切比雪夫多項式

切比雪夫多項式（Chebyshev polynomials）是與棣莫弗定理有關，以遞歸定義的一系列正交多項式序列。通常，第一類切比雪夫多項式以符號Tn表示，第二類切比雪夫多項式用Un表示。切比雪夫多項式 Tn 或 Un 代表 n 階多項式。

切比雪夫多項式在逼近理論中有重要的應用。這是因為第一類切比雪夫多項式的根（被稱為切比雪夫節點）可以用於多項式插值。相應的插值多項式能最大限度地降低龍格現象，並且提供多項式在連續函數的最佳一致逼近。

在微分方程的研究中，帕夫努季·切比雪夫提出切比雪夫微分方程：

$$(1-x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0$$

和

$$(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + n(n+2)\,y = 0$$

相應地，第一類和第二類切比雪夫多項式分別為這兩個方程的解。這些方程是斯圖姆-劉維爾微分方程的特殊情形。

## 定義

第一類切比雪夫多項式由以下遞推關係確定

$$T_0(x) = 1 \,$$

$$T_1(x) = x \,$$

$$T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x). \,$$

也可以用母函數表示

$$\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}.$$

第二類切比雪夫多項式由以下遞推關係給出

$$U_0(x) = 1 \,$$

$$U_1(x) = 2x \,$$

$$U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x). \,$$

此時母函數為

$$\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x) t^n = \frac{1}{1-2tx+t^2}.$$

## 從三角函數定義

<image>

第一類切比雪夫多項式由以下三角恆等式確定

$$T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta) \,$$

其中 n = 0, 1, 2, 3, .... . $\cos n\theta \,$ 是關於 $\cos\theta \,$ 的 n次多項式，這個事實可以這麼看： $\cos n\theta \,$是:$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=e^{i n\theta}=\cos(n\theta)+i\sin n\theta \,$的實部（參見棣莫弗公式），而從左邊二項展開式可以看出實部中出現含$\sin\theta \,$的項中，$\sin\theta \,$都是偶數次的，從而可以表示成 $1-\cos^2\theta \,$的冪。

用顯式來表示

$$T_n(x) = \begin{cases} \cos(n\arccos(x)), & \ x \in [-1,1] \\ \cosh(n \, \mathrm{arccosh}(x)), & \ x \ge 1 \\ (-1)^n \cosh(n \, \mathrm{arccosh}(-x)), & \ x \le -1 \\ \end{cases}$$

儘管能經常碰到上面的表達式，但如果藉助於複函數cos(z), cosh(z)以及他們的反函數，則有

$$\begin{matrix} T_n(x) & = & \cos (n \arccos (x)) \\ & = & \mathrm{cosh} (n \, \mathrm{arccosh} (x)) \end{matrix} \ , \quad \forall x \in \mathbb{R}.$$

類似，第二類切比雪夫多項式滿足

$$U_n(\cos(\theta)) = \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin\theta}.$$

## 以佩爾方程定義

切比雪夫多項式可被定義為佩爾方程

$$T_i^2 - (x^2-1) U_{i-1}^2 = 1 \,\!$$

在多項式環Rx 上的解(e.g., 見 Demeyer (2007), p.70). 因此它們的表達式可通過解佩爾方程而得出:

$$T_i + U_{i-1} \sqrt{x^2-1} = (x + \sqrt{x^2-1})^i. \,\!$$

## 遞歸公式

兩類切比雪夫多項式可由以下雙重遞歸關係式中直接得出:

$$T_0(x) = 1$$

$$U_{-1}(x) = 1$$

$$T_{n+1}(x) = xT_n(x) - (1 - x^2)U_{n-1}(x)$$

$$U_n(x) = xU_{n-1}(x) + T_n(x)$$

證明的方式是在下列三角關係式中用$\cos\vartheta$ 代替$x$

$T_{n+1}(x) = T_{n+1}(\cos\vartheta) = {}$ $\cos((n + 1)\vartheta) = {}$ $\cos(n\vartheta)\cos\vartheta - \sin(n\vartheta)\sin\vartheta = {}$ $T_n(\cos\vartheta)\cos\vartheta - U_{n-1}(\cos\vartheta)\sin^2\vartheta = {}$ $xT_n(x) - (1 - x^2)U_{n-1}(x)$

## 正交性

Tn 和Un 都是區間−1,1 上的正交多項式系.

