常微分方程

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在數學分析中，常微分方程（ordinary differential equation，簡稱ODE）是未知函數只含有一個自變量的微分方程，與之相對的是偏微分方程（partial differential equation, 簡稱PDE）——後者可能涉及多個自變量。

很多科學問題都可以表示為常微分方程，例如根據牛頓第二運動定律，物體在力的作用下的位移$s$和時間$t$的關係就可以表示為如下常微分方程：

$$m\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}=f(s)$$

其中$m$是物體的質量，$f(s)$是物體所受的力，是位移的函數。所要求解的未知函數是位移$s$，它只以時間$t$為自變量。

## 定義

在下文中， $y$ 是因變量，代表獨立變量 $x$ 的未知函數 $y=f(x)$。導數的記號因作者不同而異，也取決於具體任務中最便於使用的記號。其中，萊布尼茨記號$$\frac{dy}{dx},\frac{d^2y}{dx^2},\ldots, \frac{d^ny}{dx^n}$$ 在求導和積分時更為便利；而拉格朗日記號$$y',y'',\ldots,y^{(n)}$$ 在緊湊表示高階導數時更有優勢；牛頓記號$$(\dot y, \ddot y, \overset{...}{y})$$ 則常用於物理學中表示相對於時間的低階導數。

### 一般定義

給定一個函數 $F$，它依賴於 $x$、$y$ 以及 $y$ 的導數。那麼形如

$$F\left (x,y,y',\ldots, y^{(n-1)} \right )=y^{(n)}$$

方程稱為 $n$ 階顯式常微分方程。

更一般地，$n$ 階隱式常微分方程的形式為：

$$F\left(x, y, y', y'',\ \ldots,\ y^{(n)}\right) = 0$$

進一步分類如下：

如果微分方程不顯式依賴於變量 x，則稱其為自治（駐定）的。

如果 $F$ 可以寫成 $y$ 的各階導數的線性組合，即方程可以改寫為

$$y^{(n)} = \sum_{i=0}^{n - 1} a_i(x) y^{(i)} + r(x)$$

其中 $a_i(x)$ 和 $r(x)$ 是 $x$ 的連續函數，則稱該微分方程為線性的。

函數 $r(x)$ 稱為源項（source term），從而引出進一步的分類。

如果 $r(x) = 0$，則線性微分方程是齊次的。此時總存在「平凡解」 $y = 0$。

如果 $r(x) \neq 0$，則線性微分方程是非齊次的。

不是線性的微分方程。

### 常微分方程組

多個相互耦合的微分方程構成一個方程組。如果 $\mathbf{y}$ 是一個向量，其分量為函數

$$\mathbf{y}(x) = [y_1(x),y_2(x),\ldots, y_m(x)]$$

且 $\mathbf{F}$ 是 $\mathbf{y}$ 及其導數的向量值函數，則

$$\mathbf{y}^{(n)} = \mathbf{F}\left(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right)$$

稱為 $n$ 階 $m$ 維顯式常微分方程組。用列向量形式表示為：

$$\begin{pmatrix} y_1^{(n)} \\ y_2^{(n)} \\ \vdots \\ y_m^{(n)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_1 \left (x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right ) \\ f_2 \left (x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right ) \\ \vdots \\ f_m \left (x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right) \end{pmatrix}$$

這些方程組不一定是線性的。其隱式對應形式為：

$$\mathbf{F} \left(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)} \right) = \boldsymbol{0}$$

其中 $\boldsymbol{0}=(0,0,\ldots,0)$ 是零向量。用矩陣形式表示為：

$$\begin{pmatrix} f_1(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)}) \\ f_2(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)}) \\ \vdots \\ f_m(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)}) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}$$

對於形如 $\mathbf{F} \left(x,\mathbf{y},\mathbf{y}'\right) = \boldsymbol{0}$ 的方程組，某些文獻還要求雅可比矩陣 $\frac{\partial\mathbf{F}(x,\mathbf{u},\mathbf{v})}{\partial \mathbf{v}}$ 非奇異，才將其稱為隱式常微分方程組；滿足這一雅可比非奇異條件的隱式方程組可以轉化為顯式方程組。在同一文獻中，雅可比矩陣奇異的隱式方程組被稱為微分代數方程（DAE）。這一區分不僅僅是術語上的差異；微分代數方程具有本質上不同的特性，通常比（非奇異的）常微分方程組更難求解。

