集合 (數學)

集合（set）簡稱集，是一個基本的數學模型，指由若干物件（object）所形成的整體，且並不限於有限個物件所組成，甚至可以由零個物件所形成。

集合在現代數學無處不在，其基本理論（即樸素集合論，或稱直觀集合論）於十九世紀末創立。自二十世紀上半葉以來，為規避邏輯悖論而發展出的集合理論，更確切地說是策梅洛-弗蘭克爾集合論（ZFC），一直作為最常被使用的公理系統，為所有數學分支奠定嚴格而實際的基礎。

## 基本介紹

### 定義

一個「集合」，是由若干對象所構成的整體，這些對象被稱作「元素」或「成員」；集合的本質完全由這些元素所決定。集合的元素可以是任何事物，從現實中的實物、文字，到各式數學物件——例如數字、函數和向量，甚至是其他集合。

在交流時為了方便，集合有一些別名。比如以下皆代表著「一組集合」或「集合的集合」，使用時卻有細微的、語意上的區別：

- 搜集（collection）：最廣義且非正式的統稱。常用來刻意模糊「集合」與「類」的學術邊界，或單純作口語上的替代詞。
- 集族（family of sets）：常用來強調這組集合具有某種共同的幾何或組合特徵，如「直線族」和「開集族」。在現代數學中，也指代與指標集存在對應關係的集合，即 $\{A_j\}_{j \in J}$。
- 系（system of sets / system）：常用來強調這組集合構成了一個具有內部代數結構的「系統」，如拓撲學中的「鄰域系」和測度論中的「登金系統」。

### 符號

元素通常用$\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$、$\boldsymbol{c}$、$\boldsymbol{d}$、$\boldsymbol{x}$等小寫字母來表示；而集合通常用$\boldsymbol{A}$、$\boldsymbol{B}$、$\boldsymbol{C}$、$\boldsymbol{D}$、$\boldsymbol{X}$等大寫字母來表示。

- 當物件$a$是集合$A$的元素時，可稱$a$屬於$A$，記作$a \in A$；反之，可稱$a$不屬於$A$，記作$a \not\in A$。
- 當集合$A_1$的元素與集合$A_2$完全相同時，可稱$A_1$和$A_2$相等，記作$A_1 = A_2$。

在公理化集合論中，此論述成為了外延公理，以形式語言寫作：$(\forall A_1)(\forall A_2)[(\forall a)(a \in A_1 \iff a \in A_2) \implies A_1 = A_2]$。

### 表示

若要指明一個集合，實務上有三種常用的方法：

- 描述法：利用日常文字或數學語句來描述集合或其元素的性質。例如：

$A_1 =$ 大於零的最小的三個自然數的集合。

$B_1 =$ 光的三個原色的集合。

- 列舉法：於大括號中列出集合所有的元素。例如：

$A_2 = \left\{1, 2, 3\right\}$。

$B_2 = \{$紅色$,$ 藍色$,$ 綠色$\}$。

- 集合構建式：在公理化集合論中，可以根據分類公理，從一個母集$X$中，利用合式公式$P()$去「篩選」出目標集合，寫作$S = \{x \in X \mid P(x)\}$，這表示$x \in S \iff x \in X \land P(x)$。例如：

