在量子力學（以及量子計算、量子資訊）中，弱測量是一種量子測量，其觀察者平均來說只獲得很少的有關係統的資訊，但對狀態的干擾也很小。根據的定理可知，系統必然會受到測量的干擾。在文獻中，弱測量也被稱為不清晰（unsharp）、模糊（fuzzy） 、遲鈍（dull） 、噪聲式（noisy） 、漸進（approximate）或平和（gentle）的測量。此外，弱測量常常與一個不同但相關的概念「弱值」相混淆。 歷史 弱測量最初是在量子系統的弱連續測量（即量子濾波和量子軌跡）的背景下考慮的。連續量子測量的物理學如下。考慮使用一個輔助系統（例如場或電流）來探測量子系統，系統和探測器之間的相互作用使兩者相互關聯。通常，相互作用僅使系統與輔助系統具有弱關聯（具體而言，相互作用么正運算元僅需微擾展開到一階或二階）。透過測量輔助系統並利用量子測量理論，可以確定基於測量結果的系統狀態。為了實現有效的測量，必須耦合進多個輔助系統並測量。在極限情況下，存在一系列輔助系統，使得測量過程可以在時間上是連續的。這一過程首先由以下學者表述：Michael B Mensky Viacheslav Belavkin Alberto Barchielli L Lanz GM Prosperi Barchielli Carlton Caves Caves Gerald J Milburn 後來 Howard Carmichael 和 Howard MWiseman 也為該領域做出了重要貢獻。 弱測量的概念經常被錯誤地歸於 Yakir Aharonov 、 David Albert 和 Lev Vaidman 。在他們的文章中，他們考慮了一個弱的測量的例子（也許也撞上了 弱測量 這個短語），並以此作為動機來定義弱值（他們在此首次定義了弱值）。 數學表述 對於弱測量，尚無普遍接受的定義。一種方法是將弱測量宣告為這樣一種廣義測量，其克勞斯運算元中的一些或全部接近於恆等運算元。下面採用的方法是使兩個系統發生弱相互作用，然後測量其中一個系統。詳細介紹這種方法之後，我們將透過示例進行說明。 弱相互作用和輔助耦合測量 考慮一個系統，其初始的量子態為 psirangle ，同時輔助系統處於 phirangle ，聯合的初始狀態則為 Psirangle psirangle otimes phirangle 。這兩個系統依照哈密頓運算元 H A otimes B 相互作用，其生成的時間演化運算元 U t exp ixtH （取 hbar 1 的單位制）， 其中 x 是 相互作用強度 且具有時間倒數的量綱。假設相互作用時間固定為 t Delta t 且 lambda x Delta t 很小以至於 lambda3 approx 0 。 U 關於 lambda 的級數展開給出 begin align U I otimes I ilambda H frac 1 2 lambda2 H2 O lambda3 approx I otimes I ilambda A otimes B frac 1 2 lambda2 A2 otimes B2 end align 由於在微擾論中只需要將么正運算元展開到低階，所以稱其為一個弱的相互作用。此外，么正運算元的主要部分是恆等運算元，因為 lambda 和 lambda2 很小，這意味著相互作用後的狀態與初始狀態並沒有太多區別。相互作用後系統的聯合狀態為 Psirangle left I otimes I ilambda A otimes B frac 1 2 lambda2 A2 otimes B2right Psirangle 現在我們對輔助系統進行測量來了解系統，這稱為輔助系統耦合測量。我們將考慮（輔助系統上的）在基 qrangle 下的測量，其中 qrangle 滿足 sum_q qrangle langle q I 。兩個系統上的測量都由到聯合狀態 Psirangle 的投影運算元 Pi_q I otimes qrangle langle q 來描述。從量子測量理論可知測量後的條件狀態是 begin align Psi_qrangle frac Pi_q Psiranglesqrt langlePsi Pi_q Psirangle frac I langle qphirangle ilambda A langle q B phirangle frac 1 2 lambda2 A2 langle q B2 phiranglemathcal N psirangle otimes qrangle end align 其中 mathcal N sqrt langlePsi Pi_q Psirangle 是歸一化因子。