在數學和物理學中，馬格努斯展開為線性運算元的一階齊次線性微分方程的解提供了指數表示，得名於數學家威廉馬格努斯。特別地，這種方法提供了變係數 n 階線性常微分方程組的基矩陣。指數是無窮級數，其項涉及多重積分和巢狀換元。 確定情形 馬格努斯方法及其解釋 給定係數矩陣，我們希望求解與線性常微分方程相關的初值問題 Yt A t Y t quad Y t_0 Y_0 其中是未知 n 維向量函式。 n 1 時，解為 Y t exp left int_t_0t A sds right Y_0 若對任意一組 t t1、t2 仍滿足，則此式可推廣到 n 1 情形。與無關時尤為如此。在一般情形下，上述表示式不再是問題的解。 馬格努斯提出的解矩陣初值問題的方法是，用某個 n 階方陣函式的指數來表示解： Y t expbig Omega t t_0big Y_0 稍後可將其構造為級數展開式： Omega t sum_k1infty Omega_k t 為簡單起見習慣將寫作，並取 t0 0 馬格努斯意識到，由於，可利用龐加萊 豪斯多夫矩陣恆等式將的時間導數和伯努利數及 的伴隨自同態聯絡起來 Omega frac operatorname ad_Omegaexp operatorname ad_Omega 1 A 並以 BCH 展開的連續類似物 遞迴求解，下詳。 上式構成了矩陣線性初值問題求解的馬格努斯展開式或馬格努斯級數。前 4 項： begin align Omega_1 t int_0t A t_1dt_1 Omega_2 t frac 12 int_0t dt_1 int_0t_1 dt_2 A t_1 A t_2 Omega_3 t frac 16 int_0t dt_1 int_0t_1 dt_2 int_0t_2 dt_3 Bigl big A t_1 A t_2 A t_3big big A t_3 A t_2 A t_1bigBigr Omega_4 t frac 112 int_0t dt_1 int_0t_1 d t_2 int_0t_2 dt_3 int_0t_3 dt_4 left Big big A_1 A_2 A_3big A_4Bigright qquad Big A_1 big A_2 A_3 A_4bigBig Big A_1 big A_2 A_3 A_4bigBig left Big A_2 big A_3 A_4 A_1bigBigright end align 其中是 A、B 的矩陣交換子。 這些方程可解釋如下：與標量（ 1）情形下的指數完全重合，但這方程無法給出整個解。若堅持要用指數表示（李群），則要對指數進行修正。馬格努斯級數的剩餘部分系統地提供了修正：或其部分在解的李群的李代數中。 在應用中，很少能對馬格努斯級數精確求和，而要截斷才能得到近似解。馬格努斯方法的主要優勢在於，中截級數通常和精確解具有相同的重要性質，這異於傳統攝動理論。例如，經典力學中，時間演化的辛幾何特徵在每階近似都得到保留。同樣，量子力學時間演化運算元的么正性也得到保留（例如，與解決同一問題的戴森級數相反）。 擴充套件的收斂性 從數學角度看，收斂問題如下：給定矩陣，何時可得作為馬格努斯級數和的指數？ 時，級數收斂的充分條件是 int_0T A s_2 ds pi 其中 cdot _2 表示矩陣範數。這個結果是通用的，因為可構造特定矩陣，時級數都發散。 馬格努斯生成器 生成馬格努斯展開式中所有項的遞迴過程利用了下面的遞迴定義的矩陣： S_nj sum_m1nj left Omega_m S_nmj1right quad 2 leq j leq n 1 S_n1 left Omega_n1 Aright quad S_nn1 operatorname ad_Omega_1n1A 然後得到 Omega_1 int_0t A tau dtau Omega_n sum_j1n1 frac B_jj int_0t S_njtau dtau quad n geq 2 此處 adkΩ 是迭代交換子的簡寫（參見伴隨自同態）： operatorname ad_Omega0 A A quad operatorname ad_Omegak1 A Omega operatorname ad_Omegak A 其中是伯努利數，而。 最後，明確算得這一遞迴後，就可將表為涉及 n 個矩陣 A 的 n1 個巢狀換元的 n 重積分的線性組合： Omega_n t sum_j1n1 frac B_jj sum_k_1 cdots k_j n1 atop k_1 ge 1 ldots k_j ge 1 int_0t operatorname ad_Omega_k_1tau operatorname ad_Omega_k_2tau cdots operatorname ad_Omega_k_jtau A tau dtau quad n ge 2 隨著增加，這個式子會變複雜。 隨機情形 推廣到隨機常微分方程 要推廣到隨機常微分方程，令 left W_tright_tin 0T 為 mathbb Rq 維布朗運動，qin mathbb N_0 在機率空間 left Omegamathcal Fmathbb Pright 上，有限時間區間 T0 和自然過濾。