正圖形範例 正多邊形（二維） 正多邊形（二維） 凸 星形 5 52 正多面體（三維） 正多面體（三維） 凸 星形 53 525 正鑲嵌圖（二維） 正鑲嵌圖（二維） 平面 雙曲 44 54 正多胞體（四維） 正多胞體（四維） 凸 星形 533 正堆砌體（三維） 正堆砌體（三維） 平面 雙曲 434 此頁面列出了所有的歐幾裡得空間、雙曲空間和球形空間的正圖形或正多胞形。施萊夫利符號可以描述每一個正圖形或正多胞形，他被廣泛使用如下面的每一個緊湊的參考名稱。 正圖形或正多胞形可由其維度分類，也可以分成凸、非凸（星形、扭歪、複合或凹）和無窮等形式。非凸形式（或凹形式）使用與凸形式相同的頂點，但面（或邊）有相交。無限的形式則是在一較低維的歐幾裡得空間中密鋪（鑲嵌或堆砌）。 無限的形式可以擴充套件到密鋪雙曲空間。雙曲空間是和正常的空間有相同的規模，但平行線在一定的距離內會分岔得越來越遠。這使得頂點值可以存在負角度的缺陷，例如製作一個由個正三角形組成的頂點，它們可以被平放。它不能在普通平面上完成的，但可以在一個雙曲平面上構造。 概觀 此表顯示正圖形或正多胞形在各個維度的匯總。 請注意，平面密鋪和雙曲密鋪的維數比預期多一維。這是因為它們是有限多胞形在不同維度的類比：凸正胞形可以看作維球面空間的鑲嵌。因此，歐幾裡德平面的三個正鑲嵌圖（正三角形鑲嵌、正方形鑲嵌和正六邊形鑲嵌）列在第三維度而不是第二維下。 有限比如多邊形、多面體這種包圍有限空間的圖形 有限比如多邊形、多面體這種包圍有限空間的圖形 有限比如多邊形、多面體這種包圍有限空間的圖形 平面退化的形狀，比如退化成平面的多面體，無法包圍住一個有限空間的圖形 平面退化的形狀，比如退化成平面的多面體，無法包圍住一個有限空間的圖形 平面退化的形狀，比如退化成平面的多面體，無法包圍住一個有限空間的圖形 雙曲退化的形狀，但是由於發散因此也無法包圍住一個有限空間的圖形 雙曲退化的形狀，但是由於發散因此也無法包圍住一個有限空間的圖形 雙曲退化的形狀，但是由於發散因此也無法包圍住一個有限空間的圖形 雙曲退化的形狀，但是由於發散因此也無法包圍住一個有限空間的圖形 複合多個形狀組成的幾何圖形，例如二複合三角形（六角星） 複合多個形狀組成的幾何圖形，例如二複合三角形（六角星） 抽象 維度 凸 非凸 非凸 密鋪 密鋪 密鋪 密鋪 密鋪 密鋪 密鋪 複合多個形狀組成的幾何圖形，例如二複合三角形（六角星） 複合多個形狀組成的幾何圖形，例如二複合三角形（六角星） 抽象 維度 凸 星形 扭歪 凸 星形 扭歪 緊湊 緊湊 仿緊 非緊 複合多個形狀組成的幾何圖形，例如二複合三角形（六角星） 複合多個形狀組成的幾何圖形，例如二複合三角形（六角星） 抽象 維度 凸 星形 扭歪 凸 星形 扭歪 凸 星形 凸 非緊 凸 星形 抽象 11 維度就是空集合 0 0 0 0 0 沒有任何一種維度存在平面的星形正鑲嵌、密鋪或堆砌。 0 0 0 0 0 0 0 1 即空多胞形 0 1 0 0 0 0 沒有任何一種維度存在平面的星形正鑲嵌、密鋪或堆砌。 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 點可以密鋪於零維空間 0 沒有任何一種維度存在平面的星形正鑲嵌、密鋪或堆砌。 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 沒有任何一種維度存在平面的星形正鑲嵌、密鋪或堆砌。 1 1 0 0 0 3 5 4 3 0 沒有任何一種維度存在平面的星形正鑲嵌、密鋪或堆砌。 3 5 0 4 6 10 1 0 沒有任何一種維度存在平面的星形正鑲嵌、密鋪或堆砌。 4 0 11 26 20 5 3 0 3 0 沒有任何一種維度存在平面的星形正鑲嵌、密鋪或堆砌。 5 4 2 186George Maxwell Sphere Packings and Hyperbolic Reflection Groups JOURNAL OF ALGEBRA 797897 （1982） 0 0 6 3 0 1 0 沒有任何一種維度存在平面的星形正鑲嵌、密鋪或堆砌。 0 0 5 66 0 0 7 3 0 1 0 沒有任何一種維度存在平面的星形正鑲嵌、密鋪或堆砌。 0 0 0 36 3 0 8 3 0 1 0 沒有任何一種維度存在平面的星形正鑲嵌、密鋪或堆砌。 0 0 0 13 6 0 9 3 0 1 0 沒有任何一種維度存在平面的星形正鑲嵌、密鋪或堆砌。 