熱傳播

熱傳播（heat transfer）有三種方式：

- 熱傳導（heat conduction）：一個分子向另一個分子傳遞振動能，使熱能從高溫向低溫部分轉移。各種材料的熱傳導性能不同，傳導性能好的，如金屬，還包括了自由電子的移動，所以傳熱速度快，可以做熱交換器材料；傳導性能不好的，如石棉，可以做熱絕緣材料。
- 熱對流（heat convection）：是指由於流體的宏觀運動而引起的流體各部分之間發生相對位移，冷熱流體相互摻混所引起的熱量傳遞過程。不同的溫度導致引起系統的密度差是造成對流的原因。對流傳導因為牽扯到動力過程，所以比直接傳導迅速。
- 熱輻射（heat radiation）：是直接通過電磁波輻射向外發散熱量，傳導速度取決於熱源的絕對溫度，溫度越高，輻射越強。

根據傳熱的方式和工藝要求，設計熱交換器，幾乎各種化學工業都有熱交換過程，需要各種熱交換器。

## 熱傳播分析

熱傳播以其所有模式（即傳導，對流和輻射）發生，一般運輸方程的微分形式如下：

${ \frac{\partial{(\rho \phi)}}{\partial t}} + { div\, (\rho u \phi )} ={div\, (k\, grad\, \phi )} + {S_{\phi}}$｜（1）

可以通過有限差分法（FDM），有限體積法（FVM）和有限元素法（FEM）獲得上述方程的數值解。為了進行傳熱分析，將等式（1）中的標量函數ф替換為溫度（T），將擴散係數Γ替換為導熱係數k和源項$S_{\phi}$由發熱項e或任何熱輻射源代替$Q_i$或兩者兼而有之（取決於可用來源的性質），並且針對不同情況存在不同形式的方程式。為了簡單和容易理解，僅討論了一維情況。

可以通過以下兩種方式對物體進行傳熱分析

- 穩態熱分析
- 瞬態熱分析

### 穩態熱分析

穩態熱分析包括以下類型的控制微分方程。

情況1：一般穩態導熱方程。

在這種情況下，控制微分方程（1）變為：

$${ div\, (\rho u T )} ={div\, (k\, grad\, T )}+ {S_{T}} \,$$

情況2：穩態熱傳導方程（不產生熱量）

在這種情況下，控制方程（1）變為：

$${ div\, (\rho u T )} ={div\, (k\, grad\, T )} \,$$

情況3：穩態熱傳導方程（不產生熱，不對流）

在這種情況下，控制微分方程（GDE）（1）變為：

$${div\, (k\, grad\, T )} = 0 \,$$

### 瞬態熱分析

瞬態熱分析包括以下類型的控制微分方程。

情況1：瞬態熱傳導

在這種情況下，控制微分方程（1）變為：

$${ \frac{\partial{(\rho T)}}{\partial t}} + { div\, (\rho u T )} ={div\, (k\, grad\, T )}+ {S_{T}} \,$$

情況2：瞬態熱傳導（不發熱）

在這種情況下，控制微分方程（GDE）（1）變為：

$${ \frac{\partial{(\rho T)}}{\partial t}} + { div\, (\rho u T )} ={div\, (k\, grad\, T )}$$

情況3：瞬態熱傳導（不產生熱也沒有對流）

在這種情況下，控制微分方程（GDE）（1）變為：

$${ \frac{\partial{(\rho T)}}{\partial t}} = {div\, (k\, grad\, T )} \,$$

### 穩態傳熱分析中控制微分方程的離散化

考慮某物體厚度為L，發熱為e，導熱係數為k。將物體細分為M個相等的厚度區域$\Delta x$ = x / T沿x方向，距一定間格分割為各節點，如圖2所示。

<image>

如圖所示，x方向上的整個牆區域按元素劃分，所有內部元素的大小相同，而外部元素的大小為一半。

現在，要獲得內部節點的有限差分解，請考慮由節點m表示的元素，該元素被相鄰節點m-1和m + 1包圍。有限差分技術假定牆壁中的溫度線性變化（如圖3所示）。

有限差分解決方案是（對於除0和最後一個節點之外的所有內部節點）：

$$\frac{(T_{m-1}^i - 2T_{m}^n +T_{m}^i )}{\Delta {x}^2} + \frac {e}{k} = 0$$

<image>

#### 邊界條件

上式僅對內部節點有效。為了獲得外部節點的解決方案，我們必須應用如下邊界條件（如適用）。

##### 規定的熱通量邊界條件

$$q_{0} A+ k A\frac{(T_{1} - T_{0} )}{\Delta {x}} + \frac {e_{0}}{2}A \Delta {x} = 0$$

