電場

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電場（有時稱為 E 場）是圍繞帶電粒子（例如電子）的一種物理場。在古典電磁學中，單一電荷（或一組電荷）的電場描述其對另一帶電物體施加吸引力或排斥力的能力。當兩個帶電粒子的電荷符號相反，即一者為正、一者為負時，它們彼此吸引；當電荷符號相同時，它們彼此排斥。由於這種力是相互作用，必須至少有兩個電荷存在才會出現電力。這些作用力可由庫侖定律描述：電荷量越大，作用力越大；兩者距離越遠，作用力越弱。非正式地說，物體所帶電荷量越大，其電場越強；同樣地，越接近帶電物體，電場越強，越遠離則越弱。電場源自電荷與隨時間變化的電流。電場與磁場都是電磁場的表現形式；電磁相互作用是自然界四種基本相互作用之一。

電場在許多物理學分支中都很重要，並廣泛應用於電氣技術。例如，在原子物理學與化學中，原子核與電子之間由電場造成的相互作用，是使這些粒子結合成原子的力；類似地，原子之間的電場相互作用也是形成化學鍵、進而產生分子的原因。

電場定義為一個向量場：它把空間中每一點對應到一個向量，該向量等於靜止於該點的無窮小正試探電荷所受的力除以其電荷量。電場的國際單位制單位為伏特每米（V/m），等同於牛頓每庫侖（N/C）。

## 描述

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電場在空間每一點的定義，是將位於該點、無窮小且靜止的正試探電荷所受的力除以該電荷量。電場以力來定義，而力是向量（即同時具有大小與方向），因此電場可描述為向量場。電場作用於兩個電荷之間的方式，類似重力場作用於兩個質量之間的方式，兩者皆依距離滿足平方反比定律。這是庫侖定律的基礎；該定律指出，對靜止電荷而言，電場隨源電荷成正比，並隨距離平方成反比。也就是說，若源電荷加倍，電場也加倍；若到源電荷的距離加倍，該處電場僅為原來的四分之一。

電場可用一組線來視覺化；每一點上線的方向與該處電場方向相同。這一概念由麥可·法拉第引入，其「力線」一詞至今仍偶爾使用。若繪圖時讓每條線代表相同大小的通量，則場強與線的密度成正比，這是電場線圖的一項有用性質。靜止電荷產生的電場線具有幾項重要性質：它們總是起於正電荷、終於負電荷；以直角進入良導體；且彼此不相交，也不自行閉合。電場線只是表示概念；實際電場充滿線與線之間的全部空間。可依所需精度繪製較多或較少的線。研究靜止電荷所產生電場的學科稱為靜電學。

法拉第定律描述隨時間變化的磁場與電場之間的關係。法拉第定律的一種表述是：電場的旋度等於磁場對時間導數的負值。因此，若不存在隨時間變化的磁場，電場稱為保守（即無旋）電場。這意味著電場可分為兩類：靜電場，以及由隨時間變化的磁場產生的電場。靜電場的無旋性使其可用靜電學作較簡單的處理；而隨時間變化的磁場通常被視為統一電磁場的一部分。研究隨時間變化的磁場與電場的學科稱為電動力學。

## 數學表述

電場由電荷產生，其關係由高斯定律描述；電場也可由隨時間變化的磁場產生，其關係由法拉第電磁感應定律描述。這些定律合在一起足以界定電場的行為。然而，由於磁場也以電場的函數形式描述，兩種場的方程彼此耦合，並共同構成馬克士威方程組；該方程組把電場與磁場描述為電荷與電流的函數。

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### 靜電學

在穩態（靜止電荷與穩定電流）的特殊情況下，馬克士威－法拉第感應效應消失。由此得到的兩個方程（高斯定律 $\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ 與沒有感應項的法拉第定律 $\nabla \times \mathbf{E} = 0$）合在一起，等價於庫侖定律。庫侖定律指出，位於 $\mathbf r_1$ 的電荷 $q_1$ 對位於 $\mathbf r_0$ 的電荷 $q_0$ 施加的力為：

$$\mathbf{F}_{01} = \frac{q_1q_0}{4\pi\varepsilon_0} {\hat\mathbf r_{01}\over {|\mathbf r_{01}|}^2} = \frac{q_1q_0}{4\pi\varepsilon_0} {\mathbf r_{01}\over {|\mathbf r_{01}|}^3}$$ 其中：

