據本華曼德博所說：分形的定義是豪斯多夫 貝西科維奇維度嚴格大於拓撲維度的集合。 本文的分形列表以豪斯多夫維度升序排列，展示所謂分形維度的意義。 定分形 豪斯多夫維度（精確值） 豪斯多夫維度（近似值） 名稱 圖片 註釋 計算得到 0538 費根鮑姆吸引子 費根鮑姆吸引子（見箭頭之間）是臨界引數值 scriptstyle lambda_infty 3570 的邏輯斯諦對映連續迭代產生的點的集合，其週期減半是無限的。這個維度對任何可微函式和單峰函式都一樣。 log_3 2 06309 康托爾集 每次迭代都會去掉中間的三分之一。無處稠密集，不可數集。 frac log 2logleft displaystylefrac 1gamma2right 0D1 1 維廣義對稱康托爾集 在第 n 次迭代時，從長度為 l_n11gamman12n1 的每個剩餘區間中移除長度為 gammal_n1 的中心區間。gamma13 將產生康托爾集。將 gamma 在 01 之間變化可以得到任何分形維度 0D1。 log_2 varphilog_2 1sqrt 51 06942 14 12 不對稱康托爾集 每次迭代去除第二個四分之一份得到。 varphi 1sqrt 52（黃金比例）。 log_1051log_102 069897 10 進位制基數為偶數的實數 與康托爾集類似。 log 1sqrt 2 088137 斐波那契哈密頓譜 對斐波那契哈密頓頻譜的研究，可得其在大耦合機制下的分形維度的上下界。它們表明譜收斂於常數。 1 1 史密斯 沃爾泰拉 康托爾集 在第 n 次迭代時，每個剩餘區間中刪除長 22n 的中心區間。無處稠密，勒貝格測度為。 2log_2left frac 12right1 1 牛奶凍曲線 在單位區間上的定義是 f x sum_n0infty 2n s 2n x，其中 s x 是三角波函式。不是曼德爾布羅分形，因為其拓撲維度也是 1 牛奶凍曲線的特例：f x sum_n0infty wn s 2n xw 12。winleft 121right 時，豪斯多夫維度等於 2log_2 w（曼德爾布羅引 Hunter）。 計算得到 10812 z² 14 的朱利亞集合 f z z2 14 的朱利亞集。 alpha3salpha4s1 中 s 的解 10933 羅茲分形的邊界 GRauzy 提出了與 Tribonacci 態射有關的動力學分形表示法：1mapsto12、2mapsto13、3mapsto1。Messaoudi Ali Frontième de numération complexe matwbnicmedupl Accessed 27 October 2018 alpha 是 z3z2z10 的共軛根之一。 2log_7 3 112915 高斯帕曲線 高斯帕島是高斯帕曲線的極限。 分格測量 12 樹突朱利亞集 f z z2 i 的朱利亞集。 3frac log varphilogleft displaystylefrac 3sqrt 132right 12083 斐波那契字分形 60 從斐波那契字構建。另見標準斐波那契字分形 varphi 1sqrt 52（黃金比例）。 begin align2log_2left displaystylefrac sqrt 3273sqrt 78sqrt 3273sqrt 783right text or root of 2x122x2end align 12108 tame twindragon 的邊界 平面上 6 個 2reptile 之一（可分為 2 片更小的自相似子圖）Ngai Sirvent Veerman and Wang October 2000 On 2Reptiles in the Plane 1999 Geometriae Dedicata Volume 82 Accessed 29 October 2018Duda Jarek March 2011 The Boundary of Periodic Iterated Function Systems Wolframcom 126 厄農對映 規範厄農對映（引數 a 14；b 03）的豪斯多夫維度為 1261 0003。不同引數會產出不同維度。 log_3 4 12619 Triflake Three antisnowflakes arranged in a way that a kochsnowflake forms in between the antisnowflakes log_3 4 12619 科赫曲線 3 片反雪花的排列方式是在反雪花之間形成科赫曲線。 log_3 4 12619 Terdragon 曲線的邊界 L 系統：與龍興曲線相同，角度 30。Fudgeflake 基於三角形中的 3 條初始線段。 log_3 4 12619 2D 康托爾集 log_3 4 12619 2DL 系統分支 L 系統，分支圖案有 4 個 13 大的新片段。