馬丟函式是 1868 年法國數學家因研究數學物理所推得的特殊函式，下列馬丟方程的解析解： frac d2ydx2a2qcos 2x y0 馬丟方程有兩個線性無關的解： 奇數解 MathieuCE n q x，或記為 w_Inqx 偶數解 MathieuSE n q x 或記為 w_IInqx 稱為基本解王竹谿 郭敦仁 603 週期性 馬丟函式 MathieuC aqz 或 MathieuS aqz 只有一個是週期為 pi 或 2pi 的週期解，另一個不是。 馬丟函式 MathieuC aqz 和 MathieuS aqz 兩者都有是週期為 2npi（n2 的週期函式。 604 頁 FileMathieuCE 2d 1gif FileMathieuCE 2d 2gif FileMathieuCE 2d 4gif FileMathieuSE 2d 3gif 正交性 int_02pi ce_m xqce_n xqdx0 int_02pi ce_m xqse_n xqdx0 int_02pi se_m xqse_n xqdx0 特徵方程 馬丟方程的特徵方程是 605 頁 cos pivw_I aqpi cos pivw_IIbqpi 對於給定的 v，q 上列特徵方程給出無窮多個 a、b 解稱為特徵值。 特徵值的展開 馬丟函式體特徵值可展開成級數：Frank p659 a_0 q 12z27128z4292304z66868718874368z8mathcal Oz10 a_1 q 1z18z2164z311536z41136864z549589824z6559437184z78335389440z81212115099494400z9mathcal Oz10 a_2 q4512z276313824z4100240179626240z61669068401458647142400z8mathcal Oz10 a_3 q 9116z2164z31320480z4516384z5196123592960z6609104857600z749571992113929216000z88727131087163596800z9mathcal Oz10 b_1 q1z18z2164z311536z41136864z549589824z6559437184z78335389440z81212115099494400z9mathcal Oz10 b_2 q4112z2513824z428979626240z621391458647142400z8mathcal Oz10 b_3 q 9116z2164z31320480z4516384z5196123592960z6609104857600z749571992113929216000z88727131087163596800z9mathcal Oz10 b_4 q 16130z2317864000z4100492721600000z6938241972006581248000000z8mathcal Oz10 b_5 q 25148z211774144z41147456z537891813888z67339738624z763439201364441399296z812130840649728z9mathcal Oz10 級數展開 馬丟函式 cese 的級數展開 Frank p660 ce_0 zq 112cos 2zq116132cos 4zq211128cos 2z11152cos 6zq3O q4 ce_1 zq cos z18cos 3zq1128cos z164cos 3z1192cos 5zq21512cos z13072cos 3z11152cos 5z19216cos 7zq3O q4 ce_2 zq cos 2z14112cos 4zq19288cos 2z1384cos 6zq2491152114608cos 4z123040cos 8zq3O q4 ce_3 zq cos 3z18cos z116cos 5zq5512cos 3z164cos z1640cos 7zq21512cos 3z14096cos z1140960cos 5z146080cos 9zq3O q4 ce_4 zq cos 4z112cos 2z120cos 6zq173600cos 4z11921960cos 8zq2728800cos 2z29288000cos 6z180640cos 10zq3O q4 se_1 zq sin z18sin 3zq1128sin z164sin 3z1192sin 5zq21512sin z13072sin 3z11152sin 5z19216sin 7zq3O q4 se_2 zq sin 2z112sin 4zq1288sin 2z1384sin 6zq211536sin 4z123040sin 8zq3O q4 se_3 zq sin 3z18sin z116sin 5zq5512sin 3z164sin z1640sin 7zq21512sin 3z14096sin z1140960sin 5z146080sin 9zq3O q4 se_4 zq sin 4z112sin 2z120sin 6zq173600sin 4z1960sin 8zq211600sin 2z29288000sin 6z180640sin 10zq3O q4 se_5 zq sin 5z116sin 3z124sin 7zq134608sin 5z1384sin z11344sin 9zq2773728sin 3z13258048sin 7z19216sin z1129024sin 11zq3O q4 傅立葉展開式 馬丟函式的傅立葉展開：Frank p656657 MathieuCE 2n q xsum_m0infty A_2m2nq cos 2mx MathieuCE 2n1 q xsum_m0infty A_2m12n1q cos 2m1 x MathieuSE 2n1qxsum_m0infty B_2m12n1q sin 2m1 x MathieuSE 2n2qxsum_m0infty B_2m22n2q sin 2m2 x 其中係數 AB 滿足下列遞迴關係：Frank J Oliver p656 aA_0qA_2 a4 A_2q 2A_0A_4 a4m2 A_2mq A_2m2A_2m2 a1q B_1qB_3 a2m12 B_2m1q B_2m1B_2m1 關係式 馬丟方程的基本解 W_I W_II 滿足下列關係：NIST p653 begin vmatrix w_I nq0 w_IInq0w_inq0 w_IInq0 end vmatrix begin vmatrix 1 00 1 end vmatrix 郎斯基行列式： W w_Iw_II1 w_I aqzpiw_I aqpiw_I aqzw_Iaqpiw_IIaqz w_I aqzpiw_I aqpiw_I aqzw_Iaqpiw_IIaqz w_IIaqzpiw_IIaqpiw_IIaqzw_IIaqpiw_IIaqz w_IIaqzpiw_IIaqpiw_IIaqzw_Iaqpiw_IIaqz w_I zw_I z w_IIzw_IIz 特例 CE a0zcos az SE a0zsin az MathieuA 101 MathieuA a0a2 MathieuB a0a2 MathieuFloquet a0zexp Isqrt az 夫洛開解 馬丟函式中，如果 f x 是一個週期為 omega 的解，並滿足下列條件 f xomegasigmaf x 其中 sigma 與 x 無關，則此解稱為夫洛開解。 級數展開 MF 1 1 z 79925734I91346553Iz39962867Iz215231092Iz323311673Iz4O z5 MF 1 2 z 76434526I11676910Iz11466789Iz258353455Iz322291320Iz4O z5 MF 1 3 z 68413703I13187135Iz17109258Iz210985946Iz302851e101543e1Iz4O z5 參考文獻 王竹谿 郭敦仁 《特殊函式概論》 第十二章 馬丟函式 北京大學出版社 2000 Frank J Oliver NIST Handbook of Mathematical FunctionsCambridge University PRESS 2010 Category 常微分方程 Category 特殊函式