線性對映是向量空間之間，保持向量加法和純量乘法的函式。線性對映也是向量空間作為模的同態見 位於第 2 章 線性對映 第 1 節 線性對映生成的代數。。 線性運算元與線性轉換（，又稱線性變換）是與線性對映相關的慣用名詞，但其實際意義存在許多分歧，詳見相關名詞一節。 正式定義 設 V 和 W 都是係數體為 K 的向量空間， fV to W 是一個從 V 送到 W 的一個對映。如果 f 具有以下兩個性質： 維持向量加法 對於任意兩個 V 中的向量 x 和 y ：f xyf xf y 維持純量乘法 對於任何 V 中的向量 x 和任何純量 a in K ：f a cdot xacdot f x 則稱 f 是一個 K 線性對映。在係數體不致混淆的情況下也經常簡稱線性對映。 這等價於要求 f 對任意向量 x_1ldotsx_min V 和任意純量 a_1ldotsa_min K ：f a_1 cdot x_1 cdots a_m cdot x_m a_1 cdot f x_1cdots a_m cdot f x_m 線性泛函 任何的體 K 本身就是一維的（係數為自身的）向量空間，所以可以考慮任何從係數體同樣為 K 的向量空間 V 送往 K 的線性對映，這類線性對映被稱為線性泛函。研究線性泛函的學科是線性泛函分析，是泛函分析最成熟的分支。 注意事項 線性對映中的「線性」與「函式圖形是直線」沒有任何關聯。 定義域和對應域相同的線性對映可以進行函式合成，合成的結果依然會是線性對映。但是如果改變合成的順序，那合成出來的結果通常不會相同。例如「把函式乘上 x2 」和「對函式進行微分」都是線性運算元，但是對一個函式「先乘上 x2 再進行微分」和「先進行微分再乘上 x2 」是不同的線性對映。見 位於第 3 章 線性對映 第 1 節 定義與例子。 維持向量加法的對映可能不維持純量乘法；同樣地，維持純量乘法的對映也可能不維持向量加法。見 位於第 3 章 線性對映 末尾習題旁的說明。 相關名詞 線性變換和線性運算元這兩個名詞，與本條目的線性對映密切相關，但不同作者有不同的定義。而這種定義分歧的根源在於，如 fVrightarrow V 這樣，定義域和值域落在同個向量空間的特殊線性對映，有些人為了凸顯而予之不同的稱呼。 比如 Axler 和龔昇就稱這種特殊線性對映為線性運算元見龔昇《線性代數五講》第 1 講第 10 頁。見 位於第 3 章 線性對映 第 1 節 定義與例子。，但另一方面將線性對映和線性變換視為同義詞；李尚志則將這種特殊線性對映稱為線性變換；而泛函分析的書籍一般將三者都視為本條目所定義的「線性對映」，其他細節以函式的符號傳達見 位於第 15 章 有界線性對映 的開頭部分。原文為 線性對映也稱為線性運算元或線性變換。。 本條目採用泛函分析的習慣。 例子 恆等對映和零對映是線性的。見 位於第 3 章 線性對映 第 1 節 定義與例子。 對於實數，對映 xmapsto x2 不是線性的。 如果 A 是 mtimes n 實矩陣，則 A 定義了一個從 Rn 到 Rm 的線性對映，這個對映將列向量 xin Rn 對映到列向量 Axin Rm。反過來說，在有限維向量空間之間的任何線性對映都可以用這種方式表示；參見後面章節。 積分生成從在某個區間上所有可積分實函式的空間到 R 的線性對映。這只是把積分的基本性質（積分的可加性 和 可從積分號內提出常數倍數）用另一種說法表述出來。 微分是從所有可微分函式的空間到所有函式的空間的線性對映。 給函式乘上 x2 是一種線性對映。設 C 是由全體連續函式所組成的函式空間，則此運算也是空間 C 中的運算元。 後向移位（backward shift）運算是一種線性對映。即把無窮維向量 x_1 x_2 x_3 x_4 的第一個坐標劃去：operatorname Tx_1 x_2 x_3 x_4 x_2 x_3 x_4 。 如果 V 和 W 為在體 F 上的有限維向量空間，則從線性對映 fVrightarrow W 到在後面所描述的 dim_F Wtimesdim_F V 矩陣的函式也是線性對映。 一次函式 yf xxb 僅在 b0 時才是一種線性變換。容易驗證一次函式僅在 b0 時，線性變換的基本性質 f 00 才能成立。（盡管 bneq 0 時其影像也是一條直線，但這裡所說的線性不是指函式影像為直線。）同理，平移變換一般也不是線性變換（平移距離為零時才是線性變換）。見。