分裂四元數乘法 1 i j k 1 1 i j k i i 1 k j j j k 1 i k k j i 1 在抽象代數中，分裂四元數（splitquaternions）或反四元數（coquaternions）是一種四維的結合代數的元素，由在 1849 年引入，當時稱為反四元數。 類似於漢密爾頓 1843 年引入的四元數 ，它們組成了一個四維的實向量空間，且有乘法運算。 與四元數不同，分裂四元數包含非平凡的零因子、冪零元和。（例如， 1over21j 是冪等的零因子，而 ij 是冪零元。 作為一種數學結構，分裂四元數形成了域代數，且與 2 2 的實矩陣同構。 集合 left1ijkright 組成一個基。 這些元素的積由 ijkji jkikj kijik i21 j21 k21 給出。因此 ijk1。 由以上定義可得，集合 left1ijk1ijkright 在分裂四元數乘法的定義下是一個群，與二面體群 D_4 同構，稱為正方形的對稱群。 分裂四元數 qwxiyjzk 的共軛 qwxiyjzk。 由於其基向量的反交換性，分裂四元數與其共軛的積由其迷向二次型 N qqqw2x2y2z2 給出。 給定兩個反四元數 p 和 q，有 N pqN p N q，意味著 N 是可合成的二次型。 其上的代數是一種合成代數，N 是其範數。 任何滿足 qneq0，N q0 的反四元數 q 稱為零向量（Null vector 而非 Zero vector，它的存在意味著反四元數形成 分裂的合成代數，因此反四元數也被稱為分裂四元數。 當範數非零時，q 有倒數，即 qover N q 集合 Uleftqqqneq0right 是單位元的集合。 全體分裂四元數的集合 mathbb P 組成環 mathbb Pcdot ，其單位群為 Ucdot。全體 N q1 的分裂四元陣列成一個非緊緻的拓撲群 SU 11，且與 SL 2mathbb R 同構（見下）。 歷史上講，分裂四元數早於凱萊的矩陣代數；分裂四元數 及四元數和雙複數 引發了對線性代數的深入研究。 矩陣表示 令 qwxiyjzk，考慮普通複數 uwxi vyzi，它們的共軛複數為 uwxi vyzi。然後 begin pmatrix u v v u end pmatrix 將 q 表示為矩陣環，其中的分裂四元數的乘法與矩陣乘法的行為相同。例如，這個矩陣的行列式是 uuvvqq 減號的出現將反四元數與使用了加號的四元數 mathbb H 區分開來。雙曲幾何中，龐加萊圓盤模型上範數為 1 的分裂四元數代表多重引導的使用是代數最重要的運用之一。 除了復矩陣表示，另一種線性表示將反四元數與聯絡起來。這種同構可以明確如下：首先注意到積 begin pmatrix 0 1 1 0end pmatrixbegin pmatrix 1 0 0 1end pmatrix begin pmatrix 0 1 1 0end pmatrix 左邊每個因子的平方是單位矩陣，而右邊的平方是單位矩陣的負數。此外，注意這三個矩陣，連同單位矩陣，構成了 M 2mathbb R 的基。可以使上述矩陣乘積對應於反四元數環中的 jki。然後，對於任意矩陣有一個雙射 begin pmatrix a c b dend pmatrix leftrightarrow q frac ad cb i bc j ad k2 這實際上形成了環同構。此外，計算各項的平方和表明 qqadbc，矩陣的行列式。因此，反四元數的單位與 SL 2mathbb R gin M 2mathbb R det g 1 群同構，因此與 SU 11 也群同構，後者可以從上面的復表示中得到。 例如，用 22 實矩陣表示雙曲運動群，見 Karzel 和 Kist。Karzel Helmut Günter Kist 1985 Kinematic Algebras and their Geometries in Rings and Geometry R Kaya P Plaumann and K Strambach editors pp 437509 esp 44950 D Reidel 在這兩種線性表示中，範數由行列式給出。由於行列式是乘法對映，兩個反四元數積的範數等於範數的積。這樣反四元數就形成了合成代數。作為實數域上的代數，它是僅有的七個這樣的代數之一。 由雙曲複數生成 Kevin McCrimon 展示瞭如何按照 L E Dickson 和 Adrian Albert 為 mathbb C、mathbb H 和 mathbb O 給出的除法構造所有的合成代數。Kevin McCrimmon 2004 A Taste of Jordan Algebras page 64 Universitext Springer 實際上，他給出了 realsplit 的 doubled product 的乘法法則 abcd ac d b da bc 如前所述，雙共軛 ab a b 因此 N ab abab a a b b 0 如果 a 和 b 是雙曲複數，分裂四元數 qabwzjyxj 那麼 N qaabbw2z2y2x2w2x2z2y2 性質 右 縮圖 圓 E 在平面 z 0 中。J 的元素是 1 的平方根。 可以透過 mathbb P 的子空間 zixjykxyzinmathbb R 來了解其子代數。 令 r thetajcosthetaksintheta 引數 z 和 r theta 是此子空間中圓柱座標系的基。引數 theta 表示方位角。接下來令 a 表示任意實數，並考慮反四元數 p arisinh arcosh a v aricosh arsinh a 這正是和 Carmody 的等邊雙曲面座標。Carmody Kevin 1997 Circular and hyperbolic quaternions octonions sedionions Applied Mathematics and Computation 84 12747 esp 38 接下來，在環的向量子空間中構造三個基礎集合 Erinmathbb Prr theta0leqtheta2pi Jp arinmathbb Painmathbb Rrin E 單葉雙曲面 Iv arinmathbb Painmathbb Rrin E 雙葉雙曲面 現在很容易驗證 qinmathbb Pq21Jcup11 及 qinmathbb Pq21I 這些集合相等意味著當 pin J 時，平面 xypxyinmathbb RD_p 是 mathbb P 的一個與雙曲複數平面同構的子環，就像對 I 中的任意 v， xyvxyinmathbb RC_v 是與普通複平面 mathbb C 同構的 mathbb P 的平面子環。 