加法

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加法是基本的算術運算之一，與減法、乘法、除法合稱「四則運算」。加法運算的本質，就是「一個以上的量的合併」。

除了自然數，其他類型的數也可以定義加法，例如整數、實數、複數等，這些類型的加法是算術的一部分。在代數中，許多抽象的概念也可以相加，例如向量、矩陣等。

將多個一相加的動作被稱為計數；一個數加零仍等於自身。當與相關的運算（像是減法、乘法等）同時出現時，加法也遵循一些法則。

加法是最簡單的數學任務之一。蹣跚學步的小孩就能將較小的數正確相加；最基本的$1+1=2$連五個月大的嬰兒都會，甚至其他種類的動物也會算。在初等教育中，學生使用十進位或二進位進行加法運算，從個位數的加法開始，逐漸變難。輔助加法的機械從古代的算盤，到現今的電子計算機，種類繁多。至今，人們還在研究在電子計算機上實現加法的高效演算法。

## 定義

為證明加法的常見性質，首先必須給出加法的準確定義。

加法首先在自然數範圍內定義。接著，在集合論中，加法被拓展至更加廣闊的集合：整數，有理數，實數……

### 集合的「合併」

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加法最基礎的詮釋，或源於對集合的樸素合併：

該詮釋易於直觀呈現，且幾乎不存在歧義。在高等數學中，它還為更嚴格的定義奠定基礎。然而，如何將該詮釋延伸至包含分數或負數的情形則並不顯見。一種可行思路是考慮易分割的對象集合，例如派餅；另一種可行思路或為更優的方案——分段式杆件。相較於單純合併杆件分段，更可採取杆件首尾相接的組合方式，由此接引加法的另一種定義：所疊加的並非杆件本身，而是杆件的長度。

### 長度的「延伸」

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加法的第二種詮釋，源於通過給定新長度延伸初始長度：

當初始長度延伸一定量時，最終長度等於初始長度與延伸長度之和。

和式 $a + b$ 可解釋為代數上結合 $a$ 與 $b$ 的二元運算，亦可理解為向 $a$ 增添 $b$ 個單位。在該詮釋下，和式 $a + b$ 的各組成部分具有非對稱作用，該運算可視作對 $a$ 施加一元運算 $+b$。相較於將 $a$ 與 $b$ 均稱為加數，將 $a$ 稱為「被加數」顯然更妥當，因其扮演被動角色。

一元視角在討論減法時亦具效用，因每個一元加法運算均有對應的逆向一元減法運算，反之亦然。

## 符號與表示

加號「+」（Unicode：U+002B；ASCII：`&amp;#43;`）是拉丁詞語「et」（和）的縮寫，它在數學中的使用至少可以追溯到1489年。

加法通過在各項之間加號「+」表示（中綴表示法的其中一種），運算結果用等號「=」表示。例如：

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1+1（1 加 1 等於 2）

2+2（2 加 2 等於 4）

1+2（1 加 2 等於 3）

5+4+2（見結合律）

3+3+3+3（見乘法）

當一個整數緊接一個分數時，表示兩者的和，此類形式稱為帶分數。例如：

$$1 {1 \over 2} = 1 + {1 \over 2} = 1.5$$

該記法可能引發混淆，因為在大多數其他數學語境中，符號並置通常表示乘法而非加法。

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一般加法運算中，待相加的數字或對象統稱為項或加數，結果稱為和，此術語體系同樣適用於多項求和情形，但需與乘法運算中的因數明確區分。有些人將第一個加數稱為被加數1a1 = Shmerko。事實上，在文藝復興時期，許多學者根本不將首個加數視為「加數」。而今由於了解加法交換律的普遍性，「被加數」一詞已鮮少使用，兩項通常統稱為加數。

英語單詞 addition（加法，名詞）和 add（加，動詞）源自拉丁語動詞 addere，它是由介詞 ad 和動詞 dare 組成的合成詞。dare 源於原始印歐語詞根 *deh₃-（給），因此 add 的本質即為「給予」。通過添加動名詞後綴 -nd，得到 addend（加數，意為「待給予之物」）。類似地，由 augere（增加）派生出 augend（被加數，意為「待增加之物」）。中古英語術語 adden 和 adding 則由喬叟推廣。

