低通濾波器

低通濾波器（low-pass filter，簡稱LPF）容許低頻信號通過，但減弱（或減少）頻率高於截止頻率的信號的通過。對於不同濾波器而言，每個頻率的信號的減弱程度不同。當使用在音訊應用時，它有時被稱為高頻剪切濾波器，或高音消除濾波器。

高通濾波器則相反，而帶通濾波器則是高通濾波器同低通濾波器的組合。

低通濾波器概念有許多不同的形式，其中包括電子線路（如音訊設備中使用的hiss濾波器、平滑數據的數字演算法、音障（acoustic barriers）、圖像模糊處理等等)。低通濾波器在信號處理中的作用等同於其它領域如金融領域中移動平均數（moving average）所起的作用；這兩個工具都通過剔除短期波動、保留長期發展趨勢提供了信號的平滑形式。

## 低通濾波器實例

<image>

一個固體屏障就是一個聲波的低通濾波器。當另外一個房間中播放音樂時，很容易聽到音樂的低音，但是高音部分大部分被過濾掉了。類似的情況是一輛小汽車中播放非常大的音樂聲，在另外一個車中的人聽來卻是低音節拍，因為這時封閉的汽車和空氣間隔起到了低通濾波器的作用，減弱了所有的高音。

電子低通濾波器用來驅動重低音喇叭（subwoofer）和其它類型的擴音器、並且阻塞它們不能有效傳播的高音節拍。

無線電發射機使用低通濾波器阻塞可能引起與其它通信發生干擾的諧波發射。

DSL分離器使用低通和高通濾波器分離共享使用雙絞線的DSL和POTS信號。

低通濾波器也在如Roland公司這樣的模擬合成器（synthesiser）合成的電子音樂聲音處理中發揮著重要的作用。

## 理想與實際濾波器

一個理想的低通濾波器能夠完全剔除高於截止頻率的所有頻率信號並且低於截止頻率的信號可以不受影響地通過。實際上的轉換區域也不再存在。一個理想的低通濾波器可以用數學的方法（理論上）在頻域中用信號乘以矩形函數得到，作為具有同樣效果的方法，也可以在時域與sinc函數作卷積得到。

然而，這樣一個濾波器對於實際真正的信號來說是不可實現的，這是因為sinc函數是一個延伸到無窮遠處的函數（extends to infinity），所以這樣的濾波器為了執行卷積就需要預測未來並且需要有過去所有的數據。對於預先錄製好的數位訊號（在信號的後邊補零，並使得由此產生的濾波後的誤差小於量化誤差）或者無限循環周期信號來說這是可實現的。

實時應用中的實際濾波器通過將信號延時一小段時間讓它們能夠「看到」未來的一小部分來近似地實現理想濾波器，這已為相移所證明。近似精度越高所需要的延時越長。

採樣定理（Nyquist-Shannon sampling theorem）描述了如何使用一個完善的低通濾波器和奈奎斯特-香農插值公式從數位訊號採樣重建連續信號。實際的數模轉換器都是使用近似濾波器。

## 電子低通濾波器

<image>

有許許多多不同頻率響應的不同類型濾波器電路。濾波器的頻率響應通常用波德圖表示。

- 例如，一階濾波器在頻率增加一倍（增加octave）時將信號強度減弱一半（大約-6dB）。一階濾波器幅度波特圖在截止頻率之下是一條水平線，在截止頻率之上則是一條斜線。在兩者邊界處還有一個"knee curve"在兩條直線區域之間平緩轉換。
- 二階濾波器對於削減高頻信號能起到更高的效果。這種類型的濾波器的波特圖類似於一階濾波器，只是它的滾降速率更快。例如，一個二階的巴特沃斯濾波器（它是一個沒有尖峰的臨界衰減RLC電路）頻率增加一倍時就將信號強度衰減到最初的四分之一（每倍頻-12dB）。其它的二階濾波器最初的滾降速度可能依賴於它們的Q因數，但是最後的速度都是每倍頻 -12dB。
- 三階和更高階的濾波器也是類似。總之，最後n階濾波器的滾降速率是每倍頻6ndB。

對於任何的巴特沃斯濾波器，如果向右延長水平線並且向左上延伸斜線（函數的漸近線，它們將相交在「截止頻率」。一階濾波器在截止頻率的頻率響應是水平線下-3dB。不同類型的濾波器——巴特沃斯濾波器、切比雪夫濾波器等——都有不同形狀的「knee curves」。許多二階濾波器設計成有「峰值」或者諧振以得到截止頻率處的頻率響應處在水平線之上。

