納維 斯托克斯存在性與光滑性是有關納維－斯托克斯方程（、）其解的數學性質有關的數學問題，是美國克雷數學研究所在 2000 年提出的 7 個千禧年大獎難題中的一個問題。 納維－斯托克斯方程式是流體力學的重要方程式，可以描述空間中流體（液體或氣體）的運動。納維－斯托克斯方程式的解可以用到許多實務應用的領域中。不過對於納維－斯托克斯方程式解的理論研究仍然不足，尤其納維－斯托克斯方程式的解常會包括紊流。雖然紊流在科學及工程中非常的重要，不過紊流仍是未解決的物理學問題之一。 許多納維－斯托克斯方程式解的基本性質都尚未被證明。例如數學家就尚未證明在三維座標，特定的初始條件下，納維－斯托克斯方程式是否有符合光滑性的解。也尚未證明若這樣的解存在時，其動能有其上下界，這就是「納維 斯托克斯存在性與光滑性」問題。 由於瞭解納維－斯托克斯方程式被視為是瞭解難以捉摸的紊流現象的第一步，克雷數學研究所在 2000 年 5 月提供了美金一百萬的獎金給第一個提供紊流現象相關資訊的人，而不是給第一個建立紊流理論的人。基於上述的想法，克雷數學研究所設定了以下具體的數學問題 Official statement of the problem Clay Mathematics Institute。 納維－斯托克斯方程 以數學的觀點來看，納維－斯托克斯方程是一個針對任意維度向量場的非線性偏微分方程。在物理及工程的觀點，納維－斯托克斯方程是一個用連續介質力學描述液體或非稀疏氣體運動的方程式組。此方程式是以牛頓第二運動定律為基礎，考慮一黏滯性牛頓流體的所有受力，包括壓強、黏滯力及外界的體積力。 由於克雷數學研究所提出的問題是以三維空間下，不可壓縮的勻質流體為準，以下也只考慮此條件下的納維－斯托克斯方程。 令 mathbf vboldsymbol xt 為描述流體速度的三維向量場，且 p boldsymbol xt 為流體壓強更精準地說，p boldsymbol xt 是流體壓強除以流體密度後的商，對於不可壓縮的勻質流體，密度為一定值。。納維－斯托克斯方程為： frac partial mathbf vpartial t mathbf vcdotnabla mathbf v nabla p nuDelta mathbf v mathbf fboldsymbol xt 其中 nu0 為動黏滯度 mathbf fboldsymbol xt 為外力 nabla 為梯度運運算元 displaystyle Delta 為拉普拉斯運算元，也可寫為 nablacdotnabla 上述方程是向量方程，可以分解為三個純量的方程，將速度及外力分解為三個座標下的分量： mathbf vboldsymbol xtbig v_1 boldsymbol xtv_2 boldsymbol xtv_3 boldsymbol xtbigqquad mathbf fboldsymbol xtbig f_1 boldsymbol xtf_2 boldsymbol xtf_3 boldsymbol xtbig 則納維－斯托克斯方程可寫成以下的形式，i123： frac partial v_ipartial t sum_j13 v_jfrac partial v_ipartial x_j frac partial ppartial x_i nusum_j13frac partial2 v_ipartial x_j2 f_i boldsymbol xt 其中的未知數有速度 mathbf vboldsymbol xt 及壓強 p boldsymbol xt。由於只考慮三維空間，因此有三個方程及四個未知數，分別是速度的三個分量及壓強，還需要一個方程才能解出所有的未知數。這個新增的方程是描述流體不可壓縮性的連續性方程式： nablacdot mathbf v 0 由於最後一個方程式，納維－斯托克斯方程解的速度會是無散度的向量函式。對於在均勻介質中的無散度流，其密度及動黏滯度為定值。 二種條件：無邊界及週期性的空間 克雷數學研究所提出的納維 斯托克斯問題，有二種不同的條件。原始問題是在整個空間 mathbb R3 中，需要有關初始條件及解隨位置變化的額外資訊。為了不要考慮初始條件及解在無窮遠處的特性，納維 斯托克斯方程也可以設定在一個週期性的空間中，因此不需考慮方程在整個空間 mathbb R3，只需考慮方程在一個 3 維環面 mathbb T3mathbb R3mathbb Z3 下的特性。以下會分別處理這二種條件下的問題。 在整個空間下問題的說明 假設及無窮遠處特性 初始條件 mathbf v_0 x 假設是光滑及無散度的函式，使得對於每一個多重指標 alpha 及 K0，存在一常數 CC alphaK0（此常數會依 alpha 及 K 而變化）使得 vert partialalpha mathbf v_0xvertle frac C1vert xvertKqquad 對於所有 qquad xinmathbb R3 外力 mathbf fxt 假設也是一個光滑函式，滿足一個非常類似的不等式（此時多重指標也包括時間的導數）： vert partialalpha mathbf fxvertle frac C1vert xvert tKqquad 對於所有 qquad xtinmathbb R3times 0infty 考慮其實際的物理意義，此條件下的解需是光滑函式，當 vert xverttoinfty 時不會快速增加。