基底的變換或稱基的變換（change of basis）線上性代數中，n 維向量空間的基是 n 個向量 α1 αn 的序列，帶有所有這個空間中的向量可以唯一的表達為基向量的線性組合的性質。因為經常需要處理一個向量空間的多於一個的基，線上性代數中能夠輕易的變換向量的逐座標表達，和變換關於一個基的線性對映到關於另一個基的等價表達是根本重要的。這種變換叫做基變更。 儘管下面採用了術語向量空間，符號 R 意味著實數域，這裡討論的結果成立只要 R 是交換環，而這裡的向量空間可替代為自由 R 模。 預備概念 Rn 的平常基是 vec e_1 cdots vec e_n ，這裡的 vec e_j 0 cdots 1 0 cdots 0 是 Rn 的元素，在第 j 個位置上都是 1，其他地方都是 0。 如果 T Rn Rm 是線性變換，T 的 m n 矩陣是對於 j 1cdotsn 其第 j 縱列是 T vec e_j 的矩陣 t。在這種情況下我們有 T vec x mathbf tvec x 對於所有 Rn 中的 x，這裡我們把 x 當作列向量，在右側的乘法是矩陣乘法。線上性代數中一個基本事實是從 Rn 到 Rm 的所有線性變換的向量空間 Hom Rn Rm 自然的同構在 R 上的 m n 矩陣的空間 Rm n；就是說線性變換 T Rn Rm 對於所有目的和用途都等價於它的矩陣 t。 我們還利用下列簡單的觀察。 定理：設 V 和 W 是向量空間，設 alpha_1 cdots alpha_n 是 V 的基，並設 gamma_1 cdots gamma_n 是任何 W 中的 n 個向量。則存在一個唯一的線性變換 T V W ，對於 j 1cdotsn 有 T alpha_j gamma_j 。 這個唯一的 T 定義自 T x_1 alpha_1 cdots x_n alpha_n x_1 gamma_1 cdots x_n gamma_n。當然，如果 gamma_1 cdots gamma_n 碰巧是 W 的基，則 T 是雙射又是線性的；換句話說，T 是同構。如果在這種情況下我們還有 W V，則 T 被稱為是自同構。 現在設 V 在 R 上的向量空間並假設 alpha_1 cdots alpha_n 是 V 的基。透過定義，如果 ξ 是 V 中的向量，則 xi x_1 alpha_1 cdots x_n alpha_n 是 x_1 cdots x_n 在 R 中唯一標量選擇，被叫做 ξ 相對於有序基 alpha_1 cdots alpha_n 的座標。 Rn 中的向量 vec x x_1 cdots x_n 被叫做 ξ 相對於這個基 的座標元組。唯一的線性對映 φ Rn V，對於 j 1cdots n 有 phi vec e_j alpha_j ，它被稱為對 V 和基 alpha_1 cdots alpha_n 的座標同構。所以 phi vec x xi 當且僅當 xi x_1 alpha_1 cdots x_n alpha_n。 座標變更 我們實現檢查在 V 中的向量 ξ 的座標在選擇了另一個基的時候怎樣變更的問題。假設 alpha_1 cdots alpha_n 和 alpha_1 cdots alpha_n 是 V 的兩個基。設 φ1 和 φ2 是從 Rn 到 V 的對應的座標同構就是說 phi_1 vec e_j alpha_j 而 phi_2 vec e_j alpha_j 對於 j 1 cdots n。如果 vec x x_1 cdots x_n 是 ξ 關於第一個基的座標 n 元組，因此 xi phi_1 vec x ，則 ξ 關於第二個基的座標元組是 phi_21xi phi_21phi_1vec x。現在對映 phi_21 circ phi_1 是在 Rn 上的自同構，因此有一個矩陣 p。此外， p 的第 j 縱列是 phi_21 circ phi_1 vec e_j phi_21alpha_j ，就是說，alpha_j 關於第二個基 alpha_1 cdots alpha_n 的座標 n 元組。所以 vec y phi_21phi_1 vec x mathbf pvec x 是 ξ 關於基 alpha_1cdots alpha_n 的座標 n 元組。 