圖論中，圖 G 的徑分解（path decomposition）是 G 的 加粗 路徑圖表示，G 的徑寬（pathwidth）是衡量形成 G 的路徑被加粗的程度。更正式地說，徑分解是 G 的頂點子集序列，使每條邊的端點出現在某一子集中，並使每個頂點都出現在子集連續子序列中， 徑寬等於這樣的分解中最大集的大小減一。 徑寬也叫做區間厚度（interval thickness，等於 G 的區間父圖中的最大團大小減一）、頂點分隔數（vertex separation number）或結點搜尋數（node searching number）。 徑寬與徑分解同樹寬、樹分解關係密切，在圖子式理論中起關鍵作用：在圖子式下封閉、不含所有森林的圖族可描述為徑寬有界，子式閉圖族的一般結構理論中出現的 渦（vortex）的徑寬也有界。 徑寬與徑寬有界圖在超大規模積體電路設計、圖繪製、計算語言學等領域也有應用。 計算任意圖的徑寬、甚至精確近似徑寬都是 NP 困難的。 不過，這問題是固定引數可解的：測試圖的徑寬是否為 k，耗時與圖的大小呈線性關係，而與 k 呈上指數關係。另外，對樹之類的特殊圖，徑寬可在多項式時間內算得，而不依賴於 k。 對圖的徑分解使用動態規劃，可以將圖演算法中很多問題在徑寬有界圖上高效解決。 徑分解也可測量樹寬有界圖上動態規劃演算法的空間複雜度。 定義 thumbupright135 徑寬為 2 的例圖 G，其徑分解寬度為 2。影像下半部是相同的圖與徑分解，添加了顏色以示強調。（本例改編自，添加了記號） 在圖子式系列論文的第一篇中，將圖 G 的徑分解定義為 G 的頂點子集 X_i 序列，滿足兩條屬性： 對 G 中每條邊，存在 i 使邊的兩端點都屬於子集 X_i； forall ile jle k X_i cap X_k subseteq X_j 第二條性質等價於要求包含任意特定頂點的子集構成整個序列的連續子列。用系列論文後期的話來說，徑分解是樹分解 X T，其中分解的底樹 T 是路徑圖。 徑分解的寬度與樹分解類似，是 rm max_iX_i1，G 的徑寬是 G 的徑分解的最小寬度。在徑寬的大多數應用中，X_i 的大小減不減一沒什麼差別，主要是為了使路徑圖的徑寬等於 1。 其他特徵 如所描述的，徑寬可用許多等價方法表徵。 粘合序列 徑分解可表述為圖 G_i 的序列，找到來自序列中連續圖的頂點對，並將圖粘合在一起，所有粘合的結果就是 G。在徑分解的第一個定義中，圖 G_i 可看作是集合 X_i 的誘導子圖，連續（successive）誘導子圖中的兩頂點被 G 中相同頂點誘導時，就會被粘在一起；反之，可以把集合 X_i 恢復為圖 G_i 的頂點集。則徑分解的寬度比某一圖 G_i 的最大頂點數少 1。 區間厚度 任意圖 G 的徑寬等於含 G（以 G 為子圖）的區間圖的最小團數減一。 Theorem 29 p 13 即，對 G 的每種徑分解，都能找到 G 的區間子圖；對 G 的每個區間父圖，都能找到 G 的徑分解，使分解的寬度比區間圖團數小 1。 假設給出了 G 的徑分解。則可將分解的結點表為直線上的點（按路徑順序），並將每個頂點 v 表示為以這些點為端點的閉區間。這樣，包含 v 的徑分解結點就對應 v 在區間中的代表點。G 頂點形成的區間交圖是包含 G 的區間圖，其最大團由包含代表點的區間集給出，大小比 G 的徑寬大 1。 設 G 是某區間圖的子圖，團數 p1，則 G 有寬 p 的徑分解，其結點由區間圖的最大團給出。