歐姆定律

在電路學裡，歐姆定律（Ohm's law）表明：定溫下，電導體兩端的電壓 $V$與通過電導體的電流 $I$ 成正比。數學表達式為：

$$V \propto I$$

因此，對於任意電導體（電路、電路元件、甚至電阻器），電阻 $R$ 可定義為此正比關係的比例常數：

$$R\ \stackrel{def}{=}\ \frac{V}{I}$$

且可得到下列方程式：

$$V=I*R$$

不論電流、電壓為何，電阻定義均為電壓除以電流。此外，任何電導體都有電阻，即使超導體在一般溫度下也具有微小的電阻。

然而並不是每一種元件都遵守歐姆定律，此定律是經過多次實驗而推斷的法則，只有在理想狀況下，才會成立。凡是遵守歐姆定律的元件或電路都稱為「歐姆元件」或「歐姆電路」或「歐姆式導體」，其電阻與電流、電壓的變動無關；不遵守歐姆定律的元件或電路稱為「非歐姆元件」或「非歐姆電路」或「非歐姆式導體」，其電阻可能會與電流、電壓的變動有關。

歐姆定律是因德國物理學家格奧爾格·歐姆命名。於1827年，在他發表的一本通論《直流電路的數學研究》（The galvanic Circuit investigated mathematically）裏，他詳細的論述簡單電路兩端的電壓與流動於電路的電流之間的關係。他所論述的關係比較複雜，稍後會有更詳細說明。上述方程式乃是歐姆定律的現代版本。

對於電阻物質或導電物質，歐姆定律可以推廣為：

$$\mathbf{E} = \rho \mathbf{J}$$

$$\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$$

其中，$\mathbf{E}$是電場，$\mathbf{J}$是物質的電流密度，$\rho$是物質的電阻率，$\sigma=1/\rho$是物質的電導率。

遵守歐姆定律的物質，稱為「歐姆物質」，其電阻率$\rho$和電導率$\sigma$與電流密度、電場無關。

## 歷史

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早於1753年，義大利物理學家喬凡尼·貝卡立亞就在研究物質的導電性質。他在電路裏加裝了盛滿了水的玻璃管。當開啟電路後，發現玻璃管的截面面積越大，電流的放電強度越大。

英國物理學家亨利·卡文迪什也曾做過很多實驗，研究電動勢、電流、電阻之間的關係。他使用萊頓瓶為電流源，將電流通過在各種尺寸的玻璃試管裏盛裝的鹽溶液，靠著調整鹽溶液的高度，他可以控制放電強度。卡文迪什把自己身體當作一台生理檢流計，從親身體驗被電擊後的感覺，來估計電流的放電強度。他又選擇出一個裝滿鹽溶液的玻璃試管為標準，然後比較標準放電與試樣放電，按照放電強度的大小來估計它們的電阻。這樣，他可以定量地描述每一種試樣。於1781年1月，他記錄在筆記裏，電流與電動勢成正比。但是，他並沒有將這些珍貴的實驗結果告訴任何科學家。一直到馬克士威於1879年替他編輯注釋為著作《卡文迪什的電學研究》（The electrical researches of the Honourable Henry Cavendish）後，才見諸世面。注意到卡文迪什使用的儀器相當原始粗陋，靠身體感覺很難做出精準的測量，萊頓瓶並不是穩定電流源。所以，學術界認為這耽擱了近百年的實驗結果並不足以證實歐姆定律。

從1825年到1826年之間，歐姆做了很多關於電阻的實驗。於1827年，他將得到的結果一同發表在著作《直流電路的數學研究》（The galvanic Circuit investigated mathematically）裏。他從傅立葉對於熱傳導的研究得到了相當多的靈感，借用了很多傅立葉的點子來論述自己的結果。

