黃金分割率

黃金比例（golden ratio），又稱黃金比、黃金分割比、黃金分割率，是數學常數，一般以希臘字母$\varphi$（phi）表示。可以以下代數式定義：

$$\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}\,\stackrel{\text{def}}{=}\,\varphi \quad(a>b>0)$$

這也是黃金比一名的由來。黃金比是無理數，準確值為$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，約值（小數點後20位，A001622）：

$\varphi$＝1.61803398874989484820…

應用時一般取1.618，就像圓周率在應用時取3.14159一樣。

黃金比有嚴格的藝術感、和諧感，蘊藏豐富的美學價值，而且呈現於不少動物和植物的外觀。現今普遍很多工業產品、電子產品、建築物或藝術品均應用了黃金比，使其更美觀。

## 歷史

黃金比例是屬於數學領域的專有名詞，但最後涵蓋的內容不只是有關數學領域的研究，根據目前的文獻探討，我們可以說，黃金比的發現和如何演進至今仍是個謎。但有研究指出公元前六世紀古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，因此現代數學家推斷當時畢達哥拉斯學派已經觸及甚至掌握了黃金比的一些規則，也發現無理數，但由於其數字崇拜的宗教信仰拒絶承認其存在。它側重於從數學關係去探討美的規律，並認為美就是和諧與比例，按照這種比例關係就可以組成美的圖案，這其實是一個數字的比例關係，即將一條線分成兩部份，長段與短段之比等於全長與長段之比，它們的比例大約是1.618比1，知名的費氏數列也體現了這數學原則，按此種比例關係組成的任何事物都表現出其內部關係的和諧與均衡。

公元前四世紀，古希臘數學家歐多克索斯第一個系統研究了這一問題，並建立起比例理論。公元前300年前後歐幾里得撰寫《幾何原本》時吸收了歐多克索斯的研究成果，進一步系統論述了黃金比，成為最早的有關黃金比的論著（即中末比）。

中世紀後，黃金比被披上神秘的外衣，義大利數學家盧卡·帕喬利稱中末比為神聖比例，並專門為此著書立說。德國天文學家約翰內斯·克卜勒稱神聖比例為黃金比。到19世紀黃金比一名才逐漸通行，而證據在於德國數學家馬丁·歐姆所寫的《基本純數學》第2版注釋中有關黃金比的解釋：「人們習慣把按此方式將任一直線分割成兩部份的方法，稱為黃金比」。而在1875年出版的《大英百科全書》第9版中，蘇利有提到：「由費區那……提出的有趣、實驗性濃厚的想法宣稱，『黃金比』在視覺比例上有所謂的優越性。」可見黃金比在當時已甚為流行。20世紀時美國數學家馬克·巴爾給它個名叫phi。黃金比有許多有趣的性質，人類對它的實際應用也很廣泛，造就了它今天的名氣。最著名的例子是優選學的黃金比法或0.618法，是由美國數學家傑克·基弗於1953年首先提出，70年代在中國推廣。

## 基本計算

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兩個數值$a$和$b$構成黃金比例$\varphi$，如果：$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi$

一個得出$\varphi$數值的方法是從左邊的分數式入手。經過簡化和代入。

$$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{a} + \frac{b}{a} = 1 + \frac{b}{a} = 1 + \frac{1}{\varphi}$$

於是：

$$1 + \frac{1}{\varphi} = \varphi$$

兩邊乘以$\varphi$就得到：

$$\varphi + 1 = \varphi^2$$

即是${\varphi}^2 - \varphi - 1 = 0$

找出該方程的正解。

$$\varphi = \frac{ 1 + \sqrt{5}}{2} = 1.6180339887\ldots$$

黃金比奇妙之處在於其倒數為自身減1，即0.618…＝1.618…－1，並時常稱為「黃金比例共軛」。

從上面的$1 + \frac{1}{\varphi} = \varphi$得到：

$$\frac{1}{\varphi} = \varphi - 1$$

0.618…的數值常用希臘字母$\Phi$表示，即：

$\Phi = {1 \over \varphi}={1 \over 1.6180339887\ldots}$＝0.6180339887…，亦可表達為：

$\Phi$＝$\varphi$－1＝1.6180339887…－1＝0.6180339887…

### 替代或其他形式

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公式$\varphi =1+\frac{1}{\varphi}$可以遞歸擴展來獲得黃金比的連分數：

$$\varphi = [1; 1, 1, 1, \dots] = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}$$

