在數學中，n 階特殊酉群，記作 operatorname SUn，是行列式為 1 的 ntimes n 酉矩陣組成的群（一般酉矩陣的行列式是絕對值為 1 的複數）。群運算是矩陣乘法。特殊酉群是由 ntimes n 酉矩陣組成的酉群 operatorname Un 的一個子群，酉群又是一般線性群 operatorname GLn mathbb C 的一個子群。 群 operatorname SUn 在粒子物理中標準模型中有廣泛的應用，特別是 operatorname SU2 在電弱相互作用與 operatorname SU3 在量子色動力學中。 最簡單的情形 operatorname SU1，是平凡群，只有一個元素。群 operatorname SU2 同構於範數為 1 的四元數，從而微分同胚於三維球面。因為單位四元數可表示三維空間中的旋轉（差一個符號），我們有一個滿同態從 operatorname SU2 到旋轉群 operatorname SO3，其核為 I I。 性質 特殊酉群 SU n 是一個 n21 維實矩陣李群。在拓撲上是緊及單連通的。在代數上，它是一個單李群（意為它的李代數是單的，見下）。SU n 的中心同構於迴圈群 Zn。當 n 3，它的外自同構群是 Z2，而 SU 2 的外自同構群是平凡群。 SU n 代數由 n2 個運算元生成，滿足交換關係（對 i j k l 1 2 n）： left hat O_ij hat O_kl right delta_jk hat O_il delta_il hat O_kj 另外，運算元 hat N sum_i1n hat O_ii 滿足 left hat N hat O_ij right 0 這意味著 SU n 獨立的生成元個數是 n21RR Puri Mathematical Methods of Quantum Optics Springer 2001 。 生成元 一般地，SU n 的無窮小生成元（infinitesimal generator） T，由一個無跡埃爾米特矩陣表示。即 operatorname trT_a 0 以及 T_a T_adagger 基本表示 在定義或基本表示中，由 ntimes n 矩陣表示的生成元是： T_a T_b frac 12ndelta_ab I_n frac 12sum_c1n2 1if_abc d_abc T_c 這裡係數 f 是結構常數，它對所有指標都是反對稱的，而係數 d 對所有指標都是對稱的。 從而 left T_a T_b right_ frac 1ndelta_ab sum_c1n2 1d_abc T_c left T_a T_b right_ i sum_c1n2 1f_abc T_c 我們也有 sum_ce1n2 1 d_ace d_bce frac n24ndelta_ab 作為一個正規化約定。 伴隨表示 在伴隨表示中，生成元表示由 n21 times n21 矩陣表示，其元素由結構常數定義： T_a_jk if_ajk SU 2 operatorname SU_2 mathbb C 一個一般矩陣元素形如 U begin pmatrix alphaoverline beta betaoverline alpha end pmatrix 這裡 alphabetainmathbb C 使得 alpha2 beta2 1。我們考慮如下對映 varphi mathbb C2 to operatorname M2mathbb C，（這裡 operatorname M2mathbb C 表示 22 復矩陣集合），定義為 varphi alphabeta begin pmatrix alphaoverline beta betaoverline alpha end pmatrix 考慮到 mathbb C2 微分同胚於 mathbb R4 和 operatorname M2mathbb C 同胚於 mathbb R8，我們可看到 varphi 是一個實線性單射，從而是一個嵌入。現在考慮 varphi 限制在三維球面上，記作 S3，我們可發現這是三維球面到 operatorname M2mathbb C 的一個緊子流形的一個嵌入。但顯然有 varphi S3 operatorname SU_2 mathbb C，作為一個流形微分同胚於 operatorname SU_2 mathbb C，使 operatorname SU_2 mathbb C 成為一個緊連通李群。 