在數學上，輔助函式（auxiliary functions）是超越數論中重要的建構物。這些函式出現在這類領域多數的證明中，並具有特定且理性的性質，如在許多論證中，這類函式會等於零，或者會有高次值等於零的點。Waldschmidt 2008 定義 輔助函式並非一類嚴格定義的函式，而更多是特別建構出來，或至少被證明存在，並被引用來顯示某些假設會匯出矛盾，或證明問題中的結果的函式。為了證明結果而在證明過程中建構某個函式的作法，並不僅限於超越數論的研究，然而「輔助函式」一詞通常都用以描述在超越數論的情境下建構出來的這類函式。 特定例子 劉維爾的超越數條件 由於上述的命名常規之故，因此可藉由簡單地檢視超越數論的最早結果，認為輔助函式和超越數的研究同時出現。輔助函式最早的結果之一就是劉維爾對於超越數存在性的證明，在其中，他證明瞭說劉維爾數這類數字是超越數。Liouville 1844 他藉由發現這類數滿足的超越數條件證明此點。在給出這樣的條件時，他首先從一般的代數數 alpha 開始，並找出這些數字必須滿足的條件。他用來證明這條件的輔助函式就是 alpha 的極小多項式，而這多項式即是滿足 f alpha0 的整係數不可約多項式。這多項式可用以估計 alpha 可多好地為有理數 pq 所估計，特別地，在 alpha 的次數 d 至少為 2 的狀況下，他證明瞭說 leftfleft frac pqrightrightgeqfrac 1qd 此外，他利用了中值定理證明說存在一個取決於 alpha 的常數 c alpha，使得下式成立： leftfleft frac pqrightright leq c alphaleftalphafrac pqright 將這些結果結合，就可得到一個代數數必須滿足的性質，因此任何不滿足這條件的數，都必然是超越數。 劉維爾證明中用到的輔助函式非常簡單，就單單是會在給定的代數數處消失的多項式。這樣的性質一般是輔助函式所要滿足的性質，也就是這函式會在特定點消失或變得非常小，而將這點與「這些函式在這樣的點不能消失或變得非常小」這假設相結合，就可得出結果。 傅立葉對 e 不是有理數的證明 另一個早期且簡單的例子，出現於傅立葉對 e 不是有理數的證明中，Hermite 1873 盡管所用的表記使這件事時變得不明顯。傅立葉的證明使用了指數函式的冪級數： exsum_n0infty frac xnn 在擷取此冪級數的一些項，如 N1 項後，可捯一個次數為 N 的有理係數多項式，而這多項是在一定意義上會接近 ex。特別地若檢視以餘項定義的輔助函式 R xexsum_n0N frac xnn 那這作為指數多項式的函式的值，在 x 很小時就當趨近於零。若 e 是一個有理數，那麼在 x1 的情況下，R 1 也應當是個有理數；而傅立葉藉由消去所有可能分母的方式，證明瞭 R 1 不可能是有理數。因此 e 不可能是有理數。 埃爾米特對 er 不是有理數的證明 埃爾米特藉由以作為兩個多項式比值得有理函式而非多項式逼近 ex 的方式，拓展了傅立葉的結果；特別地，他選取了多項式 A x 和 B x，使得如下的輔助函式 R x 可以在 x0 附近取任意小的值： R xB x exA x 若 er 是個有理數，那麼 R r 也應當是個有特定整數分母的有理數；而埃爾米特證明說 R r 可以任意小，以致無法取任何的整數分母，並因此得到矛盾。 埃爾米特對 e 是超越數的證明 在證明 e 是超越數時，埃爾米特將他的結果推進一步，在其中他不只估計 ex 的值，同時也估計了在 k1cdotsm 等整數時 ekx 的值，在證明中，他假定 e 是 m 次代數數。 為了估計 ekx 的值，他以下式定義了輔助函式 R_k x，其中 A_k x B x 是分母相同的整係數有理函式： R_k xB x ekxA_k x 在匯出矛盾方面，埃爾米特首先假定說 e 滿足整係數多項式等式 a_0a_1 e cdots a_mem0，將此表示式乘以 B 1，他注意到說這會推導出下式： Ra_0a_1 R_1 1 cdots a_m R_m 1a_1 A_1 1 cdots a_m A_m 1 其中右手邊的部分會是一個整數，因此藉由估計輔助函式的值並證明 0 left R right 1 以得到需要的矛盾。 起自鴿巢原理的輔助函式 上述的輔助函式都可特地構造出來並加以計算和運用；不過在二十世紀，阿克塞爾圖厄和卡爾路德維希西格爾做出了突破，顯示說不一定要將相關函式構造出來，有時知道有這樣的函式，且這些函式有特定性質就夠了。利用鴿巢原理，圖厄和西格爾先後證明瞭說會有輔助函式有特定性質，像例如會有在許多不同點為零，或在較小的點選和尚有高次零的輔助函式；不僅如此，他們還證明瞭說構造這樣的函式而不至於讓函式變得太大，是有可能的。Thue 1977 and Siegel 1929 他們的輔助函式並非特地構造出來的，但藉由知道某些帶有特定性質的函式存在這點，他們簡化了許多十九世紀的超越性證明，並給出了一些新的結果。Siegel 1932 這方法為其他數學家所用，其中亞歷山大格爾豐德和西奧多施耐德利用這方法，獨立證明瞭格爾豐德 施奈德定理。