物理和工程領域中，常會使用到正弦訊號（例如交流電路分析），這時可以使用相量來簡化分析。相量是振幅（A）、相位（θ）和頻率（ω）均為非時變的正弦波的一個複數，是更一般的概念解析表示法的一個特例。Bracewell Ron The Fourier Transform and Its Applications McGrawHill 1965 p269 而將正弦訊號用複數表示後進行電路分析的方法稱為相量法，而在相量圖中利用向量表示正弦交流電的圖解法稱為向量圖法。相量法可以將這幾個引數的相互依賴性降低，使這 3 個引數相互獨立，這樣就能簡化特定的計算。Phasor 是 Phase Vector 的混成詞。Phasor 也被稱作複振幅，在比較古老的英文工程文獻當中，也常被寫作 sinor，甚至寫作 complexor。 引數中的頻率引數對正弦波的線性組合的所有分量都一樣，若利用相量法將這一因子提取出來，留下的只是振幅和相位資訊的代數組合而不是三角函式的組合。同樣，線性微分方程的求解也可以透過相量法簡化為代數運算。不過因為要提取頻率，所以只有同頻率的正弦量才能進行相量運算。由此可知，相量是一種簡化的表示方法，紀錄一正弦波的振幅和相位資訊。因此，相量一般指振幅和相位部分。 忽略一些數學細節，相量變換也可以看作是拉普拉斯變換的特定情況，該變換還能同時匯出 RLC 電路的瞬態響應。然而拉普拉斯變換在數學上應用較為困難，因而在只需要進行穩態分析時沒有必要使用。 定義 透過尤拉公式，我們可以將正弦訊號表示為二複數函式項的和： Acdot cos omega t theta frac Acdot ej omega t theta2frac Acdot ej omega t theta2 ， j 是虛數單位（j2 1）。 虛數單位用 j 表示是電機工程學中的用法，而在數學中則一般用 i 表示虛數單位。 （其中 A 和 θ 分別表波的振幅以及相位，而其頻率 f 則定義為 frac omega2pi。） 也可單用實部表示： begin align Acdot cos omega t theta operatorname Re leftAcdot ej omega t thetaright operatorname Re leftA ejtheta cdot ejomega tright end align 或可單用虛部表示： begin align Acdot cos omega t theta Acdot sin omega t theta frac pi2 operatorname Im leftAcdot ej omega t thetatfrac pi2right operatorname Im leftA ej thetatfrac pi2 cdot ejomega tright end align 更進一步，若所分析電路為線性，由於訊號源只為單一固定頻率 ω 而不產生其他雜項（例如諧波），因此可以只取其複數的常數部分 Aejtheta，一般把這部分定義為相量。我們也可以用另一種更精簡的極座標形式表示：A angle theta。 在電機工程領域當中，相角通常是以度來定義，而非弧度；振幅大小則通常是以方均根定義，而非峰－峰值。 正弦波可以被理解成複平面上的旋轉向量在實軸上的投影。這一向量的模是振動的幅度，而向量的幅角是總相位 omega ttheta。相位常數 theta 代表複向量於 t0 時刻與實軸的夾角。 運演算法則 與常數（標量）相乘 相量 A ejtheta ejomega t 與複常數 B ejphi 的乘積也是一個相量，這意味著相量乘法只會改變正弦波的振幅和相位： begin align operatorname ReA ejtheta cdot B ejphicdot ejomega t operatorname ReAB ej thetaphicdot ejomega t AB cos omega t thetaphi end align 在電子學中，B ejphi 是獨立於時間的阻抗，且並不是另一相量的簡短記法。 阻抗乘以相量電流可得到相量電壓。但 2 個相量相乘或相量乘方運算的結果表示 2 個正弦波的乘積，這種運算是非線性運算，會產生新的頻率分量。相量記法只能表示同一頻率的系統，例如正弦波模擬的線性系統。 微分和積分 一個相量的時間導數或積分可以產生另一個相量可由 frac ddtej omega t j omega ej omega t 得出，表明複指數是微分運算的本徵函式。