度散度 MOL 陳至立。辭海 7 版。上海：上海辭書出版社，2020 2024是向量分析中的一個向量運算元，將向量空間上的一個向量場（向量場）對應到一個標量場上。散度描述的是向量場裡一個點是匯聚點還是發源點，形象地說，就是這包含這一點的一個微小體元中的向量是 向外 居多還是 向內 居多。 舉例來說，考慮空間中的靜電場，其空間裡的電場強度是一個向量場。正電荷附近，電場線 向外 發射，所以正電荷處的散度為正值，電荷越大，散度越大。負電荷附近，電場線 向內，所以負電荷處的散度為負值，電荷越大，散度越小。向量值函式的散度為一個純量，而二階張量的散度是向量值函式。 定義 定義向量場的散度，首先要引入通量的概念。給定一個三維空間中的向量場 mathbf A 以及一個簡單有向曲面 Sigma ，則向量場 mathbf A 透過曲面 Sigma 的通量就是曲面每一點 x 上的場向量 mathbf Ax 在曲面法向方向上的分量的積分 Phi_mathbf ASigma iintlimits_Sigmamathbf Acdotmathbf nmathrm d S 其中 mathrm d S 是積分的面積元，n 是 Σ 在點 xyz 處的單位法向量。如果曲面是封閉的，例如球面，那麼通常約定法向量是從裡朝外的，所以這時候的通量是描述曲面上的場向量朝外的程度。 通量描述一固定區域（也就是 Sigma ）上向量場的流通傾向，散度在某點的值則是這個性質的在這點的區域性描述，也就是說，從散度在一點的值，我們可以看出向量場在這點附近到底傾向發散還是收斂。要算某一點 x 的散度，先求包含這一點的某一個封閉曲面 Sigma 的通量 Phi_mathbf ASigma 除以封閉曲面 Sigma 圍起來的微小體元 delta V 的體積 （這個體積用 delta V 表示） 得到的比值，向量場 mathbf A 在點 x 的散度即是這個比值在體積微元 delta V 趨向於點 x 時的極限。用數學公式表示即： operatorname divmathbf Ax lim_delta V rightarrow x oint_Sigma mathbf Acdotmathbf n over delta V mathrm d S lim_delta V rightarrow xfrac Phi_mathbf ASigmadelta V 如果用 Nabla 運算元 nabla 表示的話，向量場 mathbf A 的散度記作：operatorname divmathbf A nabla cdot mathbf A 物理意義 從定義中可以看出，散度是向量場的一種強度性質，就如同密度、濃度、溫度一樣，它對應的廣延性質是一個封閉區域表面的通量，所以說散度是通量的體密度。下面從散度的極限表示式來看它的物理意義。 設 mathbf A 為場域 V 中的一點，現作包圍 mathbf A 點的任一閉合曲面 mathbf S ， Delta V 是 S 面所圍的區域。那麼：oint_S mathbf A cdot mathrm dmathbf Siiintlimits_Delta Vmathrm divmathbf Amathrm d V1 利用中值定理得 iiintlimits_Delta Vmathrm divmathbf Amathrm d Vmathrm mathrm divmathbf A mathrm _xcdot Delta V 2 式中 x 為 Delta V 中的某一點，Delta V 為 Delta V 的體積。帶入 1 中後得 mathrm mathrm divmathbf A mathrm _x frac 1Delta Voint_S mathbf A cdot dmathbf S 令 Delta V 向點 P 收縮，則 x 點就趨向於 P 點，所以在 P 點的散度可由下列極限表示 mathrm divmathbf A_P lim_Delta V rightarrow Pfrac 1Delta V oint_S mathbf Acdot mathrm dmathbf S 若在上式中令 DeltaPhioint_S mathbf Acdot dmathbf S 那麼 mathrm divmathbf A_P lim_Delta V rightarrow Pfrac 1Delta V oint_S mathbf Acdot mathrm dmathbf S lim_Delta V rightarrow Pfrac DeltaPhiDelta Vfrac mathrm dPhimathrm d V 由此可見，散度是通量 Phi 對曲面所圍區域體積的變化率，也可看成通量在 V 中的分佈密度。所以 mathrm divmathbf A 也稱為通量密度。 物理上，散度的意義是場的有源性。某一點或某個區域的散度大於零，表示向量場在這一點或這一區域有新的通量產生，小於零則表示向量場在這一點或區域有通量湮滅。這樣的點或區域分別稱為向量場的正源（發散源）和負源（洞）。