位於第 6 章 Symmetry 第 1 節 Symmetry of the Plane Figures 矩陣 若 V 和 W 是有限維的、有相同的係數體 K 的向量空間，則從 V 到 W 的線性對映可以用矩陣表示。 以矩陣表示線性對映 假設 TV to W 是個線性對映，且 mathfrak B_V leftalpha_1alpha_2ldotsalpha_n right mathfrak B_Wleftbeta_1beta_2ldotsbeta_mright 分別是 V 和 W 的基底。 根據基底 mathfrak B_W 的基本定義，對於每個基向量 alpha_i in mathfrak B_V ，存在唯一一組純量 t_1it_2ildotst_miin K 使得 T alpha_isumm_j1 t_ji cdot beta_jt_1i cdot beta_1t_2i cdot beta_2cdotst_mi cdot beta_m 直觀上，純量 t_1it_2ildotst_miin K 就是對基向量 alpha_i in mathfrak B_V 的作用結果 T alpha_i in W ，在基底 mathfrak B_W 下的諸分量。 現在任取一個 V 裡的向量 v in V ，因為基底 mathfrak B_V 的基本定義，存在唯一一組純量 v_1v_2ldotsv_nin K 使得 vsumn_i1 v_i cdot alpha_i 這樣根據求和符號的性質，可以得到 T v sumn_i1 v_icdot left summ_j1 t_ji cdot beta_jright sumn_i1summ_j1t_ji v_i cdot beta_j summ_j1sumn_i1t_ji v_i cdot beta_j summ_j1left sumn_i1 t_ji v_i rightcdot beta_j 然後考慮到 T v in W ，所以根據基底 mathfrak B_W 的基本定義，存在唯一一組純量 lambda_1lambda_2ldotslambda_min K 使得 T vsumm_j1lambda_j cdot beta_j 因為這樣的純量 lambda_1lambda_2ldotslambda_Min K 是唯一存在的，所以對 j12ldotsm 有 lambda_j sumn_i1 t_ji v_i 考慮到矩陣乘法的定義，上式可以改寫為 begin bmatrix lambda_1 lambda_2 vdots lambda_m end bmatrix begin bmatrix t_11 t_12 dots t_1n t_21 t_22 dots t_2n vdots vdots ddots vdots t_m1 t_m2 dots t_mn end bmatrix begin bmatrix v_1 v_2 vdots v_n end bmatrix 也就是說，只要知道 T alpha_i 在 mathfrak B_W 下的諸分量 t_ji ，任意向量 v in V 的作用結果 T v ，都可以表示為矩陣 mathbf Tt_ji_mtimes n 與行向量 mathbf vv_i_ntimes 1 的乘積。更直觀的來說，矩陣 mathbf Tt_ji_mtimes n 就是把 T alpha_i 的諸分量沿行（column）擺放所構成的。 由上面的推導可以知道，不同的基底 mathfrak B_V 和 mathfrak B_W 下，矩陣 mathbf Tt_ji_mtimes n 也不同，為了強調這點，也會將矩陣 mathbf T 記為 mathbf TTmathfrak B_V_mathfrak B_W 來強調這種關聯性。 若 TV to V ，在同個向量空間 V 通常沒有取不同基底的必要，那上面的推導可以在 mathfrak B_V mathfrak B_W 的前提下進行。這時上式可以進一步簡寫為 mathbf TT_mathfrak B_V 以線性對映表示矩陣 若有由 m times n 個純量構成的矩陣 mathbf Aa_ij_m times n in Km times n ，如果取 fKn times 1 to Km times 1 為 f mathbf xmathbf Amathbf x 其中 mathbf x begin bmatrix x_1 x_2 vdots x_n end bmatrix in Kn times 1 因為矩陣乘法只有唯一的結果，上面的定義的確符合函式定義的基本要求。