數學中，域 mathbb K 上的對偶系統或對偶對是指三元組 X Y b，包含 mathbb K 上的 2 個向量空間 X、Y，以及非退化雙線性對映 b X times Y to mathbb K。 對偶理論是對對偶系統的研究，在泛函分析中佔有重要地位，並透過希爾伯特空間廣泛應用於量子力學中。 定義、記號與慣例 配對 域 mathbb K 上的配對（pairing 或 pair）是一個三元組 X Y b，也可以用 b X Y 表示， 包含 mathbb K 上的兩個向量空間 X、Y 及雙線性對映 b X times Y to mathbb K，稱作與配對關聯的雙線性對映，或配對的對映，或其雙線性形式。簡單起見，本文只涉及 mathbb K 是實數 R 或複數 Complex 的例子。 forall x subseteq X，定義 begin alignat4 b x cdot Y to mathbb K y mapsto b x y end alignat forall y subseteq Y，定義 begin alignat4 b cdot y X to mathbb K x mapsto b x y end alignat forall b x cdot 是 Y 上的線性泛函，forall b cdot y 是 X 上的線性泛函。令 b X cdot b x cdot x in X qquad text and qquad b cdot Y b cdot y y in Y 其中每個集合構成一個線性泛函的向量空間。 通常記 langle x y rangle 而非 b x y，這樣配對不必寫成 X Y langle cdot cdot rangle，而可以寫成 leftlangle X Y rightrangle。不過，本文將用 langle cdot cdot rangle 表示求值對映（定義見下），以避免混淆。 對偶對 若雙線性形式 b 是非退化的，則稱配對 X Y b 是 mathbb K 上的對偶系統或對偶對 ，滿足下面兩條分離公理： Y 分離（區分）X 的點：若 x in X 使得 b x cdot 0，則 x 0；等價地，對所有非零的 x in X，對映 b x cdot Y to mathbb K 不等同於 0（即 exists y in Y 使得 forall x in X b x y neq 0）； X 分離（區分）Y 的點：若 y in Y 使得 b cdot y 0，則 y 0；等價地，對所有非零的 y in Y，對映 b cdot y X to mathbb K 不等同於 0（即 exists x in X 使得 forall y in Y b x y neq 0）。 這樣 b 是非退化的，可以說 b 將 X、Y 置於（分離）對偶中（places in separated duality），b 是三元組 X Y b 的對偶配對（duality pairing）。 全子集 若 forall x in X b x s 0 quad forall s in S 能推出 x 0，則稱 Sin Y 為全集。 X 的全子集定義相似（見腳註）。子集 Sin X，若 forall y in Y，b s y 0 quad forall s in S 推出 y 0，則稱 S 為全子集。因此，當且僅當 X 是 X 的全子集，X 分離 Y 中所有點，對 Y 亦然。 正交性 若 b x y 0，稱向量 x、y 正交，記作 x perp y。若 b R S 0 ，稱兩子集 R subseteq X、S subseteq Y 正交，記作 R perp S；即 forall r in R、s in S，b r s 0。子集正交於向量的定義與之類似。 子集 R subseteq X 的正交補或零化子是 Rperp y in Y R perp y y in Y b R y 0 於是，當且僅當 Rperp0，R 是 X 的全子集。 極集 給定在 mathbb K 上定義了對偶對的三元組 X Y b，子集 Asubseteq X 的絕對極集或極集是集合 Acirc lefty in Y sup_x in A b x y leq 1 right 對稱地，子集 Bsubseteq Y 的絕對極集或極集記作 Bcirc，定義為 Bcirc leftx in X sup_y in B b x y leq 1 right 為了使用有助於跟蹤對偶性兩側不對稱的標記，子集 Bsubseteq B 的絕對極也可以稱為 B 的絕對預極（absolute prepolar）或預極（prepolar），可表為 circ B。 極 Bcirc 必然是凸集，包含 0 in Y，若 B 平衡，則 Bcirc 也平衡；若 B 是 X 的向量子空間，則 Bcirc 是 Y 的向量子空間。 若 A 是 X 的向量子空間，則 Acirc Aperp，還等於 A 的實極。若 A subseteq X，則 A 的雙極（bipolar，記作 Acirccirc）是 A 正交補的極，即集 circleft Aperpright。相似地，若 B subseteq Y，則 B 的雙極是 Bcirccirc left circ Brightcirc。 對偶的定義與結果 給定對 X Y b，定義新對 Y X d，其中 forall x in X forall y in Y d y x b x y。 對偶理論有個一貫的主題：任何對 X Y b 都有相應的對偶對 Y X d。 ：給定配對 X Y b 的任何定義，將其應用於配對 Y X d，就能得到對偶定義。這約定也適用於定理。 例如，若 X 分離 Y 的點（或者說 S 是 Y 的全子集）定義如上，則此約定立即產生了對偶定義：Y 分離 X 的點（或者說 S 是 X 的全子集）。 下面的寫法幾乎無處不在，可讓我們不用為 d 指定符號。 ：若配對 X Y b 的定義及其記號取決於 X 和 Y 的順序（例如，X 上的麥奇拓撲 tau X Y b），那麼交換 X、Y 順序就意味著定義適用於 Y X d（接上例，拓撲 tau Y X b 實際上是拓撲 tau Y X d）。 再比如，一旦定義了 X 上的弱拓撲 sigma X Y b，則此對偶定義就會自動應用到配對 Y X d，從而得到 Y 上弱拓撲的定義 sigma Y X b 而非 sigma Y X d。 X Y 及 Y X 的識別 雖然從技術上將這是不正確的，也是對符號的濫用，但本文將遵守幾乎普遍的管理，及將配對 X Y b 與 Y X d 互換處理，並用 Y X b 表示 Y X d。 例子 配對的限制 設 X Y b 是配對，M 是 X 的向量子空間，N 是 Y 的向量子空間。則，X Y b 對 M times N 的限制就是配對 left M N bbigvert_M times Nright。若 X Y b 是對偶，則限制就有可能不對偶（如，若 Y neq 0 、N 0 ）。 本文將使用通常做法，用 M N b 表示限制 left M N bbigvert_M times Nright。 向量空間上的規範對偶 設 X 是向量空間，令 X 表示 X 的代數對偶空間（即，X 上所有線性泛函的空間）。則有規範對偶 left X X cright，其中 cleft x xprimeright leftlangle x xprime rightrangle xprimex，稱之為 X times X 上的求值對映或自然 規範雙線性泛函。 注意 forall xprime in X，cleft cdot xprimeright 只是表示 xprime 的另一種方式，即 cleft cdot xprimeright xprimecdot xprime 若 N 是 X 的一個向量子空間，則 left X X cright 對 X times N 的限制稱作規範配對。若此配對是對偶，則稱為規範對偶。顯然 X 總是分離 N 的點，因此當且僅當 N 分離 X 中的點，規範配對是對偶系統。 下列記號現在在對偶理論中幾乎無處不在。 求值對映記作 leftlangle x xprime rightrangle xprimex（而非 c），將 X N c 改為 langle X N rangle。 假設：按慣例，若 X 是向量空間，N 是 X 上線性泛函的向量空間，則除非另有說明，否則將假定它們同規範配對 langle X N rangle 相關聯。 若 N 是 X 的向量子空間，則當且僅當 N 分離 X 的點（或等價地，N 是全的，forall n in N n x 0 能推出 x 0），X 分離 N 的點（或等價地，X N c 是對偶）， 拓撲向量空間上的規範對偶 設 X 是拓撲向量空間，有連續對偶空間 Xprime。 則，規範對偶 left X X cright 對 Xtimes Xprime 的限制確定了配對 left X Xprime cbigvert_X times Xprimeright，其中 X 分離 Xprime 的點。 若 Xprime 分離 X 的點（例如，若 X 是豪斯多夫區域性凸空間，則恆為真），則此配對形成了對偶。 假設：正如通常所作，只要 X 是拓撲向量空間，則除非另有說明，否則將假定其與規範配對 leftlangle X Xprime rightrangle 相關聯，無需註釋。 拓撲向量空間的極與對偶 下列結果表明，拓撲向量空間上的連續線性泛函恰是在原點鄰域上有界的線性泛函。 內積空間與複共軛空間 預希爾伯特空間 H langle cdot cdot rangle，當且僅當 H 是 R 上的向量空間，或 H 是 0 維，H langle cdot cdot rangle 是對偶對。這裡假定半雙線性形式 langle cdot cdot rangle 在第二座標上是共軛齊次的，在第一座標上是齊次的。 若 H langle cdot cdot rangle 是實希爾伯特空間，則 H H langle cdot cdot rangle 形成對偶系統。 若 H langle cdot cdot rangle 是復希爾伯特空間，則當且僅當 operatorname dim H 0，H H langle cdot cdot rangle 形成對偶系統。若 H 非平凡，則 H H langle cdot cdot rangle 甚至不是配對，因為內積是半雙線性的，而非雙線性的。 設 H langle cdot cdot rangle 是復預希爾伯特空間，標量乘法用並列或 cdot 表示。 定義對映 cdot perp cdot Complex times H to H quad text by quad c perp x overline c x 其中右式使用了 H 的標量乘法。令 overline H 表示 H 的複共軛向量空間，其中 overline H 表示加群 H （所以 overline H 中的向量加法與 H 中的相同），但 overline H 中的標量乘法是對映 cdot perp cdot（而非 H 被賦予的標量乘法）。 