數學中，特別是代數拓撲中，艾倫伯格麥克萊恩空間是具有單一非平凡同倫群的拓撲空間。 令 G 為群，n 為正整數。連通拓撲空間 X 的第 n 同倫群 pi_n X 若同構於 G、其他同倫群都平凡，則稱 X 是 K Gn 型艾倫伯格麥克萊恩空間。設 G 在 n 1 時是阿貝爾群，則 K Gn 型艾倫伯格麥克萊恩空間總存在，且都是弱同倫等價的。因此，可以認為 K Gn 指空間的弱同倫等價類。通常將任何表示稱作 一個 K Gn 或 K Gn 的模型，此外通常假定這空間是 CW 復形（透過 CW 近似總是可能的）。 艾倫伯格麥克萊恩空間得名於塞繆爾艾倫伯格與桑德斯麥克萊恩，他們在 1940 年代末引入了此類空間。 因此，艾倫伯格麥克萊恩空間是一類特殊的拓撲空間，在同倫論中可視作透過波斯尼科夫塔中的纖維化構建 CW 復形的物件。這些空間在代數拓撲的很多方面都十分重要，如球面同倫群的計算、上同調運算的定義及與奇異上同調的緊密聯絡。 廣義艾倫伯格麥克萊恩空間是具有艾倫伯格麥克萊恩空間 prod_m K G_mm 的拓撲積的同倫類的空間。 例子 單位圓 S1 是 K Z1。 無窮維復射影空間 mathbb CPinfty 是 K Z2 的模型。 無窮維實射影空間 mathbb RPinfty 是 K Z21。 k 個單位圓的楔和 textstylebigvee_i1k S1 是 K F_k1，其中 F_k 是 k 個生成子上的自由群。 3 維球 S3 中任何連通結或圖的補是 K G1 型，這種現象被稱作 結的非球面性，是赫里斯託斯帕帕基里亞科普洛斯於 1957 年提出的定理。 緊連通曲率非正流形 M 是 K Gamma1，其中 Gammapi_1 M 是 M 的基本群。這是嘉當阿達馬定理的結果。 無限透鏡空間 L infty q 由 Sinfty 對自由作用 z mapsto e2pi i mq z （ m in Zq ）的商給出，是 K mathbb Zq1。這可以用覆疊空間理論和無窮維球體可收縮來證明。注意這包括作為 K Z21 的 mathbb RPinfty。 平面上 n 個點的構型空間是 K P_n1，其中 P_n 是 n 股上的純辮群。 相應地， mathbb R2 的第 n 無序構型空間是 K B_n1，其中 B_n 表示 n 股辮群。Lucas Williams Configuration spaces for the working undergraduate arXiv November 5 2019 Retrieved 20210614 n 球的無窮對稱積 SP Sn 是 K mathbb Zn。更一般地， SP M Gn 對所有摩爾空間 M Gn 是 K Gn 。 利用積 K Gn times K Hn 是 K Gtimes Hn 的事實，可構造出更多基本例子，例如 n 維環面 mathbb Tn 是 K mathbb Zn 1。 關於構造艾倫伯格麥克萊恩空間的備註 對 n 1 、任意群 G， K G1 的構造與 G 的分類空間的構造相同。注意若 G 含扭元（torsion element），則 K G1 型 CW 復形都是無窮維的。 構造高階艾倫伯格 麥克萊恩空間有很多技術，如為阿貝爾群 A 構造摩爾空間 M An：取 n 個球的楔，每個球代表一個 A 的生成子，並透過上述楔和的 pi_n bigvee Sn 中相應對映附加 n1 個胞腔（cell），實現生成子之間的關係。注意低階同倫群 pi_i n M An 由構造是平凡的。現在透過附加大於 n 1 維的胞腔，迭代殺死所有高階同倫群 pi_i n M An ，並定義 K An 為包含此迭代的直極限。 另一個有用技巧是運用單純阿貝爾群的幾何實現。這給出了代表艾倫伯格 麥克萊恩空間的單純阿貝爾群的明確表述。 喬彼得梅的書從分類空間與通用叢角度給出了另一種簡單構造。 由於閉路空間將同倫群降低了一圈（slot），我們有規範同倫等價 K GnsimeqOmega K Gn1，因此有纖維化序列 K Gn to to K Gn1 注意這不是上纖維化序列：空間 K Gn1 不是 K Gn to 的同倫上纖維。 