完全數，又稱完美數或完備數，是一些特殊的自然數：它所有的真因子（即除了自身以外的約數）的和，恰好等於它本身，完全數不可能是楔形數、平方數、佩爾數或費波那契數。 例如：第一個完全數是 6，它有約數 1、2、3、6，除去它本身 6 外，其餘 3 個數相加，，恰好等於本身。第二個完全數是 28，它有約數 1、2、4、7、14、28，除去它本身 28 外，其餘 5 個數相加，，也恰好等於本身。後面的數是 496、8128。 十進位的 5 位數到 7 位數、9 位數、11 位數、13 到 18 位數等位數都沒有完全數，它們不是虧數就是盈數。 完全數的發現 古希臘數學家歐幾里得是透過 2n1 times 2n1 的表示式發現前四個完全數的。 當 n2 當 n3 當 n5 當 n7 一個偶數是完美數，當且僅當它具有如下形式：2n12n1，其中 2n1 是素數，此事實的充分性由歐幾里得證明，而必要性則由尤拉所證明。 比如，上面的 6 和 28 對應著 n2 和 3 的情況。我們只要找到了一個形如 2n1 的素數（即梅森素數），也就知道了一個偶完美數。 儘管沒有發現奇完全數，但是當代數學家奧斯丁歐爾證明，若有奇完全數，則其形式必然是 12p1 或 36p9 的形式，其中 p 是素數。 首十個完全數是： 6（1 位） 28（2 位） 496（3 位） 8128（4 位） 33550336（8 位） 8589869056（10 位） 137438691328（12 位） 2305843008139952128（19 位） 2658455991569831744654692615953842176（37 位） 191561942608236107294793378084303638130997321548169216（54 位） 歷史 古代數學家根據當時已知的四個完全數做了很多假設，大部分都是錯誤的。其中的一個假設是：因為 2、3、5、7 恰好是頭 4 個素數，第 5 個完全數應該是第 5 個素數，即當 n11 的時候，可是 211123 times 89 並不是素數。因此 n11 不是完全數。另外兩個錯誤假設是： 頭四個完全數分別是 1、2、3、4 位數，第五個應該是 5 位數。 完全數應該是交替以 6 或 8 結尾。 事實上，第五個完全數 335503362122131 是 8 位數。 對於第二個假設，第五個完全數確實是以 6 結尾，但是 1588 年，義大利數學家彼得羅卡達迪計出第六個完全數 8589869056，仍是以 6 結尾，只能說歐幾裡得的公式給出的完全數以 6 和 8 結尾。卡達迪證明瞭此結論。此外，還計出第七個完全數 137438691328。 對完全數的研究，至少已經有兩千多年的歷史。《幾何原本》中就提出了尋求某種型別完全數的問題。 每一個梅森素數給出一個偶完全數；反之，每個偶完全數給出一個梅森素數，這結果稱為歐幾裡得－尤拉定理。到 2018 年 12 月為止，共發現了 51 個完全數，且都是偶數。最大的已知完全數為 282589932 times 2825899331 共有 49724095 位數。 性質 以下是目前已發現的完全數共有的性質。 偶完全數都是以 6 或 28 結尾 H Novarese Note sur les nombres parfaits Texeira J VIII 1886 1116。 而如果存在奇完全數，它在十二進制中必定以 1 09 39 69 或 99 結尾。 而如果存在奇完全數，它在六進制中必定以 01 13 21 或 41 結尾。 除了 6 以外的偶完全數，把它的各位數字相加，直到變成個位數，那麼這個個位數一定是 1： 28 2810 101 496 49619 1910 101 所有的偶完全數都可以表達為 2 的一些連續正整數次冪之和，從 2p1 到 22p2： 62122 28222324 4962425262728 81282627212 每個偶完全數都可以寫成連續自然數之和： 6123 281234567 4961233031 8128123126127 除 6 以外的偶完全數，還可以表示成連續奇立方數之和（被加的項共有 sqrt 2p1： 281333 49613335373 8128133353153 335503361333531273 每個完全數的所有約數（包括本身）的倒數之和，都等於 2：（這可以用通分證得。因此每個完全數都是歐爾調和數。） frac 11 frac 12 frac 13 frac 16 frac 63216 2 frac 11 frac 12 frac 14 frac 17 frac 114 frac 128 frac 28147421282 它們的二進位制表示式也很有趣：（因為偶完全數形式均如 2n12n1） 6_10110_2 28_1011100_2 496_10111110000_2 8128_101111111000000_2 33550336_101111111111111000000000000_2 8589869056_10111111111111111110000000000000000_2 137438691328_101111111111111111111000000000000000000_2 奇完全數 截至 2024 年 6 月 30 日，用計算機已經證實：在 102200 以下，沒有奇完全數；至今還證明了，如果奇完全數存在，則它至少包含 11 個不同素數（包含一個不少於 7 位數的質因子）但不包含 3，亦不會是立方數。