微分幾何中，一個微分流形上的聯絡的完整（，又譯和樂），描述向量繞閉圈平行移動一週回到起點後，與原先相異的現象。平聯絡的和樂是一種現象，其於全域有定義。曲聯絡的和樂則有非平凡的局域和全域特點。 流形上任意一種聯絡，都可由其平行移動對映給出相應的和樂。常見的和樂由具有特定對稱的聯絡給出，例如黎曼幾何中列維 奇維塔聯絡的和樂（稱為黎曼和樂）。向量叢聯絡的和樂、嘉當聯絡的和樂，以及主叢聯絡的和樂。在該些例子中，聯絡的和樂可用一個李群描述，稱為和樂群。聯絡的和樂與其曲率密切相關，見安布羅斯 辛格定理。 對黎曼和樂的研究導致了若干重要的發現。其最早由引入，以用於的分類上。然而，很久以後，和樂群才用於更一般的黎曼幾何上。1952 年， 喬治德拉姆證明瞭德拉姆分解定理：若黎曼流形的切叢可分解成局域和樂群作用下不變的子空間，則該流形分解為黎曼流形的笛卡兒積。稍後，於 1953 年， 給出所有不可約和樂的分類。黎曼和樂的分解和分類適用於物理和絃論。 定義 向量叢聯絡的和樂 設 M 為光滑流形，E 為其上的 k 維向量叢， 為 E 上的聯絡。給定 M 上一點 x 和以 x 為基點的分段光滑環圈 γ 01 M 該聯絡定義了一個平行移動對映 Pγ Ex Ex 該對映是可逆線性對映，因此是一般線性群 GL Ex 的元素。 以 x 為基點的和樂群定義為 operatorname Hol_x nabla P_gamma in mathrm GLE_x mid gamma text 為 以 xtext 為 基 點 的 環 圈 以 x 為基點的限制和樂群是由環圈 γ 給出的子群 operatorname Hol0_x nabla 若 M 連通，則不同基點 x 的和樂群 僅相差 GL k R 的共軛作用。更具體說，若 γ 為 M 中由 x 到 y 的路徑，則 operatorname Hol_y nabla P_gamma operatorname Hol_x nabla P_gamma1 選取 Ex 的另一組基（即以另一種方式將 Ex 視為與 Rk 等同）同樣會使和樂群變成 GL k R 中另一個共軛子群。非完全嚴格的討論中（下同），可將基點略去，但倘如此行，則和樂群僅在共軛意義下有良好定義。 和樂群的重要性質包括： operatorname Hol0 nabla 是 GL k R 的連通李子群。 operatorname Hol0 nabla 是 operatorname Holnabla 的。 存在自然的滿群同態 pi_1 M to operatorname Holnabla operatorname Hol0 nabla 其中 pi_1 M 是 M 的基本群。該同態將同倫類 gamma 映到陪集 P_gammacdotoperatorname Hol0 nabla 若 M 單連通，則 operatorname Holnabla operatorname Hol0 nabla 為平（即曲率恆零）當且僅當 operatorname Hol0 nabla 為平凡群。 在物理學中，威爾森迴圈是 tr P（特徵標理論的跡）。 主叢聯絡的和樂 主叢聯絡的和樂與向量叢相倣。設 G 為李群，P 為仿緊光滑流形 M 上的主 G 叢。設 ω 為 P 上的聯絡。給定 M 中一點 x 以 x 為基點的分段光滑環圈 γ 01 M 以及 x 纖維上一點 p 該聯絡定義了唯一的水平提升 tildegamma 01 to P 使得 tildegamma 0 p 水平提升的終點 tildegamma 1 未必是 p 因為其可為 x 纖維上的另一點 pg 若兩點 p 和 q 之間有分段光滑的水平提升路徑連線，則稱 p q 如此， 是 P 上的等價關係。 ω 以 p 為基點的和樂群定義為 operatorname Hol_p omega g in G mid p sim pcdot g 若在定義中僅允許環圈 γ 的水平提升，則得到以 p 為基點的受限和樂群 operatorname Hol0_p omega 其為和樂群 operatorname Hol_p omega 的子群。 