在數學中，史特靈數用於解決各種數學分析和組合數學問題，史特靈數是兩組不同的數，均是 18 世紀由引入並以其命名，以和的稱呼區分。此外，有時候也將稱為第三類史特靈數。 第一類史特靈數 定義 可以定義為對應遞降階乘展開式的各項係數，即 x_nsumn_k0 s nk xk 其中，s nk（0leq kleq n）即為第一類史特靈數。例如： x_3x x1x2 則 x_30cdot x02cdot x3cdot x21cdot x3 於是 s 300， s 312， s 323， s 331。 由此可知，s nk 是代數數，或稱為有符號（第一類）史特靈數（英語：signed Stirling numbers of the first kind）。 有符號史特靈數的絕對值 s nk 可以看作（或直接定義為）把 n 個元素排列成 k 個非空圓圈（迴圈排列）的方法數目。所以 s nk 是算術數，或稱為無符號（第一類）史特靈數（英語：unsigned Stirling numbers of the first kind）。無符號史特靈數一般可以記為 c nk 或 left begin matrix n k end matrixright。例如：把 1，2，3 三個數排列成 0 個非空圓圈，顯然有零種方法；排列成 1 個非空圓圈，有 left begin matrix 1 2 3end matrixright，left begin matrix 1 3 2end matrixright 兩種方法；排列成 2 個非空圓圈，有 left begin matrix 1end matrixrightleft begin matrix 2 3end matrixright，left begin matrix 1 2end matrixrightleft begin matrix 3end matrixright 和 left begin matrix 1 3end matrixrightleft begin matrix 2end matrixright 三種方法；排列成 3 個非空圓圈，有 left begin matrix 1end matrixrightleft begin matrix 2end matrixrightleft begin matrix 3end matrixright 一種方法，所以 left begin matrix 3 0 end matrixright0left begin matrix 3 1 end matrixright2，left begin matrix 3 2 end matrixright3，left begin matrix 3 3 end matrixright1。可以看到這和前面有符號史特靈數 s nk 在 n3 時的結果一致（只是符號差異）。 與有符號史特靈數類似，無符號史特靈數可以定義為對應遞進階乘展開式的各項係數，即 xoverline nsumn_k0left begin matrix n k end matrixright xk 其中，left begin matrix n k end matrixright（0leq kleq n）即為無符號史特靈數。不過要注意，這裡的記號 left begin matrix n k end matrixright 有時候會用來表示高斯二項式係數。 有符號史特靈數和無符號史特靈數有如下關係： s nk1nkleft begin matrix n k end matrixright 拓展示例 無符號史特靈數有更多的應用。例如，將 n 個元素分成 k 組，每組內的元素再進行排列的方法數目即可用無符號史特靈數 left begin matrix n k end matrixright 求得。以 left begin matrix 4 2 end matrixright11 為例： ABCD ACBD ADBC ABCD ABDC BACD BADC CABD CADB DABC DACB 或用有向圖表示如下： 遞推關係式 無符號史特靈數有如下遞推關係式： left begin matrix n1 k end matrixrightnleft begin matrix n k end matrixrightleft begin matrix n k1 end matrixright 其中，k0，且初始條件為 left begin matrix 0 0 end matrixright1，left begin matrix n 0 end matrixrightleft begin matrix 0 n end matrixright0（n0）。 有符號史特靈數有如下遞推關係式： s n1kns nks nk1 第一類史特靈數表 下表其實是一部分無符號史特靈數，要想獲得有符號史特靈數，可以透過它們之間的關係式： s nk1nkleft begin matrix n k end matrixright 求得。 0 1 2 3 4 5 6 0 1 1 0 1 2 0 1 1 3 0 2 3 1 4 0 6 11 6 1 5 0 24 50 35 10 1 6 0 120 274 225 85 15 1 簡單性質 觀察前面的 第一類史特靈數表，我們可以得到一些簡單的性質： left begin matrix 0 0 end matrixright1，left begin matrix n 0 end matrixright0（n0）。 如果 k0，我們有 left begin matrix 0 k end matrixright0； 或更一般地，如果 kn，我們有 left begin matrix n k end matrixright0。 