珠算，指的是用算盤進行計算，一般特指用中式算盤進行計算。珠算領域對四則運算統整出了一套系統的計算規則，統稱珠演算法則。其源於中國籌算，在東漢徐嶽所著《數術記遺》記載上古十四種演算法，珠算為其一。不過，當時尚無現在的算盤，是把算珠放於以凹槽為檔的板上作為算盤。 2013 年，聯合國教科文組織將其列入人類非物質文化遺產代表作名錄。 術語 珠算已發展成一系統，亦衍生出許多相關術語，為便於說明，參考國珠聯的《珠算統一用語表》略簡述之： 算盤術語 框 樑 上珠 下珠 運珠相關 算術術語 加算：即加法計算。 被加數： a 加數： b 和： a b c 的 c 減算：即減法計算 被減數： a 減數： b 差： a b c 的 c 乘算：即乘法計算 實、被乘數： a 法、乘數： b 積： a times b c 的 c 除算：即除法計算 實、被除數： a 法、除數： b 商： a div b c 的 c 餘： a div b cd 的 d 運珠 有兩種方式： 雙手撥珠，以中國為主，另有俄羅斯、哈薩克、南非、烏茲別克、土耳其、摩洛哥及中東的伊朗、沙烏地阿拉伯、阿聯酋、約旦、黎巴嫩等。 單手運珠，以臺灣、日本、韓國為主，另有馬來西亞、新加坡、泰國、香港、美國、加拿大、巴西、澳洲等。 二五珠算盤 一般只用拇指、食指和中指撥珠（亦有極少數非常熟練的人五指全用），三個手指的基本分工是： 拇指撥下珠向上靠梁。 食指撥下珠向下離梁。 中指撥上珠靠梁和離梁。 一四珠算盤 （或一五珠算盤）：兩個手指的基本分工是： 食指撥上珠向下靠梁。 食指撥上珠向上離梁。 拇指撥下珠向上靠梁。 食指撥下珠向下離梁。 一五珠算盤 兩個手指的基本分工是： 食指撥上珠向下靠梁。 食指撥上珠向上離梁。應該是拇指 拇指撥下珠向上靠梁。 食指撥下珠向下離梁。 演算法 布數 布數是指表現數字的算珠擺放方式。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 加算 方法為同位值相加，逢十進一，計算時由又高位檔向低位檔依次相加。 （例）1937284 置數 百位檔相加 200 十位檔相加 80 個位檔相加 4 1937 2137 2217 2221 口訣 可輔助學習，熟練後亦可不用。 加數 不進位加 不進位加 進位加 進位加 加數 直加 滿五加 進十加 破五進十加 一 一上一 一下五去四 一去九進一 二 二上二 二下五去三 二去八進一 三 三上三 三下五去二 三去七進一 四 四上四 四下五去一 四去六進一 五 五上五 五去五進一 六 六上六 六去四進一 六上一去五進一 七 七上七 七去三進一 七上二去五進一 八 八上八 八去二進一 八上三去五進一 九 九上九 九去一進一 九上四去五進一 以 3 為例 「三上三」是指「（若下珠夠加）直接上撥三顆」3。 「三下五去二」是指「（若下珠不夠加，且沒有上珠），則撥下一顆上珠，去掉兩夥下珠」（52）。 「三去七進一」是指「（若下珠不夠加，且有上珠），則去掉七，再高一位進一」（107）。 其中，「三下五去二」亦是成語中「三下五除二」的由來。 減算 方法為同位值相減，不夠借位，計算時由高位檔向低位檔依次相減。 （例）2756957 置數 百位檔相減 900 十位檔相減 50 個位檔相減 7 2756 1856 1806 1799 口訣 可輔助學習，熟練後亦可不用。 減數 不退位減 不退位減 退位減 退位減 減數 直減 破五減 退位減 退十補五減 一 一去一 一上四去五 一退一還九 二 二去二 二上三去五 二退一還八 三 三去三 三上二去五 三退一還七 四 四去四 四上一去五 四退一還六 五 五去五 五退一還五 六 六去六 六退一還四 六退一還五去一 七 七去七 七退一還三 七退一還五去二 八 八去八 八退一還二 八退一還五去三 九 九去九 九退一還一 九退一還五去四 以 3 為例 「三去三」是指「（若下珠夠減）直接撥去三顆」3。 「三上二去五」是指「（若下珠不夠減，且有上珠），則撥去上珠，並加上二顆下珠」（5＋2）。 「三退一還七」是指「（若下珠不夠減，且沒有上珠），則更高一位減一，並加上七」（107）。 負數 遇到小數減大數時，可以用到一種技巧叫作懸珠來代表負數。懸珠是指將算珠移到不靠樑，也不靠框。其觀念同計算機中的二補數。 乘算 基本原則就是，將乘數分解為每分數，分別乘上被乘數後相加。如：要計算 3297 32 97 32 907 32 90 32 7 更進一步分解， 302903027 309029030727 計算時，不用考慮位值，則只需計算一位 一位，如：3090 ，只需計算 39 ，再加至百位即可。如此，可以先將每個一位 一位的結果先計算出來，此即為乘法口訣 九九歌。 而使用珠算計算時，因為數字都在盤面上，所以要考慮是否要將實（被乘數）、法（乘數）放置盤面上，放的位置（因計算結果會愈來愈長，可能會與原本被乘數、乘數放置的地方重疊而影響）、計算順序、如何定位等。而根據計算方法，主要有兩大類： 看頭乘法，被乘數、乘數放置盤面上。 看頭乘法，又稱見乘法，乘法速演算法。 破頭乘法，被乘數、乘數不放置盤面上。 破頭乘法，又稱頭乘法 破頭乘法別法，又稱新頭乘法，或稱隔位乘法。 此外，另有一種技巧 湊倍乘法，古稱金蟬脫殻，又稱迭皮乘、加減乘法、變積乘法、倍數乘法、加乘法。可將乘法轉為加減算，從而不需要九九乘法。 