級數的和可以用求和符號表示，屬於迭代的一種。例如：

$$\sum_{k = 1}^{5} k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55$$

至於 summand 和 sum，則源自拉丁語名詞 summa（意為「最高者」或「頂端」）和相關聯的動詞summare。此用法承襲自古希臘與古羅馬將總和置於列頂的書寫傳統：在做加法時，這裡的人通常將結果寫在加數的上面，因此和字面上就比加數要「高」，這與現代的寫法恰恰相反。

## 性質

### 交換律

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加法滿足交換律：左右兩個加數的順序可以調換，結果不變。用符號語言來說，設 a 與 b 為任意兩個數，則 1=a + b = b + a。

有一些其他的二元運算也滿足交換律，例如乘法，但不是所有二元運算都滿足交換律，例如減法和除法就不滿足交換律。

### 結合律

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加法滿足結合律：多個數相加，運算順序可以調換，結果不變。設 a、b、c 為任意三個數，則 1=(a + b) + c = a + (b + c)。例如，當 1=a = 1，1=b = 2，1=c = 3 時：

$$(1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3)$$

然而，當加法與其他運算共同使用時，運算順序就變得至關重要。在標準運算順序中，加法的優先級低於乘方、$n$ 次方根、乘法和除法，但與減法具有同等優先級。

### 單位元

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任何數加 0 都等於其本身；零是加法單位元。設 a 為任意數，則 1=a + 0 = 0 + a = a。這個性質最早在婆羅摩笈多的《婆羅摩歷算書》（公元628年）被提及，儘管他根據 a 是正數、負數還是零分成了三種情況，並且使用文字說明，而不是代數符號。之後的印度數學家們將這三種情況精簡成了一種情況。大約 830 年，印度數學家 Mahavira 寫道：「零加上一個數就會變成那個數」，對應一元陳述 1=0 + a = a。12 世紀時，印度數學家婆什迦羅寫道：「任何一個量（正負均可），加零或減零後保持不變」，對應一元陳述 1=a + 0 = a。

### 後繼

在整數中，加數為 1 的加法有特殊意義：對於任何整數 a，整數 (a + 1) 是大於 a 的最小整數，稱為 a 的後繼。例如，3 是 2 的後繼，7 是 6 的後繼。這樣，a + b 可以視為 a 的第 b 個後繼，加法成為後繼函數的迭代函數。例如，8 是 7 的後繼，7 是 6 的後繼，所以 8 是 6 的第 2 個後繼，因此 1=6 + 2 = 8。

### 單位

將有單位的物理量相加時，只有相同單位的量可以相加。例如，50 毫米加 150 毫米等於 200 毫米。相加不同的量時，情況則不同，例如5 英尺加 2 英寸等於 62 英寸，因為 1 英尺等於 12 英寸。另一個例子是，3 米加 4 平方米沒有意義，因為米和平方米沒有可比性。這是因次分析的一個基本例子。

## 不同的加法運算

有許多二元操作可以被視為實數加法的擴展。抽象代數主要關心這類擴展，集合論與範疇論中也有它們的影子。

### 自然數加法

目前有兩種流行的方法用於定義兩個自然數 a 和 b 的和。如果自然數被定義為有限集合的元素個數，那麼 a + b 可以這樣定義：設 N(S) 為集合 S 中的元素個數。設 A 與 B 為不相交的集合且 1=N(A) = a 且 1=N(B) = b。那麼 a + b 定義為 N(A ∪ B)（A ∪ B 表示 A 和 B 的交集）。另一種方法是允許 A 與 B 相交並取它們的不交併集（一種允許公共的元素被分開計算兩次的運算）。

另一種流行的方法是遞歸：設 n+ 為 n 的後繼，即繼 n 後的下一個自然數，因此 1=0+ = 1，1=1+ = 2，依此類推。定義 1=a + 0 = a，並通過 1=a + (b+) = (a + b)+ 遞歸地定義一般的加法。因此 1=1 + 1 = 1 + 0+ = (1 + 0)+ = 1+ = 2。同樣，這種定義也有很多變種。上述定義實際上是遞歸定理在部分有序集 N2 上的一個應用。然而，一些文獻傾向於使用只在自然數集合上有定義的狹義遞歸定理：先將 a 臨時想像為固定的，在 b 上應用遞歸以定義一元函數「1=f(b) = a + b」，然後將這些一元函數組合在一起形成完整的二元運算。早在 1854 年，德國數學家理察·戴德金就發展了這種遞歸定義，並在接下來的幾十年中擴展了這個定義。他利用數學歸納法證明了交換律、結合律等性質。

