在同調論與代數餘鏈中，餘調表示由與拓樸空間相關的阿貝爾群組成的序列，經常由餘鏈復形定義。餘調可以被視為給予空間（比同調）更豐富的代數不變數的方式。某些餘調是將同調的建構對偶化產生的。換言之，餘鏈是同調論中鏈群上的函式。 這個概念一開始是在拓撲學中，到 20 世紀後半變成數學的一個主要方法。從原先將同調作為建構拓樸空間的代數不變數的方法，現今同調與餘調理論的應用已遍佈幾何與代數。餘調是個反變的理論，而在很多應用中比同調更自然，但術語使上述事實變得不明顯。基礎地看，這與幾何的情況中的函式與拉回有關：給定空間 X、Y 、 Y 上的某種函式 F ，對任何對映 f X Y ，與 f 的複合會產生在 X 上的函式 F f 。最重要的一些餘調論有一種積，稱為杯積，使其具有環的結構。所以，餘調常是比同調更強的不變數。 廣義上的同調理論（其他代數或幾何結構的不變式，而不是拓撲空間的不變式）包括：代數 K 理論，李代數同調，晶體同調等。 奇異上同調 奇異上同調是拓撲學中一個強大的不變數，將分次交換環同任意拓撲空間聯絡起來。每個連續對映 f Xto Y 都決定了從 Y 的上同調環到 X 的上同調環的同態，這對 X 到 Y 的可能對映施加了強有力的限制。上同調環不同於同倫群等更微妙的不變式，對於感興趣的空間來說，實際上往往是可以計算的。 對拓撲空間 X，奇異上同調的定義始於奇異鏈復形： cdots to C_i1stackrel partial_i1to C_i stackrel partial_ito C_i1 to cdots 由定義，X 的奇異同調是這鏈復形的同調（一個同態的核對前一個的像取模）。更詳細地說，C_i 是從標準 i 單純形到 X（稱作 X 中的奇異 i 單形（simplice））的連續對映集的自由阿貝爾群；partial_i 是第 i 個邊界同態。i 為負數時，群 C_i 為零。 現固定一個阿貝爾群 A，把每個群 Ci 換成其對偶群 C_i mathrm HomC_iA；把 partial_i 換成對偶同態 d_i1 C_i1 to C_i 這會把原復形的 所有箭頭都逆轉，留下上鍊復形 cdots leftarrow C_i1 stackrel d_ileftarrow C_i stackrel d_i1leftarrow C_i1 leftarrow cdots 對任意整數 i，X 的第 i 個係數在 A 中的上同調群定義為 rm kerd_irm imd_i1 記作 Hi X Ai 為負數時，群為零。C_i 的元素稱作奇異 i 上鍊，係數在 A 中。（等價地，X 上的 i 上鍊可從 X 中到 A 的奇異 i 單形集函式中辨別出來）ker d、im d 中的元素分別稱作上迴圈和上邊界（coboundary），rm kerdrm imdHi X A 的元素則稱作上同調類（因為是上迴圈的等價類）。 下文時而省略係數群 A 不寫。通常取 A 為交換環 R，則上同調群為 R 模。標準的選擇是整數環 Z。 上同調的一些形式性質與同調基本一致： 連續對映 f X to Y 決定了同調上的前推同態 f_H_i X to H_i Y 與上同調上的拉回同態 f Hi Y to Hi X，這使上同調成為從拓撲空間到阿貝爾群（或 R 模）的反變函子。 X 到 Y 的兩個同倫對映會在上同調引起相同的同態（如在同調上）。 邁爾維托里斯正合列是同調與上同調中重要的計算工具。注意邊界同態增加（而非減少）了上同調的度；即，若空間 X 是開子集 U 與 V 的交，則有長正合序列：cdots to Hi X to Hi Uoplus Hi V to Hi Ucap V to Hi1X to cdots 對空間 X 的任意子空間 Y，有相關上同調群 Hi XYA 由長正合序列與通常的上同調群相關聯：cdots to Hi XY to Hi X to Hi Y to Hi1XY to cdots 泛係數定理用 Ext 群描述了上同調，即有短正合序列 0 to operatorname Ext_Z1 operatorname H_i1X Z A to Hi X A to operatorname Hom_ZH_i XZ Ato 0 相關的說法是，對域 F，Hi XF 正是向量空間 H_i XF 的對偶空間。 