斯特林數

在數學中，史特靈數用於解決各種數學分析和組合數學問題，史特靈數是兩組不同的數，均是18世紀由詹姆士·史特靈 (數學家)引入並以其命名，以第一類史特靈數和第二類史特靈數的稱呼區分。此外，有時候也將拉赫數稱爲第三類史特靈數。

## 第一類史特靈數

### 定義

第一類史特靈數可以定義爲對應遞降階乘展開式的各項係數，即$$(x)_n=\sum^{n}_{k=0}s(n,k)x^k\,$$ 其中，$s(n,k)\,$（$0\leq k\leq n\,$）即爲第一類史特靈數。例如：

$$(x)_3=x(x-1)(x-2)\,$$

則

$$(x)_3=0\cdot x^0+2\cdot x-3\cdot x^2+1\cdot x^3\,$$

於是$s(3,0)=0\,$。

$s(3,1)=2\,$。

$s(3,2)=-3\,$。

$s(3,3)=1\,$。

由此可知，$s(n,k)\,$是代數數，或稱爲有符號（第一類）史特靈數（英語：signed Stirling numbers of the first kind）。

有符號史特靈數的絕對值$|s(n,k)|\,$可以看作（或直接定義爲）把$n\,$個元素排列成$k\,$個非空圓圈（循環排列）的方法數目。所以$|s(n,k)|\,$是算術數，或稱爲無符號（第一類）史特靈數（英語：unsigned Stirling numbers of the first kind）。無符號史特靈數一般可以記爲$c(n,k)\,$或$\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]\,$。例如：把$1\,$，$2\,$，$3\,$三個數排列成$0\,$個非空圓圈，顯然有零種方法；排列成$1\,$個非空圓圈，有$\left(\begin{matrix} & 1 & \\ 2 & & 3\end{matrix}\right)\,$，$\left(\begin{matrix} & 1 & \\ 3 & & 2\end{matrix}\right)\,$兩種方法；排列成$2\,$個非空圓圈，有$\left(\begin{matrix}1\end{matrix}\right)\,$ $\left(\begin{matrix}2 & 3\end{matrix}\right)\,$，$\left(\begin{matrix}1 & 2\end{matrix}\right)\,$ $\left(\begin{matrix}3\end{matrix}\right)\,$和$\left(\begin{matrix}1 & 3\end{matrix}\right)\,$ $\left(\begin{matrix}2\end{matrix}\right)\,$三種方法；排列成$3\,$個非空圓圈，有$\left(\begin{matrix}1\end{matrix}\right)\,$ $\left(\begin{matrix}2\end{matrix}\right)\,$ $\left(\begin{matrix}3\end{matrix}\right)\,$一種方法，所以$\left[\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right]=0\,$ $\left[\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right]=2\,$，$\left[\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right]=3\,$，$\left[\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right]=1\,$。可以看到這和前面有符號史特靈數$s(n,k)\,$在$n=3\,$時的結果一致（只是符號差異）。

與有符號史特靈數類似，無符號史特靈數可以定義爲對應遞進階乘展開式的各項係數，即

$$(x)^{\overline n}=\sum^{n}_{k=0}\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]x^k\,$$

其中，$\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]\,$（$0\leq k\leq n\,$）即爲無符號史特靈數。不過要注意，這裏的記號$\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]\,$有時候會用來表示高斯二項式係數。

有符號史特靈數和無符號史特靈數有如下關係：

$$s(n,k)=(-1)^{n-k}\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]\,$$

### 拓展示例

無符號史特靈數有更多的應用。例如，將$n\,$個元素分成$k\,$組，每組內的元素再進行排列的方法數目即可用無符號史特靈數$\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]\,$求得。以$\left[\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}\right]=11\,$爲例：

- (A,B)(C,D)
- (A,C)(B,D)
- (A,D)(B,C)
- (A)(B,C,D)
- (A)(B,D,C)
- (B)(A,C,D)
- (B)(A,D,C)
- (C)(A,B,D)
- (C)(A,D,B)
- (D)(A,B,C)
- (D)(A,C,B)

