在泛函分析和量子資訊科學中，正運算元值測度（Positive operator valued measure POVM）是一種推廣的測度，這種測度的值為希爾伯特空間上半正定運算元。POVM 是投影值測度（Projection valued measure PVM） 的推廣，相應地，POVM 描述的量子測量是 PVM 描述的量子測量 稱為投影測量 的推廣。 粗略比喻來說：POVM 之於 PVM，就如同混合態之於純態一樣。 混合態對於刻畫一個較大系統的子系統的狀態而言是必須的（見量子態的純化）；類似地，POVM 的概念則在刻畫在較大系統上進行的投影測量對子系統的影響時自然地產生。 POVM 是量子力學中最普遍的測量型別，也用於量子場論。它們在量子資訊領域有著廣泛的應用。 定義 設 mathcal H 是一希爾伯特空間，而 X M 是一可測空間，其中 M 是 X 上的博雷爾 σ 代數。若 M 上的一個函式 F ，其值為 mathcal H 上的正有界自伴運算元，且對於任意 psi in mathcal H 和 Ein M 滿足 E mapsto langle F E psipsi rangle 則 F 是 σ 代數 M 上的非負可數可加測度，且總質量為恆等運算元 F X operatorname I_mathcal H ，那麼稱 F 是一個 POVM。 在最簡單的情況下，POVM 是有限維希爾伯特空間 mathcal H 上的一組半正定埃爾米特矩陣 F_i ，其和為單位矩陣 M Nielsen and I Chuang Quantum Computation and Quantum Information Cambridge University Press 2000 sum_i1n F_i operatorname I POVM 與投影值測度的不同之處在於，對於投影值測度， F 必須是正交投影。 在量子力學中，POVM 的關鍵性質是它確定了結果空間上的一個機率測度，因此 langle F E psipsi rangle 可以解釋為測量量子態 psi rangle 時得到結果 E 的機率（密度）。也就是說，POVM 元素 F_i 是關聯於測量結果 i 的，從而對量子態 rho 進行量子測量時得到它的機率 text Probi operatorname trrho F_i ， 其中 operatorname tr 是跡運算。若被測量的量子態是純態 psirangle ，則此公式簡化為 text Probi operatorname trpsiranglelanglepsi F_i langlepsiF_ipsirangle 。 POVM 的最簡單情況推廣了 PVM 的最簡單情況，即 PVM 是一組和為恆等矩陣的正交投影 Pi_i 的情況： sum_i1N Pi_i operatorname I quad Pi_i Pi_j delta_i j Pi_i PVM 的機率公式與 POVM 的機率公式相同。一個重要的區別是 POVM 的元素不一定正交。因此，POVM 元素的數量 n 可以大於其所作用的希爾伯特空間的維數，而 PVM 元素的數量 N 不會超過希爾伯特空間的維數。 奈馬克擴張定理 奈馬克擴張定理 I M Gelfand and M A Neumark On the embedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert space Rec Math Mat Sbornik NS 12 54 1943 197213 展示瞭如何從作用於更大空間的 PVM 中得到 POVM。這一結果在量子力學中至關重要，因為它提供了一種物理實現正運算元值測量的方法。A Peres Quantum Theory Concepts and Methods Kluwer Academic Publishers 1993 最簡單的情況是，POVM 元素作用於一個有限維希爾伯特空間且數目有限。奈馬克擴張定理指出，若 F_i_i1n 是 d_A 維希爾伯特空間 mathcal H_A 上的 POVM，則存在一個 d_A 維希爾伯特空間 mathcal H_A 上的 PVM Pi_i_i1n 以及等距同構 V mathcal H_A to mathcal H_A ，使得對於任意 i 有 F_i Vdagger Pi_i V 對於秩為一的 POVM 的特殊情況，即存在某（未歸一化的）向量 f_irangle 使得 F_i f_iranglelangle f_i ，該等距對映可以構造為 A Peres Quantum Theory Concepts and Methods Kluwer Academic Publishers 1993 V sum_i1n irangle_Alangle f_i_A 而 PVM 則由 Pi_i iranglelangle i_A 給出。注意這裡 d_A n 。 一般情況下，等距同構和 PVM 可以透過定義 J Preskill Lecture Notes for Physics Quantum Information and Computation Chapter 3 httptheorycaltechedupreskillph229indexhtml J Watrous The Theory of Quantum Information Cambridge University Press 2018 Chapter 23 httpscsuwaterloocawatrousTQI mathcal H_A mathcal H_Aotimes mathcal H_B 、 Pi_i operatorname I_A otimes iranglelangle i_B 和 V sum_i1n sqrt F_i_A otimes irangle_B 來構造。注意這裡 d_A nd_A ，因此這是一個更加 浪費 的構造。 無論哪種情況，對經過等距對映後的態進行該投影測量得到結果 i 的機率與進行原始正運算元值測量得到該結果的機率相同： text Probi operatorname trleft V rho_A Vdagger Pi_i right operatorname trleft rho_A Vdagger Pi_i V right operatorname trrho_A F_i 透過將該等距同構 V 擴張為一個么正運算元 U ，可以將這種構造轉化為 POVM 的一個物理實現方案。也就是說尋找 U 使得 forall 1leq ileq d_Aquad Virangle_A Uirangle_A 這總是可以做到。 實現對量子態 rho 進行的正運算元值測量 F_i_i1n 的方法是，將 rho 嵌入希爾伯特空間 mathcal H_A ，然後進行其么正演化 U ，再進行對應於 PVM Pi_i_i1n 的投影測量。 測量後的狀態 測量後的狀態不是由 POVM 本身決定的，而是由物理上實現它的 PVM 來決定。