在數學中，極座標系是一個二維座標系統。該座標系統中任意位置可由一個夾角和一段相對原點 極點的距離來表示。極座標系的應用領域十分廣泛，包括數學、物理、工程、航海、航空、電腦以及機器人領域。在兩點間的關係用夾角和距離很容易表示時，極座標系便顯得尤為有用；而在平面直角座標系中，這樣的關係就只能使用三角函式來表示。對於很多型別的曲線，極座標方程是最簡單的表達形式，甚至對於某些曲線來說，只有極座標方程能夠表示。 歷史 希臘人最早使用了角度和弧度的概念。天文學家喜帕恰斯（190120 BC）製成了一張求各角所對弦的弦長函式的表格。並且，曾有人引用了他的極座標系來確定恆星位置。在螺線方面，阿基米德描述了他的著名的螺線，一個半徑隨角度變化的方程。希臘人作出了貢獻，儘管最終並沒有建立整個座標系統。 關於是誰首次將極座標系應用為一個正式的座標系統，流傳著有多種觀點。關於這一問題的較詳盡歷史，哈佛大學教授朱利安科利奇的《極座標系起源》作了闡述。格雷瓜德聖 萬桑特和博納文圖拉卡瓦列裡，被認為在幾乎同時、並獨立地各自引入了極座標系這一概念。聖 萬桑特在 1625 年的私人文稿中進行了論述並發表於 1647 年，而卡瓦列裡在 1635 進行了發表，而後又於 1653 年進行了更正。卡瓦列裡首次利用極座標系來解決一個關於阿基米德螺線內的面積問題。布萊士帕斯卡隨後使用極座標系來計算拋物線的長度。 在 1671 年寫成，1736 年出版的《流數術和無窮級數》一書中，艾薩克牛頓第一個將極座標系應用於表示平面上的任何一點。牛頓在書中驗證了極座標和其他九種座標系的變換關係。在 1691 年出版的《博學通報》（，Acta eruditorum）一書中雅各布伯努利正式使用定點和從定點引出的一條射線，定點稱為極點，射線稱為極軸。平面內任何一點的座標都透過該點與定點的距離和與極軸的夾角來表示。伯努利透過極座標系對曲線的曲率半徑進行了研究。 實際上應用 極座標這個術語的是由格雷古廖豐塔納開始的，並且被 18 世紀的義大利數學家所使用。該術語是由喬治皮科克在 1816 年翻譯席維斯拉克魯克斯的《微分學與積分學》 一書時，被翻譯為英語的。 亞歷克西斯克萊羅和萊昂哈德尤拉被認為是將平面極座標系擴充套件到三維空間的數學家。 點的表示 正如所有的二維座標系，極座標系也有兩個座標軸：r（半徑座標）和 theta（角座標、極角或方位角，有時也表示為 phi 或 t）。r 座標表示與極點的距離，theta 座標表示按逆時針方向座標距離 0 射線（有時也稱作極軸）的角度，極軸就是在平面直角座標系中的 x 軸正方向。 比如，極座標中的（3 60）表示了一個距離極點 3 個單位長度、和極軸夾角為 60 的點。（3 240）和 3 60 表示了同一點，因為該點的半徑為在夾角射線反向延長線上距離極點 3 個單位長度的地方（240 180 60）。 極座標系中一個重要的特性是，平面直角座標中的任意一點，可以在極座標系中有無限種表達形式。通常來說，點（r θ）可以任意表示為（r θ n360）或 r θ 2n 1 180，這裡 n 是任意整數。如果某一點的 r 座標為 0，那麼無論 θ 取何值，該點的位置都落在了極點上。 使用弧度單位 極座標系中的角度通常表示為角度或者弧度，使用公式 2π rad 360。具體使用哪一種方式，基本都是由使用場合而定。航海方面經常使用角度來進行測量，而物理學的某些領域大量使用到了半徑和圓周的比來作運算，所以物理方面更傾向使用弧度。 極座標系與平面直角座標系之間的變換 從極座標 r 和 theta 可以變換為直角座標： r sqrt y2 x2 quad（參閱畢氏定理） theta operatorname atan2y x quad（atan2 是已將象限納入考量的反正切函式） 或 theta begin cases arctan frac yx text if x 0 arctan frac yx pi text if x 0 text and y ge 0 arctan frac yx pi text if x 0 text and y 0 frac pi2 text if x 0 text and y 0 frac pi2 text if x 0 text and y 0 0 text if x 0 text and y 0 end cases 從直角座標 x 和 y 也可以變換為極座標： x r cos theta y r sin theta 這方程式給出 theta 在值域 pi pi 的弧度。改用角度單位，值域為 180circ180circ。這些方程式假定極點是直角坐標系的原點 00，極軸為 x 坐標軸，而 y 坐標軸方向的弧度為 pi2，角度為 90circ。 大多數常用程式語言會特別設定一個函式，專門從 x 和 y 坐標計算出正確的角坐標 theta。例如，在 C 語言裡，這函式標記為 atan2 yx，在 Common Lisp 裡，標記為 atan y x。對於這兩種案例，計算結果是在值域 pi pi 內的弧度。這 theta 的數值是複函式輻角的主值（principal value），注意到當 x 和 y 都等於零時，輻角沒有定義值；對於這案例，為了方便起見，將輻角設定為零。 假若需要，將角坐標 theta 在值域 pi pi 的數值加上 pi，則可得到在值域 02pi 的數值。 極座標系方程 函式：用極座標系描述的曲線方程稱作極座標方程，通常表示為 r 為自變數 θ 的函式。 對稱：極座標方程經常會表現出不同的對稱形式，如果 r θ r（θ），則曲線關於極點（0180）對稱，如果 r πθ r θ，則曲線關於極點（90270）對稱，如果 r θα r θ，則曲線相當於從極點逆時針方向旋轉 α。 圓 在極座標系中，圓心在（r0 varphi）半徑為 a 的圓的一般方程為 r2 2 r r_0 cos theta varphi r_02 a2 特定情況：比如方程 r thetaa 表示一個以極點為中心半徑為 a 的圓。 