在數學中，反三角函式是三角函式的反函式。 數學符號 符號 sin1 cos1 等常用於 arcsin arccos 等。但是這種符號有時在 sin1 x 和 frac 1sin x 之間易造成混淆。 在程式設計中，函式 arcsin arccos arctan 通常叫做 mathrm asin mathrm acos mathrm atan。很多程式語言提供兩自變數 atan2 函式，它計算給定 y 和 x 的 frac yx 的反正切，但是值域為 pi pi。 FileAsin acos plotsvg 在笛卡爾平面上 f xarcsin x 紅 和 f xarccos x 綠 函式的常用主值的影像。 FileAtan acot plotsvg 在笛卡爾平面上 f xarctan x 紅 和 f xarccot x 綠 函式的常用主值的影像。 FileAsec acsc plotsvg 在笛卡爾平面上 f xarccsc x 紅 和 f xarcsec x 綠 函式的常用主值的影像。 主值 下表列出基本的反三角函式。 名稱 常用符號 定義 定義域 值域 反正弦 yarcsin x xsin y 11 frac pi2frac pi2 反餘弦 yarccos x xcos y 11 0pi 反正切 yarctan x xtan y mathbb R frac pi2frac pi2 反餘切 yarccot x xcot y mathbb R 0pi 反正割 yarcsec x xsec y infty1cup 1infty 0frac pi2cup frac pi2pi 反餘割 yarccsc x xcsc y infty1cup 1infty frac pi20cup 0frac pi2 （注意：某些數學教科書的作者將 arcsec 的值域定為 0frac pi2cup pifrac 3pi2 因為當 tan 的定義域落在此區間時，tan 的值域 geq 0，如果 arcsec 的值域仍定為 0frac pi2cup frac pi2pi，將會造成 tan arcsec xpmsqrt x21，如果希望 tan arcsec xsqrt x21，那就必須將 arcsec 的值域定為 0frac pi2cup pifrac 3pi2，基於類似的理由 arccsc 的值域定為 pifrac pi2cup 0frac pi2） 如果 x 允許是複數，則 y 的值域只適用它的實部。 反三角函式之間的關係 餘角： arccos x frac pi2 arcsin x arccot x frac pi2 arctan x arccsc x frac pi2 arcsec x 負數引數： arcsin x arcsin x arccos x pi arccos x arctan x arctan x arccot x pi arccot x arcsec x pi arcsec x arccsc x arccsc x 倒數引數： arccos frac 1x arcsec x arcsin frac 1x arccsc x arctan frac 1x frac pi2 arctan x arccot x x 0 arctan frac 1x frac pi2 arctan x pi arccot x x 0 arccot frac 1x frac pi2 arccot x arctan x x 0 arccot frac 1x frac 3pi2 arccot x pi arctan x x 0 arcsec frac 1x arccos x arccsc frac 1x arcsin x 如果有一段正弦表： arccos x arcsin sqrt 1x2 0 leq x leq 1 arctan x arcsin frac xsqrt x21 注意只要在使用了複數的平方根的時候，我們選擇正實部的平方根 或者正虛部，如果是負實數的平方根的話。 從半形公式 tan frac theta2 frac sin theta1cos theta ，可得到： arcsin x 2 arctan frac x1sqrt 1x2 arccos x 2 arctan frac sqrt 1x21x 1 x leq 1 arctan x 2 arctan frac x1sqrt 1x2 三角函式與反三角函式的關係 透過定義可知： theta sin theta cos theta tan theta 圖示 arcsin x sin arcsin x x cos arcsin x sqrt 1x2 tan arcsin x frac xsqrt 1x2 arccos x sin arccos x sqrt 1x2 cos arccos x x tan arccos x frac sqrt 1x2x arctan x sin arctan x frac xsqrt 1x2 cos arctan x frac 1sqrt 1x2 tan arctan x x arccot x sin arccot x frac 1sqrt 1x2 cos arccot x frac xsqrt 1x2 tan arccot x frac 1x arcsec x sin arcsec x frac sqrt x21x cos arcsec x frac 1x tan arcsec x sqrt x21 arccsc x sin arccsc x frac 1x cos arccsc x frac sqrt x21x tan arccsc x frac 1sqrt x21 一般解 每個三角函式都週期於它的引數的實部上，在每個 2pi 區間內透過它的所有值兩次。正弦和餘割的週期開始於 2pi kfrac pi2 結束於 2pi kfrac pi2（這裡的 k 是一個整數），在 2pi kfrac pi2 到 2pi kfrac 3pi2 上倒過來。餘弦和正割的週期開始於 2pi k 結束於 2pi k pi，在 2pi k pi 到 2pi k 2pi 上倒過來。正切的週期開始於 2pi kfrac pi2 結束於 2pi kfrac pi2，接著 向前 在 2pi kfrac pi2 到 2pi kfrac 3pi2 上重複。餘切的週期開始於 2pi k 結束於 2pi k pi，接著（向前）在 2pi k pi 到 2pi k 2pi 上重複。 