普林姆算法

普里姆演算法（Prim's algorithm）是圖論中的一種貪心算法，可在一個加權連通圖中找到其最小生成樹。意即由此演算法搜索到的邊子集所構成的樹中，不但包括了連通圖裡的所有頂點，且其所有邊的權值之和亦為最小。該演算法於1930年由捷克數學家沃伊捷赫·亞爾尼克發現；並在1957年由美國電腦科學家羅伯特·C·普里姆獨立發現；1959年，艾茲格·迪科斯徹再次發現了該演算法。因此，在某些場合，普里姆演算法又被稱為DJP演算法、亞爾尼克演算法或普里姆－亞爾尼克演算法。

## 描述

從單一頂點開始，普里姆演算法按照以下步驟逐步擴大樹中所含頂點的數目，直到遍及連通圖的所有頂點。

- 輸入：一個加權連通圖，其中頂點集合為$V$，邊集合為$E$。
- 初始化：$V_{\text{new}}=\{x\}$，其中$x$為集合$V$中的任一節點（起始點），$E_{\text{new}}=\{\}$。
- 重複下列操作，直到$V_{\text{new}}=V$：
- 在集合$E$中選取權值最小的邊$(u,v)$，其中$u$為集合$V_{\text{new}}$中的元素，而$v$則是$V$中沒有加入$V_{\text{new}}$的頂點（如果存在有多條滿足前述條件即具有相同權值的邊，則可任意選取其中之一）。
- 將$v$加入集合$V_{\text{new}}$中，將$(u,v)$加入集合$E_{\text{new}}$中。
- 輸出：使用集合$V_{\text{new}}$和$E_{\text{new}}$來描述所得到的最小生成樹。

## 時間複雜度

最小邊、權的數據結構｜時間複雜度（總計）

鄰接矩陣、搜索｜$O(|V|^2)$

二叉堆（後文偽代碼中使用的數據結構）、鄰接表｜$O((|V| + |E|) \log |V|) = O(|E| \log |V|)$

斐波那契堆、鄰接表｜$O(|E| + |V| \log |V|)$

通過鄰接矩陣圖表示的簡易實現中，找到所有最小權邊共需$O(|V|^2)$的運行時間。使用簡單的二叉堆與鄰接表來表示的話，普里姆演算法的運行時間則可縮減為$O(|E| \log |V|)$，其中$|E|$為連通圖的邊集大小，$|V|$為點集大小。如果使用較為複雜的斐波那契堆，則可將運行時間進一步縮短為$O(|E| + |V| \log |V|)$，這在連通圖足夠密集時（當$|E|$滿足$\Omega(|V|\log |V|)$條件時），可較顯著地提高運行速度。

## 例示

圖例｜說明｜不可選｜可選｜已選

<image>

｜此為原始的加權連通圖。每條邊一側的數字代表其權值。

<image>

｜頂點D被任意選為起始點。頂點A、B、E和F通過單條邊與D相連。A是距離D最近的頂點，因此將A及對應邊AD以高亮表示。｜C, G｜A, B, E, F｜D

<image>

｜下一個頂點為距離D或A最近的頂點。B距D為9，距A為7，E距D為15，F距D為6。因此，F距D或A最近，因此將頂點F與相應邊DF以高亮表示。｜C, G｜B, E, F｜A, D

<image>

｜演算法繼續重複上面的步驟。距離A為7的頂點B被高亮表示。｜C｜B, E, G｜A, D, F

<image>

｜在當前情況下，可以在C、E與G間進行選擇。C距B為8，E距B為7，G距F為11。E最近，因此將頂點E與相應邊BE高亮表示。｜無｜C, E, G｜A, D, F, B

