在數學中，數學巧合指的是兩個數學表示式的值極為接近，卻未有任何理論解釋的現象。 例如，2 的 10 次方非常接近於整數 1000： 210 1024 approx 1000 103 工程學中有時會利用數學巧合，使用某個表示式去近似計算另一個表示式。 有理數近似 在某些情況下，用簡單的有理數近似可以極其逼近某個無理數。大部分這類巧合可以用無理數的連分數表示法來解釋；但是，若要進一步探究連分數展開中出現的不尋常大項，則有時是無法透過理論解釋的。 π 圓周率的第一個連分數近似 3 7 227 31428，由阿基米德給出，誤差約為 004。的連分數近似的前三項 3 7 15 1 355113 31415929，由祖沖之給出，精確到小數點後 6 位。之所以會在連分數近似的第三項達到如此高精確度是因為連分數表示 3 7 15 1 292 中的下一項 292 是不尋常的大項。 pi approx 4 sqrt varphi 31446dots，其中 φ 為黃金分割率。此式與開普勒三角有關。有人認為胡夫金字塔的建造利用了一個或多個數學巧合，但不是刻意為之的可能性更大。另一個關於黃金分割率的近似是 piapproxfrac 65varphi2，誤差在 0002 以內。 位於圓周率小數點後第 762 位的連續的六個 9。對於一個隨機選取的正規數，能在小數點後 762 位就出現一組特別的六位數字的機率只有 008。是否是一個正規數還不為人知。 e 1828 這一串數字在 e 2718281828 的小數點後 9 位中就連續出現了兩回。 在 1828 後，459045 為小數點後第 1015 位，到此仍近似於有規律的有理數。 e 的前 50 萬位中出現了一串 99999999（8 個 9）。 2 的冪 210 1024 approx 1000 103，誤差為 24。對應的有理近似（rational approximation）為：textstylefrac log10log2 approx 33219 approx frac 103 或 2 approx 10310，誤差在 03 以內。這個數學巧合在工程學中有實際應用：例如兩個功率比為 1：2 的訊號，分貝數大約有 3 dB 的差異（準確值為 30103 dB，見）；也可以用於聯絡 KiB 與 KB（見二進位制乘數詞頭）。 27 128 approx 125 53，誤差約為 24，對應的有理近似為：textstylefrac log5log2 approx 23219 approx frac 73 或 2 approx 537，誤差也在 03 以內。在攝影中，可以應用此近似估計相機的設定：如果曝光時間從 1 秒減少為 1125 秒，若要保持曝光值不變，可以光圈轉動 7 格（stop）；由於光圈環轉動一格，照度相差一倍，7 格光圈對應的就是照度 27 128 倍的變化，大致符合倒易律的要求。 2712approx 32，誤差約為 01。十二平均律用 7 個半音來近似五度相生律的純五度即為此數學巧合的應用。 28approx 35 219approx 312 229approx 12122 數字表達式 包含 π pi2approx10；誤差約為 13 Frank Rubin The Contest Center Pi ，可以透過 ζ 函式的公式 zeta 2pi26 來理解這個近似 Why is pi2 so close to 10 Noam Elkies。 pi2approx 22723；誤差約為 00004。 pi3approx 31；誤差約為 002。 pi5approx 306；誤差約為 02。 sqrt 5pi31approx 2；誤差約為 0004。 piapproxleft 92frac 19222right14 或 22pi4approx 2143 精確度達到小數點後八位（出自拉馬努金的《Quarterly Journal of Mathematics》 XLV 1914 pp 350372）。拉馬努金寫道，這是透過 經驗性地獲得的 關於 pi 的一個 令人好奇的近似，和文章中的其他理論沒有任何聯絡。 sqrt 4frac 214322 31415926525 dots sqrt 5306 314155 dots sqrt 6frac 1730518 31415924 dots sqrt 7frac 211427 314159 dots sqrt 11294204 31415926 dots sqrt 2726487841119103 314159265358979 dots 一些貌似合理的近似甚至達到了極高的精確度，但仍然只是一種數學巧合。例如： int_0infty cos 2xprod_n1infty cosleft frac xnrightmathrm d x approx frac pi8 式子的兩邊直到小數點後第 42 位才有所不同。 包含 π 和 e pi4pi5approx e6，誤差約為 0000 005。 sqrt 433 epi approx 5，誤差約為 0008。 3frac pi e4 approx 5，誤差約為 0000 538（Joseph Clarke 2015）。 epi piapprox 1999909998 （Conway Sloane Plouffe 1988），等價於 pi20i0999 999 999 2ldots icdot 0000 039ldots approx 1。 pi32e2399998ldotsapprox 10 efrac pi9 e4frac pi9 e9frac pi9 e16frac pi9 e25frac pi9 e36frac pi9 e49frac pi9 e64frac pi9 100000000000105 approx 1 包含 π 或 e 和 163 163cdot pi e approx 69，誤差約為 00005。 frac 163ln 163 approx 25，誤差約為 0000004。 拉馬努金常數：episqrt 163 approx 26cdot 100053744，誤差約為 29cdot 1028，於 1859 年由夏爾埃爾米特發現。 對數 ln 2approx left frac 25rightfrac 25，誤差約為 000024。 