數學中，特別是在微分幾何與數學物理中，規範理論（gauge theory）是對向量叢、主叢、纖維叢上的聯絡的一般研究。數學中的規範理論不應與物理學中的規範場論相混淆，後者是一種允許規範對稱性的場論。數學中，理論指的是數學理論，包括對一系列概念或現象的一般研究，而物理學中，理論是某種自然現象的數學模型。 數學中的規範理論通常涉及規範理論方程的研究，即涉及向量叢或主叢上聯絡或向量叢截面的微分方程，因此規範理論同幾何分析有密切聯絡。這些方程通常有物理意義，與量子場論或弦論中的重要概念相對應，同時也有重要的數學意義。例如，楊 米爾斯方程是主叢上聯絡的偏微分方程組，其解在物理中對應經典場論運動方程的真空解，即叫做瞬子的粒子。 規範理論用於構造光滑流形的新不變數、奇特的幾何結構（如超卡勒流形），以及對代數幾何中的重要結構（如向量叢的模空間與凝聚層）進行代替描述。 歷史 規範理論的起源可追溯到描述經典電磁學的麥克斯韋方程組，它可表述為以圓群為結構群的規範理論。保羅狄拉克在磁單極子和相對論量子力學方面的研究孤立了這樣一種觀點：叢和聯絡是表述量子力學中許多問題的正確方法。隨著羅伯特米爾斯和楊振寧關於楊 米爾斯規範理論（標準模型的前身）的開創性工作，數學物理中的規範理論成為重要的研究領域。Yang CN and Mills RL 1954 Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance Physical review 96 1 p 191 規範理論的數學理論源於邁克爾阿蒂亞、艾沙道爾辛格和奈傑爾希欽關於 4 維黎曼流形上自對偶方程的工作。Atiyah MF Hitchin NJ and Singer IM 1977 Deformations of instantons Proceedings of the National Academy of Sciences 74 7 pp 26622663Atiyah MF Hitchin NJ and Singer IM 1978 Selfduality in fourdimensional Riemannian geometry Proceedings of the Royal Society of London A Mathematical and Physical Sciences 362 1711 pp 425461 這項工作研究了歐氏空間上自對偶聯絡（瞬子）的模空間，並證明其維度為 8k3，其中 k 是正整引數。這與物理學家發現的 BPST 瞬子有關，即 k1 的 4 維楊 米爾斯方程的真空解。這種瞬子由 5 個引數定義，中心 zin mathbb R4，標度 rho in mathbb R_0，對應 835 維模空間。 大約在同一時間，阿蒂亞和理查德沃德發現了自對偶方程的解與復射影空間 mathbb CP3 上代數叢之間的聯絡。Atiyah MF and Ward RS 1977 Instantons and algebraic geometry Communications in Mathematical Physics 55 2 pp 117124 另一個重要的早期發現是阿蒂亞、弗拉基米爾德林費爾德、希欽和尤里馬寧發展出的 ADHM 構造。Atiyah MF Hitchin NJ Drinfeld VG and Manin YI 1978 Construction of instantons Physics Letters A 65 3 pp 185187 這一構造使得歐氏空間 mathbb R4 上的反自對偶方程可從純粹的線性代數資料中求解。 1980 年代初，數學規範理論的發展取得了重大突破。此時，阿蒂亞和拉烏爾博特關於黎曼曲面上楊 米爾斯方程的重要工作表明，規範理論問題可以產生有趣的幾何結構，從而推動了無窮維動量對映、等變莫爾斯理論及規範理論同代數幾何間關係的發展。Atiyah MF and Bott R 1983 The yangmills equations over riemann surfaces Philosophical Transactions of the Royal Society of London Series A Mathematical and Physical Sciences 308 1505 pp 523615 凱倫烏倫貝克在這一時期開發了幾何分析的重要工具，研究了聯絡和曲率的分析性質，證明了重要的緊性結果。Uhlenbeck KK 1982 Connections with Lp bounds on curvature Communications in Mathematical Physics 83 1 pp 3142 西蒙唐納森和愛德華威滕的研究是該領域最重要的進展。 唐納森結合代數幾何與幾何分析技術，構造了 4 維流形的新不變數，即唐納森不變數。Donaldson SK 1983 An application of gauge theory to fourdimensional topology Journal of Differential Geometry 18 2 pp 279315Donaldson SK 1990 Polynomial invariants for smooth fourmanifolds Topology 29 3 pp 257315 這些不變數可以證明一些新穎的結果，如存在不允許光滑結構的拓撲流形，或歐氏空間 mathbb R4 上存在許多不同的光滑結構。唐納森因這項工作獲得了 1986 年的菲爾茲獎。 威滕同樣觀察到了規範理論描述拓撲不變數的能力，他將 3 維陳 西蒙斯理論中產生的量與紐結理論中的瓊斯多項式聯絡起來。Witten E 1989 Quantum field theory and the Jones polynomial Communications in Mathematical Physics 121 3 pp 351399 這項工作以及唐納森不變數的發現，以及安德烈斯弗洛爾關於弗洛爾同調的新研究啟發了拓撲量子場論。 在發現了規範理論定義流形不變數的能力後，數學規範理論越發知名。人們發現了更多不變數，如塞伯格 威滕不變數和瓦法 威滕不變數等。Witten Edward 1994 Monopoles and fourmanifolds Mathematical Research Letters 1 6 769796 arXivhepth9411102 Bibcode1994MRLet1769W doi104310MRL1994v1n6a13 MR 1306021 archived from the original on 20130629Vafa C and Witten E 1994 A strong coupling test of Sduality arXiv preprint hepth9408074 唐納森、烏倫貝克和丘成桐關於楊 米爾斯聯絡與穩定向量叢的小林 希欽對應研究實現了與代數幾何的緊密聯絡。