壓縮感知（Compressed sensing），也被稱為壓縮取樣（Compressive sampling）或稀疏取樣（Sparse sampling），是一種尋找的稀疏解的技術。壓縮感知被應用於電子工程尤其是訊號處理中，用於獲取和重構稀疏或可壓縮的訊號。這個方法利用訊號稀疏的特性，相較於奈奎斯特理論，得以從較少的測量值還原出原來整個欲得知的訊號。核磁共振就是一個可能使用此方法的應用。這一方法至少已經存在了四十年，由於、戴維多諾霍、Justin Romberg 和陶哲軒的工作，最近這個領域有了長足的發展。 概覽 訊號處理領域中的一個常見問題就是從一系列的取樣中重建原本的訊號。一般而言，未被取樣的部分訊號，是不可能重建出來的。然而透過藉助對於訊號（性質）的預先了解或合理假設，完美地透過一系列取樣重建原訊號就成為了可能。隨著科學的發展，數學家們逐步增進了如何作出合理假設的能力，並慢慢了解到在何種情況下可將這些假設一般化、推廣化。 訊號處理領域中的一次較早的突破是奈奎斯特取樣定理的提出。這一定理證明了若訊號的最高頻率小於取樣頻率的一半，便可完美地從取樣結果中恢復原本訊號，因此定義了取樣定理取樣頻率的下限。這種資料獲取模式先採樣再壓縮，需要大量的時間壓縮和空間儲存資料，這限制了高速訊號處理的發展，也給硬體的即時處理帶來了極大的挑戰。 在 2006 年左右，、戴維多諾霍、Justin Romberg 和陶哲軒證明了在已知訊號稀疏性的情況下，可能憑藉較取樣定理所規定更少的取樣數重建原訊號，這一理論也是壓縮感知的基石。 正交基展開（orthogonal basis expansion）採用的是完全正交基（complete and orthogonal basis set）來進行展開，而壓縮感知採用的是過完備的非正交基集（overcomplete and nonorthogonal basis set）來展開訊號。 範例 傅立葉級數展開是正交基展開（orthogonal basis expansion）的方法 x t approx sum _m1M a_mexp j2pi f_m t int exp j2pi f_m toverline exp j2pi f_n tmathrm d t0if f_mneq f_n Threeparameter atom expansion，Fourparameter atom chirplet expansion， PSWF 展開則是過完備的非正交基集展開（overcomplete and nonorthogonal basis expansion）的方法 x t approx sum a_t0f0displaystyle sigma phi_t0f0 sigma t displaystyle phi_t0f0displaystyle sigma t 不構成一個完備的正交基集。 分類 壓縮感知希望處理的問題是： 假設 b_0t b_1t b_2t b_3t cdots 組成一個過完備的非正交基集 問題一 我們希望最小化 c_0 lVert cdot rVert_0 是 L_0 範數， c_0 意指 c_m 的值不為 0 的個數，使得： x t approx sum _m c_m b_mt 問題二 我們希望最小化 c_0 ，使得： int x tsum _m c_m b_mt2 mathrm d t text threshold 問題三 限制 c_0 為 M，我們想要最小化： int x tsum _m c_m b_mt2mathrm d t 方法 方法一：匹配追蹤（貪心演算法） 原子：b_mtm123cdots left int b_mt b_mtmathrm d t right 1 （歸一化） 第 1 步 輸入：x t 初始化 n 0 x_rt x t 第 2 步 找到最小化 left int x_rt b_mtmathrm d t right 的 m 第 3 步 令 phi_ntb_mtu_nint x_rt b_mtmathrm d t 第 4 步 x_r t x_r t