Z轉換

在數學和信號處理中，Z轉換（Z-transform）把離散的實數或複數時間訊號從時域轉為復頻域（z域或z平面）表示。

可以把它認為是拉普拉斯變換的離散時間等價。在時標微積分中會探索它們的相似性。

## 歷史

現在所知的Z變換的基本思想，拉普拉斯就已了解，而1947年維托爾德·胡列維茨用作求解常係數差分方程的一種容易處理的方式。後來由1952年哥倫比亞大學的採樣控制組的Q740408和查德稱其為「Z變換」。

Q740408後來發展並推廣了改進或高級Z變換。

Z變換中包含的思想在數學裡稱作母函數方法，該方法可以追溯到1730年的時候，棣莫弗與機率論結合將其引入。

從數學的角度，當把數字序列視為解析函數的（洛朗）展開時，Z變換也可以看成是洛朗級數。

## 定義

像很多積分變換一樣，Z變換可以有單邊和雙邊定義。

### 雙邊Z變換

雙邊Z轉換把離散時域信號$x[n]$轉為形式冪級數$X(z)$。

$$X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$$

當中 $n$ 是整數，$z$ 是複數變量，其表示方式為

$$z = A e^{j\phi} = A(\cos{\phi}+j\sin{\phi})\,$$

其中 A 為 z 的模，j 為虛數單位，而 ɸ 為輻角（也叫相位角），用弧度表示。

### 單邊Z變換

另外，只對 n ≥ 0 定義的 xn，單邊Z變換定義為

$$X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}.$$

在信號處理中，這個定義可以用來計算離散時間因果系統的單位衝激響應。

單邊Z變換的一個重要例子是機率母函數，其中 xn 部分是離散隨機變量取 n 值時的機率，而函數 X(z) 通常寫作 X(s)，用 s = z−1 表示。Z變換的性質（在下面）在機率論背景下有很多有用的解釋。

### 地球物理學定義

地球物理中的Z變換，通常的定義是 z 的冪級數而非 z−1 的。例如，Q102443451和Q112388807都使用這個慣例。地球物理定義為：

$$X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n} x[n] z^{n}.$$

這兩個定義是等價的；但差分結果會有一些不同。例如，零點和極點的位置移動在單位圓內使用一個定義，在單位圓外用另一個定義。

因此，需要注意特定作者使用的定義。

## 逆Z變換

逆Z變換為

$$x[n] = \mathcal{Z}^{-1} \{X(z) \}= \frac{1}{2 \pi j} \oint_{C} X(z) z^{n-1} dz$$

其中 C 是完全處於收斂域（ROC）內的包圍原點的一個逆時針閉合路徑。在 ROC 是因果的情況下（參見例2），這意味著路徑 C 必須包圍 X(z) 的所有極點。

這個曲線積分的一個特殊情形出現在 C 是單位圓的時候（可以在ROC包含單位圓的時候使用，總能保證 X(z) 是穩定的，即所有極點都在單位圓內）。逆Z變換可以化簡為逆離散傅立葉變換：

$$x[n] = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{+\pi} X(e^{j \omega}) e^{j \omega n} d \omega.$$

有限範圍 n 和有限數量的均勻間隔的 z 值的Z變換可以用Bluestein的FFT算法方便地計算。離散時間傅立葉變換 (DTFT)—不要與離散傅立葉變換（DFT）混淆—是通過將 z 限制在位於單位圓上而得到的一種Z變換的特殊情況。

## 收斂域

收斂域（ROC）是指Z變換的求和收斂的複平面上的點集。

$$ROC = \left\{ z : \left|\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}\right| < \infty \right\}$$

### 例1（收斂域不存在）

令 $x[n] = (0.5)^n$。在區間 $(-\infty, \infty)$上展開 $x[n]$ 成為

$$x[n] = \left \{\cdots, 0.5^{-3}, 0.5^{-2}, 0.5^{-1}, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, \cdots \right \} = \left \{\cdots, 2^3, 2^2, 2, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, \cdots \right\}.$$

