函式的微分是指對函式的區域性變化的一種線性描述。微分可以近似地描述當函式自變數的取值作足夠小的改變時，函式的值是怎樣改變的。 微分在數學中的定義：由 y 是 x 的函式 yf x。從簡單的平面直角座標系來看，自變數 x 的變化量趨近於 0 時 fracmathrm d mathrm dx，因變數 y 的變化量也趨近於 0，但 x 和 y 的變化量都趨近於 0。當 x 有極小的變化量時，這稱為 x 的微分。 當某些函式 textstyle f 的自變數 textstyle x 有一個微小的改變 textstyle h 時，函式的變化可以分解為兩個部分。 一個部分是線性部分：在一維情況下，它正比於自變數的變化量 textstyle h，可以表示成 textstyle h 和一個與 textstyle h 無關，只與函式 textstyle f 及 textstyle x 有關的量的乘積；在更廣泛的情況下，它是一個線性對映作用在 textstyle h 上的值。 另一部分是比 textstyle h 更高階的無窮小，也就是說除以 textstyle h 後仍然會趨於零。當改變數 textstyle h 很小時，第二部分可以忽略不計，函式的變化量約等於第一部分，也就是函式在 textstyle x 處的微分，記作 displaystyle fx h 或 displaystyle textrm d f_x h。如果一個函式在某處具有以上的性質，就稱此函式在該點可微。 不是所有的函式的變化量都可以分為以上提到的兩個部分。若函式在某一點無法做到可微，便稱函式在該點不可微。 在古典的微積分學中，微分被定義為變化量的線性部分，在現代的定義中，微分被定義為將自變數的改變數 textstyle h 對映到變化量的線性部分的線性對映 displaystyle textrm d f_x。這個對映也被稱為切對映。給定的函式在一點的微分如果存在，就一定是唯一的。 一元微分 定義 設函式 y f x 在某區間 mathcal I 內有定義。對於 mathcal I 內一點 x_0，當 x_0 變動到附近的 x_0Delta x（也在此區間內）時，如果函式的增量 Delta y f x_0 Delta x f x_0 可表示為 Delta y A Delta x o Delta x（其中 A 是不依賴於 Delta x 的常數），而 o Delta x 是比 Delta x 高階的無窮小，那麼稱函式 f x 在點 x_0 是可微的，且 A Delta x 稱作函式在點 x_0 相應於自變數增量 Delta x 的微分，記作 textrm d y，即 textrm d y A Delta x，textrm d y 是 Delta y 的線性主部。 通常把自變數 x 的增量 Delta x 稱為自變數的微分，記作 textrm d x，即 textrm d x Delta x。 和導數的關係 微分和導數是兩個不同的概念。但是，對一元函式來說，可微與可導是完全等價的概念。可微的函式，其微分等於導數乘以自變數的微分 textrm d x，換句話說，函式的微分與自變數的微分之商等於該函式的導數。因此，導數也叫做微商。於是函式 y f x 的微分又可記作 textrm d y fxtextrm d x。 幾何意義 設 Delta x 是曲線 y f x 上的點 P 在橫座標上的增量，Delta y 是曲線在點 P 對應 Delta x 在縱座標上的增量，textrm d y 是曲線在點 P 的切線對應 Delta x 在縱座標上的增量。當 left Delta x right 很小時，left Delta y textrm d y right 比 left Delta x right 要小得多 高階無窮小，因此在點 P 附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。 例子 設有函式 f x mapsto x2，考慮它從某一點 x 變到 x textrm d x。這時，函式的改變數 f x textrm d x f x 等於： f xtextrm d x f x x textrm d x2 x2 2x cdot textrm d x textrm d x2 Atextrm d x o textrm d x 其中的線性主部：Adx 2xdx，高階無窮小是 o textrm d x textrm d x2。 因此函式 textstyle f 在點 textstyle x 處的微分是 textrm d y 2xtextrm d x。函式的微分與自變數的微分之商 frac textrm d ytextrm d x 2x fprimex，等於函式的導數。 frac mathrm d ymathrm d xfrac mathrm daxnmathrm d x，尤其 yaxn naxn1 以下有一例子： 當方程式為 y2x2 時，就會有以下的微分過程。 frac mathrm d ymathrm d x frac mathrm d 2x2mathrm d x 2 cdot 2x21 4x 微分法則 和求導一樣，微分有類似的法則。例如，如果設函式 u、v 可微，那麼： mathrm dau bv mathrm d aumathrm d bv amathrm d u bmathrm d v d uv udv vdu dleft frac uvright frac vdu udvv2 若函式 y u 可導，那麼 d y u yu du 極值 多元函式微分 當自變數是多元變數時，導數的概念已經不適用了（儘管可以定義對某個分量的偏導數，但偏導數只對單一自變數微分），但仍然有微分的概念。 