阻抗

阻抗（electrical impedance）又稱電阻抗，是電路中電阻、電感、電容對交流電的阻礙作用的統稱。阻抗是一個複數，實部稱為電阻，虛部稱為電抗；其中電容在電路中對交流電所起的阻礙作用稱為容抗，電感在電路中對交流電所起的阻礙作用稱為感抗，容抗和感抗合稱為電抗。阻抗將電阻的概念加以延伸至交流電路領域，不僅描述電壓與電流的相對振幅，也描述其相對相位。當通過電路的電流是直流電時，電阻與阻抗相等，電阻可以視為相位為零的阻抗。阻抗的概念不僅存在於電路中，在力學的振動系統中也有涉及。

阻抗通常以符號 $Z$ 標記。阻抗是複數，可以用相量 $Z_m \angle \theta$ 或 $Z_m e^{j\theta}$ 來表示；其中，$Z_m$是阻抗的大小，$\theta$ 是阻抗的相位。這種表示法稱為「相量表示法」。

具體而言，阻抗定義為電壓與電流的頻域比率。阻抗的大小 $Z_m$ 是電壓振幅與電流振幅的絕對值比率，阻抗的相位 $\theta$ 是電壓與電流的相位差。採用國際單位制，阻抗的單位是歐姆（Ω），與電阻的單位相同。阻抗的倒數是導納，即電流與電壓的頻域比率。導納的單位是西門子（舊單位是姆歐）。

## 詞源

英文術語「impedance」是由物理學者奧利弗·黑維塞於1886年發表論文《電工》給出。1893年，電機工程師亞瑟·肯乃利（Arthur Kennelly）最先以複數表示阻抗。

1927年，孔祥鵝《商榷電機工程譯名問題》一文建議採用「電阻抗」作為該術語中文譯名，以便顧及與「電抗」（electrical reactance）、「電阻」（electrical resistance）二詞的學理關聯。這一譯名得以沿用至今。

## 複阻抗

阻抗是複數，可以與術語「複阻抗」替換使用。阻抗通常以相量來表示，這種表示法稱為「相量表示法」。相量有三種等價形式：

- 直角形式：$R+jX$。
- 極形式：$Z_m \angle \theta$。
- 指數形式：$Z_m e^{j\theta}$。

其中，電阻 $R$ 是阻抗的實部，電抗 $X$ 是阻抗的虛部，$Z_m$ 是阻抗的大小，$j$ 是虛數單位，$\theta$ 是阻抗的相位。

從指數形式轉換到直角形式可以使用方程式

$R= Z_m \cos\theta$。

$X= Z_m \sin\theta$。

從直角形式轉換到指數形式可以使用方程式

$Z_m=\sqrt{R^2+X^2}$。

$\theta=\arctan(X/R)$。

極形式適用於實際工程標示，而直角形式比較適用於幾個阻抗相加或相減的案例，指數形式則比較適用於幾個阻抗相乘或相除的案例。在作電路分析時，例如在計算兩個阻抗並聯的總阻抗時，可能會需要作幾次形式轉換。這種形式轉換必需要依照複數轉換定則。

## 歐姆定律

<image>

藉著歐姆定律，可以了解阻抗的內涵：

$v = i Z = i Z_m e^{j\theta}$。

阻抗大小 $Z_m$ 的作用恰巧就像電阻，設定電流 $i$，就可計算出阻抗 $Z$ 兩端的電壓降 $v$。相位因子 $e^{j\theta}$ 則是電流滯後於電壓的相位差 $\theta$ （在時域，電流信號會比電壓信號慢 $\theta T/2\pi$ 秒；其中， $T$ 是單位為秒的週期）。

就像電阻將歐姆定律延伸至交流電路領域，其它直流電路分析的結果，例如電壓分配（voltage division）、電流分配（current division）、戴維寧定理、諾頓定理等等，都可以延伸至交流電路領域，只需要將電阻更換為阻抗就行了。

