雙音多頻

雙音多頻信號（Dual-Tone Multi-Frequency，簡稱：DTMF），電話系統中電話機與交換機之間的一種信令，最常用於撥號時發送被叫號碼。不過雙音多頻的發明，除了縮短撥號時間，也擴展了撥號之外的功能，例如自動總機、互動式語音應答。

在雙音多頻信號普及之前，電話系統中使用一連串的斷續脈衝來傳送被叫號碼，稱為脈衝撥號。脈衝撥號需要電信局中的操作員手工完成長途接續。由脈衝撥號到雙音複頻這幾年轉換期當中，新設計的電話機為了能相容於兩種系統，大都設計為複頻/脈衝(TONE / PULSE)兩用。

雙音多頻信號是貝爾實驗室發明的，其目的是為了自動完成長途呼叫。

因為傳統的脈衝撥號，只能把信號送到電話接上的這一台電信交換機，但長距通話時，往往必須經由多台電信交換機才能完成，雙音多頻信號可以克服這個障礙，利用本來就用來傳送聲音的電話線傳送使用者的按鍵信號。

因為雙音多頻的發明，讓自動總機與互動式語音應答得以發展，此類設備可以在接聽電話後自動宣讀預錄的語音，再依據發話端的按鍵信號做相對回應。

## 按鍵

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雙音多頻的撥號鍵盤是${\color{Red}4*4}$的矩陣，有${\color{RoyalBule}10}$個數字鍵和${\color{RubineRed}6}$個字符鍵，每個數字或字符都是由兩個單頻信號的組合來進行傳輸，因此鍵盤上每個按鍵所對應的信號都可以表示為$\mathcal{x}(t)=\mathrm{A}\sin (2 \pi f_{\color{Maroon}L}t)+\mathrm{B}\cos (2 \pi f_{\color{Maroon}H}t)$，其中$f_{\color{Maroon}L}$和$f_{\color{Maroon}H}$分別表示按鍵所在的行和列對應的頻率值。換句話說每一行代表一個高頻，每一列代表一個低頻。也就是說每按一個鍵就發送一個高頻和低頻的正弦信號組合，比如'1'相當於697和1209赫茲（Hz）。交換機可以解碼這些頻率組合並確定所對應的按鍵。

AT&T貝爾實驗室提出用DTMF信號作為音訊電話的撥號信號，因為這種方式可以提供更高的撥號速率，且容易被自動檢測和識別。但反之，DTMF信號的這個優點也很容易變成致命的缺點，因為容易被交換機檢測和識別，也就意味著容易被意圖為之第三方破解。破解的原理很簡單，只要能估計出DTMF信號中兩個單頻信號的頻率值，再根據底下電話機鍵盤的頻率陣列表格的對應關係就可以反推出按鍵值。

1209 Hz｜1336 Hz｜1477 Hz｜1633 Hz

697 Hz｜1｜2｜3｜A

770 Hz｜4｜5｜6｜B

852 Hz｜7｜8｜9｜C

941 Hz｜、｜0｜#｜D

注意：ABCD四個字母並不使用於撥號鍵盤，但常做為機器對機器的控制信號，例如DTMF格式的來話顯示。

## 按鍵識別實驗

根據撥號音識別號碼的關鍵就在於準確估計出DTMF信號的頻率值。有很多種方法可以估計DTMF信號的頻率值，在此舉例兩種實現方法，一種是基於"帶通濾波器"的方法，另一種方法為基於"格策爾演算法(Goertzel algorithm)"。

1.帶通濾波器演算法:

濾波器演算法識別按鍵的關鍵是設計8個帶通濾波器，每個帶通濾波器的中心頻率對應著低/高頻組的各個頻率點。將待識別的撥號音也就是DTMF的信號波型依次通過這8個帶通濾波器。理論上只有頻率成分與濾波器中心頻率一致的信號才會通過，在濾波器輸出端檢測能量最大者即可判斷出低/高頻序號，最後再通過電話機鍵盤的頻率陣列表格的對應關係即可反推出按鍵值。

