向量

向量（vector，在中國大陸物理、工程領域通稱矢量），是具有大小和方向的量，且其運算必須遵循特殊定則及滿足特殊定律。在純數學中，向量可以沒有單位。

在數學中，向量是指歐幾里得向量（Euclidean vector），又稱幾何向量（geometric vector）、空間向量（spatial vector），是向量空間（或稱線性空間）中的元素，屬於一幾何對象或是抽象的數學對象。它不僅具有大小（量值、模）和方向，其運算必須嚴格遵循一組代數公理。歐幾里得向量可以通過加法和數乘運算構成向量空間。

在物理學中，向量是指矢量（vector quantity），又稱物理向量（physical vector）、向量物理量（vector physical quantity），是一種有向量值的（vector-valued）物理量。其不僅具有大小、方向和測量單位，可能還具有作用點；它的合成運算必須遵循平行四邊形定則，它的數學形式表述為有向線段，而物理形式通常被表述為向量數值（無量綱）與測量單位的乘積；所謂「向量數值」（vector numerical value）是一個具有大小和方向的歐幾里得向量。例如，物理空間中的位置矢量，可以用具有國際單位制米（m）單位的三個笛卡爾坐標來表示。由於具有方向性的物理量不一定是「向量」，稱「矢量」可避免誤解。

## 不同學科中的向量

向量是數學、物理學和工程科學等多個自然科學領域中的基本概念。向量常用符號與箭號共同標示，以與其他物理量或數學量作區別。與向量相對的概念，稱為純量或標量。一些物理量雖然具有方向性，但只能使用算術加法，不符合向量加法，所以不是向量，如角移、電壓及電流等。

理論數學中，對向量的定義為：任何在稱為向量空間的代數結構中的元素。

### 數學

在線性代數中，向量經常採用更抽象的向量空間（線性空間）來定義，向量是向量空間中的基本構成元素。

向量空間是基於物理學或幾何學中的空間概念，依其代數性質所形成的抽象概念。向量空間相伴的純量未必是實數，也可以是複數等域。歐幾里得空間便是向量空間的一種。

向量空間中的元素就可被稱為向量。除歐幾里德向量外，也存在一般的向量空間，例如所有次數不大於3的複係數多項式的集合、所有6×6實對稱矩陣的集合、區間0, 1上的所有實值連續函數的集合、所有收斂於0的複數數列的集合等。

### 物理學與工程學

向量可以描述許多常見的物理量，如運動學中的位移、速度、加速度，力學中的力、力矩，電磁學中的電流密度、磁矩、電磁波等等。

物理學和一般的幾何學中涉及的向量概念嚴格意義上應當被稱為歐幾里得向量或幾何向量。定義具有物理意義上的數值和方向的向量概念則需引進定義範數和內積的歐幾里得空間。

#### 固定向量

在一些上下文中，尤其在物理學領域，有些向量會與起點有關（如一個力與其的作用點有關，質點運動速度與該質點的位置有關），因而假設向量有確定的起點和終點，當起點和終點改變後，構成的向量不再是原來的向量。這樣的向量也被稱為固定向量。例子之一是運動學中常見的物理量位置向量。

#### 自由向量

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在特定情境下，因為向量的共同性質皆具有數值和方向，引此向量的起點和終點變得未必如此重要。兩個起點不一樣的向量，只要數值相等，方向相同，就可以稱為是同一個向量。這樣的向量被稱為自由向量。在數學中，一般只研究自由向量，並且數學中所指的向量就是指自由向量。也就是只要數值以及方向一樣，即可視為同一向量，與向量的起始點並無關係。一些文獻中會提到向量空間帶有一個特定的原點，這時可能會默認向量的起點是原點。

## 表示方法

### 形式表示

符號形式實際上只是對向量規定的一個概念化代號。向量在包括數學和物理等諸多領域均被廣泛採用，優點是簡潔明瞭，缺點則是高度抽象化，既缺少幾何形象性，又缺少定量精確性。

#### 帶箭頭字母

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數學上的向量通常可用加向右箭頭的小寫字母表示，如$\vec{a}$, $\vec{i}$, $\vec{v}$。有時也有用加箭頭的大寫字母表示數學量，如微積分中的面積元$d\vec{S}$。給定兩點$A$、$B$時，也可確定一固定向量：如確定一個始於點從$A$終於點$B$的向量，符號表示為：$\vec{AB}$，此符號廣泛運用於手寫標示。

