簡諧運動

簡諧運動，或稱簡諧振動、諧振、SHM（Simple Harmonic Motion），在平衡位置附近做周期性往復運動，即是最基本也是最簡單的一種機械振動。當某物體進行簡諧運動時，物體所受的力（或物體的加速度）的大小與位移的大小成正比，並且物體總是朝平衡位置移動。簡諧運動時產生的振蕩可以用正弦曲線來表示，並且如果不受摩擦或能量耗散的影響，振盪將無限持續下去。

如果用$F$表示物體受到的回復力，用$x$表示物體對於平衡位置的位移，根據胡克定律，$F$和$x$成正比，它們之間的關係可用下式來表示：

$F=-kx$

式中的$k$是回復力與位移成正比的比例係數；負號的意思是：回復力的方向總跟物體位移的方向相反。

根據牛頓第二定律「$F=ma$」當物體質量一定時，運動物體的加速度總跟物體所受合力的大小成正比，跟合力的方向相同，且系統的機械能守恆。

## 動力學方程

<image>

對於一維的簡諧振動，其動力學方程是二階微分方程，可由牛頓第二運動定律得到

$$F=ma=m\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}=m\ddot x$$

回復力又可表示為$F=-kx$

所以有$\ddot x+\frac{k}{m}x=0$

求解上述方程，得到的解含有正弦函數

$x(t) = c_1\cos\left(\omega t\right) + c_2\sin\left(\omega t\right) = A\cos\left(\omega t - \varphi\right)$，其中

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}},$$

$$A = \sqrt{{c_1}^2 + {c_2}^2},$$

$$\tan \varphi = \left(\frac{c_2}{c_1}\right),$$

$c_1$，$c_2$是由初始條件決定的常數。取平衡位置為原點，每項都有物理意義：$A$是振幅，$\omega = 2\pi f$是角頻率。

加速度可以作為時間的函數得到

$$v(t) = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = - A\omega \sin(\omega t-\varphi)$$

$v_{max}=\omega A$（在平衡位置）

$$a(t) = \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = - A \omega^2 \cos( \omega t-\varphi)$$

$a_{max}=\omega^2 A$（在最大位移處）

加速度也可以通過位移的函數得到

$a(x) = -\omega^2 x\!$。

因為 $\omega = 2 \pi f$。

$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$。

又因為周期 $T = \frac{1}{f}$，所以：$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$。

以上方程說明了簡諧振動具有等時性，即一個做簡諧振動的質點運動周期和振幅以及相位無關。

## 線性回復力

在運動過程中，物體所受力的大小與它的位移的大小成正比，而力的方向與位移的方向相反。具有這種性質的力稱為線性回復力。

## 彈簧

將一個有孔小球體與一個彈簧連在一在運動過程中，物體所受力的大小與它的位移的大小成正比，而力的方向與位移的方向相反。具有這種性質的力稱為線性回復力。平杆穿入小球體，使球體可以在水平杆上左右滑動，而球體與水平杆的摩擦力小得可以忽略不計。將彈簧的一端固定住，彈簧的整體質量要比球體質量小得多，這樣彈簧本身質量也可以忽略不計。這個系統便是一個彈簧振子。

彈簧振子系統在平衡狀態下，彈簧沒有形變，振子（小球體）在平衡位置保持靜止。若把振子拉過平衡位置，到達最大幅度，再鬆開，彈簧則會將振子向平衡位置收回。在收回的過程中，彈簧的勢能轉換為振子的動能，勢能在降低的同時，動能在增加。當振子到達平衡位置時，振子所積累的動能又迫使振子越過平衡位置，繼續向同樣的方向移動。但因已越過彈簧振子系統的平衡位置，所以這時彈簧開始對振子向相反方向施加力。動能轉作勢能，動能降低，勢能上升，直至到達離平衡位置最大幅度的距離。這時振子所有的動能被轉化為勢能，振子速度為零，停止運動。勢能又迫使振子移回平衡位置，在移動過程中，勢能轉為動能，因而再次越過平衡位置，重複這個過程。在沒有任何其他力影響的完美的條件下，這個彈簧振子系統會在兩個最大幅度點間不停地做往返運動。彈簧振子的固有週期和固有頻率與彈簧彈力係數和振子質量有關，與振幅大小無關。

