圓周率是數學常數，等於任何圓的周長和其直徑的比，一個常見的近似值等於，常用符號表示。 是無理數，不能用分數表示出來（即它的小數部分是無限不迴圈小數），但近似 frac 227 等有理數。學界認為 π 的數字序列在統計上是隨機分佈，但迄今未能證明。此外，π 還是超越數，亦即它不是任何有理係數多項式的根；化圓為方的問題不可能用尺規作圖解決。 幾個文明古國很早就須計算出 π 的精確值以便於生產的計算。西元 5 世紀，中國劉宋數學家祖沖之用幾何方法將圓周率計算到小數點後 7 位。大約同時，印度數學家也將圓周率計算到小數點後 5 位。史上首條 π 的精確無窮級數公式（即 π 的萊布尼茨公式）直到約 1000 年後才由印度數學家發現。微積分出現，π 的位數很快計到數百位，足以滿足任何科學工程的計算需求。在 20 和 21 世紀，計算機技術快速發展，π 的計算精度急速提高。截至 2024 年 3 月，π 的十進位制精度已達 105 萬億位。幾乎所有科學研究對 π 的精度要求都不超過幾百位，當前計算 π 的值主要都為打破記錄、測試超級計算機的計算能力和高精度乘法演算法。 π 的定義涉及圓，在三角學和幾何學的許多公式，特別是廣泛應用在圓形、球形或橢球形相關公式中。在近代數學分析裡，π 改由實數系統譜性質中的特徵值或週期來定義，其他數學領域如數論、統計以及幾乎所有物理學領域均有出現，π 的廣泛用途使它成為科學界內外最廣為人知的數學常數。幾本專門介紹 π 的書籍經已出版，圓周率日（3 月 14 日）和 π 值計算突破記錄也往往會成為報紙的新聞頭條。此外，背誦 π 值的世界記錄已達 10 萬位。 基本概念 名稱 數學家用小寫希臘字母表示圓周和其直徑之比，有時也將其拼寫為 ，來自希臘語 （周長）的首字母。英語 π 的發音與英文單詞 Pie（，西式餡餅）相同。π 的小寫字母（或其無襯線體）在數學要和表示連乘積的大寫 Π 相區分開。 關於選擇符號 π 的原因，請參見引入 π 符號一節。 定義 π 常用定義為圓的周長 C 與直徑 d 的比值： pi frac Cd。 無論圓的大小如何，比值 frac Cd 為恆值。如果圓的直徑變為原先的二倍，周長也變為二倍，比值 frac Cd 不變。π 目前的定義暗地用了歐幾里得幾何的一些定理，雖然圓的定義可擴充套件到任意曲面（即非歐幾里得幾何），但這些圓不符合定律 pi frac Cd。 這裡，圓的周長指其圓周的弧長，弧長這概念可以不依賴幾何學，而是用微積分學的極限來定義。。 Page 102 From a logical point of view this is unsatisfactory at the present stage because we have not yet discussed the concept of arc length Arc length is introduced on page 529 例如，若想計算笛卡兒座標系中單位圓 x2y21 上半部分的弧長，需要用到積分： pi int_11 frac dxsqrt 1x2 上述積分是由卡爾魏爾斯特拉斯於 1841 年對 π 的積分定義。。魏爾斯特拉斯使用的積分實為 piint_inftyinftyfrac dx1x2 π 這些依賴周長、且暗地依賴積分的定義如今在文獻中並不常見。雷默特解釋說現代教微積分時，大學一般將微分學課程安排在積分學課程之前，所以不依賴於後者的 π 的定義就很有必要了。其中一種定義由提出，由愛德蒙蘭道推廣，其表述如下：π 是兩倍於能使餘弦函式等於零的最小正數。 p 183 餘弦函式可以由獨立於幾何之外的冪級數，p 2 定義，或者使用微分方程的解來定義。 在相似的啟發下，π 可以用關於復變數 z 的復指數函式 exp z 來定義。復指數類似餘弦函式，可用多種方式定義。令函式 exp z 值為一的複數集合是如下所示的（虛）等差數列： dots2pi i 0 2pi i 4pi idots 2pi ki kinmathbb Z， 並且其中包括獨特的正實數。 基於同樣想法但更抽象的定義運用了精巧的拓撲學和代數學概念，用以下定理描述： VIII2 存在唯一的從加法模數整陣列成的實數群 RZ 到絕對值為 1 的複數組成的乘法群的連續同態（拓撲學概念，指在拓撲空間之間的一種態射）。數字 π 定義為此同態派生的模的一半。 II3 周長固定，圓會圍成最大面積，π 同樣表述為等周不等式中出現的常數（乘四分之一）。此外，在很多其他緊密相關的方程中，π 作為某些幾何或者物理過程的特徵值出現；詳見下文。 無理及正規性 π 是無理數，無法表示成兩整數之比的形式（形如 frac 227 的分數常用來近似表達 π，但是沒有任何普通分數（指整數的比）可以取到 π 的精確值）。由於是無理數，故可表示為無限不迴圈小數。有多種方法能證明 π 是無理數，這些證明也都要用到微積分學和反證法。可以用有理數來近似的程度還無法準確得知（稱為無理性度量），不過估計其無理性度量比或的要大，但是小於劉維爾數的無理性度量。 檢驗，包括正規數檢驗，可驗證的位數沒有明顯的固定模式。的小數中任意固定長度的序列（如 3 位數 000，001999）出現機率都相同。不過有關是正規數的猜想既無證明，亦無 zhhans 證偽；zhhant 否證；。 電腦出現後可生成大量的不同位數，並統計分析之。金田康正詳細統計分析了的十進位制數字，並驗證了其分佈正規：例如，假設檢定 0 到 9 十個數的出現頻率，找不到有特定重複規律的證據。根據無限猴子定理，任何任意長度、由隨機內容組成的子序列看起來都有可能像不隨機生成。因此，就算的小數序列透過了隨機性統計測試，其中也可能有幾位的數字看起來似有規律可循而非隨機數，例如的十進位制寫法在小數第 762 位後開始出現了連續六個 9。 超越性 不僅是無理數，還是超越數，即不是任何有理係數多項式的根。（比方說，試圖解有限項方程 frac x5120 frac x36 x 0 來求的值） 的超越性衍生出一些重要的結果：不能經有限次四則運算和開平方運算有理數來獲得，因此不是規矩數。換言之，尺規作圖作不出長度為的線段，也就不可能用尺規方法做出與已知圓面積相等的正方形。後者即為有名的化圓為方問題，該問題早在古典時代即已提出，曾困擾人數千年之久。直至今天，依然有民間數學愛好者聲稱他們解決了這問題，第 185 頁。 連分式 像所有無理數一樣無法表示成分數，但等全部無理數都能表示成一系列叫連分數的連續分數形式： pi3textstyle frac 17textstyle frac 115textstyle frac 11textstyle frac 1292textstyle frac 11textstyle frac 11textstyle frac 11ddots 在這連分數的任意一點截斷化簡，都能得到 π 的近似值；前四位近似值是 3、frac 227、frac 333106、frac 355113。這些數在歷史上是 π 最廣為人知且廣為使用的幾個近似值。用以上方式得出的的近似值要比任何有相同或更小的整數分母的其他整數分數近似值更接近 π。π 是超越數，據定義來說它不是代數數，又因此不可能是二次無理數；是故 π 不能表示為迴圈連分數。儘管的簡單連分數沒有表現出任何其他明顯規律， Retrieved 12 April 2012 數學家發現了數條廣義連分數能表示 π，例如： pitextstyle cfrac 41textstyle frac 122textstyle frac 322textstyle frac 522textstyle frac 722textstyle frac 922ddots 3textstyle frac 126textstyle frac 326textstyle frac 526textstyle frac 726textstyle frac 926ddots textstyle cfrac 41textstyle frac 123textstyle frac 225textstyle frac 327textstyle frac 429ddots 近似值 圓周率近似值包括： 整數：3 分數（依準確度順序排列）：、、、、、、、、、、、、、、（選自 及 。） 小數（整數後首 80 位）：（另見 ） 其他進位制的近似值 二進位制（整數後首 48 位）： 十六進位制（整數後首 20 位）： 六十進位制（整數後首 20 位）：。