0 0 0 10 0 0 10 3 0 1 0 沒有任何一種維度存在平面的星形正鑲嵌、密鋪或堆砌。 0 0 0 8 0 0 11 3 0 1 0 沒有任何一種維度存在平面的星形正鑲嵌、密鋪或堆砌。 0 0 0 4 0 0 12 3 0 1 0 沒有任何一種維度存在平面的星形正鑲嵌、密鋪或堆砌。 0 0 0 Hao Chen JeanPhilippe Labbé Lorentzian Coxeter groups and BoydMaxwell ball packings httparxivorgabs13108608 2 begin cases 1 mbox 維 度 為 2k1 2 mbox 維 度 為 2k 0 mbox otherwise end cases 0 stylewidth100 classwikitable stylewidth100 classwikitable stylewidth100 classwikitable stylewidth100 classwikitable stylewidth100 classwikitable stylewidth100 classwikitable stylewidth100 classwikitable stylewidth100 classwikitable stylewidth100 classwikitable stylewidth100 classwikitable stylewidth100 classwikitable stylewidth100 classwikitable stylewidth100 classwikitable stylewidth100 classwikitable 不存在 存在唯一 有限個 無窮個 不一定 零維或以下的正圖形 thumb200px 上圖以正方形展示一個二維正多胞形的組成元素：一個二維正多胞形（正方形）、四個一維正多胞形（線段）、四個零維正多胞形（頂點）和一個負一維正多胞形（空集合） 在維數為零的空間能存在的多胞形只有點，無法有其他幾何或拓樸組合，而維數比零更低則是在中的虛無多胞形代表一種空集合，在中被看作是一種負一維的多胞形，但其是一種。然而，在數學上，零維空間是按以下的不等價定義之一，維數為零的拓撲空間：按覆蓋維數的概念，一個拓撲空間是零維空間，若空間的任何開覆蓋，都有一個加細，使得空間內每一點，都在這個加細的恰好一個開集內；或者按小歸納維數的概念，一個拓撲空間是零維空間，若空間有一個由閉開集組成的基。這兩個概念對可分可度量化空間為等價。而負一維空間僅是在表示一個比零維多胞形更低維度的一個元詞。 依據正圖形的定義，一個多胞形必須要具備嚴格的標記可遞特性，對於該幾何體內所有同維度的元素（如：點、線、面）都完全具有相同的性質，並且每一個元素皆為一個正圖形，而零維多胞形的元素僅有 F1 F0、負一維多胞形的元素僅有 F1，幾何上所有零維多胞形都是正多胞形，一般地，n 維正圖形被定義為有正 （n 1） 表面 和正頂點圖，這兩個條件已經能充分地保證所有面、所有頂點都是相似的，但這一定義並不適用於，而負一維的多胞形的僅有一種。 另外，正零邊形也可以視為零維或以下的正圖形，或看做是虛無多胞形。 一維正圖形 考克斯特記號終結點代表一個鏡射面，周圍有環的節點表示其不位於一個平面。 ditel 是點 p 和其鏡射像 p 並且中間被夾出一段線段 在維數為一的一維空間裡存在的多胞形是由兩個端點包圍住的一個封閉一維空間，即線段。在定義上，這個一維多胞形（或稱 1 多胞形）在施萊夫利符號中以： 表示，而在考克斯特記號中則以一個有環的節點：表示。將之稱為 ditel，並在施萊夫利符號中以 表示，p 86。依據正圖形的定義，一個多胞形必須要具備嚴格的標記可遞特性，對於該幾何體內所有同維度的元素（如：點、線、面）都完全具有相同的性質，並且每一個元素皆為一個正圖形，而一維多胞形的旗包含 F1 F0 F1、其元素僅有 F1 A B AB，其中，A、B 為線段兩端點，由於幾何上所有零維多胞形都是正多胞形，因此所有的線段都會符合標記可遞特以及所有同維度的元素（如：點、線、面）都完全具有相同的性質，並且每一個元素皆為一個正圖形，因此在幾何上所有的一維多胞形都是正多胞形。 雖然線段做為一個多胞形是微不足道的，但它似乎是多邊形和其他更高維度圖形形成邊緣所需的一個元素。