馮諾伊曼 博內斯 哥德爾集合論（，）是種以類為直觀動機的一階公理化集合論，它是配上選擇公理的策梅洛 弗蘭克爾集合論（，）的保守擴充套件（裡可以證明的定理也都是的定理），而且僅需在一階邏輯基本的公理模式上新增有限數目的公理，但需新增與集合有關的公理模式。 首先由馮諾伊曼在 1920 年代提出，從 1937 年開始由作修改，在 1940 年由哥德爾進一步簡化。 基本符號 在下，「屬於關係」以一個雙元斷言符號 P xy 來表示， P xy 通常簡記為 x in y ，並被直觀理解成「x 屬於 y」；類似地， P xy 的否定 neg P xy 通稱被簡記為 x notin y ，並被直觀理解為「x 不屬於 y」。 以下都把 vdash_NBG 簡寫為普通的 vdash。 本條目定理的證明會頻繁引用一階邏輯的定理，定理的代號可以參見一階邏輯 常用的推理性質一節。 類與集合 「類」這個名詞在公理化集合論出現之前，通常被理解為「以集合為元素的集合。」或是集合（如等價類）。 但所談及的一切物件（變數和項）都是類。而所謂的集合，是屬於某個類的類，也就是說以下的合式公式（mathcal M 來自德語的 集合「」）式 mathcal Mxexists y x in y 可直觀理解為「x 是集合」，特別注意到，為了避免跟其他合式公式的變數產生混淆， y 必須是展開 mathcal Mx 時首次出現的變數。反之合式公式 mathcal Prxnegmathcal Mx 可稱為「 x 是真類」。 子類 直觀上「x 包含於 y」意為「所有 x 的元素 a 都會屬於 y」，以此為動機，有以下的符號簡寫 x subseteq y forall a a in x Rightarrow a in y 以上可稱為「x 包含於 y」或「x 是 y 的子類」；在 mathcal Mx 和 mathcal My 成立的前提下（也就是「x 和 y 都是集合」），可稱為「x 是 y 的子集」。 與集合相關的量詞簡寫 仿造量詞的簡寫，對於任意變數 x 與合式公式 mathcal A ，可作如下的符號定義 forallM xmathcal A forall x mathcal MxRightarrow mathcal A （對所有 x ， x 是集合則 mathcal A ） existsM xmathcal A exists x mathcal Mxwedge mathcal A （存在 x 不但是集合且 mathcal A ） 也有書籍以小寫字母來表示被量化的集合變數，但考慮到一般的非邏輯數學書籍都將大小寫的差異挪作他用，為避免混淆本條目採用以上的上標表示法。 等號公理 看待等號的不同方式 直觀上，兩個集合相等意為「x 的元素就是 y 的元素」，也就是樸素集合論的外延公理，換句話說，可用以下的嚴謹合式公式重寫為 forall a a in x Leftrightarrow a in y 但一階邏輯的等號可以視為單獨的斷言符號，也可以視為一條複合的合式公式。具體來說，視為一個新的斷言符號 Q xy 並簡記為 x y 的話，需在內額外新增以下的公理 直觀上可理解為「類 x 的元素就是類 y 的元素，等價於類 x 等於類 y」。 但視為一條合式公式，則僅需做以下的符號定義 xy forall a a in x Leftrightarrow a in y 不管是何種看待方法，習慣上都會把 neg x y 簡記成 x neq y （直觀上的「不相等」）。 等號的良置 為了確保 x y 的確符合直觀上對等號的要求，還需新增以下的公理 直觀上，這個公理確保「x 等於 y，則 x 屬於 z 等同於 y 屬於 z」。 這樣，以下的元定理就確保瞭如此定義的等號是「成功的」。 證明 以下的證明會逐條檢驗等式定理一節所條列的定義 （E1）： xx 展開來是（或等價於） forall a a in x Leftrightarrow a in x 那考慮到恆等關係和 AND 有 vdash a in x Leftrightarrow a in x 那再套用 GEN，就會有 vdash forall a a in x Leftrightarrow a in x 所以（E1）得證。 （E2）： 因為目前的理論內沒有任何函式符號，所以對變數 x 來說，的原子公式只有 x in z 和 z in x 兩種可能，這樣的話，（E2）等同於要求以下兩式是的定理 1 x y Rightarrow x in z Rightarrow y in z 2 x y Rightarrow z in x Rightarrow z in y 但依據量詞公理（A4），1 可從本節一開始新增的公理（T）所推出；類似地，把 xy 視為斷言符號時，2 都可以從（T）配合（A4）推出；若把 xy 視為合式公式的簡寫，2 也可以用 xy 的定義配上（A4）推出。 （E3）： 本條定義要求以下的合式公式為的定理 x y Rightarrow y x 從且的交換性有 vdash forall zz in x Leftrightarrow z in y Rightarrow forall zz in y Leftrightarrow z in x 對上式使用 AND 和 D1 就有 x y vdash forall zz in y Leftrightarrow z in x 再對上面式使用 AND 和 D1 又有 x y vdash yx 所以（E3）的確是的定理。 綜上所述，定理得證。Box 真子類 在定義「相等」以後，可以把「相等的類」排除出子類的定義中，換句話說，有以下的符號定義 xsubset y x subseteq y wedge x neq y 可直觀理解為「x 是 y 的真子類，定義為 x 包含於 y 且 x 不等於 y」；在 mathcal Mx 和 mathcal My 成立的前提下（也就是「x 和 y 都是集合」），可稱為「x 是 y 的真子集」。 外延定理 為以下的定理可直觀理解為「x 等於 y 等價於，對所有集合 z，z 屬於 x 等價於 z 屬於 y」，也就是說，等於的定義可以「限縮」成元素為集合的狀況。 