據推測，對於更高階導數的情形，按照這一方案也假設黑塞矩陣等相應矩陣非奇異，不過需要注意，任何高於一階的常微分方程都可以（且通常會）改寫為一階常微分方程組，這使得雅可比奇異性判別準則足以全面覆蓋所有階數的分類。

常微分方程組的性態可以通過相圖來進行可視化。

### 常微分方程的解

給定微分方程

$$F\left(x, y, y', \ldots, y^{(n)} \right) = 0$$

一個函數 $u:I\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，其中 $I$ 是區間，如果 $u$ 在 $I$ 上 $n$ 次可微，且

$$F(x,u,u',\ \ldots,\ u^{(n)})=0 \quad x \in I.$$

則稱 $u$ 為該方程的解或積分曲線。

給定兩個解 $u:J\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 和 $v:I\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，如果 $I\subset J$ 且

$$u(x) = v(x) \quad x \in I.\,$$

則稱 $u$ 是 $v$ 的延拓。

沒有延拓的解稱為極大解（maximal solution）。在整個 $\mathbb{R}$ 上定義的解稱為全局解（global solution）。

$n$ 階方程的通解是指含有 $n$ 個任意獨立積分常數的解。特解是指通過給通解中的常數賦以特定值而得到的，通常選擇這些值以滿足給定的初值條件或邊值條件。奇異解是指不能通過給通解中的任意常數賦以特定值而得到的解。

#### 解的存在唯一性

不止一個定理可在局部和整體意義下證實常微分方程初值問題解的存在唯一性，其中兩個主要定理為皮亞諾存在性定理與柯西-利普希茨定理。這兩個定理的基本形式均只保證局部結果，但後者可推廣至整體結果，如滿足格朗沃爾不等式的條件時。

此外，上述利普希茨型唯一性定理不適用於微分代數方程組，因其（非線性）代數部分本身可能導致多個解。

##### 局部存在唯一性

該定理可簡述如下：

對於方程及初值問題

$$y' = F(x,y)\,,\quad y_0 = y(x_0)$$

若 $F$ 及 $\partial F/\partial y$ 在 $x - y$ 平面上的閉矩形

$$R = [x_0-a,x_0+a] \times [y_0-b,y_0+b]$$

內連續（$a,b\in\mathbb{R}$ 且符號 $\times$ 表示笛卡爾積，方括號表示閉區間），則存在某個$h\in \mathbb{R}$，使得區間

$$I = [x_0-h,x_0+h] \subset [x_0-a,x_0+a]$$

上的上述方程及初值問題存在解，且該解唯一。由於未要求 $F$ 為線性函數，故此結論適用於形如 $F(x,y)$的非線性方程，亦可應用於方程組。

##### 解的全局唯一性和最大定義域

滿足柯西-利普希茨定理的假設條件時，局部存在唯一性可以擴展至全局。更確切地說：

對於每個初值條件 $(x_0,y_0)$，存在唯一的最大（可能無限）開區間

$$I_{\max} = (x_-,x_+), x_\pm \in \R \cup \{\pm \infty\}, x_0 \in I_{\max}$$

使得任何滿足該初值條件的解，都是定義在 $I_{\max}$ 上且滿足該初值條件的解的限制。

在 $x_{\pm} \neq \pm \infty$ 的情形下，只有以下兩種可能：

- 有限時間爆炸：$\limsup_{x \to x_{\pm}} \|y(x)\| \to \infty$
- 離開定義域：$\lim_{x \to x_{\pm}} y(x) \in \partial \bar{\Omega}$

其中 $\Omega$ 是 $F$ 定義的開集，$\partial \bar{\Omega}$ 是其閉包的邊界。

需要注意的是：

- 解的最大定義域總是開區間（以保證唯一性）。
- 解的最大定義域可能嚴格小於 $\mathbb{R}$。
- 解的最大定義域可能依賴於具體的初值條件 $(x_0, y_0)$。

#### 一些精確封閉形式的解

一些微分方程有精確封閉形式的解，這裡給出幾個重要的類型。

在下表中，$P(x), Q(x); P(y), Q(y)$和$M(x,y), N(x,y)$是任意關於$x,y$的可積函數，$b,c$是給定的實常數，$C,C_1 , C_2 \ldots$是任意常數（一般為複數）。這些微分方程的等價或替代形式通過積分可以得到解。

