斯里尼瓦瑟·拉馬努金

斯里尼瓦瑟·拉馬努金·艾揚加爾 (1887年12月22日 – 1920年4月26日) 是一位活躍於20世紀初的印度數學家。他在數學分析、數論、無窮級數以及連分數等領域做出了實質性的貢獻，甚至解決了當時被認為無法解決的數學難題。

拉馬努金最初是在相對孤立的環境中獨自開展數學研究的。根據漢斯·艾森克的說法，「他試圖讓當時的頂尖職業數學家對他的工作產生興趣，但大多以失敗告終。他向人們展示的內容太新奇、太陌生，而且呈現方式與眾不同；他們幾乎不予理睬。」為了尋找能夠更好地理解其工作的數學家，他在1913年開始與劍橋大學的英國數學家G·H·哈代進行通信。哈代認出了拉馬努金工作的非凡之處，並安排他前往劍橋。在哈代的筆記中，他評論說拉馬努金提出了突破性的新定理，其中一些「讓我完全無法理解；我以前從未見過哪怕有絲毫相似的東西」，還有一些則是當時剛剛被證明但極為高深的數學結果。

在其一生中，拉馬努金獨立彙編了近3,900個數學結果（主要為恆等式和方程）。其中的許多成果是完全新穎的；他那些極具原創性且非常規的發現，例如拉馬努金素數、拉馬努金θ函數、整數分拆公式以及偽θ函數，開闢了全新的研究領域並激發了後世的大量研究。在他成千上萬的公式中，絕大多數已被證明是正確的。科學期刊《拉馬努金期刊》的創立，正是為了發表受拉馬努金影響的所有數學領域的著作；而他那些記錄了已發表和未發表成果的筆記本，在他死後的幾十年裡一直被深入分析和研究，成為新數學思想的源泉。直到2012年，研究人員仍在不斷發現，他筆記中針對某些發現所寫的關於「簡單屬性」和「類似輸出」的寥寥數語，其本身竟然就是深刻而微妙的數論結果，而這些結果在拉馬努金去世近一個世紀後才被人們察覺。他成為了皇家學會歷史上最年輕的會士之一，也是第二位入選的印度人；同時，他也是第一位當選劍橋大學三一學院會士的印度人。

1919年，由於健康狀況惡化——現在人們認為這是由於肝阿米巴病（多年前痢疾發作留下的併發症）——拉馬努金被迫返回印度，並於1920年去世，年僅32歲。他在1920年1月寫給哈代的最後一批信件表明，他當時仍在不斷構思新的數學思想和定理。他的「拉馬努金失落的筆記本」中記錄了他生命最後一年的新發現，當這本筆記在1976年被重新發現時，在數學界引起了極大的轟動。

## 早年生活

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拉馬努金（字面意思是「印度神祇羅摩的弟弟」）於1887年12月22日出生在英屬印度統治下的泰米爾納德邦埃羅德的一個泰米爾婆羅門伊延加家庭中。他的父親庫普斯瓦米·斯里尼瓦薩·伊延加（Kuppuswamy Srinivasa Iyengar）最初來自坦賈武爾縣，是一家紗麗店的職員。他的母親科瑪拉塔瑪爾（Komalatammal）是一位家庭主婦，並在當地的一座神廟裡唱歌。他們住在貢伯戈訥姆鎮薩蘭加帕尼神廟街（Sarangapani Sannidhi Street）的一棟傳統小房子裡。這座家庭住宅後來變成了一座博物館。在拉馬努金一歲半時，他的母親生下了弟弟薩達戈潘（Sadagopan），但僅僅不到三個月後弟弟就夭折了。1889年12月，拉馬努金感染了天花，但幸運地活了下來。隨後他與母親搬到了靠近馬德拉斯（今欽奈）的甘吉布勒姆的外祖父母家中。他的母親在1891年和1894年又生了兩個孩子，但這兩個孩子都在一歲前就不幸夭折了。

1892年10月1日，拉馬努金在當地學校註冊入學。在他的外祖父失去了在甘吉布勒姆的法院文書工作後，拉馬努金和母親搬回了貢伯戈訥姆，並在那裡被送進了康加延（Kangayan）小學。他的祖父去世後，他再次被送回外祖父母身邊，當時他們住在馬德拉斯。拉馬努金不喜歡馬德拉斯的學校，試圖逃學。他的家人甚至請來了當地的警察來確保他乖乖上學。不到半年後，拉馬努金又回到了貢伯戈訥姆。

由於拉馬努金的父親大部分時間都在工作，拉馬努金主要由母親照顧，母子倆關係非常親密。他從母親那裡學習了傳統習俗和往世書，學習唱誦宗教歌曲，去神廟參加法會，並保持著特定的飲食習慣——這些都是婆羅門文化的重要組成部分。在康加延小學，拉馬努金表現優異。1897年11月，就在他即將滿10歲之際，他以全區第一的成績通過了英語、泰米爾語、地理和算術的初級考試。同年，拉馬努金進入了鎮立高等中學，這是他第一次接觸正規的數學教育。

作為一名11歲的神童，他的數學水平便已超越了當時租住在他們家的兩名大學生。後來，有人借給他一本由S·L·羅尼編寫的高級三角學著作。他在13歲時就完全掌握了這本書的內容，並獨立發現了一些複雜的定理。到了14歲，他在學校的學術生涯中不斷獲得優異證書和學術獎項，甚至還協助學校處理後勤工作，為全校約1,200名需求各異的學生分配僅有的35名教師。他在規定時間的一半內就能完成數學考試，並展現出對幾何學和無窮級數的非凡熟練度。1902年，拉馬努金學習了如何求解三次方程。之後，他又自行研究出求解四次方程的方法。1903年，他嘗試去求解五次方程，當時他並不知道這個方程是無法用根式求解的。

1903年，16歲的拉馬努金從朋友那裡借到了一本圖書館借出的書——G·S·卡爾所著的《純粹數學與應用數學基本結果概要》，書中匯集了5,000多個定理。據說拉馬努金對這本書的內容進行了極其細緻的研究。第二年，拉馬努金獨立研究了伯努利數，並將歐拉-馬斯刻若尼常數精確計算到了小數點後15位。當時的同齡人評價他說，他們「很少能理解他」，並且對他「充滿敬畏之情」。

1904年從鎮立高等中學畢業時，拉馬努金被校長克里什納斯瓦米·艾耶（Krishnaswami Iyer）授予了K. Ranganatha Rao數學獎。艾耶介紹拉馬努金是一位超越滿分標準的傑出學生。他獲得了一份獎學金，得以進入貢伯戈訥姆政府藝術學院學習，但他把所有的心思都撲在了數學上，無暇顧及其他科目，導致多門功課不及格，最終失去了獎學金。1905年8月，拉馬努金離家出走，前往維沙卡帕特南，並在拉賈蒙德里 逗留了大約一個月。後來他進入馬德拉斯的帕恰亞帕學院就讀。在那裡，他在數學考試中及格了，但他只挑自己感興趣的題目做，將其餘的空著；而在英語、生理學和梵文等其他科目上，他的成績依然很差。拉馬努金在1906年12月的皇家文藝學會院士（Fellow of Arts）考試中落榜，一年後再次落榜。由於沒能拿到學位，他輟學並繼續獨立進行數學研究，在此期間他生活極度貧困，甚至常常食不果腹。

