在數學上，切比雪夫函式（Chebyshev Function）可指一個標量化函式（切比雪夫加權標量化函式），或兩個彼此相關的函式的其中之一。 切比雪夫第一函式（First Chebyshev Function）在文獻中一般記做 vartheta x 或 theta x，其形式如下： vartheta x sum_p le x log p 其中 log 是自然對數，而切比雪夫第一函式就是所有小於等於的質數的自然對數的總和。 切比雪夫第二函式（Second Chebyshev Function）在文獻中一般記做 psi x，其定義類似，為所有小於等於的質數的冪的自然對數的總和，而其形式如下： psi x sum_k in mathbb Nsum_pk le xlog p sum_n leq x Lambda n sum_p le xleftlfloorlog_p xrightrfloorlog p 其中 Lambda 是馮曼戈爾特函式。切比雪夫函式，尤其切比雪夫第二函式 psi x，經常出現於與質數相關的數學證明中，而這是因為這些函式比質數計數函式 pi x 還容易處理之故。可見下等式一節說明。 切比雪夫第一及第二函式都與呈現非病態關係，而這點等價於質數定理。 除了上述的切比雪夫第一及第二函式外，還有個與上述無關無關的切比雪夫加權標量化函式（Tchebycheff function 或 weighted Tchebycheff scalarizing function）或切比雪夫效用函式（Chebyshev utility function），其形式如下： f_Tchbxw max_i w_i f_i x 藉由最小化這方程式不同 w 的數值，可得到的每個點，甚至是非凸性的部分。很多時候，要最小化的不是 f_i，而是在給定標量 z_i 的狀況下 f_iz_i 的數值，而在這種狀況下有 f_Tchbxw max_i w_i f_i xz_i。 這三個函式皆以帕夫努季利沃維奇切比雪夫為名，唯本文的主題是數論上的切比雪夫第一及第二函式，切比雪夫加權標量化函式與這兩函式無關，也不會出現在接下來的討論中。 切比雪夫第一及第二函式的關係 切比雪夫第一及第二函式彼此相關，要驗證這點，可先將切比雪夫第二函式寫成如下形式： psi x sum_p le x k log p 其中是使得 pk le x pk1 的唯一整數，而的值可參見。一個更直接的關係如下： psi x sum_n1infty varthetabig xfrac 1nbig 注意的是和的後半段只有有限多個非零數值，而這是因為有下式之故： varthetabig xfrac 1nbig 0quad text forquad nlog_2 x frac log xlog 2 切比雪夫第二函式是從 1 到所有數的最小公倍數的自然對數： operatorname lcm12dotsn epsi n 對於而言，的值可參見。 以下定理將 frac psi xx 及 frac vartheta xx 這兩個分數給聯絡起來。 定理：若 x0 則有 0 leq frac psi xxfrac vartheta xxleq frac log x22sqrt xlog 2 注意：從此不等式可推出 lim_xtoinftyleft frac psi xxfrac vartheta xxright 0 換句話說，若 psi xx 或 vartheta xx 其中一個趨近某個極限，則另一個也是如此，也就是兩者的極限相等。 證明：由於 psi xsum_n leq log_2 xvartheta x1n，因此有 0 leq psi xvartheta xsum_2leq n leq log_2 xvartheta x1n 而由 vartheta x 的定義，可得以下明顯的不等式： vartheta xleq sum_pleq xlog xleq xlog x 因此有 begin align 0leqpsi xvartheta xleq sum_2leq nleq log_2 x x1nlog x1n leq log_2 xsqrt xlogsqrt x frac log xlog 2frac sqrt x2log x frac sqrt xlog x22log 2 end align 最後，將此不等式兩邊除以 x，即可得定理的不等式。 非病態關係及上下界 對於切比雪夫函式，有以下已知的界線。其中是第個質數，也就是、等等： begin align vartheta p_k ge kleft log kloglog k1frac loglog k2050735log kright text for kge1011 8px vartheta p_k le kleft log kloglog k1frac loglog k2log kright text for k ge 198 8px vartheta xx le 0006788frac xlog x text for x ge 10544111 8px psi xxle0006409frac xlog x text for x ge e228px 09999sqrt x psi xvartheta x100007sqrt x178sqrt 3x text for xge121 end align 此外，若黎曼猜想成立，則對於任意的 varepsilon 0 而言，有以下關係式： begin align vartheta xx OBig xfrac12varepsilonBig psi xx OBig xfrac12varepsilonBig end align 對任意的 x 0 而言，切比雪夫第一函式 vartheta x 及第二函式 psi x 有以下的上界： begin align vartheta x1000028x psi x103883x end align 對於 103883 這常數的解釋，可見的說明。 