列維 奇維塔符號（LeviCivita symbol），又稱列維 奇維塔 ε，為一線上性代數，張量分析和微分幾何等數學範疇中常見到的符號。對於正整數 ，它以 所形成排列的奇偶性來定義。它以義大利數學家和物理學家圖利奧列維 齊維塔命名。其他名稱包括排列符號、反對稱符號與交替符號。這些名稱與它排列和反對稱的性質有關。 列維 奇維塔符號的標準記號是希臘小寫字母 或 ，較不常見的也有以拉丁文小寫 記號。下標符能與張量分析相容的方式來顯示排列： varepsilon_a_1a_2cdots a_n 其中每個下標指標 取值介乎 到 。在 中，共有 個指標排列，可以排成為一個 維陣列。 當任何兩個指標相等，則定義符號值等於 ： varepsilon_cdots a_p cdots a_p cdots0； 當全部指標都不相等時，我們定義： varepsilon_a_1 a_2 cdots a_n 1p varepsilon_1 2 cdots n， 其中 稱為「排列的奇偶性」 parity of permutation，是要將 變換成自然次序 ，所需的對換次數。而因子 被稱為「排列正負號」 signum of permutation。這裡， 的值必須有定義，否則其他特定排列的符號值將無法確定。大多數作者選擇 作為自然次序的值： varepsilon_12cdots n1 。 在本文中，也將使用這個定義。 從定義可知，當任何兩個指標互換，則須加上負號： varepsilon_cdots a_p cdots a_q cdotsvarepsilon_cdots a_q cdots a_p cdots。 這稱為「完全反對稱性」。 維列維 奇維塔符號 一詞是指符號上的指標數 ，和所討論的向量空間維度相符，其中可指歐幾裡得空間或非歐幾裡得空間，例如 的 或閔可夫斯基空間的 。 列維 奇維塔符號的值，與參考座標系無關。此外，這裡使用「符號」一詞。強調了它並不是一個張量；然而，它可以被理解為張量的密度。 列維 奇維塔符號可用來表示正方矩陣的行列式，及三維歐幾裡德空間中的兩個向量的叉積。 定義 列維 奇維塔符號最常用於三維和四維，並在一定程度上用於二維，因此在定義一般情況之前，先給出這些符號值。 二維 在二維中，列維 奇維塔符號定義如下： varepsilon_ij begin cases 1 1 0 end cases 當 left ij rightleft 12 right varepsilon_ij begin cases 1 1 0 end cases 當 left ij rightleft 21 right varepsilon_ij begin cases 1 1 0 end cases 當 ij 這些值可以排列成 反對稱矩陣： begin pmatrix varepsilon_11 varepsilon_12 varepsilon_21 varepsilon_22 end pmatrix begin pmatrix 0 1 1 0 end pmatrix 相對於其他維度，二維的列維 奇維塔符號並不常見，雖然在某些專門的主題，如超對稱和扭量理論中，談及 2 旋量時會用到。 三維 三維以上的列維 奇維塔符號更常用。在三維中，列維 奇維塔符號定義如下： varepsilon_ijk begin cases 1 1 0 end cases 當 left ijk rightleft 123 right 、 left 231 right 或 left 312 right varepsilon_ijk begin cases 1 1 0 end cases 當 left ijk rightleft 321 right 、 left 213 right 或 left 132 right varepsilon_ijk begin cases 1 1 0 end cases 當 ij 、 jk 或 ik 也就是說，如果 是 的偶排列，則符號值為 。如果是奇排列，則符號值為 。如果任何兩個索引重複，則符號值為 。 僅在三維中， 的迴圈排列都是偶排列，反迴圈排列都是奇排列。這意味著在三維中，僅觀察 是 的迴圈排列，還是反迴圈排列，就足以分辨其奇偶性。 類似於二維矩陣，三維列維 奇維塔符號的值可以排成 陣列： 其中 是深度 ， 是橫行， 是直列。 以下是一些例子： begin align varepsilon_color BrickRed1 color Violet3 color Orange2 varepsilon_color BrickRed1 color Orange2color Violet3 1 varepsilon_color Violet3color BrickRed1 color Orange2 varepsilon_color Orange2color BrickRed1color Violet3 varepsilon_color BrickRed1color Orange2color Violet3 1 varepsilon_color Orange2 color Violet3color BrickRed1 varepsilon_color BrickRed1 color Violet3color Orange2 varepsilon_color BrickRed1color