在經典力學裡，拉普拉斯 龍格 冷次向量（LaplaceRungeLenz vector；簡稱為 LRL 向量）主要是用來描述，當一個物體環繞著另外一個物體運動時，軌道的形狀與取向。典型的例子是行星的環繞著太陽公轉。在一個物理系統裡，假若兩個物體以萬有引力相互作用，則 LRL 向量必定是一個運動常數，不管在軌道的任何位置，計算出來的 LRL 向量都一樣；也就是說，LRL 向量是一個保守量。更廣義地，在克卜勒問題裡，由於兩個物體以連心力相互作用，而連心力遵守平方反比定律，所以，LRL 向量是一個保守量。 氫原子是由兩個帶電粒子構成的。這兩個帶電粒子以遵守庫侖定律的靜電力互相作用．靜電力是一個標準的平方反比連心力。所以，氫原子內部的微觀運動是一個開普勒問題。在量子力學的發展初期，薛丁格還在思索他的薛丁格方程式的時候，沃夫岡包立使用 LRL 向量，關鍵性地推匯出氫原子的發射光譜。這結果給予物理學家很大的信心，量子力學理論是正確的。 在經典力學與量子力學裡，因為物理系統的某一種對稱性，會產生一個或多個對應的保守值。LRL 向量也不例外。可是，它相對應的對稱性很特別；在數學裡，開普勒問題等價於一個粒子自由地移動於四維空間的三維球面；所以，整個問題涉及四維空間的某種旋轉對稱。 拉普拉斯 龍格 冷次向量是因皮埃爾 西蒙拉普拉斯、卡爾龍格與威廉楞次而命名。它又稱為拉普拉斯向量，龍格 冷次向量，或冷次向量。有趣的是，LRL 向量並不是這三位先生發現的！這向量曾經被重複地發現過好幾次。它等價於天體力學中無因次的離心率向量。發展至今，在物理學裡，有許多各種各樣的 LRL 向量的推廣定義；牽涉到狹義相對論，或電磁場，甚至於不同型別的連心力。 概論 在一個物理系統裡，在任意保守的連心力的作用下（參閱保守力），一個粒子的運動，都會擁有至少四個運動常數；能量與角動量 mathbf L 的三個分量皆為運動常數。粒子的軌道被限制於一個平面。粒子的動量 mathbf p 和從力中心點的位置到粒子位置的位移 mathbf r（參閱圖 1）。粒子的運動平面垂直於角動量 mathbf L。用方程式表示， mathbf rcdotmathbf L0。 LRL 向量 mathbf A，也肯定地包含於粒子的運動平面。可是，只有當連心力遵守平方反比定律時，mathbf A 才是常數向量。對於別種連心力，mathbf A 不是常數向量，其大小與方向都會改變。假若連心力近似地遵守平方反比定律，則 mathbf A 的大小近似常數，而方向會緩慢地轉動。對於所有的連心力，可以定義一個廣義 LRL 向量，但是，這廣義向量通常並沒有解析解，假若有，也會是一個非常複雜的函式。 歷史 在重要的開普勒問題中，LRL 向量 mathbf A 是一個運動常數，時常用來描述天文軌道，例如行星的運動。然而，物理學家對它並不熟悉，這很可能是因為與動量與角動量相比，它的物理內涵比較難以被直覺地理解。因此，在過去三個世紀裡，它曾被重複地發現過許多次。1710 年，在一個不著名的義大利學刊裡，雅各布赫爾曼最先發表了關於 LRL 向量的論文。在推導一個軌道方程式的過程中，他計算出 LRL 向量的大小， A 是保守的；並且推匯出此案例與橢圓軌道離心率的關係。稍後，赫爾曼把這結果告訴約翰白努利，他的恩師。白努利又更進一步地推匯出 LRL 向量的方向。這樣，LRL 向量得到了它的現代形式。所以，不容質疑地，LRL 向量是赫爾曼和白努利共同發現的。 在那個世紀末尾，皮埃爾 西蒙拉普拉斯又重新地發現了 LRL 向量的保守性；稍微不同地，他的導引使用的是分析方法，而不是幾何方法。十九世紀中葉，威廉哈密頓推匯出全等的離心率向量。他用離心率向量來證明，在平方反比連心力作用下，速端曲線顯示出，粒子動量向量的頭部呈圓形移動 （參閱圖 3）。二十世紀初，約西亞吉布斯，應用向量分析，推匯出同樣的向量。後來，卡爾龍格將吉布斯的導引，納入自己所寫的一本廣受歡迎的，關於向量的，德文教科書內，成為其中的一個例題。1924 年，威廉楞次發表了一篇關於氫原子的舊量子論的論文。在這篇論文中，他引用龍格所寫的教科書的例題為參考。1926 年，沃爾夫岡包立用 LRL 向量與矩陣力學，而不是薛丁格方程式，來推導氫原子的光譜。這傑作說服了大多數物理學家，使他們覺得量子力學理論是正確的。 數學定義 平方反比連心力 mathbf Fr 可以表達為 mathbf Fr frac kr2mathbf hat r； 其中，k 是比例常數，mathbf hat r frac mathbf rr 是單位向量，mathbf r 是粒子的位置向量，r 是 mathbf r 的大小。 感受到此力的作用，一個粒子的軌道運動，其 LRL 向量的數學定義方程式為 mathbf A mathbf p times mathbf L m k mathbf hat r； 其中，m 是粒子的質量，mathbf p 是動量，mathbf L mathbf r times mathbf p 是角動量。 由於平方反比連心力為保守力，能量 Efrac p22m frac kr 是運動常數： frac mathrm d Emathrm d tfrac pmdot p frac kr2dot r0。 再者，角動量 mathbf L 也是保守的，可以決定粒子移動平面的取向。因為 mathbf ptimesmathbf L 與 mathbf r 都垂直於 mathbf L，所以，LRL 向量 mathbf A 垂直於角動量；mathbf A 包含於軌道的平面。 