控制理論中的可觀察性（observability）是指系統可以由其外部輸出推斷其其內部狀態的程度。系統的可觀察性和可控制性是數學上對偶的概念。可觀察性最早是匈牙利裔工程師魯道夫卡爾曼針對線性動態系統提出的概念 Kalman R E On the General Theory of Control Systems Proc 1st Int Cong of IFAC Moscow 1960 1481 Butterworth London 1961Kalman R E Mathematical Description of Linear Dynamical Systems SIAM J Contr 1963 1 152。若以訊號流圖來看，若所有的內部狀態都可以輸出到輸出訊號，此係統即有可觀察性。 定義 若以正式的定義來看，一系統具有可觀察性若且唯若，針對所有的狀態向量及控制向量，都可以在有限時間內，只根據輸出訊號來識別目前的狀態（此定義比較接近狀態空間的表示方式）。比較不正式的說法，就表示可以根據系統輸出來判斷整個系統的行為。若系統不可觀察，表示其中部份狀態的值無法透過輸出訊號來判定。這也表示控制器無法知道這個狀態的值（此時就要透過其他的估測技術才能知道其狀態）。 在用狀態空間表示的線性時不變系統中，有一個簡單的方式來確認系統是否可觀測。考慮一個有 n 個狀態的單一輸入單一輸出系統，若以下可觀測性矩陣（observability matrix）中的 zhhans 行；zhhant 列； 秩 mathcal Obegin bmatrix C CA CA2 vdots CAn1 end bmatrix 等於 n，則此係統為可觀測系統。此一測試的原理是若 n 個 zhhans 行；zhhant 列； 是線性獨立的，則 n 個狀態可以透過輸出變數 y k 的線性組合來得知。 有些系統會利用對輸出的量測來估計系統的狀態，這類功能的模組稱為狀態觀測器（state observer）或簡稱為觀測器（observer）。 可觀測性指數 線性時不變系統的可觀測性指數（Observability index） v 是滿足 text rankmathcal O_v text rankmathcal O_v1 的最小自然數，其中 mathcal O_vbegin bmatrix C CA CA2 vdots CAv1 end bmatrix 不可觀測子空間 線性系統 AC 不可觀測子空間 N 是線性對映 G 的核 G Rn rightarrow mathcal Ct_0t_1Rn x_0 mapsto CPhi t_0t_1 x_0 其中 mathcal Ct_0t_1Rn 是連續函式 f t_0t_1 to Rn 的集合，且 Phi t_0t_1 是和 A 相關的狀態傳遞矩陣。 若 AC 是自主系統（autonomous system），N 可以改寫為 N bigcap_k0n1 ker CAk ker mathcal O 例子：考慮以下的 A 和 C： A begin bmatrix 1 0 0 1 end bmatrix C begin bmatrix 0 1 end bmatrix 若可觀測性矩陣定義為 mathcal O CTATCTT，可以計算如下： mathcal O begin bmatrix 0 1 0 1 end bmatrix 因此可以計算可觀測性矩陣的核。 mathcal O v 0 begin bmatrix 0 1 0 1 end bmatrix begin bmatrix v1 v2 end bmatrix begin bmatrix 0 0 end bmatrix to vbegin bmatrix v1 0 end bmatrix to vv1begin bmatrix 1 0 end bmatrix Ker mathcal O N spanbegin bmatrix 1 0 end bmatrix 若 Rank mathcal On，n 為可觀測性矩陣中獨立 zhhans 行；zhhant 列； 的個數，表示系統可觀測。在此例中 det mathcal O0，因此 Rank mathcal On，此係統不可觀測。 因為不可觀測子空間為 Rn 的子空間，因此以下的性質成立： Sontag ED Mathematical Control Theory Texts in Applied Mathematics 1998 N subset Ke C A N subset N N bigcup S subset Rn mid S subset Ke C A S subset N 可偵測性 可偵測性（detectability）是比可觀測性略弱一些的條件。若系統內所有不可偵測的狀態都是穩定的，此係統即具有可偵測性。 線性時變系統 考慮連續時間下的線性時變系統 dot mathbf xt A t mathbf xt B t mathbf ut mathbf yt C t mathbf xt 若 t in t_0t_1 的時間內，AB 和 C 矩陣都已知，而輸入及輸出 u 和 y 也都已知，可以透過一個額外在 M t_0t_1 核之內的向量來確認 x t_0，M t_0t_1 定義如下 M t_0t_1 int_t_0t_1 phi tt_0T C tT C tphi tt_0 dt 其中 phi 為狀態轉換矩陣。 