斯托爾茲－切薩羅定理是數學分析學中的一個用於證明數列收歛的定理。該定理以奧地利人和義大利人恩納斯托切薩羅命名。 內容 情況的敘述 令 a_n_n geq 1 以及 b_n_n geq 1 為兩個實數數列。假設 b_n_n geq 1 是個嚴格單調且發散的數列 亦即嚴格遞增並接近無窮大，或者嚴格遞減並接近負無窮大，以及下述極限存在 lim_n to infty frac a_n1a_nb_n1b_nl 那麼，可以推得極限 lim_n to infty frac a_nb_nl 情況的敘述 令 a_n_n geq 1 以及 b_n_n geq 1 為兩個實數數列。假設 a_nto 0 以及 b_nto 0，並且 b_n_n geq 1 是嚴格單調。如果 lim_n to infty frac a_n1a_nb_n1b_nl 則 lim_n to infty frac a_nb_nl 用法說明 該定理雖然主要被用來處理數列不定型極限，但該定理在沒有 lim_n to infty a_n infty 這一限制條件時也是成立的。雖然該定理通常是以分母 b_n 為正數數列的情形加以敘述的，但注意到該定理對分子 a_n 的正負沒有限制，所以原則上把對數列 b_n 的限制條件替換為 嚴格單調遞減且趨於負無窮大 也是沒有問題的。 與洛必達法則的迭代用法類似，在嘗試應用斯托爾茲－切薩羅定理考察數列的極限時，如果發現兩個數列差分的商仍然是不定型，可以嘗試再使用 1 次該定理，考察其 2 階差分之商的極限。 應當注意，當 lim_n to infty frac a_n1a_nb_n1b_n 不存在時，不能認定 lim_n to infty frac a_nb_n 必定也不存在。換句話說，確實有 有窮極限 lim_n to infty frac a_nb_n 存在，但有窮極限 lim_n to infty frac a_n1a_nb_n1b_n 不存在 的情況（詳見下文針對此逆命題所舉的反例）。 證明 的情況 假設 b_n 為嚴格遞增並發散至 infty 而且 inftyleq linfty 於是存在 pqin mathbb R 使得 l。因此我們有 exists n_0in mathbb N forall ngeq n_0 b_n0 而且 frac a_n1a_nb_n1b_n。 那麼，給定 ngeq n_0，注意到 a_n1a_n1a_ncdotsa_n_01a_n_0a_n_0。因為 b_n10 我們有 frac a_n1b_n1。 令 c_npleft 1frac b_n_0b_nrightfrac a_n_0b_n，由於 lim_nto infty b_ninfty 於是 lim_nto infty c_np。因此我們有 exists n_1in mathbb N forall ngeq n_1 c_n。那麼，對於 ngeq n_4maxn_0 n_1，我們有 frac a_n1b_n1c_n1。同樣地，對於 inftylleq infty 與 ql 存在 n_3in mathbb N 使得對於所有 ngeq n_3 我們有 qfrac a_n1b_n1。於是，如果 linfty 那麼 forall qin mathbb R exists n_3in mathbb N forall ngeq n_3 qfrac a_nb_n。因此 lim_nto inftyfrac a_nb_ninftyl。 linfty 那麼 forall qin mathbb R exists n_4in mathbb N forall ngeq n_4 frac a_nb_n。因此 lim_nto inftyfrac a_nb_ninftyl。 lin mathbb R 那麼對於所有 qqin mathbb R 使得 ql，存在一個 n_5in mathbb N 上述 n_3 n_4 的最大值，使得對於所有 ngeq n_5，我們有 qfrac a_nb_n。因此 lim_nto inftyfrac a_nb_nl。 對於 b_n 為嚴格遞減並發散至 infty 的情況，注意到 frac a_n1a_nb_n1b_nfrac a_n1a_nb_n1b_n 且 b_n 為一個嚴格遞增至 infty 的數列即得證。 的情況 假設 b_n 為嚴格遞減收斂至 0 而且 inftyleq linfty 於是存在 pqin mathbb R 使得 l。因此我們有 exists n_0in mathbb N forall ngeq n_0 b_n0 而且 frac a_n1a_nb_n1b_n。 