費馬小定理是數論中的一個定理。假如 a 是一個整數，p 是一個質數，那麼 ap a 是 p 的倍數，可以表示為 ap equiv a pmod p 如果 a 不是 p 的倍數，這個定理也可以寫成更加常用的一種形式 ap1 equiv 1 pmod p Fermats Little Theorem WolframMathWorld 註：如果 a 是 p 的倍數，則 ap1 equiv 0 pmod p 費馬小定理的逆敘述不成立，即假如 ap a 是 p 的倍數，p 不一定是一個質數。例如 23412 是 341 的倍數，但 34111 times 31，不是質數。滿足費馬小定理的合數被稱為費馬偽素數。 歷史 皮埃爾德費馬於 1636 年發現了這個定理。在一封 1640 年 10 月 18 日的信中他第一次使用了上面的書寫方式。在他的信中費馬還提出 a 是一個素數的要求。 1736 年，歐拉出版了一本名為 一些與素數有關的定理的證明（拉丁文：Theorematum Quorundam ad Numeros PRIMOS Spectantium Demonstratio） 的論文集，其中第一次給出了證明。但從萊布尼茨未發表的手稿中發現他在 1683 年以前已經得到幾乎是相同的證明。 有些數學家獨立提出相關的假說（有時也被錯誤地稱為中國猜想），當 2p equiv 2 pmod p 成立時，p 是質數。這是費馬小定理的一個特殊情況。然而，這一假說的前設是錯的：例如，2341 equiv 2 pmod 341，而 341 11 times 31 是一個偽素數。所有的偽素數都是此假說的反例。 卡邁克爾數 如上所述，中國猜想僅有一半是正確的。符合中國猜想但不是素數的數被稱為偽素數。 更極端的反例是卡邁克爾數： 假設 a 與 561 互質，則 a560 被 561 除都餘 1。這樣的數被稱為卡邁克爾數，561 是最小的卡邁克爾數。Korselt 在 1899 年就給出了卡邁克爾數的等價定義，但直到 1910 年才由卡邁克爾（Robert Daniel Carmichael）發現第一個卡邁克爾數：561。1994 年 William Alford、Andrew Granville 及 Carl Pomerance 證明了卡邁克爾數有無窮多個。 證明 方法一 （i）若 a 是整數，p 是質數，且 gcd ap1。若 p 不能整除 xy，則 p 不能整除 a xy。取整數集 A 為所有小於 p 的正整數集合（A 構成 p 的完全剩餘系，即 A 中不存在兩個數同餘 p），B 是 A 中所有的元素乘以 a 組成的集合。因為 A 中的任何兩個元素之差都不能被 p 整除，所以 B 中的任何兩個元素之差也不能被 p 整除。 換句話說，gcd ap1，考慮 1times a 2times a 3times ap1times a 共 p1 個數，將它們分別除以 p，餘數分別為 r_1r_2r_3r_p1，則集合 r_1r_2r_3r_p1 為集合 123ldotsp1 的重新排列，即 123ldotsp1 在餘數中恰好各出現一次；這是因為對於任兩個相異 ka 而言（k123ldotsp1 ），其差不是 p 的倍數（所以不會有相同餘數），且任一個 ka 亦不為 p 的倍數（所以餘數不為 0）。因此 1 cdot 2 cdot 3 cdot dots cdot p1 equiv 1 cdot acdot 2 cdot acdotdotscdot p1 cdot a pmod p 即 W equiv Wcdot ap1 pmod p 在這裡 W1cdot 2cdot 3cdot ldotscdot p1，且 Wp1，因此將整個公式除以 W 即得到： ap1 equiv 1 pmod p 也即 ap equiv a pmod p （ii）若 p 整除 a，則顯然有 p 整除 ap，即 ap equiv aequiv 0 pmod p。 方法二 若 p 為質數，n 為整數，且 pgeq n。考慮二項式係數 tbinom pntfrac pnpn，並限定 n 不為 p 或 0，則由於分子有質數 p，但分母不含 p，故分子的 p 能保留，不被約分而除去，即 tbinom pn 恆為 p 的倍數。 再考慮 b1p 的二項式展開，模 p，則 b1p equiv dbinom pp bpdbinom pp1 bp1dbinom pp2 bp2dotsdbinom p2 b2 dbinom p1 b1 dbinom p0 b0 pmod p equiv dbinom pp bp dbinom p0 b0 pmod p equiv bp1 pmod p 因此 b1p equiv bp1 pmod p equiv b1p11 pmod p equiv b2p111 pmod p equiv b3p1111 pmod p dots equiv begin matrix underbrace 11dots11 b1 end matrix pmod p equiv b1 pmod p 令 ab1，即得 ap equiv a pmod p。 