$A_3 = \{n \in \mathbb{N} \mid 0 < n < 4\}$。

$B_3 = \{c \in$ 顏色 $\mid \ c$ 是光的一個原色$\}$。

在樸素集合論中，集合構建式通常寫作$\{x \mid P(x)\}$或$\{x : P(x)\}$，不提及母集。

即使是以不同方法表示集合，它們仍可能是相同的。例如可以注意到，在上述集合中，$A_1 = A_2 = A_3$而$B_1 = B_2 = B_3$。

值得注意的是，若描述法採用自然語言，其語意可能因措辭而產生歧義；相對而言，列舉法與集合構建式通常能更精確地表達集合。

### 性質

集合不同於具有順序的文字清單或數字序列。在集合論的框架下，利用集合相等及邏輯學的排中律，可得以下三個核心特性：

- 無序性：對於任意集合$A$，其元素之間是無序的。例如：$\{1, 2\} = \{2, 1\}$。

在集合上可以定義「序關係」，並以此為元素排序。但就集合本身而言，元素之間沒有必然的序（參見序理論）。

- 互異性：對於任意集合$A$，其元素之間彼此相異。

因此對$A$的元素$a$，即使在$A$的列舉表達式中重複寫入$a$，其結果仍為$A$。例如：$\{1, 2\} = \{1, 2, 2\}$。

由於列舉法中元素的出現次數並不改變集合的本質，若需要強調同一元素出現多次的狀態，可以使用多重集（使用符號$[]$），其中元素的出現次數將會造成影響，例如：$[1, 2, 2] \ne [1, 2]$。

- 確定性：對於任意物件$a$和集合$A$，必定有$a \in A$或$a \notin A$兩者之一成立。

## 子集（包含關係）

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### 定義

給定集合$A$和$B$，若$A$中所有元素皆屬於$B$，則稱$A$是$B$的子集，$B$是$A$的超集，亦稱$A$包含於$B$，$B$包含$A$，以形式語言寫作：

$(\forall a)(a \in A \implies a \in B) \iff A \subseteq B \iff B \supseteq A$。

反之，我們稱$A$不是$B$的子集，並記作$A \nsubseteq B$。

此時若$A \subseteq B$，但$B \nsubseteq A$，則稱$A$是$B$的真子集，$B$是$A$的真超集，亦稱$A$真包含於$B$，$B$真包含$A$，記作$A \subset B$或$B \supset A$（有時也記作$A \subsetneqq B$或$B \supsetneqq A$）。

### 性質

包含關係「$\subseteq$」是集合間的一個非嚴格偏序關係。它具有如下性質：

- 自反性：對於任意集合$S$，有$S \subseteq S$。
- 反對稱性：對於任意集合$S_1$和$S_2$，滿足$S_1 \subseteq S_2$且$S_2 \subseteq S_1$，則$S_1 = S_2$。
- 傳遞性：對於任意集合$S_1$、$S_2$和$S_3$，滿足$S_1 \subseteq S_2$且$S_2 \subseteq S_3$，則$S_1 \subseteq S_3$。
- $\varnothing$是此偏序關係的最小元素，即：對於任意集合$S$，有$\varnothing \subseteq S$。

真包含關係「$\subset$」是集合間的一個嚴格偏序關係。它具有如下性質：

- 反自反性：對於任意集合$S$，有$S \not\subset S$。
- 非對稱性：對於任意集合$S_1$和$S_2$，滿足$S_1 \subset S_2$，則$S_2 \not\subset S_1$。
- 傳遞性：對於任意集合$S_1$、$S_2$和$S_3$，滿足$S_1 \subset S_2$且$S_2 \subset S_3$，則$S_1 \subset S_3$。
- $\varnothing$是此嚴格偏序關係的極小元素，即：對於任意集合$S$，若$S \subset \varnothing$則$S = \varnothing$。由於$S \subset \varnothing$的前件恆假，因此命題虛空真，表示$\varnothing$滿足極小元素定義。

### 示例

包含於（$\subseteq$）的例子：

- $\{1, 2, 3, 4\} \subseteq \{1, 2, 3, 4\}$。
- 閉區間$[0, 1] \subseteq$ 實數集$\mathbb{R}$。
- $\{x \in S \mid P(x)\} \subseteq S$，其中$S$為任意的集合，$P(x)$為任意合式公式。
- $\left\{3n^2, \frac{1}{2} n^2 + 5n - 2, n \log{n}, n^{\log_2{3}}, \sum_{k = 0}^n k\right\}\subseteq O\left(n^2\right)$，其中$O$為大O記號。

在此處的$O\left(n^2\right) = \left\{f(n):(\exists N)(\exists M)(\forall n > N)\left(|f(n)| \le M n^2\right)\right\}$。

真包含於（$\subset$）的例子，由於$A \subset B$的同時會有$A \subseteq B$，因此常是被用以強調$A \ne B$，以下亦是如此：

