多重積分是定積分的一類，它將定積分擴充套件到多元函式（多變數的函式），例如求 f xy 或者 f xyz 型別的多元函式的積分。 簡介 正如單變數的正函式的定積分代表函式影像和 x 軸之間區域的面積一樣，正的雙變數函式的雙重積分代表函式所定義的曲面和包含函式定義域的平面之間所夾的區域的體積。（注意同樣的體積也可以透過三變數常函式 f x y z 1 在上述曲面和平面之間的區域中的三重積分得到。若有更多變數，則多元函式的多重積分給出超體積。 n 元函式 f x1 x2 xn 在定義域 D 上的多重積分通常用巢狀的積分號按照演算的逆序標識（最左邊的積分號最後計算），後面跟著被積函式和正常次序的積分變數（最右邊的變數最後使用）。積分域或者對每個積分變數在每個積分號下標識，或者用一個變數標在最右邊的積分號下： int ldots int_mathbf Df x_1x_2ldotsx_n mathrm d x_1 ldotsmathrm d x_n 因為不可能計算多於一個自變數的函式的不定積分，不定 多重積分是不存在的。因此所有多重積分都是 定 積分。 通常在座標系中，多重積分都利用巢狀的累次積分計算。而累次積分為了簡便可記為： int_varphi_1psi_1mathrm d x_1int_varphi_2 x_1psi_2 x_1mathrm d x_2dotsint_varphi_n x_1x_2dotsx_n1psi_n x_1x_2dotsx_n1f x_1x_2dotsx_nmathrm d x_n 其中積分域為： Dleftx_1x_2dotsx_nvarphi_1le x_1lepsi_1varphi_2 x_1le x_2lepsi_2 x_1dotsvarphi_n x_1x_2dotsx_n1le x_nlepsi_n x_1x_2dotsx_n1right 注意的是，該式一般情況下並不表示多個定積分的積，在實際計算中從最右側積分變數開始積分，其結果會作為外一層積分的被積函式。 範例 譬如，邊長為 4 6 5 的長方體的體積可以透過兩種方法得到： 透過函式 f x y 5 在 xy 平面中的區域 D，也就是長方體的底上的雙重積分 iint_mathrm D 5 mathrm d x mathrm d y 或者是常函式 1 在長方體上的三重積分 iiint 1mathrm d x mathrm d y mathrm d z 1 可以省略不寫 數學定義 令 n 為大於 1 的自然數。考慮所謂的半開 n 維矩形（下面簡稱矩形）。對於平面，n2。 Ta_1 b_1times a_2 b_2timescdots times a_n b_nsubset mathbb Rn。 將每個區間 ai bi 分成有限個不重疊的子區間，每個都是左閉右開。將子區間記為 Ii。則，所有所有如下形式的子矩形的族 CI_1times I_2times cdotstimes I_n 是 T 的一個劃分，也即，子矩形 C 是互不重疊的，而且它們聯集為 T。C 中的子矩形的直徑按照定義是 C 中最大的邊長，而 T 的劃分的直徑定義成劃分中的所有子矩形的最大直徑。 令 f T R 為定義在 T 上的函式。考慮如上定義的 T 的劃分 TC_1cup C_2cup cdots cup C_m 其中 m 是正整數。如下形式的和稱為黎曼和 sum_k1m f P_k operatorname mC_k 其中，對於每個 k，點 Pk 在 Ck 中，而 m Ck 是笛卡爾積為 Ck 的區間的邊長之積。 函式 f 稱為黎曼可積，如果如下極限存在 S lim_delta to 0 sum_k1m f P_k operatorname m C_k 其中極限取遍所有直徑小於 δ 的 T 的劃分。若 f 黎曼可積，S 稱為 f 在 T 上的黎曼積分。記為 int_Tf xmathrm d x。 定義在任意有界 n 維集合上的函式的黎曼和可以透過將函式延拓到一個半開半閉矩形上來求出，其取值在原來的定義域之外為 0。然後，原來的函式的積分就定義為延展的函式在矩形區域中的積分（如果存在的話）。 下文中 n 維黎曼積分簡稱多重積分。 性質 多重積分具有很多與單變數函式的積分一樣的性質（線性，可加性，單調性，等等）。而且，和單變數情況一樣，可以用多重積分找出函式在給定集合上的積分。具體來講，給定集合 D Rn 和 D 上的可積函式 f，f 在定義域上的平均值為 bar f frac 1m D int_D f x mathrm d x 其中 m（D）是 D 的測度。 特例 T R2 時，積分 ell iint_T f xy mathrm d x mathrm d y 是 f 在 T 上的雙重積分，而若 T R3，積分 ell iiint_T f xyz mathrm d x mathrm d y mathrm d z 是 f 在 T 上的三重積分。 