在數值分析中，拉格朗日插值法是以法國 18 世紀數學家約瑟夫拉格朗日命名的一種多項式插值方法。許多實際問題中都用函式來表示各結果之間某種內在聯絡或規律，而不少函式都只能透過繁複實驗和多次觀測來了解。而，如果對實踐中的某個物理量進行觀測，在若干個不同的地方得到相應的觀測值，拉格朗日插值法可以找到一個多項式，其恰好在各個觀測的點取到觀測到的值。上面這樣的多項式就稱為拉格朗日（插值）多項式（Lagrange polynomial）。數學上來說，拉格朗日插值法可以給出一個恰好穿過二維平面上若干個已知點的多項式函式。拉格朗日插值法最早被英國數學家愛德華華林於 1779 年發現，不久後（1783 年）由萊昂哈德尤拉再次發現。1795 年，拉格朗日在其著作《師範學校數學基礎教程》中發表這個插值方法，從此他的名字就和這個方法聯絡在一起 。 對於給定的若 n1 個點 x_0 y_0x_1 y_1ldotsx_n y_n，對應於它們的次數不超過 n 的拉格朗日多項式 scriptstyle L 只有一個。如果計入次數更高的多項式，則有無窮個，因為所有與 scriptstyle L 相差 lambda xx_0xx_1ldots xx_n 的多項式都滿足條件。 定義 對某個多項式函式，已知有給定的 k 1 個取值點： x_0 y_0ldotsx_k y_k 其中 x_j 對應著自變數的位置，而 y_j 對應著函式在這個位置的取值。 假設任意兩個不同的 xj 都互不相同，那麼應用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多項式為： L x sum_j0k y_j ell_j x 其中每個 ell_j x 為拉格朗日基本多項式（或稱插值基函式），其表示式為： ell_j x prod_i0 ineq jk frac xx_ix_jx_i frac xx_0x_jx_0 cdots frac xx_j1x_jx_j1 frac xx_j1x_jx_j1 cdots frac xx_kx_jx_k 拉格朗日基本多項式 ell_j x 的特點是在 x_j 上取值為 1，在其它的點 x_i i neq j 上取值為 0。 範例 假設有某個二次多項式函式 f，已知它在三個點上的取值為： f 4 10 f 5 525 f 6 1 要求 f 18 的值。 首先寫出每個拉格朗日基本多項式： ell_0 x frac x545cdotfrac x646 ell_1 x frac x454cdotfrac x656 ell_2 x frac x464cdotfrac x565 然後應用拉格朗日插值法，就可以得到 p 的表示式（p 為函式 f 的插值函式）： p x f 4ell_0 x f 5ell_1 x f 6ell_2 x 10 cdot frac x5x64546 525 cdot frac x4x65456 1 cdot frac x4x56465 frac 14x2 28x 136 此時代入數值 18 就可以求出所需之值： f 18 p 18 11 。 證明 存在性 對於給定的 k1 個點：x_0 y_0ldotsx_k y_k，拉格朗日插值法的思路是找到一個在一點 x_j 取值為 1，而在其他點取值都是 0 的多項式 ell_j x。這樣，多項式 y_j ell_j x 在點 x_j 取值為 y_j，而在其他點取值都是 0。而多項式 L x sum_j0k y_j ell_j x 就可以滿足 L x_j sum_i0k y_i ell_i x_j 0 0 cdots y_j cdots 0 y_j 在其它點取值為 0 的多項式容易找到，例如： xx_0 cdots xx_j1xx_j1 cdots xx_k 它在點 x_j 取值為：x_jx_0 cdots x_jx_j1x_jx_j1 cdots x_jx_k。由於已經假定 x_i 兩兩互不相同，因此上面的取值不等於 0。於是，將多項式除以這個取值，就得到一個滿足 在 x_j 取值為 1，而在其他點取值都是 0 的多項式： ell_j x prod_i0 ineq jk frac xx_ix_jx_i frac xx_0x_jx_0 cdots frac xx_j1x_jx_j1 frac xx_j1x_jx_j1 cdots frac xx_kx_jx_k 這就是拉格朗日基本多項式。 唯一性 次數不超過 k 的拉格朗日多項式至多隻有一個，因為對任意兩個次數不超過 k 的拉格朗日多項式：P_1 和 P_2，它們的差 P_1 P_2 在所有 k1 個點上取值都是 0，因此必然是多項式 xx_0xx_1 cdots xx_k 的倍數。