線上性代數和泛函分析中，投影是從向量空間對映到自身的一種線性變換 P，滿足 P2P 也就是說，當 P 兩次作用於某個值，與作用一次得到的結果相同（冪等）。是日常生活中 平行投影 概念的形式化和一般化。同現實中陽光將事物投影到地面上一樣，投影變換將整個向量空間對映到它的其中一個子空間，並且在這個子空間中是恆等變換 Meyer pp 386387。 定義 投影的嚴格定義是：一個從向量空間 V 射到它自身的線性變換 P 是投影，當且僅當 P2 P。另外一個定義則較為直觀：P 是投影，當且僅當存在 V 的一個子空間 W，使得 P 將所有 V 中的元素都對映到 W 中，而且 P 在 W 上是恆等變換。用數學的語言描述，就是： exists W，使得 forall u in V P u in W，並且 forall u in W P u u 簡單例子 在現實生活中，陽光在地面上留下各種影子。這就是投影變換最直白的例子。可以理想化地假設陽光都是沿著同一個方向（比如說垂直於地面的角度）照射而來，大地是嚴格的平面，那麼，對於任意一個物體（比如說一隻正在飛行的鳥），它的位置可以用向量 x y z 來表示，而這隻鳥在陽光下對應著一個影子，也就是 x y 0。這樣的一個變換就是一個投影變換。它將三維空間中的向量 x y z 到對映到向量 x y 0 。這是在 xy 平面上的投影。這個變換可以用矩陣表示為 P begin bmatrix 1 0 0 0 1 0 0 0 0 end bmatrix 因為對任意一個向量 x y z ，這個矩陣的作用是： P begin bmatrix x y z end bmatrix begin bmatrix x y 0 end bmatrix 注意到如果一個向量原來就是表示地面上的一點的話（也就是說它的 z 分量等於 0），那麼經過變換 P 後不會有改變。也就是說這個變換在子空間 xy 平面上是恆等變換，這證明了 P 的確是一個投影。 另外， P2 begin bmatrix x y z end bmatrix P begin bmatrix x y 0 end bmatrix begin bmatrix x y 0 end bmatrix 所以 P P2，這也證明 P 的確是投影。 基本性質 這裡假定投影所在的向量空間 W 是有限維的（因此不需要考慮如投影的連續性之類的問題）。假設子空間 U 與 V 分別為 P 的像空間與零空間（也叫做核）。那麼按照定義，有如下的基本性質 按照定義，P 是等冪的（即 P2P） P 在像空間 U 上是恆等變換： forall x in U quad P x x 整個向量空間可以分解成子空間 U 與 V 的直和： W U oplus V。也就是說，空間裡的每一個向量 x in W，都可以以唯一的方式寫成兩個向量 u 與 v 的和： x u v，並且滿足 uPx vxPxIP x 其中 u in U 、 v in V 。 用抽象代數的術語來說，投影 P 是冪等的線性對映（P2 P）。因此它的極小多項式是 X2XX X1。因式分解後可以看到，這個多項式只有相異的單根（沒有多重根），因此 P 是可對角化矩陣。極小多項式也顯示出了投影的特性：像空間與零空間分別是是對應於特徵值 1 和 0 的特徵空間，並給出了整個空間的一個直和分解。 正如日常生活中陽光沿著一定的方向將影子投射到地面上，一般的投影變換也可以稱為是沿著 W 到 U 上的投影。由於向量空間分解成直和的方式一般不是唯一的（陽光可以順著不同的方向照射），給定一個子空間 V（地面），一般的說有很多到 V 的投影（沿不同的 W）。 正交投影 如果向量空間 V 被賦予了內積且是完備的，那麼就可以定義正交和其它相關的概念 比如線性運算元的自伴隨性 了。正交投影是指值域 U 和零空間 W 相互正交的投影，也就是說，對於任意 u in U，w in W，它們的內積 uw 都等於 0。一個投影是正交投影，當且僅當它是自伴運算元，以下為證明：如果投影 P 是自伴運算元，那麼 forall u P v in U w in W uw left P v w right left v Pw right left v P w right left v 0 right 0 其中 P 表示 P 的伴隨運算元。 所以 P 是正交投影。相反的，如果 P 是正交投影，由於 forall v in V v P v in W 因此我們有 forall v_1 v_2 in V0 left P v_1 v_2 P v_2right left v_1 P P Pv_2 right 鑑於 v_1 v_2 是任意選取的，必然有 P P P 0 或 P P P 由於 PP 一定是自伴運算元，因此可知 P 與 P 也是自伴運算元。 這意味著正交投影的矩陣有特殊的性質。如果投影是在實向量空間中，那麼它對應的矩陣是對稱矩陣 P PT。如果投影是在虛向量空間中，那麼它的矩陣則是埃爾米特矩陣 P P 例子 正交投影的最簡單的情況是到（過原點）直線上的正交投影。