傅立葉變換（，，縮寫：FT）是一種線性變換，通常定義為一種積分變換。其基本思想是一個函式可以用（可數或不可數，可數的情況對應於傅立葉級數）無窮多個週期函式的線性組合來逼近，從而這些組合係數在保有原函式的幾乎全部資訊的同時，還直接地反映了該函式的 頻域特徵。因其基本思想首先由法國學者約瑟夫傅立葉系統地提出，所以以其名字來命名以示紀念。在現代數學理論中，傅立葉積分變換可以得到各種推廣，並在分析學中有廣泛應用，構成了調和分析這一數學領域。 經過傅立葉變換生成的函式 hat f 稱作原函式 f 的傅立葉變換，應用意義上稱作頻譜。在特定情況下，傅立葉變換是可逆的，即將 hat f 透過逆變換可以得到其原函式 f。通常情況下，f 是一個實函式，而 hat f 則是一個複數值函式，其函式值作為複數可同時表示振幅和相位。 定義 對於不同種類的函式，有一些不同版本的傅立葉變換的定義。對於定義在歐幾里得空間 mathbb Rd 上的函式，可給出通常的連續傅立葉變換；對於定義在 d 維環面 mathbb Td 上的函式，或者說週期函式，就給出傅立葉級數。進行傅立葉變換的函式的定義域可以推廣到拓撲群，如區域性緊交換群。 若「傅立葉變換」一詞不加任何限定語，則往往是指所謂「連續傅立葉變換」，下文我們預設討論連續傅立葉變換。其他的常見變種列於傅立葉變換的其他變種一節。 傅立葉積分變換 對於一個多實變數的複函式 fmathbb Rdto mathbb C ，其傅立葉變換的結果（記作 hat fmathbb Rdto mathbb C 或 mathcal F f ）最常見的定義方式是下面的傅立葉積分 mathcal F fmathbf k hat fmathbf k int_mathbb Rd f mathbf x e 2pi i mathbf kcdot mathbf x mathrm dmathbf x 稱為傅立葉積分變換，其中粗體的 mathbf xmathbf kinRd 是 d 維實向量，點乘號 cdot 則表示歐幾里得內積。值得一提的是，不同的作者可能在定義中對積分號前的係數 1 和指數上的係數 2pi i 進行調整，不同領域有不同的慣用約定，參見變換引數的常見約定。 常可定義另一積分變換 mathcal F1 ： mathcal F1fmathbf x check fmathbf x int_mathbb Rd f mathbf k e2pi i mathbf xcdot mathbf k mathrm dmathbf k 它稱作傅立葉積分逆變換，滿足 mathcal Fcircmathcal F1mathrm id。 若某函式的傅立葉積分不收斂，則這一版本的傅立葉變換對其就無法定義；即便傅立葉積分收斂，所得的函式的積分逆變換也可能不收斂；或者這兩個變換非互逆關係。所以須瞭解什麼樣的函式是可變換的，而且滿足不同假設的函式的傅立葉變換可能性質不同。 另外，可行上述變換的函式太少，如各種多項式函式都無法用上面的積分定義，這些情況對於訊號頻域分析等直接應用而言也十分重要，從而有必要進行推廣，這就是下面幾小節的主題。 收斂性 對於一個 mathbb Rd 上的連續函式 f 而言，要使其黎曼積分收斂，主要需限制其在趨向無窮遠時的衰減速度。為使前述傅立葉積分收斂，可以考慮使得 xdepsilonf x 有界的連續函式 f ，其中 epsilon0 。容易驗證這些函式在通常加法和數乘下構成一個向量空間，記作 mathcal M_epsilon 。這些函式都是黎曼可積的，並且乘上模為 1 的指數函式所得函式仍在 mathcal M_epsilon 中，也就是說其傅立葉積分也是收斂的。 速降函式 mathcal M_epsilon 上的傅立葉變換已具備許多良好的性質。然而，由於未必有 fin M_epsilon implies hat fin M_epsilon ，所以 mathcal Fmathcal M_epsilontomathcal M_epsilon 可能不具可逆性。一些分析表明， hat f 趨向無窮遠時的衰減行為與 f 的連續性與可微性有關：為使 hat f 更快地衰減， f 應具有更好的光滑性，反過來也一樣。這啟發我們研究所謂速降函式，其任意階導數的衰減速度都快於任意負冪次函式，其構成的向量空間稱為速降函式空間，記作 mathcal S 。速降函式的傅立葉變換仍是速降函式，那麼上面的積分逆變換可以定義在整個 mathcal S 上。可以證明該積分確實是逆變換，於是傅立葉積分變換是 mathcal S 上的一個自同構。 勒貝格積分與勒貝格可積函式 上述積分變換是基於黎曼積分的。然而相比之下，使用基於測度的勒貝格積分來定義傅立葉積分變換有許多的優勢。下文提到傅立葉積分變換時都預設是勒貝格積分意義上的。 mathbb Rd 上全體勒貝格可積的函式構成的向量空間記作 L1 mathbb Rd 或此處省略地記為 L1 ，其是 Lp 空間的一種。