辛拓撲和代數幾何中，量子上同調環是閉辛流形的普通上同調環的推廣。有 小環 和 大環 兩種定義，一般來說後者更復雜，包含的資訊也更多。係數環（一般是諾維科夫環）的選擇也會對其結構產生重大影響。 普通上同調的上積描述了子流形如何相交，而量子上同調的量子上積則描述了子空間如何以 模糊量子 的方式相交。更確切地說，若它們透過偽全純曲線相連線，就是相交的。計算曲線的格羅莫夫 威滕不變數在量子上積的展開式中作為係數出現。 量子上同調表達了格羅莫夫 威滕不變數的結構或模式，因此對列舉幾何有重要意義，還與數學物理和映象對稱中的許多觀點相關。特別是，它與辛弗洛爾同調是環同構的。 本文中 X 是閉辛流形，具有辛形式 ω。 諾維科夫環 X 的量子上同調的係數環有多種選擇，通常我們會選擇能編碼 X 的第二同調資訊的環，這樣下面定義的量子上積就能記錄 X 中仿全純曲線的資訊。例如，令 H_2 X H_2 X mathbf Z mathrm torsion 為第二同調模其撓（torsion）。令 R 為任意有單位元的交換環，Λ 是形式為 lambda sum_A in H_2 X lambda_A eA 的形式冪級數的環，其中 係數 lambda_A 來自 R； eA 為形式變數，服從關係 eA eB eA B； 對每個實數 C，只有有限多個 ωA 小於等於 C 的 A 具有非零係數 lambda_A。 變數 eA 的度數為 2 c_1 A，其中 c_1 是切叢 TX 的第一陳類，透過選擇任意與 ω 相配的殆復結構，可將其視為復向量叢。因此，Λ 是分次環，稱作 ω 的諾維科夫環（其他定義亦常見）。 小量子上同調 令 HX HX mathbf Z mathrm torsion 為 X 模撓（torsion）的上同調。係數為 Λ 的小量子上同調定義為 QHX Lambda HX otimes_mathbf Z Lambda 其元素是形式為 sum_i a_i otimes lambda_i 的有限和。小量子上同調是分次 R 模： deg a_i otimes lambda_i deg a_i deg lambda_i 普通上同調 HX 透過 a mapsto a otimes 1 嵌入 QHX Lambda，後者由 HX 作為 Λ 模生成。 對 HX 中任意兩個純度（pure degree）的上同調類 a、b，以及 H_2 X 中任意的 A，定義 ab_A 為 HX 的唯一元素，使得 int_X a b_A smile c GW_0 3X Aa b c （右式是 0 虧格 3 點格羅莫夫 威滕不變數。）接著，定義 a b sum_A in H_2 X a b_A otimes eA 根據線性關係，可以推廣為定義良好的 Λ 雙射 QHX Lambda otimes QHX Lambda to QHX Lambda 即小量子上積（small quantum cup product）。 幾何解釋 類 A0 中唯一的仿全純曲線是常值對映，其像是點。因此 GW_0 3X 0a b c int_X a smile b smile c 即 a b_0 a smile b 於是量子上積包含普通上積；也就是說，這定義將普通上積推廣到了非零類 A。 一般來說，ab_A 的龐加萊對偶對應著透過 a、b 的龐加萊對偶的類 A 的仿全純曲線空間。所以，普通上同調認為只有當 a、b 在一定的點上相遇才算做相交，而量子上同調則記錄了 a 和 b 的非零相交，只要有仿全純曲線相連線即可。諾維科夫環僅僅提供了足夠大的記錄系統，可以記錄所有類 A 的相交資訊。 例子 令 X 為具有標準辛形式（對應富比尼施圖迪度量）和復結構的復射影平面。令 ell in H2 X 為線 L 的龐加萊對偶，則 HX cong mathbf Zell ell3 唯一非零的格羅莫夫 威滕不變數是類 A0 或 AL 的不變數。可得 int_X elli ellj_0 smile ellk GW_0 3X 0elli ellj ellk delta i j k2 及 int_X elli ellj_L smile ellk GW_0 3X Lelli ellj ellk delta i j k 5 其中 δ 是克羅內克 δ 函式。於是， ell ell ell2 e0 0 eL ell2 ell ell2 0 e0 1 eL eL 這時，可以方便地將 eL 重新命名為 q，並使用更簡單的係數環 mathbf Zq，其中的 q 之度為 6 2 c_1 L。則 QHX mathbf Zq cong mathbf Zell q ell3 q 小量子上積的性質 對純度（pure degree）的 a、b， deg a b deg a deg b 且 b a 1deg a deg b a b 小量子上積滿足分配律，是 Λ 雙線性的。單位元 1 in H0 X 也是小量子同調的么元。 小量子上積還滿足結合律，這是格羅莫夫 威滕不變數的膠合定律（gluing law）的結果。這相當於，格羅莫夫 威滕勢（0 虧格格羅莫夫 威滕不變數的母函式）滿足特定的三階微分方程，即 WDVV 方程。 相交對 QHX Lambda otimes QHX Lambda to R 的定義為 leftlangle sum_i a_i otimes lambda_i sum_j b_j otimes mu_j rightrangle sum_i j lambda_i_0 mu_j_0 int_X a_i smile b_j （下標 0 表示 A0 係數。）其滿足結合律 langle a b c rangle langle a b c rangle 杜布羅溫聯絡 基環 R 是 C 時，可將向量空間 QHX Lambda 的均勻分次部分 H 看做複流形。小量子上積限制為 H 上良定義的交換積。在較溫和的假設下，具有相交對 langle rangle 的 H 是弗羅貝尼烏斯代數。 量子上積可視作是切叢 TH 上的聯絡，稱作杜布羅溫聯絡。則，量子上積的交換性和結合性對應這個聯絡上的零撓率和零曲率條件。 大量子上同調 存在 0in H 的鄰域 U，使 langle rangle 和杜布羅溫聯絡賦予 U 以弗羅貝尼烏斯流形的結構。forall ain U 有量子上積 _a H otimes H to H 定義為 langle x _a y z rangle sum_n sum_A frac 1n GW_0 n 3X Ax y z a ldots a H 上的積統稱為大量子上同調（big quantum cohomology）。所有 0 虧格格羅莫夫 威滕不變數都可從中恢復；但一般來說，更簡單的小量子上同調並非如此。 小量子上同調只有 3 點格羅莫夫 威滕不變數的資訊，大量子上同調則有所有 n 點（n 4）格羅莫夫 威滕不變數的資訊。為獲得某些流形的列舉幾何資訊，需要用到大量子上同調。小量子上同調對應物理學中的 3 點相關函式，大量子上同調則對應所有 n 點相關函式。 參考文獻 McDuff Dusa Salamon Dietmar 2004 JHolomorphic Curves and Symplectic Topology American Mathematical Society colloquium publications Piunikhin Sergey Salamon Dietmar Schwarz Matthias 1996 Symplectic FloerDonaldson theory and quantum cohomology In C B Thomas Ed Contact and Symplectic Geometry pp 171200 Cambridge University Press Category 代數幾何 Category 弦理論 Category 辛拓撲