分數傅立葉變換

在數學中，分數傅立葉變換（Fractional Fourier transform，縮寫：FRFT）指的就是傅立葉變換（Fourier Transform）的廣義化。近幾年來，分數傅立葉變換除了在信號處理領域有相當廣泛的應用，其也在數學上被單獨地研究，而定義出如分數迴旋積分（Fractional Convolution）、分數相關（Fractional Correlation）等許多相關的數學運算。

分數傅立葉變換的物理意義即做傅立葉變換 $a$ 次，其中 $a$ 不一定要為整數；而做了分數傅立葉變換之後，信號或輸入函數便會出現在介於時域與頻域之間的分數域（Fractional Domain）。

若再更進一步地廣義化分數傅立葉變換，則可推廣至線性標準變換。

## 由來

對信號 $x(t)$ 做一次傅立葉變換的結果為$\mathcal{F}(x)$，做兩次傅立葉變換的結果為$\mathcal{F}(\mathcal{F}(x))$，表示成$\mathcal{F}^2=\mathcal{F}(\mathcal{F}(x))$，而當做了 $a$ 次的傅立葉變換可以寫成一般式 $\mathcal{F}^a(x)=\mathcal{F}^{(a-1)}(\mathcal{F}(x))$。至此，都以 $a$為整數做考量，當令 $a=\frac{2\phi}{\pi}$ 即 $\phi=\frac{1}{2} a\pi$ 時，將 $x(t)$ 的分數傅立葉變換定義為 $\mathcal{F}_\phi (x)=\mathcal{F}^{2\phi /\pi}(x)$，其中 $\phi$ 可以不必為整數。

## 歷史

分數傅立葉變換這個概念，其實最早在西元1929年，N.Wiener就已提出，但是並沒有受到太多的矚目。過了約莫50年，V.Namias 在西元1980年重新提出（稱之為重發明）這個概念，但是一直到西元1994年，才有人真正把分數傅立葉變換用在信號處理上，此人為 L. B. Almeida。詳細歷史：1937年提出分數傅立葉變換的概念雛形; 1980年Namias較明確地提出分數傅立葉變換的數學表達式，並將其用於具有確定邊界條件的量子力學薛定諤方程的求解1987年Bride & Kerr 給出嚴格的數學定義以及性質1993年由德國的學者羅曼，土耳其的Ozaktas和以色列的Mendlovic等人首次將分數傅立葉變換概念引入光學並給出了相應的光學過程; Mendlovic＆Ozaktas：漸變折射率GRIN介質中光傳播。A. W. Lohmann: 維格納分佈函數和以及透鏡實現，自由空間的光衍射。1993年Ozaktas，羅曼，Mendlovic等人在光學中全面引入分數傅立葉變換; 1995年Shih提出了另外一種分數傅立葉變換的形式; 1997年劉樹田等人根據Shih的定義給出了廣義分數傅立葉變換，1999年劉樹田等人將分數傅立葉變換應用於圖像加密研究中; 2001年Ozaktas等人出版「分數傅立葉變換及其在光學和信號處理中應用」一書。

## 定義

第一種定義:

$$X_\phi (u) = \sqrt{1-j\cot\phi}\cdot e^{j\pi \cdot \cot\phi\cdot u^2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j2\pi \cdot \csc\phi \cdot ut} e^{j\pi \cdot \cot\phi \cdot t^2} x(t) dt$$

第二種定義:

$$X_\phi (u) = \sqrt{\frac{1-j\cot\phi}{2\pi}}\cdot e^{j\frac{\cot\phi}{2}\cdot u^2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\csc\phi \cdot ut} e^{j\frac{\cot\phi}{2}\cdot t^2} x(t) dt$$

