和與積的問題是一道邏輯謎題，也稱為不可能的謎題，因為它的題面似乎缺乏足夠的解題資訊。該謎題由在 1969 年首次發表 Hans Freudenthal Nieuw Archief Voor Wiskunde Series 3 Volume 17 1969 page 152 ，而「不可能的謎題」這個名字是由馬丁加德納所提出的。這個謎題是可以解開的，儘管略顯困難。還有很多與之類似的謎題。 謎題 註：這謎題有很多個版本。這裡用最原始的版本。 X 和 Y 是二個整數，大於 1，和不大於 100，而 X 嚴格小於 Y 1 X Y XY 100。 S 和 P 是兩個數學家，邏輯都非常好。S 知道兩者的和 XY。P 知道兩者的積 XY。兩個人都知道上述的資訊後的對話如下： S 說：「P 不知道 X 和 Y 的值。」 P 說：「我知道 X 和 Y 的值了。」 S 說：「現在我也知道 X 和 Y 的值了。」 X 和 Y 分別是多少？ 解答 答案是 X 和 Y 分別是 4 和 13，P 一開始知道的乘積是 52，S 一開始知道的和是 17。 一開始 P 不知道答案，因為有兩個可能性 52 4 13 2 26 而 S 也知道 P 不知道答案，因為所有加起來為 17，符合規則的數字，相乘後的乘積都無法由乘積直接反推 X 和 Y。 但 S 和 P 都可以根據對方的說明刪除一些不符合說明的解，因此得到答案。 詳解 數學家 P 和數學家 S 如何得到答案 數學家 P 令 p 為兩數之積，s 為兩數之和。 P 知道 p52，P 猜測 226 和 413 可能是答案，因此 P 知道 s28 或 s17。 若 s28 可能答案會是 226、325、424、523、622、721、820、919、1018、1117、1216 及 1315。 但若答案是 523，523 的乘積（115）無法再表示為其他兩個大於一數字的乘積，因此若答案是 523，P 就知道答案了。 而若答案是 1117，1117 的乘積（187）無法再表示為其他兩個大於一數字的乘積，因此若答案是 1117，P 就知道答案。 P 有可能知道 X 和 Y 的值，因此 S 不能斷定說「P 不知道 X 和 Y 的值。」 若 s17 可能答案會是 215、314、413、512、611、710 及 89。 每組數字中都至少有一個是合數，因此乘積可以表示為其他兩個大於一數字的乘積，S 可以確定 P 不會知道正確的數字。 因此 S 可以說「P 不知道 X 和 Y 的值。」 因此當 S 說「P 不知道 X 和 Y 的值。」時，P 可以刪除 226，剩下的 413 就是答案。 數學家 S S 知道 s17，可能的答案有 215、314、413、512、611、710 及 89。S 知道 p 可能是 30、42、52、60、66、70 或 72。 當 P 說：「我知道 X 和 Y 的值了。」時，S 可以知道 P 依照對話可排除大部份的可能解，只留下一個可能解。 S 模擬 P 的想法 只有情形 3 最後只有一個可能答案，因此 S 可以確定 413 是正確答案。 讀者如何得到答案 問題給出的條件是 X Y 是兩個整數，適合 1 X Y，X Y 100。（條件 1） 令兩數之和為 s，兩數之積為 p。以下提到的 xy，都指符合條件 1 的一對整數 x 和 y。 從 S 的第一句話，p 可分解成多於一個 xy。而且 S 雖不知道 p 的值，但檢查了 s 可分拆成的所有 xy 後，其積 xy 都有多於一個分解符合條件 1，因此 S 可以肯定 P 不知道 X Y 的值。（條件 2） 從 P 的第一句話，P 知道 p 的值，也知道 s 符合條件 2。檢查了 p 可分解成的所有 xy，只有一個的和 x y 符合條件 2，所以 P 得到 X Y 的值。（條件 3） 從 S 的第二句話，S 知道 s 的值，也知道 P 的分析，推出 p 符合條件 3。檢查了 s 可分拆成的所有 xy，只有一個的積 xy 符合條件 3，所以 S 得到 X Y 的值。（條件 4） 按條件 1，s 的可能值最小是 2 3 5，最大是 100。以下找出 s 的所有符合條件 2 的可能值： 若 xy 都是質數，則 xy 有唯一分解，故 s 不可分拆為（符合條件 1 的）質數對。