克勞狄烏斯托勒密使用了 60 進位制下的三位小數去近似，隨後卡西將其擴充套件到了九位小數。參見 複數與尤拉恆等式 任何複數（以 z 為例）都可以表示為一組實數對：極座標系用實數 r 表示半徑，代表複平面上覆數 z 離原點的距離；實數 varphi 則表示夾角，即這條半徑（複平面上覆數 z 與原點的連線）與正實軸經順時針轉動的夾角。這樣一來，z 就可寫成 z rcdot cosvarphi isinvarphi，這裡 i 代表虛數單位，即 i2＝1。 複分析中，尤拉公式將三角函式與復指數函式糅合在一起： eivarphi cos varphi isin varphi，這裡數學常數是自然對數的底數。 尤拉公式確立了 e 的復指數與複平面上以原點為圓心的單位圓上的點之間的關係，而且當 varphipi 時，尤拉公式就能改寫為尤拉恆等式的形式： 。此等式亦稱 最奇妙的數學公式，全因它將五個最基本的數學常數簡潔聯絡起來 Maor Eli E The Story of a Number Princeton University Press 2009 p 160 ISBN 9780691141343 five most important constants。 尤拉等式亦可用於求出方程 zn1 的 n 個不同複數根（這些根叫做 n 次單位根），可以根據以下公式求得： e2 pi i kn qquad k 0 1 2 dots n 1。 譜特徵 常出現在有關幾何的問題中。然而，不少和幾何無關的問題也可看到的身影。 在許多用處中都會以特徵值形式出現。例如理想的問題可以建模為函式 f 在單位區間 01 的圖形，固定邊界值為 f 0f 10。弦振動的模態會是微分方程的 fn xlambda2f x0，此處是相關的特徵值。受施圖姆－劉維爾理論限制，lambda 只能是一些特定的數值。而 lambdapi 即為一個特徵值，因為函式 f xsin pi x 滿足邊界條件及微分方程 lambdapi。 是上述方程的最小特徵值，也和絃振動的有關。一種讓弦振動的方式是提供弦能量，能量會滿足維廷格函式不等式，其中提到若函式 f01rightarrow mathbb C 使得 f 0f 10，且 f 和 f 都是平方可積函式，則以下的不等式成立： pi2int_01f x2dxle int_01fx2dx 此例中等號成立的條件恰好是 f 為 sin pi x 倍數的時候。因此似乎是維爾丁格不等式的最佳常數，也是最小的特徵值（根據雷利商數的計算方式） 在更高維度的分析也有類似的角色，出現在其他類似問題的特徵值中。就如以上所述，的一項特點是等周定理中的最佳常數：周長為 P 的平面若爾當曲線，所圍面積 A 滿足以下的不等式 4pi Ale P2， Api r2 及 P2pi r，故等號成立的條件是曲線為圓形。 圓周率也和龐加萊不等式的最佳常數有關，Chapter 7，是一維及二維的特徵向量最佳值中最小，會出現在許多經典的物理現象中，例如經典的位勢論。其一維的情形即為維廷格不等式。 圓周率也是傅立葉變換的重要常數，傅立葉變換屬於積分變換，將實數線上有複數值、可積分的函式，轉換為以下形式： hat fxi int_inftyinfty f x e2pi i xxidx 傅立葉變換有幾種不同的寫法，但不論怎麼寫，傅立葉變換及反傅立葉變換中，一定會有某處出現。不過上述的定義是最經典的，因為其描述了空間中唯一的么正算符，也是 L1 空間到 Linfty 空間的代數同態。 不確定性原理也用到。不確定性原理提出了可以將函式在空間及在頻域中區域性化程度的下限，用傅立葉轉換的方式表示： int_inftyinfty x2f x2dx int_inftyinfty xi2hat fxi2dxige left frac 14piint_inftyinfty f x2dxright2。 物理的結果，有關量子力學中同時觀測位置及動量的不確定性，見下文。傅立葉分析中出現是的結果，證實了海森伯群的是唯一。 高斯積分 高斯積分是對高斯函式 ex2 在整條實軸上的積分，即函式下方與 X 軸圍成的面積，其結果為 sqrt pi， int_inftyinfty ex2 dxsqrt pi 此積分的計算可以先計算 f xex2 對整條實軸的積分的平方，透過轉換笛卡爾座標系為極座標系從而求得 left int_inftyinfty ex2 dx right2 iint_mathbf R2 ex2y2dxdy int_02pi int_0infty er2 rdrdtheta pi 其他計算方法可參閱高斯積分。高斯函式更一般的形式為 f xaexp frac xb22c2，求一般形式的高斯積分均可透過換元積分法轉化為求 f xex2 的積分。 另外，當高斯函式為以下形式時，它則是平均數為 mu 和標準差為 sigma 的正態分佈的機率密度函式： f x 1 over sigmasqrt 2pi exp frac xmu22sigma2 這函式是機率密度函式，函式下方與 X 軸圍成的面積必須為 1，令 mu0 和 sigma1 即可變換得出 int_inftyinfty ex2 dx sqrt pi。機率論與統計學領域經常使用正態分佈來作為複雜現象的簡單模型：例如科學家通常假設大多數試驗觀測值的隨機誤差都是服從正態分佈 Feller W An Introduction to Probability Theory and Its Applications Vol 1 Wiley 1968 pp 174190。 機率論與統計學中的中心極限定理解釋了正態分佈以及的核心作用，這定理本質上是聯絡著的譜特徵與海森堡不確定性原理相關的特徵值，並且在不確定性原理中有 sigma_xsigma_p geq hbar2， 這裡的 sigma_x 與 sigma_p 分別為位置與動量的標準差，hbar 是約化普朗克常數，而不等式的等號當且僅當粒子的波函式為高斯函式使成立；Section 27。 同樣地，作為唯一獨特的常數使得高斯函式等於其自身的傅立葉變換，此時的高斯函式形式為 f xepi x2 Theorem 113。根據豪的說法，建立傅立葉分析基本定理的 全部工作（whole business） 簡化為高斯積分。 歷史 遠古時期 圓周率在遠古時期（西元前一千紀）已估算至前兩位（31）。有些埃及學家聲稱，遠至古王國時期時期的古埃及人已經用 frac 227 作為圓周率的約數 Petrie WMF Wisdom of the Egyptians 1940，但這說法受到質疑。Rossi Corinna Architecture and Mathematics in Ancient Egypt Cambridge University Press 2007 ISBN 9780521690539Legon J A R On Pyramid Dimensions and Proportions 1991 Discussions in Egyptology 20 第 2534 頁 We can conclude that although the ancient Egyptians could not precisely define the value of in practice they used it ，第 70 頁。，第 30 頁。參見。參見 Egyptologist Rossi Corinna Architecture and Mathematics in Ancient Egypt Cambridge University Press 2004 第 6070 頁，200 ISBN 9780521829540 對此的懷疑： The Skeptic Encyclopedia of Pseudoscience ABCCLIO 2002 第 407408 頁，ISBN 9781576076538 參見 Fagan Garrett G Archaeological Fantasies How Pseudoarchaeology Misrepresents The Past and Misleads the Public Routledge 2006 ISBN 9780415305938 若需要一個沒有參與的解釋的列表，請見 最早有記載的對圓周率估值在古埃及和巴比倫出現，兩估值都與圓周率的正確數值相差不到百分之一。巴比倫曾出土一塊西元前 1900 至 1600 年的泥板，泥板上的幾何學陳述暗示人們當時把圓周率視同 frac 258（等於 3125）。