微積分基本定理

微積分基本定理（Fundamental theorem of calculus）描述了微積分的兩個主要運算──微分和積分之間的關係。

## 簡介

定理的第一部分，稱為微積分第一基本定理，此定理表明：給定任一連續函數，可以（利用積分）構造出該函數的反導函數。這一部分定理的重要之處在於它保證了連續函數的反導函數的存在性。

定理的第二部分，稱為微積分第二基本定理或牛頓-萊布尼茨公式，表明某函數的定積分可以用該函數的任意一個反導函數來計算。這一部分是微積分或數學分析中相當關鍵且應用很廣的一個定理，因為它大大簡化了定積分的計算。

### 直觀理解

對微積分基本定理比較直觀的理解是：把函數在一段區間的「無窮小變化」全部「加起來」，會等於該函數的淨變化，這裡「無窮小變化」就是微分，「加起來」就是積分，淨變化就是該函數在區間兩端點的差。

假設有一個物體在直線上運動，其位置為$x(t)$，其中$t$為時間，$x(t)$意味著$x$是$t$的函數。這個函數的導數等於位置的無窮小變化$dx$「除以」時間的無窮小變化$dt$（當然，該導數本身也與時間有關）。我們把速度定義為位置的變化除以時間的變化。用萊布尼茲記法：

$$\frac{dx}{dt} = v(t).$$

整理，得

$$dx = v(t)\,dt.$$

根據以上的推理，$x$的變化──$\Delta x$，是$dx$的無窮小變化之和。它也等於導數和時間的無窮小乘積之和。這個無窮的和，就是積分；所以，一個函數求導之後再積分，得到的就是原來的函數。我們可以合理地推斷，這個運算反過來也成立，積分之後再求導，得到的也是原來的函數。

## 歷史

詹姆斯·格里高利（1638-1675）首先發表了該定理基本形式的幾何證明，艾薩克·巴羅證明了該定理的一般形式。巴羅的學生艾薩克·牛頓完善了微積分的相關理論。萊布尼茨使得相關理論實現體系化並引入了沿用至今的微積分符號。

## 正式表述

微積分基本定理有兩部分，第一部分是定積分的微分，第二部分是原函數和定積分之間的關聯。

### 第一部分 / 第一基本定理

設 $a,b \in \mathbb{R}$，$f:[a,b] \to \mathbb{R}$於 $[a,b]$ 黎曼可積分，定義函數 $F:[a,b] \to \mathbb{R}$ 如下：

$$F(x) = \int_a^x\!f(t)\, dt$$

則

- $F$ 於閉區間 $[a,b]$ 連續
- 若 $f$ 於 $c \in [a,\,b]$ 連續，則$F'(c)=f(c)$

### 第二部分 / 第二基本定理

<image>

若兩函數 $f,F:[a,b] \mapsto \mathbb{R}$ 滿足：

- $[\forall x \in (a,b)][F'(x) = f(x)]$ （即 $F$ 是 $f$ 的一個原函數）
- $f$ 於 $[a,b]$ 黎曼可積

則有：

$$\int_a^b \, f(t) \, dt \, = F(b)-F(a)$$

可簡記為

$$\int_a^b \, f(t) \, dt \, = F(x)\bigg|_{a}^{b}$$

## 證明

### 第一部分

(1)$F$ 於 $[a,b]$ 連續

因為 $f$ 為黎曼可積，所以 $f$ 有界 (否則會有矛盾)，也就是存在 $M>0$ 使

$|f(x)|\leq M$ (對所有的 $x \in [a,\,b]$)