如果 u 是這條直線的單位方向向量，則投影給出為 P_u u u 這個運算元保留 u 不變（ P_u u u u u u u 2 u），並且它作用在所有正交於 u 的向量上都是 0（如果 uv 0 ，那麼 P_u v u u v u uv 0 ），證明它的確是到包含 u 的直線上的正交投影 Meyer p 431。 這個公式可以推廣至到在任意維的子空間上的正交投影。設 u1 uk 是子空間 U 的一組正交基，並設 A 為一個 nk 的矩陣，它的列向量是 u1 uk。那麼投影： P_A A AT Meyer equation 5134 也是正交的。矩陣 AT 是在 U 的正交補變為零的偏等距同構，而 A 是把 U 嵌入底層向量空間的等距同構。PA 的值域因此是 A 的 終空間final space。ATA 是在 U 上的恆等運算元也是明顯的。 正交條件也可以去除。如果 u1 uk 是 不必須正交 基，而 A 是有這些向量作為列的矩陣，則投影是 P_A A AT A1 AT 。Meyer equation 5133 矩陣 AT 仍把 U 嵌入到低層向量空間中但一般不再是等距的。矩陣 ATA1 是恢復規範的 規範化因子。例如，秩 1 運算元 uuT 不是投影，如果 u 1。在除以 uTu u2 之後，我們得獲得了到 u 所生成的子空間的投影 u uTu1uT。 所有這些公式對於複數內積空間也成立，假如用共軛轉置替代轉置。 斜投影 術語斜投影有時用來提及非正交投影。這些投影也用來在二維繪圖中表示空間圖形 參見斜投影，儘管不如正交投影常用。 斜投影用它們的值域和零空間來定義。有給定值域和零空間的投影的矩陣表示的公式可如下這樣找到。設向量 u1 uk 形成了投影的值域的基，並把這些向量組合到 nk 矩陣 A 中。值域和零空間是互補空間，所以零空間有維度 n k。它推出零空間的正交補有維度 k。設 v1 vk 形成這個投影的零空間的正交補的基，並把這些向量組合到矩陣 B 中。則投影定義為 P A BT A1 BT 。 這個表示式一般化上面給出的正交投影公式。Meyer equation 71039 在賦範向量空間上的投影 當底層向量空間 X 是 不必需有限維 賦範向量空間，需要考慮無關於有限維情況的分析問題，假定現在 X 是巴拿赫空間。 上面討論的多數代數概念轉移到這個上下文後倖存下來了。給定的 X 的直和分解成補子空間仍指定一個投影，反之亦然。如果 X 是直和 X U V，則定義自 P u v u 的運算元仍是有值域 U 和核 V 的投影。明顯的也 P2 P。反過來說，如果 P 是在 X 上的投影，就是說 P2 P，則很容易驗證 I P 2 I P。換句話說，I P 也是投影。關係 I P I P 蘊涵了 X 是直和 Ran P Ran I P。 但是相對於有限維情況，投影一般不必須是連續的。如果 X 的子空間 U 在規範拓撲下不閉合，則到 U 上的投影是不連續的。換句話說，連續投影 P 的值域一定是閉合子空間。進一步的，連續投影 事實上，一般的連續線性運算元 的核是閉合的。所以連續投影 P 把 X 分解成兩個互補的閉合子空間 X Ran P Ker P Ran P Ran I P。 反命題在有額外假定條件下也成立。假設 U 是 X 的閉合子空間。如果存在一個閉合子空間 V 使得 X U V，則有值域 U 和核 V 的投影 P 是連續的。這是從閉合圖定理推出的。假定 xn x 而 Pxn y。需要證明 Px y。因為 U 是閉合的且 Pxn U y 位於 U 中，就是說 Py y。還有 xn Pxn I P xn x y。因為 V 是閉合的且 I P xn V，我們有了 x y V，就是說 P x y Px Py Px y 0，這證明了這個斷言。 上述論證利用 U 和 V 都是閉合的假定。一般的說，給定一個閉合子空間 U 不需要存在一個互補的閉合子空間 V，儘管對於希爾伯特空間總是可以採取正交補得到。對於巴拿赫空間，一維子空間總是有閉合的補子空間。這是 哈恩 巴拿赫定理的直接推論。設 U 是 u 的線性擴張。透過哈恩 巴拿赫定理，存在一個有界線性泛函 φ，使得 φu 1。運算元 P x φx u 滿足 P2 P，就是說它是個投影。φ 的有界性蘊涵了 P 的連續性，因此 Ker P Ran I P 是 U 的閉合補子空間。 應用 投影（正交與非正交投影）在演算法領域和特定線性代數問題中有重要應用。 QR 分解（參見豪斯霍爾德變換和格拉姆 施密特正交化） 奇異值分解 化為海森伯格矩陣形式（許多特徵值演算法的第一步） 線性迴歸 參見 ，它是投影矩陣的例子。 正交化 不變子空間 透視投影 註解 引用 N Dunford and JT Schwartz Linear Operators Part I General Theory Interscience 1958 Carl D Meyer Matrix Analysis and Applied Linear Algebra Society for Industrial and Applied Mathematics 2000 ISBN 9780898714548 T T Category 線性運算元 svProjektion matematik