對映 b H times overline H to Complex 定義為 b x y langle x y rangle，在兩個座標中都是線性的 b 在第一座標中線性顯然。設 c 是標量，則 b x c perp y bleft x overline c yright langle x overline c y rangle c langle x y rangle c b x y，說明 b 在第二座標中也線性。，因此 left H overline H langle cdot cdot rangleright 形成對偶對。 其他例子 設 X R2 Y R3 forallleft x_1 y_1right in X text and left x_2 y_2 z_2right in Y 令 bleft left x_1 y_1right left x_2 y_2 z_2rightright x_1 x_2 y_1 y_2 則 X Y b 是配對，使 X 區分 Y 的點，但 Y 不區分 X 的點。此外，Xperp y in Y X perp y 0 0 z z in Rli 令 0 p infty X Lp mu Y Lq mu（其中 q 滿足 tfrac 1p tfrac 1q 1），b f g int f g mathrm dmu 則 X Y b 是對偶系統。 令 X、Y 是同一域 mathbb K 上的向量空間，則雙線性形式 bleft x otimes y x otimes yright leftlangle xprime x rightrangle leftlangle yprime y rightrangle 使 X times Y 與 X times Y 對偶。 序列空間 X 及其 Beta 對偶空間 Y Xbeta，雙線性對映定義為 forall x in X y in Xbeta langle x y rangle sum_i1infty x_i y_i 形成對偶系統。 弱拓撲 設 X Y b 是 mathbb K 上一對向量空間。若 S subseteq Y，則 X 上由 S（和 b）誘導的弱拓撲是 X 上最弱的拓撲向量空間拓撲，記作 sigma X S b 或 sigma X S，使 y 在 S 上取值時所有對映 b cdot y X to mathbb K 連續。若 S 在語境中不明確，則應假定是 Y 的全部，這時稱之為 X 上（由 Y 誘導的）的弱拓撲。 X_sigma X S b X_sigma X S 或（若無混淆）X_sigma 用於表示賦有弱拓撲 sigma X S b 的 X。 重要的是，弱拓撲完全取決於函式 b、Complex 上的通常拓撲與 X 上的向量空間結構，而與 Y 的代數結構無關。 同樣，若 R subseteq X，則 Y 上由 R（和 b）誘導的弱拓撲的對偶定義記作 sigma Y R b 或 sigma Y R（細節見腳註）。Y 上的弱拓撲是 Y 上使所有對映 b x cdot Y to mathbb K 連續的最弱的拓撲向量空間拓撲（x 在 R 上取值）。Y sigma Y R b Y sigma Y R 或 Y sigma 的對偶定義也可用來表示賦有弱拓撲 sigma Y R b 的 Y。若 R 在語境中不明確，則應假定是 X 的全部，這時稱之為 Y 上（由 X 誘導）的弱拓撲。 ：若 sigma X Y b 附在一個拓撲定義上（如 sigma X Y b 收斂、sigma X Y b 有界、operatorname cl_sigma X Y bS 等等），則就意味著當定義的第一個空間（即 X）攜帶 sigma X Y b 拓撲。若無混淆，可以不提及 b 甚至 X、Y。例如，若 Y 中序列 left a_iright_i1inftysigma 收斂 或 弱收斂，這意味著它收斂於 Y sigma Y X b，而若它是 X 中的序列，則意味著它收斂於 X sigma X Y b）。 拓撲 sigma X Y b 是區域性凸的，因為它由 p_y x b x y 定義的半範數族 p_y X to R 確定，其中 y 在 Y 上取值。 若 x in X left x_iright_i in I 是 X 中的網，則若 left x_iright_i in I 在 X sigma X Y b 中收斂到 x，left x_iright_i in Isigma X Y b 收斂於 x。網 left x_iright_i in I，當且僅當 forall y in Y bleft x_i yright 收斂到 b x y，sigma X Y b 收斂到 x。 若 left x_iright_i1infty 是希爾伯特空間中的正交規範向量列，則 left x_iright_i1infty 弱收斂到 0，但不會規範收斂（normconvergence）到 0（或任意向量）。 若 X Y b 是配對，N 是 Y 的一個適當的向量子空間，使得 X N b 是對偶對，則 sigma X N b 比 sigma X Y b 嚴格粗。 有界子集 子集 Ssubseteq X，當且僅當 sup_ b S y infty quad text for all y in Y，其中 b S y b s y s in S ，稱 Ssigma X Y b 有界。 