埃及的萊因德數學紙草書（鑑定撰寫年份為西元前 1650 年，但抄自一份西元前 1850 年的文字）載有用作計算圓面積的公式，該公式中圓周率等於 frac 1692（31605）。 西元前 4 世紀的《》的天文學運算把 frac 339108（3139，精確到 9991）用作圓周率估值 Chaitanya Krishna A profile of Indian culture Indian Book Company 1975 第 133 頁。。西元前 150 年前其他印度文獻把圓周率視為 sqrt 10（31622）。 割圓時代 第一條有紀錄、嚴謹計算數值的演演算法是用正多邊形的幾何演算法，在西元前 250 年由希臘數學家阿基米德發明。這演算法用了有一千年之久，因而有時亦稱阿基米德常數。阿基米德的演算法是在計算圓的外切正六邊形及內接正六邊形的邊長，以此計算的上限及下限，之後再將六邊形變成十二邊形，繼續計算邊長，一直計到正 96 邊形為止。他根據多邊形的邊長證明 frac 22371pifrac 227（也就是 31408pi31429）。阿基米德得到的上限 frac 227 也造成常見誤解，認為就等於 frac 227。在西元前 150 年，希臘羅馬的科學家克勞狄烏斯托勒密在《天文學大成》一書中提到的數值是 31416，可能來自阿基米德，也可能來自阿波羅尼奧斯。數學家在 1630 年利用多邊形的方式計算到第 39 位小數，一直到 1699 年，其他數學家才利用無窮級數的方式打破其紀錄，計算到第 71 位小數 Grienberger 在 1630 年已計算到 39 位小數，Sharp 在 1699 年計算到 71 位小數。 中國歷史上，的數值有 3《周髀算經》注中， 趙爽指出「圓徑一而週三，方徑一而匝四」。、31547（西元前一世紀）、sqrt 10（西元前 100 年，數值約 31623）及 frac 14245（第三世紀，數值約 31556）。大約在西元 265 年，曹魏數學家劉徽創立割圓術，用正 3072 邊形計算出的數值為 31416。他後來又發明瞭較快的演算法，利用邊數差兩倍的正多邊形，其面積的差值會形成等比數列，其公比為 frac 14 的原理，配合 96 邊形算出 π 的值為 314。祖沖之在西元 480 年利用割圓術計算 12288 邊形邊長，得到 π 的值在 31415926 和 31415927 之間。他同時提出了 π 的約率 frac 227 和密率 frac 355113。在之後的八百年內，這都是最準確的估計值。為紀念祖沖之對圓周率發展的貢獻，日本數學家三上義夫將這推算值命名為 祖沖之圓周率，簡稱 祖率。 印度天文學家阿耶波多在西元 499 年的著作《阿里亞哈塔曆書》中使用了 31416 的數值。斐波那契在大約 1220 年用獨立於阿基米德多邊形法，計算出 31418。義大利作家但丁阿利吉耶裡用的數值則是 3frac sqrt 210approx 314142。 波斯天文學家卡西在 1424 年利用 3228 邊的多邊形，計算到六十進位制的第 9 位小數，相當十進位制的第 16 位小數。這一突破成為當時的紀錄，延續了約 180 年。法國數學家弗朗索瓦韋達在 1579 年用 3217 邊形計算到第 9 位小數，佛蘭芒數學家阿德里安範羅門在 1593 年計算到第 15 位小數。荷蘭數學家魯道夫範科伊倫在 1596 年計算到第 20 位小數，他之後又計算到第 35 位小數（因此在二十世紀初之前，圓周率在德國會稱為魯道夫數）。荷蘭科學家威理博司乃耳在 1621 年計算到第 34 位小數，而奧地利天文學家在 1630 年用 1040 邊形計算到第 38 位小數。其計算結果是 314159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 314159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199，至今這仍是利用多邊形演算法可以達到最準確的結果。 無窮級數 16 及 17 世紀時，開始改用無窮級數的方式去計 π。無窮級數是一組無窮數列的和。無窮級數讓數學家可以計算出比阿基米德以及其他用幾何方式計算的數學家更準確的結果。雖然詹姆斯格雷果裡及戈特弗裡德萊布尼茨等歐洲數學家利用無窮數列計算而使得該方法為大家所知，但這種方法最早是由印度科學家在大約 1400 到 1500 年之間發現。第一個記載用無窮級數計算的人是約西元 1500 年左右時，印度天文學家在他的著作《》中用梵語詩所記錄。當時沒有這數列對應的證明，而證明出現在另一本較晚的印度作品《》，年代約在西元 1530 年。尼拉卡莎將該數列歸功於更早期的印度數學家（13501425）。相關的無窮級數有許多，包括有關 sin、tan 及 cos 的，現在稱為或 π 的萊布尼茨公式。瑪達瓦在 1400 年用無窮級數計算到第 11 位小數，但在 1430 年一位波斯數學家卡西利用多邊形演算法否定了他算的結果。 歐洲發現的第一條無窮項圓周率公式是無窮乘積（和一般用來計算的無窮級數不同），由法國科學家弗朗索瓦韋達在 1593 年發現： frac2pi frac sqrt2 2 cdot frac sqrt 2sqrt2 2 cdot frac sqrt 2sqrt 2sqrt2 2 cdots 約翰沃利斯在 1655 年發現了沃利斯乘積，是歐洲發現的第二條無窮項圓周率公式： frac pi2 frac 21 cdot frac 23 cdot frac 43 cdot frac 45 cdot frac 65 cdot frac 67 cdot frac 87 cdot frac 89 cdots 微積分學由英國科學家艾薩克牛頓及德國數學家戈特弗裡德萊布尼茨在 1660 年代發明，許多計的無窮級數出現。牛頓自己就用反正弦（arcsin）數列在 1655 年或 1666 年將近似到第 15 位小數，後來寫到「我很羞愧告訴你我為了計算它用了多少數字，我當時沒有做其他事。」。牛頓由 Arndt 引用。 蘇格蘭數學家詹姆斯格雷果裡在 1671 年發現了馬德哈瓦公式，萊布尼茨也在 1674 年發現： arctan z z frac z3 3 frac z5 5 frac z7 7 cdots 這公式即為格雷果裡－萊布尼茨公式，在 z1 時數值為 frac pi4。1699 年時英國數學家亞伯拉罕夏普用格雷果裡－萊布尼茨公式，在 zfrac 1sqrt 3 時計算，計算到 π 的第 71 位小數，打破由多邊形演算法得到的第 39 位小數的記錄。格雷果裡－萊布尼茨公式在 z1 時非常簡單，但收斂到最終值的速度非常慢，現在不會再用此公式來計 π。 約翰梅欽在 1706 年用格雷果裡－萊布尼茨級數產生了可以快速收斂的公式： frac pi4 4 arctan frac 15 arctan frac 1239 梅欽用這公式計到 π 第 100 位小數後來其他數學家也發展了一些類似公式，現在稱為梅欽類公式，創下了許多計算 π 位數的紀錄。在進入電腦時代時，梅欽類公式仍然是耳熟能詳可以計算 π 的公式，而且在約 250 年的時間裡，很多有關 π 位數的紀錄都是梅欽類公式所得，比如在 1946 年時由達尼爾弗格森用這類公式計到第 620 位小數，是沒有計算裝置輔助的最佳紀錄。 1844 年，計算天才在德國數學家卡爾弗里德里希高斯的要求下以梅欽類公式心算了 π 的 200 位小數，並創下紀錄。英國數學家花了 15 年的時間計算到小數 707 位，不過第 528 位小數出錯，後面的小數也都不正確。 收斂速度 有些的無窮級數收斂的比其他級數要快，數學家一般會選用收斂速度較快的級數，可以在較少的計算量下計算 π，且達到需要的準確度。以下是的萊布尼茨公式： pi frac 41 frac 43 frac 45 frac 47 frac 49 frac 411 frac 413 cdots 隨著一項一項的值加入總和中，只要項次夠多，總和最後會慢慢接近 π。不過此數列的收斂速度很慢，要到 50 萬項之後，才會精確到 π 的第五位小數。 