在這篇文章內，我們把域 F 上的某個線性空間 V 中的向量用黑斜體字母來標記，把張量用正黑體字母來標記。 在多重線性代數裡，並矢張量 是一個以特別標記法寫出的二階張量，是由成對的向量並置形成的。針對這特別標記法，有一套專門計算這種表示式，類似於矩陣代數規則的方法。並矢張量的每一對向量的並置稱為並矢 。兩個單位基底向量的並矢積稱為單位並矢 。純量與單位並矢的乘積就是並矢。 例如，設定兩個三維向量 boldsymbol v 和 boldsymbol w ， boldsymbol v v_1boldsymbol i v_2boldsymbol j v_3boldsymbol k ， boldsymbol w w_1boldsymbol i w_2boldsymbol j w_3boldsymbol k ； 其中，boldsymbol i 、boldsymbol j 、boldsymbol k，形成了一個三維空間裡的標準正交基的單位基底向量。 那麼，boldsymbol v 與 boldsymbol w 並置成為 boldsymbol vw v_1 w_1 boldsymbol i i v_1 w_2 boldsymbol i j v_1 w_3 boldsymbol i k v_2 w_1 boldsymbol j i v_2 w_2 boldsymbol j j v_2 w_3 boldsymbol j k v_3 w_1 boldsymbol k i v_3 w_2 boldsymbol k j v_3 w_3 boldsymbol k k ； 其中，boldsymbol ii 、boldsymbol ij 、boldsymbol ik 等等，都是單位並矢，v_1 w_1boldsymbol ii 、v_1 w_2 boldsymbol ij 、v_1 w_3 boldsymbol ik 等等，都是並矢。 並矢張量 boldsymbol vw 也可以表達為 boldsymbol vw begin pmatrix v_1 w_1 v_1 w_2 v_1 w_3 v_2 w_1 v_2 w_2 v_2 w_3 v_3 w_1 v_3 w_2 v_3 w_3 end pmatrix 。 定義 根據與所著作的權威教科書，在三維空間裡，並矢張量 mathbf A 是一個 33 陣列，其分量 A_mn mn123 ，當從一個坐標系變換到另外一個坐標系時，遵守協變變換 的定律。 A_ij sum_mn frac partial x_mpartial x_ifrac partial x_npartial x_j A_mn ； 其中，A_ij 是變換後的分量。 所以，並矢張量是一個二階協變張量。反過來說，按照這定義推廣，任意二階協變張量都是並矢張量： mathbf A A_11boldsymbol i i A_12boldsymbol i j A_13boldsymbol i k A_21boldsymbol j i A_22boldsymbol j jA_23boldsymbol j k A_31boldsymbol k i A_32boldsymbol k jA_33boldsymbol k k 。 並矢張量運算 應用點積，並矢張量 mathbf A 可以與向量 boldsymbol v 綜合在一起： mathbf Acdotboldsymbol v sum_mn A_mnboldsymbol e_mboldsymbol e_ncdot sum_ellv_ellboldsymbol e_ell ； 其中，boldsymbol e_m 、boldsymbol e_n 、boldsymbol e_ell ，都是標準正交基的基底向量。 注意到 boldsymbol e_mboldsymbol e_ncdotboldsymbol e_ellboldsymbol e_mdelta_nell ；其中，delta_nell 是克羅內克函式。所以， mathbf Acdotboldsymbol v sum_mn A_mn v_nboldsymbol e_m ； 這點積運算得到的結果是一個協變向量。 並矢張量的縮併 運算，將每一個並置 boldsymbol e_mboldsymbol e_n ，替換為兩個單位基底向量的點積 boldsymbol e_mcdotboldsymbol e_n ，以方程式表達為 mathbf A sum_m A_mm 。 只成立於三維空間，並矢張量的旋轉因子運算，將每一個並置 boldsymbol e_mboldsymbol e_n ，替換為兩個單位基底向量的叉積 boldsymbol e_mtimesboldsymbol e_n ，以方程式表達為 langlemathbf Arangle boldsymbol e_1 A_23A_32boldsymbol e_2 A_31A_13 boldsymbol e_3 A_12A_21 。 這也可以表達為 mathbf A 與列維 奇維塔符號 epsilon_imn 的完全縮併： langlemathbf Arangle sum_mnepsilon_imn A_mn 。 