相空間表述是量子力學的一種表述。在這一表述中，系統的狀態是在相空間中描述的，位置與動量被放在同等重要的位置。在量子力學常用的薛定諤繪景中則只會採用動量表象或是位置表象中的一種。相空間表述兩個關鍵的特點是：量子態是以描述的而非波函式、態矢或是密度矩陣；算符間的乘法被取代。 相空間表述理論是由於 1946 年在其博士學位論文中提出的。也在 3 年後獨立匯出該理論。他們所提出的理論都建構於赫爾曼外爾以及尤金維格納早先的構想。 相空間表述的主要優勢在於其在形式上與哈密頓力學近似，可以避免引入算符，進而可以 令量子化問題擺脫希爾伯特空間的限制。這一表述具有統計性質，表現了量子力學和經典統計力學邏輯上的聯絡，提供了一個比較二者的角度。相空間表述在量子光學、量子退相干以及一些特殊問題中已經得到應用，但其尚未得到廣泛應用。 相空間表述所基於的一些概念目前已在數學領域得到了進一步發展，如代數以及非交換幾何。 相空間分佈 在相空間表述中，相空間分佈，而非較為常見的波函式或是密度矩陣，是對於系統量子態最為基礎的描述方式。量子態在相空間中的分佈是一個準機率分佈。 這一分佈有許多種表象，而這些表象也是互相相關的。其中較為重要的一種是維格納準機率分佈表象， 。其他表象包括、、柯克伍德 雷阿切克表象、梅塔表象、裡維耶表象以及玻恩 約當表象等等。其他表象在哈密頓算符取特定形式時會較為便利，如哈密頓算符取正規序時，採用格勞伯 蘇德爾辛 P 表象在演算時會較為簡便。由於維格納表象較為常用，因而在下文中，如不特殊提及，將統一採用該表象。 相空間分佈性質與維相空間機率密度分佈類似。例如，其分佈值是實數，這與通常是複數的波函式不同。我們可以透過在全動量域以及某一位置區間上的維格納函式積分來理解該位置附近的機率分佈： operatorname P a leq X leq b int_ab int_inftyinfty W x p dp dx 如果是一個表徵可觀測量的算符，其可以透過對映到相空間中，成為，還可以透過還原回來。 透過相空間分佈可以求得可觀測量的期望值為： langle hat A rangle int A x p W x p dp dx 需要注意的是，儘管形式存在一定的類似性，但考慮到機率第三公理的要求並非一種聯合分佈，因為其所表徵的區域中的狀態並不一定相互排斥。此外，儘管會違反機率第一公理，即使系統處於純態時，在特殊情況下，如系統處於相干態時，其值也可能為。 可以證明，分佈值為負的區域非常小，其對於系統整體的影響在幾內，因而會在經典極限情況時會消失。但由不確定性原理，負分佈值的區域有存在的可能性。不確定性原理並不允許對於相空間內小於的區域進行精確描述。如果方程左邊為希爾伯特空間中算符的期望值，那麼在量子光學領域，這個式子可以稱作。 星積 相空間中基礎的二元非交換運算為穆瓦亞爾積，其對應標準的算符間乘法，以符號表徵，因而也稱 星積。每種表象下，相空間分佈所對應的星積運演算法則也有所不同。下文中將討論維格納 外爾表象下的星積。 為了簡潔表記，在這裡引入的標記方法。對於一對函式與，它們的左、右導數分別定義為： f stackrel leftarrowpartial_x g frac partial fpartial x cdot g f stackrel rightarrowpartial_x g f cdot frac partial gpartial x 星積的微分定義為： f star g f exp left tfrac i hbar2 stackrel leftarrowpartial_x stackrel rightarrowpartial_pstackrel leftarrowpartial_pstackrel rightarrowpartial_x right g 式中，指數函式可以理解為一個冪級數。引入額外的微分關係可以令此式的表述形式發生變化： begin align f star gxp fleft xtfrac i hbar2 stackrel rightarrowpartial_p p tfrac i hbar2 stackrel rightarrowpartial_xright cdot g xp f xp cdot gleft x tfrac i hbar2 stackrel leftarrowpartial_p p tfrac i hbar2 stackrel leftarrowpartial_xright fleft x tfrac i hbar2 stackrel rightarrowpartial_p pright cdot gleft x tfrac i hbar2 stackrel leftarrowpartial_p pright fleft x p tfrac i hbar2 stackrel rightarrowpartial_xright cdot gleft x p tfrac i hbar2 stackrel leftarrowpartial_xright end align 透過傅立葉變換還可以定義卷積積分形式的星積： f star gxp frac 1pi2 hbar2 int f xxpp g xxpp exp left tfrac 2ihbarxpxpright dx dp dx dp 。 能量的本徵態分佈一般稱作 星積本徵態 或是 星積本徵函式，對應的能量值則被稱為 星積本徵值。它們是對應含時薛定諤方程的星積本徵值方程的解： H star W E cdot W 式中為哈密頓量。它是一個普通相空間函式，通常與經典力學中的哈密頓量相同。 