大衛·希爾伯特

大衛·希爾伯特（David Hilbert，1862年1月23日－1943年2月14日），德國數學家，是19世紀末和20世紀前期最具影響力的數學家之一，被譽為「現代數學之父」。希爾伯特1862年出生於哥尼斯堡，因提出了大量的思想觀念（例如不變量理論、公理化幾何、希爾伯特空間）而被尊為偉大的數學家，後接替菲利克斯·克萊因將哥廷根大學建設為世界數學中心。後受納粹政權上台的衝擊，哥廷根大學人才大量流失、榮耀土崩瓦解。1943年，憂鬱的希爾伯特在德國哥廷根逝世。

他提出了希爾伯特空間的理論，是泛函分析的基礎之一。他熱忱地支持康托的集合論與超限數的研究。1900年他在國際數學家大會提出的一系列問題（希爾伯特的23個問題）為20世紀的許多數學研究指出方向。希爾伯特和他的學生為形成量子力學和廣義相對論的數學基礎做出了重要的貢獻。他還是證明論、數理邏輯、區分數學與元數學之差別的奠基人之一。

希爾伯特也是知名的數學教育家，以上課講授生動、舉例貼切而知名。

## 經歷

### 早年

希爾伯特於普魯士王國東普魯士省的哥尼斯堡（或哥尼斯堡城郊的韋勞），這裡是拓撲學的發祥地，也是哲學家伊曼努爾·康德和數學家奧托·黑塞的故鄉。每年4月22日，康德的墓穴都會對公眾開放。此時，年幼的希爾伯特總會被母親帶去，向這位偉大的哲學家致敬。

希爾伯特8歲時入學，比當時一般孩子晚2年。他所就讀的弗里德里希學院正是當年康德的母校。

### 解決高爾頓問題

希爾伯特早期在研究不變函數，在1888年提出了有限性定理。20年前，保羅·高爾頓利用複雜的計算方式，提出了2個變數有限性定理的產生子，但在試圖推展到3個變數時，因為計算的複雜度而失敗。為了解決現在稱為「高爾頓問題」的問題，希爾伯特認為他需要用一個完全不同的方式才能解決問題，因此提出了希爾伯特基定理，證明對於任意變數的多項式，存在有限個產生子，但這是一個存在性證明，不是一個構造性證明，而且需要以排中律的延伸為基礎。

希爾伯特將研究結果發表到《數學年刊 (德國期刊)》，而高爾頓是數學紀事中關於不變函數的權威，不欣賞希爾伯特的革命性想法，認為不夠全面性，因此於以退稿，高爾頓的評論是：

Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie.

（這不是數學，這是神學）

不過菲利克斯·克萊因注意到希爾伯特研究的重要性，保證這篇論文可以在沒有任何更改的情形下出版。由於克萊因的鼓勵，希爾伯特將此方式擴充後再度投稿到《數學紀事》，克萊因在閱讀手稿後，寫信給希爾伯特，說：

無疑的這是《數學紀事》在一般幾何領域刊載過最重要的論文。

在希爾伯特的方式廣為認同之後，高爾頓也說：

我相信即使是神學也有其可取之處。

### 中期

1900年，他受邀在世界數學家大會上作報告。他準備了幾個月的時間，但是主題確定得比較晚，沒趕上開幕式的發言。希爾伯特認為好的問題應該是表述清晰易懂、比較難但是又不至於毫無希望、解決後能帶來學科的大步發展。

### 與布勞威爾的爭執

希爾伯特和魯伊茲·布勞威爾曾就集合論與超限數的研究是否有意義展開激烈爭論，爭執一直上升到數學形式化主義和數學直覺主義兩派的對立。希爾伯特希望將包括集合論在內的現代數學公理化，使之更嚴謹和體系化；布勞威爾則認為集合論有瑕疵以至於並不實用。希爾伯特的學生赫爾曼·外爾站在對手布勞威爾一邊，認為對無窮概念的過多研究意義不大，甚至是作繭自縛。希爾伯特認為外爾等人對發展集合論的保守觀念會削弱數學。

阿爾伯特·愛因斯坦將這場爭論稱為「蛙鼠之爭」。

### 晚年

1943年，心情憂鬱的希爾伯特在哥廷根去世。他死前感嘆哥廷根大學的衰落：「數學？什麼都沒有了！」。

希爾伯特的學生分布在世界各地。赫爾曼·外爾參與創建了普林斯頓高等研究院，在美國建立起新的世界數學中心；理查·科朗特則去了紐約大學。

## 主要工作

<image>

### 幾何學公理化

希爾伯特在1899年發行《幾何基礎》教材，其中用希爾伯特公理來取代傳統歐幾里得提出的公理，其好處是可以避免一些歐幾里得公理中的一些弱點。因為希爾伯特曾針對公理修改了好幾次，若不參考幾何基礎的各個版本，很難找出那些公理是希爾伯特所用的。最早的原稿很快就翻譯成法文，其中希爾伯特加了公理二「完備公理」（Completeness Axiom）。希爾伯特授權的英文翻譯是由湯森德（E. J. Townsend）在1902年翻譯。這個版本加入了法文版的變更，因此可以算是第2版的翻譯。希爾伯特繼續在德文版修改了好幾次，他修改的最後一版是第7版，之後仍有新的版本，但內容大致上沒有變更。

