菲涅耳方程（或稱菲涅耳條件）是由法國物理學家奧古斯丁菲涅耳推匯出的一組光學方程，用於描述光在兩種不同折射率的介質中傳播時的反射和折射。方程中所描述的反射因此還被稱作 菲涅耳反射。 簡介 當光從一種折射率為 n_1 的介質向另一種折射率為 n_2 的介質傳播時，在兩者的交界處（通常稱作）可能會同時發生光的反射和折射。菲涅爾方程描述了光波的不同分量被折射和反射的情況，也描述了波反射時的相變。 方程成立的條件是：介質間介面是光滑平面，介質是均勻並且各向同性的；入射光是平面波；邊際效應可被忽略。 s 和 p 偏振 有兩個係數可以描述入射光的兩種不同的線偏振分量。由於任何偏振狀態都可以分解成兩個正交的線性偏振波的組合，所以兩個係數就足夠了。以下是兩種情況（由於電場分量、磁場分量、光的傳播方向由右手螺旋定則確定，所以僅討論電場方向的偏振）： 偏振入射光的電場分量與入射光及反射光所形成的平面相互垂直。此時的入射光狀態稱為「s 偏振態」，源於德語「垂直」。 偏振入射光的電場分量與入射光及反射光所形成的平面相互平行。此時的入射光狀態稱為「p 偏振態」，源於德語「平行」。 光強方程 在右圖中，入射光線 PO 到達兩種介質交介面上的點 O 時，部分光線被反射，反射光為 OQ，而另一部分被折射，折射光為 OS。定義入射光線、反射光線和折射光線各自與法線形成的夾角分別為 theta_i、theta_r 和 theta_t。 入射角與反射角之間的關係由反射定律給出： theta_mathrm i theta_mathrm r 入射角與折射角之間的關係由折射定律給出。 普適的折射定律是：Y Chen General law of refraction httpsassetseuresearchsquarecomfilesrs4783430v1_covered_eebd8628fdf94366bfaabef42f6128d5pdf sqrt n_12kappa_12sintheta_mathrm isqrt n_22kappa_22sintheta_mathrm t 其中 n 是折射率，kappa 是消光係數。對於無吸收損耗介質，kappa_1kappa_20，折射定律在此特殊情況下就是斯涅爾定律： frac sintheta_mathrm isintheta_mathrm t frac n_2n_1 雖然目前教科書還用複數斯涅爾定律來描述損耗介質中的折射，但最近的理論和實驗已經驗證它是無效的，不能正確描述和模擬電磁波在有吸收損耗介質參與的介面的反射和折射。 一定功率的入射光被介面反射的功率比例稱為反射率（反射比）R；折射的功率比例稱為透射率（透射比）THecht 1987 p 100。對反射比和透射比的計算需要用到電動力學中的電磁波傳播理論，具體方法可參考玻恩的《光學原理：光的傳播、干涉和衍射的電磁理論》以及傑克遜的《經典電動力學》。 反射比和透射比的具體形式還與入射光的偏振有關。如果入射光的電向量垂直於右圖所在平面（即 s 偏振），反射比為 R_s left frac n_1costheta_in_2costheta_tn_1costheta_in_2costheta_tright2 其中 theta_t 是由折射定律從 theta_i 匯出的。如果是無吸收損耗，還可用三角恆等式化簡。 如果入射光的電向量位於右圖所在平面內（即 p 偏振），反射比為 R_p left frac n_1costheta_tn_2costheta_in_1costheta_tn_2costheta_iright2 透射比無論在哪種情況下，都有 T 1 R。 如果入射光是無偏振的（含有等量的 s 偏振和 p 偏振），反射比是兩者的算數平均值：R frac R_s R_p2。 反射和折射光波的振幅與入射光波振幅的比值（通常稱為反射係數和透射係數）也可用類似的方程給出，這些方程也稱作菲涅耳方程 r_text sfrac n_1costheta_text in_2costheta_text tn_1costheta_text in_2costheta_text t t_text sfrac 2n_1costheta_text in_1costheta_text in_2costheta_text t r_text pfrac n_2costheta_text in_1costheta_text tn_2costheta_text in_1costheta_text t t_text pfrac 2n_1costheta_text in_2costheta_text in_1costheta_text t 根據不同的體系和符號習慣，它們可以有不同形式。反射係數和透射係數通常用小寫的 r 和 t 表示。在某些體系中，它們滿足條件： Rr2 Tfrac n_2costheta_tn_1costheta_i t2Hecht 2002 p 120 對於給定的折射率 n_1 和 n_2 且入射光為 p 偏振光時，當入射角為某一定值時 R_p 為零（無吸收損耗的情況），此時 p 偏振光被完全透射而無反射光出射。這個角度被稱作布儒斯特角，對於空氣或真空中的玻璃介質約為 56。注意 R_p 為零隻是對於兩種折射率都為實數的介質才有可能，對於會吸光的物質，例如金屬和半導體，折射率是一個複數，從而 R_p 的最小值一般不為零。 當光從光密介質向光疏介質傳播時（即 n_1 n_2 時），存在一個臨界的入射角，對於大於此入射角的入射光 R_s R_p 1，此時入射光完全被介面反射。這種現象稱作全內反射，臨界角被稱作全反射臨界角，對於空氣中的玻璃約為 41。 當光線以近法線入射（theta_i approx theta_t approx 0）時，反射比和透射比分別為： R R_s R_p left frac n_1 n_2n_1 n_2 right2 T T_s T_p 1R frac 4 n_1 n_2left n_1 n_2 right2 對於普通的玻璃，反射比大約為 4。注意窗戶對光波的反射包括前面一層以及後面一層，因而少量光波會在兩層之間來回振盪形成干涉。如忽略這種干涉效應，這兩層合併後的反射比為 frac 2R1 R（見下）。 需要指出的是這裡所有的討論都假設介質的磁導率 mu 都等於真空磁導率 mu_0。對於大多數電介質而言這是近似正確的，但對其他型別的物質來說不正確，因而若考慮這一點則菲涅耳方程的形式會更加複雜。 多重介面的效應 當光在兩層以上平行表面發生多重反射時，多列反射光波往往會互相發生干涉，從而有可能會使系統總的透射光和反射光振幅表達起來相當複雜，這通常是波長（或頻率）的函式。一個例子是漂浮在水面上的油膜，在光照下會產生多種色彩；其他例子還包括法布里－珀羅干涉儀、透鏡等光學儀器表面所用的能極大降低反射率的鍍膜（增透膜），以及各種光學濾波器。對這些效應的定量計算仍然是基於菲涅耳方程的，但也要考慮額外產生的干涉所帶來的影響，通常可以採用光學中的傳遞矩陣方法來計算這些問題。 參見 菲涅耳稜鏡，菲涅耳用於產生圓偏光的儀器。 鏡面反射 反射係數 透射係數 參考文獻 外部連結 Fresnel Equations Wolfram Research FreeSnell 免費的計算機軟體，用於計算多層材料的光學性質 Thinfilm 計算薄膜以及多層材料光學性質（反射和透射係數等）的 Web 網頁 計算單介面的反射和折射角、以及光強的 Web 網頁 ReflectionCoefficientINFO 光學反射率計算器 Reflection and transmittance for two dielectrics 用 Mathematica 編寫的演示折射率與反射關係的工具 Category 幾何光學 Category 物理光學 Category 方程 F