數學中，弗雷歇導數是在賦範向量空間上定義的導數。這個名稱得自法國數學家莫里斯弗雷歇，通常用於將單個實變數的實值函式的導數推廣到多個實變數的向量值函式的情況，並且用於定義變分法中廣泛應用的泛函導數。 一般來說，它將導數的概念從實值函式的一維情況推廣到賦範空間上的函式。弗雷歇導數應與加託導數相對比，後者是經典方向導數的推廣。 弗雷歇導數在數學分析和物理科學中的非線性問題中有廣泛應用，特別是在變分法、非線性分析和非線性泛函分析中。 定義 設 V 和 W 是賦範向量空間，並且有開集 Usubseteq V 。一個對映 f U to W 稱為是在 x in U 「弗雷歇可微」的，若存在有界線性運算元 AVto W 使得 lim_h to 0 frac f x h f x Ah_Wh_V 0 這裡的極限是指通常意義上的度量空間函式極限（參見和極限點）， V 和 W 充當了兩個度量空間，上面的表示式則作為從 V 中取值的 h 的函式。因此，對於 V 中非零元素構成的、收斂到零向量（ h_n to 0 ）的任一序列 langle h_nrangle_n1infty ，上面的極限都存在。等價地，以下一階展開式成立：f x h f x Ah o h 其中 o 是小 o 符號。一旦存在這樣一個運算子 A ，它將是唯一的，所以我們將其記作 Atriangleq Df x 並稱其為 f 在 x 處的「弗雷歇導數」。 考慮在 U 中任意一點上都弗雷歇可微的 f ，若對映 Df U to B VW x mapsto Df x 是連續的（其中 B VW 表示 V 到 W 的全體有界線性運算元構成的空間），那麼稱 f 是 C1 的。注意這與要求「各點 xin U 處的弗雷歇導數 Df x V to W 都連續」是不同的（有界性和連續性往往等價，這時這一點已得到保證而無需再做要求）。 弗雷歇導數是實函式 f R to R 的普通導數的一個推廣。 R 到 R 的線性對映不過是乘上一個實數罷了，此例的弗雷歇導數 D f x 就是函式 t mapsto fx t 。 性質 在一點弗雷歇可微的對映在該點連續。 弗雷歇導數是以下意義上的線性運算：設 fV to W 和 gV to W 是在 x 可微的兩個對映， c 是一個標量（實數或複數），則弗雷歇導數具有以下性質： D cfx cDf x D fgx Df x Dg x 鏈式法則在這種意義上仍然有效：如果 f U to Y 在 x in U 可微且 g Y to W 在 y f x 可微，那麼它們的複合 g circ f 可微於 x ，且這個導數是前述導數的複合：D g circ fx Dg f x circ Df x 有限維情況 有限維空間中的弗雷歇導數就是通常的導數。特別地，它的座標表示就是雅可比矩陣。 考慮 mathbb Rn 的開子集 U 上的對映 f U subseteq Rn to Rm ，如果 f 在一點 ain U 處是弗雷歇可微的，那麼它的導數是 begin cases Df a Rn to Rm Df av J_f a v end cases 其中 J_f a 表示 f 在 a 處的雅可比矩陣。 此外， f 的偏導數由 frac partial fpartial x_ia Df ae_i J_f a e_i 給出，其中 lefte_i right 是 Rn 的。由於導數是線性函式，對於任一向量 h in Rn ，可以定義 f 沿 h 的方向導數 Df ah sum_i1n h_i frac partial fpartial x_ia 如果所有偏導數 f 都存在且連續，那麼 f 是弗雷歇可微的（也是 C1 的）。反之則不然，例如函式 f x y begin cases x2y2sin left x2y212 right x y neq 0 0 0 x y 0 0 end cases 在 0 0 是弗雷歇可微的，但沒有連續的偏導數。 無限維的例子 無限維中最簡單（且非平凡）的一個例子是這樣一種情況：弗雷歇導數的域為希爾伯特空間 H ，且我們所感興趣的對映是其上的範數 cdot H to R 。 