證明 以下取一個不曾出現的變數 t 來展開 mathcal Mz Rightarrowforall z zin xLeftrightarrow zin yvdashforall zexists t z in tRightarrow zin xLeftrightarrow zin y 1forall z zin xLeftrightarrow zin y Hyp 2 zin xLeftrightarrow zin y MP with 1 A4 3exists t z in tRightarrow zin xLeftrightarrow zin y MP with 2 A1 4forall zexists t z in tRightarrow zin xLeftrightarrow zin y GEN with 3 Leftarrowforall zmathcal MzRightarrow zin xLeftrightarrow zin yvdashforall z zin xLeftrightarrow zin y mathcal Azin xLeftrightarrow zin y 1forall z exists t zin tRightarrowmathcal A Hyp 2exists t zin tRightarrowmathcal A MP with A4 1 3negmathcal ARightarrowforall t neg zin t MP with T 2 4 negmathcal ARightarrow neg zin t D1 with A4 3 5z in tRightarrow zin xLeftrightarrow zin y MP with T 4 6forall tz in tRightarrow zin xLeftrightarrow zin y GEN with 5 7z in xRightarrow zin xLeftrightarrow zin y MP with A4 6 8z in yRightarrow zin xLeftrightarrow zin y MP with A4 6 9z in xRightarrow zin xRightarrow zin y D1 with AND 7 10z in yRightarrow zin yRightarrow zin x D1 with AND 8 11zin xRightarrow zin y MP twice with A2 I 9 12zin yRightarrow zin x MP twice with A2 I 10 13zin xLeftrightarrow zin y AND with 11 12 14forall z zin xLeftrightarrow zin y GEN with 13 引入新的函式符號前，常需要唯一存在性的證明，而外延定理大大簡化了證明的難度。 特定條件下的存在性 以下關於一階邏輯的一般性定理，也大大簡化了 引入新公理的過程所需的證明 證明 1mathcal ARightarrow exists xmathcal B Hyp 2forall xnegnegmathcal Awedge xcvee mathcal Awedgemathcal B Hyp 3negnegmathcal Awedge xcvee mathcal Awedgemathcal B MP with A4 2 4neg negmathcal Awedge xcwedgeneg mathcal Awedgemathcal B MP with 3 DIS 5neg negmathcal Awedge xc MP with AND4 6neg mathcal Awedgemathcal B MP with AND 4 7negmathcal ARightarrowneg xc MP with DIS DN 5 8mathcal ARightarrownegmathcal B MP with DIS DN 5 9mathcal BRightarrownegmathcal A MP with T 8 10exists xmathcal BRightarrownegmathcal A GENe with 9 11mathcal ARightarrowneg exists xmathcal B MP with T 11 12negmathcal A A3 with 1 11 13neg xc MP with 7 12 14forall xneg xc GEN with 13 再套用一次（DN）也就是 mathcal ARightarrow exists xmathcal Bvdash forall xnegnegmathcal Awedge xcvee mathcal Awedgemathcal BRightarrowneg exists xxc 但由一階邏輯的等式性質有 vdash cc 對上式以變數 x 套用一次 GENe 有 vdash exists xxc 所以由 C2 本定理就會得證。Box 空集合公理 這個公理的直觀意思是「存在集合 x，使的所有集合 y 都不屬於 x」。 事實上這個公理還確保了空集的唯一性，嚴格來說，它確保了： 證明 假設 forallM yynotin x forallM yynotin t 那根據量詞公理的 A4 有 mathcal My Rightarrow ynotin x mathcal My Rightarrow ynotin t 另一方面，根據常用的推理性質的 M0 有 vdash ynotin x Rightarrow yin x Rightarrow yin t vdash ynotin t Rightarrow yin t Rightarrow yin x 這樣根據演繹定理的推論 D1 有 mathcal My Rightarrow yin x Rightarrow yin t mathcal My Rightarrow yin t Rightarrow yin x 這樣根據常用的推理性質 T 有 neg yin x Rightarrow yin t Rightarrow negmathcal My neg yin t Rightarrow yin x Rightarrow negmathcal My 這樣根據德摩根定律和邏輯與的 DisJ 有 neg yin x Rightarrow yin t wedge yin t Rightarrow yin x Rightarrow negmathcal My 這樣再根據 T 有 mathcal