中國算學

中國算學是指古代中國傳統的數學體系，簡稱中算，具有發展的獨創性，且具備完整體系。其基本特徵在於將實用問題（包括幾何學問題）代數化，轉化為線性方程組、高次多項式方程、或高次多項式方程組，主要利用機械化的算具和算法求解，或進行刻板的、有系統的逐次消元過程，為求將多元線性方程組、或多元高次方程組轉化為單變數式或單變數多項式。由於中國傳統數學以算為主，故稱為算學。算籌、算盤就是中國古代的「電腦」，又稱為算具。算經中的術文和珠算口訣就是計算程序，又稱為演算法。中國數學史又稱為中算史，並影響到漢字文化圈其他地區的傳統數學，如日本的和算，朝鮮半島的韓算，以及越南、琉球的算學。

從秦漢以來，直到宋元，中國算學一直領先世界。而代數學基本是中國的創造。

## 歷史

中國算學起源於仰韶文化，距今有五千餘年歷史，在周公時代，數乃是六藝之一。在春秋時代十進位制的籌算已經普及。著名日本數學史家三上義夫指出，「中國之算學史，其有長期之發展，不能不謂之為世界中稀有之例也」，中國算學的發展有二三千年之久，如此長久的發展歷史為世界罕見。

### 上古至西漢

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中國考古學家在陝西發現的幾十萬年前藍田猿人遺留的不規則的石球。幾萬年前山西原始人製作的石球形狀規則。到了新石器時代，出現空心陶球。七千年前河姆渡人遺址中發現圓筒，圓珠等形狀。新石器時代陶器上出現有規則的圖案。半坡出土文物中有雙耳陶器，三足陶器，有的陶器上刻有四葉紋，說明上古時代已有1，2，3，4等數字概念。

十進位制起源於古中國，最遲在公元前1400年的商代就已經出現。從一萬多年前山頂洞人遺址中出土的骨管，上刻有可能表示十進位制的圓形、長形刻符。1974年－1978年中國考古學家從青海樂都縣出土數萬件新石器時代的遺物，其中有些骨片上有不同數目的刻紋，表示1到8之數，未發現有10道以上刻紋，與存在十進位制相符。

籌算至少在戰國初年已然出現。它使用商代發明的十進位制計數，利用九九表可以很方便地進行四則運算以及乘方、開方等較複雜運算，並可以對零、負數和分數作出表示與計算。

春秋戰國時代已經形成數學的九個分支-九數，包括方田（田地測算）、粟米（糧食換算比率）、差分（賦稅的分配）、少廣（田畝面積和長闊）、商功（工程土方估計）、均輸（運輸費用的分配）、方程（方程式）、盈不足、旁要（勾股問題）。鄭玄引《周禮注》：「九數：、方田、粟米、差分、少廣、商功、軍輸、方程、盈不足、旁要。」。

西漢初期出現了一本數學教科書《算數書》，其一些內容明顯和《九章算術》平行。有學者認為算數書可能是九章算術的母本。《九章算術》成書於大約1世紀，但也可能早在200BC就已存在。多數學者相信直到九章算術定形時中國的數學和古代地中海世界的數學多少是獨立的發展的。當中的開平方、開立方、算術應用、正負數、連立一次方程、二次方程等都領先世界幾個世紀西漢的張蒼、耿壽昌增補和整理《九章算術》，寫成定本，詳細說明開平方、開立方、和求解線性方程組的演算法。張衡發明$\sqrt{10}$、$\frac{92}{29}$、$\frac{730}{232}$作為圓周率的值。

## 魏晉南北朝

此一時期（220年-581年），中國數學在四方面有長足進展，分別為直角三角形三邊關係的確認、測量學、平面面積和立體體積的計算，以及推算圓周率，由趙爽、劉徽、祖沖之與祖暅父子4人個別或相繼完成。趙爽是魏晉時人，著有《周髀算經注》，其中「勾股圓方圖注」附有圖示，列出有關直角三角形三邊關係的命題21條，分屬「勾股」定理、「弦圖」定理、「勾實之矩」定理與「股實之矩」定理。當中唯有「勾股」定理已見於《周髀算經》。

稍後的劉徽亦魏晉時人，著有《九章算術注》，為《九章算術》各種演算法提出簡括証明。他並在注文中提出割圓術，以內接正六邊形開始，逐次倍加邊數的方法，逐步逼近圓周率。前三世紀，希臘數學家阿基米德已用正多邊形逐漸增加邊數的方法求圓周率，但他兼用內接和外切兩種計算，得到出的估計值:${223 \over 71} <\Pi < {22 \over 7}$；也就是 $3.140845 < \pi < 3.142857$。劉徽的割圓術相比更為簡便，劉徽所得的π=3.1416也優於阿基米德。《九章算術注》亦提出重差術，應用中國傳統的出入相補原理，來測量山高水深等數值。他又指出《九章算術》計算球體體積方法錯誤，但亦未能提出更準確方法。這個疑問須留待祖沖之解決。

