五格骨牌（Pentomino），又稱五連塊、五連方、五連方塊或傷腦筋十二塊，是由五個全等正方形連成的多格骨牌，反射或旋轉視作同一種共有十二種，可以英文字母代表。五格骨牌的相關問題及遊戲是娛樂數學中流行的問題。五格骨牌的謎題，最早是英國人亨利杜德耐於 1907 年所發明，書名《坎特伯雷趣題和其他奇特問題》（Canterbury Puzzles and Other Curious Problems）。 五格骨牌中每一個都滿足康威準則，因此用任何一個都可以密鋪整個平面。所有具有的五格骨牌都可以在不鏡射的條件下密鋪整個平面。 歷史 五格骨牌的正式定義是由美國教授所羅門格倫布在 1953 年開始定義，後來列在 1965 年出版的書籍《Polyominoes Puzzles Patterns Problems and Packings》中。之後馬丁加德納在《科學美國人》雜誌 1965 年 10 月的中介紹，引起大家的興趣。格倫布建立了五格骨牌的英文 pentomino，源自古希臘語 pénte（5），而 omino 是採用 domino（西洋骨牌），刻意的將 domino 前面的 d 視為是希臘文字首 di （二個）的變形。格倫布用 12 個和五格骨牌外形較類似的英文字母來為五格骨牌命名。 約翰何頓康威有另外一個針對五格骨牌命名的系統，其中用 O 來代替 I、Q 來代替 L、R 來代替 F、S 來代替 N。此命名法中，一些五格骨牌和其名稱的關係較不直覺，不過好處是使用了連續的 12 個英文字母。在討論康威生命遊戲時會用到這個命名系統，例如用 R 骨牌來代替 F 骨牌。 對稱性 F L N P Y 的骨牌由於既非線對稱亦非點對稱，所以總共有 8 種固定五格骨牌，旋轉後可以產生四種骨牌，鏡射後再旋轉後可以產生另外四種骨牌，其空間對稱群只有恆等函式。 T U 的骨牌由於有一條和格線平行的對稱軸，因此只有 4 種固定五格骨牌。其空間對稱群有二個元素，除了恆等函式外，還包括相對於對稱軸的鏡射。 V W 的骨牌由於有一條和格線有 45 度夾角的對稱軸，因此只有 4 種固定五格骨牌。其空間對稱群有二個元素，除了恆等函式外，還包括相對於對稱軸的鏡射。 Z 的骨牌有一個對稱點，是二次的，因此也只有 4 種固定五格骨牌，旋轉後可以產生二種骨牌，鏡射後再旋轉可以產生另外二種骨牌。其空間對稱群有二個元素，除了恆等函式外，也包括 180 度的旋轉。 I 的骨牌有兩條對稱軸（都平行格線）跟一個對稱點，因此只有 2 種固定五格骨牌。其空間對稱群有四個元素：恆等函式，兩個鏡射以及 180 度的旋轉。I 的骨牌是 n 2 的二面體群，也稱為克萊因四元群。 X 的骨牌有四條對稱軸跟一個對稱點，因此只有唯一一種固定五格骨牌。其四條對稱軸分別平行格線以及二條對角線，也有四次的旋轉對稱。其對稱軸是 n 4 的二面體群，有八個元素。 F L N P Y 和 Z 的骨牌有，因此若考慮無法翻面的單面骨牌，要加上這些骨牌的鏡射（F L N Q Y Z），共有 18 種單面骨牌。若骨牌不允許旋轉（固定骨牌），本段分類的第一類要乘以 8，後面三類（T、U、V、W、Z）要乘以 4，I 要算 2 次，X 只算 1 次，因此共有 58 54 2 1 63 個固定的五格骨牌。 以下是 L F N P Y 骨牌的八種可能放法： 長方形填充 標準的五格骨牌謎題是用五格骨牌密鋪長方形，骨牌不能重疊，也不能留下沒有骨牌的空格。每個五格骨牌的面積都等於五個單位方形，因此長方形的面積需等於 60 個單位方形。可能的尺寸有 610 512 415 及 320。狂熱智力遊戲玩家可能會徒手玩幾個小時來求解這類問題。另一個問題的挑戰性更大，是計算某一尺寸下有幾種解法，一般會需要配合搜尋演算法來進行。 610 的問題最早是由及。所解出，共有 2339 個解答，2339 個解答中，不考慮若將整個長方形旋轉或是鏡射的解，旦若其中部份五格骨牌旋轉或是鏡射，則視為是不同的解。