數學史

數學史的主要研究對象是歷史上的數學發現，調查它們的起源，或更廣義地說，數學史就是對過去的數學方法與數學符號的探究。

數學起源於人類早期的生產活動，為古中國六藝之一，亦被古希臘學者視為哲學之起點。數學最早用於人們計數、天文、度量甚至是貿易的需要。這些需要可以簡單地被概括為數學對結構、空間以及時間的研究；對結構的研究是從數字開始的，首先是從我們稱之為初等代數的——自然數和整數以及它們的算術關係式開始的。更深層次的研究是數論；對空間的研究則是從幾何學開始的，首先是歐幾里得幾何和類似於三維空間的三角學。後來產生了非歐幾里得幾何，在相對論中扮演著重要角色。

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在進入知識可以向全世界傳播的現代社會以前，有記錄的新數學發現僅僅在很少幾個地區重見天日。目前最古老的數學文本是《普林頓 322》（古巴比倫，約公元前1900年），《萊因德數學紙草書》（古埃及，約公元前2000年-1800年），以及《莫斯科數學紙草書》（古埃及，約公元前1890年）。以上這些文本都涉及到了如今被稱為畢達哥拉斯定理的概念，後者可能是繼簡單算術和幾何後，最古老和最廣泛傳播的數學發現。

在公元前6世紀後，畢達哥拉斯將數學作為一門實證的學科進行研究，他創造了古希臘語單詞μάθημα（mathema），意為「（被人們學習的）知識學問」。希臘數學家在相當大的程度上改進了這些數學方法，並擴大了數學的主題。中國數學做了早期貢獻，包括引入了位值制系統。如今大行於世的印度-阿拉伯數字系統和運算方法，很可能是在公元後1000年的印度逐漸演化，並被伊斯蘭數學家通過花拉子米的著作將其傳到了西方。伊斯蘭數學則將以上這些文明的數學做了進一步的發展貢獻。許多古希臘和伊斯蘭數學著作隨後被翻譯成了拉丁文，引領了中世紀歐洲更深入的數學發展。

從16世紀文藝復興時期的義大利開始，算術、初等代數及三角學等初等數學已大體完備。17世紀變數概念的產生使人們開始研究變化中的量與量的互相關係和圖形間的互相變換。隨著自然科學和技術的進一步發展，為研究數學基礎而產生的集合論和數理邏輯等也開始慢慢發展。

從古代到中世紀，數學發展的歷史時期都伴隨著數個世紀的停滯，但從16世紀以來，新的數學發展伴隨新的科學發展，讓數學不斷加速大步前進，直至今日。

## 史前數學

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數學有著久遠的歷史。它被認為起源於人類早期的生產活動；中國古代的六藝之一就有「數」，數學一詞在西方有希臘語詞源μαθηματικός（mathematikós）, 意思是「學問的基礎」，源於μάθημα（máthema）（「科學，知識，學問」）。

數學的源頭在數、量和形之中。現代對動物認知的研究表明，這並不是人類特有的概念。這些概念是狩獵者-採集者社會中日常生活的一部分。在一些語言的詞彙中，保留了「一」、「二」、「很多」的區別，但並沒有大於二的數，這個事實支持了「數」的概念是隨時間而演化的說法。

史前的人類就已嘗試用自然的法則來衡量物質的多少、時間的長短等抽象的數量關係，如時間－日、季節和年。算術(加減乘除)也自然而然地產生了。古代的石碑亦證實了當時已有幾何的知識。

已知最古老的數學工具是發現於史瓦帝尼萊邦博山的萊邦博骨，大約是公元前35,000年的遺物。它是一支狒狒的腓骨，上面被刻意切割出29個不同的缺口，使用計數婦女及跟蹤婦女的月經週期。相似的史前遺物也在非洲和法國出土，大約有35,000至20,000年之久，都與量化時間有關。發現於尼羅河上源之一的愛德華湖西北岸伊香苟地區（位於剛果民主共和國東北部），或許有20000年甚至更久，則刻有三組一系列的條紋符號，每列和骨頭等長。常見的解釋是已知最早的質數序列，亦有認為是代表六個陰曆月的紀錄。學者彼得·魯德曼否認素數序列的解釋，他認為素數的概念只能出現在除法之後，而他認定除法是在公元前1000年後才出現的，因此在公元500年以前，素數是不太可能被理解的。他寫道，「一個計數符號之類的東西為什麼要展示2的倍數，10到20之間的素數，和一些幾乎是10的倍數，這是沒人嘗試解釋過的」。而根據學者亞歷山大·馬沙克的說法，這個骨頭可能影響了隨後埃及數學的發展。因為埃及算術就像這塊骨頭一樣，也使用了2的倍數，然而，這也是有爭議的。

其他地區亦發現不同的史前記數系統，如符木或於印加帝國內用來儲存數據的奇普。

在幾何學方面，公元前五千年的古埃及前王朝時期即已出現用圖畫表示的幾何圖案。也有人聲稱，年代大約是公元前三千年的英格蘭和蘇格蘭地區的巨石文化遺址中，也發現了融入幾何觀念的設計，包括圓形、橢圓形和畢達哥拉斯三元數。然而上述發現也全部有爭議，而目前最早的無爭議之數學史料當前依然是來自古巴比倫和古埃及史後的。

從歷史時代的一開始，數學內的主要原理是為了做稅務和貿易等相關計算，為了了解數字間的關係，為了測量土地，以及為了預測天文事件而形成的。這些需要可以簡單地被概括為數學對數量、結構、空間及時間方面的研究。

## 古巴比倫數學

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古巴比倫數學指從早期蘇米爾到希臘化時期和幾乎是基督教曙光這段時期，任何美索不達米亞（現伊拉克）人的數學。巴比倫的數學主要來自兩個獨立的時期：公元前2000年的最初的幾百年（舊巴比倫時期）和公元前1000年的幾個世紀（塞琉古帝國時期）。之所以命名為巴比倫數學，是因為巴比倫是當時數學研究中的中心。接著，在阿拉伯帝國之後，美索不達米亞，特別是巴格達，則再次成為了阿拉伯數學研究的中心。

