數學中，維納過程是一種連續時間隨機過程，得名於諾伯特維納。由於與物理學中的布朗運動有密切關係，也常被稱為 布朗運動過程 或簡稱為布朗運動。維納過程是萊維過程（指左極限右連續的平穩獨立增量隨機過程）中最有名的一類，在純數學、應用數學、經濟學與物理學中都有重要應用。 維納過程的地位在純數學中與在應用數學中同等重要。在純數學中，維納過程導致了對連續鞅理論的研究，是刻畫一系列重要的複雜過程的基本工具。它在隨機分析、擴散過程和位勢論領域的研究中是不可或缺的。在應用數學中，維納過程可以描述高斯白噪聲的積分形式。在電子工程中，維納過程是建立噪音的數學模型的重要部分。控制論中，維納過程可以用來表示不可知因素。 維納過程和物理學中的布朗運動有密切關係。布朗運動是指懸浮在液體中的花粉微小顆粒所進行的無休止隨機運動。維納運動也可以描述由福克 普朗克方程和郎之萬方程確定的其他隨機運動。維納過程構成了量子力學的嚴謹路徑積分表述的基礎（根據費曼 卡茨公式，薛定諤方程的解可以用維納過程表示）。金融數學中，維納過程可以用於描述期權定價模型如布萊克 斯科爾斯模型。 刻畫維納過程 一個維納過程（也稱為標準布朗運動）W_t 可以用三個性質刻畫 W_0 0 對映 t mapsto W_t 在正實數軸上幾乎處處連續 W_t 是獨立增量函式，並且對所有 0 leqslant s t，W_tW_s sim mathcal N0ts 第三條中，mathcal Nmusigma2 表示期望為 mu，方差為 sigma2 的正態分佈隨機變數。獨立增量函式的定義是，如果隨機抽取兩段不重疊的時間段 0 leqslant s_1 t_1 leqslant s_2 t_2，W_t_1 W_s_1 和 W_t_2 W_s_2 是互相獨立的隨機變數，並且對更多的不重疊時間段的情況也是如此 另一個等價的刻畫方式是以法國數學家保羅利維命名的 利維刻畫：維納過程是幾乎處處路徑連續的零期望連續鞅，並且滿足二次變差：langle W W rangle_t，也就是說 W_t2 t 仍然是連續鞅。 1923 年，維納首次證明維納過程存在。維納過程可以用隨機漫步或任意擁有平穩獨立增量的離散隨機過程的尺度極限來構造。這個構造方法基於 Donsker 定理。與隨機漫步一樣，一維和二維的維納過程是常返的，也就是說幾乎一定會回到起始的原點，或者說幾乎一定會無限次跌入原點附近的任意鄰域。當維度高於或等於三維時，維納過程不再是常返的。與隨機漫步不同的是，維納過程擁有尺度不變性。如果 W_t 是一個隨機過程，那麼對所有的正實數 alpha ， frac 1alpha W_alpha2 t 也是一個維納過程。 維納測度是滿足 g 0 0 的連續函式空間上的機率分佈。關於維納測度的積分稱為 維納積分 一維維納過程的性質 基本性質 對任意的正實數 t，一維維納過程在 t 時刻是一個隨機變數，它的機率密度函式是：f_W_tx frac 1sqrt 2 pi t ex22 t 這是因為按照維納過程的定義，當 s 0 時，可以推出 W_t 的分佈： W_t W_tW_0 sim mathcal N0t 它的數學期望是零：mathbb EW_t 0 它的方差是 t：operatorname VarW_t mathbb EW2_t mathbb E2 W_t mathbb EW2_t 0 mathbb EW2_t t 在維納過程的獨立增量定義中，令 t_2 t，s_2 t_1 st，s_1 0，那麼 W_s W_t_1 W_s_1sim mathcal N0 s 和 W_t W_s W_t_2 W_s_2sim mathcal N0ts 是相互獨立的隨機變數，並且 operatorname covW_s W_t mathbb Eleft W_smathbb EW_s cdot W_tmathbb EW_tright mathbb EW_s cdot W_t mathbb EW_s left W_t W_s right mathbb EW_s2 mathbb EW_s mathbb Eleft W_t W_s right s s 所以兩個不同時刻 0 leqslant s t，W_t 與 W_s 的協方差和相關係數是： operatorname covW_sW_t min st qquad quad operatorname corrW_sW_t mathrm covW_sW_t over sigma_W_s sigma_W_t frac min stsqrt st sqrt frac min st max st 即時最值 維納過程中的即時最大值 M_t max_0 leq s leq t W_s 與 W_t 的聯合機率分佈是： f_M_tW_tmw frac 2 2 m wtsqrt 2 pi t efrac 2mw22t m ge 0 w leq m 而即時最大值的分佈 f_M_t 是對 infty w leq m 的積分： f_M_tm int_inftym f_M_tW_tmwdw int_inftym frac 2 2 m wtsqrt 2 pi t efrac 2mw22tdw sqrt frac 2pi t efrac m22t 即時最大值的數學期望是： mathbb E M_t int_0infty m f_M_tmdm int_0infty m sqrt frac 2pi t efrac m22tdm sqrt frac 2tpi 由於維納過程上下對稱，即時最小值顯然是即時最大值的相反數。 