量子力學

量子力學（quantum mechanics）是物理學的分支學科。它描述原子尺度及原子尺度以下的自然行為。它是所有量子物理學的基礎，包括量子化學、量子場論、量子技術和量子信息科學。

量子力學與相對論一起被認為是現代物理學的兩大基本支柱。19世紀末，人們發現舊有的經典理論無法解釋微觀系統，於是經由物理學家的努力，在20世紀初創立量子力學，解釋了這些現象。量子力學從根本上改變人類對物質結構及其相互作用的理解。除了透過廣義相對論描寫的引力外，迄今所有基本相互作用均可以在量子力學的框架內描述（量子場論）。

量子理論的重要應用包括宇宙學、量子化學、量子光學、量子計算、超導磁體、發光二極體、雷射器、電晶體和半導體如微處理器等。

愛因斯坦可能是在科學文獻中最先給出術語「量子力學」的物理學者。

量子力學逐漸從理論中興起，用來解釋與經典物理學不相符的觀測結果，例如馬克斯·普朗克在1900年解決黑體輻射問題，以及阿爾伯特·愛因斯坦1905年論文中能量與頻率的對應關係，該論文解釋了光電效應影響。這些理解微觀現象的早期嘗試，現在被稱為「舊量子論」，導致尼爾斯·玻爾、歐文·薛定諤、維爾納·海森堡、馬克斯·玻恩、保羅·狄拉克等人在1920年代中期全面發展了量子力學。現代理論是用各種專門發展的數學形式體系來表達的。其中之一，稱為波函數的數學實體以機率幅的形式提供有關粒子能量、動量和其他物理特性的測量結果的資訊。

## 關鍵現象、歷史背景

### 黑體輻射

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理想黑體可以吸收所有照射到它表面的電磁輻射，並將這些輻射轉化為熱輻射，其光譜特徵僅與該黑體的溫度有關，與黑體的材質無關。從古典物理學出發推導出的維恩定律在低頻區域與實驗數據不相符，而在高頻區域，從古典物理學的能量均分定理推導出瑞利-金斯定律又與實驗數據不相符，在輻射頻率趨向無窮大時，能量也會變得無窮大，這結果被稱作「紫外災變」。然而在那時，普朗克並未注意到紫外災變的嚴重性。

1900年12月14日，後來被定為量子力學的誕辰，馬克斯·普朗克在柏林科學院發表報告，通過將維恩定律加以改良，又將波茲曼熵公式重新詮釋，他得出了一個與實驗數據完全吻合的普朗克公式來描述黑體輻射，但是在詮釋這個公式時，他將在物體裡發射與吸收輻射的原子視為微小的量子諧振子，且假設這些量子諧振子的能量不是連續的，是離散的數值，而且單獨量子諧振子吸收和發射的輻射能是量子化的。

### 光電效應

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海因里希·赫茲於1887年實驗發現，如果照射紫外光於金屬表面，則電子會從金屬表面被發射出來，他因此發現了光電效應。1905年，阿爾伯特·愛因斯坦提出了光量子的理論來解釋這個現象。他認為，光束是由一群離散的光量子所組成，而不是連續性波動。這些光量子現今被稱為光子，其能量$E$為

$$E=h\nu$$

這裡，$\nu$ 是頻率，$h$ 為普朗克常數。

愛因斯坦大膽地預言，假若光子的頻率高於金屬的極限頻率，則這光子可以給予足夠能量來使得金屬表面的一個電子逃逸，造成光電效應。電子獲得的能量中，一部分被用來將金屬中的電子射出，這部分能量叫逸出功，（用$E_{\mbox{w}}$表示），另一部分成為了逃逸電子的動能：

$$h\nu=E_{\mbox{w}}+\frac{1}{2}mv^2$$

這裡 $m$ 是電子的質量，$v$ 是其速度。

假若光的頻率低於金屬的極限頻率，那麼它無法使得電子獲得足夠的逸出功。這時，不論輻照度有多大，照射時間有多長，都不會發生光電效應。而當入射光的頻率高於極限頻率時，即使光不夠強，當它射到金屬表面時也會觀察到光電子發射。羅伯特·密立根後來的實驗證明這些理論與預言屬實。

愛因斯坦將普朗克的量子理論加以延伸擴展，他提出不僅僅物質與電磁輻射之間的相互作用是量子化的，而且量子化是一個基本物理特性的理論。通過這個新理論，他得以解釋光電效應。

### 原子結構

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20世紀初，盧瑟福模型被公認為正確的原子模型。這個模型假設帶負電荷的電子，像行星圍繞太陽運轉一樣，圍繞帶正電荷的原子核運轉。在這個過程中庫侖力與離心力必須平衡。

