微分幾何中，葉狀結構是 n 流形上的等價關係，等價類是連通單射浸入子流形，都具有相同維度 p，以實座標空間 mathbb Rn 的分解為標準嵌入子空間 mathbb Rp 的陪集 xmathbb Rp 為模型。等價類稱作葉狀結構的葉（leaf）。若要求流形和 或子流形具有（Cr 類的）分段線性、微分或解析結構，就可分別定義分段線性、微分、解析葉狀結構。在最重要的 Cr 類微分葉狀結構中，通常 r 1（否則 C0 就是拓撲葉狀結構）。p（葉的維度）稱作葉狀結構的維度，qnp 稱作其餘維數。 在數學物理學家關於廣義相對論的一些論文中，葉狀結構 用於描述：相關的洛倫茲流形（p1 維時空）分解為 p 維超平面，指定為梯度處處不為零的實值光滑函式（標量場）的水平集；這光滑函式通常被假定為時間函式，梯度處處類時間，因此其水平集都是類空間超平面。為與標準數學術語保持一致，這些超平面通常稱作葉狀結構的葉。注意，雖然這情形確實構成標準數學意義上的餘維 1 葉狀結構，但這類例子是全域性平凡的。雖然（數學）餘維 1 葉狀結構的葉區域性上總是函式的水平集，但一般不能在全域性這樣表達，因為葉可能無限多次透過區域性平凡化座標圖，葉周圍的完整也可能阻礙葉的全域性一致定義函式的存在。例如，雖然 3 球面有一個由里布發現的餘維 1 葉狀結構，但閉流形的餘維 1 葉狀結構不能由光滑函式的水平集給出，因為閉流形上的光滑函式必然在最值點有臨界點。 葉狀結構好比是一種給流形穿的條紋織物的衣服。在流形的每個足夠小的片上，這些條紋給了流形一個區域性乘積結構，不需在區域性區域之外一致（不用有良定義的整體結構）：沿著一個條紋走足夠遠，可能回到不同的鄰近的條紋。 葉狀圖與圖冊 為給葉狀結構下精確定義，需先定義一些輔助元素。 mathbb Rn 中的矩鄰域是形式為 BJ_1timescdotstimes J_n 的開子集，其中 J_i 是第 i 個座標軸上（可能無界）的相對開區間。若 J_1 具有形式 a 0，則稱 B 具有邊界 partial B left left 0x2 ldots xn right in B right 在下面的定義中，座標圖（coordinate chart）被認為是在 mathbb Rptimesmathbb Rq，允許流形具有邊界和（凸）角的可能。 n 流形 M 上餘維為 q 的葉狀圖（foliated chart）是 U varphi，其中 Usubset M 是開集，varphi U to B_tau times B_pitchfork 是微分同胚，B_pitchfork 是 mathbb Rq 中的矩鄰域，B_tau 是 mathbb Rp 中的矩鄰域。集合 P_yvarphi1B_tautimesy，其中 y in B_pitchfork 稱作這葉狀圖的斑（plaque）。forall xin B_tau，集合 S_xvarphi_xvarphi1xtimes B_pitchfork 稱作葉狀圖的橫截（transversal）。集合 partial_tau Uvarphi1B_tautimes partial B_pitchfork 稱作 U 的切邊界（tangential boundary），partial_pitchfork Uvarphi1partial B_tautimes B_pitchfork 稱作 U 的橫截邊界（transverse boundary）。 葉狀圖是所有葉狀結構的基本模型，斑就是葉。B_tau 表示 B 切，B_pitchfork 表示 B 截。還有多種可能。若 B_pitchfork B_tau 都有空邊界，則葉狀圖就建模了無界 n 流形的餘維 q 葉狀結構。若其中一個矩鄰域有界，則葉狀圖建模了有界無角 n 流形的葉狀結構的各種可能性。具體來說，若 partial B_pitchforkneq varnothingpartial B_tau，則 partial Upartial_tau U 是斑之並，斑表示的葉狀結構切於邊界。若 partial B_tauneqvarnothingpartial B_pitchfork，則 partial Upartial_pitchfork U 是橫截之並，葉狀結構橫截於邊界。最後，若 partial B_pitchforkneqvarnothingneqpartial B_tau，則建模了葉狀流形（foliated manifold），角分開了切邊界與橫截邊界。 n 流形 M 上餘維為 q 的 Cr 0le rleinfty 類葉狀圖冊（foliated atlas）是餘維為 q 的葉狀圖的 Cr 圖冊 mathcal U U_alpha varphi_alphamid alpha in A，只要 P、Q 在 mathcal U 的不同圖中都是斑，P Q 在 P、Q 中都是開的，它們就是相干葉狀結構（coherently foliated）。 重新表述相干葉狀圖的有效方法是將 win U_alphacap U_beta 寫作： varphi_alpha w left x_alpha w y_alpha w right in B_taualpha times B_pitchforkalpha varphi_beta w left x_beta w y_beta w right in B_taubeta times B_pitchforkbeta U_alpha varphi_alpha 常寫作 U_alpha x_alpha y_alpha，其中 x_alpha left x_alpha1 dotsx_alphap right y_alpha left y_alpha1 dotsy_alphaq right 在 varphi_betaU_alphacap U_beta 上，座標公式可改寫為 g_alpha beta left x_betay_beta right varphi_alpha circ varphi_beta1 left x_beta y_beta right left x_alpha left x_beta y_beta right y_alpha left x_beta y_beta right right U_alpha x_alpha y_alpha U_beta x_beta y_beta 是相干葉狀結構這一條件意味著，若 Psubset U_alpha 是斑，則 Pcap U_beta 的連通分量位於 U_beta 的（可能不同的）斑中。