雷諾數

在流體力學中，雷諾數（Reynolds number）是流體的慣性力$\frac{\rho v^2}{L}$與黏性力$\frac{\mu v}{L^2}$的比值，它是一個無量綱量。

雷諾數較小時，黏滯力對流場的影響大於慣性力，流場中流速的擾動會因黏滯力而衰減，流體流動穩定，為層流；反之，若雷諾數較大時，慣性力對流場的影響大於黏滯力，流體流動較不穩定，流速的微小變化容易發展、增強，形成紊亂、不規則的紊流流場。

## 定義

雷諾數一般表示如下：

$$\mathrm{Re} = \frac{\rho u L}{\mu} = \frac{u L}{\nu}$$

其中

- $u$是特徵速度（國際單位：m/s）
- $L$是特徵長度（m）
- $\mu$是流體動力黏度（Pa·s或N·s/m²）
- $\nu$是流體運動黏度（$\nu = \mu / \rho$）（m²/s）
- $\rho$是流體密度（kg/m³）

對於不同的流場，雷諾數可以有很多表達方式。這些表達方式一般都包括流體性質（密度、黏度）再加上流體速度和一個特徵長度或者特徵尺寸。特徵長度取決於觀察的流場情況，以及約定俗成的使用習慣。當觀察在水管中流動內流場，或是放在流場中的球體外流場時，前者可能會選擇水管直徑或是管長，而後者通常使用直徑作為特徵長度。而半徑和直徑對於球型、圓形來說其實是同一件事，但是計算上就差了一倍，因此習慣上常用直徑來代表。

### 管內流場

對於在管內的流動，雷諾數定義為：

$$\mathrm{Re} = \frac{\rho u D}{\mu} = \frac{u D}{\nu} = \frac{Q D}{\nu A}$$

式中：

- $u$特徵速度選擇平均流速（國際單位：m/s）
- $D$特徵長度選擇管徑（m）
- $Q$是體積流量（m³/s）
- $A$是橫截面積（m²）

其中 $Q = u A$。注意到橫截面積和管徑之間存在制約關係 $A = \frac{\pi}{4} D^2$（其中 $\pi$ 是圓周率），因此上式可進一步變形為

$$\mathrm{Re} = \frac{4 Q}{\pi \nu D} = \frac{4 \rho Q}{\pi \mu D} = \frac{2 Q}{\sqrt{\pi A} \nu} = \frac{2 \rho Q}{\sqrt{\pi A} \mu} = \frac{2 \sqrt{Q u}}{\sqrt{\pi} \nu} = \frac{2 \rho \sqrt{Q u}}{\sqrt{\pi} \mu}$$

注意到質量流量 $W$ 滿足 $W = \rho Q$，因此上式可改寫為

$$\mathrm{Re} = \frac{4 W}{\pi \mu D} = \frac{2 W}{\sqrt{\pi A} \mu} = \frac{2 \sqrt{W u}}{\sqrt{\pi} \mu}$$

要計算雷諾數，您可以使用 此雷諾數計算器 來簡化流程。

### 平板流

對於在兩個寬板（板寬遠大於兩板之間距離）之間的流動，特徵長度為兩倍的兩板之間距離。

### 流體中的物體

對於流體中的物體的雷諾數，經常用Rep表示。用雷諾數可以研究物體周圍的流動情況，是否有漩渦分離，還可以研究沉降速度。

#### 流體中的球

對於在流體中的球，特徵長度就是這個球的直徑，特徵速度是這個球相對於遠處流體的速度，密度和黏度都是流體的性質。在這種情況下，層流只存在於Re=10或者以下。

在小雷諾數情況下，力和運動速度的關係遵從斯托克斯定律。

球在流體中的雷諾數可以用下式計算，其中$v_f$為流體速度，$v_s$為球速度，$d_s$為球直徑，$\rho_f$為流體密度，$\mu_f$為流體粘度。

$$Re = \frac{|v_f-v_s| d_s \rho_f}{\mu_f}$$

### 攪拌槽

對於一個圓柱形的攪拌槽，中間有一個旋轉的槳或者渦輪，特徵長度是這個旋轉物體的直徑D。速度V等於ND,其中N是轉速(周/秒)。雷諾數表達為:

$$\mathrm{Re} = {{\rho V D} \over {\mu}} = {{\rho N D^2} \over {\mu}}.$$

當Re>10,000時，這個系統為完全湍流狀態。

## 過渡流雷諾數

在外流場中由於有邊界層的影響，實驗中發現當流體流過一定長度後，會由層流過渡到完全為湍流。對於不同的尺度和不同的流體，只要雷諾數達到某個特定值，這種不穩定性都會發生。外流場通常以雷諾數$\mathrm{Re}_x \approx 5 \times 10^5$代表層流結束, 這裡特徵長度 x 是從物體前緣起算的距離，特徵速度是邊界層以外的自由流場速度。

