在數學中，尤其在範疇論和同倫論中，廣群（groupoid，或勃蘭特廣群，Brandt groupoid）是對群的概念的抽象化。廣群可被視為： 以偏函式取代二元運算的群； 所有態射都可逆的範疇。這一類範疇可被視作增加了一種一元運算，與群論中的逆元相對應。 只有一個物件的廣群一般是群。 在存在依賴型別的情況下，一般來說，一個範疇可視作是型別化的么半群；廣群也可簡單視作型別化的群。物件到物件的態射形成型別的依賴族，於是態射可以是型別化的 gA rightarrow B、hB rightarrow C。於是組合是全函式：circ B rightarrow C rightarrow A rightarrow B rightarrow A rightarrow C ，於是 h circ g A rightarrow C 。 廣群的特例包括： 集合體（Setoid），即帶有等價關係的集合； G 集合，即帶有 G 的作用的集合。 廣群常用於研究流形等幾何物體。廣群最先由海因裡希勃蘭特於 1927 年引入，其思想暗含在勃蘭特半群的概念中。 定義 廣群指的是代數結構 Gast，包含非空集 G 與定義在 G 上的二元偏函式 ast。 代數定義 廣群是具備一元運算 1Gto G 與偏函式 Gtimes G rightharpoonup G 的集合 G，當中的 不是二元運算，因為其不一定定義在 G 中所有的元素對上。這裡不闡述定義 的確切條件，這些條件因情況而異。 運算 、1 有以下公理性質：forall a b cin G： 結合律：若定義了 ab bc，則 a b ca b c。 逆元：a1 a、aa1 總有定義。 單位元：若定義了 ab，則 abb1 a a1 a b b。（由前兩條性質可推知。） 從中可得到兩個簡單方便的性質： a11 a； 若定義了 ab，則 ab1 b1 a1。 第一個性質的證明：由公理 2、3，可知 a1a1aa1 a11a11a1a11 將 1 式代入 2 式，再應用公理 3：a11a11a1aa1a11a11a1aa 得證。 第二個性質的證明：由於定義了 ab，於是是 ab1ab 因此也定義了 ab1abb1ab1a。進一步地，由於定義了 ab，有 abb1a abb1a1 也定義了。由公理 3 可知 ab1ab1aa1ab1abb1a1b1a1 得證。 範疇論定義 廣群是小范疇，其中每個態射都可逆，即是同構。更明確地說，廣群 G 是物件集合 G_0，其中 每對物件 x、y，都有從 x 到 y 的態射（或箭頭）的（可能是空）集合 G x y，其中的元素寫作 f xto y 每個物件 x，G x x 的指定元素 mathrm id_x 對任意三個元素 x、y、z 都有函式 mathrm comp_xyz G y ztimes G x y rightarrow G x z g f mapsto gf 對任意兩個元素 x、y 都有函式 mathrm inv G x y rightarrow G y x f mapsto f1 forall f xto y g yto z h zto w f mathrm id_x f、mathrm id_y f f h g f h g f f f1 mathrm id_y、f1 f mathrm id_x 若 fin G x y 則稱 x 為 f 的源，記作 s f；y 稱作 f 的目標，記作 t f。廣群 G 有時記作 G_1 rightrightarrows G_0，當中 G_1 是所有態射的集合，兩個箭頭 G_1 to G_0 代表源和目標。 更一般地，可以考慮任意範疇中的廣群物件，其允許有限的纖維積。 定義比較 代數定義與範疇論定義等價，下面證明。給定範疇論定義廣群，令 G 為所有集合 G x y 的不交併（即 x 到 y 的態射的集合）；則 mathrm comp、mathrm inv 就成了 G 上的偏運算，而 mathrm inv 事實上在任意地方都可被定義。我們定義 為 mathrm comp、1 為 mathrm inv，這樣就得到了代數定義的廣群。可以不再明確提及 G_0（及 mathrm id）。 