維格納分佈 又名韋格納分佈，英文 Wigner Distribution Function 縮寫為 WDF 是由 1963 年的諾貝爾物理學獎得主尤金維格納，於 1932 年首次引用的一個新的方程式。 眾所皆知，傅立葉變換對於研究穩態 時間獨立 的訊號 波形 是一項非常有用的工具，然而，訊號 波形 一般來說在時間上並非是獨立的，這樣的訊號或是波形傅立葉變換並無法有效地完全分析其特性，因此對於一個非穩態的訊號完全分析需要測量出時間以及頻率上的表現。本頁面介紹的數學函式是時頻分析中的基礎方法，在 1980 年，Claasen，Mecklenbrauker 對 WDF 做了更進一步的研究。除此之外，線性時頻分析中，STFT、Gabor transform 和 WDF 扮演了相當重要的角色，其中 WDF 對於分析很多非穩態的隨機訊號都有很好的表現，例如：量子力學、光學、聲學、通訊、生物工程、訊號處理和影像處理。有時也被用在分析地震的資料，以及處理聲音的相位失真。 定義 維格納分佈有許多不同的定義，而此處的定義是特別針對時頻分析而定的。若給定一時間序列 x t，它的非平穩自相關函式如下公式所列 C_x t_1 t_2 leftlangle left x t_1 mu t_1right left x t_2 mu t_2right rightrangle 其中 langle cdots rangle 代表所有可能實驗的程式的平均，mu t 代表平均，其可能是時間的函式也有可能不是。維格納函式 W_x tf 起初是以包含時間平均 t t_1t_22 與時間差 tau t_1 t_2 的自相關函式和時間差進行傅立葉轉換來表示，如下： W_x tfint_inftyinfty C_xleft t frac tau2 t frac tau2right e2pi itau f dtau 對於單一零平均的時間序列，維格納函式可以簡化如下： 定義一 W_x tf int_inftyinfty x tfrac tau2 xtfrac tau2 ej2pitau f dtau 1 定義二 W_x tomega int_inftyinfty x tfrac tau2 xtfrac tau2 ejomegatau dtau 2 定義二與定義一之間的關係 omega2pi f 其他定義 sqrt frac 12pi W_x tomega int_inftyinfty x tfrac tau2 xtfrac tau2 ejomegatau dtau 3 在聲納和雷達系統中，傳送出去的聲波的反射波可以用來偵測目標物的位置跟速度，在很多情形下，收到的訊號因為都普勒位移，所以跟原本的訊號並不一樣。Woodward 1953 改寫了原本的公式 A_x tomega int_inftyinfty x tau frac t2 xtaufrac t2 ejomegatau dtau 這個公式被稱為 Woodward ambiguity function，這個式子在雷達系統的訊號處理和設計上扮演重要的角色。 而維格納分佈亦為科恩系列分佈的其中一種特例，當科恩系列分佈中的 Phi etatau1 時，科恩系列分佈會是維格納分佈。 WDF、STFT 和 Gabor 的比較 WDF、STFT 和 Gabor 都佔了時頻分析中非常重要的地位，在這邊比較一下 WDF、STFT、Gabor 和 WDF 的變體 Cohens Class Distribution 之間的差別。 WDF STFT Gabor Cohen 清晰度 較好 較差 適中 偏差 相交項的問題 嚴重 無 輕微 嚴重 複雜度 高 低 中 高 處理隨機程式 可 不可 可 可 頻率解析度 高 中 高 高 時間解析度 高 中 中 高 能量集中性 較好 較差 適中 適中 數值穩定性 較差 較好 較好 較差 清晰度：描述時頻圖在時間和頻率域上解析訊號細節的能力。 相交項的問題：多分量訊號時可能出現不想要的相交項 cross term，導致時頻圖難以解讀。 複雜度：指運算複雜度，較高的複雜度意味著需要更多的計算資源。 處理隨機程式：對具有隨機性質的訊號進行有效分析和表徵的能力。 頻率解析度：頻域解析度的能力，越高越能分辨接近的頻率分量。 時間解析度：時間域解析度的能力，越高越能定位訊號的時間變化。 能量集中性：時頻圖中能量分佈是否聚集在主要分量，分散則會影響分析效果。 數值穩定性：演算法在不同條件下（如隨機噪聲或非穩態訊號）保持穩定表現的能力。 WDF 的優缺點 在這裡列出 WDF 主要的優缺點 優點 1 有良好的解析度，尤其是對單一成分，且瞬時頻率變化不為 2 次式以上，適合分析瞬態與多變訊號。 2 有良好的數學運算性質 見 WDF 的數學性質。 3 對隨機過程和非穩態訊號表現良好，可用於分析隨機程式 見 WDF 與隨機程式的關係。 4 訊號能量分佈高度集中於真實分量，便於解析訊號結構。 5 在時間和頻率域上的邊際分佈與原始訊號一致，滿足投影性質。 6 提供準確的能量分佈估計，便於訊號重建。 7 能準確表示訊號瞬時頻率，有助於動態訊號分析，有限制 缺點 4。 8 無窗函式限制，能解析接近頻率分量。 