拓撲空間是一種賦予「一點附近」這個概念的抽象數學結構；拓撲空間也是一個集合，其元素稱為點，由此可以定義出如收斂、連通、連續等概念。拓撲空間在現代數學的各個分支都有應用，是一個居於中心地位的、統一性的概念。拓撲空間有獨立研究的價值，研究拓撲空間的數學分支稱為拓撲學。 定義動機 拓撲結構最實用的動機，在於怎麼去定義「一點的附近」，用以定義函式極限。 對於度量空間 Md 內的任一點 x，可定義中心為 x，半徑為 r 0 的開球 B xr left y in M bigg d xy r right 然後把開球視為點 x 附近的「開放邊界區域」。但考慮到「區域」應該是有任意形狀的，那一般的「開放邊界區域」，應該是任取裡面的點 x ，都會有一個夠小的開球 B xr 完全落在這個區域裡，也就是說，可以定義 Md 的開子集 O subseteq M 為滿足如下條件的子集合 forall x in Oexist r 0 B xr subseteq O 這樣定義的開集有一些有趣的性質： 1 任二開集的交集也是開集 任取兩個 Md 的開子集 O_1O_2 subseteq M ，若 x in O_1 cap O_2 ，根據定義存在 r_1r_2 0 使得 B xr_1 subseteq O_1 B xr_2 subseteq O_2 這樣若取 r min r_1r_2 ，則會有： B xr subseteq O_1 cap O_2 也就是說， O_1 cap O_2 也是個開集。 2 任意個開集的並集也會是開集 若 mathfrak A subseteq mathcal PM 是一群開集所構成的集合，也就是說 forall OO in mathfrak A Rightarrow forall x in Oexist r 0 B xr subseteq O 如果取 a in bigcup mathfrak A 換句話說： exists O O in mathfrak Awedge a in O 這樣的話，顯然有 exist r 0 left B ar subseteq bigcup mathfrak A right 所以 bigcup mathfrak A 也會是一個開集。 以上的性質促使人們在不依託度量情況下，去定義一個描述「一點的附近」的結構，換句話說，去抽象的定義一群開集是這麼樣的特殊集合，任二開集的交集是開的且任意開集的聯集也是開的。 正式定義 拓撲結構一詞涵蓋了開集系，閉集系，鄰域系，開核，閉包，導集，濾子等若干概念。可以從這些概念出發，給出若干種等價結構，但大部分書籍都以開集系為準。 開集系 根據定義動機一節可以作如下的定義： X 的子集族 mathfrak O subseteq mathcal PM 若滿足以下開集公理 正式定義 直觀解釋 Xvarnothing in mathfrak O X 本身和空集合也是開的 forall O_1 forall O_2 O_1O_2 in mathfrak O Rightarrow O_1 cap O_2 in mathfrak O 有限個開集的交集也是開的 forall mathfrak A left mathfrak A subseteq mathfrak O Rightarrow left bigcup mathfrak A in mathfrak O right right 任意個開集的併集也是開的 則稱 mathfrak O 為 X 的開集系（其中的元素稱為開集）或拓撲，Xmathfrak O 則被稱為一拓撲空間，X 內的元素 x in X 則稱為拓撲空間 Xmathfrak O 的點。 開集系的代號 mathfrak O 是字母「O」的德文尖角體，取名自德語形容詞「」（開的）。 從開集系出發定義其它概念：（A subseteq X 為 X 的子集） 閉集：若 X A 是開集，則稱 A 是閉集。 鄰域：若存在開集 O 使得 x in O subseteq A ，則稱 A 是點 x 的鄰域。 開核：A 的開核（或內部）Acirc 定義為 A 內所有開集之並，也就是 Acirc bigcup leftO in mathfrak O big O subseteq A right 閉集系 X 的子集族 mathfrak F subseteq mathcal PX 若滿足如下閉集公理： 正式定義 直觀解釋 Xvarnothinginmathfrak F X 本身和空集合也是閉的 forall F_1 forall F_2 F_1F_2 in mathfrak F Rightarrow F_1 cup F_2 in mathfrak F 有限個閉集的併集是閉的 forall mathfrak B left mathfrak B subseteq mathfrak F Rightarrow left bigcap mathfrak B in mathfrak F right right 任意個閉集的交集是閉的 則稱 mathfrak F 為 X 的閉集系（其中的元素稱為閉集）。 