弦函式，又稱全弦，是最早的三角函式之一，符號通常表示為 operatorname crd theta，由古希臘數學家喜帕恰斯所定義，在三角學的早期發展中被廣泛使用，主要用於解決天文學計算的問題，現已鮮少使用，但部分的程式庫仍會提供弦函式的計算函式。 弦函式的函式值為該角在單位圓上的弦長或圓上特定圓心角 theta 對應的弦與半徑的比值，換句話說，就是單位圓上角的終邊端點到始邊端點的距離。 弦函式與正弦函式不太一樣，但關係十分密切。 在 0 到弧度（180 度）之間的全弦（crd）與正弦（sin）的關係為。 定義 假設角介於 0 和弧度（180 度）之間，則 operatorname crd theta 的值由圓心角構造等腰三角形的底邊長 overline A B 給出，其中為圓心，即圓心角的頂點。 弦函式的幾何定義如右圖所示。 角的弦函式值是單位圓上由該圓心角分隔的兩點之間的弦的長度。 角度取正值，必須位於（以弧度為單位，或度）區間內。 弦函式可以與現代的正弦函式連結起來，取其中一點為，另一點為，然後利用勾股定理即可計算弦長度。 operatorname crd theta sqrt 1cos theta2sin2 theta sqrt 22cos theta 2 sin left frac theta2right 事實上，將 crd 函式定義為 operatorname crd theta 2 sin left frac theta2right 並不完全正確。 因為弦函式的定義是弦長，長度不會有負值，然而 2 sin left frac theta2right 會有負值，因此此等式不完全正確，僅在（以弧度為單位，或度）時成立。 也就是說，弦長度可以透過下列等式來計算： 弦長 roperatorname crd theta 2rsinfractheta 2 其中，為圓的半徑、為弦對應的圓心角角度。 弦函式與正弦函式相關聯。 在下表中，弦函式可以滿足許多類似於眾所周知的現代函式的恆等式： 明成 基於正弦函式 基於弦函式 勾股定理 sin2 theta cos2 theta 1 operatorname crd2 theta operatorname crd2 pi theta 4 半形公式 sinfrac theta2 pmsqrt frac 1cos theta2 operatorname crd frac theta2 sqrt 2operatorname crdpi theta 邊心距 a c2 sqrt r2 a2 csqrt D 24 a2 角 θ c2 r sin left frac theta2right cfrac D2 operatorname crd theta 其中，為半徑（直徑）的圓之圓心角對應的弦長。 其中，為半徑（直徑）的圓之圓心角對應的弦長。 其中，為半徑（直徑）的圓之圓心角對應的弦長。 弦函式也可以表達成如下指數定義： operatorname crd x sqrt 2ei xei x 歷史 最早已知的弦函式表由喜帕恰斯編制，其列出了每度的弦函式值。 在公元二世紀，亞歷山大的托勒密在他的天文學書《天文學大成》中編制了弦函式的函式表 托勒密全弦表，其給出了從度到 180 度的角度的弦函式值，表中的每行以度為單位。 但其並非是直接以單位圓列出弦函式值，其列出的數值，參考的圓形直徑為 120，弦長精確到整數部分後兩位 60 進位的數字， 也就是說，托勒密全弦表所列出的值是弦函式的 60 倍，例如 operatorname crd 60circ 1，而在托勒密全弦表中，60 度角所記錄的值為弦的全長 60。 弦函式與現代常用的正弦函式之關係可以看做是正弦函式代入半形公式的結果。 operatorname crd theta 2 sin left frac theta2right 上述等式只成立於（以弧度為單位，或度）。 正如現代三角學是建立在正弦函式的基礎上一樣，古代三角學也是建立在和絃函式的基礎上。 據說喜帕恰斯寫了一本十二卷的關於弦函式的著作，雖然現在全部都失傳了，但想必人們對弦函式有一定的瞭解。 托勒密的弦函式 托勒密所建立的托勒密全弦表是紀錄特定圓心角在直徑 120（半徑 60）的圓形上所對應的弦之長度，換句話說，這個函式表所對應的函式 operatorname chordtheta 與正弦函式的關係為： begin align operatorname chordtheta 120sinleft frac thetacirc 2 right 60 cdot left 2 sinleft frac pithetacirc360 text radians right right end align 恆等式 導數 frac mathrm dmathrm dthetaoperatorname crdtheta cosleft fractheta 2right， frac mathrm dmathrm dthetaoperatorname crdtheta frac sin thetasqrt 22 cos theta frac 2 sin theta 1cos theta2 sin theta cos theta2 sqrt sin 2 theta1cos theta2 積分 intoperatorname crdthetamathrm dtheta 4 cosleft fractheta 2right C， intoperatorname crdthetamathrm dtheta 2 sqrt 22 cos