諾特定理是理論物理的中心結果之一，它表達了每個連續對稱性都有著相應的守恆定律。例如，物理定律不隨著時間而改變，這表示它們有關於時間的某種對稱性。舉例來說，若現實中重力的強度每天都有所改變，就會違反能量守恆定律，因為觀察者可以在重力弱的那天把重物舉起，然後在重力強的時候放下來，這樣就得到了比一開始輸入的更多的能量。 諾特定理對於所有基於作用量原理的物理定律是成立的。它得名於 20 世紀初的數學家埃米諾特。諾特定理和量子力學深刻相關，因為它僅用經典力學的原理就可以認出和海森堡測不準原理相關的物理量（譬如位置和動量）。 定理的數學表述 對該定理一種比較完善的表述方法為： 對於每個區域性作用下的可微對稱性，存在一個對應的。 解釋 上述命題中的 對稱性 一詞精確一點來說是指物理定律在滿足某種技術要求的一維李群作用下所滿足的協變性。物理量的守恆定律通常用連續性方程表達。 定理的形式化命題僅從不變性條件就匯出和一個守恆的物理量相應的流的表示式。該守恆量稱為諾特荷，而該流稱為諾特流。諾特流至多相差一個無散度向量場。 應用 諾特定理的應用幫助物理學家在物理的任何一般理論中透過分析各種使得所涉及的定律的形式保持不變的變換而獲得深刻的洞察力。例如： 對於物理系統對於空間平移的不變性（換言之，物理定律不隨著空間中的位置而變化）給出了動量的守恆律； 對於轉動的不變性給出了角動量的守恆律； 對於時間平移的不變性給出了著名的能量守恆定律。 在量子場論中，和諾特定理相似，沃德 高橋恆等式（WardTakahashi）產生出更多的守恆定律，例如從電勢和向量勢的規範不變性得出電荷的守恆。 諾特荷也被用於計算靜態黑洞的熵。 證明 設有一個 n 維流形 M 以及一個目標流形 T。令 mathcal C 為從 M 到 T 的光滑函式組成的位形空間。（更一般的情況下，可以有一個 M 上的纖維叢的光滑截面） 物理學中這樣的 M 的例子包括： 經典力學上，哈密頓表述中，M 是一個一維流形 R，代表時間而目標空間是廣義位置的空間的餘切叢。 場論中，M 是時空流形，而目標空間是場在任何給定可取的值的集合。例如，如果有 m 個實值標量場，φ1φm，則目標流形是 Rm。若流形是一個實向量場，則目標流形同構於 R3。 現在設有一個泛函 Smathcal Crightarrow mathbb R 稱為作用量。（注意它在 mathbb R 中而非 mathbb C 中取值；這是有物理原因的，並且並不影響本證明。） 要得到通常版本的諾特定理，需要對作用量作額外的限制。假設 S φ 是 M 上的如下函式的積分 mathcal Lvarphipartial_muvarphix 稱為拉格朗日量，它依賴於 φ，包括它在各點的導數和位置。換句話說， 對於 mathcal C 中的 φ S varphiequivint_M dnx mathcal Lvarphi xpartial_muvarphi xx 若能給出邊界條件，也即，在 M 為緊緻的情況下 φ 在邊界的取值，或者在 x 趨向時，φ 的極限。則 mathcal C 的由滿足如下兩個條件的 φ 組成的子空間就是在殼解的子空間，其一是 φ 的 S 的泛函導數為零，也即： frac deltadelta phi x S phi0 其二是 φ 滿足給定邊界條件。（參看穩定作用量原理） 現在，假設有一個無窮小變換，定義在 mathcal C 上，它由一個泛函求導 Q 生成，滿足 Qleft int_N dnxmathcal Lrightint_partial N ds_mu fmu phi xpartialphipartialpartialphi 對於所有緊緻子流形 N 成立，換句話講（散度定理）， Q mathcal Lxpartial_mu fmu x 對於所有 x 成立，其中令 mathcal Lxmathcal Lphi x partial_mu phi xx。 若這在在殼和離殼都成立，則稱 Q 生成一個離殼對稱性。若只在在殼情況成立，稱 Q 生成在殼對稱性。 並且，稱 Q 是單引數對稱性李群的生成元。 