根據黎曼積分的定義，若取 $x,\, c \in [a,\,b]$ 則

$$|F(x)-F(c)|=\left|\int^x_c f(t)\,dt\right|\leq M|x-c|$$

那這樣，如果取 $\delta = \frac{\epsilon}{M}$ 且 $0<|x-c|<\delta$，則

$$|F(x)-F(c)|<\epsilon$$

那根據函數極限的定義，可以得到

$$\lim_{x\to c}F(x)=F(c)$$

故得証。$\Box$

(2)若 $f$ 於 $c \in [a,\,b]$ 連續，則$F'(c)=f(c)$

$f$ 於 $c$ 連續意為：對所有 $\epsilon > 0$，都存在 $\delta > 0$ 使得所有的 $f$ 定義域裡的 $x$ 只要滿足 $0 < |x-c| <\delta$ 就有 $|f(x)-f(c)| <\epsilon$

而根據黎曼積分的定義可以知道，若對黎曼可積分的 $g: [r,\,s]\to\mathbb{R}$ 有 $(\forall x\in [r,\,s])[\,|g(x)|\leq M\,]$，則

$$\int^s_r g(t)\,dt\leq\int^s_r |g(t)|\,dt\leq M(s-r)$$

這樣考慮上述連續定義 $0 < x-c <\delta$ 的部分會有

$$\left|\frac{F(x)-F(c)}{x-c}-f(c)\right|=\left|\frac{1}{x-c}\left[\int^{x}_{c}f(t)-f(c)\,dt\right]\right|<\left|\frac{\epsilon(x-c)}{x-c}\right|=\epsilon$$

類似的， $0 < c-x <\delta$ 的部分會有

$$\left|\frac{F(x)-F(c)}{x-c}-f(c)\right|=\left|\frac{1}{c-x}\left[\int^{c}_{x}f(t)-f(c)\,dt\right]\right|<\left|\frac{\epsilon(c-x)}{c-x}\right|=\epsilon$$

那同樣根據函數極限的定義，就有

$$F^{\prime}(c) = \lim_{x\to c}\frac{F(x)-F(c)}{x-c}=f(c)$$

即為所求。$\Box$

### 第二部分

設$f$在區間$[a,b]$上連續，並設$F$為$f$的原函數。我們從以下表達式開始

$$F(b) - F(a)\,.$$

設有數

$$x_0,\ldots,x_n$$

使得

$$a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_{n-1} < x_n = b\,.$$

可得

$$F(b) - F(a) = F(x_n) - F(x_0) \,.$$

我們加上$F(x_i)$及其相反數，這樣等式仍成立：

$$\begin{matrix} F(b) - F(a) & = & F(x_n)\,+\,[-F(x_{n-1})\,+\,F(x_{n-1})]\,+\,\ldots\,+\,[-F(x_1) + F(x_1)]\,-\,F(x_0) \, \\ & = & [F(x_n)\,-\,F(x_{n-1})]\,+\,[F(x_{n-1})\,+\,\ldots\,-\,F(x_1)]\,+\,[F(x_1)\,-\,F(x_0)] \,. \end{matrix}$$

以上表達式可用以下的和表示：

$$F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[F(x_i) - F(x_{i-1})]\,. \qquad (1)$$

我們將使用均值定理。就是：

設$F$在閉區間$[a,b]$連續，在開區間$(a,b)$可導，則開區間$(a,b)$內一定存在$c$使得

$$F'(c) = \frac{F(b) - F(a)}{b - a}\,.$$

可得

$$F'(c)(b - a) = F(b) - F(a). \,$$

函數$F$在區間$[a,b]$可導，所以在每一個區間$x_{i-1}$也是可導和連續的。因此，根據均值定理。

$$F(x_i) - F(x_{i-1}) = F'(c_i)(x_i - x_{i-1}) \,.$$

把上式代入(1)，得

$$F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[F'(c_i)(x_i - x_{i-1})]\,.$$

根據第一部分的結論，我們有$F'(c_i) = f(c_i)$。另外，$x_i - x_{i-1}$可表示為第$i$個小區間的$\Delta x$。

$$F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)]\,. \qquad (2)$$

<image>

注意到我們正在描述矩形的面積（長度乘以寬度），並把這些面積相加起來。每一個矩形都描述了一部分曲線的估計。同時也注意到，$\Delta x_i$並不需要對於任何$i$都是相同的，換句話說，矩形的長度可以變化。我們要做的，是要用$n$個矩形來近似代替曲線。現在，當$n$增加而每一個矩形越來越小時，它的面積就越來越接近曲線的真實面積。

