狹義相對論中的加速度類似於牛頓力學中的概念，乃速度對於時間的微分。因為相對論中的勞侖茲轉換及時間膨脹，時間與距離的概念變為複雜，因此「加速度」的定義也變得複雜。狹義相對論為平直閔考斯基時空的理論，即使加速度存在依然有效，前提是能量動量張量所造成的重力場效應可以忽略。否則，則需用到廣義相對論以及彎曲時空來詮釋。在地球表面附近，時空彎曲程度不明顯，因此實務上採用狹義相對論來詮釋物理現象仍是合宜作法，比如粒子加速器實驗。Misner Thorne Wheeler 1973 p 163 Accelerated motion and accelerated observers can be analyzed using special relativity 如同在外界慣性座標系中的測量，三維空間中的普通加速度（稱為「三維加速度」或「座標加速度」）的轉換式可以推導得出。此外作為一特例，也可用共動（comoving）的加速規來測量固有加速度。另一種有用的形式是四維加速度，其分量可透過勞侖茲轉換在不同參考系中做連結。連結加速度與力的運動方程式也可得到。幾種特殊形式的加速物體運動方程式以及它們的彎曲世界線可以透過對上述方程式的積分求得。知名的特例如，適用於常數值縱向固有加速度的例子，以及等速率圓周運動。最後，在狹義相對論的架構下，描述加速參考系中的物理現象亦為可行。 歷史演進上，在相對論發展的早年即已出現包含加速度的相對論性方程式，在早年的教科書中有整理，如馬克斯馮勞厄（1911 年、1921 年）von Laue 1921 或沃夫岡包立（1921 年）。Pauli 1921 舉例來說，運動方程式以及加速度轉換式於以下學者的論文中建立起來：亨德里克勞侖茲（1899 年、1904 年）、儒勒昂利龐加萊（1905 年）、阿爾伯特愛因斯坦（1905 年）、馬克斯普朗克（1906 年）；四維加速度、固有加速度與雙曲運動的分析參見赫爾曼閔考斯基 （1908 年）、馬克斯玻恩（1909 年）、（1909 年）、阿諾索末菲（1910 年）、馮勞厄（1911 年）。 三維加速度 在牛頓力學與狹義相對論中，三維加速度或座標加速度的定義保持一致。mathbf aleft a_x a_y a_zright 是速度 mathbf uleft u_x u_y u_zright 對座標時間的一階導數，亦即是位置 mathbf rleft x y zright 對座標時間的二階導數： mathbf afrac dmathbf udtfrac d2mathbf rdt2。 然而在另一相異的慣性參考系中做三維加速度測量時，兩項理論的預測就出現重大歧異。牛頓力學中，時間是絕對的（tt），採用的慣性系轉換式為伽利略轉換。因此，從伽利略轉換推導而得的三維加速度在所有慣性系中皆相同：Sexl Schmidt 1979 p 116 mathbf amathbf a。 相反地，在狹義相對論中，mathbf r 與 t 兩者皆與勞侖茲轉換相依，因此三維加速度 mathbf a 及其分量在不同慣性系也各不相同。當慣性系間的相對速度是沿著 x 軸，即 vv_x（gamma_v1sqrt 1v2c2 為相對應的勞侖茲因子），勞侖茲轉換式為： 或是對於一長度 v 及任意方向的速度向量 mathbf vleft v_x v_y v_zright（其中 mathbf v v sqrt v_x2 v_y2 v_z2），勞侖茲轉換式為：Møller 1955 p 41 為了求得三維加速度的轉換式，必須分別對勞侖茲轉換式中的空間座標 mathbf r 及 mathbf r 做時間 t 與 t 的微分。首先是得到三維速度 mathbf u 及 mathbf u 的轉換式（亦稱為速度加成式）；爾後再次做時間 t 與 t 的微分運算而得到三維加速度 mathbf a 及 mathbf a 的轉換式。從式 出發，所得到的轉換式為平行（x 方向）與垂直（y、z 方向）於速度 vv_x 之加速度：Tolman 1917 p 48French 1968 p 148Zahar 1989 p 232Freund 2008 p 96 若從式 出發，則得到通解，速度與加速度可以是任意方向：Kopeikin Efroimsky Kaplan 2011 p 141Rahaman 2014 p 77 此轉換式表示：若有兩慣性系 S 與 S，兩者相對速度 mathbf v，則 S 系中測到一物體瞬時速度為 mathbf u、加速度為 mathbf a，該物體在 S 系中則具有瞬時速度 mathbf u、加速度 mathbf a。一如速度加成式，這些加速度轉換式可保證一物體無法加速到光速，遑論超過光速。 四維加速度 若改採用四維向量，即 mathbf R 乃四維位置，mathbf U 乃四維速度，則一物體的四維加速度 mathbf Aleft A_t A_x A_y A_zrightleft A_t mathbf A_rright 可透過對原時 mathbf tau 的微分求得：Pauli 1921 p 627Freund 2008 pp 267268Ashtekar Petkov 2014 p 53 其中 mathbf a 為物體的三維加速度；mathbf u 為物體的瞬時三維速度，長度為 mathbf uu，所對應的勞侖茲因子為 gamma1sqrt 1u2c2。