托勒密定理

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在數學中，托勒密定理是歐幾里得幾何學中的一個關於四邊形的定理。托勒密定理指出凸四邊形兩組對邊乘積之和不小於兩條對角線的乘積，若且唯若四邊形為圓內接四邊形，兩組和相同。或退化為直線以取得（這時也稱為歐拉定理）。

狹義的托勒密定理也可以敘述為：若且僅若圓內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積，則這個凸四邊形內接於一圓。托勒密定理實際上也可以看做一種判定圓內接四邊形的方法。

## 證明

### 幾何證明

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- 設$ABCD$是圓內接四邊形。
- 在弦$BC$上，圓周角$\angle BAC = \angle BDC$，而在$AB$上，$\angle ADB = \angle ACB$。
- 在$AC$上取一點$K$，使得$\angle ABK = \angle CBD$；因為$\angle ABK + \angle CBK = \angle ABC = \angle CBD + \angle ABD$，所以$\angle CBK = \angle ABD$。
- 因此$\bigtriangleup ABK$與$\bigtriangleup DBC$相似，同理也有$\bigtriangleup ABD$相似於$\bigtriangleup KBC$。
- 因此$\frac{AK}{AB} = \frac{CD}{BD}$，且$\frac{CK}{BC} = \frac{DA}{BD}$。
- 因此$AK\cdot BD = AB\cdot CD$，且$CK\cdot BD = BC\cdot DA$。
- 兩式相加，得$(AK+CK)\cdot BD = AB\cdot CD + BC\cdot DA$。
- 但$AK+CK = AC$，因此$AC\cdot BD = AB\cdot CD + BC\cdot DA$。即得證

### 和差化積證明

設弦$AB$，$BC$及$CD$對應的圓周角分別為$\alpha$， $\beta$及 $\gamma$，外接圓的半徑為$R$，則有$AB=2R\sin\alpha$，$BC=2R\sin\beta$，$CD=2R\sin\gamma$，$AD=2R\sin(\alpha+\beta+\gamma)$，$AC=2R\sin(\alpha+\beta)$及$BD=2R\sin(\beta+\gamma)$。於是，原托勒密等式化為

$\sin(\alpha+\beta)\sin(\beta+\gamma)=\sin\alpha\sin\gamma+\sin\beta\sin(\alpha+\beta+\gamma)$。

現在，只需用和差化積公式，即可推得上式兩邊都等於$\sin\alpha\sin\beta\cos\beta\cos\gamma+\sin\alpha\cos^2\beta\sin\gamma+\cos\alpha\sin^2\beta\cos\gamma+\cos\alpha\sin\beta\cos\beta\sin\gamma$。即得證。

### 複數證明

用$a$、$b$、$c$、$d$分別表示四邊形頂點$A$、$B$、$C$、$D$的複數，則$AB$、$CD$、$AD$、$BC$、$AC$、$BD$的長度分別是：$(a-b)$、$(c-d)$、$(a-d)$、$(b-c)$、$(a-c)$、$(b-d)$。

首先注意到複數恆等式： $(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)$，兩邊取模，運用三角不等式得$\|(a-b)(c-d)\|+\|(a-d)(b-c)\| \ge \|(a-c)(b-d)\|$。

等號成立的條件是$(a-b)(c-d)$與$(a-d)(b-c)$的輻角相等，這與$A$、$B$、$C$、$D$四點共圓等價。因此托勒密定理得證。

複數證明中的複數可以換成賦范向量空間中的向量。這說明了定理中的四點不一定限於同一平面。

### 逆定理的幾何證明

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用幾何方法也可以同時證明托勒密定理以及它的逆定理。設$ABCD$ 為任意一個凸四邊形。作三角形$APB$ 與三角形$DCB$ 順相似，則會有：

$\angle ABP = \angle DBC$（紅色角）

因此。

$$\angle ABD = \angle PBC$$

同時，根據相似三角形的性質還有：

$$\frac{AB}{DB} = \frac{PB}{CB}$$

由此可知三角形$ABD$ 與三角形$PBC$ 也是順相似三角形。這兩個順相似關係說明：

$$AB \cdot CD = AP \cdot BD$$

$$AD \cdot BC = PC \cdot BD$$

兩式相加，得到：

$$AB \cdot CD + AD \cdot BC = (AP + PC ) \cdot BD \geqslant AC \cdot BD$$

等號成立若且唯若$A$、$P$、$C$三點共線，也就等價於$\angle BAC = \angle BAP = \angle BDC$，$\angle BCA = \angle BCP = \angle BDA$ 因此有

$$\angle ABC +\angle ADC = \angle ABC +\angle ADB +\angle BDC = \angle ABC +\angle PCB +\angle BAP$$

$$= \angle ABC +\angle BAC +\angle BCA = \pi$$

即是等價於$A$、$B$、$C$、$D$四點共圓。因此命題得證。

### 反演的證明

使用反演方法，可以得出托勒密定理與三角不等式互為對偶命題的結論。事實上，設有凸四邊形$ABCD$內接於圓，那麼以其中一點$D$為中心，以半徑$r$作反演，則圓變為不過點$D$ 的直線，點$A$、$B$、$C$ 變為這條直線上的三點：