這個週期性反應在一般反函式上： sin y x Leftrightarrow y arcsin x 2kpi text forall text k in mathbb Z lor y pi arcsin x 2kpi text forall text k in mathbb Z cos y x Leftrightarrow y arccos x 2kpi text forall text k in mathbb Z lor y 2pi arccos x 2kpi text forall text k in mathbb Z tan y x Leftrightarrow y arctan x kpi text forall text k in mathbb Z cot y x Leftrightarrow y arccot x kpi text forall text k in mathbb Z sec y x Leftrightarrow y arcsec x 2kpi text forall text k in mathbb Z lor y 2pi arcsec x 2kpi text forall text k in mathbb Z csc y x Leftrightarrow y arccsc x 2kpi text forall text k in mathbb Z lor y pi arccsc x 2kpi text forall text k in mathbb Z 反三角函式的導數 對於實數 x 的反三角函式的導函式如下： begin align frac mathrm dmathrm d x arcsin x frac 1sqrt 1x2 qquad x 1 frac mathrm dmathrm d x arccos x frac 1sqrt 1x2 qquad x 1 frac mathrm dmathrm d x arctan x frac 11x2 frac mathrm dmathrm d x arccot x frac 11x2 frac mathrm dmathrm d x arcsec x frac 1xsqrt x21 qquad x 1 frac mathrm dmathrm d x arccsc x frac 1xsqrt x21 qquad x 1 end align 舉例說明，設 theta arcsin x ，得到： frac d arcsin xdx frac d thetad sin theta frac 1 cos theta frac 1 sqrt 1sin2 theta frac 1sqrt 1x2 因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上 x1，其他導數公式同理可證 設 theta arccos x，得到： frac darccos xdxfrac dthetadcos thetafrac 1sin thetafrac 1sqrt 1cos 2theta frac 1sqrt 1x2 因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上 x1。 設 theta arctan x，得到： frac darctan xdxfrac dthetadtan thetafrac 1sec 2theta frac 11tan 2theta frac 11x2 設 theta arccot x，得到： frac darccot xdxfrac dthetadcot thetafrac 1csc 2theta frac 11cot 2theta frac 11x2 設 theta arcsec x，得到： frac darcsec xdxfrac dthetadsec thetafrac 1sec theta tan thetafrac 1left x rightsqrt x21 因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上 x1，比較容易被忽略是 sec theta 產生的絕對值 sec 1theta 的定義域是 0le theta le pithetanefrac pi2 ，所以 tan theta pm sqrt x21，所以 x 要加絕對值。 設 theta arccsc x，得到： frac darccsc xdxfrac dthetadcsc thetafrac 1csc theta cot thetafrac 1left x rightsqrt x21 因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上 x1，比較容易被忽略是 csc theta 產生的絕對值 csc 1theta 的定義域是 frac pi2le theta le frac pi2thetane0 。。 表達為定積分 積分其導數並固定在一點上的值給出反三角函式作為定積分的表示式： begin align arcsin x int_0x frac 1 sqrt 1 z2dzqquad x leq 1 arccos x int_x1 frac 1 sqrt 1 z2dzqquad x leq 1 arctan x int_0x frac 1 z2 1dz arccot x int_xinfty frac 1 z2 1dz arcsec x int_1x frac 1 z sqrt z2 1dz qquad x geq 1 arccsc x int_xinfty frac 1 z sqrt z2 1dz qquad x geq 1 end align 當 x 等於 1 時，在有極限的域上的積分是瑕積分，但仍是良好定義的。 無窮級數 如同正弦和餘弦函式，反三角函式可以使用無窮級數計算如下： begin align arcsin z z left frac 1 2 right frac z3 3 left frac 1 cdot 3 2 cdot 4 right frac z5 5 left frac 1 cdot 3 cdot 5 2 cdot 4 cdot 6 right frac z7 7 cdots sum_n0infty left frac 2n 22nn2 right frac z2n1 2n1 qquad z le 1 end align begin align arccos z frac pi 2 arcsin z frac pi 2 left z left frac 1 2 right frac z3 3 left frac 1 cdot 3 2 cdot 4 right frac z5 5 left frac 1 cdot 3 cdot 5 2 cdot 4 cdot 6 right frac z7 7 cdots right frac pi 2 sum_n0infty left frac 2n 22nn2 right frac z2n1 2n1 qquad z le 1 end align begin align arctan z z frac z3 3 frac z5 5 frac z7 7 cdots sum_n0infty