速度

速度（Velocity）是描述物體運動快慢和方向的物理量。

在日常生活中，「速率」（Speed）和「速度」混用，但兩者在物理學中對應著不同的概念：速率是一個標量（只有大小、沒有方向），它的量綱是路程除以時間；速度是一個向量（有方向），它的量綱是位移除以時間。舉例來說，假如一輛汽車以60公里每小時的速率朝正北方行駛，那麼它的速度是一個大小等於60公里每小時、方向指向正北的矢量。物體的瞬時速率等於瞬時速度的數值的大小，而平均速率則不一定等於平均速度的大小。

物體的速度是其位置相對於參考系的變化率，並且是時間的函數。速度等效於物體速率和運動方向的規範（例如，向北每小時60公里）。

速度是運動學的基本概念，經典力學的分支，描述了物體的運動。如果速率，方向或兩者都發生變化，則對象的速度會發生變化，並且被稱為正在加速度。

速度是物理矢量量；定義幅度和方向都需要。速度的標量絕對值（量級）稱為速率，是一個相干派生單位，其量在SI（公制）中以米/秒（m / s）或作為（m⋅s-1）的SI基本單位進行測量。例如，「每秒5米」是一個標量，而「東方每秒5米」是一個向量。

速度定義為位置相對於時間的變化率，也可以稱為瞬時速度，以強調與平均速度的區別。

物體在一段時間$\Delta t$內的平均速度$\bar{\boldsymbol{v}}$是它在這段時間裡的位移$\Delta \boldsymbol{r}$和時間間隔之比：

$$\bar{\boldsymbol{v}} = \frac{ \Delta \boldsymbol{r} }{ \Delta t } \,$$

物體在某一時刻的瞬時速度$\boldsymbol{v}$則是定義為位置矢量$\boldsymbol{r}$隨時間$t$的變化率：

$$\boldsymbol{v} = \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t} \,$$

物理學中提到物體的速度通常是指其瞬時速度。速度在國際單位制中的單位是米每秒，國際符號是m/s，中文符號是米/秒。相對論框架中，物體的速度上限是光速。

## 定義

物體在一段時間$\Delta t$內的平均速度$\bar{\boldsymbol{v}}$是它在這段時間裡的位移$\Delta \boldsymbol{r}$和時間間隔之比：

$$\bar{\boldsymbol{v}} = \frac{ \Delta \boldsymbol{r} }{ \Delta t } \,$$

其中的位移$\Delta \boldsymbol{r}$是矢量，表示物體的位置$\boldsymbol{r}$從開始到結束的變化。平均速度的大小一般不是物體在這段時間裡的平均速率。比如一個以恆定速率做圓周運動一周的物體，由於最後的位置和初始的位置相同，總位移是0，所以平均速度是0，但平均速率不等於0。平均速度總小於等於平均速率。

平均速度是對物體移動快慢和方向的粗略量度，物體在特定時刻運動的快慢和方向則用瞬時速度表示。物體在某一時刻$t_0$的瞬時速度$\boldsymbol{v}(t_0)$定義為物體在$t_0$左右的很小一段時間$\Delta t$中的平均速度在$\Delta t$趨向於0時的極限。用數學的語言來說，就是位置矢量$\boldsymbol{r}$在$t_0$時刻隨時間$t$的變化率，也就是對時間的導數：

$$\boldsymbol{v}(t_0) =\lim_{\Delta t \to 0}{{ \boldsymbol{r} (t_0+\Delta t)- \boldsymbol{r} (t_0)} \over \Delta t}= \left.\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}\right|_{t=t_0} \,$$

瞬時速度的大小（矢量的模長）等於瞬時速率；瞬時速度的方向則是物體運動曲線的切線方向：

$$\boldsymbol{v} = v \boldsymbol{e}_{T}.$$

其中$v$是物體在某一點的瞬時速率，$\boldsymbol{e}_{T}$是物體運動軌跡曲線在這一點的切向單位矢量。

## 例子

### 直線運動

直線運動是指物體（通常簡化成質點）沿著直線運動，當中並無方向的變化。通常會為這個直線指定一個正方向和一個原點，以方便描述。如果物體的速度方向與正方向相同，則記其速度為其速率（正數），反之則記其速度為速率的相反數（負數）。這種記法下，物體的位置、位移和速度都可以用實數來表示。假設物體在初始時刻$t = 0$的位置是$x_0$，速度為定值$v$，那麼稱其做勻速直線運動。經過時間$\Delta t$以後，物體的位置$x_f$是：$x_f = x_0 + v\Delta t$，物體的位移是$\Delta \boldsymbol{r} = v\Delta t$。

