朗伯 W 函式（，又稱為歐米加函式或乘積對數），是 f wwew 的反函式，其中 ew 是指數函式，w 是任意複數。對於任何複數 z，都有： z W z eW z 由於函式 f 不是單射，因此函式 W 是多值的（除了 0 以外）。如果我們把 x 限制為實數，並要求 w 是實數，那麼函式僅對於 xgefrac 1e 有定義，在 frac 1e0 內是多值的；如果加上 wge1 的限制，則定義了一個單值函式 W_0 x（見圖）。我們有 W_0 00，W_0 frac 1e 1。而在 frac 1e0 內的 wle1 分支，則記為 W_1x，從 W_1frac 1e 1 遞減為 W_10 infty。 朗伯 W 函式不能用初等函式來表示。它在組合數學中有許多用途，例如樹的計算。它可以用來解許多含有指數的方程，也出現在某些微分方程的解中，例如 y t a y t 1。 微分和積分 朗伯 W 函式的積分形式為 W xfrac xpiint_0pi frac left 1vcot vright2v2xvcsc v cdot evcot v rm d vargleft xrightpi W xint_inftyfrac 1efrac 1piIm left frac rm drm d x W xrightln left 1frac zxrightrm d x 若 xnotinleft frac 1e0rightkin mathbb Z 若 xinleft frac 1e0rightk1pm2pm3 W_k x1left ln x12kpi rm iright efrac rm i2piint_0inftyln frac tln tln x2k1pi rm itln tln x2k1pi rm icdotfrac rm d tt11left ln x12kpi rm iright efrac rm i2piint_0inftyln frac left tln tln xright2left 4k21rightpi22pileft tln tln xrightrm ileft tln tln xright2left 2k1right2pi2cdotfrac rm d tt1 把被積函式的實部和虛部分離出來： W_k x1left ln x12kpi rm iright efrac rm i2piint_0inftyleft frac 12lnfrac left tln tln xright2left 2k1right2pi2left tln tln xright2left 2k1right2pi2rm iarctanfrac 2pileft tln tln xrightleft tln tln xright2left 4k21rightpi2rightcdotfrac rm d tt1 _W_k x1frac left ln x1rightcosfrac 14piint_0inftylnfrac left tln tln xright2left 2k1right2pi2left tln tln xright2left 2k1right2pi2cdotfrac rm d tt12kpisinfrac 14piint_0inftylnfrac left tln tln xright2left 2k1right2pi2left tln tln xright2left 2k1right2pi2cdotfrac rm d tt1rm ileft left ln x1rightsinfrac 14piint_0inftylnfrac left tln tln xright2left 2k1right2pi2left tln tln xright2left 2k1right2pi2cdotfrac rm d tt12kpicosfrac 14piint_0inftylnfrac left tln tln xright2left 2k1right2pi2left tln tln xright2left 2k1right2pi2cdotfrac rm d tt1rightefrac 12piint_0inftyarctanfrac 2pileft tln tln xrightleft tln tln xright2left 4k21rightpi2cdotfrac rm d tt1 設 W_k xuv rm ixts rm i ，則有 left uv rm iright euv rm its rm i ，展開分離出實部和虛部， euleft ucos vvsin vrightteuleft usin vvcos vrights 當 s0 時，易知 uvcot v _W_k xfrac left 1ln xrightsinfrac 14piint_0inftylnfrac left tln tln xright2left 2k1right2pi2left tln tln xright2left 2k1right2pi2cdotfrac rm d tt12kpicosfrac 14piint_0inftylnfrac left tln tln xright2left 2k1right2pi2left tln tln xright2left 2k1right2pi2cdotfrac rm d tt1efrac 12piint_0inftyarctanfrac 2pileft tln tln xrightleft tln tln xright2left 4k21rightpi2cdotfrac rm d tt1cotfrac left ln x1rightsinfrac 14piint_0inftylnfrac left tln tln xright2left 