外代數也稱為格拉斯曼代數（Grassmann algebra），以紀念數學家赫爾曼格拉斯曼。 數學上，向量空間 V 的外代數是一個特定有單位的結合代數，其包含了 V 為其中一個子空間。它記為 land V 或 landcdot V 而它的乘法，稱為楔積或外積，記為 land 楔積是結合的和雙線性的；其基本性質是它在 V 上是交錯的，也就是： vwedge v 0，對於所有向量 vin V 這表示 uwedge v vwedge u，對於所有向量 uvin V，以及 v_1wedge v_2wedgecdots wedge v_k 0，當 v_1ldotsv_kin V 線性相關時。 值得注意的是，以上三性質只對 V 中向量成立，不是對代數 land V 中所有向量成立。 外代數事實上是 最一般的 滿足這些屬性的代數。這意味著所有在外代數中成立的方程只從上述屬性就可以得出。land V 的這個一般性形式上可以用一個特定的泛性質表示，請參看下文。 形式為 v_1land v_2landldotsland v_k 的元素，其中 v_1ldotsv_k 在 V 中，稱為 k 向量。所有 k 向量生成的 land V 的子空間稱為 V 的 k 階外冪，記為 landk V。外代數可以寫作每個 k 階冪的直和： Lambda V bigoplus_k0infty Lambdak V 該外積有一個重要性質，就是 k 向量和 I 向量的積是一個 kI 向量。這樣外代數成為一個分次代數，其中分級由 k 給出。這些 k 向量有幾何上的解釋：2 向量 uland v 代表以 u 和 v 為邊的帶方向的平行四邊形，而 3 向量 uland vland w 代表帶方向的平行六面體，其邊為 u v 和 w。 外冪的主要應用在於微分幾何，其中他們用來定義微分形式。因而，微分形式有一個自然的楔積。所有這些概念由格拉斯曼提出。 定義及運算律 外代數有很多種等價的定義，下面的定義是最簡潔的一個。 定義：設 V 是域 K 上的一個向量空間，讓 Tk Vunderset kunderbrace Votimescdotsotimes V 則定義 T V bigoplus_k0infty Tk V K oplus V oplus V otimes V oplus V otimes V otimes V oplus ldots 令 I 為 V 的張量代數的理想（即雙邊理想），該理想是由所有形如 v otimes v 的張量生成的（其中 v in V 任意），則將 V 上的外代數 Lambda V 定義為商代數 T VI，即 Lambda V T VI 並且把 v_1 otimes ldots otimes v_k in Tk V 的等價類由下述等價關係 sim 所形成的等價類： forall u v in T V u sim v Leftrightarrow u v in I v_1 otimes ldots otimes v_k in T VI 記為 v_1 wedge ldots wedge v_k，其中 v_1 ldots v_k in V。設 k 0 1 2 ldots 稱 Lambdak V Tk VI 為 V 的 k 階外冪（kth exterior power of V），稱 landk V 中的元素為 k 向量（kmultivector）。 注： forall lambda in K，當且僅當 lambda 0 時才有 lambda in I，因此，可以把 Lambda0 V KI 等同於 K，並且把 lambda in Lambda0 V 記為 lambda；基於類似的原因，可以把 Lambda1 V VI 等同於 V，而且把 v in Lambda0 V 記為 v。這一點是前面所講的能夠把 v_1 otimes ldots otimes v_k in Lambdak V 記為 v_1 wedge ldots wedge v_k 的特例和前提。 當 k 1 時，k 向量並不僅限於形如 v_1 wedge ldots wedge v_k 的元素，例如，v_1 wedge v_2 w_1 wedge w_2 也是 2 向量，其中 v_1 v_2 w_1 w_2 in V 理想 I 中的元素並不僅限於形如 v otimes v 的張量，例如， forall v in V forall t in T V 必定有 v otimes v otimes t in I 和 t otimes v otimes v in I forall v w in V 由於 v w otimes v w in I 和 v otimes v in I 以及 w otimes w in I，顯然有 v otimes w w otimes v v w otimes v w v otimes v w otimes w in I，這就有一個推論：所有的二階對稱張量都在理想 I 中。 由於上面的兩個結論，forall v w in V，我們有 v otimes w otimes v v otimes w otimes v v otimes w v otimes v otimes w in I，這是因為等式右邊的每一項都在 I 中。