在數學中，七維叉積是七維空間的向量的雙線性運算元。對於任何兩個向量 a、b 在，其叉積也在。七維叉積和三維叉積相似在於，它們滿足反交換律且正交於 a 和 b；不同在於，七維叉積不滿足雅可比恆等式。雖然每對三維向量只有一個叉積（不辨正負），但每對七維向量可以有很多叉積。七維叉積與八元數的關係和三維叉積與四元數的一樣。 七維叉積是將三維以外的叉積廣義化的一個方式，而它和三維叉積是唯二結果為向量、正交於兩個向量，且大小與三維情況相同的二元雙線性向量積。在其他維度中，一些結果為向量的向量積滿足這些條件，但它們是三個或以上的向量的運算；也有一些結果為二重向量的二元積。 乘法表 七維叉積可以用乘法表表示。凱萊 所提供的乘法表顯示正交規範基向量 ei 和 ej（其中 i 和 j 從 1 到 7）的叉積。例如，由該表可知， mathbf e_1 times mathbf e_2 mathbf e_3 mathbf e_2 times mathbf e_1 乘法表可以用來計算任意兩個向量的叉積。例如，如果要計算 x y 的 e1 部分，我們可以選出叉積等於 e1 的基向量： left mathbf x times yright_1 x_2y_3 x_3y_2 x_4y_5x_5y_4 x_7y_6x_6y_7。 重複這個步驟，便可以計算其餘六個部分。 七維叉積有 480 個乘法表，每個都對應一個滿足定義的叉積。 以上乘法表可以用以下關係總結： mathbf e_i mathbf times mathbf e_j varepsilon _ijk mathbf e_k， 其中 varepsilon _ijk 是一個完全反對稱張量；當 ijk 123 145 176 246 257 347 365 時，varepsilon _ijk 的值為 1。 該表左上的 3 3 區域代表三維的叉積。 定義 歐幾里得空間 V 中的叉積是 V V 到 V 的雙線性對映，將 V 中的向量 x 和 y 對映到 V 中的 x y，其中 x y 具有以下性質： Mappings are restricted to be bilinear by and 正交： mathbf x cdot mathbf x times mathbf y mathbf x times mathbf y cdot mathbf y0 大小： mathbf x times mathbf y2 mathbf x2 mathbf y2 mathbf x cdot mathbf y2 其中 xy 為歐幾里得點積，而 x 為歐氏範數。 第一個性質表明叉積垂直於其運算數，而第二個性質提供叉積的大小。設向量的夾角為 θ，則表示式可以表達為 mathbf x times mathbf y mathbf x mathbf y sin theta， 而它就是 x 和 y 的平面中鄰邊為 x 和 y 的平行四邊形的面積。 大小條件的第三個表示式是 若 left mathbf x cdot mathbf y right 0，則 mathbf x times mathbf y mathbf x mathbf y （如果假設 x x 0 是另一個公理。） 定義性質的內涵 已知雙線性、正交和大小的性質，非零叉積僅存在於三維和七維。 Lounesto pp 9697 如果假定叉積所需的性質，然後推斷一個只在 0、1、3 和 7 維滿足的方程式，我們便可得出這個結論。零維只有零向量，而一維的所有向量都是平行的，所以零維和一維的叉積必定等於零。這個維度限制與胡爾維茲定理有關：賦範可除代數只能存在於 1、2、4 和 8 維。如果將代數限制在 0、1、3 或 7 個虛維度，叉積則可以由賦範可除代數的積形成，而非零叉積僅存在於三維和七維。 三維叉積是唯一的（不辨正負），但任何一對七維向量都有很多叉積。設一對向量 x 和 yisin mathbb R7 和任一向量 v，其中 v xy sin θ 且 v 在垂直於 x 和 y 的五維空間中。透過乘法表（和一個有關的基向量集），我們可以求出一個叉積使得 x y v。不像三維叉積一樣，x y a b 不代表 a 和 b 位於 x 和 y 所在的平面。 根據定義，我們有以下性質和恆等式： 反交換律： mathbf x times mathbf y mathbf y times mathbf x 標量三重積： mathbf x cdot mathbf y times mathbf z mathbf y cdot mathbf z times mathbf x mathbf z cdot mathbf x times mathbf y ： mathbf x times mathbf y times mathbf x times mathbf z mathbf x times mathbf y times mathbf z times mathbf x mathbf y times mathbf z times mathbf x times mathbf x mathbf z times mathbf x times mathbf x times mathbf y mathbf x times mathbf x times mathbf y mathbf x2 mathbf y mathbf x cdot mathbf y mathbf x。 一些性質成立於三維但不成立於七維，包括： 向量三重積： mathbf x times mathbf y times mathbf z mathbf x cdot mathbf z mathbf y mathbf x cdot mathbf y mathbf z 雅可比恆等式： mathbf x times mathbf y times mathbf z mathbf y times mathbf z times mathbf x mathbf z times mathbf x times mathbf y ne 0 由於雅可比恆等式不成立，七維叉積使 R7 不具有李代數的結構。 