在數學中，特別是在泛函分析中，投影值測度是一種對映，其將給定集合的特定子集對映為給定的希爾伯特空間上的一個自伴投影運算元。 投影值測度 projectionvalued measure PVM 在形式上類似於實值測度，不過其值是自伴投影而不是實數。與普通測度一樣，也可以關於 PVM 進行復值函式的積分；這種積分的結果是給定希爾伯特空間上的線性運算元。 投影值測度用於表達譜理論中的結果，例如自伴運算元的譜定理，在這種情況下 PVM 有時被稱為譜測度。自伴運算元的博雷爾函式演算是透過關於 PVM 的積分構造的。在量子力學中，PVM 提供了投影測量的數學表述，它們可推廣為正運算元值測度（POVM），正如混合態或密度矩陣推廣了純態的概念一樣。 定義 設 H 是一可分復希爾伯特空間，而 X M 是一（博雷爾）可測空間，其中 X 是一集合而 M 是 X 上的博雷爾 σ 代數。投影值測度 pi 是定義於 M 上、而取值為 H 上有界自伴運算元的一類特定對映，其須滿足以下性質： 對任一 E in M， pi E 是一正交投影。 pi emptyset 0 且 pi X I ，其中 emptyset 表示空集、I 為恆等運算元。 若 M 中有不交的子集 E_1 E_2 E_3dotsc ，那麼對於任一 v in H ， pileft bigcup_j1infty E_j right v sum_j1infty pi E_j v 對任意 E_1 E_2 in M ， pi E_1 cap E_2 pi E_1pi E_2 第二、四個性質表明，如果 E_1 和 E_2 不相交（即 E_1 cap E_2 emptyset ）， 則像 pi E_1 和 pi E_2 之間正交。 令 V_E operatorname impi E 及其正交補 Vperp_Eker pi E 分別表示 pi E 的像和核。若 V_E 是 H 的閉子空間，則 H 可以寫成如下的正交分解 HV_E oplus Vperp_E ，而 pi Etriangleq I_E 是 V_E 上唯一滿足所有四個性質的恆等運算元。 對於任意 xietain H 和 Ein M ，可由投影值測度匯出一個 H 上的復值測度，其定義為 mu_xietaE langle pi Exi eta rangle 而其總變差至多為 xieta 。 投影值測度亦可匯出下面的實值測度： mu_xiE langle pi Exi xi rangle 當 xi 是單位向量時，其成為一個機率測度。 例子 設 X M mu 是一個 σ 有限測度空間，且對於任一 E in M ，可有一相應的對映 pi E L2 X to L2 X 定義為 psi mapsto pi Epsi1_E psi 即 L2 X 上關於指示函式 1_E 的乘法運算元。那麼 pi E1_E 定義了一個投影值測度。作為一個例子，若 X mathbb R 、 E 01 、 phipsi in L2 mathbb R ，於是就有這樣一個復值測度 mu_phipsi ，使得可測函式 f mathbb R to mathbb R 關於該測度的積分為 int_E fdmu_phipsi int_01 f xpsi xoverline phi xdx 投影值測度的擴張 如果 是博雷爾可測空間 X M 上的投影值測度，則對映 chi_E mapsto pi E 可到 X 上階躍函式所構成的向量空間上的線性對映。事實上，容易驗證這個對映是一個環同態。該對映以一種典範的方式擴張到 X 上的全體有界復值博雷爾函式，並且有： 該定理對於無界可測函式 f 也成立，但是此時 T 將是希爾伯特空間上 H 的無界線性運算元。 這允許為此類運算元定義博雷爾函式演算，然後透過里斯 馬爾可夫 角谷表示定理使其可用於可測函式。也就是說，若有可測函式 gmathbb Rtomathbb C ，則存在唯一測度使得 g T int_mathbb R g x dpi x 譜定理 設 H 是一個可分復希爾伯特空間， AHto H 是有界自伴運算元，而 A 的譜是 sigma A 。譜定理說明，存在唯一的投影值測度 pi_A ，其定義於博雷爾子集 E subset sigma A 上，而使得 A int_sigma A lambda dpi_A lambda 當譜 sigma A 無界時，積分須推廣到 lambda 為無界函式的情況。 