倒頻譜（cepstrum），顧名思義，就是將頻譜（spectrum）的英文前四個字母反過來寫。倒頻譜是為了某些時候，為了計算方便，將原來訊號的頻譜先轉成類似分貝的單位，再作逆傅立葉變換，把它視為一種新的訊號做處理。倒頻譜有複數倒頻譜，及實數倒頻譜。 倒頻譜被定義在 1963 的論文（Bogert 等）。定義如下： 字義：倒頻譜（訊號）是訊號頻譜取對數的傅立葉變換後的新頻譜（訊號），有時候會稱頻譜的倒頻譜。 數學上：訊號的倒頻譜 IFT log FT 訊號 j2πm （m 為實數） 演演算法：訊號 傅立葉變換 取絕對值 取對數 相位展開 逆傅立葉變換 倒頻譜 複數倒頻譜擁有頻譜大小跟相位的資訊，實數倒頻譜只有頻譜大小的資訊，各有各的不同應用。 複數倒頻譜與實數倒頻譜 複數倒頻譜 widehat xleft nright int _frac 1 2frac 1 2widehat Xleft Fright ej 2 pi F dF 其中 widehat Xleft Fright log X F j arg X F 可能遭遇的問題 1 log 0 infty 2 arg X n 有無限多的解 當輸入是實數時，因為 log X F 偶對稱，arg X F 奇對稱，所以複數倒頻譜的值為實數 實數倒頻譜 C left nright int _frac 1 2frac 1 2 log X F ej 2 pi Fn dF 可能遭遇的問題 1 log 0 infty 應用 倒頻譜可以被視為在不同頻帶上變化速率的資訊，倒頻譜一開始被發明在地震或炸彈產生的地震迴音，現今也被使用在分析雷達訊號，以及訊號處理等問題。 自相關倒頻譜 autocepstrum 被定義為倒頻譜的自相關性，自相關倒頻譜有時在分析處理回傳訊號時比倒頻譜還準確。 倒頻譜在處理人聲訊號以及音樂訊號有非常好的效果，例如梅爾頻率倒頻譜 MelFrequency Cepstrum，用來做聲音的辨認，偵測音高等。近年來梅耳倒頻譜也被應用在音樂資訊的回覆。 倒頻譜在聲學中可以將聲帶震動的影響去除。 倒頻譜用在處理多路徑問題時 如聲波的迴音、電磁波的折、反射等，如果將其他路徑幹擾視為雜訊，為了消除雜訊，利用倒頻譜，不需測量每條多路徑的延遲時間，可以利用傳送多次訊號，觀察其他路徑在倒頻譜上的效果，並且加以濾除。 語音大致上是由音高、聲帶脈衝、聲門波形所組成，我們可以利用倒頻譜將這三種元素在倒頻域上分開，以利於做語音訊號的分析。 倒頻譜的微分適用於影像處理上的圖形辨認 pattern recognition。 倒頻譜與同型聲音理論 homomorphic sound theory 有關。 倒頻譜觀念 頻譜圖上的獨立變數是頻率，而倒頻譜圖上的獨立變數為倒頻率 quefrency，倒頻率是一種時間的度量單位。舉個例子，聲音訊號取樣速率等於 44100 赫茲，在倒頻譜上有個很大的值在倒頻率等於 100，代表實際上在 44100100441 赫茲有很大的值，這值出現在倒頻譜上因為頻譜上週期性出現，而頻譜上出現的週期與倒頻譜很大的值出現的位置有關。 倒濾波器 濾波器 filter 常使用在頻譜上，用來儲存或刪除我們所要或不要的資訊，經過上面的許多討論，不難猜到，倒濾波器 lifter 就是在倒頻譜上所使用的濾波器。低通的倒濾波器跟低通濾波器有點類似，它可以藉由在倒頻譜上乘以一個 window 係數，使倒頻譜上的高倒頻率被壓抑，如此依來，當訊號轉回時域空間時會變成一個較平滑的訊號。 計算倒頻譜的方法 直接計算 IDTFT 反離散時間傅立葉變換 widehat xleft nright int _frac 1 2frac 1 2widehat Xleft Fright ej 2 pi F dF 問題 widehat Xleft Fright 可能會無限大，且對於 arg x n 有無限多個解 利用 Z 轉換的零點與極點 先對訊號做 Z 轉換，並整理一下係數，讓他變成下面的形式 Xleft Z rightcfrac A Zrprod_k1m_i1a_kZ1prod_k1m_01b_k Z prod_k1P_i1c_kZ1prod_k1P_01d_k Z 其中 left a_kright left b_kright left c_kright left d_kright leq 1 分子 第一項 A 是係數 第二項 Zr 是延遲 第三項是位於單位圓內的零點 第四項是位於單位圓外的零點 分母 第一項是位於單位圓內的極點 第二項是位於單位圓外的極點 對 Xleft Z right 取 log 變成 widehat Xleft Zright widehat Xleft Zrightlog Xleft Z rightlog A r log Z sum_k1m_i log 1a_kZ1 sum_k1m_0 log 1b_k