傑恩斯 卡明斯模型（JaynesCummings model JCM）是一個量子光學的理論模型。 這是一個描述雙態系統和量化光腔 optical cavity 互動作用的模型，這種互動作用和光子的存在與否無關 在電磁輻射能造成光子自發性的放射與吸收。它主要被運用在原子物理學、量子光學、固態量子資訊電路的理論與實驗上。 公式 系統哈密頓量 hat H hat H_text field hat H_text atom hat H_text int 由自由場哈密頓量，原子激發態哈密頓量，JCM 哈密頓量組成： begin arraylcl hat H_text field hbar omega_c hat adaggerhat a hat H_text atom hbar omega_a frac hat sigma_z2 hat H_text int frac hbar Omega2 hat E hat S end array 為方便起見，設真空場能量為 0 其中： begin smallmatrixhat E hat a hat adaggerend smallmatrix 場運算子，目的是把量化輻射場轉化為玻色子的模型，另外雙態原子是能被三維布洛赫球面所描述的半自旋粒子 begin smallmatrixhat adaggerend smallmatrix 是玻色子的創生算符 begin smallmatrixhat aend smallmatrix 是玻色子的湮滅算符 begin smallmatrixhat S hat sigma_ hat sigma_end smallmatrix 是原子耦合區的偏振運算子 begin smallmatrixhat sigma_ e rangle langle g end smallmatrix 與 begin smallmatrixhat sigma_ g rangle langle e end smallmatrix 是原子的階梯算符 begin smallmatrixhat sigma_z e rangle langle e g rangle langle g end smallmatrix 是原子反轉運算子 begin smallmatrixomega_aend smallmatrix 是原子的躍遷頻率 begin smallmatrixomega_cend smallmatrix 是模型的角頻率 JCM 哈密頓量 透過把薛丁格繪景轉換為相互作用繪景 又名旋轉框架 rotating frame ，使得 begin smallmatrix H_0 hat H_text field hat H_text atomend smallmatrix，可以得到： hat H_text intt frac hbar Omega2 left hat ahat sigma_ ei omega_comega_a t hat adaggerhat sigma_ ei omega_comega_a t hat ahat sigma_ ei omega_comega_a t hat adaggerhat sigma_ ei omega_comega_a tright 這個哈密頓量同時包含了兩個部分： begin smallmatrixomega_c omega_aend smallmatrix 是快速震蕩， begin smallmatrixomega_c omega_aend smallmatrix 是慢速震蕩。 為了求解這個方程，簡化模型是再所難免的。注意到，當 begin smallmatrixomega_c omega_a ll omega_comega_aend smallmatrix 的時候，快速振盪的 反向旋轉 項（也就是快速震蕩項）可被忽略，這被稱為旋波近似。再將之轉換回薛丁格繪景，JCM 哈密頓量就變成了： hat H_text JC hbar omega_c hat adaggerhat a hbar omega_a frac hat sigma_z2 frac hbar Omega2 left hat ahat sigma_ hat adaggerhat sigma_right 其中， begin smallmatrixhbar Omega2 d omega_ahbar V epsilon_012end smallmatrix 是原子場的耦合常數， begin smallmatrix dend smallmatrix 是原子躍遷時刻， begin smallmatrix Vend smallmatrix 是腔模的體積。 本徵態 一般情況下，將哈密頓量拆分為 2 部分有助於對其進行求解 hat H_text JC hat H_I hat H_II 其中， begin arraylcl hat H_I hbar omega_c left hat adaggerhat a frac hat sigma_z2right hat H_II hbar delta frac hat sigma_z2 frac hbar Omega2 left hat ahat sigma_ hat adaggerhat sigma_right end array begin smallmatrixdelta omega_a omega_cend smallmatrix 稱之為場與雙態系統的失諧量（頻率）。為了更好地求解哈密頓量，把 begin smallmatrixbegin smallmatrixhat H_Iend smallmatrixend smallmatrix 的本徵態轉換成張量積 begin smallmatrixngrangle nerangleend smallmatrix（begin smallmatrix n in mathbb Nend smallmatrix，表示模型中輻射量子的數量。） 對位任意正整數 n，狀態 begin smallmatrixpsi_1nrangle nerangleend smallmatrix 與狀態 begin smallmatrixpsi_2nrangle n1grangleend smallmatrix 會退化為 begin smallmatrixhat H_Iend smallmatrix ，begin smallmatrixhat H_text JCend smallmatrix 足以在子空間 begin smallmatrixtext span psi_1nrangle psi_2nrangleend smallmatrix 對角化。 