以統計而非精確自相似生成圖案，可得到相同的分形維度。 計算得到 12683 z2 1 的朱利亞集 f z z2 1 的朱利亞集。 13057 阿波羅分形墊 從 3 個相切的圓開始，反覆將新的圓填入互補的間隙。也是由 4 個互切圓的反射產生的極限集。見 McMullen Curtis T 3 October 1997 Hausdorff dimension and conformal dynamics III Computation of dimension AbelMathHarvardedu Accessed 27 October 2018 1328 5 反演圓分形 相對於 5 個互切圓（紅色）的迭代反演產生的極限集。也是阿波羅分形墊。見 Chang Angel and Zhang Tianrong pdf log_5 9 136521Mandelbrot B B 1983 The Fractal Geometry of Nature p48 New York W H Freeman Cited in 平方科赫島，生成自一型曲線 也稱為閔可夫斯基香腸 計算得到 13934 杜阿迪兔 f z 0123 0745i 的朱利亞集。 log_3 5 14649 維則克分形 每個方格由 5 個交叉方格反覆交換而成。 log_3 5 14649 平方科赫曲線（1 型） 可以看出維則克分形的結構（如上）。 log_sqrt 5left frac 103right 14961 四角十字架 每個方格由 5 個交叉方格反覆交換而成。 2log_2 sqrt 2frac 32 15000 魏爾施特拉斯函式：displaystyle f xsum_k1infty frac sin 2k xsqrt 2k 魏爾施特拉斯函式 f01tomathbb R 影像的豪斯多夫維度由 f xsum_k1infty aksin bk xfrac 1ba1 b1 2 log_b a 定義。N Zhang The Hausdorff dimension of the graphs of fractal functions In Chinese Master Thesis Zhejiang University 2018 log_4 8frac 32 15000 平方科赫曲線（2 型） 也稱為 閔可夫斯基香腸。 log_2left frac 1sqrt 3736sqrt 87sqrt 3736sqrt 873right 15236 龍形曲線的邊界 cf Chang Zhang log_2left frac 1sqrt 3736sqrt 87sqrt 3736sqrt 873right 15236 雙龍曲線的邊界 可由兩條龍興曲線構造。平面上 6 個 2reptile 之一（可由兩個大小相等的自相似部分組成）。 log_2 3 15850 3 支樹 每個樹枝都有 3 個分支（此處為 90 和 60）。整棵樹的分形維度就是末端樹枝的分形維度。注意：2 支樹的分形維度只有 1。 log_2 3 15850 謝爾賓斯基三角形 是帕斯卡三角模 2 的極限形。 log_2 3 15850 謝爾賓斯基曲線 100px 極限與上方的三角相同，但由一維曲線構建。 log_2 3 15850 T 方形分形的邊界 分形本身的維度（不是邊界）是 log_2 42 log_sqrt varphivarphivarphivarphi 161803 黃金龍形曲線 由相似比為 r、r2 r 1 varphi1varphi 構造。維度等於 varphi，因為 r2varphirvarphi 1。 varphi 1sqrt 52（黃金比例）。 1log_3 2 16309 帕斯卡三角模 3 對於 k 模三角形，若 k 為質數，則分形維度為 scriptstyle 1 log_kleft frac k12right（參史蒂芬沃爾夫勒姆）。 1log_3 2 16309 謝爾賓斯基六邊形 以謝爾賓斯基地毯的方式，在六邊形網格上繪製的 6 個相似比為 13 的模擬圖。科赫曲線見於所有尺度。 3frac log varphilog 1sqrt 2 16379 斐波那契詞分形 基於斐波那契詞 Sloane A005614 的分形。圖片為 23 步後的分形曲線（F23 28657 組分）。 varphi 1sqrt 52（黃金比例）。 13s 12s 23s 1 的解 16402 有 13、12、23 三種相似比的迭代函式系統 推廣：只要開集條件成立，由比率 c_n 的 n 個相似圖形組成的迭代函式系統的吸引子具有豪斯多夫維度 s，滿足的方程與歐幾里得縮放因子的迭代函式重合：sum_k1n c_ks 1。 log_832frac 53 16667 32 段四邊形分形（18 比例） 每次迭代將 32 段生成線段（見圖）縮放 18，並用整個生成線段的縮放複製替換前一個結構的每一段。所示結構由 4 個生成單元組成，並迭代 3 次。理論結構的分形維度為 log 32log 8 16667。 