兩種扭稜而成的阿基米德立體 扭稜立方體或扭稜截半立方體 扭稜十二面體或扭稜截半十二面體 在幾何學中，扭稜是一種多面體變換。該術語起源於開普勒對阿基米德立體的命名，分別為扭稜立方體（、）和扭稜十二面體（、）。一般而言，多面體經扭稜變換後可以形成兩種互為手性映象的形式，分別為順時針方向的扭稜和逆時針方向的扭稜。以開普勒的命名對應的扭稜變換可以看做是正多面體的擴張，也就是將正多面體的面向外分開，並圍繞著中心扭曲（不改變面的形狀），然後加入以每個原始立體頂點為中心的正方形，並在每個原始立體之邊的位置上加入成對的三角形來構成。 考克斯特對扭稜進行了推廣，推廣成能用於更廣泛的均勻多面體，其定義略有不同。 康威扭稜 康威研究了廣義的多面體變換，定義了現在稱為康威多面體表示法的多面體變換表示法，其可以運用在多面體和各種鑲嵌或密鋪的幾何形狀。康威稱考克斯特定義的扭稜變換為半扭稜變換。 在康威多面體表示法中，扭稜變換（康威表示法：s）被定義為陀螺變換（，康威表示法：g，為每個 n 邊形面被切割成 n 個五邊形的多面體變換）的對偶多面體（康威表示法：d），即康威表示法 s dg dgd，其等價於先經截半變換再做截角變換後進行交替截角。康威表示法本身避免了考克斯特的交錯（半）變換，因為它僅適用於僅具有偶數邊數的面之多面體。 扭稜的正圖形 扭稜的形式 多面體 多面體 多面體 平面鑲嵌 平面鑲嵌 雙曲鑲嵌 原像名稱 正四面體 立方體或正八面體 正二十面體或正十二面體 正方形鑲嵌 正六邊形鑲嵌或正三角形鑲嵌 正七邊形鑲嵌或七階三角形鑲嵌 影像 扭稜結果的康威表示法 sT sC sO sI sD sQ sH sΔ sΔ7 影像 扭稜四面體（正二十面體） 扭稜立方體 扭稜十二面體 扭稜正方形鑲嵌 扭稜六邊形鑲嵌 在四維空間中，康威建議將稱為半扭稜二十四胞體。與三維的扭稜多面體不同，三維的扭稜多面體是交替的全截（omnitruncation，即先截半再截角）的形式，而扭稜二十四胞體並非是正二十四胞體交替的全截的形式。事實上，扭稜二十四胞體是交替截角的正二十四胞體。 考克斯特扭稜 扭稜立方體，衍生自立方體或截半立方體 原像 截半 BRr 截角 BRt 交錯 BRh 名稱 立方體 截半立方體 截角截半立方體 BR 全截立方體 扭稜截半立方體 康威表示法 C COBRrC tCOBRtrC 或 trO htCO sCOBRhtrC srC 施萊夫利符號 43 begin Bmatrix 4 3 end Bmatrix 或 t begin Bmatrix 4 3 end Bmatrix 或 ht begin Bmatrix 4 3 end Bmatrix s begin Bmatrix 4 3 end BmatrixBRhtr 43 或 或 或 影像 考克斯特扭稜的定義略有不同，其將扭稜定義為截角後交錯，在這個定義下，扭稜立方體被視為扭稜後的截半立方體、扭稜十二面體被視為扭稜後的截半十二面體。在這種定義下命名的詹森多面體有扭稜鍥形體和扭稜四角反角柱。這種命名在高維多胞體中也有所使用，如擴充套件施萊夫利符號記為，並在記為的。 一個正多面體或鑲嵌若在施萊夫利符號記為 begin Bmatrix p q end Bmatrix 且記為，則其截角後的像施萊夫利符號記為 t begin Bmatrix p q end Bmatrix、記為，若再將這個結果進行交錯變換，則其變換後的像施萊夫利符號記為 ht begin Bmatrix p q end Bmatrix s begin Bmatrix p q end Bmatrix、考克斯特 迪肯符號記為。要完成這個交錯變換，必須為偶數。 一個擬正多面體若在施萊夫利符號記為 begin Bmatrix p q end Bmatrix 或、考克斯特 迪肯符號記為或，則其截角的像施萊夫利符號記為 tbegin Bmatrix p q end Bmatrix 或，則這個擬正多面體的扭稜可以定義為交錯的截角截半立體 htbegin Bmatrix p q end Bmatrix sbegin Bmatrix p q end Bmatrix 或 ，和 or 。 例如，以開普勒的扭稜立方體是扭稜自擬正的截半立方體，而截半立方體的豎式施萊夫利符號記為 begin Bmatrix 4 3 end Bmatrix、記為，所以扭稜立方體的豎式施萊夫利符號記為 sbegin Bmatrix 4 3 end Bmatrix、考克斯特 迪肯符號記為。扭稜立方體亦可以視為經過交錯變換的截角截半立方體，截角截半立方體的豎式施萊夫利符號記為 tbegin Bmatrix 4 3 end Bmatrix、考克斯特 迪肯符號記為。 頂點分支度為偶數的正多面體也可以進行截角後交錯的扭稜，例如扭稜八面體，施萊夫利符號 sbegin Bmatrix 3 4 end Bmatrix、考克斯特 迪肯符號，其為交錯的截角八面體施萊夫利符號 tbegin Bmatrix 3 4 end Bmatrix、考克斯特 迪肯符號。八面體在這種定義下的扭稜結果稱為偽二十面體，一個拓樸與正二十面體完全相同但具備五角十二面體群對稱性的立體。 