在電路學裡，歐姆定律表明：定溫下，電導體兩端的電壓 V 與透過電導體的電流 I 成正比。數學表示式為： V propto I 因此，對於任意電導體（電路、電路元件、甚至電阻器），電阻 R 可定義為此正比關係的比例常數： R stackrel def frac VI 且可得到下列方程式： VIR 不論電流、電壓為何，電阻定義均為電壓除以電流。此外，任何電導體都有電阻，即使超導體在一般溫度下也具有微小的電阻。 然而並不是每一種元件都遵守歐姆定律，此定律是經過多次實驗而推斷的法則，只有在理想狀況下，才會成立。凡是遵守歐姆定律的元件或電路都稱為「歐姆元件」或「歐姆電路」或「歐姆式導體」，其電阻與電流、電壓的變動無關；不遵守歐姆定律的元件或電路稱為「非歐姆元件」或「非歐姆電路」或「非歐姆式導體」，其電阻可能會與電流、電壓的變動有關。 歐姆定律是因德國物理學家格奧爾格歐姆命名。於 1827 年，在他發表的一本通論《直流電路的數學研究》（The galvanic Circuit investigated mathematically）裡 ，他詳細的論述簡單電路兩端的電壓與流動於電路的電流之間的關係。他所論述的關係比較複雜，稍後會有更詳細說明。上述方程式乃是歐姆定律的現代版本。 對於電阻物質或導電物質，歐姆定律可以推廣為： mathbf E rho mathbf J mathbf J sigma mathbf E 其中，mathbf E 是電場，mathbf J 是物質的電流密度，rho 是物質的電阻率，sigma1rho 是物質的電導率。 遵守歐姆定律的物質，稱為「歐姆物質」，其電阻率 rho 和電導率 sigma 與電流密度、電場無關。 歷史 早於 1753 年，義大利物理學家就在研究物質的導電性質。他在電路裡加裝了盛滿了水的玻璃管。當開啟電路後，發現玻璃管的截面面積越大，電流的放電強度越大。 英國物理學家亨利卡文迪什也曾做過很多實驗，研究電動勢、電流、電阻之間的關係。他使用萊頓瓶為電流源，將電流透過在各種尺寸的玻璃試管裡盛裝的鹽溶液，靠著調整鹽溶液的高度，他可以控制放電強度。卡文迪什把自己身體當作一臺生理檢流計，從親身體驗被電擊後的感覺，來估計電流的放電強度。他又選擇出一個裝滿鹽溶液的玻璃試管為標準，然後比較標準放電與試樣放電，按照放電強度的大小來估計它們的電阻。這樣，他可以定量地描述每一種試樣。於 1781 年 1 月，他記錄在筆記裡，電流與電動勢成正比。但是，他並沒有將這些珍貴的實驗結果告訴任何科學家。一直到馬克士威於 1879 年替他編輯注釋為著作《卡文迪什的電學研究》後，才見諸世面 Sanford P Bordeau 1982 Volts to Hertzthe Rise of Electricity Burgess Publishing Company Minneapolis MN pp86107 ISBN 9780808749080。注意到卡文迪什使用的儀器相當原始粗陋，靠身體感覺很難做出精準的測量，萊頓瓶並不是穩定電流源。所以，學術界認為這耽擱了近百年的實驗結果並不足以證實歐姆定律。 從 1825 年到 1826 年之間，歐姆做了很多關於電阻的實驗。於 1827 年，他將得到的結果一同發表在著作《直流電路的數學研究》（The galvanic Circuit investigated mathematically）裡 。他從傅立葉對於熱傳導的研究得到了相當多的靈感，借用了很多傅立葉的點子來論述自己的結果。 歐姆是一位優秀的實驗者，很會設計與製造實驗裝置，又具有精湛的數學修養與嚴謹的敬業態度。剛開始，他使用伏打電堆為電源，用安裝於扭秤（torsion balance）的磁針來測量電流的磁場力。載流導線的電流所產生的磁場與電流成正比，只要測量在載流導線附近的磁針所感受到的磁場力，就可以知道電流。