線上性代數中，一個方形矩陣的伴隨矩陣是一個類似於逆矩陣的概念。如果矩陣可逆，那麼它的逆矩陣和它的伴隨矩陣之間只差一個係數。然而，伴隨矩陣對不可逆的矩陣也有定義，並且不需要用到除法。 mathbf A 的伴隨矩陣記作 mathrm adjmathbf A，或 mathbf A。 定義 設 R 是一個交換環，A 是一個以 R 中元素為係數的 nn 的矩陣。A 的伴隨矩陣可按如下步驟定義： 定義：A 關於第 i 行第 j 列的餘子式（記作 Mij）是去掉 A 的第 i 行第 j 列之後得到的 n 1n 1 矩陣的行列式。 定義：A 關於第 i 行第 j 列的代數餘子式是： mathbf C_ij 1ij mathbf M_ij。 定義：A 的餘子矩陣是一個 nn 的矩陣 C，使得其第 i 行第 j 列的元素是 A 關於第 i 行第 j 列的代數餘子式。 引入以上的概念後，可以定義：矩陣 A 的伴隨矩陣是 A 的餘子矩陣的轉置矩陣： mathrm adjmathbf A mathbf CT ， 也就是說，A 的伴隨矩陣是一個 nn 的矩陣（記作 adj A），使得其第 i 行第 j 列的元素是 A 關於第 j 行第 i 列的代數餘子式。 簡言之，伴隨矩陣就是把原來餘子矩陣 C 每一列的代數餘子式橫著寫： left mathrm adjmathbf A right_ij mathbf C_ji 。 例子 2x2 矩陣 一個 2times 2 矩陣 mathbf A begin bmatrix a b c d end bmatrix 的伴隨矩陣是 operatorname adjmathbf A begin bmatrix d b c a end bmatrix 3x3 矩陣 對於 3times 3 的矩陣，情況稍微複雜一點： mathbf A begin bmatrix a_11 a_12 a_13 a_21 a_22 a_23 a_31 a_32 a_33 end bmatrix 其伴隨矩陣是： operatorname adjmathbf A begin bmatrix begin vmatrix a_22 a_23 a_32 a_33 end vmatrix begin vmatrix a_21 a_23 a_31 a_33 end vmatrix begin vmatrix a_21 a_22 a_31 a_32 end vmatrix begin vmatrix a_12 a_13 a_32 a_33 end vmatrix begin vmatrix a_11 a_13 a_31 a_33 end vmatrix begin vmatrix a_11 a_12 a_31 a_32 end vmatrix begin vmatrix a_12 a_13 a_22 a_23 end vmatrix begin vmatrix a_11 a_13 a_21 a_23 end vmatrix begin vmatrix a_11 a_12 a_21 a_22 end vmatrix end bmatrixT 其中 left begin matrix a_im a_in a_jm a_jn end matrix right detleft begin matrix a_im a_in a_jm a_jn end matrix right detleft begin matrix a_im a_in a_jm a_jn end matrix right 要注意伴隨矩陣是餘因子矩陣的轉置，因此第 3 行第 2 列的係數是 A 關於第 2 行第 3 列的代數餘子式。 具體情況 對於數值矩陣， 例如求矩陣 A begin bmatrix 3 2 5 1 0 2 3 4 1 end bmatrix 的伴隨矩陣 operatorname adjA， 只需將數值代入上節得到的表示式中。 即：operatorname adjA_jiC_ij1ijM_ij。 其中，M_ij 為刪掉矩陣 A 的第 i 橫列與第 j 縱行後得到的行列式，C_ji 為矩陣 A 的餘因子。 例如： operatorname adjA 中第 3 行第 2 列的元素為 operatorname adjA_32C_23123operatorname detbegin bmatrix32 34end bmatrix3cdot 42 cdot 36 依照其順序一一計算，便可得到計算後的結果是： operatorname adjA operatorname adjbegin bmatrix 3 2 5 1 0 2 3 4 1 end bmatrix begin bmatrix 8 18 4 5 12 1 4 6 2 end bmatrix 應用 作為拉普拉斯公式的推論，關於 nn 矩陣 A 的行列式，有： mathbf A mathrm adjmathbf A mathrm adjmathbf A mathbf A det mathbf A mathbf Iqquad 其中 I 是 n 階的單位矩陣。事實上，A adj A 的第 i 行第 i 列的係數是 sum_j1n a_ij C_ij。根據拉普拉斯公式，等於 A 的行列式。 如果 i j，那麼 A adj A 的第 i 行第 j 列的係數是 sum_k1n a_ik C_jk。拉普拉斯公式說明這個和等於 0（實際上相當於把 A 的第 j 行元素換成第 i 行元素後求行列式。由於有兩行相同，行列式為 0）。 由這個公式可以推出一個重要結論：交換環 R 上的矩陣 A 可逆當且僅當其行列式在環 R 中可逆。 