範疇論中，格羅滕迪克拓撲是範疇 C 上的一種結構，它使 C 中物件的表現如拓撲空間的開集一樣。範疇連同格羅滕迪克拓撲的選擇，統稱為景（site）。 格羅滕迪克拓撲將開覆蓋的概念公理化。利用格羅滕迪克拓撲提供的覆蓋，就可定義範疇上的層及其上同調。亞歷山大格羅滕迪克首先運用代數幾何與代數數論定義了概形的平展上同調，此後被用來定義其他上同調論，如ℓ進上同調、平坦拓撲、晶體上同調等。格羅滕迪克拓撲最常用於定義上同調論，但也有其他應用，如約翰泰特的剛性解析幾何等。 有一種自然的方法將景與普通拓撲空間相聯絡，格羅滕迪克的理論被鬆散地視為經典拓撲學的推廣。在貧點集假設（即索伯度）下，這是完全正確的：可從關聯的景恢復出一個索伯空間。然而，不可分拓撲空間等簡單例子表明，並非所有拓撲空間都能用格羅滕迪克拓撲表達。相反，有些格羅滕迪克拓撲並非來自拓撲空間。 格羅滕迪克拓撲 一詞的含義已經變化了。中，這指的是現在所謂格羅滕迪克前拓撲（pretopology），有學者仍在使用這個定義。改用篩，棄用覆蓋，這大多不會引起太大的差別，因為每個格羅滕迪克前拓撲都唯一確定了的格羅滕迪克拓撲，不過，不同的前拓撲可以給出相同的拓撲。 概覽 安德烈韋伊提出了著名的，認為帶整數係數方程的某些性質應被理解為其定義的代數簇的幾何性質。他的猜想假設，代數簇應有上同調理論 所謂 韋伊上同調，可提供關於其定義的方程的數論資訊。而用現有工具沒能構造出來這樣的上同調。 20 世紀 60 年代初，亞歷山大格羅滕迪克將平展對映引入了代數幾何，是解析幾何中區域性解析同構的代數類似物，接著用平展覆蓋定義了拓撲空間基本群的代數類似物。不久，讓 皮埃爾塞爾注意到平展覆蓋的某些性質模仿了開浸入的性質，於是有可能得到模仿上同調函子 H1 的構造。格羅滕迪克認為，順著這個想法可以定義一個上同調理論，他懷疑就是韋伊上同調。這需要把通常用的開覆蓋換成使用平展覆蓋的拓撲概念。格羅滕迪克還想到了該怎樣抽象地表述覆蓋，這就是格羅滕迪克拓撲的由來。 定義 動機 層的經典定義始於拓撲空間 X。層將資訊關聯到 X 的開集，這種資訊可以抽象地表為：令 O X 為範疇，其物件是 X 的開子集 U，其態射是 X 的開集 U、V 的包含對映 Vrightarrow U。我們按概形的語境，將這樣的對映稱作開浸入（open immersion）。那麼，X 上的預層是 O X 到集合範疇的反變函子，層就是滿足膠合公理（此處包括分離公理）的預層。膠合公理用逐點覆蓋表示，即當且僅當 bigcup_i U_i U 時，稱 U_i 覆蓋 U。這樣，U_i 是 X 的開子集。格羅滕迪克拓撲用開子集的整個族圖替換了每個 U_i，在這個例子中 U_i 被換成了所有開浸入 V_ij to U_i 的族。這樣的集合叫做 篩（sieve）。逐點覆蓋則被換成覆蓋族（covering family），在上例中，所有 V_ij to U_i_j 的集合就是 U 的一個覆蓋族。篩與覆蓋族可以公理化，公理化後就可以替換成描述空間 X 其他性質的其他概念。 篩 格羅滕迪克拓撲將 U 的開子集（在包含下穩定）這一概念發展為篩（sieve）。若 c 是 C 中任意給定物件，則其上的篩是函子 rm Hom c（應用於 c 的米田嵌入）的子函子。在 O X 的情形下，開集 U 上的篩 S 選擇了 U 的開子集集合，其在包含下是穩定的。更確切地說，對 U 的任意開子集 V，S V 都是 rm HomV U 的子集，只有一個元素，即開浸入 Vto U。當且僅當 S V 非空，V 才可能被 S 選擇。