數學中，馮諾依曼代數或 W 代數是希爾伯特空間上有界運算元的 代數，在弱運算元拓撲中封閉，幷包含恆等運算元，是一類特殊的 C 代數。 馮諾依曼代數由約翰馮諾依曼提出，源於對單運算元、群表示論、遍歷理論和量子力學的研究。馮諾依曼雙連續定理表明，解析定義等同於作為對稱性代數的純代數定義。 馮諾依曼代數的兩個基本例子： 實線上本質有界的可測函式環 Linfty mathbb R 是交換馮諾依曼代數，其元素在平方可積函式的希爾伯特空間 L2 mathbb R 上透過逐點乘充當乘法運算元。 希爾伯特空間 mathcal H 上所有有界運算元的代數 mathcal B mathcal H 是馮諾依曼代數，若希爾伯特空間維度至少為 2，則是非交換的。 在 1929 年首次研究了馮諾依曼代數，他和 Francis Murray 在 20 世紀 30、40 年代撰寫的一系列論文中（、）稱之為運算元環，發展了馮諾依曼代數的基本理論，重印於。 關於馮諾依曼代數的介紹見、的注，及、、、等書。的系列著作對馮諾依曼代數進行了百科全書式闡述。討論了更高階的主題。 定義 馮諾依曼代數有 3 種常見定義。 （希爾伯特空間上的）有界運算元的弱閉 代數（包含恆等）。這定義中，弱（運算元）拓撲可換成其他常見拓撲，如強、超強、超弱運算元拓撲。在範數拓撲下封閉的有界運算元的 代數是 C 代數，因此馮諾依曼代數都是 C 代數。 對對合（ 運算）封閉的有界運算元的子代數，且等於其雙交換子，或等價於在 下封閉的某子代數的交換子。馮諾依曼雙交換定理指出，前兩個定義等價。 前兩個定義將馮諾依曼代數描述為作用於某給定希爾伯特空間的運算元集。指出，馮諾依曼代數也可抽象地定義為有預對偶的 C 代數；也就是說，馮諾依曼代數作為巴拿赫空間是另一些巴拿赫空間的對偶，稱作預對偶。馮諾依曼代數的預對偶在同構意義上是唯一的。有人用 馮諾依曼代數 表示與希爾伯特空間作用匹配的代數，W 代數 表示抽象概念，於是，馮諾依曼代數是 W 代數、希爾伯特空間與其上合適的忠實酉作用構成的。馮諾依曼代數的具體定義和抽象定義同 C 代數類似，後者可定義為希爾伯特空間上運算元的對範數封閉的 代數，或滿足 aaa a 的巴拿赫 代數。 術語 馮諾依曼代數中一些術語可能令人困惑，且在本理論之外往往有不同含義。 因子（factor）是具有平凡中心的馮諾依曼代數，即中心只含標量運算元。 有限馮諾依曼代數是有限因子的直積分（即馮諾依曼代數有忠實的正規跡態 tau M rarr mathbb C An Introduction To II1 Factors enslyonfr）。同樣，緊合無限（properly infinite）馮諾依曼代數是緊合無限因子的直積分。 作用於可分希爾伯特空間的馮諾依曼代數也可分，注意這類代數在範數拓撲中常常不再可分。 希爾伯特空間上有界運算元集生成的馮諾依曼代數是包含所有運算元的最小馮諾依曼代數。 兩希爾伯特空間上各自馮諾依曼代數的張量積是由代數張量積生成的馮諾依曼代數，被視作希爾伯特空間的張量積上的運算元。 遺忘馮諾依曼代數上的拓撲，就可將其看做（含么） 代數，或就只是一個環。馮諾依曼代數是半遺傳的：射影模的每個有限生成子模也是射影的。馮諾依曼代數的底環有多次公理化嘗試，如貝爾 環、AW 代數等。有限馮諾依曼代數的隸屬運算元的 代數是馮諾依曼正則環。（馮諾依曼代數本身一般不是馮諾依曼正則的） 交換馮諾依曼代數 交換馮諾依曼代數和測度空間的關係類似於交換 C 代數和區域性緊豪斯多夫空間的關係。對度量空間 X mu，交換馮諾依曼代數都同構於 LinftyX；反之，對 σ 有限度量空間， 代數 LinftyX 都是馮諾依曼代數。 於是，馮諾依曼代數理論也稱作非交換測度論，C 代數理論也稱作非交換拓撲。 投影 馮諾依曼代數中，滿足 EEEE 的運算元 E 稱作投影，是 H 在某閉子空間上的正交投影運算元。