$\phi = 0.5a\pi$, $a$ 為實數。

當 $a=1$ 時 (亦即 $\phi = 0.5\pi$ )，分數傅立葉變換就成了傅立葉變換。

## 表示法

$\mathcal{F}^2(f)=\mathcal{F}(\mathcal{F}(f))$，則可推廣為$\mathcal{F}^{(n+1)}(f)=\mathcal{F}(\mathcal{F}^n(f))$;依此類推，$\mathcal{F}^{-n}(F)$表示$F(\omega)$的$n$次逆變換$\mathcal{F}^{-1}(F)$。

而分數傅立葉變換將以上定義推廣至非整數次的$n=\frac{2\alpha}{\pi}$，且$\alpha$為實數，表示為

$\mathcal{F}_\alpha(f) = \mathcal{F}^{2\alpha/\pi}(f)$。

當$n=\frac{2\alpha}{\pi}$是一個整數時則代表傅立葉轉換做$n$次。

例如:

$n=1$時相當於做一次傅立葉變換，如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉90度

$n=2$時相當於做兩次傅立葉變換，如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉180度,$\mathcal{F}^2[x(t)]=x(-t)$

$n=3$時相當於做三次傅立葉變換，如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉270度

$n=4$時相當於做四次傅立葉變換，如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉360度,$\mathcal{F}^4[x(t)]=x(t)$

## 性質

對於任一實數$\alpha$，一個對$f$函數做$\alpha$角度分數傅立葉變換定義為

$$\mathcal{F}_\alpha(f)(\omega) = \sqrt{\frac{1-i\cot(\alpha)}{2\pi}} e^{i \cot(\alpha) \omega^2/2} \int_{-\infty}^\infty e^{-i\csc(\alpha) \omega t + i \cot(\alpha) t^2/2} f(t) dt$$

並且具備以下特性

- 加法性(Additivity)

$\mathcal{F}_{\alpha+\beta}(f) = \mathcal{F}_\alpha(\mathcal{F}_\beta(f)) = \mathcal{F}_\beta(\mathcal{F}_\alpha(f))$。

- 線性(Linearity)

$$\mathcal{F}_\alpha \left [\sum\nolimits_k b_kf_k(u) \right ]=\sum\nolimits_k b_k\mathcal{F}_\alpha \left [f_k(u) \right ]$$

- 整數傅立葉性質(Integer Orders)

若$\alpha=\frac{k\pi}{2}$,其中$k$為一整數則相當於做$k$次傅立葉轉換。

當$\alpha=\frac{\pi}{2}$時，這個定義就變成了連續傅立葉變換的定義。

當${\displaystyle \alpha ={\frac {-\pi }{2}}}$時，它就變成了連續傅立葉變換之逆變換的定義。

若$\alpha$為$\pi$的整數倍，則餘切函數和餘割函數不會收斂。

有一方法可解決此問題，就是取函數極限，讓以上定義變成有一個狄拉克δ函數被積分的情況，使得

$$\mathcal{F}_\alpha = \mathcal{F}_{\frac{k\pi}{2}} = \mathcal{F}^k = (\mathcal{F})^k$$

- 反轉性質(Inverse)

$$(\mathcal{F}_\alpha)^{-1}=\mathcal{F}_{-\alpha}$$

- 交換性(Commutativity)

$$\mathcal{F}_{\alpha_1}\mathcal{F}_{\alpha_2}=\mathcal{F}_{\alpha_2}\mathcal{F}_{\alpha_1}$$

- 結合律(Associativity)

$$\left (\mathcal{F}_{\alpha_1}\mathcal{F}_{\alpha_2} \right )\mathcal{F}_{\alpha_3} = \mathcal{F}_{\alpha_1} \left (\mathcal{F}_{\alpha_2}\mathcal{F}_{\alpha_3} \right )$$

- 帕塞瓦爾定理(Parseval Theorem)

若從時頻分析圖上來看，代表的意義是在時頻分析上旋轉一角度後能量守恆

$$\int f^*(u)g(u)du=\int f_\alpha^*(u)g_\alpha(u)du$$

## 定理

$x(t)$ 的分數傅立葉轉換 ($\phi$)的時頻分布，等同於 $x(t)$ 的時頻分布(維格納分布,加伯轉換)順時針旋轉角度 $\phi$，用數學式子表示如下:

