在數論中，佩服數（英文：），是指若一個正整數除了本身外之所有的因數為方便說明，本條目中的「因數」一律指正因數。，存在一個因數 dprime，將其他不是本身、不是 dprime 的因數相加後，再減掉 dprime，若等於本身，就稱它為「佩服數」。換句話說佩服數是計算一數的因數和，但其中一個因數是以相反數和其他因數相加，得到的值是自己本身的數。有這種性質的數雖未如完全數一般的完美，但仍被形容為「令人敬佩的」。 所有大於 3 的質數的 6 倍都是佩服數假設 p 是一個大於 3 的質數，則 6p 可因數分解為 2times 3times p，因此 6p 共有 8 個因數，分別為：1、2、3、6、p、2p、3p、6p，當中存在一個因數 6，使得 123p2p3p66p 本身，因此對所有大於 3 的質數 p，6p 都是佩服數，因此佩服數有無窮多個。 定義 一個正整數除了本身外之所有因數，存在一個因數 dprime，將其他不是本身、不是 dprime 的因數相加後，再減掉 dprime，若等於本身，就稱它為是佩服數。 例如 12 的因數有 1、2、3、4、6、12。其中存在一個因數 2，使得 1346 2 12，同時，12 也是最小的佩服數。 更為嚴格地說，佩服數是指使得公式 sigmaleft nright 2 dprime 2 n 成立的正整數，其中 σ 指的是因數和函式，即 n 的所有正因數（包括其本身 n）之和。dprime 是 n 的其中一個因數。 例如 20 的因數有 1、2、4、5、10、20，其因數和函式的結果為 sigmaleft 20right 1245102042，存在一個因數 1，使得 sigmaleft 20right 1times 2 20times 2，所以 20 可稱為佩服數。 佩服數是過剩數的一個子集，換句話說所有佩服數都是過剩數。 例子 最小的一些佩服數是： 354 以上列出的佩服數都是偶數。最小的奇佩服數是 945，同時最小的奇過剩數、奇半完全數 Section B2 pp75 也是 945。 前幾個奇佩服數是： 945、4095、6435、7425、8415、8925、9555、26145、28035、30555、31815、32445、43065、46035、78975、80535、81081、103455、129195 連續的佩服數指兩個相鄰的整數都是佩服數的情況比連續的過剩數還要少。在 1012 以下，只有兩組連續佩服數，分別是 29691198404 29691198405 和 478012798575 478012798576。 佩服數的分佈並不像過剩數那樣，過剩數有著非零的自然密度，而佩服數的成長率非線性的，例如小於 100 的佩服數有 13 個、小於 1000 的佩服數有 65 個、小於 10000 的佩服數有 379 個，其密度隨著數字尺度變大而逐漸減少。 所有大於 3 的質數的六倍都是佩服數，更精確地說，所有的質數與質因數不含該質數之完全數的乘積都是佩服數假設 p 是一個大於 3 的質數、q 是一個完全數，則 pcdot q 的因數包含所有 q 的因數和所有 q 與 p 的乘積，已知 q 的因數和為 2q，因此 pcdot q 的所有正因數和為 2q2pcdot q，不含 pcdot q 本身的因數和為 2q2pcdot qpcdot q 為 2qpcdot q，因此當中存在一個因數 q 使得其不包括 q 的因數和 qpcdot q 減去 q 等於 pcdot q 本身，因此對所有大於 3 的質數 p，pcdot q 都是佩服數。 相關的數列 盈完全數 有一種與佩服數類似但不太一樣的定義：一個正整數除了本身外之所有因數中，存在一個因數 dprime，將其他不是本身的因數相加後，再減掉 dprime，等於本身。有這些性質的前幾個數有： 12、18、20、24、40、56、88、104、120、196、224、234、368、464、650、672、992、1504、 例如 18 的因數有 1、2、3、6、9、18 有一個因數 3，使得 left 12369right318。 有這種性質的數最小的奇數是 173369889，同時也是最小的奇擬完全數，但不是佩服數。 特別的，這些數字正好與盈完全數（Abundantperfect numbers）重疊，盈完全數的定義為：自己的因數和（不包含自己）減去自己得到的數可以整除自己。 符合這種定義的數未必是佩服數，例如 18 雖然符合這種定義，但並未符合佩服數的定義，因此 18 不是佩服數。 相容數 薩克斯參考了親和數的定義，定義了一個新的數叫做相容數（compatible numbers），其定義為有一對數字 N 和 M，分別各存在一個因數 dN 和 dM，N 將其他不是本身、不是 dN 的因數相加後，再減掉 dN，得到 M、而 M 將其他不是本身、不是 dM 的因數相加後，再減掉 dM，得到 N。 例如 30 和 40： 30：2 3 5 6 10 15 1 40 40：1 2 4 5 8 20 10 30 前幾對相容數是： 24 28、 30 40、 40 42、 42 52、 48 60、 60 96、 80 102、 80 104、 和 虧完全數 有一種與佩服數類似但相反的定義：若一個正整數除了本身外之所有因數，存在一個因數 d，將其他不是本身的因數相加後，再加上 d，等於本身。有這些性質的前幾個數有： 2、4、8、10、16、32、44、64、128、136、152、184、256、512、752、 該數列未被整數數列線上大全收錄。 例如 10 的因數有 1、2、5、10 有一個因數 2，使得 125210 特別的，這些數字正好與虧完全數（Deficientperfect numbers）重疊，虧完全數的定義為：自己減去自己的因數和（不包含自己）得到的數可以整除自己 M Tang X Z Ren M Li On NearPerfect and DeficientPerfect Numbers Colloq Math 133 2013 221226 M Tang and M Feng On DeficientPerfect Numbers Bull Aust Math Soc 90 2014 186194，在這個定義中 1 也符合，因為 1 不含自己的因數和是 0，1 減去零是 1，當然可以整除 1。 最小的幾個虧完全數是： 1、2、4、8、10、16、32、44、64、128、136、152、184、256、512、752、884、1024、2048、2144、2272、 所有二的乘冪都是虧完全數，除了二的乘冪之外的虧完全數有： 10、44、136、152、184、752、884、2144、2272、2528、8384、12224、17176、18632、18904、32896、33664、 楚姆克勒數 楚姆克勒數（Zumkeller numbers）是指因數可以分為相同總和的兩組數字。例如 48 的因數可以分為兩組：1 3 4 6 8 16 24 和 2 12 48，其中 1 3 4 6 8 16 24 2 12 48，因此 48 是一個楚姆克勒數。 所有佩服數都是楚姆克勒數，因為佩服數中的相減因數（即其他因數和減去此因數會等於本身的那個因數）以外的因數存在一個因數，其與佩服數中的相減因數相加後會等於其他因數之和。 前幾個楚姆克勒數是： 6、 12、 20、 24、 28、 30、 40、 42、 48、 54、 56、 60、 66、 70、 78、 80、 84、 88、 90、 96、 102、 104、 108、 112、 參見 高合成數 完全數 婚約數 親和數 豐數 虧數 梅森素數 半完全數 註釋 參考文獻 J M Sachs Admirable Numbers and Compatible Pairs The ARITHMETIC TEACHER October 1960 pp 2935 外部連結 Charles R Greathouse IV Table of n a n for n 110000 P