在數學中，高斯超幾何函式或普通超幾何函式 2F1 abcz 是一個用超幾何級數定義的函式，很多特殊函式都是它的特例或極限。所有具有三個的二階線性常微分方程的解都可以用超幾何函式表示。 超幾何級數 當 c 為正整數時，對於 z 1，超幾何函式可用如下冪級數定義 _2F_1 abcz sum_n0infty an bn over cn zn over n 其中 xn 是遞進階乘，定義為 qn leftbegin arrayll 1 mbox if n 0 q q1 cdots qn1 mbox if n 0 end array right 當 a 或 b 是 0 或負整數時級數只有有限項，另有避免這種情況出現的正則超幾何函式。 對於滿足 z 1 的複數 z，超幾何函式可以透過將上述在單位圓內定義的函式沿著避開支點 0 和 1 的任意路徑做解析延拓來得到。具體的公式可以表示為 begin aligned _2 F_1a b c zfrac Gamma ba Gamma czaGamma b Gamma ca sum_k0infty frac a_kac1_k zkk ab1_kfrac Gamma ab Gamma czbGamma a Gamma cb sum_k0infty frac b_kbc1_k zkk ab1_k z geq 1 wedge ab notin mathbb Z end aligned 特殊情形 很多普通的數學函式可以用超幾何函式或它的極限表示出來，一些典型的例子如下： ln 1z z_2F_1 112z 1za _2F_1 a11z arcsin z z _2F_1left tfrac 12 tfrac 12 tfrac 32z2right 合流超幾何函式（Kummer 函式）可以用超幾何函式的極限表示如下 M acz lim_brightarrowinfty_2F_1 abcb1 z 因此，所有合流超幾何函式的特例，例如貝塞爾函式都可以表示成超幾何函式的極限。 勒讓德函式是有 3 個正則奇點的二階線性常微分方程的解，可以用以不同的形式用超幾何函式表示，例如 _2F_1 a1acz Gamma c ztfrac 1c21ztfrac c12 P_a1c12z 很多多項式，例如賈可比多項式 P 及其特殊情形勒讓德多項式、車比雪夫多項式、Gegenbauer 多項式都能用超幾何函式表示 _2F_1 nalpha1betanalpha1x frac nalpha1_n Palphabeta_n 12x 其它特殊情形還包括 Krawtchouk 多項式、Meixner 多項式、MeixnerPollaczek 多項式。 有時能表示成引數 a b c 是 1 12 13 或 0 的超幾何函式之比的反函式。例如，若 tau rm ifrac _2F_1 frac 12frac 1211z_2F_1 frac 12frac 121z 則 z kappa2 tau frac theta_2 tau4theta_3 tau4 是 τ 的橢圓模函式 不完全 Beta 函式 Bx pq 表示成 B_x pq frac xpp_2F_1 p1qp1x 完整的橢圓積分 K 和 E 如下給出 K k tfrac pi2 _2F_1left tfrac 12tfrac 121k2right E k tfrac pi2 _2F_1left tfrac 12tfrac 121k2right 超幾何方程 超幾何函式滿足的微分方程稱為超幾何方程，其形式為（參見廣義超幾何函式 zleft zfrac rm drm d z arightleft zfrac rm drm d z bright w zfrac rm drm d zleft zfrac rm drm d z c1right wquad w z_2F_1 abcz 展開後，得 z 1zfrac mathrm d2wmathrm dz2 left cab1 z right frac mathrm dwmathrm dz abw 0 它有三個正則奇點：0 1 正則奇點 0 附近的解 超幾何方程的為 rho rho1crho0 它的兩個指標 是 0 和 1。 當 不是整數時，超幾何方程在 0 附近的兩個線性無關的正則特解為： _2F_1 abcz text and z1c _2F_1 1ac1bc2cz 當 為 1 時，方程只有一個正則解。當 為其餘整數時，另一個線性無關的正則特解涉及對數項。 