冪級數

<image>

在數學中，冪級數（power series）是一類形式簡單而應用廣泛的函數級數，變量可以是一個或多個（見「多元冪級數」一節）。單變量的冪級數形式為：

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n$$

$$= a_0 + a_1 (x-c)^1 + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots$$

其中的c和$a_0 ,a_1 ,a_2 \cdots a_n \cdots$是常數。$a_0 ,a_1 ,a_2 \cdots a_n \cdots$稱為冪級數的係數。冪級數中的每一項都是一個冪函數，冪次為非負整數。冪級數的形式很像多項式，在很多方面有類似的性質，可以被看成是「無窮次的多項式」。

如果把$(x-c)$看成一項，那麼冪級數可以化簡為$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$的形式。後者被稱為冪級數的標準形式。一個標準形式的冪級數完全由它的係數來決定。

將一個函數寫成冪級數$\sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n$的形式稱為將函數在c處展開成冪級數。不是每個函數都可以展開成冪級數。

冪級數是分析學研究的重點之一，然而在組合數學中，冪級數也占有一席之地。作為母函數，由冪級數概念發展出來的形式冪級數是許多組合恆等式的來源。在電子工程學中，冪級數則被稱為Z-變換。實數的小數記法也可以被看做冪級數的一種，只不過這裡的x被固定為$\frac{1}{10}$。在p-進數中則可以見到x被固定為$10$的冪級數。

## 例子

多項式可以看做係數從某一項開始全是零的冪級數，例如多項式$f(x) = x^2 + 2x + 3$可以寫成標準形式的冪級數：

$$f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots$$

也可以寫成（$c=1$）：

$$f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2 + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots$$

實際上，多項式可以寫成在任意c附近展開的冪級數。就這個意義上說，冪級數是多項式的推廣。

等比級數的公式給出了對$|x|<1$，有

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$，是冪級數中基本而又重要的一類。同樣重要的還有指數的冪級數展開：

$$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,$$

以及正弦函數（對所有實數x成立）：

$$\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots,$$

這些冪級數都屬於泰勒級數。

冪級數里不包括負的冪次。例如$1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots$就不是冪級數（它是一個洛朗級數）。同樣的，冪次為分數的級數也不是冪級數。係數$a_n$必須是和x無關，比如$\sin(x) x + \sin(2x) x^2 + \sin(3x) x^3 + \cdots \,$就不是一個冪級數。

## 斂散性

作為級數的一種，冪級數的斂散性也是研究冪級數的重點之一。對同一個冪級數，當變量x在複數中變化時，冪級數可能收斂，也可能發散。作為判斷的依據，有：

阿貝爾引理：給定一個冪級數$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$，如果對實數$r_0>0$，數列$( |a_n| r_0^n)_{n \ge 0}$ 有界，那麼對任意複數$|x| < r_0$，$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$絕對收斂。

證明：

如果$|x| <r_0$，那麼由於數列$( |a_n| r_0^n)_{n \ge 0}$ 有界，存在正實數M使得對任意的n，總有$0 \le |a_n| r_0^n \le M$。所以：

$$\sum_{n=0}^\infty |a_n\, x^n| = \sum_{n=1}^\infty \left(|a_n|\, r_0^n\right)\cdot \left(\frac{|x|}{r_0}\right)^n$$

$$\ \ \le \sum_{n=0}^\infty M \cdot \left(\frac{|x|}{r_0}\right)^n$$

$$\ \ = M \cdot \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{|x|}{r_0}\right)^n$$

正數比值$\frac{|x|}{r_0}$嚴格小於1，因此上面的等比級數收斂，於是$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$絕對收斂。

按照引理，使得冪級數$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$收斂的複數的集合總是某個以原點為中心的圓（不包括邊界），稱為收斂圓盤，其邊界稱為收斂圓。具體來說，就是：

- 要麼對所有的非零複數，$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$都發散。
- 要麼存在一個正常數（包括正無窮）$R$，使得當$|x| < R$時，$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$絕對收斂，當$|x| > R$時，$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$發散。

這個可以用來辨別冪級數是否收斂的常數$R$被稱為冪級數的收斂半徑，當屬於第一種情況時，規定收斂半徑為零。

按照定義，對一個冪級數$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$，當$|x| <R$（在收斂圓盤內）時（如果有的話），冪級數必然收斂；而當$|x| > R$時（如果有的話），冪級數必然發散。但是如果$|x| = R$（在收斂圓上）的話，這時冪級數的斂散性是無從判斷的，只能具體分析。