原像 截角 BRt 交錯 BRh 名稱 正八面體 截角八面體 扭稜八面體 康威表示法 O tO htO or sO 施萊夫利符號 34 t 34 ht 34 s 34 考克斯特符號 影像 考克斯特扭稜也允許將反稜柱的施萊夫利符號定義為 sbegin Bmatrix 2 n end Bmatrix 或 sbegin Bmatrix 2 2n end Bmatrix，基於 n 角柱的 tbegin Bmatrix 2 n end Bmatrix 或 tbegin Bmatrix 2 2n end Bmatrix。其中 begin Bmatrix 2 n end Bmatrix 是一個退化的 n 面形，其可以視為由二角形鑲嵌球面的幾何結構。 扭稜多面形，22p 影像 BR BR BR BR BR BR BR BR 施萊夫利 BR 符號 s 24 s 26 s 28 s 210 s 212 s 214 施萊夫利 BR 符號 sr 22BRs begin Bmatrix 2 2 end Bmatrix sr 23BRs begin Bmatrix 2 3 end Bmatrix sr 24BRs begin Bmatrix 2 4 end Bmatrix sr 25BRs begin Bmatrix 2 5 end Bmatrix sr 26BRs begin Bmatrix 2 6 end Bmatrix sr 27BRs begin Bmatrix 2 7 end Bmatrix sr 28BRs begin Bmatrix 2 8 end Bmatrix sr 2BRs begin Bmatrix 2 infin end Bmatrix 康威 BR 表示法 A2 T A3 O A4 A5 A6 A7 A8 A 非均勻多面體的扭稜 非均勻多面體也可以扭稜，但需要滿足考克斯特扭稜的條件。考克斯特扭稜只能作用在頂點分支度全為偶數的立體上。這允許了許多多面體的扭稜，包括了無窮集合的立體。例如： 扭稜雙錐體 sdt 2p 扭稜雙四角錐 扭稜雙六角錐 扭稜截半雙錐體 srdt 2p 扭稜反角柱 s 22p 影像 名稱 扭稜二角反角柱 扭稜三角反角柱 扭稜四角反角柱 扭稜五角反角柱 施萊夫利 BR 符號 ss 24 ss 26 ss 28 ss 210 施萊夫利 BR 符號 ssr 22BRss begin Bmatrix 2 2 end Bmatrix ssr 23BRss begin Bmatrix 2 3 end Bmatrix ssr 24BRss begin Bmatrix 2 4 end Bmatrix ssr 25BRss begin Bmatrix 2 5 end Bmatrix 考克斯特的均勻扭稜星形多面體 扭稜均勻星形多面體由其施瓦茨三角形 p q r 構造，具有合理有序的映象對稱角，且所有映象都處於活動和交替的狀態。 扭稜的均勻星形多面體 s 3232BR BRs 3352BR BRsr 552BR BRs 3553BR BRsr 523BR BRsr 535BR BRs 52533BR BRsr 533BR BRs 323252 BRs 3253BR 參見 參考文獻 Coxeter HSM Regular Polytopes 3rd edition 1973 Dover edition pp 154156 86 Partial truncation or alternation Kaleidoscopes Selected Writings of HSM Coxeter edited by F Arthur Sherk Peter McMullen Anthony C Thompson Asia Ivic Weiss WileyInterscience Publication 1995 Googlebooks Paper 17 Coxeter The Evolution of CoxeterDynkin diagrams Nieuw Archief voor Wiskunde 9 1991 233248 Paper 22 HSM Coxeter Regular and Semi Regular Polytopes I Math Zeit 46 1940 380407 MR 210 Paper 23 HSM Coxeter Regular and SemiRegular Polytopes II Math Zeit 188 1985 559591 Paper 24 HSM Coxeter Regular and SemiRegular Polytopes III Math Zeit 200 1988 345 Uniform Polytopes Manuscript 1991 The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs PhD Dissertation University of Toronto 1966 John H Conway Heidi Burgiel Chaim GoodmanStrass The Symmetries of Things 2008 Category 幾何學 Category 多面體變換