傳輸理論（、），又稱為運輸理論，是數學、經濟學等學科中研究最優運輸和資源配置的理論。該問題最早由法國數學家加斯帕爾蒙日於 1781 年提出。G Monge Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais Histoire de lAcadémie Royale des Sciences de Paris avec les Mémoires de Mathématique et de Physique pour la même année pages 666704 1781 1920 年代，AN托爾斯泰是最早運用數學方法研究傳輸問題的學者之一。1930 年，他在蘇聯國家交通部編纂的《運輸規劃》第一卷中發表了題為《尋找太空貨物運輸的最小千公里方法》的論文。Schrijver Alexander Combinatorial Optimization Berlin New York Springer 2003 Cf p 362Ivor GrattanGuinness Ivor Companion encyclopedia of the history and philosophy of the mathematical sciences Volume 1 JHU Press 2003 Cf p831 第二次世界大戰期間，蘇聯數學家、經濟學家列昂尼德坎託羅維奇在該領域取得了重要進展。L Kantorovich On the translocation of masses CR Doklady Acad Sci URSS NS 37199201 1942 因此，這一問題有時也被稱為蒙日 坎託羅維奇運輸問題。 該問題的線性規劃形式也被稱為 庫普曼斯運輸問題。 背景 礦山與工廠 假設有 m 個開採鐵礦石的礦山以及 n 個工廠使用這些礦山生產的鐵礦石，且這些礦山和工廠構成歐幾里得平面 mathbb R2 中兩個不相交的子集 M 和 F。同時假設存在一個成本函式 c mathbb R2 times mathbb R2 to 0 infty， 其中 c x y 表示將一批礦石從 x 運送到 y 的成本。為簡化起見，此處忽略運輸所需的時間。我們還假定每個礦山只能供應一家工廠（不能拆分運輸），並且每家工廠需要恰好一批貨物才能運營（工廠不能半負荷或雙倍負荷運轉）。基於上述條件，一個傳輸計劃可以看作是一個雙射 T M to F 。換句話說，每個礦井 m in M 僅供應一個目標工廠 T m in F，而每個工廠也只由一個礦山供貨。我們希望找到最優傳輸計劃 T，使得總成本 c T sum_m in M c m T m 在所有 M 到 F 的傳輸計劃中是最小的。該問題是傳輸問題的一個特例，可看成一個任務分配問題。更具體地說，它等價於在二分圖中尋找最小權重匹配。 書籍移動：成本函式的重要性 下面這個簡單的例子說明了成本函式在確定最優傳輸計劃中的重要性。假設我們有 n 本寬度相等的書擺放在書架上（可以看成具像化的實數線），形成連續一排書。我們希望將它們重新排列，在保持其連續性的同時將整體向右移動一本書的寬度。針對這個問題，有兩個顯而易見的最優傳輸候選方案： 將所有 n 本書全都向右移動一本書的寬度（許多小步）； 將最左側的書向右移動 n 書本的寬度，其他書則保持不動（一大步）。 如果成本函式與歐幾里得距離成正比（即 c x y alpha x y，其中 alpha 0 ），那麼這兩種候選方案都是最優的。而如果我們選擇與歐幾里得距離的平方成比例的嚴格凸成本函式（即 c x y alpha x y2，其中 alpha 0 ），則 許多小步 的方案則是唯一的最優解。 需要注意的是，上述成本函式僅考慮書籍本身移動的水平距離，而沒有考慮拿起每本書並將其移動到位的裝置所行進的水平距離。如果考慮後者，那麼在兩種傳輸計劃中，第二種方案對於歐幾里得距離始終是最優的，而第一種方案則對於平方歐幾里得距離是最優的（至少有三本書的情況下）。 希區柯克問題 以下傳輸問題的表述由弗蘭克勞倫希區柯克提出： 假設有 m 個供應源 x_1 ldots x_m 為某一商品供貨，且每個供應源 x_i 處有 a x_i 個單位的供應量。同時有 n 個需求點 y_1 ldots y_n 需要該商品，每個需求點 y_j 處有 b y_j 個單位的需求。若 c x_i y_j 表示從 x_i 到 y_j 的單位運輸成本，任務是找到一個流量分配方案，在滿足供應需求的同時最小化運輸成本。這一物流問題由德爾伯特雷富爾克森提出 D R Fulkerson 1956 Hitchcock Transportation Problem RAND corporation，並在他與小萊斯特倫道夫福特合著的《網路流》（Flows in Networks）（1962 年）一書中得到了闡述。