與稀少的埃及數學史料不同，我們對巴比倫數學的認識來自1850年以來挖掘出的超過400塊的泥板。這些泥板以楔形文字，在濕潤的粘土上寫成，隨後用火爐或日照烘乾。其中的一些泥板看起來是被批改過的作業。

書面數學的最早證據可以追溯到最早在美索不達米亞建立文明的古代蘇米爾人，他們在公元前3000年發明了一個複雜的計量法。在公元前2500年左右，蘇米爾人在泥板上寫下了乘法表，並開始涉及幾何習題和除法的問題，最早的巴比倫數字也能追溯到這個時期。

巴比倫數學是用60進位的計數系統寫成的。現代文明中的60秒是一分鐘，60分鐘是一小時，一個圓周是360（60x6）度，以及用「分」和「秒」來表示非整數的弧度，都是來自巴比倫的這套計數系統。之所以選擇60進位，可能是因為60可以被2、3、4、5、6、10、12、15、20和30整除。同時，不像埃及、希臘或羅馬，古巴比倫人使用的是真正的位值制系統，左側的數字代表較大的值，和現代的十進位系統非常相似。巴比倫計數系統的強大之處在於，分數可以像整數一樣方便的表示，而分數乘法和整數乘法沒有區別，這也和現代計數系統相似。巴比倫人的計數法要優於文藝復興之前的任何一個文明，這套計數法的力量允許人們達到非凡計算能力和計算精確度。例如，巴比倫泥板YBC 7289將根號2計算到了（十進位）小數點後5位。然而，巴比倫人缺乏類似十進位的小數點，因此要確認一個符號的進位，通常只能根據上下文來判斷。在塞琉古帝國時期，巴比倫人發明了零的符號，作為空數位的占位符，然而這只用在數字的中間，零沒有出現在數字的末尾，因此巴比倫人發明了非常接近但並非真正的進位系統。

巴比倫數學涵蓋的其他領域包括分數、代數，二次和三次方程，以及不規則倒數近似值的計算。表格則包括乘法表，以及求解線性、二次、三次方程的方法，這在當時是了不起的成就。舊巴比倫時期的表格還包括了最早對畢達哥拉斯定理的表述。然而，和埃及數學一樣，巴比倫數學同樣沒有注意到近似解和確切解的區別，以及一個問題的可解性。更重要的是，沒有數學證明和邏輯原則。

## 古埃及數學

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古埃及數學是指用埃及文寫成的數學。在希臘化時期之後，希臘文取代了埃及文成為埃及學者使用的語言。埃及的數學研究隨後在阿拉伯帝國成為阿拉伯數學的一部分得以延續，而阿拉伯文此時則成為了埃及學者的書面語言。

最具代表性的埃及數學著作是萊因德數學紙草書，斷定為公元前1650年寫成，不過這很可能是一份於公元前2000-1800年的中埃及寫成的更早文獻的謄抄本。這是一份寫給學生的代數和幾何教材，此外，還包括面積公式、乘法除法的計算方法和分數的知識，此外也有其它數學知識的證據，包括素數和合數，代數平均數、幾何平均數以及調和平均數，對埃拉托斯特尼篩法和完美數理論的簡單理解。它同時也展示了如何求解一階線性方程，以及代數和幾何數列。

另一個重要的埃及數學文獻是莫斯科紙草書，同樣來自中埃及時期，斷代為公年前1890年。這份紙草書包括了我們今天的應用題，看上去是為了趣味。其中一個問題被認為是特別重要的，因為它給出了計算錐台面積的方法：「如果你知道一個截斷的角錐，高為4，底邊為4，頂邊為2。你需要先計算4的平方，得16，然後乘以4，得8。計算2的平方，得4。然後把16、8、4加起來，等於28。計算6的三分之一，等於2。將28翻倍，等於56。因此，答案是56，這就是正確的答案。」

最後，柏林紙草書6619（公元前1800年）顯示了古埃及人懂得如何求解二次代數方程。

## 古希臘數學

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古希臘數學指用希臘文寫成，從泰勒斯以來（約公元前600年）到公元後529年雅典學院關閉這段時間的數學成果。希臘數學家居住在整個東地中海，從義大利到北非的地帶，但擁有相同的文化和語言。亞歷山大大帝之後的希臘數學，有時也被稱作希臘化數學。

古希臘數學比其他的早期文明發展出的數學更加先進複雜。古希臘數學之前存留下來的記錄都表明了歸納推理的應用，也就是通過重複的觀察來建立經驗法則。但希臘數學正相反，使用演繹推理。希臘人使用邏輯從定義和公理中推導出結論，並在數學上嚴謹地證明它們。

古希臘數學被認為是源於泰勒斯（公元前624到546年）和畢達哥拉斯（公元前582到507年）。雖然他們的影響程度依然是有爭議的，但他們或許受到了埃及和巴比倫數學的啟發。根據傳說，畢達哥拉斯曾前往埃及向祭司學習數學、幾何以及天文學。

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泰勒斯使用幾何學來解決問題，例如計算金字塔的高度，以及船隻到海岸的距離。他也被認為是將演繹推理應用到幾何學的第一人。由於推導出了泰勒斯定理的四個推論，他被譽為是第一個真正的數學家，以及第一個有署名的數學發現。畢達哥拉斯建立了畢達哥拉斯學院，它的原則是數學統治著宇宙，並有「萬物皆數」的格言。畢達哥拉斯是「數學」這個詞語的提出者，也是因興趣而研究數學的先驅。畢達哥拉斯猜想的最早證明就歸功於畢達哥拉斯學派，儘管對整個定理的表述已經有很長時間的歷史了。他們也證明了無理數的存在。

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柏拉圖在數學史上因啟發和指導他人而非常重要。他創立的雅典柏拉圖學園成為了公元4世紀時世界數學的中心，也是當時一流數學家的母校，比如歐多克索斯。柏拉圖也探討了數學的基礎，澄清了一些定義（例如直線是「不斷延伸的長度」），並對前提做了重新整理。數學分析的方法也同樣歸功於柏拉圖，一個計算勾股數的公式就以他的名字命名。

