粗體文字 四次方程，是未知數最高次數不超過四次的多項式方程。一個典型的一元四次方程的通式為： ax4bx3cx2dxe0 其中 ane0 本篇只討論一元四次方程，並簡稱為四次方程。 四次方程的解法 數學家們為了解開四次方程 確切地說，找到解開四次方程的方法 做出了許多努力。像其它多項式一樣，有時可以對四次方程進行因式分解；但高次冪下的因式分解往往非常困難，尤其是當根是無理數或複數時。因此找到一個公式解（就像二次方程的求根公式那樣， 能解所有的一元二次方程）意義重大。經過諸多研究後，數學家們終於找到了四次方程的公式解。不過之後埃瓦里斯特伽羅瓦證明，求根公式止步於四次方程，更高次冪的方程無法透過固定的公式求出。對於五次及以上的方程，需要一種更為有效的方式來求解。 由於四次方程的複雜性（參見下文），求解公式並不常用。如果只要求求解有理實根，可以使用試錯法，該方法對於任意次數的多項式求解都有效。或是使用魯菲尼法則求出，前提是所給的多項式的係數都是有理的。利用計算機程式設計，透過牛頓法等數值方法，可以輕易得到任意次方程的實數（數值）解。 特殊情況 名義上的四次方程 如果 e0 ，那麼其中一個根為 x0 ，其它根可以透過消去四次項，並解產生的三次方程，ax3bx2cxd0 雙二次方程 四次方程式中若 b 和 d 均為 0 者有下列形態： ax4cx2e0 因此它是一個雙二次方程式。解雙二次方程式非常容易，只要設 zx2 ，我們的方程式便成為： az2cze0 這是一個簡單的二次方程式，其根可用二次方程式的求根公式來解： zcpmsqrt c24ae over 2a 當我們求得 z 的值以後，便可以從中得到 x 的值： x_1sqrt z_1 x_2sqrt z_1 x_3sqrt z_2 x_4sqrt z_2 若任何一個 z 的值為負數或複數，那麼一些 x 的值便是複數。 費拉里的方法 開始時，四次方程首先要被轉化為低階的四次方程式。 轉變成減少次數的四次方程 要讓以下四次方程式變成標準的四次方程式，先在等式兩邊分別除以 a a x4 b x3 c x2 d x e 0 qquadqquad 1 x4 b over a x3 c over a x2 d over a x e over a 0 第一步：消除 x3 列。為了做到這一步，先把變數 x 變成 u，其中 x u b over 4 a 將變數替換： left u b over 4 a right4 b over a left u b over 4 a right3 c over a left u b over 4 a right2 d over a left u b over 4 a right e over a 0 展開後變成： left u4 b over a u3 6 u2 b2 over 16 a2 4 u b3 over 64 a3 b4 over 256 a4 right b over a left u3 3 u2 b over 4 a 3 u b2 over 16 a2 b3 over 64 a3 right c over a left u2 u b over 2 a b2 over 16 a2 right d over a left u b over 4 a right e over a 0 整理後變成以 u 為變數的表示式 u4 left 3 b2 over 8 a2 c over a right u2 left b3 over 8 a3 b c over 2 a2 d over a right u left 3 b4 over 256 a4 b2c over 16 a3 bd over 4 a2 e over a right 0 現在改變表示式的係數，為 alpha 3 b2 over 8 a2 c over a beta b3 over 8 a3 bc over 2 a2 d over a gamma 3 b4 over 256 a4 b2c over 16 a3 bd over 4 a2 e over a 結果就是我們期望的低階四次方程式，為 u4 alpha u2 beta u gamma 0 qquad qquad 1 如果 beta0 那麼等式就變成了雙二次方程式，更加容易解決（解釋上面）；利用反向替代，我們可以獲得我們要解決的變數 x 的值 費拉里的解法 這種降低的四次方程的方法是被費拉里發現的，然而，這種方式曾經被發現過。接下來，利用一個恆等式 u2 alpha2 u4 2 alpha u2 alpha2 從方程 1 和上式，得出： u2 alpha2 beta u gamma alpha u2 alpha2 qquad qquad 2 結果把 u4 配成了完全平方式： u2alpha2。左式中，alpha u2 並不出現，但其符號已改變並被移到右邊。 