KdV方程

科特韋赫-德弗里斯方程（Korteweg-De Vries equation），一般簡稱KdV方程，是1895年由荷蘭數學家迪德里克·科特韋赫和古斯塔夫·德弗里斯共同發現的一種偏微分方程。關於實自變量x 和t 的函數φ所滿足的KdV方程形式如下：

$$\partial_t\phi-6\phi\partial_x\phi+\partial^3_x\phi=0$$

KdV方程的解為簇集的孤立子（又稱孤子，孤波）。

## KdV方程的行波解

KdV 方程有多種孤波解。

- 鐘形孤波解

$$\phi(x,t)=\frac12\, c\, \mathrm{sech}^2\left[{\sqrt{c}\over 2}(x-c\,t-a)\right]$$

- 扭形孤波解

$$\phi(x,t)=k\, \mathrm{tanh}[k(x+2tk^2+c)]$$

- 暗孤波解

$$\phi(x,t)= a+b\, \mathrm{tanh}(1+cx+dt)^2$$

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- 鐘形孤波解

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- 扭形孤波解

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- 暗孤波解

## tanh 法解

$${u(x, t) = (1/6)*(4*_C2^3-_C3)/_C2-2*_C2^2*csc(_C1+_C2*x+_C3*t)^2}$$

$${u(x, t) = (1/6)*(4*_C2^3-_C3)/_C2-2*_C2^2*sec(_C1+_C2*x+_C3*t)^2}$$

$$u(x, t) = -(1/6)*(4*_C2^3+_C3)/_C2-2*_C2^2*csch(_C1+_C2*x+_C3*t)^2$$

$${u(x, t) = -(1/6)*(4*_C2^3+_C3)/_C2+2*_C2^2*sech(_C1+_C2*x+_C3*t)^2}$$

$${u(x, t) = (1/6)*(8*_C2^3-_C3)/_C2-2*_C2^2*coth(_C1+_C2*x+_C3*t)^2}$$

$${u(x, t) = (1/6)*(8*_C2^3-_C3)/_C2-2*_C2^2*tanh(_C1+_C2*x+_C3*t)^2}$$

$${u(x, t) = -(1/6)*(8*_C2^3+_C3)/_C2-2*_C2^2*cot(_C1+_C2*x+_C3*t)^2}$$

$${u(x, t) = -(1/6)*(8*_C2^3+_C3)/_C2-2*_C2^2*tan(_C1+_C2*x+_C3*t)^2}$$

$${u(x, t) = (1/6)*(-8*_C3^3+4*_C3^3*_C1^2-_C4)/_C3+2*_C3^2*JacobiDN(_C2+_C3*x+_C4*t, _C1)^2}$$

$${u(x, t) = (1/6)*(-8*_C3^3+4*_C3^3*_C1^2-_C4)/_C3+(2*_C3^2-2*_C3^2*_C1^2)*JacobiND(_C2+_C3*x+_C4*t, _C1)^2}$$

$${u(x, t) = (1/6)*(4*_C3^3*_C1^2+4*_C3^3-_C4)/_C3-2*_C3^2*JacobiNS(_C2+_C3*x+_C4*t, _C1)^2}$$

$${u(x, t) = (1/6)*(4*_C3^3*_C1^2+4*_C3^3-_C4)/_C3-2*_C3^2*_C1^2*JacobiSN(_C2+_C3*x+_C4*t, _C1)^2}$$

$${u(x, t) = -(1/6)*(8*_C3^3*_C1^2-4*_C3^3+_C4)/_C3+(-2*_C3^2+2*_C3^2*_C1^2)*JacobiNC(_C2+_C3*x+_C4*t, _C1)^2}$$

$${u(x, t) = -(1/6)*(8*_C3^3*_C1^2-4*_C3^3+_C4)/_C3+2*_C3^2*_C1^2*JacobiCN(_C2+_C3*x+_C4*t, _C1)^2}$$

$$9.81207-7.70406*I+5.44331*arctanh(10.4881/\sqrt(-110.*csc(1.40000+1.50000*x+1.60000*t)^2+110.))$$

$$9.81207-7.70406*I-5.44331*arctan(10.4881/\sqrt(-110.*csch(1.40000+1.50000*x+1.60000*t)^2-110.))$$

$$9.81207-7.70406*I+5.44331*arctan(10.4881/\sqrt(-110.*csch(1.40000+1.50000*x+1.60000*t)^2-110.))$$

## 三維行波圖

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## 聯繫

KdV方程在物理學的許多領域都有應用，例如等離子體磁流波、離子聲波、非諧振晶格振動、低溫非線性晶格聲子波包的熱激發、液體氣體混合物的壓力表等。

KdV方程也可以用逆散射技術求解。

## 相關

- 格羅斯–皮塔耶夫斯基方程
- 孤立子

## 參考文獻

- *谷超豪 《孤立子理論中的達布變換及其幾何應用》上海科學技術出版社
- *閻振亞著 《複雜非線性波的構造性理論及其應用》科學出版社 2007年
- 李志斌編著 《非線性數學物理方程的行波解》科學出版社
- 王東明著 《消去法及其應用》科學出版社 2002
- *何青 王麗芬編著 《Maple 教程》科學出版社 2010 ISBN 9787030177445
- Graham W. Griffiths William E.Shiesser Traveling Wave Analysis of Partial Differential p135 Equations Academy Press
- Richard H. Enns George C. McCGuire, Nonlinear Physics Birkhauser,1997
- Inna Shingareva, Carlos Lizárraga-Celaya,Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple Springer.
- Eryk Infeld and George Rowlands,Nonlinear Waves,Solitons and Chaos,Cambridge 2000
- Saber Elaydi,An Introduction to Difference Equationns, Springer 2000
- Dongming Wang, Elimination Practice,Imperial College Press 2004
- David Betounes, Partial Differential Equations for Computational Science: With Maple and Vector Analysis Springer, 1998 ISBN 9780387983004
- George Articolo Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple V Academic Press 1998 ISBN 9780120644759