數學上，矩陣或有界線性運算元的譜半徑（spectral radius）是其特徵值絕對值中的最大值（也就是矩陣的譜中元素絕對值中的最小上界），會表示為 ρ。 矩陣 令是矩陣中的特徵值，則其譜半徑 is 定義為： rho A max left lambda_1 dotsc lambda_n right A 的條件數可以用譜半徑表示，公式為 rho A rho A1 。 譜半徑是矩陣所有範數的一種下確界（infimum）。另一方面， rho A leqslant A 對每一個矩陣範數 cdot 都成立，Gelfand 公式指出 rho A lim_ktoinfty Ak1k 。不過，針對任意向量 mathbf v in mathbb Cn ，譜半徑不一定會滿足 Amathbf v leqslant rho A mathbf v 。若要說明原因，可以令 r1 為任意數，考慮矩陣 C_r begin pmatrix 0 r1 r 0 end pmatrix 。 C_r 的特徵多項式是 lambda2 1 ，因此其特徵值為 pm 1 ，且 rho C_r 1 。不過 C_r mathbf e_1 r mathbf e_2 ，因此 C_r mathbf e_1 r 1 rho C_r mathbf e_1 ，其中 cdot 是 mathbb Cn 上的任何 ellp 範數。至於可以當 k to infty 時，讓 C_rk1k to 1 的原因是 C_r2 I ，因此當 k to infty 時，使 C_rk1k leqslant C_r1k r1k to 1 。 Amathbf v leqslant rho A mathbf v 針對所有 mathbf v in mathbb Cn 成立的條件是 A 為埃爾米特矩陣及 cdot 為歐幾里得範數。 圖 有限圖的譜半徑定義為其鄰接矩陣的譜半徑。 此一定義可以擴散到無限圖，但是其每個頂點都只連線有限個頂點（存在一實數使得每一個頂點的度都小於）。此情形下，針對圖可定義： ell2 G left f V G to mathbf R sumnolimits_v in V G left f v2 right infty right 令是 的鄰接運算元： begin cases gamma ell2 G to ell2 G gamma fv sum_uv in E G f u end cases 的譜半徑定義為有界線性運算元的譜半徑。 上界 矩陣譜半徑的上界 以下的命題指出了一個簡單但是有用的矩陣譜半徑上界： 命題：令，其譜半徑為，以及相容（Consistent）矩陣範數 。則針對每一個整數 k geqslant 1 rho Aleq Akfrac 1k 證明 令為矩陣 A 的特徵值 特徵向量對。利用矩陣範數的次可乘性（submultiplicative property），可得： lambdakmathbf v lambdak mathbf v Ak mathbf v leq Akcdotmathbf v 因為，可得 lambdak leq Ak 因此 rho Aleq Akfrac 1k 圖譜半徑的上界 有關 n 個頂點，m 個邊的圖，有許多的譜半徑的上界公式。例如，若 frac k2k32 leq mn leq frac k k32 其中 3 le k le n 為整數，則 ： rho G leq sqrt 2 mnkfrac 52sqrt 2 m2 nfrac 94 乘冪數列 定理 譜半徑和矩陣乘冪數列是否收斂有緊密的關係。以下的定理會成立： 定理：令，其譜半徑。則若且唯若 lim_k to infty Ak 0 另一方面，若，lim_k to infty Ak infty。上述敘述針對上的任何矩陣範數都有效。 定理證明 假設問題中的極限值為零，可以證明。令為 A 的特徵值和特徵向量對。因為可得： begin align 0 left lim_k to infty Ak right mathbf v lim_k to infty left Akmathbf v right lim_k to infty lambdakmathbf v mathbf v lim_k to infty lambdak end align 因為假設，會得到 lim_k to inftylambdak 0 表示 λ 1。因為這對任何一個特徵值都會成立，因此可知 ρA 1。 接下來假設的譜半徑小於。根據若爾當標準型定理，可以知道針對所有的，存在以及非奇異的和分塊對角矩陣使得： A VJV1 而 Jbegin bmatrix J_m_1lambda_1 0 0 cdots 0 0 J_m_2lambda_2 0 cdots 0 vdots cdots ddots cdots vdots 0 cdots 0 J_m_s1lambda_s1 0 0 cdots cdots 0 J_m_slambda_s end bmatrix 其中 J_m_ilambda_ibegin bmatrix lambda_i 1 0 cdots 0 0 lambda_i 1 cdots 0 vdots vdots ddots ddots vdots 0 0 cdots lambda_i 1 0 0 cdots 0 lambda_i end bmatrixin mathbf Cm_i times m_i 1leq ileq s 因此可得 AkVJkV1 因為是分塊對角矩陣 Jkbegin bmatrix J_m_1k lambda_1 0 0 cdots 0 0 J_m_2k lambda_2 0 cdots 0 vdots cdots ddots cdots vdots 0 cdots 0 J_m_s1k lambda_s1 0 0 cdots cdots 0 J_m_sk lambda_s end bmatrix 而 m_i times m_i 若爾當方塊矩陣次方可以得到，針對 k geq m_i1： J_m_ik lambda_ibegin bmatrix lambda_ik k choose 1lambda_ik1 k choose 2lambda_ik2 cdots k choose m_i1lambda_ikm_i1 0 lambda_ik k choose 1lambda_ik1 cdots k choose m_i2lambda_ikm_i2 vdots vdots ddots ddots vdots 0 0 cdots lambda_ik k choose 1lambda_ik1 0 0 cdots 0 lambda_ik end bmatrix 因此，若 rho A 1，則針對所有的，lambda_i 1 都會成立。