數學中，濫用符號雖然不嚴格，並非按數學符號的字面定義來運用，但有時能使數學論證更清晰，或引導讀者明白其，同時減少犯錯和增進理解。不過，符號是否嚴格使用，或上是否正確，很視乎時代和學科背景。某些用法，在某些場合算為濫用，在另一種背景下卻是嚴格正確。某理論在嚴格化前，若已引入新的符號，則該些符號是否屬濫用，就可能取決於時代，因為有時該理論發展後，邏輯根基得到鞏固，統一符號用法，而使符號變成嚴格正確。濫用符號不等於誤用符號，因為前者是表意與嚴格性兩方面的取捨，而後者則僅是錯誤，應當避免。誤用積分常數為後者一例。 相似的概念是濫用語文或濫用術語，此時濫用的是詞語，而非符號。例如，「表示」的正式含義，是由某個群 G 到某向量空間 V 上的一般線性群 mathrm GLV 的群同態，但經常會將 V 稱為 G 的表示。另一個常見濫用，是稱兩個但不相等的物件為等同。類似還有：視常數函式與其值等同、視群（一個基集與其上二元運算組成的二元組）與其基集等同、視集合笛卡兒積 mathbb R3 與三維歐氏空間（配備幾何結構）等同。 集合與對映例子 函式寫法 許多教科書中，會寫「設函式 f x 為（填入關於 x 的式子）」。此為濫用符號，因為函式的名稱應為 f，而 f x 應表示函式 f 在其定義域中某處 x 的取值。嚴格的寫法為：「設 f 為函式，在 x 處取值為」或「設 f 為函式 x mapsto cdots」此種濫用非常廣泛，因為可簡化寫法，而嚴格的寫法可能顯得過於執著細節。 類似的濫用尚有「考慮函式 x2 x 1」，因為 x2 x1 並非函式，真正的函式是將 x 對應到 x2x1 的運算，用匿名函式的寫法可將該函式寫成 x mapsto x2 x 1。同樣，此種濫用亦廣泛出現，因為避免拘泥小節，同時一般不會造成混淆。 數學結構 許多數學物件是由一個集合（通常稱為基集，）及其上的額外結構組成。此種結構可以是數學運算、關係或拓撲結構。經常濫用同一個符號，同時表示基集及整個數學結構（此現象稱為「壓引數」，）。舉例，mathbb Z 表示整數集，但同時可以表示整數集與加法組成的群，還可以是整數集連同加法、乘法組成的環。一般而言，此類用法中，若所指的物件為所熟知，則不會引起讀者混淆；若刻意避免濫用，反而可能略嫌冗餘，使數學論述更難理解。實在混淆時，可以寫出整個結構以作區分，即以 mathbb Z 表示整數的加法群，mathbb Z cdot 表示整數環。 同理，拓撲空間由基集 X 與拓撲結構 mathcal T 兩部分構成，後者是 X 若干子集構成的族，該些子集稱為開集。通常，只考慮 X 上某一個拓撲，於是一經指定，就無需再次提及，可用同一個符號 X 同時表示基集及 X 與拓撲結構 mathcal T 組成的二元組，而不引起混淆，即使嚴格而言，兩者為不同的數學物件。不過，有時要同時考慮同一個基集上的兩個拓撲（如拓撲向量空間上的和，或實數線上的歐氏拓撲和下限拓撲），此時則須當心使用結構的全寫，如 X mathcal T 和 X mathcal T，以作區分。 等價類 等價關係中，元素 x 所在等價類嚴格地可記為 x，但有時亦濫用符號記為 x。此處等價類的意思是，若集合 X 分劃成等價關係 sim 的等價類，則對每個 x in X，等價類 y in X y sim x 記為 x。但實用上，若取商集後，餘下討論僅關心等價類，而非原集合的元素，則常會棄用方括號。 例如，模算術中，有等價關係 sim，其定義中，x sim y 當且僅當 x equiv y pmod n。將整數集按 sim 劃分，可以得到等價類 0 1 ldots n1，關於加法組成一個 n 階迴圈群，但實用上，該群的元素常簡記為 0 1 ldots n1。 另一個例子是，某測度空間上，可測函式（類）組成的向量空間，或勒貝格可積函式（類）組成的向量空間。此處等價關係為「幾乎處處相等」。 相等抑或同構 許多數學構造是以某性質來刻劃其定義（經常是泛性質），如直積、張量積、自由積。