在物理學裡，作用量（英語：action）是一個很特別、很抽象的物理量。它表示著一個動力物理系統內在的演化趨向。雖然與微分方程式方法大不相同，作用量也可以被用來分析物理系統的運動，所得到的答案是相同的。只需要設定系統在兩個點的狀態，初始狀態與最終狀態，然後，經過求解作用量的平穩值，就可以得到系統在兩個點之間每個點的狀態。 歷史 皮埃爾德費馬於 1662 年發表了費馬原理。這原理闡明：光傳播的正確路徑，所需的時間必定是極值。這原理在物理學界造成了很大的震撼。不同於牛頓運動定律的機械性，現今，一個物理系統的運動擁有了展望與目標。 戈特弗裡德萊布尼茨不同意費馬的理論。他認為光應該選擇最容易傳播的路徑。他於 1682 年發表了他的理論：光傳播的正確路徑應該是阻礙最小的路徑；更精確地說，阻礙與徑長的乘積是最小值的路徑。這理論有一個難題，如果要符合實驗的結果，玻璃的阻礙必須小於空氣的阻礙；但是，玻璃的密度大於空氣，應該玻璃的阻礙會大於空氣的阻礙。萊布尼茨為此提供了一個令人百思的辯解。較大的阻礙使得光較不容易擴散；因此，光被約束在一個很窄的路徑內。假若，河道變窄，水的流速會增加；同樣地，光的路徑變窄，所以光的速度變快了。 1744 年，皮埃爾莫佩爾蒂在一篇論文《The agreement between the different laws of Nature that had until nowseemed incompatiable》中，發表了最小作用量原理：光選擇的傳播路徑，作用量最小。他定義作用量為移動速度與移動距離的乘積。用這原理，他證明瞭費馬原理：光傳播的正確路徑，所需的時間是極值；他也計算出光在反射與同介質傳播時的正確路徑。1747 年，莫佩爾蒂在另一篇論文《On the laws of motion and of rest》中，應用這原理於碰撞，正確地分析了彈性碰撞與非彈性碰撞；這兩種碰撞不再需要用不同的理論來解釋。 萊昂哈德尤拉在同年發表了一篇論文《Method for finding curves having a minimal or maximal property or solutions to isoperimetric problems in the broadest accepted sense》 ；其中，他表明物體的運動遵守某種物理量極值定律，而這物理量是 int_path v2 dt。應用這理論，尤拉成功的計算出，當粒子受到連心力作用時，正確的拋射體運動。 在此以後，許多物理學家，包括約瑟夫拉格朗日、威廉哈密頓、理查德費曼等等，對於作用量都有很不同的見解。這些見解對於物理學的發展貢獻甚多。 概念 微分方程式時常被用來表述物理定律。微分方程式指定出，隨著極小的時間、位置、或其他變數的變化，一個物理變數如何改變。總合這些極小的改變，再加上這物理變數在某些點的已知數值或已知導數值，就能求得物理變數在任何點的數值。 作用量方法是一種全然不同的方法，它能夠描述物理系統的運動，而且只需要設定物理變數在兩點的數值，稱為初始值與最終值。經過作用量平穩的演算，可以得到，此變數在這兩點之間任何點的數值。而且，作用量方法與微分方程式方法所得到的答案完全相同。 哈密頓原理闡明瞭這兩種方法在物理學價位的等價：描述物理系統運動的微分方程式，也可以用一個等價的積分方程式來描述。無論是關於經典力學中的一個單獨粒子、關於經典場像電磁場或重力場，這描述都是正確的。更加地，哈密頓原理已經延伸至量子力學與量子場論了。 用變分法數學語言來描述，求解一個物理系統作用量的平穩值（通常是最小值），可以得到這系統隨時間的演化（就是說，系統怎樣從一個狀態演化到另外一個狀態）。更廣義地，系統的正確演化對於任何微擾必須是平穩的。這要求導致出描述正確演化的微分方程式。 作用量形式 在經典物理裡，作用量這術語至少有七種不同的意義。每一種不同的意義有它不同的表達形式。 作用量（泛函） 最常見的作用量是一個泛函 mathcal S，輸入是引數為時間與空間的函式，輸出是一個純量。在經典力學裡，輸入函式是物理系統在兩個時間點 t_1，t_2 之間廣義座標 mathbf qt 的演變。 作用量 mathcal S 定義為，在兩個時間點之間，系統的拉格朗日量 L 對於時間的積分： mathcal Smathbf qt int_t_1t_2 L mathbf q dot mathbf q t mathrm d t。 根據哈密頓原理，正確的演化 mathbf q_mathrm truet 要求平穩的作用量 mathcal S（最小值、最大值、鞍值）。經過運算，結果就是拉格朗日方程式。 簡略作用量（泛函） 簡略作用量也是一個泛函，通常標記為 mathcal S_0。這裡，輸入函式是物理系統移動的一條路徑，完全不考慮時間引數。舉例而言，一個行星軌道的路徑是個橢圓，一個粒子在均勻重力場的路徑是拋物線；在這兩種狀況，路徑都跟粒子的移動速度無關。