祖沖之

祖沖之（429年500年），字文遠，范陽郡逎縣（今河北省保定市淶水縣）人，劉宋時代傑出的數學家、天文學家，主要成就在數學、天文曆法和機械製造三個領域。祖沖之的兒子祖暅也是數學家。

## 生平

祖家歷代都對天文曆法素有研究，祖沖之從小就有機會接觸天文、數學知識。祖沖之青年時，就得到博學多才的名譽，宋孝武帝聽說後，派他到華林學省做研究工作。461年，他在南徐州刺史府裏擔任從事，先後任南徐州從事史、公府參軍。公元464年他調至婁縣（今江蘇崑山東北）任縣令。在此期間他編制了《大明曆》，計算了圓周率。劉宋末年，祖沖之回到建康任謁者僕射，此後直到劉宋滅亡一段時間後，他花了較大精力來研究機械製造。494年到498年之間，他在南齊朝廷擔任長水校尉一職，受四品俸祿。

## 數學貢獻

在數學上，祖沖之研究過《九章算術》和劉徽所做的註解，給劉徽的《重差》作過註解。他還著有《綴術》一書，匯集了祖沖之父子的數學研究成果。這本書內容深奧，以至「學官莫能究其深奧，故廢而不理」。《綴術》在唐代被收入《算經十書》，成為唐代國子監算學課本，當時學習《綴術》需要四年的時間，可見《綴術》的艱深。《綴術》曾經傳至朝鮮和日本，但到北宋時這部書就已軼失。人們只能通過其他文獻了解祖沖之的部分工作：在《隋書·律曆志》中留有小段祖沖之關於圓周率工作的記載；唐代李淳風在《九章算術》注文中記載了祖沖之和兒子祖暅求球體積的方法。祖沖之還研究過「開差冪」和「開差立」問題，涉及二次方程和三次方程的求根問題。遺留下來的祖沖之的數學貢獻主要有他對圓周率的計算結果和球體體積的計算公式。

### 計算圓周率

據《隋書·律曆志》記載，祖沖之以「以直徑一億為一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，週二十二。」，以此為直徑求圓周率，求得盈數（即過剩的近似值）為$3.1415927$；朒數（即不足的近似值）為$3.1415926$，圓周率的真值介於盈朒兩數之間。《隋書》沒有具體說明祖沖之是用什麼方法計算出盈朒兩數的。一般認為，祖沖之採用的是劉徽割圓術分割到24576邊形，又用劉徽圓周率不等式得祖沖之著名的圓周率不等式：

$3.1415926 < \pi < 3.1415927$。祖沖之的這一結果精確到小數點後第7位，直到一千多年後才由15世紀的阿拉伯數學家阿爾·卡西以17位有效數字打破此記錄。

按照當時計算使用分數的習慣，祖沖之還採用了兩個分數值的圓周率：「約率」$\tfrac{22}{7}$（或稱之為「疏率」）以及「密率」$\tfrac{355}{113}=3.141592920354$。在分母<16600的所有整分數中，密率的比值最接近圓周率$\frac{52163}{16604}=3.1415923874$才比祖率略准。祖沖之可能利用何承天的調日法求得圓周率的約率和密率。數學家華羅庚曾認為密率的求得，說明祖沖之可能已經掌握了連分數的概念。

根據日本數學史家三上義夫，雖$\pi=\tfrac{22}{7}$是古希臘數學家阿基米德早已取得的數值，但$\pi=\tfrac{355}{113}$這個分數在歐洲直到1586年才由荷蘭彼得·安托尼斯宗·歐沃特瓦特重新求出並廣泛流傳。鑑於此，三上義夫提議把$355 \over 113$稱為「祖率」。

### 計算球體體積

祖沖之還和兒子祖暅之一起，用巧妙的方法解決了球體體積的計算問題。

《九章算術》中認為，球體的外切圓柱體積與球體體積之比等於正方形與其內切圓面積之比，劉徽在他為《九章算術》作的注釋中指出，原書的說法是不正確的，只有「牟合方蓋」（垂直相交的兩個圓柱體的共同部分的體積）與球體積之比，才正好等於正方形與其內切圓的面積之比。但劉徽沒有給出「牟合方蓋」的體積公式，所以也就得不出球體的體積公式。

祖沖之父子採用「冪勢既同，則積不容異。」（即「等高處橫截面積常相等的兩個立體，其體積也必然相等」）這一原理，求出了「牟合方蓋」的體積，而球體體積等於$\pi \over 4$乘以「牟合方蓋」體積，從而最終算出球體積為$\pi d^3 \over 6$（$d$為球直徑）。

