在運算元理論這一數學領域中，斯坦斯普林擴張定理（也稱為斯坦斯普林分解定理）是冠名於數學家 W Forrest Stinespring 的一個定理。它將 C 代數 mathcal A 上的任何完全正對映（completely positive map，簡稱為 CP 對映）表示為兩個完全正對映的複合，這兩個對映分別是： mathcal A 在某個輔助希爾伯特空間 K 上的 表示 一個將運算元對映為運算元的對映，形如 T mapsto VTV 。 此外，此定理是從 C 代數到希爾伯特空間上有界運算元代數的結構定理，因其說明了 C 代數間的完全正對映是 表示的上述簡單修改。 表述 對於有單位元的 C 代數，定理表述如下： 定理 設 mathcal A 為一個有單位元的 C 代數， H 為希爾伯特空間， B H 為 H 上的全體有界運算元的集合。對於任一完全正對映 Phi mathcal A to B H 存在一個希爾伯特空間 K 和一個保單位元的 同態 pi mathcal A to B K 使得 Phi a Vast pi a V 其中 V H to K 是有界運算元。此外，我們還有 Phi 1 V 2 非正式地說，我們可以說任一完全正對映 Phi 可以 提升 為形如 V cdot V 的對映。 該定理的逆命題顯然為真。因此，此定理對完全正對映進行了分類。 證明概要 我們現在簡述一下證明。令 K mathcal A otimes H 。對於 a otimes h b otimes g in K ， 定義 langle a otimes h b otimes g rangle _K langle Phi ba h g rangle _H langle h Phi ab g rangle_H 並透過半線性擴張到整個 K 。這是一個厄米半線性形式，因為 Phi 與 操作是相容的。然後可基於 Phi 的完全正性證明該半線性形式實際上是半正定的。由於半正定厄米半線性形式滿足柯西 施瓦茨不等式，因此子集 K x in K mid langle x x rangle _K 0 subset K 是一個子空間。我們可以透過考慮商空間 K K 來消除退化。於是該商空間的完備化給出一個希爾伯特空間，也記作 K 。下一步定義 pi a b otimes g ab otimes g 和 V h 1_A otimes h 。可以驗證 pi 和 V 具有所需的性質。 是一個子空間。 注意 V 就是 H 到 K 的自然代數嵌入。可以驗證 Vast aotimes h Phi a h 。特別地，注意到有 Vast V Phi 1 ，因此當且僅當 Phi 11 時， V 得以是一個等距同構。在這種情況下， H 可以在希爾伯特空間意義上嵌入到 K 中，而作用在 K 上的 Vast 則是到 H 上的投影。符號上，我們可以寫成 Phi a P_H pi a Big_H 用的語言來說， Phi a 是 pi a 的一個壓縮 。因此，斯坦斯普林擴張定理的一個推論是，每個保單位的完全正對映都是某個 同態的壓縮。 極小斯坦斯普林表示 三元組 pi V K 被稱為 Phi 的斯坦斯普林表示。現在一個自然的問題是，是否可以將給定的斯坦斯普林表示約化為在某種意義上極小的。 令 K_1 為 pi mathcal A VH 的閉線性生成空間。根據 表示的一般性質，對於任意 ainmathcal A ， K_1 是 pi a 的不變子空間；且有 VHsubset K_1 。定義 pi _1 a pi a Big_K_1 可直接計算得到 begin align pi_1 a pi_1 b pi a Big_K_1 pi b Big_K_1 pi a pi b Big_K_1 pi ab Big_K_1 pi_1 ab end align 若有 kellin K_1，則 begin align langle pi_1 a k ell rangle langle pi a k ell rangle langle pi a k ell rangle langle k pi a ell rangle langle k pi_1 a ell rangle langle pi_1 a k ell rangle end align 因此 pi_1 V K_1 也是 Phi 的一個斯坦斯普林表示，且 K_1 是 pi mathcal A VH 的閉線性生成空間，這樣的表示稱為極小斯坦斯普林表示。 唯一性 令 pi_1 V_1 K_1 pi_2 V_2 K_2 為給定 Phi 的兩個斯坦斯普林表示。定義一個部分等距對映 WK_1to K_2 如下 W pi_1 a V_1 h pi_2 a V_2 h 在 V_1 Hsubset K_1 上，這給出了交織關係 W pi_1 pi_2 W 特別是，如果兩個斯坦斯普林表示都是極小的，則 W 是么正的。因此，極小斯坦斯普林表示是唯一的，至多差一個么正變換。 一些推論 下文將提及一些可以看作斯坦斯普林定理推論的結果。不過從歷史上看，下面的一些結果要更早於斯坦斯普林定理。 GNS 構造 下面將從斯坦斯普林定理匯出 GNS 構造。令斯坦斯普林定理中的 H 為一維的，即複數。因此 Phi 現在是 mathcal A 上的正線性泛函。