對數

在數學中，對數（logarithm）是冪運算的逆運算。

## 定義

當$x=\beta^y$時，則有

$$y=\log_\beta x\!$$

其中$\beta$是對數的底（也稱為基數），而 $y$就是$x$（對於底數$\beta$）的對數，$x$也稱為真數。

底數$\beta$的值在實數範圍內常取$e$、 10、2等，但一定不能是1或0

當$x$和$\beta$進一步限制為正實數的時候，對數是唯一的實數。

例如，因為

$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3=81$。

我們可以得出

$4=\log_3 81\!$。

用日常語言說，即「81以3為底的對數是4」。這個意思就是說，81是3的4次方。

## 歷史

### 對數

15世紀時，法國數學家尼古拉·許凱和德國數學家米夏埃爾·施蒂費爾在開展研究工作時產生了發展對數的思想，他們，尤其是後者，對等差數列和等比數列的關係作了一些研究。但他們並沒有使其得到更進一步的發展。

一般認為對數於16世紀末至17世紀初期間由蘇格蘭數學家約翰·納皮爾男爵和瑞士工程師約斯特·比爾吉發明。比爾吉曾擔任過著名天文學家克卜勒的助手，因此會經常接觸到複雜的天文計算，他也因此產生了化簡數值計算的想法。納皮爾是一位蘇格蘭貴族，對數值的計算有很深的研究。為了找到簡化球面三角計算的方法，他也產生了發展對數的想法。1614年，他在自己的書籍《奇妙的對數表的描述》上發布了自己的對數表，相較比爾吉早了6年。納皮爾發明的納皮爾算籌用加減法代替了乘除法，成功簡化了乘除法的運算，他的對數被後人稱為納皮爾對數，記法為Nap·logx。

1624年，英國數學家亨利·布里格斯書籍《對數算術》成功出版，書中寫有14位常用對數表。布里格斯率先採用了以10為底的常用對數，而現在它已通用。他還製作了正弦和正切的對數表。荷蘭數學家兼出版商在布里格斯的基礎上加以改進，他出版的數個對數表在歐洲迅速普及起來。

17世紀中葉（清朝初年），中國數學家薛鳳祚和波蘭傳教士穆尼閣合作完成了中國最早的對數著作《比例對數表》（又名《歷學會通》），對數自此傳入中國。此書稱真數為「原數」，對數為「比例數」。而《數理精蘊》中則稱作對數比例：「對數比例乃西士若往·納白爾所作，以借數與真數對列成表，故名對數表。」中國因此普遍稱之為「對數」。

對數對科學的進步有所貢獻，特別是對天文學，使某些繁難的乘法計算轉換為加法計算。在計算器和電腦發明之前，對數長期用於測量、航海、和其他應用數學分支中。

### 符號

對數符號$\log$出自拉丁文logarithmus，最早由1632年義大利數學家卡瓦列里所使用。納皮爾在表示對數時套用logarithm整個詞，並未作簡化。1624年，克卜勒才把對數符號簡化為$\log$，奧特雷德在1647年也用簡化了的Log。

1893年，皮亞諾用$\ln x$及$\lg x$分別表示以$e$為底的對數和以10為底的對數。1902年，奧托·施托爾茨等人以$a \log . b$表示以$a$為底的$b$的對數。

20世紀初，形成了對數的現代標準表示$\log_\alpha\Nu$，為了使用方便，自然對數$\ln N$的記法得到了普遍認可。

## 對數函數

函數$\log_\alpha x$依賴於$\alpha$和$x$二者，但是術語對數函數在標準用法中用來稱呼形如$\log_\alpha x$的函數，在其中底數$\alpha$是固定的而只有一個參數$\alpha$。對每個基$\alpha=|R|\ne0,1$的值（不得是負數、0或1）只有唯一的對數函數。從這個角度看，底數$\alpha$的對數函數是指數函數$y=\alpha^x$的反函數。詞語「對數」經常用來稱呼對數函數自身和這個函數的1個特定值。