- $\mathbf{F}_{01}$ 是帶電粒子 $q_1$ 對帶電粒子 $q_0$ 造成的力。
- ε0 是真空電容率。
- $\hat \mathbf{r}_{01}$ 是從 $\mathbf r_1$ 指向 $\mathbf r_0$ 的單位向量。
- $\mathbf{r}_{01}$ 是從 $\mathbf r_1$ 到 $\mathbf r_0$ 的位移向量。

當電荷處於非真空介質中時，$\varepsilon_0$ 必須以介質的電容率 $\varepsilon$ 取代。若 $q_0$ 與 $q_1$ 同號，該力為正，方向背離另一電荷，表示兩粒子相斥；若兩電荷異號，該力為負，表示兩粒子相吸。

為了方便計算位於 $\mathbf r_0$ 的任意電荷所受的庫侖力，可將上式除以 $q_0$，得到只依賴另一電荷（即源電荷）的表達式：

$$\mathbf{E}_{1} (\mathbf r_0) = \frac{ \mathbf{F}_{01} } {q_0} = \frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0} {\hat\mathbf r_{01}\over {|\mathbf r_{01}|}^2} = \frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0} {\mathbf r_{01}\over {|\mathbf r_{01}|}^3}$$ 其中 $\mathbf{E}_{1} (\mathbf r_0)$ 是由 $q_1$ 在 $q_0$ 所在處產生的電場分量。

這就是點電荷 $q_1$ 在點 $\mathbf r_0$ 產生的電場；它是一個向量值函數，等於正點電荷位於 $\mathbf r_0$ 時所受庫侖力的單位電荷量值。由於該公式給出空間任意點 $\mathbf r_0$ 的電場大小與方向（電荷自身位置 $\mathbf r_1$ 除外，該處公式趨於無窮大），它定義了一個向量場。由上式可見，正點電荷產生的電場處處背離該電荷，負點電荷產生的電場處處指向該電荷；其大小隨離電荷距離的平方反比減小。

空間任一點處電荷量為 $q$ 的電荷所受庫侖力，等於該電荷量乘以該點的電場：

$$\mathbf{F} = q\mathbf{E} .$$ 電場的國際單位制單位為牛頓每庫侖（N/C），或伏特每米（V/m）；以國際單位制基本單位表示為 kg⋅m⋅s−3⋅A−1。

### 疊加原理

由於馬克士威方程組具有線性，電場滿足疊加原理。疊加原理指出，多個電荷在某點造成的總電場，等於各個電荷單獨在該點造成的電場向量和。這一原理有助於計算多個點電荷造成的電場。若電荷 $q_1, q_2, \dots, q_n$ 靜止於空間中 $\mathbf R_1,\mathbf R_2,\dots,\mathbf R_n$ 各點，且不存在電流，則由庫侖定律與疊加原理得：

$$\begin{align} \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \mathbf{E}_1(\mathbf{r}) + \mathbf{E}_2(\mathbf{r}) + \dots + \mathbf{E}_n(\mathbf{r}) = {1\over4\pi\varepsilon_0} \sum_{i=1}^n q_i {\hat\mathbf r_i\over {|\mathbf r_i|}^2} = {1\over 4\pi\varepsilon_0} \sum_{i=1}^n q_i {\mathbf r_i\over {|\mathbf r_i|}^3} \end{align}$$ 其中：

- $\hat\mathbf r_i$ 是從點 $\mathbf R_i$ 指向點 $\mathbf r$ 的單位向量。
- $\mathbf r_i$ 是從點 $\mathbf R_i$ 到點 $\mathbf r$ 的位移向量。

### 連續電荷分布

疊加原理可用來計算電荷密度分布 $\rho(\mathbf r)$ 所造成的電場。將空間中 $\mathbf r'$ 處每一個小體積 $dv$ 內的電荷 $\rho(\mathbf r')dv$ 視為點電荷，則該微小電荷在點 $\mathbf r$ 造成的電場 $d\mathbf{E}(\mathbf r)$ 為：

$$d\mathbf{E}(\mathbf r) = \frac{\rho(\mathbf r')}{4\pi\varepsilon_0}{\hat\mathbf r'\over {|\mathbf r'|}^2} dv = \frac{\rho(\mathbf r')}{4\pi\varepsilon_0} {\mathbf r'\over {|\mathbf r'|}^3} dv$$ 其中：

