集膚效應

在電磁學中，集膚效應（又稱趨膚效應或直譯作表皮效應，Skin effect）是指導體中有交流電或者交變電磁場時，導體內部的電流分布不均勻的一種現象。隨著與導體表面的距離逐漸增加，導體內的電流密度呈指數衰減，即導體內的電流會集中在導體的表面。從與電流方向垂直的橫切面來看，導體的中心部分幾乎沒有電流流過，只在導體邊緣的部分會有電流。簡單而言就是電流集中在導體的「皮膚」部分，所以稱為集膚效應。產生這種效應的原因主要是變化的電磁場在導體內部產生渦電流，與原來的電流相抵消。

集膚效應使得導體的電阻隨著交流電的頻率增加而增加，並導致導線傳輸電流時效率減低，耗費金屬資源。在銅中，當頻率為60赫茲時，趨膚深度約為8.5毫米。在高頻時，趨膚深度會更小得多。

由於趨膚效應導致的交流電阻增大，可通過使用一種專門的多股絞合導線（稱為辮線）來緩解。因為大截面導體的內部幾乎不承載電流，因此可使用中空管狀導體以節省重量和成本。

趨膚效應在無線電頻率的設計、微波線路和電力傳輸系統方面都要考慮到集膚效應的影響。在交流電力傳輸與配電系統（50-60 Hz）中，趨膚效應也十分重要。它也是在長距離輸電中偏好使用高壓直流輸電（HVDC）的原因之一。

集膚效應最早在英國應用數學家賀拉斯·蘭姆（Horace Lamb）1883年發表的一份論文中提及，只限於球殼狀的導體。1885年，英國物理學家奧利弗·赫維賽德（Oliver Heaviside）將其推廣到任何形狀的導體。

## 原因

導體（通常為導線）可用於利用其中流動的交流傳輸電能或信號。構成電流的電荷載流子（通常為電子）在電源產生的電場作用下被驅動。導體中的電流會在導體內外產生磁場。當導體中電流強度變化時，磁場也隨之變化。磁場的變化反過來又產生一個與電流強度變化方向相反的電場——這種反向電場稱為反電動勢（back EMF）。反電動勢在導體中心處最強/最集中，從而使電流主要只能在導體外側的皮層流動。

無論驅動力如何，電流密度在導體表面處最大，往導體深處其幅度逐漸減小。這種電流密度的下降稱為「趨膚效應」，而「趨膚深度」則是指電流密度下降到表面處值的1/e（約37%）時所對應的深度。超過98%的電流將在距表面四倍趨膚深度的層內流動。該行為不同於直流情形——直流電通常在導線的整個橫截面上均勻分布。

根據電磁感應定律，交變磁場也可以在導體中「感應」出交流電流。當電磁輻射入射到導體上時，通常會產生這樣的感應電流；這解釋了電磁波在金屬中的衰減。儘管「趨膚效應」一詞通常與電流傳輸的應用相關聯，趨膚深度同樣描述平面波在垂直入射導體表面時，電場和磁場以及感應電流密度在材料內部的指數衰減現象。

## 理論

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當單色平面電磁波從真空垂直射入表面為平面的無限大導體中時，隨著與導體表面的距離逐漸增加，導體內的電流密度$J$隨從表面到深度$d$呈指數衰減：$$J = J_\mathrm{S} \,e^{-{(1+j)d/\delta }}$$其中，$J_s$是導體表面的電流密度，$x$表示電流與導體表面的距離，$\delta$是一個和導體的電阻率以及交流電的頻率有關的係數，稱為趨膚深度（skin depth），定義為導體表面下方電流密度降至表面值的1/e（約 0.37）處的深度。指數項的虛部表明電流密度的相位隨滲透深度而延遲：每增加一個趨膚深度，相位延遲1弧度。導體內完成一個完整的波長需要2π個趨膚深度，此時電流密度被衰減到e−2π（約 1.87×10−3，或 −54.6 dB）的表面值。導體內的波長遠短於真空中的波長，等價地，導體內的相速度遠小於真空中的光速。例如，1 MHz的無線電波在真空中的波長$\lambda_0$約為300 m，而在銅中波長僅約0.5 mm，相速度僅約500 m/s。因此根據斯涅爾定律及導體中極小的相速度，任何入射到導體的波，即使為掠入射，也幾乎都會折射到與導體表面垂直的方向。