下一步是在方程 left 2right 左邊的完全平方中插入變數 y ，相應地在右邊插入一項 2y。根據恆等式 begin matrix u2alphay2u2alpha2 2y u2alpha y2 2yu22yalphay2 end matrix 及 0 alpha 2 y u2 2 y u2 alpha u2 兩式相加，可得 u2 alpha y2 u2 alpha2 alpha 2 y u2 alpha u2 2 y alpha y2 qquad qquad（y 的插入） 與等式 2 相加，得 u2 alpha y2 beta u gamma alpha 2 y u2 2 y alpha y2 alpha2 也就是 u2 alpha y2 alpha 2 y u2 beta u y2 2 y alpha alpha2 gamma qquad qquad 3 現在我們需要尋找一個 y 值，使得方程 left 3right 的右邊為完全平方。而這 只 要令二次方程的判別式為零。為此，首先展開完全平方式為二次式： s u t2 s2 u2 2 s t u t2 右邊的二次式有三個係數。可以驗證，把第二項係數平方，再減去第一與第三項係數之積的四倍，可得到零： 2 s t2 4 s2 t2 0 因此，為了使方程 3 的右邊為完全平方，我們必須解出下列方程： beta2 4 2 y alpha y2 2 y alpha alpha2 gamma 0 把二項式與多項式相乘， beta2 4 2 y3 5 alpha y2 4 alpha2 2 gamma y alpha3 alpha gamma 0 兩邊除以 4，再把 frac beta24 移動到右邊， 2 y3 5 alpha y2 4 alpha2 2 gamma y left alpha3 alpha gamma beta2 over 4 right 0 qquad qquad 這是關於 y 的三次方程。兩邊除以 2， y3 5 over 2 alpha y2 2 alpha2 gamma y left alpha3 over 2 alpha gamma over 2 beta2 over 8 right 0 qquad qquad 4 轉化巢狀的三次方程為降低次數的三次方程 方程 left 4right 是巢狀的三次方程。為了解方程 left 4right，我們首先用換元法把它轉化為減少次數的三次方程： y v 5 over 6 alpha 方程 left 4right 變為 left v 5 over 6 alpha right3 5 over 2 alpha left v 5 over 6 alpha right2 2 alpha2 gamma left v 5 over 6 alpha right left alpha3 over 2 alpha gamma over 2 beta2 over 8 right 0 展開，得 left v3 5 over 2 alpha v2 25 over 12 alpha2 v 125 over 216 alpha3 right 5 over 2 alpha left v2 5 over 3 alpha v 25 over 36 alpha2 right 2 alpha2 gamma v 5 over 6 alpha 2 alpha2 gamma left alpha3 over 2 alpha gamma over 2 beta2 over 8 right 0 合併同類項，得 v3 left alpha2 over 12 gamma right v left alpha3 over 108 alpha gamma over 3 beta2 over 8 right 0 這是巢狀的三次方程。 記 P alpha2 over 12 gamma Q alpha3 over 108 alpha gamma over 3 beta2 over 8 則此三次方程變為 v3 P v Q 0 qquad qquad 5 解巢狀的降低次數的三次方程 方程 left 5right 的解 三個解中任何一個都可以 為 令 Usqrt 3Qover 2pm sqrt Q2over 4P3over 27 （由三次方程） v UPover 3U 則原來的巢狀三次方程的解為 y 5 over 6 alpha Pover 3U U qquad qquad 6 注意 left 1right： P0 Longrightarrow Qover 2 sqrt Q2over 4P3over 270 注意 left 2right： lim_Pto 0P over sqrt 3Qover 2 sqrt Q2over 4P3over 270 配成完全平方項 y 的值已由 left 6right 式給定，現在知道等式 left 3right 的右邊是完全平方的形式 s2 u22stut2 left sqrt s2 u 2st over 2sqrt s2right2 這對於平方根的正負號均成立，只要等式兩邊取相同的符號。