在數學中，上不完全 Γ 函式和下不完全 Γ 函式是 Gamma 函式的推廣。它們的定義分別如下： Gamma sx int_xinfty ts1etrm d t qquad gamma sx int_0x ts1etrm d t quad Re s0 xinmathbb R_0 透過解析延拓可以將定義域拓展到 CC （除去可數個奇點外），詳見下文。 記號 如無特別說明，在本文中，以 表示非負實數，以 表示任意複數。 基本性質 在上面定義的約束條件下，透過分部積分，可以計算得遞迴關係： Gamma sx s1Gamma s1x xs1 ex 以及反過來： gamma sx s1gamma s1x xs1 ex 因為正常的 Gamma 函式定義為： Gamma s int_0infty ts1etrm d t 故有： Gamma s Gamma s0 以及 gamma sx Gamma sx Gamma s 解析延拓 下不完全伽瑪函式 解析延拓的方法 在最原始的定義式中，積分是沿著實軸進行的，故要求在 中， zinmathbb R_0 Re s0 運用上一小節裡面的關係式，可以用下式來進行解析延拓： gamma s z sum_k0infty frac zs ez zks s1dots sk zs Gamma s ezsum_k0inftyfrac zkGamma sk1 由比值審斂法可知，右邊的級數的收斂半徑是無窮大。 由魏爾斯特拉斯原理 p56 上的 Theorem 39，下式中的函式，有時記作 gamma，是關於 和 的整函式。 gammas z ezsum_k0inftyfrac zkGamma sk1 因此下面的分解式 gamma sz zs Gamma s gammasz 的確給出了下不完全伽瑪函式的一個解析延拓。其中前兩個因子給出了下不完全伽瑪函式的奇點（即 0 或 為非正整數），而後面的因子則給出了下不完全伽瑪函式的零點。 多值性 下不完全伽瑪函式的多值性來自於因子 的多值性。如無特別說明，本文限制 的輻角絕對值小於 π。 積分表示式 在選定了 的單值分支之後，下不完全伽瑪函式的積分定義式可以自然地拓展到 為任意複數的情形，只是此時該積分應該理解為複平面上的路徑積分，且積分路徑需避開單值分支間的割線。需注意的是此時仍然要求 的實部大於 0，否則積分不收斂。 時的極限 為正實數的情形，有定義式有： lim_zrightarrowinftygamma szGamma s 為複數且不為非正整數的情形，可以證明： lim_zrightarrowinftygamma szGamma squad arg zfracpi 2varepsilon 後面的條件相當於要求 的實部為正值且輻角取主值。 總結 根據上面的討論，下不完全伽瑪函式有下列性質： 當 為正整數時是 的整函式； 當 不是整數時是 的多值全純函式，0 是其枝點； 對於確定的 ，指定主分支後，下不完全伽瑪函式是 的亞純函式，非正整數是其一階極點這可以由上面的分解式和伽瑪函式的奇點的性質得到。 上不完全伽瑪函式 解析延拓的方法 當 為正實數， 為實部大於 0 的複數時，有定義顯然有： Gamma szGamma sgamma sz 由於伽瑪函式和下不完全伽瑪函式關於，都至少是亞純函式，上式可以自然地作解析延拓，並以此作為上不完全伽瑪函式的定義。下不完全伽瑪函式的多值性自然地導致上不完全伽瑪函式的多值性，下面的討論基於主分支。 進一步地，由黎曼可去奇點原理，由於等號右邊在 取非正整數時的鄰域內有界，故作為 的函式，非正整數是上不完全伽瑪函式的可去奇點，可以透過對等號右邊取極限來定義非正整數時上不完全伽瑪函式的值。下面以 0 為例來說明這種極限過程，其它情況可以類推得到。 事實上，在下不完全伽瑪函式的積分表示式中，將指數函式用其泰勒展開式代換，得到： gamma s x int_0x ts1 et operatorname d t int_0x sum_k0infty 1kfrac tsk1koperatorname d t sum_k0infty 1kfrac xskksk xssum_k0infty frac xkksk 即， gammasx sum_k0infty frac xkkGamma ssk 上式實際上給出了 的一個級數表示，給定 後，由比值審斂法知上式的收斂半徑為無窮大。下面的討論將 換成 （0）。 gamma s z frac 1s frac 1s zssum_k0infty frac zkksk frac zs1s zssum_k1infty frac zkkskquad Re s 1 s ne 0 上式等號右邊第二項當 0 時有良好的定義，第一項在 0 時的極限存在，故等號右邊於 0 時的極限存在，並可以用它來定義等號左邊的值。 