Simon K Donaldson Anti selfdual YangMills connections over complex algebraic surfaces and stable vector bundles Proceedings of the London Mathematical Society 3 50 1985 126Karen Uhlenbeck and ShingTung Yau On the existence of HermitianYangMills connections in stable vector bundlesFrontiers of the mathematical sciences 1985 New York 1985 Communications on Pure and Applied 奈傑爾希欽與卡洛斯辛普森在希格斯叢方面的研究表明，規範理論產生的模空間可能具有奇特的幾何結構，如超卡勒流形，以及透過希欽系統和可積系統的聯絡，Hitchin NJ 1987 The selfduality equations on a Riemann surface Proceedings of the London Mathematical Society 3 1 pp 59126Simpson Carlos T Higgs bundles and local systems Publications Mathématiques de lIHÉS Volume 75 1992 pp 595 httpwwwnumdamorgitemPMIHES_1992__75__5_0 實現了與弦論和映象對稱猜想的聯絡，其中規範理論對錶述同調映象對稱和 AdSCFT 對偶至關重要。 基本物件 規範理論的基本關注物件是向量叢和主叢上的聯絡。本節中，我們將簡要回顧這些構造，詳見各自的條目。這裡描述的結構是微分幾何文獻中的標準結構，從規範理論角度對這主題的介紹可見唐納森與 Peter Kronheimer 的著作。Donaldson SK Donaldson SK and Kronheimer PB 1990 The geometry of fourmanifolds Oxford University Press 主叢 規範理論的核心研究物件是主叢和向量叢。選擇物件本質上是任意的，但從物理角度看，主叢是描述規範場的自然物件，而且在數學上，它們更優雅地編碼了與之相關的向量叢的聯絡與曲率的相應理論。 結構群為 G 的主叢，或主 G 叢是 5 元組 PXpi G rho，其中 pi P to X 是光滑纖維叢，其纖維空間同構於李群 G，而 rho 表示 G 對 P 的自由、傳遞的右群作用，且保纖維（即 forall pin P forall gin G pi pg pi p）。其中 P 是全空間，X 是基空間。forall xin X 以及 pin P_x 的任何選擇使用右群作用，對映 g mapsto pg 定義了 x 上的纖維與作為光滑流形的李群 G 之間的微分同胚 P_x cong G。然而要注意的是，並沒有自然的方法讓 P 的纖維具有李群的結構，因為對每個 forall xin X 而言，並沒有元素 pin P_x 的自然選擇。 Goperatorname U1 是圓群時，就給出了主叢的最簡單例子。這時，主叢維度為 dim P n 1，其中 dim X n。另一個自然例子是 Pmathcal FTX 是流形 X 的切叢的標架叢，更一般地說是 X 上向量叢的標架叢。這種情形下，P 的纖維由一般線性群 operatorname GLn mathbb R 給出。 由於主叢是纖維叢，所以區域性具有積的結構。也就是說，存在 X 的開覆蓋 U_alpha 與微分同胚 varphi_alpha P_U_alpha to U_alpha times G，其與射影 pi、operatorname pr_1 交換，使得過渡函式 g_alphabeta U_alphacap U_beta to G 定義為 varphi_alpha circ varphi_beta1 xg x g_alphabetax g，在任何三重疊 U_alphacap U_betacap U_gamma 上滿足上迴圈條件 g_alphabetax g_betagammax g_alphagammax 要定義主叢，只需指定這樣一個過渡函式的選擇，然後用過渡函式沿交 U_alphacap U_beta 粘合平凡叢 U_alphatimes G，便定義了主叢。上迴圈條件精確地確保這在不交併 bigsqcup_alpha U_alpha times G 上確定等價關係，因此商空間 Pbigsqcup_alpha U_alpha times Gsim 是良定義的。這就是纖維叢構造定理，同樣過程適用於過渡函式描述的任何纖維叢，而不僅僅是主叢或向量叢。 注意選擇滿足 pi circ s_alpha operatorname Id 的區域性截面 s_alpha U_alpha to P_U_alpha 是指定區域性平凡化對映的等效方法。也就是說，可以定義 varphi_alpha p pi p tilde s_alpha p，其中 tilde s_alpha pin G 是唯一的群元素，使得 ptilde s_alpha p1 s_alpha pi p。 向量叢 向量叢是三元組 E X pi，其中 pi Eto X 是纖維叢，其纖維由向量空間 mathbb Kr 給出，當中 mathbb Kmathbb R mathbb C 是域。r 是向量叢的秩。同樣，可用平凡化開覆蓋來區域性描述向量叢。若 U_alpha 是這樣的覆蓋，則在同構 varphi_alpha E_U_alpha to U_alpha times mathbb Kr 下，可得到與 mathbb Kr 的 r 座標基向量 e_1dotse_r 相對應的 r 區分的 E 的區域性截面，記作 boldsymbol e_1dotsboldsymbol e_r。定義方程為 varphi_alpha boldsymbol e_i x x e_i 因此要制定一個平凡化，就等同於給出處處線性獨立的 r 區域性截面集，並用該表示式定義相應的同構。這樣的區域性截面集叫做標架（frame）。 與主叢類似，可得到向量叢的過渡函式 g_alphabeta U_alphacap U_beta to operatorname GLr mathbb K，定義為 varphi_alpha circ varphi_beta1 x v x g_alphabetax v 若利用這些過渡函式構造主叢（其纖維等於結構群 operatorname GLr mathbb K）的區域性平凡化，則得到的正是 E 的標架叢，即主 operatorname GLr mathbb K 叢。 