在數論中，超越數是指任何一個不是代數數的無理數。只要它不是任何一個有理係數代數方程的根，它即是超越數。最著名的例子是自然對數底 e 以及圓周率 π。 幾乎所有的實數和複數都是超越數，這是因為代數數的集合是可數集，而實數和複數的集合是不可數集之故。 定義 超越數是代數數的相反，也即是說若 x 是一個超越數，那麼對於任何整數 a_n a_n1 ldots a_0 都符合： a_n xn a_n1 xn1 ldots a_2 x2 a_1 x a_0 ne 0 （其中 a_nneq 0） 例子 超越數的例子包括： 錢珀瑙恩數 劉維爾數：sum_k1infty 10k 0110001000000000000000001000ldots 它是第一個確認為超越數的數，是於 1844 年劉維爾發現的。 自然對數底 boldsymbol e（參見：e）。 boldsymbol ea ，其中 a 是除 0 以外的代數數。 boldsymbol pi（參見：圓周率）林德曼 魏爾斯特拉斯定理，1882 年，注：因 pi 是超越數而證明尺規作圖中的 化圓為方 的不可實現性。 boldsymbol epi（參見：e 的 π 次方） 2sqrt 2（參見：2 的2 次方）。更一般地，若 a 為零和一以外的任何代數數及 b 為無理代數數則 ab 必為超越數。這就是格爾豐德 施奈德定理。 sin 1 （參見：正弦） ln a （參見：自然對數），其中 a 為一不等於 1 的正有理數。 mathbf Wa（參見：朗伯 W 函式），其中 a 為一正有理數。 Gamma frac 13 left approx 267894 right ，Gamma frac 14 left approx 362561 right 及 Gamma frac 16 left approx 556632 right （參見伽傌函式）。 所有超越數構成的集是一個不可數集，也就是說，幾乎所有的實數和複數都是超越數；儘管如此，現今發現的超越數極少，甚至連 pi e 是不是超越數也不知道，因為要證明一個數是超越數或代數數是十分困難的。 超越數的證明，給數學帶來了大的變革，解決了幾千年來數學上的難題 尺規作圖三大問題，即倍立方問題、三等分任意角問題和化圓為方問題。隨著超越數的發現，這三大問題被證明為不可能。 可能的超越數 以下數仍待證明為超越數或代數數： 數 e 和 pi 的大多數和、積、冪等等，例如 pi e pi e pi e frac pie pipi ee pie pisqrt 2 pipi2 尚未得知是有理數、代數無理數或超越數。值得注意的例外是 pi epi pi epi 和 episqrt n（對於所有正整數 n）已被證明是超越數 尤拉 馬歇羅尼常數 gamma，尚未被證明是無理數 卡塔蘭常數，未被證明是無理數 阿培裡常數 zeta 3 ，是無理數 黎曼 ζ 函式在其他奇整數的取值，zeta 5 zeta 7 ldots（尚未被證明是無理數） 費根鮑姆常數，delta 與 alpha，皆未證明是否為無理數 米爾斯常數，未證明是否為無理數 辛欽常數，未證明是否為無理數 科普蘭 埃爾德什常數，是無理數 猜想： 簡要地證明 e 是超越數 第一個對自然對數底 e 是超越數的證明可以追溯到 1873 年。我們現在跟隨的是大衛希爾伯特的策略。他給出了夏爾埃爾米特的原始證明的簡化。思路如下所示： 為尋找矛盾，假設 e 是代數數。那就存在一個有限的整係數集 c_0 c_1 ldots c_n 滿足下列等式： c_0c_1 ec_2 e2cdotsc_n en0 qquad c_0 c_n neq 0 現在對於一個正整數 k，我們定義如下的多項式： f_k x xk left x1cdots xn right k1 並在上述等式的兩端乘上 intinfty_0 f_k exdx 於是我們得到等式： c_0 left intinfty_0 f_k exdxright c_1eleft intinfty_0 f_k exdxright cdots c_n en left intinfty_0 f_k exdxright 0 該等式可以寫成這種形式 PQ0 其中 P c_0left intinfty_0 f_k exdxright c_1 eleft intinfty_1 f_k exdxright c_2 e2left intinfty_2 f_k exdxright cdots c_n enleft intinfty_n f_k exdxright Qc_1 eleft int1_0 f_k exdxright c_2 e2 left int2_0 f_k exdxright cdotsc_n enleft intn_0 f_k exdx right 引理 1 對於恰當選擇的 k， frac Pk 是非零整數。 證明： P 的每一項都是整數乘以階乘的和，這可以從以下的關係式得出 intinfty_0 xj exdxj 對於任何正整數 j 成立（考慮 Γ 函式）。 它是非零的，因為對於每一個滿足 0 a n 的 a ， c_a eaintinfty_a f_k exdx 中的被積函式均為 ex 乘以一些項的和，在積分中用 x a 替換 x 後， x 的最低冪次是 k1 。然後這就變成了具有以下形式的積分的和 intinfty_0 xj exdx 其中 k1 j ，而且它是一個能被 k1 整除的整數。在除以 k 後，我們得到模 k1 得 0 的數。 現在我們只須考慮 a0 的項。我們有： intinfty_0 f_k exdx intinfty_0 left 1nnk1 ex xk cdots right dx 於是 frac 1k c_0intinfty_0 f_k exdx c_01nnk1 qquad mod k1 透過選擇 k ，使得 k1 是大於 n 與 c0 的質數，我們可以得出 tfrac Pk 模 k1 為非零，從而該數為非零整數。 