數學中，得名於伯恩哈德黎曼和大衛希爾伯特的黎曼希爾伯特問題是在複平面研究微分方程時出現的一類問題。馬克克林、Israel Gohberg 等人提出了這種問題的存在性定理（見 Clancey Gohberg 1981）。 黎曼問題 設 Sigma 為複平面中的簡單閉合輪廓，將複平面分為 Sigma_（內側）與 Sigma_（外側）兩部分，分別用輪廓相對於點的卷繞數決定。黎曼的博士論文（參）考慮的經典問題是尋找函式 M_z u z i v z 在 Sigma_ 解析，這樣 M 沿 Sigma 的邊界值滿足方程 a z u z b z v z c z forall zin Sigma，其中 a、b、c 為給定的實值函式。 據黎曼對映定理，只需考慮 Sigma 是單位圓的狀況即可。這時可以尋找 Mz 及其施瓦茲反射： M_z overline M_left bar z1right 在單位圓 Σ 上，有 z 1bar z，因此 M_z overline M_zquad zinSigma 於是問題簡化為找到一對分別在單位圓內外解析的函式 Mz and Mz，所以在單位圓上 frac a zib z2 M_z frac a zib z2 M_z c z 且無窮遠處的條件成立： lim_ztoinfty M_z overline M_0 希爾伯特問題 希爾伯特的推廣：試找到分別在曲線 Σ 內外側解析的 M 與 M，使在 Sigma 上有 alpha z M_z beta z M_z c z 其中 α、β、c 是任意給定的復值函式（不再只是複共軛函式）。 黎曼希爾伯特問題 黎曼問題和希爾伯特推廣中，輪廓 Sigma 都是簡單的。完整的黎曼希爾伯特問題允許輪廓由多條不相交的定向光滑曲線的聯合構成，其 、側可根據點相對於輪廓的卷繞數確定。黎曼希爾伯特問題試圖在 、側分別找到解析的函式 M、M，且滿足方程 alpha z M_z beta z M_z c z forall zinSigma 推廣：矩陣分解問題 給定有向 輪廓Σ（嚴格來說：複平面內沒有無窮多自交點的平滑曲線的有向聯合），黎曼希爾伯特分解問題如下： 給定定義在輪廓 Σ 上的矩陣函式 V，求定義在 Σ 之補上的全純矩陣函式 M，且要滿足兩個條件： 若 M、M表示 M 在接近 Σ 時的非切向極限，則在 Σ 的所有非交點上有 M MV。 z 沿 Σ 之外的任何方向趨向無窮大時，M 趨向於單位矩陣。 最簡單的情況下，V 光滑可積。較複雜的情形下，其可能存在奇異點。極限 M、M可以是經典、連續的，也可以是 L2 意義上的。 在輪廓 Σ 的端點或交點，跳躍條件沒有定義，必須對附近 M 的增長加以限制，以確保唯一性（下詳）。 在可積性理論中的應用 黎曼希爾伯特問題可用於幾類相關問題。 A 可積模型：與線上 11 維偏微分方程的柯西問題或週期問題或初邊值問題相關的逆散射問題或逆譜問題，都可視作是黎曼希爾伯特問題。同樣，潘勒韋解的逆單值性問題也可視作是黎曼希爾伯特問題。 B 正交多項式、隨機矩陣：給定輪廓上的權重，可透過黎曼希爾伯特分解，計算出相應的正交多項式。另外，若干經典問題中隨機矩陣特徵值的分佈也可簡化為設計正交多項式的計算（如）。 C 組合機率：最著名的例子是關於隨機排列最長遞增子序列長度分佈的定理。它與上述 B 研究一起，是對所謂 可積機率 的嚴格研究之一。不過，可積理論與各種經典隨機矩陣集合之間的聯絡可追溯到 Dyson 的研究（如）。 D 與唐納森 托馬斯理論的聯絡：的工作研究了一類來自唐納森 托馬斯理論的黎曼 希爾伯特問題，並將其與格羅莫夫 威滕理論與精確 WKB 聯絡起來。 黎曼 希爾伯特問題的數值分析為數值求解可積偏微分方程提供了有效途徑，參 Trogdon Olver 2016。 用於漸進 黎曼希爾伯特分解問題可用於提取上述 3 個問題的漸進值（如當時間趨向無窮大，或分散係數趨向 0，或多項式次數趨向無窮大，或置換的大小趨向無窮大）。有一種提取黎曼希爾伯特問題解的漸進行為的方法，類似於適於指數積分的穩相近似法和最速下降法。 透過與經典漸近方法類比，可將無法明確求解的黎曼希爾伯特問題 變形 為可以明確求解的問題。所謂穩相 非線性 法由提出，推廣了、以前的想法，並使用了、的技術背景結果。