朗道量子化是指均勻磁場中帶電粒子的迴旋軌道發生的量子化。這些帶電粒子能量在一系列分立的數值中取值，形成朗道能級。朗道能級是簡併的，每一能級上電子的電子數量與外加磁場的強度成正比。由朗道量子化可以得出外磁場會導致材料中電子性質的振盪。這一理論是由蘇聯物理學家列夫朗道於 1930 年提出的。 推導 朗道量子化可以透過準經典的方法部分匯出。這裡採用量子力學的方法進行推導： 考慮一個帶電粒子組成的二維 系統。這些粒子無內部相互作用，所帶電荷為，自旋量子數為，並被限制在平面內一個面積的區域內。 對這一系統施加一個沿軸的均勻磁場 mathbf B begin pmatrix 00Bend pmatrix。由於自旋對於這個二維繫統沒有影響，因而在下面的推導中將忽略自旋。在 CGS 單位制下，這個系統的哈密頓算符為： hat Hfrac 12mhat mathbf pqhat mathbf Ac2 式中 mathbf p 為正則動量算符，hat mathbf A 為磁場的磁矢勢，與磁感應強度的關係為： mathbf Bmathbf nablatimes hat mathbf A 給定磁場的磁矢勢具有一定的規範自由度。當 hat mathbf A 被新增一個標量場的梯度時，波函式的整體相位也會隨著標量場產生一定的變化，但由於哈密頓算符具有規範不變性，系統的物理性質並不受選定的規範影響。為了簡便計算，這裡選擇： hat mathbf A begin pmatrix 0Bx 0 end pmatrix 式中 B，x 為位置算符方向上的分量。 在這一規範下，系統的哈密頓算符為： hat H frac hat p_x22m frac 12m left hat p_y frac qBhat xcright2 算符 hat p_y 與這一哈密頓算符是對易的。這是因為在選定規範時，算符 hat y 被忽略掉了，因而算符 hat p_y 可被它的本徵值替代。 如果設定迴旋頻率，那麼可以得出此時哈密頓算符為： hat H frac hat p_x22m frac 12 m omega_c2 left hat x frac hbar k_ymomega_c right2 這與量子諧振子的哈密頓算符基本一致，但勢能的最小值需要在位置表象中移動。 注意到諧振子勢能的平移並不會影響到系統的能量，也就是說這一系統的能量與標準的量子諧振子一致： E_nhbaromega_cleft nfrac 12rightquad ngeq 0 由於能量與量子數無關，因而會存在一定的簡併態。 由於 hat p_y 與哈密頓算符是對易的，因而系統的波函式可以表示為方向上動量的本徵值與諧振子本徵矢 phi_nrangle 的乘積，但 phi_nrangle 也需要在方向上移動 0，即： Psi xyeik_y y phi_n xx_0 總之，電子的狀態可以透過與這兩個量子數表徵。 朗道能級 朗道量子化所造成的效應只能在平均內能小於能級間差值，即時才能被觀測到。簡單來說就是溫度較低，外磁場較強。 每個朗道能級都具有一定的簡併度，因為量子數的取值情況為： k_y frac 2 pi NL_y 式中為整數。所允許的取值受到振子的運動中心座標的影響。振子的運動必須在系統範圍內，也就是說。這給出了的取值範圍： 0 leq N frac m omega_c L_x L_y2pihbar 對於帶電量的粒子來說，的上限可以表記為磁通量的比值： frac Z B L_x L_yhce Zfrac PhiPhi_0 式中為磁通量的基本量子，是系統的磁通量，面積。 因而對於自旋為的粒子，每個朗道能級的簡併度的最大值為： D Z 2S1 frac PhiPhi_0 上述討論只是在有限尺度內給出的粗略的結果，嚴格來說，諧振子解只對在方向上不受限的系統有效，如果系統尺度是有限的，那個方向上的束縛態條件會導致磁場中的非標準量子化情況。原則上，兩個都是埃爾米特方程的解。多電子對於朗道能級的填充仍是研究熱點之一。 一般來說，朗道能級可以在電子系統中被觀察到，其中 1，12。隨著磁場增強，越來越多的電子會佔據朗道能級。最高的朗道能級的佔據情況會導致多種電子性質振盪，如德哈斯 範阿爾芬效應及舒布尼科夫 德哈斯效應。 如果考慮到塞曼效應的話，那麼每個朗道能級都會分裂為一對能級：一個為自旋向上的電子佔據的能級，一個是自旋向下的電子佔據的能級。此時每個自旋朗道能級的簡併度就會是磁通量的比率： 。兩個能級與分裂前的能級間隔是相同的：。然而在多個能級被佔滿時，系統的費米能與基態的能量卻是大致相同的，因為塞曼效應造成的影響，在這些能級相加時會被抵消掉。 討論 在上面的推導過程中，與似乎並不對稱。然而，考慮到系統的對稱性，並沒有物理量能表徵這兩個座標的區別。在對與進行適當的內部變換後，可以得到相同的結果。 此外，上述推導中電子在方向上運動受限的情形儘管在實驗中確實存在，如二維電子氣。但這一假設並不基本。如果電子在方向上可以自由移動，那麼波函式還需要乘以一個因子 exp ，能量對應地需要加上。這一項會 填入 能級間隙，從而減小量子化的效果。但在垂直於磁場的平面 上的運動仍是量子化的。 