樹 (數據結構)

在電腦科學中，樹（tree）是一種抽象數據類型（ADT）或是實作這種抽象數據類型的數據結構，用來模擬具有樹狀結構性質的數據集合。它是由n（n>0）個有限節點組成一個具有層次關係的集合。把它叫做「樹」是因為它看起來像一棵倒掛的樹，也就是說它是根朝上，而葉朝下的。它具有以下的特點：

- 每個節點都只有有限個子節點或無子節點。
- 沒有父節點的節點稱為根節點。
- 每一個非根節點有且只有一個父節點。
- 除了根節點外，每個子節點可以分為多個不相交的子樹。
- 樹裡面沒有環路(cycle)

## 術語

- 節點的度：一個節點含有的子樹的個數稱為該節點的度。
- 樹的度：一棵樹中，最大的節點度稱為樹的度。
- 葉節點或終端節點：度為零的節點。
- 非終端節點或分支節點：度不為零的節點。
- 父親節點或父節點：若一個節點含有子節點，則這個節點稱為其子節點的父節點。
- 孩子節點或子節點：一個節點含有的子樹的根節點稱為該節點的子節點。
- 兄弟節點：具有相同父節點的節點互稱為兄弟節點。
- 節點的層次：從根開始定義起，根為第1層，根的子節點為第2層，以此類推。
- 深度：對於任意節點n,n的深度為從根到n的唯一路徑長，根的深度為0。
- 高度：對於任意節點n,n的高度為從n到一片樹葉的最長路徑長，所有樹葉的高度為0。
- 堂兄弟節點：父節點在同一層的節點互為堂兄弟。
- 節點的祖先：從根到該節點所經分支上的所有節點。
- 子孫：以某節點為根的子樹中任一節點都稱為該節點的子孫。
- 森林：由m（m>=0）棵互不相交的樹的集合稱為森林。

## 樹的種類

有序/無序：

- 無序樹：樹中任意節點的子節點之間沒有順序關係，這種樹稱為無序樹，也稱為自由樹。
- 有序樹/搜索樹/查找樹：樹中任意節點的子節點之間有順序關係，這種樹稱為有序樹。即樹的所有節點按照一定的順序排列，這樣進行插入、刪除、查找時效率就會非常高

平衡/不平衡：

- 平衡樹
- 絕對平衡樹：所有葉節點在同一層
- 非絕對平衡樹
- 不平衡樹

節點的分叉情況：

- 等叉樹：是每個節點的鍵值個數都相同、子節點個數也都相同
- 二叉樹：每個節點最多含有兩個子樹的樹稱為二叉樹。
- 完全二叉樹：對於一棵二叉樹，假設其深度為d（d>1）。除了第d層外，其它各層的節點數目均已達最大值，且第d層所有節點從左向右連續地緊密排列，這樣的二叉樹被稱為完全二叉樹。
- 滿二叉樹：所有葉節點都在最底層的完全二叉樹。
- 平衡二叉樹（AVL樹）：若且唯若任何節點的兩棵子樹的高度差不大於1的二叉樹。
- 排序二叉樹：也稱二叉查找樹、二叉搜索樹、有序二叉樹。
- 霍夫曼樹：帶權路徑最短的二叉樹稱為哈夫曼樹或最優二叉樹。
- 多叉樹
- 不等叉樹：每個節點的鍵值個數不一定相同、子節點個數也不一定相同
- B樹：對不等叉樹的節點鍵值數和插入、刪除邏輯添加一些特殊的要求，使其能達到絕對平衡的效果。B樹全稱Balance Tree。如果某個B樹上所有節點的分叉數最大值是m，則把這個B數叫做m階B樹。

## 存儲

### 父節點表示法

#### 存儲結構

<image>

```c
/* 树节点的定义 */
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef struct
{
  TElemType data;
  int parent; /* 父节点位置域 */
} PTNode;
typedef struct
{
  PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];
  int n; /* 节点数 */
} PTree;
```