9 對非線性訊號具有優勢，便於非線性行為檢測。 10 對含有噪聲或隨機成分的訊號也能表現出色。 缺點 1 有相交項 cross term 的問題，降低時頻圖可解讀性，改進方法請見 改進型韋格納分佈。 2 需執行二維積分或卷積，對計算資源要求高。若訊號時間越長，則需要更久的時間。 3 不是一對一函式，無法辨別相位部分，例如 WDF x t WDF x tejphi 4 不適合分析瞬時頻率變化為 2 次式以上的型態，即 ej tnn ne 012。 5 低信噪比環境下，噪聲可能被放大，影響準確性。 6 不滿足線性運算，影響某些應用的便利性。 7 結果分佈可能對輸入條件敏感，缺乏唯一性。 相交項特性 WDF 不是一個線性的轉換，由於 x t 的 signal autocorrelation function x tfrac tau2 xtfrac tau2 ，如果有兩種以上不同性質的訊號疊加，會產生相交項。然而相交項卻有重要且有用的物理意義，像是可以用來分析期望值，相反的，短時距傅立葉轉換就沒有此特性，詳見維格納分佈與隨機程式的關係。以下數學方程式對於 WDF 後會產生相交項。 x tbegin cases cos 2pi t tle2 cos 4pi t 2 t le 2 cos 3pi t t2 end cases x teit3 WDF 與隨機程式的關係 對於一個隨機程式 x t，我們無法得知其確切的值，因此會將其值表示為一個機率函式，通常 E x t 0 for any t 將 x t 的維格納分佈取期望值後可得其譜密度 Power spectral density，PSD，如下公式所列 E W_x tftextstyle intlimits_inftyinfty displaystyle E x ttau2 xt tau2cdot ej2 pi f taucdot d tau textstyle intlimits_inftyinfty displaystyle R_x t taucdot ej2 pi f taucdot d tauS_x tf 當 x t 的統計特性不隨時間變化時，可稱 x t 為平穩的隨機程式，其譜密度也可簡化為 E W_x tfS_x f，也就是說維格納函式能初略的告訴我們譜密度如何隨時間進行變化。維格納函式能在平穩程式對所有時間ｔ都簡化成譜密度，然而也等同於非平穩的自相關函式，這也是維格納分佈的動機。 下圖為一個平穩的隨機程式進行維格納分析後的例子，可明顯看出此訊號不隨時間變化，也就是時頻分析結果為水平線。反之，亦可利用時頻分析結果是否為水平線判斷該訊號是否為一平穩的訊號。 而在訊號處理中常見的白雜訊，其譜密度 S_x fsigma，其中 sigma 為一個常數。白雜訊的維格納分佈如下圖，可看出此雜訊在所有時間及頻率都存在著。 維格納分佈的相交項在處理隨機程式時派上用場，相對的，沒有相交項的短時距傅立葉轉換，則無法用於隨機程式，如下公式所示，只有在零平均隨機程式時，E X tf0 E X tfE textstyle intlimits_tBtB displaystyle x tau w t tau ej2 pi f tau d tautextstyle intlimits_tBtB displaystyle E x tau w t tau ej2 pi f tau d tau 常見的時頻分析例子 以下的例子說明如何用 WDF 來做時頻分析 常數訊號 輸入訊號為常數，則時頻分佈為一條線重合於時軸，如果 x t 1，則： W_x tfint_inftyinfty ei2pitaufdtaudelta f 弦波訊號 輸入訊號為弦波，則時頻分佈為一條線平行於時軸，如果，則： begin align W_x tf int_inftyinfty ei2pi k left t frac tau2right ei2pi kleft t frac tau2right ei2pitaufdtau int_inftyinfty ei2pi tau left f krightdtau delta f k end align 啁啾聲訊號 啁啾聲訊號的瞬時頻率隨時間線性，表示時頻分佈為一條斜值線，例如 x t ei2pi kt2 則瞬時頻率為： frac 12pifrac d 2pi kt2dt 2kt 故 WDF 為： begin align W_x tf int_inftyinfty ei2pi kleft t frac tau2right2 ei2pi kleft t frac tau2right2 ei2pitauf dtau int_inftyinfty ei4pi kttau ei2pitau fdtau int_inftyinfty ei2pitau f 2ktdtau delta f 2kt end align 餘弦訊號 x t cos 440pit 當 t 小於 05， 頻率 f 220Hz x t cos 660pit 當 05 小於等於 t 小於 1， 頻率 f 330Hz x t cos 524pit 當 t 大於等於 1， 頻率 f 262Hz 單位脈衝訊號 