熱傳導方程（或稱熱方程）是一個重要的偏微分方程，它描述一個區域內的溫度如何隨時間變化。 物理機制 熱傳導在三維的各向同性介質裡的傳播可用以下方程式表達： partial uover partial tmathrm divUu k left partial2 uover partial x2 partial2 uover partial y2 partial2 uover partial z2right k u_xx u_yy u_zz quad 其中： u u t x y z 表溫度，它是時間變數 t 與空間變數 xyz 的函式。 partial upartial t 是空間中一點的溫度對時間的變化率。 u_xx u_yy 與 u_zz 溫度對三個空間座標軸的二次導數。 k 是熱擴散率，決定於材料的熱導率、密度與熱容。 熱方程是傅立葉冷卻律的一個推論（詳見條目熱傳導）。 如果考慮的介質不是整個空間，則為了得到方程的唯一解，必須指定 u 的邊界條件。如果介質是整個空間，為了得到唯一性，必須假定解的增長速度有個指數型的上界，此假定吻合實驗結果。 熱方程的解具有將初始溫度平滑化的特質，這代表熱從高溫處向低溫處傳播。一般而言，許多不同的初始狀態會趨向同一個穩態（熱平衡）。因此我們很難從現存的熱分佈反解初始狀態，即使對極短的時間間隔也一樣。 熱方程也是拋物線偏微分方程最簡單的例子。 利用拉普拉斯運算元，熱方程可推廣為下述形式 u_t k Delta u quad 其中的 Delta 是對空間變數的拉普拉斯運算元。 熱方程支配熱傳導及其它擴散過程，諸如粒子擴散或神經細胞的動作電位。 就技術上來說，熱方程違背狹義相對論，因為它的解表達一個「擾動可以在瞬間傳播至空間各處」的情況。擾動在前方光錐外的影響通常可忽略不計，但是若要為熱傳導推出一個合理的速度，則須轉而考慮一個雙曲線型偏微分方程。 以傅立葉級數解熱方程 以下解法首先由約瑟夫傅立葉在他於 1822 年出版的著作 Théorie analytique de la chaleur（中譯：解析熱學）給出。先考慮只有一個空間變數的熱方程，這可以當作棍子的熱傳導之模型。方程式如下： 1 u_t k u_xx quad 其中 u u t x 是 t 和 x 的雙變數函式。 x 是空間變數，所以 x 0L，其中 L 表示棍子長度。 t 是時間變數，所以 t 0。 假設下述初始條件 2 u 0x f x quad forall x in 0L quad 其中函式 f 是給定的。再配合下述邊界條件 3 u t0 0 u tL quad forall t 0 quad 讓我們試著找一個非恆等於零的解，使之滿足邊界條件 3 並具備以下形式： 4 u tx X x T t quad 這套技術稱作分離變數法。現在將 u 代回方程式 1， frac TtkT t frac X xX x quad 由於等式右邊只依賴 x，而左邊只依賴 t，兩邊都等於某個常數 λ，於是： 5 Tt lambda kT t quad 6 X x lambda X x quad 以下將證明 6 沒有 λ 0 的解： 假設 λ 0，則存在實數 B、C 使得 X x B esqrt lambda x C esqrt lambda x。 從 3 得到 X 0 0 X L quad 於是有 B 0 C，這蘊含 u 恆等於零。 假設 λ 0，則存在實數 B、C 使得 X x Bx C quad 仿上述辦法可從等式 3 推出 u 恆等於零。 因此必然有 λ 0，此時存在實數 A、B、C 使得 T t A elambda k t quad X x B sin sqrt lambda x C cos sqrt lambda x。 從等式 3 可知 C 0，因此存在正整數 n 使得 sqrt lambda n frac piL。 由此得到熱方程形如 4 的解。 一般而言，滿足 1 與 3 的解相加後仍是滿足 1 與 3 的解。事實上可以證明滿足 1、2、3 的解由下述公式給出： u tx sum_n 1infty D_n left sin frac npi xLright efrac n2 pi2 ktL2 其中 D_n frac 2L int_0L f x sin frac npi xL dx。 推廣求解技巧 上面採用的方法可以推廣到許多不同方程。想法是：在適當的函式空間上，運算元 u mapsto u_xx 可以用它的特徵向量表示。這就自然地導向線性自伴運算元的譜理論。 考慮線性運算元 Δ u ux x，以下函式序列 e_n x sqrt frac 2Lsin frac npi xL （n 1） 是 Δ 的特徵向量。誠然： Delta e_n frac n2 pi2L2 e_n。 此外，任何滿足邊界條件 f 0f L0 的 Δ 的特徵向量都是某個 en。令 L2 0 L 表 0 L 上全體平方可積函式的向量空間。這些函式 en 構成 L2 0 L 的一組正交歸一基。更明白地說： langle e_n e_m rangle int_0L e_n x e_m x dx leftbegin matrix 0 n neq m 1 m nend matrixright 最後，序列 en n N 張出 L2 0 L 的一個稠密的線性子空間。