進階理論 兩個向量 boldsymbol v boldsymbol w 的並矢積 boldsymbol vw 其實就是張量積 boldsymbol v otimes boldsymbol w 。 兩個並矢積作形式上的相加就是並矢張量，從而並矢張量和二階張量（嚴格地說，是二階的反變張量）是同義詞。力學、電動力學中常見的例子就是單位並矢張量 mathcal I boldsymbol ii boldsymbol jj boldsymbol kk 、轉動慣量 mathbf I iiint r2 mathcal I boldsymbol rboldsymbol r rho dV 以及麥克斯韋應力張量等；量子力學中的角動量耦合 理論也要用到並矢張量。 需要注意：並矢積是不可交換的，也就是說，除非兩個向量 boldsymbol v boldsymbol w 線性相關，否則一定有 boldsymbol vw neq boldsymbol wv。 在物理學中，並矢張量最重要的應用之一就是它和向量的縮併。對於並矢積 boldsymbol vw 和向量 boldsymbol u 的縮併，規定 boldsymbol vw cdotboldsymbol u boldsymbol v boldsymbol w cdot boldsymbol u qquad boldsymbol u cdot boldsymbol vw boldsymbol u cdot boldsymbol v boldsymbol w 。 如果要求這種規定也適用於量子力學中的態向量，在這種情況下就要特別注意每個式子右端各個向量的先後順序：用狄拉克符號來寫，則 boldsymbol u cdot boldsymbol v langle u v rangle 。 進階定義 設 V 是域 F 上的一個線性空間，則下述定義是等價的。 定義 1 對於任意 boldsymbol v boldsymbol w in V，稱它們的張量積 boldsymbol v otimes boldsymbol w in V otimes V 為 boldsymbol v 和 boldsymbol w 的並矢積並將其簡記為 boldsymbol vw ，稱為並矢張量。更加推廣，稱 V otimes V 中的元素為 V 上的並矢張量，或者二階反變張量。 定義 2 如果有 F 上的一個線性空間 W 以及雙線性對映 phi V times V rightarrow W 滿足 1 forall mathbf T in W exists k in mathbb N 以及 boldsymbol u_1 boldsymbol v_1 ldots boldsymbol u_k boldsymbol v_k in V 使得 mathbf T sum_i 1k phi boldsymbol u_i boldsymbol v_i ； 2 當 boldsymbol v_1 ldots boldsymbol v_k in V 線性無關時，phi boldsymbol v_i boldsymbol v_j i j 1 ldots k 是 W 中的線性無關向量組， 則稱 W 中的元素為 V 上的並矢張量或二階反變張量，把 phi boldsymbol v boldsymbol w 記為 boldsymbol vw 。 定義 3 V 上的並矢張量（或者二階反變張量）這個概念可以按照下述規則來建立： 1 任意向量 boldsymbol v 和 boldsymbol w 並置擺放形成一個並矢積 boldsymbol vw； 2 對於任意的 alpha in F 和任意的 boldsymbol v boldsymbol w in V，規定 alpha boldsymbol vboldsymbol w boldsymbol v alphaboldsymbol w alpha boldsymbol vw ，並把上述結果不加區分地記作 alpha boldsymbol vw； 3 稱有限個並矢積的形式和為一個並矢張量； 4 對任意正整數 k，如果 boldsymbol v_1 ldots boldsymbol v_k in V 線性無關，則 boldsymbol v_i boldsymbol v_j i j 1 ldots k 是線性無關向量組 特別是， boldsymbol vw 0 的充分必要條件是 boldsymbol v 0 或 boldsymbol w 0； 5 對任意的 boldsymbol u、boldsymbol v、boldsymbol w in V，成立著分配律 boldsymbol uboldsymbol v boldsymbol w boldsymbol uv boldsymbol uw qquad boldsymbol u boldsymbol v boldsymbol w boldsymbol uw boldsymbol vw 。 注： 所謂形式和，就是說我們既不刻意追究求和的實際含義，也關心求和的結果在哪個集合中，而只是知道這種求和滿足交換律和結合律。 並矢張量與向量的縮併 既然上述定義等價，我們就把 V 上所有的並矢張量所構成線性空間記為 V otimes V。