數學上，拉東變換（又稱雷登變換）是一種積分變換，這個變換將二維平面函式 f 變換成一個定義在二維空間上的一個線性函式 cal R f cal R f 的意思是對 f 做拉東變換，而 cal R f 的值為函式 f 對該條線 cal R f 做積分的值。以右圖為例，黃色區域即是 f，A 線則是代表 cal R f。 拉東變換是約翰拉東在西元 1917 年提出，他也同時提出拉東變換的反變換公式，以及三次空間的拉東變換公式。 三次空間拉東變換，是對一個平面積分 對線積分則是。而在不久之後，更高維度的歐幾裡得空間的拉東變換被提出，更詳盡的廣義拉東變換要參見。 在複數上有和拉東變換相似的，拉東變換被廣泛的應用在斷層掃描，拉東反變換可以從斷層掃描的剖面圖重建出投影前的函式。 簡介 若函式 f 表示一個未知的密度，對 f 做拉東變換，相當於得到 f 投影後的訊號，舉例來說：f 相當於人體組織，斷層掃描的輸出訊號相當於經過拉東變換的 f。 因此，可以用拉東反變換從投影後的密度函式，重建原始的密度函式，它也是重建斷層掃描的數學理論基礎，另一個被廣為人知名詞的是三維重建。 拉東變換後的訊號稱作正弦圖，因為一個偏離中心的點的拉東變換是一條正弦曲線。所以對一些小點的拉東變換，會看起來像很多不同振福、相位的正弦函式重疊在一起。 拉東變換可以應用在：X 射線電腦斷層掃描、條碼掃描器、（Macromolecular assembly）的電子顯微鏡（例如：病毒、蛋白質複合體）、反射地震學，而且也是雙曲線偏微分方程的解。 定義 令密度函式 f bf xf xy 是一個的定義域為 bf R2 的緊支撐。令 cal R 為拉東變換的運運算元 operator，則 cal R f xy 是一個定義在 bf R2 空間中的直線 L，它的定義如下 cal R f L int_L f bf x d bf x 可以把直線 L 改寫成一個弧長 z 的引數式 x z y z Big zsinalphascosalpha zcosalphassinalpha Big s 是直線 L 和原點的距離，而 alpha 是垂直於 L 的法線和 x 軸的夾角， 接下來，我們可以令 alpha s 當作 bf R2 平面上的新座標系統，把這個座標變換帶入到拉東變換得到 begin aligncal R f alphas int_inftyinfty f x zy z dz int_inftyinfty fbig zsinalphascosalpha zcosalphassinalpha big dzend align 更進一步，我們可以把 bf R2 推廣到 bf Rn 的歐幾裡得空間，對一個緊支撐的連續函式 f 做拉東變換後的函式 cal R f 是定義在 Sigma_n 的超平面上， cal R f xi int_xi f mathbf x dsigma mathbf xquad rm for quad xi in Sigma_n 積分的物件是自然超平面測度 natural hypersurface measure，而 d Delta 是原本的 d bf x 的高維推廣。可以觀察到對 Sigma_n 裡的任意元素， 都是某個軌跡方程式的解 bf x cdot alpha s 而 alpha 是一個單位向量且屬於 rm Sn1，s in mathbb R，n 維的拉東變換可以改寫成定義在 rm Sn1 times bf R 上的函式 cal R f alphas int_mathbf xcdotalpha s f mathbf x dsigma mathbf x 也可以藉由其他方式將拉東變換推廣，也就是對 bf Rn 的 k 維仿射子空間作 kdimensional affine subspaces 積分。 而這種推廣拉東變換的特殊情況被廣泛應用在 X 射線電腦斷層掃描，他的做法是對一條直線積分。 與傅立葉變換的關係 拉東變換和傅立葉變換之間有很強的關聯性。單變數的傅立葉變換的定義是 hat fomegaint_inftyinfty f x e2pi ixomegadx 而雙變數 bf x x y 的傅立葉變換是 hat fmathbf wintlimits_inftyinfty intlimits_inftyinfty f mathbf x e2pi imathbf xcdotmathbf wdx dy 把拉東變換的運運算元的表記從 cal Rfs 改成 cal Rfalpha s。根據投影切片定理學說， widehat mathcal R_alphafsigmahat fsigmamathbf nalpha quad mathbf nalpha cos alphasinalpha 因此一個初始函式沿著一條線傾角 alpha 的二維的傅立葉變換，相當於對拉東變換做一維的傅立葉變換。