若只考慮空間分量且速度是沿著 x 方向（即 uu_x），且只考慮與速度平行（x 方向）或垂直（y、z 方向）的加速度，則關係式可簡化為：Sexl Schmidt 1979 p 198 Solution to example 161Ferraro 2007 p 178 mathbf A_rmathbf aleft gamma4 gamma2 gamma2right 與前述的三維加速度不同，四維加速度不需要推導新的轉換關係式，因為所有四維向量（包括四維加速度）在兩個具有相對速度 v 的慣性系之間都呈現勞侖茲協變性。因此只要將式 中的 x y z ct 代換為 A_x A_y A_z A_t，即為四維加速度在兩慣性系之間的轉換式：Sexl Schmidt 1979 p 121 begin arraycc begin align A_xprime gamma_vleft A_xfrac vc A_tright A_yprime A_y A_zprime A_z A_tprime gamma_vleft A_tfrac vc A_xright end align begin align A_x gamma_vleft A_xprimefrac vc A_tprimeright A_y A_yprime A_z A_zprime A_t gamma_vleft A_tprimefrac vc A_xprimeright end align end array 又或將式 中的 mathbf r ct 代換為 mathbf A_r A_t，亦可得到任意相對速度 mathbf v 情形的轉換式： begin arraycc begin alignmathbf A_rprime mathbf A_rfrac mathbf vcleft frac left mathbf A_rcdotmathbf vright cv2left gamma_v1rightA_tgamma_vright A_tprime gamma_vleft A_tfrac mathbf A_rcdotmathbf vcright end align begin alignmathbf A_r mathbf A_rprimefrac mathbf vcleft frac left mathbf A_rprimecdotmathbf vright cv2left gamma_v1rightA_tprimegamma_vright A_t gamma_vleft A_tprimefrac mathbf A_rprimecdotmathbf vcright end align end array 此外，四維加速度自身內積 mathbf A2A_t2mathbf A_r2 及向量大小 mathbf Asqrt mathbf A2 為不變數（這裡所採用的度規標記（metric signature）為），因此：Kopeikin Efroimsky Kaplan 2011 p 137 固有加速度 在無限小的瞬間，總有一慣性系 S 與一加速物體（加速參考系）相對靜止，即兩者相對速度為 0。在這樣的慣性系中，勞侖茲轉換成立。相對應的三維加速度 mathbf a0left a_x0 a_y0 a_z0right 可透過加速規直接測量，稱之為固有加速度 Rindler 1977 pp 4950 或靜止加速度。von Laue 1921 pp 8889 此瞬時慣性系 S 中的 mathbf a0 與外界另一慣性系 S 所測到的 mathbf a 之間的關係式為 與 ，其中 mathbf amathbf a0，mathbf u0，mathbf umathbf v，而 gammagamma_v。因此如同 中的情形，速度沿 x 方向（uu_xvv_x），且只考慮與速度平行（x 方向）或垂直（y、z 方向）的加速度，則關係式為： 或將固有加速度此一特例條件代入通式 ，其中任意方向的速度 mathbf u 其長度為 mathbf uu：Rebhan 1999 p 775Nikolić 2000 eq 10 begin alignmathbf a0 gamma2left mathbf afrac mathbf acdotmathbf umathbf uu2left gamma1rightright mathbf a frac 1gamma2left mathbf a0frac mathbf a0cdotmathbf umathbf uu2left 1frac 1gammarightright end align 另外固有加速度與四維加速度的長度也有密切關係：如前述，四維加速度的長度為不變數，可在瞬間共動慣性系 S 中被測定，其中 mathbf A_rprimemathbf a0，且因 dtdtau1，d2 tdtau2A_tprime0：Rindler 1977 p 67 因此四維加速度長度對應到固有加速度長度。將此結果與式 結合，可得到將 S 系中 mathbf a0 與 S 系中 mathbf a 連結的另一種關係式求法，亦即： mathbf a0mathbf Asqrt gamma4left mathbf a2gamma2left frac mathbf ucdotmathbf acright2right 從這裡可得到式 ，只要再次採用如下條件：速度沿著 x 方向（uu_x），只考慮與速度平行（x 方向）或垂直（y、z 方向）的加速度。 