數學模型

數學模型（mathematical model）是使用數學來將一個系統簡化後予以描述。數學模型廣泛應用在自然科學（如物理學、化學、生物學、宇宙學）、工程學科（如電腦科學，人工智慧）、以及社會科學（如經濟學、心理學、社會學和政治科學）上。科學家和工程師用模型來解釋一個系統，研究不同組成部分的影響，以及對行為做出預測。常見的模型包括動態系統、機率模型、微分方程或賽局模型等等。描述不同對象的模型可能有相同的形式，同一個模型也可能包含了不同的抽象結構。

## 分類

數學模型通常由關係與變量組成。關係可用算符描述，例如代數算符、函數、微分算符等。變量是關注的可量化的系統參數的抽象形式。算符可以與變量相結合發揮作用，也可以不與變量結合。通常情況下，數學模型可被分為以下幾類：

- 線性與非線性：在數學模型中，如果所有變量表現出線性關係，由此產生的數學模型為線性模型。否則，就為非線性模型。對線性與非線性的定義取決於具體數據，線性相關模型中也可能含有非線性表達式。例如，在一個線性模型中，假定參數之間的關係是線性的，但預測變量可能是非線性的。同理，如果一個微分方程定義為線性微分方程，指的是它可以寫成線性微分算子的形式，但其中仍可能有非線性的表達式。在數學規劃模型中，如果目標函數和約束條件都完全可以由線性方程表示，那麼模型為線性模型。如果一個或多個目標函數或約束表示為非線性方程，那麼模型是一個非線性模型。即使在相對簡單的系統中，非線性也往往與混沌和不可逆性等現象有關。雖然也有例外，非線性系統和模型往往比線性研究起來更加困難。解決非線性問題的一個常見方法是線性化，但在嘗試用來研究對非線性依賴性很強的不可逆性等方面時就會出現問題。
- 靜態與動態：動態模型對系統狀態隨時間變化情況起作用，而靜態（或穩態）模型是在系統保持平穩狀態下進行計算的，因而與時間無關。動態模型通常用微分方程描述。
- 顯式與隱式：如果整體模型的所有輸入參數都已知，且輸出參數可以由有限次計算求得（稱為線性規劃，不要與上面描述的線性模型相混淆），該模型稱作顯式模型。但有時輸出參數未知，相應的輸入必須通過迭代過程求解，如牛頓法（如果是線性模型）或布洛登法（如是非線性模型）。例如噴氣發動機物理特性如渦輪和噴管喉道面積，可以在給定特定飛行條件和功率設置的熱力學循環（空氣和燃油的流量、壓力、溫度）的情況下顯式計算出來，但不能用物理性質常量顯式計算出其他飛行條件和功率設置下發動機的工作周期。
- 離散與連續：離散建模將對象視作離散的，例如分子模型中的微粒，又如機率模型中的狀態。而連續建模則由連續的對象所描述，例如管道中流體的速度場，固體中的溫度和壓力，電場中連續作用於整個模型的點電荷等。
- 確定性與機率性（隨機性）：確定性模型是所有變量集合的狀態都能由模型參數和這些變量的先前狀態唯一確定的一種模型；因此，在一組給定的初始條件下確定性模型總會表現相同。相反，在隨機模型（通常成為「機率模型」）中存在隨機性，而且變量狀態並不能用唯一值來描述，而用機率分布來描述。
- 演繹，歸納與漂移：演繹模型是建立在理論上的一種邏輯結構。歸納模型由實證研究及演繹模型推廣而得。漂移模型則既不依賴於理論，也不依賴於觀察，而僅僅是對預期結構的調用。當數學應用在經濟學以外的社會科學時，此類模型一直被批評為毫無根據的模型。科學中在突變理論的應用已被定性為漂移模型。

## 建模的過程

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### 分析問題

首先必須明白問題的本質，才能將之轉換成操作定義和數學符號。根據已知資訊的多寡，模型可以分為三類：

- 白箱模型：指那些內部規律比較清楚的模型。如力學、熱學、電學以及相關的工程技術問題。
- 灰箱模型：指那些內部規律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都還不同程度地有許多工作要做的問題。如氣象學、生態學、經濟學等領域的模型。
- 黑箱模型：指一些其內部規律還很少為人們所知的現象。如生命科學、社會科學等方面的問題。但由於因素眾多、關係複雜，也可簡化為灰箱模型來研究。

### 簡化

模型描述的是理想化的情境，如 George E. P. Box 所言：「所有的模型都是錯的，但有些很有用」。判斷哪些核心部件必須保留、哪些可以簡化是建模的重要步驟。如果所有的細節都包含在內，模型和真實世界是一樣的，則沒有使用模型的意義。

物理中常用的若干簡化模型包括無質量的繩子、點粒子、理想氣體以及無限深方形阱。用簡單方程表示的物理定律有牛頓定律、馬克士威方程組和薛丁格方程等。這些定律都是建立在實際情況的數學模型基礎上的。許多實際情況是非常複雜的，因此要用電腦進行模擬，計算可行的模型是建立在基本定律或基本定律的近似模型上的。例如，分子可以用薛丁格方程的近似解分子軌道模型進行模擬。在工程中，物理模型通常運用的數學方法如有限元分析。不同數學模型使用不同的幾何學，但所使用的不一定是描述宇宙最準確的幾何學。歐幾里得幾何多用在經典物理學中，而狹義相對論和廣義相對論都是不使用歐幾里得幾何的理論。