若 X 是拓撲流形或 CW 復形，則對大於 X 的維度的 i，上同調群 Hi XA 為零。若 X 是緊流形（可能有界），或是在每個維度都有有限多單元的 CW 復形，且 R 是交換諾特環，則 R 模 Hi X R 對每個 i 都是有限生成模。 另一方面，上同調有同調沒有的重要結構：對任意拓撲空間 X 與交換環 R，有稱作上積的雙線性對映： Hi XRtimes Hj XR to HijXR 從奇異上鍊的明確公式定義。上同調類 u 與 v 的積寫作 u v 或只是 uv，這個積使得直和 HXRbigoplus_i Hi XR 變為分次環，稱作 X 的上同調環，在如下意義上是分次交換環： uv1ij vu qquad u in Hi XR v in Hj XR 對任意連續對映 fcolon Xto Y，拉回 f HYR to HX R 是分次 R 代數的同態。可見，若兩空間同倫等價，則它們的上同調環就同構。 下面是上積的一些幾何解釋。除非另有說明，否則預設流形無界。閉流形是（不含邊界）緊流形，而流形 M 的閉子流形 N 是 M 的閉子集的子流形，不必是緊流形（不過，若 M 緊，則 N 必緊）。 令 X 為 n 維閉有向流形，則龐加萊對偶性給出同構 HiXcong H_ni X。於是，X 中餘維度為 i 的閉有向子流形決定了 HiX 中的上同調類，稱作 S 在這些術語中，上積描述了子流形的相交：若 S、T 是餘維度為 i、j 的子流形，並橫截地相交，則 STScap Tin HijX 當中的交 S T 是餘維度為 ij 的子流形，方向由 S、T、X 的方向確定。在光滑流形的情形下，若 S、T 不橫截著相交，則這公式仍可計算上積 ST，方法是擾動 S 或 T 使其橫截相交。更一般地，X 不需有向，其閉子流形與法叢上的方向決定了 X 上的一個上同調類。若 X 是非緊流形，則閉子流形（不需是緊的）決定了 X 上的上同調類。兩種情形下，上積仍可用子流形之交來描述。注意勒內託姆在光滑 14 維流形上構造了度為 7 的積分上同調類，不是任何光滑子流形的類。另一方面，他證明了光滑流形上所有度為正的積分上同調類都有正倍數，其是光滑子流形的類。而且，流形上的所有積分上同調類都可用 偽流形（即單純形，在餘維度至少為 2 的閉子集之外是流形）表示。 對光滑流形 X，德拉姆定理表明，具有實係數的 X 的奇異上同調與 X 的德拉姆上同調同構，由微分形式定義。上積對應微分形式的積。這解釋的優點在於微分形式的積是分次交換的，而奇異上鍊的積只在鏈同倫意義上分次交換。事實上，對係數在整數 Z 或 Zp（p 為使積在鼻上分次交換的素數）中的奇異上鍊，無法修改其定義。上鍊層面上分次交換性失效，導致了模 p 上同調上的斯廷羅德運算。 非常不正式地說，對任意拓撲空間 X，Hi X 的元素都可認為是可在 X 上自由移動的餘維度為 i 的子空間。舉例來說，定義元素的一種方法是給出從 X 到流形 M 的連續對映 f，以及 M 的餘維度為 i 的閉子流形 N，且在法叢上有向。形式上說，可將結果類 fN in Hi X 視為位於 X 的子空間 f1N 上；這是合理的，因為類 fN 在開子集 Xf1N 的上同調中限制為零。上同調類 fN 可在 X 上自由移動，即 N 可被 M 內 N 的任意連續變形所代替。 例子 下面預設上同調係數為整數。 點的上同調環是度為 0 的環 Z。根據同倫不變性，這也是任何可緊空間的上同調環，如歐氏空間 Rn。 對正整數 n，N 維球面 Sn 的上同調環是 mathbb Zxx2（多項式環對給定理想的商環），x 的度為 n。根據上述龐加萊對偶性，x 是球面上一點的類。 環面 S1n 的上同調環是度為 1 的 n 個生成器上的 Z 的外代數。例如，令 P 表示圓 S1 中的點，Q 為 2 維環面 S12 中的點 PP。則，S12 的上同調有如下形式的自由 Z 模基：度為 0 的元素 1、度為 1 的 xmathrel mathopPtimes S1 及 ymathrel mathopS1times P、度為 2 的 xyQ（此處隱含地固定了環面和兩個圓的方向）注意由分次交換性可知，yxxyQ 更一般地，令 R 為交換環、令 X 與 Y 為使 HX R 為所有度都是有限生成自由 R 模的任意拓撲空間（Y 不需要假設）。