階躍響應是指系統在其輸入為單位階躍函式時，其輸出的變化。在電子工程或自動控制領域中，階躍響應是指系統的輸入在很短時間由 0 變成 1 時，其輸出的時域特性。此概念可以延伸到使用抽象數學概念的動力系統，以演化引數表示其特性。 分析系統的階躍響應有助於瞭解系統的特性，因為當輸入在長時間穩態後，有快速而大幅度的變化，可以看出系統各個部份的特性。而且也可以知道系統的穩定性。 階躍響應的時域相關特性 系統的階躍響應可以用與以下時域特性的量來描述： 過衝（overshoot）。 上昇時間（rise time）。 安定時間（settling time）。 振鈴（ringing）。 對於線性動態系統來說，從這些特徵中可以推知許多該系統的資訊。 一階線性電路的階躍響應 考慮如右圖的 RC 電路，頻域下輸出電壓 Vc 和輸入電壓 Vin 的關係可表示為下式： V_c s frac 1CsR 1Cs V_ins frac 11 RCs V_ins frac 11 tau s V_ins 其中 tau RC 為此係統的時間常數 考慮以下形式的輸入電壓 Vin t： V_int 0 t leq 0 V_int V_in t0 則輸出電壓 Vc t 可以表示為以下的形式： V_c t V_in 1 efrac ttau 反饋放大器的階躍響應 本節介紹了一個簡單的負反饋放大器的階躍響應如圖 1 所示。反饋放大器由一個增益為 AOL 的主開環放大器和反饋因子為 β 的反饋迴路。以下會分析此回授放大器，確認其階躍響應和控制響應的時間常數之間的關係，也看階躍響應和回授量之間的關係。 負反饋放大器增益為（見負反饋放大器）： A_FB frac A_OL 1 beta A_OL， 其中 AOL 開環增益 AFB 閉環增益（存在負反饋時的增益） β 反饋因子。 有一個主導極點 在許多情況下，可以用時間常數 τ 的單一主導極點很好地模擬正向放大器，它的開環增益為： A_OL frac A_0 1j omega tau， 零頻率增益為 A0，角頻率 ω 2πf。這種正向放大器有單位階躍響應 S_OLt A_0 1 et tau， 是從零到新平衡值 A0 的指數趨近。 單極點放大器的傳遞函式匯出閉環增益： A_FB frac A_0 1 beta A_0 times frac 1 1j omega frac tau 1 beta A_0 此閉環增益與開環增益是形式相同：均為單極濾波器。其階躍響應的形式相同：一個趨於新平衡值的指數衰減。但閉環階躍函式的時間常數為 τ 1 β A0，因此因此它比前向放大器的響應快，是其 1 β A0 倍： S_FBt frac A_0 1 beta A_01 et 1 beta A_0 tau， 由於反饋因子 β 的增加，階躍響應會更快，直到最初假設的一個主導極點不再準確。如果有第二個極點，則隨著閉環時間常數區域第二個極點的時間常數，需要進行雙極點分析。 雙極點放大器 在開環增益有兩個極點的情況下（兩個時間常數，τ1 和 τ2），階躍響應更為複雜。開環增益為： A_OL frac A_0 1j omega tau_1 1 j omega tau_2 零頻率增益為 A0，角頻率 ω 2πf。 分析 雙極點放大器的傳遞函式可以匯出閉環增益： A_FB frac A_0 1 beta A_0 times frac 1 1j omega frac tau_1 tau_2 1 beta A_0 j omega2 frac tau_1 tau_2 1 beta A_0 放大器的時間相關性透過切換變數 s jω 很容易發現，於是增益變為： A_FB frac A_0 tau_1 tau_2 times frac 1 s2 s left frac 1 tau_1 frac 1 tau_2 right frac 1 beta A_0 tau_1 tau_2 這個表示式的極點（即分母的零點）位於： 2s left frac 1 tau_1 frac 1 tau_2 right pm sqrt left frac 1 tau_1 frac 1 tau_2 right 2 frac 4 beta A_0 tau_1 tau_2 這說明對於足夠大 βA0 平方根就會變成虛數，極點的位置是共軛複數，s 與 s；參見圖 2： s_pm rho pm j mu 其中 rho frac 12 left frac 1 tau_1 frac 1 tau_2 right 而 mu frac 1 2 sqrt frac 4 beta A_0 tau_1 tau_2 left frac 1 tau_1 frac 1 tau_2 right2 使用極座標系，根的半徑的模為 s（圖 2）： s s_pm sqrt rho2 mu2 而角座標 φ 為： cos phi frac rho s sin phi frac mu s 拉普拉斯變換表告訴我們這樣一個系統的時間響應是由兩個函式的組合而成的： e rho t sin mu t quadtext and quad e rho t cos mu t 也就是說，解在時間上阻尼振盪。特別是，該系統的單位階躍響應為： S t left frac A_0 1 beta A_0rightleft 1 e rho t frac sin left mu t phi rightsin phiright 化簡為 S t 1 e rho t frac sin left mu t phi rightsin phi 當 A0 趨於無窮大時，反饋係數 β 為 1。 