非結合代數（或分配代數，distributive algebra）是域上的代數，其中乘法不必遵循結合律。即，有代數結構 A、域 K，若 A 是 K 上配備 K 雙線性乘法 A times Ato A（不必符合結合律）的向量空間，則稱其為 K 上的非結合代數。例如李代數、約爾丹代數、八元數、具備叉積的 3 維歐氏空間。由於乘法不必結合，須用括號表示乘法的順序，比如 abcd、a bc d、a b cd 的含義是不一樣的。 這裡的 非結合 是說不必結合，而非必不結合，就像非交換環的 非交換 是說 不必交換。 若代數有單位元 e，使得 forall x exxxe，則稱代數是含么的或酉的。例如，八元數是含么的，而李代數絕不含么。 A 的非結合代數結構可與 A 的 K 自同態的全代數的子代數（是結合代數）相關聯，作為 K 向量空間研究。兩個例子是微分代數與（結合）包絡代數，後者有 包含 A 的最小結合代數 的意味。 更一般地，有人提出交換環 R 上非結合代數的概念：具備 R 雙線性乘法的 R 模。若一結構服從除結合律外所有環的公理（如 R 代數），則就自然是 mathbb Z 代數，所以有人稱非結合 mathbb Z 代數為非結合環。 滿足恆等式的代數 具有兩種二元運算、無其他限制的類環結構分很多種類，難以一同研究。所以，最為人所知的非結合代數要滿足一些恆等式（即性質），這樣稍微簡化了乘法。一般來說有如下這些。 一般性質 令 x y z 表示域 K 上代數 A 的任意元素。 正整數次冪可以遞迴地定義為 x1 x xn1 xnx（右冪）或 xn1 xxn（左冪）。 含么：存在元素 e 使得 exxxe；這時可以定義 x0 e 結合性：xy zx yz 交換性：xyyx 反交換性：xyyx 雅可比恆等式：xy zyz xzx y0 x yxy zxz xy0 約爾丹恆等式：x2y xx2 yx xy x2x yx2 交替性：xx yx xy（左交替）；yx xy xx（右交替）。 柔性：xy xx yx。 n 次冪結合性（n 2）：forall k 0kn xnk xkxn，其中 k 是整數。 三次冪結合性：x2xxx2 四次冪結合性：x3xx2x2xx3（比較下面的 四次冪交換性）。 冪結合性：任意元素生成的子代數結合，即對 n 2，有 n 次冪結合。 n 次冪交換性，其中 n 2：forall k 0kn xnk xkxkxnk，其中 k 是整數。 三次冪交換性：x2xxx2。 四次冪交換性：x3xxx3（比較上面的 四次冪結合性）。 冪交換性：任意元素生成的子代數交換，即 n 次冪交換（n 2）。 索引 n 2 的冪零：任意 n 個元素之積，在任意結合次序下為零，但 n1 個元素時不總成立：x_1x_2ldots x_n0 exists n1 個元素 y 使得在某結合次序下 y_1y_2ldots y_n1neq 0 索引 n 2 的零：冪結合性、xn0，存在元素 y 使得 yn1neq 0 性質之間的關係 對特徵任意的 K： 結合性推出交替性。 左交替、右交替、柔性知二推三。 因此交替性推出柔性。 交替性推出約爾丹恆等式。 交換性匯出柔性。 反交換性匯出柔性。 交替性匯出冪結合性。 柔性匯出三次冪結合性。 二次冪結合和二次冪交換為真。 三次冪結合和三次冪交換等價。 n 次冪結合推出 n 次冪交換。 索引 2 的零推出反交換性。 索引 2 的零推出約爾丹恆等式。 索引 3 的冪零推出雅可比恆等式。 索引 n 的冪零推出索引 N 的零，其中 2 N n。 含么與索引 n 的零不相容。 若 Kneq rm GF2 或 rm dimAle 3 約爾丹恆等式與交換性共同推出冪結合性。 若 rm charKneq 2 右交替性推出冪結合性。 相似地，左交替性推出冪結合性。 含么與約爾丹恆等式共同推出柔性。 約爾丹恆等式與柔性共同推出冪結合性。 交換性與反交換性共同推出索引 2 的冪零。 反交換性推出索引 2 的零。 含么與反交換不相容。 若 rm charKneq 3： 含么和雅克比恆等式不相容。 若 rm charKnotin235 交換性與 x4x2x2（定義四次冪結合性的兩等式之一）共同推出冪結合性。 若 rm charK0 三次冪結合性與 x4x2x2（定義四次冪結合性的兩等式之一）共同推出冪結合性。 若 rm charK2 交換性與反交換性等價。 結合子 A 上的結合子是 K 線性對映 cdotcdotcdot A times A times A to A： x y zxy zx yx 它度量了 A 非結合的程度，可以很方便地表示一些 A 滿足的式子。 令 x y z 表示域代數的任意元素。 結合律：x y z0 交替性：x x y0（左交替）及 y x x0（右交替）。 這意味著交換任意兩項都會變號：x y zx z yz y xy x z 反例僅當 rm charKneq 2 柔性：x y x0 可知，交換極值項將變號：x y zz y x 反例僅當 rm charKneq 2 約爾丹恆等式：x2 y x0 或 x y x20，取決於學者。 