5 的算術平方根是一個正的實數，為無理數 Dauben Joseph W June 1983 Scientific American Georg Cantor and the origins of transfinite set theory Volume 248 Page 122，一般稱為 根號 5，記為 sqrt 5。sqrt 5 乘以它本身的值為 5。 sqrt 5 和黃金比值有關。5 的算術平方根數值為： 可以四捨五入為 2236，有 9999 的準確度。截至 1994 年 4 月，其數值在小數點後已計算到至少 100 萬個位數 R Nemiroff and J Bonnell The first 1 million digits of the square root of 5 。 連分數表示法 sqrt 5 可以表示為連分數 2 4 4 4 4 4 。最佳有理數逼近的數列如下： color OliveGreenfrac 21 frac 73 color OliveGreenfrac 94 frac 209 frac 2913 color OliveGreenfrac 3817 frac 12355 color OliveGreenfrac 16172 frac 360161 frac 521233 color OliveGreenfrac 682305 frac 2207987 color OliveGreenfrac 28891292 dots 綠色的數字是 sqrt 5 的連分數的漸近分數，其分子為數列，而分母則為數列。其他黑色的數字則是半收斂的部份。 牛頓法 可以利用牛頓法計算 sqrt 5，利用 r_n1frac r_nfrac 5r_n2 的公式，啟始值 r_02，第 n 個近似值 r_n 等於最佳有理數逼近數列中第 2n 個收斂的有理數： frac 21 20quad frac 94 225quad frac 16172 223611dotsquad frac 5184123184 22360679779 ldots 和黃金比例及費氏數列的關係 黃金比例 varphi 是 sqrt 5 和 1 的算術平均數 Browne Malcolm W July 30 1985 New York Times Puzzling Crystals Plunge Scientists into Uncertainty Section C Page 1 。sqrt 5 、黃金比例和共軛黃金比例（Phi 1 varphi varphi 1）之間的代數關係可以用以下幾個數學式來表示： sqrt 5 varphi Phi 2varphi 1 2Phi 1 varphi frac sqrt 5 12 Phi frac sqrt 5 12 斐波那契數列也可以用包括 sqrt 5 及黃金比例的式子來表示： Fleft nright varphin1varphin over sqrt 5 sqrt 5 除以 varphi 得到的商（或 sqrt 5 和 Φ 的積）及其倒數的連分數有特別的模式，而且和費氏數列及盧卡斯數的比值有關 Richard K Guy The Strong Law of Small Numbers American Mathematical Monthly vol 95 1988 pp 675712： frac sqrt 5varphi Phi cdot sqrt 5 frac 5 sqrt 52 13819660112501051518dots 1 2 1 1 1 1 1 1 1 dots frac varphisqrt 5 frac 1Phi cdot sqrt 5 frac 5 sqrt 510 072360679774997896964dots 0 1 2 1 1 1 1 1 1 dots 其有理數逼近的數列，分子及分母分別為費氏數列及盧卡斯數： 1 frac 32 frac 43 frac 75 frac 118 frac 1813 frac 2921 frac 4734 frac 7655 frac 12389 dots dots 1 2 1 1 1 1 1 1 1 dots 1 frac 23 frac 34 frac 57 frac 811 frac 1318 frac 2129 frac 3447 frac 5576 frac 89123 dots dots 0 1 2 1 1 1 1 1 1dots 幾何上的意義 在幾何學上，利用勾股定理可以證明長為 2、寬為 1 的長方形，其對角線長度為 sqrt 5。將一個正方形切成二等份或將二個正方形併在一起都可以產生上述的長方形。 以上的作法配合 sqrt 5 及黃金比例 varphi 之間的代數關係，可以繪製黃金矩形，而一個正五邊形的對角線和邊長的比例也恰為黃金比例，因此也可在已知邊長的條件下，繪製正五邊形。 若一直角三角形的直角邊分別為 sqrt 2 和 sqrt 3，其斜邊長度則為 sqrt 5。 一個長寬比例為 1sqrt 5 的長方形稱做「根號 5 矩形」，是根矩形的一種，屬於的一類。動態矩形是一系列的矩形，由一個正方形開始，以前一個矩形的對角線為下一個矩形的長邊，因此長邊依序為 sqrt 1 1 sqrt 2 sqrt 3 sqrt 4 2 sqrt 5。 根號 5 矩形之所以特別，是因為可以分割成一個正方形及二個大小相同的黃金矩形（二邊長為 Phitimes 1），或是二個大小不同的黃金矩形（二邊長分別為 Phitimes 1 及 1times varphi）。也可以變成二個大小相同、有重疊部份的黃金矩形（二邊長為 1 times varphi），其重疊部份恰好形成一個正方形。上述的特性都是因為 sqrt 5 varphi 及 Phi 之間的代數關係所產生。 和丟番圖逼近的關係 丟番圖逼近中的說明每個無理數 x 可以被無窮多個有理數的最簡分數 mn 近似，且滿足以下的不等式 leftx frac mnright frac 1sqrt 5n2 此處的 sqrt 5 是最佳可能的常數，若選擇其他較 sqrt 5 大的常數，就會存在一些無理數 x，只存在有限多個滿足上述不等式的有理數最簡分式。 另一個定理也和上述定理有關，任意三個針對無理數 alpha 的連續收斂有理數逼近 frac p_iq_i frac p_i1q_i1 frac p_i2q_i2 以下的不等式至少會有一個成立： leftalpha p_iover q_iright 1over sqrt5 q_i2 qquad leftalpha p_i1over q_i1right 1over sqrt5 q_i12 qquad leftalpha p_i2over q_i2right 1over sqrt5 q_i22 而分母的 sqrt 5 也是最佳可能的常數，在逼近黃金比例時，此常數可以使左側的差值任意的逼近右側的數值。即使考慮四個或更多個連續的有理數逼近，也無法找到其他常數，可以使上界數值更小且滿足類似條件。 抽象代數中的意義 環 mathbb Zleft sqrt 5right 中的數均可表示為 a bsqrt 5 的形式，其中 a 和 b 為整數，而 sqrt 5 為虛數 isqrt 5。此環是一個整環，但不是唯一分解整環。例如在此環中，6 的質因數分解方式就有二種： 6 2 cdot 3 left 1 sqrt 5rightleft 1 sqrt 5right 代數數域 mathbb Qleft sqrt 5right 和其他二次域一様，都是有理數的代數擴張，因此依可證明 5 的平方根可以表示為單位根的有理線性組合： sqrt5 efrac 2pi i5 efrac 4pi i5 efrac 6pi i5 efrac 8pi i5 拉馬努金的恆等式 數學家拉馬努金發現的許多連分數恆等式都和 sqrt 5 有關 at MathWorld。 例如以下的： cfrac 11 cfrac e2pi1 cfrac e4pi1 cfrac e6pi1 ddots left sqrt frac 5 sqrt 52 frac sqrt 5 12 right efrac 2pi5 efrac 2pi5left sqrt varphisqrt 5 varphi right cfrac 11 cfrac e2pisqrt 51 cfrac e4pisqrt 51 cfrac e6pisqrt 51 ddots left sqrt 5 over 1 left 5frac 34varphi 1frac 52 1rightfrac 15 varphi right efrac 2pisqrt 5 4int_0inftyfrac xexsqrt 5cosh xdx cfrac 11 cfrac 121 cfrac 121 cfrac 221 cfrac 221 cfrac 321 cfrac 321 ddots 參見 2 的算術平方根 3 的算術平方根 平方根 無理數 註釋 參考資料 Category 代數數 Category 數學常數 Category 無理數 Category 初等代數