軌道 (天體力學)

<image>

<image>

在物理學中，軌道是一個物體在引力作用下繞空間中一點運行的路徑，比如行星繞一顆恆星的軌跡，或天然衛星繞一顆行星的軌跡。行星的軌道一般都是橢圓，而且其繞行的質量中心在橢圓的一個焦點上。

當前人們對軌道運動原理的認識基於愛因斯坦的廣義相對論，認為引力是由時空彎曲造成的，而軌道則是時空場的幾何測地線。為了簡化計算，通常用基於克卜勒定律的萬有引力理論來作為相對論的近似。

## 歷史

歷史上，人們用本輪來描述行星的視運動，認為行星的運動是很多圓周運動合成的結果，這是一種幾何方法，並沒有涉及引力的概念。在克卜勒證明行星的運動軌跡是橢圓之前，用這種方法來預測行星的軌跡勉強可行。

最開始，人們使用以地球為中心的太陽系天球模型來解釋行星的視運動。該模型假設存在一個完美的球體或圓環，所有的恆星和行星都在其表面運動。在更精確的測量了行星的運動後，人們引入了均輪和本輪這樣的理論來描述行星運動。這種系統能更精確的預測行星的位置，但隨著測量結果越來越精確，需要加入更多的本輪到模型中，因此，這種模型變得越來越繁瑣。

17世紀初，在約翰內斯·克卜勒對大量精密觀察的天體軌道數據進行分析後，得出著名的3個行星運動定律。第一，他發現太陽系中行星軌道不是以往人們想像的正圓形，而是橢圓的；太陽也不是位於軌道中心，而是在一個焦點上。第二，行星的軌道速度，也不是恆定不變的，事實上行星的軌道速度與當下行星至太陽的距離有關。第三，他歸納出可通用於太陽系所有行星軌道性質的數學關係：行星到太陽距離的立方（以天文單位（AU）計算）等於行星軌道周期的平方（以地球年計算）。以木星為例，它到太陽的距離約為5.2AU，軌道周期約為11.86地球年，則滿足數學關係：$5.2^3 \approx 11.86^2$。

到了1687年，艾薩克·牛頓在他的萬有引力理論中證明了克卜勒定律。一般而言，物體在單純重力作用下的運動軌道都屬於圓錐曲線。牛頓表示，兩個天體在互相環繞的軌道上時，個別天體相對於質心的距離與自身質量成反比。因此當計算兩個天體的運行軌道時，若其中一個天體質量比另一個明顯大很多，可以大質量物體的質量中心取代共同的質心，不僅方便、誤差也很小。

愛因斯坦認為，引力是時空彎曲造成的，因此，他推翻了牛頓的超距作用假設，該假設認為引力的傳播是一瞬間完成的。在相對論中，軌道是時空場的測地線，這樣得到的軌道和牛頓學說的預測很接近。這兩種理論之間的差別是可以測量出來的。人們設計了一些實驗來區分這兩個理論，在實驗能達到的精度範圍內，基本上所有的實驗結果都符合相對論的結論。一般而言，兩者之間的差別很小，除了超強引力場附近和超高速的情況下。愛因斯坦本人於1915年使用廣義相對論解釋了水星軌道的反常近日點進動現象，這是相對論效應的第一次理論計算驗證。但是，對於大多數短時期的計算，人們通常使用牛頓理論的解法，因為它計算簡便而且精度足夠高。

## 行星軌道

在一個行星系統內，行星、矮行星、小行星、彗星和空間中的碎片，都以橢圓軌道繞著中心的恆星運轉著。有些以拋物線或雙曲線軌道繞著中心恆星的彗星，則被認為是未受到這顆恆星的重力束縛住，而不是這個行星系統內的天體。迄今，在太陽系發現軌道明確是雙曲線的彗星僅有一例。在行星系統內，如果一對天體的質量中心是在大質量的天體之內，另一個天體便是跟隨這這個天體的衛星或人造衛星。

由於相互間的引力攝動，太陽系內行星軌道的扁率會間逐漸變動。水星太陽系內最小的行星，軌道有著最大的扁率，在當前這世紀，火星軌道的扁率是第二大的，軌道扁率最小的則是金星和海王星。

當兩個天體互相環繞，近星點是這兩個天體彼此最接近的位置，遠星點則是這兩個天體彼此距離最遠的位置。.

