積空間

在拓撲學的相關領域中，積空間是指一族拓撲空間的笛卡兒積與其配備的自然拓撲結構，這個自然拓撲結構被稱為積拓撲（Product topology）。

## 無窮積空間

直觀動機上，一族拓撲空間笛卡兒積，最「自然」的拓撲，應該是使投影映射都是連續函數的最粗拓撲；換句話說，設有集合族 $\mathcal{X}$，具有指標集 $I$ 與指標函數 $x$：

$$I \,\overset{x}{\cong}\, \mathcal{X}$$

且有相應的一族拓撲 $\mathcal{T}$ 與指標函數 $\tau$：

$I \,\overset{\tau}{\cong}\, \mathcal{T}$

$(\forall i \in I) [\tau(i) \text{ is topology of } x(i)]$

若 $\tau_{\pi}$ 就是無窮乘積 $\prod_{x} \mathcal{X}$ 上滿足需求的那個拓撲，那對於任意指標 $j \in I$，以下的第 $j$ 投影映射：

$$\pi_j: \prod_{x} \mathcal{X} \to x(j)$$

$$\left(\forall f \in \prod_{x} \mathcal{X} \right) [\pi_{j}(f) = f(j)]$$

必須對所有開集 $o_j \in \tau(j)$ 須滿足：

$${(\pi_j)}^{-1}(o_j) \in \tau_\pi$$

也就是說，$\pi_j$ 必須 $\tau_{\pi}$-$\tau(j)$ 連續。

首先從 $\pi_j$ 的定義，對任意 $f$ 有：

$$\left[f \in {(\pi_j)}^{-1}(o_j)\right] \Leftrightarrow \left\{ \left(\forall f \in \prod_{x} \mathcal{X} \right) <pre> \wedge </pre> \big[f(j)\in o_j\big] \right\}$$

那如果取個一對一函數 $o: I \to \bigcup \mathcal{T}$ 滿足：

$$(\forall i \in I) \left\{(i\neq j) \Rightarrow \big[o(i) = x(i)\big] \right\}$$

$$o(j) = o_j$$

那以上的要求就可以寫為：

$${(\pi_j)}^{-1}(o_j) = \prod_{o} o(I) \in \tau_\pi$$

也就是除了 $j \in I$ 取小開集，其他都選全集的無窮乘積，應該也要是 $\tau_{\pi}$ 的開集。所以目標所求的最「自然」的拓撲 $\tau_{\pi}$，應該是包含：

$$\left\{ \prod_{o} o(I) \,\Bigg|\, (\exists j \in I)\left\{ <pre> \left(o: I \to \bigcup \mathcal{T}\right) \wedge (\forall i \in I)\left\{(i\neq j) \Rightarrow \big[o(i) = x(i)\big]\right\} \wedge \big[o(j) \in \tau(j)\big] </pre> \right\} \right\}$$

最粗拓撲，總結如下：

設有集合族 $\mathcal{X}$，具有指標集 $I$ 與指標函數 $x$：

$$I \,\overset{x}{\cong}\, \mathcal{X}$$

且有相應的一族拓撲 $\mathcal{T}$ 與指標函數 $\tau$：

$I \,\overset{\tau}{\cong}\, \mathcal{T}$

$(\forall i \in I) [\tau(i) \text{ is topology of } x(i)]$

取：

$$\mathcal{C} = \left\{ \prod_{o} o(I) \,\Bigg|\, (\exists j \in I)\left\{ <pre> \left(o: I \to \bigcup \mathcal{T}\right) \wedge (\forall i \in I)\left\{(i\neq j) \Rightarrow \big[o(i) = x(i)\big]\right\} \wedge \big[o(j) \in \tau(j)\big] </pre> \right\} \right\} <pre>$$

那在 $\prod_{x} \mathcal{X}$ 上包含 $\mathcal{C}$ 的最粗拓撲 $\tau_{\pi}$ 被稱為 $\prod_{x} \mathcal{X}$ 的積拓撲，而 $\left(\prod_{x} \mathcal{X},\, \tau_\pi\right)$ 被稱為相應的積空間。

## 有限積空間

如果指標集為有限，則積拓撲有更簡單的表述；這是因為可以免除用函數定義無窮乘積的迂迴途徑，而且還可以應用開集的有限交集為開集的特性。以下仿造上面無窮積空間一節來炮製更簡明的有限積拓撲：

設 $(X_1,\,\tau_1),\,(X_2,\,\tau_2),\,\dots,\,(X_n,\,\tau_n)$ 都是拓撲空間，若對任意自然數指標 $j \leq n$ 來說，以下的投影映射 $\pi_j$：

$$\pi_j: \prod^{n}_{i=1} X_i \to x(j)$$

$$\pi_{j}(a_1,\,a_2,\,\dots,\,a_n) = a_j$$

對於 $\prod^{n}_{i=1} X_i$ 上的「自然拓撲」$\tau_\pi$，取任意開集 $O_j \in \tau_j$ 應滿足：

$${(\pi_j)}^{-1}(O_j) \in \tau_\pi$$

也就是說，$\pi_j$ 都應 $\tau_{\pi}$-$\tau_j$ 連續。那從 $\pi_j$ 的定義，對任意 $p = (p_1,\,p_2,\,\dots,\, p_n)$ 有：

$$\left[p \in {(\pi_j)}^{-1}(O_j)\right] \Leftrightarrow (\forall i \in \N) \left\{ <pre> (p_i \in X_i) \wedge (p_j \in O_j) </pre> \right\}$$

