在數學和理論物理中，泛函導數是方向導數的推廣。後者對一個有限維向量求微分，而前者則對一個連續函式（可視為無窮維向量）求微分。它們都可以認為是簡單的一元微積分中導數的擴充套件。數學裡專門研究泛函導數的分支是泛函分析。 定義 設有流形 M 代表（連續 光滑 有某些邊界條件等的）函式 φ 以及泛函 F： Fcolon M rightarrow mathbb R quad mbox or quad Fcolon M rightarrow mathbb C 則 F 的泛函導數，記為 delta Fdeltavarphi 是一個滿足以下條件的分佈： 對任何測量函式 f begin align leftlangle frac delta F varphi xdeltavarphi x f x rightrangle int frac delta F varphi xdeltavarphi x f x dx lim_varepsilonto 0frac F varphi xvarepsilon f xF varphi xvarepsilon leftfrac ddepsilon F varphiepsilon fright_epsilon0 end align 用 varphi 的一次變分 deltavarphi 代替 f 就得到 F 的一次變分 delta F； 在物理學中，通常用狄拉克 δ 函式 delta xy，而不是一般的測試函式 f x 來求出點 y 處的泛函導數 這是整個泛函變分的關鍵點，就像偏導數是梯度的一個分量 frac delta F varphi xdelta varphi ylim_varepsilonto 0frac F varphi xvarepsilondelta xyF varphi xvarepsilon 這適用於 F varphi xvarepsilon f x 可以展開成 varepsilon 的級數時 或者至少能展為 1 階 但是這一表達在數學上並不嚴格，因為 F varphi xvarepsilondelta xy 一般而言並未定義。 正式表述 透過更仔細地定義函式空間，泛函導數的定義可以更準確、正式。例如，當函式空間是一個巴拿赫空間時，泛函導數就是著名的 Fréchet 導數，而這在更一般的區域性凸空間上使用加託導數。注意，著名的希爾伯特空間是巴拿赫空間的特例。更正式的處理允許將普通微積分和數學分析的定理推廣為泛函分析中對應的定理，以及大量的新定理。 性質 與函式的導數類似，泛函導數滿足下列的性質：（其中 ρ 和 ρ 為兩個泛函） 線性： frac delta lambda F mu Grhodelta rho x lambda frac delta F rhodelta rho x mu frac delta G rhodelta rho x 其中 皆為常數。 積法則： frac delta FGrhodelta rho x frac delta F rhodelta rho x G rho F rho frac delta G rhodelta rho x 鏈式法則： 若 和 為兩個泛函，則 displaystylefrac delta F G rho deltarho y int dx frac delta F G rhodelta G rho x frac delta G rho deltarho y 若當中的 為一個普通的可導函式 ，則上式化為 displaystylefrac delta F g rho deltarho y frac delta F g rhodelta g rho x frac dg rho drho y δ 函式作為測量函式 上面給出的定義是基於一種對所有測量函式 f 都成立的關係，因此有人可能會想，它在 f 是一個指定的函式（比如說狄拉克 δ 函式）時也應該成立。但是，δ 函式不是一個合理的測量函式。 在定義中，泛函導數描述了整個函式 varphi x 發生微小變化時，泛函 F varphi x 如何變化。其中，varphi x 的變化量的具體形式沒有指明， 泛函導數的求法 公式 給定泛函 F rho int f boldsymbol r rho boldsymbol r nablarho boldsymbol r dboldsymbol r 及在積分割槽域的邊界上恆為零的函式 ，由定義可得： begin align int frac delta Fdeltarho boldsymbol r phi boldsymbol r dboldsymbol r left frac ddvarepsilon int f boldsymbol r rho varepsilon phi nablarhovarepsilonnablaphi dboldsymbol r right _varepsilon0 int left frac partial fpartialrho phi frac partial fpartialnablarho cdot nablaphi right dboldsymbol r int left frac partial fpartialrho phi nabla cdot left frac partial fpartialnablarho phi right left nabla cdot frac partial fpartialnablarho right phi right dboldsymbol r int left frac partial fpartialrho phi left nabla cdot frac partial fpartialnablarho right phi right dboldsymbol r int left frac partial fpartialrho nabla cdot frac partial fpartialnablarho right phi boldsymbol r dboldsymbol r end align 其中第二行用到了 的全微分， ρ 為純量對向量的導數。在三維笛卡爾座標系中， begin align frac partial fpartialnablarho frac partial fpartialrho_x mathbf hat i frac partial fpartialrho_y mathbf hat j frac partial fpartialrho_z mathbf hat k qquad text where rho_x frac partial rhopartial x rho_y frac partial rhopartial y rho_z frac partial rhopartial z text and mathbf hat i mathbf hat j mathbf hat k text are unit vectors along the x y z axes end align 第三行則用到了散度的積法則。第四行由高斯散度定理及邊界上 的條件得到。