right230pxthumb 亞洲最大的天荒坪抽水蓄能電站將電力用勢能的形式儲存 是儲存於一物理系統內的一種能量，是一個用來描述物體在保守力場中做功能力大小的物理量。保守力作功與路徑無關，故可定義一個僅與位置有關的函式，使得保守力沿任意路徑所做的功，可表達為這兩點函式值的差，這個函式便是勢能。 從物理意義上來說，勢能表示物體在特定位置上所儲存的能量，描述作功能力的大小。在適當的情況下，勢能可以轉化為例如動能、內能等其他能量。 勢能 勢能的保守力定義 如果分別作用於兩個質點上的作用力與反作用力作功與具體路徑無關，只取決於相互作用質點初末位置，那麼這樣的一對力就叫作保守力。不滿足這個條件的則稱為非保守力。可以證明保守場的幾個等價條件文麗，吳良大．《高等數學第二冊：物理類（修訂版）》，P354。，於是我們得到保守力的性質有： 保守力沿給定兩點間作功與路徑無關； 保守力沿任意環路作功為零； 保守力可以表示為一個標量函式的（負）梯度； 推廣到多質點體系和連續分佈物體，如果一封閉系統中任意兩個質點之間的作用力都是保守力，則稱該系統為保守體系。保守體系的位形，即在保守體系中各質點的相對位置發生變化時，其間的相互作用力作功，作功之和只與各質點相對位置有關。將保守體系在保守力作用下的這種與相對位置相聯絡的作功的能力定義為一個函式，稱為該保守體系的勢 能函式或位 能函式，簡稱勢 能或位 能鄭永令，賈起民，方小敏．《力學（第二版）》，P157。。這樣，體系從一種位形變為另一種位形時對外界所作的功等於後者與前者的勢能之差，從而賦予了勢能函式以直觀的物理意義。 除此之外，我們還可以將勢能的定義從現在的基礎上拓展。比如熱學中氣體分子間的相互作用勢能，它是大量分子勢能的和，實際不是用相對位置（位形）來描述的，而是用體積、溫度、壓強等熱學參量。又如，在一些特定的約束條件下，某些平時是非保守力的力也成為了保守力見磁標勢。，或者幾種力的合力恰巧成為了一個保守力。 廣義勢能 對於一個理想、完整體系，有拉格朗日方程 frac mbox dmbox d t frac partial Tpartial dot q_alpha frac partial Tpartial q_alpha Q_alpha qquad alpha12 cdots s 其中，T 為體系動能，qα 為廣義座標的 α 分量，Qα 為廣義力合力的 α 分量，s 為廣義座標數。在傳統的勢能定義下，保守力合力可以寫為 F_i frac partial Vpartial x_i qquad i123 其中，V 為體系勢能。用廣義座標寫為 Q_alpha frac partial Vpartial q_alpha qquad alpha12 cdots s 代入拉格朗日方程便可得到 frac mbox dmbox d t frac partial T Vpartial dot q_alpha frac partial T Vpartial q_alpha 0 qquad alpha12 cdots s 若廣義力 Qα 並不能表示成關於任意函式 V 的上述函式，卻能找到另一個函式 U，使得 Qα 可以表示為 Q_alpha frac partial Upartial q_alpha frac mbox dmbox d t frac partial Upartial dot q_alpha qquad alpha12 cdots s 則代入拉格朗日方程仍有 frac mbox dmbox d t frac partial T Upartial dot q_alpha frac partial T Upartial q_alpha 0 qquad alpha12 cdots s 這時 U 具有與 V 相似的數學形式，但已經不再與保守力有關。