完全數

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完全數（perfect number），又稱完美數或完備數，是一些特殊的自然數：它所有的真因子（即除了自身以外的約數）的和，恰好等於它本身，完全數不可能是楔形數、平方數、佩爾數或費波那契數。

例如：第一個完全數是6，它有約數1、2、3、6，除去它本身6外，其餘3個數相加，1+2+3，恰好等於本身。第二個完全數是28，它有約數1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其餘5個數相加，1+2+4+7+14，也恰好等於本身。後面的數是496、8128。

十進位的5位數到7位數、9位數、11位數、13到18位數等位數都沒有完全數，它們不是虧數就是盈數。

## 完全數的發現

古希臘數學家歐幾里得是通過$2^{n-1} \times(2^n-1)$ 的表達式發現前四個完全數的。

當$n=2:$2^1*(2^2-1)

當$n=3:$2^2*(2^3-1)

當$n=5:$2^4*(2^5-1)

當$n=7:$2^6*(2^7-1)

一個偶數是完美數，若且唯若它具有如下形式：$2^{n-1}(2^n-1)$，其中$2^n-1$是素數，此事實的充分性由歐幾里得證明，而必要性則由歐拉所證明。

比如，上面的$6$和$28$對應著$n=2$和$3$的情況。我們只要找到了一個形如$2^n-1$的素數（即梅森素數），也就知道了一個偶完美數。

儘管沒有發現奇完全數，但是當代數學家奧斯丁·歐爾證明，若有奇完全數，則其形式必然是$12n+1$或$36n+9$的形式，其中$n$是整數。

首十個完全數是（A000396）：

- 6（1位）
- 28（2位）
- 496（3位）
- 8128（4位）
- 33550336（8位）
- 8589869056（10位）
- 137438691328（12位）
- 2305843008139952128（19位）
- 2658455991569831744654692615953842176（37位）
- 191561942608236107294793378084303638130997321548169216（54位）

## 歷史

古代數學家根據當時已知的四個完全數做了很多假設，大部分都是錯誤的。其中的一個假設是：因為 2、3、5、7 恰好是頭 4 個素數，第 5 個完全數應該是第 5 個素數，即當 $n=11$ 的時候，可是 $2^{11}-1=23 \times 89$ 並不是素數。因此 $n=11$ 不是完全數。另外兩個錯誤假設是：

- 頭四個完全數分別是 1、2、3、4 位數，第五個應該是 5 位數。
- 完全數應該是交替以 6 或 8 結尾。

事實上，第五個完全數 $33550336=2^{12}(2^{13}-1)$ 是 $8$ 位數。

對於第二個假設，第五個完全數確實是以 $6$ 結尾，但是1588年，義大利數學家彼得羅·卡達迪計出第六個完全數 $8589869056$，仍是以 $6$ 結尾，只能說歐幾里得的公式給出的完全數以 $6$ 和 $8$ 結尾。卡達迪證明了此結論。此外，還計出第七個完全數137,438,691,328。

對完全數的研究，至少已經有兩千多年的歷史。《幾何原本》中就提出了尋求某種類型完全數的問題。

每一個梅森素數給出一個偶完全數；反之，每個偶完全數給出一個梅森素數，這結果稱為歐幾里得－歐拉定理。共發現了52個完全數，且都是偶數。最大的已知完全數為$2^{136279840} \times (2^{136279841}-1)$共有$82048640$位數。

## 性質

以下是目前已發現的完全數共有的性質。

- 偶完全數都是以6或28結尾。
- 如果存在奇完全數，它在十二進制中必定以1, 09, 39, 69或99結尾。
- 而如果存在奇完全數，它在六進制中必定以01, 13, 21或41結尾。
- 除了6以外的偶完全數，把它的各位數字相加，直到變成個位數，那麼這個個位數一定是1：

```
<math> 28</math> → <math>2+8=10</math> → <math>1+0=1</math>
<math>496</math> → <math>4+9+6=19</math> → <math>1+9=10</math> → <math>1+0=1</math>
```

- 所有的偶完全數都可以表達為2的一些連續正整數次冪之和，從$2^{p-1}$到$2^{2p-2}$：

```
<math>6=2^1+2^2</math>
<math>28=2^2+2^3+2^4</math>
<math>496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8</math>
<math>8128=2^6+2^7+...+2^{12}</math>
```

```
<math>6=1+2+3</math>
<math>28=1+2+3+4+5+6+7</math>
<math>496=1+2+3+...+30+31</math>
<math>8128=1+2+3+...+126+127</math>
```

- 除6以外的偶完全數，還可以表示成連續奇立方數之和（被加的項共有$\sqrt{2^{p-1}}$)這是因為$1^3+3^3+5^3+\cdots+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)$。

```
<math>28=1^3+3^3</math>
<math>496=1^3+3^3+5^3+7^3</math>
<math>8128=1^3+3^3+5^3+...+15^3</math>
<math>33550336=1^3+3^3+5^3+...+127^3</math>
```

- 每個完全數的所有約數（包括本身）的倒數之和，都等於2：（這可以用通分證得。因此每個完全數都是歐爾調和數。）

```
<math>\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} =\frac{6+3+2+1}{6}= 2</math>
<math>\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{7} + \frac{1}{14} + \frac{1}{28} = \frac{28+14+7+4+2+1}{28}=2</math>
```

