向量分析

向量分析，或稱為向量微積分（Vector calculus）是數學的一個分支，主要研究在3維歐幾里得空間$\mathbb{R}^3$中向量場的微分和積分。「向量分析」有時也用作多元微積分的代名詞，其中包括向量分析，以及偏微分和多重積分等更廣泛的問題。

向量分析在微分幾何與偏微分方程的研究中起著重要作用。它被廣泛應用於物理和工程中，特別是電磁場、引力場和流體流動的描述中。

向量分析由約西亞·吉布斯和奧利弗·黑維塞於19世紀末從四元數分析發展而來，大多數符號和術語由吉布斯和愛德華·比德韋爾·威爾遜在《向量分析》（1901）中提出。向量演算的常規形式中使用外積，不能推廣到更高維度，而另一種幾何代數的方法運用了可推廣的外積，下文將會討論。

## 基本對象

### 標量場

標量場將空間中的每點與標量值相關聯。標量是代表物理量的數字。標量場的應用如空間中的溫度分布、流體中的壓強分布、零旋量子場（稱為標量玻色子）如希格斯場。這些場是標量場論的研究對象。

### 向量場

向量場將向量分配給空間中的每一點。例如，平面中的向量場可形象地理解為一組箭頭的集合，每個都有給定的大小與方向，並與平面上的點相關聯。向量場常用於模擬運動流體在整個空間中的速度和方向，或某種力（如磁力或引力）在點之間變化時的強度和方向。例如，這可用於計算在一條線上所做的功。

### 向量和偽向量

在更高級的處理中，進一步區分了偽向量場和贗標量場，它們只在反向映射下符號會變化：例如，向量場的旋度是偽向量場，若反射一個向量場，旋度會指向相反的方向。這種區別在幾何代數中有闡述，下詳。

## 向量運算

### 代數運算

向量分析中的基本代數（非微分）的運算稱為向量代數，定義在一向量空間，然後應用到整個向量場，基本代數運算有：

運算｜記作｜描述

向量加法｜$\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2$｜兩個向量相加，產生向量。

標量乘法｜$a \mathbf{v}$｜標量和向量相乘，產生向量。

內積 / 點積｜$\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2$｜兩個向量相乘，產生標量。

外積 / 叉積｜$\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2$｜$\mathbb R^3$中兩向量相乘，產生（偽）向量。

兩種三重積也比較常見：

運算｜記作｜描述

標量三重積｜$\mathbf{v}_1\cdot\left( \mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3 \right)$｜向量與兩向量叉積的點積。

向量三重積｜$\mathbf{v}_1\times\left( \mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3 \right)$｜向量與兩向量叉積的叉積。

三重積不常作為基本運算，不過仍可以用內積及外積表示。

### 微分運算

向量分析研究定義在標量場或向量場定義的不同微分算子，通常用的向量算子（∇）來表示，也被稱為「Nabla算子」。向量分析的五個最重要的微分運算：

算子｜表示｜敘述｜界域

梯度｜$\operatorname{grad}(f) = \nabla f$｜純量場 $f$ 於場中某點增加率最大的速率與方向｜ 純量場的梯度是向量場

散度｜$\operatorname{div}(\vec{F}) = \nabla \cdot \vec{F}$｜向量場 $\vec{F}$ 於場中某點附近發散或匯聚的程度｜向量場的散度是純量場

旋度｜$\operatorname{curl}(\vec{F}) = \nabla \times \vec{F}$｜向量場 $\vec{F}$ 於場中某點附近旋轉的程度｜向量場的旋度是向量場

向量拉普拉斯算子｜$\nabla^2\mathbf{F}=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{F})-\nabla\times(\nabla\times\mathbf{F})$｜均值在無窮小的球內向量場的值不同的程度｜向量場的向量拉普拉斯是向量場

拉普拉斯算子｜$\Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f$｜對純量場 $f$ 作梯度運算後，再作散度運算｜純量場的拉普拉斯是純量場

## 定理

同樣，也有幾個與這幾個相關的重要定理，將微積分基本定理拓展到了更高維度：

定理｜表示｜註解

梯度定理｜$\int_{L[\mathbf p \to \mathbf q] \subset \mathbb R^n} \nabla\varphi\cdot d\mathbf{r} = \varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right)$｜梯度（向量）場中的曲線積分與它的標量場中兩個端點的差。

格林定理｜$\int\!\!\!\!\int_{A\,\subset\mathbb R^2} \left (\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, d\mathbf{A}=\oint_{\partial A} \left ( L\, dx + M\, dy \right )$｜平面內向量場中區域的標量旋度，等於向量場沿逆時針方向的封閉曲線的線積分。

斯托克斯定理｜$\int\!\!\!\!\int_{\Sigma\,\subset\mathbb R^3} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}$｜$\mathbb R^3$ 內向量場的旋度的曲面積分，等於向量場在曲面邊界上的線積分。

高斯散度定理｜$\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int_{V\,\subset\mathbb R^3}\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)d\mathbf{V}=$ $\scriptstyle \partial V$ $\mathbf F\;\cdot{d}\mathbf S$｜向量場的散度對體積的積分，等於穿過包圍體積的閉曲面通量的積分。