對張量 t in T V 的階數作數學歸納法，則可以證明：forall v in V forall t in T V，總有 v otimes t otimes v in I。 設 k 2 3 ldots，則 forall alpha in Lambdak V，alpha 作為等價類含有唯一的一個完全反對稱的代表元 t in Tk V，可以把這個 k 階的完全反對稱張量等同於 alpha 詳見後面的 反對稱運算元和外冪 一節。在有些文獻中，k 向量就是以這種方式定義的。 運算律 將上面的注中的內容用 wedge 寫出，則分別給出 1 forall lambda in K alpha in Lambda V lambda wedge alpha alpha wedge lambda lambda alpha 證明如下： 作為等價類，我們從 alpha in Lambda V T VI 中任意挑選一個代表元 t，則 t in T V 而且 alpha t。根據商代數的定義， lambda wedge alpha lambda wedge t lambda otimes t lambda t lambda t lambda alpha 類似地，可以證明 alpha wedge lambda lambda alpha 2 根據注 31 中的內容，顯然有 v wedge v 0 forall v in V 3 根據注 32 中的內容，對任意 v w in V 成立著 v wedge w w wedge v 注：即使 K 的特徵為 2，這個公式也是對的，只不過此時有 1 1 而已。 4 根據商代數的定義以及張量代數的性質，運算 wedge Lambda V times Lambda V rightarrow Lambda V 滿足結合律和分配律： alpha wedge beta wedge theta alpha wedge beta wedge theta alpha beta wedge theta alpha wedge theta beta wedge theta alpha wedge beta theta alpha wedge beta alpha wedge theta 其中 alpha beta theta in Lambda V 都是任意的。 以前兩條性質為例，其證明如下：設張量 a b t in T V 分別是 alpha beta theta 中的代表元，即 alpha a beta b theta t 則 alpha wedge beta wedge theta a wedge b wedge t a otimes b wedge t a otimes b otimes t a otimes b otimes t a wedge b otimes t a wedge b wedge t alpha wedge beta wedge theta alpha beta wedge theta a b wedge t a b wedge t a b otimes t a otimes t b otimes t a otimes t b otimes t a wedge t b wedge t alpha wedge theta beta wedge theta 5 根據上面的 3 和 4，用數學歸納法可以證明：forall alpha in Lambdak V beta in Lambdal V beta wedge alpha 1kl alpha wedge beta 證明從略。 基底和維數 若 V 的維數是 n 而 left e_1ldotse_n right 是 V 的基，則集合 e_i_1wedge e_i_2wedgecdotswedge e_i_k mid 1le i_1 i_2 cdots i_k le n 是 k 階外冪 landk V 的一個基。理由如下：給定任何如下形式的楔積 v_1wedgecdotswedge v_k 則每個向量 v_j 可以記為基向量 e_i 的一個線性組合；利用楔積的雙線性性質，這可以擴張為那些基向量的楔積的線性組合。任何出現同樣基向量兩次的楔積為 0；任何基向量出現的次序不正確的可以重新排序，在交換任何兩個基向量的時候變換符號。一般來講，最後基 k 向量前的係數可以用透過積 e_i 來描述 v_j 的矩陣的子式來計算。 數一下基元素，我們可以看到 landk V 的維數是 n 取 k。特別的有， landk Vleft 0 right 對於 kn 外代數是一個分級代數，是如下直和 Lambda V Lambda0 Voplus Lambda1 V oplus Lambda2 V oplus cdots oplus Lambdan V 其維數等於二項式係數之和，也就是 2n 例子：歐氏三維空間的外代數 考慮空間 mathbb R3，其基為 left ijk right 。一對向量 mathbf u u_1 mathbf i u_2 mathbf j u_3 mathbf k mathbf v v_1 mathbf i v_2 mathbf j v_3 mathbf k 的楔積為 mathbf u wedge mathbf v u_1 v_2 u_2 v_1 mathbf i wedge mathbf j u_1 v_3 u_3 v_1 mathbf i wedge mathbf k u_2 v_3 u_3 v_2 mathbf j wedge mathbf k 其中 left iland jiland kjland k right 是三維空間 land2left mathbb R3 right 的基底。 