笛卡兒坐標系

本條目中，向量與標量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。

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笛卡兒坐標系（système de coordonnées cartésiennes；Cartesian coordinate system），也稱直角坐標系（rectangular coordinate system），在數學中是一種正交坐標系，由法國數學家勒內·笛卡兒引入而得名。該坐標系所在的平面稱為直角坐標平面（rectangular coordinate plane）或笛卡兒平面（Cartesian plane）。二維的直角坐標系是由兩條相互垂直、相交於原點的數線構成的。在平面內，任何一點的坐標是根據數軸上對應的點的坐標設定的。在平面內，任何一點與坐標的對應關係，類似於數軸上點與坐標的對應關係。

採用直角坐標，幾何形狀可以用代數公式明確地表達出來。幾何形狀的每一個點的直角坐標必須遵守這個代數公式。例如：直線可以用標準式（一般式）$ax+by+c=0$、斜截式$y=mx+k$等式子來表示；以點$(a,b)$為圓心，$r$為半徑的圓可以用$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$表示。

## 歷史

法國數學家、哲學家勒內·笛卡兒於1637年在《幾何》（La Géométrie）中發表了關於笛卡兒坐標系的研究。皮埃爾·德·費馬也獨立地發明了這種坐標系，包括三維坐標系，但沒有發表。早在笛卡兒和費馬的時代近300年之前，法國主教尼克爾·奧里斯姆就使用了和笛卡兒坐標系類似的構造。

笛卡兒和費馬的坐標系中都僅含一根坐標軸。在1649年弗蘭斯·范斯霍滕及其學生將《幾何》譯成拉丁文時，為闡釋其中的一些想法而引入了一些概念，包括第二根坐標軸。

笛卡兒坐標系支撐了艾薩克·牛頓和戈特弗里德·萊布尼茨發明的微積分。後人把用二維坐標描述平面的方法擴展成了向量空間的概念。

在笛卡兒坐標系之後，人們又創造了更多的坐標系，如平面的極坐標系，以及三維空間的球坐標系和圓柱坐標系。

## 描述

### 二維坐標系統

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二維的直角坐標系通常由兩個互相垂直的坐標軸設定，通常分別稱為x-軸和 y-軸；兩個坐標軸的相交點，稱為原點，通常標記為O，既有「零」的意思，又是法語「Origine」的首字母。每一個軸都指向一個特定的方向。這兩個不同線的坐標軸，決定了一個平面，稱為xy-平面，又稱為笛卡兒平面。通常兩個坐標軸只要互相垂直，其指向何方對於分析問題是沒有影響的，但習慣性地，x-軸被水平擺放，稱為橫軸，通常指向右方；y-軸被豎直擺放而稱為縱軸，通常指向上方。兩個坐標軸這樣的位置關係，稱為二維的右手坐標系，或右手系。如果把這個右手系畫在一張透明紙片上，則在平面內無論怎樣旋轉它，所得到的都叫做右手系；但如果把紙片翻轉，其背面看到的坐標系則稱為「左手系」。這和照鏡子時左右對調的性質有關。

為了要知道坐標軸的任何一點，離原點的距離。假設，我們可以刻畫數值於坐標軸。那麼，從原點開始，往坐標軸所指的方向，每隔一個單位長度，就刻畫數值於坐標軸。這數值是刻畫的次數，也是離原點的正值整數距離；同樣地，背著坐標軸所指的方向，我們也可以刻畫出離原點的負值整數距離。稱x-軸刻畫的數值為x-坐標，又稱橫坐標，稱y-軸刻畫的數值為y-坐標，又稱縱坐標。雖然，在這裏，這兩個坐標都是整數，對應於坐標軸特定的點。按照比例，我們可以推廣至實數坐標和其所對應的坐標軸的每一個點。這兩個坐標就是直角坐標系的直角坐標，標記為$(x,\ y)$。

任何一個點$P$在平面的位置，可以用直角坐標來獨特表達。只要從點$P$畫一條垂直於x-軸的直線。從這條直線與x-軸的相交點，可以找到點$P$的x-坐標。同樣地，可以找到點$P$的y-坐標。這樣，我們可以得到點$P$的直角坐標。

### 三維坐標系統

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直角坐標系也可以推廣至三維空間與高維空間（higher dimension）。在原本的二維直角坐標系，再添加一個垂直於x-軸，y-軸的坐標軸，稱為z-軸。假若，這三個坐標軸滿足右手定則，則可得到三維的直角坐標系。這z-軸與x-軸，y-軸相互正交於原點。在三維空間的任何一點P，可以用直角坐標$(x,\ y,\ z)$來表達其位置。

## 象限與卦限

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平面直角坐標系的兩個坐標軸將平面分成了四個部分，稱為象限，分別用羅馬數字編號為$I\ (+,\ +)$，$II\ ( - ,\ +)$，$III\ ( - ,\ - )$，$IV\ (+,\ - )$。依照慣例，象限$I$的兩個坐標都是正值；象限$II$的x-坐標是負值，y-坐標是正值；象限$III$的兩個坐標都是負值的；象限$IV$的x-坐標是正值，y-坐標是負值。所以，象限的編號是按照逆時針方向，從象限$I$編到象限$IV$。