u_n displaystyle phi_n t 第 5 步 n n 1 第 6 步 檢查下列條件是否符合，若不符合，回到 第 2 步；若符合，則進到 第 7 步 問題一：是否滿足 x_r t 0 問題二：是否滿足 int x_r2tmathrm d t text threshold 問題三：是否滿足 n M 第 7 步 x t approx sum _m u_mdisplaystyle phi_mt 方法二：基追蹤（Basis Pursuit） 將 L_0 範數改為 L_1 範數 lVert c rVert _1 c_0 c_1 c_2 問題一 我們想要最小化 c_1 ，使得： x t approx sum _m c_m b_mt 問題二 我們想要最小化 c_1 ，使得： int x tsum _m c_m b_mt2 mathrm d t text threshold 問題三 令 lVert c rVert_1 le M ，我們想要最小化： int x tsum _m c_m b_mt2 mathrm d t 問題定義 一般來說，一個常見的線性系統問題，有 m 個方程式，n 個未知數，可以被定義如下： yHs 其中 Hin Rem times n sin Ren times 1 yin Rem times 1 在通訊系統之中，y 是被收到的訊號，而 s 則是要被重建的訊號，一般來說會有以下兩種情況： 1mgeq n，也就是說方程式的數量大於等於未知數的數量，這種情況發生的時候就可以利用最小平方法去求得最接近的解，求得的解如下： sHTH1 HTyHdagger y 其中 HdaggerHTH1 HT 是偽逆矩陣。 2m n，也就是未知數的數量比方程式的數量來的多，這個方程組就被稱為欠定線性系統，一般而言有無數個解，因此無法使用最小平方法去求得要重建的訊號。 但是，如果這個欠定線性系統只有唯一一個稀疏解，那麼我們可以利用壓縮感知理論和方法來尋找這個解。值得注意的是，並不是所有欠定線性方程組都具有稀疏解。 舉例來說，2s_1s_2 s_3 s_4 4 s_1 2 s_2 s_3 s_4 是一個欠定線性系統，會有無限多個解可以滿足這個方程式，然而若加入稀疏的限制條件：s_1s_2 s_3 s_4 之間只有一個有值，其餘都是 0；就可以很輕易地得到這個欠定線性系統的解為 bigl 02 0 0bigr，這個就是壓縮感知的最主要的精神所在。 從下圖可以輕易地瞭解，當解具有稀疏的特性時，就可以從欠定線性系統有無限多組解的情況變成可以利用最小平方法找出解的情況。 FileCompressed Sensingpng 當訊號具有稀疏的特性時，線性系統就可以從無限多組解的情況，變成有解的情況。 稀疏性 一個向量的稀疏性可以被定義如下： left Vert s right Vert_0 is_ineq0 的個數。 也就是計算一個向量之中非零的個數，舉例來說，如果 s0 0 1 0 1 0 0，left Vert s right Vert_02 ，因此目標的解就會變成如下： sargmins_0 st yHs 希望能在非零個數越少的情況之下，找到最有可能的解。然而在實際中，最最佳化 L0 範數是一個 NP 難的問題，需要窮舉 s 中非零值的所有排列可能，因而無法求解。通常採取的手段是對 L1 範數進行最最佳化求解，最佳化目標則變為： sargmins_1 st yHs 或是使用匹配追蹤系列演算法、迭代閾值法以及專門處理二維影像問題的最小全變分法等求得次最優解的演算法進行計算。 有限等距性質 Restricted Isometry Property RIP 有限等距性質 RIP 是壓縮還原演演算法中常常可以看見的名詞，主要可以被用來分析還原演演算法的表現好壞。