霍奇猜想

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在數學中，霍奇猜想（Hodge conjecture）是代數幾何和複幾何中一個主要的未解決問題，它將代數簇的奇點複代數簇的代數拓撲與其子簇聯繫起來。

簡單來說，霍奇猜想斷言，對於某些幾何空間（複代數簇），像「洞的數量」這類基本的拓撲資訊，可以通過研究位於這些空間內部的、看起來像多項式方程的零點集的優良形狀來理解。後者可以使用代數和解析函數的微積分來研究，這使得人們能夠間接地理解那些通常無法輕易可視化的高維空間的整體形狀和結構。

更具體地說，該猜想指出某些德拉姆上同調類是代數的；也就是說，它們是子簇的同調類的龐加萊對偶之和。它由蘇格蘭數學家威廉·瓦倫斯·道格拉斯·霍奇（William Vallance Douglas Hodge）提出，這是他在1930年至1940年間致力於豐富德拉姆上同調的描述，以包含複代數簇中存在的額外結構的成果。在霍奇於1950年在馬薩諸塞州劍橋舉行的國際數學家大會上發表演講之前，這個猜想幾乎沒有受到關注。霍奇猜想是克雷數學研究所的千禧年大獎難題之一，任何能夠證明或證偽霍奇猜想的人將獲得100萬美元的獎金。

## 通俗解釋

霍奇猜想試圖在數學的兩個主要領域之間建立聯繫：拓撲學（研究形狀的連續變形）和代數幾何（研究由方程定義的形狀）。

為了直觀通俗理解，我們可以採用以下類比：

如果有一個複雜的多維形狀（複流形）。

- 拓撲學（柔性）：關注形狀的整體特徵，例如「這個形狀有多少個洞？」。在拓撲學中，這些特徵是「柔軟」的，只要不撕裂形狀，路徑可以任意彎曲。這些「洞」在數學上通過上同調類來描述，它們是抽象的幾何特徵。
- 代數幾何（剛性）：關注那些能用嚴格的多項式方程定義出來的結構（代數簇）。這些結構是「剛性」的，不能隨意變形。

霍奇猜想的作用則是斷言，對於一類特定的良好空間（非奇異射影代數簇），那些由拓撲學家發現的抽象的「洞」（具體來說是具有特定對稱性的霍奇類），並非憑空存在的虛無。相反，每一個這樣的「洞」內部，實際上都支撐著一個由代數方程定義的堅硬「骨架」（代數閉鏈）。

簡而言之，霍奇猜想認為：在這些複雜的幾何世界裡，任何拓撲上的特徵，背後都有其代數的根源。這意味著我們可以用精確的代數方程來描述那些原本看起來模糊或抽象的形狀特徵。

## 動機

令 X 是一個複維數為 n 的緊緻複流形。那麼 X 是一個實維數為 $2n$ 的可定向光滑流形，因此其上同調群的階數從 0 到 $2n$。假設 X 是一個凱勒流形，因此其具有複係數的上同調有一個分解：

$$H^n(X, \mathbb{C}) = \bigoplus_{p+q=n} H^{p,q}(X),$$

其中 $H^{p,q}(X)$ 是由 $(p,q)$ 類型的調和形式表示的上同調類子群。也就是說，這些上同調類由微分形式表示，這些形式在某些局部坐標 $z_1, \ldots, z_n$ 的選擇下，可以寫成一個調和函數乘以

$$dz_{i_1} \wedge \cdots \wedge dz_{i_p} \wedge d\bar z_{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z_{j_q}.$$

通俗來說，我們可以將霍奇分解看作是一種對幾何形狀的「光譜分析」。

- 普通的上同調（$H^n$）告訴我們空間中有多少個「洞」。這就像是看到一束混合的白光。
- 霍奇分解則像是一個棱鏡，將這束白光分解成了不同的顏色（$H^{p,q}$）。
- 在複幾何中，方向分為「全純方向」（$z$）和「反全純方向」（$\bar{z}$）。$H^{p,q}$ 告訴我們，這個「洞」在幾何上是由 $p$ 個全純方向和 $q$ 個反全純方向組成的。
- 只有那些在兩個方向上「平衡」的洞（即 $p=q$ 的情況），才有可能由代數方程定義的子簇（如曲線、曲面）來填充。這就是為什麼霍奇猜想特別關注 $H^{k,k}$ 的原因。