配叢 給定主 G 叢 P 與 G 在向量空間 V 上的表示 rho，可以構造配向量叢 EPtimes_rho V，其纖維是向量空間 V。考慮對積 Ptimes V 的右作用，定義為 pv g pg rho g1 v，並定義 Ptimes_rho V Ptimes VG 為對此作用的商空間。 從過渡函式的角度可以更好理解配叢。若配叢 P 有相對於區域性平凡化 U_alpha 的過渡函式 g_alphabeta，則可用過渡函式 rho circ g_alphabeta U_alphacap U_beta to operatorname GLV 構造配向量叢。 只要 rho Gto operatorname AutF 是群同態，就可以對任意纖維空間 F 構造配叢，而不僅侷限於向量空間。例如具有纖維 G 的所謂 A 伴隨叢（Capital A adjoint bundle Adjoint bundle）operatorname AdP，是用群同態 rho G to operatorname AutG 構造的，定義為共軛 g mapsto h mapsto g h g1。注意儘管有纖維 G，但 A 伴隨叢既非主叢也不作為纖維叢同構於 P 本身。例如，若 G 是阿貝爾的，則共軛作用平凡，operatorname AdP 將是 X 上平凡的 G 纖維叢，而不管 P 作為纖維叢是否平凡。另一個關鍵例子是 a 伴隨叢（lowercase a adjoint bundle）operatorname adP，是用伴隨表示 rho G to operatorname Autmathfrak g 構造的，其中 mathfrak g 是 G 的李代數。 規範變換 向量叢或主叢的規範變換是這個物件的自同構。對主叢，規範變換由微分同胚 varphi P to P 及與之交換的射影運算元 pi 和右作用 rho 組成。對向量叢，規範變換同樣由微分同胚 varphi E to E 及與之交換的射影運算元 pi 定義，後者是每條纖維上向量空間的線性同構。 （P 或 E 的）規範變換形成一個組合下的群，稱作規範群，一般記作 mathcal G，可表為伴隨叢的全域性截面空間 mathcal G Gamma operatorname AdP 或（對向量叢）mathcal G Gamma operatorname Admathcal F E，其中 mathcal FE 表示標架叢。 也可以定義區域性規範變換為平凡化開子集 U_alpha 上的區域性叢同構。這可以唯一地指定為一個對映 g_alpha U_alpha to G（向量叢則取 Goperatorname GLr mathbb K），其中誘導叢同構定義為 varphi_alphap pg_alphapi p 對向量叢類似。 注意給定同一開子集 U_alpha 上主叢的兩區域性平凡化，過渡函式恰是區域性規範變換 g_alphaalpha U_alpha to G。即，區域性規範變換是主叢或向量叢區域性平凡化的變化。 主叢上的聯絡 主叢上的聯絡是一種聯絡鄰近纖維的方法，以捕捉截面 s Xto P 恆定或水平。由於抽象主叢的纖維不能自然地相互等同，事實上也不能與纖維空間 G 本身等同，因此沒有規範的方法指定哪些部分為常。區域性平凡化的選擇可以使得：若 P 在集合 U_alpha 上是平凡的，則若某區域性截面對這平凡化是常的，就可以說這個區域性截面是常的，即 forall xin U_alpha exists gin G varphi_alpha s x x g。尤其是平凡主叢 PXtimes G 配備了平凡聯絡時。 一般來說，聯絡是由在點 forall pin P 的切空間的水平子空間 H_p subset T_p P 的選擇給出的，這樣在每個點都有 T_p P H_p oplus V_p，其中 Vker dpi 是水平叢。要求水平分佈 H 在右群作用下宷，這些水平子空間便與主叢結構相容：H_pg d R_g H_p，其中 R_g P to P 表示右乘 g。截面 s，若 T_p s subset H_p 中 s 與其在 P 內的像（P 的子流形，有切叢 Ts）相同，則稱 s 是水平的。給定向量場 vin Gamma TX，有唯一的水平提升（lift）vin Gamma H。聯絡 H 的曲率由值在伴隨叢 Fin Omega2 X operatorname adP 中的 2 形式給出，定義為 F v_1 v_2 v_1 v_2 v_1 v_2 其中 cdot cdot 是向量場的李括號。由於鉛直叢包含 P 的纖維的切空間，且這些纖維同構於李群 G，其切叢規範等同於 TG Gtimes mathfrak g，有唯一的李代數值 2 形式 Fin Omega2 P mathfrak g 對應於曲率。從弗羅貝尼烏斯定理的角度來看，曲率恰恰衡量了水平分佈不可積的程度，因此也衡量了 H 在區域性無法嵌入 P 作為水平子流形的程度。 水平子空間的選擇可等價地表為投影運算元 nu TP to V，即聯絡 1 形式。對於水平分佈 H，它的定義是 nu_H hv v，其中 hv 表示切向量對於直和分解 TP Hoplus V 的分解。由於等變關係，此投影 1 形式可被認為是李代數值的，從而給出 nu in Omega1 P mathfrak g。 P 的區域性平凡化等價於由區域性截面 s_alpha U_alpha to P_U_alpha 給出，聯絡 1 形式和曲率可沿此光滑對映拉回。這樣就得到了 區域性聯絡 1 形式 A_alpha s_alpha nuin Omega1 U_alpha operatorname adP，在 P 的伴隨叢中取值。嘉當的結構方程表明，曲率可用區域性 1 形式 A_alpha 表為 F dA_alpha frac 12 A_alpha A_alpha 其中我們使用了李代數叢 operatorname adP 上的李括號，等同於區域性平凡化 U_alpha 上的 U_alpha times mathfrak g。 在區域性規範變換 g U_alpha to G 下，使得 tilde A_alpha gcirc s nu，區域性聯絡 1 形式變的表示式為 tilde A_alpha operatorname adgcirc A_alpha g1 theta 其中 theta 表示李群 G 的馬尤厄 嘉當形式。G 是矩陣李群的情形下，有更簡單的表達 tilde A_alpha g A_alpha g1 dg g1 向量叢上的聯絡 向量叢上的聯絡與上述主叢的情形類似，稱作埃雷斯曼聯絡。而向量叢聯絡可用微分運算元進行更有力的描述。向量叢上的聯絡是 mathbb K 線性微分運算元 nabla Gamma E to Gamma TX otimes E Omega1 E 的選擇，使得 forall fin CinftyX 及截面 sin Gamma E nabla fs dfotimes s f nabla s 截面 s 在向量場 v 的方向上的協變導數定義為 nabla_v s nabla s v 其右式我們用 Omega1 X 和 TX 間的自然配對。