巴塞爾問題是一個著名的數論問題，這個問題首先由義大利數學家在 1644 年提出，瑞士數學家萊昂哈德尤拉於 1735 年解決。由於這個問題難倒了以前許多的數學家，年僅二十八歲的尤拉因此一舉成名。尤拉把這個問題作了一番推廣，他的想法後來被德國數學家黎曼在 1859 年的論文《論小於給定大數的質數個數》中所採用，論文中定義了黎曼 ζ 函式，並證明了它的一些基本的性質。這個問題是以瑞士的第三大城市巴塞爾命名的，它是尤拉和伯努利家族的家鄉。 這個問題是精確計算所有平方數的倒數的和，也就是以下級數的和： sum_n1infin frac 1n2 lim_n to inftyleft frac 112 frac 122 cdots frac 1n2right 這個級數的和大約等於 1644934。巴塞爾問題是尋找這個數的準確值，並證明它是正確的。尤拉發現準確值是 frac pi26，並在 1735 年公佈；彼時他給出了一個錯誤的證明，真正嚴密的證明在 1741 年給出。 收斂性證明 利用放縮法可以簡便地證明級數 sum_n1infin frac 1n2 有界，並由單調收斂定理得到收斂性。 注意到 forall nin mathbb N 且 ngeqslant 2，frac 1n2frac 1left n1 right n。故 begin align 1left frac 122frac 132cdots frac 1n2 right 1left frac 11times 2frac 12times 3cdots frac 1left n1 right n right 1left 1frac 1n right 2 end align 故 1sum_n1infin frac 1n22。 尤拉的錯誤證明 尤拉最初推導 frac pi26 的方法是聰明和新穎的。他假設有限多項式的性質對於無窮級數也是成立的。然而，尤拉沒有證明此一假設，且此一假設在一般情況下也是錯誤的。不過他計算了級數的部分和後發現，級數確實趨近 frac pi26，不多不少。這給了他足夠的自信心，把這個結果公諸於眾。 尤拉的方法是從正弦函式的泰勒級數展開式開始： sin x x frac x33 frac x55 frac x77 cdots 兩邊除以 x，得： frac sin xx 1 frac x23 frac x45 frac x67 cdots 現在，frac sin xx 0 的根出現在 x ncdotpi，其中 n pm1 pm2 pm3 dots 我們假設可以把這個無窮級數表示為線性因子的乘積，就像把多項式因式分解一樣： begin align frac sin xx left 1 frac xpirightleft 1 frac xpirightleft 1 frac x2pirightleft 1 frac x2pirightleft 1 frac x3pirightleft 1 frac x3piright cdots left 1 frac x2pi2rightleft 1 frac x24pi2rightleft 1 frac x29pi2right cdots end align 如果把這個乘積展開，並把所有有 x2 的項收集在一起，我們可以看到， frac sin xx 的二次項係數為： left frac 1pi2 frac 14pi2 frac 19pi2 cdots right frac 1pi2sum_n1inftyfrac 1n2 但從 frac sin xx 原先的級數展開式中可以看出，x2 的係數是 frac 13 frac 16。這兩個係數一定是相等的；因此， frac 16 frac 1pi2sum_n1inftyfrac 1n2 等式兩邊乘以 pi2 就可以得出所有平方數的倒數之和。 sum_n1inftyfrac 1n2 frac pi26 黎曼 ζ 函式 黎曼 ζ 函式 ζs 是數學中的一個很重要的函式，因為它與素數的分佈密切相關。這個函式對於任何實數部分大於 1 的複數 s 都是有定義的，由以下公式定義： zeta s sum_n1infin frac 1ns 取 s 2，我們可以看出 ζ2 等於所有平方數的倒數之和： zeta 2 sum_n1infin frac 1n2 frac 112 frac 122 frac 132 frac 142 cdots frac pi26 approx 1644934 用以下的等式，可以證明這個級數收斂： sum_n1N frac 1n2 1 sum_n2N frac 1n n1 1 sum_n2N left frac 1n1 frac 1n right 1 1 frac 1N xrightarrow N to infty 2 因此 ζ2 的上界小於 2，因為這個級數只含有正數項，它一定是收斂的。可以證明，當 s 是正的偶數時，ζs 可以用伯努利數來表示。設 s2n，有以下公式： zeta 2nfrac 2pi2n1n1 B_2n2cdot 2n 嚴密的證明 以下介紹了一個 zeta 2frac pi26 的證明。它是目前已知最基本的證明，大部分其它的證明都需要用到傅立葉分析、複分析和多變數微積分，但這個證明連一元微積分也不需要（在證明的最後部分需要使用極限的概念）。 