數學上，克利福德代數（Clifford algebra）是由具有二次型的向量空間生成的單位結合代數。作為域上的代數，其推廣實數系、複數系、四元數系等超複數系，以及外代數。此代數結構得名自英國數學家威廉金頓克利福德。 研究克里福代數的理論有時也稱為克里福代數，其與二次型論和正交群理論緊密聯絡。其在幾何、理論物理、數碼影像處理中有很多應用。其主要貢獻者有：威廉哈密頓（四元數），赫爾曼格拉斯曼（外代數），威廉金頓克利福德，等。 最常見的克里福代數是正交克里福代數，又稱（偽）黎曼克里福代數。另一類是扭對稱克里福代數。 定義及基本性質 設有域 K 上的向量空間 V，且其上有二次型 Q V to K。克里福代數 mathrm ClV Q 是由 V 生成的「」的單位結合代數，但須滿足 v2 Q v 1quad forall vin V 其中左邊的平方是該代數中的乘法，而右邊的 1 為其乘法單位元。所謂「最自由」，可以用泛性質嚴格定義，詳見下節。 若 V 為有限維實向量空間，且 Q 非退化，則 mathrm ClV Q 可記為 mathrm Cl_pqmathbb R，表示 V 有一組正交基，其中 p 個基元 e_i 滿足 e_i2 1，另有 q 個基元滿足 e_i2 1，而 mathbb R 指明該克里福代數定義在實域上，即該代數的元素系數皆為實數。此組正交基可藉找出。 由 V 生成的自由代數是張量代數 bigoplus_n ge 0 underbrace V otimes V otimes cdots otimes V_n。換言之，其為 V 自身的 n 重張量積，對所有 n 的直和。故相應的克里福代數會是該張量代數對元素 v otimes v Q v 1（v 取遍 V 的元素）生成的雙邊理想的商。張量積導出在商代數的乘積以串接表示（例如 uv）。其結合律由張量積的結合律推出。 克里福代數有指明的子空間 V，即嵌入的像。若只得與克里福代數同構的 K 代數，則一般無法唯一確定該子空間。 若底域 K 的特徵不為 2，則可將基本恆等式 v2 Q v 1 forall vin V 重寫成 uv vu 2langle u vrangle 1quad forall uv in V 其中 langle u v rangle frac 12 left Q u v Q u Q v right 定義的對稱雙線性形式與二次型 Q 之間有極化恆等式。 特徵為 2 的二次型與克里福代數為特例。具體而言，若 mathrm charK2，則對於二次型 Q，式 Q v langle v v rangle 未必唯一確定某個對稱雙線性型 langle bullet bullet rangle，Q 也未必有正交基。本條目不少命題的條件皆要求特徵不為 2，而若允許特徵為 2，則命題不再成立。 作為外代數的量子化 克里福代數與外代數密切相關。外代數是克里福代數的特例：若在克里福代數的定義中，取 Q 0，則克里福代數 mathrm ClV Q 就是外代數 wedge V。即使 Q 非零，只要基域 K 的特徵非 2，wedge V 和 mathrm ClV Q 之間仍有典範的線性同構。換言之，兩者作為向量空間自然地同構，但其上的乘法有分別。特徵為 2 時，兩者仍線性同構，然而該同構並非自然。克里福代數的乘法和指定的子空間是比外代數更豐富的結構，因為用到 Q 提供的額外資訊。 克里福代數為，而為外代數。 具體而言，克里福代數可視為外代數的「量子化」（見量子群），正如為的量子化。 外爾代數和克里福代數還具有的結構，並能整合成某個的偶次和奇次項，見。 泛性質與構造 設 V 為域 K 上的向量空間，Q V to K 為 V 上的二次型。多數情況下，域 K 是實域 mathbb R 或複域 mathbb C，或有限域 mathbb F_q。 克里福代數 mathrm ClV Q 定義為有序對 A_0 i，，或刪節版 其中 A_0 為 K 上的單位結合代數，而線性對映 i V to mathrm ClV Q 滿足對任意 v in V，皆有 i v2 Q v 1，且 A_0 i 滿足下列泛性質：給定 K 上任何單位結合代數 A 和線性對映 j V to A 令 j v2 Q v 1_A quad forall v in V （其中 1_A 表示 A 的乘法單位元），必有唯一的代數同態 f mathrm ClV Q to A 使得以下圖表可交換（即 f circ i j： 二次型 Q 可換成滿足 langle v v rangle Q v 的（無需對稱的）雙線性形式 langle bullet bullet rangle，此時 j 需滿足的條件等價於 j v j v langle v v rangle 1_A quad forall v in V 當基域的特徵非 2 時，以上條件也等價於： j v j w j w j v langle v w rangle langle w v rangle 1_A quad forall vw in V 其中雙線性型不妨限定為對稱雙線性型。 