微分疊 是代數幾何中的代數疊在微分幾何中的類似物，可描述為微分流形上的疊，也可描述為森田等價下的李群胚。 微分疊很適合處理有奇點的空間（如軌形、葉空間、商），它們自然出現在微分幾何中，且不是可微流形。例如，微分疊在葉狀結構、泊松流形和扭 K 理論中都有應用。 定義 定義 1（由廣群纖維化） 回想在廣群中纖維化的範疇（或稱廣群纖維化），包含範疇 mathcal C、到微分流形範疇的函子 pi mathcal C to mathrm Mfd，並滿足 mathcal C 是纖維範疇，即對任意物件 uinmathcal C 和任意箭頭 V to U inmathrm Mfd，都有箭頭 v to u，在 V to U 上； 對 mathrm Mfd 中的任意交換三角 W to V to U 及 W to U 上的任意箭頭 w to u、V to U 上的 v to u，在 W to V 上存在唯一的箭，使三角 w to v to u 交換。 這些性質確保 forall Uin mathrm Mfd，都可以定義其纖維 pi1U 或 mathcal C_U，作為 mathcal C 的子範疇，由 mathcal C 在 U 上的所有物件和在 id_U 上的所有態射組成。根據這構造，pi1U 是廣群。疊是滿足膠合性質的廣群纖維，用下降表述。 任何流形 X 都定義了其 F_X mathrm Hom_mathrm Mdf X，物件是流形 U 與光滑對映 f U to X 組成的對子 Uf；則 F_X to mathrm Mdf Uf mapsto U 是廣群纖維，實際上也是疊。廣群纖維的態射 mathcal C to mathcal D 若滿足以下條件，則稱作可表浸沒： 對流形 U 和任意態射 F_U to mathcal D，纖維積 mathcal C times_mathcal D F_U 可表，即（對某個流形 Y，）與作為廣群纖維的 F_V 同構； 誘導光滑對映 V to U 是浸沒。 對流形 X，微分疊是疊 pi mathcal C to mathrm Mfd 與特殊的可表浸沒 F_X to mathcal C（上述每個浸沒 V to U 都需要是滿射）。對映 F_X to mathcal C 稱作疊 X 的圖集、呈現或覆疊。Grégory Ginot Introduction to Differentiable Stacks and gerbes moduli spaces 2013 定義 2（由 2 函子） 回想範疇 mathcal C 上（廣群的）預疊（也稱作 2 預層），是 2 函子 X mathcal Ctext opp to mathrm Grp，其中 mathrm Grp 是（集合論）廣群的 2 範疇、及其間的態射和自然變換。疊是滿足膠合性質的預疊（類似層滿足的膠合性質）。要精確說明這性質，需要定義景上的（預）疊，即配備了格羅滕迪克拓撲的範疇。 所有物件 M in mathrm Objmathcal C 定義了疊 underline M mathrm Hom_mathcal CM，與另一物件 N in mathrm Objmathcal C 關聯，形成態射 Nto M 的廣群 mathrm Hom_mathcal CNM。現有疊 X mathcal Ctext opp to mathrm Grp，若有物件 M in mathrm Objmathcal C 與疊的態射 underline M to X（常稱作疊 X 的圖集、呈現或覆疊）滿足以下性質，則稱其幾何的： 態射 underline M to X 可表，即 forall Yin mathcal C 和任何態射 Y to X，纖維積 underline M times_X underline Y 同構於作為疊的 underline Z（對某物件 Z）； 誘導態射 Z to Y 滿足取決於範疇 mathcal C 的範疇（如對流形，是要滿足浸沒。 微分疊是 mathcal C mathrm Mfd（微分流形範疇，視作具有通常開覆疊拓撲的景）上的疊，即 2 函子 X mathrm Mfdtext opp to mathrm Grp，其也滿足幾何性，即承認上面定義的圖集 underline M to X。Jochen Heinloth Some notes on differentiable stacks Mathematisches Institut Seminars Universität Göttingen 200405 p 132Eugene Lerman Anton Malkin Differential characters as stacks and prequantization 2008 注意，將 mathrm Mfd 換成仿射概形範疇，就恢復到標準代數疊概念。相似地，把 mathrm Mfd 換成拓撲空間範疇，就得到拓撲疊定義。 定義 3（由森田等價） 回想李群胚，包含兩微分流形 G、M、兩滿射浸沒 st G to M、偏乘法對映 m G times_M G to G、單位對映 u M to G、逆對映 i G to G，滿足類似群的相容性。 兩個李群胚 G rightrightarrows M、H rightrightarrows N 間若有主雙叢 P，即有主右 H 叢 P to M、主左 G 叢 P to N，使得對 P 的兩作用交換，則稱 G、H 森田等價。