冪平均，又稱廣義平均或赫爾德平均，是一族從數列到實數的函式。冪平均函式的特殊情況包括畢達哥拉斯平均（算術、幾何、調和平均），因此可視為畢達哥拉斯平均的一種推廣。 定義 若 p 是一非零實數，可定義非負實數 x_1dotsx_n 的 p 次冪平均為 M_p x_1dotsx_n left frac 1n cdot sum_i1n x_ip rightfrac 1p 冪平均在 p0 等於幾何平均（冪平均函式 p 收斂於 0 時的收斂於幾何平均） M_0 x_1dotsx_n left prod_i1n x_i rightfrac 1n 性質 和所有平均一樣，冪平均是各引數 x_1dotsx_n 的一次齊次函式。即若 b 是一個正實數，則 bcdot x_1dots bcdot x_n 指數為 p 的冪平均等於 b 倍 x_1dots x_n 的冪平均。 與幾何算術平均一樣，這種平均的計算可以分解成同樣大小的子塊來計算。 M_p x_1dotsx_ncdot k M_p M_p x_1dotsx_k M_p x_k1dotsx_2cdot k dots M_p x_n1cdot k 1dotsx_ncdot k 冪平均不等式 一般地，如果 p q，則 M_p x_1dotsx_n le M_q x_1dotsx_n 且這兩個平均相等當且僅當 x_1 x_2 cdots x_n。這由事實 forall pinmathbb R frac partial M_p x_1dotsx_npartial pgeq 0 得出，上述不等式可由琴生不等式證明。 特別地，對 pin1 0 1，冪平均不等式蘊含了畢達哥拉斯平均不等式以及算術幾何平均不等式。 特例 M_inftyx_1dotsx_n lim_ptoinfty M_p x_1dotsx_n min x_1dotsx_n 最小值 M_1x_1dotsx_n frac nfrac 1x_1dotsfrac 1x_n 調和平均 M_0 x_1dotsx_n lim_pto0 M_p x_1dotsx_n sqrt nx_1cdotdotscdot x_n 幾何平均 M_1 x_1dotsx_n frac x_1 dots x_nn 算術平均 M_2 x_1dotsx_n sqrt frac x_12 dots x_n2n 平方平均 M_3 x_1dotsx_n sqrt 3frac x_13 dots x_n3n 立方平均 M_inftyx_1dotsx_n lim_ptoinfty M_p x_1dotsx_n max x_1dotsx_n 最大值 冪平均不等式的證明 不同符號的不等式之等價 假設指數 p 與 q 的冪平均間有不等式： sqrt psum_i1nw_ix_ipleq sqrt qsum_i1nw_ix_iq 則 sqrt psum_i1nfrac w_ix_ipleq sqrt qsum_i1nfrac w_ix_iq 我們在兩邊取倒數（正實數上的嚴格遞減函式，不等號反向）： sqrt psum_i1nw_ix_ipsqrt pfrac 1sum_i1nw_ifrac 1x_ipgeq sqrt qfrac 1sum_i1nw_ifrac 1x_iqsqrt qsum_i1nw_ix_iq 我們得到了關於 p 與 q 的冪平均不等式，同樣的推理可以倒推，從而證明了兩個不等式等價，這在後面的證明中將用到。 幾何平均 對任何 q，指數為 q 的冪平均與幾何平均之間的不等式為： prod_i1nx_iw_i leq sqrt qsum_i1nw_ix_iq sqrt qsum_i1nw_ix_iqleq prod_i1nx_iw_i （第一個不等式對正數 q，第二個對負數） 我們在兩邊取 q 次冪： prod_i1nx_iw_icdot q leq sum_i1nw_ix_iq 兩種情形我們都得到關於 x_iq 的加權算術幾何平均不等式，這可以用琴生不等式證明，利用對數函式是凸函式的事實： sum_i1nw_ilog x_i leq logleft sum_i1nw_ix_iright logleft prod_i1nx_iw_iright leq logleft sum_i1nw_ix_iright 兩邊取指數函式（嚴格遞增），我們得到了不等式： prod_i1nx_iw_i leq sum_i1nw_ix_i 從而對任何正數 q，下式成立： sqrt qsum_i1nw_ix_iqleq prod_i1nx_iw_i leq sqrt qsum_i1nw_ix_iq 因為此不等式對任何 q 成立，足夠小同樣成立，可以將證明（利用洛必達法則），當 q 趨於 0 