物理學中，彎曲時空中的麥克斯韋方程組（Maxwells equations in curved spacetime）制約著彎曲時空（其間的度規可能不是閔可夫斯基性的）中的電磁場的動力學。它們可以被認為是真空中的麥克斯韋方程組在廣義相對論框架中的擴充套件，而真空中的麥克斯韋方程組只是一般化的麥克斯韋方程組在區域性平直時空中的特殊形式。但由於在廣義相對論中電磁場本身的存在也會引起時空的彎曲，因此真空中的麥克斯韋方程組應被理解為一種出於方便的近似形式。 然而，這種形式的麥克斯韋方程組僅僅對真空情形下的麥克斯韋方程組有用，這也被稱作 微觀 麥克斯韋方程組。對於宏觀上與各向異性的物質相關的麥克斯韋方程組，物質的存在會建立一個參考系從而使方程組不再是協變的。 閱讀本條目需要讀者瞭解平直時空中電磁理論的四維形式。 電磁場本身要求其幾何描述與座標選取無關，而麥克斯韋方程組在任何時空中的幾何描述都是一樣的，而不管這個時空是否是平直的。同時，當使用非笛卡爾的區域性座標時平直閔可夫斯基空間中的方程組會做同樣的修改。例如本條目中方程組可以寫成球座標中的麥克斯韋方程組的形式。基於上述原因，更好的理解方法是將閔可夫斯基空間中的麥克斯韋方程組理解為一種特殊形式，而非將彎曲時空中的麥克斯韋方程組理解為一種相對論化的推廣。 摘要 廣義相對論中真空中的電磁理論的方程為 F_alpha beta partial_alpha A_beta partial_beta A_alpha mathcal Dmunu frac 1mu_0 gmualpha F_alphabeta gbetanu sqrt g Jmu partial_nu mathcal Dmu nu f_mu F_munu Jnu 其中 galphabeta 是度規張量 g_alphabeta 的倒數，而 g 是度規張量的行列式，A_alpha 是電磁場的四維勢，Falphabeta 是電磁場的四維協變張量，Dmunu 是位移電流張量，f_mu 是洛倫茲力的密度，J_mu 是四維電流密度。儘管方程組中使用了偏導數，這些方程仍然在任意曲面座標變換下是協變的。也就是說如果將偏導數換成協變導數，引入的附加項會自動消去從而保持形式不變。 電磁四維勢 電磁場的四維勢 A_alpha 是一個協變向量，它的座標變換規則為 bar A_beta frac partial xgammapartial bar xbeta A_gamma 電磁場四維張量 電磁場是一個協變的二階反對稱張量，它用電磁勢可以定義為 F_alpha beta partial_alpha A_beta partial_beta A_alpha 為證明它的洛倫茲不變性，我們對其進行座標變換 bar F_alpha beta frac partial bar A_betapartial bar xalpha frac partial bar A_alphapartial bar xbeta frac partialpartial bar xalpha left frac partial xgammapartial bar xbeta A_gamma right frac partialpartial bar xbeta left frac partial xdeltapartial bar xalpha A_delta right frac partial2 xgammapartial bar xalpha partial bar xbeta A_gamma frac partial xgammapartial bar xbeta frac partial A_gammapartial bar xalpha frac partial2 xdeltapartial bar xbeta partial bar xalpha A_delta frac partial xdeltapartial bar xalpha frac partial A_deltapartial bar xbeta frac partial xgammapartial bar xbeta frac partial xdeltapartial bar xalpha frac partial A_gammapartial xdelta frac partial xdeltapartial bar xalpha frac partial xgammapartial bar xbeta frac partial A_deltapartial xgamma frac partial xdeltapartial bar xalpha frac partial xgammapartial bar xbeta left frac partial A_gammapartial xdelta frac partial A_deltapartial xgamma right frac partial xdeltapartial bar xalpha frac partial xgammapartial bar xbeta F_delta gamma 這一定義暗示了電磁場張量滿足關係 partial_lambda F_mu nu partial _mu F_nu lambda partial_nu F_lambda mu 0 這一關係包含了法拉第電磁感應定律和磁場的高斯定理，因此也叫做法拉第 高斯方程。具體而言， partial_lambda F_mu nu partial _mu F_nu lambda partial_nu F_lambda mu partial_lambda partial_mu A_nu partial_lambda partial_nu A_mu partial_mu partial_nu A_lambda partial_mu partial_lambda A_nu partial_nu partial_lambda A_mu partial_nu partial_mu A_lambda 0 雖然這個關係包含了 64 個分量方程，但只有四個是獨立的。藉助電磁場張量的反對稱性，可知只有 lambda mu nu 等於 123 或 230 或 301 或 012 時的方程是彼此獨立的。 法拉第 高斯方程有時也寫作下面的形式 F_mu nu lambda F_mu nu lambda frac 16 left partial_lambda F_mu nu partial _mu F_nu lambda partial_nu F_lambda mu partial_lambda F_nu mu partial _mu F_lambda nu partial_nu F_mu lambda right frac 13 left partial_lambda F_mu nu partial _mu F_nu lambda partial_nu F_lambda mu right 0 其中按照慣例用分號表示協變導數，逗號表示偏導數，方括號表示反對稱形式。