開集系的代號 mathfrak F 是字母「 F」 的德文尖角體，取名自法語動詞「」（關閉）的過去分詞「」（封閉的）。 根據德摩根定理和量詞符號的意義，以下的子集族 mathfrak O_mathfrak F leftO in mathcal PX big X O in mathfrak F right 為開集系，類似地，對於開集系 mathfrak O ，以下的子集族 mathfrak F_mathfrak O leftF in mathcal PX big X F in mathfrak O right 為閉集系，所以閉集系跟拓撲是等價的結構。 從閉集系出發定義其它概念：（A subseteq X 為 X 的子集） 開集：X A 是閉集，則稱 A 是開集。 閉包：A 的閉包 overline A 定義為包含 A 的所有閉集之交，也就是 overline A bigcap leftF in mathfrak F big A subseteq F right 鄰域系 函式 mathfrak UX to mathcal Pmathcal PX（ mathcal Pmathcal PX 指 X 的冪集的冪集，也就是由所有子集族所構成的集合）若對任意 x in X 滿足如下鄰域公理： 正式定義 直觀解釋 forall U Uinmathfrak Ux Rightarrow x in U x 屬於 mathfrak Ux 的任意元素（mathfrak Ux 裡的元素都是 x 的鄰域） forall Uforall V UV in mathfrak Ux Rightarrow U cap V in mathfrak Ux x 的任二鄰域的交集也是 x 的鄰域 forall V subseteq Xforall U in mathfrak Ux U subseteq V Rightarrow V in mathfrak Ux 包含任何 x 的鄰域的任意子集也是 x 的鄰域 forall U in mathfrak Ux exists V in mathfrak Ux V subseteq U wedge forall y in V U in mathfrak Uy x 的每個鄰域內有個 x 的鄰域，使的大鄰域都是小鄰域裡面點的領域 這樣任意 mathfrak Ux 被稱為 x 的鄰域系， mathfrak Ux 裡的元素 U in mathfrak Ux 則稱為 x 的鄰域。 換句話說，函式 mathfrak U 將 X 的每個點 x in X 對映至 mathfrak Ux ，而 mathfrak Ux 則是所有 x 的鄰域所構成的集族。 鄰域系的代號 mathfrak U 是字母「 U」 的德文尖角體，取名自德語動詞「 」（環繞）的名詞化「」（周圍、環境）。 若取以下的子集族 mathfrak O_mathfrak U leftO in mathcal PX big forall x x in O Rightarrow O in mathfrak Ux right 因為 X 包含任意鄰域， X 本身顯然為任意 x in X 的領域，故 X in mathfrak O_mathfrak U ；另外空集合 varnothing 沒有任何屬於它的點，所以根據實質條件的意義，varnothing in mathfrak O_mathfrak U。 若取 O_1O_2 in mathfrak O_mathfrak U ，根據鄰域公理的第二項有 O_1 cap O_2 in mathfrak O_mathfrak U ；若取 mathfrak B subseteq mathfrak O_mathfrak U ，且 x in bigcup mathfrak B ，那換句話說 exists O O in mathfrak B wedge x in O 這樣的話有 exists O O in mathfrak B wedge x in O wedge O in mathfrak O_mathfrak U 那這樣根據鄰域公理第三項，bigcup mathfrak B in mathfrak O_mathfrak U，所以 mathfrak O_mathfrak U 的確是個開集合系。 