在經典力學裡，伯特蘭定理闡明，只有兩種位勢 V 可以給出閉合軌道： 平方反比連心力給出的連心勢，像重力勢或靜電勢，以方程式表示為 V r frac kr。 徑向諧振子勢： V r frac 12 kr2。 其中，r 是徑向座標，k 是正值常數。假若物體從某位置移動，經過一段路徑後，又回到原先位置，則稱此路徑為閉合軌道。 1687 年，物理學家艾薩克牛頓在著作《自然哲學的數學原理》裡提出了萬有引力定律，解釋了行星繞著太陽的公轉為何遵守克卜勒定律。此後許多科學家開始研究，當行星的運動稍許偏離了這軌道時，可能會發生的狀況。其中一個問題為軌道是否仍舊閉合。但經過多年的探討亦無法給出合理的解答。直到 1873 年，法國數學家約瑟伯特蘭發表伯特蘭定理，才正確解析此問題。該定理對於經典天體力學研究非常重要，伯特蘭定理給予實驗者一個精確的方法，來測試萬有引力的平方反比性質。 在現代物理學裡，理論物理學家發現由於廣義相對論效應，引力與距離不再成精確的平方反比關係，因此軌道是非閉合的。天文學家作實驗觀測到，水星繞著太陽公轉的橢圓軌道，其近拱點呈緩慢進動狀態。 前論 所有吸引性連心力都可以產生圓形的公轉軌道；這圓形軌道當然是閉合軌道；其形成的唯一條件是連心力恰巧地與離心力等值；後者決定了維持某圓形半徑所需的角速度。本篇文章不研究非連心力。一般而言，非連心力不會產生圓形的公轉軌道。 採用極坐標 rtheta，一個移動於連心勢 V r 的粒子，其拉格朗日量 mathcal L 是 mathcal Lfrac 12 mdot r2frac 12 mr2dot theta2 V r。 其中，m 是粒子質量，dot r、dot theta 分別表示 r、theta 對於時間 t 的導數。 這粒子的拉格朗日方程式為 mddot r mrdot theta2frac dVdr0、 frac ddtmr2dot theta0。 由於角坐標 theta 顯性地跟拉格朗日量無關，theta 是個可略坐標，其共軛動量（角動量）ell 守恆，ell 是個常數： ellfrac partial mathcal Lpartial dot thetamr2dot theta。 將角動量的方程式代入徑向拉格朗日方程式，可以得到一個 r 的二次微分方程式， mddot r frac ell2mr3frac dVdr0。 假設軌道是圓形軌道，方程式左手邊第一個專案是零，則如同期待的，連心力 frac dVdr 等值於離心力 frac ell2mr3。 對於時間的導數與對於角變數的導數之間關係為 frac ddt frac ellmr2 frac ddtheta。 將這公式代入，可推匯出一個跟角度有關，跟時間無關的軌道方程式： frac ellr2 frac ddtheta left frac ellmr2 frac drdtheta right frac ell2mr3 frac dVdr。 設定變數 u frac 1r，改換方程式的變數為 u，同時將方程式兩邊乘以 frac mell2 u2，可以得到一個常係數非齊次線性全微分方程式： frac d2udtheta2u frac mell2frac ddu V 1u。 導引 如同前面所說，給予粒子適當的初始速度，任何連心力都能產生標準圓形軌道。可是，假設給予粒子某徑向速度，則這些軌道可能不穩定（穩定在這裡定義為長久地公轉於同一條軌道），也可能不閉合。本段落會證明，穩定的閉合軌道只發生於平方反比連心勢或徑向諧振子勢（一個必要條件）。下一個段落會證明，這些位勢的確會產生穩定的閉合軌道（一個充分條件）。 為了簡化標記，設定 J u frac mell2frac ddu V 1u frac mell2 u2 f 1u；1 其中，f 1u 是連心力函式。 則軌道方程式為 frac d2udtheta2uJ u。 如果要得到半徑為 r_0equiv frac 1u_0 的圓形運動軌道，必要條件是軌道方程式左邊第一項等於零，方程式變為 u_0 J u_0。 思考對於標準圓形運動軌道的變數 u 的微擾 eta equiv u u_0，函式 J u 在 u_0 的泰勒級數為 J uapprox u_0eta Jprimeu_0frac 12eta2 Jprimeprimeu_0 frac 16eta3 Jprimeprimeprimeu_0ldots。 將此展開示代入軌道方程式： frac d2etadtheta2etaeta Jprimeu_0frac 12eta2 Jprimeprimeu_0frac 16eta3 Jprimeprimeprimeu_0ldots。 設定常數 beta2equiv 1 Jprimeu_0（beta0 的解答為標準圓形運動軌道）： frac d2etadtheta2beta2etafrac 12eta2 Jprimeprimeu_0 frac 16eta3 Jprimeprimeprimeu_0 ldots。2 取至 eta 的 1 次方： frac d2etadtheta2beta2eta0。 beta2 必須是個非負數；否則，軌道的半徑會呈指數方式遞增。一階微擾解答為 eta thetah_1cos betatheta； 其中，振幅 h_1 是個積分常數。 假若這軌道是閉合軌道，則 beta 必須是有理數。繼續運算，從方程式 1，取對於 u 的導數： begin align Jprimeu_0 frac mell2left leftfrac 2f 1uu3right_u_0leftfrac 1u2frac d f 1uduright_u_0right leftfrac 2J uuright_u_ofrac J uf 1uleftfrac dfduright_u_0 2frac u_0f 1u_0leftfrac dfduright_u_01 beta2 end align 。 這方程式對於任意 u_0 值都必須成立，因此可以將 u_0 認定為函式 leftfrac dfduright_u_0 的引數。