層 (數學)

數學中，層（sheaf，或譯束、捆）是一種系統地追蹤數據的工具。數據附著在拓撲空間的開集上，局部定義於開集本身。例如，數據可以是定義在開集上的連續函數環。這些數據的行為是良好的：可限制在更小的開集中，而且（直觀地說）每個數據都是其組成數據之和。這樣，它們是研究有局部本質的實體的全局行為的自然工具，例如開集，解析函數，流形，等等。

研究層的數學領域叫做層論（sheaf theory）。

從概念上講，層是比較一般、抽象的數學對象，其正確定義是相當技術性的。例如，根據分配給開集的數據類型，可分為集合層、環層等。

相同類型的層之間可以定義映射（或稱態射），這使得（同類型的）層構成了一個範疇。另一方面，每個連續映射都關聯著直像函子（將定義域上的層與態射送到到達域的層與態射）和反像函子（代表相反的運算）。這些函子及其部分變體是層論的重要組成部分。

層由於其普遍性與多功能性，在拓撲學，特別是代數幾何與微分幾何中有多種應用。

- 微分流形或概形等的幾何結構可用空間上的環層表示。這時，向量叢與除子等幾何結構都可很自然地用層表示。
- 層為非常一般的上同調論提供了框架，其中也包括「通常」的拓撲上同調論，如奇異上同調。特別是在代數幾何與複流形理論中，層上同調為空間的拓撲與幾何屬性提供了有力的聯繫。
- 層提供了D模理論的基礎，進而為微分方程理論找到了應用。
- 可將層推廣到比拓撲空間更一般的場景，如格羅滕迪克拓撲，為數理邏輯和數論提供了應用。

## 定義與例子

在很多數學分支中，很多定義在拓撲空間X上的結構（如微分流形）可很自然地「局部化」或「限制到」開子集$U \subset X$：典型例子如連續實值或複值函數、n次可微函數、有界實值函數、向量場、空間上任意向量叢的截面等等。將數據限制在更小開子集上的能力產生了預層（presheaf）的概念，粗略地說就是局部數據可粘合到全局數據。

### 預層

設X為拓撲空間，C是範疇（常是集合範疇、交換群範疇、交換環範疇，或固定的環上的模範疇)。C中的物件在空間X上的預層（presheaf） $F$ 由如下數據給出：

- 對每個開子集$U\subset X$， $F$ 給出一個C中的物件 $F(U)$，也記作$\Gamma(U, F)$。這個物件稱作 $F$ 在 $U$ 上的截面（section）， $F$ 在 $X$ 上的截面稱作 $F$ 的全局截面（global section）。
- 對於每個開集之間的包含關係$V \subseteq U$，有範疇C中的一個態射$\operatorname{res}_{V, U} \colon F(U) \rightarrow F(V)$，稱為限制態射。若$s \in F(U)$，則$\text{res}_{V,U}(s)$常類比以函數限制的寫法，記作$s|_V$。限制態射滿足以下兩點性質：
- 對於X中每個開集U，我們有$\operatorname{res}_{U, U} =\operatorname{id}_{F(U)}$，也即，從U到U的限制是F(U)上的恆等態射。
- 給定任何三個開集$W\subseteq V\subseteq U$，有$\text{res}_{W,V}\circ\text{res}_{V,U}=\text{res}_{W,U}$，即從U到V再到W的限制和從U直接到W的限制相同。

預層的很多例子來自不同類函數：對任意U，可給其上的連續實值函數集$C^0(U)$分配限制映射，限制映射就是將U上的連續函數限制到開子集V，且又是連續函數。兩條預層公理立即得到檢驗，從而給出預層例子。這可以擴展成全純函數層$\mathcal{H}(-)$與光滑函數層$C^\infty(-)$。

另一類常見例子是將U上的常實值函數集分配給U，這個預層也叫做關聯於$\mathbb{R}$的常預層，記作$\underline{\mathbb{R}}^{psh}$。

這個定義可以用範疇論的術語很自然的表達。首先我們定義X上的開集的範疇為範疇$\text{Top}_X$，其對象是X的開集而其態射為包含映射。$\text{Top}_X$就成了和X的開子集上的偏序⊂相關的範疇。X上的C預層就是從$\text{Top}_X$到C的反變函子。

### 層

給定預層，很自然的問題是，它在開集U上的截面在多大程度上由到U開子集的限制決定。確切地講，預層的截面由限制條件唯一決定時，即成為層。

層是滿足以下兩條公理的預層：

- （局部性：）假設U是開集，$\{ U_i \}_{i \in I}$是U的開覆蓋，滿足$\forall i \in I,\ U_i \subseteq U$，且$s, t \in F(U)$是截面。$\forall i \in I,\ s|_{ U_i} = t|_{ U_i}$，則$s = t$。
- （粘合性：）假設U是開集，$\{ U_i \}_{i \in I}$是U的開覆蓋，滿足$\forall i \in I,\ U_i \subseteq U$，且$\{ s_i \in F(U_i) \}_{i \in I}$是一族截面。若所有截面對都與其定義域的重合一致，即若$\forall i, j \in I,\ s_i|_{U_i\cap U_j} = s_j|_{U_i \cap U_j}$，則存在截面$s \in F(U)$使$\forall i \in I,\ s|_{U_i} = s_i$。

