萊昂哈德尤拉用尤拉角來描述剛體在三維歐幾裡得空間的取向。對於任何參考系，一個剛體的取向，是依照順序，從這參考系，做三個尤拉角的旋轉而設定的。所以，剛體的取向可以用三個基本旋轉矩陣來決定。換句話說，任何關於剛體旋轉的旋轉矩陣是由三個基本旋轉矩陣複合而成的。 靜態的定義 對於在三維空間裡的一個參考系，任何坐標系的取向，都可以用三個尤拉角來表現。參考系（固定系）又稱為實驗室參考系，是靜止不動的。而坐標系（固連繫）則固定於剛體，隨著剛體的旋轉而旋轉。 參閲右圖。設 xyz 軸為參考系的參考軸，XYZ 軸為物體自身的座標軸，xoy 平面與 XOY 平面的相交線為交點線，用（N）表示。zxz 順規的尤拉角可以靜態地這樣定義： alpha（進動角）是 x 軸與交點線的夾角， beta（章動角）是 z 軸與 Z 軸的夾角， gamma（自旋角）是交點線與 X 軸的夾角。 對於夾角的順序和標記，夾角的兩個軸的指定，並沒有任何常規。科學家對此從未達成共識。每當用到尤拉角時，我們必須明確的表示出夾角的順序，指定其參考軸。 實際上，有許多方法可以設定兩個坐標系的相對取向。尤拉角方法只是其中的一種。此外，不同的作者會用不同組合的尤拉角來描述，或用不同的名字表示同樣的尤拉角。因此，使用尤拉角前，必須先做好明確的定義。 角值範圍 alpha、gamma 值的範圍為 02pi 弧度。 beta 值的範圍為 0pi 弧度。 一般情況下，對應於每一個取向，設定的一組尤拉角都是獨特唯一的。 然而，當 beta0 或 pi 時，會出現環架鎖定現象。具體而言： 當 beta0 時，alpha 與 gamma 之和（在模 2pi 意義下）相等的尤拉角對應同一個取向，如 frac pi200，frac pi30frac pi6 和 frac 4pi30frac 7pi6 對應的取向相同 當 betapi 時，alpha 與 gamma 之差相等的尤拉角對應同一個取向，如 frac pi2pi0 和 pipifrac pi2 對應的取向相同 旋轉矩陣 1 前面提到，設定剛體取向的旋轉矩陣 mathbf R 是由三個基本旋轉矩陣合成的： mathbf R begin bmatrix cos gamma sin gamma 0 sin gamma cos gamma 0 0 0 1 end bmatrix begin bmatrix 1 0 0 0 cos beta sin beta 0 sin beta cos beta end bmatrix begin bmatrix cos alpha sin alpha 0 sin alpha cos alpha 0 0 0 1 end bmatrix 從右到左依次代表繞著 z 軸的旋轉 alpha、繞著交點線的旋轉 beta、繞著 z 軸的旋轉 gamma。 經過一番運算，mathbf R begin bmatrix cosalphacosgammacosbetasinalphasingamma sinalphacosgammacosbetacosalphasingamma sinbetasingamma cosalphasingammacosbetasinalphacosgamma sinalphasingammacosbetacosalphacosgamma sinbetacosgamma sinbetasinalpha sinbetacosalpha cosbeta end bmatrix mathbf R 的逆矩陣是： mathbf R1 begin bmatrix cos alpha sin alpha 0 sin alpha cos alpha 0 0 0 1 end bmatrix begin bmatrix 1 0 0 0 cos beta sin beta 0 sin beta cos beta end bmatrix begin bmatrix cos gamma sin gamma 0 sin gamma cos gamma 0 0 0 1 end bmatrix mathbf R1 begin bmatrix cosalphacosgammacosbetasinalphasingamma cosalphasingammacosbetasinalphacosgamma sinbetasinalpha sinalphacosgammacosbetacosalphasingamma sinalphasingammacosbetacosalphacosgamma sinbetacosalpha sinbetasingamma sinbetacosgamma cosbeta end bmatrix 注意，mathbf R 的逆矩陣 反矩陣 也是 mathbf R 的轉置矩陣 Transpose Matrix，不需要用傳統方式去求解其逆矩陣，也不用特別記憶，甚至在撰寫電腦演演算法時也可以不用額外配置記憶體。這是旋轉矩陣 包括座標旋轉矩陣及向量旋轉矩陣 的特性。這個特性也適用於由連續數個個別旋轉矩陣連乘所構成的複合旋轉矩陣，如以上的 mathbf R。 別種順序 在經典力學裡，時常用 zxz 順規來設定尤拉角；照著第二個轉動軸的軸名，簡稱為 x 順規。另外，還有別種尤拉角組。合法的尤拉角組中，唯一的限制是，任何兩個連續的旋轉，必須繞著不同的轉動軸旋轉。因此，一共有 12 種順規。例如，y 順規，第二個轉動軸是 y 軸，時常用在量子力學、核子物理學、粒子物理學。另外，還有一種順規，xyz 順規，是用在航空航天工程學；參閱。 動態的定義 我們也可以給予尤拉角兩種不同的動態定義。一種是繞著固定於剛體的坐標軸的三個旋轉的複合；另外一種是繞著實驗室參考軸的三個旋轉的複合。用動態的定義，我們能更瞭解，尤拉角在物理上的含義與應用。特別注意，以下的描述，XYZ 坐標軸是旋轉的剛體坐標軸；而 xyz 坐標軸是靜止不動的實驗室參考軸。 A 繞著 XYZ 坐標軸旋轉：最初，兩個坐標系統 xyz 與 XYZ 的坐標軸都是重疊著的。開始先繞著 Z 軸旋轉 alpha 角值。然後，繞著 X 軸旋轉 beta 角值。