級數代表某序列之和，例如序列 a_1a_2 a_3a_4ldots 的級數 S_n 可以表示成 S_n a_1 ldots a_n，如果被取和的序列是有窮序列，相對應的級數被稱為有窮級數；反之，稱為無窮級數。常見的級數包括等差數列和等比數列的級數。 級數本身也是一種序列（代表加到第 n 項）。就跟普通序列一樣，級數的通項可以是實數、矩陣或向量等常量，也可以是關於其他變數的函式，不一定是一個數，但某序列要能定義相應級數，前提是必須要有加法（如實數加法、向量加法與矩陣加法等等）。 如果某級數來自於對常數序列取和，則稱之為常數（項）級數，如果來自於函式序列，則稱之為函式（項）級數。 無窮級數不像有窮級數可以加到最後一項，所以作為替代，通常會嘗試將項數趨近於無窮大來取「最終的和」，具體來說，也就是對級數 S_n 取極限 lim_ntoinfty S_n。如果這個極限存在，會仿造數列極限，將這個無窮級數稱為收斂的；反之稱為發散的。（而且要能定義極限還需要距離來比較遠近） 正式定義 也就是說，只要 A 上有定義一種有交換律的「運算」，那定義在 A 的序列 a_i in A_i in N 都可以「取和」，而它的「部分和」可以構成某個唯一的序列 s_n in A_n in N。也就是說，一般會將 circ 視為加法「」 ，而將 s_n 更加直觀的記為： s_n a_1 ldots a_n 然後把 s_n 直觀地稱為部分和。 通常會做以下的符號定義： sumn_j 1 a_j s_n 而將 s_n in A_n in N 記為 leftsumn_j 1 a_j right_n in N 甚至是更直觀的 sumn_j 1 a_j 有窮級數 以上定義的級數，在直觀上被理解成「無窮級數」；但所謂的「有窮序列」，也只是從某個正整數 m in N 開始，只要正整數 i geq m 就有 a_i 0_A （Acirc 的單位元，可直觀理解成一般加法的「零」）。所以「有窮序列」取部分和而得到的「有窮級數」，事實上包含在上述定義中；換句話說，有窮級數是對從某項 m in N 開始為零的特殊序列取部分和得到的，所以不管怎麼加，部分和最大都只能到 summ_j 1 a_j。 無窮級數的斂散性 對於級數 sum_n1infty u_n，如果當 n 趨於正無窮大時，s_n 趨向一個有限的極限：slim_ntoinfty s_n，那麼這個無窮級數就叫做是收斂的，s 叫做級數 sum_n1infty u_n 的和。如果極限不存在，這個無窮級數就是發散的。收斂的無窮級數存在唯一的一個和 s。這時可以定義級數 sum u_n 的餘項和：R_nSS_n。 任意項級數 如果級數 sum_n1infty u_n 中的各項可以是正數，負數或零，則級數 sum_n1infty u_n 稱為任意項級數。 將任意項級數各項 u_n 取絕對值，得到正項級數。 sum_n1infty u_nu_1u_2u_3cdotsu_ncdots 條件收斂 如果任意項級數 sum_n1infty u_n 收斂，而級數 sum_n1infty u_n 發散，則稱級數 sum_n1infty u_n 條件收斂。 絕對收斂 如果級數 sum_n1infty u_n 收斂，則稱級數絕對收斂 定理：如果任意項級數 sum_n1infty u_n 的各項的絕對值所組成的正項級數 sum_n1infty u_n 收斂，則級數 sum_n1infty u_n 收斂。 證明： 令 a_nfrac 12u_nu_nb_nfrac 12u_nu_n 於是，有 0le a_nleu_n0le b_nleu_n 因為 sum_n1infty a_nsum_n1infty b_n 均為正項級數，且 sum_n1infty u_n 收斂，由比較審斂法知，級數 sum_n1infty a_n 和 sum_n1infty b_n 收斂。 又因為 sum_n1infty u_nsum_n1infty a_nb_n 所以由級數的定義可得，級數 sum_n1infty u_n 收斂。 