在數學中，梅林變換是一種以冪函式為核的積分變換，與雙邊拉普拉斯變換有密切關聯。梅林變換定義式如下： leftmathcal M frights varphi sint_0infty xs1 f x dx 而其逆變換為 leftmathcal M1varphirightx f xfrac 12 pi i int_ci inftyci infty xs varphi s ds 梅林變換有許多應用。出於它與狄利克雷級數的聯絡，它也被用以證明黎曼 ζ 函式與素數計數函式有關的的函式方程；進一步地，它也與解析數論有關，如在佩龍公式中。 同時，它與伽馬函式密切相關，很多常見函式的梅林變換中都需要用到伽馬函式或它衍生出的貝塔函式；這使得它被運用在梅林 巴恩斯積分和超幾何函式的理論中，衍生出了在計算機代數系統中使用的，可以快速計算大量定積分的 Meijer_G 函式。 與其他變換之關係 之所以伽馬函式與積分變換的理論聯絡密切，是因為伽馬函式同時是指數函式的拉普拉斯變換和冪函式的梅林變換，這也展示了兩種積分變換之間的聯絡。 雙邊拉普拉斯變換 雙邊拉普拉斯變換可以用梅林變換來表示，如下式 leftmathcal B frights leftmathcal M f ln x rights 梅林變換也可以用雙邊拉普拉斯變換來表示，如下式 leftmathcal M frights leftmathcal B f exrights 傅立葉變換 傅立葉變換可以用梅林變換來表示，如下式 leftmathcal F frights leftmathcal B frightis leftmathcal M f ln xrightis 梅林變換變換也可以用傅立葉來表示，如下式 leftmathcal M frights leftmathcal B f ex rights leftmathcal F f exrightis 範例 CahenMellin 積分 對於 c0，Re y0，且 ys 在主要分支（principal branch）上，我們有 ey frac 12pi i int_ciinftyciinfty Gamma s ys ds 其中 Gamma s 為 Γ 函式。 數論 假設 Re sa0 我們有 f xbegin cases 0 x 1 xa x 1 end cases 其中 mathcal M f s frac 1 sa 圓柱坐標系下的拉普拉斯運算元 在任何維度的圓柱坐標系中，拉普拉斯運算元總是會包含下式 frac 1r frac partialpartial r left r frac partial fpartial r right 例如，拉普拉斯運算元在二維空間的極坐標表示法 nabla2 f frac 1r frac partialpartial r left r frac partial fpartial r right frac 1r2 frac partial2 fpartial theta2 或是在三維空間的柱坐標表示法 nabla2 f frac 1r frac partialpartial r left r frac partial fpartial r right frac 1r2 frac partial2 fpartial varphi2 frac partial2 fpartial z2 而利用梅林變換可以很簡單的處理此項 frac 1r frac partialpartial r left r frac partial fpartial r right f_rr frac f_rr mathcal M left r2 f_rr r f_r r to s right s2 mathcal M left f r to s right s2 F 舉例來說，二維拉普拉斯方程的極坐標表示法具有以下形式 r2 f_rr r f_r f_theta theta 0 或是 frac 1r frac partialpartial r left r frac partial fpartial r right frac 1r2 frac partial2 fpartial theta2 0 利用梅林變換，可以轉換成一個簡諧振子的形式 F_theta theta s2 F 0 通解為 F s theta C_1 s cos stheta C_2 s sin s theta 若給定邊界條件 f rtheta_0 a r quad f rtheta_0 b r 其梅林變換為 F stheta_0 A s quad F stheta_0 B s 則通解可以寫成 F s theta A s frac sin s theta_0 thetasin 2 theta_0 s B s frac sin s theta_0 thetasin 2 theta_0 s 最後利用逆變換以及卷積定理 mathcal M1 left frac sin s varphisin 2 theta_0 s s to r right frac 1 2 theta_0 frac rm sin m varphi12rm cos m varphi r2m 其中 m frac pi 2 theta_0 可以得到 f r theta frac rm cos m theta2 theta_0 int_0infty left frac a xx2m 2rm xm sin m theta r2m frac b xx2m 2rm xm sin m theta r2m right xm1 dx 應用 因為具有，梅林變換廣泛應用於計算機科學的演算法分析。