在數學中，帕塞瓦爾定理（或稱帕塞瓦爾等式），經常指 傅立葉轉換是么正算符 這一結論；簡而言之，就是說函式平方的和（或積分）等於其傅立葉轉換式平方之和（或者積分）。這個定理產生於法國數學家馬克 安託萬帕塞瓦爾在 1799 年所得到的一個有關級數的定理，該定理隨後被應用於傅立葉級數。它也被稱為瑞利能量定理或瑞利恆等式，以物理學家瑞利命名。 雖說帕塞瓦爾定理這一術語常用來描述任何傅立葉轉換的么正性，尤其是在物理學和工程學上，但這種屬性最一般的形式還是稱為普朗歇爾定理而不是帕塞瓦爾定理才更合適。 該定理是勾股定理在希爾伯特空間或更廣泛的內積空間中的推廣，或者說勾股定理是帕塞瓦爾定理在定義了內積的二維歐氏空間中的特例。 帕塞瓦爾定理的陳述 在一般的歐氏平面幾何中，勾股定理說明直角三角形的兩個直角邊之長度的平方加起來等於斜邊的平方。從另一種角度來看，若在平面上定義了一個直角座標系 xOy（單位向量分別是 e_x e_y），那麼一個向量和它在這兩個座標軸方向上的投影構成一個直角三角形，因此，向量的長度的平方等於它在兩個座標軸方向上的投影的長度的平方之和。 對於一個有限維的歐幾里得空間 mathbb Rn 以及其中的標準規範正交基 e_1 e_2 cdots e_n，空間中的一個向量 v v_1 v_2 cdots v_n 的長度的平方等於它在各個基向量上的投影的長度的平方之和： left v right2 v_12 v_22 cdots v_n2 在一般的希爾伯特空間之中，也有類似的等式。設 mathcal H 是一個裝備了內積： left langle cdot cdot right rangle 的希爾伯特空間。考慮 mathcal H 中的一組規範正交基：e_1 e_2 cdots e_n cdots，那麼 mathcal H 中的每一個向量的範數的平方都等於它在各個基向量上的投影的平方之和。 sum_k left left langle x e_k right rangle right2 left x right 2 假定 A x 和 B x 都是平方可積的（參照勒貝格測度）複變函式，且定義在 R 上週期為 2π 的區間上，分別寫成傅立葉級數的形式 A xsum_ninftyinfty a_neinx 和 B xsum_ninftyinfty b_neinx 然後 sum_ninftyinfty a_noverline b_n frac 12pi int_pipi A xoverline B x dx 這裡的 i 是虛數單位而上劃線（horizontal bars）表示複共軛運算。 一般地， 給定一個交換的拓撲群 G 和它的 Pontryagin 對偶 G 帕塞瓦爾定理 says the PontryaginFourier transform is a unitary operator between Hilbert spaces L2 G and L2 G with integration being against the appropriately scaled Haar measures on the two groups When G is the unit circle T G is the integers and this is the case discussed above When G is the real line R G is also R and the unitary transform is the Fourier transform on the real line When G is the cyclic group Zn again it is selfdual and the PontryaginFourier transform is what is called discretetime Fourier transform in applied contexts 物理學和工程學上使用的記號 在 物理學 和 工程學 中，帕塞瓦爾定理通常描述如下 int_inftyinfty x t 2 dt int_inftyinfty X f 2 df 其中 X f mathcal F x t 為 x t 的連續傅立葉變換（以歸一化酉形式），而 f 代表 x 的頻率分量（非角頻率） 帕塞瓦爾定理的此表達形式解釋了波形 x t 依時間域 t 累積的總能量與該波形的傅立葉變換 X f 在頻率域 f 累積的總能量相等。 對於離散時間訊號，該理論表示式變換為： sum_ninftyinfty x n 2 frac 12pi int_pipi X eiomega 2 domega 其中，X 為 x 的離散時間傅立葉變換 DTFT，而 omega 為 x 的角頻率（度每樣本）。 此外，對於離散傅立葉變換 DFT，表示式變換為： sum_n0N1 x n 2 frac 1N sum_k0N1 X k 2 其中，X k 為 x n 的 DFT 變換，變換前後樣本長度皆為 N。 證明 連續傅立葉變換 CTFT 的帕塞瓦爾定理 int_inftyinftyx t2dt int_inftyinfty x t xt dt int_inftyinfty x tint_inftyinfty Xf ej2 pi ft df dt int_inftyinfty Xfint_inftyinfty x t ej2 pi ft dt df int_inftyinfty Xf X f df int_inftyinftyX f2df 其中，xt 是 x t 的共軛複數。 離散時間傅立葉變換 DTFT 的帕塞瓦爾定理 sum_ninftyinftyx n2 sum_ninftyinfty x n xn sum_ninftyinfty x nfrac 12 piint_02 pi Xejomega ej omega n domega frac 12 piint_02 pisum_ninftyinfty x n ej omega n Xejomega domega frac 12 piint_02 pi X ejomega Xejomega domega frac 12 piint_02 piX ejomega2domega 其中，xn 是 x n 的共軛複數。 連續時間傅立葉級數 CTFS 的帕塞瓦爾定理 令 x t 是週期為 T_0frac 1f_0 的連續時間函式。 c_n 是其連續時間傅立葉級數。c_nfrac 1T_0int_0T_0 x t ej2pi nf_0 t dt sum_ninftyinftyc_n2 sum_ninftyinfty c_n c_n sum_ninftyinfty c_n frac 1T_0int_0T_0 xt ej2pi nf_0 t dt frac 1T_0int_0T_0 xtsum_ninftyinfty c_nej2pi nf_0 t dt frac 1T_0int_0T_0 xt x t dt frac 1T_0int_0T_0x t2dt 離散時間傅立葉級數 DTFS 的帕塞瓦爾定理 x n 是長度為 N 的離散時間訊號，a_k 為其離散時間傅立葉級數，亦即 a_kfrac 1Nsum_n0N1 x n ejomega_0kn。 其中 omega_0 是角基頻，omega_0frac 2piN。 sum_k0N1a_k2 sum_k0N1 a_k a_k sum_k0N1 a_k frac 1Nsum_n0N1 xn ejomega_0kn frac 1Nsum_n0N1 xnsum_k0N1 a_kejomega_0kn frac 1Nsum_n0N1 xn x n frac 1Nsum_n0N1x n2 離散傅立葉變換 DFT 的帕塞瓦爾定理 令 x n 為一長度是 N 點的離散時間訊號，僅在 0nN1 有值，x n0 for n0 or nN1。 其 DFT 為 X k，亦為一長度是 N 點的離散時間訊號，僅在 0kN1 有值，X k0 for k0 or kN1。 設 W_Nejfrac 2pin。 sum_n0N1x n2 sum_n0N1 x n xn sum_n0N1 x nfrac 1Nsum_k0N1 XkW_Nkn frac 1Nsum_k0N1 Xksum_n0N1 x nW_Nkn frac 1Nsum_k0N1 Xk X k frac 1Nsum_k0N1X k2 參見 帕塞瓦爾恆等式 普朗歇爾定理 閔可夫斯基空間 柯西不等式 三角不等式 完備空間 參考連結 傅立葉級數，單維彰 P category 泛函分析