算術 幾何平均值不等式，簡稱算幾不等式，是一個常見而基本的不等式，表現算術平均數和幾何平均數之間恆定的不等關係。設 x_1x_2 ldots x_n 為 n 個非負實數，它們的算術平均數是 mathbf A_n frac x_1 x_2 cdots x_nn，它們的幾何平均數是 mathbf G_n sqrt nx_1 cdot x_2 cdots x_n。算術 幾何平均值不等式表明，對任意的非負實數 x_1 ldots x_n： mathbf A_n ge mathbf G_n 等號成立當且僅當 x_1 x_2 cdots x_n。 通常用於兩個數之間，設這兩個數為 a 和 b，也就是 frac ab2 geqslant sqrt ab 算術 幾何平均值不等式僅適用於非負實數，是對數函式之凹性的體現，在數學、自然科學、工程科學以及經濟學等其它學科都有應用。 算術 幾何平均值不等式有時被稱為平均值不等式（或均值不等式），其實後者是一組更廣泛的不等式。 例子 在 n4 的情況，設：x_1 35 x_2 62 x_3 84 x_4 5，那麼 mathbf A_4 frac 35 62 84 54 5775 mathbf G_4 sqrt 435 times 62 times 84 times 5 approx 54945 可見 mathbf A_4 ge mathbf G_4 。 歷史上的證明 歷史上，算術 幾何平均值不等式擁有眾多證明。n2 的情況很早就為人所知，但對於一般的 n，不等式並不容易證明。1729 年，英國數學家麥克勞林最早給出一般情況的證明，用的是調整法，然而這個證明並不嚴謹，是錯誤的。 柯西的證明 1821 年，法國數學家柯西在他的著作《分析教程》中給出一個使用逆向歸納法的證明 AugustinLouis Cauchy Cours danalyse de lÉcole Royale Polytechnique premier partie Analyse algébrique Paris 1821 p457： 命題 P_n：對任意的 n 個正實數 x_1 ldots x_n，mathbf A_n ge mathbf G_n 當 n2 時，P_2 顯然成立。假設 P_n 成立，那麼 P_2n 成立。證明：對於 2n 個正實數 x_1 cdots x_n y_1 cdots y_n ， frac x_1 x_2 cdots x_n y_1 cdots y_n2n frac 12 left frac x_1 cdots x_nn frac y_1 cdots y_nn right ge frac 12 left sqrt nx_1 cdot x_2 cdots x_n sqrt ny_1 cdot y_2 cdots y_n right ge sqrt sqrt nx_1 cdot x_2 cdots x_n cdot sqrt ny_1 cdot y_2 cdots y_n sqrt 2nx_1 cdot x_2 cdots x_n y_1 cdot y_2 cdots y_n 假設 P_n 成立，那麼 P_n1 成立。證明：對於 n1 個正實數 x_1 cdots x_n1 ，設 mathbf A_n1 frac x_1 cdots x_n1 n1， mathbf G_n1 sqrt n1x_1 cdot x_2 cdots x_n1 ，那麼由於 P_n 成立，frac x_1 cdots x_n1 mathbf A_n1n ge sqrt nx_1 cdot x_2 cdots x_n1 mathbf A_n1 。 但是 x_1 cdots x_n1 n1mathbf A_n1，x_1 cdot x_2 cdots x_n1 mathbf Gn1_n1，因此上式正好變成 mathbf A_n1n ge mathbf Gn1_n1 mathbf A_n1 也就是說 mathbf A_n1 ge mathbf G_n1 綜上可以得到結論：對任意的自然數 n ge 2，命題 P_n 都成立。這是因為由前兩條可以得到：對任意的自然數 k，命題 P_2k 都成立。因此對任意的 n ge 2，可以先找 k 使得 2k ge n，再結合第三條就可以得到命題 P_n 成立了。 歸納法的證明 使用常規數學歸納法的證明則有（George Chrystal）在其著作《代數論》（Algebra）的第二卷中給出的 George Chrystal AlgebraAn Elementary TextBook Part II Chapter XXIVp46： 由對稱性不妨設 x_n1 是 x_1 x_2 cdots x_n1 中最大的，由於 mathbf A_n1 frac nmathbf A_n x_n1n1，設 x_n1 mathbf A_n b，則 b ge 0，並且有 mathbf A_n1 mathbf A_n frac bn1 。 根據二項式定理， mathbf An1_n1 mathbf A_n frac bn1n1 ge mathbf An1_n n1mathbf An_n frac bn1 mathbf An_nmathbf A_n b mathbf An_n x_n1 ge mathbf Gn_n x_n1 x_1 x_2 cdots x_n1 mathbf Gn1_n1 於是完成了從 n 到 n1 的證明。 