在數學中，1 2 3 4 表示以由小到大的接續正整數，依次加後又減、減後又加，如此反覆所構成的無窮級數。它是交錯級數，若以 Σ 符號表示前 m 項之和，可寫作： sum_n1m n 1n1 此無窮級數發散，即其部分和的序列不會趨近於任一有窮極限。也就是說，單從極限的角度看的話，不存在和。不過，在 18 世紀中期，萊昂哈德尤拉寫出了一個他承認為悖論的等式： 1234cdotsfrac 14 該等式的嚴謹解釋在很久以後才出現。自 1890 年起，恩納斯托切薩羅、埃米爾博雷爾與其他一些數學家就在研究有哪些定義良好的方法，可以給發散級數賦予廣義和「廣義和」是指利用一些特殊的方式，計算 發散級數的「和」，由於發散級數不會有一般定義下的和，因此稱為廣義和。 其中包含了對尤拉結果的新解釋。這些求和法大部分可簡單地指定的 和 為 14。切薩羅求和是少數幾種不能計算出之和的方法，因為此級數求和需要某個略強的方法 譬如阿貝耳求和。 級數與格蘭迪級數有緊密的聯絡。尤拉將這兩個級數當作的特例（其中 n 為任意自然數），這個級數既直接擴充套件了他在巴塞爾問題上所做的工作，同時也引出了我們現在所知的狄利克雷 η 函式和黎曼 ζ 函式。 發散性 級數項（1 2 3 4 ）不趨近於 0，因此透過項測試便可確定發散。不過作為後文的參考，此處也以基礎的方法去證明此級數發散。首先，從定義可知，無窮級數的斂散性是由其部分和的斂散性所確定的，的部分和為：Hardy p8 1 1 1 2 1 1 2 3 2 1 2 3 4 2 1 2 3 4 5 3 1 2 3 4 5 6 3 此部分和序列的一個顯著特點是每個整數都恰好出現一次 如果將空部分和計入還包括 0 因此它還說明瞭整數集 mathbb Z 是可數的。Beals p23 很明顯的，不可能讓變化的結果收斂到一個確定的數假定有這樣的極限值 x，則總可能找到某個項，使得在其之後的所有項都在區間 x1 x1 之外，從而得出矛盾。，因此發散。 求和的啟發 穩定性與線性 由於各項 1 2 3 4 5 6 以一種簡單模式排列，級數可以透過移項以及逐項求和（平均值），再透過解方程得出一數值。暫時假設這樣的寫法有意義 其中的 s 為常數，那麼以下的計算將說明 s 14： begin smallmatrix 4s 1234cdots 1234cdots 1234cdots 1234cdotsquad color Blue 1234cdots1color Red 2345cdots1color Purple 2345cdots1color OliveGreen 3456cdotsquad 1 color Blue 1color Red 2color Purple 2color OliveGreen 3quad color Blue 2color Red 3color Purple 3color OliveGreen 4 color Blue 3color Red 4color Purple 4color OliveGreen5 quad color Blue 4color Red 5color Purple 5color OliveGreen 6cdots 10000cdots 4s 1 end smallmatrix 因此，s 14Hardy p6 結合格蘭迪級數的計算提出了此推導過程。，如右圖所示。 儘管 1 2 3 4 沒有通常意義的和，等式 14 卻可被賦予另外一種意義。發散級數之 和 的一種普遍定義被稱為一種求和法或可和法 通常是對於符合特定條件的一類級數可求和。求和法有許多種（部分將在下文中有所描述），這些方法跟普通求和也許有著一些共同的特性，例如： 線性：設 AΣ 為一種級數求和法。如果對於 AΣ 可定義其上的那些序列，AΣ 是個線性泛函的話，則簡單地稱 AΣ 是線性的。也就是說，對於序列 r s 和純量 k，有 AΣk rsk AΣrAΣs。 穩定性：如果 a 是一個初項為 a0 的序列，設 a 為 a 去掉初項後的序列，即對於一切 n 有 anan1，那麼 AΣa 有定義當且僅當 AΣa 有定義。而且，AΣaa0 AΣa。 因此，以上的計算實際上證明的是下面的內容：給出任意的線性且穩定的可和法，並能對級數求和，則結果必為 14。此外，由於： begin smallmatrix 2s 1234cdots quadquad 1234cdotsquad 1234cdotsquad 12 345cdotsqquad 02334 quadquad 4556cdots frac 12 1quad quad 1 quadquad 1quad quad 1 quad cdots end smallmatrix 故此方法也一定能對格蘭迪級數求和（平均值），並得結果為 1111 cdots begin matrix frac 12 end matrix 柯西乘積 1891 年，恩納斯托切薩羅在他的一篇論文中指出有可能將發散級數嚴謹地納入微積分學，並寫道： 對切薩羅而言，這個等式是他前一年發表的一個定理的應用，該定理可說是在歷史上關於可求和發散級數的第一個定理。