阻尼

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阻尼（damping）是指任何振動系統在振動中，由於外界作用（如流體阻力、摩擦力等）和/或系統本身固有的原因引起的振動幅度逐漸下降的特性，以及此一特性的量化表徵。

在實際振動中，由於摩擦力總是存在的，所以振動系統最初所獲得的能量，在振動過程中因阻力不斷對系統做負功，使得系統的能量不斷減少，振動的強度逐漸減弱，振幅也就越來越小，以至於最後的停止振動，像這樣的因系統的力學能，由於摩擦及轉化成內能逐漸減少，振幅隨時間而減弱振動，稱為阻尼振動。

- 當阻尼較強時，阻尼振子幾乎沒有振動，振幅逐漸減小，達到穩定平衡，稱為過阻尼。
- 當阻尼較弱時，阻尼振子必須緩慢的經由多次振動逐漸把振幅減小，最後回到平衡位置，因此達成穩定平衡的時間較久，稱為欠阻尼。
- 另一種情形是阻尼振子以最平穩的速度，最短的時間達到穩定平衡，稱為臨界阻尼。

## 詞源

「阻尼」源自英語「damping」，其動詞形式「damp」意為阻抑、減弱。1933年8月21日至9月2日召開的中央研究院物理研究所第一次名詞審查會議上，名詞審查委員會主任委員楊肇燫以「尼」字有逐步減阻之義，提出將該詞譯作「阻尼」而獲贊同，自此被採納而定案。

不同於漢語中「尼」經常作為音譯語素的情況（如「比丘尼」「尼龍」「突尼斯」），「阻尼」是用兩個同義語素對「damping」進行的意譯。

## 阻尼模型

在物理學和工程學上，阻尼的力學模型一般是一個與振動速度大小成正比，與振動速度方向相反的力，該模型稱為粘性（或黏性）阻尼模型，是工程中應用最廣泛的阻尼模型。粘性阻尼模型能較好地模擬空氣、水等流體對振動的阻礙作用。本條目以下也主要討論粘性阻尼模型。然而必須指出的是，自然界中還存在很多完全不滿足上述模型的阻尼機制，譬如在具有恆定摩擦係數的桌面上振動的彈簧振子，其受到的阻尼力就僅與自身重量和摩擦係數有關，而與速度無關。

除簡單的力學振動阻尼外，阻尼的具體形式還包括電磁阻尼、介質阻尼、結構阻尼等等。儘管科學界目前已經提出了許多種阻尼的數學模型，但實際系統中阻尼的物理本質仍極難確定。下面僅以力學上的粘性阻尼模型為例，作一簡單的說明。

粘性阻尼可表示為以下式子：

$$\mathbf{F} = -c \mathbf{v}$$

其中F表示阻尼力，v表示振子的運動速度（矢量），c 是表示阻尼大小的常數，稱為阻尼係數，國際單位制單位為牛頓·秒/米。

上述關係類比於電學中定義電阻的歐姆定律。

在日常生活中阻尼的例子隨處可見，一陣大風過後搖晃的樹會慢慢停下，用手撥一下吉他的弦後聲音會越來越小，等等。阻尼現象是自然界中最為普遍的現象之一。

## 例子：彈簧阻尼器振子

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理想的彈簧阻尼器振子系統如右圖所示。分析其受力分別有：

- 彈性力（k 為彈簧的勁度係數，x 為振子偏離平衡位置的位移）：$F_\mathrm{s} = -kx$
- 阻尼力（c 為阻尼係數，v 為振子速度）：$F_\mathrm{d} = - c v = - c \dot{x} = - c \frac{dx}{dt}$

