循環小數

<image>

循環小數，也稱為無限循環小數，是從小數部分的某一位起，一個數字或幾個數字，依次不斷地重複出現的小數。

## 定義

循環小數都為有理數的小數表示形式，例：

$${5 \over 4}=1.25=1.25000000\cdots=1.25\overline{0}=1.24999999\cdots=1.24\overline{9}$$

$${1 \over 3}=0.3333333\cdots=0.\overline{3}$$

$${1 \over 7}=0.{\color{red}142857}{\color{blue}142857}\cdots=0.\overline{142857}$$

## 性質

- 一個分母為n的循環小數的循環節位數最多不超過n-1位。若該數為素數，循環節位數一定是N-1的因數（參見：費馬偽素數）。為了證明這點，可用反證法。假設$n$的循環節為m，令m>n。將1/n乘以10，循環往復操作，會得到不同的餘數。根據餘數定義，餘數的個數等於分母本身。又因為當餘數為0的時候是整數而非循環小數，所以只有n-1種循環節。若長度為m位，則必有(m-n+1)種循環節無法輪替，所以一個分母為n的循環小數的循環節位數最多不超過n-1位。
- 根據分數$\frac{b}{a}$的情況分開討論

1.除數a為$2^m\times 5^n\times K$的倍數時，$b\div a$有max(m,n)個不循環位數，其中$b$為任意自然數，$K$為非$2^m,5^n$之其他數。

2.如果$1 \leqslant b < a$，a不是2或5的倍數，並且a與b互質，那麼存在一個正整數e，e為$b\div a$的循環節位數，而e=$\operatorname{min}\left \{ e\in \mathbb{N}:10^e\equiv 1 \pmod{a} \right \}$。

$10^e \equiv 1 \pmod{a}$表示$10^e-1$可以整除a，或稱$10^e$與1同餘）

事實上以該參考文獻的定理一公式推導式子:$\frac {10^d \times b}{a} = q +\frac {b}{a}$來看，$b>a$也成立，例如$\frac{2}{7}$與$\frac{9}{7}$，兩者循環小數一致，因為$\frac{8}{7}=1+\frac{1}{7}$，只差別在商，餘數皆為1(同餘)故成立。

3.承接以上兩點，當除數a可以質因數標準分解式表示成$(2^m\times 5^n)\times (P1^{S1}\times P2^{S2}\times$⋯$\times Pn^{Sn})$時，會有max(m,n)個不循環位數，和$E$個循環節位數。

其中，$P1^{S1}$, $P2^{S2}$,⋯,$Pn^{Sn}$分別各有e1,e2,...,en個循環節位數，存在一個最小公倍數$E=[$e1,e2,...,en$]$。

例：$\frac{11}{2^2\times3^2\times5^3\times7\times17}$的循環節個數？

答：前三位不循環（2 和 5 的最高次方為 3），循環節個數是 48（因為$3^2$的循環節位數為1，7的循環節位數為6，17的循環節位數為16，1,6,16=48）

## 化為分數的方法

0.xxx...=x/((10^(上取(log(x))))-1)

(可能未約至最簡)

(⬇另一方法)

- 先看有幾位「非循環節位數（${\color{blue}n\,\!}$）」和「循環節位數（${\color{red}m\,\!}$）」，算出後，將${\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ {\color{red}m\,\!} \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ 000 \cdots 0 } \\ {\color{blue}n\,\!} \end{matrix}}$擺於「分母」。
- 「分子」則是將「非循環節部分」和「循環節部分」併為一個數字，將其減去「非循環節部分」，即$a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n$，詳細公式如下。
- 公式：$0. a_1 a_2 a_3 \cdots a_{\color{blue}n\,\!} \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_{\color{red}m\,\!} }={{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {{\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ {\color{red}m\,\!} \end{matrix}}{\begin{matrix} \underbrace{ 000 \cdots 0 } \\ {\color{blue}n\,\!} \end{matrix}}}}$
- 令$x=0. a_1 a_2 a_3 \cdots a_n \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_m }$。
- 則$10^n x=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n . \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_m }$──①式。
- $10^{n+m} x=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m . \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_m }$──②式。
- ②－①⇒$\left( 10^{n+m}-10^n \right)x=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n$。
- $\begin{align} x & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {10^{n+m}-10^n}} \\ <pre> & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {10^n\left( 10^m-1 \right)}} \\ & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {\begin{matrix} \underbrace{ 1000 \cdots 0 } \\ n \end{matrix}} \times {\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ m \end{matrix}}} \\ & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {{\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ m \end{matrix}}{\begin{matrix} \underbrace{ 000 \cdots 0 } \\ n \end{matrix}}}} \\ </pre> \end{align}$。
- 範例：$0.1 \overline{23} = \frac{123-1}{990} = \frac{61}{495}$。
- 令$x = 0.1 \overline{23}$
- 則$10x = 1 . \overline{23}$、$1000x = 123 . \overline{23}$
- 兩式相減得$\left( 1000-10 \right)x = 123-1$，$990x = 122\,\!$
- ∴$x = \frac{61}{495}$。

