羅伯遜 沃克度規是 HP 羅伯遜和沃爾克分別於 1935 年和 1936 年證明的。由於俄國數學家弗裡德曼和比利時物理學家勒梅特也作出了重要的貢獻，因此也稱作弗裡德曼 羅伯遜 沃克度規（，縮寫為 FRW 度規）或者弗裡德曼 勒梅特 羅伯遜 沃克度規（，縮寫為 FLRW 度規）。 FLRW 度規是基於廣義相對論愛因斯坦場方程精確解的度量，描述了一個均勻、各向同性、膨脹（或收縮）的連通（不必是單連通）的宇宙。For an early reference see Robertson 1935 Robertson assumes multiple connectedness in the positive curvature case and says that we are still free to restore simple connectedness 度規的一般形式源於均勻和各向同性的幾何特性；愛因斯坦場方程只需推匯出宇宙標度因子隨時間的變化。這一模型也被稱為現代宇宙學的 標準模型，有時也指進一步發展的 ΛCDM 模型。 一般度量 FLRW 度量首先假定空間是均勻、各向同性的；還假設度量的空間分量可隨時間變化。滿足這些條件的一般度量是 c2 mathrm dtau2 c2 mathrm d t2 a t2 mathrm dmathbf Sigma2 其中 mathbf Sigma 的範圍是曲率均勻的 3 維空間，即橢圓空間、歐氏空間或雙曲空間。通常寫作 3 個空間座標的函式，也有另幾種約定俗成的寫法，下詳。mathrm dmathbf Sigma 不依賴於時間 t 所有的時間依賴都在函式 a t 之中，即所謂 宇宙標度因子。 退化圓周極座標 退化圓周極座標中，空間度量的形式為 mathrm dmathbf Sigma2 frac mathrm d r21k r2 r2 mathrm dmathbf Omega2 quad text where mathrm dmathbf Omega2 mathrm dtheta2 sin2 theta mathrm dphi2 k 是表示空間曲率的常數。有兩種常見的單位約定： k 的量綱可以是 長度2，這時 r 的量綱是長度，a t 無量綱。k 是 a t 1 時空間的高斯曲率。r 有時被稱為退化圓周，因為它等於以原點為圓心的（r 值下的）周長除以 2（類似於史瓦西座標的 r）。在適當的情況下，a t 通常被選為在當前宇宙年代為 1，於是 mathrm dmathbf Sigma 可以測量共動距離。 或者，也可以認為 k 屬於集合（分別表示負曲率、零曲率和正曲率）。則 r 是無量綱量，a t 單位為長度。時，a t 是空間的曲率半徑，也可以寫成 R t。 退化圓周座標的一個缺點是，在正曲率情形下它只能覆蓋 3 球的一般，超出這一點的圓周開始減小，從而導致退化。（若是橢圓空間即確定了對點的 3 球，則這不是問題） 超球面座標 在超球面座標或曲率歸一座標中，座標 r 與徑向距離成正比；由此可得 mathrm dmathbf Sigma2 mathrm d r2 S_k r2 mathrm dmathbf Omega2 其中 mathrm dmathbf Omega 如前，且 S_k r begin cases sqrt k1 sin r sqrt k k 0 r k 0 sqrt k1 sinh r sqrt k k 0 end cases 如前所述，有兩種常見的單位約定： k 的單位可以是 長度2，r 的單位是長度，a t 無量綱。k 是 a t 1 時空間的高斯曲率。在適當的情況下，a t 通常被選為在當前宇宙年代為 1，於是 mathrm dmathbf Sigma 可以測量共動距離。 或者，與之前一樣，可將 k 看做屬於集合（分別表示負曲率、零曲率和正曲率）。那麼 r 是無量綱量，a t 單位為長度。時，a t 是空間的曲率半徑 ，也可寫作 R t。注意當時，r 本質上是 θ、φ 之外的第三個角，可用字母 χ 代替 r。 S 通常是按上述方法分段定義的，是 k 與 r 的解析函式。