歐姆是一位優秀的實驗者，很會設計與製造實驗設備，又具有精湛的數學修養與嚴謹的敬業態度。剛開始，他使用伏打電堆為電源，用安裝於扭秤（torsion balance）的磁針來測量電流的磁場力。載流導線的電流所產生的磁場與電流成正比，只要測量在載流導線附近的磁針所感受到的磁場力，就可以知道電流。他將電流通過不同長度的檢驗電線；由於長度不同，電阻也不同。歐姆仔細分析實驗結果，得到經驗方程式

$$\Delta I=m \ln\left(1+\frac{x}{a}\right)$$

其中，$\Delta I$是檢驗電線造成的電流差值，$m$是跟實驗參數有關的係數，$x$是檢驗電線的長度，$a$是跟固定長度的載流導線有關的常數。

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歐姆很快地就覺得這方程式不太對勁。大約三年前，湯瑪斯·澤貝克發明使用熱電偶為電源。這種電源比伏打電源穩定。採納《物理與化學年鑑》的總編輯約翰·波根多夫（Johann poggendorff）的建議，歐姆改用熱電偶為電源，將實驗重做一遍，得到經驗方程式：

$$X= \frac{a}{b + x}$$

其中，$X$是扭秤讀值，$a$是跟電動勢有關的常數，$b$是跟內部電阻有關的常數，$x$是檢驗電線的長度。

仔細詮釋這些變量，將$X$、$a$、$b$、$x$分別詮釋為電流$I$、電壓$V$、內部電阻$r$、檢驗電阻$R_x$，那麼，假定總電阻$R$為$r + R_x$則經驗方程式變為歐姆定律的現代方程式版本：

$$I= \frac{V}{R}$$

歐姆定律可能是早期電學史最重要的定量理論。但是，當歐姆最初發表他的結果時，很多學術界同仁都激烈地批評反對他的理論。德國教育部長指責：「鼓吹這種異端邪說的教授不配教導科學。」物理教授格奧爾格·魄爾（Georg Pohl）這樣批評歐姆的著作：「以崇高眼光仰看這世界的人士，必須遠離這本無可救藥、妄生穿鑿的謬書，其唯一目的乃是徹底詆毀大自然的尊嚴。」。那時候，德國正盛行的黑格爾哲學認為，因為大自然井井有序，而且只要經過合理推論就可獲得科學真理，所以，並不需要靠做實驗來了解大自然。歐姆的實驗方法可能引起了黑格爾門徒的強烈反感。

1839年，法國物理學家，克勞德·普雷特（Claude Pouillet）確定歐姆的實驗結果。同時，歐姆成為柏林科學院的院士。在英國，查爾斯·惠斯通又重新核對了歐姆的實驗結果。1841年，歐姆被選為皇家學會的外籍會員。1852年，歐姆榮膺為慕尼黑大學的物理學系主任。

於1920年，物理學家發現，通過理想電阻器的電流會出現統計漲落，雖然當電壓和電阻為常數時，統計漲落會跟溫度有關。這種漲落稱為詹森-奈奎斯特噪音（Johnson–Nyquist noise），是因為電荷的離散秉性而產生的現像。這熱效應意味著，假若取樣的時間間隔足夠短暫，電流或電壓的測值，其比例跟時間平均比例或系綜平均（ensemble average）比例相比較，會出現漲落；也就是說，每一個電阻$R$的取樣值，跟$R$的時間平均或系綜平均相比較，會出現漲落。對於普通電阻物質案例，經過平均程序後，歐姆定律仍舊正確無誤。

歐姆對於電阻的研究在馬克士威方程組出現之前很久，那時科學家對於交流電路的頻率相關效應也不了解。但是，在適當範圍內，現代電磁理論與現代電路理論並沒有發現任何與歐姆定律相悖之處。

## 水力學類比

歐姆定律可以用水力學類比（hydraulic analogy）來描述。測量單位為帕斯卡的水壓，可以類比為電壓。在一根水管裏，由於任意兩點之間的水壓差會造成水流，水的流速（單位是公升每秒），可以類比為電流（單位是庫侖每秒）。「流量限制器」是安裝於水管與水管之間控制流量的閥門，可以類比為電阻器。通過流量限制器的水流流量，跟流量限制器兩端的水壓成正比，類似地，通過電阻器的電荷流量（電流），跟電阻器兩端的電壓成正比。這正是歐姆定律的論述。

流體流動網路的流量和流壓可以用水力學類比方法來計算。這方法可以應用於穩定流和暫態流（transient flow）。對於線性層流，泊肅葉定律（Poiseuille's law）描述水管的水阻，但是對於湍流，流壓-流量關係變為非線性。