這個單獨粒子的 LRL 向量定義，也可以延伸至像開普勒問題一類的二體問題，只需要設定質量 m 為二個物體的約化質量，設定位置向量 mathbf r 為二個物體之間的相對位置向量。 同樣的運動常數可以有很多種不同的表述．最常見的一種牽涉到離心率向量。定義離心率向量 mathbf e 為 LRL 向量與 mk 的除商： mathbf e frac mathbf Am k frac 1m kmathbf p times mathbf L mathbf hat r。 開普勒軌道導引 開普勒問題的運動軌道，其形狀與取向，可以用 LRL 向量決定。mathbf A 與 mathbf r 的內積為 mathbf Acdotmathbf rArcosthetamathbf rcdotleft mathbf ptimesmathbf L right mkr； 其中，theta 為 mathbf A 與 mathbf r 之間的夾角。 置換其三重積， mathbf r cdotleft mathbf ptimes mathbf Lright mathbf Lcdotleft mathbf r times mathbf pright mathbf Lcdotmathbf LL2。 所以， ArcosthetaL2 mkr。 編排成圓錐曲線的方程式形式： frac 1rfrac mkL2left 1 frac Amkcosthetaright。 離心率 e 為 e frac Amk frac leftmathbf Arightm k。 開普勒軌道與能量的關係可以由 LRL 向量推匯出。mathbf A 與自己的內積為 begin align mathbf Acdotmathbf A mathbf ptimesmathbf L mkmathbf hat rcdot mathbf ptimesmathbf L mkmathbf hat r p2 L2m2k2 2mkhat mathbf rcdot mathbf ptimesmathbf L left 2mEfrac 2mkrright L2m2k2 frac 2mkr L2 end align 。 所以， A2 m2 k2 2 m E L2。 稍微編排，離心率的平方 e2 是能量 E 的函式： e21frac 2L2mk2 E。 假若能量 E 是負值的（束縛軌道），則離心率小於 1，這軌道是橢圓形軌道。相反地，假若能量是正值的（非束縛軌道，又稱為散射軌道）則離心率大於 1，這軌道是雙曲線軌道。最後，假若能量等於零，則離心率等於 1，這軌道是拋物線軌道。對於所有狀況，LRL 向量與圓錐曲線的對稱軸平行，而且從力中心點指向近拱點。 圓形的速端曲線 假設一個粒子在做軌道運動。其速度向量的物理行為可以用速端曲線顯示出來，而動量是速度乘以質量。所以，速端曲線也可以顯示出動量的物理行為。在平方反比連心力作用下，速端曲線（圖 3）顯示出，粒子的動量向量的頭部呈圓形移動；這事實可以用 LRL 向量 mathbf A 與角動量 mathbf L 的保守性來證明。計算 mathbf L 與 mathbf A 的叉積： L2 mathbf p mathbf L times mathbf A mk hat mathbf r times mathbf L。 設定 xyz 參考系的圓點在力中心點，mathbf L 與 z 軸同方向，x 軸與半長軸同軸。則 p_x2 left p_y AL right2 left mkL right2。 換句話說，動量 mathbf p 的頭部被限制於一個圓圈；圓圈的半徑為 mkL，圓心為 0 AL。如圖 3 所示，圓形的動量速端曲線毫無疑問地顯示出克卜勒問題的對稱性。 夾角 eta 的一邊是點 2 與圓心的連線，另一邊是負 py 軸。很顯然地，離心率等於 coseta。為了簡化運算，在這裡提出一個很有用的變數 p_0 sqrt 2mleft E right。 運動常數與超級可積分性 在克卜勒問題裡，兩個向量 mathbf A，mathbf L 與一個純量 E 加起來一共有七個常數純量。它們之間的相關性表達於 mathbf Acdotmathbf L0 與 A2m2k22mEL2 這兩個公式。因為 mathbf A 的大小可以由角動量 mathbf L 與能量 E 計算出來。再者，mathbf A 必須垂直於 mathbf L。所以，mathbf A 只能貢獻 1 個運動常數。 由於有上述兩個關係公式，這物理系統一共有五個獨立的運動常數。這結果與設定粒子軌道所需的六個初始條件（粒子的初始位置向量與初始速度向量，每一個向量有三個分量）相符合，原因是運動常數不涉及初始時間（視六個初始條件函式的引數為自變數初始時間。用其中的一個初始條件函式除去這自變數；將此初始條件函式當作一個自變數，則剰餘五個初始條件函式，函式的引數為新自變數）。 因為運動方程式是二階微分方程，一個擁有 d 自由度的物理系統，需要 2d 個初始條件來設定解答。由於運動常數不涉及初始時間，這物理系統最多隻能擁有 2d 1 個運動常數。一個擁有超過 d 個運動常數的物理系統稱為超級可積分系統；而一個擁有 2d 1 個運動常數的物理系統稱為最大超級可積分系統。哈密頓 亞可比方程式的解答，採用任意一種坐標系統，最多隻能求得 d 個運動常數。 