在物理學中，布拉格定律給出晶格的相干及不相干散射角度。當 X 射線入射於原子時，跟任何電磁波一樣，它們會使電子雲移動。電荷的運動把波動以同樣的頻率再發射出去（會因其他各種效應而變得有點模糊）；這種現象叫瑞利散射（或彈性散射）。散射出來的波可以再相互散射，但這種進級散射在這裡是可以忽略的。當中子波與原子核或不成對電子的相干自旋進行相互作用時，會發生一種與上述電磁波相近的過程。這些被重新發射出來的波來相互干涉，可能是相長的，也可能是相消的（重疊的波某程度上會加起來產生更強的波峰，或相互消抵），在探測器或底片上產生繞射圖樣。而所產生的波干涉圖樣就是繞射分析的基本部份。這種解析叫布拉格繞射。 布拉格繞射（又稱 X 射線繞射的布拉格形式），最早由威廉勞倫斯布拉格及威廉亨利布拉格於 1913 年提出，他們早前發現了固體在反射 X 射線後產生的晶體線（與其他物態不同，例如液體），而這項定律正好解釋了這樣一種效應。他們發現，這些晶體在特定的波長及入射角時，反射出來的輻射會形成集中的波峰（叫布拉格尖峰）。布拉格繞射這個概念同樣適用於中子繞射及電子繞射 John M Cowley 1975 Diffraction physics NorthHolland Amsterdam ISBN 0444107916 。中子及 X 射線的波長都於原子間距離 150 pm 相若，因此它們很適合在這種長度作 探針 之用。 威廉勞倫斯布拉格使用了一個模型來解釋這個結果，模型中晶體為一組各自分離的平行平面，相鄰平面間的距離皆為一常數 d。他的解釋是，如果各平面反射出來的 X 射線成相長干涉的話，那麼入射的 X 射線經晶體反射後會產生布拉格尖峰。當相位差為 2π 及其倍數時，干涉為相長的；這個條件可經由布拉格定律表示例如，見使用布拉格定律計算原子間距離的例子 。： nlambda2dsintheta 其中 n 為整數，λ 為入射波的波長，d 為原子晶格內的平面間距，而 θ 則為入射波與散射平面間的夾角。注意移動中的粒子，包括電子、質子和中子，都有對應其速度及質量的德布羅意波長。 布拉格定律由物理學家威廉勞倫斯布拉格爵士有一些資料來源，例如《美國學術百科》，把這項發現歸功於威廉勞倫斯布拉格及其父威廉亨利布拉格，然而 諾貝爾獎官方網站 及關於他的傳記 Light Is a Messenger The Life and Science of William Lawrence Bragg Graeme K Hunter 2004 and Great Solid State Physicists of the 20th Century Julio Antonio Gonzalo Carmen Aragó López 都有明確指出，威廉勞倫斯布拉格是獨立地推匯出這條定律的。於 1912 年推匯出來，並於 1912 年 11 月 11 日首度於劍橋哲學會中發表。儘管很簡單，布拉格定律確立了粒子在原子大小下的存在，同時亦為晶體研究提供了有效的新工具X 射線及中子繞射。威廉勞倫斯布拉格及其父，威廉亨利布拉格爵士獲授 1915 年諾貝爾物理學獎，原因為晶體結構測定的研究，他們測定了氯化鈉、硫化鋅及鑽石的結構。 他們是唯一一隊同時獲獎的父子隊伍，而威廉勞倫斯布拉格時年 25 歲，因此成了最年輕的諾貝爾獎得主。 布拉格條件 當電磁輻射或亞原子粒子波的波長，與進入的晶體樣本的原子間距長度相若時，就會產生布拉格繞射，入射物會被系統中的原子以鏡面形式散射出去，並會按照布拉格定律所示，進行相長干涉。對於晶質固體，波被晶格平面所散射，各相鄰平面間的距離為 d。當被各平面散射出去的波進行相長干涉時，它們的相位依然相同，因此每一波的路徑長度皆為波長的整數倍。進行相長干涉兩波的路徑差為，其中為散射角。由此可得布拉格定律，它所描述的是晶格中相鄰晶體平面（由米勒指數 h、k 及 l 標記），產生相長干涉的條件 ： 2 dsintheta nlambda ， 其中 n 為整數，按各項引數大小而定，而 λ 則為波長。透過量度散射後入射波的強度，並將之表示成入射角的函式，可得干涉圖樣。在干涉圖樣中，當散射波滿足布拉格條件，就會產生非常強的強度，它們叫布拉格尖峰。 倒空間 儘管很多人都以為布拉格定律量度的是實空間中的原子距離，但事實並不是這樣的。在布拉格實驗中，只有在量度的距離與晶格圖中的 d 成反比時，第一陳述才似乎會是正確的。而且，從布拉格定律的 nlambda 項，可以看出定律量度兩排原子間到底能放多少個波長，因此它所量度的是倒距離。倒晶格向量描述的是某組晶格平面，它是這組平面的法向量，其長度為 G 2pi d。馬克斯馮勞厄用向量形式正確地詮釋了倒晶格向量，並得出以他命名的勞厄方程式： vec G vec k_f vec k_i 其中 vec G 為倒晶格向量，而 vec k_f 及 vec k_i 為入射及繞射束的波向量。 