泛函連線理論（英語：Theory of Functional Connections，以下簡稱 TFC）是德克薩斯 AM 大學的 D Mortari 教授在其著作中引入的，為執行泛函插值而開發的數學框架，該框架提供了一種將約束最佳化問題轉換為等效的無約束問題的方法，目前已經廣泛應用到實際問題的解決中。例如，透過利用這種轉換，TFC 可以被有效地應用於微分方程求解問題。下面來具體解釋泛函插值與泛函連線的意義與價值。 從函式插值到泛函插值 在介紹 TFC 問題之前，首先考慮一個涉及 n 個約束且具有普遍性的插值問題，例如微分方程的邊值問題（BVP）求解。這些約束可能是一致的，也可能是不一致的。例如，在域 mathcal D 0 1 cup 0 1 的問題中，約束 f_1 x0 1 x 和 f_2 0 y 2 y 不一致，因為它們在 00 處產生不同的值。 上面描述的一致性問題主要針對約束、插值和泛函插值情況，包括邊界條件涉及剪下和混合導數的情況。如果 n 個約束一致，則可以透過選擇 n 個線性無關的支撐函式（例如單項式 1 x x2 cdots xn1 ）來構造插入這些約束的函式。所選的支撐函式（support function）集可能與給定的約束一致，也可能不一致。例如，約束 y 1 y 1 0 和 dfrac d yd xbigg_x 0 1 與支撐函式 1 x x2 不一致。如果支撐函式與約束一致，則可以求解泛函插值問題，從而產生一個插值函式 一個滿足所有約束的函式。選擇不同的支撐函式將導致不同的插值。當解決了一個插值問題並確定了一個初始插值函式時，原則上，可以透過使用與約束一致的每一組不同的線性獨立支撐函式進行插值過程來生成所有可能的插值函式。但是，這種方法是不切實際的，因為可能的支撐函式集的數量是無限的。 隨著泛函連線理論（TFC）的發展，這個問題得以解決。泛函連線理論是德克薩斯 AM 大學的 D Mortari 教授在其著作中引入的用於執行泛函插值的分析框架。該方法構造了一個約束泛函（constrained functional）fleft x text gleft x right right，其中自由函式 gleft x right 無論取何種表示式，fleft x text gleft x right right 都滿足給定約束。因此約束泛函 fleft x text gleft x right right 提供了所有可能的插值的完整表示。透過改變 gleft x right，可以生成整個插值集，包括那些不連續或部分定義的插值。 圖 1 流程圖說明了從函式插值到泛函插值的過程。透過泛函連線理論求解得到的泛函封裝了本身滿足施加約束的函式的子空間，從而將搜尋空間縮小到滿足約束的區域。透過，約束最佳化問題可以重新表述為無約束問題，從而透過更簡單、更穩健、更準確、更高效和可靠的方法解決它們。因此，TFC 框架將約束問題轉化為不受約束的問題，從而顯著簡化了求解過程。 首先，需要先構造點、導數、積分以及它們的任意線性組合的單變數約束，然後，該理論被擴充套件以適應無限和多元約束，並應用於求解常微分方程、偏微分方程和積分 微分方程。TFC 的單變數版本可以用以下兩種形式之一表示。 leftbegin align fleft xtext gleft x right rightgleft x rightsumlimits_j1neta_jleft xtext gleft x right rights_jleft x right fleft xtext gleft x right rightgleft x rightsumlimits_j1nphi_jleft xtext mathbf sleft x right rightrho_jleft xtext gleft x right right end align right 式中，n 表示線性約束的數量；gleft x right 是自由函式； 是 n 個自定義的線性無關的支撐函式；eta _jleft x rm gleft x right right 是係數泛函，phi _jleft x rm bf sleft x right right 是開關泛函（在各自的約束下計算時取值 1，在其他約束下取值 0） rho _jleft x rm gleft x right right 是用自由函式表示約束的投影泛函，具體表示見 Hunter Johnston The Theory of Functional Connections A Journey from Theory to Application PhD thesis Texas AM University August 2021Carl Leake Hunter Johnston Daniele Mortari The Theory of Functional Connections A Functional Interpolation Framework with Applications Lulu Morrisville NC 2022Carl Leake The Multivariate Theory of Functional Connections An nDimensional Constraint Embedding Technique Applied to Partial Differential Equations PhD thesis Texas AM University August 2021。 