加速度與力 四維力 mathbf F 可寫為三維力 mathbf f 的函式：mathbf Fgammaleft mathbf fcdotmathbf uc mathbf fright。四維力、四維加速度（式 ）以及不變質量 m 則具有如下關係式：mathbf Fmmathbf A；因此可得 Freund 2008 p 276 mathbf Fleft gammafrac mathbf fcdotmathbf uc gammamathbf frightmmathbf Amleft gamma4left frac mathbf ucdotmathbf acright gamma4left frac mathbf ucdotmathbf ac2rightmathbf ugamma2mathbf aright。 速度沿任意方向的情形下，三維力與三維加速度的關係式則可寫成：Rindler 1977 pp 8990Sexl Schmidt 1979 solution of example 162 p 198 當速度沿著 x 方向，即 uu_x，且僅考慮平行（x 方向）或垂直（y、z 方向）於速度方向的加速度與力，則三維力與三維加速度的關係式為： 牛頓力學中，將質量簡單定義為三維力與三維加速度的比值；此想法在狹義相對論中變為拙劣，因為這樣定義的質量將與速度的大小及方向相依。是故如下曾出現在舊版教科書中的質量定義在當代已捨棄不用：von Laue 1921 p 210Pauli 1921 p 635 m_Vertfrac f_xa_xmgamma3，稱為「縱向質量」； m_perpfrac f_ya_yfrac f_za_zmgamma，稱為「橫向質量」。 式 中三維加速度與三維力的關係式也可透過運動方程式求得：Tolman 1917 pp 7374Møller 1955 pp 7475 其中 mathbf p 是三維動量。若慣性參考系 S 與 S 間的相對速度為沿著 x 方向，即 vv_x，且僅考慮平行（x 方向）或垂直（y、z 方向）於速度方向的情形時，S 中的三維力 mathbf f 與 S 中的三維力 mathbf f 之間的轉換關係式可透過對 mathbf u、mathbf a、mgamma、d mgammadt 等相關轉換式做代換，或透過四維力進行勞侖茲轉換後取其分量，而得到以下結果：von Laue 1921 p 113 又或將之推廣到任意方向的 mathbf u 及 mathbf v（其中 mathbf vv）：Møller 1955 p 73Kopeikin Efroimsky Kaplan 2011 p 173 固有加速度與固有力 透過一共動彈簧秤來測量一瞬時慣性系中的力 mathbf f0 可稱為固有力。Shadowitz 1968 p 101Pfeffer Nir 2012 p 115 In the special case in which the particle is momentarily at rest relative to the observer S the force he measures will be the proper force 從式 與式 ，設定 mathbf fmathbf f0、mathbf u0、mathbf umathbf v、gammagamma_v 等條件，可得到固有力的關係式。當速度沿 x 軸，uu_xvv_x，且僅考慮平行（x 方向）或垂直（y、z 方向）之加速度，可採用式 ： 任意方向、大小為 mathbf uu 的速度 mathbf u 之通則採用式 ：Møller 1955 p 74Rebhan 1999 p 818 begin alignmathbf f0 mathbf fgammafrac mathbf fcdotmathbf umathbf uu2gamma1 mathbf f frac mathbf f0gammafrac mathbf f0cdotmathbf umathbf uu2left 1frac 1gammaright end align 因為 gamma1，牛頓力學關係式 mathbf f0mmathbf a0 在瞬時慣性系中成立，是故式 、式 、式 可歸結為：see Lorentzs 1904equations and Einsteins 1905equations in section on history 透過這些式子，歷史上對橫向質量 m_perp 定義中的明顯矛盾可以得到解釋。Mathpages see external links Transverse Mass in Einsteins Electrodynamics eq 23 愛因斯坦（1905 年）的定義是固有力與三維加速度的比值： m_perp mathrm Einsteinfrac f_y0a_yfrac f_z0a_zmgamma2， 而勞侖茲（1899 年與 1904 年）、普朗克（1906 年）的定義則是三維力與三維加速度的比值 m_perp mathrm Lorentzfrac f_ya_yfrac f_za_zmgamma。 彎曲世界線 對運動方程式做積分，可得到一加速物體的世界線，對應到一連串的瞬時慣性系。如此則需考慮相關的「時鐘假設」：Rindler 1977 p 43Koks 2006 section 71 共動時鐘的原時與加速度無關。也就是說，對外部慣性系而言，這些時鐘的時間膨脹只相依於和外部慣性系之間的相對速度。