### 維格納分佈(Wigner distribution function)

假設

- $W_x(t,f)$ 是 $x(t)$ 的維格納分布
- $W_{X_\phi}(u,v)$ 是 $X_\phi(u)$ 的維格納分布
- $X_\phi(u)$ 是 $x(t)$ 的分數傅立葉轉換

則$W_{X_\phi}(u,v)=W_x(u\cos(\phi)-v\sin(\phi),u\sin(\phi)+v\cos(\phi))$

### 加伯轉換(Gabor transform)

假設

- $G_x(t,f)$ 是 $x(t)$ 的加伯轉換
- $G_{X_\phi}(u,v)$ 是 $X_\phi(u)$ 的加伯轉換
- $X_\phi(u)$ 是 $x(t)$ 的分數傅立葉轉換

則$G_{X_\phi}(u,v)=G_x(u\cos(\phi)-v\sin(\phi),u\sin(\phi)+v\cos(\phi))$

例子一:

對一個加伯轉換後的餘弦函數做不同角度的分數傅立葉轉換。如下圖

<image>

例子二:

對一個加伯轉換後的矩形函數做不同角度的分數傅立葉轉換。如下圖

<image>

## 應用

可用分解信號和濾除雜訊；一般來說分為兩種，一種是在時域(Time domain)上，一種是在頻域(Frequency domain)上。

這邊利用分數傅立葉轉換使其在分數域當中濾波。

### 時域

假設現在$x(t)$是由兩個信號組成:

$x(t)=x_1(t)+x_2(t)$。

$x_1(t)$和$x_2(t)$ 用數學表示分別如下:

$$x_1(t) = \begin{cases} 1, & \mbox{if }0<t<1\mbox{ } \\ 0, & \mbox{otherwise }\mbox{ } \end{cases}$$

$$x_2(t) = \begin{cases} 1, & \mbox{if }8<t<10\mbox{ } \\ 0, & \mbox{otherwise }\mbox{ } \end{cases}$$

$$h(t) = \begin{cases} 1, & \mbox{if }-2<t<2\mbox{ } \\ 0, & \mbox{otherwise }\mbox{ } \end{cases}$$

由式子可以很明顯地看出，$x_1(t),x_2(t)$兩信號是方波。

若要將這兩個信號分開，是非常簡單的一件事情，因為這兩個信號在時域上毫無重疊，便可以直接在時域上將這兩個信號分開。

則 $x(t)$ 乘上 $h(t)$ 時，$x_1(t)$這個信號會被保留，$x_2(t)$這個信號就被濾掉了。

此作法可成功將這兩個信號分開。

#### 限制

此種方法的限制為欲分解的信號必須在時域不能重疊，否則無法成功分解。

### 頻域

$x(t)=x_1(t)+x_2(t)$。

$x_1(t)=\sin(4\pi t)$，$x_2(t)=\cos(10\pi t)$。

可以很明顯地看出$x_1(t)$和$x_2(t)$ 在時域上完全重疊，因此很難在時域分解這兩個信號。

此時，可以妥善利用傅立葉轉換將信號$x(t)$轉到頻域，其在頻域的表示式如下所示:

$$X(f) = X_1(f)+X_2(f)$$

$$X_1(f) = {\frac{\delta (f-2)-\delta (f+2)}{2}}$$

$$X_2(f) = {\frac{\delta (f-5)+\delta (f+5)}{2}}$$

由$X(f)$可以很明顯地看出，若要將這兩個信號在頻域上分開，是非常簡單的一件事情，因為這兩個信號經過傅立葉轉換後，在頻域上完全沒有重疊。

#### 例子

假設 $H(f)$ 為一個低通濾波器(Low-pass Filter)

$$H(f) = \begin{cases} 1, & \mbox{if }-3<t<3\mbox{ } \\ 0, & \mbox{otherwise }\mbox{ } \end{cases}$$

