四維空間

在物理學和數學中，可將$n$個數的序列理解為一個$n$維空間中的位置。當$n=4$時，所有這樣的位置的集合就叫做四維空間。四維空間和人居住的三維空間不同，因為多了一個維度。

## 非歐氏四維空間

愛因斯坦在他的廣義相對論和狹義相對論中提及的四維時空（閔可夫斯基時空）建立在黎曼幾何上，而該非歐氏幾何空間與大眾熟悉的歐氏幾何大相徑庭。此四維空間與四維歐氏空間非常不同。由於幻想和哲學作品的流行，大眾的想像裡，該區別往往被模糊。

關於這一點，1973年，考克斯特曾寫道：

## 歐氏四維空間定義

一個有四個空間性維數的空間（「純空間性」的四維空間），或者說有四個兩兩正交的運動方向的空間。這種空間就是數學家們用來研究四維幾何物體的空間。

從數學方面講，普通三維空間集合的四維等價物是歐幾里得四維空間，一個四維歐幾里得賦范向量空間。一個向量的「長度」

$$\mathbf{x} = (w, x, y, z)$$

以標準基底表示就是

$$\| \mathbf{x} \| = \sqrt{w^{2} + x^{2} + y^{2} + z^{2}}$$

也就是勾股定理向四維空間進行的很自然的類比。這就讓兩個向量之間的夾角很容易定義了（參見歐幾里得空間）。

### 正交性

在人所熟悉的三維空間裡，有三對主要方向：上下（高度），南北（緯度），東西（經度）。這三對方向兩兩正交，也就是說，它們兩兩成直角。從數學方面講，它們在三條不同的坐標軸，$x$、$y$、$z$ 上。電腦圖形學中講的深度緩衝指的就是這條 $z$ 軸，在電腦的二維螢幕上代表深度。

純空間性的四維空間另有一對垂直於其他三個主要方向的主要方向。這一對方向處在另一條同時垂直於 $x$、$y$、$z$ 軸的坐標軸上，通常稱作 $w$ 軸。對這兩個方向的命名，人們的看法不一。一些現行的命名有安娜/卡塔，斯皮希圖/斯帕提圖，維因/維奧，和宇普西龍/德爾塔。這些額外的方向處於（實際上是垂直於）我們所能觀察到的三維世界中的方向之外。

<image>

｜ ｜

<image>

｜ ｜

<image>

### 向量

<image>

純空間性四維空間可以以向量的形式理解。一個四維向量同樣由方向和長度（又叫做模）組成，它可以認為是對從一個點到另一個點向某個方向移動一定的長度的這個過程的描述。零向量是一個長度為零的特殊向量，也就是描述「不移動」這個過程的向量。

#### 向量運算

數學上四維空間可以簡單理解為有四個坐標軸的空間，即在普通坐標系中需要4個參數來描述其中一點的坐標。假設一個描述四維空間中一個點的向量為a，有

$$\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{pmatrix}.$$

上式也可以寫成由4個基底(如e1, e2, e3, e4)表示的形式，則

$$\mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}; \mathbf{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}; \mathbf{e}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}; \mathbf{e}_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},$$

所以a可化為

$$\mathbf{a} = a_1\mathbf{e}_1 + a_2\mathbf{e}_2 + a_3\mathbf{e}_3 + a_4\mathbf{e}_4.$$

四維向量的加法，減法和向量比例和空間向量的一致。空間向量中的數量積（或稱為向量的「內積」、點乘）也被推廣到四維向量中，如

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + a_4 b_4.$$

下式可以用於計算一個四維向量的長度

$$\left| \mathbf{a} \right| = \sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} } = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2 + {a_4}^2},$$

而兩個向量的夾角可由下式定義或計算

$$\theta = \arccos{\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\left|\mathbf{a}\right| \left|\mathbf{b}\right|}}.$$

向量積（或稱為向量的「外積」、叉乘）是一個常數，而空間向量的外代數定義為

$$\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{e}_{12} + (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{e}_{13} + (a_1b_4 - a_4b_1)\mathbf{e}_{14} + (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{e}_{23} + (a_2b_4 - a_4b_2)\mathbf{e}_{24} + (a_3b_4 - a_4b_3)\mathbf{e}_{34}.$$