## 應用

### 線性近似

線性近似用幾乎相同的線性函數代替複雜函數。給定實值可微函數$f(x,\ y)$，對接近$(a,\ b)$的$(x,\ y)$，可以用下式近似$f(x,\ y)$

$$f(x,y)\ \approx\ f(a,b)+\tfrac{\partial f}{\partial x} (a,b)\,(x-a)+\tfrac{\partial f}{\partial y}(a,b)\,(y-b).$$

右式是$z=f(x,\ y)$圖形在$(a,\ b)$處切線的平面方程。

### 最優化

對連續可微多變量函數，若其所有偏導數在P點都為零（梯度為零），則P點是一個臨界點。臨界值是函數在臨界點上的值。

若函數光滑，或至少2次連續可微，則臨界點可能是局部極值或鞍點。考慮二階導的黑塞矩陣的特徵值，可以區分不同情形。

由費馬引理，可微函數的局部極值都出現在臨界點上。因此，要找到局部極值，只需計算梯度的零點及當處的黑塞矩陣特徵值。

### 物理學與工程學

向量分析尤其適於研究

- 質心
- 場論
- 運動學
- 麥克斯韋方程組

## 推廣

向量分析還可推廣到其他3-流形及高維空間。

### 不同3-流形

向量分析起初是在歐氏空間$\mathbb{R}^3$中，不僅是3維實向量空間，還具有額外結構，即：由內積定義範數（給出長度概念），又引出角度與方向，方向又分左右手。這些結構產生了體積形式，以及在向量分析中常用的叉積。

梯度與散度只需要內積，旋度和叉積還需要考慮坐標軸的手性。

若其他3維實向量空間有內積（或更一般的對稱非退化形式）和方向，向量分析就可在這些空間上定義；這比歐氏空間的同構數據要少，因為不需要坐標軸集（參照系），這反映了向量分析在旋轉（特殊正交群SO(3)）下不變的事實。

更一般地說，向量分析可定義在任意3維有向黎曼流形，或更一般的偽黎曼流形上。這種結構就是每點的切空間都有內積與方向，更一般地說是有對稱非退化度量張量與方向。向量分析根據每點的切向量定義，所以有效。

### 其他維度

大多數分析結果都可以通過微分幾何機制輕鬆理解，向量分析是其子集。梯度、散度、梯度定理、散度定理、拉普拉斯算子（產生調和分析）可輕易推廣到其他維度，而旋度和叉積則不能直接推廣。

從一般觀點來看，（3維）向量分析中的各種場被統一視作k向量場：標量場是0-向量場，向量場是1-向量場，偽向量場是2-向量場，偽標量場是3-向量場。在更高維度中，還有更多類似的場（標量/向量/偽向量/偽標量對應0/1/n-1/n維，這在3維中詳盡無遺），因此不能只用（偽）標量和（偽）向量。

在任意維度中，假定一個非退化形式，標量函數的梯度是向量場，而向量場的散度是標量函數，但只有3維、7維（1維、0維是平凡的）中，才能定義叉積（其他維度的推廣或要n-1個向量才能得到一個向量，或要用李代數代替，即更一般的反對稱雙線性積）。總之，向量場的旋度是二重向量場，可解釋為無窮小旋轉的特殊正交李代數；但這不能視作向量場，因為維數不同——3維旋轉有3維，但4維旋轉有6維（n維中的旋轉有$\textstyle{\binom{n}{2}=\frac{1}{2}n(n-1)}$維）。

向量分析有兩個重要的替代性推廣。第一個是幾何代數，用k向量場（3維及以下時，k向量場都可用標量函數或向量場識別，但更高維並非如此）。外積取代了叉積，可在所有維度中，由兩個向量場輸出一個二重向量場。這產生了作為向量空間上代數結構的克利福德代數（具有有向非退化形式）。幾何代數主要用於物理學等應用領域向更高維的推廣。

第二個運用微分形式（k余向量場），在數學中有廣泛應用，尤常見於微分幾何、幾何拓撲、調和分析等領域，在有向偽黎曼流形上產生了霍奇理論。從這個角度看，梯度、旋度、散度分別對應0形式、1形式、2形式的外導數，而向量分析的關鍵定理都是斯托克斯定理一般形式的特例。

從這兩種推廣來看，向量分析隱式地標識了不同的數學對象，使表述更簡單，但底層的數學結構與推廣卻不那麼清晰。從幾何代數的角度來看，向量分析隱式地將k向量場與向量場與標量函數區分開來：0向量與3向量同標量有關，1向量和2向量同向量有關。從微分形式的角度來看，向量分析隱式地將k形式同標量場與向量場相聯繫：0形式、3形式與標量場有關，1形式、2形式與向量場有關。因此，舉例來說，旋度自然地將向量場或1形式作為輸入，將2向量場或2形式作為輸出（因此是偽向量場），然後將其解釋為向量場，而非直接從向量場映射到向量場，這在高維空間反映為旋度的輸出不是向量場。

## 參考文獻

### 參考資料

- Sandro Caparrini (2002) " The discovery of the vector representation of moments and angular velocity ", Archive for History of Exact Sciences 56:151–81.
- Barry Spain (1965) Vector Analysis, 2nd edition, link from Internet Archive.
- Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis . Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.

## 外部連結

- The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 2: Differential Calculus of Vector Fields
- A survey of the improper use of ∇ in vector analysis (1994) Tai, Chen-To
- Vector Analysis: A Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics, (based upon the lectures of Willard Gibbs) by Edwin Bidwell Wilson, published 1902.

## 延伸閱讀

- A History of Vector Analysis