但是這個模型有兩個問題無法解決。首先，按照經典電磁學，這個模型不穩定，由於電子不斷地在它的運轉過程中被加速，它應該會通過發射電磁波喪失能量，這樣它很快就會墜入原子核。其次，實驗結果顯示，原子的發射光譜是由一系列離散的發射線組成，比如氫原子的發射光譜是由一個紫外線系列（來曼系）、一個可見光系列（巴耳麥系）和其它的紅外線系列組成；而按照經典理論原子的發射譜應該是連續的。

1913年，尼爾斯·玻爾提出了玻爾模型，這個模型引入量子化的概念來解釋原子結構和光譜線。玻爾認為，電子只能在對應某些特定能量值$E_n$的軌道上運動。假如一個電子，從一個能量比較高的軌道（$E_n$），躍遷到一個能量比較低的軌道（$E_m$）上時，它發射的光的頻率為

$$\nu=\frac{E_n-E_m}{h}$$

反之，通過吸收同樣頻率的光子，電子可以從低能的軌道，躍遷到高能的軌道上。

玻爾模型可以解釋氫原子的結構。改善的玻爾模型，還可以解釋類氫原子的結構，即 He+, Li2+, Be3+ 等。但它還不夠完善，仍然無法準確地解釋其它原子的物理現象。

### 物質波

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1924年，路易·德布羅意發表博士論文提出，粒子擁有波動性，其波長$\lambda_{Broglie}$與動量$p$成反比，以方程式表示為

$\lambda_{Broglie}=\frac{h}{p}$。

這理論稱為德布羅意假說，又稱為物質波假說。這意味著電子不但具有粒子性，還具有波動性。

1927年，柯林頓·戴維森與雷斯特·革末做實驗將低能量電子入射於鎳晶體，然後測量對於每一個角度的散射強度。從分析實驗數據，他們發現，假設加速電勢為5.4eV，則在50°之處會出現強勁反射，符合威廉·布拉格於1913年所提出的 X射線繞射性質。這驚人的結果證實電子是一種物質波，也證實了物質波假說。這實驗就是著名的戴維森－革末實驗。

電子的雙縫實驗可以非常生動地展示出多種不同的量子力學現象。如右圖所示。

- 打在螢幕上的電子是點狀的，這個現象與一般感受到的點狀的粒子相同。
- 電子打在螢幕上的位置，有一定的分布機率，隨時間可以看出雙縫衍射所特有的條紋圖像。假如一個光縫被關閉的話，所形成的圖像是單縫特有的波的分布機率。

在圖中的實驗裡，電子源的強度非常低，所發射出的電子與電子之間的距離約為150km，任意兩個電子同時存在於電子發射器與探測屏之間的機率微乎其微。顯然可以推斷，單獨電子同時通過了兩條狹縫，自己與自己發生干涉，從而出現這個干涉圖樣。對於經典物理學來說，這個解釋非常奇怪。從量子力學的角度來看，電子的分布機率可以用兩個分別通過兩條狹縫的量子態疊加在一起來解釋。這個實驗非常具有信服力地展示出電子的波動性。

## 數學基礎

在二十世紀二十年代，出現了兩種量子物理的理論，即維爾納·海森堡的矩陣力學和埃爾溫·薛丁格的波動力學。

海森堡主張，只有在實驗裏能夠觀察到的物理量（可觀察量），才具有物理意義，才可以用理論描述其物理行為，例如，不能直接觀察到電子運動於原子裏的位置與週期。因此，他著重於研究電子躍遷時所發射光波的離散頻率和輻照度，這些是可觀察量。但是，他無法實際應用這點子於氫原子問題，因為這問題太過複雜，他只能改應用這點子於比較簡單，但也比較不實際的問題。經過一番努力，他計算出諧振子問題的能譜與零點能量，符合分子光譜學的結果。另外，在海森堡理論中，系統的哈密頓量是位置和動量的函數，但它們不再具有古典力學中的定義，而是由二階（代表著過程的初態和終態）傅立葉係數的矩陣給出。海森堡還發現，這些矩陣互不對易。這些論述後來發展成為矩陣力學。

從德布羅意論文的相對論性理論，薛丁格推導出一種波動方程式，稱為薛丁格方程式；用這方程式可以計算出氫原子的譜線，得到與波耳模型完全相同的答案。波動力學的基礎方程式就是薛丁格方程式

薛丁格率先於1926年證明了這兩種理論的等價性。稍後，卡爾·埃卡特和沃爾夫岡·包立也給出類似證明，約翰·馮·諾伊曼嚴格地證明了波動力學和矩陣力學的等價性。

### 基礎公設

整個量子力學的數學理論可以建立於五個基礎公設(postulate)。這些公設不能被嚴格推導出來，而是從實驗結果仔細分析歸納總結而得到的。從這五個公設，可以推導出整個量子力學。假若量子力學的理論結果不符合實驗結果，則必須將這些基礎公設加以修改，直到沒有任何不符合之處。至今為止，量子力學已被實驗核對至極高準確度，還沒有找到任何與理論不符合的實驗結果，雖然有些理論很難直覺地用經典物理的概念來理解，例如，波粒二象性、量子糾纏等等。

