數學中，霍奇星運算元或霍奇對偶由蘇格蘭數學家威廉霍奇引入的一個重要的線性對映。它定義在有限維定向內積空間的外代數上。 維數與代數 霍奇星運算元在 k 形式空間與 n k 形式空間建立了一個對應。一個 k 形式在這個對應下的像稱為這個 k 形式的霍奇對偶。k 形式空間的維數是 n choose k 後一個空間的維數是 n choose n k 又由二項式係數的對稱性，這兩個維數事實上相等。兩個具有相同維數的形式空間總同構；但不一定有一種自然或典範的方式。但霍奇對偶性利用了向量空間內積和定向，給出了一個特定的同構，因此在代數上這反應了二項式係數的性質。這也在 k 形式空間上誘導了一個內積。自然 定義意味著這個對偶性關係在理論中可起幾何作用。 第一個有趣的情形是在三維歐幾里得空間 V。在這種情形，帕斯卡三角形相關行是 1 3 3 1 霍奇對偶在兩個三維空間之間建立起一個同構，一個是 V 自己，另一個是 V 中兩個向量的楔積。具體細節參見例子一節。叉積只是三維的特殊性質，但霍奇對偶在所有維數都有效。 擴張 由於一個向量空間上 k 個變數的交錯線性形式空間自然同構於那個向量空間上的 k 向量空間的對偶，霍奇對偶也能對這些空間定義。與線性代數的大部分構造一樣，霍奇對偶可以擴張到一個向量叢。這樣的霍奇對偶特別常見的是在餘切叢的外代數（即流形上的微分形式）上，可用來從外導數構造餘微分，以及拉普拉斯 德拉姆運算元，它導致了緊黎曼流形上微分形式的霍奇分解。 k 向量的霍奇星號的正式定義 一個定向內積向量空間 V 上的霍奇星運算元是 V 的外代數（Lambda V）上的一個線性運算元，是 k 向量子空間（Lambdak V） 與 nk 向量子空間（LambdankV） 之間的線性對映，這裡 0le kle n ndim V。它具有如下性質，這些性質完全定義了霍奇星運算元：給定一個定向正交基 e_1e_2cdotse_n 我們有 star e_i_1 wedge e_i_2wedge cdots wedge e_i_k e_i_k1 wedge e_i_k2 wedge cdots wedge e_i_n 其中 i_1i_2cdotsi_n 是 12dotsn 的一個偶排列。 特別是我們有， e_1wedge e_2wedge cdots wedge e_k e_k1wedge e_k2wedge dots wedge e_n 星運算元的指標記法 使用指標記法，霍奇對偶由縮並一個 k 形式與 n 維完全反對稱列維 奇維塔張量的指標得到。這不同於列維 奇維塔符號有一個額外因子 det g½，這裡 g 是一個內積（如果 g 不是正定的，比如洛倫茲流形的切空間，則取行列式的絕對值）。 從而有 eta_i_1i_2ldotsi_nk frac 1k etaj_1ldotsj_ksqrt det g epsilon_j_1ldotsj_ki_1ldotsi_nk 這裡 η 是任意一個反對稱 k 階張量。利用在定義列維 奇維塔張量中同一個內積 g 上升和下降指標。當然也可以對任何張量取星號，所得是反對稱的，因為張量的對稱分量在與完全反對稱列維 奇維塔張量縮並時完全抵消了。 例子 星運算元一個常見例子是在 n 3，可以做為 3 維向量與斜對稱矩陣之間的對應。這不明顯地使用於向量分析中，例如由兩個向量的楔積產生叉積向量。具體地說，對歐幾里得空間 R3，容易發現 mathrm d xmathrm d ywedge mathrm d z 和 mathrm d ymathrm d zwedge mathrm d x 以及 mathrm d zmathrm d xwedge mathrm d y 這裡 dx、dy 與 dz 是 R3 上的標準正交微分 1 形式。霍奇對偶在此情形顯然對應於三維中的叉積。 當 n 4 時，霍奇對偶作用在第二外冪（6 維）上是自同態。它是一個對合，從而可以分解為子對偶與反自對偶子空間，在這兩個子空間上的作用分別為 1 和 1。 另一個有用的例子是 n 4 閔可夫斯基時空，具有度量符號為 與座標 txyz，對 1 形式有 mathrm d tmathrm d xwedge mathrm d y wedgemathrm d z mathrm d xmathrm d twedge mathrm d y wedgemathrm d z mathrm d ymathrm d twedge mathrm d x wedgemathrm d z mathrm d zmathrm d twedge mathrm d x wedgemathrm d y 對 2 形式有 mathrm d t wedgemathrm d x mathrm d ywedge mathrm d z mathrm d t wedgemathrm d y mathrm d xwedge mathrm d z mathrm d t wedgemathrm d z mathrm d xwedge mathrm d y mathrm d x wedgemathrm d y mathrm d twedge mathrm d z mathrm d x wedgemathrm d z mathrm d twedge mathrm d y mathrm d y wedgemathrm d z mathrm d twedge mathrm d x k 向量的內積 霍奇對偶在 k 向量空間上誘導了一個內積，即在 V 的外代數上。給定兩個 k 向量 eta 與 zeta，有 zetawedge eta langlezeta eta rangleomega 這裡 ω 是正規化的體積形式。可以證明 langlecdotcdotrangle 是一個內積，它是半雙線性的，並定義了一個範數。反之，如果在 Lambdak V 上給了一個內積，則這個等式可以做為霍奇對偶的另一種定義。 本質上，V 的正交基元素的楔積組成了 V 的外代數的一個正交基。當霍奇星號擴張到流形上，可以證明體積形式能寫做 omegasqrt det g_ijdx1wedgeldotswedge dxn 其中 g_ij 是流形的度量。 對偶性 當作用兩次時霍奇星號定義了一個對偶，不考慮符號的話，所得結果是外代數上一個恆等式。給定 n 維空間 V 上一個 k 向量 eta in Lambdak V，我們有 eta1k nk seta 這裡 s 與 V 上內積的符號有關。具體說，s 是內積張量行列式的符號。例如，如果 n 4 時，若內積的符號是 ， 或 則 s 1。對普通的歐幾里得空間，符號總是正的，所以 s 1。