連續函數

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連續函數（continuous function）是指函數在數學上的屬性為連續。直觀上來說，連續的函數就是當輸入值的變化足夠小的時候，輸出的變化也會隨之足夠小的函數。

如果輸入值的某種微小的變化會產生輸出值的一個突然的跳躍甚至無法定義，則這個函數被稱為是不連續函數，或者說具有不連續性。非連續函數一定存在間斷點。

舉例來說，考慮描述一棵樹的高度隨時間而變化的函數$h(t)$，那麼這個函數是連續的（除非樹被砍斷）。又例如，假設$T(P)$表示地球上某一點$P$的空氣溫度，則這個函數也是連續的。事實上，古典物理學中有一句格言：「自然界中，一切都是連續的。」相比之下，如果$M(t)$表述在時間t的時候銀行帳戶上的錢幣金額，則這個函數無論在存錢或者取錢的時候都會有跳躍，因此函數$M(t)$是不連續的。

## 實值連續函數

最基本也是最常見的連續函數是定義域為實數集的某個子集、取值也是實數的連續函數。例如前面提到的樹的高度，就是屬於這一類型。這類函數的連續性可以用直角坐標系中的圖像來表示。一個這樣的函數是連續的，如果粗略地說，它的圖像為一個單一的不破的曲線，並且沒有間斷、跳躍或無限逼近的振盪。

嚴格來說，設$f$是一個從實數集的子集$\mathbf{I} \subset \mathbb{R}$射到$\mathbf{J} \subset \mathbb{R}$的函數：$f : \mathbf{I} \longrightarrow \mathbf{J}$。$f$在$\mathbf{I}$中的某個點$c$處是連續的若且唯若以下的兩個條件滿足：

- $f$在點$c$上有定義。
- $c$是$\mathbf{I}$中的一個聚點，並且無論自變量$x$在$\mathbf{I}$中以什麼方式接近$c$，$f(x)$的極限都存在且等於$f(c)$。

我們稱函數到處連續或處處連續，或者簡單的稱為連續，如果它在其定義域中的任意一點都連續。更一般地，當一個函數在定義域中的某個子集的每一點處都連續時，就說這個函數在這個子集上是連續的。

### 定義

不用極限的概念，也可以用下面所謂的$\varepsilon-\delta$方法來定義實值函數的連續性。

仍然考慮函數$f : \mathbf{I} \longrightarrow \mathbf{J}$。假設$c$是$f$的定義域中的元素。函數$f$被稱為是在$c$點連續若且唯若以下條件成立：

對於任意的正實數$\varepsilon >0$，存在一個正實數$\delta > 0$使得對於任意定義域中的$x \in \mathbf{I}$，只要$x$滿足$c-\delta<x<c+\delta$，就有$f(c)-\varepsilon <f(x)<f(c)+\varepsilon$成立。

連續性的「$\varepsilon-\delta$定義」由柯西首先給出。

更直觀地，函數$f$是連續的若且唯若任意取一個$\mathbf{J}$中的點$f(c)$的鄰域$\Omega$，都可以在其定義域$\mathbf{I}$中選取點$x$的足夠小的鄰域，使得$x$的鄰域在函數$f$上的映射下都會落在$f(c)$的鄰域$\Omega$之內。

以上是針對單變量函數（定義域在$\mathbb{R}$上的函數）的定義，這個定義在推廣到多變量函數時也是成立的。度量空間以及拓撲空間之間的連續函數定義見下一節。

### 例子

- 所有多項式函數都是連續的。各類初等函數，如指數函數、對數函數、平方根函數與三角函數在它們的定義域上也是連續的函數。
- 絕對值函數也是連續的。
- 定義在非零實數上的倒數函數$f = \frac{1}{x}$是連續的。但是如果函數的定義域擴張到全體實數，那麼無論函數在零點取任何值，擴張後的函數都不是連續的。
- 非連續函數的一個例子是分段定義的函數。例如定義$f$為：$f(x) = 1$如果$x > 0$，$f(x) = 0$如果$x \leq 0$。取$\varepsilon =\frac{1}{2}$，不存在$x=0$的$\delta$-鄰域使所有$f(x)$的值在$f(0)$的$\varepsilon$鄰域內。直覺上我們可以將這種不連續點看做函數值的突然跳躍。
- 另一個不連續函數的例子為符號函數。

