泛函分析中，得名於斯特凡巴拿赫的巴拿赫代數是實數或複數（或非阿基米德完備賦範域）上的結合代數 A，同時也是巴拿赫空間，即在範數匯出的度量中完備的賦範空間。範數要滿足 x y leq x y quad forall x y in A 這確保了乘法運算連續。 若巴拿赫代數對乘法有範數為 1 的單位元，則稱其是含么的（unital）。若其乘法是可交換的，則稱其可交換。任意巴拿赫代數 A（無論有無單位元）都可等距同構地嵌入含么巴拿赫代數 A_e，從而形成 A_e 的閉理想。通常會先驗地假設所考慮的代數是含么的：因為可以先考慮 A_e，再在原始代數中應用結果，來發展許多理論。不過並非總如此，例如無法在巴拿赫代數中定義不含單位元的三角函式。 實巴拿赫代數的理論可能異於復巴拿赫代數，例如非平凡復巴拿赫代數中元素的譜不會是空的，而實巴拿赫代數中，某些元素的譜可能是空的。 巴拿赫代數也可以定義在 P 進數域上。這是 P 進數分析的一部分。 例子 巴拿赫代數的典型例子是 C_0 X，即定義在區域性緊豪斯多夫空間 X 上在無窮遠處消失的（復值）連續函式空間。當且僅當 X 是緊空間，C_0 X 含么。共軛複數是對合，因此 C_0 X 實際上是 C 代數。更一般地說，C 代數都是巴拿赫代數。 實數（或複數）集是巴拿赫代數，範數為絕對值。 若給所有實數或複數 n 階方陣集合配備服從乘法範數，就成為含么巴拿赫代數。 取巴拿赫空間 Rn（或 Complexn），範數為 x max_ x_i，並定義乘法分量形式：left x_1 ldots x_nright left y_1 ldots y_nright left x_1 y_1 ldots x_n y_nright 四元數形成了 4 維實巴拿赫代數，範數為四元數的絕對值。 定義在某集合（具有逐點乘和上確範數）上的有界實值或復值函式的代數是含么巴拿赫代數。 某區域性緊空間（具有逐點乘和上確範數）上的有界連續實值或復值函式的代數是巴拿赫代數。 巴拿赫空間 E（以函式複合為乘法，以運算元範數為範數）上的連續線性運算元的代數是含么巴拿赫代數。E 上所有緊運算元的集合是巴拿赫代數，也是閉理想。若 dim E infty，則沒有單位元。 若 G 是區域性緊豪斯多夫拓撲群，mu 是其哈爾測度，則 G 上所有 mu 可積函式的巴拿赫空間 L1 G 在卷積 x y g int x h yleft h1 gright d mu h forall x y in L1 G 下成為巴拿赫代數。 一致代數：巴拿赫代數，是復代數 C X 的子代數，具有上確範數，包含常數並分離了 X 的點（必須是緊豪斯多夫空間）。 自然巴拿赫函式代數：一致代數，其所有特徵都在 X 的點上取值。 C 代數：某希爾伯特空間上有界運算元的代數的閉 子代數，是巴拿赫代數。 測度代數：包含某區域性緊群上所有拉東測度的巴拿赫代數，測度之積由卷積給出。 四元數代數 H 是實巴拿赫代數，不是復代數，因為四元數的中心是實數。 仿射體代數（affinoid algebra）是非阿基米德域上的一種巴拿赫代數，是剛性解析幾何的基本構件。 性質 一些由冪級數定義的初等函式可在任意含么巴拿赫代數中定義，如指數函式和三角函式，及更一般的任意整函式（特別地，指數對映可用於定義抽象索引群）。幾何級數公式在一般含么巴拿赫代數中仍有效。二項式定理對巴拿赫代數中兩個交換元也成立。 任何含么巴拿赫代數中的可逆元集合都是開集，其上的逆運算是連續的（因此是同胚），所以形成了乘法下的拓撲群。 若巴拿赫代數有么元 mathbf 1，則 mathbf 1 不可能是交換子；即 xy yx neq mathbf 1 forall x y in A。這是因為 x y y x 若不是 0，則具有相同的譜。 上述例子給出的各種函式代數具有與標準代數（如實數）迥異的性質，例如： 是除代數的實巴拿赫代數同構於實數、複數或四元數。因此，只有是除代數的復巴拿赫代數是復形。（這就是蓋爾範德 馬祖爾定理） 沒有零除子的含么實巴拿赫代數的主理想都是閉的，代數同構於實數、複數與四元數。 沒有零除子的交換實含么諾特巴拿赫代數同構於實數或複數。 交換實含么諾特巴拿赫代數（可有零除子）是有限維的。 