觀察上面的和

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} \to \infty.$$

因此，沒有一個 $z$ 值可以滿足這個條件。

### 例2（因果的收斂域）

<image>

令 $x[n] = 0.5^n u[n]\ $（其中 u 是單位階躍函數）。在區間 (−∞, ∞) 上展開 xn 得到

$$x[n] = \left \{\cdots, 0, 0, 0, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, \cdots \right \}.$$

觀察這個和

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}0.5^nz^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{0.5}{z}\right)^n = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}.$$

最後一個等式來自無窮幾何級數，而等式僅在 |0.5z−1| 0.5。因此，收斂域為 |z| > 0.5。在這種情況下，收斂域為複平面「挖掉」原點為中心的半徑為 0.5 的圓盤。

### 例3（非因果的收斂域）

<image>

令 $x[n] = -(0.5)^n u[-n-1]\ $（其中 u 是單位階躍函數）。在區間 (−∞, ∞) 上展開 xn 得到

$$x[n] = \left \{ \cdots, -(0.5)^{-3}, -(0.5)^{-2}, -(0.5)^{-1}, 0, 0, 0, 0, \cdots \right \}.$$

觀察這個和

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} = -\sum_{n=-\infty}^{-1}0.5^nz^{-n} = -\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{z}{0.5}\right)^{m} = 1-\frac{1}{1 - 0.5^{-1}z} =\frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}$$

再次使用無窮幾何級數，此等式只在 |0.5−1z| < 1 時成立，可以用 z 為變量寫成 |z| < 0.5。因此，收斂域為 |z| < 0.5。在這種情況下，收斂域為中心在原點的半徑為 0.5 的圓盤。

本例與上例的不同之處僅在收斂域上。這是意圖展示只有變換結果是不夠的。

### 實例結論

實例2和3清楚地表明，若且唯若指定收斂域時，$x[n]$ 的Z變換 X(z) 才是唯一的。畫因果和非因果情形的零極點圖表明，在這兩種情況下收斂域都不包含極點位於 0.5 的情形。這可以拓展到多個極點的情形：收斂域永遠不會包含極點。

在例2中，因果系統產生一個包含 |z| = ∞ 的收斂域，而例3中的非因果系統產生包含 $|z| = 0$ 的收斂域。

<image>

在有多個極點的系統中，收斂域可以既不包含 |z| = ∞ 也不包含 |z| = 0。畫出的收斂域與一個圓形帶。例如。

$$x[n] = 0.5^nu[n] - 0.75^nu[-n-1]$$

極點為 0.5 與 0.75。收斂域會是 0.5 < |z| < 0.75，不包含原點和無窮大。這樣的系統稱為混合因果系統，因為它包含一個因果項 (0.5)nun 和一個非因果項 −(0.75)nu−n−1。

一個系統的穩定性可以只通過了解收斂域來確定。如果收斂域包含單位圓（即 |z| = 1），那麼系統是穩定的。在上述系統中因果系統（例2）是穩定的，因為 |z| > 0.5 包含單位圓。

如果我們有一個沒有給定收斂域Z變換（即模糊的 $x[n]$），則可以確定一個唯一的 $x[n]$ 滿足下列：

- 穩定性
- 因果性

如果要求滿足穩定性，則收斂域必須包含單位圓；如果要求為一個因果系統，則收斂域必須包含無窮大，並且系統函數應為一個右邊序列。如果要求為一個非因果系統，那麼收斂域必須包含原點，且系統函數為左邊序列。如果既要滿足穩定性，也要滿足因果性，則系統函數的所有極點都必須在單位圓內。

通過這種方法可以找到唯一的 $x[n]$。

## 性質

時域｜Z域｜證明｜收斂域

記法｜$x[n]=\mathcal{Z}^{-1}\{X(z)\}$｜$X(z)=\mathcal{Z}\{x[n]\}$｜$r_2<|z|<r_1$

線性｜$a_1 x_1[n] + a_2 x_2[n]$｜$a_1 X_1(z) + a_2 X_2(z)$｜$\begin{align}X(z) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} (a_1x_1(n)+a_2x_2(n))z^{-n} \\ &= a_1\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_1(n)z^{-n} + a_2\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_2(n)z^{-n} \\ &= a_1X_1(z) + a_2X_2(z) \end{align}$｜包含 ROC1 ∩ ROC2

