在光學裡，菲涅耳衍射（Fresnel diffraction），又稱近場繞射（Nearfield diffraction）楊伯溫，《光電工程實驗》，第 75 頁。，指的是光波在近場區域的衍射。菲涅耳衍射積分式可以用來計算光波在近場區域的傳播，因法國物理學者奧古斯丁菲涅耳而命名，是基爾霍夫衍射公式的近似。M Born E Wolf Principles of Optics 1999 Cambridge University Press Cambridge 從每一個光學系統特徵的菲涅耳數，可以辨別光波傳播的區域是近場還是遠場。設想光波入射於任意孔徑，對於這光學系統，菲涅耳數定義為 F stackrel def frac a2L lambda ； 其中，a 是孔徑的尺寸，L 是孔徑與觀察屏之間的距離，lambda 是入射波的波長。 假若 F gtrsim 1 ，則衍射波是處於近場，可以使用菲涅耳衍射積分式來計算其物理性質。 菲涅耳衍射 假設照射光波於開有孔徑的不透明擋板，則會有衍射圖樣出現於觀察屏。根據惠更斯 菲涅耳原理，從孔徑內部任意點次波源 Q 發射出的圓球面次波，在觀察屏點 P 的波擾 psi xyz 為 psi xyz frac ilambda int_mathbb S psi xy0 frac eikRR K chi mathrm d xmathrm d y ； 其中，mathbf rxyz 是點 P 的直角坐標，mathbf rxy0 是點 Q 的直角坐標，lambda 是波長，mathbb S 是積分平面（孔徑）， psi xy0 是位於點次波源 Q 的波擾，mathbf R 是從點 Q 到點 P 的位移向量，R 是 mathbf R 的數值大小，K chi 是傾斜因子，chi 是垂直於孔徑平面的法向量與 mathbf R 之間的夾角。 古斯塔夫基爾霍夫給出了傾斜因子 K chi 的表示式： K chifrac 121cos chi 。 除了最簡單的衍射案例以外，幾乎不可能找到這積分式的解析解。通常，必須使用數值分析方法來解析這積分式。 菲涅耳近似 為了要計算這積分式的解答，必須先使積分專案更簡單化。設定 rhosqrt xx2yy2 。 xy0 與 xyz 之間的距離 R 可以以泰勒級數表示為 begin align R sqrt xx2yy2z2sqrt rho2z2 z sqrt 1 frac rho2z2 z left 1 frac rho22 z2 frac 18 left frac rho2z2 right2 cdots right z frac rho22 z frac rho48z3 cdots end align。 假若保留所有專案，則這級數式為精確解。實際而言，在先前一個步驟裡做了一個近似，即假定 ei k rr 是真實波，但這不是向量亥姆霍茲方程式的解答，而是純量亥姆霍茲方程式的解答。請參閱條目純量波近似（scalar wave approximation）。將這 R 的級數式代入被積函式的相位。菲涅耳近似的要點是在假定級數式的第三個專案非常微小，可以被忽略。為了達到這目的，第三個專案必須超小於相位的週期 2 pi ： frac k rho48 z3 ll 2 pi 。 改換以波長 lambda2 pik 來表達， frac rho48z3 lambda ll 1 。 將先前 rho 的表示式代入， frac xx2yy228z3 lambda ll 1 。 假若，對於所有 xy0 與 xyz 的可能值，這條件成立，則泰勒級數式的第三個專案和更高階專案都可以忽略。 從這些論述，R 可以近似為 Rapprox z frac rho22 z z frac xx2 yy22 z 。 這方程式稱為「菲涅耳近似」。這近似成立的條件是上述不等式。 例如，對於半徑為 1mm 的圓孔，假設觀察屏區域的半徑也是 1mm，入射波的波長為 500nm，則近似成立的條件為 zgg left frac rho48lambdaright13left frac 000248cdot 500cdot109right13approx 0016 m 。 圓孔與觀察屏之間的距離 z 必須超大於 16mm。實際而言，這條件太過嚴苛，從數值分析的結果，只要圓孔與觀察屏之間的距離 z 大於 16mm 就行了。 菲涅耳衍射積分式 菲涅耳數 Fa2Llambda 菲涅耳衍射區域：F ge 1 夫朗和斐繞射區域：F ll 1 a － 孔徑或狹縫的尺寸 BR lambda － 波長 BR L － 離開孔徑或狹縫的距離 假設孔徑尺寸超小於傳播路徑長度，則 K chiapprox 1 。特別是在 z 軸附近的小範圍區域，xyll z ，分母的 R ，可以近似為 Rapprox z ，只取至線性專案。現在，採用菲涅耳近似，則在位置 xyz 的波擾為 psi xyz frac ieikzlambda z int_mathbb S psi xy0 eik xx2yy22z mathrm d xmathrm d y 。 