Orange2color Violet3 1 varepsilon_color Orange2 color Violet3 color Orange2 varepsilon_color Orange2 color Violet3color Orange2 0 end align 四維 在四維中，列維 奇維塔符號定義如下： varepsilon_ijkl begin cases 1 1 0 end cases 當 left ijk l rightleft 123 4 right 的偶排列 varepsilon_ijkl begin cases 1 1 0 end cases 當 left ijk l rightleft 123 4 right 的奇排列 varepsilon_ijkl begin cases 1 1 0 end cases 其餘情況，即任意兩個指標相等 這些值可以排成 陣列，然而四維以上較難描繪出示意圖。 以下是一些例子： begin align varepsilon_color BrickRed1color RedViolet4color Violet3color Orangecolor Orange2 varepsilon_color BrickRed1color Orangecolor Orange2color Violet3color RedViolet4 1 varepsilon_color Orangecolor Orange2color BrickRed1color Violet3color RedViolet4 varepsilon_color BrickRed1color Orangecolor Orange2color Violet3color RedViolet4 1 varepsilon_color RedViolet4color Violet3color Orangecolor Orange2color BrickRed1 varepsilon_color BrickRed1color Violet3color Orangecolor Orange2color RedViolet4 varepsilon_color BrickRed1color Orangecolor Orange2color Violet3color RedViolet4 1 varepsilon_color Violet3color Orangecolor Orange2color RedViolet4color Violet3 varepsilon_color Violet3color Orangecolor Orange2color RedViolet4color Violet3 0 end align 推廣到高維 更一般地推廣到 維中，則列維 奇維塔符號的定義為： varepsilon_a_1 a_2 a_3 ldots a_n begin cases 1 1 0 end cases 當 a_1 a_2 a_3 ldots a_n 是 123dotsn 的偶排列 varepsilon_a_1 a_2 a_3 ldots a_n begin cases 1 1 0 end cases 當 a_1 a_2 a_3 ldots a_n 是 123dotsn 的奇排列 varepsilon_a_1 a_2 a_3 ldots a_n begin cases 1 1 0 end cases 其餘情況，即任意兩個指標相等 又可使用求積符號 表達為： begin align varepsilon_a_1 a_2 a_3 ldots a_n prod_1leq i j leq n sgn a_ja_i sgn a_2 a_1sgn a_3 a_1dotssgn a_n a_1sgn a_3 a_2sgn a_4 a_2dotssgn a_n a_2dotssgn a_n a_n1 end align 其中的 是符號函式，根據 的正負給出 、 或 。該公式對對於任何 及任何指標排列都有效（當 或 時，定義為空積 ）。 然而，計算以上公式的時間複雜度為 ，而以不交迴圈排列的性質計算，則只需 。 兩個列維 奇維塔符號的積，可以用一個以廣義克羅內克函式表示的行列式求得： varepsilon_ijkdotsvarepsilon_mnldots begin vmatrix delta_im delta_in delta_il dots delta_jm delta_jn delta_jl dots delta_km delta_kn delta_kl dots vdots vdots vdots end vmatrix 應用和範例 行列式 線上性代數中， 的方陣 ： A begin pmatrix a_11 a_12 a_13 a_21 a_22 a_23 a_31 a_32 a_33 end pmatrix， 其行列式可以寫為： det A sum_ijk13 varepsilon_ijk a_1i a_2j a_3k， 類似地， 矩陣 的行列式可以寫為： det A sum_a_1a_2cdotsa_n1n varepsilon_a_1a_2cdots a_n a_1a_1a_2a_2 cdots a_na_n 向量的叉積 對於向量 