其定義如下： 1deltaleft Vert s right Vert_l_22leqleft Vert Hs right Vert_l_22leq 1deltaleft Vert s right Vert_l_22 其中的 H 代表感測矩陣，l_2 代表的是訊號能量，可以表示如下： left Vert x right Vert_l_22sum_i1Nleft vert x_i right vert2 因此整個式子可以視為訊號 s 跟感測矩陣 H 的相似程度，也就是做完轉換後的能量，要被 RIP 限制住，而 RIP 要求 0delta 1 。 取樣方法 在理論上，為了確保訊號重建的準確度，需要令所採用的取樣矩陣各行列之間相干性（coherence）儘量地低，且須矩陣元素（element）取值隨機性儘量地高。 相干性 coherence 可以簡單定義如下： mubigl Hbigrmax_lneq mleft vert phi_lTphi_mright vert 也就是取樣矩陣任兩個相異的行做內積後，取絕對值所產生的最大值，可以用來衡量訊號重建的準確度。 而目前對於取樣矩陣 Ain mathbb R mtimes n 有下列幾種選擇可以使還原重建度有一定品質： 對 n 個 A 的行向量在 m 維的單位半徑球面上進行隨機取樣 對任一個 A_ij 都採用相同獨立的高斯分佈 N 0frac 1m 進行隨機取樣 對任一個 A_ij 都採用如下式相同獨立的分佈進行隨機取樣 P A_ijpmfrac 1sqrt mfrac 12 除了上述的可能，現在也已經證實任何一個 subgaussian 的分佈，都可以成為一個很好的測量矩陣，也就是說具有很好的還原效果。 而上述矩陣之所以常被拿來使用，主要是因為皆已經被驗證具有高機率性滿足有限等距性質，也就是相干性非常低，因此使用此方式進行訊號取樣後，仍可確保在訊號具有足夠稀疏性的前提下得到較佳的壓縮感知重建效果。 且當使用上述矩陣時，只要訊號 x 的非零數目成下列關係，可以確保訊號被完美還原。mgeq Ctimes Slog frac nS 而 C 是一個根據不同情況而改變的常數。 但是在上述矩陣時，所需要的資料儲存量過於龐大 每個矩陣元素都要單獨記錄，且資料型別一般為浮點數 這就促進了簡化取樣矩陣的研究；目前被提出的簡化取樣矩陣主要包括兩種：結構簡化取樣矩陣與數值簡化取樣矩陣。 結構簡化取樣矩陣 目前較常被使用的兩種結構簡化取樣矩陣為迴圈矩陣與常對角矩陣 迴圈矩陣的形式為下式： A begin bmatrix a_1 a_2 a_3 dots a_n a_n a_1 a_2 a_n1 a_n1 a_n a_1 a_n2 vdots ddots vdots a_nm2 a_nm3 a_nm4 dots a_nm1 end bmatrix 常對角矩陣的形式為下式： A begin bmatrix a_0 a_1 a_2 ldots ldots a_n1 a_1 a_0 a_1 ddots vdots a_2 a_1 ddots ddots ddots vdots vdots ddots ddots ddots a_mn1 a_mn2 vdots ddots a_mn1 a_mn a_mn1 a_m1 ldots ldots a_mn2 a_mn1 a_mn end bmatrix ， 其中 A_ij A_i1j1 a_ij 。 可以發現到，若採用迴圈矩陣作為測量矩陣的話，只需要存取一列的矩陣元素；相反地，若使用常對角矩陣，除了第一列的矩陣元素外，需要額外儲存第一行的矩陣元素。 但是經過實驗發現，常對角矩陣的相干性是低於迴圈矩陣的，因此使用者可以依據自己的使用環境，來找到一個平衡點。 採用這兩種矩陣進行壓縮感知取樣時，可以大幅降低儲存成本，也為此演算法的前端感測器大幅降低實現門檻。 數值簡化取樣矩陣 數值簡化取樣矩陣普遍將原有的、按照高斯分佈隨機取值的取樣矩陣元素以數值上更為簡單的元素取代，但在分佈上維持矩陣元素的分佈隨機性 即縮減了儲存浮點數這一方面的成本。 一種較為基本的數值簡化取樣矩陣是 01 伯努利矩陣，其中的元素僅有 0 和 1 兩種，分佈模式為相同獨立的伯努利分佈（identical independent Bernoulli distribution）。 