經典力學是物理學描述宏觀物體運動的分支。是最熟悉的物理學理論。涵蓋如常用和已知的加速度和力。本列表基於具固定軸的三維歐幾裡得空間參考系。三軸的交點稱為此空間的原點。 經典力學概念包括微分方程、流形、李群和遍歷理論。各種物理量相互關聯。本列表總結了其中最重要的內容。 本文列出了牛頓力學的方程，有關經典力學（包括拉格朗日力學和哈密頓力學）的更一般公式，請參閱分析力學。 經典力學 質量與慣量 通用名 通用符號 定義 國際單位制 量綱 線 表面 體積質量密度 λ 或 μ 用於線密度（μ 主要用在聲學），σ 用於表面，ρ 用於體積。 m int lambda mathrm d ell m iint sigma mathrm d S m iiint rho mathrm d V kg mn n 1 2 3 M Ln 質量矩 m （沒有通用符號） 點質量： mathbf m mathbf r m 相對固定軸 x_i 的離散質量： mathbf m sum_i1N mathbf r_i m_i 相對固定軸 x_i 的連續質量： mathbf m int rho left mathbf r right x_i mathrm d mathbf r kg m M L 質心 rcom （符號不一定） 第 i 個質量 mathbf m_i mathbf r_i m_i 離散質量： mathbf r_mathrm com frac 1M sum_i mathbf r_i m_i frac 1M sum_i mathbf m_i 連續質量： mathbf r_mathrm com frac 1M int mathrm dmathbf m frac 1M int mathbf r mathrm d m frac 1Mint mathbf r rho mathrm d V m L 二體約化質量 m12 μ m1 and m2 mu frac m_1 m_2m_1 m_2 kg M 轉動慣量（MOI） I 離散質量： I sum_i mathbf m_i cdot mathbf r_i sum_i left mathbf r_i right 2 m 連續質量： I int left mathbf r right 2 mathrm d m int mathbf r cdot mathrm d mathbf m int left mathbf r right 2 rho mathrm d V kg m2 M L2 導出的運動學物理量 通用名 通用符號 定義 國際單位制 量綱 速度 v mathbf v frac mathrm d mathbf rmathrm d t m s1 L T1 加速度 a mathbf a frac mathrm d mathbf vmathrm d t frac mathrm d2 mathbf rmathrm d t2 m s2 L T2 加加速度 j mathbf j frac mathrm d mathbf amathrm d t frac mathrm d3 mathbf rmathrm d t3 m s3 L T3 s mathbf s frac mathrm d mathbf jmathrm d t frac mathrm d4 mathbf rmathrm d t4 m s4 L T4 角速度 ω boldsymbol omega mathbf hat n frac mathrm d theta mathrm d t rad s1 T1 角加速度 α boldsymbol alpha frac mathrm d boldsymbol omegamathrm d t mathbf hat n frac mathrm d2 thetamathrm d t2 rad s2 T2 角加加速度 ζ boldsymbol zeta frac mathrm d boldsymbol alphamathrm d t mathbf hat n frac mathrm d3 thetamathrm d t3 rad s3 T3 導出的動力學物理量 通用名 通用符號 定義 國際單位制 量綱 動量 p mathbf p mmathbf v kg m s1 M L T1 力 F mathbf F mathrm d mathbf pmathrm d t N kg m s2 M L T2 衝量 J Δp I mathbf J Delta mathbf p int_t_1t_2 mathbf F mathrm d t kg m s1 M L T1 相對一點 r0 的角動量 L J S mathbf L left mathbf r mathbf r_0 right times mathbf p 若各質點的旋轉軸均相交在同一點，可以設定 r0 0。 kg m2 s1 M L2 T1 力相對一點 r0 的力矩 τ M boldsymbol tau left mathbf r mathbf r_0 right times mathbf F frac mathrm d mathbf Lmathrm d t N m kg m2 s2 M L2 T2 角衝量 ΔL （沒有通用符號） Delta mathbf L int_t_1t_2 boldsymbol tau mathrm d t kg m2 s1 M L2 T1 一般能量定義 通用名 通用符號 定義 國際單位制 量綱 合力産生的功 W W int_C mathbf F cdot mathrm d mathbf r J N m kg m2 s2 M L2 T2 力學系統所作的功 WON WBY Delta W_mathrm ON Delta W_mathrm BY J N m kg m2 s2 M L2 T2 勢能 φ Φ U V Ep Delta W Delta V J N m kg m2 s2 M L2 T2 機械功率 P P frac mathrm d Emathrm d t W J s1 M L2 T3 每一個保守力都有對應的勢能。