勾股定理

畢氏定理（Pythagorean theorem / Pythagoras' theorem）是平面幾何的基本定理。該定理的大意是在平面中，直角三角形的兩邊直角長的平方和等於斜邊長的平方。若化作等式，則會把兩個直角邊記為$a$與$b$、斜邊長記為$c$，並寫作：

$$a^2 + b^2 = c^2 .$$

此定理又稱勾股定理、商高定理、畢達哥拉斯定理、新娘座椅定理或百牛定理。「畢氏」所指的是其中一個發現這個定理的古希臘「數學家畢達哥拉斯，但歷史學家相信這個定理早在畢達哥拉斯出生的一千年前已經在世界各地廣泛應用。不過，現代西方數學界統一稱呼它為「畢達哥拉斯定理」。日本除了翻譯西方的「畢達哥拉斯之定理」外亦有「三平方之定理」的稱呼。而「商高定理」則是源自《周髀算經》中商高與周公的對談一節。但周髀算經的發現經過有爭議。

勾股定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一，後世衍生了四百多種證明法，包括微分證明、面積證明等。有些參考資料提到法國和比利時將勾股定理稱為驢橋定理，但驢橋定理是指等腰三角形的二底角相等，非勾股定理。另外，餘弦定理是勾股定理的一個推廣。

## 定理

在平面上的一個直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方加起來等於斜邊長的平方。如果設直角三角形的兩條直角邊長度分別是$a$和$b$，斜邊長度是$c$，那麼可以用數學語言表達：

$$a^2+b^2=c^2$$ 或$$\sqrt {a^2+b^2}=c$$ 如果斜邊的長度$c$和其中一條邊（$a$或$b$）知道，那另一邊的長度可以這樣計算：

$$a = \sqrt{c^2 - b^2}. \,$$ 或$$b = \sqrt{c^2 - a^2}. \,$$

簡單來說，只要知道直角三角形的其中兩條邊長，便能求出第三條邊長。

## 證明

勾股定理現約有400種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。路明思（Elisha Scott Loomis）的《Pythagorean Proposition》一書中總共提到367種證明方式。

有人會嘗試以三角恆等式（例如：正弦和餘弦函數的泰勒級數）來證明勾股定理，但是，因為所有的基本三角恆等式都是建基於勾股定理，所以不能作為勾股定理的證明（參見循環論證）。

### 趙爽勾股圓方圖證明法

中國三國時期趙爽為證明勾股定理作「勾股圓方圖」即「弦圖」，按其證明思路，其法可涵蓋所有直角三角形，為東方特色勾股定理無字證明法。2002年第24屆國際數學家大會（ICM）在北京召開。中國郵政發行一枚郵資明信片，郵資圖就是這次大會的會標—中國古代證明勾股定理的趙爽弦圖。

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### 劉徽「割補術」證明法

中國魏晉時期數學家劉徽依據其「割補術」為證勾股定理另闢蹊徑而作「青朱出入圖」。劉徽描述此圖，「勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不動也，合成弦方之冪。開方除之，即弦也。」其大意為，一個任意直角三角形，以勾寬作紅色正方形即朱方，以股長作青色正方形即青方。將朱方、青方兩個正方形對齊底邊排列，再進行割補—以盈補虛，分割線內不動，線外則「各從其類」，以合成弦的正方形即弦方，弦方開方即為弦長。

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### 利用相似三角形的證法

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有許多勾股定理的證明方式，都是基於相似三角形中兩邊長的比例。

設$ABC$為一直角三角形，直角於$\angle C$（看右圖）。從點$C$畫上三角形的高，並將此高與$\overline{AB}$的交叉點稱之為$H$。此新$\bigtriangleup ACH$和原本的$\bigtriangleup ABC$相似，因為在兩個三角形中都有一個直角（這又是由於「高」的定義），而兩個三角形都有$A$這個共同角，由此可知第三隻角都是相等的。同樣道理，$\bigtriangleup CBH$和$\bigtriangleup ABC$也是相似的。這些相似關係衍生出以下的比率關係：

因為：

$$\overline{BC}=a, \overline{AC}=b, \text{ and } \overline{AB}=c, \!$$ 所以：

$$\frac{a}{c}=\frac{\overline{HB}}{a} \text{ and } \frac{b}{c}=\frac{\overline{AH}}{b}.\,$$ 可以寫成：

$$a^2=c\times \overline{HB} \text{ and }b^2=c\times \overline{AH}.\,$$ 綜合這兩個方程式可以得到：

$$a^2+b^2=c\times \overline{HB}+c\times \overline{AH}=c\times(\overline{HB}+\overline{AH})=c^2.\,\!$$ 換句話說：

$$a^2+b^2=c^2.\,\!$$

### 歐幾里得的證法

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在歐幾里得的《幾何原本》卷一第47命題中給出勾股定理的以下証明。設$\bigtriangleup ABC$為一直角三角形，其中A為直角。從$A$點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。

在定理的證明中，我們需要如下四個輔助定理：

- 如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理）
- 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。
- 任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。
- 任意一個矩形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。