若 M 和 P 皆連通，則不同基點 p 的和樂群僅在 G 互為共軛。更具體說，若 q 是另一個基點，則有唯一的 g G 使得 q pg 於是， operatorname Hol_q omega g1 operatorname Hol_p omega g 特別地， operatorname Hol_pcdot gomega g1 operatorname Hol_p omega g 再者，若 p q 則 operatorname Hol_p omega operatorname Hol_q omega 因此，有時可省略基點不寫，但須留意這會使得和樂群僅在共軛意義下有良好定義。 和樂群的若干性質包括： operatorname Hol0_p omega 是 G 的連通李子群。 operatorname Hol0_p omega 是 operatorname Hol_p omega 的。 存在自然的滿群同態 pi_1 M to operatorname Hol_p omegaoperatorname Hol0_p omega 若 M 單連通，則 operatorname Hol_p omega operatorname Hol0_p omega ω 為平（即曲率恆零）當且僅當 operatorname Hol0_p omega 為平凡群。 和樂叢 同上，設 M 為連通仿緊流形，P 為其上的主 G 叢，ω 為 P 上的聯絡。設 p P 為主叢上的任意一點。以 H p 表示 P 中可與 p 用水平曲線相連的點的集合。則可證明 H p 連同其到 M 的投影也構成 M 上的主叢，且具有結構群 operatorname Hol_p omega （即 H p 是主 operatorname Hol_p omega 叢）。 此主叢稱為該聯絡 ω 經過 p 的和樂叢。ω 限制到 H p 上也是一個聯絡，因為其平行移動對映保持 H p 不變。故 H p 是該聯絡的約化主叢。此外，H p 任何真子叢都不被平行移動保持，所以其在該類約化主叢之中為最小。 與和樂群類似，和樂叢在環繞它的主叢 P 中等變。具體說，若 q P 是另一個基點，則有 g G 使得 q p g（按假設，M 是路連通的）。故 H q H p g 於是，兩者在和樂叢上導出的聯絡是相容的，即：兩個聯絡的平行移動對映恰好相差了群元素 g 單延拓群 和樂叢 H p 是主 operatorname Hol_p omega 叢，因此受限和樂群 operatorname Hol0_p omega（作為全個和樂群的正規子群）也作用在 H p 上。離散群 operatorname Hol_p omegaoperatorname Hol0_p omega 稱為聯絡的群。其作用在商叢 H p operatorname Hol0_p omega 上。存在滿同態 varphi pi_1 to operatorname Hol_p omegaoperatorname Hol0_p omega 使得 varphi pi_1 M 作用在 H p operatorname Hol0_p omega 上。基本群的這個群作用稱為基本群的單延拓表示。 局域及無窮小和樂 若 π P M 為主叢，ω 為 P 的聯絡，則 ω 的和樂可限制到 M 的開集的纖維上。若 U 為 M 的連通開集，則將 ω 限制到 U 上可得叢 π1U 的聯絡。該叢的和樂群記為 operatorname Hol_p omega U 而受限和樂群則記為 operatorname Hol0_p omega U 其中 p 為滿足 πp U 的點。 若 U V 為包含 πp 的兩個開集，則有包含關係 operatorname Hol_p0 omega Usubsetoperatorname Hol_p0 omega V p 點的局域和樂群定義為 operatorname Hol_pomega bigcap_k1infty operatorname Hol_p0 omegaU_k 其中 Uk 為任意一族滿足 bigcap_k U_k pi p 的遞降（即 U_k subset U_k1 forall k ）連通開集。 