海森矩陣（德語：HesseMatrix；英語： 或 ），又譯作黑塞矩陣、海塞（賽）矩陣或海瑟矩陣等，是一個由多變數實值函式的所有二階偏導陣列成的方陣，由德國數學家奧託黑塞引入並以其命名。 定義 假設有一實值函式 f x_1 x_2 dots x_n，如果 f 的所有二階偏導數都存在並在定義域內連續，那麼函式 f 的黑塞矩陣為 mathbf H begin bmatrixfrac partial2 fpartial x_12 frac partial2 fpartial x_1partial x_2 cdots frac partial2 fpartial x_1partial x_n frac partial2 fpartial x_2partial x_1 frac partial2 fpartial x_22 cdots frac partial2 fpartial x_2partial x_n vdots vdots ddots vdots frac partial2 fpartial x_npartial x_1 frac partial2 fpartial x_npartial x_2 cdots frac partial2 fpartial x_n2 end bmatrix 或使用下標記號表示為 mathbf H_ijfrac partial2fpartial x_i partial x_j 顯然黑塞矩陣 mathbf H 是一個 ntimes n 方陣。黑塞矩陣的行列式被稱為黑塞式（英語：），而需注意的是英語環境下使用 Hessian 一詞時可能指上述矩陣也可能指上述矩陣的行列式。 性質 由高等數學知識可知，若一元函式 f x 在 xx_0 點的某個鄰域內具有任意階導數，則函式 f x 在 xx_0 點處的泰勒展開式為 f xf x_0fx_0Delta xfrac f x_02Delta x2cdots 其中，Delta xxx_0。 同理，二元函式 f x_1x_2 在 x_0 x_10x_20 點處的泰勒展開式為 f x_1x_2f x_10x_20f_x_1x_10x_20Delta x_1f_x_2x_10x_20Delta x_2frac 12f_x_1 x_1x_10x_20Delta x_122f_x_1 x_2x_10x_20Delta x_1Delta x_2f_x_2 x_2x_10x_20Delta x_22cdots 其中，Delta x_1x_1x_10，Delta x_2x_2x_20，f_x_1frac partial fpartial x_1，f_x_2frac partial fpartial x_2，f_x_1x_1frac partial2 fpartial x_12，f_x_2x_2frac partial2 fpartial x_22，f_x_1x_2frac partial2 fpartial x_1 partial x_2frac partial2 fpartial x_2 partial x_1。 將上述展開式寫成矩陣形式，則有 f xf x_0nabla f x_0mathrm TDelta xfrac 12Delta xmathrm T G x_0Delta xcdots 其中，Delta xbegin bmatrixDelta x_1 Delta x_2end bmatrix，Delta xmathrm Tbegin bmatrixDelta x_1 Delta x_2end bmatrix 是 Delta x 的轉置，nabla f x_0begin bmatrixfrac partial fpartial x_1 frac partial fpartial x_2end bmatrix 是函式 f x_1x_2 在 x_0 x_10x_20 的梯度，矩陣 G x_0begin bmatrixfrac partial2 fpartial x_12 frac partial2 fpartial x_1partial x_2 frac partial2 fpartial x_2partial x_1 frac partial2 fpartial x_22 end bmatrix_x_0 即函式 f x_1x_2 在 x_0 x_10x_20 點處的 2times2 黑塞矩陣。它是由函式 f x_1x_2 在 x_0 x_10x_20 點處的所有二階偏導數所組成的方陣。 由函式的二次連續性，有 frac partial2 fpartial x_1 partial x_2frac partial2 fpartial x_2 partial x_1 所以，黑塞矩陣 G x_0 為對稱矩陣。 