八元數

$e_n$形式：

$e_0$、 $e_1$、 $e_2$、 $e_3$、 $e_4$、 $e_5$、 $e_6$、 $e_7$ $ijkl$形式：

1、 i、 j、 k、 l、 il、 jl、 kl

$e_0$或1

八元數（Octonion）是以實數構建的8維度賦範可除代數，為四元數非結合推廣的超複數，通常記為O或$\mathbb{O}$。八元數的8個維度可以視為2個4維度之四元數的組合。八元數不具備結合律和交換律，但具備交錯代數的特性，並保有冪結合性。

也許是因為八元數的乘法不具備結合性，因此它們作為超複數而言受關注的程度較四元數低。儘管如此，八元數仍然與數學中的一些例外結構有關，其中包括例外李群。此外，八元數在諸如弦理論、狹義相對論和量子邏輯中也有應用。

## 歷史

八元數第一次被描述於1843年，於一封約翰·格雷夫斯給威廉·盧雲·哈密頓的信中。格雷夫斯稱其為「octaves」。後來八元數由阿瑟·凱萊在1845年獨自發表。格雷夫斯發表結果的時間點比阿瑟·凱萊發表的時間稍晚一些。阿瑟·凱萊發表的八元數和約翰·格雷夫斯給威廉·盧雲·哈密頓的信中所提及的並無關係。阿瑟·凱萊是獨自發現八元數的，因此八元數又被稱為凱萊數或凱萊代數。哈密頓則描述了八元數被發現並描述的早期歷史。

## 定義

八元數可以視為實數的八元組。八元數有多種構造方式。以凱萊-迪克森結構為例，八元數可以表達為2個四元數P與Q的組合，即P+Q l或$p_0 + p_1i + p_2j + p_3k + \left(q_0 + q_1i + q_2j + q_3k\right)l\,$，其中，量l為其中一個八元數單位並滿足：

$$i^2 = j^2 = k^2 = l^2 = -1 \,$$

在這種定義下每一個八元數都是單位八元數{1, i, j, k, l, il, jl, kl}的線性組合。也就是說，每一個八元數x都可以寫成

$$x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl$$

其中係數xa是實數。

這些八元數單位亦滿足：

$$i^2 = j^2 = k^2 = l^2 = (il)^2 = (jl)^2 = (kl)^2 = -1 \,$$

八元數的加法是把對應的係數相加，就像複數和四元數一樣。根據線性，八元數的乘法完全由以下單位八元數的乘法表來決定。

一些不同的定義方式會將八元數的單位元素表達為ea的線性組合，其中a=0, 1,..., 7：

$$\{e_0, e_1, e_2, e_3, e_4, e_5, e_6, e_7\},$$

當中的$e_0$為實數單位。每個八元數單位元素皆不相等，而其平方為實數。也就是說，每個八元數x都可以寫成以下形式：

$x = x_0e_0 + x_1e_1 + x_2e_2 + x_3e_3 + x_4e_4 + x_5e_5 + x_6e_6 + x_7e_7,\,$

其中xi為單位元素ei的係數，且必為實數。八元數的加法和減法是通過加減相應的項以及它們的係數來完成的，與四元數的加減法類似。乘法則較為複雜。八元數的乘法是對加法的分配，所以兩個八元數的乘積可以通過對所有項的乘積求和來計算，再次如同四元數一般。每對項的乘積可以通過係數的乘積和單位八元數的乘法表給出Baez, John C. The Octonions.p. 150，其乘法表的結構與{1, i, j, k, l, il, jl, kl}的模式（$p_0 + p_1i + p_2j + p_3k + \left(q_0 + q_1i + q_2j + q_3k\right)l\,$）類似。這個乘法表先後由Graves於1843年和Cayley於1845年描述：