更精準地說，有以下的假設： mathbf vxtinleft Cinfty mathbb R3times 0inftyright3qquad p xtin Cinfty mathbb R3times 0infty 存在一常數 Ein 0infty 使得 int_mathbb R3 vert mathbf vxtvert2 dx E 對於所有的 tge 0 條件 1 表示此函式為光滑、全域性定義的函式，條件 2 表示此解的動能在全域性中有上下界。 在整個空間中的千禧年大獎難題描述 A 在 mathbb R3 空間下納維 斯托克斯方程式解的存在性及光滑性 令 mathbf fxtequiv 0。對於所有符合上述假設的初始條件 mathbf v_0 x，納維 斯托克斯方程式存在一光滑及全域性定義的解，就是存在一速度向量 mathbf vxt 及壓強 p xt 滿足上述的條件 1 及 2。 B mathbb R3 下納維 斯托克斯方程式解存在性的反證 存在一初始條件 mathbf v_0 x 及外力 mathbf fxt 使得納維 斯托克斯方程式不存在一解滿足上述條件 1 及 2。 週期性問題的說明 假設 此處的函式需滿足對於位置變數的週期性，其週期為 1。更精準地說，令 e_i 為 j 方向的單位向量： e_1100qquad e_2010qquad e_3001 則 mathbf vxt 對位置變數有週期性也就表示對於任何的 i123，以下的式子均成立： mathbf vxe_itmathbf vxttext for all xt in mathbb R3times 0infty 因此方程式不是在整個空間，而是在一商空間 mathbb R3mathbb Z3，也就是一個 3 維環面： mathbb T3theta_1theta_2theta_3 0le theta_i2piquad i123 有上述的說明後，可以說明需要的假設。初始條件 mathbf v_0 x 假設是一個光滑及無散度的函式，外力也是一個光滑函式。滿足以下的條件： 3 mathbf vxtinleft Cinfty mathbb T3times 0inftyright3qquad p xtin Cinfty mathbb T3times 0infty 4 存在一常數 Ein 0infty 使得 int_mathbb T3 vert mathbf vxtvert2 dx E 對於所有 tge 0 和之前的條件類似，條件 3 表示函式是光滑及全域性定義，條件 4 表示此解的動能在全域性中有上下界。 週期性的千禧年大獎難題描述 Cmathbb T3 空間下納維 斯托克斯方程式解的存在性及光滑性 令 mathbf fxtequiv 0，對於任何滿足上述假設的初始條件 mathbf v_0 x，納維 斯托克斯方程式存在一光滑及全域性定義的解，就是存在一速度向量 mathbf vxt 及壓強 p xt 滿足上述的條件 3 及條件 4。 Dmathbb T3 下納維 斯托克斯方程式解存在性的反證 存在一初始條件 mathbf v_0 x 及外力 mathbf fxt 使得納維 斯托克斯方程式不存在一解滿足上述條件 3 及條件 4。 部分結果 二維空間下的納維 斯托克斯問題已在 1960 年代得證：存在光滑及全域性定義解的解。 在初速 mathbf vxt 相當小時此問題也已得證：存在光滑及全域性定義解的解。 若給定一初速 mathbf v_0 x，且存在一有限、依 mathbf v_0 x 而變動的時間 T，使得在 mathbb R3times 0T 的範圍內，納維 斯托克斯方程有平滑的解，還無法確定在時間超過 T 後，是否仍存在平滑的解。 數學家讓勒雷在 1934 年時證明瞭所謂納維 斯托克斯問題弱解的存在，此解在平均值上滿足納維 斯托克斯問題，但無法在每一點上滿足。 腳註 參考資料 外部連結 The Clay Mathematics Institutes NavierStokes equation prize Why global regularity for NavierStokes is hard Possible routes to resolution are scrutinized by Terence Tao Fuzzy Fluid Mechanics NavierStokes existence and smoothness Millennium Prize Problem A lecture on the problem by Luis Caffarelli Category 偏微分方程 Category 流體動力學 Category 數學中未解決的問題 Category 千禧年大獎難題