在數學上，要定義 比例，必須先定義 比。比（ratio）是兩個非零數量 y 與 x 之間的比較關係，記為 yx x y in mathbb R，在計算時則常寫作：frac yx 或 yx。 比例（proportion）或比例式，是 兩個比 相等的式子；表示同類型（相同單位）的 兩個比之間 的關係。因此，比值相等的兩個比才能組成比例，且比例必須以等式的形式呈現。例如：frac yx frac ba 或 yx ba 才能稱作比例，而 frac yx 或 yx 只能稱作比。 組成比例的四個數，稱為比例的項；等式最兩端的兩項稱為外項，等式中央的兩項稱為內項。與比不同的是：比由兩個陣列成；比例由四個陣列成。 若兩個變數的關係符合：其中一個量等於另一個量乘以一個常數 k（ykx，k 稱為 比例常數 或 比例係數），或等價地表達為：兩變數的比值為一個定值（此定值或商，稱為 比（ratio），但比的定義不限於定值），則稱兩者是 成比例的，或稱兩者 成正比。 若幾對變數共享相同的直接比例常數，則表示這些比值相等的方程稱為比例式（proportion）或等比關係。例如： 。比例性（proportionality）則與線性關係（linearity）密切相關。 定義 若存在一常數 k，使：y kx，（y 是因變數，x 是自變數，k 是常數，且 kneq0）， 則稱變數 y 與變數 x 成比例（有時也稱為 成正比）。當 x 和 y 成正比關係時，當 x 變為原來 k 倍時，y 也會變為原來的 k 倍；此時 x y 兩個變數成線性函式關係或正比例函式關係。這種函式是一次函式 ykxb 取 b 0 的特殊情況；該關係通常用數學符號 proptoU221D（正比號）表示為：y propto x，並稱該常數 k （ frac yx） 為 比例常數 或 比例係數比例係數 或 比例關係中的常數。 在日常生活中，正比這個詞的使用並不嚴格侷限於線性函式，一般來說，一個變數隨著另一個變數的增大而增大（或因一個變數的減小而減小），近似地滿足線性關係時，我們就可以說這兩個變數成正比。 符號和術語 數 A 和 B 的 比 可以表示為 New International Encyclopedia： A 與 B 之比 A 比 B A B A 除以 B 商的分數形式（有理數） frac AB 當 兩組比 相等時，表達 A B 與 C D 相等的形式為 A B C D 或 A B C D；口頭或書面的表達形式也可以為「A 比 B 等於 C 比 D」。而 A B C D 有特定的名稱：A D 稱為比例的外項，B C 稱為比例的內項。 等比關係 兩個比例之間也可以互相比較，若兩個比例相等（即其比值相同），則稱這個相等關係為等比關係。 例如，yxuo 是等比關係，則：xuyo。 需要注意的是：如果第二項等於第三項，例如：yxxz xzneq0，則：x2 yz rightarrow x sqrt yz，或 x sqrt yz，x 稱為 y 與 z 的幾何平均數。 通約性 如果 y 與 x 是可通約的（或稱 可通分的），那麼它們之間存在一個公約數，用 m m in mathbb R 表示。使：y mp x mq p q in mathbb Z。 此時，yx 就相等於 pq 的比，即：yx mpmq pq， 那麼，yx 就稱為可通約比（或稱 可通分比），frac pq 稱為分數，其比值稱為有理數；反之，若不存在公約數，yx 就稱為不可通約比（或稱 不可通分比），其比值稱為無理數，即 無法表示為分數的數。 用法與歷史 現代數學對於比例的用法並沒有嚴格限制，例如，在一個班級裡面，我們可以說：「男孩與女孩的比例是 2 比 1」。然而，在古希臘數學中，由於比例是用來表示倍數關係，所以必須是相同種類的數量才能構成比例，例如，歐幾裡得在《幾何原本》第五冊中如此定義比例 ： 阿基米德使用這個定義來敘述均勻運動的等比關係 阿基米德所要描述的，就是勻速運動，但是古希臘數學並不接受距離與時間的比例 （亦即速率），因為它們是不一樣的數量，所以他沒有辦法直接說：「均勻運動就是每一點上的速率皆相等」。