## 熱力學類比

設定電導體的電導率與兩端的電壓，歐姆定律可以預測出通過這電導體的電流密度。類似地，設定熱導體的熱導率與兩端的溫差，約瑟夫·傅立葉的熱傳導定律可以預測通過這熱導體的熱流。同樣的方程式形式可以描述這兩種現象。對於每一種案例，方程式的變量有不同的意義。具體而言，歐姆定律的方程式為：

$$\mathbf{J}= - \sigma \nabla V$$

而熱傳導定律的方程式為：

$$\boldsymbol{\Gamma}= - k \nabla T$$

其中，$\boldsymbol{\Gamma}$是熱通量（heat flux），$k$是導熱體的熱導率，$T$是溫度。

思考參數為溫度、熱導率與熱通量的熱傳導問體，和參數為電壓、電導率與電流密度的電傳導問體。這兩個問題相互等價。假若能夠解析一個熱傳導問體，則也能夠解析電傳導問題；反之亦然。

## 電路分析

在電路學裏，電阻器（歐姆電阻器）是一種電路元件，其電阻與電壓、電流無關。電阻器可以按照歐姆定律阻抗電荷的通過。每一個電阻器都有其設計製成的電阻$R$。更嚴格地說，電阻器是在某操作域內遵守歐姆定律的電路元件；歐姆定律和唯一電阻值足夠描述這元件在相關操作域的行為。

### 串聯電阻電路

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串聯電阻的總電阻等於各個電阻之和，以方程式表示。

$$R_\mathrm{total} = R_1 + R_2 + \cdots + R_n$$

其中，$R_n$是第$n$個電阻，$R_\mathrm{total}$是總電阻。

假設在電路兩端的電壓為$V$，則通過的電流為$I = {V}/{R_{total}}$。假設每一個電阻器都遵守歐姆定律，則這電路是電阻為$R_\mathrm{total}$的歐姆電路。

### 並聯電阻電路

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相互並聯的電阻，其總電阻的倒數等於其每個電阻的倒數和，以方程式表示：

$${1 \over R_\mathrm{total}} = {1 \over R_{1}} + {1 \over R_{2}} + \cdots + {1 \over R_{n}}$$

假設在電路兩端的電壓為$V$，則通過的電流為$I = {V}/{R_{total}}$。假設每一個電阻器都遵守歐姆定律，則這電路是電阻為$R_\mathrm{total}$的歐姆電路。

### 週期性激發

電容器、電感器、傳輸線等等，都是電路的電抗元件。假設施加週期性電壓或週期性電流於含有電抗元件的電路，則電壓與電流之間的關係式變成微分方程式。因為歐姆定律的方程式只涉及實值的電阻，不涉及可能含有電容或電感的複值阻抗，所以，前面闡述的歐姆定律不能直接應用於這狀況。

最基本的週期性激發，像正弦激發或餘弦激發，都可以用指數函數來表達：

$$\sin{\omega t} =\frac{1}{2j}(e^{j\omega t} - e^{ - j\omega t})$$

$$\cos{\omega t} =\frac{1}{2}(e^{j\omega t} + e^{ - j\omega t})$$

其中，$j$是虛數單位，$\omega$是實值角頻率，$t$是時間。

假設週期性激發為單頻率正弦激發，其角頻率為$\omega$。電阻為$R$的電阻器，其阻抗${Z}$為：

$${Z} =R$$

電感為$L$的電感器，其阻抗為：

$${Z} = j\omega L$$

電容為$C$的電容器，其阻抗為：

$${Z} =1/ j\omega C$$

電壓${V}$與電流${I}$的關係式為：

$${V} = {I} {Z}$$

注意到將阻抗${Z}$替代電阻$R$，就可以得到這歐姆定律方程式的推廣。只有${Z}$的實值部分會造成熱能的耗散。

對於這系統，電流和電壓的複值波形式分別為：

$${I} ={I}_0 e^{j\omega t}$$

$${V} ={V}_0 e^{j\omega t}$$

電流和電壓的實值部分$real({I})$、$real({V})$分別描述這電路的真實正弦電流和正弦電壓。由於${I}_0$、${V}_0$都是不同的複值純量，電流和電壓的相位可能會不一樣。

週期性激發可以傅立葉分解為不同角頻率的正弦函數激發。對於每一個角頻率的正弦函數激發，可以使用上述方法來計算響應。然後，將所有響應總和起來，就可以得到解答。

### 線性近似

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歐姆定律是電路分析（circuit analysis）使用的幾個基本方程式之一。它可以應用於金屬導電體或特別為這行為所製備的電阻器。在電機工程學裏，這些東西無所不在。遵守歐姆定律的物質或元件稱為「歐姆物質」或「歐姆元件」。理論上，不論施加的電壓或電流、不論是直流或交流、不論是正極或負極，它們的電阻都不變。