- $\{1, 3\} \subset \{1, 2, 3, 4\}$。
- $\{2, 3, 5\} \subset$ 質數集$\mathbb{P} \subset$ 自然數集$\mathbb{N} \subset$ 整數集$\mathbb{Z} \subset$ 有理數集$\mathbb{Q} \subset$ 實數集$\mathbb{R}$。
- 多項式函數的集合 $\subset$ 解析函數的集合$C^\omega$ $\subset$ 光滑函數的集合$C^\infty \subset$ 可微函數的集合$C^1 \subset$ 連續函數的集合$C^0$。

## 運算

### 併

兩個集合之間可以「取所有」。對於集合$A$和$B$，「取」兩者「所有」的元素的結果稱作$A$和$B$的聯集。

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#### 定義

給定集合$A$和$B$，定義運算$\cup$如下：

$A \cup B = \{x : (x \in A) \lor (x \in B)\}$。

集合$A\cup B$被稱為$A$和$B$的聯集，其元素至少屬於$A$和$B$兩者之一。

在公理化集合論中，配對公理保證了$\{A, B\}$存在，而後定義聯集$A \cup B = \bigcup \{A, B\}$，其中$\bigcup$表示任意聯集。

#### 性質

假設$A$、$B$和$C$皆用以代表任意的一個集合，聯集（$\cup$）具有以下性質：

- 交換律：$A \cup B = B \cup A$。
- 結合律：$\left(A \cup B\right) \cup C = A \cup \left(B \cup C\right)$。
- 冪等律：$A \cup A = A$。
- 單位元素：$A \cup \varnothing = A$，其中$\varnothing$是$\cup$運算的單位元素。

其它性質還有：

- $A \cup B = B \iff A \subseteq B$。

#### 示例

- $\{1, 2\} \cup \{a, b\}=\{1, 2, a, b\}$。
- $\{1, 2, 3, a\} \cup \{3, a, b, c\} = \{1, 2, 3, a, b, c\}$。
- 閉區間$[-2, 1]$和開區間$(0, 2)$的聯集為區間$[-2, 2)$。
- 自然數集$\mathbb{N}$和負整數集$\mathbb{Z}^{-}$的聯集為整數集$\mathbb{Z}$。
- 上半圓$\left\{(x, y):y = \sqrt{1 - x^2}\right\}$和下半圓$\left\{(x, y):y = -\sqrt{1 - x^2}\right\}$的聯集為圓$\left\{(x, y):x^2 + y^2 = 1\right\}$。

### 交

兩個集合之間可以「取相同」。對於集合$A$和$B$，「取」兩者「相同」的元素的結果稱作$A$和$B$的交集。

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#### 定義

給定集合$A$和$B$，定義運算$\cap$如下：

$A \cap B = \{x : (x \in A) \land (x \in B)\}$。

集合$A \cap B$被稱作$A$和$B$的交集，其元素同時屬於$A$和$B$兩者。

在公理化集合論中，定義交集有兩種方法，分別為：

- $A \cap B = \{x \in A \mid x \in B\}$。
- $A \cap B = \{x \in A \cup B \mid (x \in A) \land (x \in B)\}$。

若交集$A \cap B = \varnothing$，則稱集合$A$和$B$不相交。

#### 性質

假設$A$、$B$和$C$皆用以代表任意的一個集合，交集（$\cap$）具有以下性質：

- 交換律：$A \cap B = B \cap A$。
- 結合律：$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$。
- 冪等律：$A \cap A = A$。
- 空集合：$A \cap \varnothing = \varnothing$，其中$\varnothing$是$\cap$運算的空集合。

其它性質還有：

- $A \cap B = A \iff A \subseteq B$。

#### 示例

- $\{1, 2\} \cap \{a, b\} = \varnothing$。
- $\{1, 2, 3, a\} \cap \{3, a, b, c\} = \{3, a\}$。
- 等腰三角形的集合和含有$60^{\circ}$內角的三角形集合，其交集為正三角形的集合。
- 數集$\{x \in \mathbb{N} \mid x < 12\}$與質數集$\mathbb{P}$的交集為數集$\{2, 3, 5, 7, 11\}$。
- 區域$\{(x, y):-1 \le y \le 1\}$與區域$\{(x, y):-1 \le x \le 1\}$的交集為一個正方形區域，其頂點分別為$(1, 1)$、$(-1, 1)$、$(-1, -1)$和$(1, -1)$。