尼拉卡莎在 15 世紀發展了 π 的另一條無窮級數，收斂速度比格雷果裡－萊布尼茨公式快很多： formula 1610 Note that n 1 n n 1 n3 n pi 3 frac 42times3times4 frac 44times5times6 frac 46times7times8 frac 48times9times10 cdots 以下比較兩條級數的收斂速率： π 的無窮級數 第 1 項 前 2 項 前 3 項 前 4 項 前 5 項 收斂到 pi frac 41 frac 43 frac 45 frac 47 frac 49 frac 411 frac 413 cdots 40000 26666 34666 28952 33396 31415 pi 3 frac 42times3times4 frac 44times5times6 frac 46times7times8 cdots 30000 31666 31333 31452 31396 31415 計算前五項後，格雷果裡－萊布尼茨級數的和跟 π 的誤差為 02，而尼拉卡莎級數和的誤差為 0002。尼拉卡莎級數收斂快很多，也甚為適合用來計 π 的值。收斂更快的級數有梅欽類公式及楚德諾夫斯基演算法，後者每計一項就可以得到 14 位正確的小數位。 無理與超越性 並非所有和 π 有關的研究都旨在提高計算它的準確度。1735 年，尤拉解決了巴塞爾問題，建立了所有平方數倒數和與 π 的關係。之後尤拉發現了尤拉乘積公式，得到了 π、素數的重要關聯，對日後黎曼 ζ 函式的研究影響深遠。 frac pi26 frac 112 frac 122 frac 132 frac 142 cdots 1761 年，瑞士數學家約翰海因裡希朗伯用正切函式的無窮連分數表示式證明了 π 是無理數。Lambert Johann Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques reprinted in 1794 年，法國數學家阿德里安－馬裡勒讓德證明了 pi2 也是無理數。1882 年，德國數學家費迪南德馮林德曼證明了對任何非零代數數 alpha，ealpha 都是超越數，該結論後來由魏爾斯特拉斯推廣為林德曼－魏爾斯特拉斯定理。據此定理和尤拉公式，π 只能是超越數，進而證實了勒讓德和尤拉提出的 π 超越性猜想。Hardy and Wright 1938 and 2000177 footnote 111314 references Lindemanns proof as appearing at Math Ann 20 1882 21325 哈代在其著作《數論導引》中則稱此證明在提出後，經過希爾伯特、施瓦茲和其他一些人化簡過。cf Hardy and Wright 1938 and 2000177 footnote 111314 The proofs that e and π are transcendental can be found on pages 170176 They cite two sources of the proofs at Landau 1927 or Perron 1910 see the List of Books at pages 417419 for full citations 引入符號 在用專指 圓周率 之前，希臘字母即已用於幾何概念中。威廉奧特雷德在 1647 年起在《數學之鑰》（Clavis Mathematicae）就已經用及 delta（對應 p 和 d 的希臘字母）來表示圓的周長及直徑的比例。 威廉瓊斯在他 1706 年出版的《新數學導論》提到了，是目前已知最早專門用希臘字母表示圓周和其直徑比例的人 A facsimile of Jones text is in 。這希臘字母第一次出現是在書中討論一塊半徑 1 的圓時提到「其圓周長一半」。瓊斯選用可能因它是希臘文 周邊 一詞 的首字母參考： 威廉奧特雷德用字母來表示一個圓的周長。不過瓊斯提到，他那些有關的算式出自「真正聰明的約翰梅欽先生」，人們推測在瓊斯之前，約翰梅欽就已開始用表示圓周率。 瓊斯在 1706 年開始使用此希臘字母，但直到萊昂哈德尤拉在其 1736 年出版的《》中開始使用之後，其他數學家才紛紛開始用指代圓周率。在此之前，數字家可能用像 c 或 p 之類的字母代表圓周率。尤拉與歐洲其他數學家間時常互相寫信來往，的用法迅速傳播開來。1748 年尤拉在他的《無窮小分析引論》再一次提到了，寫道：「簡潔起見，我們將此數字寫為，等於半徑為 1 的圓周長的一半。」這表示方式之後也推展到整片西方世界。 現代數值近似 計算機時代與迭代演算法 二十世紀中期計算機技術發展、革新再次引發了計算位數的熱潮。美國數學家約翰倫奇及李維史密斯在 1949 年用桌上型計算機計算到 1120 位。同年，喬治韋斯納（George Reitwiesner）及約翰馮諾伊曼帶領的團隊利用反三角函式（arctan）的無窮級數，用 ENIAC 計算到了小數後 2037 位，花了 70 小時的電腦工作時間。參見 。這紀錄後來多次由其他透過 arctan 級數計算出的結果打破（1957 年到 7480 位小數，1958 年到第一萬位數，1961 年到第十萬位小數），直到 1973 年，小數點後第一百萬位小數經已算出。 1980 年代有兩項發明加速計算了 π。第一項是發現了新的迭代法去計的值，計算速度比無窮級數快很多；另一項是發現了可以快速計算大數字乘積的乘法演演算法。電腦大部分的工作時間都是在計乘法，這類演演算法對現代計格外重要。這類演演算法包括嘉良對馬（Karatsuba）演算法、譚曲（Toom－Cook）乘法及以傅立葉變換為基礎的乘法演演算法（傅立葉乘法）。 迭代演演算法最早是在 1975 年至 1976 年間分別由美國物理學家及奧地利科學家獨立提出。這兩條演演算法沒有依賴無窮級數來計算。迭代會重覆特定計算，將前一次的計算結果作為這一次的輸入值，使得計算結果漸漸的趨近理想值。此方式的原始版本其實是在 160 年前由卡爾弗里德里希高斯提出，現在稱為算術－幾何平均數演算法（AGM 法）或高斯－勒讓德演算法。薩拉明及布蘭特都曾修改之，這演算法也稱為薩拉明－布蘭特演演算法。 迭代演演算法收斂速度比無窮級數快很多，在 1980 年代以後廣為使用。無窮級數隨著項次的增加，一般來說正確的位數也會增加幾位，但迭代演演算法每計算多一次，正確位數會呈幾何級數增長。例如薩拉明－布蘭特演演算法每計算多一次，正確位數會是之前的二倍。1984 年加拿大人及提出迭代演演算法，每計算多一次，正確位數會是之前的四倍，1987 年時有另一條迭代演演算法，每計算多一次，正確位數會是之前的五倍。具體演算法情參見。。日本數學家金田康正使用的演演算法在 1955 年及 2002 年間創下了若干項紀錄。不過迭代演演算法的快速收斂也有其代價，需要的記憶體明顯比無窮級數多。 計算 π 的意義 一般而言，π 值並不需要過於精確便能夠滿足大部分數學運算的需求。按照約安（Jörg Arndt）及古里斯佗夫希奴的計算，39 位精確度已可將可觀測宇宙圓周的精確度準確至一粒原子大小，足以運算絕大多數宇宙學的計算需求 39 digits of are sufficient to calculate the volume of the universe to the nearest atom（中文：39 位已足以計算宇宙到其最近的原子的體積了。）鑑於人們需要一些額外的數位來解決捨入誤差的問題，阿恩特稱幾百位小數足以應付任何科學計算。。儘管如此，和 π 有關的成就往往成為世界各地的新聞頭條；部分人出於對破紀錄的衝動，依然奮力算出 π 小數點後上千甚至上百萬位。此外也有測試超級計算機、測試數值分析演算法（包括）等實際好處。純粹數學這領域也能計算 π 的位數評定其隨機度。 快速收斂級數 現代計算 π 的程式不僅侷限於迭代演算法。20 世紀 80 與 90 年代，出現了可用來計算 π 的新無窮級數，其收斂速度可與迭代演算法媲美，而又有著複雜度、記憶體密集度更低的優勢。印度數學家斯里尼瓦瑟拉馬努金是這方面的先驅，他在 1914 年發表了許多與 π 相關的公式，這些公式十分新穎，極為優雅而又頗具數學深度，收斂速度也非常快。下式即為一例，其中用到了模方程： frac 1pi frac 2 sqrt 29801 sum_k0infty frac 4k110326390kk4 3964k 這無窮級數收斂速度遠快於絕大多數反正切數列，包括梅欽公式。第一位使用拉馬努金公式計算 π 並取得進展的是，他在 1985 年算得了小數點後一千七百萬位。拉馬努金公式開創了現代數值近似演算法的先河，此後波爾文兄弟和進一步發展了這類演算法。