有理函式是可以表示為以下形式的函式： f xfrac a_m xma_m1 xm1cdots a_1xa_0b_n xnb_n1 xn1cdots b_1xb_0 frac P_m xQ_n x quad quad m n in mathbb N_0，b_i 不全為 0。 有理數式是多項式除法的商，有時稱為代數分數。 漸近線 不失一般性可假設分子、分母互質。若存在 r0，使得 pxqr 是分母 Q x 的因子，則有理函式存在垂直漸近線 xqp。 若 mn，有水平漸近線 y0。 若 mn，有水平漸近線 yfrac a_mb_m。 若 mn1，有斜漸近線 yfrac a_mb_n x frac b_na_m1 b_n1a_mb_n2。 只有一條水平漸近線 泰勒級數 有理函式的泰勒級數的係數滿足一個線性遞迴關係。反之，若一個泰勒級數的係數滿足一個線性遞迴關係，它對應的函式是有理函式。 部分分式 部分分式，又稱部分分數、分項分式，是將有理數式分拆成數個有理數式的技巧。 有理數式可分為真分式、假分式和帶分式，這和一般分數中的真分數、假分數和帶分數的概念相近。真分式分子的次數少於分母的。 若有理數式 frac P xQ x 的分母 Q x 可分解為數個多項式的積，其部分分數便是 sumfrac A_nQ xh_n x，其中 h_n x 是 Q x 的因子，A_n 是次數不大於 Q xh_n x 的多項式。 例子 分拆 frac x3 5x 88x2 3x 28 分子的次數是 3，分母的是 2，所以先將它轉成真分式和多項式的和（即帶分式）： x3 frac 32 x4x2 3x 28 因為 x2 3x 28 x7x4，所以 frac 32 x4x2 3x 28 frac Ax7 frac Bx4 其中 A 和 B 是常數。兩邊乘以 x2 3x 28，得 32x 4 A x4 B x7 即 32x 4 AB x 7B4A 比較係數，得 A B 32 7B 4A 4 解得 A20 B12。 故： frac x3 5x 88x2 3x 28 x frac 20x7 frac 12x4 3 也可以把 x 的特殊值代入等式來解出 A 和 B。例如，當 x4 時，我們有 128 4 11B B 12 當 x7 時，我們有 224 4 11A A 20 應用 伸縮和 複分析 拉普拉斯變換 積分 部分分數 在計算有理數式的積分時，部分分數的方法很有用，因為分母的 1 和 2 次多項式的有理數式的積分都有固定的方法計算。 分母為 1 次多項式：求 int frac 1axb dx。 設 uaxb： frac dudx a frac dua dx 原式變為 int frac 1u frac dua frac 1a int frac 1u du frac lnlefturighta C frac lnleftaxbrighta C 分母次數為 2：求 int frac dxeax2bxc dx。 若多項式 ax2bxc 可分解為兩個一次多項式的積（即 b24ac ge 0），則可用部分分數的方法解決。若多項式不可分解，則將它配方，再用各種替代法解決。 例如： int x6 over x28x25dx 因為 x28x25x28x169x429 考慮 ux28x25 du2x8dx du2x4dx 將分子分解，以便應用上面的替換： int x4 over x28x25dx int 10 over x2 8x 25 dx 左邊： int x4 over x28x25dx int du2 over u 1 over 2lnlefturightC 1 over 2ln x28x25C 另一邊： int 10 over x28x25 dx int 10 over x429 dx int 109 over left x4 over 3right21dx 代入 wx43 dwdx3 10 over 3int dw over w21 10 over 3 arctan wC10 over 3 arctanleft x4 over 3rightC 另一種可行的代入方法是： tanthetax4 over 3 left x4 over 3right21tan2theta1sec2theta dtanthetasec2thetadthetadx over 3 int 109 over left x4 over 3right21dx 109 int frac 1sec2 theta 3 sec2 theta dtheta 10 over 3 arctanleft x4 over 3rightC 奧斯特羅格拉茨基方法 奧斯特羅格拉茨基方法（Ostrogradsky Algorithm Ostrogradskys Method）是這樣的： 設求積的有理函式為 frac PQ，其中 PQ 是多項式，deg Pdeg Q（P 的次數少於 Q）。設 Q_1 為 Q 的導數 Q 和 Q 的最大公因數，Q_2 frac QQ_1。則有： int frac PQ dx frac P_1Q_1 int frac P_2Q_2 dx 其中 P_1P_2 為多項式，deg P_i deg Q_i。 應用例子 求 int frac x dxx12 x13 。 Q x12 x13 Q 2 x1x13 3 x12 x12 x1x12 5x1 Q_1 gcd QQ x1x12 Q_2 QQ_1 x1x1 設 P_1 Ax2 Bx C quad P_2 Dx E int frac x dxx12 x13 frac Ax2 Bx Cx1x12 int frac Dx Ex1x1 dx 兩邊取導數： frac xx12 x13 frac A x3 2 B A x2 3 C B 2 A x C Bx12 x13 frac Dx Ex1x1 通分母，右邊的分子為： D x4 E D A x3 E D 2 B A x2 E D 3 C B 2 A x E C B 比較分子的多項式的係數，得 ABE0125 C025 D0。於是有 int frac x dxx12 x13 frac x2 x 28 1xx12 int frac dx8 x1x1 後者可用部分分數的方法求得。 證明 int frac PQ dx frac P_1Q_1 int frac P_2Q_2 dx frac PQ frac P_1 frac Q_1 P_1Q_1 Q_1 frac P_2Q_2 兩邊乘以 Q P P_1 Q_2 frac Q_1 Q_2 P_1Q_1 P_2 Q_1 由於 Q_1 Q_2 Q Q_1 Q_2，而 Q 和 Q_1 Q_2 都是 Q_1 的倍數，所以 frac Q_1 Q_2 P_1Q_1 是多項式。 比較兩邊多項式的次數： deg P le deg Q1 deg P_1 Q_2 le deg Q_11 deg Qdeg Q_1 deg Q1 deg frac Q_1 Q_2 P_1Q_1 le deg Q_11 deg Qdeg Q_1 deg Q_1 1 deg Q_1 deg Q 2 deg P_2 Q_1 le deg Q deg Q_1 1 deg Q_1 deg Q1 因此 P_1 P_2 有解。 Hermite 方法 應用 帕德近似 插值 參考 Ostrogradskys method httpwwwmathunccedudroystercoursesfall01classnotesLecture08pdf Category 代數簇 Category 概形態射 Category 亞純函式