對於勒貝格可積函式 fin L1 而言，由於 f x e2pi i mathbf kcdot mathbf xf xe2pi i mathbf kcdot mathbf xf x ，f x e2pi i mathbf kcdot mathbf x 也是勒貝格可積的，也就是說傅立葉積分變換在 L1 上有定義。 一般來說可積函式 fin L1 的傅立葉變換 hat f 未必是可積的。但對於其中可積的 hat fin L1 可以證明，積分逆變換 int_mathbb R_d hat f mathbf k e2pi i mathbf xcdot mathbf k mathrm dmathbf k 對於 mathbf xin mathbb Rd 幾乎處處收斂於 f mathbf x 。 平方可積函式 對於勒貝格積分定義的傅立葉積分變換而言，它仍是速降函式空間 mathcal S 上的自同構。更具體地說，這是一個連續線性等距自同構（可查閱連續線性運算元以瞭解可能匯出的其他性質；另，這裡所涉及的範數是 L2 範數）。 一個重要的事實是， mathcal S 在平方可積函式空間 L2 中稠密，而 L2 是一個希爾伯特空間。這意味著 mathcal S 上的任一連續線性運算元可以到 L2 上且保持連續性，且這樣的擴張唯一。也就是說，若可找到速降函式序列 f_n 收斂於一個平方可積函式 f ，那麼 f 的傅立葉變換可定義為序列 hat f_n 的極限，而不產生收斂性與對 f_n 選擇的依賴問題。 更進一步地，這個擴張還可以保持等距同構性質，在 L2 上滿足這一性質意味著傅立葉變換是一個么正運算元，這就是普朗歇爾定理的內容。 這一變換並不對於所有的平方可積函式都具有一個積分定義式，對於補集 L2 setminus L1 中的函式則需要透過極限來定義。故不再稱其為積分變換，而是稱為傅立葉 普朗歇爾變換或簡單稱為傅立葉變換或普朗歇爾變換。 緩增分佈 如前面所提到的，非零多項式函式不是可積或平方可積的，從而無法使用上面的方法來定義傅立葉變換。這一點可以透過考慮來解決。 分佈（也稱為是一種廣義函式）是測試函式空間上的連續線性泛函（即，該空間的連續對偶空間的成員）。而緩增分佈則是以速降函式為測試函式的情況。 緩增分佈 f 的傅立葉變換 hat f 定義為 hat fmathcal Sto mathbb Cvarphimapsto f hat varphi 也就是說，若記 mathcal S 上的傅立葉變換為 mathcal F_0 、 mathcal S 的連續對偶空間為 mathcal S ，則 mathcal F_0 的共軛運算元 mathcal F_0 在 mathcal S 上的限制就是緩增分佈的傅立葉變換。 這個變換也是可逆的，並且在某種意義上是 mathcal F_0 的擴張，也就是說可以用它來變換的函式比 mathcal S 中的更多。為說明這一點，下面在一維情況下舉些例子。 例子 對於實軸上的速降函式 ginmathcal S R ，其有這樣唯一一個由積分定義的連續線性泛函 g 與之對應（這一點實際上只需區域性可積函式）： gvarphimapstoint_mathbb R varphi x g x mathrm d x 現在對其做傅立葉變換，得到 hat gvarphiint_mathbb R hatvarphi x g x mathrm d xint_mathbb R varphi xhat gxmathrm d x 其中第二個等號源於 mathcal F_0 的如下性質（由富比尼定理易證）： int_mathbb Rd hatpsi mathbf xphi mathbf x mathrm dmathbf xint_mathbb Rd psi mathbf xhatphi mathbf x mathrm dmathbf x 由此可看出線性泛函 hat g 以前述的方式唯一對應於函式 hat g （唯一性在這樣意義上理解：對應相同線性泛函的函式幾乎處處相等）。在這個意義上它對於 ginmathcal S 是與 mathcal F_0 的定義相重合的。 然而並非所有連續線性泛函都有這樣的積分表示，如所謂求值泛函。0 處的求值泛函作用於每個函式時，都給出該函式在 0 處的值： delta_0mathcal Sto mathbb Cvarphimapsto varphi 0 它正是所謂狄拉克 δ 函式，其傅立葉變換滿足 hat delta_0varphidelta_0 hat varphihatvarphi 0int_mathbb R varphi x mathrm d x 而這正是常值函式 1 如前述方式對應的線性泛函 1 。也就是說在這個意義上，狄拉克 δ函式 的傅立葉變換是 1 。從頻譜意義上理解，這意味著常值函式的頻譜集中在零頻率處（或者說週期無窮大） expleft ikxright_k01 的情況。 變換引數的常見約定 如前面提到的，傅立葉積分變換中有可調整的引數，對它們的調整不會造成變換性質的顯著變化，而僅僅是對變換結果的定義域或值域進行了放縮。