<image>

｜這裡，可供選擇的頂點只有C和G。C距E為5，G距E為9，故選取C，並與邊EC一同高亮表示。｜無｜C, G｜A, D, F, B, E

<image>

｜頂點G是唯一剩下的頂點，它距F為11，距E為9，E最近，故高亮表示G及相應邊EG。｜無｜G｜A, D, F, B, E, C

<image>

｜現在，所有頂點均已被選取，圖中綠色部分即為連通圖的最小生成樹。在此例中，最小生成樹的權值之和為39。｜無｜無｜A, D, F, B, E, C, G

## 證明

已知圖G的邊數量為numEdge, 頂點數量為numVert, prim生成的樹為T0, 最小生成樹（MST）為Tmin

則有，cost(Tmin)<=cost(T0)

設：

T0 的 numVert-1 條邊按照權重由小到大排列依次為：ek1, ek2, ek3, ..., ekn

Tmin 的 numVert-1 條邊按照權重由小到大排列依次為：eg1, eg2, eg3, ..., egn

其中n=numVert-1

兩棵樹的邊從小到大權重比較，設第一個屬於 T0 但不屬於 Tmin 的邊為 ed1, 連接該邊的兩個頂點為 (vs, ve1)

同時存在第一個屬於 Tmin 但不屬於 T0 且以vs為頂點的邊，記為 ed2, 連接該邊的兩個頂點為 (vs, ve2)。

兩個邊的起點相同。由Prim算法性質可知，w(ed2) >= w(ed1)

此時，在 Tmin 中刪除 ed2，添加 ed1，邊的數量和頂點數量均不變，且不存在環，因此得到新的生成樹Tnew,且cost(Tmin)>=cost(Tnew)

又因為 Tmin 是MST 所以 cost(Tmin)=cost(Tnew)。

以此類推，cost(Tmin)=cost(T0)

T0是最小生成樹，得證.

## 各語言程序代碼

### Pascal語言程序

部分主程序段：

```pascal
procedure prim(v0:integer);
var
   lowcost,closest:array[1..maxn] of integer;
   i,j,k,min,ans:integer;

   for i:=1 to n do
    begin
     lowcost[i]:=cost[v0,i];
     closest[i]:=v0;
   end;
   for i:=1 to n-1 do
     begin
      min:=maxint;
      for j:=1 to n do
         if (lowcost[j]<min) and (lowcost[j]<>0) then
          begin
            min:=lowcost[j];
            k:=j;
         end;
      inc(ans, lowcost[k]);
      lowcost[k]:=0;
      for j:=1 to n do
         if cost[k,j]<lowcost[j] then
          begin
            lowcost[j]:=cost[k,j];
            closest[j]:=k;
         end;
   end;
 writeln(ans);
end;
```