在橢圓軌道上，繞行與被繞行系統的質心將在兩者軌道的一個焦點上，在另一個焦點上則沒有任何物體。當行星接近近星點時，行星的速度將會增加，而在接近遠星點時，行星的速度將會降低。

### 了解軌道

簡單了解軌道的方法如下：

- 當物體被拋出去時，會向著原先圍繞旋轉的對象掉落。然而，如果速度夠快的話，軌道的彎曲度會使他落在被圍繞物體的前方。
- 一種力量，像是重力，會將在直線上飛行的物體拉入彎曲的路徑上。
- 當物體掉落時，如果速度夠快（有足夠的切線速度），便會脫離原先的軌道。使用數學分析來理解是非常有用的，因為物體的運動可以在三度空間座標中用相對於質心的一維震盪來描素。

加農炮發射的例子（見下圖），是最常被用來作為行星附近（即地球附近）軌道的說明圖。想像一門被架在高山頂上的加農炮，以平行的方向將砲彈發射出去。如果這座山的高度足以超越大氣層，便能忽略空氣對砲彈所產生的阻力（摩擦力）。

<image>

如果加農炮以一個較低的初速度發射一枚炮彈，這個炮彈的軌跡將向地面彎曲，並在A點落到地面。當發射的初速度增加時，炮彈在地面上的落點變得更遠（如B點），這是因為，在炮彈跌向地面的時候，地面也在遠離炮彈（相對第一點）。從技術意義上講，所有這些運動的軌跡都是「軌道」，它們都是圍繞地球引力中心橢圓軌道的一部分，當炮彈接觸地面時該軌道被打斷。但如果砲彈以足夠快的速度發射，地面的曲度和砲彈落下的彈道弧度相同時，砲彈便在軌道（C）上運行了。像（D）這樣的軌道是圓形的，而如果砲彈發射的速度再增加，軌道便會成為橢圓的（E）或更為橢圓的（F）。當速度增加到所謂的逃逸速度時，軌道便會從橢圓變成為拋物線，砲彈也將飛至無窮遠處不再回來。如果速度更快，軌道將會成為雙曲線。

一旦進入軌道，太空飛行器需要足夠高的速度來維持在大氣層外。如果一條橢圓軌道延伸到了稠密大氣中，該軌道上的太空飛行器就會逐漸降低速度，並再入大氣層。有時候，人們會故意使一個太空飛行器進入大氣層，這個過程通常被稱為大氣制動。

## 牛頓運動定律

在只有兩個物體的系統中，它們只會因為自身的重力相互影響著，它們的軌道能用牛頓運動定律和萬有引力確實的計算。簡單的說，力量的總和就是質量與加速度的乘積，重力正比於質量，而與距離的平方成反比。

在計算上，可以很方便的使用座標系統，將重的物體置於中心（原點），可以說輕的物體在軌道上繞著重的物體運轉。

一個靜止不動的物體，在距離大質量物體較遠時的位能，比較近時要高，因為他將向大質量物體掉落下去。

兩個物體的互動，軌道是圓錐曲線，可以是開放（不再返回）或封閉（複回）的軌道，則全看系統動能+位能的總能量。在開放軌道的系統中，在軌道上每一點的速度都會大於在那個點的逃逸速度，而再封閉軌道上每一個點的速度都會低於逃逸速度。

一個開放軌道的形狀是雙曲線（當軌道速度大於逃逸速度）或是拋物線（當軌道速度等於逃逸速度），這兩個物體在軌道上會先彼此接近，當兩個物體到達最接近的距離的前後，軌道開始彎曲，然後兩個物體再彼此遠離。一些來自太陽系外的彗星，就是這種軌道。

