在數學和計算機科學中，取整函式是一類將實數對映到相近的整數的函式。Ronald Graham Donald Knuth and Concrete Mathematics AddisonWesley 1999 Chapter 3 Integer Functions 常用的取整函式有兩個，分別是下取整函式和上取整函式。 下取整函式即為取底符號，在數學中一般記作 x 或者 lfloor x rfloor 或者 E x，在計算機科學中一般記作 floor x，表示不超過 x 的整數中最大的一個。 xmax ninmathbb Zmid nle x 舉例來說，3633 3，56 56，2 2，2263 3。對於非負的實數，其下取整函式的值一般叫做它的整數部分或取整部分。而 x x 叫做 x 的小數部分。每個分數都可以表示成其整數部分與一個真分數的和，而實數的整數部分和小數部分是與此概念相應的拓延。 下取整函式的符號用方括號表示（x），稱作高斯符號，首次出現是在卡爾弗里德里希高斯的數學著作《算術研究》。 上取整函式即為取頂符號在數學中一般記作 lceil x rceil，在計算機科學中一般記作 ceil x，表示不小於 x 的整數中最小的一個。 lceil x rceilminninmathbb Zmid xle n 舉例來說，lceil 3633 rceil 4，lceil 56 rceil 56，lceil 2 rceil 2，lceil 2263 rceil 2。 計算機中的上取整函式和下取整函式的命名來自於英文的 ceiling（天花板）和 floor（地板），1962 年由肯尼斯艾佛森於《A Programming Language》引入。 性質 對於高斯符號，有如下性質。 按定義： x le x x 1 當且僅當 x 為整數時取等號。 設 x 和 n 為正整數，則： left frac nx right geq frac nx frac x1x 當 n 為正整數時，有： leftlbrack frac xn rightrbrack frac xxbmod nn 其中 x bmod n 表示 x 除以 n 的餘數。 對任意的整數 k 和任意實數 x， kx k x 一般的數值修約規則可以表述為將 x 對映到 floor x 05； 高斯符號不是連續函式，但是上半連續的。作為一個分段的常數函式，在其導數有定義的地方，高斯符號導數為零。 設 x 為一個實數，n 為整數，則由定義，n x 當且僅當 n floor x。 當 x 是正數時，有： leftlbrack 2 x rightrbrack 2 leftlbrack x rightrbrack leqslant 1 用高斯符號可以寫出若干個素數公式，但沒有什麼實際價值，見。 對於非整數的 x，高斯符號有如下的傅立葉級數展開： x x frac 12 frac 1pi sum_k1infty frac sin 2 pi k xk 根據 Beatty 定理，每個正無理數都可以透過高斯符號製造出一個整數集的分劃。 最後，對於每個正整數 k，其在 p 進位制下的表示有 log_pk 1 個數位。 函式間之關係 由上下取整函式的定義，可見 lfloor x rfloor le lceil x rceil 等號當且僅當 x 為整數，即 lceil x rceil lfloor x rfloor begin cases 0text 若 xin mathbb Z 1text 若 xnotin mathbb Z end cases 實際上，上取整與下取整函式作用於整數 n，效果等同恆等函式： lfloor n rfloor lceil n rceil n 自變數加負號，相當於將上取整與下取整互換，外面再加負號，即： begin align lfloor x rfloor lceil x rceil 0 lfloor x rfloor lceil x rceil lceil x rceil lfloor x rfloor end align 且： lfloor x rfloor lfloor x rfloor begin cases 0text 若 xin mathbb Z 1text 若 xnotin mathbb Z end cases lceil x rceil lceil x rceil begin cases 0text 若 xin mathbb Z 1text 若 xnotin mathbb Z end cases 至於小數部分 x x lfloor x rfloor，自變數取相反數會使小數部分變成關於 1 的「補數」： x x begin cases 0text 若 xin mathbb Z 1text 若 xnotin mathbb Z end cases 上取整、下取整、小數部分皆為冪等函式，即函式疊代兩次的結果等於自身： begin align Biglfloor lfloor x rfloor Bigrfloor lfloor x rfloor Biglceil lceil x rceil Bigrceil lceil x rceil Big x Big x end align 而多個上取整與下取整依次疊代的效果，相當於最內層一個： begin align Biglfloor lceil x rceil Bigrfloor lceil x rceil Biglceil lfloor x rfloor Bigrceil lfloor x rfloor end align 因為外層取整函式實際衹作用在整數上，不帶來變化。 商 若 m 和 n 為正整數，且 n neq 0，則 0 le left frac mn right le 1frac 1n 若 n 為正整數，則 leftlfloorfrac xmnrightrfloor leftlfloorfrac lfloor xrfloor mnrightrfloor leftlceilfrac xmnrightrceil leftlceilfrac lceil xrceil mnrightrceil 若 m 為正數，則 nleftlceilfrac nmrightrceil leftlceilfrac n1mrightrceil dotsleftlceilfrac nm1mrightrceil nleftlfloorfrac nmrightrfloor leftlfloorfrac n1mrightrfloor dotsleftlfloorfrac nm1mrightrfloor 代 m 2，上式推出： n leftlfloor frac n2right rfloor leftlceilfrac n2right rceil 更一般地，對正整數 m，有： lceil mx rceil leftlceil xrightrceil leftlceil xfrac 1mrightrceil dotsleftlceil xfrac m1mrightrceil lfloor mx rfloorleftlfloor xrightrfloor leftlfloor xfrac 1mrightrfloor dotsleftlfloor xfrac m1mrightrfloor 對於正整數 m，以下兩式可將上下取整函式互相轉化： leftlceil frac nm rightrceil leftlfloor frac nm1m rightrfloor leftlfloor frac n 1m rightrfloor 1 leftlfloor frac nm rightrfloor leftlceil frac nm1m rightrceil leftlceil frac n 1m rightrceil 1 對任意正整數 m 和 n，有： sum_k 1n 1 leftlfloor frac k mn rightrfloor frac m 1n 1gcd mn1 2 作為特例，當 m 和 n 互質時，上式簡化為 sum_k1n1 leftlfloor frac kmn rightrfloor frac 12m 1n 1 此等式可以幾何方式證明。