在數理生物學中，哈溫定律描述一個無限大的族群、裡面隨機交配、沒有天擇或突變。族群遺傳學模型常假設固定的族群大小。計量遺傳學模型則假設連續性狀。

### 建立模型

決定實際問題中的各種因素，轉換為變量表示。接著應分析這些變量之間的關係，哪些是相互依存的，哪些是獨立的，他們具有什麼樣的關係，用合理的數學式表示這些關係。根據實際問題選用合適的數學框架（典型的有優化問題，配置問題等等），並具體的應用問題在這個數學框架下表出，並用合適的演算法求解數學框架下表出的問題。在這個過程中可能用到電腦模擬和編程，常用的數學工具軟體包括MATLAB和Mathematica。

### 分析結果

最後使用計算結果解釋實際問題，並且分析結果的可靠性。這時常需用到各種資訊可視化的技巧。

## 科學應用

數學模型廣泛應用在各領域科學中，包括經濟學模型、族群生物學、計量生物學、流行病學、複雜系統、工程學等，物理理論幾乎無一例外會利用數學模型表示。

縱觀科學史，能夠量化和建立數學模型往往是一門學科發展成熟的指標，學科的進步常常源自新證據讓科學家可以建立更精確、更通用的模型。在生物學，現代生物綜論提出的各種數學模型讓演化生物學成為一門可以量化的學科。在物理學，牛頓運動定律準確地描述了許多日常現象，但在接近光速或是微觀層級時，這些定律就不適用，而需要用相對論或量子力學。

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### 例子

- 電腦科學中的一個常見模型是各種自動機，如用抽象數學概念定義的確定有限狀態自動機（DFA），但是由於DFA的確定性性質，可以用硬體或軟體來實現以解決各種具體問題。
- 許多日常活動都暗含著數學模型的運用。把地球的一個區域投影在小的地圖平面上就是一個模型，該模型可以用來規劃旅行。
- 人口增長：一個簡單（但粗略）的人口增長模型為馬爾薩斯增長模式；另一個較理想且被大量使用的人口增長模型為邏輯函數和其延伸。
- 位能場中的粒子模型：在此模型中，粒子被視為一個質量為m的點，其軌跡為一將時間映射至其空間座標的函數x : R → R3，位能場由一函數V:R3 → R給定，則其軌跡為如下微分方程的解：

$$-\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}(t)}{\mathrm{d}t^2}m=\frac{\partial V[\mathbf{r}(t)]}{\partial x}\mathbf{\hat{x}}+\frac{\partial V[\mathbf{r}(t)]}{\partial y}\mathbf{\hat{y}}+\frac{\partial V[\mathbf{r}(t)]}{\partial z}\mathbf{\hat{z}},$$

也可以寫作

$$m\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}(t)}{\mathrm{d}t^2}=-\nabla V[\mathbf{r}(t)].$$

需注意此模型假定粒子為一質點，但這在許多情形之下是錯誤的，如行星運動的模型之類。

- 鄰居遙感模型解釋了從最初的混沌真菌網路形成蘑菇的過程。
- 電腦科學：電腦網絡模型，數據模型，表面模型等。
- 力學：火箭模型運動等。

## 數學建模競賽

### 美國

MCM/ICM是Mathematical Contest in Modeling和Interdisciplinary Contest in Modeling的縮寫，即「數學建模競賽」和「交叉學科建模競賽」。MCM始於1985年，ICM始於2000年，由COMAP（the Consortium for Mathematics and Its Application，美國數學及其應用聯合會）主辦，得到了SIAM，NSA，INFORMS等多個組織的贊助。MCM/ICM與其他著名數學競賽（如Putnam數學競賽）的區別在於其著重強調研究問題、解決方案的原創性、團隊合作、交流以及結果的合理性。競賽以三人（本科生）為一組，在四天時間內，就指定的問題完成從建立模型、求解、驗證到論文撰寫的全部工作。競賽每年都吸引大量著名高校參賽。2008年MCM/ICM有超過2000個隊伍參加，遍及五大洲。MCM/ICM已經成為最著名的國際大學生競賽之一。

### 中國

全國大學生數學建模競賽創辦於1992年，每年一屆，是首批列入「高校學科競賽排行榜」的19項競賽之一。2020年，來自全國及美國、英國、馬來西亞的1470所院校/校區、45680隊(本科41826隊、專科3854隊)、13萬多人報名參賽。

## 延伸閱讀

### 書籍

- Aris, Rutherford 1978 ( 1994 ). Mathematical Modelling Techniques, New York: Dover. ISBN 978-0-486-68131-3
- Bender, E.A. 1978 ( 2000 ). An Introduction to Mathematical Modeling, New York: Dover. ISBN 978-0-486-41180-4
- Gershenfeld, N. (1998) The Nature of Mathematical Modeling, Cambridge University Press ISBN 978-0-521-57095-4 .
- Lin, C.C. & Segel, L.A. ( 1988 ). Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Philadelphia: SIAM. ISBN 978-0-89871-229-2