費曼－卡茨公式是一個數學公式與定理，得名於理查德費曼和馬克卡茨，將隨機過程和拋物型偏微分方程結合在一起。使用費曼－卡茨公式可以透過將某些拋物型偏微分方程的解寫成隨機過程的條件期望的方式，從而將求此類微分方程的數值解轉化為模擬隨機過程的路徑。反過來，此一類隨機過程的期望可以透過確定性的計算（偏微分方程求解）得到。考慮偏微分方程： frac partial upartial t mu xt frac partial upartial x frac 12 sigma2 xt frac partial2 upartial x2 V xt u f xt qquad qquad t in 0 T x in mathbb R 滿足邊界條件： u xTpsi x 其中的 mu sigma psi V 是已知的函式， T 是給定的引數， umathbb Rtimes 0Ttomathbb R 是所求的解函式。費曼－卡茨公式宣告，這個偏微分方程的解函式可以寫成某個隨機過程的（條件）期望： u xt Eleft int_tT eint_ts V X_tau dtau f X_ss ds e int_tT V X_tau dtaupsi X_T X_tx right 其中 X left X_t t geqslant 0 right 是由以下的隨機動力方程 d X_t mu X_t tdt sigma X_t tdW_t 決定的伊藤隨機過程。其中的 W_t 是維納過程（Wiener 過程，又稱為布朗過程）， X_t 滿足初始條件 X_0 x。 條件 費曼－卡茨公式建立在若干對引數函式的限制性條件下。這些條件主要是要求引數函式足夠 平滑 與 規則，使得隨機微分方程和偏微分方程的解存在。 首先假設偏微分方程的解函式 u 存在。卡拉查斯和史雷夫在 1988 年證明了：當其餘函式及 u 滿足以下條件 引數函式 mu sigma psi V f 以及函式 u 都是連續函式。 函式 u 關於 x 變數保持多項式增長，即存在正常數 M 和 c，使得對所有的 x，都有： u xt leqslant M 1xc 引數函式 psi 和 f 都要麼是正值函式，要麼也滿足類似以上的多項式增長條件。 引數函式 V 有下界，並且 引數函式 mu sigma 滿足關於 x 變數的利普希茨條件，即存在常數 K，使得對所有不相等的 x 和 y，都有： sigma xt sigma yt mu xt mu yt leqslant Kx y 的時候，解函式可以用費曼－卡茨公式表達為條件期望的形式，附錄 E。這些條件中並不保證解的存在性。要保證後者，需要更強的條件： 引數函式 mu sigma 有界，並且區域性地滿足關於 x 變數和 t 變數的利普希茨條件（即常數 K 可以和 x 相關）。 對任意的 t，引數函式 sigma 都滿足赫爾德連續條件，即存在與 t 無關的常數 H 和介於 0 與 1 之間的常數 alpha，使得 sigma xt sigma yt leqslant Kx yalpha 引數函式 V 有界，並且對任意的 t，都區域性地滿足赫爾德連續條件。 對任意的 t，引數函式 f 都區域性地滿足赫爾德連續條件，並關於 x 變數滿足多項式增長條件。 引數函式 psi 關於 x 變數滿足多項式增長條件。 以上條件由弗裡德曼在 1975 年給出。1980 年克里洛夫提出用更簡潔（同時更強）的條件代替，可以是： 在以上的條件下，偏微分方程的解唯一存在，並且滿足費曼－卡茨公式的期望表達，同時也滿足多項式增長條件。 證明 為簡化起見，以下只證明 f x t0 的情況。 設偏微分方程的解函式為 u x t 。對以下函式 Y_s e int_ts V X_tau dtau u X_ss 使用伊藤公式，可以得到： dY_s de int_ts V X_tau dtau u X_ss e int_ts V X_tau dtaudu X_ss de int_ts V X_tau dtau du X_ss 由於 de int_ts V X_tau dtau V X_s e int_ts V X_tau dtau ds，等式右邊第三項是高階無窮小 o dt ，因此可以忽略。再一次對 du X_ss 使用伊藤公式，會得到 dY_s e int_ts V X_tau dtauleft V X_s u X_ss mu X_ssfrac partial upartial xX_ssfrac partial upartial tX_ssfrac 12sigma2 X_ssfrac partial2 upartial x2X_ss rightds e int_ts V X_tau dtausigma X_ssfrac partial upartial x X_ss dW_s 等式右邊的第一項裡的括號中的式子恰好是微分方程的左邊，因此等於 0。剩下的是： dY_se int_ts V X_tau dtausigma X_ssfrac partial upartial x X_ss dW_s 將這個等式的兩邊從 t 積分到 T ，可以得到： Y_T Y_t int_tT e int_ts V X_tau dtausigma X_ssfrac partial upartial X X_ss dW_s 兩邊取在已知 X_t x 下的條件期望，並且注意到等式右邊是一個伊藤積分，因此右邊等於 0。所以 E Y T X_tx E Y t X_tx u xt。注意到 E Y T X_tx E e int_tT V X_tau dtau u X_TT X_tx E e int_tT V X_tau dtau psi X_T X_tx 就可以得出需要證明的結論。 相關 以上的條件期望形式的公式對多維的伊藤過程也適用。與之相應，解函式 umathbb RNtimes 0Ttomathbb R 相對的偏微分方程是： frac partial upartial t sum_i1N mu_i xtfrac partial upartial x_i frac 12 sum_i1Nsum_j1Ngamma_ijxt frac partial2 upartial x_i x_j r xt u f xt 其中的 gamma_ijxt sum_k1Nsigma_ikxtsigma_jkxt 也就是說 gamma sigmasigmaprime，其中 sigmaprime 是矩陣 sigma 的轉置矩陣第 357358 頁。 將解函式表示為條件期望的形式後，可以使用蒙特卡羅或準蒙特卡羅方法來求出近似的數值解。 此定理最早由卡茨於 1949 年發表，最初的費曼－卡茨公式是作為一個解決某些維納泛函的分佈的公式提出的。假設 x tau 是滿足初始條件 x 0 0 的某個擴散過程。現要求出以下函式的期望值 eint_0t V x tau dtau 費曼－卡茨公式說明這個期望值等價於對某個擴散方程（拋物型偏微分方程）的解的積分。特別地，當條件 u V x geqslant 0 滿足時，若設 w x0 delta x 並滿足 frac partial wpartial t frac 12 frac partial2 wpartial x2 u V x w ，則有 Eleft e u int_0t V x tau dtau right int_inftyinfty w xt dx 費曼－卡茨公式也可以闡釋成對某個特定形式的泛函積分求值的一種方法。如果： I int f x 0 euint_0t V x t dt g x t Dx 其中的積分對所有的隨機漫步路徑取得，那麼 I int w xt g x dx 其中 w xt 是拋物型偏微分方程 frac partial wpartial t frac 12 frac partial2 wpartial x2 u V x w 的解。並滿足初始條件 w x0 f x 參見 伊藤引理 KunitaWatanabe 定理 （也稱為 FokkerPlanck 方程） 參考來源 Category 隨機過程 Category 偏微分方程 Category 理查德費曼