透過顯式地引入引數 ab ，傅立葉積分變換的通式可以寫為 hat f mathbf kleft frac b2pi1arightd2int_mathbb Rd f mathbf x eibmathbf kcdot mathbf xmathrm dmathbf x 相應的滿足 mathcal Fcircmathcal F1mathrm idmathcal Fcircmathcal F1 的逆變換定義為 check f mathbf xleft frac b2pi1arightd2int_mathbb Rd f mathbf k eibmathbf kcdot mathbf xmathrm dmathbf k 特殊引數選擇的特性 編號 選擇 特性 1 a0 變換與逆變換有相同的前置因子，且變換是么正的 2 b 正變換沒有前置因子 3 b 逆變換沒有前置因子 4 b1 變換的自變數 k 對應於角頻率 5 b2pi 變換的自變數 k 對應於頻率 6 b0 exp ix 貢獻正頻率部分的譜 7 b0 exp ix 貢獻正頻率部分的譜 一些選擇組合因同時滿足上面多個特性或在特定領域中自然出現而變得常見，列在下表。 一些常見選擇 編號 a b 滿足特性 場景 1 0 1 1、4、7 現代物理 2 1 1 2、4、6 純數學、系統工程 3 1 1 3、4、7 傳統物理 4 0 1、2、3、5、6 訊號處理 本節中使用的約定是 ab02pi 。 應用 傅立葉變換在醫學、資料科學、物理學、聲學、光學、結構力學、量子力學、數論、組合數學、機率論、統計學、訊號處理、密碼學、大氣科學、海洋學、通訊、金融等領域都有著廣泛的應用。 數學 傅立葉變換可用於將索伯列夫空間 Wsp 上的範數從 sinmathbb Z 的情況推廣至為 sinmathbb R 的情況。 一個隨機變數的特徵函式是機率密度函式的傅立葉變換 E eitcdot Xint eitcdot x dmu_X x ，儘管技術上往往使用傅立葉 斯蒂爾切斯變換的形式。 物理學 在處理具有波動方程背景的函式時，頻域的資訊處理起來通常更為方便，且訊號的濾波等頻域操作在器件方面有簡單的實現。 除了力學振動、振盪電路等有明顯波動方程背景的問題外，也有一些其他情況使得傅立葉變換在理論中自然地出現，如： 光學中，近軸近似下的菲涅耳衍射積分是一個傅立葉變換。 量子力學中，位置表象與動量表象之間的變換是一個傅立葉變換。 量子場論中，一個具有良好性質的場運算元通常由創生及湮滅算符的傅立葉變換構造而來。 基本性質 下面性質的更直觀的寫法可參見常用傅立葉變換表。 線性性質 傅立葉變換是線性對映。也就是說對於 forall alphabetainmathbb Rquad forall fginoperatorname Dommathcal F 也存在 mathcal Falpha fbeta galphamathcal Ffbetamathcal Fg 平移性質 可定義函式間的對映 tau_alpha 滿足 tau_alpha fxf xalpha 稱為平移運算元。其可以推廣到緩增分佈上，定義為共軛運算元 tildetau_alphatau_alpha，也就是說對於 forall phiin mathcal Svarphiinmathcal Squadphi tau_alphavarphitildetau_alpha f varphi 其中省略了表示平移運算元作用於函式所需的括號。下文不再區分函式與分佈的平移，採用相同記號。 傅立葉變換與平移運算元滿足如下關係： widehat tau_alpha fkexp 2pi ialpha khat f k 反過來，對於函式 g x exp 2pi ialpha x f x ，也有 hat g ktau_alpha hat f k 。 也就是說平移與相移相關聯。 放縮性質 f ax stackrel mathcal FLongleftrightarrow frac 1awidehat fleft frac xiarightquad a ne 0 a1 的情況即給出所謂反射性質。 導數關係 傅立葉變換與導數運算元滿足如下關係： widehat partialalpha fkexp 2pi i kalphahat f k 其中 alpha 是高階導數，多元情況則一般化為多重指標。 反過來，對於函式 g x 2pi i xalpha f x ，也有 hat g kpartialalpha hat fk 。 也就是說求導在乘上頻率是相關聯的。 這裡的導數運算元也可以是緩增分佈的導數運算元，同樣由共軛運算元定義為 tildepartialalpha1alpha partialalpha 。 卷積定理 若函式 fg 有傅立葉變換，且存在卷積 fgxmapstoint_mathbb R f xxi g ximathrm dxi ，則該卷積的傅立葉變換即 hat fhat g 。 也可以推廣地定義分佈 phi 與測試函式 varphi 的卷積，這時同樣有 widehat phivarphihatvarphihatphi 。 互相關定理 實虛部與奇偶性 帕塞瓦爾定理 L2 上的傅立葉變換是等距對映。