在數學上，超現實數系統是一種連續統，其中含有實數以及無窮量，即無窮大（小）量，其絕對值大（小）於任何正實數。超現實數與實數有許多共同性質，包括其全序關係「」以及通常的算術運算（加減乘除）；也因此，它們構成了有序域。在嚴格的集合論意義下，超現實數是可能出現的有序域中最大的；其他的有序域，如有理數域、實數域、有理函式域、、和超實數域等，全都是超現實數域的子域。超現實數域也包含可達到的、在集合論裡構造過的所有超限序數。 超現實數是由約翰何頓康威（John Horton Conway）所定義和構造的。這個名稱早在 1974 年便已由高德納（Donald Knuth）在他的書《研究之美》《研究之美》（Surreal Numbers How Two ExStudents Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness）現在本書的中文譯文已經在大陸出版，見中就被引進了。《研究之美》是一部中短篇數學小說，而值得一提的是，這種把新的數學概念在一部小說中提出來的情形是非常少有的。在這部由對話體寫成的著作裡，高德納造了「surreal number」一詞，用來指稱康威起初只叫做「number」（數）的這個新概念。康威樂於採用新的名稱，後來在他 1976 年的著作《論數字與博弈》（On Numbers and Games）中就描述了超現實數的概念並使用它來進行了一些博弈分析。 概述 康威使用遞迴構造了超現實數，其中每個數都是兩個數集構成的序對，記為 L R 。這兩個集合要求 L 裡的每個元素都嚴格小於每個 R 裡的元素。不同的序對可能表達同樣的數字：13leftfrac 32frac 52right2。 整數及二進分數 讓我們先來看幾個簡單的例子。 0 01 12 01 12 因此整數都是超現實數。（以上幾行是定義而非等式。） 01frac 12 left0frac 12rightfrac 14 leftfrac 121rightfrac 34 至此我們可以透過超現實數定義二進分數（分母為 2 的冪次的分數）。 其他實數 為了定義更多的實數，我們可以將使用無限的左右集合：frac13 0 frac14 frac5 16 ldots frac12 frac38 ldots，pi 3 frac 258frac 20164ldots 4 frac 72 frac 134 frac 5116ldots ，事實上可以同樣地使用二進位制展開的方法定義出所有實數。 無窮數 根據歸納法，我們可以構造出 omega0123ldots，omega10123ldotsomega 等無窮大的數，frac 1omega01frac 12frac 14frac 18ldots 等無窮小數。以上超現實數皆不屬於實數。 更多的數 我們定義 P_0 0。 若 xLR LRsubset P_i 且 xnotin P_i，那麼 xin P_i1，這在直觀上等價於 x 是在第 i 天中出生的。 那麼我們可以觀察發現： 11in P_1 22frac 12 frac 12in P_2 pi omega frac 13in P_omega omega1 omega1 in P_omega1 omegapi in P_2omega，其中 2omega012ldotsomega1omega2ldots forall i in mathbb Ord iin P_i 我們將超現實數集合稱作 mathbb No。 序關係 給定 xX_LX_R yY_LY_R，我們（遞迴地）定義 xleq y 當且僅當以下兩命題同時成立： 沒有一個 x_Lin X_L 符合 y leq x_L， 沒有一個 y_Rin Y_R 符合 y_Rleq x。 那麼可以自然地定義 xyxyxyxgeq y。可以證明，這樣的二元關係是一個全序關係。 我們分別將 x0 x0 xleq 0 xgeq 0 稱為 x 負、 x 正、 x 非正、 x 非負。 我們定義 xy 表示 xleq y 與 yleq x 同時不成立。事實上這樣的二元關係在超現實數中不可能存在，但是這個關係會在之後的博弈章節出現。 運算 加法 我們定義超現實數之間的加法為 xyleftX_Lycup xY_L X_Rycup xY_Rright，其中 Xyleftx y x in Xright xYleftxyyin Yright。 