L R Ford Jr D R Fulkerson 1962 31 in Flows in Networks page 95 Princeton University Press 佳林庫普曼斯也為運輸經濟學與資源分配問題的表述作出了貢獻。 問題的抽象表述 蒙日和坎託羅維奇形式 由於黎曼幾何和測度論的發展，在現代或更加技術性的文獻中傳輸問題的表述有所不同。不過，上述礦山與工廠的簡單例子還是可以作為考慮抽象形式時一個有用的參照。此時我們可以考慮並非所有礦山和工廠都營業的情況，並允許一個礦山向多家工廠供貨，而一家工廠也可以從多個礦山接受礦石。 假設 X 和 Y 為兩個可分度量空間，使得 X（或者 Y 上的每個機率測度都是拉東測度，並假設 c X times Y to 0 infty 是一個博雷爾可測函式。給定 X 上的機率測度 mu 和 Y 上的機率測度 nu，最優傳輸問題的蒙日形式是指尋找一個傳輸對映 T X to Y，使得下式中的下確界成立： inf leftleft int_X c x T x mathrm d mu x right T_ mu nu right 其中 T_mu 由 T 推進 mu 的向前推進運算元。如果一個對映 T 達到這個下確界，則該對映被稱為 最優傳輸對映。 最優傳輸問題的蒙日形式有其侷限性，因為有時可能不存在滿足 T_mu nu 的對映 T。例如，當 mu 是狄拉克測度而 nu 不是時，就會出現這種情況。 此時可以透過採用最優傳輸問題的坎託羅維奇形式來克服這一侷限，即尋找 X times Y 上的一個機率測度 gamma，使得下式中的下確界成立： inf leftleft int_X times Y c x y mathrm d gamma x y right gamma in Gamma mu nu right 其中 Gamma mu nu 表示 X times Y 上所有機率測度的集合並滿足邊緣分佈 mu 和 nu。可以證明 L Ambrosio N Gigli G Savaré Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures Lectures in Mathematics ETH Zürich Birkhäuser Verlag Basel 2005，當成本函式 c 是下半連續並且 Gamma mu nu 是緊測度集合（拉東空間 X 和 Y 蘊含該條件）時，該問題總是存在最小值（另見沃瑟斯坦度量）。、史蒂文哈克爾（Steven Haker）與提出了蒙日坎託羅維奇問題解的梯度下降表述。 對偶形式 坎託羅維奇問題的最小值等於 sup left int_X varphi x mathrm d mu x int_Y psi y mathrm d nu y right 其中上確界遍歷所有有界且連續、滿足 varphi x psi y leq c x y 的函式對。 經濟學解釋 將以上表述中的符號翻轉更利於從經濟學角度解釋這一問題。假設 x in X 表示工人特徵的向量， y in Y 表示企業特徵的向量，Phi xy c xy 則表示工人 x 與企業 y 配對所創造的經濟產出。令 u x varphi x、v y psi y，蒙日坎託羅維奇問題可以重新表述為： sup leftint_Xtimes YPhi xy dgamma xy gamma in Gamma munu right 它的對偶形式為： inf leftint_X u x dmu x int_Y v y dnu y u x v y geq Phi xy right 其中下確界遍歷所有有界且連續的函式 uXto mathbb R 和 vYto mathbb R。如果對偶問題有解，則有： v y sup_x leftPhi xy u xright 可以將 u x 解釋為 x 型別工人的均衡工資 ，並將 v y 解釋為 y 型別企業的均衡利潤。Galichon Alfred Optimal Transport Methods in Economics Princeton University Press 2016 問題求解 一維連續情形 對於 1 leq p infty， 假設 mathcal P_p mathbb R 表示 mathbb R 上所有 p 階矩有限的機率測度的集合。設 mu nu in mathcal P_p mathbb R 且 c x y h xy，其中 hmathbb R to 0infty 是一個凸函式。 如果 mu 沒有，即 mu 的累積分佈函式 F_mu mathbb Rto 01 是一個連續函式，則 F_nu1 circ F_mu mathbb R to mathbb R 是一個最優傳輸對映。如果 h 是嚴格凸的，則它是唯一的最優對映。 