向量運算元是指向量分析中使用的微分運算元。向量運算元使用 Nabla 算符定義，包括梯度、散度和旋度。 operatorname grad equiv nabla operatorname div equiv nabla cdot operatorname curl equiv nabla times 拉普拉斯算符表示為： nabla2 equiv operatorname div operatorname grad equiv nabla cdot nabla 向量運算元必須寫在它們所運算的標量場或向量場的左側，例如： nabla f 得到 f 的梯度，但是 f nabla 是另一個向量運算元，沒有對任何量進行運算。 一個向量運算元可對另一個向量運算元進行運算，得到一個複合向量運算元，例如上面的拉普拉斯算符。 三維空間中的純量函式與向量函式 純量函式 令 U 為空間位置 x y z 的 ，例如： U xyz x2 y2z2 r2 表示了一個球面，這是一個標量場，其中每點的值等於該球半徑的平方。 向量函式 令 V 為空間位置 x y z 的向量函式 ，它可以被拆成三個分量，寫成以下的向量形式： V xyzV_x xyzhat iV_y xyzhat jV_z xyzhat k 梯度與 Nabla 運算元的定義 純量函式 U x y z 在三維笛卡兒坐標系的各個座標軸上有以下變率： frac partial Upartial x frac partial Upartial y frac partial Upartial z 因為是沿著座標軸的變率，所以可以寫成分量形式： frac partial Upartial xhat i frac partial Upartial yhat j frac partial Upartial zhat k 其加總即為 U 的組合變率： frac partial Upartial xhat i frac partial Upartial yhat j frac partial Upartial zhat k 如同微分運算元 D 被用來表示某函式的導數，例如 D f 或 Df，我們使用 nabla 來表示組合變率： nabla U frac partial Upartial xhat i frac partial Upartial yhat j frac partial Upartial zhat k V xyz 其中 V 為一向量函式。組合變率 nabla U 稱為 U 的導數（derivative），U 則稱為 nabla U 的本原（primitive）。 nabla U 本身是一個向量函式。在幾何與物理上，它指向變化速率最大的那個方向，在這個意義上，它被稱為 U 的梯度、或斜率。 Nabla 運算元的單獨使用 我們可以把 nabla 當作一個函式，唸為 del，記為 operatorname grad，它接受一個純量函式，並傳回一個向量函式。其運算式為： nabla frac partialpartial xhat i frac partialpartial yhat j frac partialpartial zhat k，因此： nabla U left frac partialpartial xhat i frac partialpartial yhat j frac partialpartial zhat krightU frac partial Upartial xhat i frac partial Upartial yhat j frac partial Upartial zhat k operatorname grad U 將 nabla 當作一個形式上的向量，則可以用向量的內積與叉積匯出散度與旋度。 散度：Nabla 運算元與向量函式的內積 將 nabla 當作一個形式向量，與向量函式 V 做內積： nabla cdot V left frac partialpartial xhat i frac partialpartial yhat j frac partialpartial zhat krightcdot left V_xhat iV_yhat jV_zhat krightfrac partial V_xpartial x frac partial V_ypartial y frac partial V_zpartial z U xyz 這裡得到一個純量函式 U，稱為 V 的散度。 我們也可以將 nabla cdot 當作一個運算元，唸為 del dot，記為 operatorname div，它接受一個向量函式，但是傳回一個純量函式： nabla cdot V operatorname div V hat icdotfrac partial Vpartial x hat jcdotfrac partial Vpartial y hat kcdotfrac partial Vpartial z 旋度：Nabla 運算元與向量函式的叉積 將 nabla 當作一個形式向量，與向量函式 V 做叉積： begin align nabla times V left frac partialpartial xhat i frac partialpartial yhat j frac partialpartial zhat krighttimes left V_xhat iV_yhat jV_zhat kright hat i left frac partial V_zpartial y frac partial V_ypartial z right hat j left frac partial V_xpartial z frac partial V_zpartial x right hat k left frac partial V_ypartial x frac partial V_xpartial y right begin vmatrix hat i hat j hat k frac partialpartial x frac partialpartial y frac partialpartial z V_x V_y V_z end vmatrix end align 這裡得到一個向量函式，稱為 V 的旋度。 我們也可以將 nabla times 當作一個運算元，唸為 del cross，記為 operatorname curl，它接受一個向量函式，並傳回一個向量函式： nabla times V operatorname curl V hat itimesfrac partial Vpartial x hat jtimesfrac partial Vpartial y hat ktimesfrac partial Vpartial z 拉普拉斯運算元 對一個純量函式做梯度運算，可以得到一個向量函式，再對該向量函式做散度運算，又得回一個純量函式，稱為梯度的散度： nabla cdot nabla left frac partialpartial xhat i frac partialpartial yhat j frac partialpartial zhat kright cdot left frac partialpartial xhat i frac partialpartial yhat j frac partialpartial zhat kright frac partial2partial x2 frac partial2partial y2 frac partial2partial z2 這稱為拉普拉斯運算元，記為 nabla2 或者 Delta，它接受一個純量函式，並傳回一個純量函式。 參見 Nabla 算符 達朗貝爾算符 Vector Analysis Gibbs and Wilson p136 p152 p158 延伸閱讀 H M Schey 1996 Div Grad Curl and All That An Informal Text on Vector Calculus ISBN 0393969975 Category 向量分析