或者說，若函式 f left xright 平方可積，則 int_inftyinfty f x2dx int_inftyinfty hat f omega2 domega 。 黎曼 勒貝格定理 本徵函式 傅立葉變換的其他變種 傅立葉級數 連續形式的傅立葉變換其實是傅立葉級數（Fourier series）的推廣，因為積分其實是一種極限形式的求和運算元而已。對於週期函式，其傅立葉級數是存在的： f x sum_ninftyinfty F_n einx 其中 F_n 為復振幅。對於實值函式，函式的傅立葉級數可以寫成： f x frac a_02 sum_n1inftyleft a_ncos nxb_nsin nxright 其中 an 和 bn 是實頻率分量的振幅。 傅立葉分析最初是研究週期性現象，即傅立葉級數的，後來透過傅立葉變換將其推廣到了非週期性現象。理解這種推廣過程的一種方式是將非週期性現象視為週期性現象的一個特例，即其週期為無限長。 離散時間傅立葉變換 離散傅立葉變換是離散時間傅立葉變換（DTFT）的特例（有時作為後者的近似）。DTFT 在時域上離散，在頻域上則是週期的。DTFT 可以被看作是傅立葉級數的逆轉換。 離散傅立葉變換 為了在科學計算和數字訊號處理等領域使用計算機進行傅立葉變換，必須將函式 xn 定義在離散點而非連續域內，且須滿足有限性或週期性條件。這種情況下，使用離散傅立葉變換，將函式 xn 表示為下面的求和形式： X_k sum_n0N1 x_n eifrac 2piN kn qquad k 0dotsN1 其中 X_k 是傅立葉振幅。直接使用這個公式計算的計算複雜度為 mathcal On2，而快速傅立葉變換（FFT）可以將複雜度改進為 mathcal On log n。計算複雜度的降低以及數位電路計算能力的發展使得 DFT 成為在訊號處理領域十分實用且重要的方法。 在阿貝爾群上的統一描述 以上的傅立葉變換都可以被統一描述為任意區域性緊緻的阿貝爾群上的傅立葉變換。這一問題屬於調和分析的範疇。在調和分析中，一個變換從一個群變換到它的對偶群。此外，將傅立葉變換與卷積相聯絡的卷積定理在調和分析中也有類似的結論。傅立葉變換的廣義理論基礎參見龐特里亞金對偶性中的介紹。 時頻分析變換 小波變換，Chirplet 變換和分數傅立葉變換的都是為了得到時間訊號的頻率資訊。同時解析頻率和時間的能力在數學上受不確定性原理的限制。 傅立葉變換家族 下表列出了傅立葉變換家族的成員。容易發現，函式在時（頻）域的離散對應於其像函式在頻（時）域的週期性。反之連續則意味著在對應域的訊號的非週期性。下表給出詳細的情形： 變換 時間 頻率 連續傅立葉變換 連續，非週期性 連續，非週期性 傅立葉級數 連續，週期性 離散，非週期性 離散時間傅立葉變換 離散，非週期性 連續，週期性 離散傅立葉變換 離散，週期性 離散，週期性 傅立葉 斯蒂爾傑斯變換 常用傅立葉變換表 下面的表記錄了一些封閉形式的傅立葉變換。對於函式 f x g x 和 h x，它們的傅立葉變換分別表示為 hat f hat g 和 hat h。只包含了三種最常見的形式。注意條目 105 給出了一個函式的傅立葉變換與其原函式，這可以看作是傅立葉變換及其逆變換的關係。 函式關係 下表列出的常用的傅立葉變換對可以在或中找到。 函式 傅立葉變換 麼正，普通的頻率 傅立葉變換 麼正，角頻率 傅立葉變換 非麼正，角頻率 註釋 displaystyle f x displaystyle hat fxi displaystyle int_inftyinfty f x e2pi i xxi dx displaystyle hat fomega displaystyle frac 1sqrt 2 pi int_inftyinfty f x ei omega x dx displaystyle hat fnu displaystyle int_inftyinfty f x ei nu x dx 基本定義 101 displaystyle acdot f x bcdot g x displaystyle acdot hat fxi bcdot hat gxi displaystyle acdot hat fomega bcdot hat gomega displaystyle acdot hat fnu bcdot hat gnu 線性性質 102 displaystyle f x a displaystyle e2pi i a xi hat fxi displaystyle e i a omega hat fomega displaystyle e i a nu hat fnu 時域平移 103 displaystyle e2pi iax f x displaystyle hat f left xi aright displaystyle hat fomega 2pi a displaystyle hat fnu 2pi a 頻域平移，變換 102 的頻域對應 104 displaystyle f a x a hat fleft frac xia right a hat fleft frac omegaa right a hat fleft frac nua right a 值較大，則 displaystyle f a x 會收縮到原點附近，而 displaystyle frac 1ahat f left frac omegaa right 會擴散並變得扁平。