在數學中，商群或因子群是透過保持群結構的等價關係來把較大群中的類似元素聚類而產生的群。例如，加法模 n 的迴圈群是由在整數加法群中將相差 n 倍的整數定義為一類（稱為同餘類）得到的一系列可作為一個整體進行二元運算的群結構。 給定一個群 G 和 G 的一個正規子群 N G 在 N 上的商群或因子群，直觀上是把正規子群 N 「萎縮」為單位元的群。商群寫為 GN ，唸作 G 模 N（「模」對應英文 mod，是 module 的簡稱）。 商群的重要性很大程度上源自他們與同態的關係。第一同構定理指出，任意群 G 在同態下的像總是同構於 G 的商。具體而言，同態 varphi G rightarrow H 下 G 的像同構於 Gker ，其中 ker 代表 varphi 的核。 如果 N 不是正規子群，仍可定義 G 關於 N 的商，但 GN 將不是群，而是一個齊性空間。 群的子集的乘積 在隨後的討論中，我們將使用在 G 的子集上的二元運算：如果給出 G 的兩個子集 S 和 T ，我們定義它們的乘積為 ST st mid s in S t in T 。這個運算符合結合律，並有單元素集合 e 作為單位元，這裡 e 是群 G 的單位元。因此，由 G 的所有子集構成的集合和這個運算構成一個么半群。 憑借這個運算我們可以首先解釋商群及正規子群的定義： 群 G 的商群是 G 的一個劃分，而它在這個乘積運算下是群。 它完全由包含 e 的子集所確定。 G 的正規子群是在任何這種劃分中包含 e 的集合。在劃分中的子集是這個正規子群的陪集。 群 G 的子群 N 是正規子群當且僅當陪集等式 aN Na 對於所有 G 中的元素 a 都成立。依據上述定義的在子集上的二元運算， G 的正規子群是交換於 G 的所有子集的子群，記作 N trianglelefteq G 。置換於 G 的所有子群的子群叫做可置換子群。 定義 設 N 是群 G 的正規子群。我們定義集合 GN 是 N 在 G 中的所有左陪集所構成的集合，即 GN aN mid a in G 。群 GN 上的群運算定義如上。換句話說，對於每個 GN 中的元素 aN 和 bN ， aN 和 bN 的乘積是 aNbN 。這個運算是閉合的，因為 aNbN 是一個左陪集： aNbN a Nb N a bN N ab NN ab N 。 上述等式用到了 N 的正規性。因為 N 是正規子群， N 在 G 中的左陪集和右陪集相等，所以 GM 也可以定義為 N 在 G 中所有的右陪集的集合。因為運算是從 G 的子集的乘積得出的，這個運算有良好定義（不依賴於表示的特定選擇），符合結合律，並有 N 作為單位元。 GN 的元素 aN 的逆元是 a1 N ，其中 a1 是 a 在群 G 中的逆元。 定義的動機 GN 被稱為商群的契機來自整數的除法。 12 除以 3 時之所以會得到 4 是因為我們可以把 12 個物件重新分組為各含 3 個物件的 4 個子集。商群的誕生出於同樣的想法，但用一個群作為最終結果而非一個整數，因為比起任意物件構成的集合，群有更嚴密的結構。 更細致的說，當 N 是 G 的正規子群時， GN 這一群結構形成了一種自然的「重新分組」。它們是 N 在 G 中陪集。因為這種運算涉及一個群和它的正規子群，最終我們得到的商不只是陪集的（正常除法所產生的）數目，還包含更多的資訊，得到了一個群結構。 例子 考慮整數集 Z（在加法下）的群和所有偶數構成的子群 2Z。這是個正規子群，因為 Z 是阿貝爾群。只有兩個陪集：偶數的集合和奇數的集合；因此商群 Z2Z 是兩個元素的迴圈群。這個商群同構於集合 0 1 帶有模 2 加法運算的群；非正式的說，有時稱 Z2Z 等於集合 0 1 帶有模 2 加法。 上個例子的稍微一般化。再次考慮整數集 Z 在加法下的群。設 n 是任何正整數。我們考慮由 n 的所有倍數構成的 Z 的子群 nZ。nZ 在 Z 中還是正規子群因為 Z 是阿貝爾群。陪集們是蒐集 nZ1nZn2nZn1nZ。整數 k 屬於陪集 rnZ，這裡的 r 是 k 除以 n 的餘數。