香港高階程度會考應用數學 是昔日一個在香港教育制度內的大學預科高等數學課程，公開考試在 1980 年至 2013 年間由香港考試及評核局 HKEAA 舉辦。 歷史及概述 課程前身為香港大學入學資格考試 University of Hong Kong Matriculation Examination Applied mathematics 應用數學課程。 1980 年，第一屆由香港考試局（今香港考試及評核局）舉辦的香港高階程度會考應用數學科考試舉行。 1992 年本科首次有教學用的課程綱要，香港課程發展議會編制及釋出應用數學科學習領域指引中學課程綱要－應用數學科 高階程度 1992 。 1994 年高階補充程度應用數學科首次開考。2000 年起，高階補充程度應用數學科，與高階程度卷二共用試卷。 按照 2000 年公佈的《數學課程全面檢討報告》，及因應在 2002 年中四實行的香港中學會考附加數學科課程刪減，本科的高階程度課程在 2004 年被刪減，在 2004 年的中六實行。 2012 年，最後一屆開放予應屆學校考生參加。 在香港中學文憑考試中，香港高階程度會考應用數學科的卷二統計部份，及「香港高階補充程度會考數學與統計學」內容整合到香港中學文憑考試數學科延伸部分單元一（M1，微積分與統計），而應用數學科卷一部份的理論力學被完全刪除。 2013 年，為自修生舉行的最後一屆香港高階程度會考舉行。 課程設計及內容 高階程度應用數學科，設兩卷，各三小時，內容大致如下： 卷一 向量與理論力學 微分方程 卷二 微分方程 數值分析 機率論與統計學 歷史上，本科內容是以數學在古典力學的應用為主，單憑計算來分析各種各樣機械繫統，不作任何實驗。力學部分可以分為只考慮物體的運動而不論其受力的運動學，考慮物體受力而運動的動力學和考慮物體受力處於平衡的靜力學。課程的數學方法部份，包括微分方程及向量，都是應用在力學題中，故此應用數學的力學，比高階程度物理科更廣闊而艱深得多。題中涉及多個物體的受力分析，有多個未知量，需設多個聯立方程式，而資料又以字母而非數字給出，如以 m M 表示質量，alpha theta 表示角度，mu_1 mu_2 表示摩擦係數等，以致運算往往甚為複雜繁瑣。 此科自設立起，便只有高階程度，而無普通程度版本，不同於純粹數學科曾分為高階程度和普通程度兩個版本。 香港大學預科高階程度應用數學科兩卷，每卷三小時，各為 8 選 7 條長題目。首兩年全部為力學題，1956 年至 1964 年，當中 15 題為力學題，僅有卷二最後 1 題為統計題。1965 年至 1982 年，卷二的統計題逐漸增加。1965 年至 1967 年，卷二有 2 題統計題，1968 年至 1975 年有 3 題，1976 年至 1982 年有 4 題（其中 1965 年和 1966 年每卷為 8 選 7，1967 年至 1971 年為 9 選 7，1972 年至 1982 年為 8 選 6）。另外 1975 年至 1977 年及 1982 年，卷一有一條非力學的微分方程題。1982 年有一條統計題結合了力學。 1983 年高考，本科課程有較大改變，加入數值分析及在統計中加入假說檢定。從該年開始，複雜多變的力學題只在卷一出現，而統計及數值方法則在卷二出現。而該屆考生兩年前所應考的香港中學會考附加數學科，也是第一年刪去原本可選的卷三力學。 自香港高階程度會考改革，在 1994 年高考加入高階補充程度科目，本科該年也新增了高階補充程度的版本。初時本科高階補充程度包括部份高階程度卷一和卷二的內容，也加入兩個變數的多元線性迴歸的新課題（不在此科高階程度或其他科目課程中），設一份獨立試卷。此課程的指引稱力學部分視作向量和微分方程的應用例子，只會用到中學會考物理科的力學知識，著教師無須特別操練學生。1998 年中六起，本科高階補充程度課程，改為與高階程度的卷二相同，不再有向量、力學及線性迴歸部分。1998 年修訂的課程綱要，也將微分方程部分的所有力學例子刪除。 學校通常安排持有大學物理或工程學位的教師，教授本科高階程度卷一力學，與其他數學科不同。 在 1994 年改革之前，由於香港大學工程學院會為 4 科高階程度科目及格的學生額外加分，修讀此科的學生人數與純粹數學科相若。自 1994 年改革後，數學班的學生要在化學科和此科之間選擇，因此修讀此科的學生數目明顯下降。 