反過來，給定代數定義的廣群 G，用 sim 定義其元素上的等價關係： a sim b，若 aa1bb1 令 G0 為 sim 的等價類集合，即 G_0Gsim。若 ain G 且 xin G_0，用 1_x 記 a a1。 現在定義 G x y 為所有使 1_xf1_y 存在的 f 的集合。給定 f in G xy g in G y z 其組合定義為 gffg in G xz 這是良定義的，因為可觀察到 1_xf1_y、1_yg1_z 都存在，1_xf1_yg1_zfg 也存在。這樣，x 的恆等態射就是 1_x，f 的範疇論逆是 f1。 上述定義中的集合可用類代替，這在範疇論中很常見。 頂點群與軌道 給定廣群 G，其中的頂點群或迷向群或軌道群是 G x xxin G 的子群。從上述公理不難看出，它們確實是群，因為每對元素都可組合，且逆元都在同一個群中。 廣群 G 在點 x in X 處的軌道由集合 s t1x subseteq X 給出，當中包含了可用 G 中的態射連線到 x 的每個點。若 x、y 兩點在相同的軌道上，則它們的頂點群 G x、G y 群同構：若 f xto y，則同構由 gto fgf1 給出。 軌道構成了集合 X 的一部分。若廣群只有一個軌道（等價地是連通的），則稱之為傳遞的。那麼，所有頂點群都同構（另一方面，這不是傳遞性的充分條件，反例下詳）。 子廣群與態射 G rightrightarrows X 的子廣群是子範疇 H rightrightarrows Y，其本身是一個廣群。若它是寬或滿的子範疇，即 forall xy in Y 都有 X Y 或 G xyH xy，則也稱其為寬或滿。 廣群對映簡單說就是兩個（範疇論）廣群間的函子。 有幾種特殊的廣群態射值得關注。若 forall xin E forall bin B p xto 都有 ein E xto，使得 p eb，則廣群的態射 p E to B 稱作纖維化。若這樣的 e 是唯一的，則纖維化稱作覆蓋態射或廣群的覆蓋。廣群的覆蓋態射很有用，可用來模擬空間的覆蓋對映。JP May A Concise Course in Algebraic Topology 1999 The University of Chicago Press see chapter 2 同樣，給點廣群 B 的覆蓋態射範疇，等同於廣群 B 對對集合的作用範疇。 例子 拓撲 給定拓撲空間 X，令 G_0 為集合 X。從點 p 到點 q 的態射是 p 到 q 的連續路徑的等價類，若兩條路徑同倫，就稱它們等價。 先沿第一條路徑，再沿第二條路徑，兩個這樣的態射便組合到一起；同倫等價性保證這種組符合結合律。這樣的廣群稱作 X 的基本廣群，記作 pi_1 X（有時是 Pi_1 X）。通常的基本群 pi_1 Xx 於是就是點 x 的頂點群。 基本廣群 pi_1 X 的軌道是 X 的路徑連通成分。相應地，路徑連通空間的基本廣群是傳遞的，我們恢復了已知的事實，即任意基點上的基本群是同構的。此外，基本廣群和基本群這時作為範疇是等價的（一般理論見下文）。 這一思想的重要推廣是考慮基本廣群 pi_1 XA，其中 Asubset X 是選定的基點集合。當中 pi_1 XA 是 pi_1 X 的（寬）子廣群，這裡只考慮端點屬於 A 的路徑。集合 A 可據當前情況的幾何形狀來選擇。 等價關係 若 X 是集合體，即具有等價關係 sim 的集合，則 表示 這等價關係的廣群可由如下構成： 廣群物件是 X 的元素； forall x yin X 有單態射 yx xto y，當且僅當 xsim y； zy 與 yx 的組合是 zx。 這個廣群的頂點群總是平凡的；此外，這個廣群一般不傳遞，其軌道正是等價類。有兩個極端例子： X 每個元素若都與 X 的其他元素有聯絡，則就得到了 X 的對廣群，其以整個 X times X 作為箭頭集，且是傳遞的。 X 每個元素若只與自身有關係，就得到了單位廣群，其以 X 為箭頭集，s t id_X，是完全不傳遞的（每個單子 x 都是軌道）。 例子 若 f X_0 to Y 是光滑流形的光滑滿射浸沒，則 X_0times_YX_0 subset X_0times X_0 是等價關係，因為在拓撲空間的滿射下，Y 與 X_0 的商拓撲拓撲同構。