- 量子態公設：量子系統在任意時刻的狀態（量子態）可以由希爾伯特空間 $\mathcal{H}$ 中的態矢量 $|\psi\rangle$ 來設定，這態矢量完備地給出了這量子系統的所有資訊。這公設意味著量子系統遵守態疊加原理，假若$|\psi_1\rangle$、$|\psi_2\rangle$屬於希爾伯特空間$\mathcal{H}$，則$c_1|\psi_1\rangle+c_2|\psi_2\rangle$也屬於希爾伯特空間$\mathcal{H}$，其中$c_1$和$c_2$皆為常數。
- 時間演化公設：態矢量為 $|\psi(t)\rangle$ 的量子系統，其動力學演化可以用薛丁格方程表示，$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle = \hat{H}|\psi(t)\rangle$；其中，哈密頓算符 $\hat{H}$ 對應於量子系統的總能量，$\hbar$是約化普朗克常數。根據薛丁格方程，假設時間從$t_0$流動到$t$，則態向量從$|\psi(t_0)\rangle$演化到 $|\psi(t)\rangle$，這過程以方程式表示為$|\psi(t)\rangle = \hat{U}(t, t_0) |\psi(t_0)\rangle$；其中，$\hat{U}(t, t_0)= e^{-i\hat{H}(t-t_0) / \hbar}$ 是時間演化算符。
- 可觀察量公設：每個可觀察量 $A$ 都有其對應的厄米算符 $\hat{A}$，而算符$\hat{A}$的所有本徵矢量共同組成一個完備基底。
- 塌縮公設：對於量子系統測量某個可觀察量 $A$，這動作可以數學表示為將其對應的厄米算符$\hat{A}$ 作用於量子系統的態矢量 $|\psi\rangle$，測量值只能為厄米算符$\hat{A}$ 的本徵值。在測量後，假設測量值為$a_i$，則量子系統的量子態立刻會塌縮為對應於本徵值$a_i$的本徵態 $|e_i\rangle$。
- 波恩公設：對於這測量，獲得本徵值 $a_i$ 的機率為量子態$|\psi\rangle$處於本徵態$|e_i\rangle$的機率幅的絕對值平方。使用可觀察量 $A$的基底$e_1,e_2,\dots,e_n\ $，量子態 $|\psi\rangle$可以表示為$|\psi\rangle=\sum_j c_j|e_j\rangle$；其中$c_j$是量子態$|\psi\rangle$處於本徵態$|e_j\rangle$的機率幅。根據波恩定則，對於這測量，獲得本徵值 $a_i$ 的機率為 $|\langle e_i|\psi\rangle|^2=|c_i|^2$。

### 量子態與量子算符

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量子態指的是量子系統的狀態，態向量可以用來抽象地表現量子態。採用狄拉克標記，態向量表示為右矢$\left\vert \psi \right\rangle$；其中，在符號內部的希臘字母$\psi$可以是任何符號，字母，數字，或單字。例如，沿著磁場方向測量電子的自旋，得到的結果可以是上旋或是下旋，分別標記為$\left\vert \uparrow \right\rangle$或$\left\vert \downarrow \right\rangle$。

對量子態做操作定義，量子態可以從一系列製備程序來辨認，即這程序所製成的量子系統擁有這量子態。例如，使用斯特恩-革拉赫實驗儀器，設定磁場朝著z-軸方向，如右圖所示，可以將入射的銀原子束，依照自旋的z-分量分裂成兩道，一道為上旋，量子態為$\left\vert \uparrow \right\rangle$，另一道為下旋，量子態為$\left\vert \downarrow \right\rangle$，這樣，可以製備成量子態為$\left\vert \uparrow \right\rangle$的銀原子束，或量子態為$\left\vert \downarrow \right\rangle$的銀原子束。原本銀原子束的態向量可以按照態疊加原理表示為

$\left\vert \psi \right\rangle=\alpha\left\vert \uparrow \right\rangle+\beta\left\vert \downarrow \right\rangle$。

其中，$\alpha$、$\beta$是複值係數，$|\alpha|^2$、$|\beta|^2$分別為入射銀原子束處於上旋、下旋的機率，$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$。