以上描述的克里福代數必定存在，能藉以下一般方法構造：先選取由 V 生成的最自由的代數，即張量代數 T V，然後藉取商，保證基本恆等式成立。對於克里福代數，所需 T V 的雙邊理想 I_Q 是由所有形如 votimes v Q v 1 的元素生成，其中 v 取遍 V 的元素，隨後便可定義 mathrm ClV Q 為商代數 T V I_Q。 商承繼的環乘積有時稱為克里福積，以免與外代數的外積 wedge 或純量積 cdot 混淆。 有上述 mathrm ClV Q 的構造後，可以直接驗證 mathrm ClV Q 包含 V，且滿足所需的泛性質。而由泛性質，可知 mathrm Cl 在唯一同構的意義下唯一，故在此意義下，可當克里福代數必定由上述構造給出。從構造可知，i 是單射，故通常隱藏 i 而視 V 為 mathrm ClV Q 的線性子空間。 因為克里福代數可由泛性質定義，所以 mathrm ClV Q 的構造具函子性，即 mathrm Cl 為函子，其定義域為具有二次型的 K 向量空間組成的範疇（其態射為保二次型的線性對映），陪域為結合 K 代數範疇。泛性質保證，向量空間之間保二次型的線性對映，唯一擴充套件成相應的克里福代數的代數同態。 基與維數 由於 V 已配備二次型 Q，在特徵非 2 時，V 有一組正交基，即其元素 e_i 滿足 langle e_i e_j rangle 0 quad ineq j，及 langle e_i e_i rangle Q e_i。 基本克里福恆等式推出，對於正交基，有 e_i e_j e_j e_i quad i neq j，及 e_i2 Q e_i。 此關係使正交基元間的運算很容易。給定 V 中兩兩互異的正交基元的乘積 e_i_1 e_i_2cdots e_i_k ，可以將各因子按順序排好，而僅需依照置換的奇偶性在前面加上正負號。 若 V 在 K 上的維數為 n，且 e_1 e_2 ldots e_n 為 V Q 的正交基，則 mathrm ClV Q 為 K 上的向量空間，其一組基為 e_i_1 e_i_2cdots e_i_k mid 1le i_1 i_2 cdots i_k le n 0le kle n 在上式中，空乘積（k 0）定義為乘法單位元。由於每個 e_i 可以出現或不出現在乘積中，mathrm ClV Q 的維數（即基的大小）為 dim operatorname ClV Q 2n 例子：實域上與複域上的克里福代數 克里福代數的重要例子源自實或複向量空間及其上非退化的二次型給出。 本節的例子 mathrm Cl_p qmathbb R 和 mathrm Cl_n mathbb C 皆同構於某個 A 或 A oplus A，其中 A 為 mathbb R、mathbb C 或 mathbb H 上的全個矩陣環。此類代數的完整分類，見。 實域上 克里福代數有時稱為，尤其定義在實域上時。 有限維實向量空間上的非退化二次型必等價於某個標準對角型： Q v v_12 dots v_p2 v_p12 dots v_pq2 其中 n pq 為向量空間的維數。非負整數對 p q 稱為二次型的。配備此二次型的實向量空間一般記為 mathbb Rp q，而 mathbb Rp q 生成的克里福代數則記為 mathrm Cl_p qmathbb R。mathrm Cl_n mathbb R 可能表示 mathrm Cl_n 0mathbb R 或 mathrm Cl_0 nmathbb R，視乎作者偏好二次型正定抑或負定。 mathbb Rp q 的標準基 e_1 e_2 ldots e_n 由 n pq 支兩兩正交的向量組成，其中 p 支的平方為 1，其餘 q 支的平方則為 1。於是，代數 mathrm Cl_p qmathbb R 中，也有該 p 支向量的平方為 1，該 q 支向量的平方為 1。 低維的例子有： mathrm Cl_0 0mathbb R 與 mathbb R 自然同構，因為並無非零向量。 mathrm Cl_0 1mathbb R 為由 e_1（其平方為 1）生成的二維代數，從而與複數域 mathbb C 代數同構。 mathrm Cl_0 2mathbb R 為由 1 e_1 e_2 e_1e_2 張成的四維代數。後三個基元的平方皆為 1，且兩兩相反交換，故代數與四元數系 mathbb H 同構。 mathrm Cl_0 3mathbb R 為八維代數，與 mathbb H oplus mathbb H同構。 複域上 也可以研究複域上的克里福代數。n 維複向量空間上，每個非退化二次型都等價於標準對角型 Q z z_12 z_22 dots z_n2 由此，對每個維數 n，在同構意義下，恰有一個克里福代數定義在配備非退化二次型的 n 維複向量空間上，記為 mathrm Cl_n mathbb C。 