在積分學中，橢圓積分最初出現於橢圓的弧長有關的問題中。和尤拉是最早的研究者。現代數學將橢圓積分定義為可以表達為如下形式的任何函式 f 的積分 f x int_cx R tsqrt P t dt 其中 R 是其兩個引數的有理函式，P 是一個無重根的 3 或 4 階多項式，而 c 是一個常數。 通常，橢圓積分不能用基本函式表達。這個一般規則的例外出現在 P 有重根的時候，或者是 R left xy right 沒有 y 的奇數冪時。但是，透過適當的簡化公式，每個橢圓積分可以變為只涉及有理函式和三個經典形式的積分。（也即，第一，第二，和第三類的橢圓積分）。 除下面給出的形式之外，橢圓積分也可以表達為勒讓德形式和 Carlson 對稱形式。透過對施瓦茨 克里斯托費爾對映的研究可以加深對橢圓積分理論的理解。歷史上，橢圓函式是作為橢圓積分的逆函式被發現的，特別是這一個：F textrm sn left zk rightk z 其中 textrm sn 是雅可比正弦橢圓函式。 記法 橢圓積分通常表述為不同變數的函式。這些變數完全等價（它們給出同樣的橢圓積分），但是它們看起來很不相同。很多文獻使用單一一種標準命名規則。在定義積分之前，先來檢視一下這些變數的命名常規： alpha 模角； ksin alpha 橢圓模； mk2sin2 alpha 引數；上述三種常規完全互相確定。規定其中一個和規定另外一個一樣。橢圓積分也依賴於另一個變數，可以有如下幾種不同的設定方法： phi 幅度 x 其中 xsin phi textrm sn u u，其中 x textrm sn u 而 textrm sn 是雅可比橢圓函式之一 規定其中一個決定另外兩個。這樣，它們可以互換地使用。注意 u 也依賴於 m。其它包含 u 的關係有 cos phi textrm cn u 和 sqrt 1msin2 phi textrm dn u 後者有時稱為 δ 幅度並寫作 Delta phitextrm dn u。有時文獻也稱之為補引數，補模或者補模角。這些在四分週期中有進一步的定義。 第一類不完全橢圓積分 第一類不完全橢圓積分 F 定義為 F phisetminus alpha F phim int_0phifrac rm dthetasqrt 1sinthetasin alpha2 與此等價，用雅可比的形式，可以設 xsin phi tsin theta；則 F phisetminus alpha F xk int_0x frac rm d tsqrt 1t21k2 t2 其中，假定任何有豎直條出現的地方，緊跟豎直條的變數是（如上定義的）引數；而且，當反斜槓出現的時候，跟著出現的是模角。 在這個意義下， F sinphisin alpha F phisin2 alpha F phisetminus alpha ，這裡的記法來自標準參考書 Abramowitz and Stegun。 但是，還有許多不同的用於橢圓積分的記法。取值為橢圓積分的函式沒有（像平方根，正弦和誤差函式那樣的）標準和唯一的名字。甚至關於該領域的文獻也常常採用不同的記法。Gradstein Ryzhik Eq8111 採用 F phik 。該記法和這裡的 F phik2 ；以及下面的 E phikE phik2 等價。 和上面的不同對應的是，如果從 Mathematica 語言翻譯程式碼到 Maple 語言，必須將 EllipticK 函式的引數用它的平方根代替。反過來，如果從 Maple 翻到 Mathematica，則引數應該用它的平方代替。Maple 中的 EllipticK x 幾乎和 Mathematica 中的 EllipticK x2 相等；至少當 0x1 時是相等的。 注意 F xk u 其中 u 如上文所定義：由此可見，雅可比橢圓函式是橢圓積分的逆。 加法公式 forall varphi_1varphi_2 in leftfrac pi2frac pi2right Fleft varphi_1kright Fleft varphi_2kright Fleft arctanleft tanvarphi_1sqrt 1k2sin2varphi_2right arctanleft tanvarphi_2sqrt 1k2sin2varphi_1rightkright arctanleft tanvarphi_1sqrt 1k2sin2varphi_2right arctanleft tanvarphi_2sqrt 1k2sin2varphi_1right in pi2pi2 Rightarrow Fleft varphi_1kright Fleft varphi_2kright Fleft arcsinfrac cosvarphi_1sqrt 1k2sin2varphi_1sinvarphi_2cosvarphi_2sqrt 1k2sin2varphi_2sinvarphi_11k2sin2varphi_1sin2varphi_2kright arctanleft tanvarphi_1sqrt 1k2sin2varphi_2right arctanleft tanvarphi_2sqrt 1k2sin2varphi_1right in 0pi Rightarrow Fleft varphi_1kright Fleft varphi_2kright Fleft arccosfrac cosvarphi_1cosvarphi_2sinvarphi_1sinvarphi_2sqrt 