在量子力學中，克萊布希－高登係數（ClebschGordan coefficients，簡稱 CG 係數，又稱向量耦合係數等）是兩個角動量耦合時，它們的本徵函式的組合係數。 從數學的角度，克萊布希－高登係數出現在緊李群的表示論中，它研究的是兩個不可約表示的張量積如何分解成不可約表示的直和。 克萊布希－高登係數因阿爾弗雷德克萊布什和保羅哥爾丹而得名。 記號 在本文中，在不引起混淆的情況下，省略算符上的尖號。用粗體來表示向量（算符），用非粗體表示標量（算符）。 角動量耦合的一般理論 本文的討論從角動量的一般量子理論出發，以角動量算符的對易關係為基礎，不涉及角動量算符在某個具體表象下的表示。相關內容可參見角動量算符對易關係一文。 給定了 之後，本徵函式組 jmranglequad mjj1dotsj1j 張開成一個 21 維的函式空間。 現在給定兩個量子數 1 和 2，則其本徵函式組張開的空間分別有 211 維 與 221 維。現考慮這兩個函式空間的張量積 VV_1otimes V_2operatorname spanj_1m_1ranglem_1j_1j_11dotsj_11j_1otimes operatorname spanj_2m_2ranglem_2j_2j_21dotsj_21j_2 顯然有 Voperatorname spanj_1m_1rangleotimesj_2m_2ranglem_1j_1j_11dotsj_11j_1 m_2j_2j_21dotsj_21j_2 下面為簡便起見，定義新的記號 j_1m_1j_2m_2ranglej_1m_1rangleotimesj_2m_2rangle 一般地，若，分別是這兩個空間裡的算符，則在積空間上可以定義下列算符： fotimes g V_1otimes V_2rightarrow V_1otimes V_2 uotimes vrightarrow fuotimes gv 另一方面，定義在這兩個空間上的算符可以自然地嵌入到積空間中，只需取 frightarrow fotimes 1grightarrow 1otimes g 其中 1 表示恆等操作（算符）。 在這樣的定義下，兩個角動量算符的的耦合表達為： j_alphaj_1alphaj_2alphaj_1alphaotimes 11otimes j_2alphaquad alphainxyz mathbf jmathbf j_1mathbf j_2mathbf j_1otimes 11otimes mathbf j_2quad alphainxyz 容易驗證這樣定義的 滿足角動量的基本對易關係，因此是一個角動量算符，稱為總角動量算符。 根據角動量的一般理論，總角動量算符也有自己的本徵函式組，它可以用積空間裡的基來表示 jmranglesum_m_1m_2langle j_1m_1j_2m_2jmranglej_1m_1j_2m_2rangle 這裡的線性組合係數 langle j_1m_1j_2m_2jmrangle 就被稱為克萊布希－高登係數。在正交歸一性的要求下，克萊布希－高登係數仍然具有相位不確定性。本文中取 CondonShortle 慣例，使所有克萊布希－高登係數為實數。 耦合表象中量子數的取值 j_zj_1zj_2z 上式兩邊取矩陣元，就得到： langle j_1m_1j_2m_2jmrangledelta_m_1m_2mlangle j_1m_1j_2m_2jm_1m_2rangle 故在克萊布希－高登係數的表示式中可以省略 的值。 下面考慮耦合表象中量子數 的取值，根據上式，有 j_maxm_maxm_1maxm_2maxj_1j_2 故 最大的可能取值是 1 與 2 的和，且它只出現一次。此時 mj_maxj_max1dotsj_max1j_max 考慮下一個可能的 ，顯然第二大的 max1，它可以透過兩種方式組合而來， m_1j_11m_2j_2 text or m_1j_1m_2j_21 它們張開成一個二維的空間，但 max 的本徵函式組裡面已經出現過 max1，這裡佔用了一維，因此下一個可能的 只能是 max1，它同樣只出現一次。 這樣分析下去，就會知道 的所有可能取值只能是 j_minj_min1dotsj_max1j_max 其中每個 恰好出現一次，且 j_maxj_mininmathbb Z 但積空間的維數應該等於兩個空間維數之積，即 sum_nj_minj_max2n12j_112j_21 故有 j_minj_1j_2 一個例子 以 j_1j_2frac 12 為例。 對任意一個算符 f，本節中的矩陣元表示 langle j_1m_1j_2m_2fj_1m_1j_2m_2rangle 的值。 