選定所需性質後，可能有多種方法構造出具該性質的結構，各結構嚴格而言，固然是不同的物件，但因為性質完全一樣（「同構」），不能藉其性質區分各同構物件，即使實際不等亦常逕稱「相等」。 以笛卡兒積為例，常以為可結合： E times F times G E times F times G E times F times G 實則不然，因為若 x in E y in F z in G，則有序對之間的等式 x y z x y z 會推出 x y x 和 z y z，而 x y z x y z 甚至不合式，是句法錯誤。不過，在範疇論中，得以自然變換的概念，將上述「結合律」修正。 類似濫用亦常見於談論結構「個數」的句子。舉例「恰有兩個 8 階非交換群」嚴格而言可寫作「8 階非交換群的恰有兩個」或「不別同構之異，恰有兩種 8 階非交換群」。 微積分例子 導數 數學分析中，導函式的萊布尼茲記法 frac mathrm d ymathrm d x，算是濫用了分數符號。此種寫法的好處是，形式上得以沿用分數的運演算法則，方便計算，例如複合函式求導的連鎖律，按萊布尼茲記法為： frac mathrm d ymathrm d x frac mathrm d ymathrm d u cdot frac mathrm d umathrm d x 狀似分數乘法。 類似濫用出現於解微分方程的分離變數法，常將方程 frac mathrm d ymathrm d x frac g xh y 左邊的導數，如分數般「移項」寫成 h y mathrm d y g x mathrm d x，然後兩邊積分。還有積分記號中，將 int frac 1x mathrm d x 的 mathrm d x 看成因子，與 frac 1x 的分子相乘，寫成 int dx over x 但在微分形式理論中，有 mathrm d y 和 mathrm d x 的嚴格定義，此時，上述寫法不再是濫用。 向量叉積 設實向量 boldsymbol a a_1 a_2 a_3，boldsymbol b b_1 b_2 b_3，則兩者的叉積可用形式行列式定義為： boldsymbol atimesboldsymbol bleft begin matrix mathbf i mathbf j mathbf k a_1 a_2 a_3 b_1 b_2 b_3 end matrixright 其中頂行的三項是三個方向的單位向量，沿該行用餘子式展開可得結果。此種濫用有助記憶，實際計算亦有用。其所以為濫用，是因為一般僅定義環上某矩陣的行列式，但向量 mathbf i in mathbb R3 與純量 a_1 in mathbb R 等不在同一環內（除非考慮）。 倒三角運算元 倒三角運算元 nabla 是將偏微分運算元組裝成類似向量的形式： nablaleft frac partialpartial xfrac partialpartial yfrac partialpartial zright 以便用向量運算表示梯度 nabla f、散度 nabla cdot boldsymbol v、旋度 nabla times boldsymbol v。但是，倒三角運算元並未齊備向量的全部性質，例如與其他向量的內積不可換。此觀點下，是濫用向量符號。 大 O 記號 使用大 O 符號時，常以 f x O g x 表示「當 x 時，f x 至多為 g x 的常數倍」。這可以看成濫用了等號，因為如所言，O x O x2 但 O x2 neq O x。 主觀性 一種用法是否屬濫用符號，視乎學科背景和上下文。大部分數學科目中，以 f A to B 表示，皆算為濫用，但範疇論中則不一定，因為 f 在集合和偏函式構成的範疇中，確實是態射。 評價 尼古拉布林巴基在《數學原本》起首的「本書用法」中，稱任何數學書若不濫用語文或符號，則易拘於小節甚至不堪卒讀。有英譯本 陶哲軒認為，論文的嚴格論證中，所用符號應當明確而不含糊，但即使如此，仍允許一定程度的濫用符號。 參見 註 參考資料 Category 數學表示法 Category 數學術語