黎曼澤塔函式 ，寫作 的定義如下： 設一複數 使得 ，則定義： zeta s sum_n1infin frac 1ns 它亦可以用積分定義： zeta s frac 1Gamma s int_0infty frac x s1e x 1 mathrm d x 在區域 上，此無窮級數收斂併為一全純函式。尤拉在 1740 年考慮過 為正整數的情況，後來切比雪夫拓展到 。波恩哈德黎曼認識到：ζ 函式可以透過解析延拓，把定義域擴充套件到幾乎整個複數域上的全純函式 。這也是黎曼猜想所研究的函式。 雖然黎曼的 ζ 函式被數學家認為主要和 最純 的數學領域數論相關，它也出現在應用統計學（參看齊夫定律和）、物理，以及調音的數學理論中。 歷史 奧里斯姆 ζ 函式最早出現於 1350 年左右，尼克爾奧里斯姆發現了調和級數發散，即： zeta 1 1 frac 12 frac 13 frac 14 to infty 奧里斯姆對調和級數發散的 證明 begin align zeta 1 1 frac 12 frac 13 frac 14 frac 15 frac 16 frac 17 frac 18 1 frac 12 frac 13 frac 14 frac 15 frac 16 frac 17 frac 18 ge 1 frac 12 frac 14 frac 14 frac 18 frac 18 frac 18 frac 18 1 frac 12 frac 12 frac 12 to infty end align 尤拉 之後的一次進展來自萊昂哈德尤拉，他給出了調和級數呈對數發散。 尤拉對調和級數發散速度的證明 為了求出調和級數的部分和，使用尤拉 麥克勞林求和公式（當然，亦可使用阿貝爾求和公式）： sum_y n le x f n int_yx f t mathrm d t int_yx t left lfloor t right rfloor ft mathrm d t f xleft lfloor x right rfloor x f yleft lfloor y right rfloor y begin align sum_n le x frac 1n 1 int_1x frac 1t mathrm d t int_1x frac t left lfloor t right rfloort2 mathrm d t frac left lfloor x right rfloor xx 1 ln x int_1x frac t left lfloor t right rfloort2 mathrm d t Omicronleft frac 1xright 1 ln x int_1infty frac t left lfloor t right rfloort2 mathrm d t int_xinfty frac t left lfloor t right rfloort2 mathrm d t Omicronleft frac 1xright ln x 1 int_1infty frac t left lfloor t right rfloort2 mathrm d t int_xinfty frac left t rightt2 mathrm d t Omicronleft frac 1xright end align 注意到其中的 1 int_1infty frac t left lfloor t right rfloort2 mathrm d t 是一個常數。實際上，這就是尤拉 馬斯刻若尼常數 γ 再考慮剩下的一個積分，也就是 int_xinfty frac left t rightt2 mathrm d t 由於被積項非負，又有 leftt right le 1 ，於是 int_xinfty frac left t rightt2 mathrm d t le int_xinfty frac 1t2 mathrm d t frac 1x 最終得到 sum_n le x frac 1n ln x gamma Omicron frac 1x 除此之外，他還在 1735 年給出了巴塞爾問題的解答，得到 zeta 2 frac pi 26 的結果。尤拉最初的證明可以在巴塞爾問題 尤拉的錯誤證明中看到，然而那是他的第一個證明，因而廣為人知。事實上，那個證明雖有不嚴謹之處，但是尤拉仍然有自己的嚴格證明。 尤拉對的嚴格證明 下面將寫出尤拉對上式的證明中缺失的嚴格論證的部分，即對連乘積公式的證明部分，而不涉及最終的係數比較 首先考慮當 n 為奇數時，將 zn an 分解為連乘積形式。 