幾何群論是數學中的一個領域，是群論的一個分支。幾何群論透過探索幾何群的代數性質，還有這些群的群作用的空間中拓撲和幾何性質之間的聯絡來研究有限生成群（這裡的幾何群指可以用幾何上的對稱性或某些空間的連續變換來生成的群）。 幾何群論中的另一個重要思想是將有限生成群本身視為幾何物件。這通常是透過研究群的凱萊圖來完成的，除了圖論的性質以外之外，群的凱萊圖透過詞度量方法，也具有度量空間的結構，。 幾何群論是一個比較新的領域，在 20 世紀 80 年代末和 90 年代初才成為一個獨立的數學分支。幾何群論與低維拓撲、雙曲幾何、代數拓撲、計算群論和微分幾何密切相關。同時，它也與複雜性理論、數理邏輯、李群及其離散子群的研究、動力系統、機率論、 K 理論和其他數學領域也有實際聯絡。 皮埃爾德拉哈普 Pierre de la Harpe 在其著作《幾何群論》 Topics in Geometric Group Theory 的序言中寫道：我相信，人類用對於對稱性和群的迷戀來應對生活挫折：我們喜歡認出（圖形中的）對稱性，這讓我們覺得：我們能夠識別出比我們看到的更多的東西。從這個意義上說，幾何群論的研究是文化的一部分，我想起喬治德拉姆（瑞士數學家）在許多場合做過的幾件事，比如教授數學、背誦馬拉美（Stéphane Mallarmé 法國詩人），或者和朋友交流。 P de la Harpe Topics in geometric group theory Chicago Lectures in Mathematics University of Chicago Press Chicago IL 2000 歷史 幾何群論源於組合群論，它主要透過分析群表示來研究離散群的性質，群表示將群表達為自由群的商； 1880 年代初期，費利克斯克萊因 Felix Klein 的學生瓦爾特馮戴克 Walther von Dyck 首次系統地研究了這一領域， 威廉羅恩漢密爾頓 William Rowan Hamilton 在更早透過研究二十面體微積分學性質發現了幾何群論。他研究了二十面體對稱群十二面體圖。目前，組合群論作為一個領域在很大程度上被幾何群論所包含。此外，幾何群論 通常包括使用機率、測度論、算術、分析和傳統組合群論外的其他方法來研究離散群。 幾何群論作為數學的一個獨特領域的出現通常可以追溯到 1980 年代末和 1990 年代初。 它受到米哈伊爾格羅莫夫 1987 年的專題論文《雙曲群》Mikhail Gromov Hyperbolic Groups in Essays in Group Theory Steve M Gersten ed MSRI Publ 8 1987 pp 75263 的啟發，該專題論文引入了雙曲群（也稱為字雙曲群 word hyperbolic group 或格羅莫夫雙曲群或負曲群）的概念，它抓住了有限生成群具有大規模負曲率的概念，以及他隨後的專題論文《無限群的漸近不變數》Asymptotic Invariants of Infinite Groups Mikhail Gromov Asymptotic invariants of infinite groups in Geometric Group Theory Vol 2 Sussex 1991 London Mathematical Society Lecture Note Series 182 Cambridge University Press Cambridge 1993 pp 1295，概述了格羅莫夫所理解離散群直到擬等距的程式。 格羅莫夫的工作對離散群的研究產生了變革性的影響 Iliya Kapovich and Nadia Benakli Boundaries of hyperbolic groups Combinatorial and geometric group theory New York 2000Hoboken NJ 2001 pp 3993 Contemp Math 296 Amer Math Soc Providence RI 2002 From the IntroductionIn the last fifteen years geometric group theory has enjoyed fast growth and rapidly increasing influence Much of this progress has been spurred by remarkable work of M L Gromov in Essays in group theory 75263 Springer New York 1987 in Geometric group theory Vol 2 Sussex 1991 1295 Cambridge Univ Press Cambridge 1993 who has advanced the theory of wordhyperbolic groups also referred to as Gromovhyperbolic or negatively curved groupsBrian Bowditch Hyperbolic 3manifolds and the geometry of the curve complex European Congress of Mathematics pp 103115 Eur Math Soc Zürich 2005 From the IntroductionMuch of this can be viewed in the context of geometric group theory This subject has seen very rapid growth over the last twenty years or so though of course its antecedents can be traced back much earlier The work of Gromov has been a major driving force in this Particularly relevant here is his seminal paper on hyperbolic groups Gr，不久之後 幾何群論 一詞很快就出現了。 