非交換幾何（，簡稱）為數學的分支領域，內容為的幾何方法，以及由函式的非交換代數區域性呈現的空間的構造。非交換代數是一種結合代數，而乘積不是交換性的，亦即 xy 不總是等於 yx。更廣義地說，這是一種代數結構，其中主要二元運算之一為非交換的。拓樸學或範數等概念可以延伸到非交換幾何中。 透過運算元代數（即希爾伯特空間上有界線性運算元的代數），可以深入瞭解非交換空間。非交換空間的典型例子之一也許是非交換環面，在 1980 年代的領域發展早期發揮了關鍵作用，匯出了向量叢、聯絡、曲率等等概念的非交換版本。 動機 主要動機是將空間與代數之間的交換對偶性擴充套件到非交換環境。數學中，帶幾何性質的空間可以與空間上的數值函式相關聯。這些函式一般會形成交換環。例如，在拓撲空間 X 上可取連續復值函式環 C X。許多時候（如當 X 是緊豪斯多夫空間時），都可以從 C X 中復原出 X，所以說 X 具有交換拓撲。 更具體地說，在拓撲學中，緊豪斯多夫拓撲空間可從空間上函式的巴拿赫代數中重建出來（GelfandNaimark 定理）。在交換代數幾何中，概形是交換酉環的區域性素譜（A Grothendieck），每個擬分離概形 X 都可在同構意義上從 O_X 模的準凝聚層範疇的概形中重建出來（P GabrielA Rosenberg）。對於格羅滕迪克拓撲，景的上同調性質是相應的被抽象為意象的集合層範疇的不變數（A Grothendieck）。在所有這些情形下，空間都是從函式代數或其範疇形式（空間上的層範疇）重建出來的。 拓撲空間上的函式可進行乘和逐點加，因此構成了交換代數；事實上，這些運算在基空間拓撲中是區域性的，因此函式構成了基空間上的交換環層。 非交換幾何試圖將這種對偶性推廣到非交換代數、非交換代數的層、類層非交換代數、運算元代數結構與某些幾何實體之間的對偶性，並透過這種對偶性給出實體的代數描述與幾何描述之間的相互作用。 考慮到交換環對應通常的仿射概形，交換 C 代數對應通常的拓撲空間，要推廣到非交換環和代數，需要拓撲空間的非平凡推廣，即 非交換空間。因此，有一些關於非交換拓撲的討論。 在數學物理中的應用 粒子物理學中的部分應用可見於非交換標準模型與非交換量子場論。在 1997 年推測非交換幾何在 M 理論中的作用後，物理學界對非交換幾何突然非常高漲。 來自遍歷理論的動機 阿蘭科納在技術層面處理非交換幾何提出的部分理論源於更早的嘗試，特別是遍歷理論。George Mackey 提出了 虛子群 理論，遍歷群作用將成為一種推廣的齊性空間。 非交換 C 代數與諾依曼代數 非交換 C 代數的（形式）對偶，現在一般叫做非交換空間。這可以和蓋爾範德表示相類比，後者表明交換 C 代數與區域性緊豪斯多夫空間對偶。總的來說，可以給任何 C 代數 S 關聯一個拓撲空間Ŝ。 由於 σ 有限測度空間和交換馮諾依曼代數之間的對偶，非交換馮諾依曼代數也被稱為非交換測度空間。 非交換可微流形 光滑黎曼流形 M 是具有大量額外結構的拓撲空間。從其連續函式代數 C M 中，只能拓撲地復原 M 。回覆黎曼結構的代數不變數是三元譜，由 M 上的光滑向量叢 E 構造而來，如外部代數叢。E 的平方可積瓣的希爾伯特空間 L2 M E 帶有用乘運算對 C M 的表示，考慮 L2 M E 中的無界運算元 D，其具有緊預解式（如符號運算元），則只要 f 光滑，交換子 D f 就有界。一個深刻的定理指出，M 作為黎曼流形可以從這些資料中復原。 這表明，可將非交換黎曼流形定義為三元譜 A H D，由希爾伯特空間 H 上 C 代數的表示 A、H 上的無界運算元 D、使 D a 對 A 的某個稠密子代數中所有 a 都有界的緊預解式組成。對三元譜的研究非常活躍，已經構建了許多非交換流形的例子。 非交換仿射與射影概形 類比仿射概形與交換環的對偶，定義非交換仿射概形範疇為結合酉環範疇的對偶。這與 Zariski 拓撲有類似之處，這樣就可以把仿射概形推廣到更一般的物件上。 此外，還有交換分次環的 Cone 與 Proj 的推廣，模仿了塞爾關於 Proj 的定理，即交換分次代數的 Proj 上的 O 模的準相干層範疇等價於有限長的分次模塞爾子範疇上區域性化的環上的分次模範疇；當代數符合諾特定理時，相干層也有類似定理。