### 整數加法

整數最簡單的理解就是由絕對值（一個自然數）和符號（一般情況下，正或負）組成。整數零是一個特殊情況：它既不是正數也不是負數。對於任何整數 n，定義 為 n 的絕對值。設 a 與 b 為整數，則它們的和 a + b 的定義需要分類討論：

- 如果 1=a = 0，那麼 1=a + b = b；如果 1=b = 0，那麼 1=a + b = a。例如：1=(−2) + 0 = −2。特別地，1=0 + 0 = 0。
- 如果 a 和 b 都是正數，那麼 1=a + b =。例如：1=4 + 1 = 5。
- 如果 a 和 b 都是負數，那麼 1=a + b = −(。例如：1=(−4) + (−1) = −(。
- 如果 a 和 b 一正一負，那麼 a + b 的絕對值等於 a 的絕對值和 b 的絕對值之差（即），符號與 a 和 b 中絕對值較大的一項符號一致。例如：1=(−6) + 4 = −2，因為 −6 和 4 一正一負，所以 (−6) + 4 的絕對值等於它們的絕對值之差，又因為負數項 −6 的絕對值大於正數項 4 的絕對值，結果為負，因此結果為 −2。

儘管對於實際的問題來說，這個定義足夠了，但對於優雅的一般性的數學證明來說，它實在是太複雜了，情況太多了。

一個數學上更方便的整數的理解方式是使用格羅滕迪克群構造。給定自然數及其加法運算和單位元 0 的定義，每個整數都可以（不唯一地）表達為兩個自然數 a 和 b 的（未正式定義的）差，因此可以將整數定義為兩個自然數組成的數對(a, b)。將等價的數對（差相同）考慮為同一個整數是個小問題。兩個這樣的新的整數 (a, b) 與 (c, d)（其中 a、b、c、d 為整數）的和（用 符號表示）通過自然數的加法定義為：

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$$(a,b) \oplus (c,d) = (a+c,b+d)$$

規定整數的加法單位元由數對 (a, a) 生成，且 (a, b) 的加法逆元由 (b, a) 生成（即 1=−(a, b) = (b, a)），這樣整數的加法群的說明就完整了。利用加法逆元定義負數，將減法定義為「加加法逆元」，都比單獨構造一個減法運算（在基礎數學中被認為是逆運算）要方便許多。

### 分數加法

分數的加法可以用最小公分母計算，但從概念上來說只要用加法和乘法就可以了：

$$\frac ab + \frac cd = {ad + bc \over bd}$$

例如，${\textstyle \frac34 + \frac18 = {3 \times 8 + 4 \times 1 \over 4 \times 8} = {24 + 4 \over 32} = \frac{28}{32} = \frac78}$。

當分母相同時，分數的加法就更簡單了，只要將分子相加，分母不變就行了：

$$\frac ac + \frac bc = \frac{a+b}c$$

例如，${\textstyle \frac14 + \frac24 = \frac{1+2}4 = \frac34}$。

有理數加法的交換律和結合律可以由整數算術的性質很容易地推導而來，見分式環。

### 複數加法

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要將兩個複數相加，只需將實數部分和虛數部分分別相加即可，即：

$$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$$

利用複數在複平面上的視覺化表示，複數的加法可以幾何解釋為：兩個複數 A 和 B（解釋為複平面上的點）的和，是由以 A、B 與原點 O 為頂點的平行四邊形得到的頂點 X（如圖所示）。等價地說，X 是使三角形 OAB 與三角形 XBA 全等的點。

### 抽象代數加法

#### 向量加法

在線性代數中，向量空間是一個允許向量相加及縮放的代數結構。所有實數的有序對組成的集合就是一個常見的向量空間：有序對 (a, b) 被解釋為歐幾里得平面上從原點到由 (a, b) 表示的點的向量。兩個向量的和是通過將對應的坐標相加完成的：1=(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)。

