音高集合是一個集合，其中所有的音高都剛好差整數倍的八度音，舉例來說，音高集合 C 包含了所有八度音中的 C Arnold Whittall The Cambridge Introduction to Serialism New York Cambridge University Press 2008 276 pbkDon Michael Randel ed 2003 Set theory The Harvard Dictionary of Music p776 Harvard 。若以科學音高記法來表示，則音高集合 C 如下： Cn n 為整數 C2 C1 C0 C1 C2 C3 其中，C2 比 C1 高八度音，頻率為後者兩倍，數字每多一，就高一個八度，頻率變兩倍。雖然 n 沒有正式的範圍，但人耳只聽得到部分的音高 約 20 赫茲至 18000 赫茲，故 n 大多範圍在 0 到 11 之間。人耳對音高的感知是對數線性，且在同一音高集合中的音高，因為頻率為倍數關係，彼此有疊加的關係，故聽起來非常和諧，有相似的感受，此關係稱為「等價八度」，故音高集合的概念非常重要。 心理學家把音高的特性稱為色度 Tymoczko Dmitri 2011 A Geometry of Music Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice p30 Oxford Studies in Music Theory ，在同一個音高集合中，有不同頻率的音高組合，但每個音高都有著相同的色度，若以色彩當對照比喻的話，可以把音高集合想成裝有白色物體的集合，裡面的東西不同，但彩度都為白色 Müller Meinard 2007 Information Retrieval for Music and Motion p60 A pitch class is defined to be the set of all pitches that share the same chroma。 要注意在標準西方音樂標記中，不同的符號可能代表相同的音高，譬如 B3 C4 和 D4 都是相同的，因此也有著一樣的色度，被歸類在同一種音高集合中。 整數標記法 為了避免相同標記造成誤會，音高集合通常用數字來表示音高集合，以常見的十二平均律為例，一個八度可以平均分成十二個等分，數字由 0 到 11，每個數字都比前個數字高一個半音，不會有 12 的出現，因為 12 剛好到達八度音，頻率兩倍，會算在音高集合第 0 類。故可直接將 MIDI 值除以 12，餘數相同的就會在對應的音高集合中。 音符頻率 根據美國標準協會定義，A4 的頻率為 440 赫茲，故低一個八度音的 A3 頻率為 A4 一半 220 赫茲。A3 到 A4 之間差了一個八度音程，由十二平均律師可平分為 12 等份的半音，r 為每個半音所差的頻率倍數，B 比 A 高了兩個半音，C 比 A 高了三個半音，可依此計算各個音符的頻率。 r sqrt 122 Freq_B_4 440times r2 440times2frac 212approx49388 Hz Freq_C_4 440times r3 440times2frac 312approx52325 Hz MIDI 值 MIDI 值用 0127 的實數來代表 C2 到 G8 的音高，若高一個半音，則數字多一，A4 的 MIDI 值為 69，B4 的 MIDI 值為 71，C4 的 MIDI 值為 72 以此類推。若想計算每個音高的 MIDI 值和頻率，可用以下方程式計算，f 是基頻 單位為赫茲，p 是 MIDI 值： p 69 12 log_2f440 故可將 MIDI 值直接除以 12，即可得到對應音高集合，我們也可用符號取代整數標記法。 0 equiv C 1 equiv CDb 2 equiv D 但有時 1011 分別會用 te 表示，或是 AB 表示。 應用 音高集合與色度可應用在複音 和絃 的特徵抽取，複音代表同時有兩個以上的音，彼此可能有不同的音訊，故有多個音高集合構成，且可轉換成色度用向量去紀錄各個音高集合的比重，如果以最常見的十二平均律為例，可以用一個十二維的向量來代表色度，第一維代表著音高集合 C 的比重，第二維代表著音高集合 C 的比重，第三維代表著音高集合 D 的比重，以此類推，則 C 大三和絃，以色度表示，第一維 C、第五維 E、第九維 G 的值會特別大，但是其他九維的值也不會等於零，因為弦樂器有除了基本音訊外，還有第一泛音、第二泛音、第三泛音等等，且和絃為複音，彼此的泛音又會共鳴，造成許多組成音以外的音。若可取出大量和絃音訊的十二維色度特徵，即可透過機器學習的方法，由電腦自動判斷新音訊之合弦。但此特徵抽取的方法有個小缺陷，因為色度無法分辨音高來自哪個八度音，故無法分辨出二度音和九度音，故會造成有些特殊和絃無法區別，比如說九和絃、十一和絃、十三和絃。 參見 升號 降號 資料來源 Category 記譜法 1 Arnold Whittall The Cambridge Introduction to Serialism New York Cambridge University Press 2008 276 ISBN 9780521682008 pbk 2 Don Michael Randel ed 2003 Set theory The Harvard Dictionary of Music p776 Harvard ISBN 9780674011632 3 Tymoczko Dmitri 2011 A Geometry of Music Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice p30 Oxford Studies in 4 Music Theory ISBN 9780199714353 5 Müller Meinard 2007 Information Retrieval for Music and Motion p60 ISBN 9783540740483 A pitch class is defined to be the set of all pitches that share the same chroma6 Whittall 2008 p273Robert D MorrisGeneralizing Rotational Arrays Journal of Music Theory 32 no 1 Spring 1988 75132 citation on 83 延伸閱讀 1 Purwins Hendrik 2005 Profiles of Pitch Classes Circularity of Relative Pitch and KeyExperiments Models Computational Music Analysis and Perspectives PhD Thesis Berlin Technische Universität Berlin 2 Rahn John 1980 Basic Atonal Theory New York Longman London and Toronto Prentice Hall International ISBN 0028731603 Reprinted 1987 New York Schirmer Books London Collier Macmillan 3 Schuijer Michiel 2008 Analyzing Atonal Music PitchClass Set Theory and Its Contexts Eastman Studies in Music 60 Rochester NY University of Rochester Press ISBN 9781580462709