2k1right2pi2left tln tln xright2left 2k1right2pi2cdotfrac rm d tt12kpicosfrac 14piint_0inftylnfrac left tln tln xright2left 2k1right2pi2left tln tln xright2left 2k1right2pi2cdotfrac rm d tt1efrac 12piint_0inftyarctanfrac 2pileft tln tln xrightleft tln tln xright2left 4k21rightpi2cdotfrac rm d tt1 frac left ln x1rightsinfrac 14piint_0inftylnfrac left tln tln xright2left 2k1right2pi2left tln tln xright2left 2k1right2pi2cdotfrac rm d tt12kpicosfrac 14piint_0inftylnfrac left tln tln xright2left 2k1right2pi2left tln tln xright2left 2k1right2pi2cdotfrac rm d tt1efrac 12piint_0inftyarctanfrac 2pileft tln tln xrightleft tln tln xright2left 4k21rightpi2cdotfrac rm d tt1rm i W_0 x1left ln x1right efrac 1piint_0inftyargleft tln tln xpi rm irightcdotfrac rm d tt1x0 若 xfrac 1e ，上式還可化為 W_0 x1left ln x1right efrac 1piint_0inftyarctanfrac pitln tln xcdotfrac rm d tt1 由隱函式的求導法則，朗伯 W 函式滿足以下的微分方程： zleft 1W zrightfrac rm drm d z W zW z，zneq frac 1e 因此： frac rm drm d z W zfrac W z zleft 1 W zright，zneq frac 1e 函式 W x，以及許多含有 W x 的表示式，都可以用 wW x 的變數代換來積分，也就是說 xwew int W x rm d x x left W x frac 1W x 1 right C int_01 W x rm d x Omegafrac 1Omega 2approx 0330366 其中 Omega 為歐米加常數。 性質 1、zzzzzlim_n to inftyz upuparrows n frac W ln zln z， 其中 upuparrows 是高德納箭號表示法。 2、若 z0 ，則 ln W zln zW z 泰勒級數 W_0 在 x0 的泰勒級數如下： W_0 x sum_n1infty frac nn1n xn x x2 frac 32 x3 frac 83 x4 frac 12524 x5 cdots 收斂半徑為 frac 1e 。 加法定理 W xW yWleft frac xyW xfrac xyW yright x0y0 複數值 實部 Releft W xy rm irightsum_k1inftyfrac kk1ksqrt x2y2kcos left karctanfrac xyright x2y2frac 1e2 虛部 Imleft W xy rm irightsum_k1inftyfrac kk1ksqrt x2y2ksin left karctanfrac xyright x2y2frac 1e2 模長 W xy rm iW sqrt xy 模角 argleft W xy rm irightsum_k1inftyfrac kk1karctanleft cot karctanfrac xyright x2y2frac 1e2 共軛值 overline W xy rm isum_k1inftyfrac kk1ksqrt x2y2kleft cos left karctanfrac xyrightrm isin left karctanfrac xyrightright x2y2frac 1e2 特殊值 Wleft frac pi2right frac pi2 i Wleft frac ln 22right ln 2 Wleft 1over eright 1 Wleft 1right Omegafrac 1int_inftyinftyfrac rm d xexx2pi21approx 056714329dots （歐米加常數） W e 1 W ee1 e Wleft frac 1e1 frac 1eright frac 1e W pi epipi W k ln kln k k0 W rm ipirm ipi W rm ipirm ipi W rm icos1sin1rm i W frac 32pifrac 32pirm i W frac sqrt 787ln 2frac 327ln 2 W frac sqrt 354ln 3frac 92ln 3 W frac ln 244 ln 2 Wleft 1rightfrac efrac 12piint_0infty 1over t1arctan 2piover tln trm d tcosleft frac 14piint_0infty 1over t1ln left tln tright2over 4pi2left tln tright2rm