他將電流透過不同長度的檢驗電線；由於長度不同，電阻也不同。歐姆仔細分析實驗結果，得到經驗方程式 Delta Im lnleft 1frac xaright 其中，Delta I 是檢驗電線造成的電流差值，m 是跟實驗引數有關的係數，x 是檢驗電線的長度，a 是跟固定長度的載流導線有關的常數。 歐姆很快地就覺得這方程式不太對勁。大約三年前，湯瑪斯澤貝克發明使用熱電偶為電源。這種電源比伏打電源穩定。採納《物理與化學年鑑》的總編輯約翰波根多夫的建議，歐姆改用熱電偶為電源 ，將實驗重做一遍，得到經驗方程式： X frac ab x 其中，X 是扭秤讀值，a 是跟電動勢有關的常數，b 是跟內部電阻有關的常數，x 是檢驗電線的長度。 仔細詮釋這些變數，將 X、a、b、x 分別詮釋為電流 I、電壓 V、內部電阻 r、檢驗電阻 R_x，那麼，假定總電阻 R 為 r R_x 則經驗方程式變為歐姆定律的現代方程式版本： I frac VR 歐姆定律可能是早期電學史最重要的定量理論。但是，當歐姆最初發表他的結果時，很多學術界同仁都激烈地批評反對他的理論。德國教育部長指責：「鼓吹這種異端邪說的教授不配教導科學 。」物理教授格奧爾格魄爾這樣批評歐姆的著作：「以崇高眼光仰看這世界的人士，必須遠離這本無可救藥、妄生穿鑿的謬書，其唯一目的乃是徹底詆毀大自然的尊嚴。」。那時候，德國正盛行的黑格爾哲學認為，因為大自然井井有序，而且只要經過合理推論就可獲得科學真理，所以，並不需要靠做實驗來瞭解大自然。歐姆的實驗方法可能引起了黑格爾門徒的強烈反感。 1839 年，法國物理學家，克勞德普雷特確定歐姆的實驗結果。同時，歐姆成為柏林科學院的院士。在英國，查爾斯惠斯通又重新核對了歐姆的實驗結果。1841 年，歐姆被選為皇家學會的外籍會員。1852 年，歐姆榮膺為慕尼黑大學的物理學系主任。 於 1920 年，物理學家發現，透過理想電阻器的電流會出現統計漲落，雖然當電壓和電阻為常數時，統計漲落會跟溫度有關。這種漲落稱為詹森 奈奎斯特噪音，是因為電荷的離散秉性而產生的現像。這熱效應意味著，假若取樣的時間間隔足夠短暫，電流或電壓的測值，其比例跟時間平均比例或系綜平均比例相比較，會出現漲落；也就是說，每一個電阻 R 的取樣值，跟 R 的時間平均或系綜平均相比較，會出現漲落。對於普通電阻物質案例，經過平均程式後，歐姆定律仍舊正確無誤。 歐姆對於電阻的研究在馬克士威方程組出現之前很久，那時科學家對於交流電路的頻率相關效應也不瞭解。但是，在適當範圍內，現代電磁理論與現代電路理論並沒有發現任何與歐姆定律相悖之處。 水力學類比 歐姆定律可以用水力學類比來描述。測量單位為帕斯卡的水壓，可以類比為電壓。在一根水管裡，由於任意兩點之間的水壓差會造成水流，水的流速（單位是公升每秒），可以類比為電流（單位是庫侖每秒）。「流量限制器」是安裝於水管與水管之間控制流量的閥門，可以類比為電阻器。透過流量限制器的水流流量，跟流量限制器兩端的水壓成正比，類似地，透過電阻器的電荷流量（電流），跟電阻器兩端的電壓成正比。這正是歐姆定律的論述。 流體流動網路的流量和流壓可以用水力學類比方法來計算 A Esposito A Simplified Method for Analyzing Circuits by Analogy Machine Design October 1969 pp 173177。這方法可以應用於穩定流和暫態流。對於線性層流，泊肅葉定律描述水管的水阻，但是對於湍流，流壓 流量關係變為非線性。 熱力學類比 設定電導體的電導率與兩端的電壓，歐姆定律可以預測出透過這電導體的電流密度。類似地，設定熱導體的熱導率與兩端的溫差，約瑟夫傅立葉的熱傳導定律可以預測透過這熱導體的熱流。同樣的方程式形式可以描述這兩種現象。