在表示物理學上的矢量也可用加箭頭的小寫字母表示，如速度$\vec{v}$、摩擦力$\vec{f}$、動量$\vec{p}$。

物理學還有許多物理量以含有箭頭的大寫字母表示，如電場$\vec{E}$、磁場$\vec{H}$、力$\vec{F}$。

#### 粗體字母

向量也可用粗體小寫字母表示，如$\mathbf{v}$，許多書本會採用此種記法，但缺點是區分粗體字有時不容易，例如 $\!\mathrm{D}$和 $\!\mathbf{D}$肉眼看易混淆。

### 幾何表示

直觀上，向量通常被標示為一個帶箭頭的有向線段。線段的長度表示向量的大小（或稱模長），向量的方向即箭頭所指的方向，可以記為$\vec{a}$。該種表示的優點是具有強烈的幾何直觀形象性，缺點是在紙面上作圖繁瑣，不便定量分析。

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而遇到某些特殊情況（如表示磁場的磁通量密度）需要表示與記載紙面垂直的向量，則會使用圓圈中打叉或打點的方式來表示（如右圖）。圓圈中帶點的記號（⊙）表示由紙下方指向紙上方的向量，而圓圈中帶叉的記號（⊗）則表示由紙的上方指向紙下方的向量。由於這種記號不表示向量的大小，所以必須時需要在旁邊或其它地方另外註明。

### 代數表示

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代數表示指在指定了一個坐標系之後，用一個向量在該坐標系下的坐標來表示該向量，兼具了符號的抽象性和幾何形象性，因而具有最高的實用性，被廣泛採用於需要定量分析的情形。

對於自由向量，將向量的起點平移到坐標原點後，向量就可以用一個坐標系下的一個點來表示，該點的坐標值即向量的終點坐標。

設有一向量$\vec{a}$，有坐標系$S$。在$S$中定義好若干個特殊的基本向量（稱為基向量，各個基向量共同組成該坐標系下的基底）$\vec{e_{1}}$，$\vec{e_{2}}$，...，$\vec{e_{n}}$之後，則向量在各個基方向的投影值即為對應的坐標值，各個投影值組成的有序數組，稱為該向量在坐標系$S$的坐標，是向量的唯一表示，即與向量的終點一一對應。換言之，其它的向量只需通過將這些基本向量拉伸後再按照平行四邊形法則進行向量加法即可表示（通常被稱為「用基底線性表出一個向量」，即該向量是基向量的某種線性組合），即：

$$\vec{a} = a_{1}\vec{e_{1}}+...+a_{n}\vec{e_{n}},$$

其中$a_{1}$, ..., $a_{n}$分別為$\vec{a}$在$\vec{e_{1}}$，$\vec{e_{n}}$方向的投影。當基底已知，可直接省略各基向量的符號，類似於坐標系上的點，直接用坐標表示為：

$$\vec{a}= (a_1,a_2, ..., a_n)$$

在矩陣運算中，更常將向量寫成類似於矩陣的列向量或行向量。在線性代數中所指的向量，通常默認為列向量。如一個向量$\vec{a}= (a,b,c)$，可寫成：

$$\begin{array}{lcl} \vec{a} &=& \begin{bmatrix} <pre> a\\ b\\ c\\ </pre> \end{bmatrix}, \\ \vec{a} &=& [ a\ b\ c ]. \end{array}$$

其中，上者為列向量寫法，下者為行向量寫法；此處採中國大陸定義。

值得注意的是：

- $n$維列向量可視作$\mathbf{n} \times 1$矩陣，$n$維行向量可視作$1 \times \mathbf{n}$矩陣。
- 在中國大陸，橫向的元素組稱為「行」，縱向的稱為「列」，而在臺灣則相反，橫向稱為「列」，縱向稱為「行」。詳見矩陣。

對於由兩個點確定的向量，同樣可以用坐標進行表示，詳見向量運算。

在常見的三維空間直角坐標系Oxyz里，基本向量就是以橫軸（Ox）、豎軸（Oy）以及縱軸（Oz）為方向的三個長度為1的單位向量$\vec{i}$、$\vec{j}$、$\vec{k}$。這三個向量取好以後，其它的向量就可以透過三元數組來表示，因為他們可以表示成一定倍數的三個基本向量的總和。比如說一個標示為（2,1,3）的向量就是2個向量$\vec{i}$加上1個向量$\vec{j}$加上3個向量$\vec{k}$得到的向量，即：

$$(a, b, c) = a\vec{i} + b\vec{j} + c\vec{k}$$

## 特殊向量

類似於數字中的1（單位元）、相反數（加法逆元）、0（加法單位元），向量中有單位向量（單位元）、反向量（加法逆元）、零向量（加法單位元）、等概念量。此外，還有方向向量、相等向量等概念。

