在靜電學裡，電勢能是處於電場的電荷分佈所具有的勢能，與電荷分佈在系統內部的組態有關。電勢能的單位是焦耳。電勢能與電勢不同。電勢定義為處於電場的電荷所具有的電勢能每單位電荷。電勢的單位是伏特。 電勢能的數值不具有絕對意義，只具有相對意義。所以，必須先設定一個電勢能為零的參考系統。當物理系統內的每一個點電荷相距無窮遠且其相對靜止不動時，這一物理系統通常可以設定為電勢能等於零的參考系統。假設一個物理系統裡的每一個點電荷，從無窮遠處被一外力勻速地遷移到其所在位置，該外力做的總機械功為 W ，則定義這系統的電勢能 U 為 U W 。 在這過程裡，所涉及的機械功 W ，不論是正值或負值，都由這物理系統之外的機制賦予。並且，被勻速遷移的每一個點電荷都不會獲得任何動能。 如此計算電勢能，並沒有考慮到移動的路徑，這是因為電場是保守場，電勢能只跟初始位置與終止位置有關，與路徑無關。 計算電勢能 在一個物理系統內，計算一個點電荷所具有的電勢能的方法，就是計算將這點電荷 Q 從無窮遠位置遷移到其它固定位置電荷附近所需要做的機械功。而計算只需要兩個引數： 其它電荷所產生的電勢。 點電荷 Q 的電荷量。 注意：這裡的計算不需要知道其它電荷的電荷量，也不需要知道這一點電荷 Q 所產生的電勢。 儲存於點電荷系統內的電勢能 單點電荷系統 只擁有單獨一個點電荷的物理系統，其電勢能為零，因為沒有任何其它可以產生電場的源電荷，所以，將點電荷從無窮遠移動至其最終位置，外機制不需要對它做任何機械功。特別注意，這點電荷有可能會與自己生成的電場發生作用。然而，由於在點電荷的位置，它自己生成的電場為無窮大，所以，在計算系統的有限總電勢能之時，一般刻意不將這「自身能」納入考量範圍之內，以簡化物理模型，方便計算。 雙點電荷系統 思考兩個點電荷所組成的物理系統。假設第一個點電荷 q_1 的位置為坐標系的原點 mathbf O ，則根據庫侖定律，點電荷 q_1 施加於位置為 mathbf r 的第二個點電荷 q_2 的電場力為 mathbf F_cfrac q_1 q_24piepsilon_0 frac hat mathbf rr2 ； 其中，epsilon_0 是電常數。 在移動點電荷 q_2 時，為保證勻速，外機制必須施加作用力 mathbf F_c 於點電荷 q_2 ，從而與電場力達到二力平衡。所以，機械功 W 為 Wint_mathbb Lmathbf F_ccdotmathrm dboldsymbol ell frac q_1 q_24piepsilon_0int_mathbb L frac hat mathbf rr2cdotmathrm dboldsymbol ell 。 由於庫侖力為保守力，機械功與積分路徑 mathbb L 無關，所以，可以選擇任意一條積分路徑。在這裡，最簡單的路徑為從無窮遠位置朝著 hat mathbf r 方向遷移至 mathbf r 位置的直線路徑。那麼，機械功為 W frac q_1 q_24piepsilon_0int_inftyrfrac mathrm d rr2frac q_1 q_24piepsilon_0 r 。 這機械功是無窮遠位置與 mathbf r 位置之間的靜電能差別： WU mathbf rU infty 。 設定 U infty0 ，則 U mathbf rfrac q_1 q_24piepsilon_0 r 。 現在，假設兩個點電荷的位置分別為 mathbf r_1 、mathbf r_2 ，則電勢能為 Ufrac 14piepsilon_0 frac q_1 q_2mathbf r_2mathbf r_1frac 14piepsilon_0 frac q_1 q_2r_12 ； 其中，r_12mathbf r_2mathbf r_1 是兩個點電荷之間的距離。 假設兩個點電荷的正負性相異，則電勢能為負值，兩個點電荷會互相吸引；否則，電勢能為正值，兩個點電荷會互相排斥。 三個以上點電荷的系統 對於三個點電荷的系統，外機制將其每一個單獨點電荷，一個接著一個，從無窮遠位置遷移至最終位置，所需要做的機械功，就是整個系統的靜勢能。以方程式表示， U frac 14 pi epsilon_0 left frac q_1 q_2r_12 frac q_1 q_3r_13 frac q_2 q_3r_23 right ； 其中，q_1q_2q_3 為點電荷，r_ij 為第 i 個與第 j 個點電荷之間的距離。 按照這方法演算，對於多個點電荷的系統，按照順序，從第一個點電荷到最後一個點電荷，各自移動到最後對應位置。