應力強度因子

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應力強度因子（Stress Intensity Factors），符號為K，是表徵彈性材料的裂紋尖端應力、應變狀態控制失穩擴展的參量，是斷裂力學、破壞力學中極其重要的一個參量。在斷裂力學中，應力強度因子用於預測由遠程載荷或殘餘應力引起的裂紋或凹口尖端附近的應力強度，是一個應用於均勻、線彈性材料的理論，對脆性材料的破壞非常適用，也可應用於在裂紋尖端表現出小尺度屈服的材料。

K的大小取決於試樣的幾何形狀、裂紋或凹口的大小和位置，以及材料上載荷的大小和分布。可以寫成：

$$K = \sigma \sqrt{\pi a} \, f(a/W)$$

其中$f(a/W)$是試樣幾何依賴函數，a為長度，W寬度，σ是施加的壓力。

彈性力學理論預測，在極坐標（$r,\theta$）中，裂紋尖端附近的應力分布（$\sigma_{ij}$）具有以下形式：

$$<pre> \sigma_{ij}(r, \theta) = \frac {K} {\sqrt{2 \pi r}}\,f_{ij} ( \theta) + \,\,\rm{higher\, order\, terms}$$

其中K是應力強度因子（單位為應力×長度1/2），$f_{ij}$是一個隨載荷和幾何形狀變化的無量綱量。理論上，當r趨近於0時，應力$\sigma_{ij}$趨近於$\infty$，導致應力奇異性。然而，實際上，這種關係在靠近裂尖處（r很小時）會失效，因為塑性通常發生在超過材料屈服強度的應力下，此時的線彈性解則不再適用。但如果裂尖的塑性區域相對裂紋長度很小，那麼裂尖附近的漸近應力分布則仍然適用。

## 各種模式的應力強度因子

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1957年，George Rankine Irwin發現，裂紋周圍的應力可以用一個稱為應力強度因子的比例因子來表達。他發現，裂紋在任意荷載下可以分解為三種線性獨立的裂紋模式。這些荷載類型被歸類為I型、II型或III型，如圖所示。I型是一種拉伸模式，裂紋表面直接分開。II型是一種滑動（平面剪切）模式，裂紋表面相互滑動，方向與裂紋前沿垂直。III型是一種撕裂（反平面剪切）模式，裂紋表面相對移動，並且與裂紋前沿平行。I型是工程設計中最常見的加載類型。

對應於三種不同的斷裂模式，有三個不同的物理量：$K_I$、$K_{II}$、$K_{III}$，不同的下標用於指定三種不同模式的應力強度因子，這些因子的形式定義如下：

$$\begin{align} <pre> K_{\rm I} & = \lim_{r\rightarrow 0} \sqrt{2\pi r}\,\sigma_{yy}(r,0) \\ K_{\rm II} & = \lim_{r\rightarrow 0} \sqrt{2\pi r}\,\sigma_{yx}(r,0) \\ K_{\rm III} & = \lim_{r\rightarrow 0} \sqrt{2\pi r}\,\sigma_{yz}(r,0) \,. </pre> \end{align}$$

Equations for stress and displacement fields

## 能量釋放速率與J積分

在平面應力條件下，裂紋在純I型或純II型荷載下的應變能釋放速率（$G$）與應力強度因子相關：

$$<pre> G_{\rm I} = K_{\rm I}^2\left(\frac{1}{E}\right)$$

$$<pre> G_{\rm II} = K_{\rm II}^2\left(\frac{1}{E}\right)$$

其中$E$是楊氏模量，$\nu$是材料泊松比。假設材料各向同性、分布均勻且為線彈性，則認為裂紋會沿著初始裂紋的方向延伸。

對於平面應變條件，等效關係為：

$$<pre> G_{\rm I} = K_{\rm I}^2\left(\frac{1-\nu^2}{E}\right)\,$$

$$<pre> G_{\rm II} = K_{\rm II}^2\left(\frac{1-\nu^2}{E}\right)\,.$$

對於純III型荷載為：

$$<pre> G_{\rm III} = K_{\rm III}^2\left(\frac{1}{2\mu}\right) = K_{\rm III}^2\left(\frac{1+\nu}{E}\right)$$