邊界絕緣時（q = 0）

$$k A\frac{(T_{1} - T_{0} )}{\Delta {x}} + \frac {e_{0}}{2}A \Delta {x} = 0$$

##### 對流邊界條件

$$h A {(T_{\infty} - T_{0} )}+k A\frac{(T_{1} - T_{0} )}{\Delta {x}} + \frac {e_{0}}{2}A \Delta {x} = 0$$

##### 輻射邊界條件

$$\epsilon \sigma A {(T_{sur}^4 - T_{0}^4 )}+k A\frac{(T_{1} - T_{0} )}{\Delta {x}} + \frac {e_{0}}{2}A \Delta {x} = 0$$

##### 對流和輻射聯合邊界條件

$$h A {(T_{\infty} - T_{0} )}+\epsilon \sigma A {(T_{sur}^4 - T_{0}^4 )}+k A\frac{(T_{1} - T_{0} )}{\Delta {x}} + \frac {e_{0}}{2}A \Delta {x} = 0$$

如圖4所示，或當將輻射和對流傳熱係數組合時，上式如下：

$$h A_{combined} {(T_{\infty} - T_{0} )}+k A\frac{(T_{1} - T_{0} )}{\Delta {x}} + \frac {e_{0}}{2}A \Delta {x} = 0 \,$$

<image>

##### 對流，輻射和熱通量邊界條件的組合

$$q_{0}A+h A {(T_{\infty} - T_{0} )}+\epsilon \sigma A {(T_{sur}^4 - T_{0}^4 )}+k A\frac{(T_{1} - T_{0} )}{\Delta {x}} + \frac {e_{0}}{2}A \Delta {x} = 0$$

##### 接觸面邊界條件

在非均質物體，如複合壁中，具有不同熱物理特性的不同物質緊密接合在一起。假定兩種不同的固體介質A和B完全接觸，因此在節點m的界面處具有相同的溫度（如圖5所示）。

$$k_{A} A\frac{(T_{m-1} - T_{m} )}{\Delta {x}} +k_{B} A\frac{(T_{m+1} - T_{m} )}{\Delta {x}}+ \frac {e_{A,m}}{2}A \Delta {x}+\frac {e_{B,m}}{2}A \Delta {x} = 0$$

<image>

在上式中。

$q_0$ =表示指定的熱通量在$(W/m^2)$。

h =對流係數。

$h_{combined}$ =對流和輻射的總純熱係數。

$T_sur$ =周圍表面的溫度。

$T_(\infty)$ =環境溫度。

$T_0$ =初始節點的溫度。$T_0$到$T_l$之間的熱流關係，也可適用於$T_l$到$T_2$之間；將$T_0$到$T_\infty$之間的熱流串聯，便能得經過該複合牆面，從室外到室內的熱流。

### 瞬態傳熱分析中控制微分方程的離散化

瞬態熱分析比穩定熱分析更重要，因為該分析包括隨時間變化的環境條件。在瞬態熱傳導中，溫度隨時間和位置而變化。如圖6所示，瞬態熱傳導的有限差分法解除了空間離散以外，還需要時間步階離散。

<image>

如圖7所示，存在平面壁中一維傳導有限差分法瞬態公式的節點和體積元素。

<image>

對於這種情況，方程式（1）的有限差分顯式解如下：

$$k A\frac{(T_{m-1}^i - T_{m}^i )}{\Delta {x}} +k A\frac{(T_{m+1}^i - T_{m}^i )}{\Delta {x}}+ {e_{m}}A \Delta {x}= (\rho c_{p} \Delta x A) \frac{(T_{m}^{i+1} - T_{m}^i )}{\Delta x}$$

上面的方程可以針對溫度明確求解$(T_{m}^{i+1})$給

$${T_{m}^{i+1}}= \tau {(T_{m+1}^i - T_{m}^i )}+{(1-2\tau)}T_{m}^i +\tau \frac {(e_{m} \Delta {x}^2)}{k}$$

此處。

$$\tau = \frac{(\alpha \Delta t )}{\Delta x^2} \,$$

和

$$\alpha = \frac{k}{\rho c_p} \,$$

這裡， $\tau$代表細胞傅立葉號， $\alpha$代表熱擴散率$c_p$代表恆壓下的比熱， $\Delta t$代表時間步長， $\Delta x$代表空間步長。

上面的等式對所有內部節點均有效，並找到第一個和最後一個節點的關係，應用邊界條件（如適用），如穩態傳熱中所述。對於對流和輻射邊界，如照射物體的太陽輻射 $q_{solar}$，單位為 $(W/m^2)$，反照率常數K已知，與溫度的關係如下：

$$h A {(T_{\infty}^i - T_{0}^i )}+ \kappa A q_{solar} = (\rho c_{p} \Delta x A) \frac{(T_{1}^i - T_{0}^i )}{\Delta x}$$