在趣味數學中，接近整數是指很接近整數的無理數。這類數字中，有些因為其數學上的特性使其接近整數，有些還找不到其特性，看起來似乎只是巧合。 有關黃金比例及其他皮索特 維賈亞拉加文數 黃金比例 varphifrac 1sqrt52approx 161803398875 的高次方符合此特性。例如 varphi17frac 35711597sqrt52approx 357100028 approx F_16F_18 varphi1828891292sqrt5 approx 5777999827 approx F_17F_19 varphi19frac 93494181sqrt52approx 9349000107 approx F_18F_20 其中 F_n 代表費波納契數列的第 n 項 這是因為有恆等式 varphinF_n1F_n times varphi，所以當 n 為足夠大的正整數時， varphinF_n1F_n times varphi approx F_n1F_n times left frac F_n1F_n rightF_n1F_n1 這些數字接近整數的原因和黃金比例的特性有關，不是數學巧合。其原因是因為黃金比例為皮索特 維賈亞拉加文數，而皮索特 維賈亞拉加文數的高次方會是接近整數。 這些數字與費波納契數有密切的關係，因為費波納契數相鄰兩項的比值會趨近於黃金比例，而如果 m 整除 n，則第 m 個費波納契數也會整除第 n 個費波納契數。 皮索特 維賈亞拉加文數是指代數數本身大於 1，而且其極小多項式中另一根的絕對值小於 1。像黃金比例本身大於 1，varphi 的最小多項式為 x2 x 10 另一根為 overline varphifrac 1sqrt52approx 0618 絕對值小於 1，因此黃金比例為皮索特 維賈亞拉加文數，其高次方會是接近整數。 依照根和係數的關係，可得知 varphi overline varphi 1 varphioverline varphi 1 而 varphin overline varphin 可以用 varphi overline varphi 及 varphioverline varphi 來表示，由於二根之和及二根之積均為整數，計算所得的結果也是一個正整數，假設為一正整數 K，則 varphin 可以用下式表示 varphin K overline varphin 由於 overline varphi 的絕對值小於 1，在 n 增大時，其高次方會趨於 0，此時可得 varphin approx K 除了黃金比例外，其他皮索特 維賈亞拉加文數的無理數也符合此一條件，例如 1sqrt2。 有關黑格納數 以下也是幾個非巧合出現的接近整數，和最大三項的黑格納數有關： episqrt 43approx 884736743999777466 episqrt 67approx 147197952743999998662454 episqrt 163approx 26253741264076874399999999999925007 以上三式可以用以下的式子表示 episqrt 43123 92137442225cdotstimes 104 episqrt 67123 212137441337cdotstimes 106 episqrt 163123 2312137447499cdotstimes 1013 其中：213times72313times7times1174424times 31 由於艾森斯坦級數的關係，使得上式中出現平方項。常數 episqrt 163 有時會稱為拉馬努金常數。 有關 π 及 e 許多有關 π 及 e 的常數也是接近整數，例如 epipi19999099979189cdots 以及 e5pi6635623999341134233cdots 格爾豐德常數（epi）接近 pi20，至 2011 年為止還沒找到出現此特性的原因 Eric Weisstein Almost Integer at MathWorld，因此只能視為一數學巧合。另一個有關格爾豐德常數的常數也是接近整數 frac epipi16pi100793356cdots 以下也是一些接近整數的例子 22 pi421430000027480cdots pi5306019684cdots pi331006276cdots pi1321704017978cdots pi3frac pi50030999993494cdots pi2frac pi2410000504cdots pi53 pi32130008547cdots epipi00009199999999791cdots e3200855369cdots e92900171313cdots episqrt 285019695cdots e6pi5pi4000001767cdots 9 pi52e3271400608922cdots e132pi66200004039cdots pi132e92161400084707cdots 其他例子 _cosleftpicosleft picoslnleft pi20rightrightrightapprox 09999999999999999999999999999999999606783 _sin2017sqrt 5 2approx 09999999999999999785 _sum_k1inftyfrac lfloor ntanh pi rfloor10nfrac 181approx 111times10269 _sqrt 29left cosfrac 2pi59cosfrac 24pi59rightfrac 195approx 3057684294154times106 _1frac 103378831900730205293632e3pisqrt 163frac 196884e2pisqrt 163frac 262537412640768744episqrt 163approx 1161367900476times1059 _frac ln2262537412640768744pi2163approx 232167times1029 _10tanhfrac 2815pifrac pi9e8approx 3661398times108 _ sqrt 4frac 9110frac 3319approx 3661398times108 _ gamma10over81left 112sqrt 10rightint_0inftyleft frac 1ex1frac 1xexrightrm d x10over81left 112sqrt 10rightapprox 272times107 _frac left 5sqrt5rightGammaleft 3over4rightefrac 56piapprox1000000000000045422 _1over4left cos 1over10cosh 1over102cos sqrt2over20cosh sqrt2over20rightapprox 1000000000000248 _e6pi5pi4approx17673times105 _sqrt 29left cosfrac 2pi59cosfrac 24pi59rightapprox 30576842941540143382times 106 _ left 3sqrt5rightgammaleft 3sqrt5rightint_0inftyleft frac 1ex1frac 1xexrightrm d xapprox 3000060964 _ ephi_0left