克卜勒問題擁有三個自由度（d3）與五個運動常數；克卜勒問題的系統是最大超級可積分系統；採用球坐標或拋物線坐標，哈密頓－亞可比方程式都是可積分的；這論據，稍後會有詳細的解釋。最大超級可積分系統可以用對易關係來量子化，這論據，稍後也會又更明瞭的說明。 在微擾勢下的系統演化 只有在一個標準的平方反比連心力下，粒子的 LRL 向量 mathbf A 是保守的。對於大多數的實際問題，例如行星運動，作用力並不會完全地遵守平方反比定律，而可能會含有別種微擾的連心力；稱其負值不定積分為微擾勢，標記為 h r。在這種狀況下，LRL 向量會緩慢地轉動於軌道平面，相應於軌道的慢進動。假若微擾勢 h r 為一個保守的連心勢，也就是說，總能量 E 與角動量 mathbf L 都是保守的，則粒子的運動仍舊包含於一個垂直於 mathbf L 的平面，大小 A 仍舊是保守的。微擾勢 h r 可以是任何形式的函式。但是，微擾值應該顯著地弱於主連心勢。一個典形的微擾勢可以表示為 h r frac hrn； 其中，h 是微擾勢強度，整數 nle 2。 用正則微擾理論與作用量 角度座標，可以直接地推匯出 LRL 向量的轉動率是 begin align bar Omegafrac partialpartial L langle h r rangle frac partialpartial L leftfrac 1T int_0T h r mathrm d t right frac partialpartial Lleftfrac mTL int_02pi r2 h r mathrm dtheta right end align ； 其中，T 是軌道週期，恆等式 Ldtmr2 mathrm dtheta 轉變時間積分為角積分（如圖 5）。角括號表示式 langle h rrangle 是週期平均微擾勢；也就是說，物體繞軌道一個公轉的平均微擾勢。取平均值可以減少轉動率的變動。 這方法曾經被用來證實愛因斯坦的廣義相對論。廣義相對論在常見的牛頓萬有引力專案外，又添加了一項小的反立方微擾。 h r frac kL2m2 c2 left frac 1r3 right。 將此函式代入積分。再代入 r 與 theta 的關係公式 frac 1r frac mkL2left 1frac Amkcosthetaright， 就可以計算出這非牛頓微擾所產生的近拱點進動率 bar Omegafrac 6pi k2TL2 c2。 計算出的答案準確地符合實驗觀測到的水星進動資料和雙重脈衝星資料。這與實驗資料一致的結果被認為是廣義相對論的強證。 帕松括號 角動量 mathbf L 的三個分量 L_i 的帕松括號是 L_i L_j sum_s13 epsilon_ijs L_s； 其中，指標 i j1 2 3 代表直角座標系的三個座標 x y z， epsilon_ijs 是列維 奇維塔符號；在這裡，為了避免與力強度的標記 k 發生混淆，採用 s 為連加運算的指標。 定義一個與 LRL 向量成比例的向量 mathbf D 為 mathbf Dfrac mathbf Asqrt 2mleftEright。 向量 mathbf D 與角動量 mathbf L 的單位相同。mathbf D 與 mathbf L 的帕松括號為 D_i L_j sum_s13 epsilon_ijs D_s。 向量 mathbf D 與自己的帕松括號跟總能量 E 的正負號有關；也就是說，跟是否總能量 E 是正值（在平方反比連心力作用下，產生開放的雙曲線軌道），或負值（在平方反比連心力作用下，產生閉合地橢圓軌道）有關。假若總能量 E 是正值，帕松括號是 D_i D_j sum_s13 epsilon_ijs L_s。 反之，假若總能量 E 是負值，帕松括號是 D_i D_j sum_s13 epsilon_ijs L_s。 由於以下這三個帕松括號方程式， L_i L_j sum_s13 epsilon_ijs L_s， D_i L_j sum_s13 epsilon_ijs D_s， D_i D_j sum_s13 epsilon_ijs L_s， 如果總能量 E 是負值，則可確定克卜勒問題的對稱群是四維的旋轉群 SO 4。 假若總能量 E 是負值，卡西米爾不變數 C_1 C_2 定義為 C_1 mathbf D cdot mathbf D mathbf L cdot mathbf L frac mk22leftEright， C_2 mathbf D cdot mathbf L 0。 而且，卡西米爾不變數與 mathbf D 的每一個分量的帕松括號皆為零： C_1 D_i C_2 D_i 0。 還有，卡西米爾不變數與 mathbf L 的每一個分量的帕松括號皆為零： C_1 L_i C_2 L_i 0。 既然兩個向量 mathbf D 與 mathbf L 永遠是互相垂直的，C_2 明顯地是零。可是，另外一個不變數 C_1 只跟質量 m、力強度 k、總能量 E 有關。不變數 C_1 分別與 D_i，L_i 的帕松括號等於零的導引並不明顯。這不變數 C_1 使得只用到量子力學的正則對易關係，就可以推匯出類氫原子的原子能級，而不必用到的薛丁格方程式。 氫原子量子力學 帕松括號提供了一個簡易的方法來正則量子化經典系統。兩個量子算符的對易關係等於 ihbar 乘以對應的經典變數。經過這量子化程式，計算克卜勒問題的卡西米爾算符 C_1 的本徵值，沃爾夫岡包利成功地推匯出類氫原子的原子能級（參閱圖 6），以及其發射光譜。