還有 left begin matrix n 1 end matrixrightn1， left begin matrix n n end matrixright1， left begin matrix n n1 end matrixrightn choose 2， left begin matrix n n2 end matrixrightfrac 143n1n choose 3， left begin matrix n n3 end matrixrightn choose 2n choose 4。 注：這裡記號 n choose k 表示組合數。 其他性質 第二類史特靈數 定義 與第一類史特靈數類似，可以用遞降階乘定義為 xnsumn_k0leftbegin matrix n k end matrixrightx_k 其中，leftbegin matrix n k end matrixright 即為第二類史特靈數，也可以記為 S nk。例如： x3leftbegin matrix 3 0 end matrixrightx_0leftbegin matrix 3 1 end matrixrightx_1leftbegin matrix 3 2 end matrixrightx_2leftbegin matrix 3 3 end matrixrightx_3 即 x3leftbegin matrix 3 0 end matrixrightleftbegin matrix 3 1 end matrixright xleftbegin matrix 3 2 end matrixright x x1leftbegin matrix 3 3 end matrixright x x1x2 將遞降階乘展開並合併同類項，得 x3leftbegin matrix 3 0 end matrixrightleft leftbegin matrix 3 1 end matrixrightleftbegin matrix 3 2 end matrixright2leftbegin matrix 3 3 end matrixrightright xleft leftbegin matrix 3 2 end matrixright 3leftbegin matrix 3 3 end matrixrightright x2leftbegin matrix 3 3 end matrixright x3 比較等式兩邊係數，得 begin casesleftbegin matrix 3 0 end matrixright0 leftbegin matrix 3 1 end matrixrightleftbegin matrix 3 2 end matrixright2leftbegin matrix 3 3 end matrixright0 leftbegin matrix 3 2 end matrixright 3leftbegin matrix 3 3 end matrixright0 leftbegin matrix 3 3 end matrixright1 end cases 解得 leftbegin matrix 3 0 end matrixright0，leftbegin matrix 3 1 end matrixright1，leftbegin matrix 3 2 end matrixright3，leftbegin matrix 3 3 end matrixright1。 第二類史特靈數計算的是將含有 n 個元素的集合拆分為 k 個非空子集的方法數目。例如：對於集合 left123right，若拆分為 0 個非空子集，顯然有零種方法；拆分為 1 個非空子集，只有 left123right 一種方法；拆分為 2 個非空子集，有 left1rightleft23right，left12rightleft3right，left2rightleft13right 三種方法；拆分為 3 個非空子集，有 left1rightleft2rightleft3right 一種方法。於是 leftbegin matrix 3 0 end matrixright0，leftbegin matrix 3 1 end matrixright1，leftbegin matrix 3 2 end matrixright3，leftbegin matrix 3 3 end matrixright1。 第二類史特靈數可以使用以下公式進行計算： leftbegin matrix n k end matrixright frac 1ksum_i0k1i left begin matrix k i end matrixright kin 取 leftbegin matrix 3 2 end matrixright 進行驗算，有 leftbegin matrix 3 2 end matrixrightfrac 12sum_i021i left begin matrix 2 i end matrixright 2i3 即 leftbegin matrix 3 2 end matrixrightfrac 12left left begin matrix 2 0 end matrixrighttimes 23 left begin matrix 2 1 end matrixrighttimes 13 left begin matrix 2 2 end matrixrighttimes 03right 於是 leftbegin matrix 3 2 end matrixrightfrac 12left 1times 8 2times 1 1times 0right3 拓展示例 將 n 個人分成 k 組的分組方法的數目。