一個例子 為了說明 TFC 如何泛化插值，在下文中將介紹一個算例。考慮約束條件 dot yleft x_1 right dot y_1 和 dot yleft x_2 right dot y_2 ，滿足這些約束的插值函式是 f_aleft x rightfrac xleft 2 x_2x right2left x_2x_1 rightdot y_1frac xleft x2 x_1 right2left x_2x_1 rightdot y_2 可以很容易地驗證 f_aleft x right 滿足約束條件。在此基礎上，建構函式 delta left x right 。 delta left x right gleft x right xleft 2 x_2 x right over 2left x_2 x_1 rightdot gleft x_1 right xleft x 2 x_1 right over 2left x_2 x_1 rightdot gleft x_2 right 同理，不論 gleft xright 取為何種形式，delta left xright 的導數在 x_1 處和 x_2 處為 0。因此，透過將 f_aleft xright 與 delta left xright 相加，得到約束泛函 fleft x rm gleft x right right 如下。 fleft xtext gleft x right rightfrac xleft 2 x_2x right2left x_2x_1 rightdot y_1frac xleft x2 x_1 right2left x_2x_1 rightdot y_2gleft x rightfrac xleft 2 x_2x right2left x_2x_1 rightdot gleft x_1 rightfrac xleft x2 x_1 right2left x_2x_1 rightdot gleft x_2 right 對於約束泛函 fleft x rm gleft x right right ，無論 gleft xright 取為何種形式，只要 gleft xright 在 x_1 和 x_2 處有定義，必然滿足約束條件。由於 gleft xright 的靈活性，約束泛函 fleft x rm gleft x right right 就可以在指定的約束以外任意取值。重要的是，這種靈活性不僅限於本例中選擇的特定約束。相反，它普遍適用於任何一組約束。這種普遍性說明了 TFC 如何進行泛函插值：它構造一個滿足給定約束的函式，同時透過改變 gleft xright 使其在約束之外的地方足夠自由。本質上，這個例子表明約束泛函捕獲了所有滿足給定約束的可能函式，展示了 TFC 在處理各種插值問題方面的強大功能和通用性。 泛函連線理論的應用 泛函連線理論提出以來，它在許多領域得到了廣泛應用。這些應用包括它在剪下型和混合導數問題中的應用 、分數運算元的分析 、在彎曲空間中確定邊值問題的測地線 以及對延拓法的貢獻 。此外，TFC 已應用於間接最優控制、剛性化學動力學建模和流行病學動力學研究。它還在非線性規劃和結構力學等領域顯示出潛力。 特別地，TFC 在神經網路中表現出了非凡的效率，尤其是在提高準確性和解決高維問題方面。TFC 透過有效消除最佳化過程中的約束，顯著提高了物理資訊神經網路（PINN）的效能，這是傳統神經網路通常難以解決的。此功能顯著提高了計算效率和準確性，從而能夠更輕鬆地解決複雜問題。 與譜方法的區別 TFC 和譜方法在解決約束最佳化問題的方法上很相似。但是，它們之間有兩個基本區別： 1 解的表示：譜法將解表示為基函式的和，而 TFC 將自由函式表示為基函式的和。這種區別使 TFC 能夠在分析上滿足約束條件，而頻譜方法將約束視為附加資料，以取決於殘差的準確度對其進行近似。 2 變值問題中的計算方法：線上性變值問題中，兩種方法的計算策略差異很大。譜方法通常採用迭代技術（例如打靶法）將變值問題重新表述為初值問題。相反，TFC 透過線性最小二乘技術直接解決這些問題，無需迭代過程。 這兩種方法都可以使用 Galerkin 方法（確保殘差向量與所選基函式正交）或 Collocation 方法 （最小化殘差向量的範數）來執行最佳化。 與拉格朗日乘子法的區別 在存在約束的最佳化問題中。該方法引入了其他變數（拉格朗日乘子），必須計算這些變數才能強制執行約束。在某些情形下，拉格朗日乘子法的計算較為困難。相比之下，TFC 不新增新變數，並且能夠推導約束泛函，從而簡化了問題的求解。但是，拉格朗日乘子方法具有處理不等式約束的優勢，而 TFC 目前缺乏這種能力。 這兩種方法的一個共同侷限性是它們容易產生區域性最優解而不是全域性最優解，尤其是在非凸問題的求解中。因此，可能需要補充驗證程式或替代方法來評估和確認所獲得解決方案的質量和全域性有效性。總之，雖然 TFC 並不能完全取代拉格朗日乘子方法，但在乘數計算變得過於複雜或不可行的情況下，只要約束僅限於等式約束，它就可以作為一個強大的替代方案。 參考文獻