滑動模式觀測器（Sliding mode observer）是應用滑動模式控制的狀態觀測器，應用滑動模式控制的技術，使觀測器的狀態可以接近受控體的狀態。 滑動模式控制屬於非線性控制，滑動模式觀測器會有非線性高增益觀測器的特性，可以在有限時間內將觀測器的誤差收斂到零。此外，切換模式的觀測器類似卡爾曼濾波，可以允許一些程度的量測雜訊。 線性滑動模式觀測器 以下將線性時不變系統的倫伯傑觀測器（ Luenberger observer），修改為滑動模式觀測器。在滑動模式觀測器中，若進入滑動模式，觀測器動態的階數會減一。在以下例子中，單一估測狀態的狀態誤差可以在有限時間內收斂到零。Drakunov 最早提出，非線性系統可以建立滑動模式觀測器，讓所有估測狀態的估測誤差都在有限時間（而且是任意短的時間內）收斂到零。 考慮以下的 LTI 系統 begin cases dot mathbf x A mathbf x B mathbf u y begin bmatrix 1 0 0 cdots end bmatrix mathbf x x_1 end cases 其中狀態向量 mathbf x triangleq x_1 x_2 dots x_n in mathbb Rn mathbf u triangleq u_1 u_2 dots u_r in mathbb Rr 是輸入向量，輸出 utput 是純量，等於 mathbf x 狀態向量的第一個狀態。令 A triangleq begin bmatrix a_11 A_12 A_21 A_22 end bmatrix 其中 a_11 是純量，對應第一個狀態 x_1 對自己的影響 A_21 in mathbb Rn1 是 zhcn 行；zhtw 列； 向量，對應第一個狀態對其他狀態的影響 A_22 in mathbb Rn1 times n1 是矩陣，對應其他各狀態彼此之間的影響 A_12 in mathbb R1times n1 是 zhcn 列；zhtw 行； 向量，對應其他狀態對第一個狀態的影響 目的是要設計高增益的狀態觀測器，可以在只有量測資訊 yx_1 的情形下，估測狀態向量。因此，令向量 hat mathbf x hat x_1hat x_2dotshat x_n in mathbb Rn 是狀態的觀測值，觀測器的形式為 dot hat mathbf x A hat mathbf x B mathbf u L v hat x_1 x_1 其中 v R to R 是估測狀態 hat x_1 和輸出 yx_1 之間誤差的非線性函式，L in mathbb Rn 是估測器增益向量，其作用類似典型的線性狀態觀測器。同樣的，也令 L begin bmatrix 1 L_2 end bmatrix 其中 L_2 in mathbb Rn1 是 zhcn 列；zhtw 行； 向量。另外，令 mathbf e e_1 e_2 dots e_n in mathbb Rn 是狀態估測誤差，也就是說 mathbf e hat mathbf x mathbf x。誤差的動態方程為 begin align dot mathbf e dot hat mathbf x dot mathbf x A hat mathbf x B mathbf u L v hat x_1 x_1 A mathbf x B mathbf u A hat mathbf x mathbf x L v hat x_1 x_1 A mathbf e L v e_1 end align 其中 e_1 hat x_1 x_1 是第一個狀態估測值的估測誤差。可以設計非線性控制律控制滑動流形 0 hat x_1 x_1 使估測量 hat x_1 在有限時間內（也就是 hat x_1 x_1）追到實際狀態 x_1。因此，滑動控制切換函式為 sigma hat x_1hat x triangleq e_1 hat x_1 x_1 為了要保持在滑動流形上，dot sigma 和 sigma 需永遠維持異號（sigma dot sigma 0 在幾乎處處 mathbf x 都要成立）。 不過 dot sigma dot e_1 a_11 e_1 A_12 mathbf e_2 v e_1 a_11 e_1 A_12 mathbf e_2 v sigma 其中 mathbf e_2 triangleq e_2 e_3 ldots e_n in mathbb Rn1 是所有無法量測狀態估測誤差的集合。為了要確保 sigma dot sigma 0，令 v sigma M operatorname sgnsigma 其中 M maxa_11 e_1 A_12 mathbf e_2 也就是說，正的常數需大於系統最可能估計誤差的純量。若夠大，可以假設系統會達到 e_1 0（也就是 hat x_1 x_1）。因為在流形上 e_1 是常數（零），也可以推得 dot e_1 0。因此不連續的控制律 v sigma 可以用等效的連續控制律 v_text eq 取代，其中 0 dot sigma a_11 mathord overbrace e_1 0 A_12 mathbf e_2 mathord overbrace v_text eqv sigma A_12 mathbf e_2 v_text eq 因此 mathord underbrace v_text eq_text scalar mathord underbrace A_12_1 times n1 atop text vector mathord underbrace mathbf e_2_n1 times 1 atop text vector 等效的控制律 v_text eq 代表剩下的 n1 個狀態對輸出狀態 x_1 軌跡的貢獻。