幾何光學

幾何光學是利用幾何學研究光學的學術方法。幾何光學有幾個基本原理：

- 在均勻介質中，光沿直線傳播。
- 光的反射定律。
- 光的折射定律。
- 光程可逆性原理。

由於光本身就是從原子、分子內發出的高頻電磁場，因此上述原理都可以通過電動力學中的電磁場理論導出。

## 直線傳播

在均一介質中，光是沿直線傳播的。根據光的此種特性，可以把光應用於瞄準、測距等許多領域。因為光是直射的，所以會有影子產生。根據這一原理，古代中國人發明了日晷用來計時。

當光線經過細縫隙或小孔時，會發生衍射現象，直線傳播原理不適用。

在不同介質的界面，光會發生反射或折射。

## 反射

反射分為兩種，漫反射和鏡面反射。光線照射到布，牆等表面上粗糙的物體上，反射到各個方向上，這種反射是漫反射。光線照射到平面鏡等光滑水平表面上，則按某一方向上反射，稱為鏡面反射。在反射中，入射角和反射角相對。入射角的定義為入射光線和界面法線的夾角；反射角為反射光線和界面法線的夾角。

鏡面分為兩種，平面鏡和曲面鏡。平面鏡，顧名思義其反射面為水平面，從同一方向入射的平行光將沿著同一方向平行反射回去。曲面鏡，其表面為曲面，又分為兩種。一種為凹面鏡，另一種為凸面鏡。凹面鏡可以匯聚光線，而物件與凹面鏡的距離及與凹面鏡焦距之間的關係，可以形成不同大小的影像；而凸面鏡則發散光線，只會產生縮小的反影。在生活中，太陽能熱水器運用的就是凹面鏡；而化妝用的放大鏡，是在凹面鏡上再加上凸透鏡，將面部放大，使化粧更容易。此外，把不規則的球面鏡組合在一起，就可以得到哈哈鏡。

在生活，反射被廣泛應用。電影幕布應用的就是漫反射的原理；而日常生活中的鏡子，運用的則是鏡面反射。在現代光學中，鏡面反射仍然被廣泛應用於雷射共振腔、光開關等諸多領域。

## 折射

- 入射角
- 反射角
- 折射角
- 全內反射
- 布儒斯特角

## 利用馬克士威方程組推導幾何光學的三個原理

由於光波是電磁輻射，故一切光必須滿足馬克士威方程組與伴隨的邊界條件，其中一條邊界條件為，在邊界的臨近區域，電場平行於邊界的分量必須具有連續性。假設邊界為xOy平面，則在邊界。

$E_{||,i}(x,y,0)+E_{||,r}(x,y,0)=E_{||,t}(x,y,0)$。

其中，$E_{||,i}$、$E_{||,r}$、$E_{||,t}$分別為在入射波、反射波、折射波（透射波）的電場平行於邊界的分量。

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假設入射波是頻率為$\omega$的單色平面波，則為了在任意時間滿足邊界條件，反射波、折射波的頻率必定為$\omega$。設定$E_{||,i}$、$E_{||,r}$、$E_{||,t}$的形式為

$E_{||,i}=E_{||,i0}\ e^{i\mathbf{k}_i\cdot\mathbf{r} -\omega t}$。

$E_{||,r}=E_{||,r0}\ e^{i\mathbf{k}_r\cdot\mathbf{r} -\omega t }$。

$E_{||,t}=E_{||,t0}\ e^{i\mathbf{k}_t\cdot\mathbf{r} -\omega t }$。

其中，$\mathbf{k}_i$、$\mathbf{k}_r$、$\mathbf{k}_t$分別是入射波、反射波、折射波的波向量，$E_{||,i0}$、$E_{||,r0}$、$E_{||,t0}$分別是入射波、反射波、折射波的波幅（可能是複值）。

