數學上，對稱群描述物體的所有對稱性。這是透過群作用的概念來形式化的：群的每個元素作為一個雙射（或者對稱作用）作用在某個集合上。在這個情況下，群稱為置換群（特別是在群有限或者不是線性空間時）或者變換群（特別是當這個集合是線性空間而群作為線性變換作用在集合上時）。一個群 G 的置換表示是群作為一個集合的置換群的群表示（通常該集合有限），並且可以表述為置換矩陣，一般在有限的情形作此考慮－這和作用在有序的線性空間基上是一樣的。 定義 令 G 為一個群， X 為一個集合， G 在 X 上的一個 左 群作用 alpha 是一個二元函式 alpha G times X rightarrow X 該函式滿足如下兩條公理： 對所有 g h in G 以及 x in X ，alpha g h x alpha g alpha h x。 對每個 x in X ，有 alpha e x x e 為群 G 的單位元。 一般稱群 G （在左邊）作用於集合 X 上，或稱 X 是一個 G 集合。 為簡化在群作用 alpha 上使用的符號，我們可以將其柯里化：令 alpha_g X rightarrow X 為由單個元素 g 給出的對映 x mapsto alpha g x ，這樣可以透過考慮函式集 alpha_g mid g in G 來研究群作用。上述兩條公理可以寫作 alpha_e x x alpha_g alpha_h x alpha_g circ alpha_hx alpha_ghx 其中 alpha_g circ alpha_h 表示兩函式的複合。所以第二條公理說明函式的複合可以與群運算互相對應，它們可以組成一個交換圖表。該公理甚至可以簡寫為 alpha_g circ alpha_h alpha_gh 。 alpha g x 一般簡寫為 g cdot x 或 gx 。 由上述兩條公理可知，對固定的元素 g in G ，從 X 對映到 Xx mapsto g cdot x 是一個雙射（單射和滿射的條件可以分別透過考慮 g1 和 e 給出）。因此，也可以將 G 在 X 上的群作用定義為從 G 到對稱群上 S_X 的群同態。 右群作用 我們可以類似地定義一個 G 在 X 上的右群作用為函式 X times G rightarrow X，滿足以下公理： x cdot g h x cdot g cdot h x cdot e x 注意左和右作用的區別僅在於像 gh 這樣的積在 x 上作用的次序。左群作用中， h 先作用，然後才到 g ，而對於右作用 g 先作用，然後才到 h 。右作用與群上的逆操作複合可以構造出一個左作用。如果 r 為一右作用，則 l G times M to M g m mapsto r m g1 是一左作用，因為 l gh m r m gh1 r m h1 g1 r r m h1 g1 r l h m g1 l g l h m 而 l e m r m e1 r m e m 所以我們可以不失一般性地考慮左群作用。 群作用的種類 群 G 作用在集合 X 上的作用稱為 遞移性 Transitive 如果 X 是一個非空集合，對於每對數對 xy in X，則存在一個 ginG，使得 g cdot x y ，我們就稱此作用為遞移性。 忠實性 Faithful 如果群 G 嵌入 embbeding 到 X 的置換群中，我們就稱此作用為忠實的。換言之，就是群 G 到 X 的置換群之中為單射。 自由性 Free 如果給定 g hin G，存在 x in X，則有著 g cdot xh cdot x Rightarrow gh，則稱為此作用為自由性。 正則的 Regular 同時具有自由性以及遞移性的作用稱為正則的，又稱簡單遞移。 n 遞移性 ntransitive 如果集合 X 至少有 n 個元素，對所有不同的元素 x1 xn 和所有不同的 y1 yn 存在一個 g 在群 G 使得 gxk yk 對所有 1 k n ，我們就稱其為 n 遞移性。 本原的 Primitive 如果遞移性作用滿足只有 trivial 區塊 block，那我們稱此作用為本原的。可以證明 n 遞移性皆為本原的。 軌道與穩定化子 軌道 令群 G 作用在集合 X 上，對 X 中的元素 x ， x 在 G 上的軌道是 X 的子集，定義為 g cdot x mid g in G 記作 G cdot x 或 Gx 。 集合 X 的兩個軌道要麼相等，要麼完全不相交，因此軌道是集合的一個劃分。如果兩個軌道 G cdot x 和 G cdot y 存在公共元素 a ，那麼存在兩個 G 中的元素 m 和 n ，使得 a m cdot x in G cdot x ， a n cdot y in G cdot y 。因而 x m1 cdot a m1 n cdot y in G cdot y ，反之亦可推出 y n1 cdot a n1 m cdot x in G cdot x ，所以兩個集合相等。 軌道的一個例子是陪集，假若 H 是 G 的一個子集，且定義 G 中元素的慣常運算規則為 H 在 G 上的一個作用，那麼 H 的陪集 aH a in G 就是 a 的軌道。 不變子集 令 S 為 X 的一個子集，群 G 作用在 X 上，對於群 G 中的所有元素 g ，以及所有 S 中的元素 s ，有 g cdot s in S ，則我們會說 S 在 G 的作用下是封閉的。 若 x 是 mathrm X 的一個元素，對於群 mathrm G 中的所有元素 g 而言，都有 g cdot x x，那麼就稱 x 是 mathrm G 不變的（mathrm Ginvariant）。 不動點與穩定子群 令 g in G 和 x in X ，如果 g cdot x x ，則 x 是關於 g 的一個不動點。 對 X 的元素 x ，所有令 g cdot x x 的 G 中的元素 g 構成的集合稱為 G 關於 x 的穩定子群，記作 G_x 或 Stab_G x 。 G_x g in G mid g cdot x x 。 G_x 是 mathrm G 的一個子群，因為根據定義 e cdot x x in G_x，因此 G 的單位元 e 在 G_x 中。如果 m in G_x ，那麼 m 的逆元 m1 也是 mathrm Gx 的元素，因為 x e cdot x m1 m cdot x m1 cdot x。 軌道－穩定點定理 軌道與穩定子群緊密相關。令群 G 作用在 X 上，令 X 中的 x ，考慮對映 f G rightarrow X ， g mapsto g cdot x 。該對映的值域等於軌道 G cdot x 。 G 中的兩元素 g 和 h 的像 f g 和 f h 相同的條件是 f g f h iff g cdot x h cdot x iff g1 h cdot x x iff g1 h in G cdot x iff h in g G cdot x 。 換言之， f g f h 當且僅當 g 和 h 在穩定子群 G_x 的同一個陪集中。所以所有在軌道 G cdot x 中的元素 y 的原像都包含於某個陪集中，每個陪集的像亦為 X 的一個單元素集合。因此 f 事實上是 G_x 的所有陪集與 X 的元素的一一對應， f G G_x rightarrow X 是一個雙射函式。 這個結論稱為軌道 穩定點定理，有 Gcdot xGG_x 伯恩賽德引理 而一個跟軌道 穩定點定理相似的結果就是伯恩賽德引理 XGfrac 1Gsum_gin G Xg 其中 Xg 是 X 關於 g 的穩定子群。 G 和 X 都有限時該引理尤其重要，可以被詮釋為「群作用的軌道數等於平均每個群元素的不動點的個數」。 西羅定理 範例 任意群 G 在任意集合 X 上的群作用定義為 對任意 g 屬於 G 以及任意 x 屬於 X；換句話說，每個群元素對應 X 上的恆等置換。 參考資料 Q Q