以下是兩個簡單的彎曲世界線範例，透過對式 中固有加速度的積分而得： a ：式 中為恆定的縱向固有加速度 alphaa_x0a_xgamma3，造成世界線 Fraundorf 2012 section IVBPhysicsFAQ 2016，參見外部連結。 此世界線對應到雙曲方程式 c4alpha2left xc2alpharight2c2 t2，因此這樣的移動物體世界線被稱作雙曲運動。此方程組常用來計算孿生子悖論或貝爾太空船悖論的不同版本案例，亦與有關。 b 式 中為恆定的橫向固有加速度 a_y0a_ygamma2，可視為向心加速度，造成一勻速旋轉物體的世界線：Pauri Vallisneri 2000 eq 13Bini Lusanna Mashhoon 2005 eq 2829 begin align x rcosOmega_0 trcosOmegatau y rsinOmega_0 trcosOmegatau z z t gammataufrac tausqrt 1left frac rOmega_0cright2tausqrt 1left frac rOmegacright2 end align 其中 vrOmega_0 為切線速率，r 是軌道半徑；角速度 Omega_0 為座標時間的函式，另外 OmegagammaOmega_0 為固有角速度。 加速參考系 加速運動亦可透過加速座標系或來描述。以此方式建立的固有參考系與密切相關。Misner Thorne Wheeler 1973 Section 6Gourgoulhon 2013 entire book 舉例而言，一雙曲加速參考系的座標有時稱為潤德勒座標，而勻速旋轉參考系的情形，則稱為旋轉圓柱座標，或稱。 歷史 更多資訊請參見馮勞厄、包立、米勒 Miller 1981、ZaharZahar 1989、Gourgoulhon，以及狹義相對論發現史中的歷史資料。 1899 年：在一靜止靜電粒子系統 S_0（靜止於中）及具有相對平移的另一系統 S 之間，亨德里克勞侖茲在包含一因子 epsilon 的情況下，推導出了加速度、力、質量之間的正確關係，下式中 k 為勞侖茲因子： 中 mathbf fmathbf f0 項：frac 1epsilon2 frac 1kepsilon2 frac 1kepsilon2； 中 mathbf amathbf a0 項：frac 1k3epsilon frac 1k2epsilon frac 1k2epsilon； 中 mathbf fmmathbf a 項：frac k3epsilon frac kepsilon frac kepsilon，因此為縱向與橫向質量； 勞侖茲提到了他無法決定 epsilon 的值。若當時他設 epsilon1，則他的關係式會跟相對論關係式一模一樣。 1904 年：勞侖茲以更詳盡的方法推導初上述關係式，採用了靜止於系統 Sigma 及移動於系統 Sigma 之粒子的性質，搭配上新的輔助變數 l，相當於 1899 年推導中的 1epsilon，而得到： 中，mathbf f 為 mathbf f0 之函式，可得 mathfrak FSigmaleft l2 frac l2k frac l2krightmathfrak FSigma； 中，mmathbf a 為 mmathbf a0 之函式，可得 mmathfrak jSigmaleft l2 frac l2k frac l2kright mmathfrak jSigma； 中，mathbf a 為 mathbf a0 之函式，可得 mathfrak jSigmaleft frac lk3 frac lk2 frac lk2rightmathfrak jSigma； 中，縱向與橫向質量為靜質量之函式，可得 m Sigmaleft k3 l kl klright m Sigma。 這次勞侖茲可以展示 l1，而他的數學式與相對論形式完全相符。他也推導了運動方程式： displaystyle mathfrak Ffrac dmathfrak Gdt 而 displaystyle mathfrak Gfrac e26pi c2 R klmathfrak w 對應於 裡的 mathbf ffrac dmathbf pdtfrac d mgammamathbf udt，其中 l1、mathfrak Fmathbf f、mathfrak Gmathbf p、mathfrak wmathbf u、kgamma，以及視為的 me26pi c2 R。他更進一步地闡述：這些數學式不只適用於帶電粒子的力與質量，也適用於其他過程，因此使得乙太中地球運動的影響無法被偵測出來。 1905 年：儒勒昂利龐加萊引入了三維力的轉換式 X_1primefrac kl3frac rhorhoprimeleft X_1epsilonSigma X_1xirightquad Y_1primefrac rhorhoprimefrac Y_1l3quad Z_1primefrac rhorhoprimefrac Z_1l3 其中 frac rhorhoprimefrac kl31epsilonxi，而 k 為勞侖茲因子，rho 為電荷密度。或以現代符號表記：epsilonv，xiu_x，left X_1 Y_1 Z_1rightmathbf f，以及 Sigma X_1ximathbf fcdotmathbf u。與勞侖茲相同，他設定 l1。 