沙普利 福克曼引理是的一條引理，其於數理經濟學有應用。引理描述向量空間子集的閔可夫斯基和有何性質。若干個集合的閔可夫斯基和，即從各集合分別取一個元素相加，組成的集合：例如，將整數 0 和 1 組成的集合，與自身相加，得到由 0 1 2 組成的集合，以符號可寫成： 0 1 0 1 0 1 2 「許多個集合的閔氏和，是否必定近似凸集？」沙普利 福克曼引理和相關的結果表明，問題的答案為肯定。集合稱為凸，意思是連線其中任意兩點的線段，必為該集合的子集：舉例，實心圓盤 bullet 為凸集，但圓 circ 則不然，因為連線相異兩點的線段 oslash 並不是圓的子集。沙普利 福克曼引理大致斷言，若求和項的數目超出向量空間的維數，則其閔氏和將近凸。 沙普利 福克曼引理引入時，是作為證明沙普利 福克曼定理的一步，該定理斷言閔氏和與其凸包的距離不超過某個上界。所謂集合 Q 的凸包，是包含 Q 的最小凸集。而當且僅當和為凸時，上述距離為零。定理中，距離的上界取決於維數 D 及求和項的形狀，但不取決於求和的項數 N ，而只需 N D 。只要其中 D 個求和項的形狀，就足以確定 N 個集合的閔可夫斯基平均集 frac 1Nleft Q_1 Q_2 cdots Q_Nright 與其凸包的距離的上界。當 N 趨向無窮時，該上界遞減至零（需要各求和項的大小一致有界）。斯塔（Starr）的推論將沙普利 福克曼定理的上界壓得更低，故又稱為沙普利 福克曼 斯塔定理。 勞埃德沙普利和的引理，最先由經濟學家發表，其時斯塔正在肯尼斯阿羅門下，研究經濟均衡的存在性。斯塔在論文中，研究凸化（convexified）經濟體，即將非凸集換成其凸包。斯塔證明，凸化之後，有些均衡由原經濟體的「準均衡」（quasiequilibria）逼近；還證明，每個準均衡都具有真均衡的許多最優性質，而凸經濟體中則必定存在真均衡。斯塔 1969 年的論文發表後，沙普利 福克曼 斯塔的結果得到廣泛應用，用作證明（凸）經濟理論的若干核心結果，儘管不適用於有非凸部分的大經濟體，但在此等經濟體中，仍是良好的近似。評論：「這些結論的一般形式的推導，是戰後經濟理論的重大成就。」許多諾貝爾獎得主都曾研究，除了前述的勞埃德沙普利（2012 年獲獎）外，還有：阿羅（1972）、羅伯特約翰奧曼（2005）、傑拉德德布魯（1983）、特亞林科普曼斯（1975）、保羅克魯曼（2008）、保羅薩繆爾森（1970）。至於互補的主題「」，除以上得主著重外，還有里奧尼德赫維克茲、列昂尼德維塔利耶維奇康託羅維奇（1975）、羅伯特索洛（1987）都著重。 沙普利 福克曼引理在最佳化論和機率論皆有應用。最佳化論中，可以引理解釋，在求多個函式之和的最小值時，為何一些解法可以成功。機率論中，引理適用於證明的「大數定律」。此定理先前僅在凸集的情況得證。 簡單例子 考慮凸的實數區間 0 1 ，其包含整數子集 0 1 ，且是其凸包（添加了兩點所連線段上的所有點）。僅得兩個元素的集合 0 1 ，複製成三份，並按元素求和，得到 0 1 0 1 0 1 0 1 2 3 （此處集合的和，是從各集合分別取一個元素相加，得到的可能結果的集合，稱為閔氏和。）和集的凸包則為區間 0 3。 區間 0 3 中，每個數 x 都可以寫成區間 0 1 中某三個實數（允許重複）之和，例如將 x 等分成三份即可。但使用沙普利 福克曼引理，則有更強的結論：0 3 的每個數，都可以寫成 0 1 中某兩個整數（允許重複），與 0 1 中某一個實數之和。，取 n 3。 