注意，按常規，雙重積分用兩個積分號，而三重積分有三個；這只是記法上方便，也是為了透過重複積分來計算多重積分（參看本條目後文）。 積分方法 多重積分問題的解決在多數情況下依賴於將多重積分轉化為一系列單變數積分，而其中每個單變數積分都是直接可解的。 直接檢驗 有時可以直接獲得積分的結果，而無需任何直接計算。 常數 在常函式的情況中，結果很直接：只要將常函式 c 乘以測度就可以了。如果 c 1，而且是在 R2 的子集中積分，則乘積就是區域面積，而在 R3 中，它就是區域的體積。 例如： D xy in mathbb R2 2 le x le 4 3 le y le 6 and f xy 2 在 D 上積分 f： int_36 int_24 2 mathrm d x mathrm d y mbox areaD cdot 2 2 cdot 3 cdot 2 12。 利用可能的對稱性 如果定義域存在沿著某條軸的對稱性而且函式對於那個變數是奇函式，則積分為 0（因為相反的兩部分加起來為 0）。 對於 Rn 中的函式，只要相關變數對於形成對稱的軸是奇變數就可以了。 例一 給定 f xy 2 sin x3y35 以及 Tleft xy in mathbf R2 x2y2le 1 right 為積分割槽域（半徑為 1 的圓盤，包含邊界）。 利用線性性質，積分可以分解為三部分： iint_T 2sin x 3y3 5 mathrm d x mathrm d y iint_T 2 sin x mathrm d x mathrm d y iint_T 3y3 mathrm d x mathrm d y iint_T 5 mathrm d x mathrm d y 2sin x 和 3y3 都是奇函式，而且顯然 T 對於 x 和 y 軸都是對稱的；因此唯一有貢獻的部分是常函式 5 因為其它兩個都貢獻 0 例二： 考慮函式 f xyzx exp y2z2 以及圓心在原點的半徑為 2 的球 T left xy z in mathbf R3 x2y2z2 le 4 right 該球顯然是對於三條軸都對稱，但是隻要對於 x 軸積分就可以看出結果是 0，因為 f 對於該變數是奇函式。 簡化公式 簡化公式基於簡單積分割槽域來將多重積分轉化為單變數積分的序列。它們必須從右至左計算，過程中將其它變數暫時視為常數（和偏導數的計算類似）。 R2 中的常規區域 此種方法適用於滿足下述條件的任何定義域 D D 投影到 x 軸或 y 軸任一軸，形成一個有邊界的範圍，以 a b 代表邊界值。 透過 a b 兩點並與 overline ab 垂直的直線與 D 相交後的兩個端點，可以用 2 個函式 alpha beta 定義。 x 軸 將 D 對 x 軸做垂直投影，函式 f D longrightarrow mathbb R 是連續函式，並且 D 可以視為（定義在 ab 區間上的）αx 和 βx 之間的區域。則 iint_D f xy mathrm d x mathrm d y int_ab mathrm d x int_alpha xbeta x f xy mathrm d y y 軸 將 D 對 y 軸做垂直投影，函式 f D longrightarrow mathbb R 是連續函式，並且 D 可以視為（定義在 ab 區間上的）αy 和 βy 之間的區域。則 iint_D f xy mathrm d x mathrm d y int_ab mathrm d y int_alpha ybeta y f xy mathrm d x 範例 考慮區域：D xy x ge 0 y le 1 y ge x2 （參看附圖）。計算 iint_D xy mathrm d x mathrm d y 該區域可以沿 x 或者 y 軸分解。要採用公式，必須先找到限制 D 的兩個函式和定義區間。 這個例子中，這兩個函式為： alpha x x2 和 beta x 1 而區間為 ab 01（這裡為了直觀起見採用沿 x 軸分解）。 應用簡化公式，得到： iint_D xy mathrm d x mathrm d y int_01 mathrm d x int_x21 xy mathrm d y int_01 mathrm d x left xy frac y22 right1_x2 （首先，第二個積分將 x 作為常數）。然後就是用積分的基本技術： int_01 left xy frac y22 right1_x2 mathrm d x int_01 left x frac 12 x3 frac x42 right mathrm d x cdots frac 1320。 如果沿著 y 軸分解，可以計算 int_01 mathrm d y int_0sqrt y xy mathrm d x 並得到同樣的結果。 R3 中的分解 這些公式可以推廣到三重積分： T 是一個可以投影到 xy 平面的體，它夾在 α xy 和 βxy 兩個函式之間。