早在薛丁格方程式成立之前，包利就研究出這重要的結果！ LRL 向量 mathbf A 的量子算符有一個奧妙之處，那就是動量算符與角動量算符並不對易。動量與角動量的叉積必須仔細地加以定義。LRL 向量的直角座標分量典型地定義為 A_kequiv m_e alpha hat r_k frac 12 sum_i13 sum_j13 epsilon_ijk left p_i l_j l_j p_i right ； 其中，m_e 是電子的質量，常數 alphafrac e24piepsilon_0，e 是單位電荷量，epsilon_0 是真空電容率。 這定義有一個特性：指標 i j 是對稱的，指標 i j 的互換不會改變 A_k 的數值。表示為向量形式， mathbf A m_e alpha hat rfrac 12mathbf ptimesmathbf L mathbf Ltimesmathbf p。 那麼，其對應的哈密頓算符是 Hfrac mathbf p22m_e frac alphar。 與 mathbf A 向量成正比的 mathbf D 向量則是 mathbf Dfrac mathbf Asqrt 2m_eH。 請注意，由於哈密頓算符的本徵值是負值，所以公式內的平方根是個實數。 經過一番繁冗的運算，可以求得對易關係： L_iL_j ihbarepsilon_ijk L_k、 L_iD_j ihbarepsilon_ijk D_k、 D_iD_j ihbarepsilon_ijk L_k、 HD_i 0。 定義第一階張量算符為 J_0equiv D_3、 J_pm 1equiv mp frac 1sqrt 2 left D_1 pm i D_2 right。 一個歸一化的第一卡西米爾算符可以同樣地定義為 C_1equiv mathbf D2mathbf L2frac m_ealpha2 2H hbar2。 注意到 J_1 和 J_ 1 的對易關係是 J_1J_ 1iD_1D_2 hbar L_3。 應用維格納 埃卡特定理， J_0lmrangle isqrt l2 m2 mathfrak C_ll 1mrangle isqrt l12 m2 mathfrak C_l1l1mrangle、 J_1lmrangle isqrt l ml m 12 mathfrak C_ll 1m1rangle isqrt lm1lm22 mathfrak C_l1l1m1rangle、 J_ 1lmrangle isqrt lmlm 12 mathfrak C_ll 1m 1rangle isqrt l m1l m22 mathfrak C_l1l1m 1rangle； 其中，lmrangle 是角量子數為 l、磁量子數為 l 的本徵態，mathfrak C_l 是常數係數。 經過一番運算，J_1 和 J_ 1 的對易算符作用於 lmrangle 的結果是 begin alignJ_1J_ 1lmrangle m 2l1mathfrak C_l22l3mathfrak C_l12lmrangle hbar L_3lmrangle mhbar2 end align 。 所以，mathfrak C_l 的遞迴關係是 2l 1mathfrak C_l2 2l3mathfrak C_l12 hbar2。 假設 mathfrak C_l2 是非負值，則為了滿足上述公式，l0。再假設 l 的最大值是 l_max。由於態向量 l_max1 rangle 不存在，mathfrak C_l_max10。因此，mathfrak C_l_maxfrac hbar22l_max 1。設定 nl_max 1，稍加計算，mathfrak C_l 的一般方程式為 mathfrak C_lsqrt frac n2 l24l2 1 hbar。 這個 n 就是跟能級有關的主量子數。先計算 D2： begin align D2nlmrangle J_1 J_ 1J_ 1 J_1J_02nlmrangle n2 l2 l 1hbar2nlmrangle end align 。 所以，第一卡西米爾算符 C_1 作用於態向量 nlmrangle 可以得到 C_1nlmrangleD2L2nlmranglen2 1hbar2nlmrangle。 第一卡西米爾算符 C_1 的本徵值是 n2 1hbar2。重點是，這些本徵值跟量子數 l、m 無關，這造成了原子能階的簡併： E_n frac m_e alpha22hbar2 n2 frac m_e e42n2 4piepsilon_02hbar2。 這就是著名的氫原子波耳公式。 保守性與對稱性 在克卜勒問題裡，LRL 向量的保守性對應於系統的一種微妙的對稱性。在經典力學裡，對稱性可以由連續運算顯示出來；這連續運算可以將一個軌道對映至另外一個軌道，而同時保持系統的能量不變。在量子力學裡，連續運算將同能級原子軌域混合在一起，也就是說，（簡併原子能級）。 通常，對於每一個對稱性都會存在有一個保守量。例如，連心力系統必對稱於旋轉群 SO 3；因而指引出角動量 mathbf L 的保守性。在經典力學裡，整個系統的旋轉不會影響軌道的能量。在量子力學裡，假若旋轉只混合角量子數相同的球諧函式，則系統的能量不會改變。 平方反比連心力系統的對稱性是更高維與更微妙的。這奇特的對稱性是由角動量 mathbf L 與 LRL 向量 mathbf A 的雙重保守性造成的；這保證了氫原子的能級跟角量子數 l、磁量子數 m 無關。