在實分析或數學分析中，達布積分是一種定義一個函式的積分的方法，它是透過達布和構造的。達布積分和黎曼積分是等價的，也就是說，一個實值函式是達布可積的當且僅當它是黎曼可積的，並且積分的值相等。達布積分的定義比黎曼積分簡單，並且更具操作性。達布積分的名字來自於數學家讓加斯東達布。 區間的分割 一個閉區間 ab 的一個分割是指在此區間中取一個有限的點列 a x_0 x_1 x_2 ldots x_n b。每個閉區間 x_i x_i1 叫做一個子區間。定義 lambda 為這些子區間長度的最大值：lambda max x_i1x_i，其中 0 le i le n 1 。 再定義取樣分割。一個閉區間 ab 的一個取樣分割是指在進行分割 a x_0 x_1 x_2 ldots x_n b 後，於每一個子區間中 x_i x_i1 取出一點 x_i le t_i le x_i1。lambda 的定義同上。 精細化分割：設 x_0ldotsx_n 以及 t_0ldotst_n1 構成了閉區間 ab 的一個取樣分割，y_0ldotsy_m 和 s_0ldotss_m1 是另一個分割。如果對於任意 0 le i le n，都存在 r i 使得 x_i y_r i，並存在 r i le j le r i1 使得 t_i s_j，那麼就把分割：y_0ldotsy_m、s_0ldotss_m1 稱作分割 x_0ldotsx_n、t_0ldotst_n1 的一個精細化分割。簡單來說，就是說後一個分割是在前一個分割的基礎上新增一些分點和標記。 於是我們可以在此區間的所有取樣分割中定義一個偏序關係，稱作 精細。如果一個分割是另外一個分割的精細化分割，就說前者比後者更 精細。 達布和 設 f ab rightarrow mathbb R 為一個有界函式，又設 P x_0 ldots x_n 是閉區間 ab 的一個分割。令 M_i sup_xin x_i1x_i f x m_i inf_xin x_i1x_i f x f 在分割 P 下的上達布和定義為： U_f P sum_i1n M_i x_ix_i1 同樣的有下達布和的定義： L_f P sum_i1n m_i x_ix_i1 f 的上達布積分指的是所有上達布和的下確界： U_f infU_fP P 是閉區間 ab 的一個分割 同樣的 f 的下達布積分指的是所有下達布和的上確界： L_f supL_fP P 是閉區間 ab 的一個分割 如果 U_fL_f 那麼 f 就稱作達布可積的，並用 int_ab f tdt 表示，記作 f 在區間 ab 的達布積分。 性質 對於任何給定的分割，上達布和永遠大於等於下達布和。此外，下達布和被限制在以 ba 為寬，以 mathrm inff 為高的矩形下，佔據 ab。同樣，上達布和被限制在以 ba 為寬，以 mathrm supf 為高的矩形上。 bainf_x in ab f x leq L_fP leq U_fP leq basup_x in ab f x 下達布和和上達布和滿足 underline int_ab f x dx leq overline int_ab f x dx 對處於 ab 的任意 c begin align underline int_ab f x dx underline int_ac f x dx underline int_cb f x dx overline int_ab f x dx overline int_ac f x dx overline int_cb f x dx end align 下達布積分和上達布積分不必要是線性的。令 gabrightarrow R 是一個有界函式，則上達布積分和下達布積分滿足下面的不等關係。 begin align underline int_ab f x dx underline int_ab g x dx leq underline int_ab f x g x dx overline int_ab f x dx overline int_ab g x dx geq overline int_ab f x g x dx end align 對於一個常數 cgeq 0 我們有 begin align underline int_ab cf x cunderline int_ab f x overline int_ab cf x coverline int_ab f x end align 對於一個常數 cleq 0 我們有 begin align underline int_ab cf x coverline int_ab f x overline int_ab cf x cunderline int_ab f x end align 考慮函式 Fabrightarrow R 定義為 F x underline int_ax f x dx 那麼 F 是利普希茨連續的。