在拓撲學的相關領域中，拓撲基 是某種特殊集合族，它們的任意並集構成了一個拓撲空間的開集。基在拓撲學的作用是簡化證明，許多拓撲的性質可轉換成基的性質，像是拓撲意義下的連續就可以直接對基來做定義。 動機 拓撲基的動機是想定義一群特殊的子集，它們的任意並集都是「開」的；嚴謹來說，令 mathcal F subseteq mathcal PX 為集合 X 的一個子集族，希望 mathcal F 內任意一群子集之並集所組成的 mathcal U ： mathcal U leftU in mathcal PX bigg exists mathcal Aleft mathcal A subseteq mathcal F wedge left bigcupmathcal A U right right right 為 X 上的拓撲。 證明 以下逐條檢驗拓撲的定義： 1 等價於「 X in mathcal U」的條件 若 X in mathcal U ，則： exists mathcal Aleft mathcal A subseteq mathcal F wedge left bigcupmathcal A X right right a 考慮到 mathcal F subseteq mathcal PX ，所以根據有無限並集性質的定理 1 與 2 有 bigcupmathcal F subseteq X 但根據無限並集性質的定理 1，a 又等價於： exists mathcal Aleft mathcal A subseteq mathcal F wedge left bigcupmathcal A X right wedge left bigcupmathcal A subseteq bigcupmathcal F right right 所以有： X subseteq bigcupmathcal F 所以從 X in mathcal U 有： bigcupmathcal F X a1 反之若有 a1，因為 mathcal F subseteq mathcal F ，所以有 X in mathcal U 。故在本定理的前提下，a1 等價於 X in mathcal U 。 2 varnothing in mathcal U 首先考慮到 varnothing subseteq mathcal F，然後從無限並集性質的定理 0 有 varnothing bigcupvarnothing，故 varnothing in mathcal U。 3 對任意 mathfrak A subseteq mathcal U 有 bigcupmathfrak A in mathcal U 首先，mathfrak A subseteq mathcal U 可等價地展開為 forall A in mathfrak Aexists mathcal Bleft mathcal B subseteq mathcal F wedge left bigcupmathcal B A right right b 上式可直觀地解釋成「 A in mathfrak A 都是 mathcal F 內某些集合的並集」，既然如此，取一個蒐集各種不同 A 的子集的集族 mathcal P_mathfrak A ： mathcal P_mathfrak A left S exists AA in mathfrak A wedge S subseteq A right 這樣根據有限交集的性質，x in bigcup mathcal P_mathfrak A cap mathcal F 等價於 exists Sleftx in S wedge S in mathcal F wedge exists Aleft A in mathfrak A wedge S subseteq A right right 考慮到一階邏輯的定理 Ce，將 exists A 移至最前，再將 exists S 移入括弧內 ，上式就依據 Equv 而等價於 exists AleftA in mathfrak A wedge exists Sleft x in S wedge S in mathcal F wedge S subseteq A right right 也就等價於 exists AleftA in mathfrak A wedge left x in bigcup mathcal PA cap mathcal Fright right 根據無限並集性質的定理 4，從 b 有 forall A in mathfrak Aexists mathcal Bleftmathcal B subseteq mathcal F wedge leftA subseteq bigcup mathcal B cap mathcal PAright right 這樣根據無限並集性質的定理 1 又會有 forall A in mathfrak A leftA subseteq bigcup mathcal F cap mathcal PAright 考慮到 mathcal F cap mathcal PA subseteq mathcal PA ，從無限並集性質的定理 1 與定理 2 有 bigcupmathcal F cap mathcal PA subseteq A 所以最後從 b 有 forall A in mathfrak A leftA bigcup mathcal F cap mathcal PAright 所以 x in bigcup mathcal P_mathfrak A cap mathcal F 最後等價於 exists Aleft A in mathfrak A wedge x in A right 換句話說 x in bigcup mathfrak A 這樣考慮到 mathcal P_mathfrak A cap mathcal F subseteq mathcal F 就有 bigcup mathfrak A bigcup mathcal P_mathfrak A cap mathcal F in mathcal U 所以在本定理的前提下， 對所有 mathfrak A subseteq mathcal U 都有 bigcupmathfrak A in mathcal U 。 