滾動阻力是一物體（例如球、輪胎或輪）在另一物體表面滾動時，所受到的阻力。主要是因為滾動體及其所在的滾動面或其他物體的接觸面受壓產生塑性變形所造成，也就是指在接觸壓力消失後，部份滾動體或滾動面形變的能量耗散，沒有轉換為動能。滾動阻力可分為兩種：分別是遲滯損失，滾動體或滾動面（例如沙地）的塑性變形。若滾動體和滾動面之間滑動，也會有能量的損失。有些研究者認為這應當一併考慮到滾動阻力中，但也有研究者認為應當稱為「滑動損失」（slip loss）或「滑動阻力」（slip resistance）。另外，只有滑動損失和摩擦力有關，其他和摩擦力無關，有些文獻將滾動阻力稱為滾動摩擦，但「滾動摩擦」其實不是準確的名稱。 滾動阻力和滑動摩擦類似，可以表示為一個係數和正向力的乘積。滾動阻力係數一般會比滑動摩擦係數要小。 有輪子的載具在沒有動力時，因為滾動阻力（也包括軸承的滾動阻力）會慢慢的減速，最後停止。但在鐵路軌道上，有鋼製胎的鐵路列車，無動力行駛的距離會比相同重量，橡膠輪胎，行駛在道路上的公共汽車更遠。前者的滾動阻力係數較後者低。會影響滾動阻力的因素包括有輪子的變形程度、路面的變形程度。其他的影響因素有輪徑、輪上負載、表面粘性、 滑動、接觸表面相對的微滑動。因為遲滯現象產生的損失也和輪子和路面的材料特性有關。例如輪胎在柏油路上的滾動阻力比在鐵軌上的滾動阻力要小。路面上的沙也比混凝土的滾動阻力要大。滾動阻力和速度無關。 主要原因 充氣輪胎滾動阻力主要是因為遲滯現象： 可變形材料的一個特徵是變形的能量比復原的能量要大。輪胎中的橡膠會有遲滯現象，當輪子負荷著車子的重量滾動時，輪子的各部份會反覆的變形和復原，其遲滯能量會以熱的形式散失。遲滯是滾動阻力能量損失的主要原因，和橡膠的黏彈性有關 National Academy of Sciences 主要原理可以由滾動圓柱的圖上看出。若二個大小相同的圓柱因壓力貼在一起，其接觸平面會是平的。在沒有表面摩擦力的情形下，接觸應力是正向的（和平面垂直）。考慮一個物體從右側進入接觸平面，延著接觸路徑行進，最後從左邊離開。一開始其垂直變形量會增加，但增加量會因為遲滯現象而變的比較小，會產生額外的壓力讓這二個表面不會互相干涉，之後來垂直變形量會減少，這也會遲滯現象而受到影響。此例中，遲滯現象減少了讓這二個圓柱分開所需要的壓力。 所合成的壓力分佈是非對稱的，右邊會比較多。圖中壓力合成的不會透過圓柱的中心，會產生力矩抵擋滾動運動。 有些材大（例如橡皮）的遲滯現象較大，反彈比較慢，其滾動阻力會比遲滯現象小的材料（例如石頭或二氧化矽）要大，而遲滯現象小的材料其反彈比較快，反彈後也比較容易恢復原狀。中就會在其胎面膠中用二氧化矽代替碳黑，降低低頻遲滯，但不影響車輪的牽引力 TyresOnline The Benefits of Silica in Tyre Design 。鐵路因為其路面結構，也可能會有遲滯現象Астахов p85。 定義 廣義的「滾動阻力」是指標對車輛的單位重量，需出力使車輛維持低速前進的力，其中的風阻省略，車輛的引擎和剎車都沒有啟動。換句話，若沒有出力使車輛維持定速，車輛會惰行慢慢停止另一個在鐵路上的用法在 here。這個廣義的定義包括軌承阻力、路面和車輛因為振動所散失的能量，以及輪子在路面（或鐵軌）上的滑動。 但更廣義的「滾動阻力」包括因為力矩產生滑動，所帶來的能量損耗。在滑動時，車輪切線速度比車輛速度要快。因為功等於力乘以速度，車輪速度變快，所需要的功率也對應的變大。 火車上的純「滾動阻力」是指在車輪和鐵軌接觸的位置，因為形變以及少許滑動而造成的阻力Деев p 79 Hay p 68。針對橡皮胎，也會有類似的能量損失，是出現在整個車輪上，不過仍稱為「滾動阻力」。廣義的「滾動阻力」還包括軸承的阻力、因為路面（以及下方土地）振動造成的損失、車輛本身振動造成的損失，以及車輪和路面／鐵軌接觸點的滑動。軌道車輛的教科書中會將這些損失都加總，但不會像此條目所作的，都一併稱為（廣義的）「滾動阻力」。軌道車輛的教科書還會加上風阻，一併稱為火車基本阻力。Астахов Chapt IV p 73 Деев Sect 52 p 78 Hay Chapt 6 Train Resistance p 67 廣義的「滾動阻力」會是純滾動阻力的幾倍Астахов Fig 414 p 107，因此不同資料上的「滾動阻力」可能會因為定義不同，而有很大的差異。火車在行駛時，引擎需要提供能量來克服廣義的「滾動阻力」。 