theta cot left fractheta 2right C 其他恆等式 operatorname crdleft alphapmbetarightfrac12operatorname crdleft alpharightsqrt 4operatorname crd2left betarightpmfrac12operatorname crdleft betarightsqrt 4operatorname crd2left alpharight operatorname crdleft fractheta 2rightsqrt 2operatorname crdpi theta operatorname crdleft 2thetarightoperatorname crdleft thetarightsqrt 4operatorname crd2 theta 2 sintheta operatorname crdleft 3thetaright3operatorname crdleft thetarightoperatorname crd3left thetaright 正弦定理也可以寫成基於弦函式的形式： frac operatorname crd 2A afrac operatorname crd 2B bfrac operatorname crd 2C c 其中，a、b 和 c 為三角形的三條邊；而 A、B 和 C 則為對應邊的對角。 與其他三角函式的關係 弦函式可以透過正弦、餘弦和正矢等函式來構造： operatorname crd theta 2 sin left frac theta2right， operatorname crd theta sqrt 22cos theta operatorname crd theta sqrt 2operatorname versin theta 特殊值 operatorname crdleft 0right0 operatorname crdleft fracpi 15rightoperatorname crdleft 12circrightfrac sqrt 306sqrt 5sqrt 62sqrt 5 4 operatorname crdleft fracpi 5rightoperatorname crdleft 36circrightfrac sqrt 51 2 operatorname crdleft fracpi 3rightoperatorname crdleft 60circright1 operatorname crdleft frac 2pi 5rightoperatorname crdleft 72circrightfrac 102sqrt 5 2 operatorname crdleft fracpi 2rightoperatorname crdleft 90circrightsqrt 2 operatorname crdleft frac 3pi 5rightoperatorname crdleft 108circrightfrac 62sqrt 5 2 operatorname crdleft frac 2pi 3rightoperatorname crdleft 120circrightsqrt 3 operatorname crdleft frac 4pi 5rightoperatorname crdleft 144circrightfrac 102sqrt 5 2 operatorname crdleft pirightoperatorname crdleft 180circright2 反函式 弦函式的反函式可以定義如下： operatorname crd1 y 2 arcsin frac y 2 在這定義下只有是有意義的（弦長沒有負值、單位圓的弦長不會超過兩倍半徑）。 或者用 operatorname crd theta sqrt 22cos theta 回推得到： operatorname crd1 y arccos frac 2y2 2 反弦函式有時會簡稱為 acrd。 因此已知弦長可以回推圓心角的角度： theta 2arcsinfrac c2r 其中，其中 c 是弦長、r 是圓的半徑。 相關函式 弦函式的值域範圍在 0 到 2 之間，類似的函式還有正矢函式（versin），值域範圍也在 0 到 2 之間，但函式圖形略有差異。 弦函式在範圍 0 到（180 度）之間的圖形與正弦函式 0 到（90 度）的形狀類似，但邊長差了 1 倍的縮放倍率。弦函式與其他「正」的三角函式（正弦、正切、正割、正矢）同樣是從零開始遞增的函式。 與弦函式類似的還有另一個符號 ，用於表達指定角對應的圓弧之弧長，。 早期為了計算天文學上的球面幾何問題，例如計算球面三角形和四邊形。 因此需要找出和的對應關係。在單位圓上，以黑色較粗的線標示在下圖上。 在單位圓上，的值在範圍 0 到（360 度）之間與相等，在以上時，則為最小正同界角的弧度值。 正弧與餘弧 相同的概念在割圓八線中也存在。 在割圓八線中對應「正弧」，即正角對應的弧。在這概念下，除了正弧外，。 正弧與餘弧的概念早在清代就已經記載於梅文鼎的著作《平三角舉要》中了， 並且正弧和餘弧的概念與正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割、正矢和餘矢並列列出，同時也給角「正角」和「餘角」的概念。 參見 三角函式 弦 幾何 註釋 參考文獻 Category 三角函式