黎曼級數定理

黎曼級數定理（亦稱黎曼重排定理），是一個有關於無窮級數性質的數學定理，得名於19世紀德國著名數學家波恩哈德·黎曼。黎曼級數定理說明，如果一個實數項無窮級數若是條件收斂的，它的項在重新排列後，重新排列後的級數收斂的值可以收斂到任何一個給定的值，甚至發散。

許多有限項級數具有的性質，在一般的無窮級數不一定滿足，例如一般的有限項級數可以重新排列各項，其級數和不會改變，但在無窮級數中，只有絕對收斂的無窮級數才可以重新排列各項而不改變收斂值。

## 相關定義

給定無窮級數$\sum_{n=1}^\infty a_n$，其部分和為：$S_n =\sum_{k=1}^n a_k$。如果部分和的數列

$$\left \{ S_1, \ S_2, \ S_3, \dots \right \}$$

收斂於某個數值：$\ell$，則級數收斂。也就是說，對於任何的$\epsilon > 0$，總存在一個整數N，使得如果$n \ge N$，則

$\left | S_n - \ell \right \vert \le \ \epsilon$.

那麼級數$\sum_{n=1}^\infty a_n$收斂。如果級數$\sum_{n=1}^\infty a_n$收斂，但級數$\sum_{n=1}^\infty \left | a_n \right \vert$發散，則稱此級數是條件收斂的。

## 定理的陳述

假設$\sum_{n=1}^\infty a_n$是一個條件收斂的無窮級數。對任意的一個實數$C$，都存在一種從自然數集合到自然數集合的排列$\sigma : \, \, n \mapsto \sigma (n)$，使得

$$\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma (n)} = C.$$

此外，也存在另一種排列$\sigma' : \, \, n \mapsto \sigma' (n)$，使得

$$\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma' (n)} = \infty.$$

類似地，也可以有辦法使它的部分和趨於$-\infty$，或沒有任何極限。

反之，如果級數是絕對收斂的，那麼無論怎樣重排，它仍然會收斂到同一個值，也就是級數的和。

簡單來說，你可以藉由調換數列的其中幾項，使得這個新數列的級數的極限與原數列的不同；但是，這個方法可行的前提是原級數條件收斂，如果原級數絕對收斂的話，那麼這個方法就行不通。

## 例子

交錯調和級數是條件收斂級數的一個經典的例子：

$$A_{h} = \sum_n \frac{(-1)^{n+1}}{n}$$

收斂，而

$$S_h = \sum_n \bigg| \frac{(-1)^{n+1}}{n} \bigg| = \sum_n \frac{1}{n}$$

是調和級數它是發散的（因為abs((-1)ⁿ)=1, for n in N（註：abs為絕對值absolute value之意）。雖然在標準的表示法中，交錯調和級數收斂於ln(2)，我們可以把它的項重新排列，使它收斂於任何一個數，甚至發散。例如，如果排列為以下的形式。

$$\left(1 - \frac{1}{2} \right) - \frac{1}{4} + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{6} \right)- \frac{1}{8} + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{10} \right) - \frac{1}{12} + \cdots$$

那麼這時的和等於$\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{4n+2} -\frac{1}{4n+4} \right) = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{1}{4n+2} -\frac{1}{4n+4} \right) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}$

可以看出，它的和是原來的和的一半。

### 趨近任一個實數

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用不同的排列方法，可以讓交錯調和級數趨向任意一個給定的實數。事實上，由於調和級數$\sum_n \frac{1}{n}$是發散的，它的部分和可以近似估計為：

$$S_N = 1 + \frac12 + \frac13 +\frac14 + \cdots = \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} = \gamma + \ln N + o(1) ,$$

其中$o(1)$表示一個當N趨於無窮大時的無窮小，$\gamma$指歐拉常數。如果將調和級數$A_{h}$中所有負項（也就是所有偶數項）相加，得到的級數會是：

$$A^{-}_h = - \frac12 - \frac14 -\frac16 - \frac18\cdots =-\frac12 \left( 1 + \frac12 + \frac13 +\frac14 + \cdots \right)$$

它的部分和是：

$$A^{-}_N = - \sum_{n=1}^N \frac{1}{2n} = - \frac12 \gamma - \frac12 \ln N + o(1) ,$$

因此所有正項相加的級數$A^{+}_h = 1 + \frac13 + \frac15 +\frac17 + \cdots$的部分和是：

$$A^{+}_N = A_N - A^{-}_N = \ln2 + \frac12 \left(\gamma + \ln N \right) + o(1) ,$$

這也是一個發散級數，趨向正無窮。因此，對任意給定的正實數$C$，可以使用以下的演算法來構造出趨向$C$的重排級數$A^{\sigma}$的每一項：

- 從第一項起，將$A_h$中的正項（奇數項）從前往後放入，一直放到超過$C$為止：必定存在一個自然數$N_1$，使得$A^{+}_{N_1-1} \leqslant C+ <A^{+}_{N_1}$（假設$A_0 = 0$）。將第1至第$N_1$項定義為：
- $$\forall k = 1, 2, \cdots , N_1, \, \, \sigma(k) =2k-1$$
- 從第$N_1+1$項開始，將$A_h$中的負項（偶數項）從前往後放入，一直放到小於$C$為止：必定存在一個自然數$N_2 >N_1$，使得$A^{+}_{N_1} + A^{-}_{N_2-N_1 - 1} \leqslant C+ < A^{+}_{N_1} + A^{-}_{N_2 - N_1}$。將第$N_1+1$至第$N_2$項定義為：
- $$\forall k = N_1 + 1, N_1 + 2, \cdots , N_2, \, \, \sigma(k) = 2k-2N_1$$