證明的思路為：把上方的兩個正方形，透過等高同底的三角形，以其面積關係，轉換成下方兩個同等面積的長方形。

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其證明如下：

- 設$\triangle ABC$為一直角三角形，其直角為$\angle CAB$。
- 其邊為$\overline{BC}$、$\overline{AB}$、和$\overline{CA}$，依序繪成四方形$CBDE$、$BAGF$和$ACIH$。
- 畫出過點$A$之$\overline{BD}$、$\overline{CE}$的平行線。此線將分別與$\overline{BC}$和$\overline{DE}$直角相交於$K$、$L$。
- 分別連接$\overline{CF}$、$\overline{AD}$，形成兩個三角形$BCF$、$BDA$。
- $\angle CAB$和$\angle BAG$都是直角，因此$C$、$A$和$G$都是共線的，同理可證$B$、$A$和$H$共線。
- $\angle CBD$和$\angle FBA$皆為直角，所以$\angle ABD$相等於$\angle FBC$。
- 因為$\overline{AB}$和$\overline{BD}$分別等於$\overline{FB}$和$\overline{BC}$，所以$\triangle ABD$必須全等於$\triangle FBC$。
- 因為$A$與$K$和$L$在同一直線上，所以四方形$BDLK$必須二倍面積於$\triangle ABD$。
- 因為$C$、$A$和$G$在同一直線上，所以正方形$BAGF$必須二倍面積於$\triangle FBC$。
- 因此四邊形$BDLK$必須和$BAGF$有相同的面積=$\overline{AB}^2$。
- 同理可證，四邊形$CKLE$必須有相同的面積$ACIH=\overline{AC}^2$。
- 把這兩個結果相加，$\overline{AB}^2 +\overline{AC}^2 = \overline{BD}\times \overline{BK}+\overline{KL}\times \overline{KC}$
- 由於$\overline{BD}=\overline{KL}$，$\overline{BD}\times \overline{BK}+\overline{KL}\times \overline{KC} = \overline{BD}\left( \overline{BK} + \overline{KC} \right) =\overline{BD}\times \overline{BC}$
- 由於$CBDE$是個正方形，因此$\overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 = \overline{BC}^2$。

此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的

由於這個定理的證明依賴於平行公理，而且從這個定理可以推出平行公理，很多人質疑平行公理是這個定理的必要條件，一直到十九世紀嘗試否定第五公理的非歐幾何出現。

### 圖形重新排列證法

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此證明以圖形重新排列證明。兩個大正方形的面積皆為$(a+b)^2$。把四個相等的三角形移除後，左方餘下面積為$a^2+b^2$，右方餘下面積為$c^2$，兩者相等。證畢。

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- 以面積減演算法證明

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- 以重新排列法證明

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- 以動畫演示重新排列法

## 勾股數組

勾股數組是滿足勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$的正整數組$(a,b,c)$，其中的$a,b,c$稱為勾股數。例如$(3,4,5)$就是一組勾股數組。

任意一組勾股數$(a,b,c)$可以表示為如下形式：$a=k(m^2-n^2), b=2kmn, c=k(m^2+n^2)$，其中$k, m,n\in \mathbb{N*},m>n$。

## 歷史

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這個定理的歷史可以被分成三個部份：發現勾股數、發現直角三角形中邊長的關係、及其定理的證明。現在畢氏定理可考的嚴謹數學證明，起源於略晚於畢德格拉斯的歐幾里得幾何原本中，卷一命題47。

### 勾股數

勾股數的發現時間較早，例如埃及在公元前1600年的紙莎草里就有記載$(3,4,5)$這一組勾股數，而巴比倫泥板涉及的最大的一個勾股數組是$(13500,12709,18541)$。由於古代沒有如此高的精確測量工具，因此一般相信得到如此巨大的勾股數必須知道畢氏定理。

後來的中國的算經、印度與阿拉伯的數學書也有記載。在中國，《周髀算經》中也記述了$(3,4,5)$這一組勾股數；金朝數學家李冶在《測圓海鏡》中，通過勾股容圓圖式的十五個勾股形和直徑的關係，建立了系統的天元術，推導出692條關於勾股形的各邊的公式，其中用到了多組勾股數作為例子。

### 普遍定理的發現

巴比倫人得到的勾股數的數量和質量不太可能純從測量手段獲得。之後的畢達哥拉斯本人並無著作傳世，不過在他死後一千年，5世紀的普羅克勒斯給歐幾里德的名著《幾何原本》做註解時將最早的發現和證明歸功於畢達哥拉斯學派：

如果我們聽聽那些喜歡說古代歷史的人，他們把這個定理歸於畢達哥拉斯，並且說他殺了一百頭公牛來慶祝。對我來說，雖然我欣賞那個第一個觀察到這個定理的人，我更嘆服《原本》的作者。不光是因為他給出了清晰明確的證明，而且還因為他用無可置疑的方法在第六篇中證明了一個更一般的命題。

