複底數進位制是指底數為虛數或複數的進位制系統。 其中，底數為虛數的進位制系統最早由高德納於 1955 年提出；底數為複數的進位制系統於 1964 年由所羅門I赫梅利尼克（Solomon I Khmelnik）和 1965 年由沃爾特F彭尼（Walter F Penney）提出 W Penney A binary system for complex numbers JACM 12 1965 247248。 概述 令 D 為整環 subset C 和 cdot 為（阿基米德）絕對賦值。 數 Xin D 在進位制系統中可以表示為： X pm sum_nu x_nu rhonu 其中 rho in D nu in Z 是指數，代表各個位數， x_nu 其勢 RZ 稱為分解程度（level of decomposition） 進位制系統或編碼系統是一對二元組： leftlangle rho Z rightrangle 包括了其底數 rho 和位數數碼集合 Z。通常會將有 R 個位數數碼的位數數碼集合表示為： Z_R 0 1 2dotsc R1 理想的進位制系統或編碼系統具有以下特性： 任何在環 D 內的數如整數 Z、高斯整數 Z mathrm i 或環 Zleft tfrac 1mathrm isqrt7 2right 的整數可以表達為為唯一的編碼，並可能帶有正負號 。 任何在分式環 Koperatorname QuotD 內的數，或者再取完備化（cdot 度量的意義下）所得的 KR 或 KC 內的數，皆可以表示為在 cdot 下，於 nu to infty 收斂的無窮級數 X，且不只一種表示方式之數的集合測度為 0。後者要求集合 Z 最小，即對於實數 Rrho、對於複數 Rrho2。 實數 在這種表示法中，一般常見的標準十進位制表示為： leftlangle 10 Z_10 rightrangle 標準二進位制系統表示為： leftlangle 2 Z_2 rightrangle 負二進位制系統表示為： leftlangle 2 Z_2 rightrangle 平衡三進位系統表示為： leftlangle 3 101 rightrangle 上述這幾個進位制系統在 Z 和 R 中都具有上述的特性。後兩個不需要使用正負號。 複數 較廣為人知的複底數進位制系統包括下列幾個進位制系統（其中 mathrm i 表示虛數單位）： leftlanglesqrt RZ_Rrightrangle，例如 leftlanglepm mathrm i sqrt 2Z_2rightrangle （mathrm i sqrt 2 進位制）和 leftlanglepm 2mathrm iZ_4rightrangle，即 2i 進位制，由高德納於 1995 年提出。 leftlanglesqrt 2 epm tfrac pi 2 mathrm ipm mathrm isqrt 2Z_2rightrangle 和 leftlanglesqrt 2 epm tfrac 3 pi 4 mathrm i1pmmathrm iZ_2rightrangle（參見下方進位制一節） leftlanglesqrt R emathrm ivarphiZ_Rrightrangle，其中 varphipm arccos beta2sqrt R、 betamin R 2sqrt R 且 beta_ 是一個正整數，在給定的 R 可以取多個值。 比如 beta1 且 R2 是指 leftlangletfrac 1mathrm isqrt7 2Z_2rightrangle 進位制系統。（ tfrac 1mathrm isqrt7 2 進位制） leftlangle 2etfrac pi 3 mathrm iA_4left01etfrac 2 pi 3 mathrm ietfrac 2 pi 3 mathrm irightrightrangle。 leftlangleRA_R2rightrangle，其中，集合 A_R2 由複數 r_nualpha_nu1alpha_nu2mathrm i 組成，且數 alpha_nu in Z_R，例如 leftlangle 2 01mathrm i1mathrm irightrangle。 leftlanglerhorho_2Z_2rightrangle，其中 rho_2begin cases 2tfrac nu 2 text if nu text even 2tfrac nu1 2mathrm i text if nu text odd end cases 二元系統 複數的二元系統是僅使用兩個數碼 0 和 1 的進位制系統，即位數數碼集合為 Z_201 的進位制系統，這類記數系統具有較實際的用途。 下表列出了一些 langle rho Z_2 rangle 的進位制系統（皆為上述進位制系統的特例），並用其表達。 同時也列出標準的二進位制（下表的第一列）和「負二進位制」（下表的第二列）供比較。這兩個進位制無法真正地表達出虛數單位。 