等價地，由於 U_alpha U_beta 的斑分別是橫座標 y_alpha y_beta 的水平集，forall zin U_alphacap U_beta 都有鄰域，其中公式 y_alpha y_alpha x_beta y_beta y_alpha y_beta 與 x_beta 無關。 葉狀圖冊的主要用處是將重疊的斑連線起來，形成葉狀結構；上述一般定義顯得有點笨拙，一個問題是，U_alpha varphi_alpha 的斑可以與多個 U_beta varphi_beta 的斑相遇。甚至可能出現，一個圖的斑與另一圖的無窮多個斑相遇。不過，如下所示，假設情形更規則，也不失一般性。 若 mathcal U cup mathcal V 是葉狀 Cr 圖冊，則 M 上兩具有相同餘維和光滑度的 Cr 類葉狀圖冊 mathcal U mathcal V 是相干的：left mathcal U thickapprox mathcal V right 。葉狀圖冊的相干是等價關係。 證明 自反關係和對稱關係是直接的。要證傳遞關係，令 mathcal U thickapprox mathcal V and mathcal V thickapprox mathcal W。令 U_alpha x_alpha y_alphainmathcal U W_lambda x_lambda y_lambdainmathcal W，並假設有點 win U_alphacap W_lambda。擇 V_delta x_delta y_deltainmathcal V，使得 win V_delta。根據上述說明，w 有屬於 U_alphacap V_deltacap W_lambda 的鄰域，使得 y_delta y_delta y_lambda quad text on quad varphi_lambda N y_alpha y_alpha y_delta quad text on quad varphi_delta N 由此 y_alpha y_alpha left y_delta y_lambda right quad text on quad varphi_delta N 由於 win U_alphacap W_lambda 是任意的，可以總結 y_alphax_lambda y_lambda 區域性依賴於 x_lambda。於是可以證明 mathcal U thickapprox mathcal W，因為相干是可傳遞的。 上面定義的開集上的斑與橫截也是開的。不過，我們也可以談論閉的斑與橫截：若 U varphi W psi 都是葉狀圖，使得 overline U（U 的閉包）是 W 的子集，varphipsiU；則，若 varphi U B_tau times B_pitchfork 可知 psioverline U，寫作 overline varphi，將 overline U 微分同胚地帶到 overline B_tau times overline B_pitchfork 符合以下條件的葉狀圖冊稱作規則的（regular）： forallalphain A overline U_alpha 是葉狀圖 W_alpha psi_alpha 的緊子集，且 varphi_alphapsi_alphaU_alpha； 覆蓋 U_alphaalphain A 是區域性有限的； 若 U_alpha varphi_alpha U_beta varphi_beta 都是葉狀圖冊的元素，則每個閉斑 Psubsetoverline U_alpha 的內部與最多與 overline U_beta 中的 1 個斑相遇。 根據性質 1，座標 x_alpha y_alpha 延伸到 overline U_alpha 上的座標 overline x_alpha overline y_alpha，可以寫成 overline varphi_alpha left overline x_alphaoverline y_alpha right 性質 3 等價於要求：若 U_alphacap U_betaneqvarnothing，橫座標變化 overline y_alpha overline y_alpha left overline x_beta overline y_beta right 獨立於 overline x_beta 即 overline g_alpha beta overline varphi_alpha circ overline varphi_beta1 overline varphi_beta left overline U_alpha cap overline U_beta right rightarrow overline varphi_alpha left overline U_alpha cap overline U_beta right 有公式 overline g_alpha beta left overline x_beta overline y_beta right left overline x_alpha left overline x_beta overline y_beta right overline y_alpha left overline y_beta right right 類似論斷也適於開圖（無覆蓋線）。