在數學中，阿爾澤拉 阿斯科利定理是泛函分析中的一個定理，給出了從緊緻度量空間射到度量空間的函式集合在一致收斂的拓撲意義上是緊集的一個充分必要條件。其中主要涉及的條件是函式集的等度連續性質。 等度連續的概念大約是在十九世紀的八十年代由兩位義大利數學家朱利奧阿斯科利（於 1883 年－1884 年）Ascoli G 18831884 Le curve limiti di una varietà data di curve Atti della R Accad Dei Lincei Memorie della Cl Sci Fis Mat Nat 18 3 521586 和切薩雷阿爾澤拉（於 1882 年－1883 年）Arzelà Cesare 18821883 Unosservazione intorno alle serie di funzioni Rend Dell Accad R Delle Sci DellIstituto di Bologna 142159 提出的。阿斯科利在 1883 年的論文中，證明了定理中，連續函式集為緊集的充分條件，而阿爾澤拉則在 1895 年的另一篇論文中證明了定理的另一部分：成為緊集的必要條件，並首次給出了定理的完整證明 Arzelà Cesare 1895 Sulle funzioni di linee Mem Accad Sci Ist Bologna Cl Sci Fis Mat 5 5 5574 。而不久之後，在 1906 年，法國數學家弗雷歇又將這個定理進行了推廣，使得在任意的能夠定義極限的空間中都有同樣的結果（比如度量空間或豪斯多夫空間）。 在阿爾澤拉 阿斯卡利定理首次獲證的年代，人們並沒有充分理解該定理的重要意義。隨著研究的不斷深入，緊緻性成為了分析學、拓撲學領域的關鍵概念，而此定理就描述了緊緻性。 該定理是利用尤拉法證明常微分方程組理論中的皮亞諾存在性定理時不可或缺的一環，也是複分析中的蒙泰爾定理的證明中的重要組成部分。此外，彼得 外爾定理的一個證明中用到了此定理。 定義 以下的定義在定理的敘述和證明中會不斷使用到。 等度連續 設 K 和 X 是兩個度量空間，C KX 是蒐集所有從 K 到 X 的連續對映的所形成的集合。如果 C KX 的一個子集 mathcal F 滿足對所有 x in K 和 epsilon 0，存在一個 x 的鄰域 U_x，使得對所有 y in U_x 和 finmathcal F，都有 dleft f y f xright epsilon 則稱 mathcal F 是等度連續的。 一致有界與逐點有界 設 K 是一個度量空間，C Kmathbf R 是蒐集所有 K 上的實連續函式。設 mathcal F 是 C Kmathbf R 的一個子集 如果存在 M0，使得對所有 finmathcal F xin K 都有 f xM，則稱 mathcal F 是一致有界的。 如果對所有 xin K，都有 sup _fin mathcal Ff xinfty，則稱 mathcal F 是逐點有界的。 注意到一致有界可推得逐點有界，此外，如果已知 mathcal F 是等度連續且 K 是 比如說緊緻 的，則一致有界若且唯若逐點有界。 敘述 實數域上的情況 這是最簡單的情況，此時阿爾澤拉 阿斯科利定理的可以敘述為 考慮一個定義在閉區間 ab 上的實函式序列 f_n_nin mathbf N。如果 f_n_nin mathbf N 是逐點有界且等度連續的，那麼在這個函式序列中，必定存在一個子序列 f_n_k_kin mathbf N 是一致收斂的。另一方面，如果 f_n_nin mathbf N 的任何子序列 f_n_k_kin mathbf N 都有一個一致收斂的子序列 f_n_k_r_rin mathbf N，則 f_n_nin mathbf N 是逐點有界且等度連續的。 例子 設 f_n_nin mathbf N 是一個逐點有界、可微分，並且導數是一致有界的函式序列，即 sup_fin mathcal F xin Kfxinfty，則可以證明 f_n_nin mathbf N 也是等度連續的，因此滿足阿爾澤拉 阿斯科利定理的條件。所以它擁有一個一致收斂的子序列。 緊度量空間和緊豪斯多夫空間 對於一般的度量空間，阿爾澤拉 阿斯科利定理斷言 設 X 為一個緊度量空間，Y 為一個完備的度量空間，那麼 C XY 的子集 mathcal F 在緊緻開拓撲中是緊緻的當且僅當它是等度連續、完全有界的閉集。 這裡， C XY 表示從 X 射到 Y 的連續函式的集合。而它的子集 F 被稱作完全有界當且僅當 forall x in X，集合 f x f in F 都是 Y 中相對緊緻的子集。