歐幾里得

歐幾里得（Εὐκλείδης，又譯兀忽列的，前325年前265年），有時被稱為亞歷山大里亞的歐幾里得，以便區別於墨伽拉的歐幾里得。希臘化時代的數學家，被稱為「幾何學之父」。他活躍於托勒密一世時期的亞歷山大里亞，也是亞歷山太學派的成員。他在著作《幾何原本》中提出五大公設，成為歐洲數學的基礎。歐幾里得也寫過一些關於透視、圓錐曲線、球面幾何學及數論的作品。歐幾里得幾何被廣泛的認為是數學領域的經典之作。

## 生平資料

歐幾里得生前活躍於亞歷山大圖書館，而且很有可能曾在柏拉圖學院學習。直到現在都無法得知歐幾里得的生卒日期、地點和細節，也沒有找到任何歐幾里得在世時期所畫的畫像，所以現存的歐幾里得畫像都是出於畫家的想像。此外，一些中世紀時期的作家經常把歐幾里得與墨伽拉的歐幾里得（一位受蘇格拉底影響的哲學家）弄混。

歐幾里得的生平資料流傳到現在的很少，而大部份關於歐幾里得的資料都是來自西元450年時普羅克洛的評論，及西元320年帕普斯的評論，距歐幾里得有幾個世紀之久。

普羅克洛在他的《對幾何原本的評論》（Commentary on the Elements）中簡單的介紹了歐幾里得。根據普羅克洛的說法，歐幾里得屬於柏拉圖那一派，將《幾何原本》集合在一起，這些著作原來是由柏拉圖的學生（特別是歐多克索斯、泰阿泰德及歐普斯的腓力等）所寫的，普羅克洛認為歐幾里得沒有比他們年輕多少，不過因為阿基米德（西元前287-212年）有提到歐幾里得，他應該有活到托勒密一世的年代。阿基米德文章中有一些明顯引用歐幾里得著作的段落，雖然後來發現是後人加入的，一般仍認為歐幾里得寫作的年代比阿基米德要早。

普羅克洛也提到一個和歐幾里得有關的故事：托勒密一世問是否有比看《幾何原本》更簡單可以學習幾何的方法。歐幾里得說：「幾何學無坦途。」。不過有個有關亞歷山大大帝和數學家曼納克姆斯的故事，和這個有點像，因此歐幾里得和托勒密一世的故事有些可疑。

帕普斯在約西元前247–222年，有簡單的提到歐幾里得：「阿波羅尼奧斯花了許多時間和歐幾里得的學生在一起，也在那個時候養成思考的習慣。」。

因為在這個時期重要的數學家卻沒有生平資料，是很不尋常的事（歐幾里得前後幾個世紀的重要希臘數學家，都可以找到很多的生平資料），有些研究者認為其實沒有歐幾里得這個人，一般認定是他所寫的作品其實是一群數學家以歐幾里得為名所寫，取名歐幾里得的原因是為了紀念歷史人物墨伽拉的歐幾里得（類似一群法國數學家組成的尼古拉·布爾巴基），不過此論點尚未廣為學者接受，可作為支持的證據也相當的少。

## 幾何原本

<image>

《幾何原本》共有13卷，雖然其中的許多內容是來自早期的數學家，但歐幾里得的貢獻是將這些資料整理成單一的，有邏輯架構的作品，容易使用也容易參考，其中有嚴謹的數學證明系統，是後來2300年數學的基礎。

《幾何原本》原存最早的一些版本中沒有提到歐幾里得，大部份版本有提到「這些是來自亞歷山大里亞的忒翁的教材」。梵蒂岡所有的版本中沒有提到作者。唯一說明歐幾里得寫了《幾何原本》的歷史記錄只有普羅克洛在《對幾何原本的評論》中提到歐幾里得寫了《幾何原本》。