Philippe Flajolet and Robert Sedgewick The Average Case Analysis of Algorithms Mellin Transform Asymptotics Research Report 2956 93 pages Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique INRIA 1996 對於純虛輸入，原函式函式的梅林變換與對其進行尺度伸縮後函式的梅林變換幅度相同。尺度不變性類似於傅立葉變換的時移不變性，即原函式與對其進行時移的函式的傅立葉變換幅度相同。這一性質對影像識別非常有用：當物體與攝像機的距離發生變化時，影像尺度會發生變化。 在量子力學（特別是量子場論）中，由於動量和位置之間存在傅立葉變化的關係，傅立葉空間被廣泛應用。2011 年，A Liam Fitzpatrick、Jared Kaplan、、和 Balt C van Rees 證明了梅林空間在 AdSCFT 對偶中具有類似的效用。A Liam Fitzpatrick AdSCFT and the Holographic SMatrix video lecture 梅林變換表 下表展示了部分函式的梅林變化結果，在與中可以找到。 梅林變化表 函式 f x 梅林變換 tilde fs mathcal Mfs 收斂域 註釋 ex Gamma s 0 Re s infty ex1 Gamma s 1 Re s 0 ex1 x Gamma s 2 Re s 1 一般來說， Gamma s 是 exsum_n0N1 frac 1nn xn text for N Re s N1 的梅林變換。Jacqueline Bertrand Pierre Bertrand JeanPhilippe Ovarlez The Mellin Transform The Transforms and Applications Handbook 1995 9781420066524 ffhal03152634f ex2 tfrac 12Gamma tfrac 12 s 0 Re s infty mathrm erfcx frac Gamma tfrac 121ssqrt pis 0 Re s infty eln x2 sqrt pi etfrac 14 s2 infty Re s infty delta xa as1 infty Re s infty a0 delta x 是狄拉克函式。 u 1x leftbegin aligned 1 text if 0x1 0 text if 1xinfty end aligned right frac 1s 0 Re s infty u x 是單位階躍函式。 u x1 leftbegin aligned 0 text if 0x1 1 text if 1xinfty end aligned right frac 1s infty Re s 0 u 1xxa leftbegin aligned xa text if 0x1 0 text if 1xinfty end aligned right frac 1sa Re a Re s infty u x1xa leftbegin aligned 0 text if 0x1 xa text if 1xinfty end aligned right frac 1sa infty Re s Re a u 1xxa ln x leftbegin aligned xa ln x text if 0x1 0 text if 1xinfty end aligned right frac 1sa2 Re a Re s infty u x1xa ln x leftbegin aligned 0 text if 0x1 xa ln x text if 1xinfty end aligned right frac 1sa2 infty Re s Re a frac 11x frac pisin pi s 0 Re s 1 frac 11x frac pitan pi s 0 Re s 1 frac 11x2 frac pi2sin tfrac 12pi s 0 Re s 2 ln 1x frac pissin pi s 1 Re s 0 sin x sin tfrac 12pi s Gamma s 1 Re s 1 cos x cos tfrac 12pi s Gamma s 0 Re s 1 eix eipi s2 Gamma s 0 Re s 1 J_0 x frac 2s1pi sin pi s2 left Gamma s2right2 0 Re s tfrac 32 J_0 x 是第一類貝塞爾函式。 Y_0 x frac 2s1pi cos pi s2 left Gamma s2right2 0 Re s tfrac 32 Y_0 x 是第二類貝塞爾函式。 K_0 x 2s2 left Gamma s2right2 0 Re s infty K_0 x 是第二類修正貝塞爾函式。 參考文獻 Category 積分變換 Category 複分析