脊檢測為試圖尋找相片中的脊的位置之方法。在數學及電腦視覺等領域中，一個雙變數光滑函式的脊（或是稱作為脊集合）是所有至少在一個維度中是區域性最大值的點所形成的曲線的集合，就如同地理上山脊的概念。而一個 N 變數函式的脊，是所有在 N1 個維度中是區域性最大值的點所形成的曲線的集合。脊可以看作是區域性最大值的延伸。相對的，一個函式的谷可以以類似的方式定義，只要以區域性最小值取代脊定義中的區域性最大值的部份。 脊集合與谷集合表現了一個函式直覺上的幾何資訊，因此可以提供一種對於函式特徵的簡潔呈現。影像分析及電腦視覺為了獲得相片中物件延伸特性的資訊，利用了脊集合與谷集合的特性而有脊檢測及谷檢測。相關的應用像是在分水嶺演演算法中被使用以進行影像分割，或是利用相片中的脊與谷去計算物件可能的形狀等等。此種幾何資訊的表示方式，若只有進行單一尺度的計算，容易會受到雜訊的幹擾。根據尺度空間理論，多重尺度的脊與谷可以透過相片經過高斯金字塔的預先處理獲得，藉此應該可以產生對於物件更穩定的描述。 二維相片中單一尺度的脊與谷的微分幾何定義 令 f x y 為一個二維函式，而 L 為 f x y 的尺度空間表示，此種表示可以透過 f x y 與高斯函式的摺積獲得。 在單一尺度下，高斯函式中的 t 為一定值。 g x y t frac 12 pi t ex2y22t 透過旋轉的方式，可以找到一組直角座標 pq 使得 L_pq 0，其中的方向導數運運算元， partial_p sin beta partial_x cos beta partial_y partial_q cos beta partial_x sin beta partial_y 進一步帶入海森矩陣中。 H begin bmatrix L_xx L_xy L_xy L_yy end bmatrix begin bmatrix sin beta cos beta cos beta sin beta end bmatrixbegin bmatrix L_pp L_pq L_pq L_qq end bmatrixbegin bmatrix sin beta cos beta cos beta sin beta end bmatrix 不難看出 L_pp L_qq 即為海森矩陣的特徵值，而旋轉矩陣的旋轉角度可以由海森矩陣的特徵向量所決定。 cos beta sqrt frac 12 left 1 frac L_xxL_yysqrt L_xxL_yy2 4 L_xy2 right sin beta sgn L_xy sqrt frac 12 left 1 frac L_xxL_yysqrt L_xxL_yy2 4 L_xy2 right 有了恰當的旋轉後，便可以正式的定義函式 f x y 在單一尺度下的脊，脊包含所以符合以下條件的點。 L_p 0 L_pp leq 0 L_pp geq L_qq 相對應的谷，谷包含所有符合以下條件的點。 L_q 0 L_qq geq 0 L_qq geq L_pp 相似的，也可以將座標旋轉，使得新座標 u v 中，v 的方向平行相片的梯度，而 u 的方向垂直相片的梯度。 partial_u sin alpha partial_x cos alpha partial_y partial_v cos alpha partial_x sin alpha partial_y 此時的旋轉角度為， cos alpha frac L_xsqrt L_x2 L_y2 sin alpha frac L_ysqrt L_x2 L_y2 以下的定義可以被證明與前述的是等價的 L_uv 0 L_uu2 L_vv2 geq 0 其中 L_v2 L_uu L_x2 L_yy 2 L_x L_y L_xy L_y2 L_xx L_v2 L_uv L_x L_y L_xx L_yy L_x2 L_y2 L_xy L_v2 L_vv L_x2 L_xx 2 L_x L_y L_xy L_y2 L_yy 由 L_uu 的正負號決定一個點是脊或是谷，L_uu0 是脊而 L_uu0 是谷 計算二維相片在變化尺度下的脊 單一尺度脊的主要問題是對於雜訊非常敏感，實驗證實尺度的選擇需要特別的調整才能得到一組能夠反應相片中結構的脊。為了在缺乏過往經驗時處理這個問題，而有了尺度空間脊的概念，此時尺度大小這個變數被當作是脊定義的固有特性，尺度可以在尺度空間中變化。此種概念使得尺度可以被自動的調整到反應相片結構的大小，以下有多種方法皆是基於此。 令 R x y t 為一個描述脊強度的函式（底下有詳細定義）。則對於一個二維相片，尺度空間脊包含所有符合以下條件的點， L_p 0 L_pp leq 0 partial_t R 0 partial_ttR leq 0 其中 t 為尺度空間表示中的尺度。相似的，尺度空間谷包含所有符合以下條件的點， L_q 0 L_qq geq 0 partial_t R 0 partial_ttR leq 0 如此定義下，可以想像尺度空簡脊為三維空間中一些一維曲線的集合（原本相片的二維加上尺度空間一維），而最後呈現的脊便是這些曲線在相片平面上的投影。 當初 Lindeberg 1996 1998 Earlier version presented at IEEE Conference on Pattern Recognition and Computer Vision CVPR96 San Francisco California pages 465470 june 1996 提出了尺度空間脊時，他考慮了三個描述脊強度的函式。 