康威多面體表示法是用來描述多面體的一種方法。 一般是用種子多面體（seed）為基礎並標示對種子多面體做的操作或運算。 種子多面體一般都為正多面體或正多邊形密鋪，表示的字母則取他們名字的第一個字母，例如 T 正四面體 （Tetrahedron） C 正方體 （Cube） O 正八面體 （Octahedron） D 正十二面體 （Dodecahedron） I 正二十面體 （Icosahedron） H 正六邊形密鋪 （Hexagonal tiling） Q 正四邊形密鋪 （Quadrille Square tiling） Δ 正三角形密鋪 （Deltille Triangular tiling） 另外柱體和錐體也可以作為種子，並以它是底面邊數加一個字母表示 P 柱體 （Prism） A 反稜柱 （Antiprism） Y 錐體 （Pyramid） J 詹森多面體 （Johnson solid） 例如種子 P5 是指五角柱、P10 是指十角柱、Y6 是指六角錐、J86 是指球狀屋頂、A86 是指 86 角反稜柱。 任何凸多面體皆可以當作種子，前提是它可以執行操作或運算。 何頓康威提出這個想法，就像克卜勒的截角定義，建立相關的多面體相同的對稱性。 它的多面體表示法能從正多面體種子表示所有阿基米德立體、半正多面體和卡塔蘭立體。 在一系列的應用中，康威多面體表示法可以產生許多高階多面體。 多面體的運算 下面列出康威多面體表示法中，多面體的運算子號，那些運算通常類似幾何變換，並以 vef 表示進行該運算或操作後多面體的變化。 基本操作 運算子 範例 範例 運算子號名稱 別名 英文名 替代 BR 同構 頂點 邊 面 描述 例子 原像 Seed v e f 來源種子 d 對偶 dual f e v 產生對偶多面體 每個頂點建立一個新的面，或面的重心當作新的頂點。 a 截半 ambo e 2e 2 e 邊是新的頂點，舊的頂點消失，或將邊的中點當作新的頂點。rectify j 會合 join da e 2 2e e 每個面都加入上當高的錐體，使相鄰面的錐體各有一面互相共面，形成四邊形。 t 截角 truncate dkd 2e 3e e 2 截去所有頂點 BRconjugate kis k n 角化 kis dtd e 2 3e 2e 每個面都加入角錐 i 過截角 雙截角 dk 2e 3e e 2 Dual of kis bitruncation n kd e 2 3e 2e Kis of dual e 小斜方 expand aa aj 2e 4e 2e 2 在每個頂點建立新的面，並在各邊建立四邊形。 cantellate o 正交 菱形鳶形有時作四角化 ortho de ja jj 2e 2 4e 2e 每個 n 邊形面被分割成 n 個四邊形。 b 大斜方 bevel ta 4e 6e 2e 2 加入新的面代替邊和頂點 在高維多胞體稱為 cantitruncation m 元 有時作三角化 meta db kj 2e 2 6e 4e 將 n 邊形的面切割成 2n 個三角形 擴充套件操作 運算子 範例 範例 運算子號名稱 別名 英文名 替代 BR 同構 頂點 邊 面 描述 例子 原像 Seed v e f Seed form r 手性映象 鏡射 reflect v e f 產生手性映象 h 交錯半 half v2 e fv2 Alternation remove half verticesBRlimited to seed polyhedra with evensided faces 部分截半部分截角 uncompletedrectifietruncate e 2e 2 e 對某些條件面截半，其餘面截角 tO結果 c 倒角 chamfer v 2e 4e f e 將邊用六邊形取代 T結果 雙倒角 v 2e 4e f e 將邊用兩個五邊形取代 dc f e 4e v 2e p 旋轉 propellorBRHart v 2e 4e f e 將面旋轉，並在頂點建立四邊形 selfdual dp pd f e 4e v 2e s 扭稜 snub dg hta 2e 5e 3e 2 「擴大和扭曲」 每個頂點建立一個面，每條邊建立了兩個新的三角形 g 陀螺 gyro ds 3e 2 5e 2e 每個 n 邊形面被切割成 n 個五邊形。 w 旋面 whirl v4e 7e f2e 將面旋轉，並在頂點建立與原面相似但是旋轉的新面 BR 此操作會在邊上建立兩個六邊形 dw f2e 7e v4e 旋面的對偶 這些運算子號的運算優先順序皆為由右至左。例如： 正四面體的對偶多面體計為 dT 截角的正方體應計為 t3C 或 tC 截角的截半立方體應計為 t4aC 或 taC。 