在一維以及以下（包括一維、零維、負一維）空間中的多胞形都是正多胞形，包含了一維的線段、零維的點和負一維的抽象虛無多胞形都是組成多邊形和其他更高維度圖形的重要元素之一，比如一維的線段組成多邊形的邊、零維的點組成多邊形的頂點以及代表集合子集中空集合的抽象虛無多胞形都是多邊形的組成元素（子集），依據正圖形定義，若這些低為度不存在正圖形，則也不會有正多邊形和其他更高維度的正圖形。 在柱體的定義裡，線段（一維）可以被看做是點（零維）的柱體，在施萊夫利符號中以 p 表示，而在考克斯特記號中則以笛卡兒積的形式表示一個線段和多邊形。 二維正多邊形 二維凸正多邊形 名稱 正三角形（2 單體） 正方形（2 正軸形）（2 立方形） 正五邊形 正六邊形 正七邊形 正八邊形 施萊夫利符號 3 4 5 6 7 8 影像 名稱 正九邊形 正十邊形 正十一邊形 正十二邊形 正十三邊形 正十四邊形 施萊夫利 9 10 11 12 13 14 考克 迪肯 影像 名稱 正十五邊形 正十六邊形 正十七邊形 正十八邊形 正十九邊形 正二十邊形 正 n 邊形 施萊夫利 15 16 17 18 19 20 n 考克 迪肯 影像 邊數較大的正多邊形 名稱 二百五十七邊形 正 65537 邊形 一百萬邊形 可作圖？ 可作圖 可作圖 不可 施萊夫利符號 257 65537 1000000 Darling David J The universal book of mathematics from Abracadabra to Zenos paradoxes John Wiley Sons 2004 Page 249 ISBN 0471270474 影像 Russell Bertrand History of Western Philosophy reprint edition Routledge 2004 p 202 ISBN 0415325056 即使一百萬邊形被畫成地球一樣大，也很難與圓形區分。 退化 （圓形） 名稱 正零邊形 正一邊形 正二邊形 施萊夫利符號 1 Coxeter Introduction to geometry 1969 Second edition sec 213 Regular maps p 386388 2 影像 星形正多邊形 名稱 五角星 七角星 七角星 八角星 九角星 九角星 十角星 n 角星 施萊夫利符號 52 72 73 83 92 94 103 pq 影像 20 邊以下的星形正多邊形 112 113 114 115 125 132 133 134 135 136 143 145 152 154 157 163 165 167 172 173 174 175 176 177 178 185 187 192 193 194 195 196 197 198 199 203 207 209 扭歪正多邊形 鋸齒扭歪多邊形的例子 扭歪六邊形 扭歪八邊形 扭歪十邊形 扭歪十邊形 扭歪十邊形 D3d 26 D4d 28 D5d 210 D5d 210 D5d 210 3 4 5 52 53 三維正圖形 三維凸正多面體 名稱 施萊夫利符號 pq 影像（透檢視） 影像（立體圖） 影像（球面投影） 面 p 邊 頂點 q 對稱群 對偶 正四面體（3 單體）（三角錐） 33 4 3 6 4 3 Td （自身對偶） 正方體 （3 立方形）（正六面體）（四角柱） 43 6 4 12 8 3 Oh 正八面體 正八面體（3 正軸體）（正三角反稜柱） 34 8 3 12 6 4 Oh 立方體 正十二面體 53 12 5 30 20 3 Ih 正二十面體 正二十面體 35 20 3 30 12 5 Ih 正十二面體 退化 （球面） 在球面幾何學中，多面形 2n 和多邊形二面體 n2 以及一面體 11 也可以被視為是一種正多面體（正球面鑲嵌）。 