等式 1895 年，漢斯馮曼戈爾特證明瞭 psi x 有以下作為黎曼 ζ 函式非平凡零點和的： psi_0 x x sum_rho frac xrhorho frac zeta0zeta 0 tfrac 12 log 1x2 其中的數值為、遍歷黎曼 ζ 函式的所有非平凡零點，而是一個與類似的函式，但差別是其在跳躍不連續點（質數的冪）的取值為其左邊與右邊值的中間： psi_0 x frac 12left sum_n leq x Lambda nsum_n x Lambda nright begin cases psi x tfrac 12 Lambda x x 2345789111316dots 5px psi x mbox otherwise end cases 就自然對數的泰勒展開式而言，解析解的最後一項可理解為對黎曼 ζ 函式平凡零點的求和。也就是說， sum_k1infty frac x2k2k tfrac 12 log left 1 x2 right 類似地，此公式第一項對應到黎曼 ζ 函式在 1 的單純極點。這部分作為極點而非零點的事實，說明瞭項的變號。 性質 一個由埃哈德施密特證明的結果指稱，對於某個特定的正常數，存在有無限多個正整數使得 psi xx Ksqrt x 同時有無限多個正整數使得 psi xx Ksqrt x 使用小符號，可將上式重述為 psi xx ne oleft sqrt xright 哈代與李特爾伍德證明瞭一個更強的結果，表述如下： psi xx ne oleft sqrt xlogloglog xright 也就是說有無限多的正整數，使得 psi x 與之間的差的絕對值超過 sqrt xlogloglog x。 與質數階乘的關係 切比雪夫第一函式也是的質數階乘的對數： vartheta x sum_p le x log p log prod_ple x p logleft xright 這說明瞭質數階乘非病態地等於，其中是小符號（見大 O 符號一文的說明），而這點與質數定理共同確立了的非病態行為。 與質數計數函式間的關係 切比雪夫函式可透過下式與與質數計數函式發生關係。定義 Pi x sum_n leq x frac Lambda nlog n 那麼有 Pi x sum_n leq x Lambda n int_nx frac dtt log2 t frac 1log x sum_n leq x Lambda n int_2x frac psi t dtt log2 t frac psi xlog x 從到質數計數函式間的轉換可由下式表示： Pi x pi x tfrac 12 pileft sqrt xright tfrac 13 pileft sqrt 3xright cdots 由於很明顯地，有之故，因此為了估計的目的，最後的關係式可重述如下： pi x Pi x Oleft sqrt xright 黎曼猜想 黎曼猜想指稱說黎曼 ζ 函式任意的非顯著零點的實部的值為。在這種狀況下，有，且可證明說 sum_rho frac xrhorho Oleft sqrt x log2 xright 由上式可推得 pi x operatorname lix Oleft sqrt x log xright 平滑化函式 平滑化切比雪夫函式定義如下： psi_1 x int_0x psi tdt 顯然有 psi_1 x sim frac x22 參考資料 Estimates of some functions over primes without RH Pierre Dusart Sharper bounds for Rapport de recherche no 199806 Université de Limoges An abbreviated version appeared as The th prime is greater than for Mathematics of Computation Vol 68 No 225 1999 pp 411415 Erhard Schmidt Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze Mathematische Annalen 57 1903 pp 195204 G H Hardy and J E Littlewood Contributions to the Theory of the Riemann ZetaFunction and the Theory of the Distribution of Primes Acta Mathematica 41 1916 pp 119196 2000 可見於《Multiplicative Number Theory 》一書。 Springer p 104 Google Book Search 額外補充 外部連結 Riemanns Explicit Formula with images and movies Category 算術函式