內流場雷諾數$\mathrm{Re} < 2100$為層流狀態，$\mathrm{Re} > 4000$為湍流狀態，介於2100～4000為過渡流狀態。

- 層流(又可稱作黏滯流動、線流)：流體沿著管軸以平行方向流動，因為流體很平穩，所以可看作層層相疊，各層間不互相干擾。流體在管內速度分佈為拋物體的形狀，面向切面的則是拋物線分佈。因為是個別有其方向和速率流動，所以流動摩擦損失較小。
- 湍流(又可稱作紊流、擾流)：此則是管內流體流動狀態為各分子互相激烈碰撞，非直線流動而是漩渦狀，流動摩擦損失較大。

## 管道中的摩擦阻力

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在管道中完全成形（fully developed）流體的壓降可以用穆迪圖來說明，穆迪圖繪製出在不同相對粗糙度下，達西摩擦因子f和雷諾數${\mathrm{Re}}$及相對粗糙度$\epsilon / D$的關係，圖中隨著雷諾數的增加，管流由層流變為過渡流及湍流，管流的特性和流體為層流、過渡流或湍流有明顯關係。

## 流動相似性

兩個流動如果相似的話，他們必須有相同的幾何形狀和相同的雷諾數和歐拉數。當在模型和真實的流動之間比較兩個流體中相應的一點，如下關係式成立：

$$\mathrm{Re}_m = \mathrm{Re} \;$$

$$\mathrm{Eu}_m = \mathrm{Eu} \; \quad\quad \mbox{i.e.} \quad {p_m \over \varrho_m {v_m}^{2}} = {p\over \varrho v^{2}} \; ,$$

帶m下標的表示模型里的量，其他的表示實際流動里的量。

這樣工程師們就可以用縮小尺寸的水槽或者風洞來進行試驗，與數值模擬的模型比對數據分析，節約試驗成本和時間。實際應用中也許會需要其他的無量綱量與模型一致，比如說馬赫數，福祿數。

以下是一些雷諾數的例子：

- 纖毛蟲~ 1×10−1
- 最小的魚 ～1
- 大腦中的血液流 ～1×102
- 主動脈中的血流~ 1×103

湍流臨界值~ 2.3×103-5.0×104(對於管內流)到106(邊界層)

- 棒球（美國職業棒球大聯盟投手投球）~2×105
- 游泳（人）~4×106
- 最快的魚 ~1×108
- 藍鯨~ 3×108
- 大型郵輪（伊莉莎白女王2號）~ 5×109

## 雷諾數的推導

雷諾數可以從無量綱的非可壓納維－斯托克斯方程推導得來:

$$\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}.$$

上式中每一項的單位都是加速度乘以密度。無量綱化上式，需要把方程變成一個獨立於物理單位的方程。我們可以把上式乘以係數:

$$\frac{D}{\rho V^2}$$

這裡的字母跟在雷諾數定義中使用的是一樣的。我們設:

$$\mathbf{v'} = \frac{\mathbf{v}}{V},$$

$$\ p' = p\frac{1}{\rho V^2},$$

$$\ \mathbf{f'} = \mathbf{f}\frac{D}{\rho V^2},$$

$$\ \frac{\partial}{\partial t'} = \frac{D}{V} \frac{\partial}{\partial t},$$

$$\ \nabla' = D \nabla$$

無量綱的納維-斯托克斯方程可以寫為:

$$\frac{\partial \mathbf{v'}}{\partial t'} + \mathbf{v'} \cdot \nabla' \mathbf{v'} = -\nabla' p' + \frac{\mu}{\rho D V} \nabla'^2 \mathbf{v'} + \mathbf{f'}$$

這裡:$\frac{\mu}{\rho D V} = \frac{1}{\mathit{Re}}.$

最後,為了閱讀方便把撇去掉:

$$\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} = -\nabla p + \frac{1}{\mathit{Re}} \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}.$$

這就是為什麼在數學上所有的具有相同雷諾數的流場是相似的。