假設振子不再受到其他外力的作用，於是可利用牛頓第二定律寫出系統的振動方程：

$$\sum F = ma = m \ddot{x} = m \frac{d^2x}{dt^2}$$

其中a 為加速度。

### 運動微分方程

上面得到的系統振動方程可寫成如下形式，問題歸結為求解位移x 關於時間t 函數的二階常微分方程：

$$m \ddot{x} + c \dot{x} + k x = 0$$

將方程改寫成下面的形式：

$$\ddot{x} + { c \over m} \dot{x} + {k \over m} x = 0.$$

然後為求解以上的方程，定義兩個新參量：

$$\omega_n = \sqrt{ k \over m }$$

$$\zeta = { c \over 2 \sqrt{k m} }.$$

上面定義的第一個參量，ωn，稱為系統的（無阻尼狀態下的）固有頻率。

第二個參量，ζ，稱為阻尼比。根據定義，固有頻率具有角速度的量綱，而阻尼比為無量綱參量。

微分方程化為：

$$\ddot{x} + 2 \zeta \omega_n \dot{x} + \omega_n^2 x = 0.$$

### 系統行為

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系統的行為由上小結定義的兩個參量——固有頻率ωn和阻尼比ζ——所決定。特別地，上小節最後關於$\gamma$的二次方程是具有一對互異實數根、一對重實數根還是一對共軛複數根，決定了系統的行為。

#### 臨界阻尼 Critical damping

當$\zeta=1$時，$\gamma \ $的解為一對重實根，此時系統的阻尼形式稱為臨界阻尼。現實生活中，許多大樓內房間或衛生間的門上在裝備自動關門的扭轉彈簧的同時，都相應地裝有阻尼鉸鏈，使得門的阻尼接近臨界阻尼，這樣人們關門或門被風吹動時就不會造成太大的聲響。

#### 過阻尼 Over damping

當$\zeta > 1$時，$\gamma \ $的解為一對互異實根，此時系統的阻尼形式稱為過阻尼。當自動門上安裝的阻尼鉸鏈使門的阻尼達到過阻尼時，自動關門需要更長的時間。如記憶枕。

#### 欠阻尼 Under damping

當$0 < \zeta< 1$時，$\gamma \ $的解為一對共軛虛根，此時系統的阻尼形式稱為欠阻尼。在欠阻尼的情況下，系統將以圓頻率$\omega_\mathrm{d}=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$相對平衡位置作往復振動。

## 方程的解

- 對於欠阻尼體系，運動方程的解可寫成：

$$x (t) \ = \ A e^{- \zeta \omega_n t} \cos( \omega_\mathrm{d} t + \varphi)$$

其中

$$\omega_\mathrm{d} = \omega_n \sqrt{1 - \zeta^2 }$$

是有阻尼作用下系統的固有頻率，A 和φ 由系統的初始條件（包括振子的初始位置和初始速度）所決定。該振動解代表的是一種振幅按指數規律衰減的簡諧振動，稱為衰減振動（見上圖中 $\varsigma < 1$ 的位移-時間曲線所示）。

- 對於臨界阻尼體系，運動方程的解具有形式

$$x(t) \ = \ (A+Bt)e^{-\omega_n t}$$

其中A 和B 由初始條件所決定。該振動解表徵的是一種按指數規律衰減的非周期運動。

- 對於過阻尼體系，定義

$$\omega ^* = \omega _n \sqrt {\zeta ^2 - 1}$$

則運動微分方程的通解可以寫為：

$$x(t) = A e^{ \lambda_1 t} + B e^{ \lambda_2 t}$$

其中A 和B 同樣取決於初始條件，λ1與λ2為特徵方程式的兩個相異實根。該振動解表徵的是一種同樣按指數規律衰減的非周期蠕動。從上面的位移-時間曲線圖中可以看出，過阻尼狀態比臨界阻尼狀態蠕動衰減得更慢。對於臨界阻尼狀態，振子可能越過平衡位置至多一次，而過阻尼狀態下振子不會越過平衡位置。

## 相關書籍

- 倪振華編著，《振動力學》，西安交通大學出版社，西安，1990，ISBN 7-5605-0212-1
- R. W. Clough, J. Penzien, Dynamics of Structures, Mc-Graw Hill Inc., New York, 1975, ISBN 0-07-011392-0。（中文版：R.W.克拉夫，J.彭津著，王光遠等譯，《結構動力學》，科學出版社，北京，1981）

## 外部連結

- 阻尼諧振子 Java 模擬 阻尼正比於速度或固體接觸面摩擦