1910年，23歲的拉馬努金會見了印度數學會的創始人V·拉馬斯瓦米·艾耶。在這次會面之後，拉馬努金開始在馬德拉斯的數學界嶄露頭角，並最終獲得了馬德拉斯大學研究員的職位。

## 成年後在印度的生活

1909年7月14日，拉馬努金與賈納基（Janakiammal；1899年3月21日－1994年4月13日）結為夫妻，她是一年前由拉馬努金的母親挑選的，結婚時她才剛滿十歲。在當時的印度，安排年幼女孩出嫁是極為平常的習俗。賈納基來自拉金德拉姆（Rajendram），一個靠近馬魯杜爾（Marudur，卡魯爾縣）火車站的小村莊。拉馬努金的父親並沒有出席這場婚禮。按照當時的傳統，賈納基在婚後頭三年繼續住在娘家，直到青春期才離開。1912年，她和拉馬努金的母親一起來到了馬德拉斯，與拉馬努金團聚。

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婚後不久，拉馬努金患上了睪丸鞘膜積液。這種病症可以通過一次常規的外科手術抽出陰囊內的積液來治癒，但他的家庭無力承擔這筆手術費。到了1910年1月，一位好心的醫生自願免費為他進行了手術。

手術恢復後，拉馬努金開始四處求職。他寄宿在朋友家中，在馬德拉斯挨家挨戶地尋找一份文書工作。為了維持生計，他給準備參加院士考試（Fellow of Arts）的總統學院（Presidency College）的學生做輔導老師。

1910年底，拉馬努金再次病倒。他十分擔心自己的健康狀況，並囑託他的朋友R·拉達克里希納·艾耶（R. Radakrishna Iyer）：「把（我的筆記本）交給辛加拉維盧·穆達利亞爾教授（Singaravelu Mudaliar，帕恰亞帕學院的數學教授）或者馬德拉斯基督教學院的英國教授愛德華·B·羅斯（Edward B. Ross）。」當拉馬努金病癒並從艾耶那裡拿回筆記本後，他從貢伯戈訥姆乘火車前往法國控制下的城市維盧普拉姆。1912年，拉馬努金帶著妻子和母親搬到了馬德拉斯喬治鎮的賽瓦·穆塔伊阿·穆達利街（Saiva Muthaiah Mudali street）的一所房子裡，並在那裡住了幾個月。1913年5月，在獲得了馬德拉斯大學的一個研究職位後，拉馬努金舉家搬遷到了特里普利卡納。

### 追求數學事業

1910年，拉馬努金結識了擔任副稅務官的印度數學會創始人V·拉馬斯瓦米·艾耶。為了在艾耶所在的稅務部門謀得一份差事，拉馬努金向他展示了自己的數學筆記。正如艾耶後來回憶的那樣：

我對其包含的非凡數學成果留下了深刻印象。我實在不忍心讓他的才華被稅務部門底層的一份微末差事所埋沒。

艾耶帶著推薦信，把拉馬努金引薦給了他在馬德拉斯的數學家朋友們。其中一些人在看過他的工作後，又寫了推薦信，將他引薦給了內洛爾的稅務局長兼印度數學會秘書R·拉馬錢德拉·拉奧。拉奧對拉馬努金的研究印象深刻，但他起初懷疑這是否真的是拉馬努金自己的作品。拉馬努金提到了他與著名的孟買數學家薩爾達尼亞（Saldhana）教授的通信，薩爾達尼亞在信中坦言自己無法完全理解拉馬努金的工作，但也得出了他絕非騙子的結論。拉馬努金的朋友C·V·拉賈戈帕拉查理（C. V. Rajagopalachari）出面試圖打消拉奧對拉馬努金學術誠信的疑慮。拉奧同意再給他一次機會，當聽完拉馬努金對橢圓積分、高斯超幾何級數以及他自己關於發散級數的理論的闡述後，拉奧表示他徹底被拉馬努金的才華折服了。當拉奧問他想要什麼時，拉馬努金回答說他需要工作和經濟支持。拉奧欣然答應，並將他送往馬德拉斯。在拉奧的資助下，拉馬努金繼續著他的研究。在艾耶的幫助下，拉馬努金的論文最終在《印度數學會期刊》（Journal of the Indian Mathematical Society）上發表。

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他在該期刊上提出的首批問題之一是求解以下表達式的值：

$$\sqrt{1+2\sqrt{1+3 \sqrt{1+\cdots}}}$$

他等了足足六個月，經過了三期期刊的出版，卻依然無人能給出解答。最終，拉馬努金親自為這個問題提供了一個不完整 的解答。在他的第一本筆記的第105頁上，他寫下了一個能夠用來解決無限嵌套根式問題的方程：

$$x+n+a = \sqrt{ax+(n+a)^2 +x\sqrt{a(x+n)+(n+a)^2+(x+n) \sqrt{\cdots}}}$$

利用這個方程，之前那個問題的答案其實非常簡單：只需要將 $x = 2$、$n = 1$、$a = 0$ 代入，即可得出答案為 3。拉馬努金為該期刊撰寫的第一篇正式論文是關於伯努利數性質的探討。他發現的一個重要性質是，伯努利數 分數的同分母總是能被 6 整除。他還發明了一種基於前項伯努利數推導 $B_n$ 的計算方法。其中一種方法如下：

不難發現，如果 $n$ 為偶數且不等於 0，那麼：

- $B_n$ 是一個分數，且將 $\frac{B_n}{n}$ 化為最簡分數後，其分子必然是一個素數。
- $B_n$ 的分母必定包含且僅包含一次因子 2 和 3。
- $2^n(2^n - 1)\frac{B_n}{n}$ 是一個整數，因此 $2(2^n - 1)B_n$ 必然是一個「奇」整數。

在這篇長達17頁、題為《伯努利數的一些性質》（Some Properties of Bernoulli's Numbers, 1911）的論文中，拉馬努金給出了三個證明、兩個推論和三個猜想。然而，他初期的寫作存在很多瑕疵。正如期刊編輯 M·T·納拉亞納·伊延加（M. T. Narayana Iyengar）指出的那樣：