凸包 01 中的點，到 0 1 的距離，至多為 12： frac 12 leftfrac 12 0right left frac 12 1 right 然而，考慮三個區間 0 1 的閔氏平均 frac 13left 0 1 0 1 0 1right left0frac 13frac 23 1right 與其凸包 01 的距離，僅為 16 ，即未平均前 0 1 與 0 1 距離（12 ）的三分之一。越多個集合相加，其閔氏平均就將凸包填得越滿：由閔氏平均至凸包的最遠距離，隨被加項數增加，而趨向於零。此為沙普利 福克曼定理的結論。 前置概念 沙普利 福克曼引理需要用到的若干定義和定理，本節將作簡介。 實向量空間 二維的實向量空間上，有笛卡兒坐標系，將每點視為一對實數，稱為「坐標」，按慣例記為 x y 。笛卡兒平面上的兩點，可以逐個坐標相加： x_1 y_1 x_2 y_2 x_1x_2 y_1y_2 此外，點也可以逐個坐標與實數 lambda 相乘： lambda x y lambda x lambda y 更一般而言，任何 D 維（有限維）實向量空間，均可視為 D 個實陣列成的 D 元組的集合 v_1 v_2 ldots v_D ，並配備兩種運算：向量加法和標量乘法。有限維實空間的此兩種運算，皆定義成逐個坐標運算，與笛卡兒平面上的運算類似。 凸集 實向量空間中，非空子集 Q 稱為凸集，意思是，對於 Q 的任意兩個點，連線兩點成一線段，其上的所有點仍在 Q 中。例如，實心圓盤 bullet 為凸，但圓 circ 則不然，因為連線相異兩點的線段 oslash 並不是圓的子集。三個整數的集合 0 1 2 非凸，但其為區間 0 2 的子集，而該區間為凸。又例如，實心立方體為凸，然而任何空心或凹陷的圖形，如，則非凸。空集也是凸集，視乎作者偏好，這可能是專門的定義，也可能是因為要滿足的條件是。 更嚴謹而言，集合 Q 稱為凸，意思是，對 Q 中任意兩點 v_0 v_1 ，和單位區間 0 1 中的任意實數 lambda ，點 1 lambda v_0 lambda v_1 仍是 Q 的元素。 由數學歸納法，集合 Q 為凸，當且僅當其任意多個元素的凸組合仍在 Q 中。所謂向量空間子集 v_0 v_1 ldots v_D 的凸組合，是其元素的任意加權平均 lambda_0 v_0 lambda_1 v_1 cdots lambda_D v_D ，而各 lambda_i 可以是總和為 1 的任意非負實數，即只需 lambda_0 lambda_1 cdots lambda_D 1 。、、 凸集的定義推出，兩個凸集的交集仍是凸集。更甚者，任意一族凸集的交也是凸集。作為特例，若取兩個不交的凸集，則其交集為空集，故應當稱空集為凸。 凸包 對於實向量空間的每個子集 Q ，其凸包 mathrm ConvQ 是包含 Q 的最小凸集。所以，mathrm ConvQ 是所有覆蓋 Q 的凸集的交。等價地，可以將 mathrm ConvQ 定義成 Q 的點的所有凸組合的集合。及作為例子，整數集合 0 1 的凸包，是實數閉區間 0 1 ，其兩端為原有的整數 0 1 。單位圓的凸包則是閉單位圓盤，其包含單位圓。 閔可夫斯基和 在任何向量空間（或有定義加法的代數結構）X 中，兩個非空子集 A Bsubseteq X 的閔可夫斯基和，定義為其元素之和的集合，即 AB xymid xin Ayin B（參見及。例如： 010100011011012 此運算定義在非空子集族上，且滿足結合律和交換律。既然有結合律和交換律，就可以遞迴定義多個被加項的運算結果 sum_n1N Q_nQ_1Q_2cdotsQ_N。由數學歸納法，可見及 sum_n1N Q_n leftleftsum_n1N q_nright q_nin Q_n1leq nleq Nright 閔可夫斯基和的凸包 閔可夫斯基和與凸包運算可以交換。具體而言，對實向量空間 X 的任意子集 ABsubseteq X，其閔氏和的凸包等於其凸包的閔氏和。