分部積分法又稱作部分積分法，是一種積分的技巧。它是由微分的乘法定則和微積分基本定理推導而來的。其基本思路是將不易求得結果的積分形式，轉化為等價的但易於求出結果的積分形式。 規則 假設 h x 與 k x 是兩個連續可導函式。由乘積法則可知 frac rm dhkrm d xfrac rm d hrm d x k hfrac rm d krm d x 對上述等式兩邊求不定積分，得 begin align hk intbigg frac rm d hrm d x khfrac rm d krm d x biggrm d x int k rm d hint h rm d k end align 移項整理，得不定積分形式的分部積分方程 intfrac rm d hrm d x k rm d xhkint hfrac rm d krm d x rm d x 由以上等式我們可以推匯出分部積分法在區間 aA 的定積分形式 intA_afrac rm d hrm d x k rm d xbig hkbigA_a intA_ahfrac rm d krm d x rm d x 已經積出的部分 big hkbigA_a 可以代入上下限 aA 表示為以下等式， big hkbigA_ah A k Ah a k a 而以上這條等式可以透過函式求導乘積法則，以及微積分基本定理透過以下方式倒推並得以驗證 begin align h A k Ah a k a intA_afrac rm dhkrm d x dx intA_abigg frac rm d hrm d x khfrac rm d krm d x bigg dx intA_ak rm d hintA_ah rm d k end align 在傳統的微積分教材裡分部積分法通常寫成不定積分形式： int f x gxdx f x g x int fx g xdx 如果更簡單些，令 u f x、v g x，微分 rm d u fxrm d x 和 rm d v gxrm d x，就可以得到更常見到的形式： int udvuvint vdu。 注意，上面的原式中含有 g 的導數；在使用這個規則時必須先找到不定積分 g，並且積分 int gf rm d x 必須是可積的。 在級數的離散分析中也可以用到類似的公式表達，稱為分部求和。 另一可用的表達方式可以將原表達方式裡的因子僅寫成 f 和 g，但缺點是引進了鑲套積分： int f gdx f int gdx int left f int gdx rightdx。 這個表達方式只有當 f 是連續可導而且 g 是連續的時才有效。 在黎曼 斯蒂爾吉斯積分和勒貝格 斯蒂爾吉斯積分有更多分部積分的公式。 提示：部分積分下面這樣更複雜一點的積分運算裡也是有效的： int u vdw u v w int u wdv int v wdu。 例題 用分部積分法求積分： int xcos x dx 先設： u x 故 du dx dv cos x dx 故 v sin x 代入原積分： begin align int xcos x dx int u dv uv int v du xsin x int sin x dx xsin x cos x C end align 這裡 C 是任意積分常數。 連續使用分部積分可以求解這類積分： int x3 sin x dx quad mbox and quad int x2 ex dx 每次分部積分後 x 的冪減低 1 次。 下面這個例子需要用點技巧： int ex cos x dx 和其他例題不同的是分部積分之後得出的結果裡含有要求解的積分式，在這時不必再按積分做下去。 此題要使用兩次分部積分。先令： u cos x 故 du sin x dx dv ex dx 故 v ex 於是有： int ex cos x dx ex cos x int ex sin x dx 對餘下的積分式再用分部積分，設： u sin x du cos x dx v ex dv ex dx 得到： int ex sin x dx ex sin x int ex cos x dx 把兩次分部積分的結果合在一起： int ex cos x dx ex cos x ex sin x int ex cos x dx 注意，要求解的積分式同時出現在等式兩邊。我們只要把它移到等式一邊就可以得到積分結果： 2 int ex cos x dx ex sin x cos x C int ex cos x dx ex sin x cos x over 2 C 同樣，C 在這裡是積分常數。 同樣的技巧用在求解正割函式的立方的積分裡。 另外兩個很有用的分部積分範例是分部積分法用在函式本身和 1 的乘積。這裡的前提是函式的導數是已知的，而且這個導數和 x 的乘積的積分已知。 第一個範例是 ln x dx 我們把它寫成： int ln x cdot 1 dx 設： u ln x du 1x dx v x dv 1dx 於是： int ln x dx x ln x int frac xx dx x ln x int 1 dx int ln x dx x ln x x C int ln x dx x ln x 1 C 同樣，C 是積分常數。 第二個範例是 arctan x dx 這裡 arctan x 是反三角函式。成重寫入下： int arctan x cdot 1 dx 令： u arctan x du 11x2 dx v x dv 1dx 代入後有： int arctan x dx x arctan x int frac x1 x2 dx x arctan x 1 over 2 ln left 1 x2 right C 其中用到換元積分法和自然對數積分。 LIATE 法則 LIATE 法則是一條經驗法則，由選擇以下列表中首先出現的函式為 u 組成： L 對數函式：ln x log_b x 等。 I 反三角函式：arctan x arcsec x 等。 A 代數函式：x2 3x50 等。 T 三角函式：sin x tan x 等。 E 指數函式：ex 19x 等。 要成為 dv 的函式以這個列表中的後一個為準，因為求列在後面的函式的不定積分比列在前面的更容易。LIATE 這個口訣代表優先選擇的順序。該法則有時候會寫作 DETAIL，其中 D 代表 dv。 為了展示 LIATE 法則，以下面這個積分作示範： int xcos x dx 根據 LIATE 法則，u x 和 dv cos x dx，於是 du dx 和 v sin x ，這個積分就變成 xsin x int 1sin x dx 等同於 xsin x cos xC 總的來說，在選 u 和 dv 時都是選得 du 比 u 簡單，並且 dv 容易被積。如果選 cos x 為 u，x 為 dv，就要求這樣的積分 frac x2 2cos x int frac x2 2sin xdx 在遞迴應用分部積分法後，會陷入一個無限迴圈產生無意義的結果。 LIATE 法則儘管很有用，也還是會有例外。所以有時可以用 ILATE 順序替換。另外，在個別情況要將指數項拆開。例如，求積分 int x3 ex2 dx 要拆成 u x2 quad dv x cdot ex2 dx 所以有 du 2x dx quad v frac ex22 然後 int x3 ex2 dx int x2 left xex2right dx int u dv uv int v du frac x2 ex22 int x ex2 dx 最終的積分結果為 int x3 ex2 dx frac ex2x2 12 C 分部積分法通常被用作數學分析中證明定理的工具。 參見 換元積分法 參考資料 Category 積分學 Category 數學恆等式 Category 分析定理 Category 微積分定理