將二元函式的泰勒展開式推廣到多元函式，函式 f x_1x_2cdotsx_n 在 x_0 x_1x_2cdotsx_n 點處的泰勒展開式為 f xf x_0nabla f x_0mathrm TDelta xfrac 12Delta xmathrm T G x_0Delta xcdots 其中，nabla f x_0begin bmatrixfrac partial fpartial x_1 frac partial fpartial x_2 cdots frac partial fpartial x_nend bmatrix_x_0T 為函式 f x 在 x_0 x_1x_2cdotsx_n 點的梯度， G x_0 begin bmatrix frac partial2 fpartial x_12 frac partial2 fpartial x_1partial x_2 cdots frac partial2 fpartial x_1partial x_n frac partial2 fpartial x_2partial x_1 frac partial2 fpartial x_22 cdots frac partial2 fpartial x_2partial x_n vdots vdots ddots vdots frac partial2 fpartial x_npartial x_1 frac partial2 fpartial x_npartial x_2 cdots frac partial2 fpartial x_n2 end bmatrix_x_0 為函式 f x 在 x_0 x_1x_2cdotsx_n 點的 ntimes n 黑塞矩陣。若函式有 n 次連續性，則函式的 ntimes n 黑塞矩陣是對稱矩陣。 說明：在最佳化設計領域中，黑塞矩陣常用 G 表示，且梯度有時用 g 表示。 函式 f 的黑塞矩陣和雅可比矩陣有如下關係： mathrm H fmathrm J nabla fT 即函式 f 的黑塞矩陣等於其梯度的雅可比矩陣。 應用 函式的極值條件 對於一元函式 f x，在給定區間內某 xx_0 點處可導，並在 xx_0 點處取得極值，其必要條件是 fx_00 即函式 f x 的極值必定在駐點處取得，或者說可導函式 f x 的極值點必定是駐點；但反過來，函式的駐點不一定是極值點。檢驗駐點是否為極值點，可以採用二階導數的正負號來判斷。根據函式 f x 在 xx_0 點處的泰勒展開式，考慮到上述極值必要條件，有 f xf x_0frac f x_02Delta x2cdots 若 f x 在 xx_0 點處取得極小值，則要求在 xx_0 某一鄰域內一切點 x 都必須滿足 f xf x_00 即要求 frac f x_02Delta x20 亦即要求 f x_00 f x 在 xx_0 點處取得極大值的討論與之類似。於是有極值充分條件： 設一元函式 f x 在 xx_0 點處具有二階導數，且 fx_00，f x_0ne 0，則 當 f x_00 時，函式 f x 在 xx_0 處取得極小值； 當 f x_00 時，函式 f x 在 xx_0 處取得極大值。 而當 f x_00 時，無法直接判斷，還需要逐次檢驗其更高階導數的正負號。由此有一個規律：若其開始不為零的導數階數為偶數，則駐點是極值點；若為奇數，則為拐點，而不是極值點。 對於二元函式 f x_1x_2，在給定區域內某 x_0 x_10 x_20 點處可導，並在 x_0 x_10 x_20 點處取得極值，其必要條件是 f_x_1x_0f_x_2x_00 即 nabla f x_00 同樣，這只是必要條件，要進一步判斷 x_0 x_10 x_20 是否為極值點需要找到取得極值的充分條件。根據函式 f x_1x_2 在 x_0 x_10x_20 點處的泰勒展開式，考慮到上述極值必要條件，有 f x_1x_2f x_10x_20frac 12f_x_1 x_1x_0Delta x_122f_x_1 x_2x_0Delta x_1Delta x_2f_x_2 x_2x_0Delta x_22cdots 設 Af_x_1 x_1x_0，Bf_x_1 x_2x_0，Cf_x_2 x_2x_0，則 f x_1x_2f x_10x_20frac 12ADelta x_122BDelta x_1Delta x_2CDelta x_22cdots 或 f x_1x_2f x_10x_20frac 12AADelta x_1 BDelta x_22ACB2Delta x_22cdots 若 f x_1x_2 在 x_0 x_10x_20 點處取得極小值，則要求在 x_0 x_10x_20 某一鄰域內一切點 x 都必須滿足 f x_1x_2f x_10x_200 即要求 frac 12AADelta x_1 BDelta x_22ACB2Delta x_220 亦即要求 A0，ACB20 即 leftfrac partial2 fpartial x_12right_x_00 begin bmatrixfrac partial2 fpartial x_12frac partial2 fpartial x_22frac partial2 fpartial x_1partial x_22end bmatrix_x_00 此條件反映了 f x_1x_2 在 x_0 x_10x_20 點處的黑塞矩陣 G x_0 的各階主子式都大於零，即對於 G x_0begin bmatrixfrac partial2 fpartial x_12 frac partial2 fpartial x_1partial x_2 frac partial2 fpartial x_2partial x_1 frac partial2 fpartial x_22 end bmatrix_x_0 要求 leftfrac partial2 fpartial x_12right_x_00 G x_0 begin vmatrixfrac partial2 fpartial x_12 frac partial2 fpartial x_1partial x_2 frac partial2 fpartial x_2partial x_1 frac partial2 fpartial x_22 end vmatrix_x_00 f x_1x_2 在 x_0 x_10x_20 點處取得極大值的討論與之類似。