三次冪結合性：x x x0 核是與其他元素結合的元素的集合，即 nin A，使得 n A AA n AA A n0 核是 A 的結合子環。 中心 A 的中心是與 A 中所有元素都交換、結合的元素的集合，即 C A n in A nrrn forall r in A 與核之交。對 C A 中的元素，nAA AnA AAn 中兩個集合若是 0，則第三個集合也是零集。 例子 歐幾里得空間 mathbb R3，乘法由叉積給出。這是反交換、非結合代數的例子。叉積還滿足雅可比恆等式。 李代數是滿足反交換與雅可比恆等式的代數。 微分流形上的向量場代數（若 K 是 R 或 C）或代數簇（對一般的 K）； 約爾丹代數是滿足交換律與約爾丹恆等式的代數。 結合代數都可透過以交換子為李括號，給出李代數。實際上，李代數要麼可以這樣構造，要麼是這樣構造的李代數的子代數。 定義新的乘法 xyxyyx2，則特徵不是 2 的域上的結合代數給出約爾丹代數。與李代數不同，只有一部分約爾丹代數能這樣構造，稱作特殊約爾丹代數。 交替代數是滿足交替性的代數。最重要的例子是八元數（實數上的代數），以及八元數在其他域上的推廣。結合代數都交替。在同構意義上，僅有的有限維實交替除代數（下詳）是實數、複數、四元數和八元數。 冪結合代數，是滿足冪結合恆等式的代數。例如所有結合代數、所有交替代數、GF 2 以外任意域上的約爾丹代數（上詳）與十六元數。 R 上的雙曲四元數代數，是為解釋狹義相對論而引入閔可夫斯基時空前的實驗性代數。 更多種類代數： 分次代數，包括大部分對多重線性代數具有重大意義的代數，如張量代數、對稱代數、給定向量空間上的外代數等等。分次代數可推廣到濾子代數。 除代數，其中存在乘法逆元。實數域上有限維交替除代數的分類已完成。有實數（1 維）、複數（2 維）、四元數（4 維）、八元數（8 維）。四元數和八元數不交換；八元數不結合。 二次代數要求 xxresx，其中 r、s 屬於底域（ground field），e 是代數的單位。例子如有限維交替代數、實 2 階方陣代數。在同構的意義上，沒有零的除子的交替、二次實代數只有實數、複數、四元數和八元數。 凱萊迪克森代數（其中 K 是 R），始於： C（交換結合代數）； 四元數 H（結合代數）； 八元數（交替代數）； 十六元數及凱萊 迪克森代數的無限序列（冪結合代數）。 超複數代數都是有限維含么 R 代數，於是包含凱萊 迪克森代數等等。 泊松代數見於幾何量子化。其中有 2 個乘法，以不同方式將其變為結合代數與李代數。 遺傳代數是非結合代數，在數學遺傳中使用。 三元系 性質 環論與結合代數中的性質，對非結合代數來說不總成立，例如有（雙邊）乘法逆元的元素也可能是零除子：十六元數所有非零元都有雙邊逆，而其中有些是零除子。 自由非結合代數 域 K 上集合 X 上的自由非結合代數定義為基包含所有非結合單項式的代數，X 的元素的有限形式積寫出圓括號，例如單項式 u、v 之積只是 uv 若取空積為單項式，則代數含么。 Kurosh 證明，自由非結合代數的子代數都是自由的。 結合代數 域 K 上的代數 A 若是 K 向量空間，可考慮 A 的 K 線性向量空間內自同態的結合代數 rm End_K A。可將 rm End_K A 的兩子代數關聯到 A 上的代數結構：微分代數與（結合）包絡代數。 微分代數 A 上的導子是對映 D，具有性質 D x cdot y D x cdot y x cdot D y A 上的導子形成了子空間 rm Der_K Ain rm End_K A。兩導子的交換子仍是導子，所以李括號給出 rm Der_K A，具有李代數結構。 包絡代數 代數 A 的元素 a 都附有線性對映 L、R： L a x mapsto ax R a x mapsto xa A 的結合包絡代數或乘法代數是由左右線性對映生成的結合代數。A 的中心體（centoid）是自同態代數 rm End_K A 中的包絡代數的中心化子。若代數的中心體包含單位元的 K 標量乘，則稱代數是中心的。 非結合代數滿足的部分可能等式可用線性對映方便地表示： 交換性：L a 等於相應的 R a； 結合性：L 與任意 R 交換； 柔性：L a 都與相應的 R a 交換； 約爾丹：L a 與 R a2 交換； 交替：L a2L a2，右式亦如此。 二次表示 Q 定義為 Q a x mapsto 2a cdot a cdot x a cdot a cdot x 等價地 Q a 2 L2 a L a2 泛包絡代數條目描述了包絡代數的規範構造，及它們的 PBW 型定理。對於李代數，這樣的包絡代數具有泛性質，但對其他非結合代數通常不成立。最知名的例子可能是阿爾伯特代數，是一種特殊的約爾丹代數，不能用約爾丹代數的包絡代數的規範結構來包絡。 腳註 註釋 參考文獻