九章算術

《九章算術》九卷，是現存最早的中國古代數學著作之一，《算經十書》中最重要的一種。其作者不可考。後集成書約於公元前100年，匯集了周朝以來的古代數學知識，由西漢張蒼彙整。《九章算術》是人類科學史上應用數學的「算經之首」，也是中國古代演算法的扛鼎之作，更是一部與《幾何原本》並列為世界兩大數學體系的代表作。全書總共九章，分為二百四十六題二百零二術數學題，並提供其解法，這些演算法要比歐洲同類演算法早1500多年，對世界數學發展產生了重要影響。

## 歷史

根據研究，西漢的張蒼、耿壽昌曾經做過增補和整理，其時大體已成定本。其基本內容在西漢後期已經基本定型。九章算術將書中的所有數學問題分為九大類，就是「九章」。

1984年，在湖北出土了《算數書》書簡。據考證，它比《九章算術》要早一個半世紀以上，書中有些內容和《九章算術》非常相似，一些內容的文句也基本相同。有人推測兩書具有某些繼承關係，但也有不同的看法認為《九章算術》沒有直接受到《算數書》影響。

由於《九章算術》中只是列出了例子及一般的演算法，卻很少有任何解釋和說明，所以有很多人曾為《九章算術》作注，提出了簡括的證明，證明了一些演算法的正確性。較為著名的有在三國時期魏元帝景元四年（263年），劉徽為《九章》作注，加上自己的心得體會，使其便於被了解，而可以流傳下來。唐代李淳風又重新做注（656年），《算經十書》之一，也是國子監算學館的教材和明算科的考試項目。

## 體例

《九章算術》共收有246個數學問題，分為九大類，在一個或幾個問題之後，列出這個問題的解法。

- 方田章：主要是田畝面積的計算和分數的計算，是世界上最早對分數進行系統敘述的著作。
- 粟米章：主要是糧食交易的計算方法，其中涉及許多比例問題。
- 衰分章：主要內容為分配比例的演算法。
- 少廣章：主要講開平方和開立方的方法。
- 商功章：主要是土石方和用工量等工程數學問題，以體積的計算為主。
- 均輸章：計算稅收等更加複雜的比例問題。
- 盈不足章：雙設法的問題。
- 方程章：主要是聯立一次方程組的解法和正負數的加減法，在世界數學史上是第一次出現。
- 勾股章：勾股 定理，當時社會生活應用，即300年後出現之勾股定理其應用。

## 內容

### 實數系統

《九章算術》對自然數即正整數及其運算沒有給予論述，但卻加以廣泛應用，以自然數的基礎上編寫。雖然不是論述分數的專書，但是對於分數的意義、性質、四則運算論述完備。例如：合分術（加法）、減分術（減法）、乘分術（乘法）、經分術（除法）、課分術（比較大小）、約分術（簡化分數）與平分術（平均數）。

《九章算術》出現負數概念，方程章為了配合方程術的演算法，給出正負數的加、減法則。減法為「同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之」。加法為「異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之」。其中「除」是減，「益」是加，「無入」是指沒有對方，不過乘除法並未記載。

《九章算術》對自然數、分數、正負數以及一些特殊無理數給予一定的論述，基本上具備實數系統的雛形。

### 比例與盈虧演算法

粟米章所述今有術，即是四項比例演算法，按術文「以所有數乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一」。

今有術在《九章算術》應用非常廣泛，為一種解題的基本演算法。另一種常用的演算法是衰分章的衰分術，為配分比例演算法。其術文為：「各置列衰，副併為法，以所分乘未併者各自為實，實如法而一」。

《九章算術》以列衰的倒數為列衰，稱為反衰術。反衰術就是衰分術與反比例相結合的算分。而衰分術與反衰術相結合的演算法，就是均輸章的均輸術。《九章算術》不但有正比例演算法、而且還有反比例演算法、複比例演算法、連比例演算法以及配分比例演算法。這些演算法都是以今有術為基礎，發展而匯集起來的各種演算法。

盈不足術是中國古代一種解算術難題的演算法。一般算術應用題，都有確切答案。盈不足術為了推算答案，預先設立一個數字作為答案，依題目核算，若結果合問題，所設之數就是答案；若不合問，非盈即不足；通過兩次假設，即可利用盈不足術求出答案。這類問題共有五種，即一盈一不足，兩盈、兩不足、一盈一適足、一不足一適足。《九章算術》則匯集這五種問題，並給出演算法。

盈不足章除了擁有算術應用問題外，還包括一些初等超越方程問題，用這種模式演算法解出前一類問題得到確切解，用以解後一類問題則得近似解。

### 求積與勾股

《九章算術》論述的幾何圖形，多為直線型和圓型的圖形，根據算田畝的需要，《九章算術》論述方田、圭田、邪田、箕田、圓田、弧田、環田及宛圓的面積演算法。另外由於土木建築的需要，《九章算術》還有論述直線型立體和圓型立體圖形的體積演算法，這些體積演算法的編排，由簡單到複雜，形成獨特的理論體系。

