在數學中，一個數 x 的平方根 y 指的是滿足 y2 x 的數，即平方結果等於 x 的數。例如，4 和 4 都是 16 的平方根，因為 424216。 任意非負實數 x 都有唯一的非負平方根，稱為算術平方根或 zhcn 主平方根；zhtw 算術平方根；，記為 sqrt x，其中的符號 sqrt quad 稱作根號。例如，9 的算術平方根為，記作 sqrt 9 3，因為 323 times 3 9 並且 3 非負。被求平方根的數稱作被開方數，是根號下的數字或者表示式，即例子中的數字 9。 正數 x 有兩個互為相反數的平方根：正數 sqrt x 與負數 sqrt x，可以將兩者一起記為 pm sqrt x。 負數的平方根在複數系中有定義。而實際上，對任何定義了開平方運算的數學物件都可考慮其 平方根（例如矩陣的平方根）。 在 MicroSoft 的試算表軟體 Excel 與大部分程式語言中以 sqrt 表示求主平方根。 歷史 耶魯大學的巴比倫藏品 YBC 7289 是一塊泥板，製作於前 1800 年到前 1600 年之間。泥板上是一個畫了兩條對角線正方形，標註了 sqrt 2 的六十進位制數字 1245110。六十進位制的 1245110 即十進位制的 141421296，精確到了小數點後 5 位（141421356）。 萊因德數學紙草書大約成書於前 1650 年，內容抄寫自更早年代的教科書。書中展示了埃及人使用反比法求平方根的過程。Anglin WS 1994 Mathematics A Concise History and Philosophy New York SpringerVerlag 古印度的《繩法經》大約成書於前 800 年到前 500 年之間，書中記載了將 2 的平方根的計算精確到小數點後 5 位的方法。 古希臘的《幾何原本》大約成書於前 380 年，書中還闡述瞭如果正整數不是完全平方數，那麼它的平方根就一定是無理數 一種無法以兩個整數的比值表示的數（無法寫作 mn，其中 m 和 n 是整數）。 中國的《書》成書於漢朝（約前 202 年到前 186 年之間），書中介紹了使用盈不足術求平方根的方法。 古代未有劃一的平方根符號時，人們通常使用他們語言內開方這個字的首個字母的變型作為開方號。 中世紀時，拉丁語中的（正方形邊）的首個字母 L 被不少歐洲人採用；亨利布里格斯在其著作《》中則用橫線當成的簡寫，在被開方的數下畫一線。 最有影響的是拉丁語的（平方根），1220 年 Leconardo 在《》中使用（R 右下角的有一斜劃，像 P 和 x 的合體）；（沒有上面的橫劃）是由克里斯多福魯登道夫在 1525 年的書 Coss 首次使用，據說是小寫 r 的變型；後來數學家笛卡爾給其加上線括號，但與前面的方根符號是分開的（即 ），因此在複雜的式子中它顯得很亂。直至 18 世紀中葉，數學家盧貝將前面的方根符號與線括號一筆寫成，並將根指數寫在根號的左上角，以表示高次方根（當根指數為 2 時，省略不寫），從而形成了現在人們熟知的開方運算子號 sqrt n。 正數 x 的平方根亦可用指數表示，如： xfrac 1 2 sqrt x x 的絕對值可用 x2 的算數平方根表示： x sqrt x2left begin cases x x ge 0 x x 0 end casesright 若正整數 x 是平方數，則其平方根是整數。若正整數 x 不是平方數，則其平方根是無理數。 對於正數 x、y，以下式成立： begin align sqrt x sqrt y sqrt xy frac sqrt xsqrt y sqrt frac xy end align 負數與複數 正數和負數的平方都是正數，0 的平方是 0，因此負數沒有實數平方根。然而，我們可以把我們所使用的數字集合擴大，加入負數的平方根，這樣的集合就是複數。首先需要引入一個實數集之外的新數字，記作 i（也可以記作 j，比如電學場景中 i 一般表示電流），稱之為虛數單位，定義即為 i2 1，故 i 是 1 的平方根，而且 i2 i2 1，所以 i 也是 1 的平方根。通常稱 1 的算術平方根是 i，如果 x 是任意非負實數，則 x 的算術平方根就是： sqrt x i sqrt x 例如 5 的平方根有兩個，它們分別為 sqrt 5 i 和 sqrt 5 i。 之所以等式右側（包括其對應的負值）是 x 的算術平方根，是因為： isqrt x2 i2 sqrt x2 1 x x 負數的兩個平方根為一對共軛的純虛數。 對於負數 x、y，以下式成立： begin align sqrt x sqrt y sqrt xi times sqrt yi sqrt xyi2 sqrt xy frac sqrt xsqrt y frac sqrt x isqrt y i sqrt frac xy sqrt frac xy end align 虛數的算術平方根 虛數 i 的算術平方根可以根據以下公式計算： sqrt i frac sqrt 22 ifrac sqrt 22 frac sqrt 221i 這個公式可以透過用代數方法推導，只需找到特定的實數 a 和 b，滿足 begin align i a bi2 a2 2abi b2 end align 就可以得到方程組 begin cases 2ab 1 a2 b2 0 end cases 的解： a b pm frac sqrt 22 其中，算術平方根即為 a b frac sqrt 22 這個公式還可以透過棣莫弗公式得到，設 i cos left frac pi2right isinleft frac pi2right 就可以推出 begin align sqrt i left cosleft frac pi2right i sin left frac pi2rightrightfrac 12 cos left frac pi4 right i sin left frac pi4right frac sqrt 22 i frac sqrt 22 frac sqrt 221 i end align 複數的算術平方根 對於任何一個非零的複數 z 都存在兩個複數 w 使得 w2 z。 首先，我們將複數 x iy 看作是平面上的點，即笛卡爾座標系中的 x y 點。這個點也可以寫作極座標的 r varphi，其中 r geq 0，是該點到座標原點的距離，varphi 則是從原點到該點的直線與實數座標軸（x 軸）的夾角。