在斯特恩-革拉赫實驗裏，可以透過測量而得到自旋的z-分量，這種物理量稱為可觀察量，透過做實驗測量可以得到其測值。每一個可觀察量都有一個對應的量子算符；將算符作用於量子態，會使得量子態線性變換成另一個量子態。假若變換前的量子態與變換後的量子態，除了乘法數值以外，兩個量子態相同，則稱此量子態為此算符的本徵態，稱此乘法數值為此算符的本徵值。可觀察量的算符也許會有很多本徵值與本徵態。根據統計詮釋，每一次測量所得到的測值只能是其中的一個本徵值，而且，測得這本徵值的機會呈機率性，量子系統的量子態也會改變為對應於本徵值的本徵態。例如，自旋的z-分量是個可觀察量$S_z$，做實驗可以得到的測值為$+\hbar/2$或$-\hbar/2$。對應於可觀察量$S_z$的量子算符$\hat{S}_z$有兩個本徵值分別為$+\hbar/2$、$-\hbar/2$的本徵態$\left\vert \uparrow \right\rangle$、$\left\vert \downarrow \right\rangle$，所以將量子算符$\hat{S}_z$分別作用於這兩個本徵態，會得到

$\hat{S}_z\left\vert \uparrow \right\rangle=+\tfrac{\hbar}{2}\left\vert \uparrow \right\rangle$。

$\hat{S}_z\left\vert \downarrow \right\rangle=-\tfrac{\hbar}{2}\left\vert \downarrow \right\rangle$。

將量子算符$\hat{S}_z$作用於量子態$\left\vert \psi \right\rangle=\alpha\left\vert \uparrow \right\rangle+\beta\left\vert \downarrow \right\rangle$，會得到本徵值$+\hbar/2$、$-\hbar/2$的機率分別為$|\alpha|^2$、$|\beta|^2$。假若本徵值為$+\hbar/2$，則量子態$\left\vert \psi \right\rangle$會塌縮為量子態$\left\vert \uparrow \right\rangle$；假若本徵值為$-\hbar/2$，則量子態$\left\vert \psi \right\rangle$會塌縮為量子態$\left\vert \downarrow \right\rangle$。

### 動力學演化

在量子力學公設裏，第二項直接提到量子系統的動力學演化，其遵守含時薛丁格方程式，因此，量子態的演化在任意時刻可以被完全預測，具有連續性、命定性與可逆性。第四項提到，當對於量子系統作測量時，其量子態會塌縮至幾個本徵態中的一個本徵態，具有不連續性、機率性與不可逆性。怎樣調和這兩種不同的行為，一種是關於量子態的自然演化，另一種是關於測量引發的演化，這仍舊是未解決的物理學問題。

量子系統的動力學演化可以用不同的繪景來表現。通過重新定義，這些不同的繪景可以互相變換，它們實際上是等價的。假若要專注分析量子態怎樣隨著時間的流易而演化，時間演化算符怎樣影響量子態，則可採用薛丁格繪景。假若要專注了解對應於可觀察量的算符怎樣隨著時間的流易而演化、時間演化算符怎樣影響這些算符，則可採用海森堡繪景。

## 主要論題

### 測量過程

量子力學與經典力學的一個主要區別，在於怎樣理論論述測量過程。在經典力學裏，一個物理系統的位置和動量，可以同時被無限精確地確定和預測。在理論上，測量過程對物理系統本身，並不會造成任何影響，並可以無限精確地進行。在量子力學中則不然，測量過程本身會對系統造成影響。

怎樣才能正確地理論描述對於一個可觀察量的測量？設定一個量子系統的量子態，首先，將量子態分解為該可觀察量的一組本徵態的線性組合。測量過程可以視為對於本徵態的一個投影，測量結果是被投影的本徵態的本徵值。假設，按照某種程序製備出一個系綜，在這系綜裏，每一個量子態都與這量子態相同，現在對於這系綜裏的每一個量子態都進行一次測量，則可以獲得所有可能的測量值（本徵值）的機率分布，每個測量值的機率等於量子態處於對應的本徵態的機率幅的絕對值平方。

因此，假設對於兩個不同的可觀察量 $A$ 和 $B$做測量，改變測量順序，例如從$AB$改變為$BA$，則可能直接影響測量結果。假若測量結果有所不同，則稱這兩個可觀察量為不相容可觀察量；否則，稱這兩個可觀察量為相容可觀察量。以數學術語表達，兩個不相容可觀察量$A$ 和 $B$的對易算符不等於零：

$[\hat{A},\hat{B}]\ \stackrel{def}{=}\ \hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}\ne 0$。

