連通圖是圖論中最基本概念之一，其定義基於連通的概念。在一個無向圖 G 中，若從頂點 v_i 到頂點 v_j 有路徑相連（從 v_j 到 v_i 也一定有路徑），則稱 v_i 和 v_j 是連通的。如果 G 是有向圖，那麼連線 v_i 和 v_j 的路徑中所有的邊都必須同向。如果圖中任意兩點都是連通的，那麼圖被稱作連通圖。圖的連通性是圖的基本性質。連通度是指為了讓圖分解成孤立的子圖所要刪除的頂點數的最小值。連通度是刻畫網路的一個重要指標。 嚴格定義 對一個圖 G VE 中的兩點 x 和 y，若存在交替的頂點和邊的序列 Gamma xv_0 e_1 v_1 e_2 cdots e_k v_k y（在有向圖中要求有向邊 v_i v_i1 屬於 E），則兩點 x 和 y 是連通的。Gamma 是一條 x 到 y 的連通路徑，x 和 y 分別是起點和終點。當 xy 時，Gamma 被稱為迴路。如果通路 Gamma 中的邊兩兩不同，則 Gamma 是一條簡單通路，否則為一條複雜通路。如果圖 G 中每兩點間皆連通，則 G 是連通圖。 一個有向圖被稱作弱連通 weakly connected 的，如果將所有有向邊替換為無向邊之後的無向圖是連通的，如果對於任意一對頂點 u，v，或者存在一條從 u 到 v 的有向路徑，或者存在一條從 v 到 u 的有向路徑，則該圖是單連通 unilaterally conncected 的，如果對於如果對於任意一對頂點 u，v，同時存在一條從 u 到 v 的有向路徑和一條從 v 到 u 的有向路徑，則該圖是強連通 strongly connected 的。 分量和割 無向圖 G 的一個極大連通子圖稱為 G 的一個連通分量（或連通分支）。每一個頂點和每一條邊都屬於唯一的一個連通分量，連通圖只有一個連通分量，即其自身；非連通的無向圖有多個連通分量。 有向圖中的強連通分量是其極大的強連通子圖。強連通圖只有一個強連通分量，即是其自身；非強連通的有向圖有多個強連通分量。 連通圖 G 的割點是指一個由頂點組成的集合，在 G 刪除了這些點之後，會變得不連通。點連通度 kappa G 是割點集階數的最小值。如果圖 G 不是完全圖，且 kappa Gk 則圖 G 是 k 點連通的。更確切地來說，如果圖 G（不論是否完全）可以在刪除了 k1 個點之後變得不連通，卻不能在刪除 k1 個點之後變得不連通，則圖 G 是 k 點連通的，特別地，階數為 n 的完全圖是 n1 點連通的。 一對端點 uv 的割點是是指一個由頂點組成的集合，在 G 刪除了這些點之後，uv 會變得不連通。區域性連通度 kappa uv 是 uv 的最小割點集的階數。在無向圖上，區域性連通度是對稱的，也就是說，kappa uvkappa vu，另外，除了完全圖之外，kappa G 為所有不相鄰的點對 uv 的區域性聯通度中的最小值。 類似的概念可以用來定義邊連通度。如果在 G 上刪除一條邊可以導致不連通性，則這條邊被稱作橋。更一般地，割邊是指一個由邊組成的集合，在 在 G 刪除了這些邊之後，會變得不連通。邊連通度在 lambda G 是最小的割邊集的大小，區域性邊連通度 lambda uv 是 如果圖 G 的邊連通度大於等於 k，則它被稱作 k 邊連通的。 在一個圖上，以下的不等式成立kappa Gleqslantlambda Gleqslantdelta G，其中 delta G 是 G 的最小度 minimum degree。 如果圖 G 的點連通度等於其最小度，則被稱作極大連通的，如果它的邊連通度等於其最小度，則它被稱作極大邊連通的。 Super and hyper 連通 如果圖 G 上，每一個最小的割點集都能孤立一個頂點，則圖 G 被稱作 superconnected 或者 superκ。