歐多克索斯（公元前408到355年）發展了窮竭法，是現代積分法的前身；應用了比例論避免了無限小數所遇到的問題。前者使計算曲線圖形的面積和體積成為可能，後者使後來的幾何學家極大推動了幾何學的發展。雖然他並沒有具體的數學發現，但亞里斯多德認為他是把數學建立在邏輯基礎上的功臣。

在公元前3世紀，數學教育和研究的中心在亞歷山大港的繆斯神殿（後世也稱為亞歷山大博物館）。這是歐幾里得講課和寫下《幾何原本》的地方，後者被認為是歷史上最成功和最具有影響力的教科書。《幾何原本》用公理化方法引入了數學的嚴謹性，並且其中最早的「定義」、「公理」、「定理」、「證明」的格式至今依然在數學中使用。儘管絕大多數《幾何原本》中的內容都是已知的，但是歐幾里得將他們組合成了條理分明的一套邏輯框架體系。《幾何原本》因在20世紀中期前教導了所有的西方人而聞名，其中的內容依然在今天的幾何課上講授。除了歐幾里得幾何中令人熟悉的定理以外，《幾何原本》還是當時所有的數學科目的入門課本，例如數論、代數和立體幾何，包括了2的平方根是無理數，以及素數有無窮多個的證明。歐幾里得的著作廣泛，例如圓錐曲線、光學、球面幾何學和力學，但只有一半得以保存下來。

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敘拉古的阿基米德一致被認為是古代最偉大的數學家，他使用了窮竭法求無窮級數的和，計算出了拋物線下的面積，這種方法在現代的微積分課堂上並不陌生。他還顯示了通過窮竭法可以將 $\pi$ 的值計算到任何想要的精度，他還求得了在當時最為精確的 $\pi$ 值：藉在 $3\frac{10}{71}$ 與 $3\frac{10}{70}$ 之間。他還講解了後世以他的名字命名的阿基米德螺線，發現了旋轉曲面的面積公式（拋物面，橢球面和雙曲面），以及一個可以靈活表示極大數字的系統。儘管他在物理和許多高級機械裝置上的貢獻也廣為人知，但他本人更看中自己的數學原則和思想的價值。他認為自己最偉大的成就，是發現球形的表面積和體積公式，也就是證明了球外接圓錐的表面積和體積是該圓錐的 $\frac 2 3$。

阿波羅尼奧斯最重大的貢獻是研究圓錐曲線，表明了通過改變平面截斷二次錐面的角度，可以獲得全部三種圓錐曲線。他創造了我們如今使用的三個術語：「拋物線」（英語：parabola，即齊曲線）、「橢圓」（英語：ellipse，即虧曲線）和「雙曲線」（英語：hyperbola，即超曲線）。他的《圓錐》是古代最著名和至今保存最完好的著作之一。在書中，他推出的許多定理隨後被證明是數學家和研究行星運動的天文學家的無價之寶，例如艾薩克·牛頓。雖然無論是阿波羅尼奧斯本人，還是其它的希臘數學家都沒有邁入解析幾何的領域，但阿波羅尼奧斯對某些橢圓曲線的處理方式已經和現代方法相似，他的一些著作也預示了1800年以後笛卡兒解析幾何的出現。

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在大概在同一時間，埃拉托斯特尼發明了尋找素數的埃拉托斯特尼篩法。公元前3世紀，通常認為是希臘數學的黃金時代，在此之後，就再也沒有那麼多純數學的研究成果出現了。儘管如此，這之後的應用數學得到的很大的發展，例如最有名的三角函數很大程度上是為了滿足天文學的需要。喜帕恰斯被認為是三角函數的創始人，他編制了第一張三角函數表，360度圓周的系統性應用也是自他開始。亞歷山大的海倫被歸功於發現通過三邊計算三角形面積的海倫公式，也是認識到負數可能開平方的第一人。亞歷山大港的梅涅勞斯提出了梅涅勞斯定理，是球面幾何的先驅。古代最完整和最具影響力的三角函數著作是托勒密的《天文學大成》，這是天文學的里程碑著作，其中的三角函數表被隨後的天文學家繼續使用了一千年。利用三角法求圓內接四邊形邊長的托勒密定理也歸功於他本人，托勒密精確計算出了圓周率為 3.1416，這直到中世紀歐洲都是很精確的（中國除外）。

在托勒密去世後一個死氣沉沉的時段過去了，接下來的公元250到公元350年，有時被稱為希臘數學的「白銀時代」。在這個時段，丟番圖在代數，特別是不定分析（即「丟番圖分析」）方面，也作出了令人矚目的貢獻。如今，丟番圖方程和丟番圖逼近是一個重要的研究領域。丟番圖的主要作品是《算術》，其中包括了150個代數問題，研究了方程，特別是不定方程的解析解。《算術》對隨後的數學家產生了巨大的影響，例如皮埃爾·德·費馬就是在閱讀《算術》時，嘗試一般化其中的問題而想到了費馬大定理。丟番圖對數學記號的貢獻也很大，《算術》是目前已知第一個使用簡字代數系統及代數符號的文獻。

帕普斯最後一位希臘的偉大數學家，他生活於約西元 4 世紀，主要的貢獻有帕普斯定理和古爾丁定理，後世還有以帕普斯命名的帕普斯構形和帕普斯圖。其著作《數學彙編》一書記錄了許多重要的古希臘數學成果，因為保存良好，在數學史上意義重大。然而在帕普斯之後的數學家，不再有顯著的創新，大多數的工作內容都流於評論前人的發現。

第一位有歷史記錄的女數學家是希帕提婭。她繼承了父親的職位，成為大圖書館的館長，並且寫了很多關於應用數學的著作。因為亞里山大港的基督教社群認為她引起了一起政治糾紛，她便被撕去衣服，以尖銳的蚌殼（另一說是磚瓦）將她的肉從骨上刮下屠戮致死。

## 中國數學

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早期中國數學和世界其它地方的數學有很大不同，因此可以合理認為是獨立發展的。現存最古老的中國數學文獻是《周髀算經》，成書年代有很多說法，從公元前1200年到公元前100年都有，但認為是在公元前300年左右似乎是合理的。