若希爾伯特空間 H 的子空間是 M 中某投影的像，則稱其屬於馮諾依曼代數 M，這建立了 M 的投影和屬於 M 的子空間之間建立了一一對應關係。非正式地說，子空間是可用 M 的元素來描述的閉空間。 可以證明，M 中任意運算元的像的閉包和 M 中任意運算元的核都屬於 M；另外，屬於 M 的任何子空間在 M 的運算元下的像的閉包也屬於 M（這些是極分解的結果）。 投影比較理論 投影的基本理論由提出。屬於 M 的兩子空間若存在屬於馮諾依曼代數的部分等距對映，將一者同構地對映到另一者，則稱它們（穆雷 馮諾依曼）等價。若相應子空間等價，或有 H 的部分等距，將 E 的像同構對映到 F 的像，且是馮諾依曼代數的元素，則稱 E 等價於 F。另一種說法是，若對 M 中某部分等距 u，滿足 Euu Fuu，則稱 E 等價於 F。 由此定義的等價關係～是可加的：設 E_1sim F_1 E_2sim F_2。若 E_1perp E_2 F_1perp F_2，則 E_1E_2sim F_1F_2。若在～的定義中要求酉等價（對么元 u，若 uEuf，則 Esim F），那麼可加性一般不成立。薛定諤 伯恩斯坦定理給出了穆雷 馮諾依曼等價的充分條件。 屬於 M 的子空間透過包含而部分有序，產生了投影的偏序。在投影的等價類集上還有一個自然偏序，來自投影的偏序。若 M 是因子，則是投影等價類上的總階，下詳。 若不存在等價於 E 的投影 F E（即 Fle E Fneq E），則稱投影（或屬於 M 的子空間）E 為有限投影。例如，有限維投影（或子空間）都有限（因為希爾伯特空間之間的等距性使維數固定不變），而無限維希爾伯特空間上的恆等運算元在其上所有有界運算元的馮諾依曼代中並不是有限的，因為其與自身的一個適當子集同構。不過，無限維子空間也有可能有限。 正交投影是 Linftymathbb R 中指示函式的非交換類似物。Linftymathbb R 是由指示函式生成的子空間的 cdot_infty 閉包。同樣，馮諾依曼代數有其投影生成，這是自伴運算元譜定理的結果。 有限因子的投影形成連續幾何。 因子 馮諾依曼代數 N 的中心只由恆等運算元的倍陣列成，稱作因子。證明，可分希爾伯特空間上的馮諾依曼代數都同構於因子的直積分，這一分解是本質唯一的。因此，可分希爾伯特空間上馮諾依曼代數同構類的分類可轉化為因子同構類的分類問題。 指出，因子可分 3 類。型別分類可推廣到非因子的馮諾依曼代數。若馮諾依曼代數可分解為 X 型因子的直積分，則就是 X 型的，例如交換馮諾依曼代數都是 I1 類。馮諾依曼代數都可唯一地寫成 I、II、III 類馮諾依曼代數之和。 還有其他幾種分類因子的方法： 若因子是 I 類，則稱其離散；若是 II 類或 III 類，則稱其連續。 若因子是 I 或 II 類，則稱其半無限；若因子是 II 類，則稱其純無限。 若投影 1 是有限的，則稱因子有限，否則稱緊合無限。I、II 類因子可能有限也可能緊合無限，III 類因子總是緊合無限的。 I 類因子 若存在最小的投影 Eneq 0，使得不存在投影 F 滿足 0FE，則稱其為 I 類因子。I 類因子都同構於某希爾伯特空間上所有有界運算元的馮諾依曼代數，因為每個基數都有希爾伯特空間，I 類因子的同構類是與基數完全對應的。很多學者只考慮可分希爾伯特空間上的馮諾依曼代數，因此習慣上把有限 n 維希爾伯特空間上的有界運算元稱作 rm I_n 型因子，可分無限維希爾伯特空間上的有界運算元則是 rm I_infty 型因子。 II 類因子 若不存在最小投影，但存在非零有限投影，則稱其為 II 類因子。這意味著每個投影 E 都可以 平分，即有兩個穆雷 馮諾依曼等價的投影 F、G，且滿足 EFG。若 II 類因子中的恆等運算元有限，則是 rm II_1 型因子；否則是 rm II_infty 型因子。最易理解的 II 型因子是發現的超無限 rm II_1 型因子、超無限 rm II_infty 型因子，是 rm II_1、rm II_infty 型中唯一的超無限因子。