1k2sin2varphi_1sqrt 1k2sin2varphi_1sqrt 1k2sin2varphi_21k2sin2varphi_1sin2varphi_2kright 性質 F xnpikF xk2nK k F xfrac npi2knK k n in mathbb Z F xkF xk F x0x F 0kF xk F x1rm arctanhsin x frac pi2Re xfrac pi2 第一類不完全橢圓積分的導數 frac rm drm d x F xkfrac 1sqrt 1k2sin2x frac rm drm d k F xkfrac E xk2k 1kfrac F xk2kfrac sin2x4 1ksqrt 1ksin2x 第二類不完全橢圓積分 第二類不完全橢圓積分 E 是 E phisetminus alpha E phim int_0phiEtheta rm dtheta int_0phisqrt 1sinthetasin alpha2 rm dtheta 與此等價，採用另外一個記法（作變數替換 tsintheta）， E xk int_0x frac sqrt 1k2 t2 sqrt 1t2 rm d t 其它關係包括 E phim int_0u textrm dn2 w rm d w umint_0u textrm sn2 w rm d w 1m umint_0u textrm cn2 w rm d w E phik21k2int_0phifrac rm dtheta1k2sin2thetasqrt 1k2sin2thetafrac k2sinthetacosthetasqrt 1k2sin2theta 加法公式 forall varphi_1varphi_2 in leftfrac pi2frac pi2right textstyle Eleft varphi_1kright Eleft varphi_2kright left begin align Eleft arctanleft tanvarphi_1sqrt 1k2sin2varphi_2right arctanleft tanvarphi_2sqrt 1k2sin2varphi_1rightkright frac k2sinvarphi_1sinvarphi_2left cosvarphi_1sqrt 1k2sin2varphi_1sinvarphi_2cosvarphi_2sqrt 1k2sin2varphi_2sinvarphi_1right1k2sinvarphi_1sinvarphi_2 end alignright 性質 E phinpikE phik2nE k E phikE phik 第二類不完全橢圓積分的導數 frac rm drm dphi E phiksqrt 1k2sin2phi frac rm drm d k E phikfrac E phikF phik2k frac rm dnrm d kn E phikfrac pi2kn_2F_1left frac 12frac 121nkrightfrac sqrtpicosphi2k2n F_2times 1 times01times 3 times2 begin bmatrix frac 12frac 12frac 121frac 121 1frac 321n k2cosphicos2phi end bmatrixfrac pi m1ncosphi8 F_3times 1 times12times 1 times1 begin bmatrix frac 12frac 322frac 121 22n1nfrac 32frac 32 k2cos2phik2 end bmatrix 第三類不完全橢圓積分 第三類不完全橢圓積分 Pi 是 Pi n phim int_0phi frac rm dtheta1nsin2 thetasqrt 1sinthetasin ovarepsilon2 或者 Pi n phim int_0sinphi frac rm d t1nt2 sqrt 1k2 t21t2 或者 Pi n phim int_0F phim frac rm d w1n textrm sn2 wm 數字 n 稱為特徵數，可以取任意值，和其它引數獨立。但是要注意 Pi 1frac pi2m 對於任意 m 是無窮的。 加法公式 Pi nphi_1kPi nphi_2kPileft narccosfrac cosphi_1cosphi_2sinphi_1sinphi_2sqrt 1k2sin2phi_11k2sin2phi_21k2sin2phi_1sin2phi_2krightsqrt frac n1nnk2arctanfrac sqrt 1n n nk2sinarccosfrac cosphi_1cosphi_2sinphi_1sinphi_2sqrt 1k2sin2phi_11k2sin2phi_21k2sin2phi_1sin2phi_2sinphi_1sinphi_2frac ncosphi_1cosphi_2nsinphi_1sinphi_2sqrt 1k2sin2phi_11k2sin2phi_21k2sin2phi_1sin2phi_2sqrt 1k2sin2arccosfrac cosphi_1cosphi_2sinphi_1sinphi_2sqrt 