巴拿赫代數中的永久奇異元是零的拓撲除子，也就是說，考慮巴拿赫代數 A 的擴張 B，使一些在給定代數 A 中奇異的元素，在 B 中有乘法逆元。A 中零的拓撲除子在 A 的任意巴拿赫擴張 B 中都是永久奇異的。 譜理論 複數域上的含么巴拿赫代數為譜理論提供了一個一般環境。元素 x in A 的譜記作 sigma x，包含所有使 x lambda mathbf 1 在 A 中不可逆的復標量 lambda。任意元素 x 的譜是 Complex 中半徑為 x、圓心在 0 的閉圓盤的閉子集，於是也是緊的。另外，元素 x 的譜 sigma x 也非空，滿足譜半徑公式： sup lambda lambda in sigma x lim_n to infty xn1n 給定 x in A，全純函式微積分允許為在 sigma x 的鄰域全純的任意函式 f 定義 f x in A；此外，譜對映定理成立： sigma f x f sigma x 若巴拿赫代數 A 是復巴拿赫空間 X 上的有界線性運算元的代數 L X（例如方陣的代數），則 A 中的譜與運算元理論中的譜重合。對 f in C X（緊豪斯多夫空間 X），可見： sigma f f t t in X C 代數的正規元素 x 的範數與譜半徑重合，這推廣了正規運算元的類似事實。 令 A 為復含么巴拿赫代數，當中非零元 x 都可逆（是除代數）。forall a in A，都有 lambda in Complex 使 a lambda mathbf 1 不可逆（因為 a 的譜非空），於是 a lambda mathbf 1 代數 A 自然同構於 Complex（蓋爾範德 馬祖爾定理的複數情形）。 理想與特徵 令 A 為 Complex 上的含么交換巴拿赫代數。由於 A 是含么交換環，A 的不可逆元屬於 A 的某極大理想。由於極大理想 mathfrak min A 是閉的，A mathfrak m 是巴拿赫代數且是域，且由蓋爾範德 馬祖爾定理，A 的最大理想集與非零同胚 AtoComplex 集 Delta A 之間有雙射。集合 Delta A 稱作 A 的 結構空間 或 特徵空間，元素為 特徵。 特徵 chi 是 A 上的線性泛函，是乘法函式（chi a b chi a chi b 且滿足 chi mathbf 1 1。）每個特徵都是 AtoComplex 且自動連續，因為特徵的核是最大理想，是閉的；而且範數（即運算元範數）為 1。裝備了 A 上逐點收斂拓撲（即由 A 的弱 拓撲誘導的拓撲）後，特徵空間 Delta A 是豪斯多夫緊空間。 forall x in A sigma x sigma hat x q 在 hat x 是 x 的蓋爾範德表示，定義如下：hat x 是連續函式 Delta Ato Complex，由 hat x chi chi x 給出。hat x 的譜也是作為緊空間 Delta A 上覆連續函式的代數 C Delta A 的元素的譜。顯式地寫， sigma hat x chi x chi in Delta A 作為代數，當且僅當含么交換巴拿赫代數的蓋爾範德表示具有平凡核，其是半單的（即其雅各布森根為零）。這種代數的重要例子是交換 C 代數。事實上，若 A 是交換含么 C 代數，則其蓋爾範德表示是 A C Delta A 間的等距 同構。 巴拿赫 代數 巴拿赫 代數 A 是複數域上的巴拿赫代數，以及對映 A to A，滿足如下性質： forall x in A left xright x（於是對映是對合） forall x y in A x y x y forall lambda in Complex x in A lambda x bar lambda x，其中 bar lambda 表示 lambda 的共軛複數 forall x y in A x y y x 也就是說，巴拿赫 代數是 Complex 上的巴拿赫代數，也是 代數。 在大多數自然例子中，還需要對合是等距的，即 x x quad text for all x in A 有人把這性質納入了巴拿赫 代數的定義。 巴拿赫 代數滿足 x x x x 是 C 代數。 另見 近似單位 卡普蘭斯基猜想 運算元代數 希洛夫界 註釋 參考文獻 Category 傅立葉分析 Category 波蘭科技