這時向量叢 E 的一個新截面，可看作是 s 在 v 方向上的導數。運算元 nabla_v 是在 v 方向上的協變導數。nabla 的曲率由運算元 F_nablain Omega2 operatorname EndE 給出，值在自同態叢中，定義為 F_nablav_1v_2 nabla_v_1 nabla_v_2 nabla_v_2 nabla_v_1 nabla_v_1 v_2 區域性平凡化中，外導數 d 充當平凡聯絡（主叢圖中對應上述平凡聯絡）。即，對於區域性標架 boldsymbol e_1 dots boldsymbol e_r 可定義為 d si boldsymbol e_i dsi otimes boldsymbol e_i 此處我們用愛因斯坦求和約定表示區域性截面 ssi boldsymbol e_i。 任意兩聯絡 nabla_1 nabla_2 的區別在於 operatorname EndE 值 1 形式 A。注意兩聯絡的差是 CinftyX 線性的： nabla_1 nabla_2fs f nabla_1nabla_2s 特別地，由於每個向量叢都允許有聯絡（使用單位劃分與區域性平凡聯絡），向量叢上的聯絡集具有無窮維仿射空間結構，以向量空間 Omega1 operatorname EndE 為模型。這個空間通常表示為 mathcal A。 區域性地應用這一觀察結果，則平凡化子集 U_alpha 上的每個聯絡都與平凡聯絡 d 透過某個區域性聯絡 1 形式 A_alphain Omega1 U_alpha operatorname EndE 不同，且在 U_alpha 上有 nabla d A_alpha 的性質。根據這種區域性聯絡形式，曲率可寫作 F_A dA_alpha A_alpha wedge A_alpha 其中楔積出現在 1 形式分量上，而我們在自同態分量上組合自同態。要與主叢理論相聯絡，只需注意 Awedge A frac 12A A，其中右式現在執行的是 1 形式與自同態的交換子的楔積。 在向量叢 E 的規範變換 u 下，聯絡 nabla 透過共軛 ucdot nabla_v s u nabla_v u1s 轉變為聯絡 ucdot nabla，相差 ucdot nabla nabla nabla u u1，其中 nabla 作用於 E 的自同態。在區域性規範變換 g 下，可得到與主叢情形相同的表示式 tilde A_alpha g A_alpha g1 dg g1 誘導聯絡 主叢上的聯絡會誘導配向量叢上的聯絡。從上述區域性聯絡形式可以看出這一點。也就是說，若主叢聯絡 H 有區域性聯絡形式 A_alphain Omega1 U_alpha operatorname adP，且 rho G to operatorname AutV 是 G 的一個表示、定義了配向量叢 EPtimes_rho V，則誘導區域性聯絡 1 形式可定義為 rho_ A_alpha in Omega1 U_alpha operatorname EndE 其中 rho_ 是來自 mathfrak g to operatorname EndV 的誘導李代數同態，我們利用這一事實，即此對映誘導向量叢 operatorname adP to operatorname EndE 的同態。 誘導曲率可簡單定義為 rho_ F_A in Omega2 U_alpha operatorname EndE 這裡可見曲率的區域性表達如何與主叢、向量叢相聯絡，因為李代數 mathfrak g 上的李括號被髮送到李代數同態 rho_ 下 operatorname EndV 的自同態的交換子。 聯絡空間 規範理論的核心研究物件是向量叢或主叢上的聯絡空間。這是一個無窮維仿射空間 mathcal A，建模於向量空間 Omega1 X operatorname adP（對向量叢是 Omega1 X operatorname EndE）。若有規範變換 u 使得 A ucdot A，則稱兩聯絡 A Ain mathcal A 規範等價（gauge equivalent）。規範理論關注聯絡的規範等價類，因此從某種意義上說，規範理論關注的是商空間 mathcal Amathcal G 的性質，它一般既不是豪斯多夫空間也不是光滑流形。 底流形 X 的很多有趣性質可編碼為 X 上主叢和向量叢的聯絡模空間的幾何和拓撲。X 的不變數，如唐納森不變數、塞伯格 威滕不變數等，可透過計算 X 上的聯絡模空間誘導的數量得到。這一思想最著名的應用是唐納森定理，其透過單連通 4 維流形 X 上主 operatorname SU2 叢上楊 米爾斯聯絡的模空間研究其交形式。唐納森因此獲得了菲爾茲獎。 符號約定 對於主叢和向量叢上的聯絡有各種各樣的符號，在此做一總結。 A 是表示向量叢或主叢上聯絡的最常用符號，因為若在所有聯絡中選擇一固定聯絡 nabla_0in mathcal A，則對某唯一的 1 形式 Ain Omega1 X operatorname adP，其他聯絡都可寫作 nabla nabla_0 A。它也源於用 A_alpha 表示向量叢上聯絡的區域性形式，這又來自物理學中的電磁四維勢 A。有時 omega 也用於表示聯絡形式，通常是主叢上的，這時 omega 指主叢全空間上的全域性聯絡 1 形式 omega in Omega1 P mathfrak g，而非對應的區域性聯絡形式。數學文獻中通常不用這約定，因為底流形 X 是凱勒流形時，會與 omega 表示凱勒形式衝突。 nabla 常作為微分運算元，用於表示向量叢上的聯絡，這個意義上與 A 可以互換。也可指協變微分運算元 nabla_X。聯絡運算元與協變微分運算元的另一種記號是 nabla_A，以強調與 Ain mathcal A 或 D_A 或 d_A 的選擇有關。 運算元 d_A 指的通常是聯絡 A 的外協變導數（因此有時也寫成 d_nabla，nabla 是聯絡）。由於 0 度外協變導數與常規協變導數相同，聯絡或協變導數本身通常表為 d_A，而非 nabla。 F_A 或 F_nabla 常用於表示聯絡的曲率。聯絡用 omega 表示時，曲率用 Omega 表示，而非 F_omega。其他符號有 R、R_A、R_nabla 等，類似於黎曼幾何中的黎曼曲率張量記作 R。 強調水平分佈 Hsubset TP 時，H 常用以表示主叢聯絡或埃雷斯曼聯絡。這時，對應 H 的豎直投影運算元（P 上的聯絡 1 形式）一般記作 omega 或 v 或 nu。這樣，曲率有時記作 F_H 以強調其依賴性，而 F_H 既可以指總空間 F_H in Omega2 P mathfrak g 上的曲率運算元，也可以指基 F_H in Omega2 X operatorname adP 上的曲率。 李代數伴隨叢一般記作 operatorname adP，李群伴隨叢一般記作 operatorname AdP。