自然界出現的許多現象都可以在統計平均意義上很好的表現出來。例如，氣象學中的氣溫與氣壓的變動等，均可以以統計的方式表示為隨機過程。在電阻器和電子裝置中生成的熱噪音電壓，也是被抽象為隨機過程模型的物理訊號的例子。由於這些訊號為隨機訊號，我們必須採用一種統計觀點來處理隨機訊號的平均特徵。特別的是隨機訊號的自相關函式很適合用於代表時域中的隨機訊號，並且自相關函式的傅立葉轉換可生成功率譜密度，也可提供時域到頻域的轉換。 基於有限長訊號觀察的功率譜估計 對於有限時間長度的訊號，資料序列的有限記綠長度是對功率譜估計 power spectrum estimation 的主要限制。當處理統計平穩訊號時，資料記錄越長，可從資料提取的訊號估計就越好。另一方面若訊號統計是非平穩的，我們不能選擇任意長度記綠對譜進行估計，在這種情況下我們選擇的資料記綠長度是由訊號統計上的時變速度決定的。最後我們要選擇盡可能短且能解析不同訊號分量譜特徵的資料記綠，所表現的這些訊號分量具有相近空間譜。對基於有限長度資料記綠的古典功率譜估計方法，所面臨的問題之一是我們試圖要估計出的譜會有失真。這一問題無論在確定性訊號的譜計算方面還是在隨機訊號的功率譜估計方面都會遇到，既然很容易觀察到有限長度資料記錄對確定性訊號的效應，我們就先考察確定性訊號的情況然後再討論隨機訊號及其功率譜估計。 能量密度譜計算 考慮有限長度資料序列確定性訊號的譜計算，可參見：功率譜密度。 隨機訊號的自相關和功率譜估計：週期圖 有限能量訊號可進行傅立葉轉換，並在譜域用它們的能量密度譜來表現。另一方面代表為平穩隨機過程的重要型別訊號不具有有限能量，因此不能進行傅立葉轉換。這類訊號具有有限平均功率，因此表現為功率譜密度。如果 x t 是一個平穩隨機過程，它的自相關函式是 gamma_xxtau E xt x ttau 其中 E 代表統計平均。於是由維納 辛欽定理 WienerKhinchin theorem，平穩隨機過程的功率譜是自相關函式的傅立葉轉換，即 gamma_xxF int_inftyinfty gamma_xxtau ej2pi Ftaumathrm d t 實際上我們處理隨機過程的單個實現並從中估計該過程的功率密度譜。由於不知到真實的自相關係數 gamma_xxtau，導致我們不能按上式計算傅立葉轉換來得到 Gamma_xxF。從隨機過程的單個實現，可以計算時間平均自相關函式 R_xxtau frac 12T_0 int_T_0T_0 xt x ttau dt 其中 2T_0 是觀察期間。如果平穩隨機過程的一階和二階矩 均值和自相關函式 是各態歷經的，那麼 gamma_xxF lim_T_0 to infty R_xxtau lim_T_0 to infty frac 12T_0 int_T_0T_0 xt x ttau dt 這一關係證實了時間平均自相關函式 R_xxtau 可用做對統計自相關函式 gamma_xxtau 的估計。更進一步 R_xxtau 的傅立葉轉換提供了對功率密度譜的估計 P_xxF 即 P_xxF int_T_0T_0 R_xxtau ej2pi Ftau dtau frac 12T_0 int_T_0T_0 int_T_0T_0 xt x ttau dt ej2pi Ftau dtau frac 12T_0 int_T_0T_0 x t ej2pi Ft dt2 實際功率密度譜是 P_xxF 在極限 T_0 rightarrow infty 時的期望值 Gamma_xxF lim_T_0 to infty E P_xxF lim_T_0 to infty E frac 12T_0 int_T_0T_0 x t ej2pi Ft dt2 我們將從隨機過程的單個實現樣本考慮功率密度譜估計。假設 x_a t 以 F_s2B 取樣，其中 B 是隨機過程功率密度譜包含的最高頻率。因此透過對 x_a t 取樣，我們得到有限長序列 x n0leqslant nleqslant N1。從這些樣本我們計算時間平均自相關序列 r_xxm frac 1Nm sum_n0Nm1 xn x nm m 01N1 並且對於 m 的負值，我們有 r_xxm r_xxm。