### 連續函數的性質

如果兩個函數$f$和$g$是連續的，$\lambda$為一個實數，那麼$\displaystyle f + g$、$\displaystyle \lambda f$和$\displaystyle fg$都是連續的。所有連續函數的集合構成一個環，也構成一個向量空間（實際上構成一個代數）。如果對於定義域內的所有$x$，都有$g ( x ) \neq 0$，那麼$\frac{f}{g}$也是連續的。

兩個連續函數的複合函數$f \circ g$也是連續函數。

如果實函數$f$在閉區間$[ a, b]$內連續，且$k$是某個$f ( a )$和$f ( b )$之間的數，那麼存在某個$[ a , b ]$內的$c$，使得$f ( c ) = k$。這個定理稱為介值定理。例如，如果一個小孩在五歲到十歲之間身高從1米增長到了1.5米，那麼期間一定有某一個時刻的身高正好是1.3米。

如果$f$在$[ a , b ]$內連續，且$f ( a )$和$f ( b )$一正一負，則中間一定有某一個點$c$，使得$f ( c ) = 0$。這是介值定理的一個推論。

如果$f$在閉區間$[ a, b]$內連續，則它一定取得最大值，也就是說，總存在$c \in [ a, b]$，使得對於所有的$x \in [ a, b]$，有$f ( c ) \geqslant f(x)$。同樣地，函數也一定有最小值。這個定理稱為極值定理。（注意如果函數是定義在開區間$( a, b)$內，則它不一定有最大值和最小值，例如定義在開區間$(0,1)$內的函數$f ( x ) = \frac{1}{x}$。）

如果一個函數在定義域中的某個點$f ( c )$可微，則它一定在點$c$連續。反過來不成立；連續的函數不一定可微。例如，絕對值函數在點$c=0$連續，但不可微。

## 度量空間之間的連續函數

現在考慮從度量空間$(X, d_X)$到另一個度量空間$(Y, d_Y)$的函數$f$。

$f$在$c\in X$是連續的，則對任何實數$\varepsilon>0$，存在一個實數$\delta>0$使得$\forall x\in X$，只要滿足$d_X(x, c)<\delta$，就滿足$d_Y(f(x), f(c))<\varepsilon$。

這個定義可以用序列與極限的語言重述：

如果函數$f$在點$c$連續，則對$X$中任何序列$\{x_n\}$，只要$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} x_n=c$，就有$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=f(c)$。連續函數將極限變成極限。

後一個條件可以減弱為：

$f$在$c$點連續，若且唯若對$X$中任何序列$\{x_n\}$，只要$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} x_n=c$，就滿足序列$\{f(x_n)\}$是一個柯西序列。連續函數將收斂序列變成柯西序列。

### 性質

- 閉集關於連續函數的原像為閉集
- 開集關於連續函數的原像為開集
- 緊緻集透過連續函數的像是緊緻集
- 連通集透過連續函數的像是連通集

## 拓撲空間之間的連續函數

如上連續函數的定義可以自然地推廣到一個拓撲空間到另一拓撲空間的函數：對拓撲空間$X$與$Y$，函數$f: X\rightarrow Y$是連續的若且唯若任何開集$V\subseteq Y$的逆像$f^{-1}(V)$是$X$中開集。

## 歷史

函數的連續性質在很長時間內被認為是當然的。

第一個比較嚴格的定義歸功於伯納德·波爾查諾。他在1817年用德文寫下的定義是這樣的：函數$f$在$x$點是連續的，若且唯若：

「……若$h$足夠小時，$f(x+h)-f(x)$比任何事先給定的量都小」。

然後波爾查諾在證明中值定理時用$\epsilon$來表示所謂「事先給定的量」。

六年以後，柯西在1823年也給了一個定義，但此定義還不如波爾查諾前面給出的定義清楚：

「……$f(x+h)-f(x)$的大小隨著$h$的減小而不確定地減小。……變量（指$x$）的一個無窮小的增長會導致函數本身（指$f(x)$）的一個無窮小的增長」。

這裡的無窮小指的是：一個量的「絕對值不斷而無止境地減小以至於小於任何一個事先給定的量」。

現代的$\epsilon - \delta$定義只要把波爾查諾在其證明里的寫法中「事先給定的量」用$\epsilon$來代替就可以了。這個現代定義第一次公開發表在刊物上是1874年由魏爾斯特拉斯的一個學生海涅根據魏爾斯特拉斯的講義寫的。

## 參考文獻

- Visual Calculus by Lawrence S. Husch, University of Tennessee (2001)