我們把 U 叫做廣義勢能以上證明見金尚年，馬永利．《理論力學（第二版）》，P48。。 廣義勢能最主要的應用在於帶電粒子在電磁場中的運動上。帶有電荷 q，以速度 v 移動的粒子在電場 E 和磁場 B 中受到洛倫茲力 boldsymbol F q boldsymbol E boldsymbol v times boldsymbol B 再輔以麥克斯韋方程組，定義電勢 φ 與矢勢 A，可以得到一個滿足上述條件的函式金尚年，馬永利．《理論力學（第二版）》，P49。 U q phi boldsymbol A cdot boldsymbol v 在下面的介紹中，不經特殊說明，我們只涉及傳統意義上的勢能，不涉及廣義勢能。 性質 勢能為能量的一種，具有能量量綱，在國際單位制下的單位是焦耳（J），另外在涉及到粒子物理時常用到電子伏特（eV），高斯單位制下為爾格（erg）。勢能一般使用 Ep 表示，也常使用 W 賈瑞皋，薛慶忠．《電磁學（第二版）》，P46。U 和 V 金尚年，馬永利．《理論力學（第二版）》，P18。。 勢能是一個標量函式，當一個物體與多個物體共有勢能或共有多種勢能時，這個物體所具有的總勢能為所有勢能的代數和。 由定義可知，勢能取決於兩個或多個物體的相對位形，是兩個或多個物體所共有的。然而，在兩物體 A、B 組成的保守體系中，如果我們以其中一個物體 A 作為參考系，則勢能僅取決於另一物體 B 的相對位置。這時，在不引起混淆的情況下，我們常把 A、B 具有的勢能 稱作是 B 的勢能。比如，在電場中的電荷具有靜電勢能，或者是在一個天體附近的另一個天體具有引力勢能。除此之外，有時候保守體系中只存在一個物體，勢能來自於物體內部各部分間的相對位移，這時候我們也說，勢能是這個物體所具有的。比如，彈簧，或者是具有體分佈電荷的絕緣體球。 需要注意的是，即使在同一保守力場中的同一處，不同物體的勢能也一般不同，比如在重力作用範圍內，物體的重力勢能不僅取決於其高度，還取決於其質量。 物理意義 當物體從高勢能處來到低勢能處時，該物體勢能減少，而保守力向外作等量功使其它某種能量增加。從中我們可以發現，勢能可以表示一個物體所儲存的能量的多少。如，放在高處的物體相比放在放在低處的物體而言具有更多的重 力勢能，當它從空中向下墜落的時候，重 力勢能減少，轉化為動能；而當它沿粗糙斜面下滑時，重 力勢能同時轉化為動能和內能。 具有更多勢能的物體有能力對外界作出更多的功。用非保守力對物體做功可以增加物體的總勢能，而若用保守力對物體做功，則物體一種勢能增加而另一種勢能減少，總勢能不變。故，當物體在保守力的作用下從 a 處沿任意路徑移動到 b 處時，勢能變化量為保守力作功的相反值，即 E_p bE_p aW_a to bint_ab boldsymbol F_con cdot mbox d boldsymbol r 通常我們並不在意勢能的絕對大小，而是關心其變化量，這從勢能的定義可以明顯看出；實際上，談一個物體究竟擁有多少絕對勢能是沒有意義的。不過，有時為了計算或者敘述方便，我們也取一個勢能零點 O，規定 O 處勢能 Ep O0，這樣質點在 a 點的勢能大小為 E_p aW_O to aint_Oa boldsymbol F_con cdot mbox d boldsymbol r 原則上勢能零點可任意取，一般依方便而定；如果可能，一般選 Fcon0 點為勢能零點。舒幼生．《力學（物理類）》，P86。 