辛流形

微分幾何中，辛流形是裝備了閉非退化2-形式ω的光滑流形M，ω稱為辛形式。辛流形的研究稱為辛幾何或辛拓撲。辛流形作為經典力學和分析力學中流形的餘切叢自然出現，例如在經典力學的哈密頓表述中（這該領域的主要動機之一），系統所有可能構型的空間可以用流形建模，流形的餘切叢描述了該系統的相空間。

一個辛流形上的任何實值可微函數H可以用作一個能量函數或者叫哈密頓量。和任何一個哈密頓量相關有一個哈密頓向量場；該哈密頓向量場的積分曲線是哈密頓-雅可比方程的解。哈密頓向量場定義了辛流形上的一個流場，稱為哈密頓流場或者叫辛同胚。根據劉維爾定理，哈密頓流保持相空間的體積形式不變。

## 動機

辛流形來自經典力學，是封閉系統相空間的推廣。哈密頓方程可從微分方程組推導系統的時間演化，辛形式也可從哈密頓函數H的微分dH得到描述系統流的向量場。因此需要線性映射$TM \rightarrow T^*M$，從切流形$TM$到餘切流形$T^* M$；或等價地，$T^*M \otimes T^*M$的元素。令$\omega$表示$T^*M \otimes T^* M$的截面，$\omega$非退化的要求確保了對每個微分$dH$，都有唯一對應的向量場$V_H$使$dH = \omega (V_H, \cdot)$。由於我們希望哈密頓量沿流線是常值，所以應有$\omega(V_H, V_H) = dH(V_H) = 0$，說明$\omega$是交替形式，因此是2形式。最後，我們要求$\omega$在流線作用下不變，即$\omega$沿$V_H$的李導數為零。應用嘉當同倫公式，這相當於（此處$\iota_X$表示內積）：

$$\mathcal{L}_{V_H}(\omega) = 0\;\Leftrightarrow\;\mathrm d (\iota_{V_H} \omega) + \iota_{V_H} \mathrm d\omega= \mathrm d (\mathrm d\,H) + \mathrm d\omega(V_H) = \mathrm d\omega(V_H)=0$$

這樣，當對不同光滑函數H重複這過程，使相應的$V_H$在每點上張成切空間，便能發現任意光滑的H對應的$V_H$流的李導數為零，等同於說ω是閉的。

## 定義

光滑流形M上的辛形式是閉非退化微分2形式$\omega$。當中，非退化是指對每個點$p \in M$，由$\omega$定義的切空間$T_p M$中的斜對稱對非退化。也就是說，若$\exists X \in T_p M$，使得$\omega( X, Y ) = 0,\ \forall Y \in T_p M$，則$X = 0$。奇數維度下，斜對稱矩陣總是奇異的，所以$\omega$非退化意味著M只能是偶數維。閉條件意味著$\omega$的外導數為零。辛流形是一對$(M, \omega)$，其中M是光滑流形，$\omega$是辛形式。賦予M以辛形式，稱作賦予M辛結構。

## 體積形式

從定義可以直接得到每個辛流形M都是偶數維2n，這是因為$\omega^n$是無處為0的形式，辛體積形式。由此可以得到，每個辛流形是有一個標準的定向的，並且有一個標準的測度，劉維爾測度（經常重整為$\omega^n/n!$）。

## 例子

### 辛向量空間

令$\{v_1, \ldots, v_{2n}\}$為$\R^{2n}$的基，在其上定義辛形式ω：

$$\omega(v_i, v_j) = \begin{cases} 1 & j-i =n \text{ with } 1 \leqslant i \leqslant n \\ -1 & i-j =n \text{ with } 1 \leqslant j \leqslant n \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