最後，繞著 Z 軸作角值 gamma 的旋轉。 B 繞著 xyz 坐標軸旋轉：最初，兩個坐標系統 xyz 與 XYZ 的坐標軸都是重疊著的。開始先繞著 z 軸旋轉 gamma 角值。然後，繞著 x 軸旋轉 beta 角值。最後，繞著 z 軸作角值 alpha 的旋轉。 參閱尤拉角圖，定義 A 與靜態定義的相等，這可以直接用幾何製圖方法來核對。 定義 A 與定義 B 的相等可以用旋轉矩陣來證明： 思考任何一點 P_1，在 xyz 與 XYZ 坐標系統的坐標分別為 mathbf r_1 與 mathbf R_1。定義角算符 Z alpha 為繞著 Z 軸旋轉 alpha 角值。那麼，定義 A 可以表述如下： mathbf R_1Z gammacirc X betacirc Z alphacirc mathbf r_1。 用旋轉矩陣表示，Z alpha begin bmatrixcos alpha sin alpha 0 sin alpha cos alpha 0 0 0 1 end bmatrix， X betabegin bmatrix 1 0 0 0 cos beta sin beta 0 sin beta cos beta end bmatrix ， Z gammabegin bmatrixcos gamma sin gamma 0 sin gamma cos gamma 0 0 0 1 end bmatrix。 思考任何一點 P_2，在 xyz 與 XYZ 坐標系統的坐標分別為 mathbf r_2 與 mathbf R_2。定義角算符 z alpha 為繞著 z 軸旋轉 alpha 角值。則定義 B 可以表述如下： mathbf r_2z alphacirc x betacirc z gammacirc mathbf R_2。 用旋轉矩陣表示，z alpha begin bmatrixcos alpha sin alpha 0 sin alpha cos alpha 0 0 0 1 end bmatrix， x betabegin bmatrix 1 0 0 0 cos beta sin beta 0 sin beta cos beta end bmatrix ， z gammabegin bmatrixcos gamma sin gamma 0 sin gamma cos gamma 0 0 0 1 end bmatrix。 假設，mathbf r_1mathbf r_2 ．那麼， mathbf r_1z alphacirc x betacirc z gammacirc mathbf R_2。 乘以逆算符， z1gammacirc x1betacirc z1alphacirc mathbf r_1z1gammacirc x1betacirc z1alphacirc z alphacirc x betacirc z gammacirc mathbf R_2。 但是，從旋轉矩陣可以觀察出， z1alphaZ alpha， x1betaX beta， z1gammaZ gamma。 所以， Z gammacirc X betacirc Z alphacirc mathbf r_1mathbf R_2， mathbf R_1mathbf R_2。 定義 A 與定義 B 是相等的。 尤拉角性質 尤拉角在 SO 3 上，形成了一個坐標卡 ；SO 3 是在三維空間裡的旋轉的特殊正交群。這坐標卡是平滑的，除了一個極坐標式的奇點在 beta0 。 類似的三個角的分解也可以應用到 SU 2；複數二維空間裡旋轉的特殊酉群；這裡，beta 值在 0 與 2pi 之間。這些角也稱為尤拉角。 應用 尤拉角廣泛地被應用於經典力學中的剛體研究，與量子力學中的角動量研究。 在剛體的問題上，xyz 坐標系是全域坐標系，XYZ 坐標系是局域坐標系。全域坐標系是不動的；而局域坐標繫牢嵌於剛體內。關於動能的演算，通常用局域坐標系比較簡易；因為，慣性張量不隨時間而改變。如果將慣性張量（有九個分量，其中六個是獨立的）對角線化，那麼，會得到一組主軸，以及一個轉動慣量（只有三個分量）。 在量子力學裡，詳盡的描述 SO 3 的形式，對於精準的演算，是非常重要的，並且幾乎所有研究都採用尤拉角為工具。在早期的量子力學研究，對於抽象群理論方法 稱為 Gruppenpest，物理學家與化學家仍舊持有極尖銳的反對態度的時候；對尤拉角的信賴，在基本理論研究來說，是必要的。 尤拉角的哈爾測度有一個簡單的形式 sinbeta dalpha dbeta dgamma 通常在前面添上歸一化因子 18pi2。例如，我們要生成均勻隨機取向，使 alpha、gamma 從 0 至 2pi 分別均勻的選隨機值；使 betaarccos z，z 從 1 至 1 均勻的選隨機值。 單位四元數，又稱尤拉引數，提供另外一種方法來表述三維旋轉。這與特殊酉群的描述是等價的。四元數方法用在大多數的演算會比較快捷，概念上比較容易理解，並能避免一些技術上的問題，如萬向鎖現象。因為這些原因，許多高速度三維圖形程式製作都使用四元數。 參閱 尤拉運動定律 尤拉旋轉定理 旋轉矩陣 四元數 軸角 球坐標系 參考文獻 L C Biedenharn J D Louck Angular Momentum in Quantum Physics AddisonWesley Reading MA 1981 Herbert Goldstein Classical Mechanics AddisonWesley Reading MA 1980 Andrew Gray A Treatise on Gyrostatics and Rotational Motion MacMillan London 1918 M E Rose Elementary Theory of Angular Momentum John Wiley New York NY 1957 外部連結 MathWorld 關於各種尤拉角常規的詳細討論 Category 三維旋轉 Category 歐幾里得對稱 Category 角 Category 解析幾何