若 W 是 V 的子集，則有態射 S Vto S W，是由包含 Wto V 組合而來。若 S V 非空，S W 也非空。 若 S 是 X 上的篩，f Yto X 是態射，則與 f 的左複合給出了 Y 上的篩，稱作 S 沿 f 的拉回，記作 fast S，定義為纖維積 Stimes_rm Hom Xrm Hom Y 及其在 rm Hom Y 中的自然嵌入。更具體地說，對 C 的每個物件 Z，fast S Zg Zto Yfgin S Z fast S 透過成為 rm Hom Y 的子函子，繼承了對態射的作用。在經典的例子中，U 的子集集合 V_i 沿包含 Wto U 的拉回是集合 V_icap W。 格羅滕迪克拓撲 範疇 C 上的格羅滕迪克拓撲 J 是 C 的每個物件 c 上的篩，記作 J c，稱作 c 的覆蓋篩。這種選擇將受制於一些公理（下詳）。繼續前面的例子，當且僅當 S V 非空的所有開集 V 之交等於 U，換句話說當且僅當 S 為我們提供了經典意義上覆蓋 U 的開集集合時，O X 中開集 U 上的篩 S 是覆蓋篩。 公理 我們對格羅滕迪克拓撲施加的條件是 T 1（基變換）：若 S 是 X 上的覆蓋篩，f Yto X 是態射，則拉回 fast S 是 Y 上的覆蓋篩； T 2（區域性特徵）：令 S 為 X 上的覆蓋篩，令 T 為 X 上的篩。假設對 C 中物件 Y、S Y 中箭頭 f Yto X，拉回篩 fast T 是 Y 上的覆蓋篩，則 T 是 X 上的覆蓋篩。 T 3（同一性）：對 C 中物件 X，rm Hom X 是 X 上的覆蓋篩。 基變換公理對應的思想是，若 U_i 覆蓋了 U，則 U_icap V 應覆蓋了 Ucap V。區域性特徵公理對應的思想是，若 U_i 覆蓋了 U，V_ij_ jin J_i 覆蓋了 U_i（對所有 i），則對所有 i、j，集合 V_ij 應覆蓋了 U。最後，同一性公理與任一集合透過恆等對映被自身覆蓋的思想相近。 格羅滕迪克前拓撲 事實上，可以將這些公理換成另一種形式，假定底範疇 C 包含某些纖維積，它們的幾何性質將更明顯。這就可以選擇一些值域相同的對映集，覆蓋它們的值域，而不是選擇篩。這樣的集合叫做覆蓋族。若所有覆蓋族的集合都滿足以下公理，就稱它們構成了格羅滕迪克前拓撲： PT 0（纖維積存在）：對 C 中所有物件 X、所有見於 X 覆蓋族的態射 X_0to X、所有態射 Yto X，纖維積 X_0times_XY 都存在。 PT 1（基變換下的穩定性）：對 C 中所有物件 X、所有態射 Yto X、所有覆蓋族 X_alphato X，族 X_alphatimes_XYto Y 是覆蓋族。 PT 2（區域性特徵）：若 X_alphato X 是覆蓋族，且對所有 α，X_betaalphato X_alpha 是覆蓋族，則組合族 X_betaalphato X_alphato X 是覆蓋族。 PT 3（同構）：若 f Yto X 是同構，則 f 是覆蓋族。 對任何前拓撲，所有包含來自前拓撲的覆蓋族的篩集總是格羅滕迪克拓撲。 對於有纖維積的範疇，還有個相反的方法。給定箭頭集 X_alphato X，構造篩 S 使 S Y 成為函子透過某箭頭 X_alphato X 的所有態射之集，這就是 X_alphato X 生成的篩。然後，選擇一個拓撲。當且僅當 X_alphato X 生成的篩是給定拓撲的覆蓋篩時，X_alphato X 是覆蓋族。很容易證明這定義了一個前拓撲。 PT 3 有時會被一個較弱的公理取代： PT 3（單位元）：若 1_X Xto X 是恆等箭頭，則 1_X 是覆蓋族。 