再加一個向量 mathbf w w_1 mathbf i w_2 mathbf j w_3 mathbf k 這三個向量的楔積是 mathbf u wedge mathbf v wedge mathbf w u_1 v_2 w_3 u_2 v_3 w_1 u_3 v_1 w_2 u_1 v_3 w_2 u_2 v_1 w_3 u_3 v_2 w_1 mathbf i wedge mathbf j wedge mathbf k 其中 iland jland k 是一維空間 land3left mathbb R3 right 的基底。 空間 land1left mathbb R3 right 是 mathbb R3 而空間 land0left mathbb R3 right 是 mathbb R。取所有四個子空間的直和得到一個向量空間 landleft mathbb R3 right ，這是八維向量空間 mathbf a a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6 a_7 a_8 a_1 a_2 mathbf i a_3 mathbf j a_4 mathbf k a_5 mathbf i wedge mathbf j a_6 mathbf i wedge mathbf k a_7 mathbf j wedge mathbf k a_8 mathbf i wedge mathbf j wedge mathbf k 那麼，給定一對 8 維向量 a 和 b 其中 a 如上給出，而 mathbf b b_1 b_2 b_3 b_4 b_5 b_6 b_7 b_8 a 和 b 的楔積如下 用列向量表達 mathbf a wedge mathbf b begin pmatrix a_1 b_1 a_1 b_2 a_2 b_1 a_1 b_3 a_3 b_1 a_1 b_4 a_4 b_1 a_1 b_5 a_5 b_1 a_2 b_3 a_3 b_2 a_1 b_6 a_6 b_1 a_2 b_4 a_4 b_2 a_1 b_7 a_7 b_1 a_3 b_4 a_4 b_3 a_1 b_8 a_8 b_1 a_2 b_7 a_7 b_2 a_3 b_6 a_6 b_3 a_4 b_5 a_5 b_4 end pmatrix 容易驗證 8 維楔積以向量 left 10000000 right 為乘法么元。也可以驗證該 landleft mathbb R3 right 代數的楔積是結合的 也是雙線性的 mathbf a wedge mathbf b wedge mathbf c mathbf a wedge mathbf b wedge mathbf c qquad qquad forall mathbf a mathbf b mathbf c isin Lambda mathbf R3 所以該代數是有單位且結合的。 叉乘的實質，贗向量與贗標量 對三維歐幾里得空間 E3 可以建立一個線性同構 phi Lambda2 E3 rightarrow E3 如下：任取 E3 的右手的標準正交基 boldsymbol i，boldsymbol j，boldsymbol k，規定 phi 把 boldsymbol i wedge mathbf j，boldsymbol j wedge boldsymbol k，boldsymbol k wedge boldsymbol i 分別對映為 boldsymbol k，boldsymbol i，boldsymbol j，則 phi 的定義與右手的標準正交基如何選取無關。 不難看出，對任意向量 boldsymbol u 和 boldsymbol v，這個線性同構把 boldsymbol u wedge boldsymbol v 對映為 boldsymbol u times boldsymbol v。這就是叉乘（向量積）的實質。例如，E3 中平行四邊形 ABCD 的面積向量可以表示為 overrightarrow AB times overrightarrow AD 經過推廣之後，高維黎曼流形 M mathbf g 中的緊的二維曲面 Sigma 的面積則可以用 int_Sigma sqrt h du1 wedge du2 qquad h leftbegin arraycc h_11 h_12 h_21 h_22 end arrayright 來計算（其中 h_ab 是度規張量場 mathbf g 在 Sigma 上的誘導度規 mathbf h h_ab dua otimes dub 的座標分量），由此可以看到外積和叉乘的深刻關係。 在物理學中，向量（極向量）與贗向量（軸向量）兩個概念經常需要加以區分。從根本上說，向量是 E3 中的元素，所以在空間反演變換下不會改變方向；而贗向量其實是 Lambda2 E3 中的元素，故在空間反演變換下會改變方向。 