1905 年：阿爾伯特愛因斯坦以其狹義相對論為基礎，推匯出運動方程式。此表示出等價慣性系之間的關係，而不需要用到機械式乙太。愛因斯坦總結到，在一瞬時慣性系 k 中，運動方程式維持牛頓力學形式： mufrac d2xidtau2epsilon Xquadmufrac d2etadtau2epsilon Yquadmufrac d2zetadtau2epsilon Z。 此關係式對應到 mathbf f0mmathbf a0，因為 mum，left frac d2xidtau2 frac d2etadtau2 frac d2zetadtau2rightmathbf a0，以及 left epsilon X epsilon Y epsilon Zrightmathbf f0。透過轉換式轉換至一相對移動之系統 K，他得到了在新參考系中能觀察到之電磁分量方程式： frac d2 xdt2frac epsilonmufrac 1beta3 Xquadfrac d2 ydt2frac epsilonmufrac 1betaleft Yfrac vV Nrightquadfrac d2 zdt2frac epsilonmufrac 1betaleft Zfrac vV Mright。 此關係式對應到 ，其中 mathbf afrac mathbf fmleft frac 1gamma3 frac 1gamma frac 1gammaright，因為 mum，left frac d2 xdt2 frac d2 ydt2 frac d2 zdt2rightmathbf a，left epsilon X epsilonleft Yfrac vV Nright epsilonleft Zfrac vV Mrightrightmathbf f，以及 betagamma。也因此，愛因斯坦決定了縱向與橫向質量，儘管他將之與瞬時慣性系 k 中的力 left epsilon X epsilon Y epsilon Zrightmathbf f0（可透過共動的彈簧秤測量）以及在系統 K 中之三維加速度 mathbf a 做了關聯： begin arraycc begin alignmubeta3frac d2 xdt2 epsilon Xepsilon X mubeta2frac d2 ydt2 epsilonbetaleft Yfrac vV Nrightepsilon Y mubeta2frac d2 zdt2 epsilonbetaleft Zfrac vV Mrightepsilon Z end align begin alignfrac muleft sqrt 1left frac vVright2right3 text 縱 向 質 量 frac mu1left frac vVright2 text 橫 向 質 量 end align end array 此關係式對應到 ，其中 mmathbf aleft gamma3 gamma2 gamma2rightmathbf fleft 1 gamma gammarightmathbf f0。 1905 年：龐加萊引入了三維加速度轉換式： frac dxiprimedtprimefrac dxidtfrac 1k3mu3quadfrac detaprimedtprimefrac detadtfrac 1k2mu2frac dxidtfrac etaepsilonk2mu3quadfrac dzetaprimedtprimefrac dzetadtfrac 1k2mu2frac dxidtfrac zetaepsilonk2mu3 其中 left xi eta zetarightmathbf u，以及 kgamma，epsilonv，mu1xiepsilon1u_x v。 他更進一步地引入了四維力，採如下形式： k_0 X_1quad k_0 Y_1quad k_0 Z_1quad k_0 T_1 其中 k_0gamma_0 and left X_1 Y_1 Z_1rightmathbf f，以及 T_1Sigma X_1ximathbf fcdotmathbf u 1906 年：馬克斯普朗克導出了運動方程式： frac mddot xsqrt 1frac q2c2emathfrak E_xfrac edot xc2left dot xmathfrak E_xdot ymathfrak E_ydot zmathfrak E_zrightfrac ecleft dot ymathfrak H_zdot zmathfrak H_yright text 等 等。 其中 eleft dot xmathfrak E_xdot ymathfrak E_ydot zmathfrak E_zrightfrac mleft dot xddot xdot yddot ydot zddot zrightleft 1frac q2c2right32 and emathfrak E_xfrac ecleft dot ymathfrak H_zdot zmathfrak H_yrightX text 等 等。 以及 frac ddtleftfrac mdot xsqrt 1frac q2c2right X text 等 等。 