由於對稱性運算必須發生於更高維空間，使得這對稱性更加的微妙；這類的對稱性常稱為隱秘對稱性。在經典力學裡，克卜勒問題的高維對稱性容許連續的改變軌道．只要保持能量不變，而角動量可以改變；換句話說，同能量，不同角動量（離心率）的軌道可以互相的連續變換。在量子力學裡，這對應著不同角量子數 l 與磁量子數 m 的軌域的混合，例如 s l0 與 p l1 原子軌域的混合。這種混合是不能用普通的三維平移運算或旋轉運算達成的。可是，這種混合等價於高維度空間的旋轉。 在一個束縛（bounded）系統裡，能量是負值的，這高維對稱群是 SO 4；特性是四維向量的長度保持不變： left mathbf e right2e_12e_22e_32e_42。 1935 年，弗拉基米爾福克表明，在量子力學裡，束縛的克卜勒問題等價於一個粒子自由地移動於四維空間的三維單位球。更具體地，佛克表明，在克卜勒問題的動量空間，薛丁格波函式是球諧函式的球極平面投影。圓球的旋轉與重複射影造成了橢圓軌域的連續對映，同時維持能量不變；這對應於主量子數 n 相同的軌域的混合。隨後，華倫泰巴格曼注意到，跟 LRL 向量成比例的向量 mathbf D 與角動量 mathbf L 的帕松括號形成 SO 4 的李代數。簡單地說，mathbf D 與 mathbf L 的六個物理量對應於在四維空間裡的六個保守的角動量分量，相伴於在四維空間裡的六個合法的簡單旋轉（從四個軸中，選兩個軸為旋轉軸。一共有六種可能）。這結論並不意示宇宙是一個三維球面；而只是說，這個特別的物理問題（克卜勒問題），在數學上，等價於移動於三維球面的一個自由粒子。 在一個非束縛（unbound），散射系統裡，能量是正值的，對應的高維對稱群是 SO 31；其特性是保持四維向量的閔考斯基長度不變： ds2 e_12 e_22 e_32 e_42。 連心力系統（包括克卜勒問題的那些系統）的軌道對於反射也具有對稱性。所以，軌道的完全對稱群並不是前面所提的 SO 3、SO 4、SO 31 群；而分別是 O 3、O 4、O 31。然而，只需要連通子群 SO 3、SO 4、SO 31 來展示出角動量與 LRL 向量的保守性；反射對稱性與保守性不相關。保守性可以由群的李代數推匯出來。 旋轉對稱性在四維空間 克卜勒問題與四維旋轉對稱性 SO 4 的關聯可以很容易地觀察出來。標記四維直角座標為 w x y z；其中，x y z 代表三維位置向量 mathbf r 的直角座標。三維動量 mathbf p 與三維單位球的四維向量 boldsymboleta 的關係為 boldsymboleta displaystyle frac p2 p_02p2 p_02 mathbf hat w frac 2 p_0p2 p_02 mathbf p ； 其中，mathbf hat w 是新的 w 軸的單位向量。 很簡單地，可以核對 boldsymboleta 也是一個單位向量： boldsymboletahat boldsymboleta。 從 mathbf p 至 hat boldsymboleta 的對映有一個獨特唯一的逆反；例如，動量 mathbf p 的 x 軸分量是 p_x p_0 frac eta_x1 eta_w 。 p_y 與 p_z 也有類似的公式。換句話說，三維動量向量 mathbf p 是四維單位向量 hat boldsymboleta 的球極平面投影，其比例因子為 p_0。 選擇一個合適的直角座標，使 z 軸與角動量 mathbf L 同直線，使動量的速端曲線的取向如同圖 7，圓心包含於 y 軸。這樣，不失廣義性，就可以觀察到這旋轉對稱性。由於粒子的運動包含於一個平面，mathbf p 與 mathbf L 互相垂直，而且，p_zeta_z0。因此，只需要專注於三維向量 hat boldsymboletaeta_w eta_x eta_y。圖 7 速端曲線的阿波羅尼奧斯圓家族對應於在三維單位球 boldsymboleta 的大圓線家族。每一個大圓線與 eta_x 相交於兩個交點 eta_xpm 1。這兩個交點相對於速端曲線圖的兩點 p_xpm p_0。這兩個交點也是這些大圓線的共同交點。所以，這些大圓線的互相關係是一個環繞著 eta_x 軸的簡單旋轉（參閱圖 8）。以 eta_x 軸為轉軸，每一個大圓線的位置是從 eta_xeta_y 平面旋轉 alpha 角。 取任意一個大圓線 eta_y 最大值的一點，其坐標為 eta_w 0 eta_y 0。那麼， p_x0、 p_ypAmkL、 eta_y cos alphafrac 2p_0 p_yp_y2p_02。 經過一番運算，代入 p_0 的值，可以得到 begin align sin alpha frac p_y2 p_02p_y2p_02 frac Amk2 2mEL2Amk22mEL2 end align 。 給予一個束縛軌道，能量是負值的： begin align sin alpha frac Amk22mEL2Amk2 2mEL2 frac Amke end align 。 所以，離心率 e sin alpha 是緯度 alpha 的正弦函式。 由於圖 7 的動量的速端曲線對應於 eta 三維單位球的大圓線的球極平面投影，而這速端曲線家族的成員都擁有相同的能量。所以，這旋轉的對稱性使所有能量相同的軌道都能夠互相變換。但是，這旋轉正交於通常的三維旋轉，因為它涉及了第四維 eta_w。