在靜電學裡，電勢（electric potentialePtntl）又稱 zhcn 電位；zhtw 電動勢；zhhk 電位（eForceeFrc，是描述電場中某一點之能量高低性質的物理純量，操作型定義為 電場中某處的電勢 等於 處於電場中該位置的單位電荷所具有的電勢能，單位用伏特。 電勢的數值不具有絕對意義，只具有相對意義，因此為了便於分析問題，必須設定一個參考位置，並把它設為零，稱為零勢能點。通常，會把無窮遠處的電勢設定為零。那麼，電勢可以定義如下：假設檢驗電荷從無窮遠位置，經過任意路徑，克服電場力，以緩慢、沒有產生加速度的方式移動到某位置，則在這位置的電勢，等於因移動檢驗電荷所做的功與檢驗電荷的電荷量的比值。在國際單位制裡，電位的單位為伏特（scriptstyle text V text Jtext C）（Volt），它是為了紀念義大利物理學家亞歷山德羅伏特（Alessandro Volta）而命名。 電勢必需滿足帕松方程式，同時符合相關邊界條件；假設在某區域內的電荷密度為零，則帕松方程式約化為拉普拉斯方程式，電勢必需滿足拉普拉斯方程式。 在電動力學裡，當含時電磁場存在的時候，電勢可以延伸為「廣義電勢」。特別注意，廣義電勢不能被視為電勢能每單位電荷。 簡介 處於外電場的帶電粒子會受到外電場施加的作用力，稱為電場力，促使帶電粒子加速運動。對於帶正電粒子，電場力與電場同方向；對於帶負電粒子，電場力與電場反方向。電場力的數值大小與電荷量、電場數值大小成正比。 作用力與勢能之間有非常直接的關係。隨著物體朝著作用力的方向的加速運動，物體的動能變大，勢能變小。例如，一個石頭在山頂的重力勢能大於在山腳的重力勢能。隨著物體的滾落，重力勢能變小，動能變大。 對於某種特別作用力，科學家可以定義其向量場和其位勢，使得物體因為這向量場而具有的勢能，只與物體位置、參考位置之間的距離有關。稱這種作用力為保守力，這種向量場為保守場。 例如，重力、靜電場的電場力，都是保守力。靜電場的純量勢稱為電勢，或稱為靜電勢。 電勢和磁向量勢共同形成一個四維向量，稱為四維勢。從某一個慣性參考系觀察到的四維勢，應用勞侖茲變換，可以計算出另外一個慣性參考系所觀察到的四維勢。 靜電學裡的電勢 在靜電學裡，電場 mathbf E 內某位置 mathbf r 的電勢 phi，以方程式定義為 phi mathbf r stackrel def U_mathrm Emathbf rq； 其中，U_mathrm E 是在位置 mathbf r 的檢驗電荷 q 所具有的電勢能。 電勢能的數值是人為設定的，沒有絕對意義，只有相對於某參考位置的已設定參考值時才有物理意義。假若要設定電勢能在空間任意位置的數值，必須先設定其在某參考位置 mathbf r_0 的數值。為了方便運算，假設其參考數值為 0。然後，就可以將在位置 mathbf r 的電勢能 U_mathrm Emathbf r 定義為從參考位置 mathbf r_0 緩慢地將檢驗電荷 q 移動至 mathbf r 所需做的機械功 W： U_mathrm Emathbf r stackrel def W。 移動檢驗電荷時所施加的外力 mathbf F，必須恰巧抵消處於電場 mathbf E 的檢驗電荷 q 所感受到的電場力 qmathbf E，即 mathbf Fqmathbf E。其所做機械功等於外力 mathbf F 的路徑積分： Wint_mathbb L mathbf F cdot mathrm d boldsymbol ellqint_mathbb L mathbf E cdot mathrm d boldsymbol ell； 其中，mathbb L 是從參考位置 mathbf r_0 到位置 mathbf r 的一條任意路徑，mathrm d boldsymbol ell 是微小線元素。 在靜電學裡，mathbf nabla times mathbf E 0，電場是保守場，所以，在積分時，可以選擇任意路徑 mathbb L ，計算出來的結果都一樣。欲知更詳盡細節，請參閱條目保守力。由於這方程式右邊的路徑積分跟路徑 mathbb L 無關，只跟路徑的初始位置 mathbf r_0、終止位置 mathbf r 有關，因此若能夠假設無窮遠位置 infty 的電勢能為 0，則可以設定參考位置 mathbf r_0 在無窮遠位置 infty： U_mathrm Emathbf r qint_inftymathbf r mathbf E cdot mathrm d boldsymbol ell。 所以，電勢就是從無窮遠位置到檢驗位置對於電場做路徑積分所得結果的負值： phi mathbf r int_inftymathbf r mathbf E cdot mathrm d boldsymbol ell。 