波動方程

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根据波动方程的建模，一个[[脉冲]]在一根固定两端的绳子上的运动。
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波動方程或稱波方程（wave equation）是一種二階線性偏微分方程，主要描述自然界中的各種的波動現象—正如它們出現在經典物理學中—例如機械波，包括聲波、光波、引力波、無線電波、水波、和地震波。波動方程抽象自聲學、波動光學、電磁學、電動力學、流體力學、廣義相對論等領域。

歷史上許多科學家，如達朗貝爾、歐拉、丹尼爾·伯努利和拉格朗日等在研究樂器等物體中的弦振動問題時，都對波動方程理論作出過重要貢獻。1746年，達朗貝爾發現了一維波動方程，歐拉在其後10年之內發現了三維波動方程。

## 簡介

波動方程是雙曲形偏微分方程的最典型代表，其最簡形式可表示為：關於位置x和時間t的標量函數u（代表各點偏離平衡位置的距離）滿足：

$${ \partial^2 u \over \partial t^2 } = v^2 \nabla^2u$$

其中

- $v$ 是一個固定常數，代表波的傳播速率
- $u$ 是一個純量場，表示位移，或更一般地說，表示守恆量（例如壓力或密度）
- $\nabla^2$ 是拉普拉斯算子

此方程式表明，在任意給定點 $u$ 對時間的二階導數與 $u$ 對空間的二階導數的總和成正比，比例常數是波速的平方。

其他形式的波動方程還能在量子力學和廣義相對論理論中用到。

## 標量形式的一維波動方程

### 波動方程的推導

一維波動方程可用如下的方式推導：一列質量為m的小質點，相鄰質點間用長度h的彈簧連接。彈簧的彈性係數（又稱「倔強係數」）為k：

<image>

其中u(x)表示位於x的質點偏離平衡位置的距離。施加在位於x+h處的質點m上的力為：

$$F_{Newton}=m \cdot a(t)=m \cdot {{\partial^2 \over \partial t^2}u(x+h,t)}$$

$$F_{Hooke} = F_{x+2h} + F_x = k \left [ {u(x+2h,t) - u(x+h,t)} \right ] + k[u(x,t) - u(x+h,t)]$$

其中$F_{Newton}$代表根據牛頓第二定律計算的質點慣性力，$F_{Hooke}$代表根據胡克定律計算的彈簧作用力。所以根據分析力學中的達朗貝爾原理，位於x+h處質點的運動方程為：

$$m{\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}= k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]$$

式中已註明u(x)是時間t的顯函數。

若N個質點間隔均勻地固定在長度L = N h的彈簧鏈上，總質量M = N m，鏈的總體勁度係數為K = k/N，我們可以將上面的方程寫為：

$${\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}={KL^2 \over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) \over h^2}$$

取極限 N $\rightarrow \infty$, h$\rightarrow 0$就得到這個系統的波動方程：

$${\partial^2 u(x,t) \over \partial t^2}={KL^2 \over M}{ \partial^2 u(x,t) \over \partial x^2 }$$

在這個例子中，波速$c = \sqrt {\frac{{KL^2 }}{M}}$。

### 一般解

#### 代數方法

一維標量形式波動方程的一般解是由達朗貝爾給出的。原方程可以寫成如下的算子作用形式：

$$\left[ \frac{\partial}{\partial t} - c\frac{\partial}{\partial x}\right] \left[ \frac{\partial}{\partial t} + c\frac{\partial}{\partial x}\right] u = 0.\,$$

從上面的形式可以看出，若F和G為任意函數，那麼它們以下形式的組合

$$u(x,t) = F(x-ct) + G(x+ct) \,$$

必然滿足原方程。上面兩項分別對應兩列行波——F表示經過該點（x點）的右行波，G表示經過該點的左行波。為完全確定F和G的最終形式還需考慮如下初始條件：

$$u(x,0)=f(x) \,$$

$$u_t(x,0)=g(x) \,$$

經帶入運算，就得到了波動方程著名的達朗貝爾行波解，又稱達朗貝爾公式：

$$u(x,t) = \frac{f(x-ct) + f(x+ct)}{2} + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} g(s) ds$$

在經典的意義下，如果$f(x) \in C^k$並且$g(x) \in C^{k-1}$則$u(t,x) \in C^k$。但是，行波函數F和G也可以是廣義函數，比如狄拉克δ函數。在這種情況下，行波解應被視作左行或右行的一個脈衝。