根據以下二個原理，可以設定勢能 U 的值： 保守力為零的時候，勢能也定義為零。 保守力作功時，勢能減少。 廣義力學 通用名 通用符號 定義 國際單位制 量綱 廣義座標 q Q 不一定 不一定 廣義速度 dot qdot Q dot qequiv mathrm d qmathrm d t 不一定 不一定 廣義動量 p P p partial L partial dot q 不一定 不一定 拉格朗日量 L L mathbf qmathbf dot qt T mathbf dot q V mathbf qmathbf dot qt 其中 mathbf q mathbf qt 以及 p p t 分別是廣義座標以及動量的向量，是時間的函式。 J M L2 T2 哈密頓量 H H mathbf pmathbf qt mathbf pcdotmathbf dot q L mathbf qmathbf dot qt J M L2 T2 作用量，哈密頓主函式 S scriptstyle mathcal S mathcal S int_t_1t_2 L mathbf qmathbf dot qt mathrm d t J s M L2 T1 運動學 在以下轉動的定義中，角度是對應轉動軸的位意角度。一般常用 θ，不過不一定要是極座標下的極角。單位軸向量 mathbf hat n mathbf hat e_rtimesmathbf hat e_theta 定義轉動軸 scriptstyle mathbf hat e_r 為方向上的單位向量， scriptstyle mathbf hat e_theta 是和角呈切線的單位向量。 平移 轉動 速度 平均： mathbf v_mathrm average Delta mathbf r over Delta t 瞬時： mathbf v dmathbf r over dt 角速度 boldsymbol omega mathbf hat nfrac rm d thetarm d t 轉動剛體： mathbf v boldsymbol omega times mathbf r 加速度 平均： mathbf a_mathrm average frac Deltamathbf vDelta t 瞬時： mathbf a frac dmathbf vdt frac d2mathbf rdt2 角加速度 boldsymbol alpha frac rm d boldsymbol omegarm d t mathbf hat nfrac rm d2 thetarm d t2 轉動剛體： mathbf a boldsymbol alpha times mathbf r boldsymbol omega times mathbf v 加加速度 平均： mathbf j_mathrm average frac Deltamathbf aDelta t 瞬時： mathbf j frac dmathbf adt frac d2mathbf vdt2 frac d3mathbf rdt3 角加加速度 boldsymbol zeta frac rm d boldsymbol alpharm d t mathbf hat nfrac rm d2 omegarm d t2 mathbf hat nfrac rm d3 thetarm d t3 轉動剛體： mathbf j boldsymbol zeta times mathbf r boldsymbol alpha times mathbf a 動力學 平移 轉動 動量 mathbf p mmathbf v 針對轉動剛體： mathbf p boldsymbol omega times mathbf m 角動量 mathbf L mathbf r times mathbf p mathbf I cdot boldsymbol omega 此外積為贗向量，若 r 和 p 都反向（變號），L 不會變號。 一般來說，I 是二維張量，表示。 力和牛頓第二運動定律 作用在系統質心上的合力，等於動量的變化率： begin align mathbf F frac dmathbf pdt frac d mmathbf vdt mmathbf a mathbf vfrac rm d mrm d t end align 針對許多質點的系統，質點 i 的運動方程式為：Relativity JR Forshaw 2009 frac mathrm dmathbf p_imathrm d t mathbf F_E sum_i neq j mathbf F_ij 其中 pi 是第 i 個質點的動量，Fij，是粒子 j 作用在粒子 i 上的力，FE 是合外力（來自系統以外的物體）。粒子 i 不會產生給自身的力。 力矩 力矩（torque）τ 也稱為 moment of a force，是轉動系統中對應力的物理量：Mechanics D Kleppner 2010 boldsymbol tau frac rm dmathbf Lrm d t mathbf rtimesmathbf F frac rm dmathbf I cdot boldsymbol omegarm d t 若是剛體，牛頓第二轉動定律的形式類似平移運動下的形式： begin align boldsymbol tau frac rm dmathbf Lrm d t frac rm dmathbf Icdotboldsymbol omegarm d t frac rm dmathbf Irm d tcdotboldsymbol omega mathbf Icdotboldsymbol alpha end align 若針對許多質點，質點 i 的運動方程為： frac mathrm dmathbf L_imathrm d t boldsymbol tau_E sum_i neq j boldsymbol tau_ij Yank Yank 是力的變化率： begin