理論物理學中，拓撲弦論是弦論的一個版本，見於愛德華威滕與卡姆朗瓦法等人的論文，與威滕早期的拓撲量子場論思想相類。 概述 拓撲弦論有兩種變體：拓撲 A 模型與拓撲 B 模型。拓撲弦論的計算結果一般編碼了完整弦論中的所有全純量，其值受時空超對稱性保護。拓撲弦論中的各種計算與陳 西蒙斯理論、格羅莫夫威滕不變數、映象對稱、幾何朗蘭茲綱領等很多主題。 拓撲弦論中的運算元表示了完整弦論中保留一定超對稱的運算元的代數。拓撲弦論是由對普通弦論的世介面描述進行拓撲扭曲得到：運算元被賦予不同的自旋。這操作完全類似於拓撲場論的構建，其是一個相關的概念。因此，拓撲弦論不存在區域性自由度。 可容許時空 弦論的基本弦是 2 維曲面。每個曲面上都定義了量子場論，即 N 11 sigma 模型。這理論由從面到超流形的對映組成。從物理上講，超流形可視作時空，每個對映可視作弦在時空中的嵌入。 只有特殊的時空才能容納拓撲弦。經典地講，必須選擇一個時空，使得理論尊重額外的超對稱性，成為 N 22 sigma 模型。如果時空是凱勒流形，且 H 通量為零，則是一種特殊情形。廣義凱勒流形可以有非平凡的 H 通量。 拓撲扭曲 特殊背景上的普通弦從來都不是拓撲弦。要使其具有拓撲性，需要透過愛德華威滕於 1988 年發明的拓撲扭曲來修改 sigma 模型。需要說明的是，這些理論有兩個 U 1 對稱，即 R 對稱，洛倫茲對稱也要透過結合轉動與 R 對稱來修改。我們可以用兩種 R 對稱中的任一種，產生兩種不同的理論，即 A 模型與 B 模型。這扭曲之後，理論的作用是 BRST 精確的，因此理論沒有動力學。相反，所有觀測量都取決於構型的拓撲結構。這種理論稱作拓撲理論。 經典上，這種過程總是可能的。 量子力學中，U 1 對稱可能是微擾反常的，從而使扭曲成為不可能。例如，在 H 0 的凱勒情形中，扭曲會使 A 模型的扭曲總是可能的，但只有時空的第一陳類為 0，B 模型的扭曲才也是可能的，這意味著時空需要時卡拉比 丘流形。更一般的 22 理論有兩種復結構，當配叢的第一陳類之和為 0 時，就存在 B 模型，而陳類之差為 0 時，就存在 A 模型。在凱勒情形中，兩個復結構總是相同的，這就是為什麼 A 模型總存在。 時空的維數沒有限制，只是因為時空是廣義凱勒的，所以時空維度必須是偶數。不過，除非時空的復維度為 3，否則所有非球面世介面的相關函式都為 0，因此復維度為 3 的時空是最有趣的。這對粒子物理現象學是幸運的，因為現象學模型通常使用在 3 復維空間上緊化的物理弦論。拓撲弦論不同於物理弦論，但它們中的某些超對稱量是一致的。 物件 A 模型 拓撲 A 模型的目標空間是 6 實維的廣義凱勒時空。在凱勒時空的情況下，理論描述了兩個物件。有基本弦，包裹著兩條實維全純曲線。弦的散射的振幅只取決於時空的凱勒形式，而與復結構無關。經典上，這些相關函式由上同調環決定。量子力學的瞬子效應可以修正它們，併產生格羅莫夫威滕不變數，它測量被稱作量子上同調的變形上同調環中的上積。A 模型閉弦的弦場論也稱作凱勒引力，由 Michael Bershadsky、Vladimir Sadov 於《凱勒引力理論》（Theory of Kähler Gravity） 中提出。 此外，還有包裹著時空的拉格朗日子流形的 D2 膜，子流形的維度只有時空的一半，因此凱勒形式對子流形的拉回為 0。N 個 D2 膜的疊上的世界體理論是 A 模型開弦的弦場論，是 U N 陳 西蒙斯理論。 基本拓撲弦可能終於 D2 膜。弦的嵌入只取決於凱勒形式，膜的嵌入則完全取決於復結構。特別是，當弦終於膜時，交總是正交的，因為凱勒形式與全純 3 形式的楔積為 0。在物理弦中，這是保持構型穩定的必要條件，但在這裡，這是凱勒流形上拉格朗日量與全純迴圈的屬性。 除了拉格朗日子流形的一半維度之外，其他維度也可能存在餘迷向膜。Anton Kapustin 和 Dmitri Orlov 在一篇評論 中首次指出這些膜的存在。 