這類因子還有很多，都值得深入研究。證明了一個基本結果：rm II_1 型因子具有唯一的有限跡態，投影的跡集為 01。 rm II_infty 型因子具有半無限跡，在縮放意義上唯一，投影的跡集為 0。rm II_infty 型因子的基本群是實數 λ 集合，使得存在自同態，縮放跡 λ 倍。 rm II_1 型因子與無限 I 型因子的張量積是 rm II_infty 型，反之，任何 rm II_infty 型因子都可這樣構造。rm II_1 型因子的基本群是因子與 I 型無限（可分）因子的張量積的基本群。多年來，人們一直在尋找基本群不是正實數群的 II 型因子，阿蘭科納隨後證明，具有卡日丹性質 T 的可數離散群（平凡表示在對偶空間中孤立）（如 rm SL3 mathbb Z）的馮諾依曼群代數具有可數基本群。後來，索林波帕證明，特定群的基本群可能是平凡的，如 rm SL2 mathbb Z 對 mathbb Z2 的半直積。 rm II_1 型因子的一個例子是可數無限離散群的馮諾依曼群代數，使每個非平凡共軛類都無限。 發現了一個具有非同構馮諾依曼群代數的不可數族，從而顯示了不可數多個可分 rm II_1 型因子的存在。 III 型因子 不含任何非零有限投影的因子是 III 型因子。在第一篇論文中無法確定是否存在，發現了第一個例子。由於恆等運算元在這些因子中總是無限的，因此過去也稱作 rm III_infty，最近改做 rm III_lambda，其中 λ 是 0 1 中的實數。更確切地說，若（其模群的）科納譜是 1，則是 rm III_0 型因子；若科納譜為 λ（0lambda1）的所有整數冪，則是 rm III_lambda 型；若科納譜是所有正實數，則是 rm III_1 型（科納譜是正實數的閉子群，因此只有這些可能）。III 型因子的唯一跡在所有正元素上取值為，任何兩個非零投影都等價。III 型因子曾一度被認為是很棘手的物件，但富田竹崎理論帶來了很好的結構理論。特別是，任何 III 型因子都可用正規方式寫成 rm II_infty 型因子與實數的叉積。 預對偶 馮諾依曼代數 M 都有預對偶 M_，是 M 上所有超弱連續線性泛函的巴拿赫空間。顧名思義，M（作為巴拿赫空間）是其預對偶的對偶。預對偶是唯一的，因為對偶為 M 的任何其他巴拿赫空間都與 M_ 同構。證明了預對偶的存在是 C 代數中馮諾依曼代數的特徵。 上文給出的預對偶定義似乎取決於 M 作用於的希爾伯特空間的選擇，因為它決定了超弱拓撲。 不過也可定義為 M 上所有正正規線性泛函生成的空間（此處 正規 指應用於自伴運算元的遞增網時保上界；或等價於投影的遞增序列）。 預對偶 M_ 是對偶 M 的閉子空間（包含 M 上所有範數連續線性泛函），通常小些。M_ 不同於 M 的證明是非構造性的，用很重要的方式使用了選擇公理。要展示在 M 而不在 M_ 中的元素非常困難，例如，馮諾依曼代數 IinftyZ 上的奇特正線性形式由自由超濾子給出，對應於進入 C 的奇特 同態，並描述了 Z 的斯通 切赫緊化。 例子： mathbb R 上本質有界函式的馮諾依曼代數 Linftymathbb R 的預對偶是可積函式的巴拿赫空間 L1 mathbb R。Linftymathbb R 的對偶嚴格大於 L1 mathbb R，例如，在 Linftymathbb R 上推廣了有界連續函式 C0_b mathbb R 的閉子空間上的狄拉克測度 delta_0 的泛函不能表為 L1 mathbb R 中的函式。 希爾伯特空間 H 上有界運算元的馮諾依曼代數 B H 的預對偶是所有跡類運算元（跡範數為 Arm TrA）的巴拿赫空間。跡類運算元的巴拿赫空間本身是緊運算元的 C 代數的對偶（自身不是馮諾依曼代數）。 權、狀態、跡 權、特殊狀態與跡在中有詳細討論。 馮諾依曼代數上的權 ω 是從正元素（形式 aa）集到 0 的線性對映。 