基本波動方程是一個線性微分方程，並且將會遵循疊加原理，也就是說同時受到兩列波作用的點的振幅就是兩列波振幅的相加。這意味著可以通過把一列波分解成它的許求解中很有效。此外，可以通過將波分離出各個分量來分析，例如傅立葉變換可以把波分解成正弦分量。

## 標量形式的三維波動方程

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三維波動方程初值問題的解可以通過求解球面波波動方程得到。求解結果可用於推導二維情況的解。

### 球面波

球面波方程的形式不隨空間坐標系統的轉動而變化，所以可以將它寫成僅與距源點距離r相關的函數。方程的三維形式為：

$$u_{tt} - c^2 \left( u_{rr} + \frac{2}{r} u_r \right) =0. \,$$

將方程變形為：

$$(ru)_{tt} -c^2 (ru)_{rr}=0; \,$$

此時，因變量ru滿足一維波動方程，於是可以利用達朗貝爾行波法將解寫成：

$$u(t,r) = \frac{1}{r} F(r-ct) + \frac{1}{r} G(r+ct), \,$$

其中F和G為任意函數，可以理解為以速度c從中心向外傳播的波和從外面向中心傳播的波。這類從點源傳出的波強度隨距點源距離r衰減，並且屬於無後效波，可以清晰地搭載信號。這種波僅在奇數維空間中存在（原因將在下一小節中詳細解釋）。幸運的是，我們生活的空間是三維的，所以我們可以清晰地通過聲波和電磁波（都屬於球面波）來互相交流。

#### 時間箭頭的討論

上面方程的解裏面，分成了兩部分，一部分表示向外傳播的波，一部分則是向內。很明顯，只要將t換成-t，就可以在這兩部分之間轉換。這體現了原始方程對於時間是對稱的，任意的一個解在時間軸上倒過來看仍然是一個解。

然而，我們所觀察到的實際的波，都是屬於向外傳播的。除非精心地加以調整，我們無法在自然界觀察到向內的波，儘管它們也是波動方程的合法的解。

關於這個現象，引起了不少討論。有人認爲，實際上它們即使存在，也無法加以觀察。想想如果四周的光向一個物體集中，則因爲沒有光到達我們的眼睛，我們不可能看見這個物體或者發現這個現象（見波動方程#參考文獻|參考文獻2）。

### 廣義初值問題的解

波動方程中u是線性函數，並且不隨時間和空間坐標的平移而改變。所以我們可以通過平移與疊加球面波獲得方程各種類型的解。令φ(ξ,η,ζ)為任意具有三個自變量的函數，球面波形F為狄拉克δ函數（數學語言是：F是一個在全空間積分等於1且非零區間收縮至原點的連續函數的弱極限）。設(ξ,η,ζ)位一族球面波的源點，r為距源點的徑向距離，即：

$$r^2 = (x-\xi)^2 + (y-\eta)^2 + (z-\zeta)^2. \,$$

可定義

$$U(t,x,y,z;\xi ,\eta ,\zeta ) = \frac{{\delta (r - ct)}}{{4\pi cr}}$$

稱為三維波動方程的影響函數，其意義為(ξ,η,ζ)點在t=0時刻受到短促脈衝δ函數作用後向空間中傳出的波的影響，係數分母4πc是為方便後續處理而加上的。

若u是這一族波函數的加權疊加，且權函數為φ，則

$$u(t,x,y,z) = \frac{1}{4\pi c} \iiint \varphi(\xi,\eta,\zeta) \frac{\delta(r-ct)}{r} d\xi\,d\eta\,d\zeta; \,$$

從δ函數的定義可知，u還能寫成

$$u(t,x,y,z) = \frac{t}{4\pi} \iint_S \varphi(x +ct\alpha, y +ct\beta, z+ct\gamma) d\omega, \,$$