換言之， mathrm ConvAB mathrm ConvAmathrm ConvB 故由數學歸納法得 mathrm Convsum_n1N Q_n sum_n1Nmathrm ConvQ_n 對任意 Ninmathbb N 和非空子集 Q_nsubseteq X（1leq nleq N）成立。 各命題的敍述 由前一段的恆等式，對和的凸包中的每點 xinmathrm Convleft sum_n1N Q_nright ，都存在各凸包的 q_nxinmathrm ConvQ_n（n 取遍 1 至 N ），使得 sum_n1N q_nxx。各點 q_n x 的位置取決於 x。 引理 有了以上背景，沙普利 福克曼引理斷言，x 的表示法 xsum_n1N q_nx 中，僅需要不多於 D 個被加項 q_nx 取自凸包，而其他被加項，則只需取自原來的集合 Q_n 。以符號復述，即有以上方法表示 x ，且滿足 lleq nleq Nmid q_nxinmathrm ConvQ_nsetminus Q_nleq D。不妨將下標重新排序，然後就有 x sum_n1D q_nx sum_nD1N q_n x 其中對 1leq nleq D，有 q_ninmathrm ConvQ_n，而對 D1leq nleq N，則有 q_nin Q_n。注意，倘若重排，則排序的方式也取決於點 x 。再精簡，沙普利 福克曼引理可以寫成 mathrm Convsum_n1N Q_nsubseteqbigcup_Isubseteq12ldots NIDsum_nin Imathrm ConvQ_nsum_nnotin I Q_n 舉例，集合 020101mathrm Conv01mathrm Conv01 中的每個點，根據引理，必定可以寫成 01 的某個元素，與 01 的某個元素之和。 實向量空間的維數 反之，沙普利 福克曼引理刻劃了有限維實向量空間的維數。具體而言，若某向量空間，對於某個自然數 D 滿足引理的結論，但對小於 D 的數不滿足，則其維數恰好為 D 。引理僅對有限維向量空間成立。歸功於 沙普利 福克曼定理及斯塔的推論 沙普利與福克曼運用其引理，證明沙普利 福克曼定理，給出集合的閔氏和與其凸包（稱為凸化（convexified）和）的距離上界。定理的敍述如下：凸化和 mathrm Convleft sum Q_nright 的任一點，到（未凸化）和集 sum Q_n 的歐氏距離平方，不超過各集合 Q_n 的外接半徑中，最大 D 個的平方和。所謂外接半徑，定義為包圍該集合的最小球面的半徑。）此上界與求和項數 N 無關（但要求 N D，且集合不能越來越大）。上述定理給出閔氏和及其凸包之間距離的上界。當且僅當閔氏和為凸集時，此距離為零。該上界取決於維數 D 及各被加項的形狀，但只要 N D ，就不取決於項數 N 。 通常，外接半徑會大於內半徑，而無論如何，外接半徑總不能小於內半徑。集合 Q_n 的內半徑定義為： 最小的正實數 r ，滿足：若 q 在 Q_n 凸包中，則 q 在 Q_n 若干點的凸包中，而該些點皆在同一個半徑為 r 的球內。 斯塔將沙普利 福克曼定理中的外接半徑換成內半徑，從而壓低沙普利 福克曼定理的上界： 沙普利 福克曼定理的斯塔推論： 凸化和 mathrm Convleft sum Q_nright 的任一點，到（未凸化）和集 sum Q_n 的歐氏距離平方，不超過各集合 Q_n 的內半徑中，最大 D 個的平方和。 斯塔的推論確定，N 個集合的閔氏和與其凸包之間，歐氏距離的上界。此距離可以衡量閔氏和非凸的程度，故為簡單起見，下文稱為非凸度。