形式冪級數 formal power series 是一個數學中的抽象概念，是從冪級數中抽離出來的代數物件。形式冪級數和從多項式中剝離出來的多項式環類似，不過允許（可數）無窮多項因子相加，但不像冪級數一般要求研究是否收斂和是否有確定的取值。形式冪級數在代數和組合理論中有廣泛應用。 簡介 形式冪級數和多項式的形式定義有類似之處。對於熟悉冪級數的讀者，也可以將其看作是不討論冪級數斂散性，也就是將其中的不定元僅僅看作是一個代數物件，而不是任何具體數值的時候寫出的冪級數。舉例來說，以下的級數式子： A 1 3X 5X2 7X3 9X4 11X5 cdots 如果我們把它當成冪級數來研究的話，重點會放在它的收斂半徑等於 1、其對應的冪級數函式是否滿足某些性質等等。但作為形式冪級數來研究時，我們關注的是它本身的結構。我們甚至可以把它簡寫為：13579 cdots 這樣，只關注它的係數。我們完全可以考慮各種係數的形式冪級數。比如說係數為階乘的形式冪級數：112624120 cdots，即使說它對應的冪級數： A 1 X 2X26X324X4 120X5 cdots 在 X 取任何的非零實數值時都不收斂，我們仍然可以將其作為形式冪級數進行運算。 和多項式環中的元素一樣，形式冪級數之間也可以做加減和乘法的運算，具體的計算方式和多項式環一樣。比如說設： B 2X 4X3 6X5 8X7 cdots 那麼 A 與 B 的和就是： A B 1 3X 2X210 X324X4 126X5 cdots AB 2X 6X2 14X3 26X4 44X5 cdots 其中 A B 裡面 X3 的係數就是 A 與 B 中 X3 的係數的和；AB 裡面 X5 的係數就是 A 與 B 中 X 的階數相加等於 5 的項的係數乘積的和： 44X5 1times 6X5 5X2 times 4X3 9X4 times 2X 對每個確定的階數 n，這個計算是有限項（至多 n1 項）的相加，所以在計算形式冪級數的加減法和乘法的時候，不需要像在對冪級數進行計算時一樣，考慮諸如是否絕對收斂、條件收斂或是一致收斂的問題。另外，如多項式的形式運算一樣，形式冪級數也滿足加法的交換律、加法的結合律、乘法的交換律、乘法的結合律以及乘法對加法的分配律。 形式冪級數不僅能夠定義乘法，也能定義乘法逆的運算。一個形式冪級數 A 的逆是指另一個形式冪級數 C，使得 AC 1 如果這樣的形式冪級數 C 存在，就是唯一的，將其記為 A1。同時我們也可以定義形式冪級數的除法：當 A 的逆存在時，BA Bcdot A1 比如說，可以很容易驗證： frac 11X 1 X X2 X3 X4 X5 cdots 形式冪級數上的一個重要對映是係數的提取操作：將一個形式冪級數對映到它的 Xn 的係數。這個操作常常記作 Xn，比如說對形式冪級數 A 1 3X 5X2 7X3 9X4 11X5 cdots，就有： X5 A 11 對以上定義的形式冪級數 B，也有：X3 B 4。又比如：X2 X 3 X2 Y3 10 Y6 3 Y3 ， X2 Y3 X 3 X2 Y3 10 Y6 3。提取對映和多項式環中的對應對映一樣，都可以看做是到一個子空間的投影對映。 形式冪級數的環結構 所有的不定元為 X，係數為某一個交換環 R 上元素的形式冪級數構成一個環，稱為 R 上變數為 X 的形式冪級數環，記作 R X。 定義 R X 可以定義為 R 上變數為 X 的多項式環完備化（對於特定的度量）後得到的。這個定義自然就賦予了 R X 以拓撲環的結構（同時也賦予了完備度量空間的結構）。不過空間完備化所需要的步驟過於繁瑣，而建構 R X 所需要的並沒有那麼多。以下將對 R X 的環結構和拓撲結構分別定義，更為明晰，容易理解。 環結構 首先可以定義集合 R X 的範圍。作為一個集合，R X 可以用和 Rmathbb N 一樣的方法構造。Rmathbb N 是所有 R 上元素構成的數列 a_n_nin mathbb N 的集合： Rmathbb N a_n_nin mathbb N forall nin mathbb N a_n in R Rmathbb N 中的元素可以定義加法和乘法： a_n_ninmathbb N b_n_ninmathbb N left a_n b_n right_ninmathbb N a_n_ninmathbb N times b_n_ninmathbb N left sum_k0n a_k b_nk right_ninmathbb N 其中乘法的定義方法也叫做求兩個數列的係數的柯西乘積，也是一種卷積。可以證明，在以上的定義下，Rmathbb N 是一個交換環。環的加法零元是 0 0 0 ，乘法么元是 1 0 0。