衍射

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繞射（Diffraction），又稱衍射，是指波遇到障礙物時偏離原來直線傳播的物理現象。是波的固有特性

在古典物理學中，波在穿過狹縫、小孔或圓盤之類的障礙物後會發生不同程度的彎散傳播。假設將一個障礙物置放在光源和觀察屏之間，則會有光亮區域與陰暗區域出現於觀察屏，而且這些區域的邊界並不銳利，是一種明暗相間的複雜圖。這現象稱為衍射，當波在其傳播路徑上遇到障礙物時，都有可能發生這種現象。除此之外，當光波穿過折射率不均勻的介質時，或當聲波穿過聲阻抗不均勻的介質時，也會發生類似的效應。在一定條件下，不僅水波、光波能夠產生肉眼可見的衍射現象，其他類型的電磁波（例如X射線和無線電波等）也能夠發生衍射。由於原子尺度的實際物體具有類似波的性質，它們也會表現出衍射現象，可以通過量子力學進行研究其性質。

在適當情況下，任何波都具有衍射的固有性質。然而，不同情況中波發生衍射的程度有所不同。如果障礙物具有多個密集分布的孔隙，就會造成較為複雜的衍射強度分布圖樣。這是因為波的不同部分以不同的路徑傳播到觀察者的位置，發生波疊加而形成的現象。

衍射的形式論還可以用來描述有限波（量度為有限尺寸的波）在自由空間的傳播情況。例如，雷射束的發散性質、雷達天線的波束形狀以及超聲波傳感器的視野範圍都可以利用衍射方程來加以分析。

## 衍射與干涉的關係

美國物理學家、諾貝爾物理學獎得主理察·費曼指出：

他還提到，如果只有少數的波源（例如兩個的時候），我們稱這現象為「干涉」，例如我們稱楊氏雙縫實驗實驗中雙縫所產生的兩束光源產生了干涉現象。而當大量波源存在時，對應的過程被稱作是「衍射」。在實際情況中，衍射和干涉往往是同時出現的。有文獻這樣總結：干涉是有限多個波束「相加」的結果，而衍射則是無限多個波束「積分」的結果。

## 研究歷史

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光的衍射效應最早是由弗朗西斯科·格里馬第（Francesco Grimaldi）發現並加以描述，他也是「衍射」一詞的創始人。這個詞源於拉丁語詞彙diffringere，意為「成為碎片」，即波原來的傳播方向被「打碎」、彎散至不同的方向。格里馬第觀察到的現象直到1665年才被發表，這時他已經去世。他提出

「光不僅會沿直線傳播、折射和反射，還能夠以第四種方式傳播，即通過衍射的形式傳播。」（"Propositio I. Lumen propagatur seu diffunditur non solum directe, refracte, ac reflexe, sed etiam alio quodam quarto modo, diffracte."）

英國科學家艾薩克·牛頓對這些現象進行了研究，他認為光線發生了彎曲，並認為光是由粒子構成。在19世紀以前，由於牛頓在學界的權威，光微粒說在很長一段時間占有主流位置。這樣的情況直到19世紀幾項理論和實驗結果的發表，才得以改變。1803年，托馬斯·楊進行了一項非常著名的實驗，這項實驗展示了兩條緊密相鄰的狹縫造成的干涉現象，後人稱之為「雙縫實驗」。在這個實驗中，一束光照射到具有緊挨的兩條狹縫的遮光擋板上，當光穿過狹縫並照射到擋板後面的觀察屏上，可以產生明暗相間的條紋。他把這歸因於光束通過兩條狹縫後衍射產生的干涉現象，並進一步推測光一定具有波動的性質。奧古斯丁·菲涅耳則對衍射做了更多權威的計算研究，他的結果分別於1815年和1818年被發表，他提到

「這樣，我就展示了人們能夠通過何種方式來構想光以球面波連續不斷地傳播出去……」（"J'ai donc montré de quelle façon l'on peut concevoir que la lumière s'étend successivement par des ondes sphériques, ..."）

法國科學院曾經舉辦了一個關於衍射問題的有獎辯論會，菲涅耳贏得了這次辯論。作為反對光波動說的其中一位，西莫恩·德尼·泊松提出，如果菲涅耳聲稱的結論是正確的，那麼當光射向一個球的時候，將會在球後面陰影區域的中心找到亮斑。結果，評審委員會安排了上述實驗，並發現了位於陰影區域中心的亮斑（它後來被稱作泊松光斑）。這個發現極大地支持了菲涅耳的理論。他的研究為克里斯蒂安·惠更斯發展的光的波動理論提供了很大的支持。他與楊的理論共同反駁了牛頓關於光是粒子的理論。