若記 X_1 X_0times_YX_0 則可得廣群 X_1 rightrightarrows X_0 有時稱為光滑流形的滿射浸沒的平庸廣群。 若放寬自反性要求、考慮偏等價關係，則就可考慮關於集合的可計算實現子上的半可決定概念。這使得廣群可用於集合論的可計算近似，稱作 PER 模型。作為一個範疇，PER 模型是具有自然數物件與子物件分類子的笛卡兒閉範疇，從而產生了馬丁海蘭德所謂有效拓撲斯。 切赫廣群 切赫廣群是一類特殊的廣群，與某個流形 X 的開覆蓋 mathcal U U_i_iin I 所給出的等價關係相關聯。其物件由不交併 mathcal G_0 coprod U_i 給出，其箭頭是相交 mathcal G_1 coprod U_ij 源對映與目標對映由誘導對映給出 begin align s phi_j U_ij to U_j t phi_i U_ij to U_i end align 包含對映 varepsilon U_i to U_ii 則給出了廣群的結構。實際上，還可設定 mathcal G_n mathcal G_1times_mathcal G_0 cdots times_mathcal G_0mathcal G_1 為 n 次迭代的纖維積來進一步擴充套件，其中 mathcal G_n 表示 n 個可組合箭頭的多元組。纖維積的結構對映隱含了目標對映，因為 begin matrix U_ijk to U_ij downarrow downarrow U_ik to U_i end matrix 是笛卡兒圖，其中到 U_i 的對映是目標對映。這種構造可看作是某些 廣群的模型；此外，這種構造的另一個產物是 k 上迴圈 sigma in check Hk mathcal Uunderline A 對某個阿貝爾群之常數層可表為函式 sigmacoprod U_i_1cdots i_k to A 給出了上同調類的明確表示。 群作用 若群 G 作用於集合 X，則可由如下方式組成代表群作用的作用廣群或變換廣群： 物件是 X 的元素； forall x yin X，態射 xto y 對應 gin G，使得 gx y； 態射的複合解釋了 G 的二元運算。 更明確地說，作用廣群是小范疇 mathrm obCX、mathrm homCGtimes X，源對映和目標對映分別為 s gx x、t gx gx。通常表示為 G ltimes X（對於右作用記為 Xrtimes G）。廣群中的乘法（或組合）就是 hygx hgx，定義條件是 ygx。 forall xin X，頂點群由 gxx 的 gx 組成，這只是給定作用在 x 處的迷向子群（這就是頂點群稱為迷向子群的原因）。同樣，作用廣群的軌道是群作用的軌道，廣群是傳遞的當且僅當群作用也有傳遞性。 另一種描述 G 集合的方法是函子範疇 mathrm Grmathrm Set，當中 mathrm Gr 是 1 個元素的廣群（範疇），同構於群 G。事實上，這個範疇的每個函子 F 都定義了集合 XF mathrm Gr forall gin G（即對 mathrm Gr 中的每個態射）誘導了雙射 F_g：Xto X。函子 F 的範疇結構保證了 F 定義了集合 G 上的 G 作用。（唯一）可表函子 F：mathrm Gr to mathrm Set 是 G 的凱萊表示。事實上，這個函子與 mathrm Hommathrm Gr 同構，因此將 mathrm obmathrm Gr 送到集合 mathrm Hommathrm Grmathrm Gr，後者的定義就是 集合 G 和 mathrm Gr 的態射 g（即 G 的元素 g）到集合 G 的置換 F_g。由米田嵌入推匯出：群 G 同構於 G 的置換群的子群 F_gmid gin G。 有限集 考慮 mathbb Z2 在有限集 X 2 1 0 1 2 上的群作用，其將每個數取負，於是 2 mapsto 2、1 mapsto 1。商廣群 XG 是這個群作用的等價類集合 012，0 在其上有群作用 mathbb Z2。 商簇 任何對映到 GL n 的有限群 G 都會在仿射空間 mathbb An 上產生群作用（由於這是自同構群）。於是，商廣群的形式可以是 mathbb AnG，有一點的穩定子 G 位於原點。