拉馬努金先生的方法過於晦澀新奇，其表達方式缺乏清晰度與嚴謹性，普通的數學讀者往往不習慣於這種思維跨度，很難跟上他的思路。

後來，拉馬努金又撰寫了另一篇論文，並繼續在期刊上提出問題。1912年初，他在馬德拉斯主計長辦公室找到了一份臨時工作，月薪20盧比，但這份工作只維持了幾個星期。在那份工作快要結束時，他申請了馬德拉斯港信託基金局首席會計師手下的一個職位。

在1912年2月9日的一封信中，拉馬努金寫道：

閣下：

獲悉貴處尚有職員空缺，在下特此冒昧求職。在下已通過大學入學考試，並修讀至院士資格（F.A.）程度，然因種種不虞之境遇，未能繼續深造。儘管如此，在下一直將全部光陰傾注於數學研究並不斷拓展該領域。在下深信，若蒙錄用，定能勝任所託。故懇請閣下開恩，賜予此職為盼。

隨信附上的是總統學院數學教授E·W·米德爾馬斯特的一封推薦信。他在信中評價拉馬努金是「一個在數學方面具有極其罕見天賦的年輕人」。遞交申請三周後的3月1日，拉馬努金得知自己已被錄用為第三級第四等會計文員，月薪30盧比。在辦公室里，拉馬努金總能輕鬆迅速地完成分配給他的工作，然後把剩下的空閒時間全部用來進行數學研究。他的頂頭上司、弗朗西斯·斯普林爵士，以及身兼印度數學會財務主管的同事S·納拉亞納·伊耶（S. Narayana Iyer），都非常鼓勵他在數學領域的探索。

### 聯繫英國數學家

1913年春天，納拉亞納·伊耶、拉馬錢德拉·拉奧和E·W·米德爾馬斯特試圖將拉馬努金的研究成果引薦給英國的數學界。倫敦大學學院的M·J·M·希爾在看過後評論說，拉馬努金的論文漏洞百出。他認為雖然拉馬努金「對數學有品味，也有一定能力」，但他缺乏被正統數學界接納所必需的教育背景和理論基礎。儘管希爾沒有主動提出收拉馬努金為徒，但他對拉馬努金的工作給出了詳盡且嚴肅的專業建議。在朋友們的幫助下，拉馬努金起草了寄給劍橋大學頂尖數學家的信件。

前兩位收到信的教授——H·F·貝克和E·W·霍布森——連看都沒看，就把拉馬努金的論文原封不動地退了回去。1913年1月16日，拉馬努金寫信給G·H·哈代。他之所以選擇哈代，是因為他曾在研究《無窮大之階》（Orders of Infinity, 1910）一書時了解到這位學者。對於一封來自籍籍無名的印度數學家、足足寫了九頁紙的數學信件，哈代起初甚至懷疑這可能是一場惡作劇。哈代認出了信中的部分公式，但另一些公式卻「令人難以置信」。讓哈代感到驚艷的定理之一位於第三頁的底部（對於 $0 < a < b + \frac{1}{2}$ 成立）：

$$\int\limits_0^\infty \frac{1+\dfrac{x^2}{(b+1)^2}}{1+\dfrac{x^2}{a^2}} \times\frac{1+\dfrac{x^2}{(b+2)^2}}{1+\dfrac{x^2}{(a+1)^2}}\times\cdots\,dx = \frac{\sqrt \pi}{2} \times\frac{\Gamma\left(a+\frac12\right) \Gamma(b+1) \Gamma(b-a+1)}{\Gamma(a)\Gamma\left(b+\frac12\right)\Gamma\left(b-a + \frac12 \right)}.$$

拉馬努金關於無窮級數的其他研究結果同樣令哈代印象深刻：

$$1 - 5\left(\frac12\right)^3 + 9\left(\frac{1\times3}{2\times4}\right)^3 - 13\left(\frac{1\times3\times5}{2\times4\times6}\right)^3 + \cdots = \frac{2}{\pi}$$

$$1 + 9\left(\frac14\right)^4 + 17\left(\frac{1\times5}{4\times8}\right)^4 + 25\left(\frac{1\times5\times9}{4\times8\times12}\right)^4 + \cdots = \frac{2\sqrt 2}{\sqrt\pi\,\Gamma^2\left(\frac34\right)}.$$

第一個結果實際上在1859年就已經被古斯塔夫·康拉德·鮑爾推導出來了。但第二個結果對哈代來說完全是全新的，它源自一類被稱為超幾何級數的函數，而歐拉和高斯曾率先探索過該領域。哈代覺得這些結果比高斯在積分領域的工作「更令人著迷」。當看到手稿最後一頁羅傑斯-拉馬努金連分數的定理時，哈代坦言這些定理「讓我完全無法理解；我以前從未見過哪怕有絲毫相似的東西」，並且認為這些定理「必然是正確的，因為如果它們不是真的，那絕不可能有人憑空想像得出來」。哈代請他的同事J·E·李特爾伍德也來看看這些手稿。李特爾伍德同樣被拉馬努金的天才所折服。在與李特爾伍德討論過後，哈代得出結論：這封信「無疑是我收到過的最非同凡響的信件」，而拉馬努金是「一位擁有最高水準的數學家，一個極具原創力和力量的非凡人物」。另一位同事埃里克·哈羅德·內維爾後來評論道：「當時身處劍橋數學圈的任何人都無法忘記這封信所帶來的震撼……（裡面的定理）甚至超出了世界上任何最高難度數學考試的範疇。」

1913年2月8日，哈代給拉馬努金回了一封信，表達了對他的工作的濃厚興趣，並補充道：「目前最要緊的，是我必須看到你某些斷言的具體證明過程。」在哈代的信件於2月第三周抵達馬德拉斯之前，哈代就已經聯繫了印度辦事處，開始為拉馬努金的劍橋之行鋪路。印度學生諮詢委員會秘書亞瑟·戴維斯（Arthur Davies）親自會見拉馬努金，商討出國事宜。然而，受其正統婆羅門教養的影響，拉馬努金拒絕離開祖國「踏上異鄉的土地」，他的父母也出於同樣的禁忌堅決反對。與此同時，他給哈代寄去了一封塞滿定理的回信，信中寫道：「我在您身上找到了一個朋友，一個能對我的心血報以同理心的人。」

為了增加哈代推薦的分量，曾在劍橋大學三一學院擔任數學講師的吉爾伯特·沃克在查閱了拉馬努金的研究後大為驚嘆，極力敦促這位年輕人一定要去劍橋深造。在沃克的支持下，某工程學院的數學教授B·哈努曼塔·拉奧（B. Hanumantha Rao）邀請拉馬努金的同事納拉亞納·伊耶參加數學研究委員會的會議，專門討論「我們能為S·拉馬努金做些什麼」。委員會最終同意向拉馬努金提供一項為期兩年、每月75盧比的馬德拉斯大學研究獎學金。

