光學中，焦散現象（caustic）是被彎曲的面或物體反射或折射後，出現光線的包絡，或包絡在另一面上的射影。焦散現象會形成焦散線或焦散面，每條光線都與之相切。如右圖所示，可見明顯的焦散線。這些形狀通常有尖點。 解釋 集中的光線（如陽光）會灼傷人。焦散（caustic）一詞來自希臘語 καυστός燒焦，途經拉丁語 causticus 燃燒。 光線照射在酒杯上時，就會出現焦散現象。玻璃杯會投射出陰影，也會產生彎曲的亮區。在理想情況下（包括平行光射入時）會產生腎形光斑。Circle Catacaustic Wolfram MathWorld Retrieved 20090717 光線穿過波浪照射在水體上時，通常會形成波紋狀的焦散線。 彩虹是人們熟悉的另一種焦散現象。雨滴對光的散射會使不同波長的光折射成半徑不同的弧線，從而產生彩虹。 計算機製圖 計算機圖形學中，大多數現代渲染系統都支援焦散效果，其中有些甚至還支援立體焦散。這是透過光線追蹤光束的可能路徑，並考慮折射與反射實現的；光子對映是其中一種實現方式。立體焦散也可以由體積路徑跟蹤實現。一些計算機圖形系統採用 正向光追 技術，將光子模擬為來自光源，按照規則在環境中反彈。在有足夠光子照射到表面的區域，就會形成焦散，使其比平均區域更亮。反向光追 則是以相反方式工作，從表面開始，確定是否有通向光源的路徑。這裡 可見一些三維光追焦散的例子。 大多數計算機圖形系統的重點在美學而非物理上精確，這在電腦遊戲的即時渲染中尤為明顯，遊戲中大多使用預先算好的材質。 焦散工程 焦散工程描述的是解決計算機圖形學中逆問題的過程。即，在給定影像的前提下，確定折射或反射光形成影像的表面。 在這問題的離散版本中，表面會被分為若干微表面，假定是光滑的，即每片微表面反射 折射的光線形成高斯焦散。這意味著，每個微表面都服從高斯分佈。每塊微表面的位置與方向由泊松積分與模擬退火相結合的方法得到。 Additional resources at Wojciech Jaroszs Dartmouth University site 解決連續問題的方法多種多樣，如利用運輸理論中所謂最優運輸（optimal transport）的思想尋找入射光與目標表面之間的對映。獲得這種對映後，利用斯涅爾定律反覆調整，從而最佳化表面。 基於最優運輸的焦散圖案設計 基本原理 控制焦散圖案是相當具有挑戰性的問題，因為表面的微小變化會嚴重影響圖案質量：光線方向在與材料反射 折射時可能會受到其他光線的干擾。這將導致圖案離散、不連續。為了解決這個問題，基於最優運輸的方法是現有的建議方法之一，它可以在光線穿過某種透明材料表面傳播時改變光線方向，從而控制焦散圖案。給定物體 圖案的參考影像，目標是描述光線折射透過的材料表面，並匯聚到參考影像的類似圖案。具體方法是重新排列 重新計算初始光強，直到得到最佳化問題的最小值。 設計管線 這裡進考慮折射焦散，物件可按如下方式確定（不同輸出的反射焦散也有類似原理）： 輸入：給定光源位置，燈光透過材料傳播後獲得的圖案影像。 輸出：接收面（平坦的固體表面，例如：地板、牆壁等）上的焦散圖形。 為實現目標圖案，須將光線射向外部環境的表面加工成一定形狀，以便在另一面實現所需的圖案。 如上述，在輸入影像的情況下，該過程將產生類似的焦散圖案作為輸出。原則上，有兩個核心階段，又分成兩個子階段： 解最優運輸問題 計算目標光分佈 計算從初始分佈到目標分佈的對映 最佳化目標表面 計算表面的法線表示 表面細化 解最優運輸問題 在透明表面發生折射的情況下，例如在清澈水面下出現的圖案，可以觀察到 3 種主要現象： 非常亮（凝聚光強）的點（所謂奇點） 連線各點的曲線狀物件 光強度較低的區域 未進行計算，我們引入以下 3 個量來描述圖案的幾何特徵：點奇異性 Phi_p（度量某些高度集中的點的光強）、線奇異性 Phi_c（度量某些較亮曲線附近的光強）、輻照度 Phi_I（測量某個光照不集中區域的強度）。把它們放在一起，下面的函式就定義了目標表面上某一部分 Ω 的總輻射功率 Phi_T： Phi_T Omega textstyle sum_i1N_delta Phi_pi Omega sum_j1N_gamma Phi_cj Omega Phi_I Omegadisplaystyle 這步之後，就有了兩個輻射通量測量值，分別是輻射源 Phi_S（由初始化均勻分佈）與目標 Phi_T（上一步計算）。剩下要計算的是從源到目標的對映。為此要先定義幾個量，首先是兩個由機率取值的光強：mu_S（用 Phi_S 除以 Phi_S Phi_T 之間聯合區域的通量）、mu_T（用 Phi_T 除以 Phi_S Phi_T 之間聯合區域的通量）。其次，由多個點 s_i in Phi_S cup Phi_T 生成原網格，之後再變形。接著，在這組點 s_i 上定義 power 圖 P_w（一組 power 元 C_iw），由權向量 omega 加權。