圓

圓周$c$ 直徑$d$ 半徑$r$ 原點$o$

$$\pi r^2$$

$2\pi r$, $\pi d$

圓 （circler，rounder，circle，round）的第一個定義是：根據歐幾里得的《幾何原本》，在同一平面內到定點 $o$ 的距離等於定長 $r$ 的點的集合。此定點 $o$ 稱為圓心（center of a circle），此定長 $r$ 稱為半徑（radius）。

圓的第二個定義是：平面內一動點到兩定點的距離的比，等於一個不為1的常數，則此動點的軌跡是圓；此圓屬於一種阿波羅尼奧斯圓（circles of Apollonius）。

## 歷史

古代人最早是從太陽、陰曆十五的月亮得到圓的概念的。在一萬八千年前的山頂洞人曾經在獸牙、礫石和石珠上鑽孔，那些孔有的就很像圓。到了陶器時代，許多陶器都是圓的。圓的陶器是將泥土放在一個轉盤上製成的。當人們開始紡線，又制出了圓形的石紡錘或陶紡錘。古代人還發現搬運圓的木頭時滾著走比較省勁。後來他們在搬運重物的時候，就把幾段圓木墊在大樹、大石頭下面滾著走。

約在6000年前，美索不達米亞人，做出了世界上第一個輪子——圓型的木盤。大約在4000多年前，人們將圓的木盤固定在木架下，這就成了最初的車子。

古代埃及人認為：圓，是神賜給人的神聖圖形。一直到兩千多年前中國的墨子給圓下了一個定義：圓，一中同長也。意思是說：圓有一個圓心，圓心到圓周上各點的距離（即半徑）都相等。

## 性質

### 解析幾何

- 直角坐標系中的定義：$(x-x_m)^2 + (y-y_m)^2 = r^2$，其中r是半徑，$(x_m,y_m)$是圓心坐標。
- 參數方程的定義：$x = x_m + a \cos \theta$，$y = y_m + a \sin \theta$。
- 極坐標方程的定義（圓心在原點）：$r = a$。

### 圓心

圓是在同一平面內到定點的距離等於定長的點的集合，這個定點叫做圓的圓心（通常用$o$表示）。

### 弦

圓周上任何兩點相連的線段稱為圓的弦（chord）。如圖2，$A$、$B$分別為圓上任意兩點，那麼$\overline{AB}$就是圓的弦。

### 弧

圓周上任意兩點間的部分叫做弧（arc），通常用符號$\frown$表示。弧分為半圓、優弧、劣弧三種。

### 直徑、半徑

- 直徑（diameter）：經過圓心的弦稱作直徑（用$d$表示）。
- 半徑（radius）：在圓中，連接圓心和圓上任意一點的線段叫做圓的半徑，半徑用字母$r$表示。

$$k = \{X\in E\mid{}\overline{MX} <= r\}$$

### 切線

假如一條直線與圓相交僅有一個交點，那麼稱這條直線是這個圓的切線，與圓相交的點叫做切點。如下圖，直線$\overline{QP}$與圓只有一個交點$P$，那麼$\overline{QP}$就是圓的切線。過圓上一點的切線：設該點為$P(x_o,y_o)$，圓的方程為$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，則圓在該點的切線方程為：$(x_o-a)(x-a)+(y_o-b)(y-b)=r^2$

- 性質定理：圓的切線垂直於經過切點的半徑。
- 推論1：經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點。
- 推論2：經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心。

### 割線

一條直線與一條弧線有兩個公共點，這條直線是這條曲線的割線（Secant Theorem）。如圖，直線$\overline{QO}$與圓有兩個公共點，那麼直線$\overline{QO}$就是圓的割線。

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### 周長

圓的一周的長度稱為圓的周長（記作$c$）。圓的周長與半徑的關係是：

$c= \pi d$ 或 $c= 2 \pi r$。

其中$\pi$是圓周率。

### 面積

圓的面積與半徑的關係是：$A= \pi r^2$。

### 對稱性

圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，圓的對稱軸為經過圓心$o$的任意直線，圓的對稱中心為圓心$o$。

## 圓心角、圓周角

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- 圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角，圓心角的度數等於它所對的弧的度數，公式表示為$\theta = \frac{L}{2\pi r}\cdot 2\pi=\frac{L}{r}$。L為扇形弧長，變形公式$L=r\cdot \theta$如右圖，$M$為圓的圓心，那麼$\angle AMB$為圓心角。
- 圓周角：頂點在圓周上，角兩邊和圓相交的角叫圓周角。如右圖，$\angle ACB$的頂點$C$在圓周上，$\angle ACB$的兩邊$\overline{AC}$、$\overline{BC}$分別交在圓周上，那麼$\angle ACB$就是圓周角。