其中$\mu$是剪切模量。對於平面應變中的一般荷載，則成立以下線性組合：

$$<pre> G = J = \int_\Gamma \left(W~dx_2 - \mathbf{t}\cdot\cfrac{\partial\mathbf{u}}{\partial x_1}~ds\right) \,.$$

與應力強度因子相對應的表徵彈塑性材料的裂紋尖端應力應變場的參量是斷裂韌性J積分，J積分也按照斷裂模式分為$J_I$、$J_{II}$、$J_{III}$。

## 臨界應力強度因子

應力強度因子$K$是一個放大應力幅值的參數，其中包括幾何參數$Y$（荷載類型）。任何模式情況下的應力強度與材料上的加載成正比。如果在材料中製作一個非常尖銳的裂紋或V型缺口，可以經驗性地確定$K_\mathrm{I}$的最小值，這是裂紋傳播所需的臨界應力強度值。在平面應變中確定的I型加載的臨界斷裂韌性（$K_\mathrm{Ic}$），稱為材料的臨界斷裂韌性。$K_\mathrm{Ic}$的單位是應力乘以距離的平方根（例如MN/m3/2）。$K_\mathrm{Ic}$的單位表明，必須在一定的臨界距離內達到材料的斷裂應力，才能達到$K_\mathrm{Ic}$，使裂紋擴展。I型臨界應力強度因子$K_\mathrm{Ic}$是斷裂力學中最常用的工程設計參數，對橋梁、建築、飛機甚至鍾鈴的耐斷材料設計十分重要。

### G-準則

G準則是一種斷裂準則，它將臨界應力強度因子（或斷裂韌性）與三種模式的應力強度因子相關聯。這個失效準則可以表述為：

$$<pre> K_{\rm c}^2 = K_{\rm I}^2 + K_{\rm II}^2 + \frac{E'}{2\mu}\,K_{\rm III}^2$$

其中，是斷裂韌性，$E' = E/(1-\nu^2)$用於平面應變，$E' = E$用於平面應力。平面應力的臨界應力強度因子通常被寫成$K_{\rm c}$。

## 例子

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### 無限平面：均勻單軸應力

假設長度為$2a$的直裂紋，在一個具有均勻應力場$\sigma$的無限平面中，其應力強度因子：

$$<pre> K_\mathrm{I}=\sigma \sqrt{\pi a} </pre>$$

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### 無限域：硬幣形裂紋

在無限域內一個半徑為$a$的小裂縫尖端在單張應力σ下的應力強度因子：

$$<pre> K_{\rm I} = \frac{2}{\pi}\sigma\sqrt{\pi a} \,.$$

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### 有限平面：均勻單軸應力

如果裂縫位於寬度為$2b$、高度為$2h$的有限平面的中心位置，則應力強度因子的近似關係為：

$$<pre> K_{\rm I} = \sigma \sqrt{\pi a}\left[\cfrac{1 - \frac{a}{2b} + 0.326\left(\frac{a}{b}\right)^2}{\sqrt{1 - \frac{a}{b}}}\right] \,.$$

如果裂紋不位於寬度的中心位置，即$d \ne b$，則位置A處的應力強度因子可以通過級數展開來近似得到：

$$<pre> K_{\rm IA} = \sigma \sqrt{\pi a}\left[1 + \sum_{n=2}^{M} C_n\left(\frac{a}{b}\right)^n\right]$$

從應力強度曲線的擬合中可以基於不同$d$值，得到因子$C_n$。裂紋B點可以得到一個類似（但不完全相同）的表達式。在A點和B點的應力強度因子的替代表達式是：

$$<pre> K_{\rm IA} = \sigma\sqrt{\pi a}\,\Phi_A \,\, , K_{\rm IB} = \sigma\sqrt{\pi a}\,\Phi_B$$

其中

$$<pre> \begin{align} \Phi_A &:= \left[\beta + \left(\frac{1-\beta}{4}\right)\left(1 + \frac{1}{4\sqrt{\sec\alpha_A}}\right)^2\right]\sqrt{\sec\alpha_A} \\ \Phi_B &:= 1 + \left[\frac{\sqrt{\sec\alpha_{AB}} - 1}{1 + 0.21\sin\left\{8\,\tan^{-1}\left[\left(\frac{\alpha_A - \alpha_B}{\alpha_A + \alpha_B}\right)^{0.9}\right]\right\}}\right] \end{align}$$

