狀態空間，是控制工程中的一個名詞。狀態是指在系統中可決定系統狀態、最小數目變數的有序集合。而所謂狀態空間則是指該系統全部可能狀態的集合。簡單來說，狀態空間可以視為一個以狀態變數為坐標軸的空間，因此係統的狀態可以表示為此空間中的一個向量。 狀態空間表示法即為一種將物理系統表示為一組輸入、輸出及狀態的數學模式，而輸入、輸出及狀態之間的關係可用許多一階微分方程來描述。 為了使數學模式不受輸入、輸出及狀態的個數所影響，輸入、輸出及狀態都會以向量的形式表示，而微分方程（若是線性非時變系統，可將微分方程轉變為代數方程）則會以矩陣的形式來表示。 狀態空間表示法提供一種方便簡捷的方法來針對多輸入、多輸出的系統進行分析並建立模型。一般頻域的系統處理方式需限制在常係數，啟始條件為 0 的系統。而狀態空間表示法對系統的係數及啟始條件沒有限制。 狀態變數 系統的狀態變數是指系統變數中，可以表示任一時間系統完整狀態的最小子集合。要表示一系統需要的狀態變數最小值 n，通常也是該系統微分方程式的階數。若系統是以傳遞函式來表示，狀態變數的最小個數等於傳遞函式分母多項式的階數。在電路中狀態變數的個數常常就是電路中儲能元件（如電容器及電感器）的個數。 線性系統 一個有 p 個輸入、q 個輸出及 n 個狀態變數的線性系統，可以用以下的狀態空間表示法來表示： dot mathbf xt A t mathbf xt B t mathbf ut mathbf yt C t mathbf xt D t mathbf ut 其中 mathbf xcdot 稱為狀態向量， mathbf xt in mathbb Rn mathbf ycdot 稱為輸出向量， mathbf yt in mathbb Rq mathbf ucdot 稱為輸入向量（或控制向量）， mathbf ut in mathbb Rp A cdot 稱為狀態矩陣， operatorname dimA cdot n times n B cdot 稱為輸入矩陣， operatorname dimB cdot n times p C cdot 稱為輸出矩陣， operatorname dimC cdot q times n D cdot 稱為前饋矩陣（若系統沒有直接從輸入到輸出的路徑，此矩陣為零矩陣）， operatorname dimD cdot q times p dot mathbf xt frac operatorname doperatorname d t mathbf xt 通式中所有的矩陣均允許隨著時間而變化，此時所表示的就是線性時變系統。若表示的是線性非時變系統，則通式的矩陣都不會隨著時間變化。時間變數 t 可以是連續的（例如 t in mathbb R）或是離散的（例如 t in mathbb Z）。若是後者，其時間變數一般會標示為 k。混合系統允許同時使用連續及離散的時域。依不同的假設，狀態空間表示法可以是以下的這些形式： 系統形式 狀態空間模型 連續非時變系統 dot mathbf xt A mathbf xt B mathbf utBR mathbf yt C mathbf xt D mathbf ut 連續時變系統 dot mathbf xt mathbf At mathbf xt mathbf Bt mathbf utBR mathbf yt mathbf Ct mathbf xt mathbf Dt mathbf ut 離散非時變系統 mathbf xk1 A mathbf xk B mathbf ukBR mathbf yk C mathbf xk D mathbf uk 離散時變系統 mathbf xk1 mathbf Ak mathbf xk mathbf Bk mathbf ukBR mathbf yk mathbf Ck mathbf xk mathbf Dk mathbf uk 連續非時變系統 BR 轉換到 s 域 s mathbf Xs A mathbf Xs B mathbf UsBR mathbf Ys C mathbf Xs D mathbf Us 離散非時變系統 BR 轉換到 Z 域 z mathbf Xz A mathbf Xz B mathbf UzBR mathbf Yz C mathbf Xz D mathbf Uz 連續非時變系統的例子 連續線性非時變系統的穩定性及響應特性可以由矩陣 A 的特徵值得到，也可以由系統對應的乘積型傳遞函式中得到。其型式如下所示： textbf Gs k frac s z_1s z_2s z_3 s p_1s p_2s p_3s p_4 傳遞函式的分母等於 sI A 的行列式所得的特徵多項式： mathbf lambdas sI A 其多項式的根即為矩陣 A 的特徵值，也是傳遞函式的極點。極點可以用來分析系統是否為指數穩定、臨界穩定或者根本不穩定。李雅普諾夫穩定性是另一種不需計算特徵值，也可以判斷穩定性的方式。 由傳遞函式的分子 textbf Gs 可以找到多項式的零點，可用來判斷系統是否是最小相位。 即使系統沒有內部穩定性，仍有可能是輸入輸出穩定系統。此情形時的不穩定極點和零點相消，為一個可去奇點。 傳遞函式 傳遞函式可用來描述線性非時變系統的特性。