或用有向圖表示如下：

<image>

### 遞推關係式

無符號史特靈數有如下遞推關係式：

$$\left[\begin{matrix} n+1 \\ k \end{matrix}\right]=n\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix} n \\ k-1 \end{matrix}\right]\,$$

其中，$k>0$，且初始條件爲$\left[\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right]=1\,$，$\left[\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0 \\ n \end{matrix}\right]=0\,$（$n>0$）。

有符號史特靈數有如下遞推關係式：

$$s(n+1,k)=-ns(n,k)+s(n,k-1)$$

### 第一類史特靈數表

下表其實是一部分無符號史特靈數，要想獲得有符號史特靈數，可以通過它們之間的關係式：

$$s(n,k)=(-1)^{n-k}\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]\,$$

求得。

n ｜0｜1｜2｜3｜4｜5｜6

0｜1

1｜0｜1

2｜0｜1｜1

3｜0｜2｜3｜1

4｜0｜6｜11｜6｜1

5｜0｜24｜50｜35｜10｜1

6｜0｜120｜274｜225｜85｜15｜1

### 簡單性質

觀察前面的「第一類史特靈數表」，我們可以得到一些簡單的性質：

$\left[\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right]=1\,$，$\left[\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}\right]=0\,$（$n>0\,$）。

如果$k>0\,$，我們有

$\left[\begin{matrix} 0 \\ k \end{matrix}\right]=0\,$。

或更一般地，如果$k>n\,$，我們有

$\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]=0\,$。

還有

$\left[\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}\right]=(n-1)!\,$。

$\left[\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}\right]=1\,$。

$\left[\begin{matrix} n \\ n-1 \end{matrix}\right]={n \choose 2}\,$。

$\left[\begin{matrix} n \\ n-2 \end{matrix}\right]=\frac{1}{4}(3n-1){n \choose 3}\,$。

$\left[\begin{matrix} n \\ n-3 \end{matrix}\right]={n \choose 2}{n \choose 4}\,$。

註：這裏記號${n \choose k}\,$表示組合數。

## 第二類史特靈數

### 定義

第二類史特靈數與第一類史特靈數類似，可以用遞降階乘定義爲

$$x^n=\sum^{n}_{k=0}\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}(x)_k\,$$

其中，$\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}\,$即爲第二類史特靈數，也可以記爲$S(n,k)\,$。例如：

$$x^3=\left\{\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right\}(x)_0+\left\{\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right\}(x)_1+\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}(x)_2+\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}(x)_3\,$$

即

$$x^3=\left\{\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right\}+\left\{\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right\}x+\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}x(x-1)+\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}x(x-1)(x-2)\,$$

將遞降階乘展開並合併同類項，得

$$x^3=\left\{\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right\}+\left(\left\{\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right\}-\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}+2\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}\right)x+\left(\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}- 3\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}\right)x^2+\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}x^3\,$$

比較等式兩邊係數，得

$$\begin{cases}\left\{\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right\}=0 \\ \left\{\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right\}-\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}+2\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}=0 \\ \left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}- 3\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}=0 \\ \left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}=1 \end{cases}\,$$

解得

$\left\{\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right\}=0\,$，$\left\{\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right\}=1\,$，$\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}=3\,$，$\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}=1\,$。

第二類史特靈數計算的是將含有$n\,$個元素的集合拆分爲$k\,$個非空子集的方法數目。例如：對於集合$\left\{1,2,3\right\}\,$，若拆分爲$0\,$個非空子集，顯然有零種方法；拆分爲$1\,$個非空子集，只有$\left\{1,2,3\right\}\,$一種方法；拆分爲$2\,$個非空子集，有$\left\{1\right\}\,$ $\left\{2,3\right\}\,$，$\left\{1,2\right\}\,$ $\left\{3\right\}\,$，$\left\{2\right\}\,$ $\left\{1,3\right\}\,$三種方法；拆分爲$3\,$個非空子集，有$\left\{1\right\}\,$ $\left\{2\right\}\,$ $\left\{3\right\}\,$一種方法。於是$\left\{\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right\}=0\,$，$\left\{\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right\}=1\,$，$\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}=3\,$，$\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}=1\,$。

