非交換代數幾何是非交換幾何的一個方向，研究非交換代數物件（如環）的形式對偶的幾何性質，以及由它們匯出的幾何物件（如由沿區域性膠合或取非交換疊商）的幾何性質。 例如，非交換代數幾何透過適當地粘合非交換環的譜，來推廣概形，已經取得了部分成功。非交換環推廣了交換概形上的交換正規函式環。在傳統（交換）代數幾何中，空間上的函式有由逐點乘積定義的積，函式的值交換時，函式也交換：atimes bbtimes a。值得注意的是，將非交換結合代數視作 非交換 空間上的函式代數是一種意義深遠的幾何直覺，儘管在形式上看像是謬誤。 非交換代數幾何的主要動機來自物理學，尤其是量子物理，當中可觀察量代數被視作函式的非交換類似物，因此有動機觀察其幾何性質。非交換代數幾何還為研究交換代數幾何中的物件（如布饒爾群）提供了新技術。 非交換代數幾何的方法與交換的類似，但基礎往往不同。交換代數幾何中的區域性行為由區域性環之類的交換代數物件來捕捉，在非交換環境中沒有類似的環論；不過在範疇論情景中，我們可以討論非交換譜上的準凝聚層的區域性範疇疊。來自同調代數和 K 理論的全域性性質更常用於非交換情景。 歷史 經典方法：非交換區域性化問題 交換代數幾何始於構造環的譜。代數簇（更一般的概形）的點是環的素理想，代數簇上的函式是環的元素。但非交換環可能沒有適當的非零雙側素理想，仿射空間上多項式微分運算元的外爾代數就如此：外爾代數是單環。因此，可嘗試用主譜代替素譜：還有非交換區域性化和下降理論。這在某種程度上是可行的：例如，雅克迪克斯米耶的包絡代數可看作是為李代數的包絡代數的主譜研究非交換代數幾何。邁克爾阿廷的 非交換環 筆記具有相似精神，M Artin noncommutative rings 部分內容嘗試從非交換幾何的角度研究表示論。這兩種方法的關鍵在於，不可約表示，或至少是主理想，可視作 非交換點。 使用層範疇的現代觀點 事實證明，（舉例來說）要從主譜開始發展出一套可行的層理論並不容易。可以想象，這種困難由一種量子現象造成：空間中的點可以影響遠處的點（事實上，單獨處理點、將空間視作點集並不合適）。 於是，人們接受了 Pierre Gabriel 論文中預設的隱含正規化，GabrielRosenberg 重構定理也部分證明了：在概形同構的意義下，交換概形可完全從概形上的準凝聚層的阿貝爾範疇重構出來。亞歷山大格羅滕迪克指出，做幾何不需要空間，只要有空間上的層範疇就夠了。這思想由尤里馬寧引入了非交換代數。（準）凝聚層的匯出範疇中，有些稍弱的重構定理，是匯出非交換代數幾何（下詳）的動機。 匯出代數幾何 最新的方法是透過形變理論，將非交換代數置於匯出代數幾何的領域中。 作為一個激勵性例子，考慮複數 mathbb C 上的 1 維外爾代數，它是自由環 mathbb Clangle x yrangle 對關係式 xyyx1 的商。此環表示單變數 x 的多項式微分運算元；y 表示微分運算元 partial_x。這個環符合 xyyxalpha 關係給出的單引數族。α 若非零，則關係決定了與外爾代數同構的環；α 為零時，關係就是 x 與 y 的交換關係，由此得到的商環就是兩變數多項式環 mathbb Cx y。從幾何學角度看，兩變數多項式環表示 2 維仿射空間 mathbb A2，因此單引數族的存在說明，仿射空間允許對外爾代數確定的空間進行非交換形變。這種形變與微分運算元符號及 mathbb A2 是仿射線的餘切叢有關（研究外爾代數可獲得仿射空間資訊：外爾代數的迪克斯米耶猜想等同於仿射平面的雅可比猜想）。 這一思路中，算疇（運算集合或空間）概念變得尤為重要。導言寫道： 非交換環的射影 交換代數幾何的基本構造之一是分次交換環的射影構造，建立了射影簇和十分豐沛線叢，其齊次座標環是原環。構造簇的底拓撲空間需要將環區域性化，但構造空間上的層則不需要。根據讓 皮埃爾塞爾的定理，分次環射影上的準凝聚層等同於環上的分次模，都是有限維因子。亞歷山大格羅滕迪克提出的意象論認為，空間上的層範疇可作為空間本身。因此，在非交換代數幾何中，常以下面的方式定義射影：令 R 為分次 C 代數，ModR 表示分次右 R 模範疇。令 F 表示 ModR 包含所有有限長模的子範疇。這樣，Proj R 的定義是阿貝爾範疇 ModR 對 F 的商。等價地，它是 ModR 的區域性化，其中若兩模與適當選擇的 F 物件直接相加後，在 ModR 中同構，則兩模同構。 這種方法引出了非交換射影幾何。非交換光滑射影曲線就是光滑交換曲線，但對於奇異曲線或光滑高維空間，非交換情景允許有新的物件。 