則 $X(f)$ 乘上 $H(f)$ 時，$X_1(f)$ 會被保留，$X_2(f)$ 就被濾掉了。

反之，若要保留 $X_2(f)$ 而濾掉 $X_1(f)$，則可以使用高通濾波器(High-pass Filter)。

這種把欲處理信號先轉換到頻域，再做分解的動作，是濾波器設計的常見方法之一。

#### 限制

欲分解的信號必須在頻域不能重疊，否則無法成功分解。

### 時頻域分解

$x(t)=e^{j0.5(t-4)^2}$ (啁啾雜訊) + 三角波信號。

三角波信號(藍色)是我們要的信號，將前面的啁啾(綠色)視為雜訊，由圖中可以發現到。

不論在時域或是頻域，皆無法直接將噪音項$e^{j0.5(t-4)^2}$去除，這是因為$e^{j0.5(t-4)^2}$和三角波信號在時域和頻域皆重疊(如下圖左上、右上)。

因此，對於兩個在時、頻域皆重疊的信號來說，很難在一維的時域和頻域中將其分解。

但若使用二維的時頻分析，則將有機會可以將兩個在時、頻域皆重疊的信號分解。

這是因為兩個在時、頻域皆重疊的信號其時頻分布並不一定會重疊。因此，只要這兩個信號的時頻分布沒有互相重疊，就可以善用分數傅立葉變換將其成功分解(如下圖左下、右下)。

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#### 例子一

假設有噪音干擾，所以接收到的信號除了原始信號以外，還包含了雜訊。

用時頻分析方法來處理接收到的信號，黑色為原始信號(signal)的時頻分布，而綠色為噪音(noise)的時頻分布，如下圖。

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現在想把雜訊濾掉，以下探討3種方法來還原原始信號。

方法1 : 使用垂直的截至線（Cutoff line）

若在時頻分布圖中使用垂直的 Cutoff line，就相當於在一維時域中，要把信號和噪音分離。

但是由下圖可清楚看出，使用垂直的 Cutoff line 後，仍然會有一部分的噪音無法被去除。

因此方法1無法完美重建原始信號，而會有扭曲的情形發生。

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方法2 : 使用水平的 Cutoff line

若在時頻分布圖中使用水平的 Cutoff line，就相當於在一維頻域中，要把信號和噪音分離。

但是由下圖可清楚看出，使用水平的 Cutoff line 後，仍然會有一部分的噪音無法被去除。

因此方法2也無法完美重建原始信號，而會有扭曲的情形發生。

<image>

方法3 : 使用斜的 Cutoff line

若在時頻分布圖中使用斜的 Cutoff line，則可以完美分離信號和噪音。如下圖。

Cutoff line 的參數包含了 $\phi$ 和 $u_0$，$\phi$ 是cutoff line和縱軸f-axis的夾角，而 $u_0$ 則是cutoff line 距離原點的距離。

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以下示範如何使用分數傅立葉轉換和Cutoff line來將噪音濾除:

步驟(1) 首先決定cutoff line和縱軸f-axis的夾角 $\phi$

步驟(2) 利用分數傅立葉轉換對時頻分布旋轉 $\phi$，使 cutoff line 垂直橫軸 t-axis。

步驟(3) 算出 $u_0$後，再利用低通遮罩(Low pass Mask)將噪音濾掉。

步驟(4) 最後再做一次分數傅立葉轉換 $-\phi$，將時頻分布旋轉回原來的位置。

令接收到的信號為 $x_i(t)$，最後得到的信號為 $x_o(t)$，可將以上步驟用數學式子表示如下:

$$x_o(t)=X_{-\phi}[{X_\phi(x_i(t))H(u)}]$$

$$H(u) = \begin{cases} 1, & \mbox{if} u<u_0\mbox{ } \\ 0, & \mbox{if} u>u_0\mbox{ } \end{cases}$$