以下展示使用帶通濾波器演算法應用於MATLAB程式碼:

```matlab
clear
clc
fs=8000;
t=(0:800)/fs;
fcolumns1 = 697;fcolumns2 = 770;fcolumns3 = 852;fcolumns4 = 941;
frow1 = 1209;frow2 = 1336;frow3 = 1477;
num0 = sin(2*pi*fcolumns4*t)+sin(2*pi*frow2*t); %數字0
num1 = sin(2*pi*fcolumns1*t)+sin(2*pi*frow1*t); %數字1
num2 = sin(2*pi*fcolumns1*t)+sin(2*pi*frow2*t); %數字2
num3 = sin(2*pi*fcolumns1*t)+sin(2*pi*frow3*t); %數字3
num4 = sin(2*pi*fcolumns2*t)+sin(2*pi*frow1*t); %數字4
num5 = sin(2*pi*fcolumns2*t)+sin(2*pi*frow2*t); %數字5
num6 = sin(2*pi*fcolumns2*t)+sin(2*pi*frow3*t); %數字6
num7 = sin(2*pi*fcolumns3*t)+sin(2*pi*frow1*t); %數字7
num8 = sin(2*pi*fcolumns3*t)+sin(2*pi*frow2*t); %數字8
num9 = sin(2*pi*fcolumns3*t)+sin(2*pi*frow3*t); %數字9
numStar = sin(2*pi*fcolumns4*t)+sin(2*pi*frow1*t); %符號*
numJin = sin(2*pi*fcolumns4*t)+sin(2*pi*frow3*t); %符號#
blank = zeros(size(num1)); %間隔
f = [fcolumns1 fcolumns2 fcolumns3 fcolumns4 frow1 frow2 frow3];
f_Low = [fcolumns1 fcolumns2 fcolumns3 fcolumns4];
f_High = [frow1 frow2 frow3];

%設計帶通濾波器(low frequency)
N = 400;
Bandwidth = 70;
B_Low = zeros(4,N+1); %存放低頻組的濾波器係數
for i = 1:4
    Wo = f_Low(i);
    wc1 = ( Wo - Bandwidth/2 ) * 2* pi/fs;
    wc2 = ( Wo + Bandwidth/2 ) * 2* pi/fs;
    B_Low(i, :) = fir2(N,[0,wc1/pi,wc2/pi,1],[0,1,1,0]);
end

%設計帶通濾波器(high frequency)
N = 200;
Bandwidth = 110;
B_High = zeros(3,N+1); %存放高頻組的濾波器係數
for i = 1:3
    Wo = f_High(i);
    wc1 = ( Wo - Bandwidth/2 ) * 2* pi/fs;
    wc2 = ( Wo + Bandwidth/2 ) * 2* pi/fs;
    B_High(i, :) = fir2(N,[0,wc1/pi,wc2/pi,1],[0,1,1,0]);
end

DialNum = num1; %DTMF訊號
sound(DialNum);

%計算當前信號與各個頻率點的距離(low frequency)
Diatance_Low = zeros(1,4);
for i = 1:4
    Output = filter(B_Low(i, :),1,DialNum);
    Diatance_Low(1,i) = max(abs(fft(Output)));
end
[maxnum_low,index_low] = max(Diatance_Low(1, :));

%計算當前信號與各個頻率點的距離(high frequency)
Diatance_High = zeros(1,3);
for i = 1:3
    Output = filter(B_High(i, :),1,DialNum);
    Diatance_High(1,i) = max(abs(fft(Output)));
end
[maxnum_high,index_high] = max(Diatance_High(1, :));

%判斷按鍵
if index_low == 1 && index_high == 1
    keynum = '1';
elseif index_low == 1 && index_high == 2
    keynum = '2';
elseif index_low == 1 && index_high == 3
    keynum = '3';
elseif index_low == 2 && index_high == 1
    keynum = '4';
elseif index_low == 2 && index_high == 2
    keynum = '5';
elseif index_low == 2 && index_high == 3
    keynum = '6';
elseif index_low == 3 && index_high == 1
    keynum = '7';
elseif index_low == 3 && index_high == 2
    keynum = '8';
elseif index_low == 3 && index_high == 3
    keynum = '9';
elseif index_low == 4 && index_high == 2
    keynum = '0';
elseif index_low == 4 && index_high == 1
    keynum = '*';
elseif index_low == 4 && index_high == 3
    keynum = '#';
end
keynum
```

2.格策爾演算法(Goertzel algorithm):

理論上DTMF信號只會在兩個固定的頻率點上出現能量，如何準確又高效地估計這兩個頻率值(低/高頻組)是識別撥號音的關鍵。傳統的頻譜估計方法得到的是一個頻率區間內所有頻率點的估計結果，而對於DTMF信號我們只在乎那8個固定頻率點上的功率譜估計值。而Goertzel演算法就是估計DTMF信號功率譜最經典又實用的方法，這個演算法只估計DTMF信號特定頻率點上的功率譜。

