哈勃–勒梅特定律

在物理宇宙學裏，哈伯–勒梅特定律（Hubble-Lemaître law）指遙遠星系的退行速度與它們和地球的距離成正比，換句話說，離我們越遙遠的星系，遠離我們的速度越快。通常天文學家通過測量紅移，也就是星系發出的光的波長的變化，來測定星系的退行速度。

這條定律原先稱為哈伯定律（Hubble's law），以證實者埃德溫·哈勃的名字命名；2018年10月經國際天文聯合會表決通過更改為現名，以紀念更早發現宇宙膨脹的比利時天文學家喬治·勒梅特。它被認為是空間尺度擴展的第一個觀察依據，今天經常被援引作為支持大爆炸的一個重要證據。

埃德溫·哈勃最早於1929年發表了哈勃定律，但是用來描述宇宙以一定速度膨脹的數學公式，即弗里德曼方程，則是由亞歷山大·弗里德曼於1922年從廣義相對論中推導得到的。在哈勃之前，天文學家卡爾·維爾茲在1922及1924年在自己獲得的觀測數據中發現表面上更小更暗的星系的紅移更高，這可能暗示離我們更遠的星系以更快的速度遠離我們。1927年，喬治·勒梅特注意到遙遠星體的退行速度和它們與地球間的距離呈正比關係，並據此指出宇宙可能在膨脹。勒梅特當時估算了這個正比係數，而哈勃兩年後確認了宇宙膨脹這一事實並測量計算得到更精確的值，因而這個係數後來被稱為哈勃常數。1912年，亨麗愛塔·斯萬·勒維特發現了造父變星的周光關係，之後這一關係被天文學家用於測量星系的距離。而在1917年，維斯托·斯萊弗就測量了許多天體的紅移並將其與它們的速度聯繫在一起。哈勃沿用了這些方法並獲得了更多觀測數據，在此基礎上測得了當時最精確的宇宙膨脹率。

在宇宙學研究中，哈伯-勒梅特定律成為宇宙膨脹理論的基礎，以方程式表示

$v = H_0 D$。

其中，$v$ 是由紅移現象測得的星系遠離速率，$H_0$是哈伯常數，$D$是星系與觀察者之間的距離。

哈勃常數常以千米/秒/百萬秒差距（km/s/Mpc）為單位表述，其值70對應著距離一百萬秒差距（3.09×10¹⁹千米）的星系以每秒70千米的速度退行。簡化量綱後，$H_0$的單位實為赫茲（Hz），即表徵時空膨脹速率的頻率，因此其倒數被稱作哈勃時間（144億年）。該常數亦可解讀為相對膨脹率——以7%/十億年為單位，意味著在現行膨脹速率下，任一無約束宇宙結構需歷經十億年方能增長7%。

## 發現

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1912年到1922年間，美國天文學家維斯托·斯里弗觀測了41個星系的光譜，發現其中的36個星系的光譜發生紅移，他認為這種現象意味著這些星系正在遠離地球。

1916年，愛因斯坦提出了廣義相對論。許多物理學家和數學家利用愛因斯坦場方程建立了時間和空間協調一致的理論。將最一般的原則應用到自然的宇宙，產生了一個動態的解決方案，與當時的靜態宇宙的概念產生了衝突。

1922年，亞歷山大·弗里德曼基於愛因斯坦場方程，推導出描述宇宙演化的弗里德曼方程，這項工作揭示出宇宙可能正處於膨脹狀態，且其膨脹速率可以通過該精確計算。弗里德曼引入了如今被稱為尺度因子的核心概念，可視為哈勃定律比例常數的標度不變形式。該方程體系的建立，本質上是通過將均勻且具有各向同性的宇宙模型代入愛因斯坦場方程，並引入特定密度和壓力的流體假設而實現的。這種時空膨脹的概念最終催生了宇宙學的大爆炸理論和穩恆態理論。

