在數論中，對正整數 n，尤拉函式 varphi n 是小於等於 n 的正整數中與 n 互質的數的數目。此函式以其首名研究者尤拉命名，它又稱為 φ 函式（由高斯所命名）或是尤拉總計函式（totient function，由西爾維斯特所命名）。 例如，因為 1、3、5 和 7 均與 8 互質。 尤拉函式實際上是模 n 的同餘類所構成的乘法群（即環 mathbb Znmathbb Z 的所有單位元組成的乘法群）的階。這個性質與拉格朗日定理一起構成了尤拉定理的證明。 歷史：尤拉函式與費馬小定理 1736 年，尤拉證明瞭費馬小定理 Mathematical Thought From Ancient to Modern Times 第 2 卷，p608： 假若 p 為質數，a 為任意正整數，那麼 ap a 可被 p 整除。 然後尤拉予以一般化： 假若 a 與 n 互質，那麼 avarphi n 1 可被 n 整除。亦即，avarphi n equiv 1 pmod n。 其中 varphi n 即為尤拉總計函式。如果 n 為質數，那麼 varphi n n 1，因此，有高斯的版本 Mathematical Thought From Ancient to Modern Times 第 3 卷，p814： 假若 p 為質數，a 與 p 互質（a 不是 p 的倍數），那麼 ap1 equiv 1 pmod p。 尤拉函式的值 以下為 n 為 1 至 100 時，對應 varphi n 的值 for 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 10 4 12 6 8 8 16 6 18 8 20 12 10 22 8 20 12 18 12 28 8 30 30 16 20 16 24 12 36 18 24 16 40 40 12 42 20 24 22 46 16 42 20 50 32 24 52 18 40 24 36 28 58 16 60 60 30 36 32 48 20 66 32 44 24 70 70 24 72 36 40 36 60 24 78 32 80 54 40 82 24 64 42 56 40 88 24 90 72 44 60 46 72 32 96 42 60 40 若 n 有標準分解 p_1k_1 p_2k_2 cdots p_rk_r（其中各 p_i 為互異的質因子，各 k_i ge 1 為質因子的次數），則尤拉函式在該處的值為 varphi n p_1k_11 p_2k_2 1 cdots p_rk_r 1 p_1 1 p_2 1 cdots p_r 1 亦可等價地寫成 varphi n n left 1 frac 1p_1rightleft 1 frac 1p_2right cdots left 1 frac 1p_rright 此結果可由 varphi 在質數冪處的取值，以及其積性得到。 質數冪處取值 最簡單的情況有 varphi 1 1 （小於等於 1 的正整數中唯一和 1 互質的數就是 1 本身）。 一般地，若 n 是質數 p 的 k 次冪，則 varphi nvarphi pkpkpk1p1 pk1，因為除了 p 的倍數外，其他數都跟 n 互質。 積性 尤拉函式是積性函式，即是說若 mn 互質，則 varphi mnvarphi mvarphi n。使用中國剩餘定理有較簡略的證明：設 A B C 是跟 m n mn 互質的數的集，據中國剩餘定理，A times B 和 C 可建立雙射（一一對應）關係，因此兩者元素個數相等。 較詳細的證明如下： 設 Nmn，且 Nk_1mpk_2nq。若 N 與 mn 互質，則 N 與 m、n 均互質。又因為 k_1mpmpmk_2nqnqn，若 pq 分別與 mn 互質，則 N 一定和 mn 互質。反之亦然，即若 N 與 mn 互質，則亦有 pq 分別與 mn 互質。 由中國剩餘定理，方程組 leftbegin matrix N equiv p pmod m N equiv q pmod n end matrix right 的通解可以寫成 Nkmnpt_1nqt_2m k in mathbb Z 其中 t_1 t_2 為固定的整數，故二元組 pq（要滿足 0 p le m 0 q le n p m 1 q n 1）與小於 mn 且與 mn 互質的正整數 N 一一對應。 由 varphi 的定義（和乘法原理），前一種數對 pq 的個數為 varphi mvarphi n。而後一種數 N 的個數為 varphi mn。 所以，varphi mnvarphi mvarphi n 公式的證明 結合以上兩小節的結果可得：若 n 有質因數分解式 n p_1k_1 p_2k_2 cdots p_rk_r，則 zhhant quadbegin alignvarphi n varphileft prod_i1r p_ik_iright prod_i1r varphileft p_ik_iright text （ 積 性 ） prod_i1r p_ik_i1p_i1 text （ 質 數 冪 處 取 值 ） nprod_i 1r left 1frac 1p_irightend align zhhans quadbegin alignvarphi n varphileft prod_i1r p_ik_iright prod_i1r varphileft p_ik_iright text （ 積 性 ） prod_i1r p_ik_i1p_i1 text （ 質 數 冪 處 取 值 ） nprod_i 1r left 1frac 1p_irightend align 例子 計算 72 23 times 32 的尤拉函式值： varphi 72varphi 23times3223121times3213122times1times3times224 性質 n 的尤拉函式 varphi n 也是迴圈群 Cn 的生成元的個數（也是 n 階分圓多項式的次數）。