豪斯多夫性 若 X Y b 是配對，則下列條件等價： X 分離 Y 的點； 對映 y mapsto b cdot y 定義了 Y 到 X 的代數對偶空間的單射； sigma Y X b 是豪斯多夫空間。 弱表示定理 下列定理對對偶理論至關重要，因為它完全表徵了 X sigma X Y b 的連續對偶空間。 因此，X sigma X Y b 的連續對偶空間是 X sigma X Y bprime b cdot Y leftb cdot y y in Y right 關於規範配對，若 X 是拓撲向量空間，其連續對偶空間 Xprime 分離 X 的點（即使 left X sigmaleft X Xprimerightright 豪斯多夫，這可推出 X 也必豪斯多夫），則 left Xprime sigmaleft Xprime Xrightright 的連續對偶空間等於 x 在 X 中取值時所有 點 x 處得值 的對映集合（即將 xprime in Xprime 送到 xprimex 的對映）。 通常寫成 left Xprime sigmaleft Xprime Xrightrightprime X qquad text or qquad left Xprime_sigmarightprime X 這一重要事實就是為什麼連續對偶空間上極拓撲的成果（如 Xprime 上的強對偶拓撲 betaleft Xprime Xright）能應用到原拓撲向量空間 X 的。例如，將 X 視作 left Xprime_sigmarightprime 意味著 left Xprime_sigmarightprime 上的拓撲 betaleft left Xprime_sigmarightprime Xprime_sigmaright 可被視作 X 上的拓撲。 此外，若 Xprime 被賦予比 sigmaleft Xprime Xright 更細的拓撲，那麼 Xprime 的連續對偶空間必然包含 left Xprime_sigmarightprime（作為子集）。 例如，Xprime 被賦予強對偶拓撲（於是記作 Xprime_beta），則 left Xprime_betarightprime supseteq left Xprime_sigmarightprime X 這允許 X 被賦予由強對偶拓撲 betaleft left Xprime_betarightprime Xprime_betaright 在 X 上誘導的子空間拓撲（此拓撲也稱作強雙對偶拓撲，見於自反空間理論：豪斯多夫區域性凸拓撲向量空間 X，若 left Xprime_betarightprime X 則稱其是半自反空間，若在此之外，其在 X 上的強雙對偶拓撲 betaleft left Xprime_betarightprime Xprime_betaright 還等於 X 的原 初拓撲，則稱其是自反空間。 正交、商與子空間 若 X Y b 是配對，則對 X 的任意子集 S： Sperp operatorname span Sperp left operatorname cl_sigma Y X b operatorname span Srightperp Sperpperpperp，且此集合是 sigma Y X b 閉的； S subseteq Sperpperp left operatorname cl_sigma X Y b operatorname span Sright； 因此，若 S 是 X 的 sigma X Y b 閉向量子空間，則 S subseteq Sperpperp 若 left S_iright_i in I 是 X 的 sigma X Y b 閉向量子空間族，則 left bigcap_i in I S_irightperp operatorname cl_sigma Y X b left operatorname span left bigcup_i in I S_iperprightright 若 left S_iright_i in I 是 X 的子集族，則 left bigcup_i in I S_irightperp bigcap_i in I S_iperp 若 X 是賦範空間，則根據規範對偶性，Sperp 在 Xprime 中對範是封閉的，Sperpperp 在 X 中對範是封閉的。 子空間 設 M 是 X 的向量子空間，並令 M Y b 表示 X Y b 對 M times Y 的限制。 M 上的弱拓撲 sigma M Y b 與 M 從 X sigma X Y b 繼承的子空間拓撲相同。 另外，left M Y Mperp bbigvert_Mright 是配對空間（paired space）（其中 Y Mperp 是 Y left Mperpright），其中 bbigvert_M M times Y Mperp to mathbb K 定義為 left m y Mperpright mapsto b m y 拓撲 sigmaleft M Y Mperp bbigvert_Mright 等於 M 繼承自 X sigma X Y b 的子空間拓撲。 此外，若 X sigma X Y b 是對偶系統，則 left M Y Mperp bbigvert_Mright 也是。 商 設 M 是 X 的向量子空間，則 left X M Mperp b Mright 是配對空間，其中 b M X M times Mperp to mathbb K 定義為 x M y mapsto b x y 拓撲 sigmaleft X M Mperpright 等同於 X sigma X Y b 在 X M 上誘導的一般的商拓撲。 