## 複值電壓與電流

<image>

為了簡化計算，正弦電壓波 $v(t)$ 和正弦電流波 $i(t)$ 通常以指數形式表示為

$v(t) = V_m e^{j(\omega t + \phi_V)}$。

$i(t) = I_m e^{j(\omega t + \phi_I)}$。

其中，$V_m>0$ 是電壓振幅，$I_m>0$ 是電流振幅，$\omega$ 是正弦波的角頻率、$\phi_V$ 是電壓相位，$\phi_I$ 是電流相位。

阻抗定義為電壓除以電流：

$Z\ \stackrel{def}{=}\ \frac{ v(t)}{ i(t)}$。

將這公式代入歐姆定律，可以得到

$\begin{align} V_m e^{j(\omega t + \phi_V)} &= I_m e^{j(\omega t + \phi_I)} Z_m e^{j\theta} \\ <pre> &= I_m Z_m e^{j(\omega t + \phi_I + \theta)} \\ </pre> \end{align}$。

注意到對於任意時間 $t$，這方程式都成立。因此，可以令大小與相位分別相等：

$V_m= I_m Z_m$。

$\ \phi_V = \phi_I + \theta$。

第一個方程式乃是熟悉的表達電壓與電流之間關係的歐姆定律，第二個方程式給出相位關係。

用相量表示法來描述，相量 $V$、$I$ 分別為

$V = V_m e^{j\phi_V}$。

$I = I_m e^{j\phi_I}$。

正弦波 $v(t)$、$i(t)$ 跟相量 $V$、$I$ 的關係為

$v(t) = V e^{j\omega t}$。

$i(t) = I e^{j\omega t}$。

阻抗的定義為

$Z\ \stackrel{def}{=}\ \frac{V}{I}$。

### 複數運算的正確性

根據歐拉公式，餘弦函數可以表示為

$\cos(\omega t + \phi) = \frac{1}{2} \Big[ e^{j(\omega t + \phi)} + e^{-j(\omega t + \phi)}\Big]$。

這是一個可以用來表示電壓或電流波形的實值餘弦函數，可以被分解為兩個複值函數。所以，只要分析方程式右邊的兩個複值項目的行為，就可以明瞭方程式左邊的實值餘弦函數的行為。由於這兩個複值項目的實部相等，實際而言，只需要分析其中一個項目，取這項目的實部，就可以得到餘弦函數：

$\cos(\omega t + \phi) = \mathrm{Re}\Big\{ e^{j(\omega t + \phi)} \Big\}$。

換句話說，只要取計算結果的實部，就可以得到答案。

在傅立葉分析中，激勵可以寫成多個正弦波的疊加。根據疊加原理，每個正弦波可以單獨分析計算出各自的反應，（反應本身也是一個正弦波，其頻率與激勵的頻率相同，但通常兩者的振幅、相位都不相同，反應的振幅、相位會有所改變。）對於原本激勵的響應是所有單獨正弦波的響應在時域的總和（或積分）。這些單獨正弦波都可以轉換為以複數運算。

### 相量

相量是一個常定複數，可以代表參數為時間的正弦函數的複振幅（大小和相位）。電機工程師常會使用相量作複數運算，因為能夠簡化涉及正弦函數的運算，將一個微分方程式問題約化為代數方程式問題。

一個電路元件的阻抗可以定義為元件兩端的電壓相量與通過元件的電流相量，兩者之間的比率，即電壓與電流之間的相對振幅與相對相位。注意到因子 $e^{j\omega t}$ 互相抵消，這定義等價於前面由歐姆定律給出的定義。