該定理表明，如果級數 sum_n1infty u_n 絕對收斂，則級數 sum_n1infty u_n 必收斂。 收斂級數的性質 若一個無窮級數 sum u_n u_1u_2u_3 cdots u_n cdots 收斂，其和為 s，則如果每一項乘以一個常數 a，得到的級數 sum a u_n au_1au_2au_3cdotsau_ncdots 也收斂，且和等於 as。 收斂的無窮級數可以逐項相加或相減，如有兩個無窮級數： sum_n1infty u_n s 和 sum_n1infty v_n t，則 sum_n1infty u_n pm v_n s pm t 級數前面加上有限項或減去有限項不影響其斂散性，如： su_1u_2u_3cdotsu_ncdots 和 su_12u_15u_16u_17cdotsu_ncdots 這兩個級數的斂散性是一樣的。 當 n 趨向無限大時，任何一個收斂級數的通項都趨於 0：lim_ntoinfty u_n0 在一個完備空間中，也可以運用柯西收斂的準則來判斷級數是否收斂：一個無窮級數 sum_n1 infty u_n 收斂的充要條件是，對任意 epsilon 0 ，總存在 N_ 0 0 ，使得任意的 n m N_ 0 ，s_n s_msum_km1n u_ku_m1u_m2cdotsu_n epsilon 。 無窮級數的研究歷史 將一個函式展開成無窮級數的概念最早來自 14 世紀印度的馬德哈瓦。他首先發展了冪級數的概念，對泰勒級數、麥克勞林級數、無窮級數的有理逼近以及無窮連分數做了研究。他發現了正弦、餘弦、正切函式等的泰勒展開，還用冪級數計算了 π 的值。他的學生繼承和發展了他關於級數的工作。 17 世紀，詹姆斯格里高利也開始研究無窮級數，並發表了若干函式的麥克勞林展開式。1715 年，布魯克泰勒提出了構造一般解析函式的泰勒級數的方法。18 世紀時尤拉又發展了超幾何級數和 q 級數的理論。 對審斂法的研究 14 世紀時，馬德哈瓦已經開始討論判別無窮級數斂散性的方法。他提出了一些審斂的準則，後來他的學生將其推廣。 然而在歐洲，審查無窮級數是否收斂的研究一般被認為是從 19 世紀由高斯開始的。他於 1812 年發表了關於尤拉的超幾何級數 1 frac alphabeta1cdotgamma x frac alpha alpha1beta beta11 cdot 2 cdot gamma gamma1 x2 cdots 的論文，提出了一些簡單的收斂準則，並對餘項和以及收斂半徑進行了討論。 柯西提出了嚴格的審斂法的重要性，他證明了兩個收斂級數的乘積不一定是收斂的，同時開始研究嚴格的審斂準則。尤拉和高斯各自給出了各種審斂法則。柯西更研究了複函式的冪級數展開。 1826 年，阿貝爾在他的關於二項式級數 1 frac m1 x frac m m12 x2 cdots 的論文中更正了柯西的若干個結論，並給出了二項式級數的嚴格的求和方法，指出了連續性在收斂問題中的重要性。 柯西提出的審斂法並不是普遍適用的，只能用於判別某些特定函式的斂散性。同時代的其他數學家，比如拉貝（Joseph Ludwig Raabe）的對數判別法，德摩根的對數判別法（被 DuBoisReymond 和普林斯海姆證明對某些函式失效） ，以及貝特朗、斯托克斯、切比雪夫等人的審斂法也是如此。 對普遍的審斂法則的研究由恩斯特庫默爾開始，之後的艾森斯坦、維爾斯特拉斯、尤里斯迪尼等都曾致力於這一領域。普林斯海姆於 1889 年發表的論文闡述了完整的普適審斂理論。 對一致連續性的研究 1821 年，柯西首先開始對一致連續性的研究，但其中有不少錯誤和侷限。這些錯誤最早被阿貝爾指出，但首先得出正確結論的是西德爾和斯托克斯。1853 年，柯西在注意到阿貝爾的批評後重新開展研究，並得到了與斯托克斯一樣的結論。然而，一致連續性的重要性在很長一段時間裡沒有受到重視。 類別 更多級數請參見級數列表。 