Z sum_k1P_i log 1c_kZ1 sum_k1P_0 log 1d_k Z 假設 r0 因為這只是延遲，並不會破壞波形 根據 Z 轉換所得到的系數，我們可以利用泰勒展開得到 Z 的反轉換 widehat xleft nrightbegin cases log A mbox if n0 sum_k1m_i cfrac a_knn sum_k1P_i cfrac c_knn mbox if n0 sum_k1m_0 cfrac b_knn sum_k1P_0 cfrac d_knn mbox if n0 end cases 注意事項 1widehat xleft nright 總是 IIR 無限脈衝響應 2 對於 FIR 有限脈衝響應 的情況，c_k0 d_k0 利用 Z 轉換與微分 Z cdot widehat Xleft ZrightZ cdot cfrac Xleft ZrightXleft Zright Z Xleft Zright Z widehat Xleft Zright cdot Xleft Zright 對其做 Z 的反轉換 nx n sum_k inftyinfty k widehat xleft kright x nk 故 x n sum_k inftyinfty frac kn widehat xleft kright x nk quad for n neq 0 分別對於 x n 的四種不同的狀況做延伸 1 對於 x n 是因果 causal 和最小相位 minimum phase ie x nwidehat xleft nright0 n0 對於 x n sum_k inftyinfty frac kn widehat xleft kright x nk quad for n neq 0 可得出 x n sum_k0infty frac kn widehat xleft kright x nk quad for n0 故 x n widehat xleft nright x 0 sum_k0n1 frac kn widehat xleft kright x nk 2 對於 x n 是最小相位 minimum phase widehat xleft nrightbegin cases 0 mbox if n0 cfrac x nx 0 sum_k0n1 cfrac kn widehat xleft kright cfrac x nkx 0 mbox if n0 log A mbox if n0 end cases 3 對於 x n 是反因果 anticausal 且最大相位 maximum phase ie x nwidehat xleft nright0 n0 begin align x n sum_kn0 cfrac knwidehat xleft kright x nk quad for n0 widehat xleft nright x 0 sum_kn10 cfrac kn widehat xleft kright x nk end align 4 對於 x n 是最大相位 maximum phase widehat xleft nright begin cases 0 mbox if n0 cfrac x nx 0 sum_kn10 cfrac kn widehat xleft kright cfrac x nkx 0 mbox if n0 log A mbox if n0 end cases 特性 1 複數倒頻譜至少以 frac 1n 的速度衰退 widehat xleft nrightc frac alphann quad inftyninfty 其中 alpha max a_kb_kc_kd_k 2 如果 X Z 沒有在單位圓以外的零點和極點，則 widehat xleft nright0 quad for all n0 因為 b_kd_k0 3 如果 X Z 沒有在單位圓以內的零點和極點，則 widehat xleft nright0 quad for all n0 因為 a_kc_k0 4 如果 x n 是有限長度，則 widehat xleft nright 是無限長度 同態解卷積的應用 Application of Homomorphic Deconvolution 同態解卷積有非常多應用面，尤其是在聲學工程和語音分析方面的實用性 1 回聲的均衡化 y nx nalpha x nN_p 其中 y n 是接收到的訊號，x n 是原始訊號，N_p 是延遲的樣本數，alpha 是衰減係數 令 p n 是脈衝響應，描述原始訊號與回聲訊號之間的關係 p ndeltanalphadelta nN_p，其中 delta 是單位脈衝函式 y nx nalpha x nN_px np n 系統函式 P Z 1alpha ZN_p 透過對系統函式進行對數轉換，簡化回聲成分的分析和處理 hat PZ log 1alpha ZN_psum_k1infty1k1frac alphakk ZkN_p 將 hat PZ 轉換到時域 hat pnsum_k1infty1k1frac alphakkdeltank cdot N_P 2 聲學工程 y nx nh n，其中 y n 是合成音樂，x n 是原始音樂，h n 是脈衝響應 例如建築物空間的影響 3 語音分析 透過在 complex cepstrum domain 中進行濾波，分離這些成分，使得對語音訊號的理解和處理更為精確。 