$A'$、$B'$、$C'$。這三點之間有：

$$A'B' + B'C' = A'C' \qquad \qquad \qquad (*)$$

而反演變換中的長度關係為：

$$A'B' = AB \cdot \frac{DA'}{DB} = AB \cdot \frac{r^2}{DA \cdot DB}, \qquad \, B'C' = BC \cdot \frac{r^2}{DC \cdot DB}, \qquad \, A'C' = AC \cdot \frac{r^2}{DA \cdot DC}$$

代入$(*)$ 式就得到：

$AB \cdot \frac{r^2}{DA \cdot DB} + BC \cdot \frac{r^2}{DC \cdot DB} = AC \cdot \frac{r^2}{DA \cdot DC}$

通分，並除以$r^2$，就可得到：

$AB \cdot CD + AD \cdot BC = AC \cdot BD$

而如果$A$、$B$、$C$、$D$四點不共圓的話，那麼以$D$ 為中心反演之後的三個點$A'$、$B'$、$C'$將在另一個圓上，因此不共線。$(*)$ 式里的等號也要改為大於等於號。這正是托勒密定理。

## 與西姆松定理的關係

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西姆松定理也是一個與四點共圓有關的定理。利用圓內接四邊形邊長之間的三角關係，可以將托勒密定理作為西姆松定理的推論。

西姆松定理說明：過一個三角形$ABC$ 外的一點$P$ 作它到三角形三邊的垂線，設垂足分別是$L, N, M$（如左圖），那麼$L, N, M$這三個點在同一條直線上若且唯若$P$ 在三角形$ABC$ 的外接圓上（也就是說$A, B, C, P$四點共圓）。

注意到由於$\angle PLB$與$\angle PNB$都是直角，$L, B, N, P$四點共圓，並且這個圓的直徑就是$PB$。因此：

$$LN = PB \sin \angle LBN = PB \sin \angle ABC$$

而根據圓內弦長的關係，有：$AC = 2 R \sin \angle ABC$

其中$R$ 為外接圓的半徑。所以代入上式就可得到：

$$LN = \frac{PB \cdot AC}{2R}$$

同理可得：

$NM = \frac{PA \cdot BC}{2R}, \qquad \quad LM = \frac{PC \cdot AB}{2R}$

而在三角形$LNM$中，兩邊長之和大於第三邊：

$$LN + NM \geqslant LM$$

所以有：

$$PA \cdot BC + PB \cdot AC \geqslant PC \cdot AB$$

等號若且唯若$L, N, M$共線，也就是$A, B, C, P$四點共圓的時候取得。這正是托勒密定理。

## 推廣

托勒密定理的一個推廣是開世定理。開世定理將圓內接四邊形的四個頂點換為與外接圓相內切的四個小圓，而四邊形的邊變為圓與圓之間的外公切線。開世定理可以看做是「利用托勒密定理慘澹經營得到的結果」。

對一般的四邊形，托勒密定理給出了它的對角線與邊長之間的不等關係。如果要掌握更為精確的關係，可以通過以下的公式：

$AC^2 \cdot BD^2 = AB^2 \cdot CD^2 + BC^2 \cdot AD^2 - 2 AB \cdot BC\cdot CD\cdot DA \cdot \cos(\angle ABC + \angle ADC)$

由這個公式可以推出托勒密定理：$\cos(\angle ABC + \angle ADC)$的絕對值小於等於1，所以

$$AC^2 \cdot BD^2 = AB^2 \cdot CD^2 + BC^2 \cdot AD^2 - 2 AB \cdot BC\cdot CD\cdot DA \cdot \cos(\angle ABC + \angle ADC)$$

$$. \quad \leqslant AB^2 \cdot CD^2 + BC^2 \cdot AD^2 + 2 AB \cdot BC\cdot CD\cdot DA \cdot$$

也就是說

$$(AC \cdot BD)^2 \leqslant (AB \cdot CD + BC \cdot AD)^2$$

$$AC \cdot BD \leqslant AB \cdot CD + BC \cdot AD$$

等號僅在$\cos(\angle ABC + \angle ADC) = -1$，也就是說$\angle ABC + \angle ADC = \pi$ 的時候取到，這正好等價於四邊形內接於圓。