橫座標對映 y_alpha 可視作浸沒 y_alpha U_alpha rightarrow mathbb Rq 公式 y_alphay_alphay_beta 可視作微分同胚 gamma_alpha beta y_beta left U_alpha cap U_beta right rightarrow y_alpha left U_alpha cap U_beta right 它們滿足上迴圈條件，即，在 y_deltaU_alphacap U_betacap U_delta 上， gamma_alpha delta gamma_alpha beta circ gamma_beta delta 尤其是， gamma_alpha alpha equiv y_alpha left U_alpha right gamma_alpha beta gamma_beta alpha1 用上述關於相干性和規則性的定義，可證明每個葉狀圖冊都有規則的相干細化。 證明 固定 M 上的一個度量核一個葉狀圖冊 mathcal W 傳遞到子覆蓋，如有必要，可假設 mathcal W left W_jpsi_j right _j1l 有限。令 ε 0 是 mathcal W 的勒貝格數，即直徑 ε 的 forallsubset Xsubseteq M 都完全位於某個 W_j 中。forall xin M，擇 j 使得 xin W_j、擇葉狀圖 U_x varphi_x 使得 xin U_xsubseteq overline U_xsubset W_j varphi_xpsi_jU_x rm diamU_xvarepsilon2 設 U_xsubset W_k kneq j，並照常記 psi_kx_k y_k y_k W_ktomathbb Rq 是橫座標對映。這是浸沒，以 W_k 中的斑為水平集。因此，y_k 限制到浸沒 y_k U_xtomathbb Rq 這在 x_j 中是區域性為常的；因此，若有必要可以選擇較小的 U_x，假定 y_koverline U_x 以 overline U_x 的斑為水平集。即，W_k 的斑最多與 overline U_x 的一個（緊）斑相遇（因此包含）。由於 1 k l ，可以擇 U_x，使得只要 U_xsubset W_k，overline U_x 的不同斑就位於 W_k 的不同斑中。傳遞到 U_x varphi_xxin M 的有限子圖冊 mathcal U left U_ivarphi_i right _i1N。若 U_icap U_jneq 0 rm diamU_icup U_jvarepsilon，於是存在索引 k 使得 overline U_i cup overline U_j subseteq W_k。overline U_i 的不同斑（分別是 overline U_j 的不同斑）位於 W_k 的不同斑中。因此 overline U_i 的每個斑內部最多與 overline U_j 的一個斑相交，反之亦然。根據構造，mathcal U 是 mathcal W 的相干細化，是規則葉狀圖冊。 若 M 非緊，區域性緊性和第二可數性允許我們選擇緊子集序列 left K_i right _i0infty，使得 forall ige 0 M bigcup_i1infty K_i K_isubset rm int K_i1。傳遞到子圖集，假定 mathcal W left W_j psi_j right _j0infty 可數，且可找到嚴格遞增正整數列 left n_l right _l0infty 使 mathcal W_l left W_j psi_j right _j0n_l 是 K_l 的覆蓋。令 delta_l 表示 K_l 到 partial K_l1 的距離，並擇 varepsilon_l0，小到對於 lge 1 varepsilon_0delta_02，都有 varepsilon_lrm mindelta_l2 varepsilon_l1（varepsilon_l 是 mathcal W_l（作為 K_l 的開覆蓋）與 mathcal W_l1（作為 K_l1 的開覆蓋）的勒貝格數）。更確切地說，若 Xsubset M 與 L_l 相遇（或 K_l1），且 rm diam Xvarepsilon_l，則 X 位於 mathcal W_l 的某個元素中（或 mathcal W_l1）。forall xin K_ldiagdown rm int K_l1，與緊情形一樣構造 U_x varphi_x，要求 overline U_x 是 W_j 的緊子集，且 forall jle n_l varphi_xpsi_jU_x。同時，要求 rm diamoverline U_xvarepsilon_l2。和之前一樣，傳遞到 K_ldiagdown rm int K_l1 的有限子覆蓋 left U_ivarphi_i right _in_l1 1n_l（此處取 n_10。）這樣就創造了規則葉狀圖冊 mathcal U left U_ivarphi_i right _i1infty，細化了 mathcal W 並與 mathcal W 相干。 葉狀結構的定義 根據實現葉狀結構的方式，有幾種不同的定義。最常見方式是透過流形分解，得到 定義 n 維流形 M 的 p 維 Cr 類葉狀結構是將 M 分解為不交連通子流形 L_alpha_alphain A 的並，稱作葉狀結構的葉（leaf），具有如下性質：M 的點都有鄰域 U 和區域性 Cr 類座標系 xx1 ldots xn Uto mathbb Rn，使得對每片葉 L_alpha，Ucap L_alpha 的組分都由方程組 xp1text 常數 ldots xntext 常數 描述。則，葉狀結構記作 mathcal FL_alpha_alphain A 葉的概念可以讓我們直觀地思考葉狀結構。