其基本想法為：「因為將每個乘數分解成多個一位數，最多隻有 9 種可能（0 不用計算）」，而這 9 種可能，都可以改為「1、2、5 的某種組合」如：被乘數 8 相當於 被乘數 x 102。而「1、2、5」這三種運算是容易心算的。 看頭乘法 破頭乘法 新頭乘法 （例）3297 32 算「2」字 290 算「3」字 3104 湊倍乘法 除算 方法跟長除法類似，即逐位（由高位向低位）來決定適合的商。計算方式主要分兩步驟估商（或試商）和減積。 計算方法有：商除法、歸除法、湊倍除法。 商除法 以約率為例。為簡單起見，先以兩個算盤（一個記錄商，一個記錄餘）說明之。 （例）22 div 7 第一位 置數 置數 估商估為 bold color Red 3 估商估為 bold color Red 3 減積 3 times 7 bold color Blue 21 減積 3 times 7 bold color Blue 21 000 300 bold color Red 22 00 2200 bold color Red 3 00 300 2200 2200 300 300 bold color Red 01 00 100 begin arraylr 7 overline bold color Red 22 end array begin arraylr 7 overline bold color Red 22 end array begin arraylr bold color Red 3 7 overline 22 end array begin arraylr bold color Red 3 7 overline 22 end array begin arraylr 3 7 overline 22 underline bold color Blue 21 bold color Red 1 end array begin arraylr 3 7 overline 22 underline bold color Blue 21 bold color Red 1 end array 第二位 估商估為 bold color Red 1 估商估為 bold color Red 1 減積 1 times 7 bold color Blue 7 減積 1 times 7 bold color Blue 7 300 300 0100 100 3bold color Red 1 0 310 0100 100 310 310 0bold color Red 03 0 030 begin arraylr 3_ 7 overline 22 underline 21 10 end array begin arraylr 3_ 7 overline 22 underline 21 10 end array begin arraylr 3_bold color Red 1 7 overline 22 underline 21 10 end array begin arraylr 3_bold color Red 1 7 overline 22 underline 21 10 end array begin arraylr 3_1 7 overline 22 underline 21 10 underline bold color Blue 7 bold color Red 3 end array begin arraylr 3_1 7 overline 22 underline 21 10 underline bold color Blue 7 bold color Red 3 end array 第三位 估商估為 bold color Red 4 估商估為 bold color Red 4 減積 4 times 7 bold color Red 28 減積 4 times 7 bold color Red 28 310 310 0030 030 31bold color Red 4314 0030 030 314 314 00bold color Red 02002 begin arraylr 3_1 7 overline 22 underline 217 30 end array begin arraylr 3_1 7 overline 22 underline 217 30 end array begin arraylr 3_1bold color Red 4 7 overline 22 underline 217 30 end array begin arraylr 3_1bold color Red 4 7 overline 22 underline 217 30 end array begin arraylr 3_14 7 overline 22 underline 217 30 underline bold color Blue 28 bold color Red 2 end array begin arraylr 3_14 7 overline 22 underline 217 30 underline bold color Blue 28 bold color Red 2 end array 得到 22 div 7 314 002。 而實際在計算時，會使用一個算盤同時放置商數和餘數，就是分割槽放。要如何有效利用有限的檔位，又不影響計算，其規律就是夠除，隔位置商；不夠除，挨位置商。 