在經典力學裡，二體問題研究兩個粒子因彼此互相作用而產生的運動。這是個很重要的天文學問題，常見的應用有衛星繞著行星公轉、行星繞著恆星公轉、雙星系統、雙行星、一個經典電子繞著原子核運動等等。 二體問題可以表述為兩個獨立的單體問題，其中一個是平凡的單體問題，另外一個單體問題研究一個粒子因外力作用而呈現的運動。由於很多單體問題有精確解，即不需藉助近似方法就可得到問題的解答；其對應的二體問題連帶地也可解析。顯然不同地，除了特別案例以外，三體問題（或者更複雜的多體問題）並沒有精確解。 約化為兩個獨立的單體問題 在一個物理系統裡，假設兩個粒子的質量分別為 m_1、m_2，在時間 t0 的初始位置分別為 mathbf x_10、mathbf x_20，初始速度分別為 mathbf v_10、mathbf v_20，計算這兩個粒子的軌跡函式 mathbf x_1t 及 mathbf x_2t 的問題，稱為二體問題。 根據牛頓第二定律： mathbf F_12mathbf x_1mathbf x_2 m_1 ddot mathbf x_1 1、 mathbf F_21mathbf x_1mathbf x_2 m_2 ddot mathbf x_2 2； 其中，mathbf F_AB 表示粒子 B 施加於粒子 A 的作用力。 thumb200px 二體問題的雅可比坐標 為質心坐標 boldsymbol Rfrac m_1M boldsymbol x_1 frac m_2M boldsymbol x_2 和相對坐標 boldsymbol r boldsymbol x_1 boldsymbol x_2 ；其中，M m_1m_2 。 將方程式 1 與方程式 2 相加，可以得到一個方程式，專門描述兩個粒子的質心運動。將方程式 1 與方程式 2 的相減，則可得到描述兩個粒子相對的位移向量 mathbf rmathbf x_1mathbf x_2 與時間之間的關係。將這兩個獨立的單體問題的解答結合起來，就可以求得軌跡函式 mathbf x_1t 和 mathbf x_2t。 質心運動（第一個單體問題） 質心的位置由兩個粒子的位置和質量給出： mathbf x_cm stackrel def m_1mathbf x_1 m_2mathbf x_2M； 其中，Mm_1 m_2 是系統的總質量。 質心的加速度為： ddot mathbf x_cmm_1ddot mathbf x_1 m_2ddot mathbf x_2M。 由於沒有外力作用，將方程式 1 與 2 相加，根據牛頓第三定律，可以得到 Mddot mathbf x_cm mathbf F_12 mathbf F_21 0 。 因此，質心的加速度等於零，質心的速度 mathbf v_cm 為常數： mathbf v_cmdot mathbf x_cmm_1mathbf v_10 m_2mathbf v_20M。 這物理系統的動量守恆： m_1mathbf v_1 m_2mathbf v_2Mmathbf v_cmm_1mathbf v_10 m_2mathbf v_20。 從兩個粒子的初始位置和初始速度，就可以決定質心在任意時間的位置： mathbf x_cmmathbf v_cm tm_1mathbf x_10 m_2mathbf x_20M。 位移向量運動（第二個單體問題） 將方程式 1、2 分別除以 m_1、m_2，然後相減，可以得到 ddot mathbf r ddot mathbf x_1 ddot mathbf x_2 left frac mathbf F_12m_1 frac mathbf F_21m_2 right。 其中，mathbf r 是個從粒子 2 位置指到粒子 1 位置的位移向量。 應用牛頓第三定律，mathbf F_12 mathbf F_21。所以， ddot mathbf r left frac 1m_1 frac 1m_2 rightmathbf F_12。 兩個粒子之間的作用力應該只是相對位置 mathbf r 的函式，而不是絕對位置 mathbf x_1、mathbf x_2 的函式；否則，無法滿足物理的平移對稱，物理定律會因地而易，二體之間的物理關係無法普遍地成立於全宇宙。換句話說，在宇宙中，兩個粒子的絕對位置無關緊要，因為它們是宇宙中唯一的兩個粒子，是互相施加於彼此的作用力的源頭。誠然地，這是一個不實際的問題，可以被視為一個思想實驗。為了滿足這問題的要求，兩個粒子之間的作用力必須只是相對位置 mathbf r 的函式。