若用稍微幾何化的定義，n 維流形 M 的 p 維葉狀結構 mathcal F 也許可簡單視作 M 的逐對不交、連通浸沒的 p 維子流形（葉狀結構的葉）的集合 M_a，使得對點 forall xin M，都有圖 Uvarphi，其中 U 同胚於 mathbb Rn，包含的 x 使得對每片葉 M_a，與 U 相遇或為空集或為子空間的可數集，其在 varphi M_a cap U 中 varphi 的像下是前 np 個座標為常數的 p 維仿射子空間。 葉狀結構區域性上都是浸沒，允許下列定義 定義 令 M、Q 是 n 維流形，qn，並令 f Mto Q 是浸沒，即假設函式微分矩陣（雅可比矩陣）的秩為 q，則據隱函式定理，ƒ在 M 上誘導了餘維為 q 的葉狀結構，其中的葉定義為 xin Q f1x 這定義描述了 n 維流形 M 的 p 維葉狀結構 mathcal F，是由圖（chart）U_i 與下列對映覆蓋的： varphi_iU_i to mathbb Rn 這樣，對重疊對 U_i U_j，轉移函式 varphi_ij mathbb Rntomathbb Rn 定義為 varphi_ij varphi_j varphi_i1 形式為 varphi_ijxy varphi_ij1 xvarphi_ij2 xy 其中 x 表示前 qnp 個座標，y 表示後 p 個座標（coordinates），即 begin align varphi_ij1 mathbb Rqtomathbb Rq varphi_ij2 mathbb Rntomathbb Rp end align 將轉移函式 varphi_ij 拆分為 varphi_ij1 x varphi_ij2 xy，作為浸沒的一部分完全類似於將 overline g_alpha beta 拆分為 overline y_alpha left overline y_beta right overline x_alpha left overline x_beta overline y_beta right ，作為規則葉狀圖冊定義的一部分。這使得可以用規則葉狀圖冊定義葉狀結構成為可能。為此，必須首先證明，餘維度為 q 的規則葉狀圖冊都與唯一的餘維度為 q 的葉狀結構 mathcal F 相關聯。 證明 令 mathcal U left U_avarphi_alpha right _alpha in A 是餘維為 q 的規則葉狀圖冊。在 M 上定義等價關係：x y，當且僅當 existsmathcal U 斑 P_0 使得 x yin P_0，或有 mathcal U 斑的序列 LP_0 P_1 dots P_p 使得 x in P_0 y in P_p P_i cap P_i1 neq varnothing 1le ile p 成立。稱序列 L 為連線 x、y 的長 p 的斑鏈。x yin P_0 時，可以說 P_0 是連線 x、y 的長度為 0 的斑鏈。 是等價關係，這很清楚；同樣明顯的是，等價類 L 都是斑的並。由於 mathcal U 斑只能在彼此的開子集中相互重疊，所以 L 在區域性是維度為 nq 的拓撲浸入（immerse）子流形。斑 Psubset L 的開子集在 L 上構成了 nq 維的區域性歐氏拓撲的基，L 在這拓撲中顯然是連通的。要檢驗 L 是否為豪斯多夫空間也是平凡的，主要問題是要證明 L 第二可數。由於斑都是第二可數的，所以對 L 只需證 L 中 mathcal U 斑集最多為可數無窮。固定一個這樣的斑 P_0，根據規則葉狀圖冊的定義，其只與有限多個其他斑相遇。即，只有有限多長 1 的斑鏈 P_0 P_i。歸納始於 P_0 的 p 長斑鏈，同樣可證明長度 p 的斑鏈只有有限多條。根據～的定義，L 中所有 mathcal U 斑都可透過始於 P_0 的有限斑鏈抵達，因此可得上述論斷。 正如證明所示，葉狀結構的葉是長度 p 的斑鏈的等價類，也是拓撲浸入豪斯多夫 p 維子流形。接著，我們將證明葉上斑的等價關係可用相干葉狀圖冊的等價來表示，即它們與葉狀結構的聯絡。更具體地說，若 mathcal U mathcal V 是 M 上的葉狀圖冊、且若 mathcal U 與葉狀結構 mathcal F 相關聯，則當且僅當 mathcal V 也與 mathcal F 相關聯時，mathcal U mathcal V 相干。 證明 若 mathcal V 也與 mathcal F 相關聯，則每片葉 L 都是 mathcal V 斑與 mathcal U 斑的並。這些斑在 L 的流形拓撲中是開子集，因此交於彼此的開子集。由於斑是連通的，所以不在同一片葉的 mathcal U 斑不能交 mathcal V 斑；因此葉狀圖冊是相干的。反之，若只知道 mathcal U 與 mathcal F 相關聯、mathcal V approx mathcal U，令 Q 是 mathcal V 斑。若 L 是 mathcal F 的葉，且 win Lcap Q win P，令 Pin L 是 mathcal U 斑，則 Pcap Q 是 w 在 Q 中的開鄰域，且 Pcap Qsubset Lcap Q。由於 win Lcap Q 是任意的，可知 Lcap Q 是開的；由於 L 也是任意的葉，所以 Q 可分解為不交的開子集，每個都是 Q 與 mathcal F 中某葉的交。又由於 Q 連通，Lcap QQ 最後，Q 也是任意的 mathcal V 斑，所以 mathcal V 與 mathcal F 相關聯。 現在很明顯，M 上的葉狀結構與葉狀圖冊間的關聯關係產生了 M 的葉狀結構集同葉狀圖冊的相干類集之間的一一對應，換句話說，M 上餘維為 q 的 Cr 類葉狀結構 mathcal F 是餘維為 q 的 Cr 類葉狀圖冊的相干類。據佐恩引理，葉狀圖冊相干類顯然包含唯一的最大葉狀圖冊。