在實分析中，由黎曼創立的黎曼積分首次對函式在給定區間上的積分給出了一個精確定義。黎曼積分在技術上的某些不足之處可由後來的黎曼－斯蒂爾傑斯積分和勒貝格積分得到修補。 概念 讓函式 f 為定義在區間 ab 的非負函式，我們想要計算 f x 所代表的曲線與 x 座標軸跟兩條垂直線 xa 跟 xb 所夾圖形的面積（既右圖區域 S 的面積），可將區域 S 的面積以下面符號表示： int_ab f xdx 黎曼積分的基本概念就是對 x 軸的分割越來越細，則其所對應的矩形面積和也會越來越趨近圖形 S 的面積（參考右方第二張圖）。同時請注意，如函式為負函式， fabmapsto R_0，則其面積亦為負值。 定義 區間的分割 一個閉區間 ab 的一個分割是指在此區間中取一個有限的點列 a x_0 x_1 x_2 ldots x_n b。由 a 至 b 內的所有 x 每個閉區間 x_i x_i1 叫做一個子區間。定義 lambda 為這些子區間長度的最大值：lambda max x_i1x_i，其中 0 le i le n 1 。 再定義取樣分割。一個閉區間 ab 的一個取樣分割是指在進行分割 a x_0 x_1 x_2 ldots x_n b 後，於每一個子區間中 x_i x_i1 取出一點 x_i le t_i le x_i1。lambda 的定義同上。 精細化分割：設 x_0ldotsx_n 以及 t_0ldotst_n1 構成了閉區間 ab 的一個取樣分割，y_0ldotsy_m 和 s_0ldotss_m1 是另一個分割。如果對於任意 0 le i le n，都存在 r i 使得 x_i y_r i，並存在 r i le j r i1 使得 t_i s_j，那麼就把分割：y_0ldotsy_m、s_0ldotss_m1 稱作分割 x_0ldotsx_n、t_0ldotst_n1 的一個精細化分割。簡單來說，就是說後一個分割是在前一個分割的基礎上新增一些分點和標記。 於是我們可以在此區間的所有取樣分割中定義一個偏序關係，稱作 精細。如果一個分割是另外一個分割的精細化分割，就說前者比後者更 精細。 黎曼和 對一個在閉區間 ab 有定義的實值函式 f，f 關於取樣分割 x_0ldotsx_n、t_0ldotst_n1 的黎曼和（積分和）定義為以下和式： sum_i0n1 f t_i x_i1x_i 和式中的每一項是子區間長度 x_i1x_i 與在 t_i 處的函式值 f t_i 的乘積。直觀地說，就是以標記點 t_i 到 X 軸的距離為高，以分割的子區間為長的矩形的面積。 黎曼積分 不太嚴格地來說，黎曼積分就是當分割越來越 精細 的時候，黎曼和趨向的極限。下面的證明中，會對 越來越精細 作出嚴格的定義。 要使得 越來越精細 有效，需要把 lambda 趨於 0。如此 x_i x_i1 中的函式值才會與 f t_i 接近，矩形面積的和與 曲線下方 的面積的差也會越來越小。實際上，這就是黎曼積分定義的大概描述。 嚴格定義如下：S 是函式 f 在閉區間 ab 上的黎曼積分，當且僅當對於任意的 epsilon 0，都存在 delta 0，使得對於任意的取樣分割 x_0ldotsx_n、t_0ldotst_n1，只要它的子區間長度最大值 lambda le delta ，就有： leftsum_i0n1 f t_i x_i1x_i S right epsilon 也就是說，對於一個函式 f，如果在閉區間 ab 上，無論怎樣進行取樣分割，只要它的子區間長度最大值足夠小，函式 f 的黎曼和都會趨向於一個確定的值，那麼 f 在閉區間 ab 上的黎曼積分存在，並且定義為黎曼和的極限，這時候稱函式 f 為黎曼可積的。 這個定義的缺陷是沒有可操作性，因為要檢驗所有 lambda le delta 的取樣分割是難以做到的。下面引進另一個定義，然後證明它們是等價的。 另一個定義 S 是函式 f 在閉區間 ab 上的黎曼積分，當且僅當對於任意的 epsilon 0，都存在一個取樣分割 x_0ldotsx_n、t_0ldotst_n1，使得對於任何比其 精細 的分割 y_0ldotsy_m and s_0ldotss_m1，都有： leftsum_i0m1 f s_i y_i1y_i S right epsilon 這兩個定義是等價的。如果有一個 S 滿足了其中一個定義，那麼它也滿足另一個。首先，如果有一個 S 滿足第一個定義，那麼只需要在子區間長度最大值 lambda le delta 的分割中任取一個。對於比其精細的分割，子區間長度最大值顯然也會小於 delta，於是滿足 leftsum_i0m1 f s_i y_i1y_i S right epsilon 其次證明滿足第二個定義的 S 也滿足第一個定義。首先引進達布積分的概念，第二個定義和達布積分的定義是等價的，具體見達布積分。其次我們證明達布積分的定義滿足第一個定義。任選一個分割 x_0ldotsx_n 使得它的上達布和與下達布和都與 S 相差不超過 frac epsilon2。令 r 等於 max_0 le i le n1 M_im_i，其中 M_i 和 m_i 是 f 在 x_ix_i1 上的上確界和下確界。