最後，我們的目標是決定要移動哪些 power 元。考慮面上所有 x 個頂點，找到以下凸函式的最小值 omega_min，就可得到目標的匹配 power 圖： f omega sum_s_i in S omega_imu_S C_i0 intlimits_C_iomega x s_i2 omega_i dmu_T x 最佳化目標面 在解出最優運輸問題後，就得到了頂點。不過，這並沒有提供最終表面形狀的資訊。給定入射光 d_I、出射光 d_O 及上一步所得的 power 圖，根據斯涅爾定律可算出曲面法線： n d_I eta x over lVert d_I eta d_T rVert d_I eta x over lVert d_I eta x_R x over x_R x rVert 其中 eta：折射係數 x_R：解上述最優運輸問題所得目標位置 得到法線表示後，透過最小化以下複合能量函式，實現表面細化： underset xoperatorname argmax omega cdot E_int E_dir E_flux E_reg E_bar 其中 E_int sum_v in M_T lVert n_o nrVert_22 是將最優運輸所得頂點法線 n_o 與斯涅爾定律計算所得目標法線 n 對齊，所得的積分能量。 E_dir sum_v in M_T lVert x textbf proj_x_S d_IxrVert_22：最優傳輸所得網格無法適應不連續面的尖點，這一項用於懲罰這種點，使其不會隨入射光發生顯著變化。 E_flux sum_t in M_T lVert Phi_T t Phi_S t_srVert_22 是經過網格中三角形 t 的能量通量。 E_reg lVert textbf Ltextbf XrVert_22 是使三角形形狀規則化、保持形狀良好的能量。 E_bar sum_v in M_T lVert max 0 log 1 n_Rx x_R d_THrVert2 是屏障能量，用於確保曲面變形不會超過一定距離的閾值 d_TH。 可變逆渲染焦散圖樣設計 基本原理 逆圖形學是一種觀察影像資料、推斷所有可能屬性（如三維幾何、光照、材料與運動）生成逼真影像的方法。傳統計算機圖形學中，為使影像具有理想的外觀和效果，要賦予影像所有相關屬性 特徵，這可以說是前向方法；而在焦散設計中，物體（尤其材料表面）的性質並不平凡。給定約束條件就是要獲得的目標影像。因此，目標是透過觀察、推斷目標影像，以獲得其性質。這可以視作反向方法。 下面是基本損失函式，解釋瞭如何最佳化引數： L c lVert f cI rVert2 其中 L c：損失函式，渲染影像與目標的均方誤差 c：包含可能影響生成影像的元素 I：目標影像 管線設計 首先，設計目標圖案並計算前向傳遞，得到合成圖樣。然後與目標圖案比較，得到損失。 這是讓合成圖案儘可能與目標圖案相似。然後進行反向傳播，以獲得焦散製造中所需的最佳化屬性。 生成影像的元素 外觀（Appearance，A）：畫素表面外觀建模為 MipMap 紋理與畫素亮度之積。 幾何（Vertices，V）：假定三維場景由三角形近似，引數為頂點 V。 攝像機（Camera，C）：焦距、視點、攝像機中心。 還可以有更多元素，如反照率、折射率之類。 一般可變框架 引入 U 為中間變數，表示 2 維投影的頂點座標。這些屬性的梯度可從鏈式法則推匯出： frac partial fpartial V frac partial fpartial U times frac partial Upartial V frac partial fpartial V frac partial fpartial A times frac partial Apartial V frac partial fpartial C frac partial fpartial U times frac partial Upartial C 應用隨機梯度下降後，可得最優的 A V C。隨後，這些量將用於雕刻或銑削材料，以生成目標圖案。 方法 一種常見方法是利用各種深度學習自動微分框架 庫（如 TensorFlow、PyTorch、Theano）中執行微分運算的能力。 還有一種方法是用 OpenDR 框架建立前向圖形模型，並自動獲取模型引數的導數，以進行最佳化。在獲得最佳化屬性後，就可以生成目標影像。OpenDR 提供的區域性最佳化方法可納入機率程式設計框架，可以解決焦散問題。 製造 計算設計出焦散圖樣後，處理過的資料將用作機械加工。 根據所需質量、製造所需工作量和可用的製造方法，可以用各種材料。 常見折射材料：亞克力、聚碳酸酯、聚乙烯、玻璃、鑽石 常見反射材料：鋼、鐵、鋁、金、銀、鈦、鎳 焦散圖樣設計有很多應用，如 燈具 珠寶 建築 裝飾玻璃生產 另見 焦點 模糊圈 焦散 數學 參考文獻 閱讀更多 Category 幾何光學