例如，圖中的區間圖及其區間表示的徑分解有 5 個結點，分別對應 5 個最大團 ABC、ACD、CDE、CDF、FG；最大團大小為 3，這徑分解的寬度為 2。 徑寬與區間厚度之間的等價關係同樹寬與弦圖（給定圖是弦圖的子圖）的最小團數（減一）的等價關係非常相似。區間圖是弦圖的特例，弦圖可表為共同樹的子樹的交圖，這類似於區間圖是路徑子徑的交圖。 頂點分隔數 設圖 G 的頂點是線性有序的。則，G 的頂點分隔數是滿足下列條件的最小數 s：對頂點 v，最多 s 個頂點在排序中先於 v，但有 v 或更靠後的頂點相鄰。 G 的頂點分隔數是 G 的任意線性排序的最小頂點分隔數。頂點分隔數由定義，等於 G 的徑寬。 Theorem 51 這源於前述的與區間圖團數的等價關係：若 G 是區間圖 I 的子圖，並以所有區間端點都分離的方式表示（如圖所示），則 I 的區間左端點排序的頂點分隔數比 I 的團數小 1。反過來，從 G 的線性排序可推匯出一種區間表示：頂點 v 的區間左端點是其在排序中的位置，右端點是 v 在排序中最後一個鄰居的位置。 結點搜尋數 圖上的結點搜尋策略是追逃對策的一種形式，當中一組搜尋者合作追蹤藏在圖中的逃犯。搜尋者被置於圖的頂點上，逃犯可能在任意邊上，位置與移動對搜尋者不可見。每個回合中，搜尋者的部分或全部可從頂點移動到另一頂點（任意移動，不必沿邊），逃犯可以沿不經過搜尋者頂點的任意路徑移動。逃犯所在邊的兩端點都被搜尋者佔據時，就被抓獲。圖的結點搜尋數是必然能抓到逃犯的最少搜尋者數。如所示，圖的結點搜尋數等於其區間厚度。搜尋者的最優策略是不斷移動搜尋者，使他們在連續回合中形成具有最小頂點分隔數的線性排序的分隔集。 界 徑寬為 k 的 n 頂點圖至多有 k nkfrac k12 條邊，是最大 k 徑寬圖（即徑寬為 k、無論怎樣新增邊都必改變徑寬的圖）的邊數。徑寬為 k 的最大圖要麼是 k 徑圖要麼是 k 毛蟲圖，它們是兩種特殊的 k 樹。k 樹是恰有 nk 個最大團（含 k1 個頂點）的弦圖；在本身不是 k1 團的 k 樹中，每個最大團要麼將圖分隔成多個部分，要麼包含單個葉頂點（只屬於一個最大團的頂點）。k 徑圖是至少有兩葉的 k 樹，k 毛蟲圖是可分割維 k 徑與一組 k 葉的 k 樹，其中每片葉還與 k 徑中的獨立 k 團相鄰。徑寬為 1 的最大圖是毛蟲樹。 由於徑分解是樹分解的特例，徑寬不小於樹寬，且不大於割寬，即在圖頂點的最優線性排列中，前後頂點組之間割邊的最小數。這是因為，頂點分隔數即前後頂點組的鄰接數不大於割邊數。 Lemma 3 p99 Theorem 47 p 24 出於類似原因，割寬不大於徑寬乘頂點的最大度。 Lemma 1 p 99 Theorem 49 p 24 任意 n 頂點森林都有徑寬 O log n。 Theorem 5 p 99 Theorem 66 p 30 為 n 頂點森林的徑寬提供了更緊的上界：log_3 2n1。例如，對一個森林，總能找到恆定多的頂點，使得去掉它們後形成至多有 frac 2n3 個頂點的兩片子森林。如此遞迴地分隔子森林，將分隔頂點置於兩者之間，形成的線性排列具有對數頂點搜尋數。此技術用於樹分解時，可知，若 n 頂點圖 G 的樹寬為 t，則 G 的徑寬是 O tlog n。 Theorem 6 p 100 Corollary 24 p10 由於外平面圖、系列並行圖、哈林圖的樹寬都有界，它們的徑寬最多為對數的。 