$e_ie_j$｜$e_j$

$e_0$｜$e_1$｜$e_2$｜$e_3$｜$e_4$｜$e_5$｜$e_6$｜$e_7$

$e_i$｜$e_0$｜$e_0$｜$e_1$｜$e_2$｜$e_3$｜$e_4$｜$e_5$｜$e_6$｜$e_7$

$e_1$｜$e_1$｜$-e_0$｜$e_3$｜$-e_2$｜$e_5$｜$-e_4$｜$-e_7$｜$e_6$

$e_2$｜$e_2$｜$-e_3$｜$-e_0$｜$e_1$｜$e_6$｜$e_7$｜$-e_4$｜$-e_5$

$e_3$｜$e_3$｜$e_2$｜$-e_1$｜$-e_0$｜$e_7$｜$-e_6$｜$e_5$｜$-e_4$

$e_4$｜$e_4$｜$-e_5$｜$-e_6$｜$-e_7$｜$-e_0$｜$e_1$｜$e_2$｜$e_3$

$e_5$｜$e_5$｜$e_4$｜$-e_7$｜$e_6$｜$-e_1$｜$-e_0$｜$-e_3$｜$e_2$

$e_6$｜$e_6$｜$e_7$｜$e_4$｜$-e_5$｜$-e_2$｜$e_3$｜$-e_0$｜$-e_1$

$e_7$｜$e_7$｜$-e_6$｜$e_5$｜$e_4$｜$-e_3$｜$-e_2$｜$e_1$｜$-e_0$

除了主對角線上以及$e_0$作為操作數的行和列的元素之外，乘法表中的大多數非對角元素都是反對稱的，這使得這個乘法表幾乎是一個斜對稱矩陣。

該表可總結如下：

$$e_i e_j = \begin{cases} e_j , & \text{if }i = 0 \\ e_i , & \text{if }j = 0 \\ - \delta_{ij}e_0 + \varepsilon _{ijk} e_k, & \text{otherwise} \end{cases}$$

其中δij為克羅內克δ函數（當且僅當i = j時為1）、 εijk為完全反對稱張量，且當ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365時，值為1。

然而，上述定義並不是唯一的。這些定義只是$e_0=1$八元數乘法的480個可能定義之一。其他的八元數乘法定義可以透過置換和改變非標量基元素$\{e_0, e_1, e_2, e_3, e_4, e_5, e_6, e_7\},$的符號來獲得。這480個不同乘法定義對應的代數結構是同構的，很少需要考慮使用哪個特定的乘法規則。

這480個八元數乘法定義中，每一定義的正負號在7循環（1234567）下的特定點上都是不變的，並且對於每個7循環有四個定義，它們的區別在於正負號和順序的反轉。一個常見的選擇是使用 e1e2 = e4的7循環（1234567）下的定義不變量 — 通過使用三角乘法圖或下面的 法諾平面，該平面還顯示了基於124的7循環三元組及其相關乘法的排序列表en和$ijkl$格式的矩陣。

<image>

此外，亦有一些文獻會將八元數的單位定義為$1, i, j, k, L, m, n, o$。

### 凱萊-迪克松構造

一個更加系統的定義八元數的方法，是通過凱萊-迪克松構造。就像四元數可以用一對複數來定義一樣，八元數可以用一對四元數來定義。兩對四元數$(a,b)$和$(c,d)$的乘積定義為：

$$(a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})$$

其中$z^{*}$表示四元數$z$的共軛。這個定義與上面給出的定義是等價的。Baez, John C. The Octonions.p. 154

### 法諾平面記憶

<image>

一個用來記憶八元數的乘積的方便辦法，由右面的圖給出。這個圖中有七個點和七條直線（經過i、j和k的圓也視為一條直線），稱為法諾平面。這些直線是有向的。七個點對應於Im($\mathbb{O}$)的七個標準基元素。每一對不同的點位於唯一的一條直線上，而每一條直線正好通過三個點。Baez, John C. The Octonions.p. 152