### 差

兩個集合之間可以「相減」。對於集合$A$和$B$，其「相減」的結果有兩種：$A$和$B$的相對差集、$A$和$B$的對稱差集。

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若限制討論範圍在給定的全集$U$內，則從$U$中去除集合$A$後，剩下的部分稱作$A$的絕對差集。

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#### 定義

相對差：

給定集合$A$，$B$，定義運算$\setminus$如下：

$A \setminus B = \{x : (x \in A) \land (x \notin B)\}$。

集合$A \setminus B$被稱作$A$和$B$的相對差集，有時也記為$A - B$，其元素屬於$A$但不屬於$B$。

在公理化集合論中，定義相對差集$A \setminus B = \{x \in A \mid x \notin B\}$。

對稱差：

給定集合$A$，$B$，定義運算$\triangle$如下：

$A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$。

集合$A \triangle B$被稱作$A$和$B$的對稱差集，亦等於$(A \cup B) \setminus (A \cap B)$，其元素屬於$A$和$B$兩者之一。

絕對差：

給定相對全集$U$，滿足任意被討論的集合$S \subseteq U$。對於集合$A$，定義：

$A^c = U \setminus A = \{x \in U \mid x \notin A\}$。

集合$A^c$被稱作$A$（對於$U$）的絕對差集、補集或餘集，有時也記為$A'$、$\bar{A}$、$\complement_U A$或$\complement A$。

#### 性質

假設$A$、$B$和$C$皆用以代表任意的一個集合，則

相對差（$\setminus$）運算具有以下性質：

- $A \setminus A = \varnothing$。
- $A \setminus \varnothing = A$。
- $\varnothing \setminus A = \varnothing$。
- $A \setminus B = \varnothing \iff A \subseteq B$。

對稱差（$\triangle$）運算具有以下性質：

- $A \triangle B = B \triangle A$。
- $(A \triangle B) \triangle C = A \triangle (B \triangle C)$。
- $A \triangle \varnothing = A$。
- $A \triangle A = \varnothing$。

#### 示例

相對差（$\setminus$）的例子：

- $\{1, 2\} \setminus \{a, b\} = \{1, 2\}$。
- $\{1, 2, 3, a\} \setminus \{3, a, b, c\} = \{1, 2\}$。
- $\{1, 2\} \setminus \{1, 2, 3, 4\} = \varnothing$。
- 非零整係數多項式$\mathbb{Z}[x] \setminus \{0\}$。
- 複數集$\mathbb{C}$與代數數集$\mathbb{A}$的相對差集為集合$\{z \in \mathbb{C} \mid (\forall f \in \mathbb{Z}[x] \setminus \{0\})(f(z) \neq 0)\}$。

對稱差（$\triangle$）的例子：

- $\{1, 2\} \triangle \{a, b\} = \{1, 2, a, b\}$。
- $\{1, 2, 3, a\} \triangle \{3, a, b, c\} = \{1, 2, b, c\}$。
- $\big\{x \in \mathbb{R} \;\big|\; x^2 > 1\big\} \triangle \big\{x \in \mathbb{R} \;\big|\; x^3 > x\big\} = (-\infty, -1) \cup (-1, 0)$。

給定實係數多項式$p(x)$，滿足$p(0) < 0$，並令$R = \{y \in \mathbb{R} \mid (p(y) = 0) \land (y < 0)\}$，考慮$S = \{z \in \mathbb{R} \mid p(z) > 0\} \triangle \{z \in \mathbb{R} \mid zp(z) > 0\}$。

此時，對於$z > 0$，因為$p(z)$和$zp(z)$同號，故$z \notin S$；對於$z = 0$，$p(0) < 0$而$0 \cdot p(0) = 0$，故$z \notin S$；對於$z < 0$，若$z \in R$，則$p(z) = zp(z) = 0$，故$z \notin S$。若$z \notin R$，則$p(z)$和$zp(z)$異號且皆不為$0$，故$z \in S$。

