歐幾里得定理是數論中的基本定理，定理指出素數的個數是無限的。該定理有許多著名的證明。 歐幾里得的證明 歐幾里得在他的著作《幾何原本》（第九卷的定理 20）James Williamson translator and commentator The Elements of Euclid With Dissertations Clarendon Press Oxford 1782 page 63 提出了證明，大意如下歐幾里德主張的準確表述為：素數比任何可以提出的量都要多。在這個證明中，假定了最少存在三個素數，歐幾里得則由此推論出必存在第四個素數。： 對任何有限素數的集合 p_1 p_2 p_n。在這裡將會證明最少存在一個集合中沒有的額外素數。令 P p_1 p_2 p_n 及 q P1。那麼 q 是素數或者不是，二者必居其一： 如果 q 是素數，那麼至少有一個素數不在有限素數集 p_1 p_2 p_n 中。 如果 q 不是素數，那麼存在一個素數因子 p 整除 q，如果 p 在我們的有限素數集中，p 必然整除 P 既然 P 是素數有限集中所有素數的積；但是，已知 p 整除 P1 P1 q，如果 p 同時整除 P 和 q，p 必然整除 P 和 q 之差一般來說，對任何整數 a、b、c 而言，若 a mid b 和 a mid c 成立的話，則 a mid b c 必成立。見整除性。 P 1 P 1。但是沒有素數能整除 1，即有 p 整除 q 就不存在 p 整除 P。因此 p 不在有限集 p_1 p_2 p_n 中。 這證明了：對於任何一個有限素數集，總存在一個素數不在其中。所以素數一定是無限的。 很多時候有人會錯誤地指出歐幾里得是用了反證法，他們假設證明起初考慮的是所有自然數的集合，或是集合內含有 n 個最小的素數，而不是任何任意的素數集合 Michael Hardy and Catherine Woodgold Prime Simplicity Mathematical Intelligencer volume 31 number 4 fall 2009 pages 4452。歐幾里得證明用的不是反證法，而是證明了一個有限集合中沒有任何擁有特殊性質的元素。當中並沒有反論的部分，但集合中的任何元素都不可以整除 1。 文獻中存在數個版本的歐幾里得證明，包括以下的： 正整數 n 的階乘 n 可被 2 至 n 的所有整數整除，這是由於它是這些數全部的乘積。因此 n1 並不能被 2 至 n（包括 n）的任何自然數所整除（所得的餘數皆為 1）。因此 n1 有兩個可能性：是素數，或者能被大於 n 所整除。在任一個案中，對所有正整數 n 而言都存在最少 一個比 n 大的素數。所以結論就是共有無限個素數。 尤拉的證明 另一個由瑞士數學家萊昂哈德尤拉提出的證明，則使用了算術基本定理：每一個自然數都有一組獨一無二的素因子排列。設 P 為所有素數的集合，尤拉寫下了： prod_pin P frac 111pprod_pin P sum_kgeq 0 frac 1pksum_nfrac 1n 第一條等式是由乘積中每一項的等比數列公式所得。而第二個等式則是用於黎曼 ζ 函式的尤拉乘積。為了證實此點，可把乘積分配進和裡面： begin align prod_pin P sum_kgeq 0 frac 1pk sum_kgeq 0 frac 12k times sum_kgeq 0 frac 13ktimessum_kgeq 0 frac 15ktimessum_kgeq 0 frac 17ktimescdots 8pt sum_kellmncdots geq 0 frac 12k 3ell 5m 7n cdotssum_nfrac 1n end align 在這個結果中，每一個素數積都出現了正好一次，因此由算術基本定理可得這個和等於所有自然數的和。 右邊的和是發散的調和級數。因此左邊的和也是發散的。由於乘積內每一個項都是有限的，所以其項數必須為無限；因此得出共有無限個素數。 埃爾德什的證明 埃爾德什帕爾的第三種證明也是靠算術基本定理的。首先注意每一個自然數 n 都能被寫成獨一無二的 rs2 其中 r 非平方數，或任何平方數的倍數（設 s 為能整除 n 的最大平方數，並使 rfrac ns2）。此時假設素數的數量為有限，且其數量為 k。由於每個素數只有一個非平方數的因子，所以根據算術基本定理，得出共有非平方數 2n 個。（見組合 在集合中取出 k 項元素及 sum_r0n binom nr 2n ） 現在把一個正整數 N 固定，並考慮 1 與 N 之間的自然數。 這些數每一個都能被寫成 rs2，其中 r 為非平方數，s2 為平方數，例如： 1times 1 2times 1 3times 1 1times 4 5times 1 6times 1 7times 1 2times 4 1times 9 10times 1 cdots 集合中共有 N 個不同的數。每一個都是由非方數和比 N 小的平方陣列成。這樣的平方數共有 lfloor sqrt Nrfloor（見高斯符號的取底符號）。然後把這些小於 N 的平方數乘積與其餘所有的非平方數相乘。這樣得出的數一共有 2k lfloor sqrt N rfloor 個，各不相同，因此它們包括了所有我們集合裡的數，甚至更多。因此，2k lfloor sqrt N rfloor geq N。 由於此不等式對足夠大的 N 並不成立，因此必須存在無限個素數。 弗斯滕伯格的證明 希勒爾弗斯滕伯格於 1950 年代還是個大學生時，提出了一個使用點集拓撲學的證明。