1k2sin2phi_11k2sin2phi_21k2sin2phi_1sin2phi_2sinphi_1sinphi_21nsin2arccosfrac cosphi_1cosphi_2sinphi_1sinphi_2sqrt 1k2sin2phi_11k2sin2phi_21k2sin2phi_1sin2phi_2 第三類不完全橢圓積分的導數 frac partialpartial nPi nphik frac 12 k2nn1 left E phikfrac k2n F phiknfrac n2k2Pi nphiknfrac nsqrt 1k2sinphisin2phi2 1nsin2phiright frac partialmpartial nmPi nphikfrac sin phinmsum_q0inftyfrac q nsin2phiq2q1Gamma qm1 F_1left qfrac 12frac 12frac 12qfrac 32sin2phik2sin2phiright frac partialpartial phiPi nphikfrac 11k2sin2phi frac partialpartial kPi nphikfrac knk2left frac E phikk21Pi nphikfrac k2sin2phi2 k21sqrt 1k2sin2phiright 特殊值 Pi n phi1 frac 12n2left sqrt n ln frac 1sqrt nsinphi1sqrt nsinphi2ln secphitanphiright frac pi2leqRe phileq frac pi2 Pi 0phikF phik Pi nphi0frac rm arctanhsqrt n1tan phisqrt n1 frac pi2leqRe phileq frac pi2 Pi nphisqrt nfrac 11nleft E phisqrt nfrac nsin2phi2sqrt 1nsin2phiright Pileft nfrac 1kkrightfrac 1kPileft frac nk2frac 1kright Pileft 1phikrightfrac sqrt 1k2sin2phitanphiE phik1k2F phik 第一類完全橢圓積分 如果幅度為 frac pi2 或者 x1 ，則稱橢圓積分為完全的。 第一類完全橢圓積分 K 可以定義為 K k int_0frac pi2 frac rm dthetasqrt 1k2 sin2theta 或者 K k int_01 frac rm d tsqrt 1t21k2 t2 它是第一類不完全橢圓積分的特例： K k F 1k Fleft frac pi2k2right 這個特例可以表達為冪級數 K k frac pi2 sum_n0infty left frac 2n22 n n2right2 k2n 它等價於 K k frac pi2left1 left frac 12right2 k2 left frac 1 cdot 32 cdot 4right2 k4 cdots left frac 2n12nright2 k2n cdots right 其中 n 表示雙階乘。利用高斯的超幾何函式，第一類完全橢圓積分可以表達為 K k frac pi2 _2F_1 left frac 12 frac 12 1 k2right 第一類完全橢圓積分有時稱為四分週期。它可以利用算術幾何平均值來快速計算。 K kfrac frac pi2mathrm agm1sqrt 1k2 複數值 Re left K xy rm iright frac pi2 F_2times 1 times14times 0 times0 begin bmatrix frac 34frac 34frac 54frac 54 1frac 32frac 12frac 32 y2x2 end bmatrix frac pi8 x F_2times 1 times14times 0 times0 begin bmatrix frac 14frac 14frac 34frac 34 1frac 12frac 12frac 12 y2x2 end bmatrix Im left K xy rm iright frac pi8 y F_2times 1 times14times 0 times0 begin bmatrix frac 34frac 54frac 34frac 54 1frac 32frac 32frac 12 y2x2 end bmatrix frac 964pi xy F_2times 1 times14times 0 times0 begin bmatrix frac 54frac 74frac 74frac 54 2frac 32frac 32frac 32 y2x2 end bmatrix 特殊值 K pm infty0 K pm rm iinfty0 K 0 frac pi2 K 1 infty K frac sqrt22 frac 8piGamma2 left frac 1 4rightsqrtpi Kleft sqrt 1712sqrt2right frac 42sqrt2piGamma2 left frac 1 4rightsqrtpi Kleft frac sqrt6sqrt24rightfrac