則據克奈定理，積空間 Xtimes Y 的上同調環是 R 代數的張量積： HXtimes YRcong HXRotimes_R HYR 實射影空間 mathbb RPn 的上同調環（係數位於 mathbb Z2）是 mathbb Z2 xxn1，x 的度為 1。當中 x 是 mathbb RPn 中的超平面 mathbb RPn1 的類，即使 mathbb RPj（j 為正偶數）無向也成立，因為 mathbb Z2 係數的龐加萊對偶性適於任意流形。若係數是整數，就比較複雜了。mathbb RP2a 的 Z 上同調具有度為 2 的元素 y，使整個上同調是度為 0 的元素 1 張成的 Z 與 yi i1 ldots a 張成的 Z2 的直和。mathbb RP2a1 的 Z 上同調也如此，只是多了一份度為 2a1 的 Z。 復射影空間 mathbb CPn 的上同調環是 mathbb Zxxm1，其中 x 的度為 2。x 是 mathbb CPn 中超平面 mathbb CPn1 的類；更一般地說，xj 是 mathbb CPn 中線性子空間 mathbb CPnj 的類。 虧格 g 0 的閉有向面 X 的上同調環有如下形式的自由 Z 模的基：度為 0 的元素 1、度為 1 的 A_1 ldots A_g 及 B_1 ldots B_g、度為 2 的點的類 P。積由下面的定義給出：A_iA_jB_iB_j 0 forall i jquad A_iB_j0 ine jquad A_iB_j0 ine j A_iB_iP forall i 由分次交換性，可知有 在任意拓撲空間上，上同調環的分次交換性都表明，對任意度為奇的上同調類 x 都有 2x20 因此，對包含 12 的環 R，HX R 中所有度為奇的元素的平方都是零。另一方面，若 R 是 mathbb Z2 或 mathbb Z，則度為奇的元素不必有平方零，正如例子 mathbb RP2（係數 mathbb Z2）或 mathbb RP4timesmathbb RP2（係數 mathbb Z）。 對角 上積可視作來自對角對映 Delta Xto Xtimes X xmapsto x x 也就是說，對於具有上同調類 uin Hi X R vin Hj Y R 的任意空間 X、Y，有外積（或叉積）上同調類 utimes vin HijXtimes Y R 類 uin Hi X R vin Hj X R 的上積可定義為外積的對角線拉回： uvDeltautimes vin HijXR 另外，外積也可用上積定義。對空間 X、Y，將兩投影分別寫作 f Xtimes Yto X g Xtimes Yto Y，則 uin Hi X R vin Hj Y R 兩類的外積就是 utimes vfugvin HijXtimes YR 龐加萊對偶性 龐加萊對偶性的另一種解釋是，閉有向流形的上同調環在強意義上是自對偶的。也就是說，令 X 為 n 維閉緊有向流形，F 為域。則 Hn X F 同構於 F，積 Hi XFtimes HniXFto Hn XFcong F 對每個整數 i 是完美配對。特別地，向量空間 Hi X F HniX F 具有相同的（有限）維度。同樣，積分上同調模撓、在 Hn X mathbb Zcong mathbb Z 中取值的積是 Z 上的完美配對。 示性類 拓撲空間 X 上秩為 r 的有向實向量叢 E 決定了 X 上的上同調類，即尤拉類 xi Ein Hr X mathbb Zχ。非正式地說，尤拉類是 E 的一般截面的零集類。E 若是光滑流形 X 上的光滑向量叢 E，這種解釋會更明確，因為此時 X 的一般光滑截面會在 X 的 r 餘維子流形上歸於零。 在上同調取值的向量叢還有其他幾種示性類，如陳類、施蒂費爾惠特尼類、龐特里亞金類等。 艾倫伯格麥克蘭恩空間 對任意阿貝爾群 A 與自然數 j，有空間 K Aj，其第 j 個同倫群同構於 A，其他同倫群均為零。這樣的空間叫做艾倫伯格麥克蘭恩空間，對上同調是分類空間：有 Hj K AjA 的自然元素 u，每個空間 X 上每個度為 j 的上同調類都是 u 對某連續對映 Xto K Aj 的拉回。更確切地說，類 u 的拉回對每個具有 CW 復形上同調型別的空間 X 給出了雙射 X K Aj stackrel congto Hj XA 當中 XY 表示 X 到 Y 的連續對映的同倫類集合。 