理論物理學中，標量場論可以指相對論不變的經典或量子的標量場理論。標量場在任何洛倫茲變換下都是不變的。即，在洛倫茲群的平凡 0 0 表示下發生變換，使得場在任何時空點上的值保持不變，這與向量場、張量場、旋子張量不同，後者的分量在洛倫茲變換下會發生混合。由於粒子或場的自旋由其變換所據的洛倫茲表示決定，因此所有標量（及偽標量）場和粒子的自旋都為零，因此根據自旋統計定理，它們都是玻色子。參見 自然界中唯一觀測到的基本標量量子場是希格斯場。標量量子場也出現在很多物理現象的有效場論描述中，例如 π 介子，實際上是偽標量。這意味著它在反轉空間方向的宇稱變換下會變化，與宇稱不變的真標量有別。見 由於不涉及極化的複雜問題，標量場往往最容易理解二次量子化。所以，標量場論常用於介紹新概念和新技術。 Ch 3 下面所用的度量的符號為。 經典標量場論 本節的一般參考文獻是 Ramond Pierre 20011221 Field Theory A Modern Primer Second Edition USA Westview Press Ch 1 線性（自由）理論 最基本的標量場論是線性理論。透過場的傅立葉分解，可表示無窮多耦合諧振子的簡正模，其中諧振子的序號 i 的縮放極限現表示為。則，相對論不變的標量場論的作用量可寫作 begin align mathcal S int mathrm dD1 x mathrm d t mathcal L int mathrm dD1 x mathrm d t left frac 12etamunupartial_muphipartial_nuphi frac 12 m2phi2right 6pt int mathrm dD1 x mathrm d t left frac 12partial_tphi2 frac 12deltaijpartial_iphi partial_jphi frac 12 m2phi2right end align 其中 mathcal L 稱作拉格朗日密度；rm d41 xequiv rm d xcdot rm d ycdot rm d zequiv rm d x1cdot rm d x2cdot rm d x3 表示三個空間座標；delta_ij 是克羅內克 δ 函式；partial_rhopartialpartial xrho 表示第 rho 個座標 xrho。 這是二次作用量的一個例子，因為每項都是場的二次項。與 m2 成比例的項有時稱作質量項，這是因為它在量子化版本中被解作粒子質量。 理論的運動方程由極限化上述作用得到，形式如下，與呈線性關係： etamunupartial_mupartial_nuphim2phipartial2_tphinabla2phim2phi0 其中2 是拉普拉斯運算元。這就是克萊因 戈爾登方程，被解釋為經典場方程，而非量子力學波動方程。 非線性（相互作用）理論 上述線性理論最常見的推廣是在拉格朗日量中加入標量勢 V Phi，通常除了質量項之外，V 還是 Phi 的多項式。這種理論有時被稱作相互作用理論，因為尤拉 拉格朗日方程現在是非線性的，意味著自相互作用。最一般的此類理論的作用量是 begin align mathcal S int mathrm dD1 x mathrm d t mathcal L 3pt int mathrm dD1 x mathrm d t left frac 12etamunupartial_muphipartial_nuphi V phi right 3pt int mathrm dD1 x mathrm d t left frac 12partial_tphi2 frac 12deltaijpartial_iphipartial_jphi frac 12 m2phi2 sum_n3infty frac 1n g_nphin right end align 如下所述，在量子理論的費曼圖展開中，引入 n 因子是有用的。 相應的尤拉 拉格朗日方程是 etamunu partial_mu partial_nuphi Vphi partial2_t phi nabla2 phi Vphi 0 維度分析與縮放 這些標量場論中的物理量可能具有長度、時間或質量維度，或三者的某種組合。 不過，相對論中，任何具有時間維度的量 t 都可用光速 c 輕易轉換為長度 lct；任何長度 l 也可由普朗克常數 hbar 表示為 hbarlmc。自然單位制中，可以將時間看做長度，將它們看做質量的倒數。 總之可以認為，任何物理量的維度都由一個獨立的維度定義，而非由所有三個維度定義，這通常稱為物理量的質量維。知道了每個量的維度，就可從自然單位表示式中唯一地恢復常規維度，重新插入維度一致所需的 hbar 與 c 的冪即可。 可以預想反對意見：這理論是經典理論，因此普朗克常數的地位不明顯。我們確實可以無質量維地重構它，但這會稍微模糊語量子標量場的關係。鑑於有質量維，普朗克常數這裡被認為是本質上隨機地固定的作用參考量（不一定與量子化有關），於是其維度適於在質量和逆長度之間轉換。 