因為單位脈衝包含所有的頻率分佈，且在時間不等於零時沒值，故 WDF 為透過原點的且與時軸垂直的線 begin align W_x tf int_inftyinftydeltaleft t frac tau2rightdeltaleft t frac tau2right ei2pitaufdtau 4int_inftyinftydelta 2t taudelta 2t tau ei2pitau fdtau 4delta 4t ei4pi tf delta t ei4pi tf delta t end align 方波訊號 x t begin cases 1 t12 0 text otherwise end cases qquad W_x tf frac 1pi fsin f 1 2t WDF 的數學性質 1 投射特性 2 能量特性 3 回覆特性 int_inftyinfty W_x frac t2f ej2pi ft dfx tbullet x0 int_inftyinfty W_x tfrac f2 ej2pi ft dtX fbullet X0 4 Mean 條件 If x tleft vert x t right vert ej2piphi t X fleft vert X f right vert ej2piPsi f then phitleftvert x t rightvert2textstyle intlimits_inftyinfty displaystyle ftimes W_x tf df Psifleftvert X f rightvert2textstyle intlimits_inftyinfty displaystyle t times W_x tf dt 5 Moment 特性 6 W_x tf 是實數 overline W_x tfW_x tf 7 區域特性 If x t0 for tt_0 then W_x tf0 for tt_0 If x t0 for tt_0 then W_x tf0 for tt_0 8 乘法特性 If y tx t h tthen W_y tfint_inftyinfty W_x trho W_h trhof drho 9 摺積特性 If y tint_inftyinfty x ttau h tau dtauthen W_y tfint_inftyinfty W_x rhof W_h trhof drho 10 相關特性 If y tint_inftyinfty x ttau htau dtauthen W_y tomegaint_inftyinfty W_x rhoomega W_h trhoomega drho 11 時間平移特性 If y tx tt_0 then W_y tfW_x tt_0f 12 調變特性 If y tej2pi f_0t x t then W_y tfW_x tff_0 WDF 的數學性質證明 WDF 滿足永遠是實數的性質，以下是證明 W_x tf int_inftyinfty x tfrac tau2 xtfrac tau2 ej2pi ftau dtau overline W_x tf int_inftyinfty xtfrac tau2 x tfrac tau2 ej2pi ftau dtau 令 tauprimetau 代入，變數乘上負號，因此積分範圍會變成 infty 到 infty begin align overline W_x tf int_inftyinfty xtfrac tauprime2 x t frac tauprime2 ej2pi ftauprime dtauprime int_inftyinfty xtfrac tauprime2 x t frac tauprime2 ej2pi ftauprime dtauprime int_inftyinfty x tfrac tauprime2 xtfrac tauprime2 ej2pi ftauprime W_x tf end align 故 WDF 永遠是實數 WDF 實現方法 以下為電腦計算 WDF 的實現方式 直接運算 暴力法 複雜度：TF 2Q1 使用離散傅立葉變換 複雜度：TN log _2 N 使用 ChirpZ 轉換 複雜度 TN log _2 N，通常為使用離散傅立葉變換的 23 倍，但限制比使用離散傅立葉變換少 在使用這三個方法前，先來做個前提討論 從定義一出發 W_xleft tf right int_ inftyinfty xleft t tau 2 right cdot xleft t tau 2 righte j2pi tau f cdot dtau 令 tautau2 W_xleft tf right 2int_ inftyinfty xleft t tau right cdot xleft t tau righte j4pi tau f cdot dtau 再令 t nDelta_t f mDelta_ftau pDelta_t ，則上述式子則為 W_xleft n Delta _tm Delta _f right 2sumlimits_p inftyinfty xleft n pDelta _t rightx left n pDelta _t rightexp left j4pi mp Delta _tDelta _f rightDelta _t 下面介紹的三種方法都是從這條式子開始推導 注意事項 若 x t 是無限長的訊號，則 p 要從負無限加到正無限，這點不易實現。 