三維直角坐標系的三個平面，xy-平面，yz-平面，xz-平面，將三維空間分成了八個部分，稱為卦限 (octant)。通常只有第一卦限有明確的編號，其餘卦限的順序都可能因習慣而不同。第一卦限（$I$）中每一個點的三個坐標都是正值的。

## 平面笛卡兒坐標的公式

### 在兩點間的距離

$$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}.$$

這是畢達哥拉斯定理的笛卡兒坐標版本。在三維空間中。

$$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2+ (z_2-z_1)^2} ,$$

它可用畢達哥拉斯定理的兩次連貫應用而得到。

### 歐幾里得變換

歐幾里得變換或歐幾里得移動是歐幾里得平面的點集到同一平面上點集的（雙射）映射，它保持諸點之間的距離。這種映射（也叫等距映射）有四種類型：平移、旋轉、反射和滑移反射。

#### 平移

平移平面上的一個點集，保持在它們之間的距離，等價於在點集中所有的笛卡兒坐標上增加固定的一對數值$(a,b)$。就是說，如果所有點的初始坐標是$(x,y)$，在平移之後它們的坐標將是：

$$(x', y') = (x + a, y + b) .$$

#### 旋轉

要繞原點逆時針旋轉一個圖形$\theta$度，等價於將所有點的坐標為$(x,y)$替代為坐標$(x',y')$，這裡有：

$$x'=x \cos \theta - y \sin \theta$$

$$y'=x \sin \theta + y \cos \theta .$$

因此：

$$(x',y') = ((x \cos \theta - y \sin \theta\,) , (x \sin \theta + y \cos \theta\,)) .$$

#### 反射

設一個點的笛卡兒坐標是$(x,y)$，則$(-x,y)$是它跨第二坐標軸（y軸）的反射的坐標，如同這個線是個鏡子。類似的，$(x,-y)$是它的跨第一個坐標軸（x軸）的反射的坐標。一般的說，跨過原點與x軸夾角為$\theta$的直線的反射，等價於將所有點的坐標$(x,y)$替代為坐標$(x',y')$，這裡有：

$$x'=x \cos 2\theta + y \sin 2\theta$$

$$y'=x \sin 2\theta - y \cos 2\theta .$$

因此：

$$(x',y') = ((x \cos 2\theta + y \sin 2\theta\,) , (x \sin 2\theta - y \cos 2\theta\,)) .$$

#### 滑移反射

滑移反射是跨一個直線的反射和隨後在這個直線方向上的平移的複合。可以看出這些運算的次序是無關緊要的（也可以先平移後反射）。

#### 變換的一般矩陣形式

這些平面的歐幾里得變換可以使用矩陣以一致的方式來描述。對一個點$(x,y)$應用歐幾里得變換的結果$(x', y')$給出為公式：

$$(x',y') = (x,y) A + b$$

這裡的A是一個2×2正交矩陣，而$b=(b_1,b_2)$是任意的數值有序對；也就是：

$$x' = x A_{1 1} + y A_{2 1} + b_{1}$$

$$y' = x A_{1 2} + y A_{2 2} + b_{2},$$

這裡的

$A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}.$ `[`注意對點坐標使用行向量則矩陣要寫在右側。`]`

將是正交的，矩陣$A$必須有正交的有歐幾里得長度1的行，就是：

$$A_{1 1} A_{2 1} + A_{1 2} A_{2 2} = 0$$

並且：

$$A_{1 1}^2 + A_{1 2}^2 = A_{2 1}^2 + A_{2 2}^2 = 1.$$

這等價於說$A$乘以它的轉置矩陣必須是單位矩陣。如果這些條件不成立，則公式描述的是這個平面的更一般的仿射變換，假如$A$的行列式不是零的話。

公式定義了平移，若且唯若$A$是單位矩陣。變換是繞某個點的旋轉，若且唯若$A$是旋轉矩陣，這意味著：

$$A_{1 1} A_{2 2} - A_{2 1} A_{1 2} = 1 .$$

要得到反射或滑移反射需要：

$$A_{1 1} A_{2 2} - A_{2 1} A_{1 2} = -1 .$$

假定不使用平移，變換可以通過簡單將有關的變換矩陣相乘來組合起來。

### 仿射變換

表示笛卡兒坐標的坐標變換的另一種方式是通過仿射變換。在仿射變換中，增加了一個額外維度而所有點對這個額外維度給出數值1。這麼做的好處是點平移可以在矩陣A的最後列中指定。在這種方式下，所有歐幾里得變換都可處理成矩陣點乘法。仿射變換給出為：

$\begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & b_{1} \\ A_{12} & A_{22} & b_{2} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{pmatrix}.$ `[`注意來自上式的矩陣A是轉置的。矩陣在左側並對點坐標使用列向量。`]`