sqrt 3 4cdotsqrt 4 38piGamma3 left frac 1 3right Kleft frac sqrt6sqrt24rightfrac sqrt 3 4cdotsqrt 4278piGamma3 left frac 1 3right K ifrac sqrt 2pi 8pi Gamma2 left frac 1 4right K sqrt2frac 4sqrt 2pipi Gamma2 left frac 1 4rightfrac 4sqrt 2pipiGamma2 left frac 1 4rightrm i K rm i kfrac 1sqrt k21 Kleft sqrt frac k2k21right 其中 Gamma left frac 1 4right approx 362561 Gamma left frac 1 3right approx 267893 第一類完全橢圓積分滿足 E k KkEk K kK k Kkfrac pi2 導數 frac rm drm d k Kn k frac nKn1k E k2k 1kfrac nKn k2k 漸近表示 K k2approxfrac pi2frac pi8frac k21k2frac pi16frac k41k2 這個近似在 k12 時相對誤差小於，若只保留前兩項則誤差在 k12 時小於 001 微分方程 此函式滿足以下微分方程 frac mathrm dmathrm d kleft k 1k2frac mathrm d K kmathrm d krightk K k 此微分方程之另一解為 K sqrt 1k2，此解滿足以下關係。 frac mathrm dmathrm d k K sqrt 1k2frac E kk 1k2frac K kk 第二類完全橢圓積分 第二類完全橢圓積分 E 可以定義為 E k int_0frac pi2sqrt 1k2 sin2theta rm dtheta 或者 E k int_01 frac sqrt 1k2 t2sqrt 1t2 rm d t 它是第二類不完全橢圓積分的特殊情況： E k E 1k E frac pi2k2 它可以用冪級數表達 E k frac pi2 sum_n0infty left frac 2n22 n n2right2 frac k2n12 n 也就是 E k frac pi2left1 left frac 12right2 frac k21 left frac 1 cdot 32 cdot 4right2 frac k43 cdots left frac left 2n 1rightleft 2nrightright2 frac k2n2 n1 cdots right 用高斯超幾何函式表示的話，第二類完全橢圓積分可以寫作 E k frac pi2 _2F_1 left frac 12 frac 12 1 k2right 有如下性質 E frac npi2knE k n in mathbb Z 複數值 E xy rm ileftfrac pi2 F_2times 1 times14times 0 times0 begin bmatrix frac 34frac 54frac 14frac 34 1frac 32frac 12frac 32 y2x2 end bmatrix frac pi8 x F_2times 1 times14times 0 times0 begin bmatrix frac 14frac 34frac 14frac 14 1frac 12frac 12frac 12 y2x2 end bmatrixrightrm ileftfrac pi8 y F_2times 1 times14times 0 times0 begin bmatrix frac 34frac 54frac 14frac 34 1frac 32frac 12frac 32 y2x2 end bmatrix frac 364pi xy F_2times 1 times14times 0 times0 begin bmatrix frac 54frac 74frac 34frac 54 2frac 32frac 32frac 32 y2x2 end bmatrixright 特殊值 E 0 frac pi 2 E 1 1 E inftyrm iinfty E inftyinfty E rm iinftyfrac sqrt22frac sqrt22rm iinfty E rm ifrac sqrt 2pi2piGamma2left frac 34right frac sqrt 2pipi24piGamma2left frac 34rightfrac pi sqrt 2piGamma2left frac 14right frac sqrt 2pi8piGamma2left frac 14right E rm iinftyfrac sqrt22frac sqrt22rm iinfty Eleft tfrac sqrt 22 right pifrac 32 Gammaleft tfrac 14 right2 tfrac 18 sqrt pi Gammaleft tfrac 14 right2 Eleft frac sqrt 6 sqrt 24right frac sqrt 32 cdot sqrt 433Gamma3left frac 