這樣，辛形式簡化為二次型。用$I_n$表示n階單位矩陣，則二次型矩陣Ω將由2n階方陣給出：

$$\Omega = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{pmatrix}.$$

### 餘切叢

令Q為n維光滑流形，則餘切叢$T^* Q$的總空間具有自然辛形式，稱作龐加萊2形式，或正規辛形式

$$\omega = \sum_{i=1}^n dp_i \wedge dq^i$$

其中$(q^1, \ldots, q^n)$是Q上的任意局部坐標，$(p_1, \ldots, p_n)$是關於切向量$dq^1, \ldots, dq^n$的纖維坐標。餘切叢是經典力學的自然相空間。區分上下索引的關鍵在於流形有沒有度量張量，黎曼流形就是這種情況。上下索引在坐標系變換下進行反變與協變變換。「關於切向量的纖維坐標」是說，動量$p_i$與速度$dq^i$「焊接」在一起，表達了速度與動量共線的概念，並相差標量因子。

### 凱勒流形

凱勒流形是具有相容可積復結構的辛流形，構成一類特殊的複流形，復代數幾何中有一大類例子。光滑復射影簇$V \subset \mathbb{CP}^n$都有辛形式，是射影空間$\mathbb{CP}^n$上的富比尼–施圖迪形式的限制。

### 殆複流形

具有與$\omega$相容的殆復結構的黎曼流形稱作殆複流形，推廣了凱勒流形，因為其不一定可積。也就是說，它們不一定來自流形上的復結構。

## 拉格朗日及其他子流形

辛流形$(M, \omega)$的子流形有幾個自然的幾何概念：

- M的辛子流形（可能是任意偶數維）是子流形$S \subset M$，且$\omega|_S$是S上的辛形式。
- 迷向子流形是辛形式限制為零的子流形，即切空間都是環境流形切空間的迷向子空間。同樣，若子流形的切子空間都是余迷向的（迷向子空間的對偶），則子流形也稱作余迷向的。
- 辛流形$(M,\omega)$的拉格朗日子流形是辛形式$\omega$對$L\subset M$的限制為等於零的子流形，即$\omega|_L=0,\ \text{dim }L=\tfrac{1}{2}\dim M$。拉格朗日子流形是最大迷向子流形。

辛同胚的圖像在積辛流形$(M\times M,\ \omega\times -\omega)$上是拉格朗日子流形。其交顯示出光滑流形所不具備的剛性，阿諾德猜想給出了子流形的貝蒂數之和作為光滑拉格朗日子流形自交數的下界，而非光滑情形下的歐拉示性數。

### 例子

令$\R^{2n}_{\textbf{x},\textbf{y}}$有全局坐標$(x_1, \dotsc, x_n, y_1, \dotsc, y_n)$，則可將$\R_{\textbf{x},\textbf{y}}^{2n}$賦以規範辛形式

$$\omega =\mathrm{d}x_1\wedge \mathrm{d}y_1 + \dotsb + \mathrm{d}x_n\wedge \mathrm{d}y_n.$$

有$\R^n_{\mathbf{x}} \to \R^{2n}_{\mathbf{x},\mathbf{y}}$給出的標準拉格朗日子流形。形式$\omega$在$\R^n_{\mathbf{x}}$為零，因為給定任一對切向量$X= f_i(\textbf{x}) \partial_{x_i}, Y=g_i(\textbf{x})\partial_{x_i},$都有$\omega(X,Y) = 0.$考慮$n=1$情形，則$X = f(x)\partial_x,\ Y=g(x)\partial_x,\ \omega = \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y$。注意，把它展開時

$$\omega(X,Y) = \omega(f(x)\partial_x,g(x)\partial_x) = \frac{1}{2}f(x)g(x)(\mathrm{d}x(\partial_x)\mathrm{d}y(\partial_x) - \mathrm{d}y(\partial_x)\mathrm{d}x(\partial_x))$$