4 等價於「 UV in mathcal U 則 U cap V in mathcal U」的條件 若 「對所有的 UV in mathcal U 有 U cap V in mathcal U」P 因取任意 B_1B_2 in mathcal F 都有： B_1 bigcupB_1 in mathcal U B_2 bigcupB_1 in mathcal U 故 B_1 cap B_2 in mathcal U ，換句話說從假設 P 可以推出： 「對所有 B_1B_2 in mathcal F ，B_1 cap B_2 in mathcal U 」P 另一方面， U cap V in mathcal U 可等價地展開為： exists mathcal Eleftmathcal E subseteq mathcal F wedge left U cap V bigcupmathcal Eright right 因為 UV in mathcal U 可等價地展開為： exists mathcal Aleft left U bigcup mathcal Aright wedge mathcal A subseteq mathcal F right exists mathcal Bleft left V bigcup mathcal Bright wedge mathcal B subseteq mathcal F right 所以在 UV in mathcal U 的前提下 U cap V in mathcal U 又可更進一步等價地展開為： exists mathcal Aexists mathcal Bexists mathcal Eleftmathcal Amathcal Bmathcal E subseteq mathcal F wedge left U bigcupmathcal Aright wedge left V bigcupmathcal Bright wedge left left bigcupmathcal Aright cap left bigcupmathcal Bright bigcupmathcal Eright right 此時考慮到一階邏輯的定理 Ce，連續使用兩次會有： left x in left bigcupmathcal Aright cap left bigcupmathcal Brightright Leftrightarrow exists Aexists BA in mathcal A wedge B in mathcal B wedge x in A cap B 這樣的話，若取一個包含所有 A cap B 的集族： mathcal C leftS in mathcal PX big exists Aexists BA in mathcal A wedge B in mathcal B wedge S A cap B right 這樣就有： bigcupmathcal C left bigcupmathcal Aright cap left bigcupmathcal Bright 而且考慮到 mathcal A subseteq mathcal F 和 mathcal B subseteq mathcal F ，所以在 P 的前提下，所有的 A cap B 都在 mathcal U 裡，換句話說，mathcal C subseteq mathcal U ，故從上小結的結果有： U cap V in mathcal U 所以，P 跟 P 等價。 綜合上面的 a1、a2、和 P，本定理得證。Box 一般會根據無限並集性質的定理 4，將第二個條件等價的寫為： 「對所有 B_1B_2 in mathcal F ， B_1 cap B_2 bigcup mathcal F cap mathcal PB_1 cap B_2 」 也就等價於： 「所有的 B_1B_2 in mathcal F ，對任意 x in B_1 cap B_2 都存在 C in mathcal F cap mathcal PB_1 cap B_2 使得 x in C 」 定義 由上面動機一節的定理，可以作如下的定義： 範例 以所有實數線中的開區間為元素所構成的集合是拓撲基，因為： 任意實數 r in R 都包含在某個開區間裡，如 r1r1 。故開區間全體「覆蓋」了整條實數線。 任何兩個開區間的交集要麼也是開區間要麼為空。 對任意開區間 ab 內的實數 c in ab ，都有一個比 ab 更小的開區間也包含 c ，如 left frac ac2frac bc2 right 。 這些性質正好滿足拓撲基的定義。 更一般的來說，以度量空間的開球為元素所構成的集合是拓撲基，因為： 度量空間的任意點都可作為開球的球心，故開球全體「覆蓋」了整個度量空間。 取任二開球 B_r_aa 和 B_r_bb，若 x in B_r_aa cap B_r_bb，且 r min r_a d xar_b d xb，則 B_r x subseteq B_r_aa cap B_r_bb。 重要性質 證明 設 mathcal B 所生成的拓撲是 tau_mathcal B ；另一方面包含 mathcal B 的最粗拓撲為 tau mathcal B 。 根據最粗拓撲的定義有： vdash forall SbigS in tau mathcal B Leftrightarrow forall mathfrak Tmathfrak Ttext is a topology of X wedge mathcal B subseteq mathfrak T Rightarrow S in mathfrak T big a 那以量詞公理 A4 將 forall S 去掉會有： vdash S in tau mathcal B Leftrightarrow forall mathfrak Tmathfrak Ttext is a topology of X wedge mathcal B subseteq mathfrak T Rightarrow S in mathfrak T 那再使用量詞公理 A4，配合 D1 會有： vdash S in tau mathcal B Rightarrow tau_B text is a topology of X wedge mathcal B subseteq tau_B