三角學

三角學（Trigonometry）是數學的一個分支，主要研究三角形，以及三角形中邊與角之間的關係。三角學定義了三角函數，可以描述三角形邊與角的關係，而且都是周期函數，可以用來描述周期性的現象。三角學在西元前三世紀時開始發展，最早是幾何學的一個分支，廣泛的用在天文量測中，三角學也是測量學的基礎。

三角學的基礎是平面三角學，研究平面上的三角形中邊與角之間的關係，分為角的度量、三角函數與反三角函數、誘導公式、和與差的公式、倍角、半角公式、和差化積與積化和差公式、解三角形等內容，可能會是單獨的一個科目或是在預科微積分教授，三角函數在純數學及應用數學中的許多領域中出現，例如傅立葉分析及波函數等，是許多科技領域的基礎。

三角學也包括球面三角學，研究球面上，由大圓的弧所包圍成的球面三角形，位在曲率為正值常數的曲面上，是橢圓幾何的一部份，球面三角學是天文學及航海的基礎，也在測量學、製圖學、結晶學、儀器學等方面有廣泛的應用。負曲率曲面上的三角學則是雙曲幾何中的一部份。

## 歷史

蘇美爾天文學家引入了角度測量，將一個圓分割為360度。他們和之後的巴比倫人都在研究相似三角形各邊之間的比例關係，並發現了其中一部分比例，但是並沒有將其發展為一套系統的方法。古代努比亞人也使用了類似的方法。古希臘人最早將三角學轉變成一套系統學科。

穆斯林天文學家巴塔尼引入了我們今天熟知的正弦、餘弦、正切、餘切等術語，並且提出了正切和餘切的概念。

明代末年，由於曆法改革的需要，西學東漸中陸續引進了幾何學、三角學等西方數學。明末傳教士鄧玉函的《大測》一書圍繞三角學展開，系統地構建了「造表法」和「用表法」兩大體系。造表法基於正弦定理、餘弦定理和半角公式，結合簡化計算方法，推導出三角函數數值表。書中詳細探討了正弦、餘弦、正切等函數的幾何特性，並確立了三角八線的基本關係。用表法介紹了如何利用數值表解三角形，涵蓋了平面三角測量和天文角度計算的實際應用。書中未涉及球面三角學。

清朝仍繼續引進西方數學，其中最重要的是由波蘭傳教士穆尼閣和薛鳳祚所介紹的對數方法。薛鳳祚所著《歷學會通》的數學部分主要是傳自穆尼閣的《比例對數表》（1653年）、《比例四線新表》和《三角演算法》等各一卷。《比例對數表》和《比例四線新表》分別給出了1～10000的六位對數表和六位三角函數（正弦、餘弦、正切、餘切）對數表。書中把今天所說的「對數」稱為「比例數」或「假數」，並簡單解釋了把乘除運算化為加減運算的道理。這是對數方法在中國的首次介紹。對數是17世紀最重要的發現之一，它有效地簡化了繁重的計算工作。在對數、解析幾何和微積分這三種當時西方最重要的數學方法中，也只有對數比較及時地傳入了中國。《三角演算法》所介紹的平面三角和球面三角知識，比《崇禎曆書》中有關三角學的內容更豐富一些。如平面三角中包含有正弦定理、餘弦定理、正切定理和半角定理等，且多是運用三角函數的對數進行計算。球面三角中增加半角公式、半弧公式、達朗貝爾公式和納皮爾公式等。

## 概述

<image>

如果三角形的一個角為90度，而另一個角的度數已知，那麼第三個角的度數也就固定下來了，這是因為任何一個三角形三個角的度數之和總是180度。這樣，兩個銳角的度數之和為90度：它們互為餘角。這樣的三角形形狀已經完全確定下來，它們是一組度數相同的相似三角形。在度數確定的情況下，每個邊之間的比例也就隨之確定，無論三角形大小。如果其中一個邊的長度又為已知的話，那麼其他兩條邊的長度也就確定。這些比例以$\angle A$的三角函數形式表示出來，其中$a$、$b$、$c$分別帶指三角形中對應三邊的長度：

