A無窮代數

A無窮代數（A-infinity algebra，或 $\;A_{\infty}\;$-algebra）是吉姆·斯塔謝夫（Jim Stasheff）在1960年代研究H-空間的乘法的結合性時發現的一種代數結構，又稱為強同倫結合代數（strongly homotopy associative algebra）。1970年代陳國才（K.-T. Chen）和T.V. Kadeishvili在一個流形的同調群上用不同的方法各自發現了一種A無窮代數結構。1990年代深谷賢治在研究辛流形的拉格朗日Floer同調（Lagrangian Floer Homology）時推廣了斯塔謝夫的概念，稱為A無窮範疇（A-infinity category，$\;A_{\infty}\;$-category）。一般數學家把深谷的發現稱為深谷範疇（Fukaya category）。

## 定義

設$\;V\;$是數域$\;k\;$上的一個分次線性空間。$\;V\;$上的一個A無窮代數結構是一組映射$\;m_n:V^{\otimes n}\to V,\quad m_n\;$的度數為$\; n-2,\;$滿足以下4組關係：

- $\;m_1=d\;$是一個微分，即$\;d^2=0;\;$
- $\;m=m_2:V\otimes V\to V\;$是一個鏈映射，換言之$\;d\circ m=m\circ d;\;$可以把$\;m_2\;$看成一個乘法，並且這個乘法能夠降到同調上去。
- $\;m_3:V^{\otimes 3}\to V\;$是乘法$\;m\;$關於結合律的同倫，即$\;a\cdot(b\cdot c)\ne (a\cdot b)\cdot c,\;$而是在同倫的意義下是結合的：$\;m_3d+dm_3=m(m\otimes Id)-m(Id\otimes m);\;$
- $\;m_4,\cdots\;$是高階同倫，即$\;m_4\;$是$\;m_3\;$的同倫，$\;m_5\;$是$\;m_4\;$的同倫等等，換言之$m_nd-(-1)^{n}dm_n=\sum_{i+j=n+1,i,j\ge 2}(-1)^j m_i\circ m_j.\;$

從上面的定義可以看出，對於一個A無窮代數，它的同調實際上形成一個結合代數。這也就是一個A無窮代數稱為強同倫結合代數的原因。

## 等價定義

如果讀者熟悉余代數的概念，那麼考慮$\;V\;$的元素度數降低1然後生成的張量代數，記為$\;TV[1]\;$。$\;TV[1]\;$上有一個自然的余積，為$\;\Delta(a_1\otimes a_2\otimes\cdots\otimes a_n)=\sum_{i=0}^na_1\otimes\cdots\otimes a_i\bigotimes a_{i+1}\otimes\cdots\otimes a_n.\;$從而使$\;TV[1]\;$成為一個上代數。$\;V\;$上的一個A無窮代數結構就是$\;TV[1]\;$上的一個余導子（coderivation）$\;\delta\;$並且滿足$\;\delta^2=0\;$。關於這兩個定義的等價性證明可以參考下面 Markl-Shnider-Stasheff 的書。

## 詳解

Stasheff是怎樣得到A無窮代數的結構的呢？我們下面以一個具體的例子，同時也是Stasheff所考慮的原型來說明。設$\;M\;$是一個拓撲空間，$\;x\;$為其上一點。記$\Omega M:=\{f:[0,1]\to M|f(0)=f(1)=x\},\;$稱為$\;M\;$的環路空間（based loop space）。在$\;\Omega M\;$上我們可以定義一種乘法，如下：任給$\;\gamma_1,\gamma_2\in\Omega M\;$，$\;\gamma_1\circ\gamma_2:=\begin{cases}\gamma_1(2x),&\mbox{ if } 0\le x<\frac{1}{2}\\ \gamma_2(2x-1),& \mbox{ if } \frac{1}{2}\le x\le 1.\end{cases}$ 回憶學習基本群的時候，我們都驗證過這樣的乘法並不是結合的，但在同倫意義下是結合的：不難構造這樣的同倫，記為$\tilde m_3$，$\tilde m_3:[0,1]\times[0,1]\to M,$使得$\tilde m_3(0,\cdot)=(\gamma_1\circ\gamma_2)\circ\gamma_3(\cdot),\tilde m_3(1,\cdot)=\gamma_1\circ(\gamma_2\circ\gamma_3)(\cdot)\;$。對於$\;\Omega M\;$裡面的4個元素，我們有下面五種乘法，他們是相互同倫的，如下圖所示：

