在特殊函式中，合流超幾何函式（confluent hypergeometric function）定義為合流超幾何方程的解。它是高斯超幾何函式的極限情形，相當於超幾何方程中的兩個正則奇點 1 和 合流為一個非正則奇點 ，因而得名。 根據所選擇的參變數與宗量的不同，合流超幾何函式有多種標準形式，常見的有： Kummer 函式（第一類合流超幾何函式） 是 Kummer 方程的解。注意有另一個相異且無關的函式也被稱為 Kummer 函式； Tricomi 函式（第二類合流超幾何函式） 是 Kummer 方程的另一個線性無關的解，有時會寫成 ； 惠泰克函式 是惠泰克方程的解，惠泰克方程裡的引數與 Kummer 方程的引數所對應的李代數引數相關關於李代數引數，詳見超幾何函式； Kummer 方程 根據廣義超幾何函式的性質，超幾何函式 11 滿足的微分方程為： zleft zfrac rm drm d z aright w zfrac rm drm d zleft zfrac rm drm d z b1right w 展開後就得到 Kummer 方程， zfrac mathrm d2wmathrm dz2 bzfrac mathrm dwmathrm dz aw 0 它在正則奇點 0 附近的一個正則解為 Kummer 函式： M abz_1F_1 abzsum_n0inftyfrac anbnfrac znn 式中 是升階乘的 Pochhammer 記號。 Kummer 函式是高斯超幾何函式的極限情形： _1F_1 aczlim_brightarrowinfty_2F_1 abctfrac zb 高斯超幾何方程在正則奇點 0 附近的另一個正則解為： z1c _2F_1 1ac1bc2cz 按照相同的極限過程，可知 Kummer 方程的另一個正則解為（這裡的 等同於上式的 ）： z1b _1F_1 1ab2bz 但是，傳統上並不把這個正則解定義為第二類合流超幾何函式。Tricomi 函式定義為它們的線性組合： U abzfrac Gamma 1bGamma ab1 M abzfrac Gamma b1Gamma a z1b M ab12bz 它與另一個廣義超幾何函式有下列關係： U abzzacdot _2F_0 aab1z1 但此時上面的超幾何函式對應的級數不收斂，需要透過另外的方式來定義（如積分表示式）。更常見的是下面的表述，它將 20 對應的超幾何級數視為漸近級數。 U abzapprox zacdot _2F_0 aab1z1quad zrightarrowinfty arg zfrac 3pi 2 Kummer 函式是整函式，而 Tricomi 函式一般有奇點 0。 可轉化為 Kummer 方程的二階線性常微分方程 大部分系數為自變數 的一次函式的二階線性常微分方程都可以透過變數代換轉換成 Kummer 方程。對方程 ABzfrac d2wdz2 CDzfrac dwdz EFz w 0 先將 用一個新的 代換，就可以將二階項前面的係數化為 Kummer 方程的形式： zfrac d2wdz2 CDzfrac dwdz EFz w 0 這裡的 是作代換後得到的新的值。然後將 用 2412 代換，並將整個式子乘以相同的常數，得到： zfrac d2wdz2left Cfrac Dsqrt D24F zrightfrac dwdzleft frac Esqrt D24Ffrac FD24F zright w0 它的解為， w zexp 1tfrac D sqrt D24Ftfrac z2 f zquad f zk_1M aCzk_2U aCzquad a1tfrac D sqrt D24Ftfrac C2tfrac E sqrt D24F k_1k_2inmathbb C 李代數引數與惠泰克方程 Kummer 方程的李代數引數定義為 alphab1 theta2ab 其中第一個李代數引數是 0 處兩個正則解的指標之差。而第二個李代數引數對於 0 處的兩個正則解給出相同的值。這時 0 處的兩個正則解可以表示為 F_alphathetaz text and zalpha F_alphathetaz 惠泰克方程的形式為： frac mathrm d2wmathrm dz2left frac 14frac kappazfrac 14mu2z2right w0 它的兩個線性無關的解為惠泰克函式，與第一類、第二類合流超幾何函式有下列關係： M_kappamuleft zright expleft z2right zmutfrac 12 Mleft mukappafrac 12 12mu zright W_kappamuleft zright expleft z2right zmutfrac 12 Uleft mukappafrac 12 12mu zright 注意到 M_kappamuleft zright expleft z2right zmutfrac 12 F_2mu2kappaz 故惠泰克方程中的引數實際上與 Kummer 方程對應的李代數引數等價，兩者之間只差一個常數倍。 積分表示 合流超幾何函式的很多性質可以透過高斯超幾何函式得到，高斯超幾何函式的積分表示為： Beta aca_2F_1 abctfrac zbint_1infty tbct1ca1ttfrac zbbmathrm dt int_1infty tct1ca11tfrac z btbmathrm dt Re cRe a0 arg 1tfrac zbpi 式中的 Β 是 beta 函式。 兩邊取極限後就得到（第一類）合流超幾何函式的積分表示： Beta aca_1F_1 aczint_1infty tct1ca1 etfrac ztmathrm dt Re cRe a0 第二類合流超幾何函式的積分表示為： Gamma a U abz int_0infty ezt ta11tba1dt quad Re a0 變換公式 高斯超幾何函式的 Pfaff 變換公式為： _2F_1 abctfrac zb 1tfrac zbb _2F_1 cabc tfrac 1btfrac bzzbquad arg 1tfrac zbpi 兩邊取極限得到（第一類）合流超幾何函式的 Kummer 變換公式： _1F_1 acz ez _1F_1 cacz 第二類合流超幾何函式的 Kummer 變換公式為： U abzz1b Uleft 1ab2bzright 特殊情形 很多特殊函式都是合流超幾何函式的特殊情形。 柱函式 第一類、第二類虛宗量貝塞爾函式可以分別表示為： I_nu zfrac znu2nu ezGamma nu1 M nufrac122nu1z K_nu zsqrt pi2znu ez U nufrac122nu1z Γ 誤差函式 不完全伽瑪函式可以表示為： gamma azfrac za aM aa1zquad anotinmathbb Z_0 Gamma azez U 1a1az 誤差函式可以表示為： operatorname erfzfrac 2zsqrtpi M frac12frac32z2 正交多項式及相關函式 拉蓋爾函式可以表示為： L_nalphaz n alpha choose n M nalpha1zquad alphanotinmathbb Z 其中的二項式係數用貝塔函式來定義。 （物理學上的）厄米多項式可以表示為： H_n z2nU frac n2frac 12z2quad ninmathbb Z_0Re z0 注 參考文獻 外部連結 Wolfram 函式大全上的 Kummer 超幾何函式 Wolfram 函式大全上的 Tricomi 超幾何函式 Category 超幾何函式