時間膨脹｜$x_K[n] = \begin{cases} x[r], & n = rK \\ 0, & n \not= rK \end{cases}$ r: 整數｜$X(z^K)$｜$\begin{align} X_K(z) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_K(n)z^{-n} \\ &= \sum_{r=-\infty}^{\infty}x(r)z^{-rK}\\ &= \sum_{r=-\infty}^{\infty}x(r)(z^{K})^{-r}\\ &= X(z^{K}) \end{align}$｜$R^{\frac{1}{K}}$

降採樣｜$x[nK]$｜$\frac{1}{K} \sum_{p=0}^{K-1} X\left(z^{\tfrac{1}{K}} \cdot e^{-i \tfrac{2\pi}{K} p}\right)$｜ ohio-state.edu 或 ee.ic.ac.uk

時移｜$x[n-k]$｜$z^{-k}X(z)$｜$\begin{align} Z\{x[n-k]\} &= \sum_{n=0}^{\infty} x[n-k]z^{-n}\\ &= \sum_{j=-k}^{\infty} x[j]z^{-(j+k)}&& j = n-k \\ &= \sum_{j=-k}^{\infty} x[j]z^{-j}z^{-k} \\ &= z^{-k}\sum_{j=-k}^{\infty}x[j]z^{-j}\\ &= z^{-k}\sum_{j=0}^{\infty}x[j]z^{-j} && x[\beta] = 0, \beta < 0\\ &= z^{-k}X(z)\end{align}$｜ROC，除了 k > 0 時 z = 0 和 k < 0 時 z = ∞

Z域的 尺度性質｜$a^n x[n]$｜$X(a^{-1}z)$｜$\begin{align}\mathcal{Z} \left \{a^n x[n] \right \} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} a^{n}x(n)z^{-n} \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)(a^{-1}z)^{-n} \\ &= X(a^{-1}z) \end{align}$｜$|a|r_2 < |z|< |a|r_1$

時間反轉｜$x[-n]$｜$X(z^{-1})$｜$\begin{align} \mathcal{Z}\{x(-n)\} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(-n)z^{-n} \\ &= \sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m)z^{m}\\ &= \sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m){(z^{-1})}^{-m}\\ &= X(z^{-1}) \\ \end{align}$｜$\tfrac{1}{r_1}<|z|<\tfrac{1}{r_2}$

共軛複數｜$x^*[n]$｜$X^*(z^*)$｜$\begin{align} \mathcal{Z} \{x^*(n)\} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x^*(n)z^{-n}\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left [x(n)(z^*)^{-n} \right ]^*\\ &= \left [ \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)(z^*)^{-n}\right ]^*\\ &= X^*(z^*) \end{align}$

實部｜$\operatorname{Re}\{x[n]\}$｜$\tfrac{1}{2}\left[X(z)+X^*(z^*) \right]$

虛部｜$\operatorname{Im}\{x[n]\}$｜$\tfrac{1}{2j}\left[X(z)-X^*(z^*) \right]$

微分｜$nx[n]$｜$-z \frac{dX(z)}{dz}$｜$\begin{align} \mathcal{Z}\{nx(n)\} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} nx(n)z^{-n}\\ &= z \sum_{n=-\infty}^{\infty} nx(n)z^{-n-1}\\ &= -z \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)(-nz^{-n-1})\\ &= -z \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\frac{d}{dz}(z^{-n}) \\ &= -z \frac{dX(z)}{dz} \end{align}$

卷積｜$x_1[n] * x_2[n]$｜$X_1(z)X_2(z)$｜$\begin{align} \mathcal{Z}\{x_1(n)*x_2(n)\} &= \mathcal{Z} \left \{\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l)x_2(n-l) \right \} \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left [\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l)x_2(n-l) \right ]z^{-n}\\ &=\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l) \left [\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_2(n-l)z^{-n} \right ]\\ &= \left [\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l)z^{-l} \right ] \! \!\left [\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_2(n)z^{-n} \right ] \\ &=X_1(z)X_2(z) \end{align}$｜包含 ROC1 ∩ ROC2

