在數學的文獻中，線性標準轉換（，簡稱 LCT）也稱作線性正則變換、ABCD 轉換、廣義 Fresnel 變換等。在漢米爾頓力學中，線性標準轉換是積分變換的一個代表家族，並且能夠將許多經典的轉換進行廣義化，例如傅立葉變換、分數傅立葉變換、拉普拉斯變換、菲涅爾轉換 電磁波在空氣中傳播、、等等。此轉換提供了這些最常使用的線性轉換一個統一框架，並且在光學、訊號轉換以及系統響應領域中都提供一般化的概念。尤其從系統工程的角度看來，線性標準轉換提供一個強大的光學系統設計和分析的工具。 此轉換有四維變數的線性積分轉換和一個限制條件，因此實際上是一個三維自由度的積分變換的家族。 在群論中，線性標準轉換屬於特殊線性群 SR 2 在時頻域上的一個作用群。 定義 從積分變換的定義開始 Tfu int limits_t_1t_2 K t u f t mathrm d t 積分變換是將輸入的訊號 f t 經由核心 Kernel K t u 的作用後對應後的輸出結果即是另一個函式 TFu，此時 TFu 稱作是 f t 的積分變換。 線性標準轉換 LCT 以一般的線性積分變換關係表示如下 X_abcdu sqrt i cdot ei pi frac db u2 int_inftyinfty ei 2 pi frac 1b ut ei pi frac ab t2 x t mathrm d t 此時 b 0 X_a0cdu sqrt d cdot ei pi cdu2 x du 此時 b 0 並且需要滿足此條件 adbc1 此時的 X_abcdu 表示的是訊號 x t 經過線性標準變換過後的結果 而我們通常使用 O_Fabcd 作為線性標準轉換的操作函式，也就是 O_Fabcdx t X_abcdu 另外，線性標準轉換 LCT 也可用簡單的 2x2 的矩陣以及一個行列式限制條件來表示，如同矩陣 mathbf A begin bmatrix a b c d end bmatrix ，其條件為 det mathbf A ad bc 1 矩陣形式在時頻分析中所代表的意義是將時頻域上的平行四邊形面積扭曲成另一個平性四邊形面積，而不同的特殊情形的矩陣形式則分別代表不同的幾何轉換 特殊情形 線性標準轉換是許多經典轉換的廣義化。透過將矩陣形式帶入不同的變數所得到的特殊情形如下，以下舉出的轉換在時頻分析上均有訊號在時頻域運動的意義。例如： 縮放 縮放，x u mapsto sqrt sigma x sigma u，是一種在時間軸和頻率軸進行縮小或放大操作的轉換，其中時間軸和頻率軸的操作是相反的，若放大時間軸就會縮小頻率軸，反之亦然： begin bmatrix 1sigma 0 0 sigma end bmatrix 傅立葉轉換 傅立葉變換，傅立葉變換的定義 F u FT f t int_inftyinfty f t e j u tmathrm d x 對任意實數 u 可以將 LCT 整理成為以下形式 O0110_F leftf t right sqrt frac j2pi cdot int_inftyinfty ejutf tmathrm d tsqrt j cdot FT leftf t right 此時即是分數傅立葉變換中，當 phi pi 2 的特殊情形，代表將時頻域上的面積做 phi pi 2 度的旋轉。另外寫成矩陣的形式則為： begin bmatrix a b c d end bmatrix begin bmatrix 0 1 1 0 end bmatrix 分數傅立葉變換 分數傅立葉變換，代表將時頻域上的面積做 phi 度的旋轉，其積分變換形式為 Ocosphi sinphi sinphi cosphi_F leftf t right sqrt ejphi cdot Ophi_F leftf t right 若寫成矩陣的形式為： begin bmatrix a c b d end bmatrix begin bmatrix cosphi sinphi sinphi cosphi end bmatrix 傅立葉反變換 傅立葉反變換，傅立葉反變換的定義 f t IFT F u int_inftyinfty F u e j u tmathrm d x 對任意實數 u 可以將 LCT 整理成為以下形式 O0110_F leftf t right sqrt frac j2pi cdot int_inftyinfty ejutf tmathrm d tsqrt j cdot FT1 leftf t right 此時即是分數傅立葉變換中，當 phi pi 2 的特殊情形，也就是代表將時頻域上的面積做 phi pi 2 度的旋轉。另外寫成矩陣的形式則為： begin bmatrix a b c d end bmatrix begin bmatrix 0 1 1 0 end bmatrix 菲涅爾轉換 菲涅爾轉換，用來描述電磁波在空氣中傳播的情形，代表將時頻域上的面積做時間方向上的切變，若將其寫成矩陣的形式為： begin bmatrix a b c d end bmatrix begin bmatrix 1 lambda z 0 1 end bmatrix 其中 z 是距離，lambda 是波長。 