這是雙矢量的求值，以基底(e12, e13, e14, e23, e24, e34)在四維空間中的雙矢構成了六維線性空間，它們可以被用來在四個方向產生旋轉。

#### 向量操作

通過改變一個四維向量的長度而不改變它的方向，我們可以對一個向量進行伸縮。這可以被想像成沿著原向量的方向伸長或縮短一段長度。一個長度為負數的向量與和它方向相反、長度相等的正數的向量互為相反向量。這可以想像成面沿著原向量的方向倒著走。

如果沿著兩個首尾相接的向量運動，那麼描述這種運動的直接結果的向量就叫做這兩個向量的向量和。例如，如果一個人從點A開始沿某一向量運動到點B，又從點B開始沿另一個向量運動到點C，那麼這兩個向量的和向量就是從點A徑直到點C的向量。

#### 向量組合

給定一組四維向量，我們可以對它們進行任意的伸縮和求和操作來得到新的四維向量。以這種方式得到的所有的四維向量的集合就叫做這一組向量的組合。這種組合可以認為是一個點通過沿著一組向量中的某些向量移動所能達到的所有位置的集合。

給定幾何圖形X和向量集合S，如果從幾何圖形X內的一個點出發，沿著向量集合S的線性組合中的向量運動，能夠到達X內所有其它的點，那麼我們就說這個向量集合S可以張出幾何圖形X。

#### 向量基底

能夠張出一個幾何圖形X的最小向量集合叫做X的一組基底。不是所有的向量集合都是基底，因為它們可能含有贅餘的向量。如果一個向量能通過集合中其他向量經過伸縮、求和而得到，那麼這個向量就是贅餘的。例如，如果一個集合中有兩個平行的向量，那麼它們中的一個可以被移除而 X 中的所有點仍然可以達到，因為能通過那個被移除的向量達到的點一定可以通過那個與它平行的向量達到。或者，如果一個向量是其他兩個的和，那麼它也完全可以被移除。零向量總是贅餘的，因為它並不能讓一個人達到任意一個除他已經能夠達到的點之外的點。

#### 維數

通過把任意一個可以張出幾何圖形X的向量集合中的所有贅餘向量移除，我們可以過的一組X的基底。選定的初始向量集合不同，獲得的能張出 X 的基底也可能不同；但是，可以證明所有這些基底中都含有相同數量的向量。這個數量就叫做X的維數。換句話說，如果 X 最少需要n個向量來張出它，那麼X就是n維的。

直觀地，一個圖形的維數可以認為是一個人要想達到這個圖形中所有的點，需要運動的所有不同方向的數目。

例如，一個點是一個零維圖形。我們不需要任何向量來張出它，因為如果我們從這個點出發，我們已經到達了它所有的位置。

一條直線是一個一維圖形。從直線的某一個點上出發，我們需要一個指向這個直線的方向的向量來到達到直線上的其他點。只要一個向量就足夠了，因為通過不同程度的伸縮它我們可以到達直線上的任意其他點。

一個平面是一個二維圖形。給定平面上的一個起始點，我們至少需要兩個互不平行的向量來張出這個平面。如果只有一個向量，我們只能到達某一條直線上的所有點；所以我們需要有另一個與它不平行的向量來往這條直線的「兩邊」走，從而到達平面上的其他點。只要兩個方向就足夠了，因為我們可以順著（或逆著）前一個向量走不同的距離，再往兩邊走不同的距離來到達平面上的任意點。也可以把平面理解成許多平行線的「堆積」；要想在二維平面上從一點運動到另一點，我們需要首先沿著線平行線運動，再穿過這些平行線向另一個方向運動。

在我們的眼中，空間是三維的。要達到空間中的某一點，我們不僅要向前向後、向兩邊走，還需要上下移動。換句話說，需要第三個向量才能到達空間中的所有點。同樣，也可以把空間理解成許多平行平面的堆積：要想在空間中從一點運動到另一點，我們可以先沿著一個方向前後走，再向兩邊走，最後上下走。

四維空間則是一個需要四個不同方向才能到達其中所有點的空間。這種空間可以認為是許多平行的三維空間的堆積。要理解這個概念，想像一下把一張張紙並列疊起來的過程。如果人不把它們一個個堆疊起來，這些紙張不會延伸進三維空間。以同樣的方式，要想進入四維空間，就必須向一個新的方向運動，這個方向必須是在三維空間以外的。要達到四維空間中的每一個點，一個人不僅需要向前後、左右、上下移動，還要沿著一對新的方向運動，即上文提到的安娜/卡塔，或者叫維因/維奧等等。

