在理論物理中，Bogoliubov 變換，又稱 BogoliubovValatin 變換，是 1958 年由尼古拉博戈柳博夫和 John George Valatin 各自為了求 BCS 理論在均勻系統中的解而獨立發展起來的。 Bogoliubov 變換是對正則對易關係或正則反對易關係代數的同構。 Bogoliubov 變換通常用於對角化哈密頓量，從而產生相應薛定諤方程的穩態解。 Bogoliubov 變換對於理解安魯效應、霍金輻射、核物理中的配對效應以及許多其他主題也很重要。 Bogoliubov 變換通常用於對角化哈密頓量，並相應地對波函式進行變換。因此，在變換後的波函式上使用對角化哈密頓量計算的運算元特徵值與之前相同。 單玻色子模式案例 考慮簡諧振子中玻色子產生和湮滅算符的正則對換關係 left hat a hat adagger right 1 對於常複數 u 和 v ，定義一對新的運算子 hat b u hat a v hat adagger hat bdagger u hat adagger v hat a 其中後者是第一個的厄米共軛。 Bogoliubov 變換是對映 hat a 和 hat adagger 到 hat b 和 hat bdagger 的一種正則變換。為了使得變換是正則的，可以去算對易子從而找到常數 u 和 v 滿足的條件，即， left hat b hat bdagger right left u hat a v hat adagger u hat adagger v hat a right cdots left u2 v2 right left hat a hat adagger right 那麼很明顯 u2 v2 1 是轉換能成立的條件。 由於此條件的形式與雙曲恆等式所契合 cosh2 x sinh2 x 1 常數 u 和 v 可以很容易地引數化為 u ei theta_1 cosh r v ei theta_2 sinh r 這一變換可以被解釋為相空間的線性辛變換。透過與 BlochMessiah 分解比較，兩個相位角 theta_1 和 theta_2 對應於正交辛變換（即旋轉），而壓縮因子 r 對應於對角變換。 應用 Bogoliubov 變換最重要的應用自然是尼古拉博戈柳博夫本人討論的超流背景下的問題。N N Bogoliubov On the theory of superfluidity J Phys USSR 11 p 23 1947 Izv Akad Nauk Ser Fiz 11 p 77 1947 其他應用包括哈密頓量和反鐵磁性理論中的激發。See eg the textbook by Charles Kittel Quantum theory of solids New York Wiley 1987 此外，彎曲時空中的量子場論的真空定義發生變化，而這些不同真空之間也可以透過 Bogoliubov 變換來嘗試聯絡。這在霍金輻射的推導中有用到。 Bogoliubov 變換也廣泛用於量子光學，特別是在處理高斯態的么正變換（例如分束器、移相器和壓縮操作）時。 費米子模式 對於反對易關係 lefthat a hat aright 0 lefthat a hat adagger right 1 Bogoliubov 變換受限於 uv0 u2v21。因此，唯一不平凡的可能性是 u0 v1，其對應於可能包含相移的粒子 反粒子交換（或多體系統中的粒子 空穴交換）。因此，對於單個粒子，Bogoliubov 變換隻能在 1 狄拉克費米子中實現，其粒子和反粒子是不同的（與馬約拉納費米子或手性費米子相反），或 2 對於多費米子系統，在其中有不止一種型別的費米子。 應用 這裡面最重要的應用還是 Nikolai Bogoliubov 本人的針對 BCS 超導理論的推導。See eg the textbook by Charles Kittel Quantum theory of solids New York Wiley 1987 這裡必須要做 Bogoliubov 變換的原因主要是在平均場近似下，系統的哈密頓量可以寫為原始產生和湮滅算符的雙線性項 langle a_ia_jrangle 之和，從而必須比通常的 HartreeFock 方法更進一步。特別地，在具有超導配對項的平均場 Bogoliubovde Gennes 哈密頓 Delta a_ia_j text hc 裡，Bogoliubov 變換給出 b bdagger 來湮滅或產生準粒子（每個準粒子都具有明確定義的能量、動量和自旋，但其實際上對應於電子和空穴態的量子疊加的形式），而變換的具體系數 u 和 v 由 Bogoliubovde Gennes 矩陣的特徵向量給出。同樣在核物理中，因為它可以描述重元素中核子的 配對能量，這種方法也是適用的。 多模案例 接下來所考慮的希爾伯特空間是描述更高維的量子諧振子的空間（通常是無限維的）。 相應哈密頓量的基態被所有的湮滅運算元湮滅： forall i qquad a_i 0rangle 0 所有激發態都由一些產生算符作用在基態的態的線性組合獲得： prod_k1n a_i_kdagger 0rangle 可以做線性變換重新定義建立和湮滅算符： a_i sum_j u_ij a_j v_ij adagger_j 其中係數 u_ijv_ij 必須滿足一定的規則才能保證湮滅算符和生成算符 aprimedagger_i ，由 Hermitian 共軛給出，具有相同的玻色子的對於關係或費米子反對易關係。 上面的等式定義了運算元的 Bogoliubov 變換。 被所有 a_i 作用都等於零的基態不同於原來的基態 0rangle。這裡可以認為是算符或者量子態，二者其一進行了 Bogoliubov 變換。它們也可以定義為壓縮態。 BCS 波函式是費米子壓縮相干態的一個例子。 統一的矩陣描述 因為 Bogoliubov 變換是算符的線性重組，所以將它們寫成矩陣變換更方便簡潔。如果一對湮滅算符 a b 按照下面變化 begin pmatrix alpha beta end pmatrix U begin pmatrix a b end pmatrix 其中 U 是一個 2times2 矩陣。那麼自然 begin pmatrix alphadagger betadagger end pmatrix U begin pmatrix adagger bdagger end pmatrix 對於費米子算符，對易關係的要求體現在對矩陣 U 的兩個條件，即 U begin pmatrix u v v u end pmatrix 和 u2 v2 1 對於玻色子運算元，對易關係需要 U begin pmatrix u v v u end pmatrix 和 u2 v2 1 這些條件可以統一寫成 U Gamma_pm Udagger Gamma_pm 其中 Gamma_pm begin pmatrix 1 0 0 pm1 end pmatrix 而 Gamma_pm 分別適用於費米子和玻色子。 使用矩陣描述對角化二次哈密頓量 Bogoliubov 變換讓我們透過對角化矩陣 Gamma_pm H 來對角化二次哈密頓量 hat H begin pmatrix adagger bdagger end pmatrix H begin pmatrix a b end pmatrix 在上面的符號中，區分運算子 hat H 和矩陣 H 很重要。這個透過重寫 hat H 看到 hat H begin pmatrix alphadagger betadagger end pmatrix Gamma_pm U Gamma_pm H U1 begin pmatrix alpha beta end pmatrix 而 Gamma_pm U Gamma_pm H U1D 當且僅當 U 對角化了 Gamma_pm H ，即 U Gamma_pm H U1 Gamma_pm D 。 下面列出了 Bogoliubov 變換的一些有用的性質。 玻色子 費米子 變換矩陣 Ubegin pmatrix u vv uend pmatrix Ubegin pmatrix u vv uend pmatrix 逆變換矩陣 U1 begin pmatrix u vv uend pmatrix U1begin pmatrix u vv uend pmatrix 伽馬 Gamma begin pmatrix 1 00 1end pmatrix Gamma begin pmatrix 1 00 1end pmatrix 對角化 U Gamma H U1 Gamma D U H U1 D 相關條目 荷斯坦 普里馬科夫變換 約旦 維格納變換 喬丹 施溫格變換 克萊因變換 參考 Category 量子場論