在數學以及物理中，拉普拉斯運算元或是拉普拉斯算符是由歐幾里得空間中的一個函式的梯度的散度給出的微分運算元，通常寫成 Delta 、 nabla2 或 nabla cdot nabla 。 這名字是為了紀念法國數學家皮耶 西蒙拉普拉斯（17491827）而命名的。他在研究天體力學在數學中首次應用運算元，當它被施加到一個給定的重力位（Gravitational potential）的時候，其中所述運算元給出的質量密度的常數倍。經拉普拉斯運算元運算為零 Delta f 0 的函式稱為調和函式，現在稱為拉普拉斯方程，和代表了在自由空間中的可能的重力場。 拉普拉斯運算元有許多用途，此外也是橢圓運算元中的一個重要例子。 拉普拉斯運算元出現描述許多物理現象的微分方程裡。例如，常用於波方程的數學模型、熱傳導方程、流體力學以及亥姆霍茲方程。在靜電學中，拉普拉斯方程和泊松方程的應用隨處可見。在量子力學中，其代表薛丁格方程中的動能項。 拉普拉斯運算元是最簡單的橢圓運算元，並且拉普拉斯運算元是霍奇理論的核心，並且是德拉姆上同調的結果。在影像處理和計算機視覺中，拉普拉斯運算元已經被用於諸如斑點檢測和邊緣檢測等的各種任務。 定義 拉普拉斯運算元是 n 維歐幾里得空間中的一個二階微分運算元，其定義為對函式 f 先作梯度運算（nabla f）後，再作散度運算（nabla cdot nabla f）的結果。因此如果 f 是二階可微的實函式，則 f 的拉普拉斯運算元定義為： Delta f nabla2 f nabla cdot nabla f 1 f 的拉普拉斯運算元也是笛卡兒座標系 x_i 中的所有非混合二階偏導數： Delta f sum_i1n frac partial2 fpartial x2_i 2 作為一個二階微分運算元，對於 k 2，拉普拉斯運算元把 Ck 函式對映到 Ck2 函式。表示式（1 或 2）定義了一個運算元 Δ：Ck Rn Ck2 Rn，或更一般地，定義了一個運算元 Δ：Ck Ω Ck2 Ω，對於任何開集 Ω。 函式的拉普拉斯運算元也是該函式的海森矩陣的跡： Delta f mathrm trH f 坐標表示式 二維空間 Delta f frac partial2fpartial x2 frac partial2 fpartial y2 其中 x 與 y 代表 xy 平面上的笛卡兒坐標 另外極坐標的表示法為： Delta f 1 over r partial over partial r left r partial f over partial r right 1 over r2 partial2 f over partial theta2 三維空間 笛卡兒坐標系下的表示法 Delta f frac partial2 fpartial x2 frac partial2 fpartial y2 frac partial2 fpartial z2 圓柱坐標系下的表示法 Delta f 1 over rho partial over partial rho left rho partial f over partial rho right 1 over rho2 partial2 f over partial theta2 partial2 f over partial z2 球坐標系下的表示法 Delta f 1 over r2 partial over partial r left r2 partial f over partial r right 1 over r2 sin theta partial over partial theta left sin theta partial f over partial theta right 1 over r2 sin2 theta partial2 f over partial phi2 N 維空間 在引數方程為 xrtheta in mathbb RN（其中 r in 0infty 以及 theta in SN1）的 N 維球座標系中，拉普拉斯運算元為： Delta f frac partial2 fpartial r2 frac N1r frac partial fpartial r frac 1r2 Delta_SN1 f 其中 Delta_SN1 是 N1 維球面上的拉普拉斯 貝爾特拉米運算元。