在數理邏輯中，新基礎集合論（NF）是公理化集合論的一種，由蒯因構想出來作為對《數學原理》中型別論的簡化。蒯因 1937 年於《數理邏輯的新基礎》一文中首次提及 NF（此即其名稱的由來）。請注意，此條目大多是在談論 NFU，這是 Jensen 於 1969 年所提出，並由 Holmes 於 1998 年闡述的一重要變體。 型別論 TST 改進版本的型別論 TST 的基本謂詞是等於和成員關係。TST 有一個線性的型別層次：型別 0 由不加描述的個體組成。對於每個（元 ）自然數 n，型別 n1 的物件是型別 n 物件的集合；型別 n 的集合有型別為 n1 的成員。用等號連線的物件必須有相同的型別。下列兩個原子公式簡潔的描述了定型別規則：xn yn 和 xn in yn1（符號仍可改進）。 TST 的公理是： 外延性：帶有相同成員的相同（正數）型別的集合是相等的； 概括公理模式，也就是： 如果 phi xn 是公式，則集合 xn mid phi xnn1 存在。 換句話說，給定任何公式 phi xn ，存在集合 An1 使得 forall xn exists An1 xn in An1 leftrightarrow phi xn 為真。 這個型別論比於《數學原理》首次發表的型別論簡單許多，因為它還得包括其引數不必然都有同樣型別的關係型別。在 1914 年，諾伯特維納展示瞭如何把有序對編碼為集合的集合。這使得以這裡描述的集合層次的方式消除了關係型別。 蒯因集合論 公理和層化 新基礎（NF）是透過放棄 TST 的型別區別而獲得的。NF 的公理有： 外延性：有相同元素的兩個物件是同一個物件； 概括模式：所有 TST 的概括例項，但去掉了型別索引（並且不用引入在變數之間新的同一性）。 透過約定，NF 的概括模式使用層化公式的概念來陳述，而不直接提及型別。一個公式 phi 被稱為是層化的，如果存在從語法片段到自然數的一個函式 f，使得對於任何 phi 的原子子公式 x in y 有 f y f x 1；而對於任何 phi 的原子子公式 xy，有 f x f y。概括接著變成： 對於每個層化公式 phi 存在 x mid phi 。甚至在層化概念內隱含的對型別的間接提及也可以消除。Hailperin 在 1944 年證實了概括等價於它的一些推論的有限合取，所以 NF 可以有限的公理化而不提及型別的概念。 對於樸素集合論概括好像是不自洽的，但是在這裡不是。例如，不可能的羅素類 x mid x notin x 不是 NF 集合，因為 x notin x 不能被層化。 有序對 關係和函式在 TST（以及 NF 和 NFU）中以通常的方式定義為有序對。首先由 Kuratowski 在 1921 年提議的有序對常用的定義對於 NF 和相關理論有個嚴重缺陷：結果的有序對必定有比它的引數（它的左和右投影）的型別高 2 的型別。所以為了決定分層，函式有比它的定義域的成員高 3 的型別。 如果能以其型別是同它的引數一樣的型別的方式定義對（導致一個型別齊平有序對），則關係或函式有隻比它的域的成員的型別高 1 的型別。所以 NF 和相關理論通常採用蒯因的有序對的集合論定義，這樣得出的是型別的型別 齊平的有序對。Holmes（1998）把有序對與它的左和右投影定為原始概念。幸運的是，無論有序對是透過定義或透過假定（就是作為原始概念）而型別齊平，通常是不重要的。 型別齊平有序對的存在蘊涵了 無窮公理，而 NFU 無窮公理 解釋了 NFU 存在著型別齊平的有序對（它們不是同樣的理論，但是區別無關緊要）。反過來，NFU 無窮公理選擇公理 證明了型別齊平有序對的存在。 有用的大集合的可容納性 NF（以及 NFU 無窮公理選擇公理，下面描述並已知是相容的）允許構造兩種集合，它們都是 ZFC 和它的真擴充套件所不允許的，因為 太大 的緣故（某些集合論在真類的名義下接受這些實體）： 全集 V。因為 xx 是層化公式，透過概括存在全集 V x xx 。直接的推論是所有集合都有補集，而在 NF 下的整個集合論全集有一個布林結構。 基數和序數。在 NF（和 TST）中，存在 n 個元素的所有集合的集合（這裡迴圈性只是外觀上的）。所以弗雷格的基數定義在 NF 和 NFU 中可行；基數是集合在等勢關係下的等價類：集合 A 和 B 是等勢的，如果存在它們之間的雙射，在這種情況下我們寫為 A sim B 。類似的，序數是良序集合在相似關係下的等價類。 NF U 如何避免集合論悖論 NF 清除了三個周知的集合論悖論。NFU 這個 相對 相容的理論也避免了這些悖論，增強了我們對這些理論的信心。 羅素悖論：x notin x 不是層化公式，所以不會透過概括的任何推論得出 x mid x notin x 的存在性。蒯因構造 NF 的時候大概最關注於這個悖論。 關於最大基數的康托爾悖論利用了康托爾定理對全集的應用。康托爾定理聲稱（假定 ZFC）任何集合的 A 的冪集 P A 大於 A （沒有從 P A 到 A 的單射函式）。但如果 V 是全集的話，當然有從 P V 到 V 的單射。為瞭解決這個問題，我們需要注意到 A P A 在型別論中沒有意義：P A 的型別比 A 的型別高 1。正確的有型別版本（它是在型別論中的定理，成立的原因就像康托爾定理在 ZF 中成立那樣）是 P_1 A P A ，這裡的 P_1 A 是 A 的單元素子集的集合。在這個定理中，使我們感興趣的特殊例項是 P_1 V P V ：單元素集合們少於集合們（因此一個元素的集合們少於全體物件，如果我們在 NFU 中的話）。