幾何級數 幾何級數（或等比級數）是指通項為等比數列的級數，比如： 1 1 over 2 1 over 4 1 over 8 1 over 16 cdotssum_n0infty 1 over 2n2 一般來說，幾何級數 sum_n0infty zn 收斂當且僅當 left vert z right vert 1。 調和級數 調和級數是指通項為 1 over n 的級數： 1 1 over 2 1 over 3 1 over 4 1 over 5 cdots sum_n1infty 1 over n 它是發散的。 p 級數 p 級數是指通項為 frac 1np 的級數： U_p sum_n1inftyfrac 1np 對於實數值的 p，當 p1 時收斂，當 pleq 1 時發散。這可以由積分比較審斂法得出。 函式 zeta p mapsto U_p 是黎曼 ζ 函式在實軸大於 1 的部分的限制，關於黎曼 zeta 函式有著名的黎曼猜想。 特別地，當 p1 時，p 級數即為調和級數。 裂項級數 sum_n1infty b_nb_n1 收斂當且僅當數列 b_n 收斂到某個極限 L，並且這時級數的和是 b_1L。 泰勒級數 泰勒級數是關於一個光滑函式 f 在一點 a 附近取值的級數。泰勒函式由函式在點 a 的各階導數值構成，具體形式為： sum_n0infin frac fnan xan 這是一個冪級數。如果它在 a 附近收斂，那麼就稱函式 f 在點 a 上是解析的。 交錯級數 具有以下形式的級數 sum_n0infty 1n a_n 其中所有的 a_n 非負，被稱作交錯級數。交錯級數的收斂通常要藉助萊布尼茨判別法。 冪級數 形同 sum a_n x x_0n 的函式項無窮級數稱為 x x_0 的冪級數。它的收斂與否和係數 a_n 有關。 傅立葉級數 任何週期函式都可以用正弦函式和餘弦函式構成的無窮級數來表示，稱為傅立葉級數。傅立葉級數是函式項無窮級數，也就是說每項都是一個函式。傅立葉級數在數論、組合數學、訊號處理、機率論、統計學、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。 例如，週期為 2 pi 的週期函式 f x 可以表示為： f x frac a_02 sum_n1infty a_n cos nx b_n sin nx n1 2 3 ldots 其中，a_n frac 1pi int_pipi f xcos nx dx，b_n frac 1pi int_pipi f xsin nx dx，特別的，a_0 frac 1pi int_pipi f x dx 常數項無窮級數審斂法 正項級數 若通項為實數的無窮級數 sum u_n 每一項 u_n 都大於等於零，則稱 sum u_n 是一正項級數。 如果無窮級數 sum u_n 是正項級數，則部分和 S_n 是一個單調遞增數列。由數列極限的判別準則：單調有界數列必有極限。因此，倘若部分和數列 Sn 有界，sum u_n 收斂，且 lim_n to infty S_n s 反之，若部分和數列趨於正無窮，級數發散。 比較判別法 設 sum u_n 和 sum v_n 是正項級數。 如果存在正實數 M，使得從若干項開始，u_n le Mv_n（也就是說 u_n O_infty v_n），則 當 sum v_n 收斂時，可推出 sum u_n 也收斂。 當 sum u_n 發散時，可推出 sum v_n 也發散。 如果 lim_n to inftyu_n over v_n 0，則 當 sum v_n 收斂時，可推出 sum u_n 也收斂。 當 sum u_n 發散時，可推出 sum v_n 也發散。 如果 lim_n to inftyu_n over v_n 1 或其它有限數，則 sum v_n 和 sum u_n 同時收斂或發散。 比如，我們已知級數：sum 1 over n2 收斂，則級數：sum sin n over n2 也收斂，因為對任意的 n，sin n le 1。 