他們包括： 名稱 施萊夫利 pq 影像（球面） 面 p 邊 頂點 q 對偶 一邊形一面體 11 1 1 0 1 1 C1（1） 自身對偶 一邊形二面體 12 2 1 1 1 2 C1v（22） 一面形 一面形 21 1 2 1 2 1 C1v（22） 一邊形二面體 二邊形二面體二面形 22 2 2 2 2 2 D2h（222） 自身對偶 三面形 23 3 2 3 2 3 D3h（322） 三角形二面體 三角形二面體 32 2 3 3 3 2 D3h（322） 三面形 六面形 26 6 2 6 2 6 D6h（622） 六邊形二面體 六邊形二面體 62 2 6 6 6 2 D6h（622） 六面形 星形正多面體 名稱 半透明影像 立體影像 球面鑲嵌影像 星狀圖 施萊夫利 pq 面 p 邊 頂點 q 頂點圖 χ 對稱姓 對偶 小星形十二面體 525 12 52 30 12 5 6 3 Ih 53（532） 大十二面體 大十二面體 552 12 5 30 12 52 6 3 Ih 53（532） 小星形十二面體 大星形十二面體 523 12 52 30 20 3 2 7 Ih 53（532） 大二十面體 大二十面體 352 20 3 30 12 52 2 7 Ih 53（532） 大星形十二面體 扭歪正多面體 考克斯特在他的論文《三維和四維空間的正扭歪多面體極其類似物》Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues Proceedings of the London Mathematics Society Ser 2 Vol 43 1937 中列出了較多的一系列扭歪多面體，其中有四種是正圖形。 4 6 3 6 4 3 4 8 3 8 4 3 四維正圖形 四維凸正多胞體 在四維空間中存在 6 種凸正圖形。 名稱 施萊夫利 pqr 胞 pq 面 p 邊 r 頂點 qr 對偶 rqp 正五胞體（四維單純形） 333 5 33 10 3 10 3 5 33 自身對偶 正八胞體（四維超方形）（超立方體） 433 8 43 24 4 32 3 16 33 正十六胞體 正十六胞體（四維正軸體） 334 16 33 32 3 24 4 8 34 超立方體 正二十四胞體 343 24 34 96 3 96 3 24 43 自身對偶 正一百二十胞體（四維類五邊形體） 533 120 53 720 5 1200 3 600 33 正六百胞體 正六百胞體（四維類二十面體體 335 600 33 1200 3 720 5 120 35 正一百二十胞體 正五胞體 超立方體 正十六胞體 正二十四胞體 正一百二十胞體 正六百胞體 333 433 334 343 533 335 線架圖 （皮特里多邊形） 歪斜 線架圖 （皮特里多邊形） 歪斜 線架圖 （皮特里多邊形） 歪斜 線架圖 （皮特里多邊形） 歪斜 線架圖 （皮特里多邊形） 歪斜 線架圖 （皮特里多邊形） 歪斜 不透明 不透明 不透明 不透明 不透明 不透明 BR 被正四面體包覆 BR（以頂點與胞為中心） BR 被立方體包覆 BR（以胞為中心） BR 被立方體包覆 BR（以胞為中心） BR 被截半立方體包覆 BR（以胞為中心） BR 被倒角十二面體包覆 BR （以胞為中心） BR 被五角化截半二十面體包覆 BR（以頂點為中心） 線框 （透視投影） 線框 （透視投影） 線框 （透視投影） 線框 （透視投影） 線框 （透視投影） 線框 （透視投影） BR（以胞為中心） BR（以胞為中心） BR（以胞為中心） BR（以胞為中心） BR（以胞為中心） BR（以頂點為中心） 球極平面投影線框 （超球面堆砌） 球極平面投影線框 （超球面堆砌） 球極平面投影線框 （超球面堆砌） 球極平面投影線框 （超球面堆砌） 球極平面投影線框 （超球面堆砌） 球極平面投影線框 （超球面堆砌） 退化 （超球面） 多維面形 施萊夫利 2pq 胞 2pπq 面 2πpπq 邊 頂點 頂點圖 BRpq 對稱性 對偶多胞形 233 4BR23π3BR 6 2π3π3 4 2 33BR 233 332 243 6BR24π3BR 12 2π4π3 8 2 43BR 243 342 234 8BR23π4BR 12 2π3π4 6 2 34BR 243 432 253 12BR25π3BR 30 2π5π3 20 2 53BR 253 352 235 20BR23π5BR 30 2π3π5 12 2 35BR 253 532 扭歪多胞體 四維的扭歪多胞體是一些位於五維或以上的扭歪圖形。 