在數學中，雙曲函式是一類與常見的三角函式（也叫圓函式）類似的函式。最基本的雙曲函式是雙曲正弦函式 sinh 和雙曲餘弦函式 cosh，從它們可以匯出雙曲正切函式 tanh 等，其推導也類似於三角函式的推導。雙曲函式的反函式稱為反雙曲函式。 雙曲函式的定義域是實數，其自變數的值叫做雙曲角。雙曲函數出現於某些重要的線性微分方程的解中，譬如說定義懸鏈線和拉普拉斯方程。 基本定義 最簡單的幾種雙曲函式為： 雙曲正弦： sinh x frac ex e x 2 雙曲餘弦： cosh x frac ex e x 2 雙曲正切： tanh x frac sinh xcosh x frac ex ex ex ex frac e2x 1 e2x 1 雙曲餘切：當 xneq 0 coth x frac cosh xsinh x frac ex ex ex ex frac e2x 1 e2x 1 雙曲正割： operatorname sech x frac 1cosh x frac 2 ex ex frac 2ex e2x 1 雙曲餘割：當 xneq 0 operatorname csch x frac 1sinh x frac 2 ex ex frac 2ex e2x 1 函式 cosh x 是關於 y 軸對稱的偶函式。函式 sinh x 是奇函式。 如同當 t 遍歷實數集 mathbb R 時，點（cos t sin t）的軌跡是一個圓 x2 y2 1 一樣，當 t 遍歷實數集 mathbb R 時，點（cosh t sinh t）的軌跡是 x2 y2 1 的右半邊。這是因為有以下的恆等式： cosh2 t sinh2 t 1 引數 t 不是圓角而是雙曲角，它表示在 x 軸和連線原點和雙曲線上的點（cosh t sinh t）的直線之間的面積的兩倍。 歷史 在 18 世紀，約翰海因裡希蘭伯特引入雙曲函式，並計算了雙曲幾何中雙曲三角形的面積。自然對數函式是在直角雙曲線 xy 1 下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊線上 y x 上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為引數的函式，是自然對數的逆函式指數函式，即要形成指定雙曲角 u，在漸近線即 x 或 y 軸上需要有的 x 或 y 的值。顯見這裡的底邊是 left eu e uright frac sqrt 22，垂線是 left eu euright frac sqrt 22。 透過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有： cosh u frac eu eu2 sinh u frac eu eu2 單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線 xy 1 下雙曲角的 1 over 2。 虛數圓角定義 雙曲角經常定義得如同虛數圓角。實際上，如果 x 是實數而 i 2 1，則 cos i x cosh x quad i sin i x sinh x 所以雙曲函式 cosh 和 sinh 可以透過圓函式來定義。這些恆等式不是從圓或旋轉得來的，它們應當以無窮級數的方式來理解。特別是，可以將指數函式表達為由偶次項和奇次項組成，前者形成 cosh 函式，後者形成了 sinh 函式。cos 函式的無窮級數可從 cosh 得出，透過把它變為交錯級數，而 sin 函式可來自將 sinh 變為交錯級數。上面的恆等式使用虛數 i，從三角函式的級數的項中去掉交錯因子 1n，來恢復為指數函式的那兩部份級數。 ex cosh x sinh x begin arraylcl cosh x sum_n0inftyfrac x2n2n sinh x sum_n0inftyfrac x2n12n1 cos x sum_n0infty frac 1nx2n2n sin x sum_n0infty frac 1nx2n12n1 end array 雙曲函式可以透過虛數圓角定義為： 雙曲正弦： sinh x i sin i x 雙曲餘弦： cosh x cos i x 雙曲正切： tanh x i tan i x 雙曲餘切： coth x i cot i x 雙曲正割： operatorname sech x sec i x 雙曲餘割： operatorname csch x i csc i x 這些複數形式的定義得出自尤拉公式。 與三角函式的類比 奧古斯都德摩根在其 1849 年出版的教科書《Trigonometry and Double Algebra》中將圓三角學擴充套件到了雙曲線 Augustus De Morgan 1849 Trigonometry and Double Algebra Chapter VI On the connection of common and hyperbolic trigonometry。威廉金頓克利福德在 1878 年使用雙曲角來引數化單位雙曲線。 給定相同的角 α，在雙曲線上計算雙曲角的量值（雙曲扇形面積除以半徑）得到雙曲函式，角 alpha 得到三角函式。