在數學裡，反變（contravariant，也稱逆變）和共變（covariant，也稱協變）描述一個向量（或更廣義來說，張量）的坐標，在向量空間的基底／坐標系轉換之下，會如何改變。 反變和共變在張量場的演算中不可或缺，是瞭解狹義相對論、廣義相對論必需的數學基礎。 轉換方式 向量：反變轉換 標記法說明：向量 mathbf v 是向量空間 V 的元素。向量基底 mathbf e_1 mathbf e_2 mathbf e_n 構成了向量空間的一個基底，其座標系統為 x1 x2 xn。對應這個基底，向量 mathbf v 的分量為 v1 v2 vn，即 textstyle mathbf vsum_i vi mathbf e_i。 （註：v2 這符號中的上標 2 不代表平方，而是代表第二個坐標，在較基礎的數學上，常寫作 v_2 ，但是，在張量分析領域，指標寫作上標或下標牽涉到對張量性質的提示，以及愛因斯坦求和約定。） 向量空間 V 有另一個基底 bar mathbf e_1 bar mathbf e_n，其座標系統為 bar x1 bar xn。對應這個基底，mathbf v 有分量 bar v1 bar v2 bar vn，即 textstyle mathbf vsum_i bar vi bar mathbf e_i。 對於 1n 之間任意整數 mu ，我們知道 bar vmu 和 v1 v2 vn 的關係： bar vmu frac partial bar xmu partial x1 v1 frac partial bar xmu partial x2 v2 frac partial bar xmu partial xn vn 。 使用愛因斯坦求和約定可寫成： bar vmu frac partial bar xmu partial xi vi 。 餘向量：共變轉換 假設對偶空間 V 有兩個基底 mathbf dx1 mathbf dx2 mathbf dxn 跟 mathbf dbar x1 mathbf dbar x2 mathbf dbar xn 。 假設 textstyleboldsymbol omegain V boldsymbol omegasum_i mathbf eta_imathbf dxisum_jbar mathbf eta_jdbar mathbf xj。 則對於 1n 之間其中一個特定的整數 mu ，我們知道 bar mathbf eta_mu 和 mathbf eta_1 mathbf eta_2 mathbf eta_n 的關係： bar mathbf eta_mu frac partial x1partial bar xmu mathbf eta_1 frac partial x2partial bar xmu mathbf eta_2 frac partial xnpartial bar xmu mathbf eta_n 。 或使用愛因斯坦求和約定寫成： bar mathbf eta_mu frac partial xipartial bar xmu mathbf eta_i 。 向量的共變分量和反變分量 在歐幾裡得空間 V 裡，共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用內積運算從向量求得餘向量；對於所有餘向量 mathbf w ，透過下述方程式，向量 mathbf v 和線性泛函 alpha mathbf w ，唯一地確定了餘向量 mathbf w ： alpha mathbf w mathbf vcdot mathbf w 。 逆過來，透過上述方程式，線性泛函 alpha mathbf w 和每一個餘向量，唯一地確定了向量 mathbf v 。由於這向量與餘向量的相互辨認，我們可以提到向量的共變分量和反變分量；也就是說，它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。 給予 V 的一個基底 mathfrak fX_1X_2dotsX_n ，則必存在一個唯一的對偶基底 mathfrak fsharpY1Y2dotsYn ，滿足 Yi cdot X_j deltai_j ； 其中，deltai_j 是克羅內克函式。 以這兩種基底，任意向量 mathbf v 可以寫為兩種形式 begin align v sum_i vi mathfrak f X_i mathfrak fmathbf vmathfrak f sum_i v_i mathfrak f Yi mathfrak fsharpmathbf vmathfrak fsharp end align ； 其中，vi mathfrak f 是向量 mathbf v 對於基底 mathfrak f 的反變分量，v_i mathfrak f 是向量 mathbf v 對於基底 mathfrak f 的共變分量， 歐幾裡得空間 在歐幾裡得空間Ｒ3 裡，使用內積運算，能夠從向量求得餘向量。給予一組可能不是標準正交基的基底，其基底向量為 mathbf e_1 、mathbf e_2 、mathbf e_3 ，就可以計算其對偶基底的基底向量： mathbf e1 frac mathbf e_2 times mathbf e_3tau qquad mathbf e2 frac mathbf e_3 times mathbf e_1tau qquad mathbf e3 frac mathbf e_1 times mathbf e_2tau ； 其中，taumathbf e_1cdot mathbf e_2 times mathbf e_3 是三個基底向量 mathbf e_1 、mathbf e_2 、mathbf e_3 所形成的平行六面體的體積。 反過來計算， mathbf e_1 frac mathbf e2 times mathbf e3tau qquad mathbf e_2 frac mathbf e3 times mathbf e1tau qquad mathbf e_3 frac mathbf e1 times mathbf e2tau ； 其中，taumathbf e1cdot mathbf e2 times mathbf e31tau 是三個基底向量 mathbf e1 、mathbf e2 、mathbf e3 所形成的平行六面體的體積 。 雖然 mathbf e_i 與 mathbf ej 並不相互標準正交，它們相互對偶： mathbf e_i cdot mathbf ej delta_ij 。 這樣，任意向量 mathbf a 的反變坐標為 a1 mathbf a cdot mathbf e1 qquad a2 mathbf a cdot mathbf e2 qquad a3 mathbf a cdot mathbf e3 。 類似地，共變坐標為 a_1 mathbf a cdot mathbf e_1 qquad a_2 mathbf a cdot mathbf e_2 qquad a_3 mathbf a cdot mathbf e_3 。 這樣， mathbf a 可以表達為 mathbf a a_i mathbf ei a_1 mathbf e1 a_2 mathbf e2 a_3 mathbf e3 ， 或者， mathbf a ai mathbf e_i a1 mathbf e_1 a2 mathbf e_2 a3 mathbf e_3 。 綜合上述關係式， mathbf a mathbf a cdot mathbf e_i mathbf ei mathbf a cdot mathbf ei mathbf e_i 。 向量 mathbf a 的共變坐標為 a_i mathbf acdot mathbf e_i aj mathbf e_jcdot mathbf e_i mathbf e_jcdotmathbf e_i ajg_ji aj ； 其中，g_jimathbf e_jcdotmathbf e_i 是度規張量。 向量 mathbf a 的反變坐標為 ai mathbf acdot mathbf ei a_j mathbf ejcdot mathbf ei mathbf ejcdotmathbf ei a_j gji a_j 其中，gjimathbf ejcdotmathbf ei 是共軛度規張量。 共變坐標的標號是下標，反變坐標的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基，或反變基底向量組成的基底是標準正交基，則共變基底與反變基底相互等價。那麼，就沒有必要分辨共變坐標和反變坐標，所有的標號都可以用下標來標記。 在相對論上的應用 根據相對性原理，一條物理定律在不同的系統，都應該有相同的「形式」。 狹義相對論討論的是閔可夫斯基空間，它是一種平直空間。 參考來源 Category 向量 Category 張量 Category 微分幾何 Category 黎曼幾何 Category 多重線性代數