可以得到 min_gamma in Gamma mu nu int_mathbb R2 c x y mathrm d gamma x y int_01 c left F_mu1 s F_nu1 s right mathrm d s 拉切夫（Rachev）與呂申多夫（Rüschendorf）於 1998 年給出了對此的證明。Rachev Svetlozar T and Ludger Rüschendorf Mass Transportation Problems Volume I Theory Vol 1 Springer 1998 離散情形與線性規劃 在邊緣分佈 mu 和 nu 是離散的情形下，令 mu_x 和 nu_y 分別是分配給 xin mathbf X 和 yin mathbf Y 的機率質量，而 gamma_xy 則是 xy 的分配機率。原始坎託羅維奇問題中的目標函式為 sum_xin mathbf Xyin mathbf Y gamma_xy c_xy 並滿足約束條件 sum_yin mathbf Ygamma_xymu_xforall xin mathbf X sum_xin mathbf X gamma_xynu_yforall yin mathbf Y 為了將這一問題作為線性規劃問題處理，我們需要將矩陣 gamma_xy 向量化，可以透過堆疊其行或列來完成，我們用 operatorname vec 來表示這一操作。在的情況下，上述約束條件可改寫為 left 1_1times mathbf Y otimes I_mathbf Xright operatorname vecgammamu left I_mathbf Yotimes 1_1times mathbf Xright operatorname vecgammanu 其中 otimes 是克羅內克積，1_ntimes m 是一個大小為 ntimes m、所有元素為 1 的矩陣，而 I_n 是大小為 n 的單位矩陣。設 zoperatorname vecgamma，該問題的線性規劃形式為 begin align text Minimize operatorname vecctop z 4pt text subject to z ge 0 4pt begin pmatrix 1_1times mathbf Yotimes I_mathbf X I_mathbf Yotimes 1_1times mathbf X end pmatrix zbinom munu end align 這一問題可以很容易地透過大規模線性規劃求解器計算。Galichon Alfred Optimal Transport Methods in Economics Princeton University Press 2016 半離散情形 在半離散情況下，令 XYmathbb Rd，且 mu 是 mathbb Rd 上的連續分佈，nu sum_j1J nu_jdelta_y_i 則是分配機率質量 nu_j 到 y_j in mathbb Rd 的離散分佈。此時，坎託羅維奇問題的原始形式為：Santambrogio Filippo Optimal Transport for Applied Mathematicians Birkhäuser Basel 2016 In particular chapter 6 section 42 inf leftint_X sum_j1J c xy_j dgamma_j x gamma in Gamma munuright 其中 gamma in Gamma mu nu 滿足 int_X dgamma_j xnu_j 和 sum_j dgamma_j x dmu x 。 而其對偶形式則為 sup leftint_Xvarphi x dmu xsum_j1Jpsi_jnu_jpsi_jvarphi xleq c xy_j right 還可以寫為： sup_psi in mathbb RJleftint_Xinf_jleft c xy_jpsi_jright dmu xsum_j1Jpsi_jnu_jright 這是一個有限維凸最佳化問題，可以透過梯度下降等方法求解。 當 c xyxy22 時，可以證明分配給特定 j 的 xin mathbf X 集合是一個凸多面體，而得到的配置稱為。 二次正態情形 假設一個特殊情形 mu mathcal N0Sigma_X、nu mathcal N0Sigma _Y 且 c xy yAx22，其中 A 是可逆矩陣。此時有 varphi x xtop Sigma_X12left Sigma_X12 Atop Sigma_Y ASigma_X12right 12Sigma_X12 x2 psi y ytop ASigma_X12left Sigma_X12 Atop Sigma_Y ASigma_X12right12 Sigma_X12 Ay2 T x Atop1Sigma_X12 left Sigma_X12 Atop Sigma_Y ASigma_X12 right12 Sigma_X12 x 加利雄（Galichon）於 2016 年證明了該情況下的解。