數學中，層上同調是運用同調代數分析拓撲空間上層的全域性截面的領域。廣義地說，層上同調描述了幾何問題能在區域性解決時，全域性解決問題遇到的障礙。層上同調的核心著作是亞歷山大格羅滕迪克 1957 年發表在《東北數學雜誌》上的論文。 English translation 層、層上同調與譜序列是讓勒雷在奧地利戰俘營 Oflag XVIIA 中提出的。勒雷在 1940 年到 1945 年與其他人在集中營組織了 獄中大學。 1950 年代，勒雷的定義得到了簡化與澄清。很明顯，層上同調不僅是代數拓撲中一種新的上同調方法，也是復解析幾何與代數幾何中一種強有力的方法。這些課題通常涉及構建具有特定區域性性質的全域性函式，層上同調非常適合。黎曼 羅赫定理、霍奇定理等很多早期結果都透過層上同調得到推廣或有了更好理解。 定義 拓撲空間 X 上阿貝爾群的層範疇是阿貝爾範疇，因此問層的態射 f Bto C 是單態射還是滿態射的問題有意義。答案之一是：對 X 中每個點 x，當且僅當相關的莖上同態 B_xto C_x 是單射（或滿射），f 才是單射（或滿射）。由此可知，對 X 中每個開集 U，當且僅當 U 上截面的同態 B Uto C U 是單射時，f 才是單射。而滿射則更微妙：對 X 中每個開集 U、U 上 C 的每個截面 s 與 U 中每一點 x，當且僅當存在 U 中 x 的開鄰域 V 使限制於 V 的 s 是 V 上某截面 B 的像（即：C 的每個截面都區域性提升到 B 的截面），f 才是滿射。 於是問題來了：給定層的滿射 Bto C 與 X 上 C 的截面 s，s 滿足什麼條件時是 B 在 X 上某截面的像？這是幾何中各種區域性與全域性問題的模型。層上同調給出了令人滿意的一般答案：令 A 是滿射 Bto C 的核，給定 X 上層的短正合列 0to Ato Bto Cto 0 則有阿貝爾群長正合列，稱作層上同調群： 0to H0 XA to H0 XB to H0 XC to H1 XA to cdots 其中 H0 X A 是 X 上 A 的全域性截面群 A X。例如，若群 H1 X A 為零，則此正合列可以說明，C 的每個全域性截面都提升到 B 的全域性截面。更一般地，正合列使高階上同調群的知識成為理解層截面的基本工具。 亞歷山大格羅滕迪克對層上同調的定義已成為標準定義，使用的是同調代數的語言。其要點是，固定拓撲空間 X，將上同調看做 X 上阿貝爾群層對映到阿貝爾群的函子。更精確地說，從 X 上阿貝爾群層到阿貝爾群的函子 Emapsto E X 開始。這是左正合函子，但一般不是右正合的。那麼，群 Hi X E（i 是整數）可定義為函子 Emapsto E X 的匯出函子，這樣 i 0 時，Hi X E 自動為零，H0 X E 是全域性截面群 E X。上述長正合列也是直接的。 任何拓撲空間 X 上阿貝爾群層範疇都有足量單射，即對層 E，都有具備 Eto I 的單射層 I。匯出函子的定義運用了這一點。由此可見，層 E 都有單射消解： 0to Eto I_0to I_1to I_2to cdots 則，層上同調群 Hi X E 是阿貝爾群鏈復形上同調群（同態的核模了前一個的像）： 0to I_0 X to I_1 X to I_2 Xto cdots 同調代數中的標準論證表明，這些上同調群獨立於 E 的單射消解的選擇。 此定義很少直接用於計算層上同調，不過還是很強大的，因為具有很強的一般性（任何拓撲空間上阿貝爾群的任何層），且很容易隱含層上同調的形式屬性，如上述長正合列。對特定類別的空間或層，有很多計算層上同調的工具，下詳。 函子性 對拓撲空間的任意連續對映 f Xto Y、Y 上阿貝爾群任何層 E，對任何整數 j 都有拉回同態 fcolon Hj YE to Hj XfE 其中 fE 表示拉回層。若 f 是 Y 的子空間 X 的含入，fE 是 E 到 X 的限制，通常就只稱作 E，截面 s 的 Y 到 X 的拉回稱作限制 s_X。 拉回同態在邁爾維托里斯正合列有應用，這是一個重要的計算結果。