在經典力學中，向量解釋為力，因此這個加法運算是經典力學的基礎。

#### 矩陣加法

大小相同的兩個矩陣可以相加。兩個 m × n 矩陣 A 和 B 的和也是一個 m × n 矩陣，用 A + B 表示，由對應元素相加得到：

$$\begin{align} \mathbf{A} + \mathbf{B} & = \begin{bmatrix} <pre> a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ </pre> \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} <pre> b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\ </pre> \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} <pre> a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \\ </pre> \end{bmatrix} \end{align}$$

例如：

$$<pre> \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} </pre> + <pre> \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 7 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} </pre> = <pre> \begin{bmatrix} 1+0 & 3+0 \\ 1+7 & 0+5 \\ 1+2 & 2+1 \end{bmatrix} </pre> = <pre> \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 8 & 5 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} </pre>$$

### 集合論與範疇論中的加法

自然數加法的一個影響深遠的擴展即是集合論中的序數和基數的加法，它們是將自然數加法擴展到超限數的兩種不同方式。不同於多數加法運算的是，序數的加法不滿足交換律。不過，基數的加法滿足交換律，且與不交並操作有著緊密的聯繫。

在範疇論當中，不交並操作是余積操作的一個特例。一般性的余積操作很可能是加法的所有擴展當中最抽象的一種。一些余積操作的命名突出了它們與加法運算的聯繫，例如直和和楔和。

### 發散級數加法

在通常意義下，發散級數沒有傳統意義上的「和」，但可以通過某些定義來求出該定義下發散級數的「和」，如切薩羅求和、阿貝爾求和、歐拉求和等。這種擴展意義上的「和」不應與傳統意義上的「和」混淆。

### 二進位加法

其他進位制下的加法和十進位加法很像。以二進位下的加法為例。兩個二進位個位數相加相對來說比較簡單，涉及到一種進位：

1 + 1 → 0，進位為 1（因為 1=1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 21)）

兩個「1」位相加得到「0」位並向前進位「1」。這和十進位下的加法很像：如果某一位的結果達到或超過基數 10，前一位需要加 1：

5 + 5 → 0，進位為 1（因為 1=5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 101)）

7 + 9 → 6，進位為 1（因為 1=7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 101)）

二進位的加法是一樣的道理：二進位下的 1=1101 + 10111 = 100100（即十進位下的 1=13 + 23 = 36）如圖所示。

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## 運算方法

### 先天能力

自20世紀80年代起，關於數學發展的研究開始利用習慣化現象：嬰兒對意外情境的注視時間更長。凱倫·溫1992年的一項開創性實驗通過屏風後操控米老鼠玩偶發現，5個月大的嬰兒預期 $1 + 1 = 2$，當實際情境暗示 $1 + 1$ 等於 $1$ 或 $3$ 時，他們會表現出相對更強的驚訝反應。這一發現後來被採用不同研究方法的多個實驗室反覆驗證。另一項1992年的實驗，則針對18至35個月大的較大幼兒，通過讓他們從盒中取出桌球來測試其運動控制能力的發展：年齡最小的幼兒能準確處理小數字，而年齡較大的受試者則能計算不超過5的數字之和。

此外，部分非人動物（特別是靈長類動物）也展現出有限的加法能力。

### 從數數開始學加法

通常，兒童最先掌握的是數數能力。當遇到需要將多個物品組合的問題時，年幼的孩子會藉助實物（通常是手指或圖畫）來模擬情境，然後數出總數。隨著經驗的積累，他們逐漸學會或發現「接著數」的策略：當被要求計算 $2+3$ 時，孩子會從 $2$ 開始接著數三個數，即「$3$、$4$、$5$」（通常會逐根屈指計數），最終得出 $5$ 這個結果。這種策略幾乎具有普適性，孩子們很容易從同伴或老師那裡習得。大多數孩子也能獨立發現這一方法。

不同的國家在不同的年齡教授整數和算術。許多國家在學前就教授加法。然而，世界上幾乎所有國家都在小學一年級結束前教授加法。

### 一位數的運算法

在十進位體系中，要進行任意數的加法運算，其前提是具備兩位一位數（$0$ 到 $9$ 之間的數）相加的能力。由於參與相加的兩個一位數各有10種選擇，所以總共會有100個一位數「加法算式」，這些算式可以用加法表呈現出來。