於是我們可以將 R 中的元素嵌入到 Rmathbb N 之中， x in R mapsto x 0 0 並將 0 1 0 0 對映到不定元 X，這樣透過以上定義的加法和乘法就可以將 Rmathbb N 中的有限非零元元素同構為： a_0 a_1 a_2 ldots a_n 0 0 ldots mapsto a_0 a_1 X cdots a_n Xn sum_i0n a_i Xi 這樣的結構和多項式環是一樣的。所以對於更一般的 Rmathbb N 中元素 a_n_nin mathbb N ，就可以自然地希望將其對應到 sum_iin mathbb N a_i Xi ： 但這個對應方式並不能透過有限項的加法和乘法得到，所以需要用一個約定上的對映 varphi Rmathbb N rightarrow R X 來做到： a_0 a_1 a_2 ldots a_n ldots mapsto varphi a_0 a_1 a_2 ldots a_n ldots a_0 a_1 X cdots a_n Xn cdots sum_iin mathbb N a_i Xi 這個對映涵蓋了之前的多項式的定義，並且可以定義 left sum_iin mathbb N a_i Xiright left sum_iin mathbb N b_i Xiright sum_nin mathbb N left a_n b_nright Xn 以及 left sum_iinN a_i Xiright times left sum_iinN b_i Xiright sum_ninN left sum_k0n a_k b_nkright Xn 這個定義使得 varphi 是一個同態，所以 R X 也是一個交換環。 拓撲結構 以上的定義中建立了對映 varphi a_0 a_1 a_2 a_3 ldots sum_i0infty a_i Xi qquad 1 但需要注意的是這裡的定義中 sum_i0infty a_i Xi 還是一個符號性的物件，因為我們並沒有定義其中無限求和號的意義。為了更好地定義 sum_i0infty a_i Xi 本身，我們需要引入拓撲的結構，將其作為極限來嚴格地說明。需要注意的是，適合的拓撲結構不止一個。 我們可以在 R 上定義離散拓撲的結構，然後將 Rmathbb N 作為可數個 R 的積空間，將其上的拓撲定義為積拓撲。 我們也可以直接在 Rmathbb N 上定義類似於 p 進數拓撲的 I 進拓撲，其中的 I X 是環結構中由 X 生成的理想，也就是由所有 sum_i1infty a_i Xi 形式的形式冪級數構成的集合。 對不熟悉一般的點集拓撲學的讀者，也可以建立一個具體的度量（也就是定義 距離）來定義拓撲。比如定義兩個數列 a a_n_nin mathbb N 和 b b_n_nin mathbb N 的距離： d a b begin cases 2omega a b quad a b neq 0 0 quad a b 0 end cases 其中 omega s 表示數列 s s_n_nin mathbb N 中第一個不等於 0 的係數的下標。這樣的定義之下，我們說兩個數列如果越來越 接近，那麼第一個係數不同的地方會出現的越晚，也就是說它們的距離也越小。對一個數列 a a_n_nin mathbb N ，定義部分和數列為： s_k a_0 a_1 ldots a_k 0 0 ldots 那麼部分和 s_k 和 a 的距離就會是 2k1，所以 k 趨於無窮大的時候，部分和數列和 a 的距離趨於 0 這樣，在定義了有限項非零元的數列和多項式的關係以後，就可以將任意的數列定義為部分和數列的極限。 a_0 a_1 a_2 a_3 ldots lim_ktoinfty s_k 然後對形式冪級數也定義類似的距離： dsum_i0infty a_i Xi sum_i0infty b_i Xi begin cases 2omega omega min_n a_n neq b_n quad exists a_n neq b_n 0 quad forall n a_n b_n end cases 然後形式冪級數也就滿足： sum_i0infty a_i Xi varphi a_0 a_1 a_2 a_3 ldots lim_ktoinfty varphi s_k lim_ktoinfty sum_i0k a_i Xi 並且可以驗證加法、乘法的交換律和結合律，以及乘法對加法的分配律。於是我們定義出了一個同構於 Rmathbb N 的拓撲環，將其稱為 R 上的形式冪級數環 R X。 參考來源 Nicolas Bourbaki Algebra IV 4 SpringerVerlag 1988 Category 抽象代數 Category 環論 Category 組合計數 Category 級數