數學中，域上 n 維非奇異代數簇 V 的規範叢是線叢 Omegan omega，是 V 上餘切叢 Omega 的 n 次外冪。 複數上，它是全純餘切叢 TV 的行列式叢；等價地，它是 V 上全純 n 形式的線叢。這是 V 上塞雷對偶性的對偶化物件，同樣可視作可逆層。 規範類是 V 上卡蒂埃除子 K 的除子類，產生了規範叢。規範類是 V 上線性等價的等價類，其中任何除子都可稱作規範除子。 反規範叢是相應的逆叢 omega1。V 的反規範叢是豐沛的，則稱 V 是法諾簇。 伴隨公式 設 X 是光滑簇，D 是 X 上的光滑除子。伴隨公式將 X 與 D 的規範叢關聯起來。這是個自然同構 omega_D iomega_X otimes mathcal OD 用規範類表示就是 K_D K_X D_D 此式是代數幾何中最強大的公式之一。現代雙有理幾何的一個重要工具是逆伴隨，可以從 D 的奇點推匯出 X 的奇點的結果。 規範叢公式 令 X 是正交面（normal surface）。X 的 g 虧格纖維化 fXto B 是到光滑曲線的緊合平坦態射 f，使 f_mathcal O_Xcong mathcal O_B，並且 f 的所有纖維 f 都有算術虧格 g。若 X 是光滑射影面、f 的纖維不含自交 1 的有理曲線，就稱纖維化是最小的（minimal）。例如，若 X 允許（最小）0 虧格纖維化，則 X 就是雙有理規則的，即雙有理於 mathbb P1times B。 對最小 1 虧格纖維化（也稱作橢圓纖維化）fXto B，除有限多個纖維外，f 的所有纖維都是幾何積分，且所有纖維都幾何連通（由扎里斯基連通性定理）。特別地，對 f 的纖維 Fsumn_i1 a_iE_i，有 FE_iK_XE_i0，其中 K_X 是 X 的規範除子，因此對 moperatorname gcda_i，若 m1，則 F 是幾何積分，否則 m1。 考慮最小 1 虧格纖維化 fXto B。令 F_1dotsF_r 是有限多纖維，且不是幾何積分，並記 F_im_iF_i，其中 m_i1 是 F_i 展開為積分組分的係數的最大公除子。這些纖維稱作多重纖維（multiple fiber）。透過上同調與基變換可得 R1f_mathcal O_Xmathcal Loplusmathcal T，其中 mathcal L 是可逆層，mathcal T 是扭層（mathcal T 受 bin B 支援，使得 h0 X_bmathcal O_X_b1）。那麼 omega_Xcong fmathcal L1otimes omega_Botimes mathcal O_Xleft sumr_i1 a_iF_iright 其中 forall i 0leq a_im_i，且 operatorname degleft mathcal L1rightchi mathcal O_Xoperatorname lengthmathcal T。 我們注意到 operatorname lengthmathcal T0iff a_im_i1 例如，對阿爾巴尼態射誘導的（準）雙橢圓曲面的最小 1 虧格纖維化，規範叢公式給出該纖維無多重纖維。對 K3 曲面的最小 1 虧格纖維，也可以做出類似的推論。另一方面，恩裡克斯曲面的最小 1 虧格纖維總包含多重纖維，因此這樣的曲面不含截面。 奇異情形 奇異簇 X 上有幾種方法可定義規範除子。若簇是正規的，則在餘維度 1 上一定是光滑的。特別地，可在光滑軌跡（locus）上定義規範除子，這樣就可在 X 上得到唯一的韋伊除子，這個除子類記作 K_X，稱作 X 上的規範除子。 另外，同樣是在正規簇 X 上，可以考慮 X 的正規化對偶化復形的第 d 上同調 hdomega_X。這個層對應於一個韋伊除子類，等於上面定義的除子類 K_X。在無正規性假設的情形下，若 X 是 S2 或 1 維葛侖斯坦環，結果也成立。 規範對映 若規範類是有效的，則就確定了 V 到射影空間的有理對映，稱作規範對映（canonical map），由規範類的 n 倍確定的就稱作 n 規範對映。n 規範對映將 V 送到比 n 倍規範類的全域性截面低 1 維的射影空間。n 規範對映可能有基點，就是說它們不是處處有定義的（即可能不是簇的態射）。它們可能有正維纖維，即使有 0 維纖維，也不一定是區域性解析同構。 規範曲線 研究得最好的是曲線。其中，規範叢與（全純）餘切叢相同。因此，規範叢的全域性截面與處處規則（everywhereregular）微分形式相同，經典上這些微分被稱作第一類微分。對虧格為 g 的曲線，規範類的度數為 2g2。 低虧格 設 C 是虧格為 g 的光滑代數曲線。若 g0，則 C 是 P1，規範類是 2P 的類，其中 P 是 C 的任一點。這源於微積分公式 rm dleft frac 1trightfrac rm d tt2，例如黎曼球面上原點處有雙極點的亞純微分。