乘積法則

乘積法則（Product rule），也稱積定則、萊布尼茲法則，是數學中關於兩個函數的積的導數的一個計算法則。

若已知兩個可導函數$f,g$及其導數$f',g'$，則它們的積$fg$的導數為：

$$(fg)'=f'g+fg' \,$$

這個法則可衍生出積分的分部積分法。

## 萊布尼茲的發現

人們將這個法則的發現歸功於萊布尼茲，以下是他的論述：設$u(x)$和$v(x)$為$x$的兩個可導函數。那麼，$uv$的微分是：

$$\begin{align} d(u\cdot v) & {} = (u + du)\cdot (v + dv) - u\cdot v \\ & {} = u\cdot dv + v\cdot du + du\cdot dv. \end{align}$$

由於$du\cdot dv$的可忽略性，因此有：

$$d(u\cdot v) = v\cdot du + u\cdot dv \,$$

兩邊除以$dx$，便得：

$$\frac{d}{dx} (u\cdot v) = v \cdot \frac{du}{dx} + u \cdot \frac{dv}{dx}$$

若用拉格朗日符號來表達，則等式記為

$$(u\cdot v)' = v\cdot u' + u\cdot v'. \,$$

## 例子

- 假設我們要求出$f(x)=x^2 \sin(x)$的導數。利用乘積法則，可得$f'(x)=2x \sin (x)+x^2 \cos(x)$（這是因為$x^2$的導數是$2x$，$\sin(x)$的導數是$\cos(x)$）。
- 乘積法則的一個特例，是「常數因子法則」，也就是：如果$c$是實數，$f(x)$是可微函數，那麼$cf(x)$也是可微的，其導數為$(c\times f)'(x)=c\times f'(x)$。
- 乘積法則可以用來推出分部積分法和除法定則。

## 證明一：利用面積

假設

$$h(x) = f(x)g(x),\,$$

且$f$和$x$在x點可導。那麼：

$$h'(x) = \lim_{w\to x}{ h(w) - h(x) \over w - x} = \lim_{w\to x}{f(w)g(w) - f(x)g(x) \over w - x}. \qquad\qquad(1)$$

現在，以下的差

$$f(w)g(w) - f(x)g(x)\qquad\qquad(2)$$

是圖中大矩形的面積減去小矩形的面積。

<image>

這個區域可以分割為兩個矩形，它們面積的和為：

$$f(x) \Bigg( g(w) - g(x) \Bigg) + g(w)\Bigg( f(w) - f(x) \Bigg).\qquad\qquad(3)$$

因此，(1)的表達式等於：

$$\lim_{w\to x}\left( f(x) \left( {g(w) - g(x) \over w - x} \right) + g(w)\left( {f(w) - f(x) \over w - x} \right) \right).\qquad\qquad(4)$$

如果(5)式中的四個極限都存在，則(4)的表達式等於：

$$\left(\lim_{w\to x}f(x)\right) \left(\lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x}\right) + \left(\lim_{w\to x} g(w)\right) \left(\lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} \right). \qquad\qquad(5)$$

現在：

$$\lim_{w\to x}f(x) = f(x)\,$$

因為當$w\rightarrow x$時，$f(x)$不變。

$$\lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x} = g'(x)$$

因為$g$在x點可導。

$$\lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} = f'(x)$$

因為$f$在x點可導；以及

$$\lim_{w\to x} g(w) = g(x)\,$$

因為$g$在x點連續（可導的函數一定連續）。

現在可以得出結論，(5)的表達式等於：

$$f(x)g'(x) + g(x)f'(x). \,$$

## 證明二：使用對數

設$f = uv$，並假設$u$和$v$是正數。那麼：

$$\ln f = \ln u + \ln v.\,$$

兩邊求導，得：

$${1 \over f} {d \over dx} f = {1 \over u} {d \over dx} u + {1 \over v} {d \over dx} v$$

把等式的左邊乘以$f$，右邊乘以$uv$，即得：

$${d \over dx} f = v {d \over dx} u + u {d \over dx} v.$$

## 證明三：使用導數的定義

設 $h(x) = f(x)g(x),\,$

且$f$和$g$在x點可導。那麼：

$$h'(x) = \lim_{\Delta{x}\to 0} \frac{h(x+\Delta{x})-h(x)}{\Delta{x}} = \lim_{\Delta{x}\to 0} \frac{f(x+\Delta{x})g(x+\Delta{x})-f(x)g(x)}{\Delta{x}}$$

$$= \lim_{\Delta{x}\to 0} \frac{f(x+\Delta{x})g(x+\Delta{x})-f(x)g(x+\Delta{x})+f(x)g(x+\Delta{x})-f(x)g(x)}{\Delta{x}}$$

$$= \lim_{\Delta{x}\to 0} \frac{[f(x+\Delta{x})-f(x)] \cdot g(x+\Delta{x}) + f(x) \cdot [g(x+\Delta{x})-g(x)]}{\Delta{x}}$$

$$= \lim_{\Delta{x}\to 0} \frac{f(x+\Delta{x})-f(x)}{\Delta{x}} \cdot \lim_{\Delta{x}\to 0} g(x+\Delta{x}) + \lim_{\Delta{x}\to 0} f(x) \cdot \lim_{\Delta{x}\to 0} \frac{g(x+\Delta{x})-g(x)}{\Delta{x}}$$

$= f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$.

## 推廣

- 若有$n$個函數$f_1,f_2,...,f_n$，則：

$$\left( {\prod_{k = 1}^n {f_k } } \right)^\prime = \sum_{k = 1}^n {\left( {f'_k \cdot \prod_{j = 1 \atop j \ne k } ^n {f_j } } \right)}$$

- （萊布尼茲法則）若$f,g$均為可導$n$次的函數，則$fg$的$n$次導數為：

$$(f\cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(k)} g^{(n-k)}$$

其中${n \choose k}$是二項式係數。

## 應用

乘積法則的一個應用是證明以下公式：

$${d \over dx} x^n = nx^{n-1}$$

其中$n$是一個正整數（該公式即使當$n$不是正整數時也是成立的，但證明需要用到其它方法）。我們用數學歸納法來證明這個公式。如果$n=1$，$\frac{d}{dx}x^1=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)-x}{h}=1=1x^{1-1}$

假設公式對於某個特定的$k$成立，那麼對於$k+1$，我們有：

$$\begin{align} {d \over dx}x^{k+1} &{}= {d \over dx}\left( x^k\cdot x\right) \\ \\ &{}= x{d \over dx} x^k + x^k{d \over dx}x \\ \\ &{}= x\left(kx^{k-1}\right) + x^k\cdot 1 \\ \\ &{}= (k+1)x^k. \end{align}$$

因此公式對於$k+1$也成立。