這與李群理論中的約定不同，operatorname Ad 表示 G 在 mathfrak g 上的表示，而 operatorname ad 是用李括號寫出的 mathfrak g 在自身上的李代數表示。李群理論中，共軛作用（定義了叢 operatorname AdP）一般記作 Psi_g。 數學與物理術語彙總 規範理論的數學和物理領域涉及相同的物件，但所用的術語不同。下面總結了它們的關係。 數學與物理規範理論概念的比較 Bleecker D 2005 Gauge theory and variational principles Courier Corporation 數學 物理 主叢（Principal bundle） 瞬子扇 電荷扇（Instanton sectorcharge sector） 結構群（Structure group） 規範群 區域性規範群（Gauge grouplocal gauge group） 規範群（Gauge group） 全域性規範變換群 全域性規範群（Group of global gauge transformationsglobal gauge group） 規範變換（Gauge transformation） 規範變換 規範對稱（Gauge transformationgauge symmetry） 區域性平凡化的變化（Change of local trivialisation） 區域性規範變換（Local gauge transformation） 區域性平凡化（Local trivialisation） 規範（Gauge） 區域性平凡化的選擇（Choice of local trivialisation） 固定規範（Fixing a gauge） 定義在聯絡空間上的泛函（Functional defined on the space of connections） 規範理論的拉格朗日量（Lagrangian of gauge theory） 在規範變換下不變的物件（Object does not change under the effects of a gauge transformation） 規範不變（Gauge invariance） 對聯絡協變為常的規範變換（Gauge transformations that are covariantly constant with respect to the connection） 全域性規範對稱（Global gauge symmetry） 對聯絡不協變為常的規範變換（Gauge transformations which are not covariantly constant with respect to the connection） 區域性規範對稱（Local gauge symmetry） 聯絡（Connection） 規範場 規範勢（Gauge fieldgauge potential） 曲率（Curvature） 規範場強 場強（Gauge field strengthfield strength） 配叢上的誘導聯絡 協變導數（Induced connectioncovariant derivative on associated bundle） 最小耦合（Minimal coupling） 配向量叢截面（Section of associated vector bundle） 物質場（Matter field） 拉格朗日泛函中涉及多個不同量的項（Term in Lagrangian functional involving multiple different quantities，如應用於配叢截面的協變導數，或兩項之乘） 相互作用（Interaction） 實或復（通常平凡）的線叢截面（Section of real or complex usually trivial line bundle） （實或復）標量場（Scalar field） 作為演示，考慮量子電動力學拉格朗日量中電子 正電子粒子場和電磁場的相互作用項：Peskin Michael Schroeder Daniel 1995 An introduction to quantum field theory Reprint ed Westview Press mathcal L barpsi igammamu D_mu mpsi frac 14 F_munu Fmunu 數學上可以改寫為 mathcal L langle psi D_A m psi rangle_L2 F_A_L22 其中 A 是主 operatorname U1 叢 P 上的聯絡，psi 是配旋量叢的截面，D_A 是此配叢上的誘導協變導數 nabla_A 的誘導狄拉克運算元。第一項是拉格朗日量中旋量場（代表電子 正電子場）與規範場（代表電磁場）之間的相互作用項。第二項是正則楊 米爾斯泛函，描述了電磁場的基本非相互作用性質（聯絡 A）。形式為 nabla_A psi 的項是物理學中所謂最小耦合的一個例子，即物質場 psi 域規範場 A 之間最簡單的相互作用。 楊 米爾斯理論 數學規範理論中最主要的理論是楊 米爾斯理論，涉及聯絡的研究，聯絡是楊米爾斯泛函的臨界點，定義為 operatorname YMA int_X F_A2 dmathrm vol_g 其中 Xg 是有向黎曼流形，dmathrm vol_g 是黎曼體積形式， cdot 2 是配叢 operatorname adP 上的 L2 範數。此泛函是聯絡 A 的曲率的 L2 範數的平方，因此臨界點聯絡的曲率儘可能小（或者是 operatorname YM 的更高區域性極小值）。 這些臨界點被表為相關尤拉 拉格朗日方程，即楊米爾斯方程 d_A star F_A 0 的解，其中 d_A 是 nabla_A 在 operatorname adP 上的誘導外協變導數，star 是霍奇星運算元。這樣的解稱作楊米爾斯聯絡，具有重要幾何意義。 比安基恆等式斷言，對任何聯絡，d_A F_A 0。以此類推，對微分形式，調和形式 omega 滿足條件 d star omega d omega 0 若定義調和聯絡的條件是 d_A star F_A d_A F_A 0 則楊米爾斯聯絡的研究在性質上類似於調和形式的研究。霍奇理論為每個德拉姆上同調類 omega 提供了唯一的調和形式代表；用規範軌跡 ucdot A mid uin mathcal G 代替上同調類，則研究就是試圖在聯絡模規範變換的商空間 mathcal Amathcal G 中尋找每個軌道的唯一代表。 自偶與反自偶方程 4 維中，霍奇星運算元將 2 形式送到 2 形式：star Omega2 X to Omega2 X，複合後等於恆等運算元 star2 operatorname Id。