極與弱拓撲 弱 X 是區域性凸空間，且若 H 是連續對偶空間 Xprime 的子集，則當且僅當對 X 中某桶 B，有 H subseteq Bcirc 時，H 是 sigmaleft Xprime Xright 有界的。 下列結果對定義極拓撲非常重要。 若 X Y b 是配對，A subseteq X 則 A 的極 Acirc 是 Y sigma Y X b 的閉子集。 下列集合的極相同：a A；b A 的凸殼；c A 的平衡殼；d A 的 sigma X Y b 閉合；e A 的凸平衡殼的 sigma X Y b 閉合。 雙極定理：A 的雙極 Acirccirc 等於 A 的凸平衡殼的 sigma X Y b 閉合。 雙極定理 是處理對偶性時不可或缺的工具。 當且僅當 Acirc 吸收於 Y 時，A 是 sigma X Y b 有界的。 若 Y 還分離 X 的點，則當且僅當 A 是 sigma X Y b 全有界時，A 是 sigma X Y b 有界的。 若 X Y b 是配對，tau 是 X 上與對偶一致的區域性凸拓撲，則當且僅當 B 是 Y 的某 sigma Y X b 有界子集的極時，Bsubseteq X 是 X tau 中的桶。 轉置 線性對映關於配對的轉置 令 X Y b 和 W Z c 是 mathbb K 上的配對，並令 F X to W 是線性對映。 forall z in Z 令 c F cdot z X to mathbb K 是由 x mapsto c F x z 定義的對映。 若滿足以下條件，就可以說 F 的轉置或伴隨是良定的（welldefined）： X 分離 Y 中的點（或等價地，從 Y 抵達代數對偶 X 的對映 y mapsto b cdot y 是單射），且 c F cdot Z subseteq b cdot Y 其中 c F cdot Z c F cdot z z in Z b cdot Y b cdot y y in Y 這樣，forall z in Z 存在（由條件 2）唯一的（由條件 1）y in Y，使 c F cdot z b cdot y，其中 Y 的這個元素將表為 t F z。這定義了線性對映 t F Z to Y 稱作 F 的轉置或關於 X Y b 和 W Z c 的伴隨（注意不要與厄米伴隨混淆）。不難看出，上述兩個條件（即 轉置良定義）也是 t F 良定的必要條件。 forall z in Z，t F z 的定義條件是 c F cdot z bleft cdot t F zright 即， forall x in X c F x z bleft x t F zright 根據本文開頭提到的約定，這也定義了形式為 Z to Y 若 G Z to Y 是線性對映，則當且僅當 Z 分離 W 的點、b X G cdot subseteq c W cdot 時，G 的轉置 t G X to W 是良定的。這時，forall x in X，t G x 的定義條件是：c x G cdot cleft t G x cdotright X to Z 若 H X to Z 是線性對映，則當且僅當 X 分離 Y 的點、c W H cdot subseteq b cdot Y 時，H 的轉置 t H W to Y 是良定的。這時，forall w in W，t H w 的定義條件是：c w H cdot bleft cdot t H wright W to Y 若 H W to Y 是線性對映，則當且僅當 W 分離 Z 的點、b X H cdot subseteq c cdot Z 時，H 的轉置 t H X to Q 是良定的。這時 forall x in X，t H x 的定義條件是：c x H cdot bleft cdot t H xright Y to W 若 H Y to W 是線性對映，則當且僅當 Y 分離 X 的點、c H cdot Z subseteq b X cdot 時，H 的轉置 t H Z to X 是良定的。這時，forall z in Z，t H z 的定義條件是：c H cdot z bleft t H z cdotright 等的線性對映的轉置（見腳註）。 轉置的性質 X Y b 和 W Z c 是 mathbb K 上的配對，F X to W 是線性對映，其轉置 t F Z to Y 是良定義的。 當且僅當 F 的範圍在 left W sigmaleft W Z crightright 中稠密時，t F Z to Y 是單射（即 operatorname ker t F 0 ）。 若除了 t F 良定義外，t F 的轉置也良定義，則 tt F F。 設 U V a 是 mathbb K 上的配對，E U to X 是線性對映，其轉置 t E Y to V 是良定義的，則 F circ E U to W 的轉置 t F circ E Z to V 也是良定義的，且 t F circ E t E circ t F 若 F X to W 是向量空間同構，則 t F Z to Y 是雙射，F1 W to X 的轉置 t left F1right Y to Z 是良定義的，且 t left F1right left t Fright1 令 S subseteq X，Scirc 表示 A 的絕對極，則 F Scirc left t Fright1left Scircright； 若 forall T subseteq W F S subseteq T，則 t Fleft Tcircright subseteq Scirc； 若 T subseteq W 使得 t Fleft Tcircright subseteq Scirc，則 F S subseteq Tcirccirc； 若 T subseteq W，S subseteq X 是弱閉圓盤，則當且僅當 F S subseteq T 時，t Fleft Tcircright subseteq Scirc； operatorname ker t F F X perp 將絕對極換成實極，這些結果不變。 