勾股計算，《九章算術》分為四類問題。有勾股互求、勾股整數、勾股兩容、勾股相似。

勾股互求，即是已知勾股的一般線段，推求其他線段。勾股整數，即是《九章算術》給出推求勾、股、弦，都是整數的演算法。勾股兩容，為推求勾股形內接正方形及內切圓的演算法。勾股相似，為利用相似勾股形性質，進行簡單測遠、測高的演算法。

《九章算術》對幾何問題的處理，分為三部分，有體積演算法、面積演算法、線段演算法，分別隸屬於商功、方田、勾股三章。

### 開方與方程

《九章算術》列出的平方術、開立方術以及線性方程組的解法，可以看作中國古代代數學的主要內容。《九章算術》記載的這些演算法非常詳盡，經由這些論述，可以了解中國古代代數學發展的成果。

開平方術、開立方術，不但可以解出二項二次方程、二項三次方程，而且可以解出一般的二次數值方程和三次數值方程。它是中國古代解出高次數值方程的基礎，在數學的發展也有重要地位。

方程章所論「方程」，地位相當於今天線性方程組。所論「方程術」，為所謂「直除法」。「直除」是連續相減的意思或累減的意思，「直除法」為連續相減消元法，在理論上、演算法上與今天加減消元完全一樣。

在方程章所列十八題中，有的相當於二元一次方程組，有的相當於三元一次方程組，也有的相當於五元一次方程組。其中第十三題為：「今有五家共井，甲二綆不足，如乙一綆；乙三綆不足，如丙一綆；丙四綆不足，如丁一綆；丁五綆不足，如戊一綆；戊六綆不足，如甲一綆。如各得所不足一綆，皆逮。問井深，綆長各幾何」。所問是六個未知數之值，依題意只能列出五個一次方程，可見這是世界上最早的一次不定方程組。

## 影響

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《九章算術》總結了自先秦以來的中國古代數學，它既包含了以前已經解決了的數學問題，又有漢朝時新發現的數學成就。一般認為，它在數學史上，標誌著中國古代數學體系的形成，是中國古代數學體系的初期代表作。

《九章算術》問世之前的中國先秦典籍中，記錄了不少數學知識，但是卻沒有《九章算術》的系統論述，尤其是由易到難、由淺入深、從簡單到複雜的編排體例，從而形成中國傳統數學的理論體系。因而後世的中國數學家，都是從此開始學習和研究，唐、宋時，為國家明令規定的教科書，北宋時由政府刊刻，又是世界上最早的印刷本數學書。

《九章算術》中有許多數學問題都是世界上記載最早的。例如，關於比例演算法的問題，它和後來在16世紀西歐出現的三分律的演算法一樣。關於雙設法的問題，在阿拉伯曾稱為契丹演算法，13世紀以後的歐洲數學著作中也有如此稱呼的，這也是中國古代數學知識向西方傳播的一個證據。

《九章算術》對中國古代的數學發展有很大影響，這種影響一直持續到了清朝中葉。《九章算術》的敘述方式以歸納為主，先給出若干例題，再給出解法，不同於西方以演繹為主的敘述方式，中國後來的數學著作也都是採用敘述方式為主。歷代數學家有不少人曾經注釋過這本書，其中以劉徽和李淳風的注釋最有名。

《九章算術》隋、唐時，流傳到了日本和朝鮮，對其古代的數學發展也產生了很大的影響，之後更遠傳到印度、阿拉伯和歐洲，現已譯成日、俄、英、法和德等多種文字版本。

## 譯本

- 俄譯本：«Математика в девяти книгах» / Перевод и примечания Э. И. Березкиной // Историко-математические исследования. 1957.
- 德譯本：Chiu Chang Suan Shu, Neun Bucher Arithmetischer Technik, Ubersetzt von K.Vogel, F.Verlag 1968
- 英譯本：The Nine Chapters on the Mathematical Art, Companion and Commentary Translated and edited by Shen Kangshen（沈康身）, John Crossley and Anthony Lun ISBN 978-0-19-853936-0, Oxford University Press
- 法譯本：Chemla, Karine, and Shuchun Guo. . Les neuf chapitres: le classique mathmatique de la Chine ancienne et ses commentaires. 2004 Paris: Dunod.
- 日譯本：川原秀城「劉徽註九章算術」（『中國天文學・數學集』所収、1980年11月、朝日出版社）

## 外部連結

- 從《九章算術》看古代數學與儒學的關係
- 《九章算術》原文