輪胎的滾動阻力定義為使輪胎前進單位距離所需要的力。也稱為滾動摩擦。車輛前進的過程中，會受到和前進方向相反的力，滾動阻力即為其中之一。滾動阻力主要的原因是因為在輪胎轉動，並且和地面接觸時，輪胎所產生的形變。 若是在高速公路上的車輛，能量還會透過行駛時造成的路面振動、車輛本身的振動以及輪胎的滑動所消耗。不過除了車輪軸承的摩擦力，以及因為加速而需要的動力之外，其他需要的力幾乎都是純滾動阻力，可能是因為輪胎純滾動阻力的大小是其他阻力的幾倍。 滾動阻力係數 滾動阻力係數（rolling resistance coefficient）可以用下式來定義： F C_rr N 其中 F 是滾動阻力 C_rr 是無因次的滾動阻力係數（rolling resistance coefficient） N 為正向力，輪子所在滾動的表面所給予的力，方向和表面垂直。 C_rr 相當於是要推動有輪子的車輛往前（在平面上以定速前進，沒有空氣阻力）每單位車輛重量需要出的力。假設四個輪胎都相同，且承受相同的重量。若 C_rr 001 ，表示針對重一磅的車輛，只需要 001 磅的力即可推動。若是一千磅的車輛，只需要 10 磅的力即可推動。可以說 C_rr 的單位是磅（推力的單位）除以磅（車重的單位），因此 C_rr 是無因次量。若乘以 100，可以得到在慢的定速下推動車輛，所需施力相對車重的百分比。C_rr 也常乘以 1000，相當於每公噸（一千公斤）的車重要花多少公斤重的力去推動 kgftonne is used by Астахов throughout his book，也相當於每一千磅的車重要花多少磅重的力去推動。針對美國的火車，以往會使用 lbton 的單位，因此會是 2000 C_rr。這些都是考慮單位車重下的阻力，因此其實都是「比阻力」（單位重量下的阻力），有時會簡稱為阻力。若是用磅重或是公斤重為力的單位，質量和重量的量值相等，因此可以說 C_rr 也是每單位質量下的阻力。SI 制會用牛頓 公噸（NT Nt）的單位，相當於 1000 g C_rr，是單位質量下的力，其中 g 是國際標準制的重力加速度（公尺每秒平方）Деев uses NT notation See pp 7884。 以上可以看出阻力和 C_rr 成正比，但看不出隨著速度、負載、力矩、表面粗糙度、直徑、輪胎充氣或摩損程度的關係，這些的影響會直接的影響 C_rr。另外，上述的計算中看似滾動阻力和車重成正比，但 C_rr 會略為隨車重而變化，因此滾動阻力和車重不是單純的正比關係。 測量 在計算滾動阻力上，至少有二種常用的作法。 「滾動阻力係數」（Rolling resistance coefficient）簡稱 RRC。這是滾動阻力的值除以車輛載重後的值。國際汽車工程師學會（SAE）有訂定輪胎 RRC 值的測試方式。測試（和）多半是針對新輪胎進行測試。新輪胎用這些標準測試的數值約在 0007 到 0014。」若是針對腳踏車，數值約在 00025 到 0005 之間。量測係數的方式是在大型滾筒上，也有可能配合功率計在路面上測試，或是進行惰行測試（coastdown test），若是後面兩項，需另外去除風阻的影響，或是在非常低的速度下進行測試。 另一種單位為長度的滾動阻力係數（coefficient of rolling resistance）b，近似於（因為 cos theta 1 的小角度近似）滾動阻力乘以車輸半徑後，除以車輪載重後的值。 ISO 181642005 是歐洲測量滾動阻力的標準。 對一般大眾而言，不太容易取得上述測試的結果，因為製造商比較希望宣傳有關舒適以及效能的資訊。 物理公式 一個的剛體輪子在完全彈性的表面上緩慢滾動，不考慮速度的影響時，其滾動阻力係數（rolling resistance coefficient） C_rr 如下： C_rr sqrt zd 其中 z 是表面的下沉深度 d 是剛體輪子的直徑 針對礦車的鑄鐵輪子，在鋼軌上行駛的經驗公式如下 Hersey equation 2 p 83： C_rr 00048 18Dfrac 12100Wfrac 14 frac 00643988sqrt 4WD2 where D 是輪子的直徑，單位為英寸 W 是輪子的載重，單位為磅力。 除了使用 C_rr 外，也可以使用 b 作為滾動阻力係數（coefficient of rolling friction），但其量綱為長度。