在數學中，特別是代數學中的群論，西羅定理是一系列關於有限群的定理，由挪威數學家彼得盧德維格梅德爾西羅在 1872 年證明。這些定理使得代數學家對有限群的結構有了更深入的瞭解，並對有限群的研究以及百年後的有限單群分類作出了重要貢獻。 西羅定理處理了拉格朗日定理的部份反例。拉格朗日定理表明如果 H 是 G 的子群，那麼子群 H 的階 H 是 G 的因數；但是 G 的因數未必等於某個子群的階。西羅定理表明，G 形如 pr 的因數確實是一些子群的階，定理亦給出這種型別子群數目的相關訊息。 定理敘述 給定一個有限群 G ，透過質因數分解，可以把 G 表示成 pn times m 的形式（並且 m 不被 p 整除）。如果 G 的子群 H 的階是 p 的冪 H pk ， k 0 ，則 H 稱為一個 p 子群。西羅 p 子群是最大的一類 p 子群，其定義為階等於 pn 的子群。群 G 的西羅 p 子群構成的集合一般記為 text Syl_p G 。 西羅定理有三個部分： 對於所有介於 1 到 n 之間的正整數 r ， G 存在階為 pr 的子群。 G 中的所有西羅 p 子群互相共軛。 G 中西羅 p 子群的個數是 m 的因數、並且具有 kp 1 的形式（模 p 餘 1）。 無限群的西羅定理 無限群中的西羅 p 子群為一個在所有群內之 p 子群中，以內含關係為序，極大的 p 子群。可用佐恩引理證明這類子群存在。 定理：若 K 為一個 G 的西羅 p 子群，且 n_p Cl K 有限，則每一個西羅 p 子群都與 K 共軛，且 n_p equiv 1 mod p ，其中 Cl K 表示 K 的共軛類。 應用例子 設 G 為一個階為 15 3 cdot 5 的群。令 n_3 為西羅 3 子群的數量，則 n_3 整 5，且模 3 餘 1。滿足上述條件的值只有 1；因此，G 只有一個階為 3 的子群，且其必須為正規子群（因為其沒有其他的共軛）。類似地，n_5 整除 3，且 n_5 equiv 1 mod 5；所以 G 僅有一個階為 5 的正規子群。由於 3 和 5 互質，此兩個子群的交集為平凡群 e，所以 G 必須為迴圈群。因此，只存在一個階為 15 的群（以群同構來區分），記為 mathbb Z 15mathbb Z。 舉另一個更複雜的例子來說，可證明不存在一個階為 350 的簡單群。若 G 350 2 cdot 52 cdot 7，則 n_5 必須整除 14 2 cdot 7，且 n_5 equiv 1 mod 5。由此可知 n_5 1（因為 6 和 11 都不整除 14），所以 G 必然會有一個階為 52 的正規子群，故不可能為簡單群。 西羅定理的證明 西羅定理的證明利用了群作用的許多概念。群 G 會以許多種方式作用在其自身或其 p 子群上，而此類的每個作用則可以被利用來證明西羅定理的其中一個定理。下列的證明是基於 1959 年 HWielandt 所發表之整合的論述。下面用 a mid b 表示「 a 整除 b 」，而 a nmid b 表示「 a 不整除 b 」。 第一西羅定理 定理：一個元素個數 G 可以被一質數 p 的次方 pk 整除的有限群 G 會有一個元素個數為 pk 的子群。 證明：設 G pk m ， pr mid m 且 pr1 nmid m 。令 Omega 為 G 中元素個數為 pk 的子集所組成的集合，有 Omega binom pkmpk 及 pr1 nmid binom pkmpk ，其中 binom pkmpk 是一個二項式係數，此處我們考慮它在組合數學中的意義，即「從 pkm 個相異元素選出 pk 個元素的方法數」，這等價於元素個數為 pk m 的集合 G 中元素個數為 pk 的子集的個數，因此等於 Omega。 令 G 以左乘積作用於 Omega 上。基於 r 的定義，存在一個於 Omega 內的子集 A ，使得其軌道 Theta AG 的元素個數不被 pr1 整除， pr1 nmid Theta。 這裡有 Theta AG G G_A G G_A ，其中 G_A 代表集合 A 的穩定子子群。因此 pk mid G_A 故 pk leq G_A 。注意在 G_A 的作用下之於 A 內的兩個元素 a 和 ga 可能不同，所以 A geq G_A 。由上述 pk leq G_A 和 pk A geq G_A 兩結論可知 G_A pk 。 G_A 即為所求的群。 square 該定理一個平凡的推論是，如果質數 p 整除群 G 的階，那麼 G 有至少一個西羅 p 子群。 第二西羅定理 定理：若 H 是 G 的子群且 Hps，以及 P 為 G 的 p 西羅子群，則存在一個在 G 內的元素 a 會使得 aHa1 為 P 的子群。特別地是，所有 G 的西羅 p 子群都會共軛（且因此同構）於另一個，即若 H 和 K 為 G 的西羅 p 子群，則存在一個 G 內的元素 g 會使得 g1Hg K。 先證明一個有用的引理： 引理：設 G 為一個有限 p 群，將 G 作用於一個有限集合 Ω 上，及令 Ω0 為在 G 的作用下為固定之 Ω 內的點所組成之集合。然後可知 Ω Ω0 mod p。 證明：將 Ω 寫成在 G 下之軌道此種不相交集合的聯集。每一個在 Ω 內的元素 x 若在 G 的作用下不固定的話，其將會在其目為 GGx 之軌道上（其中 Gx 為穩定子），此目依題目的假設會是 p 的倍數（不可能為 1，因為其目為 1 的軌道即為在 G 的作用下固定的點）。因此結論立即就出來了。 證明：設 Ω 為 G 內 P 的左陪集所組成的集合，及 H 以左乘積作用在 Ω 上。應用 H 於 Ω 上的引理，可知 Ω0 Ω G P mod p。由定義可知 p nmid G P，所以 p nmid Ω0，且因為 Ω0 0，故會存在一些 gP Ω0。因此對每個於 H 內的元素 h，hgP gP，故 g1hgP P 且 g1hg P，且因此 h gPg1，故 H 會包含於某些 G 內元素 g 之 gPg1 內。若 H 為一個西羅 p 子群，則 H P gPg1，因此對某些在 G 內的 g，H gPg1。 第三西羅定理 定理：設 q 為一有限群 G 的任一西羅 p 子群的目，則 np Gq 且 np 1 mod p。 證明：依定理 2，np G NG P，其中 P 為任一個子群且 NG P 為於 G 內 P 的正規化子，可知此數為 Gq 的因數。令 Ω 為所有 G 的西羅 p 子群所組成的集合，且 P 以共軛作用於 Ω 上。設 Q Ω0 並可知對所有 x P，Q xQx1，因此 P NG Q。依定理 2，P 和 Q 會於 NG Q 內共軛，尤其是 Q 會在 NG Q 為正規，故可知 P Q。由上可知 Ω0 P，因此由引理可知 Ω Ω0 1 mod p。 演算法 由一個給定的群中得出一個西羅子群是計算群論中一個很重要的問題。在置換群裡，已由 William Kantor 證明出一個西羅 p 子群可以在多項式時間內被找到。 參考資料 Florian Kammüller and Lawrence C Paulson A Formal Proof of Sylows Theorem An Experiment in Abstract Algebra with Isabelle HOL University of Cambridge UK 2000 link H Wielandt Ein Beweis für die Existenz der Sylowgruppen Archiv der Mathematik 10401402 1959 注釋 X X