勒壤得轉換是一個在數學和物理中常見的技巧，得名於阿德里安 馬裡勒壤得（AdrienMarie Legendre）。該操作是一個實變數的實值凸函式的對合變換。它經常用於經典力學中從拉格朗日形式到哈密頓形式的推導、熱力學中熱力學勢的推導以及多變數微分方程的求解。 概述 為了研究一個系統內部蘊藏的數學結構，表述此係統的函式關係 f x 改用一個新函式 fstarp 來表示，其變數 p 是 f x 的導數，pfrac mathrm d fmathrm d x 。而 fstarp 的值是如右圖藍線在 y 軸的負截距 換句話說，從 xf x x 值到 y 值的函式，轉換成 pfstarp f x 在 x 點的導數到在 x 點切線 y 截距的函式 這程式是由阿德里安 馬裡勒壤得所發明的，因此稱為勒壤得轉換。稱函式 fstarp 為 f x 的勒壤得轉換； 用方程式表示 fstar p puf u _mathrm d puf u over mathrm d u 0 。 此式子表示 fstar p puf u 中的 u 對 fstar p 而言是個引數，且引數 u 會滿足 mathrm d puf u over mathrm d u 0 的 u。即求算表示式關於變數 u 的極值。 為方便討論，把討論限定在 f x 為嚴格單調遞增。會有這方程式是因為在 pfx_0 也就是斜率不變的狀況下，對每個 x_0 而言，所有與曲線 uf u 相交且斜率為 fx_0 的直線族為 y fx_0 xuf u。若令 u x_0 ，該直線即是 f x 在 x_0 的切線方程式。把 x 當作常數並由右圖直接觀察可知，在 u x_0 的情況下，y fx_0 xuf u fx_0 xfx_0 uf u 值是最小的，也就是說直線方程式中 fx_0 uf u 這部分是最大的，而正好 fstar p puf u _mathrm d puf u over mathrm d u 0 ，正是原方程式所求的極值。 勒壤得轉換是點與線之間對偶性關係的一個應用。函式 f x 設定的函式關係可以用 x yf x 點集合來表示；也可以用切線 在嚴格單調遞增的討論下，切線跟導數 p 有一對一的關係 集合表示。 若將勒壤得轉換廣義化，則會變為勒壤得 芬伽轉換。勒壤得轉換時常用於熱力學與哈密頓力學。 定義 給定區間和凸函式，則其勒讓德變換為函式， fx sup_xin Ixxf xquad xin I 其中 sup 表示上確界，定義域 I 為 I left xin Rsup_xin Ixxf xinfty right 當為凸函式時，這個函式有良好的定義。 不難將勒讓德變換推廣到定義在凸集 上的凸函式：其變換為定義在 X left x in Rnsup_xin Xlangle xxranglef xinfty right 上的函式 fx sup_xin Xlangle xxranglef xquad xin X 其中 langle xx rangle 表示和 的點積。 從導數的角度理解勒讓德變換 對於實軸上具有可逆一階導數的凸函式 f，其勒讓德變換 f 的一階導數與 f 的一階導數互為反函式，反過來說，這個條件可以給出至多相差一個常數的 f。 最大值式定義 更詳細地定義勒壤得轉換，為了求得 L x ppx f x 關於 x 的最大值，設定 L x p 關於 x 的偏導數為零： frac partialpartial x left pxf x right pmathrm d f x over mathrm d x 0 。 則 p mathrm d f x over mathrm d x 。1 這表示式必為最大值。因為，凸函式 L x p 的二階導數是負數： frac partial2partial x2xpf x mathrm d2f x over mathrm d x2 0 ； 用方程式 1 來計算函式 f 的反函式 xg p 。代入 L x p 方程式，即可以得到想要的形式： fstar pg p p f g p 。 計算 f x 的勒壤得轉換，所需的步驟為： 找出導函式 p frac mathrm d f mathrm d x ， 計算導函式 p frac mathrm d f mathrm d x 的反函式 xg p ， 代入 F x 方程式來求得新函式 fstar pg p p f g p 。 這定義切確地闡明：勒壤得轉換製造出一個新函式 fstar p ；其新自變數為 p mathrm d f over mathrm d x 。 反函式式定義 另外一種勒壤得轉換的定義是：假若兩個函式 f x 與 fstar p 的一階導數是互相的反函式； frac mathrm dmathrm d x f xleft frac mathrm dmathrm d p fright 1x ， 或者， frac mathrm dmathrm d p fpleft frac mathrm dmathrm d x fright 1p ， 則 f 與 fstar 互相為彼此的勒壤得轉換。 依照定義， mathrm d f x over mathrm d xp ， mathrm d fstar p over mathrm d px 。 