部分的進位制系統和一些數的表達 底數 1 2 2 多種表示形式的數 多種表示形式的數 2 1 01 10 2 001 110 mathrm isqrt 2 無限不迴圈小數 frac 13frac 13mathrm i sqrt 2 00011 111100 frac 1 mathrm isqrt 72 111 1010 110 11110001100 frac 3mathrm isqrt 74 1011 11101 11100110 rho_2 101 10100 100 10 00011 111100 1 0010 11001 1110100 2 00033 13003 100330 113300 與所有具有阿基米德絕對賦值的進位制系統一樣，有些數字具有多種表示形式。此類數字的範例顯示在表格的右欄中。這些數都是迴圈小數，其迴圈節以上標水平線標記。 進位制轉換 若要將一高斯整數 z 轉換為一個以高斯整數 b 為底數的進位制 leftlangle b Z_R rightrangle 可以將數分成一個可被底數整除的高斯整數和一個位於位數數碼集合內的數，並將可被底數整除的高斯整數部分除以底數當作商，位於位數數碼集合內的數當作餘數，並用商數繼續計算，並重複以上步驟，直到商為零，一系列的餘數部分即為轉換完成的結果。 z_q_1ba_0 q_1q_2ba_1 q_2q_3ba_2 quadquadvdots q_t0_ ba_t 其中，q_1、q_2、q_3q_t 為高斯整數，a_1、a_2、a_3a_t 為位於位數數碼集合內的數， 則 zleft a_tcdots a_2a_1a_0right_b。 以 512i 轉換成 2i 進位制（leftlangle 2mathrm i 01234rightrangle）為例： 512mathrm i left 25mathrm irightleft 2mathrm iright 4 25mathrm i left 12mathrm irightleft 2mathrm iright 2 12mathrm i left 2rightleft 2mathrm iright 3 2 left 0rightleft 2mathrm iright 2 故 512i 10 轉換成 2i 進位制為。 進位制 較常被討論的複底數進位制是 2i 進位制和進位制（進位制和進位制），因為其皆可不使用正負號有限地表達所有高斯整數。 進位制以 0 和 1 為基本數碼，其於 1964 年由所羅門I赫梅利尼克（Solomon I Khmelnik）和 1965 年由沃爾特F彭尼（Walter F Penney）提出。 進位制與相關進位制比較 十進位制 二進位制 2i 進位制 進位制 進位制 0 1 2 1 2 與 twindragon 關聯 整數的捨入區域 即在這系統表達之下，共用整數部分的複數（非整數）集合 S 在複平面中具有分形：twindragon。根據定義，集合 S 的所有點可以計為 textstyle sum_kgeq 1 x_k mathrm i1k，其中 x_kin Z_2。S 可以分解成 16 塊 tfrac14 S。注意到，若 S 逆時針旋轉 135，則會得到兩個與 tfrac 1sqrt 2 S 相等的相鄰集合，因為 mathrm i1 SScup S1。中心的矩形 R 在以下點逆時針地與坐標軸相交：tfrac2 15gets 0overline 00001100、tfrac1 15 mathrm igets 0overline 00000011、tfrac8 15gets 0overline 11000000 和 tfrac4 15 mathrm igets 0overline 00110000。因此，S 包含所有絕對值 的複數。 由此，複矩形 tfrac8 15tfrac2 15times tfrac4 15tfrac1 15mathrm i 透過單射 textstyle sum_kgeq 1 x_k mathrm i1k mapsto sum_kgeq 1 x_k bk 映入實數區間 0 1，其中 b 2 不能取底數 b 2，因為 textstyle 21 01_text bin 05_text dec 且 textstyle sum_kgeq 2 2k 00overline 1_text bin 01_text bin 05_text dec。 然而，textstyle mathrm i11 01_text bin 01_text bin mathrm i 05_text dec 05_text dec mathrm i 不等於 textstyle sum_kgeq 2 mathrm i1k 01_text dec 03_text dec mathrm i 。。 此外，還有兩個對映 begin arraylll Z_2N to S left x_kright_kinN mapsto sum_kgeq 1 x_k mathrm i1k end array 和 begin arraylll Z_2N to 01 left x_kright_kinN mapsto sum_kgeq 1 x_k 2k end array 兩者皆滿射，也就是產生了一個滿射（空間填充）的對映 01 qquad to qquad S 然而，其並不連續，因此不是空間填充曲線。但是一個類似的曲線 戴維斯 高德納龍（DavisKnuth dragon），是連續的空間填充曲線。 註釋 參考文獻 Category 非標準進位制系統 Category 分形 Category 複數 Category 環論