若 x t 為有限長的訊號，則 p 範圍可以縮小，就可能實現。 故下面三種方法都是在第 2 種情況下討論，即 x t 為有限長訊號，p 範圍可以縮小 我們假設 x t0 for t n_1Delta_t and t n_2Delta_t BR 直接運算 暴力法 BR 限制條件 只有一個：要滿足 Nyquist criterion Delta _t frac 12B，其中 B 是 xleft t tau rightxleft t tau right 的頻寬，大約是 x t 的兩倍。 推導 x t0 for t n_1Delta_t and t n_2Delta_t 所以當 n p notin n_1n_2rm or n p notin rm n_1n_2rm 時， xleft n pDelta _t rightx left n pDelta _t right 0 固定中間的 n 值 nDelta_t 來探討 p 的範圍 n_1 le n p le n_2 to n_1 n le p le n_2 n 即 max n_1 nn n_2 le p le min n_2 nn n_1 1 n_1 le n p le n_2 to rm rm n_1 n le p le n_2 n to n n_2 le p le n n_1 即 min n_2 nn n_1 le p le min n_2 nn n_1 2 其中 1 2 的下限是同義的 故 1 2 皆可改寫為 min n_2 nn n_1 le p le min n_2 nn n_1 且可以發現 n_2 nDelta _tn n_1Delta _t 代表 nDelta_t 離兩個邊界的距離 注意事項： 當 n n2 或 n n1 時，將沒有 p 能滿足上面的不等式 最後推導出的式子如下 W_xleft n Delta _tm Delta _f right 2sumlimits_p QQ xleft n pDelta _t rightx left n pDelta _t rightexp left j4pi mp Delta _tDelta _f rightDelta _t 其中 Q min n_2 nn n_1p in QQn in n_1n_2 使用離散傅立葉變換 BR 限制條件 1 要滿足 Nyquist criterion Delta _t frac 12B，其中 B 是 xleft t tau rightxleft t tau right 的頻寬，大約是 x t 的兩倍。 2Delta _tDelta _f textstyle 1 over 2N 3 N ge 2Q1 推導 前提討論的式子可以改寫為 W_xleft n Delta _tm Delta _f right 2 Delta _tsumlimits_p QQ xleft n pDelta _t rightx left n pDelta _t righte j textstyle 2pi mp over N 令 qpQ to pqQ W_xleft n Delta _tm Delta _f right 2 Delta _tej textstyle 2pi mQ over Nsumlimits_q 02Q xleft n q QDelta _t rightx left n q QDelta _t righte j textstyle 2pi mq over N 針對中間 xleft n q QDelta _t rightx left n q QDelta _t right 項 令 c_1left q right xleft n q QDelta _t rightx left n q QDelta _t rightrm for rm 0 le q le 2 rm Q c_1left q right 0 rm qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad for rm 2 Q 1 le q le N 1 最後得出的式子如下 W_xleft n Delta _tm Delta _f right 2 Delta _tej textstyle 2pi mQ over Nsumlimits_q 0N 1 c_1left q righte j textstyle 2pi mq over N 其中 Q min n_2 nn n_1n in n_1n_2 c_1left q right xleft n q QDelta _t rightx left n q QDelta _t rightrm for rm 0 le q le 2 rm Q c_1left q right 0 rm qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad for rm 2 Q 1 le q le N 1 使用 ChirpZ 轉換 BR 限制條件 只有一個：要滿足 Nyquist criterion Delta _t frac 12B，其中 B 是 xleft t tau rightxleft t tau right 的頻寬，大約是 x t 的兩倍。 