高斯散度定理

高斯公式（Gauss's law），又稱為高斯通量理論（Gauss' flux theorem）、散度定理（Divergence Theorem）、高斯散度定理（Gauss's Divergence Theorem）、高斯－奧斯特羅格拉德斯基公式或高－奧公式，是指在向量分析中，一個把向量場通過閉合曲面的流動（即通量）與曲面內部的向量場的表現聯繫起來的定理。該定理與斯托克斯定理（Stokes' Theorem）是向量中兩大重要定理。

更加精確地說，高斯公式說明向量場穿過曲面的通量，等於散度在曲面圍起來的體積上的積分。直觀地，所有源點的和減去所有匯點的和，就是流出這區域的淨流量。

高斯公式在工程數學中是一個很重要的結果，特別是靜電學和流體力學。

在物理和工程中，散度定理通常運用在三維空間中。然而，它可以推廣到任意維數。在一維，它等價於分部積分法。

## 定理

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設空間閉區域Ω是由分片光滑的閉曲面Σ所圍起來的三維區域，函數$P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)$在$\Omega$上具有一階連續偏導數，則有

$\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}v=$ $\scriptstyle \Sigma$ $P\,\mathrm{d}y\land \mathrm{d}z+Q\,\mathrm{d}z\land \mathrm{d}x+R\,\mathrm{d}x\land \mathrm{d}y$

或

$\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}v=$ $\scriptstyle \Sigma$ $(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,\mathrm{d}S$

這裡$\Sigma$是$\Omega$的邊界（boundary），$\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma$是$\Sigma$在點$(x,y,z)$處的單位法向量的方向餘弦。

這兩個公式都叫做高斯公式，不過這兩公式僅僅是表達方式不同，其實是相同的定理，這可以用變數變換得到兩公式的右邊都等於 $\iint_\Sigma (P,Q,R)\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}S$，其中 $\mathbf{n}$ 是曲面 $\Sigma$ 的向外單位法向量。

這個定理是更一般的斯托克斯公式的特殊情形。

## 用散度表示

高斯公式用散度表示為：

$\iiint_{\Omega}\mathrm{div}\mathbf{F}\,\mathrm{d}v=$ $\scriptstyle \Sigma$ $\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}S .$

其中Σ是空間閉區域Ω的邊界曲面，而 $\mathbf{n}$ 是曲面Σ上的朝外的單位法向量。

## 用向量表示

令V代表有一簡單閉曲面S為邊界的體積，$\mathbf{F}$是定義在V中和S上連續可微的向量場。如果$d\mathbf{S}$是外法向向量面元，則

$$\int_S \mathbf{F}\cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=\int_V \nabla\cdot\mathbf{F}\mathrm{d}V$$

## 推論

- 對於標量函數g和向量場F的積，應用高斯公式可得：

$$\iiint_V\left(\mathbf{F}\cdot \left(\nabla g\right) + g \left(\nabla\cdot \mathbf{F}\right)\right) \mathrm{d}V <pre> = \iint_{\partial V}g \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} </pre>$$

- 對於兩個向量場$\mathbf{F}\times \mathbf{G}$的向量積，應用高斯公式可得：

$$\iiint_V \left(\mathbf{G}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{F}\right) - \mathbf{F}\cdot \left( \nabla\times\mathbf{G}\right)\right)\, \mathrm{d}V = \iint_{\partial V}\left(\mathbf{F}\times\mathbf{G}\right)\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}$$

- 對於標量函數f和非零常向量的積，應用高斯公式可得：

$$\iiint_V \nabla f\, \mathrm{d}V = \iint\limits_{\partial V} f \,\mathrm{d}\mathbf{S}$$

- 對於向量場F和非零常向量的向量積，應用高斯公式可得：

$$\iiint_V \nabla\times\mathbf{F}\, \mathrm{d}V = \iint_{\partial V}\mathrm{d}\mathbf{S} \times\mathbf{F}.$$

## 例子

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假設我們想要計算

$\scriptstyle S$ $\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} \, \mathrm{d}S,$

其中S是一個單位球面，定義為

$$S = \left \{ x,y, z \in \mathbb{R}^3 \ : \ x^2+y^2+z^2 = 1 \right \}.$$

F是向量場

$$\mathbf{F} = 2 x\mathbf{i}+y^2\mathbf{j}+z^2\mathbf{k}.$$

直接計算這個積分是相當困難的，但我們可以用高斯公式來把它簡化：

$$<pre> \iiint_W (\nabla \cdot \mathbf{F})\,\mathrm{d}V </pre> = 2\iiint_W (1 + y + z)\,\mathrm{d}V = 2\iiint_W \mathrm{d}V + 2\iiint_W y\,\mathrm{d}V + 2\iiint_W z\,\mathrm{d}V.$$

其中W是單位球:

$$W = \left \{ x,y, z \in \mathbb{R}^3 \ : \ x^2+y^2+z^2\leq 1 \right \}.$$

由於函數y和z是奇函數，我們有：

$$\iiint_W y\, \mathrm{d}V = \iiint_W z\, \mathrm{d}V = 0.$$

因此：

$\scriptstyle S$ $\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}S = 2\iiint_W\, \mathrm{d}V = \frac{8\pi}{3},$

因為單位球W的體積是4π.