### 單位向量

對於任意向量$\vec{a}$，不論方向如何，若其數值為單位長度，則稱其為$\vec{a}$方向上的單位向量（Unit vector）。單位向量通常被記為$\vec{u}$。

特殊地，三維笛卡爾坐標系上的三個基向量$\vec{i} = (1, 0, 0)$，$\vec{j} = (0, 1, 0)$，$\vec{k} = (0, 0, 1)$都是單位向量。

### 反向量

一個向量$\vec{v}$的反向量（Opposite vector）與它大小相等，但方向相反，一般記作$-\vec{v}$。如果向量$\vec{a}$是向量$\vec{b}$的反向量，那麼$\vec{b}$也是$\vec{a}$的反向量。

另外，向量$\vec{a}$的反向量也可按如下定義：

對於給定向量$\vec{a}$，若存在向量$\vec{b}$，使得$\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}$成立，則向量$\vec{b}$稱為向量$\vec{a}$的反向量。

### 零向量

始點與終點重合，即大小為0的向量，被稱為零向量（Zero vector），記以數字0上加箭頭，即$\vec{0}$。有時亦可以用粗體的0表示，如$\mathbf{0}$。在坐標表示下，不論含有多少分量，不論指向任何方向，若所有的分量均為0的向量即為零向量。關於零向量有兩點值得一提：

- 零向量依舊具有方向性，但方向不定。因此，零向量與任一向量平行。
- 零向量不等於數量0，它們是兩種性質完全不同的對象，即$\vec{0} \neq 0$。

零向量可以如下進行形式化定義：

給定一n 維向量$\vec{z}$，若對於任意的同維向量$\vec{a}$，總有$\vec{a}+\vec{z}=\vec{a}$成立，則向量$\vec{z}$稱為n 維零向量，通常被記作$\vec{0}$或$\mathbf{0}$。

舉例來說，一個人跑了100米，然後反方向跑回來。他的移動距離是200米，位移則是零向量。在這個情況下，零向量的方向平行於他跑回來的方向，所以可以是任何方向。

### 等向量

不論起點終點，兩向量長度、方向相等，即為等向量或相等向量（Identical vector）。

對於任意向量$\vec{a}$，若其一個相等向量為$\vec{b}$，則對$\vec{b}$和數字-1進行係數積運算後得到的向量$-\vec{b}$即$\vec{a}$的反向量。

另外，類似於反向量的定義，向量$\vec{a}$等向量也可按如下定義：

對於給定向量$\vec{a}$，若存在向量$\vec{b}$，使得$\vec{a}-\vec{b}=\vec{0}$成立，則向量$\vec{b}$稱為向量$\vec{a}$的相等向量。

### 方向向量

方向向量（Directional vector）的形式化定義如下：

對於任意向量$\vec{a}$，若存在一個向量$\vec{b}$，兩者的方向相同（大小可以不同），則$\vec{b}$是$\vec{a}$的一個方向向量。

一般地，所有方向相同的向量之間互為方向向量。

## 性質

### 有向線段

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有向線段的概念建構於向量的方向與長度，差別在於多定義了始點與終點。在文字描述時，如果已知某有向線段的始點和終點分別是$A$和$B$，則此線段的長度稱為線段的模或絕對值，可以記為$|\vec{AB}|$，即$|\vec{AB}| = \overline{AB}$，此線段帶有正負號的模稱為有向線段的數量，可以記為$AB$，此時$AB=-BA$。

### 大小

向量的大小（Magnitude）也稱模長、長度。幾何上，當確定了單位長度後作圖所得的向量的長度，即為向量的大小，記作$\left| \vec{v} \right|$。在有限維賦范線性空間中，向量的模長也稱為範數（Norm），記作$\left \| \vec{v}\right \|$。已知向量的坐標，就可以知道它的模長。

設向量$\vec{v}=(v_1,v_2,\cdots,v_n)$，其範數的計算表達式由弗羅貝尼烏斯範數（一種同時適用於向量和矩陣的範數計算方法）給出：

$\left \|\vec{v} \right \|= \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}$。

特殊地，對於n 維歐幾里得空間 Rn上的向量$\vec{v}=(v_1,v_2,\cdots,v_n)$，其模長或範數為：

$\left|\vec{v} \right|= \left \|\vec{v} \right \| =\sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}$。

更特殊地，對於三維笛卡爾坐標系下的向量$\vec{a}=(x,y,z)$，其模長為：

$\left \|\vec{a} \right \| =\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。