時，左右兩邊趨於幾何平均，q 趨於 0 時的冪平均是幾何平均： lim_qrightarrow 0sqrt qsum_i1nw_ix_iqprod_i1nx_iw_i 冪平均不等式 我們將證明對任何 p 如下不等式成立： sqrt psum_i1nw_ix_ipleq sqrt qsum_i1nw_ix_iq 如果 p 是負數且 q 是正數，不等式等價於上面已證過的 sqrt psum_i1nw_ix_ipleq prod_i1nx_iw_i leqsqrt qsum_i1nw_ix_iq 對正數 p 與 q 的證明如下：定義函式 fmathbb R_rightarrow mathbb R_ f xxfrac qp f 是一個冪函式，所以有二階導數：f xleft frac qprightleft frac qp1right xfrac qp2，在 f 的定義域內嚴格正，因為 qp，從而我們知道 f 是凸的。 利用這一點以及琴生不等式，我們得到： f sum_i1nw_ix_ipleqsum_i1nw_if x_ip sqrt frac pqsum_i1nw_ix_ipleqsum_i1nw_ix_iq 兩邊取 frac 1q 次冪（遞增函式，因 frac 1q 為正數）我們得到了欲證之不等式： sqrt psum_i1nw_ix_ipleqsqrt qsum_i1nw_ix_iq 最後使用先前證過的等價性，我們得到了關於負數 p 與 q 的不等式，證畢。 最小值與最大值 此段最後將證明當指數 p 趨於 infty 與 infty，其冪平均的冪平均分別趨於最小值與最大值。定義指數為 infty 與 infty 的冪平均為最大值與最小值。從而應該有： min x_1x_2ldots x_nleq sqrt qsum_i1nw_ix_iqleq max x_1x_2ldots x_n 對最大值證明如下：不失一般性假設序列 x_i 非減且全不為零。則不等式等價於： sqrt qsum_i1nw_ix_iqleq x_1 兩邊取 q 次冪，我們得到不等式（取決於 q 的符號）： sum_i1nw_ix_iqleq color red geq x_1q 若 q0 為 ， 若 q0 為 。 兩邊同時減去 w_1x_1q 我們得到： sum_i2nw_ix_iqleq color red geq 1w_1 x_1q 除以 1w_1： sum_i2nfrac w_i1w_1 x_iqleq color red geq x_1q 1w_1 不為零，從而： sum_i2nfrac w_i1w_11 減去 x_1q 剩下： sum_i2nfrac w_i1w_1x_iqx_1qleq color red geq 0 這是顯然的，因為 x_1 大於或等於任何 x_i，從而 x_iqx_1qleq color red geq 0 對最小值證明幾乎相同，只不過將 x_1、w_1 換作 x_n、w_n，證畢。 另一方面，當 q 大於零時，由簡單的推理以及上面的不等式有 sqrt qw_1x_1q sqrt qsum_i1nw_ix_iq leq x_1 令 q 趨於 infty 時，左邊同樣趨於 x_1，由夾逼定理知中間項冪平均趨於 x_1。最小值的證明完全類似。 廣義 f 平均 冪平均可以推廣到更一般的： M_f x_1dotsx_n f1 left frac 1ncdotsum_i1n f x_iright 例如這包括了幾何平均而勿需使用極限。冪平均是由 fleft xrightxp 得到的。 應用 訊號處理 冪平均作為一個非線性移動平均。對於小 p 值，冪平均比較偏重小訊號值，對於大 p 值，冪平均則會強調大訊號值。給予一個高效率移動算術平均的實施函式，稱為 smooth ，工程師可以按照下述 Haskell 程式碼，設計一個移動冪平均實施函式： powerSmooth Floating a a a a a a powerSmooth smooth p map recip p smooth map p 對於大 p 值，這可作為一個整流訊號的包封檢測器。 對於小 p 值，這可作為一個質量譜的基線偵測器。 參見條目 平均 平方平均 算術平均 幾何平均 調和平均 海倫平均（Heronian mean） 萊默平均（Lehmer mean） 也是一個與冪有關的平均數。 算術幾何平均不等式 外部連結 Power mean at MathWorld Examples of Generalized Mean A proof of the Generalized Mean on PlanetMath 平均論 Category 不等式 Category 平均數