事實上，容易發現上式的全部復根為 aae2 pi i frac 1nae2 pi i frac 2nae2 pi i frac n1n 由於 n 為奇數，所以可以將除了 za 外的其他根及其共軛一一配對，即 ae2 pi i frac knae2 pi i frac nkn ae 2 pi i frac kn 看做一對，則透過二次方程的韋達定理可以還原出每對根的最小多項式： 按照韋達定理，有 x_1 x_2 frac a_1a_0 ae2 pi i frac kn ae 2 pi i frac kn cosleft 2 pi frac knright cosleft 2 pi frac knright 2 cosleft frac 2 pi knright x_1 x_2 frac a_2a_0 ae2 pi i frac kn ae 2 pi i frac kn a2 由於最小多項式首項係數為 1，故 a_0 1 ，由此得到這對根最小多項式為 a_0 z2 a_1 z a_2 z2 2 cosleft tfrac 2 pi knright z a2 注意到 k 的取值上限為 tfrac n12 ，將每一對根的最小多項式相乘， 還有 za 這個根的最小多項式 za ，乘在一起，得到 znanzaprod_k1frac n12left z22azcos frac 2kpina2right 令 z 1 frac xN a 1 frac xN N n ，代入上式，有： begin align left 1 frac xN rightNleft 1frac xNrightN left left 1 frac xN rightleft 1frac xNrightright prod _k1frac N12 left left 1frac xNright2 2 left 1frac xNright left 1frac xNright cos left frac 2 pi kNrightleft 1frac xNright2right frac 2 xN prod _k1frac N12 left 2frac 2 x2N22 left 1frac x2N2right cos left frac 2 pi kNrightright frac 2xN prod_k 1frac N 12 left 2 frac 2 x2N2 2cos left frac 2pi kNright frac 2 x2N2cos frac 2pi kN right frac 4xN prod_k 1frac N 12 left 1 cos frac 2pi kN 1 cos frac 2pi kNfrac x2N2 right frac 4xN prod_k 1frac N 12 leftleft 1 cos left frac 2pi kNrightrightleft 1 frac 1 cos left frac 2pi kNright1 cos frac 2pi kNfrac x2N2 rightright end align 此時，上述乘積中的 frac 4N prod_k 1frac N 12 1 cos frac 2pi kN 僅和 N 有關，記作 C N ，上式變為 left 1 frac xN rightNleft 1frac xNrightN C N x prod_k 1frac N 12 left 1 frac 1 cos frac 2pi kN1 cos frac 2pi kNfrac x2N2 right 而利用二項式定理，將等式左邊展開： 1 frac xNN sum_k 0N C_Nkfrac xkNk 1 frac xNN sum_k 0N 1k C_Nkfrac xkNk 兩式相減，考慮一次項，為 C_N1frac xN 1 C_N1frac xN 2C_N1frac xN 2x 這正是等式的左邊的一次項 而等式右邊的一次項只能是連乘積中的全部 1 與連乘積外的 C n x 相乘，為使兩邊相等，必須有 C N2 ，於是上式變為 left 1 frac xN rightNleft 1frac xNrightN 2x prod_k 1frac N 12 left 1 frac 1 cos frac 2pi kN1 cos frac 2pi kNfrac x2N2 right 另一方面，令 theta frac 2pi kN ，有 cos theta 1 frac theta22 Omicron theta3 於是，代入上式，得到 begin align left 1frac xNrightNleft 1frac xNrightN 2 x prod_k1frac N12left 1frac 1cos left frac 2 pi kNright1cos left frac 2 pi kNright frac x2N2right 2 x prod_k1frac N12left1frac 1left 1frac theta22mathrm Oleft theta3rightright1left 1frac theta22mathrm Oleft theta3rightright frac x2N2right 2 x prod_k1frac N12left 1frac 2frac theta22mathrm Oleft theta3rightfrac theta22mathrm Oleft theta3right frac x2N2right 2 x prod_k1frac N12left 1frac left 4theta2mathrm Oleft theta3rightright x2left theta2mathrm Oleft theta3rightright