於是， 定義 M 上餘維為 q 的 Cr 類葉狀結構是 M 上餘維為 q 的最大葉狀 Cr 圖冊。 實踐中，通常用較小的葉狀圖冊表示葉狀結構，通常還要求是規則的。 在圖 U_i 中，條紋 xtext 常數 與別的圖 U_j 上的條相匹配。這些子流形在圖之間拼接成最大連通單射浸入子流形，就是葉狀結構的葉（leaf）。 若縮小圖 U_i，可以寫成 U_ixtimes U_iy，其中 U_ixsubsetmathbb Rnp U_iysubsetmathbb Rp U_ iy 與斑同構，U_ix 的點引數化了 U_i 中的斑。若擇 y_0in U_iy，則 U_ixtimesy_0 是 U_i 的子流形，與每個斑恰交一次，這叫做葉狀結構的區域性橫截面。注意，由於單值性的原因，全域性橫截面可能不存在。 r 0 的情形比較特殊。實踐中出現的 C0 葉狀結構通常是 光滑葉。更確切地說，是以下意義的 Cr 0 類： 定義 若葉狀圖冊的相應相干類包含規則葉狀圖冊 U_alpha x_alpha y_alpha_alphain A，使得座標變換式 g_alpha betax_beta y_beta x_alpha x_beta y_beta y_alpha y_beta 屬於 Ck 類，但 x_alpha 在座標 x_beta 中是 Cr 類，其階數 r、與 x_beta 的混合偏導數在座標 x_beta y_beta 中是 Ck 類，則稱葉狀結構 mathcal F 屬於 Cr k rkge 0 類。 上述定義是所謂 葉狀空間 的更一般概念。我們可以放寬橫截的條件為 mathbb Rq 的相對緊開子集，允許橫座標 y_alpha 在更一般的拓撲空間 Z 中取值。斑仍是 mathbb Rq 的相對緊開子集，橫座標公式 y_alphay_beta 的變化是連續的，x_alphax_beta y_beta 在座標 x_beta 中屬於 Cr 類，其階數 r 、與 x_beta 的混合偏導數在座標 x_beta y_beta 中連續。一般要求 M、Z 為區域性緊可測第二可數空間。這似乎是很狂野的推廣，但在一些情形下很有用。 完整性 令 M mathcal F 是葉狀流形（foliated manifold）。設 L 是 mathcal F 的葉，s 是 L 中的路徑，我們感興趣的是 M 中 s 的鄰域中葉狀結構的行為。直觀地說，在葉上可以沿路徑 s 行走，同時關注附近所有葉。在他（以下寫作 s t）行走時，一些葉可能會 掉落、變得不可見；另一些可能會突然進入可視範圍，漸漸接近 L；還有些可能會以接近平行的方式跟隨 L，或垂直地打轉之類。若 s 是環路，則隨著 t 增大，s t 會反覆回到同一個點 s t0，每次都會有更多葉螺旋狀地進入或離開視野。這種行為經過適當的形式化，叫做葉狀結構的完整性（holonomy）。 完整性在葉狀流形上有多種具體實現方式：葉狀叢（foliated bundle）的總完整群、一般葉狀流形的完整偽群、一般葉狀流形的虧格完整廣群、葉的虧格完整群、葉的無窮小完整群。 葉狀叢 最容易理解的完整性是葉狀叢的總完整性，這是龐加萊對映概念的推廣。 第一回歸對映 來自動力系統理論。令 Phi_t 是緊 n 流形上的非奇異 Cr rge 1 流。應用中，可以想象 M 是個迴旋加速器或流體的閉合迴路。若 M 有界，則假定流與界相切。流生成了 1 維葉狀結構 mathcal F。若知道流的正方向，但不知道其他引數（軌跡形狀、速度等），則稱底葉狀結構（underlying foliation）mathcal F 有向。假設流有全域性橫截面 N，即 N 是 M 的 n1 維緊正合嵌入的 Cr 子流形，葉狀結構 mathcal F 垂直於 N，每條流線都與 N 相遇。由於 N 的維度與葉的維度是互補的，橫截性條件是 T_y M T_y mathcal F oplus T_y N text for each yin N 令 yin N，考慮 M 中所有序列 left Phi_t_kyright_k1infty 的所有堆積點的 ω 極限集合 ωy，其中 t_k 為無窮大。可以證明，ωy 是緊非空的，是流線的並。若 z lim_k rightarrow infty Phi_t_k in omega y 則有值 tin mathbb R 使得 Phi_tzin N，由此可得 lim_k to infty Phi_t_k tast y Phi_tastz in N 由於 N 是緊的，mathcal F 橫截於 N，因此集合 t0Phi_t yin N 是單調遞增序列 tau_k y_k1infty，併發散。 當 yin N 變化，令 tau ytau_1 y，這樣定義一個正函式 tauin Cr N（第一回歸時間），使得 forall yin N Phi_t ynotin N 0ttau y Phi_tau yyin N 定義 f Nto N f yPhi_tau yy 這是 Cr 對映。若流反向，則完全相同的構造會得到逆的 f1；所以 fin rm Diffr N。這個微分同胚是第一回歸對映，τ 稱作第一回歸時間。雖然第一回歸時間取決於流的引數化，但 f 顯然只取決於有向葉狀結構 mathcal F。可以將流 Phi_t 重引數化，使其保持非奇異、是 Cr 類，且方向不翻轉，從而使 tauequiv 1 流有橫截面 N 的假設是很受限的，意味著 M 是 S1 上纖維叢的總空間。