氫原子是氫元素的原子。電中性的原子含有一個正價的質子與一個負價的電子，被庫侖定律束縛於原子核內。在大自然中，氫原子是豐度最高的同位素，稱為氫，氫 1 ，或。氫原子不含任何中子，別的氫同位素含有一個或多個中子。這條目主要描述氫 1 。 氫原子擁有一個質子和一個電子，是一個的簡單的二體系統。系統內的作用力只跟二體之間的距離有關，是反平方連心力，不需要將這反平方連心力二體系統再加理想化，簡單化。描述這系統的（非相對論性的）薛丁格方程式有解析解，也就是說，解答能以有限數量的常見函式來表達。滿足這薛丁格方程式的波函式可以完全地描述電子的量子行為。因此可以這樣說，在量子力學裡，沒有比氫原子問題更簡單，更實用，而又有解析解的問題了。所推演出來的基本物理理論，又可以用簡單的實驗來核對。所以，氫原子問題是個很重要的問題。 另外，理論上薛丁格方程式也可用於求解更複雜的原子與分子。但在大多數的案例中，皆無法獲得解析解，而必須藉用電腦來進行計算與模擬，或者做一些簡化的假設，方能求得問題的解析解。 歷史 1913 年，尼爾斯玻耳在做了一些簡化的假設後，計算出氫原子的光譜頻率。這些假想，波耳模型的基石，並不是完全的正確，但是可以得到正確的能量答案。 192526 年，埃爾文薛丁格應用他發明的薛丁格方程式，以嚴謹的量子力學分析，清楚地解釋了波耳答案正確的原因。氫原子的薛丁格方程式的解答是一個解析解，也可以計算氫原子的能級與光譜譜線的頻率。薛丁格方程式的解答比波耳模型更為精確，能夠得到許多電子量子態的波函式（軌域），也能夠解釋化學鍵的各向異性。 薛丁格方程式解答 氫原子問題的薛丁格方程式為： frac hbar22mu nabla2psi V rpsi Epsi； 其中，hbar 是約化普朗克常數，mu 是電子與原子核的約化質量，psi 是量子態的波函式，E 是能量，V r 是庫侖位勢： V r frac e24 pi epsilon_0 r ； 其中，epsilon_0 是真空電容率，e 是單位電荷量，r 是電子離原子核的距離。 採用球坐標 r theta phi，將拉普拉斯運算元展開： frac hbar22mu r2left frac partialpartial rleft r2 frac partialpartial rrightfrac 1sin2thetaleft sinthetafrac partialpartial thetaleft sintheta frac partialpartial thetarightfrac partial2partial phi2rightright psi frac e24 pi epsilon_0 rpsi Epsi 。 猜想這薛丁格方程式的波函式解 psi r theta phi 是徑向函式 R_nlr 與球諧函式 Y_lmtheta phi 的乘積： psi r theta phi R_nlr Y_lmtheta phi 。 角部分解答 引數為天頂角和方位角的球諧函式，滿足角部分方程式： frac 1sin2theta left sinthetafrac partialpartialtheta Big sinthetafrac partialpartialthetaBig frac partial2partial phi2right Y_lmthetaphi l l1 Y_lmthetaphi ； 其中，非負整數 l 是軌角動量的角量子數。磁量子數 m （滿足 lle mle l ）是軌角動量對於 z 軸的（量子化的）投影。不同的 l 與 m 給予不同的軌角動量函式解答 Y_lm Y_lmtheta phi imm sqrt 2l1over 4pil mover lm P_lm cos theta eimphi ； 其中，i 是虛數單位，P_lmcos theta 是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為 P_lmx 1 x2m2 frac dmdxm P_l x ； 而 P_l x 是 l 階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為： P_l x 1 over 2l l dl over dxlx2 1l 。 徑向部分解答 徑向函式滿足一個一維薛丁格方程式： left hbar2 over 2mu r2 dover drleft r2 dover drright hbar2 l l1over 2mu r2 frac e24 pi epsilon_0 r right R_nlrER_nlr 。 