力矩（httpstermsnaeredutwdetail09e3fa45b1d9fac0d25d6a44e794f576seq2，moment）在物理學中，是作用力促使物體繞著轉動軸或支點轉動的趨向 Serway R A and Jewett Jr J W 2003 Physics for Scientists and Engineers 6th Ed Brooks Cole ISBN 9780534408428；也就是作用力使物體產生 轉、扭 或 彎 效應的量度。簡略地說，力矩是一種施加於例如螺栓、飛輪一類的物體，或是擰毛巾、扳鋼筋的扭轉力。例如，用扳手的開口箝緊螺栓或螺帽，然後轉動扳手，這動作會產生力矩來轉動螺栓或螺帽。 使機械元件轉動的力矩又稱轉矩（turning moment，moment of rotation）即轉動力矩；在材料力學、土木工程和建築學中，作用引起的結構或構件某一截面上的剪力所構成的力偶矩，稱為扭矩（torsional moment，torque），而作用引起的結構或構件某一截面上的正應力所構成的力矩，則稱為彎矩（bending moment）。 力矩能夠使物體改變其旋轉運動。推擠或拖拉涉及到作用力，而扭轉則涉及到力矩。如上圖，力矩 boldsymbol tau 等於徑向向量 mathbf r 與作用力 mathbf F 的叉積。 根據國際單位制，力矩的單位是牛頓 cdot 米。本物理量非能量，因此不能以焦耳（J）作單位；根據英制單位，力矩的單位則是英尺 cdot 磅。力矩的表示符號是希臘字母 boldsymbol tau，或 mathbf M。 力矩與三個物理量有關：施加的作用力 mathbf F、從轉軸到施力點的位移向量 mathbf r、兩個向量之間的夾角 theta。力矩 boldsymbol tau 以向量方程式表示為 boldsymbol tau mathbf rtimes mathbf F。 力矩的大小為 tau rFsin theta。 定義 力矩等於作用於槓桿的作用力乘以支點到力的垂直距離。例如，3 牛頓的作用力，施加於離支點 2 米處，所產生的力矩，等於 1 牛頓的作用力，施加於離支點 6 米處，所產生的力矩。力矩是個向量。力矩的方向與它所造成的旋轉運動的旋轉軸同方向。力矩的方向可以用右手定則來決定，也可以用叉乘計算。假設作用力垂直於槓桿。將右手往槓桿的旋轉方向彎捲，伸直的大拇指與支點的旋轉軸同直線，則大拇指指向力矩的方向 喬治亞州州立大學線上物理網頁：。 更一般地，如圖右，假設作用力 mathbf F 施加於位置為 mathbf r 的粒子。選擇原點為參考點，力矩 boldsymbol tau 以方程式定義為 boldsymbol tau stackrel def mathbf r times mathbf F。 力矩大小為 tau mathbf rmathbf Fsintheta； 其中，theta 是兩個向量 mathbf F 與 mathbf r 之間的夾角。 力矩大小也可以表示為 tau rF_perp； 其中，F_perp 是作用力 mathbf F 對於 mathbf r 的垂直分量。 任何與粒子的位置向量平行的作用力不會產生力矩。 從叉積的性質，可推論，力矩垂直於位置向量 mathbf r 和作用力 mathbf F。力矩的方向與旋轉軸平行，由右手定則決定。 與角動量之間的關係 假設一個粒子的位置為 mathbf r，動量為 mathbf p。選擇原點為參考點，此粒子的角動量 mathbf L 為 mathbf L mathbf r times mathbf p。 粒子的角動量對於時間的導數為 begin alignfrac dmathbf Ldt frac dmathbf rdt times mathbf p mathbf r times frac dmathbf pdt mathbf v times mmathbf v mathbf r times m frac dmathbf vdt mathbf r times m mathbf a end align ； 其中，m 是質量，mathbf v 是速度，mathbf a 是加速度。 應用牛頓第二定律，mathbf Fmmathbf a，可以得到 frac dmathbf Ldt mathbf r times mathbf F。 按照力矩的定義，boldsymbol tau stackrel def mathbf r times mathbf F，所以， boldsymbol tau frac mathrm dmathbf Lmathrm d t。 作用於一物體的力矩，決定了此物體的角動量 mathbf L 對於時間 t 的導數。 