輸入 狀態穩定性（Inputtostate stability）簡稱 ISSE D Sontag Input to state stability basic concepts and results In Nonlinear and optimal control theory volume 1932 of Lecture Notes in Math pages 163220 Berlin 2008 Springer，是在有外部輸入時，非線性的控制理論中探討其穩定性的方式。簡單來說，控制系統具有輸入 狀態穩定性也就是指在沒有外在輸入時，系統會漸近穩定，而且在足夠長的時間後，系統軌跡會限制在和輸入大小有關的函式中。 輸入 狀態穩定性之所以重要，是因為此概念連線了輸入 輸出穩定性以及狀態空間法，這二個都是控制系統研究者常常使用的工具。輸入 狀態穩定性的標示方式是由在 1989 年開始使用 Eduardo D Sontag Smooth stabilization implies coprime factorization IEEE Trans Automat Control 34 4435443 1989。 定義 考慮非時變常微分方程，其形式如下 其中 umathbb R_ to mathbb Rm 是勒貝格測度有本質確界的外部輸入，且 f 是利普希茨連續函式。這可以確保系統 有唯一絕對連續的解。 若要定義 ISS 以及其他相關的性質，需要引入以下的分類。令 mathcal K（K 類函式）為連續遞增函式 gammaR_ to R_ ，且 gamma 00 形成的集合，令 mathcal K_infty 為無界函式 gamma in mathcal K ，再令 beta in mathcal Kmathcal L（KL 類函式）為若 beta cdott in mathcal K 在所有的 t geq 0 都成立，而且針對所有的 r 0 ， beta rcdot 連續，且嚴格遞減至 0。 系統 稱為在原點全域漸近穩定（0GAS），若對應的零輸入系統 是全域李雅普諾夫穩定，也就是存在 beta in mathcal Kmathcal L 使得針對所有的初值 x_0 以及任意時間 t geq 0 ，以下有關 解的估計都有效＞： 系統 稱為輸入 狀態穩定性（ISS）若存在函式 gamma in mathcal K 且 beta in mathcal Kmathcal L 使得針對所有初值 x_0 ，所有可行的輸入 u 以及任意時間 t geq 0 ，以下的不等式都成立 上述不等式中的函式 gamma 稱為增益（gain）。 很明顯的，ISS 系統是 0GAS 系統，也有有界輸入有界輸出穩定性（若令輸出等於狀態），不過 0GAS 系統不一定是 ISS 系統。 也可以證明若在 t to infty 時，u t to 0，則在 t to infty 時，x t to 0。 輸入 狀態穩定性質的特點 為了要瞭解輸入 狀態穩定性，需要用其他的穩定性術語來重新說明。 系統 為全域穩定（GS），若存在 gamma sigma in mathcal K ，使得對於 forall u、forall t geq 0 及 forall x_0 ，下式都成立 系統 滿足漸近增益（AG）特性，若存在 gamma in mathcal K ，使得對於 forall x_0 forall u，下式都成立 以下的描述都是等效的 Eduardo D Sontag and Yuan Wang New characterizations of inputtostate stability IEEE Trans Automat Control 41 912831294 1996： 有 ISS（輸入 狀態穩定性） 是 GS（全域穩定），且有 AG（漸近增益）特性 是 0GAS（在原點全域漸近穩定），且有 AG（漸近增益）特性 在論文中可以找到以上論述的證明，以及許多輸入 狀態穩定性的特性。 ISS 李亞普諾夫函式 ISS 李亞普諾夫函式是驗證輸入 狀態穩定性時的重要工具。 光滑函式 V mathbb Rn to mathbb R_ 是系統 的 ISS 李亞普諾夫函式，若 exists psi_1psi_2 in mathcal K_infty chi in mathcal K ，以及 正定函式 實值連續可微函式 正定函式 alpha，使得下式成立： psi_1 x leq V x leq psi_2 x quad forall x in mathbb Rn 以及 forall x in mathbb Rn forall uin mathbb Rm，下式成立： x geq chi u Rightarrow nabla V cdot f xu leq alpha x 函式 chi 稱為李亞普諾夫增益（Lyapunov gain）。 若系統 沒有輸入（也就是 u equiv 0），則最後一式可以簡化如下 nabla V cdot f xu leq alpha x forall x neq 0 因此 V 也是（一般定義的）李亞普諾夫函式。 E Sontag 和 Y Wang 得到的重要結論是系統 為 ISS，若且唯若存在光滑 ISS 李亞普諾夫函式 Eduardo D Sontag and Yuan Wang On characterizations of the inputtostate stability property Systems Control Lett 24 5351359 1995。 例子 考慮一系統 dot xx3ux2 定義候選的 ISS 李亞普諾夫函式 VR to R_ 如下 V xfrac 12 x2 quad forall x in R dot Vxnabla V cdot x3ux2 x4 ux3 選擇李亞普諾夫增益 chi 為 chi r frac 11epsilon r 可以得到在 xu x geq chi u 的條件下，下式成立 dot Vx leq x4 1epsilonx4 epsilonx4 可得 V 是該系統的 ISS 李亞普諾夫函式，李亞普諾夫增益為 chi。 其他相關概念 積分輸入 狀態穩定性（iISS） 系統 為積分輸入 狀態穩定性（integral inputtostate stable，iISS）若存在函式 alpha gamma in mathcal K 及 beta in mathcal Kmathcal L ，使得針對所有初值 x_0 ，所有可行的輸入 u 及任意時間 t geq 0 下，以下不等式都會成立： 積分輸入 狀態穩定性（iISS）系統和 ISS 系統不同，若系統是 iISS 系統，在有界輸入下其軌跡仍可能會成長到無限大。例如，在所有 r geq 0 ，令 alpha rgamma rr ，且令 u equiv c const，則估計 會變成以下的形式 x t leq beta x_0t int_0t cds beta x_0t ct 隨著 t to infty ，等號右側會趨近無限大 t to infty 。 