鐵木辛柯梁是 20 世紀早期由美籍俄裔科學家與工程師斯蒂芬鐵木辛柯提出並發展的力學模型。Timoshenko S P 1921 On the correction factor for shear of the differential equation for transverse vibrations of bars of uniform crosssection Philosophical Magazine p 744Timoshenko S P 1922 On the transverse vibrations of bars of uniform crosssection Philosophical Magazine p 125 模型考慮了剪應力和轉動慣性，使其適於描述短梁、層合梁以及波長接近厚度的高頻激勵時梁的表現。結果方程有 4 階，但不同於一般的梁理論，如尤拉 伯努利梁理論，還有一個 2 階空間導數呈現。實際上，考慮了附加的變形機理有效地降低了梁的剛度，結果在一穩態載荷下撓度更大，在一組給定的邊界條件時預估固有頻率更低。後者在高頻即波長更短時效果更明顯，反向剪力距離縮短時也有同樣效果。 如果梁材料的剪下模量接近無窮，即此時梁為剪下剛體，並且忽略轉動慣性，則鐵木辛柯梁理論趨同於一般梁理論。 控制方程 準靜態鐵木辛柯梁 在靜力學中鐵木辛柯梁理論沒有軸向影響，假定梁的位移服從於 u_x xyz zvarphi x u_y xyz 0 u_z xy w x 式中 xyz 是樑上一點的座標，u_x u_y u_z 是位移向量的三維座標分量，varphi 是對於梁的中性面的法向轉角，w 是中性面的在 z 方向的位移。 控制方程是以下常微分方程的解耦系統： begin align frac mathrm d2mathrm d x2left EIfrac mathrm d varphimathrm d xright q xt frac mathrm d wmathrm d x varphi frac 1kappa AG frac mathrm dmathrm d xleft EIfrac mathrm d varphimathrm d xright end align 靜態條件下的鐵木辛柯梁理論，若在以下條件成立時，等同於尤拉 伯努利梁理論 frac EIkappa L2 A G ll 1 此時，可忽略上面控制方程的最後一項，得到有效的近似，式中 L 是梁的長度。 對於等截面均勻梁，合併以上兩個方程， EIcfrac mathrm d4 wmathrm d x4 q x cfrac EIkappa A Gcfrac mathrm d2 qmathrm d x2 動態鐵木辛柯梁 在鐵木辛柯梁理論中若不考慮軸向影響，則給出梁的位移 u_x xyzt zvarphi xt u_y xyzt 0 u_z xyzt w xt 式中 xyz 是梁內一點的座標，u_x u_y u_z 是位移向量的三維座標分量，varphi 是對於梁的中性面的法向轉角，w 是中性面 z 方向的位移 從以上假設，鐵木辛柯梁，考慮到振動，要用線性耦合偏微分方程描述： rho Afrac partial2 wpartial t2 q xt frac partialpartial xleft kappa AG left frac partial wpartial xvarphirightright rho Ifrac partial2varphipartial t2 frac partialpartial xleft EIfrac partial varphipartial xrightkappa AGleft frac partial wpartial xvarphiright 其中因變數是梁的平移位移 w xt 和轉角位移 varphi xt。注意不同於尤拉 伯努利梁理論，轉角位移是另一個變數而非撓度斜率的近似。此外， rho 是梁材料的密度（而非線密度）； A 是截面面積； E 是彈性模量； G 是剪下模量； I 是軸慣性矩； kappa，稱作鐵木辛柯剪下係數，由形狀確定，通常矩形截面 kappa 56； q xt 是載荷分佈（單位長度上的力）； m rho A J rho I 這些引數不一定是常數。 對於各向同性的線彈性均勻等截面梁，以上兩個方程可合併成 Thomson W T 1981 Theory of Vibration with ApplicationsRosinger H E and Ritchie I G 1977 On Timoshenkos correction for shear in vibrating isotropic beams J Phys D Appl Phys vol 10 pp 14611466 EIcfrac partial4 wpartial x4 mcfrac partial2 wpartial t2 left J cfrac E I mk A Grightcfrac partial4 wpartial x2partial t2 cfrac m Jk A Gcfrac partial4 wpartial t4 q xt cfrac Jk A Gcfrac partial2 qpartial t2 cfrac EIk A Gcfrac partial2 qpartial x2 軸向影響 如果梁的位移由下式給出 u_x xyzt u_0 xtzvarphi xt u_y xyzt 0 u_z xyz w xt 其中 u_0 是 x 方向的附加位移，則鐵木辛柯梁的控制方程成為 begin align m frac partial2 wpartial t2 frac partialpartial xleft kappa AG left frac partial wpartial xvarphirightright q xt J frac partial2varphipartial t2 N xtfrac partial wpartial x frac partialpartial xleft EIfrac partial varphipartial xrightkappa AGleft frac partial wpartial xvarphiright end align 其中 J rho I，N xt 是外加軸向力。任意外部軸向力的平衡依靠應力 N_xxxt int_hh sigma_xxdz 式中 sigma_xx 是軸嚮應力，梁的厚度設為 2h。 包含軸向力的梁方程合併為 EIcfrac partial4 wpartial x4 Ncfrac partial2 wpartial x2 mfrac partial2 wpartial t2 left Jcfrac mEIkappa AGrightcfrac partial4 wpartial x2 partial t2 cfrac mJkappa AGcfrac partial4 wpartial t4 q cfrac Jkappa AGfrac partial2 qpartial t2 cfrac EIkappa A Gfrac partial2 qpartial x2 阻尼 如果，除軸向力外，我們考慮與速度成正比的阻尼力，形如 eta xcfrac partial wpartial t 鐵木辛柯梁的耦合控制方程成為 m frac partial2 wpartial t2 eta xcfrac partial wpartial t frac partialpartial xleft kappa AG left frac partial wpartial xvarphirightright q xt J frac partial2varphipartial t2 Nfrac partial wpartial x frac partialpartial xleft EIfrac partial varphipartial xrightkappa AGleft frac partial wpartial xvarphiright 合併方程為 begin align EIcfrac partial4 wpartial x4 Ncfrac partial2 wpartial x2 mfrac partial2 wpartial t2 left Jcfrac mEIkappa AGrightcfrac partial4 wpartial x2 partial t2 cfrac mJkappa AGcfrac partial4 wpartial t4 cfrac J eta xkappa AGcfrac partial3 wpartial t3 cfrac EIkappa AGcfrac partial2partial x2left eta xcfrac partial wpartial tright eta xcfrac partial wpartial t q cfrac Jkappa AGfrac partial2 qpartial t2 cfrac EIkappa A Gfrac partial2 qpartial x2 end align 切變係數 確定切變係數不是直接的，一般它必須滿足： int_A tau dA kappa A G varphi 切變係數由泊松比確定。更嚴格的表達方法由多位科學家完成，包括斯蒂芬鐵木辛柯、雷蒙德明德林（Raymond D Mindlin）、考珀（G R Cowper）和約翰哈欽森（John W Hutchinson）等。工程實踐中，斯蒂芬鐵木辛柯的表達一般狀況下足夠好。Stephen Timoshenko James M Gere Mechanics of Materials Van Nostrand Reinhold Co 1972 Pages 207 對於固態矩形截面： kappa cfrac 10 1nu1211nu 對於固態圓形截面： kappa cfrac 6 1nu76nu 參考文獻 Category 固體力學