因此，如果這個差 P_1 P_2 不等於 0，次數就一定不小於 k1。但是 P_1 P_2 是兩個次數不超過 k 的多項式之差，它的次數也不超過 k。所以 P_1 P_2 0，也就是說 P_1 P_2。這樣就證明了唯一性馮有前，《數值分析》，第 63 頁。 幾何性質 拉格朗日插值法中用到的拉格朗日基本多項式 ell_0 ell_1 cdots ell_n（由某一組 x_0 x_1 cdots x_n 確定）可以看做是由次數不超過 n 的多項式所組成的線性空間：mathbb K_n X 的一組基底。首先，如果存在一組係數：lambda_0 lambda_1 cdots lambda_n 使得， P lambda_0 ell_0 lambda_1 ell_1 cdots lambda_n ell_n 0， 那麼，一方面多項式 P 是滿足 P x_0 lambda_0 P x_1 lambda_1 cdots P x_n lambda_n 的拉格朗日插值多項式，另一方面 P 是零多項式，所以取值永遠是 0。所以 lambda_0 lambda_1 cdots lambda_n 0。 這證明了 ell_0 ell_1 cdots ell_n 是線性無關的。同時它一共包含 n1 個多項式，恰好等於 mathbb K_n X 的維數。所以 ell_0 ell_1 cdots ell_n 構成了 mathbb K_n X 的一組基底。 拉格朗日基本多項式作為基底的好處是所有的多項式都是齊次的（都是 n 次多項式）。 優點與缺點 拉格朗日插值法的公式結構整齊緊湊，在理論分析中十分方便，然而在計算中，當插值點增加或減少一個時，所對應的基本多項式就需要全部重新計算，於是整個公式都會變化，非常繁瑣李慶揚，《數值分析》第 4 版，第 31 頁。這時可以用重心拉格朗日插值法或牛頓插值法來代替。此外，當插值點比較多的時候，拉格朗日插值多項式的次數可能會很高，因此具有數值不穩定的特點，也就是說盡管在已知的幾個點取到給定的數值，但在附近卻會和 實際上 的值之間有很大的偏差（如右下圖）馮有前，《數值分析》，第 64 頁。這類現象也被稱為龍格現象，解決的辦法是分段用較低次數的插值多項式。 重心拉格朗日插值法 重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一種改進。在拉格朗日插值法中，運用多項式 ell x x x_0x x_1 cdots x x_k 可以將拉格朗日基本多項式重新寫為： ell_j x frac ell xxx_j frac 1prod_i0i neq jk x_jx_i 定義重心權 w_j frac 1prod_i0i neq jk x_jx_i 上面的表示式可以簡化為： ell_j x ell xfrac w_jxx_j 於是拉格朗日插值多項式變為： L x ell x sum_j0k frac w_jxx_j y_j 1 即所謂的重心拉格朗日插值公式（第一型）或改進拉格朗日插值公式。它的優點是當插值點的個數增加一個時，將每個 w_j 都除以 x_j x_k1，就可以得到新的重心權 w_k1，計算複雜度為 mathcal O n，比重新計算每個基本多項式所需要的複雜度 mathcal O n2 降了一個量級。 將以上的拉格朗日插值多項式用來對函式 g xequiv 1 插值，可以得到： forall x g x ell x sum_j0k frac w_jxx_j 因為 g xequiv 1 是一個多項式。 因此，將 L x 除以 g x 後可得到： L x frac sum_j0k frac w_jxx_j y_jsum_j0k frac w_jxx_j 2 這個公式被稱為重心拉格朗日插值公式（第二型）或真正的重心拉格朗日插值公式。它繼承了（1）式容易計算的特點，並且在代入 x 值計算 L x 的時候不必計算多項式 ell x。它的另一個優點是，結合切比雪夫節點進行插值的話，可以很好地模擬給定的函式，使得插值點個數趨於無窮時，最大偏差趨於零。同時，重心拉格朗日插值結合切比雪夫節點進行插值可以達到極佳的數值穩定性。第一型拉格朗日插值是向後穩定的，而第二型拉格朗日插值是向前穩定的，並且勒貝格常數很小。 參考文獻 引用 來源 書籍 參見 約瑟夫拉格朗日 多項式插值 樣條插值 伯恩斯坦多項式 牛頓多項式 龍格現象 Category 多項式 Category 插值論 Category 數學近似 heאינטרפולציהצורת לגראנז