中國數學最特別的一點就是使用了十進位數位表示法，獨特的「算籌數」用來表示從1到10的數字，而額外的算籌則被用來表示10的乘方。因此，數字123可以表示為符號1，緊跟著符號100，接著符號2與符號10，最後符號3。這是當時全世界最先進的計數系統，而且在現代印度-阿拉伯數字系統引入之前，顯然已經被使用了數個世紀。算籌可以表示任意的大數，並且使得計算可以在中式算盤上進行。算盤的發明日期是不確定的，但最早的書面記錄是在公元190年，東漢徐岳撰寫的《數術記遺》中提到。

中國現存最古老的幾何學作品來自《墨經》，由墨子的弟子編撰。《墨經》涉及了關於物理科學的很多領域的，也講解了少量的幾何定理。

在公元前212年，秦始皇下令焚燒一切不被大秦帝國認可的書籍，史稱焚書坑儒，儘管命令並沒有被絕對遵守，但這導致了21世紀的我們對在此之前的中國數學不甚了解。在焚書之後的公元前212年，成書於漢朝的，被認為是擴展了數學的部分相關著作，如今也已遺失。在這類著作中，最重要的是《九章算術》，此書完整的標題首次出現在公元179年，但在這之前也有提到過部分。本書包括了246個應用題，包含了農業、商業、求塔的高度、工程學和測繪學，還包括了關於直角三角形的pi數值的內容。它還證明了勾股定理，以及高斯消元的公式。劉徽在公元3世紀所作的注釋中，給出了精確到小數點後5位的圓周率。到了公元5世紀，祖沖之將π計算到了小數點後7位，他靠計算上的毅力，計算出之後1000年間最準確的π值。他也發明了以祖暅原理的方法計算球的體積。

中國數學的最高峰出現在13世紀宋朝，此時中國代數得到了發展。其中最重要的著作是朱世傑的《四元玉鑒》，研究一元高次方程組的解，後稱為秦九韶算法，即後世歐洲的霍納演算法。《四元玉鑒》中還包括了八次冪的帕斯卡三角，儘管早在公元1100年就曾出現在中國的數學著作中。中國也發明了複雜的組合數學方面的圖形，也就是幻方和幻圓，在古代就有記載，後被楊輝完善。

就算到了文藝復興之後，歐洲數學開始繁榮發展，歐洲和中國數學依然是完全獨立的，而中國對外的數學思想傳播在13世紀時開始下降。到16世紀和18世紀之間，耶穌會傳教士利瑪竇等人，交流了歐洲和中國的數學思想，儘管此時，傳入的數學思想已經比傳出的多了。

## 印度數學

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印度次大陸上最早的文明是印度河流域文明，在公元前2600年到公元前1900年之間，在印度河畔繁榮發展。他們的城市布局是規則的幾何圖形，但沒有留存下來的數學檔案。

印度-阿拉伯數字是印度的數學家發明的，他們曾經叫做「印度數字」，但後來被歐洲人稱作「阿拉伯數字」，因為是阿拉伯商人把這種數字引入歐洲的。

在印度-阿拉伯數字系統中，有許多用來表示數字的符號，全部都是從婆羅米數字演化而來的。大約十幾種主要的印度手稿都有獨特的數字符號（在仔細查閱Unicode字符表時就可發現）。下面的表格展示了兩個例子：

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現存最古老的印度記錄有舒爾巴經（斷代不同，在公元前8世紀到公元2世紀），這是一份宗教著作的附錄，包括了建設不同形狀祭壇的簡單規則，例如正方形、長方形、平行四邊 形和其它圖形。和埃及相似，數學最初的祭壇應用指明了數學的起源之一是宗教儀式。舒爾巴經還給出了構造和給定正方形面積（大致）相同的圓的方法，這隱含了對pi值不同精度的計算。除此之外，他們還將2的平方根計算到了小數點後7位，列出了勾股數，並且說明了勾股定理。而這一切成果都曾在古巴比倫數學中出現，表明了美索不達米亞文明的影響。然而，目前還不清楚舒爾巴經是否影響了日後的印度數學。和中國一樣，印度數學同樣缺乏連續性，重大的突破往往伴隨著長時間的死寂。

波你尼（公元前5世紀）發明了梵語語法。他的表示法很接近現代數學符號，並且應用了元規則、幾何變換和遞歸。賓伽羅在他的詩歌韻律論述文中，使用了和二進位計數系統相關的文學手法。他對音樂節拍的組合數學討論，相當於二項式定理的簡單版本；賓伽羅的著作還包括了斐波那契數列的基本思想（稱作 mātrāmeru）。

繼舒爾巴經之後的下一份重要的數學檔案是《蘇雅西德漢塔》曆數書，是公元4世紀到公元5世紀寫成的天文學著作，顯示了來自希臘的強烈影響。它們之所以意義重大，是因為它是最早基於半弦來定義三角函數關係的，就像現代幾何學一樣，而非托勒密三角幾何中的全弦。儘管伴隨著一系列翻譯錯誤，但正弦（sine）和餘弦（cosine）就是來自梵語的jiya和kojiya。

在公元5世紀，阿耶波多完成了《阿里亞哈塔曆書》，一本很薄的著作，用詩篇寫成，目的是作為天文計算和數學測量法的補充，儘管其中並沒有邏輯和演繹法的應用。雖然書中幾乎一半的內容都是錯誤的，但這是十進位進位系統第一次出現，幾個世紀之後，阿拉伯數學家阿布·比魯尼表示，此書是「普通石頭和高貴水晶的混合」。

公元7世紀，婆羅摩笈多發現了婆羅摩笈多定理，婆羅摩笈多性質和婆羅摩笈多公式。並且首次《婆羅摩歷算書》提出了零。他清晰的闡述了如何將零同時作為占位符和數字，並且解釋了印度-阿拉伯數字系統。從這本印度著作的一本阿拉伯語翻譯（約公元770年）中，阿拉伯數學家引進了此計數系統，並且將其轉化為了阿拉伯數字。阿拉伯數學家又將這套數字系統的知識在12世紀帶到了歐洲，並在此時取代了一切更老的數字。在公元10世紀，大力摩羅對賓伽羅著作的注釋中，包括了對斐波那契數列和帕斯卡三角的研究，並提出了矩陣。