DeiftZhou 分析的關鍵要素是輪廓上奇異積分的漸進分析。相關核是標準柯西核（見；另參下文的標量示例）。 穩相非線性法的重要擴充套件是引入的所謂有限間隙 g 函式變換，這在大多數應用中都至關重要。這是受 Lax、Levermore、Venakides 的工作啟發，他們將 KdV 方程的小分散極限分析簡化為某外部場下對數勢最大化問題的分析：靜電 型別的變分問題（參）。g 函式是最大化 均勢 度量的對數變換。事實上，對 KdV 方程的小分散極限分析，為 實 正交多項式（即在實線上定義了正交條件）和厄米隨機矩陣相關的大部分工作提供了分析基礎。 到目前為止，該理論最複雜的擴充套件可能是對 非自交 情形的應用，即當基本 Lax 運算元（Lax 對的第一個分量）不自交時。那時，需要定義和計算實際的 最速下降輪廓。相應的變分問題是最值問題：尋找能使 均勢 度量最小的輪廓。對這變分問題進行了研究，並證明了在外部場的某些條件下存在規則解；產生的輪廓是 S 形曲線，1980 年代由 Herbert R Stahl、Andrei A Gonchar、Evguenii A Rakhmanov 定義並研究。 提供了黎曼希爾伯特分解問題的另一種漸進分析法。在跳躍矩陣沒有解析擴充套件時尤其方便。他們的方法基於對 Dbar 問題的分析，而非對輪廓上奇異積分的漸進分析。提出了另一種處理非解析推廣的跳躍矩陣的方法。 該理論的另一種推廣見於，黎曼希爾伯特問題的基礎空間是緊超橢黎曼曲面。根據黎曼 羅赫定理，正確的分解問題不再是全純的，而是亞純的。相關的奇異核也不是通常的柯西核，而是涉及曲面自然定義的亞純微分的更一般的核（參附錄）。黎曼希爾伯特問題變形理論適於無限週期戶田晶格在 短程 擾動（如有限多粒子的擾動）下的穩定性問題。 文獻中研究的黎曼希爾伯特分解問題大多是 2 維的，即未知矩陣的維數為 2。Arno Kuijlaars 及同事研究了更高維的情形，參。 例子：標量黎曼希爾伯特分解問題 設 V 2，Σ 是 z 1 到 z 1 的輪廓。設 M 有界，則 M 的解為？ 要解該問題，我們先取方程 M_M_ V 的對數： log M_z log M_z log 2 由於 Mto 1Rightarrow lim_ztoinftylog Mto 0。 關於柯西變換的一個標準事實是 C_ C_ I ，當中 C_ C_ 是柯西變換在 Σ 上下的極限，於是有 frac 12pi iint_Sigma_ frac log 2zetaz dzeta frac 12pi i int_Sigma_ frac log 2zetaz dzeta log 2 text when zinSigma 由於黎曼希爾伯特分解問題的 M 的解唯一（劉維爾定理的應用），可用索霍茨基 魏爾斯特拉斯定理得到解。 log M frac 12pi iint_Sigmafrac log 2zetaz dzeta frac log 22pi iint1z_1zfrac 1zeta dzeta frac log 22pi i log frac z1z1 即 M zleft frac z1z1 rightfrac log 22pi i 其在輪廓 Sigma 處有 1 個分支。 檢驗： begin align M_0 eipi frac log 22pi i efrac log 22 M_0 eipifrac log 22pi i efrac log 22 end align 於是， M_0M_0 elog 2M_0 2 注意 1：若問題不是標量，就不能輕易取對數。一般來說顯式解非常罕見。 注意 2：M 在特殊點 pm 1 附近的有界性（或至少是增長的限制）至關重要，否則任何 M zleft frac z1z1 rightfrac log 22pi i frac az1 frac bz1 形式的函式也是解。一般來說，需要在特殊點（跳躍輪廓的端點或交點）上設定增長約束，以確保問題適定。 另見 黎曼希爾伯特對應 參考文獻 Category 複分析 Category 孤立子 Category 散射理論 Category 調和分析 Category 常微分方程 Category 偏微分方程 Category 數學問題 Category 伯恩哈德黎曼 Category 大衛希爾伯特