N2right 2 x prod_k1frac N12left 1frac left 4left frac 2 k piNright2mathrm Oleft left frac 2 k piNright3right right x2left left frac 2 k piNright2mathrm Oleft left frac 2 k piNright3rightright N2right 2 x prod_k1frac N12left 1frac left 4left frac 2 k piNright2mathrm Oleft left frac 2 k piNright3right right x22 k pi2mathrm Oleft frac 2 k pi3Nrightright end align 令 N，則右端大 O 符號的諸項都變為無窮小。另一方面，左端可寫為： lim_N to infty 1 frac xNN1frac xNN exex 於是上式變為 begin align exex 2x prod_k 1infty left 1 frac 4 o 1x22kpi2 o 1 right 2x prod_k 1infty left 1 frac 1 o 1x2k2pi 2 o 1 right 2x prod_k 1infty left 1 frac x2k2pi 2 right end align 此時，只需比較左右兩端展開式的三次項係數，即可得出結果。 對左式進行級數展開，可得：exexsum infty _k0frac xkxk k 其中當 k3 時可提取左式的三次項為 frac 2x33 。 同時展開右式可得右式的三次項為 left sum_k1infty frac 2k2 pi2right x3 由於等式左右端相等，所以左右式三次項係數必須相等，因此可得： frac 23sum_k1infty frac 2k2 pi2 化簡可得： frac pi26sum_k1infty frac 1k2zetaleft 2right 尤拉在 1737 年還發現了尤拉乘積公式： sum_n1infty frac 1nsprod_p 1frac 1ps1 這是 ζ 函式與素數的聯絡的朦朧徵兆，其證明可以在證明黎曼 ζ 函式的尤拉乘積公式中看到。透過這條公式，容易證明當 時， 1749 年，尤拉透過大膽的計算發現了 以下公式當中存在定義域謬誤，後由黎曼透過解析延拓証明以下公式只適用於 zeta 112345frac 112zeta 212223242520zeta 31323334353frac 1120 發現 ζs 與 ζ1s 之間存在某些關係。 黎曼 將尤拉所做的一切牢牢地置於堅石之上的是黎曼，他在 1859 年的論文以及未發表的手稿中做出了多項進展： 第一積分表示： zeta s frac 1Gamma s int_0infty frac xs 1ex 1 mathrm d x 完備化的 ζ，即黎曼 ξ 函式： xi s pifrac s2 Gammaleft frac s2rightzeta s ，滿足函式方程 xi s xi 1s 第二積分表示： varphi x sum_n1infty epi n2 x ，則 xi s int_0infty varphi x xfrac s2 1 mathrm d x ：以表示虛部介於 0 與 T 之間的非平凡零點數量，則 N T frac T2 pi log frac T2 pi frac T2 pi Omicron log T 黎曼猜想：ζ 函式的所有非平凡零點的實部非常有可能均為 第三積分表示： zeta s frac 12pi iGamma 1 soint_gamma frac zs 1ez1 ez mathrm d z ，其中圍道 γ 逆時針環繞負實軸 黎曼 西格爾公式：給出計算 ξ 函式的數值的方法 零點的計算：計算了虛部介於 0 與 100 的所有零點的數值 素數的分佈公式：引入黎曼素數計數函式，給出了它與 ζ 函式的關係 阿達馬與普森 1896 年，雅克阿達馬與普森幾乎同時地證明了的所有非平凡零點的實部均小於 1，即上無非平凡零點，從而完成了素數定理的證明。 希爾伯特 1900 年，希爾伯特在巴黎的第二屆國際數學家大會上作了題為《數學問題》的演講，提出了 23 道最重要的數學問題，黎曼假設在其中作為第 8 題出現。之後，希爾伯特提出了希爾伯特－波利亞猜想，具體時間及場合未知。 玻爾與蘭道 1914 年，哈那德玻爾和愛德蒙蘭道證明了玻爾 蘭道定理：含有臨界線的任意帶狀區域都幾乎包含了 ζ 的所有非平凡零點，表明了臨界線為零點匯聚的 中心位置。 哈代與李特爾伍德 1921 年，哈代和李特爾伍德證明了存在常數 T，使臨界線上虛部位於 0 與 T 之間的非平凡零點的數量至少為。 塞爾伯格 1942 年，阿特勒塞爾伯格更進一步，證明了存在常數 T，使臨界線上虛部位於 0 與 T 之間的非平凡零點的數量至少為，這意味著 ζ 函式在臨界線上的非平凡零點在所有零點中佔有一個正密度，而臨界線對於臨界帶的測度為 0。 