最小的幾個例子為： mathrm Cl_0 mathbb C cong mathbb C，複數系， mathrm Cl_1 mathbb C cong mathbb C oplus mathbb C，雙複數系， mathrm Cl_2 mathbb C cong M_2 mathbb C，複四元數系，其中 M_n mathbb C 表示複域上的 n times n 矩陣組成的代數。 例子：構造四元數與二元四元數 四元數 本節將會構造哈密頓的四元數系，作為克里福代數 mathrm Cl_0 3mathbb R 的偶子代數。 設 V 為實三維向量空間 mathbb R3，二次型 Q 為歐氏度量的相反數，則對於 v w in mathbb R3，相應的純量積（雙線性型）由 v cdot w v_1 w_1 v_2 w_2 v_3 w_3 給出。 現引入向量 v w 的克里福積 vw，使其滿足 v w w v 2 v cdot w （此處有負號，以使該代數與四元數的聯絡更清晰。） 設 e_1 e_2 e_3 為 mathbb R3 的一組正交單位基，則由上式可知，其兩兩的克里福積滿足 e_2 e_3 e_3 e_2 e_3 e_1 e_1 e_3 e_1 e_2 e_2 e_1 且 e_1 2 e_22 e_32 1 克里福代數 mathrm Cl_0 3mathbb R 的任意元素可以表示成 A a_0 a_1 e_1 a_2 e_2 a_3 e_3 a_4 e_2 e_3 a_5 e_3 e_1 a_6 e_1 e_2 a_7 e_1 e_2 e_3 若只考慮偶次項，則得到偶子代數 mathrm Cl_0 30mathbb R，其任意元素可表示成 q q_0 q_1 e_2 e_3 q_2 e_3 e_1 q_3 e_1 e_2 若定義四元數的基元 i j k 為 i e_2 e_3 j e_3 e_1 k e_1 e_2 則可知 mathrm Cl_0 30mathbb R 與哈密頓的實四元數代數同構，理由是： i2 e_2 e_32 e_2 e_3 e_2 e_3 e_2 e_2 e_3 e_3 1 ij e_2 e_3 e_3 e_1 e_2 e_1 e_1 e_2 k 且 ijk e_2 e_3 e_3 e_1 e_1 e_2 1 與四元數的運演算法則一致。 二元四元數 本節構造，作為配備退化二次型的實四維向量空間的偶克里福代數。 設向量空間 V 為實四維空間 mathbb R4，並設二次型 Q 為源自 mathbb R3 上歐氏度量的退化型，即相應的雙線性型 d 滿足：對任意 v w in mathbb R4， d v w v_1 w_1 v_2 w_2 v_3 w_3 換言之，此退化純量積只考慮將 mathbb R4 投影到 mathbb R3 後的像。 向量 v w 的克里福積 vw 由下式定義： v w w v 2 d v w 同上節，負號是為了明確該代數與四元數系的對應關係。 記 mathbb R4 的標準基元為 e_1 e_2 e_3 e_4，則其克里福積滿足關係 e_m e_n e_n e_m m ne n 及 e_1 2 e_22 e_32 1 e_42 0 克里福代數 mathrm Clmathbb R4 d 也記為 mathrm Cl_0 3 1mathbb R（下標分別表示平方為 1 1 0 的基元個數），其一般元素有 16 項，而僅取偶次項時，得到偶子代數 mathrm Cl0mathbb R4 d，其一般元素形如 H h_0 h_1 e_2 e_3 h_2 e_3 e_1 h_3 e_1 e_2 h_4 e_4 e_1 h_5 e_4 e_2 h_6 e_4 e_3 h_7 e_1 e_2 e_3 e_4 於是，可分別定義四元數基元 i j k 和二元數基元 varepsilon 為 i e_2 e_3 j e_3 e_1 k e_1 e_2 varepsilon e_1 e_2 e_3 e_4 從而給出 mathrm Clmathbb R4 d 與代數的同構。 要驗證二元四元數的乘法法則，可以計算 varepsilon 2 e_1 e_2 e_3 e_42 e_1 e_2 e_3 e_4 e_1 e_2 e_3 e_4 e_1 e_2 e_3 e_4 e_4 e_1 e_2 e_3 0 和 varepsilon i e_1 e_2 e_3 e_4 e_2 e_3 e_1 e_2 e_3 e_4 e_2 e_3 e_2 e_3 e_1 e_2 e_3 e_4 ivarepsilon 後者的計算中，e_1 和 e_4 的換位將符號改變了偶數次（即無改變）。同樣的方法能證明，二元數基元 varepsilon 可與全部四元數基元 i j k 交換。 低維例子 設 K 為特徵非 2 的域。 一維 對於 dim V 1 的情況，若 Q 有對角化 mathrm diaga，即存在非零向量 v in V 令 Q v a，則 mathrm ClV Q 代數同構於 K xx2 a，即由滿足 x2 a 的單一個元素 x 生成的 K 代數。 