五維正圖形 五維凸正多胞體 名稱 施萊夫利 pqrs 維面 pqr 胞 pq 面 p 邊 頂點 面圖 s 邊圖 rs 頂點圖 qrs 五維正六胞體 3333 6 333 15 33 20 3 15 6 3 33 333 五維超正方體 4333 10 433 40 43 80 4 80 32 3 33 333 五維正三十二胞體 3334 32 333 80 33 80 3 40 10 4 34 334 五維正六胞體 五維超正方體 五維正三十二胞體 六維正圖形 六維凸正多胞體 名稱 施萊夫利 頂點 邊 面 胞 維脊 維面 χ 六維正七胞體 33333 7 21 35 35 21 7 0 43333 64 192 240 160 60 12 0 33334 12 60 160 240 192 64 0 六維正七胞體 七維正圖形 七維凸正多胞體 名稱 施萊夫利 頂點 邊 面 胞 維峰 維脊 維面 χ 七維正八胞體 333333 8 28 56 70 56 28 8 2 433333 128 448 672 560 280 84 14 2 333334 14 84 280 560 672 448 128 2 七維正八胞體 七維以上正圖形 自五維開始，正圖形皆只有三種 單純形、超方形以及正軸形。 n 維凸正多胞體 從五維開始，凸正多胞體都只有三種。 名稱 施萊夫利符號 p1pn1 記號 k 維胞 面 維面 頂點圖 對偶 n 維單體 3n1 n1 choose k1 3n2 3n2 自身對偶 n 維超立方體 43n2 2nkn choose k 43n3 3n2 n 維正軸體 n 維正軸體 3n24 2k1n choose k1 3n2 3n34 n 維超立方體 八維 名稱 施萊夫利 頂點 邊 面 胞 4 維胞 維峰 維脊 維面 χ 3333333 9 36 84 126 126 84 36 9 0 4333333 256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 0 3333334 16 112 448 1120 1792 1792 1024 256 0 九維 名稱 施萊夫利 頂點 邊 面 胞 4 維胞 5 維胞 維峰 維脊 維面 χ 38 10 45 120 210 252 210 120 45 10 2 437 512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18 2 374 18 144 672 2016 4032 5376 4608 2304 512 2 十維 名稱 施萊夫利 頂點 邊 面 胞 4 維胞 5 維胞 6 維胞 維峰 維脊 維面 χ 十維單體 39 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 0 438 1024 5120 11520 15360 13440 8064 3360 960 180 20 0 384 20 180 960 3360 8064 13440 15360 11520 5120 1024 0 十維單體 十一維 名稱 施萊夫利 頂點 邊 面 胞 4 維胞 5 維胞 6 維胞 7 維胞 維峰 維脊 維面 χ 十一維單體 310 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 2 十一維超立方體 439 2048 11264 28160 42240 42240 29568 14784 5280 1320 220 22 2 十一維正軸體 394 22 220 1320 5280 14784 29568 42240 42240 28160 11264 2048 2 十一維單體 十一維超立方體 十一維正軸體 十二維 名稱 施萊夫利 頂點 邊 面 胞 4 維胞 5 維胞 6 維胞 7 維胞 8 維胞 維峰 維脊 維面 χ 十二維單體 311 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 0 十二維超立方體 4310 4096 24576 67584 112640 126720 101376 59136 25344 7920 1760 264 24 0 十二維正軸體 3104 24 264 1760 7920 25344 59136 101376 126720 112640 67584 24576 4096 0 十二維單體 十二正軸體 更高維度 種類 維度 名稱 施萊夫利 頂點 邊 面 維峰 維脊 維面 χ 單純形 13 十三維單體 312 14 91 364 364 91 14 2 單純形 14 十四維單體 313 15 105 455 455 105 15 0 單純形 