旋轉矩陣是在乘以一個向量的時候有改變向量的方向但不改變大小的效果並保持了手性的矩陣。旋轉矩陣不包括點反演，點反演可以改變手性，也就是把右手座標系改變成左手座標系或反之。所有旋轉加上反演形成了正交矩陣的集合。旋轉可分為主動旋轉與被動旋轉。主動旋轉是指將向量逆時針圍繞旋轉軸所做出的旋轉。被動旋轉是對座標軸本身進行的逆時針旋轉，它相當於主動旋轉的逆操作。 性質 設 mathbf M 是任何維的一般旋轉矩陣 mathbf Minmathbb Rn times n 兩個向量的點積 內積 在它們都被一個旋轉矩陣操作之後保持不變 mathbf atopcdotmathbf b mathbf Matopcdotmathbf Mmathbf b 從而得出旋轉矩陣的逆矩陣是它的轉置矩陣： mathbf Mmathbf M1mathbf Mmathbf Mtopmathcal I 這裡的 mathcal I 是單位矩陣。 一個矩陣是旋轉矩陣，當且僅當它是正交矩陣並且它的行列式是 1。正交矩陣的行列式是 1；如果行列式是 1，則它包含了一個反射而不是真旋轉矩陣。 旋轉矩陣是正交矩陣，如果它的列向量形成 mathbb Rn 的一個正交基，就是說在任何兩個列向量之間的標量積是零 正交性 而每個列向量的大小是單位一 單位向量。 任何旋轉矩陣可以表示為斜對稱矩陣 A 的指數 mathbf Mexp mathbf Asum_k0infty frac mathbf Akk 這裡的指數是以泰勒級數定義的而 mathbf Ak 是以矩陣乘法定義的。矩陣 A 叫做旋轉的 生成元。旋轉矩陣的李代數是它的生成元的代數，它就是斜對稱矩陣的代數。生成元可以透過 M 的矩陣對數來找到。 二維空間 在二維空間中，旋轉可以用一個單一的角 theta 定義。作為約定，正角表示逆時針旋轉。把笛卡爾座標的列向量關於原點逆時針旋轉 theta 的矩陣是 M theta begin bmatrix cos theta sin theta sin theta cos theta end bmatrix cos thetabegin bmatrix 1 0 0 1 end bmatrix sin thetabegin bmatrix 0 1 1 0 end bmatrix expleft thetabegin bmatrix 0 1 1 0 end bmatrixright 三維空間 在三維空間中，旋轉矩陣有一個等於單位 1 的實特徵值。旋轉矩陣指定關於對應的特徵向量的旋轉 尤拉旋轉定理。如果旋轉角是 θ，則旋轉矩陣的另外兩個 複數 特徵值是 exp iθ 和 exp iθ。從而得出 3 維旋轉的跡數等於 1 2 cos θ，這可用來快速的計算任何 3 維旋轉的旋轉角。 3 維旋轉矩陣的生成元是三維斜對稱矩陣。因為只需要三個實數來指定 3 維斜對稱矩陣，得出只用三個實數就可以指定一個 3 維旋轉矩陣。 旋轉 生成旋轉矩陣的一種簡單方式是把它作為三個基本旋轉的序列複合。關於右手笛卡爾座標系的 x y 和 z 軸的旋轉分別叫做 roll pitch 和 yaw 旋轉。因為這些旋轉被表達為關於一個軸的旋轉，它們的生成元很容易表達。 繞 x 軸的主動旋轉定義為 mathcal R_x theta_x begin bmatrix 1 0 0 0 cos theta_x sin theta_x 0 sin theta_x cos theta_x end bmatrix exp left theta_x begin bmatrix 1 0 0 0 0 1 0 1 0 end bmatrixright 這裡的 theta_x 是 roll 角，和右手螺旋的方向相反（在 yz 平面順時針）。 繞 y 軸的主動旋轉定義為 mathcal R_y theta_y begin bmatrix cos theta_y 0 sin theta_y 0 1 0 sin theta_y 0 cos theta_y end bmatrix expleft theta_y begin bmatrix 0 0 1 0 1 0 1 0 0 end bmatrixright 這裡的 theta_y 是 pitch 角，和右手螺旋的方向相反（在 zx 平面順時針）。 繞 z 軸的主動旋轉定義為 mathcal R_z theta_z begin bmatrix cos theta_z sin theta_z 0 sin theta_z cos theta_z 0 0 0 1 end bmatrix expleft theta_z begin bmatrix 0 1 0 1 0 0 0 0 1 end bmatrixright 這裡的 theta_z 是 yaw 角，和右手螺旋的方向相反（在 xy 平面順時針）。 在飛行動力學中，roll pitch 和 yaw 角通常分別採用符號 gamma alpha 和 beta；但是為了避免混淆於尤拉角這裡使用符號 theta_x theta_y 和 theta_z。 任何 3 維旋轉矩陣 mathcal Minmathbb R3times 3 都可以用這三個角 theta_x theta_y 和 theta_z 來刻畫，並且可以表示為 roll pitch 和 yaw 矩陣的乘積。 