1927年，即哈勃發表其研究成果的兩年前，比利時神父兼天文學家喬治·勒梅特已率先發表論文，首次推導出哈勃–勒梅特定律。加拿大天文學家西德尼·范登貝格指出："勒梅特關於宇宙膨脹的發現最早於1927年以法文發表於某低影響力期刊，但在1931年影響力更大的英譯版本中，涉及現今所稱哈勃常數的關鍵方程相比原版有所修改"。現有證據表明，這些譯文修改行為系勒梅特本人所為。

### 哈勃的工作

埃德溫·哈勃的主要天文觀測工作均在威爾遜山天文台完成，該台當時擁有全球最先進的天文望遠鏡。1924年，他通過觀測"旋渦星雲"中的造父變星，成功計算出這些天體的距離。令人驚訝的是，這些天體的與我們的距離遠超銀河系範圍，是銀河系外的獨立天體。儘管當時學界仍沿用"星雲"這一舊稱，但後來該術語逐漸被"星系"取代。這標誌著人類對宇宙結構認知的根本性轉變。

哈勃定律中涉及的星系退行速度和距離並非直接測量得出。退行速度通過輻射紅移值z = ∆λ/λ 推算，距離則通過天體亮度估算。哈勃致力於建立天體亮度與紅移參數z之間的定量關係。1929年，通過整合自己的星系距離測量數據，以及維斯托·斯里弗和米爾頓·赫馬森獲得的對應星系紅移值，哈勃發現天體紅移與其距離之間存在粗略的正比關係。儘管數據中存在顯著的方差（現已知由本動速度導致——"哈勃流"特指遠離本動速度影響、以宇宙膨脹為主導的遙遠空間區域），哈勃仍基於46個星系樣本繪製出趨勢線，得出哈勃常數值為500 (km/s)/Mpc。由於距離標定中的誤差，該數值明顯高於當前公認的約70 (km/s)/Mpc（詳見宇宙距離尺度）。

## 說明

因發現遠離速度與距離呈線性關係，而產生哈伯定律，其線性數學式如後：

$$v = H_0 D$$

其中$v$是由紅移現象測得的遠離速率，一般表示為km/s。H0是哈伯常數，在弗里德曼方程式中對應著數值$H$（通常稱為哈伯參數，是一個取決於時間的值，由時間的觀測得來，以下標0來區別。）此常數在宇宙中對任意保角時間（conformal time）而言皆是相同的。$D$是光相對於觀測者的慣性座標系穿越星系的適當距離，以百萬秒差距（Mpc）作為測量單位。

對於相對鄰近的星系，速度v可從星系的紅移z利用紅移公式$v = zc$估計，其中c是光速。對遙遠的星系，速度v可以從紅移z利用相對移動的都卜勒效應決定。然而，最好的方法來計算遠離速度及其相關時空膨脹率是考慮來自遠星系光子的相關保角時間。對於非常遙遠的星體，退離速度可能大於光速。但是這並不違反狹義相對論，因為度量空間的擴張並不與任何有形物體的速度相關。

當使用哈伯定律來決定距離時，只能用因宇宙膨脹而造成的速度。引力相互作用星系的運行與彼此相關，而獨立於宇宙膨脹之外。因其相對運行所造成的這類相對速度，被稱作本動速度（peculiar velocities）。當使用哈伯定律時，本動速度需要加入考慮。1938年，Benjamin Kenneally所發現的「上帝的手指」效應（Fingers of God）是本動速度所造成的現象之一。受引力約束的系統，例如星系或我們的行星系統，都不會受到哈伯定律的影響，也不會膨脹。

針對均勻膨脹的宇宙的理想哈伯定律，其數學推導是一個在三維笛卡爾/牛頓協調空間相當初等的幾何定理。此協調空間被視為一種度量空間，具有完全均勻和各向同性（性質不隨地點或方向改變）。簡單說明該定理如下：