局域和樂群有以下性質： 其為受限和樂群 operatorname Hol0_p omega 的連通李子群。 每點 p 都有鄰域 V 使得 operatorname Hol_p omega operatorname Hol0_p omega V 局域和樂群僅取決於 p 而非序列 Uk 的選取。 局域和樂群在結構群 G 的作用下等變，即對任意 g G operatorname Hol_pgomega operatorname Ad g1 operatorname Hol_p omega（注意由性質 1 局域和樂群是 G 的連通李子群，故伴隨 Ad 有定義。 局域和樂群不一定有全域的良好性質，例如流形的不同點上的局域和樂群不一定具有相同的維數。然而，有以下的定理： 若局域和樂群的維數恆定，則局域和樂群與受限和樂群相等，即 operatorname Hol_p omega operatorname Hol0_p omega 詞源 英文與「全純」相似，Holomorphic 一詞由柯西的兩個學生（18171882）和（18191895）引入，來自希臘文（holos）和（morphē），意思分別是「全」、「形態」。 與 的前半（holos）一樣。至於後半： 非常難在網路上找出（或）的詞源。我找到（鳴謝普林斯頓的約翰康威）： 我相信潘索最早在他對剛體運動的分析用到它。這個理論中，若某種意義下，能夠從一個系統的局域資訊得悉其全域性資訊，就叫一個和樂的 系統，所以它的意思「整體法則」很貼切。球在桌上滾動並不和樂，因為沿不同的路徑滾到同一點，可以使球的方向不同。然而，將「和樂」理解成「整體法則」恐怕有點過於簡化。希臘文的 nom 詞根有多層互相交織的意思，可能更多時解「數算」。它與我們的詞數字 來自同一個印歐詞根。 S Golwala 參見 νόμος（nomos）和 nomy。 安布羅斯－辛格定理 安布羅斯－辛格定理（得名自）描述主叢聯絡的和樂與該聯絡的曲率形式之間的關係。為理解此定理，先考慮較熟知的情況，如仿射聯絡、切叢聯絡（或其特例列維－奇維塔聯絡）。沿無窮小平行四邊形的邊界走一圈，就會感受到曲率。 引入更多細節，若 sigma 0 1times 0 1 to M 是 M 中某曲面的坐標表示，則向量 V 可以沿 sigma 的邊界平行移動，由原點出發，先沿 x 0，再沿 1y，再 x 1（x 反方向，即由 1 遞減至 0），最後 0 y，回到原點。此為和樂環圈的特例，因為向量 V 沿該圈平行移動的結果，相當於 sigma 邊界的提升，對應的和樂群元素，作用在 V 上。當平行四邊形縮至無窮小時（即沿更小的平行四邊形圈，對應 sigma 坐標中的區域 0 x times 0 y，而 x y 趨向於 0），就會明確得到曲率。換言之，取平行移動對映於 x y 0 處的導數： frac Ddxfrac Ddy V frac Ddyfrac Ddx V Rleft frac partialsigmapartial x frac partialsigmapartial y right V 其中 R 為曲率張量。所以，粗略而言，曲率給出閉環圈（無窮小平行四邊形）上的無窮小和樂。更嚴格地，曲率是和樂作用於和樂群單位元處的導數。換言之，R X Y 是 operatorname Hol_p omega 的李代數的元素。 一般來說，考慮結構群為 G 的主叢 P to M 某聯絡的和樂。以 mathfrak g 表示 G 的李代數，則聯絡的曲率形式是 P 上的 mathfrak g 值 2 形式 Omega。安布羅斯－辛格定理斷言： operatorname Hol_p omega 的李代數，是由 mathfrak g 中所有形如 Omega_q XY 的元素線性張成，其中 q 取遍所有可以用水平曲線 q sim p 與 p 連線的點，而 X Y 皆是 q 處的水平切向量。 亦可用和樂叢的說法，複述如下： operatorname Hol_p omega 的李代數，是 mathfrak g 中形如 Omega_q X Y 的元素張成的線性子空間，其中 q 取遍 H p 的元素，而 X Y 取遍 q 處的水平向量。 