數學上，克羅內克積是兩個任意大小的矩陣間的運算，表示為。簡單地說，就是將前一個矩陣的每個元素乘上後一個完整的矩陣。克羅內克積是外積從向量到矩陣的推廣，也是張量積在標準基下的矩陣表示。 儘管沒有明顯證據證明德國數學家利奧波德克羅內克是第一個定義並使用這一運算的人，克羅內克積還是以其名字命名。在歷史上，克羅內克積曾以 Johann Georg Zehfuss 名字命名為 Zehfuss 矩陣。 定義 如果 A 是一個 m n 的矩陣，而 B 是一個 p q 的矩陣，克羅內克積 A otimes B 則是一個 mp nq 的分塊矩陣 A otimes B begin bmatrix a_11 B cdots a_1n B vdots ddots vdots a_m1 B cdots a_mn B end bmatrix 更具體地可表示為 A otimes B begin bmatrix a_11 b_11 a_11 b_12 cdots a_11 b_1q cdots cdots a_1n b_11 a_1n b_12 cdots a_1n b_1q a_11 b_21 a_11 b_22 cdots a_11 b_2q cdots cdots a_1n b_21 a_1n b_22 cdots a_1n b_2q vdots vdots ddots vdots vdots vdots ddots vdots a_11 b_p1 a_11 b_p2 cdots a_11 b_pq cdots cdots a_1n b_p1 a_1n b_p2 cdots a_1n b_pq vdots vdots vdots ddots vdots vdots vdots vdots vdots vdots ddots vdots vdots vdots a_m1 b_11 a_m1 b_12 cdots a_m1 b_1q cdots cdots a_mn b_11 a_mn b_12 cdots a_mn b_1q a_m1 b_21 a_m1 b_22 cdots a_m1 b_2q cdots cdots a_mn b_21 a_mn b_22 cdots a_mn b_2q vdots vdots ddots vdots vdots vdots ddots vdots a_m1 b_p1 a_m1 b_p2 cdots a_m1 b_pq cdots cdots a_mn b_p1 a_mn b_p2 cdots a_mn b_pq end bmatrix 我們可以更緊湊地寫為 Aotimes B_p r1v q s1w a_rs b_vw 例子 begin bmatrix 1 2 3 1 end bmatrix otimes begin bmatrix 0 3 2 1 end bmatrix begin bmatrix 1cdot 0 1cdot 3 2cdot 0 2cdot 3 1cdot 2 1cdot 1 2cdot 2 2cdot 1 3cdot 0 3cdot 3 1cdot 0 1cdot 3 3cdot 2 3cdot 1 1cdot 2 1cdot 1 end bmatrix begin bmatrix 0 3 0 6 2 1 4 2 0 9 0 3 6 3 2 1 end bmatrix 特性 雙線性和結合律 克羅內克積是張量積的特殊形式，因此滿足雙線性與結合律： A otimes BC A otimes B A otimes C qquad mbox if B mbox and C mbox have the same size AB otimes C A otimes C B otimes C qquad mbox if A mbox and B mbox have the same size kA otimes B A otimes kB k A otimes B A otimes B otimes C A otimes B otimes C 其中，A B 和 C 是矩陣，而 k 是常量。 克羅內克積不符合交換律：通常，A B 不同於 B A。 A B 和 B A 是排列等價的，也就是說，存在排列矩陣 P 和 Q，使得 A otimes B P B otimes A Q 如果 A 和 B 是方塊矩陣，則 A B 和 B A 甚至是排列相似的，也就是說，我們可以取 P QT。 混合乘積性質 如果 A、B、C 和 D 是四個矩陣，且矩陣乘積 AC 和 BD 存在，那麼： mathbf A otimes mathbf Bmathbf C otimes mathbf D mathbf AC otimes mathbf BD 這個性質稱為 混合乘積性質，因為它混合了通常的矩陣乘積和克羅內克積。於是可以推出，A otimes B 是可逆的當且僅當 A 和 B 是可逆的，其逆矩陣為： mathbf A otimes mathbf B1 mathbf A1 otimes mathbf B1 克羅內克和 如果 A 是 n n 矩陣，B 是 m m 矩陣，mathbf I_k 表示 k k 單位矩陣，那麼我們可以定義克羅內克和 oplus 為： mathbf A oplus mathbf B mathbf A otimes mathbf I_m mathbf I_n otimes mathbf B 譜 假設 A 和 B 分別是大小為 n 和 q 的方塊矩陣。設 λ1，，λn 為 A 的特徵值，μ1，，μq 為 B 的特徵值。那麼 A otimes B 的特徵值為： lambda_i mu_j qquad i1ldotsn j1ldotsq 於是可以推出，兩個矩陣的克羅內克積的跡和行列式為： operatorname trmathbf A otimes mathbf B operatorname tr mathbf A operatorname tr mathbf B quadmbox andquad det mathbf A otimes mathbf B det mathbf Aq det mathbf Bn 奇異值 如果 A 和 B 是長方矩陣，那麼我們可以考慮它們的奇異值。假設 A 有 rA 個非零的奇異值，它們是： sigma_mathbf Ai qquad i 1 ldots r_mathbf A 類似地，設 B 的非零奇異值為： sigma_mathbf Bi qquad i 1 ldots r_mathbf B 那麼克羅內克積 A otimes B 有 rArB 個非零奇異值，它們是： sigma_mathbf Ai sigma_mathbf Bj qquad i1ldotsr_mathbf A j1ldotsr_mathbf B 由於一個矩陣的秩等於非零奇異值的數目，因此我們有： operatorname rankmathbf A otimes mathbf B operatorname rank mathbf A operatorname rank mathbf B 與抽象張量積的關係 矩陣的克羅內克積對應於線性對映的抽象張量積。特別地，如果向量空間 V、W、X 和 Y 分別具有基 v1 vm、 w1 wn、x1 xd 和 y1 ye，且矩陣 A 和 B 分別在恰當的基中表示線性變換 S V X 和 T W Y，那麼矩陣 A B 表示兩個對映的張量積 S T V W X Y，關於 V W 的基 v1 w1 v1 w2 v2 w1 vm wn 和 X Y 的類似基。Pages 401402 of 與圖的乘積的關係 兩個圖的鄰接矩陣的克羅內克積是它們的張量積圖的鄰接矩陣。兩個圖的鄰接矩陣的克羅內克和，則是它們的笛卡兒積圖的鄰接矩陣。參見 D E Knuth PreFascicle 0a Introduction to Combinatorial Algorithms zeroth printing revision 2 to appear as part of DE Knuth The Art of Computer Programming Vol 4A 第 96 個練習的答案。 轉置 克羅內克積轉置運算符合分配律： Aotimes BT AT otimes BT 矩陣方程 克羅內克積可以用來為一些矩陣方程得出方便的表示法。例如，考慮方程 AXB C，其中 A、B 和 C 是給定的矩陣，X 是未知的矩陣。我們可以把這個方程重寫為 BT otimes A operatorname vecX operatorname vecAXB operatorname vecC 這樣，從克羅內克積的性質可以推出，方程 AXB C 具有唯一的解，當且僅當 A 和 B 是非奇異矩陣。 在這裡，vec X 表示矩陣 X 的向量化，它是把 X 的所有列堆起來所形成的列向量。 如果把 X 的行堆起來，形成列向量 x，則 AXB 也可以寫為 A otimes BT x 。 參考文獻 外部連結 MathWorld Matrix Direct Product Category 矩陣論 Category 二元運算