事實上，當 為整數時，另一個線性無關的特解總可以選取為 Meijer 函式： _2F_1 abcz text and G20_221a1b0c1z text if cinmathbb Z z1c _2F_1 1ac1bc2cz text and G20_221a1b01cz text if cinmathbb Z_0 正則奇點 1 附近的解 只需作代換 1，方程變為： t 1tfrac d2wdt2 left 1abcab1 tright frac dwdt abw 0 當 不是整數時，兩個線性無關的正則特解為： _2F_1 ab1abc1z text and 1zcab _2F_1 cbca1abc1z 正則奇點 附近的解 當 不是整數時，兩個線性無關的正則特解為： za _2F_1 left a1ac1ab z1 right text and zb _2F_1 left b1bc1ba z1 right 李代數引數與連線關係 在討論超幾何方程的解的連線關係的時候，採用另外一套引數會更加方便。這組引數是根據方程在三個正則奇點處的指標之差來定義的。 F_alphabetamuz_2F_1 abcz alphac1betaabcmuba afrac 1alphabetamu 2bfrac 1alphabetamu 2c1alpha 引數 稱為李代數引數。 運用李代數引數，超幾何方程在三個正則奇點處的正則解可以分別表示為： text At 0 F_alphabetamuz text and zalpha F_alphabetamuz text At 1 F_betaalphamu1z text and 1zbeta F_betaalphamu1z text Atinfty zfrac 1alphabetamu 2 F_mubetaalphaz1 text and zfrac 1alphabetamu 2 F_mubetaalphaz1 從上面的表示式可見，李代數引數比起通常用的引數 的優勢在於能夠體現不同區域的解之間的對稱性。 引入記號： G mnpfrac pisin mpiGamma nGamma pG mpn mathbf F_alphabetamuzfrac 1 Gamma 1alpha F_alphabetamuz 則超幾何方程在不同區域的解的連線關係可以表示為： mathbf F_betaalphamu1z G alphaaalphabalphamathbf F_alphabetamuzG alphaab zalphamathbf F_alphabetamuz begin arrayrcl1zbetamathbf F_betaalphamu1z G alpha1a1bmathbf F_alphabetamuzG alphabbetaabeta zalphamathbf F_alphabetamuz G alpha1a1bmathbf F_alphabetamuzG alpha1aalpha1balpha zalphamathbf F_alphabetamuz end array zamathbf F_mubetaalphaz1 G alpha1baalphamathbf F_alphabetamuzG alphaaabeta zalphamathbf F_alphabetamuz begin arrayrclzbmathbf F_mubetaalphaz1 G alpha1abalphamathbf F_alphabetamuzG alphabbbeta zalphamathbf F_alphabetamuz G alpha1a1abetamathbf F_alphabetamuz G alphab1aalpha zalphamathbf F_alphabetamuzend array 分別對比兩組式子最後一個等號之後的部分，可以看出每組的兩個式子之間的對稱性。 完整的連線關係表稱為 Kummer 表，上面四式是 Kummer 表的一部分。 積分表示 Beta aca_2F_1 abczint_1infty tbct1ca1tzbmathrm dt Re cRe a0 arg 1zpi 式中的 Β 是 beta 函式。 證明 可以證明等號右邊的表示式是超幾何方程的解。再考慮這個解在 0 附近的性質，可以確定它的具體形式。 設 p abctztbct1ca1tzb2quad w abctztz2p abctz 則 frac partial wpartial zb tz p abctzquad frac partial2 wpartial z2b b1 p abctz begin arraycl z 1zfrac partial2wpartial z2 left cab1 z right frac partial wpartial z abw bp abctzleftz 1zb1cab1 ztza tz2right bp abctzleftat2cba1 z tbc1 zright bp abctzleftbc1t1tzca t tzb1 t t1right bfrac partialpartial tt t1tz p abctz end array 上式中的第二、三個等號可以透過直接展開大括號內的多項式乘積得到。上式兩邊分別對 從 1 到無窮大進行積分，等號右邊為 0，於是我們證明了上面的積分表示式的確是超幾何方程的解。 