現在，考慮線性矩陣值隨機伊藤積分方程（索引採用愛因斯坦求和約定） dX_t B_t X_t dt A_tj X_t dW_tjquad X_0I_dqquad dinmathbb N_0 其中 B_cdotA_cdot1dotsA_cdotj 是逐步可測的 dtimes d 值有界隨機過程，I_d 是單位矩陣。參考確定情形，並依隨機情形做修改，相應的矩陣對數將變為伊藤過程，其展開的前兩項為 Y_t1Y_t10Y_t01、Y_t2Y_t20Y_t11Y_t02， 其中、根據愛因斯坦求和約定 begin align Y00_t 0 Y10_t int_0t Aj_s d Wj_s Y01_t int_0t B_s d s Y20_t frac 12 int_0t big Aj_sbig2 d s frac 12 int_0t Big Aj_s int_0s Ai_r d Wi_r Big d Wj_s Y11_t frac 12 int_0t Big B_s int_0s Aj_r d W_r Big ds frac 12 int_0t Big Aj_s int_0s B_r dr Big dWj_s Y02_t frac 12 int_0t Big B_s int_0s B_r dr Big ds end align 推廣的收斂性 隨機情形下，收斂將受制於停止時間 tau，第一個收斂結果如下： 在前面關於係數的假設下，存在強解 XX_t_tin 0T 及嚴格為正的停止時間 tauleq T，使得： X_t 在時間 tau 之前有實數對數 Y_t，即 X_t eY_tqquad 0leq ttau 以下表示有 mathbb P 把握成立： Y_t sum_n0infty Yn_tqquad 0leq ttau 其中 Yn 是隨機馬格努斯展開的第 n 項，定義見下文馬格努斯展開式小節； 存在正常數，僅取決於 A1_TdotsAq_T B_T T d，其中 A_cdot_TA_t_F_LinftyOmegatimes 0T，於是 mathbb P tau leq t leq C tqquad tin 0T 馬格努斯展開式 隨機馬格努斯展開的推廣形式： Y_t sum_n0infty Yn_t quad text withquad Yn_t sum_r0n Yrnr_t 其中通用項 Yrnr 是形式為下式的伊藤過程： Yrnr_t int_0t murnr_s d s int_0t sigmarnrj_s d Wj_s qquad nin mathbb N_0 r0dotsn sigmarnrjmurnr 項可遞迴定義為 begin align sigmarnrj_s sum_i0n1frac beta_ii Sr1nri_sbig Ajbig murnr_s sum_i0n1frac beta_ii Srnr1i_s B frac 12 sum_j1q sum_i0n2frac beta_ii sum_q_12r sum_q_20nr Srq_1nrq_2i big Qq_1q_2j big end align 其中 begin align Qq_1q_2j_s sum_i_12q_1sum_i_20q_2 sum_h_11i_11 sum_h_20i_2 sum_p_10q_1i_1 sum_p_20q_2i_2 sum_m_10p_1p_2 sum_m_20q_1i_1p_1q_2i_2p_2 Bigg frac S_sp_1p_2m_1big sigmah_1h_2j_sbigm_11 frac S_sq_1i_1p_1q_2i_2p_2m_2 big sigmai_1h_1i_2h_2j_sbigm_21 qquadqquad frac big S_sp_1p_2m_1big sigmai_1h_1i_2h_2j_sbigS_sq_1i_1p_1q_2i_2p_2m_2big sigmah_1h_2j_sbigbig m_1m_22m_11m_2 Bigg end align 運算元定義為 begin align Sr1nr0_s A begin cases A text if rn1 0 text otherwise end cases Sr1nri_s A sum_begin arraycj_1k_1dotsj_ik_i inmathbb N_02 j_1 cdots j_i r1 k_1 cdots k_i nr end array big Yj_1k_1_s big dots big Yj_ik_i_s A_s big dots big big sum_begin arraycj_1k_1dotsj_ik_i inmathbb N_02 j_1 cdots j_i r1 k_1 cdots k_i nr end array operatorname ad_Yj_1k_1_s circ cdots circ operatorname ad_Yj_ik_i_sA_s qquad iinmathbb N end align 應用 1960 年代以來，馬格努斯展開作為一種攝動理論工具，已成功應用於物理學和化學的許多領域，從原子物理學和分子物理學到核磁共振和量子電動力學。自 1998 年以來，它還用於構建矩陣線性微分方程數值積分的實用演算法。由於它們集成了馬格努斯展開的特性，保留了問題的定性特徵，因此相應方案也是幾何積分的典型例子。 另見 貝克 坎貝爾 豪斯多夫公式 註釋 參考文獻 Category 常微分方程 Category 隨機微分方程 Category 李代數 Category 數學物理