費米-狄拉克統計

費米-狄拉克統計（Fermi–Dirac statistics），簡稱費米統計或 FD 統計，是統計力學中描述由大量滿足泡利不相容原理的費米子組成的系統中粒子分處不同量子態的統計規律。該統計規律的命名源於恩里科·費米和保羅·狄拉克，他們分別獨立地發現了該統計律。不過費米在數據定義比狄拉克稍早。

費米–狄拉克統計的適用對象是熱平衡的費米子 (自旋量子數為半奇數的粒子)。此外，應用此統計規律的前提是系統中各粒子間相互作用可忽略不計。如此便可用粒子在不同定態的分布狀況來描述大量微觀粒子組成的宏觀系統。不同的粒子分處不同能態，這點對系統許多性質會產生影響。自旋量子數為 1/2 的電子是費米–狄拉克統計最普遍的應用對象。費米–狄拉克統計是統計力學的重要組成部分，它利用了量子力學的一些原理。

## 概述

狀態1｜狀態2｜狀態3

A｜A

A｜A

A｜A

根據量子力學，費米子為自旋為半奇數的粒子，其本徵波函數反對稱，在費米子的某一個能級上，最多只能容納一個粒子。因而符合費米–狄拉克統計分布的粒子，當他們處於某一分布$\left\{ n_j \right\}$（「某一分布」指這樣一種狀態：即在能量為$\left\{ \epsilon_j \right\}$的能級上同時有$n_j$個粒子存在著，不難想像，當從宏觀觀察體系能量一定的時候，從微觀角度觀察體系可能有很多種不同的分布狀態，而且在這些不同的分布狀態中，總有一些狀態出現的機率特別的大，而其中出現機率最大的分布狀態被稱為最可幾分布）時，體系總狀態數為：

$$\Omega_j=\frac{g_j!}{n_j!(g_j-n_j)!}$$

費米–狄拉克統計的最可幾分布的數學表達式為：

$$\left\{ n_j^{FD} \right\}=\frac{g_j e^\alpha e^{\beta\epsilon_j}}{1 + e^\alpha e^{\beta\epsilon_j}}$$

由於費米-狄拉克統計在數學處理上非常困難，因此在處理實際問題時經常引入一些近似條件，使費米-狄拉克統計退化成為經典的麥克斯韋-玻爾茲曼統計。此外，對於玻色子，也有對應的玻色-愛因斯坦統計予以處理。

## 歷史

1926年發現費米–狄拉克統計之前，要理解電子的某些性質尚較為困難。例如，在常溫下，未施加電流的金屬內部的熱容比施加電流的金屬少了大約100倍。此外，在常溫下給金屬施加一強電場，將造成場致電子發射（Field electron emission）現象，從而產生電流流經金屬。研究發現，這個電流與溫度幾乎無關。當時的理論難以解釋這個現象。

當時，由於人們主要根據的是經典靜電學理論，因此在諸如金屬電子理論等方面遇到的困難，無法得到令人滿意的解答。他們認為，金屬中所有電子都是等效的。也就是說，金屬中的每個電子都以相同的程度對金屬的熱量做出貢獻（這個量是波爾茲曼常數的一次項）。上述問題一直困擾著科學家，直到費米–狄拉克統計的發現，才得到較好地解釋。

1926年，恩里科·費米、保羅·狄拉克各自獨立地在發表了有關這一統計規律的兩篇學術論文。另有來源顯示，P·喬丹（Pascual Jordan）在1925年也對這項統計規律進行了研究，他稱之為「泡利統計」，不過他並未及時地發表他的研究成果。狄拉克稱此項研究是費米完成的，他稱之為「費米統計」，並將對應的粒子稱為「費米子」。

1926年，拉爾夫·福勒在描述恆星向白矮星的轉變過程中，首次應用了費米–狄拉克統計的原理。1927年，阿諾·索末菲將費米–狄拉克統計應用到他對於金屬電子的研究中。1928年，福勒和L·W·諾德漢（Lothar Wolfgang Nordheim）在場致電子發射的研究中，也採用了這一統計規律。直至今日，費米–狄拉克統計仍然是物理學的一個重要部分。

## 費米–狄拉克分布

根據費米–狄拉克分布，給定費米子組成的系統中處於量子態$i$上的平均粒子數可以通過下面的式子計算：

$$\bar{n}_i = \frac{1}{e^{(\epsilon_i-\mu) / k T} + 1}$$

其中$k$是波爾茲曼常數，$T$為絕對溫度（熱力學溫標），$\epsilon_i \ $為量子態$i$上單個粒子的能量，$\mu\ $是化學勢。當$T = 0 K$時，化學勢就是系統的費米能。半導體中電子的費米能，也被被稱為費米能級。