在公元12世紀，居住在印度南部的婆什迦羅第二全面的寫下了關於數學所有分支的著作。他的著作包含的數學概念等價或幾乎等價於我們今天的無窮小量、導數、中值定理和正弦函數的導數。但他究竟在多大程度上提前發明了微積分，依然是一個在被數學史學家爭議的論題。

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在14世紀，桑加馬格拉馬的馬德哈瓦，喀拉拉數學學院的創立者，發現了π的萊布尼茨序列，並用該公式的21項計算出圓周率為3.14159265259。馬德哈瓦也發現了用來計算反正切的馬德哈瓦-格雷果里級數。馬德哈瓦-牛頓公式也給出的正弦和餘弦函數的計算以及它們的泰勒逼近。在16世紀，耶斯特迪瓦將學院的理論統一成了《數學闡明》。然而，喀拉拉學院並沒有發展出一套微分和積分的完整理論，也沒有任何直接證據證明喀拉拉學院的成果曾被傳出。

## 阿拉伯數學

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橫跨波斯、中東、中亞、北非、伊比利亞和印度部分地區的阿拉伯帝國在公元八世紀對數學做了重要貢獻。儘管大多數阿拉伯著作都是用阿拉伯語寫成的，但多數作者不是阿拉伯人，這就像是希臘語之於希臘化時期一樣，阿拉伯語是當時整個伊斯蘭世界非阿拉伯學者的書面語。

在九世紀，波斯數學家穆罕默德·伊本·穆薩·花拉子米寫下了很多關於印度-阿拉伯數字和方程解法的重要書籍。他在公元825年寫成的《印度數字的計算》，加上肯迪的著作，共同把印度數學和印度數字傳入西方。Algorithm（演算法）這個單詞就是來自花拉子米名字的拉丁化拼寫 Algoritmi；而 algebra（代數）這個單詞則來自他的一本書，《消去與還原》（Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa』l-muqābala）。他對根為整數的二次方程給出了詳盡的代數解法，是為了代數本身而講授初等形式代數的第一人。他同時也討論了兩種解方程的基本方法，「消去」和「平衡」，也就是把方程一側被減去的項，轉移到方程的另一側，從而將一側的項「消去」了。花拉子米把這種方法稱為 al-jabr。他的代數學不再僅僅注重「給出的一系列問題，而是從基本術語開始講解，給出所有可能出現的方程形式，從而明確了真正的研究對象」。他是為了方程本身而研究方程，他的研究是「在一般意義上的研究，不僅僅是為了解決一個問題，而是為了能通過它解決無限多個問題」。

在埃及，阿布·卡米勒將代數推廣到了無理數的集合，允許將平方根和四次方根作為二次方程的解和係數。他也發展出了解由含有三個未知數的三個方程聯立組成的非線性方程組的解法。他成果中的一個獨特之處，在於他試圖在一些問題中，去尋找一切可能的解，他甚至對其中一個問題給出了2676個解。他的著作成為了代數學發展的重要根基，並且影響了隨後的數學家，如卡拉吉和斐波那契。

代數學的更深遠發展是由卡拉吉在他的專著《哈法勒》中作出的。其中，他將數學方法進行了擴展來合併未知數的整數冪和整數根。在卡拉吉在公元1000年左右寫成的一本書中，出現了一份很接近歸納法的數學證明，被用來證明二項式定理、帕斯卡三角形和立體積分求合的命題。數學史學家弗朗茲·沃普克，讚揚卡拉吉是「引入代數微積分理論的第一人。」同樣在公元10世紀，阿布·瓦法將丟番圖的著作翻譯成了阿拉伯語。海什木是第一個推導出四次冪和的公式的數學家，他使用的方法可以非常容易推廣出能求任意次冪和的公式。他為了求拋物面面積而計算了積分，並且能夠將他的結果推廣到任何四次以內的多項式中。因此可以說，他差點就發現了計算多項式積分的通用公式，然而他並不關心高於四次的多項式。

11世紀晚期，奧瑪·開儼寫成了《歐幾里得困難的討論》，對歐幾里得《幾何原本》中他認為存在的缺陷進行了討論，特別是關於平行公設的問題（即著名的第五公設）。他也是第一個發現了三次方程幾何上的一般解，對曆法改革也施加了重要的影響。

13世紀，納西爾丁·圖西推進了球面三角學的發展，他也寫下了關於歐幾里得平行公設具有影響力的著作。16世紀，吉亞斯丁·賈姆希德·麥斯歐德·阿爾-卡西將圓周率的值計算到了小數點後16位。卡西也提出了一個求n次方根的演算法，他的這個演算法是數個世紀後保羅·魯非尼 (數學家)和威廉·喬治·霍納提出的方法的一個特例。

阿拉伯數學家在同一時期的其它成就，包括了為阿拉伯數字加入了小數點，發現了除當時已被知曉正弦函數之外的全部現代三角函數；肯迪將密碼分析和頻率分析引入數學；海什木對解析幾何的發展；奧瑪·開儼引領了代數幾何的開端；卡爾·卡拉迪發明的一類代數符號。

在奧斯曼帝國和十五世紀開始的薩非王朝期間，阿拉伯的數學發展陷入蕭條之中。

## 中世紀歐洲數學

中世紀歐洲，人們對數學產生興趣的動機和如今的現代數學家大不相同。其中一個動因是，相信數學是理解神創造的自然秩序的鑰匙 —— 這是常常被論證的主題，例如柏拉圖在《蒂邁歐篇》中有所表示，而聖經（《所羅門智訓》）則說 —— 神「處置一切事物，原有一定的尺度、數目和衡量。」

波愛修斯在他的課程中為數學提供了一席之地，在公元6世紀，他創造了詞彙四術（quadrivium）來指對算術、幾何、天文學和音樂的學習。他著有《論算數》，是譯自希臘哲學家的尼科馬庫斯所寫的《算術導論》。《音樂的綱要》同樣也是源自希臘文獻；以及對歐幾里得《幾何原本》的一系列摘錄。他的著作都是理論而非實踐的，而且在希臘和阿拉伯著作復原之前，一直都是數學研究的基礎。

