索洛模型

<image>

索洛-斯旺模型（Solow–Swan model，又稱外生增長模型，exogenous growth model）是一種解釋長期經濟增長的經濟模型。該模型通過考察資本積累、人口增長以及主要由技術進步推動的生產率提升，試圖闡釋長期經濟增長的內在機制。其核心在於採用了通常設定為柯布-道格拉斯形式的總量生產函數，這使得模型「能夠與微觀經濟學建立聯繫」。該模型由羅伯特·索洛和特雷弗·斯旺於1956年分別獨立提出，並取代了凱恩斯學派的哈羅德-多馬模型。

從數學形式上看，索洛模型是由單一的人均資本存量微分方程構成的非線性系統。憑藉其突出的數學特性，該模型成為後續諸多擴展研究的理想起點。例如在1965年，戴維·卡斯和佳林·庫普曼斯將弗蘭克·拉姆齊的消費者最優化分析納入該框架，通過將儲蓄率內生化，最終發展出如今被稱為拉姆齊-卡斯-庫普曼斯模型的理論體系。

## 緣起

索洛-斯旺模型是對1946年哈羅德-多馬模型的重要拓展，它摒棄了「唯有資本推動經濟增長」的嚴格假設（只要存在足夠勞動力來利用全部資本）。該模型的理論突破主要源自索洛和斯旺1956年的獨立研究，他們各自構建了簡明扼要的增長模型。索洛模型較成功地擬合了美國經濟增長數據，索洛於1987年憑藉這項貢獻榮獲諾貝爾經濟學獎。如今，經濟學家運用索洛的增長核算方法，可分離評估技術進步、資本和勞動力對經濟增長的差異化影響。

作為經濟學領域應用最廣泛的經濟增長解釋模型，索洛模型的核心觀點是：「全要素生產率（TFP）的提升能夠推動國家生活水平實現持續增長」。

### 擴展哈羅德模型

索洛的理論突破在於引入勞動力作為生產要素，打破了哈羅德-多馬模型中資本產出比固定的假設。這些改進使得資本深化能夠與技術進步的效應相區分。索洛認為，假設生產函數裡昂惕夫生產函數是導致哈羅德-多馬模型中增長路徑不穩定的關鍵問題。他通過研究柯布-道格拉斯函數和更泛用的常替代彈性（CES）生產函數，拓展了理論邊界。儘管這一修正已成為經濟學教科書上的經典案例，但近年對哈羅德原著的重新審視發現：其研究重點本不在經濟增長，也並未明確使用固定投入比例生產函數。

### 長期經濟含義

標準的索洛模型預測：長期來看，經濟體將收斂於平衡增長路徑，人均收入的持續增長只能通過技術進步實現。儲蓄率與人口增長率的變化僅會產生水平效應（即影響人均實際收入的絕對值）。該模型有個引人深思的推論：貧窮國家應增長更快，最終趕超富裕國家。這種趨同現象可能源於：

- 知識傳播的時滯效應：隨著落後國家獲取先進技術和資訊，收入差距將縮小。
- 國際資本流動的優化：貧窮國家資本回報率理論上應更高（但現實中少見，稱為盧卡斯悖論）。
- 模型本身的數學特性（假設貧窮國家尚未達到穩態）。

鮑莫爾的實證研究曾發現國家初始財富與長期產出增長（1870-1979年）存在強相關性，但布拉德福德·德龍後續指出其樣本選擇偏差和1870年人均收入測算誤差可能導致結論失真，因此他認為趨同理論缺乏有力證據。

