在數學中，倒數伽瑪函式（英語：Reciprocal gamma function）是指伽瑪函式的倒數： f z frac 1Gamma z 其中，代表伽瑪函式。由於伽瑪函式在整個複數平面上皆非零且為亞純函式，因此其倒數是一個整函式。 倒數伽瑪函式是一個 1 階整函式，其表示了的成長速度不會高過。雖為 1 階整函式但屬無窮型，也就是說的增長速度比任何的倍數都快，因為它的增長與左手平面上的大致成比例。 由於倒數伽瑪函式不像伽瑪函式快速成長，在程式計算上較伽瑪函式容易，例如其泰勒級數，因此部分軟體使用倒數伽瑪函式作為計算伽瑪函式的起點，一些軟體除了計算伽瑪函式外，會額外提供倒數伽瑪函式。 魏爾斯特拉斯將倒數伽瑪函式稱為「factorielle」表示階乘的倒數，並用於魏爾施特拉斯分解定理的發展。 無窮乘積展開 根據萊昂哈德尤拉以及卡爾魏爾斯特拉斯給出的伽瑪函式無窮乘積定義，可以推得倒數伽瑪函式即伽瑪函式之倒數的無窮乘積： begin align frac 1Gamma z z prod_n1infty frac 1frac znleft 1frac 1nrightz frac 1Gamma z z egamma z prod_n1infty left 1 frac znright efrac zn end align 其中 gammaapprox0577216 是尤拉 馬斯刻若尼常數。這個乘積展開式對所有複數 z 都有效。 泰勒級數 倒數伽瑪函式從零展開的泰勒級數為： frac 1Gamma z z gamma z2 left frac gamma22 frac pi212right z3 cdots 其中是尤拉 馬斯刻若尼常數。對的情形，其的系數可由遞迴定義求出 Wrench JW 1968 Concerning two series for the gamma function Mathematics of Computation 22 617626 and Wrench JW 1973 Erratum Concerning two series for the gamma function Mathematics of Computation 27 681682： a_n frac a_2 a_n1 sum_j2n1 1j zeta j a_njn1 其中代表黎曼 ζ 函式。2014 年，FekihAhmed 發現這些係數可以用積分表示 FekihAhmed L 2014 On the Power Series Expansion of the Reciprocal Gamma Function HAL archives： a_n frac 1npi nint_0infty etIm log tipin dt 其前幾項的值為： 1 10000000000000000000000000000000000000000 2 05772156649015328606065120900824024310422 3 06558780715202538810770195151453904812798 4 00420026350340952355290039348754298187114 5 01665386113822914895017007951021052357178 6 00421977345555443367482083012891873913017 7 00096219715278769735621149216723481989754 8 00072189432466630995423950103404465727099 9 00011651675918590651121139710840183886668 10 00002152416741149509728157299630536478065 11 00001280502823881161861531986263281643234 12 00000201348547807882386556893914210218184 13 00000012504934821426706573453594738330922 14 00000011330272319816958823741296203307449 15 00000002056338416977607103450154130020573 16 00000000061160951044814158178624986828553 17 00000000050020076444692229300556650480600 18 00000000011812745704870201445881265654365 19 00000000001043426711691100510491540332312 20 00000000000077822634399050712540499373114 21 00000000000036968056186422057081878158781 22 00000000000005100370287454475979015481323 23 00000000000000205832605356650678322242954 24 00000000000000053481225394230179823700173 25 00000000000000012267786282382607901588938 26 00000000000000001181259301697458769513765 27 00000000000000000011866922547516003325798 28 00000000000000000014123806553180317815558 29 00000000000000000002298745684435370206592 30 00000000000000000000171440632192733743338 而的近似值為： a_napprox 1nsqrt frac 2pifrac sqrt nnImleft enz_0frac z_012nsqrt 1z_0right 其中，z_0frac eW_1nn 而 W_1 是分支為負一的朗伯 W 函式。 漸近展開 當在為一固定值的情形下趨於無窮，則有： ln 1Gamma z sim z ln z z tfrac 12 ln left frac z2pi right frac 112z frac 1360z3 frac 11260 z5qquad qquad text forquad arg z pi 以圍線積分表示 倒數伽瑪函式可使用（contour integration）表示，此表示法由赫爾曼漢克爾所提出，其為： frac 1Gamma z frac i2pi oint_H tz et dt 其中，為。 階乘倒數 階乘倒數是指階乘的倒數。其等於所有小於及等於該數的正整數之倒數的積： prod_k1n frac 1k frac 1n quadforall nge1 其無窮級數收斂在 142D： sum_n0infty prod_k1n frac 1k e 由於階乘可以用伽瑪函式來定義，因此階乘倒數也可以表示為： frac 1n frac 1Gamma z1 對於 n geq 1 的正整數，其階乘倒數可以用一個積分表示 ： frac 1n frac 12pi int_pipi enimathvartheta eeimathvartheta dvartheta 同理，倒數伽瑪函式也可以用類似的方法表示。對所有的實數 c 0 且 z in mathbb C，我們可以寫出倒數伽瑪函式沿著實軸的積分表示式： frac 1Gamma z frac 12pi int_inftyinfty cimath tz ecimath t dt 其中在 z n 12 的特定情況下，則可獲得雙階乘的倒數與倒數伽瑪函式之關係： frac 12n1 frac sqrt pi2n cdot Gammaleft nfrac 12right 積分 將倒數伽瑪函式在實軸上從零積到無窮的瑕積分為： int_0infty frac 1Gamma x dx approx 280777024 這個值又稱為。Finch S R FransénRobinson Constant 46 in Mathematical Constants Cambridge England Cambridge University Press pp 262264 2003 參見 伽瑪函式 反伽瑪函式 參考文獻 Thomas Schmelzer Lloyd N Trefethen Computing the Gamma function using contour integrals and rational approximations Mette Lund An integral for the reciprocal Gamma function Milton Abramowitz Irene A Stegun Handbook of Mathematical Functions with Formulas Graphs and Mathematical Tables Eric W Weisstein Gamma Function MathWorld Category 伽瑪及相關函式 Category 解析函式