一個連續時間的線性非時變系統，可以用以下的方式，將其狀態空間表示式轉換為傳遞函式： 首先，對下式進行拉氏轉換，在初始條件為 0（mathbf x0 mathbf 0 ）時 dot mathbf xt A mathbf xt B mathbf ut 可得到 smathbf Xs A mathbf Xs B mathbf Us 再針對 mathbf Xs 化簡，可得到 smathbf I Amathbf Xs Bmathbf Us mathbf Xs smathbf I A1 Bmathbf Us 可以用此式來替換以下輸出方程式中的 mathbf Xs mathbf Ys Cmathbf Xs Dmathbf Us 結果如下 mathbf Ys C smathbf I A1 Bmathbf Us Dmathbf Us 傳遞函式 mathbf Gs 定義為系統輸出相對於輸入的比值 mathbf Gs mathbf Ys mathbf Us 因此可得到 mathbf Gs C smathbf I A1 B D mathbf Gs 必須是 q times p 的矩陣。 若線性非時變系統有多個輸入及輸出時，其傳遞函式（也稱為傳遞矩陣）表示每一組輸入及輸出的關係，傳遞矩陣的每一個元素都是一組特定輸入及輸出的傳遞函式，不過多重輸入多重輸出（MIMO）的系統多使用狀態空間的方式進行分析，較少使用傳遞函式或傳遞矩陣。 將一個系統由狀態空間表示式轉換為傳遞函式時，系統內部的資訊無法完整的轉換，可能系統表示為狀態空間表示式中在特定位置時會不穩定，但是用傳遞函式表示時卻是一個穩定的系統。 可控制性 一系統的狀態可控制性表示對於系統的一組初始狀態及一組終止狀態，存在一組輸入，使得此係統在有限時間內，可以由初始狀態轉移到終止狀態。一個連續線性時不變系統以狀態空間表示時，系統若且唯若在以下秩的等式成立時才有可控制性 operatorname rankbegin bmatrix B AB A2 B An1 Bend bmatrix n （秩就是矩陣中線性獨立橫行的數目） 可觀察性 可觀察性是可以依一系統的輸出得知其系統內部的初始狀態。一系統的可觀察性及可控制性有數學上的對偶關係，可控制性是指可以利用輸入將系統由初始狀態轉換成任意的最終狀態，而可觀察性是指系統的輸出軌跡預測其初始狀態。 一個連續時間的線性非時變系統可觀察性，若且唯若下式成立： operatorname rankbegin bmatrix C CA CAn1end bmatrix n 傳遞函式 連續時間線性時不變的狀態空間模型可以用以下方式推導其傳遞函式： 首先，對下式進行拉普拉斯變換 dot mathbf xt A mathbf xt B mathbf ut 可得 smathbf Xsmathbf x0 A mathbf Xs B mathbf Us 接下來，化簡 mathbf Xs，可得 smathbf I Amathbf Xs mathbf x0 Bmathbf Us 因此 mathbf Xs smathbf I A1mathbf x0 smathbf I A1 Bmathbf Us 替換以下輸出方程中的 mathbf Xs mathbf Ys Cmathbf Xs Dmathbf Us 可得 mathbf Ys C smathbf I A1mathbf x0 smathbf I A1 Bmathbf Us Dmathbf Us 傳遞函式 mathbf Gs 定義為在初始條件為 0（mathbf x0 mathbf 0 ）時，系統輸出和輸入的比值。不過因為向量和向量的比例不存在，因此考慮讓傳遞函式可以滿足下式 mathbf Gstimesmathbf Us mathbf Ys 比較 mathbf Ys 的方程，可得 mathbf Gs C smathbf I A1 B D 可以看出 mathbf Gs 的維度需要是 q 乘 p，共有 qp 個元素。 針對每一個輸入，有 q 個傳遞函式，每個對應一個輸出。因此在多重輸入多重輸出（MIMO）的系統，會比較傾向用狀態空間表示法來表達。羅森布羅克系統矩陣提供了狀態空間表示法和其傳遞函式之間的橋樑。 正則實現 任一個嚴格真分的傳遞函式，可以依以下的方式轉換為狀態空間的表示法（以下以一個 4 階、單一輸入及輸出的系統為例）： 先將傳遞函式分子分母展開成以下的形式： textbf Gs frac n_1 s3 n_2 s2 n_3 s n_4s4 d_1 s3 d_2 s2 d_3 s d_4 其分子分母的係數可以放進以下的狀態空間表示式中： dot textbf xt begin bmatrix d_1 d_2 d_3 d_4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 end bmatrixtextbf xt begin bmatrix 1 0 0 0 end bmatrixtextbf ut textbf yt begin bmatrix n_1 n_2 n_3 n_4 end bmatrixtextbf xt 這種狀態空間的實現方式稱為 可控制正則型（controllable canonical form），方便判斷系統的可控制性（控制輸入經過一連串的積分器後，即可影響每一個狀態），因此。 