其定義如下： F frac N br 其中 F 是滾動阻力 r 是輪子的半徑 b 是因次為長度的滾動阻力係數 N 是表面所提供的正向力。 在上式中，阻力和半徑 r 成反比，是源自不正確的「庫侖定律」（不是庫侖平方反比定律，也不是庫侖摩擦力定律（可以參考和輪徑的關係）。配合滾動阻力係數（rolling resistance coefficient）Crr 的公式計算，可以求得 b Crrr。若有參考資料提供無因次的滾動阻力係數 Crr，也有輪子的半徑 r，就可以計算因次為長度的滾動阻力係數 b，將 Crr 和輪子半徑 r 相乘即可。 滾動阻力係數的例子 以下是一些滾動阻力係數的例子 Crr b 說明 00003 至 00004Астахов p 81 火車的鋼輪在鐵軌上行駛（純滾動阻力） 00010 至 00015 01 mm 硬化鋼珠軌承在鋼上滾動 00010 至 00024Hay Fig 62 p72 worst case shown of 00036 not used since it is likely erroneousАстахов Figs 38 39 311 pp 5055 Figs 23 24 pp 3536 Worst case is 00024 for an axle load of 595 tonnes with obsolete plain friction not roller bearings 05 mm 火車的鋼輪在鐵軌上行駛。若是客運軌道車，約為 00020Астахов Fig 21 p22 00019 至 00065Hersey Table 6 p267 礦車的鑄鐵輪在鐵軌上行駛 00022 至 00050 量產的腳踏車胎，胎壓在，速度為，用滾輪量測 00025Roche Schinkel Storey Humphris Guelden Speed of Light 特殊的米其林 用胎 00050 髒的電車軌道（標準） 00045 至 00080 大型卡車車胎 00055 solar car 上用的一般 BMX 腳踏車車胎 00062 至 00150Green Seal 2003 Report 車胎量測 00100 至 00150Gillespie p117 一般車胎在混凝土路面上行駛 00385 至 00730Baker Ira O Treatise on roads and pavements New York John Wiley 1914 Stagecoach Table 7 p 28 Diameter pp 2223 This book reports a few hundred values of rolling resistance for various animalpowered vehicles under various condition mostly from 19th century data （十九世紀）土路上的公共馬車。最壞的情形是路上有軟雪的時候 03000 一般車胎在沙上行駛 舉例來說，1000 kg 的車在柏油路面上，要讓車輪滾動的力大約需要 100 牛頓（1000 kg 981 ms2 001 981 N）。 和輪徑的關係 驛馬車和鐵路 依照 Dupuit（1837）的研究，外圈包覆著鐵胎的馬車木頭車輪，其滾動阻力約和輪子直徑的平方根成反比 Hersey subsection End of dark ages p261。此公式有在鐵軌上用鑄鐵輪子（直徑 8 至 24 英寸）實驗確認過 Hersey subsection Static rolling friction p266，也有用十九世紀的車輪驗證過，不過也有其他針對車輪的實驗，結果和上述的公式不同。若用理論分析圓柱在有彈性的路面滾動，也可以得到和公式相同的結果 Williams 1994 Ch Rolling contacts eq 111 p 409。這和 1785 年庫侖用滾動木柱所作的測試結果不同，庫侖的測試結果是滾動阻力和直徑成反比（也會誤稱為「庫侖定律」）Hersey subsection Coulomb on wooden cylinders p 260。這個錯誤的名稱仍會出現在一些教科書上。 充氣輪胎 若是充氣輪胎在硬路面上，在實務常用的車輪直徑範圍內，直徑對滾動阻力的影響幾乎可以忽略 US National Bureau of Standards Fig 113。 