這些方程式對應到 ，其中 mathbf ffrac dmathbf pdtfrac d mgammamathbf udtmgamma3left frac mathbf acdotmathbf umathbf uc2rightmgammamathbf a，以及 Xf_x，qv，dot xddot xdot yddot ydot zddot zmathbf ucdotmathbf a，與勞侖茲（1904 年）所給的相應。 1907 年：愛因斯坦；English translation On the relativity principle and the conclusions drawn from it at Einstein paper project 分析了一均勻加速參考系，得到與座標相依的時間膨脹及光速之關係式，類同於 KottlerMøllerRindler 座標。 1907 年：赫爾曼閔考斯基定義了四維力（他稱之為「移動力」）與四維加速度之間的關係： mfrac ddtaufrac dxdtauR_xquad mfrac ddtaufrac dydtauR_yquad mfrac ddtaufrac dzdtauR_zquad mfrac ddtaufrac dtdtauR_t 對應到 mmathbf Amathbf F。 1908 年：閔考斯基將 xyzt 對原時作微分的二次導數稱之為「加速向量」（四維加速度）。他展示了：在世界線上任一點 P，此向量的大小為 c2varrho，其中 varrho 為從相對應「曲率雙曲線」之中心點指向點 P 所成之向量的大小。 1909 年：馬克斯玻恩 denotes the motion with constant magnitude of Minkowskis acceleration vector as hyperbolic motion in the course of his study of rigidly accelerated motion He set pdxdtau now called proper velocity and qdtdtausqrt 1p2c2 as Lorentz factor and tau as proper time with the transformation equations xqxiquad yetaquad zzetaquad tfrac pc2xi which corresponds to with xic2alpha and pcsinh alphatauc Eliminating p Born derived the hyperbolic equation x2c2 t2xi2 and defined the magnitude of acceleration as bc2xi He also noticed that his transformation can be used to transform into a hyperbolically accelerated reference system 1909 年： extends Borns investigation to all possible cases of rigidly accelerated motion including uniform rotation 1910 年：阿諾索末菲 brought Borns formulas for hyperbolic motion in a more concise form with lict as the imaginary time variable and varphi as an imaginary angle xrcosvarphiquad yyquad zzquad lrsinvarphi He noted that when ryz are variable and varphi is constant they describe the worldline of a charged body in hyperbolic motion But if ryz are constant and varphi is variable they denote the transformation into its rest frame 1911 年：索末菲 explicitly used the expression proper acceleration for the quantity dot v_0 in dot vdot v_0left 1beta2right32 which corresponds to as the acceleration in the momentary inertial frame 1911 年：黑格洛茲 explicitly used the expression rest acceleration instead of proper acceleration He wrote it in the form gamma_l0beta3gamma_l and gamma_t0beta2gamma_t which corresponds to where beta is the Lorentz factor and gamma_l0 or gamma_t0 are the longitudinal and transverse components of rest acceleration 1911 年：馬克斯馮勞厄 