辛拓撲和代數幾何中，格羅莫夫威滕（GW）不變數是有理數，某些情形下可計算在給定辛流形中符合給定條件的偽全純曲線。GW 不變數可打包為適當空間中的同調或上同調類，或量子上同調的上積。這些不變數可用於區分辛流形（以前無法區分），在閉 IIA 型弦論中起著至關重要的作用。它們得名於米哈伊爾格羅莫夫和愛德華威滕。 格羅莫夫 威滕不變數的嚴格數學定義冗長而困難，在穩定對映條目中單獨討論。本文的重點在直觀解釋不變數的含義、計算方法及其重要性。 定義 考慮： X：2k 維閉辛流形； A：X 中的 2 維同調類； g：非負整數； n：非負整數。 現在定義與 4 元組 X A g n 相關的格羅莫夫威滕不變數。令 overline mathcal M_g n 為虧格為 g、有 n 個標記點的曲線的德利涅 芒福德模空間，令 overline mathcal M_g nX A 表示對 X 上某與其辛形式相容的殆復結構 J，到 X 的 A 類穩定對映的模空間。overline mathcal M_g nX A 的元素具有如下形式： C x_1 ldots x_n f 其中 C 是（不必穩定）曲線，有 n 個標記點 x_1 dots x_n 與偽全純的 f Cto X。模空間的實維度為 d 2 c_1X A 2k 6 1 g 2 n 令 mathrm stC x_1 ldots x_n in overline mathcal M_g n 表示曲線的穩定化。置 Y overline mathcal M_g n times Xn 具有實維度 6g 6 2 k 1 n。有求值對映 begin cases mathrm ev overline mathcal M_g nX A to Y mathrm evC x_1 ldots x_n f left operatorname stC x_1 ldots x_n f x_1 ldots f x_n right end cases 求值對映將 overline mathcal M_g nX A 的基本類送到 Y 中的 d 維有理同調類，記作 GW_g nX A in H_d Y Q 從某種意義上說，這個同調類就是對於 X，資料為 g、n、A 的格羅莫夫威滕不變數，是辛流形 X 的辛同痕類的不變數。 要從幾何角度解釋格羅莫夫威滕不變數，令 β 為 overline mathcal M_g n 中的同調類，alpha_1 ldots alpha_n 為 X 中的同調類，使 beta alpha_1 ldots alpha_n 的餘維之和為 d。根據克奈公式，這些都會在 Y 中產生同調類。置 GW_g nX Abeta alpha_1 ldots alpha_n GW_g nX A cdot beta cdot alpha_1 cdots alpha_n in H_0 Y Q 其中 cdot 表示 Y 的有理同調中的交積。這是一個有理數，即給定類的格羅莫夫威滕不變數。這個數字給出了偽全純曲線（A 類中，虧格為 g，域位於德利涅 芒福德空間的 β 部分，有 n 個標記點對映到表示 alpha_i 的迴圈）的 虛擬 計數。 簡單說，GW 不變數就是計算有多少條曲線同 X 的 n 個選定子流形相交。然而，由於計數的 虛擬 性，它不一定是自然數。因為穩定對映的空間是軌形，其各向同性點可為不變數貢獻非整數值。 這種構造有多種變體，如用上同調取代同調，用積分取代交，從德利涅 芒福德空間拉回的陳類也被積分，等等。 計算技巧 格羅莫夫威滕不變數通常很難計算。雖然它們是為任何一般殆復結構 J 定義的，其中 bar partial_j J 運算元的線性化 D 是滿射，但實際上必須針對特定的選定 J 計算。事實上，計算通常是在凱勒流形上利用代數幾何技術進行的。 然而，特殊的 J 可能誘導非滿射的 D，從而使得偽全純曲線的模空間大於預期。粗略地說，我們可以透過從 D 的餘核形成向量叢（稱作阻礙叢，obstruction bundle），然後將 GW 不變數變為阻礙叢的尤拉類的積分，以糾正這種影響。要精確化這一思想，需要利用倉西結構進行大量技術論證。 主要的計算技術是區域性化，適用於 X 是環面的狀況，即它是由復環面作用的，或至少是區域性環面的。然後，我們可以利用阿蒂亞 博特定點定理將 GW 不變數的計算簡化（區域性化）為對作用定點軌跡的積分。 另一種手法是利用辛技術，將 X 同其他空間聯絡起來，其 GW 不變數更容易計算。當然，必須首先了解不變數在辛技術中的表現。這時，我們常用更復雜的相對 GW 不變數，即沿著 X 的實維度為 2 的辛子流形，計算滿足切線條件的曲線。 相關不變數與其他構造 GW 不變數與幾何中許多其他概念密切相關，如辛範疇中的唐納森不變數與塞伯格 威滕不變數、代數範疇中的唐納森 托馬斯理論等。對緊辛 4 流形，克利福德陶布斯證明，GW 不變數的一個變體等價於塞伯格 威滕不變數。人們猜想代數 3 流形包含與整數值唐納森 托馬斯不變數相同的資訊。物理方面的考慮也產生了戈帕庫馬爾 瓦法不變數，目的是為典型的有理 GW 理論提供底層整數計數。戈帕庫馬爾 瓦法不變數目前還沒有嚴格的數學定義，這也是該課題的主要問題之一。 光滑射影簇的 GW 不變數可完全定義在代數幾何中。平面曲線與齊次空間有理曲線的經典列舉幾何都可用 GW 不變數來捕捉。不過，GW 不變數與經典列舉計數的主要優勢在於，其在目標的復結構變形時是不變的。GW 不變數還提供了辛流形或射影流形上同調環中積結構的變形，可被組織起來構造流形 X 的量子上同調環，則是普通上同調的變形。變形積的結合性，本質上來自用於定義不變數的穩定對映的模空間的自相似。 眾所周知，量子上同調環同構於辛弗洛爾同調及其褲對積（pairofpants product）。 在物理學中的應用 GW 不變數在弦論中很熱門。弦論試圖統一廣義相對論與量子力學。其中萬事萬物都是由微小的弦構成的。弦在時空中穿行時，會描繪出一個面，稱作弦的世介面。不幸的是，這種引數化面的模空間是無窮維的（至少先驗地是）；其上沒有已知的適當測度，於是這種理論的路徑積分表述缺乏嚴格定義。 在稱作閉 A 模型的變體中，情況有所改善。這裡有 6 個時空維度，構成了辛流形，而可證明世介面必由偽全純曲線引數化，其模空間是有限維的。作為模空間上的積分，GW 不變數就是這種理論的路徑積分。特別是，A 模型在虧格為 g 時的自由能是虧格為 g 的 GW 不變數的母函式。 另見 餘切復形 舒伯特微積分 參考文獻 An analytically flavoured overview of GromovWitten invariants and quantum cohomology for symplectic manifolds very technically complete 閱讀更多 Moduli Spaces of GenusOne Stable Maps Virtual Classes and an Exercise of Intersection Theory Andrea Tirelli A nice introduction with history and exercises to the formal notion of moduli space treats extensively the case of projective spaces using the basics in the language of schemes Notes on stable maps and quantum cohomology 研究論文 GromovWitten theory of schemes in mixed characteristic Category 辛拓撲 Category 代數幾何 Category 弦理論 Category 模理論