現在，對於每個 N，因為尤拉 拉格朗日方程，在殼（只有在殼）上，可以有 Qleft int_N dnxmathcal Lright int_Ndnxleft frac partialmathcal Lpartialphi partial_mufrac partialmathcal Lpartial partial_muphiright Q phi int_partial N ds_mufrac partialmathcal Lpartial partial_muphi Q phi int_partial N ds_mufrac partialmathcal Lpartial partial_muphi Q phi 因為這對於所有 N 成立，所以有 partial_muleft frac partialmathcal Lpartial partial_muphi Q phifmuright0 但這無非就是對於如下的流的連續性方程 Jmuequivfrac partialmathcal Lpartial partial_muphi Q phifmu 這被稱為和該對稱性相關的諾特流（Noether current）。該連續性方程說明如果對這個流在空間式切片上積分，就可以得到稱為諾特荷的守恆量（當然，必須假定 M 非緊緻時，該流趨向無窮遠處時下降足夠快）。 評論 諾特定理實際上是邊界條件和變分原理的關係的反映。假設作用量沒有邊界項，諾特定理意味著 int_partial N ds_mu Jmu0 諾特定理是一個在殼定理。諾特定理的量子化版本是沃德 高橋恆等式。 假定有兩個對稱性求導 Q1 和 Q2。則 Q1Q2 也是一個對稱性求導。顯式地來看 Q_1 mathcal Lpartial_mu f_1mu 及 Q_2 mathcal Lpartial_mu f_2mu 這個是否離殼或僅僅在殼成立無關緊要）。則， Q_1Q_2mathcal LQ_1 Q_2 mathcal LQ_2 Q_1 mathcal Lpartial_mu f_12mu 其中 f12Q1 f2μQ2 f1μ。所以， j_12muleft frac partialpartial partial_muphimathcal LrightQ_1 Q_2 phiQ_2 Q_1 phif_12mu 這表明可以（簡單地）將諾特定理擴張到更大的李代數上。 證明的一般化 這個推理可以應用到任何求導過程 Q，不只是對稱性求導，也可以是更一般的泛函微分作用，包括拉格朗日量依賴於場的更高階的導數以及非區域性作用量的情況。令 ε 為任意時空（或時間）流形的光滑函式，滿足其支撐的閉包和邊界不交。ε 是一個測試函式。則根據變分原理（附帶說一下，它不適用於邊界），由 q εφxεx Q φx 生成的求導分佈 q 滿足 q εS0 對於任何在殼的 ε 成立，或者可以簡寫為 q xS 對於所有不在邊界上的 x（注意 q x 是求導分佈的簡寫，通常不是用 x 引數化的求導）。這就是諾特定理的一般化。 要看出這個一般化和上面的版本如何對應，可以假設作用量就是隻依賴於 φ 及其一階導數的時空積分。並且，假設 Q mathcal Lpartial_mu fmu （離殼或僅僅在殼都可以）。則， q epsilonSint ddx q epsilonmathcal L int ddx left frac partialpartial phimathcal Lright epsilon Q phi left frac partialpartial partial_mu phimathcal Lrightpartial_mu epsilon Q phi int ddx epsilon partial_mu Biggfmuleft frac partialpartial partial_muphimathcal Lright Q phiBigg 對於所有 ε 成立。 更一般地講，如果拉格朗日量依賴於高階導數，則 partial_muleft fmuleft frac partialpartial partial_muphimathcal Lright Q phi2left frac partialpartial partial_mu partial_nu phirightpartial_nu Q phipartial_nuleft left frac partialpartial partial_mu partial_nu phimathcal Lright Q phirightcdotsright0 例子 例 1：能量守恆 考慮一個特殊情況： 設有一個質量為 m，座標為 x，在勢能 V 影響下運動，座標為 t 的牛頓粒子。其作用量 S 為： S x int mathcal Lx tdot xt dt int leftfrac m2 g_ijdot xi tdot xj tV x tright dt （也即，在一個彎曲黎曼空間（但不是彎曲時空）中運動的一個牛頓質點，該空間度量為 g，質點勢能為 V）。 