策梅洛 弗蘭克爾集合論，是數學基礎中最常用的一階公理化集合論。含選擇公理時常簡寫為 ZFC，不含選擇公理的則簡寫為 ZF。它是二十世紀早期為了建構一個不會導致類似羅素悖論的矛盾的集合理論所提出的一個公理系統。 介紹 ZFC 旨在構建自一個單一的基本本體論概念集合，和一個單一的本體論假定，就是在論域中所有的個體（就是所有數學物件）都是集合。有一個單一的基本二元關係集合成員關係；集合 a 是集合 b 的成員寫為 ain b（通常讀做 a 是 b 的元素）。ZFC 是一階理論，所以 ZFC 包括後臺邏輯是一階邏輯的公理。這些公理支配了集合的行為和互動。ZFC 是標準形式的公理化集合論。使用 ZFC 的大量的正在進行中的普通數學推導請參見 Metamath 線上計劃。 在 1908 年，恩斯特策梅洛提出了第一個公理化集合論，即策梅洛集合論。然而，這個公理系統無法構建出序數的集合；而序數是許多集合論研究的根本工具。此外，Zermelo 的分類公理中使用了被稱作 明確性 的性質，而它的實際意義是有歧義的（此時一階邏輯的概念還未被提出）。在 1922 年，和獨立的提議了定義 明確性 為可以在一階邏輯中公式化並原子公式僅包括集合的公式。他們還同時提出應該用替代公理取代分類公理，並在體系中新增正規公理（首先由 馮諾依曼提出），從而得到了被稱作 ZF 的公理體系。 再向 ZF 增加選擇公理就誕生了 ZFC。選擇公理曾飽受爭議，因為選擇函式的存在性是非構造性的；選擇公理確立了選擇函式的存在，而不說明如何構造這些函式。所以使用選擇公理構造的一些集合，儘管可以證明其存在，但可能無法詳細、描述性地構造出。因此，當一個結論依賴於選擇公理時，有時會被明確地指出。 ZFC 一般由一階邏輯寫出，實際上包含了無窮多個公理，因為替代公理實際上是公理模式。理查德蒙塔古證明了 ZFC 和 ZF 集合論二者都不能用有限個公理來公理化。在另一方面，馮諾伊曼 博內斯 哥德爾集合論（Von NeumannBernaysGödel NBG）可以被有限公理化。NBG 的物件同時包括集合和類；類是有含有元素但不在其他任何類中的實體。NBG 和 ZFC 事實上是等價的，即所有不以任何方式提及類的定理在兩個公理體系中同時可以證明或同時不能證明。 依據哥德爾第二不完備定理，ZFC 的一致性不能在 ZFC 之內證明。ZFC 的延展包括了通常意義上的大部分數學，所以 ZFC 的相容性不能在其他數學分支中證明。ZFC 的相容性可從弱不可達基數的存在 獨立於 ZFC 而得出。幾乎沒有人懷疑 ZFC 有什麼矛盾；通常認為，如果 ZFC 事實上不自洽，那相應的例子早就應該被發現了。可以肯定的是，ZFC 避開了樸素集合論的三大悖論，羅素悖論、布拉利 福爾蒂悖論和康托爾悖論。 文獻中討論過的 ZFC 的缺陷包括： 它比幾乎所有普通數學所要求的程度還要強（Saunders MacLane 和所羅門費弗曼這麼認為）； 相對於其他集合論的公理化，ZFC 相對要弱。例如，它不允許全集合（如新基礎）或類（如 NBG）的存在； Saunders MacLane（範疇論的締造者之一）和其他人爭論說任何公理化集合論對於實際上的數學工作方式而言都是不正當的。依據他的觀點，數學不是關於抽象物件的蒐集和它們的性質的學科，而是關於結構和結構保持的對映的學科。 基本符號 ZFC 有許多等價的形式對這些等價的公式的一個豐富但有點過時的討論，請見 Fraenkel et al 1973。下列的公理是由丘嫩於 1980 年提出。公理本身以一階邏輯來敘述。 本條目定理的證明會頻繁引用一階邏輯的定理，定理的代號可以參見常用的推理性質一節。 以下把 vdash_ZFC 和 vdash_ZF 都簡寫為 vdash，除了強調使用選擇公理的情況。 斷言符號 在下，「屬於關係」以一個雙元斷言符號 P xy 來表示， P xy 通常簡記為 x in y ，並被直觀理解成「x 屬於 y」；類似地， P xy 的否定 neg P xy 通稱被簡記為 x notin y ，並被直觀理解為「x 不屬於 y」。 另外，丘嫩的系統以一個雙元斷言符號 Q xy 來表示「相等關係」（通常簡記為 x y ），且 x y 被預先的假設為理論裡的相等符號，換句話說，對於 x y 有以下的隱含公理：習慣上會把 neg x y 簡記成 x neq y。 包含 但所談及的一切物件為「集合」，直觀上「x 包含於 y」意為「所有 x 的元素 a 都會屬於 y」，以此為動機，有以下的符號簡寫 x subseteq y forall a a in x Rightarrow a in y 以上可稱為「x 包含於 y」，也可稱為「x 是 y 的子集」。注意到 a 須為展開這個簡寫時首次出現的變數，才能避免與其他變數混淆。 外延公理 目前內沒有任何函式符號，而且一開始就假設 x y 為理論裡的相等符號，所以依據一階邏輯的等式定理一節應有： vdash x yRightarrow z in x Rightarrow z in y vdash y xRightarrow z in y Rightarrow z in x vdash x yRightarrow y x 這樣結合 AND 和演繹元定理就有： vdash x yRightarrow z in x Leftrightarrow z in y 對上式使用 GEN 有： vdash forall zx y Rightarrow z in x Leftrightarrow z in y 再結合量詞公理 A5 就有： vdash x y Rightarrow forall zz in x Leftrightarrow z in y 注意對外延公理 ext 使用兩次量詞公理 A4 會有： vdash forall zz in x Leftrightarrow z in y Rightarrow x y 這樣結合 AND 就有： vdash x yLeftrightarrow forall zz in x Leftrightarrow z in y 也就是外延公理 ext 搭配等號公理，可以推出「兩個集合相等，若它們有相同的元素。」 