現在考慮李代數 mathfrak su_2 mathbb C，一個一般元素形如 U begin pmatrix ix overline beta beta ix end pmatrix 這裡 x in mathbb R 以及 beta in mathbb C。易驗證這樣形式的矩陣的跡是零併為反埃爾米特的。從而李代數由如下矩陣生成 u_1 begin pmatrix 0 i i 0 end pmatrix qquad u_2 begin pmatrix 0 1 1 0 end pmatrix qquad u_3 begin pmatrix i 0 0 i end pmatrix 易見它具有上面提到的一般元素的形式。它們滿足關係 u_3u_2 u_2u_3 u_1 和 u_2u_1 u_1u_2 u_3。從而交換子括號由 u_1u_32u_2 qquad u_2u_1 2u_3 qquad u_3u_2 2u_1 確定。上述生成元與泡利矩陣有關，u_1 isigma_1 u_2 isigma_2 及 u_3 isigma_3。 SU 3 SU 3 的生成元 T，在定義表示中為 T_a frac lambda_asqrt 2 這裡 lambda 為蓋爾曼矩陣，是 SU 2 泡利矩陣在 SU 3 之類比： lambda_1 begin pmatrix 0 1 0 1 0 0 0 0 0 end pmatrix lambda_2 begin pmatrix 0 i 0 i 0 0 0 0 0 end pmatrix lambda_3 begin pmatrix 1 0 0 0 1 0 0 0 0 end pmatrix lambda_4 begin pmatrix 0 0 1 0 0 0 1 0 0 end pmatrix lambda_5 begin pmatrix 0 0 i 0 0 0 i 0 0 end pmatrix lambda_6 begin pmatrix 0 0 0 0 0 1 0 1 0 end pmatrix lambda_7 begin pmatrix 0 0 0 0 0 i 0 i 0 end pmatrix lambda_8 frac 1sqrt 3 begin pmatrix 1 0 0 0 1 0 0 0 2 end pmatrix 注意它們都是無跡埃爾米特矩陣。 它們服從關係 left T_a T_b right i sum_c18 f_abc T_c 這裡 f 是結構常數，如上所定義，它們的值為 f123 1 f147 f156 f246 f257 f345 f367 frac 12 f458 f678 frac sqrt 32 d 的取值： d118 d228 d338 d888 frac 1sqrt 3 d448 d558 d668 d778 frac 12sqrt 3 d146 d157 d247 d256 d344 d355 d366 d377 frac 12 李代數 mathrm SUn 對應的李代數記作 mathfrak sun。它的標準數學表示由無跡反埃爾米特 n times n 復矩陣組成，以通常交換子為李括號。粒子物理學家通常增加一個因子 i，從而所有矩陣成為埃爾米特的。這只不過是同一個實李代數一個不同的更方便的表示。注意 mathfrak sun 是 mathbb R 上一個李代數。 例如，下列量子力學中使用的矩陣組成 mathfrak su2 在 mathbb R 上的一組基： isigma_x begin bmatrix 0 i i 0 end bmatrix isigma_y begin bmatrix 0 1 1 0 end bmatrix isigma_z begin bmatrix i 0 0 i end bmatrix （這裡 i 是虛數單位。） 這個表示經常用於量子力學（參見泡利矩陣以及蓋爾曼矩陣）表示基本粒子比如電子的自旋。它們也作為我們三維空間量子相對論描述中的單位向量。 注意任意兩個不同生成元的乘積是另一個生成元，以及生成元反交換。與單位矩陣（乘以 i）一起 i I_2 begin bmatrix i 0 0 i end bmatrix 它們也是 mathfrak su2 的生成元。 當然這裡它取決於我們最終處理的問題，比如在非相對論量子力學中為 2 旋量；或在相對論狄拉克理論中，我們需要到 4 旋量的一個擴張；或在數學中甚至是克利福德代數。 