兩個公理中，關於開覆蓋的假設等價於假設$\bigcup_{i \in I} U_i = U$。

公理2保證存在的截面s稱作截面$s_i$的粘合（gluing）、連接（concatenation）或整理（collation）。據公理1，是唯一的。滿足公理2的一致前提的截面$s_i,\ s_j$常稱作相容（compatible），於是公理1、2共同說明：任何成對相容截面的集合都可唯一地粘合起來。分離預層（separated presheaf）或單預層（monopresheaf）是滿足公理1的預層。

上述由連續函數組成的預層是層。這簡化為檢驗給定連續函數$f_i : U_i \to \R$（在交$U_i \cap U_j$上一致）是否有唯一的連續函數$f: U \to \R$，其限制等於$f_i$。相比之下，常預層常常不是層，因為不滿足空集上的局部性公理。

預層和層一般用大寫字母表示，F尤為常見，應為法語表示「層」的faisceau的首字母。花體字母也常見，如$\mathcal{F}$。

可以證明，要指定一個層，只需指定其對底空間拓撲基開集的限制即可。此外，還可證明，只要驗證覆蓋的開集是否符合層公理即可。這個觀察用來構造代數幾何中十分重要的准凝聚層。這裡所說的拓撲空間是交換環R的譜，其點是R中的素理想p。開集$D_f := \{ p \subset R, f \notin p\}$構成了空間上的扎里斯基拓撲的基。給定R基M，Spec R上有層$\tilde M$，滿足

$\tilde M(D_f) := M[1/f],$是M在f的局部化。

還有一種與前述等價的層表示。若且唯若對任意開U、U的任意開覆蓋$(U_a)$，都有$\mathcal{F}(U)$是纖維積$\mathcal{F}(U)\cong\mathcal{F}(U_a)\times_{\mathcal{F}(U_a\cap U_b)}\mathcal{F}(U_b)$時，預層$\mathcal{F}$是層。這在構造層時特別有用，例如若$\mathcal{F},\mathcal{G}$是阿貝爾層，則層態射$\mathcal{F}\to\mathcal{G}$的核也是層，因為射影極限與射影極限可交換。上核不總是層，因為誘導極限不一定與射影極限可交換。一種解決方法是考慮諾特拓撲空間：開集都緊，由於有限射影極限與誘導極限可交換，所以上核是層了。

### 更多例子

- 任何纖維叢產生一個集合的層，通過取截面就可以得到。
- 賦環空間是有賦交換環層的空間；特別重要的有局部賦環空間，其中每個莖（參看下面）是局部環。
- 概形是特殊的局部賦環空間，在代數幾何中很重要；模的層在相關理論中很重要。

#### 連續映射的截面層

拓撲空間的任何連續映射$f:Y\to X$決定了X上的層$\Gamma(Y/X)$，方法是置

$$\Gamma(Y/X)(U) = \{s: U \to Y, f \circ s = \operatorname{id}_U\}.$$

這樣的s一般叫做f的截面，這個例子也就是$F(U)$中的元素通常叫截面的原因。當f是纖維叢在基空間上的投影時，這種構造尤為重要。例如，光滑函數層是平凡叢截面層。另一例：

$$\C \stackrel{\exp} \to \C\setminus \{0\}$$

截面層是U上複對數的分支集合分配給任意U的層。

給定一個點x與阿貝爾群S，摩天層（skyscraper sheaf）$S_x$的定義如下：若U是含x的開集，則$S_x(U)=S$；否則$S_x(U)=0$，是平凡群。若開集都包含x，則限制映射是S上的恆等映射，否則是零映射。

#### 流形上的層

n維$C^k$流形M上，有很多重要的層，如j階連續可微函數層$\mathcal{O}^j_M\ (j \leq k)$。它在某開U上的截面是$C^j$函數$U \to \R$。對$j = k$，這個層稱為結構層，記作$\mathcal{O}_M$。非零$C^k$函數也形成一個層，記作$\mathcal{O}_X^\times$。（度為p的）微分形式也形成層$\Omega^p_M$。所有例子中，限制態射都由限制函數或形式給出。

將U分配到U上的緊支持函數不是層，因為一般沒法傳遞到更小開子集後仍保留這性質。相反，這形成了上層的對偶概念，其中限制映射的方向與層相反。然而，從這些向量空間的對偶空間中確實可得到一個層，即分布層。

