在數學中，素數計數函式是一個用來表示小於或等於某個實數 x 的素數的個數的函式，記為 pi x。 歷史 在數論中，素數計數函式的增長率引起了很大的興趣。在 18 世紀末，高斯和勒讓德曾猜想這個函式大約為： xoperatorname lnx 也就是 lim_xrightarrowinftyfrac pi xxoperatorname lnx1 這就是素數定理。一個等價的表述，是： lim_xrightarrowinftypi x operatorname lix1 其中 operatorname lix 是對數積分函式。這個定理在 1896 年由法國數學家雅克阿達馬和比利時數學家德拉瓦萊布桑先後獨立給出證明。證明用到了黎曼 ζ 函式的性質。 目前已知 pi x 還有更精確的估計，例如： pi x operatorname lix mathrm O left x exp left frac sqrt ln x15 right right 其中 O 是大 O 符號。1948 年，阿特勒塞爾伯格和保羅埃爾德什不使用函式或複分析證明了素數定理。 另外一個關於素數計數函式的增長率的猜想，是： sum_p le x pn sim pi xn1 sim Li xn1 πx、x ln x 和 li x x x x x ln x li x x x x x ln x Error 10 4 03 22 2500 75 102 25 33 51 4000 1320 103 168 23 10 5952 1369 104 1229 143 17 8137 1164 105 9592 906 38 10425 945 106 78498 6116 130 12740 779 107 664579 44158 339 15047 664 108 5761455 332774 754 17357 578 109 50847534 2592592 1701 19667 510 1010 455052511 20758029 3104 21975 456 1011 4118054813 169923159 11588 24283 413 1012 37607912018 1416705193 38263 26590 377 1013 346065536839 11992858452 108971 28896 347 1014 3204941750802 102838308636 314890 31202 321 1015 29844570422669 891604962452 1052619 33507 299 1016 279238341033925 7804289844393 3214632 35812 279 1017 2623557157654233 68883734693281 7956589 38116 263 1018 24739954287740860 612483070893536 21949555 40420 248 1019 234057667276344607 5481624169369960 99877775 42725 234 1020 2220819602560918840 49347193044659701 222744644 45028 222 1021 21127269486018731928 446579871578168707 597394254 47332 211 1022 201467286689315906290 4060704006019620994 1932355208 49636 202 1023 1925320391606803968923 37083513766578631309 7250186216 51939 193 1024 18435599767349200867866 339996354713708049069 17146907278 54243 184 1025 176846309399143769411680 3128516637843038351228 55160980939 56546 177 1026 1699246750872437141327603 28883358936853188823261 155891678121 58850 170 1027 16352460426841680446427399 267479615610131274163365 508666658006 61153 164 計算 πx 的方法 如果 x 不太大，一個簡單的計算 pi x 的方法就是算出每個素數（比如使用埃拉託斯特尼篩法）。 一個比較複雜的計算 pi x 的方法是勒讓德發現的：給定 x，如果 p_1、 p_2、 、 p_k 是不同的素數，則小於 x 且不能被任何一個 p_i 整除的整數個數是： lfloor xrfloor sum_ileftlfloorfrac xp_irightrfloor sum_ijleftlfloorfrac xp_ip_jrightrfloor sum_ijkleftlfloorfrac xp_ip_jp_krightrfloor cdots （其中 lfloorcdotrfloor 是取整函式）。因此這個數等於： pi xpileft sqrt xright1 其中 p_1 p_2dotsp_k 是小於或等於 x 的平方根的素數的個數。 恩斯特梅塞爾在 1870 年和 1885 年發表的一系列文章中，描述並使用了一個計算 pi x 的組合方法。設 p_1 p_2 p_n 是最初 n 個素數，不大於 m 且不能整除任何一個 p_i 的自然數個數記為 Phi mn，那麼： Phi mnPhi mn1Phileft left frac mp_nrightn1right 給定一個自然數 m，如果 npileft sqrt 3mright 且 mupileft sqrt mrightn，那麼： pi mPhi mnn mu1frac mu2mu21sum_k1mupileft frac mp_nkright 利用這種方法，梅塞爾計算了 x 等於 5105、106、107 以及 108 時 pi x 的值。 1959 年，德里克亨利勒梅爾推廣並簡化了梅塞爾的方法。對於實數 m 和自然數 n 和 k，定義 P_k mn 為不大於 m 且正好有 k 個大於 p_n 的素因子的整數個數。更進一步，設定 P_0 mn1。那麼： Phi mnsum_k0infty P_k mn 這個和實際上只有有限個非零的項。設 y 為一個整數，使得 sqrt 3mle ylesqrt m，並設 npi y。那麼當 k 3 時，P_1 mnpi mn 且 P_k mn0。因此： pi mPhi mnn1P_2 mn P_2 mn 的計算可以用這種方法來獲得： P_2 mnsum_y 另一方面，Phi mn 的計算可以用以下規則來完成： Phi m0lfloor mrfloor Phi mbPhi mb1Phileft frac m p_bb1right 利用這種方法，勒梅爾計算了 pileft 1010right。 其它素數計數函式 我們也使用其它的素數計數函式，因為它們更方便。其中一個是黎曼的素數計數函式，通常記為 Pi_0 x。這個函式在自變數為素數的冪 pn 時突然增加了 1n，而該點的值則是兩邊的平均值。我們可以用以下公式來定義 Pi_0 x： Pi_0 x frac12 bigg sum_pn x frac1n sum_pn le x frac1nbigg 其中 p 是素數。 也可以寫成以下公式： Pi_0 x sum_2x frac Lambda nln n frac12 frac Lambda xln x sum_n1infty frac1n pi_0 x1n 其中 Λn 是馮曼戈爾特函式， pi_0 x lim_varepsilon rightarrow 0frac pi xvarepsilonpi xvarepsilon 2 利用默比烏斯反演公式，可得： pi_0x sum_n1infty frac mu n n Pi_0 x1n 知道了黎曼 ζ 函式的對數與馮曼戈爾特函式 Lambda 之間的關係，並利用佩龍公式，可得： ln zeta s s int_0infty Pi_0 x xs1dx 不等式 下面是一些有用的 πx 不等式。 frac x ln x pi x 125506 frac x ln x ，左不等式適用於 x 17，右不等式適用於 x1，常數 125506 為 frac 30 ln 113113 保留 5 位有效小數，frac pi x ln xx 最大值為 x 113。 Pierre Dusart 在 2010 年證明： frac x ln x 1 pi x （其中 x ge 5393） pi x frac x ln x 11 （其中 x ge 60184） 第 n 個素數 pn 的不等式： n ln n n ln ln n n p_n n ln n n ln ln n 左面的不等式當 n 2 時成立，右面的不等式當 n 6 時成立，上限由 Rosser（1941）提出，下限由 Dusrat（1999）提出。 第 n 個素數的一個估計是： p_n n ln n n ln ln n n frac n ln ln n 2n ln n Oleft frac n ln ln n2 ln n2right 參考文獻 Marc Deléglise and Jöel Rivat Computing pi x The Meissel Lehmer Lagarias Miller Odlyzko method Mathematics of Computation vol 65 number 33 January 1996 pages 235245 Hwang H Cheng Prime Magic conference given at the University of Bordeaux France at year 2001 Démarches de la Géométrie et des Nombres de lUniversité du Bordeaux Titchmarsh E C The Theory of Functions 2nd ed Oxford England Oxford University Press 1960 Oliveira e Silva Tomás Tables of values of pi x and of pi2 x Gourdon Xavier SebahPascal PrimePi values thru 4E22 Category 解析數論 Category 素數 Category 算術函式