在物理學裡，多極展開廣泛應用於涉及於質量分佈產生的重力場、電荷分佈產生的電勢或電場、電流分佈產生的磁向量勢和磁場、電磁波的傳播的問題。使用多極展開，重力場或電勢等等，都可以表達為單極項、偶極項、四極項、八極項及更多項的疊加。一個典型的例如是，從原子核的外部多極矩與電子軌域的內部多極矩之間的互動作用能量，計算求得原子的原子核外多極矩。原子核的外多極矩可以得出原子核內部的電荷分佈，因為物理學家可以藉此研究原子核的形狀。 做理論運算時，在允許的誤差範圍內，時常可以只取多極展開的最低階的幾個非零專案，忽略其它專案，因為它們的數值極小。 電勢的多極展開式 在靜電學裡，設定電荷密度分佈 rho mathbf r ，則其產生的電勢 Phi mathbf r 為 Phi mathbf rfrac 14piepsilon_0int_mathbb V frac rho mathbf rmathbf r mathbf r mathrm d3mathbf r ； 其中，mathbf r 是場位置，mathbf r 是源位置，mathbb V 是積分的體積區域。 假設體積區域 mathbb V 是在以原點為圓心、半徑為 R 的圓球內部，則在圓球以外，電勢 Phi mathbf r 可以多極展開。文獻裡常見到兩種電勢的多極展開方法。一種展開為直角坐標 xyz 的泰勒級數，稱為「笛卡兒多極展開」；另一種是用距離倒數的冪和球諧函式展開，是以球坐標表示，稱為「球多極展開」。 笛卡兒多極展開 任意函式 f mathbf r 在原點 mathbf rmathbf O 的泰勒級數為 f mathbf rf mathbf Omathbf rcdotnabla f mathbf Ofrac 12sum_alpha13 sum_beta13 r_alpha r_beta frac partial2 f mathbf Opartial r_alphapartial r_betadots ； 其中，nabla 是對於 mathbf r 的偏微分。 設定 f mathbf rfrac 1mathbf r mathbf r ，則 f mathbf r 對於 mathbf r 的偏微分為 frac partial f mathbf rpartial r_alphafrac r_alpha r_alphamathbf r mathbf r3 、 frac partial2 f mathbf rpartial r_alphapartial r_beta frac 3 r_alpha r_alphar_beta r_betamathbf r mathbf r5 frac delta_alphabetamathbf r mathbf r3 ； 其中，delta_alphabeta 是克羅內克記號。 所以 frac 1mathbf r mathbf r 在原點 mathbf rmathbf O 的泰勒級數為 begin align frac 1mathbf r mathbf r frac 1rfrac mathbf rcdotmathbf rr3 frac 12sum_alpha13 sum_beta1 3 left frac 3r_alpha r_betar5 frac delta_alphabetar3right r_alpha r_beta dots frac 1rfrac mathbf rcdotmathbf rr3 frac 12sum_alpha13 sum_beta1 3 left frac 3r_alpha r_beta r_alpha r_beta r2r_alpha r_betadelta_alphabetar5right dots frac 1rfrac mathbf rcdotmathbf rr3 frac 12sum_alpha13 sum_beta1 3 left frac 3r_alpha r_beta r_alpha r_beta r_alpha r_beta rprime 2delta_alphabetar5right dots end align 。 將這展開式代入電勢的方程式，則可得到 Phi mathbf rfrac 14piepsilon_0int_mathbb V left frac 1rfrac mathbf rcdotmathbf rr3 frac 12sum_alpha13sum_beta13 frac r_alpha r_beta 3 r_alpha r_beta rprime 2delta_alphabetar5dotsright rho mathbf r mathrm d3mathbf r 。 總電荷（電單極矩） q 、電偶極矩 mathbf p 、電四極矩 Q_alphabeta 分別以方程式定義為 qstackrel def int_mathbb Vrho mathbf r mathrm d3mathbf r 、 mathbf pstackrel def int_mathbb Vmathbf rrho mathbf r mathrm d3mathbf r 、 Q_alphabetastackrel def int_mathbb V3 r_alpha r_beta rprime 2delta_alphabetarho mathbf r mathrm d3mathbf r 。 則電勢的電單極矩、電偶極矩、電四極矩等等「笛卡兒多極矩」專案的總貢獻為 Phi mathbf rfrac 14piepsilon_0left frac qrfrac mathbf pcdotmathbf rr3 frac 12r5sum_alpha13sum_beta13 Q_alphabeta r_alpha r_beta dotsright 。 