方程式左邊的第二項可以視為離心力位勢，其效應是將徑向距離拉遠一點。 除了量子數 ell 與 m 以外，還有一個主量子數 n 。為了滿足 R_nlr 的邊界條件，n 必須是正值整數，能量也離散為能級 E_n left frac mu e432 pi2epsilon_02hbar2right frac 1n2frac 136n2 eV 。隨著量子數的不同，函式 R_nlr 與 Y_lm 都會有對應的改變。按照慣例，規定用波函式的下標符號來表示這些量子數。這樣，徑向函式可以表達為 R_nl r sqrt left frac 2n a_mu right 3frac nl12n nl e r n a_mu left frac 2 rn a_mu right l L_nl12l1 tfrac 2 rn a_mu ； 其中，a_mu 4pivarepsilon_0hbar2over mu e2 。 a_mu 近似於波耳半徑 a_0 。假若，原子核的質量是無限大的，則 a_mu a_0 ，並且，約化質量等於電子的質量，mum_e 。 L_nl12l1 是廣義拉蓋爾多項式，其定義式可在條目拉蓋爾多項式裡找到。 廣義拉蓋爾多項式 L_nl12l1 x 另外還有一種在量子力學裡常用的定義式（兩種定義式不同）： L_ijx 1j frac djdxj L_ijx ； 其中，L_ijx 是拉蓋爾多項式，可用羅德里格公式表示為 L_ixfrac exi frac didxixi e x 。 為了要結束廣義拉蓋爾多項式的遞迴關係，必須要求量子數 ln 。 按照這種定義式，徑向函式表達為 R_nl r sqrt left frac 2n a_mu right 3frac nl12n nl3 e r n a_mu left frac 2 rn a_mu right l L_nl12l1 tfrac 2 rn a_mu 。 知道徑向函式 R_nlr 與球諧函式 Y_lm 的形式，可以寫出整個量子態的波函式，也就是薛丁格方程式的整個解答： psi_nlm R_nlr Y_lmthetaphi 。 量子數 量子數 n 、l 、m ，都是整數，容許下述值： n1 2 3 4 dots ， l0 1 2 dots n 1 ， m l l1 ldots 0 ldots l 1 l 。 角動量 每一個原子軌域都有特定的角動量向量 mathbf L 。它對應的算符是一個向量算符 hat mathbf L 。角動量算符的平方 hat L2equiv hat L_x2hat L_y2hat L_z2 的本徵值是 hat L2 Y_lmhbar2 l l1 Y_lm 。 角動量向量對於任意方向的投影是量子化的。設定此任意方向為 z 軸的方向，則量子化公式為 hat L_z Y_lm hbar m Y_lm 。 因為 hat L2 hat L_z0 ，hat L2 與 hat L_z 是對易的，L2 與 L_z 彼此是相容可觀察量，這兩個算符有共同的本徵態。根據不確定性原理，可以同時地測量到 L2 與 L_z 的同樣的本徵值。 由於 hat L_x hat L_yihbar hat L_z ，hat L_x 與 hat L_y 互相不對易，L_x 與 L_y 彼此是不相容可觀察量，這兩個算符絕對不會有共同的基底量子態。一般而言，hat L_x 的本徵態與 hat L_y 的本徵態不同。 給予一個量子系統，量子態為 psirangle 。對於可觀察量算符 hat L_x ，所有本徵值為 l_xi 的本徵態 f_iranglequad i1 2 3 cdots ，形成了一組基底量子態。量子態 psirangle 可以表達為這基底量子態的線性組合：psiranglesum_i f_iranglelangle f_ipsirangle 。對於可觀察量算符 hat L_y ，所有本徵值為 l_yi 的本徵態 g_iranglequad i1 2 3 cdots ，形成了另外一組基底量子態。量子態 psirangle 可以表達為這基底量子態的線性組合：psiranglesum_i g_iranglelangle g_ipsirangle 。 假若，測量可觀察量 L_x ，得到的測量值為其本徵值 l_xi ，則量子態機率地塌縮為本徵態 f_irangle 。假若，立刻再測量可觀察量 L_x ，得到的答案必定是 l_xi ，在很短的時間內，量子態仍舊處於 f_irangle 。可是，假若改為立刻測量可觀察量 L_y ，則量子態不會停留於本徵態 f_irangle ，而會機率地塌縮為 hat L_y 本徵值是 l_yj 的本徵態 g_jrangle 。這是量子力學裡，關於測量的一個很重要的特性。 