這樣的例子構成了軌形理論的基礎。另一個常研究的軌形族是加權射影空間 mathbb Pn_1ldots n_k 及其子空間，如卡拉比 丘軌形。 廣群的纖維積 給定具有廣群態射的廣群圖 begin align X downarrow Y rightarrow Z end align 其中 fXto Z、gYto Z，可組成廣群 Xtimes_ZY，其物件為三元組 xphiy，其中 x in text ObX y in text ObY phi f x to g y in Z。態射可定義為一對態射 alphabeta，其中 alpha x to x beta y to y，使得對三元組 xphiy xphiy Z 中有 f alphaf x to f x g betag y to g y phiphi 的交換圖。 同調代數 具體阿貝爾範疇中物件的二項復形 C_1 overset drightarrow C_0 可形成廣群。其物件是集合 C_0，箭頭是集合 C_1oplus C_0；源對映只是到 C_0 的對映，目標對映是對 C_1 與 d 的組合跟到 C_0 的對映的加法。也就是說，給定 c_1 c_0 in C_1oplus C_0，有 t c_1 c_0 d c_1 c_0 當然，若阿貝爾範疇是概形上的凝聚層範疇，則這種構造可用於形成廣群的預層。 遊戲 魔方可用群論來建模（見魔方群），也有些遊戲更適合用廣群建模。An Introduction to Groups Groupoids and Their Representations An Introduction Alberto Ibort Miguel A Rodriguez CRC Press 2019 數字推盤遊戲的變換就是廣群（不是群，因為並非所有移動都能複合）。Jim Belk 2008 Puzzles Groups and Groupoids The Everything SeminarThe 15puzzle groupoid 1 Never Ending BooksThe 15puzzle groupoid 2 Never Ending Books 這一廣群作用作用於構型。 馬蒂厄廣群 馬蒂厄廣群是約翰何頓康威提出的作用於 13 個點的群，這樣固定一個點的元素就構成了馬蒂厄群 M12 的一個副本。 與群的關係 若廣群只有一個物件，則其態射集構成群。由代數定義，這樣的廣群實際上就是群。 Mapping a group to the corresponding groupoid with one object is sometimes called delooping especially in the context of homotopy theory see 群論的許多概念都能推廣到廣群，用函子概念取代群同態。 每個傳遞 連通的廣群（即如上所述，任意兩物件都由至少一個態射相連）都與作用廣群（如上定義）G X 同構。根據傳遞性，這個作用下只有一個軌道。 注意剛才提到的同構不唯一，也沒有自然的選擇。為一個傳遞廣群選擇這樣的同構實際上等於選擇物件 x_0、群同構 h G x_0to G、forall xne x_0 態射 in G x_0to x。 若廣群沒有傳遞性，則就同構於上述型別的廣群的不交併，也稱作其連通成分（每個連通成分可能具有不同的群 G 與集合 X）。 用範疇論的術語來說，廣群的每個連通成分都等價（但不同構）於只有 1 個物件的廣群，即單群。因此，任何廣群都等價於無關群的多重集；換句話說，對等價（而非同構），我們不需要指定集合 X，而只需指定群 G。例如， X 的基本廣群等價於 X 的每個路徑連通成分的基本群的集合，但同構要指定每個成分的點集； 具有等價關係 sim 的集合 X 等價（作為廣群）於每個等價類的平凡群的一個副本，但同構需要說明每個等價類； 具備群 G 的作用的集合 X 等價（作為廣群）於作用的每個軌道的 G 的一個副本，但同構需要說明每個軌道是什麼集合。 即使從範疇論的角度來看，把廣群坍縮為單純的群集合也會失去一些資訊，因為是不自然的。因此，當廣群以其他結構出現時，保持整個廣群是有幫助的；否則就必須選擇一種方法，以從單群的角度看待每個 G x，而這一選擇是任意的。