學生 t 分佈（Students tdistribution），簡稱 t 分佈，在機率論及統計學中用於根據小樣本來估計母體呈常態分佈且標準差未知的期望值。若母體標準差已知，或是樣本數足夠大時（依據中央極限定理漸進常態分佈），則應使用常態分佈來進行估計。其為對兩個樣本期望值差異進行顯著性測試的司徒頓 t 檢定之基礎。 司徒頓 t 檢定改進了 Z 檢定，因為在小樣本中，Z 檢定以母體標準差已知為前提，Z 檢定用在小樣本會產生很大的誤差，因此必須改用學生 t 檢定以求準確。但若在樣本數足夠大（普遍認為超過 30 個即足夠）時，可依據中央極限定理近似常態分佈，以 Z 檢定來求得近似值， 在母體標準差數未知的情況下，不論樣本數量大或小皆可應用 t 檢定。在待比較的資料有三組以上時，因為誤差無法被壓低，此時可以用變異數分析（ANOVA）代替 t 檢定。 t 分佈的推導最早由德國大地測量學家於 1876 年提出，並由德國數學家證明。 英國人威廉戈塞於 1908 年再次發現並發表了 t 分佈，當時他還在愛爾蘭都柏林的吉尼斯啤酒釀酒廠工作。酒廠雖然禁止員工發表一切與釀酒研究有關的成果，但允許他在不提到釀酒的前提下，以筆名發表 t 分佈的發現，所以論文使用了「學生」（Student）這一筆名。之後 t 檢定以及相關理論經由羅納德費雪發揚光大，為了感謝戈塞的功勞，費雪將此分佈命名為學生 t 分佈（Students t）。 描述 假設 X 是呈正態分佈的獨立的隨機變數（隨機變數的期望值為 mu，母體變異數為 sigma2 但其值未知）。 令： overline X_nfrac X_1cdotsX_nn 為樣本期望值， S_n2frac 1n1sum_i1nleft X_ioverline X_nright2 為樣本變異數， Zfrac overline X_nmufrac sigmasqrt n 為呈期望值為 0 變異數為 1 的常態分佈的隨機變數，但因母體變異數 sigma2 為未知，因此依史拉斯基定理以 S_n2 替換之： Tfrac overline X_nmufrac S_nsqrt n T 的機率密度函式是： f t frac Gamma frac nu12sqrt nupiGamma frac nu2 1frac t2nufrac nu12 nu 等於 n 1。 T 的分佈稱為 t 分佈。母數 nu 一般被稱為自由度。 Gamma 是伽瑪函式。 如果 nu 是偶數， frac Gamma frac nu12 sqrt nupiGamma frac nu2 frac nu 1nu 3cdots 5 cdot 3 2 sqrt nunu 2nu 4cdots 4 cdot 2cdot 如果 nu 是奇數， frac Gamma frac nu12 sqrt nupiGamma frac nu2 frac nu 1nu 3cdots 4 cdot 2 pi sqrt nunu 2nu 4cdots 5 cdot 3cdot T 的機率密度函式的形狀類似於期望值為 0 方差為 1 的正態分佈，但更低更寬。隨著自由度 nu 的增加，則越來越接近期望值為 0 方差為 1 的正態分佈。 t 分佈密度 紅色曲線 在自由度為 1 2 3 5 10 30 比較於標準正態分佈 藍色曲線 前幅圖用綠色曲線表示 T 分佈的機率累計函式，用不完全貝塔函式 I 表示： F t int_inftyt f udu 1 tfrac 12 I_x tleft tfrac nu2 tfrac 12right 其中 x t frac nut2nu T 分佈的矩為： E Tkbegin cases 0 mbox k odd 0k nu frac Gamma frac k12Gamma frac nk2k2sqrt piGamma frac n2 mbox k even 0k nu mbox NaN mbox k odd 0nuleq k infty mbox k even 0nuleq k end cases 學生 t 分佈置信區間的推導 假設數量 A 在當 T 呈 t 分佈（T 的自由度為 n 1）滿足 Pr A T A090 這與 Pr T A 095 是相同的 A 是這個機率分佈的第 95 個百分點 那麼 Prleft A overline X_n mu over S_nsqrt n Aright09 等價於 Prleft overline X_n A S_n over sqrt n mu overline X_n A S_n over sqrt nright 09 因此 μ 的 90 置信區間為： overline X_npm Afrac S_nsqrt n 計算 現在最方便的計算 T 分佈的辦法是使用電子表格軟體（如 Excel）或查相關線上計算網站。例如，Excel 的 TDIST xvsides 用來計算自由度為 v 的 T 分佈，如果第三個引數為 1，則給出 Pr Tx；如果第三個引數為 2，則計算 Pr Tx Or Tx 下表列出了自由度為 nu 的 t 分佈的單側和雙側區間值。例如，當樣本數量 n5 時，則自由度 nu4，我們就可以查詢表中以 4 開頭的行。該行第 5 列值為 2132，對應的單側值為 95（雙側值為 90）。這也就是說，T 小於 2132 的機率為 95（即單側），記為 Pr T 2132 095；同時，T 值介於 2132 和 2132 之間的機率為 90（即雙側），記為 Pr 2132 T 2132 09。 這是根據分佈的對稱性計算得到的， Pr T 2132 1 Pr T 2132 1 095 005 因此， Pr 2132 T 2132 1 2 005 09 注意關於表格的最後一行的值：自由度為無限大的 t 分佈和常態分佈等價。 