傳遞函式也可以轉換為以下的狀態空間表示式： dot textbf xt begin bmatrix d_1 1 0 0 d_2 0 1 0 d_3 0 0 1 d_4 0 0 0 end bmatrixtextbf xt begin bmatrix n_1 n_2 n_3 n_4 end bmatrixtextbf ut textbf yt begin bmatrix 1 0 0 0 end bmatrixtextbf xt 這種狀態空間的實現方式稱為 可觀察正則型（observable canonical form），方便判斷系統的可觀察性（輸出是經過狀態變數一連串積分後的輸出，因此可經由狀態變數影響系統的輸出）。 真分傳遞函式 若傳遞函式只是真分傳遞函式，不滿足嚴格真分的條件，可以將傳遞函式分為一嚴格真分數及常數的和，即可轉換為狀態空間的表示方式 textbf Gs textbf G_SPs textbf Ginfty 利用上一段的作法可以將嚴格真分傳遞函式轉換為正則型的狀態空間表示式。而常數部份可以轉換為 textbf yt textbf Ginftytextbf ut。因此狀態空間表示式的矩陣 A、B 及 C 可利用傳遞函式的嚴格真分部份求得，而矩陣 D 可利用常數部份求得。 例如以下的真分傳遞函式 textbf Gs frac s2 3s 3s2 2s 1 frac s 2s2 2s 1 1 其可控制正則型的實現如下 dot textbf xt begin bmatrix 2 1 1 0 end bmatrixtextbf xt begin bmatrix 1 0end bmatrixtextbf ut textbf yt begin bmatrix 1 2end bmatrixtextbf xt begin bmatrix 1end bmatrixtextbf ut 其輸出直接受到輸入的影響，原因就是因為傳遞函式的常數部份。 反饋 要為系統增加反饋，可以將輸出乘以一矩陣 K，當作系統的輸入：mathbf ut K mathbf yt 因此係統 dot mathbf xt A mathbf xt B mathbf ut mathbf yt C mathbf xt D mathbf ut 可改寫為以下的形式 dot mathbf xt A mathbf xt B K mathbf yt mathbf yt C mathbf xt D K mathbf yt 求解 mathbf yt，代入狀態方程式中可得 dot mathbf xt left A B K left I D Kright1 C right mathbf xt mathbf yt left I D Kright1 C mathbf xt 此作法的好處是整個系統的特性不止是由矩陣 A 的特徵值決定，也可以由 K 的適當設定及 left A B K left I D Kright1 C right 的特徵值分解來調整。不過此作法的前提是開迴路系統本身是可控制的，或者矩陣 A 的不穩定特徵值可以由適當的 K 調整為穩定。 有一種常見的簡化法是令矩陣 D 為零矩陣，矩陣 C 為單位矩陣，因此方程式可以簡化為以下的形式： dot mathbf xt left A B K right mathbf xt mathbf yt mathbf xt 需進行特徵值分解的矩陣縮小為 A B K。 有回授及目標值輸入 回授訊號也可以再加上目標值輸入 r t，此時的回授值訊號為 mathbf ut K mathbf yt mathbf rt dot mathbf xt A mathbf xt B mathbf ut mathbf yt C mathbf xt D mathbf ut 變成以下的形式 dot mathbf xt A mathbf xt B K mathbf yt B mathbf rt mathbf yt C mathbf xt D K mathbf yt D mathbf rt 求解 mathbf yt，代入狀態方程式中可得 dot mathbf xt left A B K left I D Kright1 C right mathbf xt B left I K left I D Kright1 D right mathbf rt mathbf yt left I D Kright1 C mathbf xt left I D Kright1 D mathbf rt 一個常見的簡化是令矩陣 D 為零矩陣，方程式可簡化為以下的形式 dot mathbf xt left A B K C right mathbf xt B mathbf rt mathbf yt C mathbf xt 移動物體的範例 以下以物體的一維移動來作為範例。 