log_2 log_2 3approx frac 23 其他 偶然對消： frac 16 64 frac 1not6 not6 4 frac 1 4， frac 26 65 frac 2not6 not6 5 frac 2 5， frac 19 95 frac 1not9 not9 5 frac 1 5， frac 4998frac 4not9not98frac 48，並且這四個分數的乘積恰好為 1100。 傅利曼數： 127 1 27。127 是最小的好傅利曼數。 3 43 343 Prime Curios 343 25 cdot 92 2592。2592 也是一個好傅利曼數 Erich Friedman Problem of the Month August 2000 。 水仙花數： 13 53 33 153 33 73 03 370 33 73 13 371 43 03 73 407 666 sin 666circ cos 6cdot6cdot6circ varphi2，其中 varphi 是黃金分割率。 phi 6666cdot6cdot6，其中 phi 為尤拉函式。 生日問題中的 lambdafrac 136523choose 2frac 253365 與 ln 2 的小數點後前四位是相同的。 31、331、3331、33331、333331、3333331 和 33333331 都是素數，但 33333333117 cdot 19607843 不是素數。 123456789 cdot 8 987654312。 2646798 21624364759687；符合這類條件的數字中最大的一個是 12157692622039623539。 334433553435。 81281。81 是除了 0 和 1 以外唯一符合這類條件的數字。 4 9 1 33 4 913、5 8 3 23 5 832 和 1 9 6 8 3319 683。 588223532 5882353 與 117 00588235294117647ldots 的小數點後前八位 005882353 有重合。5882353 恰好還是一個素數。 10 6 cdot 7 1 cdot 3 cdot 5 cdot 7Harvey Heinz Narcissistic Numbers 。 1 4 5 145。符合這類條件的數只有四個：1、2、145 和 40585。 33435363 56 approx 2 times 65 物理世界中的數字巧合 光速 光速的定義之所以是 299792458 ms（非常接近 300000000 ms 的一個值），是因為一公尺的最初定義是透過巴黎的子午線上從地球赤道到北極點距離的千萬分之一 decimalization is not of the essence of the metric system the real significance of this is that it was the first great attempt to define terrestrial units of measure in terms of an unvarying astronomical or geodetic constant The metre was in fact defined as one ten millionth of one quarter of the earths circumference at sealevel Joseph Needham Science and Civilisation in China Cambridge University Press 1962 vol4 pt1 p42，而地球的周長恰好約為一光秒的 215。光速也可以被初略地估計為一英尺每納秒（準確值為 09836 ftns）。 地球直徑 地球的極直徑約為 5 億英尺，誤差約為 01。 重力加速度 雖然地球的重力加速度會隨著緯度和海拔的不同而變化，但其值在 974ms2 與 987ms2 之間，接近 10ms2。因此，根據牛頓第二定律，一千克物體在地球表面受到的重力約為 10 牛頓。這一巧合實際上和之前提到的 的平方接近 10 有關。公尺的一個早期定義是將半週期為一秒的單擺的擺長定義為一公尺。由於當擺角較小時，單擺的週期公式為： T approx 2pi sqrtfrac Lg 在這個定義下，重力加速度就會和 的平方相等。後來，基於地球的周長非常接近 40000000 倍的此定義下的一公尺的事實，公尺才被重新定義為地球周長的 40000000 分之一。 另外，重力加速度的估計值 98 ms2 等於 103 光年 年 2；這是一個非常接近 1 的值。 裡德伯常量 裡德伯常量乘上光速的值接近於 frac pi23times 1015 text Hz： underline 32898 41960364 17 times 1015 text Hz R_infty c underline 32898 68133696ldots frac pi23 英里的立方與公里的立方 一英里的立方約等於 frac 43pi 乘以一公里的立方（誤差約為 05），意味著一個半徑為 n 公里的球體與邊長為 n 英里的立方體的體積幾乎相等。 精細結構常數 精細結構常數 alpha 的值接近 frac1 137：alpha frac1 137035999074dots 。 值得注意的是，因為 alpha 是一個無量綱量，所以這一巧合與人為選定的單位系統無關。 參考資料 接近整數 數學之美 人擇原理 生日問題 水仙花數 開普勒三角 數學巧合 註釋 參考資料 外部連結 （俄文） В Левшин Магистр рассеянных наук Москва Детская Литература 1970 256 с Hardy G H A Mathematicians Apology New York Cambridge University Press 1993 Various mathematical coincidences in the Science Math section of futilityclosetcom Press W H Seemingly Remarkable Mathematical Coincidences Are Easy to Generate Category 數學術語 Category 趣味數學