這個結果可以推廣到 n 維 hat fralpha int_inftyinfty mathcal R f alphas e2pi i sr ds 對偶變換 對偶拉東變換是拉東變換的埃爾米特伴隨。令在空間 Sigma_n 上的函式 g，而對偶拉東變換的運運算元定義為 cal R。作用在 g 上 mathcal Rg x int_xinxi g xidmu xi 積分的範圍是所有和 x in bf R2 相交的超平面集合，而測度 measure d mu 是集合 xi x in xi 特殊的機率測度 Probability measure， 當對著 x 旋轉時， d mu 的值不會改變 對於一個二維的拉東變換，其對偶變換是 mathcal Rg x frac 12piint_alpha02pi g alphamathbf nalphacdotmathbf xdalpha 在影像處理的文章中，對偶變換經常被稱作反向投影 backprojection ，因為它將平面中每條線上定義的函式 投影到該線上，從而生成影像。 交結性質 根據拉普拉斯運算元 Delta 在 bf Rn 的定義是 Delta frac partial2partial x_12cdotsfrac partial2partial x_n2 這是一個旋轉不變性的二階微分運算元，在空間 Sigma_n，半徑的二階導數 Lf alphas equiv frac partial2partial s2 f alphas 也是旋轉不變性。 而拉東變換與其對偶變換屬於交結運運算元 intertwining operator，是因為 mathcal RDelta f L mathcal R fquad mathcal R Lg Delta mathcal Rg 重建方法 重建處理是指從投影影像重建一個影像，或是一個函式 f。重建處理是一種逆問題 inverse problem。 拉東反變換公式 對於二維拉東變換，最常被使用的解析公式 analytical formula f，是 Filtered Backprojection Formula 或拉東反變換公式，反變換公式為 f mathbf xintpi_0mathcal R f cdotthetahleftlanglemathbf xmathbf n_theta rightrangle dtheta 函式 h 滿足 hat hk k ，卷積核 convolution kernel h 在一些文章中稱作 Ramp filter。 不適定問題 illposedness 直覺上，反變換公式應該和微分類似， widehat frac ddx f x i k hat fk 。我們可以看的出來反變換公式 的行為類似微分。大致上來說，這個反變換公式把目標奇異化 singular；要如何量化拉東反轉化的不適定問題 illposedness 呢？首先可以寫出 widehat mathcal Rmathcal R gkfrac 1mathbf khat gmathbf k cal R 即是前面定義的反變換運運算元，且伴隨著 adjoint to 拉東變換，因此 g bf x ei langle bf k_0 bf x rangle，上式變成 cal R cal R g frac 1bf k ei langle bf k_0 bf x rangle 複數指數函式 ei langle bf k_0 bf x rangle ，是 cal R cal R 的固有函式 eigenfunction ， 而特徵值 eigenvalue 為 frac 1bf k。cal R 的奇異值 singular values 是 sqrt frac 1bf k， 因為這些奇異值 singular values 會趨近於 0，所以 cal R1 是無界的 unbounded 。 反變換公式 外顯 explicit 且計算效率好的拉東反變換公式，以及他的對偶是存在的。n 維的反拉東變換可以由 c_n f Deltan12 cal R cal R f 其中 c_n 4pin12frac Gamma n2Gamma 12 而 Delta 是拉普拉斯運算元 Laplacian， Deltan12 是偽微分運算元 pseudodifferential operator mathcal Fleft Deltan12phirightxi 2pixin1mathcal Fphi xi mathcal F 是傅立葉變換的運運算元 operator。 參見 反摺積 霍夫變換 疊代稀疏漸近最小方差演算法 注釋 參考 Translation Category 積分變換