對稱性質 尺度不變性：對任意的正實數 alpha 0，隨機過程 left V_t right_tgeqslant 0 V_t frac 1sqrt alpha W_alpha t 都仍然是一個維納過程。 時間反轉：對任意的正實數 T 0，隨機過程 left V_t right_0 leqslant tleqslant T V_t W_T W_T t 和 left W_t right_0 leqslant tleqslant T 性質相同。 空間對稱：隨機過程 left V_t right_tgeqslant 0 V_t W_t 也是一個維納過程。 時間反演：隨機過程 left V_t right_tgeqslant 0 V_0 0 forall t 0 V_t t W_frac1t 也是一個維納過程。 參考資料：、 時間平移不變性和馬爾可夫性質 維納過程具有馬爾可夫性質，也就是說，在任意一點之後的走勢僅僅和這一點的取值相關，而與之前的取值無關。也就是說，對任何的有界連續函式 phi ， mathbb Ephi W_s s geqslant tmathcal F_t mathbb Ephi W_s s geqslant tW_t 因此維納過程具有時間平移不變性：隨機過程 left V_t right_tgeqslant 0 V_t W_t_0 t W_t_0 也是一個維納過程。不僅如此，維納過程還滿足強馬爾可夫性質：對任意的有限停時 tau，隨機變數 B_t W_tau t W_tau 獨立於濾波 mathcal F_tau。也就是說，對任何的有界連續函式 phi ， mathbb Ephi W_s s geqslant taumathcal F_tau mathbb Ephi W_s s geqslant tauW_tau 維納過程的強馬爾可夫性質，說明即便給定的時間不是定時而是一個停時，維納過程在停時之後的走勢仍然與之前無關。所以，將停時之後的維納過程上下反轉，仍然會是一個維納過程。用數學語言來說，就是：給定一個停時 tau 之後，隨機變數：B_t W_tmathbf 1_t leqslant tau left 2W_tau W_t rightmathbf 1_ttau 也是一個維納過程。這個性質也稱為維納過程的反射原理。 作為推論，可以建立即時最大值 M_t max_0 leq s leq t W_s 與 W_t 的另一種關係。設有正實數 a0 停時 tau_a inf t0 W_t a ，那麼 tau_a leqslant t M_t geqslant a 。運用反射原理可以證明，mathbb P left M_t geqslant a right 2mathbb P left W_t geqslant a right mathbb P left W_t geqslant a right 。更一般地，設有 ab geqslant 0 ，則 mathbb P left W_t leqslant b M_t geqslant a right mathbb P left W_t geqslant 2a b right 。 參見 抽象維納空間 經典維納空間 切諾夫分佈 參考來源 Kleinert Hagen Path Integrals in Quantum Mechanics Statistics Polymer Physics and Financial Markets 4th edition World Scientific Singapore 2004 Paperback ISBN 9812381074 also available online PDFfiles StarkHenry John W Woods Probability and Random Processes with Applications to Signal Processing 3rd edition Prentice Hall New Jersey 2002 Textbook ISBN 0130200719 Daniel Revuz and Marc Yor Continuous martingales and Brownian motion second edition SpringerVerlag 1994 Category 隨機微分方程 Category 隨機過程 Category 鞅論 Category 隨機漫步