一元二次方程

一元二次方程式是只含有一個未知數，並且未知數的最高次數是二次的多項式方程。

例如，$x^2-3x+2= 2$，$\left (3-2i \right)x^2+\sqrt[\pi]{23-6i}x-\sin 2=0$，$t^2-3=0$ 等都是一元二次方程。

一元二次方程式的一般形式是$ax^2+bx+c=0 \left(a \ne 0 \right)$

其中，$ax^2$是二次項，$bx$是一次項，$c$是常數項。$a \ne 0$是一個重要條件，否則就不能保證該方程未知數的最高次數是二次。當然，在強調了是一元二次方程之後，$a \ne 0$也可以省略不寫。另外，一元二次方程式有時會出現複數根。

## 歷史

古巴比倫留下的陶片顯示，在大約公元前2000年（2000 BC）古巴比倫的數學家就能解一元二次方程了。在大約公元前480年，中國人已經使用配方法求得了二次方程的正根。公元前300年左右，歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程。

7世紀印度的婆羅摩笈多（Brahmagupta）是第一位懂得用使用代數方程式且容許同時有正負根的數學家。

11世紀阿拉伯的花拉子密獨立地發展了一套公式以求方程的正數解。亞伯拉罕·巴希亞（亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱）在他的著作Liber embadorum中，首次將完整的一元二次方程解法傳入歐洲。

據說施里德哈勒是最早給出二次方程的普適解法的數學家之一。但這一點在他的時代存在著爭議。這個求解規則是（引自婆什迦羅第二）：

在方程的兩邊同時乘以二次項未知數的係數的四倍；在方程的兩邊同時加上一次項未知數的係數的平方；然後在方程的兩邊同時開二次方根。

將其轉化為數學語言：解關於$x$的方程 $ax^2+bx=-c$

在方程的兩邊同時乘以二次項未知數的係數的四倍，即$4a$，得 $4a^2x^2+4abx=-4ac$

在方程的兩邊同時加上一次項未知數的係數的平方，即$b^2$，得 $4a^2x^2+4abx+b^2=-4ac+b^2$

然後在方程的兩邊同時開二次方根，得 $2ax+b=\pm\sqrt{-4ac+b^2}$

## 解法

阿貝爾指出，任意一元二次方程都可以根據$a$、$b$、$c$三個係數，通過初等代數運算來求解。求得的解也被稱為方程的根。

一般來說，一元二次方程有兩個根。

### 因式分解法

把一個關於 $x$ 一元二次方程變形成一般形式 $ax^2+bx+c=0$ 後，如果 $ax^2+bx+c=0$ 能夠較簡便地分解成兩個一次因式的乘積，則一般用因式分解來解這個一元二次方程。

將方程左邊分解成兩個一次因式的乘積後（一般可用十字相乘法），分別令每一個因式等於零，可以得到兩個一元一次方程。解這兩個一元一次方程，得到的兩個解都是原方程的解。

如果一元二次方程$ax^2+bx+c=0$存在兩個實根$x_1,x_2$，那麼它可以因式分解為$a(x-x_1)(x-x_2)=0$。

例如，解一元二次方程$x^2-3x+2=0$時，可將原方程左邊分解成$\left (x-1 \right)\left (x-2 \right)=0$，所以$x-1=0 \quad x-2=0$，可解得$x_1=1 \quad x_2=2$

### 公式解法

對於$ax^2+bx+c=0\ (a\ne0)$，若$\Delta=\sqrt{{b^2-4ac\ }}>0$，則它的兩個不等實數根可以表示為

$x_{1}=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a},\, x_{2}=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}$。

若$\Delta=\sqrt{{b^2-4ac\ }}=0$，則它的兩個相等實數根可以表示為

$x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{2a}$。

若$\Delta=\sqrt{{b^2-4ac\ }}<0$，則它的兩個共軛複數根可以表示為

$x_{1}=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\text{i},\,\, x_{2}=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\text{i}$。

#### 公式解的證明

公式解可以由配方法得出。

已知關於 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+c=0,\,\, a\ne 0$

①移項，得：

$ax^2+bx=-c$。

②二次項係數化為 $1$，得：

$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$。

③配方，得：

$x^2+\frac{b}{a}x+\biggl(\frac{b}{2a}\biggl)^{2}=-\frac{c}{a}+\biggl(\frac{b}{2a}\biggl)^{2}$。

$\biggl(x+\frac{b}{2a}\biggl)^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$。

因為 $a\ne 0$，所以

若$\Delta=\sqrt{{b^2-4ac\ }}>0$，則它的兩個不等實數根可以表示為

$x_{1}=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a},\, x_{2}=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}$。

若$\Delta=\sqrt{{b^2-4ac\ }}=0$，則它的兩個相等實數根可以表示為

$x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{2a}$。

若$\Delta=\sqrt{{b^2-4ac\ }}<0$，則它的兩個共軛複數根可以表示為

$x_{1}=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\text{i},\,\, x_{2}=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\text{i}$。

#### 一般化

一元二次方程的求根公式在方程的係數為有理數、實數、複數或是任意數域中適用。

公式中的根式$\sqrt{b^2-4ac}$應該理解為「如果存在的話，自乘後為$b^2 - 4ac$之兩數中的任何一個」。在某些數域中，有些數值沒有平方根。

#### 根的判別式

對於實係數一元二次方程$ax^2+bx+c=0 \left( a\ne0 \right)$，$\Delta=b^2-4ac$稱作一元二次方程根的判別式。根據判別式，一元二次方程的根有三種可能的情況：

- 如果$\Delta>0$，則這個一元二次方程有兩個不等的實數根。如果係數都為有理數，且$\Delta$是一個完全平方數，則這兩個根都是有理數，否則這兩個根至少有一個是無理數。
- 如果$\Delta=0$，則這個一元二次方程有兩個相等的實數根。這兩個等根 $x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}$
- 如果$\Delta<0$，則這個一元二次方程有兩個不等的複數根，兩根互為共軛複數。這時兩根分別為$x_{1}=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\text{i},\,\, x_{2}=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\text{i}$，其中 $\text{i}=\sqrt{-1}$。

### 非實係數一元二次方程

即係數為非實數時的一元二次方程，將係數擴展到複數域內，此時要注意根的判別式不適用於非實係數一元二次方程。

### 一元二次方程的根與係數的關係

根據韋達定理可以找出一元二次方程的根與係數的關係。$$x_1+x_2=\frac{-b+ \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} + \frac{-b- \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} = \frac{-2b}{2a} = - \frac{b}{a}$$ $$x_1 \cdot x_2 = \frac{-b+ \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} \cdot \frac{-b- \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} = \frac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$$

### 圖像解法

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一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的幾何意義是二次函數$y=ax^2+bx+c$的圖像（為一條拋物線）與 $x$ 軸交點的坐標，即二次函數的零點。

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另外一種解法是把一元二次方程$ax^2+bx+c=0$化為$x^2=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}$ 的形式。

則方程$ax^2+bx+c=0$的根，就是函數$y=x^2$和$y=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}$交點的橫坐標。

通過作圖，可以得到一元二次方程根的近似值。

### 電腦法

在使用電腦解一元二次方程時，跟人手工計算相似，大部分情況下也是根據以下公式去解$$x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}$$可以進行符號運算的程序，比如Mathematica，可以給出準確的解析表達式。而大部分程序則只會給出數值解。(但亦有部分顯示平方根及虛數)

## 外部連結

- 101 uses of a quadratic equation: Part I， Part II