在任意兩個位置 mathbf r_1、mathbf r_2 之間的「電勢差」Deltaphi 為 Deltaphiphi mathbf r_2phi mathbf r_1 int_mathbf r_1mathbf r_2 mathbf E cdot mathrm d boldsymbol ell。 由於電場 mathbf E 是保守場，電勢差也與積分路徑無關，只跟積分路徑的初始位置與終止位置有關。 點電荷 由點電荷 Q 所產生的電勢，在距離 r 時，可表示為 V frac 14 pi varepsilon_0 frac Qr 其中，ε0 是真空電容率。 在無限遠處，電勢為零。由多個點電荷產生的電勢，相等於各點電荷所產生的電勢之和。此外，電勢場是純量場，電場則是向量場。 疊加原理 電場遵守疊加原理：假設在三維空間裡，由兩組完全不相交的電荷分佈所產生的電場分別為 mathbf E_1、mathbf E_2，則總電場為 mathbf E_tmathbf E_1mathbf E_2。 總電勢為每單位電荷克服電場力所做的機械功之和： phi_t mathbf r int_inftymathbf r mathbf E_t cdot mathrm d boldsymbol ell int_inftymathbf r mathbf E_1mathbf E_2 cdot mathrm d boldsymbol ellphi_1 mathbf rphi_2 mathbf r。 所以，電勢也遵守疊加原理。當計算一組電荷分佈所產生的電勢時，只需要知道在電荷分佈的每個源位置的單獨電荷所產生在檢驗位置的電勢，就可以應用積分運算，得到整個電荷分佈所產生在檢驗位置的電勢。 電勢的微分方程式 應用積分符號內取微分方法，電勢的梯度為 mathbf nabla phi mathbf r mathbf nabla int_inftymathbf r mathbf Emathbf r cdot mathrm d boldsymbol ellprime mathbf Emathbf r。 所以，電場與電勢之間的關係為 mathbf Emathbf r mathbf nabla phi mathbf r。 根據高斯定律的方程式， mathbf nabla cdot mathbf Erho epsilon_0； 其中，rho 是電荷密度，epsilon_0 是電常數。 所以，電勢滿足帕松方程式： nabla2 phi rho epsilon_0。 假設電荷密度為零，則這方程式變為拉普拉斯方程式： nabla2 phi0。 請注意，假若 mathbf nablatimesmathbf E ne 0，也就是說，電場不具保守性（由於隨時間變化的磁場造成的效應；參閱馬克士威方程組），則不能使用這些方程式。 由於電勢乃是純量，而電場是具有三個分量的向量，所以，很多時候，使用電勢來解析問題會省去很多運算工作，帶來很大的便利。 拉普拉斯方程式的解答 在某空間區域內，假設電荷密度為零，則電勢必須滿足拉普拉斯方程式，並且符合所有相關邊界條件。 邊界條件 在靜電學裡，有三種邊界條件： 狄利克雷邊界條件：在所有邊界，電勢都已良態給定。具有這種邊界條件的問題稱為狄利克雷問題。 紐曼邊界條件：在所有邊界，電勢的法向導數都已良態給定。具有這種邊界條件的問題稱為紐曼問題。 混合邊界條件：一部分邊界的電勢都已良態給定，其它邊界的電勢的法向導數也已良態給定。 根據拉普拉斯方程式的，對於這些種類的邊界條件，拉普拉斯方程式的解答都具有唯一性。所以，只要找到一個符合邊界條件的解答，則這解答必定為正確解答。 分離變數法 應用分離變數法來解析拉普拉斯方程式，可以將問題的偏微分方程式改變為一組較容易解析的常微分方程式。對於一般問題，通常會採用直角坐標系、圓柱坐標系或球坐標系來分離拉普拉斯方程式。但是，對於其它比較特別的問題，另外還有八種坐標系可以用來分離拉普拉斯方程式。分離之後，找到每一個常微分方程式的通解（通常為一組本徵方程式的疊加），電勢可以表達為這些通解的乘積。將這表示式與邊界條件相匹配，就可以設定一般解的係數，從而找到問題的特解。根據拉普拉斯方程式的唯一性定理，這特解也是唯一的正確解答。 兩個半平面導體案例 假設在 xy 平面的無限平面導體被一條位於 y0 的絕緣線條分為兩半，兩個處於 y、y 半平面的導體的電勢分別設定為 V、V，則計算 z 半空間任意位置的電勢這問題，由於邊界條件的幾何形狀適合用直角坐標來描述，可以以直角坐標 xyz 將拉普拉斯方程式表示為： nabla2 phifrac partial2 phipartial x2frac partial 2phipartial y2frac partial2phipartial z20。 因為這案例與 x 坐標無關，方程式可以簡化為 nabla2 phi yzfrac partial 2phipartial y2frac partial2phipartial z20。 