佩爾方程

<image>

若一個丟番圖方程具有以下的形式：

$$x^2 - ny^2= 1$$

且$n$為正整數，則稱此二元二次不定方程為佩爾方程（英文：Pell's equation；德文：Pellsche Gleichung），以英國數學家Q471794命名。

若$n$是完全平方數，則這個方程式只有平凡解$(\pm 1, 0)$（實際上對任意的$n$，$(\pm 1, 0)$都是解）。對於其餘情況，拉格朗日證明了佩爾方程總有非平凡解。而這些解可由$\sqrt{n}$的連分數求出。

## 佩爾方程的解

設$\tfrac{p_i}{q_i}$ 是$\sqrt{n}$的連分數表示：$[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots ]$的漸近分數列，由連分數理論知存在$i$使得(pi,qi)為佩爾方程的解。取其中最小的$i$，將對應的 (pi,qi)稱為佩爾方程的基本解，或最小解，記作(x1,y1)，則所有的解(xi,yi)可表示成如下形式：

$x_i + y_i\sqrt n = (x_1 + y_1\sqrt n)^i$。

或者由以下的遞迴關係式得到：

$$\displaystyle x_{i+1} = x_1 x_i + n y_1 y_i,$$

$\displaystyle y_{i+1} = x_1 y_i + y_1 x_i$。

## 例子

### 標準型

$\displaystyle x^2 - 7 y^2 = 1$。

首先根據根號7的漸進連分數表示，找出前幾項，察看（分子，分母）是否是一組解。

第一項：$\tfrac{h}{k} = \tfrac{2}{1}$，$h^2 - 7 k^2 = -3,\,\!$不是解。

第二項：$\tfrac{h}{k} = \tfrac{3}{1}$，$h^2 - 7 k^2 = 2,\,\!$不是解。

第三項：$\tfrac{h}{k} = \tfrac{5}{2}$，$h^2 - 7 k^2 = -3,\,\!$不是解。

第四項：$\tfrac{h}{k} = \tfrac{8}{3}$，$h^2 - 7 k^2 = 1.\,\!$是解。於是最小解是(8,3)。計算$x_1 + y_1\sqrt n$的各次乘方，或者用遞推公式（不能直接得出某一項）就可以得到接下來的各組解

$$x_n=\frac{(8+3\sqrt{7})^n+(8-3\sqrt{7})^n}{2},y_n=\frac{(8+3\sqrt{7})^n-(8-3\sqrt{7})^n}{2\sqrt{7}}$$

(x,y)=(8,3)、 (127,48)、 (2024,765)、 (32257,12192)、 (514088,194307)、 (8193151,3096720)、 (130576328,49353213) ......

### 非標準型

- 對於方程$x^2-ny^2=k$，利用婆羅摩笈多-斐波那契恆等式找出方程解。

$$(x_1^2 - Ny_1^2)(x_2^2 - Ny_2^2) = (x_1x_2 + Ny_1y_2)^2 - N(x_1y_2 + x_2y_1)^2 = (x_1x_2 - Ny_1y_2)^2 - N(x_1y_2 - x_2y_1)^2$$

例如$x^2-7y^2=2$有解(3,1)。

$r^2-7s^2=1$時，有$2=(3r+7s)^2-7(3s+r)^2=(3r-7s)^2-7(3s-r)^2$

(r,s)=(8,3)、 (127,48)、 (2024,765)、 (32257,12192)、 (514088,194307)、 (8193151,3096720)、 (130576328,49353213) ......

(x,y)=(3,1)、 (45,17)、 (717,271)、 (11427,4319)、 (182115,68833)、 (2902413,1097009)、 (46256493,17483311) ......

- 對於方程$ax^2-by^2=c$，兩邊乘上a，求出$(ax)^2-aby^2=ac$的解。

例如$5x^2-2y^2=3$有解(1,1)。

設$z=5x$，$(5x)^2-10y^2=z^2-10y^2=15$

$r^2-10s^2=1$時，有$15=(5r+10s)^2-10(5s+r)^2=(5r-10s)^2-10(5s-r)^2$

(r,s)=(19,6)、 (721,228)、 (27379,8658)、 (1039681,328776)、 (39480499,12484830) ......

(z,y)=(5,1)、 (35,11)、 (155,49)、 (1325,419)、 (5885,1861)、 (50315,15911)、 (223475,70669) ......

(x,y)=(1,1)、 (7,11)、 (31,49)、 (265,419)、 (1177,1861)、 (10063,15911)、 (44695,70669) ......