於是 2 形式上的霍奇星運算元的特徵值為 pm 1，有向黎曼 4 維流形上的 2 形式分裂為直和 Omega2 X Omega_ X oplus Omega_X 有自偶和反自偶 2 形式，分別由霍奇星運算元的 1、1 特徵空間給出。即，若 star alpha alpha，則 alpha in Omega2 X 是自偶的；若 star alpha alpha 則是反自偶的，且每個微分 2 形式都可分裂為自偶、反自偶兩部分：alpha alpha_ alpha_。 若聯絡 A 在 4 維流形上主叢的曲率是（反）自偶的，則據比安基恆等式 d_A star F_A pm d_A F_A 0，聯絡自動變為楊 米爾斯聯絡。方程 star F_A pm F_A 是聯絡的 1 階偏微分方程，比完整的 2 階楊米爾斯方程簡單。方程 star F_A F_A 稱作自偶方程，方程 star F_A F_A 稱作反自偶方程，它們的解分別是自偶聯絡和反自偶聯絡。 降維 推導新的規範理論，可對楊米爾斯方程進行降維。此過程要在流形 X（通常是歐氏空間 Xmathbb R4）上求楊米爾斯方程，並要求解在平移群或其他對稱性下不變。這樣，楊米爾斯方程便引出了描述 mathbb R3 上單極的 Bogomolny 方程、描述黎曼曲面上希格斯叢的希欽方程、分別在 1、2、3 個方向的平移對稱性下的實區間上的納姆方程。 低維規範理論 此節討論底流形 X 維度較低時的楊米爾斯方程。由於 1 維中不存在 2 形式、2 維中 2 形式上的霍奇星運算元的作用是 star Omega2 X to CinftyX，所以方程大大簡化了。 楊米爾斯理論 可直接在 2 維流形上研究楊米爾斯方程。邁克爾阿蒂亞、拉烏爾博特研究了底流形為緊黎曼曲面時的楊米爾斯方程理論，這時復向量叢 E 上楊米爾斯聯絡的模空間有各種豐富的解釋，是理解高維方程的最簡單情形。楊米爾斯方程即變為 star F_A lambda E operatorname Id_E 其中 lambda Ein mathbb C 是取決於 E 的拓撲常數。稱這樣的聯絡是射影平直的（projectively flat），向量叢拓撲平凡時（即 lambda E 0）它們恰是平直聯絡。 向量叢的秩和度數互質時，楊米爾斯聯絡的模空間 mathcal M 光滑，具有自然的辛流形結構。阿蒂亞和博特觀察到，由於楊米爾斯聯絡是射影平直的，其完整群給出了曲面基本群的射影么正表示，於是這空間可以等價描述為黎曼曲面基本群的射影么正表示的模空間，是個示性簇。那拉西姆漢塞沙德里定理給出了這表示空間的另一種描述：與 E 光滑同構的穩定全純向量叢的模空間。Narasimhan MS and Seshadri CS 1965 Stable and unitary vector bundles on a compact Riemann surface Annals of Mathematics pp 540567 楊米爾斯聯絡的模空間透過這種同構獲得了複雜結構，與阿蒂亞和博特的辛結構相互作用，使其成為緊凱勒流形。 西蒙唐納森給出了那拉西姆漢塞沙德里定理的另一種證明，直接從楊米爾斯聯絡傳遞到穩定全純結構。Donaldson SK 1983 A new proof of a theorem of Narasimhan and Seshadri Journal of Differential Geometry 18 2 pp 269277 阿蒂亞和博特利用這種重表述，闡明瞭極值楊米爾斯聯絡和向量叢穩定性之間的密切關係，即規範群 mathcal G 作用的無限維矩對映，由曲率對映 Amapsto F_A 本身給出。這一觀察將那拉西姆漢塞沙德里定理表述為幾何不變數理論中肯普夫涅斯定理的一種無窮維版本，將矩對映（此處為楊米爾斯聯絡）的範數平方臨界點與響應代數商上的穩定點（此處為穩定全純向量叢）聯絡起來。這觀點提出以來，在規範理論和復幾何中影響深遠。 納姆方程 維納納姆引入的納姆方程是在 3 個方向上施加平移不變，將 4 維中的反自偶性降維到 1 維得到的。Nahm W 1983 All selfdual multimonopoles for arbitrary gauge groups In Structural elements in particle physics and statistical mechanics pp 301310 Springer Boston MA 具體說，我們要求聯絡形式 AA_0 dx0 A_1 dx1 A_2 dx2 A_3 dx3 不依賴於座標 x1 x2 x3。這樣，對 4 個矩陣 T_0 T_1 T_2 T_3 in CinftyI mathfrak g 在區間 Isubset mathbb R 上的方程組之間的納姆方程滿足三元方程組 begin cases frac dT_1dt T_0 T_1 T_2 T_3 0 frac dT_2dt T_0 T_2 T_3 T_1 0 frac dT_3dt T_0 T_3 T_1 T_2 0 end cases 納姆證明，其解（常微分方程的解易得）可用於構造 Bogomolny 方程的解，其描述了 mathbb R3 上的單極。奈傑爾希欽證明了方程的解可用於構造納姆方程的解，說明這兩個問題的解是等價的。Hitchin NJ 1983 On the construction of monopoles Communications in Mathematical Physics 89 2 pp 145190 唐納森進一步證明，納姆方程的解等價於復射影線 mathbb CP1 到自身的 k 度有理對映，其中 k 是相應磁單極子的電荷。Donaldson SK 1984 Nahms equations and the classification of monopoles Communications in mathematical physics 96 3 pp 387408 納姆方程的解的模空間具有超凱勒流形的結構。 希欽方程與希格斯叢 希欽方程由奈傑爾希欽提出，在 2 個方向上施加平移不變性，將 4 維自偶方程降到 2 維。Hitchin NJ 1987 The selfduality equations on a Riemann surface Proceedings of the London Mathematical Society 3 1 pp 59126 這時，兩個額外聯絡形式分量 A_3 dx3 A_4 dx4 可合併為一個復值自同態 Phi A_3 i A_4，當這樣表述時方程會變得共形不變（conformally invariant），於是在緊黎曼曲面而非 mathbb R2 上研究是很自然的。希欽方程指出，對復向量叢 Eto Sigma 上的配對 APhi（其中 Phiin Omega10Sigma operatorname EndE）， begin cases F_A Phi Phi 0 barpartial_A Phi 0end cases 當中 barpartial_A 是 d_A 的 01 組分。