數學中，賦環空間 X O 上 O 模的層或 O 模是層 F，使得對開的 Usubseteq X，F U 是 O U 模，F Uto F V 的限制對映與 O Uto O V 的限制對映相容：forall fin O U sin F U，fs 的限制是 f 的限制乘以 s 的限制。 標準情況是當 X 是概形，O 是其結構層。若 O 是常層 underline mathbf Z，則 O 模的層等同於阿貝爾群層（即阿貝爾層）。 若 X 是環 R 的主譜，則 R 模會自然地確定一個 O_X 模，稱作相關層。相似地，若 R 是分次環，X 是 R 的射影構造，則分次模會自然地確定一個 O_X 模。這樣產生的 O_X 模是準凝聚層的例子，事實上在仿射與射影概形上，所有準凝聚層都可這樣生成。 賦環空間上的模層形成阿貝爾範疇。Vakil Math 216 Foundations of algebraic geometry 25 而且這範疇有足內射（enough injective），因此定義了層上同調 operatorname Hi X ，為全域性截面函子 Gamma X 的第 i 右匯出函子。此上同調函子與與阿貝爾層範疇中的全域性截面函子的右匯出函子重合，參 例子 給定賦環空間 X O，若 F 是 O 的 O 子模，則稱之為 O 的理想層，因為對開的 Usubseteq X，F U 是環 O U 的理想。 設 X 為 n 維光滑簇，則 X 的切層是餘切層 Omega_X 的對偶，規範層 omega_X 是 Omega_X 的 n 次外冪。 代數層是模層，也是環層。 運算 設 X O 為賦環空間。若 F 和 G 都是 O 模，則它們的張量積 F otimes_O G or F otimes G 也是 O 模，與預層 U mapsto F U otimes_O U G U 相關聯（計算 O 1 otimes O 1 O 的全域性截面，其中 O 1 是射影空間上的塞爾扭曲層，如此可知層化是不可避免的）。 同樣，若 F、G 都是 O 模，則 mathcal H om_O F G 表示作為層 U mapsto operatorname Hom_O_UF_U G_U 的 O 模。有規範同態： mathcal H om_O F O_x to operatorname Hom_O_x F_x O_x 若 F 是有限表示，則其是同構 EGA Ch 0 526 特別地，O 模 mathcal H om_O F O 稱作 F 的對偶模，記作 check F。注意：對任意 O 模 E、F，都有規範同態 check E otimes F to mathcal H om_O E F 若 E 是秩有限的區域性自由層，則就是同構。特別地，若 L 區域性自由且秩為 1（稱這樣的 L 是可逆層或線叢 ），對於凝聚層，有張量逆等同於區域性自由且秩為 1。實際上有事實：若 F otimes G simeq O、且 F 凝聚，則 F、G 區域性自由且秩為 1。cf EGA Ch 0 543 則有 check L otimes L simeq O 這意味著可逆層的同構類構成群，稱作 X 的皮卡第群，規範等同於第一上同調群 operatorname H1 X mathcal O（由標準的切赫上同調論證）。 若 E 是秩有限的區域性自由層，則有配對給出的 O 線性對映 check E otimes E simeq operatorname End_O E to O，稱作 E 的跡對映。 對任意 O 模 F，其張量代數、外代數和對稱代數的定義方式類似。例如，k 次外冪 bigwedgek F 是與預層 U mapsto bigwedgek_O U F U 相關聯的層。若 F 是秩為 n 的區域性自由層，則 bigwedgen F 稱作 F 的行列式（determinant）線叢（嚴格說是可逆層），記作 rm detF。有自然的完美配對： bigwedger F otimes bigwedgenr F to det F 設 f X Oto X O 是賦環空間之間的態射。若 F 是 O 模，則直像層 f_ F 透過自然對映 Oto f_ O 是 O 模（這樣的自然對映是賦環空間態射資料的一部分）。 若 G 是 O 模，則 G 的模逆像 f G 是作為模的張量積的 O 模： f1 G otimes_f1 O O 其中 f1 G 是 G 的逆像層，f1 O to O 由伴隨從 O to f_ O 得到。 f_ 和 f 之間有伴隨關係：對任意 O 模 F、O 模 G， operatorname Hom_Of G F simeq operatorname Hom_OG f_F 是阿貝爾群。