線上性代數裡，正定矩陣是埃爾米特矩陣的一種，有時會簡稱為正定陣。線上性代數中，正定矩陣的性質類似複數中的正實數。與正定矩陣相對應的線性運算元是對稱正定雙線性形式（複域中則對應埃爾米特正定雙線性形式）。 定義 一個 ntimes n 的實對稱矩陣 M 是正定的，當且僅當對於所有的非零實係數向量 mathbf z，都有 mathbf zT Mmathbf z 0。其中 mathbf zT 表示 mathbf z 的轉置。對於複數的情況，定義則為：一個 ntimes n 的埃爾米特矩陣 M 是正定的若且唯若對於每個非零的複向量 mathbf z，都有 mathbf z Mmathbf z 0。其中 mathbf z 表示 mathbf z 的共軛轉置。 這樣的定義仰賴一個事實：對於任意的埃爾米特矩陣 M 及複向量 mathbf z ，mathbf z Mmathbf z 必定是實數。 首先，因為 M 是埃爾米特矩陣，所以我們有 M M。接下來我們計算所求的共軛轉置：mathbf z M mathbf z mathbf z M mathbf z mathbf z M mathbf z。因為 mathbf z Mmathbf z 是純量且其共軛複數等於自身，所以根據複數的性質，我們得出 mathbf z Mmathbf z 是實數。 正定矩陣 對於 ntimes n 的埃爾米特矩陣 M，下列性質與「M 為正定矩陣」等價： M 的所有的特徵值 lambda_i 都是正的。 根據譜定理，M 與一個實對角矩陣 D 相似（也就是說 M U1 DU ，其中 U 是酉矩陣，或者說 M 在某個正交基可以表示為一個實對角矩陣）。因此，M 是正定陣當且僅當相應的 D 的對角線上元素都是正的。 另外，也可以假設 lambda_i 和 mathbf v_i 是 M 的一組特徵值與特徵向量，根據定義 Mmathbf v_i lambda_i mathbf v_i，從左側同乘以 mathbf v_i 得到：mathbf v_i Mmathbf v_i lambda_i mathbf v_i mathbf v_i lambda_i Vert mathbf v_i Vert 2。因為 M 是正定矩陣，根據定義我們有 mathbf v_i Mmathbf v 0。移項整理後可以得到 lambda_i frac mathbf v Mmathbf vVertmathbf v_iVert2 0。注意因為特徵向量 mathbf v_i neq mathbf 0，所以前述 lambda_i 不會有無解的情形。 半雙線性形式 langle textbf xtextbf yrangle textbf x M textbf y 定義了一個 mathbb Cn 上的內積。實際上，所有 mathbb Cn 上的內積都可視為由某個正定矩陣透過此種方式得到。 M 是向量 textbf x_1ldotstextbf x_n in mathbb Ck 構成的格拉姆矩陣，其中 kinmathbb Z。更精確地說，Mm_ij 定義為：m_ij langle textbf x_i textbf x_jrangle textbf x_i textbf x_j 。換句話說，M 具有 AA 的形式，其中 A 不一定是方陣，但必須是單射的。 M 的所有順序主子式，也就是順序主子陣的行列式都是正的。明確地說，就是考察 M 左上角大小 1times 1ldotsntimes n 的子矩陣的行列式。對於半正定矩陣而言，相應的條件應改為所有的主子式非負。但順序主子式非負並不能推出矩陣是半正定的。比如以下例子： begin bmatrix 1 1 1 1 1 1 1 1 0 end bmatrix 存在唯一的下三角矩陣 L，其主對角線上的元素全是正的，使得 ML L。其中 L 是 L 的共軛轉置。這一分解被稱為科列斯基分解。 對於實對稱矩陣，只需將上述性質中的 mathbb Cn 改為 mathbb Rn，並將「共軛轉置」改為「轉置」即可。 二次型 由以上的第二個等價條件，可以得到二次型形式下正定矩陣的等價條件：用 mathbb K 代表 mathbb C 或 mathbb R，設 mathbb V 是 mathbb K 上的一個向量空間。一個埃爾米特型： B V times V rightarrow K 是一個雙線性對映，使得 B mathbf xmathbf y 總是 B mathbf ymathbf x 的共軛。這樣的一個對映 B 是正定的若且唯若對於 mathbb V 中所有的非零向量 mathbf x，都有 B mathbf xmathbf x 0。 負定、半定及不定矩陣 與正定矩陣對應，一個 ntimes n 的埃爾米特矩陣 M 是負定矩陣若且唯若對所有非零向量 mathbf z in mathbb Rn（或 mathbf z in mathbb Cn），都有 z M z 0。 M 是半正定矩陣若且唯若對於所有非零向量 mathbf z in mathbb Rn（或 mathbf z in mathbb Cn），都有 z M z geq 0。 M 是半負定矩陣若且唯若對於所有非零向量 mathbf z in mathbb Rn（或 mathbf z in mathbb Cn），都有 z M z leq 0。 