在訊號分析中，訊號的時間分佈 x t 與頻率分佈 X omega 之間是有關連的，如果其中一個是寬的，另一個必定是窄的，這是傅立葉轉換的基本觀念，同時也是物理學中測不準原理的精神。不論是物理學或是訊號分析，測不準原理必須討論兩個變數之間的關係，且這兩個變數在希爾伯特空間中必須是不可交換的運運算元，而在訊號分析當中，經常討論的兩個變數是時間與頻率。 測不準原理在訊號分析中的形式 基本形式的測不準原理 形式跟物理學一樣，不過在此定義訊號在時間與頻率上的標準差 sigma_t2 int tlangle trangle2 x t2 dt sigma_omega2 int omegalangleomegarangle2 X omega2 dt 其中 langle trangle 與 langleomegarangle 代表平均值，x t 與 X omega 互為訊號的傅立葉轉換與反轉換，兩者的標準差相乘就是測不準原理 sigma_tsigma_omega gefrac 12 由上式可知 x t 與 X omega 不可能同時任意寬或任意窄。 推廣形式的測不準原理 另外對一個訊號的相位 phi t 作微分，可以得到該訊號的瞬時頻率 omega。現在定義一個訊號的共變異數 COV langle tphitrangle langle trangle langleomegarangle ，在此討論的共變異數是看時間與頻率有怎樣的關係，若明顯兩者無關，則 COV 0 。 有了共變異數的概念，現在可以把測不準原理的形式推廣至如下 sigma_tsigma_omegagefrac 12 sqrt 14COV2 證明 假設訊號的形式為 x t A t ejphi t 且能夠被歸一化。現在考慮一個新訊號 x_newt 與一個舊訊號 x_oldt，其中新訊號的平均時間與平均頻率皆為零，而舊訊號與新訊號的形狀一樣，但有特定的平均時間與平均頻率，即 x_old t ejlangleomegarangle t x_new left t langle trangle right 其中這個訊號的頻寬為 sigma_omega2 int xt2 dt 以及時間寬度為 sigma_t2 int t2x t2 dt 兩者相乘為 sigma_t2sigma_omega2 int xt2 dt times int tx t2 dt 現在考慮柯西 施瓦茨不等式，有 int f x2dxint g x2dx ge leftint fx g x dxright2 若取 f tx t 且 g xt 並搭配柯西 施瓦茨不等式就能把 sigma_t2sigma_omega2 int xt2 dt times int tx t2 dt 整理成 sigma_t2sigma_omega2 ge leftint txt xt dtright2 上式中的被積分函式 txt xt tAA jtphit A2 frac 12 frac ddt tA2 frac 12 A2 jtphit 上式第一項是全微分，積分為零。第二項積分後是 12，第三項積分後是 j 乘上一個訊號的共變異數。所以 sigma_t2sigma_omega2 ge leftfrac 12jCOVright2 frac 14 COV2 上式就是訊號分析當中推廣形式的測不準原理，故得證。若把上式中的 COV2 略去，就能得到基本形式的測不準原理。 基本範例 最小測不準乘積訊號 得到了測不準原理的形式，接下來的問題是：甚麼樣的訊號能得到乘積的最小值 12 在推導過程中可以發現，在柯西 施瓦茨不等式當中的兩個函式成正比時等號會成立，取 g xcf x ，其中 c 是任意常數，所以得到 ctx t xt 另外在測不準原理的推廣形式中有共變異數，為了消滅這一項，取 cc_1jc_2 再代入上式可得到解為 x tec_1jc_2 t22 在將上式代入共變異數 COV langle tphitrangle langle trangle langleomegarangle 而有 COV int tc_2tx t2dtlangleomegarangle langle trangle c_2int t2ec_1t2 dt 若能使上式為零，就能消滅共變異數這一項，明顯 c 必須是實數才能滿足。若 c 取 a2，則訊號為 x tapifrac 14 eat22 上式訊號的形式為平均時間與平均頻率皆為零的狀況，若訊號為任一特定的平均時間與平均頻率，則有 x tapifrac 14 ea tlangle trangle22jlangleomegarangle t 上式就是高斯函式，高斯函式的時間寬度與頻寬的乘積能達到最小，高斯函式也作為加伯轉換的窗函式，在時頻分析中具有重要的地位。 