## 電路元件的阻抗

<image>

理想電阻器的阻抗 $Z_R$ 是實數，稱為「電阻」：

$Z_R = R$。

其中，$R$ 是理想電阻器的電阻。

理想電容器和理想電感器的阻抗 $Z_C$、$Z_L$ 都是虛數：

$Z_C = \frac{1}{j\omega C}$。

$Z_L = j\omega L$。

其中，$C$ 是理想電容器的電容，$L$ 是理想電感器的電感。

注意到以下兩個很有用的全等式：

$j =e^{j\pi/2}$。

$-j = e^{-j\pi/2}$。

應用這些全等式，理想電容器和理想電感器的阻抗以指數形式重寫為

$Z_C = \frac{e^{-j\pi/2}}{\omega C}$。

$Z_L = \omega Le^{j\pi/2}$。

給定通過某阻抗元件的電流振幅，複阻抗的大小給出這阻抗元件兩端的電壓振幅，而複阻抗的指數因子則給出相位關係。

電阻器、電容器和電感器是三種基本電路元件。以下段落會推導出這些元件的阻抗。這些導引假定正弦信號。通過傅立葉分析，任意信號可以視為一組正弦函數的總和。所以，這些導引可以延伸至任意信號。

### 電阻器

根據歐姆定律，通過電阻器的含時電流 $i_{R}(t)$ 與電阻器兩端的含時電壓 $v_{R}(t)$，兩者之間的關係為

$v_{R}(t) = i_{R}(t)R$。

其中，$t$ 是時間。

設定含時電壓信號為

$v_{R}(t) = V_0 \cos(\omega t)= V_0 e^{j\omega t},\qquad V_0>0$。

則含時電流為

$i_{R}(t) =\frac{V_0}{R}e^{j\omega t}$。

兩者的大小分別為 $V_0$、$V_0/R$，相位都是 $\omega t$。所以，阻抗為

$Z_{R} =R$。

電阻器的阻抗是實數。理想電阻器不會製造相位差。

### 電容器

通過電容器的含時電流 $i_C(t)$ 與電容器兩端的含時電壓 $v_C(t)$，兩者之間的關係為

$i_C(t) = C \frac{\operatorname{d}v_C(t)}{\operatorname{d}t}$。

設定含時電壓信號為

$v_C(t) = V_0 \sin(\omega t)= \operatorname{Re} \{V_0 e^{j(\omega t-\pi/2)}\}= \operatorname{Re} \{V_C e^{j\omega t}\},\quad where\quad V_0>0,\quad V_C=V_0 e^{j(-\pi/2)}$。

則電流為

$i_C(t) =\omega V_0 C \cos(\omega t)= \operatorname{Re} \{\omega V_0 C e^{j\omega t}\}= \operatorname{Re} \{I_C e^{j\omega t}\}$。

兩者的除商為

$\frac{v_C(t)}{i_C(t)}=\frac{V_0\sin(\omega t)}{\omega V_0 C\cos( \omega t)}= \frac{\sin(\omega t)}{\omega C \sin \left( \omega t + \frac{\pi}{2}\right)}$。

所以，電容器阻抗的大小為 $1/\omega C$，交流電壓滯後90°於交流電流，或者，交流電流超前90°於交流電壓。

以相量形式表示。

$V_C=V_0 e^{j(-\pi/2)},\qquad V_0>0$。

$I_C=\omega V_0 C e^{j0}$。

$Z_C = \frac{e^{-j \pi/2}}{\omega C}$。

或者，應用歐拉公式。

$Z_C=\frac{1}{j \omega C}$。

### 電感器

通過電感器的含時電流 $i_L(t)$ 與電感器兩端的含時電壓 $v_L(t)$，兩者之間的關係為

$v_L(t) = L \frac{\operatorname{d}i_L(t)}{\operatorname{d}t}$。

設定含時電流信號為

$i_{L}(t) = I_0 \cos(\omega t)$。

則電壓為

$v_L(t) = - \omega L I_0 \sin(\omega t)=\omega L I_0 \cos(\omega t + \pi/2)$。

兩者的除商為

$\frac{v_{L}(t)}{i_{L}(t)} = \frac{\omega L \cos(\omega t + \pi/2)}{\cos(\omega t)}$。