拉普拉斯轉換 拉普拉斯轉換，代表將時頻域上的面積對其複數平面做 90 度的旋轉，其矩陣如下 begin bmatrix a b c d end bmatrix begin bmatrix 0 i i 0 end bmatrix 分數拉普拉斯轉換 分數拉普拉斯轉換，代表將時頻域上的面積對其複數平面做任意角度的旋轉，其矩陣如下 begin bmatrix a b c dend bmatrix begin bmatrix i cos phi i sin phi i sin phi i cos phiend bmatrix 其中拉普拉斯轉換是分數拉普拉斯轉換中 phi 90circ 的特例，而拉普拉斯反轉換則是 phi 90circ 的情形。 啾啾聲載波 啾啾聲載波 chirp multiplication，其定義是如下 X_a0cduejpi tau u2 x u 寫成矩陣的形式為： begin bmatrix a c b d end bmatrix begin bmatrix 1 0 tau 1 end bmatrix 特性 加法性 當我們將兩個引數矩陣不同的 LCT 組合起來，也就是對同一個訊號做兩次線性標準轉換。這樣的結果相當於將兩矩陣的乘積後的矩陣作為引數的線性標準轉換，並以此新的 LCT 對原始訊號作用後得到的結果。最常見是維格納分佈 wigner distribution function WDF 中的加法特性。 當使用 O_Fabcd 來表示 LCT 的作用時 O_Fabcdx t X_abcdu 若現在有兩種轉換 O_Fa_1b_1c_1d_1x t X_a_1b_1c_1d_1u 和 O_Fa_2b_2c_2d_2x t X_a_2b_2c_2d_2u 兩者依序對 x t 作用 則有第三種 LCT 其引數為前兩者的矩陣形式的乘積 O_Fa_3b_3c_3d_3x t X_a_3b_3c_3d_3u，將滿足 O_Fa_2b_2c_2d_2leftO_Fa_1b_1c_1d_1x trightO_Fa_3b_3c_3d_3x t 用矩陣來表示為： begin bmatrix a_3 b_3 c_3 d_3 end bmatrix begin bmatrix a_2 b_2 c_2 d_2 end bmatrix begin bmatrix a_1 b_1 c_1 d_1 end bmatrix 因此，若是 W uv 是 X u 做 WDF，而 X u 是 x t 做 LCT，可以表示成： W_X_abcduvW_xdubvcuav W_X_abcdaubvcudvW_xuv 此兩式互為相同含意，因此可知反向 LCT 的就是由四個引數代表矩陣的反矩陣。 結合律 當現在有三種引數不同的 LCT 依序對 x t 作用，則前兩者先作用第三種再作用的結果會與，後二者先作用再由第一種作用的結果相同。 其他性質列表 性質 時域訊號 正則變換 時間平移 f t tau ejfrac ac2tau2 ejcdot accdot ucdot F_abcduatau 調變 ej eta t f t ejfrac bd2eta2 ejcdot detacdot ucdot F_abcdubeta 縮放 sqrt sigma1 cdot f sigma1 t F_sigma afrac bsigmasigma cfrac dsigmau 時間反轉 f t F_abcdu 乘 tf t bcdot jfrac ddudcdot ucdot F_abcdu 微分 ft acdot frac dduccdot jucdot F_abcdu 除 frac f tt 積分 int_inftyt f tdt frac efrac j2 frac ca u2aint_inftyu efrac j2 frac ca z2 F_abcdzdz quad when a 0 積分 int_inftyt f tdt frac efrac j2 frac ca u2aint_uinfty efrac j2 frac ca z2 F_abcdzdz quad when a 0 共軛 overline O_Fabcdleftf t right O_Fabcdleftoverline f t right overline O_Fabcdleftf t right O_Fabcdleftoverline f t right 能量守恆 int_inftyinftyleftf tright2 dt int_inftyinftyleftF_abcduright2du int_inftyinftyleftf tright2 dt int_inftyinftyleftF_abcduright2du 一般化能量守恆 int_inftyinfty f toverline g t dt int_inftyinfty F_abcdoverline G_abcdudu int_inftyinfty f toverline g t dt int_inftyinfty F_abcdoverline G_abcdudu 反線性正則轉換 引數為 abcd 的線性標準轉換其反線性標準轉換引數為 dbca Odbca_F leftOabcd_F leftf t right right f t LCT 的訊號扭曲運用 利用 LCT 的特性，可以把原本的訊號轉變成另外的形式，此過程可以輕易的用 LCT 來將一個矩形的區域，變成另外一個平行四邊形區域，此概念是利用線性代數上的基底變換，來把原本的基底換成另外一種型式來呈現，因此要符合線性代數中基底變換的限制，其中心點為 00，若無法滿足此條件，則無法使用 LCT 的線性轉換公式，並且此轉換的行列式為 1，不會改變原來區域的面積大小，並且轉換前後皆為平行四邊形，因此可以把一些不好運算的平行四邊形，藉由 LCT 的方式，轉換到比較容易計算或是比較容易理解的基底，有利於運算的考量。 