表示論和模理論中，弗羅貝尼烏斯代數是一種有限維酉結合代數，具有特殊的雙線性形式，賦予了代數以良好的對偶理論。1930 年代，理查德布饒爾和 Cecil J Nesbitt 開始研究弗羅貝尼烏斯代數，以費迪南德格奧爾格弗羅貝尼烏斯命名。中山正發現了豐富的對偶理論的雛形、。讓迪厄多內利用利用這一點描述了弗羅貝尼烏斯代數。弗羅貝尼烏斯代數被推廣到準弗羅貝尼烏斯環，即正則表示右式為內射模的諾特環。近來，由於與拓撲量子場論的聯絡，人們對弗羅貝尼烏斯代數重新產生了興趣。 定義 定義在域 k 上的有限維酉結合代數 A 若有非退化雙線性形式，滿足方程，則稱作弗羅貝尼烏斯代數。這一雙線性形式被稱作代數的弗羅貝尼烏斯形式。 等價地，我們可以給 A 加上線性泛函，使 λ 的核不包含 A 的非零左理想。 若 σ 是對稱雙線性形式，或等價地，λ 滿足，則稱弗羅貝尼烏斯代數對稱。 向量空間中有另一個基本不相關的對稱代數概念。 中山自同態 對於配備上述 σ 的弗羅貝尼烏斯代數 A，A 的自同態 ν，使是與 A、σ 相關的中山自同態。 例子 任何定義在域 k 上的矩陣代數都是弗羅貝尼烏斯代數。其弗羅貝尼烏斯形式為 sigma a brm tracdot b，其中 tr 表示跡。 任意有限維酉結合代數 A 都與其自同態環 rm EndA 自然同態。在前例的意義上，可在 A 上定義一個非退化雙線性形式，就使得 A 具有弗羅貝尼烏斯代數的結構。 域 k 上有限群 G 的群環 k G 都是對稱弗羅貝尼烏斯代數，弗羅貝尼烏斯形式 σab 由 ab 中單位元的係數給出。 對於域 k，四維 k 代數 k x yx2 y2 是弗羅貝尼烏斯代數。這可以從下面的交換區域性弗羅貝尼烏斯環的特徵得出，因為它是區域性環，最大理想由 x、y 生成，唯一的最小理想由 xy 生成。 對於域 k，三維 k 代數 Ak x yx y2 不是弗羅貝尼烏斯代數。由 x y 引導的 xA 到 A 的同態不能擴充套件為 A 到 A 的同態，表明此環不是自內射的，因此也不是弗羅貝尼烏斯代數。 任意有限維霍普夫代數都是弗羅貝尼烏斯代數，據 LarsonSweedler 1969 關於霍普夫模和積分的定理。 性質 弗羅貝尼烏斯代數的直積及張量積都是弗羅貝尼烏斯代數。 域上的有限維交換區域性代數是弗羅貝尼烏斯代數，當且僅當其右正則模是內射的，當且僅當其極小理想唯一。 交換區域性弗羅貝尼烏斯代數正是包含其剩餘域並在其上有限維的零維區域性葛侖斯坦環。 弗羅貝尼烏斯代數是準弗羅貝尼烏斯環，特別是，它們是左右阿廷環、是左右自內射環。 對於域 k，當且僅當內射的右 A 模 rm Hom_k A k 與 A 的右正則表達同構時，一個有限維酉結合代數才是弗羅貝尼烏斯代數。 對於無限域 k，若有限維酉結合 k 代數只有有限多個極小右理想，則它是弗羅貝尼烏斯代數。 若 F 是 k 的有限維擴張，則有限維 F 代數透過標量的限制，自然就是有限維 k 代數，且只有當它是弗羅貝尼烏斯 F 代數時，它才是弗羅貝尼烏斯 k 代數。即，只要代數是有限維，弗羅貝尼烏斯性就與域無關。 同樣，若 F 是 k 的有限維擴張，則 k 代數 A 都會自然產生 F 代數 Fotimes_kA，其中 A 是弗羅貝尼烏斯 k 代數，當且僅當 Fotimes_kA 是弗羅貝尼烏斯 F 代數。 在右正則表達為內射的有限維酉結合代數中，弗羅貝尼烏斯代數 A 是單模 M 與其 A 對偶 rm Hom_A M A 同維度的代數。其中，單模的 A 對偶總是單的。 有限維雙弗羅貝尼烏斯代數或嚴格雙弗羅貝尼烏斯代數是 k 向量空間 A，其有兩個乘法結構，即酉弗羅貝尼烏斯代數 A 1 和 A star iota：必須有 A 到 k 的乘法同態 phi、varepsilon，使 phi acdot b、varepsilon astar b 非退化，且 A 到自身的的 k 同構 S 對這兩種結構都是反自同構，於是 phi acdot b varepsilon S astar b 當 A 是 k 上的有限維霍普夫代數且 S 是其對徑（antipode）。