那麼： iiint_T f xyz mathrm d x mathrm d y mathrm d z iint_D mathrm d x mathrm d y int_alpha xybeta xy f xyz mathrm d z （此定義和其它 R3 中的分解類似）。 變數替換 積分的極限常常不易交換（區域無法分解或者公式很複雜），這時可以採用變數替換來重寫積分，令區域更加簡易，從而可以用更簡單的公式表達。為此，函式必須變換到新座標系下。 例（1a） 函式為 f x y x12 sqrt y 若採用替換 x x1 y y 則 x x 1 yy 可以得到新函式 f_2 xy x2 sqrt y 對於定義域要進行類似處理，因為原來是採用變換前的變量表達的（本例中的 x 和 y）。 微分 dx 和 dy 要透過包含被替換的變數對於新變數的偏微分的雅可比行列式來變換。（譬如，極座標的微分變換）。 常用的變數替換有三種（R2 中一種，R3 中兩種）；但是，更普遍的變換可以用同樣的原理來發現。 極座標 在 R2 中，若定義域有某種圓形對稱性而函式也有某種特徵，則可以採用極座標變換（參看圖中的例子），也就是說將點 P xy 從笛卡爾座標變換到相應的極座標中。這使得定義域的形狀改變，從而簡化運算。 該變換的基本關係如下： f xy rightarrow f rho cos phirho sin phi。 例（2a） 函式為 f xy x y 應用該變換得到 f rho phi rho cos phi rho sin phi rho cos phi sin phi。 例（2b） 函式為 f xy x2 y2 這裡有： f rho phi rho2 cos2 phi sin2 phi rho2 這裡使用了勾股定理（在簡化操作時很有用）。 定義域的變換是根據 x 和 y 透過環厚和角度的幅度來限定 ρ φ 的區間。 例（2c） 區域為 D x2 y2 le 4，圓周半徑 2；很明顯，這個區域所覆蓋的角度是整個圓周角，所以 φ 從 0 變化到 2π，而環半徑從 0 變化到 2（內環為 0 的環形就是圓）。 例（2d） 區域為 D x2 y2 le 9 x2 y2 ge 4 y ge 0 ，這是在正 y 半平面中的圓環（參看示意圖）；注意 φ 表示平面角而 ρ 從 2 變化到 3。因此變換出來的區域為矩形： T 2 le rho le 3 0 le phi le pi 該變換的雅可比行列式為： frac partial xypartial rho phi begin vmatrix cos phi rho sin phi sin phi rho cos phi end vmatrix rho 這可以透過將 x ρ cos φ y ρ sin φ 代入關於 ρ 的第一行和關於 φ 的第二行的偏微分中得到，所以微分 dx dy 變換為 ρ dρ dφ 一旦函式和區域的變換完成後，可以定義極座標中的變數變換公式： iint_D f xy mathrm d x mathrm d y iint_T f rho cos phi rho sin phi rho mathrm d rho mathrm d phi。 注意 φ 在 0 2π 區間中有效，而 ρ 測量長度，因此只能取非負值。 此外，應用變數變換公式的前提是，雅可比行列式的值在變換後的積分變數 如此例中的 ρ 和 φ 組成的有界閉區域 如此例中 φ 和 ρ 構成的二維域 上恆不為零。但是在極座標中當且僅當 ρ 為零時，才有雅可比行列式為零，故可證明該變數變換公式成立。 例 2e 函式為 f xy x 區域和例 2d 相同。 從前面對 D 的分析，我們知道 ρ 的區間為 23，而 φ 的為 0π 函式變換為： f xy x longrightarrow f rhophi rho cos phi。 最後，應用積分公式： iint_D x mathrm d x mathrm d y iint_T rho cos phi rho mathrm drho mathrm dphi。 一旦區間給定，就可以得到 int_0pi int_23 rho2 cos phi mathrm d rho mathrm d phi int_0pi cos phi mathrm d phi left frac rho33 right_23 left sin phi right_0pi left 9 frac 83 right 0。 柱極座標 R3 中，在有圓形底面的定義域上的積分可以透過變換到柱極座標系來完成；函式的變換用如下的關係進行： f xyz rightarrow f rho cos phi rho sin phi z 區域的變換可以從圖形中得到，因為底面的形狀可能不同，而高遵循初始區域的形狀。 例（3a） 區域為 D x2 y2 le 9 x2 y2 ge 4 0 le z le 5 （也即底面為例 2d 中的圓環的高度為 5 的 管道）；如果採用變換，可以得到區域 T 2 le rho le 3 0 le phi le pi 0 le z le 5 （這是一個底面為例 2d 中的矩形而高為 5 的長方體）。 