域擴張是數學分支抽象代數之域論中的主要研究物件，基本想法是從一個基域開始以某種方式構造包含它的 更大 的域。域擴張可以推廣為。 定義 設和是兩個域。如果存在從到的域同態，則稱 是的一個域擴張，記作或、。稱為域擴張的基域，稱為的擴域。如果某個域既是的擴域，又是的子域，則稱域擴張是域擴張的子擴張，稱（域擴張的）中間域。 域擴張的記法只是形式上的標記，不表示存在任何商環或商群等代數結構。有些文獻中也會將域擴張記為。 另外，因為是域同態，所以是單射。由於是域，所以 是一個的同構於的子域。很多時候也直接省略，直接將視為的一個子域。為了記敘方便，下文中將依情況使用這種省略方式即，在不需要強調的時候，可以預設基域是擴域的子域。。 設有域擴張，給定一個由中不屬於 的元素組成的集合，考慮中所有同時包含 和的子域，其中有一個 最小的 稱某個代數結構是 最小 的，是指它是所有滿足條件的代數結構的子集。如果承認佐恩引理，則這樣的 最小 者一定存在：它是所有滿足條件的代數結構的交集。下文同。，稱為 在中新增（集合）生成的擴域，記作 。它是所有同時包含 和的域的子域。如果集合只有一個元素，則稱域擴張 為單擴張，對應的擴域一般簡記作 。稱為這個域擴張的本原元。 每個域擴張中，擴域可以看作是以基域為係數域的向量空間。設有域擴張，將中元素看作向量，中元素看作係數，可以定義中的域加法運算作為向量的加法運算，同時可以定義中元素作為係數與中元素的數乘運算。可以驗證，在這樣定義下，是一個向量空間。它的維數稱為域擴張的次數或度數，一般記作 。次數為 1 的擴張，擴域和基域同構，稱為平凡擴張。次數有限的域擴張稱為有限擴張，否則稱為無限擴張。 例子 複數域 mathbb C 是實數域 mathbb R 的擴域，而 mathbb R 則是有理數域 mathbb Q 的擴域。這樣，顯然 mathbb C big mathbb R 也是一個域擴張。實數到複數的域擴張次數：mathbb C mathbb R 2。因為 mathbb C 可以看作是以 1 i 為基的實向量空間。故擴張 mathbb C big mathbb R 是有限擴張。mathbb C mathbb R i，所以這個擴張是單擴張。 集合 mathbb Q sqrt 2 a bsqrt 2 a b in mathbb Q 是在 mathbb Q 中新增 sqrt 2 生成的擴域，顯然也是一個單擴張。它的次數是 2，因為 1 sqrt 2 可作為一個基。mathbb Q 的有限擴張也稱為代數數域，在代數數論有重要地位。 有理數的另一個擴張域是關於一個素數的進數域 mathbb Q_p。它與 mathbb R 類似，是有理數域完備化得到的數域。但由於使用的拓撲不同，所以與 mathbb R 有著截然不同的性質。 對任何的素數和正整數，都存在一個元素個數為的有限域，記作。它是有限域（即 mathbb Z bigpmathbb Z）的擴域。 給定域和以中元素為係數的不可約多項式這裡的 多項式 指單變數多項式，下文同。，為上的多項式環 的元素。生成的理想是極大理想，因此 是域，而且是的擴域。其中不定元是多項式的根。 給定域，考慮所有以中元素為係數的有理函式，即可以表示為兩個以中元素為係數的多項式、之比：的函式。它們構成一個域，記作 ，是多項式環 的分式域。它是域的擴域，次數為無限大。 基本性質 設有域擴張，則擴域與有相同的加法和乘法單位元。加法群 是 的一個子群，乘法群 是 的一個子群。因此，與有相同的特徵。 設有域擴張及某個中間域，則域擴張和的次數乘積等於的次數： L K LF cdot FK 代數元與超越元 給定域擴張，如果中一個元素是某個以中元素為係數的（非零）多項式（以下簡稱為多項式）的根，則稱是上的一個代數元，否則稱其為超越元。如果中每個元素都是上的代數元，就稱域擴張為代數擴張，否則稱其為超越擴張。