黑體輻射

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黑體輻射指處於熱力學平衡態的黑體發出的電磁輻射。黑體輻射的電磁波譜只取決於黑體的溫度。另一方面，所謂黑體輻射是光和物質達到平衡所表現出的現象。物質達到平衡，所以可以用一個溫度來描述物質的狀態，而光和物質的交互作用很強，如此光和光之間也可以用一個溫度來描述（光和光之間本身不會有交互作用，但光和物質的交互作用很強），而描述這關係的便是普朗克分佈（Planck distribution）。黑體輻射能量按波長的分布僅與溫度有關。

黑體不僅僅能全部吸收外來的電磁輻射，且散射電磁輻射的能力比同溫度下的任何其它物體強。對於黑體的研究，使自然現象中的量子效應被發現。而黑體作為一個理想化的物體，在現實中是不存在的，因此現實中物體的輻射也與理論上的黑體輻射有所出入。但是，可以觀察一些非常類似黑體的物質發出的輻射，例如一顆恆星或一個只有單一開口的空腔所發出的輻射。舉個例來說，人們觀測到宇宙背景輻射，對應到一個約3K的黑體輻射，這暗示宇宙早期光是和物質達到平衡的。而隨著時間演化，溫度慢慢降了下來，但方程式依然存在。（頻率和溫度的效應抵銷）

## 黑體輻射方程

### 黑體輻射本領

古斯塔夫·基爾霍夫證明，對於任意一個物體，輻射本領$E(\nu,T)$與吸收率$A(\nu,T)$之比是一個與組成物體的物質無關的普適函數(以$f(\nu,T)$表示)

$$\frac{E(\nu,T)}{A(\nu,T)}=f(\nu,T)$$

其中，輻射本領$E(\nu,T)$為單位時間內從輻射體表面的單位面積上發射出的輻射能量的頻率分布，所以，在$\Delta t$的時間，從$\Delta S$面積上發射出頻率在$\nu--\nu+\Delta \nu$範圍內的能量為$E(\nu,T)\Delta t\Delta S\Delta \nu$。因此$E(\nu,T)$的單位為$J/m^2$，可以證明，黑體輻射本領與輻射體的能量密度分布$u(\nu,T)$的關係為

$$E(\nu,T)=\frac{c}{4}u(\nu,T)$$

$u(\nu,T)$的單位為$J \cdot s/m^3$ 吸收率$A(\nu,T)$則為照到物體上的輻射能量分布被吸收的份額，由於黑體的吸收率為1，所以它的輻射本領

$$E(\nu,T)=f(\nu,T)$$

這意味著黑體輻射本領等價於普適函數（與物質無關）

同時也可以以用$E(\lambda,T)$來表達輻射本領

$$E(\lambda,T)=\frac{\nu^2}{c}E(\nu,T)$$

$E(\lambda,T)$的單位為$J / m^3\cdot s$

### 黑體輻射的普朗克公式

用於描述在任意溫度$T\,$下，從一個黑體中發射的電磁輻射的輻射率與電磁輻射的頻率的關係公式。這裡輻射率是頻率$\nu$的函數：

$$I(\nu,T)d\nu = \left(\frac{2 h\nu^{3}}{c^2}\right)\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}\, d\nu$$

各個物理量的意義

$I \,$：輻射率，在單位時間內從單位表面積和單位立體角內以單位頻率間隔或單位波長間隔輻射出的能量, J·s -1·m-2·sr -1·Hz -1;

$h\,$ : 普朗克常數, J·s ;

$c\,$ : 光速, m/s ;

$k\,$ : 玻爾茲曼常數, J /K ;

$\nu \,$ : 電磁波的頻率, Hz ;

$T\,$ :黑體的溫度, K .

### 黑體輻射的維恩位移定律

維恩位移定律表述了不同溫度的黑體波譜之間的聯繫。一旦某一個溫度下的黑體波譜形狀已知，則可通過維恩位移定律推導出同一黑體在其它溫度下的波譜形狀。

維恩位移定律計算出黑體輻射強度達到最大時的波長，$\lambda_\mathrm{max}$，這個物理量只和黑體的溫度相關：

$$\lambda_\mathrm{max} = \frac{b}{T}$$

其中b為比例常數，稱為維恩位移常數，數值等於2.897 7721(26)×10–3 m K（2010年國際科技數據委員會推薦值，括號中為68.27%置信度下的不確定尾數）。