黎曼和樂 可約和樂與德拉姆分解 設 x in M 為任意一點，則和樂群 mathrm HolM 作用在切空間 T_x M 上。視之為群的表示，則可能不可約，亦可能可約，即可以將 T_x M 分解成正交子空間的直和 T_x M T_x M oplus T_x M 而兩個子空間皆在 mathrm HolM 作用下不變。此時亦稱 M 可約。 設 M 為可約流形。上式說明，在每一點 x 處，切空間可以約化分解成 T_x M 和 T_x M，所以當 x 變動時，就定義出向量叢 T M 和 T M，兩者皆光滑分佈，且是弗比尼斯可積。兩個分佈的皆為子流形，換言之，子流形的測地線皆為原流形的測地線。所以區域性觀察 M，是笛卡爾積 M times M。重複上述分解，直到切空間完全約化，則得到（區域性）德拉姆同構： 設 M 為單連通黎曼流形，定理亦可推廣至非單連通流形，但敍述更複雜。又設在和樂群的作用下，T M T0 M oplus T1 M oplus cdots oplus Tk M 為切叢的完全約化分解，而和樂群在 T0 M 上的作用平凡（恆等對映），則 M 區域性等距同構於乘積 V_0times V_1times cdotstimes V_k 其中 V_0 是歐氏開集，而每個 V_i 是 Ti M 的積分流形。更甚者，mathrm HolM 是 mathrm HolM_i 的直積（M_i 是 Ti 過某點的極大積分流形）。 若同時假設 M（每點每個方向的測地線皆可無限延伸），則定理不僅區域性成立，而是全域成立，且各 M_i 本身也是測地完備流形。 伯格分類 1955 年，將不可約（並非區域性等同積空間）、非對稱（並非區域性地）、單連通的黎曼流形，可能具有的和樂群，完全分類。伯格分類表如下： mathrm Holg mathrm dimM 流形型別 備註 正交群 SO n n 可定向流形 酉群 U n 2n 凱勒流形 凱勒 特殊酉群 SU n 2n 卡拉比丘流形 裡奇平、凱勒 辛群 mathrm Spn 4n 裡奇平、凱勒 mathrm Spncdot mathrm Sp1 4n G_2 7 裡奇平 旋量群 mathrm Spin7 8 裡奇平 1965 年，及同時研究和樂群為 mathrm Spncdot mathrm Sp1 的流形，構造出其平行 4 形式。 於 1966 年最早引入和樂群為 G_2 或 mathrm Spin7 的流形，他構造出全部平行形式，並證明該些流形皆為裡奇平。 伯格原先的表中，未排除 mathrm Spin9（作為 SO 16 的子群）。後來，迪米特里阿列克謝耶夫斯基一人，與布朗、格雷二人，分別證明具此和樂群的黎曼流形必然區域性對稱，即與 F_4mathrm Spin9 區域性等距同構，或區域性平坦，故上表不列。上表列出的各可能，現已確實知道是某黎曼流形的和樂群。末尾兩個例外情況的流形最難發現，見和。 注意 mathrm Spnsubset SU 2n subset U 2n subset SO 4n，故必為卡拉比－丘，卡拉比－丘流形必為凱勒，而凱勒流形必可定向。 以上看似奇怪的列表（伯格定理），可由西蒙斯（Simons）的證明解釋。另有一個簡單幾何證明，由卡洛斯奧爾莫斯於 2005 年給出。第一步要證，若黎曼流形並非，而約化和樂在切空間上的作用不可約，則遞移地作用在單位球面上。但已知有何種李群遞移作用於球面：上表所列各項，以及兩個額外情況，分別是 mathrm Spin9（作用於 mathbb R16），以及 U 1 cdot mathrm Spm（作用於 mathbb R4m）。最後，要驗證前者只能作為區域性對稱空間（區域性同構於的）的和樂群，而後者則根本不能作為和樂群出現。 