B 模型 B 模型也包括基本弦，但其散射振幅完全取決於復結構，獨立於凱勒結構。特別是，它們對世介面瞬子效應不敏感，於是通常可以精確計算。映象對稱將其與 A 模型振幅聯絡起來，從而可以計算格羅莫夫威滕不變數。B 模型閉弦的弦場論稱作小平斯賓塞引力理論，由 Michael Bershadsky、Sergio Cecotti、大栗博司、卡姆朗瓦法等人在《小平斯賓塞引力理論與量子弦振幅的精確結果》（KodairaSpencer Theory of Gravity and Exact Results for Quantum String Amplitudes） 中提出。 B 模型還包括 D 1、D1、D3、D5 膜，分別包裹全純 0、2、4、6 子流形。6 子流形是時空的一個連通部分。D5 膜上的理論稱作全純陳 西蒙斯理論。拉格朗日密度是普通陳 西蒙斯理論與全純 3 0 形式的楔積，存在於卡拉比 丘情形下。低維膜上理論的拉格朗日密度可透過降維，從全純陳 西蒙斯理論中獲得。 拓撲 M 理論 具備 7 維時空的拓撲 M 理論不是拓撲弦論，因為它不包含拓撲弦。然而人們猜想 6 流形上的圓叢上的拓撲 M 理論等同於這 6 流形上的拓撲 A 模型。 尤其是，A 模型的 D2 膜提升（lift）為圓叢退化的點，或更確切地說，卡魯扎 克萊因單極。在拓撲 M 理論中，A 模型的基本弦提升為所謂 M2 膜。 一個備受關注的特例是具有 G_2 完整性的空間上的拓撲 M 理論與卡拉比 丘流形上的 A 模型。這時，M2 膜包裹著結合 3 迴圈。拓撲 M 理論猜想是在這種情形下提出的，奈傑爾希欽在《六維與七維中的 3 形式幾何》（The Geometry of ThreeForms in Six and Seven Dimensions）與《穩定形式與特殊度量》（Stable Forms and Special Metrics）中提出的函式提供了候選的低能有效作用。 這些函式被稱為 希欽泛函，拓撲弦與希欽的廣義復結構、希欽系統與 ADHM 構造等等思想密切相關。 可觀測量 拓撲扭曲 2 維世介面理論是 N 22 超對稱 sigma 模型，22 超對稱是說超對稱代數中的費米子生成子（稱作超電荷，supercharge）可以組裝成單一的狄拉克旋量，其由每個手性的兩個 MajoranaWeyl 旋量組成。這 sigma 模型被拓撲扭曲了，意味著超對稱代數中出現的洛倫茲對稱生成子將同時旋轉物理時空，並透過其中一個 R 對稱作用旋轉費米子方向。2 維 N 22 場論的 R 對稱群是 U 1 U 1，由兩個不同因子扭轉，分別產生 A、B 模型。拓撲弦論的拓撲扭曲構造由愛德華威滕於 1988 年論文中提出。 相關子（correlator）取決於什麼？ 拓撲扭曲會導致拓撲理論，因為應力 能量張量可以寫成超電荷與另一場的反交換子。由於應力 能量張量測量了作用量對度量張量的依賴性，意味著所有 Q 不變運算元的相關函式都與度量無關。從這個意義上說，該理論是拓撲的。 更廣義地說，作用量中的任何 D 項，即可表為對所有超空間積分的任意項，都是超電荷的反交換子，於是不會影響拓撲可觀測量。但更一般地說，B 模型中，任何可寫成對費米子 overlinethetapm 的座標積分的項都沒有貢獻，而 A 模型中，任何對 theta 或 overlinetheta 積分的項都沒有貢獻。這意味著，A 模型的可觀測量與超勢能（superpotential）無關（因為它可寫成對 overlinethetapm 的積分），而全純地依賴於扭曲超勢能，對 B 模型反之亦然。 對偶性 TST 之間的對偶性 許多對偶性將上述理論聯絡起來。兩映象流形上的 A、B 模型透過映象對稱聯絡起來，這被描述為 3 環面上的 T 對偶。同一流形上的 A、B 模型有人猜測透過 S 對偶聯絡在一起，意味著存在幾個新的膜，同 NS5 膜類比稱作 NS 膜，包裹著與相反理論中的原膜相同的迴圈。