朗蘭茲綱領（Langlands program）是數學中一系列影響深遠的構想，聯絡數論、代數幾何與約化群表示理論；綱領最初由羅伯特朗蘭茲於 1967 年在一封給安德烈韋伊的信件中提出。 朗蘭茲綱領被廣泛視為現代數學研究中最大的單項專案，被描述為 數學的一種大統一理論。 起源：數論 我們可以二次互反律之推廣阿廷互反律為朗蘭茲綱領之起點： 給定一個 Q 上的、伽羅瓦群為可交換群的數域，阿廷互反律向這個伽羅瓦群的任何一支一維表示配上一枚 L 函式，並斷言：此等 L 函式俱等於某些 狄利克雷 L 函式（黎曼 ζ 函式的類推，由狄利克雷特徵表達）。此二種 L 函式之間的準確的聯絡構成了阿廷互反律。 若給定不可交換伽羅瓦群及其高維表示，我們仍可定義一些自然的相配的 L 函式 阿廷 L 函式。 推廣：自守表示理論架構 朗蘭茲洞察到：當找到適當的狄利克雷 L 函式的推廣，便有可能推廣阿廷互反律。 赫克（Erich Hecke）曾聯絡全純自守形式（定義於上半複平面上、滿足某些函式方程的全純函式）與狄利克雷 L 函式。朗蘭茲推廣赫克理論，以應用於自守尖點表示（自守尖點表示是 Q 阿代爾環上一般線性群 GLn 的某類無限維不可約表示）。 朗蘭茲為這些自守表示配上 L 函式，然後猜想： 互反猜想。每一來自給定數域的伽羅瓦群的有限維表示的阿廷 L 函式，都相等於某一來自自守尖點表示的 L 函式。 若要建立一一對應，須考慮較伽羅瓦群的適當擴張，稱作韋依 德利涅群。在可交換的例子，這相當於將狄利克雷特徵推廣為赫克特徵（德文舊稱 Größencharakter）。互反猜想蘊含阿廷猜想。 再推廣：函子性原則 朗蘭茲再進一步推廣： 以任何連通約化群 G 代替上文中的一般線性群 GLn； 構築複李群 LG（所謂朗蘭茲對偶群，或 L 群）； 以自守表示的 L 包代替自守表示；每個 L 包是自守表示組成的有限集，屬同一 L 包的表示稱作 L 不可辨的。 向每一個 G 的自守尖點表示和每一個 LG 的有限維表示，配與一個 L 函式；同一 L 包中的表示有相同的 L 函式及 epsilon 因子。朗蘭茲並猜想 ：此兩個 L 函式滿足某函式方程。 朗蘭茲更構想了一道非常廣泛的函子性原則（Functoriality Principle ）： 函子性猜想。若指定二約化群，並指定其相應的 L 群之間的可容許同態，則二約化群的自守表示之間應該有某種與其 L 函式相容之關係。 函子性猜想蘊含廣義拉馬努金猜想。 函子性構想本質上是一種誘導表示構造（在傳統的自守形式理論中稱為提升，在某些特殊情況下已知），因而是協變的（相反地，受限表示構造是逆變的）。各種直接構造的嘗試只產生了一些條件性的結果。 上述各猜想亦有其他域上的版本：數域（最早期的版本）、區域性域及函式域（即 Fp t 的有限擴張； 其中 p 是一 素數 ， Fp t 是 p 元有限域上的有理函式域）。區域性域的與數域的朗蘭茲綱領滿足一些相容性，二者之方法亦互為用。 朗蘭茲綱領的指導思想 朗蘭茲綱領建基於當時已存在的念頭：蓋爾範德之前幾年寫的 《尖點形式之啟示》（The Philosophy of Cusp Forms）；哈瑞希昌得拉研究 半單李群 的結果和方法；而技術上則有塞爾伯格等的塞爾伯格跡公式。 朗蘭茲的創見，除技術之深以外，在於他提出上述理論與數論的直接聯係，以及其構想中豐富的總體結構（即所謂函子性者也）。 例如在哈瑞希昌得拉的工作中，我們可見以下原則： 「任何對某一半單（或約化）李群可能做的，應對所有都做。」 故一旦認清一些低維李群 如 GL2 在模形式理論之角色，並反觀 GL1 在類域論之角色，我們至少可推測一般 GLn 的情況。 尖點形式之念頭來自模曲線上的尖點，在譜理論上對應於離散譜；對比之下連續譜則來自艾森斯坦級數。但當給定的李群越大，則拋物子群越多，技術上則越複雜。 在此等研究途徑中不乏各種技巧 通常基於列維分解等事實、具誘導表示的性質 但這領域一直都很困難。 在模形式方面，亦有例如希爾伯特模形式、 西格爾模形式 和 theta 級數等等面向。 內窺現象 內窺意謂「在一般共軛中窺見穩定共軛」；共軛意謂群的共軛作用 x mapsto gxg1；穩定共軛則意謂可取 g in G bar F；穩定共軛類可分解為有限個一般共軛類。