在統計學中，拉奧 布萊克韋爾定理 RaoBlackwell theorem，有時稱為拉奧 布萊克韋爾定理 柯爾莫果洛夫定理，是一項結果，它描述瞭如何將任意粗糙的估計量轉化為透過均方誤差準則或任何一種類似準則最佳化的估計量。 定理指出，如果 g X 是某個引數 θ 的任何一種估計量，那麼在給定充分統計量 T X 的條件下，g X 的條件期望通常比 g X 本身更好地估計了 θ，而且從來不會更糟。有時，可以非常容易地構造一個非常粗糙的估計量 g X，然後評估條件期望值，以獲得在各種意義上都是最優的估計量。其中，充分統計量的意義是其包含資料樣本中所有與待估計引數相關的資訊，且不含任何冗餘資訊。 這個定理是以卡利安普迪拉達克裡希納拉奧和戴維布萊克韋爾命名的。使用拉奧 布萊克韋爾定理來轉化一個估計量的過程可以被稱為拉奧 布萊克韋爾化。轉化後的估計量被稱為拉奧 布萊克韋爾估計量。 定義 一個估計量 δX 是一個可觀測的隨機變數（即統計量），用於估計某些不可觀測的量。例如，我們可能無法觀測到 X 大學所有男學生的平均身高，但我們可以觀測 40 個學生的身高。這 40 個學生的平均身高 樣本平均數 可以用作估計不可觀測的 總體平均數 的估計量。 一個充分統計量 T X 是從資料 X 計算出來的一個統計量，用於估計某個引數 θ，而除了這個統計量以外，從資料 X 中計算出來的其他統計量不會提供關於 θ 的任何額外資訊。它被定義為一個可觀測的隨機變數，使得給定 T X 的條件機率分佈不依賴於未觀測到的引數 θ，例如整個資料樣本的平均值或標準差等。在最常被引用的例子中，未觀測到的 量是指引數，這些引數根據已知的機率分佈族來對資料進行引數化。 換句話說，對於引數 θ，一個充分統計量 T X 是這樣一個統計量，使得給定 T X 的條件下，資料 X 的條件分佈不依賴於引數 θ。 一個未觀測量 θ 的拉奧 布萊克韋爾估計量 δ1 X 是給定充分統計量 T X 的條件下，某個估計量 δX 的條件期望值 E δXT X。我們把 δX 稱為 原始估計量，把 δ1 X 稱為 改進估計量。改進估計量的重要性在於它是可觀測的，即它不依賴於 θ。一般而言，給定這些資料中的一個函式的條件期望值，另一個函式的條件期望值會依賴於 θ，但是上述充分統計量的定義說明了這個條件期望值不會依賴於 θ。 不可觀測量 θ 的拉奧 布萊克韋爾估計量 δ1 X 是給定充分統計量 T X 的某個估計量 δX 的條件期望值 E δXT X。將 δX 稱為 原始估計量 ，將 δ1 X 稱為 改進後的估計量 。重要的是改進後的估計器是可觀察的，即它不依賴於 θ。通常，在給定這些資料的另一個函式的情況下，這些資料的一個函式的條件期望值確實取決於 θ，但上面給出的充分性的定義本身就意味著這個不成立。 一個估計量的均方誤差是它與待估計的引數 θ 的偏差的平方的期望值。 定理 均方誤差版本 拉奧 布萊克韋爾定理的一個特例可以表述為： 拉奧 布萊克韋爾估計量的均方誤差不超過原始估計量的均方誤差。 換句話說， operatorname Edelta_1 Xtheta2leq operatorname Edelta Xtheta2 除了上述定義，證明該定理所需的關鍵工具包括全期望公式和以下事實：對於任何隨機變數 Y，E Y2 不會小於 E Y 2。這個不等式是琴生不等式的一個特例，儘管它也可以立即從經常提到的事實得出 0 leq operatorname VarY operatorname EYoperatorname EY2 operatorname EY2operatorname EY2 更精確地說，拉奧 布萊克韋爾估計量的均方誤差有以下分解形式 operatorname Edelta_1 Xtheta2operatorname Edelta Xtheta2operatorname Eoperatorname Vardelta Xmid T X 由於 operatorname Eoperatorname Vardelta Xmid T Xge 0 ，因此拉奧 布萊克韋爾定理可以立即得出。 凸損失泛化 拉奧 布萊克韋爾定理的更一般版本涉及到 期望損失 或風險函式： operatorname EL delta_1 Xleq operatorname EL delta X 其中 損失函式 L 可以是任何凸函式。如果損失函式是二次可微的，例如均方誤差的情況，那麼我們可以得到更精確的不等式 operatorname EL delta Xoperatorname EL delta_1 Xge frac 12operatorname E_Tleft inf_x L xoperatorname Vardelta Xmid Tright 性質 改進估計量無偏當且僅當原始估計量無偏，這可以立即透過使用全期望公式得到。無論使用偏倚還是無偏估計量，該定理都成立。 