在經典力學中，轉動慣量又稱慣性矩，通常以 I 普通物理學（修訂版，化學數學專業用）。汪昭義主編。華東師範大學出版社P81 三、轉動慣量ISBN 9787561704448N018 表示，國際單位制為 mathrm kgcdot m2。轉動慣量是一個物體對於其旋轉運動的慣性大小的量度。一個剛體對於某轉軸的轉動慣量決定對於這物體繞著這轉軸進行某種角加速度運動所需要施加的力矩。 轉動慣量在轉動力學中的角色相當於線性動力學中的質量，描述角動量、角速度、力矩和角加速度等數個量之間的關係。 定義 對於一個質點，Imr2，其中 m 是其質量，r 是質點和轉軸的垂直距離。 對於一個有多個質點的系統，I sum_i1N m_i r_i2。 對於剛體，可以用無限個質點的轉動慣量和，即用積分計算其轉動慣量，I int rho r2 dV，其中 rho 是密度，dV 是微量體積。 相關概念 定軸轉動動力學方程 在直線運動，Fma。在旋轉運動，則有 tau I alpha，其中 tau 是力矩，alpha 是角加速度。 定軸轉動動能 一般物件的動能是 Kfrac 12 mv2。將速度 v 和質量 m，用轉動力學的定義取代： v omega r ， m frac Ir2 得出 K frac 12 left frac Ir2rightomega r2， 簡化得 K frac 12 I omega2。 如果一個人坐在一張可轉動的椅子，雙手拿重物，張開雙手，轉動椅子，然後突然將手縮到胸前，轉動的速度將突然增加，因為轉動慣量減少了。 常用定理 平行軸定理 平行軸定理是說，如果一個質量為 m 的物件，以某條經過質心 A 點的直線為軸，其轉動慣量為 I_A。在空間取點 B，使得 AB 垂直於原本的軸。那麼如果以經過 B、平行於原本的軸的直線為軸，AB 的距離為 d，則 I_B I_A md2。 垂直軸定理 垂直軸定理是說，如果一個平面物件，以該平面內兩條互相垂直、交於 A 點的直線為軸，轉動慣量分別為 I_1、I_2，則它以過 A 點且垂直於該平面的直線為軸的轉動慣量 I_3 I_1 I_2。 伸展定則 伸展定則是說，如果一個物件中的任一質點沿平行於某條軸的方向發生任意位移，該物件對該軸的轉動慣量不變。 慣性張量 對於三維空間中任意一參考點 Q 與以此參考點為原點的直角坐標系 Qxyz，一個剛體的慣性張量 mathbf I 是 mathbf I begin bmatrix I_xx I_xy I_xz I_yx I_yy I_yz I_zx I_zy I_zzend bmatrix。（1） 這裡，矩陣的對角元素 I_xx、I_yy、I_zz 分別為對於 x 軸、y 軸、z 軸的轉動慣量。設定 x y z 為微小質量 dm 對於點 Q 的相對位置。則這些轉動慣量以方程式定義為 I_xx stackrel mathrm def int y2z2 dm， I_yy stackrel mathrm def int x2z2 dm，（2） I_zz stackrel mathrm def int x2y2 dm。 矩陣的非對角元素，稱為慣量積，以方程式定義為 I_xyI_yx stackrel mathrm def int xy dm， I_xzI_zx stackrel mathrm def int xz dm，（3） I_yzI_zy stackrel mathrm def int yz dm。 導引 thumb200px 圖 A 如圖 A，一個剛體對於質心 G 與以點 G 為原點的直角座標系 Gxyz 的角動量 mathbf L_G 定義為 mathbf L_Gint mathbf rtimesmathbf v dm。 這裡，mathbf r 代表微小質量 dm 在 Gxyz 座標系的位置，mathbf v 代表微小質量的速度。因為速度是角速度 boldsymbol omega 叉積位置，所以， mathbf L_Gint mathbf rtimes boldsymbol omegatimes mathbf r dm。 