我們也可以把 partial2 f over partial r2 frac N1r frac partial fpartial r 的項寫成 frac 1rN1 frac partialpartial r Bigl rN1 frac partial fpartial r Bigr。 恆等式 如果 f 和 g 是兩個函式，則它們的乘積的拉普拉斯運算元為： Delta fgDelta f g2 nabla fcdot nabla gf Delta g。 f 是徑向函式 f r 且 g 是球諧函式 Y_lmthetaphi，是一個特殊情況。這個情況在許多物理模型中有所出現。f r 的梯度是一個徑向向量，而角函式的梯度與徑向向量相切，因此： 2 nabla f rcdot nabla Y_lmthetaphi0。 球諧函式還是球座標系中的拉普拉斯運算元的角部分的特徵函式： Delta Y_ell mthetaphi frac ell ell1r2 Y_ell mthetaphi。 因此： Delta f r Y_ell mthetaphi left frac d2f rdr2 frac 2r frac df rdr frac ell ell1r2 f rright Y_ell mthetaphi。 譜理論 拉普拉斯運算元的譜由特徵值 lambda 和對應的特徵函式 f 組成，滿足： Delta f lambda f 這就是所謂的亥姆霍茲方程。 如果 Omega 在 mathbb Rn 中有界，拉普拉斯運算元的特徵函式時希爾伯特空間 L2 Omega 下的一組標準正交基。這主要是因為緊自伴隨運算元的譜定理，適用於拉普拉斯的逆運算元（根據龐加萊不等式和 RellichKondrachov 定理，它是緊運算元）。這也可以表明特徵函式是無窮階可微的函式。更一般地說，這些結果對任何有界緊黎曼流形上的拉普拉斯 貝特拉米運算元都是成立的，或者說對任何有邊界上具有光滑係數的橢圓運算元的 Dirichlet 特徵值問題也成立。當 Ω 為 N 維球面時，拉普拉斯的特徵函式是球諧函式。 推廣 複雜空間上的實值函式 拉普拉斯運算元可以用一定的方法推廣到非歐幾里得空間，這時它就有可能是橢圓運算元、雙曲運算元、或超雙曲運算元。 在閔可夫斯基空間中，拉普拉斯運算元變為達朗貝爾運算元： square partial2 over partial x2 partial2 over partial y2 partial2 over partial z2 frac 1c2partial2 over partial t2 達朗貝爾運算元通常用來表達克萊因 戈爾登方程以及四維波動方程。第四個項前面的符號是負號，而在歐幾里德空間中則是正號。因子 c 是需要的，這是因為時間和空間通常用不同的單位來衡量；如果 x 方向用寸來衡量，y 方向用釐米來衡量，也需要一個類似的因子。 值域為複雜空間 向量值函式的拉普拉斯運算元 拉普拉斯運算元作用在向量值函式上，其結果被定義為一個向量，這個向量的各個分量分別為向量值函式各個分量的拉普拉斯，卽 nabla2 mathbf A nabla2 A_x nabla2 A_y nabla2 A_z． 更一般地，對沒有坐標的向量，我們用下面的方式定義（受向量恆等式的啟發）： nabla2 mathbf A nabla nabla cdot mathbf A nabla times nabla times mathbf A ，也可用類似於拉普拉斯－德拉姆運算元的方式定義，然後證明 旋度的旋度 向量恆等式． 拉普拉斯－貝爾特拉米運算元 拉普拉斯運算元也可以推廣為定義在黎曼流形上的橢圓型運算元，稱為拉普拉斯 貝爾特拉米運算元。達朗貝爾運算元則推廣為偽黎曼流形上的雙曲型運算元。拉普拉斯貝爾特拉米運算元還可以推廣為運行於張量場上的運算元（也稱為拉普拉斯貝爾特拉米運算元）。 另外一種把拉普拉斯運算元推廣到偽黎曼流形的方法，是透過拉普拉斯德拉姆運算元，它作用在微分形式上。這便可以透過外森比克恆等式來與拉普拉斯貝爾特拉米運算元聯絡起來。 參見 在圓柱和球座標系中的 del 參考文獻 外部連結 MathWorld Laplacian Derivation of the Laplacian in Spherical coordinates by Swapnil Sunil Jain Category 皮埃爾 西蒙拉普拉斯 Category 場論 Category 多變數微積分 Category 微分運算元 Category 調和函式