例子二:

假設發射一信號s(t)，中間受到雜訊干擾，最後收到的訊號為f(t)=s(t)+noise

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(a) 發射訊號的時域圖

(b) 接收訊號的時域圖

(c) 發射訊號的韋格納分布

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(d) 接收訊號的韋格納分布，有由此可見cross-term已經大大的影響時頻圖的可見姓，加上雜訊後的韋格納分布更是無法清楚地將訊號分離開來

(e) 發射訊號的加伯轉換

(f) 接收訊號的加伯轉換

<image>

(g) 接收訊號的加伯-維格納轉換

(h) 濾波器的設計，這邊總共有四條cutoff lines，其中有兩條平行，所以總共需要做三次不同的分數傅立葉轉換，再藉由cutoff lines來去除雜訊

(i) 濾波器的設計，這邊總共有四條cutoff lines，其中有兩條平行，所以總共需要做三次不同的分數傅立葉轉換，再藉由cutoff lines來去除雜訊

<image>

(j) 對(i)做分數傅立葉轉換

(k) 利用高通濾波器濾波，把兩條cutoff lines設置在低頻

(l) 經過(k)濾波器以後

(m) 透過同上的手法再做兩次低通濾波器，把旁邊兩條線給去除後可得到的還原訊號

(n) 發射訊號(藍色)和還原訊號(綠色)的比較，兩者的MSE僅有0.1128%

由以上可知，透過分數傅立葉旋轉時頻圖的技巧來設計濾波器，我們可以精準地還原訊號

例子三:

一樣假設接收訊號受到了雜訊干擾

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(a) 發射訊號

(b) 接收訊號

(c) 接收訊號的韋格納分

(d) 接收訊號的加伯轉換

(e) 接收訊號的加伯-維格納轉換，在這邊的濾波器需要五條cutoff lines(藍線)，但有兩條是垂直時間軸，可以直接在時間軸上去除，剩下的三條則需要利用分數傅立葉轉換來去除。

(f) 還原訊號，MSE僅0.3013%

## 比較傅立葉轉換和分數傅立葉轉換

傅立葉轉換

優點: 運算複雜度較低，有快速傅立葉轉換的演演算法。

缺點: 僅有一個維度，頻域，來分析；雜訊若和訊號重疊，則難以分離。

分數傅立葉轉換

優點: 運用旋轉的技巧在時頻圖上去除雜訊，多了一個維度（時域）來分析；除非雜訊和訊號同時在頻域和時域上重疊，否則將可以分離兩訊號。

缺點: 運算複雜度較高。

## 外部連結

- DiscreteTFDs -- software for computing the fractional Fourier transform and time-frequency distributions
- Class notes of Time frequency analysis and wavelet transform -- from Prof. Jian-Jiun Ding's course website

## 參考文獻

- N. Wiener, "Hermitian polynomials and Fourier analysis," Journal of Mathematics Physics MIT, 18, 70-73 (1929).
- V. Namias, "The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics," J. Inst. Appl. Math. 25, 241–265 (1980).
- Luís B. Almeida, "The fractional Fourier transform and time-frequency representations," IEEE Trans. Sig. Processing 42 (11), 3084–3091 (1994).
- Soo-Chang Pei and Jian-Jiun Ding, "Relations between fractional operations and time-frequency distributions, and their applications," IEEE Trans. Sig. Processing 49 (8), 1638–1655 (2001).
- D. H. Bailey and P. N. Swarztrauber, "The fractional Fourier transform and applications," SIAM Review 33, 389-404 (1991). (Note that this article refers to the chirp-z transform variant, not the FRFT.)
- Haldun M. Ozaktas, Zeev Zalevsky and M. Alper Kutay. "The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing". John Wiley & Sons (2001). Series in Pure and Applied Optics.
- Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2013