+｜0｜1｜2｜3｜4｜5｜6｜7｜8｜9

0｜0｜1｜2｜3｜4｜5｜6｜7｜8｜9

1｜1｜2｜3｜4｜5｜6｜7｜8｜9｜10

2｜2｜3｜4｜5｜6｜7｜8｜9｜10｜11

3｜3｜4｜5｜6｜7｜8｜9｜10｜11｜12

4｜4｜5｜6｜7｜8｜9｜10｜11｜12｜13

5｜5｜6｜7｜8｜9｜10｜11｜12｜13｜14

6｜6｜7｜8｜9｜10｜11｜12｜13｜14｜15

7｜7｜8｜9｜10｜11｜12｜13｜14｜15｜16

8｜8｜9｜10｜11｜12｜13｜14｜15｜16｜17

9｜9｜10｜11｜12｜13｜14｜15｜16｜17｜18

熟練且準確地計算一位數加法是早期算術學習的主要重點。有時，教師會鼓勵學生通過死記硬背的方式記住完整的加法表，但基於規律的策略通常更具啟發性，而且對大多數人來說效率更高：

- 利用交換律：這一規律能把需要掌握的算式數量從 100 個降低到 55 個。
- 加 $1$ 或加 $2$：這是一種基本運算，既可以通過接著數的方法來完成，最終也能憑藉直覺快速得出結果。
- 加 $0$：$0$ 是加法單位元，所以加 $0$ 的運算很簡單。不過，在算術教學中，有些學生最初接觸加法時，會認為加法運算總會使加數增大。此時，一些應用題可以幫助他們理解加 $0$ 這個「例外情況」。
- 相同數相加：一個數與自身相加，這與以及乘法運算相關聯。相同數相加的算式是推導許多相關算式的基礎，學生們通常覺得這類算式比較容易掌握。
- 近似相同數相加：類似 $6 + 7 = 13$ 的算式，可以基於相同數相加的算式 $6 + 6 = 12$，只需再加 $1$ 得出結果；也可以從 $7 + 7 = 14$ 出發，減 $1$ 得到答案。
- 與 $5$ 或 $10$ 相加：形如 $5 + x$ 和 $10 + x$ 的算式通常會較早被記住，並且可以用來推導其他算式。例如， $6 + 7 = 13$ 可以從 $5 + 7 = 12$ 推導得出，只需再加 $1$。
- 湊十法：這是一種「相對更高級的」策略。對於涉及 $8$ 或 $9$ 的加法運算，可以借 $10$ 作中間數。例如， $8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14$。

隨著學生年齡增長，他們會記住更多算式，並學會快速、流暢地推導其他算式。許多學生不會記住所有的加法算式，但仍然能夠快速算出任何基本的加法結果。

### 進位

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多位數加法的標準演算法是豎式計算：將加數豎直對齊，從最右側的個位列開始，依據上述加法表逐列相加。若某一列相加結果超過九，則將超出部分的數字（即"進位"）傳遞至下一列。例如圖中計算 $59 + 27$ 時，個位列的運算為 $9 + 7 = 16$，其中數字 $1$ 即為進位。

另一種計算策略是，從最左側的最高位開始相加。此法會使進位操作稍顯複雜，但能更快地得出總和的近似值。

### 帶小數點的運算法

小數加法只需對上述多位數加法流程稍作調整即可實現。具體操作時，先將兩個小數上下對齊，確保小數點位置一致。若遇到位數不等的情況，可在較短的小數末尾補零，使其與較長的小數具有相同的位數。隨後，按照前述多位數加法的方法進行計算。唯一區別在於：最終答案中的小數點必須與加數中的小數點保持在同一垂直位置。

例如，計算 $45.1 + 4.34$的過程如下：

```
   4 5 . 1 0
+  0 4 . 3 4

   4 9 . 4 4
```

$4.34$開頭的 $0$ 可不寫。

### 科學記數法

在科學記數法中，一個數以 $x = a \times 10^n$ 的形式表示，其中 $n$ 是整數且 1 ≤ a < 10。為了將兩個以科學記數法表示的數相加，它們的指數部分必須相同。例如：

$$2.34 \times 10^{-5} + 5.67 \times 10^{-6} = 2.34 \times 10^{-5} + 0.567 \times 10^{-5} = 2.907 \times 10^{-5}$$