此外，徑寬還透過線圖，同團寬與割寬有關係。G 的邊在其線圖 L G 中都有對應的頂點，當 G 中相應的兩邊有共同端點時，L G 中的兩頂點就是相鄰的。當且僅當圖族的線圖的線性團寬（用鄰接 1 個新頂點的操作取代了團寬的不交併操作）有界，圖族的徑寬有界。 若某 3 及以上個頂點的連通圖的最大度為 3，則其割寬等於線圖的頂點分隔數。 平面圖的徑寬最多與頂點數的平方根成正比。 Corollary 23 p 10 找到具有這種寬度的徑分解，一種方法是（與上述森林的對數寬徑分解類似）用平面分隔定理找到 O sqrt n 個頂點的集合，其將圖分隔為至多有 frac 2n3 個頂點的兩個子圖，如此遞迴地分隔子圖，最後將兩子圖的遞迴徑分解連線起來。同樣的技術也適用於類似分離器定理成立的任何一類圖。 Theorem 20 p 9 與平面圖一樣，任何固定的子式閉圖族中的圖都有大小為 O sqrt n 的分隔子， 因此此類圖族中圖的徑寬也是 O sqrt n。對某類平面圖，圖的徑寬與其對偶圖的徑寬必須在一常數因子範圍內，對於雙連通外平面圖； 與多面體圖；，這種形式的邊界是已知的。2 連通平面圖的對偶圖的徑寬小於線圖的徑寬。 至於在其他情形下，平面圖徑寬與對偶圖徑寬是否總相差某常數因子，仍是未知的。 在某些類的圖中，徑寬與樹寬總相等。已證明的有餘圖、 置換圖、 可比圖之補、 區間序的可比圖。 在立方圖中，或更廣義地在任何最大頂點度為 3 的圖中，徑寬不大於 frac n6o n，其中 n 是頂點數。存在徑寬為 0082n 的立方圖，但如何縮小這下界與上界 frac n6 之間的差距，目前還不得而知。 計算徑分解 確定給定圖的徑寬是否大於 k 的問題是 NP 完全的（k 也是輸入）。 計算任意 n 頂點圖徑寬的最壞情形的最優時間邊界為 O 2nnc，c 是常數。 不過，已經有幾種演算法可在徑寬較小、輸入圖類別有限或近似的情形下更高效地計算徑分解。 固定引數可解 徑寬是固定引數可解的：對任意常數 k，都可測試徑寬是否大於 k，若不大於 k，則線上性時間內找到寬 k 的徑分解。一般來說，這類演算法分兩階段執行。第一階段，假設圖的徑寬為 k，以找到並非最優的徑分解或樹分解，寬度可作為 k 的函式而變為約束。第二階段，對這分解運用動態規劃演算法，以找到最優分解。然而，已知的這類演算法的時間界限是 k2 的指數級，除了最小的 k 外，都是不切實際的。 p12 對於 k2 的情形，給出了基於 2 徑寬圖的結構分解的精確限行時間演算法。 特殊圖類 調查了計算各種特殊圖類的徑寬的複雜性。若圖 G 是有界度圖、 平面圖、有界度平面圖、弦圖、 弦多米諾、 弦多米諾是頂點都屬於至多 2 個最大團的弦圖。可比圖之補、二分距離遺傳圖，確定圖 G 的徑寬是否最大是 k 的問題仍是 NP 完全的。對於包含二分距離遺傳圖的圖族（二分圖、弦二分圖、距離遺傳圖、迴圈圖之類），也是 NP 完全的。 不過，對於樹與森林，徑寬可線上性時間內算得。 對樹寬有界圖族（系列並行圖、外平面圖、哈林圖） 、裂圖；、弦圖之補將此成果歸功於 Ton Kloks 的博士論文（1993）；Garbe 對區間序的可比圖的多項式時間演算法推廣了結果，而弦圖屬於此類可比圖。、置換圖、餘圖、圓弧圖、區間序的可比圖、區間圖，也可在多項式時間內計算出來。這種情形下，徑寬比覆蓋圖的區間表示中所有點的最大區間數小 1。 近似演算法 將圖的徑寬近似到加常數範圍內，是 NP 難的。 