特別地，K_C 及其倍數不是有效的。若 g1，則 C 是橢圓曲線，K_C 是平凡叢。平凡叢的全域性截面構成餓了 1 維向量空間，因此對任意 n，n 規範對映就是到一點的對映。 超橢圓情形 若 C 的虧格大於等於 2，則規範類一般很大，因此任意 n 規範對映的像都是曲線。1 規範對映的像稱作規範曲線。虧格為 g 的規範曲線總位於維數為 g1 的射影空間中。C 是超橢圓曲線時，規範曲線是有理正規曲線，而 C 是其規範曲線的雙覆蓋。例如，若 P 是度數為 6 的多項式（無重根），則 y2P x 是虧格 2 曲線的仿射曲線表示，必然是超橢圓曲線，第一類微分的基用同樣的符號可表為 frac rm d xsqrt P x xfrac rm d xsqrt P x 這意味著，齊次座標 1 x 作為到射影線的態射，給出了規範對映。虧格更高的超橢圓曲線的有理正規曲線也以同樣方式產生，x 的冪次為高次單項式。 一般情形 否則，對非超橢圓的 C（即 g 大於 3），態射是 C 與其像之間的同構，後者的次數為 2g2。因此對 g3，規範曲線（非超橢圓情形）是四次平面曲線。所有非奇異四次平面曲線都這樣產生。g4 時，規範曲線是二次曲面與三次曲面的交；g5 時，規範曲線是 3 個二次曲面的交。黎曼 羅赫定理有個反向推論：虧格為 g 的非奇異曲線 C 嵌入維度為 g1 的射影空間，只要其線性張成了整個空間，就可成為度數為 2g2 的線性正規曲線。事實上，規範曲線 C（g 不小於 3 的非超橢圓情形）、黎曼 羅赫定理和特殊除子理論的關係相當近。C 上不同點組成的有效除子 D 在規範嵌入中具有維數與所屬線性系統的維數直接相關的線性跨度（span），經過更多討論，這也適用於具有重點的情形。Rick Miranda Algebraic Curves and Riemann Surfaces 1995 Ch VII 對更大的 g，可以獲得更精細的資訊，但這時規範曲線一般不是完全交，描述時需要更多考慮交換代數。這領域始於馬克斯諾特定理：經過 C 的二次曲面嵌入為規範曲線的維數為 frac12 g2g3。David Eisenbud The Geometry of Syzygies 2005 p 1812 佩特里定理是卡爾佩特里（18811955）於 1923 年發表的，指出 g 不小於 4 時定義規範曲線的齊次理想由其 2 階元素生成，例外是 a 三角曲線；b g6 時的非奇異四次平面曲線。例外中，理想由 2 階和 3 階元素生成。歷史上看，這一結果在佩特里之前就已廣為人知，稱作巴貝奇 ChisiniEnriques 定理。這結果也稱作諾特Enriques 定理，因此術語上比較混亂。諾特證明超橢圓情形之外（用現代語言來說）規範叢是正規生成（normally generated）的：規範叢的截面空間的對稱冪對映到其張量冪的截面上。Igor Rostislavovich Shafarevich Algebraic geometry I 1994 p 192 比如，這說明由第一類微分生成這類曲線上的二次微分，這對區域性 Torelli 定理有影響。佩特里的研究實際上提供了理想（ideal）的二次、三次生成器，表明除了特殊情形外，三次可用二次表示。特殊情形下，透過規範曲線的二次交分別是直紋曲面和維羅納曲面。 這些經典結果是在複數上證明的，但現代討論表明，這些技術適用於任何示性的域。httphalarchivesouvertesfrdocs00404257PDFtheseODpdf pp 1113 規範環 V 的規範環是分次環 R bigoplus_d 0infty H0 V K_Vd 若 V 的規範類是豐沛線叢，則規範環是規範對映的像的齊次座標環，V 的規範類不豐沛也成立。例如，若 C 是超橢圓曲線，則規範環還是規範對映的像的齊次座標環。總之，若上面的環是有限生成的，則很容易看出它是 k 規範對映（k 是任意充分可分的正整數）的像的齊次座標環。 最小模型綱領（minimal model program）提出，每個光滑或輕度其一射影簇的規範環都是有限生成的。特別地，眾所周知，這意味著存在規範模型（即 V 的一個具有輕度奇點的特殊雙有理模型）。若規範環是有限生成的，則規範模型是規範環的 Proj。若規範環不是有限生成的，則 rm Proj R 就不是簇，因此對 V 不是雙有理的；特別地，V 不允許規範模型。可以證明，若 V 的規範除子 K 是 nef 除子、K 的自交數為正，則 V 將接納一個規範模型（更一般地說，這對正規完全戈倫斯坦代數空間是正確的）。 BirkarCasciniHaconMcKernan 2006 的一個基本定理是：光滑或輕度奇異的射影代數簇的規範環是有限生成的。 V 的小平維度是規範環的維度減一。這裡的規範環維度是克魯爾維數或超越度。 另見 雙有理幾何 微分形式 註釋 Category 向量叢 Category 代數簇