應用分離變數法，猜想解答的形式為 phi yzY y Z z。 將這公式代入拉普拉斯方程式，則可得到 frac 1Y y frac mathrm d2 Y ymathrm d y2frac 1Z z frac mathrm d2 Z zmathrm d z20。 注意到這方程式的每一個專案都只含有一個變數，並且跟其它變數無關。所以，每一個專案都等於常數： frac 1Y y frac mathrm d2 Y ymathrm d y2C、 frac 1Z z frac mathrm d2 Z zmathrm d z2C。 這樣，一個二次偏微分方程式被改變為兩個簡單的二次常微分方程式。解答分別為 Y yA_1 eikyA_2 eiky、 Z zB_1 ekzB_2 ekz； 其中，A_1 k、A_2 k、B_1 k、B_2 k 都是係數函式。 當 z 趨向於無窮大時，Z z 趨向於零，所以，B_10。綜合起來，電勢為 phi yzint_0inftyA_1 eikyA_2 eiky ekzmathrm d k。 由於在 z0，y、y 半平面的電勢分別為 V、V，所以， 當 y0 時，int_0inftyA_1 eikyA_2 eikymathrm d kV、 當 y0 時，int_0inftyA_1 eikyA_2 eikymathrm d kV。 應用傅立葉變換，可以得到 A_1 kfrac V2pileft int_0infty eikymathrm d yint_infty0 eikymathrm d y right、 A_2 kfrac V2pileft int_0infty eikymathrm d yint_infty0 eikymathrm d y right。 所以，由 A_1 k 專案貢獻出的電勢為 begin alignphi_1 frac V2piint_0inftymathrm d kleftint_0infty eik yykzmathrm d y int_infty0eik yykzmathrm d y right frac V2piint_0inftyfrac mathrm d yi yyz frac V2piint_infty0frac mathrm d yi yyz end align 。 類似地，由 A_2 k 專案貢獻出的電勢為 begin alignphi_2 frac V2piint_0inftymathrm d kleftint_0infty eik yykzmathrm d y int_infty0eik yykzmathrm d y right frac V2piint_0inftyfrac mathrm d yi yyz frac V2piint_infty0frac mathrm d yi yyz end align 。 總電勢為 begin alignphi frac Vzpiint_0inftyfrac mathrm d yyy2z2 frac Vzpiint_infty0frac mathrm d yyy2z2 frac 2Vpi arctan left frac yzright end align。 帕松方程式的解答 電荷分佈所產生的電勢 根據庫侖定律，一個源位置為 mathbf r 的點電荷 q，所產生在任意位置 mathbf r 的電場為 mathbf Emathbf r frac q4 pi epsilon_0 frac mathbf r mathbf rmathbf r mathbf r3。 對於一群點電荷，應用疊加原理，總電場等於每一個點電荷所產生的電場的疊加。體積區域 mathbb V 內部電荷密度為 rho mathbf r 的電荷分佈，在檢驗位置 mathbf r 所產生的電場為 mathbf Emathbf r frac 14 pi epsilon_0int_mathbb V rho mathbf rfrac mathbf r mathbf rmathbf r mathbf r3 mathrm d3 r； 其中，mathrm d3 r 是微小體積元素。 應用一條向量恆等式， nablafrac 1mathbf r mathbf r frac mathbf r mathbf rmathbf r mathbf r3， 可以得到 mathbf Emathbf r frac 14 pi epsilon_0nablaint_mathbb V frac rho mathbf rmathbf r mathbf r mathrm d3 r。 