李代數

數學上，李代數是一個代數結構，主要用於研究像李群和微分流形之類的幾何對象。李代數因研究無窮小變換的概念而引入。「李代數」（以索菲斯·李命名）一詞是由赫爾曼·外爾在1930年代引入的。在舊文獻中，無窮小群指的就是李代數。

## 定義

李代數是一個在域 F 上的向量空間 $\mathfrak{g}$，具有滿足以下條件的二元運算$[\cdot,\cdot]:\mathfrak{g}\times \mathfrak{g}\to \mathfrak{g}$（稱為李括號）：

$$\forall a,b \in F,\,\forall x,y,z \in\mathfrak{g}$$

$$[a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], \quad [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y]$$

$$\forall x \in \mathfrak{g}$$

$$[x,x]=0$$

$$x, y, z \in \mathfrak{g}$$

$$[x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0$$

用雙線性來展開李括號$[x+y,x+y]$，並用交錯性來證明對所有x, y屬於$\mathfrak{g}$，均有$[x,y] + [y,x]=0\ $，我們可以從雙線性和交錯性推出反交換律：

- 反交換律

$$[x,y] = -[y,x], (\forall x, y \in\mathfrak{g})$$

$([x-y,x] = -[y,x] = [x-y,x-y+y] = [x-y,y] = [x,y])$。

反過來說，當F 的特徵不是 2時，反交換律也蘊含交錯性（不過，當特徵為2時，對於任何$x \in \mathfrak{g}, 2x$恆為零，故不能用$[x,x]=-[x,x]$得到$[x,x]=0$）。

用李括號表達的乘法不一定符合結合律。即 $[[ x , y ], z ]$ 與 $[x, [y, z]]$ 不一定相等。因此李代數通常並非環或結合代數。

### 生成元與維度

若某個李代數的元素$\mathfrak{g}$生成整個代數，那就表示包含這些元素的最小子代數是$\mathfrak{g}$本身。

李代數的維度則是其作為$F$上的向量空間的維度。一個李代數的最小生成集合的元素個數，總是小於等於其維度。

可見低維實李代數的分類一文以知其他小的例子。

## 例子

- 如果我們定義李括號等於$0$，則每個向量空間自然成為一個平凡的交換李代數。

- 如果選李括號為向量的叉乘，歐幾里得空間$\mathbb{R}^3$是一個李代數。

- 若一個結合代數$A$給定乘法$*$，它可以通過定義$[x,y]=x*y-y*x$而成為李代數。這個表達式稱為$x$和$y$的換位子。相反的，每個李代數可以嵌入到一個以這個方式從結合代數得到的李代數中。參看泛包絡代數。

- 另一個李代數的重要例子來自於微分幾何：可微流形上的光滑向量場在把李導數作為李括號的時候成為一個無窮維李代數。李導數把向量場$X$等同為作用在任何光滑標量場$f$上的偏微分算子，這是通過令$X(f)$為$f$在$X$方向的方向導數達成的。這樣，在表達式$(YX)(f)$中，並列$YX$表示偏微分算子的複合。然後，李括號$[X,Y]$定義為

$$[X,Y]f=(XY-YX)f$$

對於流形上的每個光滑函數$f$。

這是流形的微分同胚集合構成的無窮維李群的李代數。

- 李群的左不變向量場組成的向量空間在李括號這個操作下是閉的，因而是一個有限維李代數。或者，可以把屬於一個李群的李代數的向量空間看成是該群的么元的切空間。乘法就是群在么元的微分的換位子，$(a,b)\mapsto aba^{-1}b^{-1}$。

- 作為一個具體的例子，考慮李群$\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$，所有實係數行列式為$1$的$n\times n$矩陣。單位矩陣的切空間可以和所有跡為$0$的實$n\times n$矩陣等同起來，其來自於李群的李代數結構和來自矩陣乘法的交換子的相同。