定義 設 f 是從歐幾里得空間 Rn（或者任意一個內積空間）中的一個開集 Omega 射到 Rm 的一個函式。對於 Omega 中的一點 x 及其在 Omega 中的鄰域 Lambda 中的點 xh。如果存線上性對映 A 使得對任意這樣的 xh lim_h to 0 left frac f xh f x A hh right 0 那麼稱函式 f 在點 x 處可微。線性對映 A 叫做 f 在點 x 處的微分，記作 textrm d f_x。 如果 f 在點 x 處可微，那麼它在該點處一定連續，而且在該點的微分只有一個。為了和偏導數區別，多元函式的微分也叫做全微分或全導數。 當函式在某個區域的每一點 x 都有微分 textrm d f_x 時，可以考慮將 x 對映到 textrm d f_x 的函式： textrm d f x mapsto textrm d f_x 這個函式一般稱為微分函式。 性質 如果 f 是線性對映，那麼它在任意一點的微分都等於自身。 在 Rn（或定義了一組標準基的內積空間）裡，函式的全微分和偏導數間的關係可以透過雅可比矩陣刻畫： 設 f 是從 Rn 射到 Rm 的函式，f f_1 f_2 cdots f_m，那麼： textrm d f_x J_f x begin bmatrix frac partial f_1partial x_1 cdots frac partial f_1partial x_n vdots ddots vdots frac partial f_mpartial x_1 cdots frac partial f_mpartial x_n end bmatrix。 具體來說，對於一個改變數：h h_1 h_2 ldots h_n sum_i1n h_i e_i，微分值： textrm d f_x h begin bmatrix frac partial f_1partial x_1 cdots frac partial f_1partial x_n vdots ddots vdots frac partial f_mpartial x_1 cdots frac partial f_mpartial x_n end bmatrix begin pmatrix h_1 vdots h_n end pmatrix sum_i1m left sum_j1n frac partial f_ipartial x_j h_jright e_i 可微的必要條件：如果函式 f 在一點 x_0 處可微，那麼雅克比矩陣的每一個元素 frac partial f_ipartial x_jx_0 都存在，但反之不真。 可微的充分條件：如果函式 f 在一點 x_0 的雅克比矩陣的每一個元素 frac partial f_ipartial x_jx_0 都在 x_0 連續，那麼函式在這點處可微，但反之不真。 例子 函式 f x y mapsto left x2 y2 1 x2 y2 x y x 1 x2 y2 y right 是一個從 mathbb R2 射到 mathbb R3 的函式。它在某一點 x y 的雅可比矩陣為： J_f xy begin bmatrix 2x 2y 1 3x2 y2 2xy 1 1 2xy 1 x2 3y2 end bmatrix 微分為：textrm d f_x y h mapsto J_f xyh，也就是： textrm d f_x y h begin pmatrix h_1 h_2 end pmatrix mapsto begin bmatrix 2x 2y 1 3x2 y2 2xy 1 1 2xy 1 x2 3y2 end bmatrix begin pmatrix h_1 h_2 end pmatrix begin pmatrix 2xh_1 2yh_2 1 3x2 y2 h_1 2xy 1 h_2 1 2xy h_1 1 x2 3y2 h_2 end pmatrix 微分與微分形式 如果說微分是導數的一種推廣，那麼微分形式則是對於微分函式的再推廣。微分函式對每個點 x 給出一個近似描述函式性質的線性對映 textrm d f_x，而微分形式對區域 mathbf D 內的每一點給出一個從該點的切空間對映到值域的斜對稱形式：omega xmathbf TD_x longrightarrow mathbb R。在座標記法下，可以寫成： omega x sum_1 le i_1 le cdots le i_k le n a_i_1 cdots i_kx textrm d xi_1wedge cdots wedge textrm d xi_k 其中的 textrm d xi 是 i 射影運算元，也就是說將一個向量 v 射到它的第 i 個分量 vi 的對映。而 textrm d xi_1wedge cdots wedge textrm d xi_k 是滿足： textrm d xi_1wedge cdots wedge textrm d xi_kv_1 cdots v_k begin vmatrix v_1i_1 cdots v_1i_k vdots ddots vdots v_ki_1 cdots v_ki_k end vmatrix 的 k 形式。 特別地，當 f 是一個從 Rn 射到 R 的函式時，可以將 textrm d f_x 寫作： textrm d f_x sum_i1n frac partial fpartial x_ix textrm d xi 正是上面公式的一個特例第 175183 頁。 參見 微分學 微積分 導數 積分 偏導數 外微分 泰勒公式 參考來源 Category 微分學