根據達朗貝爾審斂法，收斂半徑$R$滿足：如果冪級數$\sum a_n x^n$滿足$\lim_{n \to \infty} |{a_{n+1} \over a_n}| = \rho$，則：

$\rho$是正實數時，$R = {1 \over \rho}$。

$\rho = 0$時，$R = \infty$。

$\rho = \infty$時，$R = 0$。

根據根值審斂法，則有柯西-阿達馬公式：

$$R=\liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}}$$

或者$\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{\frac{1}{n}}$。

## 冪級數的運算

形式上，冪級數的加減法運算是將相應係數進行加減。

$$(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots) \pm (b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_nx^n+\cdots)=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+\cdots+(a_n+b_n)x^n+\cdots$$

兩個冪級數的乘積基於所謂的柯西乘積：

$$\left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)$$

$$= \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (x-c)^{i+j}$$

$= \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-c)^n$。

各種運算後，得到的冪級數的收斂半徑是兩個冪級數中的較小者。

## 一致收斂性

對一個收斂半徑為R的冪級數$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$，可以證明，冪級數在收斂圓盤上一致收斂。這個性質稱為內閉一致收斂。因此，考慮冪級數函數

$$f : (-R,R) \longrightarrow \mathbb{R}$$

$$.\ \ \ \ \ \ x \longmapsto \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$$

它在收斂區間(-R,R)上是連續函數。

## 冪級數函數的求導和積分

可以證明，冪級數函數f在收斂區間上無窮次可導，並且可積。此外，由於冪級數函數f在收斂圓盤內一致收斂，可以進行逐項求導和積分，而且其導函數和積分函數都是在收斂區間上連續的冪級數函數。它們的收斂半徑等於$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$的收斂半徑R。具體形式為：

$$f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n x^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) x^{n}$$

$$\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n x^{n+1}} {n+1} + k = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} x^{n}} {n} + k$$

## 函數的冪級數展開

鑑於冪級數函數的良好分析性質以及對之深入的研究，如能將要研究的函數以冪級數形式來表示，將有助於對其性質的研究。然而，不是所有的函數都能展開為冪級數。一個函數在一點c附近可展（可以展開為冪級數），若且唯若存在正實數R>0，使得在複平面中以c為圓心以R為半徑的圓D(c,R)內（不包括邊界）有：

$$\forall z\in D(c, R),\qquad f(z)=\sum_{n=0}^{+{\infty}}a_n(z-c)^n$$

其中$a_n$為確定的常數。

如果一個函數在某處可展，那麼它在這點無窮可導（$C^{\infty}$），並且在這點附近的展開式是唯一的。

$$\forall n\in\mathbb{N},\,a_n={f^{(n)}(c)\over{n!}}$$

即是在這點的泰勒展開的第n項的值。這時展開得到的冪級數稱為函數f在c點的泰勒級數。

### 函數的可展性

對於一般的無窮可導函數$f$，也可以寫出冪級數$\sum_{n=0}^{+{\infty}} {f^{(n)}(c)\over{n!}} (x-c)^n$，但即使這個冪級數收斂，其值也不一定等於$f$。例如函數$f$：

當x>0時，$f(x)=e^{-1/x^2}$

當$x \le 0$時，$f(x)=0$

可以證明$f$無窮可導，並且在0處的每階導數都是零，因此相應的冪級數$\sum_{n=0}^{+{\infty}} {f^{(n)}(0)\over{n!}} (x)^n$恆等於0，不等於$f$。

函數可以展開成冪級數的充要條件是其泰勒展開的餘項趨於零：

$R_n(x)= f(x) -\sum_{n=0}^{n} {f^{(n)}(c)\over{n!}} (x-c)^n \rightarrow 0$。

一個更常用到的充分條件是：

如果存在正實數r，使得$f$在區間$(c-r,c+r)$上無窮可導，並且存在正數M使得對任意的n，任意的$x \in (c-r,c+r)$都有

$|f^n (x)| \le M^n$，那麼$f$可以在c附近展開成冪級數：

$\forall x \in (c-r,c+r) , \ \ f(x)= \sum_{n=0}^{+{\infty}} {f^{(n)}(c)\over{n!}} (x-c)^n$。