即，設 X 是拓撲空間，是兩開子集 U、V 的並，且令 E 是 X 上的層，則有阿貝爾群的長正合列： 0to H0 XE to H0 UEoplus H0 VE to H0 Ucap V E to H1 XE to cdots 常係數層上同調 對拓撲空間 X 與阿貝爾群 A，常層 A_X 是值在 A 中的區域性常值函式的層。具有常係數的層上同調群 Hj XA_X 通常簡寫為 Hj XA，除非這會導致與奇異上同調之類相混。 對連續對映 f Xto Y 與阿貝爾群 A，拉回層 fA_Y 同構於 A_X。因此，拉回同態使得常係數層上同調變為拓撲空間到阿貝爾群的反變函子。 對任意空間 X、Y 與任意阿貝爾群 A，X 到 Y 的兩同倫對映 f、g 在層上同調上匯出相同的同態： fg Hj YAto Hj XA 由此可見，兩同倫等價空間有同構的常係數層上同調。 令 X 是仿緊豪斯多夫空間，是區域性可收縮空間，甚至在弱意義上，點 x 的開鄰域 U 都包含 x 的開鄰域 V，使得含入 Vto U 同倫於常值對映。則，x 的奇異上同調群（係數在阿貝爾群 A 中）同構於常係數層上同調 HX A_X。例如，對 X 是拓撲流形或 CW 復形的情形，這一點是成立的。 因此，很多常係數層上同調的許多基本計算與奇異上同調的計算相同，球面、射影空間、環面與曲面的上同調見餘調 例子。 對任意拓撲空間，奇異上同調與層上同調（常係數）可能是不同的，H0 也可能發生：H0 X Z 是 X 的路徑分量集到整數 Z 的函式群的奇異上同調，而層上同調 H0 X Z_X 是 X 到 Z 的區域性常值函式群層上同調。例如，當 X 是康托爾集時，情形就不同了。事實上，在這種情況下，層上同調 H0 X Z_X 是可數阿貝爾群，而奇異上同調 H0 X Z 是 x 到 Z 所有函式的群，其勢為 22aleph_0 對仿緊豪斯多夫空間 X、X 上阿貝爾群的任意層 E，上同調群 Hj X E 對大於 X 的拓撲維數的 j 都是零（對奇異上同調來說在一般情形下不成立，例如有歐氏空間 R3 的緊子集，其在無限多度上具有非零的奇異上同調）。拓撲維數與拓撲流形或 CW 復形的通常維度概念一致。 弛層與軟層 拓撲空間 X 上阿貝爾群的層 E 若對 forall j0 Hj X E0，則稱作無環的（acyclic）。根據層上同調的長正合列，任何層的上同調都可從 E 的任何無環消解（而非單射消解）計算得來。單射層是無環的，但對計算來說，有其他無環層的例子很有用。 X 上層 E，若 E 在 X 某開子集上的每個截面都延伸到 E 在 X 全體上的某截面，就稱 E 是弛（英語：flabby，法語：flasque）的。弛層無環。Godement 透過任何層上的規範弛消解，定義了任何層的層上同調。由於弛層無環，Godement 的定義與上述層上同調定義一致。 仿緊豪斯多夫空間 X 上的層 E，若 E 到 X 閉子集的限制的每個截面都延伸到 E 在 X 全體上的某截面，就稱 E 是軟的。軟層無環。 軟層的一些例子如仿緊豪斯多夫空間上實值連續函式層、光滑流形上光滑（Cinfty）函式層。更一般地，交換環軟層上的模層還是軟的，例如光滑流形上向量叢的光滑截面層是軟的。 例如，這些結果形成了德拉姆定理證明的一部分。對光滑流形 X，龐加萊引理指出，德拉姆復形是常層 R_X 的消解： 0tomathbf R_XtoOmega0_XtoOmega1_Xtocdots 其中 Omega_Xj 是光滑 j 形式的層，對映 Omega_Xjto Omega_Xj1 是外微分 rm d。根據上面的結果，層 Omega_Xj 是軟的，因此是無環的。可知，X 的實係數層上同調同構於 X 的德拉姆上同調，後者定義為實向量空間復形的上同調： 0to Omega0_X XtoOmega1_X Xtocdots 德拉姆定理的另一部分是識別 X 的實係數層上同調、奇異上同調；如上所述，這在更大的推廣上成立。 切赫上同調 切赫上同調是層上同調的近似，常用於計算。即，令 mathcal U 為拓撲空間 X 的開覆蓋，令 E 為 X 上阿貝爾群的層。記覆蓋中的開集為 U_i，其中 i 屬於集合 I，且 I 的順序固定，則切赫上同調 Hj mathcal UE 可定義為有 j 個群的阿貝爾群顯式復形的上同調： Cj mathcal UEprod_i_0cdotsi_j E U_i_0capcdotscap U_i_j 有自然同構 Hj mathcal UEto Hj XE，因此切赫上同調是層上同調的近似，僅使用在開集 U_i 的有限交上的 E 的截面。 