可均群是數學上一個特別的區域性緊拓撲群 G，具備了一種為在 G 上的有界函式取平均的操作，而且 G 在函式上的群作用，不會改變所取得的平均。 緣起 在 mathbb Rn 上的勒貝格測度，存在不可測的有界子集。豪斯多夫研究能否在 mathbb Rn 上定義新的測度，使之可以對所有有界子集都是可測的。他要求新的測度保留勒貝格測度的等距變換不變性，就是移動及反射一個有界子集，不會改變其測度。不過，新測度無需有勒貝格測度的 σ 可加性（可數無限可加性），就是可數無限個不相交子集的測度總和，等於其並集的測度。他只要求新測度滿足較弱的有限可加性，就是有限個不相交子集的測度總和，等於其並集的測度。 但是，豪斯多夫、巴拿赫和塔斯基後來的研究，發現了維度不小於 3 的 mathbb Rn 中，任意兩個有內點的有界子集，可以將其一分成有限塊，再移動拼合成另一個，這就是著名的巴拿赫－塔斯基悖論。因此 3 維以上 mathbb Rn 不可能有豪斯多夫所要的測度。而在 2 維就不存在這種情況。 馮紐曼研究他們的證明，發現問題關鍵不是在 mathbb Rn 的結構，而是在 mathbb Rn 的旋轉群上。3 維以上的 mathbb Rn，其旋轉群有子群是秩 2 的自由群；而 2 維時，旋轉群沒有這樣的子群。 於是豪斯多夫原來的測度問題，可以把物件轉到群上面。新的問題是：在一個群 G 上，是否存在有限可加的機率測度 mu，是 G 不變的，即是在 G 對其中的子集的群作用下不變：對任何 Esubset G 和任何 g in G，mu gE mu E。這樣的機率測度稱為不變平均。（函式以這測度積分，像是取加權平均。）由此產生了可均群的概念。因為有限可加測度不像 σ 可加測度有好的理論，便改為考慮與有限可加測度對應的連續線性泛函。 外文名稱 可均群的德文名稱 Mittelbare Gruppe，法文名稱 groupe moyennable，其中 Mittel、moyenne 分別為德文及法文中的平均一字，故此 Mittelbare，moyennable 兩字意思就是可以有平均。英文名稱 amenable group，是英國數學家 Mahlon M Day 所譯，字面上與德文及法文不同，但這是藉諧音玩的文字遊戲，因為 amenable 的英式讀音，與 a mean able 相同（用美式讀音就失去諧音效果），故此說出來其實也是「可以有一個平均」。 定義 設 G 為區域性緊群。G 上存在左哈爾測度 mu。考慮在測度空間 Gmu 上的複值本質有界函式空間 Linfty G。 線性泛函 LambdaLinfty Gto mathbb C 稱為平均，如果 Lambda 的範數是 1，並且是非負的：若實值函式 fin Linfty G 適合 fgeq 0，則 Lambda f geq 0。 如果 Lambda 是一個平均，則有 Lambda 1_G1，其中 1_G 是 G 的特徵函式。而且對任何實值函式 fin Linfty G， operatornameess inf_xin G f x leq Lambda f leq operatornameess sup_xin G f 其中 ess sup 和 ess inf 分別是函式的本質上確界和本質下確界。 一個平均是左不變的，如果對任何 sin G，fin Linfty G，在左作用 scdot f xf s1 x 下，都有 Lambda scdot fLambda f。 區域性緊群 G 如果有一個左不變平均，就稱為可均群。 可均群有很多等價定義。其中一個是 Følner 條件： 對任何 epsilon 0，任何緊子集 Csubset G，都存在一個緊子集 Ksubset G，0mu Kinfty，使得對所有 xin C 都符合不等式 mu xK triangle K mu K epsilon 此處 triangle 是對稱差。 如果 G 是可數無限的離散群，Følner 條件等價於： G 中存在有限子集 S_n，使得對任何 gin G， lim_nto inftyfrac leftg S_n triangle S_nrightleftS_nright 0 這樣的 S_n 稱為 Følner 序列。 性質 可均群的閉子群都是可均的。 若 H 是可均群 G 的閉正規子群，那麼 GH 是可均群。 若 H 是區域性緊群 G 的閉正規子群，而且 H 和 GH 都是可均群，那麼 G 也是可均群。 設 G 是區域性緊群，I 是有向集合，H_i_iin I 是 G 的閉可均子群組成的網，對任何 ileq j，有 H_i subset H_j。那麼 Hoverline cup_iin I H_i 是 G 的可均子群。 例子 有限群是可均群。更一般地，緊群是可均群，其哈爾測度是一個不變平均。 