黎曼積分

在實分析中，由黎曼創立的黎曼積分（Riemann integral）首次對函數在給定區間上的積分給出了一個精確定義。黎曼積分在技術上的某些不足之處可由後來的黎曼－斯蒂爾傑斯積分和勒貝格積分得到修補。

## 概念

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讓函數 $f$ 為定義在區間 $[a,b]$ 的非負函數，我們想要計算 $f(x)$所代表的曲線與 $x$坐標軸跟兩條垂直線 $x=a$ 跟 $x=b$ 所夾圖形的面積（既右圖區域 $S$ 的面積），可將區域 $S$ 的面積以下面符號表示：

$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx.$$

黎曼積分的基本概念就是對 x-軸的分割越來越細，則其所對應的矩形面積和也會越來越趨近圖形 $S$ 的面積（參考右方第二張圖）。同時請注意，如函數為負函數， $f:[a,b]\mapsto \R_{< 0}$，則其面積亦為負值。

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## 定義

### 區間的分割

一個閉區間$[a,b]$的一個分割P是指在此區間中取一個有限的點列$a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b$。(由a至b內的所有x)

每個閉區間$[x_i, x_{i+1}]$叫做一個子區間。定義$\lambda$為這些子區間長度的最大值：$\lambda = \max (x_{i+1}-x_i)$，其中$0 \le i \le n - 1$。

再定義取樣分割。一個閉區間$[a,b]$的一個取樣分割是指在進行分割$a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b$後，於每一個子區間中$[x_i, x_{i+1}]$取出一點$x_i \le t_i \le x_{i+1}$。$\lambda$的定義同上。

精細化分割：設$x_0,\ldots,x_n$以及$t_0,\ldots,t_{n-1}$構成了閉區間$[a,b]$的一個取樣分割，$y_0,\ldots,y_m$和$s_0,\ldots,s_{m-1}$是另一個分割。如果對於任意$0 \le i \le n$，都存在$r(i)$使得$x_i = y_{r(i)}$，並存在$r(i) \le j < r(i+1)$使得$t_i = s_j$，那麼就把分割：$y_0,\ldots,y_m$、$s_0,\ldots,s_{m-1}$稱作分割$x_0,\ldots,x_n$、$t_0,\ldots,t_{n-1}$的一個精細化分割。簡單來說，就是說後一個分割是在前一個分割的基礎上添加一些分點和標記。

於是我們可以在此區間的所有取樣分割中定義一個偏序關係，稱作「精細」。如果一個分割是另外一個分割的精細化分割，就說前者比後者更「精細」。

### 黎曼和

對一個在閉區間$[a,b]$有定義的實值函數$f$，$f$關於取樣分割$x_0,\ldots,x_n$、$t_0,\ldots,t_{n-1}$的黎曼和（積分和）定義為以下和式：

$$\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) (x_{i+1}-x_i)$$

和式中的每一項是子區間長度$x_{i+1}-x_i$與在$t_i$處的函數值$f(t_i)$的乘積。直觀地說，就是以標記點$t_i$到X軸的距離為高，以分割的子區間為長的矩形的面積。

### 黎曼積分

不太嚴格地來說，黎曼積分就是當分割越來越「精細」的時候，黎曼和趨向的極限。下面的證明中，會對「越來越『精細』」作出嚴格的定義。

要使得「越來越『精細』」有效，需要把$\lambda$趨於0。如此$[x_i, x_{i+1}]$中的函數值才會與$f(t_i)$接近，矩形面積的和與「曲線下方」的面積的差也會越來越小。實際上，這就是黎曼積分定義的大概描述。

嚴格定義如下：$S$是函數$f$在閉區間$[a,b]$上的黎曼積分，若且唯若對於任意的$\epsilon > 0$，都存在$\delta > 0$，使得對於任意的取樣分割$x_0,\ldots,x_n$、$t_0,\ldots,t_{n-1}$，只要它的子區間長度最大值$\lambda \le \delta$，就有：

$$\left|\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) (x_{i+1}-x_i) - S \right| < \epsilon.\,$$

也就是說，對於一個函數$f$，如果在閉區間$[a,b]$上，無論怎樣進行取樣分割，只要它的子區間長度最大值足夠小，函數$f$的黎曼和都會趨向於一個確定的值，那麼$f$在閉區間$[a,b]$上的黎曼積分存在，並且定義為黎曼和的極限，這時候稱函數$f$為黎曼可積的。

這個定義的缺陷是沒有可操作性，因為要檢驗所有$\lambda \le \delta$的取樣分割是難以做到的。下面引進另一個定義，然後證明它們是等價的。

另一個定義: $S$是函數$f$在閉區間$[a,b]$上的黎曼積分，若且唯若對於任意的$\epsilon > 0$，都存在一個取樣分割$x_0,\ldots,x_n$、$t_0,\ldots,t_{n-1}$，使得對於任何比其「精細」的分割$y_0,\ldots,y_m$ and $s_0,\ldots,s_{m-1}$，都有：

$$\left|\sum_{i=0}^{m-1} f(s_i) (y_{i+1}-y_i) - S \right| < \epsilon.\,$$

這兩個定義是等價的。如果有一個$S$滿足了其中一個定義，那麼它也滿足另一個。首先，如果有一個$S$滿足第一個定義，那麼只需要在子區間長度最大值$\lambda \le \delta$的分割中任取一個。對於比其精細的分割，子區間長度最大值顯然也會小於$\delta$，於是滿足

$$\left|\sum_{i=0}^{m-1} f(s_i) (y_{i+1}-y_i) - S \right| < \epsilon.\,$$

其次證明滿足第二個定義的$S$也滿足第一個定義。首先引進達布積分的概念，第二個定義和達布積分的定義是等價的，具體見達布積分。其次我們證明達布積分的定義滿足第一個定義。任選一個分割$x_0,\ldots,x_n$使得它的上達布和與下達布和都與$S$相差不超過$\frac{\epsilon}{2}$。令$r$等於$\max_{0 \le i \le n-1} (M_i-m_i)$，其中$M_i$和$m_i$是$f$在$[x_i,x_{i+1}]$上的上確界和下確界。再令$\delta$是$\frac{\epsilon}{2rn}$和$\min_{0 \le i \le n-1} (x_{i+1}-x_i)$中的較小者。可以看出，當一個分割的子區間長度最大值小於$\delta$時，$f$關於它的黎曼和與上達布和或下達布和至多相差$\frac{\epsilon}{2}$，所以和$S$至多相差$\epsilon$。