式中α、β和γ是單位球面S上點的坐標，dω為S上的面積微元。該結果的意義為：u(t,x,y,z)是以(x,y,z)為圓心，ct為半徑的球面上φ的平均值的t倍：

$$u(t,x,y,z) = t M_{ct}[\phi]. \,$$

從上式易得

$$u(0,x,y,z) = 0, \quad u_t(0,x,y,z) = \phi(x,y,z). \,$$

平均值是關於t的偶函數，所以若

$$v(t,x,y,z) = \frac{\partial}{\partial t} \left( t M_{ct}[\psi] \right), \,$$

那麼

$$v(0,x,y,z) = \psi(x,y,z), \quad v_t(0,x,y,z) = 0. \,$$

以上得出的便是波動方程初值問題的解。從中可以看出，任意點P在t時刻受到的波擾動只來自以P為圓心，ct為半徑的球面上，而這個球的內部點在這一時刻對P點的狀態完全沒有影響（因為它們的影響之前就已經傳過P點了）。因此球面內是解的彼得羅夫斯基空白部份。換一個角度分析，假設三維空間中任意點P' 在t=0時刻受到一個脈衝擾動δ，那麼由此發出的球面波在傳過空間中的任意其它點Q後，便再也不會對Q的運動狀態產生影響，這就是在物理學中也非常著名的惠更斯原理（Huygens' principle），也稱為無後效現象，表示傳過的球面波不會留下任何後續效應。

下面我們便可以解釋上一小節中留下的問題了。事實上，前面所得到的球面波解僅在奇數維空間中存在。偶數維空間中波動方程的解是彌散的，也就是說波陣面掠過區域仍然會受其影響。以下面的二維波動方程（極坐標形式，注意和上一小節三維形式的差別）為例：

$$u_{tt} - c^2 (u_{rr} + \frac{1}{r}u_r ) = 0$$

可以從三維形式的解通過降維法得到二維波動方程的影響函數：

$$U(t,x - \xi ,y - \eta )=\begin{cases} \frac{1}{{2\pi c}}\frac{1}{{\sqrt {c^2 t^2 - r^2 } }}, & r \le ct \\ 0, & r > ct \end{cases}$$

其中

$$r = \sqrt {(x - \xi )^2 + (y - \eta )^2 }$$

設點M(x,y)到點(ξ,η)距離為d，那麼從影響函數中可以看出，當t >d /c即初始擾動已傳過M點後，M仍在受到它的影響。二維球面波（柱面波）的這一性質決定了它不能作為傳遞信號的工具，因為這種波（事實上包括所有偶數維空間中的球面波）經過的點受到的是交織在一起的各個不同時刻的擾動。

## 標量形式的二維波動方程

二維波動方程的直角坐標形式為：

$$u_{tt} = c^2 \left( u_{xx} + u_{yy} \right). \,$$

如前所述，我們可以從三維波動方程的解中將u視為與其中一個自變量無關（降維法）來得到二維形式的解。將初始條件改寫為

$$u(0,x,y)=0, \quad u_t(0,x,y) = \phi(x,y), \,$$

則三維形式的解就變成

$$u(t,x,y) = tM_{ct}[\phi] = \frac{t}{4\pi} \iint_S \phi(x + ct\alpha,\, y + ct\beta) d\omega,\,$$

其中α和β是單位球面上點的頭兩個坐標分量，dω是球面上的面積微元。此積分可變換為在(x,y)為中心，ct為半徑的圓域D上的積分：

$$u(t,x,y) = \frac{1}{2\pi c} \iint_D \frac{\phi(x+\xi, y +\eta)}{\sqrt{(ct)^2 - \xi^2 - \eta^2}} d\xi\,d\eta. \,$$

從這個結果也能得到上一小節最後的結論。

二維波動方程解的一個例子是緊繃的鼓面的運動。

## 邊值問題

### 一維情形

一根自身繃緊，兩端分別固定於x=0和x=L的彈性弦在t>0時刻，0 < x < L上運動滿足波動方程。在邊界點處，可以要求u滿足各種邊界條件。通常遇到的邊界條件都可歸納成下列形式：

$$-u_x(t,0) + a u(t,0) = 0, \,$$

$$u_x(t,L) + b u(t,L) = 0,\,$$

其中a、b非負。若要弦的兩端固定不動，對應上面式子中a、b趨於無窮大。求解偏微分方程的分離變量法要求尋找以下形式的解：

$$u(t,x) = T(t) v(x).\,$$

將上述假設形式代入原方程中可以得到：

$$\frac{T''}{c^2T} = \frac{v''}{v} = -\lambda. \,$$

為使邊值問題有非平凡解，本徵值λ須滿足

$$v'' + \lambda v=0, \,$$

$$-v'(0) + a v(0) = 0, \quad v'(L) + b v(L)=0.\,$$

這是固有值問題的施圖姆-劉維爾理論的一個特例。若a、b為正數，則對應的所有本徵值均為正數，方程的解為三角函數。使u和ut滿足平方可積條件的解可以通過適當選取u和ut 三角級數展開來求得。