所以，電感器阻抗的大小為 $\omega L$，交流電壓超前90°於交流電流，或者，交流電流滯後90°於交流電壓。

以相量形式表示。

$i_L(t)=I_0 e^{j\omega t},\qquad I_0>0$。

$v_L(t)=\omega L I_0 e^{j(\omega t+\pi/2)}$。

$Z_L =\omega L e^{j \pi/2}$。

或者，應用歐拉公式。

$Z_L= j \omega L$。

## 廣義 s-平面阻抗

以 $j\omega$ 定義阻抗的方法只能應用於以穩定態交流信號為輸入的電路。假若將阻抗概念加以延伸，將 $j\omega$ 改換為複角頻率 $s$，就可以應用於以任意交流信號為輸入的電路。表示於時域的信號，經過拉普拉斯變換後，會改為表示於頻域的信號，改成以複角頻率表示。採用這更廣義的標記，基本電路元件的阻抗為

元件｜阻抗表達式

電阻器｜$R$

電容器｜$1/sC$

電感器｜$sL$

對於直流電路，這簡化為 $s=0$；對於穩定正弦交流信號，$s=j\omega$。

## 電抗

電抗是阻抗的虛部。電阻 $R$ 與電抗 $X$ 共同設定阻抗的大小和相位：

$Z_m= \sqrt{Z Z^*} = \sqrt{R^2 + X^2}$。

$\theta = \arctan{\left(\frac{X}{R}\right)}$。

具有有限電抗的電路元件，會使得其兩端的電壓與通過的電流發生相位差 $\theta$：

$X =Z_m\sin\theta$。

運作時，純電抗元件會交替地從電路吸收電能，然後又將電能還給電路；純電抗元件不會耗散任何電能。

### 容抗

<image>

理想電容器的阻抗是虛數，不具有實部，其虛部稱為「容抗」，與信號的角頻率成反比。電容器是由兩塊導體和夾在中間的電介質構成，其容抗為

$X_C = - j/\omega C$。

從這方程式可以觀察到，當交流電源的角頻率 $\omega$ 趨向於零時，電源會趨向於直流電源，容抗會趨向於負無窮大，假設給定電壓源振幅，則電流會趨向於零。所以，在低頻率運作時，電容器貌似斷路。假設電源的頻率越高，則容抗越低，對於電流通過的阻礙也越低。在高頻率運作時，電容器貌似短路。

更詳細地描述，假設連接直流電流源於平行板電容器的兩端，由於電容器中有絕緣的電介質阻隔，電荷無法穿過電容器，電容器的一塊平行板會累積正電荷,另一塊平行板會累積負電荷。這過程稱為「充電」。注意到在這充電過程，整個電容器仍舊維持電中性。分別累積於兩塊平行板的正電荷和負電荷會產生電場。依照不同的電介質屬性而定，這電場會將電介質的正負電荷稍微分開，或者按照電場方向改變每一個電介質分子的定向，將電介質電極化，這會在電介質的表面形成面束縛電荷與其對應的感應電場，其方向與原本電場相反，因此減弱原本電場的實際作用，所以電介質可以增加電容器的電容。由於電容器的總電場，電容器的兩塊平行板之間會出現電壓。等到這電壓不再變動之後，通過電容器的電流會等於零，所以，一般會說電容器不允許直流電流通過。

假設連接交流電流源或交流電壓源於平行板電容器的兩端，由於電流會週期性的變換方向，交流電流會輪流對電容器的兩塊平行板充電和放電，處於兩塊平行板的電荷會週期性的變化，因此在一個週期內，除了電流由正變負（或由負變正）的那一瞬間之外，通過電容器的電流均不為零。因此，一般認為電容器可允許交流電流通過。注意到電容器只能夠累積有限量的電荷。

### 感抗

理想電感器的阻抗是虛數，不具有實部，其虛部稱為「感抗」，與信號的角頻率成正比：

$X_L = \omega L j$。

其中，$X_L$ 是感抗。

從這方程式可以觀察到，當交流電源的角頻率趨向於零時，電源會趨向於直流電源，感抗會趨向於零，對於電流的通過阻礙越低。所以，在低頻率運作時，電感器貌似短路。假設電源角頻率越高，則感抗越高，假設給定電壓源振幅，則電流會趨向於零。所以，在高頻率運作時，電感器貌似斷路。