更具體而言，有三種情況： 若 a 0（即 Q 為零二次型），則 mathrm ClV Q 代數同構於 K 上的二元數代數。 若 a 非零，且為 K 中的平方數，則 mathrm ClV Q cong K oplus K。 其餘情況下，mathrm ClV Q 同構於 K 的二次域擴張 K sqrt a。 二維 對於 dim V 2 的情況，若 Q 有對角化 mathrm diaga b，其中 a b 皆非零（Q 非退化時必然存在），則 mathrm ClV Q 同構於由 x y 生成的 K 代數，其中 x y 滿足 x2 a y2 b xy yx。 於是 mathrm ClV Q 同構於（廣義）a b_K。在 a b 1 且 K mathbb R 時，該代數化歸為哈密頓的四元數代數，即 mathbb H 1 1_mathbb R。 作為特殊情況，若有某個 x in V 使得 Q x 1，則 mathrm ClV Qcong M_2 K 是二階方陣的代數。 性質 與外代數的關係 給定向量空間 V，可以構造外代數 wedge V，其定義不取決於 V 上任何二次型。事實上，若 K 的特徵非 2，則 wedge V 與 mathrm ClV Q 作為向量空間自然同構（而在特徵 2 時，仍有同構，但不一定自然）。該自然同構當且僅當 Q 0 時為代數同構。所以，可以將克里福代數 mathrm ClV Q 視為 V 的外代數額外配備取決於 Q 的乘法。（準確而言是外代數的「量子化」，見 作為外代數的量子化。）原有的外積仍有不取決於 Q 的定義。 描述以上同構的簡單方法是：先取 V 的正交基 e_1 e_2 ldots e_n，並擴充套件成 mathrm ClV Q 的基（如 基與維數所述）。定義對映 f mathrm ClV Q to wedge V 使 e_i_1 e_i_2 cdots e_i_k mapsto e_i_1wedge e_i_2wedge cdots wedge e_i_k 並線性擴充套件。注意此處用到 e_1 e_2 ldots e_n 正交。可以證明，對映 f 的定義無關正交基的選擇，故為自然同構。 若 K 的特徵為 0，則也可以藉反對稱化（antisymmetrizing）定義以上同構：定義一列對映 f_k underbrace V times cdots times V_k to mathrm ClV Q 使 f_k v_1 ldots v_k frac 1ksum_sigmain S_krm sgnsigma v_sigma 1cdots v_sigma k 其求和符號中，sigma 取遍 k 階對稱群 S_k 的元素。由於 f_k 反對稱，其匯出獨一個對映 f_k wedge k V to mathrm ClV Q。該些對映的為 wedge V 至 mathrm ClV Q 的線性對映。可以證明該對映為同構，且是自然同構。 也可以從更高等的觀點，在 mathrm ClV Q 上構造，以看待兩者的關係。注意張量代數 T V 有自然濾過 F0 subset F1 subset F2 subset cdots ，其中 Fk 含所有階不高於 k 的張量。將此濾過投射到克里福代數上，就得到 mathrm ClV Q 上的濾過。與此濾過 operatorname Gr_F operatorname ClVQ bigoplus_k FkFk1 與外代數 wedge V 自然同構。由於濾過代數的相伴分次代數總與原濾過代數作為濾過向量空間同構（藉選取 Fk 在 Fk1 中的補集），可知克里福代數與外代數在任何特徵（包括 2）下皆同構（儘管不一定自然）。 分次 本節假設特徵非 2。 克里福代數為 mathbb Z 2（又稱為），以下說明原因。在 V 上，線性對映 v mapsto v（關於原點對稱）保持二次型 Q，故由克里福代數的泛性質，該線性對映延拓成代數自同構 alpha operatorname ClV Q to operatorname ClV Q 由於 alpha 為對合（即其平方為恆同對映），可以將 mathrm ClV Q 分解成 alpha 的正和負特徵空間： operatorname ClV Q operatorname Cl0V Q oplus operatorname Cl1V Q 其中 operatorname CliV Q leftx in operatorname ClV Q mid alpha x 1i x right 由於 alpha 是自同構，有： operatorname CliV Qoperatorname CljV Q operatorname ClijV Q 其中方括號上標的運算模 2，故上式賦予 mathrm ClV Q 作為 mathbb Z 2 的結構。子空間 mathrm Cl0V Q 為 mathrm ClV Q 的，稱為偶子代數。