矩陣範數亦譯矩陣模是數學中矩陣論、線性代數、泛函分析等領域中常見的基本概念，是將一定的矩陣空間建立為賦範向量空間時為矩陣裝備的範數。應用中常將有限維賦範向量空間之間的對映以矩陣的形式表現，這時對映空間上裝備的範數也可以透過矩陣範數的形式表達。 定義 賦範向量空間是拓撲向量空間中的基本種類。透過賦予向量空間（線性空間）以範數，建立拓撲結構。考慮係數域 mathbb K（mathbb K 可以是實數域 mathbb R 或複數域 mathbb C 等）上的所有 m times n 矩陣所構成的向量空間 mathcal M_m nmathbb K。這是一個有 m n 維的 mathbb K 向量空間。可以如同對其他的有限維 mathbb K 向量空間一樣，為矩陣空間 mathcal M_m nmathbb K 裝備範數。這樣的範數稱為 mathcal M_m nmathbb K 上的一個矩陣範數。 依照範數的定義，一個從 mathcal M_m nmathbb K 對映到非負實數的函式 cdot 滿足以下的條件： 嚴格正定性：對任意矩陣 A in mathcal M_m nmathbb K，都有 Age 0，且等號成立若且唯若 A0； 線性性：對任意係數 alpha in mathbb K、任意矩陣 A in mathcal M_m nmathbb K，都有 alpha Aalpha A； 三角不等式：任意矩陣 A B in mathcal M_m nmathbb K，都有 AB le AB。則稱之為 mathcal M_m nmathbb K 上的一個矩陣範數。 此外，某些定義在方塊矩陣組成空間 mathcal M_nmathbb K 上的矩陣範數滿足一個或多個以下與的條件： 相容性：AB le AB ； 共軛轉置相等條件：AA。其中 A 表示矩陣 A 的共軛轉置（在實矩陣中就是普通轉置）。 一致性特性也稱為次可乘性。某些書籍中，矩陣範數特指滿足一致性條件的範數。 常見矩陣範數 滿足以上設定的矩陣範數可以有多種。由於它們都是定義在 mathcal M_m nmathbb K 這個有限維向量空間上的範數，所以實質上是等價的。常見的矩陣範數通常是在矩陣的應用中自然定義或誘導的範數。 向量範數誘導的矩陣範數 考慮從向量空間 V mathbb Km 對映到 W mathbb Kn 的所有線性對映的構成的空間：mathcal L_m nmathbb K。設 V 和 W 中分別裝備了兩個向量範數 cdot _V 和 cdot _W，則可以定義 mathcal L_m nmathbb K 上的運算元範數 cdot _mathcal L： forall A in mathcal L_m nmathbb K A_mathcal L maxA x_W xin V x_V leqslant 1。 而給定了基底後，每個從 V 對映到 W 的線性對映都可以用一個 m times n 的矩陣來表示，所以同樣地可以定義 mathcal M_m nmathbb K 上的非負對映 cdot _mathcal M： forall A in mathcal M_m nmathbb K A_mathcal M maxAx_W xin V x_V leqslant 1。 可以驗證， cdot _mathcal M 滿足矩陣範數的定義，因此是一個矩陣範數。這個矩陣範數被稱為是由向量空間範數誘導的矩陣範數，可以看作是運算元範數在由有限維向量空間之間線性對映組成的空間上的特例。如果 m n，所對應的矩陣空間就是 n 階方塊矩陣空間 mathcal M_nmathbb K。這時可以驗證，誘導範數 cdot _mathcal M 滿足一致性條件。 p 範數誘導的矩陣範數 當 V 和 W 中裝備的向量範數都是 p 範數的時候，誘導的矩陣範數也稱為矩陣的誘導 p 範數。具體來說就是： left A right_p max limits_x ne 0 frac left A x right_pleft x right_p max limits_x ne 0 frac left sum_i1m sum_j1n a_ij x_j pright1pleft sum_j1n x_j pright1p 。 在 p1 和 pinfty 的情況下，其範數可以以下方式計算： begin align left A right _1 max limits _1 leq j leq n sum _i1 m a_ij left A right _infty max limits _1 leq i leq m sum _j1 n a_ij end align 這些與矩陣的 Schatten p 範數不同，也可以用 left A right _p 。