在數學中，重複連乘的運算叫做乘方，乘方的結果稱為 冪 （，power）；由此，若 n 為正整數，n 個相同的數 b 連續相乘（即 b 自乘 n 次），就可將 bn 看作乘方的結果 冪。 bn underbrace b times cdots times b_n 冪運算又稱指數運算、取冪，是數學運算，表示式為 bn，讀作「b 的 n 次方」或「b 的 n 次冪」。其中，b 稱為底數，而 n 稱為指數，通常指數寫成上標，放在底數的右邊。在純文字格式等不能用上標的情況，例如在程式語言或電子郵件中，bn 通常寫成 bn 或 bn；也可視為超運算，記為 b 3 n；亦可以用高德納箭號表示法，寫成 bn。 當指數為 1 時，通常不寫出來，因為運算出的值和底數的數值一樣；指數為 2 時，可以讀作 b 的平方；指數為 3 時，可以讀作 b 的立方。 由於在十進位制中，十的冪很容易計算，只需在後面加零即可，所以科學記數法藉此簡化記錄的數字；二的冪則在電腦科學中相當重要。 。這樣定義了後，很易想到如何一般化指數 0 和負數的情況：指數是零時，底數不為零，冪均為一（即除 0 外，所有數的 0 次方都是 1 ）；指數是負數時，就等於重複除以底數（或底數的倒數自乘指數這麼多次），即： b0 1 qquad b ne 0 bn 1 over underbrace btimescdotstimes b_n frac 1bn left frac 1brightn qquad b ne 0。 若以分數為指數的冪，則定義： bfrac nm sqrt mbn， 即 b 的 n 次方再開 m 次方根。 0 的 0 次方（00）目前沒有數學家給予正式的定義；在部分數學領域中，如組合數學，常用的慣例是定義為 1 。 此外，當 n 是複數，且 b 是正實數時， bn exp n ln b exp 是指數函式，而 ln 是自然對數。 重要的恆等式 運演算法則 同底數冪相乘，底數不變，指數相加： am times an am n 同底數冪相除，底數不變，指數相減： am div an am n 同指數冪相除，指數不變，底數相除 b 不為 0： frac anbn left frac abrightn 其他等式 xfrac mn sqrt nxm xm frac 1xm qquad x ne 0 x0 1 qquad x ne 0 x1 x x1 frac 1x qquad x ne 0 運算律 加法和乘法存在交換律，比如：23532，2 times 3 6 3 times 2，但是冪的運算不存在交換律，23 8 ，但是 32 9 。 同樣，加法和乘法存在結合律，比如：2349234，2 times 3 times 4242 times 3 times 4。不過，冪運算沒有結合律：234 84 4096 ，而 234 281 2417851639229258349412352 ，所以 234neq 234 。 但是冪運算仍然有其運算律，稱為指數律： am cdot an amn frac aman amn amn amn sqrt nam afrac mn an cdot bn a cdot bn frac anbn left frac abrightn 整數指數冪 整數指數冪的運算只需要初等代數的知識。 正整數指數冪 表示式 a2 acdot a 被稱作 a 的平方，因為邊長為 a 的正方形面積是 a2。 表示式 a3 acdot acdot a 被稱作 a 的立方，因為邊長為 a 的正方體體積是 a3。 所以 32 讀作「3 的平方」，23 讀作「2 的立方」。 指數表示的是底數反覆相乘多少次。比如 35 3times 3times 3times 3times 3 243，指數是 5，底數是 3，表示 3 反覆相乘 5 次。 或者，整數指數冪可以遞迴地定義成： an begin cases 1 n 0 a cdot an1 n 0 left frac 1arightn n 0 end cases 指數是 1 或者 0 注意 31 表示僅僅 1 個 3 的乘積，就等於 3。 注意 35 3times 34，34 3times 33，33 3times 32，323times 31， 繼續，得到 31 3times 30 3，所以 30 1 另一個得到此結論的方法是：透過運演算法則 frac xnxm xn m 當 mn 時， 1 frac xnxn xn n x0 任何數的 1 次方是它本身。 零的零次方 00 其實還並未被數學家完整的定義，但部分看法是 00 1 ，在程式語言中（python） 00 1 在這裡給出這一種極限的看法 lim _x to 0 x x 00 於是，可以求出 x 取值從 1 到 00000001 計算得到的值，如圖 負數指數 我們定義任何不為 0 的數 a 的 1 次方等於它的倒數。 a1 frac 1a 對於非零 a 定義 an frac 1an 而 a0 時分母為 0 沒有意義。 證法一： 根據定義 amcdot an amn，當 mn 時 an an ann a0 1 得 an an 1 所以 an frac 1an。 證法二： 透過運演算法則 frac aman am n 當 m0 時，可得 an a0n frac a0an frac 1an 負數指數 an 還可以表示成 1 連續除以 n 個 a。比如： 34 frac frac frac frac 13333 frac 181 frac 134 特殊數的冪 10 的冪 在十進位制的計數系統中，10 的冪寫成 1 後面跟著很多個 0。例如：103 1000 103 0001 因此 10 的冪用來表示非常大或者非常小的數字。