由於相同的 POVM 有無窮個不同的 PVM 實現，因此 F_i_i1n 這些運算元本身並不能確定測量後的狀態。為看出這一點，注意對於任何么正運算元 W ，運算元 M_i Wsqrt F_i 也滿足性質 M_idagger M_i F_i ，那麼結合第二種構造的等距同構 V_W sum_i1n M_i_A otimes irangle_B 也將實現相同的 POVM。在被測狀態為純態 psirangle_A 的情況下，由此得到的么正 U_W 在該態（連同輔助態）上的作用結果是 U_W psirangle_A 0rangle_B sum_i1n M_i psirangle_A irangle_B 當得到的測量結果為 i_0 時，輔助態上的投影測量將會使 psirangle_A 坍縮到態 M Nielsen and I Chuang Quantum Computation and Quantum Information Cambridge University Press 2000 psirangle_A frac M_i_0 psiranglesqrt langle psi M_i_0dagger M_i_0 psi rangle 若被測態的密度矩陣為 rho_A ，其被測量後的狀態是 rho_A M_i_0 rho M_i_0dagger over rm trM_i_0 rho M_i_0dagger 因此可見，測量後狀態明確依賴於么正運算元 W 。注意雖然 M_idagger M_i F_i 總是埃爾米特的， M_i 一般未必是埃爾米特的。 正運算元值測量與投影測量的另一個區別在於它通常是不可重複的。若第一次測量得到結果 i_0 ，第二次測量得到不同結果 i_1 的機率為 text Probi_1i_0 operatorname trM_i_1 M_i_0 rho M_i_0dagger M_i_1dagger over rm trM_i_0 rho M_i_0dagger ， 它在 M_i_0 和 M_i_1 不正交時可以是不為零的。在投影測量中，這些運算元必然是正交的，因此測量始終是可重複的。 一個例子：無歧義量子態分辨 假定有一量子系統對應的希爾伯特空間為二維的，其態要麼是 psirangle 要麼是 varphirangle ，現在想要知道是其中的何者。若 psirangle 與 varphirangle 正交，那麼這將是一個簡單的任務：此時 psiranglelanglepsivarphiranglelanglevarphi 將構成一個 PVM，而在該基下的投影測量將對前述問題給出確定性的回答。然而若 psirangle 與 varphirangle 不正交，那麼該任務在這樣一種意義上將是不可能的：沒有一種測量，無論是 PVM 還是 POVM，能確定地辨別這兩個態。完美辨認非正交態的不可實現性是各種量子資訊協議（如量子密碼學、、量子貨幣）的基礎。 退而求其次，實際能做到的最好效果是所謂無歧義量子態分辨（Unambigious quantum state discrimination UQSD）：在系統處於 psirangle 還是 varphirangle 的問題不犯任何錯誤，但代價是有時會得到一個概然的答案。這一點可由投影測量做到。例如，設 psiperprangle 是正交於 psirangle 的那個量子態，現在按 PVM psiranglelanglepsipsiperpranglelanglepsiperp 進行測量，若得到了 psiperpranglelanglepsiperp 的對應結果，那麼就可得知態必然是 varphirangle ；若結果是 psiranglelanglepsi ，就無法得到確鑿的答案。類似的推理對 PVM varphiranglelanglevarphivarphiperpranglelanglevarphiperp 也有效，其中 varphiperprangle 表示正交於 varphirangle 的態。 然而這並不足以令人滿意，這種方法無法用單一測量來探測 psirangle 與 varphirangle ，並且得到確定性結果的機率也低於基於 POVM 的測量。下面的 POVM 在此任務中具有最高的機會來給出一個確定性的結論： F_psifrac 11langvarphipsirangvarphiperpranglelanglevarphiperp F_varphifrac 11langvarphipsirangpsiperpranglelanglepsiperp F_ operatorname IF_psiF_varphi frac 2langvarphipsirang1langvarphipsirang gammaranglelanglegamma 其中 gammarangle frac1 sqrt 2 1langvarphipsirangpsirangleeiarg langvarphipsirangvarphirangle 注意到 operatorname trvarphiranglelanglevarphiF_psi operatorname trpsiranglelanglepsiF_varphi 0 ，所以當得到結果 psi 時，便可確鑿地知曉系統是處於 psirangle ，而當結果為 varphi 時就知曉系統處於 varphirangle 。 當系統處於 psirangle 或 varphirangle 的機率相同時，該測量方案得到確定性結果的機率是 1langvarphipsirang 這一結果稱為 IvanovićDieksPeres 極限，冠名於 UQSD 研究的先驅者 由於這些 POVM 是秩為一的，可以看到透過前文敘述的構造投影測量的方法，便可在物理上實現這些 POVM。將擴大後的希爾伯特空間中的三種可能的態分別標記為 text result ψrangle 、 text result φrangle 、 text result rangle ，么正運算元 U_text UQSD 在態 psirangle 上的作用結果是 U_text UQSDpsirangle sqrt 1langvarphipsirangtext result ψrangle sqrt langvarphipsirang text result rangle 類似地，它在 varphirangle 上作用的結果是 U_text UQSDvarphirangle sqrt 1langvarphipsirangtext result φrangle eiarg langvarphipsirangsqrt langvarphipsirangtext result rangle 於是投影測量便可以相同於 POVM 的機率來得到所要的結果。 這種 POVM 已在實驗上用於區分一個光子的非正交偏振態。不過實現該 POVM 的投影測量與此處闡述的有輕微的不同。 參見 量子測量 量子力學的數學表述 密度矩陣 量子操作 投影值測度 向量測度 參考資料 外部連結 量子態辨別的互動演示 Category 量子測量 Category 量子資訊