mathcal M 是在 mathbb R3times 3 中的旋轉矩陣 Leftrightarrowexisttheta_xtheta_ytheta_zin 0ldotspi mathcal Mmathcal R_z theta_zmathcal R_y theta_ymathcal R_x theta_x 在 mathbb R3 中所有旋轉的集合，加上覆合運算形成了旋轉群 SO 3。這裡討論的矩陣接著提供了這個群的群表示。更高維的情況可參見 Givens 旋轉。 角 軸表示和四元數表示 在三維中，旋轉可以透過單一的旋轉角 theta 和所圍繞的單位向量方向 hat mathbf v xyz 來定義。 mathcal Mhat mathbf vtheta begin bmatrix cos theta 1 cos theta x2 1 cos theta x y sin theta z 1 cos theta x z sin theta y 1 cos theta y x sin theta z cos theta 1 cos theta y2 1 cos theta y z sin theta x 1 cos theta z x sin theta y 1 cos theta z y sin theta x cos theta 1 cos theta z2 end bmatrix 這個旋轉可以簡單的以生成元來表達 mathcal Mhat mathbf vtheta expleft thetabegin bmatrix 0 z y z 0 x y x 0 end bmatrixright 在運算於向量 r 上的時候，這等價於 Rodrigues 旋轉公式： mathcal M cdot mathbf r mathbf r cos thetahat mathbf vtimes mathbf r sin thetahat mathbf vcdotmathbf rhat mathbf v1cos theta 角 軸表示密切關聯於四元數表示。依據軸和角，四元數可以給出為正規化四元數 Q Qxiyjzksin theta2cos theta2 這裡的 i j 和 k 是 Q 的三個虛部。 尤拉角表示 在三維空間中，旋轉可以透過三個尤拉角 alphabetagamma 來定義。有一些可能的尤拉角定義，每個都可以依據 roll pitch 和 yaw 的複合來表達。依據 xyz 尤拉角，在右手笛卡爾座標中的旋轉矩陣可表達為 mathcal Malphabetagammamathcal R_z gammamathcal R_y beta mathcal R_x alpha 進行乘法運算生成 begin align mathcal Malphabetagamma begin bmatrix cos gamma sin gamma 0 sin gamma cos gamma 0 0 0 1 end bmatrix begin bmatrix cos beta 0 sin beta 0 1 0 sin beta 0 cos beta end bmatrix begin bmatrix 1 0 0 0 cos alpha sin alpha 0 sin alpha cos alpha end bmatrix begin bmatrix cos gamma cos beta sin gamma cos gamma sin beta sin gamma cos beta cos gamma sin gamma sin beta sin beta 0 cos beta end bmatrix begin bmatrix 1 0 0 0 cos alpha sin alpha 0 sin alpha cos alpha end bmatrix begin bmatrix cos gamma cos beta sin gamma cos alpha cos gamma sin beta sin alpha sin gamma sin alpha cos gamma sin beta cos alpha sin gamma cos beta cos gamma cos alpha sin gamma sin beta sin alpha cos gamma sin alpha sin gamma sin beta cos alpha sin beta cos beta sin alpha cos beta cos alpha end bmatrix end align 對稱保持 SVD 表示 對旋轉軸 q 和旋轉角 theta，旋轉矩陣 mathcal M qqTQGQT 這裡的 Qbegin bmatrix q_1 q_2end bmatrix 的縱列張開正交於 q 的空間而 G 是 theta 度 Givens 旋轉，就是說 G begin bmatrix costheta sintheta sintheta costheta end bmatrix 參見 座標旋轉 旋轉表示 等距同構 正交矩陣 Rodrigues 旋轉公式 旋轉 旋轉群 外部連結 Rotation matrices at Mathworld X