邁克爾阿廷和 J J Zhang 將這個定理推廣為非交換射影幾何的定義，並增加了一些一般環論條件（如亞廷 舍爾正則性）。 射影概形的許多性質都延伸到這一領域。例如，亞廷和 Zhang 針對非交換射影範疇提出了著名的塞爾對偶。 A L Rosenberg 創造了相當普遍的（在基範疇上的）非交換準緊概形，抽象化了格羅滕迪克關於概形態射、準相干範疇與平面區域性化函子的研究。A L Rosenberg Noncommutative schemes Compositio Mathematica 112 1998 93125 doi Underlying spaces of noncommutative schemes preprint MPIM2003111 dvi ps MSRI lecture Noncommutative schemes and spaces Feb 2000 video Fred Van Oystaeyen、Luc Willaert 和 Alain Verschoren 還透過區域性化理論提出了另一種有趣的方法，其主要概念是概形代數。Freddy van Oystaeyen Algebraic geometry for associative algebras New York Dekker 2000 287 p Monographs and textbooks in pure and applied mathematics 232 非交換空間的不變數 非交換幾何的一些激勵性問題涉及將已知拓撲不變數推廣到非交換（運算元）代數的形式對偶，以及非交換空間的其他代替物。阿蘭孔涅在非交換幾何方向的主要出發點之一是發現了非交換結合代數與非交換運算元代數相關的新同調論，即迴圈同調及其與 K 理論的關係（主要透過孔涅 陳特徵對映）。 利用運算元 K 理論和迴圈上同調的工具，光滑流形的示性類理論已經可以推廣到三元譜。對現在的經典阿蒂亞 辛格指標定理進行的一些推廣，可以有效地從三元譜中提取數值不變式。迴圈上同調中的基本示性類，即所謂 JLO 上迴圈（JLO cocycle）是經典陳特徵（Chern character）的推廣。 非交換空間的例子 在量子力學的相空間表述中，經典力學的辛相空間被變形為由位置與動量運算元生成的非交換相空間。 非交換標準模型是對粒子物理標準模型的一種推廣。 非交換環面是普通環面的函式代數的變形，可被賦予三元譜結構。這類例子已有深入的研究，且可作為更復雜情形的案例。 Snyder 空間 葉狀結構產生的非交換代數。 與數論中的動力系統有關的例子，如高斯連分數，產生了似乎具有有趣的非交換幾何的非交換代數。 聯絡 孔涅聯絡是微分幾何中聯絡的非交換推廣，由阿蘭孔涅提出，後來被 Joachim Cuntz 和丹尼爾奎倫推廣。 定義 給定右 A 模 E，E 上的孔涅聯絡是線性對映 nabla E to E otimes_A Omega1 A 其滿足乘積法則 nabla_r sa nabla_r s a s otimes da。 相關條目 交換律 模糊球面 莫亞爾積 非交換代數幾何 非交換拓撲 相空間表述 準自由代數 引用 參考文獻 孔涅聯絡參考文獻 閱讀更多 外部連結 Introduction to Quantum Geometry by Micho Đurđevich An easier introduction that is still rather technical Noncommutative geometry on arxivorg MathOverflow Theories of Noncommutative Geometry Noncommutative geometry and particle physics connection in noncommutative geometry in nLab Category 聯絡 Category 微分幾何 Category 量子重力