- $\hat \mathbf{r}'$ 是從 $\mathbf r'$ 指向 $\mathbf r$ 的單位向量。
- $\mathbf r'$ 是從 $\mathbf r'$ 到 $\mathbf r$ 的位移向量。

將體積 $V$ 中所有體積元的貢獻相加，即對電荷密度作積分，可得總電場：

$$\mathbf{E}(\mathbf r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \iiint_V \, \rho(\mathbf r') {\mathbf r'\over {|\mathbf r'|}^3} dv$$

對於分布在曲面 $S$ 上、具有面電荷密度 $\sigma(\mathbf r')$ 的面電荷，有相應公式：

$$\mathbf{E}(\mathbf r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \iint_S \, \sigma(\mathbf r') {\mathbf r'\over {|\mathbf r'|}^3} da,$$ 對於分布在線 $L$ 上、具有線電荷密度 $\lambda(\mathbf r')$ 的線電荷，有：

$$\mathbf{E}(\mathbf r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_L \,\lambda(\mathbf r') {\mathbf r'\over {|\mathbf r'|}^3} d \ell.$$

### 電勢

若系統為靜態，使磁場不隨時間變化，則依據法拉第定律，電場為無旋場。此時可定義電勢，即存在函數 $\varphi$ 使得 $\mathbf{E} = -\nabla \varphi$。這與重力勢類似。空間中兩點的電勢差稱為兩點間的電位差（或電壓）。

然而，在一般情形下，電場不能脫離磁場而獨立描述。給定磁向量勢 A，使 $\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$，仍可定義一個電勢 $\varphi$，使得：

$$\mathbf{E} = - \nabla \varphi - \frac { \partial \mathbf{A} } { \partial t } ,$$ 其中 $\nabla \varphi$ 是電勢的梯度，$\frac { \partial \mathbf{A} } { \partial t }$ 是 A 對時間的偏導數。

對上式取旋度，即可復得法拉第電磁感應定律：

$$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial (\nabla \times \mathbf{A})} {\partial t} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} ,$$ 這也在事後證明了前述 E 形式的合理性。

### 連續與離散電荷表示

電磁學方程最適合用連續描述表示。不過，電荷有時更適合被描述為離散點；例如某些模型會把電子描述成點源，於是電荷密度在空間中無窮小區域內趨於無限大。

位於 $\mathbf{r}_0$ 的電荷 $q$，可用狄拉克δ函數（三維）表示為電荷密度 $\rho(\mathbf{r}) = q\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_0)$。反過來，連續電荷分布也可用大量小點電荷來近似。

## 靜電場

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靜電場是不隨時間變化的電場。當帶電物質系統靜止，或電流不變時，就會出現這類電場。在這種情況下，庫侖定律即可完整描述該場。

### 靜電場與重力場的相似性

描述電荷相互作用的庫侖定律：

$$\mathbf{F} = q \left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\mathbf{\hat{r}}}{|\mathbf{r}|^2}\right) = q \mathbf{E}$$ 與牛頓萬有引力定律相似：

$$\mathbf{F} = m\left(-GM\frac{\mathbf{\hat{r}}}{|\mathbf{r}|^2}\right) = m\mathbf{g}$$ 其中 $\mathbf{\hat{r}} = \mathbf{\frac{r}{|r|}}$。

這顯示電場 E 與重力場 g 及其相關勢能函數之間存在相似性。質量有時也被稱為「重力電荷」。

靜電力與重力皆為中心力、保守力，並服從平方反比定律。

### 均勻場

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均勻場是指電場在每一點都相同的場。將兩片導電平板彼此平行放置，並在兩板之間維持一個電壓（電位差），即可近似產生均勻場；這只是近似，因為邊界效應會使板邊緣附近的電場發生畸變。若假設平板無限大，電場大小 E 為：

$$E = - \frac{\Delta V}{d} ,$$ 其中 ΔV 是兩板間的電位差，d 是兩板間距。負號來自正電荷相斥：正電荷會受到背離正電板的力，其方向與電壓增加的方向相反。在微米與奈米尺度應用中，例如與半導體相關的場景，典型電場大小約為 $10^6\,\mathrm{V\cdot m^{-1}}$；這可透過在相距 1 μm 的導體間施加約 1 伏特電壓達成。

