偏導數

在數學中，偏導數（partial derivative）的定義是：一個多變量的函數（或稱多元函數），對其中一個變量（導數）微分，而保持其他變量恆定。

偏導數的作用與價值在向量分析和微分幾何以及機器學習領域中受到廣泛認可。

函數$f$關於變量$x$的偏導數寫為$f_x^{\prime}$或$\frac{\partial f}{\partial x}$。偏導數符號$\partial$是全導數符號$d$的變體，由阿德里安-馬里·勒讓德引入，並在雅可比的重新引入後得到普遍接受。

## 簡介

1=f = x2 + xy + y2的圖像。我們希望求出函數在點(1, 1)的對x的偏導數；對應的切線與xOz平面平行。

假設 $f$ 是一個多元函數。例如：

$$z = f(x, y) = x^2 + xy + y^2$$

因為曲面上的每一點都有無窮多條切線，描述這種函數的導數相當困難。偏導數就是選擇其中一條切線，並求出它的斜率。通常，最感興趣的是垂直於 $y$ 軸（平行於$xOz$ 平面）的切線，以及垂直於 $x$ 軸（平行於$yOz$ 平面）的切線。

一種求出這些切線的好辦法是把其他變量視為常數。例如，欲求出以上的函數在點 $(1,1)$ 的與 $xOz$ 平面平行的切線。右圖中顯示了函數的圖像以及這個平面。左圖中顯示了函數在平面 $y=1$ 上是什麼樣的。我們把變量 $y$ 視為常數，通過對方程求導，我們可以發現 $f$ 在點 $(x,y)$ 的導數，記為：

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x+y$$

於是在點 $(1,1)$ 的 $xOz$ 平面平行的切線的斜率是3。

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 3$$

在點 $(1,1)$，或稱「$f$ 在 $(1,1)$ 的關於 $x$ 的偏導數是3」。

## 定義

函數 $f$ 可以解釋為 $y$ 為自變量而 $x$ 為常數的函數：

$f(x,y) = f_x(y) = \,\! x^2 + xy + y^2$。

也就是說，每一個 $x$ 的值定義了一個函數，記為$f_x$，它是一個一元函數。也就是說：

$f_x(y) = x^2 + xy + y^2$。

一旦選擇了一個 $x$ 的值，例如 $a$，那麼 $f(a,y)$ 便定義了一個函數 $f_a$，把 $y$ 映射到$a^2+ay+y^2$：

$f_a(y) = a^2 + ay + y^2$。

在這個表達式中，$a$ 是常數，而不是變量，因此 $f_a$ 是只有一個變量的函數，這個變量是 $y$。這樣，便可以使用一元函數的導數的定義：

$$f_a'(y)= a + 2y$$

以上的步驟適用於任何 $a$ 的選擇。把這些導數合併起來，便得到了一個函數，它描述了 $f$ 在 $y$ 方向上的變化：

$$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x + 2y$$

這就是 $f$ 關於 $y$ 的偏導數，在這裡，$\partial$ 是一個彎曲的 $d$，稱為偏導數符號。為了把它與字母 $d$ 區分，$\partial$ 有時讀作「der」、「del」、「dah」或「偏」，而不是「dee」。

一般地，函數 $f(x_1,\cdots,x_n)$ 在點 $(a_1,\cdots,a_n)$ 關於 $x_i$的偏導數定義為：

$$\frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\ldots,a_n) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a_1,\ldots,a_i+h,\ldots,a_n) - f(a_1,\ldots,a_n)}{h}$$

在以上的差商中，除了 $x_i$ 以外的所有變量都是固定的。這個固定值的選擇決定了一個一元函數$f_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}(x_i) = f(a_1,\ldots,a_{i-1},x_i,a_{i+1},\ldots,a_n)$，根據定義。

$$\frac{df_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}}{dx_i}(a_1,\ldots,a_n) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\ldots,a_n)$$

這個表達式說明了偏導數的計算可以化為一元導數的計算。

多變量函數的一個重要的例子，是歐幾里德空間 $\mathbb{R}^n$（例如 $\mathbb{R}^2$ 或 $\mathbb{R}^3$）上的標量值函數 $f(x_1,\cdots,x_n)$。在這種情況下，$f$ 關於每一個變量 $x_j$ 具有偏導數 $\frac{\partial f}{\partial x_j}$。在點 $a$，這些偏導數定義了一個向量：

$$\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right)$$

這個向量稱為 $f$ 在點 $a$ 的梯度。如果 $f$ 在定義域中的每一個點都是可微的，那麼梯度便是一個向量值函數 $\nabla f$，它把點 $a$ 映射到向量 $\nabla f(a)$。這樣，梯度便決定了一個向量場。

一個常見的符號濫用是在歐幾里得空間 $\mathbb{R}^3$ 中用單位向量 $\mathbf{\hat{i}}, \mathbf{\hat{j}}, \mathbf{\hat{k}}$來定義Nabla算子（$\nabla$）如下：

$$\nabla = \bigg[{\frac{\partial}{\partial x}} \bigg] \mathbf{\hat{i}} + \bigg[{\frac{\partial}{\partial y}}\bigg] \mathbf{\hat{j}} + \bigg[{\frac{\partial}{\partial z}}\bigg] \mathbf{\hat{k}}$$

