矩陣指數（matrix exponential）是方塊矩陣的一種矩陣函式，與指數函式類似。矩陣指數給出了矩陣李代數與對應的李群之間的關係。 設 X 為 nn 的實數或複數矩陣。X 的指數，用 eX 或 exp X 來表示，是由以下冪級數所給出的 nn 矩陣： eX sum_k0infty 1 over k Xk 以上的級數總是收斂的，因此 X 的指數是定義良好的。注意，如果 X 是 11 的矩陣，則 X 的矩陣指數就是由 X 的元素的指數所組成的 11 矩陣。 性質 基本性質 設 X 和 Y 為 nn 的複數矩陣，並設 a 和 b 為任意的複數。我們把 nn 的單位矩陣記為 I，把零矩陣記為 0。 我們可以從指數級數的定義直接得到矩陣指數的如下性質 Proposition 23： exp XT exp X T，其中 XT 表示 X 的轉置。從中可以推出，如果 X 是對稱矩陣，則 eX 也是對稱矩陣；如果 X 是斜對稱矩陣，則 eX 是正交矩陣。 exp X exp X，其中 X 表示 X 的共軛轉置。可以推出，如果 X 是埃爾米特矩陣，則 eX 也是埃爾米特矩陣；如果 X 是斜埃爾米特矩陣，則 eX 是酉矩陣。 如果是可逆矩陣，那麼 接下來是一個關鍵性質： 如果 XYYX 那麼 eXeYeXY 由此匯出的推論有： 線性微分方程 矩陣指數的一個重要性，是它可以用來解微分方程。從 1 可知，以下微分方程 frac ddt y t Ay t quad y 0 y_0 其中 A 是矩陣，具有解 y t eAt y_0 矩陣指數也可以用來解非齊次方程： frac ddt y t Ay t z t quad y 0 y_0 參見以下的例子。 當 A 不是常數時，以下形式的微分方程沒有閉式解： frac ddt y t A t y t quad y 0 y_0 但馬格努斯級數可以給出無窮級數形式的解。 矩陣指數的行列式 根據雅可比公式，對任意復矩陣，下列跡等式成立： Theorem 212 除了提供一種額外的計算工具，這個等式還表明矩陣指數總是可逆矩陣。這點可以如下證明：因為上述等式的右邊恆不等於 0，所以左邊，從而必可逆。 指數相加 我們知道，對於任何實數（標量）x 和 y，指數函式都滿足公式 ex y exey。類似的等式對於可交換矩陣也成立：如果矩陣 X 和 Y 是可交換的（即 XY YX），則： eXY eXeY 但是，如果它們不是可交換的，則以上的等式不一定成立。 這個命題反過來不成立：eXYeXeY 並不一定就意味著 X 和 Y 是可交換的。但是，如果 X 和 Y 只含有代數數，而且它們的大小至少為 22，則反過來也成立。 X 和 Y 不可交換的情況可以用以下方法計算： 李乘積公式 即使 X 和 Y 不可交換，eXY 可以用李乘積公式來計算 Theorem 211 eXYlim_nrightarrowinftyeXn eYnn 貝克爾 坎貝爾 豪斯多夫公式 從另一個方向講，如果 X 和 Y 是元素足夠小（但不一定可交換）的矩陣，我們有： eXeYeZ 其中 Z 可以透過 X 和 Y 的交換子的級數（貝克爾 坎貝爾 豪斯多夫公式）來計算： Chapter 5 ZXYfrac 12XYfrac 112XXYcdots 其中餘項均為與 X 和 Y 相關的迭代交換子。 指數對映 注意矩陣的指數總是非奇異方陣。eX 的逆矩陣由 eX 給出。這與複數的指數總是非零的事實類似。這樣，矩陣指數就給出了一個對映： exp colon M_n mathbb C to mbox GLnmathbb C 這是從所有 nn 矩陣的空間到一般線性群（所有非奇異方陣所組成的群）的對映。實際上，這個對映是滿射，就是說每一個非奇異方陣都可以寫成某個矩陣的指數。矩陣對數就是這個對映的逆對映。 對於任何兩個矩陣 X 和 Y，我們有： eXY eX le Y eX eY 其中 表示任意的矩陣範數。從中可以推出，指數對映在 Mn C 的緊子集內是連續和利普希茨連續的。 以下的對映 t mapsto etX qquad t in mathbb R 定義了一般線性群中的一條光滑曲線，當 t 0 時穿過單位元。實際上，這給出了一般線性群的一個單引數子群，這是由於： etX esX ets X 這條曲線在點 t 的導數（或切向量）由以下等式給出： frac ddt etX XetX qquad 1 t 0 時的導數就是矩陣 X，所以我們可以說，X 是這個單引數子群的推廣。 更加一般地： frac ddt eX t int_01 e1alpha X t frac dX tdt ealpha X tdalpha 矩陣指數的計算 找到可靠而準確的方法來計算矩陣指數是很困難的，這仍然是目前數學和數值分析領域的一個重要研究課題。Matlab、GNU Octave 和 SciPy 都使用帕德近似。 