Γ函數

在數學中，$\Gamma \,$函數（伽瑪函數；Gamma函數），是階乘函數在實數與複數域上的擴展。如果$n$為正整數，則：

$$\Gamma(n) = (n-1)!$$

根據解析延拓原理，伽瑪函數可以定義在除去非正整數的整個複數域上：

$\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}\mathrm{e}^{-t}\rm{d}t,$ $\Re(z)>0.$

數學家勒讓德首次使用了希臘字母Γ作為該函數的記號。在機率論和組合數學中此函數很常用。

## 定義

$\Gamma \,$函數可以通過歐拉（Euler）第二類積分定義：

$$\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}\mathrm{e}^{-t}\rm{d}t$$

對複數$z\,$，我們要求$\mathrm{Re}(z) > 0$。

$\Gamma$函數還可以通過對$\mathrm{e}^{-t}\,$做泰勒展開，解析延拓到整個複平面：

$$\Gamma(z)=\int_{1}^{\infty}\frac{t^{z-1}}{\mathrm{e}^t}{\rm{d}}t+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\frac{1}{n+z}$$

這樣定義的$\Gamma$函數在全平面除了$z=0,-1,-2,\ldots$以外的地方解析。

$\Gamma$函數也可以用無窮乘積的方式表示：

$$\Gamma(z)=\frac{1}{z}\prod_{n=1}^{\infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^{-1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{z}$$

這說明$\Gamma(z)$是亞純函數，而$\frac{1}{\Gamma(z)}$是全純函數。

## 歷史動機

Γ函數本身可以被看作是一個下列插值問題的解：

『找到一個光滑曲線連接那些由 $y = (x - 1)!$ 所給定的點$(x, y)$，並要求$x$要為正整數』

由前幾個的階乘清楚地表明這樣的曲線是可以被畫出來的，但是我們更希望有一個精確的公式去描述這個曲線，並讓階乘的操作不會依賴於$x$值的大小。而最簡單的階乘公式 $x! = 1 \times 2 \times \cdots \times x$ 不能直接應用在$x$值為分數的時候，因為它被限定在$x$值為正整數而已。相對而言，並不存在一個有限的關於加總、乘積、冪次、指數函數或是對數函數可以表達 $x!$，但是是有一個普遍的公式藉由微積分的積分與極限去表達階乘的，而 Γ函數就是那個公式。

階乘有無限多種的連續擴張方式將定義域擴張到非整數：可以通過任何一組孤立點畫出無限多的曲線。Γ函數是實務上最好的一個選擇，因為是解析的(除了非正整數點)，而且它可以被定義成很多種等價形式。然而，它並不是唯一一個擴張階乘意義的解析函數，只要給予任何解析函數，其在正整數上為零，像是 $k\sin (m\pi x)$，會給出其他函數有著階乘性質。

## 無窮乘積

$\Gamma\,$函數可以用無窮乘積表示：

$$\Gamma(z) = \lim_{n \to {\infty}} n! \; n^z\prod_{k=0}^{n} (z+k)^{-1}$$

$$\Gamma(z) = \frac{\mathrm{e}^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} \mathrm{e}^{\frac{z}{n}}$$

其中$\gamma\,$是歐拉-馬歇羅尼常數。

## Γ積分

$$1= \int_{0}^{\infty}\frac{x^{\alpha-1}\lambda^\alpha \mathrm{e}^{-\lambda x}}{\Gamma\left(\alpha \right)} {\rm{d}} x$$

$$\implies \frac{\Gamma\left(\alpha\right)}{\lambda^\alpha} = \int_{0}^{\infty} x^{\alpha-1}\mathrm{e}^{-\lambda x} {\rm{d}}x$$

## 遞推公式

$\Gamma \,$函數的遞推公式為：

$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$。

對於正整數$n\,$，有

$\Gamma(n+1)=n!$。

可以說$\Gamma \,$函數是階乘的推廣。

### 遞推公式的推導

$$\Gamma(n + 1) = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^{n + 1 - 1} \mathrm{d}x = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^n {\rm{d}}x$$

我們用分部積分法來計算這個積分：

$$\int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^n \mathrm{d}x = \left[\frac{-x^n}{\mathrm{e}^x}\right]_0^\infty + n \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^{n - 1} {\rm{d}} x$$

當$x=0 \,$時，$\tfrac{-0^n}{\mathrm{e}^0} = \tfrac{0}{1} = 0$。當$x \,$趨於無窮大時，根據洛必達法則，有：

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-x^n}{\mathrm{e}^x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-n! \cdot 0}{\mathrm{e}^x} = 0$.