普魯塔克和西塞羅也將發現的功勞歸於畢達哥拉斯，但沒有任何證據表明畢達哥拉斯證明了勾股定理，以素食聞名的畢達哥拉斯殺牛更是不可思議。

在中國，記載秦朝的算數書並未記載勾股定理，只是記錄了一些勾股數。定理首次載於書面則是在成書於西漢但內容收集整理自公元前一千多年以來的《周髀算經》的「榮方問於陳子」一節中：

若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，並而開方除之，得邪至日。

因此此定理也被稱之為陳子定理。書中還用商高與周公對談的方式，提出$(3,4,5)$這組勾股數為例，解釋勾股定理要素，並論證「弦長平方必定是兩直角邊的平方和」，確立了直角三角形兩條直角邊的平方和等於斜邊平方的判定原則。周髀算經沒有給出證明，且成書年份不明，可能是公元前一千多年（比畢達哥拉斯早五百年），但也可能是西漢年代（比畢達格拉斯晚500年）。另外，除了周髀算經以外再無其他典籍紀載商高，無法得知是否真有商高其人，或者周髀算經作者虛構人物。

東漢末年趙爽《周髀算經注》《勾股圓方圖注》記載：

勾股各自乘，並之，為弦實，開方除之，即弦。

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在《九章算術注》中，劉徽反覆利用勾股定理求圓周率，並利用「割補術」做「青朱出入圖」完成勾股定理的幾何圖形證明。直至現時為止，仍有許多關於勾股定理是否不止一次被發現的辯論。

### 證明

畢達哥拉斯學派的證明沒有流傳下來，流傳下來書面證明最早見於《幾何原本》第一冊的第47個命題。在中國，東漢末年吳國的趙爽最早給出勾股定理的證明。巴勒蒂·克爾什納·蒂爾特吉在吠陀數學一書中聲稱古代印度教吠陀證明了勾股定理。

## 勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理是判斷三角形為鈍角、銳角或直角的一個簡單的方法，其中$\overline{AB}=c$為最長邊:

- 如果$a^2 + b^2 = c^2 \,$，則$\triangle ABC$是直角三角形。其中$\angle C$是直角。
- 如果$a^2 + b^2 > c^2 \,$，則$\triangle ABC$是銳角三角形（若無先前條件$\overline{AB}=c$為最長邊，則該式的成立僅滿足$\angle C$是銳角）。
- 如果$a^2 + b^2 < c^2 \,$, 則$\triangle ABC$是鈍角三角形。其中$\angle C$是鈍角。

（這個逆定理其實只是餘弦定理的一個延伸）

### 逆定理的證明

勾股定理的逆定理的證法數明顯少於勾股定理的證法。常見證法有同一法、餘弦定理、相似三角形、非歐幾何等。

#### 同一法

構造$\triangle A'B'C'$，使$a'=a, b'=b, \angle C' = 90^\circ$。根據勾股定理，$c' = \sqrt{a'^2 + b'^2} = \sqrt{a^2 + b^2} = c$，從而$\triangle A'B'C' \cong \triangle ABC(SSS)$。因此，$\angle C = 90^\circ$。

#### 餘弦定理

根據餘弦定理，$\cos C = \frac {a^2+b^2-c^2}{2ab}$。由於$a^2 + b^2 = c^2 \,$，故$\cos C = 0 \,$，從而$\angle C = 90^\circ$。

#### 相似三角形

在$\overline{AB}$邊上截取點$D$使$\angle DCB = \angle A$。在$\triangle CDB \,$與$\triangle ACB\,$中：

$$\angle B=\angle B, \angle DCB=\angle A \Rightarrow \triangle CDB \sim \triangle ACB$$

從而，$\frac {\overline{BC}}{\overline{BA}} = \frac {\overline{BD}}{\overline{BC}} \Rightarrow \overline{BD}= \frac {a^2}c$，以及$\frac {\overline{CD}}{\overline{AC}} = \frac {\overline{CB}}{\overline{AB}} \Rightarrow \overline{CD}= \frac {\overline{ab}}c$。

另一方面，$\overline{AD}=\overline{AB}-\overline{BD}=c- \frac {a^2}c=\frac {b^2}c$，故由$\frac {\overline{DC}}{\overline{AD}}=\frac {\overline{BC}}{\overline{AC}} = \frac {\overline{BD}}{\overline{CD}} = \frac ab$知，$\triangle ACD \sim \triangle CBD$。因而，$\angle BDC = \angle CDA = 90^\circ$，所以$\angle ACB = \angle CDB = 90^\circ$。

#### 非歐幾何

勾股定理是由歐幾里得幾何的公理推導出來的，其在非歐幾里得幾何中不成立的，因勾股定理之成立涉平行公設。

## 基本資料

- 日語原文：勾股定理
- 類別：定理
- 領域：歐幾里得幾何
- 陳述：直角三角形兩直角邊長的平方和等於斜邊長的平方
- 推廣：餘弦定理、立體幾何、非歐幾何、微分幾何
- 可得結果：勾股數、逆定理、複數、歐幾里得距離、畢達哥拉斯三角恆等式