A 的正負是多餘的，因為它將被本頁後面馬上將提到的另一個 pm a 消去。 從而它可分解因式為： alpha 2 y u2 beta u y2 2 y alpha alpha2 gamma left sqrt alpha 2y u beta over 2sqrt alpha 2 y right2 注：若 beta ne0 則 alpha 2y ne 0 。如果 beta 0 則方程為雙二次方程，前面已討論過。 因此方程 left 3right 化為 u2 alpha y2 left sqrt alpha 2 y u beta over 2sqrt alpha 2 y right2 qquadqquad 7 等式 left 7right 兩邊各有一個乘起來的完全平方式。兩完全平方式相等。 如果兩平方式相等，則兩平方式的因子也相等，即有下式： u2 alpha y pmleft sqrt alpha 2 y u beta over 2sqrt alpha 2 y right qquadqquad 7 對 u 合併同類項，得 u2 left mp_s sqrt alpha 2 yright u left alpha y pm_s beta over 2sqrt alpha 2 y right 0 qquadqquad 8 注：pm_s 及 mp_s 中的下標 s 用來標記它們是相關的。 方程 left 8right 是關於 u 的二次方程。其解為 upm_ssqrt alpha 2 y pm_t sqrt alpha 2y 4 alpha y pm_s beta over 2sqrt alpha 2 y over 2 化簡，得 upm_ssqrt alpha 2 y pm_t sqrt left 3alpha 2y pm_s 2beta over sqrt alpha 2 y right over 2 這就是降低次數的四次方程的解，因此原來的四次方程的解為 xb over 4a pm_ssqrt alpha 2 y pm_t sqrt left 3alpha 2y pm_s 2beta over sqrt alpha 2 y right over 2 qquadqquad 8 注意：兩個 pm_s 來自等式 left 7right 的同一處，並且它們應有相同的符號，而 pm_t 的符號是無關的。 費拉里方法的概要 給定一個四次方程 a x4 b x3 c x2 d x e 0 其解可用如下方法求出： alpha 3 b2 over 8 a2 c over a beta b3 over 8 a3 bc over 2 a2 d over a gamma 3 b4 over 256 a4 b2c over 16 a3 bd over 4 a2 e over a 若 beta0，求解 u4alpha u2 gamma 0 並代入 xubover 4a，求得根 xbover 4apm_ssqrt alphapm_tsqrt alpha24gammaover 2qquadbeta0 P alpha2 over 12 gamma Q alpha3 over 108 alpha gamma over 3 beta2 over 8 R Qover 2 pm sqrt Q2over 4P3over 27 （平方根任一正負號均可） U sqrt 3R （有三個復根，任一個均可） y displaystyle 5 over 6alpha begin cases U0to sqrt 3QUneq 0to UP over 3Uend casesquad quad quad x b over 4 a pm_s sqrt alpha 2 y pm_t sqrt left 3alpha 2 y pm_s 2betaoversqrt alpha 2y right over 2 兩個 pm _s 必須有相同的符號，pm _t 的符號無關。為得到全部的根，對 pm _s，pm _t 及 及 及 來求 x。二重根將得出兩次，三重根及四重根將得出四次（儘管有 beta 0，是一種特殊的情況）。方程根的次序取決於立方根 U 的選取。（見對 left 8right 相對 left 8right 的注） 此即所求。 還有解四次方程的其他方法，或許更好些。費拉里首先發現這些迷宮般的解之一。他所解的方程是 x4 6 x2 60 x 36 0 ， 它已經化為簡約的形式。它有一對解，可由上面給出的公式得到。 