電位移

在電磁學裏，電位移（electric displacement field）是出現於馬克士威方程組的一種向量場，可以用來解釋介電質內自由電荷所產生的效應。電位移$\mathbf{D}$以方程式定義為

$\mathbf{D}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \varepsilon_{0} \mathbf{E} + \mathbf{P}$。

其中，$\varepsilon_{0}$是電常數，$\mathbf{E}$是電場，$\mathbf{P}$是電極化強度。

## 概述

高斯定律表明，電場的散度等於總電荷密度$\rho_{\text{total}}$除以電常數：

$\nabla\cdot\mathbf{E} = \rho_{\text{total}}/\varepsilon_0$。

電極化強度的散度等於負束縛電荷密度$\rho_{\text{bound}}$：

$\nabla\cdot\mathbf{P} = - \rho_{bound}$。

而總電荷密度等於束縛電荷密度加上自由電荷密度$\rho_{free}$：

$\rho_{total} =\rho_{free}+\rho_{bound}$。

所以，電位移的散度等於自由電荷密度$\rho_{free}$：

$\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{free}$。

這與高斯定律的方程式類似。假設，只給定自由電荷密度$\rho_{free}$，或許可以用高斯方法來計算電位移$\mathbf{D}$。但是，在這裏，不能使用這方法。只知道自由電荷密度$\rho_{free}$，有時候仍舊無法計算出電位移。思考以下關係式：

$\nabla \times \mathbf{D} = \varepsilon_{0}(\nabla \times \mathbf{E}) + (\nabla \times \mathbf{P})$。

並根據法拉第感應定律：$\nabla \times \mathbf{E} = -\dot{\mathbf{B}}$ , 其中$\dot{\mathbf{B}}$是磁場相對於時間的變化率

$$\nabla \times \mathbf{D} + \varepsilon_{0}\dot{\mathbf{B}} = \nabla \times \mathbf{P}$$

假設電磁場為不含時變電磁場（即與時間無關的電磁場），$\dot{\mathbf{B}}=0$，則

$\nabla \times \mathbf{D} = \nabla \times \mathbf{P}$。

假若$\nabla \times \mathbf{P}\ne 0$，則雖然設定$\rho_{free}=0$，電位移仍舊不等於零：$\mathbf{D}\ne 0$！

舉例而言，擁有固定電極化強度$\mathbf{P}$的永電體，其內部不含有任何自由電荷，但是內在的電極化強度$\mathbf{P}$會產生電場。

只有當問題本身具有某種對稱性，像球對稱性或圓柱對稱性等等，才能夠直接使用高斯方法，從自由電荷密度計算出電位移與電場。否則，必需將電極化強度$\mathbf{P}$和邊界條件納入考量。

## 線性電介質

「線性電介質」，對於外電場的施加，會產生線性響應。例如，鐵電材料是非線性電介質。假設線性電介質具有各向同性，則其電場與電極化強度的關係式為

$\mathbf{P}=\chi_e \varepsilon_{0} \mathbf{E}$。

其中，$\chi_e$是電極化率。

將這關係式代入電位移的定義式，可以得到

$\mathbf{D}= (1+\chi_e) \varepsilon_0\mathbf{E}=\varepsilon\mathbf{E}$。

其中，$\varepsilon$是電容率。

所以，電位移與電場成正比；其比率是電容率。另外。

$\nabla\cdot(\varepsilon\mathbf{E})=\rho_{free}$。

假設這電介質具有均勻性，則電容率$\varepsilon$是常數：

$\nabla\cdot\mathbf{E}=\rho_{free}/\varepsilon$。

定義相對電容率$\varepsilon_r$為

$\varepsilon_r\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \varepsilon/\varepsilon_0$。

相對電容率與電極化率有以下的關係：

$\varepsilon_r=1+\chi_e$。

要注意的一點是，上式$\mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}$的描述只是一種近似關係，當$\mathbf{E}$變得很大時，$\mathbf{D}$與$\mathbf{E}$就不再成正比關係了。這主要是由於電介質物質的物理特性是很複雜的。也可以理解為，這個式子就像胡克定律一樣，只是一種近似。

各向異性線性電介質的電容率是個張量。例如，晶體的電容率通常必需用張量來表示。

## 應用範例

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如右圖所示，平行板電容器是由互相平行、以空間或電介質相隔的兩片平板導體構成的電容器。假設上下兩片平板導體分別含有負電荷與正電荷，含有的電荷量分別為$-Q$、$+Q$。又假設兩片平板導體之間的間隔距離超小於平板的長度與寬度，則可以視這兩片平板導體為無限平面；做簡單計算時，不必顧慮邊緣效應。由於系統的對稱性，可以應用高斯定律來計算電位移，其方向必定是從帶正電平板導體指向帶負電平板導體，而且垂直於平板導體；又由於平板導體含有的電荷是自由電荷，不需要知道電介質的性質，就可以應用關於自由電荷的高斯定律來計算電位移。

先計算帶正電平板導體所產生的電位移。試想一個扁長方形盒子，其頂面和底面分別在這平板導體的兩邊，平行於平板導體；而盒子的其它四個側面都垂直於平板導體。根據關於自由電荷的高斯定律。

$\oint_{\mathbb{S}} \mathbf{D}_+ \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} = Q$。

其中，$\mathbb{S}$是扁長方形盒子的閉合表面，$\mathbf{D}_+$是帶正電平板導體所產生的電位移，$d\mathbf{a}$是微小面元素。

由於扁長方形盒子的四個側面的面向量都與$\mathbf{D}_+$向量相垂直，它們對於積分的貢獻是零；只有盒子的頂面和底面對於積分有貢獻：

$2D_+ A= Q$ ;

其中，$A$是盒子頂面、底面的面積。

所以，$\mathbf{D}_+$向量的方向是從帶正電平板導體垂直地向外指出，大小為

$D_+=Q/2A$。

類似地，可以計算出帶負電平板導體所產生的電位移；$\mathbf{D}_-$向量的方向是垂直地指向帶負電平板導體，大小為

$D_- =Q/2A$。

應用疊加原理，可以計算這兩片帶電平板導體一起產生的電位移。在這兩片平板導體之間，$\mathbf{D}_+$和$\mathbf{D}_-$的方向相同；應用疊加原理，電位移的大小等於平板導體的表面電荷密度：$D =Q/A$。在兩片平板導體的共同上方或共同下方，$\mathbf{D}_+$和$\mathbf{D}_-$的方向相反；應用疊加原理，電位移的大小等於零。

假設電介質的電容率為$\varepsilon$，則在兩片平板導體之間，電場的大小為

$E=D/\varepsilon=Q/\varepsilon A$。

假設兩片平板導體的間隔距離為$d$，則電壓$V$為

$V=Ed=Q d/\varepsilon A$。

這平行板電容器的電容$C$為

$C=Q/V=\varepsilon A/d$。

## 參閱

- 《論法拉第力線》
- 《論物理力線》
- 位移電流
- 電磁波方程式