而子空間 mathrm Cl1V Q 則稱為奇部（其不為子代數）。此 mathbb Z2 分次在克里福代數的分析和應用上很重要。自同構 alpha 稱為主對合（main involution）或次數對合（grade involution）。此 mathbb Z2 分次中的純元素，即偶部或奇部的元素，分別稱為偶元和奇元。 當特徵非 2 時，由於 mathrm ClV Q 與外代數 wedge V 有典範同構，mathrm ClV Q 作為向量空間，承繼 wedge V 的 mathbb N 分次和 mathbb Z 分次。然而，該分次僅為向量空間分次，而非代數分次。換言之，克里福乘積並不遵守該 mathbb N 分次或 mathbb Z 分次，僅遵守上段的 mathbb Z2 分次：例如，若 Q v neq 0，則 v in mathrm Cl1V Q，但 v2 in mathrm Cl0V Q，而不在 mathrm Cl2V Q 中。不過此等分次之間有自然的聯絡： mathbb Z2 cong mathbb N 2mathbb N cong mathbb Z 2mathbb Z。更甚者，克里福代數有 mathbb Z： operatorname Clleqslant iV Q cdot operatorname Clleqslant jV Q subset operatorname Clleqslant ijV Q 克里福數的次數通常指 mathbb N 分次的次數。 克里福代數的偶子代數 mathrm Cl0V Q 本身亦同構於某個克里福代數。若 V 為具有非零範數 Q a 的向量 a 與子空間 U 的正交直和，則 mathrm Cl0V Q 同構於 mathrm ClU Q a Q，其中 Q a Q 為二次型 Q 乘上 Q a，並限制到 U。作為例子，以上結論在實域上推出： operatorname Cl_pq0mathbb R cong begin cases operatorname Cl_pq1mathbb R q 0 operatorname Cl_qp1mathbb R p 0 end cases 在 Q 負定的情況下，上式給出包含關係 mathrm Cl_0 n1mathbb R subset mathrm Cl_0 nmathbb R，延伸序列 mathbb R subset mathbb C subset mathbb H subset mathbb H oplus mathbb H subset cdots 類似可證，在複域上，mathrm Cl_n mathbb C 的偶子代數同構於 mathrm Cl_n1mathbb C。 反自同構 除自同構 alpha 外，克里福代數的分析中，還有兩個重要的。記得張量代數 T V 有將全部乘法次序反轉的反自同構： v_1otimes v_2otimes cdots otimes v_k mapsto v_kotimes cdots otimes v_2otimes v_1 由於理想 I_Q 在該反轉下不變，該反轉也定義 mathrm ClV Qcong T V I_Q 上的反自同構，稱為轉置或反轉，記為 x mapsto xmathrm t。轉置為反自同構，即有 xymathrm t ymathrm t xmathrm t。上述定義中，並未用到 mathrm Z2 分次，故可複合自同構 alpha 與轉置，而得另一個反自同構。新的反自同構稱為克里福共軛，記為 x mapsto overline x。以符號表示： overline x alpha xmathrm t alpha xmathrm t 兩個反自同構中，轉置更本質。 此三種運算皆是對合。此外，其對 mathbb Z 分次純元的作用皆是乘上 pm 1，且符號僅取決於次數 bmod 4。換言之，若 x 是 k 次純元，則 alpha x pm x qquad xmathrm t pm x qquad overline x pm x 其中符號載於下表： k bmod 4 0 1 2 3 alpha x 1k xmathrm t 1k k12 overline x 1k k12 克里福純量積 當特徴非 2 時，V 上的二次型 Q 可以延拓成 mathrm ClV Q 上的二次型（同樣記為 Q）。該延拓可用以下不取決於基的方式定義： Q x leftlangle xmathrm t xrightrangle_0 其中 langle a rangle_0 表示 a 的純量部分（mathbb Z 分次的零次項）。可以證明，對於 V 的元素 v_i，有 Q v_1v_2 cdots v_k Q v_1 Q v_2 cdots Q v_k 但上式對 mathrm ClV Q 的其他元素不一定成立。 在 mathrm ClV Q 上，與 Q 相伴的對稱雙線性型由下式定義： langle x yrangle leftlangle xmathrm t yrightrangle_0 可以驗算，若限制在 V 上，則該雙線性型化為 V 上原有的雙線性型。