Cn 中每個元素都能生成 Cn 的一個子群，即必然是某個子群的生成元。而且按照定義，不同的子群不可能有相同的生成元。此外， Cn 的所有子群都具有 Cd 的形式，其中 d 整除 n（記作 d n）。因此只要考察 n 的所有因數 d，將 Cd 的生成元個數相加，就將得到 Cn 的元素總個數：n。也就是說： sum_dmid nvarphi dn 其中的 d 為 n 的正約數。 運用默比烏斯反轉公式來 翻轉 這個和，就可以得到另一個關於 varphi n 的公式： varphi nsum_dmid n d cdot mu nd 其中 μ 是所謂的默比烏斯函式，定義在正整數上。 對任何兩個互質的正整數 a m（即 gcd am 1），mge2，有 avarphi m equiv 1 pmod m 即尤拉定理。 這個定理可以由群論中的拉格朗日定理得出，因為任意與 m 互質的 a 都屬於環 mathbb Znmathbb Z 的單位元組成的乘法群 mathbb Znmathbb Ztimes 當 m 是質數 p 時，此式則為： ap1 equiv 1 pmod p 即費馬小定理。 尤拉商數 尤拉商數（totient number）指的是尤拉函式的值，也就是說，若是一個尤拉商數，那至少存在一個，使得。而尤拉商數的「重複度」（valency 或 multiplicity），指的是這等式的解數。Guy 2004 p144 相對地，一個非尤拉商數指的是不是尤拉商數的自然數。顯然所有大於 1 的奇數都是非尤拉商數，此外也存有無限多的偶數是非尤拉商數，Sándor Crstici 2004 p230 且所有的正整數都有一個倍數是非尤拉商數。 不大於的尤拉商數個數可由以下公式給出： frac xlog x ebig Co 1biglogloglog x2 其中。 考慮重複度，那麼不大於的尤拉商數個數可由以下公式給出： Bigvertn varphi n le x Bigvert frac zeta 2zeta 3zeta 6 cdot x R x 其中對任意正數而言，誤差項至多與成比例。Sándor et al 2006 p22 目前已知對於任意的而言，有無限多個，其重複度超過。Sándor et al 2006 p21Guy 2004 p145 Ford 定理 證明說對於任意整數而言，總存在一個尤拉商數，其重複度為，也就是說總有數字使得這等式有剛好個解。這結果由瓦茨瓦夫謝爾賓斯基所猜測，Sándor Crstici 2004 p229 且是的一個結果。事實上，對於任何出現的重複度而言，該重複度會出現無限多次。 然而，沒有任何數字的重複度為。講的是沒有的重複度為。Sándor Crstici 2004 p228 完全尤拉商數 完全尤拉商數（perfect totient number）是一個等同於其尤拉函式迭代總和的整數，也就是說，如果將尤拉函式套用在一個正整數 n 之後，並將尤拉函式套用在如此所得的結果上，如此下去，直到最後得到 1 為止，並將這一系列的數給加總起來。若這總和為 n，那麼 n 就是一個完全尤拉商數。 生成函式 以下兩個由尤拉函式生成的級數都是來自於上節所給出的性質：sum_dn varphi d n。 由 varphi n 生成的狄利克雷級數是： sum_n1infty frac varphi nnsfrac zeta s1zeta s 其中 ζs 是黎曼 ζ 函式。推導過程如下： zeta s sum_f1infty frac varphi ffs left sum_g1infty frac 1gsrightleft sum_f1infty frac varphi ffsright sum_h1infty left sum_fgh 1 cdot varphi gright frac 1hs sum_h1infty left sum_fgh varphi gright frac 1hs sum_h1infty left sum_dh varphi dright frac 1hs 使用開始時的等式，就得到：sum_h1infty left sum_dh varphi dright frac 1hs sum_h1infty frac hhs 於是 sum_h1infty frac hhs zeta s1 尤拉函式生成的朗貝級數如下： sum_n1infty frac varphi n qn1qn frac q1q2 其對於滿足 q1 的 q 收斂。 推導如下： sum_n1infty frac varphi n qn1qn sum_n1infty varphi n sum_rge 1 qrn 後者等價於： sum_kge 1 qk sum_nk varphi n sum_kge 1 k qk frac q1q2 尤拉函式的走勢 隨著 n 變大，估計 varphi n 的值是一件很難的事。當 n 為質數時，varphi nn1，但有時 varphi n 又與 n 差得很遠。 