在量子力學裡，埃倫費斯特定理表明，量子算符的期望值對於時間的導數，跟這量子算符與哈密頓算符的對易算符，兩者之間的關係，以方程式表達為 frac ddtlangle Arangle frac 1ihbarlangle A H rangle leftlangle frac partial Apartial trightrangle ； 其中，A 是某個量子算符，langle Arangle 是它的期望值，H 是哈密頓算符，t 是時間，hbar 是約化普朗克常數。 埃倫費斯特定理是因物理學家保羅埃倫費斯特命名。在量子力學的海森堡繪景裡，埃倫費斯特定理非常顯而易見；取海森堡方程式的期望值，就可以得到埃倫費斯特定理。埃倫費斯特定理與哈密頓力學的劉維定理密切相關；劉維定理使用的泊松括號，對應於埃倫費斯特定理的對易算符。實際上，從根據經驗法則，將對易算符換為泊松括號乘以 ihbar ，再取 ihbar 趨向於 0 的極限，含有對易算符的量子定理就可以改變為含有泊松括號的經典定理。 薛丁格繪景下的推導 假設，一個物理系統的量子態為 Phi x t ，則算符 A 的期望值對於時間的導數為 begin align frac ddtlangle Arangle frac ddtint Phi A Phidx int left frac partial Phipartial t right APhidx int Phi left frac partial Apartial tright Phidxint Phi A left frac partial Phipartial t right dx int left frac partial Phipartial t right APhidx leftlangle frac partial Apartial trightrangle int Phi A left frac partial Phipartial t right dx end align 薛丁格方程表明哈密頓算符 H 與時間 t 的關係為 HPhi ihbar frac partial Phipartial t 。 其共軛為 HPhi ihbar frac partial Phipartial t 。 因為哈密頓算符是厄米算符，HH ，所以， HPhiPhiHPhiH 。 將這三個方程式代入 frac ddtlangle Arangle 的方程式，則可得到 frac ddtlangle Arangle frac 1ihbarint Phi AHHA Phidx leftlangle frac partial Apartial trightrangle 。 所以，埃倫費斯特定理成立： frac ddtlangle Arangle frac 1ihbarlangle A Hrangle leftlangle frac partial Apartial trightrangle 。 有時算符 A 不隨時間變化，則 leftlangle frac partial Apartial trightrangle 等於零。 海森堡繪景下的推導 海森堡繪景下的推導更為直接。有海森堡運動方程式 frac partialpartial t A frac partial Apartial t frac 1ihbarA H 直接取等式兩邊的運算元的期望值可得 leftlanglePsileftfrac ddt A trightPsirightrangle leftlanglePsileftfrac partial A tpartial trightPsirightrangle leftlanglePsileftfrac 1i hbarA tHrightPsirightrangle 等式左邊的態向量不含時，因此可以把 frac ddt 一項移到狄拉克符號外，因此有 frac ddtlangle A trangle leftlanglefrac partial A tpartial trightrangle frac 1i hbarleftlangle A tHrightrangle 例項 使用埃倫費斯特定理，可以簡易地證明，假若一個物理系統的哈密頓量顯性地不含時間，則這系統是保守系統。 從埃倫費斯特定理，可以計算任何算符的期望值對於時間的導數。特別而言，速度的期望值和加速度的期望值。知道這些資料，就可以分析量子系統的運動行為。 守恆的哈密頓量 考慮哈密頓算符 H ： frac ddtlangle Hrangle frac 1ihbarlangle H Hrangle leftlangle frac partial Hpartial trightrangleleftlangle frac partial Hpartial trightrangle 。 假若，哈密頓量顯性地不含時間，frac partial Hpartial t0 ，則 langle HrangleH_0 ， 哈密頓量是個常數 H_0 。 位置的期望值對於時間的導數 試想一個質量為 m 的粒子，移動於一維空間．其哈密頓量是 H x p t frac p22m V x t 其中，x 為位置，p 是動量，V 是位勢。 應用埃倫費斯特定理， frac ddtlangle xrangle frac 1ihbarlangle x Hrangle leftlangle frac partial xpartial trightrangle frac 1ihbarlangle x Hrangle frac 1i2mhbarlangle x p2rangle frac 1i2mhbarlangle xpp ppxrangle 。 由於 xpp ppxi2hbar p ，位置的期望值對於時間的導數等於速度的期望值： frac ddtlangle xrangle frac 1m langle prangle langle vrangle 。 這樣，可以得到動量 p 的期望值。 動量的期望值對於時間的導數 應用埃倫費斯特定理， frac ddtlangle prangle frac 1ihbarlangle p Hrangle leftlangle frac partial ppartial trightrangle 。 由於 p 與自己互相交換，所以，p p20 。又在坐標空間裡，動量算符 p frac hbarifrac partialpartial x 不含時間： frac partial ppartial t 0 。所以， frac ddtlangle prangle frac 1ihbarlangle p Vrangle 。 將泊松括號展開， frac ddtlangle prangle int Phi Vfrac partialpartial xPhidx int Phifrac partialpartial x left VPhirightdx 。 使用乘法定則， frac ddtlangle prangle leftlangle frac partialpartial x Vrightrangle langle Frangle 。 在量子力學裡，動量的期望值對於時間的導數，等於作用力 F 的期望值。 經典極限 取經典極限，leftlangle frac partial V xpartial xrightrangleapprox frac partial V langle xranglepartial langle xrangle ，則可得到一組完全的量子運動方程式： frac ddtlangle xranglelangle vrangle ， frac ddtlangle prangle frac partial V langle xranglepartial langle xrangle 。 這組量子運動方程式，精確地對應於經典力學的運動方程式： frac dxdtv ， frac dpdt frac partial V xpartial x 。 取「經典極限」，量子力學的定律約化為經典力學的定律。這結果也時常被稱為埃倫費斯特定理。這經典極限是什麼呢？標記 Vx 為 frac partial V xpartial x 。設定 langle xranglex_0 。泰勒展開 Vx 於 x_0 ： VxVx_0xx_0 Vx_0frac 12xx_02 Vx_0 dots 。 由於 langle xx_0rangle0 ，langle xx_02ranglesigma_x2 ， leftlanglefrac partial V xpartial xrightrangleapprox Vx_0frac 12 sigma_x2 Vx_0 。 這近似方程式右手邊的第二專案就是誤差專案。只要這誤差專案是可忽略的，就可以取經典極限。而這誤差專案的大小跟以下兩個因素有關： 一個是量子態對於位置的不可確定性。 另一個則是位勢隨著位置而變化的快緩。 參閱 維裡定理 參考文獻 A A