電磁場張量的協變導數為 F_alpha beta gamma F_alpha beta gamma Gammamu_alpha gamma F_mu beta Gammamu_beta gamma F_alpha mu 其中 Gammaalpha_betagamma 是克里斯托費爾符號，兩個下標是對稱的。 電磁位移張量 位移電場 mathbf D 和附屬磁場 mathbf H 構成一個反對稱的逆變二階張量。真空中這個張量為 mathcal Dmu nu frac 1mu_0 gmu alpha F_alpha beta gbeta nu sqrt g 注意這個方程是電磁理論中唯一有度規（即引力）存在的方程。並且這一方程具有尺度不變性，即將度規乘以一個常數不會改變方程的形式。也就是說，引力只能透過改變全域性座標中的光速來影響相應的電磁場，由於光在引力場中會發生偏折，其效應等同於質量的引力場增加了周圍時空的折射率，從而影響了對應的位移電場和附屬磁場。 更一般地，當物質中的磁化 極化張量不為零時，我們有 mathcal Dmu nu frac 1mu_0 gmu alpha F_alpha beta gbeta nu sqrt g mathcal Mmu nu 電磁位移張量的座標變換規則為 bar mathcal Dmu nu frac partial bar xmupartial xalpha frac partial bar xnupartial xbeta mathcal Dalpha beta det left frac partial xsigmapartial bar xrho right 其中使用了雅可比行列式。如果磁化 極化張量存在，它和電磁位移張量具有同樣的變換規則。 電流 電磁位移張量的散度被定義為電流，在真空中 Jmu partial_nu mathcal Dmu nu 如果磁化 極化張量存在，則上式替換為 Jmu_text free partial_nu mathcal Dmu nu 這一方程包含了高斯定理和安培環路定理。 無論磁化 極化張量是否存在，電磁位移張量是反對稱的這一事實暗示了電流是一個守恆量： partial_mu Jmu partial_mu partial_nu mathcal Dmu nu 0 這個二階偏導數為零是由於偏導是對易的。 電流的安培 高斯定義並不能決定它的大小，因為電磁四維勢的大小並未確定。相反地，通常的步驟是使電流等於一個用其他場表示的表示式（主要是電荷），然後解得電磁位移、電磁場和電磁勢。 電流是一個逆變的向量，因而其變換規則是 bar Jmu frac partial bar xmupartial xalpha Jalpha det left frac partial xsigmapartial bar xrho right 變換規則的驗證如下： bar Jmu frac partialpartial bar xnu left bar mathcal Dmu nu right frac partialpartial bar xnu left frac partial bar xmupartial xalpha frac partial bar xnupartial xbeta mathcal Dalpha beta det left frac partial xsigmapartial bar xrho right right frac partial2 bar xmupartial bar xnu partial xalpha frac partial bar xnupartial xbeta mathcal Dalpha beta det left frac partial xsigmapartial bar xrho right frac partial bar xmupartial xalpha frac partial2 bar xnupartial bar xnu partial xbeta mathcal Dalpha beta det left frac partial xsigmapartial bar xrho right frac partial bar xmupartial xalpha frac partial bar xnupartial xbeta frac partial mathcal Dalpha betapartial bar xnu det left frac partial xsigmapartial bar xrho right frac partial bar xmupartial xalpha frac partial bar xnupartial xbeta mathcal Dalpha beta frac partialpartial bar xnu det left frac partial xsigmapartial bar xrho right frac partial2 bar xmupartial xbeta partial xalpha mathcal Dalpha beta det left frac partial xsigmapartial bar xrho right frac partial bar xmupartial xalpha frac partial2 bar xnupartial bar xnu partial xbeta mathcal Dalpha beta det left frac partial xsigmapartial bar xrho right frac partial bar xmupartial xalpha frac partial mathcal Dalpha betapartial xbeta det left frac partial xsigmapartial bar xrho right frac partial bar xmupartial xalpha frac partial bar xnupartial xbeta mathcal Dalpha beta det left frac partial xsigmapartial bar xrho right frac partial bar xrhopartial xsigma frac partial2 xsigmapartial bar xnu partial bar xrho 0 frac partial