以密率為例，說明完整的商除法。 以 355 div 113 為例 第一位 置數 估商估為 bold color Red 3。夠除，隔位置商。 減積 3 times 113 bold color Blue 339 00355000000 bold color Red 3 0355000000 30bold color Red 016 000000 begin arraylr 113 overline bold color Red 355 end array begin arraylr bold color Red 3 113 overline 355 end array begin arraylr 3 113 overline 355 underline bold color Blue 339 bold color Red 16 end array 第二位 前次結果 估商估為 bold color Red 1。夠除，隔位置商。 減積 1 times 113 color Blue 113 31016000000 3bold color Red 1 016000000 310bold color Red 047 00000 begin arraylr 3 113 overline 355 underline 339 16 end array begin arraylr 3bold color Red 1 113 overline 355 underline 339 160 end array begin arraylr 31 113 overline 355 underline 339 160 underline bold color Blue 113 bold color Red 47 end array 第三位 前次結果 估商估為 bold color Red 4。夠除，隔位置商。 減積 4 times 113 color Blue 452 31004700000 31bold color Red 4 04700000 3140bold color Red 018 0000 begin arraylr 31 113 overline 355 underline 3503 470 end array begin arraylr 31bold color Red 4 113 overline 355 underline 3503 470 end array begin arraylr 314 113 overline 355 underline 3503 470 underline bold color Blue 452 bold color Red 18 end array 第四位 前次結果 估商估為 bold color Red 1。夠除，隔位置商。 減積 1 times 113 color Blue 113 31400180000 314bold color Red 1 0180000 31410bold color Red 067 000 begin arraylr 314 113 overline 355 underline 35482 180 end array begin arraylr 314bold color Red 1 113 overline 355 underline 35482 180 end array begin arraylr 3141 113 overline 355 underline 35482 180 underline bold color Blue 113 bold color Red 67 end array 第五位 前次結果 估商估為 bold color Red 5。夠除，隔位置商。 減積 5 times 113 color Blue 565 31410067000 3141bold color Red 5 067000 314150bold color Red 105 00 begin arraylr 3141 113 overline 355 underline 354933 67 end array begin arraylr 3141bold color Red 5 113 overline 355 underline 354933 670 end array begin arraylr 31415 113 overline 355 underline 354933 670 underline 565 105 end array 第六位。注意，這位是不夠除，挨位置商。 前次結果 估商估為 bold color Red 9。不夠除，挨位置商。 減積 9 times 113 color Blue 1017 31415010500 31415bold color Red 910500 314159bold color Red 0033 0 begin arraylr 31415 113 overline 355 underline 3549895 105 end array begin arraylr 31415bold color Red 9 113 overline 355 underline 3549895 1050 end array begin arraylr 314159 113 overline 355 underline 3549895 105 underline bold color Blue 1017 bold color Red 33 end array 第七位。 