彈性 (物理學)

<image>

在物理學和材料力學中，彈性（ἐλαστός）是指物體受到外力時變形，並且當該外力解除時恢復其初始形狀的能力。這與塑性形成了鮮明對比。

不同材料的彈性行為其物理機理存在顯著差異。對於金屬，施加外力會導致原子晶格內被注入能量，其尺寸和形狀發生變化；而當外力移除時，晶格則會回歸原始的能量狀態。而對於橡膠等聚合物，彈性源於聚合物分子鏈在受力時的伸展。

胡克定律指出，使彈性物體發生形變，伸長量與作用力成正比。這種情況被稱作完全彈性，但這僅是理想狀態。現實中，大多數彈性材料僅能在極小形變範圍內保持純彈性，這個範圍稱作彈性範圍，超出該範圍後就會發生塑性形變。

在工程學中，材料的彈性通過彈性模量來量化，例如楊氏模量、體積模量或剪切模量，它模量越高，表明材料越難變形。

## 概述

<image>

當彈性材料受外力作用發生形變時，其內部會產生抵抗形變的阻力，並在外力消失時會恢復原始狀態。為了衡量這種狀態，引入彈性模量，比如楊氏模量、剪切模量、體積模量來量化材料在荷載作用下抵抗形變的內在彈性。不同模量適用於不同類型的形變：楊氏模量適用於物體的拉伸或壓縮形變，而剪切模量則適用於剪切形變。楊氏模量與剪切模量僅適用於固體，體積模量則適用於固體、液體和氣體。

材料的彈性特性可以通過應力-應變曲線描述，該曲線展示了應力（單位面積的平均恢復內營力）與應變（相對形變）之間的關係。該曲線通常呈非線性，但在足夠小的形變範圍內可通過泰勒級數近似為線性關係。若材料各方向同性，線性化的應力-應變關係則稱為胡克定律，通常適用於大多數金屬或晶體材料的彈性範圍；而對於橡膠類材料，即使在彈性範圍內，模擬大範圍形變通常也需要非線性彈性模型。當應力進一步增大時，應力-應變曲線斜率隨應力增加而出現明顯上升或下降，材料會表現出塑性形變，發生不可逆形變，外力移除後無法恢復原始形狀。

彈性並非固體獨有的特性；非牛頓流體在特定條件下也會呈現彈性。對於快速施加和移除的小應變，這類流體會形變後恢復原狀；但在較大應變或長期荷載下，它們會開始像粘性液體一樣流動。

對於小應變，常用柯西應力作為應力度量，使用無窮小應變張量作為應變度量，由此推導出的材料行為稱為線性彈性。

## 彈性力學

彈性力學是固體力學的一個分支，研究彈性體在彈性狀態下受外力作用、邊界約束或溫度改變等外界因素下所產生的應力、應變和位移。在彈性力學中，普遍假設應力應變間呈線性關係，也即物體處於完全彈性狀態。

## 線性彈性

對於微小形變，大多數彈性材料會表現出線性彈性，其應力應變關係可通過胡克定律用線性方程描述。胡克定律由羅伯特·胡克於17世紀70年代提出，也即伸長量與作用力成正比。該定律可表述為作用力F與相應伸長量x之間的關係：

$F=k x$。

其中k稱作勁度係數或彈簧常數。

亦可表述為應力σ與應變ε之間的關係：

$\sigma = E\varepsilon$。

其中E即楊氏模量。

雖然在三維空間中，應力應變間的通用比例係數是一個被稱為剛度張量的四階張量，但對於具有對稱性的系統，通常仍可通過胡克定律求解。

## 有限彈性

物體在有限變形下的彈性行為可通過多種模型描述，例如柯西彈性材料模型、亞彈性材料模型、超彈性材料模型。在有限應變理論中，無限小應變理論假設下的理論並不符合，變形梯度張量 (F) 是最基本的變形度量。