Rightarrow S in tau_B 因為 tau_mathcal B 是 mathcal B 所生成的拓撲，配合 D2 有：（mathcal P 為 「mathcal B 是 X 的拓撲基」的正式敘述） mathcal P vdash S in tau mathcal B Rightarrow S in tau_B 另一方面，根據拓撲基的定義有： mathcal P S in tau_B vdash exists mathcal Cleft left S bigcup mathcal Cright wedge mathcal C subseteq mathcal B right 而根據拓撲的定義 關於聯集的部分 與演繹定理會有： mathcal P mathfrak Ttext is a topology of X wedge mathcal B subseteq mathfrak T left left S bigcup mathcal Cright wedge mathcal C subseteq mathcal B right vdash S in mathfrak T 這樣根據 GEN 與演繹定理就有： mathcal P mathfrak Ttext is a topology of X wedge mathcal B subseteq mathfrak T vdash exists Cleft left S bigcup mathcal Cright wedge mathcal C subseteq mathcal B right Rightarrow S in mathfrak T 換句話說，從演繹定理與 D1 有： mathcal P S in tau_B vdash mathfrak Ttext is a topology of X wedge mathcal B subseteq mathfrak T Rightarrow S in mathfrak T 那從普遍化元定理就有： mathcal P S in tau_B vdash forall mathfrak Tmathfrak Ttext is a topology of X wedge mathcal B subseteq mathfrak T Rightarrow S in mathfrak T 這樣從 a，配合 AND 與 D1 就有： mathcal P S in tau_B vdash S in tau mathcal B 這樣從 AND 和演繹定理就有： mathcal P vdash S in tau_B Leftrightarrow S in tau mathcal B 套用 GEN 將 forall S 重新加入就會有： mathcal P vdash tau_B tau mathcal B 故本定理得証。Box 證明 如果 B1B2Bn 是拓撲 T1T2Tn 的基，則集合積 B1 B2 Bn 是乘積拓撲 T1 T2 Tn 的基。在無限乘積的情況下這仍適用，除了出現有限多個基元素之外全部都必須是整個空間之外。 設 B 是 X 的基並設 Y 是 X 的子空間。那麼如果我們交 B 的每個元素於 Y，結果的集合的蒐集是子空間 Y 的基。 證明 若 O in tau_Y，根據基的定義，存在 mathcal F subseteq mathfrak B 使得： O bigcup mathcal F 這樣的話，若取： f1mathcal F A exists B in mathcal FA f1B 則有： f1O bigcup f1mathcal F f1mathcal F subseteq tau_X 這樣根據拓撲空間的定義就有： f1O bigcup f1mathcal F in tau_X 故 f 是 tau_Xtau_Y 連續。Box X 的子集的蒐集是 X 上的拓撲當且僅當它生成自身。 B 是拓撲空間 X 的基，當且僅當 B 的包含 x 的元素的子蒐集形成在 x 上的區域性基，對於 X 的任何點 x。 給定拓撲的一個基，要證明網或序列的收斂，在包含假定極限的所有基中的集合中最終證明它就是充分的。 依據基定義的物件 序拓撲通常定義為類似開區間的集合的蒐集所生成的拓撲。 度量拓撲通常定義為開球的蒐集生成的拓撲。 第二可數空間是有可數基的拓撲。 離散拓撲有由所有單元素集合組成的基。 閉集基 閉集同樣擅長描述空間的拓撲。因為有對於拓撲空間的閉集的對偶的基的概念。給定一個拓撲空間 X， X 的閉集基是閉集的集合族 F 使得任何閉集 A 是 F 的元素的交集。 等價的說，閉集族形成了閉集基，如果對於每個閉集 A 和每個不在 A 中的點 x，存在一個 F 的元素包含 A 但不包含 x。 容易檢查 F 是 X 的閉集基，當且僅當 F 的成員的補集的集合族是 X 的開集基。 設 F 是 X 的閉集基。則 F 對於每個 F1 和 F2 在 F 中，並集 F1 F2 是 F 的某個子族的交集 就是說，對於任何不在 F1 或 F2 的 x，存在一個 F3 在 F 包含 F1 F2 並不包含 x。 滿足這些條件的集合 X 的任何子集蒐集形成 X 上的拓撲的閉集基。這個拓撲的閉集完全就是 F 的成員的交集。 在某些情況下，更習慣使用閉集基而非開集基。例如，一個空間是完全正規空間，當且僅當它的零集形成了閉集基。給定任何拓撲空間 X，零集形成在 X 上某個拓撲的閉集基。這個拓撲將是 X 上比最初的要粗的最細的完全正規拓撲。在類似的脈絡下，在 An 上的 Zariski 拓撲被定義為選取多項式函式的零集作為閉集基。 準基 若拓撲空間 X 是最小的拓撲使得 X 的子集的集 B 都是 X 的開集，則稱 B 為 X 的一個準基（subbasissubbase）。另一等價的定義為，若 B 及其所有有限交集構成了拓撲空間 X 之基，則 B 為準基。 例子： 在實數線上，所有長度為 1 的開區間便是一個準基。 JW 亞歷山大證明瞭：若每個準基覆蓋都有一個有限個元素的子覆蓋，則此空間是緊緻的。 注釋 參考文獻 James Munkres 1975 Topology a First Course PrenticeHall Willard Stephen 1970 General Topology AddisonWesley Reprinted 2004 Dover Publications J