12世紀，歐洲學者遠遊西班牙和西西里島去搜集阿拉伯的科學文獻，找到的文獻包括花拉子米的《消去與還原》，被切斯特的羅伯特翻譯成拉丁文；歐幾里得《幾何原本》的完整文本，被巴斯的阿德拉德、克恩頓州的赫爾曼和克雷莫納的傑拉德翻譯成了多個版本。

這些新的著作點燃了數學復興的星星之火。斐波那契首當其衝，在1202年寫成並在1254年再版了《計算之書》，成為了繼埃拉托斯特尼之後第一個做出重大發現的數學家，填補了這整整一千多年的空白。印度-阿拉伯數字相關的成果也被傳入歐洲，並且其它相關的數學問題也有討論。

14世紀，為了探究各種各樣不同的數學問題，發展出了許多新的數學概念。其中一個重要貢獻是關於局部運動的數學發展。

托馬斯·布拉德華提出，隨著力（F）與阻力（R）的比例成幾何增長，速度（V）就會成算術比例增長。布拉德華以一系列具體的例子來對此加以說明。雖然對數在當時還沒有被發明出來，但我們可以把他的結論理解為 V = log(F/R)，雖然這是一個時代錯誤。布拉德華的分析，是肯迪和阿諾德·諾瓦兩人研究量化複合藥劑本質時所用的數學技巧，後來被轉移到了另一個完全不同物理問題上的例子。

14世紀牛津計算學者群的成員之一赫特斯柏立·威廉，以一種沒有微積分和極限概念的形式，指出「一個均勻加速或均勻減速的物體在一段時間內所走過的（距離）與其均速在同一段時間所走過的（距離）相同」。

赫特斯柏立和其它數學家，通過把一個物體全部的加速運動進行累計（今日即積分法），從而在數學上求得物體運動的距離，認為一個恆定運動的物體在加速或者減速運動時在一段時間內運動的距離等於相同時間內其以平均速度運動過的距離。

巴黎大學的尼克爾·奧里斯姆和義大利的喬瓦尼·迪·卡薩里獨立的提出了（這個關係）的圖示，斷定一條表示均勻加速運動的直線，直線下面積就是物體運動的總路程。在隨後對歐幾里得《幾何原本》的註解中，奧里斯姆展示了一個物體在每一個連續的時間增量中會獲得一個與奇數數量成比例的增量。由於歐幾里德已經證明奇數數量的和是平方數，因此物體所獲得的總增量隨時間的平方增加。.

## 文藝復興

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在文藝復興期間，數學的發展和會計學的發展是相輔相成的。雖然代數和記帳之間並沒有直接的聯繫，這門學科的教材和書籍也往往是為了給商人的孩子在算術學校或者算盤學校學習商業和貿易的實用技能而準備的。確實，如果只是記帳的話大概是不需要代數的。但是，對於更複雜的交易，或者復息利率的計算，就必須掌握算術，而代數知識也就十分有用了。

皮耶羅·德拉·弗朗切斯卡（約1415-1492）著有關於立體幾何與透視法的作品，包括《論繪畫透視》，《論算術》和《論正則體》。

盧卡·帕西奧利所著的《算術、幾何、比例總論》在1494年於威尼斯首次印刷出版，其中包括了一篇27頁的記帳論文《計算和記錄的細節》。這主要是編寫和出售給商人將其作為參考書，給有興趣的人作為娛樂破解其中數學謎題，以及教育他的兒子。在《算術、幾何、比例總論》中，帕西奧利首次在印刷書籍中引入了加號和減號，隨後成為了義大利文藝復興時期數學界的標準符號。《算術、幾何、比例總論》也是已知的第一本在義大利印刷的代數書。不過，帕西奧利的不少思想是剽竊自皮耶羅·德拉·弗朗切斯卡的。

在16世紀上半葉的義大利，希皮奧內·德爾·費羅和尼科洛·塔爾塔利亞發現了三次方程的解法。吉羅拉莫·卡爾達諾在1545年發表的著作《大術》中，同時還記錄了四次方程的一種解法，這是由他的學生洛多維科·費拉里發現的。在1572年，拉斐爾·邦貝利出版了他的著作《代數學》，這本書中，他解釋了如何處理應用卡爾達諾公式解三次方程時可能會出現的虛數。

西蒙·斯蒂文的《十分之一》於1585年在荷蘭首次發表，首次系統性講解了十進位的處理方法，對隨後所有關於實數系統的工作都有影響。

因為導航和大面積精確地圖的需求驅動，三角幾何學成長為數學的一個重大分支。巴塞洛繆·皮提斯卡斯首次使用了該詞語，在1595年出版了《三角幾何學》。雷吉奧蒙塔努斯的正弦和餘弦函數表則在1533年出版。

在文藝復興期間，藝術家真實地表現自然世界的需求，與對希臘哲學的重新發現，引領著藝術家研究數學。藝術家們同時還是當時的工程師和建築師，因此自然無論如何都要用到數學。繪畫透視法的研究和相關的幾何學發展是緊密相連的。

可見，到了16世紀，算術、初等代數、以及三角學等初等數學已大體完備。

## 科學革命期間的數學

### 17世紀

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在研究經典力學的過程中，微積分的方法被發明。

17世紀的歐洲湧現出了史無前例的數學和科學思潮。伽利略將一個從荷蘭進口的玩具加以改進，製造了一部望遠鏡，用它觀測到了環繞木星軌道運動的衛星。第谷·布拉赫則收集了天空中行星位置的巨量觀測數據，而作為第谷的助理，約翰內斯·克卜勒首次接觸和認真研究了關於行星運動的主題。由於對數已經被當時的約翰·納皮爾和約斯特·比爾吉發明出來，因此使克卜勒的計算工作變得簡單了。克卜勒成功的建立了行星運動的數學法則。同時，勒內·笛卡爾發展出了解析幾何，因此行星的軌道就可以依照笛卡爾坐標系畫出圖像了。

在眾多前人工作的基礎之上，艾薩克·牛頓發現的物理定律解釋了克卜勒定律，牛頓匯集的許多數學概念就是今天的微積分。戈特弗里德·萊布尼茨，可以說是17世紀最重要的數學家，也獨立地的發展出了微積分，他發明的很多微積分符號至今仍在使用著。科學和數學研究變成了一項國際活動，隨後將很快遍及全球。

