梅森素數與完全數是數論裡關係密切的自然數。梅森素數以數學家、神學家、修士馬蘭梅森命名，是能以表示、且為正整數的質數，如梅森素數就能寫成。梅森素數在上述表示式對應的數一定是質數，但是質數不代表得出的結果就是梅森素數，如。完全數是等於真因數之和的自然數，真因數即自然數除自身外的因數。如就是完全數，因數分別是且。 根據歐幾里得部分證明、萊昂哈德尤拉完全證明的歐幾裡得－尤拉定理可知梅森素數與已知完全數一一對應：只有能換算成公式，且是梅森素數的偶數是完全數。以為例，為質數，為完全數。 梅森素數與完全數是否無窮盡目前還是未解決的數學問題，倫斯特拉－波默朗斯－瓦格斯塔夫猜想的主題便是梅森素數頻率，推斷比小的梅森素數期望個數為，其中是尤拉數，是尤拉常數，是自然對數。已經發現的完全數都是偶數，但尚未排除存在奇數完全數的可能。已證明奇完全數必滿足某些條件，如不小於。 下表列出所有已知梅森素數、完全數及對應指數。截至 2021 年 10 月共發現 51 個梅森素數（及對應完全數），最大 17 個均由網際網路梅森素數大搜索分散式計算專案發現。新梅森素數是用盧卡斯－萊默檢驗法發現，這種梅森素數素性測試可用於二進位制計算機。 數字按從小到大排列，如果新發現比現有結果小的梅森素數則插入中間。序號後面的問號說明尚待驗證。截至 2021 年 10 月，網際網路梅森素數大搜索已經計算至，即第 48 個梅森素數以前的所有自然數均已驗證。發現時間和發現人均指梅森素數，完全數按歐幾裡得－尤拉定理計算。發現人列為 網際網路梅森素數大搜索：姓名 說明此人擁有的裝置採用網際網路梅森素數大搜索找到該數。除前八個不超過十位外，後面的結果都非常長，最長的已有數千萬位；下表僅列出前後各六位，中間以省略號表示。 梅森素數與完全數集合 下表列出了所有已知的梅森素數： 下表列出了所有已知的梅森素數指數： 序 梅森素數 梅森素數位數 對應完全數 完全數位數 發現時間 發現人 發現方法 參考以下文獻可以找到所有結果： 1 2 3 1 6 1 古代 古希臘數學家已經知曉 人手計算 2 3 7 1 28 2 古代 古希臘數學家已經知曉 人手計算 3 5 31 2 496 3 古代 古希臘數學家已經知曉 人手計算 4 7 127 3 8128 4 古代 古希臘數學家已經知曉 人手計算 5 13 8191 4 33550336 8 約 1456 年 不明 試除法 6 17 131071 6 8589869056 10 皮特羅卡達迪 試除法 7 19 524287 6 137438691328 12 皮特羅卡達迪 試除法 8 31 21 億 4748 萬 3647 10 230584952128 19 萊昂哈德尤拉 試除法 9 61 230 京 5843 兆 0092 億 1369 萬 3951 19 265845842176 37 1883 年 11 月 伊萬波佛辛 盧卡斯數列 10 89 618970562111 27 191561169216 54 1911 年 6 月 拉爾夫歐內斯特鮑爾斯 盧卡斯數列 11 107 162259288127 33 131640728128 65 1914 年 6 月 拉爾夫歐內斯特鮑爾斯 盧卡斯數列 12 127 170141183460469231731687303715884105727 39 144740152128 77 1876 年 1 月 愛德華盧卡斯 盧卡斯數列 13 521 686479057151 157 235627646976 314 1952 年 1 月 拉斐爾米切爾羅賓遜 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 14 607 531137728127 183 141053328128 366 1952 年 1 月 拉斐爾米切爾羅賓遜 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 15 1279 104079729087 386 541625291328 770 1952 年 6 月 拉斐爾米切爾羅賓遜 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 16 2203 147597771007 664 108925782528 1327 1952 年 10 月 拉斐爾米切爾羅賓遜 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 17 2281 446087836351 687 994970915776 1373 1952 年 10 月 拉斐爾米切爾羅賓遜 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 18 3217 259117315071 969 335708525056 1937 1957 年 9 月 漢斯黎瑟爾 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 19 4253 190797484991 1281 182017377536 2561 1961 年 11 月 亞歷山大赫維茨 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 20 4423 285542580607 1332 407672534528 2663 1961 年 11 月 亞歷山大赫維茨 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 21 9689 478220754111 2917 114347577216 5834 1963 年 5 月 唐納德吉利斯 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 22 9941 346088463551 2993 598885496576 5985 1963 年 5 月 唐納德吉利斯 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 23 11213 281411392191 3376 395961086336 6751 1963 年 6 月 唐納德吉利斯 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 24 19937 431542041471 6002 931144942656 12003 1971 年 3 月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 布萊恩特塔克曼 25 21701 448679882751 6533 100656605376 13066 1978 年 10 月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 藍登克特諾爾、勞拉尼克爾 26 23209 402874264511 6987 811537666816 13973 1979 年 2 月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 藍登克特諾爾 27 44497 854509228671 13395 365093827456 26790 1979 年 4 月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 哈里尼爾森、大衛斯洛文斯基 28 86243 536927438207 25962 144145406528 51924 1982 年 9 月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 大衛斯洛文斯基 29 11 萬 0503 521928515007 33265 136204862528 66530 1988 年 1 月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 沃爾特科爾奎特、盧克韋爾什 30 13 萬 2049 512740061311 39751 131451550016 79502 1983 年 9 月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 大衛斯洛文斯基等人（克雷公司） 31 21 萬 6091 746093528447 65050 278327880128 13 萬 0100 1985 年 9 