### 常見函數的冪級數展開

以下是一些常見函數的冪級數展開。運用這些展開可以得到一些重要的恆等式。

- $\forall x\in\mathbb{C},\, e^x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{x^n}{n!}}.$
- $\forall x\in\mathbb{R},\, \cos x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}(-1)^n\,{\frac{x^{2\,n}}{(2\,n)!}}.$
- $\forall x\in\mathbb{R},\, \sin x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}(-1)^n\,{\frac{x^{2\,n+1}}{(2\,n+1)!}}.$
- $\forall x\in\mathbb{R},\, \operatorname{ch}\,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{x^{2\,n}}{(2\,n)!}}.$
- $\forall x\in\mathbb{R},\, \operatorname{sh}\,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{x^{2\,n+1}}{(2\,n+1)!}}.$
- $\forall x\in D(0,1),\, {1\over{1-x}}=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{x^n}.$
- $\forall x\in(-1,1],\, \ln (1+x)=\sum_{n=1}^{+{\infty}}(-1)^{n+1}{x^{n}\over{n}}.$
- $\forall x\in[-1,1],\, \arctan \,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}(-1)^n\,{\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}\;$，特別地，$\pi=4\,\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{(-1)^{n}}{2\,n+1}}$。
- $\forall x\in\,(-1,1),\ \forall \alpha\,\not\in\, \mathbb{N},\, (1+x)^\alpha \,=1\;+\;\sum_{n=1}^{+{\infty}}{\frac{\alpha\,(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\,x^n}.$
- $\forall x\in\mathbb{R},\, \forall \alpha\,\in\, \mathbb{N},\, (1+x)^\alpha \,=1\;+\;\sum_{n=1}^{+{\infty}}{\frac{\alpha\,(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\,x^n}=\sum_{n=0}^{\alpha}{{\alpha \choose n}\, x^n}.$
- $\forall x\in(-1,1),\, \operatorname{artanh} \,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}\,{\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}.$
- $\forall x\in(-1,1),\, \arcsin \,x= x + \sum_{n=1}^{+{\infty}}\,\left({\frac{\prod_{k=1}^{n}\,(2\,k-1)}{\prod_{k=1}^{n}\,2\,k}}\right){\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}$
- $\forall x\in(-1,1),\, \operatorname{arsinh} \,x=x + \sum_{n=0}^{+{\infty}}\,(-1)^n\,\left({\frac{\prod_{k=1}^{n}\,(2\,k-1)}{\prod_{k=1}^{n}\,2\,k}}\right) {\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}$
- $\forall x\in\, \left( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) , \ \tan x= \frac{2}{\pi}\, \sum_{n=0}^{+{\infty}}\,{\left({\frac{x}{\pi}}\right)}^{2\,n+1}(2^{2\,n+2}-1)\;\zeta (2\,n+2)$，其中$\forall p>1,\,\zeta(p)=\sum_{n=1}^{+{\infty}}\,\frac{1}{n^p}$

## 冪級數與解析函數

局部上由收斂冪級數給出的函數叫做解析函數。解析函數可分成實解析函數與複解析函數。所有的冪級數函數在其收斂圓盤內都是解析函數，並且在所有點上都可展。根據零點孤立原理，解析函數的零點必然是孤立點。在複分析中，所有的全純函數（即複可微函數）都是無窮可微函數，並是復解析函數，這在實分析中則不然。

## 形式冪級數

在抽象代數中，冪級數研究的重點是其作為一個半環的代數性質。冪級數的係數域是實數或複數或其它的域不再重要，斂散性也不再討論。這樣抽離出的代數概念被稱為形式冪級數。形式冪級數在組合代數有重要用處，例如作為母函數而運用在許多組合恆等式的推導中。

## 多元冪級數

冪級數概念在多元微積分學中的一個推廣是多元冪級數：

$$f(x_1,\dots,x_n) = \sum_{j_1,\dots,j_n = 0}^{\infty}a_{j_1,\dots,j_n} \prod_{k=1}^n \left(x_k - c_k \right)^{j_k},$$

其中j = (j1, ..., jn)是一個係數為非負整數的向量。係數a(j1,...,jn)通常是實數或複數。c = (c1, ..., cn)和變量x = (x1, ..., xn)是實數或複數係數的向量。在多重下標的表示法中，則有

$$f(x) = \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^n} a_{\alpha} \left(x - c \right)^{\alpha}.$$

## 參考文獻

- 冪級數介紹
- 冪級數展開
- 冪級數與泰勒展開
- Henri Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes
- Jean Dieudonné, Calcul infinitésimal
- John H. Mathews、Russell W. Howell, COMPLEX ANALYSIS: for Mathematics and Engineering，第5版, 2006