由於 可以是任意的函式，由變分法基本引理可知，所求泛函導數為 frac delta Fdeltarho boldsymbol r frac partial fpartialrho nabla cdot frac partial fpartialnablarho 其中 ρ ρ 且，ρ ρ。只要 ρ 具有本節首段的形式，上述公式就適用。對於其他的泛函形式，可由定義出發，求出其泛函導數。（見庫侖勢能泛函。 以上公式可推廣到高維，並且有其他高階導數的情況。則泛函可寫成 F rho boldsymbol r int f boldsymbol r rho boldsymbol r nablarho boldsymbol r nabla2rho boldsymbol r dots nablaNrho boldsymbol r dboldsymbol r 其中向量 ，而 為一個張量，其 個分量分別為 階微分運算元 left nablai right _alpha_1 alpha_2 cdots alpha_i frac partial i partial r_alpha_1 partial r_alpha_2 cdots partial r_alpha_i qquad qquad text where quad alpha_1 alpha_2 cdots alpha_i 1 2 cdots n 例如，對於三維 和二階 導數，張量 的分量為 left nabla2 right _alpha beta frac partial2 partial r_alpha partial r_beta qquad qquad text where quad alpha beta 1 2 3 與上面類似，由泛函導數的定義可知： begin align frac delta F rhodelta rho frac partial fpartialrho nabla cdot frac partial fpartial nablarho nabla2 cdot frac partial fpartialleft nabla2rhoright dots 1N nablaN cdot frac partial fpartialleft nablaNrhoright frac partial fpartialrho sum_i1N 1inablai cdot frac partial fpartialleft nablairhoright end align 式中，張量 frac partial fpartialleft nablairhoright 具有 個分量，各為 對 ρ 偏導數之偏導數，即： left frac partial f partial left nablairho right right _alpha_1 alpha_2 cdots alpha_i frac partial f partial rho_alpha_1 alpha_2 cdots alpha_i qquad qquad text where quad rho_alpha_1 alpha_2 cdots alpha_i equiv frac partial irho partial r_alpha_1 partial r_alpha_2 cdots partial r_alpha_i 並定義張量的純量積為 nablai cdot frac partial fpartialleft nablairhoright sum_alpha_1 alpha_2 cdots alpha_i 1n frac partial i partial r_alpha_1 partial r_alpha_2 cdots partial r_alpha_i frac partial f partial rho_alpha_1 alpha_2 cdots alpha_i 例如，當 及 時，張量的純量積為 nabla2 cdot frac partial fpartialleft nabla2rhoright sum_alpha beta 13 frac partial 2 partial r_alpha partial r_beta frac partial f partial rho_alpha beta qquad text where rho_alpha beta equiv frac partial 2rho partial r_alpha partial r_beta 例子 托馬斯 費米動能泛函 1927 年的對於無相互作用的單一電子雲使用了動能泛函是密度泛函理論關於電子結構的第一次嘗試 T_mathrm TFrho C_mathrm F int rho53mathbf r dmathbf r T_mathrm TFrho 只與電子密度有關 rho mathbf r 並且不依賴於其梯度，Laplacian 或者其他更高階的微分 像這樣的泛函被稱為是 區域性的 因此， frac delta T_mathrm TFrhodelta rho C_mathrm F frac partial rho53mathbf rpartial rho mathbf r frac 53 C_mathrm F rho23mathbf r 庫侖勢能泛函 託馬斯和費米利用了以下庫侖勢能泛函來描述電子與核之間的電勢 V rho int frac rho boldsymbol rboldsymbol r dboldsymbol r 由泛函導數的定義， begin align int frac delta Vdelta rho boldsymbol r phi boldsymbol r dboldsymbol r left frac ddvarepsilon int frac rho boldsymbol r varepsilon phi boldsymbol rboldsymbol r dboldsymbol r right _varepsilon0 int frac 1 boldsymbol r phi boldsymbol r dboldsymbol r end align 故 frac delta Vdelta rho boldsymbol r frac 1boldsymbol r 至於電子與電子間的相互作用，由以下庫侖勢能泛函描述： J rho frac 12iint frac rho mathbf r rho mathbf rvert mathbf rmathbf r vert dmathbf r dmathbf r 由定義， begin align int frac delta Jdeltarho boldsymbol r phi boldsymbol r dboldsymbol r left frac d depsilon J rho epsilonphi right _epsilon 0 left frac d depsilon left frac 12iint frac rho boldsymbol r epsilon phi boldsymbol r rho boldsymbol r epsilon phi boldsymbol r vert boldsymbol rboldsymbol r vert dboldsymbol r dboldsymbol r right right _epsilon 0 frac 12iint frac rho boldsymbol r phi boldsymbol r vert boldsymbol rboldsymbol r vert dboldsymbol r dboldsymbol r frac 12iint frac rho boldsymbol r phi boldsymbol r vert boldsymbol rboldsymbol r vert dboldsymbol r dboldsymbol r end align 式末的兩個積分相等，因為可以交換第二個積分中 和 兩個變數，而不改變積分的值。