1 3rightpi2 frac sqrt 34left 3sqrt 43sqrt 427 right48 pi Gamma3left frac 1 3right Eleft frac sqrt 6 sqrt 24right frac sqrt 32 cdot sqrt 4273Gamma3left frac 1 3rightpi2frac sqrt 34left sqrt 427sqrt 43 right16 pi Gamma3left frac 1 3right E sqrt21frac sqrt pi8left frac Gamma frac 18Gamma frac 58frac Gamma frac 58Gamma frac 98right E sqrt2sqrt frac 12piGamma2left frac 34rightsqrt frac 12piGamma2left frac 34rightrm i 其中 Gamma left frac 1 8right approx 753394 Gamma left frac 5 8right approx 143452 Gamma left frac 9 8right approx 094174 Gamma left frac 3 4right approx 122541 導數、積分及微分方程 frac mathrm dmathrm d k E kfrac E kK kk int E krm d kfrac 23left k K kK kkE kE kright k21 frac mathrm d mathrm d k left k frac mathrm d E k mathrm d k right k E k 此微分方程之另解為 E sqrt 1k2 K sqrt 1k2。 第三類完全橢圓積分 第三類完全橢圓積分 Pi 可以定義為 Pi nk int_0frac pi2frac rm dtheta1nsin2thetasqrt 1k2 sin2theta 注意有時第三類橢圓積分被定義為帶相反符號的 n ，也即 Pink int_0frac pi2frac rm dtheta1nsin2thetasqrt 1k2 sin2theta 用阿佩爾函式可表示為 Pi mnfrac pi2 F_1left frac 121frac 121mnright 第三類完全橢圓積分和第一類橢圓積分之間的關係 Pileft frac 1x13x1x13xfrac 1x3 13x1x3 13xrightfrac 13x6x Kleft frac 1x3 13x1x3 13xright begin cases 0 mbox for 0x1 frac pi x1sqrt x113x12x mbox for x 0 x1 end cases 如 Kleft frac sqrt22rightfrac sqrt pi4piGamma2left frac 14rightfrac 3sqrt 6sqrt392Pileft frac 1sqrt 2sqrt332frac 12right frac 3sqrt 6sqrt392Pileft frac 1sqrt 2sqrt332frac 12rightpi sqrt 2sqrt3sqrt 7frac 389sqrt3 偏導數 frac partialpartial nPi nk frac 12 k2nn1 left E kfrac k2n K knfrac n2k2Pi nknright frac partialpartial kPi nk frac knk2left frac E kk21Pi nkright 特殊值 Pi 00frac pi2 Pi n0frac pi2sqrt 1n Pi n1frac inftysgn n1 Pi nsqrt nfrac E n1n Pi 0sqrt nK n Pi pm inftysqrt n0 Pi npm infty0 函式關係 勒讓得關係指出了第一類和第二類完全橢圓積分之間的聯絡 K k Eleft sqrt 1k2right E k Kleft sqrt 1k2right K k Kleft sqrt 1k2right frac pi 2 參看 橢圓曲線 施瓦茨 克里斯托費爾對映 雅可比橢圓函式 魏爾斯特拉斯橢圓函式 Θ 函式 算術 幾何平均數 參考 Milton Abramowitz and Irene A Stegun Handbook of Mathematical Functions 1964 Dover Publications New York ISBN 0486612724 See chapter 17 Harris Hancock Lectures on the theory of Elliptic functions New York J Wiley sons 1910 Alfred George Greenhill The applications of elliptic functions New York Macmillan 1892 Louis V King On The Direct Numerical Calculation Of Elliptic Functions And Integrals Cambridge University Press 1924 Category 橢圓函式 Category 特殊超幾何函式