立方體

在幾何學中，立方體，是由6個正方形面組成的正多面體，故又稱正六面體、正方體或正立方體。它有12條稜（邊）和8個頂點，是五個柏拉圖立體之一。

立方體是一種特殊的正四稜柱、長方體、三方偏方面體、菱形多面體、平行六面體，就如同正方形是特殊的矩形、菱形、平行四邊形一様。立方體具有正八面體對稱性，即考克斯特BC3對稱性，施萊夫利符號4,3，考克斯特-迪肯符號node_1，其對偶多面體為正八面體。

## 性質

面的組成：正方形面的數目：6 邊的數目：12 頂點數目：8 表面積：$6a^2\ $ 體積：$a^3\ $ 二面角角度：$90^\circ$ 外接球半徑：$\sqrt{\frac{3}{4}}a$ $\approx 0.866 a$ 內接球半徑：$\frac a 2$ 對偶多面體：正八面體

在所有表面積一定的長方體中，立方體的體積最大，同樣，在所有線性大小（長寬高之和）一定的長方體中，立方體的體積也是最大的。反過來，體積相等的長方體中，立方體擁有最小表面積和線性大小。

### 頂點坐標及表面方程

在三維直角坐標系中，對於以原點為中心的、各棱平行於坐標軸的、棱長為2的立方體，其頂點坐標為$$(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$$ 的全排列。其包含了所有滿足$|x|\leq 1$且$|y|\leq 1$且$|z|\leq 1$的點$(x,y,z)$。

在$R^3$中，以點$(x_0,y_0,z_0)$為中心的立方體表面是點$(x,y,z)$的運動軌跡，其中$x$, $y$, $z$滿足：

$$\lim_{n \to \infty} (x - x_0 )^n + (y - y_0 )^n + ( z - z_0 )^n - a^n = 0.$$

### 幾何性質

立方體有11種不同的展開圖，也就是說有11種不同的方法切開空心立方體的7條棱而將其展平為平面圖形。

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如果要將立方體塗色而使相鄰的面不帶有相同的顏色，則至少需要3種顏色（類似於四色問題）。

立方體是唯一能夠獨立密鋪三維歐幾里得空間的柏拉圖正多面體，因此立方體堆砌也是四維唯一的正堆砌（三維空間中的堆砌拓撲上等價於四維多胞體）。它又是柏拉圖立體中唯一一個有偶數邊面——正方形面的，因此，它是柏拉圖立體中獨一無二的環帶多面體（它所有相對的面關於立方體中心中心對稱）。

將立方體沿對角線切開，能得到6個全等的正4稜柱（但它不是半正的，底面棱長與側棱長之比為$2:\sqrt{3}$）將其正方形面貼到原來的立方體上，能得到菱形十二面體（兩兩共面三角形合成一個菱形）。

## 正交投影

我們可以從不同角度將立方體投影到二維平面上，這些投影都各自攜帶有立方體原本BC3對稱性的一部分。

正對於｜正方形面｜頂點

考克斯特群｜B2

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｜A2

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投影對稱性｜4｜6

傾斜視角｜

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｜

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## 半正對稱性與表面塗色

作為正多面體之一，立方體擁有較高的對稱性，它的所有面在幾何上都是相同的，不可區分的。可是我們也可以想像將立方體的面「塗上」不同的「顏色」，使它其的不同面擁有不同的「幾何意義」，使立方體擁有不同的對稱性。在立方體完全的對稱性，即正八面體對稱性Oh中，立方體的所有面都是相同的。二面體對稱性D4h則將立方體描述得像一個正四稜柱，有兩個顏色相同的上下底面，其餘4個側面顏色相同。立方體最低的對稱性D2h也將立方體描述的像一個稜柱，不過是長方形稜柱，即一個長方體，它的相對的面顏色相同，而相鄰的面是不同的。每一種半正對稱性都有自己的施萊夫利符號、考克斯特-迪肯符號和Wythoff符號。此外，由於其對偶正八面體也可被看作是正三反稜柱，立方體也可被看作是正三反稜柱的對偶，即正三偏方面體。

名稱｜正六面體｜正四稜柱｜長方體｜正三偏方面體

考克斯特符號｜node_1｜node_1｜node_1

施萊夫利符號｜{4,3}｜{4}×{}｜{}×{}×{}

Wythoff符號｜3 | 4 2｜4 2 | 2｜2 2 2 |

對稱群列表｜Oh(、432)｜D4h(、422)｜D2h(、222)｜D3d(2、3)

對稱群階｜24｜16｜8｜12

圖像(半正表面塗色)｜

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(111)｜

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(112)｜

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(123)｜

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(111), (112), (122), 及(222)

## 相關多面體及鑲嵌

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- 將立方體的其中四個頂點相連，而這四個頂點任何兩條都沒有落在立方體同一條的邊上，可得到一個正四面體，其邊長為立方體邊長的$\sqrt 2$，其體積為立方體體積的$\frac{1}{3}$。

