圓錐曲線

<image>

圓錐曲線（英語：conic section），又稱圓錐截痕、圓錐截面、二次平面曲線，是數學、幾何學中透過平切圓錐（嚴格為一個正圓錐面和一個平面完整相切）得到的曲線，包括圓，橢圓，拋物線，雙曲線及一些退化類型。

圓錐曲線在約西元前200年時就已被命名與研究，其發現者為古希臘的數學家阿波羅尼奧斯，當時阿波羅尼阿斯已對它們的性質做過系統性的研究。

圓錐曲線應用最廣泛的定義為（橢圓，拋物線，雙曲線的統一定義）：動點到一定點（焦點）的距離與其到一定直線（準線）的距離之比為常數（離心率$e$）的點的集合是圓錐曲線。對於$0<e<1$得到橢圓，對於$e=1$得到拋物線，對於$e>1$得到雙曲線。

## 定義

<image>

設$F$為定點，$l$為定直線，$e$為正常數，稱滿足$\frac{|PF|}{|Pl|}=e$的動點$P$的軌跡為圓錐曲線。

其中$F$為其焦點，$l$為準線，$e$為離心率。

由此可知，圓錐曲線的極坐標參數方程為$\rho=e(d-\rho\cos\theta)$或$\rho=\frac{ed}{1\pm e\cos\theta}$（正負號由所選焦點與定直線所處的位置不同而引起）。

其中$\theta$為$PF$與極軸的夾角，$d$為定直線$x=d$，即準線到焦點的距離。

將參數方程轉換成直角坐標方程易得。

當$e=1$時，曲線為拋物線。

當$e\neq 1$時。

當$0<e<1$時，曲線為橢圓。

當$e>1$時，曲線為雙曲線。

## 圓錐曲線的類型

圓錐曲線｜方程｜離心率（e）｜半焦距（c）｜半正焦弦（ℓ）｜焦點準線距離（p）

圓｜$x^2+y^2=a^2$｜$0$｜$0$｜$a$｜$\infty$

橢圓｜$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $\left( a > b > 0 \right)$｜$\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$ $\left( 0<e<1\right)$｜$\sqrt{a^2-b^2}$｜$\frac{b^2}{a}$｜$\frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}$

拋物線｜$y^2=4ax$｜$1$｜$\infty$｜$2a$｜$2a$

雙曲線｜$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$｜$\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$ $\left( e>1\right)$｜$\sqrt{a^2+b^2}$｜$\frac{b^2}{a}$｜$\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}$

<image>

橢圓，圓：當平面只與圓錐面一側相交，交截線是閉合曲線的時候，且不過圓錐頂點，結果為橢圓。如果截面與圓錐面的對稱軸垂直，結果為圓。

拋物線：截面僅與圓錐面的一條母線平行，結果為拋物線。

雙曲線：截面與圓錐面兩側都相交，且不過圓錐頂點，結果為雙曲線。

在平面通過圓錐的頂點的時候，有一些退化情況。交截線可以是一個直線、一個點、或一對直線。

## 幾何性質

### 橢圓

橢圓上的點到兩個焦點的距離和等於長軸長（2a）。

### 拋物線

拋物線上的點到焦點的距離等於該點到準線的距離。

### 雙曲線

雙曲線上的點到兩個焦點的距離之差的絕對值等於貫軸長（2a）。

### 離心率

<image>

對於橢圓和雙曲線，可以採用兩種焦點-準線組合，每個都給出同樣完整的橢圓或雙曲線。從中心到準線的距離是$a/e \ $，這裡的$a \ $是橢圓的半長軸，或雙曲線的半實軸。從中心到焦點的距離是$ae \ $。

在圓的情況下，$e=0$且準線被假想為離中心無限遠。這時聲稱圓由距離是到L的距離的e倍的所有點組成是沒有意義的。

圓錐曲線的離心率因此是對它偏離於圓的程度的度量。

對於一個給定的$a \ $，$e \ $越接近於1，半短軸就越小。

## 笛卡爾坐標

在笛卡爾坐標系內，二元二次方程的圖像可以表示圓錐曲線，並且所有圓錐曲線都以這種方式引出。方程有如下形式

$$Q(x,y) = Ax^2+Bx y+Cy^2+Dx+Ey+F=0$$

此處參數$A\,$，$B\,$和$C\,$不得皆等於$0 \ $。

### 矩陣表示

上述方程可以使用矩陣表示爲

$$\left [\begin{matrix}x & y \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix}A & B/2\\B/2 & C\end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix}D & E \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right] +F= 0$$