對於任何正沿直線遠離原地，速度與離開距離成正比的兩點，將以正比於兩者距離的速度遠離對方。

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哈伯常數的值隨著時間變化，其增加或減少取決於減速參數$q$的正負，$q$定義為：

$$q = -H^{-2}\left( {{\; dH}\over {\; dt}} + H^2 \right)$$

在減速參數為零的宇宙，有H = 1/t，其中t是自大霹靂以來的時間。然而，非零且與時間相關的$q$值，則需要積分弗里德曼方程式，將時間倒退到粒子視野（particle horizon）為0時（即大霹靂之初）。

我們可以定義宇宙的「哈伯年齡」（又稱為「哈伯時間」或「哈伯期」）為1/H，或9777.93（億年/H/(km/s/Mpc)）。哈伯年齡以H=70 km s−1 Mpc−1來計算為139.68億年，或以H=71 km s−1 Mpc−1計算得137.72億年。當星系的紅移z很小時，與我們的距離大約是zc/H，其中c是1（光年／年），又此距離可以被簡單地以z（紅移）時間表示為137.72億光年。

長久以來q被認為是正值，這表示由於引力的作用，宇宙膨脹正在減慢。這意味著宇宙的年齡小於1/H（約140億年）。例如，若q為1/2時（其中一個理論上的可能值），宇宙的年齡為2/(3H)。在1998年，一項發現指出q顯然是負值，代表著宇宙其實比1/H還要老。事實上，估計的宇宙年齡相當接近1/H。

### 奧伯斯佯謬

哈伯定律對大爆炸的解釋總結了空間的擴展與著名的古老難題奧伯斯佯謬之間的矛盾：如果宇宙是無限的、穩定的，充滿了均勻分布的恆星，那麼在天空中視線所及之處都將存在著恆星，而天空也將會像恆星的表面一樣明亮。從1600年代開始，天文學家和其他的思想家提出了許多可能解決這個佯繆的想法，但當前能被接受的這一部分是來自大爆炸的理論。宇宙只存在了有限的時間，只有有限多的星光有機會到達我們這兒，所以矛盾就解決了。換言之，在膨脹的宇宙中，遠方天體的遠離速度使來自她們的星光產生紅移並且降低了亮度，但這樣也只是解決了部分的矛盾。依照大爆炸的理論，兩者都有貢獻（宇宙的歷史是有限的在兩者中較為重要）。天空之所以黑暗，也為大爆炸提供了一種證據。

## 哈伯常數的測量

哈伯常數的值通常經由遙遠星系的紅移來測量，這就是用與哈伯定律不同的方法測量同一星系的距離。但是在用來測量這些距離的物理假設上的不確定，造成哈伯常數的值有不同結果的。在20世紀的後半期，多數的哈伯常數值$H_0$都被估計在50和90 km s−1 Mpc−1之間。

哈勃常數的數值無法直接測量，而是通過結合天文觀測數據和模型間接推導得出。過去幾十年來，日益精確的觀測與新模型的提出使得科學家獲得了兩組高度精確的數值，但這兩組結果並不一致。這種測量差異現在被稱為「哈勃常數危機」。

### 對哈伯常數的爭論

哈伯常數的值曾是個長久而激烈的爭議主題，熱拉爾·佛科留斯主張其值應為100而艾倫·桑德奇則認為其應為50附近。

1996年，由約翰·諾利斯·巴寇主持，包含古斯塔夫·安德列斯·塔曼及薛尼·范德胡斯特以類似早期沙普利-柯蒂斯之爭的模式舉行，針對上述兩個競爭數值進行辯論。

1990年代晚期，引進宇宙的λ-CDM模型，數值差異的問題獲得部分的解決。

### 精確宇宙學和哈勃常數危機

自20世紀90年代末以來，理論和技術的進步使得更高精度的測量成為可能。然而，兩大類別的高精度測量方法卻在哈勃常數具體數值上存在統計顯著的差異。使用校準宇宙距離階梯技術進行的"晚期宇宙"測量獲得的$H_0$逐漸趨近於約73 km s−1 Mpc−1的數值。自2000年以來，宇宙微波背景等手段測量的「早期宇宙」技術逐漸得到應用，這些方法給出的$H_0$數值接近67.7 km s−1 Mpc−1。最初，這種差異在估計的測量誤差範圍內，因此在當時並未引起很大關注。但隨著技術的改進，估計的測量誤差範圍已逐漸縮小，但兩種方法測得的$H_0$差異卻未減少，導致目前這種差異在統計意義上已具有高度顯著性。因此這一差異被稱為「哈勃常數危機」。