球多極展開 場位置與源位置之間距離的倒數，frac 1mathbf r mathbf r ，可以用球諧函式 Y_ell m 展開為 frac 1mathbf r mathbf rsum_ell0inftysum_mellellfrac 4pi2ell1 frac rprimeellrell1 Y_ell mthetaphi Y_ell mthetaphiqquad rr ； 其中，mathbf r 與 mathbf r 的球坐標分別為 rthetaphi 與 rthetaphi 。 將這展開式代入電勢的方程式，則可得到 Phi mathbf rfrac 1epsilon_0sum_ell0inftysum_mellell frac Y_ell mthetaphi2ell1 rell1 int_mathbb V Y_ell mthetaphi rprimeellrho mathbf r mathrm d3mathbf r 。 電荷分佈的球多極矩 q_ell m 以方程式定義為 q_ell mstackrel def int_mathbb V Y_ell mthetaphi rprimeellrho mathbf r mathrm d3mathbf r 。 則電勢可以以球多極矩表示為 Phi mathbf rfrac 1epsilon_0sum_ell0inftysum_mellell frac q_ell m Y_ell mthetaphi2ell1 rell1 。 注意到 q_ell m1m q_ell m 。以下列出幾個最低階的球多極矩的表示式，以及與笛卡兒多極矩之間的關係： begin align q_00 frac 1sqrt 4piint_mathbb Vrho mathbf r mathrm d3mathbf r frac 1sqrt 4pi q q_11 sqrt frac 38piint_mathbb V r sin theta eiphirho mathbf r mathrm d3mathbf r sqrt frac 38pi p_x ip_y q_10 sqrt frac 34piint_mathbb V r cos theta rho mathbf r mathrm d3mathbf r sqrt frac 34pi p_z q_22 sqrt frac 1532piint_mathbb V rprime 2 sin2 theta e2iphirho mathbf r mathrm d3mathbf r sqrt frac 15288pi Q_112iQ_12Q_22 q_21 sqrt frac 158piint_mathbb V rprime 2 sin thetacos theta eiphirho mathbf r mathrm d3mathbf r sqrt frac 1572pi Q_13iQ_33 q_20 sqrt frac 516piint_mathbb V rprime 23cos2 theta1rho mathbf r mathrm d3mathbf r sqrt frac 516pi Q_33 end align 。 多極展開式的特性 對於多極展開式的每一階 ell ，笛卡兒多極展開會得到 ell1ell22 個笛卡兒多極矩，而球多極展開會得到 2ell1 個球多極矩。這是因為兩種展開各自具有不同的旋轉變換屬性。笛卡兒多極矩是可約的；而球多極矩則是不可約的，這種分解能夠得到旋轉群的不可約表示。 在多極展開式裡，不等於零的最低階多極矩，其數值與原點的選擇無關。例如，對於在 mathbb V 內部、位置為 mathbf r_0 的單獨點電荷，電荷密度可以寫為 rho mathbf rqdelta mathbf rmathbf r_0 。這單獨點電荷的電單極矩為 int_mathbb V qdelta mathbf rmathbf r_0 mathrm d3mathbf r q ，與原點位置無關。 對於在 mathbb V 內部、位置分別為 mathbf r_1 、mathbf r_2 的兩個異電性、同電量的點電荷，電荷密度可以寫為 rho mathbf rq delta mathbf rmathbf r_1delta mathbf rmathbf r_2 。這單獨點電荷的電單極矩為 int_mathbb V q delta mathbf rmathbf r_1delta mathbf rmathbf r_2 mathrm d3mathbf r 0 。最低階多極矩為電偶極矩 int_mathbb Vmathbf rq delta mathbf rmathbf r_1delta mathbf rmathbf r_2 mathrm d3mathbf r q mathbf r_1mathbf r_2 。這電偶極矩與原點位置無關，與兩個點電荷之間的相對位置有關。 電能的多極展開式 假設處於外電勢 Phi mathbf r 的電荷密度分佈 rho mathbf r ，則其電能 U 為 Uint_mathbb V rho mathbf rPhi mathbf r mathrm d3mathbf r 。 注意到外電場 mathbf EnablaPhi ，外電勢 Phi mathbf r 在原點 mathbf O 的泰勒級數為 begin align Phi mathbf r Phi mathbf Omathbf rcdotnablaPhi mathbf Ofrac 12sum_alpha13 sum_beta13 r_alpha r_beta frac partial2 Phi mathbf Opartial r_alphapartial r_betadots Phi mathbf Omathbf rcdotmathbf Emathbf Ofrac 12sum_alpha13 sum_beta13 r_alpha r_beta frac partial E_betamathbf Opartial r_alphadots end align 。 