解析延拓 ζ 函式原本定義在右半平面上，並且在此區域內為全純函式 zeta s sum_n1infin frac 1ns frac 1Gamma s int_0infty frac xs 1ex 1 mathrm d x operatorname Re s 1 解析延拓後在全域性具有積分表示式 zeta s frac 12pi iGamma 1 soint_gamma frac zs 1ez1 ez mathrm d z 滿足函式方程 zeta 1s 2 2 pis Gamma s cosleft frac pi s2right zeta s 特別地，如果考慮正規化的 ζ，即黎曼 ξ 函式 xi s pifrac s2 Gammaleft frac s2rightzeta s 那麼它滿足函式方程 xi s xi 1s 和數論函式的關係 黎曼 ζ 函式可看做是具有如下形式的級數的一個特例： operatorname Fs sum _n1infty frac f nns 這種型別的級數被稱作狄利克雷級數。當 f 為狄利克雷特徵時，又稱作狄利克雷 L 函式，也有與黎曼猜想相應的廣義黎曼猜想 為了方便對數論函式作討論，此處引入狄利克雷卷積 ：fgnsum _text pqn f p g q 設 operatorname Fs sum _n1infty frac f nns ， operatorname Gs sum _n1infty frac g nns 於是顯然 operatorname Fs operatorname Gs sum _n1infty frac fgnns 並不直覺？請看證明 事實上， begin align operatorname Fs operatorname Gs sum _n1infty frac f nns sum _m1infty frac g mms sum _n1infty sum _m1infty frac f n g mnms end align 為了處理兩個求和號，將所有可能的 m 與 n 的積相同的項合併，不妨設 mnk，那麼 begin align sum _m1infty frac f n g mnms sum _k1infty sum _text mnk frac f m g nmns sum _k1infty sum _text mnk frac f m g nks sum _k1infty sum _text mnk f m g n ks sum _k1infty fgk ks end align 於是，如果數論函式，亦即 h n sum _dn g d 此時，與可透過默比烏斯反演公式相互轉換 那麼 operatorname Hs sum _n1infty frac h nns zeta s sum _n1infty frac g nns 通常兩側的求和有一個是相對簡單的函式，或是和直接相關的函式如果對的求和較簡單，可以將與相聯絡，反之可以將與相聯絡即 sum _n1infty frac g nns frac operatorname Hszeta s ，如下表所示： 目標函式名 g n h n G s 或 H s g n 或 h n 與 ζ 函式的聯絡 莫比烏斯函式 mu n mu p_1a_1 p_2a_2p_ka_k begin cases 1k a_1a_2a_k 0 mathrm otherwise end cases left lfloor frac 1n right rfloor operatorname Hs1 operatorname Gs sum _n1infty frac mu nns frac 1zeta s 尤拉函式 kn kn1 quad n operatorname Hszeta s1 operatorname Gs sum _n1infty frac varphi nns frac zeta s1zeta s 除數函式 nalpha n dalpha operatorname Gszeta s alpha operatorname Hs sum _n1infty frac sigma_alpha n ns zeta s alpha zeta s 劉維爾函式 mu n mu p_1a_1 p_2a_2p_ka_k a_1 a_2 a_k begin cases 1 n m2 0 mathrm otherwise end cases operatorname Hs zeta 2s operatorname Gs sum _n1infty frac lambda nns frac zeta 2szeta s 馮曼戈爾特函式 Lambda n begin cases log p n pk 0 mathrm otherwise end cases log n operatorname Hs zetas operatorname Gs sum _n1infty frac Lambda nns frac zetaszeta s 佩龍公式 ζ 函式與數論函式存在的聯絡可以透過佩龍公式轉化為它和數論函式的求和的關係：設 G s sum_n1infty g n 則由佩龍公式， A x sum_nle x g n frac 12pi iint_ciinftyciinfty G zfrac xzz mathrm d z 其中右上角的 表示如果 x 是整數，那麼求和的最後一項要乘以。