在積分解中，$\lambda$和$\epsilon$是積分變量（求和下標的連續形式），記號$\int^x F(\lambda )\mathrm{d}\lambda$只表示$F(\lambda )$對$\lambda$積分，在積分以後$\lambda{} = x$替換，無需加常數（明確說明）。

微分方程｜解法｜通解

可分離微分方程

一階，變量$x$和$y$均可分離（一般情況,下面有特殊情況） $P_1(x)Q_1(y) + P_2(x)Q_2(y)\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0 \,\!$ $P_1(x)Q_1(y)\,\mathrm{d}x + P_2(x)Q_2(y)\,\mathrm{d}y = 0 \,\!$｜分離變量（除以$P_2 Q_1$）。｜$\int^x \frac{P_1(\lambda)}{P_2(\lambda)}\,\mathrm{d}\lambda + \int^y \frac{Q_2(\lambda)}{Q_1(\lambda)}\,\mathrm{d}\lambda = C \,\!$

一階，變量$x$可分離 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = F(x)\,\!$ $\mathrm{d}y= F(x) \, \mathrm{d}x\,\!$｜直接積分。｜$y= \int^x F(\lambda) \, \mathrm{d}\lambda + C \,\!$

一階自治，變量$y$可分離 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = F(y)\,\!$ $\mathrm{d}y= F(y) \, \mathrm{d}x\,\!$｜分離變量（除以$F$）。｜$x=\int^y \frac{\mathrm{d}\lambda}{F(\lambda)}+C\,\!$

一階，變量$x$和$y$均可分離 $P(y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + Q(x)= 0\,\!$ $P(y)\,\mathrm{d}y + Q(x)\,\mathrm{d}x =0\,\!$｜整個積分。｜$\int^y P(\lambda)\,{\mathrm{d}\lambda} + \int^x Q(\lambda)\,\mathrm{d}\lambda = C\,\!$

一般一階微分方程

一階，齊次 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = F \left( \frac{y}{x} \right ) \,\!$｜令$y = ux$，然後通過分離變量$u$和$x$求解。｜$\ln (Cx) = \int^{\frac{y}{x}} \frac{\mathrm{d}\lambda}{F(\lambda) - \lambda} \, \!$

一階，可分離變量 $yM(xy) + xN(xy)\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0 \,\!$ $yM(xy)\,\mathrm{d}x + xN(xy)\,\mathrm{d}y = 0 \,\!$｜分離變量（除以$xy$）。｜$\ln (Cx) = \int^{xy} \frac{N(\lambda)\,\mathrm{d}\lambda}{\lambda [N(\lambda)-M(\lambda)] } \,\!$ 如果$N = M$,解為$xy = C$。

正合微分，一階 $M(x,y) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + N(x,y) = 0 \,\!$ $M(x,y)\,\mathrm{d}y + N(x,y)\,\mathrm{d}x = 0 \,\!$ 其中$\frac{\partial M}{\partial x} = \frac{\partial N}{\partial y} \, \!$｜全部積分｜$\begin{align} F(x,y) & = \int^y M(x,\lambda)\,\mathrm{d}\lambda + \int^x N(\lambda,y)\,\mathrm{d}\lambda \\ & + Y(y) + X(x) = C \end{align} \,\!$ 其中$Y(y)$和$X(x)$是積分出來的函數而不是常數，將它們列在這裡以使最終函數$F(x, y)$滿足初始條件。

非正合微分,一階 $M(x,y) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + N(x,y) = 0 \,\!$ $M(x,y)\,\mathrm{d}y + N(x,y)\,\mathrm{d}x = 0 \,\!$ 其中$\frac{\partial M}{\partial x} \neq \frac{\partial N}{\partial y} \, \!$｜積分因子$\mu (x, y)$滿足 $\frac{\partial (\mu M)}{\partial x} = \frac{\partial (\mu N)}{\partial y} \, \!$｜如果可以得到$\mu (x, y)$： $\begin{align} F(x,y) & = \int^y \mu(x,\lambda)M(x,\lambda)\,\mathrm{d}\lambda + \int^x \mu(\lambda,y)N(\lambda,y)\,\mathrm{d}\lambda \\ & + Y(y) + X(x) = C \\ \end{align} \, \!$