設定在無窮遠的電勢為參考值 0，則在任意位置的電勢為 phi mathbf r frac 14 pi epsilon_0int_mathbb V frac rho mathbf rmathbf r mathbf r mathrm d3 r；（1） 應用一則關於狄拉克 δ 函式的向量恆等式 nabla2 left frac 1mathbf r mathbf rright 4pidelta mathbf r mathbf r， 假設檢驗位置 mathbf r 在積分體積 mathbb V 內，則可得到帕松方程式： nabla2phi mathbf r frac 14 pi epsilon_0int_mathbb V nabla2 left frac rho mathbf rmathbf r mathbf rright mathrm d3 r frac 1epsilon_0int_mathbb V rho mathbf rdelta mathbf r mathbf r mathrm d3 r frac rho mathbf repsilon_0。 所以，電勢的方程式（1）為帕松方程式的解答。 邊界條件 電勢的方程式（1）只考慮到一群電荷分佈所產生的電勢。假若遭遇邊界條件為電勢的靜電學問題，就不能使用方程式（1），必需使用更具功能的方法。 根據格林第二恆等式，對於任意良態函式 phi mathbf r 與 psi mathbf r， int_mathbb V left phi nabla2 psi psi nabla2 phiright mathrm d3 r oint_mathbb S left phi partial psi over partial n psi partial phi over partial nright mathrm d2 r； 其中，mathbb V 是積分體積，mathbb S 是包住 mathbb V 的閉表面，mathrm d2 r 是微小面元素，partialphi over partial n 或 partialphi over partial n 都是取垂直於閉表面 mathbb S 的法向導數，都是從積分體積 mathbb V 朝外指出。 設定 phi mathbf r 為在 mathbf r 的電勢，psifrac 1mathbf r mathbf r 為 mathbf r 與 mathbf r 之間的距離。應用帕松方程式 nabla2phi mathbf rrhoepsilon_0 ，則可得到 int_mathbb V left phi mathbf r nabla2 left frac 1mathbf r mathbf rright frac rho mathbf repsilon_0 mathbf r mathbf r rightmathrm d3 r oint_mathbb S left phi partial over partial nleft frac 1mathbf r mathbf rright left frac 1mathbf r mathbf rright partial phi over partial nrightmathrm d2 r。 再應用向量恆等式 nabla2 left frac 1mathbf r mathbf rright4pidelta mathbf r mathbf r。 假設檢驗位置 mathbf r 在積分體積 mathbb V 內，則可得到 phi mathbf r frac 14 pi epsilon_0 int_mathbb V frac rho mathbf rmathbf r mathbf r mathrm d3 r frac 14 pioint_mathbb S left left frac 1mathbf r mathbf rright partial phi over partial nphi partial over partial nleft frac 1mathbf r mathbf rrightrightmathrm d2 r。 這方程式右手邊的體積分就是電勢的方程式（1），而面積分就是因為邊界條件而新增的專案。這是 mathbb V 體內與體外之間的邊界曲面。面積分的第一個專案要求給定在邊界曲面的法向電場，即 E_n partial phi over partial n，也就是面感應電荷密度 sigmaepsilon_0 E_n。面積分的第二個專案要求給定在邊界曲面的電勢 phi。假若能夠知道積分體積內的電荷密度、在閉曲面的面電荷密度與電勢，就可以計算出在積分體積內任意位置的電勢。 根據柯西邊界條件，有時候，給定在邊界曲面的法向電場與電勢，可能會因為給定過多邊界條件，而造成無法計算出一致的電勢的狀況。實際而言，只要給定法向電場或電勢，兩者之一，就可以計算出電勢。 假若積分體積為無窮大空間，當 r 趨向於無窮大時，則面積分的被積分專案會以 1r3 速率遞減，而積分面積會以 r2 速率遞增，所以，面積分專案會趨向於零，這方程式約化為先前的電勢方程式（1）。 