電感器是一個線圈導體。根據法拉第感應定律，通過載流迴圈的磁通量變率，會生成的感應電動勢為

$\mathcal{E} = -{{\operatorname{d}\Phi_B} \over \operatorname{d}t}$。

其中，$\mathcal{E}$ 是感應電動勢，$\Phi_B$ 是磁通量。

假設電感器的線圈匝數是 $N$，則感應電動勢為

$\mathcal{E} = -N{\operatorname{d}\Phi_B \over \operatorname{d}t}$。

感應電動勢會阻礙電流流動。常定直流電所產生的磁場，其通過線圈的磁通量是個常數，變率為零，感應電動勢也為零。所以，常定直流電會將電感器視為短路（通常電感器的材質為低電阻率材料）。交流電變率的時間平均值跟頻率成正比，因此感抗與頻率也成正比。

## 阻抗組合

應用串聯電路和並聯電路的阻抗計算定則，就可以計算出簡單電路的總阻抗。除了阻抗是複數以外，這定則與串聯電路和並聯電路的電阻計算定則等同。但是，對於一般電路案例，還需要通過等效阻抗轉換（equivalent impedance transform）這一道步驟。

<image>

具有多於兩個終端點的阻抗電路，無法約化為只具有一個阻抗元件的等效電路；具有 $n$ 個終端點的阻抗電路，$n>2$，最少只能約化為具有 $n$ 個阻抗元件的等效電路。三終端點電路可以約化為具有三個節點的三角形電路或具有四個節點的星形電路。這兩種等價電路可以互相變換。具有任意個終端點的一般電路，只靠串聯和並聯組和，無法約化為具有最少個阻抗元件的電路（稱為「最少電路」）；通常，還必需使用角星變換和星角變換。理論上，可以證明這些變換足夠找到最少電路；不須要任何其他種複雜變換。

### 串聯電路

<image>

假設一個電路的元件是以串聯方式相連接，則通過每一個元件的電流都相等，等效阻抗是每一個元件的阻抗的總和：

$Z_{eq}\ \stackrel{def}{=}\ Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n$。

其中，$Z_{eq}$ 是等效阻抗，$Z_i$ 是第 $i$ 個元件的阻抗。

以實部項目和虛部項目表示。

$Z_{eq} = R_{eq} + jX_{eq} = (R_1 + R_2 + \cdots + R_n) + j(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)$。

### 並聯電路

<image>

假設一個電路的元件是以並聯方式相連接，則每一個元件兩端的電壓都相等，每一個元件的阻抗的倒數，總和起來就是等效阻抗的倒數：

$\frac{1}{Z_{eq}}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2} + \cdots + \frac{1}{Z_n}$。

對於 $n = 2$ 案例。

$Z_{eq} =\frac{Z_1 Z_2}{Z_1 + Z_2}$。

以實部項目 $R_{eq}$ 和虛部項目 $X_{eq}$ 表示。

$Z_{eq} = R_{eq} + j X_{eq}$。

其中。

$R_{eq} = \frac{(X_1 R_2 + X_2 R_1) (X_1 + X_2) + (R_1 R_2 - X_1 X_2) (R_1 + R_2)}{(R_1 + R_2)^2 + (X_1 + X_2)^2}$。

$X_{eq} = \frac{(X_1 R_2 + X_2 R_1) (R_1 + R_2) - (R_1 R_2 - X_1 X_2) (X_1 + X_2)}{(R_1 + R_2)^2 + (X_1 + X_2)^2}$。

## 測量

當測量電路元件的阻抗時，必需先了解測量值與真實值之間可能會出現的差別。這是因為測量儀器本身的殘餘阻抗和測量的準確度問題。給定已知阻抗真實值的元件，然後比較其測量值與真實值，就可以知道這測量方法的優劣。