當採用古希臘的比例論來敘述時，必須取兩段距離 L_1 與 L_2 以及所需時間 T_1 與 T_2，均勻運動（勻速運動）就是 L_1 L_2 T_1 T_2。 舉例 假設某人以勻速運動，則其運動的距離是和運動的時間成正比的，所以速度就是當中的比例常數。 圓的周長與其直徑成正比，當中的比例常數就是 π。 在按比例尺繪製的地圖上，地圖上任意兩點間的距離是和該兩點所代表的實際地點之間的距離成比例的，當中的比例常數即是繪製該地圖所使用的比例尺係數。 物理學中，地球的重力對在海平面上的某物體的作用力的數值與該物體的質量成正比，當中的比例常數是地球的重力加速度。 性質 因為： y kx ，等同於 x frac yk kneq0；因此可推出，若 y 與 x 之間存在正比關係，則 x 與 y 之間也存在正比關係。y 與 x 的正比關係也可以被解讀為一條在二維直角座標系穿過原點的直線，其斜率為比例常數 k。 比例關係中，位於兩端的兩數（外項）之積等於位於中間的兩數（內項）之積。即：frac ab frac cd iff ad bc 反比關係 在上面定義中，我們說有時稱兩個成比例的變數成正比例，這是為了和反比例關係相對應： 如果兩變數中，一個變數和另外一個變數的倒數成正比；或同樣的：若這兩變數的乘積是一個常數，則稱這兩個變數成反比例（或相反地變化 的，從而可繼續推出：若存在一非零常數 k，使：y frac kxxneq0，則變數 y 和變數 x 成反比。 反比例關係的概念基本上說明的是這樣一種關係，即：當一個變數的值變大時，另一變數的值相應變小，且兩者之積總是保持為一常數（即比例常數）。舉例來說：運動中的車輛走完一段路程所花費的時間是和這輛車運動的速度成反比的；在地上挖個坑所花的時間也（大致地）和僱來挖坑的人數成反比的。 在笛卡爾座標平面上，兩個具有反比例關係的變數的圖形是一對雙曲線，該圖線上的每一點的 X 和 Y 座標值之積總是等於比例常數 k。由於 k 非零，所以圖線不會與座標軸相交。 指數比例和對數比例 若變數 y 與變數 x 的指數函式成正比，即：若存在非零常數 k，使：y k ax，則稱 y 與 x 成指數比例。 類似地，若變數 y 與變數 x 的對數函式成正比，即：若存在非零常數 k，使：y k log_a x，則稱 y 與 x 成對數比例。 確定比例關係的實驗方法 用實驗方法確定兩個物理量是否具有正比關係，可採用這樣的辦法： 即進行多次測量，並在笛卡爾座標系中將這些測量結果用多個點來表示，以此繪製出這些點的分佈圖形； 如果所有點完全（或接近）地落在一條穿過原點 0 0 的直線上，則這兩個變數（很有可能）具有比例常數等於該直線斜率的正比關係。 參考文獻 擴充套件閱讀 Ratio The Penny Cyclopædia vol 19 The Society for the Diffusion of Useful Knowledge 1841 Charles Knight and Co London pp 307ff Proportion New International Encyclopedia Vol 19 2nd ed 1916 Dodd Mead Co pp270271 Ratio and Proportion Fundamentals of practical mathematics George Wentworth David Eugene Smith Herbert Druery Harper 1922 Ginn and Co pp 55ff DE Smith History of Mathematics vol 2 Dover 1958 pp 477ff Development of Multiplicative Reasoning in the Learning of Mathematics p189 Ratio vs Rate 外部連結 Khan Academy Ratios and rational expressions free online micro lectures 參見 比率 相似性 比例字型 相關性 比例論 Category 比率 Category 初等數學 Category 代數