格林函式 包括函式 1mathbf r mathbf r 在內，有一類函式 G mathbf rmathbf r，稱為格林函式，能夠滿足方程式 nabla2 G mathbf rmathbf r 4pidelta mathbf r mathbf r。 另外，假設函式 H mathbf rmathbf r 滿足拉普拉斯方程式 nabla2 H mathbf rmathbf r0， 則函式 Gmathbf rmathbf rG mathbf rmathbf rH mathbf rmathbf r 也是格林函式。 應用這靈活性質，可以更嚴格地規定格林函式： 對於狄利克雷問題，當源位置 mathbf r 在邊界表面 mathbb S 時，規定格林函式 G_D mathbf rmathbf r0。這樣，從格林第二恆等式，設定 phi mathbf r 為在 mathbf r 的電勢，psi mathbf rmathbf rG_D mathbf rmathbf r，則可得到 phi mathbf r frac 14 pi epsilon_0 int_mathbb V rho mathbf r G_D mathbf rmathbf r mathrm d3 r frac 14 pioint_mathbb S phi mathbf r partial G_D mathbf rmathbf rover partial nmathrm d2 r。（2） 對於滿足紐曼問題，當源位置 mathbf r 在邊界表面 mathbb S 時，規定格林函式 oint_mathbb Sfrac partial G_D mathbf rmathbf rpartial nmathrm d2 rfrac 4piS。 這兩種規定都能夠唯一地設定格林函式。注意到格林函式是一個幾何函式，與整個系統的電荷分佈無關。對於任何系統，只要計算出適合其幾何形狀的格林函式，則不論系統的電荷分佈為何，都可以使用同樣的格林函式。 無限平面導體案例 假設 xy 平面是接地的無限平面導體，則對於 z 半空間、滿足狄利克雷邊界條件的格林函式為 begin matrix G_D mathbf rmathbf rcfrac 1sqrt xx2yy2 z z2 qquadqquadqquad cfrac 1sqrt xx2yy2zz2 end matrix ； 其中，xyz、xyz 分別是檢驗位置 mathbf r、源位置 mathbf r 的直角坐標。 由於接地導體的電勢為零，方程式（2）的面積分專案等於零，方程式（2）變為 phi mathbf r frac 14 pi epsilon_0 int_mathbb V rho mathbf r G_D mathbf rmathbf r mathrm d3 r 。 假設在位置 00a 有點電荷 q，則在 z 半空間任意位置的電勢為 begin align phi mathbf r frac 14 pi epsilon_0 int_mathbb V rho mathbf rleft frac 1sqrt x2y2 z a2 frac 1sqrt x2y2 z a2 right mathrm d3 r frac 14 pi epsilon_0left frac qsqrt x2y2 z a2 frac qsqrt x2y2 za2 right end align。 仔細檢察這方程式，右手邊第一個專案，是在沒有平面導體的狀況時，點電荷 q 所產生的電勢；右手邊第二個專案，是使用映象法時，映象電荷 q 所產生的電勢。請參閱映象法條目的點電荷與無限平面導體段落。 導引 已知函式 1mathbf r mathbf r 為格林函式 G mathbf rmathbf r，滿足方程式 nabla2 G mathbf rmathbf r 4pidelta mathbf r mathbf r。 在三維無限空間裡，1mathbf r mathbf r 的傅立葉級數為 begin alignfrac 1mathbf r mathbf r equiv frac 12pi2int_inftyinftyint_inftyinftyint_inftyinftymathrm d3 k frac eimathbf kcdot mathbf rmathbf rk2 frac 12pi2int_inftyinftyint_inftyinftymathrm d k_x mathrm d k_y eik_x xxik_y yyint_inftyinfty mathrm d k_z frac eik_z zzk_x2k_y2k_z2 end align 。 