考慮面積，frac 12 r2tantheta frac 12 r2theta frac 12 r2sintheta tanthetathetasintheta frac 1tanthetafrac 1thetafrac 1sintheta cot2thetafrac 1theta2csc2theta 這個證明的想法是把以下的部分和固定在兩個表示式之間，這兩個表示式當 m 趨於無窮大時都趨於 frac pi26。 sum_k1m frac 1k2 frac 112 frac 122 cdots frac 1m2 這兩個表示式從餘切和餘割的恆等式推出。而這些恆等式則從棣莫弗定理推出。 設 x 為一個實數，滿足 0 x π2，並設 n 為正整數。從棣莫弗定理和餘切函式的定義，可得： frac cos nx i sin nxsin xn frac cos x isin xnsin xn left frac cos x i sin xsin xrightn cot x in 根據二項式定理，我們有： cot x in n choose 0 cotn x n choose 1 cotn1 x i cdots n choose n1 cot x in1 n choose n in left n choose 0 cotn x n choose 2 cotn2 x pm cdots right ileft n choose 1 cotn1 x n choose 3 cotn3 x pm cdots right 把兩個方程合併，由於相等的兩個複數的虛數部分也一定相等，因此有： frac sin nxsin xn left n choose 1 cotn1 x n choose 3 cotn3 x pm cdots right 固定一個正整數 m，設 n 2m 1，並考慮 xr r π2m 1 對於 r 1、2、、m。那麼 nxr 是 π 的倍數，因此是正弦函式的零點，所以： 0 2m1 choose 1 cot2m x_r 2m1 choose 3 cot2m2 x_r pm cdots 1m 2m1 choose 2m1 對於所有的 r 1、2、、m。x1、、xm 是區間 0 π2 內不同的數。由於函式 cot2 x 在這個區間內是一一對應的，因此當 r 1、2、、m 時，tr cot2 xr 的值各不同。根據以上方程，這些 m 個 tr 是以下 m 次多項式的根： p t 2m1 choose 1 tm 2m1 choose 3 tm1 pm cdots 1m 2m1 choose 2m1 根據韋達定理，我們可以直接從這個多項式的頭兩項計算出所有根的和，因此： cot 2 x_1 cot 2 x_2 cdots cot 2 x_m frac binom 2m1 3 binom 2m1 1 frac 2m 2m1 6 把恆等式 csc2 x cot2 x 1 代入，可得： csc 2 x_1 csc 2 x_2 cdots csc 2 x_m frac 2m 2m1 6 m frac 2m 2m2 6 現在考慮不等式 cot2 x 1x2 csc2 x。如果我們把對於 xr r π2m 1 的所有不等式相加起來，並利用以上的兩個恆等式，便可得到： frac 2m 2m1 6 left frac 2m1pi right 2 left frac 2m12 pi right 2 cdots left frac 2m1m pi right 2 frac 2m 2m2 6 把不等式乘以 π2m 1 2，便得： frac pi 26left frac 2m2m1rightleft frac 2m12m1right frac 112 frac 122 cdots frac 1m2 frac pi 26left frac 2m2m1rightleft frac 2m22m1right 當 m 趨於無窮大時，左面和右面的表示式都趨於 frac pi26，因此根據夾擠定理，有： zeta 2 sum_k1infin frac 1k2 lim_m to inftyleft frac 112 frac 122 cdots frac 1m2right frac pi 26 證畢。 二重積分的證明 首先考慮二重積分 iint limits_D_1 frac mathrm dx mathrm dy1xy 的級數展開形式，其中區域 D1 為 x01 且 y01 的正方形區域： begin align iint limits_D_1 frac mathrm dx mathrm dy1xy int_01 left int_01 frac mathrm dx1xyright mathrm dy int_01 left int_01 sum_n1infty xyn1 mathrm dxright mathrm dy int_01 leftsum_n1infty frac xnyn1nright_x0x1 mathrm dy int_01 sum_n1infty frac yn1n mathrm dy leftsum_n1infty frac ynn2right_y0y1 sum_n1infty frac 1n2 end align 接下來考慮做如下變換： begin cases x u cos dfrac pi4 v sin dfrac pi4 dfrac uvsqrt2 y u sin dfrac pi4 v cos dfrac pi4 dfrac uvsqrt2 end cases 相當於將正方形區域 D1 旋轉 45 之後變成 D2，但仍然保持其形狀與面積，其中正方形 D2 的四個頂點在 