在數學中，全純函式演算（holomorphic functional calculus）是全純函式的一種函式演算。也就是說其目標在於，對於給定的一個全純函式 f 和一個運算元 T ，希望構造一個對應的運算元 f T ，使得 f 的定義域從複數推廣到運算元。更準確地說，函式演算根據 f 來定義 T 的譜的鄰域到有界運算元的連續代數同態。 本文將討論 T 是某個巴拿赫空間上的有界線性運算元的情況。特別地， T 可以是複數所構成的方陣，這類例子有助於解釋定義函式演算的一般性構造時所涉及的假設，提供一些啟發性的見解。 動機 為何需要更一般的函式演算 在本節中，假定 T 是一個 ntimes n 的複數矩陣。 如果給定的函式 f 是一些特別的函式，那麼就有一些自然的方式來定義 f T 。例如，如果 p z sum_i0m a_i zi 是一個復多項式，那麼可以簡單地用 T 代替 z 並定義 p T sum_i0m a_i Ti 其中 T0 I ，即單位矩陣。這就是多項式函式演算。它是從多項式環到 ntimes n 矩陣環的同態 pmapsto p T。 現在把函式演算的定義域從多項式稍微擴大一點，考慮處處全純的函式（整函式） f C to C ，它具有麥克勞林級數 f z sum_i0infty a_i zi 模仿多項式的情況即可給出如下定義： f T sum_i0infty a_i Ti 由於麥克勞林級數處處收斂，因此上述級數將在選定的運算元範數中收斂。矩陣指數就是一個例子。將 f z ez 的麥克勞林級數中的 z 替換為 T 得出 f T eT ITfrac T22frac T33cdots 「 f 的麥克勞林級數處處收斂」這一要求是可以一定程度上放寬的。從上面可以明顯看出，實際上只需要麥克勞林級數的收斂半徑大於該運算元的範數 T 。可如此定義運算元版本的函式 f 因此會更多。然而，這還不太令人滿意。例如，矩陣理論中的一個事實是，每個非奇異的 T 都有一個對數 S 也就是說能找到矩陣 S 使得 eS T 。希望有一種函式演算，它允許人們為任意非奇異的 T 定義 ln T ，使其與熟悉的 S 一致。冪級數做不到這一點，比如現在考慮如下的對數函式的冪級數展開 ln z1 z frac z22 frac z33 cdots 它僅收斂於開單位圓盤上。如果在級數中用 T 代替 z ，在 TI 可逆但 Tgeq1 的情況下 ln TI 仍無法被該級數定義。因此需要一種更通用的函式演算。 函式演算和譜 希望 f T 有意義的必要條件是 f 被定義在 T 的譜上。例如，正規矩陣的譜定理指出正規矩陣都是可酉對角化的。從而當 T 是正規運算元時，可以給出 f T 的一個定義。如果對於 T 的某些本徵值 lambda ，f lambda 沒有定義， f T 的定義就會遇到困難。 其他跡象也強化了「只有當 f 在 T 的譜上有定義時， f T 才能被定義」這樣的判斷。如果 T 不可逆，則 0 將是其本徵值（別忘了在本節中 T 是方陣）。由於自然對數在 0 處未定義，那麼 ln T 無法自然地定義也是意料之中的了。事實也確實如此不存在一種定義來做到這一點。 再舉個例子，對於 f zfrac 1z2z5 一種計算 f T 的合理方法似乎是 f TT2I1T5I1 但是，如果右側的逆不存在，即 2 或 5 是 T 的本徵值時，此式則是未定義的。 對於給定的矩陣 T ，其本徵值決定了 f T 可被定義的程度；即，對於 T 的所有本徵值 lambda ， f lambda 都須有定義。對於一般的有界運算元，此條件轉化為「 f 須在 T 的譜上有定義」。可以證明這個條件使得函式演算對映（指的是前文提及的代數同態）得以具有某些理想的屬性。 有界運算元的函式演算 設 X 為復巴拿赫空間， L X 是 X 上的有界運算元族（這些運算元也構成一個巴拿赫空間）。 回憶一下複分析中的柯西積分公式。令 f mathbb C to mathbb C 在某個開集 Dsubset mathbb C 上全純，而 Gamma 是 D 中的可求長的若爾當曲線，即有限長度的無自交的閉曲線。假定位於 Gamma 內部的點（即，使得 Gamma 關於 z 的卷繞數為 1 的點）的集合 U 滿足 Usubset D 。柯西積分公式即 forall zin U quad f zfrac 12pi iintnolimits_Gamma frac f zetazetazdzeta 現在試著將這個公式推廣到在 L X 中取值的函式。