與 ，它們的叉積： boldsymbol a timesboldsymbol b begin vmatrix boldsymbol e_1 boldsymbol e_2 boldsymbol e_3 a_1 a_2 a_3 b_1 b_2 b_3 end vmatrix sum_1leq ijkleq 3 varepsilon_ijka_ib_j boldsymbol e_k 對於向量 、 與 ，它們的三重積： boldsymbol a cdot boldsymbol b times boldsymbol c begin vmatrix a_1 a_2 a_3 b_1 b_2 b_3 c_1 c_2 c_3 end vmatrix sum_1leq ijkleq 3 varepsilon_ijka_i b_j c_k 性質 由列維 奇維塔符號給出（共變等級為）張量在正交基礎中的組成部份，有時稱為 置換張量。 根據普通的張量變換規則，列維 奇維塔符號在純旋轉下不變，與正交變換相關的所有座標系統（在定義上）相同。然而，列維 奇維塔符號是一種贗張量，因為在雅可比行列式1 的正交變換之下，例如，一個奇數維度的鏡射，如果它是一個張量，它 應該 有一個負號。由於它根本沒有改變，所以列維 奇維塔符號根據定義，是一個贗張量。 由於列維 奇維塔符號是贗張量，因此取叉積的結果是贗張量，而不是向量。 在一般座標變換下，置換張量的分量乘以變換矩陣的雅可比。這表示在與定義張量的座標系不同的座標系中，其組成部份與列維 奇維塔符號表示的那些，不同之處在於一整體因子。如果座標是正交的，則根據座標的方向是否相同，因子將為 1。 在無指標的張量符號中，列維 奇維塔符號被霍奇對偶的概念所取代。 在使用張量的指標符號來操作分量的上下文中，列維 奇維塔符號可以將其指標寫為下標或上標，而不改變意義，這也許是方便的如下寫成： varepsilonijdots k varepsilon_ijdots k 在這些例子中，上標應該被視為與下標相同。 使用愛因斯坦標記法可消除求和符號，其中兩個或多個項之間重複的指標表示該指標的求和。例如， varepsilon_ijk varepsilonimn equiv sum_i123 varepsilon_ijk varepsilonimn 以下的例子使用愛因斯坦標記法。 二維 在二維上，當所有 i ，j ，m ，n 各取值 1 和 2 時， 三維 指標和符號值 在三維中，當所有 i ，j ，k ，m ，n 各取值 12 和 3 時： 乘積 列維 奇維塔符號與克羅內克函式有關。 在三維中，關係由以下等式給出（垂直線表示行列式）： begin align varepsilon_ijkvarepsilon_lmn begin vmatrix delta_il delta_im delta_in delta_jl delta_jm delta_jn delta_kl delta_km delta_kn end vmatrix 6pt delta_illeft delta_jmdelta_kn delta_jndelta_kmright delta_imleft delta_jldelta_kn delta_jndelta_kl right delta_in left delta_jldelta_km delta_jmdelta_kl right end align 這個結果的一個特例是 sum_i13 varepsilon_ijkvarepsilon_imn delta_jmdelta_kn delta_jndelta_km 有時候其被稱為 contracted epsilon identity。 在愛因斯坦標記法中，i 指標的重複表示對於 i 的求和。由此，上述結論可表記為： varepsilon_ijkvarepsilon_imndelta_jmdelta_kn delta_jndelta_km 進一步可以知道： sum_i13 sum_j13 varepsilon_ijkvarepsilon_ijn 2delta_kn 維 指標和符號值 在維中，當所有 i_1ldotsi_nj_1ldotsj_n take values12ldotsn ： 驚嘆號 代表階乘，而 deltaalphaldots_betaldots 是廣義克羅內克函式，對於任意有屬性： sum_i j k dots 1n varepsilon_ijkdotsvarepsilon_ijkdots n 從以下事實可得出： 每個排列是偶排列或奇排列， 12121 ，與 任何 元素集合的排列數正好是 n 。 乘積 一般來說，對於維，兩個列維 奇維塔符號的乘積可以寫成： varepsilon_i_1 i_2 dots i_n varepsilon_j_1 j_2 dots j_n begin vmatrix delta_i_1 j_1 delta_i_1 j_2 dots delta_i_1 j_n delta_i_2 j_1 delta_i_2 j_2 dots delta_i_2 j_n vdots vdots ddots vdots delta_i_n j_1 delta_i_n j_2 dots delta_i_n j_n end vmatrix 證明 L L Category 數學符號