在光學中，高斯光束是橫向電場以及輻照度分佈近似滿足高斯函式的電磁波光束。許多雷射都近似滿足高斯光束的條件，在這種情況中，雷射在光諧振腔中以 TEM00 波模（橫向基模）傳播。當它在滿足近衍射極限的鏡片中發生折射時，高斯光束會變換成另一種不同引數的高斯光束，因此，高斯光束是雷射光學中一種方便、廣泛應用的模型。 描述高斯光束的數學函式是亥姆霍茲方程的一個近軸近似解（屬於小角近似的一種）。這個解具有高斯函式的形式，代表了光束中電場分量的復振幅。儘管電磁波的傳播包括電場和磁場兩部分，研究其中任一個場，就足以描述波在傳播時的性質。 高斯光束中，場的行為可以通過幾個引數加以刻畫，如光斑大小，曲率半徑，古依相移等。 亥姆霍茲方程的近軸近似解可能不止一個。笛卡爾座標系下求解可得一類稱為厄米 高斯模的解，在柱座標中求解則得到一類稱為拉蓋爾 高斯模的解。對這兩類解，最低階都是高斯光束，高階解則描述了光學諧振腔中的高階橫向模。 數學形式 高斯光束作為電磁波的橫向電磁模，透過求解近軸亥姆霍茲公式，可得電場的振幅 E rz E_0 frac w_0w z exp left frac r2w2 zright exp left ikz ik frac r22R z i zeta z right thumb250px 奈米雷射器產生的雷射 這裡 r 為徑向座標，以光軸中心為參考點 z 為軸向座標，以光軸上光波最狹窄（束腰）位置為參考點 i 為虛數單位（即 i2 1） k 2 pi over lambda 為波數（以 弧度 米 為單位） E_0 E 00 w z 為當電磁場振幅降到軸向的 1e、強度降到軸向的 1e2 的點的半徑 w_0 w 0 為雷射的束腰寬度 R z 為光波波前的曲率半徑 zeta z 為軸對稱光波的 Gouy 相移，對高斯光束的相位也有影響 此外，上式中預設忽略了含時項 ei omega t 。 對應的輻照度時域平均值為 I rz E rz2 over 2 eta I_0 left frac w_0w z right2 exp left frac 2r2w2 z right 這裡 I_0 I 00 為光波束腰中心處的輻照度。常數 eta 為光波所在傳播介質中的。在真空中， eta eta_0 sqrt frac mu_0varepsilon_0 1varepsilon_0 c approx 3767 mathrm Omega 。 波束引數 高斯光束的許多性質由一系列波束引數決定，下面將分別予以介紹。 束腰 對於在自由空間傳播的高斯光束，其位置的半徑在光軸方向總大於一個最小值 w_0，這個最小值被稱為束腰（beam waist）。波長為 lambda 的光波的腰斑位置在 z 軸上的分佈為 w z w_0 sqrt 1 left frac zz_mathrm R right2 這裡將 z 0 定義為束腰的位置。 z_mathrm R frac pi w_02lambda 被稱為瑞利距離。 瑞利距離和共焦引數 與束腰軸向距離等於瑞利距離 z_R 處的束寬為 w pm z_mathrm R w_0 sqrt 2 這兩點之間的距離稱作共焦引數或光束的焦深。 b 2 z_mathrm R frac 2 pi w_02lambda 曲率半徑 R z 是光束波前的曲率半徑，它是軸向距離的函式 R z z left 1 left frac z_mathrm Rz right2 right 光束偏移 當 z gg z_mathrm R，引數 w z 與 z 呈線性關係，趨近於一條直線。這條直線與中央光軸的夾角被稱為光束的 偏移，它等於 theta simeq frac lambdapi w_0 qquad theta mathrm in radians 在遠離束腰的位置，光束彎散的總角度為 Theta 2 theta 由於這一性質，聚焦於一個小點的高斯雷射在遠離這個點的傳播過程中迅速散開。為了保持雷射的準直，雷射束必須具有較大的直徑。束寬和光束偏移的這一關係是由於衍射的緣故。非高斯光束同樣會表現這一效應，但是高斯光束是一種特殊情況，其束寬和偏移的乘積是可能達到的最小值。 由於高斯光束模型使用了近軸近似，當波前與光傳播方向傾斜程度大於 30 度之後，這種模型將不再適用 Siegman 1986 p 630。透過上述偏移的表示式，這意味著高斯光束模型僅對束腰大於 2 lambda pi 的光束適用。 雷射束的質量可以用（BBP）來衡量。對於高斯光束，BBP 的數值就是光束的偏移量與束腰 w_0 的乘積。實際光束的 BPP 透過計算光束的最小直徑和遠場偏移量的乘積來獲得。在波長一定的情況下，實際光束的 BPP 數值與理想雷射束的 BPP 數值的比值被稱為 M2。高斯光束的 M2 值為 1，而所有的是雷射束的 M2 值均大於 1，並且質量越好的雷射的 M2 值越接近 1。 Gouy 相位 光束的軸向上的相位延遲，或稱 Gouy 相位為 zeta z arctan left frac zz_mathrm R right 當光束透過焦點時，除了正常情況下平面波的相移 ei k z 外，多出一個額外的 Gouy 相移 pi。 複數形式的光束引數 可以透過複數形式的光束引數 q z 囊括光斑尺寸與曲率半徑的資訊， q z z q_0 z iz_mathrm R 倒數 1q z 顯式提供了 q z ，w z 與 R z 間的關係： 1 over q z 1 over z iz_mathrm R z over z2 z_mathrm R2 i z_mathrm R over z2 z_mathrm R2 1 over R z i lambda over pi w2 z 光束引數的複數形式在高斯光束傳播的分析中有著重要地位，特別是當使用光線傳遞矩陣分析光諧振腔中光束傳播。 利用複數光束引數 q，具有一個橫向維度的高斯光束電磁場與下式成比例 uxz frac 1sqrt q_x z expleft i k frac x22 q_x zright 在二維的情況中，可以將散光的光束表達為乘積的形式 uxyz uxz uyz 對於圓對稱的普遍情況，q_x q_y q 且 x2 y2 r2，可以得出 See Siegman 1986 p 639 Eq 29 urz frac 1qzexpleft i kfrac r22 qzright 功率和輻照度 流經孔隙的功率 流經距離 z 軸半徑為 r 的圓的功率為 P rz P_0 left 1 e2r2 w2 z right 這裡 P_0 1 over 2 pi I_0 w_02 為電磁波傳播的總能量 流經以 r w z 為半徑的圓的能量佔總能量的比值為 P z over P_0 1 e2 approx 0865 類似的，佔光波總能量約 90 的部分將流經半徑為 r 107cdot w z 的圓形面積，總能量的 95 透過 r 1224cdot w z 的圓形面積，總能量的 99 會透過 r 152 cdot w z 的圓。 輻照度的峰值和平均值 在與束腰的軸向距離為 z 的位置，利用洛必達法則，可以計算該位置的輻射照度峰值 I 0z lim_rto 0 frac P_0 left 1 e2r2 w2 z right pi r2 frac P_0pi lim_rto 0 frac left 22r e2r2 w2 z right w2 z2r 2P_0 over pi w2 z 可以看出，輻照度峰值為平均值的兩倍，後者等於總能量除以半徑為 w z 的圓的面積。 相關條目 平頂光束 參考文獻 Chapter 3 Beam Optics pp 80107 Chapter 5 Optical Beams pp 267 Chapter 16 Gaussian Beam Propagation CVI Melles Griot Technical Guide Gaussian Beam Optics Tutorial Newport G