圖論，是組合數學分支，和其他數學分支如群論、矩陣論、拓撲學有著密切關係。 圖是圖論的主要研究物件。圖是由若干給定的頂點及連線兩頂點的邊所構成的圖形，這種圖形通常用來描述某些事物之間的某種特定關係。頂點用於代表事物，連線兩頂點的邊則用於表示兩個事物間具有這種關係。 圖論起源於著名的柯尼斯堡七橋問題。該問題於 1736 年被尤拉解決，因此普遍認為尤拉是圖論的創始人。 圖論的研究物件相當於一維的單純複形。 歷史 一般認為，尤拉於 1736 年出版的關於柯尼斯堡七橋問題的論文是圖論領域的第一篇文章。此問題被推廣為著名的尤拉路問題，亦即一筆畫問題。而此論文與範德蒙的一篇關於騎士周遊問題的文章，則是繼承了萊布尼茨提出的 位置分析 的方法。尤拉提出的關於凸多邊形頂點數、稜數及面數之間的關係的尤拉公式與圖論有密切聯絡，此後又被柯西等人進一步研究推廣，成了拓撲學的起源。1857 年，哈密頓發明了 （icosian game），與此相關的則是另一個廣為人知的圖論問題 哈密頓路徑問題。 西爾維斯特於 1878 年發表在《自然》上的一篇論文中首次提出 圖 這一名詞。 尤拉的論文發表後一個多世紀，凱萊研究了在微分學中出現的一種數學分析的特殊形式，而這最終將他引向對一種特殊的被稱為 樹 的圖的研究。由於有機化學中有許多樹狀結構的分子，這些研究對於理論化學有著重要意義，尤其是其中關於具有某一特定性質的圖的計數問題。除凱萊的成果外，波利亞也於 1935 至 1937 年發表了一些成果，1959 年，做了一些推廣。這些研究成果奠定了圖的計數理論的基礎。凱萊將他關於樹的研究成果與當時有關化合物的研究聯絡起來，而圖論中有一部分術語正是來源於這種將數學與化學相聯絡的做法。 四色問題可謂是圖論研究史上最著名也是產生成果最多的問題之一：是否任何一幅畫在平面上的地圖都可以用四種顏色染色，使得任意兩個相鄰的區域不同色？ 這一問題由法蘭西斯古德里於 1852 年提出，而最早的文字記載則出現在德摩根於 1852 年寫給哈密頓的一封信上。包括凱萊、等在內的許多人都曾給出過錯誤的證明。（Peter Guthrie Tait）、希伍德、拉姆齊和（Hugo Hadwiger）對此問題的研究與推廣引發了對嵌入具有不同虧格的曲面的圖的著色問題的研究。一百多年後，四色問題仍未解決。1969 年，發表了一個用計算機解決此問題的方法。1976 年，凱尼斯阿佩爾和沃夫岡哈肯藉助計算機給出了一個證明，此方法按某些性質將所有地圖分為 1936 類並利用計算機一一驗證了它們可以用四種顏色染色。但此方法由於過於複雜，在當時未被廣泛接受。 1860 年之 1930 年間，若當、庫拉托夫斯基和惠特尼從之前獨立於圖論發展的拓撲學中吸取大量內容進入圖論，而現代代數方法的使用更讓圖論與拓撲走上共同發展的道路。其中應用代數較早者如物理學家基爾霍夫於 1845 年發表的基爾霍夫電路定律。 圖論中機率方法的引入，尤其是埃爾德什和關於隨機圖連通的漸進機率的研究使得圖論產生了新的分支隨機圖論。 定義 圖論中有許多定義，以下是一些與之相關最基本的定義。 無向圖 圖論中，圖是有序對 GVE，其中 V 是點集；Esubseteqleftleftxyrightxyin V2xneq yright 是邊集，由所有無序頂點對構成（換句話說，邊連線了頂點對）。對於一個邊 leftxyright，頂點 xy 被稱作是邊的端點，邊則被稱為連線了此兩個點。 為了避免歧異，上述的定義被更精準地稱作無向簡單圖。 事實上可以推廣為更一般的定義：圖是有序三元組 GVEphi，其中 V 是點集；E 是邊集（此時 E 不再如前面限定是該集合的子集）；而 phiEtoleftleftxyrightxyin V2right 將每個邊對映到一個無序頂點對（於是邊連線了頂點對）。此時的定義就允許自環、重邊的出現，其中自環是兩端點相同的邊，重邊是兩個或多個連線相同端點的邊。 