#### 不是層的預層

除了上述常預層外，還有很多不是層的預層：

- 令X是離散兩點空間$\{x,y\}$，具有離散拓撲。定義預層F：$$F(\varnothing) = \{\varnothing\},\ F(\{x\}) = \R,\ F(\{y\}) = \R,\ F(\{x, y\}) = \R\times\R\times\R$$

限制映射$F(\{x, y\}) \to F(\{x\})$是$\R \times\R\times\R$在第一坐標的投影，限制映射$F(\{x, y\}) \to F(\{y\})$是$\R \times\R\times\R$在第二坐標的投影。F是不分離的預層：全局截面由3個數確定，但截面在$\{x\},\ \{y\}$上的值則只決定了其中2個數字。因此，雖然可將$\{x\},\ \{y\}$上的任意兩截面粘在一起，但沒有唯一的粘合。

- 令$X = \R$為實線，並令$F(U)$為U上的有界連續函數集。這不是層，因為不總可粘合。例如，令$U_i=\{x||x|<i\}$。恆等函數$f(x)=x$在每個$U_i$上都有界，因此我們得到$U_i$上的截面$s_i$。然而，由於函數f在實線上無界，所以這些截面並不粘合。於是F是預層，但不是層。其實，F是分離的，因為是連續函數層的子預層。

### 復解析空間和代數幾何的動機

層的歷史動機之一來自研究複流形、復解析幾何與代數幾何中的概形論。這是因為在前面的所有情形中，我們考慮的都是拓撲空間X及賦予其複流形、復解析空間或概形結構的結構層$\mathcal{O}$。這種為拓撲空間配備層的觀點對局部賦環空間理論至關重要（下詳）。

#### 複流形的技術挑戰

引入層的主要歷史動機之一，是構造一種跟蹤複流形上全純函數的結構。例如，緊複流形X（如復射影空間或齊次多項式射影空間的趨零軌跡）上，唯一的全純函數是$f:X \to \C$是常函數。這意味著存在2個不同構的緊複流形$X,X'$，全局全純函數環$\mathcal{H}(X), \mathcal{H}(X')$則同構。這與光滑流形相反，當中每個流形M都可嵌入$\R^n$，於是其光滑函數環$C^\infty(M)$來自於對光滑函數$C^\infty(\R^n)$的限制。考慮複流形X上的全純函數環的另一個複雜性在於，給定足夠小的開集$U \subset X$，全純函數將同構於$\mathcal{H}(U) \cong \mathcal{H}(\C^n)$。層是處理這種複雜性的直接工具，因為層能跟蹤任意開子集$U \subset X$上X的底拓撲空間的全純結構。這意味著，隨著U變得越來越複雜，環$\mathcal{H}(U)$可通過粘合$\mathcal{H}(U_i)$表達。注意，當要強調結構層所關聯的空間時，有時這個層被表示為$\mathcal{O}(-)$或只是$\mathcal{O}$、$\mathcal{O}_X$。

#### 用層追蹤子流形

另一個常見的層的例子見於復子流形$Y \hookrightarrow X$。有相關層$\mathcal{O}_Y$，取開子集$U \subset X$，並給出$U \cap Y$上的全純函數環。這種形式化非常強大，激發了很多同調代數，如層上同調，因為相交理論可用這類層從塞爾相交公式中建立起來。

## 態射

令F和G為X上兩個層，都在範疇C中取值。我們定義從G到F的態射為一族在範疇C內對於所有在X中的開U的態射$\varphi_U:\ G(U)\to F(U)$，它們和限制映射可交換。也就是，下面的圖必須可交換

<image>

對於X中的每一對開集$U\subseteq V$。若F和G視為$\text{Top}_X\to C$的反變函子，則它們之間的態射不過就是自然變換。採用這個定義，所有X上的C-值層構成一個範疇（一個函子範疇）。X上的層的一個同構就是這個範疇里的一個同構。

可以把這個概念推廣到不同空間上的層之間的態射。令$f:\ X\to Y$為一個兩個拓撲空間之間的連續函數，並令F為X上的層且G為Y上的層，二者都在C中取值。那麼從G到F的相對於f的態射為一族態射$varphi_U:\ G(U)\to F(f^{-1}(U))$對於Y中每個開集U，使得圖

<image>

對於Y中每一對開集$U\subseteq V$可交換。前面的定義是f是X上的恆等映射時的特殊情況。

在一般情況中範疇理論的表述稍微複雜一點。令Top為從拓撲空間範疇Top到小範疇範疇Cat的反變函子，它把每個拓撲空間X映到其開集的偏序集範疇$\text{Top}_X$。這裡$\text{Top}(f):\ \text{Top}_X\to \text{Top}_X$是反變函子，把每個開集映到它的原象。把F和Top(f)複合，得到$\text{Top}_Y\to C$的反變函子。一個從G到F相對於f的態射就是$G\to F\circ\text{Top}(f)$的自然變換。