於是我們計算傅立葉轉換 P_xxf sum_mN1N1 r_xxm ej2pi fm 上上式中的歸一化因子 Nm 導致了均值估計 E r_xxm frac 1Nm sum_n0Nm1 E xn x nm r_xxm 其中 r_xxm 是 x n 的真實 統計的 自相關序列。因此 r_xxm 是自相關函式 r_xxm 的無偏差估計。估計 r_xxm 的方差近似為 var r_xxmthickapprox frac NNm2sum_ninftyinftygamma_xxn2gamma_xxnmgamma_xxnm 這是由 Jenkins 和 Watts 於 1968 年給出的結果，顯然 lim_N to infty var r_xxm 0 有 sum_ninftyinftygamma n2 infty。 因為 E r_xxm gamma_xxm 並且當 N rightarrow infty 時估計的方差收斂於零，所以估計 r_xxm 是相容的。對於較大值的滯後引數 m，特別當 m 逼近於 N 時，由 r_xxm frac 1Nm sum_n0Nm1 xn x nm m 01N1 給出的估計 r_xxm 具有較大方差。這是由於很少的資料點數進入大的滯後情況下的估計。作為式 r_xxm frac 1Nm sum_n0Nm1 xn x nm m 01N1 的備用方法，我們使用如下的估計 r_xxm frac 1N sum_n0Nm1 xn x nm 0leqslant m leqslant N1 r_xxm frac 1N sum_nmN1 xn x nm m 1211N 其偏移為 mgamma_xxmN，因為其均值是 E r_xxm frac 1N sum_n0Nm1 E xn x nm frac NmNgamma_xxm 1frac mNgamma_xxm 然而該估計具有較小的方差，近似為 var r_xxmthickapprox frac 1Nsum_ninftyinftygamma_xxn2gamma_xxnmgamma_xxnm 注意到 r_xxm 是漸進無偏的，即 lim_N to infty E r_xx m gamma_xxm。並且當 N rightarrow infty 時其方差收斂於零。因此估計 r_xxm 也是 gamma_xxm 的一致估計。在處理功率譜估計問題時，我們將使用由式 r_xxm frac 1N sum_n0Nm1 xn x nm 0leqslant m leqslant N1 和 r_xxm frac 1N sum_nmN1 xn x nm m 1211N 給出的估計 r_xxm。相應的功率譜密度是 P_xxf sum_mN1N1 r_xxm ej2pi fm 我們把得到的 r_xxm 代入上式，估計 P_xxf 可以表示為 P_xxf frac 1Nsum_n0N1 x n ej2pi fn2 frac 1NX f2 其中 X f 是樣本序列 x n 的傅立葉轉換。這種常見形式的功率密度譜估計稱為週期圖。它最初是由 Schuster 於 1898 年引入用來檢測和測量存在於資料中的 隱藏週期。從式 P_xxf sum_mN1N1 r_xxm ej2pi fm 可推出週期圖估計 P_xxf 的均值是 E P_xxf E sum_mN1N1 r_xxm ej2pi fm sum_mN1N1 E r_xxm ej2pi fm E P_xxf sum_mN1N1 1frac mNgamma_xxm ej2pi fm 對上兩式的解釋是，估記譜的均值是窗自相關函式的傅立葉轉換 tilde gamma_xxm 1frac mNgamma_xxm，其中窗函式是 三角形的 巴特利特 Bartlett 窗。因此估計譜的均值是 E P_xxfsum_minftyinftytilde gamma_xxm ej2pi fm int_0505 Gamma_xxalpha W_B falpha dalpha 其中 W_B f 是巴特利特窗的譜特徵。上式說明瞭估計譜的均值是真實功率譜密度 Gamma_xxf 與巴特利特窗傅立葉轉換 W_B f 的旋積。結果估計譜的均值是真實譜的平滑版，受損於有限資料點導致的相同的譜洩漏。注意到估計譜是漸進無偏的，即 lim_N to infty E sum_mN1N1 r_xxm ej2pi fm sum_minftyinfty r_xxm ej2pi fm Gamma_xxf 然而一般來說當 N rightarrow infty 時估計 P_xxf 的方差不會衰減到零。