從全集到這些單元素集合明顯的雙射 x mapsto x 不是一個集合；它不是集合是因為它的定義是非層化的。注意在所有已知的 NFU 的模型中 P_1 V P V V 都成立；選擇公理 允許我們不只證明有基本元素，而且在 P V 和 V 之間有很多基數。 我們現在引入某些有用的概念。若集合 A 滿足 A P_1 A ，就被稱為康托爾式的：康托爾式集合滿足通常形式的康托爾定理。集合 A 滿足進一步條件 x mapsto xlceil A ，即單元素集合對映在 A 上的限制，則不只是康托爾式的而且是強康托爾式的。 下面是關於最大序數的布拉利 福爾蒂悖論。我們定義 跟從樸素集合論 序數是良序排序在相似性下的等價類。在序數上有一個明顯的自然的良序排序；因為它是良序排序所以它屬於一個序數 Omega 。透過超限歸納法 可直接證明在小於一個給定序數 alpha 的序數們上的自然次序的序型別是 alpha 自身。但是這意味著 Omega 是小於 Omega 的序數們的序型別，因此它嚴格小於所有序數的序型別 但是透過定義，後者是 Omega 自身！ 在 NF U 中對這個悖論的解決開始於觀察到在小於 alpha 的序數們上的自然次序的序型別的型別比 alpha 的型別高。因此型別齊平有序對的型別比它的引數的型別高 1，而常規的 Kuratowski 有序對高 3。對於任何序型別 alpha ，我們可以定義比 alpha 的型別高 1 的序型別：如果 W in alpha ，則 T alpha 是次序 Wiota xy mid xWy 的序型別。T 運算的煩瑣只是外觀上的；可以輕易的證明 T 是在序數們上的嚴格的單調 序保持 運算。 我們可以用層化的方式重申關於序型別的引理：在小於 alpha 的序數們上的自然次序的序型別是 T2 alpha 或 T4 alpha ，依賴於使用哪個有序對定義 我們在下文中假定型別齊平有序對。從此我們可演繹出在小於 Omega 的序數們上的序型別是 T2 Omega ，從它我們演繹出 T2 OmegaOmega 。因此 T 運算不是個函式；我們不能有從序數到序數的嚴格單調集合對映，它向下對映一個序數！因為 T 是單調的，我們有 Omega T2 Omega T4 Omegaldots，在序數們中的 遞減序列 不能是集合。 某些人已經斷言這個結果證實了沒有 NF U 的模型是 標準 的，因此在任何 NFU 的模型中序數們外在的不是不是良序的。我們不接受這種立場，而我們注意到還有一個 NFU 的定理，任何 NFU 的集合模型都有非良序的 序數；NFU 不結論出全集 V 是 NFU 的模型，儘管 V 是集合，因為成員關係不是集合關係。 關於數學在 NFU 中的進一步開發，和與在 ZFC 中相同的開發的比較，請參見數學的集合論實現（enImplementation of mathematics in set theory）。 蒯因在 1940 年第一版的《數理邏輯》的集合論中，結合了 von NeumannBernaysGödel 集合論的真類於 NF，併為真類包括了一個無限制概括的公理模式。在 1942 年，J Barkley Rosser 證明了蒯因的集合論遭受 BuraliForti 悖論。在 1950 年，王浩展示瞭如何修正蒯因的公理來避免這個問題，蒯因在 1951 年第二和最終版本的《數理邏輯》中包括了結果的公理化。 參見 公理化集合論 ZFC 數學的集合論實現 自然數的集合論定義 正集合論 可替代的集合論 引用 Holmes Randall 1998 Elementary Set Theory with a Universal Set AcademiaBruylant The publisher has graciously consented to permit diffusion of this introduction to NFU via the web Copyright is reserved Jensen R B 1969 On the Consistency of a Slight Modification of Quines NF Synthese 19 25063 With discussion by Quine Quine W V 1980 New Foundations for Mathematical Logic in From a Logical Point of View 2nd ed revised Harvard Univ Press 80101 The definitive version of where it all began namely Quines 1937 paper in the American Mathematical Monthly 外部連結 Stanford Encyclopedia of Philosophy Quines New Foundations by Thomas Forster Alternative axiomatic set theories by Randall Holmes Randall Holmes New Foundations Home Page Randall Holmes Bibliography of Set Theory with a Universal Set Category 集合論系統 Category 型別論