如果物體的速度隨時間均勻改變：$v(t) = v_0 + at$，那麼稱之為勻變速直線運動。經過時間$\Delta t$以後，物體的位置$x_f$是：$x_f = x_0 + v_0 \Delta t + \frac12 a\Delta t^2$，物體的位移是$\Delta \boldsymbol{r} = v_0 \Delta t + \frac12 a\Delta t^2$。

### 圓周運動

圓周運動是指物體沿圓周做運動。這時候物體的速度是沿圓周切線的方向的向量。當速度大小恆定時，但方向隨時間而變動，即非等速度運動，稱為勻速圓周運動（其中的「勻速」指「勻速率」）。圓周運動的物體，其平均速度的大小和平均速率是不同的。假設物體以速率$v$做勻速圓周運動，那麼它的平均速率永遠是$v$，而它的平均速度的大小則是終點和起點構成的弦長度除以間隔的時間。

一般情況下，物體的位移是速度對時間的積分：$\Delta \boldsymbol{r} = \int_{0}^{\Delta t}\boldsymbol{v}(t)\mathrm{d}t$。如果物體在初始時刻$t = 0$的位置是$\boldsymbol{x}_0$，那麼經過時間$\Delta t$以後，物體的位置$\boldsymbol{x}_f$是：$\boldsymbol{x}_f = \boldsymbol{x}_0 + \int_{0}^{\Delta t}\boldsymbol{v}(t)\mathrm{d}t \,$，平均速度是：$\bar{\boldsymbol{v}} = \frac{1}{\Delta t}\int_{0}^{\Delta t}\boldsymbol{v}(t)\mathrm{d}t$

## 速度的分解

研究不同的物理問題時，通常會依據研究對象的特性，使用不同的坐標系。在不同的坐標系下，速度有不同的分解方式，選擇座標的方式通常以分解向量的方便性為主。

### 直角坐標系

直角座標系是我們最常用到也最直觀的座標系統如果在三維空間中架設直角坐標系O-xyz，那麼一個物體的位置$\boldsymbol{r}$可以表示成：

$\boldsymbol{r} =x \boldsymbol{e}_{x} + y \boldsymbol{e}_{y} + z \boldsymbol{e}_{z}$。

其中$\boldsymbol{e}_{x}, \boldsymbol{e}_{y}, \boldsymbol{e}_{z}$分別是x軸、y軸、z軸方向上的單位矢量。物體的速度等於位移對時間的導數：

$\boldsymbol{v} = \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r} }{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d} x }{\mathrm{d}t}\boldsymbol{e}_{x} + \frac{\mathrm{d} y }{\mathrm{d}t} \boldsymbol{e}_{y} + \frac{\mathrm{d} z }{\mathrm{d}t} \boldsymbol{e}_{z} = v_x \boldsymbol{e}_{x} + v_y \boldsymbol{e}_{y} + v_z\boldsymbol{e}_{z}$。

其中$v_{x}, v_{y}, v_{z}$是物體速度在三個坐標軸方向上的分量。速度的大小為：$|\boldsymbol{v} | = \sqrt{v_{x}^2+v_{y}^2+v_{z}^2}$。

### 極坐標

平面中運動的物體，其速度也可以採用極坐標來表示(依照方便來選擇座標系分解)。極坐標下的速度可以分解為兩個部分：徑向速度，即物體到原點的距離的變化率，以及角速度，即物體位置的輻角隨時間的變化率。假設物體的位置用極坐標表示為$(r, \theta)$，定義其徑向單位矢量和橫向單位矢量為$\boldsymbol{e}_{r}, \boldsymbol{e}_{\theta}$，那麼物體的位置矢量可以表示成：$\boldsymbol{r} =r \boldsymbol{e}_{r}$。

其速度是位移對時間的導數：

$\boldsymbol{v} = \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r} }{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( r \boldsymbol{e}_{r} \right) = \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} \boldsymbol{e}_{r} + r \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{e}_{r} }{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} \boldsymbol{e}_{r} + r \frac{\mathrm{d} \theta }{\mathrm{d}t} \boldsymbol{e}_{\theta}$。

其中$\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} \boldsymbol{e}_{r}$稱為徑向速度，$r \frac{\mathrm{d} \theta }{\mathrm{d}t} \boldsymbol{e}_{\theta}$稱為橫向速度。速度的極坐標描述是依賴於物體位置的描述，因為$\boldsymbol{e}_{r}, \boldsymbol{e}_{\theta}$都是隨著物體位置的改變而改變的。物體做圓周運動時，$r$是常數，所以徑向速度為零，即速度永遠沿著圓周切線方向；而橫向速度等於$r \frac{\mathrm{d} \theta }{\mathrm{d}t} \boldsymbol{e}_{\theta}$，即半徑乘以角速度。