幾何原本對於幾何學、數學和科學的未來發展，對於西方人的整個思維方法都有極大的影響。《幾何原本》的主要對象是幾何學，但它還處理了數論、無理數理論等其他課題，例如著名的歐幾里得引理和求最大公因數的歐幾里得演算法。幾何原本也說明完全數和梅森質數的關係（歐幾里得-歐拉定理）、質數有無限多個（歐幾里得定理）、有關因式分解的歐幾里得引理（導出了算術基本定理及整數分解的唯一性）等。

歐幾里得使用了公理化的方法。公理（Axioms）就是確定的、不需證明的基本命題，一切定理都由此演繹而出。在這種演繹推理中，每個證明必須以公理為前提，或者以被證明了的定理為前提。這一方法後來成了建立任何知識體系的典範，在差不多二千年間，被奉為必須遵守的嚴密思維的範例。《幾何原本》是古希臘數學發展的頂峰。歐幾里得將公元前七世紀以來希臘幾何積累起來的豐富成果，整理在嚴密的邏輯系統運算之中，使幾何學成為一門獨立的、演繹的科學。

歐幾里得在《幾何原本》中提到的幾何系統後來簡稱為幾何，長久以來視為唯一一種可能的幾何方式，不過當數學家在19世紀發現非歐幾里得幾何後，上述的幾何就稱為歐幾里得幾何。

## 著作

<image>

<image>

除了《幾何原本》之外，歐幾里得至少另外五本著作流傳至今。它們與《幾何原本》一樣，內容都包含定義及證明。

- 《給定量 (書)》（Data）研究幾何問題中給定元素的性質和意義，內容與《幾何原本》的前四卷有密切關係。
- 《圖形的分割》（On divisions of figures）現存拉丁文本，論述用直線將已知圖形分為相等的部分或成比例的部分，內容與希羅的作品相似。
- 《反射光學》（Catoptrics）論述反射光在數學上的理論，尤其論述形在平面及凹鏡上的圖像。可是有人質疑這本書是否真正出自歐幾里得之手，它的作者可能是亞歷山大里亞的忒翁。
- 《現象》（Phenomena）是一本關於球面天文學的論文，現存希臘文本。這本書與奧托里庫斯（Autolycus of Pitane）所寫的On the Moving Sphere相似。
- 《光學 (歐幾里得)》（Optics）早期幾何光學著作之一，現存希臘文本。這本書主要研究視覺問題的幾何方面，敘述視線的入射角等於反射角等。

## 參考

### 書目

- Artmann, Benno (1999). Euclid: The Creation of Mathematics. New York: Springer. ISBN 978-0-387-98423-0.
- Heath, Thomas L. (1981年). A History of Greek Mathematics, 2 Vols. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-24073-2 / ISBN 978-0-486-24074-9.
- Kline, Morris（1980年）. Mathematics: The Loss of Certainty. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-502754-9.

## 外部連結

- Euclid's Elements幾何原本 , All thirteen books, with interactive diagrams using Java. Clark University
- Euclid's Elements, with the original Greek and an English translation on facing pages (includes PDF version for printing). University of Texas.
- Euclid's Elements, books I–VI , in English pdf, in a Project Gutenberg Victorian textbook edition with diagrams.
- Euclid's Elements , All thirteen books, in several languages as Spanish, Catalan, English, German, Portuguese, Arabic, Italian, Russian and Chinese.
- Elementa Geometriae 1482, Venice. From Rare Book Room.
- Elementa 888 AD, Byzantine. From Rare Book Room.
- Texts on Ancient Mathematics and Mathematical Astronomy PDF scans (Note: many are very large files). Includes editions and translations of Euclid's Elements, Data, and Optica, Proclus's Commentary on Euclid, and other historical sources.

## 基本資料

- 日語原文：歐幾里得、Ευκλείδης
- 出生日期：公元前325年
- 居住地：埃及的亞歷山卓
- 逝世日期：公元前265年（59-60歲）
- 族裔：希臘
- 研究領域：數學
- 知名於：歐幾里得幾何、幾何原本