十二律

十二律是中國傳統音樂使用的音律，後來逐漸傳入到朝鮮、日本、越南等東南亞國家。律，本指用來定音的竹管，古人用十二個不同長度的律管，吹出十二個高度不同的標準音高，以定出音階的高低，故這十二個標準音高也叫十二律。

中國古代以「三分損益法」定律，將十二個音逐個導出；而前五個音與主音的數學關係較為簡單，同時也是常用音階，故又與十二個音並稱五音十二律。

## 音調

十二律分為陰陽兩類，奇數六律為陽律，叫做六律；偶數六律為陰呂，稱為六呂，合稱律呂。一般所說的六律包括陰陽各六的十二律。

律名｜相對黃鐘之音程｜相對黃鐘之頻率比例｜音訊

黃鐘｜主音/純一度｜$1:1$｜$1$｜$1$｜Unison on C.mid

大呂｜小二度（=自然半音）｜$3^{7}:2^{11}$｜${2187\over2048}$｜$1.06787109375$｜Pythagorean apotome on C.mid

太簇｜大二度｜$3^{2}:2^{3}$｜${9\over8}$｜$1.125$｜Major tone on C.mid

夾鐘｜增二度（≈小三度）｜$3^{9}:2^{14}$｜${19683\over16384}$｜$1.20135498046875$｜Pythagorean augmented second on C.mid

姑洗｜大三度｜$3^{4}:2^{6}$｜${81\over64}$｜$1.265625$｜Pythagorean major third on C.mid

仲呂｜增三度（≈完全四度）｜$3^{11}:2^{17}$｜${177147\over131072}$｜$1.35152435302734$｜Pythagorean augmented third on C.mid

蕤賓｜增四度｜$3^{6}:2^{9}$｜${729\over512}$｜$1.423828125$｜Pythagorean augmented fourth on C.mid

林鐘｜純五度｜$3:2$｜${3\over2}$｜$1.5$｜Just perfect fifth on C.mid

夷則｜增五度（≈小六度）｜$3^{8}:2^{12}$｜${6561\over4096}$｜$1.601806640625$｜Pythagorean augmented fifth on C.mid

南呂｜大六度｜$3^{3}:2^{4}$｜${27\over16}$｜$1.6875$｜Pythagorean major sixth on C.mid

無射｜增六度（≈小七度）｜$3^{10}:2^{15}$｜${59049\over32768}$｜$1.80203247070312$｜Pythagorean augmented sixth on C.mid

應鐘｜大七度｜$3^{5}:2^{7}$｜${243\over128}$｜$1.8984375$｜Pythagorean major seventh on C.mid

清黃鐘｜增七度（≈純八度）｜$3^{12}:2^{18}$｜${531441\over262144}$｜$2.02728652954102$

## 三分損益法

相傳三分損益法為管仲所發明。

司馬遷的《史記》「律書第三」中寫到：「……九九八十一以為宮。三分去一，五十四以為徵。三分益一，七十二以為商。三分去一，四十八以為羽。三分益一，六十四以為角。」

意思是取一根用來定音的竹管，長為81單位，定為「宮音」。然後將81乘上2/3，就得到54單位，定為「徵音」。將徵音的竹管長度54乘上4/3，得到72單位，定為「商音」。將商音72乘2/3，得48單位，為「羽音」。羽音48乘4/3，得64單位，為「角音」。而這宮、商、角、徵、羽五個音高，被稱為中國的五音。

中國音樂中用來定音律的「三分損益法」的確立是考「中聲」而量之以制。儒家的「中聲」指音高、速度適中的有節制的音樂，「琴瑟尚宮，鍾尚羽，石尚角，匏竹利制，大不逾宮，細不過羽」，要舍卻彈奏中的「煩手」（複雜多變）。《左傳》有鮮明排斥過度追求音響、速度變化的「淫聲」、以能使人保持平和「中聲」為美的思想。「畢氏學派」中的「五度相生律」與三分損益法相似，但是五度相生律與三分益損法上下生成次序有不同，產生的音階相對應為中國音階中的燕調式，與中國流行的宮調式不同。

### 三分損益與十二律的相關物理

在聲學中，音高指物體振動的頻率。取一簡單物體（如竹管、絲絃）用來定音高時，其頻率與長度成反比關係；若物體材質固定，長度愈長，則音高愈低。

特別地，當長度減為一半時，頻率變為原先的兩倍；長度增為兩倍時，頻率變為原先的一半。將這種互為二倍的特殊比例定義為彼此互為八度，便可由此從九九八十一的長度出發，試算前述藉由「三分損益」求得的長度所得到的十二律（宮調）：

黃鐘（C）：$81$（$n = 0$）

林鐘（G，由黃鐘三分損而來）：${81 \times \frac{2}{3}} = 54$（$n = 0 + 7 = 7$）

太簇（D，由林鐘三分益而來）：${54 \times \frac{4}{3}} = 72$（$n = 7 - 5 = 2$）

南呂（A，由太簇三分損而來）：${72 \times \frac{2}{3}} = 48$（$n = 2 + 7 = 9$）

姑洗（E，由南呂三分益而來）：${48 \times \frac{4}{3}} = 64$（$n = 9 - 5 = 4$）

應鐘（B，由姑洗三分損而來）：${64 \times \frac{2}{3}} = 42\frac{2}{3}\approx 42.6666667$（$n = 4 + 7 = 11$）

蕤賓（F♯，由應鐘三分益而來）：${42\frac{2}{3} \times \frac{4}{3}} = 56\frac{8}{9}\approx 56.8888889$（$n = 11 - 5 = 6$）

