莫爾斯理論

在微分拓撲中，莫爾斯理論使人們能通過流形上的可微函數分析流形的拓撲。根據馬斯頓·莫爾斯的基本見解，流形上的可微函數在典型的情況下，直接反映了該流形的拓撲。莫爾斯理論允許人們在流形上找到CW結構和柄分解，並得到關於它們的同調的資訊。

在莫爾斯之前，阿瑟·凱萊和麥克斯韋在測繪學中發展了莫爾斯理論中的一些思想。莫爾斯最初將他的理論用於測地線（路徑的能量泛函的臨界點）。這些技術被拉烏爾·博特用於他的著名的博特周期性定理的證明中。

莫爾斯理論在複流形中的類似理論是皮卡第–萊夫謝茨理論。

## 基本概念

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考慮山地地表表面M（或流形）。若函數f$M \to \mathbb{R}$給出當點海拔，則$\mathbb{R}$中一點的原像就是一條等高線（或水平集）。等高線的連通組分或者是點，或者是簡單閉合曲線，或者是有二重點的閉合曲線。等高線也可能有更高階的點（三重點等等），但不穩定，可能因地形的輕微變化而消失。等高線中的二重點出現在鞍點或通路。

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想像用水淹沒等高線下的地形。水位達到a時，水下的表面是$M^a \,\stackrel{\text{def}}{=}\, f^{-1}(-\infty, a]$，海拔不高於a的點。想像一下隨著水位上升，這個面的拓撲結構將如何變化。除了當a經過臨界點的海拔時，f的梯度都為0（更一般地，作為切空間之間線性映射的雅可比矩陣不具有最大秩）。也就是說，除非(1)水流注入盆地，(2)覆蓋鞍點（山口），或(3)淹沒山頂，否則$M^a$的拓撲不變。

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盆地、山路、山頂（即最小點、鞍點、最大點）這三類臨界點，一般與指標（index）有關，即f從該點遞減的獨立方向數。或者說，f的非退化臨界點p的指標是M在p處切空間的最大子空間的維度，其中f的黑塞矩陣是負定的。盆地、山路、山頂的指標分別是$0, 1,2$。

考慮更一般的面，令M是方向如圖所示的環面，f還是點到平面的距離。可以再次分析水下面$M^a$的拓撲結構如何隨水位a上升而變化。

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從環面底部開始，令$p, q, r, s$分別是指標為$0, 1, 1, 2$的臨界點，對應最小值、兩個鞍點、最大值。$a<f(p) = 0$時，$M^a$是空集；a經過p的海拔之後有$0 < a < f(q)$，則$M^a$是圓盤，它同倫等價於「附著」到空集的一個點（0-胞腔）。接著，a越過q的海拔時有$f(q) < a < f(r)$，則$M^a$是圓柱，同倫等價於附著了1-胞腔的圓盤（左圖）。a越過r的海拔時有$f(r) < a < f(s)$，則$M^a$是去圓盤的環面，同倫等價於附著了1-胞腔的圓柱（右圖）。最後，a高於s的海拔後，$M^a$便是環面了，即去掉一個圓盤（2-胞腔）並重新附著的環面。

這說明了以下規則：除非a越過臨界點，否則$M^{a}$的拓撲不變；遇到臨界點時，一個$\gamma$-胞腔會被附著到$M^{a}$，其中$\gamma$是點的指標。這沒有說明兩個臨界點位於同一高度時會發生什麼，可以通過擾動f來解決。若是嵌入歐氏空間的景觀或流形，這種擾動可能只是稍微傾斜、旋轉坐標系。

必須注意不能使臨界點退化。設想退化會造成什麼問題：令$M = \R$、$f(x) = x^3$。則0是f的一個臨界點，但a經過0時$M^{a}$的拓撲並不改變。這是因為f在0的二階導$f''(0) = 0$，也就是f的黑塞矩陣為0，臨界點退化。這種情形是不穩定的，因為將f擾動為$f(x) = x^3 +\epsilon x$，則退化的臨界點或者被移除（$\epsilon>0$）或者分解為兩個非退化臨界點（$\epsilon<0$）。