在對衍射現象的探索過程中，人們也不斷積累了對於衍射光柵的認識。17世紀，蘇格蘭數學家、天文學家詹姆斯·格雷戈里在鳥的羽毛縫間觀察到了陽光的衍射現象。他是第一個發現衍射光柵原理的科學家。在1673年5月13日他寫給約翰·科林斯（John Colins）的一封信中提到了此發現。1786年，美國天文學家戴維·里滕豪斯用螺絲和細線第一次人工製成了衍射光柵，細線的密度達到每英寸100線，他用這個裝置成功地看到了陽光的衍射。1821年，約瑟夫·夫琅禾費利用相似的裝置（每厘米127線）證明了托馬斯·楊關於衍射的公式（參見段落下方），並對衍射進行了許多重要研究。1867年，劉易斯·盧瑟福（Lewis Morris Rutherfurd）採用水輪機作為動力進行刻線、製作光柵。後來的亨利·奧古斯塔斯·羅蘭 改良了光柵的刻劃技術，並在1882年發明了在凹形球面鏡上進行刻劃的凹面光柵。其後的羅伯特·伍德（Robert William Wood）改進了光柵的刻劃形狀，從而提高了光柵的衍射效率。近代的阿爾伯特·邁克耳孫提出利用干涉伺服系統控制光柵的刻划過程，於1948年實現了這一想法。20世紀下半葉，由於雷射、光刻膠等新技術的出現，光柵製造技術取得很大的進步，製造成本顯著降低，製造周期也得以縮短。

## 日常生活中的實例

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衍射效應在日常生活中並不罕見。許多有關光的衍射實例都可以用肉眼觀察到。例如，在CD或DVD光碟的表面，均勻地緊密排列著一系列的光軌，這些光軌相當於衍射光柵的作用。如果以一定的角度觀察它們，會看到光在盤面表現出類似彩虹的彩色圖樣。將上述現象的基本原理加以利用，很多產生有意思衍射圖樣的衍射光柵，都可以被製備出來。衍射也是信用卡等所採用的全息攝影的技術基礎之一。地球的大氣層是由微小粒子組成的，因此它也能夠使空間光源（例如太陽或者月亮）的光在大氣層發生衍射，從而形成光環。此外，當雷射照射到粗糙的光學界面上時，也能夠發生衍射現象，產生散斑。上述所有例子都是光具有波動性的結果。

衍射是一切波的固有屬性。即使是宏觀的海浪，在防波堤或其他障礙物附近也能夠發生衍射。此外，聲波在障礙物邊緣發生衍射，也是人站在障礙物（例如牆壁、樹木）後面仍然能夠聽到聲音的原因之一。不過，衍射也為照相機、望遠鏡和顯微鏡等光學儀器的解析度設定了一定的限制。

## 物理機制

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光波（或其他波）傳播的路徑不同，可能造成衍射現象的發生。可以用惠更斯－菲涅耳原理和波的疊加原理對現象進行描述。這個理論認為，可以把波前的每一點考慮為次波（球面波）的點波源，這些次波就是後續時刻的波面。這個原理最早由惠更斯於17世紀提出，不過他並未慮及波的時空周期性（他認為光是一種非周期性的、無規則的脈衝）。1818年左右，菲涅耳在巴黎科學院關於解釋衍射現象的有獎競賽中，吸收了惠更斯「次波」的思想，並加入了他對於干涉現象的理解，使上述理論得以發展和完善。後人將這個理論稱為「惠更斯－菲涅耳原理」。根據這一理論，任意後續位置的波位移等於這些次波求和。求和並非簡單的代數和，而必須慮及這些波各自的相對相位以及振幅。因此，它們疊加之後的振幅範圍介於0（相互完全抵消）和所有次波振幅的代數總和之間。我們可以通過光學實驗，觀察到光波的衍射圖樣。光的衍射圖樣通常具有一系列明暗條紋（分別對應光波振幅的最大值和最小值）。

人們為了分析波的衍射現象，構造了許多數學模型，其中包括從波動方程推導出的菲涅耳－基爾霍夫衍射公式、夫琅禾費衍射模型以及菲涅耳衍射模型。設$a$為圓孔半徑或狹縫寬度，$\lambda$為入射波的波長，$L$為觀察屏距離圓孔、狹縫等衍射物體的距離，如果它們滿足

$$F = \frac{a^2}{L\lambda} \ge 1$$

我們就稱其為菲涅耳衍射，它是衍射的近場近似。

如果它們滿足

$$F = \frac{a^2}{L\lambda} \ll 1$$

我們就稱其為夫琅禾費衍射，它是衍射的遠場近似。

大多數情況，獲得衍射方程的嚴格解析解較為困難，可以通過有限元分析和邊界元分析方法來求得數值解。實際的衍射過程通常很複雜，不過，如果能夠將實際情況簡化到二維平面上，則對於衍射的數學描述將變得相對簡單。例如，水波就可以近似地看做是分布在二維平面上的機械波。而對於光波，如果它遇到的衍射物體在某一個方向的尺度遠大於光的波長，從而造成這個方向的衍射現象不顯著，那麼，在分析計算時可以將其忽略，這樣做並不會嚴重影響分析結果。例如，狹縫問題就可以簡化到二維的情況，這是因為其沿著縫隙方向的長度和入射光波長相差甚遠，因此我們只需考慮它寬度和厚度這兩個方向。然而，當我們考慮入射光穿過圓孔時，則必須完整地考慮其三維方向光的傳播細節。