前次結果 估商估為 bold color Red 2。夠除，隔位置商。 減積 2 times 113 color Blue 226 31415900330 314159bold color Red 2 0330 31415920bold color Red 104 begin arraylr 314159 113 overline 355 underline 35499967 33 end array begin arraylr 314159bold color Red 2 113 overline 355 underline 35499967 330 end array begin arraylr 3141592 113 overline 355 underline 35499967 330 underline bold color Blue 226 bold color Red 104 end array 得 355 div 113 3141592 0000104 修正商 計算過程中，若發現所估的商過大，則要退商；若估商太小，則要補商。 歸除法 其基本想法是，將一些可能的除算先計算出結果，並將商與除數化作口訣，來加速計算除法。 除數為一位的稱為單歸法，除數為多位的，則為歸除法。 九歸訣 目前可知最早的記載為朱世傑所撰《算學啟蒙》捲上《歸除歌訣》：「 一歸如一進、見一進成十； 二一添作五、逢二進成十、四進二十、六進三十、八進四十； 三一三十一、三二六十二、逢三進成十、六進二十、九進三十； 四一二十二、四二添作五、四三七十二、逢四進成十、八進二十； 五歸添一倍、逢五進成十； 六一下加四、六二三十二、六三添作五、六四六十四、六五八十二、逢六進成十； 七一下加三、七二下加六、七三四十二、七四五十五、七五七十一、七六八十四、逢七進成十； 八一下加二、八二下加四、八三下加六、八四添作五、八五六十二、八六七十四、八七八十六、逢八進成十； 九歸隨身下、逢九進成十 」 整個歌訣的作用為，「羅列所有被除數及除數的首數的可能，得出商數和餘數」。 以三一三十一為例，第一個數字為三，是除數的首數為三，第二個數字為一，是被除數首數為一，數字雖為 1，但計算的是 1 times 10 。 而三十一意指商為 3 ，餘為 1。同樣的，三二六十二是指 20 div 3 62。逢三進成十是指 30 div 3 100。 有些語句是用下加幾來表示，是指商數不變（與被除數首數相同），餘數則為那個幾。以七二下加六為例，20 div 7 26。 五歸添一倍是指「用 5 去除一個數，相當於此數加倍」（如：30 div 5 6） 其中，部分口訣，也成了成語。如二一添作五意味兩者平分，三一三十一意味三者平分。 其他版本 也有幾種不同的版本，如簡化版：「 一歸如一進，見一進成十； 二一添作五，逢二進成十； 三一三十一，三二六十二，逢三進成十； 四一二十二，四二添作五，四三七十二，逢四進成十； 五歸添一倍，逢五進成十； 六一下加四，六二三十二，六三添作五，六四六十四，六五八十二，逢六進成十； 七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六八十四，逢七進成十； 八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四添作五，八五六十二，八六七十四，八七八十六，逢八進成十； 九歸隨身下，逢九進成十。 」 或者，改為更易理解的語句，如將「三一三十一」改為「三一三餘一」，「逢三進成十」改為「逢三進一」。如：「 一歸：逢一進一，逢二進二，逢三進三，逢四進四，逢五進五，逢六進六，逢七進七，逢八進八，逢九進九。 二歸：逢二進一，逢四進二，逢六進三，逢八進四，二一添作五。 三歸：逢三進一，逢六進二，逢九進三，三一三餘一，三二六餘二。 四歸：逢四進一，逢八進二，四二添作五，四一二餘二，四三七餘二。 五歸：逢五進一，五一倍作二，五二倍作四，五三倍作六，五四倍作八。 六歸：逢六進一，逢十二進二，六三添作五，六一下加四，六二三餘二，六四六餘四，六五八餘二。 七歸：逢七進一，逢十四進二，七一下加三，七二下加六，七三四餘二，七四五餘五，七五七餘一，七六八餘四。 八歸：逢八進一，八四添作五，八一下加二，八二下加四，八三下加六，八五六餘二，八六七餘四，八七八餘六。 九歸：逢九進一，九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加六，九七下加七，九八下加八。 」 單歸法（除數為一位） 以約率為例。 （例） 22 div 7 七歸 置數 七二下加六 商設為 2 下一檔 6 逢七進一 商 1 本檔 1。 