### 核心假設

經濟在任意時間點$t$都擁有特定數量的資本（$K$）、勞動力（$L$）和技術（$A$），這些要素與生產函數（$F$）共同決定總產出$Y$：

$$Y(t)=F(K(t),A(t)L(t))$$

其中，乘積$A(t)L(t)$稱為有效勞動。通常假設生產函數$F$符合新古典特徵，即具備以下四個性質：

- 生產要素必要。必要性指的是如果缺少任意一種生產要素的投入，則產出總是為0：
- $$F(K(t)=0,A(t)L(t)>0)=0, \;\; F(K(t)>0,A(t)L(t)=0)=0$$
- 規模報酬不變。從經濟學角度來說，生產要素投入的共同增加或減少會導致產出同比例增加或減少。從數學角度來說，有效勞動和資本具有一次齊次性質：
- $$F(\lambda K(t), \lambda A(t)L(t))=\lambda F(K(t),A(t)L(t))$$
- 邊際報酬遞減且為正。這一性質由生產函數的假設條件所決定。資本和有效勞動的邊際報酬均為正，但隨著該要素投入的增加而遞減。從經濟學角度來說，當使用的有效勞動增加時，總產出會上升，但如果已有大量有效勞動投入，產出的增幅會逐漸減小。從數學角度來說，這意味著生產函數對有效勞動和資本的一階偏導數為正，但二階偏導數為負：
- $$\frac{\partial F}{\partial K(t)}>0, \;\; \frac{\partial^2 F}{\partial K(t)^2}<0$$
- $$\frac{\partial F}{\partial (A(t)L(t))}>0, \;\; \frac{\partial^2 F}{\partial (A(t)L(t))^2}<0$$
- 函數滿足稻田條件。當單一生產要素的投入趨近於零時，該要素的邊際產出必須趨近於無窮大；反之，當要素投入趨近於無窮大時，其邊際產出必須趨近於零。稻田條件決定了生產方程漸進於柯布-道格拉斯形式：
- $$\lim_{K(t) \to 0} \frac {\partial F}{\partial K(t)} = \infty, \;\; \lim_{K(t) \to \infty} \frac {\partial F}{\partial K(t)} = 0$$
- $$\lim_{L(t) \to 0} \frac {\partial F}{\partial (A(t) L(t))} = \infty, \;\; \lim_{L(t) \to \infty} \frac {\partial F}{\partial (A(t) L(t))} = 0$$

### 測算生產率影響

該模型中，在剔除資本積累影響後仍無法解釋的那部分產出增長被稱為「索洛剩餘」。這一剩餘量衡量了特定時期內全要素生產率（TFP）的外生性增長。雖然全要素生產率增長通常被完全歸因於技術進步，但它實際上還包含生產要素組合效率的持續改善。全要素生產率增長還隱含地涵蓋了經濟體系中公私部門管理方法改進帶來的永久性生產率提升。反常的是，儘管該模型將全要素生產率增長設定為外生變量，但由於其不可直接觀測，只能通過同時估算特定時期資本積累對增長的影響來間接測算。

該模型可以因為生產率假設或測量指標不同而有多種表述：

- 平均勞動生產率（ALP）是單位勞動工時的經濟產出。
- 多要素生產率（MFP）是經濟產出除以資本與勞動投入的加權平均值。權重通常基於各要素在總收入中的分配比例，西方國家常見標準為：資本回報占33%，勞動回報占67%。

在增長型經濟中，資本積累速度快於人口增速，因此多要素（MFP）計算式中分母的增速快於平均勞動（ALP）計算式。這就導致MFP增速幾乎總是低於ALP增速，因此採用ALP衡量會放大資本深化的效應。索洛剩餘測算得出的是多要素生產率（MFP）。

## 模型的數學表達

教科書中的索洛-斯旺模型設定在一個沒有政府部門或國際貿易的連續時間世界中。單一產品（產出）通過兩種生產要素——勞動（$L$）和資本（$K$）——在滿足稻田條件的總量生產函數中生產，這些條件意味著替代彈性必須漸近趨近於1。

$$Y(t)=K(t)^\alpha(A(t)L(t))^{1-\alpha}\,$$

<image>

其中$t$表示時間，$0 < \alpha < 1$是產出對資本的彈性，$Y(t)$代表總產出。$A$指代勞動增進型技術或「知識」，因此$AL$表示有效勞動。所有生產要素均被充分利用，初始值$A(0)$、$K(0)$和$L(0)$給定。勞動力數量以及技術水平分別以外生速率$n$和$g$增長：

$$L(t) = L(0)e^{nt}$$

$$A(t) = A(0)e^{gt}$$

因此，有效勞動單位數量$A(t)L(t)$的增長速率為$(n+g)$。同時，資本存量與流量以恆定速率$\delta$折舊。然而，只有產出的部分比例（$cY(t)$，其中$0<c<1$）被消費，剩餘儲蓄份額$s = 1-c$用於投資。這一動態通過以下微分方程表示：

$$\dot{K}(t) = s \cdot Y(t) - \delta \cdot K(t)\,$$

其中$\dot{K}$是$\frac{dK(t)}{dt}$的簡寫，表示對時間的導數，意味著資本存量的變化——既未被消費也未被用於替換老舊的資本品的產出即為淨投資。