### 不確定性原理

不確定性原理表明，越能準確地設定粒子的位置，則越不能準確地設定粒子的動量，反之亦然，以方程式表示為

$\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$。

其中，$\Delta x$、$\Delta p$分別為位置、動量的不確定性。

設想一個定域性的波包，假設波包的尺寸為$L$ ．從計數波包的週期數$N$，可以知道其波數$k$：

$k=2\pi N/L$。

假若，計數$N$的不確定性為$\Delta N=1$，那麼，波數的不確定性是

$\Delta k=2\pi /L$。

根據德布羅意假說，$P=\hbar k$。因此，動量的不確定性是

$\Delta P=\hbar \Delta k=\frac{h}{L}$。

由於粒子位置的不確定性是$\Delta X\approx L/2$，所以，這兩個不相容可觀察量的不確定性為

$\Delta P \Delta X \approx h/2$。

### 全同粒子

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粒子具有很多種物理性質，例如質量、電荷、自旋等等。假若兩個粒子具有不同的性質，則可以藉著測量這些不同的性質來區分這兩個粒子。根據許多實驗獲得的結果，同種類的粒子具有完全相同的性質，例如，宇宙裏所有的電子都帶有相等數量的電荷。因此，無法依靠物理性質來區分同種類的粒子，必須使用另一種區分法，即跟蹤每一個粒子的軌道。只要能夠無限精確地測量出每一個粒子的位置，就不會搞不清楚哪一個粒子在哪裡。這個適用於經典力學的方法有一個問題，那就是它與量子力學的基本原理相矛盾。根據量子理論，在位置測量期間，粒子不會保持明確的位置。粒子的位置具有機率性。隨著時間的流易，幾個粒子的量子態可能會移動蔓延，因此某些部分會互相重疊在一起。假若發生重疊事件，給每個粒子「掛上一個標籤」的方法立刻失去了意義，就無法區分在重疊區域的兩個粒子。

全同粒子所呈現出的不可區分性，對量子態的對稱性，以及多粒子系統的統計力學，有深遠的影響。比如說，一個由全同粒子組成的多粒子系統量子態，在交換兩個粒子「1」和粒子「2」時，可以證明，不是對稱的 $(|\psi _{12} \rang = + |\psi _{21} \rang)$，就是反對稱的 $(|\psi _{12} \rang = - |\psi _{21} \rang)$。具有對稱性的粒子被稱為玻色子，具有反對稱性的粒子被稱為費米子。此外自旋的對換也形成對稱：自旋為半數的粒子（如電子、質子和中子）是反對稱的，因此是費米子；自旋為整數的粒子（如光子）是對稱的，因此是玻色子。

由於費米子系統具有反對稱性，費米子遵守泡利不相容原理，即兩個費米子無法占據同一狀態。這個原理擁有極大的實用意義。它表明，在由原子組成的物質世界裡，電子無法同時占據同一狀態，因此在最低狀態被占據後，下一個電子必須占據次低的狀態，直到所有的狀態均被滿足為止。這個現象決定了物質的物理和化學特性。

費米子與玻色子的狀態的熱分布也相差很大：玻色子遵循玻色-愛因斯坦統計，而費米子則遵循費米-狄拉克統計。

### 量子糾纏

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假設兩個粒子在經過短暫時間彼此耦合之後，單獨攪擾其中任意一個粒子，儘管兩個粒子之間可能相隔很長一段距離，還是會不可避免地影響到另外一個粒子的性質，這種關聯現象稱為量子糾纏。往往由多個粒子組成的量子系統，其狀態無法被分離為其組成的單個粒子的狀態，在這種情況下，單個粒子的狀態被稱為是糾纏的。糾纏的粒子有驚人的特性，這些特性違背一般的直覺。比如說，對一個粒子的測量，可以導致整個系統的波包立刻塌縮，因此也影響到另一個、遙遠的、與被測量的粒子糾纏的粒子。這個現象並不違背狹義相對論，因為在量子力學的層面上，在測量粒子前，它們不能被單獨各自定義，實際上它們仍是一個整體。不過在測量它們之後，它們就會脫離量子糾纏的狀態。

### 量子退相干

作為一個基本理論，量子力學原則上，應該適用於任何大小的物理系統，也就是說不僅限於微觀系統，那麼，它應該提供一個過渡到宏觀經典物理的方法。量子現象的存在提出了一個問題，即怎樣從量子力學的觀點，解釋宏觀系統的經典現象。尤其無法直接看出的是，量子力學中的量子疊加，在宏觀世界怎樣呈現出來。1954年，愛因斯坦在給馬克斯·玻恩的信中，就提出了怎樣從量子力學的角度，來解釋宏觀世界的物理現象的問題，他指出僅僅量子力學現象太「小」無法解釋這個問題。這個問題的另一個例子是由薛丁格提出的薛丁格貓的思想實驗。

後來，物理學者領會到，上述的思想實驗，實際而言並不合乎現實，因為它們忽略了不可避免地與周圍環境的相互作用，量子系統會因為這相互作用與環境關聯在一起。處於疊加態的量子系統非常容易受周圍環境的影響，而且隨著時間流逝，這量子系統會與環境永無休止地越加深入糾纏，這現象稱為「馮紐曼無窮鏈」（Von Neumann's infinite chain）。在疊加態裏，幾個相互正交的量子態疊加在一起，彼此相干。量子退相干是一種過程，能夠將量子系統的約化密度矩陣對角化，而相干性質就是表示於這約化密度矩陣的非對角元素，所以，疊加態的相干性質會快速消失，無法再被探測到，從而呈現出經典的統計性質。雖然量子系統的疊加態不再具有相干性質，整個量子系統與環境共同組成的聯合態仍舊具有相干性質。