所有的操作都保有對稱性，除了 s 和 g 是扭曲的像並失去了鏡射對稱。 例子 正方體 BRseed 截半 BR 截角 雙截角（Bitruncation） 離面 BR（Cantellation） 大斜方截半 BR（Omnitruncation） 扭稜（Snub） BRC BRaC djC BRtC dkdC BRtdC dkC BReC aaC doC BRbC taC dmC dkjC BRsC dgC 對偶 加入錐體 BR相鄰共面 加入錐體 BR到外接球 正交 BRedgebisect 元 BRfullbisect 陀螺 BRdC BRjC daC BRkdC dtC BRkC dtdC BRoC deC daaC BRmC dbC kjC BRgC dsC 生成標準種子 所有的五個正多面體皆可以從稜柱種子經過零至兩個運算或操作而產生： 錐體 Y3 正四面體是一個特別的角錐 T Y3 O aY3 截半四面體 C daY3 截半四面體的對偶多面體 I sY3 扭稜四面體 D dsY3 扭稜四面體的對偶多面體 反柱體 A3 正八面體是一個特別的反柱體 O A3 C dA3 柱體 P4 正方體是一個特別的柱體 C P4 五角反稜柱 A5 I k5A5 特殊的雙錐反柱體 D t5dA5 特殊的截角偏方面體 康威的符號擴充套件 上述的運算和操作可以從正多面體種子或柱體錐體的種子產生所有的半正多面體、卡塔蘭立體、柏拉圖立體和阿基米德立體。 許多多面體都可由高階的組合操作還表示，但是某些特別的多面體需要更多的符號來表示。 例如，幾何藝術家 George W Hart 定義他的操作稱為 propellor，和另一個反映建立映象影像的旋轉形式 reflect。 p propellor 旋轉建立四邊形於頂點。這個操作的對偶多面體是本身 dpXpdX。 r reflect 對種子進行鏡射變換。一般沒已影響，除非有 s 或 g 的種子 詹森多面體擴充套件 為了表達詹森多面體，諾曼詹森也定義了一些符號來表達它的多面體 下列種子都必須要在後面加註邊數 P 柱體 Prism A 反稜柱 Antiprism Y 錐體 Pyramid Q 帳塔 R 罩帳 L 三面單元組成一個正方形和對立的三角形 U n 邊形，旁邊有三角形交替的邊。 J 直接表示詹森多面體，加註的數字代表詹森多面體的編號。 擴充套件的符號 將符號後的種子加到符號前的種子之適當的面，可省略 在符號前的種子上照到跟符號後種子相同的部分並切除之 將符號前動作做符號後的次數次，符號後必為常數，可省略 將種子括號並指定動作 例如 Y3P3 Y3 P3 正三角錐柱 Q3tT Q3 tT tT Q3 側臺塔截角四面體 Q5 2eD eD Q52 側臺塔小斜方截半二十面體欠二側臺塔 其它的擴充套件 下面擴充套件符號也可以用於康威多面體表示法，但是在施萊夫利符號中，更為常用。 t01 截角 t02 截邊：小斜方截半 t012 截邊再截角：大斜方截半 t03 截面：向下鋸齒 Runcination 切割多面體，同時沿面、邊和頂點，建立新的面代替原來的面、邊和頂點中心。 t013 截面再截角 t023 截面再截邊 t0123 截面再截邊再截角 t04 截胞：切割多胞體，同時沿胞、面、邊和頂點，建立新的胞代替原來的胞、面、邊和頂點中心。 t1 截半 t12 截半再截邊：雙截角 t2 h 交替 alternate 例如 hC 正四面體 幾何座標的衍生形式 密鋪 例如：球面的正五邊形密鋪：正十二面體種子 D BRD BRtD BRaD BRtdD BReD BRteD BRsD BRdD BRdteD 例如：歐幾裡得平面的正六邊形密鋪種子 H BRH BRtH BRaH BRtdH H BReH BRteH BRsH BRdH BRdtH BRdaH BRdtdH dH BRdeH BRdteH BRdsH 例如：雙曲面的正七邊形密鋪 種子 73 73BRseed truncate amboBRrectify bitruncate expandBRcantellate bevelBRomnitruncate snub BR73 BRt 73 BRa 73 BRdk 73 BRe 73 BRb 73 BRs 73 dual join kisBRvertexbisect orthoBRedgebisect metaBRfullbisect gyro BRd 73 BRdt 73 BRj 73 BRk 73 BRo 73 BRm 73 BRg 73 例如：三維空間的正方體密鋪 種子 438 438BRseed truncate