若 X、Y 是規範對偶下的賦範空間、F X to Y 是連續線性對映，則 F leftt Fright。 弱連續性 線性對映 F X to W，若 F X sigma X Y b to W W Z c 連續，則稱其（關於 X Y b 和 W Z c）弱連續。 下面的結果表明，轉置對映的存在與弱拓撲密切相關。 弱拓撲與規範對偶 設 X 是向量空間，X 是其代數對偶。則 X 的所有 sigmaleft X Xright 有界子集包含於有限維向量子空間，X 的所有向量子空間是 sigmaleft X Xright 閉的。 弱完備性 若 X sigma X Y b 是完備拓撲向量空間，例如 X 是 sigma X Y b 完備或（若無歧義）弱完備的情形。 存在不弱完備的巴拿赫空間（儘管在其範拓撲中是完備的）。 若 X 是向量空間，則在規範對偶下，left X sigmaleft X Xrightright 是完備的。 相反，若 Z 是豪斯多夫區域性凸拓撲向量空間，且有連續對偶空間 Zprime，則當且僅當 Z left Zprimeright 時，left Z sigmaleft Z Zprimerightright 是完備的；即，當且僅當將 z in Z 傳送到 z 處求值對映（即 zprime mapsto zprimez）的對映 Z to left Zprimeright 是雙射。 特別地，就規範對偶而言，若 Y 是 X 的向量子空間，使 Y 分離 X 中的點，則當且僅當 Y X，Y sigma Y X 是完備的。 換句話說，X 不存在緊合向量子空間 Y neq X 使得 X sigma X Y 是豪斯多夫空間，且 Y 在弱 拓撲（即逐點收斂的拓撲）中完備。 因此，若豪斯多夫區域性凸拓撲向量空間 X 的連續對偶空間 Xprime 被賦以弱 拓撲，當且僅當 Xprime X（即 X 上所有線性泛函都連續）時，Xprime_sigma 是完備的。 Y 與代數對偶的子空間的等同 若 X 分離 Y 的點、Z 表示單射 y mapsto b cdot y 的範圍，則 Z 是 X 的代數對偶空間的向量子空間，且配對 X Y b 與規範配對 langle X Z rangle（其中 leftlangle x xprime rightrangle xprimex 是自然求值對映）是規範等同（canonically identify）的。 特別地，這時我們將不失一般性地假設 Y 是 X 代數對偶的向量子空間，而 b 是求值對映。 ：通常，只要 y mapsto b cdot y 是單射（尤其當 X Y b 形成對偶對），通常不失一般性地假設 Y 是 X 的代數對偶空間的向量子空間，且 b 是自然求值對映，Y 還可記作 Xprime。 完全類似的是，若 Y 分離 X 中的點，則 X 就有可能等同於 Y 的代數對偶空間的向量子空間。 代數伴隨 在對偶是規範對偶 leftlangle X X rightrangle 和 leftlangle W W rightrangle 的特例下，線性對映 F X to W 的轉置總是良定義的。 此轉置稱作 F 的代數伴隨，記作 F； 即 F t F W to X 這樣，forall wprime in W Fleft wprimeright wprime circ F 其中 Fleft wprimeright 的定義條件是 leftlangle x Fleft wprimeright rightrangle leftlangle F x wprime rightrangle quad forall x in X 或等價地 Fleft wprimerightx wprimeF x quad forall x in X 若對整數 n，X Y mathbb Kn，mathcal E lefte_1 ldots e_nright 是 X 的基，其對偶基 mathcal Eprime lefte_1prime ldots e_nprime right F mathbb Kn to mathbb Kn 是線性運算元，F 關於 mathcal E 的矩陣表示是 M left f_ijright，則 M 的轉置是 F 關於 mathcal Eprime 的矩陣表示。 弱連續性與開性 設 leftlangle X Y rightrangle，langle W Z rangle 是對偶系統的規範配對（所以 Y subseteq X Z subseteq W），並令 F X to W 是線性對映。則當且僅當 F X to W 滿足下列等價條件之一，F 是弱連續的： F X sigma X Y to W sigma W Z 連續； FZ subseteq Y F 的轉置 t F Z to Y 相對於 leftlangle X Y rightrangle 和 langle W Z rangle 是良定義的。 