### 夾角

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向量的夾角（Included angle）是對於兩個向量而言的概念。對於任意兩個給定的向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，二者的夾角即將二者圖示化後兩箭頭所夾之角$\theta$。由於夾角具有互補性，因此在不同的出發規定、不同的旋轉方向下，所得夾角亦不同。

向量的夾角可由內積的定義導出計算公式，即：

$$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left \|\vec{a} \right \|\left \|\vec{b} \right \|}$$

### 線性相關性

#### 線性相關

對於$m$個向量$\vec{v}_1$，$\vec{v}_2$，…，$\vec{v}_m$，如果存在一組不全為零的$m$個數$a_1$、$a_2$、…、$a_m$，使得$\sum_{i=1}^m {a_i \vec{v}_i}=\vec{0}$，那麼，稱$m$個向量$\vec{v}_1$，$\vec{v}_2$，…，$\vec{v}_m$ 為線性相關（Linearly dependent）。

#### 線性無關

如果這樣不全為零的$m$個數不存在，即上述向量等式僅當$a_1$ =$a_2$ = … = $a_m$ = 0時才能成立，就稱向量$\vec{v}_1$，$\vec{v}_2$，…，$\vec{v}_m$ 為線性無關（Linearly independent）。

## 運算

向量的大小是相對的，在有需要時，會規定單位向量，以其長度作為1。每個方向上都有一個單位向量。

向量之間可以如數字一樣進行運算。常見的向量運算有：加法、減法、數與向量之間的乘法（數量積）以及向量與向量之間的乘法（外積），但向量的除法沒有定義。

### 加法與減法

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。具體地，兩個向量$\vec{a}$和$\vec{b}$相加，得到的是另一個向量。這個向量可以表示為$\vec{a}$和$\vec{b}$的起點重合後，以它們為鄰邊構成的平行四邊形的一條對角線（以共同的起點為起點的那一條，見下圖左），或者表示為將$\vec{a}$的終點和$\vec{b}$的起點重合後，從$\vec{a}$的起點指向$\vec{b}$的終點的向量：

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兩個向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的相減，則可以看成是向量$\vec{a}$加上一個與$\vec{b}$大小相等，方向相反的向量。又或者，$\vec{a}$和$\vec{b}$的相減得到的向量可以表示為$\vec{a}$和$\vec{b}$的起點重合後，從$\vec{b}$的終點指向$\vec{a}$的終點的向量：

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當這兩個向量數值、方向都不同，基本向量$\vec{e}_1=(1,0,0),\vec{e}_2=(0,1,0),\vec{e}_3=(0,0,1)$時，向量和計算為

$$\vec{a}+\vec{b} =(a_1+b_1)\vec{e}_1 +(a_2+b_2)\vec{e}_2 +(a_3+b_3)\vec{e}_3$$

並且有如下的不等關係：

$$\left |\vec{a} \right | +\left |\vec{b} \right | \ge \left |\vec{a}+\vec{b} \right | \ge \left |\vec{a} \right | - \left |\vec{b} \right |$$

此外，向量的加法也滿足交換律和結合律。

### 向量與積

向量空間分為有限維向量空間與無限維向量空間。在有限維向量空間中，可以找到一組（有限個）向量$\vec{e}_1, \vec{e}_2, \cdots , \vec{e}_n$，使得任意一個向量$\vec{v}$都可以唯一地表示成這組向量的線性組合：

$$\vec{v} =v_1 \vec{e}_1 + v_2 \vec{e}_2 + \cdots + v_n \vec{e}_n$$

其中的標量$v_1, v_2, \cdots , v_n$是隨著向量$\vec{v}$而確定的。這樣的一組向量稱為向量空間的基。給定了向量空間以及一組基後，每個向量就可以用一個陣列來表示了。兩個向量$\vec{v}$和$\vec{w}$相同，若且唯若表示它們的陣列一樣。

$$\begin{array}{lcl} v_1 &=& w_1 \\ v_2 &=& w_2 \\ \vdots \ && \vdots \\ v_n &=& w_n \end{array}$$

兩個向量$\vec{v}$和 $\vec{w}$的和：

$$\vec{v} + \vec{w} =(v_1 + w_1)\vec{e}_1 +(v_2 + w_2 ) \vec{e}_2 + \cdots +(v_n + w_n ) \vec{e}_n$$

它們的數量積為：

$\vec{v} \cdot \vec{w} = v_1 \cdot w_1 + v_2 \cdot w_2 + \cdots + v_n \cdot w_n$

而標量k與向量v的乘積則為：

$k \cdot \vec{v} =(k \cdot v_1)\vec{e}_1 +(k \cdot v_2) \vec{e}_2 + \cdots +(k \cdot v_n) \vec{e}_n$