比較判別法的特點是要已知若干級數的斂散性。一般來說，我們可以選擇比較簡單的級數：U_p sum 1 over np 作為 標準級數，依此判斷其他函式的斂散性。需要知道的是當 p le 1 時，U_p 發散，當 p 1 時，U_p 收斂。 達朗貝爾判別法 在比較判別法中，如果取幾何級數為比較的標準級數，可得： 設 sum u_n 是通項大於零的正項級數。並且 lim_n to infty u_n1 over u_n p，則 當 p 1 時，級數 sum u_n 收斂。 當 p 1 時，級數 sum u_n 發散。 當 p 1 時，級數 sum u_n 可能收斂也可能發散。 這個判別法也稱為比值判別法或比值審斂法。 柯西收斂準則 設 sum u_n 是正項級數。並且 lim_n to infty sqrt nu_n p，則 當 p 1 時，級數 sum u_n 收斂。 當 p 1 時，級數 sum u_n 發散。 當 p 1 時，級數 sum u_n 可能收斂也可能發散。 這個判別法也稱為根值判別法或根值審斂法 。 交錯級數 具有以下形式的級數 sum_n0infty 1n a_n 其中所有的 a_n 非負，被稱作交錯級數。 萊布尼茨判別法 在上述的級數 sum_n0infty 1n a_n 中，如果當 n 趨於無窮時，數列 a_n 的極限存在且等於 0，並且每個 a_n 小於 a_n1（即，數列 a_n 是單調遞減的），那麼級數收斂。 任意項級數 對於通項為任意實數的無窮級數 sum u_n，將級數 sum u_n 稱為它的絕對值級數。可以證明，如果 sum u_n 收斂，那麼 sum u_n 也收斂，這時稱 sum u_n 絕對收斂。如果 sum u_n 收斂，但是 sum u_n 發散，則稱 sum u_n 條件收斂。比如說，級數 sum sin n over n2 絕對收斂，因為前面已經證明 sum sin n over n2 收斂。而級數 sum 1n over n 是條件收斂的。它自身收斂到 ln 1 over 2，但是它的絕對值級數 sum 1 over n 是發散的。 黎曼級數定理說明，如果一個無窮級數 sum u_n 條件收斂，那麼對於任意的實數 x，存在一個正整數到正整數的雙射 sigma，使得級數 sum u_sigma n 收斂到 x。對於正負無窮大，上述雙射也存在。 函式項級數 設 u_n x_n ge 0 為定義在區間 mathcal I 上的函式列，則表示式：u_1 x u_2 x cdots u_n x cdots 稱為函式項級數，簡記為 sum u_n x。對函式項級數的主要研究是： 確定對哪些 x，sum u_n x 收斂。 sum u_n x 收斂的話，其和是什麼，有什麼性質？ 收斂域 對區間 mathcal I 上的每個 x_0，級數 sum u_n x_0 是常數項級數。若 sum u_n x_0 收斂，則稱 x_0 是 sum u_n x 的一個收斂點，sum u_n x 全體收斂點的集合稱為它的收斂域。若 sum u_n x_0 發散，則稱 x_0 是 sum u_n x 的一個發散點，sum u_n x 全體發散點的集合稱為它的發散域。sum u_n x 在其收斂域的每一點上都有定義，因此定義了一個函式，稱為 sum u_n x 的和函式，記為 S x。按照定義，S x_0 lim_n to infty S_n x_0，其中 S_n x_0 u_1 x_0 u_2 x_0 cdots u_n x_0 為函式項級數在 x_0 點上的部分和。 一致收斂 函式項級數的取值可以在它的收斂域上用和函式定義，但和函式的性質可能會和級數的每一項不同。比如說，當函式項級數 sum u_n x 中的每一項 u_n x 在收斂域上都是連續函式時，和函式未必會是連續函式。