整除是數學中兩自然數間一種關係。自然數甲可被自然數乙整除，是指乙是甲的因數，且甲是乙的整數倍數，也就是甲除以乙沒有餘數。下面列出了十進位制中判斷整數除以另一整數的商為整數，且餘數為零的一些規則。 基本判別 0：所有非 0 的整數之倍數。 1：所有整數之因數。 可於最後幾位判別 2 和 5 都是 10 的因數，在十進位制判別是否有 2k 或 5k 的因數只須取其最後 k 位，除以 2k 或 5k，可除盡即是： 2：所有偶數（0、2、4、6、8 結尾）皆有此因數。如 2、6、989896、11111112、454 4：最後兩位數可以被 4 除盡，即是。如 9898989898540404＝10 8：若最後三位數可以被 8 除盡，即是。如 8000、1256000、95872 5：檢視最後一位數。如果可以被 5 除盡（為 0 或 5），即是。如 5454545、45454500、50 10：看最後一位數為 0（即末兩位為 10 的整倍數）即是。如 530、73500、50 2n：最後 n 位數可以被 2n 除盡。 5n：最後 n 位數可以被 5n 除盡。 10n：最後 n 位數字都全部是 0。 上面的性質亦可推廣到求餘數： sum_r0n 10r a_r equiv sum_r0k1 10r a_r pmod 2k sum_r0n 10r a_r equiv sum_r0k1 10r a_r pmod 5k sum_r0n 10r a_r equiv sum_r0k1 10r a_r pmod 10k 甚至非十進位制下也是一樣。例如十二進位制：2、3、4、6 都是 12 的因數，故某數的末 k 位除以 2k、3k、4k、6k，所得餘數與原數同餘。 可由各數位判別 sum_r0n 10r a_r equiv sum_r0n a_r pmod 3 sum_r0n 10r a_r equiv sum_r0n a_r pmod 9 3：所有位數加起來為 3 的倍數，即是。如 69255：（6＋9＋2＋5＋5）3＝273＝9 9：所有位數加起來為 9 的倍數，即是。如 69255：（6＋9＋2＋5＋5）9＝279＝3 注意到我們現在是在十進位制運算，而 9＝10－1。對於任意 p 進位制的非負整數除法，當除數是 p1 時被除數中所有數字相加的和仍與該被除數同餘。證明： 如被除數為零，命題是平凡。 在任何 p 進位制，首先考慮僅有最高位數字非零、其餘位均是零的正數，該數可寫成 d pi，其中 d 是最高位（第 i 位）數字、1le d le p1，而 pi 表示後面有 i 個零。（p 進位制逢 p 進一，p 的 i 次方自然是 1 後面 i 個零。） 那麼 d pid pi1 p，除以 p1 得 frac d pi1 pp1 frac d pi1p1d pi1p1，前項顯然整除，故 d pi d pi1p1d pi1 equiv d pi1 pmod p1，推論得 d pi equiv d p0 d pmod p1。 而任何 p 進位制正整數均可寫成 sum_i0n d_i pi 的形式，根據上面的結果，這個和（即是該數本身）顯然與所有數字之和 sum_i0n d_i 同餘。證畢。 sum_r0n 10r a_r equiv sum_r0n 1r a_r pmod 11 11：將其奇數位之和及偶數位之和相減，如果是 0、11 等 11 的倍數，即是。如 198661＋8＋6－（9＋6）＝0 7，11，13：設正整數 asum_r0n 1000r a_r，10017times 11times 13，所以 aequiv sum_r0n 1r a_rpmod 7aequiv sum_r0n 1r a_rpmod 13 若 a＝75312289，則 a751000²＋3121000＋289，289－312＋75＝52，a 能被 13 整除，不能被 7 和 11 整除。 合數判別 若某整數能整除某合數則某整數必同時整除所有某合數的質因數。 6：同時符合 2（末位是 0、2、4、6、8）和 3（相加可除盡）的條件（6＝23），如 66、7986252、99999996 12：同時符合 4 和 3（相加可除盡）的條件（12＝223），如 60 連續割頭法 sum_r0n 10r a_r equiv a_010sum_r1n 10r1 a_r pmod k 7：將個位前的數字乘以 3 再與個位數相加，得出 7 的倍數即 7 的倍數。如 15449217 13：將個位前的數字乘以 3 再與個位數相減，得出 13 的倍數即 13 的倍數。如 156390 sum_r0n 10r a_r equiv a_010a_1100sum_r2n 10r2 a_r pmod k 23：將十位前的數字乘以 15 再與末兩位數相減，得出 23 的倍數即 23 的倍數。如 20723 31：將十位前的數字乘以 7 再與末兩位數相加，得出 31 的倍數即 31 的倍數。如 15562 37：將十位前的數字乘以 11 再與末兩位數相減，得出 37 的倍數即 37 的倍數。