正矢（英文：、）是一種三角函式，出現於早期的（如梵語的 The Āryabhaṭīya by Āryabhaṭa 第一節），其值為 1 和餘弦函式的差 textrm versin theta 1 cos theta 。它的定義域是整個實數集，值域在 0 到 2 之間。它是週期函式，其最小正週期為 2pi（360）。在自變數為 2n1pi（360circ n180circ，其中 n 為整數）時，該函式有極大值 2；在自變數為 2npi（或 360circ n）時，該函式有極小值 0。正矢函式是偶函式，其影像關於軸對稱。 概述 正矢函式（ Fourth edition 或 See errata） 是一個三角函式，常計為、 、 NB ISBN and link for reprint of 2nd edition by Cosimo Inc New York USA 2013 、 或 。 accessdate20151107 reissued by Cambridge University Press 2009 See errata 在拉丁語中，其被稱為（翻轉的正弦）、 、 或 （箭頭）。 其等價定義為： operatorname versintheta 1 cos theta 2sin2left frac theta2right 相關函式 餘的正矢（英文：、），寫為、 或 。 textrm vercosin theta 2cos2left frac theta2right 1 cos theta 餘矢（英文：、），寫為 operatorname coversintheta，有時亦縮寫為 operatorname cvstheta。 textrm coversintheta textrm versinleft frac pi2 thetaright 1 sin theta 餘的餘矢（英文：或 ），寫為、 或 。 textrm covercosintheta textrm vercosinleft frac pi2 thetaright 1 sin theta 與上述四個函式類似，還存在四個 半值 函式： 半正矢（英文： 或 ），寫為、 、 、 、 、 、在訊號分析中，有時用於半正矢函式，也有時代表單位階躍函式。 或 ，因半正矢公式出名，且曾用於導航術。 textrm haversintheta frac textrm versintheta 2 sin2left frac theta2right frac 1 cos theta2 餘的半正矢（英文：或 ），寫為， 或 ，其可運用在訊號處理和機率統計上，參見餘的半正矢應用一節。 textrm havercosintheta frac textrm vercosintheta 2 cos2left frac theta2right frac 1 cos theta2 半餘矢（英文：、或 ），寫為、 、 、 或 。 textrm hacoversintheta frac textrm coversintheta 2 frac 1 sin theta2 餘的半餘矢（英文：、 或 ），寫為、 或 。 textrm hacovercosintheta frac textrm covercosintheta 2 frac 1 sin theta2 歷史與應用 正矢和餘矢 普通的正弦函式在歷史上有時被稱為 sinus rectus （「straight sine」，直譯「直正弦」），以與「versed」的正弦函式，即正矢函式（sinus versus）進行對比。如果在原始上下文中檢視函式的定義（單位圓），這些術語的含義就會很明顯： 對於單位圓的垂直弦，角（代表上下角的一半）的正弦是距離（垂直弦的一半）。另一方面，的正矢是從垂直弦的中心到圓弧中心的距離。因此，（等於線的長度）和（等於線的長度）總和就是半徑（長度為單位長）。以這種方式說明，正弦是垂直的，而正矢是水平的（正矢又稱為 sinus versus，其中 versus 字面意思是「相反、不合適」）； 兩者都是從點到圓周的距離，僅差在一個是垂直（正弦），一個是水平（正矢）。 這張圖也說明瞭為什麼正矢有時被稱為（拉丁語中箭頭的意思），源自阿拉伯語用法，具有相同的含義。 它本身來自印度單字「sara」（箭頭），通常用來指「」。 如果把上下角的弧看成是「弓」，弦看成是「弦」，那麼正矢對應的線段顯然就是「箭矢」。 為了進一步與將正弦解釋為「垂直」並且將正矢解釋為「水平」保持一致，「矢」一字（sagitta）在此也可以視為橫座標（圖中的水平軸）的過時同義詞。 1821 年，奧古斯丁 路易柯西使用術語「sinus versus」（siv）表達正矢，以及使用「cosinus versus」（cosiv）表達餘矢（不過部分文獻混淆了「餘的正矢」與「餘矢」，柯西在 1821 年的文獻中並未討論到「餘的正矢」，因此它們可能起源於較晚的時間）。 從歷史上看，正矢函式被認為是十分重要的三角函式之一。 當角十分接近於 0 的時候，正矢的值會是兩個幾乎相等的值的差，因此僅使用餘弦函式的三角函式表來計算的話，該表需要非常高的精度才能在避免災難性抵消對於計算正矢函式時所造成的數值誤差，因此製作專用於正矢函式的三角函式表是有必要的。