#### 基本操作

設已有鏈隊列類型LinkQueue的定義及基本操作（參見隊列）。

##### 構造空樹

清空或銷毀一個樹也是同樣的操作

```c
void ClearTree(PTree *T)
{ 
  T->n = 0;
}
```

##### 構造樹

```c
void CreateTree(PTree *T)
{ 
  LinkQueue q;
  QElemType p,qq;
  int i=1,j,l;
  char c[MAX_TREE_SIZE]; /* 临时存放孩子节点数组 */
  InitQueue(&q); /* 初始化队列 */
  printf("请输入根节点(字符型，空格为空): ");
  scanf("%c%*c",&T->nodes[0].data); /* 根节点序号为0，%*c吃掉回车符 */
  if(T->nodes[0].data!=Nil) /* 非空树 */
  {
    T->nodes[0].parent=-1 ; /* 根节点无父节点 */
    qq.name=T->nodes[0].data;
    qq.num=0;
    EnQueue(&q,qq); /* 入队此节点 */
    while(i<MAX_TREE_SIZE&&!QueueEmpty(q)) /* 数组未满且队不空 */
    {
      DeQueue(&q,&qq); /* 节点加入队列 */
      printf("请按长幼顺序输入节点%c的所有孩子: ",qq.name);
      gets(c);
      l=strlen(c);
      for(j=0;j<l;j++)
      {
        T->nodes[i].data=c[j];
        T->nodes[i].parent=qq.num;
        p.name=c[j];
        p.num=i;
        EnQueue(&q,p); /* 入队此节点 */
        i++;
      }
    }
    if(i>MAX_TREE_SIZE)
    {
      printf("节点数超过数组容量\n");
      exit(OVERFLOW);
    }
    T->n=i;
  }
  else
    T->n=0;
}
```

##### 判斷樹是否為空

```c
Status TreeEmpty(PTree *T)
{ /* 初始条件：树T存在。操作结果：若T为空树，则返回TRUE，否则返回FALSE */
  return T->n==0;
}
```

##### 獲取樹的深度

```c
int TreeDepth(PTree *T)
{ /* 初始条件：树T存在。操作结果：返回T的深度 */
  int k,m,def,max=0;
  for(k=0;k<T->n;++k)
  {
    def=1; /* 初始化本节点的深度 */
    m=T->nodes[k].parent;
    while(m!=-1)
    {
      m=T->nodes[m].parent;
      def++;
    }
    if(max<def)
      max=def;
  }
  return max; /* 最大深度 */
}
```

##### 獲取根節點

```c
TElemType Root(PTree *T)
{ /* 初始条件：树T存在。操作结果：返回T的根 */
  int i;
  for(i=0;i<T->n;i++)
    if(T->nodes[i].parent<0)
      return T->nodes[i].data;
  return Nil;
}
```

##### 獲取第i個節點的值

```c
TElemType Value(PTree *T,int i)
{ /* 初始条件：树T存在，i是树T中节点的序号。操作结果：返回第i个节点的值 */
  if(i<T->n)
    return T->nodes[i].data;
  else
    return Nil;
}
```

##### 改變節點的值

```c
Status Assign(PTree *T,TElemType cur_e,TElemType value)
{ /* 初始条件：树T存在，cur_e是树T中节点的值。操作结果：改cur_e为value */
  int j;
  for(j=0;j<T->n;j++)
  {
    if(T->nodes[j].data==cur_e)
    {
      T->nodes[j].data=value;
      return OK;
    }
  }
  return ERROR;
}
```

##### 獲取節點的父節點

```c
TElemType Parent(PTree *T,TElemType cur_e)
{ /* 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个节点 */
  /* 操作结果：若cur_e是T的非根节点，则返回它的父节点，否则函数值为＂空＂*/
  int j;
  for(j=1;j<T->n;j++) /* 根节点序号为0 */
    if(T->nodes[j].data==cur_e)
      return T->nodes[T->nodes[j].parent].data;
  return Nil;
}
```