但是，有些電路元件不遵守歐姆定律，它們的電壓與電流之間的關係（V-I線）乃非線性關係。PN接面二極體是一個顯明範例。如右圖所示，隨著二極體兩端電壓的遞增，電流並沒有線性遞增。給定外電壓，可以用V-I線來估計電流，而不能用歐姆定律來計算電流，因為電阻會因為電壓的不同而改變。另外，只有當外電壓為正值時，電流才會顯著地遞增；當施加的電壓為負值時，電流等於零。對於這類元件，V-I線的斜率$\mathfrak{r}$，稱為「小信號電阻」（small-signal resistance）、「增量電阻」（incremental resistance）或「動態電阻」（dynamic resistance），定義為

$$\mathfrak{r}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}I}$$

單位也是歐姆，是很重要的電阻量，適用於計算非歐姆元件的電性。

## 溫度效應

詹姆斯·馬克士威詮釋歐姆定律為，處於某狀態的導電體，其電動勢與產生的電流成正比。因此，電動勢與電流的比例，即電阻，不會隨著電流而改變。在這裡，電動勢就是導電體兩端的電壓。參考這句引述的上下文，修飾語「處於某狀態」，詮釋為處於常溫狀態，這是因為物質的電阻率通常跟溫度有關。根據焦耳定律，導電體的焦耳加熱（Joule heating）與電流有關，當傳導電流於導電體時，導電體的溫度會改變。電阻對於溫度的相關性，使得在典型實驗裏，電阻跟電流有關，從而很不容易直接核對這形式的歐姆定律。於1876年，馬克士威與同事，共同設計出幾種測試歐姆定律的實驗方法，能夠特別凸顯出導電體對於加熱效應的響應。

## 其它版本的歐姆定律

在電機工程學和電子工程學裏，歐姆定律妙用無窮，因為它能夠在宏觀層次表達電壓與電流之間的關係，即電路元件兩端的電壓與通過的電流之間的關係。在物理學裏，對於物質的微觀層次電性質研究，會使用到的歐姆定律，以向量方程式表達為：

$$\mathbf{E} = \rho \mathbf{J}$$

$$\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$$

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在導體內任意兩點g、h，定義電壓為將單位電荷從點g移動到點h，電場力所需做的機械功：

$$V_{gh}\stackrel{def}{=}\ \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}q}=\int_g^h {\mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}}=\rho\int_g^h {\mathbf{J} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}}$$

其中，$V_{gh}$是電壓，$w$是機械功，$q$是電荷量，$\mathrm{d} \mathbf{l}$是微小線元素。

假設，沿著積分路徑，電流密度$\mathbf{J}=J\hat{\mathbf{l}}$為均勻電流密度，並且平行於微小線元素：

$$\mathrm{d} \mathbf{l}=\mathrm{d} l\hat{\mathbf{l}}$$

其中，$\hat{\mathbf{l}}$是積分路徑的單位向量。

那麼，可以得到電壓：

$$V_{gh}=J\rho l$$

其中，$l$是積分路徑的徑長。

假設導體具有均勻的電阻率，則通過導體的電流密度也是均勻的：

$$J = I/a$$

其中，$a$是導體的截面面積。

電壓$V_{gh}$簡寫為$V$。電壓與電流成正比：

$$V=V_{gh}= I \rho l/a$$

總結，電阻與電阻率的關係為：

$$R = \rho l/a$$

假設$J>0$，則$V>0$；將單位電荷從點g移動到點h，電場力需要作的機械功$w>0$。所以，點g的電勢比點h的電勢高，從點g到點h的電勢差為$- V$。從點g到點h，電壓降是$V$；從點h到點g，電壓升是$V$。

給予一個具有完美晶格的晶體，移動於這晶體的電子，其運動等價於移動於自由空間的具有有效質量（effective mass）的電子的運動。所以，假設熱運動足夠微小，週期性結構沒有偏差，則這晶體的電阻等於零。但是，真實晶體並不完美，時常會出現晶體缺陷（crystallographic defect），有些晶格點的原子可能不存在，可能會被雜質侵佔。這樣，晶格的週期性會被擾動，因而電子會發生散射。另外，假設溫度大於絕對溫度，則處於晶格點的原子會發生熱震動，會有熱震動的粒子，即聲子，移動於晶體。溫度越高，聲子越多。聲子會與電子發生碰撞，這過程稱為晶格散射（lattice scattering）。主要由於上述兩種散射，自由電子的流動會被阻礙，晶體因此具有有限電阻。