例如有甲、乙、丙、丁四人，若所有人分成 1 組，只能所有人在同一組，因此 leftbegin matrix 4 1 end matrixright1；若所有人分成 4 組，只能每人獨立一組，因此 leftbegin matrix 4 4 end matrixright1；若分成 2 組，可以是甲乙一組、丙丁一組，或甲丙一組、乙丁一組，或甲丁一組、乙丙一組，或其中三人同一組另一人獨立一組，即： 甲，乙丙，丁 甲，丙乙，丁 甲，丁乙，丙 甲乙，丙，丁 乙甲，丙，丁 丙甲，乙，丁 丁甲，乙，丙 因此 leftbegin matrix 4 2 end matrixright7。同理，可以得到 leftbegin matrix 4 3 end matrixright6。 遞推關係式 第二類史特靈數有與第一類史特靈數類似的遞推關係式： leftbegin matrix n1 k end matrixrightkleftbegin matrix n k end matrixrightleftbegin matrix n k1 end matrixright 其中，k0，且初始條件為 leftbegin matrix 0 0 end matrixright1，leftbegin matrix n 0 end matrixrightleftbegin matrix 0 n end matrixright0（n0）。 第二類史特靈數表 下面為部分第二類史特靈數： 0 1 2 3 4 5 6 0 1 1 0 1 2 0 1 1 3 0 1 3 1 4 0 1 7 6 1 5 0 1 15 25 10 1 6 0 1 31 90 65 15 1 簡單性質 觀察前面的 第二類史特靈數表，我們可以得到一些簡單的性質： leftbegin matrix 0 0 end matrixright1，leftbegin matrix n 0 end matrixright0（n0）。 如果 k0，我們有 leftbegin matrix 0 k end matrixright0； 或更一般地，如果 kn，我們有 leftbegin matrix n k end matrixright0。 還有 leftbegin matrix n 1 end matrixright1， leftbegin matrix n 2 end matrixright2n11， leftbegin matrix n 3 end matrixrightfrac 123n112n1， leftbegin matrix n n end matrixright1， leftbegin matrix n n1 end matrixrightn choose 2， leftbegin matrix n n2 end matrixrightn choose 33 n choose 4， leftbegin matrix n n3 end matrixrightn choose 410 n choose 515 n choose 6。 其他性質 貝爾數和第二類史特靈數有如下關係： B_nsum_k0nleftbegin matrix n k end matrixright 兩類之間的關係 第一類和第二類史特靈數可以看作互為逆矩陣的關係： sum _jgeq 0 s nj S jksum _jgeq 01njbegin bmatrix njend bmatrixbegin Bmatrix jkend Bmatrixdelta _nk displaystyle sum _jgeq 0 s nj S jksum _jgeq 01njbegin bmatrix njend bmatrixbegin Bmatrix jkend Bmatrixdelta _nk 以及 sum _jgeq 0 S nj s jksum _jgeq 01jkbegin Bmatrix njend Bmatrixbegin bmatrix jkend bmatrixdelta _nk displaystyle sum _jgeq 0 S nj s jksum _jgeq 01jkbegin Bmatrix njend Bmatrixbegin bmatrix jkend bmatrixdelta _nk 其中，delta_nk 是克羅內克爾 δ。 拉赫數 定義 是由在 1954 年發現的 John Riordan Introduction to Combinatorial Analysis Princeton University Press 1958 reissue 1980 reprinted again in 2002 by Dover Publications，因為拉赫數與史特靈數關係密切，所以有時拉赫數也被稱為第三類史特靈數。可以用遞進階乘和遞降階乘定義為 xn sum_k0n L nk x_k 或 x_n sum_k0n 1nk L nk xk 其中， L nk 即為拉赫數。例如： x3sum_k03 L 3k x_k 即 x x1x2L 30cdot 1 L 31cdot x L 32cdot x x1 L 33cdot x x1x2 等式兩邊展開並合併同類項，得 0cdot x0 2cdot x3cdot x21cdot x3L 30L 31L 322L 33cdot xL 323L 33cdot x2 L 33cdot x3 比較等式兩邊係數，得 begin casesL 300 L 31L 322L 332 L 323L 333 L 331end cases 解得 L 300，L 316， L 326，L 331。 