在數學中，在序理論和組合學領域，狄爾沃斯定理透過將集合劃分為數目最少的鏈來量化地描述任何有限偏序集的寬度。它以數學家 命名。 偏序集中的反鏈是其元素兩兩不可比的子集，而鏈是其元素兩兩可比的子集。鏈分解是將偏序集中的元素劃分為若干無交的鏈。狄爾沃斯定理指出，有限偏序集合中，包含元素最多反鏈的元素數等於包含鏈數最少的鏈分解的鏈數，這個量被定義為該偏序集的寬度。 將這個定理推廣到無限偏序集：如果存在有限多個鏈的分解，或當反鏈的大小有有限的上界時，最大反鏈和最小鏈分解的大小仍然相等。 歸納法證明（1） 下面透過在偏序集的大小施數學歸納法的證明來自。 設 P 是有限偏序集。如果 P 是空集，狄爾沃斯定理是顯然的。所以設 P 非空，並取其極大元 a。 透過歸納法，設整數 k，使得偏序集 PPa 可以被 k 個不相交的鏈 C1C2Ck 覆蓋，同時存在至少一個反鏈 A0 包含 k 個元素。顯然，對於任意 i12k，A0Ci。對於任意 i12k，設 xi 是滿足在中某一個大小為 k 的反鏈中且包含於 Ci 中的所有元素中的極大元，並設集合 Ax1x2xk。首先我們證明 A 是一個反鏈：設 Ai 是包含 xi 的大小為 k 的反鏈。固定兩個不同的編號 i 和 j ，有 AiCj 。設 yAiCj，則 yxj（xj 的定義）。這說明 xixj 不成立（因為 xiy 不成立）。透過在上述證明中交換 i 和 j，可得 xjxi 不成立。於是我們證明了 A 是一個反鏈。 現在我們討論 P 是否滿足狄爾沃斯定理。如果存在 i12k 使得 axi。設 K 是鏈 azCizxi，由於 xi 的選取，PK 中不存在大小為 k 的反鏈 。根據歸納假設，PK 可以被 k1 個無交的鏈覆蓋，這是因為在 PK 中，Axi 是大小為 k1 的反鏈。因此，P 可以被 k 條無交的鏈覆蓋，這便是狄爾沃斯定理所言。否則，如果對於任意 i12k 都有 axi 不存在 ， 則 Aa 是 P 中大小為 k1 的反鏈 （因為 a 是 P 中的極大元）。因此，P 可以被 k1 條鏈 aC1C2Ck 覆蓋，得證。 歸納法證明（2） 下面的證明來自。 由於 P 中每一條鏈最多包含一個反鏈中元素（鏈、反鏈的定義），所以 P 中最小鏈覆蓋鏈數大於等於最大反鏈長度。 同樣對 P 的大小 n 採用歸納法。設 P 中的最大反鏈長度為 m。我們只需證明 P 中最小鏈覆蓋鏈數大於等於最大反鏈長度，即 P 可以被 m 條鏈覆蓋。記 A1 和 A2 為 P 中的所有極大元和極小元組成的集合。我們對 P 的性質進行分類討論： 如果 P 中含有一個異於 A1 和 A2 的極大反鏈 A，則我們定義 P 為 xP yA st yx，P 為 xP yA st xy。根據 A 的極大性，PP P。A 是 P 和 P 的極大反鏈，根據歸納假設，可以取 P 為 C1Cm，P 為 D1Dm，其中 Ci 和 Di 為一系列鏈。易得 A 中元素為 Ci 中的極小元、Di 中的極大元。因此 CiDi 為 P 中的鏈。我們證明了 P 可以被 m 條鏈覆蓋。 如果 P 中沒有異於 A1 和 A2 的極大反鏈，則設 x 屬於 A1。設 xyA2。則 Pxy 的最大反鏈長為 m1。根據歸納假設，Pxy 可以被 m1 條鏈覆蓋。再加上 xy 這一條鏈，一共 m 條鏈得證。 透過康尼錫定理證明 與組合學中的許多其他結果一樣，迪爾沃斯定理等價於二分圖匹配的康尼錫定理以及其他幾個相關定理，包括霍爾婚配定理 。 為了證明包含 n 個元素的偏序集 S 上狄爾沃斯定理，考慮使用康尼錫定理，定義二分圖 G U V E ，其中 U V S ，且 u v 是 G 中的一條邊當且僅當在 S 中 u v 成立。根據康尼錫定理， G 中存在匹配 M 以及一組頂點 C ，使得圖 G 中的每條邊至少包含 C 中的一個頂點，並且 M 和 C 包含的元素個數一樣多，這個值記為 m 。設 A 為 S 中不對應於 C 中任何頂點的元素集合，則 A 至少有 n m 個元素（如果 C 包含至少一個對應於二分圖兩側相同元素的頂點，則這個值可能更多），且 A 的元素兩兩不可比。使用對於每一條 M 的邊 x y，合併鏈 x，y 來生成鏈組成的集合 P；則 P 有 n m 條鏈。