對於每一個矩陣元素，該分佈的機率質量函式 f 為： f kp begin cases p text if k1 6pt 1p text if k0end cases 求解 重構方法 壓縮感知利用了很多訊號中所存在的冗餘（換言之，這些訊號並非完全是噪聲）。具體而言，很多訊號都是 稀疏 的；在適當的表示域中，它們的很多係數都是等於或約等於零。 在訊號獲取階段，壓縮感知在訊號並不稀疏的域對訊號進行線性測量。 為了從線性測量中重構出原來的訊號，壓縮感知求解一個稱為 L1 範數正則化的最小二乘問題。從理論上可以證明，在某些條件下，這個正則化最小二乘問題的解正是原欠定線性系統的稀疏解。 基追蹤 是一種訊號重建演演算法，被廣泛地用於壓縮感知領域，屬於數學最最佳化問題的範疇，形式為 min_s s_1 quad mbox subject to quad y Hs。 其中 s 是 n1 向量，表示輸出（訊號），y 是 m1 的測量向量，H 是 mn 的 轉換矩陣 或稱作 測量矩陣，其中 M N。 基追蹤常在需要完美滿足欠定線性方程組系統中 yHs 時被應用，且要求解在 L1 基準下為最稀疏的。 若應用情景允許降低對完美恢復的要求，以換取更加稀疏的解 s，更為適用。 匹配追蹤 是一種稀疏近似運算，旨在找到多維資料在某個超完備字典（dictionary）D 上對映的 最佳匹配。其基本的概念就是要用來自 D 的函式組 g_gamma_n（稱為基元，或 atom）的加權和來表示希爾伯特空間 H 上的訊號 f： f t sum_n0infty a_n g_gamma_nt 其中 n 表示被選取基元的序數，a_n 是每個基元的加權常數。對於固定的字典，匹配追蹤會先找到與訊號間內積最大的一個基元，再減去該基元帶來的影響，然後重複找尋影響力次大的基元直到訊號被較好地分解。 相較而言，以傅立葉級數表示的訊號來說，字典是構建於正弦基函式之上的。訊號處理領域中傅立葉分析的主要缺點就在於它只能提取出訊號中常存的特徵，而不能適應當前的分析目標訊號 f。 若採用一組極端保險、帶有大量冗餘的字典，我們就能夠找到可以完美匹配訊號的 f 函式組。在對訊號進行編碼與壓縮時，最好是能夠找到一組對映，使加權和中的大部分系數都接近零（具有 稀疏性）。 正交匹配追蹤 正交匹配追蹤 Orthogonal Matching Pursuit 是匹配追蹤的特殊形式，正交匹配追蹤的演算法與匹配追蹤相同，但是正交匹配追蹤不會重複使用同一個基元來進行匹配，因此會比匹配追蹤更快收斂。 迭代閾值演算法 迭代閾值演算法 Iterative ShrinkageThresholding Algorithm 是上述基於貪婪演演算法 Greedy Algorithm 之匹配追蹤與正交匹配追蹤的替代演算法，迭代演算法主要是透過不斷的投影和取閾值來進行收斂，而他在每次迭代中，都還可以進行其他最佳化例如：Wigener 濾波，不僅可以降低運算複雜度，也可以提高還原品質。 正交匹配追蹤 Orthogonal Matching Pursuit 正交匹配追蹤是一個用來解決壓縮感知問題的演演算法，在一定的複雜度之下有不錯的表現，他背後最主要的想法是源自於貪婪演演算法 Greedy Algorithm，以下將逐步解說。 首先這個問題被定義為：yAx，目標是要藉由已知的 y 向量、A 矩陣，來還原 x 向量，他會利用疊代的方式，逐步找出 x 向量當中最有可能是非零的位置。 一開始會有一個空集合 Lambda_0，以及剩餘的部分 r_0，每次疊代都會從 overline Lambda _l1 找出一個 A 矩陣投影到剩餘 r_l1 有最大值的位置，把這個位置加到 Lambda_l 之中，並從 overline Lambda _l 當中移除，最後再更新剩餘 r_l。利用疊代的方式，不斷地找出 x 向量當中最有可能非零的位置，直到達到演演算法停止條件。 FileOrthogonal Matching Pursuitpng 正交匹配追蹤演演算法 在正交匹配追蹤演算法的基礎上，Needell 等人提出了正則正交匹配追蹤（Regularized Orthogonal Matching PursuitROMP）演算法對於所有滿足約束等距性條件的矩陣和所有稀疏訊號進行重構。