變異數又稱 zhcn 變異數；zhhk 變異數；zhtw 方差、變方，在機率論及統計學中，描述的是一個隨機變數的離散程度，即一組數字與其平均值之間的距離的度量，是隨機變數與其總體均值或樣本均值的離差的平方的期望值。方差在統計中有非常核心的地位，其應用領域包括描述統計學、推論統計學、假說檢定、度量擬合優度，以及蒙特卡洛取樣。由於科學分析經常涉及統計，方差也是重要的科研工具。方差是標準差的平方、分佈的二階矩，以及隨機變數與其自身的協方差，其常用的符號表示有 sigma2、s2、operatorname VarX、V X，以及 mathbb VX。 方差作為離散度量的優點是，它比其他離散度量（如平均差）更易於代數運算；例如，一組不相關的隨機變數和的方差等於它們方差的和。在實際應用中，方差的一個缺點是它與隨機變數的單位不同，而標準差則單位相同，這就是計算完成後通常採用標準差來衡量離散程度的原因。 有兩個不同的概念都被稱為 方差。一種如上所述，是理論機率分佈的方差。而另一種方差是一組觀測值的特徵。觀測值通常是從真實世界的系統中測量的。如果給出系統的所有可能的觀測，則它們算出的方差稱為總體方差；然而，一般情況下我們只使用總體的一個子集（樣本），由此計算出的方差稱為樣本方差。用樣本計算出的方差可認為是對整個總體的方差的估計量。 方差的正平方根稱為該隨機變數的標準差；方差除以期望值歸一化的值叫分散指數；標準差除以平均值歸一化的值叫變異係數。 定義 設為服從分佈的隨機變數，如果是隨機變數的期望值（均值），則隨機變數或者分佈的方差為的離差平方的期望值： operatorname VarX operatorname Eleft X mu2 right 這個定義涵蓋了連續、離散，或兩者皆非的隨機變數。方差亦可視作隨機變數與自身的協方差： operatorname VarX operatorname CovX X 方差也等價於生成的機率分佈的二階累積量。方差的常用的表達有 operatorname VarX，有時作 V X 或 mathbb VX，也可寫作符號 sigma2_X 或 sigma2（讀作 sigma 方）。方差的表示式可展開如下： begin align operatorname VarX operatorname Eleft X operatorname EX2right 4pt operatorname Eleft X2 2Xoperatorname EX operatorname EX2right 4pt operatorname Eleft X2right 2operatorname EXoperatorname EX operatorname EX2 4pt operatorname Eleft X2 right operatorname EX2 end align 也就是說，的方差等於平方的均值減去均值的平方。該等式不應該用於浮點運算，因為如果等式的兩個成分大小相似，將會造成災難性抵消。 離散隨機變數 如果隨機變數是具有機率質量函式的離散隨機分佈，則： operatorname VarX sum_i1n p_icdot x_i mu2 sum_i1n p_icdot x_i2 mu2 此處 mu 是其期望值，即： mu sum_i1n p_icdot x_i x_i 表示實現值 realized value 當為有個相等機率值的離散型均勻分佈時： mu frac 1nsum_i1n x_i operatorname VarX sigma2 frac 1n sum_i1n x_i mu2 frac 1n left sum_i1n x_i2 nmu2 right frac sum_ i 1n x_i2 n mu2 個相等機率值的方差亦可以點對點間的方變量表示為： operatorname VarX frac 1n2 sum_i1n sum_j1n frac 12x_i x_j2 連續型隨機變數 如果隨機變數是連續分佈，機率密度函式為，相應的累積分佈函式為，則其方差為： begin align operatorname VarX sigma2 int_R xmu2 f x dx 4pt int_R x2f xdx 2muint_R xf xdx mu2int_R f xdx 4pt int_R x2 dF x 2 mu int_R x dF x mu2 int_R dF x 4pt int_R x2 dF x 2 mu cdot mu mu2 cdot 1 4pt int_R x2 dF x mu2 end align 或等價地： operatorname VarX int_R x2 f x dx mu2 其中 mu 為 X 的期望值，其計算方法如下： mu int_R x f x dx int_R x d F x 這些公式中，dx 和 dF x 的積分分別為勒貝格積分和。 若函式 x2f x 在每個有限區間 absubsetR 都是黎曼可積的，則： operatorname VarX intinfty_infty x2 f x dx mu2 該積分為非正常黎曼積分。 常見機率分佈 下表列出了一些常用機率分佈的方差。 