PT 3 可推出 PT 3，反之則不行。不過，假設有一個覆蓋族集，透過 PT 2、PT 3 滿足 PT 0 而不滿足 PT 3，則它們會生成一個前拓撲。由原覆蓋族集合生成的拓撲與由前拓撲生成的相同，因為由 Yto X 生成的篩是 rm Hom X。因此，若只關注拓撲，則 PT 3 與 PT 3 是等價的。 景與層 記 C 為範疇，令 J 為 C 上的格羅滕迪克拓撲。二元組 C J 稱作景（site）。 範疇上的預層是 C 到集合範疇的反變函子。注意，此定義不要求 C 具有拓撲結構。而景上的層則應允許膠合，就像經典拓撲中的層一樣。因此，定義景上的層為預層 F，使得對所有物件 X 與 X 上的所有覆蓋篩 S，由 S 到 rm Hom X 的包含匯出的自然對映 rm Homrm Hom X Fto rm HomS F 是雙射。介於預層與層之間的是分離預層，其上的自然對映對所有篩 S 都只能是單射。預層或層的態射是函子的自然變換。C 上所有層的範疇是景 C J 定義的拓撲斯（或稱意象）。 由米田引理可證明，當且僅當範疇 O X 上的預層是經典意義上的層，它才是上述定義的拓撲上的層。 前拓撲上的層有個特別簡單的描述：對每個覆蓋族 X_alphato X，圖 F X rightarrow prod_alphain A F X_alpha atop longrightarrowatop longrightarrow atop prod_alphabeta in A F X_alphatimes_X X_beta 必須是等化子。對分離預層，第一個箭頭必須是內射。 相似地，可以定義阿貝爾群、環、模等等。可以要求預層 F 是到達阿貝爾群（或環、模等等）範疇的反變函子，也可要求 F 是 C 到集合範疇的所有反變函子範疇中的阿貝爾群（或環、模等等）物件，這兩個定義等價。 景的例子 可分與不可分拓撲 令 C 為範疇。為定義可分拓撲，斷言所有篩都是覆蓋篩。若 C 具有所有纖維積，這就等同於宣佈所有族都是覆蓋族。為定義不可分拓撲（或稱粗拓撲、混沌拓撲 SGA IV II 114），只宣告 rm Hom X 形式的篩是覆蓋篩。不可分拓撲由只對覆蓋族由同構的前拓撲生成。不可分景上的層與預層是一回事。 規範拓撲 令 C 為範疇。米田嵌入對其每個物件 X 給出函子 rm Hom X。規範拓撲是使每個可表預層（即 rm Hom X 形式的與岑）是層的最大（最細）拓撲。稱這個景的覆蓋篩或覆蓋族是嚴格普遍滿態射，因為 其包含餘極限錐（colimit cone）（在其構成態射的域上的全圖下）的腿，其中餘極限沿著 C 中的態射拉回下是穩定的。比規範拓撲粗的拓撲，即每個覆蓋篩都是嚴格普遍滿態射的拓撲，稱作次規範（subcanonical）拓撲。次規範景正是 rm Hom X 形式預層都是層的景。實踐中大多數景都是次規範的。 與拓撲空間關聯的小景 重複上例。令 X 為拓撲空間，定義 O X 為範疇，其物件是 X 的開集，其態射是開集的包含。注意，對開集 U、其上的篩 S 與每個開集 V，集合 S V 不會包含多個元素。O X 中物件 U 上的覆蓋篩是滿足下列條件的篩 S： 若 W 是所有使 S V 非空的集合 V 之並，則 W U。 這種覆蓋概念吻合點集拓撲中的通常概念。 這種拓撲也可自然表為前拓撲。我們說，當且僅當並 cup V_alphaU 時，包含族 V_alphasube U 是覆蓋族。這個景稱作與拓撲空間 X 的小景。 與拓撲空間關聯的大景 令 Spc 為拓撲空間範疇。