單側 75 80 85 90 95 975 99 995 9975 999 9995 雙側 50 60 70 80 90 95 98 99 995 998 999 1 1000 1376 1963 3078 6314 1271 3182 6366 1273 3183 6366 2 0816 1061 1386 1886 2920 4303 6965 9925 1409 2233 3160 3 0765 0978 1250 1638 2353 3182 4541 5841 7453 1021 1292 4 0741 0941 1190 1533 2132 2776 3747 4604 5598 7173 8610 5 0727 0920 1156 1476 2015 2571 3365 4032 4773 5893 6869 6 0718 0906 1134 1440 1943 2447 3143 3707 4317 5208 5959 7 0711 0896 1119 1415 1895 2365 2998 3499 4029 4785 5408 8 0706 0889 1108 1397 1860 2306 2896 3355 3833 4501 5041 9 0703 0883 1100 1383 1833 2262 2821 3250 3690 4297 4781 10 0700 0879 1093 1372 1812 2228 2764 3169 3581 4144 4587 11 0697 0876 1088 1363 1796 2201 2718 3106 3497 4025 4437 12 0695 0873 1083 1356 1782 2179 2681 3055 3428 3930 4318 13 0694 0870 1079 1350 1771 2160 2650 3012 3372 3852 4221 14 0692 0868 1076 1345 1761 2145 2624 2977 3326 3787 4140 15 0691 0866 1074 1341 1753 2131 2602 2947 3286 3733 4073 16 0690 0865 1071 1337 1746 2120 2583 2921 3252 3686 4015 17 0689 0863 1069 1333 1740 2110 2567 2898 3222 3646 3965 18 0688 0862 1067 1330 1734 2101 2552 2878 3197 3610 3922 19 0688 0861 1066 1328 1729 2093 2539 2861 3174 3579 3883 20 0687 0860 1064 1325 1725 2086 2528 2845 3153 3552 3850 21 0686 0859 1063 1323 1721 2080 2518 2831 3135 3527 3819 22 0686 0858 1061 1321 1717 2074 2508 2819 3119 3505 3792 23 0685 0858 1060 1319 1714 2069 2500 2807 3104 3485 3767 24 0685 0857 1059 1318 1711 2064 2492 2797 3091 3467 3745 25 0684 0856 1058 1316 1708 2060 2485 2787 3078 3450 3725 26 0684 0856 1058 1315 1706 2056 2479 2779 3067 3435 3707 27 0684 0855 1057 1314 1703 2052 2473 2771 3057 3421 3690 28 0683 0855 1056 1313 1701 2048 2467 2763 3047 3408 3674 29 0683 0854 1055 1311 1699 2045 2462 2756 3038 3396 3659 30 0683 0854 1055 1310 1697 2042 2457 2750 3030 3385 3646 40 0681 0851 1050 1303 1684 2021 2423 2704 2971 3307 3551 50 0679 0849 1047 1299 1676 2009 2403 2678 2937 3261 3496 60 0679 0848 1045 1296 1671 2000 2390 2660 2915 3232 3460 80 0678 0846 1043 1292 1664 1990 2374 2639 2887 3195 3416 100 0677 0845 1042 1290 1660 1984 2364 2626 2871 3174 3390 120 0677 0845 1041 1289 1658 1980 2358 2617 2860 3160 3373 infty 0674 0842 1036 1282 1645 1960 2326 2576 2807 3090 3291 範例 給定一個樣本：樣本期望值和方差分別為 10 和 2，樣本大小為 11（自由度為 10）。根據公式： overline X_npm Afrac S_nsqrt n 可知，使用該方法統計出來的最大值，平均有 90 的機率（即 90 置信度 信心水準 confidence level）低於： 10137218 frac sqrt 2sqrt 111058510 同理，使用該方法統計出來的最小值，平均有 90 的機率（即 90 置信度 信心水準 confidence level）高於： 10137218 frac sqrt 2sqrt 11941490 因此，使用該方法統計出來的最大值和最小值，平均有 80 的機率介於： 10pm137218 frac sqrt 2sqrt 119414901058510 兩值之間。（需注意此非代表資料的真正期望值介於這兩個值之間的機率為 80，詳情請參見置信區間。） 參見 假說檢定 司徒頓 t 檢定 機率分佈 參考文獻 外部連結 en Probability Statistics and Estimation 首先第 112 頁。 Category 統計學 Category 連續分佈