s ng nv np n，其中 s n 是語音波，g n 是全域性波形，v n 是聲道脈衝，p n 是音高， 是卷積 4 地震訊號分析 5 任意波傳播的多路徑分析 梅爾頻率倒頻譜 梅爾頻率倒頻譜是倒頻譜的一種應用，梅爾頻率倒頻譜常應用在聲音訊號處理，對於聲音訊號處理比倒頻譜更接近人耳對聲音的分析特性，而梅爾頻率倒頻譜與倒頻譜的差別在於 梅爾頻率倒頻譜的頻帶分析是根據人耳聽覺特性所設計，人耳對於頻率的分辨能力，是由頻率的 比值 決定，也就是說，人耳對 200 赫茲和 300 赫茲之間的差別與 2000 赫茲和 3000 赫茲之間的差別是相同的。 梅爾頻率倒頻譜是針對訊號的能量取對數，而倒頻譜是針對訊號原始在頻譜上的值取對數。 梅爾頻率倒頻譜是使用離散餘弦轉換，倒頻譜是用離散傅立葉變換。 梅爾頻率倒頻譜係數足夠描述語音的特徵。 梅爾頻率倒頻譜係數 MFCCs 的推導步驟： 將訊號做傅立葉變換 頻譜上的值取絕對值再平方成為能量，在乘上頻譜上對應的梅爾頻率倒頻譜三角重疊窗 window 的係數。 對每個梅爾頻率取對數。 作離散餘弦轉換。 求得梅爾頻率倒頻譜係數。 梅爾頻率倒頻譜應用 梅爾頻率倒頻譜係數常利用在辨認語音技術上，例如辨認電話中說話的人的身份。 利用每種樂風、或樂器在梅爾頻域上有不同特性來分析音樂的種類與型別，並且可以加以分類。 雜訊敏感性 梅爾頻率倒頻譜係數很容易被外來的雜訊所破壞，因此有些研究結果指出，在求梅爾頻率倒頻譜係數時，在作離散餘弦轉換前，提升適當的能量 大約 2 或 3 倍，以減少雜訊在低能量成份的影響。 梅爾頻率倒頻譜優點 相較於原始的倒頻譜 有絕對值平方 卷積 倒頻譜領域上的一項重要的特性為二訊號卷積之產生，其產生之程式為二倒頻譜值 cepstra 之相加： x_1 x_2 rightarrow x_1 x_2 微分倒頻譜 differential cepstrum 定義 widehat x_d n Z1frac XZX Z 或 widehat x_d n int_frac 12frac 12frac XFX F ei2 pi F dF frac ddZwidehat X_d Z frac ddZ logX Z frac XZX Z If x n x_1 nx_2 n X Z X_1 Z X_2 Z XZ X_1Z X_2 ZX_1 Z X_2Z frac XZX Z frac X_1ZX_1 Zfrac X_2ZX_2 Z therefore widehat x_d n widehat x_1dnwidehat x_2dn 優點 a 沒有模糊的相位 b 可以處理延遲問題 特性 1 微分倒頻譜在 shift 和 scaling 時，結果不改變。 ex y n AX nr Rightarrow widehat y_d n begin cases widehat x_d nn neq 1 r widehat x_d 1n 1 end cases proof Y z Azr X z Y z Azr XzrAzr1 X z frac YzY z frac XzX z rz1 2 複數倒頻譜 widehat Cn 與 微分倒頻譜 widehat x_d n 和原訊號 x n 有關 widehat Cn frac widehat x_d n1n n neq 0 diff cepstrum n1 x n1 sum_k inftyinfty widehat x_d n x nk recursive formula Rightarrow 複數頻譜做得到的事情，微分倒頻譜也做得到 3 如果 x n 是最小相位 minimum phase 則 widehat x_d n0 當 n leq 0 minimum phase 意思為 no poles 或 zeros 在單位圓外 4 如果 x n 是最大相位 maximum phase 則 widehat x_d n0 當 n geq 2 maximum phase 意思為 no poles 或 zeros 在單位圓內 5 如果 x n 為有限區間，則 widehat x_d n 為無限區間 