這就是「菲涅耳衍射積分式」。仔細推敲這積分式的含意，假設菲涅耳近似成立，則位於孔徑的次波源發射出的圓球面次波，會沿著 z 軸方向，傳播到觀察屏。整個積分調製圓球面波的波幅與相位。只有對於少數案例，這方程式存在分析解答。 更進一步近似，將 eikR 近似為 eikz ，相位部分僅取至線性專案，這只有當觀察屏與孔徑之間的距離超遠時才成立，請參閱條目夫朗和斐繞射。菲涅耳衍射與夫琅禾費衍射不同的地方，主要是菲涅耳衍射將波前的曲率納入考量，這是為了要精確計算相互干涉的波擾彼此之間的相對相位。 圓孔衍射 軸上照度 假設孔徑是半徑為 a 的圓孔，首先計算沿著中心軸的波擾， xy0 ，又假設入射波是波幅為 psi_0 、朝著 z 軸傳播的平面波。 根據菲涅耳衍射積分式， psi 00z frac ieikzpsi_0lambda z int_mathbb S eik x2y22z mathrm d xmathrm d y 。 改採極坐標 rhotheta ， begin alignpsi 00z frac ieikz psi_0 lambda z int_0a eikrho22z rhomathrm drho psi_0 eikz eika22z1 end align 。 輻照度 I z 為 I zpsipsi2psi_0 2 2sin2 ka24zI_0sin2 ka24z 。 從這函式繪製的輻照度比率對無量綱距離圖展示出，離孔徑越近，震盪越劇烈。這區域是菲涅耳衍射區域。在這區域裡，輻照度的極值點分別為 極大值：當 zfrac a22nlambdaqquad n123dots 。 極小值：當 zfrac a22n1lambdaqquad n123dots 。 離孔徑越遠，兩個相鄰極值點之間的間隔越大，za2lambda 是最後一個極值點。遠於這距離，輻照度呈單調遞減。通常，物理學者規定菲涅耳衍射區域的菲涅耳數大於或等於 1，這對應於 Z_Fa2lambda 為分界點；超遠於這分界點，是夫朗和斐繞射區域，可以使用夫朗和斐近似，數學計算比較簡單很多。 例如，對於半徑為 1mm 的圓孔，假設入射波的波長為 500nm，則 Z_F 為 Z_Ffrac 00012500cdot109approx 2 m 。 總結，孔徑與觀察屏之間的距離在 2m 以內是菲涅耳衍射區域，以外是夫朗和斐繞射區域。 軸側照度 HoneEne Hwang and GwoHuei Yang Study and improvement of nearfield diffraction limits of circular aperture imaging systems Journal of the Chinese Institute of Engineers Vol 25 No 3 pp 335340 2002 I left V_0 cosleft frac u2v22uright right2 left V_1 sinleft frac u2v22uright right2 其中 V_m 是二元隆梅爾函式 Lommel function V_m sum_n0infty 1nfrac vu2nmJ_2nmv J_2nmv 為 第一類 2nm 階貝塞爾函式 圓盤衍射 圓盤衍射在軸上的強度為 II_0lambda24 因此圓盤衍射的軸上強度，和波長的平方成正比，而與圓盤的直徑、與圓盤的距離無關，所以衍射圖形的中心一定是個亮點。這個亮點稱為泊松光斑 Karl Dieter Möller Optics 2nd edtion p136。菲涅耳圓孔衍射圖形的中心點，根據圓孔直徑和距離之不同，可以是亮點，也可以是暗點。 單縫衍射 菲涅耳單縫衍射的強度分佈為：Karl Dieter Möller Optics 2nd Ed p174 ICp YCq Y2Sp YSq Y2 其中 CpCq 為餘弦菲涅耳積分： Cp Y int_0p cos 12pit2dt Cq Y int_0q cos 12pit2dt SpSq 為正弦菲涅耳積分： Sp Y int_0p sin 12pit2dt Sq Y int_0q sin 12pit2dt 菲涅耳單縫衍射圖形與夫琅禾費單縫衍射明顯不同之處在於前者的第一個極小值不等於 0（如圖），而後者為 0。 直邊衍射 一個平面波透過與光線傳播方向垂直的不透明直邊， 其菲涅耳直邊衍射的強度分佈為：Karl Dieter Möller Optics 2nd Ed p 174 ICp Y052Sp Y052 其中 Cq 為餘弦菲涅耳積分： Cq Y int_0q cos 12pit2dt Sp 為正弦菲涅耳積分： Sp Y int_0p sin 12pit2dt 菲涅爾直邊衍射圖樣在幾何陰影區附近強度不為零，在明亮區間，光強以阻尼振動形式逐漸衰減至一個穩定數值 M Born E Wolf Principles of Optics Fresnel diffraction at a straight edge p493 葉玉堂、肖峻、饒建珍等編著 《光學教程》 第二版 251 頁，ISBN 9787302114611 進階理論 卷積 設定函式 h xyz 為 h xyz frac ieikzlambda z ei frac k2 z x2 y2 。 