對於每一種案例，方程式的變數有不同的意義。具體而言，歐姆定律的方程式為： mathbf J sigma nabla V 而熱傳導定律的方程式為： boldsymbol Gamma k nabla T 其中，boldsymbol Gamma 是熱通量，k 是導熱體的熱導率，T 是溫度。 思考引數為溫度、熱導率與熱通量的熱傳導問體，和引數為電壓、電導率與電流密度的電傳導問體。這兩個問題相互等價。假若能夠解析一個熱傳導問體，則也能夠解析電傳導問題；反之亦然。 電路分析 在電路學裡，電阻器（歐姆電阻器）是一種電路元件，其電阻與電壓、電流無關。電阻器可以按照歐姆定律阻抗電荷的透過。每一個電阻器都有其設計製成的電阻 R。更嚴格地說，電阻器是在某操作域內遵守歐姆定律的電路元件；歐姆定律和唯一電阻值足夠描述這元件在相關操作域的行為。 串聯電阻電路 串聯電阻的總電阻等於各個電阻之和，以方程式表示， R_mathrm total R_1 R_2 cdots R_n 其中，R_n 是第 n 個電阻，R_mathrm total 是總電阻。 假設在電路兩端的電壓為 V，則透過的電流為 I VR_total。假設每一個電阻器都遵守歐姆定律，則這電路是電阻為 R_mathrm total 的歐姆電路。 並聯電阻電路 相互並聯的電阻，其總電阻的倒數等於其每個電阻的倒數和，以方程式表示： 1 over R_mathrm total 1 over R_1 1 over R_2 cdots 1 over R_n 假設在電路兩端的電壓為 V，則透過的電流為 I VR_total。假設每一個電阻器都遵守歐姆定律，則這電路是電阻為 R_mathrm total 的歐姆電路。 週期性激發 電容器、電感器、傳輸線等等，都是電路的電抗元件。假設施加週期性電壓或週期性電流於含有電抗元件的電路，則電壓與電流之間的關係式變成微分方程式。因為歐姆定律的方程式只涉及實值的電阻，不涉及可能含有電容或電感的複值阻抗，所以，前面闡述的歐姆定律不能直接應用於這狀況。 最基本的週期性激發，像正弦激發或餘弦激發，都可以用指數函式來表達： sin omega t frac 12jejomega t e jomega t cos omega t frac 12ejomega t e jomega t 其中，j 是虛數單位，omega 是實值角頻率，t 是時間。 假設週期性激發為單頻率正弦激發，其角頻率為 omega。電阻為 R 的電阻器，其阻抗 Z 為： Z R 電感為 L 的電感器，其阻抗為： Z jomega L 電容為 C 的電容器，其阻抗為： Z 1jomega C 電壓 V 與電流 I 的關係式為： V I Z 注意到將阻抗 Z 替代電阻 R，就可以得到這歐姆定律方程式的推廣。只有 Z 的實值部分會造成熱能的耗散。 對於這系統，電流和電壓的複值波形式分別為： I I_0 ejomega t V V_0 ejomega t 電流和電壓的實值部分 real I、real V 分別描述這電路的真實正弦電流和正弦電壓。由於 I_0、V_0 都是不同的複值純量，電流和電壓的相位可能會不一樣。 週期性激發可以傅立葉分解為不同角頻率的正弦函式激發。對於每一個角頻率的正弦函式激發，可以使用上述方法來計算響應。然後，將所有響應總和起來，就可以得到解答。 線性近似 歐姆定律是電路分析使用的幾個基本方程式之一。它可以應用於金屬導電體或特別為這行為所製備的電阻器。在電機工程學裡，這些東西無所不在。遵守歐姆定律的物質或元件稱為「歐姆物質」或「歐姆元件」。理論上，不論施加的電壓或電流、不論是直流或交流、不論是正極或負極，它們的電阻都不變 Hughes E Electrical Technology pp10 Longmans 1969。 