排除不小於 8 的偶數，及 2 奇質數。（按照哥德巴赫猜想，大於 2 的偶數都是兩個質數的和，且對不太大的偶數都成立。不過 6 不是兩個相異質數的和。） 若 xy q3，q 是質數，則 xy 有唯一分解 qq2，故 s 不可能分拆為 qq2。排除 6 2 22。 若 xy 有大於 50 的質因數 q，由於 y 100，因此 y q，即 xy 有唯一分解 xq，故 s 不可能分拆為 x53。排除不小於 53 2 55 的整數。 若 xy 2q2，q 10 是質數，由於 y 100，y 不等於 q2，因此 xy 有唯一分解 q2q，故 s 不可能為 3q。排除 51 317。 s 的餘下的可能值為 11 17 23 27 35 37 41 47 53 以上的可能值都符合條件 2：因為 s 是奇數，任何分拆出的 xy 必為一個奇數 a 和一個偶數 2b。 當 b 1 時，a 是合數，a 53 2 51，故有質因子 q 7，xy 2a 可分解成 aq 和 2q，易知其和小於 100，符合條件 1。 當 b 1 時， 若 a b，則 xy 2ab 也可分解成 2a 和 b。因為 a 53 4 49， 2a b a 2b a b s a b 53 49 2 100 符合條件 1； 若 a b 時，a 是合數（a 不是大於 10 的質數，也不是小於 10 的質數，因其 3 倍都不是 s 的可能值），a s3 533 18，故有質因子 3，則 xy 2a2 也可分解成 2a3 和 3a， 2a3 3a 66 符合條件 1。（也可直接驗證，此時 s 的可能值是 3a，而 中只有 27 是 3 的倍數。） 以下檢查 s 的符合條件 2 的可能值，即 中的值，是否滿足條件 4： 注意到若 p 2k q，其中 q 是奇質數，則 p 僅有一個（符合條件 1 的）分解 2k 和 q，使其和是奇數，故此若其和 2k q 符合條件 2，則 p 滿足條件 3。 11 可分拆成 47 和 83，從上得知兩者的積 28 和 24 都符合條件 3，故 11 不滿足條件 4。 類似地，23 可分拆成 419 和 167，27 可分拆成 423 和 819，35 可分拆成 431 和 1619，37 可分拆成 829 和 532，47 可分拆成 443 和 1631，故 23 27 35 37 47 都不滿足條件 4。 餘下需要檢查 s 的可能值 17 41 53。17 可分拆成 413，41 可分拆成 437，53 可分拆成 1637，這些分拆的積都符合條件 3。 41 分拆成 239，其積 78 分解成 613，和為 19；其積分解成 326，和為 29，都不符合條件 2，故 239 的積符合條件 3，41 不滿足條件 4。 53 分拆成 548，其積 240 分解成 1516，和為 31；其積分解成 380，和為 83，都不符合條件 2，故 548 的積符合條件 3，53 不滿足條件 4。 檢查 17 的各分拆： 215 的積可分解為 56，其和 11 符合條件 2，故 215 不符合條件 3。 類似地，314 的積可分解為 221，和為 23；512 的積可分解為 320，和為 23；611 的積可分解為 233，和為 35；710 的積可分解為 235，和為 37；89 的積可分解為 324，和為 27。各積的上述另一分解的和都符合條件 2，故各積都不符合條件 3。 因此 17 分拆成 413，其積才符合條件 3，故 17 滿足條件 4。 由於 17 是 中唯一滿足滿件 4 的值，得出 s 17 X 4 Y 13。 相關條目 謝麗爾的生日 三個杯子問題 參考 外部連結 Puzzles by John Burkardt The Impossible Problem by Torsten Sillke Two Mathematicians Problem on mathforum Model Checking Sum and Product Survey The Freudenthal problem and its ramifications Category 智力遊戲