在 n 足夠大時，有估計： 對每個 ε 0，都有 n N ε 使得 n1varepsilonvarphi nn 如果考慮比值： varphi nn 由以上已經提到的公式，可以得到其值等於類似 1p1 的項的乘積。因此，使比值小的 n 將是兩兩不同的質數的乘積。由素數定理可以知道，常數 ε 可以被替換為： Clog log n log n varphi 就平均值的意義上來說是與 n 很相近的，因為： frac 1n2 sum_k1n varphi k frac 3pi2 mathcal Oleft frac log nnright 其中的 O 表示大 O 符號。這個等式也可以說明在集合 1 2 n 中隨機選取兩個數，則當 n 趨於無窮大時，它們互質的機率趨於 6pi2 。一個相關的結果是比值 varphi nn 的平均值： frac 1n sum_k1n frac varphi kk frac 6pi2 mathcal Oleft frac log nnright 其他與尤拉函式有關的等式 varphileft nmright nm1varphi n forall a in N forall n in N exists l in N 使得 a1 land n 1rightarrow lvarphi an1 land l geq n forall a in N forall n in N exists l in N 使得 a1 land n 6 land 4 nmid n rightarrow lvarphi an1 land l geq 2n sum_d mid n frac mu2 dvarphi d frac nvarphi n sum_1le kle n atop kn1k frac 12 nvarphi ntext for n1 sum_k1nvarphi k frac 12left 1 sum_k1n mu kleftlfloorfrac nkrightrfloor2right sum_k1nfrac varphi kk sum_k1nfrac mu kkleftlfloorfrac nkrightrfloor sum_k1nfrac kvarphi k mathcal On sum_k1nfrac 1varphi k mathcal Olog n 與尤拉函式有關的不等式 varphi n frac n egamma log log n frac 3 log log n ，其中 n 2，γ 為尤拉 馬歇羅尼常數。 varphi n ge sqrt frac n 2 ，其中 n 0。 對整數 n 6， varphi n ge sqrt n 。 當 n 為質數時，顯然有 varphi n n1。對於合數的 n，則有： varphi n le nsqrt n 未解決問題 萊默的尤拉函式問題 若是質數，則有。1932 年，德里克亨利萊默問說是否有合成數使得整除。目前未知是否有這樣的數存在。Ribenboim pp 3637 1933 年萊默證明說若有這樣的 n，那麼 n 必然是奇數、必然是無平方因子數，且必然有至少七個不同的質因數（omega nge7）。1980 年，Cohen 和 Hagis 證明瞭說，若這樣的 n 存在，則 n 1020 且 n 有至少 14 個不同的質因數（omega nge14）；此外，Hagis 證明瞭說若這樣的 n 存在且可被 3 除盡，那麼 n 101937042 且 n 有至少 298848 個不同的質因數（omega nge298848）。Guy 2004 p142 卡邁克爾猜想的尤拉函式猜想 此猜想認為說不存在正整數，使得對於所有其他的而言，在的狀況下必有。可見上述 Ford 定理一節的說明。 若有一個如此的反例存在，就必有無限多的反例存在，而最小的可能反例，在十進位下，其位數超過一百億。 黎曼猜想 黎曼猜想成立，當且僅當以下不等式對所有的成立。此處的是最初的個質數的乘積： frac nvarphi negamma loglog nfrac egamma 4gammalog 4pisqrt log n 此處的是尤拉常數。 Corollary 535 程式程式碼 C template typename T inline T phi T n T ans n for T i 2 i i n i if n i 0 ans ans i i 1 while n i 0 n i if n 1 ans ans n n 1 return ans 參考來源 Milton Abramowitz、Irene A Stegun， Handbook of Mathematical Functions， 1964 Dover Publications New York ISBN 0486612724 2432 節 Eric Bach、Jeffrey Shallit， Algorithmic Number Theory 卷 1 1996 MIT Press ISBN 0262024055 88 節，234 頁 Kevin Ford The number of solutions of φxm Ann of Math 150 1999 283311 柯召，孫琦：數論講義（上冊），第二版，高等教育出版社，2001 文獻來源 參考資料 Category 同餘 Category 積性函式 Category 包含證明的條目 Category 代數 Category 數論 Category 萊昂哈德尤拉