對於量子計算機來說，量子退相干也有實際意義。在一台量子計算機中，需要多個量子狀態儘可能地長時間保持疊加。退相干時間短是一個非常大的技術問題，因為它會削弱量子疊加效應，但它也是一個必需的因素，因為儲存在電腦內的數據必需經過量子測量被讀出來。

## 與其它物理理論的關係

### 經典物理

量子力學的預測已被實驗核對至極高準確度，是在科學領域中，最為準確的理論之一。對應原理實現經典力學與量子力學之間的對應關係，根據對應原理，假若量子系統已達到某「經典極限」，則其物理行為可以很精確地用經典理論來描述；這經典極限可以是大量子數極限，也可以是普朗克常數趨零極限。實際而言，許多宏觀系統都是用經典理論（如經典力學和電磁學）來做精確描述。因此在非常「大」的系統中，量子力學的特性應該會逐漸與經典物理的特性相近似，兩者必須相互符合。

對應原理對於建立一個有效的量子力學模型是很重要的輔助工具。量子力學的數學基礎相當廣泛寬鬆，它僅只要求量子系統的態向量屬於希爾伯特空間，其可觀察量是線性的厄米算符，它並沒有規定在實際情況下，應該選擇哪一種希爾伯特空間、哪些厄米算符。因此，在實際情況下，必須選擇相應的希爾伯特空間和算符來描寫一個特定的量子系統。而對應原理則是做出這個選擇的一個重要輔助工具。這個原理要求量子力學所做出的預言，在越來越大的系統中，逐漸近似經典理論的預言。這個大系統的極限，被稱為「經典極限」或者「對應極限」。因此可以使用啟發法的手段，來建立一個量子力學的模型，而這個模型的極限，就是相應的經典物理學的模型。

在經典系統與量子系統之間，量子相干是一種很明顯可以用來區分的性質，具有量子相干性的電子、光子等等微觀粒子可以處於量子疊加態，不具有量子相干性的棒球、老虎等等宏觀系統不可以處於量子疊加態。量子退相干可以用來解釋這些行為。一種應用這性質來區分的工具是貝爾不等式，遭到量子糾纏的系統不遵守貝爾不等式，而量子退相干能夠將量子糾纏性質變換為經典統計性質，系統的物理行為因此可以用隱變數理論解釋，不再不遵守貝爾不等式。簡略而言，量子干涉是將幾個量子態的量子幅總和在一起，而經典干涉則是將幾個經典波動的波強總和在一起。對於微觀物體，整個系統的延伸尺寸超小於相干長度，因此會產生長程量子糾纏與其它非定域現象，一些量子系統的特徵行為。通常，量子相干不會出現於宏觀系統。

### 狹義相對論

原本量子力學的表述所針對的模型，其對應極限為非相對論性古典力學。例如，眾所皆知的量子諧振子模型使用了非相對論性表達式來表達其動能，因此，這模型是古典諧振子的量子版本。

早期，對於合併量子力學與狹義相對論的試圖，涉及到使用協變方程式，例如，克萊因-戈爾登方程或狄拉克方程式，來取代薛丁格方程。這些方程雖然能夠很成功地描述許多量子現象，但它們目有某些不滿意的問題，它們無法描述在相對論性狀況下，粒子的生成和湮滅。完整的相對論性量子理論需要量子場論的關鍵發展。量子場論能夠將場量子化（而不是一組固定數量的粒子）。第一個量子場論是量子電動力學，它可以精確地描寫電磁相互作用。量子電動力學其對於某些原子性質的理論預測，已被證實準確至108分之一。

對於描述電磁系統，時常不需要使用到量子場論的全部功能。比較簡單的方法，是將帶電粒子當作處於經典電磁場中的量子力學物體。這個手段從量子力學的初期，就已經被使用了。比如說，氫原子的電子狀態，可以近似地使用經典的 $1/r$ 庫侖勢來計算。這就是所謂的半經典方法。但是，在電磁場中的量子起伏起一個重要作用的情況下（比如帶電粒子發射一顆光子）這個近似方法就失效了。

### 粒子物理學

專門描述強相互作用、弱相互作用的量子場論已發展成功。強相互作用的量子場論稱為量子色動力學，這個理論描述亞原子粒子，例如夸克、膠子，它們彼此之間的相互作用。弱相互作用與電磁相互作用也被統一為單獨量子場論，稱為電弱相互作用。

### 廣義相對論

量子引力是對引力場進行量子化描述的理論，屬於萬有理論之一。物理學者發覺，建造引力的量子模型是一件非常艱難的研究。半經典近似是一種可行方法，推導出一些很有意思的預測，例如，霍金輻射等等。可是，由於廣義相對論（至今為止，最成功的引力理論）與量子力學的一些基礎假說相互矛盾，表述出一個完整的量子引力理論遭到了嚴峻阻礙。嘗試結合廣義相對論與量子力學是熱門研究方向，為當前的物理學尚未解決的問題。當前主流嘗試理論有：超弦理論、迴圈量子重力理論等等。

