在幾何學中，五階六邊形鑲嵌是由六邊形組成的雙曲面正鑲嵌圖，在施萊夫利符號中用表示。五階六邊形鑲嵌即每個頂點皆為五個六邊形的公共頂點，頂點周圍包含了五個不重疊的六邊形，因此無法因此無法在平面作出，但可以在雙曲面上作出 Chapter 19 The Hyperbolic Archimedean Tessellations，或以正則地區圖的形式存在。 性質 五階六邊形鑲嵌是指每個頂點皆為五個六邊形的公共頂點所構成的鑲嵌結構。一般而言這種鑲嵌結構僅能存在於雙曲面上並無窮延伸。然而透過取出區面的區域性將其轉成其他虧格的環面則可將其轉換為有限的正則地區圖。在施萊夫利符號中五階六邊形鑲嵌可以用 65 表示，這個符號表是每個頂點皆為五個六邊形的公共頂點。而在正則地區圖中，五階六邊形鑲嵌會表達為 65 p，其中下標的 p 表示這個正則地區圖對應的皮特里多邊形為 p 邊形。 正則地區圖 做為有限的正則地區圖，五階六邊形鑲嵌從虧格為 9 開始存在，其中可定向的 65 正則地區圖有皮特里多邊形為六邊形、八邊形、十邊形、十二邊形等的正則地區圖 Regular maps in the orientable surface of genus 17 genus 41 genus 45 genus 49 genus 55 genus 65 genus 81 ，不可定向的有皮特里多邊形為四邊形、五邊形、六邊形和十邊形的正則地區圖 Regular maps in the nonorientable surface of genus 10 genus 42 genus 46 genus 50 genus 66 。 五階六邊形 65 正則地區圖 可定向性 虧格 施萊夫利符號 對應多面體 面數 邊數 頂點數 可定向 1 65 雙曲無限面體（雙曲正鑲嵌） 可定向 9 65 4 二十面體 20 60 24 可定向 9 65 10 二十面體 20 60 24 可定向 17 65 8 四十面體 40 120 48 可定向 41 65 10 一百面體 100 300 120 可定向 41 65 20 一百面體 100 300 120 可定向 45 65 6 一百一十面體 110 330 132 可定向 45 65 12 一百一十面體 110 330 132 可定向 49 65 6 一百二十面體 120 360 144 可定向 55 65 10 一百三十五面體 135 405 162 可定向 65 65 10 一百六十面體 160 480 192 可定向 81 65 40 二百面體 200 600 240 可定向 89 65 6 二百二十面體 220 660 264 可定向 89 65 12 二百二十面體 220 660 264 不可定向 10 65 4 十面體 10 30 12 不可定向 10 65 5 十面體 10 30 12 不可定向 10 65 10 十面體 10 30 12 不可定向 42 65 5 五十面體 50 150 60 不可定向 46 65 6 五十五面體 55 165 66 不可定向 50 65 6 六十面體 60 180 72 不可定向 50 65 6 六十面體 60 180 72 不可定向 66 65 6 八十面體 80 240 96 不可定向 90 65 6 一百一十面體 110 330 132 相關多面體與鑲嵌 相關多面體 皮特里大十二面體 皮特里大十二面體是大十二面體的皮特里對偶，可以透過將原有大十二面體上取皮特里多邊形構成，換句話說，皮特里大十二面體為由大十二面體的皮特里多邊形構成的立體。由於大十二面體的皮特里多邊形為扭歪六邊形，因此無法確立其封閉範圍，故無法計算其表面積和體積。 大十二面體 皮特里大十二面體 由於大十二面體與小星形十二面體對應相同的正則地區圖，因此皮特里大十二面體對應的正則地區圖也與皮特里小星形十二面體相同，皆由 10 個面、30 條邊和 12 個頂點組成。 