在數學中，特別是在泛函分析中，有界運算元的譜是矩陣的特徵值集合的推廣。具體來說，對於有界線性運算元 T，如果 TλI 不可逆，其中 I 是恆等運算元，則複數 λ 會被認為屬於 T 的譜中。譜和相關性質的研究被稱為譜理論，其具有許多應用，最值得注意的是量子力學的數學表述。 有限維向量空間上的運算元的譜就是特徵值的集合。然而，無限維空間上的運算元在譜中可能有其他元素，並且可能沒有特徵值。例如，考慮希爾伯特空間ℓ2 上的右移運算元 R， x_1 x_2 dots mapsto 0 x_1 x_2 dots。 該運算元沒有特徵值，因為如果 Rxλx，則透過展開表示式可以得到 x10，x20 另一方面，0 在譜中，因為運算元 R0（即 R 自身）不可逆：因為第一項非零的任意向量不在它的值域中，所以它不是滿射。事實上，複巴拿赫空間上的每個有界線性運算元都必有非空譜。 譜的概念可以擴充套件到稠定無界運算元。在這種情況下，複數 λ 被認為是在運算元 TDX（其中 D 在 X 中稠密）的譜中，如果沒有有界逆 λIT1XD。如果 T 是閉運算元（包括 T 是有界運算元的情形），逆的有界性可由逆的存在性直接得到。 巴拿赫空間 X 上的有界線性運算元 B X 是有單位的巴拿赫代數的一個例子。由於除了任何這樣的代數都具有的性質之外，譜的定義沒有涉及 B X 的任何性質，所以譜的概念可以在此逐字地使用相同的定義推廣。 有界運算元的譜 定義 作用在巴拿赫空間 X 上的 T 是標量域 mathbb K 上的有界線性運算元，且 I 是 X 上的恆等運算元。T 的譜是所有使得運算元 lambda IT 沒有有界線性逆的 lambdain mathbb K 的集合。 由於 lambda IT 是一個線性運算元，所以如果它的逆存在，則一定是線性的；並且，透過有界逆定理可知，它的逆是有界的。 因此，譜正好由那些使得 lambda I T 不是雙射的標量 lambda 組成。 給定運算元 T 的譜通常記為 sigma T，而它的補集，也即預解集，記為 rho T mathbb K setminus sigma T。 譜和特徵值 如果 lambda 是 T 的特徵值，則運算元 Tlambda I 不是一一對映，因此其逆 Tlambda I1 沒有定義。但否命題是不對的：即使 lambda 不是特徵值，運算元 T lambda I 可能也沒有逆。因此，運算元的譜總是包含其所有特徵值，但卻不限於此。 例如考慮希爾伯特空間 ell2 mathbb Z，它由所有雙向無限實數序列 v ldots v_2v_1v_0v_1v_2ldots 構成，這些序列須滿足平方和 sum_iinftyinfty v_i2 有限。雙向移位運算元 T 簡單地將序列的每個元素移動一個位置；即如果 u T v 則對所有整數 i 有 u_i v_i1。特徵值方程 T v lambda v 在該空間中無解，因為如果有解則意味著所有 v_i 擁有相同的絕對值（如果 lambda 1）或者是等比數列（如果 lambda neq 1）；無論哪種情形，它們的平方和都不可能有限。然而，運算元 Tlambda I 在 lambda 1 時不可逆。例如滿足 u_i 1i1 的序列 u 屬於 ell2 mathbb Z ；但是不存在 ell2 mathbb Z 中的序列 v 使得 TI v u（即對所有 i 有 v_i1 u_i v_i）。 基本性質 有界運算元 T 的譜總是複平面的非空閉有界子集。 如果譜是空的，那麼預解函式 R lambda lambda I T1， 在複雜平面上處處有定義且有界。但可以證明，預解函式 R 在其定義域是全純的。透過向量值情形的劉維爾定理可知這個函式是常數。因為它在無窮遠處為零，所以恆為零。產生矛盾。 譜的有界性由關於 λ 的諾伊曼級數展開得出；頻譜 σT 有界 T。類似的，可以證出譜是閉集。 譜的界 T 可以稍作改進。T 的譜半徑 r T 是複平面上最小的包含譜 σT 以原點為圓心的圓的半徑，即 r T sup lambda lambda in sigma T。 譜半徑公式指出，Theorem 333 of Kadison Ringrose 1983 Fundamentals of the Theory of Operator Algebras Vol 對於巴拿赫代數的任何元素 T 有 r T lim_n to infty Tn1n。 運算元譜點分類 巴拿赫空間上的有界運算元 T 可逆（即有有界逆），當且僅當 T 有正下界且值域稠密。 因此，T 的譜可以分為以下部分： 如果 λIT 沒有正下界，則 λσT。特別地，這包含 λIT 不是單射即 λ 是特徵值的情形。特徵值集合被稱為 T 的點譜，記為 σp T。 另一情形，λIT 是一一對映但沒有正下界。這樣的 λ 不是特徵值，而是 T 的近似特徵值（特徵值本身也是近似特徵值）。近似特徵值集合（包含點譜）被稱為 T 的近似點譜，記為 σap T。 如果 λIT 值域不稠密，則 λσT。這樣的 λ 的集合被稱為壓縮譜，記為 σcp T。