在幾何學中，完全星形二十面體（或 complete stellation of the icosahedron）、完全二十面體或針鼴二十面體是一種星形二十面體。它是星形二十面體的最外層，也因為包括星形二十面體的所有胞，因此是 完全 和 最後 的星形二十面體。溫尼爾在他的書中列出的各種星形多面體模型中，也包含了完全星形二十面體，並給予編號 W42。其也收錄於哈羅德斯科特麥克唐納考克斯特的書《五十九種二十面體》中，編號為 8。 幾何形狀上，完全星形二十面體有兩種形式，其在外觀上無法區別： 一種是非正的星形（自相交）多面體，由二十個九角星（邊自相交九邊形）、90 條邊和 60 個頂點組成。 另一種是由 180 個三角形組成的簡單多面體，其中包含 60 個等腰三角形、120 個不等邊三角形、270 條邊和 92 個頂點。以這種多面體結構來建構完全星形二十面體的模型會比較容易。 歷史 關於星形二十面體的研究最早可以追朔到 1619 年出版的《世界的和諧》中，約翰內斯開普勒已針對二十面體的星形化體進行了一些研究，當中列出了屬於正多面體的大星形十二面體與小星形十二面體。1809 年重新發現了開普勒先前發現的星形二十面體並另外發現了兩個星形多面體：大二十面體與大十二面體，因此這四個立體現今合稱為克卜勒－龐索立體。Louis Poinsot Memoire sur les polygones et polyèdres J de lÉcole Polytechnique 9 pp 1648 18101812 年奧古斯丁 路易柯西進一步列舉了星形多面體並證明星形正多面體只有 4 個。而到了 1900 年，將星形多面體推廣到了不限於正多面體的情況，並列出了十種星形二十面體，當中包括了完全星形二十面體。1900 Vielecke und Vielflache Theorie und Geschichte Leipzig BG Treubner WorldCat English Polygons and Polyhedra Theory and History Photographs of models Tafel VIII Plate VIII etc High res scans 1924 年由學者 AH Wheeler 發表的著作中列舉的 20 種星形二十面體（其共列舉了 22 種，但有些互為映象）中亦包含了完全星形二十面體。A H Wheeler Certain forms of the icosahedron and a method for deriving and designating higher polyhedra Proc Internat Math Congress Toronto 1924 Vol 1 pp 7017081938 年，哈羅德斯科特麥克唐納考克斯特、、和在其著作《五十九種二十面體》中為正二十面體的星形化體提供了一個系統性的規則，並列出了 59 種符合規則的星形二十面體，完全星形二十面體在本書中被稱為第八星形二十面體。1974 年，溫尼爾亦在其著作《多面體模型》中收錄、編號並描述了完全星形二十面體，其將完全星形二十面體編號為 W42。Wenninger Magnus J nepageqffalse Polyhedron models Cambridge University Press 1st Edn 1983 Ppbk 2003 ISBN 9780521098595 Model 42 p 65 Final stellation of the icosahedron 160px 的完全星形二十面體模型 針鼴 1995 年，完全星形二十面體被收錄於函式庫的多面體資料庫中，並命名為針鼴二十面體（echidnahedron），其因外型類似於蜷縮成球的針鼴而得名 The name echidnahedron may be credited to Andrew Hume developer of the polyhedron database and some odd solids including the echidnahedron my name its actually the final stellation of the icosahedron geometryresearch polyhedra database August 30 1995 1200 am （針鼴是一種全身覆蓋著粗糙的毛髮和刺的小型哺乳動物，當其遇到危險時會捲成球狀保護自己）。關於完全星形二十面體的對偶多面體較少有文獻專門探討，僅有 2000 年時，英奇博德蓋在其著作中描述了其面的組成，對於其更詳細的性質尚未被有效地探討及解決。 