1log_5 3 16826 帕斯卡三角模 5 對於 k 模三角形，若 k 為質數，則分形維度為 scriptstyle 1 log_kleft frac k12right（參史蒂芬沃爾夫勒姆）。 網格測量法 17 池田函式吸引子 池田函式 z_n1 a bz_n expleft ileft k pleft 1 lfloor z_n rfloor2rightrightright 引數取 a1、b09、k04、p6 時的圖案。其來自光學環形雷射器中平面波相互作用場的模型。不同的引數會產生不同的值。 1log_105 16990 50 段四邊形分形（110 比例） 每次迭代將 50 段生成線段（見圖）縮放 110，並用整個生成線段的縮放複製替換前一個結構的每一段。所示結構由 4 個生成單元組成，並迭代 3 次。理論結構的分形維度為 log 50log 10 16990。Fractal Generator for ImageJ 4log_5 2 17227 針輪分形 由康威的針輪平鋪構建而來。 log_3 7 17712 斯芬克斯分形 由斯芬克斯六聯鑽石構建而來，去除了 9 個子部分中的 2 個。W Trump G Huber C Knecht R Ziff to be published log_3 7 17712 六聯雪花 由 7 個六邊形組分迭代交換每個六邊形而成，其邊界為科赫片，包含無窮多科赫雪花（黑或白）。 log_3 7 17712 Fractal HI de Rivera 從單位正方形開始，將其三等分，形成九個自相似正方形。在未消除的 7 個小正方形中，再去掉上下中間的兩個，這樣無限重複。 frac log 4log 22cos 85circ 17848 科赫曲線 85 科赫曲線的推廣，角度 a 在 0 到 90 之間。分形維度為 frac log 4log 22cos a in 12。 log_2left 30632063right 18272 自仿射分形集 從正方形上的 p times q p le q 矩陣迭代而來，豪斯多夫維度等於 log_pleft sum_k1p n_karightalog_q p，且 n_k 是第 kth 列的元素個數。計盒維數給出的公式不一樣，因此值也不同。不同於自相似集，自仿射分形集的豪斯多夫維度取決於迭代元素的位置，到目前還沒有一般公式。 frac log 6log 1varphi 18617 五聯雪花 透過交替迭代 6 個五邊形中的每個五邊形構建。 varphi 1sqrt 52（黃金比例）。 6 13s5 13sqrt 3s1 的解 18687 猴子樹 見於本華曼德博的《自然分形幾何》（1983），基於相似比為 13 的 6 個圖和相似比為 13sqrt 3 的 5 個圖。Monkeys tree fractal curve log_3 8 18928 謝爾賓斯基地毯 門格海綿的每個面都是謝爾賓斯基地毯，與三維平方科赫曲面（1 型）的底面一樣。 log_3 8 18928 3D 康托爾集 log_3 4log_3 2frac log 4 log 3frac log 2 log 3frac log 8 log 3 科赫曲線與康托爾集的笛卡兒積 推廣：令 FG 為分形集 F、G 的笛卡兒積，則 dim_H F times G dim_H F dim_H G。另見 2D 康托爾集和康托爾體。 2log_2 x，其中 x93x83x73x62x54x48x38x216x80 19340 萊維 C 形曲線的邊界 Duvall Keesling 1999 估計。曲線本身的分形維度為 2。 2 彭羅斯密鋪 參見 Ramachandrarao Sinha Sanyal。 2 2 曼德博集合的邊界 邊界與集合本身有相同的豪斯多夫維度。 2 2 朱利亞集合 對於確定的 c 值（包括屬於曼德博集邊界的 c），朱利亞集的維度為 2 2 2 謝爾賓斯基曲線 所有能填滿平面的空間填充曲線的豪斯多夫維度都是 2。 2 2 希爾伯特曲線 2 2 皮亞諾曲線 還有以類似方法構建的曲線族，如 Wunderlich 曲線。 2 2 摩爾曲線 可擴充套件到 3 維。 2 勒貝格曲線或 Z 階曲線 與前幾種不同的是，這種空間填充曲線幾乎處處可導。另一種型別可定義在二維中。與希爾伯特曲線一樣，也可擴充套件到三維空間。 log_sqrt 222 2 龍形曲線 其邊界的分形維度為 15236270862。 2 雙龍曲線 L 系統：F F F F angle 120 log_2 42 2 高斯帕曲線 曲邊界為高斯帕島。 7 13s6 13sqrt 3s1 的解 2 填充科赫曲線的曲線 曼德博提出於 1982 年，填充了科赫曲線。基於 7 個相似比為 13 的部分和 6 個相似比為 13sqrt 3 的部分。 log_2 42 2 謝爾賓斯基四面體 每個四面體都被替代為 4 個更小的四面體。 log_2 42 2 H 樹 aligncenter 與之有相似模式的有曼德博樹。 