注意輔助系統狀態記錄了測量的結果。 M_q I langle qphirangle ilambda A langle q B phirangle frac 1 2 lambda2 A2 langle q B2 phirangle 是系統的希爾伯特空間上的運算元，稱為克勞斯運算元。 在這些克勞斯運算元對應的測量後，聯合系統的狀態為 Psi_qrangle frac M_q psiranglesqrt langle psiM_qdagger M_qpsirangle otimes qrangle 運算元 E_q M_qdagger M_q 是所謂的正運算元測量的元素，其須滿足 sum_q E_q I 從而使得相應的機率之和為一： sum_q Pr qpsi sum_q langlepsi E_q psirangle 1 。由於輔助系統不再關聯於主系統，它只是記錄測量的結果，我們可以跡掉它。這做法將給出主系統本身的條件狀態： psi_qrangle frac M_q psiranglesqrt langle psiM_qdagger M_qpsirangle 這裡仍用 q 標記測量結果。事實上，這些考慮使得人們得以匯出量子軌跡。 克勞斯運算元示例 我們將使用 Barchielli Lanz Prosperi 以及 Caves Milburn 給出的高斯型克勞斯運算元的典型例子。取 H x otimes p ，其中兩個系統的位置和動量運算元滿足通常的正則對易關係 x p i 。取輔助系統的初態為一高斯分佈 Phirangle frac 12pisigma214 int dq exp q24sigma2 qrangle 輔助系統的位置波函式為 Phi q langle qPhirangle frac 12pisigma214 exp q24sigma2 前文的克勞斯運算元（在前文的表示式中取 lambda 1 ）為 begin align M q langle q exp ix otimes p Phirangle frac 12pisigma214 exp q x24sigma2 end align 而相應的正運算元測量的元素是 begin align E q M_qdagger M_q frac 1sqrt 2pisigma2 exp q x22sigma2 end align 且服從 int dq E q I 。在文獻中經常能看到另一種表現形式。使用位置運算元的譜表示 x int xdx xrangle langle x ，有 begin align M q frac 12pisigma214 int dx exp q x24sigma2 xrangle langle x E q frac 1sqrt 2pisigma2 int dx exp q x22sigma2 xrangle langle x end align 注意 lim_sigma to 0 E q x qrangle langle x q 。也就是說，在特定的極限下，這些運算元趨於對位置的強測量；對於 sigma 的其他值，這種測量則稱為是有限強度的；對於 sigma to infty 的極限情況，則說測量是弱的。 資訊獲取與狀態擾動的得失交換 如前所述，Busch 的定理阻止了免費午餐的出現：沒有對態的擾動就無法取得資訊。然而，資訊獲取和態的擾動間的得失交換已被許多作者刻畫，其中包括 CA Fuchs 和 Asher Peres Fuchs Fuchs KA Jacobs K Banaszek 最近，人們在所謂的 溫和測量引理 的語境下檢驗了資訊獲取與態的擾動間的交換關係。 應用 從很早以前就已經很清楚，弱測量的主要用途是用於量子系統的反饋控制或自適應測量。事實上，這是 Belavkin 大部分工作的動機，而 Caves 和 Milburn 也給出了一個明確的例子。自適應弱測量的一個早期應用是，該接收器已在實驗上實現。弱測量的另一個有趣的應用是使用弱測量，然後跟一個么正運算元（可能依賴於弱測量的結果）來合成其他廣義測量。 Wiseman 和 Milburn 的書是關於許多現代發展的良好參考資料。 延伸閱讀 Brun 的文章 Jacobs 和 Steck 的文章 Tamir 和 Cohen 的文章 參考資料 Category 量子測量 Category 量子資訊科學