性質 作為正二十面體的星形化體 將正二十面體的原有的面延伸成無窮平面，並由其向外延伸的相交點構成的立體稱為正二十面體的星形化體，或簡稱為星形二十面體。書籍《五十九種二十面體》為正二十面體的星形化體提供了一個系統性的規則，並根據其規則給予了一套表示系統，稱為杜瓦表示法。其列舉了正二十面體向外延伸後有可能相交出的面，稱為星形二十面體的胞。杜瓦表示法主要以星形二十面體所佔據的胞來命名。完全星形二十面體正好佔據了最外層「h」層的所有胞，因此完全星形二十面體在杜瓦表示法中可以用 H 來表示。 作為一個簡單多面體 簡單多面體是指這個多面體中的面不會與同一個多面體的另一個面相交的多面體。若完全星形二十面體要成為一個簡單多面體，則需要在這多面體中相交的面上放置新的頂點和邊，並將原本的九角星面分割成 9 個三角形面。這樣的多面體共有 180 個面、Jenkins Gerald and Magdalen Bear The Final Stellation of the Icosahedron An Advanced Mathematical Model to Cut Out and Glue Together Norfolk England Tarquin Publications 1985 ISBN 9780906212486270 條邊和 92 個頂點，且尤拉示性數為 2。 其 92 個頂點分別位於 3 個同心的球面上。最內層有 20 個頂點，來自一個正十二面體；中間那層有 12 頂點，來自一個正二十面體；最外層的 60 個頂點來自一個不均勻的截角二十面體。這三層的半徑比為： sqrt frac 32 left 3 sqrt 5 right sqrt frac 12 left 25 11sqrt 5 right sqrt frac 12 left 97 43sqrt 5 right 凸包和其他層的頂點 內層 中層 外層 全部 20 個頂點 12 個頂點 60 個頂點 92 個頂點 正十二面體 正二十面體 不均勻截角二十面體 完全星形二十面體 在上述條件下將完全星形二十面體重建成面不會自我相交的三維立體結構後，其邊長將變為 a、avarphi、avarphi2 與 avarphi2sqrt 2（其中 varphi 為黃金比例）。而上述 3 個分層（內層正十二面體、中層正二十面體、外層不均勻截角二十面體）分別的外接球半徑（內層 R_12、中層 R_20、外層 R_60）為： R_12sqrt frac 3left 3sqrt 5right 2a R_20sqrt frac 2511sqrt 52a R_60sqrt frac 9743sqrt 52a 其表面積 S 和體積 V 為： Sfrac 12013211 sqrt 174306161 a2 V21090sqrt 5 a3 作為一個星形多面體 當完全星形二十面體作為一個星形多面體時，其是一個面自我相交的非凸多面體，共有 20 面、90 個邊和 60 個頂點。其每個面都是與施萊夫利符號為 94 的九角星相近的形狀。 p 259 1st Edn University of Toronto 1938 20 個與施萊夫利符號為 94 的九角星形狀相近的面將其中一個以黃色表示 完全星形二十面體中九角星面的形狀 面的組成 完全星形二十面體由 20 個九角星面組成，由於完全星形二十面體的面有跟其他的面相交的性質，因此，會導致面有部分隱沒在圖形內部，如下圖，露在外面的部份以藍色表示、隱沒於形狀內部的部分以白色表示，黑線為與其他面的交線。 構造方式 完全星形二十面體可由其九角星面構造，構造方式為以其對應星狀圖的中心胞之正三角形建構一個正二十面體，並透過該正二十面體邊旋轉九角星面構造完全星形二十面體中的一半面數，剩餘部分可透過將前面完成的部分以中心點對稱方式來完成整個完全星形二十面體的構造。 對偶多面體 完全星形二十面體的對偶多面體又稱為大稀有三角六十面體（great noble triangular hexecontahedron）由 60 個面、90 條邊和 20 個頂點所組成，其中 60 個面都是等腰三角形，且每個頂點都是 9 個等腰三角形的公共頂點。完全星形二十面體的對偶多面體組成的頂點排列方式與正十二面體相同，但頂點間的相連關係與正十二面體不同，因此其可以視為是正十二面體的一種刻面結果。 參見 星形二十面體列表 參考文獻 外部連結 Category 多面體 Category 星形多面體 Category 星形二十面體 Category 稀有多面體