胡克定律

胡克定律（Hooke's law）是力學的彈性理論中的一條基本定律，指固體材料受力後，應力與應變（單位變形量）成線性關係，滿足此定律的材料稱為線彈性或胡克型材料。

從物理學的角度看，胡克定律源於多數固體（或孤立分子）內部的原子在無外載作用下處於穩定平衡的狀態。

很多實際材料，例如一根長度為$L$、橫截面積為$A$的稜柱形棒在力學上都可以用胡克定律來模擬——其單位伸長（或縮減）量$\varepsilon$ （應變）在常係數$E$（稱為彈性模量）下，與拉（或壓）應力$\sigma$成正比例，即：

$$\sigma = E \varepsilon$$

或

$$\Delta L = \frac{1}{E} \times L \times \frac{F}{A} = \frac{1}{E} \times L \times \sigma$$

$\Delta L$：總伸長（縮減）量。胡克定律利用17世紀英國物理學家羅伯特·胡克的名字命名。胡克提出該定律的過程頗有趣味，他於1676年發表了一句拉丁語字謎，謎面是：ceiiinosssttuv。兩年後他公布了謎底是：ut tensio sic vis，意思是「力如伸長（那樣變化）」（見胡克定律#參考文獻|參考文獻1），這正是胡克定律的中心內容。

胡克定律僅適用於特定負載條件下的部分材料。鋼材在多數工程應用中都可視為線彈性材料，在其彈性範圍內（即應力低於屈服強度時）胡克定律都適用。另外一些材料（如鋁材）則只在彈性範圍內的一部分區域行為符合胡克定律。對於這些材料需要定義一個應力線性極限，在應力低於該極限時線性描述帶來的誤差可以忽略不計。

還有一些材料在任何情況下都不滿足胡克定律（如橡膠），這種材料稱為「非胡克型」（neo-hookean）材料。橡膠的剛度不僅和應力水平相關，還對溫度和加載速率十分敏感。

胡克定律在磅秤製造、應力分析和材料模擬等方面有廣泛的使用。

## 正式定義

### 用於線性彈簧

對於一個一端固定的螺旋彈簧，當其自由端被大小為Fs的力拉伸達到平衡（即長度不再改變）時，令x為彈簧自由端的位移量（從非拉伸狀態到拉伸達到平衡狀態），胡克定律表示為：

$$F_s = kx$$

即：

$$x = \frac{F_s}{k}$$

式中，k為刻畫彈簧屬性的正實數。該式子對壓縮彈簧同樣成立，此時Fs和x都為負數。根據此式，施加的力Fs時位移x的函數，函數圖像是經過原點且斜率為k的一條直線。

有時胡克定律也可以表示為彈簧對拉動其自由端物體提供恢復力（restoring force）。由於恢復力的方向和位移方向相反，這種情況下的胡克定律表示為：

$$F_s = -kx$$

### 一般"標量"彈簧

胡克定律通常適用於任意複雜度的彈性物體，只要形變和應力可以用一個正數（或負數）表示。

例如，當連接兩個平行的塑料板的橡膠塊受到剪切力（而非拉伸或壓縮）形變時，對於小形變而言，剪切力Fs和板的側向位移x遵循胡克定律。

胡克定律也適用於兩端支撐的直鋼筋或混凝土柱（通常用於建築），受到中間某點的力F而發生彎曲。此時，位移x是物體在橫向上相對於其空載形狀的形變。

胡克定律還適用於這種情況：將鋼絲一端固定，另一端連接槓桿，通過旋轉槓桿可以扭曲鋼絲。此時，應力Fs是施加在槓桿上的力，x是槓桿沿圓形路逕行進的距離。等價地說，Fs是槓桿施加到鋼絲末端的扭矩，x是該端轉動的角度。在這兩種情況中，儘管常數k不同，Fs與x均成正比。

### 向量公式

在對螺旋彈簧進行拉伸（或壓縮）時，施加的力（或恢復力）與彈簧的伸長量（或壓縮量）方向相同（即彈簧的軸向）。因此，如果將Fs和x定義為向量，胡克定理仍然成立，表示力向量是伸長向量乘以固定標量。

## 測量單位

在國際單位制中，位移以米（m）為單位，力以牛頓（N 或 kg·m/s2）為單位。因此，彈簧常數k和張量κ的元素都以牛頓/米（N/m）或千克/秒的平方（kg/s2）為單位。

對於連續介質，應力張量σ的元素是力除以面積，因此與壓力具有相同的單位，即帕斯卡（Pa，N/m2，或 kg/(m·s2)）。應變張量ε的元素是無量綱量（位移除以距離）。因此，cijkl中元素的單位也表示為壓力。

## 派生公式

### 彈簧能量

```
鬆弛力常數（廣義順應常數）
```

## 彈簧方程

<image>

胡克定律應用的一個常見例子是彈簧。在彈性限度內，彈簧的彈力$F$和彈簧的長度變化量$x$成線性關係，即：

$$F=-kx$$

$k$：彈簧的勁度係數(彈力係數)，由材料性質、幾何外形決定，負號：彈簧產生的彈力與其伸長(壓縮)的方向相反，這種彈力稱為回復力，表示它有使系統回復平衡的趨勢。滿足上式的彈簧稱為線性彈簧。

