在隨機分析中，伊藤引理（Itos lemma）是一條非常重要的性質。發現者為日本數學家伊藤清，他指出了對於一個隨機過程的函式作微分的規則。 伊藤引理較早版本 第一引理 對於布朗運動 W_t 和二次可導函式 f x，以下等式成立： df W_t fW_t dW_t frac 12 f W_t dt 其中過程： dtdt 0 dtdW_t dW_tdt 0 dW_tdW_t dt 其主要可透過對多項式環到形式冪級數的拓展，例如： deW_t2 2W_t eW_t2 dW_t eW_t2 2W_t2 eW_t2 dt 第二引理 對於伊藤過程 X_t 和二次可導函式 f tx，以下等式成立 df tX_t left frac partial fpartial t frac 12 frac partial2 fpartial x2right dt frac partial fpartial x dX_t 第三引理 定義伊藤過程 X_t 為滿足下列隨機微分方程的隨機過程 dX_t mu_t dt sigma_t dW_t 對於伊藤過程 X_t 和二次可導函式 f tx，以下等式成立： df tX_t left frac partial fpartial t mu_tfrac partial fpartial x frac 12sigma_t2frac partial2fpartial x2right dt sigma_tfrac partial fpartial x dW_t 類似地，定義多維伊藤過程 mathbf X_t X1_t X2_t ldots Xn_tT 使得 dmathbf X_t boldsymbol mu_t dt mathbf G_t dmathbf B_t 其中 boldsymbol mu_t 為 n 維向量，mathbf G_t 為 n 階方塊矩陣；有如下等式： begin align df tmathbf X_t frac partial fpartial t dt left nabla_mathbf X f right T dmathbf X_t frac 12 left dmathbf X_t right T left H_mathbf X f right dmathbf X_t leftfrac partial fpartial t left nabla_mathbf X f rightT boldsymbol mu_t frac 12operatorname Trleft mathbf G_tT left H_mathbf X f right mathbf G_t right right dt left nabla_mathbf X f rightT mathbf G_t dmathbf B_t end align 其中，nabla_mathbf X f 是關於的梯度， 是關於的黑塞矩陣，是跡的符號。 到半鞅的拓展 連續半鞅 df X_t sum_i1d f_iX_tdXi_t frac 12sum_ij1df_ijX_td XiXj_t 不連續半鞅 begin align f X_t f X_0sum_i1dint_0t f_iX_sdXi_s frac 12sum_ij1d int_0t f_ijX_sd XiXj_s sum_sle tleft Delta f X_ssum_i1df_iX_sDelta Xi_sfrac 12sum_ij1d f_ijX_sDelta Xi_s Delta Xj_sright end align 泊松過程 我們也可以定義非連續隨機過程的函式。 定義跳躍強度 h，根據跳躍的泊松過程模型，在區間 t t Delta t 上出現一次跳躍的機率是 h Delta t 加上 Delta t 的高階無窮小量。h 可以是常數、顯含時間的確定性函式，或者是隨機過程。在區間 0t 上沒有跳躍的機率稱為生存機率 p_s t，其變化是： d p_s t p_s t h t dt 因此生存機率為： p_s t exp left int_0t h u du right 定義非連續隨機過程 S t，並把 S t 記為從左側到達 t 時 S 的值，記 d_j S t 是一次跳躍導致 S t 的非無窮小變化。有： d_j S tlim_Delta t to 0S tDelta tS t eta S tz 是跳躍幅度 z 的機率分佈，跳躍幅度的期望值是： E d_j S th S t dt int_z z eta S tz dz 定義補償過程和鞅 d J_S t： d J_S td_j S tE d_j S tS tS th S t int_z z eta S tz dz dt 因此跳躍的非無窮小變化，也就是隨機過程的跳躍部分可以寫為： d_j S t E d_j S t d J_S t h S t int_z z eta S tz dz dt d J_S t 因此如果隨機過程 S 同時包含漂移、擴散、跳躍三部分，可以寫為： d S t mu dt sigma dW t d_j S t 考慮其函式 g S tt。S t 跳躍 Delta s 的幅度，會導致 g t 跳躍 Delta g 幅度。Delta g 取決於 g 的跳躍分佈 eta_g ，有可能依賴於跳躍前的函式值 g t，函式微分 dg 以及跳躍前的自變數值 S t。g 的跳躍部分是： begin align g tg t h t dt int_Delta g Delta g eta_g cdot dDelta g d J_g t end align 函式 g S tt 的伊藤引理是： begin align d g t left frac partial gpartial tmu frac partial gpartial Sfrac 12 sigma2 frac partial2 gpartial S2h tint_Delta g Delta g eta_g cdot d Delta g right dt frac partial gpartial S sigma d W t d J_g t end align 可以看到，漂移 擴散過程與跳躍過程之和的伊藤引理，恰恰是各自部分伊藤引理的和。 應用例子 布萊克 舒爾茲模型 伊藤引理可以用於推導布萊克 舒爾茲模型。假設一支股票的價格服從幾何布朗運動 dSmu Sdt sigma SdW，且其期權的價格是股票價格和時間的函式 Vf tS。根據伊藤引理，有 df left frac partial fpartial t mu Sfrac partial fpartial S frac 12sigma2S2frac partial2 fpartial S2rightdt sigma Sfrac partial fpartial SdW 整理可得 df left frac partial fpartial t frac 12sigma2S2frac partial2 fpartial S2rightdt frac partial fpartial SdS 式中 frac partial fpartial SdS 項表明期權價格的波動等於持有 frac partial fpartial S 單位股票時的波動。在這個對應下，現金的部分應該以無風險利率 r 增長，即 df rleft fSfrac partial fpartial Srightdt frac partial fpartial SdS 比較兩式 dt 項的係數，可得 frac partial fpartial t frac 12sigma2S2frac partial2 fpartial S2 rSfrac partial fpartial Srf 0 參看 費曼－卡茨公式 參考資料 Ito K 1944 Stochastic integral Proc Imp Acad Tokyo 20 519524 PROTTER P 1990 Stochastic Integration and Differential Equations SpringerVerlag Berlin Black F Scholes M 1973 The pricing of options and corporate liabilities J Polit Economy Category 方程 Category 機率論定理 Category 統計定理 Category 引理