## 計算方法

利用短除法可以將分數(有理數，$\mathbb{Q}$)轉化為循環小數。

例如$\frac{3}{7}$可以用短除法計算如下：

```
7|<u>3.00000000000000000</u>
  0.42857142857142857...
```

## 表示方法

循環小數在不同國家地區都有不同的表示慣例，但沒有一種慣例是通用的。

分數｜括線｜上點｜括號｜弧線｜省略號

1｜0.1｜0.｜0.(1)｜0.1｜0.111...

1｜= 3｜0.3｜0.｜0.(3)｜0.3｜0.333...

2｜= 6｜0.6｜0.｜0.(6)｜0.6｜0.666...

9｜= 81｜0.81｜0.｜0.(81)｜0.81｜0.8181...

7｜= 525｜0.583｜0.58｜0.58(3)｜0.583｜...

1｜=｜0.｜0.4285｜0.(142857)｜0.｜...

1｜=｜0.｜0.1234567｜0.(012345679)｜0.｜...

22｜=｜3.｜3.4285｜3.(142857)｜3.｜...

593｜=｜11.｜11.88679245283｜11.(1886792452830)｜11.｜...

- 括線：在美國、加拿大、印度、法國、德國、義大利、瑞士、捷克共和國、斯洛伐克、斯洛維尼亞、智利和土耳其，慣例是在重複的循環節上方繪製一條水平線（括線）。
- 上點：在一些伊斯蘭國家，如馬來西亞、摩洛哥、巴基斯坦、突尼西亞、伊朗、阿爾及利亞和埃及，以及英國、紐西蘭、澳大利亞、南非、日本、泰國、印度、大韓民國、新加坡和中國，慣例是將點放在重複的循環節最外圍的數字上方。
- 括號：在歐洲的部分地區，包括奧地利、丹麥、芬蘭、荷蘭、挪威、波蘭、俄羅斯和烏克蘭，以及越南和以色列，慣例是將重複的循環節放在括號中。這會與標準不確定性的符號混淆。
- 弧線：在西班牙和一些拉丁美洲國家，例如阿根廷、巴西和墨西哥，括線和上點以重複的循環節上的弧線替代。
- 省略號：非正式地，重複小數通常用省略號表示（三個句點，0.333…），尤其是在學校首次教授以前的符號慣例時。這種符號會帶來不確定性，即哪些數字應該循環，甚至是否會發生循環，因為這種省略號也用於無理數；例如，Π可以表示為3.14159…。

## 缺點

### 不唯一性

使用循環小數表示有理數的缺點在於表示方式的不唯一性，例如$1.000000\cdots=1.\overline{0}=0.\overline{9}=0.999999\cdots$

### 與進位制系統密切相關

由於循環小數與進位制系統密切相關，使得一些簡單的有理數在循環小數表示法中的表示形式相當複雜。如：${1 \over 17}=0.{\color{red}0588235294117647}{\color{blue}0588235294117647}\cdots=0.\overline{0588235294117647}$

但在某些進位制當中反而因為循環節較短，使得看起來相當簡單。如${1 \over 17}={1 \over 11}_{(16)}=0.{\color{red}0F}{\color{blue}0F}\cdots_{(16)}=0.\overline{0F}_{(16)}$

又或${1 \over 17}={1 \over 10}_{(17)}=0.1_{(17)}$