即使是使用 zhcn 計算器；zhtw 計算機；zhhk 計數機； 或 zhcn 計算機；zhhk 計算機；zhtw 電腦；zhsg 電腦；，由於舍入誤差，對於較小的，也會建議使用公式來計算正矢值。 正矢的另一個歷史優勢是它的函式值總是非負的，因此除了單一特殊的角度（如及其同界角）為零之外，正矢函式的對數在任何地方都有定義，因此，乘法有涉及正矢函式的計算可以使用對數表來計算。 事實上，現存最早的正弦（半弦長）值表（與托勒密和其他希臘作家列出的弦函式表相對）是印度的 Surya Siddhantha 計算得出的，其可追溯到公元前 3 世紀，這個表是一個紀錄了從 0 到 90 之每 375 的正弦和正矢數值的表。 正矢是應用半形公式的中間步驟，該公式由托勒密匯出，用於建立此類數學用表。 半正矢 半正矢函式出現於半正矢公式中，其可以據兩點的經度和緯度來確定大圓上兩點之間距離，且在導航術中被廣泛地使用，因此十九和二十世紀初的導航和三角測量書中包含了半正矢值表和對數表。H B Goodwin The haversine in nautical astronomy Naval Institute Proceedings vol 36 no 3 1910 pp 735746 Evidently if a Table of Haversines is employed we shall be saved in the first instance the trouble of dividing the sum of the logarithms by two and in the second place of multiplying the angle taken from the tables by the same number This is the special advantage of the form of table first introduced by Professor Inman of the Portsmouth Royal Navy College nearly a century agoW W Sheppard and C C Soule Practical navigation World Technical Institute Jersey City 1922E R Hedrick Logarithmic and Trigonometric Tables Macmillan New York 19131835 年，在其著作《航海與航海天文學：供英國海員使用》（Navigation and Nautical Astronomy For the Use of British Seamen）第三版中創造了 半正矢 一詞以簡化地球表面兩點之間的距離計算，應用於球面三角學關於導航的部分。 現代用途 雖然正矢、餘矢和半正矢及其反函式的使用可以追溯到幾個世紀前，但其他五個餘函式的名稱（餘的正矢、餘的餘矢、半餘矢、餘的半正矢、餘的半餘矢）似乎較晚才出現。 即便如此，這些函式到了近代都還是存在相關應用，例如正矢的相關函式半正矢有應用在一些少見領域的計算方法上，以及餘的半正矢的相關函式則運用於訊號處理、控制理論、機率論和統計學中。 其中正矢的半值函式 半正矢函式在近幾十年來發現了新的應用。如 1995 年來布魯斯D斯塔克（Bruce D Stark）利用之清晰的月角距計算方法 NB Contains a table of Gaussian logarithms lg 110x ，以及 2014 年提出用於之更緊湊的方法。 餘的半正矢 餘的半正矢（havercosine）是餘的正矢（vercosine）之半值函式，其定義為： textrm havercosintheta frac textrm vercosintheta 2 cos2left frac theta2right frac 1 cos theta2 一個週期的正弦或更常見的餘的正矢（vercosine）之半值函式（havercosine）波形也常用於訊號處理和控制理論中，作為脈衝或窗函式的形狀（包括、漢恩泊松窗和圖基窗），因為它平滑地（在值和斜率上連續）從 0 遞增到 1（對於半正矢）再對稱地遞減回 0。在這些應用中，它被稱為或升餘弦濾波器。 同樣，餘的正矢（vercosine）之半值函式（havercosine）也用於機率論和統計學的。 結語 綜觀下來，正矢函式被認為是十分重要的三角函式之一，圍繞其的餘函式 餘矢函式亦是如此。主要是為了在 zhcn 計算器；zhtw 計算機；zhhk 計數機； 與 zhcn 計算機；zhhk 計算機；zhtw 電腦；zhsg 電腦； 發明之前高度仰賴三角函式表來計算的時代，避免出現災難性抵消對於計算正矢函式以及餘矢函式時所造成的數值誤差。後來發現其對應的半值函式 半正矢能運用在導航術上因此被廣泛使用。相應的每個函式都有其餘函式，在這些函式發展的晚期，這些其餘函式 如餘的正矢、餘的餘矢、半餘矢、餘的半正矢、餘的半餘矢才逐漸被拿來討論。