品質因子或 Q 因子是物理及工程中的無因次引數，是表示振子阻尼性質的物理量，也可表示振子的共振頻率相對於頻寬的大小， 高 Q 因子表示振子能量損失的速率較慢，振動可持續較長的時間，例如一個單擺在空氣中運動，其 Q 因子較高，而在油中運動的單擺 Q 因子較低。高 Q 因子的振子一般其阻尼也較小。 說明 Q 因子較高的振子在共振時，在共振頻率附近的振幅較大，但會產生的共振的頻率範圍比較小，此頻率範圍可以稱為頻寬。例如一臺無線電接收器內的調諧電路 Q 因子較高，要調整接收器對準一特定頻率會比較困難，但其較好，在過濾頻譜上鄰近電臺的訊號上也有較佳的效果。Q 因子較高的振子會產生共振的頻率範圍較小，也比較穩定。 系統的 Q 因子可能會隨著應用場合及需求的不同而有大幅的差異。強調阻尼特性的系統（例如防止門突然關閉的阻尼器）其 Q 因子為，而時鐘、雷射或是其他需要強烈共振或是要求頻率穩定性的系統其 Q 因子也較高。音叉的 Q 因子大約為 1000，原子鐘、加速器中的或是光學共振腔的 Q 因子可以到 1011 甚至更高。 Q 因子的概念是來自電子工程中，評量一調諧電路或其他振子的「品質」。 定義 Q 因子可定義為在一系統的共振頻率下，當訊號振幅不隨時間變化時，系統儲存能量和每個週期外界所提供能量的比例（此時系統儲存能量也不隨時間變化）： Q 2 pi times frac mbox Energy Storedmbox Energy dissipated per cycle 2 pi f_r times frac mbox Energy Storedmbox Power Loss 大部份的共振系統都可以用二階的微分方程表示，Q 因子中 2π 的係數，使 Q 因子可以表示成只和二階微分方程係數有關的較簡單型式。在電機系統中，能量會儲存在理想無損失的電感及電容中，損失的能量則是每個週期由電阻損失能量的總和。力學系統儲存的能量是該時間動能及位能的和，損失的能量則是因為摩擦力或阻力所消耗的能量。 針對高 Q 因子的系統，也可以用下式計算的 Q 因子，在數學上也是準確的： Q frac f_rDelta f frac omega_rDelta omega 其中 fr 為共振頻率，Δf 為頻寬，ωr 2πfr 是以角頻率表示的共振頻率，Δω 是以角頻率表示的頻寬 在像電感等儲能元件的規格中，會用到和頻率有關的 Q 因子，其定義如下： Q omega omega times frac mbox Maximum Energy Storedmbox Power Loss 其中 ω 是計算儲存能量和功率損失時的角頻率。若電路中只有一個儲能元件（電感或是電容），也可用上式來定義 Q 因子，此時 Q 因子會等於無功功率相對有功功率的比例。 Q 因子及阻尼 Q 因子可決定一個簡單阻尼諧振子的量化特性（有關數學的細節及不同系統的行為，請參考諧振子及線性時不變系統理論等條目）。 低 Q 因子的系統（Q ½）是過阻尼系統。過阻尼系統不會振盪，當偏離穩態輸出平衡點時，會以指數衰減的方式，漸近式的回到穩態輸出。其衝激響應是二個不同速度的指數衰減函式的和。當 Q 因子減少時，衰減較慢的響應函式其影響會變明顯，因此整個系統會變慢。一個 Q 因子很低的二階系統其步階響應類似一階系統。 高 Q 因子的系統（Q ½）是欠阻尼系統。欠阻尼系統在特定頻率的輸入下，其輸出會振盪，其振幅也會指數衰減。Q 因子略高於 ½ 的系統可能會振盪一或二次。若 Q 因子提高，阻尼的效果也會降低。高品質的鐘在敲擊後可以長時間發出單一音調的聲音，沒有阻尼的諧振系統其 Q 因子是無限大，類似一個敲擊後可永遠發出聲音的鐘。若二階低通濾波器有很高的 Q 因子，其步階響應一開始會快速上昇，在平衡點附近震盪，最後才收斂到穩態的值。 Q 因子為 ½ 的系統是臨界阻尼系統。臨界阻尼系統和過阻尼系統一様不會震盪，也不會有過沖的情形。臨界阻尼系統和欠阻尼系統一様，會對階躍有快速的響應，臨界阻尼可以使系統在不過沖的條件下有最快的反應，實際的系統若要求更快的反應，一般會允許一定程度的過沖，若系統不允許過沖，可能會使反應時間放慢，以提供一定的安全係數。 在負回授系統中，閉迴路系統的響應常常用二階系統來表示。設定開迴路系統的相位裕度可以決定閉迴路系統的 Q 因子，當相位裕度減少時，對應的二階閉迴路系統振盪會變大，也就是 Q 因子提高。 常見系統的 Q 因子 單位增益的濾波器為臨界阻尼系統，Q 因子為 12。 