## 光的衍射

### 單縫衍射

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假設有一個不透明擋板，用小刀在上面刻一條狹長、筆直、透光的縫，然後在擋板的後面放置一個觀察屏。照射單色平行光（collimated light）在這個擋板上。按照幾何光學，觀察屏上只會有一條與狹縫輪廓相同的亮條紋。然而，精細的觀察可以發現在這條亮條紋的兩側，對稱地分布著一些亮條紋。發生這樣現象是因為光在狹縫處發生了衍射。

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假設狹縫寬度大於光波的波長，那麼當這束光穿過狹縫後，會向擋板後的區域傳播，並在那裡發生干涉現象。實際上，狹縫的縫寬之間均勻分布著大量點光源，衍射圖樣是這些點光源的共同作用結果。為了簡化對於該過程的分析，限定入射光具有單一的波長、都是單色光（頻率相同），並且在波源位置具有相同的初始相位。在狹縫後面的區域中任意位置的光是上述所有點光源的「次光波」在那位置的疊加結果。因為次光波從狹縫的每個點光源到給定點所經過的路徑不同，所以它們的光程不同，因此它們在給定點的相位將會不同。對於縫間任意兩個點光源，假若分別來自它們的次光波在觀察屏給定點的相對相位為$2\pi$，則這兩個次光波會干涉相長；假若相對相位為$\pi$，則這兩個次光波會干涉相消。從這概念，可以找到衍射光強的極大值或極小值。在衍射圖樣中，它們分別表現為明暗條紋。

通過下面的推導，可以找到衍射光波的第一個極小值在觀察屏上的位置。將寬度為$d$的狹縫均分為上下兩段，每段長度分別為$d/2$。考慮來自上段頂部的一束光與來自下段頂部（即狹縫中點）的一束光（波長為$\lambda$），這兩個點光源的距離為狹縫長度的一半。當兩束光傳播到觀察屏中央亮條紋上距離極大值最遠的位置（此處到狹縫中點連線與狹縫垂直平分線的夾角為$\theta$），兩束光的光程差等於半個波長，即

$$(d/2)\,\sin\theta = \lambda/2$$

時（在等式兩邊同時乘以2，可以得到$d\,\sin\theta = \lambda$），二者將發生干涉相消。現在考慮上段中點和下段中點發出的兩束光，如果它們在相應位置的光程差也等於半個波長，則也能發生相似的干涉相消現象。注意，在上面的討論中，我們已經假定狹縫與觀察屏的間距遠大於狹縫的寬度$L\gg d$，這樣就可以近似認為狹縫間諸點光源以相同的角度$\theta$平行地傳播到第一極小值位置。可以想像，狹縫其他位置任意兩個點光源，只要滿足$d\,\sin\theta_{min,1} = \lambda$，那麼都會在上述位置形成干涉相消，形成第一級暗紋。

回想先前的假設為狹縫寬度大於光波波長。注意到狹縫寬度越小，同時保持波長不變，則$\sin\theta_{min,1}=\lambda/d$越大，$\theta_{min,1}$也越大，因此觀察屏展示的第一級暗紋離開中央越遠，直到當狹縫寬度等於光波波長時，$\theta_{min,1}=\pi/2$，在觀察屏表面再也找不到第一級暗紋，整個觀察屏都被明紋覆蓋了。所以，只有當狹縫寬度大於光波波長時，才能夠展示出衍射的干涉圖樣。

上面考慮了第一極小值的情況。可以仿照上面的方法，將狹縫均分為4段、6段、8段......$2n$段，則$n$級衍射極小值位置的衍射角滿足下面的方程

$$d\,\sin\theta_{min,n} = n\lambda$$

這裡$n$是非零整數，表示第$n$級暗紋（極小值）。

此外，輻照度分布可以由夫琅禾費衍射方程給出：

$$I(\theta) = I_0 \,\operatorname{sinc}^2 ( d\pi \sin\theta / \lambda )$$

這裡

- $I(\theta)$為給定角度位置處的輻照度
- $I_0$初始輻照度
- 當$x \ne 0$時，$\operatorname{sinc} (x) = \sin (\pi x)/(\pi x)$，在原點處$\operatorname{sinc} (0) = 1$

