在向量分析中，雅可比矩陣（也稱作 Jacobi 矩陣，）是函式的一階偏導數以一定方式排列成的矩陣。 當其為方形矩陣時，其行列式稱為雅可比行列式（Jacobi determinant）。要注意的是，在英文中雅可比矩陣跟雅可比行列式都可稱作 Jacobian。 其重要性在於，如果函式 在點 可微的話，在點 的雅可比矩陣即為該函式在該點的最佳線性逼近，也代表雅可比矩陣是單變數實數函式的微分在向量值多變數函式的推廣，在這種情況下，雅可比矩陣也被稱作函式 在點 的微分或者導數。 在代數幾何中，代數曲線的雅可比行列式表示：伴隨該曲線的一個代數群，曲線可以嵌入其中。 它們全部都以普魯士數學家卡爾雅可比命名。 雅可比矩陣 假設某函式從 ， 從 對映到 向量 ， 其雅可比矩陣是一 的矩陣，換句話講也就是從 到 的線性對映，其重要意義在於它表現了一個多變數向量函式的最佳線性逼近。因此，雅可比矩陣類似於單變數函式的導數。 此函式 的雅可比矩陣 為 的矩陣，一般由以下方式定義： mathbf J begin bmatrix dfrac partial mathbf fpartial x_1 cdots dfrac partial mathbf fpartial x_n end bmatrix begin bmatrix dfrac partial f_1partial x_1 cdots dfrac partial f_1partial x_n vdots ddots vdots dfrac partial f_mpartial x_1 cdots dfrac partial f_mpartial x_n end bmatrix 矩陣的分量可表示成： mathbf J_ij frac partial f_ipartial x_j 雅可比矩陣的其他常用符號還有： Df、 mathrm Dmathbf f、mathbf J_mathbf fx_1ldotsx_n 或者 frac partial f_1ldotsf_mpartial x_1ldotsx_n 此矩陣的第 izhcn 行；zhtw 列； 是由函式 f_i 的梯度函式所表示的，1le ile m 。 如果 p 是 mathbb Rn 中的一點，f 在 p 點可微分，根據數學分析， mathbf J_mathbf fp 是在這點的導數。在此情況下，mathbf J_mathbf fp 這個線性對映即 f 在點 p 附近的最優線性逼近，也就是說當 x 足夠靠近點 p 時，我們有 f x approx f p mathbf J_mathbf fpcdot xp 講更詳細點也就是： mathbf f mathbf x mathbf f mathbf p mathbf J_mathbf fmathbf pmathbf x mathbf p o mathbf x mathbf p 其中， 代表小 o 符號， 為 與 之間的距離。 例子 例一 由球座標系到直角座標系的轉化由 函式給出，其分量為： begin align x r sin theta cos varphi y r sin theta sin varphi z r cos theta end align 此座標變換的雅可比矩陣是 mathbf J_mathbf Fr theta varphi begin bmatrix dfrac partial xpartial r dfrac partial xpartial theta dfrac partial xpartial varphi 1em dfrac partial ypartial r dfrac partial ypartial theta dfrac partial ypartial varphi 1em dfrac partial zpartial r dfrac partial zpartial theta dfrac partial zpartial varphiend bmatrix begin bmatrix sin theta cos varphi r cos theta cos varphi r sin theta sin varphi sin theta sin varphi r cos theta sin varphi r sin theta cos varphi cos theta r sin theta 0 end bmatrix 其雅可比行列式為 。以體積元變換為例，由於 ，如果做變數變換，則其體積元（Volume element，），會變成：。 例二 ，其各分量為 y_1 x_1 y_2 5x_3 y_3 4x_22 2x_3 y_4 x_3 sin x_1 其雅可比矩陣為 J_F x_1x_2x_3 begin bmatrix frac partial y_1partial x_1 frac partial y_1partial x_2 frac partial y_1partial x_3 3pt frac partial y_2partial x_1 frac partial y_2partial x_2 frac partial y_2partial x_3 3pt frac partial y_3partial x_1 frac partial y_3partial x_2 frac partial y_3partial x_3 3pt frac partial y_4partial x_1 frac partial y_4partial x_2 frac partial y_4partial x_3 end bmatrixbegin bmatrix 1 0 0 0 0 5 0 8x_2 2 x_3cos x_1 0 sin x_1 end bmatrix 此例子說明雅可比矩陣不一定為方陣。 