分數微積分

數學上，分數微積分（fractional calculus）是數學分析的一個分支，它研究微分算子$D= \frac{d}{dx}$和積分算子J的實數次冪的可能應用（通常不寫作I,以避免和其他I形符號產生混淆）。

在這個上下文中，冪指反覆應用，和

$$\, f^2 (x) = f(f(x))$$

中的平方意義相同。例如，可以提出如何解釋如下符號的問題

$$\sqrt{D}=D^{\frac{1}{2}}$$

作為微分算子的平方根（半次操作），也就是一種算子操作兩次以後可以有微分的效果。

更一般的。

$$D^n$$

對於實數值的n，使得當n為整數時，若n>0,它等同於通常的冪n次操作，當n<0,它等同於n次積分J。

討論這個問題有幾個原因。一個是，這樣冪Dn組成的半群可以看作一個連續的半群中取離散值的部分。連續半群在數學上有很好的研究，有一個有趣的理論。注意，分數是個錯誤的記號，因為指數可以取非有理數，但是分數微積分已成為習慣用法。

## 歷史緣由

在應用數學與數學分析中，一個分數階的導數是一個可以為任意階實數或是複數的導數。這個概念第一次出現在1695年，萊布尼茲寫給洛必達的書信中。分數微積分則是第一次被介紹在阿貝爾的早期論文中，其中關於各種分數階的積分與微分的概念、微分與積分的關係、關於分數階的微分與積分其實都可以被視作一種廣義算子，以及統一關於實數階微分與積分的概念。該主題的基礎由劉維爾(Liouville)在1832年的論文中獨立奠定的，奧利弗·黑維塞(Oliver Heaviside)在1890年引入分數微分算子在電力傳輸分析中。分數微積分的理論與應用在19世紀跟20世紀中得到發展，許多貢獻者都給出了分數階導數與積分的定義。

## 試探法

一個很自然的想法是問，是否存在一個算子$H$起到半導數的作用，即使得：

$$H^{2}f (x)=Df (x)=\frac{d}{dx}f (x)=f'(x)$$

結論是：這樣的算子是存在的，對於任意$a > 0$,存在一個算子$P$,滿足：

$(P ^ a f)(x) = f'(x)$。

或者換一個說法, $\dfrac{d^ny}{dx^n}$的定義可以從正整數n擴充到所有的實數n.

在這裡我們引入Γ函數將階乘擴展到實數和複數域上. Γ函數的定義如下：

$n! = \Gamma(n+1)$。

假設對函數$f (x)$ $( x > 0 )$在0到x上求積分，我們可以形式的定義積分算子J:

$$(J f )( x ) = \int_0^x f (t) \; dt$$

重複這個過程，可得：

$(J^2 f)(x) = \int_0^x ( J f )(t ) dt = \int_0^x \left( \int_0^t f(s) \; ds \right) \; dt$,

這個過程可以任意的重複下去。

利用重複積分的柯西公式，即：

$$(J^{n} f)(x) = \frac{1}{(n-1)!}\int_0^x (x-t)^{n-1}f (t) \; dt$$

我們可以直截了當的寫出任意實數n的積分算子。

直接利用$\Gamma$函數將離散的階乘擴展為連續的函數。我們可以自然的得到分數積分算子的表達形式

$$(J^{\alpha}f)(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^x (x-t)^{\alpha-1}f (t)\; dt$$

這個算子定義明確而且具有良好的性質。

可以證明J算子滿足如下關係

$$(J^{\alpha})(J^{\beta})f=(J^{\beta})(J^{\alpha})f=(J^{\alpha+\beta})f=\frac{1}{\Gamma(\alpha+\beta)}\int_0^x (x-t)^{\alpha+\beta-1}f (t) \; dt$$

這個性質叫微分積分算符的半群性。然而用類似方法定義微分算子將變得相當困難，而且定義出來的微分算子D一般來說不對易也不具有疊加性。

## 分數微分在一個簡單函數上的應用

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假設有一個函數

$f (x)=x^k\;$。它的一階導數一般是：

$f'(x)=\dfrac{d}{dx}f (x)=k x^{k-1}\;$。重複這一過程，得到更一般的結果：

$\dfrac{d^a}{dx^a}x^k=\dfrac{k!}{(k-a)!}x^{k-a}\;$，將階乘用伽瑪函數替換，可得：

$\dfrac{d^a}{dx^a}x^k=\dfrac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k-a+1)}x^{k-a}\;$。當k = 1,並且a = 1/2時我們可以得到函數$x$的半導數：