之後，引入回溯思想的壓縮取樣匹配追蹤（Compressive Sampling Matching PursuitCoSaMP）演算法被提出。 在實際應用中，稀疏訊號非零元素個數 K 往往是未知的，而上述的匹配追蹤演算法都是建立在稀疏度 K 已知的基礎上，因此出現了對 K 自適應的稀疏自適應匹配追蹤（Sparsity Adaptive Matching PursuitSAMP）演算法，它透過固定步長來逐步逼近進行重建，可以在稀疏度 K 未知的情況下獲得較好的重建效果。 迭代閾值演算法 Iterative ShrinkageThresholding Algorithm 迭代閾值演算法是從 Relaxation Method 啟發而來，Relaxation Method 是用於解決具有稀疏性的線性系統。 在迭代閾值演算法中，問題一樣是被定義為：min x_1 subject to yAx 而在此演算法中，每一次的迭代主要分成兩部分：1、尋找新的解 xt1 。2、更新殘值 rt 。 第一階段，主要是利用投影的方式找到更新的向量方向，再透過取閾值的方式來進行最佳化。xt1eta_thrxtmathcal Ktimes ATrt 而 mathcal K 是 relaxation parameter，且 mathcal Kin 01 。 而 eta_thr 就是閾值函式 thresholding function，主要就是為了使迭代的過程中，逐漸逼近具有稀疏性性質的解，而目前主要有兩大類取閾值的方式：硬閾值函式 Hard Thresholding Function 與軟閾值函式 Soft Thresholding Function。 硬閾值函式就是將小於閾值 thr 的解，一律通透過濾成 0。eta_thrH xbegin cases x text ifxthr0text otherwise end cases 而軟閾值函式則是使用較為平滑的方式，將值逼近於稀疏性的解 eta_thrS xsgn xxthr_text wherez_ztimesmathbb Izgeq0 ，而 mathbb I 是指示函式而第二階段，則是利用新算出來的 xt1 來進行殘差更新。rt1yAxt1 之後一直等到規定的迴圈數抵達即完成還原。 而此演算法是 Landweber iteration 的變形，若沒有加入閾值函式的話，就會收斂到 min yAx_22 。 稀疏性空間投影 壓縮感知還原演演算法包括整個壓縮感知都是建立在訊號有稀疏性上，但是並不是所有的訊號都天然具有稀疏性，例：聲音。那麼是否不具有稀疏性的訊號就不能使用壓縮感知呢？答案為並不是，天然不具有稀疏性的訊號還是能夠使用壓縮感知，只需要把該訊號投影到其他空間，其他該訊號有稀疏性的空間下，壓縮感知就可直接使用在該投影空間上。可以被定義如下： spsi z where psi in Ren times k zin Rek times 1 sin Ren times 1 s 要被重建的訊號 原訊號；ψ 投影矩陣，把非稀疏性訊號投影到稀疏性空間；z 非零項遠小於零項 故原壓縮感知公式定義也隨之改變： y Hs Hpsi z Theta z where Theta in Rem times k 所以可以把 Theta 視為原本壓縮感知公式裡面的 H，還原演演算法即可一樣使用。 至於 psi 的選擇對於不同訊號來說有很多種，有離散餘弦變換 DCT 離散小波變換 DWT，字典學習 Dictionary Learning 等。 離散餘弦變換和離散小波變換 利用訊號經過這兩種變換後都會有稀疏性的特性，把這兩種變換變成矩陣形式，讓訊號直接投影到具有稀疏性的空間上。 好處 不需要特別針對訊號做不同 psi 的選擇，對於絕大部分訊號可以直接使用。 並不需要前處理，可以直接使用。 壞處 限制了原訊號的維度，必須滿足 n 2xx 為任意正整數。 因為通用所有訊號，故經過壓縮感知還原演演算法後還原的訊號品質較差。 