於是有極值充分條件： 設二元函式 f x_1x_2 在 x_0 x_10x_20 點的鄰域內連續且具有一階和二階連續偏導數，又有 f_x_1x_0f_x_2x_00，同時令 Af_x_1 x_1x_0，Bf_x_1 x_2x_0，Cf_x_2 x_2x_0，則 當 A0，ACB20 時，函式 f x_1x_2 在 x_0 x_10x_20 處取得極小值； 當 A0，ACB20 時，函式 f x_1x_2 在 x_0 x_10x_20 處取得極大值。 此外可以判斷，當 ACB20 時，函式 f x_1x_2 在 x_0 x_10x_20 點處沒有極值，此點稱為鞍點。而當 ACB20 時，無法直接判斷，對此，補充一個規律：當 ACB20 時，如果有 Aequiv 0，那麼函式 f x_1x_2 在 x_0 x_10x_20 有極值，且當 C0 有極小值，當 C0 有極大值。 由線性代數的知識可知，若矩陣 G x_0 滿足 leftfrac partial2 fpartial x_12right_x_00 begin vmatrixfrac partial2 fpartial x_12 frac partial2 fpartial x_1partial x_2 frac partial2 fpartial x_2partial x_1 frac partial2 fpartial x_22 end vmatrix_x_00 則矩陣 G x_0 是正定矩陣，或者說矩陣 G x_0 正定。 若矩陣 G x_0 滿足 leftfrac partial2 fpartial x_12right_x_00 begin vmatrixfrac partial2 fpartial x_12 frac partial2 fpartial x_1partial x_2 frac partial2 fpartial x_2partial x_1 frac partial2 fpartial x_22 end vmatrix_x_00 則矩陣 G x_0 是負定矩陣，或者說矩陣 G x_0 負定。 於是，二元函式 f x_1x_2 在 x_0 x_10x_20 點處取得極值的條件表述為：二元函式 f x_1x_2 在 x_0 x_10x_20 點處的黑塞矩陣正定，則取得極小值；在 x_0 x_10x_20 點處的黑塞矩陣負定，則取得極大值。 對於多元函式 f x_1x_2cdotsx_n，若在 x_0 x_1x_2cdotsx_n 點處取得極值，則極值存在的必要條件為 nabla f x_0begin bmatrixfrac partial fpartial x_1 frac partial fpartial x_2 cdots frac partial fpartial x_nend bmatrix_x_0T0 取得極小值的充分條件為 G x_0 begin bmatrix frac partial2 fpartial x_12 frac partial2 fpartial x_1partial x_2 cdots frac partial2 fpartial x_1partial x_n frac partial2 fpartial x_2partial x_1 frac partial2 fpartial x_22 cdots frac partial2 fpartial x_2partial x_n vdots vdots ddots vdots frac partial2 fpartial x_npartial x_1 frac partial2 fpartial x_npartial x_2 cdots frac partial2 fpartial x_n2 end bmatrix_x_0 正定，即要求 G x_0 的各階主子式都大於零，即 leftfrac partial2 fpartial x_12right_x_00 begin vmatrixfrac partial2 fpartial x_12 frac partial2 fpartial x_1partial x_2 frac partial2 fpartial x_2partial x_1 frac partial2 fpartial x_22 end vmatrix_x_00 vdots G x_0 0 取得極大值的充分條件為 G x_0 begin bmatrix frac partial2 fpartial x_12 frac partial2 fpartial x_1partial x_2 cdots frac partial2 fpartial x_1partial x_n frac partial2 fpartial x_2partial x_1 frac partial2 fpartial x_22 cdots frac partial2 fpartial x_2partial x_n vdots vdots ddots vdots frac partial2 fpartial x_npartial x_1 frac partial2 fpartial x_npartial x_2 cdots frac partial2 fpartial x_n2 end bmatrix_x_0 負定。 拓展閱讀 雅可比矩陣 梯度 參考文獻 H H