複分析中的柯西 黎曼微分方程，又稱柯西 黎曼條件《數學物理方法》 王友年。宋遠紅。大連理工大學出版社。是提供了可微函式在開集中為全純函式的充要條件的兩個偏微分方程，以柯西和黎曼得名。這個方程組最初出現在達朗貝爾的著作中。後來尤拉將此方程組和解析函式聯絡起來。 然後柯西採用這些方程來構建他的函數理論。黎曼關於此函數理論的論文於 1851 年問世。 在一對實值函式 u x y 和 v x y 上的柯西 黎曼方程組包括兩個方程： 1a partial u over partial x partial v over partial y 和 1bpartial u over partial y partial v over partial x 通常，u 和 v 取為一個複函式的實部和虛部：f xiyu xyiv xy。假設 u 和 v 在開集 C 上連續可微，則當且僅當 u 和 v 的偏微分滿足柯西 黎曼方程組 1a 和 1b，fuiv 是全純的 註釋和其他表述 共形對映 柯西 黎曼方程常常表述為其他形式。首先，它們可以寫成複數形式： 2i partial f over partial x partial f over partial y 在此形式中，方程對應於雅可比矩陣結構上有如下形式 begin pmatrix a b b a end pmatrix 其中 apartial upartial xpartial vpartial y， bpartial vpartial xpartial upartial y。該形式的矩陣是複數的矩陣表示。幾何上，這樣的一個矩陣總是一個旋轉和一個縮放的複合，從而是保角（保持角度不變）的。因此，滿足柯西 黎曼方程的有非零導數的函式保持平面曲線的角度不變。也即，柯西 黎曼方程是函式成為共形對映的條件。 複共軛的獨立性 方程組有時也被寫作一個方程 3frac partial fpartialbar z 0 其中微分運算元 frac partialpartialbar z 定義為 frac partialpartialbar z frac 12left frac partialpartial x ifrac partialpartial yright 在此形式中，柯西 黎曼方程可以解釋為 f 獨立於變數 bar z。 複可微性 柯西 黎曼方程是函式的複可微性（或稱全純性）的充要條件。精確的講，設 f z u z i v z 為複數 zC 的函式，則 f 在點 z0 的複導數定義為 lim_underset hinmathbb Chto 0 frac f z_0hf z_0h fz_0 如果該極限存在。 若該極限存在，則可以取 h0 沿著實軸或者虛軸的極限；它在兩種情況下應該給出同樣的結果。從實軸逼近，得到 lim_underset hinmathbb Rhto 0 frac f z_0hf z_0h frac partial fpartial xz_0 而從虛軸逼近有 lim_underset ihin imathbb Rhto 0 frac f z_0ihf z_0ih lim_underset ihin imathbb Rhto 0 ifrac f z_0ihf z_0h ifrac partial fpartial yz_0 f 沿著兩個軸的導數相同也即 frac partial fpartial xz_0ifrac partial fpartial yz_0 這就是在點 z0 的柯西 黎曼方程（2）。 反過來，如果 fC C 作為對映到 R2 上的函式可微，則 f 複可微當且僅當柯西 黎曼方程成立。 物理解釋 柯西 黎曼方程的一個解釋和複變理論無關。設 u 和 v 在 R2 的開子集上滿足柯西 黎曼方程，考慮向量場 bar f begin bmatrix u vend bmatrix 將其視為（實）兩個分量的向量。則第二個柯西 黎曼方程（1b）斷言 bar f 無旋： frac partial vpartial x frac partial upartial y 0 第一個柯西 黎曼方程（1a）斷言該向量場無源（或者是零散度）： frac partial upartial x frac partial vpartial y0 分別根據格林定理和散度定理，這樣的場是保守的，而且沒有源，在整個開域上淨流量為零。（這兩點在柯西積分定理中作為實部和虛部結合起來。）在流體力學中，這樣的一個場是一個勢流。在靜磁學中，這樣的向量場是在不含電流的平面區域中的靜磁場的模型。在靜電學中，它們提供了不包含電荷的平面區域的電場模型。 其它解釋 柯西 黎曼方程的其他表述有時出現在其他座標系中。若（1a）和（1b）對於連續函式 u 和 v 成立，則如下方程也成立 frac partial upartial s frac partial vpartial nquad frac partial upartial n frac partial vpartial s 對於任何座標 n xy s xy，如果它們滿足 scriptstyle nabla n nabla s 正交併且正定向。因此，特別的有，在極座標 zreiθ 下，方程組有如下形式 partial u over partial r 1 over rpartial v over partial thetaquad partial v over partial r 1 over rpartial u over partial theta 結合成一個 f 的方程，就有 partial f over partial r 1 over i rpartial f over partial theta 非齊次方程 非齊次柯西 黎曼方程由兩個未知兩個實變數的函式 u xy 和 v xy 的方程組成 frac partial upartial xfrac partial vpartial y alpha xy frac partial upartial yfrac partial vpartial x beta xy 對於給定的定義在 R2 的開子集上的函式 αxy 和 βxy。這些方程經常合併為一個方程。 frac partial fpartialbar z phi zbar z 其中 fuiv，φαiβ2。 若 φ 是 Ck 的，則在有界區域 D 中方程顯式可解，只要 φ 在 D 的閉包上連續。實際上，按照柯西積分公式， f zetabar zeta frac 12pi iiint_D phi zbar zfrac dzwedge dbar zzzeta 對於所有 ζD 成立。 推廣 Goursat 定理及其推廣 設 f uiv 為複函式，作為函式 f R2 R2 可微。則柯西積分定理（柯西－古爾薩定理）斷言 f 在開複域 Ω 上解析當且僅當它在該域上滿足柯西 黎曼方程。特別是，f 不需假定為連續可微。 柯西－古爾薩定理的假設可以大幅減弱；f 不需可微，只要 fuiv 在 Ω 上連續且 f 關於 x 和 y 的偏導數在 Ω 中存在即可，這個結果稱為 LoomanMenchoff 定理。 f 在整個域 Ω 上滿足柯西 黎曼方程是要點。可以構造在一點滿足柯西 黎曼方程的連續函式，但它不在該點解析（譬如，f z z5z4）。只滿足柯西 黎曼方程也是不夠的，（需額外滿足連續性），下面的例子表明了這一點： f z begin casesexp z4mathrm if znot0 0mathrm if z0 end cases 它處處滿足柯西 黎曼方程，但在 z0 不連續。 但是，如果一個函式在開集上以弱形式滿足柯西 黎曼方程，則函式解析。更精確的講 若 f z 在開域 ΩC 上區域性可積，並以弱形式滿足柯西 黎曼方程，則 f 和 Ω 上的一個解析函式幾乎處處相等。 多變數的情況 在多複變數的理論中有對柯西 黎曼方程的恰當推廣。他們組成一個偏微分方程的嚴重過約束系統。通常的表述中，dbar 運算元 bar partial 將全純函式消零。這是 partial f over partial bar z 0 的直接推廣 其中 partial f over partial bar z 1 over 2left partial f over partial x 1 over ipartial f over partial yright 參看 莫雷拉定理 參考 外部連結 John H Mathews 所作柯西 黎曼方程模組 Category 偏微分方程 K Category 調和函式 Category 方程 Category 伯恩哈德黎曼 Category 奧古斯丁 路易柯西