通過變形儲存在彈簧中的彈性勢能為：

$$U={1\over2}kx^2$$

該式可以理解為彈簧在壓縮過程中逐小段做負功的極限累加，數學上就是作用力對作用距離的定積分（注意勢能恆為正值）。

勢能函數在 $U-x$ 平面內是一段拋物線。隨著彈簧沿$x$方向變形（無論拉伸還是壓縮），勢能相應增加。非平衡狀態時的勢能總是高於平衡狀態（$x=0$）時的勢能。所以彈簧力的作用總是使系統向勢能減少的方向運動，正如在半山上的球在重力的作用下總是要往山下（重力勢能小的地方）滾一樣。

如果將一塊質量懸掛在這樣一個彈簧的末端，然後對它施加一個軸向擾動（可以是敲打或拉開一段距離突然鬆手），質量和彈簧組成的系統將會以下列固有角頻率（又稱共振角頻率）開始振動：

$$\omega_n = \sqrt{k \over m}$$

<image>

若要對處於三維應力狀態下的材料進行描述，需要定義一個包含81個彈性常數的四階張量$c_{ijkl}$ 以聯繫二階應力張量$\sigma_{ij}$和應變張量（又稱格林張量）$\varepsilon_{kl}$。

$$\sigma_{ij} = \sum_{kl} c_{ijkl} \cdot \varepsilon_{kl}$$

由於應力張量、應變張量和彈性係數張量存在對稱性（應力張量的對稱性就是材料力學中的剪應力互等定理），81個彈性常數中對於最一般的材料也只有21個是獨立的。

由於應力的單位量綱（力/面積）與壓強相同，而應變是無量綱的，所以彈性常數張量$c_{ijkl}$中每一個元素（分量）都具有壓強的量綱。

對於固體材料大變形力學行為的描述需要用到新胡克型固體模型（neo-Hookean solids）和Mooney-Rivlin型固體模型。

## 胡克定律的張量形式

（在牛頓流體中的類比參見粘性詞條。）

各向同性材料（isotropic materials，也譯作等向性材料）顧名思義就是（力學）性能沿空間中不同方向不發生變化的材料。顯然描述這種材料的物理方程的形式不應隨坐標系的旋轉而改變。材料內部的應變張量也應該是對稱的。由於任何張量的跡都是一個與所選坐標系無關的量，所以可以完備地將一個對稱張量分解為一個常張量（即除主對角線上的分量以外均為0的張量）和一個跡為0的對稱張量之和。即：

$$\varepsilon_{ij}=\left(\frac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right) +\left(\varepsilon_{ij}-\frac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right)$$

其中$\delta_{ij}$是一個二階單位張量（通過克羅內克δ記號來定義）。上式右邊第一項是一個常張量，稱為應變張量的靜水壓分量；右邊第二項是一個跡為0的對稱張量，稱為剪應變分量。

對於各向同性材料，胡克定律最普遍的形式是將應力張量寫成上述兩個應變張量分量的線性組合：

$$\sigma_{ij}=3K\left(\frac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right) +2G\left(\varepsilon_{ij}-\frac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right)$$

式中K稱為體積模量，$G$是材料的剪切模量。

利用彈性力學理論中的彈性常數和實際工程應用中使用的彈性模量之間的關係，以上的關係還可寫成其他形式，譬如下面這組方程用應力張量來表示了應變張量：

$$\begin{cases} \varepsilon_{11} = \cfrac{1}{Y}\left( \sigma_{11} - \nu(\sigma_{22}+\sigma_{33}) \right)\\ \varepsilon_{22} = \cfrac{1}{Y}\left( \sigma_{22} - \nu(\sigma_{11}+\sigma_{33}) \right)\\ \varepsilon_{33} = \cfrac{1}{Y}\left( \sigma_{33} - \nu(\sigma_{11}+\sigma_{22}) \right)\\ \varepsilon_{12} = \cfrac{\sigma_{12}}{2G}\\ \varepsilon_{13} = \cfrac{\sigma_{13}}{2G}\\ \varepsilon_{23} = \cfrac{\sigma_{23}}{2G} \end{cases}$$

式中$Y$稱為楊氏模量，$\nu$為泊松比。

### 正交各向異性材料

正交各向異性材料是非常常見的一種材料模型，這種材料有三個互相正交的材料對稱面；其三維胡克定理可以用矩陣表示為

$$\begin{pmatrix} \sigma_{11}\\ \sigma_{22}\\ \sigma_{33}\\ \sigma_{12}\\ \sigma_{23}\\ \sigma_{31}\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\ C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\ C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\ 0&0&0&C_{44}&0&0\\ 0&0&0&0&C_{55}&0\\ 0&0&0&0&0&C_{66} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\varepsilon_{11}\\ \varepsilon_{22}\\ \varepsilon_{33}\\ \varepsilon_{12}\\ \varepsilon_{23}\\ \varepsilon_{31}\\\end{pmatrix}$$

此式中獨立的材料常數為9個。

注意式中三個剪切應力和三個剪切應變的順序，不同教科書可能會不同的選擇。

各向同性材料也是正交各向異性材料的一種特例，即有無數個對稱平面的情況。這時獨立材料常數只有$2$個，即楊氏模量和泊松比。

## 參考文獻

- 1 Y. C. Fung （馮元楨）, Foundations of Solid Mechanics, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1965
- 2 A.C. Ugural, S.K. Fenster, Advanced Strength and Applied Elasticity, 4th ed