lim_srightarrow0gamma s z frac 1sln zsum_k1infty frac zkkcdot k 另一方面，由伽瑪函式的魏爾斯特拉斯無窮乘積表示見相關小節的第二式有： lim_srightarrow0Gamma sfrac1sgamma 是尤拉 馬歇羅尼常數。於是，可以定義 Gamma 0z lim_srightarrow 0left Gamma s frac 1s left gamma s z frac 1srightright gammaln z sum_k1infty frac zkkk 這樣就證明了 0 的確是上不完全伽瑪函式的可去奇點。 總結 上不完全伽瑪函式的其它解析性質可以由下不完全伽瑪函式和（完全）伽瑪函式的解析性質得到。結果如下： 當 是正整數時，是 的整函式； 當 不是整數時，是 的多值全純函式，0 是其枝點； 選定單值分支後，對 0，是 的整函式； 當 的實部大於零且 0 時，等於（完全）伽瑪函式 Γ； 注意最後一條對一般的 並不成立。特別地，當 為負實數且不為整數時，Γ 是實數，而 Γ0 沒有定義。 特殊值 Gamma s0Gamma squad Re s0 下面一組關係式都能夠由積分表示式直接得出，其中第三、四式中的函式是指數積分，第五、六式中的函式分別是餘誤差函式和誤差函式： Gamma 1zez gamma 1z1ez Gamma 0x rm Eixquad x0 Gamma sz zs rm E_1szquad sinmathbb R Gammaleft tfrac 12 xright sqrtpirm erfcleft sqrt xright gammaleft tfrac 12 xright sqrtpirm erfleft sqrt xright 與合流超幾何函式的關係 上不完全伽瑪函式和下不完全伽瑪函式都可以用合流超幾何函式表示，詳見合流超幾何函式一文。 導函式 由不完全伽瑪函式的積分表示式顯然有： frac partial gamma sz partial z frac partialGamma szpartial zzs1 ez 儘管積分表示式為保證收斂性要加上 的實部大於零的限制，但上式並沒有這種限制。這可以透過 的實部大於零時的對應表示式兩邊作解析延拓證明。 另一方面，不完全伽瑪函式對 的偏導數是 Meijer 函式的特例 KO Geddes ML Glasser RA Moore and TC Scott Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions AAECC Applicable Algebra in Engineering Communication and Computing vol 1 1990 pp 149165 ，事實上，定義 T msz G_m1mm0 left left begin matrix 0 0 dots 0 s1 1 dots 1 end matrix right x right 則有： frac partial Gamma sz partial s Gamma szln z zT 3sz frac partial2 Gamma sz partial s2 Gamma szln2 z 2 z ln zT 3sz T 4sz 更一般地： frac partialm Gamma sz partial sm Gamma szlnm z m zsum_n0m1 m1_n lnmn1 zT 3nsz 式中 1 是下降階乘冪的 Pochhammer 記號。 事實上 int_xinfty frac ts1 lnm tet rm d t frac partialmpartial sm int_xinfty frac ts1et rm d t frac partialmpartial sm Gamma sx 利用上式和 Mellin 變換的性質，並作解析延拓，就可以得到上不完全伽瑪函式對參變數的高階偏導數的表示式。 注 參考資料 65 G Arfken and H Weber Mathematical Methods for Physicists HarcourtAcademic Press 2000 See Chapter 10 （見 835 章） 參見 Gamma 函式 外部連結 httpfunctionswolframcomGammaBetaErfGamma2 wolfram 上關於上不完全 Gamma 函式的一些恆等式 Category 伽瑪及相關函式 Category 連分數 Category 複分析