方法三 在抽象代數教科書中，費馬小定理常作為教授拉格朗日定理時的一個簡單例子。顯然只需考慮 ap1 情形。此時模 p 所有非零的餘數，在同餘意義下對乘法構成一個群，這個群的階是 p1。考慮群中的任何一個元素 b，根據拉格朗日定理，b 的階必整除群的階。證畢。 應用 計算 2100 除以 13 的餘數 2100 equiv 212 times 84 pmod 13 equiv 2128 cdot 24 pmod 13 equiv 18 cdot 16 pmod 13 equiv 16 pmod 13 equiv 3 pmod 13 故餘數為 3。 證明對於任意整數 a 而言，a13a 恆為 2730 的倍數。 易由 ap1 equiv 1 pmod p 推得 an p11 equiv 1n cdot a equiv a pmod p，其中 n 為正整數。 故對指數 13 操作如下：13 減 1 為 12，12 的正因數有 1 2 3 4 6 12，分別加 1，為 2 3 4 5 7 13，其中 2 3 5 7 13 為質數，根據定理的延伸表示式，a13a 為 2 的倍數、為 3 的倍數、為 5 的倍數、為 7 的倍數、為 13 的倍數，即 2357132730 的倍數。 證明對於任意整數 a 而言，a22a2 恆為 3300 的倍數。 a22a2 為 132 的倍數。 模仿前述操作，11 減 1 為 10，10 的正因數有 1 2 5 10，分別加 1，為 2 3 6 11，其中 2 3 11 為質數，因此 a11a 為 2 3 11 的最小公倍數的倍數，即 66 的倍數。 考慮 a11a，因為奇數的 11 次方仍為奇數，且奇數與奇數之和為偶數，故當 a 為奇數時，a11a 為偶數；同理可知當 a 為偶數時，a11a 仍為偶數。因此當 a 為任意整數時，a11a 為偶數。 因此 a22a2a11aa11a66 的倍數 times 2 的倍數 132 的倍數。 a22a2 為 25 的倍數。 由後文的尤拉定理可知 a20 equiv 1 pmod 25（當 a 與 25 互質時），即 a21 equiv a pmod 25（當 a 為任意整數時）。因此 a22a2a a21a 為 25 的倍數。 因此 a22a2 為 132 與 25 的的最小公倍數的倍數，即 3300 的倍數。 推廣 尤拉定理 費馬小定理是尤拉定理的一個特殊情況：如果 an1 ，那麼 avarphi n equiv 1 pmod n 這裡 varphi n 是尤拉函式。尤拉函式的值是所有小於或等於 n 的正整數中與 n 互質的數的個數。假如 n 是一個素數，則 varphi nn1 ，即費馬小定理。 證明 上面證明費馬小定理的群論方法，可以同理地證明尤拉定理。 考慮所有與 n 互素的數，這些數模 n 的餘數所構成的集合，記為 cal S，並將群乘法定義為相乘後模 n 的同餘。顯然 cal S 是一個群，因為它對群乘法封閉（若 an1 和 bn1 則 abn1），含么元（即 1），且任何一個元素 a 的逆元素也在集合中（因為若 ain cal S 則由群乘法封閉性任何 a 的冪次都在 cal S 中，所以 langle arangle 是 cal S 這個有限集的子集）。根據定義， cal S 的階是 varphi n，於是根據拉格朗日定理， cal S 中任何一個元素的階必整除 varphi n。證畢。 卡邁克爾函式 卡邁克爾函式比尤拉函式更小。費馬小定理也是它的特殊情況。 alambda n equiv 1 pmod n 多項式除法 因為 pxpx Rightarrow pkxpxk 所以由 xNpmod xpxk 的結果可以得出 xNpmod pk 的結果 用多項式除法可以得出 xN 除以 xpxk 的次數少於 pk 的餘式 例如 3 mid x3x，由多項式除法得到 x5x21x3xx，則 x5equiv xpmod 3 這個餘式的一般結果是： displaystyle xpk equiv sum_i1k 1i1 binom ki xpkp1 i pmod pk（除式） displaystyle xpkp1 n equiv sum_i1k 1i1 binom ni1i1 binom nkki xpkp1 i pmod pk n0 時為除式，用數學歸納法證明餘式。 求 x1000pmod 52 x104n equiv n2 x6 n1 x2 pmod 52 x1000 equiv 249x8 248x4 equiv 24x8 23x4 pmod 52 註釋 參見 費馬大定理 拉格朗日定理 參考 Category 同餘 F