### C語言代碼

```cpp
//来源：严蔚敏 吴伟民《数据结构(C语言版)》

void MiniSpanTree_PRIM (MGraph G, VertexType u) {
    /*  用普利姆算法從第u個頂點出發構造網G 的最小生成樹T,輸出T的各條邊。
        記錄從頂點集U到V-U的代價最小的邊的輔助數組定義：
        struct
        {
            VertexType adjvex;
            VRtype lowcost;
        }closedge[MAX_VERTEX_NUM];
    */
    
    k = LocateVex(G, u);
    for (j = 0 ; j < G.vexnum; j++) {           //輔助數組初始化
        if (j != k)
            closedge[j] = {u, G.arcs[k][j].adj}; //{adjvex, lowcost}
    }
    closedge[k].lowcost = 0;                 //初始，U={u}
    for (i = 1; i < G.vexnum ; i++) {           //選擇其餘G.vexnum -1 個頂點
        k = minimum(closedge);              //求出T的下個結點：第k結點
        //  此时 closedge[k].lowcost = MIN{ closedge[Vi].lowcost|closedge[Vi].lowcost>0,Vi∈V-U}
        printf(closedge[k].adjvex, G.vexs[k]);    //輸出生成樹的邊
        closedge[k].lowcost = 0;             //第k條邊併入U集
        for (j = 0; j < G.vexnum; j++) {
        
            //新頂點併入U後重新選擇最小邊
            if (G.arcs[k][j].adj < closedge[j].lowcost && closedge[j].lowcost!=0) 
                closedge[j] = {G.vex[k], G.arcs[k][j].adj};
        }
    }
}
```

```cpp
//来源： 浙大-陈越 《数据结构》

#define ERROR -1
Vertex FindMinDist( MGraph Graph, WeightType dist[] )
{
    /* 返回未被收录顶点中dist最小者 */
    
    Vertex MinV, V;
    WeightType MinDist = INFINITY;

    for (V=0; V<Graph->Nv; V++) {
        if ( dist[V]!=0 && dist[V]<MinDist) {
            /* 若V未被收录，且dist[V]更小 */
            MinDist = dist[V]; /* 更新最小距离 */
            MinV = V; /* 更新对应顶点 */
        }
    }
    if (MinDist < INFINITY) /* 若找到最小dist */
        return MinV; /* 返回对应的顶点下标 */
    else return ERROR;  /* 若这样的顶点不存在，返回-1作为标记 */
}

int Prim( MGraph Graph, LGraph MST )
{ /* 将最小生成树保存为邻接表存储的图MST，返回最小权重和 */
    WeightType dist[MaxVertexNum], TotalWeight;
    Vertex parent[MaxVertexNum], V, W;
    int VCount;
    Edge E;

    /* 初始化。默认初始点下标是0 */
       for (V=0; V<Graph->Nv; V++) {
        /* 这里假设若V到W没有直接的边，则Graph->G[V][W]定义为INFINITY */
           dist[V] = Graph->G[0][V];
           parent[V] = 0; /* 暂且定义所有顶点的父结点都是初始点0 */
    }
    TotalWeight = 0; /* .

    ..........初始化权重和     */
    VCount = 0;      /* 初始化收录的顶点数 */
    /* 创建包含所有顶点但没有边的图。注意用邻接表版本 */
    MST = CreateGraph(Graph->Nv);
    E = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode) ); /* 建立空的边结点 */

    /* 将初始点0收录进MST */
    dist[0] = 0;
    VCount ++;
    parent[0] = -1; /* 当前树根是0 */

    while (1) {
        V = FindMinDist( Graph, dist );
        /* V = 未被收录顶点中dist最小者 */
        if ( V==ERROR ) /* 若这样的V不存在 */
            break;   /* 算法结束 */

        /* 将V及相应的边<parent[V], V>收录进MST */
        E->V1 = parent[V];
        E->V2 = V;
        E->Weight = dist[V];
        InsertEdge( MST, E );
        TotalWeight += dist[V];
        dist[V] = 0;
        VCount++;

        for( W=0; W<Graph->Nv; W++ ) /* 对图中的每个顶点W */
            if ( dist[W]!=0 && Graph->G[V][W]<INFINITY ) {
            /* 若W是V的邻接点并且未被收录 */
                if ( Graph->G[V][W] < dist[W] ) {
                /* 若收录V使得dist[W]变小 */
                    dist[W] = Graph->G[V][W]; /* 更新dist[W] */
                    parent[W] = V; /* 更新树 */
                }
            }
    } /* while结束*/
    if ( VCount < Graph->Nv ) /* MST中收的顶点不到|V|个 */
       TotalWeight = ERROR;
    return TotalWeight;   /* 算法执行完毕，返回最小权重和或错误标记 */
}
```