### 多維情形

一維初始值-邊值理論可以拓展至任意維空間中。考慮m維空間（坐標簡寫為x）中的域D，B為D的邊界。當0<t時，位於D內的點x滿足波動方程。在D的邊界上，解u須滿足

$$\frac{\partial u}{\partial n} + a u =0, \,$$

其中n是B上指向域外的法向矢量，a是定義在B上的非負函數。要求u在B上始終為0的邊界條件相當於令a趨於無窮。初始條件為

$$u(0,x) = f(x), \quad u_t=g(x), \,$$

其中f和g是定義在D內的函數。這個問題可以通過將f和g展開成域D內拉普拉斯算子滿足邊界條件的本徵函數系的疊加來求解（這是分離變量法的一般步驟）。也就是求解在域D內滿足

$$\nabla \cdot \nabla v + \lambda v = 0, \,$$

在邊界B上滿足

$$\frac{\partial v}{\partial n} + a v =0, \,$$

本徵函數系v。

在二維情形下，上述本徵函數系可以理解成繃緊地張在邊界B上的鼓面的自由振動模態。若B是一個圓，則這些本徵函數是關於極角自變量θ的三角函數與關於極軸自變量r的整階貝塞爾函數的乘積。更詳細的說明參見英文版條目亥姆霍茲方程。

在三維形式下，若邊界是空間中的球面，那麼本徵函數是關於球坐標下兩個極角自變量的球面調和函數，乘以關於徑向自變量ρ的半奇數階貝塞爾函數。

## 進一步推廣

在針對實際問題的波動方程中，一般都將波速表示成可隨波的頻率變化的量，這種處理對應真實物理世界中的色散現象。此時，c應該用波的相速度代替：

$v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k}$。

實際問題中對標準波動方程的另一修正是考慮波速隨振幅的變化，修正後的方程變成下面的非線性波動方程：

$${ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c(u)^2 \nabla^2u$$

另需注意的是物體中的波可能是疊加在其他運動（譬如介質的平動，以氣流中傳播的聲波為例）上的。這種情況下，標量u的表達式將包含一個馬赫因子（對沿流動方向傳播的波為正，對反射波為負）。

三維波動方程描述了波在均勻各向同性彈性體中的傳播。絕大多數固體都是彈性體，所以波動方程對地球內部的地震波和用於檢測固體材料中缺陷的超聲波的傳播能給出滿意的描述。在只考慮線性行為時，三維波動方程的形式比前面更為複雜，它必須同時考慮固體中的縱波和橫波:

$$\rho \ddot {\mathbf{u}} = \mathbf{f} + ( \lambda + 2\mu )\nabla(\nabla \cdot \mathbf{u}) - \mu\nabla \times (\nabla \times \mathbf{u})$$

式中：

- $\lambda$和$\mu$被稱為彈性體的拉梅常數（也叫「拉梅模量」，英文Lamé constants或Lamé moduli），是描述各向同性固體彈性性質的參數。
- $\rho$表示密度。
- $\mathbf{f}$是源函數（即外界施加的激振力）。
- $\mathbf{u}$表示位移。

注意在上述方程中，激振力和位移都是矢量，所以該方程也被稱為矢量形式的波動方程。

## 參考文獻

- 嚴鎮軍編，《數學物理方程》，第二版，中國科學技術大學出版社，合肥，2002，第210頁~第224頁，ISBN 7-312-00799-6
- 英胡·普賴斯著，肖巍譯，《時間之矢與阿基米德之點—物理學時間的新方向》，上海科學技術出版社，上海，2001，ISBN 7-5323-5737-6
- M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I, Acta Math., 124 (1970), 109–189.
- M.F. Atiyah, R. Bott, and L. Garding, Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients II, Acta Math., 131 (1973), 145–206.
- R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol II. Interscience (Wiley) New York, 1962.

## 外部連結

- 線性波動方程，在EqWorld上：數學方程的世界。
- 非線性波動方程，在EqWorld上：數學方程的世界。
- MISN-0-201波動方程及其解 （PDF）William C. Lane為 Project PHYSNET 所著