區域性輸入 狀態穩定性（LISS） 區域性輸入 狀態穩定性也是一種輸入 狀態穩定性的特性。系統 為區域性輸入 狀態穩定性（locally ISS、LISS）若存在常數 rho0、函式 gamma in mathcal K 及 beta in mathcal Kmathcal L 使得：針對所有 x_0 in mathbb Rn x_0 leq rho ，所有可行的輸入 u u_infty leq rho 及任意時間 t geq 0 ，下式都成立 可以觀察到 0GAS 系統會有 LISS 系統的特性 Lemma I1 p1285 in Eduardo D Sontag and Yuan Wang New characterizations of inputtostate stability IEEE Trans Automat Control 41 912831294 1996。 其他的穩定性 也有其他人提出和輸入 狀態穩定性有關的穩定性特性，例如增量輸入 狀態穩定性（incremental ISS）、輸入至輸出動態穩定性（inputtostate dynamical stability、ISDS）Lars Grüne Inputtostate dynamical stability and its Lyapunov function characterization IEEE Trans Automat Control 47 914991504 2002、輸入至輸出實務穩定性（inputtostate practical stability、ISpS）、輸入至輸出穩定性（inputtooutput stability、IOS）ZP Jiang A R Teel and L Praly Smallgain theorem for ISS systems and applications Math Control Signals Systems 7 295120 1994 等。 時滯系統的 ISS 考慮非時變的時滯微分方程 其中 xtin C theta0RN 是系統 在時間 t 的狀態，xt taux ttau tauin theta0 及 fC theta0RN times Rm 需滿足特定假設，以確保系統 的解存在且唯一。 系統 為 ISS，若且唯若存在函式 betain mathcal KL 及 gammainmathcal K，使得針對所有 xiin C left theta0rightRN，所有可行的輸入，在任意時間 tinR_ 下，下式都成立 在時滯系統的 ISS 理論中，提出了二個不同的李亞普諾夫型的充份條件：透過 ISS LyapunovRazumikhin 函式 Andrew R Teel Connections between Razumikhintype theorems and the ISS nonlinear small gain theorem IEEE Trans Automat Control 43 7960964 1998 及 ISS LyapunovKrasovskii 泛函 P Pepe and ZP Jiang A LyapunovKrasovskii methodology for ISS and iISS of timedelay systems Systems Control Lett 55 1210061014 2006。有些論文有提到有關時滯系統的逆李亞普諾夫定理 Iasson Karafyllis Lyapunov theorems for systems described by retarded functional differential equations Nonlinear Analysis Theory Methods Applications 64 3590 6172006。 其他型別系統的輸入 狀態穩定性 以非時變常微分方程為基礎的輸入 狀態穩定性是已有相當發展的理論。也有研究者將此理論應用在其他的系統中，例如時變系統 Y Lin Y Wang and D Cheng On nonuniform and semiuniform inputtostate stability for timevarying systems In IFAC World Congress Prague 2005、混合系統 C Cai and AR Teel Characterizations of inputtostate stability for hybrid systems Systems Control Letters 58 14753 2009 D Nesic and AR Teel A Lyapunovbased smallgain theorem for hybrid ISS systems In Proceedings of the 47th IEEE Conference on Decision and Control Cancun Mexico Dec 911 2008 pages 33803385 2008。近來也有人提出，將輸入 狀態穩定性的一些概念擴充套件到無限維系統的想法 Bayu Jayawardhana Hartmut Logemann and Eugene P Ryan Infinitedimensional feedback systems the circle criterion and inputtostate stability Commun Inf Syst 8 4413414 2008Dashkovskiy S and Mironchenko A Inputtostate stability of infinitedimensional control systems In Mathematics of Control Signals and Systems MCSS2013Iasson Karafyllis and ZhongPing Jiang Stability and stabilization of nonlinear systems Communications and Control Engineering Series SpringerVerlag London Ltd London 2011F Mazenc and C Prieur Strict Lyapunov functions for semilinear parabolic partial differential equations Mathematical Control and Related Fields 1231250 June 2011。 參考資料 Category 非線性控制