纖維叢

纖維叢（fiber bundle），在數學上，特別是在拓撲學中，是一個局部看來像直積空間，但是整體可能有不同的結構。每個纖維叢對應一個連續滿射

$$\pi :E\rightarrow B$$

$E$和乘積空間$B\times F$的局部類似性可以用映射 $\pi$ 來說明。也就是說：在每個$E$的局部空間 $U$，都存在一個相同的$F$（$F$稱作纖維空間），使得 $\pi$ 限制在 $U$ 上時 與直積空間$B\times F$的投影$P:B\times F\mapsto B,\quad P(b, f)=b$ 相似。（通常會用此滿射：$\pi : E\rightarrow B$來表示一個纖維叢，而忽略$F$）

如果$E=B\times F$，也就是一個可以整體上等於乘積空間的叢叫做平凡叢（trivial bundle）。

纖維叢擴展了向量叢(vector bundle)，向量叢的主要實例就是流形的切叢（tangent bundle）。他們在微分拓撲和微分幾何領域有著重要的作用。他們也是規範場論的基本概念。

## 正式定義

一個纖維叢由四元組（$E$, $B$, $\pi$, $F$）組成，其中$E$, $B$, $F$是拓撲空間而$\pi : E\rightarrow B$是一個連續滿射，滿足下面給出的局部平凡（local triviality）條件。$B$稱為叢的基空間（base space），$E$稱為總空間（total space），而$F$稱為纖維（fiber）。映射$\pi$稱為投影映射.下面我們假定基空間$B$是連通的。

我們要求對於$B$中的每個點$x$，存在一個在$B$中 包含$x$的開鄰域$U$，並有一個同胚映射$\varphi : \pi^{-1} (U) \rightarrow U\times F$ (顯然$U\times F$是一個乘積空間)，$\varphi$並且要滿足 $\textstyle \pi(y)=\operatorname{proj}_1\circ\phi(y),\,\forall y\in\pi^{-1}(U)$，也就是下圖是可交換的：

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其中$\operatorname{proj}_1: U\times F\rightarrow U$是自然投影而$\varphi : \pi^{-1} (U) \rightarrow U\times F$是一個同胚（這裡的局部平凡條件有些書會定義為 $\textstyle x=\pi\circ\varphi^{-1}(x, f),\,\forall x\in U, f\in F$）。所有$\{ (U_i, \varphi_i) \}$的集合稱為叢的局部平凡化。

對於$B$中每點$p$，原象（preimage）$\pi^{-1}(p)$和$F$同胚並稱為點$p$上的纖維。一個纖維叢（$E$, $B$, $\pi$, $F$）經常記為

$$F \longrightarrow E \ \xrightarrow{\, \ \pi \ } \ B$$

以引入一個空間的短正合列。注意每個纖維叢$\pi : E\rightarrow B$都是一個開映射，因為積空間的投影是開映射。所以$B$有由映射$\pi$決定的商拓撲(quotient topology).

一個光滑纖維叢是一個在光滑流形的範疇內的纖維叢。也就是，$E$, $B$, $F$都必須是光滑流形且所有上面用到的函數都必須是光滑映射。

## 例子

令$E=B\times F$並令$\pi : E\rightarrow B$為對第一個因子的投影，則$E$是$B$上的叢。這裡$E$不僅是局部的積而且是整體的積。任何這樣的纖維叢稱為平凡叢。

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最簡單的非平凡叢的例子可能要算莫比烏斯帶（Möbius strip）。莫比烏斯帶是一個以圓為基空間$B$並以線段為纖維$F$的叢。對於一點$x \in B$的鄰域是一段圓弧；在圖中，就是其中一個方塊的長。原象$\pi^{-1}(U)$在圖中是個（有些扭轉的）切片，4個方塊寬一個方塊長。同胚$\varphi$把$U$的原象映到柱面的一塊：彎曲但不扭轉。

相應的平凡叢$B\times F$看起來像一個圓柱，但是莫比烏斯帶有個整體上的扭轉。注意這個扭轉只有整體上才能看出來；局部看來莫比烏斯帶和圓柱完全一樣（在其中任何一個豎直的切一刀會產生同樣的空間）。