波擾 psi xyz 可以寫為卷積形式： psi xyziintlimits_infty infty psi xy0 h xxyyz mathrm d xmathrm d y ， 或者，由於 z 坐標與積分無關，可以將 z 坐標資訊提出， psi_z xyiintlimits_infty infty psi_0 xy h_z xxyy mathrm d xmathrm d y ， 這卷積又可以標記為 psi_z xypsi_0 xyh_z xy 。 根據卷積定理，函式卷積的傅立葉變換是函式傅立葉變換的乘積，以方程式表達， mathcal Fpsi_z xymathcal Fpsi_0 xyh xymathcal Fpsi_0 xycdotmathcal Fh_z xy ； 其中，mathcal Ff xy 是函式 f xy 的傅立葉變換。 假設這光學系統是線性系統，滿足空間不變性，即改變波源的位置只會改變衍射圖樣的位置，不會改變衍射圖樣的形狀。這樣，一個有限尺寸波源所產生的衍射圖樣，可以視為是由其每一個點波源所產生的衍射圖樣共同線性疊加而形成。 假設這線性系統的線性運算元為 mathcal L 、輸入函式為 f xy 、輸出函式為 G XY ，則這兩個函式之間的關係可以表達為 G XYmathcal Lf xy 。 應用狄拉克 δ 函式的數學性質， G XYmathcal Lleftiintlimits_infty infty f xy delta xxdelta yy mathrm d xmathrm d y right 。 將 f xy 視為函式 delta xxdelta yy 權重係數，應用線性系統的性質，可以將積分式寫為 G XYiintlimits_infty infty f xy mathcal Ldelta xxdelta yy mathrm d xmathrm d y 。 由此推論，表現觀察屏輻照圖案的函式 h_z xy 是線性系統對於在孔徑位置 xy 的狄拉克 δ 函式所做出的響應，因此稱為脈衝響應。 傅立葉變換 定義空間頻率 K_xK_y 為 K_x stackrel def kxz 、 K_y stackrel def kyz 。 將橫向位移的每一個分量展開， xx2 x2 x2 2 x x 、 yy2 y2 y2 2 y y ， 則菲涅耳衍射積分式可以以二維傅立葉變換來表達。設定函式 G K_xK_y 為函式 g xy 的傅立葉變換，那麼，根據定義，函式 G K_xK_y 為 G K_xK_y stackrel def mathcal F leftg xy right stackrel def iintlimits_infty infty g xy ei K_x x K_y y mathrm d xmathrm d y ； 設定函式 g xy 為 g xypsi_0 xy eik x2 y22z 。 菲涅耳衍射積分式表達為 begin alignpsi_z xy frac ieikzlambda z eik x2y22z mathcal Fpsi_0 xy eik x2y22z frac ieikzlambda z eik x2y22z mathcal Fg xy frac ieikzlambda z eik x2y22z G K_xK_y h_z xy G K_xK_y end align； 其中，函式 h_z xy frac ieikzlambda z eik x2y22z 。 在做例項計算時，先計算 g xy 的傅立葉變換，然後將空間頻率 K_xK_y 替換回原來的變數，最後再乘以 h_z xy ，就可以得到 psi_z xy 。假若 g xy 是個常見函式，而且已知道 g xy 的傅立葉變換，則這是一種比較精緻的理論方法。更多相關內容，請參閱條目線性標準轉換。 原子反射鏡 由於菲涅耳衍射機制，原子波入射於由物質形成的相互平行凸脊陣列，會被鏡面反射。這效應可以用來實現原子反射鏡。httpwwwilsuecacjpdimaPhysRevLett_94_013203pdf H Oberst D Kouznetsov K Shimizu J Fujita F Shimizu Fresnel diffraction mirror for atomic wave Physical Review Letters 94 013203 2005 參閱 菲涅耳積分 菲涅耳波帶（Fresnel zone） 基爾霍夫積分定理 基爾霍夫衍射公式 參考文獻 Category 衍射