注意到響應的阻尼是由 ρ 決定的，也就是由開環放大器的時間常數確定的。相反，振盪的頻率是由 μ 確定的，也就是由，透過 βA0 由反饋引數確定的。因為 ρ 涉及到時間常數的倒數之和，所以可以發現 ρ 主要受到兩個時間常數中較短的那個影響。 結果 thumbnail350px 圖 3：線性雙極點反饋放大器的階躍響應；時間的單位是 1ρ，也就是以 AOL 的時間常數為變數；曲線是用 mu μ 的三個不同取值畫成的， μ 由 β 控制。 圖 3 顯示了引數 μ 取 3 個不同值時，單元階躍輸入的時間響應。可以看出隨著 μ 增加，振盪頻率也會增加，但振盪被包含在由指數型函式 1 exp ρt 和 1 exp ρt 確定的兩條漸近線以內。這兩條漸近線是由 ρ 決定的，所以也就由開環放大器的時間常數決定，與反饋無關。 終值的振盪現象被稱為振鈴。過沖是指擺動最大值高於終值，顯然會隨著 μ 增加。同樣，下衝是指擺動最小值低於終值，同樣也會隨著 μ 增加。安定時間是指從終值出發，降到低於某個特定水平（終值的 10）用的時間。 穩定時間對 μ 的依賴性不明顯，而雙極點系統的近似可能不能達到用穩定時間對反饋的依賴性作出現實中的結論的準確性。但漸近線 1 exp ρt 與 1 exp ρt 顯然影響穩定時間，它們被開環放大器的時間常數控制，特別是在 2 個時間常數中的時間較短的。這表明開環放大器的設計必須滿足穩定時間的規定。 此分析的有兩個主要結論： 反饋控制了給定開環放大器並給定開環時間常數 τ1 與 τ2 時終值上下振盪的幅度。 開環放大器決定了穩定時間。它確定了圖 3 中的時標，開環放大器越快，時標越快。 順便說一句，可以注意到實際中與線性雙極點模型的偏離主要來自兩個方面：其一，實際放大器的極點多於兩個，零點也是；其二，實際放大器是非線性的，所以它們的階躍響應會隨著訊號幅度變換。 thumbnail300px 圖 4：α 的三個不同取值的階躍響應。頂部：α 4；中間：α 2；底部：α 05。隨著 α 減小，極點分離也會減小，而過沖增加。 控制過沖 以下會說明如何用適當的引數選擇來減少過沖。 利用以上的公式，可以將階躍響應微分找最大值來計算過沖量。其過沖量最大值 Smax 為 ： S_max 1 exp left pi frac rhomu right 階躍響應的終值為 1，因此其指數即為過沖量。可以看出若 μ 0，其過沖量為 0，也就是： frac 4 beta A_0 tau_1 tau_2 left frac 1 tau_1 frac 1 tau_2 right2 令 x τ1 τ2 1 2 ，可以求解二個時間常數之間的比例，結果為 x sqrt beta A_0 sqrt beta A_0 1 因為 β A0 1，因此平方根中的 1 可以省略，得到 frac tau_1 tau_2 4 beta A_0 換句話說，第一個時間常數需遠大於第二個時間常數。有時系統為了一些特性，需要允許一些過沖量，以下的關係中引入一個因子 α： frac tau_1 tau_2 alpha beta A_0 α 可以依允許的過沖量來設計。 圖 4 就是描述其程式。比較上圖（α 4）及下圖（α 05）可以看出 α 較小，可以加快響應的速度，但也讓過沖量變大。中間的圖 α 2 為幅度最平坦的濾波器，在波德圖上沒有尖點。此設計有經驗法則內建的安全預度，可以處理像重零點、重極點、非線性（例如和訊號振幅相依的特性）及製造的變異，這些都可能造成過大的過沖量。極點擺放位置（也就是 α）的調整是頻率補償的主題，其中一個方式是極點分離。 穩定時間控制 圖 3 中階躍響應中振鈴的幅度是由阻尼因數 exp ρ t 決定的。也就是說，如果我們指定出可接受的階躍響應離終值的偏移量 Δ，即： S t le 1 Delta 在時間長於穩定時間 tS 這個前提下，無論 β AOL 的值為多少時這個條件都能滿足。穩定時間 tS 為：這個估計有些保守，因為在過沖量 S t 中，1 sin φ 用 1 sin φ 1 取代 Delta e rho t_Stext or t_S frac ln left frac 1 Delta right rho tau_2 frac 2 ln left frac 1 Delta right 1 frac tau_2 tau_1 approx 2 tau_2 ln left frac 1 Delta right 因為過沖的條件，τ1 αβAOL τ2，因此 τ1 τ2 成立。一般穩定時間條件是指穩定時間和其單位增益的頻寬成反比的情形，原因是 12π τ2 接近放大器在典型主極點補償下的頻寬。不過此結果比經驗法則的結果更準確。例如，若 Δ 1e4 18 ，其穩定時間為 tS 8 τ2。 一般而言，對過沖量的控制會決定二個時間常數的比例，穩定時間 tS 會決定 τ2Johns 及 Martin 在 Analog integrated circuit design 中認為，穩定時間在開關電容電路的影響比較顯著，其中為了要有夠快的電荷轉移，運算放大器的穩定時間需小於時脈週期的一半。 