d trightpisinleft frac 14piint_0infty 1over t1ln left tln tright2over 4pi2left tln tright2rm d trightrm ileftpicosleft frac 14piint_0infty 1over t1ln left tln tright2over 4pi2left tln tright2rm d trightsinleft frac 14piint_0infty 1over t1ln left tln tright2over 4pi2left tln tright2rm d trightrightefrac 12piint_0infty 1over t1arctan 2piover tln trm d tapprox 031813133723 rm i W frac ln kkln k Wleft frac ln x1x x1frac 1xrightfrac x1xln x11x0 應用 許多含有指數的方程都可以用 W 函式來解出。一般的方法是把未知數都移到方程的一側，並設法化為 Y XeX 的形式。 例子 例子 1 2t 5 t Rightarrow 1 frac 5 t2t Rightarrow 1 5 t et ln 2 Rightarrow frac 15 t et ln 2 Rightarrow frac ln 25 t ln 2 et ln 2 Rightarrow t ln 2 W_k left frac ln 25 right Rightarrow t frac W_k left frac ln 25 right ln 2 更一般地，以下的方程 Qa x b c x d 其中 Q 0 land Q neq 1land c neq 0 兩邊同乘 frac ac ， 得到： frac ac Qaxb ax frac adc 同除以： Qax ， 得到： frac ac Qb left ax frac adc right Qax 同除： Qfrac adc ， frac ac Qbfrac adc left ax frac adcright Qleft axfrac adcright 可以用變數代換 令 t a x frac a dc 化為 t Qt frac ac Qbfrac a dc 即： t left eln Qright t frac ac Qbfrac a dc 同乘： ln Q 得出 t ln Q cdot et ln Qln Q cdot frac ac Qbfrac a dc 故 t ln QW_kleft frac aln QcQbfrac a dcright 帶入 t a x frac a dc 為 left axfrac adcrightln QW_kleft frac aln QcQbfrac a dcright 因此最終的解為 x frac W_kleft frac aln QcQbfrac a dcrightaln Q frac dc 若輔助方程： xexfrac aln QcQbfrac a dc 中， frac aln QcQbfrac a dc in left infty frac 1e right 輔助方程無實數解，原方程亦無實解； 若：frac aln QcQbfrac a dc in leftfrac 1eright cupmathbf 0infty 輔助方程有一實數解，原方程有一實解： x frac W_kleft frac aln QcQbfrac a dcrightaln Q frac dc 若 frac aln QcQbfrac a dc in left frac 1e0 right 輔助方程有二實解，設為 Wleft frac aln QcQbfrac a dcright ， rm W_1left frac aln QcQbfrac a dcright ， 為 x_1frac Wleft frac aln QcQbfrac a dcrightaln Q frac dc x_2frac rm W_1left frac aln QcQbfrac a dcrightaln Q frac dc 例子 2 用類似的方法，可知以下方程的解 xxmathrm t 為 xfrac ln rm tW ln rm t 或 xexpleft W_kleft ln rm trightright 例子 3 以下方程的解 x log_b x a 具有形式 x frac a ln bW_kleft a ln bright 例子 4 xabx0 a 0 b 0 x 0 取對數， a ln xx ln b frac ln xxfrac ln ba efrac ln xxefrac ln ba xfrac 1xbfrac 1a 取倒數， left frac 1x rightfrac 1xbfrac 1a frac 1x frac ln baWleft frac 1a ln bright 最終解為 xfrac aln b W_kleft frac ln baright 例子 5 axbnucxd 兩邊開 n 次方併除以 a 得 xfrac bafrac ufrac cn xfrac dnaleft cosfrac 2kpinrm isinfrac 2kpinright 令 ueln u ， 化為 xfrac bafrac efrac cln un xfrac dln unaleft cosfrac 2kpinrm isinfrac 2kpinright 兩邊同乘 frac cln un ufrac cn xfrac cbna ， left frac cln un xfrac cbln unaright efrac cln un xfrac cbln unafrac cln una ufrac dnfrac cbnaleft cosfrac 2kpinrm isinfrac 2kpinright 最終得 x_kfrac ncln u W_kleft frac cln una ufrac dnfrac cbnaleft cosfrac 2kpinrm isinfrac 2kpinrightrightfrac ba kin mathbb Z 一般化 標準的 Lambert W 函式可用來表示以下超越代數方程式的解： ec x a_o xr quadqquadqquadqquadqquad 1 其中 a0 c 與 r 為實常數。 