因為 z 分量沒有變化，dx dy dz 和在極座標中一樣變化：變為 ρ dρ dφ dz。 最後，變換到柱極座標的最後公式為： iiint_D f xyz mathrm d x mathrm d y mathrm d z iiint_T f rho cos phi rho sin phi z rho mathrm drho mathrm dphi mathrm d z。 這個方法在柱形或者錐形區域的情況較為適用，也適用於容易分辨 z 區間和變換圓形底面和函式的其它情況。 例（3b） 函式為 f xyz x2 y2 z 而積分割槽域為圓柱 D x2 y2 le 9 5 le z le 5 將 D 變換到柱極座標如下： T 0 le rho le 3 0 le phi le 2 pi 5 le z le 5 。 函式變為 f rho cos phi rho sin phi z rho2 z 最有應用積分公式： iiint_D x2 y2 z mathrm d x mathrm d y mathrm d z iiint_T rho2 z rho mathrm drho mathrm dphi mathrm d z 推演一下公式，得到 int_55 mathrm d z int_02 pi mathrm dphi int_03 rho3 rho z mathrm drho 2 pi int_55 left frac rho44 frac rho2 z2 right_03 mathrm d z 2 pi int_55 left frac 814 frac 92 zright mathrm d z cdots 405 pi 球極座標 R3 中，有些區域有球形對稱性，所以將積分割槽域的每點用兩個角度和一個距離標識較為合適。因此可以採用變換到球極座標系；函式變換由如下關係產生： f xyz longrightarrow f rho cos theta sin phi rho sin theta sin phi rho cos phi 注意 z 軸上的點沒有唯一表示，theta 可以在 0 到 2π 間變化。 這個方法最為適用的區域顯然是球。 例（4a） 區域為 D x2 y2 z2 le 16（球心在原點半徑為 4 的球）；應用變換後得到：T 0 le rho le 4 0 le phi le pi 0 le theta le 2 pi 。 座標變換的雅可比行列式為： frac partial xyzpartial rho theta phi begin vmatrix cos theta sin phi rho sin theta sin phi rho cos theta cos phi sin theta sin phi rho cos theta sin phi rho sin theta cos phi cos phi 0 rho sin phi end vmatrix rho2 sin phi 因此 mathrm d x mathrm d y mathrm d z 變換為 rho2 sin phi mathrm drho mathrm dtheta mathrm dphi 得到最後公式 iiint_D f xyz mathrm d x mathrm d y mathrm d z iiint_T f rho sin theta cos phi rho sin theta sin phi rho cos theta rho2 sin phi mathrm drho mathrm dtheta mathrm dphi。 應當在積分割槽域為球形對稱並且函式很容易透過基本三角公式簡化的時候才使用這個方法。（參看例 4b）；其它情況下，可能使用柱極座標更為合適（參看例 4c）。 iiint_T f abc rho2 sin phi mathrm drho mathrm dtheta mathrm dphi。 注意從雅可比行列式來的 rho2 和 sin phi 因子。 注意下面例子中，φ 和 θ 的作用反過來了。 例（4b） D 和例 4a 相同，而 f xyz x2 y2 z2 是被積函式。 很容易變換為： f rho sin theta cos phi rho sin theta sin phi rho cos theta rho2， 而從 D 到 T 的變換是已知的： 0 le rho le 4 0 le phi le 2 pi 0 le theta le pi。 