數沙者（ Psammites ），也譯作數砂者、算沙者、沙數算者，是公元前 3 世紀古希臘數學家阿基米德的著作，他在書中著手確定宇宙中沙粒數量的上限。為了做到這一點，阿基米德必須根據當時的模型估計宇宙的大小，併發明一種談論極大數字的方法。 該作品在拉丁語中也稱為 Arenarius，翻譯後約有八頁長，是寫給敘拉古國王格洛二世（希羅二世的兒子）的。它被認為是阿基米德最容易理解的作品。Archimedes The Sand Reckoner 511 R U by Ilan Vardi accessed 28II2007 命名大數 現代計數法中的週期和階及其區間 現代計數法中的週期和階及其區間 現代計數法中的週期和階及其區間 現代計數法中的週期和階及其區間 週期 階 區間 用以 10 為底的對數表示區間（log10 ） 1 1 1 Ơ where the unit of the second order Ơ 108 0 8 1 2 Ơ Ơ2 8 16 1 1 k Ơk 1 Ơk 8k 8 8k 1 1 Ơ ƠƠ 1 Ƥ where the unit of the second period Ƥ ƠƠ 108 8 8 8 799999992 800000000 2 1 Ƥ ƤƠ 8 8 108 1 800000000 800000008 2 2 ƤƠ ƤƠ2 8 108 1 8 108 2 2 2 k ƤƠk 1 ƤƠk 8 108 k 1 8 108 k 2 2 Ơ ƤƠƠ 1 ƤƠƠ Ƥ2Ơ1 Ƥ2 8 2 1 8 2 16 8 16 1599999992 1600000000 Ơ 1 ƤƠ 1 ƤƠ 1Ơ 8 108 1 8 108 108 1 1 79999999200000000 79999999200000008 Ơ 2 ƤƠ 1Ơ ƤƠ 1Ơ2 8 108 108 1 1 8 108 108 1 2 Ơ Ơ k ƤƠ 1Ơk 1 ƤƠ 1Ơk 8 108 108 1 k 1 8 108 108 1 k Ơ Ơ Ơ ƤƠ 1ƠƠ 1 ƤƠ 1ƠƠ ƤƠƠ1 ƤƠ 8 2 1 8 2 8 8 8 79999999999999992 80000000000000000 首先，阿基米德必須發明一種全新的系統來將當時的計數範圍擴大到大數。古希臘使用的計數系統能將數字計到萬（μυριάς 10000），由此可利用 萬 這個數本身作為單位來將其擴充套件到萬萬（108 ，即一萬個萬，即億）。阿基米德將 108 以內的數字稱為 一階，並將 108 這一數字本身定義為 二階單位（即上表中的 O）。二階單位的倍數就變成了 二階，直到這個單位被取了萬萬次，即 108108 1016 ，而這一數字就是 三階單位，其倍數為三階，依此類推到 O 階。阿基米德以這種方式命名數字，在第一週期最大能夠取到第 10 8 階單位的萬萬倍（即上表中的 POO，即 108108 或 108108。 完成這一任務後，阿基米德將他定義的階數稱為 第一週期的階數，並將最後一個階數稱為 第二週期單位 ，即 108108 。然後，他以類似於構建第一週期階數的方式，透過取該單位的倍數來構建第二週期階數。如此下去，他終於達到了萬萬週期的階數。阿基米德命名的最大數是這一週期的最後一個數，即 left left 108right108right108108cdot 1016 描述這個數字的另一種方式利用短級差制（即在某數位命名系統中，billion 一詞用來表示 十億），將 1 後跟 80 萬億 8010 15 個 0。 阿基米德的大數系統讓人想起以 10 8 為基數的進位制，這一系統是不凡的，因為古希臘人使用非常簡單的希臘數字系統進行計數，這一計數系統使用 字母表中的 27 個字母來表示從 1 到 9 的個位數，從 10 到 90 的十位數，以及從 100 到 900 的百位數。 指數定律 阿基米德還發現並證明了指數定律，即 10a 10b 10ab ，簡化了 10 次冪的計算。 估算宇宙的大小 阿基米德隨後估算了填充宇宙所需沙粒數量的上限。為此，他使用了古希臘天文學家阿里斯塔克斯的日心模型。雖然阿里斯塔克斯的原作已失傳，但是阿基米德的這項估算工作是為數不多的、現存的、引用其理論的參考文獻之一，Aristarchus biography at MacTutor accessed 26II2007 根據該日心模型理論，當地球繞太陽執行時，太陽保持不動。用阿基米德自己的話說： 該模型尺寸較大的原因是希臘人無法用當時的技術觀察恆星視差，這意味著任何視差都非常小，因此恆星必須放置在距離地球很遠的地方（假設日心說成立）。 根據阿基米德的說法，阿里斯塔克斯沒有說明恆星距地球有多遠。因此，阿基米德必須做出以下假設 宇宙是球形的 宇宙直徑與地球繞太陽公轉道直徑之比等於地球繞太陽軌道直公轉徑與地球直徑之比。 