在數學裡，特別是將線性代數套用到物理時，愛因斯坦求和約定是一種標記的約定，又稱為愛因斯坦標記法，在處理關於坐標的方程式時非常有用。這約定是由阿爾伯特愛因斯坦於 1916 年提出的。後來，愛因斯坦與友人半開玩笑地說：「這是數學史上的一大發現，若不信的話，可以試著返回那不使用這方法的古板日子。」 按照愛因斯坦求和約定，當一個單獨專案內有標號變數出現兩次，一次是上標，一次是下標時，則必須總和所有這單獨專案的可能值。通常而言，標號的標值為 1、2、3（代表維度為三的歐幾裡得空間），或 0、1、2、3（代表維度為四的時空或閔可夫斯基時空）。但是，標值可以有任意值域，甚至（在某些應用案例裡）無限集合。這樣，在三維空間裡， y c_i xi 的意思是 y sum_i13 c_i xi c_1 x1 c_2 x2 c_3 x3。 請特別注意，上標並不是指數，而是標記不同坐標。例如，在直角坐標系裡，x1、x2、x3 分別表示 x 坐標、y 坐標、z 坐標，而不是 x、x 的平方、x 的立方。 簡介 愛因斯坦標記法的基本點子是餘向量與向量可以形成純量： y c_1 x1c_2x2c_3x3 cdots c_nxn。 通常會將這寫為求和公式形式： y sum_i1n c_ixi。 在基底變換之下，純量保持不變。當基底改變時，一個向量的線性變換可以用矩陣來描述，而餘向量的線性變換則需用其逆矩陣來描述。這樣的設計為的是要保證，不論基底為何，伴隨餘向量的線性函式（即上述總和）保持不變。由於只有總和不變，而總和所涉及的每一個專案都有可能會改變，所以，愛因斯坦提出了這標記法，重複標號表示總和，不需要用到求和符號： y c_i xi 採用愛因斯坦標記法，餘向量都是以下標來標記，而向量都是以上標來標記。標號的位置具有特別意義。請不要將上標與指數混淆在一起，大多數涉及的方程式都是線性，不超過變數的一次方。在方程式裡，單獨專案內的標號變數最多隻會出現兩次，假若多於兩次，或出現任何其它例外，則都必須特別加以說明，才不會造成含意混淆不清。 向量的表示 線上性代數裡，採用愛因斯坦標記法，可以很容易的分辨向量和餘向量（又稱為 1 形式）。向量的分量是用上標來標明，例如，ai。給予一個 n 維向量空間 mathbb V 和其任意基底 mathbf emathbf e_1mathbf e_2dotsmathbf e_n（可能不是標準正交基），那麼，向量 mathbf a 表示為 mathbf a ai mathbf e_i begin bmatrix a1a2vdotsanend bmatrix。 餘向量的分量是用下標來標明，例如，alpha_i。給予 mathbb V 的對偶空間 mathbb V 和其任意基底 boldsymbol omegaboldsymbol omega1boldsymbol omega2dotsboldsymbol omegan（可能不是標準正交基），那麼，餘向量 boldsymbol alpha 表示為 boldsymbol alpha alpha_i boldsymbol omegai begin bmatrixalpha_1 alpha_2 cdots alpha_nend bmatrix。 採用向量的共變和反變術語，上標表示反變向量（向量）。對於基底的改變，從 mathbf e 改變為 overline mathbf e，反變向量會變換為 overline ai frac partial overline xipartial xj aj； 其中，overline ai 是改變基底後的向量的分量，overline xi 是改變基底後的坐標，xj 是原先的坐標， 下標表示共變向量（餘向量）。對於基底的改變，從 boldsymbol omega 改變為 overline boldsymbol omega，共變向量會會變換為 overline alpha_i frac partial xipartial overline xj alpha_j。 一般運算 矩陣 A 的第 m 橫排，第 n 豎排的元素，以前標記為 A_mn；現在改標記為 A_nm。各種一般運算都可以用愛因斯坦標記法來表示如下： 內積 給予向量 mathbf a 和餘向量 boldsymbol alpha，其向量和餘向量的內積為純量： mathbf acdotboldsymbol alphaa_i alphai。 向量乘以矩陣 給予矩陣 A 和向量 mathbf a，它們的乘積是向量 mathbf b： biAi_j aj。 類似地，矩陣 A 的轉置矩陣 BAmathrm T，其與餘向量 boldsymbol alpha 的乘積是餘向量 boldsymbol beta： beta_jBi_j alpha_ialpha_i Bi_j。 矩陣乘法 矩陣乘法表示為 Ci_k Ai_j Bj_k 。 