整數群 mathbb Z 和實數群 mathbb R 是可均群，一個在 mathbb Z 或 mathbb R 中長度趨向無窮的有界區間序列是一個 Følner 序列。 區域性緊的阿貝爾群是可均群。因此，區域性緊的可解群是可均群：若 G 是區域性緊的可解群，則有導出列 GG0 triangleright G1 triangleright cdots triangleright Gk1 其中 Gi1GiGi。每個 GiGi1 都是阿貝爾群，所以是可均的，而平凡子群 1 也是可均群。從可均群的性質，得出 G 是可均群。 一個有限生成群 G 是次指數增長的，如果 G 中存在一個有限生成集合 S，有對稱性 SS1，使得 liminf_nto inftyfrac leftSn1rightleftSnright1 次指數增長的有限生成群是可均群。 從定義知對每個 iinmathbb N，都存在 n_i 使得 frac leftSn_i1rightleftSn_iright1frac 1 i 對每個 ain S，有 Sn_ia Sn_isubset Sn_i1。對任何 gin G 都有 leftg Sn_irightleftSn_iright。於是 begin align lefta Sn_itriangle Sn_iright leq lefta Sn_isetminus Sn_iright leftSn_isetminus a Sn_iright leq leftSn_i1setminus Sn_iright leftSn_i1setminus a Sn_iright leftSn_i1rightleftSn_iright leftSn_i1rightlefta Sn_iright 2 leftSn_i1rightleftSn_iright end align 每個 gin G 都可寫成 ga_1 a_2 cdots a_m。設 g_0e g_jg_j1 a_j。用集合關係式 Atriangle B subset Atriangle C cup Ctriangle B，得出 begin align leftg Sn_itriangle Sn_iright leq leftbigcup_j1m left g_j1 Sn_itriangle g_j Sn_irightright leq sum_j1m leftleft g_j1 Sn_itriangle g_j Sn_irightright sum_j1m leftg_j1left Sn_itriangle a_j Sn_irightright leq 2m leftSn_i1rightleftSn_iright end align 因此 frac leftg Sn_itriangle Sn_irightleftSn_irightfrac 2m i 所以 Sn_i 是一個 Følner 序列，故 G 是可均群。 設 G_1 和 G_2 是有限生成群，而 G_2 是可均的。若 G_1 擬等距同構於 G_2，那麼 G_1 也是可均群。 秩 2 的自由群 F_2 不是可均群。 設 ab 是 F_2 的生成元。F_2 的元素都可以用 ab 寫成字。假設 F_2 有不變平均 M。考慮 F_2 的一個子集 A，A 包含所有簡約字以 an 開首的元素。（n 是某個不等於 0 的整數。）那麼 A bA b2 A 是 F_2 的不相交子集，所以 begin align 3M 1_A M 1_A M 1_bA M 1_b2 A leq M 1_F_2 1 end align 另一方面，Acup aAF_2，所以 begin align 2M 1_A M 1_A M 1_aA geq M 1_F_2 end align 這兩條不等式互相矛盾，故 F_2 上不存在不變平均，即 F_2 是非可均的。 所以一個群若包含 F_2 為離散子群，則不是可均群。 如把 n 維空間 mathbb Rn 的旋轉群 SO n 看成離散群，則 n 不小於 3 時 SO n 包含 F_2 為（離散）子群，因此是非可均群，但 SO 2 是阿貝爾群，因此是可均群。這是巴拿赫－塔斯基悖論證明中的構造法在 n 不小於 3 時可行，在 n 等於 2 時不可行的原因。不過若用 SO n 原來的拓撲，則對所有 n，SO n 都是緊群，所以都是可均群。 一個殆連通的區域性緊群 G 是可均群，當且僅當 G 不包含 F_2 為離散子群。（設 G_e 是 G 的單位連通區。若 GG_e 緊緻，則 G 稱為殆連通群。） 馮紐曼猜想推測非可均群都有子群是秩 2 的自由群，但是 1980 年 Alexander Olshanskii 找出反例。他證明瞭塔斯基魔群是非可均的。G 是一個塔斯基魔群，如果有一個固定的素數 p，G 中所有真子群除了平凡子群外，都是 p 階迴圈群。所以塔斯基魔群沒有子群是秩 2 的自由群。 腳註 參考 Category 拓撲群 Category 幾何群論