相位裕度 thumbnail280px 圖 5：波德圖可以找出相位裕度，其尺度是對數的，因此二個刻度之間的間隔是其比例，例如 f0 dB βA0 f1。 其次，極點比例 τ1τ2 也和回授放大器的相位裕度有關無法用二極點的模型來找增益裕度，因為增益裕度要找 f180 的頻率，也就是相位超過 180 度，導致增益變號的頻率，在二極點的模型中不會有相位超過 180 度的情形。若已知 f180 ，可以近似計算增益裕度，但 f180 和第三個及第四個極點的位置有關，因此增益裕度也會受這些極點的影響，不像相位裕度，可以只用二極點的模型來估算。。圖 5 是二個極點放大器的波德圖，頻率到第二個極點的位置。圖 5 的假設是頻率 f0 dB 在位在 f1 12πτ1 的最小極點及位在 f2 12πτ2 的第二極點之間。如圖 5 所示，若 α 1，此假設即成立。 利用圖 5，頻率（用 f0 dB 表示 為迴路增益 βA0 滿足單位增益或是 0 dB 條件的位置，可以定義為： beta A_text OL f_text 0 db 1 波德增益圖中增益下降的斜率是 20 dBdecade，頻率每增加十倍，增益下降的比例相同： f_text 0 dB beta A_0 f_1 相位裕度是頻率在 f0 dB 處，相位和180 之間的距離，因此裕度為： phi_m 180 circ arctan f_text 0 dB f_1 arctan f_text 0 dB f_2 因為 f0 dB f1 βA0 1，有關 f1 的項為 90，因此相位裕度為： phi_m 90 circ arctan f_text 0 dB f_2 90 circ arctan left frac beta A_0 f_1 alpha beta A_0 f_1 right 90 circ arctan left frac 1 alpha right arctan left alpha right 若 α 1，則 φm 45，若 α 2，則 φm 634 Sansen 建議 α 3，對應的 φm 716「是一種很好的啟始條件。」 若 τ2 縮短，α 會增加。穩定時間 tS 也會減小。若 τ1 變大，α 也會增加，穩定時間會略有變動。若用到極點分離技巧，τ1 和 τ2 都會變化。 若放大器有二個以上的極點，圖 5 的波德圖仍然可以計算相位裕度，只要將 f2 視為「等效的第二極點」位置即可 。 數學定義 本節以抽象概念下的 textstylemathfrak S，來提供形式性的數學定義。所有符號及假設列在下方。 textstyle tin T 是系統的，為方便說明，簡稱為時間。 textstyleboldsymbol x_tin M 是系統在時間 t 時的，為方便說明，稱為輸出。 textstylePhiTtimes Mlongrightarrow M 是動態系統的。 textstylePhi 0boldsymbol xboldsymbol x_0in M 是動態系統的。 textstyle H t 是單位階躍函式。 非線性動態系統 若針對一個一般的動態系統，其階躍響應可定義如下： boldsymbol x_t Phi_H t left tboldsymbol x_0 right 其階躍響應是系統輸入為單位階躍函式時的演化函式。表示式中 H t 為下標。 線性動態系統 對於一個線性非時變系統，令 textstylemathfrak S equiv S，其階躍響應可以用單位階躍函式 textstyle H t 和系統衝激響應 textstyle h t 的卷積來表示： a t hHt Hht int_inftyinfty h tau H t tau dtau int_inftyt h tau dtau 對線性非時變系統而言就是將後面的式子積分。相對的，對於線性非時變系統，階躍響應的微分即為衝激響應： h t frac ddt a t 不過此關係在非線性系統或是時變系統並不成立。 對於一個線性非時變系統，其階躍響應可以用單位階躍函式 textstyle H t 和系統衝激響應 textstyle h t 的卷積來表示： a t hHt Hht int_inftyinfty h tau H t tau dtau int_inftyt h tau dtau 參照 衝激響應 過沖 上昇時間 安定時間 時間常數 極點分離 參考文獻與註釋 延伸閱讀 Robert I Demrow Settling time of operational amplifiers Cezmi Kayabasi Settling time measurement techniques achieving high precision at high speeds Vladimir Igorevic Arnold Ordinary differential equations various editions from MIT Press and from Springer Verlag chapter 1 Fundamental concepts 外部連結 Kuo power point slides Chapter 7 especially Category 電子設計 Category 電子學術語 Category 動力系統 Category 控制理論 Category 訊號處理 Category 暫態響應特性