### 係數積（純量乘法、數乘）

一個標量k和一個向量$\vec{v}$之間可以做乘法，得出的結果是另一個與$\vec{v}$方向相同或相反，大小為$\vec{v}$的大小之｜k｜倍的向量，可以記成$k\vec{v}$，該種運算被稱為係數積。-1乘以任意向量會得到它的反向量，0乘以任何向量都會得到零向量 $\vec{0}$。

### 內積（數量積、純量積）

內積是向量與向量的乘積，其結果為一個純量。

幾何上，內積可以定義如下：設 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 為兩個任意向量，它們的夾角為 $\theta$，則他們的內積為：

$\vec{a} \cdot \vec{b}=\left | \vec{a} \right | \left | \vec{b} \right | \cos {\theta}$即 $\vec{b}$ 向量在 $\vec{a}$ 向量方向上的投影長度（同方向為正反方向為負號），與 $\vec{a}$ 向量長度的乘積。

內積被廣泛應用於物理中，如做功就是用力的向量乘位移的向量，即 $W=\vec{F} \cdot \vec{s}$。

### 外積（叉積、叉乘、向量積）

外積也是向量與向量的乘積，不過需要注意的是，它的結果是個向量。它的幾何意義是所得的向量與被乘向量所在平面垂直，方向由右手定則規定，大小是兩個被乘向量張成的平行四邊形的面積。所以向量積不滿足交換律。舉例來說 $(1,0,0)\times (0,1,0)=(0,0,1)$ 但是 $(0,1,0)\times (1,0,0)=(0,0,-1)$。

設有向量$\vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k}$、$\vec{b}=b_x\vec{i}+b_y\vec{j}+b_z\vec{k}$。

則其向量積的矩陣表達式可用下列符號表示：

$$\vec{a} \times \vec{b}=\begin{vmatrix} <pre> \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z </pre> \end{vmatrix}$$

### 向量三重積（混合積）

三個向量$\vec{a}$、$\vec{b}$和$\vec{c}$的三重積定義為，物理意義為三向量始於同點時所構成的體積：

$$\vec{a}\cdot(\vec{b}\times \vec{c})= \vec{b}\cdot(\vec{c}\times \vec{a})= \vec{c}\cdot(\vec{a}\times \vec{b})$$

### 線性組合

若$\vec{OA}$、$\vec{OB}$為平面上兩個不平行的非零向量，則平面上的每一個向量$\vec{OP}$都可以唯一表示為$\vec{OP} = x \vec{OA} + y \vec{OB}$的形式。這種表示方式，稱為向量的線性組合。

## 關於向量運算的定理

### 向量與定比分點、中點公式

在實際應用中，向量運算時常會運用到定比分點定理。

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設平面直角坐標系$Oxy$原點$O(0,0)$，內有點$A(x_1,y_1)$，點$B(x_2,y_2)$，點$P(x_0,y_0)$，點$P$在點$A$、$B$之間，且

$\left|\overrightarrow{A P}\right|:\left|\overrightarrow{P B}\right|=n$，則：

$$\overrightarrow{O P}\left(\frac{x_1+nx_2}{1+n},\frac{y_1+ny_2}{1+n}\right)$$

特殊地，當$n=1$。

$\overrightarrow{O P}=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$

相應的有中點$P$坐標：

$\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$

實際上，上述結論可以推廣到空間向量中。

設空間直角坐標系$Oxyz$內原點為$O(0,0,0)$，有點$A(x_1,y_1,z_1)$，$B(x_2,y_2,z_2)$，$A$、$B$點間有一點$P$，且

$\left|\overrightarrow{A P}\right|:\left|\overrightarrow{P B}\right|=n$。

則：$\overrightarrow{O P}=\left(\frac{x_1+nx_2}{1+n},\frac{y_1+ny_2}{1+n},\frac{z_1+nz_2}{1+n}\right)$

中點$P$坐標：

$\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2}\right)$

#### 附：平面幾何中定比分點定理的證明

設平面直角坐標系$Oxy$內原點$O(0,0)$，有點$A(x_1,y_1)$，點$B(x_2,y_2)$，點$P(x_0,y_0)$，點$P$在點$A$、$B$之間，且$\left|AP\right|:\left|PB\right|=n$，則：

$\frac{x_0-x_1}{x_2-x_0}=n \Rightarrow x_0=\frac{x_1+nx_2}{1+n}$。

$\frac{y_0-y_1}{y_2-y_0}=n \Rightarrow y_0=\frac{y_1+ny_2}{1+n}$