但到了 zhcn 計算器；zhtw 計算機；zhhk 計數機； 與 zhcn 計算機；zhhk 計算機；zhtw 電腦；zhsg 電腦； 發明之後，這些函式的需求逐漸式微，因此變得較少使用，但在特定領域仍有發揮空間，如餘的半正矢能應用在訊號處理與機率統計上。 數學性質 定義 正矢、餘矢、餘的正矢、餘的餘矢、半正矢、半餘矢、餘的半正矢、餘的半餘矢定義如下： 正矢 textrm versin theta 2sin2left frac theta2right 1 cos theta 餘矢 textrm coversintheta textrm versinleft frac pi2 thetaright 1 sin theta 餘的正矢 textrm vercosin theta 2cos2left frac theta2right 1 cos theta 餘的餘矢 textrm covercosintheta textrm vercosinleft frac pi2 thetaright 1 sin theta 半正矢 textrm haversintheta frac textrm versintheta 2 sin2left frac theta2right frac 1 cos theta2 半餘矢 textrm hacoversintheta frac textrm coversintheta 2 frac 1 sin theta2 餘的半正矢 textrm havercosintheta frac textrm vercosintheta 2 cos2left frac theta2right frac 1 cos theta2 餘的半餘矢 textrm hacovercosintheta frac textrm covercosintheta 2 frac 1 sin theta2 圓週旋轉 這些函式具備圓週旋轉性值。例如正矢和餘矢即角度差 90 度、正矢和餘的正矢角度差 180 度、正矢和餘的餘矢角度差 270 度，以此類推。半值函式亦然。 begin align mathrm versintheta mathrm coversinleft theta frac pi2right mathrm vercosinleft theta piright mathrm covercosinleft theta frac 3pi2right mathrm haversintheta mathrm hacoversinleft theta frac pi2right mathrm havercosinleft theta piright mathrm hacovercosinleft theta frac 3pi2right end align 微分與積分 frac mathrm dmathrm d xmathrm versinx sin x intmathrm versinx mathrm d x x sin x C frac mathrm dmathrm d xmathrm vercosinx sin x intmathrm vercosinx mathrm d x x sin x C frac mathrm dmathrm d xmathrm coversinx cos x intmathrm coversinx mathrm d x x cos x C frac mathrm dmathrm d xmathrm covercosinx cos x intmathrm covercosinx mathrm d x x cos x C frac mathrm dmathrm d xmathrm haversinx frac sin x2 intmathrm haversinx mathrm d x frac x sin x2 C frac mathrm dmathrm d xmathrm havercosinx frac sin x2 intmathrm havercosinx mathrm d x frac x sin x2 C frac mathrm dmathrm d xmathrm hacoversinx frac cos x2 intmathrm hacoversinx mathrm d x frac x cos x2 C frac mathrm dmathrm d xmathrm hacovercosinx frac cos x2 intmathrm hacovercosinx mathrm d x frac x cos x2 C 反函式 這些函式也存在對應的反函式： 反正矢（arcversine）：正矢的反函式，又可以記作 arcversin、 arcvers、 avers 或 aver。 反餘的正矢（arcvercosine）：餘的正矢的反函式，又可以記作 arcvercosin、 arcvercos、 avercos 或 avcs。 反餘矢（arccoversine）：餘矢的反函式，又可以記作 arccoversin、 arccovers、 acovers 或 acvs。 反餘的餘矢（arccovercosine）：餘的餘矢的反函式，又可以記作 arccovercosin、 arccovercos、 acovercos 或 acvc。 