## 振幅、週期和頻率

1.振幅

振幅$A$代表質點偏離中心（平衡位置）的最大距離，它正比於$\sqrt{E}$，即它的平方正比於系統的機械能E。

2.角頻率

角頻率：$\omega=2 \pi f$, 頻率f為周期T的倒數。

其中$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$。推導過程：

$$x=A\cos ({ \omega t + \phi })$$

對於時間t求導， $v=-A\omega\sin ({\omega t + \phi})$

再關於時間t求導，$a=-A\omega^2\cos ({ \omega t + \phi })$

由牛頓第二定律得$a = \frac {F}{m} = \frac {-kx}{m} = \frac {-A\cos ({ \omega t + \phi })k}{m}$

兩式聯立得$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$。

下圖為簡諧運動的圖像，表示的是振動物體的位移隨時間變化的規律。是一條正弦或餘弦曲綫。

<image>

這個運動是假設在沒有能量損失引致阻尼的情況而發生。振幅描繪了振動的強弱，是標量，大小為最大位移的大小，質點在一次全振動過程中通過的路程等於4倍振幅。完成一次全振動的時間叫週期，單位時間內完成全振動的次數叫頻率，週期和頻率描繪了振動的快慢。

## 簡諧振動的判定

如果一個質點在運動中所受的合外力是一個簡諧力

$$F = - k x$$

即合外力的大小與位移成正比且方向相反，那麼我們稱這個質點的運動是簡諧振動。在彈簧振子模型中，比例係數$k$即為彈簧係數，或稱倔強係數（勁度係數）。

如果一個質點的運動方程有如下形式

$$x = A \cos{( \omega t + \phi)}$$

即，質點的位移隨時間的變化是一個簡諧函數，顯然此質點的運動為簡諧振動。

如果一個質點的動力學方程可以寫成

$$\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} + \omega^2 x = 0$$

其中$\omega^2$為正的實數。則質點的運動是一個簡諧振動

如果質點在運動過程中具有形式為$( \frac{1}{2} k x^2)$的彈力勢能，且

$$\frac {1}{2} m v^2 + \frac {1}{2} k x^2 = E$$

則質點的運動為簡諧振動

應該說明：

- 以上各判定方法是完全等價的。
- 以上各表達式中的$x$既可以是線量（線位移），又可以是角量（角位移），相應的，速度可以為線速度和角速度，對應的加速度是線加速度和角加速度。

## 例子

### 彈簧

把質量為$M$的物體懸掛在彈力常數為k的彈簧的底端，則物體將進行簡諧運動，其方程為：

$$\omega=2 \pi f = \sqrt{\frac{k}{M}}.\,$$

如果要計算它的周期，可以用以下的公式：

$T= \frac{1}{f} = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{k}}$。

總能量是常數，由方程$E = \frac{kA^2}{2}$給出。

### 等速率圓周運動

等速率圓周運動的一維投影是簡諧運動。如果物體以$\omega$的角速率沿著半徑為$R$的圓移動，則它在x軸、y軸或任意一條直徑上的投影會是簡諧運動，其振幅為$R$，角速率為$\omega$。

### 單擺

在偏角不太大的情況（一般認為小於5°）下，單擺的運動可以近似地視為簡諧運動。如果單擺的長度為$\ell$，重力加速度為$g$，則周期為：

$$T= 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$$

這個公式僅當偏角很小時才成立，因為角加速度的表達式是與位置的正弦成正比的：

$$\ell m g \sin(\theta)=I \alpha$$

其中I是轉動慣量，在這種情況下$I = m\ell^2$。當$\theta$很小時，$\sin(\theta) \approx \theta$，因此上式變為：

$$\ell m g \theta=I \alpha$$

這使得角加速度與$\theta$成正比，滿足了簡諧運動的定義。單擺的回復力是擺球的重力沿運動方向的分力。

## 參閱

- 平移運動
- 勻速運動
- 平拋運動
- 曲線運動