在 mathrm ClV Q 上，該雙線性型非退化當且僅當其限制在 V 上非退化。 關於此純量積，左（右）乘 amathrm t 與右（左）乘 a 互為伴隨。換言之， langle ax yrangle leftlangle x amathrm t yrightrangle 且 langle xa yrangle leftlangle x y amathrm trightrangle 克里福代數的結構 本節假設域的特徵非 2，向量空間 V 為有限維，且二次型 Q 非退化。若矩陣代數的系數取自某個中心為 K 的有限維，則該矩陣代數稱為 K 上的。例如，實域上的中心單代數可能是實域上的矩陣代數，也可能是四元數代數上的矩陣代數。有下列結論： 若 V 的維數為偶數，則 mathrm ClV Q 是 K 上的中心單代數。 若 V 的維數為偶數，則偶子代數 mathrm Cl0V Q 或是 K 的二次擴張上的中心單代數，或是 K 上兩個同構的中心單代數的直和。 若 V 的維數為奇數，則 mathrm ClV Q 或是 K 的二次擴張上的中心單代數，或是 K 上兩個同構的中心單代數的直和。 若 V 的維數為奇數，則偶子代數 mathrm Cl0V Q 是 K 上的中心單代數。 克里福代數的結構可從以下結果推匯出：假設 U 有偶數維，且有非退化的雙線性型，其行列式為 d，又設 V 為另一個向量空間，亦配備二次型，則 U V 的克里福代數同構於 U 的克里福代數與 1dim U 2 dV 的克里福代數的張量積。（後者仍是向量空間 V，但其上的二次型要乘上因子 1dim U 2 d。）在實域上，上述結果推出： operatorname Cl_p2qmathbb R mathrm M_2 mathbb Rotimes operatorname Cl_qpmathbb R operatorname Cl_p1q1mathbb R mathrm M_2 mathbb Rotimes operatorname Cl_pqmathbb R operatorname Cl_pq2mathbb R mathbb Hotimes operatorname Cl_qpmathbb R 該些公式可用作找出所有實克里福代數和複克里福代數的結構，詳見。 值得注意，克里福代數的森田等價類（即其整個表示論：該代數上的的加性等價類）只取決於其符號 p q mathrm mod 8。此為一種代數形式的博特週期性。 利普希茨群 利普希茨群（又稱為克里福群或克里福－利普希茨群）由魯道夫利普希茨發現。 本節中，設 V 為有限維向量空間，而二次型 Q 非退化。 克里福代數的可逆元群以「扭轉共軛」的方式作用在克里福代數上：所謂 x 扭轉共軛作用在 y 上，結果便是 alpha x y x1，其中 alpha 是上文定義的主對合。 利普希茨群 Gamma 定義為所有滿足 alpha x v x1in V quad forall v in V 的可逆元 x 的集合。換言之，要求 x 的扭轉共軛穩定化所有向量組成的集合。 331 上式說明，該群作用可以限制成向量空間 V 上的群作用，且其保持二次型 Q，故給出利普希茨群到正交群的同態。利普希茨群包含所有令 Q r 在 K 中可逆的元素 r in V，而此等元素作用在 V 上的效果為反射 v mapsto v frac langle r v rangle langle v rrangleQ r r （特徵為 2 時，此種對映稱為錯切而非反射。） 若 V 為有限維實向量空間，並配備，則利普希茨群滿射到 V 關於該二次型的正交群（根據嘉當－迪厄多內定理），且核恰好包含 K 的所有非零元，故有下列短正合列 1 rightarrow Ktimes rightarrow Gamma rightarrow mbox O_V K rightarrow 1 1 rightarrow Ktimes rightarrow Gamma0 rightarrow mbox SO_V K rightarrow 1 其中 Gamma0 是 Gamma 的偶子群。 其他域上，或當二次型退化時，該對映未必滿，而旋量範數描述其不滿程度。 旋量範數 對任意特徵，利普希茨群上的旋量範數 Q 由下式定義： Q x xmathrm t x 其為由利普希茨群射去非零元素的乘法群 Ktimes 的同態。當 V 視為克里福代數的子空間時，Q 在 V 上等於與 V 原有的二次型。若干作者採用不同的定義，以致在 Gamma1 上，其定義與上述定義相差 1、2、2 倍。只要特徵不為 2，此差異並不重要。 K 中的非零元素的旋量範數是在非零平方子群 Ktimes2 中，所以，若 V 有限維且其上的二次型非退化，則有同態從 V 的正交群映去 Ktimes Ktimes2，亦稱為旋量範數。