視相等符號為公式 除了一開始就假設 xy 為的相等符號，也可以一開始做如下的符號定義，將 x y 定義為以下合式公式的簡寫：Hatcher 1982 p 138 def 1 x y forall zz in x Leftrightarrow z in y land forall zx in z Leftrightarrow y in z （z 須為展開這個簡寫時首次出現的變數） 直觀上，這個符號定義表示「兩個集合相等，若它們有相同的元素；且它們會屬於同個集合」 如此一來，就不需要外延公理，也可以確保 x y 為理論裡的相等符號： 證明 以下的證明會逐條檢驗等式定理一節所條列的定義 （E1）： x x 展開來是 forall zz in x Leftrightarrow z in x land forall zx in z Leftrightarrow x in z 那考慮到恆等關係和 AND 有 vdash z in x Leftrightarrow z in x vdash x in z Leftrightarrow x in z 那再套用 GEN 有 vdash forall zz in x Leftrightarrow z in x vdash forall zx in z Leftrightarrow x in z 對上兩式使用 AND 有 vdash forall zz in x Leftrightarrow z in x land forall zx in z Leftrightarrow x in z 所以（E1）得證。 （E2）： 目前內沒有任何函式符號，所以對變數 x 來說，的原子公式只有 x in z 和 z in x 兩種可能，這樣的話，（E2）等同於要求以下兩式是的定理 1 x y Rightarrow x in z Rightarrow y in z 2 x y Rightarrow z in x Rightarrow z in y 對 x y 使用 AND 有 x y vdash forall zx in z Leftrightarrow y in z x y vdash forall zz in x Leftrightarrow z in y 那上兩式搭配量詞公理 A4 與 D1 會有 x y vdash x in z Leftrightarrow y in z x y vdash z in x Leftrightarrow z in y 對上面兩式使用 AND 和 D1 就有 x y vdash x in z Rightarrow y in z x y vdash z in x Rightarrow z in y 所以根據演繹元定理，（E2）得證。 （E3）： 本條定義要求以下的合式公式為的定理 x y Rightarrow y x 從且的交換性有 vdash forall zz in x Leftrightarrow z in y Rightarrow forall zz in y Leftrightarrow z in x vdash forall zx in z Leftrightarrow y in z Rightarrow forall zy in z Leftrightarrow x in z 對上面兩式使用 AND 和 D1 就有 x y vdash forall zz in y Leftrightarrow z in x xy vdash forall zy in z Leftrightarrow x in z 再對上面兩式使用 AND 和 D1 又有 x y vdash yx 所以（E3）的確是的定理。 綜上所述， x y 的確為理論裡的相等符號。Box 但採用這個符號定義的與丘嫩的是兩套不等效的理論，因為在丘嫩的裡沒有以下的定理： vdash x in z Leftrightarrow y in z Rightarrow x y 真子集 在定義「相等」以後，可以把「相等的集合」排除出子集的定義中，換句話說，有以下的符號定義 xsubset y x subseteq y wedge x neq y 可直觀理解為「x 是 y 的真子集」。 正規公理 「每個非空集合 x 都包含一個成員 y，使得 x 和 y 不相交。」 替代公理 Axiom schema of replacement 令 phi 是 ZFC 語言內的任意公式，其自由變數有 xyAw_1ldotsw_n ，但 B 在 phi 則不是自由的。則： forall Aforall w_1ldotsw_n bigl forall x xin A Rightarrow existsyphi Rightarrow exists B forall x bigl xin A Rightarrow exists y yin B land phibigrbigr。 「若一個可定義的函式 f 的定義域為一集合，且對定義域的任一 x，f x 也都是集合，則 f 的值域會是一個集合的子集。」這個限制被需要用來避免一些悖論。 分類公理 「對每個集合 x 和任意不含變數 s 的公式 mathcal P ，都有某 x 的子集合 s ，裡面的成員都滿足 mathcal P 」 分類公理事實上是以集合建構式符號為動機。構成的集合通常使用來標記。給定一集合 z 和具有一自由變數 x 的公式 phi x，則由所有在 z 內，滿足 phi 的 x 所組成的集合，標記為 x in z phi x。 分類公理可以用來證明空集（標記為 varnothing）的存在，只要至少已存在一個集合。通常的方法是找一個所有集合都沒有的性質。