一般二階微分方程

二階，自治 $\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = F(y) \,\!$｜原方程乘以$\frac{2\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$，代換$2 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}^2y}{dx^2} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2 \,\!$，然後兩次積分。｜$x = \pm \int^y \frac{ \mathrm{d} \lambda}{\sqrt{2 \int^\lambda F(\epsilon) \, \mathrm{d} \epsilon + C_1}} + C_2 \, \!$

線性微分方程（最高到$n$階）

一階線性，非齊次的函數係數 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y=Q(x)\,\!$｜積分因子：$e^{\int^x P(\lambda)\,d\lambda}$。｜$y = e^{- \int^x P(\lambda) \, \mathrm{d}\lambda}\left[\int^x e^{\int^\lambda P(\epsilon) \, \mathrm{d}\epsilon}Q(\lambda) \, {\mathrm{d}\lambda} +C \right]$

二階線性，非齊次的常係數 $\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + b\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + cy = r(x)\,\!$｜余函數$y_c$：設$y_c = \mathrm{e}^{\alpha x}$，代換並解出$\alpha$中的多項式，求出線性無關函數$e^{\alpha_j x}$。特解$y_p$：一般運用常數變易法，雖然對於非常容易的$r(x)$可以直觀判斷。｜$y=y_c+y_p$ 如果$b^2 > 4c$,則： $y_c=C_1e^{ \left ( -b+\sqrt{b^2 - 4c} \right )\frac{x}{2}} + C_2e^{-\left ( b+\sqrt{b^2 - 4c} \right )\frac{x}{2}}\,\!$ 如果$b^2 = 4c$，則： $y_c = (C_1x + C_2)e^{-\frac{bx}{2}}\,\!$ 如果$b^2 < 4c$,則： $y_c = e^{ -\frac{bx}{2}} \left [ C_1 \sin{\left ( \sqrt{\left | b^2-4c \right |}\frac{x}{2} \right )} + C_2\cos{\left ( \sqrt{\left | b^2-4c \right |}\frac{x}{2} \right )} \right ] \,\!$

$n$階線性，非齊次常係數 $\sum_{j=0}^n b_j \frac{\mathrm{d}^j y}{\mathrm{d}x^j} = r(x)\,\!$｜余函數$y_c$：設$y_c = \mathrm{e}^{\alpha x}$，代換並解出$\alpha$中的多項式，求出線性無關函數$e^{\alpha_j x}$。特解$y_p$：一般運用常數變易法，雖然對於非常容易的$r(x)$可以直觀判斷。｜$y=y_c+y_p$ 由於$\alpha _j$為$n$階多項式的解： $\prod_{j=1}^n \left ( \alpha - \alpha_j \right ) = 0 \,\!$，於是：對於各不相同的$\alpha _j$， $y_c = \sum_{j=1}^n C_j e^{\alpha_j x} \,\!$ 每個根$\alpha _j$重複$k_j$次， $y_c = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{\ell=1}^{k_j} C_\ell x^{\ell-1}\right )e^{\alpha_j x} \,\!$ 對於一些複數值的αj，令α = χj + iγj，使用歐拉公式，前面結果中的一些項就可以寫成 :$C_je^{\alpha_j x} = C_j e^{\chi_j x}\cos(\gamma_j x + \phi_j)\,\!$ 的形式，其中ϕj為任意常量（相移）。

#### 有限持續時間（Finite Duration）的解

對於非線性自治常微分方程，在某些條件下可以構造有限持續時間的解（Solutions of Finite Duration），這裡指的是系統在自身動力學的驅動下，在某個有限的終止時刻到達零值，並在之後永遠停留在零。

這些有限持續時間的解不可能是整個實直線上的解析函數，而且由於它們在終止時刻處是非利普希茨函數，因此不被利普希茨型微分方程解的唯一性定理所涵蓋。

舉個例子，方程

$$y'= -\text{sgn}(y)\sqrt{|y|},\,\,y(0)=1$$

具有有限持續時間的解

$$y(x)=\frac{1}{4}\left(1-\frac{x}{2}+\left|1-\frac{x}{2}\right|\right)^2$$

該解在 $x > 2$ 時取值為零，並在 $x = 2$ 處平滑連接（右導數為零），但右端函數在 $y=0$ 處不滿足利普希茨條件，從而允許這種「有限時間熄滅」並停留的行為。