#### 菲涅耳半波帶法

菲涅耳半波帶法是單縫衍射中一種簡易的分析方法。

將平行入射光分成$k$等分，其中

$d\,\sin\alpha=2 k (\lambda/2)$，（入射光半波長的偶數倍），對應暗紋中心。

$d\,\sin\alpha=(2 k + 1 )(\lambda/2)$，（入射光半波長的奇數倍），對應明紋中心。

### 雙縫衍射

當我們討論雙縫干涉時，為了簡化問題，常常假設縫的寬度遠小於入射光的波長。這樣，在觀察屏上就可以看到輻照度近似相等的干涉條紋。事實上，在真實的實驗並不總能滿足上述假設。呈現在觀察屏上的亮條紋是中央最亮，兩側亮度逐漸衰減。因此，實際產生的圖樣是干涉、衍射效應的總和。簡單地說，實際雙縫實驗的條紋，具有理想雙縫干涉中條紋的位置，但是輻照度在觀察屏上的分布類似單縫衍射中央強、兩側弱的情況。

考慮到衍射效應，實際的雙縫干涉圖樣的輻照度可以用以下公式計算

$$I (\theta) = I_m (\cos ^2 \beta ) \left(\frac {\sin \alpha}{\alpha}\right)^2$$

其中，$\beta = \frac {\pi d}{\lambda} \sin \theta$為干涉因子，源於縫間距為$d$的雙縫干涉效應；而$\alpha = \frac {\pi a}{\lambda} \sin \theta$為衍射因子，源於縫寬為$a$的單縫衍射效應。

上述公式表明，實際的雙縫干涉是干涉和衍射的共同效應。如果考慮問題時把縫寬忽略，把入射波考慮成來自少數幾個具有相同相位的波源，那麼就稱看到的現象為「干涉」；如果把入射波考慮成來自同相位的波陣面（縫寬方向的大量點波源），那麼就稱看到的現象為「衍射」。這樣的說法只是為了分析問題方便，事實上二者常常是同時發生的。

### 衍射光柵

衍射光柵是狹縫按照一定規律分布的光學裝置，它能夠調整入射光的相位、振幅等屬性，使透過它的光發生衍射、干涉，以達到所需的實驗目的。光穿過衍射光柵後形成的圖樣形狀與光柵的結構和數量都有關係。

所有衍射光柵的$m$級極大衍射角$\theta_m$滿足下列光柵方程

$$d \left( \sin{\theta_m} + \sin{\theta_i} \right) = m \lambda.$$

這裡

- $\theta_i$i為光波入射到光柵的角度，如果是垂直入射到平面光柵，則$\sin{\theta_i} = 0$
- $d$為光柵刻線的間距，也成為光柵常數
- $m$為非零整數

衍射光柵後面給定位置的光波，是衍射光柵諸狹縫衍射光的疊加。用於分離白光中不同頻率成分光的分光計，就利用了衍射光柵的原理。

下面位於中間的這幅圖顯示了具有相同縫間距的雙縫光柵和五縫光柵的衍射圖樣。可以看出，衍射光加強點的位置是相同的，但是光斑的寬度有所不同。

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- 紅色雷射通過衍射光柵所產生的衍射。

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- 紅色雷射的多縫衍射圖樣，上方所示的是2條狹縫的情況，下方為5條狹縫的情況。

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- 波長為633納米的雷射通過一個具有150條狹縫的網格

#### 衍射光柵強度分布

衍射光柵的強度分布是衍射因子和干涉因子的乘積：

$$P = D(\theta)\cdot I(\theta)$$

其中 D 是 衍射因子

$$D= \frac{ \sin(\pi\cdot d\cdot\sin(\theta)/\lambda)^2\cdot\lambda^2}{(\pi^2\cdot d^2\cdot\sin(\theta)^2)}$$

I 是干涉因子：

$$I= \frac{\sin(\pi\cdot a\cdot\sin(\theta)\cdot N/\lambda)^2}{(N^2\cdot\sin(\pi\cdot a\cdot\sin(\theta)/\lambda)^2)}$$

### 圓孔衍射

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當平面光波入射穿過圓孔時，會形成圓對稱的衍射圖樣，其中心部分最亮，這表示能量主要集中在其零級衍射斑處。上述圖樣的中心亮斑常被稱為艾里斑（Airy disk）。根據遠場近似。

$$I(\theta) = I_0 \left ( \frac{2 J_1(ka \sin \theta)}{ka \sin \theta} \right )^2$$

式中，$a$為環狀孔隙的半徑，$k$為波矢量的大小，等於$2 \pi / \lambda$，$J_1$為一階貝塞爾函數。孔隙越小，則給定位置的光斑越大，並且衍射光束偏離原來的傳播方向越嚴重。沿著徑向，艾里斑的衍射圖樣表現為一系列明暗相間的同心圓環，不過徑向距離越大，各個明亮圓環的亮度越低。艾里斑對光學儀器的成像品質有一定的影響。

### 一般孔隙的情況

本條目中，向量與標量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。檢驗變數或場變數的標記的後面沒有單撇號「$'\,\!$」；源變數的標記的後面有單撇號「$'\,\!$」。