換句話說，這個「自然拓撲」必須滿足：

${(\pi_j)}^{-1}(O_j) = X_1 \times \dots \times X_{j-1} \times O_j \times X_{j+1} \times \dots \times X_n \in \tau_\pi$ （$1 < j \leq n$）

$${(\pi_j)}^{-1}(O_1) = O_1 \times X_2 \times \dots \times X_n \in \tau_\pi$$

那稍微推廣一下，對任意滿足以下條件的一對一有限開集序列：

$$V:\N \to \bigcup \{\tau_1,\,\tau_2,\,\dots,\,\tau_n\}$$

$$V(i) = V_i \in \tau_i$$

要求：

$$\prod^{n}_{i=1} V_i = V_1 \times \dots \times V_n \in \tau_\pi$$

那因為 $X_i \in \tau_i$ （母集合當然是開集合），這樣要求的確可以推得稍早要求的「自然拓撲」條件；反過來，因為：

$$V_i = V_1 \times \dots \times V_n = \bigcap^{n}_{j=1} X_1 \times \dots \times X_{j-1} \times V_j \times X_{j+1} \times \dots \times X_n$$

所以根據開集的有限交集也是開集的性質，「自然拓撲」條件也可以得到剛剛的推廣要求。綜上所述，可以作如下的定義：

設 $(X_1,\,\tau_1),\,(X_2,\,\tau_2),\,\dots,\,(X_n,\,\tau_n)$ 都是拓撲空間，取：

$$\mathcal{C} = \left\{ \prod^{n}_{i=1} V_i \,\Bigg|\, V_i \in \tau_i \right\} <pre>$$

那在 $\prod^{n}_{i=1} X_i$ 上包含 $\mathcal{C}$ 的最粗拓撲 $\tau_{\pi}$ 被稱為 $\prod^{n}_{i=1} X_i$ 的有限積拓撲，而 $\left(\prod^{n}_{i=1} X_i,\, \tau_\pi\right)$ 被稱為相應的有限積空間。

## 例子

從實直線R上的標準拓撲開始，定義n份R的乘積，就得到普通的Rn上的歐幾里得拓撲。

康托爾集同胚於可數個離散空間{0,1}的乘積而無理數的空間同胚於可數個自然數集的乘積，每個集合也是採用離散拓撲。

## 性質

如果 B1,B2,...,Bn 是拓撲 T1,T2,...,Tn 的基，則集合積 B1 × B2 × ... × Bn 是乘積拓撲 T1 × T2 × ... × Tn 的基。在無限乘積的情況下這仍適用，除了出現有限多個基元素之外全部都必須是整個空間之外。

乘積空間X加上標準投影，可以用如下的泛性質來刻劃：若Y是拓撲空間，並且對於每個I中的i，fi : Y → Xi是一個連續映射，則存在恰好一個連續映射f : Y → X滿足對於每個I中的i如下交換圖成立：

<image>

這表明乘積空間是拓撲空間範疇中的積。從上述泛性質可以得出映射f : Y → X連續若且唯若fi = pi o f對於所有I中的i連續。在很多情況下，檢查分量函數fi的連續性更為方便。檢驗映射f : Y→ X是否連續通常更難；可以試著用某種方式利用pi連續這一點。

除了連續，標準投影pi : X → Xi也是開映射。這表示每個積空間的開子集投影到Xi上還是開集。反過來不真：若W是到所有Xi的投影都是開集的積空間的子空間，則W不一定是X中的開集。（例如，W = R2 \ (0,1)2.）標準投影通常不是閉映射。

積拓撲有時稱為點式收斂拓撲，因為：X上的一個序列 （或者網）收斂若且唯若它所有到Xi的投影收斂。特別是，如果考慮所有在空間X = RI 對於所有I上的實值函數，在積拓撲上的收斂就是函數的點式收斂。

積拓撲的一個重要定理就是吉洪諾夫定理：任何緊緻空間的乘積是緊緻的。對於有限乘積很容易證明，而其一般情況等價於選擇公理。

## 和其它拓撲概念的聯繫

- 可分離性
- 每個T0空間的積是T0的。
- 每個T1空間的積是T1的。
- 每個豪斯多夫空間的積是豪斯多夫的。
- 每個正則空間的積是正則的。
- 每個吉洪諾夫空間的積是吉洪諾夫空間。
- 正規空間的積不一定是正規的。
- 緊緻性
- 每個緊緻空間的積是緊緻的（吉洪諾夫定理）
- 局部緊緻空間的積不一定是局部緊緻的。
- 連通性
- 每個連通（路徑－連通）空間是連通的（路徑－連通的）。
- 每個遺傳性不連通空間的積是遺傳性不連通的。

每個"局部看起來"一個標準投影F × U → U的空間稱為纖維叢。