在同餘理論中，模 n 的互質同餘類組成一個乘法群，稱為整數模 n 乘法群，也稱為模 n 既約剩餘類。在環理論中，一個抽象代數的分支，也稱這個群為整數模 n 的環的單位群（單位是指乘法可逆元）。 這個群是數論的基石，在密碼學、整數分解和 zhhans 素性測試；zhhant 質數測試 均有運用。例如，關於這個群的階（即群的 大小），我們可以確定如果 n 是質數當且僅當階數為 n1。 群公理 容易驗證模 n 互質同餘類在乘法運算下滿足阿貝爾群的公理。 互質同餘類的乘法是良好定義：a 與 n 互質，當且僅當。同餘類中的整數 滿足，因此一個整數與 n 互質當且僅當另一個整數也與 n 互質 恆同 1 是恆同； 1 所在的同餘類是唯一的乘法恆同類 閉：如果 a 和 b 都與 n 互質，那麼 ab 也是；因為 與 意味著，與 n 互質的同餘類在乘法下是封閉的。 逆：找 x 滿足 ax 1 mod n 等價於解 ax ny 1，可用歐幾里得演算法求出 x，並且 x 在模 n 的同餘類裡。當 a 與 n 互質，由於，根據 裴蜀定理 存在整數 x 與 y 滿足。注意到由等式 可推出 x 與 n 互質，所以乘法逆元屬於群 結合性和交換性：由整數的相應事實以及模 n 運算是一個環同態推出。由於同餘類 與 的整數乘法意味著。這可推出乘法滿足結合律、交換律。 記法 整數模 n 環記作 mathbb Znmathbb Z 或 mathbb Zn（即整數環模去理想 nZ n ，由 n 的倍陣列成）或 mathbb Z_n 因作者所喜，它的單位群可能記為 mathbb Znmathbb Z mathbb Znmathbb Ztimes U mathbb Znmathbb Z 或類似的記號，本文采用 mathbb Znmathbb Ztimes 結構 2 的冪次 模 2 只有一個互質同餘類 1，所以 mathbb Z2mathbb Ztimes cong 1 平凡。 模 4 有兩個互質同餘類，1 和 3，所以 mathbb Z4mathbb Ztimes cong C_2 兩元迴圈群。 模 8 有四個互質同餘類，1 3 5 和 7，每個平方都是 1，所以 mathbb Z8mathbb Ztimes cong C_2 times C_2 Klein 四元群。 模 16 有八個互質同餘類，1 3 5 7 9 11 13 和 15。pm 1 pm 7cong C_2 times C_2 為 2 扭子群（即每個元素的平方為 1），所以 mathbb Z16mathbb Ztimes 不是迴圈群。3 的冪次：1 3 9 11 是一個 4 階子群，5 的冪次也是，1 5 9 13。所以 mathbb Z16mathbb Ztimes cong C_2 times C_4。 以上 8 和 16 的討論對高階冪次 2k k 2 高斯，DA arts 9091 也成立： pm 1 2 k1 pm 1cong C_2 times C_2 是 2 扭子群（所以 mathbb Z2kmathbb Ztimes 不是迴圈）而 3 的冪次是一個 2k 2 子群，所以 mathbb Z2kmathbb Ztimes cong C_2 times C_2k2。 奇質數的冪 對奇質數的冪 pk，此群是迴圈群：高斯，DA arts5256 8289 mathbb Zpkmathbb Ztimes cong C_pk1p1 cong C_varphi pk 一般合數 中國剩餘定理 Riesel 包含所有情形。 pp 267275 說明如果 np_1k_1 p_2k_2 p_3k_3dots 那麼環 mathbb Znmathbb Z 每個質數冪因子相應的環的直積： mathbb Znmathbb Z cong mathbb Zp_1k_1mathbb Z times mathbb Zp_2k_2mathbb Z times mathbb Zp_3k_3mathbb Zdots 類似地，mathbb Znmathbb Ztimes 的單位群是每個質數冪因子相應群的直積： mathbb Znmathbb Ztimescong mathbb Zp_1k_1mathbb Ztimes times mathbb Zp_2k_2mathbb Ztimes times mathbb Zp_3k_3mathbb Ztimes dots 階數 群的階數由尤拉函式給出： mathbb Znmathbb Ztimesvarphi n 這是直積中各迴圈階數的乘積。 指數 指數為卡邁克爾函式 lambda n，，即這些迴圈群的階數的最小公倍數。這意味著如果 a 和 n 互質，alambda n equiv 1 pmod n 生成元 mathbb Znmathbb Ztimes 是迴圈群當且僅當 varphi nlambda n 這在 n 為奇質數的冪次、奇質數冪次 2 倍、2 和 4 成立，此時也稱一個生成元為模 n 的原根。 因為所有 mathbb Znmathbb Ztimes n 1 2 7 是迴圈群，上述結論的另一種說法是：如果 n 8 那麼 mathbb Znmathbb Ztimes 有原根；如果 n 8，且不能被 4 或者兩個不同的奇質數整除，mathbb Znmathbb Ztimes 有原根。 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 13 14 17 18 19 22 23 25 26 27 29 31 34 37 38 41 43 46 47 49 50 一般情形每個直積因子迴圈有一個生成元。 