規範場論

規範場論（gauge theory）是基於對稱變換可以局部也可以全局地施行這一思想的一類物理理論。規範場論可分為阿貝爾規範場論和非阿貝爾規範場論。非阿貝爾群（非交換對稱群）的規範場論最常見的例子為楊-米爾斯理論。

物理系統往往用在某種變換下不變的拉格朗日量表述，當變換在每一時空點同時施行，它們有全局對稱性。規範場論推廣了這一思想，它要求拉格朗日量必須也有局部對稱性——應該可以在時空的特定區域施行這些對稱變換而不影響到另外一個區域。這個要求是廣義相對論的等效原理的一個推廣。

規範「對稱性」反映了系統表述的一個冗餘性。

規範場論在物理學上的重要性，在於其成功為量子電動力學、弱相互作用和強相互作用提供了一個統一的數學形式化架構——標準模型。這套理論精確地表述了自然界的三種基本力的實驗預測，它是一個規範群為SU(3)×SU(2)×U(1)的規範場論。像弦論這樣的現代理論，以及廣義相對論的一些表述，都是某種意義上的規範場論。

有時，規範對稱性一詞被用於更廣泛的含義，包括任何局部對稱性，例如微分同胚。該術語的這個含義不在本條目使用。

## 簡史

詹姆斯·麥克斯韋的電動力學是最早包含規範對稱性的物理理論。

馬克士威在他的論文裏特別提出，該理論源自開爾文男爵於1851年發現的關於磁矢勢的數學性質。但是，該對稱性的重要性在早期的表述中沒有被注意到。大衛·希爾伯特假設在座標變換下作用量不變，由此推導出愛因斯坦場方程時，但他也沒有注意到對稱性的重要。

之後，赫爾曼·外爾試圖統一廣義相對論和電磁學，他猜想「Eichinvarianz」或者說尺度（「規範」）變換下的「不變性」可能也是廣義相對論的局部對稱性。後來發現該猜想將導致某些非物理的結果。但是在量子力學發展以後，外爾、弗拉基米爾·福克和弗里茨·倫敦實現了該思想，但作了一些修改（把縮放因子用一個複數代替，並把尺度變化變成了相位變化—一個U(1)規範對稱性），這相應於帶電荷的量子粒子其波函數受到電磁場的影響，給定了一個漂亮的解釋。這是第一個規範場論。泡利在1940年推動了該理論的傳播。

1954年，為解決一些基本粒子物理中的巨大混亂，楊振寧和羅伯特·米爾斯引入非交換規範場論，來建構將核子綁在原子核中的強相互作用的模型。（Ronald Shaw，在阿卜杜勒·薩拉姆指導下，在他的博士論文中獨立地引入了相同的概念。）通過推廣電磁學中的規範不變性，他們試圖構造基於（非交換的）SU(2)對稱群在同位旋質子和中子對上的作用的理論，類似於U(1)群在量子電動力學的旋量場上的作用。在粒子物理中，重點在於量子化規範場論。

該思想後來被發現能夠用於弱相互作用的量子場論，以及它和電磁學的電弱統一理論中。當人們意識到非交換規範場論能夠導出漸近自由的時候，規範場論變得更有吸引力，因為漸近自由被認為是強相互作用的一個重要特點—因而推動了尋找強相互作用的規範場論的研究。這個理論現在稱為量子色動力學，是一個SU(3)群作用在夸克的色荷上的規範場論。標準模型用規範場論的語言統一了電磁力、弱相互作用和強相互作用的表述。

1970年代麥可·阿蒂亞爵士提出了研究經典楊-米爾斯方程的數學解的計劃。

1983年，阿蒂亞的學生西蒙·唐納森在這個工作之上證明了光滑4-流形的可微性分類和同胚性分類非常不同。麥可·弗里德曼採用唐納森的工作證明奇異R4的存在，也就是，歐幾里得4維空間上的奇異微分結構。這導致對於規範場論作為數學理論的興趣逐漸增加，獨立於它在基礎物理中的成功。