在動力系統中 考慮形為 xprimeF x 的動力系統，F mathbb Rnrightarrowmathbb Rn。如果 F x_00，那麼 x_0 是一個臨界點。系統接近臨界點時的行為跟 J_F x_0 的特徵值相關。 雅可比行列式 如果 ，那麼 是從 對映到 的函式，且它的雅可比矩陣是一個方陣。於是我們可以取它的行列式，稱為雅可比行列式。 在某個給定點的雅可比行列式提供了 在接近該點時的表現的重要資訊。例如，如果連續可微函式 在 點的 Jacobi 行列式不等於零，那麼它在該點附近有 的反函式。這稱為反函式定理。更進一步，如果 點的 Jacobi 行列式是正數，則 在 點保持定向（preserves orientation）；如果是負數，則 逆轉定向（reverses orientation）。而從 Jacobi 行列式的絕對值，就可以知道函式 在 點附近是放大或縮小體積；這就是它出現在換元積分法中的原因。 例子一 設有函式 ，其分量為： y_1 5x_2 y_2 4x_12 2 sin x_2x_3 y_3 x_2 x_3 則它的 Jacobi 行列式為： begin vmatrix 0 5 0 8x_1 2x_3cos x_2 x_3 2x_2cos x_2 x_3 0 x_3 x_2 end vmatrix8x_1cdotbegin vmatrix 5 0 x_3x_2end vmatrix40x_1 x_2 從中我們可以看到，當 和 同號時， 逆轉定向；該函式處處具有反函式，除了在 或 的點。 例子二 這是一個與巴塞爾問題 sum_n1inftyfrac1 n2frac pi2 6 較為相似的級數 sum_n0inftyfrac1 2n12frac pi2 8 的求解方法，首先可以轉化為二重積分（在這裡 D1 指 x 與 y 皆為從 0 到 1 的正方形區域）： sum_n0inftyfrac1 2n12iintlimits_D_1sum_n1infty xy2nmathrm dxmathrm dyiintlimits_D_1frac mathrm dxmathrm dy1x2y2 此時定義對映 ，滿足： begin cases uarctanleft xsqrt dfrac 1y21x2rightvarctanleft ysqrt dfrac 1x21y2rightend casesiffbegin cases xdfrac sin ucos vydfrac sin vcos uend cases 於是有相應的雅可比行列式： begin vmatrixdfrac partial xpartial udfrac partial xpartial vdfrac partial ypartial udfrac partial ypartial vend vmatrixbegin vmatrixdfrac cos ucos vdfrac sin usin vcos2vdfrac sin usin vcos2udfrac cos vcos uend vmatrix1frac sin2usin2vcos2ucos2v1x2y2 因此 mathrm dxmathrm dy1x2y2mathrm dumathrm dv，並且將正方形 D1 對映成 u0、v0、uvπ2 的等腰直角三角形，記為 D2，得到： iintlimits_D_1frac mathrm dxmathrm dy1x2y2iintlimits_D_2mathrm dumathrm dvint_0fracpi2left int_0fracpi2vmathrm durightmathrm dvfrac pi2 8 逆矩陣 根據反函式定理，一個可逆函式（存在反函式的函式）的雅可比矩陣的逆矩陣即為該函式的反函式的雅可比矩陣。即，若函式 F mathbb Rnrightarrowmathbb Rn 在點 pinmathbb Rn 的雅可比矩陣是連續且可逆的，則 F 在點 p 的某一鄰域內也是可逆的，且有 J_F1circ fJ1_F 成立。相反，倘若雅可比行列式在某一個點不為零，那麼該函式在這個點的某一鄰域內可逆（存在反函式）。 一個多項式函式的可逆性與未經證明的雅可比猜想有關。其斷言，如果函式的雅可比行列式為一個非零實數（相當於其不存在複零點），則該函式可逆且其反函式也為一個多項式。 參看 前推 黑塞矩陣 參考資料 外部連結 Ian Craw 的本科教學網頁 雅可比行列式的通俗解釋 Mathworld 更技術型的雅可比行列式的解釋 Category 多變數微積分 Category 行列式 Category 矩陣 Category 導數的推廣