derived in the first edition of his monograph Das Relativitätsprinzip the transformation for threeacceleration by differentiation of the velocity addition begin alignmathfrak dot q_x left frac csqrt c2v2c2vmathfrak q_xprimeright3mathfrak dot q_xprime mathfrak dot q_y left frac csqrt c2v2c2vmathfrak q_xprimeright2left mathfrak dot q_xprimefrac vmathfrak q_yprimemathfrak dot q_xprimec2vmathfrak q_xprimerightend align equivalent to as well as to Poincaré 19056 From that he derived the transformation of rest acceleration equivalent to and eventually the formulas for hyperbolic motion which corresponds to pmmathfrak q_xpmfrac dxdtfrac cbtsqrt c2b2 t2quadpmleft xx_0rightfrac cbsqrt c2b2 t2 thus x2c2 t2x2u2c4b2quad yetaquad zzeta and the transformation into a hyperbolic reference system with imaginary angle varphi begin arraycc begin align X Rcosvarphi L Rsinvarphi end align begin align R2 X2L2 tanvarphi frac LX end align end array He also wrote the transformation of threeforce as begin alignmathfrak K_x frac mathfrak K_xprimefrac vc2mathfrak qK1frac vmathfrak q_xprimec2 mathfrak K_y mathfrak K_yprimefrac sqrt 1beta21frac vmathfrak q_xprimec2 mathfrak K_z mathfrak K_zprimefrac sqrt 1beta21frac vmathfrak q_xprimec2end align equivalent to as well as to Poincaré 1905 1912 年 1914 年： obtained general covariance of Maxwells equations and used fourdimensional FrenetSerret formulas to analyze the Born rigid motions given by Herglotz 1909 He also obtained the proper reference frames for hyperbolic motion and uniform circular motion 1913 年：馮勞厄 replaced in the second edition of his book the transformation of threeacceleration by Minkowskis acceleration vector for which he coined the name fouracceleration defined by dot Yfrac dYdtau with Y as fourvelocity He showed that the magnitude of fouracceleration corresponds to the rest acceleration dot mathfrak q0 by dot Yfrac 1cdot mathfrak q0 which corresponds to Subsequently he derived the same formulas as in 1911 for the transformation of rest acceleration and hyperbolic motion and the hyperbolic reference frame 相關條目 加速度 狹義相對論 速度加成式 四維加速度 固有加速度 參考文獻 書目 First edition 1911 second expanded edition 1913 third expanded edition 1919 New edition 2013 Editor Domenico Giulini Springer 2013 歷史性論文 See also English translation Category 加速度 Category 狹義相對論