黎曼猜想（，RH）由德國數學家波恩哈德黎曼於 1859 年提出。它是數學中一個重要而又著名的未解決的問題，有「猜想界皇冠」之稱，多年來它吸引了許多出色的數學家為之絞盡腦汁。其猜想為： 黎曼猜想是關於黎曼 ζ 函式 zeta s 的零點分佈的猜想。黎曼 ζ 函式在任何複數 s neq 1 上有定義。它在負偶數上也有零點（例如，當 s2 s4 s6cdots）。這些零點是「平凡零點」。黎曼猜想關心的是非平凡零點。 黎曼猜想提出： 黎曼 ζ 函式非平凡零點的實數部份是 frac 12 即所有的非平凡零點都應該位於直線 frac 12it（臨界綫）上。t 為一實數，而 i 為虛數單位。沿臨界綫的黎曼 ζ 函式有時透過 Z 函式進行研究。它的實零點對應於 ζ 函式在臨界綫上的零點。 素數在自然數中的分佈問題在純粹數學和應用數學上都很重要。素數在自然數中的分佈並沒有簡單的規律。黎曼（1826－1866）發現素數出現的頻率與黎曼 ζ 函式緊密相關。 1901 年 Helge von Koch 指出，黎曼猜想與強條件的素數定理 pi left x right operatorname Li x Oleft sqrt x ln x right 等價。現在已經驗證了最初的 1500000000 個素數對這個定理都成立。但是是否所有的解對此定理都成立，至今尚無人給出證明。 黎曼猜想之所以被認為是當代數學中一個重要的問題，主要是因為很多深入和重要的數學甚至是部分物理結果都能在它成立的大前提下得到證明。大部份數學家也相信黎曼猜想的正確性（約翰恩瑟李特爾伍德與阿特勒塞爾伯格曾提出懷疑。塞爾伯格於晚年部分改變了他的懷疑立場。在 1989 年的一篇論文中，他猜測黎曼猜想對更廣泛的一類函式也應當成立）。克雷數學研究所設立了 1000000 美元的奬金給予第一個得出正確證明的人。 歷史 黎曼 1859 年在他的論文《》中提及了這個著名的猜想，但它並非該論文的中心目的，他也沒有試圖給出證明。黎曼知道 ζ 函式的不平凡零點對稱地分佈在直線 s frac 12 it 上，以及他知道它所有的不平凡零點一定位於區域 0 leq text Res leq 1 中。 1896 年，雅克阿達馬和分別獨立地證明瞭在直線 text Res 1 上沒有零點。連同了黎曼對於不非凡零點已經證明瞭的其他特性，這顯示了所有不平凡零點一定處於區域 0 text Res 1 上。這是質數定理第一個完整證明中很關鍵的一步。 1900 年，大衛希爾伯特將黎曼猜想包括在他著名的 23 條問題中，與哥德巴赫猜想一起組成了希爾伯特名單上的第 8 號問題。同時黎曼猜想也是希爾伯特問題中唯一一個被收入克雷數學研究所的千禧年大獎難題的。希爾伯特曾說，如果他在沉睡 1000 年後醒來，他將問的第一個問題便是：黎曼猜想得到證明了嗎？Mathematical mysteries the beauty and magic of numbers By Calvin C Clawson page 258 1914 年，高德菲哈羅德哈代證明瞭有無限個零點在直線 text Res frac 12 上。然而仍然有可能有無限個不平凡零點位於其它地方（而且有可能是最主要的零點）。後來哈代與約翰恩瑟李特爾伍德在 1921 年及塞爾伯格在 1942 年的工作（臨界線定理）也就是計算零點在臨界線 text Res frac 12 上的平均密度。 近年來的工作主要集中於清楚的計算大量零點的位置（希望藉此能找到一個反例）以及對處於臨界線以外零點數目的比例置一上界（希望能把上界降至零）。 黎曼猜想與質數定理 黎曼猜想傳統的表示式隠藏了這個猜想的真正重要性。黎曼 ζ 函式與質數的分佈有著深厚的連結。Helge von Koch 在 1901 年證明瞭黎曼猜想等價於質數定理一個可觀的強化：給出任何 varepsilon 0，我們有 leftpi x int_0x frac mathrm d tln tright O x12varepsilon 式中 pi x 為質數計數函式，ln x 為 x 的自然對數，以及右手邊用上了大 O 符號 Helge von Koch Sur la distribution des nombres premiers Acta Mathematica 24 1901 pp 159182。一個由 Lowell Schoenfeld 提出的非近似版本，表示黎曼猜想等價於：leftpi x int_0x frac mathrm d tln tright frac 18pi sqrt x ln x qquad text for all x ge 2657。 黎曼 ζ 函式的零點與質數滿足一個稱為明確公式的對偶性，這表明了：在調和分析的意義下，黎曼 ζ 函式的零點可視為質數分佈的諧波。 將黎曼 ζ 函式代為更一般的 L 函式，此時仍有相應的猜想：整體 L 函式的非平凡零點的實部必等於 12。這被稱為廣義黎曼猜想。函式域上的廣義黎曼猜想已被證明，數域的情形仍懸而未決。 