和力矩的關係 為了要抵抗滾動阻力 R_r，並且在路面上維持定速（不考慮風阻）的驅動力矩 T 可以由下式求得： T frac V_sOmega R_r 其中 V_s 是車軸的線速度 Omega 是車輪的旋轉速度 特別需要說明的因為是車輪滑動的影響，V_sOmega 一般不會等於車輪的半徑。無論輪上有驅動車前進的轉矩，或是剎車轉矩，車輪和地面還是會有速度差的情形。因此，車子的線速度和車輪的圓周速度不同。另外，車子的從動輪因為沒有使車輛前進的傳動力矩，除了剎車以外，不會有速度差。因此，滾動阻力（也稱為遲滯損失）是從動輪上能量耗散的主要原因，不過在驅動輪上，滑動損失和滾動阻力一樣的重要。滑動阻力和滾動阻力的大小會大幅地受到牽引力、摩擦係數、正向力等因素影響。 針對各種車輪 車輪的施加力矩可以指從馬達透過傳動系統提供的傳動力矩，或是由煞車（包括再生制動）產生的煞車力矩。這些力矩會額外產生能量的耗損。其原因是因為車輪會有一些對地面的滑動，橡膠胎也會有因為力矩產生的側邊彎曲。滑動的滑差（Slip）定義如下：2 的滑差是指驅動輪的圓周速度會比車輛行駛速度多 2。 小比例的滑差增加會造成比基本滾動阻力大很多的滑動阻力。例如針對充氣胎，5 的滑差會讓阻力變成滾動阻力的三倍。其中部份原因是因為在滑動時所施加的牽引力比滾動阻力大許多倍，因此單位速度需提供的功率也會增加（功率是力和速度的乘積，因此單位速度要提供的功率就是力）。因此因為滑差造成小幅的圓周速度增加，可以帶來大量的牽引功率損失，甚至會大於基本的滾動阻力。若在鐵路上，因為鐵軌的低滾動阻力，其現象會更加嚴重。 在轎車上，若牽引力是最大牽引力的 40，滑動阻力和基本的滾動阻力相同。但若牽引力是最大牽引力的 70，滑動阻力會比基本滾動阻力大十倍。 鐵軌車輪 為了在車輪上提供牽引力，車輪上需要有一些滑差Деев p30 including eq 27 and Fig 23。俄國火車要爬坡時，滑差約為 15 到 25。 滑差（slip，也稱為 creep）一般大約和牽引力成正比。但若牽引力太大，車輪有嚴重的打滑（比上述的數值大一些），其滑差會隨著牽引力快速變大，不再是線性關係。當施加的牽引力再大一些，車輪會失去控制，而車輪轉更快時，車輪的鐵軌黏著力會下降。這是可以用肉眼觀察到的打滑。至於 2 的滑動只能透過儀器來觀測，快速的打滑會產生磨損。 充氣胎 充氣胎的滾動阻力會隨施加力矩而大幅增加。大力矩時，在路面上的切線力約為車重的一半，其滾動阻力可能會增加到原來的三倍 Roberts Fig 17 Effect of torque transmission on rolling resistance p 71。有部份原因是因為在約 5 的滑差下，滾動阻力和施加力矩的關係已不線性，力矩越大時其增加速度也更快。 和輪子負載的關係 鐵軌車輪 針對鐵軌車輪，滾動阻力係數 C_rr 會顯著的隨著輪子負載的增加而減少Астахов Figs 38 39 311 pp 5055 Hay Fig 602 p 72 shows the same phenomena but has higher values for Crr and not reported here since the railroads in 2011 were claiming about the same value as Астахов。例如，空車廂的 C_rr 會是滿載車廂的 2 倍（分別是 C_rr0002 和 C_rr0001）。類似的「規模經濟」也出現在鐵軌礦車的測試上 Hersey Table 6 p 267。剛體輪子在彈性路面上滾動的 C_rr 理論值，會隨負載的平方根反比變化。 若 C_rr 本身和負載的關係是依平方根反比而變化，則 2 的負載增加只會對應 1 的滾動阻力增加根據此假設，Fk N05，其中 F 是滾動阻力，N 是輪子因為車重的正向力，而 k 是常數。可以用 F 對 N 的微分證明 operatorname d Nover N2 operatorname d Fover F 充氣胎 針對充氣胎，滾動阻力係數 C_rr 的增減要看輪胎的膨脹程度是否隨負載增加而增加而定 Roberts pp 6061。根據文獻，若膨脹壓力隨負載增加，負載增加 20，滾動阻力係數會減少 3，但若膨脹壓力不變，負載增加 20，滾動阻力係數會增加 4。