引理 2 對於充分大的 k ， lefttfrac Qkright1 。 證明： 注意到 f_k ex xkx1x2cdots xnk1 ex left x x1cdots xnk right left x1cdots xn exright 使用 x x1cdots xn 和 x1cdots xn ex 在區間 0n 的上限 G 和 H ，我們可以推出 QGk H c_1e2c_2e2cdotsnc_nen 由於 lim_ktoinftyfrac Gkk0 我們有 lim_ktoinftyfrac Qk0 這點足以完成對引理的證明。 注意可以選擇滿足兩個引理的 k，從而我們能得出矛盾。進而得以證明 e 的超越性。 馬勒的分類 在 1932 年把超越數分為 3 類，分別叫做 S 數、T 數和 U 數 Bugeaud 2012 p250。這些類別的定義利用了劉維爾數思想的擴充。 實數的無理性度量 一種定義劉維爾數的方式是考慮對於給定的實數 x，可以使得一次多項式 vert qxp vert 盡可能小但不精確地等於 0 。這裡的 p q 是滿足 vert p vert vert q vert 以正整數 H 為界的整數。 令 m x1H 為這些多項式所取的最小非零絕對值，並且令： omega x 1 H frac log m x 1 Hlog H omega x 1 limsup_Htoinfty omega x1H omega x 1 常稱為實數 x 的無理性度量（measure of irrationality）。對於有理數 omega x 10，而且對無理數其值至少為 1 。劉維爾數可以定義為具有無窮大的無理性度量的數。表明了實代數無理數的無理性度量均為 1 。 複數的超越性度量 接下來考慮多項式對於複數 x 的取值，這些多項式係數為整數，次數至多為 n，而且至多為 H，此處的 n H 是正整數。 令 m xnH 為以 x 為變數的上述多項式所取的最小非零值，並且令： omega x n H frac log m x n Hnlog H omega x n limsup_Htoinfty omega xnH 假如對於盡可能小的正整數 n，omega xn 為無窮大，則這種情況下複數 x 稱為 n 次的 U 數。 現在我們可以定義 omega x limsup_ntoinftyomega xn omega x 常稱為 x 的超越性度量（measure of transcendence）。假如 omega xn 有界，則 omega x 有限，x 稱為 S 數。如果 omega xn 有限而無界，則 x 稱為 T 數。x 為代數數當且僅當 omega x0。 顯然劉維爾數是 U 數的子集。在 1953 年構造了任意次數的 U 數 Baker 1975 p 86LeVeque 2002 pII172。劉維爾數是不可數集，從而 U 數也是。它們的測度為 0 Burger and Tubbs p 170。 T 陣列成的集合測度亦為 0 Burger and Tubbs p 172。人們花了 35 年時間證明它們存在。在 1968 年證明瞭 T 數的樣例存在。由是可知幾乎所有複數都是 S 數 Bugeaud 2012 p251。馬勒證明瞭當 x 為任意非零代數數時 ex 均為 S 數 LeVeque 2002 ppII174186Burger and Tubbs p 182：這點揭示了 e 是 S 數且給出了 pi 的超越性證明。對於 pi 我們至多知道它不是 U 數。其他更多的超越數仍未歸類。 兩個數 x y 稱為代數相關，當存在 2 個變數的整係數非零多項式 P 滿足 P xy0。一個有力的定理指出，屬於相同馬勒分類的 2 個複數是代數相關的 Burger and Tubbs p 163。這允許我們構造新形式的超越數，例如劉維爾數與 e 或 pi 的和。 通常推測 S 代表馬勒的老師卡爾西格爾（Carl Ludwig Siegel），而 T 和 U 是接下來的兩個字母。 Koksma 的等價分類 在 1939 年提出了基於代數數逼近的另一種分類 Baker 1975 p87。 考慮用次數 leq n 且高 leq H 的代數數逼近複數 x。令 alpha 為該有限集中滿足 vert xalpha vert 取最小正值得代數數。定義 omegaxHn 和 omegaxn 如下： xalpha HnomegaxHn1 omegaxn limsup_Htoinfty omegaxnH 若對於最小的正整數 n，omegaxn 為無窮大，則稱 x 為 n 次的 U 數。 若 omegaxn 有界且不收斂到 0 ，則則稱 x 為 S 數， 一個數 x 被稱為 A 數 ，當 omegaxn 收斂到 0 。 若所有的 omegaxn 均為有限但無界，則稱 x 為 T 數， Koksma 和馬勒的分類是等價的，因為它們將超越數以同樣的方式分類。A 數就是代數數。 勒維克的構造 令 lambda tfrac 13 sum_k1infty 10k 可以證明 lambda（劉維爾數）的 n 次方根是 n 次的 U 數 Baker 1979 p 90。 此構造可以改進以建立 n 次 U 數的不可數個系列。令 Z 為上述 lambda 的級數中 10 的冪次的集合。Z 所有子集的集合是不可數的。在表示 lambda 的級數中刪去任意一個 Z 的子集，將產生不可數個顯然的劉維爾數，它們每一個的 n 次方根都是次數為 n 的 U 數。 型別 數列 omega xn 的上界稱為型別（type）。幾乎所有實數都是型別為 1 的 S 數，此型別數在實 S 數中是最小的。幾乎所有複數都是型別為 12 的 S 數，此型別數在複 S 數中同樣是最小的。以上判斷對於幾乎所有數成立的猜想由馬勒提出，於 1965 年由 Vladimir Sprindzhuk 證明。 參考文獻 參見 多項式 無理數 代數數 林德曼 魏爾斯特拉斯定理