伯格的原分類，尚有涵蓋非正定的偽黎曼度量，其給出非區域性對稱和樂的可能列表為： 和樂群 SO p q p q U p q 2p 2q SU p q 2p 2q mathrm Spp q 4p 4q mathrm Spp qcdot mathrm Sp 1 4p 4q SO n mathbb C n n SO n mathbb H 2n 2n 分裂 G_2 4 3 G_2 mathbb C 7 7 mathrm Spin4 3 4 4 mathrm Spin7 mathbb C 7 7 mathrm Spin5 4 8 8 mathrm Spin9 mathbb C 16 16 但是，標 的兩種和樂群（分裂 mathrm Spin9 及複化 mathrm Spin9），如同正定的情況，只能在區域性對稱空間出現，故應予刪去。至於複化和樂群 SO n mathbb C G_2 mathbb C mathrm Spin7 mathbb C 三種，可以將實解析黎曼流形複化得到。而和樂群為 SO n mathbb H 子群的流形，R McLean 證明其為區域性平。 對稱黎曼空間，因為區域性與齊性空間 GH 同構，其區域性和樂群同構於 H，經已分類完畢。 最後，伯格的論文亦有列舉僅得無撓仿射聯絡的流形的可能和樂群，見下節。 特殊和樂及旋量 一些流形具特殊的和樂，該性質亦可藉平行旋量是否存在來刻劃（平行旋量即協變導數為零的旋量場），尤其有以下各項命題成立： mathrm Holomega subseteq U n，當且僅當 M 上存在平行的射影純旋量場。 若 M 為，則 mathrm Holomegasubseteq SU n，當且僅當 M 具有至少兩個線性獨立的平行純旋量場。事實上，平行純旋量場足以確定由結構群到 SU n 的典範歸約。 若 M 是七維旋量流形，則 M 具有非平凡平行旋量場，當且僅當和樂群是 G_2 的子群。 若 M 為八維旋量流形，則 M 具有非平凡平行旋量場，當且僅當和樂群是 mathrm Spin7 的子群。 麼正與特殊麼正和樂經常連帶扭量理論、殆複流形一同研究。 應用 弦論 具特殊和樂的黎曼流形，對弦論緊化很重要。 原因是，特殊和樂流形上，存在共變常值（即平行）旋量，於是保一部分超對稱。較重要的緊化是在具 SU 2 或 SU 3 和樂的卡拉比丘流形上，以及上。 機器學習 在機器學習，尤其方面，曾有人提出，藉計算黎曼流形的和樂，得出資料流形的結構。由於和樂群包含資料流形的全域結構，其適用於判斷資料流形可能如何分解成子流形之積。由於取樣有限，無法完全準確計算出和樂群，但利用來自譜圖論的思想（類似向量），有可能構造出數值近似。所得的演算法「幾何流形分量估計量」（，簡寫「探地者」），能給出德拉姆分解的數值近似，並應用於現實資料。 仿射和樂 仿射和樂群，是無撓仿射聯絡的和樂群；其中一些不能作為（偽）黎曼和樂群出現，稱為非度量和樂群。德拉姆分解定理不適用於仿射和樂群，所以離完成分類尚有很遠，但仍可以將不可約的仿射和樂分類。 伯格在證明黎曼和樂分類定理的過程中，發現對於的無撓仿射聯絡而言，和樂群的李代數必定符合兩個條件。伯格第一準則是安布羅斯－辛格定理（即曲率張量生成和樂的李代數，見前節）的後果；而第二準則，來自聯絡非區域性對稱的條件。伯格列舉了滿足此兩個準則，且作用不可約的群，可以視之為不可約仿射和樂群的可能情況表。 但伯格的列表，其後證實並未齊全。（1991）和 Q Chi、S Merkulov、L Schwachhöfer（1996）找到未在列表的例子，有時稱為「怪和樂」。努力搜尋例子之後，最終由 Merkulov 和 Schwachhöfer（1999 年）完成不可約仿射和樂群的分類，而反方向的結果則由布萊恩特（2000 年）證明，即列表上所有群皆確實能作為仿射和樂群。 觀察到表中的群和、之間有聯絡之後，MerkulovSchwachhöfer 分類會變得更清晰。此種聯絡在複仿射和樂的情況尤其明確，見於 Schwachhöfer（2001）。 設 V 為有限維複向量空間，H subseteq mathrm AutV 為不可約半單複連通李子群，又設 Ksubseteq H 為極大緊子群。 若有不可約埃爾米特對稱空間形如 GU 1 cdot K，則 H 和 mathbb C cdot H 兩者皆為非對稱不可約仿射和樂群，其中 V 為 K 的切表示。 