### 電場線

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使用場線是描繪電場的一種方便方式，即使對複雜電場也適用。在電場線圖中，某區域內電場的大小與方向由一組跨越該區域且彼此不相交的曲線表示。若繪製得當，任一點的電場方向由鄰近電場線的方向表示，電場大小則由該區域內電場線的密度表示。

電場線不相交。它們起於正電荷（或從無窮遠延伸而來），終於負電荷（或延伸至無窮遠）。此外，從某一電荷發出的電場線數量必須與該電荷量成正比。靜電場不能形成閉合迴路。（圖中展示了由正點電荷在三個鄰近導體表面誘導電荷所產生的複雜電場線圖。）

電場線只能近似表示某一區域的電場；要完美表示電場需要無限多條電場線。儘管如此，這類圖示仍有助於說明電場在某一區域內如何變化。

## 電磁場

電磁場由電場與磁場構成；當電荷運動時，兩者都可能隨時間變化。依據安培環路定律（含馬克士威修正項），運動電荷會產生磁場；該定律連同馬克士威其他方程，以旋度形式定義磁場 $\mathbf{B}$：

$$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\left(\mathbf{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} \right) ,$$ 其中 $\mathbf{J}$ 是電流密度，$\mu_0$ 是真空磁導率，$\varepsilon_0$ 是真空電容率。

電流密度與電場對時間的偏導數，都會對磁場旋度作出貢獻。此外，馬克士威－法拉第方程指出：

$$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}.$$ 這些方程代表馬克士威四個方程中的兩個，並把電場與磁場緊密連結，形成電磁場。它們構成一組四個彼此耦合的多維偏微分方程；對特定系統求解後，可描述電磁場的整體行為。一般而言，試探電荷在電磁場中受到的力由洛侖茲力定律給出：

$$\mathbf{F} = q\mathbf{E} + q\mathbf{v} \times \mathbf{B} .$$

## 電場中的能量

電磁場儲存的總能量密度為：

$$u_\text{EM} = \frac{\varepsilon}{2} |\mathbf{E}|^2 + \frac{1}{2\mu} |\mathbf{B}|^2$$ 其中 $\varepsilon$ 是場所在介質的電容率，$\mu$ 是其磁導率，E 與 B 分別為電場向量與磁場向量。

由於 E 場與 B 場彼此耦合，把上式簡單分解為「電」與「磁」兩部分可能造成誤導。特別是，某一參考系中的靜電場，通常會在相對運動的參考系中轉換為帶有磁場分量的場。因此，將電磁場分解為電場與磁場分量是依參考系而定的；相關能量的分解也同樣依參考系而定。

給定體積 V 中電磁場儲存的總能量 UEM 為：

$$U_\text{EM} = \frac{1}{2} \int_{V} \left( \varepsilon |\mathbf{E}|^2 + \frac{1}{\mu} |\mathbf{B}|^2 \right) dV \, .$$

## 電位移場

### 向量場的定義方程

在有物質存在時，把電場概念擴展為三個向量場是有用的：

$$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$$ 其中 P 是電極化，也就是電偶極矩的體積密度；D 是電位移場。由於 E 與 P 分別獨立定義，此方程可用來定義 D。D 的物理詮釋不像 E（可視為作用於材料的場）或 P（材料內偶極子造成的感應場）那樣直觀，但它仍是一項方便的數學簡化，因為以自由電荷與自由電流表示時，馬克士威方程可被簡化。