## 與代數數論的聯繫

佩爾方程與代數數理論有緊密聯繫，因為公式$x^2 - n y^2 = (x + y\sqrt n)(x - y\sqrt n)$給出了環$\mathbb{Z}[\sqrt{n}]$（即二次域$\mathbb{Z}(\sqrt{n})$）上的範數。因此(x,y)是佩爾方程的解當且僅$x+y \sqrt{n}$的範數是一，即是域上的一個單元。根據狄利克雷單位定理，$\mathbb{Z}[\sqrt{n}]$的所有單元都可以表示為同一個基本單元的乘方形式。這就是說一個佩爾方程的所有的解都是一個基本解的乘方。單元總可以通過解一個類似佩爾方程而得到，但這時的基本解並不一定就是基本單元。

## 與切比雪夫多項式的聯繫

佩爾方程和切比雪夫多項式有內在的聯繫：若Ti (x)和Ui (x)分別是第一類和第二類切比雪夫多項式的相應項，那麼它們是佩爾形式方程$T_i^2 - (x^2-1) U_{i-1}^2 = 1$的解。於是第一類和第二類切比雪夫多項式可以通過展開基本解的乘方得到。

$T_i + U_{i-1} \sqrt{x^2-1} = (x + \sqrt{x^2-1})^i$。

進一步有：如果(xi,yi)是佩爾方程的第i個解，那麼

xi = Ti (x1)

yi = y1Ui - 1(x1)。

## 佩爾方程的最小解

n｜x｜y｜n｜x｜y｜n｜x｜y｜n｜x｜y

1｜-｜-｜33｜23｜4｜65｜129｜16｜97｜62809633｜6377352

2｜3｜2｜34｜35｜6｜66｜65｜8｜98｜99｜10

3｜2｜1｜35｜6｜1｜67｜48842｜5967｜99｜10｜1

4｜-｜-｜36｜-｜-｜68｜33｜4｜100｜-｜-

5｜9｜4｜37｜73｜12｜69｜7775｜936｜101｜201｜20

6｜5｜2｜38｜37｜6｜70｜251｜30｜102｜101｜10

7｜8｜3｜39｜25｜4｜71｜3480｜413｜103｜227528｜22419

8｜3｜1｜40｜19｜3｜72｜17｜2｜104｜51｜5

9｜-｜-｜41｜2049｜320｜73｜2281249｜267000｜105｜41｜4

10｜19｜6｜42｜13｜2｜74｜3699｜430｜106｜32080051｜3115890

11｜10｜3｜43｜3482｜531｜75｜26｜3｜107｜962｜93

12｜7｜2｜44｜199｜30｜76｜57799｜6630｜108｜1351｜130

13｜649｜180｜45｜161｜24｜77｜351｜40｜109｜158070671986249｜15140424455100

14｜15｜4｜46｜24335｜3588｜78｜53｜6｜110｜21｜2

15｜4｜1｜47｜48｜7｜79｜80｜9｜111｜295｜28

16｜-｜-｜48｜7｜1｜80｜9｜1｜112｜127｜12

17｜33｜8｜49｜-｜-｜81｜-｜-｜113｜1204353｜113296

18｜17｜4｜50｜99｜14｜82｜163｜18｜114｜1025｜96

19｜170｜39｜51｜50｜7｜83｜82｜9｜115｜1126｜105

20｜9｜2｜52｜649｜90｜84｜55｜6｜116｜9801｜910

21｜55｜12｜53｜66249｜9100｜85｜285769｜30996｜117｜649｜60

22｜197｜42｜54｜485｜66｜86｜10405｜1122｜118｜306917｜28254

23｜24｜5｜55｜89｜12｜87｜28｜3｜119｜120｜11

24｜5｜1｜56｜15｜2｜88｜197｜21｜120｜11｜1

25｜-｜-｜57｜151｜20｜89｜500001｜53000｜121｜-｜-

26｜51｜10｜58｜19603｜2574｜90｜19｜2｜122｜243｜22

27｜26｜5｜59｜530｜69｜91｜1574｜165｜123｜122｜11

28｜127｜24｜60｜31｜4｜92｜1151｜120｜124｜4620799｜414960

29｜9801｜1820｜61｜1766319049｜226153980｜93｜12151｜1260｜125｜930249｜83204

30｜11｜2｜62｜63｜8｜94｜2143295｜221064｜126｜449｜40

31｜1520｜273｜63｜8｜1｜95｜39｜4｜127｜4730624｜419775

32｜17｜3｜64｜-｜-｜96｜49｜5｜128｜577｜51