當 displaystyle a 趨向無窮時，displaystyle f a x 成為狄拉克 δ 函式。 105 displaystyle hat fx displaystyle f xi displaystyle f omega displaystyle 2pi f nu 傅立葉變換的二元性性質。這裡 hat f 的計算需要運用與傅立葉變換那一列同樣的方法。透過交換變數 x 和 xi 或 omega 或 nu 得到。 106 displaystyle frac dn f xdxn displaystyle 2pi ixin hat fxi displaystyle iomegan hat fomega displaystyle inun hat fnu 傅立葉變換的微分性質 107 displaystyle xn f x displaystyle left frac i2pirightn frac dn hat fxidxin displaystyle in frac dn hat fomegadomegan displaystyle in frac dn hat fnudnun 變換 106 的頻域對應 108 displaystyle f gx displaystyle hat fxi hat gxi displaystyle sqrt 2pi hat fomega hat gomega displaystyle hat fnu hat gnu 記號 displaystyle f g 表示 f 和 g 的卷積 這就是卷積定理 109 displaystyle f x g x displaystyle hat f hat gxi displaystyle hat f hat gomega over sqrt 2pi displaystyle frac 12pihat f hat gnu 變換 108 的頻域對應。 110 當 displaystyle f x 是實變函式 displaystyle hat fxi overline hat fxi displaystyle hat fomega overline hat fomega displaystyle hat fnu overline hat fnu 埃爾米特對稱。displaystyle overline z 表示複共軛。 111 當 displaystyle f x 是實偶函式 displaystyle hat fomega displaystyle hat fxi 和 displaystyle hat fnu 都是實偶函式。 displaystyle hat fomega displaystyle hat fxi 和 displaystyle hat fnu 都是實偶函式。 displaystyle hat fomega displaystyle hat fxi 和 displaystyle hat fnu 都是實偶函式。 112 當 displaystyle f x 是實奇函式 displaystyle hat fomega displaystyle hat fxi 和 displaystyle hat fnu 都是虛奇函式。 displaystyle hat fomega displaystyle hat fxi 和 displaystyle hat fnu 都是虛奇函式。 displaystyle hat fomega displaystyle hat fxi 和 displaystyle hat fnu 都是虛奇函式。 113 displaystyle overline f x displaystyle overline hat fxi displaystyle overline hat fomega displaystyle overline hat fnu 複共軛，110 的一般化 平方可積函式 時域訊號 角頻率表示的傅立葉變換 弧頻率表示的傅立葉變換 註釋 g tequiv frac 1sqrt 2 pi int_inftyinftyG omega ei omega t mathrm d omega G omegaequivfrac 1sqrt 2 pi int_inftyinftyg t ei omega t mathrm d t G fequiv int_inftyinftyg t ei 2pi f t mathrm d t 10 mathrm recta t frac 1sqrt 2 pi a2cdot mathrm sincleft frac omega2pi aright acdot mathrm sincleft frac faright 矩形脈衝和歸一化的 sinc 函式 11 mathrm sinca t frac 1sqrt 2pi a2cdot mathrm rectleft frac omega2 pi aright acdot mathrm rectleft frac fa right 變換 10 的頻域對應。