由於 X 是一個緊緻定向流形，X 擁有一個基本類，因此可以對 X 進行積分。

令 Z 為 X 的一個複子流形，維數為 k，並令 $i\colon Z\to X$ 為包含映射。選擇一個類型為 $(p,q)$ 的微分形式 $\alpha$。我們可以使用拉回函數 $i^*$ 在 Z 上對 $\alpha$ 進行積分：

$$\int_Z i^*\alpha.$$

為了計算這個積分，選擇 Z 上的一點並將其稱為 $z=(z_1, \ldots, z_k)$。Z 在 X 中的包含意味著我們可以在 X 上選擇一個局部基，使得 $z_{k+1} = \cdots = z_n = 0$（秩-零化度定理）。如果 $p>k$，那麼 $\alpha$ 必須包含某個 $dz_i$，其中 $z_i$ 在 Z 上的拉回為零。如果 $q > k$，對於 $d\bar z_j$ 也是如此。因此，如果 $(p,q) \ne (k,k)$，這個積分為零。

霍奇猜想（粗略地）問道：

$H^{k,k}(X)$ 中的哪些上同調類來自複子簇 Z？

## 霍奇猜想的陳述

令

$$\operatorname{Hdg}^k(X) = H^{2k}(X, \mathbb{Q}) \cap H^{k,k}(X).$$

我們稱此為 X 上 2k 階的「霍奇類」（Hodge classes）群。

通俗來說，霍奇類（Hodge Class）的定義要求一個對象必須同時滿足兩個看似不相關的條件，這就像是在尋找地圖上的「寶藏點」：

- 拓撲條件（有理數網格）：它必須屬於 $H^{2k}(X, \mathbb{Q})$。這意味著這個「洞」不是隨意變化的連續量，而是可以「計數」的（比如 1 個洞、2 個洞）。這保證了它在拓撲上是一個穩定的特徵，就像地圖上的整數坐標點。
- 幾何條件（對稱性）：它必須屬於 $H^{k,k}(X)$。這意味著這個對象在複結構下是對稱的（全純與反全純維度相等）。這保證了它的形狀「像」一個代數簇。

霍奇猜想本質上是在問：如果我們在地圖上找到了一個點，它既在整數坐標格點上（拓撲條件），又剛好落在特定的對稱軸上（幾何條件），那麼這個點是否一定對應著某個實際存在的代數物體？

如此，霍奇猜想的現代陳述是：

令 X 為一個非奇異複射影流形。那麼 X 上的每一個霍奇類都是 X 的複子簇的上同調類的有理係數線性組合。

射影複流形是可以嵌入到複射影空間中的複流形。由於射影空間帶有凱勒度量（富比尼–施圖迪度量），這樣的流形總是凱勒流形。根據周定理（Chow's theorem），射影複流形也是光滑射影代數簇，也就是說，它是一組齊次多項式的零點集。

### 用代數閉鏈重述

霍奇猜想的另一種表述方式涉及代數閉鏈（algebraic cycle）的概念。X 上的一個「代數閉鏈」是 X 的子簇的形式組合；也就是說，它是如下形式的東西：

$$\sum_i c_iZ_i.$$

係數通常取為整數或有理數。我們定義代數閉鏈的上同調類為其組成部分的上同調類之和。這是德拉姆上同調的閉鏈類映射的一個例子，參見韋伊上同調。例如，上述閉鏈的上同調類將是：

$$\sum_i c_i[Z_i].$$

這樣的上同調類被稱為「代數的」。使用這種記法，霍奇猜想變為：

令 X 是一個射影複流形。那麼 X 上的每一個霍奇類都是代數的。

霍奇猜想中關於 X 是代數的（射影複流形）這一假設不能被減弱。1977年，史蒂芬·朱克（Steven Zucker）證明了可以構造霍奇猜想的反例，即具有 $(p,p)$ 類型解析有理上同調的複環面，它不是射影代數的。（參見 的附錄 B）

通俗來說，用代數閉鏈來重述，其實是把霍奇猜想變成了一個逆向工程（Reverse Engineering）的問題：

- 正向過程（容易）：如果你給我一些代數方程（子簇 $Z_i$），我可以算出它們對應的拓撲形狀（上同調類）。這些形狀一定會落在 $H^{k,k}$ 裡，並且是有理的。這就像是用積木搭出一個模型，然後畫出它的藍圖。
- 逆向過程（霍奇猜想，困難）：現在我手裡有一張藍圖（一個霍奇類），它看起來完全符合代數模型的特徵（既是有理的，又是 $(k,k)$ 類型的）。請問，我是否一定能用手頭的積木（代數子簇）把這個模型搭出來？

霍奇猜想說「是的，一定可以」。也就是說，任何理論上看起來像代數幾何形狀的拓撲特徵，實際上都是由代數幾何形狀構成的。並不存在那種「看著像代數簇，但實際上造不出來」的虛假藍圖。

## 霍奇猜想的已知情況

### 低維數和餘維數

關於霍奇猜想的第一個結果歸功於。事實上，它早於該猜想，並為霍奇提供了一些動機。

定理（萊夫謝茨 (1,1) 類定理） $H^2(X,\mathbb{Z})\cap H^{1,1}(X)$ 的任何元素都是 $X$ 上一個除子的上同調類。特別是，霍奇猜想對於 $H^2$ 成立。