但是，有些電路元件不遵守歐姆定律，它們的電壓與電流之間的關係（VI 線）乃非線性關係。PN 接面二極體是一個顯明範例。如右圖所示，隨著二極體兩端電壓的遞增，電流並沒有線性遞增。給定外電壓，可以用 VI 線來估計電流，而不能用歐姆定律來計算電流，因為電阻會因為電壓的不同而改變。另外，只有當外電壓為正值時，電流才會顯著地遞增；當施加的電壓為負值時，電流等於零。對於這類元件，VI 線的斜率 mathfrak r，稱為「小訊號電阻」、「增量電阻」或「動態電阻」，定義為 mathfrak r stackrel def frac mathrm d Vmathrm d I 單位也是歐姆，是很重要的電阻量，適用於計算非歐姆元件的電性。 溫度效應 詹姆斯馬克士威詮釋歐姆定律為，處於某狀態的導電體，其電動勢與產生的電流成正比。因此，電動勢與電流的比例，即電阻，不會隨著電流而改變。在這裡，電動勢就是導電體兩端的電壓。參考這句引述的上下文，修飾語「處於某狀態」，詮釋為處於常溫狀態，這是因為物質的電阻率通常跟溫度有關。根據焦耳定律，導電體的焦耳加熱與電流有關，當傳導電流於導電體時，導電體的溫度會改變。電阻對於溫度的相關性，使得在典型實驗裡，電阻跟電流有關，從而很不容易直接核對這形式的歐姆定律。於 1876 年，馬克士威與同事，共同設計出幾種測試歐姆定律的實驗方法，能夠特別凸顯出導電體對於加熱效應的響應。 其它版本的歐姆定律 在電機工程學和電子工程學裡，歐姆定律妙用無窮，因為它能夠在宏觀層次表達電壓與電流之間的關係，即電路元件兩端的電壓與透過的電流之間的關係。在物理學裡，對於物質的微觀層次電性質研究，會使用到的歐姆定律，以向量方程式表達為： mathbf E rho mathbf J mathbf J sigma mathbf E 在導體內任意兩點 g、h，定義電壓為將單位電荷從點 g 移動到點 h，電場力所需做的機械功： V_ghstackrel def frac mathrm d wmathrm d qint_gh mathbf E cdot mathrm dmathbf lrhoint_gh mathbf J cdot mathrm dmathbf l 其中，V_gh 是電壓，w 是機械功，q 是電荷量，mathrm d mathbf l 是微小線元素。 假設，沿著積分路徑，電流密度 mathbf JJhat mathbf l 為均勻電流密度，並且平行於微小線元素： mathrm d mathbf lmathrm d lhat mathbf l 其中，hat mathbf l 是積分路徑的單位向量。 那麼，可以得到電壓： V_ghJrho l 其中，l 是積分路徑的徑長。 假設導體具有均勻的電阻率，則透過導體的電流密度也是均勻的： J Ia 其中，a 是導體的截面面積。 電壓 V_gh 簡寫為 V。電壓與電流成正比： VV_gh I rho la 總結，電阻與電阻率的關係為： R rho la 假設 J0，則 V0；將單位電荷從點 g 移動到點 h，電場力需要作的機械功 w0。所以，點 g 的電勢比點 h 的電勢高，從點 g 到點 h 的電勢差為 V。從點 g 到點 h，電壓降是 V；從點 h 到點 g，電壓升是 V。 給予一個具有完美晶格的晶體，移動於這晶體的電子，其運動等價於移動於自由空間的具有有效質量的電子的運動。所以，假設熱運動足夠微小，週期性結構沒有偏差，則這晶體的電阻等於零。但是，真實晶體並不完美，時常會出現晶體缺陷，有些晶格點的原子可能不存在，可能會被雜質侵佔。這樣，晶格的週期性會被擾動，因而電子會發生散射。另外，假設溫度大於絕對溫度，則處於晶格點的原子會發生熱震動，會有熱震動的粒子，即聲子，移動於晶體。溫度越高，聲子越多。聲子會與電子發生碰撞，這過程稱為晶格散射。