這樣做的其中一個結果就是 ζ 函式和素數分佈的關係。 和素數的關係 尤拉乘積 此函式和素數的關係已由尤拉所揭示： zeta s prod_p frac 11ps 這是一個延展到所有的質數 p 的無窮乘積，被稱為尤拉乘積。這是幾何級數的公式和算術基本定理的一個結果。如果對上式取對數，則可得到 log zeta s sum _n1infty frac 1n sum _p pns 上式的證明過程 首先留意到 log ab log a log b ，由此，可以將乘積轉化為求和 begin align log zeta s log prod _p frac 11ps sum _p log frac 11ps sum _p log 1ps overset underset mathrm tps sum _p log 1t end align 將其中的 log 1t 展開為冪級數，得到 begin align sum _p log 1t sum _p sum _n1infty frac tnn sum _p sum _n1infty frac tnn sum _n1infty sum _p frac tnn sum _n1infty frac 1n sum _p tn overset underset mathrm pst sum _n1infty frac 1n sum _p pns end align 更進一步的聯絡 黎曼階梯素數計數函式 可以使用黎曼素數計數函式建立與素數分佈的進一步聯絡，這也是黎曼在他的論文中使用的函式，定義如下： operatorname Jx sum_n le x kappa n 其中 kappa n begin cases frac 1k n pk 0 mathrm otherwise end cases 那麼可以建立與的零點 ρ 的聯絡，稱為 begin align operatorname Jx frac 12 pi i int_ci inftyci infty log zeta s frac xss mathrm d s operatorname Lix sum_rho operatorname Lixrho int_xinfty frac 1t t2 1 log t mathrm d x log 2 end align 的證明 實際上，由 J x 的定義同樣有 operatorname Jx sum_m 1infty frac 1mpi xfrac 1m 為使用 Mellin 變換，將 J x 乘以後對 x 積分，得到 begin align int_0infty operatorname Jx xs1 mathrm d x sum_m 1infty frac 1mint_1infty pileft xfrac 1mright xs1 mathrm d x sum_m 1infty frac 1m sum_p int_pminfty xs1 mathrm d x sum_m 1infty frac 1m sum_p frac 1s pm s end align 注意到 frac log zeta s s frac 1s sum_m 1infty frac 1m sum_p pm s 與上式相同 即 frac log zeta s s int_0infty operatorname Jx xs1 mathrm d x 在此處使用 Mellin 變換後，得到 operatorname Jx frac 12 pi i int_ci inftyci infty frac log zeta ss xs mathrm d s c 1 再將阿達馬乘積公式代入，逐項積分即得所求 而與的聯絡可以透過莫比烏斯反演公式完成。 pi x sum_n1infty frac mu nn operatorname Jx operatorname Jx Omicron sqrt x log log x 然而的表示式過於複雜，如下的更為常用。 切比雪夫函式 第一切比雪夫函式定義為 vartheta x sum_ple xlog p 而更常用的第二切比雪夫函式定義為 psi x sum_pkle xlog psum_n leq x Lambda n sum_ple xlfloorlog_p xrfloorlog p 其中，如前文定義的 Lambda n begin cases log p n pk 0 mathrm otherwise end cases 第二切比雪夫函式與第一切比雪夫函式的關係，可看做 等同於 黎曼素數計數函式與素數計數函式的關係。