若假定 Phi 是一個態（也就是說 Phi 的範數為一），那麼等距對映 V H to K 可由 V 1 xi 確定，其中 xi in K 是某個單位向量。所以 begin align Phi a V pi a V langle V pi a V 1 1 rangle _H langle pi a V 1 V 1 rangle _K langle pi a xi xi rangle _K end align 這正是態與其 GNS 構造間的關係式。由此可以看出完全正對映（而非正對映）才是正線性泛函的適當推廣。 設 C 代數上有正線性泛函 PhiPsi ，若它們對於任一正元素 xinmathcal A 滿足 Psi x0impliesPhi x0 ，則稱 Phi 關於 Psi 是絕對連續的。這即是拉東 尼科迪姆定理的非交換推廣。當參考泛函選擇為跡時，矩陣代數上的關於跡的通常密度運算元不過是選擇 Psi 為跡時的拉東 尼科迪姆導數。別拉夫金引入了一個完全正對映相對於另一個（參考）對映的完全絕對連續的概念，並證明了完全正對映的非交換拉東 尼科迪姆定理的一個運算元變體。此定理的一個特例對應於參考對映是矩陣代數上的跡性（tracial）的完全正對映的情況，這給出了所謂蔡文端運算元，即完全正對映關於標準跡的拉東 尼科迪姆導數（參見蔡文端定理）。 蔡文端定理 蔡文端證明了，若 Phi B G to B H 是完全正的，其中 G 和 H 分別是維數為 n 和 m 的有限維希爾伯特空間，則 Phi 具有以下形式： Phi a sum_i 1nm V_i a V_i 這被稱為完全正對映的蔡文端定理。 蔡文端的證明使用的是線性代數技術，但他的結果也可以看作是斯坦斯普林定理的一個特例： 設 pi V K 是 Phi 的極小斯坦斯普林表示。根據極小性， K 的維度小於 Cn times n otimes Cm 。因此，不失一般性地， K 可以表示為 K bigoplus_i 1nm C_in 每個 C_in 都是 n 維希爾伯特空間的一個副本。從 pi a b otimes g ab otimes g 可以看出可以選擇 K 的表示式使得 P_i pi a P_i a ，其中 P_i 是是 K 上到 C_in 的投影。 令 V_i P_i V ，有 Phi a sum_i 1nm V P_i P_i pi a P_i P_i V sum _i 1 nm V_i a V_i 於是就證明了蔡文端定理。 蔡文端的結果是完全正對映的非交換拉東 尼科迪姆定理的一個特例，對應於參考對映是矩陣代數上的跡性完全正對映的情況。1985 年，別拉夫金以強運算元形式證明了這個普遍的定理，他證明了對於一個 CP 對映，若其相對另一參考 CP 對映是完全絕對連續的，則必存在相應的正密度運算元。該密度運算元的唯一性則是參考對映的斯坦斯普林表示的極小性的直接結果。因此，蔡文端運算元即是有限維 CP 對映關於標準跡的拉東 尼科迪姆導數。 請注意，在透過斯坦斯普林表述來證明蔡文端定理以及別拉夫金定理時，除非顯式指明各空間，否則這些論述並未明確給出克勞斯運算元 V_i 。而另一方面，蔡文端的原始證明則涉及對這些運算元的直接計算。 奈馬克擴張定理 奈馬克的定理指出，某個緊豪斯多夫空間 X 上、取值於 B H 中且、弱可數可加的測度可被 提升 為一個譜測度。將 X 上的連續函式構成交換的 C 代數 C X 這一事實與斯坦斯普林定理結合便可證明這一點。 納吉擴張定理 該結果表明，希爾伯特空間上的每個收縮都有具有最小性質的么正擴張。 應用 在量子資訊中，量子通道或者說量子操作被定義為 C 代數之間的完全正對映。作為所有此類對映的分類，斯坦斯普林定理在該背景下具有重要意義。例如，該定理的唯一性部分已被用來對某些類別的量子通道進行分類。 為了比較不同的通道並計算它們的互保真度和資訊，使用別拉夫金引入的拉東 尼科迪姆導數對通道進行另一種表示將是很有用的。作為別拉夫金的完全正對映的拉東 尼科迪姆定理在有限維、跡性情況下的變體，蔡文端定理也與此相關聯。 Phi a sum_i 1nm V_i a V_i 所確定的運算元 V_i 被稱為 Phi 的克勞斯運算元。表示式 sum_i 1nm V_i cdot V_i 則有時被稱為 Phi 的運算元和表示。 參考資料 MD Choi Completely Positive Linear Maps on Complex Matrices Linear Algebra and its Applications 10 285290 1975 V P Belavkin P Staszewski RadonNikodym Theorem for Completely Positive Maps Reports on Mathematical Physics v 24 No 1 4955 1986 V Paulsen Completely Bounded Maps and Operator Algebras Cambridge University Press 2003 W F Stinespring Positive Functions on Calgebras Proceedings of the American Mathematical Society 6 211216 1955 Category 運算元理論 Category 泛函分析定理