從馬克士威方程式，可以推導出在自由空間裏，電場$\mathbf{E}$、磁場$\mathbf{B}$的波動方程式：

$$\nabla^2 \mathbf{E} -\ \frac{1}{c^2}\ \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2 } = -\frac{1}{\epsilon_0}\left(-\nabla \rho -\ \frac{1}{c^2}\ \frac{\partial^2 \mathbf{J}}{\partial t^2}\right)$$

$$\nabla^2 \mathbf{B} -\ \frac{1}{c^2}\ \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2 } = -\mu_0\nabla\times\mathbf{J}$$

這裏，$c$是光速，$\epsilon_0$是電常數，$\mu_0$是磁常數，$\rho$是電荷密度，$\mathbf{J}$是電流密度。

這些方程式都具有同樣形式的波動方程式：

$$\nabla^2 \Psi -\ \frac{1}{c^2}\ \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2 } = - F(\mathbf{r},t)$$

這裏，$\Psi(\mathbf{r},t)$是描述純量波的波函數，$F(\mathbf{r},t)$是波源分佈。

假設這波源只發射出頻率為$\omega$的單色波。

$$F(\mathbf{r},t)=f(\mathbf{r})e^{-i\omega t}$$

則前述含時波動方程式可以寫為不含時波動方程式：

$\nabla^2 \psi + k^2 \psi = - f(\mathbf{r}),$（1）

這裏，$k=\omega/c$是波向量的數值大小，$\psi(\mathbf{r})$是描述波的不含時波函數，$\Psi(\mathbf{r},t)=\psi(\mathbf{r})e^{-i\omega t}$。

方程式（1）乃是非齊次亥姆霍茲方程。設$\hat{\mathbf{r}}$為波的源點，只要能夠找到對應的格林函數$G(\mathbf{r},\mathbf{r}')$，就可以解析這方程式。這對應的格林函數必須滿足方程式

$$\nabla^2 G(\mathbf{r},\mathbf{r}') + k^2 G(\mathbf{r},\mathbf{r}') = -\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')$$

這裏，$\mathbf{r}'$為任意位置向量，$\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')$為三維狄拉克δ函數。

假若找到了對應的格林函數，那麼，假若$\mathbf{r}$在積分體積$\mathbb{V}$內，則波函數$\psi(\mathbf{r})$與格林函數、波源分佈的關係式為

$$\psi(\mathbf{r})=\int_{\mathbb{V}}f(\mathbf{r}')G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \mathrm{d}^3\mathbf{r}'$$

格林函數的形式與邊界條件有關。對於邊界曲面為無窮遠的自由空間，格林函數只與$\mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}'$有關：

$$\nabla^2 G(\mathbf{R},\mathbf{O}) + k^2 G(\mathbf{R},\mathbf{O}) = -\delta(\mathbf{R})$$

這裏，$\mathbf{O}$是坐標系的原點。

從這方程式，可以觀察到，格林函數具球對稱性質。因此，採用球坐標，格林函數滿足

$$\frac{1}{R} \frac {\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} R^2} (RG) +k^2 G = -\delta(\mathbf{R})$$

通過代換，可以得知，形式為射出的球面波的格林函數能夠滿足以下方程：

$$G(\mathbf{R},\mathbf{O}) = \frac{e^{ikR}}{4\pi R}$$

注意到，這格林函數假定點波源位於坐標系的原點$\mathbf{O}$。對於空間中任意點波源位置$\mathbf{r}'$，格林函數為

$$G(\mathbf{r},\mathbf{r}') = \frac{e^{ik |\mathbf{r}-\mathbf{r}' | }}{4\pi |\mathbf{r}-\mathbf{r}' |}$$

假設波源是在xy-平面的面積分佈，$f(\mathbf{r}')=f_s(\boldsymbol{\rho}')\delta(z')$，那麼。

$$\begin{align}\psi & = \int_\mathbb{V} f(\mathbf{r}' ) G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^3\mathbf{r}' = \int_\mathbb{V} f_s(\boldsymbol{\rho}')\delta(z')G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^3\mathbf{r}' \\ <pre> & = \int_\mathbb{S} f_s(\boldsymbol{\rho}') G(\mathbf{r},\boldsymbol{\rho}') \,\mathrm{d}\sigma' </pre> =\int_\mathbb{S} f_s(\boldsymbol{\rho}') \frac{e^{ik |\mathbf{r}- \boldsymbol{\rho}'|}}{4\pi |\mathbf{r}-\boldsymbol{\rho}' |} \,\mathrm{d}\sigma' \\ \end{align}$$

這裏，$\mathbf{r}'=\boldsymbol{\rho}'=\rho'\hat{\boldsymbol{\rho}}$為在積分曲面$\mathbb{S}$內的波源位置，以直角坐標表示，$\boldsymbol{\rho}'=(x',y',0)$，又$\mathbb{S}$是積分曲面，$\mathrm{d}\sigma'$是微小面積分元素，$\delta(z')$是一維狄拉克δ函數。