祖沖之與祖暅父子使中國數學發展創一高峰。祖沖之著有《綴術》、《九章術義注》及《重差注》（一說《綴術》乃祖暅所作），惜俱失佚。數學上祖沖之的最大貢獻有推算圓周率及計算球體體積（一說後者乃祖暅之法）。他繼承劉徽的割圓術，計算圓周率準確至小數點後7位數(3.1415926<π<3.1415927)，這個記錄保持了900多年，至15世紀方為阿拉伯數學家卡西打破。祖沖之（或祖暅）並以直截面積相比的方法，解決球體體積問題（在西方，球體體積問題前三世紀阿基米德已解決），其法今存於唐代李淳風的《九章算術注》中。祖沖之計算方法巧妙，應用現今所謂「卡瓦列里定理」：「等高處的截面面積相等，則二立體的體積相等。」此定理今人公認是義大利數學家卡瓦列里（Gavalieri）所創，因而命名，其實早已為祖沖之所應用。

曆法方面，祖沖之編定「大明曆」，在身故後10年為梁朝所採用，取代何承天（370年-447年）欠準確的舊曆。

## 隋唐

唐代，有關重差術的注文被抽出單行，題為《海島算經》，成為《算經十書》之一。劉徽創造的四次重差觀測術，「使中國測量學達到登峰造極的地步」，使「中國在數學測量學的成就，超越西方約一千年」（美國數學家弗蘭克·斯委特茲語）

## 宋朝

秦九韶的 《數書九章》發展了一元高次方程求數值解的程序化、機械化演算法。

## 金元

元代朱世傑的 《四元玉鑒》發展了多至四元的多項式方程組的消元和求解的演算法。

## 明清

明代朱載堉發明十二平均律時，使用80檔大算盤，計算開平方，開立方到小數點後25位。

- 算學寶鑑

## 著名古代中國數學家

南北朝時的祖沖之是第一個準確計算圓周率值到小數點後6位的人。

南宋末年時的秦九韶推導出中國剩餘定理。

## 特點

### 實用性

中國算學具有強烈的實用數學特點，和抽象與系統化的希臘數學形成鮮明的對照。從《周髀算經》《九章算術》、 《海島算經》到《數書九章》等算經十書其取材都和天文、曆算、農業、測量、工程等實用問題。

### 機械化

中國算學有別於希臘數學的特點，是機械化、演算法化、和構造性，與希臘數學重邏輯推理相對照。中國算學使用算籌、算盤為工具，以算經中的術文和珠算口訣作為計算程序。中國古代算學家擅長計算，祖沖之精確計算圓周率，領先世界近一千年就是一個很好的例子。明代朱載堉發明十二平均律時，使用80檔大算盤，計算開平方，開立方到小數點後25位，又是一例。

### 代數化

中國算學基本特徵在於將實用問題（包括幾何學問題）代數化，轉化為線性方程組、高次多項式方程、或高次多項式方程組。然後運用算具通過刻板的、機械的逐次消元程序求將多元線性方程組、或多元高次方程組轉化為單變數式或單變數多項式。再經過機械化的演算法和算具求解。這和西方數學講究「存在性」，「完備性」而不重實用成鮮明的對照。經西漢的張蒼、耿壽昌增補和整理成定本的《九章算術》已經詳細說明開平方、開立方、和求解線性方程組的演算法。宋代秦九韶的 《數書九章》發展了一元高次方程求數值解的程序化、機械化演算法。元代朱世傑的 《四元玉鑒》更進一步發展了多至四元的多項式方程組的消元和求解的演算法。

## 參考文獻

- 吳文俊主編 《中國數學史大系》
- 吳文俊 《數學機械化》前言 《科學出版社》 ISBN 7-03-010765-0
- 郭書春 主編 李兆華副主編 《中國科學技術史》 《數學卷》科學出版社 2010 ISBN 978-7-03-029055-3
- 李約瑟原著，柯林·羅南改編：《中華科學文明史》第二卷第一章。The Shorter Science & Civilisation in China 2, p5, Cambridge University Press, ISBN 0-521-23582-0
- 《李儼.錢寶琮科學史全集》卷1-10 頁遼寧教育出版社. 1998
- 王渝生 劉純主編 《中國數學史大系》卷一至卷十一 河北科學技術出版社
- 鄒大海著《中國數學的興起和先秦數學》《中國數學史大系》河北科學技術出版社
- 孔國平著《李冶朱世傑與金元數學》》《中國數學史大系》河北科學技術出版社
- 勞漢生著《珠算與實用算術》》《中國數學史大系》河北科學技術出版社
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- 三上義夫 《中國算學之特色》緒論 1933年 商務印書館《萬有文庫》#0400
- 三上義夫 The Development of Mathematics in China and Japan 1913 Leipzig
- 沈康身編 《算數書解說》，吳文俊主編 《中國數學史大系》副卷第一卷 北京師範大學出版社 2004 ISBN 7-303-05292-5/O
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