密碼學中，零知識證明或零知識協議是一方（證明者）向另一方（檢驗者）證明某命題的方法，特點是過程中除「該命題為真」之事外，不洩露任何資訊。因此，可理解成「零洩密證明」。例如，欲向人證明自己擁有某情報，則直接公開該情報即可，但如此則會將該細節亦一併洩露；零知識證明的精粹在於，如何證明自己擁有該情報而不必透露情報內容。這也是零知識證明的難點。 若該命題的證明，需要知悉某秘密方能作出，則檢驗者單憑目睹證明，而未獲悉該秘密，仍無法向第三方證明該命題（即單單轉述不足以證明）。待證的命題中，必定包含證明者宣稱自己知道該秘密，但過程中不能傳達該秘密本身。否則，協議完結時，已給予檢驗者有關命題的額外的資訊。此類「知識的零知識證明」是零知識證明的特例，其中待證命題僅有「證明者知道某事」。 互動式零知識證明中，需要各方互動，靠通訊過程證明某方具備某知識，而另一方檢驗該證明是否成立。 也有某種，但證明之所以成立，依賴計算假設（典型假設是理想的密碼雜湊函式）。 生活範例 以下有一個熟知的故事，總結零知識證明的若干重要概念。故事最早由及同事發表於。設有小靜（證明者）和阿嚴（驗證者）兩人。 故事中，小靜發現洞穴中某扇魔法門的開門暗號。洞穴呈環形，入口在一側，對側則有魔法門隔斷。阿嚴想知小靜是否已知該暗號，但小靜很注重隱私，不希望洩露暗號予阿嚴，也不想全世界知道她有暗號之事。 兩人分別將入口左右兩條通道標示為 A 路、B 路。首先，阿嚴在洞口外，待小靜進入洞內。小靜自行選擇行 A 路或 B 路，但阿嚴不準窺視小靜所選為何。然後，阿嚴行入洞穴，均勻隨機喊出 A 路或 B 路，表明希望小靜由該方向返回。假若小靜確實知道暗號，則很易達成，因為即使起初所選不是同一條路，她也可以開門透過，從另一條路返回。 然而，若她其實不知道暗號，則祗有一半機率能從阿嚴所選的方向返回，因為阿嚴隨機選 A 路和 B 路，恰有一半機會選中起初小靜進入的方向。若兩人重複以上過程，比如連續 20 次，則小靜靠運氣全部碰巧從正確方向返回的機率極小，為 220 分之 1。 所以，若小靜連續多次從阿嚴所選的方向返回，則阿嚴可以推斷，小靜很可能知道暗號。 以下考慮第三方的觀點。即使假設阿嚴佩戴隱蔽的鏡頭，錄影所見的整個過程，鏡頭所見亦只有阿嚴喊「A！」小靜從 A 路返回；或阿嚴喊「B！」小靜從 B 路返回。此種片段極易由兩人共謀偽造（祗需小靜與阿嚴事前商討多次驗證中阿嚴將選該串 A、B 的次序），從而對第三方而言，不具說服力，即阿嚴無法藉此向第三方證明小靜知道暗號。事實上，即使錄影換成現場在阿嚴身旁監視亦同，因為兩人可能一早已協調綵排好。 但是，若阿嚴在鏡頭前擲硬幣，然後按該硬幣喊 A 或 B，則協議不再零知識。該段錄影可能足以說服第三方，兩人無法偽造，因為阿嚴難以準確擲出預定的 AB 次序。於是，雖然證明過程沒有洩露暗號予阿嚴，但是阿嚴可藉此說服世人，證明小靜知道暗號，與小靜起初的意欲完全相反。不過，數碼的密碼學中，「擲硬幣」以偽隨機數生成器實作，類似於一枚結果已預定好的硬幣，但該結果（由其決定）僅有硬幣主人知道。若阿嚴的硬幣實際是以此法運作，則協議又回復為零知識協議，因為兩人又有可能共同偽造「實驗」結果，所以使用偽隨機數生成器與擲真硬幣不同，前者不會向世人洩露小靜知道暗號。 還有另一種做法，小靜以獨一次實驗已可向阿嚴證明自己知道暗號，而不洩漏。方法是，兩人一同走入洞口，然後阿嚴目送小靜沿 A 路走，沒有原路折返，但從 B 路返回。如此，小靜必然已向阿嚴證明自己知道暗號，而沒有告知阿嚴暗號。不過此種證明亦非零知識：若第三方觀察到過程，或阿嚴有錄影，則該證明對第三方具說服力。換言之，小靜無法宣稱自己與阿嚴串通，所以無法向第三方說該證明無效。