於是，斯塔對非凸度的上界，僅取決於 D 個最大內半徑之值，但不取決於求和的項數 N （假設 N D）。 例如，非凸集 0 1 2 的非凸度為 12 ，因為與其凸包（區間 0 2）的距離為 frac 12 left1 frac 12right left0 frac 12right left2 frac 32right left1 frac 32right 所以，既然 sum Q_n 的非凸度有不取決於項數 N 的上界，就知平均集 frac 1Nleft sum Q_nright 非凸度上界，會隨 N 增加而遞減。例如，平均集 frac 12 left 0 1 0 1right 0 12 1 和其凸包 0 1 的距離僅為 14，等於被加項 0 1 與其凸包 0 1 的距離（12 ）之半。僅要最大 D 個求和項的形狀，已足以計算和集與凸包的距離的上界，故除以 N 後，平均集與凸包的距離，在 N 趨向無窮時，會遞減至零（對均勻有界的求和項成立，即各個求和項的大小需有同一個上界）。若使用斯塔的上界，則前一句結論的條件可以放寬，只需各求和項的內半徑有同一個上界。 證明和計算 沙普利 福克曼引理的原證明，僅確定存在該種表示法，而無說明如何構造。阿羅與哈恩、、斯奈德（Schneider）和其他人都曾給出類似的證明。阿特斯泰因（Artstein）擴充套件了的簡潔抽象證明。也有未經出版的另證。1981 年，斯塔發表一種疊代法，可以計算給定點的表示法，然而，此計算方法給出的上界，較非構造性證明的上界差。博賽卡斯的書有講述有限維空間沙普利 福克曼引理的初等證明， 並將引理應用於估計可分最佳化（separable optimization）問題與零和賽局的對偶間隙。 應用 有沙普利 福克曼引理，學者就得將有關凸集閔氏和的結果，套用到（無需凸的）一般集合之和。此種和見於經濟學、最最佳化理論、機率論。此三領域的應用中，非凸性起到重要作用。 經濟學 經濟學中，消費者對每一「籃子」商品（basket，即商品的組合）有其偏好程度。每籃子可用一個非負向量表示，其坐標為籃中各商品的量。所有籃子組成的集合中，每個消費者有自己的一族無差異曲線，滿足：在同一條曲線上的各籃子，對該消費者是等價的，即消費者並不覺該曲線上有籃子勝於另一個籃子。每籃子恰好處於一條無差異曲線上。消費者相對於一條無差異曲線的偏好集，定義為該無差異曲線與其更偏好的區域的並集。稱消費者的偏好為凸，意思是其所有偏好集皆為凸。 and 如圖所示，消費者認為的最優籃子，是在預算線支撐某個偏好集時取到，因為此時，所選的籃子是整條預算線上，達到最高的無差異曲線的一點。所謂預算線，是由商品的價格向量與消費者的收入計算得出的限制，消費者無足夠收入購買高於此線的籃子。所以，最優籃子的集合是各價格的函式，稱為消費者的需求。若偏好集為凸，則不論價格為何，消費者認為的最優籃子總是組成凸集，例如可能是單元集，或是一條線段。 非凸偏好 然而，若有偏好集非凸，則某些價格確定的預算線，可能在兩個分開的最優籃子支撐該偏好集。例如，可以設想，動物園購買獅子或鷹的價錢一樣，且其預算恰好夠買一隻獅子或一隻鷹。此外，假設園主亦認為兩隻動物價值相同，則動物園有可能買獅子，也可能買鷹，但當然不可能買半隻獅子加半隻鷹（獅鷲）。所以，園主的偏好非凸：買兩隻動物中的任一隻，勝於兩者的嚴格凸組合。：「畢竟，可能覺得車和艇差不多，但多數情況下，半車半艇的組合，既不能駕駛，也不能航行。」（譯文） 若消費者有非凸偏好集，則對於某些價格，需求不連通。不連通的需求，會導致消費者的行為出現不連續的間斷。引述哈羅德霍特林的話（宜配合所附動圖理解）： 若考慮波浪形的無差異曲線，即在某些區域向原點凸，而在其他區域向原點凹，則我等被迫推論，僅有向原點凸的部分需要理會，因為幾乎不可能觀測到其他部分。