正線性泛函是 ω1 有限的權（或說是 ω 透過線性，到整個代數的擴張）。 狀態是 omega 11 的權。 跡是 forall a omega aaomega aa 的權。 跡狀態是 omega 11 的跡。 因子都有跡，即非零投影的跡也非零，並且當且僅當投影無限時，投影的跡才是無限的。這樣的跡在重縮放的意義上是唯一的。對可分或有限的因子，當且僅當兩投影具有相同的跡時，它們等價。因子型別可從跡在因子投影上的可能值獲得，如下： rm I_n 型：對正數 x，0 x 2x ldots nx（一般歸一化為 x1n 或 1）。 rm I_infty 型：對正數 x，0 x 2x ldots infty（一般歸一化為 x 1）。 rm II_1 型：對正數 x，0 x（一般歸一化為 x 1）。 rm II_infty 型：0 infty III 型：0 infty 若馮諾依曼代數作用於含範數為 1 的向量 v 的希爾伯特空間，則泛函 ato av v 是正規狀態。這種構造可反過來從正規狀態給出對希爾伯特空間的作用，就是正規狀態的 GNS 構造。 因子上的模 給定抽象可分因子，可要求對其模（即其所作用的可分希爾伯特空間）進行分類。結果如下：每個模 H 都可給定一個 M 維的 rm dim_M H（而非作為復向量空間的維度），這樣，當且僅當它們有同樣的 M 維時，模相互同構。M 維是可加的，當且僅當一個模 m 的 M 維不大於另一模 n 時，m 與 n 的子空間同構。 若模有迴圈可分向量，則稱其是標準的。因子都有標準表示，在同構意義上唯一。標準表示有反線性對合 J 使 JMJM。對有限因子，標準模由應用於唯一正規跡態的 GNS 構造給出，M 維被歸一化，因此標準模的 M 維為 1，而對無限因子，標準模是 M 維無窮大的模。 模的可能 M 維數如下： rm I_n（n 有限）型：M 維可以是 0n 1n 2n 3n ldots infty。標準模的 M 維數為 1（復維數為 2）。 rm I_infty 型：M 維可以是 0 1 2 3 ldots infty。B H 的標準表示是 Hotimes H，其 M 維數無窮大。 rm II_1 型：M 維可以是 0 中的任意數。歸一化後，標準模的 M 維數為 1。M 維也稱作模 H 的耦合常數。 rm II_infty 型：M 維可以是 0 中的任意數。一般來說沒有規範方法歸一化，因子可能有外自同構，將 M 維乘以常數。標準表示是 M 維數無窮大的表示。 III 型：M 維可以是 0 或。任意兩個非零模都同構，所有非零模都是標準的。 可均馮諾依曼代數 等人證明，可分希爾伯特空間 H 上的馮諾依曼代數 M 的下列條件等價： M 是 超無限或近似有限維（AFD）或近似有限的：代數包含有限維子代數的遞增序列的，具有稠密的交（注意有人用 超有限 表示 AFD 且有限）。 M 是可均的（amenable）：在正規巴拿赫雙模中取值的 M 的導子都是內的。 M 具有施瓦茨性質 P：對 H 上任意有界運算元 T，元素 uTu 的弱運算元閉凸包包含與 M 交換的元素。 M 是半離散的：恆等對映 Mto M 是秩有限的完全正對映的弱點極限。 M 具有性質 E 或羽毛田富山擴張性：從 H 上的有界運算元到 M ，有範數為 1 的投影。 M 是單射：從任意含么 C 代數 A 的任意含 1 自伴閉子空間到 M 的任何完全正對映，都可推廣為 A 到 M 的完全正對映。 上面這類代數沒有公認的術語，科納建議用可均。 可均因子已被分類：在 0lambdale 1 的條件下，rm I_n rm I_infty rm II_1 rm II_infty rm III_lambda 各有一個，rm III_0 的對應某些遍歷流。（對 rm III_0 型，稱其為分類有點誤導，因為眾所周知，並沒有簡單的遍歷流分類方法。）