來表示。 當 p 2（歐幾里德範數）時，誘導的矩陣範數就是譜範數。矩陣 A 的譜範數是 A 最大的奇異值或半正定矩陣 AA 的最大特徵值的平方根： left A right _2sqrt lambda_text maxA A 其中 A 代表 A 的共軛轉置。 任何誘導的矩陣範數都滿足此不等式 left A right ge rho A 其中 ρA 是 A 的譜半徑。事實上，可以證明 ρA 是 A 的所有誘導範數的下界。 此外，我們有 lim_rrarrinftyAr1rrho A。 矩陣元範數 這些向量範數將矩陣視為 m times n 向量，並使用類似的向量範數。 舉例說明，使用向量的 p 範數，我們得到： Vert A Vert_p Big sum_i1m sum_j1n a_ijp Big1p 注：不要把矩陣元 p 範數與誘導 p 範數混淆。 弗羅貝尼烏斯範數 對 p 2，這稱為弗羅貝尼烏斯範數（Frobenius norm）或希爾伯特 施密特範數（HilbertSchmidt norm），不過後面這個術語通常只用於希爾伯特空間。這個範數可用不同的方式定義： A_Fsqrt sum_i1msum_j1n a_ij2sqrt operatorname traceA Asqrt sum_i1minmn sigma_i2 這裡 A 表示 A 的共軛轉置，σi 是 A 的奇異值，並使用了跡函式。弗羅貝尼烏斯範數與 Kn 上歐幾里得範數非常類似，來自所有矩陣的空間上一個內積。 弗羅貝尼烏斯範數是服從乘法的且在數值線性代數中非常有用。這個範數通常比誘導範數容易計算。 極大值範數 極大值範數是 p的元素範數， A_maxmaxa_ij。這個範數不服從次可乘性（submultiplicative property）。 Schatten 範數 Schatten 範數出現於當 p 範數應用於一個矩陣的奇異值向量時。如果奇異值記做 σi，則 Schatten p 範數定義為 A_p Big sum_i1minmn sigma_ip Big1p 這個範數與誘導、元素 p 範數使用了同樣的記號，但它們是不同的。 所有 Schatten 範數服從乘法。它們也都是酉不變的，這就是說 A UAV 對所有矩陣 A 與所有酉矩陣 U 和 V。 最常見的情形是 p 1 2 。p 2 得出弗羅貝尼烏斯範數，前面已經介紹過了。p 得出譜範數，這是由向量 2 範數誘導的矩陣範數（見下）。最後，p 1 得出跡範數 核範數，定義為 A_text tr operatorname tracesqrt AAsum_i1minmn sigma_i。 一致範數 一個 Km times n 上矩陣範數 cdot _ab 稱為與 Kn 上向量範數 cdot _a 以及 Km 上向量範數 cdot _b 一致，如果 Ax_b leq A_ab x_a 對所有 A in Km times n x in Kn。根據定義，所有誘導範數是一致範數。 範數的等價 對任何兩個向量範數 α and β，我們有 rleftAright_alphaleqleftAright_betaleq sleftAright_alpha 對某個正數 r 與 s，Km times n 中所有矩陣 A 成立。換句話說，它們是等價的範數；它們在 Km times n 上誘導了相同的拓撲。 此外，當 Ain mathbb Rntimes n，則對任何向量範數 ，存在惟一一個正數 k 使得 kA 是一個（服從乘法）矩陣範數。 一個矩陣範數 α 稱為 極小的，如果不存在其它矩陣範數 β 滿足 βα。 範數等價的例子 對矩陣 Ainmathbb Rmtimes n 如下不等式成立 ： A_2leA_Flesqrt nA_2 A_text max le A_2 le sqrt mnA_text max frac 1sqrt nA_inftyleA_2lesqrt mA_infty frac 1sqrt mA_1leA_2lesqrt nA_1 這裡，p 表示由向量 p 範數誘導的矩陣範數。 向量範數之間另一個有用的不等式是 A_2lesqrt A_1A_infty。 參考資料 Douglas W Harder Matrix Norms and Condition Numbers James W Demmel Applied Numerical Linear Algebra section 17 published by SIAM 1997 Carl D Meyer Matrix Analysis and Applied Linear Algebra published by SIAM 2000 J J