然後考慮 Kn times 1 和 Km times 1 都可以視為定義在同個純量體 K 上的向量空間，而且矩陣乘法是線性的，所以上述定義的函式 f 的確符合線性對映的基本定義。 用泛性質做矩陣表示 根據積和餘積的泛性質，我們有 mathrm Homleft bigoplus_i in I U_i prod_j in J V_jright simeq prod_i in I prod_j in J mathrm Homleft U_i V_jright 在 K 線性空間構成的範疇中，有限個線性空間的餘積和積是一回事。對於 U V 的基 bold b_1 dots bold b_n bold b_1 dots bold b_m，取 U_i bold b_i K V_i bold b_i k，我們有 mathrm HomU_i V_j simeq K，所以左邊的線性對映 mathrm HomU V 就被拆解為了 nm 個 K 中的元素，這就是線性對映的矩陣表示。 用矩陣表示線性對映的原因和好處 把線性對映寫成具體而簡明的 2 維數陣形式後，就成了一種矩陣。進而由線性對映的加法規則和覆合規則來分別定義矩陣的加法規則和乘法規則是很自然的想法。見 位於第 3 章 線性對映 第 3 節 線性對映的矩陣。當空間的基變化（坐標系變換）時，線性對映的矩陣也會有規律地變化。在特定的基上研究線性對映，就轉化為對矩陣的研究。利用矩陣的乘法，可以把一些線性系統的方程表達得更緊湊（比如把線性方程組用矩陣表達和研究），也使幾何意義更明顯。矩陣可以分塊計算，可以透過適當的變換以 解耦（把覆雜的變換分解為一些簡單變換的組合）。要求出一個線性變換的秩，先寫出其矩陣形式幾乎是不可避免的一個步驟。 遇到 yx3 這樣的加上了 1 個常量的非線性對映可以透過增加 1 個維度的方法，把變換對映寫成 22 維的方形矩陣形式，從而在形式上把這一類特殊的非線性對映轉化為線性對映。這個辦法也適用於處理在高維線性變換上多加了一個常向量的情形。這在計算機圖形學和剛體理論（及其相關機械製造和機器人學）中都有大量應用。 對角化的矩陣具有諸多優點。線性對映在寫成矩陣後可以進行對角化（不能對角化的矩陣可以化簡成接近對角矩陣的準對角矩陣），從而可以獲得對角化矩陣擁有的獨特優勢（極大地簡化乘法運算，易於分塊，容易看出與基的選取無關的不變數）。比如，對於作用於同一個空間的可對角化的方形矩陣 A，要求出 A 自乘 n 次後的結果 An，一個一個慢慢地乘是很麻煩的事情。而知道對角化技巧的人會發現，在將這矩陣對角化後，其乘法運算會變得格外簡單。實際應用中有很多有意思的問題或解題方法都會涉及到矩陣自乘 n 次的計算，如 1 階非齊次線性遞推數列通項公式的線性代數求解法和馬爾可夫鏈的極限狀態（極限分佈）的求解。線性代數及矩陣論的一個主要問題就是尋找可使矩陣對角化的條件或者可使矩陣化簡到含很多個 0 的條件見 位於第 5 章 本徵值與本徵向量 第 3 節 上三角矩陣。，以便簡化計算（這是主要原因之一）。 線性對映的矩陣的例子 二維空間 R2 的線性變換的一些特殊情況有： 逆時針旋轉 90 度： Abegin bmatrix 0 1 1 0end bmatrix 逆時針旋轉 theta 度其證明只需要用到三角函式的基礎知識，在網上很容易找到證明過程。也可參見第 11 章 Vectors 第 3 節 Rotations。： Abegin bmatrixcos theta sin theta sin theta cos thetaend bmatrix 針對 y 軸反射： Abegin bmatrix 1 0 0 1end bmatrix 在所有方向上放大 2 倍： Abegin bmatrix 2 0 0 2end bmatrix 水平錯切： Abegin bmatrix 1 m 0 1end bmatrix 擠壓： Abegin bmatrix k 0 0 1kend bmatrix 向 y 軸投影： Abegin bmatrix 0 0 0 1end bmatrix 從給定線性對映構造新的線性對映 兩個線性對映的覆合對映是線性的：如果 fVrightarrow W 和 gWrightarrow Z 是線性的，則 gcirc fVrightarrow Z 也是線性的。 