例如，空間 K Z1（同倫等價意義上）可看作是圓 S1，所以上面的描述說，H1 XZ 的每個元素都是透過某對映 Xto S1 從 S1 是哪個一點的類 u 拉回的。 對係數在任意阿貝爾群 A（如 CW 復形 X）中的第一上同調，都有相關的描述：H1 XA 與具有群 A 的 X 的伽羅瓦覆疊空間的同構類集（也稱為 X 上的主 A 叢）一一對應。對連通的 X，H1 XA 同構於 operatorname Hompi_1 XA，曲線 pi_1 X 是 X 的基本群。例如，H1 XZ2 分類了 X 的雙覆疊空間，元素 0in H1 XZ2 對應平凡雙覆疊，即兩個 X 的不交併。 下積 對任意拓撲空間 X、任意整數 i、j、任意交換環 R，下積是雙線性對映 cap Hi XRtimes H_j XR to H_jiXR 得到對映 HXRtimes H_XR to H_XR 使 X 的奇異上同調成為 X 的奇異上同調環上的模。 ij 時，下積給出了自然同態 Hi XRto operatorname Hom_R H_i XRR 其是 R 域的同構。 例如，令 X 是有向流形，不必是緊的。則其餘維為 i 的閉有向子流形 Y（不必緊）確定了 Hi X R 中的一個元素，X 的緊有向 j 維子流形 Z 確定了 H_j X R 中的一個元素。下積 Ycap Zin H_jiX R 可透過擾動 Y、Z 使其橫截相交，再取交集的類（即 ji 維緊有向子流形）進行計算。 n 維閉有向子流形 X 在 H_n X R 中具有基本類 X。龐加萊對偶同構 Hi XRoverset congto H_niXR 可透過與 X 的基本類的下積定義。 奇異上同調簡史 上同調是現代代數拓撲的基礎，但在同調論發展了 40 餘年後，人們才意識到其重要性。亨利龐加萊證明龐加萊對偶定理用的 對偶單元結構 概念即是上同調思想的雛形，但後來才被發現。 上同調的前身多種多樣。20 世紀 20 年代中期，詹姆斯韋德爾亞歷山大和所羅門萊夫謝茨創立了流形上迴圈的相交理論。在閉有向 n 維流形 M 上，若 i 迴圈與 j 迴圈在一般位置有非空交，則其交就是 ijn 迴圈。這產生了同調類的乘法 H_i M times H_j M to H_ijnM 這與 M 的上同調的上積很相似。 1930 年，亞歷山大首次定義了上鍊，將空間 X 上的 i 上鍊看作是 Xi1 中對角線小鄰域上的函式。 1931 年，喬治德拉姆將同調與微分形式聯絡起來，證明了德拉姆定理。這一結果可以更簡單地用上同調表述。 1934 年，列夫龐特里亞金證明了龐特里亞金對偶性定理，這是關於拓撲群的一個結果。這（在相當特殊的情形下）提供了用群特徵解釋龐加萊對偶和亞歷山大對偶的方法。 1935 年的莫斯科一次學術會議上，安德雷柯爾莫哥洛夫和亞歷山大引入了上同調，並試圖建立上同調積結構。 1936 年，諾曼斯廷羅德透過對偶化切赫同調，構造了切赫上同調。 1936 至 1938 年，哈斯勒惠特尼與愛德華切赫發展了上積（使上同調變為分次環）和下積，意識到龐加萊對偶性可用下積表示。他們的理論仍侷限於有限多胞腔的復形。 1944 年，塞繆爾艾倫伯格克服了技術限制，給出了奇異同調和奇異上同調的現代定義。 1945 年，艾倫伯格和斯廷羅德提出了艾倫伯格 斯廷羅德公理，下詳。在 1952 年他們合著的《代數拓撲基礎》（Foundations of Algebraic Topology）一書中，他們證明了現有的同調和上同調確實滿足他們的公理。、 1946 年，讓勒雷定義了層上同調。 1948 年，埃德溫斯潘尼爾在亞歷山大和柯爾莫哥洛夫的基礎上，提出了亞歷山大斯潘尼爾上同調。 層上同調 層上同調是奇異上同調的豐富推廣，允許更一般的係數，而不限於阿貝爾群。對拓撲空間 X 上任意的阿貝爾群層，有上同調群 Hi X E（i 為整數）。特別地，X 上的常層與阿貝爾群 A 相關聯的情形下，所得的群 Hi X A 與 X 的奇異上同調（流形或 CW 復形）重合（並非對任意 X 都成立）。20 世紀 50 年代開始，層上同調成為了代數幾何與複分析的核心部分，部分原因是正則函式層或全純函式層的重要性。 亞歷山大格羅滕迪克用同調代數優雅地定義、描述了層上同調。