五角星

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五角星，又稱五芒星，是指一種有五隻尖角、並以五條等長直線畫成的星星圖形。英文「五角星」（pentagram）一詞出於希臘語「πεντάγραμμος」（pentagrammos）或「πεντέγραμμος」（pentegrammos）的名詞形式「πεντάγραμμον」（pentagrammon），原意大概是「五條直線的」或「五條線」；而中文「五角星」的意義則顯而易見，指有五隻角的星形。然而，中文「五角星」不一定指本文所談論的「標準」五角星，有時亦泛指所有有五隻角的星形物。

## 歷史

五角星曾在古代被用作基督教的象徵，代表著五種感官或基督的五種傷口。五角星在14世紀的英語詩歌中起著重要作用，象徵著高文之盾。未具名的詩人也將該象徵的起源歸於所羅門王。

## 幾何

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五角星是邊數最少的星形多邊形。最簡單畫它的方法是先畫一個正五邊形，把各角和其對角用直線相連，並擦去原來的五邊形。也可以延長原五邊形的各邊直到它們相交，從而得到一個大的五角星。

黃金分割比（golden ratio），$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}= 1.618 \cdots$，滿足：

$$\varphi=1+2\sin\frac{\pi}{10}=1+2\sin 18^\circ\,$$

$$\varphi=\frac{1}{2\sin\frac{\pi}{10}}=\frac{1}{2\sin 18^\circ}\,$$

$$\varphi=2\cos\frac{\pi}{5}=2\cos 36^\circ\,$$

在正五邊形和五角星中扮演一個重要的角色。每條邊都被分割成幾段小的線段，如果用一對線段中較長線段的長度除以較短線段的長度將得到$\varphi$。

$\varphi =$｜紅色｜＝｜藍色｜＝｜綠色

藍色｜綠色｜紫色

大五邊形的一條邊與一條藍色線段等長，同樣的小五角星的一條對角線與一條綠色線段等長。

如果線段有長度（線條），那圖中就有兩個相似的正五邊形。「線段」怎樣，線條就怎樣，並且它們的交點也可能變化。例如，在摩洛哥的國旗上，綠色五角星有一個黑色的外輪廓，它不「穿過」相交的線條。這跟衣索比亞國旗上五角星中的完全黃色和沒有外輪廓，是不一樣的。

### 一些相關幾何值

$$\sin \frac{\pi}{10} = \sin 18^\circ = \frac{\sqrt 5 - 1}{4}=\frac{\varphi-1}{2}=\frac{1}{2\varphi}$$

$$\cos \frac{\pi}{10} = \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{2(5 + \sqrt 5)}}{4}$$

$$\tan \frac{\pi}{10} = \tan 18^\circ = \frac{\sqrt{5(5 - 2 \sqrt 5)}}{5}$$

$$\cot \frac{\pi}{10} = \cot 18^\circ = \sqrt{5 + 2 \sqrt 5}$$

$$\sin \frac{\pi}{5} = \sin 36^\circ = \frac{\sqrt{2(5 - \sqrt 5)} }{4}$$

$$\cos \frac{\pi}{5} = \cos 36^\circ = \frac{\sqrt 5+1}{4} =\frac{\varphi}{2}$$

$$\tan \frac{\pi}{5} = \tan 36^\circ = \sqrt{5 - 2\sqrt 5}$$

$$\cot \frac{\pi}{5} = \cot 36^\circ = \frac{ \sqrt{5(5 + 2\sqrt 5)}}{5}$$

因此，在一個有一個或兩個36°角的等腰三角形里，兩邊中較長邊的長度，是較短邊的$\phi$倍，無論是銳角三角形或者鈍角三角形。

## 國旗上的五角星

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有許多國家的國旗設計都包含五角星：如智利、賴比瑞亞、衣索比亞、摩洛哥、越南、朝鮮民主主義人民共和國、中華人民共和國、美國等等。很多時候，五角星的中間被填滿，移除了五角形和五個等腰三角形之間的分界。Ivan Sache 指出，摩洛哥國旗上的五角星代表神和摩洛哥國之間的聯繫。

## 其他方面

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- 五角星被很多國家的軍隊作為軍官（尤其是高級軍官）的軍銜標誌使用。
- 一直以來，五角星都與對金星和維納斯的崇拜有密切關係。造成這關係的各個可能原因中，最可信的是史前天文學家的觀察。由地球望去，圍著太陽的金星軌道每八年重覆一次。它自成的五個交叉點恰好畫出一個近乎完美的五角星。
- 在古希臘，五角星是大地女神科爾(Kore)的象徵。
- 在巴比倫，五角星被作為女神伊絲塔(Ishtar)的孿生姐姐冥界女神的符號。
- 在古埃及，五角星被作為冥界子宮的符號。
- 凱爾特人將五角星作為冥界女神摩根的象徵。
- 五角星是魔術的代表符號，是非猶太教徒的符號。初期基督教會亦有用五角星代表耶穌的五個傷口，但現在則多代表異教徒和撒但崇拜者。
- 五角星在魔法中是一種特別的圖形，用正的五角星作魔法陣是白魔法，用倒的五角星則是象徵黑魔法。
- 而在東方陰陽五行裡面，五行「相剋」的連線剛好是五角星。在日本，安倍晴明使用桔梗紋變形的五芒星，被稱為桔梗印，現在是晴明神社的神紋。
- 從最直觀的方面看，五角星是最類似人形的多邊形。
- 把五芒星倒過來（逆五芒星），在基督教內意思是把人的精神指向下，即地獄；在基督教里表示邪惡的符號，亦代表撒但，是撒旦教標誌（倒五角星裡面有山羊（罪人）的頭象，重圓）撒旦教聖經的封皮為一個倒五角星標誌。
- 五角星跟五角星的五的點連接的正五邊形可以表示一個為五行的相生和相剋，其中正五邊形可以表示一個為五行的相生，而五角星為五行的相剋。

## 參考

- Libri tres de occulta philosophia (book III, chapter xxxi) by Heinrich Cornelius Agrippa
- Le Imagini degli Dei degli Antichi by Vincenzo Cartari
- Hrant Arakelian. The History of the Pentagram, Chapter 6 in Mathematics and History of the Golden Section, pp. 207-270, Logos 2014, ISBN 978-5-98704-663-0 (rus.).

## 外部連結

- Pentagons & Pentagramsnew facts about pentagons and pentagrams by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas. Key concept: Menelaus Theorem.
- The PentagramThe Pentagram and Religion
- The Pythagorean Pentacle from the Biblioteca Arcana.
- Miquel's Pentagram - Dynamic Geometry by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas.
- The Pythagorean Pentacle
- The Pentagram by DMGould Ireland's Own Myths & Magic:
- The Pentagram and Freemasonry
- Pythagoreanism Web Site
- Signs of the Devil
- In-depth analysis of the Golden Ratio

## 基本資料

- 施萊夫利符號：正五角星
- 類型：星形正多邊形
- 邊：5
- 對稱群：二面體 (D5)
- 內角（度）：36°
- 對偶：自身對偶
- 特性：星形, 共圓, 等邊, 等角, 邊可遞