商 ZnZ 可以被認為模以 n 的 餘數 的群。這是個 n 階迴圈群。 考慮複數十二次單位一的根的乘法阿貝爾群 G，它們是在單位圓上的點，它們在右圖中展示為著色的球並在每點上用數標記出它們的輻角。考慮它由單位一的四次根構成的子群 N，在圖中表示為紅色球。這個正規子群把群分解為三個陪集，分別表示為紅色、綠色和藍色。你可以驗證這些陪集形成了三個元素的群（紅色元素和藍色元素的乘積是藍色元素，藍色元素的逆元是綠色元素等等）。因此商群 GN 是三種顏色元素的群，它又是三個元素的迴圈群。 考慮實數集 R 在加法下的群，和整數集子群 Z。Z 在 R 中的陪集們是形如 a Z 的所有集合，這裡 0 a 1 是實數。這種陪集的加法是透過做相應的實數的加法，並在結果大於或等於 1 的時候減去 1 完成的。商群 RZ 同構於圓群 S1，它是絕對值為 1 的複數在乘法下的群，或者說關於原點的二維旋轉的群，也就是特殊正交群 SO 2。有一個同構給出為 f a Z exp（2πia，參見尤拉恆等式）。 如果 G 是可逆的 3 3 實數矩陣的群，而 N 是帶有行列式為 1 的 3 3 實數矩陣的子群，那麼 N 在 G 中是正規子群（因為它是行列式同態的核）。N 的陪集們是帶有給定行列式的矩陣的集合們，因此 GN 同構於非零實數的乘法群。 考慮阿貝爾群 Z4 Z4Z（也就是集合 0 1 2 3 帶有加法模 4），和它的子群 0 2。商群 Z4 0 2 是 0 2 1 3 。這是帶有單位元 0 2 的群，群運算如 0 2 1 3 1 3。子群 0 2 和商群 0 2 1 3 同構於 Z2。 考慮乘法群 Gmathbf Z_n2。第 n 個餘數的集合 N 是 mathbf Z_n 的 ϕ n 階乘法子群。則 N 在 G 中是正規子群並且因子群 GN 有陪集 N（1n）N 1n 2N1n n1N。Pallier 加密系統基於了在不知道 n 的因子分解的時候難於確定 G 的隨機元素的陪集的猜想。 性質 商群 GG 同構於平凡群（只有一個元素的群），而 G 關於平凡群的商群 Ge 同構於 G 。 GN 的階定義為 GN ，它是 N 在 G 中的子群的指標（index）。如果 G 是有限群，指標等於 G 的階除以 N 的階。注意 G 和 N 都是無限群的時候 GN 可以是有限的（比如 mathbb Z 2mathbb N 的階是 2 ）。 有一個 自然 滿射群同態 pi G rightarrow GN ，把每個 G 的元素 g 對映到 g 所屬於的 N 的陪集上，即 pi g gN 。對映 pi 有時叫做「 G 到 GN 上的規範投影」。它的核是 N 。 在包含 N 的 G 的子群和 GN 的子群之間有一個雙射對映；如果 H 是 G 中一個包含 N 的子群，則對應的 GH 的子群是 pi H 。這個對映對於 G 的正規子群和 GH 也成立，並在格定理中形式化。 商群的一些重要性質記錄在同態基本定理和同構基本定理中。 如果 G 是阿貝爾群、冪零群或可解群，則 GN 也是。 如果 G 是迴圈群或有限生成群，則 GN 也是。 如果 N 被包含在 G 的中心內，則 G 也叫做這個商群的中心擴張。 如果 H 是在有限群 G 中的子群，並且 H 的階等於 G 的階的一半，則 H 必然是正規子群，因此 GH 存在並同構於 C_2 。這個結果還可以陳述為 任何指標為 2 的子群都是正規子群。這一結論也適用於無限群。 所有群都同構於一個自由群的商。 有時但非必然的，群 G 可以從 GN 和 N 重構為一個直積或半直積。判定何時成立的問題叫做擴張問題。不成立的一個例子如下。 mathbb Z_4 0 2 同構於 mathbb Z_2 ，並且還同構於 0 2 ，但是其唯一的半直積是直積，因為 mathbb Z_2 只有一個平凡的自同構。所以 mathbb Z_4 不同於 mathbb Z_2 times mathbb Z_2 ，它不能被重構。 參見 商環，也叫做因子環 群擴張 格定理 商範疇 短正合序列 Category 群論