15 十五維單體 314 16 120 560 560 120 16 2 單純形 16 十六維單體 315 17 136 680 680 136 17 0 單純形 17 十七維單體 316 18 153 816 816 153 18 2 單純形 18 十八維單體 317 19 171 969 969 171 19 0 單純形 19 十九維單體 318 20 190 1140 1140 190 20 2 單純形 20 二十維單體 319 21 210 1330 1330 210 21 0 超方形 13 十三維超立方體 4311 8192 53248 159744 2288 312 26 2 超方形 14 十四維超立方體 4312 16384 114688 372736 2912 364 28 0 超方形 15 十五維超立方體 4313 32768 245760 860160 3640 420 30 2 超方形 16 十六維超立方體 4314 65536 524288 1966080 4480 480 32 0 超方形 17 十七維超立方體 4315 131072 1114112 4456448 5440 544 34 2 超方形 18 十八維超立方體 4316 262144 2359296 10027008 6528 612 36 0 超方形 19 十九維超立方體 4317 524288 4980736 22413312 7752 684 38 2 超方形 20 二十維超立方體 4318 1048576 10485760 49807360 9120 760 40 0 正軸形 13 十三維正軸體 3114 26 312 2288 159744 53248 8192 2 正軸形 14 十四維正軸體 3124 28 364 2912 372736 114688 16384 0 正軸形 15 十五維正軸體 3134 30 420 3640 860160 245760 32768 2 正軸形 16 十六維正軸體 3144 32 480 4480 1966080 524288 65536 0 正軸形 17 十七維正軸體 3154 34 544 5440 4456448 1114112 131072 2 正軸形 18 十八維正軸體 3164 36 612 6528 10027008 2359296 262144 0 正軸形 19 十九維正軸體 3174 38 684 7752 22413312 4980736 524288 2 正軸形 20 二十維正軸體 3184 40 760 9120 49807360 10485760 1048576 0 n 維正非凸多胞形 從五維開始就都不存在任何非凸多胞形。 正無窮多胞形 一維 密鋪 對應的歐幾裡得密鋪只有一種，密鋪於一維歐幾裡得空間，即直線，即正無限邊形。其施萊夫利符號以 表示、以表示。 該鑲嵌是由一維正圖形「線段」（即二維二邊形）完成一維歐幾裡得空間的密鋪。 雙曲密鋪 對應的雙曲密鋪只有一種，即由一維正圖形「線段」完成一維羅氏空間（即二維雙曲線）的密鋪，類似於無限邊形，稱為超無限邊形，但又因為它是發散的，因此又稱為偽多邊形。在施萊夫利符號以 iπλ 表示、以表示。 二維 平面正鑲嵌圖 名稱 正方形鑲嵌 正三角形鑲嵌 正六邊形鑲嵌 p4m 44 （442） p6m 63 （632） p6m 63 （632） 施萊夫利 pq 44 36 63 影像 雙曲凸正鑲嵌圖 雙曲正鑲嵌圖 雙曲正鑲嵌圖 雙曲正鑲嵌圖 雙曲正鑲嵌圖 雙曲正鑲嵌圖 雙曲正鑲嵌圖 雙曲正鑲嵌圖 雙曲正鑲嵌圖 雙曲正鑲嵌圖 雙曲正鑲嵌圖 雙曲正鑲嵌圖 雙曲正鑲嵌圖 球面 （退化 柏拉圖） 平面 雙曲面 （龐加萊圓盤： 緊湊 仿緊湊 非緊湊） 鑲嵌圖與其施萊夫利符號 球面 （退化 柏拉圖） 平面 雙曲面 （龐加萊圓盤： 緊湊 仿緊湊 非緊湊） 鑲嵌圖與其施萊夫利符號 球面 （退化 柏拉圖） 平面 雙曲面 （龐加萊圓盤： 緊湊 仿緊湊 非緊湊） 鑲嵌圖與其施萊夫利符號 球面 （退化 柏拉圖） 平面 雙曲面 （龐加萊圓盤： 緊湊 仿緊湊 非緊湊） 鑲嵌圖與其施萊夫利符號 球面 （退化 柏拉圖） 平面 雙曲面 （龐加萊圓盤： 緊湊 仿緊湊 非緊湊） 鑲嵌圖與其施萊夫利符號 球面 （退化 柏拉圖） 平面 雙曲面 （龐加萊圓盤： 緊湊 仿緊湊 非緊湊） 鑲嵌圖與其施萊夫利符號 球面 （退化 