在數學裡，實數系統可以透過不同方式被定義。其中，基本方法透過一些公理將實數系統定為一個完備的有序數域。透過集合論公理，可以證明基本方法中給定的公理是絕對的，即是說如果有兩個模型都符合那些公理，那麼這兩個模型必然是同構的。這樣的模型須是從更基礎的物件構建而成的，而多數的模型的建立都是藉助於有理數域。 基本方法 一個實數系統由一個集合 R，R 當中的兩個不同元素 0 和 1 ，R 上的兩種二元運算 times （分別叫做加法與乘法），以及 R 上的一個二元關係 leq （即序關係）構成。 而且這個模型符合以下性質： R times 是一個域。即 forall x y z in R x y z x y z x times y times z x times y times z （加法與乘法的結合性） forall x y in R x y y x x times y y times x （加法與乘法的交換性） forall x y z in R x times y z x times y x times z （乘法對加法有分配律） forall x in R x 0 x（存在加法單位元） forall x in R x times 1 x（存在乘法單位元） forall x in R exists x in R x x 0（存在加法逆元） forall x in R x neq 0 Rightarrow exists x1 in R x times x1 1（存在乘法逆元） R leq 是一個全序集。即 forall x in R x leq x 自反性 forall x y in R 若 x leq y 且 y leq x ，則有 x y（反對稱性） forall x y z in R 若 x leq y 且，y leq z ，則有 x leq z （傳遞性） forall x y in R x leq y 或 y leq x （完全關係性） R 上的兩個運算 times 均與序關係 leq 相容。即 forall x y in R 若 x leq y 則 x z leq y z（加法下保持次序） forall x y in R 若 0 leq x 且 0 leq y ，則 0 leq x times y（乘法下保持次序） 序關係 leq 符合戴德金完備性：若 R 的一個非空子集 A 有上界，那麼 A 也有上確界。換言之， 若 A 是 R 的一個非空子集，而且 A 有上界，那麼 A 有一上確界 u，使得對 A 的任何上界 v，均有 u leq v 有理數域 mathbf Q 符合前三條公理，也就是說 mathbf Q 是一個有序域（同時 mathbf Q 還滿足阿基米德性，所以 mathbf Q 是一個阿基米德有序域），但 mathbf Q 不符合最後一條公理。所以戴德金完備性這一點在實數的定義中是不可或缺的。戴德金完備性蘊含了阿基米德性質。若有兩個模型符合公理 14 的話，它們必然是同構的，所以在同構意義下只有一個戴德金完備的阿基米德有序域。 附註：當我們說符合以上公理的兩個模型： R 0_R 1_R _R times _R leq _R 和 S 0_S 1_S _S times _S leq _S 是同構時，即是指存在一個保持運算和序的雙射。 確切地說存在 f R rightarrow S 滿足 f 是一個雙射 f 0_R 0_S 及 f 1_R 1_S forall xy in R f x _R y f x _S f y 及 f x times _R y f x times _S f y forall x y in R x leq _R y 當且僅當 f x leq _S f y 塔斯基實數公理 另外一種公理化實數的方法由阿爾弗雷德塔斯基提供，只需要如下所示的 8 條公理以及 4 個基本概念：一個稱之為實數集的集合（記作 mathbb R）、一個稱之為序的二元關係（記作 ）、一個稱之為加法的二元運算（記作 ）和常數 1。 序相關公理 mathbb R： 公理一：如果 xy 成立，那麼 yx 不成立，即 為非對稱關係。 公理二：如果 xz 成立，那麼存在 y 使得 xy 與 yz 同時成立，即 在實數集稠密。 