amboBRrectify bitruncate expandBRcantellate bevelBRomnitruncate snub BR438 BRt 438 BRa 438 BRdk 438 BRe 438 BRb 438 BRs 438 dual join BRd 438 BRdt 438 BRj 438 幾何體 例如：透明的 正四面體 種子 T BRT BRtT BRaT BRtdT BReT BRbT BRsT BRdT BRdtT BRjT BRkT BRoT BRmT BRgT 例如：四維空間的 正八胞體 種子 433 BR433 BRt 433 BRa 433 BRtd 433 BRe 433 BRb 433 BRs 433 BRd 433 其他多面體 迭代簡單簡單操作的形式，可以產生更大的多面體，並保持基本對稱性。頂點被假設是對相同半徑的球面。 四面體對稱 FileTruncated triakis tetrahedronpng 截角三角化四面體 BRt6dtT 八面體對稱 FileTruncated_rhombic_dodecahedron2png 截角菱形十二面體 BRt4daC FileTetrakis cuboctahedronpng 四角化截半立方體 BRk4aC FileConway polyhedron dk4sCpng 截角五角二十四面體 BRdk4sC 二十面體對稱 菱形 FileRhombic enneacontahedronpng 菱形九十面體 BRdakD 三角形 FileConway_polyhedron_kDpng 五角化十二面體 BRkD FilePentakis icosidodecahedronpng 五角化截半二十面體 BRk5aD FileConway_polyhedron_K6k5tIpngk6k5tI FileConway_polyhedron_kt5daDpng 六角化五角化倒角十二面體 BRkt5daD FileConway_polyhedron_kdktIpngkdktIBRdtktI FileConway polyhedron kdkt5daDpngkdkt5daD 對偶 FileTruncated_icosahedronpng 截角二十面體 BRdkD FileTruncated rhombic triacontahedronpng 倒角十二面體 BRt5daDBRcD FileConway_polyhedron_Dk6k5tIpngdk6k5tI FileConway polyhedron dkt5daDpngdkt5daD FileConway polyhedron dkdktIpngtktI FileConway polyhedron tkt5daDpngtkt5daD 手性 FilePentagonalhexecontahedroncwjpg 五角六十面體 BRdsD FileConway_polyhedron_K5sIpng 五角化扭稜十二面體 BRk5sD FileConway polyhedron K5k6stpng 六角化五角化扭稜截角二十面體 BRk5k6stIBRkdk5sD 手性對偶 FileSnub_dodecahedron_ccwpng 扭稜十二面體 BRsD FileConway_polyhedron_Dk5sIpng 截角五角六十面體 BRdk5sD FileConway polyhedron Dk5k6stpngdk5k6stIBRtk5sD 參見 均勻多面體 圖形演演算法 DooSabin subdivision surface expand 擴充套件變換 CatmullClark subdivision surface ortho operator 外部連結和參考文獻 George Harts Conway interpreter generates polyhedra in VRML taking Conway notation as input Polyhedra Names polyHédronisme generates polyhedra in HTML5 canvas taking Conway notation as input John Conways notation truncate ambo kis Conway operators PolyGloss Wendy Krieger Derived Solids Category 初等幾何 Category 多面體 Category 康威多面體 Category 數學表示法 Category 多面體變換