複分析中，通常把該點記作 rei varphi。如果 z r ei varphi pi varphi le pi 那麼我們將 z 的算術平方根定義為： sqrt z sqrt r efrac i varphi2 因此，平方根函式除了在非正實數軸上以外是處處全純的。sqrt 1x 的泰勒級數也適用於複數 x left vert x right vert 1。 上面的公式還可以用三角函式的形式表達： sqrt r left cos varphi i sin varphi right sqrt r left cos frac varphi2 i sin frac varphi2right 代數公式 如果使用笛卡爾座標的形式表達複數 z，其算術平方根可以使用如下公式： Section 3727 p 17 sqrt z sqrt frac z Re z2 pm i sqrt frac z Re z2 其中，方根虛部的符號與被開方數虛部的符號相同（為 0 時取正）；實部永遠非負。 在虛數，平方根函式的值不是連續的，以下等式不一定成立： sqrt zw sqrt z sqrt w frac sqrt wsqrt z sqrt frac wz sqrt z left sqrt zright 所以這是錯誤的： 1 i cdot i sqrt 1 cdot sqrt 1 sqrt 1 cdot 1 sqrt 1 1 多項式 例：若 xinmathbb R， sqrt x42x21sqrt x212x21x21 2 的算術平方根 數學史中，最重要的平方根可以說是 sqrt 2，它代表邊長為 1 的正方形的對角線長，是第一個公認的無理數，也叫畢達哥拉斯常數，其值到小數點 14 位約為。 sqrt 2 是無理數，可由歸謬法證明： 設 sqrt 2 為有理數，可表示為 frac pq，其中 p、q 為互質之正整數。 因為 left sqrt 2 right 2 frac p2q2 2，故 p2 是 2 的倍數，p 也是 2 的倍數，記為 2k，其中 k 為正整數。 但是 2q2 p2 4k2 ，故 q2 2k2 ， q2 是 2 的倍數，q 也是 2 的倍數。 依上兩式，p、q 都是 2 的倍數，和 p、q 為互質之正整數的前題矛盾。依歸謬法，得證 sqrt 2 不是有理數，即 sqrt 2 是無理數。 計算方法 因數計算 sqrt 24sqrt 22cdot 6sqrt 22sqrt 62sqrt 6。 注意，6 的質因數分解為 2 3，不能寫成某個數的平方，因此 2sqrt 6 就是最簡結果 。 中算開方 thumbright300px 北宋賈憲增乘開平方法 《九章算術》和《孫子算經》都有籌算的開方法。宋代數學家賈憲發明釋鎖開平方法、增乘開平方法；明代數學家王素文，程大位發明珠算開平方法，而朱載堉《算學新說》首創用 81 位算盤開方，精確到 25 位數字勞漢生《珠算與實用算術》ISBN 7537518912O。 長除式演算法 長除式算平方根的方式也稱為直式開方法，原理是 ab2a22abb2a22ab b。 首先將要開平方根的數從小數點分別向右及向左每兩個位一組分開，如 98765432 內小數點前的 65 是一組，87 是一組，9 是一組，小數點後的 43 是一組，之後是單獨一個 2，要補一個 0 而得 20 是一組。如 1 0485 73 得四組，順序為 1 04 85 73。 將最左的一組的數減去最接近又少於它的平方數，並將該平方數的開方（應該是個位數）記下。 將上一步所得之差乘 100，和下一組數加起來。 將記下的數乘 20，然後將它加上某個個位數，再乘以該個個位數，令這個積不大於但最接近上一步所得之差，並將該個個位數記下，且將上一步所得之差減去所得之積。 記下的數一次隔兩位記下。 重覆第 3 步，直到找到答案。 可以在數字的最右補上多組的 00 以求得理想的精確度為止。 下面以 sqrt 200 為例子： begin arrayll quad color Red 1color Green 4color Blue 1color Purple 4color Orange 2 sqrt 200000000 quadunderline 1quadquad color Red 1times color Red 1le2 quad100acolor Red 1 0bcolor Green 4 quadunderline 96quadquadRightarrow 2ab b2 color Green 4times color Green 496le100 qquad400acolor Red 1color Green 4 0bcolor Blue 1 qquadunderline 281quadquadRightarrow 2ab b28 color Blue 1times color Blue 1281le400 qquad11900acolor Red 1color Green 4color Blue 1 0bcolor Purple 4 qquadunderline 11296quadquadRightarrow 2ab b282 color Purple 4times color Purple 411296le11900 qquadquad60400acolor Red 1color Green 4color Blue 1color Purple 4 0bcolor Orange 2 qquadquadunderline 56564quadRightarrow 2ab b2828 color Orange 2times color Orange 256564le60400 qquadquadquad3836 end array sqrt 200 approx 1414213562373095048801668872421 四捨五入得答案為 1414。 事實上，將演算法稍作改動，可以開任何次方的根，詳見 n 次方演算法。 