勢能為保守力關於位移的積分，相對地，保守力為相應勢能函式關於位移的負梯度，即 boldsymbol F_con nabla E_p 使用廣義座標描述時，可寫為 E_p bE_p aW_a to bsum_alpha 1s int_ab Q_alpha mbox d q_alpha Q_alpha sum_alpha 1s frac partial E_ppartial q_alpha 描述勢能隨位置變化的圖稱為勢能圖。若勢能為僅與一個座標（或廣義座標）有關的函式，這時勢能圖成為勢能曲線，可以在平面直角座標系上表示出來，這時負梯度退化為負導數， F_con frac partial E_ppartial x 在下面介紹平衡及各種勢能的時候會有勢能曲線的範例。 機械能 勢能 Ep 與動能 Ek 之和稱為機械能。 EE_kE_p 外力的功與非保守內力的功之和等於質點系機械能的增量，這就是質點系的功能原理。用數學方式表達出來為 W_exW_nciE bE a 其中，W_ex 為外力作功，W_nci 為非保守內力作功。若 W_ex0，W_nci0，則質點系機械能守恆，這就是機械能守恆定律。這時，質點系與外界無能量交換，內部也無機械能與非機械能的轉化，只有動能與勢能的相互轉換。 在構建理想模型時，機械能守恆定律應用得十分廣泛，特別是當一質點處在有心力場時，其機械能守恆；又因為動能 Ek0，在已知總能量的情況下，可以瞭解到質點理論上的行動範圍（滿足 EkE 的區域）。 設在 x 方向上有如圖勢能曲線，則我們把 AB 間勢能最低處叫作勢阱（C 右方也有一個勢阱），BC 間勢能最高處叫作勢壘，對應的有勢阱深度與勢壘高度。我們設定粒子機械能守恆，那麼： 假設一個粒子從無窮遠處靠近，其機械能為 E0，那麼在 C 點處其動能為零，再向左走動能為負，速度將為虛數，經典力學中這是不允許的。因此它最多隻能到達 C 處。隨著粒子機械能（即初動能）的增大，其運動範圍的左端將會延伸，當其機械能達到或超過 Ep2 時，它將可以翻過勢壘。 再假設一個粒子，初始時在 AB 間。若它機械能為 0，那麼它可以在 AB 間運動，其最大動能為 Ek maxEp1。當其機械能不斷增大，達到 Ep2 時，它將可以翻越勢壘，到達 B 右方空間（當然，其在 A 左方的空間也會延伸）。 勢能圖、勢壘等概念是討論單個質點在保守外場中運動的有力工具，在物理學多個領域中的應用都十分廣泛。趙凱華，羅蔚茵．《力學（第二版）》，P115。 物體在勢能場中的平衡 只受保守力作用的物體，總有向總勢能更低處運動的趨勢。當物體所處位置不受力作用或合力為零時，即 frac partial E_ppartial x0，則稱物體處於平衡。右圖 A、B、C 三點皆處於平衡。 當物體偏離平衡位置時，若受合力背向平衡位置，則物體有離開平衡位置的趨勢，則稱物體處於不穩定平衡。勢能曲線上，不穩定平衡即滿足 frac partial2 E_ppartial x20 的點。右圖 A 點處於不穩定平衡。 當物體偏離平衡位置時，若受合力指向平衡位置，則物體有回到平衡位置的趨勢，則稱物體處於穩定平衡。勢能曲線上，穩定平衡即滿足 frac partial2 E_ppartial x20 的點。右圖 B 點處於穩定平衡。 當物體在平衡位置附近時合力恆為零，則稱物體處於隨遇平衡。勢能曲線上，隨遇平衡即滿足 frac partial2 E_ppartial x20 的點。右圖 C 點處於隨遇平衡。 以上只是一種粗略的分析方法，實際上，在二維或高維空間中情況會更加複雜，比如，在不同的方向上具有不同的平衡種類鄭永令，賈起民，方小敏．《力學（第二版）》，P163。。一個最簡單的例子是，若物體被約束在馬鞍形勢能曲面上，位於中心時，在 x 方向上為穩定平衡，在 y 方向上為不穩定平衡。 勢 在物理中有時會提到勢，請不要與勢能相混淆。