在光學裡，菲涅耳 基爾霍夫衍射公式可以應用於光波傳播的理論分析模型或數值分析模型。M Born and E Wolf Principles of Optics 1999 Cambridge University Press CambridgeRS Longhurst Gemoetrical and Physical Optics 1969 Longmans London 從菲涅耳 基爾霍夫衍射公式，可以推匯出惠更斯－菲涅耳原理，並且解釋一些惠更斯－菲涅耳原理無法解釋的物理現象與結果。菲涅耳 基爾霍夫衍射公式常被稱為「基爾霍夫衍射公式」。 從基爾霍夫積分定理，在假定一些近似之後，可以推匯出菲涅耳 基爾霍夫衍射公式。 惠更斯原理 惠更斯原理是克里斯蒂安惠更斯於 1678 年提出的關於波傳播的理論。惠更斯原理表明，假設在時間 tt_0 由主波源 Q0 發射出的球面波，在時間 tt_1 傳播到波前 mathbb S，那麼位於波前 mathbb S 的每一個面元素向量 mathrm dmathbf S 都可以被視為一個次波源，所有從這些次波源發射出的次波，在之後時間 tt_2 波前的包絡面就是主波源 Q0 所發射出的球面波在時間 tt_2 的波前。 惠更斯 菲涅耳原理 波動有兩個基本屬性： 它是波擾的傳播 它具有時空週期性，能夠相干疊加。 惠更斯原理只闡述了前一條屬性，奧古斯丁菲涅耳將惠更斯提出的次波的概念加以延伸，提出用 次波相干疊加 的點子來解釋衍射現象，這就是惠更斯 菲涅耳原理。這原理表明，波前 mathbb S 的每個面元素向量 mathrm dmathbf S 都可以視為次波源，它們會發射出次波，在空間任意一點 P 的波擾是所有這些次波在該點 P 的相干疊加。設定位於波前 mathbb S 的任意一點 Q，它在點 P 貢獻的複振幅為 mathrm dpsi mathbf rmathbf r；其中，mathbf r、mathbf r 分別為點 P、點 Q 的位置。在點 P 的總波擾為 psi mathbf roint_mathbb Smathrm dpsi mathbf rmathbf r。 為了將這公式具體化，菲涅耳憑藉直覺對 mathrm dpsi mathbf rmathbf r 作出瞭如下假設： 它應當正比於面元素的面積： mathrm dpsi mathbf rmathbf rproptomathrm d S。 它應當正比於次波源的複振幅： mathrm dpsi mathbf rmathbf rproptopsi mathbf r。 次波源發射出的次波應是球面波，其中 k 是波數： mathrm dpsi mathbf rmathbf rproptofrac eikRR；其中，mathbf Rmathbf rmathbf r 是從點 Q 到點 P 的位移向量。 次波源發射出的次波是各向異性的。假設 hat mathbf n 是與面元素向量 mathrm dmathbf S 同方向的單位向量，chi 是 hat mathbf n 與 hat mathbf R 之間的夾角，則傾斜因子 K chi 與 mathrm dpsi mathbf rmathbf r 的關係為 mathrm dpsi mathbf rmathbf rpropto K chi。 根據以上假設可以得到如下菲涅耳衍射積分公式 psi mathbf rcoint_mathbb Spsi mathbf r K chifrac eikRRmathrm d S； 其中，c 是比例常數。 菲涅耳 基爾霍夫衍射公式 在菲涅耳衍射積分公式提出六十餘年後，古斯塔夫基爾霍夫用嚴格的數學理論推匯出菲涅耳 基爾霍夫衍射公式： psi mathbf r frac ipsi_02lambdaoint_mathbb S left frac eik rRrR right cosalphacoschi mathrm d S； 其中，alpha、chi 分別是 hat mathbf r、hat mathbf R 與 hat mathbf n 之間的夾角。 推論從點光源 Q0 發射的單色光波，其波擾的數值大小與傳播距離成反比，在位置 mathbf r 以方程式表達為 psi mathbf r psi_0 eikrr 。又在其發射出的球面波的波前任意位置，hat mathbf r 與 hat mathbf n 同向，夾角 alpha0。設定比例常數 cilambda， K chi1coschi2，則可得到菲涅耳衍射積分公式。 嚴格導引 基爾霍夫積分定理應用格林第二恆等式來推匯出齊次波動方程式的解答，這解答是以波動方程式在任意閉合曲面 mathbb S 的每一個點的解答和其一階導數來表達。