機率分佈型別 機率分佈函式 均值 方差 二項式分佈 PrXk binom nk pk 1 pnk np np 1 p 幾何分佈 PrXk 1 pk1 p frac 1p frac 1 pp2 正態分佈 fleft x mid mu sigma2right frac 1sqrt 2pisigma2 efrac x mu22sigma2 mu sigma2 連續型均勻分佈 f x mid a b begin cases frac 1b a text for a le x le b 3pt 0 text for x a text or x b end cases frac a b2 frac b a212 指數分佈 f x mid lambda lambda elambda x frac 1lambda frac 1lambda2 卜瓦松分佈 f k mid lambda frac elambdalambdakk lambda lambda 特性 方差不會是負的，因為平方運算結果為非負數： operatorname VarXge 0 一個常數隨機變數的方差為零。反之，若有限個陣列成的資料集方差為零，則其內所有數皆相等。對於一般隨機變數，也有類似結論，即方差為零推出該變數幾乎總是取同一個值： P Xa 1Leftrightarrow operatorname VarX 0 方差不變於定位引數的變動。也就是說，如果一個常數被加至一個數列中的所有變數值，此數列的方差不會改變： operatorname VarXaoperatorname VarX 如果所有數值被放大一個常數倍，方差會放大此常數的平方倍： operatorname VaraXa2operatorname VarX 兩個隨機變數合的方差為： operatorname VaraXbYa2operatorname VarXb2operatorname VarY2ab operatorname CovXY operatorname VarXYoperatorname VarXoperatorname VarY2 operatorname CovXY 此處代表共變異數。 對於 N 個隨機變數 X_1dotsX_N 的總和： operatorname Varleft sum_i1N X_irightsum_ij1Noperatorname CovX_iX_jsum_i1Noperatorname VarX_isum_ine joperatorname CovX_iX_j 在樣本空間 Ω 上存在有限期望和方差的隨機變數構成一個希爾伯特空間：，不過這裡的內積和長度跟協方差，標準差還是不大一樣。所以，我們得把這個空間 除 常變數構成的子空間，也就是說把相差一個常數的所有原來那個空間的隨機變數做成一個等價類。這還是一個新的無窮維線性空間，並且有一個從舊空間內積誘匯出來的新內積，而這個內積就是協方差。 總體方差和樣本方差 總體方差 一般而言，一個有限的容量為、元素的值為的總體的總體方差為： begin align sigma2 frac 1N sum_i1N left x_i muright2 frac 1N sum_i1N left x_i2 2mu x_i mu2 right 5pt left frac 1N sum_i1N x_i2right 2mu left frac 1N sum_i1N x_iright mu2 5pt left frac 1N sum_i1N x_i2right mu2 end align 其中總體均值為： mu frac 1N sum_i1N x_i 總體方差也可用下式計算： sigma2 frac 1 N2sum_ijleft x_ix_j right2 frac 12N2 sum_i j1Nleft x_ix_j right2 該式成立，是因為： begin align frac 12N2 sum_i j1Nleft x_i x_j right2 5pt frac 12N2 sum_i j1Nleft x_i2 2x_i x_j x_j2 right 5pt frac 12N sum_j1Nleft frac 1N sum_i1N x_i2right left frac 1N sum_i1N x_irightleft frac 1N sum_j1N x_jright frac 12N sum_i1Nleft frac 1N sum_j1N x_j2right 5pt frac 12 left sigma2 mu2 right mu2 frac 12 left sigma2 mu2 right 5pt sigma2 end align 總體方差與生成該總體的機率分佈的方差相匹配。因此，總體 的概念可推廣到具有無限總體的連續隨機變數。 樣本方差 有偏樣本方差 在許多實際情況下，總體的真實方差無法事先知道，必須以某種方式計算出來。在面對非常大的總體時，不可能計算總體中的每一個元素，因此必須從總體中抽取樣本進行計算。