這樣，相減得到的方程式寫為 mu ddot mathbf r mathbf F_12mathbf x_1mathbf x_2 mathbf Fmathbf r； 其中，mu m_1 m_2M 是約化質量。 一旦求得函式 mathbf x_cmt 與 mathbf rt，就可以計算出兩個粒子的軌跡方程式 mathbf x_1t 與 mathbf x_2t： mathbf x_1tmathbf x_cmt m_2mathbf rtM、 mathbf x_2tmathbf x_cmt m_1mathbf rtM。 角動量 兩個粒子的總角動量 mathbf L_tot 為 begin alignmathbf L_tot mathbf x_1 times m_1dot mathbf x_1mathbf x_2 times m_2dot mathbf x_2mathbf x_cm times Mdot mathbf x_cmmathbf r times mudot mathbf r mathbf L_cm mathbf L_rel end align 其中，mathbf L_cmmathbf x_cm times Mdot mathbf x_cm 是質心對於原點的角動量，mathbf L_relmathbf r times mudot mathbf r 是兩個粒子對於質心的角動量。 回想前面質心的軌跡方程式， mathbf x_cmmathbf v_cm tm_1mathbf x_10 m_2mathbf x_20M。 為了簡化分析，設定質心的初始位置為 0。也就是說，質心的直線運動經過原點。那麼， mathbf L_cmmathbf v_cm t times Mmathbf v_cm0、 mathbf L_tot mathbf L_rel。 二體問題常用的換元的技巧是透過 u1r 和 dot thetaLu2m 將原方程中對時間的求導轉化為對角度 theta 的求導，並得到 SturmLiouville 型方程 LuLu 1L 角動量守恆與連心力 二體問題的總力矩 boldsymbol tau_tot 是 boldsymbol tau_totmathbf x_1timesmathbf F_12mathbf x_2 times mathbf F_21mathbf rtimesmathbf F_12。 在物理學裡，時常會遇到的萬有引力、靜電力等等，都是連心力。假設，作用力 mathbf F_12 是連心力，則 mathbf F_12 與 mathbf r 同直線，總力矩 boldsymbol tau_tot 等於 0。根據角動量守恆定律， boldsymbol tau_totfrac d mathbf L_totdt。 因此，總角動量 mathbf L_tot 是個常數，總角動量守恆。 請注意，並不是每一種力都是連心力。假設，兩個粒子是帶電粒子。由必歐 沙伐定律與勞侖茲力定律所算出的作用力和反作用力並不是連心力。總力矩 boldsymbol tau_tot 不等於 0。總角動量不守恆；這是因為還有角動量並沒有被計算在內。假若，將電磁場的角動量計算在內，則角動量守恆定律仍舊成立。 在很多物理系統裡，作用力 mathbf Fmathbf r 是一種連心力，以方程式表示為 mathbf Fmathbf r F rhat mathbf r； 其中，r 是徑向距離，hat mathbf r 是徑向單位向量。 這物理系統的運動方程式為 mu ddot mathbf r Frhat mathbf r。 更詳盡細節，請參閱條目經典連心力問題。 平面運動與角動量守恆 總角動量與 mathbf r 的點積為 mathbf rcdotmathbf L_totmathbf rcdot mathbf r times mudot mathbf r0。 這兩個粒子的運動軌道必定包含於垂直於 mathbf L_tot 的平面。假設作用力為連心力，則由於角動量守恆，這兩個粒子必定運動於某特定平面，而常數向量 mathbf L_tot 垂直於這平面。 參閱 多體問題 克卜勒定律 克卜勒問題 拉普拉斯 龍格 冷次向量 伯特蘭定理 牛頓旋轉軌道定理 參考文獻 引用 來源 書籍 Lev D Landau and E M Lifshitz 1976 Mechanics 3rd ed Pergamon Press ISBN 9780080210223 hardcover and ISBN 9780080291413 softcover E E