舉例來說： 在二維的平面上，若已知兩個平面個別為，一個中心點為原點的矩形，四個點分別為：12121212，和經過 LCT 的轉換可以變成中心點為原點的平行四邊形，其四個點為：11737311，可以藉由其中兩個點來解聯立方程式，算出 abcd，所代表的數值， begin cases a 1b 21 a 1b 27 c 1d 21 c 1d 23 end cases Rightarrowbegin bmatrix a c b d end bmatrixbegin bmatrix 3 1 2 1 end bmatrix 其總面積皆為：8 LCT 在各領域的應用 LCT 在許多的工程領域中都十分地實用，因為 LCT 能夠用來描述任何的二次相位系統，以及這些二次相位系統的串接組合，以下我們將舉出 LCT 在多個領域中的應用例項 時頻分析 對一訊號做線性正則轉換相當於對時間 頻率域的分佈做扭曲 一訊號 x t 及其線性正則變換 X_abcdu 的維格納分佈分別表示為 W_Xtf 和 W_X_abcduv ， 它們在時頻域的分佈有以下關係 W_X_abcduvW_Xdtbfctaf W_X_abcdaubvcudvW_Xtf 濾波器設計 利用線性正則轉換改變訊號在時頻域的分佈來設計濾波器。 x_o tO_FdbcaleftO_Fabcdleftx_i trightcdot H_abcdtright 其中 H_abcdt 表示轉換後的域的濾波器 電磁波傳播 電磁波在空氣中傳播的行為是透過菲涅爾轉換來描述，假設一光學系統滿足菲涅爾近似而電磁波由 x_i y_i 平面傳播到 x y 平面，則式子如下 U_0 xy frac jlambda frac ejkzz int_inftyinfty int_inftyinfty ej frac k2z xx_i2 yy_i2 U_i x_iy_i mathrm d x_i mathrm d y_i 其中 k 2 pi lambda 波數；lambda 波長；z 傳播距離；j 虛數 如果我們以 LCT 的矩陣形式來表示的話則是 begin bmatrix a b c d end bmatrix begin bmatrix 1 lambda z2pi 0 1 end bmatrix 在時頻域上將訊號作對時間軸的切變，其中 lambda 越大，則切變效果越劇烈。 光學系統 球面薄凸透鏡 假設透鏡的折射係數為 n，則電磁波經過薄透鏡折射之後的結果，可以用下列式子表示 U_0 xy ejkn Delta ej frac k2f x2 y 2 U_i xy 如果以 LCT 的矩陣形式來表示則是 begin bmatrix a b c d end bmatrix begin bmatrix 1 0 frac 1lambda f 1 end bmatrix 在時頻域上將訊號作對頻率軸的切變，但此時與菲涅爾轉換不同的是 lambda 越大，切變得效果越小。 球面反射鏡 球面反射鏡的 LCT 矩陣形式與薄凸透鏡很類似，但此時影響頻率軸上的切變不是焦距而是求面反射鏡的半徑，其矩陣形式如下 begin bmatrix a b c d end bmatrix begin bmatrix 1 0 frac 1lambda R 1 end bmatrix 線性正則轉換分析光學優缺點 優點：在計算上只需要用到 2X2 的矩陣運算，避免了複雜的數學積分運算與物理理論 缺點：得到的結果只有在近軸 靠近光傳播方向 準確性高 結合 LCT 加成性的例子 當電磁波由左端平面輸入，在空氣傳播時使用菲涅爾轉換描述，接著在距離為 z1 處經過一焦距為 f 的薄凸透鏡折射後再射入空氣中傳播距離 z2 後由右端平面輸出，此過程經過三層 LCT 的操作，依序為菲涅爾轉換、薄凸透鏡折射和菲涅爾轉換。 根據 LCT 加成性，整個 LCT 過程相當於作用以下三個矩陣相乘後的矩陣乘積。 