第二切比雪夫函式與的零點 ρ 有如下的聯絡 begin align psi x frac 12 pi i int_ci inftyci infty frac zetaszeta s frac xss mathrm d s sum_n le x Lambda n x sum_rho frac xrhorho frac 12 log 1 frac 1x2 log 2 pi end align 而與的聯絡可以透過阿貝爾求和公式： psi x sum_n pkle x log p psi x sum_n pkle xfrac 1k log n sum_n le xfrac kappa nlog n 其中 κ 如前文所定義，則由阿貝爾求和公式 operatorname Jx sum_n le x kappa n frac psi xlog x int_2x frac psi tt2 log t mathrm d t frac psi xlog x Omicron frac xlog2 x 零點 解析延拓之後的 ζ 函式具有零點，他們分別是分佈有序的平凡零點（所有負偶數），以及臨界帶內的非平凡零點。以表示虛部介於 0 與 T 之間的非平凡零點數量，則遵循： N T frac T2 pi log frac T2 pi frac T2 pi Omicron log T 。 函式值 ζ 函式滿足如下函式方程： zeta s 2spis1sinleft frac pi s2rightGamma 1szeta 1s 對於所有 C01 中的 s 成立。這裡，Γ 表示 Γ 函式。這個公式原來用來構造解析連續性。在 s 1，ζ 函式有一個簡單極點其留數為 1。上述方程中有 sin 函式，sinleft frac pi s2right 的零點為偶數 s 2n，這些位置是可能的零點，但 s 為正偶數時，sinleft frac pi s2rightGamma 1s 為不為零的，只有 s 為負偶數時，ζ 函式才有零點，稱為平凡零點。 當 s 為正整數 尤拉計算出 ζ（2k），對於偶整數 2k，使用公式 zeta 2k frac B_2k1k12pi2k2 2k 其中 B2k 是伯努利數。從這個，我們可以看到 ζ2 π26 ζ4 π490 ζ6 π6945 等等。（OEIS 中的序列 A046988A002432）。這些給出了著名的 π 的無窮級數。奇整數的情況沒有這麼簡單。拉馬努金在這上面做了很多了不起的工作。 s 為正偶數時的函式值公式已經由尤拉計算出。但當 s 為正奇數時，尚未找到封閉式。 zeta 1 1 frac 12 frac 13 cdots infty 這是調和級數。 zetaleft frac 32right approx 2612 該值用於計算具有周期性邊界條件的玻色 愛因斯坦凝聚的臨界溫度以及磁系統的自旋波物理。 zeta 2 1 frac 122 frac 132 cdots frac pi26 approx 1645 即巴塞爾問題。這個結果的倒數回答了這個問題：隨機選取兩個數字而互質的機率是多少？C S Ogilvy J T Anderson Excursions in Number Theory pp 2935 Dover Publications Inc 1988 ISBN 9780486257785 zeta 3 1 frac 123 frac 133 cdots approx 1202 稱為阿培裡常數。 zeta 4 1 frac 124 frac 134 cdots frac pi490 approx 10823 黑體輻射裡的斯特藩－玻爾茲曼定律和維恩近似。 s 趨近於 1 lim_varepsilon to 0 frac zeta 1varepsilonzeta 1varepsilon2 gamma 其中 γ 是尤拉 馬歇羅尼常數 0577215 負整數 同樣由尤拉發現，ζ 函式在負整數點的值是有理數，這在模形式中發揮著重要作用，而且 ζ 函式在負偶整數點的值為零。 事實上 zeta nfrac B_n1n1 Bn 是白努利數。 因為 B2n1 0，故 ζ 函式在負偶整數點的值為零。 複數值 zeta xrm i ysum_k1inftyfrac cos yln k rm isin yln kkxyin mathbb R，x＞1。 幅角 arg zeta xrm i yarctanfrac sum_k1inftyfrac sin yln kkxsum_k1inftyfrac cos yln kkx， 函式值表 zeta 2n_nin mathbb Z0， zeta 9frac 1132 mathfrak R， zeta 7frac 1240 mathfrak R， zeta 5frac 1252 mathfrak R， zeta 3frac 1120 mathfrak R， zeta 1frac 112 mathfrak R， zeta 0frac 12， zeta 1infty zeta 1infty zeta 2frac pi26， zeta 4frac pi490， zeta 6frac pi6945， zeta 8frac pi89450， zeta 10frac pi1093555， 臨界線上的數值計算 臨界線上的數值計算可以透過黎曼 西格爾公式完成。與之相關的，：對於任意給定的實數， zetaleft frac 12itrightOmicron tepsilon 相關條目 黎曼猜想 狄利克雷級數 狄利克雷卷積 黎曼 ξ 函式 參考資料 R R R Category 伯恩哈德黎曼 CategoryΖ 函式與 L 函式