其要點在於固定空間 X，並將層上同調視作從 X 上的阿貝爾範疇層到阿貝爾群的函子。首先，取從 X 上的層 E 到其在 X 上的非區域性截面的阿貝爾群的函子，即 E X，它是左正合函子，而不必右正合。格羅滕迪克定義層上同調群為左正合函子 Emapsto E X 的右匯出函子。 這定義可以有很多推廣。例如，可定義拓撲空間 X 的上同調，其係數可以在層的任意復形中，早先稱作超上同調（現在則只叫做 上同調）。從這角度來看，層上同調成了從 X 上的層匯出範疇到阿貝爾群的函子序列。 更廣義地講，上同調 常用作阿貝爾範疇上的左正合函子的右匯出函子，而 同調 則是右正合函子的左匯出函子。例如，對於環 R，Tor 群 rm Tor_iR M N 在每個簇形成 同調，即 R 模的張量積 Motimes_RN 的左匯出函子。同樣，Ext 群 rm Exti_R M N 可視作是每個簇中的 上同調，c 即 Hom 函子 rm Hom_R M N 的右匯出函子。 層上同調與一種 Ext 群相關：對拓撲空間 X 上的層 E，Hi X E 同構於 rm Exti mathbb Z_X E，當中 mathbb Z_X 表示與整數 Z 相關聯的常層，Ext 取 X 上的層的阿貝爾範疇。 簇的上同調 有很多構造可計算代數簇的上同調。最簡單的情形是確定 0 特徵域上光滑射影簇的上同調。霍奇理論有叫做霍奇結構的工具，有助於計算這些簇類的上同調（增加了更精細的資訊）。最簡單的情形下，mathbb Pn 中的光滑超平面的上同調可僅根據多項式的度確定。 考慮有限或特徵為 p 的域上的簇，需要更有力的工具，因為同調 上同調的經典定義被打破了：有限域上的簇只能是有限點集。格羅滕迪克提出了運用格羅滕迪克拓撲的想法，並用平展拓撲上的層上同調定義有限域上的簇的上同調論。利用特徵 p 域上的簇的平展拓撲，可構造 ell 進上同調（ellneq p）： Hk XQ_ell varprojlim Hk_etXZelln otimes_Z_ell Q_ell 若有有限型別的概形 X text Proj left frac Z left x_0ldotsx_n rightleft f_1ldotsf_k right right 則只要簇在兩個域上都光滑，X Complex 的貝蒂上同調和 X mathbb F_q 的 ell 進上同調的維度就相等。此外，還有韋爾上同調論，與奇異上同調的行為類似。有一種猜想，其理論動機是所有韋爾上同調論的基礎。 另一個有用的計算工具是爆破序列（blowup sequence）。給定餘維度 geq 2 的子概形 Z subset X，有笛卡兒平方 begin matrix E longrightarrow Bl_Z X downarrow downarrow Z longrightarrow X end matrix 由此，有相關的長正合序列 cdots to Hn X to Hn Z oplus Hn Bl_Z X to Hn E to Hn1X to cdots 若子簇 Z 光滑，則連通態射均平凡，因此 Hn Bl_Z Xoplus Hn Z cong Hn X oplus Hn E 此外，利用法叢 N_ZX 的陳類，爆破的上同調環很容易計算，公式為 H 公理與廣義上同調論 拓撲空間的上同調有多種定義（如奇異上同調、切赫上同調、亞歷山大斯潘尼爾上同調或層上同調）（此處層上同調只考慮係數在常層中）。這些理論對某些空間給出了不同結果，但對一大類空間都是一致的，這從公理上最容易理解：有一系列屬性稱作艾倫伯格 斯廷羅德公理，任意兩個滿足其的構造至少在所有 CW 復形上都一致。同調論和上同調論都有公理版本。有些理論可作為計算特殊拓撲空間的奇異上同調的工具，如單純復形的單純上同調、CW 復形的胞腔上同調、光滑流形的德拉姆上同調。 上同調論的艾倫伯格 斯廷羅德公理之一是維度公理：若 P 是單點，則 Hi P0 forall ine 01960 年左右，George W Whitehead 發現，完全省略維度公理很有意義：這就產生了廣義（上）同調論（定義如下）。K 理論或復配邊之類的廣義上同調論，提供了拓撲空間的豐富資訊，且是奇異上同調無法直接提供的（這時，奇異上同調通常叫做 普通上同調）。 