作為一名研究生，拉馬努金繼續向《印度數學會期刊》提交論文。有一次，伊耶向該期刊提交了拉馬努金關於級數求和的一些定理，並特別註明：「以下定理出自馬德拉斯大學的數學系學生S·拉馬努金之手。」後來到了11月，拉馬努金多年前結識的英國教授，馬德拉斯基督教學院的愛德華·伯恩斯·羅斯，有一天非常興奮地走進教室，問他的學生們：「拉馬努金懂波蘭語嗎？」原來在拉馬努金的一篇論文中，他竟然超前預判了一位波蘭數學家的研究成果，而那位波蘭學者的論文那天剛好寄到。在他的季度報告中，拉馬努金推導出許多定理，使得定積分的求解變得更加簡單。基於朱利奧·弗魯拉尼（Giuliano Frullani）1821年的積分定理，拉馬努金將其推廣，創造出了一種能夠用來評估以往被認為無法求解的積分公式。

在拉馬努金拒絕前往英國後，他與哈代的通信一度陷入了僵局。哈代不得不求助於當時正在馬德拉斯講學的同事E·H·內維爾，希望他能去指導並說服拉馬努金來英國。當內維爾詢問拉馬努金為何不願去劍橋時，拉馬努金顯然已經改變了主意。內維爾說：「其實根本不需要我去說服他，他父母的阻力已經被排除了。」顯然，拉馬努金的母親做了一個非常清晰的夢。在夢中，她看到拉馬努金被一群歐洲人包圍著，而他們家族的保護神，納馬吉里神，嚴厲地命令她「不許再阻擋她兒子完成他人生命運的道路」。1914年3月17日，拉馬努金登船前往英國，留下妻子和父母在印度等待。

## 在英國的生活

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拉馬努金於1914年3月17日乘坐「內瓦薩號（S.S. Nevasa）」離開馬德拉斯。4月14日抵達倫敦時，內維爾開著車在港口等他。四天後，內維爾把他帶到了劍橋切斯特頓路（Chesterton Road）的家裡。拉馬努金隨即開始了與李特爾伍德和哈代的合作。六周後，拉馬努金搬出了內維爾的家，住進了威維爾庭院，距離哈代的房間只有五分鐘的步行路程。

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哈代和李特爾伍德開始審閱拉馬努金的筆記本。在最初的兩封信中，哈代就已經收到了拉馬努金的120個定理，但筆記本里藏著更多的研究成果。哈代發現其中有些是錯的，有些是別人已經發現過的，而剩下的則是徹頭徹尾的全新突破。拉馬努金給這兩位數學家留下了極為深刻的印象。李特爾伍德評價道：「我相信他至少擁有雅可比那樣的天賦，」而哈代則斷言「我只能拿他和歐拉或雅可比相提並論。」

拉馬努金在劍橋度過了近五年的時光，他與哈代和李特爾伍德緊密合作，並在此期間發表了部分研究成果。哈代與拉馬努金的性格截然不同。他們的合作是一場不同文化、信仰和工作方式的激烈碰撞。在過去的幾十年裡，數學基礎受到了質疑，學界普遍認識到了數學嚴謹性證明的必要性。哈代是一個無神論者，也是數學論證和嚴謹性的堅定擁護者；而拉馬努金則是一個極其虔誠的信徒，極度依賴直覺和靈感。哈代竭盡全力想要填補拉馬努金正統教育上的空白，並試圖指導他理解為了支撐結論而進行正式數學證明的必要性，同時還要小心翼翼地不去扼殺他的靈感——這種平衡對雙方來說都非常痛苦且艱難。

拉馬努金於1916年3月憑藉他在高合成數方面的工作獲得了「研究型文學學士」（Bachelor of Arts by Research）學位 （這正是後來博士學位PhD的前身），該研究的第一部分已於前一年發表在《倫敦數學會會刊》上。這篇論文長達50多頁，證明了這類數字的各種複雜屬性。儘管哈代本人並不喜歡這個研究領域，但他還是不得不感嘆，雖然拉馬努金涉足的是數學的相對冷門領域，但他在這裡展現出了「對不等式代數的驚人掌控力」。

1917年12月6日，拉馬努金入選倫敦數學會。1918年5月2日，他成功當選皇家學會會士，成為繼1841年阿達瑟爾·庫塞吉之後的第二位印度籍會士。年僅31歲的拉馬努金，成為了皇家學會歷史上最年輕的會士之一。他當選的理由是「在橢圓函數和數論領域的傑出研究」。1918年10月13日，他成為了首位當選劍橋大學三一學院會士的印度人。

## 疾病與離世

拉馬努金一生中飽受各種健康問題的折磨。在英國期間，他的病情進一步惡化；一方面是因為要在異國他鄉維持宗教規定的嚴格素食習慣極其困難，另一方面則是由於1914-1918年第一次世界大戰期間英國的物資配給制導致他營養不良，抵抗力下降。他被診斷出患有結核病以及嚴重的維生素缺乏症，並被迫住進療養院。在1917年底或1918年初，他甚至試圖在倫敦地鐵站跳軌自殺。蘇格蘭場以企圖自殺（當時這在英國是一項罪行）逮捕了他，但在哈代的緊急介入和斡旋下，他被釋放了。1919年，拉馬努金回到了馬德拉斯省的貢伯戈訥姆，並於次年去世，年僅32歲。他死後，他的哥哥蒂魯納拉亞南（Tirunarayanan）整理了他殘存的手寫筆記，裡面記滿了關於奇異模數、超幾何級數和連分數的數學公式。據他的遺孀賈納基·阿瑪爾回憶，在拉馬努金生命的最後幾天，儘管身體承受著巨大的痛苦，「他依然在堅持做數學題，在一張又一張紙上寫滿了密密麻麻的數字」。

拉馬努金去世後，賈納基·阿瑪爾搬到了孟買。1931年，她回到馬德拉斯並定居在特里普利卡納，靠著馬德拉斯大學的微薄撫恤金和做裁縫的收入度日。1950年，她收養了一個名叫W·納拉亞南（W. Narayanan）的男孩，這個孩子後來成為了印度國家銀行的一名高管，並建立了自己的家庭。在她晚年，拉馬努金曾經的雇主馬德拉斯港信託基金局為她提供了一份終生養老金；此外，印度國家科學院以及泰米爾納德邦、安得拉邦和西孟加拉邦等邦政府也紛紛向她伸出了援手。她一生都在珍視和緬懷拉馬努金，並積極投身於提升他公眾認可度的各項活動中；像喬治·安德魯斯（George Andrews）、布魯斯·C·伯恩特和貝拉·博洛巴什這樣傑出的數學家在訪問印度時，都必然會專程去拜訪她。她於1994年在特里普利卡納的家中安詳辭世。