在單位圓和單位雙曲線上，雙曲函式與三角函式有如下的關係 正弦同樣是從 x 軸到曲線的半弦。 餘弦同樣是從 y 軸到曲線的半弦（圖中的餘弦是長方形的另一條邊）。 正切同樣是過 x 軸上單位點（10）在曲線上的切線到終邊的長度。 餘切同樣是從 y 軸與過終邊和曲線交點的切線與 y 軸的交點和曲線連線之長度。 正割同樣是在一個有正切和單位長的直角三角形上，但邊不一樣。 餘割同樣是 y 軸與過終邊和曲線交點的切線與 y 軸的交點和原點之距離。 角的量值可以從 0 到無限大，但 alpha 實際上只會介於 0 到 2pi（360 度）之間，其餘是 alpha 的同界角，再繞著圓旋轉，故三角函式可以有周期。雙曲角的量值可以從 0 到無限大，但 alpha 實際上不會超過 frac pi4（45 度），故無法如三角函式一樣有周期性。 恆等式 與雙曲函式有關的恆等式如下 begin align cosh2 x sinh2 x 1 1 tanh2 x operatorname sech2x operatorname coth2x 1 operatorname csch2x end align 加法公式： sinh xy sinh x cosh y cosh x sinh y cosh xy cosh x cosh y sinh x sinh y tanh xy frac tanh x tanh y1 tanh x tanh y 二倍角公式： sinh 2x 2sinh x cosh x cosh 2x cosh2 x sinh2 x 2cosh2 x 1 2sinh2 x 1 tanh 2x frac 2 tanh x1 tanh 2 x 和差化積： begin align sinh x sinh y 2 sinh left frac xy2right cosh left frac xy2right cosh x cosh y 2 cosh left frac xy2right cosh left frac xy2right end align 半形公式： sinh frac x2 frac sinh xsqrt 2 cosh x 1 sgn x sqrt frac cosh x 12 coshfrac x2 sqrt frac cosh x 12 tanh frac x2 frac sinh xcosh x 1 sgn x sqrt frac cosh x1cosh x1 frac ex 1ex 1 其中 為符號函式。 若 ，則： tanh frac x2 frac cosh x 1sinh x coth x operatorname csch x 由於雙曲函式和三角函式之間的對應關係，雙曲函式的恆等式和三角函式的恆等式之間也是一一對應的。對於一個已知的三角函式公式，只需要將其中的三角函式轉成相應的雙曲函式，並將含有有兩個 sinh 的積的項（包括 coth2 x tanh2 x operatorname csch2 x sinh x sinh y）轉換正負號，就可得到相應的雙曲函式恆等式 G Osborn Mnemonic for hyperbolic formulae The Mathematical Gazette p 189 volume 2 issue 34 July 1902。如 三倍角公式： 三角函式的三倍角公式為： sin 3x 3 sin x 4 sin3 x cos 3x 3 cos x 4 cos3 x 而對應的雙曲函式三倍角公式則是： sinh 3x 3 sinh x 4 sinh3 x cosh 3x 3 cosh x 4 cosh3 x 差角公式： begin align sinh x y sinh x cosh y cosh x sinh y cosh x y cosh x cosh y sinh x sinh y tanh x y frac tanh x tanh y1 tanh x tanh y end align 雙曲函式的導數 begin align frac ddxsinh x cosh x frac ddxcosh x sinh x frac ddxtanh x 1 tanh2 x operatorname sech2 x frac 1cosh2 x frac ddxcoth x 1 coth2 x operatorname csch2 x frac 1sinh2 x x neq 0 frac ddxoperatorname sech x tanh x operatorname sech x frac ddxoperatorname csch x coth x operatorname csch x x neq 0 end align 雙曲函式的泰勒展開式 雙曲函式也可以以泰勒級數展開 sinh x x frac x3 3 frac x5 5 frac x7 7 cdots sum_n0infty frac x2n12n1 cosh x 1 frac x2 2 frac x4 4 frac x6 6 cdots sum_n0infty frac x2n2n tanh x x frac x3 3 frac 2x5 15 frac 17x7 