已知近似率最佳的多項式時間近似演算法是 O log n32。 關於計算徑寬的早期近似演算法，見與；關於受限圖類的近似計算，見。 圖子式 圖 G 的子式是由 G 透過收縮邊、移除邊、移除頂點得到的另一張圖。圖子式有深奧的理論，其中幾個重要結果涉及徑寬。 排除森林 若圖族 F 對取子式封閉（即 F 成員的子式還在 F 中），則由羅伯森西摩定理，F 的特徵是在禁子式有限集 X 中沒有任何子式。 例如，瓦格納定理指出，平面圖是既沒有完整圖 K_5 也沒有完全二分圖 K_3 3 作為子式的圖。很多時候，F 的性質與 X 的性質密切相關，此類的第一個結果由提出，將有界徑寬與禁子式族中森林的存在聯絡起來。具體來說，若存在常數 p 使 F 中圖的徑寬不大於 p，則稱圖族 F 具有有界徑寬。那麼，當且僅當 F 的禁子式集 X 至少包括一個森林時，子式閉族 F 具有有界的徑寬。 從一個方向來看，這結果很容易證明：若 X 不含森林，則 無 X 子式圖 的徑寬便無界。因為這時，無 X 子式圖將包含所有森林，特別是包括完美二叉樹。而一棵 2k1 層的完美二叉樹的徑寬為 k，所以這時無 X 子式圖的徑寬無解。從另一方向看，若 X 包含 n 頂點森林，則無 X 子式圖的徑寬不大於 n2。 徑寬有界的障礙 徑寬不大於 p 的性質本身對取子式封閉：若 G 的徑分解寬度不大於 p，則從 G 中刪去任何邊，同一徑分解仍有效，且可以從 G 及其徑分解中刪去任意頂點而不增加寬度。同樣，透過合併表示收縮後邊的兩端點的子徑，也可在收縮邊時不增加分解寬度。因此，徑寬至多為 p 的圖可用排除子式的集合 X_p 描述。 p 8 雖然 X_p 必然包括森林，但並不是說 X_p 中的所有圖都是森林：例如，X_1 包含 2 張圖，一個 7 頂點樹與三角 K_3。而 X_p 中的樹集可以精確描述：它們是 X_p1 中三棵樹透過邊，連線新的根頂點與 3 棵小樹中任意頂點而形成的樹。例如，X_1 中的 7 頂點樹就是這樣由 X_0 中的 2 頂點樹（一條邊）組成的。基於這種構造，可以證明 X_p 中的禁子式數至少為 p2。已計算出 2 徑寬圖的完備禁子式集 X_2，其中包含 110 個圖。 結構理論 子式閉圖族的圖結構定理指出，對任意圖族 F，其中的圖可分解為能嵌入到虧格有界曲面上的圖的團和，且團和的每個分量都有有界多的頂點（apex）與渦（vortex）。這裡的頂點可能與其組分中任何頂點相鄰，渦是徑寬有界圖，粘合到某組分的虧格有界嵌入的面上。渦所嵌入面周圍的頂點的迴圈排序必須與渦的徑分解相容，即，打破迴圈、形成線性排序必然產生頂點分隔數有界的排序。這一理論中，徑寬與任意子式閉圖族密切相關，具有重要的演算法應用。 應用 超大規模積體電路 超大規模積體電路設計中，頂點分隔問題最初是將電路分為子系統的方法，子系統邊界有少量元件。 使用區間厚度模擬 VLSI 一維佈局所需的軌道數，此佈局由網路系統相互連線的模組組成。在他們的模型中，頂點代表網，若兩網都連線到同一模組，就將兩頂點由邊相連；也就是說，若將模組與網視作超圖的結點與超邊，則由它們形成的圖就是超圖的線圖。這超圖的區間表示與著色描述了沿水平軌道（一種顏色對應一條軌道）系統的網的排列，使模組可沿軌道以線性順序排列，並連線到相應的網。區間圖都是完美圖，表明這類最佳排列中，所需顏色數等於網圖的區間完備化的團數。 門矩陣佈局。是一種用於布林邏輯電路的 CMOS VLSI 佈局。