若 F 是弱連續的，則 t F Z sigma Z W to Y sigma Y X 是連續的，於是 tt F F 拓撲空間之間的對映 g A to B，若 g A to operatorname Im g 是開對映（operatorname Im g 是 g 的範圍），則稱之是相對開的。 設 langle X Y rangle langle W Z rangle 是對偶系統，F X to W 是弱連續線性對映。則下列條件等價： F X sigma X Y to W sigma W Z 是相對開的； t F 的範圍在 Y 中 sigma Y X 閉； operatorname Im t F operatorname ker Fperp 此外 當且僅當 t F 是滿射（或雙射），F X to W 是單射（或雙射）； 當且僅當 t F Z sigma Z W to Y sigma Y X 是相對開單射，F X to W 是滿射。 拓撲向量空間之間對映的轉置 當且僅當 F 是弱連續的，兩拓撲向量空間之間對映的轉置才被定義。 設 F X to Y 是兩豪斯多夫區域性凸拓撲向量空間之間的線性對映，則 若 F 連續，則其是弱連續的，且 t F 是麥基連續的，也是強連續的； 若 F 是弱連續的，則其是麥基連續的，也是強連續的（定義見下）。 若 F 是弱連續的，則當且僅當 t F prime to Xprime 將 Yprime 的等度連續子集對映到 Xprime 的等度連續子集時，F 才是連續的。 若 X 和 Y 是賦範空間，則當且僅當 F 是弱連續的（這時 F leftt Fright），F 連續。 若 F 連續，則當且僅當 F X to Y 是弱相對開的（即 F left X sigmaleft X Xprimerightright to left Y sigmaleft Y Yprimerightright 是相對開的）、且 operatorname Im t F t Fleft Yprimeright 的等度連續子集都是 Yprime 的某等度連續子集的像時，F 是相對開的。 若 F 是連續單射，則當且僅當 Xprime 的等度連續子集都是 Yprime 的某等度連續子集的像，F X to Y 是拓撲向量空間嵌入（或等價的拓撲嵌入）。 可度量化性與可分性 令 X 是區域性凸空間，有連續對偶空間 Xprime，並令 K subseteq Xprime。 若 K 是等度連續或 sigmaleft Xprime Xright 緊的，且 D subseteq Xprime 使得 operatorname span D 在 X 中稠密，則 K 從 left Xprime sigmaleft Xprime Drightright 繼承的子空間拓撲等同於 K 從 left Xprime sigmaleft Xprime Xrightright 繼承的子空間拓撲。 若 X 是可分的、K 是等度連續的，則 K 被賦予由 left Xprime sigmaleft Xprime Xrightright 誘導的子空間拓撲後是可度量化的。 若 X 是可分、可度量化的，則 left Xprime sigmaleft Xprime Xrightright 是可分的。 若 X 是賦範空間，則當且僅當給定由 left Xprime sigmaleft Xprime Xrightright 誘導的子空間拓撲，X 的連續對偶空間的封閉單元（X 的連續對偶空間）可度量時，X 是可分的。 若 X 是賦範空間，其連續對偶空間可分（給定通常的範拓撲）時，X 可分。 極拓撲與同配對相容的拓撲 從弱拓撲開始，極基的使用會產生一系列區域性凸拓撲。這樣的拓撲稱作極拓撲，弱拓撲是其中最弱的。 X Y b 將是 mathbb K 上的配對，mathcal G 將是 X 的 sigma X Y b 有界子集的非空集合。 極拓撲 給定 X 子集的集合 mathcal G，Y 上由 mathcal G（與 b）定義的極拓撲（或 Y 上的 mathcal G 拓撲）是 Y 上唯一的拓撲向量空間拓撲，其中 leftr Gcirc G in mathcal G r 0 right 形成了原點鄰域的子基。 Y 被賦予這 mathcal G 拓撲時，就表示為 Y_mathcal G。極拓撲都需要是區域性凸的。 mathcal G 是關於子集包含的有向集合時（即若 forall G K in mathcal G，exists K in mathcal G 使得 G cup H subseteq K），則此 0 處的鄰域子基實際上形成了 0 處的鄰域基。 下面列出了一些較重要的極拓撲。 ：若 Delta X Y b 表示 Y 上的極拓撲，則唄賦予此拓撲的 Y 將記作 Y_Delta Y X b Y_Delta Y X 或 Y_Delta（如對 sigma Y X b 我們有 Delta sigma，這樣 Y_sigma Y X b Y_sigma Y X 和 Y_sigma 都表示賦予了 sigma X Y b 的 Y）。 