uv 下的座標分別是 00、1sqrt21sqrt2、sqrt20、1sqrt21sqrt2： begin align iint limits_D_1 frac mathrm dx mathrm dy1xy iint limits_D_2 frac mathrm dumathrm dv1frac uvuv 2 2 iint limits_D_2 frac mathrm dumathrm dv2u2v2 2 int_0frac 1sqrt2 left int_uufrac mathrm dv2u2v2right mathrm du 2 int_frac 1sqrt2sqrt2 left int_usqrt2sqrt2ufrac mathrm dv2u2v2right mathrm du 4 int_0frac 1sqrt2 left int_0ufrac mathrm dv2u2v2right mathrm du 4 int_frac 1sqrt2sqrt2 left int_0sqrt2ufrac mathrm dv2u2v2right mathrm du I_1I_2 end align 最後一行用到的是偶函式的性質化簡積分，並且將加號前後的兩個積分（包括前面的係數）簡記為 I1 與 I2。先計算 I1，下面變數代換設 usqrt2sintheta，則有 mathrm dusqrt2costhetamathrm dtheta： begin align I_1 4 int_0frac 1sqrt2 leftfrac arctanfrac vsqrt 2u2sqrt 2u2right_v0vu mathrm du 4 int_0frac 1sqrt2 frac arctanfrac usqrt 2u2sqrt 2u2 mathrm du 4 int_0frac pi6 frac sqrt2 costheta cdot arctan frac sqrt2 sinthetasqrt 22sin2thetasqrt 22sin2theta mathrm dtheta 4 int_0frac pi6 frac sqrt2 costheta cdot arctan frac sqrt2 sinthetasqrt2 costhetasqrt2 costheta mathrm dtheta 4 int_0frac pi6 arctan tantheta mathrm dtheta 4 int_0frac pi6 theta mathrm dtheta 2theta2bigg_theta0thetafrac pi6 frac pi218 end align 類似地，再計算 I2，下面變數代換設 usqrt2costheta，則有 mathrm dusqrt2sinthetamathrm dtheta，並且交換積分上下限從負號變回正號： begin align I_2 4 int_frac 1sqrt2sqrt2 leftfrac arctanfrac vsqrt 2u2sqrt 2u2right_v0vsqrt2u mathrm du int_frac 1sqrt2sqrt2 frac arctanfrac sqrt2usqrt 2u2sqrt 2u2 mathrm du 4 int_0frac pi3 frac sqrt2 sintheta cdot arctan frac sqrt2 sqrt2 costhetasqrt 22cos2thetasqrt 22cos2theta mathrm dtheta 4 int_0frac pi3 frac sqrt2 sintheta cdot arctan frac sqrt2 1 costhetasqrt2 sinthetasqrt2 sintheta mathrm dtheta 4 int_0frac pi3 arctan tan fractheta2 mathrm dtheta 4 int_0frac pi3 fractheta2 mathrm dtheta theta2bigg_theta0thetafrac pi3 frac pi29 end align 最終可以得到： sum_n1inftyfrac1 n2 iintlimits_D_1frac mathrm dxmathrm dy1xy 2 iint limits_D_2 frac mathrm dumathrm dv2u2v2 I_1I_2 frac pi218frac pi29 frac pi26 證畢。 傅立葉級數的證明 設有函式 f xx，其定義域為 x in pipi。這個函式的傅立葉級數是： f x sum_n1inftyfrac 2 1n1n sin nx 。 根據帕塞瓦爾恆等式，我們有： pi2 over 3 1 over 2pi int_pipi f2 x dx sum_n1infty1 over 2pi int_pipi 2 frac 1n1n sin nt 2 dt 2 sum_n1infty 1 over n2 因此 pi2 over 6 sum_n1infty 1 over n2 證畢。 參考文獻 外部連結 ζ2π26 的十四種證明 ，由 Robin Chapman 編制 Category 包含證明的條目 Category 數學問題 Category 數論 Category 圓周率演算法 Category 數論中的平方 CategoryΖ 函式與 L 函式