現在，必需找到格林函式 G_D mathbf rmathbf rG mathbf rmathbf rH mathbf rmathbf r，滿足狄利克雷邊界條件 G_D xy0mathbf r0，同時，函式 H mathbf rmathbf r 滿足拉普拉斯方程式 nabla2 H mathbf rmathbf r0。 對於 z 半空間，H mathbf rmathbf r 以傅立葉級數擴張為 begin align H mathbf rmathbf r frac 12pi2int_inftyinftyint_inftyinfty mathrm d k_x mathrm d k_y eik_x xxik_y yyint_inftyinfty mathrm d k_z left B mathbf kz eik_z z C mathbf kz eik_z zright end align。 對於 x 座標與對於 y 座標的傅立葉級數擴張，H 函式與 G 函式的形式相同。這是因為對於無限空間案例與無限平面導體案例，兩種案例的 x 邊界條件與 y 邊界條件都相同，只有 z 邊界條件稍有改變。將 H 函式的方程式代如，G_D mathbf rmathbf r 變為 G_D mathbf rmathbf r frac 12pi2int_inftyinftyint_inftyinfty mathrm d k_x mathrm d k_y eik_x xxik_y yyint_inftyinfty mathrm d k_z left frac eik_z zzk_x2k_y2k_z2 B mathbf kz eik_z z C mathbf kz eik_z zright； 其中，B mathbf kz 與 C mathbf kz 都是係數函式。 由於 G_D xy0mathbf r0，對於任意 mathbf k 與 z，B mathbf kz 與 C mathbf kz 之間的關係為 frac eik_z zk_x2k_y2k_z2 B mathbf kzCmathbf kz0、 B mathbf kzfrac B_0 eik_z zk_x2k_y2k_z2 、 C mathbf kzfrac C_0 eik_z zk_x2k_y2k_z2 ； 其中，B_0 與 C_0 都是係數常數，而且，B_0C_01 將這些公式代入 G_D，可以得到 G_D mathbf rmathbf r frac 12pi2int_inftyinftyint_inftyinfty mathrm d k_x mathrm d k_y eik_x xxik_y yyint_inftyinfty mathrm d k_z leftfrac 1B_0k2 left eik_z zzeik_z zzrightright。 為了滿足方程式 nabla2 G_D mathbf rmathbf r 4pidelta mathbf r mathbf r，必需設定 B_00。所以， begin align G_D mathbf rmathbf r frac 12pi2int_inftyinftyint_inftyinfty mathrm d k_x mathrm d k_y eik_x xxik_y yyint_inftyinfty mathrm d k_z leftfrac 1k2 left eik_z zzeik_z zzrightright frac 1mathbf r mathbf rfrac 1mathbf r mathbf r cfrac 1sqrt xx2yy2 z z2 cfrac 1sqrt xx2yy2zz2 end align ； 其中，mathbf rxyz 是映象電荷的位置。 兩個半平面導體案例 假設在 xy 平面的無限平面導體被一條位於 y0 的絕緣線條分為兩半，兩個處於 y、y 半平面的導體的電勢分別設定為 V 與 V，則由於 rho mathbf r0，方程式（2）變為 phi mathbf r frac 14 pioint_mathbb S phi mathbf r partial G_D mathbf rmathbf rover partial nmathrm d2 r。（3） 注意到 mathbb V 是 z 半空間，xy 平面是其邊界閉曲面的一部分，格林函式在 xy 平面的法向導數的方向是朝著負 z 方向： begin alignpartial G_Dover partial n partial G_Dover partial z cfrac z zxx2yy2 z z232 cfrac z zxx2yy2zz232 cfrac 2zxx2yy2 z232 end align。 mathbb V 的邊界閉曲面在無窮遠位置的電勢為 0，所以，只需要計算 xy 平面給出的貢獻，就可以得到在 mathbb V 內部任意位置的電勢。