環（英文：Ring）是一種帶有兩個二元運算（抽象化的「加法」和「乘法」）、並且符合特定運算規則的集合。它抽象化了諸如整數、有理數、實數、複數、多項式、矩陣、函式、運算元等等的代數結構。它是環論的主要研究物件，並且是構成各種抽象代數理論的重要基本概念。 環的具體定義並沒有完全統一。不同研究方向的學者對於環是否要有乘法單位元有不同見解，在部份情況下甚至不要求乘法有結合律。然而除非明確宣告，否則本條目所稱的「環」是指有乘法單位元、乘法有結合律的環。 定義 給定一個集合 R 以及兩個定義在 R 上的二元運算 和 times 。如果 R 、 和 times 具有以下八個性質，則稱 Rtimes 構成了一個環。 R 是一個交換群： 加法有結合律 對所有的 a b c in R ，都有：a b c a b c 加法有交換律 對所有的 a b in R ，都有：a b b a 有加法單位元 存在某個 0_R in R ，使得所有的 r in R ，都有： 0_R r r 有加法反元素 對所有的 r in R ，存在某個 r in R ，使得： r r 0 Rtimes 是一個有單位元的半群： 乘法有結合律 對所有的 abc in R ，都有： a times b times c a times b times c 有乘法單位元 存在某個 1_R in R ，使得所有的 r in R ，都有：1_R times r r times 1_R r 乘法對於加法滿足分配律： （左）分配律 對所有的 abc in R ，都有：a times b c a times b a times c （右）分配律 對所有的 abc in R ，都有：a b times c a times c b times c 環的乘法經常依照慣例，不會寫出「 times 」這個符號。例如（左）分配律就可以寫成：a b c ab ac 此外，加法單位元也經常稱為「零元素」或直接簡稱為「零」。 定義的分歧 環的定義的分歧通常在於是否要求乘法單位元的存在。在 1960 年代以前，多數抽象代數的教科書通常會採用埃米諾特的定義，不要求乘法單位元存在。然而在 1960 年後，越來越多的著名教科書作者（例如：尼古拉布林巴基、、塞爾日蘭）開始將乘法單位元的存在性納入定義中。不要求乘法單位元存在的作者，通常會將有乘法單位元的環稱為單位環（ unital ring ）；反之，要求乘法單位元存在的作者，可能會將不含乘法單位元（ identity ）的環（ ring ）稱為 rng 或偽環（ pseudoring ），或甚至乾脆不提及任何沒有單位元的環。 另外在交換代數的文獻中，通常還會額外約定環的乘法要滿足交換律。這類文獻的作者通常會事先宣告。 例子 整數 mathbb Z 、有理數 mathbb Q 、實數 mathbb R 和複數 mathbb C ，連同尋常的加法和乘法，構成了一個環。它們的加法單位元是 0 ，乘法單位元是 1 ，是最典型的實際例子。 整係數多項式環 mathbb Zx 、有理係數多項式環 mathbb Qx ，實係數多項式環 mathbb Rx 、複係數多項式環 mathbb Cx ，連同多項式加法和乘法，構成一個環。它們的加法單位元也是 0 ，乘法單位元也是 1 。更一般地，可以考慮任何環 R 的多項式環 R x 。 整係數有理函式 mathbb Zx 、有理係數有理函式 mathbb Qx ，實係數有理函式 mathbb Rx 、複係數有理函式 mathbb Cx ，連同有理函式的加法和乘法，構成一個環。它們的加法單位元依然是 0 ，乘法單位元依然是 1 。更一般地，可以考慮任何環 R 的有理函式環 R x ；而「建構分式」的操作還是「分式體」以及更一般的「區域性化」這些概念的起源。 大小為 n times n 的整係數矩陣 mathbf M_nmathbb Z 、有理係數矩陣 mathbf M_nmathbb Q 、實係數矩陣 mathbf M_nmathbb R 、或複係數矩陣 mathbf M_nmathbb C，連同矩陣加法和矩陣乘法，構成一個環。它們的加法單位元是零矩陣 ：mathbf 0_n begin bmatrix 0 0 dots 0 0 0 dots 0 vdots vdots ddots vdots 0 0 dots 0 end bmatrix_n times n 乘法單位元則是單位矩陣 ：mathrm I_n begin bmatrix 1 0 dots 0 0 1 dots 0 vdots vdots ddots vdots 0 0 dots 1 end bmatrix_n times n 同樣的，可以考慮任何環 R 的矩陣環 mathbf M_nR 。矩陣環也是典型的非交換環。 如果集合 R 只有一個元素，那 R 只可能定義出唯一的一種環結構 （ Zero ring ）。 