李超代數是李代數的推廣，包含了 Z2 分次代數。李超代數在理論物理中十分重要，用於描述超對稱的數學理論。其中，超代數的偶元素大多對應玻色子，奇元素大多對應費米子（也有相反者，如 BRST 超對稱）。 定義 形式上看，李超代數是交換環（一般是 R 或 C）上的非結合 Z2 分次代數，或 超代數，其積為 ，稱作李超括號或超交換子，滿足兩個條件（與分次的通常李代數類似）： 超反對稱性（skewsymmetry）： xy1x yyx 超雅可比恆等式： 1xzx y z 1yxy z x 1zyz x y 0 其中 x、y、z 在 Z2 分次中為純。x 表示 x 的度（0 或 1）。xy 的度是 x、y 度之和模 2。 有時，還會在 x0 時新增公理 xx0（若 2 可逆，則公理自動成立）；對 x1 時，有 xxx0（若 3 可逆，則公理自動成立）。當基環是整數或李超代數是自由模時，這些條件等同於龐加萊伯克霍夫威特定理成立的條件（一般而言是定理成立的必要條件）。 正如對李代數一樣，李超代數的泛包絡代數可被賦予霍普夫代數結構。 反交換、在分次意義上雅可比的分次李代數（按 Z 或 N 分次）也有 Z_2 分次（稱作將代數 卷 為奇偶部分），但不稱作 超。 性質 令 mathfrak g mathfrak g_0 oplus mathfrak g_1 為李超代數。透過觀察雅可比恆等式，可發現有 8 種情況取決於引數的奇偶。以奇元素個數為索引，分成 4 類： 無奇元素。即 mathfrak g_0 為平凡李代數。 1 個奇元素。則 mathfrak g_1 是作用 mathrm ad_a b rightarrow a b quad a in mathfrak g_0 quad b a b in mathfrak g_1 的 mathfrak g_0 模。 2 個奇元素。雅可比恆等式說明括號 mathfrak g_1 otimes mathfrak g_1 rightarrow mathfrak g_0 是對稱 mathfrak g_1 對映。 3 個奇元素。對所有 b in mathfrak g_1，都有 bbb 0。 因此，李超代數的偶超代數 mathfrak g_0 形成（正常）李代數，因為所有符號都消失了，超括號變為普通李括號；而 mathfrak g_1 是 mathfrak g_0 的線性表示，存在對稱 mathfrak g_0 等變線性對映 cdotcdotmathfrak g_1otimes mathfrak g_1rightarrow mathfrak g_0 使得 leftx yrightzlefty zrightxleftz xrighty0 quad xy z in mathfrak g_1 條件 13 是現行的，都可以用普通李代數來理解。條件 4 是飛現行的，且是在從普通李代數（mathfrak g_0）和表示（mathfrak g_1）開始構造李超代數時最難驗證的條件。 對合 李超代數是配備自身到自身的對合反線性對映的復李超代數，對映反映 Z2 分次且對李超代數中所有 x、y 都有 x yy x（有人更喜好約定 x y1xyy x；將 改為 可在兩種約定之間切換）。其泛包絡代數將是普通對合代數。 例子 給定結合超代數 A，可透過以下方式定義齊次元素上的超交換子： xy xy 1xy yx 然後線性延伸到所有元素。代數 A 與超交換子共同構成李超代數。這個過程最簡單的例子也許是當 A 為超向量空間 V 中所有線性函式 mathbf EndV 的空間。V mathbb Kpq 時，該空間可表為 Mpq 或 M pq。用上述李括號，空間可表為 mathfrak glpq。 同倫群上的懷特海德積給出了許多整數上的李超代數的例子。 超龐加萊代數生成了平面超空間的等距。 分類 維克托卡茨對簡單復有限維李超代數進行了分類：（不包括李代數） 特殊線性李超代數 mathfrak slmn 李超代數 mathfrak slmn 是 mathfrak glmn 的超代數，包含超跡為 0 的矩陣。mnotn 時是簡單的；mn 時，單位矩陣 I_2m 產生一個理想。對理想取商，可得 mathfrak slmm langle I_2m rangle，對 m geq 2 是簡單的。 正交辛李超代數 mathfrak ospm2n 考慮 mathbb Cm2n 上的偶、非退化、超對稱雙射形式 langle cdot cdot rangle，則正交辛李超代數是 mathfrak glm2n 的超代數，包含的矩陣滿足下式不變：mathfrak ospm2n X in mathfrak glm2n mid langle X uv rangle 1Xu langle u X vrangle 0 text for all uv in mathbb Cm2n 其偶部由 mathfrak som oplus mathfrak sp2n 給出。 例外李超代數 D 21alpha 有一族取決於引數 alpha 的 98 維李超代數，它們是 D 21mathfrak osp42 的變形。若 alphanot0、alphanot1，則 D 21α 是簡單的；若 alpha、beta 在對映 alpha mapsto alpha1、alpha mapsto 1alpha 的作用下處於同一軌道，則 D 21alpha cong D 21beta。 例外李超代數 F 4 具有維度 2416。偶部由 mathfrak sl2 oplus mathfrak so7 給出。 例外李超代數 G 3 具有維度 1714。偶部由 mathfrak sl2 oplus G_2 給出。 還有 2 個所謂 奇異 序列，分別叫做 mathfrak pen、mathfrak qn Cartan 型別。可分為 4 族：W n、S n、widetilde S2n、H n。對於簡單李超代數的 Cartan 型別，奇部在偶部的作用下不再完全可還原。 無窮維簡單線性緊李超代數的分類 分類包含 10 個系列 W m n S m n m n 1 1 H 2m n K 2m 1 n HO m m m 2 SHO m m m 3 KO m m 1 SKO m m 1 β m 2 SHO 2m 2m SKO 2m 1 2m 3 及 5 個例外代數： E 1 6 E 5 10 E 4 4 E 3 6 E 3 8 最後兩個特別有趣（據 Kac 所說），因為它們的零級代數是標準模型規範群 SU 3SU 2U 1。無窮維（仿射）李超代數是超弦理論中重要的對稱，具體來說，具有 mathcal N 超對稱的 Virasoro 代數是 K 1 mathcal N，其只有中心擴充套件到 mathcal N 4。 範疇論定義 範疇論中，李超代數可定義為非結合超代數，其積滿足 cdotcdotcirc operatorname idtau_AA0 cdotcdotcirc cdotcdototimes operatorname id circ operatorname idsigmasigma20 其中 σ 是迴圈包絡辮 operatorname id otimestau_AA circ tau_AAotimes operatorname id。以圖表示： 另見 格爾斯滕哈伯代數 任意子李代數 外代數 李超代數的表示 超空間 超群 泛包絡代數 註釋 參考文獻 歷史 外部連結 Irving Kaplansky Lie Superalgebras Category 超對稱 Category 李代數