還有射影公式：對 O 模 F、秩有限的區域性自由 O 模 E， f_F otimes fE simeq f_ F otimes E 性質 令 X O 是賦環空間。O 模 F，若有 O 模的滿射： bigoplus_i in I O to F to 0 則稱 F 是由全域性截面生成的。明確地說，這意味著存在 F 的全域性截面 s_i 使得 s_i 在每個莖 F_x 中的像生成了作為 O_X 模的 F_x。 代數幾何中，R 模 M（R 是任意交換環）與環的譜 rm SpecR 相關聯，就是這種層的一個例子。 另一個例子：據嘉當定理 A，施坦流形上的凝聚層都是由全域性截面張成的（參下列塞爾定理 A）。在概形論中，一個相關概念是充足線叢（ample line buldle，例如若 L 是充足線叢，那麼它的某個冪是由全域性截面生成的）。 內射 O 模是弛的（flasque，即所有限制對映 F Uto F V 都是滿射）。由於弛層在阿貝爾層範疇中是非週期性的，所以 O 模範疇中的全域性截面函子 Gamma X 的第 i 右匯出函子與通常的阿貝爾層範疇中的第 i 層上同調相重合。see also httpsmathstackexchangecomq447234 與模相關聯的層 令 M 是環 A 上的模。置 Xoperatorname SpecA and write D f f ne 0 operatorname SpecA f1。對每對 D f subseteq D g，根據區域性化的泛性質，有自然對映 rho_g f M g1 to M f1 有性質 rho_g f rho_g h circ rho_h f。則 D f mapsto M f1 是物件為集合 D f、態射為集合包含的範疇，到阿貝爾群範疇的反變函子。可以證明它實際上是 B 層（即其滿足膠合公理），於是定義了 X 上的層 widetilde M，稱作與 M 相關聯的層。 最基本的例子是 X 上的結構層，即 mathcal O_X widetilde A。此外，widetilde M 具有 mathcal O_X widetilde A 模的結構，因此可得到 A 上模範疇 rm Mod A 到 mathcal O_X 上模範疇的正合函子 M mapsto widetilde M。其定義了 rm Mod A 到 X 上準凝聚層範疇的等價，其逆 Gamma X 是全域性截面函子。X 是諾特概形時，函子是從有限生成 A 模到 X 上凝聚層範疇的等價。 此構造有以下性質：對任意 A 模 M、N 與任意態射 varphiMto N， M f1sim widetilde M_D f 對 A 的任意素理想，widetilde M_p simeq M_p 作為 O_pA_p 模。 M otimes_A Nsim simeq widetilde M otimes_widetilde A widetilde N 若 M 是有限表示模，operatorname Hom_A M Nsim simeq mathcal H om_widetilde Awidetilde M widetilde N 由於 rm Mod_A 與 X 上準凝聚層範疇間的等價關係，operatorname Hom_A M N simeq Gamma X mathcal H om_widetilde Awidetilde M widetilde N。 varinjlim M_isim simeq varinjlim widetilde M_i 特別是，取直和與～交換。 當且僅當 sim 的誘導序列正合，稱 A 模序列正合。特別地，ker varphisimker widetilde varphi operatorname cokervarphisimoperatorname cokerwidetilde varphi operatorname imvarphisimoperatorname imwidetilde varphi 與分次模相關聯的層 上一節中的構造與等價有一個分次類似物。令 R 是由 R_0 代數（R_0 表示度為 0 的元素）的度為 1 的元素生成的分次環，M 是分次 R 模。令 X 是 R 的射影構造（於是若 R 不是諾特環，則 X 是射影概形），則有 O 模 widetilde M，使得對 R 的度數為正的任意齊次元 f，有自然同構 widetilde M_f ne 0 simeq M f1_0sim 作為仿射概形 f ne 0 operatorname SpecR f1_0 上的模層；實際上，這透過膠合定義了 widetilde M。 