也可以寫成冪級數 S_k r sum_n0infty frac 1n kn r2n12n1 r frac k r36 frac k2 r5120 cdots 或 S_k r r mathrm sinc r sqrt k 其中 sinc 是未正則化的 Sinc 函式，sqrt k 是 k 的虛根、零根或實根之一。這些定義對所有 k 都有效。 笛卡爾座標 k 0 時可以簡單寫成 mathrm dmathbf Sigma2 mathrm d x2 mathrm d y2 mathrm d z2 這可以擴充套件到，方法是定義 x r cos theta ； y r sin theta cos phi ，且 z r sin theta sin phi 其中 r 是上面定義的徑向座標之一，但這種情況很少見。 曲率 笛卡爾座標 在使用笛卡爾座標的平面 k0 FLRW 空間中，裡奇張量的剩餘分量為 R_tt 3 frac ddot aa quad R_xx R_yy R_zz c2 a ddot a 2 dot a2 裡奇標量為 R 6 c2 left frac ddot ata t frac dot a2 ta2 tright 球面座標 在使用球面座標（上文稱為 退化圓周極座標）的更一般的 FLRW 空間中，裡奇張量的剩餘分量為 R_tt 3 frac ddot aa R_rrfrac c2a tddot at 2dot a2 t 2k1 kr2 R_thetatheta r2 c2a tddot at 2dot a2 t 2k R_phiphi r2 c2a tddot at 2dot a2 t 2ksin2 theta 裡奇標量為 R 6 left frac ddot atc2 a t frac dot a2 tc2 a2 t frac ka2 tright 解 推導度量的一般形式時沒有用到愛因斯坦場方程：是根據均勻與各向同性的幾何特性推匯出來的。然而，確定 a t 的時間演化確實需要愛因斯坦場方程及計算密度 rho t 的方法，如宇宙學狀態方程。 應力 能量張量同樣賦以均勻與各向同性時，這一度量對愛因斯坦場方程 G_munu Lambda g_munu frac 8pi Gc4 T_munu 有一解析解，給出弗裡德曼方程： left frac dot aaright2 frac kc2a2 frac Lambda c23 frac 8pi G3rho 2frac ddot aa left frac dot aaright2 frac kc2a2 Lambda c2 frac 8pi Gc2 p 方程組是標準大爆炸宇宙學模型（包括當前 ΛCDM 模型）的基礎。Their solutions can be found in 由於 FLRW 模型假定宇宙是均勻的，出現了一種流行的誤解：大爆炸無法解釋宇宙的團塊結構。嚴格的 FLRW 模型中不存在星系與恆星，因為其密度遠大於宇宙的典型部分。儘管如此，FLRW 模型還是用作真實的團塊結構宇宙演化的第一近似，因為它的計算很簡單，計算團塊性的模型則作為推廣。大多數宇宙學家同意，可觀測宇宙可以很好地近似一個類 FLRW 模型，即除密度原初擾動外都遵循 FLRW 度規的模型。截至 2003 年，人們對 FLRW 模型的各種擴充套件的理論意義似乎有了很好的理解，目標是使它們與 COBE 及 WMAP 的觀測結果相一致。 若時空是多連通的，則每個事件將由多個座標多元組表示。 解釋 上面給出的一對方程等價於下面一對方程： dot rho 3 frac dot aaleft rhofrac pc2right frac ddot aa frac 4pi G3left rho frac 3pc2right frac Lambda c23 其中空間曲率指數 k 是第一個方程的積分常數。 設宇宙膨脹是絕熱過程（推導 FLRW 度規時隱含了這一假設），則第一個方程等價於熱力學第一定律，可以從熱力學的角度推匯出來。 第二個方程指出，能量密度和壓力都會導致宇宙膨脹率 dot a 下降，即都會使宇宙膨脹減速。這是引力作用的結果，根據廣義相對論，壓力的作用與質能密度類似。