高維度的對稱性是克卜勒問題對應於 LRL 向量的一個特徵。 採用橢圓柱坐標 chi psi phi 來代替四維座標 boldsymboleta，克卜勒問題有一個精緻的作用量 角度座標解答： eta_w mathrm cn chi mathrm cn psi， eta_x mathrm sn chi mathrm dn psi cos phi， eta_y mathrm sn chi mathrm dn psi sin phi， eta_z mathrm dn chi mathrm sn psi； 其中，mathrm snmathrm cnmathrm dn 是雅可比橢圓函式。 克卜勒問題 LRL 向量恆定的證明 以下幾種導引可以証明，在平方反比連心力下，LRL 向量守恆。 直接證明 假設，一個連心力 f mathbf rhat mathbf r 作用於一個粒子。根據牛頓第二定律，運動方程式為 frac mathrm dmathbf pmathrm d tf mathbf r hat mathbf r； 其中，f mathbf r 是函式，mathbf r 為粒子的位置，mathbf p 是動量，t 是時間。 由於在連心力下，角動量 mathbf L mathbf r times mathbf p 是恆定的， frac mathrm dmathrm d tmathbf L 0。 所以， frac mathrm dmathrm d tleft mathbf ptimesmathbf L rightfrac mathrm dmathbf pmathrm d t times mathbf L f mathbf r mathbf hat r times left mathbf r times m frac mathrm dmathbf rmathrm d t right f mathbf r frac mr left mathbf r left mathbf r cdot frac mathrm dmathbf rmathrm d t right r2 frac mathrm dmathbf rmathrm d t right。 代入以下恆等式： mathbf rcdotfrac mathrm dmathbf rmathrm d tfrac 12frac mathrm dmathrm d tleft mathbf rcdotmathbf rright frac 12frac mathrm dmathrm d tleft r2rightrfrac mathrm d rmathrm d t， 可以得到方程式， frac mathrm dmathrm d t left mathbf p times mathbf L right m f mathbf r r2 left frac 1r frac mathrm dmathbf rmathrm d t frac mathbf rr2 frac mathrm d rmathrm d tright m f mathbf r r2 frac mathrm dmathrm d t left frac mathbf rrright。 代入平方反比連心力的方程式 f mathbf rfrac kr2， frac mathrm dmathrm d t left mathbf p times mathbf L right m k frac mathrm dmathrm d t left frac mathbf rrright frac mathrm dmathrm d t left mkmathbf hat r right。 所以，在平方反比連心力下，mathbf A 是恆定的： frac mathrm dmathrm d t mathbf A frac mathrm dmathrm d t left mathbf p times mathbf L right frac mathrm dmathrm d t left mkmathbf hat r right 0。 哈密頓 雅可比方程式 哈密頓 雅可比方程式的可分性也可以用推匯出 LRL 向量的恆定性。採用拋物線座標 xi eta，定義 xi rx、 eta r x； 其中，x y 是直角座標，r 是軌道的徑向距離： r sqrt x2 y2。 逆反過來， x frac 12 left xi eta right、 y sqrt xieta。 則克卜勒問題的哈密頓量為 begin align H frac 12 mdot x2frac 12 mdot y2frac kr frac 2xi p_xi2m xietafrac 2eta p_eta2m xieta frac 2kxieta end align ； 其中，p_xi p_eta 分別是廣義座標 xi eta 的共軛動量。 由於克卜勒問題的勢函式只跟廣義座標有關，哈密頓量是個能量運動常數，HE。稍加編排，可以得到 2xi p_xi2 mk mExi 2eta p_eta2mkmEeta。 這公式的左手邊與右手邊分別跟不同的廣義座標有關，所以，兩邊都相等於一個運動常數，標記為 Gamma： 2xi p_xi2 mk mExi Gamma、 2eta p_eta2 mk mEeta Gamma。 思考 LRL 向量的 x 分量， begin align A_x p_yxp_y yp_x mkfrac xr xp_y2 yp_x p_y mkmetafrac kr end align 。 