RLC 電路是一種由電阻（R）、電感（L）、電容（C）組成的電路結構。電路的名稱來自於用來表示該電路組成元件的字母，其中元件的順序可能與 RLC 不同。LC 電路是其簡單的例子。RLC 電路也被稱為二階電路，電路中的電壓或者電流是一個二階微分方程的解，而其係數是由電路結構決定。 若電路元件都視為線性元件時，一個 RLC 電路可以被視作電子諧波振盪器。RLC 電路作為振盪器電路有很多應用。無線電接收機和電視機透過振盪器電路調諧以從周圍的無線電波中選擇頻率範圍，這種電路通常被稱為調諧電路。 這種電路的固有頻率一般表示為 f_c 1 over 2 pi sqrt L C ，國際單位為赫茲（Hz）。 RLC 電路常用來作帶通濾波器或帶阻濾波器，其 Q 因子可以由下式得到： Q f_c over B_W 2 pi f_c L over R 1 over sqrt R2 C L RLC 電路的組成結構一般有兩種，分別是串聯型及並聯型。 RLC 串聯電路 在此電路中，三個元件均與電壓以串聯方式連線。其主要的微分方程可將三個元件的本構方程代入基爾霍夫電壓定律（KVL）獲得。由基爾霍夫電壓定律： v_Rv_Lv_Cv t 其中 textstyle v_R v_L v_C 分別為 R、L、C 兩端的電壓，textstyle v t 為隨時間變化的電源的電壓。將本構方程代入得到： RI t L dI over dt 1 over C int_inftytaut I tau dtau v t 在電源電壓為常數的情況下，對上式求導，並且除以 L，得到以下二階微分方程： d2 I t over dt2 R over L dI t over dt 1 over LC I t 0 此方程可以寫成更常用的形式： d2 I t over dt2 2 alpha dI t over dt omega_02 I t 0 alpha 稱為 衰減量，用於衡量當移除外部輸入後，此電路的瞬態響應衰減的速率。 omega_0 為角共振頻率。Nilsson and Riedel p308 此二係數由下式給出：Agarwal and Lang p641 alpha R over 2L ， omega_0 1 over sqrt LC 阻尼係數 zeta 是另一個常用的引數，定義為 alpha 與 omega_0 的比值： zeta frac alphaomega_0 阻尼係數也可以由 R、L、C 求得： zeta R over 2 sqrt Cover L 瞬態響應 根據不同的阻尼係數 zeta 的值，該微分方程的解法有三種不同的情況，分別為：欠阻尼（ scriptstyle zeta 1 ），過阻尼（ scriptstyle zeta 1 ），以及臨界阻尼（ scriptstyle zeta 1 ）。該微分方程的特徵方程為： s2 2 alpha s omega_02 0 該方程的根為： s_1 alpha sqrt alpha2 omega_02 s_2 alpha sqrt alpha2 omega_02 該微分方程的通解為兩根指數函式的線性疊加： i t A_1 es_1 t A_2 es_2 t 係數 A1 以及 A2 由具體問題的邊界條件給出。 過阻尼響應 過阻尼響應（ scriptstyle zeta 1 ）為：Irwin p532 i t A_1 eomega_0 zeta sqrt zeta2 1 t A_2 eomega_0 zeta sqrt zeta2 1 t 過阻尼響應是一個瞬態電流無振盪的衰減。Agarwal and Lang p648 欠阻尼響應 欠阻尼響應（ scriptstyle zeta 1 ）為：Nilsson and Riedel p295 i t B_1 ealpha t cos omega_d t B_2 ealpha t sin omega_d t 透過三角恆等式，這兩個三角函式可用一個有相位的正弦函式表達：Humar pp223224 i t B_3 ealpha t sin omega_d t varphi 欠阻尼響應是一個頻率為 omega_d 的衰減的振盪。振盪衰減的速率為 alpha。指數里的 alpha 描述了振盪的包絡函式。B1 以及 B2 （或第二種形式中的 B3 以及相位差 varphi ）為任意常數，由邊界條件確定。頻率 omega_d 由下式給出： omega_d sqrt omega_02 alpha2 omega_0 sqrt 1 zeta2 這就是所謂的阻尼共振頻率或阻尼固有頻率。它是電路在無外部源驅動時自然振動的頻率。諧振頻率 omega_0 是電路在有外部源驅動時的諧振頻率，為了便於區分常稱作無阻尼諧振頻率。Agarwal and Lang p 692 臨界阻尼響應 臨界阻尼響應（ scriptstyle zeta 1 ）為：Nilsson and Riedel p303 i t D_1 t ealpha t D_2 ealpha t 拉普拉斯域 可以利用拉普拉斯轉換分析 RLC 串聯電路的交流暫態及穩態行為本章節是 Lokenath Debnath Dambaru Bhatta Integral transforms and their applications 2nd ed Chapman HallCRC 2007 ISBN 1584885750198202 頁的 Example 4213 為基礎，不過為了和本文用的符號一致，有修改其中部份標示。