給定任意函式族 u_alpha V_alphato X，若有 cup u_alphaV_alphaX，則稱其是滿射族，或態射 u_alpha 是聯合滿射（jointly surjective）。將覆蓋族視為其所有成員都是開浸入的滿射族，定義 Spc 上的前拓撲。令 S 為 Spc 上的篩，則當且僅當滿足下列條件，S 是這個拓撲的覆蓋篩： 對所有 Y 與 S Y 中的態射 f Yto X，存在 V 與 g Vto X 使 g 是 S V 中的開浸入，f 有透過 g 的函子。 f Yto X 在 S Y 中，若 W 是所有集合 f Y 之並，則 W X。 固定拓撲空間 X。考慮具有到 X 的固定連續對映的拓撲空間的逗號範疇 SpcX。Spc 上的拓撲匯出了 SpcX 上的拓撲。覆蓋篩與覆蓋族幾乎完全相同，唯一的區別是，現在所涉對映都與到 X 的固定對映交換。這就是與拓撲空間 X 關聯的大景。注意，Spc 是與單點空間關聯的大景。讓紀勞最先考慮到了大景。 流形的大景與小景 令 M 是流形。M 有開集範疇 O M，因為其是拓撲空間，且得到了如上例的拓撲。對 M 的兩開集 U、V，纖維積 Utimes_MV 是開集 Ucap V，仍在 O M 中。這意味著，O M 上的拓撲是由前拓撲定義的，與之前的前拓撲相同。 令 Mfd 為流形與連續對映（或光滑流形與光滑對映，或實解析流形與解析對映等等）範疇。Mfd 是 Spc 的子範疇，開浸入連續（或光滑、解析等等），於是 Mfd 繼承了 Spc 的拓撲，這樣就可以把 M 的大景構造為景 MfdM。也可用上述前拓撲定義這拓撲，但請注意，為滿足 PT 0 需要確保所有連續對映 Xto Y 與 Y 的所有開子集 U，纖維積 Utimes_YXin MfdM。這只是說明開集的原像是開集，不過並非所有纖維積都在 Mfd 中，因為光滑對映在臨界值處的原像不一定是流形。 概形範疇上的拓撲 概形範疇記作 Sch，有大量有用的拓撲。要完全理解某些問題，可能需要用多種拓撲結構研究同一概形。所有這些拓撲都有相關聯的小景與大景。大景由整個概形範疇及其態射，連同拓撲指定的覆蓋篩組成的；給定概形上的小景則是透過只取給定概形的覆蓋中的物件與態射形成。 其中最基本的是扎里斯基拓撲。令 X 為概形，有底拓撲空間，其確定了格羅滕迪克拓撲。Sch 上的扎里斯基拓撲由前拓撲生成，此前拓撲的覆蓋族是概形論開浸入的聯合滿射族。Zar 的覆蓋篩有以下兩個特徵： 對所有 Y 與 S Y 中的態射 f Yto X，存在 V 與 g Vto X 使得 g 是 S V 中的開浸入，f 有透過 g 的函子。 若 W 是所有集合 f Y 之並，其中 f Yto X 在 S Y 中，則 W X。 雖然兩者看上去很相似，但 Zar 上的拓撲並不是 Spc 上拓撲的限制！這是因為有些概形態射是拓撲開浸入，而不是概形論開浸入。例如，令 A 為非退化環，令 N 為其冪零理想。商對映 Ato AN 匯出了對映 rm Spec ANto rm Spec A，其是底拓撲空間的恆等對映。要成為概形論開浸入，它還要在結構層上誘導一個同構，而此對映沒有做到。實際上，這個對映是閉浸入。 平展拓撲比扎里斯基拓撲細，是第一個被仔細研究的格羅滕迪克拓撲。其覆蓋族是平展態射的聯合滿射族，比 Nisnevich 拓撲細，但和 cdh、l拓撲相比不粗不細。 有兩平坦拓撲：fppf 拓撲與 fpqc 拓撲。fppf 表示，當中仿射概形的態射若是忠實平坦的，或有限呈現的，或準有限的，就是覆蓋態射。fpqc 表示，當中仿射概形的態射若是忠實平坦的，就是覆蓋態射。