G Kirchhoff Ann d Physik 1883 2 18 p663 對於單頻率波，解答為 psi mathbf rfrac 14pioint_mathbb S left psi mathbf rnablaleft frac eikRR right left frac eikRR rightnablapsi mathbf rright cdotmathrm dmathbf S ， 或者 psi mathbf rfrac 14pioint_mathbb S left psi mathbf rfrac partialpartial nleft frac eikRR right left frac eikRR rightfrac partial psi mathbf rpartial nright mathrm d S ； 其中，mathbf r、mathbf r 分別是從點 Q0 到點 P、點 Q 的位移向量，psi mathbf r 是在點 P 的波擾，mathbf Rmathbf r mathbf r 是從點 Q 到點 P 的位移向量，R 是其數值大小，k 是波數，nabla 是對於源位置 mathbf r 的梯度，mathrm dmathbf S 是從閉合曲面 mathbb S 向外指出的微小面元素向量，frac partialpartial n 是閉合曲面 mathbb S 的法向導數。 在推導基爾霍夫衍射公式的過程中，基爾霍夫做了以下假定： 點波源與孔隙之間的距離 r 超大於波長 lambda2pik。 R 超大於波長 lambda。 點波源 從點波源 Q0 發射的單頻率波，其能量與傳播距離平方成反比，波擾的數值大小與傳播距離成反比，在點 Q 的波擾以方程式表達為 psi mathbf r psi_0frac eikrr ； 其中，psi_0 是複值波幅。 假設點 P 在閉合曲面 mathbb S 之外，應用基爾霍夫積分定理的方程式，可以得到在點 P 的波擾： psi mathbf r frac psi_04pioint_mathbb S left left frac eikrr rightnablaleft frac eikRR right left frac eikRR rightnablaleft frac eikrr rightright cdothat mathbf nmathrm d S； 其中，hat mathbf n 是與 mathrm dmathbf S 同方向的單位向量。 注意到球面出射波的梯度為 nablaleft frac eikRR right left frac eikRR rightleft ik frac 1Rrighthat mathbf R、 nablaleft frac eikrr right left frac eikrr rightleft ik frac 1rrighthat mathbf r。 從基爾霍夫所做的假定，kgg 1R、k gg 1r（例如，假設距離大約為 1mm，則對於波長在 04μm 至 07μm 之間的可見光，可以做這假定；但對於波長在 1mm 至 1m 之間的微波，這假定不適用），則上述兩個公式近似為 nablaleft frac eikRR right ikleft frac eikRR righthat mathbf R、 nablaleft frac eikrr right ikleft frac eikrr righthat mathbf r。 所以，在點 P 的波擾 begin alignpsi mathbf r frac ipsi_02lambdaoint_mathbb S left frac eik rRrR righthat mathbf rcdothat mathbf nhat mathbf Rcdothat mathbf n mathrm d S frac ipsi_02lambdaoint_mathbb S left frac eik rRrR right cosalphacoschi mathrm d S end align ； 其中，alpha、chi 分別是 hat mathbf r、hat mathbf R 與 hat mathbf n 之間的夾角。 這就是菲涅耳 基爾霍夫衍射公式，或基爾霍夫衍射公式。 傾斜因子 如右圖所示，假設閉合曲面 mathbb S 是圓球面，點波源 Q0 與圓球面 mathbb S 的圓心同點。