在相對論裡，四維向量是實值四維向量空間裡的向量。這四維向量空間稱為閔考斯基時空。四維向量的分量分別為在某個時間點與三維空間點的四個數量。在閔考斯基時空內的任何一點，都代表一個「事件」，可以用四維向量表示。從任意慣性參考系觀察某事件所獲得的四維向量，透過勞侖茲變換，可以變換為從其它慣性參考系觀察該事件所獲得的四維向量。 本文章只思考在狹義相對論範圍內的四維向量，儘管四維向量的概念延伸至廣義相對論。在本文章內寫出的一些結果，必須加以修改，才能在廣義相對論範圍內成立。 數學性質 在閔考斯基時空內的任何一點，都可以用四維向量（一組標準基底的四個坐標） xmux0 x1 x2 x3 來表示；其中，上標 mu0123 標記時空的維數次序。稱這四維向量為「坐標四維向量」，又稱「四維坐標」，定義為 xmu stackrel def ct x y z ； 其中，c 是光速，t 是時間，x y z 是位置的三維直角坐標。 為了確使每一個坐標的單位都是長度單位，定義 x0 stackrel def ct 。 「四維位移」定義為兩個事件之間的向量差。在時空圖裡，四維位移可以用從第一個事件指到第二個事件的箭矢來表示。當向量的尾部是坐標系的原點時，位移就是位置。四維位移 Delta xmu 表示為 Delta xmu stackrel def Delta ct Delta x Delta y Delta z 。 帶有上標的四維向量 Umu 稱為反變向量，其分量標記為 Umu U0 U1 U2 U3 。 假若，標號是下標，則稱四維向量 U_mu 為協變向量。其分量標記為 U_mu U_0 U_1 U_2 U_3 U0 U1 U2 U3 。 在這裡，閔考斯基度規 eta_munu 被設定為 eta_mu nu stackrel def left begin matrix 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 end matrixright 。 採用愛因斯坦求和約定，則四維向量的協變坐標和反變坐標之間的關係為 U_mu eta_mu nu Unu 。 閔考斯基度規與它的「共軛度規張量」 etamunu 相等： etamu nu stackrel def left begin matrix 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 end matrixright 。 勞侖茲變換 給予兩個慣性參考系 mathcal S、 bar mathcal S ；相對於參考系 mathcal S，參考系 bar mathcal S 以速度 mathbf vvhat mathbf x 移動。對於這兩個參考系，相關的「勞侖茲變換矩陣」 Lambdamu _nu 是 Lambdamu _nu left begin matrix gamma gammabeta 0 0 gammabeta gamma 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 end matrixright ； 其中，gammacfrac 1sqrt 1left frac vcright2 是勞侖茲因子，betafrac vc 是「貝塔因子」。 對於這兩個參考系 mathcal S、 bar mathcal S ，假設一個事件的四維坐標分別為 xmu、 bar xmu 。那麼，這兩個四維坐標之間的關係為 bar xmuLambdamu _nu xnu 、 xmubar Lambdamu _nu bar xnu ； 其中，bar Lambdamu _nu 是 Lambdamu _nu 的反矩陣， bar Lambdamu _nu left begin matrix gamma gammabeta 0 0 gammabeta gamma 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 end matrixright 。 將這兩個四維坐標之間的關係式合併為一，則可得到 bar xmuLambdamu _nu xnuLambdamu _nu bar Lambdanu _xi bar xxi 。 因此，可以找到勞侖茲變換矩陣的一個特性： Lambdamu _nu bar Lambdanu _xideltamu _xi ； 其中，deltamu _xi 是克羅內克函式。 另外一個很有用的特性為 bar Lambdamu _nueta_alphanu etabetamu Lambdaalpha _beta ； 給定一個事件在某慣性參考系的四維坐標，透過勞侖茲變換，就可計算出這事件在另外一個慣性參考系的四維坐標。這是個很有用的物理性質。當研究物理現象時，所涉及的四維向量，最好都能夠具有這有用的性質。這樣，可以使得數學分析更加精緻犀利。以方程式表示，對於兩個參考系 mathcal S、 bar mathcal S，具有這種有用性質的四維向量 Umu 、bar Umu 滿足 bar UmuLambdamu _nu Unu 、 Umubar Lambdamu _nu bar Unu 。 在計算這四維向量對於時間的導數時，若能選擇固有時為時間變數，則求得的四維向量仍舊具有這有用的性質。因為，固有時乃是個不變數；改變慣性參考系不會改變不變數。 假設一個物體運動於閔考斯基時空。在「實驗室參考系」裡，物體運動的速度隨著時間改變。對於每瞬時刻，選擇與物體同樣運動的慣性參考系，稱為「瞬間共動參考系」（momentarily comoving reference frame）。在這瞬間共動參考系裡，物體的速度為零，因此，這參考系也是物體的「瞬間靜止參考系」。隨著物體不斷地改變運動速度與方向，新的慣性參考系也會不斷地改換為瞬間共動參考系。