洛倫茲變換

洛倫茲變換是觀測者在不同慣性參照系之間對物理量進行測量時所進行的轉換關係，在數學上表現為一套方程組。洛倫茲變換因其創立者——荷蘭物理學家亨德里克·洛倫茲而得名。洛倫茲變換最初用來調和19世紀建立起來的經典電動力學同牛頓力學之間的矛盾，後來成為狹義相對論中的基本方程組。

## 洛倫茲變換的提出

19世紀後期建立了麥克斯韋方程組，標誌著經典電動力學取得了巨大成功。然而麥克斯韋方程組在經典力學的伽利略變換下並不是協變的。

由麥克斯韋方程組可以得到電磁波的波動方程，由波動方程解出真空中的光速是一個常數。按照經典力學的時空觀，這個結論應當只在某個特定的慣性參照系中成立，這個參照系就是以太。其它參照系中測量到的光速是以太中光速與觀察者所在參照系相對以太參照系的速度的矢量疊加。然而1887年的邁克耳孫-莫雷實驗測量不到地球相對於以太參照系的運動速度。1904年，洛倫茲提出了洛倫茲變換用於解釋邁克耳孫-莫雷實驗的結果。根據他的設想，觀察者相對於以太以一定速度運動時，長度在運動方向上發生收縮，抵消了不同方向上的光速差異，這樣就解釋了邁克耳孫-莫雷實驗的零結果。

## 洛倫茲變換的數學形式

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洛倫茲提出洛倫茲變換是基於以太存在的前提的，然而以太被證實是不存在的，根據光速不變原理，相對於任何慣性參照系，光速都具有相同的數值。愛因斯坦據此提出了狹義相對論。在狹義相對論中，空間和時間並不相互獨立，而是一個統一的四維時空整體，不同慣性參照系之間的變換關係式與洛倫茲變換在數學表達式上是一致的，即：

$$\begin{cases} x' = \frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \\ y' = y \\ z' = z \\ t' = \frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{cases}$$

其中x、y、z、t分別是慣性坐標系Σ下的坐標和時間，x'、y'、z'、t'分別是慣性坐標系Σ'下的坐標和時間。v是Σ'坐標系相對於Σ坐標系的運動速度，方向沿x軸。

由狹義相對性原理，只需在上述洛倫茲變換中把v變成-v，x'、y'、z'、t'分別與v, x、y、z、t互換，就得到洛倫茲變換的反變換式：

$$\begin{cases} x = \frac{x'+vt'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \\ y = y' \\ z = z' \\ t = \frac{t'+\frac{v}{c^2}x'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{cases}$$

洛倫茲變換是高速運動的宏觀物體在不同慣性參照系之間進行時空座標變換的基本規律。當相對速度v遠遠小於光速c時，洛倫茲變換退化為經典力學中的伽利略變換:

$$\begin{cases} x' = x-vt \\ y' = y \\ z' = z \\ t' = t \end{cases}$$

所以，狹義相對論與經典力學並不矛盾，狹義相對論將經典力學擴展到了宏觀物體在一切運動速度下的普遍情況，經典力學只是相對論在低速時（v遠遠小於c）的近似情況。一般在處理運動速度不太高的物體時（如天體力學中計算行星的運行軌道），不需考慮到相對論效應，因為用相對論進行處理時計算往往變得非常繁瑣，而結果與經典情況相差不大。當處理高速運動的物理時，比如高能加速器中的電子，則必須要考慮相對論效應對結果帶來的修正。

## 洛倫茲變換的四維形式

在狹義相對論中，某一事件可以用帶有四個參數的時空坐標（t,x,y,z）來描述，洛倫茲變換就是在不同慣性參考系中觀察同一事件的時空坐標變換關係，並且是滿足四維空間中時間間隔 s2:=c2t2-x2-y2-z2 不變的變換。如果將x、y、z記成x1、x2、x3，並且令：

$$\begin{cases} x^{0} = ct \\ x^{\prime}{}^{0} = ct^{\prime} \end{cases}$$

那麼洛倫茲變換可以寫成如下的矩陣形式：

$$\begin{bmatrix}x^{\prime}{}^{0}\\x^{\prime}{}^{1}\\x^{\prime}{}^{2}\\x^{\prime}{}^{3}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma&-\beta\gamma&0&0\\ -\beta\gamma&\gamma&0&0 \\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x^{0}\\x^{1}\\x^{2}\\x^{3}\end{bmatrix}$$