### 圓心角定理

同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等，此定理也稱「一推三定理」。

### 圓周角定理

圓周角定理：同弧所對的圓周角等於它所對的圓心的角的一半。

如上圖，$M$為圓心，$A,B,C$分別為圓周上的點，那麼：$\angle AMB=2\; \angle ACB$

證明：$\because BM=CM,AM=CM$

$$\because \angle BCM=\angle CBM,\angle ACM=\angle CAM$$

$$\therefore \angle BMS=\angle BCM+\angle CBM$$

$$\because \angle AMS=\angle ACM+\angle CAM$$

$$\therefore \angle BMS+\angle AMS=2(\angle BCM+\angle ACM)$$

即：$\angle AMB=2\; \angle ACB$

圓周角定理的推論：

- 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧。
- 半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧的半圓，所對的弦是直徑。
- 若三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形。

## 垂徑定理

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垂徑定理是一種常用的幾何學的定理。

定理定義：垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧。

### 知二推三

一條直線，在下列5條中只要具備其中任意兩條作為條件，就可以推出其他三條結論。稱為「知二推三」。

- 平分弦所對的優弧
- 平分弦所對的劣弧（前兩條合起來就是平分弦所對的兩條弧）
- 平分弦（不是直徑）
- 垂直於弦
- 經過圓心

### 推論

另有垂徑定理的三條推論如下：

- $BE$過圓心$O$，$AD=DC$，則$BE$垂直$AC$並平分$AC$、$AEC$兩條弧。即「平分非直徑的弦的直徑垂直於弦並平分弦所對的兩弧。」
- $AD=DC$且$BE$垂直$AC$，則$BE$過圓心$O$且平分$AC$、$AEC$兩條弧。即「弦的垂直平分線過圓心且平分弦所對的兩弧。」
- $BE$是直徑，$\overset{\frown} {AB}$（$\overset{\frown} {AE}$）＝$\overset{\frown} {BC}$（$\overset{\frown} {CE}$），則BE過圓心O，$\overset{\frown} {AE}$（$\overset{\frown} {AB}$）＝$\overset{\frown} {CE}$（$\overset{\frown} {BC}$）。即「平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦且平分弦所對的另一條弧。」

## 兩圓位置關係

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兩個不同大小的圓（半徑分別為$r$及$R$，圓心距為$d$，其中$r < R$）之間的關係如下：

- $d = 0$：兩圓不相交（內含），互為同心圓。
- $0 < d < R - r$：兩圓不相交（內含，亦稱「內離」）。
- $d = R - r$：兩圓相交於一點（內切），有1條共同切線。
- $d = R + r$：兩圓相交於一點（外切），有3條共同切線。
- $R - r < d < R + r$：兩圓相交於兩點，有2條共同切線。
- $d > R + r$：兩圓不相交（外離），有4條共同切線。

### 圓系方程

在解析幾何中，符合特定條件的某些圓構成一個圓系，一個圓系所具有的共同形式的方程稱為圓系方程。例如求半逕到直線距離的方程就可以叫圓系方程。

在方程$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$中，若圓心$(a,b)$為定點，$r$為參變數，則它表示同心圓的圓系方程。若$r$是常量，$a$（或$b$）為參變數，則它表示半徑相同，圓心在同一直線上（平行於$x$軸或$y$軸）的圓系方程。

- 過兩圓$x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1=0$與$x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2=0$交點的圓系方程為：
- $$x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1+\lambda(x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2)=0\quad (\lambda\ne -1).$$
- 過直線$Ax+By+C=0$與圓$x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1=0$交點的圓系方程為：
- $$x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1+\lambda (Ax+By+C)=0.$$
- 過兩圓$x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1=0$與$x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2=0$交點的直線方程為：
- $$x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1-(x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2)=0.$$

## 其他定義

- 橢圓是平面上到兩個固定點的距離之和為常數的點之軌跡，橢圓的形狀可以用離心率來表示；圓可以看作是一種特殊的橢圓，即當橢圓的兩個焦點重合，離心率$\varepsilon =0$的情況。
- 在三維空間，球面被設定為是在$r^3$空間中與一個定點距離為$r$的所有點的集合，此處$r$是一個正的實數，稱為半徑，固定的點稱為球心或中心，並且不屬於球面的範圍。$r=1$是球的特例，稱為單位球。
- 在測度空間中，圓的定義仍舊指距離一定點等距（在該測度下）的點的集合。

## 其它

### 相關的立體圖形

截面為圓的三維形狀有：

- 球體
- 扁球體
- 圓錐體
- 圓柱體
- 圓台

### 圓和其他平面形狀

- 外接圓
- 內切圓
- 旁切圓
- 當多邊形的每條邊固定，以有外接圓的圖形面積最大。

### 圓的問題

- 化圓為方是指用尺規作圖的方法畫出一個和已知圓面積相同的正方形。已經證明這是不可能的。
- 塔斯基分割圓問題要求用分割的方法來使已知圓變成正方形。
- 高斯圓問題。

## 擴展閱讀

- "Circle" in The MacTutor History of Mathematics archive

## 外部連結

- Circle (PlanetMath.org website)
- Interactive Java applets for the properties of and elementary constructions involving circles.
- Interactive Standard Form Equation of Circle Click and drag points to see standard form equation in action
- Munching on Circles at cut-the-knot

## 基本資料

- 施萊夫利符號：圓
- 對稱群：o(2)
- 面積：$\pi r^2$
- 周長：$2\pi r$, $\pi d$
- 類型：圓錐曲線