I 型與 rm II_1 型由分類，rm III_1 由 Haagerup 分類，其餘的由分類。 所有可均因子都能用穆雷和馮諾依曼對單一遍歷變換的群測度空間構造得到。事實上，它們正是 Z 或 ZnZ 在阿貝爾馮諾依曼代數 LinftyX 上的自由遍歷作用的叉積產生的因子。測度空間 X 是原子的，且作用是傳遞的，則出現 I 型因子；X 是擴散的或非原子的，則等價於 01 的測度空間。X 具有等價有限（rm II_1）或無限（rm II_infty）測度，且在 Z 的作用下不變時，出現 II 型因子；若無不變測度，只有不變測度類，則出現 III 型因子，稱作克里格因子（Krieger factor）。 馮諾依曼代數的張量積 兩希爾伯特空間的張量積是其代數張量積的完備化。可定義馮諾依曼代數的張量積（代數視作環的代數張量積的完備化），所得也是馮諾依曼代數，並作用於對應希爾伯特空間的張量積。兩有限代數的張量積有限，無限代數和非零代數的張量積無限。馮諾依曼代數張量積的型別取較大值。張量積交換定理指出 Motimes Nprime Mprimeotimes Nprime 其中 M 表示 M 的交換子。 無窮多馮諾依曼代數的張量積通常是個大得離譜的不可分代數。指出，應在每個馮諾依曼代數上選取一個狀態，以定義代數張量積上的一個狀態，從而產生希爾伯特空間與（較小的）馮諾依曼代數。研究了所有因子都是有閒矩陣代數的情形，這些因子稱作 ArakiWoods 因子或 ITPFI 因子（ITPFI 表示 有限 I 型因子的無限張量積）。無限張量積的型別可隨著狀態改變發生巨大變化，如無限多 rm I_2 型因子的無限張量積可具有任意型別，取決於狀態的選擇。特別是對 rm I_2 型因子進行無限張量積，發現了 0lambda1 時不可數的非同構超無限 rm III_lambda 型因子不可數族，稱作 Powers 因子，每個因子的狀態如下： xmapsto rm Trbegin pmatrix1over lambda10 0lambdaover lambda1 end pmatrix x 所有不是 rm III_0 的超無限馮諾依曼代數都同構於 ArakiWoods 因子，有不可數多的 rm III_0 型超無限馮諾依曼代數不同構。 雙模與子因子 雙模（或對應）是有兩個交換馮諾依曼代數的模作用的希爾伯特空間 H。雙模的結構比模豐富得多。兩因子上的雙模總給出子因子，因為其中一因子總包含於另一因子的交換子中。此外，科納在雙模上發現了一種微妙的相對張量積運算。沃恩瓊斯提出的子因子理論調和了這兩種看似迥異的觀點。 雙模對離散群 Γ 的馮諾依曼群代數 M 也很重要。事實上，若 V 是 Γ 的任意酉表示，將 Γ 視作 Γ Γ 的對角子群，I2 Gamma V 上相應的誘導表示自然就是 M 的兩個交換副本的雙模。Γ 的重要表示論性質完全可用雙模表述，因此對馮諾依曼代數本身也有意義。例如，科納和瓊斯以這種方式給出了馮諾依曼代數的卡日丹性質 T 的類似定義。 不可均因子 I 型馮諾依曼代數可均，其他型別則有不可數多種不可均因子，似乎很難分類，甚至很難相互區分。Voiculescu 證明，來自群測度空間構造的不可均因子類與來自自由群的馮諾依曼代數群不相交。後來小澤登高證明，雙曲群的馮諾依曼代數群會產生素的 rm II_1 型因子，即不能作為 rm II_1 型因子的張量積進行分解，這結果最早由 Leeming Ge 利用 Voiculescu 的自由熵，對自由群因子進行了證明。波帕關於不可均因子基本群的研究是另一項重大進展。目前 超無限之外 的因子理論正在迅速擴充套件，並取得了許多令人驚訝的成果，與幾何群論和遍歷理論中的剛性現象有密切關係。 例子 σ 有限測度空間上的本質有界函式構成了作用於 L2 函式的交換（rm I_1 型）馮諾依曼代數。對一些通常認為病態的非 σ 有限測度空間，LinftyX 不是馮諾依曼代數，如可測集的 σ 代數可能是不可數集上的可數 餘可數代數。