黎曼猜想之結果及其等價命題 黎曼猜想的實際用途包括一些在黎曼猜想成立前提底下能被證明為真的命題，當中有些更被證明瞭跟黎曼猜想等價。其中一個就是以上素數定理誤差項的增長率。 默比烏斯函式的增長率 其中一個命題牽涉了默比烏斯函式 mu。命題「等式 frac 1zeta s sum_n1infty frac mu nns 在 s 的實部大於 frac 12 的時候成立，而且右邊項的和收斂」就等價於黎曼猜想。由此我們能夠總結出假如 Mertens 函式的定義為 M x sum_n le x mu n 那黎曼猜想就等價於對任何 varepsilon 0 都有 M x O x12varepsilon， 這將會對於 M 的增長給出了一個更緊的限制，因為即使沒有黎曼猜想我們也能得出 M x ne o xfrac 12 （關於這些符號的意思，見大 O 符號。） 積性函式增長率 黎曼猜想等價於一些除 mu n 以外一些積性函式增長率的猜想。例如，因數函式 sigma n 由下式給出： sigma n sum_dmid n d 那在 n 5040 的時候， sigma n egamma n ln ln n， 這名為 Robin 定理並在 1984 年以 Guy Robin 命名。另一個有關的上限在 2002 年由 Jeffrey Lagarias 提出，他證明瞭黎曼猜想等價於命題「對於任意自然數 n， sigma n le H_n ln H_n eH_n 而 H_n 為第 n 個調和數 H_n 1 frac 12 ldots frac 1n。 里斯判準與二項式係數和 里斯判準由里斯在 1916 年給出 MRiesz Sur lhypothèse de Riemann Acta Mathematica 40 1916 pp185190，它斷言黎曼猜想等價於下式對所有 epsilon 0 成立 sum_k1infty frac xkk1zeta 2kOleft x14epsilonright 哈代稍後於 1918 年以波萊爾求和法及梅林變換證明瞭下式的積分表法。 sum_k1infty frac xkk1zeta 2kf x 其它相關的積性函式的增長率也具有與黎曼猜想等價的表述。 考慮二項式係數和 c_k sum_j0k 1j k choose j frac 1zeta 2j2， BáezDuarteLuis BáezDuarte A New Necessary and Sufficient Condition for the Riemann Hypothesis 2003 ArXiv mathNT0307215Luis BáezDuarte A sequential Rieszlike criterion for the Riemann hypothesis Internation Journal of Mathematics and Mathematical Sciences 21 pp 35273537 2005 與 Flajolet、Brigitte ValléePhilippe Flajolet and Brigitte Vallée Continued fractions comparison algorithms and fine structure constants In Micheal Théra Constructive Experimental and Nonlinear Analysis volume 27 of Canadian Mathematical Society Conference Proceedings 2000 pp5382 AMS Providence RI 證明瞭黎曼猜想等價於對所有的 epsilon 0 下式成立 c_k ll k34epsilon。 類似的還有以下級數 d_k sum_j2k 1j k choose j frac 1zeta j。 對此。Flajolet 與 VepstasPhilippe Flajolet and Linas Vepstas On differences of zeta values ArXiv mathCA0611332 證明瞭黎曼猜想等價於對所有的 epsilon 0 下式成立 d_n C_epsilon n12epsilon 其中的 C_epsilon 是依賴於 epsilon 的某個常數。 韋伊判準、李判準 韋伊判準斷言某些函式的正定性等價於廣義黎曼猜想。與此相似的還有李判準，這斷言某些數列的正性等價於黎曼猜想。 與法裡數列的關係 另外兩個跟黎曼猜想等價的命題牽涉了法裡數列。假如 F_n 是法裡數列中的第 n 項，由 frac 1n 開始而終於 frac 11，那命題「給出任何 e frac 12 sum_i1mF_n i im O ne 」等價於黎曼猜想。在這裡 m sum_i1nphi i 是法裡數列中 n 階項的數目。類似地等價於黎曼猜想的命題是「給出任何 e 1 sum_i1m F_n i im2 O ne」 跟群論的關係 黎曼猜想等價於群論中的一些猜想。