由於外電場的散度為零 nablacdotmathbf E0 ，電勢可以寫為 Phi mathbf rPhi mathbf Omathbf rcdotmathbf Emathbf Ofrac 16sum_alpha13 sum_beta13 3r_alpha r_betar2delta_alphabeta frac partial E_betamathbf Opartial r_alphadots 。 將這方程式代入電能的積分式，可以得到 UqPhi mathbf Omathbf pcdotmathbf Emathbf Ofrac 16sum_alpha13 sum_beta13 Q_alphabeta frac partial E_betamathbf Opartial r_alphadots 。 從這裡可以看到電能的成分：第一個專案是點電荷處於外電勢的電能、第二個專案是電偶極子處於外電場的電能、第三個專案是電四極子處於具有梯度的外電場所涉及的電能。 磁向量勢的多極展開式 在靜磁學裡，設定電流密度分佈 mathbf Jmathbf r ，則其產生的磁向量勢 mathbf Amathbf r 為 mathbf Amathbf r stackrel def frac mu_04piint_mathbb V frac mathbf Jmathbf rmathbf r mathbf r d3mathbf r ； 其中，mathbf r 是場位置，mathbf r 是源位置。 將前面推導出的 frac 1mathbf r mathbf r 在原點 mathbf rmathbf O 的泰勒級數帶入磁向量勢方程式，則可得到 mathbf Amathbf rfrac mu_04piint_mathbb V left frac 1rfrac mathbf rcdotmathbf rr3 frac 12sum_alpha13sum_beta13 frac r_alpha r_beta 3 r_alpha r_beta rprime 2delta_alphabetar5dotsright mathbf Jmathbf r mathrm d3mathbf r 。 由於在靜磁學裡 nablacdotmathbf Jmathbf r0， begin alignint_mathbb V J_alphamathbf r d3mathbf r int_mathbb Vmathbf Jmathbf rcdotnabla r_alpha d3mathbf r int_mathbb Vnablacdot r_alphamathbf Jmathbf rr_alphanablacdotmathbf Jmathbf r d3mathbf r int_mathbb Vnablacdot r_alphamathbf Jmathbf r d3mathbf r end align ； 應用高斯散度定理，由於電流密度分佈 mathbf J 是區域性的，假若積分體積 mathbb V 足夠大，則位於包含積分體積的曲面 mathbb S 的電流密度分佈為零： int_mathbb V J_alphamathbf r d3mathbf r int_mathbb S r_alphamathbf Jmathbf rcdot dmathbf S0 。 所以，磁單極子專案 int_mathbb V J_alphamathbf r d3mathbf r 等於零。 磁偶極子專案不等於零。首先，應用高斯散度定理和電流密度分佈的區域性性這事實，可以得到 begin align int_mathbb Vnablacdot r_alpha r_beta J mathbf r d3mathbf r int_mathbb V r_betaJ mathbf rcdotnabla r_alpha r_alphaJ mathbf rcdotnabla r_beta r_alpha r_betanablacdot J mathbf r d3mathbf r int_mathbb V r_beta J_alphamathbf rr_alpha J_betamathbf r d3mathbf r 0 end align 。 注意到以下關係式： begin align mathbf rcdotint_mathbb Vmathbf rJ_alphamathbf r mathrm d3mathbf r frac 12sum_beta13 r_betaint_mathbb V r_beta J_alphamathbf rr_alpha J_betamathbf r mathrm d3mathbf r frac 12left mathbf rtimesint_mathbb V mathbf rtimesmathbf Jmathbf r mathrm d3mathbf rright_alpha end align 。 定義磁偶極矩 mathbf m 為 mathbf mstackrel def frac 12int_mathbb Vmathbf rtimes mathbf Jmathbf r d3mathbf r 。 只取至最低階專案，即磁偶極矩專案，則磁向量勢 mathbf Amathbf r 為 mathbf Amathbf rfrac mu_04pifrac mathbf mtimesmathbf rr3 。 數值模擬 多極展開在數值模擬領域用途很多。對於相互作用的粒子組成的物理系統，快速多極法是高效率運算這系統的能量與作用力常使用的一種方法。快速多極法就是建構於格林函式的多極展開。這方法的基本點子是分解所有粒子為幾個小群，每一個小群內的粒子正常地互相作用（即透過全部勢能），而小群與小群之間的互相作用則是由其多極矩計算求得。快速多極矩法的效率通常與伊沃德求和法等同，但是假若系統的粒子具有高度群聚性，即高密度漲落，則快速多極矩法比較優等。 參閱 圓柱多極矩 四極磁鐵：粒子加速器內部的一個配件 拉普拉斯展開（位勢論） 勒讓德多項式 參考文獻 Category 位勢論 Category 向量分析