如 3330 連續割尾法 若 sum_r0n 10r a_r equiv 0 pmod k，且 10x equiv 1 pmod k 則 a_010sum_r1n 10r1 a_r equiv xa_0sum_r1n 10r1 a_r equiv 0 pmod k 7：將個位數乘以 2 再與個位前的數字相減，得出 7 的倍數即 7 的倍數。如 1547 19：將個位數乘以 2 再與個位前的數字相加，得出 19 的倍數即 19 的倍數。如 15219 2 到 31 的整除規則總表 整除數 整除規則 示例 2 末位是偶數（0、2、4、6、8）。 1294：末位 4 是偶數，能被 2 整除。 3 計算各位之和，其結果能被 3 整除。 405：4＋0＋5＝9，636：6＋3＋6＝15，兩者都能被 3 整除。16 兆 4992 億 0585 萬 4376：1＋6＋4＋9＋9＋2＋0＋5＋8＋5＋4＋3＋7＋6＝696＋9＝151＋5＝6，能被 3 整除。 3 分別統計 1、4、7 出現總數與 2、5、8 出現總數，兩者之差能被 3 整除。 16 兆 4992 億 0585 萬 4376：數字 1、4、7 出現總數是 4，數字 2、5、8 出現總數是 4，4－4＝0，能被 3 整除。 4 末兩位能被 4 整除。 40832：末兩位 32，能被 4 整除。 4 十位數為偶數時，個位數為 0、4、8。十位數為奇數時，個位數為 2、6。 40832：十位數 3 是奇數，個位數為 2，能被 4 整除。 4 十位數乘 2 加個位數，其結果能被 4 整除。 40832：23＋2＝8，能被 4 整除。 5 末位是 0、5。 495：末位是 5，能被 5 整除。 6 能同時被 2、3 整除。 1458：1＋4＋5＋8＝18，能被 3 整除；末位數 2 是偶數，能被 2 整除，繼而能被 6 整除。 7 每三位分組，從右往左每組交替加減，其結果能被 7 整除。 136 萬 9851：851－369＋1＝483，能被 7 整除。 7 從右往左每六位為一組，每組相加的結果能被 7 整除。 1649 萬 8888：16＋498888＝498904，能被 7 整除。 7 個位數乘 2，並從其餘位中減去，其結果能被 7 整除。 483：48－32＝42，能被 7 整除。 7 個位數乘 5，加到其餘位中，其結果能被 7 整除。 483：48＋35＝63，能被 7 整除。 7 最高位乘 3，與次高位相加，替換掉頭兩位，其能被 7 整除。 483：43＋8＝20，將 20 替換掉 48； 203：23＋0＝6，將 6 替換掉 20；63：63＋3＝21，能被 7 整除。 7 末兩位加其餘位乘以 2，其結果能被 7 整除。 48 萬 3595：48352＋95＝9765，972＋65＝259，22＋59＝63，能被 7 整除。 7 從末位起由右至左依次乘 1、3、2、1、3、2（迴圈），相加的結果能被 7 整除。 48 萬 3595：4（2）＋8（3）＋3（1）＋52＋93＋51＝7，能被 7 整除。 8 百位數是偶數時，末兩位是個能被 8 整除的數字。 624：百位數 6 是偶數，末兩位 24，能被 8 整除。 8 百位數是奇數時，末兩位加 4 是個能被 8 整除的數字。 352：百位數 3 是奇數，末兩位 52＋4＝56，能被 8 整除。 8 末位加其餘位乘 2，其結果能被 8 整除。 56：52＋6＝16，能被 8 整除。 8 末三位能被 8 整除。 34152：末三位 152 能被 8 整除。 8 百位乘 4 加十位乘 2 加個位，其結果能被 8 整除。 34152：14＋52＋2＝16，能被 8 整除。 9 計算各位之和，其結果能被 9 整除。 2880：2＋8＋8＋0＝18：1＋8＝9，能被 9 整除。 10 末位是 0。 130：末位是 0，能被 10 整除。 11 從高位到低位交錯加減，其結果能被 11 整除。 91 萬 8082：9－1＋8－0＋8－2＝22，能被 11 整除。 11 從右往左每兩位為一組，每組相加的結果能被 11 整除。 627：6＋27＝33，能被 11 整除。50215：5＋02＋15＝22，能被 11 整除。 11 末位被其餘位減去，其結果能被 11 整除。 627：62－7＝55，能被 11 整除。 11 將個位數加到百位中，其結果能被 11 整除。 627：62＋70＝132：13＋20＝33，能被 11 整除。 11 該數為偶數位數時，首位減末位，加到其餘位，其結果能被 11 整除。 91 萬 8082（六位數）：1808＋（9－2）＝1815，81＋1－5＝77，能被 11 整除。 11 該數為奇數位數時，首位加末位，從其餘位中減去，其結果能被 11 整除。 14179（五位數）：417－（1＋9）＝407，0－（4＋7）＝11，能被 11 整除。 12 能同時被 3、4 整除。 288：能同時被 3、4 整除，繼而能被 12 整除。 12 將末位從其餘位乘 2 中減去，其結果能被 12 整除。 288：282－8＝48，能被 12 整除。 13 每三位分組，從右往左每組交替加減，其結果能被 13 整除。 291 萬 1272：2－911＋272＝637，能被 13 整除。 