加伯轉換是窗函式為高斯函式的短時距傅立葉變換。 數學定義 將短時距傅立葉轉換中的窗函式代入高斯函式，即可得下面的標準定義： G_x tfint_inftyinfty epi taut2 ej2 pi f tau x tau dtau 以下是幾種常見的替代定義： Gx_1 tfint_inftyinfty epi taut2 ej2 pi f taufrac t2 x tau dtau Gx_2 tfsqrt 42int_inftyinfty epi taut2 ej2 pi f tau x tau dtau Gx_3 tomegaint_inftyinfty efrac taut22 ej omegatau x tau dtau Gx_4 tomegasqrt frac 12piint_inftyinfty efrac taut22 ej omega taufrac t2 x tau dtau 註：在文獻上可能會看到不同形式的加伯轉換，但本質上都是一樣的。 由於實作時，不能計算無限大的積分式子，所以根據高斯函式會從兩側遞減的性質，我們可以將上式進一步化簡： because begin cases epi a2 000001 a19143 ea2 2 000001 a 47985 end cases therefore begin cases G_x tf simeq int_t19143t19143 epi taut2 ej2 pi f tau x tau dtau Gx_4 tomega simeq sqrt frac 12piint_t47985t47985 efrac taut22 ejomega taut2 x tau dtau end cases 為何選擇高斯函式作為窗函式 其他窗函式的短時距傅立葉變換，如利用方型窗函式的短時距傅立葉變換，無法同時兼顧時間軸和頻率軸的解析度；一者解析度提升，另一者解析度必定下降。但高斯函式由海森堡測不準原理可得知，是最能同時讓兩軸兼顧解析度的窗函式 將於下面章節詳述。 高斯函式為傅立葉轉換的特徵函式： int_inftyinfty epi t2 ej2 pi f tau dtepi f2 int_inftyinfty efrac t22 ej omega t dtefrac f22 因此經過轉換後其性質不變。因此可讓加伯轉換後在時間軸和頻率軸的性質相互對稱。 由測不準原理了解高斯函式的性質 上述提到，高斯函式是最能兼顧時間與頻率解析度的窗函式。我們利用這個章節來詳細討論。 海森堡測不準原理 對於一個訊號 x t，當 tto infty，若 sqrt t x t0 ，則 sigma_t sigma_f ge 14 pi 其中 sigma_t2 int tmu_t2 P_x t dt sigma_f2 int fmu_f2 P_X f df qquad mu_t int tP_x t dtquad quad quad mu_f int fP_X f df qquad P_x t frac x t2int x t2 dtquadP_X f frac X f2int X f2 df 由於兩者標準差相乘有下限，這個定理說明瞭我們沒有辦法同時精準量測時間和頻率，其中一者標準差下降 解析度上升，另一者標準差就上升 解析度下降。 thumbright 加伯轉換後的結果，橫軸是時間 秒，縱軸是頻率 赫茲 當訊號 x t 為高斯函式時 x t epi t2 X f epi f2 套用以上函式求得變異數 其中由於高斯函式為偶對稱函式，所以其 mu_t0 because sigma_t2 frac int t2 x t2 dtint x t2 dt frac frac 12frac 52pifrac 1sqrt 2 frac 14pi 藉由微積分公式可得： int_inftyinftyx t2dt int_inftyinfty e2pi t dt frac 1sqrt 2 及 int_inftyinfty t2x t2dt int_inftyinfty t2 e2pi t2 dt frac Gamma 322pifrac 32 therefore sigma_t sigma_f frac 14pi 即高斯函式滿足測不準定理的最下限，所以是所有窗函式中能使時間和頻率兩者解析度都達到最高的函式。 變形的高斯函式同樣會滿足測不準原理的下限，如以下例子： epi tt_02：對機率分佈做位移，標準差不會改變。 Aepi t2：分子與分母同乘 A，可消掉。因此標準差不會改變。 epi t2 ej2pi f_0t：在時域乘上 ej2pi f_0t 相當於在頻域對頻率做位移，標準差一樣不會改變。 epi bt2：在時域做縮放，頻域會做相反的縮放，因此標準差也不會改變。 以下提供一個簡單的例子來做模擬， x tbegin cases cos 2 pi t t 10 cos 6 pi t 10 leq t 20 end cases 右圖為即加伯轉換的結果，可以看出其時間和頻率都維持相當程度的解析度。 高斯窗函式與方形窗函式比較 以下提供一個簡單的範例來比較加伯轉換以及利用方形窗函式的短時傅立葉轉換： x tbegin cases cos 10 pi t t 10 cos 12 pi t 10 leq t 20 cos 9 pi t 20 leq t 30 end cases 從圖中可以發現方形窗函式的短時傅立葉轉換會有能量擴散的情形，而加伯轉換則是清晰的時頻圖。 