作為"「早期測量」的一個示例，普朗克衛星2018年公布的測量$H_0$值為67.4±0.5 km s−1 Mpc−1。在「晚期測量」中，科學家通過哈勃空間望遠鏡測得了更高值74.03±1.42 km s−1 Mpc−1，並且這一結果於2023年由通過詹姆斯·韋伯空間望遠鏡獲得的數據得到進一步確認。這些"早期"和"晚期"測量結果的差異達到大於5 σ的水平，遠超出合理的偶然誤差範圍。如何解決這一分歧仍是當前活躍的研究領域。

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### 使用哈伯太空望遠鏡的值

哈伯關鍵計畫（由在卡內基天文台的Wendy L. Freedman博士主導）使用哈伯太空望遠鏡進行最精確的光學測量，在2001年五月，發表其最終估計值為72±8 km s−1 Mpc−1，此結果與基於蘇尼亞耶夫-澤爾多維奇效應進行的銀河系星群觀測所測出的$H_0$相當一致，具有相似的精確值。

### 使用WMAP的資料

在2003年，利用WMAP所得出最高精度的宇宙微波背景輻射測定值為71±4 km s−1 Mpc−1，而在2006年，精確度提升至70.4 1.5 km s−1 Mpc−1，2008年T，WMAP在線上提供的數值是71.9 2.6 km s−1 Mpc−1.。

這些來自WMAP和其他宇宙論的數值都與簡單版本的λ-CDM模型日趨接近。如果這些數值能與更普遍的版本吻合，$H_0$傾向於更小和更不確定：通常數值在67 ± 4 km s−1 Mpc−1的附近，但有些模型的數值接近63 km s−1 Mpc−1

$H_0$。

### 使用錢卓X射線天文台的資料

在2006年8月，來自馬歇爾太空飛行中心（MSFC）的研究小組使用美國國家航空暨太空總署的錢卓X射線天文台利用蘇尼亞耶夫-澤爾多維奇效應測量的的$H_0$值是 76.9km s−1 Mpc−1。

### 加速膨脹

在1998年，來自Ia超新星標準燭光測量的$q$值卻是負數，令許多天文學驚訝的是宇宙加速膨脹，雖然哈伯因子會隨著時間而衰減。請參見暗物質和ΛCDM模型。

2009年5月7日，美國宇航局發布最新的哈伯常數測定值，根據對遙遠星系Ia超新星的最新測量結果，常數被確定為74.2± 3.6 km s−1 Mpc−1，不確定度進一步縮小到5%以內。

2012年10月3日，天文學家使用美國宇航局的斯皮策紅外空間望遠鏡精確計算了哈伯常數，數值結果為74.3±2.1 km s−1 Mpc−1。

2012年12月20日，美國國家航空暨太空總署的威爾金森微波各向異性探測器實驗團隊宣布，哈伯常數為69.32 ± 0.80 km s−1 Mpc−1。

2013年3月21日，從普朗克衛星觀測獲得的數據，哈伯常數為 67.80 ± 0.77 km s−1 Mpc−1。

2018年7月，利用哈勃望遠鏡和蓋亞任務，測得哈勃常數值為 73.52 ± 1.62 km s−1 Mpc−1。

2018年，普朗克衛星最終測得哈勃常數值為 67.66±0.42 km s−1 Mpc−1。

2021年，SH0ES合作組利用造父變星-Ia型超新星宇宙距離階梯方法測得的哈勃常數值為 73.04±1.04 km s−1 Mpc−1。2022年， Pantheon+合作組在此基礎上使用另一個Ia型超新星樣本測得的哈勃常數值為 73.4 km s−1 Mpc−1。