begin smallmatrixhat H_text JCend smallmatrix 的元素屬於 begin smallmatrixHn_ij langlepsi_inhat H_text JCpsi_jnrangleend smallmatrix 的子空間，表示為： Hn hbar begin pmatrix n omega_c frac omega_a2 frac Omega2 sqrt n1 8pt frac Omega2 sqrt n1 n1omega_c frac omega_a2 end pmatrix 對於任意正整數 n，能量本徵態 begin smallmatrix Hnend smallmatrix 為： E_pmn hbaromega_c left nfrac 12right pm frac 12 hbarOmega_n delta 其中，begin smallmatrixOmega_n delta sqrt delta2 Omega2 n1end smallmatrix 是拉比頻率特殊的失諧引數。 含能量本徵態 begin smallmatrixnpmrangleend smallmatrix 的特徵值是： nrangle cos left frac alpha_n2rightpsi_1nranglesin left frac alpha_n2rightpsi_2nrangle nrangle sin left frac alpha_n2rightpsi_1nranglecos left frac alpha_n2rightpsi_2nrangle 其中，begin smallmatrixanglealpha_n tan1left frac Omega sqrt n1deltarightend smallmatrix 薛丁格繪景動量 為了得到動量的一般情況。 首先考慮一個場疊加態的初態 begin smallmatrixpsi_text field0ranglesum_n C_nnrangleend smallmatrix，若置一激發態原子於場內，則系統初態為： psi_text tot0rangle sum_n C_n left cos left frac alpha_n2rightnranglesin left frac alpha_n2rightnrangleright 其中 begin smallmatrixnpmrangleend smallmatrix 是該系統的定態，含時狀態向量是： psi_text tottrangle eihat H_text JC thbarpsi_text tot0rangle sum_n C_n left cos left frac alpha_n2rightnrangle eiE_n thbar sin left frac alpha_n2rightnrangle eiE_n thbarright t 0 相互作用繪景動量 可以直接透過海森堡記法（Heisenberg notation）來確定麼正演化算符（unitary evolution operator） S Stenholm Quantum theory of electromagnetic fields interacting with atoms and molecules Physics Reports 6 1 1121 1973 begin matrixbegin align hat Ut eihat H_text JC thbar begin pmatrix e i omega_c t hat adagger hat a frac 12left cos t sqrt hat varphi g2 i delta2 frac sin t sqrt hat varphi g2sqrt hat varphi g2right i g e i omega_c t hat adagger hat a frac 12 frac sin t sqrt hat varphi g2sqrt hat varphi g2 hat a i g e i omega_c t hat adagger hat a frac 12frac sin t sqrt hat varphi sqrt hat varphihat adagger e i omega_c t hat adagger hat a frac 12 left cos t sqrt hat varphi i delta2 frac sin t sqrt hat varphisqrt hat varphi right end pmatrix end alignend matrix 其中，定義算符～hat varphi 為 hat varphi g2 hat adagger hat a delta24 hat U 的麼正 unitary 被恆等定義： frac sin tsqrt hat varphi g2sqrt hat varphi g2 hat a hat a frac sin tsqrt hat varphisqrt hat varphi cos t sqrt hat varphi g2 hat a hat a cos t sqrt hat varphi 麼正算符可以計算被密度矩陣～hat rhot 所描述的含時系統狀態的演變，麼正算符包含了所有可觀測量。給定初態～hat rho0，則有： hat rhothat Udaggerthat rho0hat Ut， langlehat Thetarangle_ttext Trhat rhothat Theta ， 其中，hat Theta 是表示可觀測量的算符。 量子震盪的崩塌和復興 原子反轉的量子震盪影像（二次反比失諧引數 begin smallmatrix a delta2g2 40end smallmatrix， 其中 delta 是失諧引數），基於 AA Karatsuba 和 EA Karatsuba 取得的基本公式。 參考資料 參考文獻 Serge Haroche JeanMichel Raimond Exploring the Quantum Atoms Cavities and Photons Oxford University Press 2006 ISBN 9780198509141 延伸閱讀 CC Gerry and PL Knight 2005 Introductory Quantum Optics Cambridge Cambridge University Press M O Scully and M S Zubairy 1997 Quantum Optics Cambridge Cambridge University Press D F Walls and G J Milburn 1995 Quantum Optics SpringerVerlag Category 量子光學