巴特沃斯濾波器（有最平坦通帶頻率響應的的連續時間濾波器）為欠阻尼系統，Q 因子為 1sqrt 2。 貝塞爾濾波器（有最平坦群延遲的連續時間濾波器）為欠阻尼系統，Q 因子為 1sqrt 3。 Q 因子的物理意涵 根據物理學，Q 因子等於 2pi 乘以系統儲存的總能量，除以單一週期損失的能量，也可以表示為系統儲存的總能量和單位弳度損失能量的比值。 Q 因子是無因次的引數，是比較系統振幅衰減的時間常數和振盪週期後的結果。當 Q 因子數值較大時，Q 因子可近似為系統從開始振盪起，一直到其能量剩下原來的 1e2pi（約 1535 或 02），中間歷經的振盪次數，Ch2。 共振的頻寬可以用下式表示 Delta f frac f_0Q 其中 f_0 為共振頻率，Delta f 為頻寬，也就是能量超過峰值能量一半以上的頻率範圍。 Q 因子、阻尼比 ζ 及衰減率 α 之間有以下的關係 zeta frac 12 Q alpha over omega_0 因此 Q 因子可表示為 Q frac 12 zeta omega_0 over 2 alpha 而指數衰減率可表示為 alpha zeta omega_0 omega_0 over 2 Q 二階低通濾波器的響應函式可以用下式來表示 H s frac omega_02s2 underbrace frac omega_0Q _2 zeta omega_0 2 alpha s omega_02 若此係統的 Q 05（欠阻尼系統），系統有二個共軛複數極點，其實部為 alpha。衰減引數 alpha 表示其衝激響應指數衰減的速率。Q 因子大表示其衰減率較慢，因此 Q 因子很大的系統可以持續振盪較長的時間。例如高 Q 因子的鐘，用鎚子敲擊後，其輸出近似純音，且可以維持很長的時間。 電子系統 對電子共振系統而言，Q 因子表示電阻的影響，若針對機電共振系統（例如石英晶體諧振器），也包括摩擦力的影響。 RLC 電路 理想串聯 RLC 電路的 Q 因子為： Q frac 1R sqrt frac LC frac omega_0 LR frac 1 omega_0 R C 其中 R、L 及 C 分別是電路的電阻、電感和電容，若電阻值越大，Q 因子越小。 並聯 RLC 電路的 Q 因子恰為對應串聯電路 Q 因子的倒數： Q R sqrt frac CL frac Romega_0 L omega_0 R C 若將電阻、電感和電容並聯形成一電路，並聯電阻值越小，其阻尼的效果越大，因此 Q 因子越小。 若是電感和電容並聯的電路，而主要損失是電感內，和電感串聯的電阻 R，其 Q 因子和串聯 RLC 電路相同，此時降低寄生電阻 R 可以提昇 Q 因子，也使頻寬縮小到需要的範圍內。 儲存元件 個別儲存元件的 Q 因子和對應訊號頻率有關，一般是電路的共振頻率。電感器的 Q 因子為： Qfrac X_LR_Lfrac omega LR_L 其中： omega 為頻率。 L 為電感。 X_L 為電感器的感抗。 R_L 為電感內的電阻。 電容器的 Q 因子為： Qfrac X_CR_Cfrac 1omega C R_C 其中 omega 為頻率。 C 為電容。 X_C 為電容器的容抗。 R_C 為電容內的電阻。 力學系統 對於一個有阻尼的質量－彈簧系統，可以用 Q 因子表示簡化的黏滯阻尼或阻力對系統的影響，其中的阻尼力（或阻力）和速度成正比。此係統的 Q 因子可以用下式表示： Q frac sqrt M kD 其中 M 是質量，k 是彈簧常數，而 D 是阻力係數，可用下式來定義： F_text dampingDv 其中 F_text damping 是阻力，v 是速度。 雷射系統 雷射系統中，光學共振腔的 Q 因子可以用下式表示 Q frac 2pi f_omathcal EP 其中 f_o 為共振頻率，mathcal E 為共振腔中儲存的能量，Pfrac dEdt 為耗散的能量。光學共振腔的 Q 因子等於共振頻率和共振腔頻寬的比值。共振光子的平均壽命和 Q 因子成正比，若雷射共振腔中的 Q 因子突然地調高，共振腔會輸出雷射脈衝，其強度遠高於平常共振腔連結輸出的強度，此技術稱為為 Q 切換。 相關條目 阻尼比 相位裕度 頻寬 參考資料 Category 線性濾波器 Category 電量引數 Category 力學 Category 光學