集膚效應（又稱趨膚效應或直譯作表皮效應，英語：Skin effect）是指導體中有交流電或者交變電磁場時，導體內部的電流分佈不均勻的一種現象。隨著與導體表面的距離逐漸增加，導體內的電流密度呈指數衰減，即導體內的電流會集中在導體的表面。從與電流方向垂直的橫切面來看，導體的中心部分幾乎沒有電流流過，只在導體邊緣的部分會有電流。簡單而言就是電流集中在導體的 皮膚 部分，所以稱為集膚效應。產生這種效應的原因主要是變化的電磁場在導體內部產生渦旋電場，與原來的電流相抵消。 簡介 集膚效應最早在英國應用數學家賀拉斯蘭姆（Horace Lamb）1883 年發表的一份論文中提及，只限於球殼狀的導體。1885 年，英國物理學家奧利弗赫維賽德（Oliver Heaviside）將其推廣到任何形狀的導體。集膚效應使得導體的電阻隨著交流電的頻率增加而增加，並導致導線傳輸電流時效率減低，耗費金屬資源。在無線電頻率的設計、微波線路和電力傳輸系統方面都要考慮到集膚效應的影響。 理論 當單色平面電磁波從真空垂直射入表面為平面的無限大導體中時，隨著與導體表面的距離逐漸增加，導體內的電流密度 J 呈指數衰減 J J_0 exp x over delta 其中， J_0 是導體表面的電流密度， x 表示電流與導體表面的距離， delta 是一個和導體的電阻率以及交流電的頻率有關的係數，稱為集膚深度（skin depth）。 deltasqrt 2rhoover omega mu 其中： ρ 導體的電阻率 ω 交流電的角頻率 2π 頻率 μ 導體的磁導率 mu_0 cdot mu_r ，其中 mu_0 是真空磁導率， mu_r 是導體的相對磁導率 對於很長的圓柱形導體，比如導線來說，如果它的直徑 D 比 delta 大很多的話，它對於交流電的電阻將會相當於一箇中空的厚度為 delta 的圓柱導體對直流電的電阻。 Rrho over deltaleft Lover pi Ddeltarightapprox rholeft Lover pi D deltaright 其中： L 導線的長度 D 導線直徑 具體來說，假設 I r 是從離導線中心 r 處到導線表面的截面上透過的電流，I 為截面上的總電流，那麼有： frac I rI frac Ber frac sqrt 2adeltaBer frac sqrt 2rdelta i Bei frac sqrt 2adelta Bei frac sqrt 2rdeltaBer frac sqrt 2adelta i Bei frac sqrt 2adelta 其中 Ber 和 Bei 為 0 階的開爾文 貝塞爾函式的相應原函式（具體見下）。 圓柱形導體的模型 考慮一個半徑為 a，長度無限大的圓柱形導體。假設電磁場是時變場，則在圓柱中有頻率為 ω 的正弦交流電流。由麥克斯韋方程組， 麥克斯韋 法拉第方程： nablatimes mathbf E i omega mathbf B 麥克斯韋 安培方程： nablatimes mathbf B mu_0 mathbf J 其中： E 是電場強度 B 是磁感應強度 J 是電流密度 μ 是導體的磁導率 在導體中，歐姆定律的微分形式為： mathbf J sigma mathbf E σ 是導體的電導率。 我們假設導體是均勻的，於是導體各處的 μ 和 σ 都相同。於是有： nablatimes mathbf J i omega sigma mathbf B nablatimes mathbf B mu mathbf J 在圓柱座標系 r θ z（z 為圓柱導體的軸心）中，設電磁波隨 z 軸前進，由對稱性，電流密度是一個只和 r 有關的函式： mathbf J begin pmatrix 00j rend pmatrix 取麥克斯韋 法拉第方程兩邊的旋度，就有： nablatimes nablatimes mathbf J i omega sigma nablatimes mathbf B 也就是： nabla mathrm div mathbf J Delta mathbf J i omega sigma mu mathbf J 由之前對電流密度的假設，mathrm div mathbf J 0，因此有： Delta mathbf J i omega sigma mu mathbf J 在圓柱座標系中，拉普拉斯運算元 Delta 寫作： frac d2jdr2r frac 1r frac djdrr i omega sigma mu j r 令 k2 i omega sigma mu，再將方程兩邊乘上 r2 就得到電流密度應該滿足的方程： r2 frac d2jdr2r r frac djdrr r2 k2 j r 0 在進行代換 xi i k r 後，方程變為一個齊次的貝塞爾方程： xi2 frac d2jdxi2xi xi frac djdxixi xi2 j xi 0 由電流密度在 r 0 的連續性，方程的解具有 J_0 xi 的形式，其中 J0 是零階的第一類貝塞爾函式。