在抽象代數中，體（，）是一種具有加法跟乘法的集合（代數結構），且其加法跟乘法運算就如同普通的有理數還有實數。事實上，體正是數域以及四則運算的推廣，所以被廣泛運用在代數、數論等數學領域中。 體是環的一種。但區別在於域要求它的非零元素可以做除法，且體的乘法有交換律。 最有名的體結構的例子就是有理數體、實數體還有複數體。還有其他形式的體，例如有理函式體、代數函式體、代數數體、p 進數體等，都很常在數學的領域中被使用或是研究，特別是數論或是代數幾何。此外還有一些密碼學上的安全協定都是依靠著有限體。 在兩個體中的關係被表示成體擴張的觀念。Galois 理論，由 Évariste Galois 在 1830 年代提出，致力於理解體擴充套件的對稱性。其中 Galois 理論還有其他結果，解決了不能用尺規作圖做出三等份角以及化方為圓的問題。此外，還解決了五次方程不能有公式解的問題。 正式定義 給定集合 K ，它具有了以下兩種二元運算： K times K to K （其中 ab 慣例上簡記為 a b ） timesK times K to K （其中 times ab 慣例上簡記為 a times b 或 a cdot b 甚至是 ab ） 滿足： left Kright 為交換群，且其單位元為 0_K 。 left K0_Ktimesright 為交換群。 分配律：對所有 abc in K，a times b c a times b a times c 且 b ctimes a b times a c times a。 那稱「 left Ktimesright 為體」，當二元運算的符號不重要時，亦可將 left Ktimesright 簡記為 K 。 慣用符號與稱呼 1 體的代號： 有時會基於德語 ，以字母 K 代稱體，但也會基於英語 以 F 代稱。 2 加法與乘法： 習慣上，times 被稱為乘法， left K0_Ktimesright 的單位元會記為 1_K ，並稱為 left Ktimesright 的乘法單位元。 類似地， 被稱為加法， 0_K 被稱為體的加法單位元。所以在省略括弧後，仍依照先乘後加的方式閱讀。 3 減法與除法： 對於任意 ab in K ，會依據群的習慣，將 a 的加法逆元素記做 a ，並將 ba 簡記為 ba ，並可暱稱為減法。 類似地，若 a neq 0_K ， a 的乘法逆元素記做 frac 1a ，並將 b times frac 1a 簡記為 frac ba ，並可暱稱為除法。 基本性質 以上的定理也證明瞭，只要 left Kright 為交換群且有分配律，就足以決定 0_K 相關乘法的值。所以正式定義中把 0_K 排除在乘法的交換群之外是不會有問題的。也就是說 域 F 中的所有非零元素的集合（一般記作 F）是一個關於乘法的阿貝爾群。F 的每個有限子群都是迴圈群。 若存在正整數 n 使得 0 1 1 1（n 個 1），那麼這樣的 n 中最小的一個稱為這個域的特徵，特徵要麼是一個素數 p，要麼是 0（表示這樣的 n 不存在）。此時 F 中最小的子域分別是 mathbb Q 或有限域 mathbb F_p，稱之為 F 的素域。 一個交換環是域當且僅當它的理想只有自身和零理想。 在選擇公理成立的假設下，對每個域 F 都存在著唯一的一個域 G（在同構意義上），G 包含 F，G 是 F 的代數擴張，並且 G 代數封閉。G 稱作由 F 確定的代數閉包。在很多情況下上述的同構並不是唯一的，因此又說 G 是 F 的一個代數閉包。 例子 許多常見的數域都是域。比如說，全體複數的集合 mathbb C 與其加法和乘法構成一個域。全體有理數的集合 mathbb Q 與其加法和乘法也是一個域，它是 mathbb C 的子域，並且不包含更小的子域了。 代數數域：代數數域是有理數域 mathbb Q 的有限擴域，也就是說代數數域是 mathbb Q 上的有限維向量空間。代數數域都同構於 mathbb C 的子域，並且這個同構保持 mathbb Q 不變，即這個同構把每個有理數都對映到它自身。代數數域是代數數論研究的物件。 代數數構成的域：所有的代數數的集合對於加法和乘法構成一個域，記作 overline mathbb Q。