基本性質 零元素是唯一的 零乘以任何東西都是零 乘法單位元是唯一的 任何元素如果有乘法反元素，那是唯一的 多個環元素的分配律：left sum_i 1n a_irightleft sum_j 1m b_jright sum_i 1nsum_j 1m a_ib_j 環元素的整數倍與整數次方 整數可以用來當作是任何環的係數，只要定義以下的係數運算規則：na underbrace a a cdots a_n text 次 qquad n a underbrace a a cdots a_n text 次 qquad 0a 0_R 這種係數運算規則和普通係數的概念有許多一致性，例如： n ab na b a nb nm a n ma m na n ab na nb nm a na ma 而類似地如果把多次相加改成多次相乘，那麼可以定義冪運算：an underbrace a times a times cdots a_n text 次 qquad an underbrace a1 times a1 times cdots a1_n text 次 qquad a0 1_R 二項式展開 如果 ab ba ，那麼它們總和的次方可以這樣計算：a bn an binom n1 an1 b binom n2 an2 b2 cdots binom nn2 a2 bn2 binom nn1 abn1 bn sum_ij nfrac nij aibj 這可以推廣到多個元素 a_1a_2dotsa_m 總和的次方 如果任兩個元素的 a_i 和 a_j 的乘法都可以交換（即 a_ia_j a_ja_i ），那麼：a_1 a_2 cdots a_mn sum_i_1 i_2 cdots i_m nfrac ni_1i_2cdots i_n a_1i_1 a_2i_2 cdots a_mi_m 基本的相關概念 特殊的環元素 在初等環論中，以下四型別的環元素在任意的環中都有定義，它們是經常被討論的物件： 可逆元（ Unit 或 Invertible element ）：有乘法反元素的環元素。 零因子（ Zero divisor ）：相乘後為零的非零元素；相當於「零的因數」。 冪零元（ Nilpotent ）：自乘多次後變成零的環元素。 冪等元（ Idempotent ）：自乘任意多次都不變的環元素。 環同態、核、像 在環論中，環同態描述了環與環之間的關係。一個從環 R 送往環 S 的環同態（ Ring homomorphism ）f R to S 簡單來說是一種「維持環結構」的對映；而具體來說，f 要具有以下三個性質： 維持加法的結構 對所有的 a b in R ，都有：f ab f af b 維持乘法的結構 對所有的 a b in R ，都有：f ab f ab 維持單位元的結構 也就是：f 1_R 1_S 對一個環同態 f 來說，有以下兩個密切相關的概念： 核（ Kernel ） 送到零元素的那些元素：mathrm Kerf f10_S a in R mid f a 0_S subseteq R 像（ Image ） 把元素都送過去後的結果：mathrm Imf f R f a in S mid a in R subseteq S 子環、（雙邊）理想、商環 給定一個環 R ，我們可以考慮它的： 子環（ Subring ） 某個送往 R 的環同態在 R 內的像。 雙邊理想（ Two side ideal ） 某個定義在 R 上的環同態的核。 商環（ Quotient ）（同構意義下）某個定義在 R 上的環同態的像。 一個環的環同態、子環、雙邊理想、商環共同刻劃了環的結構。 具有額外性質的環 交換環（ commutative ring ） 如果一個環 R 還額外滿足： 乘法的交換律：對於所有 a b in R： a times b b times a 則稱 R 是一個交換環。交換環是最被深入研究的一類環，其中包括以下幾類： 整環（ Integral domain ）：沒有零因子的交換環。 唯一分解整環（ Unique factorization domain ）：可以唯一分解任何元素的整環。 主理想整環（ Principal ideal domain ）：所有理想都是主理想的整環。 歐幾裡得整環（ Euclidean domain ）：可以進行歐幾裡得演演算法（輾轉相除法）的整環。 體（ Field ）：非零元素都有乘法反元素的交換環。 代數閉體（ Algebraically closed field ）：所有多項式都有根的體。 非交換環 所謂的非交換環實際上是指「不假設是交換環」的環，這樣子的環有： 除環（ Division ring ）：非零元素都有乘法反元素的環（可能不交換）。 單環（ Simple ring ）：沒有非平凡雙邊理想的環。 從已知的環建構出其他環的方式 直積 給定數個環 R_1 R_2 dots R_n ，可以考慮這些環作為集合的笛卡爾積： prod_i 1n R_i R_1 times R_2 times cdots times R_n a_1a_2dotsa_n mid a_1 in R_1 a_2 in R_2 dots a_n in R_n 可以在這個集合上用以下方式定義加法和乘法： a_1a_2dotsa_n b_1b_2dotsb_n a_1 b_1a_2 b_2 dotsa_n b_n a_1a_2dotsa_n times b_1b_2dotsb_n a_1 times b_1a_2 times b_2 dotsa_n times b_n 這使得 prod_i 1n R_i 構成一個環。稱為 R_1 R_2 dots R_n 的直積（ Direct product ）；它的法單位元是 0_R_10_R_2dots0_R_n 乘法單位元是 1_R_11_R_2dots1_R_n 這種概念可以推廣到無限多個環、甚至不可數多個環的直積。 