項都有因子$\mathrm{d}y(\partial_x)$，由定義等於0。

#### 例子：餘切叢

流形的餘切叢局部建模在與第一例類似的空間上。可以證明，我們可以粘合這些仿射辛形式，因此該叢形成了辛流形。拉格朗日子流形的一個不太平凡的例子是流形餘切叢的零截面。例如，令

$$X = \{(x,y) \in \R^2 : y^2 - x = 0\}.$$

然後可以把$T^*X$表為

$$T^*X = \{(x,y,\mathrm{d}x,\mathrm{d}y) \in \R^4 : y^2 - x = 0, 2y\mathrm{d}y - \mathrm{d}x = 0\}$$

其中我們將符號$\mathrm{d}x,\mathrm{d}y$視作$\R^4 = T^*\R^2$的坐標。可以考慮坐標$\mathrm{d}x=0$、$\mathrm{d}y=0$的子集，從而得到零截面。這個例子可重複用於由光滑函數$f_1,\dotsc,f_k$及其微分$\mathrm{d}f_1,\dotsc,df_k$的零軌跡（vanishing locus）定義的流形。

#### 例子：參數子流形

考慮坐標為$(q_1,\dotsc ,q_n,p_1,\dotsc ,p_n)$的規範空間$\R^{2n}$。$\R^{2n}$的參數子流形是由坐標$(u_1,\dotsc,u_n)$參數化的曲面，使

$$q_i=q_i(u_1,\dotsc,u_n) \quad p_i=p_i(u_1,\dotsc,u_n)$$

若拉格朗日括號$[u_i,\ u_j],\ \forall i,\ j$都為零，則是拉格朗日子流形。即，是拉格朗日子流形的等價條件是

$$\forall i,\ j,\ [u_i,\ u_j]=\sum_k \frac {\partial q_k}{\partial u_i}\frac {\partial p_k}{\partial u_j} - \frac {\partial p_k}{\partial u_i}\frac {\partial q_k}{\partial u_j} = 0$$

這可以通過在拉格朗日子流形L的條件中展開

$$\frac {\partial }{\partial u_i}= \frac {\partial q_k}{\partial u_i} \frac {\partial}{\partial q_k} + \frac {\partial p_k}{\partial u_i} \frac {\partial}{\partial p_k}$$

來看到。即，辛形式在切流形$TL$（所有切向量）上必須為零：

$$\forall i,\ j,\ \omega\left( \frac {\partial}{\partial u_i}, \frac {\partial}{\partial u_j} \right)=0$$

利用$\R^{2n}$上的規範辛形式簡化結果：

$$\omega\left( \frac {\partial }{\partial q_k}, \frac {\partial}{\partial p_k}\right) = -\omega\left( \frac {\partial }{\partial p_k}, \frac {\partial}{\partial q_k}\right) = 1 <pre>$$

而其他的都為零。

由於辛流形上的局部坐標圖具有規範形式，此例表明拉格朗日子流形相對來說不受約束。辛流形的分類由弗洛爾同調完成，這是莫爾斯理論在拉格朗日子流形間的映射的作用泛函中的應用。物理學中，作用量描述了物理系統的時間演化；這裡，它可視作對膜動力的描述。

#### 例子：莫爾斯理論

另一類有用的拉格朗日子流形出現於莫爾斯理論。給定莫爾斯函數$f:M\to\R$，且對足夠小的$\varepsilon$，可以構造拉格朗日子流形，其由零軌跡$\mathbb{V}(\varepsilon\cdot \mathrm{d}f) \subset T^*M$給出。對一般莫爾斯函數，有拉格朗日交，由$M \cap \mathbb{V}(\varepsilon\cdot \mathrm{d}f) = \text{Crit}(f)$給出。

### 特殊拉格朗日子流形

凱勒流形或卡拉比-丘流形的情形下，可以在M上選擇$\Omega=\Omega_1+\mathrm{i}\Omega_2$作為全純n形式，其中$\Omega_1$是實部，$\Omega_2$是虛部。若對拉格朗日子流形L的$\Omega_2$為零，則L是特殊的。也就是說，限制在L上實部$\Omega_1$的條件引導了L上的體積形式。以下例子稱作特殊拉格朗日子流形：