基本近似定理可用卡普蘭斯基稠密性定理表示。 任意希爾伯特空間上的有界運算元構成馮諾依曼代數，實際上是 I 型因子。 若在希爾伯特空間 H 上的群 G 我們有任意酉表示，則與 G 交換的有界運算元形成馮諾依曼代數 G ，其投影精確對應 H 在 G 下不變的閉子空間。等價子表示對應 G 中的等價投影。G 的雙交換 G 也是馮諾依曼代數。 離散群 G 的馮諾依曼群代數是 HI2 G 上所有與 G 在 H 上的作用透過右乘交換的有界運算元的代數。可以證明，這就是由與 gin G 的左乘相對的運算元生成的馮諾依曼代數。若 G 的非平凡共軛類都無限（例如非阿貝爾自由群），則它就是（rm II_1 型）因子；若 G 是有限子群的並（如固定了除有限多元素外所有整數的置換群），則就是 rm II_1 型超無限因子。 如上一節所述，兩馮諾依曼代數的張量積或有狀態的可數張量積是馮諾依曼代數。 可定義馮諾依曼代數與離散（更一般地，區域性緊）群的叉積，也是馮諾依曼代數。特殊情形是穆雷合馮諾依曼的群測度空間構造，以及克里格因子。 可定義可測等價關係的馮諾依曼代數和可測廣群。這些例子概括了馮諾依曼群代數和群測度空間構造。 應用 馮諾依曼代數在紐結理論、統計力學、量子場論、區域性量子力學、自由機率、非交換幾何、表示論、微分幾何與動力系統等領域都有應用。 例如，C 代數為機率論提供了另一種公理化方法，稱作 GNS 構造。這類似於測度和積分的兩種方法，可以先構造集合的測度，再定義積分；或者先構造積分，再將集合度量定義為特徵函式的積分。 另見 AW 代數 富田竹崎理論 參考文獻 A translation of the first book about von Neumann algebras incomplete notes from a course A historical account of the discovery of von Neumann algebras This paper gives their basic properties and the division into types I II and III and in particular finds factors not of type I This is a continuation of the previous paper that studies properties of the trace of a factor This studies when factors are isomorphic and in particular shows that all approximately finite factors of type II1 are isomorphic The original paper on von Neumann algebras This defines the ultrastrong topology This discusses infinite tensor products of Hilbert spaces and the algebras acting on them This shows the existence of factors of type III This shows that some apparently topological properties in von Neumann algebras can be defined purely algebraically This discusses how to write a von Neumann algebra as a sum or integral of factors Reprints von Neumanns papers on von Neumann algebras Category 運算元理論