舉例說，g n，是對稱群 S_n 的所有元素的秩之中，最大的一個，也就是蘭道函式，則黎曼猜想等價於：對夠大的 n，下式成立： ln g n sqrt operatorname Li1n。 臨界線定理 黎曼猜想等價於命題「zeta s 的導函式 zetas 在區域 0 text Res frac12 上無零點。」 函式 ζ 在臨界線上只有單零點的充要條件是其導函式在臨界線上非零。所以若黎曼猜想成立，命題中的非零區域可以延伸為 0 text Res le frac12。這條進路帶來了一些成果。Norman Levinson 將此條件加細，從而得到了較強的臨界線定理。 已否證的猜想 一些比黎曼猜想強的猜想曾被提出，但它們有被否證的趨勢。Paul Turan 證明瞭假如級數 sum_n1M ns 當 text Releft sright1 時沒有零點，則黎曼猜想成立，但 Hugh Montgomery 證明瞭這前提並不成立。另一個更強的默滕斯猜想也同樣被否證。 相對弱的猜想 林德勒夫猜想 黎曼猜想有各種比較弱的結果；其中一個是由芬蘭數學家恩斯特列奧納德林德勒夫（Ernst Leonard Lindelöf）所提出，關於 ζ 函式於臨界線上的增長速度的猜想，表明了給出任意的 e 0，當 t 趨向無限， zetaleft frac12 itright O te。 記第 n 個素數為 p_n，一個由英國數學家阿爾伯特英厄姆 Albert Ingham 得出的結果顯示，林德勒夫猜想將推匯出「給出任意 e 0，對足夠大的 n 有 p_n1p_np_nfrac 12e」 不過這個結果比大素數間隙猜想弱，詳如下述。 大質數間隙猜想 另一個猜想是大質數間隙猜想。哈拉爾德克拉梅爾證明瞭：假設黎曼猜想成立，質數 p 與其後繼者之間的間隙將會為 O sqrt p ln p。平均來說，該間隙的階僅為 O ln p，而根據數值計算結果，它的增長率並不似黎曼猜想所預測的那麼大。 證明黎曼猜想的嘗試 過去的一百多年，許多數學家聲稱證明瞭黎曼猜想。截至 2015 年為止，尚有一些證明還未被驗證；但它們都被數學社群所質疑，多數專家並不相信它們是正確的。艾希特大學的 Matthew R Watkins 為這些或是嚴肅或是荒唐的證明編輯了一份列表。其他一些證明可在 arXiv 資料庫中找到。 2018 年 9 月 24 日邁克爾阿蒂亞爵士聲稱證明黎曼猜想黎曼猜想中秋節被證明了？數學家同行淡然並質疑 cnBeta。他用精細結構常數作為一個主要成分用以證明，然而由於一個物理觀測數字能否用於純數學領域證明題產生爭議，而精細結構常數本身的由來理由還是謎團，且該數字是否全宇宙永恆不變有重大疑問，阿蒂亞爵士則主張「數學是物理學的理想化版本」所以兩領域之間的學問可以共通共用。導致本次證明以疑慮和失敗論點者居多無法使大部分數學家信服。 黎曼猜想證明的可能的著手方向 由於黎曼猜想是有關二維變數（臨界線（critical line）上的虛數解和黎曼 ζ 函式中的自然數變數 n）的問題，故不但要考慮在二維變數下的情況，似乎還可以從更高維數（例如三或四維甚至更高維）變數的情況下來考慮問題。 另外，由於黎曼猜想從本質上來說是證明一個方程的非平凡的複數解必然是 frac 12bmathbf i 的形式（b 是實數，mathbf i 是虛數單位），因此應該與代數學是密不可分的；就是說，代數幾何、代數數論甚至代數拓撲等學科的知識是不可缺少的。如果能從上述幾個分支學科之間找到新的聯絡，以及對這些分支學科有進一步的新發現，那可能可以為證明黎曼猜想打下基礎，或為黎曼猜想的證明做好準備。 與運算元理論的可能聯絡 長久以來，人們猜測黎曼猜想的「正解」是找到一個適當的自伴算符，再由實特徵值的判準匯出 zeta s 零點實部的資訊。在此方向上已有許多工作，卻仍未有決定性的進展。 黎曼 ζ 函式的統計學性質與隨機矩陣的特徵值有許多相似處。這為希爾伯特 波利亞猜想提供了一些支援。 在 1999 年，Michael Berry 與 Jon Keating 猜想經典哈密頓函式 Hxp 有某個未知的量子化 hat H，使得下式成立 zeta 12mathbf ihat H 0 更奇特的是，黎曼 ζ 函式的零點與運算元 12 i hat H 的譜相同。正則量子化的情形則相反：正則量子化引致海森堡測不準原理 xp12，並使量子諧振子的譜為自然數。重點在於，所求的哈密頓算符應當是個閉自伴算符，方能滿足希爾伯特 波利亞猜想之要求。 搜尋 ζ 函式的零點 關於電腦計算上找尋 ζ 函式零點越多越好的嘗試，已經有一段很長的歷史了。其中一個出名的嘗試乃 ZetaGrid，一個分散式計算的計劃，一天可檢查上十億個零點。這計劃在 2005 年 11 月終止。直至 2006 年沒有計算計劃成功找到黎曼猜想的一個反例，這一型類窮盡法的結果再次吻合了眾多科學家在「直覺」上認知黎曼猜想為真的傾向，但不能成為最終數學證明。 