在此基礎上，如果 V 是一個內積空間並把 boldsymbol v boldsymbol w in V 的內積記為 boldsymbol v cdot boldsymbol w（當 F mathbb C 時，約定 boldsymbol v cdot boldsymbol w 對 boldsymbol v 是共軛線性的），則定義並矢張量 mathbf T 和向量 boldsymbol v 的縮併 mathbf T cdot boldsymbol v 和 boldsymbol v cdot mathbf T 都是 V 中的向量，滿足下述運算律： 6 對於任意的 alpha in F mathbf T in V otimes V 以及 boldsymbol v in V， alpha mathbf T cdot boldsymbol v mathbf T cdot alpha boldsymbol v alpha mathbf T cdot boldsymbol v qquad boldsymbol v cdot alpha mathbf T alpha boldsymbol v cdot mathbf T alpha boldsymbol v cdot mathbf T ， 從而可以把上述兩個結果分別記為 alpha mathbf T cdot boldsymbol v 和 alpha boldsymbol v cdot mathbf T。在上述公式中，alpha 表示 alpha 的複共軛（如果 F mathbb C）。 7 對於任意的 mathbf S mathbf T in V otimes V 以及 boldsymbol v in V，總有 mathbf S mathbf T cdot boldsymbol v mathbf S cdot boldsymbol v mathbf T cdot boldsymbol v qquad boldsymbol v cdot mathbf S mathbf T boldsymbol v cdot mathbf S boldsymbol v cdot mathbf T 。 8 對於任意的 mathbf T in V otimes V 以及 boldsymbol v boldsymbol w in V，總有 mathbf T cdot boldsymbol v boldsymbol w mathbf T cdot boldsymbol v mathbf T cdot boldsymbol w qquad boldsymbol v boldsymbol w cdot mathbf T boldsymbol v cdot mathbf T boldsymbol w cdot mathbf T 。 9 對任意的 boldsymbol u boldsymbol v boldsymbol w in V，總有 boldsymbol uv cdot boldsymbol w boldsymbol u boldsymbol v cdot boldsymbol w qquad boldsymbol ucdot boldsymbol vwboldsymbol u cdot boldsymbol v boldsymbol w 。 範例 旋轉 設定 mathbf M 為一個並矢張量： mathbf Mboldsymbol j i boldsymbol i jleft begin arraycc 0 1 1 0 end array right 。 mathbf M 是一個二維空間的 90 旋轉運算元 。它可以從左邊點積一個向量來產生一個旋轉： mathbf M cdot x boldsymbol i y boldsymbol j boldsymbol j i boldsymbol i j cdot x boldsymbol i y boldsymbol j x boldsymbol j i cdot boldsymbol i x boldsymbol i j cdot boldsymbol i y boldsymbol j i cdot boldsymbol j y boldsymbol i j cdot boldsymbol j y boldsymbol i x boldsymbol j ； 或以矩陣表達， left begin arraycc 0 1 1 0 end array rightleft begin arrayc x y end array rightleft begin arrayc y x end array right 。 一個一般的二維旋轉並矢張量，會產生 theta 角度反時針方向的旋轉，表達為 costhetamathbf Isinthetamathbf M begin pmatrix costheta sintheta sintheta costheta end pmatrix ； 其中，mathbf Iboldsymbol iiboldsymbol jj 是二維的單位並矢張量。 量子力學 設 V 是量子力學中所有的角動量本徵態所張成的希爾伯特空間（囊括了所有可能的總角動量量子數 0，12，1，32，ldots），則 F mathbb C。當我們要考慮角動量耦合的時候，就會遇到態向量的並矢張量 j_1 m_1rangle j_2 m_2rangle，而且時常把它記作 j_1 m_1 j_2 m_2rangle 或 j_1 m_1 j_2 m_2rangle 等等。