## 二階張量的高斯公式

二階張量的高斯公式實際上是上面的高斯公式的推論。為了使內容完整，首先簡要地介紹三維歐幾里得空間上的二階張量（詳見並矢張量或張量積）以及相關的概念和記號。在這裡，向量和向量場用黑斜體字母表示，張量用正黑體字母表示。

- 兩個向量$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$並排放在一起所形成的量$\boldsymbol{ab}$被稱為向量$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$的並矢或並矢張量。要注意，一般來說，$\boldsymbol{ab} \neq \boldsymbol{ba}$。
- $\boldsymbol{ab} = 0$的充分必要條件是$\boldsymbol{a} = 0$或$\boldsymbol{b} = 0$。
- 二階張量就是有限個並矢的線性組合。
- $\boldsymbol{ab}$分別線性地依賴於$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$。
- 二階張量$\mathbf{T}$和向量$\boldsymbol{a}$的縮併$\mathbf{T} \cdot \boldsymbol{a}$以及$\boldsymbol{a} \cdot \mathbf{T}$對 $\mathbf{T}$和$\boldsymbol{a}$都是線性的。
- 特別是，當$\mathbf{T} = \boldsymbol{uv}$時。

$$<pre> \mathbf{T} \cdot \boldsymbol{a} = (\boldsymbol{uv}) \cdot \boldsymbol{a} = \boldsymbol{u} (\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{a}) \, , \qquad \boldsymbol{a} \cdot \mathbf{T} = \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{uv}) = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{u}) \, \boldsymbol{v} , </pre>$$

所以，一般說來，$\mathbf{T} \cdot \boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{a} \cdot \mathbf{T}$。

下面舉一個例子：用二階張量及其與向量的縮併來重新寫$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c}$和$\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})$。

$$<pre> (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c} = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \, \boldsymbol{b} - (\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}) \, \boldsymbol{a} = - (\boldsymbol{ab} - \boldsymbol{ba}) \cdot \boldsymbol{c} \, , \qquad \boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \, \boldsymbol{b} - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \, \boldsymbol{c} = - \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{bc} - \boldsymbol{cb}) \, . </pre>$$

我們還用到二階張量$\mathbf{T}$的轉置$\mathbf{T}'$（又可以記為$\mathbf{T}^{\mathrm{t}}$），定義如下：

- $\mathbf{T}'$仍然是一個二階張量，並且線性地依賴於$\mathbf{T}$。
- $(\boldsymbol{uv})' = \boldsymbol{vu}$。

定理：設 $V$是三維歐幾里得空間中的一個有限區域，$S$是它的邊界曲面，$\hat{\boldsymbol{n}}$是$S$的外法線方向上的單位向量，$\mathbf{T}$是定義在$V$的某個開鄰域上的$C^1$連續的二階張量場，$\mathbf{T}'$是$\mathbf{T}$的轉置，則

$$<pre> \iint_S \hat{\boldsymbol{n}} \cdot \mathbf{T} \, \mathrm{d}S = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{T} \, \mathrm{d}V \, , \qquad \iint_S \mathbf{T} \cdot \hat{\boldsymbol{n}} \, \mathrm{d}S = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{T}' \, \mathrm{d}V \, . </pre>$$

證明：下面以第二個式子為例進行證明。令第二個式子的左邊為$\boldsymbol{F}$，則

$$<pre> \boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{F} = \boldsymbol{e}_i \cdot \iint_S \mathbf{T} \cdot \hat{\boldsymbol{n}} \, \mathrm{d}S = \iint_S \boldsymbol{e}_i \cdot \mathbf{T} \cdot \hat{\boldsymbol{n}} \, \mathrm{d}S = \iint_S T^{ij} \boldsymbol{e}_j \cdot \hat{\boldsymbol{n}} \, \mathrm{d}S \, . </pre>$$

接下來利用向量場的高斯公式，可得

$$<pre> \boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{F} = \iiint_V \nabla \cdot (T^{ij} \boldsymbol{e}_j) \, \mathrm{d}V = \iiint_V \frac{\partial T^{ij}}{\partial x^j} \, \mathrm{d}V \, , </pre>$$

於是

$$<pre> \boldsymbol{F} = \boldsymbol{e}_i \, (\boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{F}) = \boldsymbol{e}_i \iiint_V \frac{\partial T^{ij}}{\partial x^j} \, \mathrm{d}V = \iiint_V \boldsymbol{e}_i \frac{\partial T^{ij}}{\partial x^j} \, \mathrm{d}V = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{T}' \, \mathrm{d}V \, . </pre>$$

至此證畢。

## 參閱

- 格林定理
- 斯托克斯定理