My Rightarrow yin x Leftrightarrow yin t 這樣根據普遍化有 forallM yyin x Leftrightarrow yin t 那這樣根據上節的外延定理有 x t 換句話說 vdash forallM yynotin x wedge forallM yynotin t Rightarrow x t 這樣根據邏輯與的直觀性質和 D1 有 vdash mathcal Mx wedge forallM yynotin x wedge mathcal Mt wedge forallM yynotin t Rightarrow x t 這樣根據普遍化有 vdash forall xforall tbig mathcal Mx wedge forallM yynotin x wedge mathcal Mt wedge forallM yynotin t Rightarrow x t big 再綜合本節的空集合公理（N），本定理就得証了。Box 也就是直觀上，「空集是唯一存在的」，這樣根據函式符號與唯一性一節，可以在加入新的常數符號 varnothing 和以下的新公理（嚴格來說，把完全沒有函式符號和常數符號的擴充套件成有 varnothing 的新，但兩個理論是等效的） 這個新公理直觀上以「varnothing 為集合，且任意集合 y 都不屬於 varnothing」，把 varnothing 定義成了空集的表示符號。 配對公理 這個公理的直觀意思是「對所有集合 x 和集合 y，存在一個僅以 x 跟 y 為元素的集合 p」。 這個公理還確保了以下的唯一性： 證明 根據量詞的簡寫，配對公理 P 等價於 forall xforall y bigg mathcal Mx wedge mathcal My Rightarrow exists pbig mathcal Mp wedge forallM zzin pLeftrightarrow zxvee zy big bigg 這樣對上式套用兩次量詞公理的 A4 有 mathcal Mx wedge mathcal My Rightarrow exists pbig mathcal Mp wedge forallM zzin pLeftrightarrow zxvee zy big 這樣在有 mathcal Mx wedge mathcal My 的前提就有 exists pbig mathcal Mp wedge forallM zzin pLeftrightarrow zxvee zy big 所以 mathcal Mx wedge mathcal My vdash exists pbig mathcal Mp wedge forallM zzin pLeftrightarrow zxvee zy big 另一方面，若假設 mathcal Mp wedge forallM zzin pLeftrightarrow zxvee zy mathcal Mpi wedge forallM zz in piLeftrightarrow zxvee zy 這樣根據邏輯與的直觀性質有 forallM zzin pLeftrightarrow zxvee zy forallM zz in piLeftrightarrow zxvee zy 再根據 A4 有 mathcal Mz Rightarrow zin pLeftrightarrow zxvee zy mathcal Mz Rightarrowz in piLeftrightarrow zxvee zy 如果再假設 mathcal Mz ，根據 MP 律有 zin pLeftrightarrow zxvee zy z in piLeftrightarrow zxvee zy 這樣根據演繹定理的推論 D1 和邏輯與的直觀性質有 zin p Leftrightarrow zin pi 也就是說 mathcal Bp wedge mathcal Bpi mathcal Mz vdash zin p Leftrightarrow zin pi 其中 mathcal Bp mathcal Mp wedge forallM zzin pLeftrightarrow zxvee zy 因為變數 z 在 mathcal Bp 和 mathcal Bpi 內完全不自由，對上式套用演繹定理 D 將 mathcal Mz 移到右方後，再對 z 套用普遍化會有 mathcal Bp wedge mathcal Bpi vdash forallM zzin p Leftrightarrow zin pi 這樣根據本條目的外延定理有 mathcal Bp wedge mathcal Bpi vdash p pi 那以演繹定理 D 將 mathcal Bp wedge mathcal Bpi 移到右方，然後接連對 p 和 pi 使用普遍化有 vdash forall pforall pi mathcal Bp wedge mathcal Bpi Rightarrow p pi 故本定理得証。Box 這樣的話會有 證明 根據（P1）和本條目的特定條件下的存在性 DC 會有 （P2）vdash exists pbigg neg mathcal Mx wedge mathcal My wedge p varnothing vee big mathcal Mx wedge mathcal My wedge mathcal Mp wedge forallM zzin pLeftrightarrow zxvee zy big bigg 設 mathcal Ap neg mathcal Mx wedge mathcal My wedge p varnothing mathcal Bp mathcal Mx wedge mathcal My wedge mathcal Mp wedge forallM zzin pLeftrightarrow zxvee zy mathcal C mathcal Mx wedge mathcal My 那連續套用邏輯與合邏輯或的分配律與邏輯與的交換性會有 vdash mathcal Ap vee mathcal Bp wedge mathcal Api vee mathcal Bpi Leftrightarrow big