在經典力學裡，作用量 角度坐標（actionangle coordinate）是一組正則坐標，通常在解析可積分系統 時，有很大的用處。應用作用量 角度坐標的方法，不需要先解析運動方程式，就能夠求得振動或旋轉的頻率。作用量 角度坐標主要用於完全可分的 哈密頓 亞可比方程式（哈密頓量顯性地不含時間，也就是說，能量保持恆定）。作用量 角度變數可以用來定義一個環面不變數。因為，保持作用量的不變設定了環的曲面，而角度是環面的另外一個坐標，粒子依照著角度，捲繞於環面。 在量子力學早期，波動力學發展成功之前，波耳 索末菲量子化條件 是研究量子力學的利器。此條件闡明，作用量必須是普朗克常數常數的整數倍。愛因斯坦對於 深刻的理解 與 非可積分系統 量子化的困難，都是以 作用量 角度坐標的環面不變數 來表達。 在哈密頓力學裡，作用量 角度坐標也可以應用於微擾理論，特別是在決定緩漸不變數。關於一個自由度很小的動力系統的非線形微擾，混沌理論研究的最早的一個結果是 。這定理闡明，對於微小微擾，環面不變數是穩定的。 作用量 角度坐標，對於戶田晶格 的解析，對於 的定義，更廣義地，對於一個系統同光譜 演化的構想，都佔有關鍵地位。 導引 保守的哈密頓量系統 主條目：哈密頓特徵函式 假設，在一個物理系統裡，哈密頓量是保守的，也就是說，哈密頓量 mathcal H 不顯含時間； mathcal Hmathbf q mathbf pa_mathcal H ； 其中，a_mathcal H 是運動常數，mathbf q 是廣義坐標，mathbf p 是廣義動量。 採用哈密頓特徵函式 W mathbf q mathbf P 為正則變換的第二型生成函式。變換方程式為 mathbf pfrac partial Wpartial mathbf q ， mathbf Qfrac partial Wpartial mathbf P ； 其中，mathbf Q 是新廣義坐標，mathbf P 是新廣義動量。 新哈密頓量 mathcal K 與舊哈密頓量 mathcal H 相等： mathcal Kmathbf Q mathbf Pmathcal Hmathbf q mathbf pa_mathcal H 。 新廣義動量的哈密頓方程式為 dot mathbf P frac partial mathcal Kpartial Q0 。 所以，新廣義動量是常數 mathbf a ： mathbf Pmathbf a ， 假設，這物理系統的哈密頓 亞可比方程式 mathcal Hleft mathbf q frac partial Wpartial mathbf qright a_mathcal H 為完全可分的，則哈密頓特徵函式 W mathbf q mathbf P 可以分離為 n 個函式 W_i ： W mathbf q mathbf asum_i1n W_i q_i mathbf a 。 哈密頓特徵函式與新舊正則坐標的關係是 p_ifrac partial W_i q_i mathbf apartial q_i ， Q_isum_j1n frac partial W_j q_j mathbf apartial a_i 。 週期性運動 假若，粒子的運動是週期性運動，最常見的例子如振動或旋轉都是週期性運動，則可以設計一個新正則坐標－作用量 角度坐標 mathbf w mathbf J 。定義作用量為 J_i equiv oint p_i dq_i ； 這閉路徑積分的路徑是粒子運動一週期的路徑。 由於廣義動量 p_i 只跟 q_i 、mathbf a 有關，經過積分，作用量 J_i 只跟 mathbf a 有關。所以，作用量向量 mathbf J 只是個常數向量。哈密頓特徵函式可以表達為 W mathbf q mathbf Jsum_i1n W_i q_i mathbf J 。 雖然是同樣的物理量，函式的引數不同，形式也不同。 定義角度 mathbf w 為 w_i equiv frac partial Wpartial J_isum_j1n frac partial W_j q_j mathbf Jpartial J_i 。 由於所有的廣義坐標 q_i 都相互獨立，所有的廣義動量 p_i 也都相互獨立，所以，所有的作用量 J_i 都相互獨立，作用量 角度坐標可以正確的用為正則坐標。這樣，哈密頓特徵函式可以用正則坐標作用量 角度坐標表達為 W mathbf w mathbf Jsum_i1n W_i w_i mathbf J 。 新哈密頓量 mathcal K 與舊哈密頓量 mathcal H 相等： mathcal Kmathbf w mathbf Jmathcal Hmathbf q mathbf pa_mathcal H 。 因為作用量 J_iJ_i mathbf a 只是常數向量，所以， dot J_ifrac partial mathcal Kpartial w_i0 。 新哈密頓量 mathcal Kmathcal Kmathbf J ，只跟作用量 mathbf J 有關，跟角度 mathbf w 無關。 角度 w_i 隨時間的導數 nu_i ，可以用哈密頓方程式決定： nu_imathbf Jdot w_i frac partial mathcal Kpartial J_i 。 每一個 J_i 都是常數，所以，nu_i mathbf J 也是常數： w_i nu_i t beta_i ； 其中，beta_i 是積分常數。 運動頻率 假設原本廣義坐標 q_i 的振蕩或旋轉的運動週期為 T_i ，則其對應的角度變數 w_i 的改變是 Delta w_i nu_i T_i 。進一步瞭解物理量 nu_i 的性質，猜想 nu_i 與廣義坐標 q_i 週期性運動的頻率有關。可是，因為角度 w_i 是廣義座標 mathbf q 與作用量 mathbf J 的函式，無法確定前面的猜想。