在普通向量空間，這一般不是一個問題。當霍奇星號擴張到偽 黎曼流形上時，上面的內積理解為對角形式的度量。 流形上的霍奇星號 在一個 n 維定向黎曼或偽黎曼流形上每一點的切空間上可以重複如上構造，將得到 k 形式的霍奇對偶，是一個 n k 形式。霍奇星號在流形上的微分形式上誘導了一個 L2 範數。對 Lambdak M 的空間截面 eta 與 zeta，其內積可寫做 etazetaint_M etawedge zeta （截面的集合通常記做 Omegak MGamma Lambdak M；裡面的元素稱為外 k 形式。） 更一般地，在非定向情形，我們可以定義 k 形式的霍奇星號維一個 n k 偽微分形式；即取值於典範線叢的一個微分形式。 餘微分 霍奇星號在流形上最重要的應用是用來定義餘微分 δ。令 delta 1nk n 1 d 這裡 d 是外導數。對黎曼流形 s 1 。 dOmegak Mrightarrow Omegak1M 而 deltaOmegak Mrightarrow Omegak1M 相比於外導數，餘微分不是外代數上的反導子。 餘微分在是外微分的伴隨： langle delta zeta etarangle langle zeta detarangle 這個恆等式是因為體積形式 ω 滿足 dω 0，從而 int_M d zeta wedge eta0 拉普拉斯德拉姆運算元由 Deltadelta d ddelta 給出，是霍奇理論的核心。它有對稱性： langleDelta zetaetarangle langlezetaDelta etarangle 以及非負： langleDeltaetaetarangle ge 0 霍奇星號將一個調和形式變成調和形式。作為霍奇定理的一個推論，德拉姆上同調自然同構於調和 k 形式空間，從而霍奇星號誘導了上同調群之間一個同構 star Hk_Delta Mto Hnk_Delta M 透過龐加萊對偶性，這給出了 Hk M 與它的對偶空間的一個典範等價。 三維中的導數 ast 運算元與外導數 d 的組合推廣了三維經典運算元 grad、curl 和 div。具體做法如下：d 將一個 0 形式（函式）變成 1 形式，1 形式變成 2 形式，2 形式變成 3 形式（應用到 3 形式變成零）。 1 對一個 0 形式（omegaf xyz），第一種情形，寫成分量與 operatorname grad 運算元等價： domegafrac partial fpartial x dxfrac partial fpartial y dyfrac partial fpartial z dz 2 第二種情形後面跟著 ast，是 1 形式（omegaAdxBdyCdz）上一個運算元，其分量是 operatorname curl 運算元： domegaleft partial C over partial y partial B over partial zright dywedge dz left partial C over partial x partial A over partial zright dxwedge dzleft partial B over partial x partial A over partial yright dxwedge dy 使用霍奇星號給出： ast domegaleft partial C over partial y partial B over partial zright dx left partial C over partial x partial A over partial zright dyleft partial B over partial x partial A over partial yright dz 3 最後一種情形，前面與後面都有一個 ast，將一個 1 形式（omegaAdxBdyCdz）變成 0 形式（函式）；寫成分量是 operatorname div 運算元： astomegaAdywedge dzBdxwedge dzCdxwedge dy dastomegaleft frac partial Apartial xfrac partial Bpartial yfrac partial Cpartial zright dxwedge dywedge dz ast dastomegafrac partial Apartial xfrac partial Bpartial yfrac partial Cpartial z 這些表示式的一個好處是恆等式 d20，任何情形都成立，將 operatorname curloperatorname gradfoperatorname divoperatorname curlmathbf F0 統一起來了。特別地，麥克斯韋方程組用外導數與霍奇星號表示時，有一個特別簡單和優美的形式： mathrm dmathbf F0qquad mathrm d mathbf Fmathbf J 這裡 mathbf F 是四維洛倫茲時空中某個 2 形式，mathbf J 是電流 1 形式。 註釋 參考文獻 Charles W Misner Kip S Thorne John Archibald Wheeler Gravitation 1970 WH Freeman New York ISBN 0716703440 Provides a basic review of differential geometry in the special case of fourdimensional spacetime Jurgen Jost Riemannian Geometry and Geometric Analysis 2002 SpringerVerlag Berlin ISBN 3540426272 Provides a detailed exposition starting from basic principles but does not treat the pseudoRiemannian case David Bleecker Gauge Theory and Variational Principles 1981 AddisonWesley Publishing New York ISBN 0201100967 Provides condensed review of nonRiemannian differential geometry in chapter 0 H H H