祖沖之父子所採用的「冪勢既同，則積不容異」這一原理，在歐洲由義大利數學家卡瓦列里於17世紀重新發現，所以西文文獻一般稱該原理為卡瓦列里原理。也稱為「祖暅原理」。

## 天文曆法貢獻

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祖沖之在天文曆法方面的成就，大都包含在他所編制的《大明曆》及為《大明曆》所寫的《駁議》中。

在祖沖之之前，人們使用的曆法是天文學家何承天編制的《元嘉曆》。祖沖之經過多年的觀測和推算，發現《元嘉曆》存在很大的差誤。於是祖沖之著手制定新的曆法，宋孝武帝大明六年（公元462年）他編製成了《大明曆》。大明曆在祖沖之生前始終沒能採用，直到梁武帝天監九年（公元510年）才正式頒布施行。《大明曆》的主要成就如下：

- 區分了回歸年和恆星年，首次把歲差引進曆法，測得歲差為45年11月差一度（今測二分點約為70.713年沿黃道西行差一度）。歲差的引入是中國曆法史上的重大進步。
- 定一個回歸年為365${15241 \over 62769}$（=365.24281481日，今測為365.2421988日），直到南宋寧宗慶元五年（公元1199年）楊忠輔制統天曆以前，它一直是最精確的數據。
- 採用391年置144閏的新閏周，比以往曆法採用的19年置7閏的閏周更加精密。
- 定交點月日數為27${5598 \over 26377}$（=27.21223日，今測為27.212225日）。交點月日數的精確測得使得準確的日月食預報成為可能，祖沖之曾用大明曆推算了從元嘉十三年（公元436年）到大明三年（公元459年），23年間發生的4次月食時間，結果與實際完全符合。
- 得出木星每84年超辰一次的結論，即定木星公轉周期為11.858年（今測為11.862年）。
- 給出了更精確的五星會合周期，其中水星和木星的會合周期也接近現代的數值。
- 提出了用圭表測量正午太陽影長以定冬至時刻的方法。

## 機械製造貢獻

祖沖之還曾設計製造過許多精巧的機械，在文獻《南齊書·祖沖之傳》和《南史·祖沖之傳》中有所記載。他曾經設計製造過利用水力舂米、磨麵的水碓磨；重新鑄造了當時已經失傳了的指南車，隨便車子怎樣轉彎，車上的銅人總是指著南方；製造了"千里船"，是一種明輪船，在新亭江（在今南京市西南）上試航過，一天可以航行一百多里。他還設計製造過計時儀器漏壺和欹器。

## 家庭

### 曾祖

- 祖台之，東晉侍中

### 祖父

- 祖昌，劉宋大匠卿

### 父親

- 祖朔之，南齊奉朝請

### 兒子

- 祖暅之，南梁太舟卿

### 孫子

- 祖皓，南梁廣陵郡太守

## 著作

《隋書·經籍志》錄有《長水校尉祖沖之集》五十一卷，但現已佚。

散見於各種史籍記載的還有以下著作：

- 《安邊論》，已佚。
- 《述異記》十卷，已佚。
- 《易老莊義釋》，已佚。
- 《論語孝經注》，已佚。
- 《綴術》六卷，已佚。
- 《九章述義注》九卷，已佚。
- 《重差注》一卷，已佚。
- 《大明曆》
- 《上大明曆表》
- 《駁議》
- 《開立圓術》

## 紀念

為紀念祖沖之：

- 月球背面的一座環形山被命名為「祖沖之環形山」。
- 小行星1888被命名為「祖沖之小行星」。
- 上海浦東張江高科技園區內有一條城市道路命名為「祖沖之路」。
- 深圳龍崗區坂田街道華為基地有一條道路命名為「沖之大道」
- 上海同濟大學文遠樓（祖沖之字文遠）
- 莫斯科大學大禮堂前的走廊壁上，用彩色大理石鑲嵌著祖沖之像。
- 河北保定有一所以祖沖之命名的中學，有江澤民手書「河北祖沖之中學」石碑。

此外還有祖沖之郵票，祖沖之紀念銀幣等紀念品。

## 參見

- 祖暅之、祖暅原理
- 圓周率：密率
- 《大明曆》

## 延伸閱讀

- 洪萬生：〈如何閱讀祖沖之？〉。
- 祖沖之① 曹增祥 祖沖之傳記。
- 祖沖之② 曹增祥 祖沖之傳記。
- 祖沖之設計製造的幾種機械及其復原問題 張柏春
- 祖沖之 其中有祖沖之成就的詳細介紹。
- 南齊書·列傳第三十三—文學 其中有《祖沖之傳》。
- 南史·列傳第六十二 其中有祖沖之傳。
- 隋書·志第十一—律歷上 其中有祖沖之計算圓周率結果的簡短記載。