，例如： begin align operatorname Releftfrac ddtA ejtheta cdot ejomega tright operatorname ReA ejtheta cdot jomega ejomega t operatorname ReA ejtheta cdot ejtfrac pi2 omega ejomega t operatorname Reomega A ej theta tfrac pi2 cdot ejomega t omega Acdot cos omega t theta frac pi2 end align 因此在相量表示法中，正弦波的時間導數僅需要與常數 j omega ejtfrac pi2 cdot omega 相乘就能得到；同樣，對相量進行積分運算也只需要乘以常數 frac 1jomega frac ejtfrac pi2omega 就能得到；不論是微分還是積分運算，時間變數因子 ejomega t 均不受影響。當利用相量法求解線性微分方程時，我們只需要將方程中全部項中的因子 ejomega t 提取出來後，計算完成後將這一因子重新引入答案中，就可完成全部求解。例如，求解 RC 電路中電容上的電壓，可建立下列微分方程： frac d v_C tdt frac 1RC v_C t frac 1RC v_S t 當電路中的電壓源是正弦變化時： v_S t V_Pcdot cos omega t theta 可以代換成如下方程： begin align v_S t operatorname Re V_s cdot ejomega t end align v_C t operatorname Re V_c cdot ejomega t 其中相量 V_s V_P ejtheta，相量 V_c 是需要求取的未知量。 利用相量的簡短記法，微分方程可化簡為： 證明： 由於對所有 t，更清楚地說是所有 tfrac pi2omega，上式均成立，因此下式同樣成立： 更顯而易見的關係如下述方程所示： frac d operatorname Re V_c cdot ejomega tdt operatorname Re leftfrac dleft V_c cdot ejomega trightdt right operatorname Re leftjomega V_c cdot ejomega t right frac d operatorname Im V_c cdot ejomega tdt operatorname Im leftfrac dleft V_c cdot ejomega trightdt right operatorname Im leftjomega V_c cdot ejomega t right 將以上二式代入和，然後令乘以 j，最後將和乘 j 後的相加，得到： jomega V_c cdot ejomega t frac 1RC V_c cdot ejomega t frac 1RC V_s cdot ejomega t left jomega V_c frac 1RC V_c frac 1RC V_sright cdot ejomega t jomega V_c frac 1RC V_c frac 1RC V_s 證畢。 j omega V_c frac 1RC V_c frac 1RC V_s 解得相量電容電壓為： V_c frac 11 j omega RC cdot V_s frac 1jomega R C1omega R C2 cdot V_P ejtheta 如上所示，結果為一個因子與 V_s 的乘積，這代表了關聯於 V_P 和 theta 的 v_C t 的幅值和相位的不同之處。 用極座標形式表示，則結果為： frac 1sqrt 1 omega RC2cdot ej phi omega，其中 phi omega arctan omega RC。（簡化的極座標形式為：frac 1sqrt 1 omega RC2 angle arctan omega RC） 因此得到電容電壓為： v_C t frac 1sqrt 1 omega RC2cdot V_P cos omega t theta phi omega 加法 多個相量相加可以得到另一個相量，因為同頻率的正弦波相加可得到頻率相同的合成正弦波： begin align A_1 cos omega t theta_1 A_2 cos omega t theta_2 operatorname Re A_1 ejtheta_1 ejomega t operatorname Re A_2 