配方法。 將下方左邊的多項式化成右邊的形式，就是配方法的目標： ax2 bx c a xh2 k，其中 h 和 k 是常數。 簡介 在基本代數中，配方法是一種用來把二次函式化為一個多項式的平方與一個常數的和的方法。這種方法是把以下的多項式 a x2 b x 化為 c x d2 e 以上表達式中的係數 a、b、c、d 和 e 本身也可以是表示式，可以含有除 x 以外的變數。 配方法通常用來推匯出二次方程的求根公式： begin align ax2bxc 0 ax2bx c x2 left frac ba right x frac ca end align 我們的目的是要把方程的左邊化為完全平方。由於問題中的完全平方具有 xy2x22xyy2 的形式，可匯出 2xyfrac ba x，因此 yfrac b2a。等式兩邊加上 y2frac b2a2，可得： begin align x2 frac ba x left frac b2aright2 left frac b2aright2 frac ca left x frac b2aright2 frac b24ac4a2 x frac b2a pmfrac sqrt b24ac2a x frac b pm sqrt b24ac2a end align 這個表示式稱為二次方程的求根公式。 幾何學的觀點 考慮把以下的方程配方：x2 bx a 由於 x2 表示邊長為 x 的正方形面積，bx 表示邊長為 b 和 x 的矩形面積，因此配方法可以視為矩形的操作。 如果嘗試把矩形 x2 和兩個 frac b2x 合併成一個更大的正方形，這個正方形還會缺一個角。把以上方程的兩端加上 left frac b2right2，正好是欠缺的角的面積，這就是 配方法 的名稱的由來。 一般公式 為了得到 a x2 b x c x d2 e 我們設 begin align c sqrt a d frac b2sqrt a e d2 left frac b2sqrt aright2 frac b24a end align 得出 a x2 b x left sqrt ax frac b2 sqrt aright2 frac b24a 證明 注意 left cx dright2 e c2 x2 2cdx d2 e。為了把 c2 x2 2cdx d2 e 化為 ax2 bx f 的形式，我們必須進行以下的代換： begin align a c2 b 2cd f d2 e end align 現在，a、b 和 f 依賴於 c、d 和 e，因此我們可以把 c、d 和 e 用 a、b 和 f 來表示： begin align c pm sqrt a d frac b2c pm frac b2sqrt a e f d2 f frac b24a end align 當且僅當 f 等於零且 a 是正數時，這些方程與以上是等價的。如果 a 是負數，那麼 c 和 d 的表示式中的 號都表示負號然而，如果 c 和 d 都是負數的話，那麼 cxd2 的值將不受影響，因此 pm 號是不需要的。 例子 具體例子 begin align 5x2 7x 6 5left x2 7 over 5 xright 6 5left x2 7 over 5 x left 7 over 10right2right 6 5left 7 over 10right2 5left x 7 over 10right2 6 72 over 2cdot 10 5left x 7 over 10right2 6cdot 20 72 over 20 5left x 7 over 10right2 169 over 20 end align 從中我們可以求出多項式為零時 x 的值，也就是多項式的根。 begin align 5x2 7x 6 0 5left x 7 over 10right2 169 over 20 0 left x 7 over 10right2 169 over 100 left 13 over 10right2 x 7 over 10 pm 13 over 10 x 7 pm 13 over 10 3 over 5mbox or2 end align 我們也可以求出 x 取得什麼值時，以下的多項式為最大值或最小值：y 5x2 7x 6 最高次數的項 x2 的係數為正，因此 x 的絕對值越大，y 就越大。但是，y 有一個最小值，在任何地方都不能比它更小。從完全平方的形式中，y 5left x frac 710right2 frac 16920 ，我們可以看到，如果 x 7 over 10 ，那麼 yfrac 16920845；但如果 x 是任何其它的數，y 都是 frac 16920 加上一個非零的平方數。由於非零實數的平方都是正數，因此當 x 不為 frac 710 時，y 一定大於845。所以， xyleft frac 710frac 16920right07845 就 y 的最小值。 微積分例子 假設我們要求出以下函式的原函式：intfrac 19x290x241dx 這可以用把分母配方來完成。分母是：9x290x2419 x210x241 把兩邊 x210x 加上 frac 102225，就可以得到一個完全平方，x210x25x52。分母變為： begin align 9 x210x241 9 x210x252419 25 9 x5216 end align 因此積分為： begin align intfrac 19x290x241dx frac 19intfrac 1x52frac 432dx frac 19cdotfrac 34arctanfrac 3 x54C end align 複數例子 考慮以下的表示式： z2 bz bz c 其中 z 和 b 是複數， z 和 b 分別是 z 和 b 的共軛複數， c 是一個實數。利用恆等式 left vert u right vert 2uu，我們可以把它寫成： zb2 b2 c 這顯然是一個實數。這是因為： begin align zb2 zbzb zbzb zz zb bz bb z2 zb bz b2 end align 作為另外一個例子，以下的表示式 ax2 by2 c 其中 a、 b、 c、 x 和 y 是實數， a0 且 b0，可以用一個複數的絕對值的平方來表示。定義 z sqrt ax i sqrt b y 那麼 begin align z2 z z sqrt ax i sqrt bysqrt ax i sqrt by ax2 isqrt abxy isqrt bayx i2by2 ax2 by2 end align 因此 ax2 by2 c z2 c 方法的變化 通常配方法是把第三項 v2 加在 u2 2uv，得出一個平方。我們也可以把中間的項（2uv 或 2uv）加在多項式 u2 v2 就得出一個平方。 例子：正數與它的倒數的和 從以下的恆等式中， begin align x 1 over x left x 2 1 over xright 2 left sqrt x 1 over sqrt xright2 2 end align 我們可以看出，正數 x 與它的倒數的和總是大於或等於 2。 例子：分解四次多項式 假設我們要把以下的四次多項式分解：x4 324 也就是：x22 182 因此中間的項是 2 x21836x2。所以，我們有： begin align x4 324 x4 36x2 324 36x2 x2 182 6x2 x2 18 6xx2 18 6x x2 6x 18x2 6x 18 end align 最後一個步驟是把所有的項按降冪方式排列。 參考文獻 《初中代數 41 講》，賈士代主編，首都師範大學出版社，ISBN 7810390287，第 4955 頁。 《華羅庚學校數學課本（初一年級）》，劉彭芝主編，中國大百科全書出版社，ISBN 7500056648，第 8191 頁。 外部連結 用配方法來解二次方程：WebGraphingcom P