這就表明我們實際上已將運算元 Δ 對角化。 非均勻不等向介質中的熱傳導 一般而言，熱傳導的研究奠基於以下幾個原理。首先注意到熱流是能量流的一種形式，因此可以談論單位時間內流進空間中一塊區域的熱量。 單位時間內流入區域 V 的熱量由一個依賴於時間的量 qt V 給出。假設 q 有個密度 Q tx，於是 q_t V int_V Q txd x quad 熱流是個依賴於時間的向量函式 H x，其刻劃如下：單位時間內流經一個面積為 dS 而單位法向量為 n 的無窮小曲面元素的熱量是 mathbf Hx cdot mathbf nx dS 因此單位時間內進入 V 的熱流量也由以下的面積分給出 q_t V int_partial V mathbf Hx cdot mathbf nx dS 其中 n x 是在 x 點的向外單位法向量。 熱傳導定律說明溫度對時間的梯度滿足以下線性關係 mathbf Hx mathbf Ax cdot nabla u x 其中 A x 是個 33 實對稱正定矩陣。 利用格林定理可將之前的面積分轉成一個體積分 q_t V int_partial V mathbf Hx cdot mathbf nx dS int_partial V mathbf Ax cdot nabla u x cdot mathbf nx dS int_V sum_i j partial_x_i a_i jx partial_x_j u txdx 溫度在 x 點對時間的改變率與流進 x 點所在的無窮小區域的熱量成正比，此比例常數與時間無關，而可能與空間有關，寫作 κx。 partial_t u tx kappa x Q tx 將以上所有等式合併，便獲得支配熱流的一般公式。 partial_t u tx kappa x sum_i j partial_x_i a_i jx partial_x_j u tx 註記： 係數 κx 是該材料在 x 點的密度和比熱的積的倒數。 在等方向性介質的情況，矩陣 A 只是個純量，等於材料的導熱率。 在非等向的情況，A 不一定是純量，我們鮮少能明確寫出熱方程的解。然而通常可考慮相應的抽象柯西問題，證明它是適定的，並（或）匯出若干定性結果（諸如初始值保持正性、無窮傳播速度、收斂至平衡態或一些平滑化性質）。這些論證通常有賴於單引數半群理論：舉例來說，如果 A 是個對稱矩陣，那麼由 Au xsum_i j partial_x_i a_i jx partial_x_j u x 定義的橢圓運算元是自伴而且耗散的，因此由譜定理匯出它生成一個單引數半群。 粒子擴散 粒子擴散方程 在粒子擴散的模型中，我們考慮的方程涉及 在大量粒子集體擴散的情況：粒子的體積濃度，記作 c。或者 在單一粒子的情況：單一粒子對位置的機率密度函式，記作 P。 不同情況下的方程式： c_t D Delta c quad 或者 P_t D Delta P quad c 與 P 都是位置與時間的函式。D 是擴散係數，它控制擴散速度，通常以公尺 秒為單位。 如果擴散係數 D 依賴於濃度 c（或第二種情況下的機率密度 P），則我們得到非線性擴散方程。 單一粒子在粒子擴散方程下的隨機軌跡是個布朗運動。 如果一個粒子在時間 t0 時置於 vec R vec 0，則相應的機率密度函式具有以下形式： P vec Rt G vec Rt frac 14 pi D t32 efrac vec R24 D t 它與機率密度函式的各分量 R_x、R_y 和 R_z 的關係是： P vec Rt frac 14 pi D t32 efrac R_x2R_y2R_z24 D t P R_xt P R_yt P R_zt 隨機變數 R_x R_y R_z 服從平均數為 0、變異數為 2Dt 的正態分佈。在三維的情形，隨機向量 vec R 服從平均數為 vec 0、變異數為 6Dt 的正態分佈。 在 t0 時，上述 P vec R t 的表示式帶有奇點。對應於粒子處在原點之初始條件，其機率密度函式是在原點的狄拉克 δ 函式，記為 delta vec R（三維的推廣是 delta vec R delta R_xdelta R_y delta R_z）；擴散方程對此初始值的解也稱作格林函式。 擴散方程的歷史源流 粒子擴散方程首先由 Adolf Fick 於 1855 年導得。 以格林函式解擴散方程 格林函式是擴散方程在粒子位置已知時的解（數學家稱之為擴散方程的基本解）。當粒子初始位置在原點 vec 0 時，相應的格林函式記作 G vec R t （t0）；根據擴散方程對平移的對稱性，對一般的已知初始位置 vec R0，相應的格林函式是 G vec R vec R0 t。 對於一般的初始條件，擴散方程的解可以透過積分分解為一族格林函式的疊加。 舉例來說，設 t0 時有一大群粒子，根據濃度分佈的初始值 c vec R 0 分佈於空間中。擴散方程的解將告訴我們濃度分佈如何隨時間演化。 跟任何（廣義）函式一樣，濃度分佈的初始值可以透過積分表為狄拉克 δ 函式的疊加： c vec R t0 int c vec R0t0 delta vec R vec R0 dR_x0dR_y0dR_z0 擴散方程是線性的，因此在之後的任一時刻 t，濃度分佈變為： c vec R t int c vec R0t0 G vec R vec R0t dR_x0dR_y0dR_z0 在粒子擴散的情形，我們可以將狄拉克 δ 函式對應的初始條件理解為粒子落在一個已知位置。