- 超凱勒流形的復拉格朗日子流形
- 卡拉比-丘流形的實結構的定點

SYZ猜想涉及鏡像對稱中特殊拉格朗日子流形的研究，見Hitchin。

托馬斯-丘猜想預言，在拉格朗日量的哈密頓迷向類中的卡拉比-丘流形上存在特殊拉格朗日子流形，這等價於流形的深谷範疇上的布里奇蘭穩定性條件。

## 拉格朗日纖維

### 線性辛流形

有一個標準「局部」模型，也就是$\mathbb{R}^{2n}$，其中$\forall i=0,\ldots,\ n-1,\ j,\ k=0,\ldots,\ 2n-1(k\neq j+n,\ j\neq k+n),\ \omega_{i,\ n+i}=1;\ \omega_{n+i,\ i}=-1;\ \omega_{j,\ k}=0$。這是一個線性辛空間的例子。參看辛向量空間。一個稱為達布定理的命題表明局部來看每個辛流形都和這個簡單的辛流形相似。

### 拉格朗日纖維

辛流形M的拉格朗日纖維是指所有纖維都是拉格朗日子流形的纖維。由於M是偶數維，所以可取局部坐標$(p_1,\ \ldots,\ p_n,\ q^1,\ \ldots,\ q^n)$，由達布定理，辛形式ω（至少局部地）可以寫成$\omega=\sum {\rm d}p_k\wedge {\rm d}q^k$，其中d表示外微分，∧表示外積。這種形式稱作龐加萊2形式或規範2形式。利用這種設置，我們可以局部地將M看成餘切叢$T^*\R^n$，拉格朗日纖維則是平凡纖維$\pi: T^*\R^n \to \R^n.$這便是規範圖像。

## 拉格朗日映射

<image>

令L為辛流形$(K,\ \omega)$的由浸入$i:\ L\hookrightarrow K$（i是拉格朗日浸入）給出的拉格朗日子流形。令$\pi:\ K\twoheadrightarrow B$給出K的一個拉格朗日纖維，則$(\pi\circ i):\ L\hookrightarrow K\twoheadrightarrow B$是拉格朗日映射。$\pi \circ i$的臨界值集稱作焦散線。

兩拉格朗日映射$(\pi_1\circ i_1):\ L_1\hookrightarrow K_1\twoheadrightarrow B_1,\ (\pi_2\circ i_2):\ L_2\hookrightarrow K_2\twoheadrightarrow B_2$，若有微分同胚$\sigma,\ \tau,\ nu$使兩式右圖交換、τ保留辛形式，則稱它們拉格朗日等價。用符號表示：

$$\tau \circ i_1 = i_2 \circ \sigma, \ \nu \circ \pi_1 = \pi_2 \circ \tau, \ \tau^*\omega_2 = \omega_1 \, ,$$

其中$\tau^*\omega_2$表示$\omega_2$對τ的拉回。

## 特例與推廣

- 辛流形$(M, \omega)$的辛形式$\omega$若是正合的，則辛流形也是正合（exact）的。例如，光滑流形的餘切叢是正合辛流形。規範辛形式也正合。
- 切叢具有殆復結構的意義上，賦予跟辛形式相容的度量的辛流形是殆凱勒流形，但不一定可積。
- 辛流形是泊松流形的特例。
- 度數為k的多辛流形（multisymplectic manifold）是具備閉非退化k形式的流形。
- 聚辛流形（polysymplectic manifold）是具有聚辛切值$(n+2)$形式的勒讓德叢，用於哈密頓場論。

## 切觸流形

和辛流形緊密相關的有一個奇數維流形，稱為切觸流形。每個2n+1維切觸流形$(M,\ \alpha)$給出一個2n+2維辛流形$(M\times\mathbb{R},\ {\rm d}(e^t\alpha)).$