數學中，標架叢是一個與任何向量叢 E 相伴的主叢。F E 在一點 x 的纖維是 Ex 的所有有序基或曰標架。一般線性群透過基變更自然作用在 F E 上，給出標架叢一個主 GLk R 叢結構，這裡 k 是 E 的秩。 一個光滑流形的標架叢是與其切叢相伴的叢。因此它有經常稱為切標架叢。 定義與構造 設 E X 是拓撲空間 X 上一個 k 階實向量叢。在點 x X 的一個標架是向量空間 Ex 的一個有序基。等價地，一個標架可以視為線性同構 p mathbb Rk to E_x 在 x 的所有標架集合，記作 Fx，所有可逆 kk 矩陣組成的一般線性群 GLk R 在它上面有一個自然右作用：一個群元素 g GLk R 透過複合作用在 p 的標架上給出一個新標架 pcirc gmathbb Rkto E_x GLk R 在 Fx 上這個作用是自由傳遞的（這是標準線性代數結論：存在惟一可逆線性變換將一個基變為另一個）。作為一個拓撲空間 Fx 同胚於 GLk R，但它沒有群結構，因為沒有 優先的標架。空間 Fx 稱為一個 GLk Rtorsor。 E 的標架叢，記作 F E 或 FGL E，是所有 Fx 的不交併： mathrm F E coprod_xin X F_x F E 中每個點是一個二元組 x p，其中 x 是 X 中一點而 p 是 x 處一個標架。存在自然投影 π F E X 將 x p 送到 x。群 GLk R 如上右作用在 F E 上。這個作用顯然是自由的且軌道恰是 π 的纖維。 標架叢 F E 可給一個自然的拓撲，其叢結構由 E 確定。設 Ui φi 是 E 的一個區域性平凡化。則對每個 x Ui 有一個線性同構 φix Ex Rk。這個資料決定了一個雙射 psi_i pi1U_ito U_itimes mathrm GL_k mathbb R 由下式給出 psi_i xp xvarphi_ixcirc p 有了這個雙射後，每個 π1 Ui 可賦予 Ui GLk R 的拓撲。則 F E 上的拓撲是由包含對映 π1 Ui F E 餘誘導的最終拓撲。 有了上面所有資料後，標架叢 F E 成為 X 上一個結構群為 GLk R 的主纖維叢，具有區域性平凡化 Ui ψi，可以驗證 F E 的轉移函式與 E 的相同。 上面所有工作對光滑範疇也成立：如果 E 是光滑流形 M 上一個光滑向量叢，則 E 的標架叢可賦予 M 上光滑主叢結構。 相伴向量叢 向量叢 E 與它的標架叢 F E 是相伴叢。每一個決定了另一個。標架叢 F E 可如上由 E 構造出來，或更抽象地利用。在後一個方法中，F E 與 E 有同樣底、平凡化鄰域以及轉移函式，但有抽象纖維 GLk R，這裡結構群 GLk R 作用在纖維 GLk R 上是左乘。 給定一個線性表示 ρ GLk R V，有一個向量叢相伴與 F E mathrm F Etimes_rho V 它由乘積 F E V 模去等價關係 pgv pρg v，對所有 g 屬於 GLk R，給出。記等價類為 pv。 向量叢 E 自然同構於叢 F E ρ Rk，這裡 ρ 是 GLk R 在 Rk 上的基本表示。同構由 pvmapsto p v 給出，這裡 v 是 Rk 中一個向量而 p Rk Ex 是 x 處一個標架。容易驗證這個對映是良定義的。 任何相伴與 E 的向量叢可由如上構造給出。例如，E 的對偶叢由 F E ρ Rk 給出，這裡 ρ 是基本表示的對偶。E 的張量叢可類似地構造。 切標架叢 一個光滑流形 M 的切標架叢（或簡稱標架叢）是與 M 的切叢相伴的標架叢。 M 的標架叢通常記作 FM 或 GL M 而不是 F TM。如果 M 是 n 維的則切叢的秩為 n，所以 M 的標架叢是 M 上一個主 GLn R 叢。 光滑標架 M 的標架叢的區域性截面稱為 M 上的光滑標架。主叢橫截定理說 M 中任何有光滑標架的開集 U 上標架叢是平凡的。給定一個光滑標架 s U FU，平凡化 ψ FU U GLn R 由 psi p x s x1circ p 給出，這裡 p 是 x 處一個標架。從而一個流形是可平行化的當且僅當 M 的標架叢有一個整體截面。 因為 M 的切叢在 M 的任何座標鄰域是可平凡化的，故標架叢也是。