注意上面所有這些對於預層也成立。

### 層的莖

層$\mathcal{F}$的莖（stalk）$\mathcal{F}_x$捕捉了層在點$x\in X$「周圍」的性質，推廣了函數的芽（germ）。此處的「周圍」是說要觀察點附近越來越小的鄰域。沒有足夠小的鄰域時，就要考慮某種極限，更確切地說莖的定義是

$$\mathcal{F}_x = \varinjlim_{U\ni x} \mathcal{F}(U),$$

有向極限（direct limit，用範疇論術語，這是一個余極限（colimit）的例子）是包含給定點x的X的所有開子集。即，莖的一個元素由x的某開鄰域上的截面給出。兩個這樣的截面的限制若在更小的鄰域上一致，則視作等價。

自然態射$F(U)\to F_x$將$F(U)$中的截面x發送到x處的芽，推廣了芽的通常定義。

很多時候，知道了層的莖就足以控制層。例如，從莖就能判斷層的態射是單射、滿射還是同構，這樣來看層是由莖（局部數據）決定的；相對地，全局截面（整個空間X上的截面$\mathcal F(X)$）攜帶的全局資訊通常就少些，例如對緊複流形X，全純函數層的全局截面就只是$\C$，因為任何全純函數

$$X \to \C$$

由劉維爾定理都是常值的。

### 將預層變為層

預層數據取出、表示為層總是很有用。事實證明，取預層F再產生新層aF總有最好的方法，稱作層化（sheafification）或取與預層相關聯的層F，如常預層（上詳）的層化稱作常層（constant sheaf）。不過，其截面是局部常值函數。

層$aF$可用F的平展空間構造，即作為映射

$$\mathrm{Spe}(F) \to X$$

截面層。另一種構造是通過預層到預層的函子L，漸進地改進預層的性質：對任意預層F，$LF$是分離預層；對任意分離預層F，$LF$是層。相關層$aF$由$LLF$給出。

層$aF$是對預層F的最佳近似，下列泛性質使其變得更精確：有預層的自然態射$i\colon F\to aF$，使得對任意層G、任意預層態射$f\colon F\to G$，都有唯一的層態射$\tilde f \colon aF \rightarrow G$使$f = \tilde f i$。其實a是從層範疇到預層範疇的包含函子（或遺忘函子）的左伴隨函子，i是伴隨的單位。這樣，層範疇變為預層的Giraud子範疇。這就是為什麼在構造層態射或層張量積的上核時會出現層化函子，而非在構造核時出現。

### 子層、商層

若K是阿貝爾群的層F的子層，則商層Q是與預層$U \mapsto F(U)/K(U)$相聯繫的層；即，商層符合阿貝爾群層的正合序列（exact sequence）：

$$0 \to K \to F \to Q \to 0.$$

（這也稱作層擴張。）

令$F,G$為阿貝爾群層。層F到G的態射的集合$\operatorname{Hom}(F, G)$形成阿貝爾群（由G的阿貝爾群結構決定）。則，F與G的層同態記作

$$\mathcal{Hom}(F, G)$$

是阿貝爾群層$U \mapsto \operatorname{Hom}(F|_U, G|_U)$，其中$F|_U$是$(F|_U)(V) = F(V)$給出的U上的層（此處不需層化）。F、G的直和是$U \mapsto F(U) \oplus G(U)$給出的層，F、G的張量積是與預層$U \mapsto F(U) \otimes G(U)$相關聯的層。

所有運算都可擴張到環層A上的模層；A是常層$\underline{\mathbf{Z}}$時，以上是特殊情形。

### 基本泛函性

由於（預）層的數據取決於基空間的開子集，不同拓撲空間上的層彼此無關，即之間沒有態射。不過，給定兩拓撲空間之間的連續映射$f:X\to Y$，則前推和拉回將X上的層和Y上的層聯繫起來，反之亦然。

#### 直像

層$\mathcal{F}$在X上的前推（也稱作直像）是層

$$(f_* \mathcal F)(V) = \mathcal F(f^{-1}(V)).$$

其中V是Y的開子集，因此根據f的連續性，其預像在X中是開的。

這構造恢復了上述摩天層$S_x$：

$$S_x = i_* (S)$$

其中$i: \{x\} \to X$是包含，而S被視作單元集上的層（由$S(\{*\})=S, S(\emptyset) = \emptyset$）。

對於局部緊空間之間的映射，有緊支撐集的直像是直像的子層。由定義，$(f_! \mathcal F)(V)$包含支撐集為V上的緊合映射的$f \in \mathcal F(f^{-1}(V))$。若f自身緊合，則$f_! \mathcal F = f_* \mathcal F$，但一般不一致。

#### 逆像

拉回或逆像則相反，在X上從Y上的層$\mathcal G$產生層$f^{-1} \mathcal G$。若f是開子集的包含，則逆像只是一個限制，即對開的$U\subset X$，由$(f^{-1} \mathcal G)(U) = \mathcal G(U)$給出。現有某空間X，如對一些開子集$U_i$，$X= \bigcup_{i \in I} U_i$且F的限制對所有開子集為常值，則層F是局部常層。在很多拓撲空間X上，這種層等價於基本群$\pi_1(X)$的表示。