希欽方程的解稱作希欽對。 楊米爾斯方程在緊黎曼曲面上的解對應曲面群的射影么正表示，希欽證明了希欽方程的解對應曲面群的射影復表示。希欽對的模空間（在叢的秩和度互質時）自然具有凱勒流形的結構。希欽類比阿蒂亞和博特對楊米爾斯方程的觀察，證明希欽對對應於所謂穩定希格斯叢，後者是配對 E Phi 且 Eto Sigma 是全純向量叢，Phi E to Eotimes K 是 E 的全純自同態，值位於黎曼曲面 Sigma 的規範叢中。由無窮維矩對映構造可以證明之，而且希格斯叢的這一模空間有不同於希欽對的復結構，導致希格斯叢的模空間 mathcal M 上有兩個復結構。它們結合起來形成第三個結構，使模空間成為超凱勒流形。 希欽的工作後來得到 Carlos Simpson 的推廣，希欽方程的解與任意凱勒流形上的希格斯叢之間的對應也稱作非阿貝爾霍奇定理。Simpson CT 1988 Constructing variations of Hodge structure using YangMills theory and applications to uniformization Journal of the American Mathematical Society 1 4 pp 867918Simpson CT 1992 Higgs bundles and local systems Publications Mathématiques de lIHÉS 75 pp 595Simpson CT 1994 Moduli of representations of the fundamental group of a smooth projective variety I Publications Mathématiques de lIHÉS 79 pp47129Simpson CT Moduli of representations of the fundamental group of a smooth projective variety II Publications Mathématiques de LInstitut des Hautes Scientifiques 80 579 1994 httpsdoiorg101007BF02698895Simpson C 1996 The Hodge filtration on nonabelian cohomology arXiv preprint alggeom9604005 3 維規範理論 單極 對楊米爾斯方程在 1 個方向上施加平移不變性，降到 3 維後就產生了配對 A Phi 的 Bogomolny 方程，其中 Phi mathbb R3 to mathfrak g 是矩陣族。Atiyah Michael Hitchin Nigel 1988 The geometry and dynamics of magnetic monopoles M B Porter Lectures Princeton University Press MR 0934202 方程是 F_A star d_A Phi 主叢 Pto mathbb R3 的結構群為圓群 operatorname U1 時，Bogomolny 方程的解模擬了經典電磁學中描述磁單極子的狄拉克單極。納姆和希欽的研究表明，結構群是特殊酉群 operatorname SU2 時，單極方程的解對應納姆方程的解；透過唐納森的研究，這些解進一步對應於 mathbb CP1 到自身的 k 度有理對映，k 是單極子的電荷，定義為配對 Phi F_Ain Omega2 mathbb R3 在半徑 R 遞增的球面 S_R 上積分的極限 lim_Rto infty int_S_R Phi F_A 4pi k 陳西蒙斯理論 3 維陳西蒙斯理論是一種拓撲量子場論，其作用泛函與陳 西蒙斯形式的積分成正比。陳 西蒙斯形式是一種 3 形式，定義為 operatorname TrF_A wedge A frac 13 Awedge A wedge A 閉 3 維流形 X 上陳 西蒙斯泛函的尤拉 拉格朗日方程經典解對應主 G 叢 Pto X 上的平直聯絡。X 有界時，便變得複雜起來。愛德華威滕利用陳 西蒙斯理論，用 3 球面 S3 上的 operatorname SU2 陳西蒙斯理論中威爾森迴圈的真空期望值表達了瓊斯多項式（一種扭結不變數）。這充分展示了規範理論為拓撲學提供新見解的能力，也是拓撲量子場論的最早例項之一。 在經典陳 西蒙斯理論的量子化中，我們研究主叢上的誘導平直或射影平直聯絡，被限制到 3 維流形內的曲面 Sigma subset X。曲面對應的經典狀態空間正是阿蒂亞和博特研究的楊米爾斯方程的模空間。空間的幾何量子化由希欽與 AxelrodDella PietraWitten 獨立實現，在結構群為復時，構型空間是希格斯叢的模空間，其量子化由威滕實現。Hitchin NJ 1990 Flat connections and geometric quantization Communications in mathematical physics 131 2 pp 347380Axelrod S Della Pietra S and Witten E 1991 Geometric quantization of ChernSimons gauge theory representations 34 p 39Witten E 1991 Quantization of ChernSimons gauge theory with complex gauge group Communications in Mathematical Physics 137 1 pp 2966 弗洛爾同調 安德烈斯弗洛爾引入了一種 3 維流形上的同調，定義類似於有限維莫爾斯同調。Floer A 1988 An instantoninvariant for 3manifolds Communications in mathematical physics 118 2 pp 215240 當中，莫爾斯函式是 operatorname SU2 主叢在 3 維流形 X 上的聯絡空間上的陳 西蒙斯泛函。臨界點是平直聯絡，流線定義為 Mtimes I 上的楊米爾斯瞬子，限制到兩邊界組分上的臨界平直聯絡，這產生了瞬子弗洛爾同調。阿蒂亞 弗洛爾猜想斷言，瞬子杜弗洛爾同調與 Sigmasubset X 面上平直聯絡的模空間的拉格朗日交弗洛爾同調一致，後者定義了 X 的希加德分裂（Heegaard splitting），由阿蒂亞和博特的觀察是辛的。 與瞬子弗洛爾同調類似，可以定義塞伯格 威滕弗洛爾同調，將瞬子替換為塞伯格 威滕方程的解。克利福德陶布斯的研究表明，這與嵌入切觸同調和之後的希加德弗洛爾同調是同構的。 