（見） 一些近期的證明 皮納西科 胡安帕布洛皮納西科（Juan Pablo Pinasco）寫下了以下的證明 Juan Pablo Pinasco New Proofs of Euclids and Eulers theorems American Mathematical Monthly volume 116 number 2 February 2009 pages 172173。 設 p_1 cdots p_N 為最小的 N 個素數。然後根據容斥原理可得，少於或等如 x 又同時能被那些素數中其中一個整除的正整數的個數為 begin align 1 sum_i left frac xp_i right sum_i j leftlfloor frac xp_i p_j rightrfloor sum_i j k leftlfloor frac xp_i p_j p_k rightrfloor cdots cdots pm 1N1 leftlfloor frac xp_1 cdots p_N rightrfloor qquad 1 end align 把全式除以 x，並且讓 x rightarrow infty，得 sum_i frac 1p_i sum_i j frac 1p_i p_j sum_i j k frac 1p_i p_j p_k cdots pm 1N1 frac 1p_1 cdots p_N qquad 2 上式可被改寫為 1 prod_i1N left 1 frac 1p_i right qquad 3 若除了 p_1 cdots p_N 以外不存在其他素數的話，則式 1 與 lfloor x rfloor 相等，而式 2 則等於 1，但很明顯地式 3 並不等於 1。因此除了 p_1 cdots p_N 以外必須要存在其他素數。 黃 俊浩彼得黃（Junho Peter Whang）於 2010 年發表了使用反證法的證明 Junho Peter Whang Another Proof of the Infinitude of the Prime Numbers American Mathematical Monthly volume 117 number 2 February 2010 page 181。設 k 為任何正整數，p 為素數。根據勒讓德定理，則可得： k prod_ptext prime pf pk 其中 f pk leftlfloor frac kp rightrfloor leftlfloor frac kp2 rightrfloor cdots f pk frac kp frac kp2 cdots frac kp1 le k 但若只存在有限個素數，則 lim_ktoinfty frac left prod_p prightkk 0 （上式分子呈單指數增長，但斯特靈公式指出分母的增長速度比分子快），這樣就違反了每一個 k 的分子要比分母大的這一點。 塞達克 菲利浦塞達克（Filip Saidak）給出了以下的證明，當中沒有用到歸謬法 而大部分歐幾里得定理的證明都用了，包括歐幾里得自己的證明，而同時不需要用到歐幾里得引理，也就是若素數 p 整除 ab 則也必能整除 a 或 b。證明如下： 由於每個自然數（geq 2）最少擁有一個素因子，所以兩個相鄰數字 n 和 n1 必定沒有共同因子，而乘積 n n1 則比數字 n 本身擁有更多因子。因此普洛尼克數的鏈：12 2 2 23 6 2 3 67 42 23 7 4243 1806 237 43 18061807 3263443 23743 13139提供了一組素數集合無限增長的數列。 使用的無理性的證明 以尤拉乘積來表示 π 的萊布尼茨公式可得 frac pi4 frac 34 times frac 54 times frac 78 times frac 1112 times frac 1312 times frac 1716 times frac 1920 times frac 2324 times frac 2928 times frac 3132 times cdots 乘積的分子為奇數的素數，而每一個分母則是最接近分子的 4 的倍數。 若存在的素數是有限的話，上式所展示的就是是一個有理數，而分母是所有與素數多 1 或少 1 的 4 的倍數的乘積，而這點違反了實際上是無理數的這一點。 使用資訊理論的證明 亞歷山大沈（音譯，Alexander Shen）與其他人發表了利用的證明： 設只存在 k 素數（p_1 cdots p_N）。由算術基本定理可得，任何正整數 n 都能被寫成： n p_1e_1 p_2e_2 p_ke_k 其中非負自然數 e_i 與素數的有限集合就足夠重構任何數字。由於所有 i 都遵守 p_i geqslant 2，因此可得所有 e_i leqslant lg n（其中 lg 代表底數為 2 的對數）。 由此可得 n 的編碼大小（使用大 O 符號）： O text prime list size k lg lg n O lg lg n 位元。 （其中 prime list size 為素數集合的大小）這編碼比直接用二進位制代表 n 要有效得多，二進位制的話需要 N O lg n 位元。無損資料壓縮的一個已被確立的結果指出，一般不可能把 N 位元的資訊壓縮到少於 N 位元。由於 lg lg n o lg n，所以當 N 足夠大時，以上的這個表示不成立。 因此，素數的數量必不能為有限。 參閱 狄利克雷定理 素數定理 註釋和參考資料 外部連結 Euclids Elements Book IX Prop 20 Euclids proof on David Joyces website at Clark University O Category 素數 Category 包含證明的條目