上述是隻考慮滾動阻力係數的變化，若是考慮滾動阻力本身，會因為負載增加 20，滾動阻力就會增加 20，但膨脹壓力不變的情形下，滾動阻力會增加 248，其中 20 是負載的增加，另外的 48 是因為滾動阻力係數的增加（12 x 4） A Relationship between Tyre Pressure and Rolling Resistance Force under Different Vehicle Speed Apiwat Suyabodha Department of Automotive Engineering Rangsit University Lakhok Pathumthani Thailand 2017。 和曲率的關係 若車輛（機動車輛或鐵路列車）在曲線上行駛時，其滾動阻力會增加。若曲線不是向心力恰好可以克服離心力的無阻力，會在車輛上有無法平衡的側向力。這會造成滾動阻力的上昇。在鐵路上稱為，若針對一般的道路，算是因為而產生的滾動阻力。 聲音 滾動阻力會產生聲音（振動）的能量，因著摩擦，機械能轉換為振動的能量。其中一個常見的例子是路上車輛的行進，會產生副產物。汽車和卡車輪胎產生的噪音（尤其是高速時）主要是因為輪胎胎面受到撞擊，以及輪胎胎面中空氣的受壓縮及減壓。 影響輪胎滾動阻力的因素 以下是一些影響輪胎滾動阻力的因素： 如序言所述，輪徑、輪上負載、表面粘性、 滑動、接觸表面相對的微滑動。 材料：輪胎成份中不同的填充料及聚合物可以減少遲滯，增加抓地力。常見降低滾動阻力的方式是用高價的矽烷來代替輪胎中的碳黑。在高效能橡膠胎中使用像奈米粘土之類的奇異材料已證實可以減少滾動阻力 http144206159178ft20060742612614863pdf。溶劑也可以讓實心輪胎膨脹，減少滾動阻力 httpwwwrubberchemtechnolorgresource1rctea4v3i1p19_s1isAuthorizedno。 尺寸：滾動阻力和輪胎側壁的彎曲程度，輪胎的接觸面積有關。例如，若壓力相同，較寬的側壁彎曲程度較小，因此滾動阻力較小（不過空氣阻力較大）。 充氣程度：輪胎壓力較低，側壁的彎曲程度較大，阻力也會比較大。側壁的能量守恆會讓阻力增加，也會導致過熱，這可能也是不名譽的福特探險者汽車的原因之一。 過度充氣的輪胎（例奴腳踏車胎），可能會讓輪胎在路面上跳動，因此不會降低總滾動阻力。抓地力會下降，因為轉動速度變化，而且出現滑差，因此總滾動阻力不會下降。 側壁形變（Sidewall deflection）不是直接量測滾動阻力的工具。高品質的輪胎及高品質（且比較軟）的輪胎外胎可以讓相同能力損失下，形變數更大。腳踏車上有高品質輪胎及較軟的輪胎外胎，比較容易使其維持轉動。固特異卡車輪胎部門曾提過，有省油功能的外胎可以在更換數次胎面後仍有省油效果。有省油功能的胎面在胎面摩損後就沒有效果。 的厚度和形狀也和滾動阻力有很大的關係。胎面越厚，胎面輪廓更清晰，滾動阻力越大。因此最快的腳踏車車輪只有一點胎面，載重物的卡車在輪胎胎面磨損掉時最省油。 若路面是硬的，輪徑在一定範圍內，輪徑的影響可以忽略，可以參考和輪徑的關係。 事實上，速度最快的世界紀錄都是由較窄的車輪創下的，可能是因為其高速時的空氣阻力影響，這在一般速度下比較不重要。 溫度：不論是實心輪或是充氣胎，溫度上昇時滾動阻力都會下降（溫度要在一定範圍內，因此此效應的溫度有其上限。）US National Bureau of Standards p and Williams p。若溫度從 30 C 上昇到 70 C，滾動阻力會下降 2025 Roberts Effect of temperature p59。賽車手會在賽車前加熱輪胎，不過這原意是要增加輪胎的摩擦力，不是要降低滾動阻力。 鐵軌上滾動阻力的組成 廣義的滾動阻力是以下幾項的和Астахов p 74 Although Астахов list these components he doesnt give the sum a name： 輪子軸承力矩的損失。 純滾動阻力。 輪子在鐵軌上的滑動 傳到鐵軌（和地面）的能量損失 車廂振動造成的能量損失 輪子軸承力矩可以用輪子外緣的滾動阻力來計算。