簡略作用量 mathcal S_0 定義為廣義動量 mathbf p 沿著路徑的積分： mathcal S_0 int mathbf pmathrm dmathbf q； 其中，mathbf q 是廣義座標．根據莫佩爾蒂原理，正確路徑的簡略作用量 mathcal S_0 是平穩的。 哈密頓主函式 主條目：哈密頓主函式。 哈密頓主函式是由哈密頓 雅可比方程式定義的。哈密頓 雅可比方程式是經典力學的另一種表述。哈密頓主函式 S 與泛涵 mathcal S 有密切的關係。固定住初始時間 t_1 和其對應的座標點 mathbf q_1；而準許時間上限 t_2 和其對應的座標點 mathbf q_2 的改變。取 t_2 和 mathbf q_2 為函式 S 的引數。換句話說，作用量函式 S 是拉格朗日量對於時間的不定積分： S mathbf q mathbf P t int L mathbf q dot mathbf q t mathrm d t。 更加地，可以證明 mathbf P 是某常數向量 mathbf a。所以， S mathbf q mathbf P t S mathbf q mathbf a t。 哈密頓特徵函式 主條目：哈密頓特徵函式。 假若，哈密頓量 H 是守恆的； Halpha； 其中，alpha 是常數。 設定哈密頓特徵函式 W 為 W mathbf q mathbf a S mathbf q mathbf a t alpha t。 則哈密頓特徵函式 W 是一個作用量。 更加地， frac dWdtfrac partial Wpartial mathbf qdot mathbf qmathbf pdot mathbf q。 對於時間積分： W mathbf q mathbf aintmathbf pdot mathbf q dtint mathbf pdmathbf q。 這正是簡略作用量的方程式。 哈密頓 雅可比方程的其他解 主條目：哈密頓 雅可比方程式。 哈密頓 雅可比方程式是經典力學的一種表述。假若，哈密頓 雅可比方程式是完全可分的；則哈密頓主函式 S mathbf q mathbf P t 分出的每一個專案 S_kq_k mathbf P t 也稱為 作用量。 作用量 角度座標 主條目：作用量 角度座標。思考一個作用量 角度座標的廣義動量變數 J_k，定義為在相空間內，關於轉動運動或振蕩運動，廣義動量的閉路徑積分： J_k oint p_k mathrm d q_k。 這變數 J_k 稱為廣義座標 q_k 的作用量；相應的正則座標是角度 w_k。不同於前面簡略作用量泛函地用點積來積分向量；這裡，只有一個純量變數 q_k 被用來積分。作用量 J_k 等於，隨著 q_k 沿著閉路徑，S_kq_k 的改變。應用於幾個有趣的物理系統，J_k 或者是常數，或者改變非常地慢。因此，J_k 時常應用於微擾理論與緩漸不變數的研究。 哈密頓流作用量 參閱重言 1 形式。 數學導引 哈密頓原理闡明，如果一個物理系統在兩個時間點 t_1、t_2 的運動是正確運動，則作用量泛函 mathcal S 的一次變分 deltamathcal S 為零。用數學方程式表示，定義作用量為 mathcal S stackrel mathrm def int_t_1t_2 L mathbf q dot mathbf q tdt。 其中，L mathbf q dot mathbf q t 是系統的拉格朗日函式，廣義座標 mathbf q left q_1 q_2 ldots q_Nright 是時間的函式。 假若，mathbf qt 是系統的正確運動，則 delta mathcal S0。 從哈密頓原理可以導引出拉格朗日方程式．假設 mathbf qt 是系統的正確運動，讓 boldsymbolvarepsilon t 成為一個微擾 deltamathbf q；微擾在軌道兩個端點的值是零： boldsymbolvarepsilon t_1boldsymbolvarepsilon t_2 stackrel mathrm def 0。 取至 boldsymbolvarepsilon t 的一階微擾，作用量泛函的一次變分為 delta mathcal S int_t_1t_2 left L mathbf qboldsymbol varepsilon dotmathbf q dotboldsymbol varepsilon L mathbf q dotmathbf qright dt int_t_1t_2 left boldsymbolvarepsilon cdot frac partial Lpartial mathbf q dotboldsymbolvarepsilon cdot frac partial Lpartial dotmathbf q rightdt 。 