GPY 篩法（GoldstonPintzYıldırım sieve）是一種篩法，這種篩法是塞爾伯格篩法的一種帶有一般、多維篩選權重的變體。這種篩法已為解析數論的研究帶來多項突破。 這種篩法以、和這三位數學家為名。他們在 2005 年時以此篩法證明說根據質數定理，可推出存在有無限多的質陣列，其間隔任意地小於質數的平均間隔。 張益唐後來修改此篩法，以證明說兩個相隔質數間出現無限多次的最小間隔的有限界限為何。之後詹姆斯梅納德（他把上述的界限降到 600）及陶哲軒都曾修改此篩法。 GPY 篩法 表記 首先固定 kin N，之後定義以下表記： mathbb P 是質數集合，且 1_mathbb Pn 是這集合的特徵方程。 Lambda n 是馮曼戈爾特函式。 omega n 是用以計算 n 的不同質因數個數的。 mathcal Hh_1dotsh_k 是一組相異的非負整數 h_iinZ_cup 0 的集合。 theta n 是另一個關於質數的特徵函式，其定義如下： theta nbegin cases log n text if nin mathbb P 0 text elseend cases 其中 theta nlog n1 1_mathbb Pn1。 對於 mathcal H 有以下定義： mathcal Hnnh_1dotsnh_k， P_mathcal Hnnh_1nh_2cdots nh_k nu_p mathcal H 是 mathcal H 模 p 的相異同餘類個數。像例如因為 024stackrel pmod 3012 且 02stackrel pmod 302 之故，因此有 nu_3 0243 以及 nu_3 022。 假若對所有的 pin mathbb P 而言，都有 nu_p mathcal Hk 的話，則稱 mathcal H 為「可及的」（admissible）。 構造 設 mathcal Hh_1dotsh_k 為「可及的」，並考慮以下篩函式（sifting function）： mathcal SNcmathcal Hsumlimits_nN12Nleft sumlimits_h_iin mathcal H 1_mathbb Pnh_icright w n2quad w nin Rquad c0 那麼對任意的 nin N12N 而言，這函式即是計算扣掉某個門檻 c 之後，形如 nh_i 的質數的個數的函式，故在 mathcal S0 的情況下，有某數 n 使得至少 lfloor c rfloor 1 是 mathcal Hn 中的質數。 由於 1_mathbb Pn 的解析性質沒那麼好之故，因此可改用下列的篩函式： mathcal SNmathcal Hsumlimits_nN12Nleft sumlimits_h_iin mathcal Htheta nh_ilog 3Nright w n2 由於 log Ntheta nh_ilog 2N 且 clog 3n 之故，我們僅在存在 nh_i 及 nh_j 這兩個質數的狀況下，有 mathcal S0。我們接下來要做的，就是尋找權重函式 w n 以便能測得。 權重的派生 一個權重函式的可能候選，是一般化的馮曼戈爾特函式： Lambda_k nsumlimits_dmid nmu dleft logleft frac ndrightrightk 這函式有如次的性質：若 omega nk，則 Lambda_k n0。雖說這函式也會測得形式為質數冪的因子，但在應用中，這些因子可在僅造成可忽略誤差的狀況下移除。 因此在 mathcal Hn 是質數 k 元組的狀況下，以下方程不會消失： Lambda_k nmathcal Hfrac 1kLambda_k P_mathcal Hn 其中 1k 這因子僅僅是因方便計算而選取。 （古典）馮曼戈爾特函式可以截形馮曼戈爾特函式來估計： Lambda napprox Lambda_R nsumlimits_begin arrayc dmid n dleq R end arraymu dlogleft frac Rdright 其中 R 不再表示 mathcal H 的長度，但用以決定擷取點。類似地我們可以下式估計 Lambda_k nmathcal H： Lambda_R nmathcal Hfrac 1ksumlimits_begin arrayc dmid P_mathcal Hn dleq R end arraymu dleft logleft frac Rdrightrightk 因為技術理由，我們會希望估計在多個部分中帶有質數的陣列，而非再引入另一個引數 0leq ell leq k 的狀況下僅僅估計質陣列，因此我們可選取 kell 或較不相異的質因數。而這引出了下列的最終形式： Lambda_R nmathcal Hellfrac 1kellsumlimits_begin arrayc dmid P_mathcal Hn dleq R end arraymu dleft logleft frac Rdrightrightkell 在不引入 ell 這額外引數的狀況下，對不同的 dd_1d_2cdots d_k 有 d_1leq R d_2leq R dots d_kleq R 這樣的限制；但藉由引入此引數，我們可得到更寬鬆的限制 d_1d_2dots d_kleq R。 故對於 k 維的篩法問題，我們有 kell 維的篩法。 GPY 篩法 GPY 篩法有下列形式： mathcal SNmathcal Hellsumlimits_nN12Nleft sumlimits_h_iin mathcal Htheta nh_ilog 3NrightLambda_R nmathcal Hell2qquad mathcal Hk 其中 Lambda_R nmathcal Hellfrac 1kellsumlimits_begin arrayc dmid P_mathcal Hn dleq R end arraymu dleft logleft frac Rdrightrightkellquad 0leq ellleq k Goldston、Pintz 及 Yıldırım 三氏對主定理的證明 在考慮 mathcal H_1ell_1 k_1、mathcal H_2ell_2 k_2 以及 1leq h_0leq R 並定義 Mk_1k_2ell_1ell_2 的情況下，Goldston、Pintz 及 Yıldırım 三氏在他們的論文中，以兩個定理證明瞭在合適的條件下，以下兩個非病態的形式成立。這兩個形式分別為 sumlimits_nleq NLambda_R nmathcal H_1ell_1Lambda_R nmathcal H_2ell_2 C_1left mathcal Smathcal Hio_M 1right N 以及 sumlimits_nleq NLambda_R nmathcal H_1ell_1Lambda_R nmathcal H_2ell_2theta nh_0 C_2left mathcal Smathcal Hjo_M 1right N 其中 C_1C_2 是兩個常數，mathcal Smathcal Hi 及 mathcal Smathcal Hj 是兩個奇異級數（singular series），其描述在此省略。 最後我們可將此結果套用在 mathcal S 之上，以得到 Goldston、Pintz 及 Yıldırım 三氏「存在有無限多的質陣列，其間隔任意地小於質數的平均間隔」的結果。 註解 Category 篩法