彈性散射條件 k_f k_i，及散射角 2 theta 與上式結合後，基本上與布拉格方程等效。這是因為動量轉移守恆的緣故。在這個系統中，其掃掠變數可以是長度、入射方向或出射波向量，其中波向量與系統中的能量及角度彌散有關。繞射角與 Q 空間的關係可用一簡單的式子表示： Q frac 4 pi sin left theta rightlambda。 倒晶格是一晶格的傅立葉空間，在晶格上應用完整的波動力學時，這個概念是不可或缺的。 另一種推導 設一單色波（任何種類），進入一組對齊的平面晶格點，其平面間距為 d，入射角為 theta，如右圖所示。波被晶格點 A 反射後會沿 AC 行進，而沒有被反射的波則沿 AB 繼續行進，被晶格點 B 反射後路徑為 BC。AC 與 BC 間存在路徑差，表示式為 ABBC AC。 只有在路徑差等於波長的整數倍時，這兩股分開的波，在到達某一點時，會是同相位的，才會因此產生相長干涉，故相長干涉的產生條件為 ABBC AC nlambda， （需要為 C 下定義） 其中 n 與 lambda 的定義同上。 從上圖可見， ABBCfrac dsintheta 且 ACfrac 2dtantheta， 由此可得， ACACcdotcosthetafrac 2dtanthetacosthetaleft frac 2dsinthetacosthetarightcosthetafrac 2dsinthetacos2theta。 組合上述各式，得 nlambdafrac 2dsintheta1cos2thetafrac 2dsinthetasin2theta， 簡化後可得： nlambda2dsintheta， 即布拉格定律。 膠體晶體的布拉格可見光散射 為一種非常的粒子陣列，可以在大範圍內形成（長度從幾微米到幾毫米不等），而且可被看作原子及分子晶體的類比。球狀粒子的週期性陣列，會形成出相似的空隙陣列，而這種陣列可被用作可見光的繞射光柵，尤其是當空隙與入射波長為同一數量級的時候 Luck W et al Ber Busenges Phys Chem Vol 67 p84 1963。 因此，科學家們在很多年前就發現了，由於相斥庫侖相互作用的關係，水溶液中的帶電荷高分子，會表現出大範圍的類晶體相互關聯，當中粒子間距一般會比粒子直徑要大得多。在自然的所有這種例子中，都可到看到一樣的漂亮構造色（或晃動的色彩），這都可以歸功於可見光波的相長干涉，而此時光波會滿足布拉格條件，跟結晶固體的 X 射線繞射類似。 選擇定則與實驗晶體學 就跟上文提過的那樣，布拉格定律可用於計算某立方晶系的晶格間距，關係式如下： d frac asqrt h2 k2 l2 其中 a 為立方晶體的晶格間距，而 h、k 及 l 則為布拉格平面的密勒指數，將上式與布拉格定律結合可得： left frac lambda2a right2 frac sin 2 thetah2 k2 l2 。 我們可以推匯出各種不同立方布拉菲晶格的密勒指數選擇定則；以下是其種幾種晶格的選擇定則。 密勒指數的選擇定則 布拉菲晶格 化合物例子 可行反射 不可行反射 簡單立方 釙、氯化鉀 任何 h、k、l 無 體心立方 鐵、鎢、鉭、鉻 h k l 為偶數 h k l 為奇數 面心立方 銅、鋁、鎳、氯化鈉、氫化鋰、硫化鉛 h、k、l 皆為奇數或偶數 h、k、l 當中有奇數也有偶數 金剛石型 硒化鋅、氯化銅、碘化銀、氟化銅、矽、鍺 皆為奇數，或皆為偶數且 hkl 4n 同上，或皆為偶數但 hkl 4n 鈦、鋯、鎘、鈹 l 為偶數或 h 2k 3n l 為奇數且 h 2k 3n 這些選擇定則可用於對應晶體結構下的任何晶體。儘管氯化鈉呈現面心立方的結構，但是由於氯離子跟鈉離子的大小相近，因此繞射圖樣實質上跟簡單立方結構一致，只是各項晶體引數都小了一半。其他結構的選擇定則可在各種相關的參考文獻中找到，也可以自行推匯出來。 另見 晶格 繞射 分散式布拉格反射器 勞厄方程式 結構因子 威廉勞倫斯布拉格 X 射線晶體學 奧古斯特布拉菲 布拉菲晶格 參考資料 延伸閱讀 Neil W Ashcroft and N David Mermin Solid State Physics Harcourt Orlando 1976 外部連結 1915 年諾貝爾物理學獎 httpwwwcitycollegiatecominterference_braggshtm httpswebarchiveorgweb20100421231804httpsrsdlacukstation94diffractionselectionruleshtm httpwwwphysicsuoguelphcadetongphys3510_4500xraypdf Category 繞射 Category 中子 Category X 射線 Category 凝聚體態物理學