複數倒頻譜的衰減率反比於 n 微分倒頻譜的衰減率下降 therefore widehat x_d n1 nwidehat cn varpropto n frac 1n 1 範例 x 0 1x 1 05 otherwise 0 Find its cepstrum x n quad stackrel Z transformlongrightarrow quad X Zquad stackrel loglongrightarrow quad widehat XZ quad stackrel Z1longrightarrowquad widehat xn step 1 Z transform X Z 105Z1pole 05 step 2 log widehat XZ sum_k1m_i log 105Z1 step 3 reverse Z transform widehat xn sum_n0N frac 05nnn0 widehat x 01 otherwise 0 Find its inverse cepstrum widehat x n quad stackrel Z transformlongrightarrow quad widehat X Zquad stackrel explongrightarrow quad XZ quad stackrel Z1longrightarrowquad xn step 1 Z transform widehat X nZ1 step 2 exp e frac 1z sum_n0infty frac frac 1znn step 3 reverse Z transform x n begin cases frac 1nn geq 0 0 otherwiseend cases Suppose that an IIR filter is H Z frac 2z34z2z22z22z1 x n quad stackrel Z transformlongrightarrow quad X Zquad stackrel loglongrightarrow quad widehat XZ quad stackrel Z1longrightarrowquad widehat xn step 1 Z transform H Z frac 2 z zfrac sqrt 22 z1 zfrac sqrt 22 z1 1frac 12 z 1frac 1j2 z1 1frac 1j2 z1 step 2 log widehat HZ log 23log z log 1pmfrac sqrt 22 z1log 1frac 12 zlog 1frac 1pm j2 z1 step 3 reverse Z transform widehat hn begin cases log 2n 0 displaystyle frac frac sqrt 22n frac sqrt 22n n frac frac 1j2n frac 1j2n nn0 displaystyle frac frac 12nnn0end cases 參考文獻 B P Bogert M J R Healy and J W Tukey The quefrency analysis of time series for echoes cepstrum pseudoautocovariance crosscepstrum and saphe cracking Proceedings of the Symposium on Time Series Analysis M Rosenblatt Ed Chapter 15 209243 New York Wiley 1963 D G Childers D P Skinner R C Kemerait The Cepstrum A Guide to Processing Proceedings of the IEEE Vol 65 No 10 October 1977 pp 14281443 JianJiun Ding Advanced Digital Signal Processing class notethe Department of Electrical Engineering National Taiwan University NTU Taipei Taiwan 2008 JianJiun Ding Advanced Digital Signal Processing class notethe Department of Electrical Engineering National Taiwan University NTU Taipei Taiwan 2024 category 訊號處理