x frac sin xx 1 0841471 01 0998334 001 0999983 儘管函式 frac sin xx 的定義域中不包括 0，但當 x 無限接近於零時，frac sin xx 就無限接近於 1，換句話說，x 接近於零時，frac sin xx 的極限是 1。 在數學中，函式極限是微積分的一個基本概念。它描述函式在接近某一給定自變數時的特徵。函式 f 於 a 的極限為 L ，直觀上意為當 x 無限接近 a 時，f x 便無限接近 L 。 正式定義 動機 如果取 delta 為＂ x 與 a 差距的上限＂；類似地，取 epsilon 為＂ f x 與 L 差距的上限＂，那根據直觀，可以將函式極限定義為： 若對所有的 delta 0 ，存在 0 epsilon leq delta，使得對所有的 x in D_f ，只要 0leftxarightdelta 就有 leftf xLrightepsilon 其中 epsilon leq delta 是要確保 delta 越來越小時， epsilon 也會越來越小； 0leftxarightdelta 是為了凸顯 x 是逼近而非等於 a ，但對應的 f x 是可以等於 L 的。 但對於實函式 f x x2 逼近 a 0 時，考慮到 delta geq 1 的部分；在 leftx0right2delta2 下是沒有這樣的 epsilon 使得 0 epsilon leq delta 且 leftx20rightepsilon 的，但數值上 f x x2 的確在 a 0 時很靠近 0 ，也就是 epsilon leq delta 的部分侷限了定義能覆蓋的範圍。 上面的例子表明以 x 的變化去限制 f x 的變化通常是很困難的，但如果反過來從 epsilon 出發，去找怎樣的 x 會讓 f x 與 L 的差距小於 epsilon ，也就是從＂若對所有的 epsilon 0 存在 delta 0 ＂出發的話，顯然上面 f x x2 的例子只要取 delta sqrt epsilon 即可；而且在這個定義被滿足的情況下，若進一步取 epsilon 和 delta 的最小值為 x 與 a 差距的上限，還是會有 leftf xLrightepsilon ，這樣就可以用 epsilon 控制 x 的變化，而滿足＂ x 趨近於 a 時 f x 趨近於 L ＂的直觀想法。 但實際上無法確保對所有 delta 0，都有 x in D_f 使得 0leftxarightdelta ，所以定義函式極限之前必須要求 a 為 D_f 的極限點。但大部分的情況會退而求其次的假設存在 r0 使得 f x 在 0leftxarightr 都有定義，也就是存在 a 的去心鄰域使 f x 都有定義，這樣的話 a 會自動成為 D_f 的極限點。 自變數趨於有限值時函式的極限 f 為實函式， ainmathbb R 為 D_f 的極限點且 Linmathbb R ，若＂對所有的 epsilon 0，存在 delta 0，使得對所有的 x in D_f 只要 0leftxarightdelta 就有 leftf xLrightepsilon ＂，或以正式的邏輯符號表述為 forall epsilon 0exists delta 0forall x in D_f 0 left x a right delta Rightarrow left f x L right epsilon 則以 lim_xto a f x L 表示，稱 L 為實函式 f 於 a 的極限。 自變數趨於無窮大時函式的極限 由於＂無窮大＂不能直接定義成定義域 D_f 的極限點，可以退而求其次假設＂對所有的 delta 0 存在 x in D_f 使得 x delta ＂。也就是直觀上可以用定義域 D_f 裡的點去逼近＂無窮大＂。那在這種條件下，Linmathbb R，且若＂對所有 epsilon 0，存在 delta 0，使得對所有的 x in D_f 只要 x delta 時，有 leftf xLrightepsilon ＂，或以正式的邏輯符號表述為 forall epsilon 0exists delta 0forall x in D_f x delta Rightarrow left f x L right epsilon 則稱 L 為實函式 f 於正無窮大（ infty ）的極限，記作 lim_xto infty f x L 類似的，若假設＂對所有的 delta 0 存在 x in D_f 使得 x delta ＂，那在這種條件下，Linmathbb R，且若＂對所有 epsilon 0，存在 delta 0，使得對所有的 x in D_f 只要 x delta 時，有 leftf xLrightepsilon ＂，或以正式的邏輯符號表述為 forall epsilon 0exists delta 0forall x in D_f x delta Rightarrow left f x L right epsilon 則稱 L 為實函式 f 於負無窮大（ infty ）的極限，記作 lim_xto infty f x L 制限極限 直觀上來講，從數線左邊逼近或右邊逼近應該會得到一樣的極限，為了把這個概念推廣，需要函式限制的極限（也就是縮小定義域後的極限）： 定理 若 Acup B D_f 且 a 同時為 A 和 B 的極限點，則 lim_x to a f x L 等價於 lim_x to a f_A x L 且 lim_x to a f_B x L 上述定理的證明只須注意到 a 也必為 D_f 的極限點，然後把函式極限的定義展開，考慮到 Acup B D_f ，還有對 x in A 取 delta_A 的和 x in B 取的 delta_B ，那隻要取 delta 為 delta_A 和 delta_B 的最小值，對所有 x in D_f 就有 0 left x a right delta Rightarrow left f x L right epsilon ；反過來由原函式 f 推出 f_A 和 f_B 的狀況是非常顯然的。 左右極限 若取 A big x in D_f x geq a big B big x in D_f x leq a big 如果假設 a 同時為 A 和 B 的極限點，那 A 和 B 顯然符合上面定理的要求的，而這時 lim_xto a f_A xL 這個表示式會被別稱為＂ L 是實函式 f 於 a 的右極限＂，也可以用 lim_xto a f xL 表示。 類似的 lim_xto a f_B xL 這個表示式會被別稱為＂ L 是實函式 f 於 a 的左極限＂，也可以用 lim_xto a f xL 表示。 常用公式 有理函式 以下公式中，n0 a1。 lim_x to infty frac 1xn 0 lim_x to infty frac 1ax 0 lim_x to 01over x infty lim_x to 01over x infty 無理函式 lim_x to inftysqrt xx 1 lim_ntoinfty frac nsqrt nne 三角函式 lim_x to 0 frac sin x x 1 lim_x to infty frac sin x x 0 指數函式 lim_x to infty left 1 frac 1x rightx lim_x to 0 1xfrac 1x e lim_x to 0 frac ex 1x 1 lim_x to 0 xx 1 對數函式 lim_x to 0 frac ln 1xx 1 lim_x to 0 ln x infty lim_x to infty ln x infty 參考 Category 數學分析 Category 數學術語