後者於 1987 年提出了楚德諾夫斯基公式，如下所示： frac 1pi frac 1264032032 sum_k0infty frac 6k 13591409 545140134k3kk3 6403203k 此公式每計算一項就能得到 π 的約 14 位數值，因而用於突破圓周率的數位的計算。利用這公式，楚德諾夫斯基兄弟於 1989 年算得 π 小數點後 10 億（109）位，法布里斯貝拉於 2009 年算得 27 千億（271012）位，亞歷山大易和近藤滋在 2011 年算得一萬億（1013）位。類似的公式還有。 2006 年，加拿大數學家西蒙普勞夫利用 PSLQPSLQ 即 Partial Sum of Least Squares，偏最小二乘和。按照以下模版生成了幾條計算 π 的新公式： pik sum_n1infty frac 1nk left frac aqn1 frac bq2n1 frac cq4n1right， q 為，k 是奇數，abc 是普勞夫計算出的有理常數。 統計模擬法 統計模擬法是以機率統計理論為指導的一類非常重要的計數方法，經大量重複試驗計算事件發生頻率，按照大數定律（即當試驗次數充分大時，頻率充分接近機率）可以求得的近似值。 布芬（Buffon）投針問題就是其中一項例項：長度 l 的針隨機往畫滿間距 tleft lleq t right 的平行線的平面上拋擲 n 次， 如果針與平行直線相交 m 次，n 充分大就可根據以下公式算出的近似值： pi approx frac 2nellmt 用統計模擬法計的另一例子是隨機往內切四分之一圓的正方形內拋擲大量點，落在四分之一圓內的點的數量與拋擲點的總量的比值會近似於 frac pi4。 此外還可用隨機遊走試驗，並用統計模擬法計算值，如拋擲一枚均勻的硬幣 N 次，並記錄正面朝上的次數，所得結果中，正面朝上的次數 n_N 服從二項分佈且 Pr n_N m binom N m frac 12m frac 12Nm 因為硬幣均勻，所以次試驗中每次試驗結果相互獨立。由此可定義一系列獨立的隨機變數 X_kleft k12ldots right，當拋擲結果為正面時 X_k1 否則為 1，且 X_kpm 1 且取何值有相同機率（即，正面朝上和背面朝上的機率相同）。對隨機變數 X_kleft k12ldots N right 求和可得 W_N sum_k1N X_k 設為 硬幣正面朝上的次數 減去 硬幣反面朝上的次數，即可得到 mleft Nm rightk。變換式子，得 mfrac Nk2，因此 Pr W_N k binom N frac Nk2 frac 12N，其中 kNN2N4ldotsN2N。 可證明， E W_N 0，E W_N2 N，以及 E W_N binom Nleftlceil N2rightrceil frac leftlceil N2rightrceil2N1 begin cases frac N1N2 text 若 Ntext 偶， frac NN1 mbox 若 Nmbox 奇。 end cases 並且當 N 變大時，Eleft left vert W_N right vert right 的值會漸近於 sqrt frac 2Npi，因此當 N 充分大時可根據以下公式算出的近似值： pi approx frac 2NW_N2 和其他計算值的方法相比，蒙特卡洛方法收斂速度很慢，而且無論實驗多少次，都無從得知的估值已經精確到第幾位。因此，當追求速度或精度時，蒙特卡洛方法不適合用來估計。 閥門演算法 1995 年引入的兩條演算法開闢了研究的新途徑。因為每計算出一位數字，該數就會像流過閥門的水一樣不會再出現在後續的計算過程中，這種新進演算法叫。Gibbons Jeremy Unbounded Spigot Algorithms for the Digits of Pi 2005 Gibbons produced an improved version of Wagons algorithm 這就與無窮級數及迭代演算法形成對比 無窮級數和迭代演算法自始至終的每一步計算都會涉及到之前所有步驟計算出的中間值。 1995 年，美國數學家和斯坦利拉比諾維茨發明了一種簡單的閥門演算法 A computer program has been created that implements Wagons spigot algorithm in only 120 characters of software，其運算速度類似 arctan 演演算法，但速度比迭代演算法慢。 貝利－波爾溫－普勞夫公式（BBP）是另一條閥門演算法，屬於一種。1995 年，西蒙普勞夫等人發現 pi sum_k0infty frac 116k left frac 48k 1 frac 28k 4 frac 18k 5 frac 18k 6right 這公式和其他公式不同，可以計算的任何十六進小數位，而不用計算前面全部小數位。十六進數位可計算得到特定二進數位；想要得到八進位制數位的話，計算一、兩位十六進小數即可。目前也已發現一些這種演演算法的變體，不過還沒有發現針對十進位制、可以快速生成特定小數位的位數萃取演演算法。普勞夫有找到十進位制的位數萃取演演算法，但其速度比完整計算之前所有位數要慢。。位數萃取演演算法的一項重要用途是用來確認聲稱是計算到小數位數的新紀錄：若有聲稱是新紀錄的計算結果出現，先將十進位制的數值轉換到十六進位制，再用貝利－波爾溫－普勞夫公式去確認最後一些位數（用亂數決定），若這些位數都對，就能有一定把握認為此計算結果是對的。 1998 年到 2000 年間，分散式計算計畫用貝拉公式（貝利－波爾溫－普勞夫公式的一種變體）計算第 1015 位，結果是 0Bellards formula in 。2010 年 9 月，有雅虎員工用公司的 Apache Hadoop 應用程式在上千臺電腦計算 π 在 21015 位開始往後 256 位，其第 21015 位剛好也是 0。 利用伽瑪函式計算 伽瑪函式， Gamma n n1 ，可以被用作計算圓周率。 pi Gamma frac 122 證明如下： 利用尤拉反射公式 Gamma z Gamma 1z frac pisin pi z 令 z frac 12 Gamma frac 12Gamma 1frac 12 frac pisin frac pi2 因為 sin frac pi2 Gamma frac 122 pi 用途 與圓密切相關，出現在許多幾何學和三角學的公式中（特別是與圓、橢圓和球體相關的那些）。 此外，也出現在其他學科的重要公式中，比如統計學、物理學，傅立葉分析和數論的公式。 幾何學與三角學 出現在基於圓的幾何圖形（如橢圓、球、圓錐與環面）的面積、體積公式中。下面是一些用到 π 的常見公式： 半徑 r 的圓周長 2pi r。 半徑 r 的圓面積 pi r2。 半徑 r 的球體積 frac 43pi r3。 半徑 r 的球面面積 4pi r2。 上述公式是 n 維球的體積與其邊界（（n1）維球的球面）的表面積的特殊情況，具體將在後文給出解釋。 描述由圓生成的圖形的周長、面積或體積的定積分常涉及 π。例如，表示半徑為 1 的半圓的面積的積分為 int_11 sqrt 1x2dx frac pi2 sqrt 1x2 的積分表示上半圓（此處的平方根由勾股定理得出），從 1 到 1 的積分 int x_1 可用來計算計算半圓與 軸間的面積。 三角函式要用到角，而數學家常用弧度作角度單位。π 在弧度制起重要作用，數學家將周角，即 360 度定義為 2π 度。由這條定義可得，180 度＝π 弧度，1 度＝frac pi180circ 弧度。因此，常用的三角函式的週期為的倍數；例如，正弦和餘弦週期為 π，任何角度 theta 和任何整數 k 都有 sintheta sinleft theta 2pi k right 及 costheta cosleft theta 2pi k right。 拓撲學 常數出現在將及其拓撲學聯絡起來的高斯－博內定理中。具體來說，如果緊曲面的高斯曲率為 K，那麼有 int_Sigma KdA 2pi chi Sigma， 其中 chi Sigma 是該曲面的尤拉示性數，是整數。 Chapter 6 例如，曲率為 1（也就是說其曲率半徑也為 1，對於球面而言此時的曲率半徑與半徑重合）的球面 S 的表面積。