七一下加三 商設為 1 下一檔 3 七三四餘二 商設為 4 下一檔 2 2200 bold color Red 2bold color Red 8 00 bold color Red 3100 3bold color Red 1bold color Red 3 0 31bold color Red 4bold color Red 2 begin arraylr 7 overline 22 end array begin arraylr bold color Red 2 7 overline 22 underline bold color Blue 14 bold color Red 8 end array begin arraylr bold color Red 3 7 overline 22 14 underline bold color Blue 7 bold color Red 1 end array begin arraylr 3bold color Red 1 7 overline 22 underline 21 10 underline bold color Blue 7 bold color Red 3 end array begin arraylr 31bold color Red 4 7 overline 22 underline 217 30 underline bold color Blue 28 bold color Red 2 end array 得 22 div 7 314 002 歸除法（除數為多位） 跟單歸法類似，也是藉助九歸歌。可以理解成使用九歸歌來估商。 以 12345 div 321 為例，可以先用 300 來估商，因此使用口訣中的三歸口訣。口訣已完成了 300 的減積（如「三一三餘一」中，餘一的部分已加入下一檔）。但 21 的部分仍未減積。因此歸除法區分兩個觀念：除數的首數稱為歸，除數的首數以外的數稱為除。除數為 321 的話，稱作 3 歸 21 除，意味著用 3 歸求商及其減積，再以 21 來完成乘下的減積。 減積後，有可能發現的估商需要調整。若過小，需要增商，這部分口訣中已包含「逢 n 進為十」；若過大，則需退商，則有退商口訣： 一歸：無除起一下還一 二歸：無除起一下還二 三歸：無除起一下還三 四歸：無除起一下還四 五歸：無除起一下還五 六歸：無除起一下還六 七歸：無除起一下還七 八歸：無除起一下還八 九歸：無除起一下還九 這口訣有明顯規律：「無除起（也有作「退」）一下還 n」，無需特別記憶。 另外，也有可能發現在某些情況（即除數、被除數差不多大，卻又不夠除時）下，無法估商，則使用撞歸口訣： 一歸：見一無除撞九一 二歸：見二無除撞九二 三歸：見三無除撞九三 四歸：見四無除撞九四 五歸：見五無除撞九五 六歸：見六無除撞九六 七歸：見七無除撞九七 八歸：見八無除撞九八 九歸：見九無除撞九九 這口訣也有明顯規律：「見 n 無除撞（也有作「作」）九 n」，無需特別記憶。它的意思是，在「除數、被除數的首數同為 n，卻又不夠除，直接估商為 9，下一檔要 n」時。當首數相同，卻又無法進 1 （代表 10），則估商就從 9 開始。減積後，需要在下一檔 n 。 以密率為例，因為除數為 113，故稱之為「一歸十三除」，相關口訣如下： 九歸口訣：逢一進一，逢二進二，逢三進三，逢四進四，逢五進五，逢六進六，逢七進七，逢八進八，逢九進九。 退商口訣：無除起一下還一。 撞歸口訣：見一無除撞九一。 （例）355 div 113 第一位 一歸十三除 置數 逢三進三 商為 bold color Red 3 以十三除減積 3 times 13 bold color Blue 39。 03550000000 bold color Red 3bold color Red 0 550000000 30bold color Red 16 0000000 begin arraylr 113 overline bold color Red 355 end array begin arraylr bold color Red 3 113 overline 355 underline bold color Blue 300 bold color Red 55 end array begin arraylr 3 113 overline 355 300 underline bold color Blue 39 bold color Red 16 end array 第二位 一歸十三除 前次結果 逢一進一 商為 bold color Red 1 以十三除減積 1 times 13 bold color Blue 13。 30160000000 3bold color Red 1bold color Red 0 60000000 310bold color Red 47 000000 begin arraylr 3 113 overline 355 underline 339 16 end array begin arraylr 3bold color Red 1 113 overline 355 underline 339 160 underline bold color Blue 100 bold color Red 0 60 end array begin arraylr 31 113 overline 355 underline 339 160 100 underline bold color Blue 13 bold color Red 47 end array 第三位 一歸十三除 前次結果 逢四進四 商為 bold color Red 4 以十三除減積 4 times 13 bold color Blue 52。 