類似地對於開集系 mathfrak O ，若對任意 x in X 取 mathfrak Ux leftU in mathcal PX big exists O O in mathfrak O wedge O subseteq U wedge x in O right 那 mathfrak Ux 也會符合上面四款鄰域系公理（注意到第四項取 V Ucirc ），所以對所有 x in X 定義了鄰域系等同於定義了一個拓撲。 從鄰域系出發定義其它概念：（A subseteq X 為 X 的子集） 開集：對任意 x in A ，有 A in mathfrak Ux，則稱 A 是開集。（開集本身是它所有點的鄰域） 開核：Acirc left x in X big exists U Uin mathfrak Uxwedge U subseteq A right（開核裡的每一點，都有一個包含於 A 的領域。） 閉包：overline A left x in X big forall UUin mathfrak Ux Rightarrow Ucap Anevarnothing right。（閉包裡每一點的領域，都跟 A 有交集。） 閉包公理 X 的冪集 P X 上的一元運算 c P X to P X（即將 X 的子集 A 對映為 X 的子集 c A）稱為閉包運算（像稱為原像的閉包）。當且僅當運算 c 滿足下述的閉包公理： A1： A subseteq c A ； A2： c c A c A ； A3： c A cup B c A cup c B； A4： c varnothing varnothing。 集合 A 的閉包通常記為 overline A。 從閉包出發定義其它概念： 從閉包定義閉集：X 的子集 A 是閉集，當且僅當 A overline A。 從閉包定義開核：X 的子集 A 的開核 Acirc X overline XA。 從閉包定義鄰域：X 的子集 U 是點 x 的鄰域，當且僅當 x notin overline XU。 開核公理 X 的冪集 P X 上的一元運算 o P X to P X（即將 X 的子集 A 對映為 X 的子集 o A）稱為開核運算（像稱為原像的開核或內部）。當且僅當運算 o 滿足如下開核公理： I1： o A subseteq A ； I2： o o A o A ； I3： o A cap B o A cap o B ； I4： o X X 。 集合 A 的開核通常記為 Acirc。 （顯然，開核運算是閉包運算的對偶概念）。 從開核出發定義其它概念： 從開核定義開集：X 的子集 A 是開集，當且僅當 A Acirc。 從開核定義鄰域：X 的子集 U 是點 x 的鄰域，當且僅當 xin Ucirc。 從開核定義閉包：X 的子集 A 的閉包 overline A X XAcirc。 導集公理 X 的冪集 mathcal PX 上的一元運算 d mathcal PX to mathcal PX（即將 X 的子集 A 對映為 X 的子集 d A）稱為導集運算（像稱為原像的導集），當且僅當 d 滿足以下導集公理： D1：d varnothing varnothing； D2：d d A subseteq d A cup A； D3：forall x in X d A d A x； D4：d Acup B d Acup d B 從導集出發定義其它概念： 從導集定義閉集：X 的子集 A 是閉集，當且僅當 d Asubseteq A。 拓撲之間的關係 同一個全集可以擁有不同的拓撲，有些是有用的，有些是平庸的，這些拓撲之間可以形成一種偏序關係。當拓撲 mathfrak T_1 的每一個開集都是拓撲 mathfrak T_2 的開集時，稱拓撲 mathfrak T_2 比拓撲 mathfrak T_1 更細，或稱拓撲 mathfrak T_1 比拓撲 mathfrak T_2 更粗。 僅依賴於特定開集的存在而成立的結論，在更細的拓撲上依然成立；類似的，僅依賴於特定集合不是開集而成立的結論，在更粗的拓撲上也依然成立。 最粗的拓撲是由空集和全集兩個元素構成的拓撲，最細的拓撲是離散拓撲，這兩個拓撲都是平庸的。 在有些文獻中，我們也用大小或者強弱來表示這裡粗細的概念。 連續對映與同胚 類似定義拓撲空間，連續對映也有基於開集，閉集，開核，閉包和鄰域等概念的等價定義。 