勢通常表述為勢能與一個物理量的比值，如電勢（一個粒子靜電勢能與其電荷量的比值），引力勢（一個物體引力勢能與其質量的比值）。一個確定保守力場中，一個物體的勢能與該物體有關，但勢的分佈與該物體無關準確地說，當該物體對周圍環境影響足夠小時。比如電場中一個電量很小的點電荷（被稱作試探電荷），當電量較大時會嚴重影響到周圍物體上的電荷分佈從而影響到勢分佈。關於試探電荷見電場 電場強度或賈起民，鄭永令，陳暨耀．《電磁學（第二版）》，P13。。 需要與勢能區分開的是，物體並不一定總是向勢更低的地方運動。一個正電荷會趨向於達到電勢更低的地方，但一個負電荷會趨向於達到電勢更高的地方，但那裡都分別是它們勢能更低處。 勢也包括一些勢能所不包括的內容，如磁矢勢。 幾種常見勢能 下面介紹幾種常見勢能。 在下面的介紹中，我們常考慮一個兩質點組成的保守體系，兩質點間受且僅受相應的一種保守力。兩質點的勢能是一種最簡單、最理想的模型，然而也是實際模型的基礎。實際的問題理論上都可以由兩質點勢能的函式加以積分得到。 引 力勢能 注意：在臺灣將萬有引力統稱為 重 力，然而在大陸地區將萬有引力稱作 引 力，而將 重 力 作為萬有引力的一種特殊簡化情形。這裡為了分別介紹兩種情況，不致混淆，暫採用大陸命名方法。 根據牛頓萬有引力定律，對於兩質點 m0、m，質點 m 受到的萬有引力為 boldsymbol Fboldsymbol rG m m_0 cfrac boldsymbol r boldsymbol r_0boldsymbol r boldsymbol r_03 其中 G 是萬有引力常數，m0、m 是兩質點的質量，r0、r 分別為兩質點的位置向量。引力場中的物體會具有引力勢能。對於兩個質點，定義無窮遠處為勢能零點，則質點 m 在 r 處的 引 力勢能為 E_G boldsymbol r G m m_0 frac 1boldsymbol r boldsymbol r_0 在實際問題中，對於已知引力勢分佈 φφr，質點 m 在 r 處的引力勢能為 E_G boldsymbol r m phi boldsymbol r 重 力勢能 重 力勢能是引 力勢能在一種特殊情況下的簡化形式。可以證明趙凱華，羅蔚茵．《力學（第二版）》，P337。，對一球對稱分佈物體在其外一質點產生的 引 力，上面兩質點間的作用力公式仍適用，其中 m0 為該物體總質量，r0 為其球心位矢。當 rr0 在不太大範圍內變動時，對作用力公式取零級近似，作用力不變，則引 力退化為重 力。實際對於重 力的定義略稍複雜，參見萬有引力 兩者的微妙差別。由此可見，重 力的近似要求很嚴格。然而由於在日常生活中這個條件很容易滿足，而且極簡便，符合人們的日常生活經驗，故仍有研究價值，單列一項。 在這種情況下，重 力大致對於計入離心力的重 力定義，重 力還與物體所處經緯度有關。參見萬有引力 兩者的微妙差別。另外，由於地球實際分佈非完全球對稱及地球實際略橢，也導致重 力在各地有微小差異。只與星體性質與物體質量有關，而與位置無關，方向鉛直向下由於離心力的原因，在一般情況下 鉛直向下 方向並不指向地心，然而重 力方向仍然是與鉛直向下方向完全一致的。。將重 力加速度定為常數 g，則物體重 力大小為 F h mg 其中 m 為物體質量，g 為重 力加速度常數。則物體在 h 處的重 力勢能為 E_p h mgh。 其中 h 為物體的高度。 重 力勢能並沒有嚴格的勢能零點定義，完全依計算方便而定，不過比較常用的是以地面或桌面為勢能零點。 在地球上 g 的值約為 98 ms2，在不同地區稍有不同。這個值已經包括了和地球自轉所需的向心力造成的差別。一般計算中 g 可近似的取作標準重力加速度，即 ggn980665 ms2 。 