align mathbf Y frac dmathbf Fdt frac d2mathbf pdt2 frac d2 mmathbf vdt2 1ex mmathbf j mathbf 2afrac rm d mrm d t mathbf vfrac rm d2 mrm d t2 end align 若是固定質量，會變成下式： mathbf Y mmathbf j Rotatum Ρ 也稱為 moment of a Yank，因為是是轉動系統中對應 Yank 的物理量： boldsymbol Rho frac rm dboldsymbol taurm d t mathbf rtimesmathbf Y frac rm dmathbf I cdot boldsymbol alpharm d t 衝量 衝量是動量的變化： Delta mathbf p int mathbf F dt 針對固定力 F： Delta mathbf p mathbf F Delta t Twirl 或是角衝量是角動量的變化： Delta mathbf L int boldsymbol tau dt 針對固定力矩 τ： Delta mathbf L boldsymbol tau Delta t 進動 陀螺的進動角速度為： boldsymbol Omega frac wrIboldsymbol omega 其中 w 是自旋物體的重量。 能量 系統以外事物對系統所作的機械功等於系統的動能變化： 通用功 能定理（平移及轉動） 系統以外事物，對曲線路徑 C 上的質點產生力 F（在 r 的位置）以及力矩 τ，所做成的功 W 為： W Delta T int_C left mathbf F cdot mathrm d mathbf r boldsymbol tau cdot mathbf n mathrm d theta right 其中 θ 是相對單位向量 n 所定義軸的轉動角度。 動能 物體一開始的速度為 v_0，後來的速度為 v，其動能變化為： Delta E_k W frac 12 m v2 v_02 彈性勢能 遵守胡克定律的彈簧，若一端固定，拉長後，其為 Delta E_p frac 12 k r_2r_12 其中 r2 和 r1 是彈簧未固定端，在拉長後以及拉長前的共線座標，方向是往拉長／壓縮的方向，k 是彈簧常數。 剛體運動的尤拉方程 萊昂哈德尤拉也像牛頓一様，發表了運動定律，可以參見尤拉運動定律。這些定律將牛頓運動定律擴充套件到剛體的運動上，不過本質是相同的。以下是尤拉提出新的運動方程式： mathbf I cdot boldsymbol alpha boldsymbol omega times left mathbf I cdot boldsymbol omega right boldsymbol tau 其中 I 是轉動慣量張量 通用平面運動 前面平面運動的方程可以用在此處，應用上述的定義即可推出動量、角動量等。針對在平面上路徑移動的物體。 mathbf r mathbf rt rmathbf hat e_r 以下的結果可應用在質點上。 運動學 動力學 位置 mathbf r mathbf rleft rtheta t right r mathbf hat e_r 速度 mathbf v mathbf hat e_r frac mathrm d rmathrm d t r omega mathbf hat e_theta 動量 mathbf p m left mathbf hat e_r frac mathrm d rmathrm d t r omega mathbf hat e_theta right 角動量 mathbf L m mathbf rtimes left mathbf hat e_r frac mathrm d rmathrm d t r omega mathbf hat e_theta right 加速度 mathbf a left frac mathrm d2 rmathrm d t2 romega2right mathbf hat e_r left r alpha 2 omega frac mathrm d rrm d t right mathbf hat e_theta 向心力為 mathbf F_bot m omega2 R mathbf hat e_r omega2 mathbf m 其中的 m 是質量矩（mass moment），科里奧利力為 mathbf F_c 2omega m frac rm d rrm d t mathbf hat e_theta 2omega m v mathbf hat e_theta 科里奧利加速度以及科里奧利也可以寫成： mathbf F_c mmathbf a_c 2 m boldsymbol omega times v 連心力運動 針對質量較大的物體，而且因為其他物體所施加的連心力而運動，連心力只和二物體質心的距離有關，其運動方程為： frac d2dtheta2left frac 1mathbf rright frac 1mathbf r frac mumathbf r2mathbf l2mathbf Fmathbf r 定加速度運動方程 僅當加速度恆定時才能使用這些方程式。如果加速度會變化，則必須使用上面的一般微積分學方程，透過積分位置、速度和加速度的定義來找到（見上文） 。 線性運動 旋轉運動 mathbf vv_0mathbf at omega omega_0 alpha t mathbf x x_0 tfrac 12mathbf v_0v t theta theta_0 tfrac 12omega_0 omega t mathbf x x_0 mathbf v_0ttfrac 12mathbf at2 theta theta_0 omega _0 t tfrac 12 alpha t2 mathbf x_nth mathbf v_0mathbf a ntfrac 12 theta_nth omega_0alpha ntfrac 12 v2 v_02 2mathbf a xx_0 omega2 omega_02 2alpha thetatheta_0 伽利略座標系變換 在古典（伽利略 牛頓）力學裡，將物理定律從一個慣性或加速（包括旋轉）坐標系（參考坐標系是以定速移動，其中包括零速）變換到另一個坐標系的變換即為伽利略變換。 