在數學中，二次函式（英語：quadratic function）表示形為 f xax2bxc （a ne 0 ，且 a、b、c 是常數）的多項式函式，其中，x 為自變數，a、b、c 分別是函式解析式的二次項係數、一次項係數和常數項。二次函式的影像是一條主軸平行於 y 軸的拋物線。 二次函式表示式 ax2bxc 的定義是一個二次多項式，因為 x 的最高冪次是 2。 如果令二次函式的值等於零，則可得一個一元二次方程式、二次方程式。該方程的解稱為方程的根或函式的零點。 歷史 大約在公元前 480 年，古巴比倫人和中國人已經使用配方法求得了二次方程的正根，但是並沒有提出通用的求解方法。公元前 300 年左右，歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程。 7 世紀印度的婆羅摩笈多是第一位懂得用使用代數方程的人，它同時容許有正負數的根。 11 世紀阿拉伯的花拉子米獨立地發展了一套公式以求方程的正數解。亞伯拉罕巴希亞（亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱）在他的著作 Liber embadorum，首次將完整的一元二次方程解法傳入歐洲。 根 二次方程 ax2bxc0 的兩個根為：x frac b pm sqrt b2 4 a c2 a 解方程後，我們會得到兩個根：x_1 和 x_2。則點 x_10 和 x_20 就是二次函式與 x 軸的交點。根的型別如下： 設 Delta b24ac 為一元二次方程式的判別式，又記作 D。 當 Delta 0，則方程有兩個不相等的根，也即與 x 軸有兩個不的交點，因為 sqrt Delta 是正數。 當 Delta 0，則方程有兩個相等的根，也即與 x 軸有一個切點，因為 sqrt Delta 是零。 當 Delta 0，則方程沒有實數根，也即與 x 軸沒有交點，因為 sqrt Delta 是共軛複數。 設 r_1 frac b sqrt b2 4 a c2 a 和 r_2 frac b sqrt b2 4 a c2 a ，我們可以把 a x2 b x c 因式分解為 a x r_1x r_2。 二次函式的形式 二次函式可以表示成以下三種形式： f x a x2 b x c 稱為一般形式或多項式形式。 f x a x r_1x r_2 稱為因子形式或交點式，其中 r_1 和 r_2 是二次方程的兩個根，r_10r_20 是拋物線與 x 軸的兩個交點。 f x a x h2 k 稱為標準形式或頂點形式，hk 即為此二次函式的頂點。 把一般形式轉換成因子形式時，我們需要用求根公式來算出兩個根 r_1 和 r_2，或是利用十字交乘法（適用於有理數）。把一般形式轉換成標準形式時，我們需要用配方法。把因子形式轉換成一般形式時，我們需要把兩個因式相乘並展開。把因子形式轉換成標準形式有特殊的方法。 h 代表了二次函式的對稱軸，因此兩根的平均數即為 h k 展開後比較後可得 kaleft frac r_1r_22right2 不透過 r_1 和 r_2 求 k 及 h 公式： h frac b2a k frac b24ac4a 也作 k frac 4acb24a 而在三種形式中皆出現的 a 為此二次函式的領導係數，決定二次函式影像開口的大小與方向。 影像 係數 a 控制了二次函式從頂點的增長（或下降）速度，即二次函式開口方向和大小。a 越大，開口越小，函式就增長得越快。 係數 b 和 a 控制了拋物線的對稱軸（以及頂點的 x 座標）。 係數 b 控制了拋物線穿過 y 軸時的傾斜度（導數）。 係數 c 控制了拋物線最低點或最高點的高度，它是拋物線與 y 軸的交點。 函式 影像 影像 影像 函式變化 對稱軸 開口方向 最大（小）值 yax2 a0 當 x0 時，y 隨 x 的增大而增大；當 x0 時，y 隨 x 的減小而增大 y 軸或 x0 向上 0 yax2 a0 當 x0 時，y 隨 x 的增大而減小；當 x0 時，y 隨 x 的減小而減小 y 軸或 x0 向下 0 yax2c a0 當 x0 時，y 隨 x 的增大而增大；當 x0 時，y 隨 x 的減小而增大 y 軸或 x0 向上 c yax2c a0 當 x0 時，y 隨 x 的增大而減小；當 x0 時，y 隨 x 的減小而減小 y 軸或 x0 向下 c yax2bxc a0 當 xfrac b2a 時，y 隨 x 的增大而增大；當 xfrac b2a 時，y 隨 x 的減小而增大 xfrac b2a 向上 frac b24ac4 a yax2bxc a0 當 xfrac b2a 時，y 隨 x 的增大而減小；當 xfrac b2a 時，y 隨 x 的減小而減小 xfrac b2a 向下 frac b24ac4 a x 截距 當函式與 x 軸有兩個交點時，設這兩個交點分別為 A x_10 B x_20，由根與係數的關係得出：x_1x_2frac ba 和 x_1x_2frac ca begin aligntherefore ABx_2x_1 leftsqrt x_2x_12right leftsqrt x_1x_224x_1x_2right leftsqrt left frac baright2frac 4caright leftsqrt frac b2a2frac 4aca2right leftsqrt frac b24aca2right frac sqrt b24aca text 或 frac sqrt Deltaaend align 頂點 拋物線的頂點是它轉彎的地方，也稱為駐點。