皮特里大十二面體是一個不可定向且虧格為 10 的幾何結構。皮特里大十二面體由 10 個扭歪六邊形組成，每個頂點都是 5 個扭歪六邊形的公共頂點，其對應的正則地區圖為五階六邊形鑲嵌，並具有五邊形的皮特里多邊形，在施萊夫利符號中可以用 65 5 表示。 大十二面體的皮特里多邊形 構成皮特里大十二面體的扭歪六邊形面 皮特里小星形十二面體 皮特里小星形十二面體是小星形十二面體的皮特里對偶，可以透過將原有小星形十二面體上取皮特里多邊形構成，其拓樸結構與皮特里大十二面體同構。是施萊夫利符號為 65 的 120 階元素對稱性抽象多面體的一種具象化結果。 皮特里小星形十二面體、小星形十二面體、大十二面體、皮特里大十二面體的關係如下： left6frac 52right 皮特里大十二面體 pi left5frac 52right 大十二面體 delta leftfrac 525right 小星形十二面體 pi left65right 皮特里小星形十二面體 其中，「pi」表示互為皮特里對偶；「delta」表示互為對偶多面體。 小星形十二面體 皮特里小星形十二面體 大十二面體與小星形十二面體對應相同的正則地區圖，皆由 10 個面、30 條邊和 12 個頂點組成，且每個頂點都是 5 個扭歪六邊形的公共頂點，對應的正則地區圖同為五階六邊形鑲嵌，並具有五邊形的皮特里多邊形，在施萊夫利符號中可以用 65 5 表示。然而其構成面面有些許不同，且來自不同原像，因此可以被視為 65 的不同具象化方式。 小星形十二面體的皮特里多邊形 小星形十二面體的皮特里多邊形正交投影 構成皮特里小星形十二面體的扭歪六邊形面 相關鑲嵌圖 該鑲嵌在拓樸學中也和每個頂點為五個多邊形的公共頂點的多面體及鑲嵌相關，這類幾何結構施萊夫利符號皆為 n5、為，其中 n 從 2 到無窮。 該鑲嵌在拓樸學上頂點圖為 65，其餘頂點圖為 6n 的幾何結構有： 五階六邊形鑲嵌可以透過康威多面體變換成一系列鑲嵌圖： 正六邊形 五邊形鑲嵌 正六邊形 五邊形鑲嵌 正六邊形 五邊形鑲嵌 正六邊形 五邊形鑲嵌 正六邊形 五邊形鑲嵌 正六邊形 五邊形鑲嵌 正六邊形 五邊形鑲嵌 正六邊形 五邊形鑲嵌 正六邊形 五邊形鑲嵌 正六邊形 五邊形鑲嵌 正六邊形 五邊形鑲嵌 正六邊形 五邊形鑲嵌 對稱性：65 652 對稱性：65 652 對稱性：65 652 對稱性：65 652 對稱性：65 652 對稱性：65 652 對稱性：65 652 65 652 65 53 165 553 65 t 65 r 65 2t 65t 56 2r 6556 rr 65 tr 65 sr 65 s 56 h 65 對偶鑲嵌 對偶鑲嵌 對偶鑲嵌 對偶鑲嵌 對偶鑲嵌 對偶鑲嵌 對偶鑲嵌 對偶鑲嵌 對偶鑲嵌 對偶鑲嵌 對偶鑲嵌 V65 V51212 V5656 V61010 V56 V4546 V41012 V33536 V333535 V 35 5 553 反射對稱性均勻鑲嵌 553 反射對稱性均勻鑲嵌 553 反射對稱性均勻鑲嵌 553 反射對稱性均勻鑲嵌 553 反射對稱性均勻鑲嵌 553 反射對稱性均勻鑲嵌 553 反射對稱性均勻鑲嵌 參見 四階五邊形鑲嵌 正六邊形鑲嵌 參考資料 外部連結 Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery KaleidoTile 3 Educational software to create spherical planar and hyperbolic tilings Hyperbolic Planar Tessellations Don Hatch Category 雙曲面鑲嵌 Category 鑲嵌