bar xmupartial xalpha frac partial2 bar xnupartial bar xnu partial xbeta mathcal Dalpha beta det left frac partial xsigmapartial bar xrho right frac partial bar xmupartial xalpha Jalpha det left frac partial xsigmapartial bar xrho right frac partial bar xmupartial xalpha mathcal Dalpha beta det left frac partial xsigmapartial bar xrho right frac partial bar xrhopartial xsigma frac partial2 xsigmapartial xbeta partial bar xrho frac partial bar xmupartial xalpha Jalpha det left frac partial xsigmapartial bar xrho right frac partial bar xmupartial xalpha mathcal Dalpha beta det left frac partial xsigmapartial bar xrho right left frac partial2 bar xnupartial bar xnu partial xbeta frac partial bar xrhopartial xsigma frac partial2 xsigmapartial xbeta partial bar xrho right 下面只需證明 frac partial2 bar xnupartial bar xnu partial xbeta frac partial bar xrhopartial xsigma frac partial2 xsigmapartial xbeta partial bar xrho 0 這是微分學中一條已知定理的應用： frac partial2 bar xnupartial bar xnu partial xbeta frac partial bar xrhopartial xsigma frac partial2 xsigmapartial xbeta partial bar xrho frac partial xsigmapartial bar xnu frac partial2 bar xnupartial xsigma partial xbeta frac partial bar xnupartial xsigma frac partial2 xsigmapartial xbeta partial bar xnu frac partial xsigmapartial bar xnu frac partial2 bar xnupartial xbeta partial xsigma frac partial2 xsigmapartial xbeta partial bar xnu frac partial bar xnupartial xsigma frac partialpartial xbeta left frac partial xsigmapartial bar xnu frac partial bar xnupartial xsigma right frac partialpartial xbeta left frac partial bar xnupartial bar xnu right frac partialpartial xbeta left mathbf 4 right 0 洛倫茲力 洛倫茲力的密度是一個協變向量： f_mu F_mu nu Jnu 如果在一個測試粒子上的作用力只有引力和電磁力，則有 frac d p_alphad t Gammabeta_alpha gamma p_beta frac d xgammad t q F_alpha gamma frac d xgammad t 其中 palpha 是粒子的四維動量，t 是將粒子世界線引數化的任意時間座標。式中第一項含有克里斯托費爾符號，表示引力項，第二項含有電荷，表示電磁力項。 方程具有洛倫茲不變性，對時間座標變換的驗證方法為將方程乘以 frac d td bar t 並使用鏈式法則。 對空間座標變換，透過對克里斯托費爾符號進行座標變換 bar Gammabeta_alpha gamma frac partial bar xbetapartial xepsilon frac partial xdeltapartial bar xalpha frac partial xzetapartial bar xgamma Gammaepsilon_delta zeta frac partial bar xbetapartial xeta frac partial2 xetapartial bar xalpha partial bar xgamma 我們得到 frac d bar p_alphad t bar Gammabeta_alpha gamma bar p_beta frac d bar xgammad t q bar F_alpha gamma frac d bar xgammad t frac dd t left frac partial xdeltapartial bar xalpha p_delta right left frac partial bar xbetapartial xtheta frac partial xdeltapartial bar xalpha frac partial xiotapartial bar xgamma Gammatheta_delta iota frac partial bar xbetapartial xeta frac partial2 xetapartial bar xalpha partial bar xgamma right frac partial xepsilonpartial bar xbeta p_epsilon frac partial bar xgammapartial xzeta frac d xzetad t q frac partial xdeltapartial bar xalpha F_delta zeta frac d xzetad t frac partial xdeltapartial bar xalpha left frac d p_deltad t