### 電腦演算法

#### 模擬計算機算加法

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模擬計算機直接處理物理量，因此其加法機製取決於加數的形式。機械式加法器可能將兩個加數表示為滑塊的相對位置，這種情況下可以通過平均槓桿來實現加法。如果加數是兩個軸的轉速，則可通過差速器來實現加法。液壓式加法器可以利用牛頓第二定律，通過平衡活塞組上的力來計算兩個腔室中的壓強之和。

對通用模擬計算機而言，最常見的情況是計算兩個（以地為參考的）電壓之和，這可以通過電阻網路粗略實現，但更好的設計是利用運算放大器來實現。

#### 數字電腦算加法

加法同時也是數字電腦運行的基礎，其中加法效率（尤其是進位機制）是影響整體性能的重要限制因素。

##### 傳統數字電腦

提到傳統數字電腦，算盤是其代表。在現代書面數字系統出現前，算盤就已沿用了幾世紀，其歷史至少可追溯到公元前2700–2300年的蘇美爾。

1642年，帕斯卡發明了機械計算器；它是第一台可運行的加法機。帕斯卡計算器受限於其依靠重力輔助的進位機制，其輪子只能單向轉動。要進行減法運算，操作員必須使用帕斯卡計算器的補碼，而這所需的步驟和加法一樣多。

1694年，萊布尼茨製造出了另一種機械計算器——步進計算器。1709年，喬瓦尼·波萊尼對其設計進行了改進，製造出了一台由木材製成的計算鍾，能夠執行所有四則運算。

這些早期嘗試並未取得商業成功，但為19世紀後期的機械計算器提供了靈感。

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##### 電子數字電腦

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在電子數字電腦中，加法器負責執行整數加法，通常採用二進位算術。最簡單的架構是行波進位加法器，它遵循標準的多位數加法演算法。一種稍作改進的設計是進位跳過架構，同樣符合人類的直覺：在計算 $999 + 1$時，人們不會執行所有的進位操作，而是跳過連續的 $9$，直接得出結果。

實際上，計算加法可以通過異或和與位邏輯運算結合位移操作來實現。異或門和與門在數字邏輯中易於實現，從而可以構建全加器電路，這些電路又可以組合成更複雜的邏輯運算。在現代數字電腦中，整數加法通常是速度最快的算術指令，但它對性能的影響最大，因為所有浮點運算以及諸如記憶體訪問期間的地址生成和分支期間的指令獲取等基本任務都依賴於它。為了提高速度，現代設計採用並行計算數字的方法；這些方案被稱為進位選擇、進位預測和Ling偽進位等。實際上，許多實現都是這最後三種設計的混合體。1a1 = Flynn

20世紀50年代末和60年代初的一些十進位計算機使用加法表而非加法器，例如RCA 301和IBM 1620。

##### 電腦浮點數

電腦還有另一種表示數字的方法，稱為浮點數運算，它類似於上文所述的科學記數法，有助於緩解溢出問題。每個浮點數由兩部分組成：指數和尾數。要相加兩個浮點數，其指數必須對齊，這通常意味著需要對較小數字的尾數進行移位。如果較大數與較小數之間的差距過大，可能會導致精度損失。如果要向一個大數累加許多較小的數，最好先將這些較小的數相加，再將總和與大數相加，而不是逐個將小數累加大數。這使得浮點加法通常不具備結合律。

## 相關運算

加、減、乘、除是基礎算術中的基本運算。

### 算術

減法可以視為一種特殊的加法——減一個數等於加它的加法逆元。減法本身就是加法的一種逆運算，因為加 x 和減 x 互為反函數。給定一個定義有加法運算的集合，不總能夠定義一個對應的減法運算，自然數的集合就是一個很簡單的例子。然而，反過來說，一個減法運算唯一地確定一個加法運算、一個加法逆元運算、一個加法單位元。因此，一個加法群可以描述為一個在減法運算下封閉的集合。

乘法可以想成是重複的加法。如果一個單項 x 在加法運算中出現 n 次，那麼這個加法運算的結果就是 x 和 n 的積。即使 n 不是自然數，這個積仍然可能是有意義的，例如當 1=n = −1 時，這個積就是 x 的加法逆元。