Galichon Alfred Optimal Transport Methods in Economics Princeton University Press 2016 可分希爾伯特空間 令 X 是一個可分希爾伯特空間，定義 mathcal P_p X 為 X 上所有 p 階矩有限的機率測度的集合，mathcal P_pr X 則表示其中高斯正則的測度集合，即如果 g 是 X 上任何嚴格正的且滿足 g N 0 ，則 mu N 0 也成立。 假設 mu in mathcal P_pr X、nu in mathcal P_p X，並且 c x y x y pp，其中 pin 1infty p1 q1 1 。則坎託羅維奇問題存在一個唯一解 kappa ，並且該解對應一個最優傳輸對映：即存在一個博雷爾對映 rin Lp X mu X，使得 kappa mathrm id_X times r_ mu in Gamma mu nu 此外，如果 nu 具有有界支撐，那麼對於 mu 幾乎所有的 xin X，存在區域性利普希茨、 c 凹和最大坎託羅維奇勢 varphi，使得 r x x nabla varphi x q 2 nabla varphi x 其中 nabla varphi 表示 varphi 的加託導數。 熵正則化 考慮上述離散問題的一個變體：在原始問題的目標函式中新增一個熵正則化項 begin align text Minimize sum_xin mathbf X yin mathbf Ygamma_xy c_xyvarepsilon gamma_xy ln gamma_xy 4pt text subject to 4pt gammage0 4pt sum_yin mathbf Ygamma_xy mu_x forall xin mathbf X 4pt sum_xin mathbf Xgamma_xy nu_y forall yin mathbf Y end align 相應的對偶問題為 max_varphi psi sum_xin mathbf X varphi_x mu_x sum_yin mathbf Y psi_y v_y varepsilon sum_xin mathbf Xyin mathbf Y exp left frac varphi_x psi_y c_xyvarepsilonright 相較於不含正則化項的問題，原先對偶問題中的硬約束（ varphi_x psi_y c_xygeq 0 ）被替換為了軟約束，即懲罰項 varepsilon exp left varphi _x psi_y c_xyvarepsilon right。對偶問題的最優條件可以表示為 mu_x sum_yin mathbf Y exp left frac varphi_x psi_y c_xyvarepsilon right forall xin mathbf X nu_y sum_xin mathbf X exp left frac varphi_x psi_y c_xyvarepsilonright forall yin mathbf Y 令 A 為 mathbf X times mathbf Y 的矩陣，其中元素 A_xyexp left c_xy varepsilon right。此時對偶問題的求解等價於尋找兩個對角正矩陣 D_1 和 D_2，它們的大小分別為 mathbf X 和 mathbf Y ，使得 D_1AD_2 1_mathbf Ymu、D_1AD_2top 1_mathbf Xnu 。矩陣 D_1 和 D_2 的存在性是辛克宏定理的推廣，可以使用辛克宏 諾普演算法進行求解。Peyré Gabriel and Marco Cuturi 2019 Computational Optimal Transport With Applications to Data Science Foundations and Trends in Machine Learning Vol 11 No 56 pp 355607 DOI 1015612200000073 該演算法透過迭代求解中的 varphi_x 和中的 psi_y 實現。因此，辛克宏 諾普演算法相當於對偶正則問題的座標下降法。 應用 蒙日 坎託羅維奇運輸問題已廣泛運用於許多領域，例如： 影像配準與變形 反射面設計 從陰影照相與質子射線成像中提取資訊 地震層析成像和反射地震學 涉及總替代性質的經濟模型 參見 沃瑟斯坦度量 匈牙利演算法 交通規劃 推土機距離 齊次蒙日 安培方程 參考文獻 Category 運輸經濟學 Category 數學最佳化 Category 商業數學最佳化 Category 測度論 Category 變分法 Category 圖論