為了在邊界任意位置$(x,y,0)$滿足邊界條件，相位變化必須一樣，必須設定

$k_{ix}x+k_{iy}y=k_{rx}x+k_{ry}y=k_{tx}x+k_{ty}y$。

因此。

$k_{ix}=k_{rx}=k_{tx}$。

$k_{iy}=k_{ry}=k_{ty}$。

不失一般性，假設$k_{iy}=k_{ry}=k_{ty}=0$，則立刻可以推斷第一原理成立。入射波、反射波、折射波的波向量，與界面的法線共同包含於入射平面。

從波向量x分量的相等式，可以得到

$k_{i}\sin\theta_i=k_{r}\sin\theta_r$。

而在同一介質裏，$k_{i}=k_{r}$。所以，第二原理成立，入射角$\theta_i$等於反射角$\theta_r$。

應用折射率$n$的定義式：

$n\ \stackrel{def}{=}\ \frac{c}{v}=\frac{ck}{\omega}$。

可以推斷第三原理成立：

$n_i\sin\theta_i=n_t\sin\theta_t$。

其中，$n_t$、$\theta_t$分別是折射介質的折射率與折射角。

從入射波、反射波、折射波之間的相位關係，就可以推導出幾何光學的三條基本原理。

## 光程可逆性原理

一束光線從一點出發經過無論多少次反射和折射，如在最後遇到與光束成直角的界面反射，光束必然準確地循原路返回出發點。

## 高斯光學

幾何光學中研究和討論光學系統理想成像性質的分支稱為高斯光學，或稱近軸光學。它通常只討論對某一軸線(即光軸)具有旋轉對稱性的光學系統。如果從物點發出的所有光線經光學系統以後都交於同一點，則稱此點是物點的完善像。

## 光學影像

如果物點在垂軸平面上移動時，其完善像點也在垂軸平面上作線性移動，則此光學系統成像是理想的。可以證明，非常靠近光軸的細小物體，其每個物點都以很細的、很靠近光軸的單色光束被光學系統成像時，像是完善的。這表明，任何實際的光學系統(包括單個球面、單個透鏡)的近軸區都具有理想成像的性質。

為便於一般地了解光學系統的成像性質和規律，在研究近軸區成像規律的基礎上建立起被稱為理想光學系統的光學模型。這個模型完全撇開具體的光學系統結構，僅以幾對基本點的位置以及一對基本量的大小來表徵。

根據基本點的性質能方便地導出成像公式，從而可以了解任意位置的物體被此模型成像時，像的位置、大小、正倒和虛實等各種成像特性和規律。反過來也可以根據成像要求求得相應的光學模型。任何具體的光學系統都能與一個等效模型相對應，對於不同的系統，模型的差別僅在於基本點位置和焦距大小有所不同而已。

高斯光學的理論是進行光學系統的整體分析和計算有關光學參量的必要基礎。

利用光學系統的近軸區可以獲得完善成像，但沒有什麼實用價值。因為近軸區只有很小的孔徑(即成像光束的孔徑角)和很小的視場(即成像範圍)，而光學系統的功能，包括對物體細節的分辨能力、對光能量的傳遞能力以及傳遞光學資訊的多少等，正好是被這兩個因素所決定的。要使光學系統有良好的功能，其孔徑和視場要遠比近軸區所限定的為大。

當光學系統的孔徑和視場超出近軸區時，成像質量會逐漸下降。這是因為自然點發出的光束中，遠離近軸區的那些光線在系統中的傳播光路偏離理想途徑，而不再相交於高斯像點(即理想像點)之故。這時，一點的像不再是一個點，而是一個模糊的彌散斑；物平面的像不再是一個平面，而是一個曲面，而且像相對於物還失去了相似性。所有這些成像缺陷，稱為像差。

## 有關光學系統的一些要求

一個光學系統須滿足一系列要求，包括：放大率、物像共軛距、轉像和光軸轉折等高斯光學要求；孔徑和視場等性能要求，以及校正像差和成像質量等方面的要求。這些要求都需要在設計時予以考慮和滿足。因此，光學系統設計工作應包括：對光學系統進行整體安排，並計算和確定系統或系統的各個組成部分的有關高斯光學參量和性能參量；選取或確定系統或系統各組成部分的結構形式並計算其初始結構參量；校正和平衡像差；評價像質。

像差與光學系統結構參量(如透鏡厚度、透鏡表面曲率半徑等)之間的關係極其複雜，不可能以具體的函數式表達出來，因而無法採用聯立方程之類的辦法直接由像差要求計算出系統的精確結構參量。現在能做到的是求得滿足初級像差要求的解。

初級像差是實際像差的近似表示，僅在孔徑和視場較小時能反映實際的像差情況，因此，按初級像差要求求得的解只是初始的結構參量，需對其進行修改才能達到像差的進一步校正和平衡，在這一過程中，傳統的做法是根據追跡光線得到的像差數據及其在系統各面上的分布情況，進行分析、判斷，找出對像差影響大的參量，加以修改，然後再追跡光線求出新的像差數據加以訐價。如此反覆修改，直到把應該考慮的各種像差都校正和平衡到符合要求為止。這是一個極其繁複和費時很多的過程。

## 參考文獻

- 莫里茲·馮·羅爾《光學儀器成像的幾何原理》Moritz von Rohr, Geometrical Investigation of the Formation of Images in Optical Instruments, H.M.STATIONARY OFFICE, LONDON, 1920

## 外部連結

- 眼中的光線和視野里的開朗風景 是手稿，阿拉伯文，幾何光學，歷史可追溯至16世紀的。