性質 f 對任何閉集的原像是閉集。 對點 f x 的任一鄰域 V，都存在點 x 的一個鄰域 U，使得 f U subset V，則稱 f x 在點 x 連續，而連續對映即點點連續的對映。 對任一集合 A，f overline A subseteq overline f A 成立。 對任一集合 A，f1Acirc subseteq f1Acirc 成立。 拓撲空間範疇 拓撲空間作為物件，連續對映作為態射，構成了拓撲空間範疇，它是數學中的一個基礎性的範疇。試圖透過不變數來對這個範疇進行分類的想法，激發和產生了整個領域的研究工作，包括同倫論、同調論和 K 理論。 相關概念 基本概念 給定拓撲空間 Xtau，A 是 X 的子集，有以下概念（繼續使用上面的符號）： 內部，內點 A 的開核 o A 又稱為 A 的內部，其元素稱為 A 的內點。 外部，外點 X c A 稱為 A 的外部，其元素稱為 A 的外點。 邊界，邊界點 c Ac XA 稱為 A 的邊界，其元素稱為 A 的邊界點。 觸點 A 的閉包 c A 中的點稱為 A 的觸點。 稠密性，稠密集 稱 A 在 X 中是稠密的（或稱稠密集），當且僅當 c A X。 邊緣集 稱 A 是 X 的邊緣集，當且僅當 XA 在 X 中是稠密的。 疏性，疏集 稱 A 在 X 中是疏的（或稱疏集），當且僅當 c A 是 X 中的邊緣集。 第一範疇集，第二範疇集 稱 A 是 X 中的第一範疇集，當且僅當 A 可以表示為可數個疏集的並。稱 A 是 X 中的第二範疇集，當且僅當 A 不是 X 中的第一範疇集。 聚點，導集 X 中的點 x 稱為 A 的聚點，當且僅當 x c A x（或者等價地，x 的任意鄰域至少包含 x 以外的 A 的一個點）。A 的所有聚點組成的集合稱為 A 的導集。 孤立點 A 中的點 x 稱為 A 的孤立點，當且僅當它不是 A 的聚點。 孤點集，離散集 稱 A 為孤點集或離散集，當且僅當 A 中所有的點都是 A 的孤立點。 自密集 稱 A 為自密集，當且僅當 A 中的點都是 A 的聚點（等價地，A 中沒有 A 的孤立點）。 完備集 稱 A 為完備集，當且僅當 A 等於其導集。 自密核 A 的最大自密子集稱為 A 的自密核。 無核集 稱 A 是無核集，當且僅當 A 的自密核是（或等價地，A 的任意非空子集都含有孤立點）。 網 網的目的在推廣序列及極限，網的收性稱作 MooreSmith 收斂。其關鍵在於以有向集合代替自然數集 mathbb N。 空間 X 上的一個網 x_alpha_alpha in A 是從有向集合 A 映至 X 的對映。 若存在 x in X，使得對每個 x 的鄰域 U 都存在 beta in A，使得 alpha geq beta Rightarrow x_alpha in U，則稱網 x_alpha_alpha in A 收斂至 x。 幾乎所有點集拓撲學的基本概念都能表述作網的收斂性，請參閱主條目網 拓撲空間的例子 實數集 R 構成一個拓撲空間：全體開區間構成其上的一組拓撲基，其上的拓撲就由這組基來生成。這意味著實數集 R 上的開集是一組開區間的並（開區間的數量可以是無窮多個，但進一步可以證明，所有的開集可以表示為可數個互不相交的開區間的並）。從許多方面來說，實數集都是最基本的拓撲空間，並且它也指導著我們獲得對拓撲空間的許多直觀理解；但是也存在許多 奇怪 的拓撲空間，它們有悖於我們從實數集獲得的直觀理解。 更一般的，n 維歐幾里得空間 Rn 構成一個拓撲空間，其上的開集就由開球來生成。 任何度量空間都可構成一個拓撲空間，如果其上的開集由開球來生成。這中情況包括了許多非常有用的無窮維空間，如泛函分析領域中的 Banach 空間和希爾伯特空間。 任何區域性域都自然地擁有一個拓撲，並且這個拓撲可以擴張成為這個域上的向量空間。 除了由全體開區間生成的拓撲之外，實數集還可以賦予另外一種拓撲 下限拓撲（lower limit topology）。這種拓撲的開集由下列點集構成 空集、全集和由全體半開區間 a b 生成的集合。這種拓撲嚴格地細於上面定義的歐幾里得拓撲；在這種拓撲空間中，一個點列收斂於一點，當且僅當，該點列在歐幾里得拓撲中也收斂於這個點。這樣我們就給出了一個集合擁有不同拓撲的示例。 流形都是一個拓撲空間。 每一個單形都是一個拓撲空間。單形是一種在計算幾何學中非常有用的凸集。在 0、1、2 和 3 維空間中，相應的單形分別是點、線段、三角形和四面體。 每一個單純復形都是一個拓撲空間。一個單純復形由許多單形構成。