為什麼霍奇猜想在低維度（如 $H^2$）是已解決的，而在高維度卻很難？

- $H^2$ 的情況（除子）：在一個二維複曲面（實維度 4）上，霍奇類對應的是「曲線」。在數學上，我們要用方程定義一條曲線是相對容易的（這就是萊夫謝茨定理告訴我們的）。這就像是在一張紙上用筆畫線，我們總能找到描述它的筆跡。
- 高維的情況：當我們進入更高維度，霍奇類對應的不再是簡單的線，而是複雜的「高維子空間」。要在一個高維空間內部，精確地用方程「雕刻」出一個懸空的、形狀特定的高維物體，比畫線要困難得多。霍奇猜想的難點就在於證明這些複雜的高維雕塑一定存在。

使用層上同調和指數正合序列可以給出一個非常快速的證明。（除子的上同調類結果等於其第一陳類。）萊夫謝茨最初的證明是通過正規函數進行的，這是由昂利·龐加萊引入的。然而，格里菲斯橫截性定理表明，這種方法無法證明更高餘維數子簇的霍奇猜想。

根據硬萊夫謝茨定理，可以證明：

定理. 如果對於某個 $p < \frac{n}{2}$，霍奇猜想對於 $p$ 階霍奇類成立，那麼霍奇猜想對於 $2n-p$ 階霍奇類也成立。

結合上述兩個定理意味著霍奇猜想對於 $2n-2$ 階霍奇類是正確的。這證明了當 $X$ 的維數至多為 3 時，霍奇猜想成立。

萊夫謝茨 (1,1) 類定理還意味著，如果所有霍奇類都由除子的霍奇類生成，那麼霍奇猜想成立：

推論. 如果代數 $\operatorname{Hdg}^*(X) = \bigoplus\nolimits_k \operatorname{Hdg}^k(X)$ 由 $\operatorname{Hdg}^1(X)$ 生成，那麼霍奇猜想對於 $X$ 成立。

### 超曲面

根據強和弱萊夫謝茨定理，對於超曲面，霍奇猜想唯一非平凡的部分是 $2m$ 維超曲面 $X \subset \mathbf P^{2m+1}$ 的 $m$ 階部分（即中間上同調）。如果次數 d 為 2，即 X 是一個二次曲面，則霍奇猜想對所有 m 成立。對於 $m = 2$，即四維流形（fourfolds），對於 $d \le 5$ 霍奇猜想已知成立。

### 阿貝爾簇

對於大多數阿貝爾簇，代數 Hdg*(X) 在一階生成，因此霍奇猜想成立。特別是，霍奇猜想對於足夠一般的阿貝爾簇、橢圓曲線的積以及素數維數的簡單阿貝爾簇成立。然而，構造了一個阿貝爾簇的例子，其中 Hdg2(X) 不由除子類的積生成。推廣了這個例子，表明只要簇具有通過虛二次域的虛乘，那麼 Hdg2(X) 就不由除子類的積生成。證明了在維數小於 5 的情況下，要麼 Hdg*(X) 在一階生成，要麼簇具有通過虛二次域的虛乘。在後一種情況下，霍奇猜想僅在特殊情況下已知。

## 推廣

### 整霍奇猜想

霍奇最初的猜想是：

整霍奇猜想. 令 X 為一個射影複流形。那麼 $H^{2k}(X, \mathbb{Z}) \cap H^{k,k}(X)$ 中的每一個上同調類都是 X 上具有整數係數的代數閉鏈的上同調類。

最初的霍奇猜想認為可以使用「整數係數」（$\mathbb{Z}$）。這失敗的原因可以用「顆粒度」來比喻：

- 整數係數（樂高積木）：要求係數為整數，就像是用固定大小的樂高積木去搭建一個形狀。
- 有理數係數（黏土）：允許使用有理數（分數），就像是允許將積木切碎，或者使用更細膩的黏土。

反例告訴我們，有些拓撲形狀帶有一種微妙的「扭曲」（數學上稱為扭擾元素，Torsion）。這種扭曲使得我們無法用標準的「整數積木」完美對齊並搭建出來。但是，如果我們被允許使用分數（有理數），我們就可以把這個誤差「除掉」或者「平攤」，從而在更細的顆粒度上搭建出骨架。這就是為什麼現代霍奇猜想強調使用有理數係數 $\mathbb{Q}$ 的原因。

現在已知這是錯誤的。第一個反例由 構造。他們使用 K-理論構造了一個扭擾（torsion）上同調類的例子——即一個上同調類 α，使得對於某個正整數 n 有 nα = 0——它不是代數閉鏈的類。這樣的類必然是霍奇類。在配邊（cobordism）的框架下重新解釋了他們的結果，並發現了許多這樣的類的例子。