正弦波調變 現在對高斯函式進行正弦波調變，訊號為 x tapifrac 14 eat22jmsinomega_mtjomega_0t ，其中有 langle trangle sqrt frac apiint tea tt_02 dtt_0 langle t2rangle sqrt frac apiint t2ea tt_02 dtt_02frac 12a sigma_t2langle t2rangle langle trangle 2frac 12a begin align langleomegarangle int omegaX omega2domegaint xtfrac 1jfrac ddt x t dt sqrt frac apiint jatmomega_mcosomega_m tomega_0 eat2 dt momega_m eomega_m2 4a omega_0 end align begin align langle omega2rangle int omega2X omega2domega int xtleft frac 1jfrac ddtright2x t dt int leftfrac ddt x tright2dt frac a2omega_022momega_momega_0 eomega_m24afrac m2omega_m22left 1eomega_m2aright end align sigma_omega2langle omega2rangle langleomegarangle 2frac a2frac m2omega_m22left 1eomega_m22aright2 begin align sigma_tsigma_omegasqrt frac 12asqrt frac a2frac m2omega_m22left 1eomega_m22aright2 frac 12sqrt 1frac m2omega_m2aleft 1eomega_m22aright2 end align 上式就是高斯函式加入正弦波調變後的測不準乘積。 短時傅立葉轉換的測不準原理 人們研究訊號特性經常使用的方法是在考慮的時間範圍內只取一小段訊號來分析，並且先忽略其他部分，還可以對那一小段的訊號進行傅立葉轉換來計算那段時間的頻率，這樣的訊號處理方式就叫作短時傅立葉轉換。現在就來分析這一小段時間的測不準原理與原訊號有甚麼關係？以及有甚麼樣的性質。 為了理解短時傅立葉轉換，先定義原訊號 x t 在極短時間內的形式，可以考慮一個窗函式乘上考慮的時間 t 的範圍，而且這個窗函式在時間 t 附近達到最大值，然後急速下降。所以用以下的方程式來定義短時間訊號 eta_t taufrac x tau h tautsqrt int x tau h taut2dtau 上式中的 h t 是窗函式，t 為考慮的固定時間，tau 為執行時間。另外還讓上式歸一化 int eta_t tau2dtau1 現在讓這樣的短時間訊號作傅立葉轉換 F_t omegafrac 1sqrt 2piint ejomegataueta_t tau dtau 上式 F_t omega 代表在時間 t 的頻譜含量，它可以拿來定義更多相關的量，例如平均時間、持續時間、頻寬。 對於一個與時間相關的訊號，平均時間和持續時間是 langletaurangle _tint taueta_t tau2dtaufrac int taux tau h taut2int x tau h taut2 T_t2int taulangle trangle2eta_t tau2dtaufrac int taulangletaurangle _t2x tau h taut2int x tau h taut2 再來考慮平均頻率與頻寬 langleomegarangle _tint omegaF_t omega2domegaint eta_ttaufrac 1jfrac ddtaueta_t tau dtau B_t2int omegalangleomegarangle _t2F_t omega2domega 時間相關與窗函式相關的測不準原理 現在可以寫出短時傅立葉轉換的測不準原理 B_tT_tgefrac 12 它與時間、訊號和窗函式相關，必須提醒的事情是它只對短時傅立葉轉換做出了限制，與原本訊號的測不準原理無關。可以預測，隨著窗函式變窄，B_ttoinfty。原訊號的測不準原理沒有變化，這是因為藉由加入窗函式而改變了它。 參見 測不準原理 參考文獻 Category 數字訊號處理