第二類史特靈數可以使用以下公式進行計算：

$$\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\} =\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^{k}(-1)^i \left(\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}\right) (k-i)^n \,$$

取$\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}\,$進行驗算，有

$$\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}=\frac{1}{2!}\sum_{i=0}^{2}(-1)^i \left(\begin{matrix} 2 \\ i \end{matrix}\right) (2-i)^3 \,$$

即

$$\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}=\frac{1}{2}\left(\left(\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}\right)\times 2^3 - \left(\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}\right)\times 1^3 + \left(\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}\right)\times 0^3\right)\,$$

於是

$$\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}=\frac{1}{2}\left( 1\times 8 - 2\times 1 + 1\times 0\right)=3\,$$

### 拓展示例

將$n\,$個人分成$k\,$組的分組方法的數目。例如有甲、乙、丙、丁四人，若所有人分成$1\,$組，只能所有人在同一組，因此$\left\{\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}\right\}=1\,$；若所有人分成$4\,$組，只能每人獨立一組，因此$\left\{\begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix}\right\}=1\,$；若分成$2\,$組，可以是甲乙一組、丙丁一組，或甲丙一組、乙丁一組，或甲丁一組、乙丙一組，或其中三人同一組另一人獨立一組，即：

- {甲, 乙}{丙, 丁}
- {甲, 丙}{乙,丁}
- {甲, 丁}{乙, 丙}
- {甲}{乙, 丙, 丁}
- {乙}{甲, 丙, 丁}
- {丙}{甲, 乙, 丁}
- {丁}{甲, 乙, 丙}

因此$\left\{\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}\right\}=7\,$。同理，可以得到$\left\{\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}\right\}=6\,$。

### 遞推關係式

第二類史特靈數有與第一類史特靈數類似的遞推關係式：

$$\left\{\begin{matrix} n+1 \\ k \end{matrix}\right\}=k\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}+\left\{\begin{matrix} n \\ k-1 \end{matrix}\right\}\,$$

其中，$k>0$，且初始條件爲$\left\{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right\}=1\,$，$\left\{\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}\right\}=\left\{\begin{matrix} 0 \\ n \end{matrix}\right\}=0\,$（$n>0$）。

### 第二類史特靈數表

下面爲部分第二類史特靈數：

n ｜0｜1｜2｜3｜4｜5｜6

0｜1

1｜0｜1

2｜0｜1｜1

3｜0｜1｜3｜1

4｜0｜1｜7｜6｜1

5｜0｜1｜15｜25｜10｜1

6｜0｜1｜31｜90｜65｜15｜1

### 簡單性質

觀察前面的「第二類史特靈數表」，我們可以得到一些簡單的性質：

$\left\{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right\}=1\,$，$\left\{\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}\right\}=0\,$（$n>0\,$）。

如果$k>0\,$，我們有

$\left\{\begin{matrix} 0 \\ k \end{matrix}\right\}=0\,$。

或更一般地，如果$k>n\,$，我們有

$\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}=0\,$。

還有

$\left\{\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}\right\}=1\,$。

$\left\{\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}\right\}=2^{n-1}-1\,$。

$\left\{\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}\right\}=\frac{1}{2}(3^{n-1}+1)-2^{n-1}\,$。

$\left\{\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}\right\}=1\,$。

$\left\{\begin{matrix} n \\ n-1 \end{matrix}\right\}={n \choose 2}\,$。

$\left\{\begin{matrix} n \\ n-2 \end{matrix}\right\}={n \choose 3}+3{n \choose 4}\,$。

$\left\{\begin{matrix} n \\ n-3 \end{matrix}\right\}={n \choose 4}+10{n \choose 5}+15{n \choose 6}\,$。

### 其他性質

貝爾數和第二類史特靈數有如下關係：

$$B_n=\sum_{k=0}^n\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}\,$$

## 兩類之間的關係

第一類和第二類史特靈數可以看作互爲逆矩陣的關係：

$$\sum _{j\geq 0}s(n,j)S(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{n-j}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j\\k\end{Bmatrix}}=\delta _{nk}} {\displaystyle \sum _{j\geq 0}s(n,j)S(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{n-j}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j\\k\end{Bmatrix}}=\delta _{nk}\,$$