例如 sqrt 2 和 i 都是 mathbb Q 上的代數元，而與都是 mathbb Q 上的超越元。mathbb Q 上的代數元和超越元分別叫做代數數與超越數。 每個有限擴張都是代數擴張，反之則不然。超越擴張必然是無限擴張。給定域擴張，如果中元素要麼屬於，要麼是上的超越元，則稱是的純超越擴張。一個單擴張如果由新增代數元生成則是有限擴張，如果由新增超越元生成則是純超越擴張。 極小多項式 給定域擴張，如果中一個元素是上的代數元，那麼在所有使得 0 的首一多項式中，存在一個次數最小的，稱為在上的極小多項式，記為。設為次多項式，則中間域等於所有以為不定元的多項式的集合。更具體地說，等於所有以為不定元的、次數嚴格小於的多項式的集合：。這說明中任何元素都可以寫成 b lambda_1 lambda_2 a cdots lambda_n an1 的形式。其中 lambda_1 lambda_2 cdots lambda_n 是個中元素。由於是極小多項式，所以可推出：1 a cdots an1 是中間域作為向量空間的基。擴張的次數是 可分裂域與代數閉包 分裂域是將某個多項式的根全部新增到其係數域中生成的域擴張，將多項式轉化為域擴張進行研究。給定域擴張，稱一個多項式在中可分裂，如果可以寫成： f kappa X alpha_1X alpha_2cdots X alpha_k kappa in K alpha_1 alpha_2 cdots alpha_k in L 的形式，即的每個根都是中的元素。如果在中可分裂，但不在的任何一個包含的真子域中可分裂（也就是說是令在其中可分裂的 最小 的域擴張），就稱是在上的可分裂域。 給定域，如果所有多項式在都可分裂，則稱為代數閉域。給定代數擴張，如果是代數閉域，則稱其為的代數閉包，一般記作。給定，則它所有的代數閉包都是同構的即兩者間存在環同構，並且它限制在上的部分是平凡的（恆等對映）。。 域擴張的自同構群 除了將擴域看作基域上的向量空間外，另一個研究域擴張的角度是考察域擴張的自同構群。給定域擴張，上的一個自同構被稱為自同構，當且僅當限制在上的部分是平凡的（即為恆等對映）： forall x in K sigma x x 所有的自同構組成一個群，稱為域擴張的自同構群，記作 。這些自同構描繪了 以外 的元素可以怎樣相互變換而保持域的域結構不變。 正規、可分與伽羅瓦擴張 伽羅瓦擴張是伽羅瓦理論中的基礎概念。有限的伽羅瓦擴張滿足伽羅瓦理論基本定理，在此擴張的伽羅瓦群的子群與其中間域之間建立了一一對應的關係，從而給出了中間域的清晰描述。 一般定義伽羅瓦擴張是正規且可分的域擴張。一個域擴張稱為正規擴張，如果對任何一個以中元素為係數的不可約多項式，只要它有一個根在中，則它的所有根都在中，也就是說可以分解為上一次因式的乘積。正規擴張也叫做準伽羅瓦擴張，它與伽羅瓦擴張的差別是伽羅瓦擴張還是可分擴張。一個代數擴張稱為可分擴張，如果中每個元素在上的極小多項式是可分的，即（在 的一個代數閉包中）沒有重根。從以上正規擴張和可分擴張的定義中可以推出：一個域擴張是伽羅瓦擴張，當且僅當它是某個以中元素為係數的可分多項式的分裂域。 伽羅瓦擴張的自同構群稱為其伽羅瓦群，記作 。它的階數（群中元素個數）等於伽羅瓦擴張的次數：。伽羅瓦理論基本定理說明，當伽羅瓦擴張是有限擴張的時候，給定 的任一個子群，唯一存在一箇中間域與之對應，這個域恰好是中對所有的中的自同構固定的元素的集合： LH x forall sigma in H sigma x x 這種對應關係被稱作伽羅瓦對應。給定 的子群，被稱為的對應域。伽羅瓦對應建立了特定條件下域擴張與群論之間轉化的紐帶，透過研究特定群的結構，可以給出域擴張的仔細刻畫。 相關條目 域論 代數擴張 註釋 參考來源 Category 域論 Category 伽羅瓦理論