隨著這些不斷改換的瞬間同行坐標系所測得的時間即為固有時，標記為 tau 。這就好像給物體掛戴一隻手錶，隨著物體的運動，手錶也會做同樣的運動，而手錶所紀錄的時間就是固有時。 這物體的運動可以用一條世界線 x tau 來描述。由於時間膨脹，發生於物體的兩個本地事件的微小固有時間隔 Delta tau 與從別的慣性參考系 mathcal S 所觀測到的微小時間間隔 Delta t 的關係為 Delta tgammaDelta tau 。 所以，固有時 tau 對於其它時間 t 的導數為 frac mathrm dtaumathrm d tfrac 1gamma 。 閔考斯基內積 在閔考斯基空間裡，兩個四維向量 Umu 與 V_mu 的內積，稱為閔考斯基內積，以方程式表示為： Umu V_mu stackrel def U0 V0 U1 V1 U2 V2 U3 V3 。 由於這內積並不具正定性，即 Umu U_mu U02 U12 U22 U32 可能會是負數；而歐幾裡得內積一定不是負數。 許多學者喜歡使用相反正負號的 eta： eta_mu nu stackrel def left begin matrix 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 end matrixright 。 這樣，Umu 與 V_mu 的內積改變為 Umu V_mu U0 V0U1 V1 U2 V2 U3 V3 。 其它相聯的量值也會因而改變正負號，但這不會改變系統的物理性質。 從參考系 mathcal S 改換至另一參考系 overline mathcal S ，Umu 與 V_mu 的內積為 UmuV_mu overline Lambdamu _alpha overline Ualpha eta_mubeta Vbeta overline Lambdamu _alpha overline Ualpha eta_mubeta overline Lambdabeta _xi overline Vxi overline Lambdamu _alpha overline Ualpha eta_mubeta overline Lambdabeta _xi etaxizeta overline V_zeta overline Lambdamu _alpha overline Ualpha overline Lambdazeta _mu overline V_zeta deltazeta _alpha overline Ualpha overline V_zeta overline Ualphaoverline V_alpha 。 所以，在閔考斯基時空內，兩個四維向量的內積是個不變數： Umu V_muoverline Umuoverline V_mu 。 四維向量可以分類為類時，類空，或類光（零向量）： 類時向量：Umu U_mu 0 ， 類空向量：Umu U_mu 0 ， 類光向量：Umu U_mu 0 。 動力學例項 四維速度 設想一個物體運動於閔考斯基時空，則其世界線的任意事件 xmutau 的四維速度 Umu 定義為 Umu stackrel def frac mathrm d xmumathrm dtau frac mathrm d tmathrm dtau frac mathrm d xmumathrm d t left gamma c gamma mathbf u right ； 其中，mathbf uleft frac mathrm d x1mathrm d t frac mathrm d x2mathrm d t frac mathrm d x3mathrm d tright 是三維速度，或經典速度向量。 Umu 的空間部分與經典速度 mathbf u 的關係為 left U1 U2 U3rightgamma mathbf u 。 四維速度與自己的內積等於光速平方，是一個不變數： Umu U_mu c2 。 在物體的瞬間共動參考系裡，物體的速度為零，因此，四維速度為 left c000right_MCRF ， 其方向與瞬間共動參考系的第零個基底向量 hat mathbf e_0left 1000right_MCRF 同向； 其中，MCRF 表示從瞬間共動參考系觀察得到的資料。 四維加速度 四維加速度 alphamu 定義為 alphamu stackrel def frac mathrm d Umumathrm dtau left gamma dot gamma c gamma dot gamma mathbf u gamma2 dot mathbf u right 。 經過一番運算，可以得到勞侖茲因子對於時間的導數： dot gammafrac mathrm dgammamathrm d tgamma3 mathbf ucdotmathbf ac2 ； 其中，mathbf afrac mathrm dmathbf umathrm d t 是經典加速度。 所以，四維加速度 alphamu 可以表示為 alphamuleft gamma4 mathbf ucdotmathbf ac gamma2 mathbf agamma4 mathbf ucdotmathbf amathbf uc2 right 。 由於 U_mu Umu 是個常數，四維加速度與四維速度相互正交；也就是說，四維速度與四維加速度的閔考斯基內積等於零： alpha_mu Umu frac 12 frac mathrm d U_mu Umumathrm dtau0 。 對於每一條世界線，這計算結果都成立。 注意到在瞬間共動參考系裡， U_mu 只有時間分量不等於零，所以， alphamu 為的時間分量為零： alphamuleft 0 gamma2 mathbf aright_MCRF 。 