柯西積分公式暗示了以下定義（姑且只是形式上寫下這個式子，沒有嚴格定義）： f Tfrac 12pi iint_Gamma frac f zetazetaTdzeta 其中 zetaT1 稱為是 T 在 zeta 處的預解運算元。 假設已適當定義了在巴拿赫空間內取值的積分，則如此給出的函式演算蘊含了以下必要條件： 由於標量版本的柯西積分公式的適用物件是全純的 f ，料想巴拿赫空間情況也是如此：在巴拿赫空間 L X 中取值的函式應該有一個對標於普通複變函式的全純性的概念。 由於預解對映 zetamapsto zetaT1 在 T 的譜 sigma T 上無定義，因此若爾當曲線 Gamma 應是與 sigma T 不相交的。而預解對映在 sigma T 的補集上是全純的。那麼，為了得到一個非平凡的函式演算 Gamma 必須包圍著（至少一部分）的 sigma T 。 上述積分式的結果須獨立於 Gamma 的選擇。 函式演算的完整定義如下： 對於 Tin L X ，定義 f Tfrac 12pi iintnolimits_Gamma frac f zetazetaTdzeta 其中 f 是在開集 Dsubset mathbb C 上定義的全純函式，且譜集 sigma Tsubset D ；Gamma gamma_1 dots gamma_m 是 D 中這樣的一系列不相交若爾當曲線的集合，其是一個 內部 集合 Usupset sigma T 的邊界，並且每個作為邊界 gamma_i 的都是定向了的（參見和可定向性）。 開集 D 可以隨 f 變化，也不必是連通或單連通的，如右圖所示。 接下來的小節將對定義中所涉及的一些概念進行更精確的說明，並展現 f T 在給定假定下確實是良定義的。 巴拿赫空間值積分 對於定義於 Gamma 的開鄰域上並在以 L X 為到達域的連續函式 g ，圍道積分 int_Gamma g 的定義方式與標量值函式情況相同。可以用一個實數的區間 ab 來引數化每個 gamma_i in Gamma ，並且積分是從 ab 的越來越精細的劃分中所獲得的黎曼和的極限，而黎曼和在一致運算元拓撲中收斂。從而可以定義 int_Gamma g sumnolimits_i int_gamma_i g 在函式演算的定義中，假定了 f 在 Gamma 的開鄰域內全純。下面將證明解析對映在所謂預解集上是全純的，而使得積分 frac 12pi iint_Gamma frac f zetazetaTdzeta 有意義。 預解對映 對映 zetamapsto zetaT1 稱為 T 的預解對映。它定義在譜 sigma T 的補集上，稱為 T 的預解集，記作 rho T ，其中的元素稱為常點（regular point）。 經典函數理論的許多結論都依賴於積分 frac 12pi iint_Gammafrac d zetazetaz 的性質。 全純函式演算在這方面也有些相似：對於一個好的函式演算的性質而言，預解對映是至關重要的。本小節概述為討論此話題所必需的一些預解對映的性質。 第一預解方程 直接計算可知，對於 z_1 z_2in rho T ，有 z_1 T1 z_2 T1 z_1 T1 z_2 z_1 z_2 T1 於是， z_1 T1 z_2 T1 frac z_1 T1 z_2 T1 z_2 z_1 這個方程稱為第一預解方程。該公式顯示 z_1T1 和 z_2T1 是對易的，這暗示了一個運算元 T 所給出的全純函式演算對映的到達域將是一個交換代數。考慮 z_2to z_1 的極限，可以看出預解對映在任意 z_1in rho T 處是（復）可微的；因此全純函式演算表示式中的積分收斂於 L X 。 解析性 關於預解對映，還能有比可微性更強的論斷：預解集 rho T 實際上是這樣一個開集，其上的預解對映都解析。為驗證這一說法，考慮預解集中一點 z_1in rho T ，並觀察下面這個式子 frac 1z_2 z frac 1z_1 z cdot frac 11 frac z_1 z_2z_1 z 將 z 替換為 T 時，更合適的做法是將右邊的因子改為這樣一個級數： z_1 T1 sum _n geq 0 left z_1 z_2 z_1 T1 rightn 它在 L X 中收斂的條件是 z_1 z_2 frac 1left z_1 T1 right 這就是其收斂半徑。而它的收斂意味著 z_2T1 的存在性，進而意味著 z_2in rho T 。 由此可知預解集 rho T 是開集，預解對映在 rho T 上解析。 諾伊曼級數 zT1 的另一個表示式也很有用。