另一方面，宇宙學常數會導致宇宙膨脹加速。 宇宙學常數 做如下替換，宇宙學常數項便可省略掉： rho rightarrow rho frac Lambda c28 pi G p rightarrow p frac Lambda c48 pi G 於是可以這樣解釋：宇宙學常數產生於一種具有負壓的能量形式，大小等於其（正）能量密度： p rho c2 這是具有暗能量的真空狀態方程。 推廣它的嘗試： p w rho c2 若不做進一步修改，推廣將不具有廣義不變性。 事實上，要得到 1 個導致宇宙加速膨脹的項，只要有 1 個滿足以下條件的標量場就足夠了： p frac rho c2 3 這樣的場有時被稱為五元場（quintessence）。 牛頓解釋 這是 McCrea 與 Milne 提出的，有時會被誤歸為弗裡德曼。弗裡德曼方程等價於下面這對方程： a3 dot rho 3 a2 dot a rho frac 3 a2 p dot ac2 frac dot a22 frac G frac 4 pi a33 rhoa frac k c22 第一個方程表明，一個給定立方體（瞬時邊長為 a）所含質量的減少量，就是因宇宙膨脹而從邊流出的量，再加上壓力對排除物質做功的質量當量。這就是宇宙的一部分包含的質能守恆（熱力學第一定律）。 第二個方程表明，單位質量的例子隨膨脹運動的動能（相對於原點）加其（負）引力勢能（相對於更靠近原點的球體包含的質量）等於一個與宇宙曲率有關的常數。換句話說，處於自由落體狀態的共動粒子的能量（相對於原點）守恆。廣義相對論只是在宇宙空間曲率和粒子能量之間增加了一種聯絡：正總能量意味著負曲率，負總能量意味著正曲率。 宇宙學常數項被假定為暗能量，並因此與密度及壓力項合併。 在普朗克時期，不能忽視量子效應。因此它們可能導致弗裡德曼方程的偏離。 愛因斯坦宇宙半徑 愛因斯坦宇宙半徑 是靜態宇宙的曲率半徑，是個廢棄已久的靜態模型，本是理想化地代表我們的宇宙。在弗裡德曼方程中置 dot a ddot a 0 則該宇宙空間的曲率半徑（愛因斯坦半徑）是 R_text Ecsqrt 4pi Grho 其中 c 是光速，G 是萬有引力常數，rho 是宇宙的空間密度。愛因斯坦半徑的數量級在 1010（100 億）光年不過現代望遠鏡可以探測到不同方向上 130 億光年以外的遙遠天體。 現狀 目前的宇宙學標準模型 ΛCDM 模型使用的也是 FLRW 度規，在其基礎上將 WMAP 和普朗克衛星等的觀測資料與 EGS 定理及其推廣的理論結果相結合，See pp 351ff in The original work is Ehlers J Geren P Sachs RK Isotropic solutions of EinsteinLiouville equations J Math Phys 9 1344 1968 For the generalization see 天體物理學家現在一致認為，早期宇宙幾乎是均勻、各向同性的（在極大尺度上平均時），因此幾乎是 FLRW 時空。儘管如此，透過對射電星系 See Siewert et al for a recent summary of results 和類星體的研究，對宇宙微波背景（CMB）偶極子的純運動學解釋的嘗試在幅度上有分歧。從表面價值來看，這些觀測結果與 FLRW 度規描述的宇宙不一致；另外，我們還可以說，目前觀測結果能容忍的 FLRW 宇宙學中，哈勃常數有最大值 H_0 71 pm 1 kmsMpc，可能表明晚期宇宙中的 FLRW 度規已經崩潰，因此有必要做出 FLRW 度規以外的解釋。 參考文獻 閱讀更多 North J D 1965 The Measure of the Universe a history of modern cosmology Oxford Univ Press Dover reprint 1990 See Chapter 23 for a particularly clear and concise introduction to the FLRW models F Category 度規張量