在圓球面 mathbb S 的任意位置，hat mathbf r 與 hat mathbf n 同向，所以， cosalpha1。 注意到 r 是圓球面 mathbb S 的半徑，對於這積分，r 值不變，可以從積分裡提出。在點 P 的波擾為 psi mathbf r frac ipsi mathbf rlambdaoint_mathbb S left frac eikRRright K chimathrm d S； 其中，K chifrac 1coschi2 為傾斜因子。 應用惠更斯－菲涅耳原理，所得到在點 P 的波擾的方程式，就是這方程式。但是，惠更斯－菲涅耳原理無法解釋相位差與傾斜因子的物理原因。傾斜因子使得次波的波幅會因為傳播方向而不同；朝著主波方向，波幅較大；逆著主波方向，波幅較小。這解釋了為甚麼波動只會朝著前方傳播的物理現象。 惠更斯－菲涅耳原理 仔細詮釋惠更斯－菲涅耳原理的方程式：從點波源 Q0 發射的波幅為 psi_0 的球面波，在點 Q 的波擾為 psi mathbf rpsi_0 eikrr；而從點 Q 發射的次波，將傾斜因子與相位差納入考量，所貢獻出的波擾，在點 P 為 frac ipsi mathbf rlambdaleft frac eikRRright K chi。 總合所有與點 Q 同波前的點次波源在點 P 所貢獻出的波擾，就可以得到 psi mathbf r 。 換另一種直接方法來詮釋，從點波源 Q0 發射的球面波，在點 P 的波擾為 psi mathbf r psi_0 frac eikrr。 假若這兩種詮釋都正確，則從這兩種 psi mathbf r 的表示式分別計算出的結果，應該可以被核對為相等： psi_0 frac eikrr frac ilambdaoint_mathbb S_1 left frac psi_0 eikrrright left frac eikRRright K chimathrm d S。 為了簡易計算，假設 rgg r，則以下近似成立： Rapprox rr cos theta、 R2approx r22rr cos theta、 K chifrac 1cos chi2approx frac 1cos theta2； 其中，theta 為 mathbf r 與 mathbf r 之間的夾角。 所以，在點 P 的波擾可以近似為 begin alignpsi mathbf r approx frac ipsi_02lambda frac eik rrrrint_0pi eikrcos theta1cos theta 2pi r2sin thetamathrm dtheta approx frac ikpsi_0 reik rr2rint_0pi eikrcos theta1cos thetasin thetamathrm dtheta approx frac ikpsi_0 reik rr2r frac 2 sin kricos krkr approx psi_0frac eikrr end align。 有限尺寸波源 假設波源為有限尺寸，位於曲面 mathbb S 的波擾表達為 psi mathbf r，則位於點 P 的波擾為 psi mathbf rfrac 14pioint_mathbb S left psi mathbf rfrac partialpartial nleft frac eikRR right left frac eikRR rightfrac partial psi mathbf rpartial nright mathrm d S 。 假定 kgg 1R，則 psi mathbf r frac 14pioint_mathbb Sleft frac eikRR right left ikpsi mathbf rcos hat mathbf Rhat mathbf n frac partial psi mathbf rpartial nright mathrm d S 。 這是基爾霍夫衍射公式最廣義的形式。解析涉及到有限尺寸波源的問題，必須用體積分來將波源的每一點所給出的貢獻總合在一起。 純量理論 光波是傳播於空間的電磁輻射，理當被視為一種電磁場向量現象。但是，基爾霍夫的理論是純量理論，將光波當作純量處理，這可能會造成偏差。因此，物理學者做了很多實驗來檢查結果是否準確。他們發現，只要孔徑尺寸比波長大很多、孔徑與觀察屏之間的距離不很近，則使用純量理論可以得到相當準確的答案。但是對於某些問題，例如高解析度光柵衍射，純量理論就不適用，必須使用向量理論。 參閱 帕松光斑 基爾霍夫衍射公式 基爾霍夫積分定理 參考文獻 Category 衍射