這裡，將拉格朗日量 L 展開至 boldsymbolvarepsilon t 的一階微擾。 應用分部積分法於最右邊專案， delta mathcal S left boldsymbolvarepsilon cdot frac partial Lpartial dotmathbf qright_t_1t_2 int_t_1t_2 left boldsymbolvarepsilon cdot frac partial Lpartial mathbf q boldsymbolvarepsilon cdot frac ddt frac partial Lpartial dotmathbf q rightdt。 邊界條件 boldsymbolvarepsilon t_1 boldsymbolvarepsilon t_2 stackrel mathrm def 0 使第一個專案歸零。所以， delta mathcal S int_t_1t_2 boldsymbolvarepsilon cdot left frac partial Lpartial mathbf q frac ddt frac partial Lpartial dotmathbf q rightdt。 要求作用量泛函 mathcal S 平穩。這意味著，對於正確運動的任意微擾 boldsymbolvarepsilon t，一次變分 delta mathcal S 必須等於零： delta mathcal S int_t_1t_2 boldsymbolvarepsilon cdot left frac partial Lpartial mathbf q frac ddt frac partial Lpartial dotmathbf q rightdt0。 請注意，還沒有對廣義座標 mathbf qt 做任何要求。現在，要求所有的廣義座標都互相無關（完整限制）。這樣，根據變分法基本引理，可以得到拉格朗日方程式： frac partial Lpartial mathbf q frac ddtfrac partial Lpartial dotmathbf q mathbf 0。 在各個物理學領域，拉格朗日方程式都被認為是非常重要的方程式，能夠用來精確地理論分析許多物理系統。 對應於廣義座標 q_k 的廣義動量 p_k，又稱為共軛動量，定義為 p_k stackrel mathrm def frac partial Lpartialdot q_k。 假設 L 不顯性地跟廣義座標 q_k 有關， frac partial Lpartial q_k0， 則廣義動量 p_k stackrel mathrm def frac partial Lpartialdot q_k 是常數。在此種狀況，座標 q_k 稱為迴圈座標。舉例而言，如果用極座標系 r theta h 來描述一個粒子的平面運動，而 L 與 theta 無關，則廣義動量是守恆的角動量。 參閱 拉格朗日力學 哈密頓力學 諾特定理 愛因斯坦 希爾伯特作用量 最小作用量原理 外部連結 ，Edwin F Taylor 加了註釋的參考書目。 最小作用量原理 非常好地互動解釋。 參考文獻 Cornelius Lanczos The Variational Principles of Mechanics（Dover Publications New York 1986） ISBN 0486650677 這領域最常引用的參考書。 列夫朗道 and E M Lifshitz Mechanics Course of Theoretical Physics 3rd ed Vol 1（ButterworthHeinenann 1976） ISBN 0750628960 這本書一開始就講解最小作用量原理。 Herbert Goldstein Classical Mechanics 2nd ed（Addison Wesley 1980） pp 3569。 Thomas A Moore LeastAction Principle in Macmillan Encyclopedia of Physics Volume 2（Simon Schuster Macmillan 1996） ISBN 0028973593 pages 840842。 Robert Weinstock Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering（Dover Publications 1974） ISBN 0486630692。非常好的古早書。 Dugas René A History of Mechanics（Dover 1988） ISBN 0486656322 pp 254275。 Z Z Z Z Z Z