這一假設也可以表述為：地球繞其軌道運動造成的恆星視差等於繞地球運動引起的太陽視差。換算成比例 frac text 宇宙的直徑text 地球公轉軌道的直徑 frac text 地球公轉軌道的直徑text 地球的直徑 為了獲得上限，阿基米德對其維度做出了以下假設： 地球的周長不超過 300 萬 statia（古希臘度量衡中的長度單位），55510 5 km。 月球的尺寸不超過地球，太陽的尺寸不超過月球的三十倍。 從地球上看，太陽的角直徑大於直角的 1200（π400 弧度 045 度）。 阿基米德隨後得出結論：宇宙的直徑不超過 10 14stadia（以現代單位計算，約為 2 光年），並且需要不超過 10 63 粒沙子來填充它。透過這些測量，阿基米德思想實驗中的每粒沙子的直徑約為 19 微米（0019 毫米）。 阿里斯塔克斯宇宙中沙粒數量的計算 阿基米德聲稱，40 顆並排放置的罌粟籽相當於 1 個希臘 dactyl（古希臘度量衡長度單位中的手指寬），長度約為 19 毫米（34 英寸）。由於體積是線性尺寸的立方（因為已經證明球體的體積是其直徑的三倍比），所以直徑為 1 dactly 的球體將包含（使用我們當前的數字系統 403 或 64000 顆罌粟種子。 然後他聲稱（沒有證據）每顆罌粟籽中可能含有萬粒沙子。將這兩個數字相乘，他提出了 640000000 作為直徑為 1 dactly 的球體中假設的沙粒數量。 為了便於進一步計算，他將 64 億四捨五入為 10 億，只是需要注意到第一個數字小於第二個數字，因此隨後計算出的沙粒數將超過實際沙粒數。應顧及文章的價值是展示如何計算在當時被認為不可能的大數，而不僅僅是準確計算宇宙中沙粒的數量。 希臘體育場的長度為 600 希臘英尺，每英尺長 16 個 dactyls，因此體育場內有 9600 個 dactyls。阿基米德將這個數字四捨五入到 10000（即萬）以簡化計算，並再次指出所得數字將超過沙粒的實際數量。 10000 的立方是一萬億（1012）；將十億（dactyl 球體中的沙粒數量）乘以萬億（體育場球體中的 dactly 球體數量）得到 1021 ，即體育場球體中的沙粒數量 阿基米德估計阿里斯塔克宇宙的直徑為 1014 的體育場，因此宇宙中相應地會有 1014 3 個體育場球體，即 1042。1021 乘以 1042 得到 1063，即阿里斯塔宇宙中沙粒的數量。Annotated translation of The Sand Reckoner Cal State University Los Angeles 根據阿基米德對罌粟種子中含有萬（10000）顆沙粒的估計；在一個 dactly 球體中包含 64000 顆罌粟種子；體育場的長度為 10000 dactyl；如果採用 19 毫米作為 dactyl 的寬度，阿基米德典型沙粒的直徑將為 183 微米，今天我們稱之為一粒淤泥。目前，最小的沙粒直徑被定義為 50 微米。 其他的計算 阿基米德在他的研究之路中做了一些有趣的實驗和計算。一項實驗是估計從地球上看到的太陽的角大小。阿基米德的方法特別有趣，由於考慮了眼睛瞳孔的有限大小，Smith William A Dictionary of Greek and Roman Biography and Mythology 1880 p 272 因此可能是心理物理學實驗的第一個已知例子，心理物理學是處理人類感知機制的心理學分支，其發展通常是歸因於赫爾曼馮亥姆霍茲。另一項有趣的計算考慮了太陽視差以及觀察者與太陽之間的不同距離，無論從地球中心或日出時從地球表面觀看。這可能是第一個已知的處理太陽視差的計算。Archimedes The Sand Reckoner 511 R U by Ilan Vardi accessed 28II2007 引用 參考資料 擴充套件閱讀 The SandReckoner by Gillian Bradshaw Forge 2000 348pp 這是一部關於阿基米德的生活和工作的歷史小說。 外部連結 Original Greek text The Sand Reckoner annotated The Sand Reckoner Arenario Italian annotated translation with notes about Archimedes and Greek mathematical notation and unit of measure Source file of the Arenarius Greek text for LaTeX Archimedes The Sand Reckoner by Ilan Vardi includes a literal English version of the original Greek text Category 古希臘數學 Category 阿基米德 Category 古希臘