對任意向量 r，關於 rperp（perp 是關於二次型而言）反射的旋量範數在 Ktimes Ktimes2 中的像為 Q r。此性質唯一確定正交群上的旋量範數。故有正合列： begin align 1 to pm 1 to mbox Pin_V K to mbox O_V K to Ktimesleft Ktimesright2 1 to pm 1 to mbox Spin_V K to mbox SO_V K to Ktimesleft Ktimesright2 end align 注意在特徵為 2 時，群 pm 1 只有一個元素。 若從代數群的伽羅瓦上同調考慮，旋量範數是上同調的連線同態。其含義是，以 mu_2 表示（若域的特徵不為 2，則該群大致就是二元群，且其伽羅瓦作用平凡），則短正合列 1 to mu_2 rightarrow mbox Pin_V rightarrow mbox O_V rightarrow 1 給出上同調層面的長正合列，其起始一段為 1 to H0 mu_2 K to H0 mbox Pin_V K to H0 mbox O_V K to H1 mu_2 K to cdots 代數群的 K 系數零階伽羅瓦上同調即其 K 值點旳群：H0 G K G K，而 H1 mu_2 K cong Ktimes Ktimes2，故也能從長正合列推導出上段的正合列 1 to pm 1 to mbox Pin_V K to mbox O_V K to Ktimesleft Ktimesright2 其中旋量範數為連線同態 H0 mbox O_V K to H1 mu_2 K。 旋量群與 Pin 群 本節假設 V 有限維，且其雙線性型非退化。 Pin 群 mathrm Pin_V K 為利普希茨群 Gamma 中，旋量範數為 1 的元素組成的子群。類似地，旋量群 mathrm Spin_V K 為 mathrm Pin_V K 中，迪克森不變數為 0 的元素組成的子群。當特徵非 2 時，該些元素即行列式為 1 的元素。旋量群在 Pin 群的通常為 2。 前一節說明，利普希茨群有到正交群的滿同態。定義特殊正交群為 Gamma0 的像。若 K 的特徵非 2，則特殊正交群就是正交群中，行列式為 1 的元素的子群。若 K 的特徵為 2，則正交群所有元素的行列式皆為 1，而特殊正交群為迪克森不變數為 0 的元素的子群。 也有從 Pin 群到正交群的同態。其像由旋量範數為 1 in Ktimes Ktimes2 的元素組成，而核則由 1 和 1 組成（故其階為 2，除非特徵為 2）。類似有由 V 的旋量群到其特殊正交群的同態。 當 V 為實正定或負定空間時，旋量群有滿同態射到特殊正交群上，且在 V 至少 3 維時，旋量群單連通。更甚者，此滿同態的核為 pm 1。故此時，旋量群 mathrm Spinn 為 mathrm SOn 的二重覆疊。然而，旋量群在一般情況下未必單連通：若 V 為 mathbb Rp q，其中 p q 皆至少為 2，則旋量群並不單連通。此情況下，代數群 mathrm Spin_p q 作為代數群仍然單連通，但其實值點群 mathrm Spin_p qmathbb R 則不再單連通。 旋量 在 pq 2n 為偶時，克里福代數 mathrm Cl_p qmathbb C 可表示成 2n 維的（複）矩陣代數。限制到群 mathrm Pin_p qmathbb R，則得到同一維數的 Pin 群的複表示，稱為。若再限制到旋量群 mathrm Spin_p qmathbb R 上，則該表示分解成兩個半旋量表示（half spin representations，又稱外爾表示，Weyl representations）的直和，每個半旋量表示有 2n1 維。 若 pq 2n1 為奇，則克里數代數 mathrm Cl_p qmathbb C 為兩個矩陣代數的直和，每個有 2n 維，且皆為 Pin 群 mathrm Pin_p qmathbb R 的表示。限制到旋量群 mathrm Spin_pq mathbb R 時，兩個矩陣代數變得同構，故旋量群有 2n 維的複旋量表示。 更一般而言，任何域上的旋量群和 Pin 群都有相似的表示，其結構取決於：每當克里福代數有因子為某個除代數上的矩陣代數，其 Pin 群和旋量群就有該除代數上的對應表示。在實域的例子，參見旋量條目。 實旋量 為描述實旋量表示，需先明白旋量群如何位處克里福代數中。Pin 群 mathrm Pin_p q 為 mathrm Cl_p q 中，可寫成單位向量之積的可逆元素的集合： mathrm Pin_pq leftv_1v_2 cdots v_r mid forall i v_i pm 1right 若考慮克里福代數的矩陣表示，則 pin 群的元素為任意多個反射（見上文）之積，是整個正交群 mathrm O p q 的覆疊。而旋量群的元素則是 mathrm Pin_p q 中，偶數支單位向量之積。所以，根據嘉當－迪厄多內定理，旋量群是旋轉群 mathrm SOp q 的覆疊。 