字典學習 顧名思義即把 psi 當作一本要學習的字典，不斷的利用該訊號和還原演演算法後的結果做字典的更新，直到找到一個 psi 能夠把該訊號投影到稀疏性空間上。 字典學習的流程： 設定字典學習的學習次數 Iter 收集一定量 L 筆 要學習的資料 s 組成 S s1 s2 sL 固定 psi，利用還原演演算法找出每一筆資料的 z，組成 Z z1 z2 zL underset cminS psiZ_F2 st zi0 Kth foralli 固定 Z， 利用 3 所得之 Z 來更新字典 當 Z 固定時，定義誤差 ei si psizi，組成 E e1 e2 eL 所以整體的均方誤差為 E_F2 e1 e2 eL _F2 S psiZ_F2 在 Z 固定下使得 E 最小，將得到關係式 S psiZ ZT 0 psi SZT ZZT1 檢查 Z 上面是否已經有稀疏性，如有則結束學習；如沒有則回到 3 直到達到學習的次數 字典學習的演演算法有很多，較為常用的有 Method of optimal directions MOD。 好處 因為針對該種類訊號做學習，故還原後的品質較好。 對原訊號的維度並沒有任何限制。 壞處 需要事前收集該種類的訊號做學習，不能未學習直接使用。 因為針對該種類訊號做學習，故直接使用在不同種類訊號效果較差 不適用。 相關應用 壓縮感知與包括欠定系統、群驗、稀疏編碼、複用、稀疏取樣等。在成像科技領域，亦有許多技術如（編碼孔與計算攝影學）與壓縮感知相關。亦有許多在不同技術完成度下將壓縮感知實現的案例。 X 射線晶體學 壓縮感知在 X 射線晶體學中的應用主要體現在相位回復問題的研究上。相位回復在 X 射線晶體結構分析中至關重要，因為晶體結構與其 X 射線繞射效應之間存在傅裡葉轉換關係。傳統方法中，僅能獲得繞射強度的振幅資訊，缺乏相位資訊，這使得直接重建晶體結構變得困難。 為解決這一問題，有學者將壓縮感知應用於相位回復，提出了壓縮相位回復 Compressive phase retrieval。該方法利用訊號的稀疏性，透過較少的測量資料成功回復原始訊號。在隨機傅裡葉轉換模型下，僅需少量隨機的傅裡葉測量，即可回復稀疏訊號。 此外，壓縮感知還被用於提升 X 射線成像的解析度和穩定性，尤其是將壓縮感知與深度學習相結合的創新方法，進一步優化了影像重建的效果。 攝影學 壓縮感知技術被用於手機攝像頭感測器設計中。這一技術使得在獲取影像時所耗費的能量大大降低，可達原先耗費的 15 分之一 當然，需要引入複雜的解壓演算法；這一運算可能會需要離線狀態下的預先安裝、設定。 壓縮感知亦被用於實現單畫素攝影。貝爾實驗室運用了這一技術，用無鏡片單畫素相機在柵格中隨機選取的孔隙處拍照，以達到成像效果。隨著拍照次數的逐漸增多，照片質量也會逐步提高；一般來說，這種技術較之傳統的攝影成像技術僅僅需要一小部分的資料佔用量，且能完全避免與鏡片或聚焦相關的故障或失常；參見 。 全息成像 壓縮感知可被用於增加透過單幅全息圖中所能得到的立體畫素的數量改進全息攝影技術中的影像重建問題。在光學全息圖或毫米波全息圖取樣率不足的情況下，這一技術也能夠被用於影像檢索以作出改善。 面部識別 壓縮感知目前被用於面部識別應用之中，參見 Engineers Test Highly Accurate Face Recognition 。 核磁共振成像 壓縮感知也被應用在醫療影像上，特別是核磁共振成像 Magnetic Resonance Imaging MRI，具有稀疏的特性，因此能使用壓縮感知的技術。在過去核磁共振成像會因為物理學、生理學上的限制，而有掃描時間較長的問題，如今壓縮感知利用核磁共振成像具有的稀疏特性，來改善成像品質以及降低所需要量測數量，能有效縮短核磁共振的掃描時間，近期相關的壓縮感知演演算法也被廣為討論，可以參見 、 與 ，其中涉及的重建方法包括 ISTA、FISTA、SISTA 等。 地震成像 一般來說地震成像既不稀疏，也不可壓縮，具有高維度、大面積的特性，因此會耗費大量的量測以及運算時間，所以希望能降低取樣的次數，同時能保有原本的品質。