其中

$\beta = \frac{v}{c}, \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$，$\gamma$ 被稱為洛倫茲因子。

## 勞侖茲變換的推導

相對原則和光速不變的物理原則是狹義相對論通常的出發點（例：愛因斯坦最初對勞侖茲變換的推導）。實際上勞侖茲變換並不取決於光的物理性質：最重要的是粒子間的作用的局域性：一粒子對另外一粒子的影響作用不能任意快地傳遞，而作用傳遞的最高速度必須在所有參照系都是一樣的速度。此最高速度剛好等於真空中光速。

### 從群論出發的推導

所有參照系間轉換以轉換疊加作為乘法組成一個群。它們符合以下公理：

- 閉合：兩個參照系轉換疊加得另外一轉換。以$[K \to K^\prime]$寫$K$到$K^{\prime}$。那對任意三個參照系$[K \to K^{\prime\prime}] = [K \to K^\prime] [K^{\prime} \to K^{\prime\prime}]$
- 結合律：$[K \to K^{\prime}] \left([K^{\prime} \to K^{\prime\prime}] [K^{\prime\prime} \to K^{\prime\prime\prime}]\right) = \left([K \to K^{\prime}] [K^{\prime} \to K^{\prime\prime}]\right) [K^{\prime\prime} \to K^{\prime\prime\prime}]$
- 單位元：存在保留參照系的單位轉換$[K \to K]$
- 逆元：對任何參照系轉換$[K \to K^\prime]$都有返回原本參照系的轉換$[K^\prime \to K]$

### 符合群公理的轉換矩陣

考慮兩個參照系$K$和$K^\prime$，$K^\prime$的原點相對$K$原點速度為$v$（設運動方向為$z$方向，以下忽略無關的$x$和$y$方向）。出於時空的均勻性勞侖茲變換必須保留慣性運動，因此它必須是一個綫性轉換而可以以矩陣表示：

$$\begin{pmatrix}t^\prime \\ z^\prime\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \Lambda_{11} & \Lambda_{12} \\ \Lambda_{21} & \Lambda_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ z \end{pmatrix}$$

以上$\Lambda_{ij}$是有待計算的矩陣元。它們是相對速度$v$的函數。

參照系$K^\prime$的原點$O^\prime$在參照系$K$的運動：

$$\begin{pmatrix}t^\prime \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \Lambda_{11} & \Lambda_{12} \\ \Lambda_{21} & \Lambda_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ v t \end{pmatrix}$$

得

$$\Lambda_{21}+v \, \Lambda_{22}=0$$

同樣參照系$K$的原點$O$在參照系$K^\prime$的運動：

$$\begin{pmatrix}t^\prime \\ -v t^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \Lambda_{11} & \Lambda_{12} \\ \Lambda_{21} & \Lambda_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ 0 \end{pmatrix}$$

得

$$\Lambda_{21} + v \, \Lambda_{11}=0$$

因此主斜兩項相等且可稱為$\gamma\equiv\Lambda_{11} = \Lambda_{22}\,$。還有$\Lambda_{21}= -v \,\gamma$：

$$\begin{pmatrix}t^\prime \\ z^\prime\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & \Lambda_{12} \\ -v \gamma & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ z \end{pmatrix}$$

因為$t^\prime = \gamma t$，$\gamma$的意義就是時間膨脹的因子。因為時空的各向同性，$\gamma$只能取決於速度而不取決於方向。也就是說$\gamma(-v)=\gamma(v)$。

群元可逆因此取逆矩陣：

$$\begin{pmatrix}t \\ z\end{pmatrix} = \frac{1}{\gamma^2 + \Lambda_{12} v \gamma} \begin{pmatrix} \gamma & -\Lambda_{12} \\ v \gamma & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t^\prime \\ z^\prime \end{pmatrix}$$

當然逆轉換隻等同於反方向同速的轉換。運用上段$\gamma$的性質

$$\frac{1}{\gamma^2 + \Lambda_{12} v \gamma} \begin{pmatrix} \gamma & -\Lambda_{12} \\ v \gamma & \gamma \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \gamma & -\Lambda_{12} \\ v \gamma & \gamma \end{pmatrix}$$