取 Q 為時間平移的生成元。換句話說，Q x tdot xt。 量子場理論學家經常在方程右邊加上一個因子 i。 注意 Q mathcal Lm g_ijdot xiddot xjfrac partialpartial xi V xdot xi 這有如下形式 frac ddtleft frac m2 g_ijdot xidot xjV xright 所以可以令 ffrac m2 g_ijdot xidot xjV x 則， j left frac partialpartial dot ximathcal Lright Q xf m g_ijdot xjdot xileft frac m2 g_ijdot xidot xjV xright frac m2 g_ijdot xidot xjV x 可以認出右邊就是能量，而諾特定理就是說 dot j0 （也即，能量守恆就是時間平移的不變性的結果）。 更一般的來講，若拉格朗日量不顯式依賴於時間，如下物理量 sum_i left frac partialpartial dot ximathcal Lright dot ximathcal L （稱為哈密頓量）是守恆的。 例 2：線性動量守恆 繼續使用一維時間。這次，令 S vec x int dt mathcal Lvec xtdot vec xt int dt left sumN_alpha1 frac m_alpha2dot vec x_alpha2 sum_alphabeta V_alphabetavec x_betavec x_alpharight 也即 N 個勢能只依賴於兩兩相對位移的牛頓質點。 對於 vec Q，考慮平移變換的生成元（也即座標系的變換）。換句話說， Q_i xj_alpha t deltaj_i 注意 Q_i mathcal L0 所以令 vec f0 則， vec J_isum_alpha left frac partialpartial dot vec x_alphamathcal Lrightcdotvec Qvec x_alphavec f sum_alpha m_alpha dot vec x_alphai 諾特定理表明 dot vec J_i0 說明每個方向上的總動量守恆來自該方向上的平移不變性 例 3 上面的兩個例子都是在一維流形（時間）上的。下面來探討一個時空中的例子，若考慮 3＋1 閔可夫斯基時空中的無質量有一個四次勢的標量場的共形變換。 S phi int d4x mathcal Lphi xpartial_mu phi x int d4x left frac 12partialmu phi partial_mu phi lambda phi4right 取 Q 為時空縮放的生成元。換句話說， Q phi xxmupartial_mu phi xphi x 右手邊的第二項是由於 φ 的 共形權重。注意 Q mathcal Lpartialmuphileft partial_muphixnupartial_mupartial_nuphipartial_muphiright4lambdaphi3left xmupartial_muphiphiright 這有以下形式（其中進行了空指標的變換） partial_muleft frac 12 xmupartialnuphipartial_nuphilambda xmuphi4rightpartial_muleft xmumathcal Lright 並令以下 fmuxmumathcal L 則， jmuleft frac partialpartial partial_muphimathcal Lright Q phifmu partialmuphileft xnupartial_nuphiphirightxmuleft frac 12partialnuphipartial_nuphilambdaphi4right 諾特定理表明 partial_mu jmu0 （可以直接將尤拉－拉格朗日方程代入左邊驗證）。 （註：如果要找出該方程的沃德 高橋版本，會遇到異常問題。） 參看 荷 物理 拉普拉斯 龍格 冷次向量 諾特第二定理 參考 諾特論文的英文譯本 關於諾特定理的文章（英文），作者 John Baez 諾特關於對稱性和守恆定律之間的深刻關係的發現，作者 Nina Byers 計算靜態黑洞的熵（英文） 只用諾特定理得出麥克斯韋，楊－米爾斯和理論中的對稱能動張量 N N N N N N N