在第 i 個點電荷 q_i 遷移時，只會感受到從第 1 個點電荷到第 i1 個點電荷的電場力，而機械功 W_i 是因為抗拒這些電場力而做出的貢獻： W_i frac 14 pi epsilon_0sum_j1i1 frac q_i q_jr_ij 。 所有點電荷做出的總機械功（即總電勢能）為 UWsum_i1n W_i frac 14 pi epsilon_0sum_i1n sum_j1i1 frac q_i q_jr_ij 。 將每一個專案重覆多計算一次，然後將總和除以 2 ，這公式也可以表達為， U frac 18 pi epsilon_0sum_i1n sum_j1jne in frac q_i q_jr_ij 。 這樣，可以忽略點電荷的遷移順序。 注意到除了點電荷 q_i 以外，所有其它點電荷產生的電勢在位置 mathbf r_i 為 phi mathbf r_i frac 14 pi epsilon_0sum_j1jne in frac q_jr_ij 。 所以，離散點電荷系統的總電勢能為 U frac 12sum_i1n q_i phi mathbf r_i 。 上述方程式假設電介質是自由空間，其電容率為 epsilon_0 ，即電常數。假設電介質不是自由空間，而是電容率為 epsilon 的某種電介質，則必需將方程式內的 epsilon_0 更換為 epsilon 。 儲存於連續電荷分佈的能量 對於連續電荷分佈，前面的電勢能方程式變為 U frac 12int_mathbb V rho mathbf rphi mathbf r mathrm d3 r ； 其中，rho mathbf r 是在源位置 mathbf r 的電荷密度，mathbb V 是積分體積。 應用高斯定律 mathbf nablacdotmathbf E frac rhoepsilon_0 其中，mathbf E 是電場。 電勢能為 begin align U frac epsilon_02int _mathbb V mathbf nablacdotmathbf Emathbf rphi mathbf r mathrm d3 r frac epsilon_02int _mathbb V mathbf nablacdot mathbf Emathbf rphi mathbf r mathbf Emathbf rcdotmathbf nablaphi mathbf r mathrm d3 r end align 。 應用散度定理，可以得到 U frac epsilon_02oint_mathbb S mathbf Emathbf rphi mathbf rcdotmathrm d2 rfrac epsilon_02int_mathbb V mathbf Emathbf rcdotmathbf nablaphi mathbf r mathrm d3 r ； 其中，mathbb S 是包住積分體積 mathbb V 的閉曲面。 當積分體積 mathbb V 趨向於無限大時，閉曲面 mathbb S 的面積趨向於以變率 r2 遞增，而電場、電勢分別趨向於以變率 1r2 、1r 遞減，所以，上述方程式左手邊第一個面積分專案趨向於零，電勢能變為 U frac epsilon_02int_mathbb ALL SPACE mathbf Emathbf rcdotmathbf nablaphi mathbf r mathrm d3 r 。 電場與電勢的微分關係為 mathbf Enablaphi 。 將這方程式代入，電勢能變為 Ufrac epsilon_02int_mathbb ALL SPACE E mathbf r2mathrm d3 r 。 所以，電勢能密度 u 為 u mathbf rfrac epsilon_02 E mathbf r2 。 自身能與互動作用能 前面分別推匯出兩個電勢能方程式： U frac 18 pi epsilon_0sum_i1n sum_j1jne in frac q_i q_jr_ij 。 Ufrac epsilon_02int_mathbb ALL SPACE E mathbf r2mathrm d3 r 。 注意到第一個方程式計算得到的電勢能，可以是正值，也可以是負值；但從第一個方程式推匯出來的第二個方程式，其計算得到的電勢能則必定是正值。為甚麼會發生這不一致問題？