又由於右式關於 m、n 對稱，可得 leftlfloor frac mn right rfloor leftlfloor frac 2mn right rfloor dots leftlfloor frac n1 mn right rfloor leftlfloor frac nm right rfloor leftlfloor frac 2nm right rfloor dots leftlfloor frac m1 nm right rfloor 更一般地，對正整數 m n，有 begin align leftlfloor frac xn right rfloor leftlfloor frac mxn right rfloor leftlfloor frac 2mxn right rfloor dots leftlfloor frac n1 mxn right rfloor leftlfloor frac xm right rfloor leftlfloor frac nxm right rfloor leftlfloor frac 2nxm right rfloor cdots leftlfloor frac m1 nxm right rfloor end align 上式算是一種「互反律」，與有關。 應用 二次互反律 高斯給出二次互反律的第三個證明，經艾森斯坦修改後，有以下兩個主要步驟。 設 p、q 為互異奇質數，又設 m frac p 12 n frac q 12 首先，利用高斯引理，證明勒讓德符號可表示為和式： left frac qpright 1leftlfloorfrac qprightrfloor leftlfloorfrac 2qprightrfloor dots leftlfloorfrac mqprightrfloor 同樣 left frac pqright 1leftlfloorfrac pqrightrfloor leftlfloorfrac 2pqrightrfloor dots leftlfloorfrac npqrightrfloor 其後，採用幾何論證，證明 leftlfloorfrac qprightrfloor leftlfloorfrac 2qprightrfloor dots leftlfloorfrac mqprightrfloor leftlfloorfrac pqrightrfloor leftlfloorfrac 2pqrightrfloor dots leftlfloorfrac npqrightrfloor mn 總結上述兩步，得 left frac pqright left frac qpright 1mn1frac p12frac q12 此即二次互反律。一些小整數模奇質數 p 的二次特徵標，可以高斯符號表示，如： left frac 2pright 1leftlfloorfrac p14rightrfloor left frac 3pright 1leftlfloorfrac p16rightrfloor 質數公式 下取整函式出現於若干刻畫質數的公式之中。舉例，因為 leftlfloorfrac nmrightrfloorleftlfloorfrac n1mrightrfloor 在 m 整除 n 時等於 1，否則為 0，所以正整數 n 為質數當且僅當，求和式的上限 infty 可以換成 n。尚有一個等價的表述：n 1 為質數當且僅當 sum_m1lfloor sqrt n rfloorleft leftlfloorfrac nmrightrfloorleftlfloorfrac n1mrightrfloorright 1 sum_m1inftyleft leftlfloorfrac nmrightrfloorleftlfloorfrac n1mrightrfloorright 2 除表示質數的條件外，還可以寫出公式使其取值為質數。例如，記第 n 個質數為 p_n，任選一個整數 r 1，然後定義實數 alpha 為 alpha sum_m1infty p_m rm2 則衹用取整、冪、四則運算可以寫出質數公式： p_n leftlfloor rn2alpha rightrfloor r2n1leftlfloor rn12alpharightrfloor 類似還有米爾斯常數 theta 13064ldots，使 leftlfloor theta3 rightrfloor leftlfloor theta9 rightrfloor leftlfloor theta27 rightrfloor dots 皆為質數。 若不疊代三次方函式，改為疊代以 2 為㡳的指數函式，亦有 omega 19287800ldots 使 leftlfloor 2omegarightrfloor leftlfloor 22omega rightrfloor leftlfloor 222omega rightrfloor dots 皆為質數。 以質數計算函式 pi x 表示小於或等於 x 的質數個數。由威爾遜定理，可知 pi n sum_j2nleftlfloorfrac j11j leftlfloorfrac j1jrightrfloorrightrfloor 又或者，當 n ge 2 時： pi n sum_j2n leftlfloor frac 1sum_k2jleftlfloorleftlfloorfrac jkrightrfloorfrac kjrightrfloorrightrfloor 本小節的公式未有任何實際用途。（譯文）：「雖然該些公式毫不實用但邏輯學家希望清晰明白不同公理體系，如何推匯出算術各方面，則或許與此有關」（譯文）：「若數 alpha 的準確值可以無關質數的方式表達，則該些公式之任一（或一切類似公式）的地位將截然不同。似乎沒有此種可能，但卻不能完全排除。」 其它等式 對於所有實數 x，有： leftlbrack frac x2 rightrbrack frac 14 1x 1 2 x leftlbrack frac x3 rightrbrack frac 13 frac 2sqrt 3 sin frac 2pi3x frac pi3 1 x 設 x 為一個實數，n 為整數，則 sum_k 0n 1 E xfrac kn E nx E frac 1n E nxE x 對於兩個相反數的高斯符號，有： 如果 x 為整數，則 E x E x 0 否則 E x E x 1 Category 基本特殊函式 Category 數學符號 參考來源 另見 截尾函式 category 數論 Category 函式