為了證實這論點，計算週期 T_i ： T_ioint dtoint frac dq_idot q_ioint cfrac dq_i cfrac partial mathcal Hpartial p_i 。 新哈密頓量 mathcal Kmathbf J 與舊哈密頓量 mathcal H 相等。所以， frac partial mathcal Hpartial p_isum_j1n frac partial mathcal Kpartial J_jfrac partial J_jpartial p_isum_j1n nu_j frac partial J_jpartial p_i 。 假若 q_j 是個迴圈坐標，那麼，其共軛動量 p_j 必是個常數，可以從作用量的定義積分內提出來： J_jequiv oint p_j dq_jp_joint dq_jp_j ell ； 其中，ell 是 q_j 運動一週期的值。 這樣， frac partial mathcal Hpartial p_isum_j1n nu_j delta_ij ellnu_iell 。 代入週期 T_i 的公式， T_ioint frac dq_inu_i mathbf Jellfrac 1nu_i 。 肯定地，nu_i 是廣義坐標 q_i 的頻率。 假若 q_j 不是迴圈坐標，則不能將其共軛動量 p_j 從作用量的定義積分內提出來，必須採用另外一個方法計算。從角度的定義，可以察覺角度 w_i 跟廣義坐標 mathbf q 、作用量 mathbf J 有關： w_iw_i mathbf q mathbf J 。 保持作用量不變，角度的虛位移 delta w_i 是： delta w_isum_j1n frac partial w_ipartial q_j dq_j 。 在一個週期性物理系統裡，每一個廣義坐標 q_i 都有它運動的週期 T_i 。假若，其中有任何廣義坐標的週期與別的廣義坐標的週期不相同，則稱此物理系統為多重週期性物理系統。假若，兩個廣義坐標的週期不同 T_1 、T_2 。在做閉路徑積分的時候，就必須使用使用一個新的週期 T ，讓閉路徑積分能夠開始與結束於同一點．假若，兩個週期的比例是個有理數，則稱這兩個週期互相可通約的。設定新週期為 Tm_1T_1m_2T_2 ； 其中，frac TT_1 、frac TT_2 、m_1 、m_2 ，都是正值的整數。 同樣地，在多重週期性物理系統裡，假若，每一個廣義坐標的週期與其它的廣義坐標的週期都是互相可通約的，則此係統是完全可通約的，稱此係統為完全可通約系統。那麼，新週期 T 為 Tsum_i1n m_iT_i ； 其中，frac TT_i 、m_i ，都是正值的整數。 經過一個週期 T ，角度 w_i 的變化是： Delta w_i nu_i m_i T_ioint sum_j1n frac partial w_ipartial q_j dq_j ointsum_j1n sum_k1n frac partial2 W_k q_k mathbf Jpartial q_j partial J_i dq_j 。 由於作用量 J_i 是個常數，可以將它從積分內提出： Delta w_ifrac ddJ_i oint sum_j1n sum_k1n frac partial W_k q_k mathbf Jpartial q_j dq_j frac ddJ_i oint sum_j1n p_j dq_j frac ddJ_isum_j1n m_jJ_jm_i 。 所以，頻率是 nu_imathbf J frac 1T 。 假若，有任何兩個互相不可通約的廣義坐標 q_i 、q_j ，其週期 T_i 、T_j 的比例是無理數。那麼，q_i 不可能與 q_j 同時回到同一點。雖然如此，有理論證明， nu_i 、 nu_i 仍舊分別是 q_i 、q_j 的頻率。 傅立葉級數 角度 mathbf w 是一組互相獨立的廣義坐標。所以，一般而言，每一個廣義坐標 q_k 可以用角度的傅立葉級數表示： q_k sum_s_1inftyinfty sum_s_2inftyinfty ldots sum_s_Ninftyinfty Ak_s_1 s_2 ldots s_N ei2pi s_1 w_1 ei2pi s_2 w_2 ldots ei2pi s_N w_N ； 其中， Ak_s_1 s_2 ldots s_N 是傅立葉級數係數。 在大多數實際案例，物理系統的哈密頓 亞可比方程式 mathcal Hleft mathbf q frac partial Wpartial mathbf qright a_mathcal H 為完全可分的。那麼，一個原本廣義坐標 q_k 只需用其相應的角度變數的傅立葉級數表示： q_k sum_s_kinftyinfty ei2pi s_i w_i 。 基本規則總結 一般程式有三個步驟： 計算作用量變數 J_i 。 用作用量變數表示原本哈密頓量。 取哈密頓量關於作用量變數的導數。這樣，可以求得頻率 nu_i 。 簡併度 在有些案例，兩個不同的廣義坐標會有相同的頻率；也就是說，nu_i nu_j for i neq j 。稱這些案例的運動狀態為簡併。 簡併的運動給出暗示，很可能有更多的保守量。例如，克卜勒問題的頻率是簡併的，這對應於拉普拉斯 龍格 冷次向量的恆定性。 簡併的運動還給出暗示，在多於一種坐標系統裡，哈密頓 亞可比方程式會是完全可分的。例如，克卜勒問題在球坐標系與拋物線坐標系，都是完全可分的。 參考文獻 Lev D Landau and E M Lifshitz 1976 Mechanics 3rd ed Pergamon Press ISBN 0080210228 hardcover and ISBN 0080291414 softcover H Goldstein 1980 Classical Mechanics 2nd Ed AddisonWesley ISBN 0201029189 pg 457477 Z Z Z