根據不確定性原理， Delta L_x Delta L_y ge leftfrac langle hat L_x hat L_yrangle2irightfrac hbar langle hat L_zrangle2 。 L_x 的不確定性與 L_y 的不確定性的乘積 Delta L_x Delta L_y ，必定大於或等於 frac hbar langle L_zrangle2 。 類似地，L_x 與 L_z 之間，L_y 與 L_z 之間，也有同樣的特性。 自旋 軌道作用 電子的總角動量必須包括電子的自旋。在一個真實的原子裡，因為電子環繞著原子核移動，會感受到磁場。電子的自旋與磁場產生作用 ，這現象稱為自旋 軌道作用。當將這現象納入計算，自旋與角動量不再是保守的，可以將此想像為電子的進動。為了維持保守性，必須取代量子數 l 、m 與自旋的投影 m_s ，而以量子數 j，m_j 來計算總角動量。 精細結構 在原子物理學裡，因為一階相對論性效應，與自旋 軌道耦合，而產生的原子譜線分裂，稱為精細結構。 非相對論性、無自旋的電子產生的譜線稱為「粗略結構」。氫原子的粗略結構只跟主量子數 n 有關。可是，更精確的模型，考慮到相對論效應與自旋 軌道效應，能夠分解能級的簡併，使譜線能更精細地分裂。相對於粗略結構，精細結構是一個 alpha2 效應；其中，alpha 是精細結構常數。 在相對論量子力學裡，狄拉克方程式可以用來計算電子的波函式。用這方法，能階跟主量子數 n 、總量子數 j 有關狄拉克方程式關於氫原子的解答 ，容許的能量為： E_nj E_nleft 1left frac alphanright2left frac 1jfrac 12 frac 34nrightright 。 電子軌域圖 右圖顯示出能量最低的幾個氫原子軌域（能量本徵函式）。這些是機率密度的截面的繪圖。圖內各種顏色的亮度代表不同的機率密度（黑色：0 機率密度，白色：最高機率密度）。角量子數 l ，以通常的光譜學程式碼規則，標記在每一個縱排的最上端。s 意指 l0 ，p 意指 l1 ，d 意指 l2 。主量子數 n1 2 3 dots 標記在每一個橫排的最右端。磁量子數 m 被設定為 0 。截面是 xz 平面（ z 軸是縱軸）。將繪圖繞著 z 軸旋轉，則可得到三維空間的機率密度。 基態是最低能級的量子態，也是電子最常找到的量子態，標記為 1s 態，n1 l0 。 特別注意，在每一個軌域的圖片內，黑線出現的次數。這些二維空間黑線，在三維空間裡，是節面 。節面的數量等於 n 1 ，是徑向節數（ n l 1 ）與角節數（ l ）的總和。 穩定性 思考氫原子穩定性問題，應用經典電動力學來分析，則由於庫侖力作用，束縛電子會被原子核吸引，呈螺線運動掉入原子核，同時輻射出無窮大能量，因此原子不具有穩定性。但是，在大自然裡這虛擬現象實際並不會發生。那麼，為什麼氫原子的束縛電子不會掉入原子核裡？應用量子力學，可以計算出氫原子系統的基態能量大於某有限值，稱這結果為滿足「第一種穩定性條件」，即氫原子的基態能量 E_0 大於某有限值： E_0 infty 。 量子力學的海森堡不確定性原理 Delta x Delta p ge hbar2 可以用來啟發性地說明這問題，電子越接近原子核，電子動能越大。但是海森堡不確定性原理不能嚴格給出數學證明，有些特別案例不能滿足第一種穩定性條件，因為 Delta x 量度的是波函式的半寬度，而不是波函式集聚於原子核附近的程度，所以波函式可以擁有一定的半寬度，並且極度集聚於原子核附近，造成庫侖勢能趨於 infty ，同時維持有限的動能。 更詳細分析起見，只考慮類氫原子系統，給定原子的原子序 Z ，原子的能量 E 為為了方便運算，採用 hbar221 、質量 m1 、基本電荷 e1 的單位制。 ETVint_mathbb R3 mathrm d xleft frac 12nablapsi x2Zfrac psi x2x right ； 其中，T 為動能，V 為勢能，psi x 為描述類氫原子系統的波函式，x 為位置坐標，mathbb R3 為積分體積。 應用索博列夫不等式，經過一番運算，可以得到能量最大下界為。 E_04Z23 Ry ； 其中，Ry 是能量單位裡德伯，大約為 136eV。 總結，類氫原子滿足第一種穩定性條件這結果。 參閱 氘 氚 氫原子光譜 21 公分線 量子化學 類氫原子 球對稱位勢 拉普拉斯 龍格 冷次向量 註釋 參考文獻 外部連結 大衛森大學物理課堂講義：關於軌域的互動繪圖 新墨西哥大學物理課堂講義：氫原子的波函式，波函式線形圖，與機率密度影像 德瑞守大學物理課堂講義：氫原子基本量子力學概念 Q