下面形式的表示式 frac 1z T frac 1z cdot frac 11 frac Tz 可以注意到級數 frac 1z sum _n geq 0 left frac Tzrightn 即，它收斂於 zT1 的條件是 left frac Tz right 1 text ie z T 譜集的緊緻性 從預解運算元的上面的兩個性質，可以推斷出一個有界運算元 T 的譜 sigma T 是 mathbb C 的緊子集。因此，對於任何滿足 Dsupsetsigma T 的開集 D ，存在一個正定向且光滑的若爾當曲線系 Gamma gamma_1 dots gamma_m 使得 sigma T 在 Gamma 的內部且 D 的補集在 Gamma 的外部。因此，要定義一個函式演算，總能為每個在 D 上全純的 f 找到合適的一族若爾當曲線。 積分圍道的選取 前面的討論已經表明該積分式是有意義的，即對於每個 f 確實存在一族合適的若爾當曲線 Gamma 且積分確實在適當的意義上收斂。眼下尚未示明的是，函式演算是無歧義的，也就是說不依賴於 Gamma 的選取。現在嘗試解決這個問題。 一個先導的結論 對於若爾當曲線的集合 Gamma gamma_1 dots gamma_m 和點 ainmathbb C ， Gamma 相對於 a 的卷繞數是其成員各自的卷繞數之和。如果定義： n Gamma a sumnolimits_i n gamma_i a 就有柯西給出的以下定理：定理 設 Gsubset mathbb C 為開集且 Gammasubset G ，此外有一全純函式 gGto mathbb C ，且對於補集中的 ain Gmathbb CG 有 n Gamma a0 ，那麼 g 在 Gamma 上的圍道積分為零。當 g 在 L X 中取值時，會需要這個結論的向量值版本。為此須考察全純的 gGto L X ，而對 Gamma 的要求則和前文保持相同。推廣的思路是使用 L X 的對偶空間 L X ，從而得到標量並應用標量版本的柯西定理。 考慮積分 int_Gamma g in L X 如果可以證明任一 varphi in L X 作用在這個積分上都得到零，那麼積分本身就必須為零。由於 varphi 有界且積分依範數收斂，可得： phi left int_Gamma g right int_Gamma phi circ g 但 g 是全純的，因此複合 varphi circ g Gsubset mathbb C to mathbb C 是全純的，因此可以應用柯西定理： int_Gamma phi circ g 0 回到主論題 令 D 為包含 sigma T 的開集。假設有個符合前文要求的若爾當曲線系 Gamma gamma_i Omega omega_j ，所要證明的是 int_Gamma frac f zetazetaTdzeta int_Omega frac f zetazetaTdzeta 設反轉 Omega 中每個 omega_j 的定向所得到曲線系是 Omega ，則 int_Omega frac f zetazetaTdzeta int_Omega frac f zetazetaTdzeta 考慮兩個曲線系的並集 Gamma cup Omega 。 Gamma cup Omega 和 sigma T 都是緊的。因此存在某個開集 U 滿足 UsupsetGamma cup Omega 且 sigma Tsubset U ，其中 U 是 U 的補集。 U 中的任意 a 的卷繞數為 n GammacupOmega a 0 ，並且函式 zeta rightarrow frac f zetazetaT 在 U 上全純。因此柯西定理的向量值版本給出 int_Gamma cup Omega frac f zetazetaTdzeta 0 也就是說 int_Gammafrac f zetazetaTdzeta int_Omega frac f zetazetaTdzeta int_Gammafrac f zetazetaTdzeta int_Omegafrac f zetazetaTdzeta 0 於是證明了全純函式演算所給出的運算元與積分圍道的選取無關。 因此，如果 f_1 和 f_2 是在 sigma T 的鄰域 D_1 和 D_2 上定義的兩個全純函式，並且它們在一個包含 sigma T 的開集上相等，則 f_1 Tf_2 T 。此外，即使 D_1 可能不同於 D_1 ，運算元 f_1f_2T 也是良定義的，f_1 cdot f_2T 也是如此。 關於在譜集上全純的假定 到目前為止，這一假設的全部強度尚未得到充分利用。