除了研究天空的應用數學以外，應用數學伴隨著皮埃爾·德·費馬和布萊茲·帕斯卡的工作而開拓了新的領域。帕斯卡和費馬奠定了機率論研究的基根，並對賭博遊戲進行討論而發展了相應的組合數學。帕斯卡還利用他最新研究出來的機率論提出了帕斯卡賭注。帕斯卡試圖表明，皈依宗教的理由在於，儘管成功的機率很低，但得到的獎賞卻是無限的。某種程度上，這預示了18到19世紀發展的功利主義的出現。

### 18世紀

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18世紀最具有影響力的數學家無疑是萊昂哈德·歐拉。他的貢獻範圍特別廣泛，從因七橋問題創立圖論，到標準化大量數學術語和符號都包括在內。比如說，他將負1 的平方根稱為i，還推廣了使用希臘字母 pi 來表述圓周率。他對拓撲學、圖論、微積分、組合數學和複分析都做出了貢獻，以此為證，眾多的數學定理和記號都是以他的名字命名的。

其他18世紀重要的歐洲數學家，包括約瑟夫·拉格朗日，他在數論、代數、微積分和變分法方面做出了開拓性的貢獻。拉普拉斯則在拿破崙時代做了舉足輕重的工作，建立了天體力學和統計學的基礎。

## 現代數學

隨著自然科學和技術的進一步發展，為研究數學基礎而產生的集合論和數理邏輯等也開始慢慢發展。

### 19世紀

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在19世紀期間，數學的抽象程度顯著增加了。卡爾·弗里德里希·高斯是這股浪潮的縮影。姑且不談他對科學的貢獻，他在複變函數、幾何學和收斂級數上做出了革命性的工作。它也是給出代數基本定理和二次互反律令人滿意的證明的第一人。

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在這個世紀，發展出兩種形式的非歐幾里得幾何，歐幾里得的平行公設在這種幾何中就不再成立了。俄羅斯數學家尼古拉·羅巴切夫斯基和他的競爭對手匈牙利數學家鮑耶·亞諾什，都獨自的定義並研究了雙曲幾何。在雙曲幾何中，過一點可做的平行線不再是唯一了，而三角形的內角和小於180度。橢圓幾何隨後在19世紀由德國數學家波恩哈德·黎曼建立，在橢圓幾何中，平行線一條也不能做了，而三角形的內角和大於180度。黎曼也將這三種幾何學加以一般化並統一，發展出了黎曼幾何。黎曼定義了「流形」的概念，從而將曲線和平面的概念推廣了。

19世紀出現了抽象代數的偉大思想，德國的赫爾曼·格拉斯曼想出了最早的向量空間。愛爾蘭的威廉·哈密頓則發展出了不遵循交換律的代數學。英國數學家喬治·布爾構想出了一種新的代數學，隨後演化為了我們今天的布爾代數。布爾代數中只有0和1兩種數值，是數理邏輯學的起點，並且在電腦科學中擁有眾多重要應用。

奧古斯丁·路易·柯西、黎曼和卡爾·魏爾斯特拉斯則以在數學上更加嚴謹的形式重新表述了微積分。

同時，數學的局限性也第一次被發現了。挪威人尼爾斯·阿貝爾和法國人埃瓦里斯特·伽羅瓦證明了高於四次的多項式方程不存在通行的代數解法，也就是阿貝爾-魯菲尼定理。其它19世紀的數學家應用了這個定理，從而證明了僅靠尺規作圖將三等分任意角、將一個立方體擴大兩倍，或者構造一個和正方形面積相等的圓，都是不可能的。而自古希臘以來數學家就在嘗試解決這三個難題了。在另一方面，幾何學僅有三維的局限性，因參數空間和超複數的提出而被克服了。

阿貝爾和伽羅瓦對多項式方程的解的研究，奠定了日後群論和抽象代數相關的發展基礎。20世紀的物理學家和其他科學家發現群論是研究對稱性的理想工具。

在19世紀晚期，格奧爾格·康托爾首次建立了集合論。集合論讓人們可以嚴謹地表示極限的概念，並且隨後成為了幾乎所有數學家的通用語言。康托爾的集合論和數理邏輯在皮亞諾、魯伊茲·布勞威爾、大衛·希爾伯特和伯特蘭·羅素手中蒸蒸日上，也引發了關於數學基礎的長時間爭論。

在19世紀，大量的國家數學協會被建立起來，例如1865年倫敦數學協會、1872年法國數學協會、1884年義大利數學協會、1883年蘇格蘭數學協會，以及1888年的美國數學協會。而首個國際性的特別興趣協會 —— 四元數協會 —— 在當時矢量等概念還存在爭議的歷史背景下，成立於1899年。

1897年，庫爾特·亨澤爾引入了數論中的p進數概念。

### 20 世紀

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20世紀，數學開始成為一門主修專業。每年，成百上千人成為新的數學博士，而且數學家既可以留在學術界，又可以加入工業界。Klein百科全書則承擔起了匯總整個數學和數學應用領域的任務。

在1900年國際數學家大會的演說中，大衛·希爾伯特列出了23個數學界的未解決問題。這些問題覆蓋了許多不同的數學領域，隨後成為了20世紀數學研究的中心。如今，10個問題已經解決，7個問題部分解決，而2個問題依然是開放的；還有4個問題由於太含糊，因此不能判斷有沒有解決。

此時，歷史上有名的不少數學猜想也終獲證明。1976年，沃夫岡·哈肯和凱尼斯·阿佩爾使用電腦證明了四色定理。安德魯·懷爾斯在他人工作的基礎上成功證明了費馬大定理。保羅·寇恩和庫爾特·哥德爾則證明了，連續性假設本身是獨立於標準公理化集合論而存在的（也就是既不可能從中證明，也不可能從中反證）。在1998年，托馬斯·黑爾斯證明了克卜勒猜想。