注意到強度的峰值可以表達為單位波長強度或是單位頻率強度，在維恩位移定律中使用的是單位波長強度的表達式，而在上面的普朗克黑體輻射定律中則使用的是單位頻率強度。單位頻率能量達到最大時的波長為

$$\lambda'_\mathrm{max} = \frac{5.1 \times 10^{-3} \mbox{ m·K}}{T}$$

### 黑體輻射的斯特藩-玻爾茲曼定律

這條定理指出，一個黑體表面單位面積放出的能量正比於其絕對溫度的4次方：

$$j^{\star} = \sigma T^4,$$

其中$j^{\star}$：單位面積單位時間所放出的總能量，$J\cdot{s^{-1}}\cdot{m^{-2}}$ $T$ :黑體的絕對溫度，K $\sigma$：斯特藩-玻爾茲曼常數。

$$\sigma=\frac{2\pi^5 k^4}{15c^2h^3}= 5.670 400(40) \times 10^{-8} \, J\cdot s^{-1}\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}.$$

## 人體的輻射

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人體的大多數能量以紅外線的形式散射掉了。一些材料對可見光是不透明的，但是對紅外線卻沒有任何遮蓋能力（注意照片中的垃圾袋），相反另一些材料對可見光是透明的，反而會對紅外線產生阻擋或反射（注意照片中人物的眼鏡）。

黑體輻射同樣適用於人體，因為人體的一部分能量以電磁波的形式散射出體表，其中大部分為紅外線。

淨放射功率是吸收功率和放出功率的差值：

$$P_{net}=P_{emit}-P_{absorb}.$$

代入黑體輻射的斯特藩-玻爾茲曼定律：

$$P_{net}=A\sigma \epsilon \left( T^4 - T_{0}^4 \right) \,$$

人體的表面積約為2平方公尺，皮膚和大多數衣物（非金屬材質）中，遠紅外線熱發射率基本相同。皮膚的溫度大概為33℃，但在約為20℃的環境溫度影響下，衣物會使體表溫度降為大約28℃。因此，人體的淨放射功率約為

$$P_{net} = 100 \ \mathrm{W} \,$$

人體一天以上述放射方式放出的總能量大約為 9000 千焦耳（100 W 乘以 86400 秒），即2000大卡。一個40歲的成年人的基礎代謝率約為35大卡/（平方公尺·小時），即為1700大卡每天（以2平方公尺為基準）。實際上即便是靜坐的成年人每日的平均代謝率也比基礎代謝率高出約50%到70%。

熱對流和體液蒸發也是人體散失能量的重要因素。因為努塞爾特數遠遠大於單位一，所以熱傳導可以忽略。蒸發（汗液）這個要素只有在熱輻射和熱對流在某個恆溫環境內不起主導因素時才給予考慮。自由熱傳導率儘管比輻射率小，但是也是可以進行比較的。因此，人體在靜止涼爽的環境中散失的總熱能的三分之二是由於熱輻射導致的。由於使用了很多假設情況下的近似值，所以這個結果只能算是粗略的估計。人體周圍的空氣運動所引起的對流或是體液蒸發同樣和熱輻射一樣是導致體能流失的重要因素。

如果在人體這個黑體上使用維恩位移定律，可以得到人體放出輻射的波長峰值為：

$\lambda_{peak} = \frac{2.898\times 10^6 \ \mathrm{K} \cdot \mathrm{nm}}{305 \ \mathrm{K}} = 9500 \ \mathrm{nm} \,$.

這個結果可以解釋為什麼人體熱像儀的波長一般設為非常靈敏的7000到14000奈米。

## 行星和其衛星之間的熱力學關係

黑體輻射定理的應用之一是用於概略的估計一個行星的溫度。其表面可能由於溫室效應而比估計溫度高。

### 因素

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行星的溫度主要和以下幾個因素相關：

- 外來的輻射（比如來自某個恆星）
- 本身放出的輻射（比如地球自身紅外輻射）
- 反照率（行星反射的輻射）
- 溫室效應（只針對有大氣的行星）
- 行星自身產生的能量（由於放射性衰變，潮汐加熱和克赫歷程）

所有的輻射，無論是行星內部產生的，其他恆星還是其本身放出的，對行星的溫度都有很重要的影響。以下的推導即著重討論輻射。

### 推導

首先使用斯特藩-玻爾茲曼定律得到太陽放射出的總功率（能量/秒）：

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$$P_{S emt} = \left( \sigma T_{S}^4 \right) \left( 4 \pi R_{S}^2 \right) \qquad \qquad (1)$$