球面的尤拉特徵數可以透過其同源組計算，其結果為 2。於是，便得出 A S int_S 1dA 2picdot 2 4pi 即為半徑為 1 的球面的表面積公式。 常數還出現在拓撲學的許多其他的積分公式中，特別是那些涉及透過陳－韋伊同態的特徵類；Chapter XII Characteristic classes。 向量分析 向量分析是與向量場的性質有關的微積分的分支，並有許多物理用途，例如用在電磁學中。位於三維笛卡爾座標系原點的點源 Q 的為 H M Schey 1996 Div Grad Curl and All That An Informal Text on Vector Calculus ISBN 0393969975 V mathbf x frac k Qmathbf x 表示位於距原點 left vert boldsymbol x right vert 的單位質量（或電荷）的勢能，而 k 是維度常數。在這裡由 mathrm E 表示的場可以是（牛頓）引力場或（庫侖）電場，是位勢的負梯度： mathbf E nabla V 特殊情況有庫侖定律和牛頓萬有引力定律。高斯定律表明，透過包含原點的任何平滑、簡單、封閉、可定向曲面 S 的場的向外通量等於 4pi kQ： 標準形式會將 4pi 的這因子吸收到常數 k 中，但這種說法表明了它必須出現在 某處。此外，4pi 是單位球面的表面積，但並沒有假設 S 是球面。然而，作為散度定理的結果，由於遠離原點的區域是真空（無源的），只有 mathrm R3setminusleft 0 right 中的表面 S 的同調類與計算積分有關，因此可以由相同同調類中的任何方便的表面代替，特別是球形，因為球面座標可以用於計算積分。 高斯定律的結果之一是位勢 V 的負拉普拉斯運算元等於狄拉克 δ 函式的 4pi kQ 倍： Delta V mathbf x 4pi k Qdelta mathbf x 透過卷積就能得到物質（或電荷）的更一般分佈，給出泊松方程 Delta V mathbf x 4pi k rho mathbf x 其中 rho 是分佈函式。 常數在與愛因斯坦場方程中的四維勢起類似的作用，愛因斯坦方程是形成廣義相對論基礎的一條基本公式，並且把引力的基本相互作用描述為物質和能量引起的時空彎曲的結果：Yeo Adrian The pleasures of pi e and other interesting numbers World Scientific Pub 2006 p 21 ISBN 9789812700780 Ehlers Jürgen Einsteins Field Equations and Their Physical Implications Springer 2000 p 7 ISBN 9783540670735 R_munu frac 12 R g_munu Lambda g_munu frac 8 pi Gc4 T_munu R_mu v 是裡奇曲率張量，R 是數量曲率，g_mu v 是度量張量，Lambda 是宇宙學常數，G 是萬有引力常數，c 是真空中的光速，而 T_mu v 是應力－能量張量。愛因斯坦方程的左邊是度量張量的拉普拉斯運算元的非線性模擬，並化簡（reduce）至在弱域的極限，而右邊是分佈函式的模擬乘以 8pi。 柯西積分公式 在複分析中，沿複平面若爾當曲線的圍道積分是研究解析函式的重要手段之一。簡化版的柯西積分公式表明，對任何若爾當曲線 gamma 內任一點 z_0，以下圍道積分給出 2pi i： oint_gamma frac dzzz_0 2pi i 該命題是柯西積分定理的直接推論，後者表明上述圍道積分在圍道的同倫變換下保持不變，因而沿任一曲線的積分和沿以 z_0 為圓心的圓周積分的結果相同。更為一般地，該公式對不透過 z_0 點的任意可求長曲線都成立，但等式右邊要乘以曲線關於該點的卷繞數。 一般形式的柯西積分公式建立了全純函式 f z 在若爾當曲線 gamma 上的值與曲線內任意點 z_0 處值的關係：Joglekar S D Mathematical Physics Universities Press 2005 p 166 ISBN 9788173714221 oint_gamma f z over zz_0 dz 2pi i f z_0 柯西積分定理是留數定理的一項特例。根據留數定理，在區域內除去有限個點解析的亞純函式 g z 在邊界上的圍道積分與函式在這些點的留數之和滿足： oint_gamma g z dz 2pi i sum operatorname Resg a_k Γ 函式與斯特靈公式 階乘函式 n 的值等於所有小於等於 n 的正整數之積，它的定義域只包含非負整數。Γ 函式則是階乘的推廣。它在複平面的右半平面定義為： Gamma z int_0infty frac tz1mathrm et rm d t 再利用解析延拓可以將它的定義域擴充套件到除去非正整數的整塊複數域。當自變數 zn 取正整數時，Gamma 函式給出階乘 left n1 right；當自變數取半整數時，計算結果含有。例如 Gamma 12 sqrt pi ，Gamma 52 frac 3 sqrt pi 4 。 根據魏爾施特拉斯分解定理，Gamma 函式可分解為如下的無窮乘積： Gamma z egamma zprod_n1infty frac ezn1zn gamma 是尤拉－馬斯刻若尼常數。利用該分解公式和 Gamma 函式在 zfrac 12 的值 Gammaleft frac 12 right 2pi，亦可以證明沃利斯乘積式。Gamma 函式和黎曼 ζ 函式、的恆等式存在關聯，其中扮演著重要的角色。 Gamma 函式常用於計算 n 維歐氏空間中 n 維球的體積和 n 維球面的表面積。對 n 維歐氏空間中半徑為 rn 維球，其體積 V_n r 和表面積 S_n1r 滿足：。 V_n r frac pin2Gamma frac n21 rn S_n1r frac npin2Gamma frac n21 rn1 兩者還滿足如下的關係式： 2pi r frac S_n1rV_n r 當 n 很大，用 Gamma 函式可得到階乘 n 的近似公式 n sim sqrt 2 pi n left frac nerightn，稱斯特靈公式，等價於： pi lim_ntoinfty frac e2n n22 n2n1 斯特靈近似的幾何應用之一是。將 n 維歐幾里得空間的單純形記作 Delta_n，left n1 rightDelta_n 則表示該單純形的所有面擴大 n1。於是 operatorname Voln1Delta_n frac n1nn sim frac en1sqrt 2pi n 這是僅含一點晶格點之凸體體積的（最佳）上界。 數論與黎曼 ζ 函式 黎曼 ζ 函式 zeta s 在數學的許多領域均有應用。當自變數 s2 ，可寫作 zeta 2 frac 112 frac 122 frac 132 cdots 找到這無窮級數的解析解是數學界著名的 巴塞爾問題。1735 年，尤拉解決了這問題，他得到該無窮級數等於 frac pi26。尤拉的結論可推匯出數論中一項結果，即兩隨機整數互質（無公因數）的機率為 frac 6pi2 此理論由 Ernesto Cesàro 於 1881 年證明 For a more rigorous proof than the intuitive and informal one given here see Hardy G H An Introduction to the Theory of Numbers Oxford University Press 2008 ISBN 9780199219865 theorem 332。整數可由質數 p 整除的機率為 frac 1p2（例如，連續 7 個正整數只有一個可以 7 整除），任取兩隨機整數都能以質數 p 整除的機率為 frac 1p2，至少有一數不能整除的機率則為 1frac 1p2。