1994年，醫學專家D·A·B·楊（D. A. B. Young）對拉馬努金的醫療記錄和症狀進行了詳細的分析報告，結論指出：他的所有醫學症狀——包括他過去的病情復發、發燒以及肝臟異常——都更吻合肝阿米巴病的表現，而非結核病。要知道，肝阿米巴病在當時的馬德拉斯是非常常見的傳染病，拉馬努金在離開印度前曾兩次感染痢疾。阿米巴痢疾如果不加以根治，病菌可以在體內潛伏數年之久，最終演變為肝阿米巴病，而當時對於這種併發症的診斷方法還不成熟。事實上，如果當時能被確診，阿米巴病是一種極具希望被徹底治癒的疾病；在拉馬努金離開英國的前後，那些在一戰中感染該病的英國士兵們，很多都得到了成功的救治。

## 性格與精神生活

有一次我在睡覺時，經歷了一種非同尋常的體驗。我仿佛看到了一面由鮮血匯聚而成的紅色幕布，我注視著它。突然，有一隻手開始在那面幕布上寫字，我立刻全神貫注地盯著看。那隻手寫下了一連串的橢圓積分公式，它們深深地印在了我的腦海中。我一醒來，就立刻把它們默寫在了紙上。

拉馬努金被描述為一個性格略顯內向安靜的人，一個舉止得體、充滿尊嚴感的人。在劍橋期間，他過著極其儉樸的生活。在早期的印度傳記作家筆下，拉馬努金是一個恪守教規的絕對正統的印度教徒。他將自己所有的才能都歸功於其家族神祇（Kuladevata）——納馬卡爾的納馬吉里神（也是偉大的神靈吉祥天女的化身）。他常在工作中尋求女神的啟示，並表示自己曾夢到象徵著女神伴侶——那羅辛訶的鮮血。後來，他甚至能在幻象中看到一卷卷寫滿複雜數學公式的捲軸在眼前展開。他常把一句話掛在嘴邊：「對我來說，一個公式如果不能代表神的某種意志，那它便毫無意義。」

然而，哈代則指出，拉馬努金曾向他表露，所有宗教在他看來都有著同等的真實性。哈代進一步認為，拉馬努金的宗教信仰被西方人浪漫化了，同時也被那些印度傳記作家誇大了——這裡的誇大指的是他在內心絕對的教條信仰，而非日常生活中的習俗表現。不過哈代也承認，拉馬努金在遵守嚴格素食主義方面確實是毫不妥協的。

類似地，在接受《前線 (美國電視節目)》採訪時，數學家伯恩特也直言：「許多人都在散布拉馬努金憑藉神秘力量獲得數學思維的流言，這完全是毫無根據的。其實，他在自己的三個筆記本里事無巨細地記錄下了每一個結果。」伯恩特進一步推測，拉馬努金之所以經常跳過演算過程，只是因為他買不起紙張來永久記錄這些步驟，所以只能在石板上進行大量的中間驗算，最後才把結論騰抄到紙上。

伯恩特還提到，賈納基在1984年曾透露，拉馬努金把絕大部分的時間都傾注在了數學上，他甚至都沒空去神廟朝拜。因為他沉迷於工作忘記進食，賈納基和婆婆經常不得不親自給他餵飯。那些關於他有著種種離奇神跡的傳說，大多是外人編造的。不過，他在宗教形式上的正統實踐是毫無爭議的。

## 數學成就

在數學界，直覺的洞察力和嚴謹的邏輯推導之間往往存在著微妙的鴻溝。也許是受到了哈代某種風格的感染（哈代極為擅長構建宏大框架，但對繁雜枯燥的計算卻不甚熱衷），拉馬努金提出了大量令人驚嘆的數學公式，供後人深入研究——而他自己往往沒有寫下證明過程。G·H·哈代曾感嘆，拉馬努金的發現蘊藏著異常豐富的寶藏，越是深入挖掘，越能發現其中別有洞天。作為他這些工作的衍生效應，無數全新的數學研究領域被開啟。在這些最不可思議的公式中，就包括關於π的無限級數，其中一個經典的例子如下：

$$\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt 2}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}.$$

這個結果建立在負基本判別式 $d = -4 \times 58 = -232$ 的基礎上，其類數為 $h(d) = 2$。進一步觀察，$26390 = 5 \times 7 \times 13 \times 58$ 並且 $16 \times 9801 = 396^2$，這與以下事實有著奇妙的關聯：

$$e^{\pi\sqrt{58}} = 396^4 - 104.000000177\dots.$$

這不禁讓人聯想到黑格納數，它的理想類群數為 1，同樣能夠生成這種精妙的公式。

拉馬努金的圓周率級數收斂速度極快，至今仍是當代電腦計算 $\pi$ 值最快演算法的核心基礎之一。只要提取級數的第一項，就能得到 $\pi$ 的近似值 $\frac{9801 \sqrt{2}}{4412}$，且精確到小數點後 6 位；如果提取前兩項，其精度更是能達到驚人的 14 位 （更多詳情可見更一般的拉馬努金-佐藤級數）。

拉馬努金最令人驚嘆的能力之一，是他非凡的解題直覺。關於這一點，有一則發生在他與馬哈拉諾比斯之間的著名軼事可以佐證：

「想像一下，你正走在一條兩邊排列著編號從 1 到 $n$ 的房子的街道上。如果存在這樣一座房子（編號為 $x$），它左邊所有房子的編號總和，剛好等於它右邊所有房子的編號總和。如果告訴你 $n$ 在 50 到 500 之間，那麼 $n$ 和 $x$ 到底是多少？」這是一個具有多個解的雙變量問題。拉馬努金只是稍作思索，就給出了一個巧妙的答案：他並沒有給出一個簡單的數字，而是直接給出了一個連分數！最不可思議的是，這個連分數直接包攬了這一整類問題的所有可能解。馬哈拉諾比斯感到非常驚訝，詢問他是怎麼做到的。拉馬努金淡淡地回答：「這很簡單啊。我一聽到這個問題，腦海中就浮現出答案必須是一個連分數。那我只需要問自己『是哪個連分數』？緊接著，具體的答案就自己冒出來了。」

他超乎常人的直覺還帶領他推導出了許多前人聞所未聞的恆等式，例如：

$$\begin{align} & \left ( 1+2\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(n\theta)}{\cosh(n\pi)} \right )^{-2} + \left (1+2\sum_{n=1}^\infty \frac{\cosh(n\theta)}{\cosh(n\pi)} \right )^{-2} \\[6pt] = {} & \frac {2 \Gamma^4 \bigl( \frac34 \bigr)} \pi = \frac{8\pi^3}{\Gamma^4 \bigl( \frac14 \bigr)} \end{align}$$

對於所有滿足 $|\Re (\theta)|<\pi$ 且 $|\Im (\theta)|<\pi$ 的 $\theta$，其中 $\Gamma(z)$ 代表伽瑪函數，這還與戴德金η函數的特殊值有著緊密的聯繫。如果將公式展開為冪級數並對比 $\theta^0$、$\theta^4$ 和 $\theta^8$ 的係數，就能挖掘出關於雙曲正割的一系列極具深度的恆等式。