以及

$$\sum _{j\geq 0}S(n,j)s(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{j-k}{\begin{Bmatrix}n\\j\end{Bmatrix}}{\begin{bmatrix}j\\k\end{bmatrix}}=\delta _{nk}} {\displaystyle \sum _{j\geq 0}S(n,j)s(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{j-k}{\begin{Bmatrix}n\\j\end{Bmatrix}}{\begin{bmatrix}j\\k\end{bmatrix}}=\delta _{nk}\,$$

其中，$\delta_{nk}\,$是克羅內克爾δ。

## 拉赫數

### 定義

拉赫數是由伊沃·拉赫在1954年發現的，因爲拉赫數與史特靈數關係密切，所以有時拉赫數也被稱爲第三類史特靈數。可以用遞進階乘和遞降階乘定義爲

$$x^{(n)} = \sum_{k=0}^n L(n,k) (x)_k\,$$

或

$$(x)_n = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} L(n,k) x^{(k)}\,$$

其中， $L(n,k)\,$即爲拉赫數。例如：

$$x^{(3)}=\sum_{k=0}^3 L(3,k) (x)_k\,$$

即

$$x(x+1)(x+2)=L(3,0)\cdot 1 + L(3,1)\cdot x + L(3,2)\cdot x(x-1) + L(3,3)\cdot x(x-1)(x-2)\,$$

等式兩邊展開並合併同類項，得

$$0\cdot x^0 + 2\cdot x+3\cdot x^2+1\cdot x^3=L(3,0)+[L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)]\cdot x+[L(3,2)-3L(3,3)]\cdot x^2 +L(3,3)\cdot x^3\,$$

比較等式兩邊係數，得

$$\begin{cases}{L(3,0)=0} \\ {L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)=2} \\ {L(3,2)-3L(3,3)=3} \\ {L(3,3)=1}\end{cases}\,$$

解得$L(3,0)=0\,$，$L(3,1)=6\,$。

$L(3,2)=6\,$，$L(3,3)=1\,$。

或

$$(x)_3=\sum_{k=0}^3 (-1)^{3-k} L(3,k) x^{(3)}\,$$

即

$$x(x-1)(x-2)=L(3,0)\cdot 1 + L(3,1)\cdot x + L(3,2)\cdot x(x+1) + L(3,3)\cdot x(x+1)(x+2)\,$$

等式兩邊展開並合併同類項，得

$$0\cdot x^0 + 2\cdot x-3\cdot x^2+1\cdot x^3=-L(3,0)+[L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)]\cdot x+[-L(3,2)+3L(3,3)]\cdot x^2 +L(3,3)\cdot x^3\,$$

比較等式兩邊係數，得

$$\begin{cases}{L(3,0)=0} \\ {L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)=2} \\ {-L(3,2)+3L(3,3)=-3} \\ {L(3,3)=1}\end{cases}\,$$

解得$L(3,0)=0\,$，$L(3,1)=6\,$。

$L(3,2)=6\,$，$L(3,3)=1\,$。

以上定義的拉赫數是無符號拉赫數（英語： signed Lah numbers），有符號拉赫數（英語：signed Lah numbers）的定義如下：

$$x^{(n)} = (-1)^n \sum_{k=0}^n L(n,k) (x)_k\,$$

或

$$(x)_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k L(n,k) x^{(k)}\,$$

無符號拉赫數計算的是將含有$n\,$個元素的集合拆分爲$k\,$個非空線性有序子集的方法數目。例如：對於集合$\left\{1,2,3\right\}\,$，若拆分爲$0\,$個非空線性有序子集，顯然有零種方法；拆分爲$1\,$個非空線性有序子集，有$\left\{(1, 2, 3)\right\}\,$，$\left\{(1, 3, 2)\right\}\,$，$\left\{(2, 1, 3)\right\}\,$，$\left\{(2, 3, 1)\right\}\,$，$\left\{(3, 1, 2)\right\}\,$，$\left\{(3, 2, 1)\right\}\,$六種方法；拆分爲$2\,$個非空線性有序子集，有$\left\{(1)\right\}\,$ $\left\{(2, 3)\right\}\,$，$\left\{(1)\right\}\,$ $\left\{(3, 2)\right\}\,$，$\left\{(2)\right\}\,$ $\left\{(1, 3)\right\}\,$，$\left\{(2)\right\}\,$ $\left\{(3, 1)\right\}\,$，$\left\{(3)\right\}\,$ $\left\{(1, 2)\right\}\,$，$\left\{(3)\right\}\,$ $\left\{(2, 1)\right\}\,$六種方法；拆分爲$3\,$個非空線性有序子集，有$\left\{(1)\right\}\,$，$\left\{(2)\right\}\,$，$\left\{(3)\right\}\,$一種方法。於是$L(3,0)=0\,$，$L(3,1)=6\,$。