315 cdots sum_n1infty frac 22n22n1 B_2n x2n12n left x right frac pi 2 coth x frac 1 x frac x 3 frac x3 45 frac 2x5 945 cdots frac 1 x sum_n1infty frac 22n B_2n x2n1 2n 0 left x right pi （羅朗級數） operatorname sech x 1 frac x2 2 frac 5x4 24 frac 61x6 720 cdots sum_n0infty frac E_2 n x2n2n left x right frac pi 2 operatorname csch x frac 1 x frac x 6 frac 7x3 360 frac 31x5 15120 cdots frac 1 x sum_n1infty frac 2 122n1 B_2n x2n12n 0 left x right pi （羅朗級數） 其中 B_n 是第 n 項伯努利數 E_n 是第 n 項尤拉數 無限積與連續分數形式 下列的擴充套件在整個複數平面上成立： sinh x xprod_n1inftyleft 1frac x2n2pi2right cfrac x1 cfrac x22cdot3x2 cfrac 2cdot3 x24cdot5x2 cfrac 4cdot5 x26cdot7x2 ddots cosh x prod_n1inftyleft 1frac x2n122pi2right cfrac 11 cfrac x21 cdot 2 x2 cfrac 1 cdot 2x23 cdot 4 x2 cfrac 3 cdot 4x25 cdot 6 x2 ddots tanh x cfrac 1cfrac 1x cfrac 1cfrac 3x cfrac 1cfrac 5x cfrac 1cfrac 7x ddots 雙曲函式的積分 intsinh cxmathrm d x frac 1ccosh cx C intcosh cxmathrm d x frac 1csinh cx C int tanh cxmathrm d x frac 1cln cosh cx C int coth cxmathrm d x frac 1clnleftsinh cxright C int operatorname sech cxmathrm d x frac 1carctan sinh cx C int operatorname csch cxmathrm d x frac 1clnlefttanhfrac cx2right C 與指數函式的關係 從雙曲正弦和餘弦的定義，可以得出如下恆等式 ex cosh x sinh x 和 ex cosh x sinh x 複數的雙曲函式 因為指數函式可以定義為任何複數引數，也可以擴充套件雙曲函式的定義為複數引數。函式 sinh z 和 cosh z 是全純函式。 指數函式與三角函式的關係由尤拉公式給出： begin align ei x cos x i sin x ei x cos x i sin x end align 所以 begin align cosh ix frac 12 left ei x ei xright cos x sinh ix frac 12 left ei x ei xright i sin x tanh ix i tan x end align begin align cosh xiy cosh x cos y i sinh x sin y sinh xiy sinh x cos y i cosh x sin y end align begin align cosh x cos ix sinh x i sin ix tanh x i tan ix end align 因此，雙曲函式是關於虛部有週期的，週期為 2 pi i（對雙曲正切和餘切是 pi i）。 反雙曲函式 反雙曲函式是雙曲函式的反函式。它們的定義為： begin align operatorname arsinh x ln left x sqrt x2 1 right operatorname arcosh x ln left x sqrt x2 1 right x ge 1 operatorname artanh x frac 12ln left frac 1 x1 x right left x right 1 operatorname arcoth x frac 12ln left frac x 1x 1 right left x right 1 operatorname arsech x ln left frac 1x frac sqrt 1 x2x right 0 x le 1 operatorname arcsch x ln left frac 1x frac sqrt 1 x2left x right right x ne 0 end align 參考文獻 參見 反雙曲函式 雙曲函式符號 三角函式 古德曼函式 Category 基本特殊函式 Category 指數 Category 雙曲函式