## 哲學觀點

量子力學是經歷最嚴格驗證的物理理論之一。至今為止，尚未找到任何能夠推翻量子力學的實驗數據。大多數物理學者認為，「幾乎」在所有情況下，它正確地描寫能量和物質的物理性質。雖然如此，量子力學中，依然存在著概念上的弱點和缺陷，除前面所述關於萬有引力的量子理論的缺乏以外，現今，對於量子力學的詮釋依然存在著嚴重爭議。

從初始到現今，量子力學的各種反直覺論述與結果一直不停地引起在哲學、詮釋方面的強烈辯論。甚至一些基礎論點，例如，馬克斯·玻恩關於機率幅與機率分佈的基本定則，也需要經過數十年的嚴格思考論證，才被學術界接受。理察·費曼曾經說過一句銘言：「我認為我可以有把握地說，沒有人懂得量子力學！」史蒂文·溫伯格承認：「依照我現在的看法，完全令人滿意的量子力學詮釋不存在。」

雖然在發表後已經過七十幾年光陰，哥本哈根詮釋仍舊是最為物理學者接受的對於量子力學的一種詮釋。它的主要貢獻者是尼爾斯·玻爾與沃納·海森堡。根據這種詮釋，量子力學的機率性論述不是一種暫時補丁，而且最終將會被一種命定性理論取代，它必須被視為一種最終拋棄經典因果論思維的動作。在這裡，任何量子力學形式論的良好定義的應用必須將實驗設置納入考量，這是因為不同實驗狀況獲得的結果所具有的互補性。

身為量子理論的創始者之一的愛因斯坦很不滿意這種非命定性的論述。他認為量子力學不具有完備性，他提出一系列反駁論述，其中最著名的就是愛因斯坦-波多爾斯基-羅森佯謬。這佯謬建立於定域實在論。假設局區域實在論成立，則量子力學不具有完備性。接近三十年以後，約翰·貝爾發佈論文表示，對於這個佯謬稍加理論延伸，就會導致對於量子力學與定域實在論出現不同的預言，因此可以做實驗檢試量子世界到底與哪種預言一致。為此，完成了很多相關實驗，這些實驗確定量子力學的預言正確無誤，定域實在論無法描述量子世界。

休·艾弗雷特三世提出的多世界詮釋認為，量子理論所做出的可能性的預言，全部會同步實現，這些現實成為彼此之間毫無關聯的平行宇宙。在這種詮釋裏，波函數不塌縮，它的發展是決定性的。但是由於隻身觀察者無法存在於所有的平行宇宙裏，只能觀察在身處的宇宙內發生的事件，而無法觀察到其它平行宇宙內發生的事件。這種詮釋不需要特殊處理測量動作。在這理論裏，薛丁格方程無論何處無論何時都成立。對於任何測量動作，必須將整個系統，測量儀器與被測量物體，全部納入薛丁格方程的運算。測量儀器與被測量物體所有可能的量子態都存在於一種真實的量子疊加，形成了糾纏態。雖然平行宇宙具有命定性，觀察者意識到由機率主導的非命定行為，因為觀察者只能觀察到自身所在的宇宙。多世界詮釋能夠透過貝爾的檢試實驗。近期研究發展將多世界詮釋與量子退相干理論合併在一起來解釋主觀的波函數塌縮。由於量子退相干機制，糾纏態會快速地演化為經典混合態。

戴維·玻姆提出了一種非定域性的隱變量理論，稱為導航波理論。在這種詮釋裏，波函數被理解為粒子的一個導航波。從結果上，這個理論預言的實驗結果，與非相對論哥本哈根詮釋的預言完全一樣，因此，使用實驗手段無法鑑別這兩個解釋。雖然這個理論的預言是命定性的，但是由於不確定原理無法推測出隱變量的精確狀態，其結果跟哥本哈根詮釋的結果一樣，使用導航波理論來解釋，實驗的結果具有機率性。至今為止，還不能確定這個解釋是否能夠擴展到相對論量子力學上去。路易·德布羅意和其他人也提出過類似的隱變量解釋。

## 應用

在許多現代技術裝備中，量子效應起了重要的作用，例如，雷射的工作機制是愛因斯坦提出的受激發射、電子顯微鏡利用電子的波粒二象性來增加解析度、原子鐘使用束縛於原子的電子從一個能級躍遷至另一個能級時所發射出的微波信號的頻率來計算與維持時間的準確性、核磁共振成像倚賴核磁共振機制來探測物體內部的結構。對半導體的研究導致了二極體和三極體的發明，這些都是現代電子系統與電子器件不可或缺的元件。