- 正弦函數（$\sin$），定義為該角的對邊與斜邊的比例。

$$\sin A=\frac{\text{對 邊 }}{\text{斜 邊 }}=\frac{a}{c}$$

- 餘弦函數（$\cos$），定義為該角的鄰邊與斜邊的比例。

$$\cos A=\frac{\text{鄰 邊 }}{\text{斜 邊 }}=\frac{b}{c}$$

- 正切函數（$\tan$），定義為該角的對邊與鄰邊的比例。

$$\tan A=\frac{\text{對 邊 }}{\text{鄰 邊 }}=\frac{a}{b}=\frac{\sin A}{\cos A}$$

其中，斜邊是指直角三角形中90度角所對的邊；它是該三角形中最長的邊，也是角 $A$ 的一個鄰邊。對邊是角 $A$ 所對的一條邊。

這些函數的倒數分別被稱為餘割（$\csc$或cosec）、正割（$\sec$）和餘切（$\cot$）：

$$\csc A=\frac{1}{\sin A}=\frac{c}{a} ,$$

$$\sec A=\frac{1}{\cos A}=\frac{c}{b} ,$$

$$\cot A=\frac{1}{\tan A}=\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{b}{a} .$$

它們的反三角函數分別為arcsine、arccosine和arctangent。這些函數之間存在的數學關係被稱為三角恆等式。

通過使用這些函數，可以回答有關任意三角形的所有問題，只需使用正弦定理和餘弦定理。在已知兩條邊長以及它們夾角的度數，或是兩個角的度數以及一條邊長，或是知道三邊長度後，使用這些法則可以計算出其他角和邊。

### 定義的擴展

<image>

上面的定義只是用於度數在0°到90°之間的角（0到$\frac{\pi}{2}$弧度）。使用單位圓，可以將它們擴展到所有度數為正、負的角上（參見三角函數）。三角函數為周期函數，周期為360°（$2\pi$個弧度）。這意味著在這個區間內，它們的值會反覆出現。正切和餘切函數周期較短，為180°（$\pi$個弧度）。

三角函數還可以使用非上述集合定義來描述，如使用微積分和無窮級數。採取這種定義，三角函數可以擴展到複數。其中，複數指數函數十分有用。

$$e^{x+iy} = e^x(\cos y + i \sin y).$$

參見歐拉公式和棣莫弗公式。

<image>

- 使用單位圓繪製$y=\sin x$的過程。

<image>

- 使用單位圓繪製$y=\tan x$的過程。

<image>

- 使用單位圓繪製$y=\csc x$的過程。

## 計算

三角函數是最早使用數學用表的。這樣的數學用表被納入數學課本中，供學生查詢數值和使用插值法得到更高精確度。計算尺在三角函數中有著特別的計量。如今的科學計算器已經配備有計算主要三角函數的功能，大多數電腦程式語言也提供函數庫來計算三角函數。

## 常用公式

<image>

一些有關三角函數的恆等式對於所有角都始終成立，被稱為三角恆等式。有一些恆等式是對於同一角的不同三角函數間的轉換。

### 標準恆等式

恆等式是指那些無論給定值為多少都始終成立的等式。在三角函數中存在如下恆等關係：

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ --- (1)

$\tan^2 A + 1 = \sec^2 A$ --- (2)

$1 + \cot^2 A = \csc^2 A$ --- (3)