以下展示MATLAB利用Goertzel演演算法估計DTMF信號的範例:

```matlab
clear
clc
fs=8000;
t=(0:2000)/fs;
fcolumns1=697;fcolumns2=770;fcolumns3=852;fcolumns4=941;
frow1=1209;frow2=1336;frow3=1477;
num0=sin(2*pi*fcolumns4*t)+sin(2*pi*frow2*t); %數字0
num1=sin(2*pi*fcolumns1*t)+sin(2*pi*frow1*t); %數字1
num2=sin(2*pi*fcolumns1*t)+sin(2*pi*frow2*t); %數字2
num3=sin(2*pi*fcolumns1*t)+sin(2*pi*frow3*t); %數字3
num4=sin(2*pi*fcolumns2*t)+sin(2*pi*frow1*t); %數字4
num5=sin(2*pi*fcolumns2*t)+sin(2*pi*frow2*t); %數字5
num6=sin(2*pi*fcolumns2*t)+sin(2*pi*frow3*t); %數字6
num7=sin(2*pi*fcolumns3*t)+sin(2*pi*frow1*t); %數字7
num8=sin(2*pi*fcolumns3*t)+sin(2*pi*frow2*t); %數字8
num9=sin(2*pi*fcolumns3*t)+sin(2*pi*frow3*t); %數字9
numStar=sin(2*pi*fcolumns4*t)+sin(2*pi*frow1*t); %符號*
numJin=sin(2*pi*fcolumns4*t)+sin(2*pi*frow3*t); %符號#
blank=zeros(size(num1)); %間隔
f=[fcolumns1 fcolumns2 fcolumns3 fcolumns4 frow1 frow2 frow3];
freq_indices=round(f/fs*length(t))+1;

%DTMF信號%
CellPhoneNum=[num1 blank num3 blank num9 blank num8 blank num0 blank num7 blank num6 blank num6 blank num5 blank num2 blank num4];
CellPhoneNum=0.2*randn(size(CellPhoneNum))+CellPhoneNum;
sound(CellPhoneNum);

for i=1:2:21
    DialNumber=CellPhoneNum(((i-1)*length(t)+1):i*length(t));
    dft_data=goertzel(DialNumber,freq_indices);
    temp = sort(abs(dft_data),'descend'); %找最大的兩個頻率點數值
    temp_index1 = find(abs(dft_data) == temp(1));
    temp_inedx2 = find(abs(dft_data) == temp(2));
    if temp_index1 < temp_inedx2 %保證 temp_index1代表低頻,temp_index2代表高頻
        index_low = temp_index1;
        index_high = temp_inedx2;
    else
        index_low = temp_inedx2;
        index_high = temp_index1;
    end
    %判斷按鍵
    if index_low == 1 && index_high == 5
        keynum = '1';
    elseif index_low == 1 && index_high == 6
         keynum = '2';
    elseif index_low == 1 && index_high == 7
         keynum = '3';
    elseif index_low == 2 && index_high == 5
         keynum = '4';
    elseif index_low == 2 && index_high == 6
         keynum = '5';
    elseif index_low == 2 && index_high == 7
         keynum = '6';
    elseif index_low == 3 && index_high == 5
         keynum = '7';
    elseif index_low == 3 && index_high == 6
         keynum = '8';
    elseif index_low == 3 && index_high == 7
         keynum = '9';
    elseif index_low == 4 && index_high == 6
         keynum = '0';
    elseif index_low == 4 && index_high == 5
         keynum = '*';
    elseif index_low == 4 && index_high == 7
         keynum = '#';
    end
    PhoneCell_Indent(round(i/2)) = keynum;
end
display(PhoneCell_Indent) %顯示識別結果
```

## 特殊音訊

事件｜低頻｜高頻｜週期(on / off)

忙音｜480 Hz｜620 Hz｜0.5 s / 0.5 s

回鈴音（美及英式）｜440 Hz｜480 Hz｜1 s / 4 s

撥號音（美及英式）｜350 Hz｜440 Hz｜持續長音

歐式音調：

事件｜低頻｜高頻

忙音（歐洲大部）｜425 Hz｜----

回鈴音（英國和愛爾蘭）｜400 Hz｜450 Hz

回鈴音（歐洲大部）｜425 Hz｜----

撥號音（英國）｜350 Hz｜450 Hz

撥號音（歐洲大部）｜425 Hz｜----