柯西積分定理（或稱柯西－古薩定理），是一個關於複平面上全純函式的路徑積分的重要定理。柯西積分定理說明，如果從一點到另一點有兩個不同的路徑，而函式在兩個路徑之間處處是全純的，則函式的兩個路徑積分是相等的。另一個等價的說法是，單連通閉合區域上的全純函式沿著任何可求長閉合曲線的積分是 0 定理 設 Omega 是複平面 mathbb C 的一個單連通的開子集。f Omega rightarrow mathbb C 是一個 Omega 上的全純函式。設 gamma 是 Omega 內的一個分段可求長的簡單閉曲線（即連續而不自交併且能定義長度的閉合曲線），那麼： oint_gamma f zdz 0 單連通條件的必要性 Omega 是單連通表示 Omega 中沒有 洞，例如任何一個開圓盤 Dz zz_0 r 都符合條件，這個條件是很重要的，考慮中央有 洞 的圓盤：D_hz 0zz_0 2，在其中取逆時針方向的單位圓路徑： gamma t eit quad t in left 02piright 考慮函式 f z mapsto 1z，它在 D_h 中是全純函式，但它的路徑積分： oint_gamma frac 1zdz int_02pi ieit over eit dt int_02pi idt 2pi i 不等於零。這是因為函式 f 在 洞 中有奇點。如果考慮整個圓盤 D_sz zz_0 2，就會發現 f 在圓盤中央的點上沒有定義，不是全純函式。 等價敘述 柯西積分定理有若干個等價的敘述。例如： 設 Omega 是複平面 mathbb C 的一個開子集。f Omega rightarrow mathbb C 是一個定義在 Omega 上的函式。設 gamma_1 01 rightarrow Omega 與 gamma_2 01 rightarrow Omega 是 Omega 內的兩條可求長的簡單曲線，它們的起點和終點都重合： gamma_1 0 gamma_2 0 quad gamma_1 1 gamma_2 1 並且函式 f 在 gamma_1 與 gamma_2 圍成的閉合區域 D 內是全純函式，那麼函式 f 沿這兩條曲線的路徑積分相同： int_gamma_1 f zdz int_gamma_2 f zdz 推廣 除了對分段可求長的簡單閉合曲線成立以外，柯西積分定理對於某些更復雜的曲線也適用。設 Omega 是複平面 mathbb C 的一個開子集。f Omega rightarrow mathbb C 是定義在 Omega 上的全純函式。無論 Omega 內的曲線 gamma 是自交還是卷繞數多於 1（圍著某一點轉了不止一圈），只要 gamma 能夠透過連續形變收縮為 Omega 內的一點，就有： oint_gamma f zdz 0 證明 以下的證明對函式有較為嚴格的要求，但對物理學中的應用來說已經足夠。設 Omega 是複平面 mathbb C 的一個開子集。f Omega rightarrow mathbb C 是定義在 Omega 上的全純函式，gamma 是 Omega 內的可求長的簡單閉合曲線。假設 f 的一階偏導數也在 Omega 上連續，那麼可以根據格林定理作出證明。具體如下： 為了便於表達，將函式 f 寫為實部函式和虛部函式：f z f xyi u xy i v xy 由於 displaystyle dzdxidy ，積分 oint_gamma f zdz oint_gamma uivdxidy oint_gamma udxvdy ioint_gamma vdxudy 依據格林定理，右端的兩個環路積分都可以變形為 gamma 圍成的區域 D_gamma 上的面積分。 oint_gamma udxvdy iint_D_gamma left frac partial vpartial x frac partial upartial y right dxdy qquad oint_gamma vdxudy iint_D_gamma left frac partial upartial xfrac partial vpartial y right dxdy 另一方面，由於 f 是全純函式，所以它的實部函式和虛部函式滿足柯西－黎曼方程： partial u over partial x partial v over partial y qquad partial u over partial y partial v over partial x 所以以上的兩個積分中的被積函式都是 0， iint_D_gamma left frac partial vpartial x frac partial upartial y right dxdy iint_D_gamma left frac partial upartial y frac partial upartial y right dxdy 0 iint_D_gamma left frac partial upartial xfrac partial vpartial y right dxdy iint_D_gamma left frac partial upartial xfrac partial upartial x right dx dy 0 因而積分也是 0： oint_gamma f zdz 0 推論 該定理的一個直接推論，是在單連通域內全純函式的路徑積分可以用類似於微積分基本定理的方法來計算：設 Omega 是複平面 mathbb C 的一個開子集。f Omega rightarrow mathbb C 是一個 Omega 上的全純函式。函式 f 在 Omega 內的路徑積分，只與積分的起點和終點有關，與中間經歷的路徑無關。假設，起點為，則可以定義一個函式 F Omega rightarrow mathbb C forall b in Omega F b int_gamma_ab f zdz int_ab f zdz 其中的 gamma_ab 可以是任何以為起點，為終點的分段可求長簡單曲線。函式 F 被稱為 f 的（復）原函式或反導數函式。 柯西積分定理與柯西積分公式是等價的。從柯西積分定理可以推匯出柯西積分公式和留數定理。 參見 柯西－黎曼方程 柯西積分公式 留數 參考來源 腳註 參考文獻 Kaplan W Integrals of Analytic Functions Cauchy Integral Theorem 98 in Advanced Calculus 4th ed Reading MA AddisonWesley pp 594598 1991 Knopp K Cauchys Integral Theorem Ch 4 in Theory of Functions Parts I and II Two Volumes Bound as One Part I New York Dover pp 4760 1996 Krantz S G The Cauchy Integral Theorem and Formula 23 in Handbook of Complex Variables Boston MA Birkhäuser pp 2629 1999 Morse P M and Feshbach H Methods of Theoretical Physics Part I New York McGrawHill pp 363367 1953 Woods F S Integral of a Complex Function 145 in Advanced Calculus A Course Arranged with Special Reference to the Needs of Students of Applied Mathematics Boston MA Ginn pp 351352 1926 外部連結 Category 奧古斯丁 路易柯西 Category 複分析定理