亦可以寫作

$$\left[\begin{matrix}x & y & 1\end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix}A & B/2 & D/2\\B/2 & C & E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}\right] = 0$$

這是在射影幾何中使用的齊次形式的一個特例。(參見齊次坐標)

下文中記$A_{3 3} = \left[ \begin{matrix}A & B/2\\B/2 & C\end{matrix}\right]$，記$A_Q = \begin{bmatrix} <pre> A & B/2 & D/2 \\ B/2 & C & E/2 \\ D/2 & E/2 & F </pre> \end{bmatrix}$。

### 類別

藉由$A_Q$，我們可以判定圓錐曲線是否退化。

- 若$\det (A_Q) = 0$，則圓錐曲線$Q$退化。
- 若$\det (A_Q) \neq 0$，則圓錐曲線$Q$未退化。

若圓錐曲線未發生退化，則

- 若 $\det (A_{3 3}) > 0$, 方程表示一個橢圓。
- 對於橢圓，當$(A + C) \det (A_Q) < 0$時，$Q$爲一個實橢圓；當$(A + C) \det (A_Q) > 0$時$Q$爲一個虛橢圓。（例如，$2x^2 + y^2 + 10 = 0$沒有任何實值解，是一個虛橢圓）
- 特別的，若$A=C$，$B=0$且$D^2+E^2-4AF>0\,$，作爲橢圓的特殊情況，$Q$表示一個圓。
- 若 $\det (A_{3 3}) = 0$，$Q$表示一條拋物線。
- 若 $\det (A_{3 3}) < 0$，$Q$表示一條雙曲線。
- 若$A+C=0$，$Q$表示一條直角雙曲線。

若圓錐曲線發生退化，則

- 若$\det (A_{3 3}) > 0$，作爲橢圓的退化，$Q$爲一個點。
- 若$\det (A_{3 3}) = 0$，作爲拋物線的退化，$Q$爲兩條平行直線。
- 若$D^2+E^2>4(A+C)F$，$Q$爲兩條不重合的平行直線。
- 若$D^2+E^2=4(A+C)F$，$Q$爲兩條重合直線。（特別的，此時$A_Q$的秩爲1）
- 若$D^2+E^2<4(A+C)F$，$Q$為兩條虛直線。
- 若$\det (A_{3 3}) < 0$，作爲雙曲線的退化，$Q$爲兩條相交直線。（同時，也是雙曲線的漸近線）

在此處的表達中，$A$和$B$爲多項式係數，而非半長軸$A$和半短軸$B$。

### 不變量

矩陣$A_Q$、$A_{3 3}$的行列式，以及$A+C$（$A_{3 3}$的跡）在任意的旋轉和座標軸的交換中保持不變。常數項$F$以及$D^2+E^2$僅在旋轉中保持不變。

### 離心率

$Q$的離心率可被寫作關於$Q$係數的函數。若 $\det (A_{3 3}) = 0$，$Q$爲 拋物線，其離心率爲1。其它情況下，假設$Q$表達一個未退化的橢圓或雙曲線，那麼

$$e=\sqrt{\frac{2\sqrt{(A-C)^2 + B^2}}{\eta (A+C) + \sqrt{(A-C)^2 + B^2}}},$$

此處若$\det (A_Q)$爲負則$\eta=1$；若$\det (A_Q)$爲正則$\eta=-1$。

此外，離心率$e$也是下述方程的一個正根

$$\Delta e^4+[(A+C)^2-4\Delta]e^2-[(A+C)^2-4\Delta]=0,$$

此處 $\Delta =\det (A_{3 3})$。對於橢圓或拋物線，該方程只有一個正根，即其離心率；對於雙曲線，其有兩個正根，其中的一個爲其離心率。

### 轉換爲標準方程

對於橢圓或雙曲線，$Q$可用變換後的變量$x', y'$表示爲如下所示的標準形式

$$\frac{x'^2}{-S / \lambda_1^2\lambda_2}+\frac{y'^2}{-S / \lambda_1\lambda_2^2}=1,$$

或等價的

$$\frac{x'^2}{-S / \lambda_1\Delta}+\frac{y'^2}{-S / \lambda_2\Delta}=1,$$

此處，$\lambda_1$和$\lambda_2$爲$A_{3 3}$的特徵值，也即下述方程的兩根：

$$\lambda^2-(A+C)\lambda +(AC-(B/2)^2) =0$$

同時，$S = \det (A_Q)$，$\Delta=\lambda_1\lambda_2=\det (A_{3 3})$。

透過座標變換，各種類型的圓錐曲線都可以表示爲其標準形式：

方程式｜圓｜橢圓｜拋物線｜雙曲線

標準方程式｜${x^2} + {y^2}=a^2 \ $｜${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2}=1 \ $｜$y^2=4ax\,$｜${x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2}=1 \ $