$L(3,2)=6\,$，$L(3,3)=1\,$。

無符號拉赫數可以使用以下公式進行計算：

$$L(n,k) = {n-1 \choose k-1} \frac{n!}{k!}\,$$

有符號拉赫數可以使用以下公式進行計算：

$$L'(n,k) = (-1)^n {n-1 \choose k-1} \frac{n!}{k!}\,$$

### 拓展示例

<image>

### 遞推關係式

無符號拉赫數有如下遞推關係：

$$L(n,k+1) = \frac{n-k}{k(k+1)} L(n,k)$$

或

$$L(n+1,k) = (n+k) L(n,k) + L(n,k-1)\,$$

其中，$L(n,0)=0\,$，$L(n,0)=0\,$，$L(n,k)=0\,$（$k>n\,$），$L(1,1)=1\,$

### 拉赫數表

下面爲部分無符號拉赫數：

n ｜0｜1｜2｜3｜4｜5｜6

0｜1

1｜0｜1

2｜0｜2｜1

3｜0｜6｜6｜1

4｜0｜24｜36｜12｜1

5｜0｜120｜240｜120｜20｜1

6｜0｜720｜1800｜1200｜300｜30｜1

### 簡單性質

觀察前面的「拉赫數表」，我們可以得到一些簡單性質：

$L(0,0)=1$。

$L(n,0)=0$（$n>0$）

如果$k>n$，有$L(0,0)=1$，$L(n, k)=0$

還有

$$L(n,1) = n!$$

$$L(n,2) = \frac{(n-1)n!}{2}$$

$$L(n,3) = \frac{(n-2)(n-1)n!}{12}$$

$$L(n,n-1) = n(n-1)$$

$$L(n,n) = 1$$

$$\sum_{n\geq k}L(n,k)\frac{x^n}{n!}= \frac{1}{k!}\left( \frac{x}{1-x} \right)^k$$

### 其他性質

無符號拉赫數計算公式可以作進一步拓展：

$$L(n,k) = {n-1 \choose k-1} \frac{n!}{k!} = {n \choose k} \frac{(n-1)!}{(k-1)!} = {n \choose k} {n-1 \choose k-1} (n-k)!$$

$$L(n,k) = \frac{n!(n-1)!}{k!(k-1)!}\cdot\frac{1}{(n-k)!} = \left (\frac{n!}{k!} \right )^2\frac{k}{n(n-k)!}$$

無符號拉赫數與兩類史特靈數都有關係，關係如下：

$$L(n,k)=\sum_{j=0}^n \left[\begin{matrix} n \\ j \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} j \\ k \end{matrix}\right\}\,$$

取$L(3,2)\,$進行驗算，有

$$L(3,2)=\sum_{j=0}^3 \left[\begin{matrix} 3 \\ j \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} j \\ 2 \end{matrix}\right\}\,$$

即

$$L(3,2)= \left[\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix}\right\}+\left[\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}\right\}+\left[\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}\right\}+\left[\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}\,$$

於是

$$L(3,2)=\left[\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}\right\}+\left[\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}=3\times1+1\times3=6\,$$

由無符號拉赫數與兩類史特靈數之間的關係，考慮到兩類史特靈數之間的關係，有

$$\sum _{j\geq 0}L(n,j)L(j,k)=\delta _{nk}\,$$

其中，$\delta_{nk}\,$是克羅內克爾δ。

## 三類之間的關係

三類史特靈數以及乘方、階乘之間的關係可以用下圖表示：

<image>