穆爾 彭羅斯廣義逆，通常標記為 Adagger 或 A，是著名的廣義逆矩陣之一。 1903 年，埃裡克伊瓦爾弗雷德霍姆提出積分運算元的偽逆的概念。穆爾 彭羅斯廣義逆先後被 EH穆爾（1920 年）、（1951 年） 、羅傑潘洛斯（1955 年）發現或描述。 它常被用於求得或簡化非一致線性方程組的最小范數最小二乘解（最小二乘法）。 矩陣的穆爾 彭羅斯廣義逆在實數域和複數域上都是唯一的，並且可以透過奇異值分解求得。 定義 定義一 令 PS 表示到向量空間 S 上的正交投影。對於任意一個 m 乘 n 的復矩陣 A，設 R A 表示 A 的值域空間。穆爾於 1935 年證明矩陣 A 的廣義逆矩陣 G 必須滿足的條件： boldsymbol AGboldsymbol P_R boldsymbol Aboldsymbol GAboldsymbol P_R boldsymbol A_H 以上兩個條件稱為穆爾條件。滿足穆爾條件的矩陣 G 稱為矩陣 A 的穆爾逆矩陣。 定義二 彭羅斯於 1955 年提出了定義廣義逆矩陣的另外一組條件： boldsymbol AGAboldsymbol A， boldsymbol AG 不一定是單位矩陣，但卻不會改變 boldsymbol A 的列向量。 boldsymbol GAGboldsymbol G， boldsymbol G 是乘法半群的弱逆 boldsymbol AGboldsymbol Hboldsymbol AG， boldsymbol AG 是埃爾米特矩陣 boldsymbol GAboldsymbol Hboldsymbol GA， boldsymbol GA 也是埃爾米特矩陣 以上四個條件常稱穆爾 彭羅斯條件。滿足全部四個條件的矩陣 G，就稱為 A 的穆爾 彭羅斯廣義逆矩陣。 性質 從穆爾 彭羅斯條件出發，彭羅斯推匯出了穆爾 彭羅斯廣義逆的一些性質： boldsymbol AHdaggerboldsymbol AdaggerH boldsymbol Adagger boldsymbol A boldsymbol AH boldsymbol AH boldsymbol A boldsymbol Adaggerboldsymbol AH boldsymbol A boldsymbol AH boldsymbol AHdaggerboldsymbol AHdagger boldsymbol AH boldsymbol Aboldsymbol A boldsymbol Adagger boldsymbol A，boldsymbol A boldsymbol Adagger，boldsymbol Iboldsymbol Adagger boldsymbol A 和 boldsymbol I boldsymbol Adagger boldsymbol A 都是冪等矩陣。 存在性和唯一性 偽逆存在且唯一：對於任何矩陣，恰好有一個矩陣滿足定義的四個性質。 滿足該定義的第一個條件的矩陣被稱為廣義逆。如果該矩陣也滿足第二個定義，它就被稱為廣義反身逆陣（generalized reflexive inverse）。廣義逆矩陣總存在，但一般不唯一。唯一性是最後兩個條件的結果。 基本性質 這些性質的證明可以在維基教科書中找到。 如果 有實數項，那麼 也有。 如果 是可逆的，它的偽逆就是它的逆矩陣，即： Adagger A1 零矩陣的偽逆是它的轉置。 矩陣偽逆的偽逆是原矩陣，即： left Adagger rightdagger A 偽轉置與轉置、複共軛和共軛轉置可以交換： left Atextsf Trightdagger left Adaggerrighttextsf T left overline Arightdagger overline Adagger left Arightdagger left Adaggerright 矩陣 的標量乘法的偽逆是 的標量的倒數的乘法： left alpha Arightdagger alpha1 Adagger 對於 恆等式 下面的恆等式可以用來判定部分涉及偽逆的子表示式的正確性： A A A Adagger Adagger A A 同樣的，將 Adagger 替換為 A 會得到： Adagger Adagger Adagger A A Adagger Adagger 當用 A 替代 A 時，會得到： A A A A A A A 埃爾米特情況 偽逆的計算可以簡化為其在埃爾米特情況下的構造，這可以透過等價關係實現：A left AAright AA A left A Aright 其中 和 是埃爾米特矩陣。 乘積 令 A in mathbb kmtimes n B in mathbb kntimes p，下列等式等價： begin aligned Adagger A BB A BB A BBdagger A A B A A B end aligned begin aligned left Adagger A BBright Adagger A BB left A A BBdaggerright A A BBdagger end aligned Adagger A BB A A BBdagger BB A A begin aligned Adagger A B B ABdagger AB BBdagger A A A B ABdagger end aligned 下方列出了 的充分條件： 的列單位正交（此時 AA Adagger A I_n），或 的行單位正交 （此時 BB BBdagger I_n） ，或 的列線性無關（此時 Adagger A I ） 同時 的行線性無關（此時 BBdagger I），或 B A，或 B Adagger。 下方列出了 的必要條件： Adagger A BBdagger BBdagger Adagger A 由最後一個充分條件得出等式：begin align left A Aright A A left A Aright A A end align 注意：等式 一般不成立，例如：Biggl begin pmatrix 1 1 0 0 end pmatrix begin pmatrix 0 0 1 1 end pmatrix Biggr begin pmatrix 1 1 0 0 end pmatrix begin pmatrix tfrac12 0 tfrac12 0 end pmatrix quad neq quad begin pmatrix tfrac14 0 tfrac14 0 end pmatrix begin pmatrix 0 tfrac12 0 tfrac12 end pmatrix begin pmatrix tfrac12 0 tfrac12 0 end pmatrix begin pmatrix 0 0 1 1 end pmatrix begin pmatrix 1 1 0 0 end pmatrix 投影 P A Adagger 和 Q Adagger A 是正交投影運算元，即它們是埃爾米特矩陣（P P，Q Q）和冪等矩陣（P2 P，Q2 Q）。