數學中，譜理論是將單一方陣的特徵向量和特徵值理論推廣到各種空間中運算元結構的更廣泛理論的統稱，是線性代數和線性方程組解及其推廣的成果。譜理論與解析函數理論相關，因為運算元的譜特性與譜引數的解析函式相關。 數學背景 大衛希爾伯特在希爾伯特空間理論的最初表述中首先引入了 譜理論，以無窮多變數的二次型為基礎。因此，最初的譜定理被認為是橢球主軸定理在無窮維中的形式。後來，量子力學中發現譜理論可解釋原子發射光譜特徵純粹是偶然的。希爾伯特自己也對這出乎意料的應用感到驚訝：我從純粹的數學興趣出發，發展了無窮多變數理論，甚至把它稱作譜分析，卻從沒想到它能用在物理學中真正的光譜上。 譜理論有 3 種表述，分別用於不同領域。在希爾伯特的最初表述後，抽象希爾伯特空間及其上單正規運算元的譜理論很好地滿足了物理學的要求，馮諾依曼的工作就是例子。 在此基礎上，進一步發展的理論涉及一般巴拿赫代數。這引出了涵蓋交換情形的蓋爾範德表示，進一步啟發了非交換調和分析。 從與傅立葉分析的聯絡中，可看出兩者之別。實線上的傅立葉變換某種意義上是導數作為微分運算元的譜理論。但為涵蓋這些現象，必須處理廣義特徵函式（如由裝備希爾伯特空間）。另一方面，構建群代數也很簡單，其譜可捕捉到傅立葉變換的基本特徵，這可由龐特里亞金對偶性實現。 還可以研究巴拿赫空間上運算元的譜性質。例如，巴拿赫空間上的緊運算元有很多類似矩陣的譜性質。 物理背景 振動的物理學背景是這樣解釋的：E Brian Davies quoted on the Kings College London analysis group website 這些物理思想在技術層面上與數學毫無關係，但也有間接涉及的例子（如 聽出鼓的形狀）。希爾伯特用 譜，是源於 1897 年 Wilhelm Wirtinger 一篇關於希爾微分方程的論文，20 世紀前十年，他的學生（埃哈德施密特、赫爾曼外爾）也採用了這一術語。埃哈德施密特和里斯弗裡傑什從希爾伯特的思想中發展了希爾伯特空間的概念。 近 20 年後，量子力學由薛定諤方程表述出來時，人們才將其與原子光譜聯絡起來。正如亨利龐加萊指出的，人們曾懷疑其與振動的聯絡，但由於缺乏對巴耳末系的解釋，這種聯絡由於簡單的定量原因被否定了。Cf Spectra in mathematics and in physics by Jean Mawhin p4 and pp 1011 因此，量子力學發現譜理論能解釋原子光譜的特徵是純粹偶然的。 譜的定義 考慮在一般巴拿赫空間上處處有定義的有界線性變換 T。構造變換： R_zeta left zeta I T right1 其中 I 是恆等運算元，ζ 是複數。 T 的逆 T1 定義如下： T T1 T1 T I 若存在逆，則稱 T 正則（regular）；若不存在，稱 T 奇異（singular）。 根據這些定義，T 的預解集是所有使 R_zeta 存在且有界的複數 ζ 的集合，通常表示為 rho T。T 的譜是所有使 R_zeta 不存在或無界的複數 ζ 的集合，通常表示為 sigma T。forall zetainrho T（即 R_zeta 作為有界運算元存在處），函式 R_zeta 稱作 T 的預解。因此，T 的譜是複平面中 T 的預解集之補。T 的特徵值都屬於 sigma T，但 sigma T 可能包含非特徵值。 這定義適於巴拿赫空間，但當然也有其他空間，如拓撲向量空間包含了巴拿赫空間。另一方面，巴拿赫空間包括希爾伯特空間，得到了最廣泛的應用和最豐富的理論成果。在適當的條件下，希爾伯特空間中變換的譜的結構可以有很多論述。特別是，自伴運算元譜位於實線上；（一般來說）是離散特徵值的點譜與連續譜的譜組合。 譜理論簡介 泛函分析和線性代數中，譜定理規定了一些條件，之下運算元可用簡單的形式表為更簡單運算元之和。由於本文不適合進行全面嚴謹的敘述，我們採用另一種方法，避免了難以理解的形式化。 要描述這主題，最簡單的方法是引入表示運算元的狄拉克符號。例如，非常特殊的線性運算元 L 可寫為並矢張量積： L k_1 rangle langle b_1 用 左括號langle b_1 和 右括號k_1rangle 表示。定義在座標 x_1 x_2 x_3 dots 上的函式 f x 表示為 f xlangle x frangle f 的振幅用下式表示 f 2 langle f frangle int langle f xrangle langle x f rangle dx int fx f x dx 符號 表示共軛複數。這種內積選擇定義了一個非常特殊的內積空間，限制了後面論證的一般性。 L 對函式 f 的影響可表述為 L frangle k_1 rangle langle b_1 f rangle 表示 L 對 f 的影響是產生新函式 k_1 rangle 乘以 langle b_1 f rangle 所代表的內積。 更一般的線性運算元 L 可表示為 L lambda_1 e_1ranglelangle f_1 lambda_2 e_2rangle langle f_2 lambda_3 e_3ranglelangle f_3 dots 其中 lambda_i 是標量， e_i rangle 是基， langle f_i 是對偶基。