改進後的估計量是無偏的當且僅當原始估計量是無偏的，這可以透過使用總期望定律立即看出。無論使用有偏估計量還是無偏估計量，該定理都成立。 這個定理看起來很弱，它僅僅表明拉奧 布萊克韋爾估計量不會比原始估計量更差。但在實踐中，改進通常是巨大的，因為使用充分統計量來改進估計量可以減少估計誤差，提高估計的準確性。 例子 電話呼叫以平均每分鐘 λ 個的泊松過程到達交換機板。這個速率是不可觀測的，但是我們可以觀測到在 n 個連續的一分鐘時間段內到達的電話數量 X1 Xn。現在我們希望估計在下一個一分鐘時間段內沒有電話呼叫的機率 eλ。 一個極其粗略的估計量可以用來估計所需機率： delta_0leftbegin matrix 1 text if X_10 0 text otherwiseend matrixright 也就是說，如果在第一分鐘內沒有電話呼叫，則它會將此機率估計為 1，否則估計值為 0。儘管這個估計量的限制顯而易見，但是透過對其進行拉奧 布萊克韋爾化處理得到的結果是一個非常好的估計量。 總和 S_n sum_i1n X_i X_1cdotsX_n 可以很容易地證明，這個求和式是 λ 的一個充分統計量，即資料 X1 Xn 的條件分佈只通過這個求和式依賴於 λ。因此，我們可以得到拉奧 布萊克韋爾估計量： delta_1operatorname Edelta_0mid S_ns_n 透過一些計算我們可以得出 begin align delta_1 operatorname E left mathbf 1_X_10 Bigg sum_i1n X_i s_n right P left X_10 Bigg sum_i1n X_i s_n right P left X_10 sum_i2n X_i s_n right times P left sum_i1n X_i s_n right 1 elambdafrac left n1lambdarights_n en1lambdas_n times left frac nlambdas_n enlambdas_n right 1 frac left n1lambdarights_n enlambdas_n times frac s_nnlambdas_n enlambda left 1frac 1nrights_n end align 由於在前 n 分鐘內到達電話的平均數量為 nλ，因此如果 n 很大，這個估計量有相當高的機率接近於 left 11 over nrightnlambdaapprox elambda 因此，δ1 顯然是最後一個數量的一個大大改進的估計量。事實上，由於 Sn 是完全的而 δ0 是無偏的，根據，δ1 是唯一的最小方差無偏估計量。 冪等性 拉奧 布萊克韋爾化是一個冪等操作。使用它來改進已經改進的估計器不會獲得進一步的改進，而只會返回相同的改進後的估計器作為輸出。 完全性和 LehmannScheffé 最小方差 如果條件統計量既是完全的又是充分的，並且起始估計量是無偏的，則拉奧 布萊克韋爾估計量是唯一的 最佳無偏估計量：參見 LehmannScheffé 定理。 Galili Meilijson 2016 年提供了一個可改進的拉奧 布萊克韋爾改進的例子，當使用一個不完全的最小充分統計量時。假設 X_1 ldots X_n 是從比例均勻分佈 X sim U left 1k theta 1k theta right 的隨機樣本，其中未知均值為 E Xtheta，已知設計引數 k in 01。在尋找 theta 的 最佳 可能無偏估計器時，自然而然地考慮 X_1 作為初始（粗糙的）無偏估計器，然後嘗試改進它。由於 X_1 不是由 T left X_1 X_n right 確定的 theta 的最小充分統計量（其中 X_1 min X_i 且 X_n max X_i），因此可以使用拉奧 布萊克韋爾定理改進如下： hat theta_RBE_theta left X_1X_1 X_n right frac X_1X_n2 但是，可以證明以下無偏估計量具有較低的方差： hat theta_LV frac 12 left k2 frac n1n11right left 1kX_11kX_n right 事實上，當使用以下估算量時，它甚至可以進一步改進： hat theta_BAYES frac n1n left 1frac frac left frac X_11k rightleft frac X_n1k right1left frac left frac X_11k rightleft frac X_n1k right rightn11 right frac X_n1k 該模型是一個，可以匯出對於不變損失函式的最優不變估計量。 另見 巴蘇定理 完全充分和輔助統計的另一個結果 參考 外部連結 Category 統計定理 Category 估計理論