或 x_3sum_k03 13k L 3k x3 即 x x1x2L 30cdot 1 L 31cdot x L 32cdot x x1 L 33cdot x x1x2 等式兩邊展開並合併同類項，得 0cdot x0 2cdot x3cdot x21cdot x3L 30L 31L 322L 33cdot xL 323L 33cdot x2 L 33cdot x3 比較等式兩邊係數，得 begin casesL 300 L 31L 322L 332 L 323L 333 L 331end cases 解得 L 300，L 316， L 326，L 331。 以上定義的拉赫數是無符號拉赫數（英語： signed Lah numbers），有符號拉赫數（英語：signed Lah numbers）的定義如下： xn 1n sum_k0n L nk x_k 或 x_n sum_k0n 1k L nk xk 無符號拉赫數計算的是將含有 n 個元素的集合拆分為 k 個非空線性有序子集的方法數目。例如：對於集合 left123right，若拆分為 0 個非空線性有序子集，顯然有零種方法；拆分為 1 個非空線性有序子集，有 left1 2 3right，left1 3 2right，left2 1 3right，left2 3 1right，left3 1 2right，left3 2 1right 六種方法；拆分為 2 個非空線性有序子集，有 left1rightleft2 3right，left1rightleft3 2right，left2rightleft1 3right，left2rightleft3 1right，left3rightleft1 2right，left3rightleft2 1right 六種方法；拆分為 3 個非空線性有序子集，有 left1right，left2right，left3right 一種方法。於是 L 300，L 316， L 326，L 331。 無符號拉赫數可以使用以下公式進行計算： L nk n1 choose k1 frac nk 有符號拉赫數可以使用以下公式進行計算： Lnk 1n n1 choose k1 frac nk 拓展示例 遞推關係式 無符號拉赫數有如下遞推關係： L nk1 frac nkk k1 L nk 或 L n1k nk L nk L nk1 其中，L n00，L n00，L nk0（kn），L 111 拉赫數表 下面為部分無符號拉赫數： 0 1 2 3 4 5 6 0 1 1 0 1 2 0 2 1 3 0 6 6 1 4 0 24 36 12 1 5 0 120 240 120 20 1 6 0 720 1800 1200 300 30 1 簡單性質 觀察前面的 拉赫數表，我們可以得到一些簡單性質： L 001， L n00（n0） 如果 kn，有 L 001，L n k0 還有 L n1 n L n2 frac n1 n2 L n3 frac n2n1 n12 L nn1 n n1 L nn 1 sum_ngeq k L nkfrac xnn frac 1kleft frac x1x rightk 其他性質 無符號拉赫數計算公式可以作進一步拓展： L nk n1 choose k1 frac nk n choose k frac n1k1 n choose k n1 choose k1 nk L nk frac nn1kk1cdotfrac 1nk left frac nk right 2frac kn nk 無符號拉赫數與兩類史特靈數都有關係，關係如下： L nksum_j0n left begin matrix n j end matrixrightleftbegin matrix j k end matrixright 取 L 32 進行驗算，有 L 32sum_j03 left begin matrix 3 j end matrixrightleftbegin matrix j 2 end matrixright 即 L 32 left begin matrix 3 0 end matrixrightleftbegin matrix 0 2 end matrixrightleft begin matrix 3 1 end matrixrightleftbegin matrix 1 2 end matrixrightleft begin matrix 3 2 end matrixrightleftbegin matrix 2 2 end matrixrightleft begin matrix 3 3 end matrixrightleftbegin matrix 3 2 end matrixright 於是 L 32left begin matrix 3 2 end matrixrightleftbegin matrix 2 2 end matrixrightleft begin matrix 3 3 end matrixrightleftbegin matrix 3 2 end matrixright3times11times36 由無符號拉赫數與兩類史特靈數之間的關係，考慮到兩類史特靈數之間的關係，有 sum _jgeq 0 L nj L jkdelta _nk 其中，delta_nk 是克羅內克爾 δ。 三類之間的關係 三類史特靈數以及乘方、階乘之間的關係可以用下圖表示： 參考資料 Category 整數數列 Category 階乘與二項式主題 Category 置換