要偵測該些部分，唯一方法是，觀察價格之比率變化時，需求的不連續變化。此變化的效果是，當直線旋轉時，切點會突然躍過某凹陷。雖然此種不連續的表現，揭示有凹陷，但卻不可能量度缺口的深度。倘若無差異曲線，或其高維推廣，有凹陷部分，則定必因永遠無法測量，而不為人知。 書中，稱 有強調研究非凸偏好的困難，也引述保羅薩繆爾森稱凹陷處「被永恆的黑暗遮蔽」 會注意到，競爭市場中，不能觀測到無差異曲線凸處（而不是凹）的任何點。此種點被永恆的黑暗遮蔽，除非我等令該消費者壟斷買方，且從非常凸的「預算曲線」上，選取所買的商品。（其沿此曲線，影響所買商品的價格。）在買方壟斷的情況，仍可從均衡點觀測到的限制的斜算，推斷該人無差異曲線的斜率。［譯按：此處凸與凹的約定，與本條目相反。］ 「永恆的黑暗」描述彌爾頓所著《失樂園》中的地獄，其卷二第 592 至 594 行將地獄的凹陷與相比：A gulf profound as that Serbonian BogBetwixt Damiata and Mount Casius oldWhere Armies whole have sunk 彌爾頓對凹陷的描寫，是第 7 章 Markets with nonconvex preferences and production［非凸偏好與生產的市場］的。該章講解的成果。。 儘管有上述困難，《》（JPE）在 1959 年至 1961 年間，刊登一系列的論文，解明非凸偏好。投稿人包括：法雷爾（Farrell）p 、 p 、科普曼斯 、、、、、評論了：、羅森博格（Rothenberg） p  。其中，羅森博格討論非凸集和的近似凸性。該些 JPE 論文，促使勞埃德沙普利和馬丁舒比克也合著論文，研究凸化的消費者偏好，並引入「近似均衡」（approximate equilibrium）的概念。 JPE 論文和沙普利 舒比克論文又啟發了羅伯特奧曼提出另一個概念，稱為「準均衡」（quasiequilibrium）。 用到 的結果： 據所言，及已於較早前討論過取非凸偏好的凸包。p 斯塔 1969 年的論文與當代經濟學 肯尼斯阿羅收集前人研究的文獻，列成表，並加入註解，交給。斯塔當時仍是本科生，但已在修讀阿羅開設的高等數理經濟學（研究生）課程。斯塔在學期論文中，考慮將非凸偏好換成其凸包所得的假想經濟體，研究其一般均衡。凸化經濟體中，在每個價位，總需求皆是各消費者需求的凸包之和。斯塔的想法吸引數學家勞埃德沙普利和參與，兩人「在私人通訊中」證明現以兩人命名的引理和定理，到 1969 年，斯塔才於論文報告此事。 斯塔 1969 年的論文中，應用沙普利 福克曼 斯塔定理，證明「凸化」經濟體有一些一般均衡，只要參與者足夠多，能以原經濟體的「準均衡」近似。具體而言，斯塔證明，至少存在一個價格向量為 p_mathrm opt 的準均衡，滿足下列條件： 對每個準均衡 p_mathrm opt ，所有消費者都可以選到其最優的籃子（在預算限制內，且最偏好）。 在該價格 p_mathrm opt ，凸化經濟體中，每種商品的市場皆均衡，即供給等於需求。 每個準均衡的價格，皆「幾乎出清」原經濟體的市場：凸化經濟體均衡組成的集合，與原經濟體的準均衡集合，兩者的距離有上界。此結論是根據沙普利 福克曼定理的斯塔推論得到。、 斯塔確立以下結論： 「總體中，［取各消費及生產集的凸包］所得的假想經濟體的分配，與真實經濟體的某個分配，兩者的差異，有不取決於參與者數目的上界。因此，當參與者數目趨向無窮時，平均參與者感受到，與擬作行動的偏差，近乎可以忽略不計。」 斯塔 1969 年論文發表後，沙普利 福克曼 斯塔的結論，在經濟理論獲廣泛應用。如此總結該結論對經濟學的意義：「假設凸性，所得的若干重要結果，在不具凸性的情況下，仍（近似）適用。