### 本構關係

E 場與 D 場由材料的電容率 ε 聯繫。

對於線性、均勻、各向同性材料，E 與 D 成正比，且在整個區域中為常數，沒有位置依賴性：

$$\mathbf{D}(\mathbf{r}) = \varepsilon\mathbf{E}(\mathbf{r}) .$$

對於非均勻材料，整個材料中的關係具有位置依賴性：

$$\mathbf{D}(\mathbf{r}) = \varepsilon (\mathbf{r})\mathbf{E}(\mathbf{r})$$

對於各向異性材料，E 場與 D 場不平行，因此兩者由電容率張量（二階張量場）聯繫；以分量形式可寫為：

$$D_i = \varepsilon_{ij} E_j$$

對於非線性介質，E 與 D 不成正比。材料可能在不同程度上呈現線性、均勻性與各向同性。

## 電場的相對論效應

### 勻速運動的點電荷

馬克士威方程組在洛侖茲變換下形式不變，可用來推導勻速運動點電荷的電場。實驗證據支持粒子的電荷在不同參考系中保持不變。另一種推導方式，是從源電荷靜止參考系中試探電荷依庫侖定律所受的四維力作洛侖茲變換，再依洛侖茲力形式給出的定義指定電場與磁場。不過，下面的方程只適用於粒子的過去運動中沒有加速度的情形；此時可使用庫侖定律，或可用對稱性論證以簡單方式求解馬克士威方程。因此，這種勻速運動點電荷的電場為：

$$\mathbf{E} = \frac q {4 \pi \varepsilon_0 r^3} \frac {1- \beta^2} {(1- \beta^2 \sin^2 \theta)^{3/2}} \mathbf{r} ,$$ 其中 $q$ 是點源電荷的電荷量，$\mathbf{r}$ 是從點源指向空間中該點的位置向量，$\beta$ 是所觀察到的帶電粒子速率與光速之比，$\theta$ 是 $\mathbf{r}$ 與帶電粒子觀察速度之間的角度。

在點電荷非相對論速率下，上式化為庫侖定律給出的結果。由於計算電場時指定了速度方向，問題的對稱性被破壞，因此不再具有球對稱性。為了說明這點，運動電荷的電場線有時會被畫成間距不均的徑向線；在與電荷共同運動的參考系中，這些線則看起來間距相等。

### 電場擾動的傳播

狹義相對論要求滿足局域性原理：因果事件必須以類時方式分隔，且因果效應的傳播不得快於光速。馬克士威定律符合這一觀點，因為場的一般解可用延遲時間表示，這意味著電磁擾動以光速傳播。超前時間雖然也能提供馬克士威方程的解，但通常被視為非物理解而忽略。

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考慮帶電粒子的運動，例如一個原本具有上述運動電場的粒子突然停止。遠處的電場不會立即恢復為靜止電荷的經典電場。粒子停止後，靠近靜止點周圍的場開始恢復到預期狀態，且此效果以光速向外傳播；在此之前，更遠處的電場線仍會徑向指向一個假想的運動電荷。由於帶電粒子的速度受到光速限制，這個虛粒子永遠不會位於電磁場擾動傳播範圍之外，因此無法在該區域構造出違反高斯定律的高斯曲面。另一個支持這一點的技術原因是：當帶電粒子以大於或等於光速運動時，不再具有唯一的延遲時間。由於電場線連續，在以光速向外傳播的擾動邊界處會產生連接場線的輻射電磁脈衝。一般而言，任何加速中的點電荷都會輻射電磁波；不過，在電荷系統中也可能出現非輻射加速度。

### 任意運動的點電荷

對於任意運動的點電荷，需要使用李納－維謝勢，以納入例如洛侖茲規範場等勢場以光速傳播的效應。由於這些勢滿足馬克士威方程組，由點電荷勢所導出的場也滿足馬克士威方程。電場可表示為：

$$\mathbf{E}(\mathbf{r}, \mathbf{t}) = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left(\frac{\left(\mathbf{n}_s - \boldsymbol{\beta}_s\right)}{\gamma^2 \left(1 - \mathbf{n}_s \cdot \boldsymbol{\beta}_s\right)^3 \left|\mathbf{r} - \mathbf{r}_s\right|^2} + \frac{\mathbf{n}_s \times \left( \left(\mathbf{n}_s - \boldsymbol{\beta}_s\right) \times \dot{\boldsymbol{\beta}_s}\right)}{c \left(1 - \mathbf{n}_s \cdot \boldsymbol{\beta}_s\right)^3 \left|\mathbf{r} - \mathbf{r}_s\right|} \right)_{t = t_r}$$ 其中 $q$ 是點源電荷的電荷量；${t_r}$ 是延遲時間，即源對該電場貢獻發出的時間；${r}_s(t)$ 是粒子的位置向量；$\mathbf{n}_s(\mathbf{r},t)$ 是從帶電粒子指向空間中該點的單位向量；$\boldsymbol{\beta}_s(t)$ 是粒子速度除以光速；$\gamma(t)$ 是相應的勞侖茲因子。延遲時間由下式決定：