3104700000 31bold color Red 4bold color Red 0 700000 3140bold color Red 18 0000 begin arraylr 31 113 overline 355 underline 3503 47 end array begin arraylr 31bold color Red 4 113 overline 355 underline 3503 470 underline bold color Blue 4 00 70 end array begin arraylr 314 113 overline 355 underline 3503 470 400 underline bold color Blue 52 bold color Red 18 end array 第四位 一歸十三除 前次結果 逢一進一 商為 bold color Red 1 以十三除減積 1 times 13 bold color Blue 13。 3140180000 314bold color Red 1bold color Red 0 80000 31410bold color Red 67 000 begin arraylr 314 113 overline 355 underline 35482 18 end array begin arraylr 3141 113 overline 355 underline 35482 180 underline bold color Blue 100 bold color Red 0 80 end array begin arraylr 3141 113 overline 355 underline 35482 180 100 underline bold color Blue 13 bold color Red 67 end array 第五位 一歸十三除 前次結果 逢六進六 商為 bold color Red 6 以十三除減積 begin arrayll 6 times 13 6 times 103 bold color Blue 60 bold color Purple 18 end array 加回減積 退商 無除起一下還一 商 1 為 bold color Red 5，下一檔 1 以十三除減積 5 times 13 bold color Blue 65。 3141067000 3141bold color Red 6bold color Red 0 7000 314160bold color Red 1 000 314160bold color Red 7 000 3141bold color Red 5bold color Red 1 7000 314151bold color Red 05 00 begin arraylr 3141 113 overline 355 underline 354933 67 end array begin arraylr 3141bold color Red 6 113 overline 355 underline 354933 670 underline 600 bold color Red 0 70 end array begin arraylr 31416 113 overline 355 underline 354933 670 underline 600 70 underline bold color Blue 60 bold color Red 10 bold color Purple18 end array begin arraylr 31416 113 overline 355 underline 354933 670 underline 600 70 60 underline bold color Blue 60 bold color Red 70 end array begin arraylr 3141bold color Red 5 113 overline 355 underline 354933 670 underline 500 bold color Red 1 70 end array begin arraylr 3141bold color Red 5 113 overline 355 underline 354933 670 500 underline 65 1bold color Red 05 end array 第六位 一歸十三除 前次結果 見一無除撞九一 商為 bold color Red 9，下一檔 1 以十三除減積 9 times 13 bold color Blue 117。 