另一方面，利用二項式定理，積分表示式等號右邊的部分可以按 展開成冪級數，故可知等號右邊應取 21 的形式（因為另一個線性無關的特解無法展開成冪級數），其中 為待定的常數。 對比積分表示式在 0 處的值與 Β 函式的定義，即可確定常數 。 變換公式 分式線性變換 Pfaff 變換 Pfaff 變換將正則奇點 1 和 交換（也就是將李代數引數中的 與 對換）： _2F_1 abcz 1zb _2F_1 cabc tfrac zz1quad arg 1zpi 由 的對稱性自然有： _2F_1 abcz 1za _2F_1 acbc tfrac zz1quad arg 1zpi 證明 Pfaff 變換可以根據超幾何方程得到。事實上，令 utfrac z z11tfrac1 z1 則 ztfrac u u1quad 1za1uaquad tfrac mathrm dumathrm dz1u2 quad tfrac mathrm d2umathrm dz21u3 begin arrayclz 1ztfrac mathrm d2mathrm dz21zb w left cab1 z right tfrac mathrm dmathrm dz1zb w ab 1zb w 1zb1leftz b b12b 1ztfrac mathrm dmathrm dz1z2tfrac mathrm d2mathrm dz2 cab1 zb1ztfrac mathrm dmathrm dzab 1zright w 1zb1leftz 1z2tfrac mathrm d2mathrm dz21zcab1 ztfrac mathrm dmathrm dzb caright w 1ub1leftu 1utfrac mathrm d2mathrm du22utfrac mathrm dmathrm du 1ucab11u1 utfrac mathrm dmathrm dub caright w 1ub1leftu 1utfrac mathrm d2mathrm du2ccab1 utfrac mathrm dmathrm dub caright w end array 取 w_2F_1 cabcu 由 滿足的超幾何方程知等號右邊為 0，再考慮函式 1 在 0 附近的性質即可得到 Pfaff 變換的公式。 Euler 變換 Pfaff 變換可以匯出 Euler 變換，它將李代數引數 變成 ： begin arrayrcl_2F_1 abcz1zb _2F_1 cabc frac zz1 1zbleft 1frac z z1rightac _2F_1left cacbcfrac frac z z1frac z z11right 1zcab _2F_1 cacbczquad arg 1zpi end array Pfaff 變換和 Euler 變換都是分式線性變換的例子，這得名於等式兩邊的超幾何函式的宗量的聯絡，參見莫比烏斯變換。 將上面提到的四個連線關係與 Pfaff 變換及 Euler 變換組合起來，就得到完整的 Kummer 表。 給定一組李代數引數 ， 及其輪換對應著 24 個不同但彼此關聯的超幾何函式（ 恆等於，），利用前面提到的四個連線關係和 Pfaff 變換，它們中的任意一個可以透過任意另外兩個表出。 例如 Euler 變換可以表示為： F_alphabetamuxrightarrow text Pfaff F_alphamubeta equiv F_alphamubetaxrightarrow text Pfaff F_alphabetamu 二次變換 下面是一個二次變換的例子： _2F_1 ab2az1ztfrac b2_2F_1 atfrac b2tfrac b2atfrac12tfrac z24z4quad arg 1zpi 二次變換得名於等號兩邊超幾何函式宗量的聯絡（一個二次函式和一個莫比烏斯變換的組合）。 證明 仿照上面 Pfaff 變換的證明，有： begin arrayclz 1ztfrac mathrm d2mathrm dz21ztfrac b2 w left cab1 z right tfrac mathrm dmathrm dz1ztfrac b2 w ab 1ztfrac b2 w 1ztfrac b21leftz tfrac b2 tfrac b21b 1ztfrac mathrm dmathrm dz1z2tfrac mathrm d2mathrm dz2 cab1 ztfrac b21ztfrac mathrm dmathrm dzab 1zright w 1ztfrac b21leftz 1z2tfrac mathrm d2mathrm dz21zca1 ztfrac mathrm dmathrm dz tfrac b4 2 c2a2ab zright w end array 令 c2aquad utfrac z24z4tfrac14 z1tfrac 1 1z 則 1utfrac z224 1zquadtfrac mathrm