用符號 u 來代替 u_0， frac dfdu beta2 3frac f 1uu。 將方程式的變數換回為 r， frac dfdr left beta2 3 right frac fr。 這意味著作用力必須遵守冪定律： f r frac kr3beta2。 代入方程式 1 J 的一般形式為 J u frac mkell2 u1beta2。3 假設實際軌道與圓形有更大的差別（也就是說，不能忽略 J 函式的泰勒級數的更高次方專案），則可以用傅立葉級數來展開 eta： eta theta h_0 h_1cos betathetah_2cos 2betatheta h_3cos 3beta theta ldots。 因為高頻率專案的係數太小，傅立葉級數只取至 3beta 專案。方程式 2 也只取至 eta 的三次方。注意到 h_0 與 h_2 的數量級為 h_12，超小於 h_1；h_3 的數量級為 h_13，超小於 h_0 與 h_2。將上述傅立葉級數代入方程式 2，匹配方程式兩邊同頻率專案的係數。這樣，可以得到一系列方程式： h_0h_12frac Jprimeprimeu_04beta2，4 02h_1 h_0h_1 h_2frac Jprimeprimeu_02h_13 frac Jprimeprimeprimeu_08，5 h_2 h_12frac Jprimeprimeu_012beta2。6 求 J u 在 u_0 對於 u 的微分： Jprimeu_0 1 beta2 frac mkell2 u_0 beta21 beta2 Jprimeprimeu_0 1 beta2 beta2frac mkell2 u_0 beta2 1 frac beta2 1 beta2u_0。7 Jprimeprimeprimeu_0 1 beta2 beta2 beta2 1frac mkell2 u_0 beta2 2 frac beta2 1 beta21beta2u_02。8 將方程式 7、8 代入方程式 4、6： h_0 frac 1beta2 h_124u_0，9 h_2frac 1beta2 h_1212u_0。10 再將方程式 7、8、9、10 代入方程式 5，經過一番運算，可以得到伯特蘭定理的重要結果： beta2 1 beta24 beta20。 解答 beta0 是標準圓形軌道。只有平方反比連心勢 beta 1 與徑向諧振子勢 beta 2 能夠造成穩定的，閉合的，非圓形的公轉軌道。 平方反比力（克卜勒問題） 平方反比連心力給出的連心勢，像重力勢或靜電勢，以方程式表示為 V mathbf r frac kr ku。 處於這種連心勢的粒子，其一般軌道方程式寫為 frac d2 udtheta2 u frac mell2 frac ddu V 1u frac kmell2。 其解答為軌道函式 u theta： u frac kmell2 left 1 e cos left theta theta_0right right； 其中，e 是橢圓軌道的離心率，theta_0 是相位差，是一個積分常數。 這是焦點位於原點的圓錐曲線的一般方程式。當 e0 時，這軌道對應於圓形軌道； 當 e1 時，這軌道是橢圓形軌道；當 e1 時，這軌道是拋物線軌道；當 e1 時，這軌道是雙曲線軌道。 離心率與粒子能量 E 的關係為 e sqrt 1 frac 2Eell2k2 m。 所以，當 E frac k2 m2ell2 時，這軌道是圓形軌道； 當 E0 時，這軌道是橢圓形軌道；當 E0 時，這軌道是拋物線軌道；當 E0 時，這軌道是雙曲線軌道。 徑向諧振子 為了方便解析這問題，採用直角坐標 mathbf r x y z。勢能可以寫為 V mathbf r frac 12 kr2 frac 12 k x2 y2 z2。 處於徑向諧振子位勢的粒子，其拉格朗日量 mathcal L 是 mathcal Lfrac 12 m dot x2dot y2dot z2 frac 12 k x2y2z2。 這粒子的拉格朗日方程式為 frac d2 xdt2 omega_02 x 0、 frac d2 ydt2 omega_02 y 0、 frac d2 zdt2 omega_02 z 0； 其中，omega_0km 是振動頻率。 常數 k 必須為正值；否則，粒子會朝著無窮遠飛離。這些微分方程式的解答為 x A_x cos left omega_0 t phi_x right、 y A_y cos left omega_0 t phi_y right、 z A_z cos left omega_0 t phi_z right； 其中，A_x、A_y、A_z 分別為 x、y、z 方向的振幅，phi_x、phi_y、phi_z 分別為其相位 由於上述方程式經過整整一週期 T equiv 2piomega_0 後，會重複自己，軌道解答 mathbf rt left x t y y z t right 是閉合軌道。 牛頓旋轉軌道定理 牛頓旋轉軌道定理表明，對於一個感受到線性作用力或平方反比作用力的移動中的粒子，假設再增添立方反比力於此粒子，只要因子 alpha 是有理數，則粒子的軌道仍舊是閉合軌道。根據牛頓旋轉軌道定理的方程式，增添的立方反比力 Delta F rfrac kr3 為 Delta F rfrac L_12mr3 left 1 alpha2 right； 其中，ell_1 是粒子原本的角動量，m 是粒子的質量。 所以，alpha21 frac mkell_12。 由於 alpha 是有理數，alpha 可以寫為分數 mn；其中，m 和 n 都是整數。對於這案例，增添立方反比力使得粒子完成 m 圈公轉的時間等於原本完成 n 圈公轉的時間。這種產生閉合軌道的方法不違背伯特蘭定理，因為，增添的立方反比力與粒子的原本角動量有關。 參閱 二體問題 三體問題 克卜勒定律 牛頓旋轉軌道定理 參考文獻 B B B B B