凝聚態物理學研究物質的性質，特別是其電子結構。在凝聚態物理學裏，歐姆定律更複雜、更廣義的方程式非常重要，屬於本構方程式（constitutive equation）與運輸係數理論（theory of transport coefficients）的範圍。

## 經典微觀表述

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當施加外電場於導電體時，電流密度的響應，基本上是屬於量子力學性質。詳盡細節，請參閱經典與量子電導率（classical and quantum conductivity）。保羅·德魯德於1900年研究出的德魯德模型，可以用經典物理解釋歐姆定律，描述自由電子移動於金屬導電體的物理行為。

在德魯德模型裏，自由電子會不停地移動碰撞於固定不動、組成整個金屬導電體晶格的正價離子之間。金屬裏的每一個自由電子，感受到電場力的作用，會呈加速運動。但是每當自由電子與晶格發生碰撞，其動能會遭受損失，以熱能的形式將能量釋放給離子，所以，電子的平均移動速度是漂移速度，其漂移速度的方向與電場方向相反。

電子感受到的平均電場力$\mathbf{F}_{ave}$為：

$$\mathbf{F}_{ave} = - e \mathbf{E}_{ave}$$

其中，$\mathbf{E}_{ave}$是平均電場，$e$是單位電荷量。

德魯德計算出漂移速度$\mathbf{v}_{d}$為：

$$\mathbf{v}_{d} = - e \mathbf{E}_{ave}\tau/m$$

其中，$\tau$是平均自由時間（mean free time），是碰撞之間的平均時間間隔，$m$是電子的質量。

在金屬裏，電荷載子為電子，所以電流密度與漂移速度的關係為：

$$\mathbf{J} = - ne\mathbf{v}_{d}=ne^2 \tau\mathbf{E}_{ave}/m$$

其中，$n$是電子密度。

假設電場是均勻電場，$\mathbf{E} =\mathbf{E}_{ave}$，設定電阻率為：

$$\rho=\frac{m}{ne^2 \tau}$$

則電場與電流密度的關係為：

$$\mathbf{E} =\rho\mathbf{J}$$

注意到漂移速率$v_{d}$超小於熱速率$v_{t}$。

$$\frac{1}{2}m v^2_{t} =\frac{3}{2}k_B T$$

其中，$k_B$是波茲曼常數，$T$是溫度。

因此，平均自由時間與熱速率有關，與漂移速率無關，所以平均自由時間也與電流密度、電場無關。質量、電子密度、單位電荷，都與電流密度、電場無關。總結，電阻率與電流密度、電場無關。

### 磁效應

前面得到的答案只成立於導電體的參考系。在經典電磁學裏，假設處於磁場$\mathbf{B}$的導電體，以相對速度$\mathbf{v}_0$移動於磁場的參考系$\mathcal{S}$，則電子感受到的平均勞侖茲力$\mathbf{F}_{ave}$為：

$$\mathbf{F}_{ave} = - e(\mathbf{E}_{ave}+\mathbf{v}_0\times\mathbf{B}_{ave})$$

漂移速度$\mathbf{v}_{d}$為：

$$\mathbf{v}_{d} = - e(\mathbf{E}_{ave}+\mathbf{v}_0\times\mathbf{B}_{ave})\tau/m$$

電場與電流密度的關係為：

$$\mathbf{J} = - ne\mathbf{v}_{d} =ne^2\tau(\mathbf{E}_{ave}+\mathbf{v}_0\times\mathbf{B}_{ave})/m$$

所以，歐姆定律的形式推廣為：

$$\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B} =\rho \mathbf{J}$$

## 常見錯誤

不少人會認為歐姆定律是在說明

$$V=iR$$

實際上，上式只是電阻的定義，而歐姆定律所主張的是任何物件都會滿足

$$V \propto i$$

是一個錯誤的主張。（僅對部分歐姆式導體正確）

## 參閱

- 薄膜電阻
- 菲克擴散定律
- 霍普金森定律（Hopkinson's law，靜磁學的歐姆定律）