有限群的群代數給出了一個例子。 範疇論定義 範疇論中，弗羅貝尼烏斯物件是在範疇中對弗羅貝尼烏斯代數的抽象定義。么半範疇 CotimesI 中的弗羅貝尼烏斯物件 Amuetadeltavarepsilon 由 C 的物件 A 和 4 個態射組成： muAotimes Ato Aqquad etaIto AqquaddeltaAto Aotimes Aqquadmathrm andqquadvarepsilonAto I 使 Amueta 是 C 中的么半物件； Adeltavarepsilon 是 C 中的餘么半物件； 圖 、 可交換（簡單起見，此處給出的圖是嚴格么半範疇 C），稱作弗羅貝尼烏斯條件。 更簡潔地說，C 中的弗羅貝尼烏斯代數是所謂弗羅貝尼烏斯么半函子 A：1 C，其中 1 是由一個物件和一個態射組成的範疇。 若 mucircdelta mathrm Id_A，稱弗羅貝尼烏斯代數等距或特殊。 應用 弗羅貝尼烏斯代數最初來自有限群表示論研究，並對數論、代數幾何和組合數學的研究做出了貢獻。它們還被用來研究霍普夫代數、編碼理論和緊有向流形的上同調環。 拓撲量子場論 最近有人發現，它們在拓撲量子場論的代數處理和公理基礎中發揮著重要作用。交換弗羅貝尼烏斯代數唯一確定了（同構意義上）11 維拓撲量子場論。更準確地說，交換弗羅貝尼烏斯 K 代數範疇等價於從 2textbf Cob（1 維流形間的 2 維配邊的範疇）到 textbf Vect_K（K 上的向量空間的範疇）的對稱強么半函子範疇。 拓撲量子場論和弗羅貝尼烏斯代數之間的對應如下： 1 維流形是圓的不交併：拓撲量子場論將向量空間與圓聯絡起來，將向量空間的張量積與圓的不交併聯絡起來； 拓撲量子場論將流形間的每個配邊與向量空間之間的對映聯絡起來（函子式地）； 與褲面（1 個圓和 2 個圓之間的配邊）相關聯的對映給出了積射 V otimes V to V 或餘積射 V to V otimes V，取決於邊界成分的分組方式是交換還是餘交換； 根據邊界分組方式的不同，與圓盤相關聯的對映給出了餘單位（跡）或單位（標量）。 弗羅貝尼烏斯代數及 11 維拓撲量子場論的這種關係可用來解釋科瓦諾夫對瓊斯多項式的分類。 推廣 弗羅貝尼烏斯擴張 令 B 為與酉結合環 A 有同樣單位元的子環。這也稱作環擴張 A B，滿足以下條件的環擴張稱作弗羅貝尼烏斯擴張： forall b cin B ain A，有線性對映 E Ato B 滿足雙模條件 E bacbE a c。 x_i n_i1 y_i n_i1in A，使得對 forall ain A 都有： sum_i1n E ax_i y_i a sum_i1n x_i E y_i a 對映 E 也稱作弗羅貝尼烏斯同態，元素 x_i y_i 稱作對偶基。（可給出弗羅貝尼烏斯擴張的等價定義：BB 雙模範疇中的弗羅貝尼烏斯代數 共代數物件，剛才的等式變成了餘單位 E 的餘單位方程。） 例如，交換環 K 上的弗羅貝尼烏斯代數 A，配備結合非退化雙線性形式 與射影 K 基 x_i y_i，則稱為弗羅貝尼烏斯擴充套件 A K，其中 E a a1。例子還有：與有限指數子群相聯絡的群代數對、半單霍普夫代數的霍普夫子代數、伽羅瓦擴張和某些有限指數的馮諾依曼代數子因子。弗羅貝尼烏斯擴張（及扭曲版本）的另一個來源是弗羅貝尼烏斯代數的某些子代數對，當中的子代數透過上代數（overalgebra）的對稱自同構得到穩定。 群環例子的細節是以下群論基本概念的應用。令 G 為群，H 為當中有限指數 n 的子群；設 g_1 ldots g_n 為左陪集表示，於是 G 是陪集 g_1H ldots g_nH 的不交併。