注：在矩陣乘法下（在此情形是反交換的），生成克利福德代數 mathrm Cl_3，而在交換子括號下生成李代數 mathfrak su2。 回到一般的 mathrm SUn： 如果我們選擇（任意）一個特定的基，則純虛數無跡對角 n times n 矩陣子空間組成一個 n 1 維嘉當子代數。 將這個李代數復化，從而現在允許任何無跡 n times n 矩陣。權本徵向量是嘉當子代數自己，只有一個非零元素的矩陣不是對角的。儘管嘉當子代數 mathrm h 只是 n 1 維，但為了化簡計算，經常引入一個輔助元素，與所有元素交換的單位矩陣（它不能視為這個李代數的一個元素）。故我們有一個基，其中第 i 個基向量是在第 i 個對角元素為 1 而在其它處為零的矩陣。則權由 n 個座標給出，而且在所有 n 個座標求和為零（因為單位矩陣只是輔助的）。 故 mathrm SUn 的秩是 n 1，它的鄧肯圖由 A_n 1 給出，有 n 1 個頂點的鏈。 它的根系由 n n 1 個根組成，生成一個 n 1 歐幾里得空間。這裡，我們使用 n 冗餘座標而不是 n 1 座標來強調根系的對稱（n 座標之和為零）。換句話說，我們是將這個 n 1 維向量空間嵌入 n 維中。則根由所有 n n 1 置換 1 1 0 dots 0。兩段以前的構造解釋了為什麼。單根的一個選取為 1 1 0 dots 0 0 1 1 dots 0 0 0 0 dots 1 1 它的嘉當矩陣是 begin pmatrix 2 1 0 dots 0 1 2 1 dots 0 0 1 2 dots 0 vdots vdots vdots ddots vdots 0 0 0 dots 2 end pmatrix 它的外爾群或考克斯特群是對稱群 S_n，n 1 單形的對稱群。 廣義特殊酉群 對一個域 F，F 上廣義特殊酉群 SU pqF，F 上一個秩為 npq 的向量空間上使得一個符號為 pq 的非退化埃爾米特形式不變的所有行列式為 1 線性變換組成的群。這個麼正群經常稱為 F 上符號為 pq 的特殊酉群。域 F 可以換為一個交換環，在這種情形向量空間換為自由模。 特別地，固定 GL nR 中一個符號為 pq 的埃爾米特矩陣，則所有 M in SU pqR 滿足 M A M A det M 1 經常可以見到記號 SU_pq 略去環或域，在這種形式環或域是指 C，這給出一個典型李群。當 FC 時，A 的標準選取是 A begin bmatrix 0 0 i 0 I_n2 0 i 0 0 end bmatrix 對某些維數 A 可能有更好的選擇，當限制為 C 的一個子環時有更好表現。 例子 這類群的一個重要例子是皮卡模群 SU 21Z i，（射影地）作用在二度復雙曲空間上，同樣地 SL 2Z （射影地）作用在二維實雙曲空間上。2003 年，Gábor Francsics 與彼得拉克斯算出了這個群在 HC2 上作用的基本 域，參見 。 另一個例子是 SU 11C，同構於 SL 2R。 重要子群 在物理學中，特殊酉群用於表示波色對稱。在對稱性破缺理論中尋找特殊酉群的子群很重要。在大一統理論中 SU n 重要的子群是，對 p1，np1： SU n supset SU ptimes SU np times U 1 為了完整性，還有正交與辛子群： SU n supset O n SU 2n supset USp 2n 因為 SU n 的秩是 n1，U 1 是 1，一個有用的檢驗是看子群的秩是小於還是等於原來群的秩。SU n 是多個其它李群的子群： SO 2n supset SU n USp 2n supset SU n Spin 4 SU 2 times SU 2 （參見自旋群） E_6 supset SU 6 E_7 supset SU 8 G_2 supset SU 3 （關於 E6 E7 與 G2 參見單李群）。 有同構 SU 4Spin 6，SU 2Spin 3USp 2 以及 U 1Spin 2SO 2。 最後值得指出的是 SU 2 是 SO 3 的二重覆疊群，這個關係在非相對論量子力學 2 旋量的旋轉中起著重要的作用。 相關條目 SU 2 的表示論 射影特殊酉群 PSU n 埃爾米特矩陣 辛矩陣 酉群 酉運算元 矩陣分解 註釋 參考文獻 Maximal Subgroups of Compact Lie Groups 外部連結 Physics 558 Lecture 1 Winter 2003 Category 李群