另見 匯出非交換代數幾何 Q 範疇 準自由代數 腳註 參考文獻 M Artin J J Zhang Noncommutative projective schemes Advances in Mathematics 109 1994 no 2 228287 doi Yuri I Manin Quantum groups and noncommutative geometry CRM Montreal 1988 Yuri I Manin Topics in noncommutative geometry 176 pp Princeton 1991 A Bondal M van den Bergh Generators and representability of functors in commutative and noncommutative geometry Moscow Mathematical Journal 3 2003 no 1 136 A Bondal D Orlov Reconstruction of a variety from the derived category and groups of autoequivalences Compositio Mathematica 125 2001 327344 doi John Francis Derived Algebraic Geometry Over mathcal E_nRings O A Laudal Noncommutative algebraic geometry Rev Mat Iberoamericana 19 n 2 2003 509580 euclid Fred Van Oystaeyen Alain Verschoren Noncommutative algebraic geometry Springer Lect Notes in Math 887 1981 Fred van Oystaeyen Algebraic geometry for associative algebras Marcel Dekker 2000 vi287 pp A L Rosenberg Noncommutative algebraic geometry and representations of quantized algebras MIA 330 Kluwer Academic Publishers Group Dordrecht 1995 xii315 pp M Kontsevich A Rosenberg Noncommutative smooth spaces The Gelfand Mathematical Seminars 19961999 85108 Gelfand Math Sem Birkhäuser Boston 2000 arXivmath9812158 A L Rosenberg Noncommutative schemes Compositio Mathematica 112 1998 93125 doi Underlying spaces of noncommutative schemes preprint MPIM2003111 dvi ps MSRI lecture Noncommutative schemes and spaces Feb 2000 video Pierre Gabriel Des catégories abéliennes Bulletin de la Société Mathématique de France 90 1962 p 323448 numdam Zoran Škoda Some equivariant constructions in noncommutative algebraic geometry Georgian Mathematical Journal 16 2009 No 1 183202 arXiv08114770 Dmitri Orlov Quasicoherent sheaves in commutative and noncommutative geometry Izv RAN Ser Mat 2003 vol 67 issue 3 119138 MPI preprint version dvi ps M Kapranov Noncommutative geometry based on commutator expansions Journal für die reine und angewandte Mathematik 505 1998 73118 mathAG9802041 閱讀更多 A Bondal D Orlov Semiorthogonal decomposition for algebraic varieties_ PreprintMPI9515 alggeom9506006 Tomasz Maszczyk Noncommutative geometry through monoidal categories mathQA0611806 S Mahanta On some approaches towards noncommutative algebraic geometry mathQA0501166 Ludmil Katzarkov Maxim Kontsevich Tony Pantev Hodge theoretic aspects of mirror symmetry arxiv08060107 Dmitri Kaledin Tokyo lectures Homological methods in noncommutative geometry pdf TeX and similar but different Seoul lectures 外部連結 MathOverflow Theories of Noncommutative Geometry Category 代數幾何 Category 非交換幾何