希爾伯特的方式也表示數學方式開始轉移到現代的公理系統。公理不是一些不證自明的事實。幾何學處理「物體」，不過不一定需要針對未定義的概念給予明確的定義。幾何學的元素，如點、直線、平面等可以用桌子、椅子等物體所取代。幾何學探討的是他們之間的關係。

希爾伯特一開始列舉了一些未定義的概念：點、直線、面、在......上、在......之間、二對點（線段）的全等及角的全等。這些公理將歐幾里得的平面幾何及立體幾何整合成單一的系統。

1902年，穆爾（H. Moore，1862-1932）曾論證希爾伯特所列的公理不是相互獨立的。

### 數論

希爾伯特在1897年提出了代數數論領域的《數論報告》，也解答了1770年提出的華林問題，配合有限性定理，希爾伯特找到一個存在性的證明，證明華林問題的解存在，而不是直接找到計算的方式，他原來要針對此問題作一點深入的研究，但希爾伯特模形式的出現使他開始進入另一個領域中。

希爾伯特有許多有關類域論的猜想，這些概念相當的有影響力。此領域中的希爾伯特類域及希爾伯特符號以他得名。在高木貞治的研究後，大部份的猜想都在1930年代證明，這些研究也使高木貞治成為第1個有國際地位的日本數學家。

希爾伯特的研究沒有涉及解析數論，但他的名字也出現在希爾伯特－波利亞猜想中。

### 希爾伯特的23個問題

1900年，希爾伯特在巴黎的國際數學家大會上作了題為《數學問題》的演講，提出了23道最重要的數學問題，這就是著名的希爾伯特的23個問題。

希爾伯特問題中的1-6是數學基礎問題，7-12是數論問題，13-18屬於代數和幾何問題，19-23屬於數學分析。

希爾伯特憑藉自己的影響力，吸引了大批年輕的數學家投入這些問題的研究之中。希爾伯特問題對推動20世紀數學的發展起了積極的推動作用。在許多數學家努力下，希爾伯特問題中的大多數在20世紀中得到了解決。

希爾伯特問題中未能包括拓撲學、微分幾何等領域，除數學物理外很少涉及應用數學，更不曾預料到電腦發展將對數學產生的重大影響。20世紀數學的發展實際上遠遠超出了希爾伯特所預示的範圍。

## 教育

希爾伯特是知名的數學教育家、非常有耐心的老師，強調教學一定要從最簡單例子入手，認為一個知識點學多次才能充分掌握是很正常的。

希爾伯特上課富有激情、感染力，而且喜歡在課堂上舉很多聯繫生活的小例子，善於用故事和比喻解釋枯燥的概念，讓學生覺得內容生動、易懂。學生布盧門塔爾（Ludwig Otto Blumenthal，1876-1944）回憶希爾伯特講課語速比較慢，喜歡經常重複說過的話，以儘量確保每個學生都能聽懂。他上課時冒出的新想法很多，有時會一時興起，按照一個新的點子一直講下去。也正因為此，他有時候會因為某些細節一開始沒有考慮周全而出現講解時中途卡殼的情況。「希爾伯特旅館悖論」就是他上課喜歡舉的例子之一。

希爾伯特的前輩菲利克斯·克萊因也重視教育和學生，不過由於克萊因有樞密顧問（Geheimrat）的尊貴身份以及克萊因習慣正襟危坐的風格，一般人與克萊因見面需要提前預約。同為樞密顧問的希爾伯特相比之下則更加平易近人，作風也更加隨性，而且不喜歡別人以「樞密顧問」的頭銜稱呼他。

## 著作

希爾伯特的著作有《希爾伯特全集》、《幾何基礎》、《線性積分方程一般理論基礎》等。1928年，他與威廉·阿克曼合寫《理論邏輯原理》（Grundzuge der Theoretischen Logik）。

## 評價

希爾伯特是20世紀初的世界數學領袖和20世紀數學發展的掌舵人之一。在希爾伯特剛成名時，當時健在的數學家中最有影響力的是法國的儒勒·龐加萊。希爾伯特的帶領下，哥廷根大學的學術建設走向巔峰，是當時的世界科學中心，為德國帶來了很大影響力。「打起背包去哥廷根」、「哥廷根以外沒有生活」成為當時流行於世界各地數學系學生中的口號。一戰期間，另一個數學強國法國錯誤地把許多青年科技才俊送上戰場最前線當炮灰，導致法國科學人才面臨斷代的危機。德國納粹政權上台後，實行極權統治和種族滅絕政策，使本來可以繼續獨占科學鰲頭的德國人才流失嚴重。希爾伯特晚年費盡心力穩固哥廷根大學，但仍難以挽回哥廷根整體學術實力走下坡路的大局。希爾伯特重振哥廷根的夢想也沒在後來的繼任者巴特爾·范德瓦爾登身上實現。世界數學中心此後轉移到美國的普林斯頓高等研究院，這裡匯聚了來自原哥廷根大學、哥本哈根學派、布爾巴基學派的各路數理學科頂尖學者。希爾伯特的數學領導地位後來由安德烈·韋伊、亞歷山大·格羅滕迪克等新一代巨人先後取代。德國數學此後逐漸落後於國際主流，等到再次迎頭趕上國際數學前沿要靠弗里德里希·希策布魯赫的努力。但希策布魯赫主要研究的拓撲學、代數幾何和大範圍微分幾何都是戰後湧現的高度抽象的新主流數學分支，已不同於哥廷根大學的數學傳統。