對於一般的面積分佈波源。

$$\psi= \int_\mathbb{V} f(\mathbf{r}' ) G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^3\mathbf{r}' =\int_\mathbb{S} f_s(\mathbf{r}') \frac{e^{ik |\mathbf{r}- \mathbf{r}'|}}{4\pi |\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} \,\mathrm{d}\sigma'$$

根據惠更斯－菲涅耳原理，波前的每一點都是次波的點波源，這些次波共同形成了稍後時刻的疊加波。假設有波入射於某孔隙，則可以假定這入射波的波前在孔隙內的每一點都是孔隙內的波源，並且推論孔隙內的波源與在同位置的入射波波函數$\psi_{inc}$有關：$f_s(\mathbf{r}' ) \propto\psi_{inc}(\mathbf{r}' )$。雖然這裏並沒有給出確切關係式，必定存在乘法因子$C$，滿足

$$\psi(\mathbf{r})= C\int_\mathbb{S} \psi_{inc}(\mathbf{r}' ) \frac{e^{ik |\mathbf{r}- \mathbf{r}'|}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}' |} \,\mathrm{d}\sigma'$$

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假設入射波為平面波，$\psi_{inc}(\mathbf{r}' )=E_0 e^{ikz'}$，孔隙$\mathbb{S}$處於xy-平面，則在孔隙$\mathbb{S}$內，入射波為$\psi_{inc}(\boldsymbol{\rho}' )=E_0$，估算的衍射波為

$$\psi(\mathbf{r})= CE_0\int_\mathbb{S} \frac{e^{ik|\mathbf{r}-\boldsymbol{\rho}' |}}{|\mathbf{r}-\boldsymbol{\rho}' |} \,\mathrm{d}\sigma'$$

這裏，波源位置$\boldsymbol{\rho}'=(x',y',0)$。

假設孔隙是半徑為$a$的圓孔，孔心是xy-平面的原點，檢驗位置是在遠場區域，$r\gg a$，則$|\mathbf{r}-\boldsymbol{\rho}'|$可以近似為$r-\hat{\mathbf{r}}\cdot\boldsymbol{\rho}'$，其中$\hat{\mathbf{r}}$是$\mathbf{r}$的單位向量。衍射波為

$$\begin{align}\psi(\mathbf{r}) & \approx CE_0\frac{e^{ikr}}{r}\int_\mathbb{S} e^{-ik\hat{\mathbf{r}}\cdot\boldsymbol{\rho}'}\,\mathrm{d}\sigma' \\ <pre> & =CE_0\frac{e^{ikr}}{r}\int_0^a\int_0^{2\pi} e^{-ik\rho'\sin{\theta}\cos{(\phi-\phi')}} \,\rho'\mathrm{d}\phi'\mathrm{d}\rho' \\ & =2\pi a^2 CE_0\frac{e^{ikr}}{r}\ \frac{J_1(ka\sin{\theta}) }{ka\sin{\theta}}\\ </pre> \end{align}$$

這裏，$J_i(ka\sin{\theta})$是第一類 $i$ 階貝索函數，$\mathbf{r}$的球坐標為$(r,\theta,\phi)$。

假射觀察屏在遠場區域，則照射於觀察屏的干涉圖樣，其鄰近中央位置的任意點P與原點$\mathbf{O}$之間的距離$r$，可以近似為觀察屏與原點$\mathbf{O}$之間的垂直距離$L$，衍射波在觀察屏的輻照度為

$$I(\theta)= \psi^*\psi/2=I_0\left[\frac{2J_1(ka\sin{\theta}) }{ka\sin{\theta}}\right]^2$$

這裏，$I_0$是衍射波在干涉圖樣中央位置的輻照度。

更詳細運算，應用格林第二恆等式，可以得到德國物理學者古斯塔夫·基爾霍夫提出的基爾霍夫積分定理的方程式

$$\begin{align}\psi(\mathbf{r}) & =\frac{1}{4\pi}\int_\mathbb{S}\left[ \psi(\mathbf{r}')\nabla\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right) -\frac{e^{ikR}}{R}\nabla\psi(\mathbf{r}') \right]\cdot\,\mathrm{d}\boldsymbol{\sigma}' \\ <pre> & =-\ \frac{1}{4\pi}\int_\mathbb{S}\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right) </pre> \left[\nabla\psi(\mathbf{r}')+ik\left(1+\frac{i}{kR}\right)\hat{\mathbf{R}}\psi(\mathbf{r}')\right]\cdot\,\mathrm{d}\boldsymbol{\sigma}' \qquad \qquad \qquad \qquad (2) \\ \end{align}$$

