在數學中，半正矢（英文：haversed sine、 haversine 或 semiversus） 或半正矢函式是一種三角函式，是正矢函式的一半，因半正矢公式出名，在早期導航術中，半正矢是一個很重要的函式，因為半正矢公式可以在給定角度位置（如經度和緯度）精確地計算出任何球面上的兩點間的距離，若不使用半正矢函式，則該計算會出現 sin2left tfractheta 2right 和對應反運算的 2arcsinsqrt z，因此若有半正矢函式的函式表，則能夠省去平方及平方根的運算。 半正矢函式是一個週期函式，其最小正週期為 2pi（360）。 其定義域為整個實數集，值域是 01。 在自變數為 2n1pi（360circ n180circ，其中 n 為整數）時，該函式有極大值 1；在自變數為 2npi（或 360circ n）時，該函式有極小值 0。半正矢函式是偶函式，其影像關於 y 軸對稱。 半正矢函式有很多種表示法，包括了 haversin θ、 semiversin θ、 semiversinus θ、 havers θ、 hav θ、 hvs θ、在訊號分析中，hvs 有時用於半正矢函式（haversine function），也有時代表單位階躍函式。 sem θ 或 hv θ。 歷史 半正矢函式出現於半正矢公式中，其可以據兩點的經度和緯度來確定大圓上兩點之間距離，且在導航術中被廣泛地使用，因此十九和二十世紀初的導航和三角測量書中包含了半正矢值表和對數表。H B Goodwin The haversine in nautical astronomy Naval Institute Proceedings vol 36 no 3 1910 pp 735746 Evidently if a Table of Haversines is employed we shall be saved in the first instance the trouble of dividing the sum of the logarithms by two and in the second place of multiplying the angle taken from the tables by the same number This is the special advantage of the form of table first introduced by Professor Inman of the Portsmouth Royal Navy College nearly a century agoW W Sheppard and C C Soule Practical navigation World Technical Institute Jersey City 1922E R Hedrick Logarithmic and Trigonometric Tables Macmillan New York 1913 第一份英文版的半正矢表由詹姆斯安德魯在 1805 年印刷出版。而弗洛裡安卡喬裡相信類似的術語在 1801 年就曾被使用過。 1835 年，在其著作《航海與航海天文學：供英國海員使用》（Navigation and Nautical Astronomy For the Use of British Seamen）第三版中創造了 半正矢 一詞以簡化地球表面兩點之間的距離計算，應用於球面三角學關於導航的部分。 其他備受推崇的半正矢表還有理查德法利（Richard Farley）發表於 1856 年的半正矢表 A haversine table from 0 to 125135 以及約翰考菲爾德漢寧頓（John Caulfield Hannyngton）發表於 1876 年的半正矢表 A 7place haversine table from 0 to 180 log haversines at intervals of 15 nat haversines at intervals of 10。 半正矢在導航術中持續有相關應用，而近幾十年來發現了半正矢新的應用。如 1995 年來布魯斯D斯塔克（Bruce D Stark）利用之清晰的月角距計算方法 NB Contains a table of Gaussian logarithms lg 110x ，以及 2014 年提出用於之更緊湊的方法。 定義 半正矢定義為正矢函式的一半： operatorname hav z frac12operatorname vers z 其他等價的定義包括： operatorname hav z frac 1cos z 2 sin2 frac z 2 對應的指數定義為： operatorname hav z frac 2eizeiz 4 半正矢也可以使用麥克勞林級數來定義： operatorname hav z frac z24 frac z448 frac z61440 frac z880640 cdots sum_k1infty frac 1k12 2k z2k 微分與積分 半正矢函式的微分為： frac d dzoperatorname hav z frac sin z 2 積分為： intoperatorname hav zdz frac zsin z2C 反半正矢 反半正矢或反半正矢函式是半正矢函式的反函式。