笛卡兒方法 x x_1 x x_2 x x_3 x x_4 0 此四次方程是下列兩個二次方程之積： x x_1 x x_2 0 qquad qquad 9 以及 x x_3 x x_4 0 qquad qquad 10 由於 x_2 x_1star 因此 begin matrix xx_1xx_2x2x_1x_1star xx_1x_1starqquadqquadqquadquad x22mathrm Rex_1 xmathrm Rex_12mathrm Imx_12 end matrix 設 a 2 mathrm Rex_1 b mathrm Rex_1 2 mathrm Imx_1 2 則方程 left 9right 變為 x2 a x b 0 qquad qquad 11 同時有 未知的 變數 w 和 v 使方程 left 10right 變為 x2 w x v 0 qquad qquad 12 方程 left 11right 與 left 12right 相乘，得 x4 a w x3 b w a v x2 w b v a x v b 0 qquad qquad 13 把方程 left 13right 與原來的二次方程比較，可知 a w B over A b w a v C over A w b v a D over A 及 v b E over A 因此 w B over A a B over A 2 mathrm Rex_1 v E over A b E over A left mathrm Rex_1 2 mathrm Imx_1 2 right 方程 left 12right 的解為 x_3 w sqrt w2 4 v over 2 x_4 w sqrt w2 4 v over 2 這兩個解中的一個應是所求的實解。 尤拉的方法 寫出式子 x4 a x3 b x2 c x d 0 ，令 yxa4 把上式改寫為 y4 e y2 f y g 0 再利用係數 efg 造出另一式子 z3e2 z2e24g16 zf2640 求出 z 的三根，並用 pqr 代表它們。 那麼 y 的四個根就是 sqrt psqrt qsqrt r sqrt psqrt qsqrt r sqrt psqrt qsqrt r sqrt psqrt qsqrt r 合併來看 二次方程根的樣式為 jsqrt A 其中 jin h0 h1 h21 三次方程根的樣式為 j_1sqrt 3Aj_2sqrt 3B 其中 jin h0 h1 h2 h31 四次方程根的樣式為 j_1sqrt 4Aj_2sqrt 4Bj_3sqrt 4C 其中 jin h0 h1 h2 h3 h41 延伸這樣式，暗示了五次方程尋根的方向。 其它方法 化為雙二次方程 一個例子可見雙二次方程。 埃瓦里斯特伽羅瓦的理論和因式分解 求根公式 四次方程的求根公式可以透過上述的伽羅瓦理論和因式分解得到。 對於 ax4bx3cx2dxe0ane0，有： x_1frac b4afrac 12sqrt left frac b2aright2frac 2c3afrac sqrt 32c23bd12ae3asqrt 32c39bcd27ad227b2e72acesqrt 2c39bcd27ad227b2e72ace24 c23bd12ae3frac sqrt 32c39bcd27ad227b2e72acesqrt 2c39bcd27ad227b2e72ace24 c23bd12ae33sqrt 32 afrac 12sqrt frac b22a2frac 4c3afrac sqrt 32c23bd12ae3asqrt 32c39bcd27ad227b2e72acesqrt 2c39bcd27ad227b2e72ace24 c23bd12ae3frac sqrt 32c39bcd27ad227b2e72acesqrt 2c39bcd27ad227b2e72ace24 c23bd12ae33sqrt 32 afrac b34abc8a2d4a3sqrt left dfrac b2aright2dfrac 2c3adfrac sqrt 32c23bd12ae3asqrt 32c39bcd27ad227b2e72acesqrt 2c39bcd27ad227b2e72ace24 c23bd12ae3dfrac sqrt 32c39bcd27ad227b2e72acesqrt 2c39bcd27ad227b2e72ace24 c23bd12ae33sqrt 32 a x_2frac b4afrac 12sqrt left frac b2aright2frac 2c3afrac sqrt 32c23bd12ae3asqrt 32c39bcd27ad227b2e72acesqrt 2c39bcd27ad227b2e72ace24 c23bd12ae3frac sqrt 32c39bcd27ad227b2e72acesqrt 2c39bcd27ad227b2e72ace24 c23bd12ae33sqrt 32 afrac 12sqrt