為了避免歧異，上述的定義被更精準地稱作無向圖。 VE 的元素個數通常都是有限的；並且如果個數是無限的，有許多著名的性質都發生變化，甚至不再正確。此外，V 通常不被接受是空集合，而 E 則被接受為空集合。以下再給出一些圖論中的定義：圖的階是其頂點個數 V，圖的邊數是 E，頂點的度所有邊的端點中此頂點出現的次數（自環會被算兩次）。 圖論問題 圖的計數 子圖相關問題 子圖同構問題：給定兩個圖 G 和 H ，問 G 中是否存在一個子圖與 H 同構。這是一個 NP 完全問題。 哈密頓迴路問題可視為一個子圖同構問題，即給定一個 n 個頂點的圖，問是否存在一個子圖與具有 n 個頂點的圈同構。 一類相關的常見問題要求在給定圖中尋找符合某些條件的最大子圖，其中有很多是 NP 完全的，如： 分團問題：在給定圖中尋找最大的團（NP 完全）。 類似地，有些問題要求尋找符合某些條件的最大匯出子圖，如： 最大獨立集問題：在給定圖中尋找最大的無邊的匯出子圖，亦即獨立集（NP 完全）。 平面圖判定：判定給定的圖是否是平面圖（此問題與子圖的關係，參見庫拉托夫斯基定理） 一個尚未解決的與子圖相關的猜想，重構猜想：一個 n 階圖是否能夠由其所有 n1 階匯出子圖唯一確定？ 染色 點色數 邊色數 色多項式 許多問題與將圖以特定方式染色有關，如： 四色問題 完美圖問題 列表染色問題，列表邊染色問題 曲面染色 路徑問題 柯尼斯堡七橋問題 哈密頓迴路問題 最小生成樹問題 中國郵路問題 最短路問題 斯坦納樹 旅行商問題（NP 困難） 網路流與匹配 最大流問題，最小割問題，最大流最小割定理 最小費用最大流問題 二分圖及任意圖上的最大匹配 帶權二分圖的最大權匹配 覆蓋問題 最大團 最大獨立集 最小覆蓋集 最小支配集 重要的演算法 戴克斯特拉演算法 DA 克魯斯卡爾演算法 KA 普里姆演算法 PA 拓撲排序演演算法 TSA 關鍵路徑演演算法 CPA 廣度優先搜尋演算法 BFS 深度優先搜尋演算法 DFS 參見 組合數學 三間小屋問題 註釋 參考文獻 English edition Wiley 1961 Methuen Co New York 1962 Russian Moscow 1961 Spanish Mexico 1962 Roumanian Bucharest 1969 Chinese Shanghai 1963 Second printing of the 1962 first English edition Dover New York 2001 外部連結 線上圖書資料 Graph Theory with Applications 1976 by Bondy and Murty Phase Transitions in Combinatorial Optimization Problems Section 3 Introduction to Graphs 2006 by Hartmann and Weigt Digraphs Theory Algorithms and Applications 2007 by Jorgen BangJensen and Gregory Gutin Graph Theory by Reinhard Diestel 其他相關資料 Graph theory tutorial A searchable database of small connected graphs Image gallery graphs Concise annotated list of graph theory resources for researchers rocs a graph theory IDE Graph Theory Software Category 離散數學 Category 圖論 分類：數學分支