當矩形的寬度趨近於零時取極限，便得出黎曼積分。也就是說，我們取最寬的矩形趨於零，而矩形的數目趨於無窮大時的極限。

所以，我們把(2)式的兩邊取極限，得

$$\lim_{\| \Delta \| \to 0} F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta \| \to 0} \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)]\,.$$

$F(b)$和$F(a)$都不依賴於$\begin{Vmatrix} \Delta \end{Vmatrix}$，所以左面的極限仍然是$F(b)-F(a)$。

$$F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta \| \to 0} \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)]\,.$$

右邊的表達式定義了$f$從$a$到$b$的積分。這樣，我們有

$$F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x)\,dx\,,$$

證明完畢。

## 例子

$$\begin{align} \frac{d}{dx} \int_a^{\sin x} e^t\, dt \\ &= \frac{d}{dx} F(\sin x) \\ &= F'(\sin x) \cos x\\ &= e^{\sin x} \cos x\\ \end{align}$$

計算以下積分：

$$\int_2^5 x^2\, dx.$$

在這裡，$f(x) = x^2$，$F(x) = {x^3\over 3}$是一個原函數。因此：

$$\int_2^5 x^2\, dx = F(5) - F(2) = {5^3 \over 3} - {2^3 \over 3}=39$$

## 推廣

我們不需要假設$f$在整個區間是連續的。這樣定理的第一部分便說明：如果$f$是區間$[a,b]$內的任何一個勒貝格可積的函數，$x_0$是$[a,b]$內的一個數，使得$f$在$x_0$連續，則

$$F(x) = \int_a^x f(t)\, dt$$

在$x=x_0$是可導的，且$F'(x_0)=f(x_0)$。我們可以把$f$的條件進一步降低，假設它僅僅是可積的。這種情況下，我們便得出結論：$F$幾乎處處可導，且$F'(x)$幾乎處處等於$f(x)$。這有時稱為勒貝格微分定理。

定理的第一部分對於任何具有原函數$F$的勒貝格可積函數$f$都是正確的（不是所有可積的函數都有原函數）。

泰勒定理中把餘項表示成一個積分的形式，可以視為微積分基本定理的一個推廣。

對於複數函數，也有一個類似的形式：假設$U$是$\mathbb{C}$的一個開集，$f:U\rightarrow \mathbb{C}$是一個在$U$處具有全純原函數$F$的函數。那麼對於所有曲線$\gamma:[a,b]\rightarrow U$，曲線積分可以用下式來計算：

$$\int_{\gamma} f(z) \,dz = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))\,.$$

微積分基本定理可以推廣到多維空間的曲線和曲面積分，也可以推廣到流形。

這個方向上的一個有力的表述是斯托克斯定理：設$M$為一個可定向分段光滑$n$維流形，並設$\omega$為$n-1$階$M$上的C1類緊支撐微分形式。如果$\vartheta M$表示M$M$的邊界，並以$M$的方向誘導的方向為邊界的方向，則

$$\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega\,.$$

這裡$\mathrm{d}\!\,$是外導數，它僅僅用流形的結構來定義。斯托克斯定理將德拉姆上同調和奇異鏈的同調聯繫起來。

## 參考文獻

- Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd. Calculus of a single variable. 7th ed. Boston: Houghton Mifflin Company, 2002.
- Leithold, L. (1996). The calculus 7 of a single variable. 6th ed. New York: HarperCollins College Publishers.
- Malet, A, Studies on James Gregorie (1638-1675) (PhD Thesis, Princeton, 1989).
- Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In Calculus: early transcendentals. Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.
- Turnbull, H W (ed.), The James Gregory Tercentenary Memorial Volume (London, 1939)