### Python語言實現

此份源碼使用了堆優化

```python
from queue import PriorityQueue as priority_queue
from math import inf
class Node:
    def __init__(self,id,**kwargs):
        self.id = id
        self.fst = self.lst = None

    def __iter__(self):
        return NodeIterator(self)

    def __repr__(self):
        return "Node(%d)"%self.id

class NodeIterator:
    def __init__(self,Node):
        self.prst = Node.fst

    def __next__(self):
        if self.prst == None:
            raise StopIteration()
        ret = self.prst
        self.prst = self.prst.nxt
        return ret

class Edge:
    def __init__(self,fr,to,**kwargs):
        if fr.fst == None:
            fr.fst = self
        else:
            fr.lst.nxt = self
        fr.lst = self
        self.to = to
        self.nxt = None
        self.w = 1 if 'w' not in kwargs else kwargs['w']

    def __repr__(self):
        return "Edge({},{},w = {})",format(self.fr,self.to,self.w)

class Graph:
    def __init__(self,V):
        self.nodecnt = V
        self.nodes = [Node(i) for i in range(V)]
        self.edges = []

    def add(self,u,v,**kwargs):
        self.edges.append(Edge(self.nodes[u],self.nodes[v],**kwargs))

    def MST_prim(self,begin):
        '''
        prim algorithm on a graph(with heap),
        returns the weight sum of the tree
        or -1 if impossible
        '''
        q = priority_queue()
        vis = [False for _ in range(self.nodecnt)]
        q.put((0,begin))
        ret = 0
        while not q.empty():
            prst = q.get()
            if vis[prst[1]]:
                continue
            vis[prst[1]] = True
            ret += prst[0]
            for i in self.nodes[prst[1]]:
                if not vis[i.to.id]:
                    q.put((i.w,i.to.id))
        if all(vis):
            return ret
        else:
            return -1
```

### Java語言實現

```java
import java.util.ArrayList;
import java.util.Iterator;
import java.util.List;

public class Prim {
    public static List<Vertex> vertexList = new ArrayList<Vertex>();//结点集
    public static List<Edge> EdgeQueue = new ArrayList<Edge>();//边集
    public static List<Vertex> newVertex = new ArrayList<Vertex>();//已经 访问过的结点

    public static void main(String[] args) {
        primTree();
    }
    public static void buildGraph() {
        Vertex v1 = new Vertex("a");
        Prim.vertexList.add(v1);
        Vertex v2 = new Vertex("b");
        Prim.vertexList.add(v2);
        Vertex v3 = new Vertex("c");
        Prim.vertexList.add(v3);
        Vertex v4 = new Vertex("d");
        Prim.vertexList.add(v4);
        Vertex v5 = new Vertex("e");
        Prim.vertexList.add(v5);
        addEdge(v1, v2, 6);
        addEdge(v1, v3, 7);
        addEdge(v2, v3, 8);
        addEdge(v2, v5, 4);
        addEdge(v2, v4, 5);
        addEdge(v3, v4, 3);
        addEdge(v3, v5, 9);
        addEdge(v5, v4, 7);
        addEdge(v5, v1, 2);
        addEdge(v4, v2, 2);
    }
    public static void addEdge(Vertex a, Vertex b, int w) {
        Edge e = new Edge(a, b, w);
        Prim.EdgeQueue.add(e);
    }
    public static void primTree() {
        buildGraph();
        Vertex start = vertexList.get(0);
        newVertex.add(start);
        for (int n = 0; n < vertexList.size() - 1; n++) {
            Vertex temp = new Vertex(start.key);
            Edge tempedge = new Edge(start, start, 1000);
            for (Vertex v : newVertex) {
                for (Edge e : EdgeQueue) {
                    if (e.start == v && !containVertex(e.end)) {
                        if (e.key < tempedge.key) {
                            temp = e.end;
                            tempedge = e;
                        }
                    }
                }
            }
            newVertex.add(temp);
        }
        Iterator it = newVertex.iterator();
        while (it.hasNext()) {
            Vertex v = (Vertex) it.next();
            System.out.println(v.key);
        }
    }
    public static boolean containVertex(Vertex vte) {
        for (Vertex v : newVertex) {
            if (v.key.equals(vte.key))
                return true;
        }
        return false;
    }
}

class Vertex {
    String key;
    Vertex(String key) {
        this.key = key;
    }
}

class Edge {
    Vertex start;
    Vertex end;
    int key;
    Edge(Vertex start, Vertex end, int key) {
        this.start = start;
        this.end  = end;
        this.key = key;
    }
}
```

## 參考

普林演演算法與迪科斯徹演演算法的策略相似。