月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 大衛斯洛文斯基等人（克雷公司） 32 75 萬 6839 174135677887 22 萬 7832 151616731328 45 萬 5663 1992 年 2 月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 大衛斯洛文斯基等人（克雷公司） 33 85 萬 9433 129498142591 25 萬 8716 838488167936 51 萬 7430 1994 年 1 月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 大衛斯洛文斯基等人（克雷公司） 34 125 萬 7787 412245366527 37 萬 8632 849732704128 75 萬 7263 1996 年 9 月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 大衛斯洛文斯基等人（克雷公司） 35 139 萬 8269 814717315711 42 萬 0921 331882375616 84 萬 1842 1996 年 11 月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 網際網路梅森素數大搜索：喬爾阿蒙古德 36 297 萬 6221 623340201151 89 萬 5932 194276462976 179 萬 1864 1997 年 8 月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 網際網路梅森素數大搜索：戈登斯彭斯 37 302 萬 1377 127411694271 90 萬 9526 811686457856 181 萬 9050 1998 年 1 月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 網際網路梅森素數大搜索：羅蘭克拉克森 38 697 萬 2593 437075193791 209 萬 8960 955176572736 419 萬 7919 1999 年 6 月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 網際網路梅森素數大搜索：納揚哈吉拉特瓦拉 39 1346 萬 6917 924947259071 405 萬 3946 427764021056 810 萬 7892 2001 年 11 月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 網際網路梅森素數大搜索：邁克爾卡梅隆 40 2099 萬 6011 125976682047 632 萬 0430 793508896128 1264 萬 0858 2003 年 11 月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 網際網路梅森素數大搜索：邁克爾謝弗 41 2403 萬 6583 299410969407 723 萬 5733 448233950528 1447 萬 1465 2004 年 5 月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 網際網路梅森素數大搜索：喬希芬德利 42 2596 萬 4951 122164077247 781 萬 6230 746209088128 1563 萬 2458 2005 年 2 月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 網際網路梅森素數大搜索：馬丁諾瓦克 43 3040 萬 2457 315416943871 915 萬 2052 497437704256 1830 萬 4103 2005 年 12 月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 網際網路梅森素數大搜索：柯蒂斯庫珀、史蒂文布恩 44 3258 萬 2657 124575967871 980 萬 8358 775946120256 1961 萬 6714 2006 年 9 月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 網際網路梅森素數大搜索：柯蒂斯庫珀、史蒂文布恩 45 3715 萬 6667 202254220927 1118 萬 5272 204534480128 2237 萬 0543 2008 年 9 月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 網際網路梅森素數大搜索：漢斯－邁克爾埃爾維尼奇 46 4264 萬 3801 169873314751 1283 萬 7064 144285253376 2567 萬 4127 2009 年 6 月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 網際網路梅森素數大搜索：奧德麥格納斯特林莫 47 43112609 316470152511 1297 萬 8189 500767378816 2595 萬 6377 2008 年 8 月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 網際網路梅森素數大搜索：埃德森史密斯 48 5788 萬 5161 581887285951 1742 萬 5170 169296130176 3485 萬 0340 2013 年 1 月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 網際網路梅森素數大搜索：柯蒂斯庫珀 不適用 6868 萬 9253 最低未驗證里程碑（截至西元 2024 年 6 月 23 日） 最低未驗證里程碑（截至西元 2024 年 6 月 23 日） 最低未驗證里程碑（截至西元 2024 年 6 月 23 日） 最低未驗證里程碑（截至西元 2024 年 6 月 23 日） 最低未驗證里程碑（截至西元 2024 年 6 月 23 日） 最低未驗證里程碑（截至西元 2024 年 6 月 23 日） 最低未驗證里程碑（截至西元 2024 年 6 月 23 日） 最低未驗證里程碑（截至西元 2024 年 6 月 23 日） 49？ 7420 萬 7281 300376436351 2233 萬 8618 451129315776 4467 萬 7235 2016 年 1 月 網際網路梅森素數大搜索：柯蒂斯庫珀 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 50？ 7723 萬 2917 467333179071 2324 萬 9425 109200301056 4649 萬 8850 2017 年 12 月 網際網路梅森素數大搜索：喬納森佩斯 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 51？ 8258 萬 9933 148894902591 2486 萬 2048 110847207936 4972 萬 4095 網際網路梅森素數大搜索：帕特里克拉羅什 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 不適用 1 億 1748 萬 5899 最低未測試里程碑（截至西元 2024 年 6 月 23 日） 最低未測試里程碑（截至西元 2024 年 6 月 23 日） 最低未測試里程碑（截至西元 2024 年 6 月 23 日） 最低未測試里程碑（截至西元 2024 年 6 月 23 日） 最低未測試里程碑（截至西元 2024 年 6 月 23 日） 最低未測試里程碑（截至西元 2024 年 6 月 23 日） 最低未測試里程碑（截至西元 2024 年 6 月 23 日） 最低未測試里程碑（截至西元 2024 年 6 月 23 日） 註釋 參考資料 外部連結 整數數列線上大全：完全數 整數數列線上大全：梅森素數 整數數列線上大全：對應指數 網際網路梅森素數大搜索：梅森素數集合，列出完整數字 梅森素數史技術報告，蓋伊霍沃斯著 Category 數學用表 Category 完全數 Category 梅森素數 Category 數學列表