如果一個集合 A 在緊緻開拓撲中是緊緻的，那麼 A 中的所有序列都擁有一個在 A 中一致收斂的子序列。 更廣泛地，對於 X 是緊豪斯多夫空間的情況，定理一樣成立：Dunford Nelson Schwartz Jacob T 1958 Linear operators volume 1 WileyInterscience 設 X 為一個緊豪斯多夫空間，那麼 C XY 的子集 F 在緊緻開拓撲中是緊緻的當且僅當它是等度連續、完全有界的閉集。 阿爾澤拉 阿斯科利定理是對於緊豪斯多夫空間上，連續函式的代數性質的一個重要結果。進一步的研究可以將上面的結果推廣。比如說，函式的取值空間可以換為豪斯多夫的拓撲向量空間，這時仍然有基本相同的定理 Kelley J L Namioka I 1982 Linear Topological Spaces SpringerVerlag ISBN 9780387901695Kelley J L 1975 General topology SpringerVerlag ISBN 9780387901251。 證明 以下證明在實數域上的敘述。 必要性 該定理的必要性比較顯然，實用價值也比較小。事實上，由緊度量空間 X 到完備的度量空間 Y 的任何一列連續對映序列 fn 如果在 X 上一致收斂，那麼它收斂到一個連續對映 f 由緊度量空間上，連續對映 f 的一致連續性和收斂的一致性，可以證明該對映序列是等度連續的。同時由收斂的一致性和連續對映將緊集映為緊集的性質，可以推出該序列完全有界。 若集合 F 中的對映不一致有界，則由定義，對任意 nN 存在 F 中的對映 fn，其範數大於 n 於是 fn 的任意一個子列都不是完全有界的，故任意子列都非一致收斂，與假設矛盾。若集合 F 中的對映不等度連續，則存在 ε0，對任意的 nN，存在 x1 x2 和集合中某個對映 fn，滿足 d x1x2 1n，但 d fn x1 fn x2 ε 這樣，fn 的任意一個子列都不是等度連續的，從而任意子列都非一致收斂，同樣與假設矛盾。 充分性 充分性的證明用到了對角論證法。若緊度量空間 X 是個有限集，則充分性顯然。因此，設 X 是個無窮集，由 X 的緊緻性可知，存在在 X 中稠密的序列 Ex_k_kin mathbf N。 考慮 mathcal F 中任意一個對映序列 f_n_nin mathbf N。由於 mathcal F 是逐點有界的，序列 f_n x_1 在 Y 中是有界的。根據波爾查諾 魏爾斯特拉斯定理和 Y 的完備性，該序列擁有收斂的子列，記作 f1_n x_1。而序列 f1_n x_2 又存在收斂的子列，記作 f2_n x_2 。如此重複，即得到了一系列的對映序列 f1_n f2_n f3_n dots。考慮其中對角線元素 g_nf_nn 所構成的序列 g_n_nin mathbf N。則對於序列 E 中任意一點 x_k，序列 g_n x_k_ngeq k 是 fk_n x_k_n in mathbf N 的子序列，因此序列 g_n x_k_nin mathbf N 收斂。 給定 epsilon 0，因為 mathcal F 是等度連續的，延用等度連續定義裡的 U_x，所以 U_x_xin ab 是 ab 區間的一個開覆蓋。由於 ab 區間是緊緻的，存在有限集 xi_1dots xi_l 使得 abbigcup_i1l U_xi_i。因為 E 在 ab 中是稠密的，所以 E 有一個子集 x_n_1dots x_n_l 滿足 x_n_iin U_xi_i。由 g_n 在 E 中各點的收斂性可知，對每個 x_n_i，存在 N_i，使得對任一對比 N_i 大的正整數對 m 和 n 都有 g_m x_n_ig_n x_n_iepsilon。定義 Nmax_1leq ileq l N_i，則前一句話中的 N_i 可以改成 N。 對 X 中每個點 x，存在一個 xi_i 使得 xin U_xi_i。而對於任何比 N 大的正整數對 m 和 n，都有 g_m x_n_ig_n x_n_iepsilon，此外由 g_m x_n_ig_m xi_iepsilon、g_m xg_m xi_iepsilon、g_n x_n_ig_n xi_iepsilon、g_n xg_n xi_iepsilon 可知 g_m xg_n x5 epsilon。 因此，g_n 是一個 C ab 上的柯西列，因為 ab 是完備的可推得 C ab 也是，所以 g_n 是 f_n 的一致收斂子序列。 參考來源 Category 包含證明的條目 Category 緊緻性定理 Category 連續對映 Category 實分析定理 Category 泛函分析定理 Category 函式空間的拓撲