黎曼羅赫定理是數學中的一個重要工具，在複分析和代數幾何中的應用尤為廣泛。利用該定理，可計算具有指定零點與極點的亞純函式空間的維數。它將具有純拓撲虧格 g 的連通緊黎曼曲面上的複分析以某種方式轉換為純代數背景。 此定理最初是黎曼不等式，對黎曼曲面的確定形式由黎曼早逝的學生古斯塔羅赫於 1850 年代證明。隨後推廣到代數曲面，高維代數簇，等等。 預備記號 我們從一個虧格 g 的連通緊黎曼曲面開始，在上面取定一點 P。我們想知道極點只在 P 的函式。這是向量空間的一個遞增序列：沒有極點的函式（即常值函式），在 P 有單極點，在 P 點最多有兩個極點，三個極點 這些空間都是有限維的。在 g0 我們可知維數的序列前幾項為 1 2 3 這可由部分分式理論得出。反之，如果此序列開始為 1 2 則 g 必然是零（所謂黎曼球面）。 由橢圓函數理論知，g1 時此序列是 1 1 2 3 4 5 且這也刻畫了 g1 情形。當 g 2 時，序列前端不是固定的；但我們可以確定此序列的後端。我們也可以看到為什麼 g2 的情形是特殊的，由超橢圓曲線理論，其序列開始幾項為 1 1 2 這些結論為何具有這種形式可以追溯到此定理的表述（羅赫的部分）：兩個維數之差。當其中一個可以為零，我們得到一個確定的公式，對虧格與度數（即自由度的個數）是線性的。這些例子已經可重構出如下形式 維數 修正項 度數 g 1。 對 g 1，修正項當度數為 0 時是 1；其它情形是 0。整個定理說明修正項是函式空間的一個 補空間 的維數。 定理的陳述 用現代記法，虧格為 g 的緊黎曼曲面與一個典範除子 K 的黎曼羅赫定理表述為： l D l K D deg D g 1 這對所有除子 D 均成立。除子是曲面上點的自由阿貝爾群中一個元素。等價地，一個除子是曲面上一些點的整係數線性組合。 我們定義一個亞純函式 f 的除子為 fsum_z_nu in R f s_nu z_nu 這裡 R f 是所有零點與極點的集合，而 sν 定義為 s_nu begin casesa a end cases ，如果 z_nu 是一個 a 重零點； s_nu begin casesa a end cases ，如果 z_nu 是一個 a 階極點。 我們類似地定義一個亞純 1 形式的除子。一個整體亞純函式的除子叫做主除子。相差一個主除子的兩個除子稱為線性等價。一個整體亞純 1 形式的除子叫做典範除子（通常記作 K）。任何兩個亞純 1 形式都是線性等價的，所以典範除子線上性等價的意義下是惟一的。 符號 deg D 表示除子 D 的度數，即在 D 中出現的係數之和。可以證明一個整體亞純函式的除子的度數總是 0，所以除子的度數只取決於線性等價類。 數 l D 是首先感興趣的量：使得 h D 的所有係數都是非負的曲面上亞純函式 h 組成的向量空間的維數（在 C 上）。直覺上，我們可以將其想象為在每一點處的極點不比 D 中對應係數更壞的所有亞純函式；如果在 z 處 D 的係數是負數，則我們要求 h 在 z 處至少有那個重數的零點；如果 D 的係數是正數，h 最多有那個階數的極點。線性等價的除子相應的向量空間透過乘以那個整體亞純函式（這在差一個常數下是良定義的）是自然同構的。 即便我們對 K 一無所知，我們知道特殊性指標（index of speciality）Stichtenoth p22Mukai pp295297（上文所說的修正項） l K D 0 所以 l D deg D g 1 這就是早先提到的黎曼不等式。 上面定理對所有緊連通黎曼曲面都成立。這個公式對一個代數閉域 k 上所有非奇異射影代數曲線也成立。這裡 l D 表示在每一點的極點不壞於 D 中對應係數的曲線上有理函式空間的維數（在 k 上）。 為了將其與我們上面的例子聯絡起來，我們需要 K 的一些資訊：對 g1 我們可取 K0，而對 g0 可取 K 2P （任何 P）。一般地 K 的度數是 2g 2。只要 D 的度數至少是 2g 1 我們可確保修正項是 0。 回到 g 2 的情形我們可知上面提到的序列是 1 1 2 3 由此知度數為 2 的不確定項是 1 或 2，當然與點的選擇有關。可以證明任何虧格為 2 的曲線恰有六個點的序列是 1 1 2 2 而其它一般點的序列是 1 1 1 2 。特別地，一個虧格 2 曲線是超橢圓曲線。對 g2 幾乎所有點的序列以 g1 個 1 開始，只有有限個點為其它序列（參見魏爾斯特拉斯點）。 推廣 曲線的黎曼羅赫定理對黎曼曲面由黎曼與羅赫於 1850 年代證明，對代數曲線由於 1929 年證明。它是基本的，曲線後續理論試圖加細它的結論（比如）。 在更高維（適當的定義除子或線叢）此定理有多個版本。它們的一般表述取決於將定理分成兩部分。其一，現在稱為塞爾對偶性，將 l K D 項解釋為第一層同調群的維數，l D 為零次上同調群（或截面的空間）的維數，定理左邊成為一個尤拉示性數，而右邊給出它的計算，正好只與黎曼曲面的拓撲有關的一個度數。 在二維代數幾何中這樣一個公式由義大利幾何學派找到；代數曲面的黎曼 羅赫定理證明了（有各種版本，最早可能屬於馬克斯諾特。這樣的問題大約在 1950 年前解決了。 n 維推廣，希策布魯赫黎曼羅赫定理，由弗里德里希希策布魯赫找到並證明，利用了代數拓撲學中的示性類；他深受小平邦彥的工作影響。大約在同一時間讓 皮埃爾塞爾給出了塞爾對偶性的一般形式，故我們冠以他的姓氏。 亞歷山大格羅滕迪克於 1957 年證明了一個深遠的推廣，現在叫做格羅滕迪克黎曼羅赫定理。他的工作將黎曼羅赫重新解釋為不僅是關於一個簇的定理，而是關於兩個簇之間的一個態射的。證明的細節由博雷爾塞爾於 1958 年發表。 最後在代數拓撲中也找到了一個一般版本。這些發展本質上在 1950 年至 1960 年完成。阿蒂亞辛格指標定理開啟了這一條推廣的道路。 它導致的結論是一個凝聚層相當好計算。如果只對交錯和中一項感興趣，這是通常的情形，必需更進一步的討論比如。 參考文獻 引用 來源 Borel Armand Serre JeanPierre 1958 Le théorème de RiemannRoch daprès Grothendieck BullSMF 86 1958 97136 Grothendieck Alexander et al 196667 Théorie des Intersections et Théorème de RiemannRoch SGA 6 LNM 225 SpringerVerlag 1971 available online at see pages 208219 for the proof in the complex situation Note that Jost uses slightly different notation contains the statement for curves over an algebraically closed field See section IV1 A good general modern reference Misha Kapovich The RiemannRoch Theorem lecture note an elementary introduction J Gray The RiemannRoch theorem and Geometry 18541914 Category 代數幾何定理 Category 除子幾何 Category 拓撲方法代數幾何 Category 複分析定理 Category 伯恩哈德黎曼