例子：令 R 1 為分次 R 模：R 1_nR_n1，則 O 1 widetilde R 1 稱作塞爾扭曲層，若 R 次數為 1、是有限生成的，則塞爾扭曲層是重言線叢的對偶。 若 F 是 X 上的 O 模，則 F n F otimes O n 就有規範同態： left bigoplus_n ge 0 Gamma X F nrightsim to F 當且僅當 F 是準凝聚層時，它是同構。 計算層上同調 層上同調以難以計算而聞名。正因如此，下面的一般事實對任何實際計算都是重要的： 塞爾消失定理指出，若 X 是射影簇、F 是其上的凝聚層，則對足夠大的 n，塞爾扭曲 F n 由有限多全域性截面生成。此外， forall i Hi X F 是在 R_0 上有限生成的； 有取決於 F 的整數 n_0 使得 operatorname Hi X F n 0 i ge 1 n ge n_0 層擴張 令 X O 是賦環空間，F、H 是 X 上 O 模的層。H 對 F 的擴張是 O 模的短正合列 0 rightarrow F rightarrow G rightarrow H rightarrow 0 與群擴張一樣，若固定 F、H，則 H 對 F 擴張的所有等價類構成阿貝爾群（參 Baer 和），其與 Ext 群 operatorname Ext_O1 HF 同構，當中 operatorname Ext_O1 HF 中的么元對應平凡擴張。 H 是 O 的情形下，有：forall ige 0 operatorname Hi X F operatorname Ext_Oi OF 因為兩側是同一個函子 Gamma X operatorname Hom_O O 的右匯出函子。 注 Hartshorne 等學者不寫下標 O。 設 X 是諾特環上的射影概形。令 F、G 是 X 上的凝聚層，i 是整數，則存在 n_0 使得 operatorname Ext_Oi F G n Gamma X mathcal E xt_Oi F G n n ge n_0 區域性自由消解 mathcal Extmathcal Fmathcal G 對任何凝聚層 mathcal F 都可用區域性自由消解輕鬆計算：給定復形 cdots to mathcal L_2 to mathcal L_1 to mathcal L_0 to mathcal F to 0 則 mathcal RHommathcal Fmathcal G mathcal Hommathcal L_bulletmathcal G 於是 mathcal Extk mathcal Fmathcal G hk mathcal Hommathcal L_bulletmathcal G 例子 超曲面 考慮度數為 d 的光滑超曲面 X，則可計算消解 mathcal Od to mathcal O 並發現 mathcal Exti mathcal O_Xmathcal F hi mathcal Hommathcal Od to mathcal O mathcal F 光滑完全交的並 考慮概形 X text Projleft frac mathbb Cx_0ldotsx_nfg_1g_2g_3 right subseteq mathbb Pn 其中 fg_1g_2g_3 是光滑完全交，deg f d deg g_i e_i。則有復形 mathcal Ode_1e_2e_3 xrightarrow begin bmatrix g_3 g_2 g_1 end bmatrix begin matrix mathcal Ode_1e_2 oplus mathcal Ode_1e_3 oplus mathcal Ode_2e_3 end matrix xrightarrow begin bmatrix g_2 g_3 0 g_1 0 g_3 0 g_1 g_2 end bmatrix begin matrix mathcal Ode_1 oplus mathcal Ode_2 oplus mathcal Ode_3 end matrix xrightarrow begin bmatrix fg_1 fg_2 fg_3 end bmatrix mathcal O 消解了 mathcal O_X，可用於計算 mathcal Exti mathcal O_Xmathcal F。 另見 D 模 分式理想 全純向量叢 註釋 參考文獻 Category 層論