對數函數圖像和指數函數圖像關於直線$y=x$對稱，互為逆函數。

對數函數的性質有：

- 都過$(1,0)$點。
- $x=0$即y軸為其垂直漸近線。
- 定義域為$(0,+\infty)$，值域為$\mathbb{R}$。
- $\alpha >1$，在$(0,+\infty)$上是增函數；$1>\alpha>0$時，在$(0,+\infty)$上是減函數。
- 當 $0<\alpha<e^{-e}$時和$y=\alpha^x$交於三點；$e^{-e}<\alpha<1$時交於一點；$1<\alpha<e^{\frac{1}{e}}$時交於兩點；$\alpha=e^{\frac{1}{e}}$時交於一點；$\alpha>e^{\frac{1}{e}}$時則無交點。

## 運算公式

名稱｜公式｜證明

和差｜$\log_\alpha M N= \log_\alpha\!M+\log_\alpha\!N$｜設$M=\beta^{m}$，$N=\beta^n$ $\begin{align} \log_\alpha\ M\!N&=\log_\alpha\ \beta^m\!\beta^n\\ &=\log_\alpha\ \beta^{m+n}\\ &=(m+n)\log_\alpha\!\beta\\ &=m\log_\alpha\!\beta+n\log_\alpha\!\beta\\ &=\log_\alpha\ \beta^m+\log_\alpha\ \beta^n\\ &=\log_\alpha\!M+\log_\alpha\!N\\ \log_\alpha\!\frac{M}{N}&=\log_\alpha\!M+\log_\alpha\!\frac{1}{N}\\ &=\log_\alpha\!M-\log_\alpha\!N \end{align}$

基變換（換底公式）｜$\log_\alpha\!x=\frac{\log_\beta\!x}{\log_\beta\!\alpha}$｜;設 $\log_\alpha\!x=t$ ;∴$x=\alpha^{t}$ ;對其兩邊取對數，則有$\log_\beta x=\log_\beta \alpha^{t}$ ;即 $\log_\beta x = t \log_\beta \alpha$ ;又∵ $\log_\alpha x=t$ ;∴ $\log_\alpha x=\frac{\log_\beta\!x}{\log_\beta \alpha}$

指係(次方公式)｜$\log_{\alpha^n} x^m =\frac{m}{n}\log_\alpha\!x$｜$\begin{align} \log_{\alpha^n}\ {x^m}&=\frac{\ln\ x^m}{\ln\ \alpha^n}\\ &=\frac{m\ln\!x}{n\ln\!\alpha}\\ &=\frac{m}{n}\log_\alpha\!x \end{align}$

還原｜$\begin{align} \alpha^{\log_\alpha\!x}&=\log_\alpha\!\alpha^x \end{align}$｜$\begin{align} \alpha^{\log_\alpha\!x}&=x\\ &=\log_\alpha\!\alpha^x \end{align}$

互換｜$M^{\log_\alpha\!N}=N^{\log_\alpha\!M}$｜;設 $b = {\log_\alpha\!N}$,$c = {\log_\alpha\!M}$ ;則有 $N=\alpha^b$,$M=\alpha^c$ ;即 $M^{\log_\alpha\!N}=(\alpha^c)^b$,$N^{\log_\alpha\!M}=(\alpha^b)^c$

倒數｜$\log_\alpha\!\theta=\frac{1}{\log_\theta\!\alpha}$｜$\begin{align} \log_\alpha\!\theta&=\dfrac{1}{\dfrac{\ln\!\alpha}{\ln\!\theta}}\\ &=\frac{1}{\log_\theta\!\alpha} \end{align}$