若 mathcal U 中開集的每個有限交 V 都沒有係數在 E 中的高階上同調，即對 forall j0 Hj V E0，則切赫上同調 Hj mathcal UE 到層上同調的同態是同構。 將切赫上同調與層上同調相聯絡的另一種方法如下。切赫上同調群 check Hj XE 定義為 Hj mathcal UE 在 X 所有開覆蓋 mathcal U 上的直極限（其中開覆蓋由加細排序）。有切赫上同調到層上同調的同態 check Hj XEto Hj XE，對 jle 1 是同構。對任意拓撲空間，切赫上同調與層上同調在更高的度上會有不同，但方便地說，對仿緊豪斯多夫空間上的任何層，切赫上同調都同構於層上同調。 同構 check H1 XEcong H1 XE 隱含著對拓撲空間 X 上阿貝爾群任何層 E 的 H1 X E 的描述：此群在同構意義上分類了 X 上的 E 扭子（也叫主 E 叢）（透過非阿貝爾上同調集 H1 X G，這論述可推廣到群 G（不必阿貝爾）的任何層）。由定義，X 上的 E 扭子是集合的層 S 以及 E 在 X 上的群作用，使 X 中每點都有 S 同構於 E 的開鄰域，E 透過平移（translation）作用於自身。例如，賦環空間 X O_X 上，X 上可逆層的皮卡德群同構於層上同調群 H1 X O_X，其中 O_X 是 O_X 中可逆元的層。 相對上同調 對整數 j、拓撲空間 X 的子集 Y 與 X 上阿貝爾群的層 E，可以定義相對上同調群： Hj_Y XEHj XXYE 還可稱作在 Y 中有支援的 X 的上同調，或（Y 對 X 封閉時）區域性上同調。長正合列可在通常意義上將相對上同調與層上同調關聯： cdots to Hj_Y XEto Hj XEto Hj XYEto Hj1_Y XEtocdots Y 對 X 封閉時，在 Y 中有支援的上同調可定義為函子 H0_Y XEsin E X s_XY0 的匯出函子，即在 Y 上有支援的 E 的截面群。 有幾種同構稱作切除。例如，若 X 是拓撲空間，其子空間 Y、U 使 Y 的閉包在 U 內部，E 是 X 上的層，則約束 Hj_Y XEto Hj_Y UE 是同構（因此，在閉子集 Y 中具有支援的上同調只取決於空間 X 與層 E 在 Y 附近的行為）。另外，若 X 是仿緊豪斯多夫空間、是閉子集 A、B 的並、E 是 X 上的層，則約束 Hj XBEto Hj AAcap BE 是同構。 具有緊支援的上同調 令 X 是區域性緊拓撲空間（本文將區域性緊空間理解為豪斯多夫空間）。對 X 上阿貝爾群的層 E，可定義有緊支援的上同調 H_cj X E。這些群被定義為緊支援截面的函子的匯出函子： H0_c XEsin E X text 有 Xtext 的緊子集 K text 且 s_XK0 有自然同構 H_cj X Eto Hj X E，是 X 緊的同構。 對區域性緊空間 X 上的層 E，Xtimes R 的係數在 E 的拉回中的緊支援上同調是 X 的緊支援上同調的移位（shift）： Hj1_c Xtimesmathbf REcong Hj_c XE 舉例來說，若 jn，則 H_cj Rn Z 同構於 Z，否則為零。 就任意連續對映而言，緊支援上同調不是函子性的。而對區域性緊空間上的緊合對映 f Yto X 與 X 上的層 E，緊支援上同調上有拉回同態 fcolon Hj_c XEto Hj_c YfE 另外，對區域性緊空間 X 的開子集 U 與 X 上的層 E，有稱作零點擴張（extension by zero）的前推同態： Hj_c UEto Hj_c XE 對區域性緊空間 X 與閉子集 Y，這兩個同態都見於緊支援上同調的長正合區域性化列中： cdotsto Hj_c XYEto Hj_c XEto Hj_c YEto Hj1_c XYEtocdots 上積 對所有 i、j 以及拓撲空間 X 上阿貝爾群的任意層 A、B，有雙射 上積 Hi XAtimes Hj XBto HijXAotimes B 當中 Aotimes B 表示在 Z 上的張量積，但若 A、B 是交換環的某層 O_X 上的模層，則可進一步從 HijX Aotimes_Z B 對映到 HijX Aotimes_O_X B。