假設幾個力矩共同作用於物體，則這幾個力矩的合力矩 boldsymbol tau_mathrm net 共同決定角動量的對於時間的變化： boldsymbol tau_1 cdots boldsymbol tau_n boldsymbol tau_mathrm net frac mathrm dmathbf Lmathrm d t。 關於物體的繞著固定軸的旋轉運動， mathbf L Iboldsymbol omega； 其中，I 是物體對於固定軸的轉動慣量，boldsymbol omega 是物體的角速度。 所以，取上述方程式對時間的導數： boldsymbol tau_mathrm net frac mathrm dmathbf Lmathrm d t frac mathrm dIboldsymbol omegamathrm d t Ifrac mathrm dboldsymbol omegamathrm d t Iboldsymbol alpha； 其中，boldsymbol alpha 是物體的角加速度。 單位 力矩的定義是距離乘以作用力。根據國際單位制，力矩的單位是牛頓 cdot 米（Nm）。雖然牛頓與米的次序，在數學上，是可以交換的，但是國際重量測量局規定這次序應是牛頓 cdot 米，而不是米 cdot 牛頓。 根據國際單位制，能量與功量的單位是焦耳，定義為 1 牛頓 cdot 米。但是，焦耳不是力矩的單位。因為，能量是力點積距離的標量；而力矩是距離叉積作用力的向量。當然，量綱相同並不盡是巧合，使 1 牛頓 cdot 米的力矩，作用 1 全轉，需要恰巧 2pi 焦耳的能量： E tautheta。 其中，E 是能量，theta 是移動的角度，單位是弧度。 根據英制，力矩的單位是英尺 cdot 磅。 矩臂方程式 在物理學外，其他的學術界裡，力矩時常會如以下定義： boldsymbol tau text moment arm cdot textrm force。 右圖顯示出矩臂（moment arm）、前面所提及的相對位置 mathbf r、作用力 mathbf F（force）。這個定義並沒有指出力矩的方向，只有力矩的大小。所以，並不適用於三維空間問題。 靜力概念 當一個物體在靜態平衡時，合力是零，對任何一點的合力矩也是零。二維空間的平衡要求是 sum F_x 0， sum F_y 0， sum tau 0。 這裡，F_x F_y 是作用力 mathbf F 分別在 x 軸與 y 軸的分量。假若，這三個聯立方程式有解，則稱此係統為靜定系統；不然，則稱為靜不定系統。 力矩、能量和功率之間的關係 假設施加作用力於一物體，使得此物體移動一段距離，則作用力對於此物體做了機械功。類似地，假設施加力矩於一物體，使得此物體旋轉一段角位移，則力矩對於此物體做了機械功。對於穿過質心的固定軸的旋轉運動，以數學方程式表達， W int_theta_1theta_2 tau mathrm dtheta； 其中，W 是機械功，theta_1、theta_2 分別是初始角和終結角，mathrm dtheta 是無窮小角位移元素。 根據功能定理，W 也代表物體的旋轉動能 K_mathrm rot 的改變，以方程式表達， K_mathrm rot tfrac 12 Iomega2。 功率是單位時間內所做的機械功。對於旋轉運動，功率 P 以方程式表達為 P boldsymbol tau cdot boldsymbol omega。 請注意，力矩注入的功率只跟瞬時角速度有關，而角速度是否在增加中，或在減小中，或保持不變，功率都與這些狀況無關。 實際上，在與大型輸電網路相連線的發電廠裡，可以觀察到這關係。發電廠的發電機的角速度是由輸電網路的頻率設定，而發電廠的功率輸出是由作用於發電機轉動軸的力矩所決定。 在計算功率時，必須使用一致的單位。採用國際單位制，功率的單位是瓦特，力矩的單位是牛頓 米，角速度的單位是每秒弧度（不是每分鐘轉速 rpm，也不是每秒鐘轉速）。 力矩原理 力矩原理闡明，幾個作用力施加於某位置所產生的力矩的總和，等於這些作用力的合力所產生的力矩。力矩原理又名伐裡農定理 Engineering Mechanics Equilibrium by C Hartsuijker J W Welleman page 64 （以法國科學家兼神父皮埃爾伐裡農命名），以方程式表達， mathbf rtimesmathbf F_1 mathbf rtimesmathbf F_2 cdots mathbf rtimes mathbf F_1mathbf F_2 cdots。 參考文獻 延伸閱讀 參閱 馬力 扭力轉換器 剛體動力學 機械平衡 扭矩扳手 力矩密度 外部連結 模擬力矩平衡的 Java 小程式 Torque and Angular Momentum in Circular Motion on Project PHYSNET Torque Unit Converter L L L L L