此外還有更簡潔的歸納法證明 P H Diananda A Simple Proof of the Arithmetic Mean Geometric Mean Inequality The American Mathematical Monthly Vol 67 No 10 Dec 1960 pp 1007： 在 n 的情況下有不等式 mathbf A_n ge mathbf G_n 和 x_n1 n1mathbf G_n1 ge n sqrt nx_n1 mathbf Gn1_n1 成立，於是： frac x_1 x_2 cdots x_n x_n1 n1mathbf G_n1 n ge mathbf G_n sqrt nx_n1 mathbf Gn1_n1 ge 2 sqrt 2nmathbf Gn_n x_n1 mathbf Gn1_n1 2mathbf G_n1 所以 n1mathbf A_n1 x_1 x_2 cdots x_n x_n1 ge 2n mathbf G_n1 n1mathbf G_n1 n1mathbf G_n1，從而有 mathbf A_n1 ge mathbf G_n1。 基於琴生不等式的證明 注意到幾何平均數 mathbf G_n 實際上等於 exp left frac ln x_1 ln x_2 cdots ln x_nn right，因此算術 幾何平均不等式等價於： ln frac x_1 x_2 cdots x_nn ge frac ln x_1 ln x_2 cdots ln x_nn。 由於對數函式是一個凹函式，由琴生不等式可知上式成立。 基於排序不等式的證明 令 b_i frac a_i mathbf G_n i123n，於是有 b_1 b_2 cdots b_n1，再作代換 b_1 frac c_1c_2b_2 frac c_2c_3cdotsb_n frac c_nc_1，運用排序不等式得到： frac c_1c_2 frac c_2c_3 cdots frac c_nc_1 geqslant frac c_1c_1 frac c_2c_2 frac c_nc_n n， 於是得到 a_1 a_2 cdots a_n geqslant n mathbf G_n ，即原不等式成立。 此外還有基於伯努利不等式或藉助調整法、輔助函式求導和加強命題的證明。 推廣 算術 幾何平均不等式有很多不同形式的推廣。 加權算術 幾何平均不等式 不僅 均勻 的算術平均數和幾何平均數之間有不等式，加權的算術平均數和幾何平均數之間也有不等式。設 x_1 cdots x_n 和 p_1 cdots p_n 為正實數，並且 p_1 p_2 cdots p_n 1 ，那麼： p_1 x_1 p_2 x_2 cdots p_n x_n ge xp_1_1 xp_2_2 cdots xp_n_n 。 加權算術 幾何平均不等式可以由琴生不等式得到。 矩陣形式 算術 幾何平均不等式可以看成是一維向量的係數的平均數不等式。對於二維的矩陣，一樣有類似的不等式： 對於係數都是正實數的矩陣 begin bmatrix a_11 cdots a_1k vdots ddots vdots a_n1 cdots a_nk end bmatrix 設 A_j frac 1n sum_i1n a_ij， G_isqrt kprod_j1k a_ij ，那麼有： sqrt kA_1 A_2 cdots A_k leqslant frac G_1 G_2 cdots G_nn 也就是說：對 k 個縱列取算術平均數，它們的幾何平均小於等於對 n 個橫行取的 n 個幾何平均數的算術平均。 極限形式 也稱為積分形式：對任意在區間 01 上可積的正值函式 f，都有 int_01 f x dx ge exp int_01 ln f x dx 這實際上是在算術 幾何平均值不等式取成 frac x_1 x_2 cdots x_nn ge exp frac ln x_1 ln x_2 cdots ln x_nn 後，將兩邊的黎曼和中的 n 趨於無窮大後得到的形式。 算數 幾何 調和平均值不等式 若再規定 x_1x_2 ldots x_n 的調和平均數 H frac nfrac 1x_1 frac 1x_2 frac 1x_n 則有 mathbf A_n ge mathbf G_n ge mathbf H_n 且等號依舊成立當且僅當 x_1 x_2 cdots x_n。 證明由算數 幾何平均值不等式知 frac frac 1x_1 frac 1x_2 frac 1x_nn ge sqrt nfrac 1x_1 frac 1x_2 cdots frac 1x_nfrac 1sqrt nx_1 x_2 cdots x_n 故 sqrt nx_1 x_2 cdots x_n ge frac nfrac 1x_1 frac 1x_2 frac 1x_n 即 mathbf G_n ge mathbf H_n 且等號成立於 frac 1x_1 frac 1x_2 cdots frac 1x_n 即 x_1x_2cdots x_n 參見 平均數不等式 算術平均數 幾何平均數 冪平均不等式 楊氏不等式 參考來源 匡繼昌，《常用不等式》，山東科技出版社。 李勝宏，《平均不等式與柯西不等式》，華東師大出版社。 莫里斯克萊因（Morris Kline），張理京 張錦炎 江澤涵 譯，《古今數學思想》，上海科學技術出版社。 李興懷，《學科奧林匹克叢書高中數學》，廣東教育出版社。 S S Category 平均數