512 的問題有 1010 個解，415 的問題有 368 個解，320 的問題只有二個解（圖中的是其中一個解，將 L N F T W Y Z 方塊組成的方塊組鏡射後，可得到另一個解）。 另一個比較簡單（對稱性較高）的問題，是中間挖掉 22 方塊的 88 正方形，此問題最早由達納斯科特在 1958 年解出 Dana S Scott 1958 Programming a combinatorial puzzle Technical Report No 1 Department of Electrical Engineering Princeton University，共有 65 種解。斯科特的求解方式也是回溯法電腦程式的早期應用之一。此問題的變體是正方形中的 4 個空格在其他的位置，大部份的變體都可以解，除非空格都集中在某兩個角附近，讓兩個角都要用 P 骨牌填充，或是強迫在角落放入 T 骨牌或 U 骨牌，使得出現其他五格骨牌無法填滿的格子。 目前已有高效的演演算法可求解五格骨牌的密鋪問題，高德納也有建立類似的演演算法 Donald E Knuth Dancing links Postscript 16 megabytes Includes a summary of Scotts and Fletchers articles。若在現今的個人電腦上執行，只要幾秒鐘就能解出五格骨牌的擺放方式。 利用所有的 n 格骨牌來密鋪長方形的問題，只有在 n 0 1 2 和 5 時才有解。 平面填充 所有 12 種五格骨牌都滿足康威準則，因此都可以只用同一種五格骨牌，來填滿整個平面。 五立方體及立體填充 五立方體（pentacube）是由五個立方體組成的多連立方體，共有 29 個，其中有 12 個是高度為 1 的五格骨牌，另外 17 個是非平面的。 五立方體填充問題（pentacube puzzle）是由五立方體中 12 個高度為 1 的平面五立方體，填滿三維的長方體。五立方體的體積是單位立方體的 5 倍，要填滿的長方體體積就是單位立方體的 60 倍，可能的尺寸有 2310（12 個解）、256（264 個解）及 345（3940 個解 solutions），以下就是這幾種情形的各一個解 五立方體其實有 29 個，因此也可能會想是否可以用所有的五立方體（包括平面及非平面的）來填滿長方體。不過 29 個五立方體的體積是單位立方體的 295145 倍，可能的長方體尺寸只有 2951，而高度只有 1，無法將非平面的五立方體放入，因此不可能用 29 個五立方體來填滿長方體。 雙人遊戲 以十二塊為基礎，可作一個雙人遊戲。每人輪流在一個 88 的格網上放其中一塊，使得每塊不重疊而沒有一塊用多於一次。最後一個放的人勝。這個遊戲是先手勝的 Hilarie K Orman Pentominoes A First Player Win Pdf。這個遊戲稱為「格倫布遊戲」。 1960 年，桌上遊戲設計師艾力克斯蘭多夫以此遊戲增加限放規則的補天棋。 建築 有時，一些建築的外牆會以以五格骨格為裝飾，主要出現在東歐。圖案主要是以 610 長方形問題的解為主。 腳註 參考資料 相關條目 都會棋 所羅門格倫布 外部連結 Pentomino Homepage：有各種矩形的全部解 George Huttlins Pentomino Webpage：以十二塊砌成英文字母 Eric Harshbargers Pentominoes Page Pentomino 拼圖筆記 My Puzzle Note by 高文山 KAO WenShan from TAIWAN Note 1 系列貼文詳述：使用 12 片五格骨牌佈滿正六面體表面的多種方法 這裡可以下載雙人遊戲 Pentacubes 啟發積木線上遊戲。拖動，旋轉和翻轉積木瓷磚放在一起的圖片或解決數字拼圖，玩 Tetromino 或發現 PEG 紙牌的解決方案。 Category 多連塊 Category 骨牌