要使積分收斂，僅需要連續性。要使積分良定義，只需要 f 在包含圍道 Gamma cup Omega 的開集 U 上是全純的，而不必也要求在 sigma T 上全純。在展現函式演算的同態性質時，才會完整地用到該假定。 性質 多項式情況 對映 fmapsto f T 的線性源自積分的收斂性以及巴拿赫空間上線性運算的連續性。 當 f z sum_0leq kleq m a_k zk 是多項式時，便回到多項式函式演算的情況。為證明這一點，只需證明，當 kgeq 0 f zzk 時，有 f TTk 成立 也就是說等式 frac 12 pi i int_Gamma frac zeta kzeta T dzeta Tk 對於任何包含 sigma T 的適當的 Gamma 成立。若選擇 Gamma 作為半徑大於 T 的圓，前文已闡明此時可以將預解對映表示為一個冪級數 z T1 frac 1z sum_n geq 0 left frac Tz rightn 將其代入要證的等式就得到 f T frac 12 pi i int_Gamma left sum_n geq 0 frac Tnzetan1k right dzeta 而這就是 sum_n geq 0 Tn cdot frac 12 pi i left int_Gamma frac d zetazetan1k right sum_n geq 0 Tn cdot delta_nk Tk 其中的 delta 是克羅內克函式。 同態性質 對於任何滿足適當假設的 f_1 和 f_2 ，同態性質表明 f_1 T f_2 T f_1 cdot f_2T 將勾勒出一個論證，這會用到第一預解方程和對 f 的假設。首先，選擇若爾當曲線使得 Gamma_1 位於 Gamma_2 的內部，這樣做的用意之後就會揭曉。先直接計算得到： begin align f_1 T f_2 T left frac 12pi iint_Gamma_1frac f_1 zetazetaT d zeta right left frac 12 pi i int_Gamma_2frac f_2 omegaomegaT d omega right frac 12pi i2 int_Gamma_1 int_Gamma_2 frac f_1 zeta f_2 omegazetaTomegaT d omega d zeta frac 12pi i2 int_Gamma_1 int_Gamma_2 f_1 zeta f_2 omega left frac zeta T1 omega T1omega zeta right d omega d zeta frac 12 pi i2left left int _Gamma_1 frac f_1 zetazetaTleft int_Gamma_2frac f_2 omegaomega zeta domegaright d zeta right left int_Gamma_2 frac f_2 omegaomegaTleft int_Gamma_1frac f_1 zetaomega zeta dzetaright d omegarightright frac 12 pi i2 int _Gamma_1 frac f_1 zetazetaTleft int_Gamma_2frac f_2 omegaomega zeta domegaright d zeta end align 第三個等號用到了第一預解方程；最後一個等號是因為： omegainGamma_2 在 Gamma_2 的外部，且 f_1 在 sigma T 的某個開鄰域上是全純的，因此第二項為零。因此，可得： begin align f_1 T f_2 T frac 12pi i int_Gamma_1 frac f_1 zetazeta Tleft frac 12 pi iint_Gamma_2frac f_2 omegaomega zeta d omegaright d zeta frac 12 pi i int _Gamma_1 frac f_1 zetazeta T left f_2 zeta right d zeta frac 12 pi i int _Gamma_1 frac f_1 zeta f_2 zetazeta T d zeta f_1 cdot f_2T end align 其中第二個等號用到柯西積分公式。 設有開集 G 滿足 sigma Tsubset Gsubset mathbb C ， G 上的全純函式序列 f_k 在 G 的每個緊子集上都一致收斂（也就是說，緊緻收斂）。