##### 獲取節點的最左孩子節點

```c
TElemType LeftChild(PTree *T,TElemType cur_e)
{ /* 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个节点 */
  /* 操作结果：若cur_e是T的非叶子节点，则返回它的最左孩子，否则返回＂空＂*/
  int i,j;
  for(i=0;i<T->n;i++)
    if(T->nodes[i].data==cur_e) /* 找到cur_e，其序号为i */
      break;
  for(j=i+1;j<T->n;j++) /* 根据树的构造函数，孩子的序号＞其父节点的序号 */
    if(T->nodes[j].parent==i) /* 根据树的构造函数，最左孩子(长子)的序号＜其它孩子的序号 */
      return T->nodes[j].data;
  return Nil;
}
```

##### 獲取節點的右兄弟節點

```c
TElemType RightSibling(PTree *T,TElemType cur_e)
{ /* 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个节点 */
  /* 操作结果：若cur_e有右(下一个)兄弟，则返回它的右兄弟，否则返回＂空＂*/
  int i;
  for(i=0;i<T->n;i++)
    if(T->nodes[i].data==cur_e) /* 找到cur_e，其序号为i */
      break;
  if(T->nodes[i+1].parent==T->nodes[i].parent)
  /* 根据树的构造函数，若cur_e有右兄弟的话则右兄弟紧接其后 */
    return T->nodes[i+1].data;
  return Nil;
}
```

##### 輸出樹

```c
void Print(PTree *T)
{ /* 输出树T。加 */
  int i;
  printf("节点个数=%d\n",T->n);
  printf(" 节点 父节点\n");
  for(i=0;i<T->n;i++)
  {
    printf("    %c",Value(T,i)); /* 节点 */
    if(T->nodes[i].parent>=0) /* 有父节点 */
      printf("    %c",Value(T,T->nodes[i].parent)); /* 父节点 */
    printf("\n");
  }
}
```

##### 向樹中插入另一棵樹

```c
Status InsertChild(PTree *T,TElemType p,int i,PTree c)
{ /* 初始条件：树T存在，p是T中某个节点，1≤i≤p所指节点的度+1，非空树c与T不相交 */
  /* 操作结果：插入c为T中p节点的第i棵子树 */
  int j,k,l,f=1,n=0; /* 设交换标志f的初值为1，p的孩子数n的初值为0 */
  PTNode t;
  if(!TreeEmpty(T)) /* T不空 */
  {
    for(j=0;j<T->n;j++) /* 在T中找p的序号 */
      if(T->nodes[j].data==p) /* p的序号为j */
        break;
    l=j+1; /* 如果c是p的第1棵子树，则插在j+1处 */
    if(i>1) /* c不是p的第1棵子树 */
    {
      for(k=j+1;k<T->n;k++) /* 从j+1开始找p的前i-1个孩子 */
        if(T->nodes[k].parent==j) /* 当前节点是p的孩子 */
        {
          n++; /* 孩子数加1 */
          if(n==i-1) /* 找到p的第i-1个孩子，其序号为k1 */
            break;
        }
      l=k+1; /* c插在k+1处 */
    } /* p的序号为j，c插在l处 */
    if(l<T->n) /* 插入点l不在最后 */
      for(k=T->n-1;k>=l;k--) /* 依次将序号l以后的节点向后移c.n个位置 */
      {
        T->nodes[k+c.n]=T->nodes[k];
        if(T->nodes[k].parent>=l)
          T->nodes[k+c.n].parent+=c.n;
      }
    for(k=0;k<c.n;k++)
    {
      T->nodes[l+k].data=c.nodes[k].data; /* 依次将树c的所有节点插于此处 */
      T->nodes[l+k].parent=c.nodes[k].parent+l;
    }
    T->nodes[l].parent=j; /* 树c的根节点的父节点为p */
    T->n+=c.n; /* 树T的节点数加c.n个 */
    while(f)
    { /* 从插入点之后，将节点仍按层序排列 */
      f=0; /* 交换标志置0 */
      for(j=l;j<T->n-1;j++)
        if(T->nodes[j].parent>T->nodes[j+1].parent)
        {/* 如果节点j的父节点排在节点j+1的父节点之后（树没有按层序排列），交换两节点*/
          t=T->nodes[j];
          T->nodes[j]=T->nodes[j+1];
          T->nodes[j+1]=t;
          f=1; /* 交换标志置1 */
          for(k=j;k<T->n;k++) /* 改变父节点序号 */
            if(T->nodes[k].parent==j)
              T->nodes[k].parent++; /* 父节点序号改为j+1 */
            else if(T->nodes[k].parent==j+1)
              T->nodes[k].parent--; /* 父节点序号改为j */
        }
    }
    return OK;
  }
  else /* 树T不存在 */
    return ERROR;
}
```