以下是一個例子： 設 displaystyle u_n x xn xn1，也就是說 displaystyle u_0 x 1 x，displaystyle u_1 x x x2 等等，它們顯然都是連續函式（甚至是光滑函式）。這時函式項級數在 x 點上的部分和 S_n x sum_k0n xk xk1 1 xn1 。在區間 0 1 的每一點上，部分和都有極限： 當 x neq 1 時，S_n x rightarrow 1 當 displaystyle x 1 時，S_n x rightarrow 0 於是在區間 0 1 上，級數 sum u_n x 收斂，其和函式 S x 為： 當 0 le x 1 時，S x 1；S 1 0。 這不是一個連續函式。 然而，如果函式項級數能夠滿足某些更嚴格的條件的話，可以證明級數的和函式的規則性將會等於每一項函式的規則性，這就是所謂的一致收斂性質。和函式列的一致收斂性質一樣，函式項級數 sum u_n x 在某個區間 mathcal I 內（關於某個範數 left cdot right ）一致收斂的定義是它的部分和函式 S_n 在區間 mathcal I 上一致收斂到和函式 S， lim_n rightarrow infty left S S_n right _mathcal I 0 或者寫成 lim_n rightarrow infty left sum_kninfty u_k right _mathcal I 0 可以證明： 進一步的，如果導函式級數的每一項都是 mathcal Cp 函式（p 階連續可微函式），並且各階導函式級數 sum u_n x sum u_n1 x sum u_n2 x ldots sum u_np x 在區間 mathcal I 內都一致收斂，那麼級數和函式 S x sum u_n x 也是 mathcal Cp 函式，並且： forall 0 le i le p ，Six sum u_ni x。 絕對收斂 函式項級數也有絕對收斂的概念。對於某個給定的區間 mathcal I 和範數 left cdot right _mathcal I，函式項級數 sum u_n x 在區間 mathcal I 內絕對收斂，當且僅當常數級數 sum left u_n right _mathcal I 收斂。 絕對收斂的（連續？）函式在每一點都收斂，並且在區間 mathcal I 內一致收斂。 冪級數 形同 sum a_n x x_0n 的函式項無窮級數稱為 x x_0 的冪級數。一般只需討論形同 sum a_n xn 的冪級數。 冪函式的收斂域 根據阿貝爾定理，它的收斂域是一個關於零對稱的區間，即為 RR（可開可閉）的形式。這個正數 R（可以是無窮大）叫做冪級數的收斂半徑。並有定理： 設冪級數 sum a_n xn 滿足 lim_n to infty a_n1 over a_n rho，則： rho 是正實數時，R 1 over rho。 rho 0 時，R infty。 rho infty 時，R 0。 冪級數的和函式 求解冪級數的和函式有時需要利用先對各項積分（或求導）以得到一個方便利用已有公式進行求和的形式，在求和後在對各項求導（或積分）。 漸進級數 漸進級數是用來對某些函式的間斷點附近的情況進行逼近的級數。漸進級數一般是發散的，它的部分和趨於無窮大，因此可以很好地逼近一個趨於無窮大的函式。但要注意的是，漸進級數提供的逼近是相對的，即只是比值趨於一致，與函式值之間的誤差並不像收斂的級數一樣趨於無窮小。一般來說，漸進級數在若干項後便達到最小的絕對誤差，之後的絕對誤差一般會增大甚至趨於無窮。 發散級數的和 發散級數的部分和沒有極限，但是在應用中可以使用比較弱的級數和定義，比如切薩羅求和、阿貝爾求和以及尤拉求和。 推廣 級數的概念可以在任何的對稱拓撲群中定義，常用的是在一個巴拿赫空間（比如實數或複數空間）中。 參見 收斂 發散級數 級數展開 求和變換 阿貝爾定理 黎曼級數定理 柯西 阿達馬公式 註釋 參考文獻 參考書目 Category 無窮