例如當資料序列是一個隨機過程時，方差是 var P_xxf Gamma_xx2 f1frac sin2pi fNNsin2pi f2 當 N rightarrow infty 時，極限為 lim_N to infty var P_xxf Gamma_xx2 f。 因此我們認為週期圖不是真實譜密度的一致估計 即不收斂於真正的功率譜密度。概括來說估計的自相關 r_xxm 是真實自相關函式 gamma_xxm 的一致估計。然而它的傅立葉轉換 P_xxf 即週期圖不是真實功率譜密度的一致估計。我們注意到 P_xxf 是 gamma_xxf 的漸進無偏差估計，但是對於一個有限長序列，從式 E P_xxfsum_minftyinftytilde gamma_xxm ej2pi fm int_0505 Gamma_xxalpha W_B falpha dalpha 得到的 P_xxf 均值包含了偏移，說明真實功率譜密度產生了失真。於是估計譜受損於巴特利特窗的平滑效應和具體的洩漏，平滑和洩漏最終限制了我們準確分析緊密譜的能力。 功率譜估計的非引數化方法 非引數方法是由 Bartlett 1948、Blackman 和 Tukey 1958 及 Welch 1967 開發的方法，這些方法沒有假定資料是如何生成的，故被稱作非引數方法。既然這些估計全部基於資料的有限記錄，這些方法的頻率解析度最好等於長度為 N 的矩形窗的寬度，也就是在 3dB 近似為 1N。這將會更加精確地指定具體方法的頻率解析度。為了減小譜估計的方差，非引數方法會降低頻率解析度。 Bartlett 方法：平均週期圖 減小週期圖方差的 Bartlett 方法包含了三個步驟。首先 N 點序列被劃分為 K 個不重疊段，每段的長度為 M。這樣就生成了 K 個資料段 x_i n x niM i 01K1n 01M1 對於每一段，可計算週期圖 P_xxif frac 1Msum_n0M1 x_i n ej2pi fn2 i 01K1 最後對 K 段的週期圖進行平均得到 Bartlett 功率譜估計 P_xxBf frac 1Ksum_i0K1 P_xxif 該估計的統計特性很容易得到。首先均值是 E P_xxBf frac 1Ksum_i0K1 E P_xxif E P_xxif。由式 E P_xxf E sum_mN1N1 r_xxm ej2pi fm sum_mN1N1 E r_xxm ej2pi fm 和 E P_xxf sum_mN1N1 1frac mNgamma_xxm ej2pi fm 及 E P_xxfsum_minftyinftytilde gamma_xxm ej2pi fm int_0505 Gamma_xxalpha W_B falpha dalpha 可得到單個週期圖的期望值是 E P_xxif sum_mM1M1 1frac mMgamma_xxm ej2pi fm frac 1Mint_0505 Gamma_xxalphafrac sinpi falpha Msinpi falpha2dalpha 其中 W_B f frac 1Mfrac sinpi fMsinpi f2 是巴特利特窗 w_B n begin cases 1frac mM mbox ifmleqslant mbox M1 0 mbox ifmmbox is other end cases 的頻率特性。 從 E P_xxif 的公式注意到，現在真實譜與巴特利特窗的頻率特性 W_B f 有關。資料長度從 N 點減小到 MNK，導致視窗的譜寬度增加 K 因子。結果頻率解析度得到減小因子 K。解析度降低的結果使得方差減小。Bartlett 估計的方差是 var P_xxB f frac 1K2sum_i0K1 var P_xxif frac 1K var P_xxif 如果我們利用式 var P_xxf Gamma_xx2 f1frac sin2pi fNNsin2pi f2 和上式，得到 var P_xxB f frac 1KGamma_xx2 f1frac sin2pi fMMsin2pi f2 因此，Bartlett 功率譜估計的方差減小因子為 K。 參考文獻