由於生產函數$Y(K, AL)$具有規模報酬不變的特性，它可以表示為「每有效勞動單位的產出」$y$，這是衡量財富創造的指標：

$y(t) = \frac{Y(t)}{A(t)L(t)} = \frac{K(t)^{\alpha}(A(t)L(t))^{1-\alpha}}{A(t)L(t)} = \frac{K(t)^{\alpha}}{(A(t)L(t))^{\alpha}} = k(t)^{\alpha}$

$$y(t) = \frac{Y(t)}{A(t)L(t)} = k(t)^\alpha$$

模型的主要關注點是資本密集度$k$的動態，即每單位有效勞動的資本存量。其隨時間變化的規律由索洛模型的關鍵方程給出：

$\dot{k}(t) = \frac{\dot{K}(t)}{A(t)L(t)} - \frac{K(t)}{[A(t)L(t)]^2}[A(t)\dot{L}(t)+L(t)\dot{A}(t)] = \frac{\dot{K}(t)}{A(t)L(t)} - \frac{K(t)}{A(t)L(t)} \frac{\dot{L}(t)}{L(t)} - \frac{K(t)}{A(t)L(t)} \frac{\dot{A}(t)}{A(t)}$

$\dot{K}(t) = sY(t) - \delta K(t)\,$

$\frac{\dot{L}(t)}{L(t)}$

$\frac{\dot{A}(t)}{A(t)}$

$n$

$g$

$\dot{k}(t) = s\frac{Y(t)}{A(t)L(t)} - \delta\frac{K(t)}{A(t)L(t)} - n\frac{K(t)}{A(t)L(t)} - g\frac{K(t)}{A(t)L(t)} = sy(t) - \delta k(t) - nk(t) - gk(t)$

$y(t) = k(t)^\alpha$

$$\dot{k}(t) = sk(t)^{\alpha} - (n + g + \delta)k(t)$$

第一項$sk(t)^{\alpha} = sy(t)$是每單位有效勞動的實際投資：$s$即為每單位有效勞動產出$y(t)$中用於儲蓄和投資的比例。第二項$(n + g + \delta)k(t)$是「收支平衡投資」：為防止$k$下降所需的最低投資量。該方程表示，$k(t)$會收斂到穩態值$k^*$，即$sk(t)^{\alpha} = (n + g + \delta)k(t)$，此時資本密集度既不增加也不減少：

$$k^* = \left( \frac{s}{n + g + \delta} \right)^{1/(1-\alpha)} \,$$

在此狀態下，資本存量$K$和有效勞動$AL$均以速率$(n + g)$增長。同樣，可以計算$k^*$對應的穩態產出$y^*$：

$$y^* = \left( \frac{s}{n + g + \delta} \right)^{\alpha/(1-\alpha)} \,$$

根據規模報酬不變的假設，產出$Y$也以相同速率增長。本質上，索洛模型預測無論起點如何，經濟都將收斂於平衡增長路徑。在此情況下，人均勞動產出的增長僅由技術進步率決定。

根據定義$\frac{K(t)}{Y(t)} = k(t)^{1-\alpha}$，在均衡$k^*$處有：

$$\frac{K(t)}{Y(t)} = \frac{s}{n + g + \delta}$$

因此，在均衡狀態下，資本產出比僅取決於儲蓄率、增長率和折舊率。這是索洛模型對儲蓄率的黃金律水平的表述。

<image>

由於${\alpha}<1$，在任意時間$t$，資本$K(t)$的邊際產出與資本勞動比率呈反比：

$$MPK=\frac{\partial Y}{\partial K}= \frac{\alpha A^{1-\alpha}}{(K/L)^{1-\alpha}}$$

