在數學中，偏導數的定義是：一個多變數的函式（或稱多元函式），對其中一個變數（導數）微分，而保持其他變數恆定。 偏導數的作用與價值在向量分析和微分幾何以及機器學習領域中受到廣泛認可。 函式 f 關於變數 x 的偏導數寫為 f_xprime 或 frac partial fpartial x。偏導數符號 partial 是全導數符號 d 的變體，由阿德里安 馬裡勒讓德引入，並在雅可比的重新引入後得到普遍接受。 簡介 假設ƒ是一個多元函式。例如： z f x y x2 xy y2 因為曲面上的每一點都有無窮多條切線，描述這種函式的導數相當困難。偏導數就是選擇其中一條切線，並求出它的斜率。通常，最感興趣的是垂直於軸（平行於平面）的切線，以及垂直於軸（平行於平面）的切線。 一種求出這些切線的好辦法是把其他變數視為常數。例如，欲求出以上的函式在點的與平面平行的切線。右圖中顯示了函式的影像以及這個平面。左圖中顯示了函式在平面上是什麼樣的。我們把變數視為常數，透過對方程求導，我們可以發現在點的導數，記為： frac partial fpartial x 2xy 於是在點的平面平行的切線的斜率是 3。 frac partial fpartial x 3 在點，或稱 在的關於的偏導數是 3。 定義 函式可以解釋為為自變數而為常數的函式： f xy f_x y x2 xy y2。 也就是說，每一個的值定義了一個函式，記為，它是一個一元函式。也就是說： f_x y x2 xy y2。 一旦選擇了一個的值，例如，那麼便定義了一個函式，把對映到： f_a y a2 ay y2。 在這個表示式中，是常數，而不是變數，因此是隻有一個變數的函式，這個變數是。這樣，便可以使用一元函式的導數的定義： f_ay a 2y 以上的步驟適用於任何的選擇。把這些導數合併起來，便得到了一個函式，它描述了在方向上的變化： frac partial fpartial yxy x 2y 這就是關於的偏導數，在這裡，是一個彎曲的 d，稱為偏導數符號。為了把它與字母 d 區分，有時讀作 der、del、dah 或 偏，而不是 dee。 一般地，函式在點關於的偏導數定義為： frac partial fpartial x_ia_1ldotsa_n lim_h to 0frac f a_1ldotsa_ihldotsa_n f a_1ldotsa_nh 在以上的差商中，除了以外的所有變數都是固定的。這個固定值的選擇決定了一個一元函式 f_a_1ldotsa_i1a_i1ldotsa_nx_i f a_1ldotsa_i1x_ia_i1ldotsa_n，根據定義， frac df_a_1ldotsa_i1a_i1ldotsa_ndx_ia_1ldotsa_n frac partial fpartial x_ia_1ldotsa_n 這個表示式說明了偏導數的計算可以化為一元導數的計算。 多變數函式的一個重要的例子，是歐幾里德空間（例如）上的標量值函式。在這種情況下，關於每一個變數具有 偏導數。在點，這些偏導數定義了一個向量： nabla f a left frac partial fpartial x_1a ldots frac partial fpartial x_naright 這個向量稱為在點的梯度。如果在定義域中的每一個點都是可微的，那麼梯度便是一個向量值函式，它把點對映到向量。這樣，梯度便決定了一個向量場。 一個常見的符號濫用是在歐幾里得空間 R3 中用單位向量 mathbf hat i mathbf hat j mathbf hat k 來定義 Nabla 運算元 如下 nabla bigg frac partialpartial x bigg mathbf hat i bigg frac partialpartial ybigg mathbf hat j bigg frac partialpartial zbigg mathbf hat k 或者，更一般地，對於 n 維歐幾里得空間 Rn 的座標 x1 x2 x3xn 和單位向量 mathbf hat e_1 mathbf hat e_2 mathbf hat e_3 dots mathbf hat e_n nabla sum_j1n bigg frac partialpartial x_jbigg mathbf hat e_j bigg frac partialpartial x_1bigg mathbf hat e_1 bigg frac partialpartial x_2bigg mathbf hat e_2 bigg frac partialpartial x_3bigg mathbf hat e_3 dots bigg frac partialpartial x_nbigg mathbf hat e_n 例子 考慮一個圓錐的體積；它與高度和半徑有以下的關係： V r h frac pi r2 h3。 