這公式等價於較冗長的普通標記法： C_ik A B_ik sum_j1N A_ij B_jk。 跡 給予一個方塊矩陣 Ai_j，總和所有上標與下標相同的元素 Ai_i，可以得到這矩陣的跡 t： tAi_i。 外積 M 維向量 mathbf a 和 N 維餘向量 boldsymbol alpha 的外積是一個 MN 矩陣 A： A mathbf a boldsymbol alpha 。 採用愛因斯坦標記式，上述方程式可以表示為 Ai_j ai alpha_j 由於 i 和 j 代表兩個不同的標號，在這案例，值域分別為 M 和 N，外積不會除去這兩個標號，而使這兩個標號變成了新矩陣 A 的標號。 向量的內積 一般力學及工程學會用互相標準正交基的基底向量 hat mathbf i、hat mathbf j 及 hat mathbf k 來描述三維空間的向量。 mathbf u u_xhat mathbf i u_yhat mathbf j u_zhat mathbf k。 把直角坐標系的基底向量 hat mathbf i、hat mathbf j 及 hat mathbf k 寫成 hat mathbf e_1、hat mathbf e_2 及 hat mathbf e_3，所以一個向量可以寫成： mathbf u u_1 hat mathbf e_1 u_2 hat mathbf e_2 u_3 hat mathbf e_3 sum_i 13 u_i hat mathbf e_i。 根據愛因斯坦求和約定，若單項中有標號出現兩次且分別位於上標及下標，則此項代表著所有可能值之總和： mathbf u ui hat mathbf e_i sum_i 13 ui hat mathbf e_i 。 由於基底是標準正交基，mathbf u 的每一個分量 ui u_i ，所以， mathbf u sum_i 13 u_i hat mathbf e_i 。 兩個向量 mathbf u 與 mathbf v 的內積是 mathbf u cdot mathbf v uihat mathbf e_i cdot vj hat mathbf e_j left sum_i 13 u_ihat mathbf e_i right cdot left sum_j 13 v_j mathbf e_j rightsum_i 13 sum_j 13 u_i v_j hat mathbf e_i cdot hat mathbf e_j 。 由於基底是標準正交基，基底向量相互正交歸一： hat mathbf e_i cdot hat mathbf e_j delta_ij ； 其中， delta_ij 就是克羅內克函式。當 ij 時，則 delta_ij1，否則 delta_ij0。 邏輯上，在方程式內的任意專案，若遇到了克羅內克函式 delta_ij，就可以把方程式中的標號 i 轉為 j 或者把標號 j 轉為 i。所以， mathbf u cdot mathbf v sum_i 13 sum_j 13 u_i v_jdelta_ij sum_i 13 u_i v_i 。 向量的叉積 採用同樣的標準正交基 hat mathbf e_1、hat mathbf e_2 及 hat mathbf e_3，兩個向量 mathbf u 與 mathbf v 的叉積，以方程式表示為 mathbf u times mathbf v uj hat mathbf e_j times vk hat mathbf e_k left sum_j 13 u_j hat mathbf e_j right times left sum_k 13 v_k hat mathbf e_k right sum_j 13 sum_k 13 u_j v_k mathbf e_j times mathbf e_k sum_j 13 sum_k 13 u_j v_kepsilon_ijk mathbf e_i 。 注意到 hat mathbf e_j times hat mathbf e_k epsilon_ijk hat mathbf e_i； 其中，張量 epsilon_ijk 是列維 奇維塔符號，定義為 epsilon_ijk epsilonijk stackrel def begin cases 1 1 0 end cases ，若 ijk 123、231 或 312 （偶置換） epsilon_ijk epsilonijk stackrel def begin cases 1 1 0 end cases ，若 ijk 321、213 或 132（奇置換） epsilon_ijk epsilonijk stackrel def begin cases 1 1 0 end cases ，若 ij、jk 或 ik 所以， mathbf u times mathbf v u2 v3 u3 v2 hat mathbf e_1 u3 v1 u1 v3 hat mathbf e_2 u1 v2 u2 v1 hat mathbf e_3。 