柏拉圖） 平面 雙曲面 （龐加萊圓盤： 緊湊 仿緊湊 非緊湊） 鑲嵌圖與其施萊夫利符號 球面 （退化 柏拉圖） 平面 雙曲面 （龐加萊圓盤： 緊湊 仿緊湊 非緊湊） 鑲嵌圖與其施萊夫利符號 球面 （退化 柏拉圖） 平面 雙曲面 （龐加萊圓盤： 緊湊 仿緊湊 非緊湊） 鑲嵌圖與其施萊夫利符號 球面 （退化 柏拉圖） 平面 雙曲面 （龐加萊圓盤： 緊湊 仿緊湊 非緊湊） 鑲嵌圖與其施萊夫利符號 球面 （退化 柏拉圖） 平面 雙曲面 （龐加萊圓盤： 緊湊 仿緊湊 非緊湊） 鑲嵌圖與其施萊夫利符號 球面 （退化 柏拉圖） 平面 雙曲面 （龐加萊圓盤： 緊湊 仿緊湊 非緊湊） 鑲嵌圖與其施萊夫利符號 p q 2 3 4 5 6 7 8 2 22 23 24 25 26 27 28 2 3 32 （正四面體）33 （正八面體）34 （正二十面體）35 （三角鑲嵌）36 37 38 3 4 42 （立方體）43 （方形鑲嵌）44 45 46 47 48 4 5 52 （十二面體）53 54 55 56 5 6 62 （六角鑲嵌）63 64 65 66 68 7 73 74 77 8 83 84 86 88 2 3 4 5 雙曲星形正鑲嵌圖 名稱 施萊夫利符號 影像 面的種類 p 頂點圖 q 對稱 對偶 七階七角星鑲嵌 727 72 7 3 732 73 二分之七階七邊形鑲嵌 二分之七階七邊形鑲嵌 772 7 72 3 732 73 七階七角星鑲嵌 九階九角星鑲嵌 929 92 9 3 932 93 二分之九階九邊形鑲嵌 二分之九階九邊形鑲嵌 992 9 92 3 932 93 九階九角星鑲嵌 十一階十一角星鑲嵌 11211 112 11 3 1132 113 二分之十一階十一邊形鑲嵌 二分之十一階十一邊形鑲嵌 11112 11 112 3 1132 113 十一階十一角星鑲嵌 p 階 p 角星鑲嵌 p2p p2 p 3 p32 p3 二分之 p 階 p 邊形鑲嵌 二分之 p 階 p 邊形鑲嵌 pp2 p p2 3 p32 p3 p 階 p 角星鑲嵌 無限階無限角星鑲嵌此無限為奇數的極限 2 2 3 32 3 二分之無限階無限邊形鑲嵌 二分之無限階無限邊形鑲嵌 2 2 3 32 3 無限階無限角星鑲嵌 三維 三維空間中只有一種正堆砌體，即立方體堆砌 4 3 4： 名稱 施萊夫利 BRpqr BR 胞 BRpq 面 BRp 邊圖 BRr 頂點圖 BRqr χ 對偶 立方體堆砌 434 43 4 4 34 0 自身對偶 四維 名稱 施萊夫利 BRpqrs 維面 BRpqr 胞 BRpq 面 BRp 面圖 BRs 邊圖 BRrs 頂點圖 BRqrs 對偶 超立方體堆砌 4334 433 43 4 4 34 334 自身對偶 正十六胞體堆砌 3343 334 33 3 3 43 343 3433 正二十四胞體堆砌 3433 343 34 3 3 33 433 3343 BR 超立方體堆砌 BR 正十六胞體堆砌 BR 正二十四胞體堆砌 五維 五維空間的正堆砌僅有五維超立方體堆砌 43334 名稱 施萊夫利 BRpqrst BR 維面 BRpqrs 維脊 BRpqr 胞 BRpq 面 BRp 邊圖 BRt 頂點圖 BRst 對偶 五維超立方體堆砌 43334 4333 433 43 4 4 34 自身對偶 六維以上 δn 維度 名稱 施萊夫利 δn 維度 名稱 施萊夫利 原位 BR nBR2m 色，mn 正 BR43n14BR1 色、n 色 網格 BR43n4311BR2 色 δ6 五維（退化六維） 5BR4334BR432311 BR δ7 六維（退化七維） 6BR4344BR433311 BR δ8 七維（退化八維） 7BR4354BR434311 BR δ9 八維（退化九維） 8BR4364BR435311 BR δn n1 維（退化 n 維） n1 維超立方體堆砌 nBR43n34BR43n4311 雙曲 六維或以上的維度皆不存在緊空間與仿緊空間的雙曲堆砌。不過，任何的 pqrs 形式（其中 pqrs 是大於二的自然數或無限大）以上並不包括 n 維空間的非緊鑲嵌。 