《九章算術》九卷，是現存最早的中國古代數學著作之一，《算經十書》中最重要的一種。其作者不可考。後整合書約於公元前 100 年，匯集了周朝以來的古代數學知識，由西漢張蒼彙整。《九章算術》是人類科學史上應用數學的「算經之首」，也是中國古代演算法的扛鼎之作，更是一部與《幾何原本》並列為世界兩大數學體系的代表作。全書總共九章，分為二百四十六題二百零二術數學題，並提供其解法，這些演算法要比歐洲同類演算法早 1500 多年，對世界數學發展產生了重要影響。 歷史 根據研究，西漢的張蒼、耿壽昌曾經做過增補和整理，其時大體已成定本。其基本內容在西漢後期已經基本定型。九章算術將書中的所有數學問題分為九大類，就是 九章。 1984 年，在湖北出土了《算數書》書簡。據考證，它比《九章算術》要早一個半世紀以上，書中有些內容和《九章算術》非常相似，一些內容的文句也基本相同。有人推測兩書具有某些繼承關係，但也有不同的看法認為《九章算術》沒有直接受到《算數書》影響。 由於《九章算術》中只是列出了例子及一般的演算法，卻很少有任何解釋和說明，所以有很多人曾為《九章算術》作注，提出了簡括的證明，證明瞭一些演算法的正確性。較為著名的有在三國時期魏元帝景元四年（263 年），劉徽為《九章》作注，加上自己的心得體會，使其便於被瞭解，而可以流傳下來。唐代李淳風又重新做注（656 年），《算經十書》之一，也是國子監算學館的教材和明算科的考試專案。 體例 《九章算術》共收有 246 個數學問題，分為九大類，在一個或幾個問題之後，列出這個問題的解法。 方田章：主要是田畝面積的計算和分數的計算，是世界上最早對分數進行系統敘述的著作。 粟米章：主要是糧食交易的計算方法，其中涉及許多比例問題。 衰分章：主要內容為分配比例的演算法。 少廣章：主要講開平方和開立方的方法。 商功章：主要是土石方和用工量等工程數學問題，以體積的計算為主。 均輸章：計算稅收等更加複雜的比例問題。 盈不足章：雙設法的問題。HPM 通訊第七卷第一期 ，臺師大數學系碩士班研究生 張復凱 方程 章：主要是聯立一次方程組的解法和正負數的加減法，在世界數學史上是第一次出現。 勾股章：勾股 定理，當時社會生活應用，即 300 年後出現之勾股定理其應用。 內容 實數系統 《九章算術》對自然數即正整數及其運算沒有給予論述，但卻加以廣泛應用，以自然數的基礎上編寫。雖然不是論述分數的專書，但是對於分數的意義、性質、四則運算論述完備。例如：合分術（加法）、減分術（減法）、乘分術（乘法）、經分術（除法）、課分術（比較大小）、約分術（簡化分數）與平分術（平均數）。 《九章算術》出現負數概念，方程章為了配合方程術的演算法，給出正負數的加、減法則。減法為「同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之」。加法為「異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之」。其中「除」是減，「益」是加，「無入」是指沒有對方，不過乘除法並未記載。 《九章算術》對自然數、分數、正負數以及一些特殊無理數給予一定的論述，基本上具備實數系統的雛形。 比例與盈虧演算法 粟米章所述今有術，即是四項比例演算法，按術文「以所有數乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一」。 今有術在《九章算術》應用非常廣泛，為一種解題的基本演算法。另一種常用的演算法是衰分章的衰分術，為配分比例演算法。其術文為：「各置列衰，副併為法，以所分乘未併者各自為實，實如法而一」。 《九章算術》以列衰的倒數為列衰，稱為反衰術。反衰術就是衰分術與反比例相結合的算分。而衰分術與反衰術相結合的演算法，就是均輸章的均輸術。《九章算術》不但有正比例演算法、而且還有反比例演算法、複比例演算法、連比例演算法以及配分比例演算法。這些演算法都是以今有術為基礎，發展而匯集起來的各種演算法。 盈不足術是中國古代一種解算術難題的演算法。一般算術應用題，都有確切答案。盈不足術為了推算答案，預先設立一個數字作為答案，依題目核算，若結果合問題，所設之數就是答案；若不合問，非盈即不足；透過兩次假設，即可利用盈不足術求出答案。這類問題共有五種，即一盈一不足，兩盈、兩不足、一盈一適足、一不足一適足。《九章算術》則匯集這五種問題，並給出演算法。 盈不足章除了擁有算術應用問題外，還包括一些初等超越方程問題，用這種模式演算法解出前一類問題得到確切解，用以解後一類問題則得近似解。 求積與勾股 《九章算術》論述的幾何圖形，多為直線型和圓型的圖形，根據算田畝的需要，《九章算術》論述方田、圭田、邪田、箕田、圓田、弧田、環田及宛圓的面積演算法。