關於的偏導數為： frac partial Vpartial r frac 2 pi r h3，它描述了高度固定而半徑變化時，圓錐的體積的變化率。 關於的偏導數為： frac partial Vpartial h frac pi r23，它描述了半徑固定而高度變化時，圓錐的體積的變化率。 現在考慮關於和的全導數。它們分別是： frac operatorname dVoperatorname dr overbrace frac 2 pi r h3frac partial Vpartial r overbrace frac pi r23frac partial Vpartial hfrac partial hpartial r 以及 frac operatorname dVoperatorname dh overbrace frac pi r23frac partial Vpartial h overbrace frac 2 pi r h3frac partial Vpartial rfrac partial rpartial h 現在假設，由於某些原因，高度和半徑的比需要是固定的： k frac hr frac partial hpartial r 這便給出了關於的全導數： frac operatorname dVoperatorname dr frac 2 pi r h3 kfrac pi r23 可以化簡為： frac operatorname dVoperatorname dr kpi r2 類似地，關於的全導數是： frac operatorname dVoperatorname dh pi r2 含有未知函式的偏導數的方程，稱為偏微分方程，它在物理學、工程學，以及其它應用科學中經常會見到。 與關於和二者相關的全導數是由雅可比矩陣給出的，它的形式為梯度向量 nabla V frac partial Vpartial rfrac partial Vpartial h frac 23pi rh frac 13pi r2。 記法 在以下的例子中，設為、和的函式。 的一階偏導數為： frac partial fpartial x f_x partial_x f 二階偏導數為： frac partial2 fpartial x2 f_xx partial_xx f 二階混合偏導數為： frac partial2 fpartial y partial x frac partialpartial y left frac partial fpartial x right f_xy partial_yx f 高階偏導數為： frac partialijk fpartial xi partial yj partial zk fi j k 當處理多變數函式時，有些變數可能互相有關，這樣就需要明確指定哪些變數是固定的。在諸如統計力學的領域中，關於的偏導數，把和視為常數，通常記為： left frac partial fpartial x right_yz 正式定義和性質 像導數一樣，偏導數也是定義為一個極限。設為的一個開子集，是一個函式。我們定義在點關於第個變數的偏導數為： frac partialpartial x_i f mathbf a lim_h rightarrow 0f a_1 dots a_i1 a_ih a_i1 dots a_n f a_1 dots a_n over h 即使在某個給定的點，所有的偏導數都存在，函式仍然不一定在該點連續。然而，如果所有的偏導數在的一個鄰域記憶體在並連續，那麼在該鄰域內完全可微分，且全導數是連續的。在這種情況下，我們稱是一個 C1 函式。 偏導數 frac partial fpartial x 可以視為定義在 U 內的另外一個函式，並可以再次求偏導數。如果所有的混合二階偏導數在某個點（或集合）連續，我們便稱為在該點（或集合）的一個 C2 函式；在這種情況下，根據克萊羅定理，偏導數可以互相交換： frac partial2fpartial x_i partial x_j frac partial2f partial x_j partial x_i。 參考文獻 註釋 參見 達朗貝爾運算元 複合函式求導法則 旋度 方向導數 散度 外導數 梯度 雅可比矩陣 拉普拉斯運算元 二階導數的對稱性 三乘積法則，又稱為迴圈鏈式法則。 Category 多變數微積分 Category 導數的推廣 Category 微分運算元