對稱規範中的朗道能級 選定對稱規範： hat mathbf A frac 12begin pmatrix By Bx 0 end pmatrix 對於哈密頓算符進行去量綱化： hat H frac 12 left left ifrac partialpartial x frac y2right2 left i frac partialpartial y frac x2right2 right 實際值可以透過引入 q、c、hbar、mathbf B 及 m 等常數得出。 引入算符 hat a frac 1sqrt 2 left left frac x2 frac partialpartial xright i left frac y2 frac partialpartial yrightright hat adagger frac 1sqrt 2 left left frac x2 frac partialpartial xright i left frac y2 frac partialpartial yrightright hat b frac 1sqrt 2 left left frac x2 frac partialpartial xright i left frac y2 frac partialpartial yrightright hat bdagger frac 1sqrt 2 left left frac x2 frac partialpartial xright i left frac y2 frac partialpartial yrightright 這些算符的對易關係為： hat a hat adagger hat bhat bdagger 1 哈密頓算符可記為： hat H hat adaggerhat a frac 12 朗道能級序數 n 是 hat adaggerhat a 的本徵值。 角動量方向上的分量為： hat L_z i hbar frac partialpartial theta hbar hat bdaggerhat b hat adaggerhat a 利用其與哈密頓算符可對易，即 hat H hat L_z 0，我們選定 hat L_z 的本徵值 m hbar 為使 hat H 與 hat L_z 對角化的本徵函式。易見，在第 n 個朗道能級上存在 m ge n。然而 m 的值可能非常大。在下面將推導系統表現出的有限簡併度。 使用 hat bdagger 可以使 m 減小一個單位同時使 n 保持不變，而 hat adagger 則可以使 n 增大一個單位，同時令 m 減小一個單位。類比量子諧振子，可以得到： hat H nmrangle E_n nmrangle E_n left n frac 12right nmrangle frac hat bdaggermnsqrt mn frac hat adaggernsqrt n00rangle 在朗道規範與對稱規範下，每個朗道能級上的簡併軌道分別以量子數及 m 表徵，每個朗道能級上單位面積的簡併度是相同的。 可以證明選定下面這個波函式時，也可以得到上面得到的結果： psi_nmx y left frac partialpartial w frac bar w4 rightn wn m ew2 4 式中 w x i y。 特別地，對於最低的朗道能級，即 n 0 時，波函式為任意一個解析函式與高斯函式的乘積：psi xy f w ew24。 規範變換的影響 進行這樣的規範變換： vec A to vec A vec A vec nabla lambda vec x 運動學動量的定義為： hat pi hat mathbf pqhat mathbf Ac 式中 hat mathbf p 為正則動量。哈密頓算符是規範不變的，因而 langlehat pirangle 與 langle hat xrangle 也會在規範變換後保持不變，但 langlehat mathbf prangle 會受到規範變換的影響。 為了考察規範變換帶來的影響，設磁矢勢為 A 與 A 時的量子態為 alpharangle 與 alpharangle。 由於 langle hat xrangle 和 langlehat pirangle 是規範不變的，可以得到： langlealphahat xalpharangle langlealphahat xalpharangle langlealphahat pialpharangle langlealphahat pialpharangle langlealphaalpharangle langlealphaalpharangle 設算符 mathcal G 會使 alpharangle mathcal G alpharangle ，則： mathcal Gdaggerhat xmathcal G hat x mathcal Gdaggerleft hat p frac ehat Ac frac evec nabla lambda xcrightmathcal G hat p frac ehat Ac mathcal Gdaggermathcal G 1 綜上所述： mathcal G expleft frac ielambda vec xhbar cright 參考文獻 參見 巴克豪森效應 量子霍爾效應 Category 量子力學 Category 凝聚體物理學