1918年，哈代與拉馬努金對分拆函數 $P(n)$ 展開了全面的研究。他們給出了一個能夠精確計算出任意整數分拆數量的非收斂漸近級數。後來在1937年，漢斯·拉德馬赫在前人基礎上進一步打磨了這個公式，終於找到了一個精確的收斂級數解。拉馬努金與哈代在這片未知領域的開拓，直接催生出了一種強大的尋找漸近公式的新方法——著名的圓法。

在拉馬努金生命的最後一年，他發現了著名的偽θ函數。在他死後的許多年裡，這些函數對於整個學術界一直是個未解之謎，直到後來它們被確認為調和弱馬斯形式的全純部分，才終於被人們理解。

### 拉馬努金猜想

儘管在數學界有許多定理都可以冠上「拉馬努金猜想」的名稱，但其中有一個猜想對後世的研究產生了極其深遠的影響。這個猜想與代數幾何領域中著名的安德烈·韋伊猜想有著緊密的聯繫，開啟了一扇通往全新領域的大門。那個標誌性的拉馬努金猜想，探討的是關於拉馬努金τ函數大小的斷言，該函數的生成函數是一個以判別式模形式 $\Delta(q)$ 表現的結構，屬於模形式理論中極為經典的一個尖形式。這場跨越半個世紀的數學接力終於在1973年落下帷幕——作為皮埃爾·德利涅證明韋伊猜想的附帶成果，這個猜想終於被證實。其間的推導步驟極其繁冗複雜。德利涅本人也正是憑藉這項卓越的證明，摘得了1978年的菲爾茲獎桂冠。

在題為《論某些算術函數》（On certain arithmetical functions）的論文中，拉馬努金定義了 Delta 函數，其係數被命名為 $\tau(n)$（即拉馬努金τ函數）。他證明了這些數字的許多同餘關係，例如對於質數 $p$，滿足 $\tau(p) \equiv 1 + p^{11} \pmod{691}$。這個同餘式（以及拉馬努金證明的其他類似公式）極大地啟發了1954年菲爾茲獎得主讓-皮埃爾·塞爾，促使他推測存在一種伽羅瓦表示理論，該理論能夠完美「解釋」這些同餘式，甚至能統一更一般的模形式理論。$\Delta(z)$ 正是歷史上第一個以此種視角進行審視的模形式案例。而德利涅（在其榮獲菲爾茲獎的工作中）最終證明了塞爾的這一猜想。回顧費馬大定理的證明史可以發現，解決該定理的關鍵步驟，正是將橢圓曲線和模形式置於這些伽羅瓦表示的框架下進行解讀。毫不誇張地說，如果沒有拉馬努金這套理論體系，費馬大定理的最終證明將無從談起。

### 拉馬努金的筆記本

還在馬德拉斯的時候，拉馬努金就把他最核心的研究成果密密麻麻地寫在了四本活頁筆記本上。令人遺憾的是，這些結果絕大部分直接給出了結論，而沒有留下推導步驟。這或許也是為什麼後世一直流傳著一個誤解——認為拉馬努金根本不懂得如何嚴謹地證明，所有的公式全是他憑直覺直接「看」出來的。數學家布魯斯·C·伯恩特在對這些筆記本及拉馬努金的研究進行分析後表示，拉馬努金絕對具備證明絕大多數定理的能力，他只是沒有將證明過程記錄在紙上而已。

這背後的原因多種多樣。一方面，在那個年代紙張十分昂貴。拉馬努金絕大多數的推演和試錯可能都是在石板上完成的，這在當時馬德拉斯省的貧困學生群體中是十分常見的做法；只有在石板上推導出最終公式後，他才會將其謄抄到紙上。另一方面，他很可能深受當年那本啟蒙讀物——G·S·卡爾著作的影響，該書的排版風格就是只給結論不寫證明。此外，拉馬努金一開始大概只把這些算式視為個人的研究手記，自然沒有覺得有必要一步步寫下繁瑣的推導過程。

他的第一本筆記本有351頁，分成了16個章節，還包含了一些散亂的內容。第二本有256頁，包含21個章節外加100多頁未分類的手稿。第三本則是33頁完全未經整理的隨筆。就是這幾本舊筆記本，成為了後世大量數學研究的靈感源泉，許多學者紛紛發表論文，旨在證明他留下的結論。就連哈代本人也親自撰寫了多篇論文去解析拉馬努金留下的謎題；更不用說後來的G·N·沃森、B·M·威爾遜以及布魯斯·伯恩特了。

1976年，喬治·安德魯斯偶然發現了拉馬努金的第四本筆記本。這本包含87頁散亂手稿的文獻，便是日後在數學界引起巨大反響的「拉馬努金失落的筆記本」。

## 哈代-拉馬努金數：1729

1729 這個數字之所以被冠名為「哈代-拉馬努金數」，源自一段哈代去醫院探望病重拉馬努金的著名軼事。用哈代自己的話來說：

我記得有一次我去普特尼看望病床上的他。我是坐著車牌號為 1729 的計程車去的，當時我還跟他提到，這數字看起來實在毫無趣味，希望這並非什麼不祥之兆。「不，哈代，」他虛弱卻又興奮地反駁道，「這是一個極其有趣的數字；在所有能夠被表示為兩個立方數之和的數字中，它是能夠用兩種截然不同的方式表達出來的最小的一個！」

在這段對話發生之前，哈代還引用過李特爾伍德的一句著名評價：「每一個正整數，都是拉馬努金的親密朋友。」

這兩種截然不同的立方和表達方式分別是：

$$1729=1^3+12^3=9^3+10^3.$$

這一數學巧合，後來被推廣發揚，催生出了數學中「的士數」（Taxicab Numbers）的概念。

## 頂尖數學家眼中的拉馬努金

「當然了，我們做夢都在期待奇蹟發生。這就是為什麼我永遠不會把那些從偏遠地區寄來的、字跡潦草的信件直接扔進垃圾桶。我總是抱有一種期待——萬一這又是另一位拉馬努金寄來的呢？」

在哈代於1920年為《自然》雜誌撰寫的拉馬努金訃告中，他指出，拉馬努金的數學遺產即便是放在純粹的數學精英圈裡，也顯得極為獨特且超前。哈代最後做出了這樣的結語：

他對公式那種驚人的洞察力簡直令人嘆為觀止，這遠遠超出了我在任何一位歐洲頂尖數學家身上所見過的極限。如果他在16歲而不是26歲時就接觸到最前沿的現代數學思想和嚴密方法，去推測他原本可以達到怎樣的高度，或許已經毫無意義了。如果非要說他本可以成為那個時代最偉大的數學家，也絕非誇大其詞。單就他已經完成的工作而言，就已經足夠令人震撼……當後人徹底解開並完成了他留下的所有研究課題時，大家一定會發現，拉馬努金留給這個世界的財富，遠比我們今天看到的還要不可思議。