縮放維度 的經典縮放維度或質量維度描述了座標縮放變換下的場變換： xrightarrowlambda x phirightarrowlambdaDeltaphi 作用量單位與的單位相同，因此作用量本身的質量維為零。這就將場的縮放維度固定為 Delta frac D22 標度不變性 某些標量場論在某種意義上是標度不變的。雖然上述作用都被構造為零質量維，但並非所有作用都在縮放變換 xrightarrowlambda x phirightarrowlambdaDeltaphi 下不變。 並非所有作用量都不變，這是因為人們常把引數 m、g_n 視作定值，在上述變換下不變。因此，標量場論具有標度不變性的條件非常明顯：作用量的所有引數都應是無量綱量。 即，標度不變理論就是沒有任何固定尺度的理論。 對 D 維時空的標量場論，唯一的無量綱引數 g_n 滿足 nfrac 2DD2。例如，D4 維時空中，只有 g_4 是經典無量綱的，因此 D4 時空中唯一經典標度不變的標準標量場論是無質量的 4 理論。 不過，由於涉及重整化群，經典標度不變通常不意味著量子標度不變，詳見下文貝塔函式的討論。 共形不變性 變換 xrightarrow tilde xx 若對某函式 lambda x，滿足 frac partialtilde xmupartial xrhofrac partialtilde xnupartial xsigmaeta_munulambda2 xeta_rhosigma 則稱作共形的。 共形群包含度量 eta_munu 的等距子群（龐加萊群），以及上文提到的標度變換（或標度不變性）。事實上，前述標度不變理論也是共形不變的。 4 理論 4 理論說明了標量場論中的許多有趣現象。拉格朗日密度為 mathcal Lfrac 12partial_tphi2 frac 12deltaijpartial_iphipartial_jphi frac 12 m2phi2frac g4phi4 自發對稱破缺 這拉格朗日量在變換 varphitovarphi 下有 mathbb Z_2 對稱性。這是內部對稱性的一個例子，與時空對稱性不同。 若 m2 為正，勢 V phifrac 12 m2phi2 frac g4phi4 在原點有單一極小值。解 varphi0 在 mathbb Z_2 對稱下顯然是不變的。 反之，若 m2 為負，則很容易看到勢 V phifrac 12 m2phi2frac g4phi4 有兩個極小值。這就是所謂雙阱勢，這種理論中，最低能態（量子場論稱作空穴）在 mathbb Z_2 對稱下並不是不變的（實際上會將兩個空穴對映到對方）。這時，mathbb Z_2 對稱發生自發破缺。 扭狀解 具有負 m2 的 4 理論也有扭狀解（kink solution），是孤波的典型例子。這種解的形式為 phi vec x t pmfrac m2sqrt frac g4tanhleft frac m x x_0sqrt 2right 其中 x 是空間變數之一（、t 及其他空間變數彼此無關）。解在雙阱勢的兩個不同空穴之間插值。若沒有能量無窮大的解，就無法將扭變形為恆定解，因此扭狀解也稱作穩定解。對 D2（即具有多個空間維度的理論），這種解稱作疇壁（domain wall）。 另一個具有扭狀解的標量場論的著名例子是正弦 戈爾登方程理論。 復標量場論 在復標量場論中，標量場在複數中取值。復標量場表示自旋為零的粒子和帶點和的反粒子。通常考慮的作用形式為 mathcal Sint mathrm dD1 x mathrm d t mathcal L int mathrm dD1 x mathrm d t left etamunupartial_muphipartial_nuphi V phi2right 具有 U 1 對稱性，等價於 O 2 對稱性，對場空間的作用是旋轉 phirightarrow eialphaphi，相角為實數。 而實標量場，若 m2 為負，就會發生自發對稱破缺。這產生了戈德斯通的墨西哥帽勢，是實標量場的雙阱勢繞 V phi 軸旋轉 2π 弧度。對稱性破缺發生在更高維度，即空穴的選擇，打破了連續的 U 1 對稱性，而非離散的。標量場的兩分量被重構為大規模模型（massive mode）與無質量戈德斯通玻色子。 O N 理論 可用兩個實場表示復標量場論：varphi1rm Revarphi varphi2rm Imvarphi，在 U 1 O 2 內部對稱的向量表示下進行變換。雖然這些場在內部對稱下轉換為向量，但仍是洛倫茲標量。 這可以推廣到在 O N 對稱的向量表示下變換的 N 個標量場。O N 不變的標量場論的拉格朗日量通常是以下形式的： mathcal Lfrac 12etamunupartial_muphicdotpartial_nuphi V phicdotphi 內積需要是適當 O N 不變的。該理論也可用復向量場表示，即 forallphiinComplexn，這時對稱群是李群 SU N。 