frac b22a2frac 4c3afrac sqrt 32c23bd12ae3asqrt 32c39bcd27ad227b2e72acesqrt 2c39bcd27ad227b2e72ace24 c23bd12ae3frac sqrt 32c39bcd27ad227b2e72acesqrt 2c39bcd27ad227b2e72ace24 c23bd12ae33sqrt 32 afrac b34abc8a2d4a3sqrt left dfrac b2aright2dfrac 2c3adfrac sqrt 32c23bd12ae3asqrt 32c39bcd27ad227b2e72acesqrt 2c39bcd27ad227b2e72ace24 c23bd12ae3dfrac sqrt 32c39bcd27ad227b2e72acesqrt 2c39bcd27ad227b2e72ace24 c23bd12ae33sqrt 32 a x_3frac b4afrac 12sqrt left frac b2aright2frac 2c3afrac sqrt 32c23bd12ae3asqrt 32c39bcd27ad227b2e72acesqrt 2c39bcd27ad227b2e72ace24 c23bd12ae3frac sqrt 32c39bcd27ad227b2e72acesqrt 2c39bcd27ad227b2e72ace24 c23bd12ae33sqrt 32 afrac 12sqrt frac b22a2frac 4c3afrac sqrt 32c23bd12ae3asqrt 32c39bcd27ad227b2e72acesqrt 2c39bcd27ad227b2e72ace24 c23bd12ae3frac sqrt 32c39bcd27ad227b2e72acesqrt 2c39bcd27ad227b2e72ace24 c23bd12ae33sqrt 32 afrac b34abc8a2d4a3sqrt left dfrac b2aright2dfrac 2c3adfrac sqrt 32c23bd12ae3asqrt 32c39bcd27ad227b2e72acesqrt 2c39bcd27ad227b2e72ace24 c23bd12ae3dfrac sqrt 32c39bcd27ad227b2e72acesqrt 2c39bcd27ad227b2e72ace24 c23bd12ae33sqrt 32 a x_4frac b4afrac 12sqrt left frac b2aright2frac 2c3afrac sqrt 32c23bd12ae3asqrt 32c39bcd27ad227b2e72acesqrt 2c39bcd27ad227b2e72ace24 c23bd12ae3frac sqrt 32c39bcd27ad227b2e72acesqrt 2c39bcd27ad227b2e72ace24 c23bd12ae33sqrt 32 afrac 12sqrt frac b22a2frac 4c3afrac sqrt 32c23bd12ae3asqrt 32c39bcd27ad227b2e72acesqrt 2c39bcd27ad227b2e72ace24 c23bd12ae3frac sqrt 32c39bcd27ad227b2e72acesqrt 2c39bcd27ad227b2e72ace24 c23bd12ae33sqrt 32 afrac b34abc8a2d4a3sqrt left dfrac b2aright2dfrac 2c3adfrac sqrt 32c23bd12ae3asqrt 32c39bcd27ad227b2e72acesqrt 2c39bcd27ad227b2e72ace24 c23bd12ae3dfrac sqrt 32c39bcd27ad227b2e72acesqrt 2c39bcd27ad227b2e72ace24 c23bd12ae33sqrt 32 a Delta256a3e3192a2bde2128a2c2e2144a2cd2e27a2d4144ab2ce26ab2d2e80abc2de18abcd316ac4e4ac3d227b4e218b3cde4b3d34b2c3eb2c2d2 若 Δ 0，方程有四個不同的實根，或兩個實根和一對複共軛根。 若 Δ 0，方程至少有一個重根。 若 Δ 0，方程有兩對複共軛根。 PlanetMath 指出，這四個形式直接使用，即使是在計算機上也過於複雜。這四個解的推導過程的最後幾步有較為簡單的中間形式可以採用。得到這些解需要用到三次方程的求根公式。 參見 費拉里 卡爾達諾 文獻 Ferraris achievement 四次方程的求根公式 S S Category 多項式