### 維數類比

<image>

要理解四維空間的本性，我們可以通過與低維度類比進行推廣。維數類比是指通過研究n - 1維與n維之間的關係，來推斷n維與n + 1維之間會有什麼樣的關係。

埃德溫·阿伯特·阿伯特在他的書平面國中運用維數類比，講述了在一個扁平得就像一張紙的二維世界中生活的一個正方形的故事。在這個正方形的眼中，生活在三維世界中的人們擁有近乎神的力量，因為他們能在不打破（二維的）保險箱的情況下從其中把東西（通過移入移出三維空間的方法）取出，能看到所有在二維世界看來是被擋在牆後面的東西，甚至能站在離二維世界幾英寸的地方來保持「隱形」。

通過應用維數類比，人們可以推斷，四維空間中的人在我們三維的視角看來應該有類似的神奇能力。魯迪·拉克在他的小說《空間世界》（Spaceland）中展示了這一點。小說的主人公就遇到了具有神奇能力的四維人。

#### 射影

射影是應用維數類比來想像四維空間的一種有效方法。射影是指用n - 1維空間中的圖形來代表n維空間中的圖形。比如說，電腦螢幕是二維的，而所有三維的人、地方、東西等等的照片都是以射影的形式展現在二維平面上的。這會把三維世界中的深度去除，代之以間接的資訊。人眼的視網膜也是由一層二維的感受器構成的，但是人腦能夠察知三維物體的真實形狀；這是根據陰影、近大遠小、雙眼視覺等間接資訊推斷得來的。畫家們經常利用透視來賦予二維的圖畫一種三維（也就是立體）的感覺。

相似地，四維空間中的物體可以以數學的方法射影到三維空間中，從而使觀察它們變得更容易。在這種情況下，一個四維的眼的「視網膜」是由一個三維「層」的感受器構成的。假設一個人有這樣一隻眼，他就可以根據三維圖形中的間接資訊推斷出四維物體的真實形狀。

三維物體在人眼視網膜上留下的透視射影會造成近大遠小的現象，這樣大腦就可以推斷出三維的深度。以同樣的方式，四維物體的透視射影會造成相似的「近大遠小」的效果。通過應用維數類比，我們可以從這種效果中推斷出四維的「深度」。

下面的圖片演示了這種規律。我們可以比較一下三維的正方體和類似的四維超正方體的三維射影。共用

正方體｜超正方體｜解釋

<image>

｜

<image>

｜左邊的圖片是正對著一個面看到的正方體。四維中超正方體類似的視角是正對一個胞看到的透視射影，也就是右邊的圖顯示的。就像正方體的投影是一個正方形一樣，超正方體的投影是一個正方體。需要注意的是，正方體的其他5個面在這裡是看不見的。它們被看的見的這個面擋住了。相似地，超正方體的其他7個胞也是看不見的，因為它們被看得見的這個胞「擋住」了。但是，這個體的6個面，卻是全見的。而且不是左圖中以透視的方式展現的「全見」，而是猶如我們可以普通的全見整個正方形的四條邊和內部一樣，4維世界的人的眼，是直接全見整個正方體的6個面和內部的。

<image>

｜

<image>

｜左邊的圖片是正對著一條邊看到的正方體。超正方體類似的視角是正對一個面看到的透視射影（右邊的圖）。就像正方體正對邊的投影是兩個梯形一樣，超正方體正對面的投影是兩個稜台。在這個視角中，正方體離我們最近的邊是紅色的面與綠色的面的公共邊。同樣，超正方體裡我們最近的面是紅色的胞與綠色的胞的公共面。

<image>

｜

<image>

｜左邊是一個正對頂點看到的正方體。這與右邊超正方體的正對一條邊看到的透視射影相似。就像正方體正對頂點的投影由三個共用一點的梯形組成一樣，超正方體正對邊的投影由三個共用一邊的六面體組成。正方體離我們最近的頂點是三個面的公共點，而超正方體離我們最近的邊是投影體中部的三個胞的公共邊。