更多李群和它們相應的李代數，請參看李群條目。

## 同態，子代數，和理想

在同樣基域$F$上的李代數$\mathfrak{g}$和$\mathfrak{h}$之間的一個同態$\phi: \mathfrak{g} \to \mathfrak{h}$是一個$F$-線性映射，使得對於所有$\mathfrak{g}$中的$x$和$y$有$[\phi(x),\phi(y)]=\phi([x,y])$。這樣的同態的複合也是同態，而域$F$上的李代數，和這些態射一起，組成了一個範疇。如果一個同態是雙射，它稱為同構，而兩個李代數$\mathfrak{g}$和$\mathfrak{h}$稱為同構的。對於所有的應用目的，同構的李代數是相同的。

李代數$\mathfrak{g}$的一個子代數是$\mathfrak{g}$的一個線性子空間$\mathfrak{h}$使得$[x,y]\in\mathfrak{h}$對於所有$x,y\in\mathfrak{h}$成立。則這個子代數自身是一個李代數。

李代數$\mathfrak{g}$的理想是$\mathfrak{g}$的一個子空間$\mathfrak{h}$，使得$[a,y]\in\mathfrak{h}$對於所有$a\in\mathfrak{g}$和$y\in\mathfrak{h}$成立。所有理想都是子代數。若$\mathfrak{h}$是$\mathfrak{g}$的一個理想，則商空間$\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$成為一個李代數，這是通過定義$[x + \mathfrak{h}, y + \mathfrak{h}] = [x, y] + \mathfrak{h}$為對於所有$x, y \in\mathfrak{g}$成立。理想剛好就是同態的核，而同態基本定理對於李代數是適用的。

## 李代數的分類

實和復李代數可以分類到某種程度，而這個分類是李群分類的重要一步。每個有限維實或復李代數作為一個唯一的實或復單連通李群的李代數出現（Ado定理），但是可能有一個以上的群，甚至一個以上的連通群，有這個相同的李代數。例如，群 SO(3)（行列式值為1的 3×3 正交群）和SU(2) （行列式為1的 2×2 酉矩陣）有相同的李代數，就是 R3，以叉乘為李括號。

李代數是「交換的」，如果李括號為0，也就是 x, y = 0 對於所有 x 和 y。更一般的，一個李代數 $\mathfrak{g}$ 是零冪（nilpotent）的，如果低中心序列（lower central series）

$$\mathfrak{g} > [\mathfrak{g},\mathfrak{g}] > [[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],\mathfrak{g}] > [[[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],\mathfrak{g}],\mathfrak{g}] > ...$$

最終為 0。按照Engel定理，李代數零冪若且唯若對每個 $\mathfrak{g}$ 中的 u 映射

$$ad(u):\mathfrak{g} \to \mathfrak{g}, \quad \operatorname{ad}(u)v=[u,v]$$

是零冪的。更一般的，李代數 $\mathfrak{g}$ 是可解的若導序列(derived series)

$$\mathfrak{g} > [\mathfrak{g},\mathfrak{g}] > [[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]] > [[[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]],[[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]]] > ...$$

最終成為0。

極大可解子代數成為波萊爾子代數。

李代數 g 稱為半單 如果 $\mathfrak{g}$ 唯一的可解理想是平凡的。等價的，$\mathfrak{g}$ 是半單的若且唯若基靈型 K(u,v) = tr(ad(u)ad(v)) 是非退化的；這裡 tr 表示跡算子。當域 F 的特徵數為 0， $\mathfrak{g}$ 半單單若且唯若每個表示都是完全可約的，也就是對於每個表示的不變子空間，有一個不變的補空間（外爾定理 Weyl's theorem）.

李代數是單的，如果它沒有非平凡理想並且非交換。特別的有，一個單李代數是半單的，更一般的，半單李代數是單李代數的直和。

半單復李代數可通過它們的根系分類。

## 範疇理論定義

使用範疇論的語言，李代數可以定義為向量空間範疇中的對象 A 和態射 $[\cdot, \cdot]: A \otimes A \to A$ 使得

- $$[\cdot, \cdot] \circ (\mathrm{id} + \tau_{A,A}) = 0$$
- $$[\cdot, \cdot] \circ ([\cdot, \cdot] \otimes \mathrm{id}) \circ (\mathrm{id} + \sigma + \sigma^2) = 0$$

其中$\tau(a \otimes b) := b \otimes a$ 而 σ 是複合 $(\mathrm{id} \otimes \tau_{A,A})\circ(\tau_{A,A} \otimes \mathrm{id})$的循環枚舉。用交換圖形式:

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