在無介質或磁性損耗情況下，趨膚深度的一般公式為：$$\delta= \sqrt{ \frac{\, 2\rho \,}{\omega\mu } \left (\sqrt{1 + \left({\rho\omega\varepsilon}\right)^2 \,} + \rho\omega\varepsilon \right) \,}$$其中：

- $\rho$：導體的電阻率
- $\omega$：交流電的角頻率 = 2π ×頻率
- $\mu$：導體的磁導率 = $\mu_0 \cdot \mu_r$，其中$\mu_0$是真空磁導率，$\mu_r$是導體的相對磁導率
- $\varepsilon$：導體的電容率（介電常數），$\varepsilon$=$\varepsilon_r\varepsilon_0$，$\varepsilon_r$導體的相對介電常數，$\varepsilon_0$是真空的介電常數

當頻率遠低於$\frac{1}{\rho\varepsilon}$時，括號內的量接近1，此時常用的簡化公式為：$$\delta=\sqrt{\frac{\, 2\rho \,}{\omega\mu} \,}$$該公式在遠離強原子或分子諧振（此時$\varepsilon$會有較大虛部）和在頻率遠低於材料的等離子體頻率（取決於材料中自由電子密度）以及遠低於導電電子平均碰撞間隔的倒數時成立。在諸如金屬等良導體中，這些條件至少在微波頻率範圍內都成立，因此上述簡化公式是合理的。舉例而言，對於銅來說，這一近似在遠低於約1018 Hz的頻率下成立。

然而在極差的導體中（導電性很低），在足夠高的頻率下，括號內的量會增大。當頻率遠高於$\frac{1}{\rho\varepsilon}$時，趨膚深度趨向以下漸近值：

$$\delta \approx {2 \rho} \sqrt{\frac{\, \varepsilon \,}{ \mu }\,}$$這種偏離通常僅在導電性較低的材料且在真空波長不遠大於趨膚深度的頻率下才會出現。例如，塊狀（未摻雜）矽是較差的導體，在100 kHz 時其趨膚深度約為40米（對應真空波長λ=3 km）。但當頻率提高到兆赫範圍時，其趨膚深度也不會低於漸近值約11米。結論是，對於諸如未摻雜矽等較差的固體導體，在大多數實際情況中不必考慮趨膚效應。

## 圓形導線

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假設$I(r)$是從離導線中心r處到導線表面的截面上通過的電流，$I$為截面上的總電流，那麼有：

$$\frac{I(r)}{I} = \frac{Ber(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta})-Ber(\frac{\sqrt{2}\,r}{\delta}) + i \, [Bei(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta}) - Bei(\frac{\sqrt{2}\,r}{\delta})]}{Ber(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta}) + i \, Bei(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta})}$$

其中Ber和Bei為0階的開爾文-貝塞爾函數的相應原函數（具體見下）。

考慮一個半徑為a，長度無限大的圓柱形導體。假設電磁場是時變場，則在圓柱中有頻率為ω的正弦交流電流。由麥克斯韋方程組。

麥克斯韋-法拉第方程：

$$\nabla\times \, \mathbf{E} = - i \, \omega \, \mathbf{B}$$

麥克斯韋-安培方程：

$$\nabla\times\, \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$$

其中：

- E是電場強度
- B是磁感應強度
- J是電流密度
- μ是導體的磁導率

在導體中，歐姆定律的微分形式為：

$$\mathbf{J} = \sigma \, \mathbf{E}$$

σ是導體的電導率。

我們假設導體是均勻的，於是導體各處的μ和σ都相同。於是有：

$$\nabla\times\, \mathbf{J} = - i \, \omega \, \sigma \, \mathbf{B}$$

$$\nabla\times\, \mathbf{B} = \mu \, \mathbf{J}$$

在圓柱坐標系(r, θ, z)（z為圓柱導體的軸心）中，設電磁波隨z軸前進，由對稱性，電流密度是一個只和r有關的函數：

$$\mathbf{J} = \begin{pmatrix}0\\0\\j(r)\end{pmatrix}$$

取麥克斯韋-法拉第方程兩邊的旋度，就有：

$$\nabla\times \,(\nabla\times \, \mathbf{J}) = - i \, \omega \, \sigma \,( \nabla\times \, \mathbf{B})$$