多項式環 給定一個環 R ，可以考慮以這個環作為係數的多項式：R x leftsum_i0n a_ixi Bigg a_i in R n 123dots right 可以仿照一般的實係數多項式運算規則，為這個集合定義加法和乘法：left sum_i0n a_ixi right left sum_i0n b_ixi right sum_i0na_i b_i xileft sum_i0n a_ixi right times left sum_i0m b_ixi right sum_i0nmleft sum_j0i a_jb_ij right xi 在這樣的運算規則下， R x 被稱為是 R 的多項式環；它的加法單位元以及乘法單位元與 R 相同。 矩陣環 給定一個環 R ，可以考慮以這個環作為係數、大小為 n times n 的矩陣： mathbf M_nR leftbegin bmatrix a_11 a_12 dots a_1n a_21 a_22 dots a_2n vdots vdots ddots vdots a_n1 a_n2 dots a_nn end bmatrix_n times n bigg a_ij in R quad ij 12dotsnright 同樣可以仿照一般的矩陣運算規則，為這個集合定義加法和乘法： begin bmatrix a_11 a_12 dots a_1n a_21 a_22 dots a_2n vdots vdots ddots vdots a_n1 a_n2 dots a_nn end bmatrix_n times n begin bmatrix b_11 b_12 dots b_1n b_21 b_22 dots b_2n vdots vdots ddots vdots b_n1 b_n2 dots b_nn end bmatrix_n times n begin bmatrix a_11 b_11 a_12 b_12 dots a_1n b_1n a_21 b_21 a_22 b_22 dots a_2n b_2n vdots vdots ddots vdots a_n1 b_n1 a_n2 b_n2 dots a_nn b_nn end bmatrix_n times n begin bmatrix a_11 a_12 dots a_1n a_21 a_22 dots a_2n vdots vdots ddots vdots a_n1 a_n2 dots a_nn end bmatrix_n times n times begin bmatrix b_11 b_12 dots b_1n b_21 b_22 dots b_2n vdots vdots ddots vdots b_n1 b_n2 dots b_nn end bmatrix_n times n begin bmatrix sum_i1n a_1i b_i1 sum_i1n a_1i b_i2 dots sum_i1n a_1i b_in sum_i1n a_2i b_i1 sum_i1n a_2i b_i2 dots sum_i1n a_2i b_in vdots vdots ddots vdots sum_i1n a_ni b_i1 sum_i1n a_ni b_i2 dots sum_i1n a_ni b_in end bmatrix_n times n 那麼 mathbf M_nR 在這樣的運算規則下，構成一個環。它的加法單位元是零矩陣 ：mathbf 0_n begin bmatrix 0_R 0_R dots 0_R 0_R 0_R dots 0_R vdots vdots ddots vdots 0_R 0_R dots 0_R end bmatrix_n times n 乘法單位元則是單位矩陣 ：mathrm I_n begin bmatrix 1_R 0_R dots 0_R 0_R 1_R dots 0_R vdots vdots ddots vdots 0_R 0_R dots 1_R end bmatrix_n times n 同樣的，可以考慮任何環 R 的矩陣環 mathbf M_nR 。矩陣環也是典型的非交換環。 區域性化與分式體 區域性化的概念並不是對任何的環都有效，在大多數時候，只會考慮交換環的區域性化。粗略地說，區域性化是「加入某些元素的乘法反元素」；而分式體則是透過「加入所有非零元素的乘法反元素」來定義。分式體最著名的例子就是從整數構造有理數的過程。 更抽象地講，一個環對某些元素的區域性化是「使得這些元素可逆的、最小的環」；在這種意義下，分式體就是「使得非零元素可逆的、最小的環」。而這個概念實際上就是 「包含這個環的最小的體」。 交換環與代數幾何的關係 交換環是乘法滿足交換律的環。這種環和代數幾何有著深遠的關聯性，體現在交換環範疇 mathbf CRing 和仿射概形範疇 mathbf AffSch 有著如下對偶性： mathbf CRingmathrm op cong mathbf AffSch 這種對偶性使得交換環的代數性質可以轉換成仿射概形的幾何性質。 參見 模 理想 代數 偽環 備註 引用 參考文獻 要求「環」要有乘法單位元的教科書 不要求「環」要有乘法單位元的教科書 外部連結 Database of Ring Theory 一個紀錄了大量環的性質的資料庫 《數學百科全書》對環的定義 MathWorld 對環的定義 對環的定義 H