測量阻抗的方法有很多種，例如，電橋法、諧振法、電壓-電流法、阻抗頻譜法等等。每一種方法都有其優點和缺點。測量者可以選擇最適合的方法。

### 電橋法

<image>

交流電橋貌似惠斯登橋，可以用來測量阻抗。將交流電源連接於交流電橋兩端，電橋的四個元件的阻抗分別為 $Z_1$，$Z_2$，$Z_3$，$Z_x$。在BD兩點之間的偵測器可以是耳機或交流檢流器。當電橋達成平衡狀態時，BD兩點之間的電壓為零，交流檢流器測量出的電流也會為零，未知元件與另外三個元件之間關於阻抗的關係為

$Z_x = Z_2 Z_3/Z_1$。

以相量表示。

$Z_x =| Z_x|\angle \theta_x=|Z_2 Z_3/Z_1|\angle (\theta_2+\theta_3-\theta_1)$。

這方法歷史悠久，很容易製作成品儀器，費用低廉，準確率高；但是，不能夠自動化，必須手工調整已知阻抗來達成平衡，而且電橋的測量頻域比較狹窄。

### 諧振法

<image>

諧振法依賴RLC串聯電路在共振狀況的物理行為來測量元件的阻抗。這方法使用到品質因子（Q factor） $Q$ 的概念。一個RLC串聯電路的品質因子是其共振頻率與頻寬的比率。這比率又可以證明為等於其電容器或電感器的電抗與電阻的比率。所以，使用測Q計（Q meter）測量一電路元件所得到的 $Q$ 值，等於這電路元件的電抗除以電路的電阻。

施加正弦電壓源於電路。設定測試的頻率為 $\omega$。阻抗測試分為兩個步驟：

- 調整可調電容器的電容 $C$，使得RLC電路進入共振狀況。用測Q計測量電容器的品質因子 $Q$。
- 如右圖所示，將阻抗為 $Z_x$ 的被測元件串聯於RLC電路，調整可調電容器的電容 $C'$，使得電路進入共振狀況。用測Q計測量電容器的品質因子 $Q'$。

對於第一個共振狀況，可調電容器的電抗 $X_{C}$ 與電感器的電抗 $X_L$ 之間的關係為

$X_{C}+X_L=0$。

所以。

$\frac{1}{\omega C} =\omega L$。

從前面關於品質因子的論述，可以寫出

$Q=\frac{|X_{C}|}{R}=\frac{1}{\omega C R} =\frac{\omega L}{R}$。

對於第二個共振狀況，被測元件的電抗 $X_X$ 為

$X_{C'}+X_X+X_L=0$。

所以，被測元件的電抗為

$X_X = \frac{1}{\omega C'}-\omega L= \frac{1}{\omega C'}-\frac{1}{\omega C} =\frac{C-C'}{\omega CC'}$。

品質因子為

$Q'=\frac{|X_{C'}|}{R_X+R}=\frac{1}{\omega C'(R_X+R)}$。

所以，被測元件的電阻為

$R_X=\frac{1}{\omega C'Q'}-\frac{1}{\omega CQ}$。

被測元件的阻抗為

$Z_X=R_X+jX_X=\left(\frac{1}{\omega C'Q'}-\frac{1}{\omega CQ}\right)+ j\left( \frac{1}{\omega C'}-\frac{1}{\omega C}\right)$。

這方法可以用於測量高品質因子的元件。但是，必需手工調整來達成共振。

## 參閱

- 阻抗匹配
- 阻抗心動描記術（impedance cardiography）
- 阻抗電橋（impedance bridging）
- 特性阻抗（characteristic impedance）
- 負阻抗變換器（impedance bridging）
- 機械阻抗（Mechanical impedance）

導抗

實數｜虛數｜複數｜單位

導性｜電導（G）｜電納（B）｜導納（Y）｜西門子（S）

抗性｜電阻（R）｜電抗（X）｜阻抗（Z）｜歐姆（Ω）

## 外部連結

- 喬治亞州州立大學（Georgia State University）線上物理網頁：阻抗