整霍奇猜想最簡單的修正為：

模掉扭擾的整霍奇猜想. 令 X 為一個射影複流形。那麼 $H^{2k}(X, \mathbb{Z}) \cap H^{k,k}(X)$ 中的每一個上同調類都是一個扭擾類與 X 上整數係數代數閉鏈的上同調類之和。

等價地，將 $H^{2k}(X, \mathbb{Z}) \cap H^{k,k}(X)$ 除以扭擾類後，每一個類都是整代數閉鏈上同調類的像。這也是錯誤的。發現了一個霍奇類 α 的例子，它不是代數的，但其整數倍是代數的。

```
表明，為了獲得正確的整霍奇猜想，需要用一種稱為「平展」（étale，或 Lichtenbaum）「動機上同調」的變體來替換周群（也可以表示為[[動機上同調]]群）。他們表明，有理霍奇猜想等價於這種修正後的動機上同調的整霍奇猜想。
```

### 凱勒簇的霍奇猜想

霍奇猜想的一個自然推廣會問：

凱勒簇的霍奇猜想，樸素版本. 令 X 是一個複凱勒流形。那麼 X 上的每一個霍奇類都是 X 的複子簇上同調類的有理係數線性組合。

這太過樂觀了，因為沒有足夠的子簇來讓它成立。一個可能的替代方案是問以下兩個問題之一：

凱勒簇的霍奇猜想，向量叢版本. 令 X 是一個複凱勒流形。那麼 X 上的每一個霍奇類都是 X 上向量叢的陳類的有理係數線性組合。

凱勒簇的霍奇猜想，相干層版本. 令 X 是一個複凱勒流形。那麼 X 上的每一個霍奇類都是 X 上相干層的陳類的有理係數線性組合。

```
證明了相干層的陳類提供的霍奇類嚴格多於向量叢的陳類，並且相干層的陳類不足以生成所有的霍奇類。因此，凱勒簇霍奇猜想的所有已知表述都是錯誤的。
```

### 廣義霍奇猜想

霍奇提出了一個比整霍奇猜想更強的附加猜想。如果 X 上的一個上同調類是 X 的一個餘維數為 c 的子簇上的上同調類的前推（pushforward），則稱其具有「餘維數水平 c」（co-level c / coniveau c）。至少具有餘維數水平 c 的上同調類過濾了 X 的上同調，並且很容易看出過濾的第 c 步 NcHk(X, Z) 滿足

$$N^cH^k(X, \mathbf{Z}) \subseteq H^k(X, \mathbf{Z}) \cap (H^{k-c,c}(X) \oplus\cdots\oplus H^{c,k-c}(X)).$$

霍奇最初的陳述是：

廣義霍奇猜想，霍奇版本. $N^cH^k(X, \mathbf{Z}) = H^k(X, \mathbf{Z}) \cap (H^{k-c,c}(X) \oplus\cdots\oplus H^{c,k-c}(X)).$

```
觀察到這不可能是真的，即使是有理係數，因為右邊並不總是一個霍奇結構。他修正後的霍奇猜想形式是：
```

廣義霍奇猜想. NcHk(X, Q) 是包含在 $H^{k-c,c}(X) \oplus\cdots\oplus H^{c,k-c}(X)$ 中的 Hk(X, Z) 的最大子霍奇結構。

這個版本仍然是未解決的。

## 霍奇軌跡的代數性

支持霍奇猜想的最有力證據是 的代數性結果。假設我們在一個單連通基上變化 X 的複結構。那麼 X 的拓撲上同調不會改變，但霍奇分解會改變。已知如果霍奇猜想為真，那麼基上所有使得纖維的上同調是霍奇類的點的軌跡（locus）實際上是一個代數子集，即它是由多項式方程切出的。Cattani, Deligne & Kaplan (1995) 證明了這總是正確的，而無需假設霍奇猜想成立。

我們可以把這個結果想像成在調節一台精密的收音機：

- 整個空間的變形就像是在旋轉收音機的「調頻旋鈕」。
- 大多數時候，我們聽不到清晰的信號（霍奇類不存在）。
- 但在某些特定的頻率上，信號會突然出現（上同調類變成了霍奇類）。

```
定理告訴我們：這些能收到信號的「特殊頻率」並不是隨機分佈的雜亂點，而是呈現出非常有規律的結構（代數子集）。既然這些「信號點」的分佈規律嚴格遵守代數方程，這強烈暗示了信號本身（霍奇類）也應該來源於代數結構，從而為霍奇猜想提供了強有力的側面證據。
```

## 外部連結

- Dan Freed (德克薩斯大學) 的霍奇猜想通俗講座 (Real Video) (Slides)
- Burt Totaro, 為什麼相信霍奇猜想？
- Claire Voisin, 霍奇軌跡