如此，小靜無法控制何人得知她擁有暗號之事。 定義 零知識證明要具備下列三種性質： 完備 若所要證之事為真，則誠實（意即依協議行事）的證明者能說服誠實驗證者。 健全 若命題為假，則作弊證明者僅得極小機會能說服誠實驗證者該事為真。 零知識 若命題為真，則驗證者除此之外，過程中沒有得悉任何其他資訊。換言之，僅知命題為真（而不知秘密本身）已足以「想像」出一個互動的情境，其中證明者的確知道該秘密。此性質能嚴格定義為：每個驗證者皆有相應的模擬器，輸入欲證事實時，無需求助於證明者，已可輸出一套通訊謄本，看似誠實驗證者與證明者的通訊記錄。 前兩種性質，更廣義的互動式證明系統亦應具備。第三種性質使該互動證明稱為零知識。 零知識證明不算數學證明，因為尚允許有很少（但非零）機率，令作弊證明者能向驗證者「證明」假命題。該機率稱為可靠度誤差。換言之，零知識證明是機率「證明」，而非決定性。不過，也有技巧將可靠度誤差壓到忽略不計。 零知識的嚴格定義，需要抽象計算模型，如常見的圖靈機。設 P、V、S 為三部圖靈機。某語言 L 的互動式證明系統 P V 為零知識，意思是對任意機率多項式時間驗證者 widehat V，皆有 PPT 模擬器 S 使得： forall x in L z in 0 1 operatorname View_widehat V left P x leftrightarrow widehat V x zright S x z 其中 operatorname View_widehat V left P x leftrightarrow widehat V x zright 是 P x 與 widehat V x z 間互動的全記錄。證明者 P 通常假設具無限計算能力（實踐上，常為機率圖靈機）。直觀理解，某互動證明系 P V 為零知識，即對任意驗證者 widehat V，皆存在某高效模擬器 S（視乎 widehat V 而定），給定任何輸入，可以重現 P 與 widehat V 間的對話。定義中的輔助串 z，是用作放置任何「前備知識」（包括預知 widehat V 執行時擲得的硬幣結果）。定義推出，widehat V 不能利用預知串 z 從與 P 的對話中發掘出資訊，因為若給予 S 該串，則也同樣可以重現 widehat V 與 P 間的對話。 以上為完美零知識的定義。若將定義中，驗證者 widehat V 的視角與模擬相等之要求，改為僅要求，則得到計算零知識的定義。 計算範例 離散對數 前段概念適用於較實際的密碼學場景。設小靜欲向阿嚴證明，自己知道某群某指定元素的離散對數。 例如，給定數 y、質數 p、生成元 g，小靜希望證明自己知道某數 x 使 gx bmod p y，而不洩漏 x。事實上，知曉 x 之事，本身可用作身份證明，即小靜可藉此證明該 y 值是由她先暗中選某隨機值 x，再計算 y gx bmod p，公諸所有潛在的驗證者。如此，若某人證明自己知道 x，則相當於證明自己即小靜，因為學者相信離散對數很難計算，即其他人無法從 y 倒推出 x 值。 證明協議如下：每輪，小靜預備隨機數 r，計算 C gr bmod p，將該值傳予阿嚴。收到 C 後，阿嚴隨機請求下列兩者之一：小靜公開 r 值，或 x r bmod p 1 值。單獨看任何一個值，其分佈皆是均勻隨機，所以協議每輪皆不洩露任何機密。 阿嚴可以驗證所得回應。若問 r，則可以計算 gr bmod p，檢查是否等於 C。若問 x r bmod p 1，則可以計算 gx r bmod p 1 bmod p，而該值應當等於 C cdot y bmod p，所以亦驗證 C 值是否滿足該條件。