事實上在 mathbb Rtimes N 上，可將 sim_f 定義為以下條件生成的等價關係： ty sim_f t1f y 等價地，這是加法群 Z 在 mathbb Rtimes N 上的作用的軌等價，定義如下 forall kinmathbb Z forall t yinmathbb Rtimes N k cdot ty t kfk y f 的對映圓柱定義為 Cr 流形 M_f mathbb R times Nsim_f 由第一回歸對映 f 的定義與第一回歸時間 tauequiv 1 的假設，可立即得出對映 Phi mathbb R times N rightarrow M 流的定義可誘導一個規範 Cr 微分同胚 varphi M_f rightarrow M 若記 M_fM，則 mathbb Rtimes N 到 R 的投影誘導了 Cr 對映 pi M rightarrow mathbb R mathbb Z S1 使 M 變為圓上纖維叢的總空間。這只是 S1times D2 到 S1 的投影。葉狀結構 mathcal F 橫截於這叢的纖維，限制到每片葉 L 的叢投影 π 是覆蓋對映 pi Lto S1，這就是葉狀叢（foliated bundle）。 以 x_0in S1 的等價類 0mathbb Z 為基點，pi1x_0 就是原橫截面 N。對 S1 上以 x_0 為基點的每個環路 s，同倫類 sinpi_1 S1 x_0 的唯一特徵是 rm deg sinmathbb Z。環路 s 提升到每條流線中的一條路徑，很明顯提升 s_y 始於 yin N、終於 fk yin N krm deg s。微分同胚 fkin rm Diffr N 也用 h_s 表示，稱作環路 s 的總整體性。由於只取決於 s，因此定義了同胚 h pi_1 S1x_0 rightarrow operatorname DiffrN 稱作葉狀叢的總整體同胚。 更直觀地運用纖維叢，令 M mathcal F 是餘維為 q 的葉狀 n 流形，令 pi Mto B 是纖維叢，具有 q 維纖維 F 與連通基空間 B。假設所有這些結構都屬於 Cr 0le rle infty 類，若 r 0，B 支援一個 C1 結構。由於 B 上的最大 C1 圖冊都包含 Cinfty 子圖冊，因此假設 B 如所期望那般光滑並不失一般性。最後，forall xin B，假設 x 有連通開鄰域 Usubseteq B，和區域性平凡化 begin matrix pi1U xrightarrow varphi Utimes F scriptstyle pi Biggdownarrow qquad Biggdownarrow scriptstyle p U xrightarrow text id U end matrix 其中 φ 是 Cr 微分同胚（若 r 0 則是同胚），將 mathcal F mid pi1U 帶到積葉狀結構 Utimesy_yin F。其中， mathcal F mid pi1U 是葉為 Lcappi1U 的連通組分的葉狀結構，L 是 mathcal F 的葉。這是 Cr 類 葉狀叢（foliated bundle）M mathcal F pi 的一般定義。 mathcal F 垂直於 π 的纖維（可以說 mathcal F 是垂直於纖維的），π 到 mathcal F 的每片葉 L 的限制是覆蓋對映 pi Lto B。特別是，每條纖維 F_xpi1x 都與 mathcal F 的每片葉相遇。纖維是 mathcal F 的橫截，與流的橫截完全類似。 葉狀結構 mathcal F 橫截於纖維不能保證葉是 B 的覆蓋空間。這個問題的一個簡單版本是 mathbb R2 的一個葉狀結構橫截於纖維 pi mathbb R2 rightarrow mathbb R pi xy x 但有無限多葉缺失了 y 軸。在相應的影像中，有箭頭的 葉以及它們上面所有的葉都漸進於 x 0 軸。一般稱這種葉狀結構為相對於纖維是不完備的，即當引數 xin B 接近某個 x_0in B，一些葉 奔向無窮大。更確切地說，可能有葉 L，和一條連續路徑 s 0 ato L 使得 lim_tto api s tx_0in B，但 lim_tto a s t 在 L 的流形拓撲中不存在。這類似於不完備流，某些流線會在有限時間內發散。雖然這樣的葉 L 可能在別處與 pi1x_0 相遇，但不能均勻覆蓋 x_0 的鄰域，因此不可能是 B 在 π 下的的覆蓋空間。F 是緊的時，mathcal F 對纖維的橫截性確實保證了完備性，於是 Mmathcal Fpi 是葉狀叢。 B 上有圖冊 mathcal UU_alpha x_alpha_alphain A，包含開連通座標圖，以及平凡化 varphi_alpha pi1U_alphato U_alphatimes F，將 mathcal Fpi1U_alpha 帶到積葉狀結構。置 W_alphapi1U_alpha，並記 varphi_alphax_alpha y_alpha，其中（濫用符號）x_alpha 表示 x_alphacirc pi y_alpha pi1U_alphato F 是將 varphi_alpha 與規範投影 U_alphatimes Fto F 組合而得的浸沒。 圖冊 mathcal WW_alpha x_alpha y_alpha_alphain A 的作用類似葉狀圖冊。W_alpha 的斑是 y_alpha 的水平集，這一族斑透過 y_alpha，與 F 相同。由於預設了 B 支援某個 Cinfty 結構，據懷特黑德定理，可在 B 上固定一個黎曼度量，擇圖冊 mathcal U 為測地凸的。於是，U_alphacap U_beta 總是連通的。若這個交非空，則 W_alpha 的每個斑都正好與 W_beta 的一個斑相遇。然後，透過設下式，可定義一個完整上迴圈（holonomy cocycle）gamma left gamma_alpha beta right _alphabeta in A by setting gamma_alpha beta y_alpha circ y_beta1 F rightarrow F 例子 平坦空間 考慮 n 維空間，是由前 np 個座標為常數的點組成的子空間之積。