極正弦是正弦函式的推廣。 其將正弦函式從原本只能計算平面角推廣到可以計算多胞形的頂角。 極正弦函式通常記為或。 不同於一般的正弦，極正弦的輸入值並非是角度，而是能代表特定立體角的向量組。 定義 維空間的向量 令為維空間的非零歐幾裡德向量，該向量從平行多胞形的頂點定向，形成平行多胞形的邊。則頂角的極正弦為： operatorname psinmathbf v_1dotsmathbf v_n fracOmegaPi 其中分子是行列式： begin align Omega detbegin bmatrixmathbf v_1 mathbf v_2 cdots mathbf v_n end bmatrix begin vmatrix v_11 v_21 cdots v_n1 v_12 v_22 cdots v_n2 vdots vdots ddots vdots v_1n v_2n cdots v_nn end vmatrix end align 其等價於具有向量邊的平行多胞形的有符號超體積。 begin align mathbf v_1 v_11 v_12 dots v_1nT mathbf v_2 v_21 v_22 dots v_2nT vdots mathbf v_n v_n1 v_n2 dots v_nnT end align 而分母是所有頂角邊長的積： Pi prod_i1n mathbf v_i 它等於維超矩形的超體積，其邊等於向量長度，而非向量本身。另見埃裡克森的著作。 平行多胞形有如「壓扁的超矩形」，因此它的超體積比超矩形小，這意味著（可參閱附圖的 3D 範例）： Omega leq Pi implies frac OmegaPi leq 1 implies 1 leq operatorname psinmathbf v_1dotsmathbf v_n leq 1 對於一般的正弦，只有在所有向量相互正交的情況下才能達到其中任一個極值。 在的情況下，極正弦是兩個向量之間角度的普通正弦。令，此時的極正弦為 operatorname psinmathbf v_1mathbf v_2 fracOmegaPi。令角 angle AOB 為 theta，角的始邊為 mathbf v_1 和角的終邊為 mathbf v_2，且長度皆為單位長，若 mathbf v_1 平行於 x 軸，則向量 mathbf v_1 為 begin bmatrix 1 0 end bmatrix、向量 mathbf v_2 為 begin bmatrix costheta sintheta end bmatrix。則有 begin align Omega detbegin bmatrixmathbf v_1 mathbf v_2 end bmatrix begin vmatrix 1 costheta 0 sintheta end vmatrix end align 並且，Pi prod_i12 mathbf v_imathbf v_1dotmathbf v_2sqrt cos2thetasin2thetasqrt 12021，則極正弦為 operatorname psinmathbf v_1mathbf v_2 fracOmegaPi frac begin vmatrix 1 costheta 0 sintheta end vmatrix 1 frac sintheta 1sintheta，因此得到 operatorname psin 在二維空間中與 sin 無異。 維角 如果一個維角有一個以該角之頂點為中心的維球體，則從該角之頂點射出的條射線會與該維球體交於個點，這些個點在維球體表面的維球面空間中形成單純形。此時將這個球面空間中單純形的極正弦定義為該單純形對應之對角的極正弦值。對於維球面的單純形，如果頂點和之間的邊長為，則其在高斯曲率之空間中的極正弦值由下式給出： operatorname psin2left Sright begin vmatrix 1 cos E_01sqrt K cos E_02sqrt K cdots E_0nsqrt K cos E_10sqrt K 1 cos E_12sqrt K cdots E_1nsqrt K cos E_20sqrt K cos E_21sqrt K 1 cdots E_2nsqrt K vdots vdots vdots ddots vdots cos E_n0sqrt K cos E_n1sqrt K cos E_n2sqrt K cdots 1 end vmatrix 高維空間 可以使用格拉姆行列式定義適用於任何維空間的非負極正弦。此時，分子為： Omega sqrt det left begin bmatrixmathbf v_1 mathbf v_2 cdots mathbf v_n end bmatrixT begin bmatrixmathbf v_1 mathbf v_2 cdots mathbf v_n end bmatrix right 其中，上標的代表矩陣的轉置。只有當時，該值才可能非零。在 的情況下，這相當於前面給出的定義之絕對值。在退化的情況中，行列式將是奇異矩陣，得到，因為此時在維空間中不可能有個線性獨立向量。 性質 向量互換 由於行列式交換行的反對稱性，因此只要兩個向量互換，極正弦就會正負變號；不過，極正弦的絕對值並不會因此改變。 begin align Omega detbegin bmatrixmathbf v_1 mathbf v_2 cdots mathbf v_i cdots mathbf v_j cdots mathbf v_n end bmatrix detbegin bmatrixmathbf v_1 mathbf v_2 cdots mathbf v_j cdots mathbf v_i cdots mathbf v_n end bmatrix Omega end align 向量與純量乘法的不變性 如果將代入極正弦的所有向量皆乘以一個純量的常數，則由於因式分解，極正弦的值不會改變。 begin align operatorname psinc_1 mathbf v_1dots c_n mathbf v_n frac detbegin bmatrix c_1mathbf v_1 c_2mathbf v_2 cdots c_nmathbf v_n end bmatrixprod_i1n c_i mathbf v_i 6pt frac prod_i1n c_iprod_i1n c_i cdot frac detbegin bmatrix mathbf v_1 mathbf v_2 cdots mathbf v_n end bmatrixprod_i1n mathbf v_i 6pt operatorname psinmathbf v_1dots mathbf v_n end align 如果有奇數個常數為負值，則極正弦的值會正負變號，但絕對值仍然會維持不變。 非線性獨立的情況 如果向量不是線性獨立的，則極正弦值為零。而在維數嚴格小於向量數的退化情況下，則極正弦也為零。 與對應的餘弦之關係 兩個非零向量之間的角度之餘弦值由下式給出： cos mathbf v_1 mathbf v_2 frac mathbf v_1 cdot mathbf v_2mathbf v_1 mathbf v_2 其使用了點積和向量長的乘積。將此式與上面給出的極正弦絕對值的定義進行比較，可以得到： leftoperatorname psinmathbf v_1 ldots mathbf v_nright2 detleft begin matrix 1 cos mathbf v_1 mathbf v_2 cdots cos mathbf v_1 mathbf v_n cos mathbf v_2 mathbf v_1 1 cdots cos mathbf v_2 mathbf v_n vdots vdots ddots vdots cos mathbf v_n mathbf v_1 cos mathbf v_n mathbf v_2 cdots 1 end matrixright 特別是對於維數時，其等價於： sin2 mathbf v_1 mathbf v_2 1 cos2 mathbf v_1 mathbf v_2 即勾股定理。 歷史 尤拉在 18 世紀時研究了極正弦。 參見 三角函式 三角恆等式 立體角 註釋 參考文獻 外部連結 Category 多胞形 Category 三角學