反半正矢（archaversine）：半正矢的反函式，又可以記作 archaversin、 archav 、 haversin1、 invhav、 ahav、 ahvs、 ahv 或 hav1。 反餘的半正矢（archavercosine）：餘的半正矢的反函式，又可以記作 archavercosin、 archavercos 或 ahvc。 反半餘矢（archacoversine）：半餘矢的反函式，又可以記作 archacoversin 或 ahcv。 反餘的半餘矢（archacovercosine）：餘的半餘矢的反函式，又可以記作 archacovercosin、 archacovercos 或 ahcc。 operatorname arcversiny arccosleft 1yright operatorname arcvercosy arccosleft y1right operatorname arccoversiny arcsinleft 1yright operatorname arccovercosy arcsinleft y1right operatorname archaversiny 2arcsinleft sqrt yright arccosleft 12yright operatorname archavercosy 2arccosleft sqrt yright arccosleft 2y1right operatorname archacoversiny arcsinleft 12yright operatorname archacovercosy arcsinleft 2y1right 其他性質 這些函式皆可以擴充套件到複平面。 馬克勞林級數： begin align operatorname versinz sum_k1infty frac 1k1 z2k2k operatorname haversinz sum_k1infty frac 1k1 z2k2 2k end align lim_theta to 0 frac operatorname versinthetatheta 0 begin align frac operatorname versintheta operatorname coversintheta operatorname versintheta operatorname coversintheta frac operatorname exsectheta operatorname excsctheta operatorname exsectheta operatorname excsctheta frac 2 operatorname versintheta operatorname coversintheta operatorname versintheta operatorname coversintheta 3pt operatorname versintheta operatorname exsectheta operatorname coversintheta operatorname excsctheta sin theta cos theta end align 近似值 當的正矢函式值與半徑相比較小時，可以透過以下公式從半弦長度（上圖所示的長）近似得出正矢值： v approx frac L22r 或者，如果正矢函式值很小，且已知正矢函式值、半徑和半弦長，則可以透過以下公式來估計計弧長（上圖所示的）： sapprox Lfrac v2r 這個公式為中國數學家沈括所知，兩個世紀後，郭守敬提出了一個更準確的公式，也涉及弦弧間最大的距離。 工程中使用的更準確的近似是： vapprox frac sfrac 32 Lfrac 128r 任意曲線和絃 術語「正矢」（versine）有時也用來描述任意平面曲線中弦與曲線間最大的距離，上面的圓是其中的一個特例。 給定曲線中兩點之間的弦，從弦到曲線（通常在弦中點）的垂直距離稱為正矢測量（versine measurement）或軌道曲線正矢測量。對於直線，任何弦的正矢為零，因此該測量表徵了曲線的直線度。在極限情況下，當弦長趨近於零時，瞬時曲率的比率為。 這種用法在鐵路運輸中尤其常見，它描述了鐵軌直線度的測量，並且它是鐵路測量的之基礎。 其他相關函式 正矢的值域範圍在 0 到 2 之間，類似的函式還有弦函式（crd），值域範圍也在 0 到 2 之間，但函式圖形略有差異。正矢函式的圖形與正弦函式的形狀相同，但 x 軸與 y 軸都平移了一段距離。正矢函式與其他「正」的三角函式（正弦、正切、正割）同樣是從零開始遞增的函式。 參見 三角函式 註釋 參考文獻 Cites coinage by Prof Jas Inman D D in his Navigation and Nautical Astronomy 3rd ed 1835 外部連結 Sagitta Apothem and Chord by Ed Pegg Jr The Wolfram Demonstrations Project Category 三角學 Category 三角函式