由於以上原因，黎曼積分通常被定義為達布積分（即第二個定義），因為達布積分比黎曼積分更簡單、更有可操作性。

## 黎曼積分的性質

- 線性性：黎曼積分是線性變換，也就是說，如果$f$和$g$在區間$[a,b]$上黎曼可積，$\alpha$和$\beta$是常數，則：

$$\int_{a}^{b}( \alpha f + \beta g)\,dx = \alpha \int_{a}^{b}f(x)\,dx + \beta \int_{a}^{b}g(x)\,dx.$$

由於一個函數的黎曼積分是一個實數，因此在固定了一個區間$[a,b]$後，將一個黎曼可積的函數設到其黎曼積分的映射$I: f \longrightarrow \int_{a}^{b} f dx$是所有黎曼可積的函數空間上的一個線性泛函。

- 正定性：如果函數$f$在區間$[a,b]$上幾乎處處（勒貝格測度意義上）大於等於0，那麼它在$[a,b]$上的積分也大於等於零。如果$f$在區間$[a,b]$上幾乎處處大於等於0，並且它在$[a,b]$上的積分等於0，那麼$f$幾乎處處為0。
- 可加性：如果函數$f$在區間$[a,c]$和$[c,b]$上都可積，那麼$f$在區間$[a,b]$上也可積，並且有

$$\int_{a}^{b} f dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx$$

無論a、b、c之間的大小關係如何，以上關係式都成立。

- $[a,b]$上的實函數$f$是黎曼可積的，若且唯若它是有界和幾乎處處連續的。
- 如果$[a,b]$上的實函數是黎曼可積的，則它是勒貝格可積的。
- 如果${f_n}$是$[a,b]$上的一個一致收斂序列，其極限為$f$，那麼：

$$\int_{a}^{b} f\, dx = \int_a^b{\lim_{n \to \infty}{f_n}\, dx} = \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n\, dx.$$

- 如果一個實函數在區間$[a,b],$上是單調的，則它是黎曼可積的。

## 黎曼積分的推廣

黎曼積分可推廣到值屬於$n$維空間$\mathbb{R}^n$的函數。積分是線性定義的，即如果$\mathbf{f} = (f_1, \dots, f_n)$，則$\int\mathbf{f} = (\int f_1,\,\dots, \int f_n)$。特別地，由於複數是實數向量空間，故值為複數的函數也可定義積分。

黎曼積分只定義在有界區間上，擴展到無界區間並不方便。可能最簡單的擴展是通過極限來定義積分，即如同反常積分（improper integral）一樣。我們可以令

$$\int_{-\infty}^\infty f(t)\,dt = \lim_{x\to\infty}\int_{-x}^x f(t)\,dt.$$

不幸的是，這並不是很合適。平移不變性（如果把一個函數向左或向右平移，它的黎曼積分應該保持不變）喪失了。例如，令$f(x) = 1$若$x > 0$，$f(0)=0$，$f(x)=-1$若$x<0$。則對所有$x$

$\int_{-x}^x f(t)\,dt = \int_{-x}^0 f(t)\,dt + \int_0^x f(t)\,dt = -x + x = 0$.

但如果我們將$f(x)$向右平移一個單位得到$f(x-1)$，則對所有$x > 1$，我們得到

$\int_{-x}^x f(t-1)\,dt = \int_{-x}^1 f(t-1)\,dt + \int_1^x f(t-1)\,dt = -(x+1) + (x-1) = -2$.

由於這是不可接受的，我們可以嘗試定義：

$$\int_{-\infty}^\infty f(t)\,dt = \lim_{a\to-\infty}\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(t)\,dt.$$

此時，如果嘗試對上面的$f$積分，我們得到$+\infty$，因為我們先使用了極限$b\to\infty$。如果使用相反的極限順序，我們得到$-\infty$。

這同樣也是不可接受的，我們要求積分存在且與積分順序無關。即使這滿足，依然不是我們想要的，因為黎曼積分與一致極限不再具有可交換性。例如，令$f_n(x)=1/n$在$[0,n]$上，其它域上等於0。對所有$n$，$\int f_n\,dx = 1$。但$f_n$一致收斂於0，因此$\lim f_n$的積分是0。因此$\int f\,dx \not= \lim\int f_n\,dx$。即使這是正確的值，可看出對於極限與普通積分可交換的重要準則對反常積分不適用。這限制了黎曼積分的應用。

一個更好的途徑是拋棄黎曼積分而採用勒貝格積分。雖然勒貝格積分是黎曼積分的擴展這點看上去並不是顯而易見，但不難證明每個黎曼可積函數都是勒貝格可積的，並且當二者都有定義時積分值也是一致的。

事實上黎曼積分的一個直接擴展是Henstock–Kurzweil積分。

擴展黎曼積分的另一種途徑是替換黎曼累加定義中的因子$x_i - x_{i+1}$，粗略地說，這給出另一種意義上長度間距的積分。這是黎曼-斯蒂爾切斯積分所採用的方法。