三角不等式

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三角不等式是數學上的一個不等式，表示從A到B再到C的距離永不少於從A到C的距離；亦可以說是兩項獨立物件的量之和不少於其和的量。它除了適用於三角形之外，還適用於其他數學範疇及日常生活中。

## 歐式幾何

任意三角形$\Delta ABC$都有：

$$|\overline{AB} - \overline{BC}| < \overline{AC} < \overline{AB}+\overline{BC}$$

證明

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這個證明原記載於《幾何原本》第一卷命題20。如圖，取三角形$\Delta ABC$。朝點$B$ 方向延長$\overline{AB}$至點D，並使$\overline{BD}=\overline{BC}$，聯結$\overline{DC}$。因為三角形 $\Delta BDC$ 為等腰三角形，根據第五公設可得$\angle BDC=\angle BCD$。令： :$\alpha = \angle BDC = \angle BCD$ :$\beta = \angle ACD$ 顯然$\beta > \alpha$。由於角$\beta$對應邊$\overline{AD}$，角$\alpha$對應邊$\overline{AC}$，根據命題19（大角對大邊），因此$\overline{AD}>\overline{AC}$。又由於$\overline{DB}=\overline{BC}$，所以： :$\overline{AD}=\overline{AB}+\overline{BD}=\overline{AB}+\overline{BC}>\overline{AC}$ 同樣的，如果朝點$A$方向延長$\overline{AB}$，如法炮製的話，可以得到： :$\overline{BA}+\overline{AC}>\overline{BC}$ (1) 朝點$C$方向延長$\overline{BC}$，如法炮製的話，可以得到： :$\overline{BC}+\overline{CA}>\overline{BA}=\overline{AB}$ (2) (1)兩邊各減去$\overline{AB}$有： :$\overline{AC}>\overline{BC} - \overline{AB}$ (2)兩邊各減去$\overline{BC}$有： :$\overline{CA}>\overline{AB} - \overline{BC}$ 也就是 :$\overline{AC} > |\overline{AB} - \overline{BC}|$ 至此本定理得證。$\Box$

至於：

$$\overline{AC} = \overline{AB}+\overline{BC}$$

除非三點共線否則在歐氏幾何中不可能，要有這種「三角形」只有在打破第五公設的非歐幾里得幾何裡才會出現，如球面幾何學的球面三角形。或閔考斯基時空：

$\| x+y \| \geq \| x \| + \| y \|$ 對所有 $x,y \in V$，使得$\| x \| \geq 0$, $\| y \| \geq 0$ 和 $t_x t_y \geq 0$

這個不等式的物理例子可以在狹義相對論中的雙生子佯謬找到。

## 向量空間

一種推廣三角不等式的方法是在「可相加和伸縮的空間」（向量空間）裡定義「長度」(範數)，嚴格來說就是所謂的賦範向量空間。但三角不等式在賦範向量空間是個不能證明的前提，而且不一定具有幾何中：

$$\left|\overline{AB} - \overline{BC} \right| \leq \overline{AB} + \overline{BC}$$

直觀性質，要確保這種直觀性質的話，需要退一步在向量空間假設內積的構造，換句話說有以下定理:

$V$ 是個複內積空間，則對所有的$v,\,w \in V$ 有：:$\left| \|v\| - \|w\| \right| \leq \| v \oplus w \| \leq \| v \| + \| w \|$（證明請見內積空間#三角不等式）

### 實數與複數

事實上，實數系$\R$跟複數系$\C$都是以自己為域（純量母空間）的向量空間，它們的向量加法就是普通的加法；純量積就是普通的乘法；至於內積的話，任二複數$z_1,\,z_2 \in \C$的內積可以定義成：

$$\langle z_1,\,z_2 \rangle := z_1\overline{z_2}$$

這樣範數就會等於絕對值：

$$\|z_1\|^2 := \langle z_1,\,z_1 \rangle = z_1\overline{z_1} = |z_1|^2$$

而任二實數$a,\, b \in \R$的內積就只是普通的乘法：

$$\langle a,\,b \rangle := a\overline{b} = ab$$

$$\|a\|^2 = a\overline{a} = |a|^2$$

這樣兩系內的三角不等式都只是內積空間的特例：

$\left| |z_1| - |z_2| \right| \leq |z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ ($z_1,\,z_2 \in \C$)

$\left| |a| - |b| \right| \leq |a + b| \leq |a| + |b|$ ($a,\, b \in \R$)