Gammaepsilon_delta zeta p_epsilon frac d xzetad t q F_delta zeta frac d xzetad t right frac dd t left frac partial xdeltapartial bar xalpha right p_delta left frac partial bar xbetapartial xeta frac partial2 xetapartial bar xalpha partial bar xgamma right frac partial xepsilonpartial bar xbeta p_epsilon frac partial bar xgammapartial xzeta frac d xzetad t 0 frac dd t left frac partial xdeltapartial bar xalpha right p_delta frac partial2 xepsilonpartial bar xalpha partial bar xgamma p_epsilon frac d bar xgammad t 0 拉格朗日量 在真空中經典電磁場的拉格朗日量（在密度意義下的單位為焦耳 米 3）是一個標量： mathcal L frac 14 mu_0 F_alpha beta Falpha beta sqrt g A_alpha Jalpha 其中 Falpha beta galpha gamma F_gamma delta gdelta beta 。這裡的四維電流項應理解為各種對電流有貢獻的場的總和。 如果我們將自由電流與束縛電流分離開來，拉格朗日量則變為 mathcal L frac 14 mu_0 F_alpha beta Falpha beta sqrt g A_alpha Jalpha_text free frac12 F_alpha beta mathcal Malpha beta 電磁應力 能量張量 作為愛因斯坦引力場方程的源，電磁場的應力 能量張量是一個協變的對稱張量 T_mu nu frac 1mu_0 F_mu alpha galpha beta F_beta nu frac 14 g_mu nu F_sigma alpha galpha beta F_beta rho grho sigma 並且它是無跡的 T_mu nu gmu nu 0 這是由於電磁場的傳播速度在不同參考系下是不變的。 為了表達能量和動量的守恆律，電磁應力 能量張量的最佳表示方法是 mathfrak T_munu T_mu gamma ggamma nu sqrt g 對於上式可以證明 mathfrak T_munu_ nu f_mu 0 並可重寫為 mathfrak T_munu_ nu Gammasigma_mu nu mathfrak T_sigmanu f_mu 這個方程的意義是，電磁場能量的減少相當於電磁場對引力場以及透過洛倫茲力對物質所做的功，類似地，電磁場動量的減少率相當於作用在引力場上的電磁力以及作用在物質上的洛倫茲力。 守恆律的推導過程為 mathfrak T_munu_ nu f_mu frac 1mu_0 F_mu alpha nu galpha beta F_beta gamma ggamma nu F_mu alpha galpha beta F_beta gamma nu ggamma nu frac12 delta_munu F_sigma alpha nu galpha beta F_beta rho grho sigma sqrt g frac 1mu_0 F_mu alpha galpha beta F_beta gamma nu ggamma nu sqrt g frac 1mu_0 F_mu alpha nu Falpha nu frac12 F_sigma alpha mu Falpha sigma sqrt g frac 1mu_0 F_nu mu alpha F_alpha nu mu Falpha nu frac12 F_sigma alpha mu Falpha sigma sqrt g frac 1mu_0 F_mu nu alpha Falpha nu F_alpha nu mu Falpha nu frac12 F_sigma alpha mu Fsigma alpha sqrt g frac 1mu_0 F_mu alpha nu Fnu alpha frac12 F_alpha nu mu Falpha nu sqrt g frac 1mu_0 F_mu alpha nu Falpha nu frac12 F_sigma alpha mu Falpha sigma sqrt g 所得的結果是為零的，因為它等於自身的負值（對照推導的第二步）。 電磁波方程 從電磁理論的狹義相對論形式可以藉助電磁場張量修改得到非齊次的電磁波方程 Box F_ab stackrel mathrm def F_abd _d 2 R_acbd Fcd R_ae Fe _b R_be Fe _a J_ab J_ba 其中 R_acbd 是黎曼張量的協變形式，而 Box 是達朗貝爾算符在協變導數情形下的推廣。 波方程可以寫成四維勢的形式（參見 ref 2 p 569） Box Aa Aab_b mu_0 Ja R a_b Ab 其中 R a_b stackrel mathrm def R s_a s b 是裡奇張量。而這裡假設了洛倫茨規範在彎曲時空中的推廣具有下面的形式 A a_ a 0 這個波方程與平直時空中的波方程具有十分類似的形式，除了導數被替換為協變導數，以及在表示源的項中多了一項描述時空曲率的項。這個方程和彎曲時空中的洛倫茲力也有相似之處，這裡的四維勢 A a 相當於洛倫茲力中的四維座標。 麥克斯韋方程組在動態時空中的非線性 在考慮麥克斯韋方程組本身與背景時空無關時，時空度規在廣義相對論中被認為是受電磁場影響的動態變化的變數，這導致了電磁波方程和麥克斯韋方程組是非線性的。這一點可以從愛因斯坦場方程中的曲率張量依賴於應力 能量張量看出。 G_ab frac 8 pi G c4 T_ab 其中 G_a b stackrel mathrm def R_a b 1 over 2 R g_a b 是愛因斯坦張量，G 是萬有引力常數，R （標量曲率）是裡奇張量的跡。應力 能量張量來源於粒子的應力和能量，但同時也來源於電磁場，這造就了非線性。 參見 電磁波方程 非齊次的電磁波方程 麥克斯韋方程組在狹義相對論中的形式 麥克斯韋方程組的歷史 廣義相對論的理論動機 廣義相對論的數學方法 電真空解 參考文獻 外部連結 彎曲時空中的麥克斯韋場 W W W