火車一般會使用滾動軸承，滾動元件可能是圓柱形（俄羅斯）Шадур Л А editor Вагоны Railway cars Москва Транспорт 1980 pp 122 and figs VI1 p 123 VI2 p 125 或錐形（美國）Association of American Railroads Mechanical Division Car and Locomotive Encyclopedia New York SimmonsBoardman 1974 Section 14 Axle journals and bearings Almost all of the ads in this section are for the tapered type of bearing。軸承的滾動阻力和輪子的負重以及車輛速度有關Астахов Fig 42 p 76。若軸負重大，速度在中等速度 6080 kmh，滾動阻力最小，Crr 為 000013（軸負重 21 噸）。若空車廂（軸負重 55 噸），速度為 60 kmh 時，Crr 為 000020，但若是低速 20 kmh 時，會上昇到 000024，而在高速 120 kmh 時為 000028。上述和 Crr 會和其他因素一起影響滾動阻力。 相關條目 摩擦力 磁懸浮列車（沒有滾動，因此也沒有滾動阻力） 參考文獻 Астахов ПН Сопротивление движению железнодорожного подвижного состава Resistance to motion of railway rolling stock Труды ЦНИИ МПС ISSN 03723305 Выпуск 311 Vol 311 Москва Транспорт 1966 178 pp perm record at UC Berkeley In 2012 full text was on the Internet but the US was blocked Деев ВВ Ильин ГА Афонин ГС Тяга поездов Traction of trains Учебное пособие М Транспорт 1987 264 pp Hay William W Railroad Engineering New York Wiley 1953 Hersey Mayo D Rolling Friction Transactions of the ASME April 1969 pp 260275 and Journal of Lubrication Technology January 1970 pp 8388 one article split between two journals Except for the Historical Introduction and a survey of the literature it is mainly about laboratory testing of mine railroad cast iron wheels of diameters 8 to 24 done in the 1920s almost a half century delay between experiment and publication Hoerner Sighard F Fluid dynamic drag published by the author 1965 Chapt 12 is LandBorne Vehicles and includes rolling resistance trains autos trucks Roberts G B Power wastage in tires International Rubber Conference Washington DC 1959 US National Bureau of Standards Mechanics of Pneumatic Tires Monograph 132 19691970 Williams J A Engineering tribology Oxford University Press 1994 外部連結 Rolling Resistance and Fuel Saving temperature vs rolling resistance Simple rolldown test to measure Crr in cars and bikes Rolling Resistance Thresholds Category 經典力學 Category 能源經濟學 Category 運輸經濟學