彈性勢能 彈簧、鋼片、金屬絲等滿足胡克定律的物體，在彈性限度內應力與應變成正比。下面以彈簧為例。在彈性限度內，彈簧彈力與長度變化量的關係為 boldsymbol Fboldsymbol x k x 其中，k 為彈簧彈性係數，x 為彈簧長度變化（即固定一端時另一端相對平衡位置的位移）。則其彈性勢能為 E_p x frac 12 k x2 彈性勢能為對應物體自身所擁有，一般選擇彈簧原長時（x0）為勢能零點。 電勢能 在靜電學裡，根據庫倫定律，對於兩靜止點電荷 q、q0，點電荷 q 受到的靜電力為 boldsymbol Fboldsymbol rfrac q q_04pi epsilon_0 cfrac boldsymbol r boldsymbol r_0boldsymbol r boldsymbol r_03 其中 ε0 是電常數，r0、r 分別為兩點電荷的位置向量。靜電場中的點電荷會具有電勢能。對於兩個點電荷，定義無窮遠處為勢能零點，則點電荷 q 在 r 處的電勢能為 W boldsymbol r frac q q_04pi epsilon_0 frac 1boldsymbol r boldsymbol r_0 。 在實際問題中，對於已知電勢分佈 φφr，點電荷 q 在 r 處的電勢能為 E_G boldsymbol r q phi boldsymbol r 電勢能基於靜電場的定律庫侖定律。在變化電磁場中，粒子受力不再為保守力，不再能單獨用一個標量勢函式描述，需要使用標勢 φ 與矢勢 A 共同描述使用拉格朗日方程時也可以使用廣義勢能 Uq φvA 描述，見 廣義勢能。 分子勢能 分子力實際上來源於多個方面，精確的計算與各分子內部結構有很大關係，會變得十分複雜。對於無極性分子，兩分子間作用力可近似用以下半經驗公式表示：包科達．《熱物理學基礎》，P44。 F r frac lambdars frac murt 其中正表示排斥力，負表示牽引 力；r 為兩分子間距，λ、μ、s、t 為常數，隨兩分子不同而不同，且 st。這種力的特點是 在某一個值 r0 以內，分子裡表現為排斥力並且隨 r 減小而急劇上升； 在 r0 以外表現為牽引 力，分子力逐漸增大，到某最大值後減小； 力程短，在 r 約為 r0 十倍時已幾乎為零。 由此，對無極性分子間的相互作用勢能有以下幾個常用曲線。一個典型且常用的模型是蘭納 瓊斯勢包科達．《熱物理學基礎》，P45。，該勢能僅與兩分子間距有關，具有球對稱性，其函式解析式為 E_p rE_p0 left left frac r_0rright12 2left frac r_0r right 6 right 其中，r 為兩分子距離，Ep0 為分子勢能的勢阱（勢能最低處的勢能絕對值），r0 為勢阱處兩分子間距。Ep0 與 r0 需要對於具體分子透過實驗確定。 對蘭納 瓊斯勢在排斥力部分簡化，成為蘇則朗勢（Sutherland potential），即 E_p r begin cases infty r le d E left frac dr right6 r d end cases 其中 E、d 為常數，因分子而異。滿足蘇則朗勢的氣體稱為範德瓦爾斯氣體，分子力又稱作範德瓦爾斯力，滿足範德瓦爾斯方程包科達．《熱物理學基礎》，P58。。 對蘇則朗勢在引力部分再次簡化，成為剛球勢，即 E_p r begin cases infty r le d 0 r d end cases d0 時，分子勢能完全忽略，變為質點勢，這時氣體稱作理想氣體包科達．《熱物理學基礎》，P48。，滿足理想氣體狀態方程。 參見條目 能量 保守力 磁矢勢 拉格朗日方程 註釋 參考文獻 延伸閱讀 S S 分類：物理學術語