在工程中，傳遞函式（，也稱系統函式 Bernd Girod Rudolf Rabenstein Alexander Stenger Signals and systems 2nd ed Wiley 2001 ISBN 9780471988007 p 50、轉移函式或網路函式，畫出的曲線叫做傳遞曲線）是用來擬合或描述黑箱模型（系統）的輸入與輸出之間關係的數學表示。在二維影像的應用中，輸入和輸出的點陣圖間的關係函式稱作轉移曲線、轉換曲線或特徵曲線。 通常它是零初始條件和零平衡點下，以空間或時間頻率為變量表示的線性時不變系統（LTI）的輸入與輸出之間的關係。The Oxford Dictionary of English 3rd ed Transfer function 然而一些資料來源中用 傳遞函式 直接表示某些物理量輸入輸出的特性，（例如二埠網路中的輸出電壓作為輸入電壓的一個函式）而不使用變換到 S 平面上的結果。 解釋 傳遞函式通常用於分析諸如單輸入、單輸出的濾波器系統中，主要用在訊號處理、通訊理論、控制理論。這個術語經常專門用於如本文所述的線性時不變系統（LTI）。實際系統基本都有非線性的輸入輸出特性，但是許多系統在標稱引數範圍內的執行狀態非常接近於線性，所以實際應用中完全可以應用線性時不變系統理論表示其輸入輸出行為。 簡單說明一下，下面的描述都是以複數 ssigma jcdot omega 為變數的。在許多應用中，足以限定 sigma0 於是 sjcdot omega，從而將含有複引數的拉普拉斯變換簡化為實參 omega 的傅立葉變換。 那麼，對於最簡單的連續時間輸入訊號 x t 和輸出訊號 y t 來說，傳遞函式 H s 所反映的就是零狀態條件下輸入訊號的拉普拉斯變換 X s mathcal Lleftx tright 與輸出訊號的拉普拉斯變換 Y s mathcal Llefty tright 之間的線性對映關係： Y s H s X s 或者 H s frac Y sX s frac mathcal Llefty tright mathcal Lleftx tright 在離散時間系統中，應用 Z 變換，傳遞函式可以類似地表示成 H z frac Y zX z 這常常被稱為脈衝傳遞函式。 從微分方程直接推導 考慮一個常係數線性微分方程 L u frac dnudtn a_1frac dn1 udtn1 dotsb a_n1frac dudt a_nu r t 其中 u 和 r 是 t 的適當的光滑函式。L 是相關函式空間上定義的，將 u 變換為 r 的運算元。這種方程可以用於以強迫函式 r 為變數約束輸出函式 u 。傳遞函式寫成運算元 F r u 的形式，是 L 的右逆，因為 L F r r。 這個常係數齊次微分方程 L u 0 的解可以透過嘗試 u elambda t 找到。這個代換會產生特徵多項式 p_L lambda lambdan a_1lambdan1 dotsb a_n1lambda a_n 在輸入函式 r 的形式也為 r t es t 的時候，非齊次的情形也可以很容易的解決。在那種情況下，透過代入 u H s es t 就可以發現 L H s es t es t 當且僅當 H s frac 1p_L s qquad p_L s neq 0 把那當作傳遞函式的定義需要注意區分實數和複數的差異。這是受到 abs H s 表示增益，而用 atan H s 表示相位滯後慣例的影響。傳遞函式的其他定義還有例如 1p_L ik。 訊號處理 設普通線性非時變系統的輸入為 x t ，輸出為 y t ，並且 x t 和 y t 的拉普拉斯變換為 X s mathcal Lleft x t right equiv int_0infty x t est dt Y s mathcal Lleft y t right equiv int_0infty y t est dt 那麼輸出與輸入之間透過傳遞函式 H s 發生關係 Y s H s X s 並且傳遞函式為 H s frac Y s X s 。 頻響函式 在訊號分析與處理中，通常感興趣的系統的頻率響應，這時候經常使用頻響函式來表示系統對於不同頻率諧波的響應特徵。頻響函式通常用傅立葉變換表示，傅立葉變換是 s j omega 的雙邊拉普拉斯變換的一個特例。頻響函式實際上是線性系統的穩態響應分量，只有再加上瞬態響應分量，才構成系統的全響應，即系統的傳遞函式。 當一個振幅為 X 、角頻率為 omega 以及相位為 arg X 的諧波訊號 x t Xejomega t Xej omega t arg X 其中 X Xejarg X 輸入到線性時不變系統的時候，那麼對應的輸出為： y t Yejomega t Yej omega t arg Y 且 Y Yejarg Y 注意，線上性非時變系統中，諧波訊號輸入頻率 omega 沒有發生變化，只有三角函式的振幅和相位經過系統發生了改變。相位延遲（也就是傳遞函式引起的與頻率相關的正弦曲線延遲）為： tau_phiomega frac phi omegaomega。 群延遲（也就是傳遞函式引起的與頻率相關的正弦曲線包絡線延遲）透過計算相位延遲對於角頻率 omega 的導數得到， tau_gomega frac dphi omegadomega 頻率響應 H j omega 可分解為幅頻響應 A omega 或增益 G omega 以及相頻響應 phi omega G omega frac YX H j omega phi omega arg Y arg X arg H j omega 並可由此繪出系統的幅頻特性曲線與相頻特性曲線，總稱波特圖。 頻率響應也可以按其實部與虛部分解表示為： H j omega operatorname Reomega joperatorname Imomega 並由此繪出系統頻率響應的奈奎斯特曲線。 不管是使用拉普拉斯變換還是傅立葉變換，它們都將時間域上系統響應的卷積運算轉化為對應的複數域或頻域上的代數（頻率相乘，相位相加）運算，並且可以直觀的揭示出系統對於訊號頻率的作用。 控制工程 在控制工程和控制理論中，傳遞函式是從拉普拉斯變換推匯出來的。傳遞函式是經典控制工程中的一個主要工具，但是，在分析多輸入多輸出（MIMO）系統的時候它就顯得很笨拙了，在分析這樣的系統的時候大部分被狀態空間表示所代替。儘管這樣，經常也可以從任意的線性系統得到傳遞矩陣用於分析它的動態及其它特性：傳遞矩陣中的每個元素都是與特定輸入和特性輸出相關的一個傳遞函式。 光學 在光學中調製傳遞函式描述的是光學系統傳遞對比度的能力，是常用的像質評價方法之一。 例如，如果一系列的黑白交替條紋以一個特定的空間頻率畫出來，那麼當觀察這些條紋的時候，影像質量可能發生退化。白色的條紋看起來變暗了，而黑色的條紋看起來變亮了。 忽略相位變化，在特定空間頻率的調製傳遞函式稱為調製傳遞函式（，MTF），定義為： mathrm MTFf frac M mathrm image M mathrm source 其中調製（M）是根據下式從影像或者光源亮度中匯出來的： M frac L_mathrm max L_mathrm min L_mathrm max L_mathrm min 用 MTF 曲線的積分值可以評價成像質量。理論上，像點的中心亮度值等於 MTF 曲線的面積。而面積越大，意味著像點中包含的資訊越多，成像質量也就越好。不過，MTF 曲線只能反映少數點的情況。 非線性系統 許多非線性成分（如張弛振盪器）就不存在傳遞函式，但可以用描述函式來近似。 參見 波特圖 奈奎斯特曲線 頻率響應 線性時不變系統 閉迴路傳遞函式 梅森增益公式 傳遞函式矩陣 參考文獻 Category 電路 Category 訊號處理 Category 控制理論 Category 控制論 Category 函式