格羅斯皮塔耶夫斯基方程（GrossPitaevskii 方程，以命名與 描述了全同玻色子量子體系的基態，其中使用了哈特里－福克近似與贗勢相互作用模型。 在哈特里－福克近似中，N 個玻色子體系的總波函式 Psi 為單粒子波函式 psi 之積 Psi mathbf r_1mathbf r_2dotsmathbf r_Npsi mathbf r_1psi mathbf r_2dotspsi mathbf r_N 其中 mathbf r_i 為第 i 個玻色子的座標。 贗勢模型下的哈密頓量為 Hsum_i1N left hbar2over 2mpartial2overpartialmathbf r_i2V mathbf r_iright sum_ij4pihbar2a_sover mdelta mathbf r_imathbf r_j 其中 m 為玻色子質量，V 為外勢場，a_s 為玻色子 玻色子散射長度，delta mathbf r 為狄拉克 δ 函式。 如果單粒子波函式滿足格羅斯皮塔耶夫斯基方程， left frac hbar22mpartial2overpartialmathbf r2 V mathbf r 4pihbar2a_sover mvertpsi mathbf rvert2rightpsi mathbf rmupsi mathbf r 則總波函式在歸一化條件 int dV psi2N 下可以使贗勢模型哈密頓量的總能量最小。 格羅斯皮塔耶夫斯基方程是描述玻色 愛因斯坦凝聚單粒子波函式的模型方程。它有類似金茲堡－朗道方程的形式，也會被稱為非線性薛定諤方程 玻色 愛因斯坦凝聚 BEC 是處於同一量子態的玻色氣體可以由同一個波函式進行描述。單個粒子可有單粒子波函式描述。真實氣體中粒子相互作用包含在相應的多體薛定諤方程當中。當氣體中粒子間距大於散射長度（即所謂的稀薄極限）時，真實的相互作用勢就可以被替換為贗勢。格羅斯皮塔耶夫斯基方程的非線性來源於粒子間的相互作用。當把方程中相互作用的耦合常數設為零時，非線性消失，方程以描述單粒子在勢阱中的單粒子薛定諤方程的形式出現。 方程形式 皮塔耶夫斯基方程的形式類似於一般薛定諤方程，但是多出一個相互作用項。耦合常數 g 正比於兩個相互作用玻色子間的散射長度 a_s gfrac 4pihbar2 a_sm 其中 hbar 為約化普朗克常數。 能量密度為 mathcal Efrac hbar22mvertnablaPsi mathbf rvert2 V mathbf rvertPsi mathbf rvert2 frac 12 gvertPsi mathbf rvert4 其中 Psi 為波函式，V 為外部勢場。 對於體系內粒子數守恆的不含時格羅斯皮塔耶夫斯基方程 muPsi mathbf r left frac hbar22mnabla2 V mathbf r gvertPsi mathbf rvert2rightPsi mathbf r 其中 mu 為化學勢。化學勢是從粒子數與波函式間的關係中得到的 N intvertPsi mathbf rvert2 d3r 從不含時格羅斯皮塔耶夫斯基方程中，我們可以求得各種外勢場中玻色愛因斯坦凝聚的內部結構（例如，諧振子勢阱）。 含時格羅斯皮塔耶夫斯基方程為 ihbarfrac partialPsi mathbf rtpartial t left frac hbar22mnabla2 V mathbf r gvertPsi mathbf rtvert2rightPsi mathbf rt 利用含時格羅斯皮塔耶夫斯基方程人們可以研究玻色愛因斯坦凝聚的動力學問題。 方程解 鑑於格羅斯皮塔耶夫斯基方程為非線性偏微分方程，一般很難求得解析解，大多數求解應用近似方法。 精確解 自由粒子 最簡單的情況是描述自由粒子，外勢場 V mathbf r 0， Psi mathbf r sqrt frac NV eimathbf kcdotmathbf r 該解常被稱為哈特里解。儘管它滿足格羅斯皮塔耶夫斯基方程，由於相互作用，其能譜中含有間隙 E mathbf k N left frac hbar2k22m g frac N2 Vright 根據 HugenholtzPines 定理，含斥力相互作用的玻色氣體並無能量間隙。 孤子 一維孤子可以構成玻色愛因斯坦凝聚，取決於相互作用是引力還是斥力，形成亮孤子或暗孤子。