在本節中，我們討論了原則上適用於任何矩陣的方法，並且可以對小矩陣進行顯式處理。見。22 節 隨後的章節描述了適合對大矩陣進行數值評估的方法。 可對角化矩陣 如果矩陣是對角的： Abegin bmatrix a_1 0 ldots 0 0 a_2 ldots 0 vdots vdots ddots vdots 0 0 ldots a_n end bmatrix 則把主對角線上的所有元素取指數，就是原矩陣的指數： eAbegin bmatrix ea_1 0 ldots 0 0 ea_2 ldots 0 vdots vdots ddots vdots 0 0 ldots ea_n end bmatrix 這也允許了我們計算可對角化矩陣的指數。如果 A UDU1 ，且 D 是對角矩陣，則 eA U eD U1。用西爾維斯特公式，也可以得到相同的結果。 冪零矩陣 如果對於某個整數 q，有 Nq 0，則矩陣 N 稱為冪零矩陣。在這種情況下，矩陣指數 eN 可以直接從級數展開式來計算，這是因為級數在有限個項後就終止了： eN I N frac 12 N2 frac 16 N3 cdots frac 1q1 Nq1 推廣 當矩陣 X 的最小多項式可以分解為一次多項式的積時，它就可以表示為以下的和： X A N 其中： A 是可對角化矩陣； N 是冪零矩陣； A 與 N 是可交換的（也就是說， AN NA）。 這稱為 Dunford 分解。 這就是說，我們可以透過化為前兩種情況，來計算 X 的指數： eX eAN eA eN 注意為了讓最後一步成立， A 和 N 必須是可交換的。 另外一個密切相關的方法，是利用 X 的若爾當標準型。假設 X PJP 1，其中 J 是 X 的若爾當標準型。那麼： eXPeJ P1 另外，由於 JJ_a_1lambda_1oplus J_a_2lambda_2opluscdotsoplus J_a_nlambda_n begin align eJ exp big J_a_1lambda_1oplus J_a_2lambda_2opluscdotsoplus J_a_nlambda_n big exp big J_a_1lambda_1 big oplus exp big J_a_2lambda_2 big opluscdotsoplus exp big J_a_klambda_k big end align 因此，我們只需要知道怎樣計算若爾當塊的矩陣指數。但是，每一個若爾當塊都具有形式 J_alambda lambda I N 其中 N 是冪零矩陣。則這個區塊的矩陣指數由下式給出： elambda I N elambda eN 計算 假設我們想要計算以下矩陣的指數。 Bbegin bmatrix 21 17 6 5 1 6 4 4 16 end bmatrix 它的若爾當型為： J P1 BP begin bmatrix 4 0 0 0 16 1 0 0 16 end bmatrix 其中矩陣 P 由下式給出： Pbegin bmatrix frac14 2 frac54 frac14 2 frac14 0 4 0 end bmatrix 我們首先來計算 exp J。我們有： JJ_1 4oplus J_2 16 11 矩陣的指數僅僅是該矩陣的元素的指數，因此 exp J1 4 e4。J_2 16 的指數可以用以上提到的公式 exp λINsup eλ exp N 來算出： exp left begin bmatrix 16 1 0 16 end bmatrix right e16 exp left begin bmatrix 0 1 0 0 end bmatrix right e16 left begin bmatrix 1 0 0 1 end bmatrix begin bmatrix 0 1 0 0 end bmatrix 1 over 2begin bmatrix 0 0 0 0 end bmatrix cdots right begin bmatrix e16 e16 0 e16 end bmatrix 因此，原矩陣 B 的指數為： exp B P exp J P1 P begin bmatrix e4 0 0 0 e16 e16 0 0 e16 end bmatrix P1 1over 4 begin bmatrix 13e16 e4 13e16 5e4 2e16 2e4 9e16 e4 9e16 5e4 2e16 2e4 16e16 16e16 4e16 end bmatrix 應用 線性微分方程 矩陣指數在解線性微分方程時十分有用。前面曾提到，以下形式的微分方程 mathbf y Cmathbf y 具有解 eCty 0。