其實上面兩式也可以用更基礎，只牽涉到複數運算的方式證明：

證明考慮到 :$|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ :$|z_1| = |\overline{z_1}|$ 有： $\begin{aligned} |z_1 + z_2 |^2 &= (z_1 + z_2)(\overline{z_1 + z_2}) \\ &= |z_1|^2 + \overline{z_1}z_2 + z_1\overline{z_2} + |z_2|^2 \\ &= |z_1|^2 + 2\operatorname{Re}{(\overline{z_1}z_2)} + |z_2|^2 \\ &\le |z_1|^2 + 2|\overline{z_1}z_2| + |z_2|^2 \\ &= |z_1|^2 + 2|z_1||z_2| + |z_2|^2 \\ &= {\left(|z_1| + |z_2| \right)}^2 \\ \end{aligned}$ $\begin{aligned} ||z_1| - |z_2| |^2 &= |z_1|^2 - 2|z_1||z_2| + |z_2|^2 \\ &\leq |z_1|^2 + 2\operatorname{Re}{(\overline{z_1}z_2)} + |z_2|^2 \\ &= |z_1 + z_2|^2 \end{aligned}$ 故複數三角不等式得證，實數只是複數的特例而以。$\Box$

### 坐標空間

$n$維（實數）坐標空間$\R^n$本身就是以實數系$\R$為域（純量母空間）的向量空間，只要對任意$a = (a_1,\,\dots,\,a_n) \in \R^n$和$b = (b_1,\,\dots,\,b_n) \in \R^n$和純量 $\lambda \in \R$作如下定義：

(1)向量加法： $a \oplus b := (a_1 + b_1,\,\dots,\,a_n + b_n)$

(2)純量乘法：$\lambda \cdot a := (\lambda a_1,\,\dots,\,\lambda a_n)$

它也能成為實係數內積空間，只要作如下定義：

(3) 內積： $\langle a,\, b \rangle := a_1 b_1+\dots+a_n b_n$

也就是普通的點積。這樣的話範數正好就等於直觀上的長度：

$$\| a \| ^2 := \langle a,\,a \rangle = a_1^2+\dots+a_n^2$$

這樣實數座標空間的三角不等式就是內積空間不等式的特例了：

$\left| \|a\| - \|b\| \right| \leq \|a \oplus b\| \leq \|a\| + \|b\|$ ($a,\, b \in \R^n$)

如果把把歐幾里得平面和$\R^2$做一對一對應的話，歐式幾何一節的三角不等式就可以視為上式的特例；但也可以使用$\R^2$空間座標的運算性質來證明：

對$\R^2$坐標系中任三點$A,\,B,\,C$有：

$$\left| \, \left\| \overrightarrow{AB} \right\| - \left\|\overrightarrow{BC} \right\| \, \right| \leq \left\|\overrightarrow{AC} \right\| \leq \left\| \overrightarrow{AB} \right\| + \left\|\overrightarrow{BC} \right\|$$

證明首先注意到： :$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ 那根據點積的性質有： :${\left\| \overrightarrow{AC} \right\|} ^ 2 = {\left\|\overrightarrow{AB} \right\|} ^ 2 + {\left\|\overrightarrow{BC} \right\|} ^ 2 + 2 \left( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} \right)$ 另一方面： :${\left( \left\|\overrightarrow{AB} \right\|+ \left\|\overrightarrow{BC} \right\| \right)}^2 ={\left\|\overrightarrow{AB} \right\|} ^ 2 + {\left\|\overrightarrow{BC} \right\|} ^ 2 + 2 \left\|\overrightarrow{AB} \right\|\left\|\overrightarrow{BC} \right\|$ 考慮到： :$- \left\| \overrightarrow{AB} \right\| \left\| \overrightarrow{BC} \right\| \leq \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} \leq \left\| \overrightarrow{AB} \right\| \left\| \overrightarrow{BC} \right\|$ 所以： :$\left\| \overrightarrow{AC} \right\| \leq \left\|\overrightarrow{AB} \right\| + \left\|\overrightarrow{BC} \right\|$ 同樣的對 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{BC}$ 如法炮製就有： :$\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \leq \left\|\overrightarrow{AC} \right\| + \left\|\overrightarrow{CB} \right\|$ :$\left\| \overrightarrow{BC} \right\| \leq \left\|\overrightarrow{BA} \right\| + \left\|\overrightarrow{AC} \right\|$ 換句話說： :$\left| \, \left\| \overrightarrow{AB} \right\| - \left\|\overrightarrow{BC} \right\| \, \right| \leq \left\|\overrightarrow{AC} \right\|$ 至此三角不等式成立。$\Box$