這個纖維化序列可用於從 K Gn 用勒雷譜序列研究 K Gn1 的上同調，讓 皮埃爾塞爾在利用波斯尼科夫塔和譜序列研究球面同倫群時利用了這一點。 性質 對映與上同調的同倫類間的雙射 K G n 的一個重要性質是，對任何阿貝爾群 G、任何基 CW 復形 X，X 到 K Gn 的基對映的基同倫類集 X K Gn，同空間 X 的第 n 奇異上同調群 Hn X G 是自然雙射。因此可以說 K Gns 是係數在 G 中的奇異上同調的表示空間。由於 begin arrayrcl Hn K GnG operatorname HomH_n K GnZ G operatorname Hompi_n K Gn G operatorname HomGG end array 有一個區別元素 u in Hn K GnG，對應么元。上述雙射由元素的拉回 f mapsto fu 給出，這與範疇論中的米田引理很相似。 此定理的構造性證明可見參考文獻 Xi Yin On EilenbergMacLanes Spaces Retrieved 20210614，另一個利用 Omega 譜與廣義既約上同調關係的證明可見參考文獻 Allen Hatcher Algebraic Topology Cambridge University Press 2001 Retrieved 20210614，主要思想也將在後面略述。 閉路空間 Omega 譜 艾倫伯格麥克萊恩空間的閉路空間還是艾倫伯格麥克萊恩空間：Omega K Gn cong K Gn1。此外，在閉路空間與既約緯懸之間還有伴隨關係： Sigma X Y XOmega Y ，使 XK Gn cong XOmega2K Gn2 有阿貝爾群的結構，其中的運算是閉路的連結。這使得上面提到的雙射 X K Gn to Hn X G 是群同構。 這個性質還意味著不同 n 的艾倫伯格麥克萊恩空間構成 Omega 譜，稱作艾倫伯格麥克萊恩空間譜。這個譜透過 X mapsto hn X X K Gn 定義了基於 CW 復形的既約上同調論，對任何 CW 復形上的既約上同調論 h （ hn S0 0 ， n neq 0），有自然同構 hn X cong tilde Hn X h0 S0 ，其中 tilde H 表示既約奇異上同調。因此，這兩個上同調論重合。 在更廣義的語境中，布朗可表性定理指出，基 CW 復形上的既約上同調論來自 Omega 譜。 與同調的關係 對給定阿貝爾群 G，有穩定同倫群 pi_qns X wedge K Gn cong pi_qn1s X wedge Sigma K Gn to pi_qn1s X wedge K Gn1 上由對映 Sigma K Gn to K Gn1 匯出的對映。取它們的直極限，可驗證這在 CW 復形上定義了既約同調論 h_q X varinjlim _n pi_qns X wedge K Gn 由於 h_q S0 varinjlim pi_qns K Gn （ q neq 0）為零， h_ 與 CW 復形上係數在 G 中的既約奇異同調 tilde H_cdotG 一致。 函子性 從上同調的萬有係數定理可以看出，艾倫伯格麥克萊恩空間是群的準函子，即對每個正整數 n，若 acolon G to G 是阿貝爾群的任何同態，則有非空集 K an f fcolon K Gn to K Gn H_n f a 滿足 K a circ bn supset K an circ K bn text and 1 in K 1n 其中 f 表示連續對映 f、S circ T s circ t s in S t in T 的同倫類。 與波斯尼科夫 懷特海塔的關係 連通 CW 復形 X 都有波斯尼科夫塔，即空間的逆系： cdots to X_3 xrightarrow p_3 X_2 xrightarrow p_2 X_1 simeq K pi_1 X 1 使對每個 n 都有： 有交換對映 X to X_n ，匯出 pi_i （ i leq n）上的同態； pi_i X_n 0 （ i n ）； 對映 X_n xrightarrow p_n X_n1 是具有纖維 K pi_n Xn 的纖維化。 