在數學中，泰勒級數用無限項連加式 級數來表示一個函式，這些相加的項由函式在某一點的導數求得。泰勒級數是以於 1715 年發表了泰勒公式的英國數學家布魯克泰勒來命名的。，以蘇格蘭數學家科林麥克勞林的名字命名。 拉格朗日在 1797 年之前，最先提出帶有餘項的現在形式的泰勒定理。實際應用中，泰勒級數需要截斷，只取有限項，可以用泰勒定理估算這種近似的誤差。一個函式的有限項的泰勒級數叫做泰勒多項式。一個函式的泰勒級數是其泰勒多項式的極限（如果存在極限）。即使泰勒級數在每點都收斂，函式與其泰勒級數也可能不相等。在開區間（或複平面上的開區間）上，與自身泰勒級數相等的函式稱為解析函式。 定義 在數學上，對於一個在實數或複數 a 鄰域上，以實數作為變數或以複數作為變數的函式，並且是無窮可微的函式 f x，它的泰勒級數是以下這種形式的冪級數： sum_n0infin cfrac fnan xan 這裡，n 表示 n 的階乘，而 fna 表示函式 f 在點 a 處的 n 階導數。如果 a0，也可以把這個級數稱為麥克勞林級數。 解析函式 如果泰勒級數對於區間 arar 中的所有 x 都收斂並且級數的和等於 f x，那麼我們就稱函式 f x 為解析形的函式（analytic）。一個函式當且僅當（簡單地說，只有在且只要在）能夠被表示為冪級數的形式時，才是解析形的函式。通常會用泰勒定理來估計級數的餘項，這樣就能夠確定級數是否收斂於 f x。上面給出的冪級數展開式中的係數正好是泰勒級數中的係數。 以下三個事實可以說明為什麼泰勒級數是十分重要的： 可以逐項對冪級數的計算微分和積分，因此求和函式相對比較容易。 數學家因此能夠在複數平面上研究函式，因為一個解析函式，也可以被定義為在複平面中一個開放的區間內的解析函式 在區間內每一個點上都能被微分的函式。 可用泰勒級數估計，在某一點上函式會計算出什麼值。 對於一些無窮的可以被微分函式 f x，雖然它們的展開式會收斂，但是並不等於 f x。例如，分段函式 f x exp left cfrac 1x2 right ，如果 x ne 0 並且 f 00，則 x0 時所有的導數都為零，所以這個 f x 的泰勒級數為零，且其收斂半徑為無窮大，不過函式 f x 僅在 x0 處為零。但是，在以複數作為變數的函式中這個問題並不存在，因為當 z 沿虛軸趨於零， exp left cfrac 1z2 right 並不趨於零。 如果一個函式在某處引發一個奇點，它就無法被展開為泰勒級數，不過如果變數 x 是負指數冪的話，我們仍然可以將其展開為一個級數。例如，雖然在 x0 的時候， f x exp left cfrac 1x2 right 會引發奇點，但仍然能夠把這個函式展開為一個洛朗級數。 最近，專家們發現了一個用泰勒級數來求解微分方程的方法 。用皮卡反覆運算便可以推匯出這個方法。 常用的函式：麥克勞林級數 下面我們給出了幾個重要的麥克勞林級數。當變數 x 是複數時，這些等式依然成立。 幾何級數 由無窮遞縮等比數列求和式cfrac 11x suminfin_n0 xn 1 x x2 cdots xn cdots quad forall x left x right 1 二項式級數 1xalpha suminfty_n0 binom alphan xn 1 alpha x cfrac alpha alpha 12 x2 cdots cfrac alpha alpha 1 cdots alpha n 1n xn cdots forall x left x right 1 forall alpha in mathbb C 二項式係數 binom alphan prod_k1n frac alphak1 k frac alpha alpha1cdots alphan1n。 指數函式和自然對數 以 e 為底數的指數函式的麥克勞林級數是 ex suminfin_n0 cfrac xnn 1 x cfrac x22 cfrac x33 cdots cfrac xnn cdots quad forall x （對所有 X 都成立） 以 e 為底數的自然對數的麥克勞林級數是 ln 1x suminfty_n1 cfrac xn n x cfrac x2 2 cfrac x3 3 cdots cfrac xn n cdots quad forall xin 11 （對於在區間 11 內所有的 X 都成立） ln 1x suminfin_n1 cfrac 1n1 n xn x cfrac x2 2 cfrac x3 3 cdots cfrac 1n1 n xn cdots quad forall xin 11 （對於在區間 11 內所有的 X 都成立） 三角函式 常用的三角函式可以被展開為以下的麥克勞林級數： begin align sin x suminfty_n0 cfrac 1n2n1 x2n1 x cfrac x33 cfrac x55 cdots forall x6pt cos x suminfty_n0 cfrac 1n2n x2n 1 cfrac x22 frac x44 cdots forall x6pt tan x suminfty_n1 frac B_2n 4n left 14nright2n1 x2n1 x cfrac x33 cfrac 2 x515 cdots forall xx cfrac pi26pt sec x suminfty_n0 cfrac 1n E_2n2n x2n 1cfrac x22frac 5x424cdots forall xx cfrac pi26pt arcsin x suminfty_n0 cfrac 2n4n n2 2n1 x2n1 xcfrac x36frac 3x540cdots forall xx le 16pt arccos x cfrac pi2arcsin xcfrac pi2 suminfty_n0 cfrac 2n4n n2 2n1 x2n1cfrac pi2xcfrac x36cfrac 3x540cdots forall xx le 16pt arctan x suminfty_n0 cfrac 1n2n1 x2n1 xfrac x33 cfrac x55cdots forall xx le 1 xneqpm i end align 在 tan x 展開式中的 Bk 是伯努利數。