加法逆元 我們定義負號（加法逆元）為 xleftX_RX_Lright，其中 Xleftxxin Xright。 可以驗證這兩個運算構成了（真類上的）阿貝爾群。 乘法 我們定義乘法運算為 x y leftX_LyxY_LX_LY_L cup X_RyxY_RX_RY_RX_LyxY_RX_LY_R cup X_RyxY_LX_RY_L right，其中 XYxyxin Xyin Y xYx Y XyXy。 乘法逆元 我們定義（正數的）乘法逆元為 frac 1y Bigg 0 frac 1yRyfrac1yLyR frac 1yLyfrac1yRyL Bigg frac 1yLyfrac1yLyL frac 1yRyfrac1yRyR Bigg ，這樣除法就是 frac xyxleft frac 1yright。我們可以發現這個定義是遞迴的，但是實際上這個數字是良定義的：我們取 y 3 2 那麼 frac 13 會有一個 0 作為左項，導致了 frac 123 0 212 會是一個右項。這又意味著 frac 123left frac12right 2frac14 作為左項、frac 123left frac14right 2 frac 38 作為右項，以此類推，所以我們有 frac13 0 frac14 frac5 16 ldots frac12 frac38 ldots （考慮兩邊的序列在實數中分別收斂到 frac 13，因此是相容的）。 對於負數，我們定義 frac 1x frac1 xquad x0。 子集對應 有理數、實數、序數分別是超現實數的子集。 有理數 所有二進分數都可以定義為超現實數，而所有分數都可以表示為兩個整數之比，因此所有有理數都可以表示為超現實數。 實數 在定義出了有理數之後，使用戴德金分割可以立刻將實數對映到超現實數中。 假設 xin mathbb R xAA，其中 A A subset mathbb Q，那麼立刻可知存在 Xin mathbb No Xleftf A f Bright 是 x 的一個超現實數表示，其中 fmathbb Q to mathbb No 是有理數到超現實數的域同態。 序數 我們將所有序數定義為小於它的序數構成的集合。所有序數的全體記為 mathbb Ord，那麼我們有： fmathbb Ordto mathbb No f Xleftf x xin Xright 這樣的同態可以保持序關係的結構，但是並不能保證算術的一一對應，比如 omega1 這一式子的值在序數中的結果是 omega，而在超現實數中則是 012ldotsomega 博弈 如果去除超現實數定義中對所有 LR 的約定，那麼這樣（遞迴）定義出來的真類被稱做遊戲。對其仍然可以（一模一樣的）定義加法、加法逆元以及比較。 顯然，所有的超現實數都是遊戲，但並非所有遊戲都是超現實數，例如 star00 就不是，其滿足 star 0。 可以發現，所有的遊戲都體現了一個兩人輪流、確定、公開的博弈遊戲，其中左集合表示第一位玩家（下稱左玩家）可以走到的局面，右集合則表示第二位玩家（下稱右玩家）的選擇，不能操作者負。 兩個遊戲的和的意義就是同時進行兩個遊戲，而每個玩家選擇其中一個進行操作，不能操作者負。 我們可以發現，這個遊戲的勝負取決於 G 和 0 的相對關係。 若 G0，則後手必勝。 若 G0，則左玩家必勝。 若 G0，則右玩家必勝。 若 G0，則先手必勝。 有以下這些特殊的遊戲： star00 uparrow0star downarrowstar0 pm 111 可以發現，關於他們有這麼幾個性質： star 0 forall i 1leq i leq 1 implies pm 1 i forall xin mathbb No x0xdownarrow0uparrowx （比所有超現實數更接近 0） starstaruparrowdownarrow0 uparrowstar0 uparrowuparrowstar0 可以用於分析複雜的遊戲。 暫譯術語 超現實數（Surreal） 無窮量（Infinitesimal） 格羅滕迪克宇集 註釋 來源 Category 博弈論 C Category 無窮 3 個 Category 數學小作品