因此針對所有的，可得： lim_k to infty J_m_ik0 這也表示 lim_k to infty Jk 0 因此 lim_k to infty Aklim_k to infty VJkV1V left lim_k to infty Jk right V10 另一方面，若 rho A1，當 k 增加時，在中至少有一個元素無法維持有界，因此證明瞭定理的第二部份。 Gelfand 公式 定理 以下的定理可以用 矩陣範數的極限來計算 T 譜半徑 定理（Gelfand 公式，1941 年）：令任何矩陣範數 ，可得 rho Alim_k to infty left Ak right frac 1k 此公式在任何 Banach 幾何下都成立。參考的 Lemma IX18，以及 證明 令任意，先建構以下二個矩陣： A_pm frac 1rho A pmvarepsilon A 則 rho left A_pm right frac rho Arho A pm varepsilon qquad rho A_ 1 rho A_ 先將之前的定理應用到 lim_k to infty A_k0 這表示，根據級數極限定理，一定存在使得針對所有的 k N，下式都成立 begin align left A_k right 1 end align 因此 begin align left Ak right frac 1k rho Avarepsilon end align 將之前的定理用在，表示 A_k 無界，一定存在使得針對所有的 k N，下式都成立 begin align leftA_k right 1 end align 因此 begin align leftAk rightfrac 1k rho Avarepsilon end align 令，可得： forall varepsilon0quad exists Ninmathbf N quad forall kgeq N quad rho Avarepsilon left Ak right frac 1k rho Avarepsilon 因此，依定義，可得下式 lim_k to infty left Ak right frac 1k rho A 舉例 考慮以下矩陣 Abegin bmatrix 9 1 2 2 8 4 1 1 8 end bmatrix 其中的特徵值為。依照定義，。在以下的表中，會以四個最常用的矩陣正規化，在 k 增加時，計算 Akfrac 1k（注意，因為此矩陣特殊的形式，_1_infty） k _1_infty _F _2 1 14 15362291496 10681145748 2 12649110641 12328294348 10595665162 3 11934831919 11532450664 10500980846 4 11501633169 11151002986 10418165779 5 11216043151 10921242235 10351918183 vdots vdots vdots vdots 10 10604944422 10455910430 10183690042 11 10548677680 10413702213 10166990229 12 10501921835 10378620930 10153031596 vdots vdots vdots vdots 20 10298254399 10225504447 10091577411 30 10197860892 10149776921 10060958900 40 10148031640 10112123681 10045684426 50 10118251035 10089598820 10036530875 vdots vdots vdots vdots 100 10058951752 10044699508 10018248786 200 10029432562 10022324834 10009120234 300 10019612095 10014877690 10006079232 400 10014705469 10011156194 10004559078 vdots vdots vdots vdots 1000 10005879594 10004460985 10001823382 2000 10002939365 10002230244 10000911649 3000 10001959481 10001486774 10000607757 vdots vdots vdots vdots 10000 10000587804 10000446009 10000182323 20000 10000293898 10000223002 10000091161 30000 10000195931 10000148667 10000060774 vdots vdots vdots vdots 100000 10000058779 10000044600 10000018232 有界線性運算元 針對有界線性運算元 及運算元範數 ，可以得到 rho A lim_k to inftyAkfrac 1k （複數希爾伯特空間上的）有界運算元若其譜半徑等於，可以稱為「譜運算元」（spectraloid operator）。其中一個例子是正規運算元。 相關條目 聯合譜半徑 矩陣的譜 註解 參考資料 Category 運算元理論 Category 矩陣論 Category 譜理論