設 alpha mathrm Cl to mathrm Cl 為自同構，其將純向量 v 映至 v，則 mathrm Spin_p q 為 mathrm Pin_p q 中，alpha 的不動點組成的子群。又設 operatorname Cl_pq0 xin operatorname Cl_pq mid alpha x x （其元素正是 mathrm Cl_p q 的偶次元素。）則旋量群包含於 mathrm Cl_pq0。 mathrm Cl_p q 的不可約表示可以成 pin 群的表示。反之，由於 pin 群由單位向量生成，其所有不可約表示皆可如此，故兩者有一樣的不可約表示。同理，旋量群與 mathrm Cl_pq0 有同樣的不可約表示。 要將 pin 群的表示分類，需要用到。至於旋量群的表示（與偶子代數的表示一樣），可以使用下列同構（見上文）： operatorname Cl0_pq cong operatorname Cl_pq1quad q 0 operatorname Cl0_pq cong operatorname Cl_qp1quad p 0 從而得知，符號 p q 的旋量群表示就是符號 p q1 或 q p1 的 pin 群表示。 應用 微分幾何 外代數在微分幾何可用作定義光滑流形上的微分形式叢。在（偽）黎曼流形的情況，每個切空間上配備自然的二次型（由度規張量匯出）。所以，如同，可以定義。在黎曼幾何，克里福叢有若干重要應用，例如其與、相伴的旋量叢、mathrm Spinmathbb C 流形的關聯。 物理 克里福代數在物理有若干重要應用。物理學家通常認定克里福代數具有一組基，其由狄拉克矩陣 gamma_0 ldots gamma_3 生成。此種矩陣滿足關係式 gamma_igamma_j gamma_jgamma_i 2eta_ij 其中 eta 為記號 1 3（或 3 1，度量記號的兩種等價選取）的二次型的矩陣。上列關係式恰好是定義實克里福代數 mathrm Cl_13mathbb R 的關係式，而該代數的複化 mathrm Cl_13mathbb R_mathbb C 根據，同構於 4 times 4 複矩陣的代數 mathrm Cl_4 mathbb C cong mathrm M_4 mathbb C。然而，在此用法下，仍需保留 mathrm Cl_13mathbb R_mathbb C 的寫法，因為將雙線性型變成標準型的變換不屬時空的洛倫茲變換。 所以，物理使用的時空克里福代數比 mathrm Cl_4 mathbb C 有更多結構。例如，有額外指明一族允許的變換，即洛倫茲變換。視乎用途，例如希望框架能容納多少理論，不一定一開始便要複化，但在量子力學，為使李代數 mathfrak so1 3 的能包含於克里福代數中，通常都須考慮複克里福代數。以下列出定義該旋量李代數的關係式以供參考： begin align sigmamunu frac i4left gammamu gammanuright left sigmamunu sigmarhotauright ileft etataumusigmarhonu etanutausigmamurho etarhomusigmataunu etanurhosigmamutauright end align 上式按照 3 1 記號的約定，因此能放入 mathrm Cl_31mathbb R_mathbb C。 狄拉克矩陣最早由保羅狄拉克寫出，其時他正嘗試寫出電子的相對論性一階波動方程，並試圖給出由克里福代數到複矩陣代數的明確同構。該些矩陣後來用作定義狄拉克方程式和引入狄拉克運算元。在量子場論中，整個克里福代數以的形式出現。 使用克里福代數來描述量子理論，推動者有、（方面）、戴維玻姆和及同事、Elio Conte 等。 電腦視覺 電腦視覺方面，克里福代數適用於辨認和分類動作。米基洛迪古斯（Mikel Rodriguez）及合作者提出用克里福嵌入，將傳統的最大平均關聯高度濾子（Maximum Average Correlation Height filter MACH filter）推廣，套用於影片（3D 時空體積）以及向量值資料，例如光流。向量值資料需以分析。基於該些向量，能在克里福傅立葉域中，合成出動作濾子，然後用克里福關聯來辨認動作。論文作者用克里福嵌入，分辨出傳統劇情長片和體育廣播的常見動作，以論證其方法有效。 推廣 本條目只考慮域上的向量空間的克里福代數，但同樣可定義任何單位結合交換環上的模的克里福代數。 亦在克里福代數的定義中，將二次型推廣成更高次的對映。 會議與期刊 克里福代數和幾何代數，以及相關的跨學科研究，是活躍的研究主題，且有廣泛的應用。此學科的學術會議包括克里福代數及其在數學物理的應用國際會議（ICCA） 及幾何代數在電腦科學及工程學的應用（AGACSE） 兩個系列。期刊包括斯普林格出版的《》。 註解 參考資料 Category 代數