Gelfond 1934 and Schneider 1934 艾倫貝克也在 1960 年代以此方法證明瞭他在對數線性型式方面的工作，而這即是。Baker and Wüstholz 2007 其他一些 1960 年代後用此方法的例子如下： 輔助多項式定理 設 beta 為等式 ax3bx3c 中 ba 的立方根，並設 m 為滿足 m1 2n3 ge m ge 3 的整數，其中 n 為一個正整數。 那麼有 F XY P X YQ X 使得 sum_i0mn u_i Xi P X 且 sum_i0mn v_i Xi Q X 輔助多項式定理則表明 max_0 le i le mn u_iv_ile 2b9 mn 蘭氏定理 1960 年代，塞爾日蘭利用非特定構造出來的輔助函式證明瞭一個結果。從這結果可同時推得林德曼 魏爾斯特拉斯定理和格爾豐德 施奈德定理。Lang 1966 這定理關乎數域 mathrm K 和階至多為 rho 的亞純函式 f_1cdotsf_N，且其中至少兩個函式彼此代數獨立，且其中若對其中一個函式進行微分，那其結果對所有的函式都會是一個多項式。 在這些假設下，這定理指稱若有 m 個相異的複數 omega_1cdotsomega_m 使得對於任意的 i 和 j 而言，f_i omega_j 都在 mathrm K 中，那麼 m 會有以下上界： mleq 20rho Kmathbb Q 為了證明此點，蘭氏從 omega_1cdotsomega_m 中選出兩個彼此代數獨立的函式 f 和 g，並因此構造出一個以 f 和 g 表示的多項式 F 作為輔助函式。這個輔助函式無法被明確地表明，而這是因為 f 和 g 的形式也並非明確已知的之故；然而利用西格爾引理，蘭氏證明瞭如何構造出一個在 m 個複數 omega_1cdotsomega_m 上會高次消失的的函式。由於這高次消失的性質之故，因此可證明說 F 的高次微分的數值會取決於 omega_i 中某個「大小」較小的數字。此處的「大小」指的是一個數的代數性質。利用最大模原理，蘭氏也發現了一個估計 F 的微分的絕對值的獨立方法；同時藉由以標準結果來比較一個數及其絕對值得方式，他證明瞭說除非 m 滿足上述界限，不然這些估計會彼此矛盾。 插值行列式 在使用存在但不被明確構造出來的輔助函式的方法獲得了許多成功後，在 1990 年代，Michel Laurent 引介了插值行列式的想法。Laurent 1991 這些行列式是交替行列式（alternant），也就是有如下形式的行列式： mathcal Mleft varphi_i zeta_jright_1leq ijleq N 其中 varphi_i 是一組以 xi_i 這組點插值的函式。 由於行列式本質就僅僅是以矩陣表示的多項式之故，因此這些輔助方程可以解析方法研究。此方法的一個問題是在可對相關矩陣動工前，要如何選擇基底，而 JeanBenoît Bost 使用對此做出的發展解決了這問題，Bost 1996 而這領域的研究當今依舊進行中。以下例子給出了如何使用此方法的想法： 埃爾米特 林德曼定理的證明 一個此方法較簡單的應用，是以此證明實數版的林德曼 魏爾斯特拉斯定理，也就是「若 alpha 是一個非零的實代數數，那麼 ealpha 會是一個超越數」的定理。 首先，設 k 為自然數，並設 n 為 k 的大倍數。此狀況下所考慮的插值行列式，是一個衍生自如下 n4times n4 矩陣的行列式 Delta： left exp j_2x xj_11i_11Big_xi_21alpharight 這矩陣橫行的元素的指標為 1le i_1 le n4k 以及 1le i_2 le k；而其直列的指標則為 1le j_1 le n3 以及 1le j_2 le n。故矩陣中的函式為 x 和 ex 的單項式及其微分，並在 0alpha2alphacdotsk1alpha 等 k 個點進行插值。 假定 ealpha 是一個代數數，那就可構造一個有理數 mathrm Q 上次數為 m 的數域 mathrm Qalpha ealpha，之後將 Delta 及其所有將 mathrm Qalpha ealpha 這個域嵌入到 mathrm C 中的對映的像全數乘以適當的分母。由於代數理由，這乘積必然是一個整數，之後用朗斯基行列式相關的論證，可證明說這數不會是零，故其絕對值 Omegage1 會是一個整數。 利用中值定理在矩陣上的版本，可得 Omega 的解析界限，實際上若用大 O 符號表示，有 OmegaOleft expleft left frac m1kfrac 32right n8log nrightright m 的值取決於數域 mathrm Qalpha ealpha 的次數，但 k 是插值點的個數，因此可自由增減；而在 k 2 m13 的狀況下，可得 Omegato0，但這與先前得出的條件 Omegage1 相矛盾，故 ealpha 不能是一個代數數。此證明改編自 Pila 在 1993 年的文章。 註解 參考資料 Category 數論 Category 丟番圖逼近