如果我們考慮以下向量 mathbf yt begin bmatrix y_1 t vdots y_n t end bmatrix 我們就可以把線性微分方程表示為： mathbf yt Amathbf ytmathbf bt 如果我們作一個猜想，把兩邊乘以一個積分因子 eAt，便得到： eAtmathbf yeAt Amathbf y eAtmathbf b frac ddt eAtmathbf y eAtmathbf b 如果我們可以計算 eAt，那麼就得到了微分方程的解。 例子（齊次） 假設我們有以下的微分方程組： begin matrix x 2xyz y 3y1z z 2xy3z end matrix 相關的矩陣為： Mbegin bmatrix 2 1 1 0 3 1 2 1 3 end bmatrix 在以上的例子中，我們計算了矩陣指數 etMbegin bmatrix 2et 2te2t 2te2t 0 2et 2 t1 e2t 2 t1 e2t 0 2te2t 2te2t 2etend bmatrix 因此微分方程組的通解為： begin bmatrix x y zend bmatrix C_1begin bmatrix 2et 2te2t 2et 2 t1 e2t2te2tend bmatrix C_2begin bmatrix2te2t2 t1 e2t2te2tend bmatrix C_3begin bmatrix 002etend bmatrix 也就是說， begin align x C_1 2et 2te2t C_2 2te2t y C_1 2et 2 t1 e2tC_2 2 t1 e2t z C_1C_22te2t2C_3et end align 非齊次的情況引數變換 對於非齊次的情況，我們可以用積分因子的方法（類似於引數變換的方法）。我們找到形為 yp t exp tA z t 一個特解： mathbf y_p etAmathbf ztetAmathbf zt AetAmathbf ztetAmathbf zt Amathbf y_p tetAmathbf zt 為了讓 yp 為方程的解，必須有： etAmathbf zt mathbf bt mathbf zt etA1mathbf bt mathbf zt int_0t euAmathbf budumathbf c 因此， begin align mathbf y_p etAint_0t euAmathbf buduetAmathbf c int_0t etu Amathbf buduetAmathbf c end align 其中 c 由問題的初始條件決定。 例子（非齊次） 假設我們有以下的微分方程組： begin matrix x 2xyze2t y 3y1z z 2xy3ze2t end matrix 那麼我們有 Mbegin bmatrix 2 1 1 0 3 1 2 1 3 end bmatrix 以及 mathbf be2tbegin bmatrix 1 01end bmatrix 用前面的方法，我們可以得出齊次微分方程的解。由於齊次方程的通解與非齊次方程的特解的和就是非齊次方程的通解，因此我們只需要找到一個特解（用引數變換法）。 我們有： mathbf y_p etint_0t eu Mbegin bmatrix e2u 0e2uend bmatrixduetMmathbf c mathbf y_p etint_0t begin bmatrix 2eu 2ue2u 2ue2u 0 2eu 2 u1 e2u 2 u1 e2u 0 2ue2u 2ue2u 2euend bmatrixbegin bmatrix e2u 0e2uend bmatrixduetMmathbf c mathbf y_p etint_0t begin bmatrix e2u2eu 2ue2u e2u2eu 2 1 u e2u 2e3u 2ue4uend bmatrixetMmathbf c mathbf y_p etbegin bmatrix 1 over 24 e3t3et 4t116 1 over 24 e3t3et 4t416 1 over 24 e3t3et 4t116end bmatrix begin bmatrix 2et 2te2t 2te2t 0 2et 2 t1 e2t 2 t1 e2t 0 2te2t 2te2t 2etend bmatrixbegin bmatrix c_1 c_2 c_3end bmatrix 進一步簡化，就可以得到原方程的特解。 註釋 參考文獻 參閱 矩陣對數 指數函式 指數對映 向量流 高登湯普森不等式 位相型分佈 外部連結 矩陣指數的教程 Category 矩陣論 Category 李群 Category 指數