四維動量 一個靜止質量為 m 的粒子的四維動量 Pmu 定義為 Pmu stackrel def m Umuleft gamma m c gamma mmathbf u right 。 經典動量 mathbf p 定義為 mathbf p stackrel def m_relmathbf ugamma mmathbf u ； 其中，m_rel 是相對論性質量。 所以，Pmu 的空間部分等於經典動量 mathbf p ： left P1 P2 P3rightmathbf p。 四維力 作用於粒子的四維力定義為粒子的四維動量對於固有時的導數： Fmu stackrel def frac mathrm d Pmumathrm dtau。 提出四維動量內的靜止質量因子，即可發覺四維力就是靜止質量乘以四維加速度： Fmumfrac mathrm d Umumathrm dtaum alphamu 。 因此，四維力可以表示為 Fmum left gamma4 mathbf ucdotmathbf ac gamma2 mathbf agamma4 mathbf ucdotmathbf amathbf uc2 right 。 經典力 mathbf f 定義為 mathbf f stackrel def frac mathrm dmathbf pmathrm d t 。 所以，Fmu 的空間部分等於 gamma mathbf f ： left F1 F2 F3rightgamma mathbf f 。 物理內涵 在四維向量的表述裡，存在著許多能量與物質之間的關係。從這些特別關係，可以顯示出這表述的功能與精緻。 質能方程式 假設，在微小時間間隔 mathrm d t ，一個運動於時空的粒子，感受到作用力 mathbf f 的施加，而這粒子的微小位移為 mathrm dmathbf x 。那麼，作用力 mathbf f 對於這粒子所做的微小機械功 mathrm d W 為 mathrm d W mathbf f cdot mathrm dmathbf x 。 因此，這粒子的動能的改變 mathrm d K 為 mathrm d Kmathrm d W mathbf f cdot mathrm dmathbf x 。 粒子的動能 K 對於時間的導數為 frac mathrm d Kmathrm d t mathbf f cdot frac mathrm dmathbf xmathrm d tmathbf f cdot mathbf u 。 將前面經典力和經典速度的公式帶入，可以得到 frac mathrm d Kmathrm d tmgamma3 mathbf u cdot mathbf am c2 frac mathrm dgammamathrm d t 。 這公式的反微分為 Kgamma m c2K_0 。 當粒子靜止時，動能等於零。所以， Kgamma m c2 m c2 。 這公式的右手邊第二個專案就是靜止能量 E_0 stackrel def m c2 。動能 K 加上靜止能量 E_0 等於總能量 E ： E gamma m c2 。 再加簡化，以相對論性質量 m_rel 表示： Em_rel c2 。 這方程式稱為質能方程式。 能量 動量關係式 使用質能方程式 E m_rel c2gamma m c2 ，四維動量可以表示為 Pmu left frac Ec mathbf p right 。 四維動量與自己的內積為 Pmu P_mufrac E2c2 p2 。 改以四維速度來計算內積： Pmu P_mu m2 Umu U_mu m2 c2 。 所以，能量 動量關係式為 E2 pc2 m2 c4 。 電磁學例項 四維電流密度 在電磁學裡，四維電流密度 Jmu 是一個四維向量，定義為 Jmu stackrel def rho c mathbf j ； 其中，rho 是電荷密度，mathbf j 是三維電流密度。 在瞬間共動參考系所觀測到的電荷密度，稱為固有電荷密度 rho_0rhogamma 。四維電流密度與四維速度的關係為 Jmurho_0 Umu 。 電荷守恆定律能以三維矢量表示為 frac partial rhopartial tnablacdot mathbf j0 。 這定律也能以四維電流密度表示為 frac partial Jmupartial xmu0 。 從這方程式，可以推論四維電流密度的四維散度等於零。 電磁四維勢 電磁四維勢是由電勢 phi 與向量勢 mathbf A 共同形成的，定義為 Amu stackrel def phi c mathbf A 。 黎曼 索末菲方程式表示電磁四維勢與四維電流密度之間的關係： Box Amu mu_0 Jmu 其中，mu_0 是磁常數，Boxpartial2partial_alphapartialalphaleft frac 1c2 frac partial2partial t2 nabla2 right 是達朗貝爾算符，又稱為四維拉普拉斯算符。 四維頻率和四維波向量 一個平面電磁波的四維頻率 numu 定義為 nualpha stackrel def f fmathbf n ； 其中，f 是電磁波的頻率，mathbf n 是朝著電磁波傳播方向的單位向量。 四維頻率與自己的內積永遠等於零： nualpha nu_alpha f2 1 n2 0 。 一個近單色光的波包的波動性質可以用四維波向量 Kalpha 來描述： Kalpha stackrel def left frac 2pi fc mathbf k right 。 其中，mathbf k 是三維波向量。 四維波向量與四維頻率之間的關係為 Kalphafrac 2pi nualphac 。 參閱 洛侖茲協變性 參考文獻 S S S S S