加伯轉換的縮放 由於高斯窗函式的寬度可以由一常數做調整，因此我們將這個引數加入加伯轉換的數學式子中，讓轉換更加彈性，如下式： G_x tfsqrt 4sigma int_inftyinfty esigma pi taut2 ej2 pi ftau x tau dtau 而根據前面章節所述。實作時，不能計算無限大的積分式子，所以根據高斯函式會從兩側遞減的性質，我們可以將上式進一步化簡： G_x tf simeq sqrt 4sigma int_tfrac 19143sqrt sigmatfrac 19143sqrt sigma esigma pi taut2 ej2 pi ftau x tau dtau 根據傅立葉轉換的縮放公式，假設 w tepi sigma t2，則傅立葉轉換後為 W ffrac 1sqrt sigma efrac pi f2sigma，使其能根據需求而調整時域解析度或頻域解析度 改變高斯函式的寬度，和改變方形窗函式短時距傅立葉變換的效果類似。若選取較大的 sigma，時域的高斯窗函式較窄，則時域有較高的解析度，而頻域的高斯窗函式較寬，所以頻域的解析度會下降 通常用於需要時域解析度較高的應用，例如：音樂訊號 反之，若選取較小的 sigma，時域的高斯窗函式較寬，則時域的解析度下降，而頻域的高斯窗函式較窄，所以頻域的解析度會上升 通常運用在需要頻域解析度較高的應用，例如：氣候。雖然還是有兩軸之間的解析度的犧牲，但比起其他無法滿足測不準原理下限的窗函式，加伯轉換的兩軸還是能相對維持較高的解析度。 若應用於瞬時頻率改變較劇烈的應用，則可考慮使用窗寬度隨時間而變動的加伯轉換數學式子，如下 G_x tfsqrt 4sigma t int_inftyinfty esigma tpi taut2 ej2 pi ftau x tau dtau 當瞬時頻率變動非常快時，使用較大的 sigma 值，使其時域解析度能較高；當瞬時頻率變動很慢時，使用較小的 sigma 值，使其頻域解析度能較高。 實現方法及注意事項 Direct Implementation X tfint_inftyinfty w ttau x tau ej2 pi ftau dtau w te pi sigma t2 Discrete Form 令 t nDelta_t f mDelta_f tau pDelta_t 可將式子改寫為離散形式 Xleft n Delta _tm Delta _f right sumlimits_p inftyinfty wleft n pDelta _t rightxleft p Delta _t righte j2pi mp Delta _tDelta _fDelta _t w t cong 0 qquad forleft tright B frac BDelta _t Q w npDelta_tcong 0 qquad for left npright frac BDelta _t left pnright Q thereforeonly when Q w npDelta_t is nonzero 可改寫為 Xleft n Delta _tm Delta _f right sumlimits_p nQnQ wleft n pDelta _t rightxleft p Delta _t righte j2pi mp Delta _tDelta _fDelta _t 按照此式即可實現 e pi sigma a2 000001 whenleft aright 19143 Qfrac 19143sqrt sigmaDelta t Bfrac 19143sqrt sigma 限制 避免贋頻效應 aliasing effect 1Delta_t frac 12Omega qquad Omega Omega_x Omega_w 時間複雜度 O TFQ T 時間取樣點數 F 頻率取樣點數 QQfrac 19143sqrt sigmaDelta t 優缺點 優點：簡單實現，限制條件少 缺點：時間複雜度高 FFTBased Method 快速傅立葉轉換 由 Direct Implementation 可得下式 Xleft n Delta _tm Delta _f right sumlimits_p nQnQ wleft n pDelta _t rightxleft p Delta _t righte j2pi mp Delta _tDelta _fDelta _t 令 qpnQ to pnQq 且離散傅立葉轉換標準式 Y msumlimits_n 0N1 y n ejfrac 2pi mnN 可將式子整理為 Xleft n Delta _tm Delta _f right Delta _te j textstyle 2pi Qn m over Nsumlimits_q 0N1 x_1left q righte j textstyle 2pi qm over N 按照此式將 x_1 以 fft 算出帶入即可實現 其中 x_1left q right wleft Q qDelta _t right xleft n Q qDelta _t right 0 le q le 2Qw te pi sigma t2 x_1left q right 02Q q le N Qfrac 19143sqrt sigmaDelta t Bfrac 19143sqrt sigma Matlab 及 python 皆可呼叫 fft 函式完成 Y msumlimits_n 0N1 y n ejfrac 2pi mnN 演演算法 假設 tn_0Delta_tn_01Delta_tcdots cdots n_0T1Delta_t