mathcal G subseteq mathcal P X （ 上一致收斂的拓撲） 記作 名稱（ 的拓撲） 又稱 X 的有限子集（或 X 有限子集的 sigma X Y b 閉圓盤化殼） sigma X Y b s X Y b 逐點 簡單收斂 弱 弱 拓撲 sigma X Y b 緊圓盤 tau X Y b 麥基拓撲 sigma X Y b 緊凸子集 gamma X Y b 緊凸收斂 sigma X Y b 緊子集（或平衡 sigma X Y b 緊子集） c X Y b 緊收斂 sigma X Y b 有界子集 b X Y bbeta X Y b 有界收斂 強拓撲最強的極拓撲 與極拓撲有關的定義 連續性 若 F X tau X Y b to W tau W Z c 連續，則線性對映 F X to W 是（關於 X Y b 和 W Z c）麥基連續的。 若 F X beta X Y b to W beta W Z c 是連續的，則線性對映 F X to W 是（關於 X Y b 和 W Z c）強連續的。 有界子集 X 的子集，若在 X sigma X Y b（或 X tau X Y b、X beta X Y b）中有界，則稱 X 是弱有界（或麥基有界、強有界）。 同配對相容的拓撲 弱 X Y b 是 mathbb K 上的配對，mathcal T 是 X 上的向量拓撲，則 mathcal T 是配對的拓撲，且若其區域性凸、left X mathcal Tright 的連續對偶空間 b cdot Y，則稱之與配對 X Y b 相容或一致。當然，Y 上拓撲也有 與配對相容 的類似定義，但本文只討論 X 上的拓撲。 若 X 分離 Y 的點，則 Y 可視作 X 的代數對偶的向量子空間，定義條件變為 left X mathcal Trightprime Y 有人（如 Trèves 2006、Schaefer 1999）要求配對的拓撲也要是豪斯多夫的，若 Y 分離 X 的點（這些學者假設），則必須是豪斯多夫的。 弱拓撲 sigma X Y b 同配對 X Y b 相容（如弱表示定理所示），事實上是最弱的拓撲。還有一種與這種配對相容的最強拓撲，即麥基拓撲。 若 N 是非自反的賦範空間，則其連續對偶空間上通常的範拓撲同對偶 left Nprime Nright 不相容。 麥基阿倫定理 下面是對偶理論中最重要的定理之一。 由此可見，麥基拓撲 tau X Y b 是由 Y 中所有 sigma X Y b 緊圓盤生成的極拓撲，是 X 上與配對 X Y b 相容的最強區域性凸拓撲。 給定拓撲與麥基拓撲相同的區域性凸空間稱作麥基空間。 上述麥基 阿倫定理的一下結果也稱作麥基 阿倫定理。 麥基定理、桶與閉凸集 若 X 是（Reals 或 Complex 上的）拓撲向量空間，則半空間（halfspace）是形式為 x in X f x leq r 的集合。（r 是實數，f 是 X 上的連續實值線性泛函） 上述定理說明，區域性凸空間的閉子集和凸子集完全取決於連續對偶空間。於是，在任何與配對相容的拓撲中，閉子集和凸子集都相同；即，若 mathcal T、mathcal L 是 X 上的任意區域性凸拓撲，且有同樣的連續對偶空間，則當且僅當 X 的凸子集在 mathcal L 拓撲中封閉，，此子集也在 mathcal T 拓撲中封閉。 這說明，X 任意凸子集的 mathcal T 閉等同於其 mathcal L 閉，對 X 中任意 mathcal T 閉圓盤 A，A Acirccirc。 特別地，若 B 是 X 的一個子集，則當且僅當 B 是 X mathcal L 中的桶時，B 也是 X mathcal L 中的桶。 下面的定理說明，桶（即閉吸收圓盤）恰是弱有界子集的極。 若 X 是拓撲向量空間，則 X 的閉吸收平衡子集 B 吸收 X 的所有凸緊子集（即存在正實數 r 使得 r B 包含此集）。 若 X 是豪斯多夫區域性凸的，則 X 中每個桶都吸收 X 的每個凸有界完備子集。 所有這些都引出了麥基定理，這是對偶系統理論的核心定理之一。簡言之，定理支出，對符合相同對偶性的兩豪斯多夫區域性凸拓撲，有界子集是相同的。 有限序列空間 令 X 表示標量 r_bull left r_iright_i1infty 的所有序列的空間，且對所有足夠大的 i 都有 r_i 0。 令 Y X，定義雙線性對映 b X times X to mathbb K 為 bleft r_bull s_bullright sum_i1infty r_i s_i 則 sigma X X b tau X X b。 此外，當且僅當存在正實數序列 m_bull left m_iright_i1infty，使得 leftt_iright leq m_i forall t_bull left t_iright_i1infty in T、及所有指標 i（或還有 m_bull in X）時，子集 T subseteq X 是 sigma X X b 有界（或 beta X X b 有界）的。 由此可見，X 的子集中有弱有界（即 sigma X X b 有界）的，但沒有強有界（即無 beta X X b 有界）的。 另見 Beta 對偶空間 雙正交系統 對偶空間 對偶拓撲 對偶 數學 內積 L 半內積 配對 數學 極集 極拓撲 約化對偶對 強對偶空間 線性對映空間泛函 弱拓撲 註釋 參考文獻 書目 Michael Reed and Barry Simon Methods of Modern Mathematical Physics Vol 1 Functional Analysis Section III3 Academic Press San Diego 1980 外部連結 Duality Theory Category 泛函分析 Category 對偶理論 Category 拓撲向量空間