以下標示 r v a 的物理量是在坐標系 F 的位置、速度、加速度物理量，而標示 r v a 的物理量是在以相對坐標系 F 移動速度 V 或是角速度 Ω 的坐標系 F的的位置、速度、加速度物理量。相對的，F 是以相反的速度 V or Ω 相對於 F 移動。此情形類似相對加速度。 運動方式 慣性坐標系 加速坐標系 移動 V 兩個慣性坐標系 F 和 F 之間的相對定速度 A 兩個加速坐標系 F 和 F 之間的相對（變）加速度 相對位置 mathbf r mathbf r mathbf V t 相對速度 mathbf v mathbf v mathbf V 等效加速度 mathbf a mathbf a 相對加速度 mathbf a mathbf a mathbf A 假想力 mathbf F mathbf F mathbf F_mathrm app 轉動 Ω 兩個慣性坐標系 F 和 F 之間的相對定角速度 Λ 兩個加速坐標系 F 和 F 之間的相對（變）角加速度 相對角位置 theta theta Omega t 相對速度 boldsymbol omega boldsymbol omega boldsymbol Omega 等效加速度 boldsymbol alpha boldsymbol alpha 相對加速度 boldsymbol alpha boldsymbol alpha boldsymbol Lambda 假想力矩 boldsymbol tau boldsymbol tau boldsymbol tau_mathrm app 轉動 Ω 兩個慣性坐標系 F 和 F 之間的相對定角速度 Λ 兩個加速坐標系 F 和 F 之間的相對（變）角加速度 將向量 T 轉換到旋轉座標系 frac rm dmathbf Trm d t frac rm dmathbf Trm d t boldsymbol Omega times mathbf T 將向量 T 轉換到旋轉座標系 frac rm dmathbf Trm d t frac rm dmathbf Trm d t boldsymbol Omega times mathbf T 機械諧振子 運動方程 物理情況 術語 平移方程 角方程 簡諧運動（SHM） x 橫向位移 θ 角位移 A 橫向振幅 Θ 角振幅 frac mathrm d2 xmathrm d t2 omega2 x 解： x A sinleft omega t phi right frac mathrm d2 thetamathrm d t2 omega2 theta 解： theta Theta sinleft omega t phi right 非受迫阻尼振動 b 阻尼常數 κ 扭轉常數 frac mathrm d2 xmathrm d t2 b frac mathrm d xmathrm d t omega2 x 0 解（見下文 ω）： xAebt2mcosleft omega right 諧振頻率： omega_mathrm res sqrt omega2 left frac b4m right 2 阻尼率： gamma bm 激發的預期壽命（Expected lifetime of excitation）： tau 1gamma frac mathrm d2 thetamathrm d t2 b frac mathrm dthetamathrm d t omega2 theta 0 解： thetaTheta ekappa t2mcosleft omega right 諧振頻率： omega_mathrm res sqrt omega2 left frac kappa4m right 2 阻尼率： gamma kappam 激發的預期壽命（Expected lifetime of excitation）： tau 1gamma 角頻率 物理情況 術語 方程 線性無阻尼非受迫簡諧振子 k 彈簧常數 m 鐘擺質量 omega sqrt frac km 線性非受迫阻尼諧振子 k 彈簧常數 b 阻尼係數 omega sqrt frac kmleft frac b2m right 2 低振幅角簡諧振子 I 相對擺動軸轉動慣量 κ 扭轉常數 omega sqrt frac kappaI 低振幅單擺 L 擺錘長度 g 重力加速度 Θ 角振幅 近似值 omega sqrt frac gL 精確值可以表示成： omega sqrt frac gL left 1 sum_k1infty frac prod_n1k left 2n1 rightprod_n1m left 2n right sin2n Theta right 機械振盪的能量 物理情況 術語 方程 簡諧運動能量 T 動能 U 勢能 E 總能量 勢能： U frac m2 left x right2 frac m left omega A right22 cos2 omega t phi 在 x A 處的最大值： U_mathrm max frac m2 left omega A right2 動能： T frac omega2 m2 left frac mathrm d xmathrm d t right 2 frac m left omega A right22sin2left omega t phi right 總能量： E T U 阻尼諧振子能源 E frac m left omega A right22 ebtm 相關條目 本構關係 力學 光學 電磁學 熱力學 聲學 艾薩克牛頓 參考資料 參考書目 Category 經典力學 經典力學