推導 前提討論的式子可改寫為 W_xleft n Delta _tm Delta _f right 2 Delta _te j2pi m2Delta _tDelta _fsumlimits_p QQ xleft n pDelta _t rightx left n pDelta _t righte j2pi p2Delta _tDelta _fej2pi p m2Delta _tDelta _f 計算分成 3 步驟 STEP 1 x_1left np right xleft n pDelta _t rightx left n pDelta _t righte j2pi p2Delta _tDelta _f STEP 2 X_2left nm right sumlimits_p n Qn Q x_1left p rightcleft m p right 其中 cleft m right ej2pi m2Delta _tDelta _f STEP 3 Xleft n Delta _tm Delta _f right 2 Delta _te j2pi m2Delta _tDelta _fX_2left nm right 延伸變化 視窗型韋格納分佈 視窗型韋格納分佈，在韋格納分佈中，當 x t 為無限長訊號時，WDF 很難去實現它。所以在積分中加入一個新的函式 ，目的是擷取 x t 中的片段來計算，不需從負無限積分到正無限。 定義 W_xleft tf right int_ inftyinfty wleft tau right xleft t tau 2 right cdot xleft t tau 2 righte j2pi tau f cdot dtau ， 其中 w tau 為實數且為有限長訊號 原始韋格納分佈定義 W_xleft tf right int_ inftyinfty xleft t tau 2 right cdot xleft t tau 2 righte j2pi tau f cdot dtau 優缺點 優點 降低運算時間，因為 w tau 為有限長函式。 可以有效降低相交項 cross term 問題，但不能完全消除 詳見下方說明。 缺點 一些相交項 cross term 問題仍被保留。 可能不符合譜密度 Power spectral density 的定義。 一些好用的數學運算性質會消失。 實現方法 從定義出發 W_xleft tf right int_ inftyinfty wleft tau right xleft t tau 2 right cdot xleft t tau 2 righte j2pi tau f cdot dtau 令 tautau2 W_xleft tf right 2int_ inftyinfty wleft 2tau right xleft t tau right cdot xleft t tau righte j4pi tau f cdot dtau 再令 t nDelta_t f mDelta_ftau pDelta_t W_xleft n Delta _tm Delta _f right 2sumlimits_p inftyinfty wleft 2p Delta _t right xleft n pDelta _t rightx left n pDelta _t righte j4pi mp Delta _tDelta _fDelta _t 假設 w t 0 for t B 即 wleft 2p Delta _t right 0 rm for rm p Q rm land p Q 其中 Q frac B2 Delta _t 如此一來，p 範圍便可縮小。 W_xleft n Delta _tm Delta _f right 2sumlimits_p QQ wleft 2p right xleft n pDelta _t rightx left n pDelta _t righte j4pi mp Delta _tDelta _fDelta _t 避免相交項的原因 從定義出發 W_xleft tf right int_ inftyinfty wleft tau right xleft t tau 2 right cdot xleft t tau 2 righte j2pi tau f cdot dtau ，其中 w tau 為實數且為有限長訊號 假設 x trm delta t t_1 delta t t_2 的情況下，比較有無 mask function 所產生的不同結果 理想情形 W_xtfrm 0 