mathcal Ap wedge mathcal Api vee mathcal Bp wedge mathcal Api vee mathcal Ap wedge mathcal Bpi vee mathcal Bp wedge mathcal Bpi big 但考慮到邏輯與的直觀性質和邏輯與的定義有 vdash mathcal Bp wedge mathcal Api Rightarrow negmathcal Cwedgemathcal C vdash mathcal Ap wedge mathcal Bpi Rightarrow negmathcal Cwedgemathcal C vdash negmathcal Cwedgemathcal C Leftrightarrow neg mathcal CRightarrowmathcal C 那根據恆等關係 I 和常用的推理性質 T 有 vdash neg mathcal Bp wedge mathcal Api vdash neg mathcal Ap wedge mathcal Bpi 所以根據邏輯或的定義來重複使用演繹定理的推論 D1 會有 vdash mathcal Ap vee mathcal Bp wedge mathcal Api vee mathcal Bpi Leftrightarrow mathcal Ap wedge mathcal Api vee mathcal Bp wedge mathcal Bpi 然後從的等式定理會有 vdash mathcal Ap wedge mathcal Api Rightarrow p pi 另一方面，根據（P1）有 vdash mathcal Bp wedge mathcal Bpi Rightarrow ppi 這樣結合邏輯與的 DisJ 有 vdash mathcal Ap vee mathcal Bp wedge mathcal Api vee mathcal Bpi Rightarrow ppi 再對 p 和 pi 套用普遍化有 vdash forall pforall pibigg mathcal Ap vee mathcal Bp wedge mathcal Api vee mathcal Bpi Rightarrow ppi bigg 這樣結合剛剛的（P2）與邏輯與的直觀性質，本定理就得證了。Box 所以根據函式符號與唯一性一節，可以在加入新的雙元函式符號 f2_p xy（簡記為 xy ）和以下的新公理 這個新公理的直觀意思是「若 x 和 y 為集合，則 xy 就是那個只以 x 和 y 為元素的集合；但反之，若 x 和 y 不全為集合，則 xy 為空集」。 有序對 xxx langle x rangle x langle x y rangle xxy langle x_1dotsx_nx_n1 rangle langle langle x_1dotsx_nrangle x_n1rangle 在不跟括弧產生混淆的情況下，也可以把 langle x_1dotsx_nx_n1 rangle 記為 x_1dotsx_nx_n1 。 關係 Rel fforallM abig ain f Rightarrow exists xexists y mathcal Mx wedge mathcal My wedge axy big 類函式 Fnc f Rel f wedge forallM xforallM yforallM upsilon xyin fwedge xupsilonin f Rightarrow y upsilon 類函式跟普通函式的差別在於普通函式是個集合。 類的存在公理 屬於類公理 交類公理 補類公理 定義域公理 積類公理 置換類公理 類的存在元定理 這個元定理對應到 ZFC 爾集合論的分類公理。 首先需要遞迴地定義「可敘述公式」（predicative wellformed formula）： 對任意變數 x 和 y ，x in y 為可敘述公式。 若 mathcal P 與 mathcal Q 為可敘述公式， x 為任意變數，則 negmathcal P 、 mathcal P Rightarrow mathcal Q 與 forallM xmathcal P 都是可敘述公式。 這樣依據上列諸類存在公理，就有以下元定理： 證明 集合的公理 並集公理 冪集公理 子集公理 無窮公理 取代公理及其替代 直觀意義為「f 為類函式則對任意集合 x ，存在一個集合 r ，正好就是在 f 的規則下映射出的像」。 大小限制公理 對於任何類 C，存在一個集合 x 使得 Rp Cx （謂 x 是 C 的表示，即 C 和 x 所包含的元素一樣），當且僅當沒有在 C 和所有集合的類 V 之間的雙射。 這個公理貢獻自馮諾伊曼，並一下實現了分離公理、替代公理和全域性選擇公理。他效力相當於原始的替代公理加上這選擇公理。完全的大小限制公理蘊涵了全域性選擇公理，因為序數的類不是集合，所以有從序數到全集的雙射。 選擇公理 引用 John von Neumann 1925 An Axiomatization of Set Theory English translation in Jean van Heijenoort ed 1967 From Frege to Gödel A Source Book in Mathematical Logic 18791931 Harvard University Press Mendelson Elliott 1997 1964 An Introduction to Mathematical Logic 4th ed Chapman Hall The classic textbook treatment of NBG set theory showing how it can found mathematics Richard Montague 1961 Semantic Closure and NonFinite Axiomatizability I in Infinitistic Methods Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics Warsaw 29 September 1959 Pergamon 4569 Category 集合論系統