互相關｜$r_{x_1,x_2}=x_1^*[-n] * x_2[n]$｜$R_{x_1,x_2}(z)=X_1^*(\tfrac{1}{z^*})X_2(z)$｜包含 $X_1(\tfrac{1}{z^*})$ 與 $X_2(z)$ 的ROC的交集

一階差分｜$x[n] - x[n-1]$｜$(1-z^{-1})X(z)$｜包含 X1(z) 與 z ≠ 0 的ROC的交集

累積｜$\sum_{k=-\infty}^{n} x[k]$｜$\frac{1}{1-z^{-1} }X(z)$｜$\begin{align} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{k=-\infty}^{n} x[k] z^{-n}&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(x[n]+\cdots + x[-\infty])z^{-n}\\ &=X[z] \left (1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots \right )\\ &=X[z] \sum_{j=0}^{\infty}z^{-j} \\ &=X[z] \frac{1}{1-z^{-1}}\end{align}$

乘法｜$x_1[n]x_2[n]$｜$\frac{1}{j2\pi}\oint_C X_1(v)X_2(\tfrac{z}{v})v^{-1}\mathrm{d}v$｜At least $r_{1l}r_{2l}<|z|<r_{1u}r_{2u}$

帕塞瓦爾定理

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_1[n]x^*_2[n] \quad = \quad \frac{1}{j2\pi}\oint_C X_1(v)X^*_2(\tfrac{1}{v^*})v^{-1}\mathrm{d}v$$

初值定理：如果 xn 為因果的，那麼

$$x[0]=\lim_{z\to \infty}X(z).$$

終值定理：如果 (z−1)X(z) 的極點在單位圓內，則

$$x[\infty]=\lim_{z\to 1}(z-1)X(z).$$

## 常見的Z變換對表

這裡：

$$u : n \mapsto u[n] = \begin{cases} 1, & n \ge 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases}$$

是單位階躍函數而

$$\delta : n \mapsto \delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases}$$

是離散時間單位衝激函數。兩者通常都不認為是真正的函數，但由於它們的不連續性把它們看成是分布（它們在 n = 0 處的值通常無關緊要，除非在處理離散時間的時候，它們會變成衰減離散級數；在本章節中對連續和離散時間域，都在 n = 0 處取 1，否則不能使用下表中收斂域一欄的內容）。同時列出兩個「函數」，使得（在連續時間域）單位階躍函數是單位衝激函數的積分，或（在離散時間域）單位階躍函數是單位衝激函數的求和，因此要令他們的值在 n = 0 處為 1。

信號，$x[n]$｜Z變換，$X(z)$｜ROC

1｜$\delta[n]$｜1｜所有 z

2｜$\delta[n-n_0]$｜$z^{-n_0}$｜$z \neq 0$

3｜$u[n] \,$｜$\frac{1}{1-z^{-1} }$｜$|z| > 1$

4｜$e^{-\alpha n} u[n]$｜$1 \over 1-e^{-\alpha }z^{-1}$｜$|z| > e^{-\alpha} \,$

5｜$-u[-n-1]$｜$\frac{1}{1 - z^{-1}}$｜$|z| < 1$

6｜$n u[n]$｜$\frac{z^{-1}}{( 1-z^{-1} )^2}$｜$|z| > 1$

7｜$- n u[-n-1] \,$｜$\frac{z^{-1} }{ (1 - z^{-1})^2 }$｜$|z| < 1$

8｜$n^2 u[n]$｜$\frac{ z^{-1} (1 + z^{-1} )}{(1 - z^{-1})^3}$｜$|z| > 1\,$

9｜$- n^2 u[-n - 1] \,$｜$\frac{ z^{-1} (1 + z^{-1} )}{(1 - z^{-1})^3}$｜$|z| < 1\,$