以下列出了一些量子力學的應用，但實際上其應用不限於這些領域。

### 電子器件

量子力學在電子器件中得到了廣泛應用。比如發光二極體在日常照明中應用中越來越廣泛。現代電腦的基礎，微處理器，由上億個半導體電晶體集成，且隨著電晶體數量的增加，電晶體中的量子效應越來越明顯。量子力學對於解釋和模擬半導體器件中的電學、光學、熱學性質等尤其重要。

量子力學還是量子隧穿器件工作的基礎。比如USB非易失性快閃記憶體中，資訊的存儲和讀取都通過量子隧穿實現。

超導電子器件也與量子力學有著密切的關係。

### 電腦

相比於電晶體等電子器件，量子計算機的研製則更為前沿。在一些特定演算法下，量子計算機的速度會比經典架構的電腦快成千上萬倍（比如量子退火演算法）。經典電腦使用0和1作為比特，而量子計算機則使用量子位作為基本單位。量子位由不同的電子態疊加形成。

### 宇宙學

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量子力學能夠用來解釋很多奇異的宇宙現象，例如，宇宙微波背景的頻譜可以用普朗克黑體輻射定律來解釋。宇宙微波背景證實了大爆炸理論的正確無誤，自此，穩態理論開始式微。從宇宙微波背景可以推論，早期宇宙非常炙熱、對於電磁輻射不透明、具有均質性與各向同性，是標準的黑體。

在恆星的生命終點，當所有核燃料都已用盡，恆星會開始引力坍縮的過程，最終可能變為白矮星、中子星或黑洞。這是因為包立不相容原理的作用。由於電子遵守包立不相容原理，因此在坍縮時，假若電子簡併壓力能夠克服引力，就會形成白矮星，否則會繼續坍縮，由於中子也遵守包立不相容原理，這時假若中子簡併壓力能夠克服引力，則會形成中子星，否則就會坍縮成黑洞。

### 化學

任何物質的化學性質，均是由其原子或分子的電子結構所決定的。通過解析包括了所有相關的原子核和電子的多粒子薛丁格方程，可以計算出該原子或分子的電子結構。在實踐中，人們認識到，要計算這樣的方程實在太複雜，對於許多案例，必需使用簡化的模型，找到可行的數學計算方法，才能夠找到近似的電子結構，從而確定物質的化學性質。實際上，量子電動力學是化學的基礎原理。

量子力學可以詳細描述原子的電子結構與化學性質。對於只擁有一個束縛電子的氫原子，薛丁格方程式有解析解，可以計算出相關的能級與氫原子軌域，而且能級符合氫原子光譜實驗的數據，從每一種氫原子軌域可以得到對應的電子機率分佈。對於其它種原子（多電子原子），薛丁格方程式沒有解析解，只能得到近似解，可以計算出近似氫原子軌域的哈特里原子軌域，形狀相同，但尺寸與能級模式不一樣。使用哈特里原子軌域，可以解釋原子的電子結構與化學性質，週期表的元素排列。

量子力學能夠解釋，在分子裏的束縛電子怎樣將分子內部的原子綑綁在一起。對於最為簡單，只擁有一個束縛電子的氫分子離子H2+，應用玻恩–奧本海默近似（兩個原子核固定不動），薛丁格方程式有解析解，可以計算出它的分子軌域。但是對於其它更為複雜的分子，薛丁格方程式沒有解析解，只能得到近似解，只能計算出近似的分子軌域。理論化學中的分支，量子化學和計算化學，專注於使用近似的薛丁格方程，來計算複雜的分子的結構及其化學性質。

### 資訊學

目前的研究聚焦於找到可靠與能夠直接處理量子態的方法。量子系統擁有一種特性，即對於量子數據的測量會不可避免地改變數據，這種特性可以用來偵測出任何竊聽動作。倚賴這特性，量子密碼學能夠保證通信安全性，使得通信雙方能夠產生並分享一個隨機的，安全的密鑰，來加密和解密資訊。比較遙遠的目標是發展出量子電腦。由於量子態具有量子疊加的特性，理論而言，量子電腦可以達成高度並行計算，其計算速度有可能以指數函數快過普通電腦。另外，應用量子纏結特性與經典通訊理論，量子遙傳能夠將物體的量子態從某個位置傳送至另一個位置。這是正在積極進行的一門學術領域。

## 外部連結

- 國立交通大學物理系視聽教學：量子力學導論。
- J. O'Connor and E. F. Robertson: A history of quantum mechanics.
- Introduction to Quantum Theory at Quantiki.
- Quantum Physics Made Relatively Simple : three video lectures by Hans Bethe

課程材料

- Quantum Cook Book and PHYS 201: Fundamentals of Physics II by Ramamurti Shankar, Yale OpenCourseware
- The Modern Revolution in Physics – an online textbook.
- MIT OpenCourseWare: Chemistry and Physics . See 8.04 , 8.05 and 8.06
- 5½ Examples in Quantum Mechanics
- Imperial College Quantum Mechanics Course.

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