<image>

｜

<image>

｜我們還可以把正方體的正對邊射影和超正方體的正對邊射影放在一起，作一個類比。正方體的射影有兩個梯形共用一邊，而超正方體的射影有三個六面體共用一邊。

<image>

｜

<image>

｜左邊是正方體正對點的射影，右邊則是超正方體正對一個頂點的透視射影。正方體的正對點射影有三個圍繞一點的四邊形，而超正方體的正對點射影有四個圍繞一點的六面體。正方體離我們最近的頂點是位於投影圖形中部的三個面的公共點，而超正方體離我們最近的點也是位於投影體中部的，四個胞的公共點。注意正方體的六個面中，只有三個能被看到，因為其它三個面在正方體的另一邊，被這三個面擋住了。相似地，超正方體的八個胞中只有四個能被看到，因為其它四個胞在超正方體的另一邊（在四維深度中離我們這一邊更遠的一邊），被看得見的四個胞擋住了。

#### 陰影

一個與射影有密切關係的方法是把四維幾何體的陰影在三維空間中顯示出來。

<image>

假設有一束光射向一個三維物體，則其陰影會在二維平面上顯示出來。如此類推，光射向二維物體會產生一維陰影，射向一維物體會產生零維陰影，也就是無光的一點；另一方面，光射向四維物體會產生三維陰影。

如果一個立方體的線框置於光源下，其陰影為一正方形位於另一正方形以內，並且相對的點相連。同樣，如果四維正方體置於光源下，其陰影便會是一三維正方體位於另一正方體之內，並且相對的點相連。（注意，此處顯示的圖片乃四維正方體的三維陰影在二維平面上的投影。）

#### 邊界

維度類比法也可幫我們推論出高維度物體的基本屬性。例如，二維物體有一維的邊界，正方形的邊界為一維的線；三維物體有二維的邊界（表面），正方體的表面為二維的平面。我們可以推論，四維物體便有三維的「邊界」，就是超正方體的外圍是三維的正方體。以上屬性對如何表達四維物體的三維投影很有幫助。

#### 視覺觀測

作爲三維空間中的生物，我們的眼睛只能看到這個世界的二維投影。生活在四維空間的生物便能看到它們的世界的三維投影。例如，它們可以同時看到一個正方體的所有六面，還能同時看到正方體中的物體；其實我們也可以同時看到二維平面上的正方形的全部四條邊及其中的物體。四維生物能同一時間看到三維空間中的所有點、物體和物體的內部，這些是我們在三維空間中看不到的。

#### 限制

類比法是理解高維度空間的一項很好的方法，但我們若不經過更進一步的計算仍不可以妄下結論。以下是圓形周長公式：

$$C = 2\pi r$$ 及球體表面積公式：

$A = 4\pi r^2$。

有人可能會立即推論出超球體的表面體積為$V=6\pi r^3$或$V=8\pi r^3$，但實際上兩者均為錯誤。正確公式為$V = 2\pi^2 r^3$。

## 幾何

四維幾何比三維幾何豐富得多，因爲其額外的維度提供了更多的自由空間。

三維空間中，我們可以從多邊形做出多面體；同樣地，在四維空間中我們可以從多面體做出多胞體（四維多胞形）。三維空間中存在5種正多面體，以柏拉圖立體稱之；而四維空間中存在6種正多胞體，均從柏拉圖立體類比而成。三維空間中存在13種半正多面體（阿基米德立體），而在四維空間中存在58種半正多胞體。

在三維空間，我們可以把圓形向第三維度拉伸形成圓柱體。而在四維空間，我們可以向第四維度拉伸球體形成球柱體（球體為「蓋」的柱體），或拉伸圓柱體形成圓柱棱體。我們還可以取兩個球體的笛卡爾積得到一個圓柱體柱。以上三種均可在四維中「滾動」，但各有不同的屬性。

三維中，曲綫可以形成結，但曲面並不可以（除非互相交叉穿越）。但在四維中，以曲面形成的結可以經過延伸到第四維度而解開。由於自由度更大，四維中的曲面結比三維中的綫結要複雜的多。克萊因瓶便是其中一個例子。另一例子為實射影平面。

### 超球體

在四維歐幾里得空間中與P0點有相同距離R的所有點的集合能形成一個超曲面，稱爲三維球面。此超曲面包含的四維空間超體積為：

$$V = 2 \pi^2 R^3$$

這是廣義相對論中的羅伯遜-沃爾克度規，其中R由R(t)代替，t代表宇宙年齡。R值的隨時間的加大或減低表示宇宙膨脹或收縮，這取決於宇宙質量密度。