4 維規範理論 4 維規範理論的研究最為深入，數學研究與物理起源關係密切，因為標準模型可看做 4 維時空上的量子場論。4 維規範理論的研究會自然引出拓撲量子場論，這類理論是對 4 維底流形的黎曼度量變化不敏感的規範場論，因此可用於定義流形（或光滑結構）的拓撲不變數。 反自偶方程 4 維楊米爾斯方程可簡化為 1 階反自偶方程 star F_A F_A，其中 A 是 4 維有向黎曼流形 X 上主叢 Pto X 上的聯絡。楊米爾斯方程的這些解代表了楊米爾斯泛函的絕對最小值，，更高階的臨界點則對應不來自反自偶聯絡的解 d_A star F_A 0。反自偶方程的解的模空間 mathcal M_P 允許我們推匯出底 4 維流形的有用不變數。 這一理論在 X 單連通時最有效。例如，唐納森定理指出，若 4 維流形具有負定交形式，且若主叢以特殊酉群 operatorname SU2 為結構群、第二陳類 c_2 P 1，則模空間 mathcal M_P 是 5 維的，且給出 X 自身同 mathbb CP2 的 b_2 X 副本的反向不交併之間的配邊。這說明，這類 4 維流形的交形式是可對角化的。有些單連通的拓撲 4 維流形的交形式不可對角化，例如 E8 流形。所以，唐納森定理意味著存在沒有光滑結構的拓撲 4 維流形。這與 2、3 維情形形成鮮明對比，當中拓撲結構和光滑結構等價：任何維數不大於 3 的的拓撲流形上都有唯一的光滑結構。 克利福德陶布斯和唐納森也用類似手法證明，歐氏空間 mathbb R4 具有不可數無窮多個不同的光滑結構；而在維度不等於 4 時，歐氏空間具有唯一的光滑結構。 這些觀點的延伸產生了唐納森理論，其從光滑 4 維流形的聯絡模空間中構造出光滑 4 維流形的更多不變數。凱倫烏倫貝克、陶布斯與唐納森的分析工作顯示了模空間的有向性與緊性，確保了模空間基本類存在。這些不變數就是求模空間上的上同調類與基本類得到的。 4 維流形是凱勒流形或代數曲面，且主叢具有趨於 0 的第一陳類時，反自偶方程等價於複流形 X 上的厄米楊 米爾斯方程。唐納森證明代數曲面情形、烏倫貝克和丘成桐推廣到一般情形的小林希欽對應指出，HYM 方程的解對應全純穩定向量叢。這項研究給出了模空間及其緊化的另一種代數描述，因為複流形上的半穩定全純向量叢模空間的模空間是射影簇，因此是緊的。這表明，緊化聯絡模空間的的一種方法是加入對應於半穩定向量叢的聯絡，即所謂殆厄米楊 米爾斯聯絡。 塞伯格威滕方程 在研究 4 維超對稱的過程中，愛德華威滕和內森塞伯格發現了一個聯絡 A 與旋量場 psi 構成的方程組，現在稱之為塞伯格威滕方程。這時，4 維流形必須包含一個 SpinC 結構，它定義了一個具有定線叢 L 的主 SpinC 叢 P，以及一個相關的旋量叢 S。聯絡 A 在 L 上，旋量場 psi in Gamma S。塞伯格威滕方程為 begin cases F_A psi otimes psi frac 12 psi2 d_A psi 0end cases 解稱作單極（monopole），其模空間 mathcal M_sigma（sigma 表示自旋結構的選擇）用於推導塞伯格威滕不變數。塞伯格威滕方程與反自偶方程相比有個優勢：可對方程本身加以微擾，使解的模空間具有更好的性質，為此可在第一個方程新增任意自偶 2 形式。對底 4 維流形上的度量 g 的一般選擇及微擾 2 形式的選擇，解的模空間是緊光滑流形。在較好情形（流形 X 是簡單型別）下，這模空間是 0 維的：點的有限集合。這時塞伯格威滕不變數就是模空間中的點數。塞伯格威滕不變數可用於證明很多餘唐納森不變數相同的結果，但通常更容易，適用範圍也更廣。 高維規範理論 厄米楊米爾斯方程 凱勒流形或厄米流形上可以研究一類特殊的楊米爾斯聯絡。厄米楊米爾斯方程將 4 維楊米爾斯理論中的反自偶方程推廣為任意維厄米複流形上的全純向量叢。若 Eto X 是緊凱勒流形 Xomega 上的全純向量叢、A 是 E 上的厄米聯絡，與某個厄米度量 h 有關，則厄米楊米爾斯方程可表為 begin cases F_A02 0 Lambda_omega F_A lambda E operatorname Id_E end cases 其中 lambda Ein mathbb C 是取決於 E 的拓撲常數。它們可以視作是厄米聯絡 A 的方程，也可視作是相應厄米度量 h 與相關陳聯絡 A 的方程。4 維空間中，HYM 方程等價於 ASD 方程。2 維空間中，HYM 方程對應阿蒂亞和博特的楊米爾斯方程。小林希欽對應指出，HYM 方程的解對應多穩全純向量叢。對緊黎曼曲面，這是唐納森證明的那拉西姆漢塞沙德里定理；代數曲面情形，是唐納森證明的；一般情形是由凱倫烏倫貝克和丘成桐證明的。辛普森在非阿貝爾霍奇定理中推廣了這一定理，實際上它是希格斯叢的希格斯場 E Phi 置為 0 時的特例。 異常完整瞬子 楊米爾斯方程的解在定義 4 維流形不變數時的有效性引發了人們的興趣，它們可能有助於區分特殊完整流形，如 7 維 G2 流形與 8 維 Spin 7 流形，以及相關的結構，如 6 維卡拉比丘流形與近凱勒流形。S K Donaldson and R P Thomas Gauge theory in higher dimensions In The Geometric Universe Oxford 1996 pages 3147 Oxford Univ Press Oxford 1998Simon Donaldson and Ed Segal Gauge theory in higher dimensions II InSurveys in differential geometry Volume XVI Geometry of special holonomyand related topics volume 16 ofSurv Differ Geom pages 141 Int Press Somerville MA 2011 弦論 超弦理論模型產生了新的規範理論問題。這類模型中，宇宙是由 4 維規則時空和 6 維卡拉比 丘流形組成的 10 維物件，作用於弦的場在高維空間的叢上生存，人們對與之相關的規範理論很感興趣。例如，弦半徑趨近於 0 時（即所謂 大體積極限），超弦理論中的自然場論在 6 維卡拉比 丘流形上的極限由流形上的厄米楊米爾斯方程給出。遠離大體積極限，便得到變形厄米楊米爾斯方程，描述了超弦 B 模型中 D 膜的運動方程。映象對稱猜想預言，方程的解對應映象對偶卡拉比 丘流形的特殊拉格朗日子流形。Leung NC Yau ST and Zaslow E 2000 From special lagrangian to hermitianYangMills via FourierMukai transform arXiv preprint math0005118 另見 規範場論 規範場論 概述 規範群 數學 規範對稱 數學 楊 米爾斯理論 楊 米爾斯方程 參考文獻 Category 微分幾何 Category 數學物理