公理三： 滿足戴德金完備性，即對所有 XYsubsetmathbb R，如果對所有 xin X 以及 yin Y 均滿足 xy，那麼存在 z 使得對所有 xin X 以及 yin Y 並且有 zne x 以及 zne y，總有 xz 與 zy 成立。 加法相關公理 mathbb R： 公理四：xyzxzy。 公理五：對所有 x 與 y，總存在 z 滿足 xzy。 公理六：如果 xyzw 成立，那麼 xz 或 yw 成立。 常數 1 相關公理 mathbb R1 公理七：1inmathbb R； 公理八：111。 模型的具體構造 柯西序列 首先我們需要一個定義。設 x_n 是一個有理數列，如果對於任何正有理數 r 0，存在一個正整數 N 使得對於所有的整數 m n N ，都有 x_m x_nr ，則稱 x_n 為有理數的柯西序列。 有理數集 mathbf Q 配備上度量 xy（即一般的絕對值）後便是一個度量空間。而透過一個叫作完備化的過程，可以往度量空間加進新點，從而使得度量空間中的所有柯西序列都收斂到某點。 以下說明實數集 mathbf R 可定義為 mathbf Q 對於度量 xy 的完備化。（關於 mathbf Q 在其他度量下的完備化，參見 p 進數。） 記 R 為由有理數的柯西序列組成的集合。定義兩個柯西序列的加法和乘法為： x_n y_n x_n y_n x_n times y_n x_n times y_n 運算得到的序列依然會是柯西序列。 稱兩個柯西序列是等價的，如果它們之間的差收斂到 0。這樣便在 R 上定義了一個等價關係。以 x_n 表示包含序列 x_n 的等價類。 設 mathbf R 為包含所有等價類的集合，然後也在 mathbf R 上定義加法和乘法： x_n y_n x_n y_n x_n times y_n x_n times y_n 同樣地，這兩個運算是良好定義的。 可以證明 mathbf Rtimes 是一個域。我們可以把 mathbf Q 嵌入到 mathbf R 只要把有理數 r 對應於 r 便可。 實數大小的比較也是透過在柯西序列上的定義而達成的： 稱一個實數是正的，即 x_n 0，當且僅當存在自然數 N 和正有理數 r，使得對一切 n N 有 x_n r 。稱 x_n y_n 當且僅當 x_n y_n 0。 較難推導的是 leq 的完備性，具體可以參考。 常用的小數記法可以自然地理解為柯西序列，比如說， pi 31415926 的記法意味著 pi 是柯西序列 3 31 314 3141 31415 的等價類。等式 0999 1 則斷定了序列 0 09 099 0999 和 1 1 1 1 是等價的，即它們之間的差收斂到 0。 把 mathbf R 作為 mathbf Q 的完備化有一個好處，那就是這種方法並不限於此例；對於其他度量空間也是適用的。 戴德金分割 實數可定義為有理數集上的戴德金分割，即是有理數集的一個劃分 A B，其中 A B 都非空，而且 A 的每個元素都小於 B 的任意元素。為方便起見，不妨把劃分 A B 以其下組 A 來代表，因為給定了 A 就唯一確定了 B。所以直觀上，實數 r 能被 xin textbf Qxr 所代表。 具體而言，一個實數 r 是 textbf Q 的符合以下條件的一個子集： r 是非空集合 r neq textbf Q r 是向下封閉的，即：forall x y in textbf Q x y y in r rightarrow x in r r 沒有最大元。也就是說，不存在 x in r，使得對任何 y in r 有 y leq x 記 textbf R 為所有實數的集合，也就是說它包含了所有 textbf Q 上的戴德金分割。然後在 textbf R 上定義這樣一個全序：x leq yLeftrightarrow x subseteq y 有理數可以嵌入到 textbf R 裡，透過把 q 對應於集合 x in textbf Q x q 。 因為有理數在有理數集內是稠密的，所以這個集合沒有最大元，並滿足上述的各條件。 