在幾何學中，五角二十四面體是一種卡塔蘭多面體 The Symmetries of Things 2008 John H Conway Heidi Burgiel Chaim GoodmanStrass ISBN 9781568812205 Chapter 21 Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings page 287 pentagonal icosikaitetrahedron，由 24 個全等的不等邊五邊形組成，其對偶多面體為扭稜立方體 The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals Page 28 Pentagonal icositetrahedron，共有 24 個面、60 個邊和 38 個頂點。 在礦物學中，這種形狀又稱為五角三八面體、螺旋二十四面體（gyroid）、五角偏方三八面體或偏菱五角二十四面體，部分的礦石可以結晶成這種形狀，例如赤銅礦 化學成份為氧化亞銅（Cu2O）的氧化物礦物可以結晶成五角二十四面體。 性質 五角二十四面體是一個，也就是說，該多面體鏡射之後會跟原本的型形狀不同，無法藉由旋轉半周再回到原本的形狀。這兩種形式互為映象（或 對映體），又稱為手性映象，且其面、頂點、邊數皆相同，共有 24 個面、60 個邊、38 個頂點。 五角二十四面體的旋轉透檢視 五角二十四面體的另一個手性映象的旋轉透檢視 五角二十四面體的對偶多面體為扭稜立方體，換句話說即這個多面體的頂點可以對應到扭稜立方體每個面的幾何中心、扭稜立方體的每個頂點可以對應到五角二十四面體的幾何中心。 面的組成 五角二十四面體由 24 個全等的具有映象對稱性之不等邊五邊形組成。這種不等邊五邊形有兩種邊長，有三個邊為短邊（下圖中以 b 表示）、兩個邊為長邊（下圖中以 a 表示）。長邊的邊長為短邊的一半再加上短邊的倍，即： 短邊：長邊 1frac 12frac t2 其中，t 為，即： frac 1sqrt 3193sqrt 33sqrt 3193sqrt 333 frac 14coshleft frac 13cosh1left 2frac 38rightright3 approx 1839286755214161 這個數為 x3 x2 x 1 0 的實根。 這個不等邊五邊形兩個長邊相鄰，其夾角為二減去三波那契常數的反餘弦值（arccos left 2tright 約為 8075 度）；其餘 4 個角皆為二分之一減去一半的三波那契常數之反餘弦值（arccos left tfrac 12tfrac t2right 約為 11481 度）。 若對應的對偶多面體 扭稜立方體邊長為單位長，則相應的五角二十四面體面的短邊邊長為： bfrac sqrt 6left 4sqrt 32left 133sqrt 33rightsqrt 32left 133sqrt 33rightright6approx 0593465355971987310502 相應的五角二十四面體面的長邊邊長為： afrac sqrt 3left 4sqrt 3193sqrt 33sqrt 3193sqrt 33right6approx 08425091624448604672504 體積與表面積 若對應的對偶多面體 扭稜立方體邊長為單位長，則相應的五角二十四面體的體積與表面積為： begin align A 3sqrt frac 22 5t14t3 approx 1929994 V sqrt frac 11 t42 20t37 approx 74474 end align 而根據相應的邊長關係，可以得到以邊長表示的體積與表面積： A frac 24a2 23t12t sqrt frac 1t1t frac 12b2 23t12t2 sqrt 1t2 approx 2719a2 approx 548b3 V frac 4a3 23tsqrt 12t1t14t2 frac 2b3 1t23t12t2sqrt 12t approx 1245a3 approx 3563b3 正交投影 五角二十四面體有三種具有特殊對稱性的正交投影，分別是以度為三的頂點為中心、以度為四的頂點為中心以及以與側邊中點為中心的正交投影。前兩者對稱性對分別應於 A2 和 B2 的考克斯特平面。 