第一類切比雪夫多項式帶權

$$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$$

即:

$$\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\left\{ \begin{matrix} 0 &: n\ne m~~~~~\\ \pi &: n=m=0\\ \pi/2 &: n=m\ne 0 \end{matrix} \right.$$

可先令x= cos(θ) 利用Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可證明.

類似地，第二類切比雪夫多項式帶權

$$\sqrt{1-x^2}$$

即:

$$\int_{-1}^1 U_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}\,dx = \begin{cases} 0 &: n\ne m\\ \pi/2 &: n=m \end{cases}$$

其正交化後形成的隨機變量是 Wigner 半圓分布).

## 基本性質

對每個非負整數$n$， $T_n(x)$ 和 $U_n(x)$ 都為 $n$次多項式。

並且當$n$為偶（奇）數時，它們是關於$x$ 的偶（奇）函數，在寫成關於$x$的多項式時只有偶（奇）次項。

$n \ge 1$時，$T_n$ 的最高次項係數為 $2^{n-1}$，$n = 0$時係數為$1$。

## 最小零偏差

對$n \ge 1$，在所有最高次項係數為1的$n$次多項式中， $f(x) = \frac1{2^{n-1}}T_n(x)$ 對零的偏差最小，即它是使得$f(x)$在$[-1, 1]$ 上絕對值的最大值最小的多項式。

其絕對值的最大值為$\frac1{2^{n-1}}$，分別在$-1$、 $1$ 及 $f$ 的其他 $n - 1$ 個極值點上達到。

## 兩類切比雪夫多項式間的關係

兩類切比雪夫多項式間還有如下關係：

$$\frac{d}{dx} \, T_n(x) = n U_{n-1}(x) \mbox{ , } n=1,\ldots$$

$$T_n(x) = \frac{1}{2} (U_n(x) - \, U_{n-2}(x)).$$

$$T_{n+1}(x) = xT_n(x) - (1 - x^2)U_{n-1}(x)\,$$

$$T_n(x) = U_n(x) - x \, U_{n-1}(x).$$

切比雪夫多項式是超球多項式或蓋根堡多項式的特例, 後者是雅可比多項式的特例.

切比雪夫多項式導數形式的遞推關係可以由下面的關係式推出：

$$2 T_n(x) = \frac{1}{n+1}\; \frac{d}{dx} T_{n+1}(x) - \frac{1}{n-1}\; \frac{d}{dx} T_{n-1}(x) \mbox{ , }\quad n=1,2,\ldots$$

## 例子

<image>

前幾個第一類切比雪夫多項式是

$$T_0(x) = 1 \,$$

$$T_1(x) = x \,$$

$$T_2(x) = 2x^2 - 1 \,$$

$$T_3(x) = 4x^3 - 3x \,$$

$$T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,$$

$$T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,$$

$$T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,$$

$$T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,$$

$$T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \,$$

$$T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x. \,$$

<image>

前幾個第二類切比雪夫多項式是

$$U_0(x) = 1 \,$$

$$U_1(x) = 2x \,$$

$$U_2(x) = 4x^2 - 1 \,$$

$$U_3(x) = 8x^3 - 4x \,$$

$$U_4(x) = 16x^4 - 12x^2 + 1 \,$$

$$U_5(x) = 32x^5 - 32x^3 + 6x \,$$

$$U_6(x) = 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1. \,$$

第一類切比雪夫多項式前幾階導數是

$$T_n'(1) = n^2 \,$$

$$T_n'(-1) = - (-1)^n * n^2 \,$$

$$T_n''(1) = (n^4 - n^2)/3 \,$$

$$T_n''(-1) = (-1)^n * (n^4 - n^2)/3 \,$$

## 按切比雪夫多項式的展開式

一個N 次多項式按切比雪夫多項式的展開式為如下：

$$p(x) = \sum_{n=0}^{N} a_n T_n(x)$$

多項式按切比雪夫多項式的展開可以用 Clenshaw遞推公式計算。

## 切比雪夫根

兩類的n次切比雪夫多項式在區間−1,1上都有n 個不同的根, 稱為切比雪夫根, 有時亦稱做 切比雪夫節點，因為是多項式插值時的 插值點 . 從三角形式中可看出Tn 的n個根分別是：

$$x_i = \cos\left(\frac{2i-1}{2n}\pi\right) \mbox{ , } i=1,\ldots,n.$$

類似地， Un 的n個根分別是：

$$x_i = \cos\left(\frac{i}{n+1}\pi\right) \mbox{ , } i=1,\ldots,n.$$