## 形式發展

對於微分流形M上的實值光滑函數$f : M \to \R$，f的微分為0的點稱作f的臨界點，在f下的像稱作臨界值。若臨界點p處，二階偏導數矩陣（黑塞矩陣）非奇異，則p稱作非退化臨界點；若黑塞矩陣是奇異的，則p稱作退化臨界點。

函數$f:\ \R\to\R$：

$$f(x)=a + b x+ c x^2+d x^3+\cdots$$ $b = 0$時，原點是f的一個臨界點。若$c \neq 0$，則此臨界點是非退化的（即f具有形式$a + c x ^2 + \cdots$）；若$c = 0$，則此臨界點是退化的（即f具有形式$a + dx^3 + \cdots$）。退化臨界點的一個不太平凡的例子是猴鞍面的原點。

f的非退化臨界點p的指標（index）是M在p處的切空間中黑塞矩陣為負定陣的最大子空間的維數。這與指標是f遞減的方向個數的概念直觀對應。臨界點的退化性和指標同所用的局部坐標系無關，如西爾維斯特慣性定理所示。

### 莫爾斯引理

令p為$f : M \to R$的非退化臨界點。則，在p的鄰域U中存在卡$\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$，使得$\forall i,\ x_i(p) = 0$且在整個U中$$f(x) = f(p) - x_1^2 - \cdots - x_{\gamma}^2 + x_{\gamma +1}^2 + \cdots + x_n^2$$ 其中$\gamma$等於f在p處的指標。作為莫爾斯引理的推論，可以看到非退化臨界點是孤點（關於複數域的擴張，可見復莫爾斯引理。關於推廣，見莫爾斯–帕萊引理）。

### 基本定理

流形M上的光滑實值函數若無退化臨界點，則稱作莫爾斯函數。莫爾斯理論的基本結果表明，幾乎所有函數都是莫爾斯函數。技術上，莫爾斯函數形成了$C^2$拓撲中所有光滑函數$M \to \R$的一個開稠密子集，這有時表述為「典型的函數是莫爾斯的」或「通有的函數是莫爾斯的」。

如上述，我們感興趣的是$M^a = f^{-1}(-\infty, a]$的拓撲何時會隨著a的變化而變化。下面的定理給出了這個問題的一半答案。

定理. 設f是M上的光滑實值函數，$a < b$，且$f^{-1}[a, b]$是緊的，且a、b間無臨界值。則$M^a$微分同胚於$M^b$，$M^b$形變收縮到$M^a$上。

我們還有興趣知道，a經過臨界點時$M^a$的拓撲會怎樣變化。下面的定理回答了這個問題。

定理. 設f是M上的光滑實值函數，p是指標為$\gamma$的f的非退化臨界點，$f(p) = q$。設$f^{-1}[q - \varepsilon, q + \varepsilon]$是緊的，且除了q以外不包含臨界點。則$M^{q + \varepsilon}$同倫等價於$M^{q - \varepsilon}$，並附加了一個$\gamma$-胞腔。

這些結果是對上一節所述「規則」的推廣與形式化。

用前面兩個結果以及微分流形上存在莫爾斯函數的事實，可以證明微分流形是CW復形，指標為n的臨界點都附加了n-胞腔。可在臨界水平面上安排一個臨界點來證明，通常通過類梯度向量場重排臨界點來實現。