將上述方程式代入方程式（3）： pp 241 formula 43 pp 252 formula165 begin alignphi mathbf r frac 2z4 pileftint_0inftyint_inftyinftycfrac V mathrm d xmathrm d y xx2yy2 z232int_infty0int_inftyinftycfrac V mathrm d xmathrm d y xx2yy2 z232right frac zVpileftint_0inftyfrac mathrm d yyy2 z2 int_infty0 frac mathrm d yyy2 z2right frac 2Vpi arctan left frac yzright end align。 推廣至電動力學 假設磁場含時間（每當電場含時間，則此假設成立。逆過來亦成立），則不能簡單地以純量勢 phi 描述電場。因為根據法拉第電磁感應定律，mathbf nabla times mathbf E frac partial mathbf Bpartial tneq 0，電場不再具有保守性，int mathbf Ecdot mathrm d boldsymbol ell 跟路徑有關。 替代地，在定義純量勢時，必須引入磁向量勢 mathbf A，定義為 mathbf B stackrel def mathbf nabla times mathbf A； 其中，mathbf B 是磁場。 根據亥姆霍茲定理，假設一個向量函式 mathbf Fmathbf r 滿足以下兩條件： nablacdotmathbf Fmathbf rD mathbf r、 nablatimesmathbf Fmathbf rmathbf Cmathbf r 其中，D mathbf r 是個純量函式，mathbf Cmathbf r 是個向量函式。 再假設 D mathbf r 和 mathbf Cmathbf r，在無窮遠處都足夠快速地趨向 0，則 mathbf Fmathbf r 可以用方程式表達為 mathbf Fmathbf r nablaleft frac 14piint_mathbb Vfrac D mathbf rmathbf r mathbf r mathrm d3 rrightnablatimes left frac 14piint_mathbb Vfrac mathbf Cmathbf rmathbf r mathbf r mathrm d3 rright 在這裡，nabla 只作用於 mathbf r，體積分的體積為 mathbb V。 採用庫侖規範，則磁向量勢 mathbf A 遵守 mathbf nabla cdot mathbf A0。 所以， mathbf Amathbf rnablatimes left frac 14piint_mathbb Vfrac mathbf Bmathbf rmathbf r mathbf rmathrm d3 rright frac 14piint_mathbb Vmathbf Bmathbf rtimesfrac mathbf r mathbf rmathbf r mathbf r3 mathrm d3 r。 注意到，以上這些推導，並沒有涉及時間引數。加入時間引數 t，結果也成立。所以，永遠可以找到磁向量勢 mathbf A： mathbf Amathbf rtfrac 14piint_mathbb V mathbf Bmathbf rttimesfrac mathbf r mathbf rmathbf r mathbf r3 mathrm d3 r 。 根據法拉第電磁感應定律，向量場 mathbf Gmathbf Epartialmathbf Apartial t 是一個保守場： nablatimesmathbf Gnablatimesmathbf Enablatimespartialmathbf Apartial t0。 所以，必定可以找到純量勢 phi，滿足 mathbf G nabla phi。因此，下述方程式成立： mathbf E mathbf nablaphi frac partialmathbf Apartial t。 靜電勢只是這含時定義的一個特別案例，在這案例裡，磁向量勢 mathbf A 不含時間。從另一方面來說，對於含時向量場，電場的路徑積分與靜電學的結果大不相同： int_ab mathbf E cdot mathrm dboldsymbol ell neq phi b phi a。 參閱 電壓 映象法 勞侖次規範 推遲勢 保守力與保守場 參考文獻 延伸閱讀 分類：物理學術語 D D D Category 純量 物理學 Category 電壓 deElektrostatikPotential und Spannung