任取一些複數 C_j_1 m_1 j_2 m_2（但是其中只能有有限個非零），則 sum_j_1 sum_m_1 sum_j_2 sum_m_2 C_j_1 m_1 j_2 m_2 j_1 m_1rangle j_2 m_2rangle 就是一個並矢張量。不妨把這個並矢張量記作 mathbf T，則它和 jmrangle 的縮併就是 mathbf T cdot jmrangle sum_j_1 sum_m_1 sum_j_2 sum_m_2 C_j_1 m_1 j_2 m_2 langle jm j_2 m_2rangle j_1 m_1rangle ， jmrangle cdot mathbf T sum_j_1 sum_m_1 sum_j_2 sum_m_2 C_j_1 m_1 j_2 m_2 langle jm j_1 m_1rangle j_2 m_2rangle 。 在這其中，量子力學中最廣為人知的就是透過 CG 向量耦合係數所組合出來的張量。當然，在角動量耦合理論中，這樣的張量被等同為某些角動量本徵態，除了物理上的考慮之外，這更主要地還是有關李群 SU 2 及其李代數 mathfrak su2 的表示的另外一個話題，請參看李群表示及李代數的表示 ，在這裡就不再深入探討了。 實際上可以這樣說，在量子力學中，只要物理問題涉及了系統的耦合，數學上就會導致態向量的並矢。在這方面，還可以舉一個常見的例子：由一維諧振子的態向量所構成的並矢張量可以用來描述二維諧振子系統。 經典力學 三維歐幾里得空間上的並矢張量的例子非常多，例如轉動慣量、應力張量、應變等等。這些例子實際上就是並矢張量這個概念的最初原型。 並矢張量的展開 下面我們要說明，前面建議的規則 1 到 9 足以講清楚二階張量的運算和性質。 考慮 V 為歐幾里得空間的情形，則 V 是實數域 mathbb R 上的有限維線性空間（設 dim V n）而且帶有正定的內積。設 boldsymbol e_1 ldots boldsymbol e_n 是 V 的一個基底，則任意 boldsymbol v、boldsymbol w in V 都可以作線性展開 boldsymbol v sum_i 1n vi boldsymbol e_i，boldsymbol w sum_i 1n wi boldsymbol e_i。在這裡，為了充分演示規則 1 到 9 （見上面的定義 3 以及並矢張量與向量的縮併）的使用，我們明顯地寫出了求和號而不使用愛因斯坦求和約定。但是，為了簡便，求和的上下限被略去了。 以下運算中，等於號上方的標號是規則的編號。 首先，我們要證明所有的二階張量都能夠用 boldsymbol e_i boldsymbol e_j 展開。重複地利用規則 5 可得 boldsymbol vw Big sum_i vi boldsymbol e_i Big Big sum_j wj boldsymbol e_jBig stackrel 5 sum_i Big vi boldsymbol e_i sum_j wj boldsymbol e_jBig stackrel 5 sum_i sum_j vi boldsymbol e_i wj boldsymbol e_j 。 接下來重複地利用規則 2 可得 boldsymbol vw stackrel 2 sum_i sum_j boldsymbol e_i Big vi wj boldsymbol e_jBig sum_i sum_j boldsymbol e_i Big vi wj boldsymbol e_jBig stackrel 2 sum_i sum_j vi wj boldsymbol e_iboldsymbol e_j 。 這樣，我們就證明了所有的並矢，即形如 boldsymbol vw 的張量都能夠寫成 boldsymbol e_i boldsymbol e_j 的線性組合。接下來，按照規則 3 以及上面的結論，所有的二階張量最終都能夠表達為 boldsymbol e_i boldsymbol e_j 的線性組合。 反之，由規則 1 和 3，每一個 boldsymbol e_i boldsymbol e_j 都是一個二階張量，再由規則 3，它們的任意線性組合也是二階張量。至此，我們證明了二階張量等價於 boldsymbol e_i boldsymbol e_j 的線性組合。 然後，從規則 4 可以證明，全部的 boldsymbol e_i boldsymbol e_j 是線性無關的，因此構成了 V otimes V 的基底。 最後，利用規則（6）到（9）不難把所有的縮併最終歸結為計算 boldsymbol e_icdotboldsymbol e_j boldsymbol e_k。特別是，如果所給的基是標準正交基，那麼結果就非常簡單了。 實線性空間上的並矢張量和線性變換互相等同（愛因斯坦指標升降） 對於 n 維歐幾里得空間 V 而言，由於 F mathbb R，規則 6 和 8 表明，給定任意一個並矢張量 mathbf T 之後，從向量 boldsymbol v 到 mathbf T cdot boldsymbol v（或者 boldsymbol v cdot mathbf T）的對映是線性對映，所以，下面要證明，從並矢張量到線性變換的這種對應是滿射。