對一般映射f而言，$f^{-1} \mathcal G$的定義更複雜，在逆像函子處很詳細。從自然識別的角度來看，莖是拉回中的基本特例，其中i如上：

$$\mathcal G_x = i^{-1}\mathcal{G}(\{x\}).$$

更一般地說，莖滿足$(f^{-1} \mathcal G)_x = \mathcal G_{f(x)}.$

#### 零擴張

對開子集的包含$j : U \to X$，U上阿貝爾群層的零擴張的定義是

$(j_! \mathcal F)(V) = \mathcal F(V)$，若$V \subset U$，否則$(j_! \mathcal F)(V) = 0$。

對X上的層$\mathcal G$，這構造在某種意義上是$i_*$的補充，其中i是U之補的包含：

$(j_! j^* \mathcal G)_x = \mathcal G_x,\ \forall x\in U$，否則莖為零；而

$(i_* i^* \mathcal G)_x = 0,\ \forall x\in U$，否則等於$\mathcal G_x$。

因此，這些函子十分利於將X的層理論問題簡化為分層問題（即將X分解為更小的局部閉子集）。

## 補

### 更一般範疇中的層

上述（預）層的$\mathcal F(U)$只是集合，很多時候跟蹤界面上的附加結構也很重要。例如，連續函數層的截面自然形成了實向量空間，限制是其間的線性映射。

在任意範疇C中取值的預層是這樣定義的：將X上的開集範疇視作偏序範疇$O(X)$，其對象是X的開集，態射是包含。則，X上的C值預層等同於$O(X)\to C$的反變函子。這函子範疇中的態射（也稱作自然變換）與上面定義的態射相同，由定義自明。

若目標範疇C允許所有極限，則對任意開集U的每個開覆蓋$\mathcal{U} = \{U_i\}_{i \in I}$，若下圖是等化子，則C值預層是層：

$$F(U) \rightarrow \prod_{i} F(U_i) {{{} \atop \longrightarrow}\atop{\longrightarrow \atop {}}} \prod_{i, j} F(U_i \cap U_j).$$

其中第一個映射是下面的限制映射之積：

$$\operatorname{res}_{U_i, U} \colon F(U) \rightarrow F(U_i)$$

那對箭頭是兩組限制集之積：

$$\operatorname{res}_{U_i \cap U_j, U_i} \colon F(U_i) \rightarrow F(U_i \cap U_j)$$

及

$$\operatorname{res}_{U_i \cap U_j, U_j} \colon F(U_j) \rightarrow F(U_i \cap U_j).$$

若C是阿貝爾範疇，則這條件也可改寫為要求有正合序列

$$0 \to F(U) \to \prod_i F(U_i) \xrightarrow{\operatorname{res}_{U_i \cap U_j, U_i} - \operatorname{res}_{U_i \cap U_j, U_j}} \prod_{i,j} F(U_i \cap U_j).$$

這層條件的特殊情形是：U是空集，索引集I也是空集。這時層條件要求$\mathcal F(\emptyset)$是C中的終對象。

### 賦環空間與模層

在代數幾何與微分幾何等學科中，空間伴隨著環的自然層，常稱作結構層，記作$\mathcal{O}_X$。這樣的對子$(X, \mathcal O_X)$稱作賦環空間。很多種空間都可定義為某種賦環空間。通常，結構層的所有莖$\mathcal O_{X, x}$都是局部環，這時稱作局部賦環空間。

例如，n維$C^k$流形M是局部賦環空間，其結構層包含M的開子集上的$C^k$函數。局部賦環空間的性質，意味著x點非零的函數在x的足夠小的開鄰域上也非零。有人將實（或復）流形定義為局部賦環空間，且局部同構於$\R^n$（或$\C^n$）的開子集及$C^k$（或全純）函數的層組成的對子。相似地，代數幾何的基礎空間概念——概形，是與環的譜局部同構的局部賦環空間。

給定賦環空間，模層是層$\mathcal{M}$，使對開集$\forall U\subset X,\ \mathcal{M}(U)$是$\mathcal{O}_X(U)$模；對每個開集的包含$V\subseteq U$，限制映射$\mathcal{M}(U) \to \mathcal{M}(V)$與限制映射$\mathcal{O}(U) \to \mathcal{O}(V)$相容：$\forall f\in \mathcal{O}(U),\ s\in \mathcal{M}(U)$，對fs的限制是f的限制乘以s的限制。

最重要的幾何對象是模的層。例如，向量叢與$\mathcal{O}_X$模的局部自由層間存在一一對應關係。這範式適用於實向量叢、復向量叢和代數幾何中的向量叢（其中$\mathcal O$分別包含光滑函數、全純函數與正規函數）。微分方程解的層是D模，即微分算子層上的模。在任何拓撲空間上，常層$\underline{\mathbf{Z}}$上的模都與上述意義的阿貝爾群層是一樣的。

