微積分中，函式 f 的二階導數（或）是其導數的導數。粗略而言，某量的二階導數，描述該量的變化率本身是否變化得快。例如，物體位置對時間的二階導數是瞬時加速度，即該物體的速度隨時間的變化率。用： boldsymbol a frac mathrm dboldsymbol vmathrm dt frac mathrm d2boldsymbol xmathrm dt2 其中 boldsymbol a 為加速度，boldsymbol v 為速度，t 為時間，boldsymbol x 為位置，而 mathrm d 表示瞬時的差值（又稱「delta」值）。最後一式 tfrac mathrm d2boldsymbol xmathrm dt2 是位置 boldsymbol x 對時間的二階導數。 繪製函式圖形時，二階導數描述曲線的曲率或凹凸性。若函式的二階導數為正，則其影像是向上彎，像隻杯（cup）。反之，若其二階導數為負，則向下彎，像頂帽（cap）。 二階導數的冪法則 連續兩次用一階導數的，則會推匯出二階導數的冪法則，如下所示： frac mathrm d2mathrm dx2left xnright frac mathrm dmathrm dxfrac mathrm dmathrm dxleft xnright frac mathrm dmathrm dxleft nxn1right nfrac mathrm dmathrm dxleft xn1right n n 1 xn2 公式對任意實數 n 成立。 記法 函式 f 的二階導函式常記為 f，其於 x 處取值為 f x。 換言之， f left fright 其中 表示一階求導。若用表示導數，則因變數 y 關於自變數 x 的二階導數記為 frac mathrm d2ymathrm dx2 此種寫法的理由是，tfrac mathrm dmathrm d x 表示對 x 求導，從而求導兩次應寫成： frac mathrm dmathrm dxleft frac mathrm dymathrm dxright frac mathrm d2ymathrm dx2 其他記法 如前段所記，二階導數標準的萊布尼茲記法為 frac mathrm d2ymathrm dx2。然而，無法視之為純代數符號作運算。意思是，雖然看似兩個微分相除組成的分數，但是無法拆分、抵銷等。不過，可藉另一種記法補救前述問題。此記法是基於一階導數的商法則。倘若視 frac mathrm d ymathrm dx 為兩微分之商，則求導時，根據商法則應有： begin align y x left frac mathrm dymathrm dxright frac mathrm d y cdot mathrm dx mathrm dy cdot mathrm dxmathrm d x2 frac frac mathrm dmathrm dx mathrm d y cdot mathrm dx mathrm dy cdot frac mathrm dmathrm dx mathrm dx mathrm d x2 frac mathrm d2ymathrm dx2 frac mathrm dymathrm dxfrac mathrm d2xmathrm dx2end align 上式中，y x 為二階導數，但 tfrac mathrm d2ymathrm dx2 則不然。mathrm du 表示微分運算元施用於 u 的結果，即 mathrm d u，而 mathrm d2u 表示微分運算元疊代兩次的結果，即 mathrm d mathrm d u。最後 mathrm du2 是先微分再平方，即 mathrm d u2。 若採此寫法（並依上段解讀各符號含義），則二階導數各項可以自由操作，與其他代數項作運算。例如，二階導數的反函式公式，可自上式經一輪代數運算而得。二階導數的鏈式法則亦然。不過，運算上的方便，與更換符號的不便，孰輕孰重，仍待定論。 例 考慮 f x x3 運用冪法則，f 的導數 f 由下式給出： fprimex 3x2 f 的二階導數即是對導數 f 再次求導的結果，由下式給出： fprimeprimex 6x 另一個例子，考慮正弦函式 sin。有 sinx cos x 而再次求導後，得到 sin x cosx sin x 換言之，正弦函式的二階導數是自身的相反數。 與影像的關係 凹向 函式 f 的二階導數，描述其影像凹的方向和程度，即凹性。若二階導數在某區間恆正，則函式在該區間向上凹（向上彎，又稱為凸函式或下凸函式），意即其切線總位於影像下方「承託」。反之，若二階導數在某區間恆負，則函式在該區間向下凹（向下彎，又稱為凹函式或上凸函式），其切線總位於影像的上方「壓制」著。 拐點 若函式的二階導數在某點的左右異號，則影像由向上彎轉變成向下彎，或反之。此種點稱為拐點。假設二階導數連續，則在該點處必取零值，故可用「二階導數為零」之條件，篩選出可能的拐點。