數學分析

數學分析學，也稱分析數學、分析學或解析學（Mathematical Analysis），是普遍存在於大學數學系所的一門基礎課程。大致與非數學系所學生所學的高等數學課程內容相近，但內容更加深入，一般指以微積分學、無窮級數和解析函數等的一般理論為主要內容，並包括它們的理論基礎的一個較為完整的數學學科。

數學分析研究的內容包括實數、複數、實函數及複變函數。數學分析是由微積分演進而來，在微積分發展至現代階段中，從應用中的方法總結升華為一類綜合性分析方法，且初等微積分中也包括許多數學分析的基礎概念及技巧，可以認為這些應用方法是高等微積分生成的前提。數學分析的方式和其幾何有關，不過只要任一數學空間有定義鄰域（拓撲空間）或是有針對兩物件距離的定義（度量空間），就可以用數學分析的方式進行分析。

## 歷史

<image>

在古希臘數學的早期，數學分析的結果是隱含給出的。比如，芝諾的兩分法悖論就隱含了無限幾何和。再後來，古希臘數學家如歐多克索斯和阿基米德使數學分析變得更加明確，但還不是很正式。他們在使用窮竭法去計算區域和固體的面積和體積時，使用了極限和收斂的概念。在印度數學的早期，12世紀的數學家婆什迦羅第二給出了導數的例子，還使用過現在所知的羅爾定理。

歷史上，數學分析起源於17世紀，伴隨著牛頓和萊布尼茲發明微積分而產生的。在17、18世紀，數學分析的主題，如變分法，常微分方程和偏微分方程，傅立葉分析以及母函數基本上發展於應用工作中。微積分方法成功的運用了連續的方法近似了離散的問題。

貫穿18世紀，函數概念的定義成為了數學家們爭論的主題。到了19世紀，柯西通過引入柯西序列的概念將微積分建立在穩固的邏輯基礎之上。他還開始了複分析的形式理論。泊松、劉維爾、傅立葉以及其他的數學家研究了偏微分方程和調和分析。

19世紀中葉，黎曼引入了他的積分理論。在19世紀的最後第三個年代還產生了魏爾施特拉斯對於分析的算術化，他認為幾何論證從本質上是一種誤導，並提出了極限的 (ε, δ) 定義。此時，數學家們開始擔心他們在沒有證明的情況下假設了實數連續統的存在。戴德金用戴德金分割構造了實數。大約在那個時候，對黎曼積分精煉的種種嘗試也引向了實數函數的非連續集合的「大小」的研究。

在19世紀末時，也發現了許多病態函數，像是處處不連續函數、處處連續但處處不可微分的魏爾斯特拉斯函數以及空間填充曲線等。卡米爾·若爾當發展了若爾當測度，而格奧爾格·康托爾提出了現在稱為樸素集合論的理論，勒內-路易·貝爾證明了貝爾綱定理。在20世紀初期，利用公理化的集合論將微積分進行形式化，昂利·勒貝格解決了量測問題，大衛·希爾伯特導入了希爾伯特空間來求解積分方程。賦範向量空間的概念已經提出，1920年代時斯特凡·巴拿赫創建了泛函分析。

## 重要概念

### 度量空間

數學中的度量空間是一個集合，而集合中兩個元素的距離（叫做度量）有清楚的定義。

大部份的數學分析都是針對特定的度量空間，最常見的是數線、複數平面、歐幾里得空間、其他向量空間及整數。數學中沒有度量的分包括有量測理論（描述大小而不是距離）及泛函分析（研究不需要距離概念的拓撲向量空間）

度量空間是一個有序對$(M,d)$，其中$M$是一集合，而$d$為$M$中的度量（也是函數）

$$d \colon M \times M \rightarrow \mathbb{R}$$

使得針對任何的$x, y, z \in M$，以下的敘述都成立：

- $d(x,y) \ge 0$ （非負性）
- $d(x,y) = 0\,$ 若且唯若 $x = y\,$ （不可分者同一）
- $d(x,y) = d(y,x)\,$ （對稱性）
- $d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$ （三角不等式）

### 數列及極限

數列是一個有序的列表，數列像集合一樣都是由元素組成，但和集合不同，數列有順序的概念，而完全相同的元素可以在數列中出現一至多次。更準確的說法，數列可以用定義域為全序關係可數集（例如自然數）的函數來定義。

數列最重要的性質是收斂，若簡單的做非正式的定義，一數列若存在極限，表示此數列收斂。若繼續下非正式的定義，一個無窮數列an，若在n非常大時接近一數值x，則稱此數列有極限，而其極限為x，因此極限也可以視為是數列趨向的數值。因此針對數列an，當n → ∞時，an和x之間的距離會趨近於0：

$$\lim_{n\to\infty} a_n = x.$$

## 分支領域

數學分析在當前被分為以下幾個分支領域：

- 實分析是數學分析中，專門處理實數及實值函數的一個分支。這包括對極限、微分、積分、冪級數和測度的研究。
- 複分析，是對從複平面到複平面的複數可微函數的研究，和複數的解析函數（或亞純函數）有密切的關係。可以應用在許多不同的數學領域中，包括代數幾何、數論、應用數學等，也廣為應用在物理領域中，例如流體力學、熱力學、機械工程、電機工程及量子場論。
- 泛函分析探討函數空間及一些和向量空間相關的結構（例如內積、範數及拓撲空間）等，以及在作用在這些空間中的線性算子，也會介紹例如巴拿赫空間以及希爾伯特空間的概念。
- 傅立葉分析研究如何將一個函數或者信號表達為基本波形的疊加，並擴展成傅立葉級數和傅立葉變換的概念。
- 微分方程是未知數為一變數或多變數的函數，且方程和函數其導數或高階導數有關的方程。微分方程在工程、物理、經濟、生物學中都是重要的一部份。
- 數值分析是研究數學分析中相關問題（和離散數學不同）中有關數值近似（和符號運算不同）演算法的研究。許多問題的解析解是很難求得的，數值分析不在意解析解，比較著重在可接受的誤差範圍內找到近似解。