此時，數學家們合作的規模與領域已經是空前的了。例如在1955年到1983年完成的有限 單群分類（即「宏偉定理」），其證明分散在由100多位作者發表的500多篇期刊論文中，完整的論文加起來共有10000多頁；一組法國數學家，包括讓·迪厄多內和安德烈·韋伊，使用筆名尼古拉·布爾巴基寫作，嘗試以最極端的嚴謹和泛化來加以表述全部的已知數學，他們的成果則是幾十卷著作，然而這在數學教育上留下了有爭議的影響。

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愛因斯坦在廣義相對論中使用微分幾何之後，微分幾何也得到了一席之地；數學邏輯學、拓撲學，和馮·諾伊曼的博弈論等新的數學領域，則改變了通過數學方法可以 回答的問題類型；所有的數學結構全部通過公理而抽象化為了諸如度量空間、拓撲空間等概念；而數學家所作的這些抽象化工作本身的抽象化則引領人們通向範疇 論；亞歷山大·格羅滕迪克和讓-皮埃爾·塞爾則將用層論重新鑄造了代數幾何；而龐加萊自1890年開始的動態系統理論的定性研究終於也有了很大進展；在19世紀和20世紀之間，測度論被發展出來。測度論的應用包括了勒貝格積分，和安德雷·柯爾莫哥洛夫的公理化機率論，以及遍歷論；紐結理論極大的擴展了；量子力學引領了泛函分析的發展；其它的新領域包括了洛朗·施瓦茨和分布論、不動點理論和奇點理論；勒內·托姆的突變理論、模型論，以及本華·曼德博的分形；李論以及李群和李代數成為了一個主要研究領域。

亞伯拉罕·魯濱遜引入了非標準分析，通過將實數域擴展到了包括無窮大和無窮小量的超實數域，從而平反了微積分中一時名聲狼藉隨後被極限理論取代的無窮小量方法；而約翰·何頓·康威發現了一個和組合博弈論有關，甚至比超實數更大的數字系統：超現實數。

而隨著電腦的發展和不斷進步，從最初的機械模擬計算機到隨後的電子數字電腦，讓工業界可以處理越來越大量的數據，來幫助規劃大規模生產、配給和通訊，新的數學領域也因此發展出來：艾倫·圖靈的可計算性理論、計算複雜性理論；德里克·亨利·萊默使用ENIAC促進了數論發展，提出盧卡斯-萊默檢驗法；克勞德·香農的資訊理論、信號處理、數據分析、最優化和其它運籌學的研究；在過去的世紀中，數學在很大程度上注重微積分和連續函數，但因為電腦和通訊網路的崛起，使離散概念也越發重要，還導致了組合數學，包括圖論的擴張發展；數據處理速度和能力的提升，也讓人們可以去研究那些過去需要大量時間進 行紙筆計算的數學問題，引出了數值分析和符號計算。而20世紀最重要的數學方法和算法包括：單純形法、快速傅立葉變換、錯誤校驗碼、源自控制論的卡爾曼濾波，以及公鑰密碼學的RSA演算法。

在同一時間，人們開始深入審視數學的極限。在1929年到1930年，數學家證明了，具有乘法或者加法其中之一的自然數系統之內的一切命題的真偽是可決定的，也就是可以通過某個演算法自動計算出來。然而在1931年，庫爾特·哥德爾發現，如果自然數同時包括乘法和加法，那麼這個結論就不再成立了；同時包括乘法和加法的系統就是人們所知的皮亞諾算術，而這事實上是一個不完備的系統（僅靠皮亞諾算術就足夠支撐數論了，包括可以表述素數）。而哥德爾的兩個不完備定理表明，一個包括了皮亞諾算術的任何數學系統（涵蓋了數學分析和幾何的一切），真理永遠凌駕於證明之上，即總會有在系統中不可能被證明的真命題。因此，數學本身不可能被規約為數學邏輯學，而大衛·希爾伯特企圖將整個數學變得完備和一致的夢想也就此破滅而不得不改變了。

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斯里尼瓦瑟·拉馬努金是20世紀數學界最耀眼的身影之一，他是一位自學成才的印度數學家，猜想和證明了關於高合成數、整數分拆、漸進分析和仿θ函數的超過3000個定理，它也對伽馬函數、模形式、發散級數、廣義超幾何函數和素數理論做了深入探索。

埃爾德什·保羅發表了有史以來最多的數學論文，並和上百名合作者一起工作。由於他的論文實在太多，以至於數學家提出了數學家版本的貝肯數：埃爾德什數，描述數學論文中一個作者與埃爾德什的「合作距離」的一種方式。

埃米·諾特則被許多人認為是數學史上最重要的女性。她的研究包括環、域和域代數。

就像大部分研究領域一樣，科學時代的資訊爆炸導致了數學的專門化：在20世紀結束時，有超過上百種數學的專門領域，而數學學科分類標準則長達幾十頁。越來越多的數學期刊開始出版，而到該世紀結束，因網際網路的發展，又有了在線出版。

### 現代數學

數學從古至今便一直不斷地延展，且與科學有豐富的相互作用，並使兩者都得到好處。數學在歷史上有著許多的發現，並且直至今日都還不斷地發現中。依據米哈伊爾·B·塞夫留克於美國數學會快報2006年1月的期刊中所說，「存在於數學評論資料庫中論文和書籍的數量自1940年(數學評論的創刊年份)現已超過了一百九十萬份，而且每年還增加超過七萬五千份的細目。此一學海的絕大部份為新的數學定理及其證明。」

美國的克雷數學研究所在2000年時提出七個數學難題，稱為千禧年大獎難題，在2003年時俄羅斯數學家格里戈里·佩雷爾曼對龐加萊猜想的證明有決定性的貢獻，他也因此在同年獲得菲爾茲獎，但佩雷爾曼並未現身領獎，也不接受獎金，成為首位拒絕接受菲爾茲獎的數學家。

二十一世紀時大部份的數學期刊除了印刷版外也會有網路的版本，而且有許多新的數學期刊只有網路版本，期刊開放獲取的趨勢更加明顯，arXiv是期刊開放獲取的一個重要網站。

## 數學的未來

數學的許多發展趨勢是可以觀察到的，例如說最明顯的趨勢就是這門學科變得越來越龐大，電腦變得越來越重要和強大，而數學在生物資訊學上的應用領域日發擴大，而通過電腦分析的工業界和科學界數據則爆炸性增長。