那麼 f_kT 在 L X 中收斂，接下來說明這一點： 為簡單起見，假設 Gamma 僅由一條若爾當曲線組成。可作如下估計 begin align left f_k T f_l T right frac 12 pi leftint_Gamma frac f_k f_lzetazeta T d zeta right leq frac 12 pi int_Gamma left f_k f_lzeta right cdot left zeta T1 right d zeta end align 透過結合一致收斂假設和各種連續性上的考量，可以看到當 kltoinfty 時，上式趨於 0 。所以 f_kT 是柯西序列，從而是收斂的。 唯一性 至此已證明了全純函式演算 fmapsto f T 具有以下性質： 它延伸了多項式函式演算。 它是從 sigma T 的一個鄰域上的全純函式代數到 L X 的代數同態 它保持緊集上的一致收斂。 可以證明滿足上述性質的函式演算是唯一的。 值得注意的是，如果把有界運算元族 L X 換成巴拿赫代數，那麼至此的所有討論都原封不動地保持成立。對於其中的元素，可以採用完全相同的方式定義函式演算。 譜理論的考量 譜對映定理 已知譜對映定理（spectral mapping theorem）對於多項式函式演算成立：對於任何多項式 p ，都有 sigma p T p sigma T 。這可以推廣到全純函式演算，也就是說 sigma f T f sigma T 。 為證明此式，考慮某一複數 mu 。先考慮 muin f sigma T 的情況，這情況意味著 existslambdainsigma T muf lambda 。 由複分析的結果，存在 sigma T 的鄰域上的全純函式 g 使得 f z mu z lambda g z 根據同態性質，有 f T mu T lambda g T g TT lambda 由於 lambdain sigma T ， T lambda 是不可逆的，那麼整個運算元 f Tmu 不可能有逆，也就是說 muin sigma f T 。於是目前證明了 sigma f T supset f sigma T 。 現在考慮 munotin f sigma T 的情況，那麼函式 h z frac 1f z mu 在 sigma T 的鄰域上全純，於是根據同態性質可知 h Tf T mu I f T mu h T 也就是說 muin rho f T 或者說 munotin sigma f T 。於是證明了 sigma f T subset f sigma T ，進而證明了譜對映定理。 譜投影 譜投影的基本思想如下。設有 Ksubset sigma T ，而 UV 分別是 K sigma Tsetminus K 的鄰域且它們不相交。定義函式 e zbegin cases 1zin U 0zin V end cases 即 Ucup V 中子集 U 的指示函式。它是一個滿足 e z2 e z （冪等）的全純函式。於是，對於 Ucup V 中的一個包含 sigma T 的適當的圍道 Gamma ，下面的線性運算元 e Tfrac 12pi iint_Gamma frac e zzTdz 將是一個與 T 對易的有界投影運算元，且還將提供大量有用的資訊。 實際上，當且僅當 K 在 sigma T 上的子空間拓撲中既開又閉時，這種情況才得以可能。此外，可以安全地忽略集合 V ，因為 e 在其上的值為零從而對積分沒有貢獻。投影 e T 稱為 T 在 K 處的譜投影，記為 P KT 。因此，對於 sigma T 的每個在子空間拓撲中既開又閉的子集 K ，都有一個相應的譜投影由下式給出 P KTfrac 12pi iintnolimits_Gamma frac dzzT 其中 Gamma 是包圍 K 但不包圍 sigma T 的其他點的圍道。 由於 P KTtriangleq P 有界並與 T 對易，因此 T 可以按此投影來直和分解為 TUoplus V 的形式，其中 Uin P X Vin IPX 。 P X IPX 是 T 的不變子空間，且 sigma UK 和 sigma V sigma Tsetminus K 。一個關鍵性質在於其相互正交性。如果 L 是另一個（按 sigma T 上子的空間拓撲的）既開又閉集，則 P K T P L T P L T P K T P K cap L T 而這在 K 和 L 不相交時為零。 譜投影有許多應用。 