關於此求和法的詳細內容請見下文；其中心思想是：是對的柯西乘積。 兩個無窮級數的柯西乘積可被定義，即使在它們都發散的時候。例如，若 Σan Σbn Σ1 n，柯西乘積的項由有窮對角線求和的方式給出： begin arrayrcl c_n displaystyle sum_k0n a_k b_nksum_k0n 1k 1nk 1em displaystyle sum_k0n 1n 1n n1 end array 積級數為： sum_n0infty 1n n1 1234cdots 所以，如果有一種求和法可以保持兩個級數的柯西乘積，並能得出 1111 cdots tfrac 12 的結果，那麼它也能夠求出 1234 cdots tfrac 14 。由前一節的結果可知，當方法是線性、穩定並保持柯西乘積的時候，與的可求和之間是等價的。 切薩羅的定理是一個微妙的例子。級數在最弱的意義上是切薩羅可求和，稱作，然而則需要切薩羅的定理的一個更強的形式 Hardy p3 Weidlich pp5255，它是的。由於切薩羅的定理的所有形式均為線性且穩定的，所得的值正是此前計算所得的。 特殊方法 切薩羅與赫爾德 若 1 2 3 4 的 C 1 切薩羅和存在，要找到其數值就需要計算該級數部分和的算術平均值。 部分和為： 1 1 2 2 3 3 這些部分和的算術平均值為： 1 023 035 047 此平均值序列不收斂，因此不是切薩羅可求和。 切薩羅求和有兩種有名的廣義化：讓這些在概念上更簡單的是 H n 法的序列，其中 n 為自然數。H 1 和為切薩羅求和，更高的方法則重複平均值的計算。在上文中，偶數項平均值趨近於 12，奇數項平均值則全部等於 0，所以平均值的平均值趨近於 0 與 12 的平均數，即 14。Hardy p9 要了解詳細的計算過程，參看 Weidlich pp1718 因此，是 H 2 可求和，其值為 14。 符號 H 代表奧圖赫爾德。1882 年，他第一次證明了被現在數學家們所看作的在阿貝耳求和與 H n 求和之間的關係；是他給的第一個例子 Ferraro p118 Tucciarone p10 Ferraro 批評了 Tucciarone 對赫爾德他自己對一般結論的看法的解釋 p7，不過在赫爾德對的處理方式上，兩位作者的解釋是相似的。。14 是的 H 2 和這個事實也保證了它是阿貝耳和；這些都將在下文直接予以證明。 另外一個常用的切薩羅求和的廣義化，是 C n 法的序列。已經證明了 C n 求和與 H n 求和均能給出相同的結果，但是它們卻有不同的歷史背景。在 1887 年，切薩羅已經接近於陳述出 C n 求和的定義了，但是他只給出了少量的例子。特別的，他在計算為 14 時所採用的方法可能是 C n 的另一種描述，但是在當時並沒有對其進行證明。他在 1890 年正式定義了 C n 法，以陳述他的定理：一個 C n 可求和級數與一個 C m 可求和級數的柯西乘積是 C m n 1 可求和。Ferraro pp123128 阿貝耳求和 在一份 1749 年的報告中，萊昂哈德尤拉承認級數是發散的，但還是決定要對其求和： 尤拉曾幾次提議將 和 這個詞廣義化。在的情況下，他的設想與現在所知的阿貝耳求和相似： 至少在當絕對值 x 1 時，有許多方式去驗證尤拉的下列等式正確： 12x3x24x3cdots frac 11x2 可以對右邊作泰勒展開，或使用正規的多項式長除。從左方開始，可採用上文的一般啟發式，並嘗試乘以兩次 1x，或對幾何級數求平方。尤拉似乎也提出可以對後者級數的每項求導。例如，Lavine p23 提倡多項式長除，但並沒有真的列出計算步驟；Vretblad p231 計算了柯西乘積。尤拉的建議是含糊的；參看 Euler et al pp3 26。 約翰貝茲甚至提出一種包括將點集與量子諧振子相乘的範疇理論法。Baez John C 尤拉對 1 2 3 112 的證明 PDF 。 mathucredu （2003 年 12 月 19 日）。 2007 年 3 月 11 日檢索。 以現代的觀點看，級數 1 2x 3x2 4x3 並沒有定義一個在時的函式，因此不能簡單地把值代入到其相應的表示式。