利用高精度長式除法可以計算出 1 至 20 的平方根如下： sqrt 1 1 sqrt 2 approx 14142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462 sqrt 3 approx 17320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909 sqrt 4 2 sqrt 5 approx 22360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638 sqrt 6 approx 24494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457 sqrt 7 approx 26457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230 sqrt 8 approx 28284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924 sqrt 9 3 sqrt 10 approx 31622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639 sqrt 11 approx 33166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609 sqrt 12 approx 34641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818 sqrt 13 approx 36055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293 sqrt 14 approx 37416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307 sqrt 15 approx 38729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937 sqrt 16 4 sqrt 17 approx 41231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338 sqrt 18 approx 42426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386 sqrt 19 approx 43588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203 sqrt 20 approx 44721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276 牛頓法 如果要求 SS1 的平方根，選取 1x_0S x_n1 frac 12left x_n frac Sx_nright 例子：求 sqrt 125348 至 6 位有效數字。 x_0 36 729000 x_1 frac 12 left x_0 frac Sx_0right frac 12 left 729000 frac 125348729000right 450472 x_2 frac 12 left x_1 frac Sx_1right frac 12 left 450472 frac 125348450472right 364365 x_3 frac 12 left x_2 frac Sx_2right frac 12 left 364365 frac 125348364365right 354191 x_4 frac 12 left x_3 frac Sx_3right frac 12 left 354191 frac 125348354191right 354045 x_5 frac 12 left x_4 frac Sx_4right frac 12 left 354045 frac 125348354045right 354045 因此 sqrt 125348 approx 354045 連分數 平方根可以簡便地用連分數的形式表示，關於連分數請見連分數，其中 1 至 20 的算術平方根分別可用連分數表示為： sqrt 11 sqrt 212222 sqrt 311212 sqrt 42 sqrt 524444 sqrt 622424 sqrt 7211141114 sqrt 821414 sqrt 93 sqrt 1036666 sqrt 1133636 sqrt 1232626 sqrt 1331111611116 sqrt 14312161216 sqrt 1531616 sqrt 164 sqrt 1748888 sqrt 1844848 sqrt 194213128213128 sqrt 2042828 連分數部分均迴圈，省略號前為 2 或 4 個迴圈節。 巴比倫方法 巴比倫求平方根的演算法實際上很簡單：（假設要求一個數 N 的平方根） 預測一個平方根 x，初始另一個值 y，且 xyN 求預測值與初始值的均值：xfrac xy2 yfrac Nx 比較 x 和 y 的差值是否達到精度，如果無，繼續步驟 重複的算術運算 這個方法是從佩爾方程演變過來的，它透過不斷減去奇數來求得答案。 尺規作圖 問題 給定線段 AB 和 1，求一條長為 sqrt AB 的線段。 解法 畫線 AB，延長 BA 至 C 使 AC1 以 BC 的中點為圓心，OC 為半徑畫圓 過 A 畫 BC 的垂直線，垂直線和圓弧交於 D，AD 即為所求之長度 證明 將整個過程搬到直角座標上，已知 AC1，設 O00 ABn 直徑為 BC 的圓就是 x2 y2 left frac n12right2（圓的方程式：x2y2r2）（其中 r 表示半徑。） 將 left frac n12 1 right（AD 所在的 x 座標）代入上面的方程式 left frac n12 1 right2 y2 left frac n12right2 解方程，得 ysqrt n。 另也可參見射影定理。 參見 方根 增乘開平方法 二項式定理 牛頓法 外部連結 Earliest Uses of Symbols of Operation The History of Mathematical Symbols The radical symbol 開方公式的推導 平方根計算器 參考資料 P P P