一般而言，任何擴散過程的解都有這種表法，包括熱傳導或動量的擴散；後者關係到流體的黏性現象。 一維格林函式解列表 以下以簡寫 BC 代表邊界條件，IC 代表初始條件。 begin cases u_tku_xx inftyxinfty0tinfty u x0g x IC end cases u xtfrac 1sqrt 4pi kt int_inftyinfty expleft frac xy24ktright g ydy begin cases u_tku_xx 0le xinfty 0tinfty u x0g x IC u 0t0 BC end cases u xtfrac 1sqrt 4pi kt int_0infty left expleft frac xy24ktrightexpleft frac xy24ktrightright g ydy begin cases u_tku_xx 0le xinfty 0tinfty u x0g x IC u_x0t0 BC end cases u xtfrac 1sqrt 4pi kt int_0infty left expleft frac xy24ktrightexpleft frac xy24ktrightright g ydy begin cases u_tku_xxf inftyxinfty0tinfty u x00 IC end cases u xtint_0tint_inftyinfty frac 1sqrt 4pi k ts expleft frac xy24k tsright f sdyds begin cases u_tku_xxf xt 0le xinfty0tinfty u x00 IC u 0t0 BC end cases u xtint_0tint_0infty frac 1sqrt 4pi k ts left expleft frac xy24k tsrightexpleft frac xy24k tsrightright f ysdyds begin cases u_tku_xx 0le xinfty0tinfty u x00 IC u 0th t BC end cases u xtint_0t frac xsqrt 4pi k ts3 expleft frac x24k tsright h sds （可能的問題：根據上解，u 00） begin cases u_tku_xxf inftyxinfty0tinfty u x0g x ICend cases quad uwv begin cases v_tkv_xxf w_tkw_xx inftyxinfty0tinfty v x00 w x0g x ICend cases begin cases u_tku_xxf 0le xinfty0tinfty u x0g x IC u 0th t BCend cases quad uwvr begin cases v_tkv_xxf w_tkw_xx r_tkr_xx 0le xinfty0tinfty v x00 w x0g x r x00 IC v 0t0 w 0t0 r 0th t BC end cases 其他應用領域 熱傳導方程式在許多隨機過程的數學模型中出現，諸如布萊克 斯科爾斯模型與奧恩斯坦 烏倫貝克過程。在金融數學，1973 年發表的布萊克 斯科爾斯模型作為期權定價模型，當中的差分方程可以轉成熱傳導方程式，並從此匯出較簡單的解。許多簡單期權的延伸模型沒有解析解，因此必須以數值方法計算模型給出的定價。熱傳導方程式可以用克蘭克 尼科爾森方法有效地求數值解，此方法也可用於許多無解析解的模型（詳見文獻 Wilmott，1995）。 熱傳導方程式及其非線性的推廣型式也被應用於影像分析。 量子力學中的薛丁格方程雖然有類似熱傳導方程式的數學公式（但時間引數為 i 是虛數單位），本質卻不是擴散問題，解的定性行為也完全不同。 熱傳導方程式在流形上的推廣是處理阿蒂亞 辛格指標定理的主要工具之一，由此也導向熱傳導方程式在黎曼幾何中有許多應用。 參見 熱 偏微分方程 數學模型 發展方程 文獻 Einstein A Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen Ann Phys 17 549 1905 Wilmott P Howison S Dewynne J 1995 The Mathematics of Financial DerivativesA Student Introduction Cambridge University Press LC Evans Partial Differential Equations American Mathematical Society Providence 1998 ISBN 0821807722 外部連結 熱方程的推導 Linear heat equations 邊界值問題的特解 來自 EqWorld Category 擴散 Category 熱傳導 Category 拋物型偏微分方程 Category 傳熱