不過由於此級數在時定義了一個函式，所以仍可取 x 趨近於 1 時的極限，而這就是阿貝耳和的定義： lim_xrightarrow 1sum_n1infty n xn1 lim_xrightarrow 1frac 11x2 frac14 尤拉與波萊爾 尤拉對該級數還使用了另外一種技巧：尤拉變換，這是他自己的發明。要計算尤拉變換，首先要有可形成交錯級數的正項序列 在此情況下為。將此序列中的首項標示為 a0。 下一步需要的前向差分序列；這恰好是。將該序列的首項標示為 Δa0。尤拉變換也基於差分的差分，以及更高的迭代，但是在各項之間的前向差分均為 0。的尤拉變換便可定義為： frac12 a_0frac14Delta a_0 frac18Delta2 a_0 cdots frac12frac14 用現代術語來說，是尤拉可求和且其值為 14。 尤拉可求和也蘊涵了另一種可求和性。將表示為： sum_k0infty a_k sum_k0infty 1k k1 就有了相關的處處收斂級數： a x sum_k0inftyfrac 1k k1 xkk ex1x 因此 1 2 3 4 的波萊爾和為：Weidlich p 59 int_0infty ex a xdx int_0infty e2x1xdx frac12frac14 尺度分離 賽切夫與 Woyczyński 只通過兩個物理原理便得出了，這兩個原理分別是：無窮小松弛（infinitesimal relaxation）與尺度分離（separation of scales）。為求表達準確，這些原理促使了他們去定義一系列的 φ 求和法，所有這些方法都可以將級數求和得 14： 如果 φx 是一個函式，其一、二階導數在 0 上是連續且可積的，有 φ0 1 ，並且 φx 與 xφx 在 時的極限均為 0，則：Saichev and Woyczyński pp260264 lim_deltadownarrow0sum_m0infty 1m m1varphi delta m frac14 該結果推廣了阿貝耳求和，當取 φx exp x 時可得到先前的等式。此一般陳述可透過將關於 m 的級數中的項配對，並將表示式變換為黎曼積分的形式予以證明。在後一步中，對的運用了中值定理，但在這裡需要泰勒公式中更強的拉格朗日形式。 廣義化 的三重柯西乘積為，為三角形數的交錯級數；其阿貝耳與尤拉和為 18。Kline p313 的四重柯西乘積為，為四面體數的交錯級數，其阿貝耳和為 116。 另一個在略微不同的方向的廣義化是一般級數。對正整數 n 來說，此級數有下列的阿貝耳和：Knopp p491 在 Hardy p3 中的這一點有誤 12n3ncdots frac 2 n1 1n 1 B_n 1 其中 Bn 是伯努利數。對大於 0 的偶數 n，則化約為： 1 22k 32k cdots 0 後一個和成為尼爾斯亨利克阿貝爾特別嘲笑的物件，在 1826 年時他說： 發散級數純粹是魔鬼的工作，膽敢去找到任何證明它們的行為都是羞恥的。如果用到它們，可以從中獲得想要的東西；同時也是它們，製造瞭如此多的不愉快與如此多的悖論。試問能想到比下面內容更令人驚恐的東西嗎： 0 1 2n 3n 4n etc 其中，n 為正數。這是一個笑料，朋友。GrattanGuinness p80 參看 Markushevich p48 另一個法語轉譯版本；保留了原有的語調。 切薩羅的老師歐仁查理卡塔蘭也輕視發散級數。在卡塔蘭的影響下，切薩羅早期提出的 習用式 是 荒謬的等式；而在 1883 年，切薩羅表明了當時的一個典型看法：這些公式是錯的，不過在某些場合在形式上是有用的。最後，在他 1890 年的書《Sur la multiplication des séries》中，切薩羅從定義開始採用了一個現代的做法。Ferraro pp120128 此級數在 n 為非整數值的情況亦有所研究；這產生了狄利克雷 η 函式。尤拉研究相關級數的部分動機是 η 函式的函式方程，這直接導向了黎曼 ζ 函式的函式方程。尤拉在正偶數（包括在巴塞爾問題中）時找到這些函式值的建樹已讓他聞名，他也試圖找到正奇數（包括在阿培裡常數中）時的值，但這個問題直到今天仍是難以解決的。η 函式透過尤拉的方法解決會比較簡單，因為它的狄利克雷級數是處處阿貝耳可求和；而 ζ 函式的狄利克雷級數則非常難以對發散的部分求和。Euler et al pp2025 例如，在 η 函式中的相似級數是非交錯級數，該級數在現代物理學上有很深的應用，不過需要非常強的方法才能求和。 參見 伯努利數 黎曼 ζ 函式 泰勒級數 泛函方程 註釋 參考來源 書目 Originally published as Category 級數 Category 數學悖論 Category 交錯級數 Category 發散級數