或者，更一般地，對於n維歐幾里得空間 $\mathbb{R}^n$ 的坐標$(x_1, x_2, x_3,...,x_n)$和單位向量($\mathbf{\hat{e}_1}, \mathbf{\hat{e}_2}, \mathbf{\hat{e}_3}, \dots , \mathbf{\hat{e}_n}$):

$$\nabla = \sum_{j=1}^n \bigg[{\frac{\partial}{\partial x_j}}\bigg] \mathbf{\hat{e}_j} = \bigg[{\frac{\partial}{\partial x_1}}\bigg] \mathbf{\hat{e}_1} + \bigg[{\frac{\partial}{\partial x_2}}\bigg] \mathbf{\hat{e}_2} + \bigg[{\frac{\partial}{\partial x_3}}\bigg] \mathbf{\hat{e}_3} + \dots + \bigg[{\frac{\partial}{\partial x_n}}\bigg] \mathbf{\hat{e}_n}$$

## 例子

<image>

考慮一個圓錐的體積 $V$；它與高度 $h$ 和半徑 $r$ 有以下的關係：

$V(r, h) = \frac{\pi r^2 h}{3}$。

$V$ 關於 $r$ 的偏導數為：

$\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2 \pi r h}{3}$，它描述了高度固定而半徑變化時，圓錐的體積的變化率。

$V$ 關於 $h$ 的偏導數為：

$\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{\pi r^2}{3}$，它描述了半徑固定而高度變化時，圓錐的體積的變化率。

現在考慮 $V$ 關於 $r$ 和 $h$ 的全導數。它們分別是：

$$\frac{\operatorname dV}{\operatorname dr} = \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r} + \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h}\frac{\partial h}{\partial r}$$

以及

$$\frac{\operatorname dV}{\operatorname dh} = \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h} + \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial h}$$

現在假設，由於某些原因，高度和半徑的比 $k$ 需要是固定的：

$$k = \frac{h}{r} = \frac{\partial h}{\partial r}$$

這便給出了關於 $r$ 的全導數：

$$\frac{\operatorname dV}{\operatorname dr} = \frac{2 \pi r h}{3} + k\frac{\pi r^2}{3}$$

可以化簡為：

$$\frac{\operatorname dV}{\operatorname dr} = k\pi r^2$$

類似地，關於 $h$ 的全導數是：

$$\frac{\operatorname dV}{\operatorname dh} = \pi r^2$$

含有未知函數的偏導數的方程，稱為偏微分方程，它在物理學、工程學，以及其它應用科學中經常會見到。

與關於 $r$ 和 $h$ 二者相關的全導數是由雅可比矩陣給出的，它的形式為梯度向量$\nabla V =(\frac{\partial V}{\partial r},\frac{\partial V}{\partial h}) = (\frac{2}{3}\pi rh, \frac{1}{3}\pi r^2)$。

## 記法

在以下的例子中，設 $f$ 為 $x$、$y$ 和 $z$ 的函數。

$f$ 的一階偏導數為：

$$\frac{ \partial f}{ \partial x} = f_x = \partial_x f$$

二階偏導數為：

$$\frac{ \partial^2 f}{ \partial x^2} = f_{xx} = \partial_{xx} f$$

二階混合偏導數為：

$$\frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) = f_{xy} = \partial_{yx} f$$

高階偏導數為：

$$\frac{ \partial^{i+j+k} f}{ \partial x^i\, \partial y^j\, \partial z^k } = f^{(i, j, k)}$$

當處理多變量函數時，有些變量可能互相有關，這樣就需要明確指定哪些變量是固定的。在諸如統計力學的領域中，$f$ 關於 $x$ 的偏導數，把 $y$ 和 $z$ 視為常數，通常記為：

$$\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_{y,z}$$

## 正式定義和性質

像導數一樣，偏導數也是定義為一個極限。設 $U$ 為 $\mathbb{R}^n$ 的一個開子集，$f:U\rightarrow \mathbb{R}$ 是一個函數。我們定義 $f$ 在點 $\mathbf{a}=(a_1,\cdots,a_n) \in U$關於第 $i$ 個變量 $x_i$ 的偏導數為：

$$\frac{ \partial }{\partial x_i }f(\mathbf{a}) = \lim_{h \rightarrow 0}{ f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) - f(a_1, \dots ,a_n) \over h }$$

即使在某個給定的點 $a$，所有的偏導數 $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)$都存在，函數仍然不一定在該點連續。然而，如果所有的偏導數在 $a$ 的一個鄰域內存在並連續，那麼 $f$ 在該鄰域內完全可微分，且全導數是連續的。在這種情況下，我們稱 $f$ 是一個C1函數。

偏導數$\frac{\partial f}{\partial x}$可以視為定義在 $U$ 內的另外一個函數，並可以再次求偏導數。如果所有的混合二階偏導數在某個點（或集合）連續，我們便稱 $f$ 為在該點（或集合）的一個C2函數；在這種情況下，根據克萊羅定理，偏導數可以互相交換：

$\frac{\partial^2f}{\partial x_i\, \partial x_j} = \frac{\partial^2f} {\partial x_j\, \partial x_i}$。