它的子集，使得 λIT 值域不稠密但是單射的 λ 的集合，被稱為 T 的剩餘譜，記為 σr T。 注意到近似點譜和剩餘譜不一定不相交（但點譜和剩餘譜不相交）。 以下小節提供了關於上述 σT 分類的更多細節。 點譜 如果一個運算元不是單射（因此有某個非零的 x 滿足 T x0），那它顯然是不可逆的。 因此，如果 λ 是 T 的特徵值，則必有 λσT。T 的特徵值集合被稱為 T 的點譜，記為 σp T。 近似點譜 更一般地，T 如果沒有正下界，則不可逆； 也就是說，不存在 c0 滿足 Txcx 對所有 x X 。因此，譜包括近似特徵值集合，即使得 T λI 沒有正下界的 λ； 等價地，它是滿足如下條件的 λ 的集合，存在單位向量 x1 x2 使得 lim_n to infty Tx_n lambda x_n 0。 近似特徵值集合被稱為近似點譜，記為 σap T。 容易看出特徵值屬於近似點譜。 例子 考慮 l2 Z 上雙向移位運算元 T 定義如下 T cdots a_1 hat a_0 a_1 cdots cdots hat a_1 a_0 a_1 cdots 其中ˆ表示第零個位置。直接計算可知 T 沒有特徵值，但滿足 λ1 的每個 λ 都是近似特徵值；令 xn 表示向量 frac 1sqrt ndots 0 1 lambda1 lambda2 dots lambda1 n 0 dots 則對所有 n 有 xn1，但 Tx_n lambda x_n sqrt frac 2n to 0。 由於 T 是酉運算元，所以它的譜位於單位圓上。 因此 T 的近似點譜是其整個譜。 這對於更一般的一類運算元也是正確的。 酉運算元是正規的。由譜定理可知，希爾伯特空間 H 上的有界運算元是正規的，當且僅當其等價於（將 H 等價為 L2 空間）乘法運算元。 可以證出，有界乘法運算元的譜與它的近似點譜相等。 剩餘譜 運算元可以是單射甚至有正下界，但不可逆。l 2 N 上的單向移位運算元就是一例。這個移位運算元是一個等距同構，因此下界為 1。但是它不可逆，因為它不是滿射。滿足 λIT 是單射但值域不稠密的 λ 的集合被稱為剩餘譜，記為 σr T。 連續譜 滿足 λIT 是單射且值域稠密但不是滿射的 λ 的集合，被稱為 T 的連續譜，記為 σc T。 因此，連續譜由那些不是特徵值且不在剩餘譜中的近似特徵值構成。即 sigma_c T sigma_apT setminus sigma_r T cup sigma_p T 。 邊緣譜 運算元的邊緣譜是其譜中模等於其譜半徑的點的集合。 例子 氫原子提供了這種分解的例子。氫原子的哈密頓運算元的特徵函式被稱為本徵態，並被分為兩類。 氫原子的束縛態對應於譜的離散部分（它們具有離散的特徵值集合，可由裡德伯公式計算得到），而電離過程的最終結果由連續部分描述（碰撞 電離的能量不是 量子化的）。 進一步結果 如果 T 是一個緊運算元，則可以證明譜中任意非零 λ 是特徵值。 換句話說，這種運算元的譜，被定義為特徵值概念的推廣，在這種情形下僅包括通常的特徵值和 0（可能有）。 如果 X 是希爾伯特空間且 T 是正規運算元，則有被稱為譜定理的顯著結果，給出了正規有限維運算元的對角化定理的類比（例如埃爾米特矩陣）。 無界運算元的譜 可以推廣譜的定義用於巴拿赫空間 X 上的無界運算元，這些運算元不再是巴拿赫代數 B X 中的元素。 推廣類似於有界情形。 複數 λ 被稱為在預解集中，即線性運算元 T T D subset X to X 的譜的補集，如果運算元 Tlambda I D to X 有有界逆，即如果存在有界運算元 S X rightarrow D 使得 S T I lambda I_D T I lambda S I_X。 如果該性質不滿足，則複數 λ 在譜中。 可以以與有界情形完全相同的方式來對譜進行分類。 無界運算元的譜通常是複平面的閉子集，可能為空集。 對於預解集中的 λ（即不在譜中），與有界情形相同，λIT 必須是雙射，因為它必須有雙邊逆。 如前所述，如果逆存在，則其線性直接可得，但一般來說，它可能無界，因此必須單獨檢驗該條件。 然而如果引入了 T 是閉運算元的附加假設，由閉影像定理可知，逆的有界性可由其存在性直接得到。 因此，與有界情情形相同，複數 λ 位於閉運算元 T 的譜中，當且僅當 λIT 不是雙射。 注意到閉運算元包括所有有界運算元。 透過其譜測度，可以定義任何自伴運算元的譜分解，有界或其他型別分解為絕對連續、純點和奇異部分。 有單位的巴拿赫代數的譜 令 B 為包含單位 e 的復巴拿赫代數。我們定義 B 的元素 x 的譜 σx（或更明確地 σB x）為使 λex 在 B 中不可逆的那些複數 λ 的集合。這推廣了巴拿赫空間 X 上有界線性運算元 B X 的譜的定義，因為 B X 是一個巴拿赫代數。 參見 自伴運算元 偽譜 參考文獻 Dales et al Introduction to Banach Algebras Operators and Harmonic Analysis ISBN 0521535840 Category 泛函分析 Category 譜理論