不過，二階導數為零的點不一定是拐點，如 f x x4 有 f 0 0，但 f 在實數繫上為凸，無拐點。 二階導數檢驗 二階導數與凹凸性的關係，有助判斷函式 f 的駐點（即滿足 fx0 的點 x）是否為區域性極大點或極小點。具體言之： 若 fprimeprimex 0，則 f 於 x 點取得區域性極大值。 若 fprimeprimex 0，則 f 於 x 點取得區域性極小值。 若 fprimeprimex 0，則二階導數檢驗無定論。該點或許是拐點，也可能是極大或極小點。 直觀理解，考慮一架賽車高速前進，但正在減速（加速度為負），則當速度降至零的一刻，賽車所在位置即為自起點出發，能達到的前方最遠處，因為此後速度降至負值，賽車會倒車。同樣，若考慮高速後退但加速度為正的賽車，則相應得到關於極小值的結論。 極限 二階導數若存在，則可以衹用一個極限寫出： f x lim_h to 0 frac f xh 2f x f xhh2 以上極限稱為。但是，有時二階對稱導數存在，則函式仍沒有（平常的）二階導數。 右側欲求極限的分式，可理解成的差商： frac f xh 2f x f xhh2 frac frac f xh f xh frac f x f xhhh 故其極限可視作序列二階差分的連續版本。 然而，上述極限存在並不推出函式 f 二階可導。該極限僅是二階導數存在時，計算該導數的一種方法，但並非其定義。反例有符號函式 sgn，其定義為： sgn x begin cases 1 text 若 x 0 0 text 若 x 0 1 text 若 x 0 end cases 符號函式在原點不連續，從而不可導，尤其並非二階可導。但是，在 x0 處，二階對稱導數存在： begin align lim_h to 0 frac sgn 0h 2sgn 0 sgn 0hh2 lim_h to 0 frac sgn h 2cdot 0 sgn hh2 lim_h to 0 frac sgn h sgn hh2 lim_h to 0 frac 0h2 0 end align 二次近似 正如導數與線性近似密切相關，二階導數也與二次近似如影隨形。某函式 f 於某點的二次近似，是一個二次函式，與 f 在該點處具有一樣的一、二階導數。函式 f 於 a 附近的二次近似可寫成： f x approx f a faxa tfrac12 f axa2 函式的二次近似就是第二階的泰勒多項式。 本徵值與本徵函式 因為求導運算為線性，所以求導兩次亦可視為函式空間上的線性運算元，從而可以研究其譜。換言之，可求微分方程 v lambda v 的函式解 v（本徵向量）與常數 lambda（本徵值）。對於許多種邊界條件，可以明確求出。 舉例，以閉區間 0L 為定義域，邊界採用齊次狄利克雷條件（即 v 0v L0），則諸本徵值為 lambda_j tfrac j2 pi2L2，對應本徵向量（亦稱本徵函式）v_j 由 v_j x sqrt tfrac 2L sinleft tfrac j pi xLright 給出。此處 v_j x lambda_j v_j x，j 為任意正整數。 其他情況的解，見。 高維推廣 黑塞方陣 二階導數的高維推廣，其一是同時考慮全體二階偏導數 tfrac partial2 fpartial x_i partial x_j。對於三元函式 f mathbb R3 to mathbb R，二階偏導數包括 frac partial2 fpartial x2 frac partial2 fpartial y2 frac partial2 fpartial z2 以及混合偏導數 frac partial2 fpartial x partial y frac partial2 fpartial x partial z frac partial2 fpartial y partial z 還有其他次序的混合偏導數，如 tfrac partial2 fpartial y partial x，但由二階導數的對稱性，衹要 f 滿足特定條件（如二階偏導數處處連續），則其他次序的混合偏導數等於上述已列出的偏導數。於是，各方向的二階偏導數可以砌成一個對稱方陣，稱為黑塞方陣（或）。該方陣的本徵值適用於多變數情況的二階導數檢驗（稱為）。 拉普拉斯運算元 另一種常見推廣，則是衹考慮對同一個變數的二階導數，再求和，得到拉普拉斯運算元（或）。拉氏微分運算元記作 nabla2 或 Delta。以三維情形為例，定義為 nabla2 f frac partial2 fpartial x2frac partial2 fpartial y2frac partial2 fpartial z2 函式的拉氏運算元等於梯度的散度，亦是前述黑塞方陣之跡。 參見 啁啾度 某訊號瞬時相位的二階導數（瞬時頻率的一階導數）。 註 參考文獻 延伸閱讀 紙本 網上 Category 數學分析 Category 微分學 Category 函式