火箭方程

齊奧爾科夫斯基火箭方程 （Tsiolkovsky rocket equation）是俄國火箭專家康斯坦丁·齊奧爾科夫斯基（Константин Эдуардович Циолковский， Konstanty Ciołkowski， Konstantin Eduardovich Tsiolkovsky）獨自推導的火箭推動原理，該原理是現代空間飛行器的基礎原理。

該方程以經典力學為基礎，僅適用於宏觀低速條件，如果火箭速度接近光速，則需要使用相對論火箭方程。

## 公式

齊奧爾科夫斯基火箭方程的核心內容是：基於動量守恆原理，任何一個裝置，通過一個消耗自身質量的反方向推進系統，可以在原有運行速度上，產生並獲得加速度。

其認為，任何一次飛行器軌道變化（速度變化）或者多次軌道變化都遵循如下公式:

$\Delta v\ = v_e \ln \frac {m_0} {m_1}$

其還可以寫成如下方式：

$m_1=m_0 e^{-\Delta v\ / v_e}$ 或者 $m_0=m_1 e^{\Delta v\ / v_e}$ 或者 $1-\frac {m_1} {m_0}=1-e^{-\Delta v\ / v_e}$

其中：

- $m_0$ 是火箭加速前的純質量總和，即初始總質量(該質量指，不含火箭可能攜帶的彈頭或者衛星等附加設施，僅為火箭自身各種子系統的綜合，後文中所有初始總質量都是指火箭純質量的總和）。
- $m_1$ 是火箭加速後的純質量的總和。
- $v_e$ 是火箭排氣速度(火箭噴射速度)，該速度與時間、地球重力加速度。
- $\Delta v$ 是火箭加速後速度與加速前速度的差值，它是對由且僅由火箭發動機產生的加速度求時間的積分得來。
- $1-\frac {m_1} {m_0}$ 是質量分率（質量比重）。

請注意，如上公式是在理想狀態下的推導結果，換句話說，實際過程中，在重力加速度和各種干擾力的聯合作用下，$\Delta v$ 通常並不是如上公式計算所得。

這個公式，也可以通過求動量守恆公式：$mdv = v_e dm$ 的積分得來。

其中：

- $dm$ 是火箭由於加速所消耗的質量（即用於產生 $\Delta v$ 的質量，在公式推導中，常常由於其實消耗質量故在 $dm$ 的前面加上「-」號。）

誠然，上面的火箭方程經過極端的簡化，並不適用實際的火箭飛行當中，但是其仍然表述了火箭飛行物理學中火箭方程式的精華。此外，需要特別指明的是，該方程在宇宙的無重力狀態下，卻顯得相對精確，而 $\Delta v$ 也是其中最重要的參數，尤其在航太飛行器軌道變換中，顯得格外重要。

很明顯，為了達到較大的 $\Delta v$，我們可以通過給與較大的 $m_0$ （隨 $\Delta v$ 的增長以指數形式增長）或者，較小的 $m_1$，或者 較大的 $v_e$，或者它們聯合的作用獲得。而在實際應用中，我們通過使用：大型運載火箭來增加 $m_0$；對火箭分級來減小 $m_1$；更先進的發動機來增加 $v_e$，來實現取得為了達到獲得較大的較大的 $\Delta v$ 的目的。美國在阿波羅登月計劃中使用的土星五號就是一個很好的例子。在太空中，所使用的離子推進器是另一個基於上述原理的從而達到遠距離無人推進的例子。

火箭方程式，顯示了參數 $m_1$ 並不是隨時間變化而是隨 $\Delta v$ 使做隨指數消減。$\Delta v$ 所對應的半指數消減等於 $v_e \ln 2 \approx 0.693 v_e$。

## 歷史

雖然最近發現的由英國著名數學家威廉·摩爾（William Moore）名為「關於火箭運動的論述」（英語：A Treatise on the Motion of Rockets）顯示，英國皇家軍事學院已於公元1813年推導出該原理，並應用於最初的武器研究，但由於該理論從未公開發表，故不被承認。另一方面，由於現知的公式是由康斯坦丁·艾多爾道維奇·齊奧爾科夫斯基於公元十九世紀末獨立推導，並首次公開發表，且該火箭方程式已在世界範圍內被廣泛承認。故該火箭方程式的名稱，仍然繼續使用原有名稱：齊奧爾科夫斯基火箭方程式。

## 船的實驗 (齊奧爾科夫斯基)

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為了理解火箭推進的原理，康斯坦丁·齊奧爾科夫斯基提出了一個著名的「船的實驗」。有人在遠離海岸的船上，上面並沒有槳。這人想到達海岸。且注意到船上裝載了一定數量的石頭，於是將這些石頭一個接一個盡快地扔向與海岸相反的方向。結果，向一個方向投擲石塊的動量，有效地讓船以相同的動量往另一個方向移動。

