n 維空間中一個物件 X 的幾何中心或形心是將 X 分成矩相等的兩部分的所有超平面的交點。非正式地說，它是 X 中所有點的平均。如果一個物件質量分佈平均，形心便是重心。 如果一個物件具有一致的密度，或者其形狀和密度具有某種對稱性足以確定幾何中心，那麼它的幾何中心和質量中心重合，該條件是充分但不是必要的。 有限個點總存在幾何中心，可以透過計算這些點的每個座標分量的算術平均值得到。這個中心是空間中一點到這有限個點距離的平方和的唯一最小值點。點集的幾何中心在仿射變換下保持不變。 性質 一個凸物件的幾何中心總在其內部。一個非凸物件的幾何中心可能在外部，比如一個環或碗的幾何中心不在內部。 三角形的中心 形心是三角形的幾何中心，是指三角形的三條中線（頂點和對邊的中點的連線）交點幾何原本 ISBN 9576030161。 三條中線共點證明 用塞瓦定理逆定理可以直接證出： frac BEEC cdot frac CFFA cdot frac ADDBfrac 11 cdot frac 11 cdot frac 111 因此三線共點。幾何明珠 ISBN 9576031974 中心分每條中線比為 21，這就是說距一邊的距離是該邊相對頂點距該邊的 13。如右圖所示： 如果三角形是由均勻材料做成的薄片，那麼幾何中心也就是質量中心。它的笛卡爾座標是三個頂點的座標算術平均值。也就是說，如果三頂點位於 x_a y_a，x_b y_b，和 x_c y_c，那麼幾何中心位於： Big begin matrixfrac13end matrix x_ax_bx_c begin matrixfrac13end matrix y_ay_by_cBig begin matrixfrac13end matrix x_a y_a begin matrixfrac13end matrix x_b y_b begin matrixfrac13end matrix x_c y_c 中心分中線為 21 的證明 設三角形 ABC 的中線 AD，BE 和 CF 交於三角形的中心 G，延長 AD 至點 O 使得 AG GO 那麼三角形 AGE 和 AOC 相似（公共角 A，AO 2 AG，AC 2 AE），所以 OC 平行於 GE。但是 GE 是 BG 的延長，所以 OC 平行於 BG。同樣的，OB 平行於 CG。 從而圖形 GBOC 是一個平行四邊形。因為平行四邊形對角線互相平分，對角線 GO 和 BC 的交點使得 GD DO，這樣 GO GD DO 2GD 所以， AG GO 2GD，或 AGGD 2 1，這對任何中線都成立。 性質 三角形的重心與三頂點連線，所形成的三個三角形面積相等。 頂點到重心的距離是中線的 tfrac 23。 外心 O、重心 G、九點圓圓心 F、垂心 H 四點依次序共線，其中 OGGFFH213，此線稱為尤拉線。 內心 I、重心 G、斯俾克心 S、奈格爾點 N 四點依次序共線，其中 IGGSSN213，此線稱為奈格爾線。 三角形的重心同時也是中點三角形的重心。 在直角座標系中，若頂點的座標分別為 x_1y_1、x_2y_2、x_3y_3，則重心的座標為： left frac x_1x_2x_33frac y_1y_2y_33right 三線坐標中、重心的座標為： bc ca ab frac 1a frac 1b frac 1c csc A csc B csc C 重心坐標中、重心的座標為： 1 1 1 三角形的重心的等截共軛點也是三角形重心自己。 三角形的重心的等角共軛點稱為類似重心。 四面體的中心 類似三角形的中心的結論對四面體也成立，四面體的幾何中心是所有頂點和相對平面中心的連線的交點。這些線段被中心分成 31。這個結論能自然推廣到任何 n 維單形。如果單形的頂點集是 v_0v_n，將這些頂點看成向量，幾何中心位於： frac 1n1sum_i0n v_i 多邊形的中心 一個由 N 個頂點（xi yi）確定的不自交閉多邊形的中心能如下計算： 記號（ xN yN）與頂點（ x0 y0）相同。多邊形的面積為： A frac 12sum_i0N1x_i y_i1 x_i1 y_i 多邊形的中心由下式給出： C_x frac 16Asum_i0N1x_ix_i1x_i y_i1 x_i1 y_i C_y frac 16Asum_i0N1y_iy_i1x_i y_i1 x_i1 y_i 有限點集的中心 給定有限點集 x_1x_2ldotsx_k 屬於 mathbb Rn，它們的中心定義 C 為 C frac x_1x_2cdotsx_kk。 面積中心 面積中心和質量中心非常類似，面積中心只取決於圖形的幾何形狀。如果物體是均勻的，質量中心將位於面積中心。 對於兩部分組成的圖形，將有如下等式： overline y dfrac overline y_1 A_1 overline y_2 A_2A_1 A_2 overline y 是特定部分的面積中心到所選參考系的距離。A 是特定部分的面積。 當一個複雜幾何圖形可以分成一些已知的簡單幾何圖形時，先計算各部分的面積中心，然後透過下面一般的公式計算整個圖形的面積中心： overline x frac sum overline x_i A_isum A_i overline y frac sum overline y_i A_isum A_i 這裡從 y 軸到中心的距離是 overline x，從 x 軸到中心的距離是 overline y，中心的座標是 overline x overline y。 積分公式 一個平面圖形的中心的橫座標（x 軸）由積分 C_x frac int x f x dxint f x dx 給出。 這裡 f（x）是物件位於在橫座標 x 點 y 軸上的長度，是在 x 圖形的測度。這個公式能由區域關於 y 軸的第一矩得出。 這個過程等價於取加權平均。假設 y 軸表示頻率，x 軸表示欲求平均值的變數，那麼沿著 x 軸的中心即 bar x。從而中心可以想象成表示特定形狀的許多無限小元的加權平均。 對任意維數 n，由相同的公式得出 Rn 中一個物件的中心第一個座標，假設 f x 是物件在座標 x 的截面（也就是說，物件中第一個座標為 x 的所有點的集合）的（n1） 維測度。 注意到分母恰是物件的 n 維測度。特別的，在 f 為正規時，即分母為 1，中心也稱為 f 的平均。 當物件的測度為 0 或者積分發散，這個公式無效。 圓錐和稜錐的中心 圓錐或稜錐的中心位於連線頂點和底的中心的線段上，分比為 31。 對稱中心 如果中心確定了，那麼中心是所有它對稱群的不動點。從而對稱能全部或部分確定中心，取決於對稱的種類。另外可以知道，如果一個物件具有傳遞對稱性，那麼它的中心是不確定的或不在內部，因為一個傳遞變換群沒有不動點。 地理中心 地理學中，地球表面一個區域的幾何中心也稱為地理中心。 參見 重心列表 帕普斯中心定理 K 平均演算法 中點 外心 內心 垂心 奈格爾點 類似中線 尤拉線 西瓦定理 參考文獻 外部連結 Encyclopedia of Triangle Centers by Clark Kimberling The centroid is indexed as X 2 Triangle centers by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas Characteristic Property of Centroid at cuttheknot Barycentric Coordinates at cuttheknot Online Tool to Compute Center of Mass bounded by f x and g x Interactive animations showing Centroid of a triangle and Centroid construction with compass and straightedge Category 仿射幾何 Category 三角形幾何 Category 平均數