規範場耦合 標量場論以一種規範不變的方式與楊 米爾斯作用耦合，就得到了超導的金茲堡 朗道方程。這理論的拓撲孤子對應超導體中的渦流；墨西哥帽勢的極小值對應超導體的階引數。 量子標量場論 本節的一般參考文獻為 Ramond Pierre 20011221 Field Theory A Modern Primer Second Edition USA Westview Press Ch 4 量子場論中，場與所有可觀測量都表示為希爾伯特空間上的量子運算元。這希爾伯特空間建立在真空態上，動力學受到量子哈密頓算符支配，是湮滅真空的正定算符。量子標量場的構造詳見正則量子化條目，依賴於場之間的正則對易關係。根本上，在標量場中作為其（解耦）簡正模組合成的經典諧振子現在以標準方式進行了量子化，於是相應的量子算符場描述了作用於相應福克空間的量子諧振子。 總之，基本變數是量子場及其正則動量。這兩個運算元值場都是厄米的。在空間點 vec X vec y、時間相等時，其正則對易關係為 begin align left phileft vec xright phileft vec yrightright left pileft vec xright pileft vec yrightright 0 left phileft vec xright pileft vec yrightright i deltaleft vec x vec yright end align 而自由哈密頓算符則與之相似， H int d3x left 1 over 2pi2 1 over 2nabla phi2 m2 over 2phi2right 空間傅立葉變換產生動量空間場 begin align widetilde phivec k int d3x eivec kcdotvec xphi vec x widetilde pivec k int d3x eivec kcdotvec xpi vec x end align 解析為湮滅與創生運算元 begin align a vec k left Ewidetilde phivec k iwidetilde pivec kright adagger vec k left Ewidetilde phivec k iwidetilde pivec kright end align 其中 E sqrt k2 m2。 運算元滿足對易關係 begin align left a vec k_1 a vec k_2right left adagger vec k_1 adagger vec k_2right 0 left a vec k_1 adagger vec k_2right 2pi3 2E delta vec k_1 vec k_2 end align 被所有運算元 a 湮滅的狀態 0rangle 稱作裸真空，對真空施加 adagger vec k 就會產生動量為 vec k 的粒子。 將所有可能創生運算元組合應用於真空，就能構建出相關的希爾伯特空間：這種構造稱作福克空間。真空由哈密頓算符 H int d3kover 2pi3frac 12 adagger vec k a vec k 湮滅，其中零點能被 Wick 排序消除。（見正則量子化） 相互作用可由相互作用哈密頓量實現。對 φ4 理論，這相當於給哈密頓量新增 Wick 有序項 g varphi44，並對 x 積分。散射振幅可用相互作用繪景中的哈密頓量計算，是由戴森級數在微擾理論中構建的，戴森級數給出了時間有序積或 n 粒子格林函式 langle 0mathcal Tphi x_1 cdots phi x_n0rangle。格林函式也可從求解施溫格 戴森方程所構建的生成函式中獲得。 費曼路徑積分 費曼圖展開也可從費曼路徑積分表述中獲得。本節的一般參考文獻是多項式的時序真空期望值，即 n 粒子格林函式，是對所有可能的場進行積分，並以無外場時的真空期望值歸一化得到的： langle 0mathcal Tphi x_1cdots phi x_n0rangle frac int mathcal Dphi phi x_1 cdots phi x_n eiint d4x left 1 over 2partialmu phi partial_mu phi m2 over 2phi2 g over 4phi4right int mathcal Dphi eiint d4x left 1 over 2partialmu phi partial_mu phi m2 over 2phi2 g over 4phi4right 所有這些格林函式都可透過擴充套件生成函式中 J xvarphi x 的指數來獲得： Z J int mathcal Dphi eiint d4x left 1 over 2partialmu phi partial_mu phi m2 over 2phi2 g over 4phi4 Jphiright Z 0 sum_n0infty frac inn J x_1 cdots J x_n langle 0mathcal Tphi x_1 cdots phi x_n0rangle 可用威克轉動將時間變為虛數。