兩種孤子都是均勻密度背景下的定域擾動。如若相互作用是斥力形式的， g0，格羅斯皮塔耶夫斯基方程的可能解為， psi x psi_0tanhleft frac xsqrt 2xiright 其中 psi_0 為凝聚態波函式在無窮遠處的值，xi hbarsqrt 2mn_0g 為相干長度。此解代表暗孤子，它描述在空間上原本均勻分佈的密度出現了缺失。暗孤子是一種拓撲缺陷，因為 psi 在經過原點處符號發生翻轉。這對應了數學上 pi 的相移。 對於 g0 psi xt psi 0 eimu thbarfrac 1coshleft sqrt 2mvertmuverthbar2 xright 其中化學勢為 mu gvertpsi 0vert22。此解為亮孤子，代表了空間上的凝聚。 一維方勢阱 變分解 對於難以得到精確解析解的體系，人們可以使用變分法。代入含某可調引數的已知波函式，求解體系自由能，找到使體系能量降為最低的引數。 托馬斯 費米近似 如果氣體中粒子數量很多，原子間相互作用極大，以至於原子自身動能可以從格羅斯皮塔耶夫斯基方程中忽略，此時近似為托馬斯 費米近似。 psi xt sqrt frac mu V xNU_0 玻戈留玻夫近似 對格羅斯皮塔耶夫斯基方程的玻戈留玻夫處理可以找到玻色愛因斯坦凝聚的元激子。凝聚態波函式可以近似為平衡態波函式 psi_0sqrt n eifrac muhbar t 與一個小的擾動 deltapsi 之和 psi psi_0 deltapsi 此波函式與其複共軛代入到含時格羅斯皮塔耶夫斯基方程中，對 deltapsi 作展開近似到第一項（線性化） frac hbar22mnabla 2 deltapsiVdeltapsig 2psi_02deltapsipsi2deltapsi ihbarfrac partialdeltapsipartial t frac hbar22mnabla 2 deltapsiVdeltapsig 2psi_02deltapsipsi2deltapsi ihbarfrac partialdeltapsipartial t 假定 deltapsi 有如下形式 deltapsi eifrac muhbar tu boldsymbol r eiomega t vboldsymbol r eiomega t 可以得到如下 u 和 v 的耦合微分方程 frac hbar22mnabla2V2gnmuhbaromega ugnv 0 frac hbar22mnabla2V2gnmuhbaromega vgnu 0 對於各向同性體系，即 V boldsymbol r0，可以假設 u 和 v 是動量為 boldsymbol q 的平面波，可得能譜 hbaromega epsilon_boldsymbol q sqrt frac hbar2boldsymbol q22mfrac hbar2boldsymbol q22m2gn 當 boldsymbol q 很大時，色散關係呈現為 boldsymbol q 的平方，正如所料類似於非相互作用的激子。當 boldsymbol q 很小，色散關係為線性， epsilon_boldsymbol q shbar q 其中 ssqrt ngm 為凝聚態中的聲速。 epsilon_boldsymbol qhbar qs 表明，根據 Landau 的判則，該凝聚態為超流體，意味著如果一個物體在凝聚態中以小於 s 的速度運動，它不會形成激子，運動無耗散，此為超流體的特徵。實驗上，採用高度聚焦雷射，雷射頻率較共振頻率小，已經證明了凝聚態的超流性 Evidence for a Critical Velocity in a BoseEinstein Condensed Gas C Raman M Köhl R Onofrio D S Durfee C E Kuklewicz Z Hadzibabic and W Ketterle 。採用二次量子化公式，微觀方法可以描述凝聚態同樣的色散關係。 參考文獻 Theory of Bose_Einstein condensation in trapped gases Franco Dalfovo and Stafano Giorgini Reviews Modern Physics 更多閱讀 Category 量子力學