若小靜確實知道 x 值，理應很易回答阿嚴的任一條問題。 若小靜預知阿嚴採用何種盤問，則很易作弊，在不知 x 的情況下，向阿嚴假裝自己知道 x：若她知道阿嚴將要問 r，則如常繼續，選 r，計算 C gr bmod p，告知阿嚴 C 值；她可以答出 r 值。另一方面，若她知道阿嚴將問 x r bmod p 1，則取隨機一個 r 值，計算 C gr cdot left gxright1 bmod p，然後傳送 C 值予阿嚴（阿嚴會以為該值為 C 值）。當阿嚴要求公開 x r bmod p 1 值時，小靜公開 r，但這足以讓阿嚴驗證結果，因為他計算的值實為 gr bmod p，是等於 C cdot y，因為 C 正是小靜一早乘上 y 的逆元而計出。 然而，若有某輪驗證中，阿嚴的問題與小靜預估的有出入，則小靜無法計算出要答的結果（假定該群的離散對數問題難解）。若她揀選 r 並公開 C gr bmod p，則無法作弊給出服眾的 x r bmod p 1 值來透過阿嚴的檢查，因為不知道 x。又若她揀選 r 值，偽裝成 x r bmod p 1，則要回答公開值的離散對數，但她無法回答，因為該值是由已知值乘出，而非某已知值以 g 為底的冪，所以她不能計出其離散對數 所以，作弊的證明者僅得 12 機率透過某輪驗證。重複足夠多輪，成功作弊的機率可壓到任意小。 撮要 小靜要證知道 x 值（如其密碼）。 小靜與阿嚴約定某質數 p，及域 mathbb Z pmathbb Z 的乘法生成元 g。 小靜計算 y gx bmod p，傳送予阿嚴。 重複以下步驟若干次： 小靜選某個均勻隨機數 rin U 0 p2，計算 C gr bmod p，傳送 C 予阿嚴。 阿嚴問小靜 x r bmod p1 或 r ，二選其一。若問前者，則阿嚴驗證 C cdot y bmod pequiv gx r bmod p 1 bmod p 。若問後者，則他驗證 C equiv gr bmod p。 x r bmod p1 之值，可視為 x bmod p1 的加密。若 r 確為隨機，在 0 至 p2 間均勻分佈，則 x r bmod p1 也同樣均勻分佈，所以不會洩漏任何關於 x 的資訊（見一次性密碼本）。 大圖的哈密頓環 下列方案是曼紐爾布盧姆提出。 此場境中，小靜知道某大圖 G 的哈密頓環。阿嚴知道 G 但不知該環（比如說小靜將該圖列印給阿嚴）。一般相信，找大圖的哈密頓環，在計算上並不可行，因為相應的決定問題已證為 NP 完全。小靜欲證自己知道該環，但不想洩漏出去，原因可能是阿嚴打算向小靜買，但付款前希望先驗證小靜知道；也可能是全世界衹得小靜知道該環，所以小靜向阿嚴證明此事，是為向阿嚴核實自己身份。 小靜為證明自己知道哈密頓環，與阿嚴作若干輪驗證。每輪中： 一開始，小靜預備圖 H，是與 G 同構（即 H 與 G 一樣，但頂點的標籤不同）。若小靜知道 G 的哈密頓環，則因為 H 與 G 間的同構由她揀選，她很易找到 H 中對應的哈密頓環。 小靜秘諾 H。此處可選任意密碼學，甚或直接將 H 的頂點編號，然後對 H 的每條邊，將兩端編號寫在小紙片上，反轉蓋在枱面。總之，秘諾目的是使小靜此後無法竄改 H，但同時不讓阿嚴提早知道 H 的資訊。 阿嚴隨機問小靜以下兩事之一：給出 H 與 G 間的同構（見）；或給出 H 的哈密頓環。 若問兩圖的同構，則小靜先展示 H（將枱面全部紙翻開），並給出 G 頂點與 H 頂點的對應表。阿嚴可以驗證該對應關係是否滿足圖同構的條件。 若問哈密頓環，則小靜衹翻開在 H 的哈密頓環上的紙片。如此，阿嚴已可驗證 H 有哈頓頓環。 秘諾一步必須使阿嚴在第二種情況能驗證該環確實由 H 的邊構成。