另外由於土木建築的需要，《九章算術》還有論述直線型立體和圓型立體圖形的體積演算法，這些體積演算法的編排，由簡單到複雜，形成獨特的理論體系。 勾股計算，《九章算術》分為四類問題。有勾股互求、勾股整數、勾股兩容、勾股相似。 勾股互求，即是已知勾股的一般線段，推求其他線段。勾股整數，即是《九章算術》給出推求勾、股、弦，都是整數的演算法。勾股兩容，為推求勾股形內接正方形及內切圓的演算法。勾股相似，為利用相似勾股形性質，進行簡單測遠、測高的演算法。 《九章算術》對幾何問題的處理，分為三部分，有體積演算法、面積演算法、線段演算法，分別隸屬於商功、方田、勾股三章。 開方與方程 《九章算術》列出的平方術、開立方術以及線性方程組的解法，可以看作中國古代代數學的主要內容。《九章算術》記載的這些演算法非常詳盡，經由這些論述，可以瞭解中國古代代數學發展的成果。 開平方術、開立方術，不但可以解出二項二次方程、二項三次方程，而且可以解出一般的二次數值方程和三次數值方程。它是中國古代解出高次數值方程的基礎，在數學的發展也有重要地位。 方程章所論「方程」，地位相當於今天線性方程組。所論「方程術」，為所謂「直除法」。「直除」是連續相減的意思或累減的意思，「直除法」為連續相減消元法，在理論上、演算法上與今天加減消元完全一樣。 在方程章所列十八題中，有的相當於二元一次方程組，有的相當於三元一次方程組，也有的相當於五元一次方程組。其中第十三題為：「今有五家共井，甲二綆不足，如乙一綆；乙三綆不足，如丙一綆；丙四綆不足，如丁一綆；丁五綆不足，如戊一綆；戊六綆不足，如甲一綆。如各得所不足一綆，皆逮。問井深，綆長各幾何」。所問是六個未知數之值，依題意只能列出五個一次方程，可見這是世界上最早的一次不定方程組。 影響 《九章算術》總結了自先秦以來的中國古代數學，它既包含了以前已經解決了的數學問題，又有漢朝時新發現的數學成就。一般認為，它在數學史上，標誌著中國古代數學體系的形成，是中國古代數學體系的初期代表作。 《九章算術》問世之前的中國先秦典籍中，記錄了不少數學知識，但是卻沒有《九章算術》的系統論述，尤其是由易到難、由淺入深、從簡單到複雜的編排體例，從而形成中國傳統數學的理論體系。因而後世的中國數學家，都是從此開始學習和研究，唐、宋時，為國家明令規定的教科書，北宋時由政府刊刻，又是世界上最早的印刷本數學書。 《九章算術》中有許多數學問題都是世界上記載最早的。例如，關於比例演算法的問題，它和後來在 16 世紀西歐出現的三分律的演算法一樣。關於雙設法的問題，在阿拉伯曾稱為契丹演算法，13 世紀以後的歐洲數學著作中也有如此稱呼的，這也是中國古代數學知識向西方傳播的一個證據。 《九章算術》對中國古代的數學發展有很大影響，這種影響一直持續到了清朝中葉。《九章算術》的敘述方式以歸納為主，先給出若干例題，再給出解法，不同於西方以演繹為主的敘述方式，中國後來的數學著作也都是採用敘述方式為主。歷代數學家有不少人曾經註釋過這本書，其中以劉徽和李淳風的註釋最有名。 《九章算術》隋、唐時，流傳到了日本和朝鮮，對其古代的數學發展也產生了很大的影響，之後更遠傳到印度、阿拉伯和歐洲，現已譯成日、俄、英、法和德等多種文字版本。 譯本 俄譯本： 德譯本：Chiu Chang Suan Shu Neun Bucher Arithmetischer Technik Ubersetzt von KVogel FVerlag 1968 英譯本：The Nine Chapters on the Mathematical Art Companion and Commentary Translated and edited by Shen Kangshen（沈康身） John Crossley and Anthony Lun ISBN 9780198539360 Oxford University Press 法譯本：Chemla Karine and Shuchun Guo Les neuf chapitres le classique mathmatique de la Chine ancienne et ses commentaires 2004 Paris Dunod 日譯本： 參考文獻 引用 來源 郭書春 譯註 《九章算術》 上海古籍出版社 2009 ISBN 9787532554331 外部連結 從《九章算術》看古代數學與儒學的關係 《九章算術》原文 Category 算經十書 Category 子部術數類 Category 漢朝典籍 Category 漢朝科技