原因是第一個方程式只囊括了電荷與電荷之間的互動作用能；而第二個方程式在推導過程中，無可避免地將電荷的自身能也包括在內。在推導第一個方程式時，在位置 mathbf r_i 的電勢乃是，除了 q_i 以外，所有其它電荷共同貢獻出的電勢；而在推導第二個方程式時，電勢乃是所有電荷共同貢獻出的電勢。 舉一個雙點電荷案例，假設電荷 q_1 、q_2 的位置分別為 mathbf r_1 、mathbf r_2 ，則在任意位置 mathbf r 的電場為 mathbf Emathbf E_1mathbf E_2frac q_14piepsilon_0 frac mathbf rmathbf r_1mathbf rmathbf r_13frac q_24piepsilon_0 frac mathbf rmathbf r_2mathbf rmathbf r_23 ， 其電勢能密度為 ufrac epsilon_02 E2frac epsilon_02E_12E_222mathbf E_1cdotmathbf E_2 。 很明顯地，這方程式右手邊的前兩個專案分別為電荷 q_1 、q_2 的自身能密度 epsilon_0 E_122 、epsilon_0 E_222 。最後一個專案是否為互動作用能密度？為了回答這有意思的問題，繼續計算互動作用能密度的體積積分： U_intint_mathbb V u_int mathrm d3 r epsilon_0int_mathbb Vmathbf E_1cdotmathbf E_2 mathrm d3 rfrac q_1 q_216pi2epsilon_0int_mathbb Vfrac mathbf rmathbf r_1mathbf rmathbf r_13 cdot frac mathbf rmathbf r_2mathbf rmathbf r_23 mathrm d3 r 。 應用一條向量恆等式， nablaleft frac 1mathbf r mathbf rright frac mathbf r mathbf rmathbf r mathbf r3 ， 可以得到 begin align U_int frac q_1 q_216pi2epsilon_0int_mathbb Vnablaleft frac 1mathbf rmathbf r_1right cdot nablaleft frac 1mathbf rmathbf r_2rightmathrm d3 r frac q_1 q_216pi2epsilon_0int_mathbb Vnabla cdot left frac 1mathbf rmathbf r_1nablaleft frac 1mathbf rmathbf r_2rightright left frac 1mathbf rmathbf r_1rightnabla2left frac 1mathbf rmathbf r_2right mathrm d3 r end align 。 應用散度定理，可以將這方程式右手邊第一個專案，從體積積分變為面積積分： int_mathbb Vnabla cdot left frac 1mathbf rmathbf r_1nablaleft frac 1mathbf rmathbf r_2rightrightmathrm d3 r oint_mathbb Sleft frac 1mathbf rmathbf r_1nablaleft frac 1mathbf rmathbf r_2rightrightcdotmathrm d2 r ； 其中，mathbb S 是包住積分體積 mathbb V 的閉曲面。 假設 mathbb V 趨向於無窮大空間，則這面積積分趨向於零。再應用一則關於狄拉克 δ 函式的向量恆等式 nabla2 left frac 1mathbf r mathbf rright 4pidelta mathbf r mathbf r ， 可以得到 U_intfrac q_1 q_24piepsilon_0int_mathbb ALL SPACEfrac delta mathbf r mathbf r_2mathbf rmathbf r_1 mathrm d3 rfrac 14piepsilon_0 frac q_1 q_2mathbf r_1mathbf r_2 。 這就是雙點電荷系統的電勢能。 參考文獻 Category 能量形式 Category 靜電學 Category 電學 Category 電力 Category 電壓