力矩

在物理學中，力矩（torque，moment of force，moment）是作用力促使物體具有繞著轉動軸或支點轉動的趨向的物理量；也就是作用力使物體產生「轉」、「扭」或「彎」效應的量度。簡略地說，力矩是一種施加於例如螺栓、飛輪一類的物體，或是擰毛巾、扳鋼筋的扭轉力。例如，用扳手的開口箝緊螺栓或螺帽，然後轉動扳手，這動作會產生力矩來轉動螺栓或螺帽。

使機械元件轉動的力矩又稱轉矩（turning moment，moment of rotation）即轉動力矩；在材料力學、土木工程和建築學中，作用引起的結構或構件某一截面上的剪力所構成的力偶矩，稱為扭矩（torsional moment，torque），而作用引起的結構或構件某一截面上的正應力所構成的力矩，則稱為彎矩（bending moment）。

力矩能夠使物體改變其旋轉運動。推擠或拖拉涉及到作用力，而扭轉則涉及到力矩。如上圖，力矩$\boldsymbol{\tau}\,\!$等於徑向向量$\mathbf{r}\,\!$與作用力$\mathbf{F}\,\!$的叉積。

根據國際單位制，力矩的單位是牛頓米。本物理量非能量，因此不能以焦耳（J）作單位；根據英制單位，力矩的單位則是英尺$\cdot$磅。力矩的表示符號是希臘字母$\boldsymbol{\tau}\,\!$，或$\mathbf{M}\,\!$。

力矩與三個物理量有關：施加的作用力$\mathbf{F}\,\!$、從轉軸到施力點的位移向量$\mathbf{r}\,\!$、兩個向量之間的夾角$\theta\,\!$。力矩$\boldsymbol{\tau}\,\!$以向量方程式表示為

$\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r}\times \mathbf{F}\,\!$。

力矩的大小為

$\tau = rF\sin \theta\,\!$。

## 定義

<image>

力矩等於作用於槓桿的作用力乘以支點到力的垂直距離。例如，3 牛頓的作用力，施加於離支點2 米處，所產生的力矩，等於1牛頓的作用力，施加於離支點6米處，所產生的力矩。

### 力矩的方向

力矩是個向量，其方向與它所造成的旋轉運動的旋轉軸同方向。力矩的方向可以用右手定則來決定，也可以用叉乘求得。假設作用力垂直於槓桿。將右手四指往槓桿的旋轉方向彎捲，伸直的拇指與支點的旋轉軸同直線，則拇指指向力矩的方向。

<image>

### 力矩的方程

將此概念推廣到更一般的狀況，即無槓桿的情況下，如右下圖：

假設作用力$\mathbf{F}\,\!$施加於位置為$\mathbf{r}\,\!$的粒子。選擇原點為參考點，力矩$\boldsymbol{\tau}\,\!$以方程式定義為

$\boldsymbol{\tau}\ \stackrel{def}{=}\ \mathbf{r} \times \mathbf{F}\,\!$。

力矩大小為

$\tau= |\mathbf{r}||\mathbf{F}|\sin\theta\,\!$。

其中，$\theta\,\!$是兩個向量$\mathbf{F}\,\!$與$\mathbf{r}\,\!$之間的夾角。

力矩大小也可以表示為

$\tau = rF_{\perp}\,\!$。

其中，$F_{\perp}\,\!$是作用力$\mathbf{F}\,\!$對於$\mathbf{r}\,\!$的垂直分量。

任何與粒子的位置向量平行的作用力不會產生力矩。

從叉積的性質，可推論，力矩垂直於位置向量$\mathbf{r}\,\!$和作用力$\mathbf{F}\,\!$。力矩的方向與旋轉軸平行，由右手定則決定。

## 與角動量之間的關係

<image>

假設一個粒子的位置為$\mathbf{r}\,\!$，動量為$\mathbf{p}\,\!$。選擇原點為參考點，此粒子的角動量$\mathbf{L}\,\!$為

$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}\,\!$。

粒子的角動量對於時間的導數為

$\begin{align}\frac{d\mathbf{L}}{dt} & = \frac{d\mathbf{r}}{dt} \times \mathbf{p} + \mathbf{r} \times \frac{d\mathbf{p}}{dt} \\ & = \mathbf{v} \times m\mathbf{v} + \mathbf{r} \times m \frac{d\mathbf{v}}{dt} \\ <pre> & =\mathbf{r} \times m \mathbf{a} \\ </pre> \end{align}\,\!$。

其中，$m\,\!$是質量，$\mathbf{v}\,\!$是速度，$\mathbf{a}\,\!$是加速度。

應用牛頓第二定律，$\mathbf{F}=m\mathbf{a}\,\!$，可以得到

$\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}\,\!$。

按照力矩的定義，$\boldsymbol{\tau}\ \stackrel{def}{=}\ \mathbf{r} \times \mathbf{F}\,\!$，所以。

$\boldsymbol{\tau} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}\,\!$。

作用於一物體的力矩，決定了此物體的角動量$\mathbf{L}\,\!$對於時間$t\,\!$的導數。

假設幾個力矩共同作用於物體，則這幾個力矩的合力矩$\boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}}\,\!$共同決定角動量的對於時間的變化：