由於卷一力學的難度大，應考本科高階補充程度的考生，和應考高階程度的考生數目相若，且常常有更多考生應考高階補充程度。這一特點明顯不同於其他同時有高階程度和高階補充程度的科目，其他科目高補程度的考生數目往往遠低於高階程度。 早期應用數學科考試課程 1981 年香港高階程度會考考試課程 早期應用數學科考試課程 1981 年香港高階程度會考考試課程 數學方法 單實變數的（代數、三角、指數、對數）函式的微分，函式的和、積、商的微分，反函式、複合函式、簡單隱函式的微分。 簡單積分的計算，分部積分和簡單代換。 從物理情況建立微分方程。微分方程的求解及應用： 一階可分離變數微分方程 afrac d2ydx2 bfrac dydx cy f x 型別的線性微分方程，其中 abc 是常數，f x 是函式 xncos px sin px epx 的線性組合。（只需知道待定係數法） 二維和三維的直角坐標，二維極坐標。 二維和三維向量，其加法、減法、分量和分解，純量積和向量積，單變數向量值函式的微分和簡單積分。 統計方法 統計資料的列表和影像表達。 位置量數：平均數，眾數，幾何平均數，加權平均數。 變異量數：全距，標準差，方差。 機率基本思想：集合表示事件，機率論的三條公理，條件機率，機率的加法規則和乘法規則。 二項分佈：平均數，標準差，簡單應用。 正態分佈：平均數，標準差，標準正態分佈曲線下的面積表的使用。 理論力學 力系，約化為一合力和一力偶，簡單力圖。 平衡條件，一個或多個物體的平衡。 摩擦：靜摩擦和動摩擦定律，摩擦角，平衡的極限位置。 相對於參照坐標系的位置、速度和加速度，其分解和合成。 動力學的基本概念：時間、質量、力。動量、角動量、動能和位能。 牛頓運動定律，慣性參考系。 線動量守恆，角動量守恆，能量守恆，當適當時用向量表示。 一個自由度的動力系統：在可變力下的直線運動，等速圓周運動，在重力下的垂直圓周運動 兩個自由度的動力系統：無阻力的拋體運動，簡諧運動，阻尼振盪，強迫振盪。 剛體作為質點的集合：質心，對一軸的慣性矩，平行於固定面的運動。 直接碰撞，斜向碰撞，恢復定律。 1983 年經更改的應用數學科考試課程 1983 年香港高階程度會考考試課程 1983 年經更改的應用數學科考試課程 1983 年香港高階程度會考考試課程 單實變數的代數、三角、指數、對數函式的微分，函式的和、積、商的微分，反函式、複合函式、簡單隱函式的微分。 從給定情況建立微分方程（不要求對該等情況有預備知識）。微分方程的求解及應用： 一階可分離變數微分方程 afrac d2ydx2 bfrac dydx cy f x 型別的線性微分方程，其中 abc 是常數，f x 是函式 xncos px sin px epx 的線性組合。（只需知道待定係數法） 二維和三維向量，其加法、減法、分量和分解，純量積和向量積，與純量的乘法，單變數向量值函式的微分和簡單積分。應用：相對運動、功和力矩、力系約化為一合力和一力偶，簡單力圖，受共面力作用的質點和剛體的平衡。 摩擦：靜摩擦和動摩擦定律，摩擦角，平衡的極限位置。 牛頓運動定律：慣性參考系，線動量、角動量及能量守恆定律，在可變力下的直線運動，一個質點在平面上的運動，無阻力的拋體運動，簡諧運動，阻尼振盪，強迫振盪，速度和加速度的徑向和橫向分量，直接碰撞和斜向碰撞。 剛體：質心，對一軸的慣性矩，平行軸定理，平行於固定面的運動。 泰勒展開式的使用。用梯形法則和辛普森法則作數值積分，簡單誤差估計。用簡單迭代法估計函式的零點，包括二分法，假位法，逐次代換法和牛頓法，包括收斂性的簡單考慮。演算法的思想和數值方法的簡單流程圖。 簡單統計量度：平均數，中位數，百分位數，全距，標準差，方差。 初等機率論：事件機率，條件機率，機率加法規則和乘法規則，期望值。 二項分佈和正態分佈，其平均數和標準差，機率表的使用。顯著性檢定和置信界限的基礎概念應用於一條只涉及正態或二項分佈的簡單題目。 