##### 刪除子樹

```c
Status deleted[MAX_TREE_SIZE+1]; /* 删除标志数组(全局量) */
void DeleteChild(PTree *T,TElemType p,int i)
{ /* 初始条件：树T存在，p是T中某个节点，1≤i≤p所指节点的度 */
  /* 操作结果：删除T中节点p的第i棵子树 */
  int j,k,n=0;
  LinkQueue q;
  QElemType pq,qq;
  for(j=0;j<=T->n;j++)
    deleted[j]=0; /* 置初值为0(不删除标记) */
  pq.name='a'; /* 此成员不用 */
  InitQueue(&q); /* 初始化队列 */
  for(j=0;j<T->n;j++)
    if(T->nodes[j].data==p)
      break; /* j为节点p的序号 */
  for(k=j+1;k<T->n;k++)
  {
    if(T->nodes[k].parent==j)
      n++;
    if(n==i)
      break; /* k为p的第i棵子树节点的序号 */
  }
  if(k<T->n) /* p的第i棵子树节点存在 */
  {
    n=0;
    pq.num=k;
    deleted[k]=1; /* 置删除标记 */
    n++;
    EnQueue(&q,pq);
    while(!QueueEmpty(q))
    {
      DeQueue(&q,&qq);
      for(j=qq.num+1;j<T->n;j++)
        if(T->nodes[j].parent==qq.num)
        {
          pq.num=j;
          deleted[j]=1; /* 置删除标记 */
          n++;
          EnQueue(&q,pq);
        }
    }
    for(j=0;j<T->n;j++)
      if(deleted[j]==1)
      {
        for(k=j+1;k<=T->n;k++)
        {
          deleted[k-1]=deleted[k];
          T->nodes[k-1]=T->nodes[k];
          if(T->nodes[k].parent>j)
            T->nodes[k-1].parent--;
        }
        j--;
      }
    T->n-=n; /* n为待删除节点数 */
  }
}
```

##### 層序遍歷樹

```c
void TraverseTree(PTree *T,void(*Visit)(TElemType))
{ /* 初始条件：二叉树T存在,Visit是对节点操作的应用函数 */
  /* 操作结果：层序遍历树T,对每个节点调用函数Visit一次且仅一次 */
  int i;
  for(i=0;i<T->n;i++)
    Visit(T->nodes[i].data);
  printf("\n");
}
```

### 孩子鍊表表示法

#### 存儲結構

```c
/*树的孩子链表存储表示*/
typedef struct CTNode { // 孩子节点
  int child;
  struct CTNode *next;
} *ChildPtr;
typedef struct {
  ElemType data； // 节点的数据元素
  ChildPtr firstchild； // 孩子链表头指针
} CTBox;
typedef struct {
  CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]。
  int n, r； // 节点数和根节点的位置
} CTree;
```

<image>

## 森林、樹與二叉樹的轉換

見二叉樹相應章節

## 外部連結

- 樹-數據結構(Python)by EINDEX
- Data Structures and Algorithm Analysis in C (2nd edition)