時間演化 相空間的時間演化可以透過對劉維爾方程進行量子改造得到。這個方程是透過對進行維格納變換得到的。 對於相空間分佈的任意表象及其對應的星積，存在： frac partial fpartial t frac 1i hbar left f star H H star f right 特別地，對於維格納函式，存在： frac partial Wpartial t WH frac 2hbar W sin left frac hbar2stackrel leftarrowpartial_x stackrel rightarrowpartial_pstackrel leftarrowpartial_pstackrel rightarrowpartial_x right H WH O hbar2 式中 為。其為對易算符經過維格納變換後的結果，而 則為經典力學中的泊松括號。 而這個式子也服從對應原理：當時，這個方程將還原為經典力學中的劉維爾方程。然而，推廣至量子流情況時，相空間某一點的密度卻並不守恆，機率流也將發散且可壓縮。因而在這裡，量子軌道的概念會顯得有些微妙。 例子 簡單諧振子 維格納 外爾表象下，一維簡單諧振子的哈密頓量為： Hfrac 12 m omega2 x2 frac p22m 則靜態維格納函式的星積本徵值方程為： begin align H star W left frac 12 m omega2 x2 frac p22mright star W left frac 12 m omega2 left xfrac i hbar2 stackrel rightarrowpartial_p right2 frac 12mleft p frac i hbar2 stackrel rightarrowpartial_xright2right W left frac 12 m omega2 left x2 frac hbar24 stackrel rightarrowpartial_p2 right frac 12mleft p2 frac hbar24 stackrel rightarrowpartial_x2 right right W frac i hbar2 left m omega2 x stackrel rightarrowpartial_p frac pm stackrel rightarrowpartial_xright W E cdot W end align 首先考察星積本徵值方程的虛數部分： frac hbar2 left m omega2 x stackrel rightarrowpartial_p frac pm stackrel rightarrowpartial_xright cdot W0 這意味著，星積本徵態可以表示為一個單自變數函式： W xpFleft frac 12 m omega2 x2 frac p22mrightequiv F u 透過這一變數變換，星積本徵值方程的實數部分可以寫為一個改造過的拉蓋爾方程。它的解可以以拉蓋爾多項式的形式表示為： F_n u frac 1npi hbar L_nleft 4frac uhbar omegaright e2uhbar omega 對應的星積本徵值為： E_n hbar omega left nfrac 12right 對於諧振子而言，任意的維格納分佈的時間演化非常容易求得。初態為時的情況可以透過將上述結果在相空間中做剛性轉動求得： W xptW momega x cos omega t p sin omega t p cos omega t omega m x sin omega t 0 一般情況下，能量的量子諧振子可以表徵宏觀諧振子。其在相空間中會做勻速運動。對其在全相空間中積分（起點為），則可以得到一個連續的 圍欄。其含時屬性與上面的靜態星積本徵態相似，可以作為經典極限的直觀表現。 自由粒子角動量 假設粒子最初處於最小不確定，位置與動量的期望值在相空間原點。這種自由傳播的態的維格納函式為： W mathbf xmathbf ptfrac 1pi hbar3 exp left alpha2 r2 frac p2alpha2 hbar2left 1left frac ttauright2right frac 2thbar tau mathbf x cdot mathbf pright 式中，α 為表徵高斯波包的寬度的引數，而。 最初，位置與動量並不相關。因而在三維情形下，位矢與動量是平行的，且大小為垂直情形的 2 倍。 然而，位置與動量的相關性會隨著狀態演化而越來越強，因為相對於原點傳播得越遠，動量值需要更大。這一情形的漸近式為： W longrightarrow frac 1pihbar3expleft alpha2left mathbf xfrac mathbf p tmright2right 在這裡，只能求出粒子的動能的漸近解，與給定取向獨立性時的基態非零角動量情況一致： K_radfrac alpha2 hbar22mleft frac 32 frac 11ttau2right K_angfrac alpha2 hbar22mfrac 11ttau2 莫爾斯勢 莫爾斯勢常被用來近似雙原子分子的振動結構。 量子隧穿效應 量子隧穿效應是一種典型的量子效應。在發生隧穿時，粒子在不具備足夠飛躍勢壘的能量時，仍能像有一個 隧道 一樣穿過勢壘。這一效應在經典力學中並沒有對應的效應。 四次勢 註釋 參考文獻 Category 量子力學 Category 哈密頓力學