基與對偶基的關係由下式描述： langle f_i e_j rangle delta_ij 若這種形式化適用， 則 lambda_i 是 L 的特徵值，函式 e_i rangle 是 L 的特徵函式。特徵值位於 L 的譜中。 一些自然問題是：這種形式化在何時有效？對什麼運算元 L 來說，其他運算元的序列展開是可能的？任何函式 f 都可用特徵函式來表示（是 Schauder 基）嗎，何時會出現點譜或連續譜？無窮維空間和有限維空間的形式化有何不同？這些觀點能否推廣到更一般的空間？這些問題屬於譜理論範疇，需要相當的泛函分析與矩陣代數背景。 恆同消解 本節沿用上節的粗略表示，使用狄拉克符號，並略去嚴格處理的許多重要細節。 See discussion in Diracs book referred to above and 嚴謹數學處理可見參考文獻。See for example the fundamental text of and 特別是，空間維度 n 將是有限的。 用狄拉克符號，恆等運算元可寫作： I sum _i1 n e_i rangle langle f_i 其中假定 e_irangle 是基， langle f_i 是滿足下式的空間的對偶基： langle f_i e_jrangle delta_ij 這種恆等運算表示式稱作恆同的表示或消解（resolution）。這種形式化表示法滿足恆等的基本性質： Ik I 對所有正整數 k 都成立。 對空間 psi rangle 中的任意函式應用恆同消解，可得： I psi rangle psi rangle sum_i1n e_i rangle langle f_i psi rangle sum_i1n c_i e_i rangle 是 ψ 以 ei 為基函式的廣義傅立葉展開，See for example 其中 c_i langle f_i psi rangle 給定形式如下的運算元方程： O psi rangle h rangle 其中 h 在空間中，方程可在上述基之下由形式化求解： O psi rangle sum_i1n c_i left O e_i rangle right sum_i1n e_i rangle langle f_i h rangle langle f_jO psi rangle sum_i1n c_i langle f_j O e_i rangle sum_i1n langle f_j e_i rangle langle f_i h rangle langle f_j h rangle quad forall j 這將運算元方程轉化為矩陣方程，根據 h 的廣義傅立葉係數 langle f_j h rangle 和運算元 O 的矩陣元素 O_ji langle f_j O e_i rangle 可確定未知係數 c_j。 譜理論可確定基與對偶基的存在性及性質。特別是，基可能由某線性運算元 L 的特徵函式組成： L e_i rangle lambda_i e_i rangle 其中 lambda_i 是 L 的特徵值，來自 L 的譜。那麼，上述恆同消解就提供了 L 的並矢展開： LI L sum_i1n L e_i rangle langle f_i sum_i1n lambda _i e_i rangle langle f_i 預解運算元 利用譜李理論，有預解運算元 R： R lambda I L1 可據 L 的特徵函式與特徵值求值，並找到與 L 對應的格林函式。 將 R 應用於空間中的任意函式 varphi， R varphi rangle lambda I L1 varphi rangle sum_i1n frac 1lambda lambda_i e_i rangle langle f_i varphi rangle 這函式在 L 的每個特徵值處的復 λ 平面上都有極點。於是可用殘差微積分： frac 12pi i oint_C R varphi rangle d lambda sum_i1n e_i rangle langle f_i varphi rangle varphi rangle 其中曲線積分是在包括 L 所有特徵值的輪廓 C 上進行的。 假設函式定義在某座標 x_j 上，即 langle x varphi rangle varphi x_1 x_2 引入符號 langle x y rangle delta xy 其中 delta xydelta x_1y_1 x_2y_2 x_3y_3 ldots 是狄拉克 δ 函式，則可有 langle x varphi rangle int langle x y rangle langle y varphi rangle dy 那麼 begin align leftlangle x frac 12pi i oint_C frac varphilambda I L d lambdarightrangle frac 12pi ioint_C d lambda left langle x frac varphilambda I L right rangle frac 12pi i oint_C d lambda int dy left langle x frac ylambda I L right rangle langle y varphi rangle end align 函式 G x y lambda 