代數幾何中，格羅滕迪克 黎曼 羅赫定理是關於相干層上同調的意義深遠的結果。它是關於複流形的希策布魯赫 黎曼 羅赫定理的推廣，其又是對緊黎曼曲面上線叢的經典黎曼 羅赫定理的推廣。 黎曼 羅赫型定理將向量叢上同調的尤拉示性數與其拓撲度，或更一般地與其（上）同調中的示性類或其代數類似物聯絡起來。經典的黎曼 羅赫定理針對的是曲線和線叢，而希策布魯赫 黎曼 羅赫定理將其推廣到流形上的向量叢。格羅滕迪克 黎曼 羅赫定理將這兩個定理置於兩個流形（或更一般的概形）之間態射的相對情形中，並將該定理叢關於單一叢的陳述變為適用於層的鏈復形的陳述。 格羅滕迪克 黎曼 羅赫定理對阿蒂亞 辛格指標定理的發展影響深遠，反過來，格羅滕迪克 黎曼 羅赫定理的複分析類比也可以用族的指標定理來證明。1957 年，亞歷山大格羅滕迪克在一份後來出版的手稿中給出了首個證明。、A Grothendieck Classes de faisceaux et théorème de RiemannRoch 1957 Published in SGA 6 SpringerVerlag 1971 2071Armand Borel 與讓 皮埃爾塞爾撰寫並發表了他的證明（1958）。後來，格羅滕迪克與合作者對證明進行了簡化與推廣。SGA 6 SpringerVerlag 1971 公式 令 X 為域上的光滑擬射影概形，凝聚層的有界復形的格羅滕迪克群 K_0 X 規範同構（canonically isomorphic）於秩有限向量叢的有界復形的格羅滕迪克群。利用這種同構，將陳示性（陳類的有理組合）視作一種函子式變換： mathrm ch colon K_0 X to A X Q 其中 A_d XQ 是 d 維的 X 上的迴圈的周群，模去有理等價，以有理數張開。若 X 定義在複數上，則後一個群對映到拓撲上同調群： H2dim X 2dX Q 現在考慮光滑擬射影概形與 X 上的層 mathcal Fbull 的有界復形之間的真射 f colon X to Y。 格羅滕迪克 黎曼 羅赫定理涉及前推對映 f_ sum 1i Ri f_ colon K_0 X to K_0 Y （高階直像的交替和）與前推 f_ colon A X to A Y 由公式 mathrm ch f_mathcal Fbull mathrm tdY f_ mathrm chmathcal Fbull mathrm tdX 其中 mathrm tdX 是 X（的切叢）的 Todd 屬。因此，定理給出了度量上述前推的缺乏交換性的方法，並表明所需的修正函子只取決於 X、 Y。事實上，由於 Todd 屬在正合序列中是函子、乘法的，可以將格羅滕迪克 黎曼 羅赫公式重寫為 mathrm chf_mathcal Fbull f_ mathrm chmathcal Fbull mathrm tdT_f 其中 T_f 是 f 的相對切層，定義為元素 TX fTYin K_0 X。例如，當 f 是光滑態射時，T_f 就只是向量叢，即沿 f 的纖維的切叢。 運用 A1 同倫論，將格羅滕迪克 黎曼 羅赫定理推廣到 f 是兩光滑概形間的真對映。 泛化與特化 考慮組合 mathrm chmathrm tdX 的適當推廣，可將定理推廣到非光滑情況；考慮具有緊支集的上同調，可將定理推廣到非真（nonproper）情況。 算術黎曼 羅赫定理將格羅滕迪克 黎曼 羅赫定理推廣到算術概形（arithmetic scheme）。 希策布魯赫 黎曼 羅赫定理（本質上）是 Y 為點、域為複數域的特例。 有向上同調論的黎曼 羅赫定理由 Ivan Panin 與 Alexander Smirnov 提出。它涉及代數有向上同調論之間的乘法（如代數配邊）。格羅滕迪克 黎曼 羅赫定理是這結果的特殊情況，這時自然會出現陳示性。 see 4210 and 4211 例子 曲線上的向量叢 域 k 的光滑射影曲線上秩為 n、度為 d（定義為其行列式；或等價地，其第一陳類的度）的向量叢 E to C 有類似於線叢的黎曼 羅赫形式的公式。若取點 X C、Y ，則格羅滕迪克 黎曼 羅赫公式可理解為 begin align mathrm chf_mathcal Fbull h0 CE h1 CE f_mathrm chEmathrm tdX f_n c_1 E1 12 c_1 T_C f_n c_1 E n2 c_1 T_C f_c_1 E n2 c_1 T_C d n 1g end align 於是 chi CE d n 1g 此式也適於秩為 n、度為 d 的相干層。 光滑真射 格羅滕迪克 黎曼 羅赫公式的優點之一是可解釋為希策布魯赫 黎曼 羅赫公式的相對版本。例如，光滑態射 fcolon X to Y 的纖維都是等維的（在基變為 Complex 時作為拓撲空間是同構的）。在模理論中考慮由模空間 mathcal M 對光滑真空間進行引數化時，這事實非常好用。例如，戴維芒福德用它推導了代數曲線模空間上的周環關係。 曲線的模 對 g 屬曲線（且無標記點）的模疊 overline mathcal M_g，有通用曲線 picolonoverline mathcal C_g to overline mathcal M_g，其中 overline mathcal C_g overline mathcal M_g1 是屬 g 曲線和一個標記點的模疊。然後定義重言類 begin align K_overline mathcal C_goverline mathcal M_g c_1 omega_overline mathcal C_goverline mathcal M_g kappa_l pi_Kl1_overline mathcal C_goverline mathcal M_g mathbb E pi_omega_overline mathcal C_goverline mathcal M_g lambda_l c_l mathbb E end align 其中 1 leq l leq g 與 omega_overline mathcal C_goverline mathcal M_g 是相關的對偶化層。