2023年7月13日，南極望遠鏡（SPT-3G）通過對微波背景輻射的溫度和偏振（TT/TE/EE）能譜的觀測測得的哈勃常數值為 68.3±1.5 km s−1 Mpc−1。

### 哈勃危機的潛在解決方案

哈勃危機的成因尚不明確，學界提出了許多可能的解決方案。最保守的解釋是，早期宇宙或晚期宇宙的觀測中可能存在某種未知的系統誤差。儘管這一解釋在直覺上頗具吸引力，但無論問題出在早期還是晚期宇宙觀測，它都需要假設多個互不關聯的誤差源同時存在，而目前尚未發現符合條件的明確候選因素。此外，由於早期和晚期宇宙觀測數據均來自多台不同的望遠鏡，任何此類系統誤差都需能影響多種獨立儀器。

另一種可能是觀測本身準確無誤，但存在未被考慮的因素導致了這種差異。如果宇宙學原理（即宇宙是均勻且具有各向同性的）失效，那麼目前對哈勃常數及哈勃張力的解釋將需要修正，這可能化解哈勃張力。特別需要指出的是，若要此類解釋與超新星及重子聲學振盪觀測相吻合，我們所在的位置需要處於一個延伸至紅移約0.5的巨大宇宙空洞之中。另一種潛在解釋是測量中的不確定性可能被低估，但考慮到各測量結果之間的內部一致性，這種可能性既不高，也無法完全解釋整體的張力現象。

最後一種可能性涉及超越當前公認宇宙學模型（ΛCDM模型）的新物理學理論。這類理論非常豐富，例如用修正引力理論取代廣義相對論可能解決該張力；此外，在早期宇宙中更強暗能量成分，具有時變狀態方程的暗能量，或是衰變為暗輻射的暗物質等設想也具可行性。所有這類理論面臨的共同挑戰在於，早期和晚期宇宙測量均依賴多個獨立物理理論體系，在保持現有理論其他領域成功解釋力的同時，要修改其中任一體系都極為困難。某些學者指出單憑早期宇宙新物理並不足夠，而另一些研究則表明僅靠晚期宇宙新物理也難以奏效，這種爭議恰好體現了該問題的複雜程度。儘管如此，自2010年代中期以來，隨著學界對哈勃張力的關注度持續升溫，天文學家們仍在不斷探索新的解決路徑。

## 哈伯常數的推導

從弗里德曼方程式開始：

$$H^2 \equiv \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3}\rho - \frac{kc^2}{a^2}+ \frac{\Lambda}{3},$$

此處$H$是哈伯參數，$a$是宇宙標度因子，$G$是萬有引力常數，$k$是標準化的宇宙空間曲率，其值為 −1、0、或 +1，和$\Lambda$是宇宙常數。

### 物質主導的宇宙(和宇宙常數)

如果宇宙是物質主導，則宇宙的質量密度$\rho$ 剛好可以包括的物質是

$$\rho = \rho_m(a) = \frac{\rho_{m_{0}}}{a^3},$$

此處$\rho_{m_{0}}$是現在的物質密度，我們知道的非相對論粒子質量密度會隨著宇宙的體積增加而成比例的降低，所以上述方程式必須為真。我們也可以定義(參見$\Omega_m$的密度參數)：

$$\rho_c = \frac{3 H^2}{8 \pi G};$$

$$\Omega_m \equiv \frac{\rho_{m_{0}}}{\rho_c} = \frac{8 \pi G}{3 H_0^2}\rho_{m_{0}};$$

所以$\rho=\rho_c \Omega_m /a^3.$也可以，依據定義：

$$\Omega_k \equiv \frac{-kc^2}{(a_0H_0)^2}$$

和

$$\Omega_{\Lambda} \equiv \frac{\Lambda c^2}{3H_0^2},$$

此處的下標0代表現在的數值，並且$a_0=1$。到此為止的所有一切都是章節剛開始的弗里德曼方程式和轉換$a$ 成為 $a=1/(1+z)$ 得到

$$H^2(z)= H_0^2 \left( \Omega_M (1+z)^{3} + \Omega_k (1+z)^{2} + \Omega_{\Lambda} \right).$$

