唯一素數是指一個不為 2、5（在十進位時），有以下性質的質數 p：不存在其他質數 q，其倒數 1 q 的迴圈節長度和 1 p 的迴圈節長度相等。唯一素數是在 1980 年代由 Samuel Yates 提出。 可以證明素數 p 其倒數的迴圈節長度為 n 若且唯若存在一自然數 c 使得下式成立（下面內容僅限於十進位制範疇）： frac Phi_n 10gcd Phi_n 10n pc 其中 Φn x 為 n 次的分圓多項式。至 2010 年為止，已經找到逾 50 個唯一素數或者有此性質的，但是小於 10100 的唯一素數 只 有 23 個。以下是這些唯一素數及其迴圈節位數： 倒數迴圈節長度素數 13 211 337 4101 109091 129901 9333667 14909091 2499990001 36999999000001 489999999900000001 38909090909090909091 191111111111111111111 2311111111111111111111111 39900900900900990990990991 62909090909090909090909090909091 120100009999999899989999000000010001 15010000099999999989999899999000000000100001 1069090909090909090909090909090909090909090909090909091 93900900900900900900900900900900990990990990990990990990990991 134909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909091 294142857157142857142856999999985714285714285857142857142855714285571428571428572857143 196999999999999990000000000000099999999999999000000000000009999999999999900000000000001 倒數迴圈節長度 294 位的唯一素數類似 7 的倒數（0142857142857142857）。 接續上表的第 24 個唯一素數有 128 位，倒數迴圈節長度為 320 位，可以寫成 932032 21，其中下標 n 表示前面的一個數字或一組數字會重覆出現 n 次。 所有迴圈單位素數都是唯一素數。依照迴圈單位素數及迴圈單位可能素數出現的頻率來看，唯一素數非常的少見，不過數學家們仍強烈推論有無窮多個唯一素數。 至 2010 年為止，迴圈單位 1027034319 是已知最大的可能唯一素數。 至 1996 年為止，確定是質數的最大唯一素數是 101132 110001，若用前文中的表示法，可以表示為 99990000 141 1，其倒數迴圈節長度為為 2264 位，後來陸續證明更大的唯一素數，至 2010 年為止，確定是質數的最大唯一素數有 10081 位數。 二進制中的唯一質數 3 5 7 11 13 17 19 31 41 43 73 127 151 241 257 331 337 683 ： 其迴圈節長度分別為： 2 4 3 10 12 8 18 5 20 14 9 7 15 24 16 30 21 22 ： 這當中包含了所有費馬質數 迴圈節長度為 2 的乘方，梅森質數 迴圈節長度為質數 及瓦格斯塔夫質數 迴圈節長度為奇質數的兩倍 以下為不超過 264 之二進位制唯一質數列表： 倒數迴圈節長度素數二進位表示法 2311 45101 37111 10111011 12131101 8171 0001 18191 0011 5311 1111 204110 1001 144310 1011 973100 1001 7127111 1111 151511001 0111 242411111 0001 162571 0000 0001 303311 0100 1011 213371 0101 0001 2268310 1010 1011 2627311010 1010 1011 4254191 0101 0010 1011 1381911 1111 1111 1111 34436911010 1010 1010 1011 40616811111 0000 1111 0001 32655371 0000 0000 0000 0001 54872111 0101 0100 1010 1011 171310711 1111 1111 1111 1111 3817476310 1010 1010 1010 1011 27262657100 0000 0010 0000 0001 19524287111 1111 1111 1111 1111 335994791001 0010 0101 1011 0111 46279620310 1010 1010 1010 1010 1011 56157903211111 0000 1111 0000 1111 0001 90188370011 0001 1111 0110 1110 0000 1001 78223668911 0101 0101 0100 1010 1010 1011 6271582788310 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011 312147483647111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 8042782553611111 1111 0000 0000 1111 1111 0000 0001 12045622845611 0000 1111 1110 1110 1111 0000 0001 0001 126771586739291 0001 1111 0111 0000 0011 1110 1110 0000 1001 15011338367304011 0000 0111 1111 1101 1110 1111 1000 0000 0010 0001 86293203100740310 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011 98436395312729711 1111 1000 0000 1111 1110 0000 0011 1111 1000 0001 494432676798593100 0000 1000 0001 0000 0010 0000 0100 0000 1000 0001 69100526789380391001 0010 0100 1001 0010 0101 1011 0110 1101 1011 0111 651452951435581111000 0100 0010 0101 0010 1001 0110 1011 0101 1011 1101 1111 174960767918716136111 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0100 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011 775812836432491129591000 0001 0001 0010 0010 0110 0100 1100 1101 1001 1011 1011 0111 0111 1111 936588122886535530791001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0111 1227686143364045646511010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011 6123058430092136939511 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 8595209728063337584311000 0100 0010 0001 0100 1010 0101 0010 1011 0101 1010 1101 0111 1011 1101 1111 192184467440694145843211111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 參考資料 外部連結 The Prime Glossary Unique prime Prime Top Tens Unique Period Primes Factorization of 1111 Repunit Category 素數