代入能量方程式 Efrac 12 mv2 frac kr，則 A_xxp_y2 yp_x p_yfrac 12 m2 v2 eta mk mEeta。 這公式右手邊，前三個專案，經過一番計算，可以得到 xp_y2 yp_x p_yfrac 12 m2 v2 eta frac m28dot eta2frac etaxi2eta2eta p_eta2。 所以，A_x 也是運動常數： A_xGamma。 諾特定理 LRL 向量的保守性與前面所提的旋轉對稱性，兩者之間的關係，可以用諾特定理來做連結分析。諾特定理也可以用來辨明 LRL 向量是運動常數。諾特定理表明：在一個物理系統裡，對於廣義坐標 q_i 的微小變分 delta q_i epsilon g_imathbf q mathbf dot q t，假若，取至微小引數 epsilon 的一階，拉格朗日量 mathcal L 的變分 delta mathcal L 是 delta mathcal L epsilon frac mathrm dmathrm d t G mathbf q t， 則必存在保守量 Gamma 滿足方程式 Gamma Gsum_i g_ileft frac partial mathcal Lpartialdot q_iright； 其中，g_i mathbf q mathbf dot q t、G mathbf q t 都是函式。 更具體地，在一個克卜勒問題裡，試設定坐標 x_i 的微小變分為 delta x_ifrac epsilon2 left 2p_i x_s x_i p_s mathbf rcdot mathbf pdelta_is right； 其中，i1 2 3，x_i 與 p_i 分別為位置 mathbf r 與動量 mathbf p 的 i 軸分量，delta_is 是克羅內克爾 δ，s 是固定的下標。 由於克卜勒問題的拉格朗日量是 mathcal Lsum_ileft frac 12 mdot x_idot x_irightfrac kr。 其運動方程式為 mddot x_ikfrac x_ir30。 對應於坐標 x_i 的變分，速度 dot x_i 的變分為 begin align delta dot x_i frac epsilon2 left 2dot p_i x_sx_idot p_sp_idot x_s frac p2mdelta_is mathbf rcdotdot mathbf pdelta_is right frac epsilon2 left frac kr3 x_i x_sp_idot x_s frac p2mdelta_is frac krdelta_is right end align 。 拉格朗日量取至一階的變分是 begin align delta mathcal L sum_ileft frac partial mathcal Lpartial x_idelta x_i frac partial mathcal Lpartial dot x_idelta dot x_iright sum_ileft frac kx_ir3delta x_imdot x_ideltadot x_iright end align 。 代入 delta x_i 和 deltadot x_i 的公式，經過一番繁瑣的運算，可以得到 deltamathcal Lepsilon mkfrac mathrm dmathrm d t left frac x_sr right。 再代入保守量 Gamma 的公式，則會得到 Gammap2 x_s p_sleft mathbf r cdot mathbf pright frac mkx_srleft mathbf ptimes mathbf L mkhat mathbf rright_s； 而這正是 LRL 向量的 s 軸分量 A_s。 李變換 諾特定理精緻地推匯出 LRL 向量的保守性。美中不足地，這導引有一個弱點：坐標變分 delta x_i 不只涉及了位置 mathbf r，而且還涉及了動量 mathbf p 。假若，使用數學家索菲斯李建立的方法來推導，可以除去這弱點。具體地，定義一個李變換，座標 mathbf r 與時間 t 都按照比例變換，比例是引數 lambda 的不同羃數： t rightarrow lambda3 t mathbf r rightarrow lambda2mathbf r mathbf p rightarrow frac 1lambdamathbf p 。 這變換改變了角動量 L 的大小與能量 E： L rightarrow lambda L E rightarrow frac 1lambda2 E。 可是，仍舊保持乘積 EL2 不變。所以，離心率 e 與 LRL 向量 mathbf A 的大小不變。這可以從 A2 的公式觀察出： A2 m2 k2 e2 m2 k2 2 m E L2。 由於半短軸與半長軸的取向不因整體的比例變換而改變，LRL 向量 mathbf A 的方向也會保持不變。在李變換下，克卜勒第三定律也仍舊成立：半長軸 a 與週期 T 形成常數 T2a3。 推廣至別種位勢和相對論 LRL 向量可以推廣至其他狀況；可以用來辨認在其他狀況下的保守值。 