線性變換的矩陣 現在假設 T V W 是線性變換，α1 αn 是 V 的一個基而 β1 βm 是 W 的一個基。設 φ 和 ψ 分別是 V 和 W 的相對於給定基的座標同構。則對映 T1 ψ1 o T o φ 是從 Rn 到 Rm 的線性變換，並因此有一個矩陣 t；它的第 j 縱列是 ψ1 T αj 對於 j 1 n。這個矩陣叫做 T 關於有序基 α1 αn 和 β1 βm 的矩陣。如果 η T ξ 並且 y 和 x 是 η 和 ξ 的座標元組，則 y ψ1 T φx tx。反過來，如果 ξ 在 V 中，而 x φ1 ξ 是 ξ 關於 α1 αn 的座標元組，我們設定 y tx 和 η ψy，則 η ψT1 x T ξ。就是說，如果 ξ 在 V 中而 η 在 W 中並且 x 和 y 是它們的座標元組，則 y tx 當且僅當 η T ξ。 定理：假設 U V 和 W 是有限維的向量空間併為每個選擇了有序基。如果 T U V 和 S V W 是有矩陣 s 和 t 的線性變換，則線性變換 S o T U W 關於給定基 的矩陣是 st。 基的變更 現在我們要問 T V W 的矩陣在變更在 V 和 W 的基的時候發生了什麼。設 α1 αn 和 β1 βm 分別是 V 和 W 的有序基，並假設給予了第二對基 α1 αn 和 β1 βm。設 φ1 和 φ2 是從在 Rn 中的平常基到 V 的第一個和第二個基的座標同構，並設 ψ1 和 ψ2 是從在 Rm 中的平常基到 W 的第一個和第二個基的同構。 令 T_1 psi_11 circ T circ phi_1，並令 T_2 psi_21 circ T circ phi_2（兩者都從 mathbb Rn 映至 mathbb Rm）。令 mathbf t_1 與 mathbf t_2 為相應的矩陣。令 mathbf p mathbf q 分別為對應到基變更自同構 phi_21 circ phi_1 mathbb Rm to mathbb Rm 與 psi_21 circ psi_1 mathbb Rn to mathbb Rn 的矩陣。 由於我們有 T_2 psi_21 circ T circ phi_2 psi_21 circ psi_1 circ T_1 circ phi_11 circ phi_2，又因為線性對映的合成對應到矩陣乘法，遂得到 mathbf t_2 mathbf q mathbf t_1 mathbf p1 自同態的矩陣 線性變換的矩陣的一個重要情形是自同態的矩陣，亦即從一個向量空間 V 至其自身的線性對映，換言之就是 W V 的情形。我們可以自然地取基 β1 βn α1 αn 與 β1 βm α1 αn。此時線性對映 T 的矩陣必為方陣。 基的變更 套用同樣的基變更，使得 q p，而基變更公式遂寫成 t2 p t1 p1 在此情形下，可逆矩陣 p 被稱為向量空間 V 的基變更矩陣，而上述等式言明 t1 與 t2 是相似矩陣。 雙線性形式的矩陣 於域 R 的向量空間 V 上的雙線性形式是一個對映 V V R，使得它對兩個引數都是線性的，也就是說 v mapsto B v w v mapsto B w v 對任何固定的 w 都是線性的。此定義可推廣至於交換環的模，此時須將線性對映換為模同態。 對應於基 alpha_1dots alpha_n 的 Gram 矩陣 G 定義為 G_ij B alpha_ialpha_j 若 v w 以此基表成 v sum_i x_i alpha_i w sum_i y_i alpha_i 則該雙線性形式由下式給出 B vw xtop G y 若 B 是對稱雙線性形式，則對應的矩陣會是對稱矩陣。 基的變更 若矩陣 P 表示從 alpha_1dots alpha_n 至 alpha_1dots alpha_n 的基變更，則兩組基的 Gram 矩陣依下式變換： G Ptop G P 參考文獻 外部連結 MIT Linear Algebra Lecture on Change of Bases at Google Video from MIT OpenCourseWare J J