矩形函式是理想的低通濾波器，sinc 函式是這類濾波器對反因果衝擊的響應。 12 mathrm sinc2 a t frac 1sqrt 2pi a2cdot mathrm tri left frac omega2pi a right acdot mathrm tri left frac fa right tri 是三角形函式 13 mathrm tri a t frac 1sqrt 2pi a2 cdot mathrm sinc2 left frac omega2pi a right acdot mathrm sinc2 left frac fa right 變換 12 的頻域對應 14 ealpha t2 frac 1sqrt 2 alphacdot efrac omega24 alpha sqrt frac pialphacdot efrac pi f2alpha 高斯函式 exp alpha t2 的傅立葉變換是其本身；只有當 mathrm Realpha0 時，該函式可積的 15 _alpha i a frac 1sqrt 2 a cdot ei left frac omega24 a frac pi4right sqrt frac pia cdot ei left frac pi2 f2a frac pi4right 光學領域應用較多 16 cos a t2 frac 1sqrt 2 a cos left frac omega24 a frac pi4 right sqrt frac pia cos left frac pi2 f2a frac pi4 right 17 sin a t2 frac 1sqrt 2 a sin left frac omega24 a frac pi4 right sqrt frac pia sin left frac pi2 f2a frac pi4 right 18 t sqrt frac 2pi cdot frac aa2 omega2 frac 2 aa2 4 pi2 f2 a0 19 t omega f 變換本身就是一個公式 20 J_0 t sqrt frac 2pi cdot frac mathrm rect left frac omega2 rightsqrt 1 omega2 frac 2cdot mathrm rect pi fsqrt 1 4 pi2 f2 J0 t 是 0 階第一類貝塞爾函式。 21 J_n t sqrt frac 2pi frac in T_n omega mathrm rect left frac omega2 rightsqrt 1 omega2 frac 2 in T_n 2 pi f mathrm rect pi fsqrt 1 4 pi2 f2 上一個變換的推廣形式；Tn t 是第一類切比雪夫多項式。 22 frac J_n tt sqrt frac 2pi frac in in cdot U_n1 omega cdot sqrt 1 omega2 mathrm rect left frac omega2 right frac 2 mathrm in in cdot U_n1 2 pi f cdot sqrt 1 4 pi2 f2 mathrm rect pi f Un t 是第二類切比雪夫多項式。 分佈 時域訊號 角頻率表示的傅立葉變換 弧頻率表示的傅立葉變換 註釋 g tequiv frac 1sqrt 2 pi int_inftyinftyG omega ei omega t d omega G omegaequivfrac 1sqrt 2 pi int_inftyinftyg t ei omega t dt G fequiv int_inftyinftyg t ei 2pi f t dt 基本定義 23 1 sqrt 2picdot delta omega delta f delta omega 代表狄拉克 δ 函式分佈。這個變換展示了狄拉克 δ 函式的重要性：該函式是常函式的傅立葉變換 24 delta t frac 1sqrt 2pi 1 變換 23 的頻域對應 25 ei a t sqrt 2 picdot delta omega a delta f frac a2pi 由變換 103 和 23 得到 26 cos a t sqrt 2 pi frac delta omegaadelta omegaa2 frac delta fbegin matrixfrac a2piend matrixdelta fbegin matrixfrac a2piend matrix2 由變換 101 和 25 得到，應用了尤拉公式：cos a t ei a t ei a t2 27 sin at sqrt 2 pifrac delta omegaadelta omegaa2i frac delta fbegin matrixfrac a2piend matrixdelta fbegin matrixfrac a2piend matrix2i 由變換 101 和 25 得到 28 tn in sqrt 2pi deltan omega left frac i2pirightn deltan f 這裡，n 是一個自然數 deltanomega 是狄拉克 δ 函式分佈的 n 階微分。