frac log 2log 2sqrt 22 畢達哥拉斯樹 aligncenter 每個正方形都以 1sqrt 2 的比例擴張出兩個小正方形。 log_2 42 2 2D 希臘十字分形 每段由 4 段組成的十字形取代。 測量得到 201 001 若斯叻吸引子 若斯叻吸引子的分數維度略大於 2，在 a01、b01、c14 時大約位於 201 到 202 之間。 測量得到 206 001 洛倫茨吸引子 對於引數 rho40 sigma beta4。見 McGuinness 1983 4cDdDcdD 2D23 金字塔表面 aligncenter 每個三角形由 6 個小三角形代替，其中 4 個組成菱形金字塔，其餘兩個保持扁平，相對於金字塔三角形的長度分別為 c d。維度是引數，當數值大於 23 時會自交。 log_2 5 23219 分形金字塔 aligncenter 每個四角錐被 5 個一半大的四角錐代替。（異於謝爾賓斯基四邊形，後者將每個四邊形以 4 個一半大的四邊形代替） frac log 20log 2varphi 23296 十二面體分形 aligncenter 每個十二面體被 20 個小十二面體代替。 varphi 1sqrt 52（黃金比例） log_3 13 23347 3D 平方科赫曲面（1 型） aligncenter 平方科赫曲線（1 型）在三維中的擴充套件。圖中顯示了低依次（藍）、第二次（綠）、第三次（黃）和第四次（透明管）迭代。 24739 阿波羅球形填充 阿波羅球體留下的間隙。三維的阿波羅分形墊。維度計算由 M Borkovec、W De Paris、R Peikert 完成。The Fractal dimension of the apollonian sphere packing log_4 32frac 52 250 3D 平方科赫曲面（2 型） aligncenter 平方科赫曲線（2 型）在三維空間的擴充套件。圖示為第二次迭代。 frac logleft frac sqrt 76frac 13rightlog sqrt21 2529 耶路撒冷體 迭代次數 n，由 8 個迭代 n1 次的位於角上的立方體和 12 個迭代 n2 次的立方體（聯接四角）組成。收縮率為 sqrt 21。 frac log 12log 1varphi 25819 二十面體分形 aligncenter 每個二十面體被 12 個二十面體代替。 varphi 1sqrt 52（黃金比例）。 1log_2 3 25849 3D 希臘十字分形 aligncenter 每個部分被由 6 個部分形成的十字代替。 1log_2 3 25849 八面體分形 aligncenter 每個八面體都被 6 個八面體代替。 1log_2 3 25849 科赫曲面 aligncenter 每個等邊三角形面被切割成 4 個相等的三角形。 以中心三角形為底，組成四面體。用四面體 帳篷 代替三角形底面。 frac log 3log 32 27095 3D 科赫曲面 從六面體開始，其面是邊長為 223 的等腰三角形。將每個多面體替換為本身的 3 個副本，縮小 23。 log_3 20 27268 門格海綿 其表面的分形維度為 log_3 20，與體積相同。 log_2 83 3 3D 希爾伯特曲線 擴充套件到 3 維的希爾伯特曲線。 log_2 83 3 3D 勒貝格曲線 擴充套件到 3 維的勒貝格曲線。 log_2 83 3 3D 摩爾曲線 擴充套件到 3 維的摩爾曲線。 log_2 83 3 3DH 樹 擴充套件到 3 維的 H 樹。 3（推測） （待確認） 曼德爾球 aligncenter 曼德博集在 3 維的擴充套件。 隨機及自然分形 豪斯多夫維度（精確值） 豪斯多夫維度（近似值） 名稱 圖片 註釋 12 05 維納過程的零點 維納過程（布朗運動）的零點是勒貝格測度為 0 的無處稠密集，帶分形結構。Peter Mörters Yuval Peres Brownian Motion Cambridge University Press 2010 E C_1s C_2s1 E C_105 E C_203 的解 07499 隨機康托爾集（50 30） 推廣：每次迭代，左側間隙的長度為隨機變數 C_1，與原間隙長度之比隨機。右側間隙同理，隨機變數 C_2。其豪斯多夫維度 s 滿足：E C_1s C_2s1 E X 是 X 的期望）。 s112cdot2s16cdot3s1 的解 1144 間隔隨機的科赫曲線 中間間隙的長度是隨機變數，服從間隙的 013 上的均勻分佈。 測量得到 122002 愛爾蘭島海岸線 愛爾蘭島全部海岸線的分形維度由阿爾斯特大學與都柏林三一學院理論物理系學生 McCartney、Abernethy、Gault 在 S Hutzler 指導下測得。See contents page archived 26 July 2013 注意愛爾蘭島西部海岸線較曲折（分形維度約 126），東部較平滑（分形維度約 110）。 