於是： j r j_0 J_0 i k r 其中 j0 是一個常數，k 為： k sqrt i sqrt omega sigma mu frac 1isqrt 2 sqrt omega sigma mu frac 1idelta 其中 δ 是集膚深度，delta sqrt frac 2omega sigma mu， i k frac 1idelta ei 3 pi4 frac sqrt 2delta 最後，電流密度為： begin matrix j r j_0 J_0 ei 3 pi4 frac sqrt 2 rdelta j_0 ber frac sqrt 2 rdelta i bei frac sqrt 2 rdeltaend matrix 其中 ber 和 bei 是 0 階的開爾文 貝塞爾函式。 於是透過整個截面的電流總和就是： begin matrix I int_0a j r 2 pi r dr 2 pi j_0 int_0a J_0 ei 3 pi4 frac sqrt 2 rdelta r dr pi delta2 j_0 int_0sqrt 2 a deltaber x i bei x x dxend matrix 記 Ber 和 Bei 為相應的原函式： Ber x int_0x ber xprime xprime dxprime qquad mbox et qquad Bei x int_0x bei xprime xprime dxprime 便有如下更簡潔的形式： I pi delta2 j_0 left Ber frac sqrt 2 adelta i Bei frac sqrt 2 adeltaright 我們還可以計算從圓柱表面到離軸心距離 r 處的電流總和： begin matrix I r int_ara j rprime 2 pi rprime drprime pi delta2 j_0 left Ber frac sqrt 2 adelta Ber frac sqrt 2 rdelta i Bei frac sqrt 2 adelta Bei frac sqrt 2 rdelta rightend matrix 於是有電流的分佈函式： frac I rI frac Ber frac sqrt 2adeltaBer frac sqrt 2rdelta i Bei frac sqrt 2adelta Bei frac sqrt 2rdeltaBer frac sqrt 2adelta i Bei frac sqrt 2adelta 一般來說，在給定的頻率下，使得導線對交流電的電阻增加百分之十的直徑大約是： D_mathrm W frac 200mathrm mmsqrt fmathrm Hz 以上的導線對交流電的電阻只對於孤立的導線成立。對於兩根鄰近的導線，交流電阻會受到鄰近效應的影響而顯著增大。 減緩集膚效應的方法 一種減緩集膚效應的方法是採用所謂的（源自德語：Litzendraht，意為 編織起來的線）。利茲線採用將多條金屬導線相互纏繞的方法，使得電磁場能夠比較均勻地分佈，這樣各導線上的電流分佈就會較為平均。使用利茲線後，產生顯著集膚效應的頻率可以從數千赫茲提高到數兆赫茲。利茲線一般應用在高頻交流電的傳輸中，可以同時減緩集膚效應和鄰近效應。 高電壓大電流的架空電力線路通常使用鋼芯鋁絞線，這樣能使鋁質部分的工作部分溫度降低，減低電阻率，並且由於集膚效應，電阻率較大的鋼芯上承載極少的電流，因而無關緊要。 還有將實心導線換成空心導線管，中間補上絕緣材料的方法，這樣可以減輕導線的重量。 在傳輸的頻率在甚高頻或微波級別時，一般會使用鍍銀（已知的除超導體外最好的導體）的導線，因為這時集膚深度非常的淺，使用更厚的銀層已是浪費。 其它應用 集膚效應使交流電只通過導體的表面，因此電流只在其表面產生熱效應。鋼鐵工業中利用集膚效應來為鋼進行表面淬火，使鋼材表面的硬度增大。 集膚效應也可以描述為：導體中變電磁場的強度隨著進入導體的深度而呈指數遞減，因此在防曬霜中混入導體微粒（一般是氧化鋅和氧化鈦），就能使陽光中的紫外線（高頻電磁波）的強度減低。這便是物理防曬的原理之一。此外，集膚效應也是電磁遮蔽的方法之一，利用集膚效應可以阻止高頻電磁波透入良導體而作成電磁遮蔽裝置，這也是電梯裡手機訊號不好的原因。 舉例 頻率為 10 GHz（微波）時各種材料的集膚深度： 導體 δ（μm） 鋁 080 銅 065 金 079 銀 064 在銅質導線中，集膚深度和頻率的關係大致如下： 頻率 δ 60 Hz 857 mm 10 kHz 066 mm 100 kHz 021 mm 1 MHz 66 µm 10 MHz 21 µm 參見 鄰近效應 麥克斯韋方程組 渦旋電場 漸逝波 外部連結 Skin Effect and HiFi Cables More on the skin effect 相關參考 httpgroupednchinacom2504713aspx William Hart Hayt Engineering Electromagnetics Seventh Edition 2006 McGraw Hill New York ISBN 0073104639 Paul J Nahin Oliver Heaviside Sage in Solitude 1988 IEEE Press New York ISBN 0879422386 Terman FE Radio Engineers Handbook McGrawHill 1943 for the Terman formula mentioned above J J