- 它們的二進位表達式也很有趣：（因為偶完全數形式均如$2^{n-1}(2^n-1)$，所以左邊的１數量永遠比右邊的０多１個）

```
<math>(6)_{10}=(110)_2</math>
<math>(28)_{10}=(11100)_2</math>
<math>(496)_{10}=(111110000)_2</math>
<math>(8128)_{10}=(1111111000000)_2</math>
<math>(33550336)_{10}=(1111111111111000000000000)_2</math>
<math>(8589869056)_{10}=(111111111111111110000000000000000)_2</math>
<math>(137438691328)_{10}=(1111111111111111111000000000000000000)_2</math>
```

- 有趣的是，以繁體字書寫「完全數」剛好是28劃。

## 奇完全數

截至2024年6月30日，用電腦已經證實：在102200以下，沒有奇完全數；至今還證明了，如果奇完全數存在，則它至少包含11個不同素數（包含一個不少於7位數的質因子）但不包含3，亦不會是立方數。一般猜測奇完全數是不存在的；完全數是否有無限多個也至今未能證明。

美國數學家卡爾·帕梅朗斯提出了一個想法說明奇完全數不太可能存在。

### 奇完全數的部分條件

- N > 102200

$$N=q^{\alpha} p_1^{2e_1} \ldots p_k^{2e_k},$$

其中：

- q，p1，…，pk是不同的素數（Euler）。
- q ≡ α ≡ 1 (mod 4)（Euler）。
- N的最小素因子必須小於$\frac{k-1}{2}.$。
- $e_1$≡$e_2$...≡$e_k$ ≡ 1（mod 3）的關係不能滿足（McDaniel 1970）。
- 要麼qα > 1062，要麼對於某個j有$p_j^{2e_j}$ > 1062。
- $N < 2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}$
- N必須可以寫成12n+1，468n+117或324n+81（n為整數）的形式。
- N不能被105整除。
- N的最大素因子必須大於108，並低於 $(3N)^{1/3}$。
- N的第二大素因子必須大於104，並低於$(2N)^{1/5}$。
- N的第三大素因子必須大於100。
- N至少要有101個素因子，其中至少10個是不同的。如果3不是素因子之一，則至少要有12個不同的素因子。
- 如果對於所有的i，都有$e_i$ ≤ 2，那麼：
- N的最小素因子必須大於739（Cohen 1987）。
- α ≡ 1（mod 12）或α ≡ 9 (mod 12)（McDaniel 1970）。

### 圖查德定理

這個定理說明若存在奇完全數，其形式必如$12m+1$或$36q+9$。最初的證明在1953年由雅克·圖查德首先證明，1951年巴爾塔薩·范德波爾用非線性偏微分方程得出證明。茱蒂·霍爾德納在《美國數學月刊》第109卷第7期刊證了一個初等的證明。

證明會使用這四個結果：（下面的n,k,j,m,q均為正整數）

- 歐拉證明了奇完全數的形式必如$4j+1$。
- $\sigma(n)$表示$n$的正因數之和。完全數的定義即為$2n = \sigma(n)$。$\sigma(n)$為積性函數
- 引理（甲）：若$n=6k-1$（$k$是正整數），則$n$非完全數。
- 引理（乙）：若$n=4k-1$（$k$是正整數），則$n$非完全數。

引理的證明（甲）：

使用反證法，設$n$為完全數，且$n \equiv -1 \pmod{6}$。

$n \equiv -1 \pmod{3}$。因為3的二次剩餘只有0,1，故$n$非平方數，因此其正因數個數為偶數。

$n$有正因數$d$，則可得：

$d \equiv 1 \pmod{3}$且$n/d \equiv -1 \pmod{3}$；或

$d \equiv -1 \pmod{3}$且$n/d \equiv 1 \pmod{3}$。

因此，$(n/d + d) \equiv 0 \pmod{3}$。故$\sigma(n) = \sum_{ d < \sqrt{n} } d + n/d \equiv 0 \pmod{3}$。

但$2n \equiv 2(-1) \equiv 1 \pmod{3}$，矛盾。

故$n$的形式只可能為$6k+1$或$6k+3$。

引理的證明（乙）：

使用反證法，設$n$為完全數，且$n \equiv -1 \pmod{4}$。

$n \equiv -1 \pmod{4}$。因為4的二次剩餘只有0,1，故$n$非平方數，因此其正因數個數為偶數。

$n$有正因數$d$，則可得：

$d \equiv 1 \pmod{4}$且$n/d \equiv -1 \pmod{4}$；或

$d \equiv -1 \pmod{4}$且$n/d \equiv 1 \pmod{4}$。

因此，$(n/d + d) \equiv 0 \pmod{4}$。故$\sigma(n) = \sum_{ d < \sqrt{n} } d + n/d \equiv 0 \pmod{4}$。

但$2n \equiv 2(-1) \equiv 2 \pmod{4}$，矛盾。

故$n$的形式只可能為$4k+1$。

若$n=6k+1$，根據歐拉的結果，$n=4j+1$，綜合兩者，得$n=12m+1$。

若$n=6k+3$，$n=4j+1$，得$n=12m+9=3(4m+3)$。若$m$非3的倍數，3和$4m+3$互質。

因為$\sigma(n)$為積性函數，可得$\sigma(n)=\sigma(3) \sigma(4m+3) = 4 \sigma(4m+3) \equiv 0 \pmod{4}$。

但$2n=2(4j+1) \equiv 2 \pmod{4}$，出現了矛盾。故知$m$是3的倍數。代入$m=3q$，可得$n=36q+9$。

## 參考

- Odd Perfect Numbers, Gagan Tara Nanda

## 外部連結

- David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers
- Perfect numbers – History and Theory
- OddPerfect.org A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers.
- Great Internet Mersenne Prime Search
- Perfect Numbers, math forum at Drexel.