如果 G 刪除了每一個最小的割點集之後圖都會分成兩個連通分量，並且其中一個是單點，那麼圖 G 被稱作 hyperconnected 或 hyperκ。 如果圖上刪除了每一個最小的割點集之後都分成了兩個連通分量，則圖 G 被稱作 semihyperconnected 或 semihyperκ。 一個割點集 X 被稱作 nontrivial 的，如果對於任意不屬於 X 的頂點 v，其鄰域 N u 都不包含在 X 中。G 的 superconnectivity 可以被表示成： kappa G min X X is a nontrivial cutset 一個 nontrivial 割邊和 edgesuperconnectivity λ1 G 可以被類似地定義。 門格爾定理 圖論中關於連通性最重要的定理之一門格爾定理，它用頂點之間獨立路徑的個數刻畫了圖點連通和邊連通度。令 u，v 為圖 G 的兩個頂點，一系列連線 u 和 v 的路徑被稱作點獨立的，如果它們之間除了 u，v 之外，不會有相同的頂點。類似地，它們被稱作邊獨立的，如果它們不會有相同的邊。u 和 u 點獨立的路徑的個數被記作 kappauv，邊獨立的路徑的個數被記作 lambdauv。 門格爾定理告訴我們，若 u ，v 不相同，則 lambdauvlambda uv，若 u，v 不相同且不相鄰，則 kappauvkappa uv 。 事實上，這其實是最大流最小割定理的特殊情況。 連通度的計算方面 判斷兩個頂點是否連通這一問題可以被搜尋演算法迅速的解決，例如廣度優先演算法。更一般地，判斷一個圖是否連通，以及一個圖連通分量的計數問題可以被較快地解決（例如使用並查集，一個簡單演算法的虛擬碼可以寫成： 從 G 的任意一個頂點開始 使用深度優先或廣度優先搜尋所有與該頂點連通的頂點，並計數 搜尋完成，如果計數等於 G 的階數，則 G 是連通的，否則 G 不連通。 根據門格爾定理，在連通圖 G 上，對於任意一對頂點 u，v，kappa uv，lambda uv 可以透過最大流最小割演算法迅速的計算，因此，G 的邊連通度和點聯通度分別作為 kappa uv，lambda uv 的最小值，可以被迅速地計算。 連通圖的個數 n 階（小於等於 16）的不同的連通圖的個數在 OnLine Encyclopedia of Integer Sequences 中被記錄在 中，前幾個份量是 n 個數 2 1 3 4 4 38 5 728 6 26704 7 1866256 8 251548592 一些例子 不連通圖的邊連通度和點連通度均為 0 1 點連通等價於階數大於等於 2 的圖的連通性。 n 階完全圖的邊連通度是 n1 其他型別的 n 階圖的邊連通度嚴格小於 n1 在樹中，任意兩個頂點之間的區域性邊連通度都是 1 其他性質 連通性被圖同態保持 如果 G 是連通的，則它的線圖 L G 也是連通的 圖 G 是 2 邊連通的，當且僅當它有一個定向，且是強連通的。 根據 G A Dirac 的結論，如果圖 G 是 k 點連通的，且 kgeqslant2，則對於每 k 個頂點組成的集合，存在一個環經過這個集合上所有的頂點。 在 k2 時，反過來亦成立。 一個無向圖 G VE 是連通的，那麼邊的數目大於等於頂點的數目減一： E ge V1，而反之不成立。 如果 G VE 是有向圖，那麼它是強連通圖的必要條件是邊的數目大於等於頂點的數目： E ge V，而反之不成立。 沒有迴路的無向圖是連通的當且僅當它是樹，即等價於：displaystyle E V1。 參見 代數連通度 Cheeger constant graph theory Dynamic connectivity 並查集 擴充套件圖 Strength of a graph 參考文獻 Category 圖