那麼，給定 mgeq ngeq n_0，注意到 a_na_na_n1cdotsa_ma_m1a_m1。因為 b_n0 我們有 frac a_nb_n。 令 c_mpleft 1frac b_m1b_nrightfrac a_m1b_n，由於 lim_mto infty b_m0 lim_mto infty a_m0 於是 lim_mto infty c_mp。那麼，當 mto infty 我們有 frac a_nb_nleq p。同樣地，對於 inftylleq infty 和 ql 存在 n_1in mathbb N 使得對於所有 ngeq n_1 我們有 qfrac a_n1b_n1。於是，如果 linfty 那麼 forall qin mathbb R exists n_1in mathbb N forall ngeq n_1 qfrac a_nb_n。因此 lim_nto inftyfrac a_nb_ninftyl。 linfty 那麼 forall qin mathbb R exists n_0in mathbb N forall ngeq n_0 frac a_nb_n。因此 lim_nto inftyfrac a_nb_ninftyl。 lin mathbb R 那麼對於所有 qqin mathbb R 使得 ql，存在一個 n_2in mathbb N 上述 n_0 n_1 的最大值，使得對於所有 ngeq n_2，我們有 qfrac a_nb_n。因此 lim_nto inftyfrac a_nb_nl。 對於 b_n 為嚴格遞增並收斂到 0 的情況，注意到 frac a_n1a_nb_n1b_nfrac a_n1a_nb_n1b_n 且 b_n 為一個嚴格遞增至 0 的數列即得證。 直觀解釋 利用與折線斜率的類比，該定理具有直觀的幾何意義。 應用 算術平均 令 x_n_ngeq 1 為一個收斂到 l 的實數數列，定義 a_nsum_m1nx_mx_1dotsx_nquad b_nn 那麼 b_n 為一個遞增至 infty 的數列。計算 lim_ntoinftyfrac a_n1a_nb_n1b_nlim_ntoinfty x_n1lim_ntoinfty x_nl 因此 lim_ntoinftyfrac x_1dots x_nnlim_ntoinfty x_n zhhans 幾何；zhtw 幾何 平均 令 x_n_ngeq 1 為一個收斂到 l 的正數數列，定義 a_nlog x_1cdots x_nquad b_nn 計算 lim_ntoinftyfrac a_n1a_nb_n1b_nlim_ntoinftylogBig frac x_1cdots x_n1x_1cdots x_nBiglim_ntoinftylog x_n1lim_ntoinftylog x_nlog l 這邊我們使用到對數函式是連續的。 因此 lim_ntoinftyfrac log x_1cdots x_nnlim_ntoinftylogBig x_1cdots x_nfrac 1nBiglog l 再一次，因為對數函式是連續和單調的，我們有 lim_ntoinftysqrt nx_1cdots x_nlim_ntoinfty x_n 根號與比值 令 x_n_ngeq 1 為一個收斂到 l 的正數數列，定義 y_01 y_nx_ny_n1 其中 nin mathbb N。那麼我們有 sqrt nx_1cdots x_nsqrt ny_n。於是， 我們有 lim_ntoinftysqrt ny_nlim_ntoinftysqrt nx_1cdots x_nlim_ntoinfty x_nlim_ntoinftyfrac y_ny_n1l。 相關命題 這個用於解決數列不定型極限的定理與用於解決函式不定型極限的洛必達法則在形式上非常類似。求數列的差分對應於求函式的導函式，斯托爾茲－切薩羅定理就相當於是洛必達法則的離散化版本。但在類比記憶時應當注意，斯托爾茲－切薩羅定理要求數列要具有嚴格的單調性（或者至少當項數足夠大時，要具有嚴格單調性），而洛必達法則沒有對函式的單調性作出要求；洛必達法則要求函式在所考察點的鄰域上具有可求導性，但斯托爾茲－切薩羅定理對數列不存在類似限制（數列沒有 可差分性 一說）。並非所有的函式都可以進行求導運算，但任何數列都是可以進行差分運算的。 此定理的逆命題不成立。