### 柯西彈性材料

若某材料的柯西應力張量σ可表示為變形梯度F的唯一函數，即：

$$\ \boldsymbol{\sigma} = \mathcal{G}(\boldsymbol{F})$$

則該材料稱為柯西彈性材料。

需要特別指出的是，僅將柯西應力表述為某個應變張量的函數通常是不準確的。因為這類模型無法正確處理各向異性介質在不同路徑下的響應差異。例如，材料在垂直拉伸與先水平拉伸再旋轉90度這兩種狀況下，雖然其空間應變張量相同，但產生的柯西應力值必然不同。儘管柯西彈性材料的應力僅取決於瞬時形變狀態，但應力所做的功卻可能依賴於變形路徑。因此，柯西彈性低彈性材料理論既包含非保守的"非超彈性"模型（應力所做的功依賴於變形路徑），也包含保守的"超彈性材料"模型（其應力可由標量"彈性勢能"函數導出）。

### 亞彈性材料

亞彈性材料可通過滿足以下兩個基本準則的本構方程嚴格定義：

- 柯西應力σ僅與物體所經歷的歷史構型序列有關，而與達到這些構型的時間速率無關。柯西彈性材料即其特例。
- 存在一個張量值函數 G，使得應力率滿足：$\dot{\boldsymbol{\sigma}} = G(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{L}) \,,$ 其中$\dot{\boldsymbol{\sigma}}$是柯西應力張量的客觀應力率，L是變形梯度的時間導數。

若僅依據這兩個準則定義亞彈性，則超彈性也是其特例。因此，部分本構模型研究者追加了第三條準則，明確要求亞彈性模型不得為超彈性，也即亞彈性材料的應力不能通過能量勢函數導出。

需注意，準則二僅要求函數G存在，具體的亞彈性模型通常採用所謂的客觀應力率，因此函數G僅以隱式形式存在，且僅在通過直接積分實際（非客觀）應力率進行數值應力更新時，才需要其顯式表達式。

### 超彈性材料

超彈性材料，也稱為格林彈性材料，是一類保守模型，其本構關係源於一個應變能密度函數 (W)。若且唯若柯西應力張量能夠通過以下形式的關係表示為變形梯度的函數時，該模型是超彈性的：

$$\boldsymbol{\sigma} = \cfrac{1}{J}~ \cfrac{\partial W}{\partial \boldsymbol{F}}\boldsymbol{F}^\textsf{T} \quad \text{当} \quad J := \det\boldsymbol{F} \,.$$

此公式將能量勢（W）視作變形梯度F的函數。若同時滿足材料客觀性的要求，該能量勢亦可視為柯西-格林變形張量（C = FᵀF）的函數。此時，超彈性模型亦可等價表述為：

$$<pre> \boldsymbol{\sigma} = \cfrac{2}{J}~ \boldsymbol{F}\cfrac{\partial W}{\partial \boldsymbol{C}}\boldsymbol{F}^\textsf{T} \quad \text{where} \quad J := \det\boldsymbol{F} \,.$$

## 影響彈性的因素

對於已知理論楊氏模量的各向同性固體，其有效彈性將受孔隙率支配。一般而言，孔隙率越高的材料會表現出更低的剛度。更具體地說，孔隙的比例、孔隙的尺寸分布及其內部填充流體的性質，共同導致固體材料呈現不同的彈性。

在含裂縫的各向同性材料中，裂縫的存在會產生應力集中，影響垂直於裂紋平面的楊氏模量和剪切模量，隨著裂紋密度增加，這兩個模量均會下降而且楊氏模量的下降速度比剪切模量更快，這表明裂紋的存在會使物體更易脆性斷裂。

從微觀角度看，材料的應力-應變關係由熱力學中的亥姆霍茲自由能所主導。分子會在其結構決定的約束條件下，趨於自由能最小化的排列方式。根據自由能中占主導地位的是能量項還是熵項，材料可大致分為能彈性與熵彈性兩大類。因此，影響自由能的微觀因素都會對材料彈性產生顯著影響。

溫度對彈性的影響涉及眾多相互關聯的因素，難以單獨剝離出來。例如，材料的體積模量同時取決於其晶格形式、熱膨脹行為以及分子振動特性，而這些因素都與溫度密切相關。

## 應用

線性彈性理論廣泛應用於梁、板、殼及夾層複合材料等結構的設計與分析，也是斷裂力學的重要理論基礎。超彈性理論則主要應用於彈性體類物件（如密封墊圈）和生物材料（如軟組織、細胞膜）的力學響應分析。

氣動彈性及其模擬不僅應用於航空航天工程，也應用於風力渦輪機。