如果一個埃爾米特矩陣既不是半正定也不是半負定的，那麼稱其為不定矩陣。 可以看出，上一節中正定矩陣的第一個等價性質只需作出相應改動，就可以變為判別負定矩陣、半正定矩陣和半負定矩陣的準則。注意當 M 是半正定時，相應的格拉姆矩陣不必由線性獨立的向量組成。對於任意矩陣 A，AA 必是半正定的，並有 mathrm rankAmathrm rankAA（兩者的秩相等）。反過來，任意的半正定矩陣都可以寫作 MAA，這就是科列斯基分解。 對於任意矩陣 A，因為 AAAAAA ，因此 AA 是埃爾米特矩陣。令 mathbf vinmathbb Cn，則 mathbf v AA mathbf v mathbf vAAmathbf vAmathbf vAmathbf vVert Amathbf vVert2 geq 0，因此 AA 是半正定的。另外，我們很容易證明 A 與 AA 有相同的零空間，根據秩 零化度定理，我們可以得到它們有相同的秩。 一個埃爾米特矩陣 M 是負定矩陣若且唯若 M 的所有奇數階順序主子式小於 0，所有偶數階順序主子式大於 0。當 M 是負定矩陣時，M 的逆矩陣也是負定的。 相關性質 若 M 為半正定矩陣，可以記作 M geq 0 。如果 M 是正定矩陣，可以記作 M 0 。這個記法來自泛函分析，其中的正定矩陣定義了正運算元。 對於一般的埃爾米特矩陣，M、N， Mgeq N 若且唯若 MN geq 0 。這樣可以定義一個在埃爾米特矩陣集合上的偏序關係。類似地，可以定義 MN。 1 每個正定陣都是可逆的，它的逆也是正定陣。如果 M geq N 0 那麼 N1 geq M1 0。 2 如果 M 是正定陣，r 0 為正實數，那麼 r M 也是正定陣。 如果 M、N 是正定陣，那麼 M N、MNM 與 NMN 都是正定的。如果 M N N M，那麼 M N 仍是正定陣。 3 4 矩陣 M 是正定陣若且唯若存在唯一的正定陣 B0 使得 B2 M 。根據其唯一性可以記作 B M12 ，稱 B 為 M 的平方根。對半正定陣也有類似結論。同時，如果 M N 0 那麼 M12 N120 。 5 如果 MN 0 那麼 Motimes N 0 ，其中 otimes 表示克羅內克積。 6 對矩陣 Mm_ij Nn_ij ，將兩者同一位置上的係數相乘所得的矩陣記為 Mcirc N ，即 Mcirc N_ijm_ij n_ij ，稱為 M 與 N 的 阿達馬乘積。如果 MN0 ，那麼 Mcirc N 0 。如果 MN 為實係數矩陣，則以下不等式成立： det Mcirc N geq det N prod_i m_ii 。 7 設 M 0 ， N 為埃爾米特矩陣。如果 MNNM geq 0 （相應地， MNNM 0 ），那麼 Ngeq 0 （相應地， N 0）。 8 如果 MNgeq 0 為實係數矩陣，則 text trMNgeq 0。 9 如果 M0 為實係數矩陣，那麼存在 delta0 使得 Mgeq delta I，其中 I 為單位矩陣。 非埃爾米特矩陣的情況 一個實矩陣 M 可能滿足對於所有的非零實向量 mathbf x ， mathbf xT Mmathbf x 0 ，卻不是對稱矩陣。舉例來說，矩陣 begin bmatrix 1 1 1 1 end bmatrix 就滿足這個條件。對於 mathbf xbegin bmatrix x_1 x_2 end bmatrix 並且 mathbf xneqmathbf 0 ， begin bmatrix x_1 x_2 end bmatrix begin bmatrix 1 1 1 1 end bmatrix begin bmatrix x_1 x_2 end bmatrix x_12 x_22 0 。 一般來說，一個實係數矩陣 M 滿足對所有非零實向量 mathbf x ， mathbf xT Mmathbf x 0 ，若且唯若對稱矩陣 MMT2 是正定矩陣。 對於復係數矩陣，情況可能會不太一樣。主要考慮如何擴充套件 mathbf z Mmathbf z 0 這一性質。要使得 mathbf z Mmathbf z 總為實數，矩陣 M 必須是埃爾米特矩陣。因此，若 mathbf z Mmathbf z 總是正實數， M 必然是正定的埃爾米特矩陣。如果將 mathbf z Mmathbf z 0 擴充套件為 Re mathbf z Mmathbf z 0 ，則等價於 MM2 為正定矩陣。 參見 確定雙線性形式 矩陣的平方根 舒爾補 正定函式 科列斯基分解 線性矩陣不等式 合同矩陣 參考資料 Roger A Horn and Charles R Johnson Matrix Analysis Chapter 7 Cambridge University Press 1985 ISBN 0521305861 hardback ISBN 0521386322 paperback Rajendra Bhatia Positive definite matrices Princeton Series in Applied Mathematics 2007 ISBN 9780691129181 外部連結 正定矩陣 關於對稱矩陣的一些討論 Category 線性代數 Category 多重線性代數 Category 矩陣