設(a, b, c)為位於一條給定的直線上的三個有序點，其順序由箭頭的方向指定。那麼，乘法由下式給出：

1=ab = c，ba = −c

以及它們的循環置換。這些規則

- 1是乘法單位元。
- 對於圖中的每一個點，都有$e^2=-1$

完全定義了八元數的乘法結構。七條直線的每一條都生成了$\mathbb{O}$的一個子代數，與四元數$\mathbb{H}$同構。

### 共軛、範數和逆元素

八元數

$$x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl$$

共軛為：

$$x^* = x_0 - x_1\,i - x_2\,j - x_3\,k - x_4\,l - x_5\,il - x_6\,jl - x_7\,kl.$$

當中除了實數項外，其餘項正負號皆相反。因此若將八元數單位表達為{e1, e2 ... e7}，則八元數的共軛可以簡化表示為：

$$x^* = \overline{x} = x_0 e_0 - x_i e_i, \ i=1, 2\cdots 7$$

共軛是$\mathbb{O}$的一個對合，滿足$(xy)^{*}=y^{*}x^{*}$（注意次序的變化）。

x的實數部分定義為$\mathrm{Re}\left(x\right)=\tfrac{x+x^{*}}{2}=x_0$，虛數部分定義為$\mathrm{Im}\left(x\right)=\tfrac{x-x^{*}}{2}$。所有純虛的八元數生成了$\mathbb{O}$的一個七維子空間，記為Im($\mathbb{O}$)。

八元數x的範數可用與自身共軛的積$\|x\|^2 = x^{*} x$來定義：

$$\|x\| = \sqrt{x^{*} x}$$

在這裡，平方根是定義良好的，因為$x^{*}x=xx^{*}$總是非負實數：在範數可良好定義的前提下，$\frac{x+x^{*}}{2}\in\mathbb{R}$，且$x^{*}x > 0$，因此可以得到$x^{*}x=xx^{*}$總是非負實數的結論。

$$\|x\|^2 = x^{*}x = x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 + x_6^2 + x_7^2$$

這個範數與$\mathbb{R}^8$上的標準歐幾里得範數是一致的。

$\mathbb{O}$上範數的存在，意味著$\mathbb{O}$的所有非零元素都存在逆元素。x ≠ 0的逆元素為：

$$x^{-1} = \frac {x^*}{\|x\|^2}$$

它滿足$xx^{-1}=x^{-1}x=1$。

## 性質

八元數的乘法既不是交換的：

$$ij = -ji \neq ji\,$$

也不是結合的：

$$(ij)l = -i(jl) \neq i(jl)\,$$

然而，八元數確實滿足結合性的一個較弱形式──交錯性。這就是說，由任何兩個元素所生成的子代數是結合的。實際上，我們可以證明，由$\mathbb{O}$的任何兩個元素所生成的子代數都與$\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$或$\mathbb{H}$同構，它們都是結合的。由於八元數不滿足結合性，因此它們沒有矩陣的表示法，與四元數不一樣。

八元數確實保留了$\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$和$\mathbb{H}$共同擁有的一個重要的性質：$\mathbb{O}$上的範數滿足

$$\|xy\| = \|x\|\|y\|$$

這意味著八元數形成了一個非結合的賦範可除代數。所有由凱萊-迪克松構造所定義的更高維代數都不滿足這個性質，因為它們都存在零因子。

這樣，實數域上唯一的賦範可除代數是$\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$、$\mathbb{H}$和$\mathbb{O}$。這四個代數也形成了實數域上唯一的交錯的、有限維的可除代數。

由於八元數不是結合的，因此$\mathbb{O}$的非零元素不形成一個群。然而，它們形成一個擬群。

### 自同構

八元數的自同構A，是$\mathbb{O}$的可逆線性變換，滿足：

$$A(xy) = A(x)A(y).\,$$

$\mathbb{O}$的所有自同構的集合組成了一個群，稱為1=G2 (數學)。Conway & Smith 2003,Chapter 8.6群G2是一個單連通、緊緻、14維的實李群。這個群是例外李群中最小的一個。

## 延伸閱讀

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## 基本資料

- 官方名稱：八元數
- 符號：$\mathbb O$
- 種類：超複代數
- 單位：$e_n$形式：、$e_0$、 $e_1$、 $e_2$、 $e_3$、 $e_4$、 $e_5$、 $e_6$、 $e_7$、$ijkl$形式：、1、 i、 j、 k、 l、 il、 jl、 kl
- 乘法單位元：$e_0$或1
- 主要性質：非交換、非結合