frac 1n z2n1 2n1 qquad z le 1 qquad z neq ii end align begin align arccot z frac pi 2 arctan z frac pi 2 left z frac z3 3 frac z5 5 frac z7 7 cdots right frac pi 2 sum_n0infty frac 1n z2n1 2n1 qquad z le 1 qquad z neq ii end align begin align arcsec z arccosleft z1right frac pi 2 left z1 left frac 1 2 right frac z3 3 left frac 1 cdot 3 2 cdot 4 right frac z5 5 left frac 1 cdot 3 cdot 5 2 cdot 4 cdot 6 right frac z7 7 cdots right frac pi 2 sum_n0infty left frac 2n 22nn2 right frac z2n1 2n1 qquad left z right ge 4 end align begin align arccsc z arcsinleft z1right z1 left frac 1 2 right frac z3 3 left frac 1 cdot 3 2 cdot 4 right frac z5 5 left frac 1 cdot 3 cdot 5 2 cdot 4 cdot 6 right frac z7 7 cdots sum_n0infty left frac 2n 22nn2 right frac z2n1 2n1 qquad left z right ge 1 end align 尤拉發現了反正切的更有效的級數： arctan x infty x1x2 sum_n0infty prod_k1n frac 2k x22k11x2。 （注意對 x0 在和中的項是空積 1。） 反三角函式的不定積分 begin align int arcsin xdx xarcsin x sqrt 1x2 C qquad xle 1 int arccos xdx xarccos x sqrt 1x2 C qquad xle 1 int arctan xdx xarctan x frac 12lnleft 1x2right C int arccot xdx xarccot x frac 12lnleft 1x2right C int arcsec xdx xarcsec x sgn xlnleftxsqrt x21right C xarcsec x sgn xlnleftxsqrt x21right C int arccsc xdx xarccsc x sgn xlnleftxsqrt x21right C xarccsc x sgn xlnleftxsqrt x21right C end align 使用分部積分法和上面的簡單導數很容易得出它們。 舉例 使用 int umathrm d v u v int vmathrm d u，設 begin align u arcsin x quadquadmathrm d v mathrm d x mathrm d u frac mathrm d xsqrt 1x2quadquad v x end align 則 int arcsin xmathrm d x x arcsin x int frac xsqrt 1x2mathrm d x 換元 k 1 x2 則 mathrm d k 2xmathrm d x 且 int frac xsqrt 1x2mathrm d x frac 12int frac mathrm d ksqrt k sqrt k 換元回 x 得到 int arcsin x mathrm d x x arcsin x sqrt 1x2C 加法公式和減法公式 arcsin x arcsin y arcsinleft xsqrt 1y2 ysqrt 1x2right xy leq 0 lor x2 y2leq 1 arcsin x arcsin y pi arcsinleft xsqrt 1y2 ysqrt 1x2right x 0 y 0 x2 y2 1 arcsin x arcsin y pi arcsinleft xsqrt 1y2 ysqrt 1x2right x 0 y 0 x2 y2 1 arcsin x arcsin y arcsinleft xsqrt 1y2 ysqrt 1x2right xy geq 0 lor x2 y2leq 1 arcsin x arcsin y pi arcsinleft xsqrt 1y2 ysqrt 1x2right x 0 y 0 x2 y2 1 arcsin x arcsin y pi arcsinleft xsqrt 1y2 ysqrt 1x2right x 0 y 0 x2 y2 1 arccos x arccos y arccosleft xy sqrt 1x2cdotsqrt 1y2right x y geq 0 arccos x arccos y 2pi arccosleft xy sqrt 1x2cdotsqrt 1y2right x y 0 arccos x arccos y arccosleft xy sqrt 1x2cdotsqrt 1y2right x geq y arccos x arccos y arccosleft xy sqrt 1x2cdotsqrt 1y2right x y arctanx arctany arctanfrac xy1xy xy 1 arctanx arctany pi arctanfrac xy1xy x 0 xy 1 arctanx arctany pi arctanfrac xy1xy x 0 xy 1 arctan x arctan y arctan frac xy1xy xy 1 arctan x arctan y pi arctan frac xy1xy x 0 xy 1 arctan x arctan y pi arctan frac xy1xy x 0 xy 1 arccot x arccot y arccot frac xy1xy x y arccot x arccot y arccot frac xy1xypi x y arcsin x arccos x frac pi2 xleq1 arctan x arccot x frac pi2 註釋 參見 正切半形公式 平方根 外部連結 httpmathworldwolframcomInverseTangenthtml Category 反三角函式 Category 基本特殊函式