此外，A 模型的組合同 B 模型及其共軛之和透過一種維度減化與拓撲 M 理論相關。這裡，A、B 模型的自由度似乎不是同時可觀測的，而是具有類似於量子力學中位置與動量的關係。 全純異常 B 模型及其共軛之和出現在上述對偶性中，因為它是希欽形式主義有望描述其低能有效作用的理論。這是因為 B 模型存在全純異常，即狀態所依賴的復屬性雖然在經典上是全純的，但卻受到非全純量子修正。愛德華威滕在《弦論中的量子背景獨立性》（Quantum Background Independence in String Theory） 中指出，這種結構類似於復結構空間中發現的幾何量子化結構。一旦空間被量子化，只有一半的維度能同時維持交換性，於是自由度數量減半。減半取決於一種任意的選擇，即極化。共軛模型包含了缺失的自由度，因此透過對 B 模型及其共軛模型進行張量計算，可以重新獲得所有缺失的自由度，並消除對極化選擇的依賴。 幾何轉換 還有一些對偶性把用開弦描述的含 D 膜構型與用通量取代膜的含膜構型聯絡起來，並用丟失膜的近視距幾何（nearhorizon geometry）描述其幾何。後者由閉弦描述。 Rajesh Gopakumar 與卡姆朗瓦法在《論規範理論 幾何對應》（On the Gauge TheoryGeometry Correspondence） 中提出的 GopakumarVafa 對偶性也許是第一個這樣的對偶性。它將變形錐形上 A 模型中 3 球上的 N 個 D6 膜疊與預解錐形上 A 模型的閉弦論聯絡起來，B 場等於弦耦合常數的 N 倍。A 模型中的開弦由 U N 陳 西蒙斯理論描述，而 A 模型上的閉弦論則由凱勒引力描述。 雖說錐形被預解了（resolved），但被吹大的 2 球面面積為 0，只有 B 場（通常認為是面積的複數部分）不為 0。事實上，由於陳 西蒙斯理論是拓撲的，我們可以將變形 3 球的體積縮小為 0，從而得到與對偶理論相同的幾何。 這種對偶性的映象對偶是另一種對偶性，將 B 模型中包裹著預解錐形中 2 迴圈的膜的開弦同 B 模型中變形錐形上的閉弦相關聯。B 模型中的開弦由其所處膜上的全純陳 西蒙斯理論的維數減化描述，而 B 模型中的閉弦則由小平 斯賓塞引力描述。 與其他理論的對偶性 晶體熔化、量子泡沫與 U 1 規範理論 安德烈奧昆科夫、Nicolai Reshetikhin 與卡姆朗瓦法在論文《量子卡拉比 丘與經典晶體》（Quantum CalabiYau and Classical Crystals） 中猜想，溫度等於弦耦合常數的倒數時，量子 A 模型與經典晶體的熔化是對偶的。Amer Iqbal、Nikita Nekrasov、安德烈奧昆科夫、與卡姆朗瓦法在《量子泡沫與拓撲弦》（Quantum Foam and Topological Strings） 中解釋了這猜想，他們聲稱，熔融晶體構型的統計和等同於時空拓撲變化的路徑積分，而時空拓撲變化是由面積為弦耦合常數與 α 之積的小區域所支援的。 這樣由很多小氣泡組成的時空的構型可追溯到約翰惠勒（1964），但很少見於弦論，因為眾所周知這種構型很難精確。但在這種對偶性中，作者能用我們熟悉的拓撲扭曲 U 1 規範場論描述量子泡沫的動力學，其場強與 A 模型的凱勒形式呈線性關係。這尤其表明，A 模型的凱勒形式應是量子化的。 應用 A 模型拓撲弦論的振幅可用於計算 4、5 維中的 N2 超對稱規範場論的預勢（prepotential）。拓撲 B 模型的振幅（帶通量和 或膜）則用於計算 4 維中 N1 超對稱規範場論的超勢能。A 模型的微擾計算也計數了 5 維中旋轉黑洞的 BPS 態。 另見 量子拓撲 拓撲缺陷 拓撲熵 拓撲序 拓撲量子場論 拓撲量子數 M 理論入門 參考文獻 Topological string theory on arxivorg Category 數學物理 Category 弦理論