1994年，愛德華·威滕和內森·塞伯格發明了基於超對稱的規範場技術，使得特定拓撲不變量的計算成為可能。這些數學上的成果也導致了對該領域的新興趣。

## 經典規範場論

### 電磁學中的簡單的規範對稱性的例子

電路中接地的定義是規範對稱性的一個例子；當線路所有點的電位升高相同的值時，電路的行為完全不變；因為電路中的電位差不變。該事實的一個常見釋例是棲息在高壓電線上的鳥不會遭電擊，因為鳥對地絕緣。

這稱為整體規範對稱性Trefil,1983。電壓的絕對值不是真實的；真正影響電路的是電路組件兩端的電壓差。接地點的定義是任意的，但一旦該點確定了，則該定義必須全局的採用。

相反，如果某個對稱性可以從一點到另一點任意的定義，它是一個局域規範對稱性。

### 一個例子：標量 O(n) 規範場論

本節要求一些經典或量子場論的知識，以及拉格朗日量的使用。

本節中的定義：規範群，規範場，相互作用拉格朗日量，規範玻色子

下面解釋了局域規範不變性可以從整體對稱性質啟發式地「導出」，並且解釋了它如何導向原來不相互作用的場之間的相互作用。

考慮n個無相互作用的標量場，它們有相同的質量m。該系統用一個作用量表示，它是每個標量場φi的作用量之和

$$\mathcal{S} = \int \, d^4 x \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} \partial_\mu \varphi_i \partial^\mu \varphi_i - \frac{1}{2}m^2 \varphi_i^2.$$

拉格朗日量可以簡明的寫作

$$\ L = \frac{1}{2} (\partial_\mu \Phi)^T \partial^\mu \Phi - \frac{1}{2}m^2 \Phi^T \Phi$$

這是通過引入一個場的向量

$$\ \Phi = ( \varphi_1, \varphi_2,\ldots, \varphi_n)^T.$$

現在很明顯地，拉格朗日量在下面的變換中不變

$$\Phi \mapsto G \Phi$$

只要G是一個常數 矩陣，且屬於n-乘-n 正交群 O(n)。此為這個拉格朗日量的全局對稱性，而對稱群經常稱為規範群，在G-結構數學理論中則被稱為結構群。巧合的是，諾特定理蘊含著該變換群作用下的不變量導致如下的流的守恆

$$\ J^{a}_{\mu} = i\partial_\mu \Phi^T T^{a} \Phi$$

其中Ta矩陣是SO(n)群的生成元。每個生成元有一個守恆流。

現在，要求這個拉格朗日量必須有局域O(n)-不變性要求G矩陣（原來是常數）必須允許成為時空坐標x的函數。

不幸的是，G矩陣無法「穿遞」給導數。當G = G(x)。

$$\ \partial_\mu (G \Phi)^T \partial^\mu G \Phi \neq \partial_\mu \Phi^T \partial^\mu \Phi.$$

為了修正這個失誤，我們定義新的「導數」D

$$\ D_\mu (G(x) \Phi(x)) = G(x) D_\mu \Phi.$$

可以驗證這樣一個「導數」（稱為協變導數）有以下形式

$$\ D_\mu = \partial_\mu + g A_\mu(x)$$

其中規範場 A(x)定義為有如下變換律的場

$$\ A_{\mu}(x) \mapsto G(x)A_{\mu}(x)G^{-1}(x) - \frac{1}{g} \partial_\mu G(x) G^{-1}(x)$$

而g為耦合常數 - 定義一個相互作用強度的量。

規範場$\ A_{\mu}(x)$是李代數的一個元素，因此可以展開為

$$\ A_{\mu}(x)= \sum_a A_{\mu}^a (x) T^a$$

所以相互獨立的規範場和李代數的生成元一樣多。

最後，我們有了一個局域規範不變的拉格朗日量

$$\ L_\mathrm{loc} = \frac{1}{2} (D_\mu \Phi)^T D^\mu \Phi -\frac{1}{2}m^2 \Phi^T \Phi.$$

泡利把應用到象$\Phi$這樣的場上的變換稱為第一類規範變換，而把$A$中的補償變換稱為第二類規範變換。

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這個拉格朗日量和初始的全局規範不變的拉格朗日量的區別可以視為相互作用拉格朗日量

$$\ L_\mathrm{int} = \frac{g}{2} \Phi^T A_{\mu}^T \partial^\mu \Phi + \frac{g}{2} (\partial_\mu \Phi)^T A^{\mu} \Phi + \frac{g^2}{2} (A_\mu \Phi)^T A^\mu \Phi.$$