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- 立方體的對偶多面體是正八面體。

當正八面體在立方體之內：

正八面體體積 : 立方體體積$=[\frac{1}{3}\times$高$\times$底面積$\times 2] :$ 邊3 $= \frac{1}{3} \times \frac{n}{2} \times \frac{n^2}{2} \times 2 : n^3$ $$=1:6$$

- 星形八面體的對角線可組成一個立方體。
- 截半立方體：從一條棱斬去另一條棱的中點得出
- 截角立方體
- 超正方體：立方體在高維度的推廣。更加一般的，立方體是一個大家族，即立方形家族（又稱超方形、正測形）的3維成員，它們都具有相似的性質（如二面角都是90°、有類似的超體積公式，即$V_{n-cube}=a^n$等）。
- 長方體、偏方面體的特例。

將立方體對映映射後的到的商形成的一個實射影多面體，即立方體半形（hemicube）（不應叫其「半立方體」，因為其易與『demicube’混淆）。

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正方體的對偶多面體是正八面體，如果原正方體棱長為1，則對偶正八面體棱長為$\sqrt{2}$。

正方體是一種最特殊的四邊形正六面體：

名稱｜棱長相等？｜對角相等？｜各角為直角？

立方體｜是｜是｜是

菱面體｜是｜是｜否

長方體｜否｜是｜是

平行六面體｜否｜是｜否

四邊形正六面體｜否｜否｜否

立方體的8個頂點可以被交錯地分為兩組，每一組都構成一個完整的正四面體，更嚴格地說，這是作為超半方形（demicube）的正四面體。這兩個正四面體組合到一起，就構成了一個正的複合多面體——星形正八面體（Stella Octagula）。兩個正四面體重合的地方構成凸的正八面體。這意味著，正四面體的對稱群A3是正方體對稱群的子群，對應著能將半立方體變換到自身的對稱變換，立方體其餘的對稱變換能將兩個半立方體變換到對方。一個這樣的正四面體占據了立方體體積的1/3,立方體剩餘的部分是4個全等的、頂角是立方體立體角的正三稜錐，各占立方體體積的1/6。

如果從立方體各棱中點處切掉立方體的角，原先立方體的正方形面將變成其對偶的正方形面，而切掉的頂點處出現了新的正三角形面，這樣的操作叫「截半」（rectification），得到的半正多面體叫截半立方體（rectified cube），又叫立方八面體（cuboctahedron）。如果不在棱中點處截斷，則這種操作叫「截角」（truncation），正方形面變成了八邊形。如果從合適處截斷，則可將正方形截成正八邊形，得到的半正多面體叫截頂立方體（truncated cube）。如果同時截掉立方體的棱和頂，則這種操作叫「截棱」（centellation），如果從合適處截斷，得到·的半正多面體是小斜方截半立方體（rhombicuboctahedron）。

正十二面體有20個頂點，它們可以以不同組合分成由8個頂點組成的5組，這8個頂點兩兩相連，構成內接在正十二面體內部的立方體，它的棱都是正十二面體的各面的對角線。這五個立方體組合在一起，構成複合多面體——五複合立方體。

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如果完全切掉立方體相對的兩個頂點，則會得到一個非正的八面體，將8個這樣的八面體正三角形面對正三角形面貼到正八面體上，則得到截半立方體。

立方體與所有其它擁有BC3對稱性的多面體（如正八面體和立方八面體）構成正八面體家族：

此外，立方體在拓撲上與其它3階正鑲嵌{n,3}相關：

立方體在拓撲上還和其它階的正方形正鑲嵌{4,n}(n≥3)有關：

立方體是正四稜柱：

類別｜柏拉圖立體｜卡塔蘭立體

種子｜

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{3,3}｜

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{4,3}｜

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{3,4}｜

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{5,3}｜

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{3,5}｜

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aC｜

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aD

倒角｜

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cT｜

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cC｜

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倒角八面體｜

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cD｜

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cI｜

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caC｜

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caD

## 應用

- 日常生活
- 食鹽和糖的結晶體都是立方狀。
- 骰子最常見的形狀就是立方體。
- 1967年世界博覽會的「立方體房間」
- 中國國家游泳中心俗稱「水立方」
- 遊戲
- 索馬立方
- 魔術方塊
- 扭扭骰
- 斯洛陶伯－赫拉茨馬立方：以6個1×2×2及3個單位立方組成3×3×3的立方（僅有一個解法）
- 康威立方：以3個1×1×3，13個1×2×4，及1×2×2和2×2×2的長方體各一個，組成一個5×5×5的立方（572個解）
- 視錯覺
- 奈克方塊
- 不可能方塊（下圖）
- 數論
- 立方數

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## 數學問題

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### 倍立方體問題

參見尺規作圖，已經證明此題無法用無刻度的直尺與圓規去畫出$\sqrt[3]{2}$的位置

### 最大的橫切面

立方體的橫切面只有四種：

- 三角形
- 矩形
- 五邊形
- 六邊形

其中以正六邊形的面積最大，若立方體的棱長為$a$，則正六邊形的面積為$\frac{3\sqrt{3}a^2}{4}$。

## 外部連結

- 摺紙立方體
- Mathematische Basteleien