由於半正矢函式是週期函式，導致半正矢函式是雙射且不可逆的而不是一個對射函式（即多個值可能只得到一個值，例如 1 和所有同界角），故無法有反函式，但我們可以限制其定義域，因此，反半正矢是單射和滿射也是可逆的，另外，我們也需要限制值域，將半正矢函式函式的值域定義在 left 0 piright（0180）。在此定義下，其最小值為 0、最大值為 pi（180）。該定義只考慮了實數的部分，進一步的，我們可以將反半正矢以反正弦進行定義，進一步地將之推廣到複數域： operatorname archav z 2arcsinsqrt z 反半正矢函式也可以使用級數來定義： operatorname archav x 2 xfrac12 frac xfrac323 frac 3xfrac5220 frac 5xfrac7256 cdots sum_n0infty frac 122n1left 2n1rightbinom 2nn xnfrac12 反半正矢函式的微分與積分為： frac d dzoperatorname archav z frac1sqrt left 1zright z intoperatorname archav zdz left 2z1rightarcsinleft sqrt zrightsqrt zleft 1zrightC 半正矢公式 對於任何球面上的兩點，圓心角的半正矢值可以透過如下公式計算： operatorname havleft frac drrightoperatorname havvarphi_2varphi_1cos varphi_1 cos varphi_2 operatorname havlambda_2lambda_1 d 是兩點之間的距離（沿大圓，見球面距離）； r 是球的半徑； varphi_1 varphi_2 ：點 1 的緯度和點 2 的緯度，以弧度制度量； lambda_1 lambda_2 ：點 1 的經度和點 2 的經度，以弧度制度量。 左邊的等號 frac dr 是圓心角，以弧度來度量。 半正矢定理 給出一個單位球，一個在表面的球面三角形三個過三點 uvw 的大圓所圍出來的區域。如圖，這個球面三角形的三邊分別是 a（mathbf u 至 mathbf v）， b （mathbf u 到 mathbf w）和 c （mathbf v 至 mathbf w）並且角 C 對邊 c 那麼有如下關係： operatorname havcoperatorname havabsin a sin b operatorname havC 相關函式 半餘矢 半餘矢（英文：hacoversed sine、hacoversine 或 cohaversine）是半正矢的餘角函式，為餘矢函式的一半，寫為 hacoversin θ、 semicoversin θ、 hacovers θ、 hacov θ 或 hcv θ。 半餘矢定義為： operatorname hacoversin z frac12operatorname coversin z 其他等價的定義包括： operatorname hacoversin z frac 1sin z 2 餘的半正矢 餘的半正矢（英文：haversed cosine or havercosine），是餘的正矢函式的一半，寫為 havercosin θ havercos θ hac θ 或 hvc θ。 餘的半正矢定義為： operatorname havercosin z frac12operatorname vercosin z 其他等價的定義包括： operatorname hacoversin z cos2left frac z2right frac 1 cos z2 一個週期的正弦或更常見的餘的半正矢（havercosine）波形也常用於訊號處理和控制理論中，作為脈衝或窗函式的形狀（包括、漢恩泊松窗和圖基窗），因為它平滑地（在值和斜率上連續）從 0 遞增到 1（對於半正矢），再對稱地遞減回 0。在訊號分析中，hvs 有時用於半正矢函式（haversine function），也有時代表單位階躍函式。 在這些應用中，它被稱為或升餘弦濾波器。 同樣，餘的正矢（vercosine）之半值函式（havercosine）也用於機率論和統計學的。 可以使用餘的半正矢定義如下： f xmusfrac 1soperatorname hvcleft frac xmuspirightfrac 12s left 1cosleft frac xmuspirightright 餘的半餘矢 餘的半餘矢（英文：hacoversed cosine、 hacovercosine 或 cohavercosine）是餘的半正矢的餘角函式，可定義為餘的餘矢函式的一半，寫為 hacovercosin θ、 hacovercos θ 或 hcc θ。 餘的半餘矢定義為： operatorname hacovercosin z frac12operatorname covercosin z 其他等價的定義包括： operatorname hacovercosin z frac 1 sin z2 註釋 參考文獻 Category 三角函式