兩個範疇中，覆蓋族的定義都是在扎里斯基開子集上的覆蓋族。SGA III1 IV 63fpqc 拓撲中，任何忠實平坦的準緊態射都是覆蓋。SGA III1 IV 63 Proposition 631 v 這些拓撲與下降的概念密切相關。fpqc 拓撲比上述所有拓撲都細，且與規範拓撲很接近。 格羅滕迪克引入了晶體上同調，以研究特徵 p 簇的上同調中的 p 撓部分。晶體拓撲是這一理論的基礎，當中底範疇的物件由無窮小加厚與除冪結構給出。晶體景是沒有終物件的景。 連續與上連續函子 景之間有兩種自然函子，由在一定意義上與拓撲相容的函子給出。 連續函子 設 C J D K 是景，u Cto D 是函子。若對 D 上關於拓撲 K 的每個層 F 而言，關於拓撲 J 的預層 Fu 都是層，則稱 u 連續。連續函子將層 F 傳送到 Fu，以誘導相應拓撲間的函子，就是前推（pushforwards）。若 tilde C tilde D 分別表示與 C、D 相關聯的拓撲斯，則前推函子是 u_s tilde D to tilde C。 u_s 的左伴隨 us 稱作拉回（pullback）。u_s 不需要保極限，甚至不需保留有限極限。 同樣，u 把 C 的物件 X 上的篩傳送到 D 的物件 uX 上的篩。連續函子將覆蓋篩送到覆蓋篩。若 J 是前拓撲定義的拓撲、u 與纖維積交換，則當且僅當 u 將覆蓋篩送到覆蓋篩 將覆蓋族送到覆蓋族，u 連續。總之，u 將覆蓋篩送到覆蓋篩的條件還不夠（見 SGA IV 3 193）。 上連續函子 再設 C J D K 是景，v Cto D 是函子。若 X 是 C 的物件，R 是 vX 上的篩，則 R 可以如下拉回到篩 S：當且僅當 v f vZto vXin R，態射 f Zto Xin S。這就定義了一個篩。當且僅當對 C 的每個物件 X、vX 的每個覆蓋篩 R，R 的拉回 S 是 X 上的覆蓋篩時，才稱 v 是上連續的。 與 v 的複合將 D 上的預層 F 送到 C 上的預層 Fv，但若 v 連續，就不必將層送到層。不過，這在預層範疇上的函子通常表示為 hat v，允許右伴隨 hat v_，則當且僅當 hat v_ 將層送到層 限制為函子 v_ tilde C to tilde D 時，v 是上連續的。這時，hat v 與相關聯層函子的複合是 v_ 的左伴隨 v。此外，v 保有限極限，所以伴隨函子 v_ v 確定了拓撲斯 tilde C to tilde D 的幾何態射。 景的態射 有連續函子 u Cto D，若 us 保有限極限，則是景的態射 Dto C。這時，us u_s 確定了拓撲斯 tilde C to tilde D 的幾何態射。之所以說連續函子 Cto D 在反方向上決定了拓撲的態射，是因為這與拓撲空間的直覺一致，拓撲空間連續對映 Xto Y 確定了連續函子 O Yto O X。由於拓撲空間的原對映將 X 送到 Y，所以景的態射也被說成是。 當連續函子允許左伴隨時，就會出現這種特殊情況。設 u Cto D v Dto C 都是函子，u 右伴隨於 v，則當且僅當 v 連續時，u 也連續。這時，us 自然同構於 v，u_s 自然同構與 v_。特別是，u 是景的態射。 另見 纖維範疇 勞維爾蒂爾內拓撲 註釋 參考文獻 外部連結 The birthday of Grothendieck topologies The birthday of Grothendieck topologies nonarchived version Category 層論