又，一隨機整數能否以兩不同質數整除是相互獨立事件，兩隨機整數互質的機率可以表示成關於所有質數 p 的無窮乘積 Ogilvy C S Anderson J T Excursions in Number Theory Dover Publications Inc 1988 pp 2935 ISBN 0486257789 begin align prod_pinfty left 1frac 1p2right left prod_pinfty frac 11p2 right1 frac 11 frac 122 frac 132 cdots frac 1zeta 2 frac 6pi2 approx 61 end align 這結論可結合隨機數生成器，用統計模擬法計的近似值。 巴塞爾問題的結論意味著幾何匯出量的數值與質數的分佈有著深刻的關聯。巴塞爾問題是谷山－志村定理的一種特殊情況，是的一項特例，即猜想一個這種形式的算術量關於所有質數 p 的無窮乘積能夠等於一個幾何量 某體積的倒易。巴塞爾問題中，這空間是。 zeta 函式同樣滿足黎曼方程的公式，其中用到了和伽瑪公式： zeta s 2spis1 sinleft frac pi s2right Gamma 1s zeta 1s 除此之外， zeta 函式導數也滿足 exp zeta0 sqrt 2pi 最終的結果是可以從諧振子中求得。這泛函行列式可以無窮乘積展開式計算，而且這種方法等價於沃利斯乘積公式。這種方法可用於量子力學，尤其是玻爾模型中的變分。 傅立葉級數 週期函式的傅立葉級數很自然出現了。週期函式即實數的小數部分所構成群 Tfrac RZ 上的函式。傅立葉分解指出，T 上的復值函式 f 可表示為無窮多個 T 的的線性疊加之和。也就是說，T 到圓群 U 1（模為 1 的複數組成的乘法群）的對映是連續群同態。T 的特徵都有 e_n x e2pi i n x 的形式，是一條定理。 T 有唯一的特徵值，直到複共軛，那是一群同態。在圓群用哈爾測度，常數是這特徵值的拉東－尼科迪姆導數值的一半。其他的特徵值的導數值為 2pi 的正整數倍。因此，常數是獨特的數字，以至於配備了其哈爾測度的群 T，有對於 2pi 整數倍的點陣的龐特里亞金對偶性；Chapter 4。這是的一維版本。 模形式與函式 常數與模形式和 Θ 函式密切相關 比如，橢圓曲線中的就很大程度涉及楚德諾夫斯基演算法（一種快速計算的方法）。 模形式是以在上半平面的全純函式的在 SL_2 mathbb Z（或其子群，SL_2 mathbb Z 是 SL_2 mathbb R 的一格）下的變換特性歸納。Θ 函式便是一例： theta ztau sum_ninftyinfty e2pi i nz ipi n2tau 它是一種名為的模形式，有時以 qepi i tau 表達。 常數是特殊常數，它會使雅可比 Theta 函式形成自守形式，即該函式會以特定方式變換。有若干恆等式在所有自守形式下成立。，例如： theta ztautau epi itau 2pi i ztheta ztau 它使得 theta 必然在離散海森伯群下以表示（representation）變換。一般模形式和其他 Theta 函式也包含，這也是根據。 柯西分佈與位勢論 積分 int_inftyinfty frac 1x21 dx pi，柯西分佈 g xfrac 1picdotfrac 1x21 是機率密度函式，總機率等於 1。 柯西分佈的夏農熵等於 log 4pi，也含。 柯西分佈在位勢論中扮演著重要的角色因為它是最簡單的和與在半平面上做布朗運動相關聯的經典泊松核。以及希爾伯特變換與泊松核的漸近線有關。希爾伯特變換 H 是由奇異積分的柯西主值給出的積分變換 Hf t frac 1piint_inftyinfty frac f xxt。 常數是唯一的（正）歸一化因子因此 H 定義了一個在實數軸上的平方可積分實值函式的希爾伯特空間上的 。 和傅立葉變換一樣，希爾伯特變換就其在希爾伯特空間 L2 R 的變換特性而言可以完全特徵化。直到歸一化，它是唯一的與正膨脹對易且與實數軸的所有反射反對易有界線性運算元；Chapter II。常數是唯一能使這變換么正的歸一化因子。 複變動態系統 大衛波（David Boll）在 1991 年發現在曼德博集合分形也有出現。他檢查在曼德博集合在 0750 位置的特性。若考慮坐標在「頸部」075varepsilon 的點，而 varepsilon 趨近零，在發散之前迭代的次數和 varepsilon 相乘，會趨近。若是在右側尖點處附近的點 025varepsilon 也會有類似的特性：在發散之前迭代的次數和 varepsilon 的平方根相乘，也會趨近 Peitgen HeinzOtto Chaos and fractals new frontiers of science Springer 2004 pp 801803 ISBN 9780387202297。 數學之外的 描述物理現象 與圓以及球座標系關係密切，即使不是物理常數，也常出現在描述宇宙的基本原則方程中。比方說，經典力學領域的簡單公式給出長 L 的單擺小幅擺動的近似週期 T approx 2pi sqrtfrac Lg，g 為地球引力加速度常數。Halliday David Resnick Robert Walker Jearl Fundamentals of Physics 5th Ed John Wiley Sons 1997 p 381 ISBN 0471148547 海森堡不確定性原理是量子力學的基本公式，表明測量粒子時，其位置不確定度（Delta x）與動量不確定度（Delta p）不可能同時達到任意小（h 為普朗克常數）： Delta x Delta p ge frac h4pi。 近似三這特性，和電子偶素的半衰期相對較長有密切的聯絡。其半衰期的倒數和精細結構常數 alpha 的關係為 C Itzykson JB Zuber Quantum Field Theory McGrawHill 1980frac 1tau 2frac pi2 99pi malpha6，m 為電子質量。 許多結構工程的公式也有，例如尤拉推導的挫曲公式說明瞭長度為 L、截面二次軸矩為的細長形物體，在不挫曲的條件下可以承受的最大軸向負載 FLow Peter Classical Theory of Structures Based on the Differential Equation CUP Archive 1971 pp 116118 ISBN 9780521080897： F frac pi2EIL2 流體動力學的斯托克斯定律中也有。斯托克斯定律是半徑約為 R 的小球體在黏度 eta 的流體中以速度 v 運動時會受到的阻力滿足 Batchelor G K An Introduction to Fluid Dynamics Cambridge University Press 1967 p 233 ISBN 0521663962： F 6 pi eta R v 在理想狀態下，河的曲折程度（河道本身的長度與源頭到入海口的比值）隨著時間的推移逐漸趨向於。河流外邊緣的快速水流彎曲會使河流內邊緣加倍侵蝕，河道變得更彎曲，整條河彎折更厲害。然而，這股彎折勁兒最終會導致河流折回一開始彎折的地方，導致 短路，並形成河跡湖。這兩種相反因素使河道長度與源頭到入海口的比值的平均值為。 的記憶技巧 π 文字學（或譯作圓周率的語言學）是指記住的大量位值，並將其世界紀錄載於健力士世界紀錄大全的做法。維爾美拿（Rajveer Meena）於 2015 年 3 月 21 日在印度於 9 小時 27 分鐘內背誦了 7 萬位的，創下健力士世界紀錄大全認證的世界紀錄。2006 年，日本退休工程師原口證在千葉縣於官員見證下背誦了十萬位小數，但他未獲健力士世界紀錄大全認證。 常用於記憶的一項技巧是背誦以單詞長度代表數值的故事或詩歌：第一單詞有三字母，第二單詞有一字母，第三單詞有四字母，第四單詞有一字母，第五單詞有五字母，如此類推。早期例子是英國科學家詹姆士金斯設計的詩歌：「」這類詩歌有時在英文中稱為「」。除了英文，用於記憶的詩歌亦有不同語言的版本。但是，記憶的人一般並不以詩歌記憶來創下紀錄，而是用如記憶數字規律或的方法。 有好幾位作家仿照上述記憶技巧，用的數值創作了新型的方式，當中單詞長度須符合的數值。《》以上述技巧包含了前 3835 位的值，一本標準長度的書《Not a Wake》有一萬單詞，其中各單詞亦代表了的一位。 大眾文化 也許因為的公式很簡短而且四處可見， 比其他數學常數在流行文化中更常見。 在 2008 年由英國公開大學及英國廣播公司聯合製作的記錄片《》於 2008 年十月由英國廣播公司第四臺播放。影片講述了英國數學家馬庫斯杜索托伊在到訪印度研究當地三角學的貢獻時，展示出歷史上最精確的計算公式的資訊圖形。 