為了引入局部規範不變性，結果導致了n個標量場之間的相互作用。在這個經典場論的量子化版本中，規範場A(x)的量子稱為規範玻色子。相互作用拉格朗日量在量子場論中的解釋是標量玻色子通過交換這些規範玻色子來相互作用。

### 規範場的拉格朗日量

我們關於經典規範理論的圖像基本完成了，還剩協變導數D的定義，為此我們必須知道規範場 A(x) 在所有時空點的值。由其手工的設置這個場的值，它可以通過一個場方程的解給出。再進一步要求產生這個場方程的拉格朗日量也是局部規範不變的，規範場拉格朗日量可以（傳統地）寫作

$$\ L_\mathrm{gf} = - \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(F^{\mu \nu} F_{\mu \nu})$$

其中

$$\ F_{\mu \nu} = [D_\mu, D_\nu]$$

而跡在場的向量空間上取。此即為楊-米爾斯作用量。

注意在這個拉格朗日量中，沒有一個場$\Phi$的變換抵消了$A$的變換。該項在規範變換中的不變性是前面經典（幾何）對稱性的特殊情況。該對稱性必須被限制以施行量子化，這個過程被稱為規範固定，但是即使在限制之後，規範變換還是可能的。

O(n)規範場論的拉格朗日量現在成了

$$\ L = L_\mathrm{loc} + L_\mathrm{gf} = L_\mathrm{global} + L_\mathrm{int} + L_\mathrm{gf}$$

### 例子：電動力學

作為前面章節中發展的形式化表述的簡單應用，考慮電動力學的情形，只考慮電子場。產生電子場的狄拉克方程的最簡單作用量可寫成

$$\mathcal{S} = \int \bar\psi(i \gamma^\mu \partial_\mu - m) \psi \, d^4x.$$

該系統的全局對稱性是

$$\ \psi \mapsto e^{i \theta} \psi.$$

這裡的規範群是U(1)，也就是場的相位角，帶一個常數$\,\theta$。

「局部」化這個對稱性意味著用$\,\theta(x)\,$取代$\,\theta$。

一個合適的共變導數是

$$\ D_\mu = \partial_\mu + i e A_\mu.$$

將「荷」 e視為通常的電荷（這也是規範理論中這個術語的使用的來源），而把規範場A(x)視為電磁場的電磁四維勢得到一個相互作用拉格朗日量

$$\ L_\mathrm{int} = \bar\psi(x) \gamma^\mu \psi(x) A_{\mu}(x) = J^{\mu}(x) A_{\mu}(x).$$

其中J(x)是通常的電流密度的四維向量。規範原理因而可以視作以一種自然的方式引入了電子場與電磁場間的最小耦合。

像古典電動力學一樣，以場強度張量形式加入規範場A(x)的拉格朗日量，可以得到在量子電動力學中作為起點的拉格朗日量。

$$\ L = \bar\psi(i\gamma^\mu D_\mu - m)\psi - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}.$$

## 數學形式化

規範理論通常用微分幾何的語言討論。數學上，一個規範就是某個主叢的（局部）截面的一個選擇。一個規範變換也就是兩個截面間的變換。

注意，雖然規範理論被聯絡的研究占據了大部分（主要是因為它主要在高能物理中研究），聯絡這個概念一般而言其非規範理論的中心概念。事實上，一般規範理論的一個結果表明規範變換的仿射表示（也就是仿射模）可以分類到一種滿足特定屬性的節叢的截面。有些表示在每一點共變（物理學家稱其為第一類規範變換），有些表示象聯絡形式一樣變換（物理學家稱其為第二類規範變換，一種仿射表示），還有其它更一般的表示，例如BF理論中的B場。當然，我們可以考慮更一般的非線性表示（實現），但那很複雜。但是，非線性σ模型的變換是非線性地，所以它們也有用處。