對環層的模層，有個不尋常的逆像函子，通常記作$f^*$，與$f^{-1}$不同。

#### 模層的有限性條件

交換環上模的有限性條件也會引起類似的模層的有限性條件：若對每個點$x\in X$，存在x的開鄰域U、自然數n（可能取決於U）及層的滿射$\mathcal{O}_X^n|_U \to \mathcal{M}|_U$，則$\mathcal{M}$稱作有限生成；若滿射是$\mathcal{O}_X^m|_U \to \mathcal{O}_X^n|_U \to \mathcal{M}|_U \to 0$（m也是自然數），則稱作有限表示。與凝聚模的概念相似，若$\mathcal{M}$是有限類，且對每個開集U、每個層態射$\phi : \mathcal{O}_X^n \to \mathcal{M}$（不必是滿射），$\phi$的核也是有限類，則稱$\mathcal{M}$是凝聚層。$\mathcal{O}_X$若作為自身上的模是凝聚的，則也是凝聚的。與模類似，凝聚一般是個嚴格強於有限表示的條件。岡凝聚定理指出，複流形上全純函數層是凝聚的。

## 層的平展空間

上面的例子中可以觀察到，有些層是以截面層的形式自然出現的。實際上，集合的所有層都可表為拓撲空間的截面層，前者即是平展空間。

層論發展的早期，就證明了給定層X上的F和給定一個特定拓撲空間E以及一個從E到X的連續函數一樣。更精確的講：對於一個X上的集合層F，存在一個局域同胚

π: E → X

使得F和上節例子中所述的π的截面層同構。

進一步的有，空間E是確定的，最多差一個F的同胚。這是F的莖空間：每個莖給了離散拓撲，並且我們取所有莖的不交並，而π把所有的莖Fx映射到x。這個莖的空間的拓撲可以取為這樣一個拓撲，它使得層F可以從π截面的層中重建出來。

在高一級的抽象中，我們可以說X上的集合的層的範疇是等價於到X的局部同胚的範疇的。（也可以從可表示函子的理論的角度來考慮這樣一個空間；歷史表明這個理論也在1950年代中期發展出來）。

在Godement的深具影響的關於同調代數和層論的書中（Topologie Algebrique et Theorie des Faisceaux, R. Godement），空間E被稱為平展空間（espace étalé）；在那本書中，層事實上定義為從局部同胚的截面得到；上面給出的函子方式的定義後來才出現，但現在更為普遍。

上面的考慮對於X上的C層也成立：我們還是從莖的空間出發，每個莖是C中的一個對象，而截面自然也成為C中的對象。

給定任意連續映射g : Z → X,相應的截面的層給了上述方式的莖的空間E和一個局部同胚π : E → X。在某種意義上，這是處理映射g的所有'分支'，並且是以'儘可能最好的方式'。這可以用共軛函子表示；但是從某種意義上講層的更廣泛的概念遠離了幾何直覺。

## 層上同調

在開集U固定、層被視為變量的情形中，集合$F(U)$也常表示為$\Gamma(U, F).$ 如上所述，這函子並不保留滿態射，層滿態射$\mathcal F \to \mathcal G$是具有以下性質的映射：對任意截面$g \in \mathcal G(U)$，有覆蓋$\mathcal{U} = \{U_i\}_{i \in I}$，其中$U = \bigcup_{i \in I} U_i$ 的開子集，使限制$g|_{U_i}$在$\mathcal F(U_i)$的像中；但g本身不一定在$\mathcal F(U)$的像中。這種現象的一個具體例子是全純函數層與非零全純函數間的指數映射

$$\mathcal O \stackrel{\exp} \to \mathcal O^\times$$

這映射是滿態射，相當於說，任意非零全純函數g（如在某C的開子集上）允許局部的複對數，即將g限制到適當的開子集後，有複對數。不過g不一定有全局對數。

層上同調捕捉到了這一現象：對阿貝爾群層正合序列

$$0 \to \mathcal F_1 \to \mathcal F_2 \to \mathcal F_3 \to 0,$$

（即滿態射$\mathcal F_2 \to \mathcal F_3$，核是$\mathcal F_1$），有長正合序列$$0 \to \Gamma(U, \mathcal F_1) \to \Gamma(U, \mathcal F_2) \to \Gamma(U, \mathcal F_3) \to H^1(U, \mathcal F_1) \to H^1(U, \mathcal F_2) \to H^1(U, \mathcal F_3) \to H^2(U, \mathcal F_1) \to \dots$$通過序列，第一上同調群$H^1(U, \mathcal F_1)$是$\mathcal F_2,\ \mathcal F_3$截面之間映射的非滿射性的度量。

有幾種不同方法構造層上同調。將其定義為$\Gamma$的導出函子，這方法在理論上很令人滿意，但由於基於單射消解，在具體計算中用處不大。Godement消解是另一種通用但實際無法使用的方法。

