有理數

在數學中，有理數（rational number）的定義是：可以表示為兩個整數比的數；此處的整數比寫為分數形式 $\frac{a}{b}$, $b\neq 0$。例如：0.375 可以表示為 $\frac{3}{8}$，因此 0.375 是有理數，當然 $\frac{3}{8}$ 本身也是有理數。

按上述有理數定義，可知整數和整數分數統稱有理數；而與有理數相對的是無理數，不是有理數的實數遂稱為無理數；例如 $\sqrt{2}$無法用整數比表示，因此 $\sqrt{2}$ 是無理數。

並非所有以分數表示的數字皆為有理數，例如 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 並不是有理數，其不符合可表示為整數比的定義。

所有有理數構成的集合常寫作 $\mathbf{Q}$ 或 $\mathbb{Q}$，其定義為：

$$\mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} : m, n \in \mathbb{Z}, n \ne 0 \right\}$$

有理數寫作小數時，其小數部分為有限或為循環。

## 詞源

有理數在英文中稱作rational number，來自拉丁語rationalis，意為理性的；詞根ratio，拉丁語意為理性、計算。代表「比例」的英文ratio一詞在歷史上出現得要比有理數（rational number）一詞更晚，前者最早有記錄是1660，而後者是1570年。

## 運算

有理數集對加、減、乘、除四則運算是封閉的（其中除法的除數不能為 0），亦即有理數加、減、乘、除有理數的結果仍為有理數。有理數的加法和乘法如下：

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd} \, \ \ \ \ \ \ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$

兩個有理數 $\frac{a}{b}$ 和 $\frac{c}{d}$ 相等的充要條件為 $ad = bc$。

有理數中存在加法反元素與乘法反元素（除了 0 以外，0 不具乘法反元素）：

$- \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b}\, \ \ \ \ \ \ \ \ a \neq 0$時，$\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a}$

兩數相乘，同號得正異號得負，並把絕對值相乘。

## 古埃及分數

古埃及分數是分子為1、分母為正整數的有理數。每個有理數都可以表達為有限個兩兩不等的古埃及分數的和。例如：

$$\frac{5}{7} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{21}$$

對於給定的正有理數，存在無窮多種表達成有限個兩兩不等的古埃及分數之和的方法。

## 形式構建

數學上可以將有理數定義為建立在整數的有序對上$\left(a, b\right)$的等價類，這裡$b, d$不為零。我們可以對這些有序對定義加法和乘法，規則如下：

$$\left(a, b\right) + \left(c, d\right) = \left(ad + bc, bd\right)$$

$$\left(a, b\right) \times \left(c, d\right) = \left(ac, bd\right)$$

為了使$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$，定義等價關係$\sim$如下：

$$\left(a, b\right) \sim \left(c, d\right) \mbox{ iff } ad = bc$$

這種等價關係與上述定義的加法和乘法上是一致的，而且可以將$\mathbf{Q}$定義為整數有序對關於等價關係~的商集：$\mathbb{Q} = \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} - \{0\}) / \sim$。例如：兩個對$(a,b)$和$(c,d)$是相同的，如果它們滿足上述等式。（這種構建可用於任何整數環，參見商域。）

### 定義大小

$\mathbf{Q}$上的大小可以定義為：

$\left(a, b\right) \le \left(c, d\right)$若且唯若下列任一條件成立：

- $bd > 0$並且$ad \le bc$
- $bd < 0$並且$ad \ge bc$

然後$x < y$是指$x \le y$但$y \nleq x$。亦可在「小於」概念之上引入「大於」的概念，即：$a<b$若且唯若$b>a$。此排序中，每一對有理數$a,b$之間皆可比較，必有且僅有以下關係之一：

$a=b$，$a>b$，$a<b$。

又滿足傳遞性：若$a<b$，且$b<c$，則$a<c$。所以以上定義的大小關係是全序關係。

有理數集的序還滿足稠密序：若$a<b$，則必存在有理數$c$，滿足$a<c$，且$c<b$。

## 性質

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集合$\mathbb{Q}$，以及上述的加法和乘法運算，構成域，即整數$\mathbb{Z}$的商域。

有理數是特徵為0的域最小的一個：所有其他特徵為0的域都包含$\mathbb{Q}$的一個拷貝（即存在一個從$\mathbb{Q}$到其中的同構映射）。

$\mathbb{Q}$的代數閉包，例如有理數多項式的根的域，是代數數域。

所有有理數的集合是可數的，亦即是說$\mathbb{Q}$的基數（或勢）與自然數集合$\mathbb{N}$相同，都是阿列夫數$\aleph_0$，這是因為可以定義一個從有理數集$\mathbb{Q}$映至自然數集合的笛卡爾積$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$的單射函數，而$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$是可數集合之故。因為所有實數的集合是不可數的，所以從勒貝格測度來看，可以認為絕大多數實數不是有理數。

有理數的序是個稠密序：任何兩個有理數之間存在另一個有理數，事實上是存在無窮多個。此外，有理數集也沒有最大和最小元素，所以是無端點的可數稠密全序（dense linear order without endpoints）。康托爾同構定理說明，任何無端點的可數稠密全序必定序同構於有理數的序，換言之，若不辨同構之異，則有理數的大小序是唯一具此性質的序結構。

## 實數

有理數是實數的稠密子集：每個實數都有任意接近的有理數。一個相關的性質是，僅有理數可化為有限連分數。

依照它們的序列，有理數具有一個序拓撲。有理數是實數的（稠密）子集，因此它同時具有一個子空間拓撲。採用度量$d\left(x, y\right) = |x - y|$，有理數構成一個度量空間，這是$\mathbb{Q}$上的第三個拓撲。幸運的是，所有三個拓撲一致並將有理數轉化到一個拓撲域。有理數是非局部緊緻空間的一個重要的實例。這個空間也是完全不連通的。有理數不構成完備的度量空間；實數是$\mathbb{Q}$的完備集。

## $\mathit{p}$進數

除了上述的絕對值度量，還有其他的度量將$\mathbb{Q}$轉化到拓撲域：

設$p$是素數，對任何非零整數$a$設$|a|_p = p^{-n}$，這裡$p^{n}$是整除$a$的$p$的最高次冪。

另外$|0|_p = 0$。對任何有理數$\frac{a}{b}$，設$\left|\frac{a}{b}\right|_p = \frac{|a|_p}{|b|_p}$。

則$d_p\left(x, y\right) = |x - y|_p$在$\mathbb{Q}$上定義了一個度量。

度量空間$\left(\mathbb{Q}, d_p\right)$不完備，它的完備集是p進數域$\mathbb{Q}_p$。