事實上，給定任何座標鄰域 U 帶有座標 x1xn，座標向量場 left frac partialpartial x1cdotsfrac partialpartial xnright 定義了 U 上一個光滑標架。在標架叢上工作的一個好處是它們允許我們處理標架而不是座標架；我們可選取對手中問題合適的標架。這有時稱為活動標架法。 焊接形式 流形 M 的標架叢是一類特殊的主叢，它的幾何本質上繫於 M 的幾何。這種關係可用 FM 上一個稱之為焊接形式（或稱基本或重言 1 形式）向量值 1 形式表示。設 x 是流形 M 上一點，p 是 x 處一個標架，故 p mathbb Rnto T_xM 是 Rn 與 M 在 x 處切叢的一個線性同構。FM 的焊接形式是一個 Rn 值 1 形式 θ，定義為 theta_p xi p1mathrm dpi xi 這裡 ξ 與 FM 相切於 xp，p1TxM Rn 是標架對映的逆，dπ 是投影對映 π FM M 的微分。焊接形式是水平的，它在與 π 的纖維相切的向量上為零，以及右等變，即 R_gtheta g1theta 這裡 Rg 是由 g GLn R 的左平移。FM 上這樣性質的形式稱為基本或張量性形式。這樣的形式與 TM 值 1 形式一一對應，從而與 M 上光滑叢對映 TM TM 一一對應。這樣看來，θ 恰好是 TM 上恆等對映。 標準正交標架叢 如果向量叢 E 配有一個黎曼叢度量，則每個纖維 Ex 不僅是一個向量空間而且是一個內積空間。這樣便可以討論 Ex 的所有標準正交標架集合。Ex 的一個標準正交標架是 Ex 的一個有序標準正交基，或等價地，一個等距線性同構 pmathbb Rk to E_x 這裡 Rk 配有標準歐幾里得度量。正交群 O k 透過右複合自由傳遞作用在所有標準正交標架上。換句話說，所有標準正交標架集合是一個右 O ktorsor。 E 的標準正交標架叢，記作 FO E，是在底空間 X 上每一點 x 處的所有標準正交標架集合。它可用完全類似於通常標架叢的方法構造出來。秩 k 的黎曼向量叢 E X 的標準正交標架是 X 上一個主 O k 叢。同樣，此構造在光滑範疇一樣成立。 如果向量叢 E 可定向，則我們可定義 E 的定向標準正交標架叢，記作 FSO E，是所有正定向標準正交標架叢，這是一個主 SO k 叢。 如果 M 是一個 n 維黎曼流形，則 M 的標準正交標架叢，記作 FOM 或 O M，是與 M 的切叢（由定義它配有一個黎曼度量）相伴的標準正交標架叢。如果 M 可定向，則也有定向標準正交標架叢 FSOM。 給定一個黎曼向量叢 E，標準正交標架叢是一般線性標架叢的 O k 子叢。換句話說，包含對映 imathrm F_mathrm OE to mathrm F_mathrm GLE 是一個主叢對映。我們說 FO E 是 FGL E 的結構群從 GLk R 到 O k 的約化。 G 結構 如果光滑流形 M 有額外的結構，通常自然地考慮 M 全標架叢的一個適應於給定結構的子叢。例如，如果 M 是一個黎曼流形，我們從上面看到自然地去考慮 M 的標準正交標架叢。標準正交標架叢只不過是 FGL M 的結構群到正交群 O n 的約化。 一般地，如果 M 是一個光滑 n 流形，G 是 GLn R 的一個子李群，我們定義 M 上一個 G 結構為 FGL M 結構群到 G 的一個約化。具體地說，這是 M 上一個主 G 叢 FG M，以及 M 上一個 G 等變叢對映 mathrm F_GM to mathrm F_mathrm GLM 在這種語言中，M 上一個黎曼度量給出 M 上一個 O n 結構。下面是其它一些例子。 每個定向流形有一個定向標架，這就是 M 上一個 GLnR 結構。 M 上一個體積形式確定了 M 上一個 SLn R 結構。 一個 2n 維辛流形有一個自然的 Sp2n R 結構。 一個 2n 維復或殆複流形有一個自然的 GLn C 結構。 在某些例子中，M 上一個 G 結構惟一確定了 M 上對應的結構。例如 M 上一個 SLn R 結構確定了 M 上一個體積形式。但是，在某些情形，比如辛與複流形，需要一個可積性條件。M 上一個 Sp2n R 結構惟一確定了 M 上一個非退化 2 形式，但對 M 是辛的，這個 2 形式必須也是閉的。 參考文獻 Category 纖維叢 Category 向量叢