一般猜測：奇完全數是不存在的。完全數的個數是否為無限？至今都不能回答。 美國數學家卡爾帕梅朗斯提出了一個想法說明奇完全數不太可能存在。 奇完全數的部分條件 N 102200 N 是以下形式： Nqalpha p_12e_1 ldots p_k2e_k 其中： q，p1，，pk 是不同的素數（Euler）。 q α 1 mod 4（Euler）。 N 的最小素因子必須小於 frac k12。 e_1e_2e_k 1（mod 3）的關係不能滿足（McDaniel 1970）。 要麼 qα 1062，要麼對於某個 j 有 p_j2e_j 1062。 N 24k12k1 N 必須可以寫成 12n1，468n117 或 324n81（n 為整數）的形式。 N 不能被 105 整除。 N 的最大素因子必須大於 108，並低於 3N13。。 N 的第二大素因子必須大於 104，並低於 2N15。 。 N 的第三大素因子必須大於 100。 N 至少要有 101 個素因子，其中至少 10 個是不同的。 如果 3 不是素因子之一，則至少要有 12 個不同的素因子。 如果對於所有的 i，都有 e_i 2，那麼： N 的最小素因子必須大於 739（Cohen 1987）。 α 1（mod 12）或 α 9 mod 12（McDaniel 1970）。 圖查德定理 這個定理說明若存在奇完全數，其形式必如 12m1 或 36q9。最初的證明在 1953 年由首先證明，1951 年巴爾塔薩範德波爾用非線性偏微分方程得出證明。茱蒂霍爾德納在《美國數學月刊》第 109 卷第 7 期刊證了一個初等的證明。 證明會使用這四個結果：（下面的 nkjmq 均為正整數） 尤拉證明瞭奇完全數的形式必如 4j1。 sigma n 表示 n 的正因數之和。完全數的定義即為 2n sigma n。sigma n 為積性函式 引理（甲）：若 n6k1（k 是正整數），則 n 非完全數。 引理（乙）：若 n4k1（k 是正整數），則 n 非完全數。 引理的證明（甲）： 使用反證法，設 n 為完全數，且 n equiv 1 pmod 6。 n equiv 1 pmod 3。因為 3 的二次剩餘只有 01，故 n 非平方數，因此其正因數個數為偶數。 n 有正因數 d，則可得： d equiv 1 pmod 3 且 nd equiv 1 pmod 3；或 d equiv 1 pmod 3 且 nd equiv 1 pmod 3。 因此，nd d equiv 0 pmod 3。故 sigma n sum_d sqrt n d nd equiv 0 pmod 3。 但 2n equiv 2 1 equiv 1 pmod 3，矛盾。 故 n 的形式只可能為 6k1 或 6k3。 引理的證明（乙）： 使用反證法，設 n 為完全數，且 n equiv 1 pmod 4。 n equiv 1 pmod 4。因為 4 的二次剩餘只有 01，故 n 非平方數，因此其正因數個數為偶數。 n 有正因數 d，則可得： d equiv 1 pmod 4 且 nd equiv 1 pmod 4；或 d equiv 1 pmod 4 且 nd equiv 1 pmod 4。 因此，nd d equiv 0 pmod 4。故 sigma n sum_d sqrt n d nd equiv 0 pmod 4。 但 2n equiv 2 1 equiv 2 pmod 4，矛盾。 故 n 的形式只可能為 4k1。 若 n6k1，根據尤拉的結果，n4j1，綜合兩者，得 n12m1。 若 n6k3，n4j1，得 n12m93 4m3。若 m 非 3 的倍數，3 和 4m3 互質。 因為 sigma n 為積性函式，可得 sigma nsigma 3 sigma 4m3 4 sigma 4m3 equiv 0 pmod 4。 但 2n2 4j1 equiv 2 pmod 4，出現了矛盾。故知 m 是 3 的倍數。代入 m3q，可得 n36q9。 參考 Odd Perfect Numbers Gagan Tara Nanda 註釋 參考資料 參見 高合成數 婚約數 親和數 盈數 虧數 梅森素數 半完全數 佩服數 超完全數 梅森素數與完全數集合 笛卡爾數 外部連結 David Moews Perfect amicable and sociable numbers Perfect numbers History and Theory OddPerfectorg A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers Great Internet Mersenne Prime Search Perfect Numbers math forum at Drexel W Category 趣味數學 Category 數學中未解決的問題 Category 除數函式 Category 梅森素數 Category 完全數