直積分 首先我們給出一個基於的投影值測度的一般例子。設 X M mu 是測度空間，且令 H_x _x in X 是 mu 可測的一族可分希爾伯特空間。對於每個 E in M ，令 pi E 為希爾伯特空間 int_Xoplus H_x d mu x 上關於 1_E 的乘法運算元，那麼 pi 就是 X M 上的一個投影值測度。 設 pirho 是 X M 上的投影值測度，其值分別為 H K 的投影運算元。稱 pirho 是么正等價的，當且僅當存在一個么正運算元 U H to K 滿足 forall Ein Mquadpi E U rho E U mu 的以及測度按重數對映 xmapstodim H_x 之結果歸併而來的等價類完全刻畫了投影值測度（在么正等價的意義上，也就是說凡不能區分的 PVM 都么正等價）。 一個投影值測度 pi 稱為是 n 重齊次 homogeneous 的，當且僅當重數函式具有常數值 n 。顯然， 在量子力學中的應用 在量子力學中，給定一個投影值測度，其定義域為一個可測空間 X ，陪域是希爾伯特空間 H 上的連續自同態所構成的向量空間， 希爾伯特空間 H 的射影空間被解釋為量子系統的可能狀態集 Phi ， 可測空間 X 是系統某些量子性質（可觀測量）的值空間， 投影值測度 pi 表示可觀測量取各種值的機率。 X 的常見選擇是實數集，但也可能是 mathbb R3 （三維中的位置或動量）， 離散集（用於角動量、束縛態能量等）， 關於 varphiinPhi 的任意命題的真值的二元素集，即 真 和 假。 令 E 為可測空間 X 的可測子集， varphi 為 H 中的歸一化態矢，且其範數為一，即 varphisqrt langlevarphivarphirangle 1 。對於處於狀態 varphi 的系統，其可觀測量的值落在子集 E 中的機率為 P_pi varphiE langle varphipi Evarphirangle langle varphipi Evarphirangle 其中，物理學中更傾向於使用後一種符號。 我們可以用兩種方式來解析這一點。 其一，對於給定的 E ，投影 pi E 是 H 上的一個自伴運算元，其 1 本徵空間（本徵值 1 所對應的子空間）由可觀測量的值始終落在 E 中的態矢構成，其 0 特徵空間則由可觀測量的值永不落在 E 中的態矢構成。 其二，對於任一給定的歸一化態矢 psi ， P_pi psi E mapsto langlepsimidpi Epsirangle 是 X 上的機率測度，從而使得可觀測量的值成為隨機變數。 可以用投影值測度 pi 來進行的測量稱為投影測量。 如果 X 是實數集，則存在關聯於 pi 的 H 上的厄米運算元 A ，其將態矢 varphiin H 對映為 A varphi int_mathbb R lambda mathrm dpi lambdavarphi 或者若 pi 的支撐集是 mathbb R 的一個離散子集，則可用更易讀的形式寫作 A varphi sum_i lambda_i pi lambda_ivarphi 上述運算元 A 被稱為關聯於該譜測度的可觀測量。 推廣 投影值測度的概念可推廣到正運算元值測度（POVM）。對於 POVM，將恆等運算元劃分為投影運算元所蘊含的正交性的要求不再是必要的，恆等運算元轉而被分解為一族不必正交的運算元 。這一推廣的動機源於在量子資訊理論上的應用。 參見 譜定理 譜測度 譜理論 參考資料 引注 來源 Mackey G W The Theory of Unitary Group Representations The University of Chicago Press 1976 G Teschl Mathematical Methods in Quantum Mechanics with Applications to Schrödinger Operators httpswwwmatunivieacatgeraldftpbookschroe American Mathematical Society 2009 Varadarajan V S Geometry of Quantum Theory V2 Springer Verlag 1970 Category 譜理論 Category 測度 Category 線性代數