求和符號（；符號：sum，讀作：sigma），是尤拉於 1755 年首先使用的一個數學符號。這個符號是源自於希臘文（增加）的字頭，Σ 正是 σ 的大寫。 求和指的是將給定的數值相加的過程，又稱為加總。求和符號常用來簡化有多個數值相加的數學表示式。 假設有 n 個數值 x_1 x_2 cdots x_n，則這 n 個數值的總和 x_1 x_2 cdots x_n 可表示為 sumn_k1 x_k。 用等式來呈現的話就是 sumn_k1 x_kx_1 x_2 cdots x_n。 舉例來說，若有 4 個數值：x_11 x_23x_35x_47，則這 4 個數值的總和為： sum4_k1 x_kx_1 x_2 x_3 x_4135716 在數學中，求和是任何型別數字的序列相加，稱為加數或加數；結果是它們的總和或總數。除了數字之外，也可以對其他型別的值求和：函式、向量、矩陣、多項式，以及通常在其上定義了表示為 的運算的任何型別的數學物件的元素。 無窮序列的總和稱為級數，它們涉及極限的概念，本條目不予考慮。 顯式序列的總和表示為一連串的加法。例如，1 2 4 2 的和記為 1 2 4 2，得到 9，即 1 2 4 2 9。因為加法是結合可交換的，所以有不需要括號，無論加法的順序如何，結果都是一樣的。只有一個元素的序列的總和會產生這個元素本身。按照慣例，空序列（沒有元素的序列）的總和結果為 0。 求和方法 裂項法：利用 a_kb_k1b_k 求出 sum_kmn a_k。 錯位相減法：透過兩個求和式的相減化簡求和數列的求和方法。 倒序求和：對於有對稱中心的函式 f xf 2ax2b 首尾求和 逐項求導：可從 displaystyle sum_k0n xkfrac xn11x1 推匯出 displaystyle sum_k0n km xk 阿貝爾變換： sum_i1n a_i b_ia_1 b_1b_2a_1a_2b_2b_3dotsa_1a_2dotsa_n1b_n1b_na_1a_2dotsa_n b_n 含多項式求和公式 以下設 p 為多項式，deg p kmDelta p kp k1p k sum p k sum p k 是對一個多項式求和，自然數方冪和、等冪求和、等差數列求和都屬於對多項式求和。 帕斯卡矩陣形式 sum_k1n p k begin pmatrix C_n1 C_n2 cdots C_nm1end pmatrix begin pmatrix C_00 0 cdots 0 C_10 C_11 cdots 0 vdots vdots ddots vdots 1mC_m0 1m1 C_m1 cdots C_mm end pmatrix begin pmatrix p 1p 2vdotsp m1end pmatrix 差分變換形式 p ksum_j1m1 C_k1j1Deltaj1 p 1 sum_k1n p ksum_j1m1 C_njDeltaj1 p 1 sum u_k v_k xk 當 u_kp k 為多項式，sum_l0infty v_l xl 易求高階導數時，sum_k0infty u_k v_k xk 有封閉型和式 sum_k0infty u_k v_k xksum_k0infty frac Deltak u_0 xkkfrac dkdxksum_l0infty v_l xl sum p k qk u_kp kv_k1xqsum u_k v_k xksum p k qk 有限和 displaystylesum_k1n p k qk1 有封閉型和式 當 p 為常數時，是對等比數列求和，當 p 為一次多項式時，是對差比數列求和。 displaystylesum_k1n p k qk1f n qnf 0 f nfrac p nq1frac 1q12sum_k1m frac 1kqk1q1k1Deltak p nfrac 1q1sum_k0m frac qq1kDeltak p n1 sum frac p kk xk u_kp kv_kfrac 1ksum u_k v_k xksum frac p kk xk sum_n0infty frac p nn xnexsum_k0m frac Deltak p 0k xk sum H_k p k sum_k1n H_k p ksum_j0m C_n1j1 Deltaj p 0 H_nsum_j0mfrac C_nj1j1Deltaj p 0，其中 H_n 為調和數或調和級數 組合數求和公式 一階求和公式 sum_r0n binom nr 2n sum_r0nk frac 1r n1kr1 binom nk r binom nk1 sum_r0n binom dndrfrac 1dsum_r1d 1efrac 2 pi r iddn F_nsum_i0infty binom nii F_n1F_nsum_i0infty binom n1iisum_i0infty binom nii1sum_i1infty binom nii1sum_i1infty binom nii1sum_i1infty binom n1iisum_i0infty binom n1iiF_n1 sum_imn binom ia binom n1a1 binom ma1 binom ma1 binom ma binom m1 a binom na binom n1a1 sum_imn binom k_1ik_2 binom k_1n1k_21 binom k_1mk_21 sum_imn binom k_1ik_2i binom k_1n1k_2n binom k_1mk_2m1 二階求和公式 sum_r0n binom nr2 binom 2n n sum_i0n binom r_1n1ir_11 binom r_2i1r_21binom r_1r_2n1r_1r_21 1xr_1 1xr_21xr_1r_2 1xr_1 1xr_2sum_n0infty binom r_1n1r_11 xnsum_n0infty binom r_2n1r_21 xnsum_n0infty sum_i0n binom r_1n1ir_11 binom r_2i1r_21 xn 1xr_1r_2sum_n0infty binom r_1r_2n1r_1r_21 xn sum_i0k binom ni binom m kibinom nm k 範德蒙恆等式與超幾何函式有關係： sum_i0k binom ni binom m kifrac mkmk_2F_1 nkmk11binom nm k 三階求和公式 binom nk k2sum_j0k binom kj2 binom n2kj2k 範德蒙恆等式與廣義超幾何函式有關係： sum_j0k binom kj2 binom n2kj2kfrac n2k2kn_3F_2 kkn1n2k1binom nk k2 定積分判斷總和界限 當 f x 在 ab 單調遞增時： f a int_ab f x dx le sum_xab f x le f b int_ab f x dx 當 f x 在 ab 單調遞減時： f b int_ab f x dx le sum_xab f x le f a int_ab f x dx 求和函式 以 sum_i1n i9 為例： Matlab syms k nsymsum k9k1n Mathematica In 1 Sum i9 i 1 n Out 1 frac 120 n2 n12 left n2n1right left 2 n44 n3n23 n1right 參考資料 Category 算術