dumathrm dztfrac z z24 1z2quad tfrac mathrm d2umathrm dz2tfrac 12 1z3 begin arrayclz 1z2tfrac mathrm d2mathrm dz21zca1 ztfrac mathrm dmathrm dz tfrac b4 2 c2a2ab z z 1z2tfrac mathrm d2mathrm dz21z2aa1 ztfrac mathrm dmathrm dz tfrac b2 atfrac b2 z tfrac z3 z2216 1z2tfrac mathrm d2mathrm du2tfrac z 2 1ztfrac mathrm dmathrm du tfrac z z22aazz4 1ztfrac mathrm dmathrm dutfrac b2 atfrac b2 z zleftu 1utfrac mathrm d2mathrm du2atfrac12a1 utfrac mathrm dmathrm dutfrac b2 atfrac b2right end array 取 w_2F_1 atfrac b2tfrac b2atfrac12u 仿照上面關於 Pfaff 變換的討論，可得二次變換的公式。 其它例子 運用李代數引數，一般的二次變換可以表示為 F_alphabetamuzf z F_alphabetamug zquad P z 其中 是 的函式， 表示 要滿足的約束。 下表給出了一些二次變換。 李代數引數（左） 李代數引數（右） f z g z P z alphamumu tfracalpha2mutfrac12 1tfrac12zb left tfrac z2zright2 mubetamu mutfracbeta2tfrac12 1zb tfrac 4z1z2 alphaalphamu alphatfracmu2tfrac12 12zb tfrac 4z z112z2 Re ztfrac12 另外還有： tfrac 2Gamma tfrac 12Gamma tfrac ab1 2Gamma tfrac a1 2Gamma tfrac b1 2 F_tfrac12betatfracmu2z F_betabetamuleft tfrac12tfrac12sqrt zrightF_betabetamuleft tfrac12tfrac12sqrt zrightquad arg zpiarg 1zpi 將它們與 Kummer 表組合起來，就得到所有的含有兩個獨立參變數的二次變換關係式。例如上面的例子可以透過組合第一行中的變換與 Pfaff 變換得到。 另外還有一些只含有一個獨立參變數的二次變換關係式。 三次及高次變換 若一組李代數引數滿足下列條件：有兩個是 13，或者三個引數的絕對值相等，則有一個三次變換的公式將它與另一個超幾何函式聯絡起來。 另外有一些 4 次和 6 次變換的公式。其它次數的變換公式只有當引數取特定有理數值時存在。參見。 特殊值 0 _2F_1 abc01 1 _2F_1 abc1tfrac Beta acabBeta acatfrac Gamma cGamma cabGamma caGamma cb quad Re cRe ab 這稱為高斯原理（Gausss theorem），可以由超幾何函式的積分表示得到。範德蒙恆等式是它的特殊情形。 1 _2F_1 ab1ab1 frac Gamma 1abGamma 1tfrac12aGamma 1aGamma 1tfrac12ab 這可以透過組合上表中的第二個二次變換和 Pfaff 變換，並利用 1 時的特殊值得到。 12 _2F_1 left abtfrac12left 1abrighttfrac12right frac Gamma tfrac12Gamma tfrac12left 1abrightGamma tfrac12left 1arightGamma tfrac12left 1bright _2F_1 left a1actfrac12right frac Gamma tfrac12cGamma tfrac12left 1crightGamma tfrac12left carightGamma tfrac12left 1caright 上面兩式分別被稱為高斯第二求和原理與 Balley 原理。它們都可以透過組合第三個二次變換和 Pfaff 變換，並利用 1 時的特殊值得到。 參考文獻 John Pearson Computation of Hypergeometric Functions University of Oxford MSc Thesis Marko Petkovsek Herbert Wilf and Doron Zeilberger The book A B freely downloadable Category 階乘與二項式主題 Category 常微分方程 Category 級數