由定義，廣義同調論是從 CW 拓撲對範疇 X A（於是 X 是 CW 復形，A 是子復形）到阿貝爾群範疇的函子序列 h_i（i 是整數），以及自然變換 partial_i h_i X Ato h_i1A，稱作邊界同態（其中 h_i1A 是 h_i1A emptyset 的簡寫）。公理如下： 同倫：若 fXA to YB 同倫於 g XA to YB，則同調上的誘導同態相同。 正合性：由結論、，每對 XA 都在同調上誘導了長正合序列： cdots to h_i A overset f_to h_i X overset g_to h_i XA overset partialto h_i1A to cdots 切除：若 X 是子復形 A、B 的並，則對每個 i，包含 f A Acap Bto X B 會誘導同構 h_i A Acap B overset f_to h_i XB 可加性：若 XA 是一組對 X_alpha A_alpha 的不交併，則對每個 i，包含 X_alpha A_alphato X A 會誘導從直積出發的同構： bigoplus_alpha h_i X_alphaA_alphato h_i XA 廣義上同調論的公理大致是透過翻轉箭頭得到的。更詳細地說，廣義上同調論是一系列從 CW 拓撲對範疇到阿貝爾群範疇的反變函子序列 hi（i 是整數），及自然變換，稱作邊界同態 （其中 hi A 表示 hi A emptyset。公理如下： 同倫：同倫對映在上同調誘導相同的同態。 正合性：由結論、，每對 XA 都在上同調上誘導了長正合序列： cdots to hi XA overset g_to hi X overset f_to hi A overset dto hi1XA to cdots 切除：若 X 是子復形 A、B 的並，則對每個 i，包含 f A Acap Bto X B 會誘導同構 hi XB overset f_to hi AAcap B 可加性：若 XA 是一組對 X_alpha A_alpha 的不交併，則對每個 i，包含 X_alpha A_alphato X A 會誘導到達積群的同構： hi XAto prod_alpha hi X_alphaA_alpha 譜決定了廣義（上）同調論。Brown、Whitehead、Adams 得到的一個基本結果是：所有廣義同調論都來自一個譜，所有廣義上同調論也來自一個譜。這推廣了艾倫伯格麥克蘭恩空間對普通上同調的可表性。 一個微妙問題是，從穩定同調範疇（譜的同倫範疇）到 CW 拓撲對上的廣義同調論的函子，雖然給出了同構類上的雙射，但是不等價；在穩定同倫範疇中，有非零對映（即），其誘導了 CW 拓撲對上同倫論間的零對映。同樣，從穩定同倫範疇到 XW 拓撲對上的廣義上同調論的函子也不等價。正是穩定同倫範疇具有三角化之類良好性質。 要將（上）同調論的定義域從 CW 復形推廣到任意拓撲空間，一種標準方法是加入公理：所有弱同倫等價都會在（上）同調誘導一個同構（對奇異（上）同調是正確的，但層上同調等則不然）。由於每個空間都可從 CW 復形得到弱同倫等價，這公理將所有空間的（上）同調論還原為 CW 復形的相應理論。 廣義上同調論的一些例子： 穩定上同倫群 pi_SX 相應的同調論更常用：穩定同倫群 piS_X 各種配邊群，從空間到流形的所有對映的角度研究空間：無向配邊 MOX 有向配邊 MSOX 復配邊 MUX 等等。復配邊在同倫論中尤為強大，經由丹尼爾奎倫的定理，同形式群密切相關。 拓撲 K 理論的各種形式，從空間上所有向量叢的角度研究空間：KOX（實週期 K 理論）、koX（實連通 K 理論）、KX（復週期 K 理論）、kuX（復連通 K 理論），等等。 布朗 彼得森上同調、莫拉瓦 K 理論、莫拉瓦 E 理論等等由復配邊建立的理論。 各種橢圓上同調。 其中許多理論比普通上同調的資訊更豐富，但更難計算。 上同調論 E 若滿足 EX 對每個空間 X 都具有分次環的結構，則稱 E 具有乘性。用譜的語言來說，有幾個更精確的環譜概念，如 E環譜，其中的積在很強的意義上是交換、結合的。 另見 平展上同調 伽羅瓦上同調 群上同調 李代數上同調 非阿貝爾上同調 量子上同調 腳註 參考文獻 Category 代數幾何 Category 代數拓撲 Category 同調論