如果二次函式是標準形式，則頂點為 h k。用配方法，可以把一般形式 f x a x2 b x c 化為： f x aleft x frac b2aright2 frac 4acb24 a 因此在一般形式中，拋物線的頂點是： left frac b2a frac Delta4 aright 如果二次函式是因子形式 f x a x r_1x r_2 ，則兩個根的平均數 frac r_1 r_22 就是頂點的 x 座標，因此頂點位於 left frac r_1 r_22 f frac r_1 r_22righta 0 時，頂點也是最大值；a 0 時，則是最小值。 經過頂點的豎直線 xhfrac b2a 又稱為拋物線的對稱軸。 最大值和最小值 導數法 函式的最大值和最小值總是在駐點（又稱臨界點，穩定點）取得。以下的方法是用導數法來推導相同的事實，這種方法的好處是適用於更一般的函式。 設有函式 f x ax2 bx c ，尋找它的極值時，我們必須先求出它的導數：f xax2bxc Leftrightarrow fx2axb 然後，求出 fx 的根：2axb0 Rightarrow 2axb Rightarrow xfrac b2a 因此，frac b 2a 是 f x 的 x 值。現在，為了求出 y，我們把 x frac b 2a 代入 f x：ya left frac b2a right2b left frac b2a rightcRightarrow y frac ab24a2 frac b22a c Rightarrow y frac b24a frac b22a c Rightarrow y frac b2 2b2 4ac4a Rightarrow y frac b24ac4a Rightarrow y frac b24ac4a Rightarrow y frac Delta4a 所以，最大值或最小值的座標為： left frac b2a frac Delta4a right 配方法 begin align f x ax2bxc a x2frac ba xc a left x2frac ba xfrac b2a2 rightca frac b2a2 a xfrac b2a2frac 4ac4afrac b24a a xfrac b2a2frac 4acb24a end align 由於實數的二次方皆大於等於 0，因此當 xfrac b2a 時，f x 有最大或最小值 frac 4acb24a。 二次函式的平方根 二次函式的平方根的影像要麼是橢圓，要麼是雙曲線。如果 a0，則方程 y pm sqrt a x2 b x c 描述了一條雙曲線。該雙曲線的軸由對應的拋物線 y_p a x2 b x c 的最小值決定。如果最小值是負數，則雙曲線的軸是水平的。如果是正數，則雙曲線的軸是豎直的。如果 a0，則方程 y pm sqrt a x2 b x c 的影像要麼是一個橢圓，要麼什麼也沒有。如果對應的拋物線 y_p a x2 b x c 的最大值是正數，則它的平方根描述了一個橢圓。如果是負數，則描述了一個空集。 二元二次函式 二元二次函式是以下形式的二次多項式： f xy A x2 B y2 C x D y E x y F 這個函式描述了一個二次曲面。把 f xy 設為零，則描述了曲面與平面 z0 的交線，它是一條圓錐曲線。 最小值 最大值 如果 4ABE2 0 ，則函式沒有最大值或最小值，其影像是雙曲拋物面。 如果 4ABE2 0 ，則當 A0 時函式具有最小值，當 A0 具有最大值。其影像是橢圓拋物面。 二元二次函式的最大值或最小值在點 x_m y_m 取得，其中：x_m frac 2BCDE4ABE2 y_m frac 2ADCE4ABE2 如果 4AB E2 0 且 DE2CB2ADCE ne 0 ，則函式沒有最大值或最小值，其影像是拋物柱面。 如果 4AB E2 0 且 DE2CB2ADCE 0 ，則函式在一條直線上取得最大值 最小值。當 A0 時取得最大值， A0 時取得最小值。其影像也是拋物柱面。 註釋 參考資料 參考書目 《代數 1》， Glencoe ISBN 0078250838 《代數 2》，Saxon ISBN 093979862X 參見 拋物線 外部連結 E E E 分類：數學概念