首先考慮 x neq 0 的情況，我們可以構造這樣一個線性泛函 D ，它滿足 Dv leftlangle vfrac xxrightrangle 接下來驗證它是 cdot 在 x 處的弗雷歇導數，於是我們考察弗雷歇可微條件中被求極限的表示式：begin align frac xhxDhh frac xxhlangle xxranglelangle xhranglexh 8pt frac xxhlangle xxhranglexh 8pt frac langle xxrangle langle xhxhranglelangle xxhrangle2xhxxhlangle xxhrangle 8pt frac langle xx rangle langle hh ranglelangle xh rangle2xhxxhlangle xxhrangle end align 利用範數和內積的連續性，我們得到：begin align lim_hto 0frac xhxDhh lim_hto 0 frac langle xx rangle langle hh ranglelangle xh rangle2xhxxhlangle xxhrangle 8pt frac 12x3lim_hto 0frac langle xx rangle langle hh ranglelangle xh rangle2h 8pt frac 12x3lim_hto 0left langle xxranglehlangle xhrangle leftlangle xfrac hhrightrangleright 8pt frac 12x3left lim_hto 0langle xxranglehlim_hto 0langle xhrangle leftlangle xfrac hhrightrangle right 8pt frac 12x3left 0lim_hto 0langle xhrangle leftlangle xfrac hhrightrangle right 8pt frac 12x3left lim_hto 0langle xhrangle leftlangle xfrac hhrightrangle right 8pt end align 由於柯西 施瓦茨不等式，式中的內積 leftlangle xfrac hhrightrangle 有上界 x 。又容易注意到 lim_hto 0langle xhrangle 0 ，因此整個極限為零。 接下來我們將展示範數在 x0 處是不可微的，也就是說，不存在有界線性泛函 D 使得可微條件中的那個極限為 0 。 令 D 是任意一個線性泛函。里斯表示定理表明可以找到某個 a in H 使得 D 被 Dv langle a vrangle 唯一地確定，考慮 A h frac 0h 0Dhh left1leftlangle a frac hhrightrangleright 為了使範數在 0 處可微，我們必須有 lim_hto 0 A h 0 我們將證明這對於任意 a 都不成立。當 a 0 時，顯然有 A h 1 。現在考慮 aneq 0 的情況：如果我們選取 h 趨於零的方向為 a （也就是說， h tcdot a ，其中 t to 0 ），那麼 A h 1a 1 0 ，因此至少知道哪怕這個極限存在，也一定不為零。透過進一步考察其他趨向 0 的方式，可以發現這個極限實際上根本不存在。 綜上所述，該範數在原點處的弗雷歇導數不存在。這與有限維下的結果是一致的。 與加託導數的關係 一個對映 f U subseteq V to W 稱為是在 x in U 處「加託可微」的，若 f 在 x 處沿所有方向的方向導數都存在。這意味著存在一個對映 g V to W 使得 g h lim_t to 0 frac f x th f xt 其中 t 取值自向量空間 V 的標量數域（ t 通常是實數）。 通常版本的定義會要求所得到的對映 g 須是一個連續線性運算元。這裡我們不採用這種定義，從而可以審視儘可能豐富的病態情形。 如果 f 在 x 是弗雷歇可微的，那麼它在此處也是加託可微的，並且 g 正是弗雷歇導數所給出的線性運算元 A D f x 。 然而，並非每個加託可微對映都是弗雷歇可微的。這類似於以下事實：一個函式在某一點的所有方向導數的存在並不能保證此函式在該點的全導數的存在（甚至也不能保證此函式的連續性）。