begin bmatrix a b c d end bmatrix begin bmatrix 1 lambda z_12pi 0 1 end bmatrixbegin bmatrix 1 0 frac 1lambda f 1 end bmatrix begin bmatrix 1 lambda z_2pi 0 1 end bmatrix 基本性質 在這個部份，我們列出了一些 LCT 的基本性質： 運運算元 轉換矩陣 L T begin bmatrix a b c d end bmatrix L T_1 L T_2 T_2T_1 L1TL T1 begin bmatrix dt bt ct at end bmatrix L widehat TLT1 begin bmatrix dt bt ct at end bmatrix F begin bmatrix 0 I I 0 end bmatrix begin cases FL T F1LTt1 F1 L T FLTt1 end cases begin bmatrix d c b a end bmatrix 給定一個二維的行向量 r begin bmatrix x y end bmatrix ，我們列出在某些特定輸入之下 LCT 所展現的特殊性質。 輸入 輸出 備註 f_i r f_o rL Tdisplaystyle f_ir 當 Tbegin bmatrix a b c d end bmatrix sum_n a_nf_n r sum_n a_nLf_n r 線性 f_i rh_i r int f_i r h_i r drint f_o r h_o r dr 帕塞瓦爾定理 f_ir L T1 f_i r 當 T1begin bmatrix dt bt ct at end bmatrix 負共軛 Munf_i r dtMubtDnf_o r qquad Mu r 乘法 Dnf_i r ctMuatDnf_o r qquad D i2pi1nabla t 導數 f_i r ei2pi ktr f_o rbk ei2pi ktdtr eipi ktbtdk 調變 f_i rk f_o r ei2pi ktctr eipi ktctak 平移 det W12 f_i W1 r L tilde T f_i r 當 tilde TTbegin bmatrix W 0 0 Wt1 end bmatrix 縮放 f_i r L T f_i rf_o r 縮放 1 det A12 eipi rtCA1 r eipi rtL_ir det AiL_i12 epi rtL_or 當 iL_oCiDL_iAiBL_i1 ei2pi ktr det A12 eipi rtCA1 reipi ktA1 BK ei2pi ktCA1 r 範例 考慮一個包含兩個雷達天線的系統，兩個天線面對面放置，其中一個為訊號發出端另一個為接收端，兩個天線之間的距離為 D ，訊號在兩個天線之間傳遞。首先，對天線 A 發出端 來說，LCT 矩陣可以寫成以下形式： begin bmatrix 1 0 frac 1lambda R_A 1 end bmatrix 接著，對天線 B 接收端 來說，LCT 矩陣可以寫成以下形式： begin bmatrix 1 0 frac 1lambda R_B 1 end bmatrix 最後，對於在空氣中傳遞的訊號來說，LCT 矩陣可以寫成以下形式： begin bmatrix 1 lambda D 0 1 end bmatrix 將三個部份合在一起，整個系統的 LCT 可以整合成： begin bmatrix a b c d end bmatrix begin bmatrix 1 0 frac 1lambda R_B 1 end bmatrix begin bmatrix 1 lambda D 0 1 end bmatrix begin bmatrix 1 0 frac 1lambda R_A 1 end bmatrix begin bmatrix 1frac DR_A lambda D frac 1lambda R_A1 R_B1 R_A1 R_B1 D 1 frac DR_B end bmatrix 和粒子物理的關聯 研究指出費米子的某些性質可能可以在粒子物理的標準模型中，和線性標準轉換的自旋表示中建立一些關係。在這個方法中，粒子的電荷，弱超荷和弱同位旋被表示成某些用 LCT 的自旋表示相關的克里福代數定義的運運算元的線性組合。 參考 JianJiun Ding Time frequency analysis and wavelet transform class notethe Department of Electrical Engineering National Taiwan University NTU Taipei Taiwan 2009 JianJiun Ding Time frequency analysis and wavelet transform class notethe Department of Electrical Engineering National Taiwan University NTU Taipei Taiwan 2021 A Stern Why is the linear canonical transform so little known in Proceedings of 5th International Workshop on Information Optics G Cristóbal B Javidi and S Vallmitjana eds Springer 2006 pp 225234 許天周，李炳照，線性正則變換及應用，北京：科學出版社，201302 參考來源 Category 積分變換