在範疇論中，範疇這一概念代表一些數學物件及這些物件間的一些關係，以及這些關係之間的關係。利用範疇可以公式化抽象結構並保留結構上的關係，如運算。範疇幾乎可以出現於現代數學的任意分支，同時也統合了這些分支的底層理念。對範疇本身的研究就稱作範疇論。 定義 範疇 一個範疇 mathcal C 意指資料 mathrm Obmathcal C mathrm Mormathcal Ccirc ，其中： 一個由物件（Object）所構成的類 mathrm Obmathcal C； 物件間的態射（Morphism）所構成的類 mathrm Mormathcal C。每一個態射 fin mathrm Mormathcal C 均蘊含確定的「始物件（Domain）」A 和「終物件（Codomain）」B，且 ABinmathrm Obmathcal C。此時記 fcolon Ato B，稱 f 為從 A 到 B 的一個態射。所有由 A 至 B 的態射構成類，記作 mathrm Hom_mathcal C AB，不致混淆時，也記作 mathrm Hom AB； 對任意態射對 AB 有態射覆合 circ 如下： begin aligncirc colon mathrm Hom ABtimesmathrm Hom BC to quad mathrm Hom ACfgmapstoquad gcirc fend align 其中，gcirc f 在不致混淆時也記作 gf。 此態射複合滿足下列公理： （結合律）對態射 fcolon Ato B，gcolon Bto C 和 hcolon Cto D，有 h gfhg f； （么元）對任意物件 X，存在一態射 1_X in mathrm Hom XX，使得對任意態射 finmathrm Hom AB，均滿足 1_Bfff1_A。態射 1_X 稱作「X 的單位態射」。 根據上述公理可以證明，對每個特定物件而言，單位態射具唯一性。 顯然，mathrm Mormathcal C 和 mathrm Obmathcal C 間自然地存在三個對映：mathrm Idcolon Xmapsto 1_X，mathrm Domcolon fmapsto A，mathrm Codcolon fmapsto B，如圖 1 所示。 小范疇和區域性小范疇 一個範疇 mathcal C 稱作小范疇（Small Category），當且僅當其態射類 mathrm Mormathcal C 比真類小，即僅有集合那麼大。 一個範疇 mathcal C 稱作區域性小范疇（Locally Small Category），當且僅當對任意物件對 ABin mathrm Ob mathcal C2，其對應的的態射類 mathrm Hom_mathcal C AB 均為非真類的集合。 數學研究中，許多重要的範疇（例如集合的範疇），通常即使非小，也是區域性小的。 範疇舉例 每一範疇都可由其物件、態射和態射複合來表示。 所有集合的範疇 mathsf Set，其態射為集合間的函式，而態射複合則為一般的函式複合。 所有預序關係的範疇 mathsf Ord，其態射為單調函式。 所有原群的範疇 mathsf Mag，其態射為原群間的同態。 所有群的範疇 mathsf Group，其態射為群同態。 所有阿貝爾群的範疇 mathsf Ab，其態射為群同態。 所有環的範疇 mathsf Ring，其態射為環同態。 所有於體 mathbb k（維持固定）上的向量空間的範疇 mathsf Vect_mathbb k，其態射為線性對映。 所有拓樸空間的範疇 mathsf Top，其態射為連續函式。 所有度量空間的範疇 mathsf Met，其態射為度量對映。 所有一致空間的範疇 mathsf Uni，其態射為一致連續函式。 所有光滑流形的範疇 mathsf Manp，其態射為 p 次連續可微對映。 所有小範疇的範疇 mathsf Cat，其態射為函子。 所有區域性小范疇的範疇 mathsf CAT。 所有集合的關係範疇 mathsf Rel，其態射為關係。 任一預序集 P preceq 均蘊含一個小範疇，其物件為 P 的元，態射為有序對 pq 使得 ppreceq q。 任一么半群 M 均蘊含一個攜唯一一個物件 x 的小范疇 mathsf B M。mathsf B M 以 M 中的元作為態射，每個態射各自表示 x 上一個不同的自同態，而態射覆合由 M 的乘法給出。M 的么元 ein M 也作為 mathsf B M 這唯一一個物件的單位態射存在。可以將範疇這一概念視作么半群之延伸概念。 任意有向圖蘊含一個自然的小范疇，以圖的頂點為物件，有向路徑為態射，路徑串聯為態射覆合。這被稱作由有向圖產生的「自由範疇」。 若 I 是一個集合，「在 I 上的具體範疇」會是個小範疇，其物件為 I 的元素，而態射則只有單位態射。當然，其態射複合的公理是必然滿足的。 態射型別 一個態射 fcolon ato b 被稱為： 同構（Isomorphism），當且僅當存在態射 gcolon bto c，滿足 gf1_afg1_b，換言之，存在逆； 自態射（Endomorphism），當且僅當 ba，即 f 是從 a 到 a 自身的態射； 自同構（Automorphism），當且僅當 f 同時為同構與自態射； 單態射（Monomorphism），當且僅當對任意態射 hkinmathrm Hom xa，fhfk 均蘊含 hk； 滿態射（Epimorphism），當且僅當對任意態射 hkinmathrm Hom bx，hfkf 均蘊含 hk； gcolon bto a 的截面（Section），當且僅當 gf1_a，也稱作 g 的右逆（Right Reverse）或分裂單態射（Split Monomorphism）； gcolon bto a 的收縮（Retraction），當且僅當 fg1_b，也稱作 g 的左逆（Left Reverse）或分裂滿態射（Split Epimorphism）； 也記 a 上的所有自態射構成類 mathrm End a，所有自同構構成類 mathrm Aut a。 下述三個命題是等價的： f 是單態射且是收縮。 f 是滿態射且是截面。 f 是同構。 態射之間的關係（例如 fgh）可以非常方便地表示為交換圖表，其中物件表示為點，態射表示為箭頭。 特別的範疇 子範疇 給定一個範疇 mathcal C，稱範疇 mathcal D 為 mathcal C 之子範疇（Subcategory），當且僅當： mathrm Ob mathcal Dsubseteq mathrm Ob mathcal C， mathrm Mor mathcal Dsubseteqmathrm Mor mathcal C， 同時，態射覆合仍然保持。 