### 物質和暗能量主導的宇宙

如果宇宙是物質主導和暗能量主導，然後前述方程式中的哈伯參數也將是暗能量的狀態方程。所以現在：

$$\rho = \rho_m (a)+\rho_{de}(a),$$

此處$\rho_{de}$是暗能量的質量密度。依據定義，在宇宙論的狀態方程是$P=w\rho c^2$，並且我們將這帶入流體的方程，它描述了宇宙的質量密度隨著時間的變化。

$$\dot{\rho}+3\frac{\dot{a}}{a}\left(\rho+\frac{P}{c^2}\right)=0;$$

$$\frac{d\rho}{\rho}=-3\frac{da}{a}\left(1+w\right).$$

如果w 是常數。

$$\ln{\rho}=-3\left(1+w\right)\ln{a};$$

$$\rho=a^{-3\left(1+w\right)}.$$

那麼暗能量就是w狀態的恆等式，$\rho_{de}(a)= \rho_{de0}a^{-3\left(1+w\right)}$。如果我們以與之前相似的方式轉換弗里德曼方程，但是這次設定$k=0$，這是假設我們生活在一個平坦空間的宇宙 (參見宇宙的形狀)。

$$H^2(z)= H_0^2 \left( \Omega_M (1+z)^{3} + \Omega_{de}(1+z)^{3\left(1+w \right)} \right).$$

如果暗能量不是w狀態的恆等式，則

$$\rho_{de}(a)= \rho_{de0}e^{-3\int\frac{da}{a}\left(1+w(a)\right)},$$

要解此方程式，我們需要參數化$w(a)$，例如如果 $w(a)=w_0+w_a(1-a)$，得到

$$H^2(z)= H_0^2 \left( \Omega_M a^{-3} + \Omega_{de}a^{-3\left(1+w_0 +w_a \right)}e^{-3w_a(1-a)} \right).$$

## 由哈伯常數導出的單位

### 哈伯時間

哈伯常數$H_0$的單位是時間的倒數，也就是說$H_0$ ~ 2.27×10−18 s−1。「哈伯時間」定義為$1/H_0$。在標準宇宙論模型的哈伯時間是4.55×1017 s 或144億年，"擴張時間尺度"一詞的意思是"哈伯時間"。如果$H_0$的值保持恆定，哈伯時間自然的解釋是電子大小的宇宙增加一個數量級所需要的時間 (因為解dx/dt = x$H_0$ is x = $s_0$exp($H_0$t)，此處$s_0$是在t = 0的任意初始條件下的形狀)。但是，在如上文所述的廣義相對論、暗能量、暴脹等，長時間下的動力學是複雜的。

### 哈伯長度

哈伯長度是宇宙論的距離單位，定義為$c/H_0$—光速與哈伯時間的乘積。它相當於42億2800萬秒差距或138億光年(哈伯長度以光年表示的數值，依據定義，等同於哈伯時間以年表示的值)。

### 哈伯體積

哈伯體積有時被定義為共動大小$c/H_0$的體積。精確的定義是：有時將其定義為球體半徑為$c/H_0$時的體積。有些宇宙論甚至使用哈伯體積一詞引用為可觀測宇宙的體積，然而這個半徑可能還要大3倍。

## 參考資料

### 來源

- Hubble, E.P.., The Observational Approach to Cosmology (Oxford, 1937)
- http://www.guokr.com/article/436836/

## 外部連結

- History of Hubble's constant by John Huchra
- The Hubble Key Project
- Final Results from the Hubble Space Telescope Key Project to Measure the Hubble Constant. Freedman et. al. The Astrophysical Journal, Volume 553, Issue 1, pp. 47–72.
- The Hubble Diagram Project