舉例來說，假設將太空中各個點的熱輻射強度向量看做一個向量場，那麼某個熱輻射源（比如太陽）周邊的熱輻射強度向量都指向外，說明太陽是不斷產生新的熱輻射的源頭，其散度大於零。 散度等於零的區域稱為無源場或管形場。流體力學中，散度為零的流體稱為不可壓縮流體，也就是說此流體中不會有一部分憑空消失或突然產生，每個微小時間間隔中流入一個微小體元的流體總量都等於在此時間間隔內流出此體元的流體總量。 分量表示 在不同的座標系下，向量場的散度有不同的表達方式。 直角座標系 在三維直角座標系 xyz 中，設向量場 mathbf A 的表示為： mathbf AxyzA_x xyzmathbf iA_y xyzmathbf jA_z xyzmathbf k， 其中的 mathbf i mathbf j mathbf k 分別是 x 軸、y 軸、z 軸方向上的單位向量，場的分量 A_x A_y A_z 具有一階連續偏導數，那麼向量場 mathbf A 的散度就是： operatorname div mathbf Anablacdotmathbf Afrac partial A_xpartial xfrac partial A_ypartial yfrac partial A_zpartial z 圓柱座標系 圓柱座標系中，假設物體的位置為 rho varphi z，定義其徑向單位向量、橫向單位向量和縱向單位向量為 boldsymbol e_rho boldsymbol e_varphi boldsymbol e_z，那麼向量場 mathbf A 可以表示成： mathbf A A_rho rho varphi z boldsymbol e_rho A_varphirho varphi zboldsymbol e_varphi A_z rho varphi z boldsymbol e_z， 向量場 A 的散度就是： operatorname div mathbf A nablacdotmathbf A frac1rho frac partialpartial rho rho A_rho frac1rho frac partial A_varphipartialvarphi frac partial A_zpartial z 。 球座標系 球座標系中，假設物體的位置用球座標表示為 r theta varphi，定義它的基矢：boldsymbol e_r boldsymbol e_theta boldsymbol e_varphi ，則向量場 A 可以表示成： mathbf A A_r r theta varphi boldsymbol e_r A_theta r theta varphi boldsymbol e_theta A_varphi r theta varphi boldsymbol e_varphi 向量場 A 的散度就是： operatorname div mathbf A nablacdotmathbf A frac1 r2 frac partialpartial rr2 A_r frac1 rsintheta frac partialpartial theta sintheta A_theta frac1 rsintheta frac partial A_varphipartial varphi 性質 以下的性質都可以從常見的求導法則推出。最重要的是，散度是一個線性運算元，也就是說： operatorname divamathbf F bmathbf G aoperatorname divmathbf F boperatorname divmathbf G 其中 F 和 G 是向量場，a 和 b 是實數。 設 varphi 是標量函式，F 是向量場，則它們的乘積的散度為： operatorname divvarphi mathbf F operatorname gradvarphi cdot mathbf F varphi operatorname divmathbf F 或 nablacdot varphi mathbf F nablavarphi cdot mathbf F varphi nablacdotmathbf F 設有兩個向量場 F 和 G，則它們的向量積的散度為： operatorname divmathbf Ftimesmathbf G operatorname curlmathbf Fcdotmathbf G mathbf F cdot operatorname curlmathbf G 或 nablacdot mathbf Ftimesmathbf G nablatimesmathbf Fcdotmathbf G mathbf Fcdot nablatimesmathbf G 其中 operatorname curl 是旋度。 