考慮一物體在一平面上水平移動，物體和牆壁之間有彈簧相連線，依牛頓第二運動定律，其受力如下 m ddot yt u t k_1dot yt k_2 y t 其中 y t 為位置，dot y t 及 ddot yt 分別是速度及加速度 u t 為施力 k_1 為粘滯摩擦係數 k_2 為彈簧的彈性常數 m 為物體的質量 其狀態方程式可以下式表示 left begin matrix mathbf dot x_1t mathbf dot x_2t end matrix right left begin matrix 0 1 frac k_2m frac k_1m end matrix right left begin matrix mathbf x_1t mathbf x_2t end matrix right left begin matrix 0 frac 1m end matrix right mathbf ut mathbf yt left begin matrix 1 0 end matrix right left begin matrix mathbf x_1t mathbf x_2t end matrix right 其中 x_1 t 為物體的位置 x_2 t dot x_1t 為物體的速度 dot x_2t ddot x_1t 為物體的加速度 輸出 mathbf yt 為物體的位置 依可控制性測試，結果為 left begin matrix B AB end matrix right left begin matrix left begin matrix 0 frac 1m end matrix right left begin matrix 0 1 frac k_2m frac k_1m end matrix right left begin matrix 0 frac 1m end matrix right end matrix right left begin matrix 0 frac 1m frac 1m frac k_1m2 end matrix right 對所有非零的 k_1，上述矩陣皆為 full rank。 依可觀察性測試，結果為 left begin matrix C CA end matrix right left begin matrix left begin matrix 1 0 end matrix right left begin matrix 1 0 end matrix right left begin matrix 0 1 frac k_2m frac k_1m end matrix right end matrix right left begin matrix 1 0 0 1 end matrix right 對所有非零的 k_1，上述矩陣也皆為 full rank。 因此，此係統具有可控制性及可觀察性。 非線性系統 以下將狀態空間模型以函式的形式來表示。 mathbf dot xt mathbf ft x t u t mathbf yt mathbf ht x t u t 第一個方程式為狀態方程式，第二個方程式為輸出方程式。 此表示法可以表示線性系統及非線性系統。若函式 f cdotcdotcdot 是狀態及輸入的線性組合，則以上方程式可以改寫為矩陣的形式。 若系統沒有外力（沒有輸入項），則以上方程式中的 u t 可以省略。 單擺的範例 單擺即為一個非線性系統的例子。 mlddottheta t mgsintheta t kldottheta t 其中 theta t 為單擺偏離垂線的角度 m 為單擺的質量（單擺的線或桿的質量假設為零） g 為重力加速度 k 為摩擦係數 l 為單擺的半徑（以質量 m 的重心位置為準） 其狀態方程式為 dot x_1t x_2 t dot x_2t frac glsin x_1t frac kmx_2t 其中 x_1 t theta t 為單擺的角度 x_2 t dot x_1t 為單擺的角速度 dot x_2 ddot x_1 為單擺的角加速度 其狀態方程式可寫成以下的形式 dot xt left begin matrix dot x_1t dot x_2t end matrix right mathbf ft x t left begin matrix x_2 t frac glsin x_1t frac kmx_2t end matrix right 一系統的機械平衡點或駐點為 dot x 0 的位置，因此單擺系統的平衡點如下 left begin matrix x_1 x_2 end matrix right left begin matrix npi 0 end matrix right 其中 n 為整數。 相關條目 離散化 相空間：物理學和數學中有關相空間（例如連續的狀態空間）的資訊。 狀態空間 電腦科學：電腦科學中有關狀態空間的資訊。 機率空間：機率中關於狀態空間的資訊。 卡爾曼濾波 參考來源 延伸閱讀 Antsaklis PJ and Michel AN 2007 A Linear Systems Primer Birkhauser ISBN 97808176443450 Chen ChiTsong 1999 Linear System Theory and Design 3rd ed Oxford University Press ISBN 9780195117776 Khalil Hassan K 2001 Nonlinear Systems 3rd ed Prentice 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