當中，訊號沿 線（垂直線段）傳播，而電路的每個門則由沿水平線段的一系列器件特徵構成。因此，代表門的水平線段須與代表門輸入輸出的線路的垂直線段交叉。與的佈局類似，透過計算以線路為頂點，以共享同一門的線對為邊的圖的徑寬，可以找到使排列線路的垂直軌道數最小的佈局。 這種演算法方法也可為可程式設計邏輯陣列的摺疊問題建模。 圖繪製 徑寬在圖繪製中有多個應用： 給定交叉數的最小圖的徑寬受交叉數函式的約束。 樹的頂點可畫在多少條平行線上而邊不交（根據對相鄰頂點線上序列上擺放方式的各種自然限制），與樹的徑寬成正比。 圖 G 的 k 交叉 h 層繪圖是將 G 的頂點放置在 h 條水平線上，邊在其間以單調多邊形路徑排列，使得最多有 k 處交叉。具有這種繪製的圖的徑寬由 h 與 k 的函式約束。於是，h、k 為常值時，可線上性時間內確定圖是都具有 k 交叉 h 層繪製。 n 頂點、徑寬為 p 的圖可嵌入 3 維格 ptimes ptimes n，使得邊（表為格點間的直線段）不交。於是，徑寬有界圖具有此種線性體積嵌入。 編譯器設計 高階語言的編譯過程中，徑寬見於重排直線程式碼序列（即無控制流分支或迴圈的程式碼）問題，使程式碼算得的所有值都可放在暫存器中，而不必溢位到主記憶體中。這種應用中，我們將待編譯程式碼表為有向無環圖，其中結點是程式碼的輸入輸出值。這個 DAG 中，結點 x 到結點 y 的邊表示 x 值是操作了 y 的輸入之一。此 DAG 的頂點的拓撲排序表示程式碼的有效重排，在給定排序中評估程式碼所需的暫存器數由排序的頂點分隔數給出。 對錶示暫存器數的任意定值 w，可在限行時間內確定一段直線程式碼能否重排，以便用不多於 w 個暫存器求值。若拓撲排序的頂點分隔數最多為 w，則所有排序中的最小頂點分隔也不會更大，於是忽略 DAG 方向形成的無向圖的徑寬不大於 w。可用已知的固定引數可解演算法計算徑寬，若是，則可在假設 w 為常數的線性時間內找到無向圖的徑分解。找到徑分解，就可用動態規劃，線上性時間內找到寬 w 的拓撲排序。 語言學 描述了徑寬在自然語言處理中的應用。句子被建模為圖，頂點表示詞，邊表示詞之間的關係。例如，若形容詞修飾了名詞，則圖中這兩個詞之間就會有一條邊。Kornai 和 Tuza 認為，由於人類的短時記憶能力有限， 這種圖的徑寬一定有界（更具體地說，他們認為是 6），否則人類將無法正確解析語言。 指數演算法 圖演算法中的很多問題都可透過對徑分解進行動態規劃，在徑寬較小的圖上高效解決。例如，若給定 n 頂點圖 G 的頂點的線性排序，就有可能在 O 2wn 的時間內找到 G 的最大獨立集。在徑寬有界圖上，這種方法會產生以徑寬為引數的固定引數可解演算法。這種結果在文獻中不常見，因為已經包含在以樹寬為引數的類似演算法；然而，即使在基於樹寬的動態規劃演算法中，徑寬也會出現衡量演算法空間複雜度的過程中。 同樣的動態規劃方法也可用於徑寬無界圖，產生以指數時間解決無參圖問題的演算法。例如，將這種方法與立方圖徑寬為 frac n6o n 的事實相結合，可以發現在立方圖中，最大支配集的構造耗時 O 2frac n6o n，比以往方法更快。類似方法還可改進立方圖中最大割與最小支配集問題的指數時間演算法，及其他一些 NP 難最佳化問題的指數時間演算法。 另見 箱性 割寬 樹深 退化 圖論 頻寬 圖論 斯特拉勒數 註釋 參考文獻 As cited by Category 圖論 Category 圖常量