### 計算層上同調

特別是在流形上的層的背景下，層上同調通常可由軟層、細層和弛層的消解來計算。例如，單位分解表明，流形上的光滑函數層是軟的。更高階上同調群$H^i(U, \mathcal F)\ (i > 0)$對軟層為零，這就提供了計算其他層的上同調的方法，例如德拉姆復形是任何光滑流形上的常層$\underline{\mathbf{R}}$的消解，於是$\underline{\mathbf{R}}$的層上同調等於其德拉姆上同調。

另一種方法是切赫上同調，是第一個為層發展的上同調論，非常適合具體計算，如計算復射影空間$\mathbb{P}^n$的凝聚層上同調。其將空間開子集上的截面同空間上的上同調類聯繫起來。切赫上同調與導出函子上同調往往能算出相同的上同調群，但對某些病態空間，切赫上同調能給出正確的$H^1$，而給出錯誤的更高階上同調群。為解決這問題，讓-路易·韋迪耶提出了超覆疊，不僅能給出正確的高階上同調群，還允許用來自另一空間的某些態射替換上述開子集。這種靈活性在部分應用中非常有必要，如皮埃爾·德利涅的混合霍奇結構構造。

很多其他凝聚層上同調群存在於空間X嵌入已知上同調的空間（如$\mathbb{P}^n$或一些加權射影空間）$i:X \hookrightarrow Y$找到的。這樣，這些環境空間上的已知的層上同調群可與層$i_*\mathcal{F}$相關聯，給出$H^i(Y,i_*\mathcal{F}) \cong H^i(X,\mathcal{F})$。例如，計算射影面曲線的凝聚層上同調就很容易。這空間中的一個重要定理是用與層上同調群相關的譜序列找到的霍奇分解，是德利涅證明的。本質上，$E_1$頁的項$E_1^{p,q} = H^p(X,\Omega^q_X)$是光滑射影簇X的層上同調的退化，即$E_1 = E_\infty$。這給出了上同調群上的正規霍奇結構$H^k(X,\mathbb{C})$。後來發現，這些上同調群很容易用格里菲斯留數計算，見雅可比理想。這類定理引出了關於代數簇上同調的最深刻的定理之一——分解定理，為混合霍奇模奠定了基礎。

計算某些上同調群的另一種簡便方法是博雷爾–韋伊–博特定理，將一些標誌流形上的線叢的上同調群與李群的不可約表示聯繫起來。比如說，這定理可用來輕鬆計算射影空間和格拉斯曼流形上所有線叢的上同調群。

很多時候，層有一種對偶理論，推廣了龐加萊對偶性。見凝聚對偶性與韋迪耶對偶性。

### 層的導出範疇

（舉例來說，某空間X上阿貝爾群的）層範疇的導出範疇可記作$D(X)$，是層上同調概念的避風港，因為有以下關係：

$$H^n(X, \mathcal F) = \operatorname{Hom}_{D(X)}(\mathbf Z, \mathcal F[n]).$$

$f^{-1}$是$f_*$的左伴隨（已經在阿貝爾群層的級別），給出了伴隨

$f^{-1} : D(Y) \rightleftarrows D(X) : R f_*$ (for $f: X \to Y$),

其中$Rf_*$是導出函子。後一個函子包含了層上同調的概念，因為$H^n(X, \mathcal F) = R^n f_* \mathcal F$ for $f: X \to \{*\}.$

與$f_*$相似，也可推導出具有緊支撐集的直像$f_!$。根據下面的同構，$R f_! F$參數化了f的纖維的具有緊支撐集的上同調：

$(R^i f_! F)_y = H^i_c(f^{-1}(y), F).$

這同構是基變換定理的一例。還有伴隨

$$Rf_! : D(X) \rightleftarrows D(Y) : f^!.$$

不同於上述所有函子，扭（或特殊）反像函子$f^!$一般只定義在派生範疇的層級上，即函子不是阿貝爾範疇間的某函子的導出函子。若$f: X \to \{*\}$，X是n維光滑有向流形，則

$f^! \underline \mathbf R \cong \underline \mathbf R [n].$

這種計算，以及函子與對偶性的相容性（見韋迪耶對偶性）蘊含著對龐加萊對偶性的高深見解。在概形上的准凝聚層中，有類似的對偶性，稱作凝聚對偶性。

錯致層是$D(X)$中的某些對象，即復層（但一般不是真（proper）層），是研究奇點幾何的重要工具。

#### 凝聚層的導出範疇與格羅滕迪克群

層導出範疇的另一重要應用是概形X上凝聚層的導出範疇，記作$D_{Coh}(X)$。格羅滕迪克在研究相交理論時使用了導出範疇與K-理論，即子概形$Y_1, Y_2$的交積在K-理論中表示為$[Y_1]\cdot[Y_2] = [\mathcal{O}_{Y_1}\otimes_{\mathcal{O}_X}^{\mathbf{L}}\mathcal{O}_{Y_2}] \in K(\text{Coh(X)})$其中$\mathcal{O}_{Y_i}$是凝聚層，由其結構層給出的$\mathcal{O}_X$模定義。