也就是：

$$\nabla \, \mathrm{div} \, \mathbf{J} - \Delta \mathbf{J} = - i \, \omega \, \sigma \, \mu \, \mathbf{J}$$

由之前對電流密度的假設，$\mathrm{div} \, \mathbf{J} = 0$，因此有：

$$\Delta \mathbf{J} = i \, \omega \, \sigma \, \mu \, \mathbf{J}$$

在圓柱坐標系中，拉普拉斯算子$\Delta$寫作：

$$\frac{d^2\,j}{dr^2}(r) + \frac{1}{r} \, \frac{d\,j}{dr}(r) = i \, \omega \, \sigma \, \mu \, j(r)$$

令$k^2 = i \, \omega \, \sigma \, \mu$，再將方程兩邊乘上r2就得到電流密度應該滿足的方程：

$$r^2 \, \frac{d^2\,j}{dr^2}(r) + r \, \frac{d\,j}{dr}(r) - r^2 \, k^2 \, j(r) = 0$$

在進行代換$\xi = i \, k \, r$後，方程變為一個齊次的貝塞爾方程：

$$\xi^2 \, \frac{d^2\,j}{d\xi^2}(\xi) + \xi \, \frac{d\,j}{d\xi}(\xi) + \xi^2 \, j(\xi) = 0$$

由電流密度在r = 0的連續性，方程的解具有$J_0(\xi)$的形式，其中J0是零階的第一類貝塞爾函數。於是：

$$j(r) = j_0 \, J_0(i \, k \, r)$$

其中j0是一個常數，k為：

$$k = \sqrt{i} \, \sqrt{\omega \, \sigma \, \mu} = \frac{1+i}{\sqrt{2}} \, \sqrt{\omega \, \sigma \, \mu} = \frac{1+i}{\delta}$$

其中δ是集膚深度，$\delta = \sqrt{\frac{2}{\omega \, \sigma \, \mu}}$。

$$i \, k = \frac{-1+i}{\delta} = e^{i \, 3 \, \pi/4} \, \frac{\sqrt{2}}{\delta}$$

最後，電流密度為：

$$\begin{matrix}j(r) &=& j_0 \, J_0(e^{i \, 3 \, \pi/4} \, \frac{\sqrt{2} \, r}{\delta})\\ &=& j_0 \, (ber(\frac{\sqrt{2} \, r}{\delta}) + i \, bei(\frac{\sqrt{2} \, r}{\delta}))\end{matrix}$$

其中ber和bei是0階的開爾文-貝塞爾函數。

於是通過整個截面的電流總和就是：

$$\begin{matrix}I &=& \int_0^a j(r) \, 2 \, \pi \, r \, dr\\ &=& 2 \, \pi \, j_0 \int_0^a J_0(e^{i \, 3 \, \pi/4} \, \frac{\sqrt{2} \, r}{\delta}) \, r \, dr\\ &=& \pi \, \delta^2 \, j_0 \, \int_0^{\sqrt{2} \, a / \delta}(ber(x) + i \, bei(x)) \, x \, dx\end{matrix}$$

記Ber和Bei為相應的原函數：

$$Ber(x) = \int_0^x ber(x^\prime)\, x^\prime \, dx^\prime \qquad \mbox{ et } \qquad Bei(x) = \int_0^x bei(x^\prime) \, x^\prime \, dx^\prime$$

