雙擺是將一根單擺連線在另一個單擺的尾部所構成的系統。雙擺同時擁有著簡單的構造和複雜的行為。高能量雙擺的擺動軌跡表現出對於初始狀態的極端敏感。兩個初始狀態差異極小的雙擺在一段時間的執行後表現非常不同，是一種具有混沌性質的簡單動力系統『機械工學辭典』 日本機械學會、丸善、2007 年 1 月 20 日、第 2 版、966 頁。ISBN 9784888980838。Levien RB and Tan SM Double Pendulum An experiment in chaosAmerican Journal of Physics 1993 61 11 1038。 分析以及詮釋 可以考慮許多不同種類的雙擺：二個擺的長度及重量可能相同，也可能不同。二個擺可能都是單擺，也有可能是複擺（compound pendulum），其運動可能限制在二維空間，也可以在三維空間內進行。在以下的分析中，二個擺的擺長及質量都相同，運動限制在二維空間內。 複擺的質量假設是延著其長度均勻分佈，則其複擺的質心是在中點，複擺的臂對中點的轉動慣量為。 比較方便定義系統位形空間的方式是用複擺臂和垂直線之間的夾角為廣義座標。角度名稱為及。二桿質心的位置可以用二個座標表示。若笛卡爾座標系的原點是在第一個擺（最上方擺）的固定點，則其第一個擺的質心在： begin align x_1 frac l2 sin theta_1 y_1 frac l2 cos theta_1 end align 第二個擺的質心在： begin align x_2 l left sin theta_1 tfrac 12 sin theta_2 right y_2 l left cos theta_1 tfrac 12 cos theta_2 right end align 上述資訊已經可以建立拉格朗日量（Lagrangian）。 拉格朗日力學 雙擺系統的拉格朗日量為 begin align L text kinetic energy text potential energy tfrac 12 m left v_12 v_22 right tfrac 12 I left dot theta_12 dot theta_22 right m g left y_1 y_2 right tfrac 12 m left dot x_12 dot y_12 dot x_22 dot y_22 right tfrac 12 I left dot theta_12 dot theta_22 right m g left y_1 y_2 right end align 第一項是質心的平移動能，第二項是擺延著質心旋轉的轉動動能，最後一項是雙擺在均勻重心場下的勢能。其點標示表示變數的時間導數。 將以上的座標代入，重組後可得 L tfrac 16 m l2 left dot theta_22 4 dot theta_12 3 dot theta_1 dot theta_2 cos theta_1theta_2 right tfrac 12 m g l left 3 cos theta_1 cos theta_2 right 這裡只有一個守恆量（能量），沒有守恆的動量，二個廣義的動量可以表示為 begin align p_theta_1 frac partial Lpartial dot theta_1 tfrac 16 m l2 left 8 dot theta_1 3 dot theta_2 cos theta_1theta_2 right p_theta_2 frac partial Lpartial dot theta_2 tfrac 16 m l2 left 2 dot theta_2 3 dot theta_1 cos theta_1theta_2 right end align 上式可以求得 begin align dot theta_1 frac 6ml2 frac 2 p_theta_1 3 cos theta_1theta_2 p_theta_216 9 cos2 theta_1theta_2 dot theta_2 frac 6ml2 frac 8 p_theta_2 3 cos theta_1theta_2 p_theta_116 9 cos2 theta_1theta_2 end align 運動方程式為 begin align dot p_theta_1 frac partial Lpartial theta_1 tfrac 12 m l2 left dot theta_1 dot theta_2 sin theta_1theta_2 3 frac gl sin theta_1 right dot p_theta_2 frac partial Lpartial theta_2 tfrac 12 m l2 left dot theta_1 dot theta_2 sin theta_1theta_2 frac gl sin theta_2 right end align 最後四個方程是有系統目前狀態時，系統隨時間演進的顯式方程。不太可能再進一步求得方程的積分解析解，得到和時間顯函式的解。不過利用龍格－庫塔法或其他數值方式，可以進行數值積分來求解。 混沌運動 雙擺的運動是混沌運動，且對初始條件非常敏感。右圖是雙擺在不同初始條件下，是否會翻倒（成為倒擺）的圖。其初始值的範圍是在方向的3 到 3，而初始值的範圍是在方向的3 到 3。點的顏色說明擺在以下時間內會翻倒： （綠色） （紅色） （紫色） （藍色） 若在時間後，仍然不會翻倒，其顏色為白色。 中心白色區域的邊界可以依能量守恆推得，為以下的曲線： 3 cos theta_1 cos theta_2 2 因此若 3 cos theta_1 cos theta_2 2 以能量的關係，雙擺不可能翻倒。在此區域外，以能量來說，雙擺有可能翻倒，但是否會翻倒本身是很複雜的問題。若雙擺的末端是點質量，不是質量均勻分佈的桿子，情形類似 Alex Small Sample Final Project One Signature of Chaos in the Double Pendulum 2013 A report produced as an example for students Includes a derivation of the equations of motion and a comparison between the double pendulum with 2 point masses and the double pendulum with 2 rods。 雙擺沒有自然共振頻率，因此可用在大樓中，大樓本身是主要的倒擺，而上面又有一個質量，形成倒雙擺。 相關條目 單擺 倒雙擺 參考資料 Eric W Weisstein Double pendulum 2005 ScienceWorld contains details of the complicated equations involved and Double Pendulum by Rob Morris Wolfram Demonstrations Project 2007 animations of those equations Peter Lynch Double Pendulum 2001 Java applet simulation Northwestern University Double Pendulum Java applet simulation Theoretical HighEnergy Astrophysics Group at UBC Double pendulum 2005 外部連結 麻省理工學院 TSG 小組進行的雙擺行為演示（實物） Youtube 上的雙擺軌跡演示（電腦模擬） Category 混沌對映 Category 擺 Category 動力系統 Category 數學物理