群胚 稱 mathcal C 為一群胚（Groupoid），當且僅當其中所有態射為同構。 群可被定義作具唯一一個物件的群胚； 任意範疇 mathcal C 均內含一個最大群胚（Maximal Groupoid），為包含全部 mathcal C 的物件，而包含且僅包含全部自態射作為態射的子範疇。 對偶範疇 令 mathcal C 為一範疇，規定其對偶範疇 mathcal Cmathrm op 如下： 以 mathrm Ob mathcal C 為 mathrm Ob mathcal Cmathrm op； 由如下從 mathrm Mor mathcal C 到 mathrm Mor mathcal Cmathrm op 的一一對應函子完全生成後者： begin alignmathrm Mor mathcal Cqquadtomathrm Mor mathcal Cmathrm op fcolon Xto Yquadmapsto fmathrm opcolon Yto Xend align 其中滿足：forall fginmathrm Mor mathcal Cfcirc_mathcal C gmathrm opgmathrm opcirc_mathcal Cmathrm op fmathrm op。 利用對偶範疇可證明如下的對偶定理： 定理：下列三條定理等價： fcolon xto y 為範疇 mathcal C 中的一個同構（雙態射）； 對所有物件 cinmathrm Ob mathcal C，f 上的後複合定義了雙射 f_colon mathrm Homcxto mathrm Hom cy； 對所有物件 cinmathrm Ob mathcal C，f 上的前複合定義了雙射 fcolon mathrm Homycto mathrm Hom xc； 積範疇 對任意範疇 mathcal C 和 mathcal D，定義其積範疇 mathcal Ctimesmathcal D 如下： 以形如 cd 的有序對為物件，其中 cinmathrm Ob mathcal Cdinmathrm Ob mathcal D， 以形如 fgcolon cdto cd 的有序對為態射，同時 結合律與單位態射也如此被逐分量定義。 逗號範疇 給定函子 Fcolon mathcal Dtomathcal CGcolon mathcal Etomathcal C，定義其逗號範疇 Fdownarrow G 如下： 以有序三元組 defcolon Fdto Gein mathrm Ob mathcal Dtimesmathrm Ob mathcal Etimesmathrm Mor mathcal C 為物件， 以有序對 hcolon dto dkcolon eto ein mathrm Mor mathcal Dtimes mathrm Mor mathcal E 為態射，使得對於每個 hkcolon defto def，圖 2 在 mathcal C 中交換， 即：使得 fcirc FhGkcirc f。 範疇型別 在許多範疇中，例如阿貝爾群範疇或向量空間範疇，態射集合 mathrm Homab 不僅是集合，而且還是阿貝爾群，並且態射的複合與這些阿貝爾群之間的群結構相容，即複合對映是雙線性的。這種範疇稱為預可加範疇。如果在此基礎上這個範疇還帶有所有有限積和上積，那麼我們稱之為可加範疇。如果更進一步地，所有態射都有核和上核，並且每個滿態射都是上核而每個單態射都是核，那麼我們稱之為阿貝爾範疇。阿貝爾範疇的典型例子是阿貝爾群的範疇。 範疇是完備的當其擁有所有極限。集合、阿貝爾群、拓撲空間的範疇都是完備的。 範疇是笛卡爾閉的當其擁有所有有限直積、且有限積上的態射總是可由任一因子上的態射確定。笛卡爾閉範疇包括 Set 和 CPO，即完全偏序和斯科特連續函式組成的範疇。 拓撲斯是一種特定的笛卡爾閉範疇；所有數學內容都可以用拓撲斯的語言形式化（正如所有經典數學都可以用集合範疇的語言形式化一般）。拓撲斯也可用於表示邏輯理論。 註釋 參考文獻 Adámek Jiří Herrlich Horst Strecker George E（1990） Abstract and Concrete Categories Originally publ John Wiley Sons ISBN 0471609226（now free online edition） Asperti Andrea Longo Giuseppe 1991 Categories Types and Structures Originally publ MIT Press Barr Michael Wells Charles 2002 Toposes Triples and Theories（revised and corrected free online version of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften（278） SpringerVerlag1983 Borceux Francis 1994 Handbook of Categorical Algebra Vols 5052 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications Cambridge Cambridge University Press Lawvere William Schanuel Steve（1997） Conceptual Mathematics A First Introduction to Categories Cambridge Cambridge University Press Mac Lane Saunders 1998 Categories for the Working Mathematician（2nd ed） Graduate Texts in Mathematics 5 Springer ISBN 0387984038 JeanPierre Marquis Category Theory in Stanford Encyclopedia of Philosophy 2006 外部連結 Homepage of the Categories mailing list with extensive list of resources Category Theory section of Alexandre Stefanovs list of free online mathematics resources F