便有如下更簡潔的形式：

$$I = \pi \, \delta^2 \, j_0 \, \left(Ber(\frac{\sqrt{2}\, a}{\delta}) + i \, Bei(\frac{\sqrt{2}\, a}{\delta})\right)$$

我們還可以計算從圓柱表面到離軸心距離r處的電流總和：

$$\begin{matrix}I(r)&=& \int_{a-r}^a j(r^\prime) \, 2 \, \pi \, r^\prime \, dr^\prime\\ &=& \pi \, \delta^2 \, j_0 \, \left( Ber(\frac{\sqrt{2}\, a}{\delta})- Ber(\frac{\sqrt{2}\, r}{\delta}) + i \, [Bei(\frac{\sqrt{2}\, a}{\delta}) - Bei(\frac{\sqrt{2}\, r}{\delta})] \right)\end{matrix}$$

於是有電流的分布函數：

$$\frac{I(r)}{I} = \frac{Ber(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta})-Ber(\frac{\sqrt{2}\,r}{\delta}) + i \, [Bei(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta}) - Bei(\frac{\sqrt{2}\,r}{\delta})]}{Ber(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta}) + i \, Bei(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta})}$$

### 阻抗

#### 電阻

趨膚效應對單根導線阻抗影響中最重要的方面是電阻的增加，從而產生額外損耗（例如銅損）。當電流被限制在大於趨膚深度很多的導體表面附近流動時（導體厚度遠大於$\delta$），可近似將電流視為在厚度為$\delta$的層中均勻流動，且該層的電阻基於材料的直流電阻率來計算。有效橫截面積大約等於趨膚深度$\delta$與導體周長的乘積。因此，對於很長的圓柱形導體，比如導線來說，如果它的直徑$D$比$\delta$大很多的話，它對於交流電的電阻將會相當於一個中空的厚度為$\delta$的圓柱導體對直流電的電阻。

$$R\approx{{\rho \over \delta}\left({l\over{\pi (D-\delta)}}\right)}\approx{{\rho}\left({l\over{\pi D \delta }}\right)}$$

其中：

$l$=導線的長度

$D$=導線直徑

上式最後的近似假設$D \gg \delta$。

一個便捷的經驗公式（來自弗雷德里克·特曼）給出了在頻率$f$下，使得導線對交流電的電阻增加百分之十的直徑$D_W$大約是：

$$D_\mathrm{W} = {\frac{200~\mathrm{mm}}{\sqrt{f/\mathrm{Hz}}}}$$

以上的導線對交流電的電阻只對於孤立的導線成立。對於鄰近的導線（例如電纜或線圈），交流電阻會受到鄰近效應的影響而顯著增大，可能導致交流電阻進一步增加。單位長度段圓導線的「內部」阻抗為：$$\mathbf{Z}_\text{int} = \frac { k \rho } { 2 \pi R } \frac { J_0(k R) } { J_1(k R) }.$$該阻抗為複數，可視為實部（電阻）與虛部（由於導線內部自感引起的電抗）串聯的等效阻抗，均按單位長度計。

#### 電感

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導線電感中可歸因於導線內部磁場的那一部分稱為內部電感，它對應於上面公式中給出的感抗（阻抗的虛部）。在大多數情況下，這只是導線電感的一小部分，導線電感的大頭是由導線產生的外部磁場引起的電磁感應（即「外部電感」）。與外部電感不同，內部電感會被趨膚效應減小，也就是說，當趨膚深度不再遠大於導體尺度（隨頻率升高而出現）時，內部電感會下降。該小量的電感在低頻時趨近於$\frac \mu { 8 \pi }$（對於非磁性導線約為50 nH/m），與導線半徑無關。隨著頻率增加、趨膚深度與導線半徑的比值降到大約1以下，該內部電感的減少如隨附圖所示，這也解釋了電話電纜電感隨頻率增加而減小的現象。

參見下圖所示同軸電纜的內外導體構型。由於趨膚效應使高頻時電流主要流經導體表面，可以看出這將減少導線內部的磁場 —— 即在大部分電流流動深度以下的區域。可以證明，這對導線本身的自感只有很小的影響；關於該現象的數學處理見Skilling或Hayt等著作。