zhcn 行；zhtw 列； 向量 A_12 類似以下誤差子系統的輸出向量 mathord overbrace begin bmatrix dot e_2 dot e_3 vdots dot e_n end bmatrix dot mathbf e_2 A_2 mathord overbrace begin bmatrix e_2 e_3 vdots e_n end bmatrix mathbf e_2 L_2 v e_1 A_2 mathbf e_2 L_2 v_text eq A_2 mathbf e_2 L_2 A_12 mathbf e_2 A_2 L_2 A_12 mathbf e_2 為了確保未量測狀態的估測誤差 mathbf e_2 可以收斂到零，需選擇 n1times 1 向量 L_2 使得 n1times n1 矩陣 A_2 L_2 A_12 是赫維茲矩陣（其特徵值實部均為負數）。假設系統有可觀察性，可將 A_12 視為輸出矩陣，則 mathbf e_2 系統可以用和一般線性觀測器相同的方式來穩定。也就是說，v_text eq 的等效控制可以提供未觀測狀態的量測資訊，可以連續地將其估測值漸近的趨近實際值。平均來說，不連續的控制律 v M operatorname sgnhat x_1 x 強制量測訊號的估測量在有限時間內達到零。而且，平均值為零的對稱量測雜訊（正態分佈）只會影響控制律的切換頻率，對等效滑動模式控制律 v_text eq 的影響不大。因此，滑動模式觀測器有類似卡爾曼濾波的特性。 最終版本的觀測器為 begin align dot hat mathbf x A hat mathbf x B mathbf u L M operatorname sgnhat x_1 x_1 A hat mathbf x B mathbf u begin bmatrix 1L_2 end bmatrix M operatorname sgnhat x_1 x_1 A hat mathbf x B mathbf u begin bmatrix ML_2 Mend bmatrix operatorname sgnhat x_1 x_1 A hat mathbf x begin bmatrix B begin bmatrix ML_2 Mend bmatrix end bmatrix begin bmatrix mathbf u operatorname sgnhat x_1 x_1 end bmatrix A_text obs hat mathbf x B_text obs mathbf u_text obs end align 其中 A_text obs triangleq A B_text obs triangleq begin bmatrix B begin bmatrix ML_2 Mend bmatrix end bmatrix u_text obs triangleq begin bmatrix mathbf u operatorname sgnhat x_1 x_1 end bmatrix 用切換函式 operatorname sgnhat x_1x_1 來輔助控制向量 mathbf u，滑動模式觀測器可以用 LTI 系統來表示。不連續訊號 operatorname sgnhat x_1x_1 視為是雙輸入 LTI 的一個控制「輸入」。 為了簡化說明，這個例子假設滑動模式估測器可以量測單一狀態（例如，輸出 yx_1）。用類似的方式也可以用各狀態的加權平均（例如，輸出 mathbf y C mathbf x 使用一般的矩陣）來設計滑動模式估測器。此例子中，滑動模式就會是使估測輸出 hat mathbf y 追隨量測輸出 mathbf y，沒有誤差的流形（使 sigma mathbf x triangleq hat mathbf y mathbf y mathbf 0 的流形）。 非線性滑動模式觀測器 Drakunov 曾經提過，可以針對非線性系統設計滑動模式觀測器。此觀測器可以用原始變數的估測值 hat x 表示，型式如下 dot hat x left frac partial H hat xpartial xright1 M hat x sgn V t H hat x 其中： sgn mathord cdot 向量將符號函式延伸到 n 維。也就是說 sgn z begin bmatrix sgn z_1 sgn z_2 vdots sgn z_i vdots sgn z_n end bmatrix 針對向量 z in mathbb Rn 向量 H x 的分量是輸出函式 h x 以及其各階李導數。其中 H x triangleq begin bmatrix h_1 x h_2 x h_3 x vdots h_n x end bmatrix triangleq begin bmatrix h x L_f h x L_f2 h x vdots L_fn1 h x end bmatrix 其中 Li_f h 是 h 沿著向量場 f（也就是沿著非線性系統的 x 軌跡）的 i 階李導數。在此特例中，系統沒有輸入，也沒有相對次數（relative degree）n，H x t 是輸出 y th x t 以及其 n1 次導數的集合。因為 H x Jacobian 線性化的倒數存在（讓觀測器可以有良好定義），H x 的轉換保證是區域性的微分同胚。 增益對角矩陣 M hat x 會使下式成立 M hat x triangleq operatorname diagm_1 hat x m_2 hat x ldots m_n hat x begin bmatrix m_1 hat x m_2 hat x ddots m_i hat x ddots m_n hat x end bmatrix 其中，針對每一個 i in 12dotsn，元素 m_i hat x 0 而且夠大，以保證會碰到滑動模式。 