參數方程式｜$a\cos\theta,a\sin\theta\,$｜$a\cos\theta,b\sin\theta\,$｜$a t^2,2 a t\,$｜$a\sec\theta,b\tan\theta\,$或 $\pm a\cosh u,b \sinh u\,$

## 極坐標

<image>

圓錐曲線的半正焦弦（semi-latus rectum）通常指示為$\ell$，是從單一焦點或兩個焦點中的一個，到圓錐曲線自身的，沿著垂直於主軸（長軸）的直線度量的距離。它有關於半長軸$a$，和半短軸$b$，通過公式$a\ell=b^2 \ $或$\ell=a(1-e^2) \ $。

在極坐標系中，圓錐曲線有一個焦點在原點，如果有另一個焦點的話它在正x軸上，給出自方程

$r = {\ell \over (1 - e \cos \theta) }$。

或者。

$\frac{1}{r} = \frac{1}{\ell}(1 - e \cos \theta)$。

如上，對於$e=0$得到一個圓，對於$0<e<1$得到橢圓，對於$e=1$得到拋物線，對於$e>1$得到雙曲線。

## 齊次坐標

在齊次坐標下圓錐曲線可以表示為：

$$A_1x^2 + A_2y^2 + A_3z^2 + 2B_1xy + 2B_2xz + 2B_3yz = 0\;$$

或表示為矩陣：

$$\begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}A_1 & B_1 & B_2\\B_1 & A_2 & B_3\\B_2&B_3&A_3\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = 0$$

矩陣$M=\begin{bmatrix}A_1 & B_1 & B_2\\B_1 & A_2 & B_3\\B_2&B_3&A_3\end{bmatrix}$叫做「圓錐曲線矩陣」。

$\Delta = det(M) = \begin{vmatrix}A_1 & B_1 & B_2\\B_1 & A_2 & B_3\\B_2&B_3&A_3\end{vmatrix}$叫做圓錐曲線的行列式。如果$\Delta=0$則這個圓錐曲線被稱為退化的，這意味著圓錐曲線是兩個直線的聯合（兩相交直線，兩平行直線或兩重合直線）或一點。

例如，圓錐曲線$\begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0&0&0\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = 0$退化為兩相交直線：$\{ x^2 - y^2 = 0\} = \{(x+y)(x-y)=0\} = \{x+y=0\} \cup \{x-y=0\}$。

類似的，圓錐曲線有時退化為兩重合直線（兩直線重合成一條）:

$\{x^2+2xy+y^2 = 0\} = \{(x+y)^2=0\}=\{x+y=0\} \cup \{x+y=0\} = \{x+y=0\}$。

$\delta = \begin{vmatrix}A_1 & B_1\\B_1 & A_2\end{vmatrix}$被稱為圓錐曲線的判別式。如果$\delta=0$則圓錐曲線是拋物線，如果$\delta<0$則是雙曲線，如果$\delta>0$則是橢圓。如果$\delta>0$且$A_1=A_2$，圓錐曲線是圓；如果$\delta<0$且$A_1=-A_2$，它是直角雙曲線。可以證明在複射影平面$\mathbb{CP}^2$中，兩個圓錐曲線共有四個點（如果考慮重根），所以永不多於4個交點並總有1個交點（可能性：4個不同的交點，2個單一交點和1個雙重交點，2個雙重交點，1單一交點和1個三重交點，1個四重交點）。如果存在至少一個重根$>1$的交點，則兩個圓錐曲線被稱為相切的。如果只有一個四重交點，兩個圓錐曲線被稱為是共振的。

進一步的，每個直線與每個圓錐曲線相交兩次。如果兩交點是重合成一點，則這個線被稱為切線。因為所有直線交圓錐曲線兩次，每個圓錐曲線有兩個點在無窮遠（與無窮遠線的交點）。如果這些點是實數的，圓錐曲線必定是雙曲線；如果它們是虛共軛，圓錐曲線必定是橢圓，如果圓錐曲線有雙重點在無窮遠，則它是拋物線。如果在無窮遠的點是$(1,i,0)$和$(1,-i,0)$，則圓錐曲線是圓。如果圓錐曲線有一個實數點和一個虛數點在無窮遠，或它有兩個不共軛的虛數點，它不是拋物線、不是橢圓、不是雙曲線。

## 外部連結

- Conic sections at Special plane curves.
- Determinants and Conic Section Curves
- Occurrence of the conics. Conics in nature and elsewhere.