## 其他主題

- 變分法處理泛函的極值，就像一般的微積分處理函數的極值一樣。
- 抽象調和分析處理傅立葉級數及其抽象化的應用。
- 幾何分析將幾何方法用來研究偏微分方程及將偏微分方程理論應用在幾何學上。
- 克利福德分析研究在狄拉克算子或是類似算子下會消失的克利福德函數。
- P進數分析是有關P進數的研究，P進數和一般實數及複數有些微妙的不同。
- 非標準分析是研究超實數及其函數，對於無窮小量及無窮大的函數有嚴謹的處理。
- 可計算性分析研究可以用可計算性理論進行的分析。
- 隨機分析是針對隨機過程進行的解析式方法。
- 集值分析集值函數的分析及應用。
- 凸分析是有關凸集合及凸函數的研究。
- Tropical分析是在半環中Max-plus代數的分析，是沒有加法逆元的代數結構。當應用Tropical分析的技巧時，可以將一些非線性的問題轉變為線性的問題。

## 應用

數學分析的技巧可以用在其他以下的領域：

### 物理科學

經典力學、相對論及量子力學中大部份的內容都是以數學分析及微分方程為基礎。其中重要的微分方程包括牛頓第二運動定律、薛丁格方程及愛因斯坦場方程。

泛函分析是量子力學中的一個重要主題。

### 信號處理

信號處理可以用在許多不同信號的處理上，不論是聲音、無線電波、光波、地震波其至影像，傅立葉分析可以取出信號中特定的成份，可以進一步將信號加強或是移除。大部份的信號處理技術都包括了將信號進行傅立葉轉換、轉換後信號進行簡單的處理，再進行反轉換。

### 其他數學領域

數學分析的技巧可以用在以下的數學領域中：

- 解析數論
- 解析組合數學
- 連續機率
- 資訊理論中的微分熵
- 微分賽局
- 微分幾何：將微積分應用在稱為流形的特殊數學空間中，流形有特殊的內在結構，但有單純的局部特性。
- 微分拓撲
- 金融數學

## 文獻

### 教材

- 《微積分學教程》(共三卷) 格里高利·米哈伊洛維奇·菲赫金哥爾茨著
- 《數學分析原理》(共兩卷) 格里高利·米哈伊洛維奇·菲赫金哥爾茨著
- 《數學分析講義》阿黑波夫著
- 《數學分析簡明教程》辛欽著
- 《數學分析》（共兩卷）卓里奇著
- 《微積分和數學分析引論》理查·科朗特著 ( 參見台大部分老師的評論 )
- 《數學分析》湯姆·麥克·阿波斯托著
- 《數學分析原理》Walter Rudin（盧丁）著 ( 參見台大部分老師的評論 )
- 《陶哲軒實分析》陶哲軒著
- 《微積分入門》小平邦彥著
- 《高等數學引論》（共四卷）華羅庚著，高等教育出版社
- 《數學分析》（共兩冊）華東師範大學數學系
- 《數學分析》（共兩冊）歐陽光中，朱學炎，金福臨，陳傳璋著
- 《數學分析》（共兩冊）陳紀修，於崇華，金路著
- 《數學分析新講》（共三冊）張築生編著
- 《數學分析講義》（共三冊）劉玉璉，傅沛仁著
- 《數學分析》（共三冊）周民強，方企勤著
- 《數學分析講義》 （共三冊）陳天權 編著
- 《簡明數學分析（第二版）》郇中丹、劉永平、王昆揚著
- 《數學分析教程（第3版）》（共兩冊）常庚哲、史濟懷編著
- 《數學分析》（共三冊）徐森林、薛春華編著
- 《數學分析》梅加強編著
- 《數學分析》（共兩冊）歐陽光中、姚允龍、周淵編著 (復旦大學出版社官網的資訊: 上冊 , 下冊 )
- 《數學分析教程》（共兩冊）李忠 方麗萍編著

### 論著和習題集

- 《古今數學思想》1-4冊，莫里斯·克萊因著，上海科學技術出版社
- 《吉米多維奇數學分析習題集》鮑里斯·吉米多維奇著
- 《數學分析中的問題和定理》喬治·波利亞，G.Szego（舍貴）著
- 《數學分析八講》辛欽著
- 《微積分五講》龔升著
- 《重溫微積分》齊民友著
- 《數學分析習題課講義》（上下兩冊）謝惠民等著
- 《數學分析中的典型問題與方法》裴禮文著
- 《數學分析問題研究與評註》汪林等著
- 《數學分析拾遺》趙顯增著
- 《數學分析習題演練》周民強著