3141510500 31415bold color Red 9bold color Red 1 500 314159bold color Red 033 0 begin arraylr 31415 113 overline 355 underline 3549895 105 end array begin arraylr 31415bold color Red 9 113 overline 355 underline 3549895 1050 underline bold color Blue 9 00 bold color Red 1 50 end array begin arraylr 314159 113 overline 355 underline 3549895 1050 900 underline bold color Blue 117 bold color Red 33 end array 第七位 一歸十三除 前次結果 逢三進三 商為 bold color Red 3 以十三除減積 begin arrayll 3 times 13 3 times 103 bold color Blue 30 bold color Purple 9 end array 加回減積 退商 無除起一下還一 商 1 為 bold color Red 2，下一檔 1 以十三除減積 5 times 13 bold color Blue 65。 3141590330 314159bold color Red 3bold color Red 0 30 31415930bold color Red 0 0 31415930bold color Red 3 0 314159bold color Red 2bold color Red 1 30 31415921bold color Red 04 begin arraylr 314159 113 overline 355 underline 35499967 33 end array begin arraylr 314159bold color Red 3 113 overline 355 underline 35499967 330 underline bold color Blue 3 00 bold color Red 0 30 end array begin arraylr 3141593 113 overline 355 underline 35499967 330 300 underline bold color Blue 3 0 0bold color Red 0 0 bold color Purple9 end array begin arraylr 3141593 113 overline 355 underline 35499967 330 300 30 underline bold color Blue 3 0 0bold color Red 3 0 end array begin arraylr 314159bold color Red 2 113 overline 355 underline 35499967 330 underline bold color Blue 2 00 bold color Red 1 30 end array begin arraylr 314159bold color Red 2 113 overline 355 underline 35499967 330 200 underline bold color Blue 26 1bold color Red 04 end array 得 355 div 113 3141592 0000104。 湊倍除法 或稱累減除法、大扒皮，首見於《九章詳註比類演算法大全》，是一種不用九九乘法而用累減的計算方式。 開平方 開平方必須至少三副都是至少十三檔算盤，一副是根，一副是廉，一副是隅 驗算 還原驗演算法 一、交換律 加法算式：被加數 加數 和數 驗算公式：加數 被加數 和數 減法算式：被減數 減數 差數 驗算公式：被減數 差數 減數 乘法算式：被乘數 乘數 積 驗算公式：乘數 被乘數 積 二、逆運算 加法算式：被加數 加數 和數 驗算公式：和數 加數 被加數 或 和數 被加數 加數 減法算式：被減數 減數 差數 驗算公式：差數 減數 被減數 乘法算式：被乘數 乘數 積 驗算公式：積 被乘數 乘數 除法算式：被除數 除數 商 及餘數 驗算公式：除數 商 餘數 被除數 三、尾錯復尾 只再計算最後幾位數一次 九餘數法 只能驗加法，減法，乘法和乘冪 範例一、 123456599 1231236 mod 9 4564566 mod 9 5995995 mod 9 因 663 mod 9 不等於 5 mod 9 所以計算錯誤，正確答案是 579 範例二、 12345668934 1231236 mod 9 4564566 mod 9 68934689343 mod 9 因 660 mod 9 不等於 3 mod 9 所以計算錯誤，正確答案是 56088 範例三、 226853369780 224 mod 9 685 mod 9 538 mod 9 3697803697806 mod 9 因 4587 mod 9 不等於 6 mod 9 所以計算錯誤，正確答案是 79288 範例四、 234367981 234444 mod 9 367981347 mod 9 因 4 mod 9 不等於 7 mod 9 所以計算錯誤，正確答案是 279841 九餘數法不能查到答案是換位錯誤 error of transposition 的問題，例如計算岀 567 但正確答案是 576 便會顯示正確。勿過度倚賴九餘數法。 九除法 十一除法 二除法 珠算競技 珠算競技可分為珠算競技和心算競技兩大類，心算競技是運用珠算式心算技巧。 參考文獻 外部連結 珠算全球資訊網 中華民國兒童珠算協會／中華珠算心算教育協會 世界珠心算網 參見 算盤 籌算 心算 《演算法統宗》 Category 中國人類非物質文化遺產代表作