若線性對映可逆，則該線性對映的逆也是線性對映。 如果 f_1Vrightarrow W 和 f_2Vrightarrow W 是線性的，則它們的和 f_1f_2 也是線性的 這是由 left f_1f_2 rightleft x rightf_1left x rightf_2left x right 定義的。 如果 fVrightarrow W 是線性的，而 a 是基礎體 K 的一個元素，則定義自 afx a f x 的對映 af 也是線性的。 所以從 V 到 W 的線性對映的集合 Lleft VW right 自身形成在 K 上的向量空間，有時指示為 mathrm Homleft VW right。進一步的說，在 VW 的情況中，這個向量空間 指示為 mathrm EndV 是在對映覆合下的結合代數，因為兩個線性對映的覆合再次是線性對映，所以對映的覆合總是結合律的。 給定有限維的情況，如果基已經選擇好了，則線性對映的覆合對應於矩陣乘法，線性對映的加法對應於矩陣加法，而線性對映與純量的乘法對應於矩陣與純量的乘法。 自同態線性對映 自同態的線性對映在泛函分析和量子力學中都有很重要的地位。按前文約定，我們用 線性運算元 來簡稱它。（注意泛函分析中所說的 線性運算元 不一定是自同態 endomorphism 對映，但我們為了照顧不同書籍的差異以及敘述的方便，暫用 線性運算元 來稱呼這種自同態。） 自同態和自同構 自同態是一個數學物件到它本身的保持結構的對映（同態），例如群 G 的自同態則是群同態 fG to G。對於向量空間 V，其自同態是線性運算元 fVrightarrow V；所有這種自同態的集合 mathrm EndV 與如上定義的加法、覆合和純量乘法一起形成一個結合代數，帶有在體 K 上的單位元 特別是一個環。這個代數的乘法單位元是恆等對映 mathrm idVrightarrow V。 若 V 的自同態也剛好是同構則稱之為自同構。兩個自同構的覆合再次是自同構，所以 V 的所有的自同構的集合形成一個群，V 的自同構群可表為 mathrm AutV 或 mathrm GLV。因為自同構正好是那些在覆合運算下擁有逆元的自同態，所以 mathrm AutV 也就是在環 mathrm EndV 中的可逆元群。 如果 V 之維度 n 有限 mathrm EndV 同構於帶有在 K 中元素的所有 ntimes n 矩陣構成的結合代數，且 V 的自同態群同構於帶有在 K 中元素的所有 ntimes n 可逆矩陣構成的一般線性群 mathrm GLnK。 自同態在基下矩陣的分類 若爾當標準型敘述了代數閉域 K 上的線性空間 V 上的自同態 varphi 在 V 的基上的矩陣表示的表現，有理標準型是將其推廣到任意域上的方法。 核、像和秩 零化度定理 對於一個線性對映 fVrightarrow W ，可以考慮以下兩個： 核（ Kernel ） 送到零向量的那些向量：mathrm Kerf f1mathbf 0 x in V mid f x mathbf 0 subseteq V 像（ Image ） 把整個空間送過去後的結果：mathrm Imf f V f x in W mid x in V subseteq W 那麼 operatorname Kerf 是 V 的子空間，而 operatorname Imf 是 W 的子空間。下面的叫做秩 零化度定理的維度公式經常是有用的： dim mathrm Kerf dim mathrm Imf dim V dim mathrm Imf 這個數稱做「 f 的秩」（ rank ）並寫成 mathrm rkf ，有時也寫成 rho f ；而 dim mathrm Kerf 這個數則稱做「 f 的零化度」（ nullity ）並寫成 v f 。如果 V 和 W 是有限維的，那麼 f 的秩和零化度就是 f 的矩陣形式的秩和零化度。 這個定理在抽象代數的推廣是同構定理。 推廣 多重線性對映是線性對映最重要的推廣，它也是格拉斯曼代數和張量分析的數學基礎。其特例為雙線性對映。 參見 線性方程 反線性對映 變換矩陣 連續線性運算元 人工神經網路 計算機圖形學 線性系統 腳注與參考資料 腳注 腳注所引資料 其它參考資料 Halmos Paul R FiniteDimensional Vector Spaces SpringerVerlag 1993 ISBN 0387900934 X X X Category 線性運算元