fm_0Delta_fm_01Delta_fcdots cdotsm_0F1Delta_f step 1：計算 n_0m_0TFNQ step 2：nn_0 step 3：決定 x_1 q step 4：X_1 mFFT x_1 q step 5：轉換 X_1 m 成 X nDelta_tmDelta_f step 6：設 nn1 and return to Step 3 until nn_0T1 限制 避免贋頻效應 aliasing effect 1Delta_t frac 12Omega qquad Omega Omega_x Omega_w基本上任何實現方法都要避免贋頻效應 2Delta _tDelta _f textstyle 1 over N 3 N1Delta _tDelta _f ge 2Q1 時間複雜度 O TN log _2 N 優缺點 優點：時間複雜度低 缺點：限制條件較直接實現法多 Chirp Z Transform 可改寫為 由 Direct Implementation 可得下式 Xleft n Delta _tm Delta _f right sumlimits_p nQnQ wleft n pDelta _t rightxleft p Delta _t righte j2pi mp Delta _tDelta _fDelta _t e pi sigma a2 000001 whenleft aright 19143 Qfrac 19143sqrt sigmaDelta t Bfrac 19143sqrt sigma 令 exp j2pi mp Delta _tDelta _f exp jpi p2 Delta _tDelta _f exp jpi pm2 Delta _tDelta _f exp jpi m2 Delta _tDelta _f 可將式子改寫為 Xleft n Delta _tm Delta _f right Delta _t sumlimits_p nQnQ wleft n pDelta _t rightxleft p Delta _t righte j2pi mp Delta _tDelta _f to Xleft n Delta _tm Delta _f right Delta _t e jpi m2 Delta _tDelta _fsumlimits_p nQnQ wleft n pDelta _t rightxleft p Delta _t righte jpi p2 Delta _tDelta _fe jpi pm2 Delta _tDelta _f 按此式即可實現 演演算法 Step1x_1 p w npDelta_t x pDelta_t ejpi p2 Delta_tDelta_f quad quad nQ le p le nQ Step2X_2 nm sum_pnQnQ x_1 p c mp quad quad c mejpi m2 Delta_tDelta_f Step3X nDelta_tmDelta_fDelta_t ejpi m2 Delta_tDelta_f X_2 mn 限制 避免贋頻效應 aliasing effect 1Delta_t frac 12Omega qquad Omega Omega_x Omega_w 時間複雜度 O TN log _2 N 優缺點 優點：限制條件與 Direct Implementation 法一樣基本上沒有限制 缺點：時間複雜度與 FFTBased Method 快速傅立葉轉換 一樣 但由於加伯轉換無法使用 Recursive Method 遞迴法 所以此不能算是缺點 特性 加伯轉換的大部分的特性和方形窗函式短時距傅立葉轉換的特性都相似，有些特性甚至更加接近傅立葉轉換的特性。 積分特性 當 k ne 0 int_inftyinfty G_x tf ej2 pi ktf df epi k12 t2 x kt 當 k 0 int_inftyinfty G_x tf df epi t2 x 0 當 k 1 int_inftyinfty G_x tf ej2 pi tf df x t 還原成原始訊號 位移特性 若 y tx tt_0 ，則 G_y tfG_x tt_0f ej2 pi ft_0 調變特性 若 y tx t ej2 pi f_0 t ，則 G_y tfG_x tff_0 線性特性 若有一訊號 h talpha x tbeta y t ， G_h tf G_x tf G_y tf 分別為 h tx ty t 做加伯轉換的結果，則 G_h tfalpha G_x tfbeta G_y tf 。 功率衰減特性 若 tt_0 時 x t0，則 int_inftyinftyG_x tf2 df e2pi tt_02int_inftyinftyG_x t_0f2df 能量積分特性 int_inftyinfty G_x t f2 df int_inftyinfty x tau2dtau simeq int_u19143u19143 e2pi tauu2x tau2 dtau int_inftyinftyint_inftyinfty G_x tf G_ytfdfdt int_inftyinfty x tau ytaudtau 能量總和特性 int_inftyinftyint_inftyinfty G_x tf G_y tf dfdtint_inftyinfty x tau y tau dtau 特殊訊號 1 當 x t delta t ，G_x tf epi t2 2 當 x t 1 ，G_x tfej2pi ft epi f2 和方形窗函式短時距傅立葉轉換不同的是，加伯轉換的結果對於時間和頻率軸較對稱，也比較沒有旁波 sidelobe；也印證了上述所說的，加伯轉換較能維持兩個軸的解析度。 