思考下述運算： frac mathrm dmathrm d pxp f xxpfrac mathrm d xmathrm d p frac mathrm d fmathrm d xfrac mathrm d xmathrm d pxmathrm d fstar p over mathrm d px 。 所以， fstar pxp f xg p p f g p ； 這裡，xg p 。 這答案是標準答案；但並不是唯一的答案。設定 fstar pf x xp ， 也可以滿足定義的要求。在某些情況下（例如：熱力勢，會採用非標準的答案。除非另外註明，此頁面一律採用標準答案。 數學性質 以下討論，函式 f 的勒壤得轉換皆標記為 fstar 。 標度性質 勒壤得轉換有以下這些標度性質： f xa cdot g xrightarrow fstar p a cdot gstarleft frac paright ， f x g a cdot xrightarrow fstar p gstarleft frac paright ， 由此可知，一個 r 次齊次函式的勒壤得轉換是一個 s 次齊次函式；這裡， frac 1rfrac 1s1 。 平移性質 f x g x brightarrow fstar p gstar p b ， f x g x yrightarrow fstar p gstar p p cdot y 。 反演性質 f x g1xrightarrow fstar p p cdot gstarleft frac 1pright 。 線形變換性質 讓 A 成為一個從 Rn 到 Rm 的線形變換。對於任何定義域為 Rn 的凸函式 f ，必有 left A frightstar fstar Astar ； 這裡，Astar 是 A 的伴隨運算元定義為 left langle Ax ystar right rangle left langle x Astar ystar right rangle 。 例子 例一 指數函式 f x ex 的勒讓德變換為 fp p ln p 1 ， 因為它們的一階導數 與 互為反函式。 應用 熱力學 在熱力學裡，使用勒壤得轉換主要的目的是，將一個函式與所含有的一個自變數，轉換為一個新函式與所含有的一個新自變數，（此新自變數是舊函式對於舊自變數的偏導數）；將舊函式減去新自變數與舊自變數的乘積，得到的差就是新函式。勒壤得轉換可以用來在各種熱力勢之間作轉換。例如，內能 U 是外延量熵 S ，體積 V ，與化學成份N_i 的顯函式 U U S V N_i 。 對於 PV ，函式 U （非標準的）勒壤得轉換為焓函式 H ： H S P N_i U PV ， P left frac partial Upartial Vright_S N_i 。 一個熵與內含量壓力的函式。當壓力是常數時，這函式很有用。 對於 TS ，函式 H 勒壤得轉換為吉布斯能函式 G G T P N_i H TS ， Tleft frac partial Hpartial Sright_P N_i 。 對於 TS ，函式 U 勒壤得轉換為亥姆霍茲自由能函式 A A T V N_i U TS ， Tleft frac partial Upartial Sright_V N_i 。 這些自由能函式時常用在常溫的物理系統。 古典力學 哈密頓力學 在經典力學裡，勒壤得轉換專門用來從拉格朗日表述導引出哈密頓表述，或反導之。拉格朗日量 mathcal L 是廣義坐標 mathbf qq_1 q_2 dots q_N 與廣義速度 dot mathbf q 的函式；而哈密頓量 mathcal H 將函式的自變數轉換為廣義坐標 mathbf q 與廣義動量 mathbf pp_1 p_2 dots p_N ： mathbf pfrac partial mathcal Lpartial dot mathbf q ， mathcal Hmathbf q mathbf p tmathbf pcdotdot mathbf q mathcal Lmathbf q dot mathbf qmathbf q mathbf p t t 。 正則變換 正則變換廣泛地應用勒壤得轉換在其理論裡。正則變換是一種正則坐標的改變，mathbf q mathbf p rightarrow mathbf Q mathbf P ，而同時維持哈密頓方程式的形式，雖然哈密頓量可能會改變。正則變換的方程式為 frac partial mathcal Kpartial mathbf Pdot mathbf Q ， frac partial mathcal Kpartial mathbf Q dot mathbf P ， mathbf pcdotdot mathbf q mathcal H mathbf Pcdotdot mathbf Q mathcal Kfrac dGdt ； 這裡，mathbf q mathbf p 是舊正則坐標，mathbf Q mathbf P 是新正則坐標，mathcal H 是舊哈密頓量，mathcal K 是新哈密頓量，G 是生成函式。 參閱 哈密頓力學 切觸幾何 正則變換 參考文獻 L L