j_zfrac12left begin bmatrix 1000010000100001end bmatrix begin bmatrix 1000010000100001end bmatrixright begin bmatrix 1000000000000001end bmatrix j_begin bmatrix 0000000010000100end bmatrix begin bmatrix 0000100000000010end bmatrix begin bmatrix 0000100010000110end bmatrixj_dagger mathbf j2frac12 j_j__j_z2begin bmatrix 2000011001100002end bmatrix 計算最後一個矩陣的本徵值和本徵向量，得到 begin bmatrix 2000011001100002end bmatrix begin bmatrix 001021221200212212000001end bmatrix begin bmatrix 001021221200212212000001end bmatrixoperatorname diag0222 於是可知克萊布希－高登係數為： m1 j m_1 m_2 border1 1 12 12 1 m0 j m1 m2 border1 1 0 12 12 sqrt frac 12 sqrt frac 12 12 12 sqrt frac 12 sqrt frac 12 m1 j m1 m2 border1 1 12 12 1 從上面的例子可以看到，對於一般的情況，用矩陣來求克萊布希－高登係數將是十分繁瑣的。一般可以採用下面的 Racah 表示式計算，更多的情況是直接查表。 Racah 表示式 Racah 用代數方法得出了克萊布希－高登係數的有限級數表示式。 begin arraycllangle j_1m_1j_2m_2j_3m_3rangle delta_m_3m_1m_2left 2j_31frac j_1j_2j_3j_2j_3j_1j_3j_1j_2j_1j_2j_31 timesprod_i123j_im_ij_im_iright12 timessum_nu 1nunuj_1j_2j_3nuj_1m_1nuj_2m_2nuj_3j_1m_2nuj_3j_2m_1nu1end array 其中， 的求和限制在使得所有的階乘因子中的數非負的範圍內。 對稱性 克萊布希－高登係數有下列的對稱性 begin align langle j_1 m_1 j_2 m_2J Mrangle 1j_1j_2J langle j_1 m_1 j_2 m_2J Mrangle 1j_1j_2J langle j_2 m_2 j_1 m_1J Mrangle 1j_1 m_1 sqrt frac 2 J 12 j_2 1 langle j_1 m_1 J M j_2m_2 rangle 1j_2 m_2 sqrt frac 2 J 12 j_1 1 langle J M j_2 m_2 j_1 m_1 rangle 1j_1 m_1 sqrt frac 2 J 12 j_2 1 langle J M j_1 m_1 j_2 m_2 rangle 1j_2 m_2 sqrt frac 2 J 12 j_1 1 langle j_2 m_2 J M j_1 m_1 rangle end align 與維格納 3j 符號的關係 克萊布希－高登係數與維格納 3 符號有下列關係： begin pmatrix j_1 j_2 j_3 m_1 m_2 m_3 end pmatrix equiv frac 1j_1j_2m_3sqrt 2j_31 langle j_1 m_1 j_2 m_2 j_3 m_3 rangle 後者可以用於計算下列形式的球諧函式積分： begin align quad int Y_l_1m_1thetavarphi Y_l_2m_2thetavarphi Y_l_3m_3thetavarphisinthetamathrm dthetamathrm dvarphi sqrt frac 2l_112l_212l_314pi begin pmatrix l_1 l_2 l_3 8pt 0 0 0 end pmatrix begin pmatrix l_1 l_2 l_3 m_1 m_2 m_3 end pmatrix end align 由球諧函式的正交歸一性，上面的結果也可以用來對球諧函式作展開。 參考 參見 角動量算符及其一般理論 外部連結 克萊布希－高登係數表 Category 三維旋轉 Category 旋轉對稱 Category 李群表示論 Category 量子力學 Category 數學物理