frac 2sqrt34righteint_0inftyleft frac 1tetfrac efrac 2sqrt34 tet1rightrm d tapprox 199999969 _ frac sqrt 3 93ln 2approx 100030887 _sum_kinftyinfty 10frac k210000100sqrt frac piln10theta_3left 0frac 1sqrt 1000010right100sqrt frac piln10approx13809times1018613 _ pi9over e8approx 9998387 _ epipiapprox 19999099979 _ frac epiln3ln2frac 45approx 310000000033 _frac pi11e3Gammaleft Gammaleft pi1right1rightfrac pi11e3int_0inftyfrac tint_0inftyfrac upieurm d uet rm d tapprox 72669999993632596 _ 163left pierightapprox 68999664 _ left frac 239right5frac 643634359049approx 10900003387 _ 88ln 89approx 39500000053 _ 510lg 7approx 43100000040727098 _ 272log_pi 97approx 1087000000204 _ frac 53453ln 53453approx 491000000122 _ frac 53453ln 53453frac 163ln 163approx 494199999995925082 _sqrt 8frac sqrt24left pi174e2pi4pi epirightsqrt 8frac sqrt24left pi174e2pi4pi epirightapprox 2570287024592328869357times 106 _10sqrt 8frac sqrt24left pi174e2pi4pi epirightapprox 257055302118times 106 _10sqrt 8frac sqrt24left pi174e2pi4pi epirightapprox 265996596963times 1010 _ frac 163ln 163approx 319999987343 2223approx 300507511272 4 ln 2117approx 299999996861 _ ln K_0lnln K_0approx 10000744 ，其中 K_0 是辛欽常數 _frac 1081sum_n1inftyfrac sum_k10n110n1 10nleft k10n11right k10sum_k0n1 9times 10k1 kfrac 1081sum_n1inftysum_k10n110n1frac k10kn9sum_k0n1 10k nkapprox 1022344times109 _frac 15 efrac 65 _4F_3left frac 15frac 120frac 310frac 1120frac 15frac 25frac 35frac 2563125e6rightfrac 225efrac 65_4F_3left frac 15frac 920frac 710frac 1920frac 35frac 45frac 75frac 2563125e6rightfrac 4125efrac 125_4F_3left frac 25frac 1320frac 910frac 2320frac 45frac 65frac 85frac 2563125e6rightfrac 7625efrac 185_4F_3left frac 35frac 1720frac 1110frac 2720frac 65frac 75frac 95frac 2563125e6rightpiapprox 289221114964408683times108 _qquadmbox Root of x6615x5151290x418608670x31144433205x228153057165x396050 _frac 61555sqrt5sqrt 374513703332354sqrt56sqrt 88907100303976046490sqrt5sqrt 374513703332354sqrt56sqrt 88907100303976046490sqrt56approx 140677447684times106 _qquadmbox Root of 312500000x56843750000x46826250000x310476025000x27886869750x720990 _tanleft frac arctan 45frac 4pi5rightfrac 1950frac 21950frac 1sqrt5sqrt 102sqrt5rm i4sqrt 5884799 rm ifrac 1sqrt5sqrt 102sqrt5rm i4sqrt 5884799 rm ifrac 1sqrt5sqrt 102sqrt5rm i4sqrt 51156289 rm ifrac 1sqrt5sqrt 102sqrt5rm i4sqrt 51156289 rm iapprox 9141538637378949398666277times 106 _rm erfileft rm erfifrac sqrt33rightfrac 2sqrtpiint_0frac 2sqrtpiint_0frac sqrt33 et2 rm d t eu2 rm d u frac 2sqrtpi eleft frac 2sqrt 3 esqrtpiint_0inftyfrac sinleft frac 23sqrt3trightet2rm d tright2int_0inftyfrac sinleft frac 4usqrt 3 esqrtpiint_0inftyfrac sinleft frac 23sqrt3trightet2rm d trighteu2rm d u frac 2sqrtpiint_0_frac 2sqrt 3 esqrtpiint_0inftyfrac sinleft frac 23sqrt3trightet2rm d t eu2 rm d u frac 2sqrtpi eleft frac 2sqrtpiint_0frac sqrt33 et2 rm d tright2int_0inftyfrac sinleft frac 4usqrtpiint_0frac sqrt33 et2 rm d trighteu2 rm d uapprox 100002087363809430195879 sin 11 0999990207，這是由於 35 pi approx 109956 approx 11 的緣故，另一個類似的例子為 sin 355 000003014435335948844921433 sqrt 122232425520572 approx 2368186190000004307 frac 5665 approx 2 外部連結 JS Markovitch Coincidence data compression and Machs concept of economy of thought 註釋 參考資料 Category 趣味數學