例如，設 w 是一個已存在的集合，而空集可定義為 varnothing u in w mid u in u land lnot u in u 若背景邏輯包含等式，也可定義空集為 varnothing u in w mid lnot u u 因此，空集公理可由此處的九個公理中匯出。外延公理還可證明空集是唯一的（不依賴 w）。通常會以定義性擴充套件，將符號 varnothing 加至 ZFC 語言中。 分類元定理 分類公理也可以由替代公理和空集公理中匯出，而視為一條元定理： 配對公理 Axiom of pairing 若 x 和 y 是集合，則存在一個集合包含 x 和 y。 forall x forall y exist z x in z land y in z。 這個公理是 Z 的一部份，但在 ZF 中就顯得多餘，因為它可以由將替代公理應用至任意有兩個成員的集合上匯出。此類集合的存在性可由將無窮公理或冪集公理應用兩次至空集上得到。 聯集公理 Axiom of union 對任一個集合 mathcal F，總存在一個集合 A，包含每個為 mathcal F 的某個成員的成員的集合。 forall mathcal F exists A forall Y forall x x in Y land Y in mathcal F Rightarrow x in A。 無窮公理 Axiom of infinity 令 S x 為 x cup x ，其中 x 為某個集合，則存在一個集合 X，使得空集 varnothing 為 X 的成員，且當一個集合 y 為 X 的成員時，S y 也會是 X 的成員。 exist X left varnothing in X land forall y y in X Rightarrow S y in Xright 。 較口語地說，存在一個有無限多成員的集合 X。滿足無窮公理的最小集合 X 為馮諾伊曼序數 omega，這個序數也可想成是自然數的集合 mathbb N。 冪集公理 Axiom of power set 令 z subseteq x 為 forall q q in z Rightarrow q in x。對任一個集合 x，皆存在一個集合 y，為 x 的冪集的父集。x 的冪集為一個其成員為所有 x 的子集的類。 forall x exists y forall z z subseteq x Rightarrow z in y。 選擇公理 Wellordering theorem 對任一集合 X，總存在一個可良好排序 X 的二元關係 R。這意指著，R 是 X 上的全序關係，且 X 內每個非空子集在 R 下都有一個最小元素。 forall X exists R R mbox wellorders X。 若給定前八個公理，就可以找到許多個和第九個公理等價的敘述，最著名的則為選擇公理，其敘述如下：令 X 為一非空集合，則存在一從 X 對映至 X 內成員的聯集的函式（稱為「選擇函式」），可使得對所有的 Y in X 都會有 f Y in Y。因為當 X 為有限集合時，選擇函式的存在性很容易由前八個公理中證出，所以選擇公理只在無限集合中有意義。選擇公理被認為是非結構的，因為它只宣告一個選擇集合的存在，但完全不講這個選擇集合是如何被「建構」出來的。 參見 康托爾定理 公理化集合論 策梅洛集合論 新基礎集合論 ZFC 系統無法確定的命題列表 參考資料 文獻 亞歷山大阿比安，1965 The Theory of Sets and Transfinite Arithmetic W B Saunders Keith Devlin 1996 1984 The Joy of Sets Springer Abraham Fraenkel Yehoshua BarHillel and Levy Azriel 1973 1958 Foundations of Set Theory North Holland Hatcher William 1982 1968 The Logical Foundations of Mathematics Pergamon Jech Thomas 2003 Set Theory The Third Millennium Edition Revised and Expanded Springer ISBN 3540440852 Kunen Kenneth 1980 Set Theory An Introduction to Independence Proofs Elsevier ISBN 0444868399 Suppes Patrick 1972 1960 Axiomatic Set Theory Dover Tourlakis George 2003 Lectures in Logic and Set Theory Vol 2 Cambridge Univ Press Jean van Heijenoort 1967 From Frege to Godel A Source Book in Mathematical Logic 18791931 Harvard Univ Press Includes annotated English translations of the classic articles by Zermelo Frankel and Skolem bearing on ZFC 外部連結 Metamath An online project building a great deal of mathematics from firstorder logic and ZFC Principia Mathematica done right Stanford Encyclopedia of Philosophy Set Theory by Thomas Jech