迴圈量子重力

迴圈量子重力論（loop quantum gravity，簡稱LQG），又譯環圈量子重力論，英文別名圈引力（loop gravity）、量子幾何學（quantum geometry），是一種試圖將廣義相對論與量子力學結合起來的理論，由阿貝·阿希提卡、李·斯莫林、卡洛·羅威利等學者共同發展，是目前與弦理論齊名的重要量子重力理論之一。

傳統上，當科學家嘗試將重力以量子場論的方式處理時會遇到「無法重整化」的困難，也就是該理論在高能量尺度會出現無限值，無法修正。而LQG的做法則是從廣義相對論本身出發，將其重新表達為一種類似規範場論的形式，並引入不同的變數（阿希提卡-巴貝羅聯絡）來取代原本的度規張量，進而將重力量子化。

在LQG理論框架中，時空是背景獨立的，而且是由名為「迴圈」的結構編織成的自旋網路。也就是說這些「迴圈」不是存在於某個預設的時空中，而是以自身扭結的方式定義出時空幾何。網路中每條邊的長度約為普朗克長度，在這樣極小的尺度下這些結構會產生隨機的量子漲落，因此延伸出所謂的自旋泡沫理論，也就是自旋網路隨時間演化的形式。根據此理論，時空是「離散」非「連續」的。

## 通論與目標

部分學者（特別是弦論學家）認為：在只有一個時間維和三個空間維組成的四維時空中，無法將重力量子化而且不引入新的粒子或場，不過弦論中所預測的這些產物目前也未能與觀測結果互相證實。

LQG則試圖不引入任何額外維度或粒子，而是將重力本身加以量子化。該理論的弱點是無法自然產生標準模型中已有的粒子與場，得要需事後再加進理論，不過LQG創始人之一李·斯莫林曾提出一種可能性：弦論與LQG或許是同一種理論的不同表達方式。

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LQG目前的主要成果包括：

- 成功將非微擾的三維空間幾何量子化，其中面積與體積成為具有量子化的物理量。
- 成功計算黑洞熵（但仍有詮釋上的爭議）。
- 成為弦論外另一個可行的重力量子化候選方案，但目前仍不是一個「萬有理論」。

儘管LQG的數學基礎嚴謹，但其物理詮釋仍在討論中（如黑洞熵）。此外與此理論密切相關的還有自旋泡沫模型，以描述自旋網路隨時間的演化。

## 基本假設

LQG的建構基於以下兩個核心假設：

- 廣義協變性：物理定律在任何坐標系下都應成立，這是廣義相對論的基本假設。
- 背景獨立性：理論中不假設一個固定的空間或時間背景，而是假設時空結構本身是動態的。

此外，LQG也假設量子論的基本原則是正確的。

可以利用以下舉例來理解LQG的基本假設：

- 牛頓力學既非廣義協變、也非背景獨立，因為它假設絕對時間與空間。
- 狹義相對論雖然是協變理論（狹義協變），但其背景為固定的閔考斯基時空，並非背景獨立。
- 廣義相對論是廣義協變且背景獨立的理論，度規張量的值完全由理論決定。

## 基本理論架構

LQG可以從廣義相對論的ADM表示法開始推導。其基本變數為：

- 三維空間度規張量 $q_{ab}$
- 正則座標 $P^{ab}$

這些變數受到下列兩個一級約束條件限制：

- 微分同胚約束：$-2q^{-\frac{1}{2}}\;^3\nabla_a P^a_{\ b} = 0$
- 哈密頓約束：$-^3R + q^{-1}(P^{ab}P_{ab} - \frac{1}{2}P^2) = 0$

### 阿希提卡-巴貝羅聯絡

為了便於處理這些約束條件，可引入三足形式（drei-bein）來重寫度規張量：

$$e^i_a e^j_b \delta_{ij} = q_{ab}$$

並定義與三足相容的聯絡（自旋聯絡）$\Gamma^i_a$，及其曲率$K^i_a$。此時進一步引入實數參數$\gamma$（稱為巴貝羅-伊姆米爾齊參數），就可以定義一個新的聯絡變數：

$$A^i_a = \Gamma^i_a + \gamma K^i_a$$

這就是阿希提卡-巴貝羅聯絡，即LQG中的核心變數。其對應的正則動量為：

$$E^a_i = det(e)e^a_i$$

再經處理後的該系統包含三個一級約束：

- 高斯約束：$D_aE^a_i = 0$
- 微分同胚約束：$F^i_{ab}E^a_i = 0$
- 哈密頓約束：$\frac{1}{\sqrt{|det(E)|}}F^i_{ab}E^a_jE^b_k\epsilon_{ijk} + ... = 0$

其中$D_a$是以$A^i_a$為聯絡定義的協變微商，$F^i_{ab}$為其對應的曲率張量。

由於滿足這些約束，LQG可視為一種類似於規範場論的理論，其基本結構是由「聯絡」與「曲率」構成的幾何。

## 參考文獻

### 論文

- 迴圈量子引力論中的引力子傳遞子(Graviton propagator in loop quantum gravity) -- We compute some components of the graviton propagator in loop quantum gravity, using the spinfoam formalism, up to some second order terms in the expansion parameter.
- 量子引力與標準模型(Quantum Gravity and the Standard Model) -- Shows that a class of background independent models of quantum spacetime have local excitations that can be mapped to the first generation fermions of the standard model of particle physics.

## 外部連結

- "Loop Quantum Gravity" by Carlo Rovelli Physics World, November 2003
- Quantum Foam and Loop Quantum Gravity
- Abhay Ashtekar: Semi-Popular Articles . Some excellent popular articles suitable for beginners about space, time, GR, and LQG.
- Loop Quantum Gravity: Lee Smolin.
- Loop Quantum Gravity on arxiv.org
- A list of LQG references catered to fresh graduates
- Loop Quantum Gravity Lectures Online by Lee Smolin
- Spin networks, spin foams and loop quantum gravity
- Wired magazine, News: Moving Beyond String Theory
- April 2006 Scientific American Special Issue, A Matter of Time, has Lee Smolin LQG Article Atoms of Space and Time
- September 2006, The Economist, article Looping the loop
- Gamma-ray Large Area Space Telescope: http://glast.gsfc.nasa.gov/
- Zeno meets modern science. Article from Acta Physica Polonica B by Z.K. Silagadze.
- Did pre-big bang universe leave its mark on the sky? - According to a model based on "loop quantum gravity" theory, a parent universe that existed before ours may have left an imprint (New Scientist, 10 April 2008)