這是因為如果 A 可逆，那麼 1 det mathbf I det mathbf A mathbf A1 det mathbf A det mathbf A1， 如果 det A 是環中的可逆元那麼公式表明 mathbf A1 det mathbf A1 mathrm adjmathbf A 性質 對 ntimes n 的矩陣 A 和 B，有： mathrm adjmathbf I mathbf I， mathrm adjmathbf AB mathrm adjmathbf Bmathrm adjmathbf A， mathrm adjmathbf AT mathrm adjmathbf AT， detbig mathrm adjmathbf Abig det mathbf An1， mathrm adjk mathbf A kn1 mathrm adjmathbf A 當 n2 時， mathrm adjmathrm adjmathbf A det mathbf An2 mathbf A 如果 A 可逆，那麼 mathrm adjmathbf A1 mathrm adjmathbf A1 frac Adet A 如果 A 是對稱矩陣，那麼其伴隨矩陣也是對稱矩陣；如果 A 是反對稱矩陣，那麼當 n 為偶數時，A 的伴隨矩陣也是反對稱矩陣，n 為奇數時則是對稱矩陣。 如果 A 是（半）正定矩陣，那麼其伴隨矩陣也是（半）正定矩陣。 如果矩陣 A 和 B 相似，那麼 mathrm adjmathbf A 和 mathrm adjmathbf B 也相似。 如果 n2，那麼非零矩陣 A 是正交矩陣當且僅當 mathrm adjmathbf A pm AT 伴隨矩陣的秩 當矩陣 A 可逆時，它的伴隨矩陣也可逆，因此兩者的秩一樣，都是 n。當矩陣 A 不可逆時，A 的伴隨矩陣的秩通常並不與 A 相同。當 A 的秩為 n1 時，其伴隨矩陣的秩為 1，當 A 的秩小於 n1 時，其伴隨矩陣為零矩陣。 伴隨矩陣的特徵值 設矩陣 A 在復域中的特徵值為 lambda_1 lambda_2 cdots lambda_n 即為特徵多項式的 n 個根），則 A 的伴隨矩陣的特徵值為 lambda_2 lambda_3 cdots lambda_n lambda_1 lambda_3 cdots lambda_n cdots lambda_1 lambda_2 cdots lambda_n1 。 這裡要用到一個結論作為引理：一個 n 階矩陣的 n 個特徵值的和等於它的跡數，它們的乘積等於矩陣的行列式。 分 3 種情況討論： 如果 A 的秩為 n，即是說 A 可逆，那麼由引理有： det A lambda_1lambda_2 cdots lambda_n。只需證明 A 的伴隨矩陣的特徵值為 frac det Alambda_1 frac det Alambda_2 cdots frac det Alambda_n 。考察矩陣 X mathbf I mathrm adjmathbf A ： det X mathbf I mathrm adjmathbf A det X mathbf I det mathbf A cdot mathbf A1 det mathbf A1 cdot det X mathbf A det mathbf A cdot mathbf I frac 1det mathbf A cdot Xn cdot det mathbf A frac det mathbf A X mathbf I 由於 det mathbf A X mathbf I prod_i1n lambda_i X，因此 det mathbf A frac det mathbf A X mathbf I prod_i1n lambda_i frac det mathbf A X frac 1Xn prod_i1n lambda_i X det mathbf A 因此 det X mathbf I mathrm adjmathbf A frac 1det mathbf A cdot Xn cdot frac 1Xn prod_i1n lambda_i X det mathbf A frac 1det mathbf A cdot lambda_1lambda_2 cdots lambda_n prod_i1n X frac det Alambda_i prod_i1n X frac det Alambda_i 可以看到 mathrm adjmathbf A 的特徵多項式為 prod_i1n X frac det Alambda_i ，因此命題成立。 如果 A 的秩嚴格小於 n1，即是說 A 至少有兩個特徵值為 0，於是 lambda_2 lambda_3 cdots lambda_n lambda_1 lambda_3 cdots lambda_n cdots lambda_1 lambda_2 cdots lambda_n1 全部都是 0。這時 A 的伴隨矩陣為 0，因此特徵值也全是 0。命題成立。 如果 A 的秩等於 n1，即是說 A 至少有一個特徵值為 0，不妨設其為 lambda_1。由於這時 A 的伴隨矩陣秩為 1，它至少有 n1 個特徵值為 0。設剩餘的一個為 alpha，則其跡數為 alpha。另一方面，A 的伴隨矩陣的跡數為 C_11 C_22 cdots C_nn 這個和恰好等於 sum_i1n prod_k neq i lambda_k，即等於 lambda_2 lambda_3 cdots lambda_n（其餘都是 0）。 綜上所述，對任意的矩陣 A，命題都成立。 伴隨矩陣和特徵多項式 設 p tmathrm detmathbf Atmathbf I 為 mathbf A 的特徵多項式，定義 q t frac p 0p tt，那麼： mathrm adjmathbf A q mathbf A p_1 mathbf I p_2 mathbf A p_3 mathbf A2 cdots p_n mathbf An1 其中 p_i 是 p t 的各項係數： p t p_0 p_1 t p_2 t2 cdots p_n tn。 伴隨矩陣也出現在行列式的導數形式中。 參見 逆矩陣 可逆元 餘子矩陣 行列式 參考來源 外部連結 矩陣論參考手冊 英文 Category 線性代數 Category 矩陣