因此有人利用壓縮感知技術將取樣以及編碼同時進行，來達到降低維度的目的，最後再透過壓縮感知的還原演演算法進行還原，可以參考。 類比資訊轉換 AnalogtoInformation Converter AIC 在通訊系統當中會遇到高頻寬的問題，因此會需要較高的取樣頻率，然而其中的訊號可能含有的資訊是遠小於頻寬的，因此就會浪費軟、硬體的資源來進行取樣。所以有人提出用類比資訊轉換 AnalogtoInformation Converter AIC 取代類比數位轉換 AnalogtoDigital Converter ADC，利用隨機解調 Random Demodulation 的方式，來降低所需要的取樣次數，對於在時頻上有稀疏特性、寬頻的訊號特別適合，可以參考。 網路診斷 壓縮感知在被用於旨在利於網路管理的網路診斷應用中時帶來了極佳成效。對網路延時的估計和網路擁塞的探知均可被歸納、建模為非定性的線性方程組系統，其中的引數矩陣正是所分析網路的路由選擇矩陣。此外，在網際網路情景中，網路路由矩陣常常能夠滿足壓縮感知技術所要求的幾個基本要素：低相關性、稀疏性及（可能的）RIP 條件，請參見 。 短紅外攝影 目前，基於壓縮感知技術的商用短紅外相機已被推出 。這些相機的光敏度大約從 09µm 到 17µm，在上述波段上，人類的肉眼是無效的。 通訊通道估測 隨著通訊要求的頻寬越來越大，因此可用的頻帶從微波 Microwave 轉到毫米波 mmWave 的頻段，雖然可用的頻寬增加，然而會受到更嚴重的通道衰減，所以波束成型的技術被提出，結合天線陣列來對抗通道衰減的效應。然而大量的天線陣列會使得做通道估測的複雜度上升，傳統的做法是使用最小平方法 Least Square LS 來進行通道估測，不過有人發現通道具有稀疏的特性，因此提出了利用壓縮感知的技術，進行壓縮通道估測 Compressed Channel Estimation CCS，相較最小平方法，不僅複雜度降低，還能達到更低的錯誤率以及延遲性。 訊號源定位 利用壓縮感知理論可以恢復出稀疏訊號的特性，壓縮感知理論被廣泛應用於波達方向估計 Direction of ArrivalDOA 中。基於壓縮感知的波達方向估計中將訊號源矩陣看作是一個稀疏矩陣，在已知取樣矩陣和陣列流形矩陣為前提下，對稀疏訊號源矩陣進行重構以獲得被測量訊號源的波達方向。使用這種方法，不僅避免了傳統波達方向估計中需要計算複雜協方差矩陣的步驟，同時還對空間中的相干訊號源有著很好的效能。 物聯網 在物聯網的情境之下，裝置的數量會大幅增加，然而因為資源有限，所以用來辨別裝置的展頻碼 m 會少於裝置的數量 n，因此會使得整個系統變成欠定的線性系統，然而這些裝置大部分的時候都是處於休息、監測的狀態，並不會一直傳送訊息給基地臺，因此就有了稀疏的性質，利用壓縮感知的技術就能分辨出處於活動狀態的裝置，並解出其所傳送的訊號。 加密 壓縮感知演演算法天生就具有加密的性質，因為要重建原本訊號的話，必須要知道取樣矩陣才能進重建。因此現今也有許多加密的研究關注於壓縮感知演演算法，因為虛擬亂數感測矩陣 Pseudorandom Sensing Matrix 可以被視為一組加密後的鑰匙，能對訊號進行壓縮並同時加密，而不需要額外的運算，可以參考。 參考資料 Candès EJ Wakin MB An Introduction To Compressive Sampling IEEE Signal Processing Magazine V21 March 2008 J Choi et al 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Sensing Makes Every Pixel Count article in the AMS Whats Happening in the Mathematical Sciences series Category 資訊理論 Category 訊號處理 Category 線性代數 Category 機率論 Category 數學最佳化