一個類似的非平凡叢是克萊因瓶，它可以看作是一個「扭轉」的圓在另一個圓上的叢。相應的平凡叢是一個環，$S^1\times S^1$。

一個覆蓋空間是一個以離散空間為纖維的纖維叢。

纖維叢的一個特例，叫做向量叢,是那些纖維為向量空間的叢（要成為一個向量叢，叢的結構群—見下面—必須是一個線性群）。向量叢的重要實例包括光滑流形的切叢和餘切叢。

另一個纖維叢的特例叫做主叢。更多的例子參看該條目。

一個球叢是一個纖維為n維球面的纖維叢。給定一個有度量的向量叢（例如黎曼流形的切叢），可以構造一個相應的單位球叢，其在一點$x$的纖維是所有$E_x$的單位向量的集合.

## 截面

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纖維叢的截面（section或者cross section）是一個連續映射$f: B\rightarrow E$使得$\pi (f(x))=x$對於所有$B$中的$x$成立。因為叢通常沒有全局有定義的截面，理論的一個重要作用就是檢驗和證明他們的存在性。這導致了代數拓撲的示性類理論。

截面經常只被局部的定義（特別是當全局截面不存在時）。纖維叢的局部截面是一個連續映射$f:U\rightarrow E$其中$U$是一個$B$中的開集而$\pi (f(x))=x$對所有$U$中的$x$成立。若$(U,\varphi)$是一個局部平凡化圖，則局部截面在$U$上總是存在的。這種截面和連續映射$U\rightarrow F$有1-1對應。截面的集合組成一個層（sheaf）。

## 結構群和轉移函數

纖維叢經常有一個對稱群描述重疊的圖之間的相容條件。特別的，令$G$為一個拓撲群，它連續的從左邊作用在纖維空間$F$上。不失一般性的，我們可以要求$G$有效的作用在$F$上，以便把它看成是$F$的同胚群。纖維叢的一個$G$-圖冊（$E$, $B$, $\pi$, $F$）是之前定義過的局部平凡化並且滿足：對任何兩個重疊的局部平凡化中的元素也就是圖$(U_i, \varphi_i)$和$(U_j, \varphi_j)$且 $U_i\cap U_j \neq \emptyset$，則函數

$$\varphi_i\varphi_j^{-1} : (U_i \cap U_j) \times F \to (U_i \cap U_j) \times F$$

是由以下方式給出：

$$\varphi_i\varphi_j^{-1}(x, \xi) = (x, t_{ij}(x)\xi),\quad \forall x\in U_i \cap U_j, \xi\in F$$

其中 $t_{ij} : U_i \cap U_j \to G$ 是一個稱為轉移函數（transition function）的連續映射。兩個$G$-圖冊是等價的如果他們的聯集也是$G$-圖冊。一個$G$-叢是有$G$-圖冊等價類的纖維叢。群$G$稱為該叢的結構群（structure group）。

在光滑範疇中，一個$G$-叢是一個光滑纖維叢，其中$G$是一個李群而相應的在$F$上的作用是光滑的並且變換函數都是光滑映射。

轉移函數$t_{ij}$滿足以下條件

- $$t_{ii}(x) = 1$$
- $$t_{ij}(x) = t_{ji}(x)^{-1}$$
- $$t_{ik}(x) = t_{ij}(x)t_{jk}(x)$$

第三個條件用到三個相交的 $U_i \cap U_j \cap U_k$上叫做上鏈條件（cocycle condition，見Čech上同調）。

一個主叢是一個$G$-叢，其纖維可以認為是$G$本身，並且有一個在全空間上的$G$的右作用保持纖維不變。

## 外部連結

- PlanetMath: Fiber Bundle
- MathWorld: Fiber Bundle

## 參考

- Norman Steenrod, The Topology of Fiber Bundles, Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6.
- David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, Addison-Wesley publishing, Reading, Mass (1981). ISBN 0-201-10096-7. See chapter one.