若我們有一個主叢P其底空間是空間或時空而結構群是一個李群，則P的截面組成一個規範變換群的主齊性空間。

我們可以在該主叢上定義一個聯絡（規範聯絡），這可以在每個配叢上產生一個共變導數∇。若我們選擇一個局部標架（截面的局部基），我們就可以用聯絡形式A表示這個共變導數，一個值為李代數的1-形式，在物理學中稱為規範勢，它顯然不是內在性質，而是一個依賴於標架的選擇的量。從這個聯絡形式，我們可以構造曲率形式F，這是一個值為李代數的2-形式，這是一個內在量，定義為

$$\mathbf{F}=d\mathbf{A}+\mathbf{A}\wedge\mathbf{A}$$

其中 d 代表外微分而$\wedge$代表楔積。

無窮小規範變換形成一個李代數，可以被一個光滑李代數值的標量，ε所刻畫。在這樣一個無窮小規範變換下。

$$\delta_\varepsilon \mathbf{A}=[\varepsilon,\mathbf{A}]-d\epsilon$$

其中$[\cdot,\cdot]$是李括號。

一個有趣的結果是，若$\delta_\varepsilon X=\varepsilon X$，則$\delta_\varepsilon DX=\varepsilon DX$ 其中D是共變導數

$$DX\equiv dX+\mathbf{A}X.$$

而且，$\delta_\varepsilon \mathbf{F}=\varepsilon \mathbf{F}$，這意味著F共變地變換。

並非所有的規範變換都可以用無窮小規範變換生成；例如，當底流形是一個無邊界的緊緻流形，且從該流形到李群的映射的同倫類非平凡的時候。參看瞬子（instanton）中的例子。

楊-米爾斯作用現在可以如下給出

$$\frac{1}{4g^2}\int \operatorname{Tr}[*F\wedge F]$$

其中 * 代表霍奇對偶而積分和在微分幾何中的定義一樣。

一個規範-不變量也就是在規範變換下的不變量的例子是威爾遜環（Wilson loop），它定義在閉合路徑γ上，定義如下：

$$\chi^{(\rho)}\left(\mathcal{P}\left\{e^{\int_\gamma A}\right\}\right)$$

其中χ是複表示ρ的特徵標；而$\mathcal{P}$表示路徑排序算子。

## 規範理論的量子化

專用來量子化任何量子場論的方法也可用來量子化規範理論。但是，因為規範約束（參看上面的數學表述一節）的微妙性，會出現很多在其他場論不存在的技術問題，待為解決。同時，規範理論的更豐富的結構簡化了一些計算：例如Ward恆等式聯繫了不同的重整化常數。

### 方法和目標

第一個量子化的規範理論是量子電動力學（QED）。為此發展的最初的方法涉及規範固定和施行標準量子化。Gupta-Bleuler方法也被發展出來用於處理這個問題。非交換規範理論現在用很多不同的方法處理。量子化的方法在量子化條目有介紹。

量子化的要點，在於能夠計算理論所允許的各種過程的量子振幅。技術上，它們簡化為在真空態下的特定相關係數函數的計算。這涉及到理論的重整化。

當理論的變動耦合足夠小時，所有需要計算的量可以用微擾理論計算。設計用於簡化這樣的計算的量子化方案（例如標準量子化）可以稱為微擾量子化方案。現在一些這種方法導致了規範理論的更精確的試驗測試。

但是，在多數規範理論中，有很多有趣的問題是非微擾的。設計用於這些問題的量子化方案可以稱為非微擾量子化方案（像是格點規範場論）。這樣的方案的精確計算經常需要超級大量地計算，因而目前比其他方案的發展要少。

### 反常

一些理論經典的對稱性在量子理論中不再成立—這個現象稱為一個反常。最出名的包括：

- 共形反常，它導致了一個變動耦合常數。在QED中，這導致了朗道奇點（Landau pole）。在量子色動力學（QCD）中，這導致漸近自由。
- 手征反常，出現在費米子手性或者向量場論中。這通過瞬子的概念而和拓撲有緊密的關聯。

在QCD中，這個反常導致了π介子衰變成為兩個光子。

- 規範反常，在任何自洽的物理理論中必須消去。在電弱理論中，這個消去要求夸克和輕子數量相等。

## 參看

- 標準模型，電弱理論，量子色動力學
- 量子規範理論
- 庫侖規範，洛倫茨規範，外爾規範
- 規範共變導數
- 卡魯扎-克萊因理論
- 大一統理論
- 萬有理論