全集

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數學上，特別是在集合論和數學基礎的應用中，全類（Universe，若是集合，則稱作全集）是一個（在某種程度上）包含了所有的研究對象和集合的類。

## 在特定場合下

這個一般概念有數個精確的版本。最簡單的情況下可以將任意集合$U$定義成全集，只要研究的對象都是其子集。若研究實數，則所有實數的集合實數線$\mathbb{R}$就是全集。在1870年代和1880年代，康托爾第一次發展現代樸素集合論和勢的概念以應用於實分析，這時他默認地使用著的全集就是實數線$\mathbb{R}$。康托爾一開始關心的也只是$\mathbb{R}$的子集。

這種全集概念在文氏圖的應用中有所反映。在文氏圖中，所有的操作按例都是在一個表示全集$U$的大長方形內進行。集合通常表示為圓形，但這些集合只能是$U$的子集。集合$A$的補集則為長方形中表示$A$的圓形的外面的部分。嚴格地說，這是$A$對$U$的相對補集$U\backslash A$；但在$U$是全集的場合下，這可以被當成是$A$的絕對補集$A^C$。同樣的，有一個稱為空交集的概念，即零個集合的交集（指沒有集合，而不是空集）。要是沒有全集，空交集就會是所有東西組成的集合，這一般被認為是不可能的；但有了全集，空交集可以被當成是有條件（即$U$）下的所有東西組成的集合。

在基於布爾格的代數方法研究基礎集合理論時，這種慣例非常有用。但對公理化集合論的一些非標準形式並非如此，例如新基礎集合論，這裡所有集合的類並不是布爾格，而僅僅是相對有補格。相反，$U$的冪集，即$U$的所有子集組成的集合，是一個布爾格。上述的絕對補集是布爾格中的補運算；而空交集$U$則作為布爾格中的最大元（或空交）。這裡，適用於補運算、交運算和並運算（集合論中的併集）的德·摩根律成立，而且對空交和空並（即空集）也成立。

## 在一般數學中

然而，當考慮過給定集合$X$的子集（在康托爾的例子中，$X=\mathbb{R}$），可能就會進一步關心$X$的子集組成的集合。

（例如：$X$上的一個拓撲就是一個$X$的子集組成的集合。）

這些不同的$X$的子集組成的集合本身，一般而言並不是$X$的子集，卻是$X$的冪集$\mathbf{P} X$的子集。當然，這還沒有完；可以進一步考慮$X$的子集組成的集合所組成的集合，等等。另一個方向是：可以考慮笛卡爾積$X\times X$，或從$X$映射到其自身的函數。接著，還可以考慮笛卡爾積上的函數，或從$X$映射到$X\times \mathrm{P} X$的函數，等等。

這樣，儘管主要關心的是$X$，仍然需要一個比$X$大很多的全集。順著上面的思路，可能需要$X$上的超結構。這可以通過結構遞歸來定義，如下：

- 設$\mathbf{S}_0X$為$X$自身。
- 設$\mathbf{S}_1X$為$X$和$\mathbf{P} X$的併集。
- 設$\mathbf{S}_2X$為$\mathbf{S}_1X$和$\mathbf{P}(\mathbf{S}_1X)$的併集。
- 一般的，設$\mathbf{S}_{n+1}X$為$\mathbf{S}_nX$和$\mathbf{P}(S_nX)$的併集。則$X$上的超結構，寫作$\mathbf{S}X$，為$\mathbf{S}_0X$，$\mathbf{S}_1X$，$\mathbf{S}_2X$，等等，的併集；或

$$\mathbf{S}X := \bigcup_{i=0}^{\infty} \mathbf{S}_{i}X \mbox{.} \!$$

注意到，無論初始集合$X$如何，空集總是屬於$\mathbf{S}_1X$。重定義空集為馮·諾伊曼序數$[0]$。則$\{[0]\}$，是僅含有空集為元素的集合，屬於$\mathbf{S}_2X$；定義為馮·諾伊曼序數$[1]$。類似的，$\{[1]\}$屬於$\mathbf{S}_3X$，則$\{[0]\}$和$\{[1]\}$的併集$\{[0],[1]\}$也屬於該集合；定義為馮·諾伊曼序數$[2]$。重複這個過程，所有的自然數都通過其馮·諾伊曼序數在超結構中表現出來。然後，若$x$和$y$屬於這個超結構，則$\{\{x\},\{x,y\}\}$（這個集合表示了有序對$(x,y)$）也屬於它。從而，這個超結構將包含各種所想要的笛卡爾積。而且，這個超結構也包含各種函數和關係，因為他們可以被表示為笛卡爾積的子集。以及，還能夠得到有序 n元組，表示定義域為馮·諾伊曼序數$[n]$的函數。等等。