特別是，對交換環的層 O_X，上積使得直和 HXO_X bigoplus_j Hj XO_X 變為分次交換環，即對 forall uin Hi vin Hj vu1ij uv 層復形 層上同調是匯出函子的定義可進行擴充套件，定義拓撲空間 X 的上同調，且係數在層的任何復形 E 中： cdotsto E_jto E_j1to E_j2to cdots 特別地，若復形 E 有下界（對足夠負的 j，層 E_j 為零），則 E 像單層一樣有單射消解 I（由定義，I 是有下界的單射層復形，其鏈對映 Eto I 是擬同構）。則上同調群 Hj X E 定義為阿貝爾群復形的上同調 cdots to I_j Xto I_j1Xto I_j2Xtocdots 空間的係數在層復形中的上同調，早先被稱作超同調，現在一般只叫 上同調。 更一般地，對空間 X 上層 E（不必有下界）的任意復形，上同調群 Hj X E 定義為 X 上層的匯出範疇中態射的群： Hj XEoperatorname Hom_D Xmathbf Z_XE j 其中 Z_X 是與整數相關聯的常層，E j 表示向左移動 j 步的復形 E。 龐加萊對偶性與推廣 龐加來對偶性定理是拓撲學的一個核心成果：對 n 維閉有向連通拓撲流形 X、域 k，群 Hn X k 同構於 k，上積 Hj Xktimes HnjXkto Hn Xkcong k 是所有整數 j 的完美配對。即，從 Hj X k 到對偶空間 HnjX k 的對映是同構，特別是，向量空間 Hj X k 與 HnjX k 有相同的（有限）維數。 運用層上同調的語言，可以進行很多推廣。若 X 是有向 n 維流形（不必緊或連通），k 是域，則上同調就是有緊支援的上同調的對偶： Hj Xkcong Hnj_c Xk 對任意流形 X、域 k，有 X 上的層 o_X 方向層，區域性（可能不是全域性）同構於常層 k。龐加萊對偶關於任意 n 維流形 X 的一個版本是同構： Hj Xo_Xcong Hnj_c Xk 更一般地，若 E 是 n 維流形上 k 維向量空間的區域性常層，且 E 的莖有限維，則有同構 Hj XEotimes o_Xcong Hnj_c XE 係數在任意交換環而非域中時，龐加萊對偶性可以很自然地表述為上同調到博雷爾摩爾同調的同構。 韋迪耶對偶是很廣的推廣。對任意有限維區域性緊空間 X 與任意域 k，在 X 上層的匯出範疇 D X 中有物件 D_X，稱作對偶化復形（dualizing complex，係數位於 k 中）。韋迪耶對偶的一種情形是同構： Hj XD_Xcong Hj_c Xk 對 n 維流形 X，對偶化復形 D_X 同構於方向層的移位 o_X n。因此，龐加萊對偶是韋迪耶對偶的特例。 亞歷山大對偶是另一種有用的推廣。對有向 n 維流形 M 的任意閉子集 X 與任意域 k，有同構： Hj_X Mkcong Hnj_c Xk 對 MRn 的緊子集 X 來說這已經很有趣了，因為它說（粗略地），RnX 的上同調是 X 的層上同調的對偶。當中，必須考慮層上同調而非奇異上同調，除非對 X 有額外假設，如區域性可收縮性。 高階直像與勒雷譜序列 令 f Xto Y 維拓撲空間的連續對映，E 為 X 上阿貝爾群的層。前推層 f_E 是 Y 上的層，對 Y 的任意開子集 U 定義為 f_EU E f1U 例如，若 f 是 X 到點的對映，則 f_E 是與 E 的全域性截面群 E X 對應的點上的層。 X 上的層到 Y 上的層的函子 f_ 是左正合的，但一般不是右正合的。Y 上的高階直像層 Rif_E 定義為函子 f_ 的右匯出函子。另一種描述是，Rif_E 是與 Y 上預層相關聯的層 U mapsto Hi f1UE 因此，粗略地說，高階直像層描述了 Y 中小開集的逆像的上同調。 