封閉軌道的形狀是橢圓形，在一些特殊的狀況下，環繞的物體與中心保持等距離，也就是軌道是圓形。換言之，像在軌道上最接近地球的點叫作近地點，當圍繞著另一個不是地球的天體運轉時，最接近的點就可以叫做近星點（近拱點），衛星在軌道上離地球最遠的點叫遠地點（遠星點，也叫做遠拱點）。連結近拱點和遠拱點的線叫做拱點線（line-of-apsides），這是橢圓的主軸，是橢圓內部最長的部份。

在封閉軌道上的天體經過一定的時間後會在重複他的路線，這就是刻卜勒由經驗所獲得的定律，可以使用牛頓定律推導出來。這些公式的描述如下：

## 軌道運動分析

$$a_r = \frac{d^2r}{dt^2} - r\left( \frac{d\theta}{dt} \right)^2$$

和

$a_{\theta} = \frac{1}{r}\frac{d}{dt}\left( r^2\frac{d\theta}{dt} \right)$.

因為力是完全徑向的，加速度與力成正比，因此橫行加速度為0。可以得到,

$\frac{d}{dt}\left( r^2\frac{d\theta}{dt} \right) = 0$.

積分之後可得到

$$r^2\frac{d\theta}{dt} = h$$

對於任意常數h積分有

$$\frac{d\theta}{dt} = { h \over r^2 } = hu^2$$

引入輔助變量

$u = { 1 \over r }$.

如果徑向加速度的大小為f(r)，則從運動方程的徑向部分中消去時間變量，得：

$\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{f(1 / u)}{h^2u^2}$.

牛頓的萬有引力定律說明，這個力與距離的平方成反比：

$$f(1/u) = f(r) = { F(r) \over m } = { GM \over r^2 } = GM u^2$$

其中G是引力常數, m是軌道天體（行星）質量，M是中心天體（太陽）質量。帶入前面的等式得到：

$\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{ GM }{h^2}$.

所以對於引力–，或更一般地，對於任何的平方反比律，等式的右面變成了一個常數，and the equation is seen to be the 調和方程（up to a shift of origin of the dependent variable）。

所以，軌道方程為：

$r = \frac{1}{u} = \frac{ h^2 / GM }{1 + e \cos {(\theta - \phi)}} = \frac{\ell}{1 + e \cos {(\theta - \phi)}}$,

其中φ和e是任意的積分常數。

$$\ell = { h^2 \over GM } = a(1-e^2)$$

是半正焦弦，和a是半長軸。這可以視為極坐標（r,θ）中的圓錐曲線的方程。

## 軌道參數

對於一般的橢圓軌道，軸的長度、離心率、最小和最大的距離之間的關係為：

半長軸 = (近拱點 +遠拱點)/2 = 極半徑

近拱點 = 半長軸× (1 - 偏心率) = 最小距離

遠拱點 = 半長軸× (1 +偏心率) = 最大距離

## 軌道衰變

如果軌道的某一部分進入了大氣層，它的軌道就會因為拖曳而衰變。每一次通過近心點，這個物體就會與大氣摩擦，並且失去能量。每次，物體都是很精確的在動能最大時損失能量，因此軌道的離心率都會降低（更接近圓軌道）。這與擺錘的能量損失會使他在最低點的速度減慢，與最高點的高度降低現象是相似的。在連續不斷的作用下，軌道受大氣影響的路徑一次比一次長，受到的影響也一次比一次明顯。最後，作用的影響變得很大，即使以最大動能也不能繼續維持軌道在受到大氣層拖曳影響的極限之上。當這種情況發生時，物體將迅速的以螺旋形路徑下降並與中心物體交會。