大呂（C♯，由蕤賓三分益而來）：${56\frac{8}{9} \times \frac{4}{3}} = 75\frac{23}{27}\approx 75.8518519$（$n = 6 - 5 = 1$）

夷則（G♯，由大呂三分損而來）：${75\frac{23}{27} \times \frac{2}{3}} = 50\frac{46}{81}\approx 50.5679012$（$n = 1 + 7 = 8$）

夾鐘（D♯，由夷則三分益而來）：${50\frac{46}{81} \times \frac{4}{3}} = 67\frac{103}{243}\approx 67.4238683$（$n = 8 - 5 = 3$）

無射（A♯，由夾鐘三分損而來）：${67\frac{103}{243} \times \frac{2}{3}} = 44\frac{692}{729}\approx 44.9492455$（$n = 3 + 7 = 10$）

仲呂（E♯≈F，由無射三分益而來）：${44\frac{692}{729} \times \frac{4}{3}} = 59\frac{2039}{2187}\approx 59.9323274$（$n = 10 - 5 = 5$）

清黃鐘（B♯≈C，即黃鐘的高八度音，由仲呂三分損而來）：${59\frac{2039}{2187} \times \frac{2}{3}} = 39\frac{6265}{6561} \approx 39.9548849$（$n = 5 + 7 = 12$）

- 注意，最後一個「清黃鐘」的長度$39.9548849$與直接取「黃鐘」長度的一半$40.5$仍有一段小小的差距，這就是「黃鐘不能還原」的問題；因連乘十二次$\frac{2}{3}$或$\frac{4}{3}$後的值不可能達到原始的$\frac{1}{2}$（$\frac{2^{6} \times 4^{6}}{3^{12}}\approx 0.493270184$），這個差距所對應的音高振動頻率比被稱作畢達哥拉斯音差（$\frac{3^{12}}{2^{7} \times 4^{6}}\approx 1.01364$）。
- 另外，若定律時不斷使用三分損益的操作，最後一定會出現除不盡的小數，使得實際製作時易產生誤差；然而現實上，準確度（Accuracy）與精密度（Precision）絕對有其極限，故經十二次三分損益後已可構成一個（不甚完美的）音階循環；這也是中西樂理都不約而同發展為以12音階為主流的原因，之後才出現如純律、十二平均律等不同的改進或修正方法

將上方的計算結果對照《史記·律書》之記載，便可發現其中抄錄錯誤。宋代沈括《夢溪筆談》便指《律書》中「七分」等文字當為「十分」之誤，故原文中黃鐘「八寸七分一」為「八寸十分一」（81分）才合理。以下列出古音十二律與史記記載更正之比較，並附「西方參考音名」及「與十二平均律之偏差」之計算。

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中國音名｜三分損益（由原文更正後）｜西方音名｜十二平均律｜三分損益與十二平均律之偏差（%）

黃鐘｜81｜C｜81

林鐘｜54｜G｜54.0610｜0.11

太簇｜72｜D｜72.1628｜0.23

南呂｜48｜A｜48.1629｜0.34

姑洗｜64｜E｜64.2898｜0.45

應鐘｜42.6667｜B｜42.9083｜0.56

蕤賓｜56.8889｜F♯｜57.2757｜0.68

大呂｜75.8519｜C♯｜76.4538｜0.79

夷則｜50.5679｜G♯｜51.0268｜0.90

夾鐘｜67.4239｜D♯｜68.1126｜1.01

無射｜44.9492｜A♯｜45.4597｜1.12

仲呂｜59.9323｜E♯≈F｜60.6814｜1.23

清黃鐘｜39.9549｜B♯≈C'｜40.5000｜1.35

若不照音高排列，而是如上表照三分損益法排列十二律，則會發現其順序與五度圈自C開始順時鐘方向的音位排列恰巧一樣。

## 音律與曆法的配合

由於音律與一年中的月分恰好都定有十二個，於是在中國上古時代，人們便把十二律和十二月聯繫起來，又名十二月律。例如大秦景教流行中國碑中有「太蔟月」即正月。依照《禮記·月令》上的記載，它們之間的對應為：

孟春之月，律中太簇。

仲春之月，律中夾鐘。

季春之月，律中姑洗。

孟夏之月，律中仲呂。

仲夏之月，律中蕤賓。

季夏之月，律中林鐘。

孟秋之月，律中夷則。

仲秋之月，律中南呂。

季秋之月，律中無射。

孟冬之月，律中應鐘。

仲冬之月，律中黃鐘。

季冬之月，律中大呂。

所謂「律中」就是「音律的對應」，其徵驗的方法則是憑「吹灰」。據說古人將十二根律管裡塞入葭莩的灰，只要到了某個月分，相對應的那一隻律管中的灰就會自動地飛揚出來，這便是「吹灰候氣」、「夷則為七月之律」等詞彙的典故。當然以今日的觀點，吹灰候氣並沒有現實的根據。

值得注意的一點，十二律中最基本的是黃鐘，而中國曆法最基本的則是含有冬至的月份。《月令》中所列出的，正是以黃鐘對應冬至所在的仲冬月分——子月（大雪至小寒之月）。

另外，《周髀算經》提及由於中國古代使用天干地支，以六十年甲子為一個週期，而60又有2、3、4、5、6、10、12、15、20、30等因數，所以不同時期規律出現的天象，會在60年內集中重複，這些看似奇異的現象實際上是可以用數理邏輯解釋清楚的。

## 外部連結

- 戴振鐸：〈廣義三分損益律與朱載堉十二平均律及純律的關係〉。
- 《史記》中記載的「律數」