希爾伯特是希望利用嚴謹的數學解決世界上所有問題的最後一代大數學家之一。他堅持數學應該稱為所有科學的領頭羊，為各個理工學科建立堅實的基礎。希爾伯特強調數學的形式化和公理化，但是不反對將相關的其它學科也進行數學化處理。可是後來的數學發展並不如希爾伯特的預料，戰後崛起的抽象數學潮流激進地推崇形式化和一般化，衝擊了哥廷根大學重視應用數學的主張。希爾伯特的弟子理查·科朗特非常警覺數學研究大潮流的這一變化，甚至勸阻德國馬克斯·普朗克學會不要任命從事抽象數學的希策布魯赫作為數學研究所的所長。偏應用派的約翰·馮諾依曼則支持將其他理工類學科進行數學嚴謹化的主張，認為數學的發展來源於直觀和經驗而非抽象，這引起了一些專門從事純數學和抽象數學研究的學者的不滿。赫爾曼·外爾雖然反對希爾伯特對超限數理論的支持，但是把對稱和群的理論引入了現代物理學，成為規範場論的先驅，延續了哥廷根大學重視發展數學應用的傳統。

尼古拉·布爾巴基：「正像所有其他科學一樣, 數學家的人數和有關數學論著的數目從19世紀末期以來已有極大的增長。在正常年景, 全世界每年出版的純粹數學專著可達成千成萬頁。... 甚至那些受到最廣博訓練的數學家，也沒人能夠在數學的廣大世界的某些區域中毫無迷失方向之感；像龐加萊和希爾伯特那樣在幾乎所有領域都刻上他們天才印記的數學家, 即使在取得最偉大成就的人當中也是極為罕見的例外情形。」

學生赫爾曼·外爾在希爾伯特的悼詞中說：「希爾伯特就像穿雜色衣服的風笛手，他那甜蜜的笛聲誘惑了如此眾多的老鼠，跟著他跳進了數學的深河。」

希爾伯特雖然寫過一些涉及物理的文章，但是數學家兼核物理學家斯塔尼斯拉夫·烏拉姆猜測希爾伯特並不具有成為物理學家的資質。英國大數學家麥可·阿蒂亞曾提到希爾伯特沒有預見拓撲學在20世紀的快速發展，因此認為希爾伯特在這方面不如龐加萊。

對希爾伯特的評價，也有一些不同的聲音。俄羅斯數學與物理學家尤里·馬寧認為希爾伯特的問題是對數學中心議題的一種干擾。他認為應該依靠宏大的綱領來推動數學進展，而非依靠解決一個個單獨的難題。馬寧認為由尼古拉·布爾巴基發源出來的許多新思想對20世紀影響更大。日本數學名家志村五郎認為希爾伯特對數學的了解並不全面，比如對二次型理論的理解就比較膚淺（superficial）、對幾何學的研究品味（taste）也有些糟糕（bad）、所提出的幾何學問題對後世的長期影響力有限。

## 基本資料

- 原文名：David Hilbert
- 出生日期：1862年1月23日
- 出生地：普魯士王國東普魯士省柯尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）
- 逝世日期：1943年2月14日
- 逝世地：納粹德國南漢諾瓦-不倫瑞克大區哥廷根
- 研究領域：數學和哲學
- 機構：柯尼斯堡大學、哥廷根大學
- 母校：柯尼斯堡大學
- 知名於：希爾伯特基底定理、公理化幾何、希爾伯特的23個問題、希爾伯特計劃、愛因斯坦-希爾伯特作用量、希爾伯特空間、希爾伯特旅館悖論、希爾伯特曲線、希爾伯特數、希爾伯特符號、希爾伯特轉換、希爾伯特模形式、希爾伯特矩陣、希爾伯特零點定理、希爾伯特演繹系統、希爾伯特－波利亞猜想、希爾伯特-施密特算子
- 博士導師：費迪南德·馮·林德曼
- 博士生：威廉·阿克曼、理查·科朗特 (柯朗)、哈斯凱爾·加里、馬克斯·登、哈爾·阿爾弗雷德、埃里希·赫克、赫爾穆特·克內澤爾、伊曼紐·拉斯克、艾哈德·施密特、庫爾特·許特、休果·斯泰因豪斯、高木貞治、赫爾曼·外爾、恩斯特·策梅洛、愛德華·卡斯納
- 受影響自：伊曼努爾·康德
- 獲獎：羅巴切夫斯基獎章、柏林科學院榮譽院士、ForMemRS