對一個標量場求梯度後再求散度，等於拉普拉斯運算元作用在其上： operatorname div operatorname grad f nabla cdot nabla f Delta f 在 mathbb Rn 的向量分析中 nabla cdot nabla f 也寫作 nabla2 f。 高斯散度定理 既然向量場某一處的散度是向量場在該處附近通量的體密度，那麼對某一個體積內的散度進行積分，就應該得到這個體積內的總通量。事實上可以證明這個推論是正確的，稱為高斯散度定理。高斯定理說明，如果在體積 V 內的向量場 A 擁有散度，那麼散度的體積分等於向量場在 V 的表面 S 的面積分： iiintlimits_Vmathrm divmathbf Amathrm d vintint_Sbigcircmathbf A cdot mathbf nmathrm d S 歷史 作為向量分析的基礎概念，散度同樣源自對四元數上的微積分研究。哈密頓在介紹四元數的運算時，將一個四元數 q ABboldsymbol iCboldsymbol jDboldsymbol k 中的 A 稱為 標量部分（scalar part），將 Bboldsymbol iCboldsymbol jDboldsymbol k 稱為 向量部分（vector part）。他引入了四元數的偏微分運算元 nabla boldsymbol ifrac mathrm dmathrm d x boldsymbol j frac mathrm dmathrm d y boldsymbol k frac mathrm dmathrm d z （即 nabla 運算元）後，計算 nabla 對一個四元數之向量部分 sigma Bboldsymbol iCboldsymbol jDboldsymbol k 的效果： nabla sigma boldsymbol ifrac mathrm dmathrm d x boldsymbol j frac mathrm dmathrm d y boldsymbol k frac mathrm dmathrm d zBboldsymbol iCboldsymbol jDboldsymbol k left frac mathrm d Bmathrm d x frac mathrm d Cmathrm d yfrac mathrm d Dmathrm d z right left left frac mathrm d Dmathrm d y frac mathrm d Cmathrm d zrightboldsymbol ileft frac mathrm d Bmathrm d z frac mathrm d Dmathrm d xrightboldsymbol jleft frac mathrm d Cmathrm d x frac mathrm d Bmathrm d yrightboldsymbol kright 麥克斯韋在 1873 年的論文中將其中的 標量部分： left frac mathrm d Bmathrm d x frac mathrm d Cmathrm d y frac mathrm d Dmathrm d zright 稱為 聚集度、「收斂度」（convergence），而將 向量部分： left frac mathrm d Dmathrm d y frac mathrm d Cmathrm d zrightboldsymbol ileft frac mathrm d Bmathrm d z frac mathrm d Dmathrm d xrightboldsymbol jleft frac mathrm d Cmathrm d x frac mathrm d Bmathrm d yrightboldsymbol k 稱為 旋度（curl）或 變度（version）。亥維賽在 1883 年發表的論文：《電學與磁學中的若干關係》（Some Electrostatic and Magnetic Relations）中討論了靜電場中電場力的聚集度。他計算出在電荷體密度為 rho 的一點上，有：4pirho operatorname convR frac mathrm d R_xmathrm d x frac mathrm d R_ymathrm d yfrac mathrm d R_zmathrm d z 其中 R 是電場力。他將這個關係解釋為電荷的存在是電場力匯聚的相反。如果將聚集度解釋為電場力進入一個微小體積的總和，那麼加上一個負號之後，就可以描述一個微小體積中散發出的電場力總和，他將其稱為 散度、「發散度」（divergence），收斂度與發散度在量上相同，但正負符號相反。他認為有必要將 nabla 運算元對一個四元數 q 的作用效果分開，並將 boldsymbolnabla 運算元對 q 的向量部分作用的結果分成散度部分 operatorname div q 和旋度部分 operatorname curl q 。 參閱 旋度 梯度 高斯散度定理 在圓柱和球座標系中的 del 參考文獻 Category 向量分析