如：299792458（真空中光速，單位是米每秒），可以寫成 299792458times 108，近似值 2998times 108 或 3times 108 國際單位制詞頭也使用 10 的冪來描述特別大或者特別小的數字，比如：詞頭 千 就是 103，詞頭 毫 就是 103 2 的冪 1 的冪 1 的任何次冪都為 1。 0 的冪 0 的正數冪都等於 0。 0 的負數冪沒有定義。 任何非 0 之數的 0 次方都是 1；而 0 的 0 次方是懸而未決的，某些領域下常用的慣例是約定為 1。AugustinLouis Cauchy Cours dAnalyse de lÉcole Royale Polytechnique 1821 In his Oeuvres Complètes series 2 volume 3 但某些教科書表示 0 的 0 次方為無意義。康軒國中 1 上《FUN 學練功坊①》P35：a 的 0 次方 1 a0註：0 的 0 次方為無意義 也有人主張定義為 1。 負 1 的冪 1 的奇數冪等於 1 1 的偶數冪等於 1 指數非常大時的冪 一個大於 1 的數的冪趨於無窮大，一個小於 1 的數的冪趨於負無窮大 當 a 1， n to infty， an to infty 當 a 1， n to infty， an to infty 或 infty 視乎 n 是奇數或偶數 一個絕對值小於 1 的數的冪趨於 0 當 a 1， n to infty， an to 0 1 的冪永遠都是 1 當 a 1， n to infty， an to 1 如果數 a 趨於 1 而它的冪趨於無窮，那麼極限並不一定是上面幾個。一個很重要的例子是： 當 n to infty left 1frac 1nrightn to e 參見 e 的冪 其他指數的極限參見冪的極限 正實數的實數冪 一個正實數的實數冪可以透過兩種方法實現。 有理數冪可以透過 N 次方根定義，任何非 0 實數次冪都可以這樣定義 自然對數可以被用來透過指數函式定義實數冪 N 次方根 一個數 a 的 n 次方根是 x，x 使 xna。 如果 a 是一個正實數，n 是正整數，那麼方程 xna 只有一個正實數根。 這個根被稱為 a 的 n 次方根，記作：sqrt na，其中 sqrt 叫做根號。或者，a 的 n 次方根也可以寫成 afrac 1n 例如 4frac 12 2 8frac 13 2 當指數是 frac 12 時根號上的 2 可以省略，如：sqrt 44frac 12 sqrt 24 2 有理數冪 有理數指數冪定義為 afrac mn amfrac 1n sqrt nam e 的冪 這個重要的數學常數 e，有時叫做尤拉數，近似 2718，是自然對數的底。它提供了定義非整數指數冪的一個方法。 它是從以下極限定義的： e lim_n to infty left 1frac 1n rightn 指數函式的定義是： ex lim_n to infty left 1frac xn rightn 可以很簡單地證明 e 的正整數 k 次方 ek 是： ek left lim_n to infty left 1frac 1n right nrightk lim_n to infty left 1frac k ncdot k rightn cdot k lim_n cdot k to infty left 1frac k ncdot k rightn cdot k lim_m to infty left 1frac k m rightm 實數指數冪 因為所有實數可以近似地表示為有理數，任意實數指數 x 可以定義成： bx lim_r to x br 例如： x approx 1732 於是 5x approx 51732 5frac 433250sqrt 2505433 approx 16241 實數指數冪通常使用對數來定義，而不是近似有理數。 自然對數 ln x 是指數函式 ex 的反函式。 它的定義是：對於任意 b0，滿足 b eln b 根據對數和指數運算的規則： bx eln bx ex cdotln b 這就是實數指數冪的定義： bx excdotln b 實數指數冪 bx 的這個定義和上面使用有理數指數和連續性的定義相吻合。對於複數，這種定義更加常用。 負實數的實數冪 如果 a 是負數且 n 是偶數，那麼 x an 是正數。如果 a 是負數且 n 是奇數，那麼 x an 是負數。 使用對數和有理數指數都不能將 ak（其中 a 是負實數，k 實數）定義成實數。在一些特殊情況下，給出一個定義是可行的：負指數的整數指數冪是實數，有理數指數冪對於 afrac mn（n 是奇數）可以使用 n 次方根來計算，但是因為沒有實數 x 使 x2 1，對於 afrac mn（n 是偶數）時必須使用虛數單位 i。 使用對數的方法不能定義 aleq 0 時的 ak 為實數。實際上，ex 對於任何實數 x 都是正的，所以 ln a 對於負數沒有意義。 使用有理數指數冪來逼近的方法也不能用於負數 a 因為它依賴於連續性。函式 f r ar 對於任何正的有理數 a 是連續的，但是對於負數 a，函式 f 在有些有理數 r 上甚至不是連續的。 例如：當 a1，它的奇數次根等於 1。所以如果 n 是正奇數整數，1frac m n1 當 m 是奇數，1frac m n1 當 m 是偶數。雖然有理數 q 使 1q1 的集合是稠密集，但是有理數 q 使 1q1 的集合也是。所以函式 1q 在有理數域不是連續的。 因此，如果要求負實數的任意實數冪，必須將底數和指數看成複數，按複數的正實數冪或複數的複數冪方法計算。 