在數學中，特別是在運算元理論和 C 代數理論中，連續函式演算是一種允許將連續函式作用於 C 代數中的正規元的函式演算。 在進階的理論中，這種函式演算的應用非常自然，以至於往往它甚至不會被提及。毫不誇張地說，連續函式演算將 C 代數與更一般的巴拿赫代數區分了開來，對於後者只能定義全純函式演算。 動機 對於巴拿赫代數 mathcal A 中的成員 a ，若要將其譜 sigma a 上的多項式函式演算推廣到譜上的連續函式，似乎有一個明顯的思路：依照魏爾施特拉斯逼近定理用多項式來逼近連續函式，然後將多項式中的數換成 mathcal A 中成員 a ，再證明這些 a 的多項式序列收斂為 mathcal A 中元素。 譜集 sigma a subset C 上的連續函式由 z 和 overline z 的形如 p z overline z sum_kl0N c_kl zkoverline zl left c_kl in C right 的多項式來逼近，其中 overline z 表示 z 的複共軛，而複共軛是複數上的一個對合。在將 z 替換為 a 時，為使 overline z 也有對應，須考慮 mathcal A 為巴拿赫 代數，即配備了一個對合運算 的巴拿赫代數，這時 overline z 就被替換為 a 。由於多項式環 C zoverline z 是交換環，為得到一個 mathbb Czoverline zrightarrowmathcal A 的代數同態，須限制在 mathcal A 中的正規元（即滿足 aa aa 的成員）上。 須保證：若多項式序列 p_n zoverline z_n 在 sigma a 上一致收斂於一連續函式 f ，則 mathcal A 上的序列 p_n aa_n 收斂於 f ainmathcal A 。對這個收斂性的問題進行細緻分析之後，就會發現有必要採用 C 代數。這些考量最終將導向所謂的連續函式演算。 定義 由於 同態性質，有以下對任意函式 fg in mathcal C sigma a 與標量 lambdamu in C 有效的計算規則： lambda f mu ga lambda f a mu g a qquad （線性） f cdot ga f a cdot g a （乘法） overline fa colon fa f a （對合） 因此，可以同尋常連續函式那樣看待連續函式在正規元上的推廣，它的上述代數運算性質同尋常的連續複函式情況沒有區別。 對於單位元的要求並不是一個強的限制。如果需要，可以，得到一個擴大了的 C 代數 mathcal A_1 。對於 a in mathcal A 和滿足 f 0 0 的 f in mathcal C sigma a ，有 0 in sigma a 和 f ain mathcal A subset mathcal A_1 。 下面給出連續函式演算的存在性和唯一性的證明概要： 在泛函分析中，常對正規運算元 T 的連續函式演算感興趣，即 mathcal A 是希爾伯特空間 H 上的有界運算元所構成的 C 代數 mathcal BH 的情況。在文獻中，通常僅對此情況的自伴運算元的連續函式演算作了證明。在這種情況下，證明不需要用到蓋爾範德表示。 性質 到子代數的等距同構 連續函式演算 Phi_a 是到 a 和 e 所生成的 C 子代數 Cae 的等距同構，即： 於是 Phi_a 顯然是連續的。 也就是說 Cae 是連續函式演算的值域。 由於 a 是 mathcal A 中的正規元，由 a 和 e 生成的 C 子代數是一個交換代數。特別地， f a 也是一個正規元，且函式演算的所有成員間都對易。 與其他函式演算的關係 全純函式演算可無歧義地擴張為連續函式演算。因此，連續函式演算在多項式 p zoverline z 上重合於多項式函式演算： forall c_kl in CquadPhi_a p z overline z p a a sum_kl0N c_k l ak al 其中 p z overline z sum_kl0N c_kl zkoverline zl 。 對於 sigma a 上一致收斂於函式 f in mathcal C sigma a 的函式序列 f_n in mathcal C sigma a ， f_n a 收斂於 f a 。對於 sigma a 上絕對且一致地收斂的冪級數 f z sum_n0infty c_n zn ，就有 f a sum_n0infty c_nan 。 反函式的連續函式演算 若有 f in mathcal Csigma a 和 gin mathcal Csigma f a ，那麼它們的函式演算的複合滿足 g circ fa g f a 。 設有兩個正規元 ab in mathcal A_N 滿足 f a f b ，且無論限制在 sigma a 還是 sigma b 上時 g 都是 f 的反函式，那麼必然有 a b ，因為 a f circ g a f g a f g b f circ g b b 。 譜對映定理 譜對映定理 forall f in mathcal C sigma aquadsigma f a f sigma a 也成立。 對於 b in mathcal A ，若有 ab ba ，那麼也有 forall f in mathcal C sigma aquad f a b bf a 也就是說若 b 與 a 對易，則它也與 a 的在連續函式下的像 f a 對易。 