座標表示式 為定義某特定叉積，我們可以選定一個標準正交基 ej 和一個提供 ei ej 全部的積的乘法表。乘法表一節只展示其中一個乘法表。七維叉積有很多乘法表，因為每對單位向量垂直於五個其他單位向量，所以每個叉積都有很多選擇。 確立一個乘法表後，我們可以將它應用於一般向量 x 和 y：以基向量表示 x 和 y，然後根據二線性展開 x y。 如果我們為 e1 至 e7 指定另一個乘法表，根據反交換律，所得的叉積為： mathbf e_1 times mathbf e_2 mathbf e_4 quad mathbf e_2 times mathbf e_4 mathbf e_1 quad mathbf e_4 times mathbf e_1 mathbf e_2 mathbf e_2 times mathbf e_3 mathbf e_5 quad mathbf e_3 times mathbf e_5 mathbf e_2 quad mathbf e_5 times mathbf e_2 mathbf e_3 mathbf e_3 times mathbf e_4 mathbf e_6 quad mathbf e_4 times mathbf e_6 mathbf e_3 quad mathbf e_6 times mathbf e_3 mathbf e_4 mathbf e_4 times mathbf e_5 mathbf e_7 quad mathbf e_5 times mathbf e_7 mathbf e_4 quad mathbf e_7 times mathbf e_4 mathbf e_5 mathbf e_5 times mathbf e_6 mathbf e_1 quad mathbf e_6 times mathbf e_1 mathbf e_5 quad mathbf e_1 times mathbf e_5 mathbf e_6 mathbf e_6 times mathbf e_7 mathbf e_2 quad mathbf e_7 times mathbf e_2 mathbf e_6 quad mathbf e_2 times mathbf e_6 mathbf e_7 mathbf e_7 times mathbf e_1 mathbf e_3 quad mathbf e_1 times mathbf e_3 mathbf e_7 quad mathbf e_3 times mathbf e_7 mathbf e_1。 這個規則可以簡化為 mathbf e_i times mathbf e_i1 mathbf e_i3 其中 i 17 mod 7，而指數 i、i 1 和 i 3 可以迴圈移位。與反交換律結合，這個規則代表叉積。它直接產生乘法表中與零的對角線相鄰的兩個對角線。此外，根據內涵一節的一個恆等式， mathbf e_i times left mathbf e_i times mathbf e_i1right mathbf e_i1 mathbf e_i times mathbf e_i3。 這個規則能產生其他對角線，如此類推。 如果要求出叉積 x y 的 ej 部分，我們可以選定乘法表中所有出現的 ej，然後收集左 zhcn 列；zhhk 列；zhtw 行； 的對應 x 部分和上 zhcn 行；zhhk 行；zhtw 列； 的對應 y 部分，結果為： begin alignmathbf x times mathbf y x_2y_4 x_4y_2 x_3y_7 x_7y_3 x_5y_6 x_6y_5mathbf e_1 x_3y_5 x_5y_3 x_4y_1 x_1y_4 x_6y_7 x_7y_6mathbf e_2 x_4y_6 x_6y_4 x_5y_2 x_2y_5 x_7y_1 x_1y_7mathbf e_3 x_5y_7 x_7y_5 x_6y_3 x_3y_6 x_1y_2 x_2y_1mathbf e_4 x_6y_1 x_1y_6 x_7y_4 x_4y_7 x_2y_3 x_3y_2mathbf e_5 x_7y_2 x_2y_7 x_1y_5 x_5y_1 x_3y_4 x_4y_3mathbf e_6 x_1y_3 x_3y_1 x_2y_6 x_6y_2 x_4y_5 x_5y_4mathbf e_7 end align 其他乘法表 本條目使用了兩個乘法表，但七維向量乘法表不止這些。這些乘法表可以用總結。法諾平面底下的數字表示七個不同叉積的指數集合，其中 ijk ei ej ek。我們可以根據連線任意三點的直線或中心的圓，加上箭頭所代表的正負，得出法諾圖所代表的乘法表。例如，第二個乘法表中的 e1 結果由第二個法諾圖中連線 e1 的三個路徑得出：圓路徑 e2 e4、斜路徑 e3 e7 和邊路徑 e6 e1 e5。根據上述其中一個恆等式，第三個算式可以寫成： mathbf e_6 times left mathbf e_6 times mathbf e_1 right mathbf e_1 mathbf e_6 times mathbf e_5 或 mathbf e_5 times mathbf e_6 mathbf e_1 此外，在法諾圖中，一條直線上的任意兩個單位向量與該直線上的第三個單位向量有叉積關係，且正負取決於箭頭（單位向量的排列）。 考慮到基向量的所有可能排列，總共有 480 個乘法表，所以總共有 480 種叉積。 Available as ArXive preprint Figure 1 is located here 利用幾何代數 叉積也可以用幾何代數計算。叉積以外積（exterior product）開始，而外積是結果為二重向量的兩個向量的積： mathbf B mathbf x wedge mathbf y frac 12mathbf xy mathbf yx。 