$$t_r = t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_s(t_r)|}{c}$$

對於速度低於光速的帶電粒子，在給定 $t$、$\mathbf{r}$ 與 $r_s(t)$ 時，${t_r}$ 的解具有唯一性。加速電荷的電磁輻射被認為來自電場中依賴加速度的項；由此可得到拉莫爾公式的相對論修正。

馬克士威方程還存在另一組同形式的解，但使用超前時間 ${t_a}$ 而非延遲時間；其解滿足：

$$t_a = t + \frac{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}_s(t_a)\right|}{c}$$

這種解的物理詮釋是：某點的電場受未來某時刻粒子狀態支配。因此它通常被視為非物理解並被捨棄。不過，也有理論探討馬克士威方程組的超前時間解，例如費曼－惠勒吸收體理論。

以上方程雖與勻速運動點電荷及其非相對論極限一致，但尚未包含量子力學效應的修正。

## 常用公式

電荷配置｜圖示｜電場

無限長直線｜

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｜$\mathbf E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0x} \hat\mathbf x,$ 其中 $\lambda$ 為均勻線電荷密度。

無限大平面｜

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｜$\mathbf E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\hat\mathbf x,$ 其中 $\sigma$ 為均勻面電荷密度。

無限長圓柱體積分布｜

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｜$\mathbf E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0x}\hat\mathbf x ,$ 其中 $\lambda$ 為均勻線電荷密度。

球形體積分布｜

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｜$\mathbf E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0x^2}\hat\mathbf x,$ 球外，其中 $Q$ 為均勻分布於體積中的總電荷。｜$\mathbf E = \frac{Qr}{4\pi\varepsilon_0R^3}\hat\mathbf r,$ 球內，其中 $Q$ 為均勻分布於體積中的總電荷。

球面分布｜

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｜$\mathbf E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0x^2} \hat\mathbf x,$ 球外，其中 $Q$ 為均勻分布於表面的總電荷。｜$\mathbf E = 0,$ 均勻電荷分布時的球內電場。

帶電圓環｜

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｜$\mathbf E = \frac{Qx}{4\pi\varepsilon_0(R^2+x^2)^{3/2}}\hat\mathbf x,$ 在軸線上，其中 $Q$ 為均勻分布於圓環上的總電荷。

帶電圓盤｜

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｜$\mathbf E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \left[1-\frac x \sqrt{x^2+R^2} \right] \hat\mathbf x,$ 在軸線上，其中 $\sigma$ 為均勻面電荷密度。

電偶極子｜

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｜$\mathbf E = -\frac{\mathbf p}{4\pi\varepsilon_0 r^3},$ 在赤道平面上，其中 $\mathbf p$ 為電偶極矩。｜$\mathbf E = \frac{\mathbf p}{2\pi\varepsilon_0x^3} ,$ 在軸線上（假設 $x \gg d$），其中 $x$ 也可為負值以表示軸線相反方向的位置，$\mathbf p$ 為電偶極矩。

處於靜電平衡的導體表面，若某點面電荷密度為 $\sigma$，則無窮接近該點導體表面的電場為 $\frac{\sigma}{\varepsilon_0} \hat\mathbf x$。這是因為電荷只形成於表面，而在無窮小尺度下，表面近似為無限大的二維平面。若無外加電場，球形導體的電荷會均勻分布於表面，因此具有與均勻球面電荷分布相同的電場。

## 外部連結

- Electric field in "Electricity and Magnetism", R Nave – Hyperphysics，喬治亞州立大學
- Frank Wolfs's lectures，羅徹斯特大學，第 23 與 24 章
- Fields – 線上教科書的一章