特殊直角三角形是一些有特殊性質的直角三角形，其特殊性質可能是使三角形的計算更加方便，或是存在一些較簡單的公式。例如有些三角形的內角有一些簡單的關係，例如 454590 度三角形，這是各角有特殊關係的直角三角形。也有些直角三角形的各邊有特殊關係，例如各邊的比例可以用自然數表示，例如 3 4 5，或是可以用黃金比例表示等。若在處理這些三角形時知道其特殊的邊關係或角關係，可以快速的計算一些幾何問題而不需用到一些較複雜的公式。 各角有特殊關係 直角三角形的各角有其基本關係：最大角（直角）為 90 度，也等於另外二角的和。但有些直角三角形的各角還有其他特殊關係。 直角三角形的邊長一般會用單位圓或其他幾何方式推導而成，若角度為 30 45 或 60，其三角函式的數值計算會比其他的角度會簡單很多。 以下是一些特殊角的三角函式 角度 弧度 sin cos tan 0 0 tfrac sqrt 020 tfrac sqrt 421 0 30 tfrac pi6 tfrac sqrt 12tfrac 12 tfrac sqrt 32 tfrac 1sqrt 3 45 tfrac pi4 tfrac sqrt 22tfrac 1sqrt 2 tfrac sqrt 22tfrac 1sqrt 2 1 60 tfrac pi3 tfrac sqrt 32 tfrac sqrt 12tfrac 12 sqrt 3 90 tfrac pi2 tfrac sqrt 421 tfrac sqrt 020 infty 454590 度三角形、306090 度三角形以及正三角形是平面上的三種莫比斯三角形，任一內角都可以找到對應整數，使內角和整數的乘積為 180，參照。 454590 度三角形 在平面幾何中，將正方形繪製一條對角線會產生一個角度比例為 1 1 2 的三角形，而內角和為 180 度（或是 π 弧度），因此各角角度為 45 π4、45 π4 和 90 π2。依畢氏定理可得其邊長比例為 1 1 2，因此 454590 度三角形為等腰直角三角形。若繪製 454590 度三角形斜邊的中線，中線會將 454590 度三角形分割為另外二個較小的 454590 度三角形，邊長是原來的 12。 454590 度三角形為等腰直角三角形，在平面幾何中，這也是唯一是等腰三角形的直角三角形。不過在球面幾何學或雙曲幾何中，有無限種也是等腰三角形的直角三角形。 306090 度三角形 若三角形各角的比例是 1 2 3，其各角角度會是 30、60 和 90。各邊的比例會是 1 3 2。 使用三角函式可以證明上述的事實．利用幾何學的證明如下： 繪製邊長為 2 的正三角形 ABC，並令 D 點為線段 BC 的中點。連線線段 AD，則三角形 ABD 為 306090 度三角形，其斜邊長度為 2，一股 BD 長度為 1。 另一股 AD 的長度為3，可以由畢氏定理求得。 306090 度三角形是平面幾何中唯一一個角度呈等差數列的直角三角形。其證明很簡單：假設三個角的角度為等差數列，可以表示為為 α αδ α2δ，因為內角和為 180，可得 3α3δ 180，其中有一角會是 60 度，而且最大角需為 90 度，因此最小角會是 30 度。 角度呈等比數列的直角三角形 在平面幾何中，306090 度三角形是唯一一個角度呈等差數列的直角三角形，角度呈等比數列的直角三角形也只有一種，其角度為 π2φ2 OEISA180014、π2φ、π2，其中公比為黃金比例 φ。三個內角的比例為 1varphivarphi2 。 根據正弦定律，各邊的比例會是 sin frac pi2varphi2sin frac pi2varphi1。因為各邊長的關係也要滿足畢氏定理，因此可得 sin2 frac pi2varphi2sin2 frac pi2varphi1。 另外，存在以下的恆等式： cos frac pivarphi1cos frac pivarphi0 有趣的是，若將餘弦函式以指數來表示，可以得到一個「黃金比例恆等式」，其中有出現黃金比例 φ，和出現在尤拉恆等式中的五個數學基本常數 π e i 1 0（不過尤拉恆等式比較簡潔）： efrac ipivarphi1efrac ipivarphi1efrac ipivarphiefrac ipivarphi0 各邊有特殊關係 若三角形各邊為整數，三角形的三邊稱為勾股數，其各角的角度不會是整數。這類的直角三角形容易記憶，而且三角形的各邊比例只要一様，即為相似三角形，就會有一様的特質。利用歐幾裡得產生勾股數的公式，勾股數的比例比必定滿足以下的關係 m2n2 2mn m2n2 其中 m 和 n 均為正整數，而且 mn。 常見的勾股數 以下是前五個勾股數： 3 4 5 5 12 13 8 15 17 7 24 25 9 40 41 其中 3 4 5 三角形是唯一邊長呈等差數列的直角三角形，在埃及稱為「埃及三角形」。由勾股數的有理陣列成的三角形都是海倫三角形，表示其邊長和麵積都是有理數。 以下是所有二股都小於 256 的互質勾股陣列： 3 4 5 5 12 13 8 15 17 7 24 25 9 40 41 11 60 61 12 35 37 13 84 85 15 112 113 16 63 65 17 144 145 19 180 181 20 21 29 20 99 101 21 220 221 24 143 145 28 45 53 28 195 197 32 255 257 33 56 65 36 77 85 39 80 89 44 117 125 48 55 73 51 140 149 52 165 173 57 176 185 60 91 109 60 221 229 65 72 97 84 187 205 85 132 157 88 105 137 95 168 193 96 247 265 104 153 185 105 208 233 115 252 277 119 120 169 120 209 241 133 156 205 140 171 221 160 231 281 161 240 289 204 253 325 207 224 305 斐波那契三角形 從 5 開始，斐波那契數列中的第 6 項、第 8 項、第 10 項 等偶數項（假設 0 為第 1 項）0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 為邊長為整數的直角三角形的斜邊，也就是勾股數中最大的一項。二股中較長的一股為上一個斐波那契三角形的三邊和，較短一股為跳過的斐波那契數減去上一個斐波那契三角形的最短邊。 第一個斐波那契三角形邊長為 5 4 和 3。跳過數字 8，下一個斐波那契三角形邊長為 13 12（5 4 3）和 5（8 3）。跳過數字 21，下一個三角形邊長為 34 30（13 12 5）和 16（21 5）。此數列會一直延伸，最後會趨近以下的比值： 12sqrt 5 Andrew Clarke 建議將長度比例為：12sqrt 5 的三角形稱為 dom，因為此三角形可以由二格骨牌（domin）延對角線切割而成，此三角形是約翰何頓康威及提出的的基礎。 幾乎等腰的直角三角形 等腰直角三角形的三邊不可能都是整數，但存在無限個「幾乎等腰」的直角三角形，也就是直角三角形的邊長為整數，而且二股長度只差一。這類幾乎等腰的直角三角形可以用佩爾方程遞迴求解而得： a0 1 b0 2 an 2bn1 an1 bn 2an bn1 an 為斜邊的長度，n 1 2 3 。最小的幾個三角形如下 3 4 5 20 21 29 119 120 169 696 697 985 4059 4060 5741 23660 23661 33461 各邊呈等比數列的三角形 開普勒三角形是特殊的直角三角形，它的三邊之比等於 1sqrtphiphi，為等比數列，其中 phi 是黃金比，phifrac sqrt512 德國數學家及天文學家開普勒最早提出三邊滿足此比例的三角形。 相關條目 直角三角形 註釋 參考資料 外部連結 3 4 5 triangle 306090 triangle 454590 triangle Category 平面幾何 Category 三角形