列表 這個表列出了較小 n mathbb Znmathbb Ztimes 的結構和生成元。生成元不是惟一（mod n）的，比如 mod 16 時 1 3 和 1 5 都可以。生成元以和直積因子相同的順序列出。 以 n20 為例。varphi 208 意味著 mathbb Z20mathbb Ztimes 的階數是 8（即有 8 個小於 20 的正整數與其互質）；lambda 204 說明任何和 20 互質的數的 4 次冪 1 mod 20；至於生成元，19 的指數為 2，3 的指數為 4，而任何 mathbb Z20mathbb Ztimes 中元素都是 19a 3b 的形式，這裡 a 為 0 或 1，b 為 0 1 2 或 3。 19 的冪是 1，3 的冪為 3 9 7 1。後者和他們的負數 mod 20，17 11 13 19 是所有小於 20 且與其互質的數。19 的指數為 2 而 3 的指數為 4 意味著任何 mathbb Z_20times 中數的 4 次冪 1 mod 20。 ZnZ 的群結構 n mathbb Znmathbb Ztimes varphi n lambda n 生成元 n mathbb Znmathbb Ztimes varphi n lambda n 生成元 n mathbb Znmathbb Ztimes varphi n lambda n 生成元 1 C1 1 1 0 32 C2C8 16 8 31 3 63 C6C6 36 6 2 5 2 C1 1 1 1 33 C2C10 20 10 10 2 64 C2C16 32 16 3 63 3 C2 2 2 2 34 C16 16 16 3 65 C4C12 48 12 2 12 4 C2 2 2 3 35 C2C12 24 12 6 2 66 C2C10 20 10 5 7 5 C4 4 4 2 36 C2C6 12 6 19 5 67 C66 66 66 2 6 C2 2 2 5 37 C36 36 36 2 68 C2C16 32 16 3 67 7 C6 6 6 3 38 C18 18 18 3 69 C2C22 44 22 2 68 8 C2C2 4 2 7 3 39 C2C12 24 12 38 2 70 C2C12 24 12 3 11 9 C6 6 6 2 40 C2C2C4 16 4 39 11 3 71 C70 70 70 7 10 C4 4 4 3 41 C40 40 40 6 72 C2C2C6 24 12 5 7 11 11 C10 10 10 2 42 C2C6 12 6 13 5 73 C72 72 72 5 12 C2C2 4 2 5 7 43 C42 42 42 3 74 C36 36 36 5 13 C12 12 12 2 44 C2C10 20 10 43 3 75 C2C20 40 20 2 74 14 C6 6 6 3 45 C2C12 24 12 44 2 76 C2C18 36 18 3 75 15 C2C4 8 4 14 2 46 C22 22 22 5 77 C2C30 60 30 2 76 16 C2C4 8 4 15 3 47 C46 46 46 5 78 C2C12 24 12 5 7 17 C16 16 16 3 48 C2C2C4 16 4 47 7 5 79 C78 78 78 3 18 C6 6 6 5 49 C42 42 42 3 80 C2C4C4 32 4 3 7 11 19 C18 18 18 2 50 C20 20 20 3 81 C54 54 54 2 20 C2C4 8 4 19 3 51 C2C16 32 16 50 5 82 C40 40 40 7 21 C2C6 12 6 20 2 52 C2C12 24 12 51 7 83 C82 82 82 2 22 C10 10 10 7 53 C52 52 52 2 84 C2C2C6 24 12 5 11 13 23 C22 22 22 5 54 C18 18 18 5 85 C4C16 64 16 2 3 24 C2C2C2 8 2 5 7 13 55 C2C20 40 20 21 2 86 C42 42 42 3 25 C20 20 20 2 56 C2C2C6 24 6 13 29 3 87 C2C28 56 28 2 86 26 C12 12 12 7 57 C2C18 36 18 20 2 88 C2C2C10 40 10 3 5 7 27 C18 18 18 2 58 C28 28 28 3 89 C88 88 88 3 28 C2C6 12 6 13 3 59 C58 58 58 2 90 C2C12 24 12 7 11 29 C28 28 28 2 60 C2C2C4 16 4 11 19 7 91 C6C12 72 12 2 3 30 C2C4 8 4 11 7 61 C60 60 60 2 92 C2C22 44 22 3 91 31 C30 30 30 3 62 C30 30 30 3 93 C2C30 60 30 5 11 參見 ，給出的基於橢圓曲線的整數因子分解演算法。 註釋 參考文獻 高斯的算術研究（Disquisitiones Arithemeticae）由西塞羅拉丁語翻譯成英語和德語。德語版包含他所有數論的論文：所有關於二次互反律的證明，高斯和符號的確定，雙二次互反律的研究以及未發表的筆記。 外部連結 Category 同餘 Category 群論 Category 有限群