因此第一項$\left[\tfrac{-x^n}{\mathrm{e}^x}\right]_0^\infty$變成了零，所以：

$$\Gamma(n + 1) = n \int_0^\infty \frac{x ^{n - 1}}{\mathrm{e}^x} {\rm{d}}x$$

等式的右面正好是$n \Gamma(n)\,$, 因此，遞推公式為：

${\Gamma(n + 1) = n \Gamma(n)} \,$.

## 重要性質

- 當$z\to 0^+$時，$\Gamma(z)\to+\infty$

$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}} \quad (0<\mathrm{Re}(z)<1)$.

由此可知當$\ z=\tfrac{1}{2}$時，$\Gamma\left(\tfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$.

- 伽馬函數還是負自然指數函數的梅林變換: $\Gamma(z)=\mathcal{M}\{e^{-x}\}(z).$

$\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \tfrac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z)$。

$\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \tfrac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \tfrac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \tfrac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{\frac{m-1}{2}} \; m^{\frac{1}{2} - mz} \; \Gamma(mz)$.

$\Gamma\left(n+\tfrac{1}{2}\right)=\frac{(2n)!\sqrt{\pi}}{n!4^n}$.

$$\Gamma(1/6) = \Gamma(1/3)^2 / \sqrt{\pi} * 2^{2/3} * \sin({\pi/3}).$$

$$\Gamma(5/6) = 1 / \Gamma(1/3)^2 * \sqrt{\pi}^3 * 2^{4/3} / \sqrt{3}.$$

$$\Gamma(1/10) = \Gamma(1/5) * \Gamma(2/5) / \sqrt{\pi} * 2^{4/5} * \sin({2*\pi/5}).$$

$$\Gamma(3/10) = \Gamma(1/5) / \Gamma(2/5) * \sqrt{\pi} / 2^{3/5} / \sin({3*\pi/10}).$$

$$\Gamma(7/10) = \Gamma(2/5) / \Gamma(1/5) * \sqrt{\pi} * 2^{3/5}.$$

$$\Gamma(9/10) = 1 / (\Gamma(1/5) * \Gamma(2/5)) * \sqrt{\pi}^3 / 2^{4/5} / (\sin(\pi/10) * \sin({2*\pi/5})).$$

此式可用來協助計算t分布機率密度函數、卡方分布機率密度函數、F分布機率密度函數等的累計機率。

- 極限性質

對任何實數α

$$\lim_{n\to\infty} \frac{\Gamma(n+\alpha)}{\Gamma(n)n^{\alpha}} = 1, \qquad \alpha\in\mathbf{R}$$

### 斯特靈公式

$\Gamma(z+1)$（藍色）、$\sqrt{2\pi z}\left(\frac{z}{e}\right)^z$（橘色），數字越大$\sqrt{2\pi z}\left(\frac{z}{e}\right)^z,$會越趨近$\Gamma(z+1)$。但$\sqrt{2\pi z}\left(\frac{z}{e}\right)^z$會在負值則會因為出現虛數而無法使用。