若 M t_0t_1 為非奇異方陣，可以找到一個唯一的 x t_0。而且若 x_1 x_2 是在 M t_0t_1 的核內，不可能由 x_2 找到對應的啟始狀態 x_1。 上述定義的 M 有以下的特性： M t_0t_1 為對稱矩陣 M t_0t_1 在 t_1 geq t_0 時，為半正定矩陣 M t_0t_1 滿足線性 frac ddt M tt_1 A tT M tt_1M tt_1 A tC tT C t M t_1t_1 0 M t_0t_1 滿足以下方程 M t_0t_1 M t_0t phi tt_0T M tt_1phi tt_0 可觀測性 系統在 t_0t_1 可觀測，若且唯若在存在區間 t_0t_1 in mathbb R，使得矩陣 M t_0t_1 為非奇異方陣。 若 A t C t 可解析，則系統在 t_0t_1 可觀測的條件是存在 bar t in t_0t_1 以及正數 k 使得 Eduardo D Sontag Mathematical Control Theory Deterministic Finite Dimensional Systems rank begin bmatrix N_0 bar t N_1 bar t N_kbar t end bmatrix n 其中 N_0 tC t，而 N_i t 可用以下方式遞迴定義 N_i1t N_i t A t frac mathrm dmathrm d t N_i t i 0 ldots k1 例子 考慮一個在 inftyinfty 內解析的時變系統，矩陣為 A t begin bmatrix t 1 0 0 t3 0 0 0 t2 end bmatrix C t begin bmatrix 1 0 1 end bmatrix 則 begin bmatrix N_0 0 N_1 0 N_2 0 end bmatrix begin bmatrix 1 0 1 0 1 0 1 0 0 end bmatrix，因為矩陣的秩為 3，因此在 mathbb R 內所有非平凡區間內都是可控制的。 非線性系統 假設系統 dot x f x sum_j1mg_j x u_j y_i h_i x i in p，其中 x in mathbb Rn 為狀態向量，u in mathbb Rm 為輸入向量，而 y in mathbb Rp 為輸出向量。fgh 都是光滑的向量場。 定義可觀測空間 mathcal O_s 為包括所有李導數及多重李導數的空間。此空間在 x_0 可觀測若且唯若 textrm dimdmathcal O_s x_0 n。 註 dmathcal O_s x_0 mathrm spandh_1 x_0 ldots dh_p x_0 dL_v_i L_v_i1 ldots L_v_1 h_j x_0 jin p k12ldotsLecture notes for Nonlinear Systems Theory by prof dr DJeltsema prof dr JMAScherpen and prof dr AJvan der Schaft Griffith 及 KumarGriffith E W and Kumar K S P On the Observability of Nonlinear Systems I J Math Anal Appl 1971 35 135、Kou、Elliot 及 TarnKou S R Elliott D L and Tarn T J Observability of nonlinear systems Information and Control 228999 1973 及 SinghSingh SN Observability in Nonlinear Systems with immeasurable Inputs Int J Syst Sci 6 723 1975 是早期發展非線性動態系統的可觀測性準則的先驅。 靜態系統及一般拓撲空間 可觀測性也可以用來描述穩態系統（一般會用代數方程及不等式來定義），甚至是 mathbb Rn 內的集合 。就像可觀測性準則可以預測動態系統中卡爾曼濾波或其他觀測器的行為一様，mathbb Rn 內集合的可觀測性準則也可以預測及其他靜態觀測器的行為。在非線性的例子中，可以針對個別變數或區部特性來判斷可觀測性，不需針對全域特性來判斷。 相關條目 可控制性 可識別性 狀態觀測器 狀態空間 可觀測性格拉姆矩陣 參考資料 外部連結 MATLAB function for checking observability of a system Mathematica function for checking observability of a system Category 控制理論