推導 設圓的半徑為 r，圓心的極座標為 p_0alpha，並變換為直角座標：p_0cosalphap_0sinalpha。則圓上的點的直角座標系方程為： xp_0cosalpha2yp_0sinalpha2r2 設圓上的點的極座標為 pbeta，則 xpcosbetaqquad ypsinbeta 因此， p22pp_0 sinbetasinalphacosbetacosalphap_02r2， 化簡為 p2p_022pp_0cos betaalphar2 直線 過極點的射線方程： theta varphi 其中 φ 為射線的傾斜角。若 m 為直角座標系的射線的斜率，則有 φ arctan m。任何不經過極點的直線都會與某條射線垂直。 這些在點（r0 φ）處的直線與射線 θ φ 垂直，其方程為 r theta r_0sec thetavarphi 玫瑰線 極座標的玫瑰線是數學曲線中非常著名的曲線，看上去像花瓣，它只能用極座標方程來描述，方程如下： r theta a cos ktheta 或者 r theta a sin ktheta 如果 k 是整數，當 k 是奇數時那麼曲線將會是 k 個花瓣，當 k 是偶數時曲線將是 2k 個花瓣。如果 k 為非整數，將產生圓盤狀圖形，且花瓣數也為非整數。注意：該方程不可能產生 4 的倍數加 2（如 2，6，10）個花瓣。變數 a 代表玫瑰線花瓣的長度。 阿基米德螺線 阿基米德螺線在極座標裡使用以下方程表示： r theta abtheta 改變引數 a 將改變螺線形狀，b 控制螺線間距離，通常其為常量。阿基米德螺線有兩條螺線，一條 θ0，另一條 θ0。兩條螺線在極點處平滑地連線。把其中一條翻轉 90270 得到其映象，就是另一條螺線。 圓錐曲線 圓錐曲線方程如下： r ellover 1 e cos theta 其中 ell 表示半正焦弦，e 表示離心率。 如果 e 1，曲線為橢圓，如果 e 1，曲線為拋物線，如果 e 1，則表示雙曲線。 r epover 1 ecos theta 其中 e 表示離心率，p 表示焦點到準線的距離。 其他曲線 由於座標系統是基於圓環的，所以許多有關曲線的方程，極座標要比直角座標系（笛卡爾形式）簡單得多。比如伯努利雙紐線，蚶線，還有心臟線。 複數 複數的通常矩形形式為 a bi，在極座標中也可以表示為兩種不同的方式： r costhetaisintheta，簡寫為 r operatorname cis theta r eitheta 等同於尤拉公式。 複數在直角座標系和極座標系的變換透過以下公式實現： a r cos theta b r sin theta 其中 r sqrt a2 b2 複數的乘法、除法以及指數以及開方運算，在極座標中會比在直角座標中容易得多，他們分別是： 乘法：r operatorname cis theta R operatorname cis varphi rR operatorname cis thetavarphi 除法：frac r operatorname cis thetaR operatorname cis varphi frac rR operatorname cis thetavarphi 指數（棣莫弗定理，De Moivres formula） r operatorname cis thetan rn operatorname cis ntheta 微積分 微積分可適用於極座標系下表達的等式。 微分 利用以及，我們可以得出極座標下的微分和直角座標下微分的關係。給定一函式 u xy，透過計算其全微分可得： begin align r frac partial upartial r r frac partial upartial xfrac partial xpartial r r frac partial upartial yfrac partial ypartial r 2pt frac partial upartial theta frac partial upartial xfrac partial xpartial theta frac partial upartial yfrac partial ypartial theta end align 或 begin align r frac partial upartial r r frac partial upartial x costheta r frac partial upartial y sintheta x frac partial upartial x y frac partial upartial y 2pt frac partial upartial theta frac partial upartial x r sintheta frac partial upartial y r costheta y frac partial upartial x x frac partial upartial y end align 於是，我們可以得到下述關係： begin align r frac partialpartial r x frac partialpartial x y frac partialpartial y 2pt frac partialpartial theta y frac partialpartial x x frac partialpartial y end align 利用座標逆變換，可以得到類似的反向關係。