在 sec x 展開式中的 Ek 是尤拉數。 雙曲函式 sinh x suminfin_n0 frac 12n1 x2n1quad forall x cosh x suminfin_n0 frac 12n x2nquad forall x tanh x suminfin_n1 frac B_2n 4n 4n12n x2n1quad forall x left x right frac pi2 sinh1 x suminfin_n0 frac 1n 2n4n n2 2n1 x2n1quad forall x left x right 1 tanh1 x suminfin_n0 frac 12n1 x2n1quad forall x left x right 1 tanh x 展開式中的 Bk 是伯努利數。 朗伯 W 函式 W_0 x suminfin_n1 frac nn1n xnquad forall x left x right frac 1e 多元函式的展開 泰勒級數可以推廣到有多個變數的函式： sum_n_10infin cdots sum_n_d0infin frac partialn_1cdotsn_dpartial x_1n_1cdotspartial x_dn_d frac f a_1cdotsa_dn_1cdots n_d x_1a_1n_1cdots x_da_dn_d 歷史 希臘哲學家芝諾在考慮了利用無窮級數求和來得到有限結果的問題，得出不可能的結論 芝諾悖論。後來，亞里士多德對芝諾悖論在哲學上進行了反駁，但德謨克利特以及後來的阿基米德進行研究，此部分數學內容才得到解決。 正是用了阿基米德的窮竭法才使得一個無窮級數被逐步的細分，得到了有限的結果。Kline M 1990 Mathematical Thought from Ancient to Modern Times Oxford University Press pp 3537 幾個世紀之後，中國數學家劉徽也獨立提出了類似的方法。吳文俊 《中國數學史大系》第三卷 367 頁 進入 14 世紀，最早使用了泰勒級數以及相關的方法。儘管他的數學著作沒有流傳下來，但後來印度數學家的著作表明他發現了一些特殊的泰勒級數，這些級數包括正弦、餘弦、正切、和反正切三角函式等等。之後，在他的基礎上進行了一系列的延伸與合理逼近，這些工作一直持續到 16 世紀。 到了 17 世紀，詹姆斯格雷果裡同樣繼續著這方面的研究並且發表了若干麥克勞林級數。但是直到 1715 年，布魯克泰勒 Taylor Brook Methodus Incrementorum Directa et Inversa Direct and Reverse Methods of Incrementation London 1715 pages 2123 Proposition VII Theorem 3 Corollary 2 Translated into English in D J Struik A Source Book in Mathematics 12001800 Cambridge Massachusetts Harvard University Press 1969 pages 329332 提出了一個通用的方法來構建適用於所有函式的此類列級數。這就是後來被人們所熟知的泰勒級數。 麥克勞林級數是泰勒級數的特例，是愛丁堡大學的科林麥克勞林教授在 18 世紀發表的，並以其名字命名。 與牛頓插值公式的淵源 牛頓插值公式也叫做牛頓級數，由 牛頓前向差分方程 的項組成，得名於伊薩克牛頓爵士，最早發表為他在 1687 年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編 宇宙體系 的引理五 Newton Isaac 1687 Principia Book III Lemma V Case 1，此前詹姆斯格雷果裡於 1670 年和牛頓於 1676 年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續 泰勒展開 的離散對應。 差分 對於 x 值間隔為非一致步長，牛頓計算均差，對 x 值間隔為單位步長 1 或一致但非單位量的情況，計算差分，前向差分的定義為： begin align Delta_h1 fx f x h f x Deltan_h fx Delta_hn1fxh Delta_hn1fx end align 插值公式 牛頓前向差分插值公式為： begin align f x f a cfrac xa h left Delta_h1 fa frac xah 2hleft Delta_h2 fa cdots right right f a sum_k1n frac Delta_hk fakhk prod_i0k1 xaih end align 這成立於任何多項式函式和大多數但非全部解析函式。 無窮級數 牛頓在 1665 年得出並在 1671 年寫的《流數法》中發表了 ln 1x 的無窮級數，在 1666 年得出了 arcsin x 和 arctan x 的無窮級數，在 1669 年的《分析學》中發表了 sin x、cos x、arcsin x 和 ex 的無窮級數；萊布尼茨在 1673 年大概也得出了 sin x、cos x 和 arctan x 的無窮級數。布魯克泰勒在 1715 年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa 》中研討了有限差分方法，其中論述了他在 1712 年得出的泰勒定理，這個成果此前詹姆斯格雷果裡在 1670 年和萊布尼茨在 1673 年已經得出，而約翰伯努利在 1694 年已經在《教師學報》發表。 他對牛頓的均差分的步長取趨於 0 的極限，得出： begin align f x f a lim_h to 0sum_k1infty frac Delta_hk fakhk prod_i0k1 xaih f a sum_k1infty frac dkdxk f a frac xakk end align 參考文獻 參見 無窮級數 牛頓多項式 冪級數 光滑函式 帕德近似 泰勒公式 Category 級數 Category 光滑函式 Category 微積分 Category 級數展開