這裏，$\mathbf{R}=\mathbf{r}- \mathbf{r}'$是從源位置到檢驗位置的位移向量。

### 雷射的衍射

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雷射是一種特殊的可見光，具有極高單色性、定向性、相干性和能量強度。在理想的情況里，雷射束是一種高斯光束。在右邊的示意圖中，如果定義輻照度在半徑為$\mathbf{\omega_0}$的位置減少為光軸輻照度的$1/e$，那麼距離雷射光軸半徑為$\mathbf{r}$處的雷射場強$\mathbf{E_s}$滿足高斯光束（Gaussian beam）分布，即

$$\mathbf{E_s} = \mathbf{E_0} \exp \left(-\frac{|\mathbf{r}|^2}{\mathbf{\omega_0}^2}\right)$$

當雷射穿過發光系統的鏡片後，它的高斯光束參數$\mathbf{\omega_0}$將發生改變。雷射源的輸出鏡片通常是一個孔隙，因此隨後輸出的光波形狀是由這個孔隙決定。雷射束的直徑越大，其彎散程度越弱。

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雷射束的發散可以調低。將中央軸同線的兩個凸透鏡排列在一起，兩個凸透鏡之間的距離$d$等於它們各自的焦距$f_1$、$f_2$的代數和：

$$d=f_1+f_2$$

這種複合透鏡組合，前焦距與後焦距都是無窮遠，是一種無焦光學系統（afocal optical system），由於兩個凸透鏡的焦點重疊在一起，是一種共焦（confocal）雙透鏡系統。這組合也是克卜勒望遠鏡的基本構造。從前面照射進來的準直光束，通過這複合透鏡組合，從後面照射出去也是準直光束，並且截面會增加。這樣，可以調低雷射束的發散。

另外，使用雷射筆等雷射器件照射物體時，常常會產生不希望得到的散斑圖樣（speckle pattern）。這是另一種衍射現象。當雷射束照射在粗糙界面上時，由於光束以不同路徑傳播，不同相位波彼此疊加，會產生振幅、輻照度隨機分布的波。

### 衍射對於光學系統解析度的制約

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光學成像系統的成像質量或多或少都受到衍射的制約。其原因是，入射光在圓形鏡片處會發生衍射，形成艾里斑，從而造成光路不能夠匯聚到一個點。衍射對成像的影響，主要表現為畫面細節模糊不清。在焦平面上，艾里斑的半徑為

$$d = 1.22 \lambda N,\,$$

這裡，$\lambda$為光的波長，$N$為光學系統中鏡頭的焦比（焦距與孔徑的相對比值）。對應的分辨角為

$$\sin \theta = 1.22 \frac{\lambda}{D}$$

其中，$D$為光學系統物鏡（例如望遠鏡的主鏡片）的尺寸。

給定兩個點波源，它們會各自產生艾里圖樣。當這兩個點波源相互越加靠近對方時，兩個艾里圖樣也會慢慢開始重疊，最後甚至會合併形成單一的圖樣，從而導致無法分辨出兩個獨立波源所對應的圖像。使用望遠鏡觀察太空中的一對雙星就很可能遇到這樣的情況。瑞利準則指出，只有當兩個像之間的距離大於或等於艾里斑的半徑時，也就是說，當一個圓斑的中心（中央的主極大值位置）不在另一個圓斑的邊緣（第一極小值位置）之內，才可以說這對應的兩個獨立波源能夠被明確分辨出來。

這樣，當鏡片孔徑越大、波長越短，則光學系統的解析度越好。這就是望遠鏡具有大口徑鏡頭的原因。這也解釋了顯微鏡觀察細節的能力受到限制的原因。

## 衍射波的普遍性質

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通過總結各種不同的實驗現象，可以發現波的衍射具有以下普遍性質：

- 衍射波的角間距與造成衍射的物體的尺寸負相關。也就是說，造成衍射的物體的尺寸越小，它所形成的衍射條紋越寬，反之亦然。例如，在單縫衍射裏，根據公式$d\,\sin\theta = \lambda$，當入射波的波長$\lambda$一定時，狹縫寬度$d$越小，第一極小值對應的$\theta$就越大，從而造成中間的亮紋寬度增加。
- 某一級衍射角的大小，只取決於入射波的波長與衍射物體尺寸的相對比值。
- 當造成衍射的物體結構具有周期性（例如衍射光柵），則衍射後的圖樣會變得更窄。例如，對比2條狹縫產生的衍射與5條狹縫產生的衍射，兩種情況的狹縫間距相等，不過5條狹縫產生的衍射圖樣更細（參見衍射光柵一節的第三幅插圖）。

## 粒子衍射

量子理論指出，所有的實物粒子都具有波動性。特別的，大質量粒子可以發生明顯的干涉和衍射現象。電子和中子的衍射是量子力學的重要關注對象。根據德布羅意假設。

$$\lambda=\frac{h}{p}$$

這裡$h$為普朗克常數，$p$是實物粒子的動量（低速情況下等於質量和速度的乘積）。

對於大多數宏觀粒子來說，它們所具有的德布羅意波長非常短，不足以表現明顯的波動性。例如，以每秒30,000米移動的鈉原子，其德布羅意波長大約為50皮米（pico meter）。德布羅意在進行論文答辯時讓·佩蘭曾詢問他如何證明他所謂的「物質波」，德布羅意回答說：「用晶體對電子的衍射實驗可以做到」。後來，電子在鎳晶體的衍射印證了他的假設。