正交投影 投影位置 度為三的頂點 度為四的頂點 側邊中點 投影對稱性 3 4 2 影像 對偶多面體 變體 五角二十四面體有另外一種同樣所有面全等的變體。這種變體具有八面體群的對稱性，且具有 3 種不同的邊長。這種變體可以透過在扭稜立方體的 6 個正方形與 8 個三角形的面上加上角錐至與鄰面共面來構造。 BR 扭稜立方體的面上加上角錐至與鄰面共面 BR 五角二十四面體變體 BR 該變體地展開圖 相關多面體及鑲嵌 五角二十四面體的拓樸結構屬於 432 的旋轉對稱性，其他同為 n32 旋轉對稱性的幾何結構有： 扭稜鑲嵌對稱性 n32 的變種： 3333n 扭稜鑲嵌對稱性 n32 的變種： 3333n 扭稜鑲嵌對稱性 n32 的變種： 3333n 扭稜鑲嵌對稱性 n32 的變種： 3333n 扭稜鑲嵌對稱性 n32 的變種： 3333n 扭稜鑲嵌對稱性 n32 的變種： 3333n 扭稜鑲嵌對稱性 n32 的變種： 3333n 扭稜鑲嵌對稱性 n32 的變種： 3333n 扭稜鑲嵌對稱性 n32 的變種： 3333n 對稱性 BR 緊湊雙曲 緊湊雙曲 仿緊雙曲 對稱性 BR 232 332 432 532 632 732 832 32 扭稜圖 頂點圖 33332 33333 33334 33335 33336 V33332 V33333 V33334 V33335 V33336 V3333 關於的拓樸結構屬於 432 的旋轉對稱性的五角二十四面體，亦可以從 4n2 旋轉對稱性進行比較。這些相關幾何結構包括： 扭稜鑲嵌對稱性 4n2 的變種： 3343n 扭稜鑲嵌對稱性 4n2 的變種： 3343n 扭稜鑲嵌對稱性 4n2 的變種： 3343n 扭稜鑲嵌對稱性 4n2 的變種： 3343n 扭稜鑲嵌對稱性 4n2 的變種： 3343n 扭稜鑲嵌對稱性 4n2 的變種： 3343n 扭稜鑲嵌對稱性 4n2 的變種： 3343n 扭稜鑲嵌對稱性 4n2 的變種： 3343n 扭稜鑲嵌對稱性 4n2 的變種： 3343n 對稱性 BR 緊湊雙曲 緊湊雙曲 緊湊雙曲 緊湊雙曲 仿緊雙曲 對稱性 BR 242 342 442 542 642 742 842 42 扭稜圖 33432 33433 33434 V33432 V33433 V33434 V33435 V33436 V33437 V33438 V3343 五角二十四面體是立方體經過扭稜變換後的對偶多面體，其他也是由立方體透過康威變換得到的多面體有： 43 43 43 43 43 43 43 43 43432 143 33 143 33 34 43 t 43 r 43 r 311 t 34 t 311 34311 rr 43 s2 34 tr 43 c 43 sr 43 h 4333 h2 43 t 33 s 34 s 311 or or 對偶多面體 對偶多面體 對偶多面體 對偶多面體 對偶多面體 對偶多面體 對偶多面體 對偶多面體 對偶多面體 對偶多面體 對偶多面體 V43 V382 V 34 2 V462 V34 V343 V468 V46263 V344 V33 V362 V35 五角二十四面體圖 在圖論的數學領域中，與五角二十四面體相關的圖為五角二十四面體圖，是五角二十四面體之，同時也是拓樸結構與五角二十四面體等架的圖論 zhhant 物件；zhhans 物件；，由 38 個節點和 60 條邊組成，是一個哈密頓圖。 性質 五角二十四面體圖有 60 條邊和 38 個頂點，其中度為 3 的頂點有 32 個；度為 4 的頂點有 6 個。這個圖的直徑是 7，半徑是 6，其中半徑代表圖中所有頂點偏心率的最小值、直徑代表代表圖中所有頂點偏心率的最大值、偏心率為某頂點和離其最遠點的距離。換句話說五角二十四面體圖在不考慮迴圈路徑下頂點間最大距離只少相距 6 個頂點，最長距離不超過 7 個頂點。五角二十四面體圖的圍長為 5，即在這個圖內最小的迴圈路徑為 5 個頂點。 BR 五角二十四面體的平行投影是一種五角二十四面體圖 BR 以類似的方式呈現的五角二十四面體圖 BR 五角二十四面體圖的另一種表示法 五角二十四面體圖的特徵多項式為： x22 x13 x x2x7 x2x3 x22 x12 x34 x13 x5x48 x39 x27 x43 參見 卡塔蘭立體 對偶多面體 參考文獻 Section 39 外部連結 Category 卡塔蘭立體