若有不可約四元數凱勒對稱空間形如 Gmathrm Sp1 cdot K，則 H 為非對稱不可約仿射和樂群，而當 dim V 4 時，mathbb C cdot H 亦然。此時，mathrm Sp1 cdot K 的複化切表示是 mathbb C2 otimes V，而 H 保 V 上某個複辛形式。 上述兩族已涵蓋大部分非對稱不可約複仿射和樂群，例外僅有： begin align mathrm Sp2 mathbb C cdot mathrm Sp2n mathbb C subset mathrm Autleft mathbb C2 otimesmathbb C2nright G_2 mathbb C subset mathrm Autleft mathbb C7right mathrm Spin7 mathbb C subset mathrm Autleft mathbb C8right end align 利用埃爾米特對稱空間的分類，第一族的複仿射和樂群有： begin align Z_mathbb C cdot SL m mathbf C cdot SL n mathbf C subset mathrm Autleft mathbb Cmotimesmathbb Cnright Z_mathbb C cdot SL n mathbb C subset mathrm Autleft wedge2mathbb Cnright Z_mathbb C cdot SL n mathbb C subset mathrm Autleft S2mathbb Cnright Z_mathbb C cdot SO n mathbb C subset mathrm Autleft mathbb Cnright Z_mathbb C cdot mathrm Spin10 mathbb C subset mathrm Autleft Delta_10right cong mathrm Autleft mathbb C16right Z_mathbb C cdot E_6 mathbb C subset mathrm Autleft mathbb C27right end align 其中 Z_mathbb C 可取平凡群，亦可取為 mathbb C。 同樣，用四元數凱勒對稱空間的分類，第二族複辛和樂群有： begin align mathrm Sp2 mathbb C cdot SO n mathbb C subset mathrm Autleft mathbb C2otimesmathbb Cnright Z_mathbb Ccdot mathrm Sp2n mathbb C subset mathrm Autleft mathbb C2nright Z_mathbb C cdot SL 2 mathbb C subset mathrm Autleft S3mathbb C2right mathrm Sp6 mathbb C subset mathrm Autleft wedge3_0mathbb C6rightcong mathrm Autleft mathbb C14right SL 6 mathbb C subset mathrm Autleft wedge3mathbb C6right mathrm Spin12 mathbb C subset mathrm Autleft Delta_12right cong mathrm Autleft mathbb C32right E_7 mathbb C subset mathrm Autleft mathbb C56right end align （第二行中，Z_mathbb C 必須取為平凡群，除非 n 2，此時可取為 mathbb C。） 從以上各列表，可以觀察出一個結論，類似西蒙斯斷言黎曼和樂群遞移作用於球面：複和樂表示皆為。但是，未知此事實的概念性證明。 不可約實仿射和樂的分類，用「實仿射和樂複化成複仿射和樂」此結論，結合上表，仔細分析便得。 參見 AB 效應 腳註 參考文獻 及其補遺 Category 曲率 Category 聯絡 Category 微分幾何