要應用費米–狄拉克統計，系統必須滿足一定的條件：系統的費米子數量必須足夠大，以至於再加入一個費米子所引起化學勢$\mu\ $的變化可以忽略不計。由於費米–狄拉克統計的推導過程中利用了泡利不相容原理，即單個量子態上最多能有一個粒子，這樣的結果就是某個量子態上的平均量子數滿足$0 < \bar{n}_i < 1$。

$\bar{n}_i$

$i$

$0 < \bar{n}_i < 1$

<image>

- 平均粒子數和能量的關係，當溫度$T$較高時，平均粒子數$\bar{n}_i$的變化更加平緩。當$\epsilon = \mu$，$\bar{n}=0.5$。不過，圖中未能展現，當溫度$T$更高時，$\mu$會下降。

<image>

- 平均粒子數和溫度的關係（當$\epsilon > \mu$）

（點擊圖片可以獲得完整尺寸）

### 粒子的能量分布

<image>

前面的章節敘述了給定費米子系統在不同量子態上的分布，一個量子態上最多只能具有一個費米子。利用費米–狄拉克統計，還可以獲得費米子系統不同能量值上的分布情況，這與分析量子態的原理略有不同，因為可能出現多個定態具有同一能量值，即出現所謂的簡併能量態情況。

將費米–狄拉克統計中某個量子態上的平均粒子數$\bar{n}_i \ $與簡併度$g_i \ $（即能量值為$\epsilon_i \ $的量子態數）相乘，就可以得到能量為$\epsilon_i \ $的平均費米子數。

$n(\epsilon) \,$

$n_s \,$

$\bar{n}_i$

$\bar{n}(\epsilon_i)$

$$\begin{alignat}{2} <pre> \bar{n}(\epsilon_i) & = g_i \ \bar{n}_i \\ & = \frac{g_i}{e^{(\epsilon_i-\mu) / k T} + 1} \\ </pre> \end{alignat}$$

當$g_i \ge 2 \ $時，可能出現$\ \bar{n}(\epsilon_i) > 1$。導致這個現象的原因前面提到過，即具有同一個能量值的粒子可能處於不同的定態，也就是說完全可能出現多個粒子處於同一能量值$\epsilon_i \ $。

當一個系統的能量是准連續（quasi-continuum）的，定義其單位體積內單位能量域的量子態數為狀態密度。

$n(\epsilon) \,$

$n_s \,$

$\bar{n}_i$

$\bar{n}(\epsilon_i)$

單位能量域的平均費米子數為

$$\bar { \mathcal{N} }(\epsilon) = g(\epsilon) \ F(\epsilon)$$

這裡$F(\epsilon) \ $被稱為費米函數，它與前面用來表達量子態$\bar{n}_i$上粒子數分布的函數具有相同的形式。

$$F(\epsilon) = \frac{1}{e^{(\epsilon-\mu) / k T} + 1}$$

故

$$\bar { \mathcal{N} }(\epsilon) = \frac{g(\epsilon)}{e^{(\epsilon-\mu) / k T} + 1}$$

## 量子範疇和經典範疇

如果經典範疇中涉及的位移、動量之間的關係還遠未達到不確定性原理所設定的極限，通常可以採用麥克斯韋-玻爾茲曼統計來代替費米–狄拉克統計，這樣做可以簡化數學計算的難度。如果粒子平均間距$\bar{R}$遠大於粒子的平均物質波波長$\bar{\lambda}$，就可以採用上述經典範疇的處理方式。

$$\bar{R} \ \gg \ \bar{\lambda} \ \approx \ \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$$

這裡，$h$為普朗克常數，$m$為粒子的質量。

對於常溫（約300開爾文）下金屬中的電子，由於$\bar{R} \approx \bar{\lambda}/25$，因此該系統遠離經典範疇。這是因為電子質量較小，並且在金屬中聚集程度較高。這樣，為了分析金屬中的傳導電子，必須採用費米–狄拉克統計。

由恆星演變而來的白矮星，是另一個不屬於經典範疇、必須採用費米–狄拉克統計的例子。儘管白矮星的溫度很高（其表面溫度通常能達到10,000開爾文），但是它內部高度聚集的電子和每個電子的低質量，使得處理這問題必須採用費米–狄拉克統計，而不能用經典的波爾茲曼統計近似處理。