斯特靈公式能用以估計$\Gamma(z)$函數的增長速度。公式為：

$$\Gamma(z+1)\sim\sqrt{2\pi z}\left(\frac{z}{e}\right)^z,$$

其中e約等於e。

### 特殊值

$$\begin{array}{rcccl} \Gamma\left(-\tfrac{3}{2}\right) &=& \tfrac{4}{3} \sqrt{\pi} &\approx& 2.363\,271\,801\,207 \\ \Gamma\left(-\tfrac{1}{2}\right) &=& -2\sqrt{\pi} &\approx& -3.544\,907\,701\,811 \\ \Gamma\left(\tfrac{1}{2}\right) &=& \sqrt{\pi} &\approx& 1.772\,453\,850\,906 \\ \Gamma(1) &=& 0! &=& 1 \\ \Gamma\left(\tfrac{3}{2}\right) &=& \tfrac{1}{2}\sqrt{\pi} &\approx& 0.886\,226\,925\,453 \\ \Gamma(2) &=& 1! &=& 1 \\ \Gamma\left(\tfrac{5}{2}\right) &=& \tfrac{3}{4}\sqrt{\pi} &\approx& 1.329\,340\,388\,179 \\ \Gamma(3) &=& 2! &=& 2 \\ \Gamma\left(\tfrac{7}{2}\right) &=& \tfrac{15}{8}\sqrt{\pi} &\approx& 3.323\,350\,970\,448 \\ \Gamma(4) &=& 3! &=& 6 \end{array}$$

連分數表示

伽馬函數也可以在複數域表示為兩個連分數之和：

$$\Gamma (z)=\cfrac{e^{-1}}{2+0-z+1\cfrac{z-1}{2+2-z+2\cfrac{z-2}{2+4-z+3\cfrac{z-3}{2+6-z+4\cfrac{z-4}{2+8-z+5\cfrac{z-5}{2+10-z+\ddots}}}}}}+\cfrac{e^{-1}}{z+0-\cfrac{z+0}{z+1+\cfrac{1}{z+2-\cfrac{z+1}{z+3+\cfrac{2}{z+4-\cfrac{z+2}{z+5+\cfrac{3}{z+6-\ddots}}}}}}}$$

## 導數

Γ函數（藍色）、Γ函數的微分（橘色），其中，大於50與小於-20的部分被截掉。

對任何複數z，滿足 Re(z) > 0，有

$$\frac{{\rm d}^n}{{\rm d}z^n}\,\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} (\ln t)^{n} dt$$

於是，對任何正整數 m

$$\Gamma'(m+1) = m! \left( - \gamma + \sum_{k=1}^m\frac{1}{k} \right)\,$$

其中γ是歐拉-馬歇羅尼常數。

## 複數值

$$\Gamma(x+{\rm{i}}y)=\left\{\int_1^{\infty}\frac{t^{x-1}}{\mathrm{e}^t}\cos (y\ln t){\rm{d}}t+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!}\left[\frac{k+x}{(k+x)^2+y^2}\right]\right\}+{\rm{i}}\left\{\int_1^{\infty}\frac{t^{x-1}}{\mathrm{e}^t}\sin (y\ln t){\rm{d}}t-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!}{\left[\frac{y}{(k+x)^2+y^2}\right]}\right\}\,$$

## 解析延拓

<image>

注意到在$\Gamma$函數的積分定義中若取$z \,$為實部大於零之複數、則積分存在，而且在右半複平面上定義一個全純函數。利用函數方程

$$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}} \quad (0 < \mathrm{Re}(z) < 1)$$

並注意到函數$\sin (\pi z) \,$在整個複平面上有解析延拓，我們可以在$\mathrm{Re}(z)<1$時設

$$\Gamma(z) = \dfrac{\pi}{\Gamma(1-z) \sin{\pi z}}$$

從而將$\Gamma \,$函數延拓為整個複平面上的亞純函數，它在$z=0,-1,-2,-3\cdots$有單極點，留數為

$$\mathrm{Res}(\Gamma, -n) = \dfrac{(-1)^n}{n!}.$$

## 程式實現

許多程式語言或試算表軟體有提供Γ函數或對數的Γ函數，例如EXCEL。而對數的Γ函數還要再取一次自然指數才能獲得Γ函數值。例如在EXCEL中，可使用GAMMALN函數，再用`EXP[GAMMALN(X)]`，即可求得任意實數的伽瑪函數的值。

- 例如在EXCEL中：`EXP[GAMMALN(4/3)]`=gamma(4/3)

而在沒有提供Γ函數的程式環境中，也能夠過泰勒級數或斯特靈公式等方式來近似，例如Robert H. Windschitl在2002年提出的方法，其在十進制可獲得有效數字八位數的精確度，已足以填滿單精度浮點數的二進制有效數字24位：

$$\Gamma(z) \approx \sqrt{\frac{2 \pi}{z} } \left( \frac{z}{e} \sqrt{ z \sinh \frac{1}{z} + \frac{1}{810z^6} } \right)^{z}$$