加法：A B a b a in A land b in B 減法：A B a b a in A land b in textbf Q setminus B ，其中 textbf Q setminus B 代表 B 在 textbf Q 裡的補集，即 x x in textbf Q land x notin B 負號是減法的特例： B a b a 0 land b in textbf Q setminus B 乘法的定義較不直觀： 若 A B geq 0 ，那麼 A times B a times b a geq 0 land a in A land b geq 0 land b in B cup x in mathrm Q x 0 若 A 和 B 中有一個是負的，可以透過 A times B A times B A times B A times B 這定義式，把 A B 轉化為正數的情況，再採用上面的定義來計算。 類似地定義除法為： 若 A geq 0 B 0 ，則 A B a b a in A land b in textbf Q setminus B 若 A 和 B 中有一個是負的，可以藉助 A B A B A B A B 的定義式，把 A 換成非負數，以及把 B 換成正數，再採用上面的定義來計算。 上確界：如果 textbf R 的非空子集 S 有上界的話，那麼可以證明 bigcup S 便是其上確界。 以下示範如何以戴德金分割代表根號 2：設 A x in textbf Q x 0 lor x2 2 。 首先，對於任何自乘小於 2 的正有理數 x，都存在一個大於 x 的有理數 y ，而且有 y times y 2 。選擇 yfrac 2x2x2 便可。所以我們證明瞭 A 是一個實數。 要證明 A times A le 2 成立，只需指出如果 r 是小於 2 的有理數，那麼存在正的 xin A ，且 rx times x。 這種方法的好處是每個實數都對應於唯一的分割。 小數記法 西蒙斯蒂文 Karin Usadi Katz and Mikhail G Katz 2011 Stevin Numbers and Reality Foundations of Science Online First 首先提出了以小數來代表一切數（即現今的實數）的想法。具體地，可以將無限小數展開式作為實數的定義，然後規定像 09999 和 10000 這樣的兩種展開式是等價的，再形式化地定義好四則運算和大小次序。這種方法跟柯西序列和戴德金分割這兩種構造是等價的，而且它還給出了明確的。這種方法不限於十進位制，其他的進位制也是適用的。 用小數來構造的好處是，這跟我們對於實數的基本印象相符。一個證明 完全有序域的所有模型都同構 的標準做法便是，說明任意模型都同構於這個模型，因為我們可以系統地給每個元素建立小數展開式。 超實數 首先，透過超濾子從有理數構造出超有理數域 Q 。此處的超有理數之定義為兩個超整數的比。考慮由 Q 裡所有有界（或者說有限）元素所組成的環 B。 B 有著唯一的極大理想 I，即無窮小量。商環 BI 給出了實數域 R。 注意 B 並不是 Q 的一個內在集合。 此外，這種構造在自然數集上使用了非主超濾子，而其存在性是依賴於選擇公理的。 這個極大理想 I 保持了 Q 本身的次序。所以形成的域是一有序域。完備性的證明跟柯西序列一節中的論證類同。 超現實數 每個有序域都可以嵌入到超現實數系統內。而實陣列成了一個符合阿基米德性質的極大子域（意味著沒有實數是無窮大量）。這種嵌入方式並不是唯一的，儘管有標準的一種方式。 透過整數集（歐多克索斯實數） 一個較不為人知的構造方法只需用到整數的加法群。 這種方法已由 IsarMathLib project 正式驗證了。 ShenitzerShenitzer A 1987 A topics course in mathematics The Mathematical Intelligencer 9 no 3 4452 和 Arthan 將此構造稱為歐多克索斯實數。 設 fmathbb Ztomathbb Z 為一函式，若然 f nmf mf n nminmathbb Z 是有限集，則稱 f 為殆同態。稱兩個殆同態 fg 是 幾乎相等的，如果集合 f ng n nin mathbb Z 是有限集。如此便在殆同態上定義了一等價關係。實數被定義為各個等價類，可簡單記為 f。實數的加法，對應於殆同態的加法運算；實數的乘法，則對應於殆同態的複合運算。最後，稱 0leq f，若 f 是有界的，或者 f 在 mathbb Z 上無限多次取正值。這樣便在實數上建立了全序。 參見 數學結構主義 實分析中的例子 參考資料 Category 實數