每項比較得到：

$$\gamma^2 + \Lambda_{12} v \gamma = 1$$

從群的閉合性要求連續兩次轉換等於以速度和的單次轉換。也就是說兩個矩陣的積：

$$\begin{pmatrix} \gamma^\prime & \Lambda_{12}^\prime \\ -v^\prime \gamma^\prime & \gamma^\prime \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \gamma & \Lambda_{12} \\ -v \gamma & \gamma \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma^\prime\gamma - \Lambda_{12}^\prime v\gamma & \gamma^\prime\Lambda_{12} + \gamma\Lambda_{12}^\prime \\ -\gamma^\prime\gamma(v+v^\prime) & \gamma^\prime \gamma-v^\prime \gamma^\prime \Lambda_{12}\end{pmatrix}$$

必須擁有同樣的矩陣型式。這意味著主斜綫上兩項相等。因此以下比例：

$$\kappa \equiv \frac{\Lambda_{12}}{v \gamma} = \frac{\Lambda_{12}^\prime}{v^\prime \gamma^\prime}$$

必須是一個和參照系相對速度$v$無關的常數。

插入較前等式得$\gamma$的定義：

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 + \kappa v^2}}$$

而最廣泛的勞侖茲變換矩陣型式為：

$$\frac{1}{\sqrt{1+\kappa v^2}} \begin{pmatrix} 1 & \kappa v \\ -v & 1 \end{pmatrix}$$

到這裡$c^2 = \frac{1}{|\kappa|}$就是轉換的不變速度。如果$\kappa\,>0$，c是一個速度的下限。這明顯與物理現實不符。因此$\kappa\le0$。但還可以分成$\kappa\,=0$和$\kappa\,<0$兩種情形：

### 伽利略轉換

$\kappa=0$得伽利略轉換矩陣：

$$\begin{pmatrix}t^\prime \\ z^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -v & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ z \end{pmatrix}$$

在此情況下時間是絕對的：$t^\prime = t$。

### 勞侖茲變換

在更一般$c=\frac{1}{\sqrt{-\kappa}} < \infty$的情況就得到先前的勞侖茲變換矩陣：

$$\begin{pmatrix}t^\prime \\ z^\prime \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \begin{pmatrix} 1 & -\frac{v}{c^2} \\ -v & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ z \end{pmatrix}$$

$c$是在所有參照系內不變的速度上限。

到底世界是屬於$\kappa=0$還是$\kappa<0$類型是最終只能靠實驗驗證。例如邁克耳孫-莫雷實驗。

## 速度變換公式

由洛倫茲變換可以得到相對論的速度變換公式。設ux、uy、uz分別是物體在慣性坐標系Σ下沿各坐標軸的速度分量，u'x、u'y、u'z分別是物體在慣性坐標系Σ'下沿各坐標軸的速度分量，那麼：

$$u'_x = \frac{u_x-v}{1 - \frac{v u_x}{c^2}}$$

$$u'_y = \frac{u_y\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{vu_{x}}{c^2}}$$

$$u'_z = \frac{u_z\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{vu_{x}}{c^2}}$$

如果把v變成-v，ux、uy、uz分別與u'x、u'y、u'z互換，就得到上述速度變換的反變換式。

當速度v遠小於光速時，上述速度變換式退化為經典的速度變換式：

$$u'_{x} = u_{x} - v$$

$$u'_{y} = u_{y}$$

$$u'_{z} = u_{z}$$

## 其他物理量的變換

對於有著類時分量$A$和類空分量$\mathbf{Z}=(Z_x,Z_y,Z_z)$的四維向量$(A,\mathbf{Z})$，其閔考斯基範（Minkowski norm）是洛倫茲不變量（Lorentz invariant）：

$A^2 - \mathbf{Z}\cdot\mathbf{Z}= A'^2 - \mathbf{Z}'\cdot\mathbf{Z}'$。

所以我們可以仿照四維位置的洛倫茲變換，寫出一般四維向量的洛倫茲變換：

$$\begin{align} A' &= \gamma \left(A - \mathbf{Z}\cdot\boldsymbol{\beta}\right)\mbox{，}\\ \mathbf{Z}' &= \mathbf{Z} + (\gamma-1)(\mathbf{Z}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n} - \gamma A\boldsymbol{\beta}\mbox{，} \end{align}$$