再令 delta 是 frac epsilon2rn 和 min_0 le i le n1 x_i1x_i 中的較小者。可以看出，當一個分割的子區間長度最大值小於 delta 時，f 關於它的黎曼和與上達布和或下達布和至多相差 frac epsilon2，所以和 S 至多相差 epsilon。 由於以上原因，黎曼積分通常被定義為達布積分（即第二個定義），因為達布積分比黎曼積分更簡單、更有可操作性。 黎曼積分的性質 線性性：黎曼積分是線性變換，也就是說，如果 f 和 g 在區間 ab 上黎曼可積，alpha 和 beta 是常數，則： int_abalpha f beta gdx alpha int_ab f xdx beta int_ab g xdx 由於一個函式的黎曼積分是一個實數，因此在固定了一個區間 ab 後，將一個黎曼可積的函式設到其黎曼積分的對映 I f longrightarrow int_ab f dx 是所有黎曼可積的函式空間上的一個線性泛函。 正定性：如果函式 f 在區間 ab 上幾乎處處（勒貝格測度意義上）大於等於 0，那麼它在 ab 上的積分也大於等於零。如果 f 在區間 ab 上幾乎處處大於等於 0，並且它在 ab 上的積分等於 0，那麼 f 幾乎處處為 0。 可加性：如果函式 f 在區間 ac 和 cb 上都可積，那麼 f 在區間 ab 上也可積，並且有 int_ab f dx int_ac f xdx int_cb f xdx 無論 a、b、c 之間的大小關係如何，以上關係式都成立。 ab 上的實函式 f 是黎曼可積的，當且僅當它是有界和幾乎處處連續的。 如果 ab 上的實函式是黎曼可積的，則它是勒貝格可積的。 如果 f_n 是 ab 上的一個一致收斂序列，其極限為 f，那麼： int_ab f dx int_ab lim_n to inftyf_n dx lim_n to infty int_ab f_n dx 如果一個實函式在區間 ab 上是單調的，則它是黎曼可積的。 黎曼積分的推廣 黎曼積分可推廣到值屬於 n 維空間 mathbb Rn 的函式。積分是線性定義的，即如果 mathbf f f_1 dots f_n，則 intmathbf f int f_1dots int f_n。特別地，由於複數是實數向量空間，故值為複數的函式也可定義積分。 黎曼積分只定義在有界區間上，擴充套件到無界區間並不方便。可能最簡單的擴充套件是透過極限來定義積分，即如同反常積分（improper integral）一樣。我們可以令 int_inftyinfty f tdt lim_xtoinftyint_xx f tdt 不幸的是，這並不是很合適。平移不變性（如果把一個函式向左或向右平移，它的黎曼積分應該保持不變）喪失了。例如，令 f x 1 若 x 0，f 00，f x1 若 x0。則對所有 x int_xx f tdt int_x0 f tdt int_0x f tdt x x 0 但如果我們將 f x 向右平移一個單位得到 f x1，則對所有 x 1，我們得到 int_xx f t1dt int_x1 f t1dt int_1x f t1dt x1 x1 2 由於這是不可接受的，我們可以嘗試定義： int_inftyinfty f tdt lim_atoinftylim_btoinftyint_ab f tdt 此時，如果嘗試對上面的 f 積分，我們得到 infty，因為我們先使用了極限 btoinfty。如果使用相反的極限順序，我們得到 infty。 這同樣也是不可接受的，我們要求積分存在且與積分順序無關。即使這滿足，依然不是我們想要的，因為黎曼積分與一致極限不再具有可交換性。例如，令 f_n x1n 在 0n 上，其它域上等於 0。對所有 n，int f_ndx 1。但 f_n 一致收斂於 0，因此 lim f_n 的積分是 0。因此 int fdx not limint f_ndx。即使這是正確的值，可看出對於極限與普通積分可交換的重要準則對反常積分不適用。這限制了黎曼積分的應用。 一個更好的途徑是拋棄黎曼積分而採用勒貝格積分。雖然勒貝格積分是黎曼積分的擴充套件這點看上去並不是顯而易見，但不難證明每個黎曼可積函式都是勒貝格可積的，並且當二者都有定義時積分值也是一致的。 事實上黎曼積分的一個直接擴充套件是 HenstockKurzweil 積分。 擴充套件黎曼積分的另一種途徑是替換黎曼累加定義中的因子 x_i x_i1，粗略地說，這給出另一種意義上長度間距的積分。這是黎曼 斯蒂爾切斯積分所採用的方法。 相關條目 不定積分 積分 勒貝格積分 黎曼－斯蒂爾傑斯積分 數值積分 達布積分 梯形公式 參考文獻 Shilov G E and Gurevich B L 1978 Integral Measure and Derivative A Unified Approach Richard A Silverman trans Dover Publications ISBN 0486635198 Category 積分的定義 Category 伯恩哈德黎曼