其中

$$<pre> \beta := \sin\left(\frac{\pi\alpha_B}{\alpha_A+\alpha_B}\right) ~,~~ \alpha_A := \frac{\pi a}{2 d} ~,~~ \alpha_B := \frac{\pi a}{4b - 2d} ~;~~ \alpha_{AB} := \frac{4}{7}\,\alpha_A + \frac{3}{7}\,\alpha_B \,.$$

在上述表達試中，$d$是從裂紋中心到距離點A最近邊界的距離。但是當$d=b$時，上述表達式不會簡化為關於中心裂紋的近似表達式。

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### 有限平面：邊緣裂紋

對於一個尺寸為$2h \times b$2的平面，包含長度$a$的無約束邊緣裂紋，如果板的尺寸滿足$h/b \ge 0.5$和$a/b \le 0.6$，則在單軸應力$\sigma$下，裂紋尖端的應力強度因子為：

$$<pre> K_{\rm I} = \sigma\sqrt{\pi a}\left[1.122 - 0.231\left(\frac{a}{b}\right) + 10.55\left(\frac{a}{b}\right)^2 - 21.71\left(\frac{a}{b}\right)^3 + 30.382\left(\frac{a}{b}\right)^4\right] \,. </pre>$$

對於$h/b \ge 1$和 $a/b \ge 0.3$的情況，應力強度因子可近似得：

$$<pre> K_{\rm I} = \sigma\sqrt{\pi a}\left[\frac{1 + 3\frac{a}{b}}{2\sqrt{\pi\frac{a}{b}}\left(1-\frac{a}{b}\right)^{3/2}}\right] \,. </pre>$$

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### 無限平面：雙軸應力場中的傾斜裂紋

對於一個長度為$2a$的傾斜裂紋，在雙軸向應力場中，應力在$y$方向為$\sigma$，在$x$方向為$\alpha\sigma$，應力強度因子為：

$$<pre> \begin{align} K_{\rm I} & = \sigma\sqrt{\pi a}\left(\cos^2\beta + \alpha \sin^2\beta\right) \\ K_{\rm II} & = \sigma\sqrt{\pi a}\left(1- \alpha\right)\sin\beta\cos\beta \end{align} </pre>$$ 其中$\beta$是裂縫與$x$軸所成的角度

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### 平面內定點應力的裂縫

一個尺寸為$2h \times 2b$的平面，含有長度為$2a$的裂縫。在板的點（$x,y$）處施加具有分量$F_x$和$F_y$的力。

在平面比裂紋尺寸大，且力的位置相對靠近裂紋的情況下，即$h \gg a$，$b \gg a$，$x \ll b$，$y \ll h$，可將平面視為無限大，這種情況下，裂紋尖端B（$x = a$）處的$F_x$的應力強度因子為：

$$<pre> \begin{align} K_{\rm I} & = \frac{F_x}{2\sqrt{\pi a}}\left(\frac{\kappa -1}{\kappa+1}\right) \left[G_1 + \frac{1}{\kappa-1} H_1\right] \\ K_{\rm II} & = \frac{F_x}{2\sqrt{\pi a}} \left[G_2 + \frac{1}{\kappa+1} H_2\right] \end{align} </pre>$$

其中

$$<pre> \begin{align} G_1 & = 1 - \text{Re}\left[\frac{a+z}{\sqrt{z^2-a^2}}\right] \,,\,\, G_2 = - \text{Im}\left[\frac{a+z}{\sqrt{z^2-a^2}}\right] \\ H_1 & = \text{Re}\left[\frac{a(\bar{z}-z)}{(\bar{z}-a)\sqrt{{\bar{z}}^2-a^2}}\right] \,,\,\, H_2 = -\text{Im}\left[\frac{a(\bar{z}-z)}{(\bar{z}-a)\sqrt{{\bar{z}}^2-a^2}}\right] \end{align} </pre>$$

$z = x + iy$，$\bar{z} = x - iy$，$\kappa = 3-4\nu$用於平面應變，$\kappa= (3-\nu)/(1+\nu)$用於平面應力，其中$\nu$是泊松比。