主要由於上述兩種散射，自由電子的流動會被阻礙，晶體因此具有有限電阻 Seymour J Physical Electronics pp 4849 Pitman 1972。 凝聚態物理學研究物質的性質，特別是其電子結構。在凝聚態物理學裡，歐姆定律更複雜、更廣義的方程式非常重要，屬於本構方程式與運輸係數理論的範圍。 經典微觀表述 當施加外電場於導電體時，電流密度的響應，基本上是屬於量子力學性質。詳盡細節，請參閱經典與量子電導率。保羅德魯德於 1900 年研究出的德魯德模型，可以用經典物理解釋歐姆定律，描述自由電子移動於金屬導電體的物理行為 。 在德魯德模型裡，自由電子會不停地移動碰撞於固定不動、組成整個金屬導電體晶格的正價離子之間。金屬裡的每一個自由電子，感受到電場力的作用，會呈加速運動。但是每當自由電子與晶格發生碰撞，其動能會遭受損失，以熱能的形式將能量釋放給離子，所以，電子的平均移動速度是漂移速度，其漂移速度的方向與電場方向相反。 電子感受到的平均電場力 mathbf F_ave 為： mathbf F_ave e mathbf E_ave 其中，mathbf E_ave 是平均電場，e 是單位電荷量。 德魯德計算出漂移速度 mathbf v_d 為： mathbf v_d e mathbf E_avetaum 其中，tau 是平均自由時間，是碰撞之間的平均時間間隔，m 是電子的質量。 在金屬裡，電荷載子為電子，所以電流密度與漂移速度的關係為： mathbf J nemathbf v_dne2 taumathbf E_avem 其中，n 是電子密度。 假設電場是均勻電場，mathbf E mathbf E_ave，設定電阻率為： rhofrac mne2 tau 則電場與電流密度的關係為： mathbf E rhomathbf J 注意到漂移速率 v_d 超小於熱速率 v_t， frac 12 m v2_t frac 32 k_B T 其中，k_B 是波茲曼常數，T 是溫度。 因此，平均自由時間與熱速率有關，與漂移速率無關，所以平均自由時間也與電流密度、電場無關。質量、電子密度、單位電荷，都與電流密度、電場無關。總結，電阻率與電流密度、電場無關。 磁效應 前面得到的答案只成立於導電體的參考系。在經典電磁學裡，假設處於磁場 mathbf B 的導電體，以相對速度 mathbf v_0 移動於磁場的參考系 mathcal S，則電子感受到的平均勞侖茲力 mathbf F_ave 為： mathbf F_ave e mathbf E_avemathbf v_0timesmathbf B_ave 漂移速度 mathbf v_d 為： mathbf v_d e mathbf E_avemathbf v_0timesmathbf B_avetaum 電場與電流密度的關係為： mathbf J nemathbf v_d ne2tau mathbf E_avemathbf v_0timesmathbf B_avem 所以，歐姆定律的形式推廣為： mathbf E mathbf vtimesmathbf B rho mathbf J 常見錯誤 不少人會認為歐姆定律是在說明 ViR 實際上，上式只是電阻的定義，而歐姆定律所主張的是任何物件都會滿足 V propto i 是一個錯誤的主張。（僅對部分歐姆式導體正確）Principles of Physics 11th Edition by David Halliday Robert Resnic Jearl Walker page 2613 參閱 薄膜電阻 菲克擴散定律 霍普金森定律（，靜磁學的歐姆定律） 參考文獻 O O O Category 經驗定律 Category 電壓 Category 電阻與電導