應用積分公式： iiint_D x2 y2 z2 mathrm d x mathrm d y mathrm d z iiint_T rho2 rho2 sin theta mathrm drho mathrm dtheta mathrm dphi 並展開： iiint_T rho4 sin theta mathrm drho mathrm dtheta mathrm dphi int_0pi sin theta mathrm dtheta int_04 rho4 mathrm d rho int_02 pi mathrm dphi 2 pi int_0pi sin theta left frac rho55 right_04 mathrm d theta 2 pi left frac rho55 right_04 left cos theta right_0pi 4 pi cdot frac 10245 frac 4096 pi5。 例（4c） 區域 D 是球心在原點半徑為 3a 的球（D x2 y2 z2 le 9a2 ）而 f xyz x2 y2 是被積函式。 看起來採用球極座標變換較為合適，但是事實上，限定新區域 T 的變數很明顯應該是： 0 le rho le 3a 0 le phi le 2 pi 0 le theta le pi。 但是採用這個變換就有 f xyz x2 y2 longrightarrow rho2 sin2 theta cos2 phi rho2 sin2 theta sin2 phi rho2 sin2 theta 應用積分公式得到： iiint_T rho2 sin2 theta rho2 sin theta mathrm drho mathrm dtheta mathrm dphi iiint_T rho4 sin3 theta mathrm drho mathrm dtheta mathrm dphi 這很難求解。而如果採用柱極座標，新的 T 區間為： 0 le rho le 3a 0 le phi le 2 pi sqrt 9a2 rho2 le z le sqrt 9a2 rho2 z 區間可以透過將球切成兩個半球並求解從 D 的公式來的不等式得到（然後直接變換 x2 y2 到 ρ2）。新函式就是 ρ2 採用積分公式 iiint_T rho2 rho mathrm d rho mathrm d phi mathrm d z 得到 int_02 pi mathrm dphi int_03a rho3 mathrm drho int_ sqrt 9a2 rho2 sqrt 9 a2 rho2 mathrm d z 2 pi int_03a 2 rho3 sqrt 9 a2 rho2 mathrm drho。 然後應用變換 9 a2 rho2 t longrightarrow mathrm d t 2 rho mathrm drho longrightarrow mathrm drho frac mathrm d t 2 rho 新區間變為 0 3a longrightarrow 9 a2 0。得到 2 pi int_9 a20 rho2 sqrt t mathrm d t 因為 rho2 9 a2 t，所以 2 pi int_9 a20 9 a2 t sqrt t mathrm d t 將積分限反過來，然後分配括號中的項，很容易將積分分解為可以直接積分的兩部分： 2 pi left int_09 a2 9 a2 sqrt t mathrm d t int_09 a2 t sqrt t mathrm d tright 2 pi left 9 a2 frac 23 tfrac 32 frac 25 tfrac 52 right_09 a2 2 cdot 27 pi a5 left 6 frac 185 right frac 648 pi5 a5 由於採用柱極座標，很容易就將這個三重積分變換為簡單的單變數積分。 參看柱極和球極座標下的中討論的不同的體積元。 數學應用範例 體積計算 利用上面描述的方法，很容易計算一些立體的體積。 圓柱：半徑為 R 的圓形底面作為定義域，將等於高度 h 的常函式作為積分物件。可以在極座標中將體積寫作： 體積 int_02 pi mathrm d phi int_0R h rho mathrm d rho h 2 pi left frac rho22right_0R pi R2 h 驗證：體積 底面積 高 pi R2 cdot h 球：可以作為常函式 1 在球極座標下的半徑為 R 的球中積分： 體積 int_02 pi mathrm d phi int_0pi sin theta mathrm d theta int_0R rho2 mathrm d rho 2 pi int_0pi sin theta frac R33 mathrm d theta frac 23 pi R3 cos theta_0pi frac 43 pi R3。 四面體 三稜錐或者說 3 維單純形：頂點在原點，三條長度為 l 的邊沿著各個笛卡爾座標系軸向的四面體的體積可以透過簡化公式計算，因為 xy 平面和 z 軸互相垂直，x 和 y 垂直，被積函式是常數 1。 