給定一函式 u rθ，我們有 begin align frac partial upartial x frac partial upartial rfrac partial rpartial x frac partial upartial thetafrac partial thetapartial x 2pt frac partial upartial y frac partial upartial rfrac partial rpartial y frac partial upartial thetafrac partial thetapartial y end align 或 begin align frac partial upartial x frac partial upartial rfrac xsqrt x2y2 frac partial upartial thetafrac yx2y2 2pt cos theta frac partial upartial r frac 1r sinthetafrac partial upartial theta 2pt frac partial upartial y frac partial upartial rfrac ysqrt x2y2 frac partial upartial thetafrac xx2y2 2pt sinthetafrac partial upartial r frac 1r costhetafrac partial upartial theta end align 於是， begin align frac partialpartial x cos thetafrac partialpartial r frac 1r sinthetafrac partialpartial theta 2pt frac partialpartial y sin thetafrac partialpartial r frac 1r costhetafrac partialpartial theta end align 對一條極座標下曲線 r θ，要得到其在直角座標下的切線斜率，先用引數方程表述該曲線： begin align x r thetacostheta y r thetasintheta end align 把兩個等式對 θ 求導，得到 begin align frac dxdtheta rthetacostheta r thetasintheta2pt frac dydtheta rthetasintheta r thetacostheta end align 用第一條等式除第二條，可得曲線在上切線的斜率。 frac dydx frac rthetasintheta r thetacosthetarthetacostheta r thetasintheta 向量微積分 向量微積分也可以應用到極座標。對於平面運動，令 mathbf r 為位置向量 rcos thetarsin theta，由 r 與隨時間 t 變化的 theta 表達，hat mathbf r 是 mathbf r 方向上的單位向量，hat boldsymboltheta 是以 mathbf r 為起始順時針旋轉的角度單位向量。第一和第二個位置的表示式是： frac dmathbf rdt dot rhat mathbf r rdotthetahat boldsymboltheta frac d2mathbf rdt2 ddot r rdottheta2hat mathbf r rddottheta 2dot r dotthetahat boldsymboltheta 令 mathbf A 為被一條連線焦點與曲線上一點的線所劃分出的區域，則 dmathbf A 就是由 mathbf r 和 dmathbf r 所構平行四邊形區域的一半。 dA begin matrixfrac 12end matrix mathbf r times dmathbf r 所以，整個區域就是 dmathbf A 關於時間的積分。 極座標與球座標和圓柱座標的聯絡 極座標系可被擴充套件到三維空間中，形成圓柱座標系和球座標系兩個不同的座標系。 圓柱座標系 與將直角座標系擴充套件為三維的方法相似，圓柱座標系是在二維極座標系的基礎上增添了第三條用於測量高於平面的點的高度的座標所構成的。這第三條座標通常也表示為 z。所以圓柱座標表示為（ρ φ z）。 透過以下公式，可以從直角座標變換為圓柱座標： xrho cosvarphi yrho sinvarphi zz 球座標系 球座標系也可以運用座標（r θ φ）擴充套件為三維，其中 r 是距離球心的距離，θ 是距離 z 軸的角度（稱作餘緯度或頂角，角度從 0 到 180），φ 是距離 x 軸的角度（與極座標中一樣）。這個座標系被稱作球座標系，與用於地球的經度和緯度相似，緯度就是餘角 θ，取決於 δ＝90－θ，經度可透過 λφ180 算得。 透過以下公式，可以從直角座標變換為球座標： x r sintheta cosvarphi y r sintheta sinvarphi z r costheta 應用 定位和導航 極座標通常被用於導航，作為旅行的目的地或方向可以作為從所考慮的物體的距離和角度。例如，飛機使用極座標的一個略加修改的版本進行導航。這個系統中是一般的用於導航任何種類中的一個系統，在 0 射線一般被稱為航向 360，並且角度是以順時針方向繼續，而不是逆時針方向，如同在數學系統那樣。航向 360 對應地磁北極，而航向 90，180，和 270 分別對應於磁東，南，西。因此，一架飛機向正東方向上航行 5 海里將是在航向 90（空中交通管制讀作 090）上航行 5 個單位。 建模 有徑向對稱的系統提供了極座標系的自然設定，中心點充當了極點。這種用法的一個典型例子是在適用於徑向對稱的水井時候的。有徑向力的系統也適合使用極座標系。這些系統包括了服從平方反比定律的引力場，以及有點源的系統，如無線電天線。 行星運動的開普勒定律 極座標提供了一個表達在引力場中開普勒行星執行定律的自然的方法。開普勒第一定律表明，環繞一顆恆星執行的行星軌道形成了一個橢圓，這個橢圓的一個焦點在質心上。上面所給出的二次曲線部分的等式可用於表達這個橢圓。開普勒第二定律表明，連線行星和它所環繞的恆星的線在等時間間隔所劃出的區域是面積相等的，即 dmathbf Aover dt 是常量。這些等式可由牛頓運動定律推得。在開普勒行星運動定律中有相關運用極座標的詳細推導。 相關內容 圓柱座標系 球座標系 參考資料 普遍的參考資料 特定的參考資料 J