showing a visualization of the historically first exact formula starting at 35 min and 20 sec into the second part of the documentary 巴黎的科學博物館發現宮有間圓形房間叫「房」，牆上刻有的 707 位數，數字貼在圓頂狀的天花板上，由大型的木製字元組成。數值是 1853 年由英國數學家計算出來，但是該結果於第 528 位後開始出現謬誤，在 1946 年發現，1949 年修正。 卡爾薩根的小說《接觸未來》中則暗示說，宇宙的創造者在的數字中暗藏了一則資訊。這部分情節在改編的電影《超時空接觸》中省略。的數字也用在凱特布希所出的專輯中的《Pi》的歌詞裡。 美國人在 3 月 14 日慶祝圓周率日，此節日在學生中很流行。一些自稱 數學極客 的人常常用與其數位來創作一些數學或技術圈內人士才能領會到的笑話。麻省理工學院則有幾句包含 314159 的大學。2015 年的圓周率日格外重要，按照美式寫法，當天的日期時間 31415 92653 較其他圓周率日包含更多位數的。 在北電網路於 2011 年舉行的技術專利拍賣會上，谷歌用了一些包含在內的數學或科學常數來競價。 在 1958 年，提議將換成（tau）以便簡化公式。tau 在此定義為的兩倍。然而，沒有任何其他作者曾這樣使用過 tau。有些人使用不同的值，tau2pi6283185ldots。Sequence 這些人稱 tau 不論是作為弧度制下圓周長的 1 轉還是作為弧長與半徑的比值（而不是與直徑的比值）都比自然，也能因此簡化許多公式。有媒體報道稱，因為 tau 的值大小約為 628，現已有人在 6 月 28 日慶祝 tau 節，並吃 兩個派；然而，主流數學界還並未使用 tau。 1897 年，有業餘美國數學家試圖藉印第安納州議會來透過後世所謂印第安納圓周率法案的法案。這法案試圖以法律命令強制規定數學常數之值而臭名遠播。該法案描述化圓為方的方法，並間接提到了的錯誤值，例如 32。該法案通過了印第安納州眾議院的表決，但參議院否決之。 註釋 參考資料 書籍 English translation by Catriona and David Lischka English translation by Stephen Wilson httpwwwjstororgdiscover1023073029284sid21105295462031uid2uid4 issue 3 JanFeb issue 4 MarApr issue 5 MayJun 引用 延伸閱讀 Chudnovsky David V and Chudnovsky Gregory V Approximations and Complex Multiplication According to Ramanujan in Ramanujan Revisited GE Andrews et al Eds Academic Press 1988 pp 375396 468472 Cox David A The ArithmeticGeometric Mean of Gauss L Ensignement Mathematique 30 1984 275330 Delahaye JeanPaul Le Fascinant Nombre Pi Paris Bibliothèque Pour la Science 1997 ISBN 2902918259 Euler Leonhard On the Use of the Discovered Fractions to Sum Infinite Series in Introduction to Analysis of the Infinite Book I translated from the Latin by J D Blanton SpringerVerlag 1964 pp 137153 Hardy G H and Wright E M An Introduction to the Theory of Numbers first published 1938 fifth Edition 1979 with additions 2000 Clarendon Press Oxford UK Heath T L The Works of Archimedes Cambridge 1897 reprinted in The Works of Archimedes with The Method of Archimedes Dover 1953 pp 9198 Huygens Christiaan De Circuli Magnitudine Inventa Christiani Hugenii Opera Varia I Leiden 1724 pp 384388 Niven Ivan A Simple Proof that pi Is Irrational Bulletin of the American Mathematical Society 537 July 1947 507 Ramanujan Srinivasa Modular Equations and Approximations to π Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics XLV 1914 350372 Reprinted in GH Hardy PV Seshu Aiyar and B M Wilson eds Srinivasa Ramanujan Collected Papers 1927 reprinted 2000 pp 2329 Contributions to Mathematics Chiefly of the Rectification of the Circle to 607 Places of Decimals 1853 pp ixvi 10 Tropfke Johannes Geschichte Der ElementarMathematik in Systematischer Darstellung The history of elementary mathematics BiblioBazaar 2009 reprint ISBN 9781113085733 Viete Francois Variorum de Rebus Mathematicis Reponsorum Liber VII F Viete Opera Mathematica reprint Georg Olms Verlag 1970 pp 398401 436446 Is Pi Normal The Mathematical Intelligencer 73 1985 6567 Wallis John Arithmetica Infinitorum sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum Quadratum aliaque difficiliora Matheseos Problemata Oxford 16556 Reprinted in vol 1 pp 357478 of Opera Mathematica Oxford 1693 Zebrowski Ernest A History of the Circle Mathematical Reasoning and the Physical Universe Rutgers University Press 1999 ISBN 9780813528984 外部連結 Wolfram Mathworld 上的「Pi」 Wolfram Alpha 上的 Representations of Pi Pi 搜尋引擎 ：可搜尋、和的 20 億位 Demonstration by Lambert 1761 of irrationality of online and analyzed BibNum PDF 尋找 π 值的計畫 前 12 百萬位中的部分資料 將 π 前一萬位化作音樂旋律 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