即便是最小的宏觀物體，其波長還是非常小，因此物質波的衍射現象只能在微觀的粒子（例如電子、中子、原子和小分子）上體現。這些物質的短波長使得它們很適合用來研究固體和大分子（諸如蛋白質）的原子晶體結構。

一些相對較大的分子，像富勒烯，也能表現出衍射現象。

## 布拉格衍射

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晶體具有周期性的物質結構。由於在這種周期性結構中，原子間距為10−10米數量級，因此它可以作為波的衍射光柵。如果滿足一定的條件，就能夠使入射波發生衍射現象，這樣的衍射被稱為布拉格衍射。它與光波在其他衍射光柵中發生的散射現象類似。同相位的入射波經過不同晶面，在晶格原子處發生衍射後，將會具有相位差，從而產生干涉相長或干涉相消，這就形成了布拉格衍射。若不考慮康普頓散射，則波束的波長在進入晶體前後不發生改變。根據布拉格定律，干涉加強位置所滿足的條件為

$$m \lambda = 2 d \sin \theta \,$$

這裡

- $\lambda$為入射波（如常用的X射線等）波長
- $d$為晶面間距
- $\theta$為入射波與繞射平面的夾角，2$\theta$為繞射角度
- $m$為衍射級數

晶體學中的布拉格衍射可以利用短波長的波作為入射波。由於X射線的波長與原子間距具有相同的數量級，因此在實驗中經常被用作入射波。此外，實驗中還經常用到50千伏的電子束，當用電子束進行小角度傾斜入射時，它僅能夠穿透大約5納米的垂直距離，因此主要被用於薄膜材料的觀察。而中子因為具有磁矩，常被用來研究磁性材料。由於這些入射波的波長小於或接近原子的間距，實驗可以產生較明顯的衍射輻照度分布譜線。通過測量入射電磁波衍射譜上布拉格尖峰的位置，並利用上面的衍射公式，就可以求得晶面間距$d$，並由此推測晶體的結構。傳統的布拉格衍射方法包括勞厄法、旋轉單晶法和粉末衍射法等。由於發現布拉格定律的貢獻，威廉·亨利·布拉格及其子威廉·勞倫斯·布拉格獲得了1915年的諾貝爾物理學獎。

此外，在電子顯微鏡或X射線形貌器（X-ray topography device）中，衍射襯度（diffraction contrast）可以用來檢驗晶體中的缺陷以及局部應變場（local strain field），進行金屬薄膜材料的相關研究。

## 光的相干性

同一波源發射的波，由於傳播路徑不同，會在觀察屏上產生干涉情況。在這種描述裏，經過不同路逕到達給定點的波之間的相位差只與它們的有效光程有關，而與時間無關。正因為如此，觀察屏上給定點的明暗情況是確定的，這樣總體上會形成穩定的圖樣。如果採用不相干入射光，那麼其中的不同波傳播到給定點時的相位差將會極快地、無規則地變化，這樣在觀察屏上就無法形成穩定的干涉相長或干涉相消的圖樣，而是在這兩種情況之間不斷變化，以至於無法觀察到明暗條紋。

一束光波的相位在某段長度上是相關的，這段長度被稱作是縱向相干長度，簡稱為「相干長度」。為了使干涉能夠發生，光程差必須小於相干長度。有時候，這被稱為波譜相干性，因為它與波中存在的不同頻率成分有關。在原子躍遷發射光波的情況中，相干長度與原子產生躍遷的激發態的壽命有關。

如果光波由擴展光源發射，則可能會出現橫向的不相干。當觀察一束光的截面時，相位在某段橫向距離上是相關的，這段橫向距離被稱作是「橫向相干長度」。在楊氏雙縫實驗中，這意味著如果橫向相干長度比兩條狹縫的間距小，那麼在觀察屏上形成的圖樣看起來就像是兩個獨立單縫形成的衍射圖樣。

在電子、中子和原子等離子的情況中，相干長度與描述粒子的波函數的空間範圍有關。

## 參見

- 衍射的數學表述（diffraction formalism）
- 衍射的動力理論（dynamical theory of diffraction）
- 雷射衍射分析（Laser diffraction analysis）
- 衍射儀（diffractometer）
- 大氣層衍射（atmostpheric diffraction）
- 光環
- 彩雲
- X光散射技術

## 外部連結

- 英國皇家研究院影片網頁： Diffraction
- 西班牙國家研究理事會網頁： Diffraction and Crystallography for beginners
- 物理勿勿理網站網頁：波動篇
- 谷歌網站： Google Maps – 在巴拿馬運河入口處，海波衍射的衛星影像。
- 劍橋大學材料科學系網頁： DoITPoMS Teaching and Learning Package - Diffraction and Imaging