因此， int frac delta Jdeltarho boldsymbol r phi boldsymbol r dboldsymbol r int left int frac rho boldsymbol r vert boldsymbol rboldsymbol r vert dboldsymbol r right phi boldsymbol r dboldsymbol r 故電子－電子庫侖勢能泛函 ρ 的導數為 frac delta Jdeltarho boldsymbol r int frac rho boldsymbol r vert boldsymbol rboldsymbol r vert dboldsymbol r 且其二階泛函導數為 frac delta2 J rhodelta rho mathbf rdeltarho mathbf r frac partialpartial rho mathbf r left frac rho mathbf rvert mathbf rmathbf r vert right frac 1vert mathbf rmathbf r vert 魏茨澤克動能泛函 1935 年，魏茨澤克提出，在託馬斯－費米動能泛函中新增一項梯度修正，使之能更準確描述分子的電子雲： T_mathrm Wrho frac 18 int frac nablarho mathbf r cdot nablarho mathbf rrho mathbf r dmathbf r int t_mathrm W dmathbf r 其中 t_mathrm W equiv frac 18 frac nablarho cdot nablarhorho qquad text and rho rho boldsymbol r 由上節的公式可得 begin align frac delta T_mathrm Wdelta rho boldsymbol r frac partial t_mathrm Wpartial rho nablacdotfrac partial t_mathrm Wpartial nabla rho frac 18frac nablarho cdot nablarhorho2 left frac 14 frac nabla2rho rho frac 14 frac nablarho cdot nablarho rho2 right qquad text where nabla2 nabla cdot nabla end align 故所求泛函導數為 frac delta T_mathrm Wdelta rho boldsymbol r frac 18frac nablarho cdot nablarhorho2 frac 14frac nabla2rhorho 將函式表示成泛函 最後，注意到任何函式都可以以積分的形式表示成一個泛函。例如， rho mathbf r int rho mathbf r delta mathbf rmathbf r dmathbf r 這個泛函只依賴於 rho，像上面兩個例子一樣 就是說，它們都是 區域性的。因此 frac delta rho mathbf rdeltarho mathbf rfrac partial rho mathbf r delta mathbf rmathbf rpartial rho mathbf r delta mathbf rmathbf r 熵 離散隨機變數的熵是機率質量函式的一個泛函 begin align H p x sum_x p x log p x end align 於是 begin align leftlangle frac delta Hdelta p phi rightrangle sum_x frac delta H p xdelta p x phi x left frac ddepsilon H p x epsilonphi x right_epsilon0 frac ddvarepsilon left sum_x p x varepsilonphi x log p x varepsilonphi x right_varepsilon0 displaystyle sum_x 1log p xphi x leftlangle 1log p x phi rightrangle end align 最後， frac delta Hdelta p 1log p x 指數 令 F varphi x eint varphi x g x dx 以 delta 函式作為測量函式 begin align frac delta F varphi xdelta varphi y lim_varepsilonto 0frac F varphi xvarepsilondelta xyF varphi xvarepsilon lim_varepsilonto 0frac eint varphi xvarepsilondelta xy g x dxeint varphi x g x dxvarepsilon eint varphi x g x dxlim_varepsilonto 0frac evarepsilon int delta xy g x dx1varepsilon eint varphi x g x dxlim_varepsilonto 0frac evarepsilon g y1varepsilon eint varphi x g x dx g y end align 因此 frac delta F varphi xdelta varphi y g y F varphi x 註釋 參考來源 R G Parr W Yang DensityFunctional Theory of Atoms and Molecules Oxford University Press Oxford 1989 B A Frigyik S Srivastava and M R Gupta Introduction to Functional Derivatives UWEE Tech Report 20080001 httpswebarchiveorgweb20120207192424httpwwweewashingtoneduresearchguptalabpublicationsfunctionalDerivativesIntroductionpdf Category 微分學 Category 微分運算元 Category 泛函分析