若上述電壓源產生的波形，在拉普拉斯轉換後為 V s（其中 s 為複頻率 s sigma i omega ），則在拉普拉斯域中應用基爾霍夫電壓定律： V s I s left R Ls frac 1Cs right 其中 I s 為拉普拉斯轉換後的電流，求解 I s： I s frac 1R Ls frac 1Cs V s 在重新整理後，可以得到下式： I s frac sL left s2 R over L s frac 1LC right V s 拉普拉斯導納 求解拉普拉斯導納 Y s： Y s I s over V s frac sL left s2 R over L s frac 1LC right 可以利用以上章節定義的引數 α 及 ωo 來簡化上式，可得： Y s I s over V s frac sL left s2 2 alpha s omega_02 right 極點和零點 Y s 的零點是使得 Y s 0 的 s： s 0 及 s rightarrow infty Y s 的極點是使得 Y srightarrow infty 的 s，求解二次方程，可得： s alpha pm sqrt alpha2 omega_02 Y s 的極點即為前文中提到微分方程之特徵方程的根 s_1 及 s_2。 正弦穩態 正弦穩態可透過令 s j omega 的相量形式來表示，其中 j 為虛數單位。 將此代入上面方程的幅值中： displaystyle Y sj omega frac 1sqrt R2 left omega L frac 1omega C right 2 以 ω 為變數的電流的函式為 displaystyle I j omega Y j omega V j omega 有一個峰值 I j omega。在此特殊情況下，這個峰值中的 ω 等於無阻尼固有諧振頻率：Kumar and Kumar Electric Circuits Networks p 464 omega_0 frac 1sqrt L C RLC 並聯電路 RLC 並聯電路的特性可以利用電路的，將 RLC 並聯電路視為 RLC 串聯電路的來處理，就可以用類似 RLC 串聯電路的分析方式來分析 RLC 並聯電路。 RLC 並聯電路的衰減量 alpha 可以用下式求得 Nilsson and Riedel p286： alpha 1 over 2RC 而其阻尼係數為： zeta 1 over 2Rsqrt Lover C 若不考慮 12 的係數，RLC 並聯電路的阻尼係數恰好是 RLC 串聯電路阻尼係數的倒數。 頻域 將並聯各元件的導納相加，即為此電路的導納： 1over Z 1over Z_L1over Z_C1over Z_R 1over jomega Ljomega C1over R 電容、電阻及電感並聯後，在共振頻率的阻抗為最大值，和電容、電阻及電感串聯的情形恰好相反，RLC 並聯電路是抗共振電路（antiresonator）。 右圖中可以看出若用定電壓驅動時，電流的頻率響應在共振頻率 omega_01oversqrt LC 處有最小值。若用定電流驅動，電壓的頻率響應在共振頻率處有最大值，和 RLC 串聯電路中，電流的頻率響應圖形類似。 其他構造 如圖 7 所示，電阻與電感串聯的並聯 LC 電路是有必要考慮到線圈卷線的電阻時經常遇到的一種拓撲結構。並聯 LC 電路經常用於帶通濾波中，而 Q 因子主要由此電阻決定。電路的諧振頻率為 Kaiser pp 526527 omega_0 sqrt frac 1LC left frac RL right 2 這是電路的諧振頻率，定義為導納虛部為零時的頻率。在特徵方程的一般形式（此電路與之前的相同）中出現的頻率 s2 2 alpha s omega_02 0 不是相同的頻率。在這種情況下是固有的無阻尼諧振頻率 Agarwal and Lang p 805 omega_0 sqrt frac 1LC 阻抗幅值最大時的頻率 omega_m 為， omega_m omega_0sqrt frac 1Q2_Lsqrt 1frac 2 Q2_L 其中 Q_Lfrac omega_0L R 是線圈的品質因數。這可以下式很好地近似 omega_m approx omega_0 sqrt 1frac 1 2Q4_L 此外，精確的最大阻抗幅值由下式給出， Z_maxRQ2_L sqrt frac 1 2Q_Lsqrt Q2_L22Q2_L1 Q_L 值比 1 大時，可以用下式很好地近似 Z_max approx RQ2_L 同樣，電阻與電容並聯的串聯 LC 電路可用於有耗介質的電容器。這種構造如圖 8 所示。在這種情況下諧振頻率（阻抗的虛部為零時的頻率），由下式給出，Kaiser pp 525526 omega_0 sqrt frac 1LCfrac 1RC2 而阻抗幅值最大時的頻率 omega_m 為 omega_m omega_0sqrt frac 1Q2_Csqrt 1frac 2 Q2_C 其中 Q_Comega_0 RC。 參見 RC 電路 RL 電路 LC 電路 參考文獻 引用 來源 Anant Agarwal Jeffrey H Lang Foundations of analog and digital electronic circuits Morgan Kaufmann 2005 ISBN 1558607358 J L Humar Dynamics of structures Taylor Francis 2002 ISBN 9058092453 J David Irwin Basic engineering circuit analysis Wiley 2006 ISBN 7302130213 Kenneth L Kaiser Electromagnetic compatibility handbook CRC Press 2004 ISBN 0849320879 James William Nilsson Susan A Riedel Electric circuits Prentice Hall 2008 ISBN 0131989251 外部連結 串聯 RLC 交流電路 Java 模擬 Category 類比電路 Category 電路分析