而它的倒數是：

$$\varphi^{-1} = [0; 1, 1, 1, \dots] = 0 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}$$

平方根表示：

$$\varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...}}}}$$

以三角函數的特殊值表示：

$$\varphi=\frac{13}{8}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{(n+1)}(2n+1)!}{(n+2)!n!4^{(2n+3)}}.$$

即是：

$$\varphi = 1+2\sin(\frac{\pi}{10}) = 1 + 2\sin 18^\circ$$

$$\varphi = {1 \over 2}\csc(\frac{\pi}{10}) = {1 \over 2}\csc 18^\circ$$

$$\varphi = 2\cos(\frac{\pi}{5})=2\cos 36^\circ$$

$$\varphi = 2\sin(\frac{3\pi}{10})=2\sin 54^\circ.$$

## 與其他數學事項的關係

黃金比的乘冪與費氏數列的關係：$\varphi^n=F_{n-1}+\varphi F_n$且$(1-\varphi)^n=F_{n+1}-\varphi F_n$，其中n為任何整數，$F_n$是費氏數列的第n項這可以透過$\varphi^2=1+\varphi$與$\frac{1}{\varphi}=\varphi-1$與$\frac{1}{1-\varphi}=-\varphi$此三個等式，以及費氏數列的遞歸定義，以數學歸納法證明。

與正切函數的關係：$\tan 2x=-2$，若且唯若$\tan x=\varphi$或$-\frac{1}{\varphi}$。

## 黃金比數高精度計算程式碼

### C++

```C++
#include <iostream>
#include <stdio.h>

using namespace std;

int main() {
  long b, c, d = 0, e = 0, f = 100, i = 0, j, N;
  cout << "請輸入黃金分割數位數\n";
  cin >> N;
  N = N * 3 / 2 + 6;
  long* a = new long[N + 1];
  while (i <= N) a[i++] = 1;
  for (; --i > 0;
       i == N - 6 ? printf("\r0.61") : printf("%02ld", e += (d += b / f) / f),
       e = d % f, d = b % f, i -= 2)
    for (j = i, b = 0; j; b = b / c * (j-- * 2 - 1))
      a[j] = (b += a[j] * f) % (c = j * 10);
  delete[] a;
  cin.ignore();
  cin.ignore();
  return 0;
}
```

## 例子

- 黃金分割點
- 古典主義建築
- 新古典主義建築

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- 黃金矩形

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- 鸚鵡螺的內部結構

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- 帕德嫩神廟

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- 最後的晚餐

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- 聯合國總部大樓

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- 向日葵

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- 蝴蝶花紋

## 貴金屬分割

貴金屬分割即$\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}$，其中$n$為正整數。$n=1$時為黃金比（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$），$n=2$時為白銀比（$1+\sqrt{2}$），$n=3$時為青銅比（$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$）。用連分數可表示為$n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{\ddots}}}} = [n; n, n, n, n, \dots]$

## 基本資料

- 作戰範圍：數表—無理數$\color{blue}\sqrt{2}$ - $\color{blue}\varphi$ - $\color{blue}\sqrt{3}$ - $\color{blue}\sqrt{5}$ - $\color{blue}\delta_S$ - $\color{blue}e$ - $\color{blue}\pi$
- 日語原文：黃金比
- nav：no
- 面值：$\varphi=$1.61803...
- 以此為根的多項式或函數：$x^{2}-x-1=0$
- 無理數：$\varphi$
- 別名：黃金比例、黃金分割比、黃金分割率
- OEIS編號：A001622
- 連分數：$1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}}$
- 代數形式：$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$