注意 omega_overline mathcal C_goverline mathcal M_g 在點 C in overline mathcal M_g 上的纖維，這就是對偶化層 omega_C。可利用格羅滕迪克 黎曼 羅赫定理找到光滑軌跡的周環 Amathcal M_g 上的 kappa_i 之和 corollary 62，從而找到描述 lambda_i 的 lambda_i、kappa_i 間的關係。由於 overline mathcal M_g 是光滑德利涅 芒福德疊，可考慮由概形 tilde mathcal M_g to overline mathcal M_g 的覆蓋，對某個有限群 G 可給出 overline mathcal M_g tilde mathcal M_gG。對 omega_tilde mathcal C_gtilde mathcal M_g 應用格羅滕迪克 黎曼 羅赫定理，可得 mathrm chpi_omega_tilde mathcal Ctilde mathcal M pi_mathrm chomega_tilde mathcal C tilde mathcal M mathrm Tdvee Omega1_tilde mathcal Ctilde mathcal M 因為 mathbf R1pi_omega _tilde mathcal C_gtilde mathcal M_g cong mathcal O_tilde M 由上式可知 mathrm chmathbb E 1 pi_text chomega_tilde mathcal Ctilde mathcal M text Tdvee Omega1_tilde mathcal Ctilde mathcal M 這樣，mathrm chmathbb E 的計算可以進一步減少。在偶數維 2k， text chmathbb E_2k 0 另外在 1 維， lambda_1 c_1 mathbb E frac 112kappa_1 delta 其中 delta 是邊界上的一個類。g2 時，在光滑軌跡 mathcal M_g 上有如下關係 begin align lambda_1 frac 112kappa_1 lambda_2 frac lambda_122 frac kappa_12288 end align 可透過分析 mathbb E 的陳示性推得。 閉嵌入 閉嵌入 fcolon Y to X 也可用格羅滕迪克 黎曼 羅赫公式描述，其顯示了公式成立的另一種非平凡情形。對 n 維光滑簇 X 及餘維為 k 的子簇 Y，有 c_k mathcal O_Y 1k1k1Y 由短正合序列 0 to mathcal I_Y to mathcal O_X to mathcal O_Y to 0 有下式 c_k mathcal I_Y 1k k1Y for the ideal sheaf since 1 c mathcal O_X c mathcal O_Y c mathcal I_Y 應用 模空間的準射影性 過兩天都是 黎曼 羅赫公式可用於證明粗糙模空間 M（如有尖代數曲線的模空間 M_gn）可嵌入到射影空間，因此是準射影簇。這可以透過觀察 M 上的規範相伴層（canonically associated sheaf）、研究相伴線叢的度實現。例如，M_gn 有曲線族 picolon C_gn to M_gn 有截面 s_icolon M_gn to C_gn 對應標記點。由於每根纖維都有規範叢 omega_C，有相伴線叢 Lambda_gnpi det mathbf Rpi_omega_C_gnM_gn 及 chi_gni s_iomega_C_gnM_gn 於是 Lambda_gnpi otimes left bigotimes_i1n chi_gniright 是豐沛線叢，因此粗糙模空間 M_gn 是準射影的。 歷史 亞歷山大格羅滕迪克的黎曼 羅赫定理最初是在 19561957 年左右寫給讓 皮埃爾塞爾的一封信中提出的。1957 年，在第一屆波恩工作會議（Bonn Arbeitstagung）上公開發表，隨後塞爾和 Armand Borel 在普林斯頓大學組織了一次研討會來理解它。最後發表的論文實際上就是 Borel塞爾的論述。 格羅滕迪克方法的意義在於以下幾點。首先，格羅滕迪克改變了陳述本身：人們當時認為定理是關於代數簇的，而格羅滕迪克指出其實際上是簇間態射的定理。他找到了正確的推廣，使證明變得簡單，而結論變得更寬泛。簡言之，格羅滕迪克將一種強範疇方法一項艱鉅的分析。此外，如上所述，格羅滕迪克引入了 K 群，為代數 K 理論鋪平了道路。 另見 川崎黎曼羅赫公式 註釋 參考文獻 外部連結 The GrothendieckRiemannRoch Theorem The thread Applications of GrothendieckRiemannRoch on MathOverflow The thread how does one understand GRR Grothendieck Riemann Roch on MathOverflow The thread Chern class of ideal sheaf on Stack Exchange Category 拓撲方法代數幾何 Category 代數幾何定理 Category 伯恩哈德黎曼