13 從右往左每六位為一組，每組相加的結果能被 13 整除。 1 億 6148 萬 0059：161＋480059＝480220，能被 13 整除。 13 末位乘 4，加到其餘位中，其結果能被 13 整除。 637：63＋74＝91，9＋14＝13，能被 13 整除。 13 將末兩位從其餘位乘 4 中減去，其結果能被 13 整除。 923：94－23＝13，能被 13 整除。 13 末位乘 9，從其餘位中減去，其結果能被 13 整除。 637：63－79＝0，能被 13 整除。 14 能同時被 2、7 整除。 224：能同時被 2、7 整除，繼而能被 14 整除。 14 末兩位與其餘位乘 2 相加，其結果能被 14 整除。 364：32＋64＝701764：172＋64＝98，兩者都能被 14 整除。 15 能同時被 3、5 整除。 390：能同時被 3、5 整除，繼而能被 15 整除。 16 千位數是偶數時，末三位能被 16 整除。 25 萬 4176：千位數 4 是偶數，末三位 176，能被 16 整除。 16 千位數是奇數時，末三位加 8 能被 16 整除。 3408：千位數 3 是奇數，末三位 408＋8＝416，能被 16 整除。 16 末兩位與其餘位乘 4 相加，其結果能被 16 整除。 176：14＋76＝80， 1168：114＋68＝112，兩者都能被 16 整除。 16 末四位能被 16 整除。 15 萬 7648：末四位 7648 能被 16 整除。 17 末位乘 5，從其餘位中減去，其結果能被 17 整除。 221：22－15＝17，能被 17 整除。 17 將末兩位從其餘位乘 2 中減去，其結果能被 17 整除。 4675：462－75＝17，能被 17 整除。 17 從右往左每八位為一組，從右往左每組交替加減，其結果能被 17 整除。 1 億 1725 萬 0581：17250581－1＝17250580，能被 17 整除。 18 能同時被 2、9 整除。 342：能同時被 2、9 整除，繼而能被 18 整除。 19 末位乘 2，加到其餘位中，其結果能被 19 整除。 437：43＋72＝57，能被 19 整除。 19 末兩位乘 4，加到其餘位中，其結果能被 19 整除。 6935：69＋354＝209，能被 19 整除。 19 從右往左每九位為一組，從右往左每組交替加減，其結果能被 19 整除。 11 億 7225 萬 0581：172250581－1＝172250580，能被 19 整除。 20 末位是 0，次末位是偶數。 360：末位是 0，次末位 6 是偶數，能被 20 整除。 20 末兩位能被 20 整除。 480：末兩位 80，能被 20 整除。 21 末位乘 2，從其餘位中減去，其結果能被 21 整除。 168：16－82＝0，能被 21 整除。 21 能同時被 3、7 整除。 231：能同時被 3、7 整除，繼而能被 21 整除。 22 能同時被 2、11 整除。 352：能同時被 2、11 整除，繼而能被 22 整除。 23 末位乘 7，加到其餘位中，其結果能被 23 整除。 3128：312＋87＝368，36＋87＝92，能被 23 整除。 23 末兩位乘 3，加到其餘位中，其結果能被 23 整除。 1725：17＋253＝92，能被 23 整除。 23 末三位乘 2，與其餘位相減，其結果能被 23 整除。 13 萬 7931：9312＝1862，1862－137＝1725，能被 23 整除。 24 能同時被 3、8 整除。 864：能同時被 3、8 整除，繼而能被 24 整除。 25 末兩位是能被 25 整除的數（00、25、50、75） 13 萬 4250：末兩位 50，能被 25 整除。 26 能同時被 2、13 整除。 156：能同時被 2、13 整除，繼而能被 26 整除。 27 每三位分組，各組相加，其結果能被 27 整除。 264 萬 4272：2＋644＋272＝918，能被 27 整除。 27 末位乘 8，從其餘位中減去，其結果能被 27 整除。 621：62－18＝54，能被 27 整除。 27 將末兩位從其餘位乘 8 中減去，其結果能被 27 整除。 6507：658－7＝520－7＝513，能被 27 整除。 28 能同時被 4、7 整除。 140：能同時被 4、7 整除，繼而能被 28 整除。 29 末位乘 3，加到其餘位中，其結果能被 29 整除。 493：49＋33＝58，能被 29 整除。 29 末兩位乘 9，加到其餘位中，其結果能被 29 整除。 5510：55＋109＝145，能被 29 整除。 29 末三位乘 2，與其餘位相減，其結果能被 29 整除。 17 萬 3913：9132＝1826，1826－173＝1653，能被 29 整除。 30 末位是 0，次各位之和能被 3 整除。 270：能同時被 3、10 整除，繼而能被 30 整除。 31 末位乘 3，從其餘位中減去，其結果能被 31 整除。 341：34－13＝31，能被 31 整除。 參見 除法、短除法 因數 同餘 參考資料 Z Category 數學列表