在任意交換基環 k 上定義群代數 Ak G Bk H，於是 B 是 A 的子代數。透過使 forall hin H E hh gnotin H E g0，定義弗羅貝尼烏斯同態 E Ato B：這就從基群元素線性擴充套件到了 A 的所有元素，從而得到 BB 雙模射影 E left sum_g in G n_g g right sum_h in H n_h h text for n_g in k （正交歸一性條件 E g_i1 g_j delta_ij 1 由此得出。）對偶基由 x_i g_i y_i g_i1 給出，因為 sum_i1n g_i Eleft g_i1 sum_g in G n_g gright sum_i sum_h in H n_g_ih g_ih sum_g in G n_g g 另一個對偶基方程可透過觀察得出，即 G 也是右陪集 Hg_11ldotsHg_n1 的不交併。 另外，根據 Kreimer Takeuchi 1989 的定理，霍普夫 伽羅瓦擴張也是弗羅貝尼烏斯擴張。簡單例子是有限群 G 透過自同構作用於具有不變子代數的代數 A： B x in A mid forall g in G g x x 根據 DeMeyer 準則，A 是 B 上的 G 伽羅瓦，若 A 中有元素 a_i _i1n b_i _i1n 滿足： forall g in G sum_i1n a_i g b_i delta_g1_G 1_A 因此 forall g in G sum_i1n g a_i b_i delta_g1_G 1_A 那麼 A 是 B 的弗羅貝尼烏斯擴張，E Ato B 定義為 E a sum_g in G g a 其滿足 forall x in A sum_i1n E xa_i b_i x sum_i1n a_i E b_i x （此外，可分代數擴張的例子：e sum_i1n a_i otimes_B b_i 是可分性元，滿足 forall ain A eaae sum_i1n a_i b_i 1。也是深度二子環（A 中的 B）的例子，因為 a otimes_B 1 sum_g in G t_g g a 其中 t_g sum_i1n a_i otimes_B g b_i forall gin G forall ain A 1950 到 60 年代，Kasch Pareigis、Nakayama Tzuzuku 等人開發了完備的弗羅貝尼烏斯擴張的誘導表示理論。例如，對每個 B 模 M，誘導模 Aotimes_BM（若 M 是左模）與餘誘導模 rm Hom_B A M 作為 A 模自然同構。Kasch 1960 的自同態環定理指出，若 A B 是弗羅貝尼烏斯擴張，則 Ato rm EndA_B 也是弗羅貝尼烏斯擴張，其中對映由 a λa x 和 forall a xin A lambda_a xax 給出。Mueller、Morita、Onodera 等人又研究了自同態環定理和逆反。 弗羅貝尼烏斯伴隨 如上段暗示的，弗羅貝尼烏斯擴張有等價的範疇化表述。 即，給定環擴張 S subset R ，從左 S 模範疇到左 R 模範疇的誘導函子 R otimes_S colon text ModS to text ModR 有左右伴隨，分別稱作餘限制與限制。。 當且僅當左右伴隨自然同構時，該環擴張才稱作 弗羅貝尼烏斯擴張。 這就導致了對普通範疇論的明顯抽象：伴隨 F dashv G 若也有 G dashv F，則稱作弗羅貝尼烏斯伴隨。 若函子 F 是弗羅貝尼烏斯伴隨的一部分，即有同構的左右伴隨，則是弗羅貝尼烏斯函子。 另見 雙代數 弗羅貝尼烏斯範疇 矩陣範數 弗羅貝尼烏斯範數 弗羅貝尼烏斯內積 霍普夫代數 準弗羅貝尼烏斯李代數 匕首緊範疇 參考文獻 外部連結 Category 模論