以下性質成立： PA AQ A ，Adagger P QAdagger Adagger 是正交投影運算元，投影到 的值域（也就是 的核的正交補空間）。 是正交投影運算元，投影到 的值域（也就是 的核的正交補空間）。 I Q left I Adagger Aright 是正交投影運算元，投影到 的核。 I P left I A Adagger right 是正交投影運算元，投影到 的核。 最後兩條性質隱含了下列等式： A left I Adagger Aright left I A Adaggerright A 0 Aleft I A Adaggerright left I Adagger Aright A 0 如果 A in mathbb kntimes n 是埃爾米特矩陣和冪等矩陣（當且僅當它為正交投影矩陣），則對於任意矩陣 Bin mathbb kmtimes n ，下式成立： A BAdagger BAdagger 這一條性質可以如此證明：定義矩陣 C BA D A BAdagger，當 是埃爾米特矩陣和冪等矩陣時，透過驗證偽逆的性質可以檢查 確實是 的一個偽逆。從上一條性質可以看出，當 A in mathbb kntimes n 是埃爾米特矩陣和冪等矩陣時，對於任意矩陣 B in mathbb kntimes m ABdagger A ABdagger 當 是一個正交投影矩陣，則它的偽逆就是它自身，即 Adagger A。 幾何結構 如果我們把矩陣看作是一個在數域 mathbb k 上的線性對映 ， 那麼 Adagger mathbb km to mathbb kn 可以被分解如下。首先定義符號： 表示直和， 表示正交補， 表示對映的核， operatorname ran 表示對映的像。注意 mathbb kn left ker Arightperp oplus ker A 和 mathbb km operatorname ran A oplus left operatorname ran Arightperp。 限制條件 A left ker Arightperp to operatorname ran A 則是一個同構。這意味著 在 上時這個同構的逆，在 left operatorname ran Arightperp 上則是零。 換而言之，對於給定的 要找到 ，首先將 正交投影在 的值域中，找到點 ，然後構建 ，即就是在 中，會被 投影到 的點。這是 的一個平行於 的核的仿射子空間。這個子空間中長度最小的元素（也就是最靠近原點的元素），就是我們尋找的 的解。它可以透過從 中選擇任意元素，並將其投影在 的核的正交補空間而得到。 以上描述與線性系統的最小范數解密切相關。 子空間 begin align kerleft Aright kerleft Aright operatorname ranleft Aright operatorname ranleft Aright end align 極限 偽逆可以由極限定義：Adagger lim_delta searrow 0 left A A delta Iright1 A lim_delta searrow 0 A left A A delta Iright1 （參見吉洪諾夫正則化）。當 left A Aright1 或 left AAright1 不存在時，這些極限仍然存在。 連續性 與一般的矩陣求逆不同，求偽逆的過程並不連續：如果序列 收斂到矩陣 （在最大範數或弗羅貝尼烏斯範數意義下），則 不一定收斂於。然而，如果所有的矩陣 與 有相同的秩，則 將收斂於 導數關係 實值偽逆矩陣的導數，該矩陣在某點處具有恆定的秩 可以用原矩陣的導數來計算： frac mathrm dmathrm d x Adagger x Adagger left frac mathrm dmathrm d x A right Adagger Adagger Adaggertextsf T left frac mathrm dmathrm d x Atextsf Tright left I A Adaggerright left I Adagger Aright left frac text dtext d x Atextsf Tright Adaggertextsf T Adagger 例子 對於可逆矩陣，其廣義逆為其一般的逆矩陣，所以以下僅舉一些不可逆矩陣的例子。 對於 A begin pmatrix 0 0 0 0 end pmatrix，其廣義逆矩陣為 Adagger begin pmatrix 0 0 0 0 end pmatrix（通常零矩陣的廣義逆矩陣為其轉置）。該廣義逆矩陣的唯一性可以認為時由性質 AdaggerAdagger AAdagger 得出的，因為與零矩陣相乘總會得到零矩陣。 對於 A begin pmatrix 1 0 1 0 end pmatrix，其廣義逆矩陣為 Adagger begin pmatrix frac 12 frac 12 0 0 end pmatrix。 事實上，AAdagger begin pmatrix frac 12 frac 12 frac 12 frac 12 end pmatrix，所以 AAdagger A begin pmatrix 1 0 1 0end pmatrix A。 類似的， Adagger A begin pmatrix 1 0 0 0 end pmatrix，由此 Adagger AAdagger begin pmatrix frac 12 frac 12 0 0 end pmatrix Adagger。 對於 A begin pmatrix 1 0 1 0 end pmatrix，其廣義逆矩陣為 Adagger begin pmatrix frac 12 frac 12 0 0 end pmatrix。 對於 A begin pmatrix 1 0 1 0 end pmatrix，其廣義逆矩陣為 Adagger begin pmatrix frac 12 frac 12 0 0 end pmatrix。 對於 A begin pmatrix 1 1 1 1 end pmatrix，其廣義逆矩陣為 Adagger begin pmatrix frac 14 frac 14 frac 14 frac 14 end pmatrix。 對於 A begin pmatrix 1 0 0 1 0 1 end pmatrix，其廣義逆矩陣為 Adagger begin pmatrix 1 0 0 0 frac 12 frac 12 end pmatrix 。對於該矩陣，其左逆存在且等於 Adagger，事實上，Adagger A begin pmatrix 1 0 0 1 end pmatrix。 參考 書籍 文獻 Category 線性代數