$\dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}x=\dfrac{\Gamma(1+1)}{\Gamma(1-\frac{1}{2}+1)}x^{1-\frac{1}{2}}=\dfrac{1!}{\Gamma(\frac{3}{2})}x^{\frac{1}{2}} = \dfrac{2x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\pi}}$。重複這一過程，得：

$\dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}2 \pi^{-\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}=2 \pi^{-\frac{1}{2}}\dfrac{\Gamma(1+\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1)}x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}=2 \pi^{-\frac{1}{2}}\dfrac{\Gamma(\frac{3}{2})}{\Gamma (1)}x^{0}=\dfrac{2 \sqrt{\pi}x^0}{2 \sqrt{\pi}0!}=1$，這正是期望的結果：

$\left(\dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}\dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}\right)x=\dfrac{d}{dx}x=1$。

以上微分算子的擴展不僅僅局限於實數次。舉個例子，$(1+i)$階導數作用後，$(1-i)$階導數再作用，可以得到二階導數。同時如果a為負則可為求積分。

分數微分可以得到上述相同的結果（當$0<\alpha<1$）。

$$D^{\alpha}f (x)=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}\frac{f (t)}{(x-t)^{\alpha}}dt$$

對於任意的$\alpha$,由於伽瑪函數的參數在實數部為負整數時沒有定義，需要在分數微分前先進行整數微分。例如

$$D^{\frac{3}{2}}f (x)=D^{\frac{1}{2}}D^{1}f (x)=D^{\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}f (x)$$

## 拉普拉斯變換

我們可以藉由拉普拉斯變換提出一個問題。已知

$$\mathcal L \left\{Jf\right\}(s) = \mathcal L \left\{\int_0^t f(\tau)\,d\tau\right\}(s)=\frac1s\bigl(\mathcal L\left\{f\right\}\bigr)(s)$$

以及

$$\mathcal L \left\{J^2f\right\}=\frac1s\bigl(\mathcal L \left\{Jf\right\} \bigr)(s)=\frac1{s^2}\bigl(\mathcal L\left\{f\right\}\bigr)(s)$$

然後繼續下去，我們可以推斷:

$$J^\alpha f=\mathcal L^{-1}\left\{s^{-\alpha}\bigl(\mathcal L\{f\}\bigr)(s)\right\}$$

舉例來說:

$$J^\alpha(t^k) = \mathcal L^{-1}\left\{\frac{\Gamma(k+1)}{s^{\alpha+k+1}}\right\} = \frac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(\alpha+k+1)} t^{\alpha+k}$$

如同預期一樣。的確，我們給出捲積性質。

$$\mathcal L\{f*g\}=\bigl(\mathcal L\{f\}\bigr)\bigl(\mathcal L\{g\}\bigr)$$

然後為了方便，令 p(x) = xα − 1，我們發現到:

$$\begin{align} \left(J^\alpha f\right)(t) &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\mathcal L^{-1}\left\{\bigl(\mathcal L\{p\}\bigr)\bigl(\mathcal L\{f\}\bigr)\right\}\\ &=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}(p*f)\\ &=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t p(t-\tau)f(\tau)\,d\tau\\ &=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t\left(t-\tau\right)^{\alpha-1}f(\tau)\,d\tau\\ \end{align}$$

即得到柯西所給出的樣子。

拉普拉斯在一些較少的函數上有效，但是它在解分數微分方程上卻非常有用。

## 應用

WKB近似

對於一個一維的量子系統進行准經典的近似時，系統哈密頓量$H=p^{2}+V (x)$中$V (x)$的倒數$V^{-1}(x)$可由對態密度的半階微分求出

$$V^{-1}(x)=2\sqrt{\pi}\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}n (x)$$

這裡採用了自然單位制，即$\hbar=2m=1$

## 外部連結

- 任意階微積分 http://drhuang.com/chinese/science/mathematics/fractionalCalculus/
- MathWorld - Fractional calculus
- MathWorld - Fractional derivative
- Specialized journal: Fractional Calculus and Applied Analysis
- http://www.nasatech.com/Briefs/Oct02/LEW17139.html
- https://web.archive.org/web/20040502170831/http://unr.edu/homepage/mcubed/FRG.html
- Igor Podlubny's collection of related books, articles, links, software, etc.
- http://s.dugowson.free.fr/recherche/dones/index.html
- History, Definitions, and Applications for the Engineer（PDF）, by Adam Loverro, University of Notre Dame