在拓撲學的例子中，必須連貫地選擇路徑（或路徑的等價類），從相同路徑連通成分的每個 p 點到每個 q 點。 一個更有啟發性的例子是，有自同態的廣群的分類並不能歸結為單純的群論考慮。這類似於有一個自同態的向量空間的分類並不平凡。 廣群的態射比群的更多樣：例如，有纖維化、覆蓋態射、泛態射、商態射。因此，群 G 的子群 H 會產生G 對 G 中 H 的陪集集的作用，從而產生 K 到 G 的覆蓋態射 p，其中 K 是頂點群與 H 同構的廣群。這樣，群 G 的表示就可以 提升 到廣群 K 的表示，這是獲取子群 H 的表現資訊的有用方法。 廣群範疇 物件是廣群、態射是廣群態射的範疇稱作廣群範疇，記作 Grpd。 Grpd 與小范疇相似，是笛卡兒閉範疇：對任意廣群 HK，我們都可以構造廣群 operatorname GPDHK，其物件是態射 H to K 、箭頭是態射的自然等價。於是，若 HK 只是群，則這些箭頭就是態射的共軛。主要結果是，對任何廣群 GHK 都有自然雙射 operatorname GrpdG times H K cong operatorname GrpdG operatorname GPDHK 即使所有廣群 GHK 都只是群，這個結果也有意義。 Grpd 既是完全範疇，又是餘完全範疇。 與 Cat 的關係 包含態射 i mathbf Grpd to mathbf Cat 有左右伴隨函子： hom_mathbf GrpdC C1 G cong hom_mathbf CatC i G hom_mathbf Cati G C cong hom_mathbf GrpdG mathrm CoreC 當中，C C1 表示反轉每個態射的範疇區域性化，mathrm CoreC 表示所有同構的子範疇。 與 sSet 的關係 神經函子 N mathbf Grpd to mathbf sSet 將 Grpd 嵌入為單純集範疇的子範疇。廣群的神經總是闞復形。 神經有左伴隨 hom_mathbf Grpdpi_1 X G cong hom_mathbf sSetX N G 當中 pi_1 X 表示單純集 X 的基本廣群。 Grpd 中的廣群 廣群範疇內部的範疇還可派生一種額外結構，即雙重廣群。因為 Grpd 是 2 範疇，這些物件構成了 2 範疇，比 1 範疇有額外的結構。本質上說，這些物件是具有函子 st mathcal G_1 to mathcal G_0 的廣群 mathcal G_1mathcal G_0，以及由恆等函子 imathcal G_0 tomathcal G_1 給出的嵌入。思考這些 2 廣群的一種方法是其包含物件、態射與可以縱橫組合的方塊。例如，給定方塊 begin matrix bullet to bullet downarrow downarrow bullet xrightarrow a bullet end matrix 與 begin matrix bullet xrightarrow a bullet downarrow downarrow bullet to bullet end matrix 其中 a 是同一個態射，則可以垂直相連，得到圖 begin matrix bullet to bullet downarrow downarrow bullet xrightarrow a bullet downarrow downarrow bullet to bullet end matrix 可將垂直箭頭轉置，得到另一個方塊。方塊的橫向連線也有類似規律。 具有幾何結構的廣群 研究幾何物件時，產生的廣群通常帶有拓撲，使其成為拓撲廣群；一些微分結構還能將其變為李廣群。最後這些物件也可根據其相關的李代數胚進行研究，這與李群和李代數之間的關係類似。 從幾何產生的廣群通常具有與群乘法相互作用的結構。例如，泊松幾何中有辛廣群的概念，後者是具有相容辛形式的李廣群。同樣，也可擁有具備相容黎曼度量或複流形等結構的廣群。 另見 廣群 2 群 同倫型別論 腳註 參考文獻 Brown 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