在實數和複數域中，加法和乘法可以通過指數函數互相交換：

$$\mathrm{e}^{a + b} = \mathrm{e}^a \cdot \mathrm{e}^b$$

這個恆等式允許藉助對數表並手動計算加法完成乘法，也使得計算尺上可以進行乘法。在將無窮小量與李代數上的向量加法相互聯繫起來的李群的廣義語境下，這個公式仍然能給出一個較好的第一近似。

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乘法的擴展甚至比加法更多。一般情況下，乘法對加法滿足分配律，環的定義明確說明了這一要求。在有些語境下，例如整數，乘法對加法的分配律和乘法單位元的存在足以唯一確定乘法運算。分配律還給出了加法的一些資訊，例如：將乘法算式 (1 + 1)(a + b) 用兩種方法展開可以得到加法的交換律。因此，一般地，環的加法滿足交換律。

除法和加法的聯繫相對來說沒有那麼緊密。因為 $\textstyle \frac ab = a \cdot b^{-1}$，所以除法對加法滿足右分配律，即 $\textstyle {a + b \over c} = \frac ac + \frac bc$（c ≠ 0），但不總是滿足左分配律，例如 $\textstyle {1 \over 2 + 2} = \frac14 \neq 1 = \frac12 + \frac12$。

### 最大值操作

最大值操作 max(a, b) 作為一個二元運算，與加法很相似。事實上，如果兩個非負整數 a 和 b 不是一個數量級的，那麼它們的和與它們的最大值將會很接近。這個近似在數學應用中極其有用，例如在截斷泰勒級數的時候。然而，在數值分析中它是一個經常出現的令人頭疼的問題，其根本原因是最大值操作是不可逆的。如果 b 遠大於 a，那麼 (a + b) − b 直覺化的計算會導致不可接受的捨入誤差，甚至得到結果 0。（參見精度丟失）

在無窮極限中，這個近似變得精確：如果 a 和 b 中有一個是無窮基數，那麼它們的基數和等於它們之中較大者。相應地，無窮基數不可相減。

和加法一樣，最大值操作滿足交換律和結合律。更進一步，由於加法保持了實數的序，加法對最大值操作滿足分配律，就像乘法對加法滿足分配律那樣：

$$a + \max(b, c) = \max(a + b, a +c)$$

因此，在熱帶幾何中，乘法由加法代替，加法由最大值操作代替。在這個語境下，加法稱作「熱帶乘法」，最大值操作稱作「熱帶加法」，「熱帶加法單位元」是 −∞。不過，有些作者傾向於使用最小值操作來代替加法，這樣「加法單位元」就是 +∞。

將這些結論放在一起，可以得到：熱帶加法通過對數近似於一般的加法：

$$\log_k (a + b) \approx \max(\log_k a, \log_k b)$$

當底數 k 增加，這個近似變得越來越精確。提出一個常數 h（與量子力學中的普朗克常數類似命名）並取 h 趨向 0 時的經典極限，這個近似就可以變得精確：

$$\max(a, b) = \lim_{h \to 0} h \log( \mathrm{e}^{a/h} + \mathrm{e}^{b/h})$$

在這種意義下，最大值操作實質上是加法的「解量化」版本。

### 其他方式的加法

自增操作，又叫後繼，是加 1 的操作。

求和符號（$\textstyle\sum$）表述了任意多個數（通常不止兩個）的加法。它涵蓋了一個數的和（即其自身）和空和（即 0）。無窮加和即級數，是一個十分脆弱且易錯的過程。

有限集合的計數等價於在這個集合上將 1 相加。

積分是在連續統上的「加法」；更精確且更具一般性地說，是在一個可導流形上的「加和」。零維流形上的積分即是加和。

線性組合是每項都有一個係數（通常是實數或複數）的加和，它結合了乘法和加法。線性組合在直覺化的加法將會違反一些規範化規則的場合下尤其有用，例如遊戲理論中的混合策略及量子力學中的量子態的態疊加。

卷積是由機率分布函數定義的隨機變量的加法。它的通常的定義涉及到積分、減法和乘法。一般地，卷積作為一種定義域加法發揮作用，而向量加法則是一種值域加法。