在機率論和統計學中，耿貝爾分佈（Gumbel 分佈，也稱為 I 型廣義極值分佈）用於對各種分佈的多個樣本的最大值（或最小值）的分佈進行建模。 如果有過去十年的水位最大值列表，則此分佈可用於表示特定年份河流最高水位的分佈。它有助於預測發生極端地震、洪水或其他自然災害的可能性。 耿貝爾分佈表示最大值分佈的潛在適用性與極值理論有關，這表明如果基礎樣本資料的分佈是正態或指數型別，它可能是有用的。本文使用耿貝爾分佈對最大值的分佈進行建模。要對最小值建模，請使用原始值的負值。 耿貝爾分佈是廣義極值分佈（也稱為 FisherTippett 分佈）的一個特例。它也稱為對數 Weibull 分佈和雙指數分佈（該術語有時也用於指代拉普拉斯分佈）。它與 Gompertz 分佈有關：在原點附近，並限制在正半線上時，就得到了 Gompertz 函式。 在多項式 logistic 迴歸模型的潛變數公式中 在離散選擇法理論中很常見 潛在變數的誤差服從 Gumbel 分佈。這很有用，因為兩個耿貝爾分佈的隨機變數的差服從 logistic 分佈。 耿貝爾分佈以 Emil Julius Gumbel 1891 1966 的名字命名，來自描述該分佈的原始論文。 Gumbel EJ 1941 The return period of flood flows The Annals of Mathematical Statistics 12 163190 定義 耿貝爾分佈的累積分佈函式為 F xmubeta eexmubeta 標準耿貝爾分佈 標準的耿貝爾分佈是 mu 0 和 beta 1 時的特例，其累積分佈函式為 F x eex 機率密度函式為 f x exex 此時，眾數為 0，中位數為 ln ln 2 approx 03665，均值為 gammaapprox 05772 （ 尤拉 馬斯刻若尼常數），標準差為 pisqrt 6 approx 12825。 對於 n1，累積量由下式給出 kappa_n n1 zeta n 特性 眾數為 μ，中位數為 mubeta lnleft ln 2right，平均值是 operatorname EXmugammabeta 其中 gamma 是尤拉 馬斯刻若尼常數。 標準差 sigma 是 beta pisqrt 6，因此 beta sigma sqrt 6 pi approx 078 sigma 在眾數處， x mu ，F xmubeta 的值變為 e1 approx 037 ，與 beta 的取值無關。 相關分佈 如果 X 具有耿貝爾分佈，則 Y X 的條件分佈在 Y 為正的情況下，或等效地在 X 為負的情況下具有 Gompertz 分佈。 Y 的 cdf G 與 X 的 cdf F 相關，公式如下 G y P Y le y P X ge y X le 0 F 0F yF 0 要求 y 0。因此，兩者機率密度函式相關：g y f yF 0 ： Gompertz 密度與反射的 Gumbel 密度成正比，僅限於正半線。 如果 X 是均值為 1 的指數分佈變數，則 log X 服從標準 Gumbel 分佈。 如果 X sim mathrm Gumbelalpha_X beta 和 Y sim mathrm Gumbelalpha_Y beta 是獨立的，那麼 XY sim mathrm Logisticalpha_Xalpha_Ybeta （見 Logistic 分佈）。 如果 X Y sim mathrm Gumbelalpha beta 是獨立的，那麼 XY nsim mathrm Logistic2 alphabeta 。注意 E XY 2alpha2betagamma neq 2alpha Eleft mathrm Logistic2 alphabeta right 。更一般地，獨立 Gumbel 隨機變數的線性組合的分佈可以用 GNIG 和 GIG 分佈來近似。 與廣義多變數對數伽馬分佈相關的理論提供了耿貝爾分佈的多變數版本。 應用 Gumbel 表明，隨著樣本量的增加，將服從指數分佈的隨機變數減去樣本量的自然對數，其最大值的分佈（或最後一階統計量）接近耿貝爾分佈。 具體來說，如果令 rho xex 是 x 的機率分佈， Q x1 ex 是其累積分佈，那麼對 x 的 N 次實現（realizations）的最大值小於 X 當且僅當所有 x 的實現都小於 X 。所以最大值的累積分佈 tilde x 滿足： P tilde xlog Nle XP tilde xle Xlog NQ Xlog NNleft 1 frac eXNrightN 並且，對於較大的 N ，等式右邊收斂到 eeX 。 因此，在水文學中，耿貝爾分佈用於分析日降雨量和河流流量的月度和年度最大值等變數， 也用於描述乾旱。 Gumbel 還表明，表示事件的機率的估計量 其中 r 是觀察值在資料序列中的排名， n 是觀察的總數 是分佈的眾數週圍的累積分佈函式的無偏估計量。因此，這個估計量經常被用作分點陣圖。 在數論中，耿貝爾分佈近似於隨機整數分拆的項數以及最大素數間隙和素數星座之間的最大間隙的趨勢調整大小。 Article 1352 Gumbel 重引數化技巧 在機器學習中，耿貝爾分佈有時用於從分類分佈中生成樣本。這種技術稱為 Gumbelmax 技巧，是 重引數化技巧 的一個特例。 具體而言，令 pi_1 pi_n 非負且不全為零，並且讓 g_1 g_n 是 Gumbel 0 1 的獨立樣本，則 Pr j argmax_i g_i logpi_i frac pi_jsum_i pi_i 因此， argmax_i g_i logpi_i sim text Categoricalleft frac pi_jsum_i pi_iright_j 等價地，給定任何 x_1 x_nin R ，我們可以從它的玻爾茲曼分佈中取樣：Pr j argmax_i g_i x_i frac ex_jsum_i ex_i 相關等式包括： 如果 xsim Exp lambda ， 那麼 ln x gammasim text Gumbelgamma lnlambda 1 。 argmax_i g_i logpi_i sim text Categoricalleft frac pi_jsum_i pi_iright_j 。 max_i g_i logpi_i sim text Gumbelleft gamma logleft sum_i pi_i right 1right 。也就是說，Gumbel 分佈是一個最大穩定分佈族。 mathbb E max_i g_i beta x_i log left sum_i ebeta x_iright 。 隨機變數生成 耿貝爾分佈的分位數函式（逆累積分佈函式） Q p 可由下式給出 Q pmubetaln ln p 其中 mu 和 beta 是引數，當隨機變數 U 是從 01 上的均勻分佈中抽取時，變數 Q U 具有服從耿貝爾分佈。 機率紙 thumb320x320px 一張包含 Gumbel 分佈的方格紙。 在軟體時代之前，人們使用機率紙描繪耿貝爾分佈（見插圖）。這種紙基於累積分佈函式的 F 的線性化： ln ln F xmubeta 在紙上，水平軸以雙對數刻度構建。垂直軸是線性的。透過在紙張的水平軸上尋找 F，在垂直軸上尋找 x ，耿貝爾分佈由斜率為 1beta 的直線表示。當像 CumFreq 這樣的分佈擬合軟體可用時，繪製分佈的任務變得更加容易。 參見 2 型 Gumbel 分佈 極值理論 廣義極值分佈 FisherTippettGnedenko 定理 埃米爾朱利葉斯岡貝爾 參考資料 外部連結 Category 連續分佈