大氣層邊界的變化很大，當太陽極大期時，大氣層會產生拖曳作用的高度與太陽極小期時相差達100公里以上。

有些具有良好傳導性的衛星也會因為地球磁場的拖曳作用而發生軌道衰變。基本上，金屬線切過磁場時，其作用就像發電機一樣。金屬線會將電子由接近真空的一端移動至接近真空的另一端，軌道能量就會在金屬線中轉換成熱。

軌道可以使用火箭馬達在路經中的某一點改變動能而進行人為的改變，這是將化學能或電能轉換成動能。以這些方法可以促進軌道的形狀和指向的改變。

另一種以人為方法影響軌道的方法是使用太陽帆或磁性帆。這種形式的推力除了來自太陽之外，不需要使用火箭或其他形式的能量輸入來推進，因此可以不受限制的使用。可以參考靜星（statite）所提出的這一種使用方法。

在同步軌道上環繞中心運轉的物體也會因為潮汐力產生軌道衰變。在軌道上的物體因為拖曳使主體產生潮汐隆起，並且因為在同步軌道之中的物體運動得比表面上的物體為快，因此隆起物的移動會滯後一個小的角度。隆起物的重力因而會在衛星的主軸上延著運動方向產生一個微小的分量。隆起的近端會使衛星減速得比遠端造成的加速還大，結果使得軌道衰變。反過來說，衛星給了隆起物一個扭矩，並且加速了他的自轉。人造衛星相對於行星來說是太微小了，因此對行星的潮汐效應影響不了軌道，但是在太陽系內有些衛星在這種機制下遭受過潮汐力造成的軌道衰變。火星最內側的衛星弗伯斯是一個最好的例子，在五千萬年內不是將撞擊至火星的表面，就是將被破壞而形成一個環帶。

最後，軌道還會因為重力波的輻射而衰變。這個機制對絕大多數的天體都是極端微弱的，只有在很巨大的質量和加速度的結合下，例如一對密接的黑洞或中子星互繞的情況下，才會顯現出來。

## 地球軌道

- 近地軌道
- 高橢圓軌道
- 地球同步軌道
- 對地靜止軌道
- 對地靜止轉移軌道
- 極軌道
- 太陽同步軌道

## 重力的測量

重力常數G被測定的值為：

- (6.6742 ± 0.001）× 10−11 N·m²/kg²
- (6.6742 ± 0.001) × 10−11 m³/（kg·s²）
- (6.6742 ± 0.001) × 10−11 (kg/m³)-1s-2.

因此這個常數的因次是密度-1時間-2，這對應於以下的性質。

距離的定標（包括物體的大小、維持相同的密度）給予相似的軌道，而毋須顧慮到時間：舉個例子，如果距離被減半，質量為八分之一，重力是16分之一，而重力加速度是二分之一，因此軌道周期維持不變。相似的，當一個物體由塔下墜，它落到地面所需的時間，由塔的尺度或地球的尺度測量都是一樣的。

當所有的密度是原來的四倍，若在相同的軌道上，則速度會加倍。

當所有的密度是原來的四倍，但所有的尺寸都減半，軌道還是相同的，有著一樣的軌道速度。

這些性質可以由下面的公式來解釋。

$$GT^2 \sigma = 3\pi \left( \frac{a}{r} \right)^3,$$

對一個半長軸為a的橢圓軌道，一個小物體繞著半徑為r，平均密度為σ的球體，T是軌道週期。

## 在原子學說演化中的角色

當探測原子結構的實驗在20世紀初期進行時，早期的原子圖像在庫侖力而不是重力的約束下被描繪成微型的太陽系。這與電動力學的論述不符，但是承襲這種圖像導出了精力充沛的電子狀態必須被限制在波函數的軌道上，因此模型進一步的導致量子論的發展。

## 外部連結

- An on-line orbit plotter: https://web.archive.org/web/20060207080804/http://www.bridgewater.edu/departments/physics/ISAW/PlanetOrbit.html
- Orbital Mechanics（Rocket and Space Technology）
- 受不同種類的力作用下的運行規跡 (Java模擬)