觀測器向量 V t 會滿足下式 V t triangleq begin bmatrix v_1t v_2 t v_3 t vdots v_i t vdots v_nt end bmatrix triangleq begin bmatrix y t m_1 hat x sgn v_1 t h_1 hat xt _text eq m_2 hat x sgn v_2 t h_2 hat xt _text eq vdots m_i1hat x sgn v_i1t h_i1hat xt _text eq vdots m_n1hat x sgn v_n1t h_n1hat xt _text eq end bmatrix 其中的 sgn mathord cdot 是正常對純量定義的符號函式，而 ldots _text eq 是不連續函式在滑動模式下的「等效值運運算元」。 概念可以說明如下：依照滑動模式的理論，為了要描述系統特性，只要開始進入滑動模式，函式 sgn v_it h_ihat xt 就需要改為定效的值實務上，函式會高頻的切換，其慢速的成份會和等效值相等。應用適當的低通濾波器可以濾掉高頻成份，得到等效值，其中也會有較多有關估測系統狀態的資訊。以下的觀測器用了幾次上述的作法，在有限時間內會得到非線性系統的狀態。 修改後的估測器誤差以用轉換後的狀態 eH xH hat x 表示。 begin align dot e frac mathrm dmathrm d t H x frac mathrm dmathrm d t H hat x frac mathrm dmathrm d t H x M hat x sgn V t H hat xt end align 而且 begin align begin bmatrix dot e_1 dot e_2 vdots dot e_i vdots dot e_n1 dot e_n end bmatrix mathord overbrace begin bmatrix dot h_1 x dot h_2 x vdots dot h_i x vdots dot h_n1x dot h_n x end bmatrix tfrac mathrm dmathrm d t H x mathord overbrace M hat x sgn V t H hat xt tfrac mathrm dmathrm d t H hat x begin bmatrix h_2 x h_3 x vdots h_i1x vdots h_n x L_fn h x end bmatrix begin bmatrix m_1 sgn v_1 t h_1 hat xt m_2 sgn v_2 t h_2 hat xt vdots m_i sgn v_i t h_i hat xt vdots m_n1 sgn v_n1t h_n1hat xt m_n sgn v_n t h_n hat xt end bmatrix begin bmatrix h_2 x m_1 hat x sgn mathord overbrace mathord overbrace v_1 tv_1 t y t h_1 x h_1 hat xt e_1 h_3 x m_2 hat x sgn v_2 t h_2 hat xt vdots h_i1x m_i hat x sgn v_i t h_i hat xt vdots h_n x m_n1hat x sgn v_n1t h_n1hat xt L_fn h x m_n hat x sgn v_n t h_n hat xt end bmatrix end align 因此 只要 m_1 hat x geq h_2 x t 誤差動態的第一個 zhcn 行；zhtw 列；dot e_1 h_2 hat x m_1 hat x sgn e_1，會符合在有限時間進入 e_1 0 滑動模式的充份條件。 在 e_1 0 表面上，對應的 v_2 t m_1 hat x sgn e_1_text eq 等效控制會等於 h_2 x，因此 v_2 t h_2 hat x h_2 x h_2 hat x e_2。只要 m_2 hat x geq h_3 x t，誤差動態的第二個 zhcn 行；zhtw 列；dot e_2 h_3 hat x m_2 hat x sgn e_2，會在有限時間內進入 e_2 0 滑動模式。 在 e_i 0 表面上，對應的 v_i1t ldots_text eq 等效控會等於 h_i1x。只要 m_i1hat x geq h_i2x t，誤差動態的第 i1 個 zhcn 行；zhtw 列；dot e_i1 h_i2hat x m_i1hat x sgn e_i1 ，會在有限時間內進入 e_i1 0 滑動模式。 對於足夠大的 m_i 增益，所有的觀測器估測狀態都會在有限時間內到實際的狀態。只要 h_i x 0 有確定的上下界，增加 m_i，可以在任意時間內讓估測狀態收斂。因此對映 Hmathbb Rn to mathbb Rn 是微分同胚（也就是其 Jacobian 線性化可逆）可以保證，若估測輸出的收斂，就意味著估測狀態的收斂。因此此要求是可觀察性的條件。 若針對有輸入系統的滑動模型觀測器，會需要額外的條件，其估測誤差和輸入無關。例如 frac partial H xpartial x B x 和時間無關。則觀測器為 dot hat x left frac partial H hat xpartial x right1 M hat x sgn V t H hat xB hat x u 參考資料 分類：控制理論