sigma T 的任何孤立點在子空間拓撲中都是既開又閉的，因此具有相應的譜投影。當 X 的維度有限時， sigma T 將由孤立點構成，於是所得的譜投影會給出若爾當塊的一個變體，各不同的本徵值會逐一對應到各若爾當塊。下一節將更詳細地討論這種分解。 有時運算元的譜投影會繼承這個運算元本身的一些性質。例如，如果 T 是譜半徑為 r 的，則斷言 rinsigma T 。相關的譜投影 P rTtriangleq P 也是正的，並且由相互正交性可知其他的譜投影都不可能具有正的行或列。事實上 TPrP ，且隨著 n to infty 有 T rn to P 。也就是說，隨著 n 的增加，此投影 P （稱為佩龍投影）逼近於 T rn ，且其每一列都是 T 的本徵向量。 更一般地，如果 T 是緊運算元，則 sigma T 中的所有非零點都是孤立的，從而它們的任何有限子集都可以用於分解 T ，而相應的譜投影始終是有限秩的。 L X 中具有相似譜特性的運算元是所謂里斯運算元。里斯運算元中的許多類（包括緊運算元）都是 L X 中的理想，並創造了一個豐饒的研究領域。然而，如果 X 是一個希爾伯特空間，則 里斯運算元和有限秩運算元之間恰好夾有一個閉的理想。 前面的大部分討論都可以在復巴拿赫代數這一更為一般的背景下進行。這時譜投影被稱為譜冪等元，因為可能不再有空間可供它們投影。 不變子空間分解 如果譜 sigma T 不是連通的，則可以使用函式演算將 X 分解為 T 的不變子空間。設 sigma T 是如下連通分量的不交併 sigma T bigcup_i1m F_i 設 e_i 是連通分量 F_i 的某個鄰域的指示函式。根據同態性質，各個 e_i T 都是投影運算元。事實上它就是上文說過的譜投影 P F_iT 。 e_i T T Te_i T 這一關係表明值域 e_i TTin Xtriangleq X_i 是 T 的不變子空間。 由於 sum_i e_i T I X 可以用這些互補的子空間來表示： X sum_i X_i 類似地，如果 T_i 是限制於 X_i 上的 T ，則有 T sum_i T_i 為直和空間 X bigoplus_i X_i 配備範數 left bigoplus_i x_i right sum_i x_i 於是 X 就成為一個巴拿赫空間。其上的一個對映 RX to Xbigoplus_i x_i mapsto sum_i x_i 是一個巴拿赫空間同構，並且可以看到 R T R1 bigoplus_i T_i 這可以看作是 T 的分塊對角化。 當 X 維度有限時， sigma Tlambda_i 是複平面的有限子集。令 e_i 是僅包含一個譜點（記作 lambda_i ）的一個開圓盤的指示函式，那麼對應的分塊對角矩陣 oplus_iT_i 即 T 的若爾當標準型。 相關結果 藉助更強的假設，如 T 是希爾伯特空間上的正規運算元時，函式演算的定義域可以得到推廣。要比較兩個結果，可以粗略地類比於正規矩陣的譜定理和若爾當標準型之間的關係。當 T 是正規運算元時，可以得到連續函式演算，即可以基於定義在 sigma T 上的連續函式 f 來計算 f T 。基於測度論，函式演算的定義域可以推廣到可測函式，即博雷爾函式演算。這種情況下，設 E subset sigma T 是博雷爾集而 1_E 是其指示函式，那麼投影運算元 1_E T 就對應於上面所討論的 e_i T 。 博雷爾函式演算可推廣到希爾伯特空間上的無界自伴運算元。 用稍微抽象一點的語言來說，全純函式演算可以用與上文基本相同的論述來擴充套件到巴拿赫代數的任何元素。類似地，連續函式演算適用於任何 C 代數中的，而可測函式演算適用於任何馮諾依曼代數中的正規元。 無界運算元 對於具有非空預解集的無界閉運算元，可以以類似的方式定義全純函式演算。 參見 全純函式 柯西積分公式 函式演算 引注 參考資料 N Dunford and JT Schwartz Linear Operators Part I General Theory Interscience 1958 Steven G Krantz Dictionary of Algebra Arithmetic and Trigonometry CRC Press 2000 Israel Gohberg Seymour Goldberg and Marinus A Kaashoek Classes of Linear Operators Volume 1 Birkhauser 1991 Category 解析函式 Category 泛函分析 Category 函式演算