現代的主題和發展 1990 年代和 2000 年代幾何群論的方向和發展包括： 格羅莫夫 （Gromov） 研究群的擬等距性質的計劃。 字雙曲群和相對雙曲群 的理論。 這裡一個特別重要的發展是 Zlil Sela 在 1990 年代的工作，解決了字雙曲群的同構問題。 相對雙曲群的概念最初由格羅莫夫在 1987 年 引入，並在 1990 年代由 Farb 和 Brian Bowditch 完善。 相對雙曲群的研究在 2000 年代得到了重視。 與數理邏輯的相互作用和自由群一階理論的研究。 由於 SelaZlil Sela Diophantine geometry over groups and the elementary theory of free and hyperbolic groups Proceedings of the International Congress of Mathematicians Vol II Beijing 2002 pp 8792 Higher Ed Press Beijing 2002 以及 Olga Kharlampovich 和 Alexei Myasnikov 的工作，著名的塔斯基猜想 Tarski 猜想 取得了特別重要的進展。 極限群 limit groups 的研究和非交換代數幾何的語言和機制的介紹獲得了突出地位。 例子 在幾何群論中經常研究以下例子： 可均群 無窮整數 Z 的迴圈群 自由群 自由積 對稱群 辮群 考克斯特群 廣義 Artin 群 湯普森群 相關條目 乒乓引理，一種將群展示為自由積的有用方法 順應組 相關書籍 P de la Harpe Topics in geometric group theory Chicago Lectures in Mathematics University of Chicago Press Chicago IL 2000 ISBN 0226317196 ISBN 0226317218 Stillwell John 2002 Mathematics and its history Springer p 374 ISBN 9780387953366 Bruce Chandler and Wilhelm Magnus The history of combinatorial group theory A case study in the history of ideas Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences vo 9 SpringerVerlag New York 1982 Greendlinger Martin 1960 Dehns algorithm for the word problem Communications on Pure and Applied Mathematics 13 1 6783 doi101002cpa3160130108 Greendlinger Martin 1961 An analogue of a theorem of Magnus Archiv der Mathematik 12 1 9496 doi101007BF01650530 S2CID 120083990 Roger Lyndon and Paul Schupp Combinatorial Group Theory SpringerVerlag Berlin 1977 Reprinted in the Classics in mathematics series 2000 JP Serre Trees Translated from the 1977 French original by John Stillwell SpringerVerlag BerlinNew York 1980 ISBN 3540101039 Mikhail Gromov Hyperbolic Groups in Essays in Group Theory Steve M Gersten ed MSRI Publ 8 1987 pp 75263 Mikhail Gromov Asymptotic invariants of infinite groups in Geometric Group Theory Vol 2 Sussex 1991 London Mathematical Society Lecture Note Series 182 Cambridge University Press Cambridge 1993 pp 1295 Iliya Kapovich and Nadia Benakli Boundaries of hyperbolic groups Combinatorial and geometric group theory New York 2000Hoboken NJ 2001 pp 3993 Contemp Math 296 Amer Math Soc Providence RI 2002 Brian Bowditch Hyperbolic 3manifolds and the geometry of the curve complex European Congress of Mathematics pp 103115 Eur Math Soc Zürich 2005 參考文獻 Category 群論 Category 幾何群論