凸分析是研究凸函式與凸集性質的數學分支，其應用稱作凸最佳化，是最最佳化理論的子分支。 凸集 某向量空間 X 的子集 C subseteq X，若滿足下列任意一條等價條件，就稱其是凸的（convex）： 若 0 leq r leq 1 是實數，x y in C，則 r x 1 r y in C 若 0 r 1 是實數，x y in C x neq y 則 r x 1 r y in C f X to infty infty 始終是以擴充套件實數線 infty infty mathbb R cup pm infty 為值域、以某向量空間的凸子集 operatorname domain f X 為定義域的對映。 對映 f X to infty infty，若 f r x 1 r y leq r f x 1 r f y（凸性 le） 對所有實數 0 r 1、所有 x y in X x neq y 都成立，稱對映 f 是凸函式。若此不等式被替換為嚴格不等式 f r x 1 r y r f x 1 r f y（凸性 ） 對 f 仍成立，則稱 f 是嚴格凸的。 凸函式與凸集有關。特別地，當且僅當函式 f 的上圖（epigraph） operatorname epi f leftxr in X times mathbb R f x leq r right 是凸集時，函式 f 是凸的。擴充套件實值函式的上圖在凸分析中的作用類似於實值函式影像在實分析中的作用。特別地，擴充套件實值函式的上圖提供了幾何直覺，可用於形式化或證明猜想。 函式 f X to infty infty 的定義域記作 operatorname domain f，有效域則是集合 operatorname dom f x in X f x infty 函式 f X to infty infty，當且僅當 forall x in operatorname domain f f x infty operatorname dom f neq varnothing，稱函式是真凸函式。這意味著在 f 的定義域中存在 x 使 f x in mathbb R，f 也永遠不等於 finfty。換句話說，若函式的定義域非空、永遠不取 infty、不等於 infty，則就是真凸函式。若 f mathbb Rn to infty infty 是真凸函式，則存在向量 vec b in mathbb Rn、實數 r in mathbb R 使得 forall x f x geq x cdot b r 其中 x cdot b 表示向量的點積。 凸共軛 擴充套件實值函式 f X to infty infty（不必凸）的凸共軛是來自 X 的（連續）對偶空間函式 f X to infty infty fleft xright sup_z in X leftleftlangle x z rightrangle f z right 其中，括號 leftlangle cdot cdot rightrangle 表示規範對偶性 leftlangle x z rightrangle xz。f 的雙共軛是對映 f left f right X to infty infty，定義為 forall xin X fx sup_z in X leftleftlangle x z rightrangle fleft z right right 將 X 上的 Y 值函式記作 operatorname FuncX Y，則 f mapsto f 定義的對映 operatorname FuncX infty infty to operatorname Funcleft X infty infty right 乘坐勒讓德 芬切爾變換。 次微分集與芬切爾 揚不等式 若 x in X f X to infty infty，則次微分集（subdifferential set）為 begin alignat4 partial f x leftx in X f z geq f x leftlangle x z x rightrangle text for all z in X right text z in X text text can be replaced with text z in X text such that z neq x text leftx in X leftlangle x x rightrangle f x geq leftlangle x z rightrangle f z text for all z in X right leftx in X leftlangle x x rightrangle f x geq sup_z in X leftlangle x z rightrangle f z right text The right hand side is fleft x right leftx in X leftlangle x x rightrangle f x fleft x right right text Taking z x text in the sup text gives the inequality leq end alignat 例如，在 f cdot 是 X 上的範數這一重要特例中，可以證明 X 0 則結論是直接的（平凡），所以假設不這樣（非平凡）。固定 x in X，將 f 換成範數，給出 partial f x leftx in X leftlangle x x rightrangle x geq leftlangle x z rightrangle z forall z in X right。若 x in partial f x r geq 0 是實數，則 z r x 給出 leftlangle x x rightrangle x geq leftlangle x r x rightrangle r x r left leftlangle x x rightrangle x right 特別地取 r 2 則有 xx geq x ，而取 r frac1 2 則有 xx leq x 於是 xx x ；若還 x neq 0 則因 xleft frac xxright 1 由對偶範數的定義可知 left x right geq 1 由於 partial f x subseteq leftx in X xx x right 其等價於 partial f x partial f x cap leftx in X xx x right 可知 partial f x leftx in X xx x text and z geq leftlangle x z rightrangle text for all z in X right 於是 left x right leq 1 forall x in partial f x 從這些事實，可以得到結論。 若 0 neq x in X，則此定義可簡化為： partial f x leftx in X leftlangle x x rightrangle x text and left x right 1 right；partial f 0 leftx in X left x right leq 1 right forall x in X x in X f x fleft xright geq leftlangle x x rightrangle 這就是芬切爾 揚不等式，當且僅當 x in partial f x 時是等式。正是透過這種方式，次微分集 partial f x 與凸共軛 fleft x right 直接相關。 雙共軛 函式 f X to infty infty 的雙共軛是共軛的共軛，一般寫作 f X to infty infty。雙共軛有助於顯示強對偶或弱對偶何時成立（透過擾動函式）。 forall x in X 不等式 fx leq f x 符合芬切爾 揚不等式。對緊合（proper）的函式，當且僅當 f 是凸的下半連續函式時，f f（芬切爾莫羅定理）。 凸最小化 凸最小化（主）問題形如 給定凸函式 f X to infty infty 與凸子集 M subseteq X，求 inf_x in M f x 對偶問題 最佳化理論中，對偶原則（duality principle）指出，最佳化問題可以從兩個角度分別視作主問題與對偶問題。 一般來說，給定一對分離的區域性凸空間 left X Xright、left Y Yright，以及函式 f X to infty infty，可以把主問題定義為求 x 使得 inf_x in X f x 可令 f f I_mathrm constraints（其中 I 是示性函式）將約束嵌入 f。那麼讓 F X times Y to infty infty 是擾動函式，使得 F x 0 f x。 關於所選擾動函式的對偶問題由下式給出： sup_y in Y Fleft 0 yright 其中 F 是 F 兩個變數的凸共軛。 對偶間隙是不等式左右兩式的差 sup_y in Y Fleft 0 yright le inf_x in X F x 0 此原理同弱對偶。若兩側相等，則問題滿足強對偶。 強對偶成立的條件有很多，如 F F，其中 F 是連線主問題與對偶問題的擾動函式，F 是 F 的雙共軛； 主問題是線性規劃問題； 凸最佳化問題的斯萊特條件。 拉格朗日對偶性 對不等式約束的凸最小化問題， min _x f x subject to g_i x leq 0，其中 i 1 ldots m 其拉格朗日對偶問題是 sup _u inf _x L x u subject to u_i x geq 0，其中 i 1 ldots m 其中目標函式 L x u 是如下定義的拉格朗日對偶函式： L x u f x sum_j1m u_j g_j x 另見 凸性 經濟學 非凸 經濟學 註釋 參考文獻 外部連結 參考資料 分析