勒雷譜序列將 X 上的上同調與 Y 上的上同調相關聯，即對任何連續對映 f Xto Y、X 上任何層 E，有譜序列 E_2ij Hi YRjf_E Rightarrow HijXE 這是一個非常一般的結果。f 是纖維化、E 是常層的特例在同倫論中扮演著重要角色，這種情形稱作塞爾譜序列。當中，高階直像層是區域性常的，其莖是 f 的纖維 F 的上同調群，因此塞爾譜序列對阿貝爾群 A，可寫作 E_2ij Hi YHj FA Rightarrow HijXA 勒雷譜序列的一個簡單而有用的情形是，對拓撲空間 Y 的任意閉子集 X 和 X 上任意層 E，用 f Xto Y 表示包含，有同構 Hi Yf_Econg Hi XE 因此，關於閉子空間上層上同調的問題都可轉化為關於環境空間上直像層的問題。 上同調的有限性 有個關於層上同調的強有限性結果。令 X 是緊豪斯多夫空間，R 是主理想域，例如域或整數環 Z。令 E 為 X 上 R 模的層，並假定 E 有 區域性有限生成上同調，即對 X 中每點 x、整數 j、x 的所有開鄰域 U，都有 x 的開鄰域 Vsubset U，使得 Hj U Eto Hj V E 的像是有限生成 R 模，則上同調群 Hj X E 是有限生成 R 模。 例如，對區域性可收縮緊豪斯多夫空間 X（在上文所述的弱意義上），層上同調群 Hj X Z 對整數 j 是有限生成的。 有限性結果適用於可構造層的一種情形。令 X 為拓撲層化空間。具體來說，X 有閉子集序列 XX_nsupset X_n1supsetcdotssupset X_1emptyset 使每個差分 X_iX_i1 是維數為 i 的拓撲流形。 若 E 對每層 X_iX_i1 的限制是區域性常的，且莖是有限生成 R 模，則 X 上的層 E 或 R 模在給定分層下是可構造的。關於給定分層的 X 上可構造層 E 具有區域性有限的生成上同調。若 X 是緊的，則 X 的上同調群 Hj X E（係數在可構造層中）是有限生成的。 更一般地，假設 X 是可緊的，即有緊層化空間 W，包含 X 為開子集，WX 是層的連通分量的並，則對 X 上 R 模的任意可構造層 E，R 模 Hj X E 與 H_cj X E 都是有限生成的。例如，任何具有經典（歐氏）拓撲的復代數簇 X 在此意義上都是可緊的。 凝聚層上同調 代數幾何與復解析幾何中，凝聚層是一類有特殊幾何意義的層。例如，（區域性諾特概形上的）代數向量叢或（復解析空間上的）全純向量叢可視作凝聚層，而凝聚層比向量叢更有優勢，因為凝聚層構成了阿貝爾範疇。在概形上，考慮準凝聚層也是有用的，其中包括秩無限的區域性自由層。 關於係數在凝聚層中的概形或復解析空間的上同調群，我們已瞭解了很多。這一理論是代數幾何中的重要技術工具，主要定理包括在各種情況下上同調變為零、上同調有限維、凝聚層上同調與奇異上同調的比較（如霍奇理論）與凝聚層上同調中尤拉示性數的公式（如黎曼 羅赫定理）等。 景上的層 1960 年代，格羅滕迪克定義了景（site），即具備了格羅滕迪克拓撲的範疇。景 C 公理化了這樣一個概念：C 中的態射 V_alphato U 集合是 U 的覆蓋。拓撲空間 X 以自然的方式確定了景：範疇 C 的物件是 X 的開子集，態射是包含，當且僅當 U 是開子集 V_alpha 的並時，態射 V_alphato U 的集合稱作 U 的覆蓋。此外，格羅滕迪克拓撲的激勵性例子是概形上的平展拓撲。此後，代數幾何中還是用了很多其他的格羅滕迪克拓撲：fpqc 拓撲、尼斯涅維奇拓撲等等。 層的定義適用於任何景，所以可以談論景上的集合層，景上的阿貝爾群層，等等。層上同調作為匯出函子的定義同樣適於景，因此，對於景上的任何物件 X、阿貝爾群的任何層 E，都有層上同調群 Hj X E。對於平展拓撲，這給出了平展上同調的概念，並由此證明了韋伊猜想。代數幾何中晶體上同調等其他上同調論也被定義為適當的景上的層上同調。 註釋 參考文獻 English translation 外部連結 The thread Sheaf cohomology and injective resolutions on MathOverflow The Sheaf cohomology on Stack Exchange Category 同調代數 Category 層論