為了準確起見，把 mathbf T in V otimes V 所對應的 V 上的線性變換分別記為 R_flatmathbf T V rightarrow V boldsymbol v mapsto mathbf T cdot boldsymbol v 和 L_flatmathbf T V rightarrow V boldsymbol v mapsto boldsymbol v cdot mathbf T ， 則有 引理 1 對於歐幾里得空間 V 上的任意一個線性變換 hat T V rightarrow V，總是存在著 V 上的並矢張量 mathbf T 和 mathbf T 使得 hat T R_flat mathbf T hat T L_flat mathbf T 。 證明： 由於證明方法類似，我們只證明 mathbf T 的存在性。設 boldsymbol e_1 ldots boldsymbol e_n 是 V 的一個基底（不必是標準正交基），令 g_ij boldsymbol e_i cdot boldsymbol e_j ， 則內積的正定性導致 g_ij 所構成的 n times n 矩陣 G g_ij 為正定矩陣。給了 V 上的一個線性變換 hat T V rightarrow V 之後，我們可以藉助於基底得到一個矩陣 T Ti_ j ，其中，上標號是橫標號，下標號是豎標號： hat T boldsymbol e_j Ti_ j boldsymbol e_i 。 在這裡我們使用了愛因斯坦求和約定。現在我們利用 G 的逆矩陣 G1 gij qquad g_ij gjk deltak_i ， 構造一個並矢張量 mathbf T Ti_ j gjk boldsymbol e_i boldsymbol e_k ， 則 R_flat mathbf T boldsymbol e_j mathbf T cdot boldsymbol e_j Ti_ l glk boldsymbol e_i boldsymbol e_k cdot boldsymbol e_j Ti_ l glk boldsymbol e_i boldsymbol e_k cdot boldsymbol e_j Ti_ l glk boldsymbol e_i g_kj Ti_ l deltal_j boldsymbol e_i Ti_ j boldsymbol e_i hat T boldsymbol e_j ， 可見由 hat T R_flatmathbf T 。 類似地也可以構造一個 mathbf T in V otimes V ，使之滿足 hat T L_flat mathbf T 。事實上，還可以證明 mathbf T 是 mathbf T 的轉置 用基底來展開，就是說 mathbf T Ti_ j gjk boldsymbol e_k boldsymbol e_i 。 結論證畢。 把 n 維歐幾里得空間 V 上的所有的線性對映所構成的線性空間記為 mathfrak glV，則後者的維數為 n2 由並矢張量和向量的縮併中的規則 6 和 7 不難得到 引理 2 前面已經分析過， dim V otimes V n2 。 根據引理 2 和引理 1，我們就得到了 定理 對映 R_flat V otimes V rightarrow mathfrak glV 和 L_flat V otimes V rightarrow mathfrak glV 都是線性同構。 這就是說，對於歐幾里得空間來說，它上面的並矢張量和線性變換可以互相等同。一般說來，用 R_flat 作等同比較自然些。這種等同就是愛因斯坦在相對論中用所引入的指標升降法 儘管其中的線性空間是閔可夫斯基空間，但是方法是相似的。具體來說，並矢張量是具有兩個上指標的二階反變張量，而線性變換則是一階協變一階反變的張量，R_flat 就是用度規張量把二階反變張量的右指標降下來，而 L_flat 則是把左邊的反變指標降下來。 特別是，當 hat T 為恆等對映時，Ti_ j deltai_j，從而得到 推論 把 V 上的單位張量（這是經典力學中的叫法，在相對論中則常常被稱為度規張量的逆）定義為與恆等對映相對應的那個並矢張量（不管是 R_flat 還是 L_flat，結果都一樣），則它可以藉助於基底展開為 gij boldsymbol e_i boldsymbol e_j 。 在上述討論過程中我們實際上沒有真正用到內積的正定性，而真正實質性的條件有兩點：（1）F mathbb R；（2）G g_ij 可逆。所以歐幾里德空間可以放鬆為 mathbb R 上帶有一個非退化的對稱雙線性型的線性空間。相對論中所用到的閔可夫斯基空間就是這樣的。 參見條目 並矢積 張量積 拉普拉斯 龍格 冷次向量 線性空間 參考文獻 H Goldstein Classical Mechanics 2nd ed AddisonWesley Massachusetts 1980 p194 吳望一，《流體力學》上冊，北京：北京大學出版社，1982：113 節，114 節。 Category 張量