例如，如下定義的具有兩個實變數的實值函式 f ：f x y begin cases frac x3x2y2 x y neq 0 0 0 x y 0 0 end cases 它在原點 0 0 連續且加託可微，而它在原點的導數是 g a b begin cases frac a3a2b2 a b neq 0 0 0 a b 0 0 end cases g 並非一個線性運算元，因此上述函式不是弗雷歇可微的。 更一般地說，對於有以下形式的任何函式 f x y g r h phi （其中 r 和 phi 是 x y 的極座標），如果 g 在 0 處可微且 h phi pi h phi ，那麼 f 在原點 00 處加託可微。但僅當 h 是正弦函式時，加託導數才是線性的、弗雷歇導數才存在。 另一種情況是，如下定義的 ff x y begin cases frac x3yx6y2 x y neq 0 0 0 x y 0 0 end cases 在 0 0 加託可微，其加託導數處處為零，從而是一個線性運算元。然而， f 在 0 0 不連續（沿著曲線 left t t3right 接近原點就可以看出這一點）。因此 f 在原點不可能是弗雷歇可微的。 一個更微妙的例子是 f x y begin cases frac x2yx4y2sqrt x2y2 x y neq 0 0 0 x y 0 0 end cases 這是一個連續函式，且在 0 0 處加託可微，此處的加託導數是線性的 該導數總是為零。然而， f 不是弗雷歇可微的。如果是的話，它的弗雷歇導數應與其加託導數一致，從而將是零運算元 A 0 ，進而極限 lim_h_2 to 0 frac f 0 0 h f 0 0 Ahh_2 lim_h xy to 00 leftfrac x2yx4y2right 必須為零。然而，沿著曲線 left t t2right 接近原點即可看出這個極限不存在，因為函式值等於 12 而不等於零。 之所以會出現這些情況，是因為加託導數的定義只要求差商沿每個方向單獨收斂，而沒有對不同方向的收斂速度提出要求。因此，對於給定的收斂目標 varepsilon （參見 Εδ 語言），雖然從每個方向看來，給定點的某鄰域中該方向的差商都在 varepsilon 限定的範圍內，但是這些鄰域對於不同的方向可能是不同的，並且可能存在一系列方向使得這些鄰域變為任意小的。如果沿這些方向選擇點的序列，則同時考慮所有方向的弗雷歇導數定義中的商可能不會收斂。因此，線性加託導數的存在若要保證弗雷歇導數的存在，還須要求差商在所有方向上一致收斂。 下面的例子僅適用於無窮維情況。設 X 是巴拿赫空間， varphi 是 X 上一個在 x 0 處不連續的線性泛函（參見）。令 f x x varphi xf x 在 x 0 有加託導數 0 。然而由於極限 lim_x to 0 varphi x 不存在， f x 不是弗雷歇可微的。 高階導數 若對映 f U to W 在開集 Usubset V 上是弗雷歇可微的，其弗雷歇導數 D f U to L V W 是從 U 到空間 L V W （ V 到 W 的全體有界線性運算元構成的空間）的一個對映。可以定義這個對映本身的弗雷歇導數，即所謂 f 的「二階導數」D2 f U to L V L V W 為方便處理二階導數，注意右側的空間就是 V 到 W 的全體連續雙線性對映所構成的巴拿赫空間 L2 V times V W ，因為若 varphi 是 L V L V W 的元素，則 varphi xy psi x y 定義了 L2 V times V W 中的元素 psi 與 varphi 對應，反之亦然。（一個關於 x 線性的對映 varphi 若滿足 varphi x 關於 y 線性，那麼它和對 x 和 y 具有雙線性的 psi 是一樣的。） 可以再求 D2 f U to L2 Vtimes V W 的弗雷歇導數來得到「三階導數」，其在每個點將給出一個「三線性對映」，依此類推。 n 階導數 Dn f U to Ln V times V times cdots times V W 在每一點處都將是一個連續多重線性對映。