設定 mathbf w mathbf u times mathbf v，那麼， wi hat mathbf e_i epsilonijk u_j v_khat mathbf e_i 。 所以， wi epsilonijk u_j v_k 。 向量的共變分量和反變分量 在歐幾裡得空間 mathbb V 裡，共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用內積運算從向量求得餘向量；對於所有向量 mathbf b，透過下述方程式，向量 mathbf a 唯一地確定了餘向量 boldsymbol alpha： boldsymbol alphamathbf bmathbf acdotmathbf b。 逆過來，透過上述方程式，每一個餘向量 boldsymbol alpha 唯一地確定了向量 mathbf a。由於這向量與餘向量的相互辨認，我們可以提到向量的共變分量和反變分量；也就是說，它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。 給予 mathbb V 的一個基底 mathfrak fX_1X_2dotsX_n，則必存在一個唯一的對偶基底 mathfrak fsharpY1Y2dotsYn，滿足 Yi cdot X_j deltai_j； 其中，張量 deltai_j 是克羅內克函式。 以這兩種基底，任意向量 mathbf a 可以寫為兩種形式 begin align mathbf a sum_i ai mathfrak f X_i mathfrak fmathbf amathfrak f sum_i a_i mathfrak f Yi mathfrak fsharpmathbf amathfrak fsharp end align ； 其中，ai mathfrak f 是向量 mathbf a 對於基底 mathfrak f 的反變分量，a_i mathfrak f 是向量 mathbf v 對於基底 mathfrak f 的共變分量， 歐幾裡得空間 在歐幾裡得空間 mathbb R3 裡，使用內積運算，能夠從向量求得餘向量。給予一個可能不是標準正交基的基底，其基底向量為 mathbf e_1、mathbf e_2、mathbf e_3，就可以計算其對偶基底的基底向量： mathbf e1 frac mathbf e_2 times mathbf e_3tau qquad mathbf e2 frac mathbf e_3 times mathbf e_1tau qquad mathbf e3 frac mathbf e_1 times mathbf e_2tau； 其中，taumathbf e_1cdot mathbf e_2 times mathbf e_3 是基底向量 mathbf e_1、mathbf e_2、mathbf e_3 共同形成的平行六面體的體積。 反過來計算， mathbf e_1 frac mathbf e2 times mathbf e3tau qquad mathbf e_2 frac mathbf e3 times mathbf e1tau qquad mathbf e_3 frac mathbf e1 times mathbf e2tau； 其中，taumathbf e1cdot mathbf e2 times mathbf e31tau 是基底向量 mathbf e1、mathbf e2、mathbf e3 共同形成的平行六面體的體積。 雖然 mathbf e_i 與 mathbf ej 並不相互標準正交，它們相互對偶： mathbf e_i cdot mathbf ej delta_ij。 雖然 mathbf ei 與 mathbf e_j 並不相互標準正交，它們相互對偶： mathbf ei cdot mathbf e_j deltai_j。 這樣，任意向量 mathbf a 的反變分量為 a1 mathbf a cdot mathbf e1 qquad a2 mathbf a cdot mathbf e2 qquad a3 mathbf a cdot mathbf e3。 類似地，共變分量為 a_1 mathbf a cdot mathbf e_1 qquad a_2 mathbf a cdot mathbf e_2 qquad a_3 mathbf a cdot mathbf e_3。 這樣，mathbf a 可以表示為 mathbf a a_i mathbf ei a_1 mathbf e1 a_2 mathbf e2 a_3 mathbf e3 ， 或者， mathbf a ai mathbf e_i a1 mathbf e_1 a2 mathbf e_2 a3 mathbf e_3。 