如果物體在三維空間中運動，可以加入縱坐標軸z，建立圓柱坐標系：$(\rho,\theta,z)$，物體的位置寫作：$\boldsymbol{r} =\rho \boldsymbol{e}_{ \rho }+ z \boldsymbol{e}_{z}$，其速度為：

$\boldsymbol{v} = \frac{\mathrm{d} \rho }{\mathrm{d}t} \boldsymbol{e}_{ \rho } + \rho \frac{\mathrm{d} \theta }{\mathrm{d}t} \boldsymbol{e}_{\theta} + \frac{\mathrm{d} z }{\mathrm{d}t} \boldsymbol{e}_{z}$。

### 球坐標

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三維空間中運動的物體，還可以用球坐標系來研究。球坐標系中，物體的速度可以分解成三個部分。除了物體的徑向速度外，還有方位角速度和頂角速度，即方位角$\varphi$和頂角$\theta$的變化率。假設物體的位置用球坐標表示為$(r , \theta , \varphi )$，定義它的基矢：$\boldsymbol{e}_{r}, \boldsymbol{e}_{\theta}, \boldsymbol{e}_{\varphi}$，則物體的位置可以寫成：$\boldsymbol{r} =r \boldsymbol{e}_{r}.$

其速度是位移對時間的導數：

$$\boldsymbol{v} = \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r} }{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( r \boldsymbol{e}_{r} \right) = \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} \boldsymbol{e}_{r} + r \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{e}_{r} }{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} \boldsymbol{e}_{r} + r \frac{\mathrm{d} \theta }{\mathrm{d}t} \boldsymbol{e}_{\theta} + r \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d}t} \sin \theta \boldsymbol{e}_{\varphi}$$

### 自然坐標

如果已知物體運動軌跡，可以使用自然坐標系來描述物體的運動情況。與其他坐標系的不同是，自然坐標系中基矢的選擇與物體的運動情況相關。這時候定義的基矢是：$\boldsymbol{e}_{T}, \boldsymbol{e}_{N}, \boldsymbol{e}_{B}$，分別是切向單位矢量、主法向單位矢量（軌跡曲線在該點的密切圓所在的平面上的法向量）和副法向單位矢量（與主法向和切向量垂直的法向矢量）。而物體的速度是沿切向的，所以速度的表達式是：

$\boldsymbol{v} = v \boldsymbol{e}_{T}$。

其中v就是瞬時速率。這是最簡潔的坐標表達方式。

## 相對速度

相對速度是指一個物體相對另一個物體運動的速度。具體來說，假設在某個參考系中，兩個物體A和B的速度分別是$\boldsymbol{v}_A$和$\boldsymbol{v}_B$，那麼A相對於B的速度$\boldsymbol{v}_{A/B}$就是A在B靜止的參考系中的速度。經典物理學中（非相對論框架），$\boldsymbol{v}_{A/B} = \boldsymbol{v}_A - \boldsymbol{v}_B \,$，而B相對於A的速度$\boldsymbol{v}_{B/A}$是：$\boldsymbol{v}_{B/A} =\boldsymbol{v}_B - \boldsymbol{v}_A$。透過向量的轉換，利用相對速度來解決問題可以將問題簡化許多。

經典物理學中的相對速度變換公式是坐標系做伽利略變換的結果。相對論框架中，需要用洛倫茲變換代替伽利略變換，因此相對速度的變換公式也不同。假設物體A的速度是$\boldsymbol{v} = (v_x, v_y, v_z)$，物體B的速度是$\boldsymbol{u} = (u_x, 0, 0)$，那麼物體A相對於物體B的速度是：

$$\boldsymbol{v}_{A/B} = \left(\frac{v_x - u_x}{1 - \frac{v_x u_x}{c^2}}, \frac{v_y}{1 - \frac{v_x u_x}{c^2}}\sqrt{1 - \frac{u_x^2}{c^2} }, \frac{v_z}{1 - \frac{v_x u_x}{c^2}}\sqrt{1 - \frac{u_x^2}{c^2} } \right)$$

例如兩艘飛船各自以光速$c$的一半朝著相反的方向作直線運動，那麼某一艘飛船上的人觀察到另一艘飛船的相對速度就是：

$v = \frac{\frac{c}{2} -(-\frac{c}{2})}{1 - \frac{(\frac{c}{2})(-\frac{c}{2})}{c^2}} = \frac{c}{1+\frac{1}{4}} = \frac45 c$。

相對速度是0.8倍光速，而不是光速。

## 參見

- 四維速度，相對論中的速度表示方式。
- 速率
- 速度最快的動物列表

## 基本資料

- 國際單位：m/s
- 貨幣符號：$v$, $\mathbf v$, $\vec{v}$