定義如下： begin align G x y lambda left langle x frac ylambda I L right rangle sum_i1n sum_j1n langle x e_i rangle left langle f_i frac e_jlambda I L right rangle langle f_j yrangle sum_i1n frac langle x e_i rangle langle f_i yranglelambda lambda_i sum_i1n frac e_i x f_iy lambda lambda_i end align 稱作運算元 L 的格林函式，滿足： frac 12pi ioint_C G xylambda d lambda sum_i1n langle x e_i rangle langle f_i yrangle langle x yrangle delta xy 運算元方程 考慮運算元方程： Olambda I psi rangle h rangle 用座標表示： int langle x Olambda I y rangle langle y psi rangle dy h x 一個特殊情況是 lambda0。 上一節的格林函式為： langle y G lambda zrangle left langle y Olambda I1 z right rangle G y z lambda 且滿足： int langle x O lambda I y rangle langle y G lambda z rangle dy int langle x Olambda I y rangle left langle y Olambda I1 z right rangle dy langle x z rangle delta xz 利用格林函式的這一特徵： int langle x Olambda I y rangle G y z lambda dy delta xz 然後方程兩邊乘以 h z 並積分： int dz h z int dy langle x Olambda I y rangle G y z lambdaint dy langle x Olambda I y rangle int dz h z G y z lambda h x 這表明解是 psi x int h z G x z lambda dz 即，若能找到 O 的譜、構造 G，就能找到滿足運算元方程的函式 Psi x，例如用 G x z lambda sum_i1n frac e_i x f_izlambda lambda_i 當然有很多方法找到 G。 例如，見、必須牢記的是，上述數學純粹是形式上的，嚴格處理涉及相當複雜的數學，包括泛函分析、希爾伯特空間、分佈等方面的背景知識。 譜定理與瑞利商 最佳化問題是關於對稱矩陣中特徵值與特徵向量組合意義的重要例子，特別是關於矩陣 M 的瑞利商。 定理 令 M 為對稱矩陣，x 為非零向量，使對 M 的瑞利商最大化。則，x 是 M 的一個特徵向量，其特徵值等於瑞利商；而且，該特徵值是 M 的最大特徵值。 證明 假設符合譜定理。記 M 的特徵值為 lambda_1 leq lambda_2 leq cdots leq lambda_n。由於 v_i 形成正交基，所以任何向量 x 都可在此基上表示為 x sum_i v_iT x v_i 證明這公式的方法非常簡單。即 begin align v_jT sum_i v_iT x v_i sum_i v_iT x v_jT v_i 4pt v_jT x v_jT v_j 4pt v_jT x end align 求對 x 的瑞利商： begin align xT M x left sum_i v_iT x v_irightT M left sum_j v_jT x v_jright 4pt left sum_i v_iT x v_iTright left sum_j v_jT x v_jlambda_j right 4pt sum_ij v_iT x v_iT v_jT x v_jlambda_j 4pt sum_j v_jT xv_jT xlambda_j 4pt sum_j v_jT x2lambda_jlelambda_n sum_j v_jT x2 4pt lambda_n xT x end align 其中最後一行用帕塞瓦爾恆等式。最後，可得 frac xT M xxT xle lambda_n 所以瑞利商總小於 lambda_n。Spielman Daniel A Lecture Notes on Spectral Graph Theory Yale University 2012 httpcsyaleeduhomesspielman561 另見 運算元函式、運算元理論 Lax_對 最小平方頻譜分析法 自伴運算元 譜 泛函分析、預解形式化、譜分解 泛函分析 譜 泛函分析、譜半徑、譜定理 施圖姆 劉維爾理論、積分方程、弗雷德霍姆理論 緊運算元、等譜運算元、完備空間 譜幾何 譜圖論 腳註 參考文獻 外部連結 Evans M Harrell II A Short History of Operator Theory Category 線性代數