注意對於所有 rin E， ri20ri2，因此 ri 和 ri 是冪零元。平面 Nxy rixyinmathbb R 是 mathbb P 的一個與二元數同構的子環。由於每個反四元數都必須位於某個 D_p、C_v 或 N 平面上，所以這些平面組成了 mathbb P，例如，單位擬球 SU 11qinmathbb Pqq1 包含了 mathbb P 的構成平面上的 單位圓：在 D_p 中是一個單位雙曲線，在 N 中是一對平行線，而在 C_v 中確實是一個圓。 泛正交性 反四元數 qwxiyjzk 的標量部分為 w。 定義 對於非零反四元數 q 和 t，qperp t 當且僅當乘積 qt 的標量部分為零。 對任意的 vin I，如果 qtin C_v，那麼 qperp t 意味著從 0 到 q 和 t 的射線是垂直的。 對任意的 pin J，如果 qtin D_p，那麼 qperp t 意味著這兩點是的。 對任意的 rin E ， ainmathbb R，p ar 和 v ar 滿足 qperp t。 如果 u 是反四元數環中的一個單位元，那麼 qperp t 意味著 quperp tu。 證明：因向量外積的反交換性，tuut，因此 qutuuu q t。 Countersphere geometry The quadratic form qq is positive definite on the planes Cv and N Consider the countersphere q qq 1 Take m x yi zr where r j cos θ k sin θ Fix θ and suppose mm 1 x2 y2 z2 Since points on the countersphere must line on the conjugate of the unit hyperbola in some plane m can be written for some m p exp bp sinh b p cosh b sinh b i sinh acosh b r cosh acosh b Let φ be the angle between the hyperbolas from r to p and m This angle can be viewed in the plane tangent to the countersphere at r by projection tan phi frac xy frac sinh bsinh a cosh b frac tanh bsinh a Then lim_b to infintan phi frac 1 sinh a as in the expression of angle of parallelism in the hyperbolic plane H2 The parameter θ determining the meridian varies over the S1 Thus the countersphere appears as the manifold S1 H2 Application to kinematics By using the foundations given above one can show that the mapping q mapsto u1 q u is an ordinary or hyperbolic rotation according as u eav quad v in I quad text orquad u eap quad p in J The collection of these mappings bears some relation to the Lorentz group since it is also composed of ordinary and hyperbolic rotations Among the peculiarities of this approach to relativistic kinematic is the anisotropic profile say as compared to hyperbolic quaternions Reluctance to use coquaternions for kinematic models may stem from the signature when spacetime is presumed to have signature or Nevertheless a transparently relativistic kinematics appears when a point of the countersphere is used to represent an inertial frame of reference Indeed if then there is a such that and a such that Then if and the set is a panorthogonal basis stemming from t and the orthogonalities persist through applications of the ordinary or hyperbolic rotations Historical notes The coquaternions were initially introduced under that name James Cockle 1849 On Systems of Algebra