主曲率 L_pp gammanorm frac tgamma2 left L_xxL_yy sqrt L_xxL_yy2 4 L_xy2 right 特徵值差的平方經 gamma 標準化後的平方 N_gammanorm left L_pp gammanorm2 L_qq gammanorm2 right2 t4 gamma L_xxL_yy2 left L_xxL_yy2 4 L_xy2 right 特徵值差經 gamma 標準化後的平方 A_gammanorm left L_pp gammanorm L_qq gammanorm right2 t2 gamma left L_xxL_yy2 4 L_xy2 right L_pp gammanorm 是一個通用性的描述函式，常被用在血管偵測及道路提取等應用中，而 A_gammanorm 則被用在指紋的增強，即時手部追蹤及手勢辨識，以及利用區域性影像統計偵測追蹤影像或影片中的人。 歷史 脊與谷第一次被使用在數位影像的領域中是在由 Haralick 於 1983 及 Crowley 於 1984 對於高斯金字塔的想法 ，脊在醫學影像中的應用則有 Pizer 及其同事的深入研究 及他們所提出的 Mreps。 脊檢測因 Lindeberg 加入了 gamma 標準化導數及尺度空間脊等概念而有所提昇。這些概念之後由 Steger 等人使用在道路提取 ，由 Frangi 等人使用在血管的分割 以及由 Satos 等人及 Krissian 等人使用在曲線及管狀結構的偵測中。 N 維空間中脊與谷的定義 脊的概念，推廣了實數函式的區域性最大值。一個在 fmathbb Rn rightarrow mathbb R 定義域中的點 mathbf x_0，若存在一個距離 delta0 使得所有在這個距離內的都符合 f mathbf x f mathbf x_0，則點 mathbf x_0 是一個區域性最大值。 稍微放寬一下這個條件，若所有在 mathbf x_0 的附近的點 mathbf x 中 n1 維的子集合，皆符合 f mathbf x f mathbf x_0，則 mathbf x_0 便是脊上的一個點。這樣的放寬，給予了脊一個維度的自由，也就是說脊會是一個一維的曲線。同樣的概念套用到區域性最小值上，可以得到一維的谷曲線。 以下的定義是根據 Eberly 的著作，可以被當作是之前的脊的定義的推廣。令 U subset mathbb Rn 為一個開放集合，且 fU rightarrow mathbb R 是一個光滑函式。令 mathbf x_0 in U。令 nabla_mathbf x_0 f 為 f 在點 mathbf x_0 的梯度。令 H_mathbf x_0f 為函式 f 在點 mathbf x_0 的 n times n 海森矩陣。令 lambda_1 leq lambda_2 leq cdots leq lambda_n 為 n 個 H_mathbf x_0f 的排序好的特徵值，並令 mathbf e_i 為對應到 lambda_i 的單位特徵向量。在此，假設所有特徵值是相異的 點 mathbf x_0 在一維的脊上若 lambda_n10 且 nabla_mathbf x_0 f cdot mathbf e_i0 for i1 2 ldots n1 這精確地限制了 f 在特定的 n1 維中在點 mathbf x_0 有區域性最大值。 這樣的定義很自然的可以被推廣到成 k 維的脊，一個點 mathbf x_0 在 k 維脊上若 lambda_nk0 且 nabla_mathbf x_0 f cdot mathbf e_i0 for i1 2 ldots nk 最大尺度脊 以下的定義可以被追溯到 FritschFritsch DS EberlyD Pizer SM and McAuliffe MJ Stimulated cores and their applications in medical imaging Information Processing in Medical Imaging Y Bizais C Barillot R DiPaola eds Kluwer Series in Computational Imaging and Vision pp 365368，當初他對如何從二維灰階相片中提取幾何資訊十分感興趣，他使用了 medialness 濾鏡處理相片，得到了一種類似各點到邊緣距離在尺度空間的資料，而這種資料的脊若是再疊加回原本的相片上，與原本相片的形狀骨骼（如 Blum 的中軸）十分相似。 最大尺度脊定義在一個三維的函式上，其中二維是相片平面，一維是尺度空間。其中我們想要以下的條件為真，若 mathbf xsigma 是一個在最大尺度脊上的點，則函式在這個點上的值在尺度軸上是極大值。令 f mathbf xsigma 為一個光滑可微分的函式於 U subset mathbb R2 times mathbb R_。則 mathbf xsigma 是在最大尺度脊上的點若且唯若 frac partial fpartial sigma0 and frac partial2 fpartial sigma20 and nabla f cdot mathbf e_10 and mathbf e_1t H f mathbf e_1 0 參見 尺度空間 特徵檢測 邊緣檢測 興趣點檢測 斑點檢測 電腦視覺 參考資料 Category 特徵檢測 計算機視覺 Category 多變數微積分 Category 光滑函式 CategorySingularity theory