例如，若經濟體具有大消費側，則偏好的非凸性不影響適用標準結果」，還稱「這些結論的一般形式的推導，是戰後經濟理論的重大成就。」許多諾貝爾獎得主都曾研究，除了前述的勞埃德沙普利（2012 年獲獎）外，還有：阿羅（1972）、羅伯特約翰奧曼（2005）、傑拉德德布魯（1983）、特亞林科普曼斯（1975）、保羅克魯曼（2008）、保羅薩繆爾森（1970）。至於互補的主題「」，除以上得主著重外，還有里奧尼德赫維克茲、列昂尼德維塔利耶維奇康託羅維奇（1975）、羅伯特索洛（1987）都著重。 沙普利 福克曼 斯塔的結論，在經濟學各分支的文獻都經常出現，包括微觀經濟學 、一般均衡理論 p ，及 、公共經濟學（包括市場失靈） 、博弈論 、數理經濟學 、經濟學中的應用數學。沙普利 福克曼 斯塔的結論，也使經濟學更多使用測度論和積分理論。 最最佳化理論 沙普利 福克曼引理可以解釋，為何大規模的最小化問題，即使非凸，仍可用迭代法近似求解（僅對於凸問題，有證明疊代法收斂到最優解）。沙普利 福克曼引理，促使學者將凸最佳化方法，用於最佳化多個（無需凸的）函式之和。 最最佳化理論的前置概念 非線性規劃依賴下列有關函式的若干定義： 函式 f （定義在集合 D 上）的影像，是所有引數 x 與相應取值 f x 組成的二元組的集合： mathrm Graphf x f x x in D f 的是影像上方的點的集合： mathrm Epif x u f x le u 實值函式稱為凸函式，意思是其蓋圖為凸集。 舉例，二次函式 f x mapsto x2 為凸，而絕對值函式 g x mapsto x 亦然，但正弦函式 sin （如圖）則不然，因為在區間 0 pi 的蓋圖非凸（而有向上的凹陷）。 加性最佳化問題 許多最佳化問題中，目標函式 f 可分離變數（可分），即 f 是多個函式之和，而各個函式的引數不同，如： f boldsymbol x f x_1 x_2 ldots x_n sum_n f_n x_n 又例如，線性規劃問題就可分離變數。考慮一個可分問題，及一個最優解 boldsymbol x_mathrm min x_1 x_2 ldots x_n_mathrm min 在該點取到最小值 f boldsymbol x_mathrm min 。對此可分問題，同時考慮其「凸化問題」的最優解，即將每個求和項 f_n 的影像換成其凸包。此種最優解，會是凸化問題的某點列 boldsymbol x_j f boldsymbol x_j_j1infty 的極限，其中 boldsymbol x_j f boldsymbol x_j in sum_n1N mathrm Convmathrm Graphf_n 某集合內的序列的極限，必在該集合的閉包中，即最小而包含原集合的閉集。兩個閉集的閔氏和不必閉，故若以 mathrm Cl 表示閉包，則雖然有包含關係 mathrm ClP mathrm ClQ subseteq mathrm ClPQ 但可能為嚴格包含（左右不必相等）。據，即使兩個被加項各已是閉凸集，仍可能是嚴格包含。若要使閔氏和變成閉，則要取其閉包，即要新增所有收斂序列的極限。 當然，因為此點是 N 個影像凸包的點之和，由沙普利 福克曼引理，就可以寫成原影像的點與少數影像凸包的點之和。 以上分析，1974 年由發表，以解釋為何可分問題有許多項時，即使各項非凸，總問題仍看似凸。對非線性最小值問題而言，對偶問題的解，不一定就是原問題的解（但若已知原問題為凸，且滿足特定條件，則兩者的的最優解相等），但是，1973 年，青年數學家詫異，對已知非凸的問題使用凸問題的方法，竟然也成功。勒馬雷沙爾的問題，正是上段加性可分離變數的形式，而每個和項皆非凸函式，但對偶問題的解，仍近似原問題的最優解。 