其解為 x r tfrac Wleft frac cec ra_orightc Lambert W 函式之一般化 TC Scott and RB Mann General Relativity and Quantum Mechanics Towards a Generalization of the Lambert W Function AAECC Applicable Algebra in Engineering Communication and Computing vol 17 no 1 April 2006 pp4147 Arxiv TC Scott G Fee and J Grotendorst Asymptotic series of Generalized Lambert W Function SIGSAM vol 47 no 3 September 2013 pp 7583TC Scott G Fee J Grotendorst and WZ Zhang Numerics of the Generalized Lambert W Function SIGSAM vol 48 no 2 June 2014 pp 4256 包括 一項在低維空間內廣義相對論與量子力學的應用（量子引力），實際上一種以前未知的 連結 於此二區域中，如 Journal of Classical and Quantum Gravity PS Farrugia RB Mann and TC Scott Nbody Gravity and the Schrödinger Equation Class Quantum Grav vol 24 2007 pp 46474659 Arxiv 所示其 1 的右邊式現為二維多項式 x： ec x a_o xr_1 xr_2 qquadqquad 2 其中 r1 和 r2 是不同實常數，為二維多項式的根。於此函式解有單一引數 x 但 ri 和 ao 為函式的引數。如此一來，此一般式類似於 hypergeometric（超幾何分佈）函式與 Meijer G，但屬於不同類函式。當 r1 r2，2 的兩方可分解為 1 因此其解簡化為標準 W 函式。2 式代表著 dilaton（軸子）場的方程，可據此推導線性，雙體重力問題 11 維（一空間維與一時間維）當兩不等（靜止）質量，以及，量子力學的特徵能 Delta 位勢阱給不等電位於一維空間。 量子力學的一特例特徵能的分析解三體問題，亦即（三維）氫分子離子。TC Scott M AubertFrécon and J Grotendorst New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion Chem Phys vol 324 2006 pp 323338 Arxiv 於此 1（或 2）的右手邊現為無限級數多項式之比於 x： ec x a_o frac prod_i1infty xr_iprod_i1infty xs_i qquad qquadqquad 3 其中 ri 與 si 是相異實常數而 x 是特徵能和核心距離 R 之函式。式 3 與其特例表示於 1 和 2 是與一更大型別延遲微分方程。由於哈代的 虛假導數 概念，多根的特殊情況得以解決 Aude Maignan TC Scott Fleshing out the Generalized Lambert W Function SIGSAM vol 50 no 2 June 2016 pp 4560。 Lambert W 函式於基礎物理問題之應用並未完全即使標準情況如 1 最近在原子，分子，與光學物理領域可見 TC Scott A Lüchow D Bressanini and JD Morgan III The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions Phys Rev A 75 2007 p 060101 以及黎曼假設的 KeiperLi 準則 RC McPhedran TC Scott and Aude Maignan The KeiperLi Criterion for the Riemann Hypothesis and Generalized Lambert Functions ACM Commun Comput Algebra vol 57 no 3 December 2023 pp 85110 圖象 ImageLambertWRepng z Re W0 x i y ImageLambertWImpng z Im W0 x i y ImageLambertWAbspng z W0 x i y ImageLambertWAllpng 計算 W 函式可以用以下的遞推關係算出： w_j1w_jfrac w_j ew_jzew_jw_j1frac w_j2w_jew_jz 2w_j2 參考來源 外部連結 MathWorld L