交替重複這兩步來重排級數，可以將重排級數的部分和$A_{N_k}^{\sigma}$保持在$C$上下，而因為$A_{N_k}^{\sigma}$是重複第k步時首次「跨過」$C$時候的值，因而它與$C$的差距必定不超過「跨越」時的「步長」，也就是$\frac{1}{N_k}$。隨著$N_k$越來越大，$A_{N_k}^{\sigma}$與$C$的差距也會越來越趨近於0. 因此使用這個演算法構造出來的重排級數$A^{\sigma}$最終會收斂於$C$。

## 證明

對一般的條件收斂級數，也可以用以上的演算法來證明黎曼級數定理。上文中有關交錯調和級數的演算法之所以成立，原因有二：首先，所有正項構成的級數發散到正無窮大，所有負項構成的級數發散到負無窮大，所以每次超出（低於）目標值$C$以後，只要不停地累加，必然能夠再次低於（超出）目標值$C$；其次，調和級數是由$\frac{1}{n}$相加而成，而隨著$n$趨向無窮，$\frac{1}{n}$趨向於0，也就是說「步長」趨向0，所以最終能夠收斂。所以只需要證明，任何條件收斂級數都滿足這兩個性質：

- 所有正項構成的級數和所有負項構成的級數都是發散的。
- 級數的項隨著項數趨於無窮而趨於0.

就能證明黎曼級數定理成立了。

性質一：

設有給定的條件收斂級數$A = \sum_n a_n$，級數和為$S$。為了簡便起見，假設$A$中每一項都不等於0（否則可以隨意將它們重排在任何地方）。$A$中的正項和負項必定都有無窮多個。將$A$中所有大於0的項按照它們原來在$A$中的順序重新標號排列，可以得到由所有正項排列而成的級數$A^+ = \sum_n a^+_n$。同樣可以建立由所有負項排列而成的級數$A^- = \sum_n a^-_n$。

$A^+$是一個正項級數，所以它要麼收斂到某個定值，要麼發散到正無窮大。假設$A^+$收斂到某個定值$S^+$，那麼可以證明$A^-$也是收斂級數，級數和為$S - S^+$。因而可以證明，級數$\sum_{n=1}^\infty |a_n| = A^+ - A^-$也是收斂級數，這與$A$是條件收斂級數的設定矛盾。所以，$A^+$發散到正無窮大。同理可證，$A^-$發散到負無窮大。

性質二：

設$A = \sum_n a_n$是一個條件收斂的級數，級數和為$S$。這說明，級數$A$的部分和$S_N = \sum_{n=1}^N a_n$趨向極限$S$。所以對任意$\epsilon > 0$，存在自然數$M > 0$使得對任意$N > M$，都有：

$$| S_N - S | < \epsilon.$$

所以對任意$N > M+1$。

$$|a_{N}| = | S_{N} - S_{N-1} | \leqslant | S_N - S | + | S_{N-1} - S |< 2\epsilon.$$

這說明當$N$趨於無窮大時，$a_N$趨於0.

證明了性質一與性質二後，就可以用上文提到的演算法構造趨向任何實數甚至發散的重排方式。對於任意實數$C$，不妨假設$C \geqslant 0$. 首先將$A^+$的項按順序累加，直到部分和超過$C$為止，然後再將$A^-$的項按順序累加在其後，直到部分和小於$C$為止，接著再將$A^+$剩餘的項按順序累加在其後，直到部分和超過$C$為止……這個演算法可以一直進行下去，因為根據性質一，$A^+$和$A^-$都是發散的。而在執行演算法的過程中，部分和與$C$會越來越接近。因為無論是在部分和低於$C$，逐項增加到超過$C$的過程中，還是在部分和超過了$C$，逐項減少到低於$C$的過程中，部分和與$C$的差距（絕對值）都不超過前一次「跨越」$C$值的那一刻，部分和與$C$的差距。而這個差距又小於等於部分和「跨越」$C$值時的「步長」。假設第$k$次「跨越」的是在累加第$N_k$項的時候發生的，那麼直到第$k+1$次「跨越」時，部分和與$C$的差距都小於等於$a_{N_k}$。隨著$k$趨於無窮大，$N_k$也趨於無窮大，因而根據性質二，$a_{N_k}$趨於0，也就是說部分和與$C$的差距趨於0。這等價於說重排後的級數$A^\sigma$收斂於$C$。

如果$C< 0$，只需要將演算法中的正負項顛倒即可。如果將演算法中第$k$次累加正項要超越的值從$C$改為$C+k$，然後累加負項直到低於$C+k$，再開始第$k+1$次累加正項直到超越$C+k+1$，如此以往，就能得到發散到正無窮大的重排級數。反之也能得到發散到負無窮大的重排級數。而如果將演算法中每次累加正項要超過的值設為1，將每次累加負項要低於的值設為0，那麼重排級數的值將在0和1左右上下反覆擺動，從而不收斂於任何定值。這就是黎曼級數定理。

## 推廣

此定理可推廣至斯坦尼茲定理。給定一個複數收斂級數∑ an，則重排後的級數∑ aσ (n)之和有以下幾種可能：

- 級數∑ an為絕對收斂，所以任何重排後的級數和都收斂到同一個值。
- 級數∑ an為條件收斂。令S為所有重排級數之和的集合，則S要不為整個複數平面C，要不為複數平面上C上的一條線L

$$L = \{a + t b : t \in \mathbf{R} \}, \quad a, b \in \mathbf{C}, \ b \ne 0$$

更一般的說，給定一個有限維度實向量空間E，考慮其向量組成的收斂級數，則重排級數之和的集合為E的仿射子空間。

## 參考來源

- Weisstein, Eric (2005). Riemann Series Theorem. 於2005年5月16日訪問。