其中

$\sigma \,$：斯特藩-玻爾茲曼常數

$T_S \,$：太陽的表面溫度

$R_S \,$：太陽的半徑

太陽平均的向各個方向放出能量，因此，地球實際上只是接受到其中很小的一部分。這部分能量為（指接觸到大氣層外部）：

$$P_{SE} = P_{S emt} \left( \frac{\pi R_{E}^2}{4 \pi D^2} \right) \qquad \qquad (2)$$

其中

$R_{E} \,$ :地球的半徑

$D \,$：天文單位，太陽與地球的平均距離

由於本身的高溫，太陽發出的射線大多數屬於紫外線和可見光（UV-Vis）頻率範圍。在這個頻率範圍內，地球會反射一部分能量，其數量為$\alpha$，即地球對UV-Vis範圍射線的反照率。反過來，即地球吸收了$1-\alpha$的太陽光，並反射了剩下的。地球和其大氣層所吸收的能量為：

$$P_{abs} = (1-\alpha)\,P_{SE} \qquad \qquad (3)$$

雖然地球僅僅以一個面積為$\pi R^2$的圓形區域進行吸收，但是它同時以一個球體的形態向各個方向放出能量。假設地球是一個完全黑體，它將遵循斯特藩-玻爾茲定理：

$$P_{emt\,bb} = \left( \sigma T_{E}^4 \right) \left( 4 \pi R_{E}^2 \right) \qquad \qquad (4)$$

其中$T_{E}$是地球的溫度。由於地球的溫度明顯低於太陽，其放射的多為光系的紅外線（IR）部分。在這個頻率範圍內，地球會放出黑體總放射波的一部分，大約為$\overline{\epsilon}$，$\overline{\epsilon}$是紅外線頻率的平均放射率。因此地球和其大氣層實際放出的能量為：

$$P_{emt} = \overline{\epsilon}\,P_{emt\,bb} \qquad \qquad (5)$$

假設地球處於熱平衡，則吸收的能量等於放射的能量：

$$P_{abs}=P_{emt} \qquad \qquad (6)$$

代入所有關於太陽和地球能量的表達式（1-5）可以得到：

$$T_E=T_S\sqrt{\frac{R_S\sqrt{\frac{1-\alpha}{\overline{\epsilon}}}}{2D}}$$

換句話說，考慮到所有的估計值，地球的溫度與下列因素有關：太陽的表面溫度，太陽的半徑，日地間距，以及地球的反照率和紅外發射率。

### 地球的溫度

如果代入對太陽和地球的測量值：

$T_{S} = 5778 \ \mathrm{K},$

$R_{S} = 6.96 \times 10^8 \ \mathrm{m},$

$D = 1.496 \times 10^{11} \ \mathrm{m},$

$\alpha = 0.306 \ $

並將平均放射率設為單位量，可以得到地球的「有效溫度」為：

$T_E =$ 254.356 K or -18.8 ℃.

這個溫度值是基於地球是一個完全黑體的假設，忽略溫室效應並認為地球的反照率完全不變的基礎上得到的。而實際上地球僅是非常接近一個完美黑體，所以必須將估計溫度定為比有效溫度高出好幾度。如果想要估計地球在沒有大氣層的情況下的溫度，可以使用月球的反照率和發射率進行計算。月球的反照率和發射率大約為0.1054和0.95，因此，可以得到這種情況下的溫度約為1.36 ℃.

地球的平均反照率的估計值在0.3–0.4之間，由此可以得到不同的估計溫度。進行計算時相較於太陽的溫度，尺寸和日地距離，人們更加常用日照常量（總日照量密度）。比如使用0.4為反照率並使用日照量密度1400 W m−2，可以得到約為245K的地球溫度。同理，如果使用0.3的反照率以及1372 W m−2的日照常量，地球溫度為255 K。

## 參閱

- 盒中氣體
- 黑體
- 普朗克黑體輻射定律

## 外部鏈接

- 黑體輻射 JavaScript 交互 Black-body radiation by Fu-Kwun Hwang and Loo Kang Wee
- 計算黑體輻射 Interactive calculator with Doppler Effect. Includes most systems of units.
- 色溫演示 at Academo.org
- 人體降溫機制 – From Hyperphysics
- 許多不同物體發出的輻射的描述
- 黑體輻射小程序(Applet)
- 「黑體光譜」 by Jeff Bryant, Wolfram 演示項目, 2007.