計算 x 軸分量， begin align L_Gx int y boldsymbol omegatimes mathbf r_z z boldsymbol omegatimes mathbf r_y dm int yomega_x y yomega_y xzomega_x z zomega_z x dm int omega_x y2z2 omega_y xy omega_z xz dm omega_xint y2z2 dm omega_yint xy dm omega_z int xz dm end align 相似地計算 y 軸與 z 軸分量，角動量為 L_Gxomega_xint y2z2 dm omega_yint xy dm omega_zint xz dm ， L_Gy omega_xint xy dmomega_yint x2z2 dm omega_z int yz dm ， L_Gz omega_xint xz dm omega_yint yz dmomega_zint x2y2 dm。 如果，我們用方程式（1）設定對於質心 G 的慣性張量 mathbf I_G，讓角速度 boldsymbol omega 為 omega_xomega_yomega_z，那麼， mathbf L_Gmathbf I_G boldsymbol omega。（4） 平行軸定理 平行軸定理能夠很簡易的，從對於一個以質心為原點的座標系統的慣性張量，轉換至另外一個平行的座標系統。假若已知剛體對於質心 G 的慣性張量 mathbf I_G，而質心 G 的位置是 bar x bar y bar z，則剛體對於原點 O 的慣性張量 mathbf I，依照平行軸定理，可以表述為 I_xxI_Gxxm bar y2bar z2， I_yyI_Gyym bar x2bar z2，（5） I_zzI_Gzzm bar x2bar y2， I_xyI_yxI_Gxy mbar xbar y， I_xzI_zxI_Gxz mbar xbar z，（6） I_yzI_zyI_Gyz mbar ybar z。 證明： thumb200px 圖 B a 參考圖 B，讓 x y z、x y z 分別為微小質量 dm 對質心 G 與原點 O 的相對位置： yybar y，zzbar z。 依照方程式（2）， I_Gxxint y2z2 dm I_xxint y2z2 dm。 所以， begin align I_xxint ybar y2zbar z2 dm I_Gxxm bar y2bar z2 end align 相似地，可以求得 I_yy、I_zz 的方程式。 b 依照方程式（3）， I_Gxy int xy dm。 I_xy int xy dm。 因為 xxbar x，yybar y，所以 begin align I_xy int xbar xybar y dm I_Gxy mbar xbar y end align 相似地，可以求得對於點 O 的其他慣量積方程式。 對於任意軸的轉動慣量 thumb200px 圖 C 參檢視 C，設定點 O 為直角座標系的原點，點 Q 為三維空間裡任意一點，Q 不等於 O。思考一個剛體，對於 OQ 軸的轉動慣量是 I_OQ int rho2 dm int left boldsymbol etatimesmathbf rright2 dm。 這裡，rho 是微小質量 dm 離 OQ 軸的垂直距離，boldsymbol eta 是沿著 OQ 軸的單位向量，mathbf rx y z 是微小質量 dm 的位置。 展開叉積， I_OQint eta_yz eta_zy2eta_xz eta_zx2eta_xy eta_yx2 dm。 稍微加以編排， begin align I_OQ eta_x2int y2z2 dmeta_y2int x2z2 dmeta_z2int x2y2 dm 2eta_xeta_yint xy dm 2eta_xeta_zint xz dm 2eta_yeta_zint yz dm end align 特別注意，從方程式（2）、（3），這些積分專案，分別是剛體對於 x 軸、y 軸、z 軸的轉動慣量與慣量積。因此， I_OQeta_x2I_xxeta_y2I_yyeta_z2I_zz2eta_xeta_yI_xy2eta_xeta_zI_xz2eta_yeta_zI_yz。（7） 如果已經知道，剛體對於直角座標系的三個座標軸，x 軸、y 軸、z 軸的轉動慣量。那麼，對於 OQ 軸的轉動慣量，可以用此方程式求得。 主轉動慣量 因為慣性張量 mathbf I 是個實值的三階對稱矩陣，我們可以用對角線化，將慣量積變為零，使慣性張量成為一個對角矩陣。我們可以證明得到的三個特徵值必為正實數，而且三個特徵向量必定互相正交。 換另外一種方法，我們需要解析特徵方程式 mathbf I boldsymbol omegalambdaboldsymbol omega。