穩定共軛與一般共軛之別造成上述的 L 不可辨性。 亞瑟 塞爾伯格跡公式是處理函子性猜想及志村簇的哈瑟 韋伊 ζ 函式之利器。在技術上，我們需要一穩定跡公式，穩定化有賴於將 G 之一般軌道積分表成內窺群上的穩定軌道積分。內窺理論旨在配對群及其內窺群的軌道積分，稱作內窺傳遞；其關鍵則是所謂的基本引理。 內窺傳遞不僅是工具，也涵攝函子性猜想的一些特例。 幾何化朗蘭茲綱領 數域上的朗蘭茲綱領可以翻譯到幾何的框架，大略步驟如下： 以緊黎曼曲面 C 的亞純函式域取代數域 以基本群取代伽羅瓦群 以區域性系統取代伽羅瓦表示 以秩 n 向量叢的模空間 mathrm Bun_nC 取代 mathrm GLnmathbb Qbackslashmathrm GLnmathbb A_mathbb QK 以反常層取代自守形式 以赫克本徵層取代赫克本徵形式 幾何化朗蘭茲綱領與規範場論 2006 年，愛德華威滕和 Anton Kapustin 建議： 以 D 模 Dmodule 演繹赫克本徵層； 以磁單極演繹赫克運算元（Hecke operator）。 外部連結 Edward Frenkel Recent Advances in the Langlands Program Edward Frenkel Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory Anton Kapustin Edward Witten ElectricMagnetic Duality And The Geometric Langlands Program Geometric Langlands Seminar Geometric Langlands Program 部份結果 部份朗蘭茲綱領的專案已經完成。 GLn 關於區域性域的部份：由 Michael Harris 和 Richard Taylor 合作完成；Henniarthttpwwwspringerlinkcomcontenth5yfh3x99xr5hgm1 亦導出了一較簡短的證明。 關於 GLn 關於函式域上的部份：1999 年洛朗拉福格證明之 。 獎項 洛朗拉福格憑其在函式域上的工作獲得 2002 年菲爾茲獎。拉福格的工作延續了較早期的德林費爾德得菲爾茲獎（1990）的研究。數域方面只有一些特例被證明瞭，有些是朗蘭茲自己完成的。皮特舒爾策也因在「動機理論」和朗蘭茲綱領這兩個代數幾何學的大方向上有傑出貢獻而於 2018 年獲得菲爾茲獎。 參考 Corvallis Proceedings 1979 ABorel W Casselman（編輯） AMS ISBN 0821833712（網上書，免費） Stephen Gelbart An Elementary Introduction to the Langlands Program Bulletin of the AMS v10 no 2 April 1984 J Arthur ：The Principle of Functoriality pp3953 No 1 Volume 40 Bulletin of the AMS October 2002 Edward Frenkel Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory hepth0512172 J Bernstein S Gelbart An Introduction to the Langlands Program ISBN 3764332115 Summer School TorontoJune 2003 Audio and notes Conference Princeton 2005 Video Michèle Vergne All what I wanted to know about Langlands program and was afraid to ask ，2006 L L Category 李群表示論 L L L L Category 需要數學專家關注的頁面