許多幾何體都可以透過單純復形 來建立模型，參見多胞形（Polytope）。 扎里斯基拓撲是一種純粹由代數來定義的拓撲，這種拓撲建立在某個環的交換環譜之上或者某個代數簇之上。對 Rn 或者 Cn 來說，相應扎里斯基拓撲定義的閉集，就是由全體多項式方程的解集合構成。 線性圖是一種能推廣圖的許多幾何性質的拓撲空間。 泛函分析中的許多算子集合可以獲得一種特殊的拓撲，在這種拓撲空間中某一類函式序列收斂於零函式。 任何集合都可以賦予離散拓撲。在離散拓撲中任何一個子集都是開集。在這種拓撲空間中，只有常數列或者網是收斂的。 任何集合都可以賦予平庸拓撲。在平庸拓撲中只有空集和全集是開集。在這種拓撲空間中，任和一個序列或者網都收斂於任何一個點。這個例子告訴我們，在某些極端情況下，一個序列或者網可能不會收斂於唯一的一個點。 有限補拓撲。設 X 是一個集合。X 的所有有限子集的補集加上空集，構成 X 上的一個拓撲。相應的拓撲空間稱為有限補空間。有限補空間是這個集合上最小的 T1 拓撲。 可數補拓撲。設 X 是一個集合。X 的所有可數子集的補集加上空集，構成 X 上的一個拓撲。相應的拓撲空間稱為可數補空間。 如果 Γ 是一個序數，則集合 0 Γ 是一個拓撲空間，該拓撲可以由區間 a b 生成，此處 a 和 b 是 Γ 的元素。 例子 1234 和 內兩個子集組成的集族 會形成一個 zhhans 平庸拓撲；zhhant 密著拓撲。 1234 和 內六個子集組成的集族 212231231234 會形成另一個拓撲。 （整數集合）及集族 等於所有的有限整數子集加上 自身不是一個拓撲，因為（例如）所有不包含零的有限集合的聯集是無限的，但不是 的全部，因此不在 內。 1 個元素的集上總拓撲數顯然只有 1 個。 2 個元素的集上總拓撲數顯然只有 4 個。 3 個元素的集上總拓撲數 只有29 個。 4 個元素的集上總拓撲數 只有355 個。 n 個元素的集上總拓撲數規律還在研究中，不過已取得些成果。參見 OEISA000798 說明 3 點集 Xabc 的拓撲總共有 29 個，可分為九類，具體如下： X aXbXcX abXacXbcX abcXbacXcabX aabXaacXbabXbbcXcacXcbcX aabacXbabbcXcacbcX ababXacacXbcbcX ababacXababbcXacabacXacacbcXbcabbcXbcacbcX abcabacbcX 拓撲空間的構造 拓撲空間的任何一個子集都可以被賦予一個子空間拓撲，子空間拓撲中的開集是全空間上的開集和子空間的交。 對任何非空的拓撲空間族，我們可以構造出這些拓撲空間的積上的拓撲，這種拓撲稱為積拓撲。對於有限積來說，積空間上的開集可以由空間族中各個空間的開集的積生成出來。 商拓撲可以被如下地定義出來：若 X 是一個拓撲空間，Y 是一個集合，如果 f X Y 是一個滿射，那麼 Y 獲得一個拓撲；該拓撲的開集可如此定義，一個集合是開的，當且僅當它的逆像也是開的。可以利用 f 自然投影確定下 X 上的等價類，從而給出拓撲空間 X 上的一個等價關係。 Vietoris 拓撲 拓撲空間的分類 依據點和集合分離的程度、大小、連通程度、緊性等。可以對拓撲空間進行各種各樣的分類。並且由於這些分類產生了許多不同的術語。 以下假設 X 為一個拓撲空間。 分離公理 詳細資料請參照分離公理以及相關條碼。有些術語在老的文獻中採用了不同地定義方式，請參照分離公理的歷史。 拓撲不可區分性 X 中兩個點 x，y 稱為拓撲不可區分的，當且僅當如下結論之一成立： 對 X 中每個開集 U，或者 U 同時包含 x，y 兩者，或者同時不包含它們。 x 的鄰域系和 y 的鄰域系相同。 xinoverline y，且 yinoverline x。 可數公理 可分的 X 稱為可分的，當且僅當它擁有一個可數的稠密子集。 第一可數 X 稱為第一可數的，當且僅當其任何一個點都有一個可數的區域性基。 第二可數 X 稱為第二可數的，當且僅當其擁有一個可數的基。 連通性 連通 X 稱為連通的，當且僅當它不是兩個無交的非空開集的並。（或等價地，該空間的閉開集（既開又閉的集合）只有空集和全空間兩者）。 區域性連通 X 稱為區域性連通的，當且僅當它的每個點都存在一個特殊的區域性基，這個區域性基由連通集構成。 完全不連通 X 稱為完全不連通的，當且僅當不存在多於一個點的連通子集。 道路連通 X 稱為道路連通的，當且僅當其任意兩點 x 和 y，存在從 x 到 y 的道路 p，也即，存在一個連續對映 p 01 X，滿足 p（0） x 且 p（1） y。