假設，一個物理系統裡，存在著電場 mathbf E，保守的廣義 LRL 向量 mathcal A 是 mathcal A mathbf A frac mq2 left left mathbf r times mathbf E right times mathbf r right ； 其中，q 是粒子的電荷量。 最廣義的 LRL 向量的形式可以表達為 mathcal Aleft frac partial xipartial u right left mathbf p times mathbf Lrightleft xi u left frac partial xipartial u rightright L2 mathbf hat r； 其中，ufrac 1r（參閱伯特蘭定理），xicostheta，角 theta 定義為 theta L intu frac dusqrt m2 c2 left gamma2 1 right L2 u2； 其中，gamma 是勞侖茲因子。 如同前面所提，計算 mathbf L 與 mathcal A 的叉積，可以得到一個保守的副法線向量 mathcal B： mathcal Bmathbf Ltimesmathcal A。 綜和兩個向量成為一個保守的並矢張量 mathcal W： mathcal W alpha mathcal A otimes mathcal A beta mathcal B otimes mathcal B。 舉例說明，計算一個非相對論性，均向性諧振子的 LRL 向量。由於作用力是連心力，mathbf Fr k mathbf r，力子的角動量是保守的，粒子的運動包含於一個平面。請注意，mathbf P 與 mathbf L 不是一定互相垂直的。保守的並矢張量可以表達為一個簡單的形式： mathcal W frac 12m mathbf p otimes mathbf p frac k2 mathbf r otimes mathbf r。 其相應的 LRL 向量必較複雜 mathcal A frac 1sqrt mr2omega_0 A mr2 E L2 leftleft mathbf p times mathbf L right left mromega_0 A mrE right mathbf hat r right； 其中，omega_0 sqrt frac km 是自然振率。 別種比例與表述 不同於動量與角動量，並沒有學術界一致認同的 LRL 向量定義；在科學文獻裡，存在有幾種不同的比例因子與符號。前面所述的定義是最普遍的定義。另外一種常見的定義，將 mathbf A 除以常數 mk；這樣，可以得到一個無因次的離心率向量 mathbf e： mathbf efrac 1mk left mathbf p times mathbf L right mathbf hat r frac mk left mathbf v times mathbf Lright mathbf hat r； 其中，mathbf v 是速度。 離心率向量 mathbf e 的方向與 mathbf A 相同，大小是軌道的離心率。 別種比例的版本也可能會用到。例如，將 mathbf A 除以 m： mathbf M mathbf v times mathbf L kmathbf hat r， 或者，將 mathbf A 除以 P_0： mathbf Dfrac mathbf AP_0frac 1sqrt 2mleft E right leftmathbf p times mathbf L m k mathbf hat r right。 mathbf D 與角動量 mathbf L 的單位相同。在非常稀有的狀況，LRL 向量的正負號會改變。這些，都不會影響它是運動常數的事實。 另外一個保守的向量是副法線向量 mathbf B。威廉哈密頓曾經研究過這向量。 mathbf B mathbf p left frac mkL2 r right left mathbf L times mathbf r right。 這保守的向量與橢圓的半短軸同直線。mathbf A 是 mathbf B 叉積 mathbf L（參閱圖 4）。兩個向量 mathbf A 與 mathbf B 可以結合起來形成一個保守的並矢張量 mathcal W ： mathcal W alpha mathbf A otimes mathbf A beta mathbf B otimes mathbf B； 其中，alpha 與 beta 是任意比例常數，符號 otimes 表示張量積。展開這公式為 mathcal W_ij alpha A_i A_j beta B_i B_j。 由於兩個向量互相垂直，mathbf A 與 mathbf B 可以視為保守的張量 mathcal W 的主軸，也就是說，按比例的特徵向量。由於 mathbf A 與 mathbf B 都垂直於 mathbf L，張量 mathcal W 垂直於角動量 mathbf L： mathbf L cdot mathcal W alpha left mathbf L cdot mathbf A right mathbf A beta left mathbf L cdot mathbf B right mathbf B 0。 參閱 二體問題 伯特蘭定理 量子力學 航天動力學：軌道，離心率向量，軌道根數 參考文獻 外部連結 加利福尼亞大學河濱分校物理網頁： L L L L