## 景與意象（拓撲斯）

安德烈·韋伊的韋伊猜想認為，有限域上的代數簇有一種上同調論，可給出黎曼猜想的類似理論。複流形的上同調可定義為歐氏拓撲中局部常層$\underline{\mathbf{C}}$的層上同調，這意味著將正示性的韋伊上同調論定義為常層的層上同調。但是，這樣的簇上唯一的經典拓撲是扎里斯基拓撲，其開集非常少，以至於不可約簇上任何扎里斯基常層的上同調都為零。亞歷山大·格羅滕迪克通過引入格羅滕迪克拓撲解決了這問題，其公理化了「覆疊」的概念。格羅滕迪克的獨到見解是，層的定義只取決於拓撲空間的開集，而非單個點。公理化了覆疊的概念，就可以把開集換成其他對象。預層可把每個對象作為數據，而層就是在新覆疊概念下滿足粘合公理的預層。這使得格羅滕迪克能定義平展上同調和ℓ進上同調，最終用於證明韋伊猜想。

具有格羅滕迪克拓撲的範疇叫做景（site）。景上的層範疇稱作意象（topos，或音譯拓撲斯）或格羅滕迪克意象。意象的概念後來被William Lawvere和Miles Tierney抽象化，以定義基本意向，與數理邏輯有關。

## 歷史

層論最初的起源很難確認—它們可能和解析延拓的思想共存。可以識別的獨立的層論才從上同調的基礎工作中出現大約花了15年的時間。

- 1936年愛德華·切赫引入神經（Nerve）構造，以將一個單純復形關聯到一個開覆蓋。
- 1938年Hassler Whitney給出上同調的一個'現代'定義，歸納了自J. W. Alexander和Kolmogorov首次定義余鏈（cochain）以來的工作。
- 1943年諾曼·斯廷羅德發表了關於帶局部係數的同調類的工作。
- 1945年讓·勒雷發表了作為POW進行的工作，由應用到偏微分方程理論的不動點定理的證明作為其動機；它是層論和譜序列的開始。
- 1947年昂利·嘉當在和安德烈·韋伊的通信中用層的方法重新證明了德拉姆定理。勒雷在他的課程中通過閉集（後來的殼（carapaces）)給了一個層的定義。
- 1948年嘉當研討班首次寫下層論
- 1950年嘉當研討班的層論'第二版':使用了層空間（éspace étalé，平展空間）的定義，採用莖方面的結構。支集和有支集的上同調被引入。連續映射導致了譜序列。同時岡潔在多復變量中引入和理想的層相似的思想。
- 1951年嘉當研討班基於岡潔的工作證明了定理A和B。
- 1953年凝聚層的有限性定理在解析理論中由卡當和塞爾證明，塞爾對偶性也得到了證明。
- 1954年塞爾的論文Faisceaux algébriques cohérents（發表於1955年）把層引入代數幾何。這些思想很快為Hirzebruch所採用，他在1956年寫了一本拓撲方法的重要著作。
- 1955年格羅滕迪克在堪薩斯的講演中定義了可交換範疇和預層，然後使用內射分解（injective resolution）使得層上同調可以在所有拓撲空間作為導函子直接使用。
- 1956年扎里斯基（Oscar Zariski）的報告代數層論，第二個夏季學院的科學報告：多復變量1954年, Boulder (Col.),第三部，美國數學學會公告, t. 62, 1956年, 117-141頁.
- 1957年格羅滕迪克的Tohoku論文重寫了同調代數；他證明了格羅滕迪克對偶性（也即，對於可能有奇點的代數簇的塞爾對偶性）。
- 1958年Godement關於層論的著作出版。大約同一時間佐藤干夫建議了他的超函數，它具有層論的本質。
- 1957年以後：格羅滕迪克按照代數幾何的需要擴展了層論，引入：概形和其上的一般層，局部上同調，導出範疇（derived category，與Verdier的共同工作)，以及格羅滕迪克拓撲。也出現了他極有影響的同調代數的'六操作'的概形思想。

至此，層成為數學的一個主流部分，其應用根本不局限於代數拓撲。後來層範疇的邏輯被發現是直覺邏輯（該發現現在經常被稱為Kripke-Joyal語義，但可能應該歸功於一系列作者）。這表明層論的某些方面甚至可以追述到萊布尼茲。

## 參考文獻

- (oriented towards conventional topological applications)
- (updated edition of a classic using enough sheaf theory to show its power)
- (advanced techniques such as the derived category and vanishing cycles on the most reasonable spaces)
- (category theory and toposes emphasised)
- (concise lecture notes)
- (pedagogic treatment)
- (introductory book with open access)