外積是雙線性的，滿足交錯性且具有所求的大小，但結果不是向量。向量和叉積由這個二重向量的積或得出。三維中只有一個三重向量（不辨縮放因子），也就是該空間的贗純量。上述二重向量與其中一個單位三重向量的積則是該二重向量的對偶。 七維也有類似的計算方式，但由於三重向量組成一個 35 維空間，我們可以使用很多三重向量，但不是所有三重向量都有用。其積等於上述座標變換的三重向量是 mathbf v mathbf e_124 mathbf e_235 mathbf e_346 mathbf e_457 mathbf e_561 mathbf e_672 mathbf e_713。 與外積結合，得叉積為 mathbf x times mathbf y mathbf x wedge mathbf y lrcorner mathbf v 其中 lrcorner 是幾何代數的左縮併（left contraction）運算元。 與八元數的關係 就像三維叉積可以用四元數表示，七維叉積可以用八元數表達。建立 mathbb R7 與虛八元數（mathbb O 中實數線的正交補）的關係後，叉積由以下方程以八元數乘法表示： mathbf x times mathbf y mathrm Immathbf xy frac 12mathbf xymathbf yx。 相反，設 V 為一個叉積為某向量的七維歐幾里得空間，則我們可以在 mathbb R oplus V 上定義一個雙線性乘法如下： amathbf xbmathbf y ab mathbf xcdotmathbf y amathbf y bmathbf x mathbf xtimesmathbf y。 因此，具有該乘法的空間 mathbb R oplus V 與八元數同構。 叉積僅存在於三維和七維，因為我們必然可以在高一個維度的空間定義乘法，而該空間需要得證為賦範可除代數。根據胡爾維茲定理，此類代數僅存在於 1、2、4 和 8 維，所以叉積必定存在於 0、1、3 和 7 維。零維和一維的叉積必然等於零，所以叉積僅存在於三維和七維。 See also 七維叉積之所以不能滿足雅可比恆等式，是因為八元數不滿足交換律。事實上， mathbf xtimes mathbf ytimesmathbf z mathbf ytimes mathbf ztimesmathbf x mathbf ztimes mathbf xtimesmathbf y frac 32mathbf x mathbf y mathbf z 其中 x y z 是。 旋轉 在三維，叉積在旋轉群 SO 3 的作用下保持不變，所以 x 和 y 被旋轉後，它們的叉積是被旋轉後的像。然而，這個不變性不適用於七維：叉積在七維旋轉群 SO 7 的作用下並非不變，但它在 SO 7 的子群李群下不變。 廣義化 非零二元叉積僅存在於三維和七維。如果取消二元積的限制，其他維度也可以有叉積。Lounesto 75 Cross products of k vectors in mathbb Rn p 98 我們要求叉積是多重線性且滿足交錯性的，而且結果是一個正交於所有輸入向量 ai 的向量。由正交的規定得知，在 n 維中，叉積最多隻能接受個向量。叉積的大小應該等於以這些向量為邊的超平行體的體積，而它可以用格拉姆行列式計算。叉積的條件是： 正交：left mathbf a_1 times cdots times mathbf a_kright cdot mathbf a_i 0 對於 i 1 dots k。 格拉姆行列式：mathbf a_1 times cdots times mathbf a_k 2 det mathbf a_i cdot mathbf a_j begin vmatrix mathbf a_1 cdot mathbf a_1 mathbf a_1 cdot mathbf a_2 cdots mathbf a_1 cdot mathbf a_k mathbf a_2 cdot mathbf a_1 mathbf a_2 cdot mathbf a_2 cdots mathbf a_2 cdot mathbf a_k vdots vdots ddots vdots mathbf a_k cdot mathbf a_1 mathbf a_k cdot mathbf a_2 cdots mathbf a_k cdot mathbf a_k end vmatrix 格拉姆行列式是以 a1 ak 為邊的超平行體的體積的平方。 考慮到這些條件，非零叉積 在三維和七維中是二元積； 在 n 3 維中是 n 1 個向量的積，而它是這些向量的外積的霍奇對偶； 在八維中是三個向量的積。 在八維中，三個向量的叉積可以用以下方程求出： mathbf a times mathbf b times mathbf c mathbf a wedge mathbf b wedge mathbf c lrcorner mathbf w mathbf ve_8 其中 v 是七維所用的三重向量，lrcorner 是左縮併運算元，而是一個 4 向量。 除此之外，如上文所述，零叉積存在於一維和零維。偶數維度也有其他 叉積。它是一元函式，用適當的二重向量透過左縮併，輸出一個垂直於輸入向量但大小與其相同的向量。在二維中，這個運算相當於將向量經 90 度旋轉。 我們也可以解除多線性和大小的限制，考慮一個一般連續函式 Vd to V（其中 V 是賦有歐幾里得內積的 mathbb Rn 且 d geq 2 ），它是滿足以下兩個性質的唯一條件： 叉積必定垂直於所有輸入函式。 如果輸入函式線性無關，則其叉積必定非零。 應用這些限制後，叉積只存在於 n 3 d 2；n 7 d 3；n 8 d 3；和 d n 1 的情況中。 參見 參考文獻 Also available as ArXiv reprint Category 雙線性運算元 Category 向量