一種做法是，逐條邊分別秘諾。 完備 若小靜確知 G 中的哈密頓環，則阿嚴詢問同構時，她很易回答（該同構為她所選），而阿嚴問 H 中的哈密頓環時，她同樣很易回答（G 有哈密頓環，G 與 H 間的同構為所她選，所以可以找到 H 中對應的環）。 健全 若小靜不知哈密頓環，則衹能預先猜測阿嚴會問何種問題，相應準備某個與 G 同構的圖，或另一個不相關的哈密頓圖。然而，因為她不知 G 的哈密頓環，所以無法同時做兩件事。於是，若以上驗證重複 n 次，則小靜矇混過關的機率僅得 2n，從而實際意義上，衹需合理多輪驗證，已使造假者寸步難行。 零知識 小靜的回答不洩漏原圖 G 的哈密頓環，因為每一輪，阿嚴衹會得悉 H 與 G 的同構，或是 H 的哈密頓環，兩者之一，但他需要對同一個 H 同時得知兩者，才能構造出 G 中的哈密頓環。如此，衹要小靜每輪預備一幅不同的圖 H，就能保密。若小靜不知 G 的哈密頓環，但不知為何已事前得知阿嚴每輪會問的問題，則她可以作弊。例如，若小靜預知阿嚴該輪會問 H 的哈密頓圖，則大可以秘諾一幅與 G 無關的哈密頓圖。與之類似，若小靜預知阿嚴會問同構表，則她可以隨便預備一幅與 G 同構的圖 H（其中她不知道任何哈密頓圖）。阿嚴根本無需小靜在場，亦可獨自想像出自己將見的場面，因為他清楚自己將會問甚麼，將見的僅是一個環（而不顯示圖的其他部分）或一幅與 G 同構的圖，即阿嚴可以自行模擬該協議。因此，阿嚴從每一輪驗證揭露之事，無法得到任何關於 G 哈密頓環的資訊。 零知識條件的變式 「零知識」的定義有若干變形，分別在於如何嚴謹定義模擬結果「看似」真實的互動記錄： 完美零知識 模擬器與真正互動產生的機率分佈完全相等。離散對數範例即屬此類。 統計零知識 兩個分佈並非完全相等，但，即有某個可忽略函式，使該兩列分佈在任意集合取值的機率差，皆小於該函式。 計算零知識 無高效演算法分辨兩個分佈。 應用 身份驗證 零知識證明的研究，是受身份驗證系統啟發。驗證時，一方要向另一方證明自己身份，通常藉賴證明自己持有某種袐密（如通行密碼），但不希望對方知悉該袐密，稱為零知識。不過，通行密碼一般不是太短，就是不夠隨機，不能用於許多零知識知識證明方案。就是有考量密碼長度限制的一類零知識知識證明。 2015 年 4 月，Sigma 協議（「其中之一」證明，）面世。2021 年 8 月，美國網路基建、安全公司 Cloudflare 採用該種證明機制，以為私人網路提供驗證服務。 道德行為 密碼學協議之中使用零知識證明，可以在不退讓隱私的情況下，確保各方誠實。粗略言之，方法是迫使用者零知識地證明，其所作所為是依足協議。由健全性，使用者必先確實跟從協議，才能服眾。又由於證明是零知識，此過程並無犠牲使用者的隱私。 核裁軍 2016 年，普林斯頓電漿物理實際室與普林斯頓大學展示一個技巧，或許適用於未來的核裁軍談判。其特點是，無需揭露某物件內部的機密構造，亦可允許督查員判斷該物件是否核武器。 區塊鏈 零知識證明用於與大零幣協議中，最終於 2016 年發展成（2020 年改稱）和大零幣兩種加密貨幣。小零幣內建有混幣模型，以確保匿名，且該模型無需信任任何對等使用者或中央集權混幣者。使用者可以用另一種基準幣交易，也可以將該幣賣出買入小零幣。大零幣協議的模型也類似（該變式稱為），而且可以掩蓋交易額，但小零幣則不能。大零幣的交易資料如此隱密，所以與小零幣相比，較不易受到隱私。不過，此層額外隱私，可能導致不能追蹤假幣，倘因此造成大零幣供給的超通漲，可能無法偵測到。 2018 年，防彈證明面世。其改進自非互動式零知識證明，不再需要可信的安裝環境。其後，實作成「結舌」協議（，和兩種加密幣皆出自該協議）和門羅幣。