哈代還做過這樣的評價：

為了說明這一點，哈代曾特意點評過拉馬努金寄來的第一封信中的15個定理。其中前13個定理既正確又充滿前瞻性，第14個雖然存在微小的瑕疵但極具啟發意義，至於第15個則是正確卻容易讓人產生誤解的。

(14)：在公式 $\left(1-2 x+2 x^4-2 x^9+\cdots\right)^{-1}$ 中，$x^n$ 的係數是以下公式的最接近整數：$$\frac{1}{4 n}\left(\cosh (\pi \sqrt{n})-\frac{\sinh (\pi \sqrt{ n})}{\pi \sqrt{n}}\right) .$$哈代直言，這「是他提出過的最具實質性成果的洞見之一，因為正是這個公式，引導我們最終完成了所有關於整數分拆的聯合研究」。

當有人好奇拉馬努金到底是用什麼方法得出這些解答時，哈代表示這往往是「一種混雜著邏輯推理、直覺和歸納的過程，而他本人也很難清晰地解釋其全貌。」哈代甚至承認自己「從未見過能與他比肩的人，如果非要找個人做比較，我只能想到歐拉或雅可比」。哈代認為拉馬努金的工作風格與19世紀早期的數學家相似——他們更傾向於直接推導出正確的公式，而不是建立一套系統、形式化的理論框架。在哈代眼裡，拉馬努金在代數領域，尤其是超幾何級數和連分數上的造詣，是他成就的最高峰。

相對而言，拉馬努金在分析數學領域的新發現並沒有那麼多。這可能是因為他沒有接受過系統的正統教育，也缺乏合適的教材參考。不過，即便是憑藉自身的探索，他依然獨立重新推導出了許多經典結果，比如素數定理。在分析學方面，他深入研究了橢圓函數和解析數論。在解析數論這個極具挑戰的領域中，拉馬努金雖然充滿了想像力，但他設想出的很多內容最後都被證明是不準確的。哈代認為這部分原因在於解析數論本身的極高難度，在這個領域，即便是傑出的數學家，也容易因過度依賴直覺而犯錯。在解析數論中，嚴謹的證明遠比想像力更為重要，而這恰好是拉馬努金工作方式的短板。哈代直言不諱地指出，拉馬努金「研究中唯一明顯的缺陷」，就是他對解析函數理論「幾乎一無所知」。

李特爾伍德曾提到，向拉馬努金講授當時最前沿的現代數學概念是一件十分困難的事情。因為每當提出一個新的知識點，拉馬努金的思維就會快速延展，提出各種原創的想法，這使得李特爾伍德無法按計劃繼續原本的教學。

學者 K·斯里尼瓦薩·拉奧曾這樣轉述， 「如果要評估他在數學史上的地位，我們可以引用布魯斯·C·伯恩特提到的一段軼事：『保羅·埃爾德什曾向我們提到過哈代私下裡為各位著名數學家打分的情況。假設純粹以數學天賦作為唯一標準，滿分設為100分。在這份排行榜里，哈代非常謙遜地給了自己25分，給了李特爾伍德30分，給了大衛·希爾伯特80分。而對於拉馬努金，哈代給出了滿分100分。』」在2011年5月於欽奈印度理工學院舉行的一場講座上，伯恩特表示，在過去的40年裡，隨著拉馬努金留下的許多猜想被證實，整個學術界對他的認可度達到了極高水平。拉馬努金的思想如今已深入影響了現代數學與物理學的各個前沿領域。

## 逝世後的殊榮

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拉馬努金去世後的第二年，《自然》雜誌便將他列入了匯聚了全球頂尖科學家和數學家的「科學先驅名錄」（Calendar of Scientific Pioneers），正式確立了他在科學史上的重要地位。拉馬努金的家鄉泰米爾納德邦將每年的12月22日（拉馬努金的生日）設立為「全邦資訊技術日」（State IT Day）以示紀念。印度政府更是分別在1962年、2011年、2012年和2016年，四次發行印有拉馬努金肖像的國家級紀念郵票，以致敬這位傑出的人物。

自拉馬努金誕辰一百周年起，他曾就讀的貢伯戈訥姆政府藝術學院以及位於欽奈的欽奈印度理工學院（IIT Madras），每年都會在12月22日隆重舉行「拉馬努金日」的慶祝活動。而在國際層面上，國際理論物理中心（ICTP）聯合國際數學聯盟，設立了以拉馬努金名字命名的獎項，專門表彰來自發展中國家的青年數學學者。位於印度泰米爾納德邦的私立學府沙斯特拉大學（SASTRA University）也設立了SASTRA拉馬努金獎。該獎項每年頒發 10,000 美元，授予全球範圍內年齡不超過32歲、且在拉馬努金所涉及的數學領域做出突出貢獻的青年學者。

在印度政府大學撥款委員會（UGC）的支持下，由 SASTRA 建立的斯里尼瓦瑟·拉馬努金中心，已被確立為 SASTRA 大學的校外直屬核心機構。在這個校區內，還設立了「拉馬努金數學之家」——一座全面展示拉馬努金生平和學術遺產的博物館。此外，SASTRA 出資買下了拉馬努金當年在貢伯戈訥姆的故居，並對其進行了全面的修繕和保護。

2011年，在拉馬努金誕辰125周年的慶典上，印度政府宣布每年的12月22日將被設立為印度的「國家數學日」。時任印度總理曼莫漢·辛格出席活動，宣布將2012年定為印度的國家數學年，並將12月22日確立為印度的國家數學日 (印度)。

此外，以他名字命名的拉馬努金IT城於2011年在欽奈建成。這是一個大型的資訊技術經濟特區（SEZ），緊鄰著名的TIDEL科技園。該項目占地 25 英畝，規劃為兩個核心區域，總建築面積達到 570 萬平方英尺，其中辦公空間占了 450 萬平方英尺。