for rm t ne t_1t_2 沒有使用 mask function 即 mask function w tau 1 begin arrayl W_xleft tf right int_ inftyinfty xleft t tau 2 right cdot xleft t tau 2 righte j2pi tau f cdot dtau int_ inftyinfty left delta left t frac tau2 t_1 right delta left t frac tau2 t_2 right right cdot left delta left t frac tau2 t_1 right delta left t frac tau2 t_2 right righte j2pi tau f cdot dtau 4int_ inftyinfty underbrace left delta left tau 2t 2 t_1 right delta left tau 2t 2 t_2 right right _first termcdot underbrace left delta left tau 2t 2 t_1 right delta left tau 2t 2 t_2 right right_second terme j2pi tau f cdot dtau end array 總共有 3 種情況要討論，如下圖，可見 cross term 在沒有使用 mask function 時，無法被消除 使用 mask function begin arrayl W_xleft tf right int_ inftyinfty w tau xleft t tau 2 right cdot xleft t tau 2 righte j2pi tau f cdot dtau 4int_ inftyinfty w tau underbrace left delta left tau 2t 2 t_1 right delta left tau 2t 2 t_2 right right _first termcdot underbrace left delta left tau 2t 2 t_1 right delta left tau 2t 2 t_2 right right_second terme j2pi tau f cdot dtau end array 假設 w tau 0 rm fortau B 0，且 B rm rm t_2rm rm t_1 由於 w tau 只在 B 到 B 有值，故乘上 w tau 就能去除相交項 Cross term，只保留下圖中兩條紅線中間的區域，也就是 Auto terms。 但上述其實是理想的情況，x t 為窄頻訊號 Delta function 如果 X τ 寬度太寬或是有 ripple 的話，Cross term 仍會有殘留，示意圖如下 藍色線為 X τ 的訊號，若 X τ 的寬度太寬或是有 ripple 產生，就可能會跑進 w tau 的範圍裡面，進而導致無法完全濾除 Cross term。 總結 cross term 只有在訊號每個成分的寬度都小於 2B，且時間差 t_2t_1 都大於 B 時，才能被消除 改進型韋格納分佈 此方法可以消除相交項 cross term。 加伯韋格納轉換 消除相交項 cross term 問題，在某些情況下比加伯轉換擁有更好的清晰度。 參見 閔可夫斯基空間 柯西不等式 三角不等式 完備空間 參考書目、資料來源 JianJiun Ding Time frequency analysis and wavelet transform class note the Department of Electrical Engineering National Taiwan University NTU Taipei Taiwan 2018 JianJiun Ding Timefrequency analysis and wavelet transform class note the Department of Electrical Engineering National Taiwan University NTU Taipei Taiwan 2021 JianJiun Ding Timefrequency analysis and wavelet transform class note the Department of Electrical Engineering National Taiwan University NTU Taipei Taiwan 2023 JianJiun Ding Timefrequency analysis and wavelet transform class note the Department of Electrical Engineering National Taiwan University NTU Taipei Taiwan 2024 Category 連續分佈