正實數的複數冪 e 的虛數次冪 複數運算的幾何意義和 e 的冪可以幫助我們理解 eix（x 是實數），即純虛數指數函式。想象一個直角三角形 011frac ixn（括號內是複數平面內三角形的三個頂點），對於足夠大的 n，這個三角形可以看作一個扇形，這個扇形的中心角就等於 frac xn 弧度。對於所有 k，三角形 01frac ixnk 1frac ixnk1 互為相似三角形。所以當 n 足夠大時 1frac ixnn 的極限是複數平面上的單位圓上 x 弧度的點。這個點的極座標是 rtheta1x，直角座標是 cos xsin x。所以 eix cos x i sin x，而這個函式可以稱為純虛數指數函式。這就是尤拉公式，它透過複數的意義將代數學和三角學聯絡起來了。 等式 ez 1 的解是一個整數乘以 2ipiThis definition of a principal root of unity can be found in Online resource Defined on page 351 available on Google books Principal root of unity MathWorld： z ez 1 2kpi i k in mathbb Z 更一般地，如果 eb a，那麼 ez a 的每一個解都可以透過將 2ipi 的整數倍加上 b 得到： z ez a b 2kpi i k in mathbb Z 這個復指數函式是一個有周期 2ipi 的週期函式。 更簡單的：eipi 1 ex iy ex cos y i sin y。 三角函式 根據尤拉公式，三角函式餘弦和正弦是： cos z frac eicdot z eicdot z 2 qquad sin z frac eicdot z eicdot z2cdot i 歷史上，在複數發明之前，餘弦和正弦是用幾何的方法定義的。上面的公式將複雜的三角函式的求和公式轉換成了簡單的指數方程 eicdot xyeicdot xcdot eicdot y 使用了複數指數冪之後，很多三角學問題都能夠使用代數方法解決。 e 的複數指數冪 exiy 可以分解成 excdot eiy。其中 ex 是 exiy 的模，eiy 決定了 exiy 的方向 正實數的複數冪 如果 a 是一個正實數，z 是任何複數，az 定義成 ezcdot ln a，其中 xln a 是方程 ex a 的唯一解。所以處理實數的方法同樣可以用來處理複數。 例如： 2i eicdot ln 2 cos ln 2icdot sin ln 2 07692063896i e2pii 53549i 1 複數的複數冪 複數的虛數冪 讓我們從一個簡單的例子開始：計算 left 1i righti 。 begin align left 1i righti left sqrt 2left frac sqrt 22frac sqrt 22 irightrighti left sqrt 2 etfrac pi4 irighti etfrac pi4sqrt 2i etfrac pi4cosfrac ln 22 ietfrac pi4sinfrac ln 22 end align 其中 sqrt 2i 的得法參見上文正實數的複數冪 複數的複數冪 類似地，在計算複數的複數冪時，我們可以將指數的實部與虛部分開以進行冪計算。例如計算 left 1i right2i ： begin align left 1i right2i left 1i right2 left 1i righti 2ietfrac pi4left cosfrac ln 22 isinfrac ln 22right 2etfrac pi4sinfrac ln 22 2ietfrac pi4cosfrac ln 22 end align 一般情況 複數的複數冪必須首先化為底數為 e 的形式： wz ez ln w 又，由複數的極座標表示法： w r eitheta 故 wz ez ln w ez ln r itheta。 然後，使用尤拉公式處理即可。 由於複數的極座標表示法中，輻角 theta 的取值是具有周期性的，因此複數的複數冪在大多數情況下是多值函式。不過實際應用中，為了簡便起見，輻角都只取主值，從而使冪值唯一。 在函式中 當函式名後有上標的數（即函式的指數），一般指要重複它的運算。例如 f3 x 即 f f f x 。特別地，f1 x 指 f x 的反函式。 但三角函式的情況有所不同，一個正指數應用於函式的名字時，指答案要進行乘方運算，而指數為 1 時則表示其反函式。例如：sin x1 表示 csc x。因此在三角函式時，使用 sin1 x 來表示 sin x 的反函式 arcsin x。 計算自然數（正整數）n 的 an 的演算法 最快的方式計算 an，當 n 是正整數的時候。它利用了測試一個數是奇數在計算機上是非常容易的，和透過簡單的移所有位向右來除以 2 的事實。 在 CC 語言中，你可以寫如下演算法： double power double a unsigned int n double y 1 double f a while n 0 if n 2 1 y f n 1 f f return y 此演算法的時間複雜度為 Omicron log n，比普通演算法快（a 自乘 100 次，時間複雜度為 Omicron n），在 n 較大的時候更為顯著。 例如計算 a100，普通演算法需要算 100 次，上述演算法則只需要算 7 次。若要計算 an n 0 可先以上述演算法計算 an，再作倒數。 另見 迭代冪次 註釋 外部連結 指數的歷史 M M Category 指數