遞迴地，一個對映 f 在 U 上 n1 次弗雷歇可微的條件是：它在 U 上 n 次弗雷歇可微，並且對於任一 x in U 都存在一個連續的 n1 重線性對映 A 使得極限 lim_h_n1 to 0 frac left Dnf left x h_n1 righth_1 h_2 ldots h_n Dnf xh_1 h_2 ldots h_n A left h_1 h_2 ldots h_n h_n1 right right lefth_n1right 0 對取值於 V 的有界子集中的 h_1 h_2 ldots h_n 一致收斂。這時， A 就是 f 在 x 處的 n1 階弗雷歇導數。 此外，我們可以將空間 Lnleft V times V times cdots times V Wright 等價為 Lleft bigotimes_j1n V_j Wright ，而其成員 fleft x_1 x_2 ldots x_nright fleft x_1 otimes x_2 otimes cdots otimes x_nright ，從而將弗雷歇導數視為一個普通的線性對映。 弗雷歇偏導數 通常的偏導數是為以下形式的函式定義的 f Rn to R 。而在本節中，我們會將其推廣到對映的域和目標空間（到達域）是任意（實的或復的）巴拿赫空間的情況。設 V_1 ldots V_n 和 W 是（具有相同的標量域的）巴拿赫空間，其上有一點 a left a_1 ldots a_nright in prod_i1n V_i ，對於對映 f prod_i1n V_i to W ，若函式 varphi_i V_i to Wx mapsto f a_1 ldots a_i1 x a_i1 ldots a_n 在點 a_i 是弗雷歇可微的，那麼稱 f 在點 a 有第 i 偏導數 partial_i f a Dvarphi_i a_i 。注意 partial_if a 是一個 V_i 到 W 的線性變換。啟發式地說，假定 f 在 a 有第 i 偏導數，固定所有 a_j jneq i 而只改變 a_i 時 f 的變化量被偏導數 partial_if a 線性地逼近了。我們可以用小 o 符號將其表達為 f a_1 ldots a_ih ldots a_n f a_1 ldots a_n partial_if ah o h 推廣到拓撲向量空間 弗雷歇導數的概念可以推廣到任意拓撲向量空間 X 和 Y 。令 U 是 X 的一個包含原點的開子集，而對映 f U to Y 滿足 f 0 0 ，我們將先定義「該對映的導數為 0 意味著什麼」。如果：對於每個 0 的開鄰域 W subseteq Y ，存在一個 0 的開鄰域 Vsubseteq X 和一個函式 o R to R 使得 lim_tto 0 frac o tt 0 且對於原點的某個鄰域內的所有 t 都有 f tV subseteq o t W ，那麼稱 f 與 0 相切。 現在可以除去 f 00 這個限定了。 f 在一點 x_0 in U 弗雷歇可微，若：存在連續線性運算元 lambda X to Y 使得對映 hmapsto f x_0 h f x_0 lambda h 與 0 相切。Lang p 6 如果弗雷歇導數存在，那麼它就唯一。此外，加託導數也必然存在且等於弗雷歇導數，也就是說 forall v in Xquadlim_tau to 0frac f x_0 tau v f x_0tau fx_0 v 其中 fx_0 是弗雷歇導數。在一點處弗雷歇可微的函式必然在該點連續，並且弗雷歇可微函式之和或其標量倍數也是可微的，因此在一點處弗雷歇可微的函式所構成的空間是在該點連續的函式的子空間。鏈式法則、乘積法則仍可成立，只要：拓撲向量空間 Y 也是一個代數，而其乘法是連續的。 參見 註釋 參考文獻 外部連結 B A Frigyik S Srivastava and M R Gupta Introduction to Functional Derivatives UWEE Tech Report 20080001 httpwwwprobabilitynet 這個網頁主要是關於基本的機率和測度理論，但是有的章節在巴拿赫空間中的弗雷切導數方面寫得很好（關於雅可比公式的章節），所有的結果都給出了證明。 Category 導數的推廣