這個變換是根據變換 107 和 24 得到的。將此變換與 101 結合使用，我們可以變換所有多項式函式。 29 frac 1t 此處 sgn omega 為符號函式；注意此變換與變換 107 和 24 是一致的 30 frac 1tn 變換 29 的推廣 31 sgn t sqrt frac 2picdot frac 1i omega frac 1ipi f 變換 29 的頻域對應 32 u t sqrt frac pi2 left frac 1i pi omega delta omegaright frac 12left frac 1i pi f delta fright 此處 u t 是單位階躍函式；此變換根據變換 101 和 31 得到 33 e a t u t frac 1sqrt 2 pi a i omega frac 1a i 2 pi f u t 是單位階躍函式，且 a 0 34 sum_ninftyinfty delta t n T begin matrix frac sqrt 2piTend matrix sum_kinftyinfty delta left omega k begin matrix frac 2piTend matrix right frac 1T sum_kinftyinfty delta left f frac kTright 有助於解釋或理解從連續到離散時間的轉變 二元函式 時域訊號 傅立葉變換單一，普通頻率 傅立葉變換麼正，角頻率 傅立葉變換非麼正，角頻率 400 displaystyle f xy displaystyle hat fxi_x xi_y displaystyle iint f xy e2pi i xi_x xxi_y ydxdy displaystyle hat fomega_xomega_y displaystyle frac 12 pi iint f xy ei omega_x x omega_y y dxdy displaystyle hat fnu_xnu_y displaystyle iint f xy ei nu_x xnu_y y dxdy 401 displaystyle epileft a2x2b2y2right displaystyle frac 1ab epileft xi_x2a2 xi_y2b2right displaystyle frac 12picdotab efrac left omega_x2a2 omega_y2b2right4pi displaystyle frac 1ab efrac left nu_x2a2 nu_y2b2right4pi 402 displaystyle mathrm circsqrt x2y2 displaystyle frac J_1left 2 pi sqrt xi_x2xi_y2rightsqrt xi_x2xi_y2 displaystyle frac J_1left sqrt omega_x2omega_y2rightsqrt omega_x2omega_y2 displaystyle frac 2pi J_1left sqrt nu_x2nu_y2rightsqrt nu_x2nu_y2 註釋 400： 變數 xi_x、xi_y、omega_x、omega_y、nu_x、nu_y 為實數。二重積分是對整個平面積分。 401： 這兩個函式都是高斯函式，而且可能不具有單位體積。 402： 此圓有單位半徑，如果把 text circt 認作階梯函式 u 1t Airy 分佈用 J_1（一階第一類貝塞爾函式）表達。 三元函式 時域訊號 角頻率表示的傅立葉變換 弧頻率表示的傅立葉變換 註釋 mathrm circsqrt x2y2z2 sqrt frac 2picdotfrac sin omega 2 pi f_r cos omegaomega3 4 pi frac sin 2 pi f_r 2 pi f_r cos 2 pi f_r2 pi f_r3 此球有單位半徑；fr 是頻率向量的量值 fxfyfz 參見 正交變換 傅立葉級數 連續傅立葉變換 離散時間傅立葉變換 離散傅立葉變換 傅立葉分析 調和分析 龐特里亞金對偶性 拉普拉斯變換 小波變換 漢克爾變換 參考資料 引用 註釋 來源 影印版 外部連結 Encyclopedia of Mathematics F F Category 酉運算元