Navidi William 2006 Statistics for Engineers and Scientists McGrawHill pg 14 樣本方差還可以應用於用連續分佈的樣本來估計該分佈的方差。 下面我們從總體中有放回抽取個數值，其中，並用該樣本來估計總體的方差。Montgomery D C and Runger G C 1994 Applied statistics and probability for engineers page 201 John Wiley Sons New York 直接使用樣本資料的方差，得到的是的均值： sigma_Y2 frac 1n sum_i1n left Y_i overline Yright2 left frac 1n sum_i1n Y_i2right overline Y2 frac 1n2 sum_ijijleft Y_i Y_jright2 此處，overline Y 表示： overline Y frac 1n sum_i1n Y_i 由於是隨機選取的，overline Y 和 sigma_Y2 都是隨機變數。它們的期望值可以用從總體中抽取的所有可能的容量為的的樣本集合來估計。對於 sigma_Y2 即為： begin align operatorname Esigma_Y2 operatorname Eleft frac 1n sum_i1n left Y_i frac 1n sum_j1n Y_j right2 right 5pt frac 1n sum_i1n operatorname Eleft Y_i2 frac 2n Y_i sum_j1n Y_j frac 1n2 sum_j1n Y_j sum_k1n Y_k right 5pt frac 1n sum_i1n left frac n 2n operatorname Eleft Y_i2right frac 2n sum_j neq i operatorname Eleft Y_i Y_jright frac 1n2 sum_j1n sum_k neq jn operatorname Eleft Y_j Y_kright frac 1n2 sum_j1n operatorname Eleft Y_j2right right 5pt frac 1n sum_i1n left frac n 2n left sigma2 mu2right frac 2n n 1mu2 frac 1n2 n n 1mu2 frac 1n left sigma2 mu2right right 5pt frac n 1n sigma2 end align 因此，sigma_Y2 給出的是總體方差的有偏估計量，偏差為 frac n 1n。因此，sigma_Y2 稱為有偏樣本方差。 無偏樣本方差 將偏差糾正後，可得到無偏樣本方差，記為 s2： s2 frac nn 1 sigma_Y2 frac nn 1 left frac 1n sum_i1n left Y_i overline Yright2 right frac 1n 1 sum_i1n left Y_i overline Y right2 當語境明確時，兩個估計量都可以簡稱為 樣本方差。同樣的證明也適用於取自連續機率分佈的樣本。 其中，對的使用稱為，它也用於和樣本標準差（方差的平方根）。平方根是一個凹函式，因此會引入負偏差（根據簡森不等式），具體取決於分佈，因此校正的樣本標準差（使用貝塞爾校正）是有偏的。是一個技術上覆雜的問題，不過對於正態分佈，使用能得到幾乎無偏的估計值。 無偏樣本方差是函式的 U 統計量。 一般化 如果是一個向量其取值範圍在實數空間，並且其每個元素都是一個一維隨機變數，我們就把稱為隨機向量。隨機向量的方差是一維隨機變數方差的自然推廣，其定義為，其中，是的轉置。這個方差是一個非負定的方陣，通常稱為協方差矩陣。 如果是一個複數隨機變數的向量（向量中每個元素均為複數的隨機變數），那麼其方差定義則為，其中是的共軛轉置向量或稱為埃爾米特向量。根據這個定義，變異數為實數。 歷史 「方差」（variance）這個名詞率先由羅納德費雪在論文《》Ronald Fisher（1918）The correlation between relatives on the supposition of Mendelian Inheritance 中提出。 後來方差逐漸衍生出了「半方差」（semivariance）、「亞方差」（hypo variance）、「超方差」（super variance）、「」（circular variance）與「倒方差」（inverse variance）等概念。 半方差 半方差的計算方式與方差類似，但是隻包括了低於均值的觀測值： text Semivariance 1over nsum_ix_i mux_imu2 半方差在不同應用領域也被用作特殊的量度。對於偏態分佈，半方差能提供方差所不能提供的額外資訊。 參見 方差分析 標準差 標準離差率 變異係數 異方差 最小平方頻譜分析法 離散程度 方差型別 相關 機率論 可解釋變異 合併方差 參考文獻 Category 統計學 Category 統計偏差和離散度