使用仿射變換，多個包括平移的不同歐幾里得變換，可以簡單的通過把它們對應的矩陣相乘而組合起來。

#### 縮放

仿射變換的不是歐幾里得移動的一個例子是縮放。要使一個圖形變大或變小，等價於對所有點的笛卡兒坐標乘以同一個正數$m$。如果最初圖形的點的笛卡兒坐標是$(x,y)$，縮放後的圖形的對應點有坐標：

$$(x',y') = (m x, m y).$$

如果$m$大於1，圖形變大；如果$m$在0與1之間，圖形變小。

#### 錯切

錯切變換將平壓矩形的對邊從而形成平行四邊形。水平錯切定義為：

$$(x',y') = (x+y s, y)$$

垂直錯切定義為：

$$(x',y') = (x, x s+y)$$

## 取向

### 二維空間

直角坐標系的x-軸與y-軸必須相互垂直。稱包含y-軸的直線為y-線。在二維空間裏，當我們設定了x-軸的位置與方向的同時，我們也設定了y-線的方向。可是，我們仍舊必須選擇，在y-線的以原點為共同點的兩條半線中，哪一條半線的點的坐標是正值的，哪一條是負值的？任何一種選擇決定了xy-平面的取向。

通常，我們選擇的取向是，正值的x-軸橫地指向右方，正值的y-軸縱地指向上方。這種取向稱為正值取向、標準取向或右手取向。

右手定則是一種常用的記憶方法，專門用來辨認正值取向：將一隻半握拳的右手放在平面上，大拇指往上指，那麼，其它的手指都從x-軸指向y-軸。

另外一種取向，採用左手定則，專門用來辨認負值取向或左手取向：將一隻半握拳的左手放在xy-平面上，大拇指往上指，那麼，其它的手指都從y-軸指向x-軸。

不論坐標軸是何種取向，將坐標系統做任何角度的旋轉，取向仍舊會保持不變。

### 三維空間

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直角坐標系的x-軸、y-軸與z-軸必須相互垂直。稱包含z-軸的直線為z-線。在三維空間裏，當我們設定了x-軸、y-軸的位置與方向的同時，我們也設定了z-線的方向。可是，我們仍舊必須選擇，在z-線以原點為共同點的兩條半線中，哪一條半線的點的坐標是正值的，哪一條是負值的？這兩種不同的坐標系統，稱為右手坐標系與左手坐標系。右手坐標系又稱為標準坐標系或正值坐標系。

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右手坐標系這名詞是由右手定則而來的。先將右手的手掌與手指伸直，然後將中指指嚮往手掌的掌面半空間，與食指呈直角關係。再將大拇指往上指去，與中指、食指都呈直角關係。則大拇指、食指與中指分別表示了右手坐標系的x-軸、y-軸與z-軸。同樣地，用左手也可以表示出左手坐標系。

左側示意圖展示出一個左手坐標系與一個右手坐標系。因為我們用二維畫面來展示三維物體，會造成扭曲或模稜兩可的圖形。指向下方與右方的軸，也有指向讀者的意思；而位置居於中間的軸，也有指向讀者正在看的方向的意思。平行於xy-平面的紅色圓形曲箭，其紅色箭頭從z-軸前面經過，表示從x-軸往y-軸的旋轉方向。

### 三維坐標系的視覺構圖與直覺表示

在直觀想像中，三維坐標系可理解為二維平面（如桌面）向第三維度的延伸：原本平面的二維坐標（橫軸x-軸與縱軸y-軸）構成底面，而z-軸則垂直於該平面射出（代表高度）。

然而，若在二維介面（如紙張或螢幕）上直接以正面視角繪製該系統，垂直射向觀察者的z-軸會縮為一點並被掩蓋。因此在繪圖與電腦圖形學中，通常會透過視角轉換（例如將xy平面沿空間角度傾斜旋轉），將 z-軸繪製為豎直向上，而x-軸與y-軸斜向伸展，以此直觀呈現空間中長、寬、高三維的相對位置。

## 向量

採用直角坐標系，在三維空間裏，任何一點$P$都可以用向量來表示。我們可以想像向量為一支羽箭，其箭尾在原點，箭鋒在點$P$。假若點P的向量是$\mathbf{r}$，直角坐標是$(x, y, z)$。那麼。

$\mathbf{r} = x \hat{\mathbf{i}} + y \hat{\mathbf{j}} + z \hat{\mathbf{k}}$。

其中，單位向量$\hat{\mathbf{i}}$，$\hat{\mathbf{j}}$與$\hat{\mathbf{k}}$分別指向x-軸，y-軸，與z-軸指向的正無窮值方向。

## 參閱

- 廣義坐標
- 正則坐標
- 坐標系
- 正交坐標系

## 參考目錄

- Descartes, René. Oscamp, Paul J. (trans). Discourse on Method, Optics, Geometry, and Meteorology. 2001.