泊松求和公式（英文：）由法國數學家泊松所發現，它陳述了一個連續時間的訊號，做無限多次的週期複製後，其傅立葉級數與其傅立葉轉換之間數值的關係，亦可用來求週期訊號的傅立葉轉換。 公式 設無週期函式 s x 具有傅立葉變換： S f triangleq int_inftyinfty s x ei2pi fx dx 這裡的 S f 也可以替代表示為 hat s f 和 mathcal Fsf。有如下基本的泊松求和公式： sum_ninftyinfty s nsum_kinftyinfty S k 對於二者透過而得到的週期函式： s__Px triangleq sum_ninftyinfty s x nP quad n in mathbb Z S_1Tf triangleq sum_kinftyinfty S f kT quad kT in mathbb Z 這裡的引數 T0 並且 P0，它們有著同 x 一樣的單位。有如下普遍的泊松求和公式： s__Px sum_kinftyinfty underbrace frac 1Pcdot S kP_S k ei 2pi frac kP x quad k in mathbb Z 這是一個傅立葉級數展開，其係數是函式 S f 的取樣。還有： S_1Tf sum_ninftyinfty underbrace Tcdot s nT_s n ei 2pi n Tf quad nT in mathbb Z 這也叫做離散時間傅立葉變換。 推導泊松求和公式所需的先備公式 考慮狄拉克 δ 函式 delta t，製作一個有無限多個 delta t，且間隔為 T_0 的週期函式 sum_ninftyinftydelta tnT_0。 其傅立葉轉換為①sum_ninftyinfty ej2pi nT_0f②frac 1T_0sum_ninftyinftydeltaleft ffrac nT_0right 證明①轉換對 mathcal Fleftsum_ninftyinftydelta tnT_0rightsum_ninftyinftymathcal Fleftdelta tnT_0right sum_ninftyinfty ej2pi nT_0f。 證明②轉換對 設 c_n 為週期函式 sum_ninftyinftydelta tnT_0 的傅立葉級數。 sum_ninftyinftydelta tnT_0 可表示為 sum_ninftyinfty c_n ej2pi nfrac tT_0。 由傅立葉級數得 c_nfrac 1T_0int_frac T_02frac T_02sum_minftyinftydelta tmT_0 ej2pi nfrac tT_0 dtfrac 1T_0int_frac T_02frac T_02delta t ej2pi nfrac tT_0 dtfrac 1T_0int_frac T_02frac T_02delta t ej2pi nfrac 0T_0 dtfrac 1T_0。 因此，mathcal Fleftsum_ninftyinftydelta tnT_0rightmathcal Fleftsum_ninftyinfty c_n ej2pi nfrac tT_0rightsum_ninftyinftyfrac 1T_0mathcal Fleftej2pi nfrac tT_0rightfrac 1T_0sum_ninftyinftydelta fnfrac 1T_0。 得到等式sum_ninftyinfty ej2pi nT_0ffrac 1T_0sum_ninftyinftydeltaleft ffrac nT_0right， 經由適當的變數代換，T_0 以 frac 1T_0 代換，f 以 t 代換，得 sum_ninftyinftydeltaleft tnT_0rightfrac 1T_0sum_ninftyinfty ej2pi nfrac 1T_0 tfrac 1T_0sum_ninftyinfty ej2pi nfrac 1T_0 t因為 n 從負無限大到正無限大 推導泊松求和公式 從對頻域做取樣尋找關係式 sum_ninftyinfty x tnT_0 sum_ninftyinfty x tdelta tnT_0 x tsum_ninftyinftydelta tnT_0 x tfrac 1T_0sum_ninftyinfty ej2pi nfrac 1T_0 t frac 1T_0sum_ninftyinfty x tej2pi nfrac 1T_0 t frac 1T_0sum_ninftyinftyint_inftyinfty x tau ej2pi nfrac 1T_0ttau dtau frac 1T_0sum_ninftyinftyleftint_inftyinfty x tau ej2pi nfrac 1T_0tau dtau ej2pi nfrac 1T_0 tright frac 1T_0sum_ninftyinfty X frac nT_0 ej2pi nfrac 1T_0 t 當 t0 時，得 sum_ninftyinfty x nT_0frac 1T_0sum_ninftyinfty X frac nT_0， 表示一個訊號的在時域以 T_0 為間隔做取樣，在頻域以 frac 1T_0 為間隔做取樣，則兩者的所有取樣點的總和會有 T_0 倍的關係。 從對時域做取樣尋找關係式 frac 1T_0sum_ninftyinfty X ffrac nT_0 frac 1T_0sum_ninftyinfty X fdelta ffrac nT_0 X ffrac 1T_0sum_ninftyinftydelta ffrac nT_0 X fsum_ninftyinfty ej2pi nT_0f sum_ninftyinfty X fej2pi nT_0f sum_ninftyinftyint_inftyinfty X lambda ej2pi nT_0 flambda dlambda sum_ninftyinftyleftint_inftyinfty X lambda ej2pi nT_0lambda dlambda ej2pi nT_0fright sum_ninftyinfty x nT_0 ej2pi nT_0f 當 f0 時，得 frac 1T_0sum_ninftyinfty X frac nT_0sum_ninftyinfty x nT_0， 表示一個訊號的在時域以 T_0 為間隔做取樣，在頻域以 frac 1T_0 為間隔做取樣，則兩者的所有取樣點的總和會有 T_0 倍的關係。 綜合上述，若時域取樣間隔 T_01 時，同樣地，頻域取樣間隔 frac 1T_01 時，得泊松求和公式 sum_ninftyinfty x nsum_kinftyinfty X k。 週期訊號的傅立葉轉換 考慮一個週期為 T_0 的週期訊號 g t，G f 為 g t 的傅立葉轉換，取出 g t 在區間 frac T_02frac T_02 的一個完整週期 x t，亦即 x tg t rect frac tT_0，X f 是 x t 的傅立葉轉換，其中 rect t 是矩形函式。a_n 是 g t 的傅立葉級數。 則 G f mathcal Fleftsum_ninftyinfty a_nej2pi nfrac 1T_0 tright sum_ninftyinfty a_n delta ffrac nT_0 sum_ninftyinftyfrac 1T_0 X frac nT_0delta ffrac nT_0 得出一週期訊號的傅立葉轉換與其傅立葉級數之間的關係。 引用 延伸閱讀 Category 傅立葉分析 Category 廣義函式 Category 格點 Category 分析定理 Category 可和法