## 相關理論

### 奇異解

常微分方程和偏微分方程的奇異解理論從萊布尼茨時代起就是研究對象，但直到十九世紀中葉才受到特別關注。關於這一主題的一部有價值卻鮮為人知的著作是烏坦（Houtain，1854）的成果。從1873年起，達布成為該理論的領軍人物，他在奇異解的幾何解釋方面開闢了一個新領域，隨後卡索拉蒂和凱萊等人對此進行了深入研究。凱萊在1872年建立了至今仍被接受的一階微分方程奇異解理論。

### 化歸為求積

早期處理微分方程的原始嘗試旨在將其化歸為求積，即用已知函數及其積分來表達解。對於常係數線性方程這是可行的，但在十九世紀人們發現，其他情況下通常不可能做到。因此，分析學家們開始專門研究作為微分方程解的函數本身，從而開闢了一個嶄新而豐富的領域。柯西是最早認識到這一觀點重要性的人。此後，真正的問題不再是解是否能通過求積表示，而是給定的微分方程是否足以定義一個函數，如果是，那麼這類函數具有怎樣的特徵性質。

### 富克斯理論

富克斯（Fuchs）的兩篇論文啟發了一種新方法，隨後由托梅（Thomé）和弗羅貝尼烏斯進一步發展。科萊（Collet）從1869年起是這一領域的突出貢獻者。他在1868年向伯特蘭（Bertrand）介紹了求解非線性方程組的一種方法。克萊布希（1873）沿著與其阿貝爾積分理論平行的思路研究了這一問題。正如阿貝爾積分可以根據在有理變換下保持不變的基本曲線的性質進行分類，克萊布施提出，應根據微分方程所定義的超越函數在對應的曲面 $f=0$ 經過一一有理變換後的不變量性質來進行分類。

### 李的理論

從1870年起，索菲斯·李的工作使微分方程理論建立在更堅實的基礎上。他證明，早期數學家們的各種積分理論可通過李群統一到同一個源頭，並且具有相同無窮小變換的常微分方程具有可比的積分難度。他還特別強調了接觸變換的主題。

李的微分方程群論已證實具有兩大優點：第一，它統一了已知的各種特殊求解方法；第二，它提供了尋找解的強大新工具。這一理論既適用於常微分方程，也適用於偏微分方程。

一種通用的求解方法利用微分方程的對稱性質，即解到解的連續無窮小變換（李理論）。連續群論、李代數和微分幾何被用來理解線性與非線性（偏）微分方程的結構，以生成可積方程、尋找其Lax對、遞推算子、Bäcklund變換，並最終得到微分方程的精確解析解。

對稱方法已被廣泛應用於數學、物理、工程及其他學科中出現的微分方程。

### 施圖姆-劉維爾理論

施圖姆-劉維爾理論是關於一類特殊的二階線性常微分方程的理論。其解基於通過二階齊次線性方程定義的線性算子的特徵值和相應的特徵函數。這類問題被稱為斯圖姆-劉維爾問題（SLP），以十九世紀中葉研究它們的雅克·夏爾·弗朗索瓦·施圖姆和約瑟夫·劉維爾命名。SLP具有無窮多個特徵值，對應的特徵函數構成一個完備的正交集，從而使得正交展開成為可能。這是應用數學、物理和工程中的一個關鍵思想。

此外，斯圖姆-劉維爾問題在分析某些偏微分方程時也非常有用。

## 降階法

若微分方程的階數可以降低，則通常更易於求解。

### 化為一階方程組

任意 $n$ 階顯式微分方程

$$F\left(x, y, y', y'',\ \ldots,\ y^{(n-1)}\right) = y^{(n)}$$

均可通過定義一組新的未知函數

$$y_i = y^{(i-1)}.\!$$

其中 $i=1,2,\ldots,n$.

於是得到如下 $n$ 維一階耦合微分方程組：

$$\begin{array}{rcl} <pre> y_1'&=&y_2\\ y_2'&=&y_3\\ &\vdots&\\ y_{n-1}'&=&y_n\\ y_n'&=&F(x,y_1,\ldots,y_n). </pre> \end{array}$$

用更緊湊的向量記號表示為：

$$\mathbf{y}'=\mathbf{F}(x,\mathbf{y})$$

其中

$$\mathbf{y}=(y_1,\ldots,y_n),\quad \mathbf{F}(x,y_1,\ldots,y_n)=(y_2,\ldots,y_n,F(x,y_1,\ldots,y_n)).$$