因此，我們構建了一個一條反鏈和一個具有相同元素個數的鏈劃分。 為了用狄爾沃斯定理證明康尼錫定理，固定二分圖 G U V E，在 UV 上構造一個偏序：u v 當且僅當 uU，vV，且 E 中存在一條從 u 到 v 的邊。根據迪爾沃斯定理，存在一條反鏈 A 和一個鏈劃分 P，兩者包含的元素個數相同。但偏序中唯一的非平凡鏈是與圖中的邊 uv 對應的鏈 uv，因此 P 中的非平凡鏈在圖中形成匹配。且反鏈 A 的補集是 G 中的頂點覆蓋，其基數與此匹配相同。 這種偏序寬度與二分匹配的互相轉化使得我們可以在多項式時間內計算任意偏序的寬度。更準確地說，寬度為 k 的 n 元偏序的可以在 O kn 2 的時間中計算 。 無限偏序集上的擴充套件 無限偏序集上的迪爾沃斯定理指出，當且僅當它可以劃分為 w 個鏈時，偏序集才具有有限寬度 w 。例如，假設無限偏序 P 的寬度為 w ，這意味著任何反鏈中至多有有限個元素，且其上界為 w 。對於 P 的任何子集 S ，將 S 分解為 w 條鏈（如果存在）可以被描述為 S 的不可比圖的著色（以 S 的元素為頂點的圖，每兩個不可比元素之間有一條邊）需要用 w 種顏色；不可比圖的正規著色中的每個顏色類都必須是一條鏈。假設 P 的寬度為 w ，並且根據迪爾沃斯定理的有限版本， P 的每個有限子集 S 都有一個可使用 w 色著色的不可比圖。因此，根據 De BruijnErdős 定理， P 本身也有可使用 w 色著色的不可比圖，從而具有所需的鏈劃分 。 然而，該定理並不能簡單地擴充套件到無限寬（而非基數無限）的偏序集上。在這種情況下，最大反鏈的大小和覆蓋偏序所需的最小鏈數可能有基數上的差異。特別地，對於每個無限基數 κ ，都有一個寬度為ℵ 0 的無限偏序集，其劃分為最少的鏈有 κ 鏈。 對偶狄爾沃斯定理 對偶迪爾沃斯定理指出，偏序集中最大鏈的大小（如果有限）等於該序可以劃分成的反鏈的最小數量 。這個證明比迪爾沃斯定理本身的證明簡單得多：對於任何元素 x ，考慮以 x 為其最大元素的鏈，並令 N x 表示這些 x 最大鏈中最大的鏈的大小，稱為 x 的層數。可以證明每一條鏈從最小元到最大元的層數經過一個區間的層。所以同層的元素構成一條反鏈，而最長的鏈恰好等於整個偏序集的最大層數。 可比圖的完美性質 可比圖是節點是偏序集中的點、兩點間存在邊當且僅當兩點可比形成的無向圖。因此，可比圖中的團就是鏈，可比圖中的獨立集就是反鏈。可比圖的任何匯出子圖本身就是可比圖，由偏序對其元素子集的限制形成。 如果在每個匯出子圖中，色數等於最大團的大小，則無向圖是完美的。這就是圖論版本的米爾斯基定理。根據的完美圖定理，任何完美圖的補圖也是完美的。因此，任何可比圖的補集都是完美的；這就是迪爾沃斯定理的圖論版本 。因此，完美圖對取補的封閉性可以用另一種方式證明迪爾沃斯定理。 特殊偏序的寬度 布林格 B n 是 n 元集 X 的冪集（一般是 1 2 n），按子集關係賦偏序，可以用符號記作 2 n 。斯佩納定理指出，B n 的最大反鏈的大小為 operatorname widthB_n n choose lfloor n2rfloor 換句話說，X 的 n2 元子集全體就是 X 的最大反鏈。 LubellYamamotoMeshalkin 不等式也涉及冪集中的反鏈，可用於證明斯佩納定理。 如果我們對區間 1 2n 中的整數按整除性賦序，則子區間 n 1 2n 形成基數為 n 的反鏈。將此偏序劃分為 n 條鏈很容易：對每個奇數整數 m ，m2i 都是一條鏈。因此，根據迪爾沃斯定理，該偏序的寬度為 n 。 關於單調子序列的 ErdősSzekeres 定理可以解釋為 Dilworth 定理在二維偏序上的應用 。 定義反擬陣的 凸維數：定義反擬陣所需的最小鏈數。於是我們可以使用迪爾沃斯定理來表明它等於其相關偏序的寬度；這種轉化可以製成計算凸維數的多項式時間演算法。 參考 外部連結 Equivalence of seven major theorems in combinatorics Category 組合學 Category 序理論 Category 包含證明的條目