優缺點 Gabor Transform 的優點 最佳時間 頻率區域性化特性 Gabor Transform 使用高斯窗函式，與其他常見窗函式（如 Rectangle、Triangle、Hanning、Hamming）相比，滿足測不準定理的最小下限（Minimum Uncertainty Principle）。這意味著，高斯函式能夠在時間域和頻率域中同時提供最佳的解析度，避免訊號特徵的模糊或失真。 高時間解析度：能捕捉訊號的快速變化，對於瞬態訊號（如語音中的短促音位或振動訊號中的瞬時變化）尤為重要。 高頻率解析度：能精確分辨訊號中的穩態頻率成分，特別適合於分析連續且平穩的週期訊號。 演算法穩健且實現簡單 Gabor Transform 基於傅裡葉變換的數學理論，其結構清晰、明瞭且實現相對簡單。現代數值計算技術（如快速傅裡葉變換，FFT）的發展進一步提升了 Gabor Transform 的計算效率，使其能夠在高效實現的同時保持穩健性。 穩健性：由於其依賴於成熟的數學基礎，在實施中容易檢測和修正潛在錯誤。 實現便利性：現有的數學工具庫（如 MATLAB、Python 的 Scipy、Octave）提供了高度封裝的 Gabor Transform 函式，大幅降低了實現門檻，讓開發者能更專注於應用場景設計，而非底層演算法除錯。 廣泛的應用場景 語音去噪：利用 Gabor Transform 可以有效提取語音訊號的時頻特徵，透過將語音訊號分解為多個頻帶，對噪聲進行有效抑制，從而提升語音的清晰度和識別準確度，特別是在低信噪比環境下 影像處理 紋理分析：有效捕捉影像的方向與頻率特徵，用於紋理分類和影像分割。 邊緣檢測：適用於醫學影像和場景理解，改善邊緣檢測效果。 機械振動訊號分析 故障檢測：由於 Gabor Transform 能夠提供高時間和頻率解析度，它能有效捕捉非平穩訊號中的瞬時頻率變化。這使得它特別適合用於檢測如軸承、齒輪等機械部件的故障。轉換後的訊號影像可以作為特徵輸入至卷積神經網路（CNN），進行自動化分類和故障診斷。 Gabor Transform 的缺點 計算複雜度較高 Gabor Transform 在處理高維資料（如影像訊號處理）時，計算複雜度可能大幅增加。每個窗函式的計算都需要執行一次傅立葉變換，這對於大資料集或實時應用場景來說，可能會成為系統效能的瓶頸。 在影像處理中，Gabor 變換通常需要對影像的不同尺度和方向應用一組 Gabor 濾波器，以提取豐富的特徵資訊。這意味著每個尺度和方向都需要單獨進行濾波操作，隨著濾波器數量的增加，計算量會線性增長。此外，對於高解析度影像，每次濾波操作都需要處理大量畫素，從而進一步增加了計算負擔。 為了提高計算效率，基於離散傅立葉變換（DFT）的快速演算法應運而生，快速演算法用於二維離散 Gabor 變換。可以顯著降低了計算複雜度 解析度折衷的不可避免性 根據測不準定理，Gabor Transform 的時間和頻率解析度達到了理論的最佳折衷，但這也意味著： 受測不凖定理約束，當需要同時對訊號的快速變化與細微頻率差異進行精確分析時，時間和頻率的解析度會有可能不足以同時滿足所有需求。 相較於 Gabor Transform， Wigner Distribution Function（WDF）等方法，因是對訊號的自相關函式做傅立葉轉換，可以超越測不準原理約束的下限，因此能提供更高的時頻解析度，尤其是對於結構複雜的訊號。然而，WDF 的非線性特性容易引入交叉幹擾項（crossterms，而為了為了結合兩者的優點，Gabor Wigner Transform 應運而生 參見 閔可夫斯基空間 柯西不等式 三角不等式 完備空間 參考書目、資料來源 JianJiun Ding Time frequency analysis and wavelet transform class notes the Department of Electrical Engineering National Taiwan University NTU Taipei Taiwan 2024 Alan V Oppenheim Ronald W Schafer John R Buck DiscreteTime Signal Processing Prentice Hall ISBN 0137549202 S Qian and D Chen Joint TimeFrequency Analysis Methods and Applications Chap 5 Prentice Hall NJ 1996 JianJiun Ding Time frequency analysis and wavelet transform class notes the Department of Electrical Engineering National Taiwan University NTU Taipei Taiwan 2020 SCPei and SGHuang STFT with adaptive window width based on the chirp rate IEEE Transactions on Signal Processing vol 60issue 8pp 406540802012 category 訊號處理