體積 int_0ell mathrm d x int_0ellx mathrm d y int_0ellxy mathrm d z int_0ell mathrm d x int_0ellx ell x y mathrm d y int_0ell ell2 2ell x x2 frac ellx2 2 mathrm d x ell3 ell ell2 frac ell33 left frac ell22 ell x frac x22right_0ell frac ell33 frac ell36 frac ell36 驗證：體積 底面積 高 3 frac ell22 cdot ell3 frac ell36。 多重廣義積分 定義域無界或者函式值在靠近定義域邊界時無界的情況下，可以引入二重廣義積分或者三重廣義積分。 多重積分和累次積分 富比尼定理斷言若 int_Atimes B f xymathrm dxyinfty 也即，積分絕對收斂，則多重積分和累次積分給出同樣的結果， int_Atimes B f xymathrm dxyint_Aleft int_B f xydyrightdxint_Bleft int_A f xymathrm d xrightmathrm d y。 一個特例是如果 f xy 是有界函式而 A 和 B 為有界集時。 如果積分不是絕對收斂，必須小心，不要混淆多重積分和累次積分的概念，特別是當它們採用形式上相同的記法的時候。記法 int_01int_01 f xymathrm d ymathrm d x 在某些情況下表示累次積分而非真正的雙重積分。累次積分中，外圍的積分 int_01 cdots mathrm d x 是對於如下 x 的函式關於 x 的積分 g xint_01 f xymathrm d y。 雙重積分卻是定義在 xy 平面的區域上。若雙重積分存在，則它等於兩個累次積分中的任何一個（或者 mathrm d ymathrm d x 或者 mathrm d xmathrm d y），它也就是透過其中之一來計算的。但是有時這兩個累次積分存在，而雙重積分不存在。這種情況下，有時兩個累次積分不相等，也即， int_01int_01 f xymathrm d ymathrm d x neq int_01int_01 f xymathrm d xmathrm d y。 這是條件收斂的積分的重排序的一個例子。 如果要強調使用雙重積分而非累次積分時，可以採用如下記法 int_01times 01 f xymathrm d xmathrm d y 一些實際應用 很普遍地，像單變數一樣，我們透過多重積分可以找到給定集合上的函式的平均值。給定一個集合 D Rn 和一個在 D 上可積的函式 f，f 在區域上的平均值是 bar f frac 1m D int_D f x mathrm d x 其中 m D 是 D 的測度。 此外，這些積分在物理中有大量應用。 力學中，轉動慣量可以作為密度乘以剛體和轉軸的距離的平方的體積分（三重積分）計算： I_z iiint_V rho r2 mathrm d V。 與三維歐氏空間 R3 中的質量測度 mathrm d m 表示的關聯的引力勢： V mathbf x int_mathbf R3 frac Gmathbf x mathbf ymathrm d m mathbf y 如果存在一個連續函式 rho mathbf x 表示 x 處的密度分佈，那麼 mathrm d m mathbf xrho mathbf x mathrm d3mathbf x 其中 mathrm d3mathbf x 是歐幾里得體積元，那麼引力勢就是 V mathbf x int_mathbf R3 frac Gmathbf xmathbf yrho mathbf ymathrm d3mathbf y 在電磁學中，麥克斯韋方程組可以寫作多重積分，用以計算總磁場和電場。下例中，由電荷分佈產生的電場透過向量函式的三重積分得到： vec E frac 14 pi epsilon_0 iiint frac vec r vec rleft vec r vec r right 3 rho vec r operatorname d3 r。 參看 和多重積分相關的實分析定理： 散度定理 斯托克斯定理 格林定理 重複積分的柯西公式 參考 Robert A Adams Calculus A Complete Course 5th Edition ISBN 0201791315 外部連結 Mathematical Assistant on Web 笛卡爾座標系下和極座標下的雙重積分的線上計算 （包括求解過程中的中間步驟，由 Maxima 軟體 支援 Category 積分學 Category 多變數微積分 deIntegralrechnungMehrdimensionale Integration