式，可得到新的骨牌疊的質心為：

$$d_{n+1}\,=\,\frac{(d_n+l_n)n+\frac{l_0}{2}}{n+1}\,=\,\frac{l_0\cdot n+\frac{l_0}{2}}{n+1}\,=\,\frac{l_0\cdot (n+1)-\frac{l_0}{2}}{n+1}\,=\,l_0- \frac{\frac{l_0}{2}}{n+1}$$

則$l_{n+1} = l_0 - d_{n+1} = \frac{\frac{l_0}{2}}{n+1}$，即$l_n = \frac{l_0}{2} \cdot \frac{1}{n}$。

也就是說，理想的擺法是：最頂層骨牌與第二層之間水平距離是骨牌長度的$\frac{1}{2}$，第二、三層間水平距離是骨牌長度的$\frac{1}{4}$，第三、四層之間水平距離是骨牌長度的$\frac{1}{6}$......依此類推。最終。

$$l_{\mathrm{total}} = \frac{l_0}{2} \cdot \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$$

調和級數發散，當骨牌數目$n$趨於無窮大時，水平距離也趨於無窮大。

## 發散

### 比較審斂法

$$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{9}+\cdots\right.$$

$$\ge \sum_{k=1}^\infty 2^{-\lceil \log_2 k \rceil}\,\!$$

$$= 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{16}+\cdots\right.\,\!$$

$$= 1 +\ \frac{1}{2}\ + \qquad\frac{1}{2} \ \quad+ \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \ \quad\ \cdots \,\!\;=\;\; \infty.$$

因此該級數發散。

### 積分判別法（integral test）

<image>

將調和級數的和與一個瑕積分比較可證此級數發散。考慮右圖中長方形的排列：長方形寬1單位、高$\frac{1}{n}$單位（換句話說，每個長方形的面積都是$\frac{1}{n}$），所有長方形的總面積就是調和級數的和：

矩形面積和

$$= 1 \,+\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,+\, \cdots$$

而曲線$y=\frac{1}{x}$以下、從1到正無窮部分的面積由以下瑕積分給出：

曲線下面積

$= \int_1^\infty\frac{1}{x}\,dx \;=\; \infty$。這部分面積真包含於（換言之，小於）長方形總面積，長方形的總面積也必定趨於無窮。更準確說，這證明了

$$\sum_{n=1}^k \, \frac{1}{n} \;>\; \int_1^{k+1} \frac{1}{x}\,dx \;=\; \ln(k+1)$$

這方法的拓展即積分判別法。

### 反證法

假設調和級數收斂 , 則$\lim _{n \to \infty} S_{2n}-S_n=0$

但與$S_{2n}-S_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{2n} > \frac{n}{2n} = \frac{1}{2}$矛盾，故假設不真，即調和級數發散。

## 發散率

調和級數發散的速度非常緩慢。舉例來說，調和序列前1043項的和還不足100。調和數列的部分和呈對數增長。特別地。

$$\sum_{n=1}^k\,\frac{1}{n} \;=\; \ln k + \gamma + \varepsilon_k$$

其中$\gamma$是歐拉－馬歇羅尼常數，而$\epsilon_k$約等於$\frac{1}{2k}$，並且隨著$k$趨於正無窮而趨於$0$。這結果由歐拉給出。

當然無論調和級數發散率再怎樣低，其都不是發散率最慢的級數，仍存在發散率比調和級數更低的級數。理論上沒有發散率「最慢」的發散性級數和。

## 部分和

調和級數的第$n$項部分和為：

$H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}$。

也叫作第n個調和數。

第n個調和數與$n$的自然對數的差值（即$\sum_{k = 1}^n \frac{1}{k} - \ln n$）收斂於歐拉-馬歇羅尼常數。

兩個不同的調和數之間的差值永遠不是整數。

除了$n=1$以外，沒有任何調和數是整數。

## 相關級數

### 交錯調和級數

<image>

如下級數：

$$\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} \;=\; 1 \,-\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,-\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \cdots$$

稱作交錯調和級數。這級數可經交錯級數判別法證明收斂。特別地，這級數的和等於2的自然對數：

$1 \,-\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,-\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \cdots \;=\; \ln 2$。

這公式是墨卡托級數（自然對數的泰勒級數形式）的特例。

從反正切函數的泰勒展開式可導出相關級數：

$\sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \;\;=\;\; 1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \cdots \;\;=\;\; \frac{\pi}{4}$。

這級數也稱作π的萊布尼茨公式。

### 廣義調和級數

廣義調和級數是指有如下形式的級數：

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{an+b}$。

其中$a \ne 0$且$b$為實數。

由比較審斂法可證所有廣義調和級數均發散。

### $p$-級數

調和級數廣義化的其中一種結果是$p$-級數，定義如下：

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$。

P是任何正實數。當$p=1$，$p$-級數即調和級數。由積分判別法或柯西稠密判定法可知$p$-級數在$p>1$時收斂（此時級數又叫過調和級數（over-harmonic series）），而在$p\leq 1$時發散。當$p>1$時，$p$-級數的和即$\zeta (p)$，也就是黎曼ζ函數在$p$的值。

### $\varphi$-級數

對凸實值函數$\varphi$，若滿足以下條件：

$$\limsup_{u\to 0^{+}}\frac{\varphi(\frac{u}{2})}{\varphi(u)}< \frac{1}{2}$$

則級數$\textstyle \sum_{n\geq 1} \displaystyle \varphi(n^{-1})$收斂。

### 隨機調和級數

隨機調和級數定義如下：

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{s_{n}}{n}$。

其中$s_n$是恆等分布的獨立隨機變量，取值範圍為+1和-1，取這兩值的機率都是$\frac{1}{2}$。阿爾伯塔大學的拜倫·施姆蘭研究此級數的性質，並發現這級數收斂的機率為1，並發現這隨機變量有些有趣的性質。特別地，這隨機變量的機率密度函數在+2和-2處的值為，與$\frac{1}{8}$只差不到10−42。施姆蘭的論文解釋了為什麼這機率如此接近、但卻不是$\frac{1}{8}$。這機率的精確值由無窮餘弦乘積積分$C_2$除以$\pi$而給出的。

### 貧化調和級數

貧化調和級數是將調和級數中、分母含有數字9的項去除後所剩的級數。這級數是收斂的，其和小於80。實際上，將包含任意數字串的項從調和級數中去除後，所剩級數都收斂。

## 拉馬努金求和

調和級數是柯西發散的，而且很多常用的發散級數求和方法對它也不適用。但是，調和級數的拉馬努金求和存在，且為歐拉-馬斯刻若尼常數。