ejtheta_2 ejomega t operatorname Re A_1 ejtheta_1 ejomega t A_2 ejtheta_2 ejomega t operatorname Re A_1 ejtheta_1 A_2 ejtheta_2 ejomega t operatorname Re A_3 ejtheta_3 ejomega t A_3 cos omega t theta_3 end align 其中： A_32 A_1 cos theta_1A_2 cos theta_22 A_1 sin theta_1A_2 sin theta_22 theta_3 arctan left frac A_1 sin theta_1 A_2 sin theta_2A_1 cos theta_1 A_2 cos theta_2right 由複平面上的餘弦定理或角的和差恆等式也可得到相同結果： A_32 A_12 A_22 2 A_1 A_2 cos 180circ Deltatheta A_12 A_22 2 A_1 A_2 cos Deltatheta 其中 Deltatheta theta_1 theta_2。 這種計算方法的關鍵是 A3 和 θ3 並不取決於 ω 或 t，因為在這種情況下才可以使用相量法。方程中的時間和頻率因子可以在計算時去掉，在相量運算完成後的結果中乘以這一因子即可。若使用極座標表示法，運算的形式則為： A_1 angle theta_1 A_2 angle theta_2 A_3 angle theta_3 另外一個考慮問題的角度是將加法運算視為與的向量和，最終得到向量，如上圖所示。 在物理學中，當正弦波發生相長或相消干涉時，可被視為相量加法。若將 3 個大小相當的向量首尾相接，得到的是一個等邊三角形，因此每 2 個相量間的夾角是 120（2π3 弧度），即波長的三分之一 λ3。因此每一波形之間的相位差必須為 120 時，正弦波才能發生完全相消干涉，而這種相位條件與三相交流電是相同的。用公式可表示為： cos omega t cos omega t frac 2pi3 cos omega t frac 4pi3 0。 在三個波相消干涉的情況下，第一個波和第三個波的相位相差 240，而兩個波發生相消干涉的條件是相位相差 180 時。若多個波進行相消干涉，第一個相量和最後一個相量幾乎平行。這意味著對於多個波源的情況，第一個波和最後一個波發生相消干涉的條件是相位相差 360，即一個全波長 lambda。因此，單縫衍射的極小值位置是光程差為全波長的位置。 相量圖 電機工程師、電子工程師、電氣工程師以及飛機工程師都使用相量圖使複常數和相量變數視覺化。與向量一樣，在圖紙或計算機中都用箭頭代表相量。相量可以用指數形式或極座標形式表示，各有優點。 電路定律 用相量法表示正弦交流電後，就可以將直流電路的分析方法直接用於分析交流電路，這些基本定律如下： 歐姆定律：VIZ，其中 Z 是複阻抗。 在交流電路中，有功功率 P 表示輸入電路的平均功率，無功功率 Q 是使電路內電場與磁場進行能量交換而需要的電功率，不對外做功。這樣我們可以定義複功率 SPjQ，其幅值就是視在功率。由此，由相量表示的複功率為：SVI ，其中 I 是 I 的共軛複數）。 基爾霍夫電路定律的複數形式也可用於相量計算中。 由以上定律，我們可以使用相量法進行阻性電路分析，可分析包含電阻、電容和電感的單一頻率交流電路。分析多頻率線性交流電路和不同波形的交流電路時，可以先將電路化為正弦波分量的組合（由疊加定理滿足），然後對每一頻率情況的正弦波進行分析，找出電壓和電流。 電力工程 在三相交流電力系統的分析中，通常會有一組相量被定義為 3 個複單位立方根，並以圖表示為角 0、120 以及 240 處的單位幅值。將多相交流電路的量化為相量後，平衡電路可被化簡，而非平衡電路可被當作對稱電路的代數組合。這種方法簡化了電學計算中計算電壓降、功率流以及短路電流所需的工作。在電力系統分析中，相位角的單位常為度，而幅值大小則通常是以方均值而不是峰值來定義。 同步相量技術中使用數字式儀表來測量相量，先進的測量裝置包括同步相量測量裝置（PMU），能直接即刻測得某節點的相量，不需要花費時間進行大量的計算。在輸電系統中，相量一般被廣泛地認為是表示輸電系統電壓。相量的微小變化是功率流和系統穩定性的靈敏指示引數。 腳註 參考文獻 外部連結 Phasor Phactory Visual Representation of Phasors Category 電路 Category 電子工程 Category 電機工程