也即當滿足條件的 lim_n to infty frac a_nb_n 存在時， lim_n to infty frac a_n1a_nb_n1b_n 未必存在。如設 a_n 7n 1n ， b_n 7n 2times 1n ，這 2 個正實數數列都是嚴格單調遞增的且發散至無窮大。易知 lim_n to infty frac a_nb_n 存在，且數值為 1。但是 frac a_n1a_nb_n1b_n frac 7 n1 1n1 7n 1n7 n1 2times 1n1 7n 2times 1n frac 7 1n1 1n7 2times 1n1 2times 1n 當 n to infty 時是震盪的，即此差分之商的極限值不存在。目前可找出的例子都是藉助震盪型數列構造的，而用於說明洛必達法則的逆命題不成立的例子也用到了震盪型的函式。 推廣 該定理的一個推廣形式如下： 如果 a_n_ngeq 1 和 b_n_ngeq 1 是兩個數列，而 b_n 是單調無界的，那麼 liminf_ntoinfty frac a_n1a_nb_n1b_nleq liminf_ntoinftyfrac a_nb_nleqlimsup_ntoinftyfrac a_nb_nleqlimsup_ntoinftyfrac a_n1a_nb_n1b_n 證明 假設 b_n 為嚴格遞增並發散至 infty 而且 inftyleq llimsup_nto inftyfrac a_n1a_nb_n1b_ninfty 於是存在 pqin mathbb R 使得 l。因此我們有 exists n_0in mathbb N forall ngeq n_0 b_n0 而且 frac a_n1a_nb_n1b_n。 那麼，給定 ngeq n_0，注意到 a_n1a_n1a_ncdotsa_n_01a_n_0a_n_0。因為 b_n10 我們有 frac a_n1b_n1。 令 c_npleft 1frac b_n_0b_nrightfrac a_n_0b_n，由於 lim_nto infty b_ninfty 於是 lim_nto infty c_np。因此我們有 exists n_1in mathbb N forall ngeq n_1 c_n。那麼，對於 ngeq n_2maxn_0 n_1，我們有 frac a_n1b_n1c_n1。 於是，當 nto infty，我們有 limsup_nto inftyfrac a_nb_nleq q。因為 q 是任意大於 l 的數，limsup_nto inftyfrac a_nb_nleq l。當 linfty，不等式顯然成立。 假設 infty mliminf_nto inftyfrac a_n1a_nb_n1b_nleqinfty 於是存在 pqin mathbb R 使得 q。因此我們有 exists n_0in mathbb N forall ngeq n_3 b_n0 而且 pfrac a_n1a_nb_n1b_n。 那麼，給定 ngeq n_0，注意到 a_n1a_n1a_ncdotsa_n_01a_n_0a_n_0。因為 b_n10 我們有 pleft 1frac b_n_0b_n1rightfrac a_n_0b_n1frac a_n1b_n1。 令 c_npleft 1frac b_n_0b_nrightfrac a_n_0b_n，由於 lim_nto infty b_ninfty 於是 lim_nto infty c_np。因此我們有 exists n_1in mathbb N forall ngeq n_4 qc_n。那麼，對於 ngeq n_5maxn_3 n_4，我們有 qfrac a_n1b_n1。 於是，當 nto infty，我們有 qleq liminf_nto inftyfrac a_nb_n。因為 q 是任意小於 m 的數，mleqlimsup_nto inftyfrac a_nb_n。當 linfty，不等式顯然成立。 對於 b_n 為嚴格遞減並發散至 infty 的情況，注意到 frac a_n1a_nb_n1b_nfrac a_n1a_nb_n1b_n 且 b_n 為一個嚴格遞增至 infty 的數列即得證。 參考資料 外部連結 Marian Mureşan A Concrete Approach to Classical Analysis Springer 2008 ISBN 9780387789323 p 85 Category 實分析定理 Category 審斂法