### 莫爾斯不等式

莫爾斯理論可用於證明流形同調的一些有力結果。函數$f : M \to \R$的指標為$\gamma$的臨界點數量等於「爬升」f得到的M上CW結構中$\gamma$-胞腔的數量。利用拓撲空間同調群的秩的交替和等於鏈群（計算同調用）的秩的交替和，用胞腔鏈群（見胞腔同調），很明顯歐拉示性數$\chi(M)$等於$$\sum(-1)^\gamma C^\gamma\, = \chi(M)$$ 其中$C^{\gamma}$是指標為$\gamma$的臨界點數量。同樣根據胞腔同調，CW復形M的第n同調群的秩不大於M中n-胞腔的數量。於是，第$\gamma$同調群的秩、即貝蒂數$b_\gamma(M)$不大於M上莫爾斯函數的指標為$\gamma$的臨界點數量。強化這些事實可得到莫爾斯不等式：

$$C^\gamma -C^{\gamma -1} \pm \cdots + (-1)^\gamma C^0 \geq b_\gamma(M)-b_{\gamma-1}(M) \pm \cdots + (-1)^\gamma b_0(M).$$

特別地$$\forall \gamma \in \{0, \ldots, n = \dim M\},$$ 都有$$C^\gamma \geq b_\gamma(M).$$

這給出了研究流形拓撲的有力工具。假設在閉流形上存在莫爾斯函數$f : M \to \R$，恰有k個臨界點，則f的存在以何種方式限制了M？Georges Reeb (1952)研究了$k = 2$情形，里布球面定理指出，M同胚於球面$S^n$。$k = 3$情形只可能出現於少數低維情形，M同胚於伊爾斯–柯伊伯流形。

愛德華·威滕 (1982)考慮擾動算子$d_t = e^{-tf} d e^{tf}$的德拉姆復形，提出了莫爾斯不等式的解析方法。

### 用於閉2-流形的分類

莫爾斯理論可用於對閉2-流形在微分同胚意義上進行分類。若M有向，則M依其虧格g分類，且與具有g柄的球面微分同胚：若$g = 0$，則M微分同胚於2-球面；若$g > 0$，則M微分同胚於g 2-環面的連通和。若N無向，則M依正數g分類，微分同胚於g個實射影空間$\mathbf{RP}^2$的連通和。特別地，若且唯若兩閉2-流形微分同胚時，它們同胚。

### 莫爾斯同調

莫爾斯同調是理解光滑流形的同調一種很簡單的方法。莫爾斯同調使用莫爾斯函數和黎曼度量的一般選擇來定義，基本定理是：所得的同調是流形的不變量（即與函數和度量無關），同構於流形的奇異同調；這意味著莫爾斯和奇異貝蒂數一致，並給出了莫爾斯不等式的直接證明。莫爾斯同調在辛幾何中的類似物是弗洛爾同調。

## 莫爾斯–博特理論

莫爾斯函數的概念可以推廣到以非退化流形作為臨界點的函數。莫爾斯–博特函數是流形上的光滑函數，其臨界集是閉子流形，它的黑塞矩陣在法向上非退化（等價地，臨界點處的黑塞矩陣核等於對臨界子流形的切空間）。莫爾斯函數是臨界流形為0維時的特例（於是臨界點處的黑塞矩陣在每個方向上非退化，即無核）。

指標可被自然地認為是一對$$\left(i_-, i_+\right),$$ 其中$i_-$是不穩定流形在臨界流形給定點上的維度，$i_+=i_-+$臨界流形維度。若莫爾斯–博特函數在臨界軌跡（locus）上被小函數擾動，則在未擾動函數的臨界流形上，擾動函數所有臨界點的指標將介於$i_-$、$i_+$之間。

莫爾斯–博特函數非常有用，因為一般的摩爾斯函數不易處理。能直觀看到、可輕鬆計算的函數通常具有對稱性。拉烏爾·博特在最初證明博特周期性定理時使用了莫爾斯–博特理論。

圓形函數是莫爾斯–博特函數的例子，其中臨界集是圓（的不交並）。

莫爾斯同調也可用於莫爾斯–博特函數；莫爾斯–博特同調中的微分是由譜序列算得。Frederic Bourgeois在研究莫爾斯–博特版本的辛場論時勾勒出一種方法，但由於分析上的巨大困難，這項工作從未發表。

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