### 正弦定理

對於任意三角形的正弦定理（又被稱為「正弦法則」）公式如下：

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R,$$

其中，R是三角形外接圓的半徑長度：

$$R = \frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}.$$

另一個有關於正弦的法則可以用來計算三角形的面積。在給定兩條邊的長度以及它們所夾角的角度。

$$\mbox{Area} = \frac{1}{2}a b\sin C.$$

### 餘弦定理

任意三角形的餘弦定理（又被稱為餘弦方程式、餘弦法則），是勾股定理的一個擴展：

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C ,\,$$

或者可以寫作：

$$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.\,$$

### 正切定理

正切定理如下：

$$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan\left[\tfrac{1}{2}(A-B)\right]}{\tan\left[\tfrac{1}{2}(A+B)\right]}$$

### 歐拉公式

歐拉公式定義，對於任意的$x$，都有$e^{ix} = \cos x + i \sin x$，於是產生了如下的對於e和虛數單位i的數學分析恆等式：

$$\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}, \qquad \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}, \qquad \tan x = \frac{i(e^{-ix} - e^{ix})}{e^{ix} + e^{-ix}}.$$

### 角度轉換公式

角度轉換公式也稱為和角公式或是和差公式，是有關二角和或差的三角函數的公式。

$$\sin (A \pm B) = \sin A \ \cos B \pm \cos A \ \sin B$$

$$\cos (A \pm B) = \cos A \ \cos B \mp \sin A \ \sin B$$

$$\tan (A \pm B) = \frac{ \tan A \pm \tan B }{ 1 \mp \tan A \ \tan B}$$

$$\cot (A \pm B) = \frac{ \cot A \ \cot B \mp 1}{ \cot B \pm \cot A }$$

### 倍角公式以及半角公式

二倍角公式可以利用二角相等時的和角公式求得。

$$\sin 2A = 2 \sin A \ \cos A$$

$$\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2 \cos^2 A - 1 = 1 - 2 \sin^2 A$$

$$\tan 2A = \frac{2 \tan A }{ 1 - \tan^2 A}$$

利用和角公式也可以推導三倍角公式、四倍角公式等。

半角公式可以利用餘弦函數的二倍角公式求得。

$$\sin \frac{A}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}}$$

$$\cos \frac{A}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}$$

$$\tan \frac{A}{2} = \pm\, \sqrt{1 - \cos A \over 1 + \cos A} = \frac{\sin A}{1 + \cos A} = \frac{1-\cos A}{\sin A}$$

### 積化和差以及和差化積

積化和差是將二個正弦及餘弦函數的乘積轉換為另外二個正弦及餘弦函數的和或差，其逆運算即為和差化積。數學家韋達在其三角學著作《應用於三角形的數學定律》給出積化和差與和差化積恆等式。積化和差恆等式可以通過展開角的和差恆等式的右手端來證明。

$\sin A \sin B ={\cos(A-B)-\cos(A+B)\over2}$｜$\sin A+\sin B =2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$

$\cos A \cos B ={\cos(A-B)+\cos(A+B)\over2}$｜$\cos A+\cos B =2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$

$\sin A \cos B ={\sin(A+B)+\sin(A-B)\over2}$｜$\cos A-\cos B =-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$

$\cos A \sin B ={\sin(A+B)-\sin(A-B)\over2}$｜$\sin A-\sin B =2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$

## 延伸閱讀

- Christopher M. Linton (2004). From Eudoxus to Einstein: A History of Mathematical Astronomy . Cambridge University Press.
- Weisstein, Eric W. "Trigonometric Addition Formulas". Wolfram MathWorld. Weiner.

## 外部連結

- Khan Academy: Trigonometry, free online micro lectures
- Trigonometric Delights, by Eli Maor, Princeton University Press, 1998. Ebook version, in PDF format, full text presented.
- Trigonometry by Alfred Monroe Kenyon and Louis Ingold, The Macmillan Company, 1914. In images, full text presented.
- Benjamin Banneker's Trigonometry Puzzle at Convergence
- Dave's Short Course in Trigonometry by David Joyce of Clark University
- Trigonometry, by Michael Corral, Covers elementary trigonometry, Distributed under GNU Free Documentation License