其中$\boldsymbol{\beta} = \mathbf{v}/c= v\mathbf{n}/c$，$\mathbf{n}$是$\mathbf{v}$方向上的單位向量。$\mathbf{Z}$（和$\mathbf{Z}'$）分解成垂直$\mathbf{v}$方向和平行於$\mathbf{v}$方向的方法與位置向量的分解方法相同。取得逆變換的方法也是與四維位置的情況相同，就是交換$(A,\mathbf{Z})$與$(A',\mathbf{Z}')$，然後使用相反的相對運動方向，即$\mathbf{n} \mapsto -\mathbf{n}$。

常見的四維向量如下表：

四維向量｜$A$｜$\mathbf{Z}$

四維位置｜時間（乘以$c$）$ct$｜位置向量 $\mathbf{r}$

四維動量｜能量（除以$c$）$E/c$｜動量 $\mathbf{p}$

四維波向量｜角頻率（除以$c$）$\omega/c$｜波向量 $\mathbf{k}$

四維自旋｜（無名稱）$s_\text{t}$｜自旋 $\mathbf{s}$

四維電流密度｜電荷密度（乘以$c$）$\rho c$｜電流密度 $\mathbf{j}$

四維電磁位勢｜電位（除以$c$）$\phi/c$｜磁向量位 $\mathbf{A}$

## 洛倫茲變換的幾何理解

在平面幾何，一個向量在某坐標系統為$(x,y)$。如果我們在原點以$\theta$順時針旋轉原本坐標軸做新的坐標系統。在新系統內，同一向量坐標為:$(x^{\prime},y^{\prime})$：

$$\begin{bmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$$

當然雖然向量的坐標在不同坐標系統裡面不一樣，它的長度不變：$(x^\prime)^2+(y^\prime)^2=(x)^2+(y)^2$。

另外如果我們以另外角度$\phi$再旋轉一次，那向量新坐標和原坐標關係為：

$$\begin{bmatrix}x^{\prime\prime}\\y^{\prime\prime}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\cos(\theta+\phi) & \sin(\theta+\phi) \\ -\sin(\theta+\phi) & \cos(\theta+\phi)\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$$

即：連續的轉角可加。

我們可以相似般把洛倫茲變換看成一種類似的坐標旋轉。定義快度$w=\text{arctanh}\beta$。那以上洛倫茲變換公式可以寫成（略去不受影響的$x^2$和$x^3$）：

$$\begin{bmatrix}x^\prime{}^0\\ x^\prime{}^1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\cosh w & -\sinh w\\ -\sinh w & \cosh w\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x^0\\ x^1\end{bmatrix}$$

也就是說：洛倫茲變換數學上等同於雙曲角旋轉。此坐標「旋轉」中類似「長度」的不變量是：

$(x^\prime{}^0)^2-(x^\prime{}^1)^2=(x^0)^2-(x^1)^2$。

如果我們先轉換到相對原本參考系統速度為$\beta_{21}$的參考系統，然後再轉換到相對第二個參考系統速度為$\beta_{32}$的參考系統。令$w_{21}=\text{arctanh}\beta_{21}$、$w_{32}=\text{arctanh}\beta_{32}$。那麼在原本參考系統坐標為$(x^0,x^1)$的事件在兩次轉換後參考系統內坐標$(x^{\prime\prime}{}^0,x^{\prime\prime}{}^1)$為：

$$\begin{bmatrix}x^{\prime\prime}{}^0\\ x^{\prime\prime}{}^1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\cosh (w_{21} + w_{32}) & -\sinh (w_{21} + w_{32})\\ -\sinh (w_{21} + w_{32}) & \cosh (w_{21} + w_{32})\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x^0\\ x^1\end{bmatrix}$$

所以我們發現洛倫茲變換里直接相加的數量不是速度$\beta$而是這個類似角度的$w=\text{arctanh}\beta$。日常經驗我們使用的伽利略變換把速度直接相加減。這是因為在速度遠小於光速（$\beta\ll 1$）的時候$w$近似速度$w\simeq \beta$。

當然我們也可以直接從原本的參考系統直接轉換到最後的參考系統。如果兩者速度為$\beta_{31}$，那麼

$$\begin{align} w_{31} &= w_{21} + w_{32} \\ \tanh w_{31} &= \tanh (w_{21} + w_{32}) = \frac{\tanh w_{21} + \tanh w_{32}}{1+\tanh w_{21} \tanh w_{32}} \\ \beta_{31} &= \frac{\beta_{21} + \beta_{32}}{1+\beta_{21} \beta_{32}} \end{align}$$

因此得到相對論速率加法公式。