## 火箭分級中的應用

在多級火箭的情況中，是按照逐級的原則進行計算，也就是說，每一級火箭應用一次火箭方程，直到解決全部問題。假設某型火箭有X級，那麼當我們計算第n級時（$1 \leq n \leq X$），這時，火箭方程當中的參量 m0，也就上文中所說的初始總質量，取火箭的總初始總質量（設為M0）減去已經燃燒完畢且已經拋棄的（n-1）級的總質量（設火箭最先燃燒並拋棄第１級）。即 m0＝M0-M（n-1）。而火箭方程中的參量m1，也就是上文中所說的，最後總質量，則是即將燃燒的下一級的初始總質量。即 m１＝M0-Mn。之所以，分級火箭不能整體應用火箭方程的根本原因是，每一級的火箭比沖通常狀況下是不同的。

例題：一枚洲際彈道飛彈，採用三級火箭推進系統，且每級皆使用完全相同的火箭發動機與火箭燃料。已知，每一級火箭的燃料部分占其自身總質量的 80%，此外，其自身總質量的 10% 為火箭的乾質量（箭體本身及各種導彈子系統）。經研發人員測試發現，無論如何調整，在任何情況下，每級火箭最終都會剩下其乾質量的 10%。試求這枚採用三級火箭推進系統的洲際彈道飛彈可攜帶的彈頭質量及其總質量$\Delta v$？

解：先計算單級火箭發動機的$\Delta v$：

$$\Delta v = v_e \ln 5=1.61 v_e$$

其中，其中ln 5 是由計算單級時火箭的初始總質量1除以餘下的總質量 (1-80%)=0.2，也就是 1/0.2=5。

再計算三級火箭發動機的總$\Delta v$：

由於，三級火箭採用相同的推進系統故有：

$\Delta v = 3 v_e \ln 5=4.83 v_e$。

最後計算可以攜帶重的彈頭：

由公式 $1-\frac {m_1} {m_0}=1-e^{-\Delta v\ / v_e}$ 可知：

$$\frac {m_1} {m_0}=e^{-\Delta v\ / v_e}$$

後代入第２步的結果 4.83，得 $\frac {m_1} {m_0}= 0.007986$

所以總質量的 0.799％ 是該火箭可以攜大的最大帶戰鬥部質量（彈頭質量）。

作為對比，如果採用相同的質量分率為0.799％的單級軌道火箭，且假設擁有占總質量 10％ 的為火箭干質量，那麼火箭的燃料質量就是89.201％。通過計算

$$\Delta v = v_e \ln(100/11.1)=2.30 v_e$$

我們會發現，在相同或近似情況下，火箭採用多級結構所產生的加速明顯大於採用單級部分所產生的加速。

如果新一級火箭發動機是在前一級被拋棄前點火，則２台同時工作的發動機擁有不同的比沖，特別是在不同級使用不同推進劑的情況下，系統狀態將十分複雜。

## 能量

在理想狀態 $m_1$ 實際是火箭最後剩下來的裝載物， $m_0-m_1$ 是火箭提供反作用力所需消耗的質量，他們的能量關係可以簡單表示為如下公式

$$\frac{1}{2}(m_0-m_1)v_e^2$$

表面上看，上述公式只是反作用質量的動能表達式，其能量並不包含火箭裝載物的部分。但是，如果假設, $v_e$=10 km/s，火箭的速度是 3 km/s, 我們會得到，由火箭燃料質量改變所造成的速度變化只是從 3 到 7 km/s; 這種能量的保留，與火箭單位動能的增加是相應的。

總體上來說:

$$d\left(\frac{1}{2}v^2\right)=vdv=vv_edm/m=\frac{1}{2}\left(v_e^2-(v-v_e)^2+v^2\right)dm/m$$

因此，在任意小時減區域內火箭的特徵能量等於火箭能量的取得包括剩下的燃料，除以質量，在這裡必須說明，能量的取得是等於火箭燃料在燃燒時所放出的能量。火箭速度越大，由火箭燃料燃燒所產生的能量越小。

$$\Delta \epsilon = \int v\, d (\Delta v)$$

在這裡 $\epsilon$ 是火箭的比沖，$\Delta v$ 定義同前。在應用火箭公式過程中，像諸如，由提供火箭動力所消耗的質量直接作用的速度，$v$，在公式推導過程中，應採用「負號」。

這個公式也如前的火箭方程式，僅適用於理想狀態：也就是，沒有任何一部分能量轉換成熱能，所用由火箭燃燒所產生的能量全部轉換成動能。

如果火箭的能量來源於單一燃料類型（請見討論頁面）比如來源於化學燃料。那麼火箭的燃燒值是 :$\frac{1}{2}v_e^2$, 特別指出，如果燃燒物需要氧氣，則必須也將氧氣的質量計算在內。

最後能量公式是：

$$E = \frac{1}{2}m_1\left(e^{\Delta v\ / v_e}-1\right)v_e^2$$

結論:

- 對於 $\Delta v \ll v_e$ 我們有 $E\approx \frac{1}{2}m_1 v_e \Delta v$
- 對於給定的 $\Delta v$, 就需要計算能量的最小值，如果 $v_e=0.6275 \Delta v$, 需要的能量通常為：

$E = 0.772 m_1(\Delta v)^2$.

## 參考資料

- How to derive the rocket equation