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圖中1表示恆同映射。這樣我們就得到了一個以圓周$\;S^1\;$為參數的一串從$\;[0,1]\;$到$\;M\;$的映射。事實上因為這些映射的像都是重合的，因而我們實際上可以把這一串映射延拓到以$\;S^1\;$為邊的圓盤$\;D^2\;$上，即為同倫之間的同倫，記為$\;\tilde m_4\;$。如此一直進行下去，我們就得到$\;\tilde m_5,\tilde m_6,\cdots\;$，等等。在鏈水平上，我們把$\;\tilde m_n\;$對應的映射記為$\;m_n\;$，則不難看出$\;m_n\;$就是滿足上面A無窮代數定義的那些算子。

## 例子

- 一個平凡的例子是，任何一個（微分分次）結合代數都是一個A無窮代數。這裡只要令$\;m_3,m_4,\cdots\;$都等於0就行了。
- 除了Stasheff的例子和上面這個平凡的例子之外，陳國才和Kadeishvili利用流形的微分形式也構造了一些A無窮的例子，其中陳國才的構造更為深刻，成為有理同倫論（rational homotopy theory）中一個重要的理論。給定一個流形，考慮它上面的微分形式，這是一個微分分次代數（differential graded algebra, DGA），同時我們還可以考慮它的上同調，賦以一個平凡的微分，則它也形成一個微分分次代數。但是這兩個微分分次代數不是鏈等價的！比如說，根據霍奇理論我們可以把上同調用調和形式作為代表，這種不等價性表現在兩個調和形式的外積不一定是調和的。根據霍奇分解，我們可以把這種乘積再投射到調和形式裡面去，但是這樣定義出來的乘法卻不再是結合的，但是在同倫的意義下結合。以此，我們實際上得到了一種A無窮代數。這就是陳國才和Kadeishvili以及後來研究者的基本思路，但是陳國才走的更遠，他實際上揭示了這種A無窮代數跟流形的環路空間的拓撲之間的關係，以及這些A無窮代數的在某些情況下的退化跟流形本身的一些拓撲障礙有關係，跟Sullivan後來研究流形的形式化（formality）有相似之處。

## 科祖對偶和有理同倫論

Stasheff的A無窮代數的概念自然地出現在關於一般代數結構的分解（resolution）的理論中。給定一個代數結構，我們希望能夠通過對它的分解看清其中的結構（對比於流形，這樣分解就是波斯尼科夫塔）。這其中，所謂的科祖分解是一種非常有效的分解方式，而A無窮代數則非常自然地出現在結合代數的Koszul分解過程當中：對於一個結合代數，它的科祖分解有一個A無窮代數結構，而這個A無窮代數的科祖分解又是一個A無窮代數，如此不已。但是，原來的結合代數和兩次科祖分解後得到的A無窮代數實際上是鏈等價的，第二個分解和第四個分解也是如此，如此循環。這就是所謂的科祖對偶（Koszul duality）的概念。