## 紀念郵票

以下是由印度郵政發行的紀念郵票（按年份排列）：

## 流行文化中的拉馬努金

- 《熱愛數字的人》（The Man Who Loved Numbers）是1988年PBS科普欄目《NOVA》推出的一部關於拉馬努金的紀錄片（第15季，第9集）。
- 2015年上映的電影《知無涯者》改編自羅伯特·卡尼格爾（Robert Kanigel）創作的同名傳記。英國演員戴夫·帕特爾在片中擔任主演，飾演拉馬努金。
- 《拉馬努金 (電影)》是一部記錄拉馬努金生平的印英合資傳記電影。該片由獨立電影公司 Camphor Cinema 製作，並於2014年上映。影片製作團隊陣容強大：由著名導演格納納·拉賈塞卡蘭執導，攝影師桑尼·約瑟夫負責拍攝，並由剪輯師B·列寧完成後期製作。演員陣容包含了印英兩國的知名演員，包括阿比納伊·瓦迪、蘇哈西尼·馬尼拉特南、巴瑪 (演員)、凱文·麥高恩（Kevin McGowan）以及麥可·利伯等。
- 印度導演南丹·庫迪亞迪（Nandan Kudhyadi）不僅執導了講述這位數學家故事的紀錄片《斯里尼瓦瑟·拉馬努金的天才之路》（The Genius of Srinivasa Ramanujan，2013年），隨後又在2016年推出了續作《斯里尼瓦瑟·拉馬努金：數學家與他的非凡遺產》（Srinivasa Ramanujan: The Mathematician and His Legacy）。
- 由阿卡什迪普（Akashdeep）執導的劇情紀錄片《拉馬努金（重塑20世紀數學的男人）》（Ramanujan (The Man Who Reshaped 20th Century Mathematics)）於2018年發布。
- 在 M. N. Krish 創作的懸疑小說《立體角軌跡》（The Steradian Trail）中，作者將拉馬努金生平及其數學發現作為核心線索，將宗教信仰、高等數學、現代金融和宏觀經濟交織成了一個完整的故事。
- 由艾拉·豪普特曼（Ira Hauptman）創作、刻畫哈代與拉馬努金之間複雜情誼的話劇《分拆》（Partition），於2003年首演並引起共鳴。
- 由 Alter Ego 劇團出品的話劇《頭等人物》（First Class Man）改編自大衛·弗里曼（David Freeman）的同名原著。這部話劇聚焦了拉馬努金與哈代之間複雜而又充滿差異的人際關係。2011年10月16日，官方宣布曾執導《明日帝國》的導演羅傑·斯波蒂斯伍德將執導該劇的電影改編版，並由西達爾特 (演員)擔綱主演。
- 英國戲劇劇團Complicite劇團也推出了一部探討哈代與拉馬努金兩人故事的舞台劇《消失的數字》。
- 作家大衛·萊維特在其小說《印度職員》中，還原了當年那封信件寄到哈代手中後，劍橋學術圈所產生的一系列反應。
- 為了向拉馬努金致敬，Google 在他125周年誕辰當天將主頁標誌替換成了專門定製的塗鴉。
- 在1997年的電影《心靈捕手》中，麻省理工的教授（由斯特蘭·斯卡斯加德飾演）在向他人極力推薦具有非凡天賦的男主（由馬特·達蒙飾演）時，將其與數學家拉馬努金相提並論。
- 在電視劇《數字追兇》中，科學家阿米塔·拉馬努金（由娜薇·羅華飾演）的名字便是對斯里尼瓦瑟·拉馬努金的致敬。

## 精選論文

- On the expression of numbers in the form $ax^2 + by^2 + cz^2 + du^2$
- 在其逝世後出版的一份更長、未發表手稿的摘錄。

## 拉馬努金的更多數學著作

- George E. Andrews 與 Bruce C. Berndt，Ramanujan's Lost Notebook: Part I (Springer, 2005, 0-387-25529-X)
- George E. Andrews and Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part II, (Springer, 2008, )
- George E. Andrews and Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part III, (Springer, 2012, )
- George E. Andrews and Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part IV, (Springer, 2013, )
- George E. Andrews and Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part V, (Springer, 2018, )
- M. P. Chaudhary, A simple solution of some integrals given by Srinivasa Ramanujan, (Resonance: J. Sci. Education – publication of Indian Academy of Science, 2008)
- M.P. Chaudhary, Mock theta functions to mock theta conjectures, SCIENTIA, Series A: Math. Sci., (22)(2012) 33–46.
- M.P. Chaudhary, On modular relations for the Roger-Ramanujan type identities, Pacific J. Appl. Math., 7(3)(2016) 177–184.

## 關於拉馬努金著作的精選出版物

這本書最初是在拉馬努金死後的1927年出版的。它收錄了拉馬努金生前在專業期刊上發表的37篇論文。該書的第三次重印版包含了布魯斯·C·伯恩特（Bruce C. Berndt）補充的評論。

這些書包含了拉馬努金親筆書寫的原版筆記本的複印件。

這本書收錄了「失落的筆記本」書頁的複印件。

- Problems posed by Ramanujan, Journal of the Indian Mathematical Society.

這是由欽奈羅亞·穆提亞研究圖書館（Roja Muthiah Research Library）的專業檔案保管員利用原稿的掃描件和微縮膠捲製作而成的。

## 外部連結

### 媒體連結

- Feature Film on Mathematics Genius Ramanujan by Dev Benegal and Stephen Fry
- BBC radio programme about Ramanujan – episode 5
- A biographical song about Ramanujan's life

### 傳記連結

- A short biography of Ramanujan
- "Our Devoted Site for Great Mathematical Genius"

### 其他連結

- A Study Group For Mathematics: Srinivasa Ramanujan Iyengar
- The Ramanujan Journal – An international journal devoted to Ramanujan
- International Math Union Prizes, including a Ramanujan Prize
- Hindu.com: Norwegian and Indian mathematical geniuses, Ramanujan – Essays and Surveys , Ramanujan's growing influence, Ramanujan's mentor
- Hindu.com: The sponsor of Ramanujan
- "Ramanujan's mock theta function puzzle solved"
- Ramanujan's papers and notebooks
- Sample page from the second notebook
- Ramanujan on Fried Eye

## 基本資料

- 出生：Srinivasa Ramanujan Aiyangar
- 出生日期：1887年12月22日
- 出生地：英屬印度馬德拉斯省埃羅德（今印度泰米爾納德邦）
- 逝世日期：1920年4月26日
- 逝世地：英屬印度馬德拉斯省，馬德拉斯切特普特（Chetput）（今印度泰米爾納德邦欽奈）
- 國籍：英屬印度
- 機構：劍橋大學
- 學歷：貢伯戈訥姆政府藝術學院、帕恰亞帕學院、劍橋大學三一學院 (文學學士)
- 論文：Highly Composite Numbers（高合成數）
- 論文：https://web.archive.org/web/20180819150043/http://math.univ-lyon1.fr/~nicolas/ramanujanNR.pdf
- 論文：1916
- academic_advisors：G·H·哈代、J·E·李特爾伍德
- 知名於：拉馬努金和、朗道-拉馬努金常數、偽θ函數、拉馬努金同餘、拉馬努金猜想、拉馬努金素數、拉馬努金-索爾德納常數、拉馬努金θ函數、羅傑斯-拉馬努金恆等式、拉馬努金主定理、哈代-拉馬努金漸近公式、拉馬努金-佐藤級數
- 獲獎：皇家學會會士 (1918)
- 簽名：斯里尼瓦瑟·拉馬努金的簽名
- 研究領域：數學