1992 年編訂的高階程度應用數學科課程綱要 1992 年編訂的高階程度應用數學科課程綱要 範疇一：向量與力學 單元 1：向量 單元 2：靜力學和摩擦力 單元 3：運動學 單元 4：牛頓運動定律 單元 5：動量、功、能、功率及其守恆定律 單元 6：碰撞 單元 7：在重力下的拋射運動 單元 8：圓周運動 單元 9：簡諧運動 單元 10：質點的平面運動 單元 11：剛體運動 範疇二：微分方程 單元 12：一階微分方程及其應用 單元 13：二階微分方程及其應用 範疇三：數值法 單元 14：插值法及拉格朗日插值多項式 單元 15：近似 單元 16：數值積分 單元 17：方程的數值解 範疇四：機率與統計 單元 18：初級機率理論 單元 19：基本統計量度 單元 20：隨機變數、離散及連續機率分佈 單元 21：統計推論 1991 年編訂的高階補充程度應用數學科課程綱要 1991 年編訂的高階補充程度應用數學科課程綱要 簡介：基礎知識 三角函式 指數函式 對數函式 複數 初等微積分 範疇 1：向量 基本知識 向量加法 三角形定律及平行四邊形定律 向量加法的性質：交換律；結合律 零向量，負向量及向量減法 純量乘法及其性質 結合律 分配律 向量分量 向量分解 單位向量 vec ivec j 和 vec k（亦可寫作 hat ihat j 和 hat k）與向量在直角坐標系的分解 方向比與方向餘弦 位置向量和直綫的向量方程 純量積 定義 純量積的性質 笛卡兒分量的純量積 正交性 向量積 定義 向量積的性質 笛卡兒分量的向量積 垂直向量與平行向量 三重積 純量三重積 向量三重積 向量函式，微分及積分 純變數向量函式 向量函式對純變數的微分 向量函式對純變數的積分 極坐標向量 向量在 R2 運動學上的應用 位移，速度及加速度 相對運動 力表為向量 範疇 2：微分方程 基本概念 微分方程的形式 一階微分方程 可分變數微分方程的解 綫性微分方程 frac dydxp x yq x 的解 可化簡為可分變數或綫性形式方程的解 二階微分方程 分類 疊合原理 常係數齊次方程 afrac d2ydx2bfrac dydxcy0 的解 常係數非齊次方程 afrac d2ydx2bfrac dydxcyf x 的解 餘函式與特別積分 待定係數法 將方程約簡為常係數的二階微分方程 一階微分方程組 實際的應用 範疇 3：數值法 插值法 插值多項式 拉格朗日插值多項式的構造 應用拉格朗日插值多項式逼近函式及計算其函式值 插值多項式的誤差估計 近似計算 量度誤差的處理 誤差來源：在科學研究中的系統誤差及隨機誤差；捨入誤差及截斷誤差 絕對及相對誤差 誤差的合成 利用泰勒展開式逼近函式值 函式的泰勒展開式 誤差的估計 數值積分 梯形法則 梯形法則的推導 誤差的估計 梯形法則的應用 森遜法則 森遜法則的推導 誤差的估計 森遜法則的應用 方程的數值解 定點迭代法 迭代法的演算法 收斂的條件 誤差的估計 牛頓方法 牛頓方法的演算法 收斂條件及誤差計算 牛頓方法的應用 正割法 正割法的推導 正割法的應用 資料的圖表處理 將兩變數的關係化簡成綫性形式 利用最小二乘法求最佳擬合直綫 最小二乘法的意義及最佳擬合的觀念 最佳擬合直線的斜率及 y 軸截距 在已求出的影像中插值 最佳擬合直綫在不同問題上的應用 範疇 4：初級機率理論 基本概念 基本定義 計數法 機率定理 貝葉斯定理 遞推關係 機率分佈 隨機變數 離散機率函式 機率密度函式 預期值及方差 二項分佈 伯努利試驗，二項機率 二項分佈 應用 常態分佈 基本定義 標準常態曲綫和常態表的使用 應用 逼近常態分佈的二項分佈 另見 香港中學會考附加數學科 香港高階補充程度會考數學與統計學 香港高階程度會考純粹數學科 香港中學文憑考試數學科延伸部分 附註 參考資料 外部連結 Applied Mathematics Curriculum and Assessment Guide 香港教育局 中學課程綱要－應用數學 高階程度 1992 Education Bureau Syllabuses for Secondary Schools Applied Mathematics Advanced Level 1992 香港考試及評核局 高階程度會考應用數學 HKEAA ADVANCED LEVEL APPLIED MATHEMATICS 香港公共圖書館數碼館藏：香港會考及高考試題特藏 香港高階程度會考 Applied Mathematics 應用數學 Category 高等數學 Category 香港高階程度會考 Category 香港已停辦公開考試 Category1980 年香港建立 Category2014 年香港廢除