所以，就算僅從$X=\{\}$出發，也可以構造大量的用於數學研究的集合，它們都是在{}上的超結構裡的某個元素。但是，這樣$\mathbf{S}\{\}$的每個元素都會是有限集合。每個自然數都屬於$\mathbf{S}\{\}$，但「所有」自然數的集合$\mathbb{N}$不屬於$\mathbf{S}\{\}$（儘管它是$\mathbf{S}\{\}$的「子集」）。實際上，$X$上的超結構包含了所有的遺傳有限集合。這樣，它可以被認為是「有限主義數學的全集」。可以想像一下，假若19世紀的有限主義者利奧波德·克羅內克當時能使用到這個全集的話；他會相信每個自然數都存在，而集合$\mathbb{N}$（一個"完全的無窮大"）則不然。

然而，對一般的數學家（它們不是有限主義者）來說，$\mathbf{S}\{\}$是不足夠的，因為儘管$\mathbb{N}$是$\mathbf{S}\{\}$的子集，但$\mathbb{N}$的冪集仍然不是。特別的，任意的實數集合都不是。所以，需要重新開始這個過程，來構造$\mathbf{S}(\mathbf{S}\{\})$。不過，為簡單起見，就只用給出的自然數集合$\mathbb{N}$來構造$\mathbf{S}\mathbb{N}$，即$\mathbb{N}$上的超結構。這通常被認為是「一般數學的全集」。其意思是指，一般研究的所有數學物件，都已作為這個全集的元素而包含其中。例如：任何通常的實數的構造方式（比如通過戴德金分割）都會屬於$\mathbf{S}\mathbb{N}$。即使是非標準分析，也能夠在自然數的一個非標準模型上的超結構中進行。

應當注意，這個部分在觀念上有些改變，這裡全集是任何被關心的集合$U$。上個部分中，被研究的集合是全集的子集；而現在，它們是全集的元素。這樣儘管$\mathbf{P}(\mathbf{S}X)$是一個布爾格，但相應的$\mathbf{S}X$不是。因此，幾乎不直接採用布爾格和文氏圖來描述這種超結構式的全集；在上個部分中，它們被用來描述冪集式的全集。作為替代，可以採用獨立的布爾格$\mathbf{P}A$，這裡$A$是$\mathbf{S}X$中任意相應的集合；則$\mathbf{P}A$是$\mathbf{S}X$的子集（實際上它屬於$\mathbf{S}X$）。

## 在集合論中

正式來說，可以給出一個精確定義，來說明為何$\mathbf{S}\mathbb{N}$為一般數學的全集；這是策梅洛集合論的模型。策梅洛集合論是由恩斯特·策梅洛最初在1908年提出的公理集合論。策梅洛集合論的成功完全在於它能夠公理化"一般"數學，完成了康托爾在三十年之前開始的課題。但策梅洛集合論對進一步發展公理集合論和數學基礎中的其他工作，特別是模型論，是不夠的。舉一個戲劇性的例子：上述超結構的描述並不能獨立地在策梅洛集合論中完成！

最後一步，構造$\mathbf{S}$成為一個無限併集，需要代換公理；這條公理在1922年被加入策梅洛集合論，成為如今通用的策梅洛-弗蘭克爾集合論。所以，儘管一般數學可以在$\mathbf{S}\mathbb{N}$中進行，對$\mathbf{S}\mathbb{N}$的討論則不再"一般"，而是轉向元數學的領域。

但是，若在超級的集合論中，可以發現上述的超結構過程只是超限歸納法的開始。回到$X=\{\}$（空集），並用（標準的）符號$V_i$表示$\mathbf{S}_ i\{\}$。則有$V_0=\{\}$，$V_1=\mathbf{P}\{\}$，等等，和前面一樣。但是，所謂"超結構"現在只是這個列中的下一項：$V_\omega$，這裡$\omega$為第一個無窮序數。按照序數知識，得到：

$$V_{i} := \bigcup_{j<i} \mathbf{P}V_j \!$$

可以對任意序數$i$定義$V_i$。所有$V_i$的併集為馮·諾伊曼全集$V$：

$V := \bigcup_{i} V_{i} \!$。注意，每個單獨的$V_i$都是集合，但他們的併集$V$是一個真類。跟代換公理差不多時候加入ZF系統的正則公理斷言，每個集合都屬於$V$。

## 參考書目

- Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Springer-Verlag New York, Inc.