位力定理（，又稱維裡定理、均功定理）是力學中描述穩定的多自由度孤立體系的總動能和總勢能時間平均之間的數學關係。考慮一個有 N 個質點的體系，其數學表示式為： langle T rangle frac 1 2 sum_k1N langle boldsymbol F_k cdot boldsymbol r_k rangle 其中：角括號表示對時間取平均，T 是系統內部的總動能，boldsymbol F_k 是第 k 個質點所受的力，boldsymbol r_k 是第 k 個質點的位置向量；等式右邊稱作均位力積（，簡稱位力），反映體系內相互作用強度。英語 virial 一詞由德國物理學家魯道夫克勞修斯於 1870 年根據拉丁語單詞 vīs（意為力、能量）命名。 特別地，若系統內任何粒子兩兩之間的力來自與粒子間距離 r 的 n 次冪成正比的勢能 V r alpha rn（其中 alpha n 為常數），則定理簡化為： 2 langle T rangle n langle V_text Total rangle 即：體系的總動能 2 倍等於總勢能的 n 倍。對於引力勢能，這裡的 n 1。 位力定理的一個意義在於，它允許計算平均總動能，即便是對於那些無法精確解的非常複雜的系統，例如在統計力學中考慮的那些；根據能量均分定理，該平均總動能與系統溫度有關。然而，維裡定理不依賴於溫度的概念，甚至適用於不處於熱平衡的系統。維裡定理已以各種方式推廣，特別是張量形式。 歷史 命題推導 簡單例子 考慮個質量相同的質點構成的孤立體系，它們受萬有引力相互作用。假設兩個質點分別以和的速度（大小均為，方向相反）圍繞共同質心做勻速圓周運動，半徑為，兩者分別受到作用力和（大小均為，方向相反）。則體系的時間平均縂動能為： langle T rangle sum_k1N frac12 m_k leftmathbf v_k right2 frac12 mmathbf v_12 frac12 mmathbf v_22 mv2 以共同質心為原點，兩者的位置向量分別為及（大小均為常數）。引力方向朝向原點，與位置向量方向相反，故。又，向心力大小等於萬有引力大小：。代入得： frac12 sum_k1N bigllangle mathbf F_k cdot mathbf r_k bigrrangle frac12 Fr Fr Fr frac mv2r cdot r mv2 langle T rangle 一般推導 預先知識 對於 Virial theorem 的推導，將需要用到齊次函式的如下性質，既當 f vec x 為 k 次 齊次函式時，有 frac d f alpha vec xd alpha vec x cdot vec x frac partialpartial alphaf alpha vec x frac partial alphak f vec xpartial alpha k alphak1 f vec x 對於 a1 時有 vec x vec nabla f vec x k f vec x 具體推導 注意到動能 T 是一個關於速度 vec v 的 2 次齊次函式 vec vcdot frac partial Tpartial vec v 2T 同時有 frac partial Tpartialvec v vec p 從而得到 2 T vec v cdot vec p frac dd tvec p cdot vec x dot vec p cdot vec x 計算上式對於時間 Delta t 的平均 2T_Delta t frac 1Delta t int_0Delta ttext 等 式 右 邊 dt 我們關注 Delta t rightarrow infty 的情況，假設系統的運動是有限的 vec p cdot vec x 不會有 infty 出現的情況 此時等式右邊的前半部分將趨近於 0 lim_Delta t rightarrow infty frac 1Delta t int_0Delta tfrac ddtvec p cdot vec x dt lim_Delta t rightarrow infty frac vec pcdot vec x_Delta t vec p cdot vec x_0Delta t rightarrow 0 我們得到 2T_t dot vec p cdot vec x_t dot vec p 可以透過系統的勢能 V vec x 寫出 dot vec p vec nabla V vec x 另外我們最終假設勢能 V vec x 為，k 次齊次函式，並利用預先知識中 a1 時的等式 就能夠得到位力定理 2 T_t dot vec pcdot vec x_t vec xcdot vec nabla V vec x_t kV vec x_t 與質點間勢能之關聯 對於冪定律力 關於時間平均 一般化 引入電磁場 相對論均勻系統 各學科中的應用 量子力學 狹義相對論 天體物理學 位力質量、位力半徑 太陽模型 frac dPdr frac Gm rrho rr2 Rightarrow dPfrac Gm rrho rr2 dr 考慮恆星的位力定理在天體物理學中的應用。如果將恆星的物質視為流體，則可以使用流體靜力平衡條件來考慮恆星。這個假設條件允許將恆星的引力與其內部的壓力建立關係，從而將引力勢能與內能聯絡起來，即位力定理。基於引力勢能 Omega propto r1，我們期待內能與勢能之間的關係為 E_text int frac 12Omega。 下面是更詳細的推導過程：將恆星視為正球體來簡化推導過程。氣壓 P 是半徑 r 的函式： frac dPdr frac Gm rrho rr2 Rightarrow dPfrac Gm rrho rr2 dr 對於理想氣體，內能 E_text int 為： E_text int frac 32 Nk_B T frac 32frac Mm_g k_B T 其中 m_g 是粒子的平均質量，M 是恆星的質量，k_B 是玻爾茲曼常數，T 是溫度。 考慮恆星的靜力平衡條件，同時乘以體積 Vfrac 4pi r33，並積分，得到： int_0R Vdp frac 13int_0R frac Gm rrrho r 4pi r2 dr frac 13int_0R frac Gm rr dm r 右側積分包含了恆星的重力勢能 Omega int_0R frac Gm rr dm r，所以我們可以得到： int_0R Vdp frac 13Omega 對左側積分使用分部積分可得： int_0R VdP PV_0R int_0R PdV int_0R PdV 其中 PV_0R 0，因為恆星最外層壓強為 0，最內側體積為 0。對於理想氣體，PV Nk_b T，將其與理想氣體內能公式結合，得到單位體積內的內能： U frac E_text intV frac 32 P Rightarrow P frac 23 U 將其應用到上面的積分，得到： int_0R PdV frac 23 int_0R UdV frac 23 E_text int 將兩側積分結果相等，得到： frac 23 E_text int frac 13Omega Rightarrow E_text int frac 12 Omega 這就是恆星在流體靜力平衡下的位力定理。 透過這個公式，可以推算太陽的平均溫度 langle T_odot rangle 大約為 106 開爾文，對應的內能大約為 1 text keV。太陽的表面溫度僅在 5774 開爾文左右，因此可以認為太陽的內部溫度比表面高很多。由於電子的結合能僅為 1 text eV，而太陽的平均內能遠大於這個數值，因此可以認為太陽是離子氣體。 統計物理 在統計物理中，： mathbf pfrac 2 V left frac 1 2 left langle sum_i1N m_i mathbf v_i otimes mathbf v_i right rangle frac 1 2 left langle sum_ij boldsymbol r_ij otimes boldsymbol F_ij right rangle right 亦即體系壓強為（與動能相關的）動理壓強和（與相互作用相關的）內壓強之和。上式中的第二項即為均位力積相關項。 引用 Category 天體力學 Category 經典力學 Category 物理定理 Category 動力學