（8） 也就是以下行列式等於零的三次方程式： det mathbf Ileft begin matrix 1 0 0 0 1 0 0 0 1 end matrixrightlambda begin vmatrix I_xx lambda I_xy I_xz I_yx I_yy lambda I_yz I_zx I_zy I_zz lambda end vmatrix0 。 這方程式的三個根 lambda_1、lambda_2、lambda_3 都是正實的特徵值。將特徵值代入方程式（8），再加上方向餘弦方程式， omega_x2omega_y2omega_z21， 我們可以求到特徵向量 hat boldsymbol omega_1、hat boldsymbol omega_2、hat boldsymbol omega_3。這些特徵向量都是剛體的慣量主軸；而這些特徵值則分別是剛體對於慣量主軸的主轉動慣量。 假設 x 軸、y 軸、z 軸分別為一個剛體的慣量主軸，這剛體的主轉動慣量分別為 I_x、I_y、I_z，角速度是 boldsymbol omega。那麼，角動量為 mathbf LI_xomega_xI_yomega_yI_zomega_z。 動能 剛體的動能 K 可以定義為 Kfrac 12 mbar v2frac 12int v2 dm， 這裡，bar v 是剛體質心的速度，v 是微小質量 dm 相對於質心的速度。在方程式裡，等號右邊第一個專案是剛體平移運動的動能，第二個專案是剛體旋轉運動的動能 K。由於這旋轉運動是繞著質心轉動的， Kfrac 12int boldsymbol omegatimesmathbf rcdot boldsymbol omegatimesmathbf r dm。 這裡，boldsymbol omega 是微小質量 dm 繞著質心的角速度，mathbf r 是 dm 對於質心的相對位置。 應用向量恆等式，可以得到 Kfrac 12boldsymbol omegacdot int mathbf rtimes boldsymbol omegatimesmathbf r dm frac 12 boldsymbol omegacdotmathbf L。 或者，用矩陣來表達， Kfrac 12boldsymbol omegaoperatorname T mathbf I boldsymbol omega。 所以，剛體的動能為 Kfrac 12 mbar v2frac 12I_xxomega_x2I_yyomega_y2I_zzomega_z22I_xyomega_xomega_y2I_xzomega_xomega_z 2I_yzomega_yomega_z。（9） 假設 x 軸、y 軸、z 軸分別為一個剛體的慣量主軸，這剛體的主轉動慣量分別為 I_x、I_y、I_z，角速度是 boldsymbol omega。那麼，剛體的動能為 Kfrac 12 mbar v2frac 12I_xomega_x2I_yomega_y2I_zomega_z2。（10） 計算範例 利用線密度可輕易計算出細長棒子沿質心（CM）自轉的轉動慣量。 I_text CM int r2 dm lambda int_ell2ell2 x2 dx frac mell left frac 13 x3 rightbigg_ell2ell2 frac 112 mell2 當自轉軸移到末端，轉動慣量變成： I_text end int r2 dm lambda int_0ell x2 dx frac mell left frac 13 x3 rightbigg_0ell frac 13 mell2 I_text end I_text CM M D2 frac 112 mell2 mleft frac ell2right2 frac 13 mell2 相關條目 橫截面的慣性矩：截面二次軸矩 星球質量分佈指標：無量綱轉動慣量 轉動慣量列表 角動量 飛輪矩 參考文獻 Beer Ferdinand E Russell Johnston Jr William E Clausen 2004 Vector Mechanics for Engineers 7th edition USA McGrawHill ISBN 9780072304923 外部連結 轉動 Java 模擬 平衡垂直棒子 Java 模擬 教育部進修網站，慣性矩 Z Z Z Category 剛體 Category 矩 物理學