對偶地，還有懷特海塔，是 CW 復形的序列： cdots to X_3 to X_2 to X_1 to X 使對每個 n 都有： 對映 X_n to X 匯出 pi_i （ i n ）上的同態； X_n 是 n 連通的； 對映 X_n to X_n1 是具有纖維 K pi_n X n1 的纖維化。 在塞爾譜序列的幫助下，可計算出球面的高階同倫群。例如， pi_4 S3 、 pi_5 S3 用 S3 的懷特海塔，可見參考文獻 Xi Yin On EilenbergMacLanes Spaces Retrieved 20210614；更一般地說，使用波斯尼科夫系統的 pi_niSn i leq 3 可見參考文獻。 Allen Hatcher Spectral Sequences Retrieved 20210425 上同調運算 對不變的自然數 mn、阿貝爾群 GH ，存在所有上同調運算集 Theta Hm cdotG to Hn cdotH 與 Hn K GmH 之間的雙射，定義為 Theta mapsto Theta alpha （ alpha in Hm K GmG 是基本類）。 因此，上同調運算不能降低同調群的度，保度上同調運算對應係數同態 operatorname HomGH 。這源於上同調的萬有係數定理與 K Gm 的 n1 連通性。 GH 是有限迴圈群時，上同調運算的一些有趣例子是斯廷羅德平方與冪。研究這些時，係數在 Z p 中的 K Z p n 的上同調變得非常重要，Cary Malkievich The Steenrod algebra Retrieved 20210614 有關這些組別的詳細列表，請參此處。 群（上）同調 可以定義群 G 的係數在群 A 中的（上）同調為艾倫伯格麥克萊恩空間 K G1 的奇異（上）同調，係數在 A 中。 進一步應用 上述閉路空間構造在弦論中用於得到弦群等等，如由短正合列 0rightarrow K Z2rightarrow operatorname Stringnrightarrow operatorname Spinnrightarrow 0 產生的懷特海塔，其中 text Stringn 是弦群，text Spinn 是旋量群。K Z2 的相關性在於存在分類空間 BZ（且 K Z2 simeq BU 1）的同倫等價關係 K mathbb Z1 simeq U 1 simeq BZ 注意，由於復旋量群是群擴張 0to K Z1 to text SpinComplex n to text Spinn to 0 弦群在高階群理論中可看做 高階 復旋量群的擴張，因為空間 K Z2 就是高階群的一個例子。它可看做是物件為單點、態射為群 U 1 的廣群 mathbf B U 1 的拓撲實現。由於這些同倫性質，這個構造可以推廣：任何給定空間 K Zn 都可以用來啟動一個短正合列，可在拓撲群中去除同倫群 pi_n1。 另見 分類空間， n 1 情形 布朗可表性定理，關於表示空間 摩爾空間，同調中的類似物 註釋 參考文獻 基礎文章 嘉當研討會與應用 嘉當研討會（Cartan seminar）包含很多餘艾倫伯格 麥克萊恩空間的基本結果，包括其同調與上同調、計算球面同倫群的應用等。 httpwwwnumdamorgvolumeSHC_19541955__7 計算整上同調環 Derived functors of the divided power functors Integral Cohomology of Finite Postnikov Towers Co homology of the EilenbergMacLane spaces K Gn 其他百科參考文獻 Encyclopedia of Mathematics Category 同倫論