勒馬雷沙爾的實驗，日後有下列論文討論： 1976 年首部英文版中，埃科蘭德在附錄證明沙普利 福克曼引理，並在 p 373 提到勒馬雷沙爾的實驗觀察。埃科蘭德的分析說明，「大而可分」的最小值問題，即使各和項有凹陷，仍可運用凸最佳化的方法。埃科蘭德及其後的作者主張，因為變數可以加性分離，所得的總問題近似凸。該等著作以沙普利 福克曼引理為關鍵一步。 及也考慮非凸最小值問題的閉凸包，即對原問題的取閉凸包所得的新問題。Di Guglielmo 推廣到研究非凸問題的擬凸閉包，即對目標函式的下水平集取凸閉包所得的問題： 沙普利 福克曼引理促使學者將凸最佳化方法，應用到目標函式為多個函式之和的情況。於 p 374 引用，並在 p 381 引用： 將拉格朗日對偶法用到發電上（即），此種問題有變數限制為整數，所以非凸： Proceedings of 1981 IEEE Conference on Decision and Control San Diego CA December 1981 pp 432443 機率與測度論 凸集常與機率論一同研究。說明，d 維空間的（非空）子集 Q 凸包中的點，是取值於 Q 的簡單的期望值，而所謂簡單，意思是僅在不多於 d 1 個點處有非零機率。所以，對非空集 Q ，取值自 Q 的簡單隨機向量組成的集合，等於 Q 的凸包。由此便可在機率論中，套用沙普利 福克曼 斯塔的結果。 反之，藉期望值與凸包之間的聯絡，機率論亦能用作研究凸集，尤其可用作分析沙普利 福克曼 斯塔的結果。 沙普利 福克曼 斯塔的結果，廣泛用於 ，例如證明隨機集的大數定律 、中央極限定理 、 瑟夫（Cerf）用到 應用沙普利 福克曼引理的結果。。要證明前列機率極限定理，可以使用沙普利 福克曼 斯塔的結果，來避免假設隨機集為凸。 機率測度是有限的測度，而沙普利 福克曼引理還可以應用到非機率的測度論，如體積或向量測度的理論。沙普利 福克曼引理可以加強。該不等式斷言，閔氏和的體積，相較於各和項的體積不能太大，即閔氏和的體積有上界，以各和項的體積的表示。 歐氏空間子集的體積，此處定義為其勒貝格測度。 高等測度論中，沙普利 福克曼引理適用於證明李亞普諾夫定理，即向量測度的值域為凸。 值域（或像集）是函式所有可能取值的集合，而向量測度則將測度推廣到允許取向量值。例如，若某測度空間有兩種機率測度 p_1 和 p_2 ，則可定義一個向量測度 p_1 p_2 ，是對每個事件 omega ，將其兩個機率結合為一個二元組，即 p_1 p_2 omega p_1 omega p_2 omega 李亞普諾夫定理在經濟學 1983 年諾貝爾獎得主傑拉德德布魯有注意維恩（Vind）的論文。寫道： 凸集的概念（即該集合包含連線其任意兩點的線段），已經多次成為 1964 年以前經濟理論的核心。引入積分理論研究經濟競爭後，得以新眼光看待此事：若經濟體的每個參與者，對應商品空間的某個任意集合，而又對一族不重要的參與者取平均，則所得的集合必然為凸。德布魯附註：「此為 A A 李亞普諾夫的定理的直接推論，參見。」 但諸價格函式可以因平均而產生的凸性解釋。商品空間中，對一族不重要參與者加總可以得到凸性，是經濟理論從積分理論得來的觀察。 刪節後譯文 、砰砰 控制論、皆有應用。 在致敬 2008 年諾貝爾經濟學獎得主羅伯特奧曼的重新出版：李亞普諾夫定理是沙普利 福克曼引理的連續版，而沙普利 福克曼引理是李亞普諾夫定理的離散類比。 註 參考文獻 1970 年 Princeton Mathematical Series 28 的重印版。 外部鏈結 Category 幾何定理 Category 凸最佳化 Category 一般均衡理論 Category 凸幾何