類似地，藉助於右手的標準正交基，可以把 Lambda3 E3 中的元素 a boldsymbol i wedge boldsymbol j wedge boldsymbol k 對映為 標量 a in mathbb R Lambda0 E3。但是，在空間反演變換下它就會原形畢露，所以稱它為贗標量。真正的標量在空間反演下是不變的，而贗標量在空間反演下會改變符號。 把 2 向量 boldsymbol u wedge boldsymbol v 對映為向量 boldsymbol u times boldsymbol v 以及把 3 向量 a boldsymbol i wedge boldsymbol j wedge boldsymbol k 對映為一個實數 a 的對映實際上是一個叫做霍奇對偶的線性對映。 泛性質及構造 令 V 為一個域 K（在多數應用中，也就是實數域）上的向量空間。land V 是 最一般 的包含 V 的並有一個交替乘法在 V 上由單位的結合 K 代數這個事實可以用如下的泛性質形式化的表達： 任給一個有單位的結合 K 代數 A 和一個 K 線性對映 jVrightarrow A 使得 j v j v0 對於每個 v 屬於 V 成立，則存在恰好一個由單位的代數同態 fland Vrightarrow A 使得 f vj v 所有 v 屬於 V 成立。 要構造最一般的包含 V 的代數，而且其乘法是在 V 上交替的，很自然可以從包含 V 的最一般的代數開始，也就是張量代數 T V，然後透過合適的商來強制交替的性質。這樣我們取 T V 中由所有形為 votimes v 的元素生成的雙邊理想 I，其中 v 屬於 V，並定義 land V 為商 land VT VI （並且使用 land 為 land V 中的乘法的代號）。然後可以直接證明 land V 包含 V 並且滿足上述泛性質。 如果不是先定義 land V 然後把外冪 landk V 等同為特定的子空間，我們也可以先定義空間 landk V 然後把它們合併成為一個代數 land V。這個方法在微分集合中常常用到，並在下節中有描述。 反對稱運算元和外冪 給定兩個向量空間 V 和 X，一個從 Vk 到 X 的反對稱運算元是一個多線性對映 fVkrightarrow X 使得只要 v_1ldotsv_k 是 V 中線性相關的向量，則 fleft v_1ldotsv_k right0 最著名的例子是行列式值，從 Knn 到 K 的反對稱線形運算元。 對映 wVkrightarrow landk V 它關聯 V 中的 k 個向量到他們的楔積，也就是它們相應的 k 向量，這也是反對稱的。事實上，這個對映是定義在 Vk 上的 最一般 的反對稱運算元：給定任何其它反對稱運算元 fVkrightarrow X，存在一個唯一的線性對映 varphilandk Vrightarrow Xmathrm with fvarphicirc w。這個泛性質表述了空間 landk V 並且可以作為它的定義。 所有從 Vk 到基域 K 的反對稱對映組成一個向量空間，因為兩個這樣的對映的和、或者這樣一個對映和一個標量的乘積也是反對稱的。若 V 是有限維的，維數 n，則該空間可以認同為 landk V，其中 V 表示 V 的對偶空間。特別的有，從 Vk 到 K 的反對稱對映的空間是 n 取 k 維的。 在這個等同關係下，若基域是 R 或者 C，楔積有一個具體的形式：它從兩個給定的反對稱對映得到一個新的反對稱對映。設 omegaVkrightarrow K 和 etaVmrightarrow K 為兩個反對稱對映。和在多線性對映的張量積的情況一樣，楔積的變數數是每個對映的變數數之和。它定義如下： omegawedgeetafrac kmkmrm Altomegaotimeseta 其中多線性對映的交替 mathrm Alt 定義為其變數的所有排列的帶符號平均： rm Altomegax_1ldotsx_kfrac 1ksum_sigmain S_krm sgnsigmaomega x_sigma 1ldotsx_sigma k 注意： 有一些書中楔積定義為 omegawedgeetarm Altomegaotimeseta 指標記法 在主要由物理學家使用的指標記法中有： omegawedgeeta_a_1 cdots a_kmfrac 1kmepsilon_a_1 cdots a_kmb_1 cdots b_k c_1 cdots c_m omega_b_1 cdots b_k eta_c_1 cdots c_m 微分形式 令 M 為一個微分流形。一個微分 k 形式 omega 是 landkTM（M 的餘切叢的 k 階外冪）的一個截面。等價的有：omega 是 M 的光滑函式，對於 M 的每個點 x 給定一個 landkleft T_xM right 的元素。大致來講，微分形式是餘切向量的全域性版本。微分形式是微分幾何的重要工具，其中，它們被用於定義德拉姆上同調和亞歷山大 斯潘尼爾上同調。 推廣 給定一個交換環 R 和一個 R 模 M，我們可以定義和上文一樣的外代數 land M，它是張量代數 T M 適當的商。它會滿足類似的泛性質。 物理應用 格拉斯曼代數在物理中有重要應用，它們被用於建模和費米子和超對稱性相關的各種概念。 參看：超空間，超代數，超群 註釋 相關課題 多線性代數 張量代數 對稱代數 克利福德代數 W W W