「低」和「高」的含義——例如截止頻率——依賴於濾波器的特性。（術語「低通濾波器」僅僅是指濾波器響應的形狀。一個高通濾波器能夠設計成比任何低通濾波器截止頻率更低的截止頻率。不同的頻率響應是區分它們的依據。）電子濾波器能夠設計成任何所期望的頻率範圍——可以到微波頻率（超過1000 MHz）乃至更高。

### 無源電子濾波器實現

<image>

一個可以作為低通濾波器的簡單電路包括與一個負載串聯的電阻以及與負載並聯的一個電容。電容有電抗作用阻止低頻信號通過，低頻信號經過負載。在較高頻率電抗作用減弱，電容起到短路作用。這個區分頻率（也稱為轉換頻率或者截止頻率（Hz））由所選擇的電阻和電容所確定。

$$f_\mathrm{c} = {1 \over 2 \pi R C }$$

或者（弧度每秒）：

$$\omega_\mathrm{c} = \frac{1}{RC}$$

一個理解這個電路的方法是集中於電容充電的時刻。電容通過電阻充放電需要花費一定的時間：

- 在較低頻率，電容有充足的時間充電直至電壓等同於輸入電壓。
- 在較高頻率，電容在輸入電流方向切換之前只能充很少的電量。輸出上下波動的幅度只有輸入信號波動的一小部分。在兩倍的頻率，電容只有充一半電量的時間。

另外一個理解這個電路的方法是在特定頻率的電抗：

- 由於直流電不能通過電容器，直流電輸入必須從標為$V_\mathrm{out}$（類似於去掉電容）的路徑「流出」。
- 由於交流電可以很容易地流過電容器——幾乎同流過固態電線一樣容易——輸入的交流電從電容器「流出」，電容器將它短路到地（類似於使用一根導線替換電容器）。

需要注意的是電容器不是如上面所解釋的阻斷或接通那樣的一個「開/關」器件。電容器不斷變化地工作在兩個狀態之間。波特圖和頻率響應可以顯示這個變化。

### 計算及相位差

<image>

<image>

假設上圖的R是1.59kOhm及C是10nF, Vin = $1V\angle0^\operatorname{\omicron}$, 10kHz

要計算電阻跟電容的組合不能單純的把它們加在一起，需使用複數。

R串聯C:

$$Rt = R-jXc = 1.59k - j1.59k = 2.249k \angle-45^\operatorname{\omicron}$$

總電流:

$$It = \frac{V_{\text{in}}}{Rt} = \frac{1\angle0^\operatorname{\omicron}}{2.249k \angle-45^\operatorname{\omicron}}=444.642uA\angle45^\operatorname{\omicron}$$

IT的45度代表電流比電壓快了45度。

輸出電壓:

$$V_{\text{out}}\angle\theta= Xc \times It = 1.59k\angle-90^\operatorname{\omicron}\times 444.642uA\angle45^\operatorname{\omicron}=0.707V\angle-45^\operatorname{\omicron}$$

因為電容會令電流領先電壓90度，所以相角部份是-90度

輸出電壓的-45度代表輸出電壓比輸入電壓走慢了45度

### 有源電子濾波器實現

<image>

另外一種類型的電路是有源低通濾波器。

在這個例子中，截止頻率（Hz）定義為：

$$f_\mathrm{c} = {1 \over 2 \pi R_2 C }$$

或者（弧度每秒）：

$$\omega_\mathrm{c} = \frac{1}{R_2 C}$$

通帶增益是$\frac{-R_2}{R_1}$，由於是一階濾波器，其阻帶滾降速率為每倍頻6dB。

許多情況下，一個簡單的增益或者抑制放大器（參見運算放大器）通過添加電容C轉換成低通濾波器。這樣就減弱了高頻率下的頻率響應，並且避免了放大器內部的震盪。例如，一個音訊放大器可以製作成截止頻率為100kHz的低通濾波器以減弱可能會引起震盪的頻率下的增益。由於人耳能夠聽到的音訊最大大約是20kHz，感興趣的頻率就完全落在通帶內，這樣放大器的表現就同所關心的音訊一模一樣。