2019 年，飛熔幣實作，是對應小零幣協議無可信環境的改進。同年，飛熔幣引入萊蘭託斯協議，更自 Sigma 協議改進，隱去交易的源頭與金額。 沿革 零知識證明最早由莎菲戈德瓦塞爾、希爾維奧米卡利、三人於 1985 年發表，論文題為。該論文引入互動式證明系統的，並構想出「知識複雜度」概念，衡量證明過程中，由證明者傳遞予驗證者的知識量。三人亦給出首個具體問題的零知識證明，即零知識地證明某數不是模 m 的二次剩餘。連同與的另一篇論文，戈 米 拉三氏的論文發明瞭互動式證明系統。為此，五人同獲 1993 年首屆哥德爾獎。 引述戈 米 拉三氏： 該額外知識基本為 0 的情況尤其值得關注。我等證明，可以互動地證明某數非模 m 的二次剩餘，而釋出零額外知識。其出奇之處是，若不給定 m 的分解，則無高效演算法判別某數是否模 m 的二次剩餘。更甚者，任何已知的 NP 證明皆要表明 m 的質因數分解。這就表明，在證明過程中新增互動，可能減少證明某定理所必須交流的知識。 二次非剩餘問題既有 NP 演算法又有反 NP 演算法，故位處 NP 與反 NP 兩類之交集中。其後找到有零知識證明的若干個問題，亦具同樣的性質，例如未經正式出版的證明系統，可以驗證某數（為兩個未知質數之積）不是，即並非兩個模 4 餘 3 的質數之積。 、希爾維奧米卡利、阿維威格森更進一步證明，假定存在無懈可擊的加密法，則可以造出三色圖著色問題的零知識證明系統，而該問題本身為 NP 完全。又因為每個 NP 問題都可以高效化歸成該 NP 完全問題，所以在前述假定下，所有 NP 問題皆有零知識證明。需要該假定的原因是，正如前節範例，需要有秘諾的手段。若存在單向函式，則的確有牢不可破的加密法。此為廣泛引用的充分條件。另外也可能有物理方法實作。 更上一層樓，他們亦證明，，即之，有零知識證明。該問題已知屬於反 NP，但未知是否屬於 NP 或其他實際可行的複雜度類。更一般地，、二人，與米高本 奧爾及同事，兩組證明：同樣假設存在單向函式或牢不可破的加密，則任何屬於 IP（已證等於 PSPACE）的問題，皆有零知識證明。換言之，任何命題若可藉互動系統證明，則可零知識證明。Russell Impagliazzo Moti Yung Direct MinimumKnowledge Computations CRYPTO 1987 4051 許多理論家不希望假設不必要的條件，所以試圖在不假定單向函式的條件之下，證明同樣的結論。有種做法稱為「多證明者互動式證明系統」（見互動式證明系統），即有多個獨立的證明者，而非僅得一個。驗證者可以將證明者逐個孤立，然後詰問，以免被作弊證明者誤導。無需任何難解假設，已可證明在此係統中，任何 NP 問題皆有零知識證明。 後來發現，網際網路等同時執行多個協議的環境中，較難構造零知識證明。研究並行零知識證明的先驅是、、。此類研究之中，重要成果有協議。與零知識相比，其性質較弱：可能有多種證據供證明者選擇採用何者作證，此時僅要求驗證者無法分辨證明者選擇為何，但證明者可以洩漏部分資訊，如全體證據組成的集合。儘管失去零知識性質，但此類協議的好處是，並行時不會遇到此前提及的問題。 變式尚有。曼紐爾布盧姆、保羅費爾德曼、米卡利證明，若證明者與驗證者共有一條隨機字串，則可以達成計算零知識，而毋須互動。 參見 ：給定 f x 與 f y，無需知道 x、y，已可計算 f x times y。 安全多方計算：各方的輸入值保密，但共同計算出該些輸入對應的結果。 ：可以簽署某檔案，使圈外人無法得悉由圈內何人署名，衹知圈內有某人署名。 密碼學協議 密碼學諸主題 註 參考文獻 Category 密碼學理論