$\boldsymbol{\tau}_1 + \cdots + \boldsymbol{\tau}_n = \boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}\,\!$。

關於物體的繞著固定軸的旋轉運動。

$\mathbf{L} = I\boldsymbol{\omega}\,\!$。

其中，$I\,\!$是物體對於固定軸的轉動慣量，$\boldsymbol{\omega}\,\!$是物體的角速度。

所以，取上述方程式對時間的導數：

$\boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}(I\boldsymbol{\omega})}{\mathrm{d}t} = I\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d}t} = I\boldsymbol{\alpha}\,\!$。

其中，$\boldsymbol{\alpha}\,\!$是物體的角加速度。

## 單位

力矩的定義是距離乘以作用力。根據國際單位制，力矩的單位是牛頓$\cdot$米（Nm）。雖然牛頓與米的次序，在數學上，是可以交換的，但是國際計量局（Bureau International des Poids et Mesures）規定這次序應是牛頓$\cdot$米，而不是米$\cdot$牛頓。

根據國際單位制，能量與功量的單位是焦耳，定義為1牛頓$\cdot$米。但是，焦耳不是力矩的單位。因為，能量是力點積距離的標量；而力矩是距離叉積作用力的向量。當然，量綱相同並不儘是巧合，使1牛頓$\cdot$米的力矩，作用1 全轉，需要恰巧$2\pi\,\!$焦耳的能量：

$E= \tau\theta\,\!$。

其中，$E\,\!$是能量，$\theta\,\!$是移動的角度，單位是弧度。

根據英制，力矩的單位是英尺$\cdot$磅。

## 矩臂方程式

<image>

在物理學外，其他的學術界裡，力矩時常會如以下定義：

$\boldsymbol{\tau} = (\text{moment arm}) \cdot \textrm{force}\,\!$。

右圖顯示出矩臂（moment arm）、前面所提及的相對位置$\mathbf{r}\,\!$、作用力$\mathbf{F}\,\!$（force）。這個定義並沒有指出力矩的方向，只有力矩的大小。所以，並不適用於三維空間問題。

## 靜力概念

當一個物體在靜態平衡時，合力是零，對任何一點的合力矩也是零。二維空間的平衡要求是

$\sum F_x =0\,\!$。

$\sum F_y =0\,\!$。

$\sum \tau =0\,\!$。

這裡，$F_x,\ F_y \,\!$是作用力$\mathbf{F}\,\!$分別在x-軸與y-軸的分量。假若，這三個聯立方程式有解，則稱此系統為靜定系統；不然，則稱為靜不定系統。

## 力矩、能量和功率之間的關係

假設施加作用力於一物體，使得此物體移動一段距離，則作用力對於此物體做了機械功。類似地，假設施加力矩於一物體，使得此物體旋轉一段角位移，則力矩對於此物體做了機械功。對於穿過質心的固定軸的旋轉運動，以數學方程式表達。

$W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau\ \mathrm{d}\theta\,\!$。

其中，$W\,\!$是機械功，$\theta_1\,\!$、$\theta_2\,\!$分別是初始角和終結角，$\mathrm{d}\theta\,\!$是無窮小角位移元素。

根據功能定理，$W\,\!$也代表物體的旋轉動能$K_{\mathrm{rot}}\,\!$的改變，以方程式表達。

$K_{\mathrm{rot}} = \tfrac{1}{2}I\omega^2\,\!$。

功率是單位時間內所做的機械功。對於旋轉運動，功率$P\,\!$以方程式表達為

$P = \boldsymbol{\tau} \cdot \boldsymbol{\omega}\,\!$。

請注意，力矩注入的功率只跟瞬時角速度有關，而角速度是否在增加中，或在減小中，或保持不變，功率都與這些狀況無關。

實際上，在與大型輸電網路相連接的發電廠裏，可以觀察到這關係。發電廠的發電機的角速度是由輸電網路的頻率設定，而發電廠的功率輸出是由作用於發電機轉動軸的力矩所決定。

在計算功率時，必須使用一致的單位。採用國際單位制，功率的單位是瓦特，力矩的單位是牛頓-米，角速度的單位是每秒弧度（不是每分鐘轉速rpm，也不是每秒鐘轉速）。

## 力矩原理

力矩原理闡明，幾個作用力施加於某位置所產生的力矩的總和，等於這些作用力的合力所產生的力矩。力矩原理又名伐里農定理(Varignon's theorem)（以法國科學家兼神父皮埃爾·伐里農命名），以方程式表達。

$(\mathbf{r}\times\mathbf{F}_1) + (\mathbf{r}\times\mathbf{F}_2) + \cdots = \mathbf{r}\times(\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2 + \cdots)\,\!$。

## 參閱

- 馬力
- 扭力轉換器
- 剛體動力學
- 機械平衡（mechanical equilibrium）
- 扭矩扳手（torque wrench）
- 力矩密度

## 外部連結

- 模擬力矩平衡的 Java小程式
- Torque and Angular Momentum in Circular Motion on Project PHYSNET.
- Torque Unit Converter