10｜$n^3 u[n]$｜$\frac{z^{-1} (1 + 4 z^{-1} + z^{-2} )}{(1-z^{-1})^4}$｜$|z| > 1\,$

11｜$- n^3 u[-n -1]$｜$\frac{z^{-1} (1 + 4 z^{-1} + z^{-2} )}{(1-z^{-1})^4}$｜$|z| < 1\,$

12｜$a^n u[n]$｜$\frac{1}{1-a z^{-1}}$｜$|z| > |a|$

13｜$-a^n u[-n-1]$｜$\frac{1}{1-a z^{-1}}$｜$|z| < |a|$

14｜$n a^n u[n]$｜$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$｜$|z| > |a|$

15｜$-n a^n u[-n-1]$｜$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$｜$|z| < |a|$

16｜$n^2 a^n u[n]$｜$\frac{a z^{-1} (1 + a z^{-1}) }{(1-a z^{-1})^3}$｜$|z| > |a|$

17｜$- n^2 a^n u[-n -1]$｜$\frac{a z^{-1} (1 + a z^{-1}) }{(1-a z^{-1})^3}$｜$|z| < |a|$

18｜$\cos(\omega_0 n) u[n]$｜$\frac{ 1-z^{-1} \cos(\omega_0)}{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2}}$｜$|z| >1$

19｜$\sin(\omega_0 n) u[n]$｜$\frac{ z^{-1} \sin(\omega_0)}{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }$｜$|z| >1$

20｜$a^n \cos(\omega_0 n) u[n]$｜$\frac{1-a z^{-1} \cos( \omega_0)}{1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2}}$｜$|z|>|a|$

21｜$a^n \sin(\omega_0 n) u[n]$｜$\frac{ az^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }$｜$|z|>|a|$

## 與傅立葉級數和傅立葉變換的關係

對於區域 |z|=1（稱為單位圓）內的 z 值，我們可以通過定義 z=ejω 來用單一實變量的函數來表示該變換。於是雙邊變換就簡化為了傅立葉級數：

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\ z^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\ e^{-j\omega n},$$

也被稱作 xn 序列的離散時間傅立葉變換（DTFT）。這個以 2π 為周期的函數是傅立葉變換的周期性求和，這使得它成為廣泛使用的分析工具。要理解這一點，令 X(f) 為任意函數 x(t) 的傅立葉變換，該函數以某個間隔 T 採樣就與 xn 序列相等。於是 xn 序列的DTFT可以寫作：

$$\underbrace{ \sum_{n=-\infty}^{\infty} \overbrace{x(nT)}^{x[n]}\ e^{-j 2\pi f nT} }_{\text{DTFT}} = \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} X(f-k/T).$$

若T的單位是秒，$\textstyle f$的單位即為赫茲。比較兩個數列可得 $\textstyle \omega = 2\pi fT$ 為標準化頻率，單位是radians per sample。數值ω=2π對應$\textstyle f = \frac{1}{T}$ Hz.，而且在替換 $\textstyle f = \frac{\omega }{2\pi T},$後， Eq.1可以表示為傅立葉變換X(•):

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\ e^{-j\omega n} = \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \underbrace{X\left(\tfrac{\omega}{2\pi T} - \tfrac{k}{T}\right)}_{X\left(\frac{\omega - 2\pi k}{2\pi T}\right)}.$$

若數列x(nT)表示線性時不變系統的衝激響應，這些函數也稱為頻率響應，當x(nT)是週期性數列，其DTFT在一或多個共振頻率發散，在其他頻率均為零。這一般會用在共振頻率，振幅可變的狄拉克δ函數表示。因為其週期性，只會有有限個振幅，可以用較簡單許多的離散傅立葉變換來計算。（參照離散傅立葉變換#周期性）