因此，$S = \mathbb{R}^- \setminus R$。

絕對差（$\complement_U$）的例子：

- 若$U$限定為$\{1, 2, 3, 4\}$，則$\{1\}^c = \{2, 3, 4\}$。
- 若$U$限定為整數集$\mathbb{Z}$，則奇數集的補集為偶數集。
- 若$U$限定為實數平面$\mathbb{R}^2$，則圓$\left\{(x, y):x^2 + y^2 \le 1\right\}$的補集為圓外區域$\left\{(x, y):x^2 + y^2 > 1\right\}$。

### 綜合運算性質

集合的運算除了以上獨立的性質外，還具有以下的綜合運算性質：

$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$。

$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$。

- 德摩根律，或稱對偶律:

$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$。

$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$。

## 集合大小

在討論集合時，關注點有時是集合的「大小」，也就是其中元素的個數。集合論中，一個集合的基數或勢被用以代稱其元素個數。對於集合$S$，其勢被記作$\operatorname{Card}(S)$、$|S|$、$\# S$或$n(S)$，更早期亦寫作$\bar{\bar{S}}$。

### 定義

給定集合$A$和$B$，集合$B^A$表示所有「從$A$到$B$」的函數的集合，也就是$\{f:(f:A \to B)\}$，則

- $|A| \le |B|$，若存在單射函數$f \in B^A$。
- $|A| \ge |B|$，若存在滿射函數$g \in B^A$。
- $|A| = |B|$，若存在雙射函數$h \in B^A$。此時稱$A$和$B$等勢，記作$A \approx B$或$A \sim B$。

按照集合的勢，可將集合分為有限集、可數無限集和不可數無限集（或稱不可數集）。記自然數集為$\mathbb{N}$，集合$S$為

- 有限集，若存在自然數$n$與$S$等勢，即$(\exists n \in \mathbb{N})(n \sim S)$。
- 無限集，若$S$不為有限集。另一種定義來自數學家戴德金，若存在$S$的真子集$R$與其等勢，即$(\exists R \subset S)(R \sim S)$，則稱$S$為（戴德金）無限集。需要注意的是，惟有在承認選擇公理時，兩種定義等價。

給定集合$T$，若存在自然數集的子集與其等勢，即$(\exists N \subseteq \mathbb{N})(N \sim T)$，則稱其為可數集；反之，則稱其為不可數集。可以看出，所有的有限集皆為可數集，而無限集可進而分為可數無限集與不可數無限集：

- 可數無限集：若$T$與自然數集等勢，即$T \sim \mathbb{N}$，則稱其為可數無限集。
- 不可數無限集：若$T$為無限集而不為可數集，則稱其為不可數無限集。由於$(\forall n \in \mathbb{N})(n \subseteq \mathbb{N})$，此時的$T$會滿足$(\forall N \subseteq \mathbb{N})[\neg(N \sim T)]$，這代表著$T$同時為不可數集。

### 性質

根據數學家馮·諾伊曼的自然數設置，對自然數$n$有$|n| = n$（例如$|1| = |\{\varnothing\}| = 1$），因此有限集$S$滿足$|S| \in \mathbb{N}$，而無限集$T$會滿足$|T| \notin \mathbb{N}$。

給定有限集合$A$和$B$，有$\left|A^B\right| = |A|^{|B|} = \exp(|B|\ln|A|)$，中間為常見的指數運算。

對於無限集的勢，常用的有兩套記號：

- 阿列夫數：使用符號 $\aleph$（讀作：aleph）加上下標。$\aleph_0 = |\mathbb{N}|$，表示最小的無限集的基數（無窮基數），$\aleph_1$表示大於$\aleph_0$的最小的無窮基數，依此類推，$\aleph_{\alpha + 1} > \aleph_\alpha$，而且兩者之間沒有任何無窮基數。
- 貝茲數：使用符號 $\beth$（讀作：beth）加上下標。$\beth_0 = |\mathbb{N}|$，$\beth_1 = |\mathcal{P}(\mathbb{N})| = 2^{\beth_0}$，$\beth_2 = |\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N}))| = 2^{\beth_1}$，依此類推，$\beth_{\alpha + 1} = 2^{\beth_\alpha}$。