因為資本邊際產出$\frac{\partial Y}{\partial K}$等於回報率$r$：

$$\alpha = \frac{K\frac{\partial Y}{\partial K}}{Y} = \frac{rK}{Y} \,$$

所以$\alpha$是資本占收入的份額。因此，索洛模型從一開始就假設勞動與資本的收入分配比例是恆定的。

如果生產率$A$在各國相同，那麼資本勞動比率$K/L$較低的國家邊際產出更高，這將提供更高的資本投資回報。因此，模型預測在一個開放市場經濟和全球金融資本的世界中，投資將從富國流向窮國，直到各國間的人均資本$K/L$和人均收入$Y/L$趨於均等。

由於窮國的資本邊際產出並不高於富國，這意味著窮國的生產率較低。基礎的索洛模型無法解釋為何這些國家的生產率較低。盧卡斯提出，窮國較低的人力資本水平可以解釋這種生產率差異。

## 曼昆-羅默-威爾版本

### 引入人力資本

1992年，格里高利·曼昆、戴維·羅默與戴維·N·威爾提出一個索洛模型的改進版本，通過引入人力資本要素，解釋了國際投資為何未能流向貧困國家。該模型認為，貧困國家因人力資本存量低於富裕國家，導致其資本$K$的邊際產出和總產出水平較低。

與教科書的索洛-斯旺模型類似，該模型採用柯布-道格拉斯形式的生產函數：

$$Y(t) = K(t)^\alpha H(t)^\beta (A(t)L(t))^{1 - \alpha - \beta},$$

其中$H(t)$表示人力資本存量，其折舊率$\delta$與物質資本相同。為簡化分析，假設兩類資本積累函數相同。如同原模型，每期產出中有一部分$sY(t)$被儲蓄起來，但此處儲蓄被分割為物質資本投資$s_K$和人力資本投資$s_H$，即$s = s_K + s_H$。因此模型包含兩個核心動態方程：

$$\dot{k} = s_K k^\alpha h^\beta - (n + g + \delta)k$$

$$\dot{h} = s_H k^\alpha h^\beta - (n + g + \delta)h$$

當$\dot{k} = \dot{h} = 0$時，系統達到平衡增長路徑，即滿足$s_K k^\alpha h^\beta - (n + g + \delta)k = 0$與$s_H k^\alpha h^\beta - (n + g + \delta)h = 0$。求解可得穩態下的$k$和$h$：

$$k^* = \left( \frac{s_K^{1 - \beta} s_H^\beta}{n + g + \delta} \right)^{\frac{1}{1- \alpha- \beta}}$$

$$h^* = \left( \frac{s_K^\alpha s_H^{1- \alpha}}{n + g + \delta} \right)^{\frac{1}{1- \alpha- \beta}}$$

穩態時人均產出為$y^{} = (k^{})^\alpha (h^{*})^\beta$。

### 條件趨同

加入人力資本要素的索洛模型預測：若貧困國家在物質資本和人力資本的投資率（占產出比重）上與富裕國家相似，其收入水平將趨向於追趕富裕國家，這一過程稱為條件趨同。然而各國儲蓄率差異顯著，特別是教育投資面臨著嚴重融資約束，人力資本儲蓄率也往往受各國文化和意識形態特徵影響。

自1950年代以來，富裕與貧困國家的人均產出總體上未出現絕對趨同，但大幅提高儲蓄率的貧困國家確實經歷了模型預測的收入趨同。例如，曾相對貧困的日本通過1950-1960年代提高儲蓄率實現高速增長，其人均產出已趨近富裕國家水平；而1970年左右儲蓄率穩定後，其人均產出增速如模型所預測逐漸放緩。

美國南部各州人均收入水平逐漸向北部趨近的現象也符合條件趨同理論。國家或地區間能否實現絕對趨同取決於其是否具備相似特徵，例如：

- 教育政策
- 制度安排
- 內部市場政策
- 對外貿易政策

跨國多元回歸分析為條件趨同提供了更多證據。

## 另請參閱

- 經濟增長
- 內生成長理論

## 外部連結

- Solow Model Videos - 20+ videos walking through derivation of the Solow Growth Model's Conclusions
- Video explanation by Marginal Revolution University
- Java applet where you can experiment with parameters and learn about Solow model
- Solow Growth Model by Fiona Maclachlan, The Wolfram Demonstrations Project.
- A step-by-step explanation of how to understand the Solow Model
- Professor José-Víctor Ríos-Rull's course at University of Minnesota