當 F 是用達布積分定義的，一個相似的結論也成立。 例子 一個達布可積函式 假設我們想證明函式 f x x 在區間 01 上是達布可積的，並且確定它的值。我們需要把區間 01 分割為 n 個等大的子區間，每個區間長度為 frac 1n。我們取 n 個等大的子區間中一個作為 P_n。 現在因為 f x x 在 01 上嚴格單增，在任意一個特定子區間上的下確界即它的起點。同樣，在任意一個特定子區間上的上確界即它的終點。在 P_n 中第 k 個子區間的起點是 frac k1n，終點是 frac kn。那麼在一個分割 P_n 上的下達布和就是 begin align L_fP_n sum_k 1n f x_k1x_k x_k1 sum_k 1n frac k1n cdot frac 1n frac 1n2 sum_k 1n k1 frac 1n2left frac n1 n2 right end align 類似地，上達布和為 begin align U_fP_n sum_k 1n f x_kx_k x_k1 sum_k 1n frac kn cdot frac 1n frac 1n2 sum_k 1n k frac 1n2left frac n1 n2 right end align 由於 begin align U_fP_n L_fP_n frac 1n end align 則對於任意 varepsilon0，我們得到對於 nfrac 1varepsilon 的任何分割 P_n 都滿足 begin align U_fP_n L_fP_n epsilon end align 得證 f 是達布可積的。要找到這個積分的值需要注意到 begin align int_01 f x dx lim_n to infty U_fP_n lim_n to infty L_fP_n frac 12 end align 一個不可積函式 如果我們有函式 f01rightarrow R 定義為 begin align f x begin cases 0 xinmathbb Q 1 xinmathbb Rmathbb Q end cases end align 由於有理數和無理數都是 R 的稠密子集，因而斷定 f 在任何分割的任何子區間只能取 0 或 1。所以對於任意分割 P 我們有 begin align L_fP sum_k 1nx_k x_k1inf_x in x_k1x_k f 0 U_fP sum_k 1nx_k x_k1 sup_x in x_k1x_k f 1 end align 從中我們可以看出上下達布和不等。 與黎曼積分的關係 如果分割 P y_0ldotsy_m 比分割 P x_0ldotsx_n 精細，那麼有 U_f P ge U_f P 以及 L_f P le L_f P。這是因為 P 實際上是將 P 中的若干個子區間再做分割，而分割後的子區間上 f 的上（下）確界必然比原來區間的上（下）確界小（大）。（見圖） 如果 P_1P_2 是同一個區間的兩個分割（不一定要一個比另一個 精細），那麼 L_f P_1 le U_f P_2 所以， L_f le U_f 顯然，一個分割的黎曼和一定介於對應的上達布和與下達布和之間。正規的說，如果 P x_0ldotsx_n 並且 T t_1ldotst_n 共同構成區間上的一個取樣分割 x_0 le t_1 le x_1le cdots le x_n1 le t_n le x_n 正如黎曼積分的定義中那樣，對應 P 和 T 的黎曼和為 R，就有 L_f P le R le U_f P 由上可以看出，黎曼積分的第二個定義與達布積分的定義等價（見黎曼積分）。如果一個函式 f 在區間 ab 的達布積分存在，那麼一個對於足夠精細的分割，上達布和與下達布和之間的差將能夠無限趨近於 0（都趨近於共同的極限），因此比其更為精細的分割，黎曼和將介於上達布和與下達布和之間，於是趨於一個極限。同時，注意到對於一個分割，我們可以適當取樣使得取樣的函式值趨於上（下）確界（由確界的定義）。這表明如果黎曼和趨於一個定值，則上下達布和之間的差將趨於 0，也就是說達布積分存在。 參見 積分 黎曼積分 勒貝格積分 黎曼－斯蒂爾傑斯積分 Category 積分的定義