測量得到 125 大不列顛島海岸線 大不列顛島西海岸海岸線，的分形維度，由路易斯弗萊理查德森測得，本華曼德博引用。How long is the coast of Britain Statistical selfsimilarity and fractional dimension B Mandelbrot frac log 4 log 3 12619 隨機轉向的科赫曲線 在這裡，我們引入了一個不影響維度的隨機因素，即在每次迭代時選擇將等邊三角形置於曲線的上方或下方。 frac 43 1333 布朗運動的邊界 （參曼德博、Lawler、Schramm、維納）。 frac 43 1333 2D 聚合物 與二維不自交布朗運動相似。 frac 43 1333 2D 滲流前沿、2D 腐蝕前沿 滲流前沿（包括外緣）的分形維度，於逾滲閾值（593）。也是腐蝕前沿的分形維度。 140 2D 凝聚體 受到擴散限制時，凝聚體會逐漸聚合為維度 14 的特殊凝聚體。 2frac 12 15 規則分維布朗運動函式（維納過程）影像 函式 f，對任意兩正實數 x xh，像之差 f xhf x 服從中心方差分佈，方差 h。推廣：alpha 分維布朗運動的方差為 h2alpha，豪斯多夫維度 2alpha。 測量得到 152 挪威海岸線 見 J Feder。Feder J Fractals Plenum Press New York 1988 測量得到 155 自避行走 方格中的隨機行走，不重複到達同一格點，有 返回 過程避免掉進死衚衕。 frac 5 3 166 3D 聚合物 與體格中的布朗運動相似，但沒有自避。 170 2D 擴散限制凝聚體 二維中形成的擴散限制凝聚體，分形維度約為 170。 frac log 9cdot075 log 3 17381 機率為 75 的分形滲流 分形滲流模型可由以下過程構建：將每個方格劃為 3times3 的網格，在其中隨機放置一組正方形，正方形保留的機率為 p。豪斯多夫維度趨近於 textstyle frac log 9p log 3。 74 175 二維滲流簇殼 滲流簇的邊界。也可透過生成簇殼遊走或 SchrammLoewner 演化形成。 frac 91 48 18958 二維滲流簇 方格中，在場地滲流閾值（593）下，滲漏殼的分形維度為 9148。在閾值之上，殼層將無限延伸，9148 則變為 空地 的分形維度。 frac log 2 log sqrt 2 2 2 布朗運動 或隨機遊走。多維情況的豪斯多夫維度 2（KFalconer 分形集幾何）。 測量得到 約 2 星系團分佈 資料來自斯隆數字巡天（2005）。 25 廢紙團 將不同尺寸、同種、同長寬比的紙張（如 ISO 216 的 A 系列）揉成一團，則紙張面積大致會與紙團直徑的 2 到 3 之間某數的次方成正比。無論什麼尺寸都會形成褶皺（見普遍性 物理學）。 250 3D 擴散限制凝聚體 三維中形成的擴散限制凝聚體，分形維度約為 250。 250 利希滕貝格圖 其出現與生長似乎與擴散限制凝聚過程有關。 3frac 12 25 規則布朗面 函式 fmathbb R2 to mathbb R 給出點 xy 的高度，使得任給兩個正增量 h k，則 f xhykf xy 服從中心正態分佈，方差 sqrt h2k2。推廣：alpha 分維布朗面方差為 h2k2alpha，豪斯多夫維度 3alpha。 測量得到 252 3D 滲流團 體格中，在背景逾滲閾值（311）下，3D 滲流團的分形維度約為 252。 Beyond that threshold the cluster is infinite 測量、計算得到 27 西藍花表面 金山勳利用直接掃描法與交叉截面分析，得到西藍花表面分形維度～27。 測量得到 28 人腦表面 高分辨三維 MRI 成像得到 測量、計算得到 28 花椰菜 金山勳利用直接掃描法與交叉截面分析，得到花椰菜表面分形維度～28。 297 肺表面 肺泡形成的分形面接近 3。 計算得到 in 02 乘階 多分形分佈的例子。 透過挑選特定引數，可以使分佈變為單分形。 另見 分形維數 豪斯多夫維數 標度不變 註釋與參考文獻 閱讀更多 外部連結 The fractals on Mathworld Other fractals on Paul Bourkes website Solers Gallery Fractals on mathcurvecom 1000fractalesfreefr Project gathering fractals created with various software Fractals unleashed IFStile software that computes the dimension of the boundary of selfaffine tiles Category 分形 Category 分形曲線 Category 數學列表