2004 年，Xavier Gourdon 與 Patrick Demichel 透過 OdlyzkoSchönhage algorithm 驗證了黎曼猜想的頭十兆個非平凡零點。而 Michael Rubinstein 給了公眾一個演算法去算出零點。 相關 埃拉託斯特尼篩法 素數 素數公式 素數判定法則 廣義黎曼猜想 參考文獻 引用 來源 引用來源 Bollobas Bela foreword to Littlewoods Miscellany Cambridge University Press 1986 歷史文獻 Bernhard Riemann Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse 1859 Monatsberichte der Berliner Akademie Jacques Hadamard Sur la distribution des zéros de la fonction ζs et ses conséquences arithmétiques Bulletin Société Mathématique de France 14 1896 pp 199220 現代技術參考 H M Edwards Riemanns Zeta Function Academic Press 1974 Reprinted by Dover Publications 2001 ISBN 0486417409 E C Titchmarsh The Theory of the Riemann Zeta Function second revised HeathBrown edition Oxford University Press 1986 Jeffrey Lagarias An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis American Mathematical Monthly 2002 no 109 534543（論及與和諧數的關聯） Computation of zeros of the Zeta function 2004（關於 GUE 猜想的評論，兼具豐富的書目資料。） Schoenfeld Lowell Sharper bounds for the Chebyshev functions θx and ψx II Mathematics of Computation 30 1976 no 134 337360 Conrey J Brian the Riemann Hypothesis Notices of the American Mathematical Society March 2003 341353 可自由下載。 受歡迎的參考資料 Clay Mathematics Institute Millennium Problems 2000 Marcus du Sautoy The Music of the Primes HarperCollins 2003 Marcus du Sautoy Prime Numbers Get Hitched Seed Magazine 03272006 Daniel Rockmore Stalking the Riemann Hypothesis The Quest to Find the Hidden Law of Prime Numbers Pantheon Books New York 2005 ISBN 037542136X John Derbyshire Prime Obsession Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics Joseph Henry Press April 23 2003 ISBN 0309085497 448 pages Zetagrid 2002 試圖否證黎曼猜想的分散式計算計畫，已於 2005 年 11 月終止 Ed Pegg Jr Ten Trillion Zeta Zeros 2004 討論 Xavier Gourdon 對前十兆個非平凡零點的計算 de Vries The Graph of the Riemann Zeta function ζs 2004 Erica Klarreich Prime Time New Scientist November 11 2000 p 32 對黎曼猜想的簡介 QEDen A wiki dedicated to solving the millennium problems Category 解析數論 Category 猜想 Category 數學中未解決的問題 Category 數學課題 Category 千禧年大獎難題 Category 伯恩哈德黎曼 Category1859 年面世 分類：數學問題 CategoryΖ 函式與 L 函式