與 同態相容 設 Psi colon mathcal A rightarrow mathcal B 是 C 代數 mathcal A 和 mathcal B 間的保單位元的 同態，那麼 Psi 與連續函式演算間的複合是對易的。也就是說： forall f in C sigma aquadPsi f a f Psi a 特別地，連續函式演算與蓋爾範德表示是對易的。 函式性質與像的性質間的關係 利用譜對映定理，具有某些性質的函式可以直接關聯到 C 代數成員的某些性質： f a 是可逆元當且僅當 f 在 sigma a 上沒有零點。於是有 f a1 tfrac 1f a 。 f a 是自伴元當且僅當 f 是實值函式，也就是 sigma a subseteq 01 說 f a 是正元（ f a geq 0 ）當且僅當 f geq 0 ，也就是說 f a 是么正元，若 f 的值落在復單位圓中。也就是說， f sigma a subseteq mathbb T lambda in C mid left lambda right 1 f a 是一個投影，若 f 僅取值 0 或 1 ，也就是說 這些斷言的基礎是關於特定元素的譜的結論，這些結論會在一節中展示。 有界運算元代數的譜 在 mathcal A 是希爾伯特空間 H 上的有界運算元所構 C 代數 mathcal BH 的特殊情況下，正規運算元 T in mathcal BH 的對應特徵值 lambda in sigma T 的特徵向量 v in H 也將是運算元 f T 關於特徵值 f lambda in sigma f T 的特徵向量。設 Tv lambda v ， 則 forall f in sigma Tquad f T v f lambda v 。 應用 下面給出連續函式演算的眾多應用中一些典型且非常簡單的例子。 譜 設 mathcal A 是一個 C 代數而 a in mathcal A_N 為其中一個正規元，則對於譜 sigma a 有以下結論： a 是自伴元當且僅當 sigma a subseteq R a 是么正元當且僅當 sigma a subseteq mathbb T lambda in C mid left lambda right 1 a 是一個投影當且僅當 開方 設 a 是 C 代數 mathcal A 中的正元，那麼對於每一個 n in mathbb N 存在一個唯一確定的正元 b in mathcal A_ 滿足 bn a ，即唯一的 n 次方根。 若 a in mathcal A_sa 是自伴元，則至少有：對於每個奇數 n in N ，存在唯一確定的自伴元 b in mathcal A_sa 滿足 bn a 。 類似地，對於 C 代數 mathcal A 中正元 a 和任意 alpha geq 0 ， aalpha 唯一定義了一個 Ca 中的正元，並滿足 forallalpha beta geq 0quad aalpha abeta aalpha beta 若 a 是可逆元，則還可以推廣到取負值的 alpha 。 絕對值 若 a in mathcal A 且 aa 是正元，那麼絕對值可由連續函式演算定義為 a sqrt aa ，因為它在正實數上連續。 設 a 是 C 代數 mathcal A 中的自伴元，則存在正元 a_a_ in mathcal A_ ，使得 a a_ a_ 和 a_ a_ a_ a_ 0 成立。 a_ 和 a_ 也被稱為正部和負部。此外還有 a a_ a_ 。 么正元 若 a 是有單位元 e 的 C 代數 mathcal A 中的自伴元，那麼 u mathrm emathrm i a 是么正元，其中 mathrm i 表示虛數單位。反過來，若 u in mathcal A_U 是一個么正元且其譜是復單位圓的真子集（即 sigma u subsetneq mathbb T ），那麼存在一個自伴元 a in mathcal A_sa 滿足 u mathrm emathrm i a 。 譜分解定理 設 mathcal A 是一個有單位元的 C 代數，其中有一個正規元 a in mathcal A_N 。假設譜由 n 個兩兩不相交的閉子集 sigma_k subset C 1leq kleq n 構成，也就是說 sigma asigma_1 sqcup cdots sqcup sigma_n 。那麼就存在投影 p_1 ldots p_n in mathcal A ，使得下面的命題對任意 jgeq1k leq n 都成立： 投影的譜滿足 sigma p_ksigma_k 投影與 a 對易，即 p_kaap_k 投影是正交的，即 p_jp_kdelta_jk p_k 投影之和為單位元，即 sum_k1n p_k e 特別是，有分解 a sum_k1n a_k ，其中 forall 1 leq k leq nsigma a_k sigma_k 註釋 參考資料 English translation of 外部連結 Continuous functional calculus PlanetMath CategoryC 代數 Category 函式演算 Category 泛函分析定理 Category 有未審閱翻譯的頁面