將符號變為 後，費曼積分即變為歐氏空間中的配分函式： Z J int mathcal Dphi eint d4x left 1 over 2nablaphi2 m2 over 2phi2 g over 4phi4 Jphiright 通常，這適於定動量粒子的散射，這時傅立葉變換往往有用，可得 tilde Ztilde Jint mathcal Dtildephi eint d4p over 2pi4 left 1over 2p2m2tildephi2tilde Jtildephig over 4int d4p_1 over 2pi4d4p_2 over 2pi4d4p_3 over 2pi4delta pp_1p_2p_3tildephi ptildephi p_1tildephi p_2tildephi p_3right 其中 delta x 是狄拉克 δ 函式。 評估這泛函積分的標準技巧是將其寫成指數因子之積，即 tilde Ztilde Jint mathcal Dtildephi prod_p left ep2m2tildephi22 eg4int d4p_1 over 2pi4d4p_2 over 2pi4d4p_3 over 2pi4delta pp_1p_2p_3tildephi ptildephi p_1tildephi p_2tildephi p_3 etilde Jtildephiright 後兩個指數因子可展開為冪級數，這種展開的組合可用四次相互作用的費曼圖表示。 g 0 的積分可視作無窮多基本高斯積分之積：結果可用費曼圖之和表示，計算時使用以下費曼法則： n 點歐氏格林函式中的每個場 simvarphi p 都由圖中的一條外線（半邊）表示，並與動量 p 相關聯。 每個頂點用因子g 表示。 在給定階 gk 時，所有具有 n 條外線和 k 個頂點的圖都是這樣構造的：流入頂點的動量均為零。每條內線表示為傳播子 1 q2m2，其中 q 是流經線的動量。 任何無約束動量都對所有值積分。 結果除以對稱性係數，即在不改變連通性的前提下，重排圖的線與頂點的方式數。 不包括函 真空泡 的圖，即無外線的聯通子圖。 最後一條規則考慮了除以 sim Z 0 的影響。閔氏空間的費曼法則與此類似，只是頂點用ig 表示，內線用傳播子 iq2m2ivarepsilon 表示，varepsilon 項代表使 閔氏空間高斯積分收斂的微小威克旋轉。 重整化 費曼圖中對無約束動量的積分（稱為 環路積分，loop integral）通常會發散。這一般用重整化處理，即在拉格朗日量中加入發散的相反項，從而使原拉格朗日量和反項構建的圖收斂。See the previous reference or for more detail 這過程中必須引入重整化標度， 耦合常數與質量都取決於它。 耦合常數 g 在標度 lambda 上的依賴由 β 函式 beta g 編碼，定義是 beta g lambdafrac partial gpartial lambda 這種對能量標度的依賴稱作 耦合引數的執行，量子場論中這種系統標度依賴的理論由重整化群描述。 β 函式通常用近似方法計算，最常見的是微擾理論，即假定耦合常數很小。然後，便可以對耦合引數進行冪級數展開，並截去高階項（也稱為高環貢獻。與相應費曼圖的環數有關）。 4 理論的一環 β 函式（第一微擾貢獻）是 beta g frac 316pi2 g2 Oleft g3right 最低階項前面的符號為正，表明耦合常數隨著能量增加。這種行為在大規模耦合時若也存在，將表明在有限能量下存在朗道極點，是由量子平凡性引起的。然而，這問題只能以非微擾形式回答，因為涉及強耦合。 當由 β 函式計算得重整化耦合在紫外截止被移除後歸零時，稱相應的量子場論是平凡的。這樣，傳播子變成了自由粒子的，場不再相互作用。 Michael Aizenman 證明，在時空維度 D 5 的情形下，4 相互作用理論是平凡的。 對 D 4，平凡性尚未得到嚴格證明，但晶格計算為此提供了有力證據。這一事實非常重要，因為量子平凡性可用於約束、甚至預測希格斯玻色子質量等量的引數。這也可以導致在漸進安全情形下的可預測希格斯玻色子質量。 另見 重整化 量子平凡性 標量電動力學 腳註 參考文獻 外部連結 The Conceptual Basis of Quantum Field Theory Click on the link for Chap 3 to find an extensive simplified introduction to scalars in relativistic quantum mechanics and quantum field theory Category 量子場論 Category 數學物理 Category 理論物理