## 和拉氏變換的關係

### 雙線性變換

雙線性變換可以用在連續時間濾波器（用拉氏域表示）和離散時間濾波器（用Z域表示）之間的轉換，其轉換關係如下：

$$s =\frac{2}{T} \frac{(z-1)}{(z+1)}$$

將一個拉氏域的函數$H(s)$轉換為Z域下的$H(z)$，或是

$$z =\frac{2+sT}{2-sT}$$

從Z域轉換到拉氏域。藉由雙線性變換，複數的s平面（拉氏變換）可以映射到複數的z平面（Z轉換）。這個轉換是非線性的，可以將S平面的整個jΩ軸映射到Z平面的單位圓內。因此，傅立葉變換（在jΩ axis計算的拉氏變換）變成離散時間傅立葉變換，前提是假設其傅立葉變換存在，也就是拉氏變換的收斂區域包括jΩ軸。

## 線性常係數差分方程

線性常係數差分（LCCD）方程是基於自回歸滑動平均的線性系統表達形式。

$$\sum_{p=0}^{N}y[n-p]\alpha_{p} = \sum_{q=0}^{M}x[n-q]\beta_{q}$$

上面等式兩邊可以同時除以 α0，如果非零，正規化 α0 = 1，LCCD方程可以寫成

$$y[n] = \sum_{q=0}^{M}x[n-q]\beta_{q} - \sum_{p=1}^{N}y[n-p]\alpha_{p}.$$

LCCD方程的這種形式有利於更加明確「當前」輸出 yn 是過去輸出 yn−p、當前輸入 xn 與之前輸入 xn−q 的一個函數。

### 傳遞函數

對上述方程去Z變換（使用線性和時移法則）得到

$$Y(z) \sum_{p=0}^{N}z^{-p}\alpha_{p} = X(z) \sum_{q=0}^{M}z^{-q}\beta_{q}$$

整理結果

$$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum_{q=0}^{M}z^{-q}\beta_{q}}{\sum_{p=0}^{N}z^{-p}\alpha_{p}} = \frac{\beta_0 + z^{-1} \beta_1 + z^{-2} \beta_2 + \cdots + z^{-M} \beta_M}{\alpha_0 + z^{-1} \alpha_1 + z^{-2} \alpha_2 + \cdots + z^{-N} \alpha_N}.$$

### 零點和極點

由代數基本定理得知分子有 M 個根（對應於 H 的零點）和分母有 N 個根（對應於極點）。用極點和零點重新整理傳遞函數為

$$H(z) = \frac{(1 - q_1 z^{-1})(1 - q_2 z^{-1})\cdots(1 - q_M z^{-1}) } { (1 - p_1 z^{-1})(1 - p_2 z^{-1})\cdots(1 - p_N z^{-1})}$$

其中 qk 為 k 階零點，pk 為 k 階極點。零點和極點通常是複數，當在複平面（z平面）作圖時稱為零極點圖。

此外，在 z = 0 和 z = ∞ 也可能存在零點和極點。如果我們把這些極點和零點以及高階零點和極點考慮在內的話，零點和極點的數目總會相等。

通過對分母因式分解，可以使用部分分式分解可以轉換回時域。這樣做會導出系統的衝激響應和線性常係數差分方程。

### 輸出響應

如果一個系統 H(z) 由信號 X(z) 驅動，那麼輸出為 Y(z) = H(z)X(z)。通過對 Y(z) 部分分式分解並取逆Z變換可以得到輸出 yn。在實際運用中，在分式分解 $\frac{Y(z)}{z}$ 之後再乘 z 產生 Y(z) 的一個形式（含有很容易計算逆Z變換的項）往往很有用。

## 延伸閱讀

- Refaat El Attar, Lecture notes on Z-Transform, Lulu Press, Morrisville NC, 2005. ISBN 978-1-4116-1979-1.
- Ogata, Katsuhiko, Discrete Time Control Systems 2nd Ed, Prentice-Hall Inc, 1995, 1987. ISBN 978-0-13-034281-2.
- Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer (1999). Discrete-Time Signal Processing, 2nd Edition, Prentice Hall Signal Processing Series. ISBN 978-0-13-754920-7.

## 外部連結

- Z-Transform table of some common Laplace transforms
- Mathworld's entry on the Z-transform
- Z-Transform threads in Comp.DSP
- Z-Transform Module by John H. Mathews
- A graphic of the relationship between Laplace transform s-plane to Z-plane of the Z transform