非緊鑲嵌 非緊鑲嵌的考克斯特群 維 總數 群 群 群 群 三維（退化四維） 337 43 3 3 5411 111 5433 4 4 4 33 33 337 43 3 3 5411 111 5433 4 4 4 33 33 337 43 3 3 5411 111 5433 4 4 4 33 33 337 43 3 3 5411 111 5433 4 4 4 33 33 四維（退化五維） 186 3 333 五維（退化六維） 66 六維（退化七維） 36 3111111 3111111 3111111 3111111 七維（退化八維） 13 333 6 33 63 33 243 33 153 3 e3 433331 3113331 3334 11 3213321 433322 3113322 八維（退化九維） 10 33 343 33 9 33 253 32132321 331334 33133311 3332 3224 322334 32233311 九維（退化十維） 8 33 83 33 353 33 9 32133321 3531 331344 33133311 3441 十維（退化十一維） 4 32134321 321364 32135311 3721 複合正圖形 二維複合正多邊形 n210 nk30 的複合正多邊形 BR2 2 BR3 2 BR4 2 BR5 2 BR6 2 BR7 2 BR8 2 BR9 2 BR10 2 BR11 2 BR12 2 BR13 2 BR14 2 BR15 2 BR2 3 BR3 3 BR4 3 BR5 3 BR6 3 BR7 3 BR8 3 BR9 3 BR10 3 BR2 4 BR3 4 BR4 4 BR5 4 BR6 4 BR7 4 BR2 5 BR3 5 BR4 5 BR5 5 BR6 5 BR2 52 BR3 52 BR4 52 BR5 52 BR6 52 BR2 6 BR3 6 BR4 6 BR5 6 BR2 7 BR3 7 BR4 7 BR2 72 BR3 72 BR4 72 BR2 73 BR3 73 BR4 73 BR2 8 BR3 8 BR2 83 BR3 83 BR2 9 BR3 9 BR2 92 BR3 92 BR2 94 BR3 94 BR2 10 BR3 10 BR2 103 BR3 103 BR2 11 BR2 112 BR2 113 BR2 114 BR2 115 BR2 12 BR2 125 BR2 13 BR2 132 BR2 133 BR2 134 BR2 135 BR2 136 BR2 14 BR2 143 BR2 145 BR BR2 152 BR2 154 BR2 157 抽象正圖形 多面體 內側菱形三十面體 十二合十二面體 內側三角星化二十面體 雙三斜十二面體 凹五角錐十二面體 頂點圖 5 52 552 2 5 52 553 3 面 30 個菱形 12 個五邊形 12 個五角星 20 個六邊形 12 個五邊形 12 個五角星 20 個六邊形 鑲嵌 4 5 5 4 6 5 5 6 6 6 χ 6 6 16 16 20 參見 正圖形 多邊形 多面體 多胞體 註釋 參考文獻 Coxeter The Beauty of Geometry Twelve Essays Dover Publications 1999 ISBN 0486409198 （Chapter 10 Regular honeycombs in hyperbolic space Summary tables IIIIIIVV pp 212213） PDF D M Y Sommerville An Introduction to the Geometry of n Dimensions New York E P Dutton 1930 196 pp （Dover Publications edition 1958） Chapter X The Regular Polytopes 外部連結 The Platonic Solids KeplerPoinsot Polyhedra Regular 4d Polytope Foldouts Multidimensional Glossary （Look up Hexacosichoron and Hecatonicosachoron） Polytope Viewer Polytopes and optimal packing of p points in n dimensional spheres An atlas of small regular polytopes Category 多胞形 Category 對稱