overline mathbb Q 是有理數域 mathbb Q 的代數閉包（見下）。overline mathbb Q 是特徵為零的代數封閉的域的一個例子。 全體實數的集合 mathbb R 對於加法和乘法構成一個域。實數域是複數域 mathbb C 的子域，也是一個有序域。後者使得實數域上能夠建立起微積分理論。 所有的實代數數的集合也構成一個域，它是 mathbb R 的一個子域 任意一個有限域的元素個數是一個素數 q 的乘方，一般記作 Fq，就是所謂的伽羅瓦域。任意一個元素個數是素數 q 的域都同構於 ZpZ 0 1 p 1。令 p 2 就得到最小的域：F2。F2 只含有兩個元素 0 和 1，運演算法則如下： 設 E 和 F 是兩個域，E 是 F 的子域，則 F 是 E 的 擴域。設 x 是 F 中的一個元素，則存在著一個最小的同時包含 E 和 x 的 F 的子域，記作 E x，E x 稱作 E 在 F 中關於 x 的單擴張。比如說，複數域 mathbb C 就是實數域 mathbb R 在 mathbb C 中關於虛數單位 i 的單擴張 每一個有乘法麼元的環 R 都對應著一個包含它的域，稱為它的分式域，記作 K R。分式域的具體構造方法是定義類似於最簡分數的等價類，再將環 嵌入 其中（詳見分式域）。可以證明，K R 是包含 R 的 最小 的域。 設 F 是一個域，定義 F X 是所有以 F 中元素為係數的分式的集合，則 F X 是 F 的一個擴域。F X 是 F 上的一個無窮維的向量空間，這是域的超越擴張的一個例子。 設 F 是一個域，p X 是多項式環 F X 上的一個不可約多項式，則商環 F Xp X 是一個域。其中的 p X 表示由 p X 生成的理想。舉例來說，R XX2 1 是一個域（同構於複數域 mathbb C ）。可以證明，F 的所有單擴張都同構於此類形式的域。 若 V 是域 F 上的一個代數簇，則所有 V F 的有理函式構成一個域，稱為 V 的函式域。 若 S 是一個黎曼曲面，則全體 S C 的亞純函式構成一個域。 由於序數的類不是集合，因此在其上定義的尼姆數不能構成真正的域。但它滿足域的所有條件，且其任意封閉子集（如小於 22n 的所有自然數構成的子集）都是域。 有限體 有限體是一個體有著有限多個元素，其元素個數也跟體的階數相同，按照體的定義，可以知道 mathbb F_2 為最小的有限體，因為根據定義，一個體至少包含兩個元素 1neq 0。 通常來說，最簡單的質數階體，就是 mathbb Zp mathbb Z01p1，此處 p 為質數，在這個體上的加法與乘法等同於在整數 mathbb Z 上的運算，然後除以 p，取它的餘數。這個運算精確的建構了一個體，通常我們將這個體記作 mathbb F_p。要注意的是 mathbb Zn mathbb Z01n1，當 n 為合成數時並不是一個有限體，例如在 mathbb Z 4 mathbb Z 中 2times20 ，因此 123times 不能形成群。 如果我們將向量空間 mathit Vmathbb F_pmn，則我們將 V 稱作有限體向量空間，其中 ndimmathit V，可知這個向量空間中，有 pn 個元素。 如果我們將有限體放入矩陣，也就是 GL_nmathbb F_p，則此矩陣的元素有 pn1pnppnpn1 歷史 歷史上，三個代數中的學科導引到了體的概念：第一個是解多項式方程的問題，第二個是代數數論，第三個則是代數幾何的問題。體的概念始於 1770 年，由拉格朗日所提出。拉格朗日他觀察到關於三次方程的根的置換，在以下的表達 其中是三次方程的單位根 只產生兩個值。在這方向上，拉格朗日概念上的解釋了由 希皮奧內德爾費羅 和 弗朗索瓦韋達 的經典解法，其解法藉由簡化三次方程關於未知 到一個 的二次方程。四次方程上也和三次方程一樣有相似的觀察，拉格朗日因此連結的關於體的概念還有群的概念。數學家範德蒙也同樣在 1770 年有著更全面的延伸。 建構體 伽羅瓦理論 請參見伽羅瓦理論 體的不變數 應用 參見 特徵 代數 環論 域論 有序域 參考文獻 U Category 代數結構