此處討論的電感是指裸導體的電感，而不是作為電路元件使用的線圈的電感。線圈的電感主要由線圈匝間的互感主導，其使電感隨匝數的平方增長。然而當僅涉及單根導線時，除了與導線外部磁場有關的「外部電感」（見下圖白色區域）之外，還存在一項更小的「內部電感」成分，來自導體內部的磁場（圖B中的綠色區域）。當電流集中在導體的表皮處（即趨膚深度不再遠大於導線半徑）時，這一小的內部電感成分會減小，高頻時出現。

對於單根導線，當導線長度遠大於其直徑時，這種減少變得不那麼重要，通常被忽略。然而，在傳輸線存在第二導體的情況下（例如同軸、雙絞線等），外部磁場（以及總自感）的空間範圍會被限制，不論導線長度如何，因此趨膚效應導致的電感減小仍然可能很重要。例如在下述的電話雙絞線案例中，在趨膚效應顯著的更高頻率下，導體的電感明顯減小（超過20%）。另一方面，當由於線圈幾何（匝間互感）使外部電感分量被放大時，內部電感的重要性則更加微不足道，通常可忽略。

## 減緩集膚效應的方法

一種減緩集膚效應的方法是採用所謂的辮線（源自德語：Litzendraht，意為「編織起來的線」）。辮線採用將多條金屬導線相互纏繞的方法，使得電磁場能夠比較均勻地分布，這樣各導線上的電流分布就會較為平均。使用利茲線後，產生顯著集膚效應的頻率可以從數千赫茲提高到數兆赫茲。辮線一般應用在高頻交流電的傳輸中，可以同時減緩集膚效應和鄰近效應。

高電壓大電流的架空電力線路通常使用鋼芯鋁絞線，這樣能使鋁質部分的工作部分溫度降低，減低電阻率，並且由於集膚效應，電阻率較大的鋼芯上承載極少的電流，因而無關緊要。

還有將實心導線換成空心導線管，中間補上絕緣材料的方法，這樣可以減輕導線的重量。

在傳輸的頻率在甚高頻或微波級別時，一般會使用鍍銀（已知的除超導體外最好的導體）的導線，因為這時集膚深度非常的淺，使用更厚的銀層已是浪費。

## 其它應用

集膚效應使交流電只通過導體的表面，因此電流只在其表面產生熱效應。鋼鐵工業中利用集膚效應來為鋼進行表面淬火，使鋼材表面的硬度增大。

集膚效應也可以描述為：導體中變電磁場的強度隨著進入導體的深度而呈指數遞減，因此在防曬霜中混入導體微粒（一般是氧化鋅和氧化鈦），就能使陽光中的紫外線（高頻電磁波）的強度減低。這便是物理防曬的原理之一。此外，集膚效應也是電磁屏蔽的方法之一，利用集膚效應可以阻止高頻電磁波透入良導體而作成電磁屏蔽裝置，這也是電梯裡手機信號不好的原因。

## 舉例

頻率為10 GHz（微波）時各種材料的集膚深度：

導體｜δ（μm）

鋁｜0.80

銅｜0.65

金｜0.79

銀｜0.64

在銅質導線中，集膚深度和頻率的關係大致如下：

頻率｜δ

60 Hz｜8.57 mm

10 kHz｜0.66 mm

100 kHz｜0.21 mm

1 MHz｜66 µm

10 MHz｜21 µm

## 外部連結

- Skin Effect and HiFi Cables
- More on the "skin effect"

## 相關

- http://group.ednchina.com/250/4713.aspx
- William Hart Hayt, Engineering Electromagnetics Seventh Edition, (2006), McGraw Hill, New York ISBN 0073104639
- Paul J. Nahin, Oliver Heaviside: Sage in Solitude, (1988), IEEE Press, New York, ISBN 0879422386
- Terman, F.E. Radio Engineers' Handbook, McGraw-Hill 1943 -- for the Terman formula mentioned above