森田等價是李群胚間的等價，比同構弱，但足以保留許多幾何性質。 微分疊記作 MG，是某李群胚 G rightrightarrows M 的森田等價類。Ping Xu Differentiable Stacks Gerbes and Twisted KTheory 2017 定義 1、2 的等價性 任何纖維範疇 mathcal C to mathrm Mdf 都定義了 2 層 X mathrm Mdfopp to mathrm Grp U mapsto pi1U。反過來，任何預疊 X mathrm Mdftext opp to mathrm Grp 給出了範疇 mathcal C，其物件是流形 U 與物件 x in X U 的對子 Ux，態射是對映 phi Ux to Vy，使 X phi y x。這樣的 mathcal C 配備函子 mathcal C to mathrm Mdf Ux mapsto U 後，成為纖維範疇。 定義 1、2 中疊的膠合性質等價，同樣，定義 1 中的圖集誘導了定義 2 中的圖集，反之亦然。 定義 2、3 的等價性 李群胚 G rightrightarrows M 給出了微分疊 BG mathrm Mfdtext opp to mathrm Grp，將任何流形 N 傳送到 N 上的 G 旋子的範疇（即 G 主叢）。G rightrightarrows M 的森田類中，任何其他李群胚都誘導了一個同構疊。 反過來，任何微分疊 X mathrm Mfdtext opp to mathrm Grp 都是 BG 形式，即可由李群胚表示。更精確地說，若 underline M to X 是疊 X 的圖集，則可定義李群胚 G_X M times_X M rightrightarrows M，並檢查 BG_X 是否同構於 X。 Dorette Pronk 提出的一個定理指出，定義 1 的微分疊與李群胚之間的雙範疇具有森田等價性。 示例 任何流形 M 定義了微分疊 underline M mathrm Hom_mathrm HomM，由恆等對映 underline M to underline M 平凡地表示。疊 underline M 對應單位廣群 u M rightrightarrows M 的森田等價類。 李群 G 定義了微分疊 BG，將任意流形 N 傳送到 N 上的 G 主叢的範疇，由平凡疊態射 underline pt to BG 表示，將一點發送到 G 的分類空間上的通用 G 叢。疊 BG 對應 G rightrightarrows 的森田等價類，視作點上的李群胚（即任意具有迷向群 G 的傳遞李群胚的森田等價類）。 流形 M 上的葉狀結構 mathcal F 由其葉空間定義了微分疊，對應完整廣群 mathrm Hol mathcal F rightrightarrows M 的森田等價類。 軌形都是微分疊，因為其是具有離散迷向的緊合李群胚（緊合李群胚的迷向是緊的，所以有限）的森田等價類。 商微分疊 給定 M 上的李群作用 a M times G to M，其商（微分）疊是代數幾何中商（代數）疊的可微部分。其定義為與流形 X、主 G 叢範疇 P to X 和 G 等價對映 phi P to M 相聯絡的疊 MG，是由疊態射 underline M to MG 表示的微分疊，在任意流形 X 上的定義如下： underline MX mathrm HomXM to MGX quad f mapsto X times G to X phi_f 其中 phi_f X times G to M 是 G 等價對映 phi_f a circ f circ mathrm pr_1 mathrm pr_2 xg mapsto f x cdot g。 疊 MG 對應作用廣群 M times G rightrightarrows M 的森田等價類。於是，可得到下列特殊情形： 若 M 是點，則微分疊 MG 與 BG 重合 若作用是半正則緊合作用（於是商 MG 是流形），則微分疊 MG 與 underline MG 重合 若作用是緊合作用（於是商 MG 是軌形），則微分疊 MG 與軌形定義的疊重合 微分空間 微分空間（differentiable space）是具有平凡穩定子的微分疊。例如，若李群半正則作用（不必緊合）於流形，則對其的商一般不是流形，而是微分空間。 配備格羅滕迪克拓撲 微分疊 X 可以某種方式配備格羅滕迪克拓撲，這給出了 X 上的層概念。例如，X 上微分 p 形式的層 Omega_Xp 可由流形 U 上 forall xin X 給出，使 Omega_Xp x 為 U 上 p 形式的空間。層 Omega_X0 稱作 X 上的結構層，表示為 mathcal O_X。Omega_X 帶有外微分，因此是 X 上向量空間的復層：於是有了 X 的德拉姆上同調的概念。 束 現有微分疊間的滿態射 G to X，若 G to G times_X G 也是滿態射，則前者稱作 X 上的束。例如，若 X 是疊，則 BS1 times X to X 是束。Giraud 提出的一條定理稱，H2 X S1 一一對應於區域性同構於 BS1 times X to X 的 X 上的束集，束有其帶（band）的平凡化。 參考文獻 外部連結 httpncatlaborgnlabshowdifferentiablestack Category 微分幾何