在B端點$F_y$的應力強度因子為：

$$<pre> \begin{align} K_{\rm I} & = \frac{F_y}{2\sqrt{\pi a}} \left[G_2 - \frac{1}{\kappa+1} H_2\right] \\ K_{\rm II} & = -\frac{F_y}{2\sqrt{\pi a}}\left(\frac{\kappa -1}{\kappa+1}\right) \left[G_1 - \frac{1}{\kappa-1} H_1\right] \,. \end{align} </pre>$$

點A（$x = -a$）處的應力強度因子可根據上述關係確定。對於在位置$(x,y)$ 處施加$F_x$荷載的應力強度因子為：

$$<pre> K_{\rm I}(-a; x,y) = -K_{\rm I}(a; -x,y) \,,\,\, K_{\rm II}(-a; x,y) = K_{\rm II}(a; -x,y) \,. </pre>$$

$F_y$的應力強度因子相似：

$$<pre> K_{\rm I}(-a; x,y) = K_{\rm I}(a; -x,y) \,,\,\, K_{\rm II}(-a; x,y) = -K_{\rm II}(a; -x,y) \,. </pre>$$

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### 平面裂紋荷載

如果裂紋受到位於$y=0$且$-a < x < a$的點作用力$F_y$加載，B處的應力強度因子為：

$$<pre> K_{\rm I} = \frac{F_y}{2\sqrt{\pi a}}\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}\,,\,\, K_{\rm II} = -\frac{F_x}{2\sqrt{\pi a}}\left(\frac{\kappa -1}{\kappa+1}\right) \,.$$

如果力在$-a < x < a$之間均勻分布，則B點的應力強度因子為：

$$<pre> K_{\rm I} = \frac{1}{2\sqrt{\pi a}}\int_{-a}^a F_y(x)\,\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}\,{\rm d}x\,,\,\, K_{\rm II} = -\frac{1}{2\sqrt{\pi a}}\left(\frac{\kappa -1}{\kappa+1}\right)\int_{-a}^a F_y(x)\,{\rm d}x, \,.$$

### 無限平面：平行裂縫堆疊

如果裂紋間距遠遠大於裂紋長度（$h \gg a$），可忽略鄰近裂紋之間的相互作用，應力強度因子等於長度為2a的單一裂紋的應力強度因子，裂紋尖端的應力強度因子為：

$$<pre> \begin{align} K_{\rm I} & = \sigma\sqrt{\pi a} \end{align} </pre>$$

如果裂紋長度遠大於間距（$a \gg h$），則裂紋可以被視為半無限裂紋的堆疊，裂紋尖端應力強度因子為：

$$<pre> \begin{align} K_{\rm I} & = \sigma\sqrt{h} \end{align} </pre>$$

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### 緊湊拉伸試樣

緊湊拉伸試樣裂紋尖端的應力強度因子為：

$$<pre> \begin{align} K_{\rm I} & = \frac{P}{B}\sqrt{\frac{\pi}{W}}\left[16.7\left(\frac{a}{W}\right)^{1/2} - 104.7\left(\frac{a}{W}\right)^{3/2} + 369.9\left(\frac{a}{W}\right)^{5/2} \right.\\ & \qquad \left.- 573.8\left(\frac{a}{W}\right)^{7/2} + 360.5\left(\frac{a}{W}\right)^{9/2} \right] \end{align}$$

其中$P$是施加的載荷，$B$是試樣厚度，$a$是裂紋長度，$W$是試樣的寬度。

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### 單邊缺口彎曲試樣

單邊缺口彎曲試樣裂紋尖端的應力強度因子為：

$$<pre> \begin{align} K_{\rm I} & = \frac{4P}{B}\sqrt{\frac{\pi}{W}}\left[1.6\left(\frac{a}{W}\right)^{1/2} - 2.6\left(\frac{a}{W}\right)^{3/2} + 12.3\left(\frac{a}{W}\right)^{5/2} \right.\\ & \qquad \left.- 21.2\left(\frac{a}{W}\right)^{7/2} + 21.8\left(\frac{a}{W}\right)^{9/2} \right] \end{align}$$

其中$P$是施加的載荷，$B$是試樣厚度，$a$是裂紋長度，$W$是試樣的寬度。

## 相關

- 斷裂力學
- 斷裂韌性
- 能量釋放率（Strain energy release rate）
- J-積分（J-integral）
- 材料失效理論（Material failure theory）
- 帕里斯法則