道路連通的空間總是連通的。 區域性道路連通 X 稱為區域性道路連通的，當且僅當其每個點都有一個特殊的區域性基，這個區域性基由道路連通集構成。一個區域性道路連通空間是連通的，當且僅當它是道路連通的。 單連通 X 稱為單連通的，當且僅當它是道路連通且每個連續對映 f mathbb S1 rightarrow X 都與常數對映同倫。 可縮 X 稱為可縮的，當且僅當它同倫等價到一點。 超連通 X 稱為超連通的，當且僅當任兩個非空開集的交集非空。超連通蘊含連通。 極連通 X 稱為極連通的，當且僅當任兩個非空閉集的交集非空。極連通蘊含道路連通。 平庸的 X 稱為平庸的，當且僅當其開集只有本身與空集。 緊性 （詳細資料請參照緊集） 緊性 X 稱為緊的，當且僅當其任意開覆蓋都有有限開覆蓋的加細。 林德洛夫性質 X 稱為擁有林德洛夫性質，當且僅當其任意開覆蓋都有可數開覆蓋的加細。 仿緊 X 稱為仿緊的，當且僅當其任意開覆蓋都有區域性有限開覆蓋的加細。 可數緊 X 稱為可數緊的，當且僅當其任意可數開覆蓋都有限開覆蓋的加細。 列緊 X 稱為可數緊的，當且僅當其任意點列都包含收斂子列。 偽緊 X 稱為偽緊的，當且僅當其上的任意實值連續函式都有界。 可度量化 可度量性意味著可賦予空間一個度量，使之給出該空間的拓撲。目前已有許多版本的度量化定理，其中最著名的是 Urysohn 度量化定理：一個第二可數的正則豪斯多夫空間可被度量化。由此可匯出任何第二可數的流形皆可度量化。 擁有代數結構的拓撲空間 對於任一類代數結構，我們都可以考慮其上的拓撲結構，並要求相關的代數運算是連續對映。例如，一個拓撲群 G 乃是一個拓撲空間配上連續對映 m G times G rightarrow G（群乘法）及 i G rightarrow G（反元素），使之具備群結構。 同樣地，可定義拓撲向量空間為一個賦有拓撲結構的向量空間，使得加法與純量乘法是連續對映，這是泛函分析的主題；我們可以類似地定義拓撲環、拓撲域等等。 結合拓撲與代數結構，往往可以引出相當豐富而實用的理論，例如微分幾何探究的主齊性空間。在代數數論及代數幾何中，人們也常定義適當的拓撲結構以簡化理論，並得到較簡明的陳述；如數論中的區域性域（一種拓撲域），伽羅瓦理論中考慮的 Krull 拓撲（一種特別的拓撲群），以及定義形式概形所不可少的 I 進拓撲（一種拓撲環）等等。 擁有序結構的拓撲空間 拓撲空間也可能擁有自然的序結構，例子包括： 譜空間（spectral space）上的序結構。 特殊化預序：定義 x leq y Leftrightarrow mathrm clx sub mathrm cly。常見於計算機科學。 外部連結 n 個元素的集上總拓撲數規律 整數數列線上大全：OEISA000798 參考書目 John L Kelley General Topology GTM 27 SpringerVerlag ISBN 0387901256 James R Munkres Topology second edition Prentice Hall ISBN 0131816292 點集拓撲學初步 江澤涵 著 上海：上海科學技術出版社，1979 年 1 月。 點集拓撲學基礎 吳東興 著 北京：科學出版社，1981 年 3 月。 點集拓撲學原理 鮑姆 著 蒲思立譯 北京：人民教育出版社，1981 年 6 月。 一般拓撲學 李普舒茨 著 陳昌平等譯 上海：華東師大出版社，1982 年 1 月。 一般拓撲學 凱萊 著 吳叢，吳讓泉譯 北京：科學出版社，1982 年 5 月。 拓撲學引論 本特門德爾森 著 陳明蔚譯 南寧：廣西人民出版社，1983 年 1 月。 基礎拓撲學 阿姆斯特朗 著 孫以豐譯 北京：北京大學出版社，1983 年 1 月。 點集拓撲學 方嘉琳編 著 瀋陽：遼寧人民出版社，1983 年 4 月。 拓撲學的基礎和方法 野口宏 著 郭衛中，王家彥譯 北京：科學出版社，1986 年 3 月。 拓撲學初步 蘇步青 著 上海：復旦大學出版社，1986 年 4 月。 拓撲學基礎教程 曼克勒斯 著 羅嵩齡等譯 北京：科學出版社，1987 年 8 月。 基礎拓撲學 何伯和，廖公夫 著 北京：高等教育出版社，1991 年 1 月。 一般拓撲學專題選講 蔣繼光 著 成都：四川教育出版社，1991 年 3 月。 拓撲學導論 鮑裡索維奇等 著 盛立人等譯 北京：高等教育出版社，1992 年 9 月。 基礎拓撲學講義 尤承業編 著 北京：北京大學出版社，1997 年 ISBN 7301031033