鏈式｜$\begin{align} \log_\gamma\!\beta\log_\beta\!\alpha&=\log_\gamma\!\alpha \end{align}$｜$\begin{align} \log_\gamma\!\beta\log_\beta\!\alpha&=\frac{\ln\!\alpha}{\ln\!\beta}\ \frac{\ln\!\beta}{\ln\!\gamma}\\ &=\frac{\ln\!\alpha}{\ln\!\gamma}\\ &=\log_\gamma\!\alpha \end{align}$

## 有理和無理指數

如果$n$是自然數，${\beta}^n$表示等於$\beta$的$n$個因子的乘積：

${\beta}^n=\underbrace{\beta\times\beta\times\cdots\times\beta}_n$。

但是，如果$\beta$是不等於1的正實數，這個定義可以擴展到在一個域中的任何實數$n$（參見冪）。類似的，對數函數可以定義於任何正實數。對於不等於1的每個正底數$\beta$，有一個對數函數和一個指數函數，它們互為反函數。

對數可以簡化乘法運算為加法，除法為減法，冪運算為乘法，根運算為除法。所以，在發明電子計算機之前，對數對進行冗長的數值運算是很有用的，它們廣泛的用於天文、工程、航海和測繪等領域中。它們有重要的數學性質而在今天仍在廣泛使用中。

## 特殊底數

最常用做底數的是e、10和2。

在數學分析中，以$e$為底對數很常見。另一方面，以10為底對數在十進位表示法中，手工計算很容易：

$$\log_{10} 10 x = \log_{10} 10 + \log_{10} x = 1 + \log_{10} x.\ $$

所以$\log_{10} x$表示正整數$x$的位數：數字的十進位位數是嚴格大於$\log_{10} x$的最小的整數。例如$\log_{10} 1430\approx 3.15$，下一個整數是4，即1430的位數。

以2為底的對數常用於電腦科學，因為電腦中二進位很普及。當然上面的演算法也可推廣到二進位：嚴格大於$\log_2 x$的最小整數是$x$在二進位下的位數。事實上經由簡單推導即可得知，floor(logpx)+1 得到$x$在$p$進位下的位數：若$x$在$p$進位下有$n$位，則$p^{n-1}\leq x <p^n$；而$p$是不小於 2 的正整數導致以其為底的$\log_p x$是增函數，故三邊取對數得$n-1 \leq \log_p x < n$，取下整正好得到$n-1$。

下表列出了這些底數的常用的對數符號以及他們所使用的領域。許多學科都寫$\log (x)$來代替$\log_b (x)$，而$b$的值根據前後文可以確定。記號$^b\log(x)$也出現過。「ISO表示法」（ISO 31-11）一列指定了ISO推薦的表示方法。

底數$b$｜$\log_b x$的名稱｜ISO表示法｜其它的表示方法｜適用領域

2｜二進制對數｜$\operatorname{lb} x$｜$\log x$、$\operatorname{lg} x$｜電腦科學、資訊理論、數學

$e$｜自然對數｜$\ln x$｜$\log x$（用於數學和許多程序設計語言）｜數學分析、物理學、化學統計學、經濟學和其它工程領域

10｜常用對數｜$\operatorname{lg} x$｜$\log x$（用於工程學、生物學、天文學）｜多種工程學領域 （見分貝）、對數表、手持式計算器、光譜學

## 底數變換

儘管有很多有用的恆等式，對計算器最重要的是找到不是建造於計算器內的底數（通常是$\log_e$和$\log_{10}$）的其他底數的對數。要使用其他底數$\beta$找到底數$\alpha$的對數:

$\log_\alpha x=\frac{\log_\beta x}{\log_\beta\alpha}$。

此外，這個結果蘊涵了所有對數函數（任意底數）都是相互類似的。所以用計算器計算對134217728底數2的對數:

$\log_2134217728=\frac{\ln134217728}{\ln2}=\frac{27\ln2}{\ln2}=27$。

## 對數的用途

對數對解冪是未知的方程是有用的。它們有簡單的導數，所以它們經常用在解積分中。對數是三個相關的函數中的一個。在等式$b^n=x$中，$b$可以從$x$的$n$次方根，$n$從$x$的$b$底數的對數，$x$從$b$的$n$次的冪來確定。參見對數恆等式得到掌控對數函數的一些規則。

### 簡便計算

對數把注意力從平常的數轉移到了冪。只要使用相同的底數，就會使特定運算更容易：

數的運算｜冪的運算｜對數恆等式

$\,xy$｜$\,m+n$｜$\,\log_{\theta}xy=\log_{\theta}x+\log_{\theta}y$

$\frac{x}{y}$｜$\,m-n$｜$\log_{\theta}\frac{x}{y}=\log_{\theta}x-\log_{\theta}y$

$\,x^y$｜$\,mn$｜$\,\log_{\theta}x^y=y\log_{\theta}x$

$\sqrt[y]{x}$｜$\frac{m}{n}$｜$\log_{\theta}\sqrt[y]{x}=\frac{\log_{\theta}x}{y}$

這些關係使在兩個數上的這種運算更快。

## 群論

從純數學的觀點來看，恆等式：

$\log_\alpha\Mu\Nu=\log_\alpha\Mu+\log_\alpha\Nu\!$。

在兩種意義上是基本的。首先，其他3個算術性質可以從它得出。進一步的，它表達了在正實數的乘法群和所有實數的加法群之間的同構。

對數函數是從正實數的乘法群到實數的加法群的唯一連續同構。

## 複對數

複對數計算公式：

$$\log_{c+di}(a+bi) =\frac{\ln\left(a^2+b^2\right)\cdot\ln\left(c^2+d^2\right)+4\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right) \left(\arctan\frac{d}{c}+2n\pi\right) +\left[2\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right)\ln\left(c^2+d^2\right)-2\left(\arctan\frac{d}{c}+2n\pi\right)\ln\left(a^2+b^2\right)\right]i}{\ln^2\left(c^2+d^2\right)+4\left(\arctan\frac{d}{c}+2n\pi\right)^2}$$

$$(a+bi)^{\left(c+di\right)}=e^{\frac{c}{2}\ln\left(a^2+b^2\right)-\left(d+2n\pi\right)\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right)}\left\{\cos \left[c\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right)+\frac{1}{2}\left(d+2n\pi\right)\ln\left(a^2+b^2\right)\right] +i\sin\left[c\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right)+\frac{1}{2}\left(d+2n\pi\right)\ln\left(a^2+b^2\right)\right]\right\}$$

$$\begin{cases} <pre> \arctan0={\pi}, & \mbox{for }a < 0\!\, \\ \arctan0=0, & \mbox{for }a > 0\!\, \\ </pre> \end{cases}$$

$$\mathbb{Z}=\{k,n\}$$

## 微積分

自然對數函數的導數是

$\frac{\rm{d}} {{\rm{d}}x} \ln \left| x \right| = \frac{1}{x}$。

通過應用換底規則，其他底數的導數是

$\frac{\rm{d}}{{\rm{d}}x} \log_b x = \frac{\rm{d}}{{\rm{d}}x} \frac {\ln x}{\ln b} = \frac{1}{x \ln b}$。

自然對數$\ln x\,$的不定積分是

$$\int \ln x \,{\rm{d}}x = x \ln x - x + C,$$

而其他底數對數的不定積分是

$\int \log_b x \,{\rm{d}}x = x \log_b x - \frac{x}{\ln b} + C = x \log_b \frac{x}{e} + C$。

## 計算自然對數的級數

有一些級數用來計算自然對數。最簡單和低效的是:

$\ln z=\sum_{n=1}^\infty\frac{-{(-1)}^n}{n}(z-1)^n$當$|z-1|<1\!$。

下做推導：

由

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$。

在兩邊積分得到

$$-\ln(1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots$$

$\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}-\cdots$。

設$z=1-x\!$並因此$x=-(z-1)\!$，得到

$$\ln z=(z-1)-\frac{(z-1)^2}{2}+\frac{(z-1)^3}{3}-\frac{(z-1)^4}{4}+\cdots$$

更有效率的級數是基於反雙曲函數的

$$\ln z=2\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2n+1}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^{2n+1}$$

對帶有正實部的$z$。

推導：代換$-x$為$x$，得到

$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$。

做減法，得到

$\ln\frac{1+x}{1-x}=\ln(1+x)-\ln(1-x)=2x+2\frac{x^3}{3}+2\frac{x^5}{5}+\cdots$。

設$z=\frac{1+x}{1-x} \!$並因此$x = \frac{z-1}{z+1} \!$，得到

$\ln z=2\left[\frac{z-1}{z+1}+\frac{1}{3}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3+\frac{1}{5}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^5 + \cdots\right]$。

例如，應用這個級數於

$$z=\frac{11}{9},$$

得到

$$\frac{z-1}{z+1}=\frac{\frac{11}{9}-1}{\frac{11}{9}+1}=\frac{1}{10},$$

並因此

$$\ln1.\dot{2}=\frac{1}{5}\left(1+\frac{1}{3\cdot100}+\frac{1}{5\cdot10000}+\frac{1}{7\cdot1000000}+\cdots\right)$$

$$=0.2\cdot(1.0000000\dots+0.00\dot{3}+0.00002+0.000000\dot{1}4285\dot{7}+\cdots)$$

$$=0.2\cdot1.00335\cdots=0.200670\cdots$$

在這裡我們在第一行的總和中提出了因數$\frac{1}{10}$。

對於任何其他底數$\beta$，我們使用

$\log_\beta x=\frac{\ln x}{\ln\beta}$。

## 電腦

多數電腦語言把$\log(x)$用做自然對數，而常用對數典型的指示為log10(x)。參數和返回值典型的是浮點數據類型。

因為參數是浮點數，可以有用的做如下考慮：

浮點數值$x$被表示為尾數$m$和指數$n$所形成的

$x = m2^n$。

因此

$\ln(x) = \ln(m) + n\ln(2)$。

所以，替代計算$\ln(x)$，我們計算對某個$m$的$\ln(m)$使得$1\leq m \leq 2$。有在這個範圍內的$m$意味著值$u = \frac{m - 1}{m+1}$總是在範圍$0 \le u < \frac13$內。某些機器使用在範圍$0.5 \le m < 1$內的尾數，並且在這個情況下$u$的值將在範圍$-\frac13 < u \le 0$內。在任何一種情況下，這個級數都是更容易計算的。

## 一般化

普通的正實數的對數一般化為負數和複數參數，儘管它是多值函數，需要終止在分支點0上的分支切割，來製作一個普通函數或主分支。複數$z$的（底數$e$）的對數是複數$\ln (\left \vert z \right \vert) + i \arg (z)$，這裡的$\left \vert z \right \vert$是$z$的模，$\arg (z)$是輻角，而$i$是虛單位；詳情參見複對數。

離散對數是在有限群理論中的相關概念。它涉及到解方程$b^n=x$，這裡的$b$和$x$是這個群的元素，而$n$是指定在群運算上的冪。對於某些有限群，據信離散對數是非常難計算的，而離散指數非常容易。這種不對稱性可用於公開密鑰加密。

矩陣對數是矩陣指數的反函數。

對於不等於1的每個正數$b$，函數$\log_b(x)$是從在乘法下的正實數的群到在加法下（所有）實數的群的同構。它們是唯一的連續的這種同構。對數函數可以擴展為在乘法下正實數的拓撲空間的哈爾測度。

## 對數表

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在發明計算器之前，使用對數意味著查對數表，它必須手工建立。

## 外部連結

- History of logarithms
- Logarithm
- Khan Academy: Logarithms, free online micro lectures