綜合上述關係式， mathbf a mathbf a cdot mathbf e_i mathbf ei mathbf a cdot mathbf ei mathbf e_i 。 向量 mathbf a 的共變分量為 a_i mathbf acdot mathbf e_i aj mathbf e_jcdot mathbf e_i mathbf e_jcdotmathbf e_i ajg_ji aj； 其中，g_jimathbf e_jcdotmathbf e_i 是度規張量。 向量 mathbf a 的反變分量為 ai mathbf acdot mathbf ei a_j mathbf ejcdot mathbf ei mathbf ejcdotmathbf ei a_j gji a_j 其中，gjimathbf ejcdotmathbf ei 是共軛度規張量。 共變分量的標號是下標，反變分量的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基，或反變基底向量組成的基底是標準正交基，則共變基底與反變基底相互等價。那麼，就沒有必要分辨共變分量和反變分量，所有的標號都可以用下標來標記。 抽象定義 思考維度為 n 的向量空間 mathbb V。給予一個可能不是標準正交基的基底 mathbf e_1mathbf e_2dotsmathbf e_n。那麼，在 mathbb V 內的向量 mathbf v，對於這基底，其分量為 v1、v2、vn。以方程式表示， mathbf v vimathbf e_i。 在這方程式右手邊，標號 i 在同一專案出現了兩次，一次是上標，一次是下標，因此，從 i 等於 1 到 n，這專案的每一個可能值都必須總和在一起。 愛因斯坦約定的優點是，它可以應用於從 mathbb V 用張量積和對偶性建立的向量空間。例如，mathbb Votimes mathbb V，mathbb V 與自己的張量積，擁有由形式為 mathbf e_ij mathbf e_i otimes mathbf e_j 的張量組成的基底。任意在 mathbb Votimes mathbb V 內的張量 mathbf T 可以寫為 mathbf T Tijmathbf e_ij。 向量空間 mathbb V 的對偶空間 mathbb V 擁有基底 mathbf e1mathbf e2dotsmathbf en，遵守規則 mathbf ei cdotmathbf e_j deltai_j； 其中， deltai_j 是克羅內克函式。 範例 為了更明確地解釋愛因斯坦求和約定，在這裡給出幾個簡單的例子。 思考四維時空，標號的值是從 0 到 3。兩個張量，經過張量縮併運算後，變為一個純量： camu b_mu a0 b_0 a1 b_1 a2 b_2 a3 b_3。 方程式的右手邊有兩個專案： cnuamunu b_mu fnu a0nu b_0 a1nu b_1 a2nu b_2 a3nu b_3fnu。 由於運算結果與標號 mu 和 nu 無關，可以被其它標號隨意更換，所以，mu 和 nu 稱為傀標號。 自由標號是沒有被總和的標號。自由標號應該出現於方程式的每一個專案裡，而且在每一個專案裡只出現一次。在上述方程式裡，nu 是自由標號，每一個專案都必須有同樣的自由標號。注意到在專案 amunu b_mu 裡，標號 mu 出現了兩次，一次是上標，一次是下標，所以，這專案的所有可能值都必須總和在一起。稱 mu 為求和標號。 思考在黎曼空間的弧線元素長度 ds： ds2g_ij dxi dxjg_0j dx0 dxjg_1j dx1 dxjg_2j dx2 dxjg_3j dx3 dxj。請將這兩種標號跟自由變數和約束變數相比較。 進一步擴充套件， ds2g_00 dx0 dx0g_10 dx1 dx0g_20 dx2 dx0g_30 dx3 dx0 qquad g_01 dx0 dx1g_11 dx1 dx1g_21 dx2 dx1g_31 dx3 dx1 qquad g_02 dx0 dx2g_12 dx1 dx2g_22 dx2 dx2g_32 dx3 dx2 qquad g_03 dx0 dx3g_13 dx1 dx3g_23 dx2 dx3g_33 dx3 dx3。 注意到 ds2 是 ds 乘以 ds，是 ds2，而不是 s2 坐標的微小元素。當有疑慮時，可以用括號來分歧義。 參閱 狄拉克標記 抽象指標記號 潘洛斯圖形標記法 參考文獻 外部連結 Category 數學表示法 Category 多重線性代數 Category 張量 Category 黎曼幾何 Category 數學物理 Category 阿爾伯特愛因斯坦