對於李代數和交換代數，我們同樣可以進行科祖分解。一個李代數的科祖分解有一個C無窮代數（C是交換commutativity的英文縮寫）結構，而一個交換代數的科祖分解有一個李無窮代數結構。所謂李無窮代數和C無窮代數，正如A無窮代數一樣，他們的同調分別是李代數和交換代數。李代數和交換代數分別是一種特殊的李無窮代數和C無窮代數。由一個李代數經過科祖分解後到C無窮代數然後再經科祖分解到李無窮代數，所得的這兩個李無窮代數實際上是同倫等價的，對於交換代數也是如此。因此我們可以說，李代數和交換代數是相互科祖對偶的。這個結論實際上是奎倫在有理同倫論中發現的，他還證明，在有理係數下，這兩個代數組成的範疇都和拓撲中的有理同倫型（rational homotopy type）組成的範疇是等價的（有一些單連通性條件）。後來 Sullivan通過考察流形的微分形式，得到了類似的結果，但是更幾何，更直觀。

## A無窮範疇

考慮一個範疇$\;\mathfrak C\;$。對於其中的四個對象及其之間態射$\;A\stackrel{f}{\longrightarrow}B\stackrel{g}{\longrightarrow}C\stackrel{h}{\longrightarrow}D,\;$我們有$\;(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h),\;$這顯示了這些態射之間有一種結合性。一個A無窮範疇就是打破這些結合性，使之成為在同倫意義下是結合的，同時有高階同倫算子，成為同倫的同倫，同倫的同倫的同倫，等等。因此一個A無窮範疇並不是一個範疇，而是同倫意義下的範疇：它的「同調」形成一個範疇。

深谷在研究辛拓撲的時候發現了這個A無窮範疇的結構。給定一個辛流形，考慮其中的拉格朗日子流形（Lagrangian submanifold）。對其中任意兩個拉格朗日子流形，考慮所謂的拉格朗日Floer鏈復形，形成所謂的態射。深谷發現這些態射之間可以定義乘法，但是這個乘法本身不結合但在同倫意義下結合，他並構造了高階同倫算子，使之成為一個A無窮範疇，現在稱為深谷範疇。

## 相關概念

- B無窮代數（$\;B_{\infty}\;$-algebra）
- C無窮代數（$\;C_{\infty}\;$-algebra）
- E無窮代數（$\;E_{\infty}\;$-algebra）
- G無窮代數（$\;G_{\infty}\;$-algebra）
- 李無窮代數（$\;L_{\infty}\;$-algebra）

## 參考文獻

Stasheff關於A無窮代數的構造見：

- Stasheff, James Dillon, Homotopy associativity of $H$-spaces. I, II. Trans. Amer. Math. Soc. 108 (1963), 275-292; ibid. 108 1963 293-312.
- Markl, Martin; Shnider, Steve; Stasheff, Jim, Operads in algebra, topology and physics. Mathematical Surveys and Monographs, 96. American Mathematical Society, Providence, RI, 2002.

陳國才的$\;A_{\infty}\;$-代數的構造，並不是在文章中明顯給出的，但不難推導，見：

- Chen, Kuo Tsai, Iterated path integrals. Bull. Amer. Math. Soc. 83 (1977), no. 5, 831-879.

Kadeishvili的文章發表於1980年，作者後來重新整理，題為 On the homology theory of fiber spaces。原文見：

- Kadeishivili, T. V., On the theory of homology of fiber spaces. (Russian) International Topology Conference (Moscow State Univ., Moscow, 1979). Uspekhi Mat. Nauk 35 (1980), no. 3(213), 183-188.

關於Koszul對偶，最經典的文章見：

- Ginzburg, Victor; Kapranov, Mikhail, Koszul duality for operads. Duke Math. J. 76 (1994), no. 1, 203-272.

Quillen的有理同倫論，見：

- Quillen, Daniel, Rational homotopy theory. Ann. of Math. (2) 90 1969 205-295.

Sullivan的有理同倫論，見：

- Sullivan, Dennis, Infinitesimal computations in topology. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 47 (1977), 269-331 (1978).

關於Fukaya範疇，見 他的主頁上的文章，以及

- Fukaya, Kenji, Morse homotopy, $A\sp \infty$-category, and Floer homologies. Proceedings of GARC Workshop on Geometry and Topology '93 (Seoul, 1993), 1-102, Lecture Notes Ser., 18, Seoul Nat. Univ., Seoul, 1993.