involving more than one Imaginary Philosophical Magazine series 3 35 4345 link from Biodiversity Heritage Library in 1849 by James Cockle in the LondonEdinburghDublin Philosophical Magazine The introductory papers by Cockle were recalled in the 1904 BibliographyA Macfarlane 1904 Bibliography of Quaternions and Allied Systems of Mathematics from Cornell University Historical Math Monographs entries for James Cockle pp 1718 of the Quaternion Society Alexander Macfarlane called the structure of coquaternion vectors an exspherical system when he was speaking at the International Congress of Mathematicians in Paris in 1900Alexander Macfarlane 1900 Application of space analysis to curvilinear coordinates Proceedings of the International Congress of Mathematicians Paris page 306 from International Mathematical Union The unit sphere was considered in 1910 by Hans BeckHans Beck 1910 Ein Seitenstück zur Mobiusschen Geometrie der Kreisverwandschaften Transactions of the American Mathematical Society 11 For example the dihedral group appears on page 419 The coquaternion structure has also been mentioned briefly in the Annals of MathematicsA A Albert 1942 Quadratic Forms permitting Composition Annals of Mathematics 43161 to 77Valentine Bargmann 1947 Irreducible unitary representations of the Lorentz Group Annals of Mathematics 48 568640 Synonyms Paraquaternions Ivanov and Zamkovoy 2005 Mohaupt 2006 Manifolds with paraquaternionic structures are studied in differential geometry and string theory In the paraquaternionic literature k is replaced with k Exspherical system Macfarlane 1900 Splitquaternions Rosenfeld 1988 Rosenfeld BA 1988 A History of NonEuclidean Geometry page 389 SpringerVerlag Antiquaternions Rosenfeld 1988 Pseudoquaternions Yaglom 1968Isaak Yaglom 1968 Complex Numbers in Geometry page 24 Academic Press Rosenfeld 1988 參見 Splitbiquaternions Splitoctonions Hypercomplex numbers 參考資料 延伸閱讀 Brody Dorje C and EvaMaria Graefe On complexified mechanics and coquaternions Journal of Physics A Mathematical and Theoretical 447 2011 072001 Ivanov Stefan Zamkovoy Simeon 2005 Parahermitian and paraquaternionic manifolds Differential Geometry and its Applications 23 pp 205234 Mohaupt Thomas 2006 New developments in special geometry Özdemir M 2009 The roots of a split quaternion Applied Mathematics Letters 2225863 Özdemir M AA Ergin 2006 Rotations with timelike quaternions in Minkowski 3space Journal of Geometry and Physics 56 32236 Pogoruy Anatoliy Ramon M RodriguesDagnino 2008 Some algebraic and analytical properties of coquaternion algebra Advances in Applied Clifford Algebras Category 狹義相對論 Category 雙曲幾何 Category 四元數