對於任意序數$\alpha$，都有$\aleph_\alpha \le \beth_\alpha$；若承認廣義連續統假設（GCH），則$\aleph_\alpha = \beth_\alpha$。

### 示例

有限集的例子：

- $\{a, b, c\}$，$|\{a, b, c\}| = 3$。
- $\{1, 10, 11, 100\}$，$|\{1, 10, 11, 100\}| = 4$。
- 空集合$\varnothing$（沒有元素的集合），$|\varnothing| = 0$。
- 任意的自然數$n$，$|n| = n$。
- 所有人類的集合，其勢小於$10^{10}$。

可數無限集的例子：

- 自然數集$\mathbb{N}$，$|\mathbb{N}| = \beth_0$。
- 有理數集$\mathbb{Q}$，$|\mathbb{Q}| = \beth_0$。
- 代數數集$\mathbb{A}$，$|\mathbb{A}| = \beth_0$。

不可數無限集的例子：

- 實數集$\mathbb{R}$，$|\mathbb{R}| = \beth_1$。
- 開區間$(0, 1)$，其勢為$\beth_1$。
- 實數平面$\mathbb{R}^2$，$\left|\mathbb{R}^2\right| = \beth_1$。
- 複數集$\mathbb{C}$，$|\mathbb{C}| = \beth_1$
- 所有實數函數的集合$\mathbb{R}^\mathbb{R}$，$\left|\mathbb{R}^\mathbb{R}\right| = \beth_2$。
- 實數軸上所有可能的拓撲結構的集合，其勢為$\beth_3$。

## 類

在ZFC中，根據分類公理或正則公理可以證明：不存在所有集合的集合（即全類$V$）。有些公理系統（例如NBG與MK）則根據此對ZFC進行擴展，將萬物視為「類（class）」，而非集合。

### 定義

類可根據以下條件進行區分：

- 良性類判斷：$\operatorname{M}(x) \iff (\exists X)(x \in X)$。
- 本性類判斷：$\operatorname{Pr}(x) \iff (\neg\exists X)(x \in X)$。

給定類$A$，若$\operatorname{M}(A)$為真，則稱$A$為良性類或集合（也就是 ZFC 中的集合，因此有時也寫作$\operatorname{Set}(A)$）；若$\operatorname{Pr}(A)$為真，則稱$A$為本性類或真類。

### 類的建構

在允許類的公理系統中，建構新的類根據理解公理。對於任意合式公式條件$\phi(x)$，皆存在一個類$C$，使其包含所有滿足該條件的「集合」：

$$(\exists C)(\forall x)\{x \in C \iff [\operatorname{M}(x) \land \phi(x)]\}.$$ 對於滿足上述條件的類$C$，時常簡寫為：

$$C = \{x \mid \phi(x)\}.$$

### 公理系統的比較

不同集合論公理系統對使用的基本物件與新的物件的建構方法有所不同：

- ZFC：基本物件為「集合」，根據分類公理「篩選」出新集合。
- NBG：基本物件為「類」，根據理解公理得到新類，但使用的條件$\phi(x)$中的量詞僅能限制於「集合」變量，使得NBG成為ZFC的保守擴展。
- MK：基本物件為「類」，根據理解公理得到新類，且使用的條件$\phi(x)$中的約束變量可以是「所有的類」，使得其表達能力與系統強度皆高於ZFC與NBG。

### 示例

數學中有許多著名的整體因為「過大」無法成為集合，而形式上成為真類：

- 全類（$V$）：由所有的集合組成，即$V = \{x \mid x = x\}$。
- 序數類（$\text{On}$或$\mathbf{ON}$）：由所有的序數組成。若 $\text{On}$ 是集合，將會導出布拉利-福爾蒂悖論。
- 基數類（$\text{Card}$或$\mathbf{CN}$）：由所有的基陣列成。
- 羅素類（$R$）：由所有不屬於自身之集合組成，即$R = \{x \mid x \notin x\}$。若承認正則公理，則$R = V$。

## 參考文獻

- Dauben, Joseph W., Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.
- Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6.
- Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4.