這可以用一張圖（chart）表示，其基本原理是 mathbb Rnmathbb Rnptimesmathbb Rp，葉或斑 mathbb Rp 由 mathbb Rnp 列舉。置 n 3、p 2，可以類比三維空間：書的 2 維葉由（1 維）頁碼列舉。 叢 較平凡的葉狀結構例子是積 MBtimes F，葉 F_bbtimes F bin B（M 的另一個葉狀結構由 B_fBtimesf fin F 給出）。 對流形 F 而言，Grm HomeoF 的平坦 G 叢是更一般的一類。給定表示 rho pi_1 Bto rm HomeoF，具有單值 ρ 的平坦 rm HomeoF 叢由 Mleft widetilde Btimes Frightpi_1B 給出，其中 pi_1 B 透過甲板變換作用於萬有覆蓋 widetilde B，透過表示 ρ 作用於 F。 平坦叢符合纖維叢的框架。若有流形 F 使得 forall bin B，都有開鄰域 U 使得有同胚 varphipi1Uto Utimes F pi p_1 varphi p_1 Utimes Fto U（其中 p1 是到第一個因子的投影），則流形之間的對映 pi Mto B 是纖維叢。纖維叢產生了由纖維 F_bpi1b bin B 組成的葉狀結構，其葉空間 L 與 B 同構，前者是豪斯多夫流形。 覆蓋 若 Mto N 是流形間的覆蓋對映，F 是 N 上的葉狀結構，則其拉回到 M 上的葉狀結構。更一般地，若對映只是分歧覆蓋（分歧軌跡橫截於葉狀結構），則葉狀結構就可以被拉回。 浸沒 若 Mnto Nq qle n 是流形的浸沒，則據反函式定理，浸沒的纖維的連通組分定義了 M 的餘維為 q 的葉狀結構。纖維叢是這種型別的一個例子。 不是纖維叢的浸沒的一個例子是 begin cases f11times mathbb Rto mathbb R f xyx21 eyend cases 這種浸沒產生了 1 1timesmathbb R 的葉狀結構，在下列 mathbb Z 作用下是不變的： z x y xyn quad text or quad z x yleft 1nx yright 其中 x yin 1 1timesmathbb R ninmathbb Z。mathbb Zbackslash 1 1timesmathbb R 的誘導葉狀結構稱作（環空的）2 維里布葉狀結構，或（莫比烏斯帶的）2 維無向里布葉狀結構。它們的葉空間都不是豪斯多夫的。 里布葉狀結構 定義一個潛沒 begin cases fDntimes mathbb Rto mathbb R f rthetatr21 etend cases 其中 r thetain 0 1times Sn1 是 n 維圓盤 Dn 上的圓柱座標。這浸沒產生了 Dntimesmathbb R 的葉狀結構，在如下 Z 作用下是不變的： z xyxyz x yin Dntimesmathbb R zinmathbb Z mathbb Zbackslash Dntimesmathbb R 的誘導葉狀結構被稱作 n 維里布葉狀結構，其葉空間不是豪斯多夫的。 對於 n 2，這給出了實心環面的葉狀結構，可由沿邊界粘合兩個實心環面，來定義 3 球的里布葉狀結構。奇數維球 S2n1 的葉狀結構也是明確已知的。 李群 若 G 是李群、H 是李子群，則 G 就會被 H 的陪集葉化。若 H 在 G 中閉合，則商空間 GH 是光滑（豪斯多夫）流形，將 G 轉化為纖維叢，纖維 H、基為 GH。這個纖維叢實際上是主的，具有結構群 H。 李群作用 令 G 是光滑作用於流形 M 的李群。若作用是區域性自由作用或自由作用，則 G 的軌道定義了 M 的一個葉狀結構。 線性葉狀結構與克羅內克葉狀結構 若 tilde X 是非奇異（即無處為零）的向量場，則 tilde X 定義的區域性流拼湊在一起，就定義了維度為 1 的葉狀結構。事實上，給定任一點 xin M，由於 tilde X 是非奇異的，所以可找到一個關於 x 的座標鄰域 U x1 ldots xn，使得 varepsilon xi varepsilon quad 1 le i le n frac partialpartial x1 tilde Xmid U 從幾何角度來看，tilde X mid U 的流線就是水平集 xi ci quad 2 le i le n 其中所有的 ci varepsilon 由慣例，流形是第二可數的，因此類似 長線 這樣的葉異常現象會被 M 本身的第二可數性排除。要求 tilde X 是完全域（例如 M 是緊的），從而要求每片葉都是流線，就可以避開這個難題。 環面 T2 上的一類重要 1 維葉狀結構來自投影於其上的恆向量場。mathbb R2 上的恆向量場 tilde X equiv begin bmatrix a b end bmatrix 對 mathbb R2 中所有平移都不變，因此當投影到環面 T2mathbb R2mathbb Z2 時傳遞到良定義向量場 X。假定 a 0。tilde X 產生的 mathbb R2 上的葉狀結構 mathcal tilde F 的葉具有斜率為 thetaba 的平行線，這葉狀結構在平移下也是不變的，並傳遞到 X 產生的 T2 上的葉狀結構 mathcal F。 mathcal tilde F 每片葉的形式是 tilde L x_0 tay_0 tb_t in mathbb R 若斜率是有理的，則所有葉都是與圓同胚的閉合曲線。這時，可取 a binmathbb Z。對固定的 tinmathbb R，tilde L 中與 tin t_0mathbb Z 的值對應的點都投影到 T2 的同一點，於是 mathcal F 對應的葉 L 是 T2 中的嵌入圓。由於 L 是任意的，所以 mathcal F 是 T2 對圓的葉狀結構。由此很容易得出，這個葉狀結構實際上就是纖維叢 pi T2to S1，這就是所謂線性葉狀結構。 若斜率是無理的，則葉是非緊的，同胚於非緊實線，在環面中稠密（參無理旋轉）。每個點 x_0 y_0 的軌跡永遠不會回到同一點，而是在環面上產生 處處稠密 的環繞，會任意接近任何給定的點。於是，軌跡的閉包是整個 2 維環面。這種情形稱作克羅內克葉狀結構，得名於利奧波德克羅內克與 克羅內克稠密性定理 若實數 θ 不等於 π 的所有有理倍數，則集合 einthetaninmathbb Z 在單位圓內稠密。 證明 首先注意，若 mathcal tilde F 的葉 tilde L 不是一一投影到 T2，則一定有實數 tneq 0 使得 ta、tb 都是整數。但這意味著 bainmathbb Q。要證 mathcal F 的葉 L 在 T2 中都稠密，只需證明 forall vinmathbb R2，mathcal tilde F 的每片葉 tilde L 與陪集 vmathbb Z2 中的適當點間距都是任意小的正距離。mathbb R2 中的適當平移使我們可以假設 v 0，這樣任務就簡化為證明 tilde L 任意地經過合適的點 n minmathbb Z2。線 tilde L 具有斜截式 y theta x c 因此，對於任意 eta0，只要找到整數 n、m 使得 theta n c m eta 等價地，cinmathbb R 是任意的，就可以證明集合 theta nm_m ninmathbb Z 在 R 中稠密。這實質上就是歐多克索斯關於 θ 與 1 不可通約（即 θ 無理）的標準。 用平行線對 mathbb Rn 進行葉狀結構的類似構造，可得與環面上的線性流相關的 n 環面 mathbb Rnmathbb Zn 的 1 維葉狀結構。 緯懸葉狀結構 平坦叢不僅有對纖維的線性結構，還有橫截於纖維的葉狀結構，其葉為 L_f leftpleft tilde bfright tilde binwidetilde Bright quad mbox for fin F 其中 p widetilde Btimes Fto M 是規範投影。這個葉狀結構稱作表示 rho pi_1 Bto rm HomeoF 的緯懸。 具體地說，若 BS1，varphiFto F 是 F 的同胚，則 varphi 的緯懸葉狀結構定義為表示 rho mathbb Zto rm HomeoF 的緯懸葉狀結構，由 rho zPhiz 給出。其葉空間是 Lmathcal Fsim，其中只要對某個 ninmathbb Z yPhin x xsim y。 緯懸葉狀結構最簡單的例子是 q 維流形 X。令 f Xto X 是雙射。將緯懸 MS1times_f X 定義為 0 1times X 對等價關係 1 xsim 0 f x 的商。 MS1times_f X0 1times X 則，M 自動攜帶兩個葉狀結構：mathcal F_2 包含 F_2 tt x_sim xin X 形式的集合；mathcal F_1 包含 F_2 x_0t x tin 0 1 xin O_x_0 形式的集合，其中軌道 O_x_0 定義為 O_x_0ldots f2x_0 f1x_0 x_0 f x_0 f2 x_0 ldots 其中指數指的是函式 f 與自身複合的次數。注意 O_x_0O_f x_0O_f2x_0 rm etc，對 F_1 x_0 也同樣。理解葉狀結構 mathcal F_1 等效於理解對映 f 的動力學。若流形 X 已經葉化，則只要 f 是葉間對映，就可以利用這構造增加葉狀結構的餘維數。 2 環面的克羅內克葉狀結構是旋轉 R_alpha S1to S1（角度為 alphain 0 2pi）的緯懸葉狀結構。 更具體地說，若 SigmaSigma_2 是 2 洞環面，C1 C2inSigma 是兩個嵌入圓，則 mathcal F 是葉 Sigmatimesy yin S1 的 3 流形的積葉狀結構 MSigmatimes S1。注意 N_iC_itimes S1 是嵌入環，mathcal F 橫截於 N_i i1 2。令 rm Diff_S1 表示 S1 的保向微分同胚群，並擇 f_1 f_2in rm Diff_S1。將 M 沿 N_1 N_2 切開，N_i N_i 表示它們的副本。這時，流形 MSigmatimes S_1 有 4 個邊界分量 left N_ipm right _i12 葉狀結構 mathcal F 橫截邊界 partial M 的葉狀結構 mathcal Fprime，葉的形式為 Sigmatimesy yin S1。 這片葉在 4 個圓 C_ipm times y subset N_ipm 中與 partial M 相遇。若 zin C_i，則 C_ipm 中的對應點記作 zpm，N_i 透過下列標識，回到 N_i： zy equiv zf_i y quad i 12 由於 f_1 f_2 是 S1 的保向微分同胚，因此與恆同（identity）同痕，由這操作得到的流形同胚於 M。mathcal Fprime 的葉則重新組合，產生 M 新的葉狀結構 mathcal Ff_1 f_2。若 mathcal Ff_1 f_2 的葉 L 包含一片 Sigmatimesy_0，則 L bigcup_g in G Sigmaprime times g y_0 其中 Gsubset rm Diff_S1 是由 f_1 f_2 生成的子群。這些 Σ 的副本透過標識彼此相連： forall zin C_1 z g y_0equiv z f_1 g y_0 forall zin C_2 z g y_0equiv z f_2 g y_0 其中 g 在 G 上取值。葉完全由 y_0in S1 的 G 軌道決定，可以很簡單也可以很複雜。例如若相應的 G 軌道有限，則葉就是緊的。舉個極端的例子，若 G 是平凡的 f_1f_2rm id_S1，則 mathcal Ff_1 f_2mathcal F。若軌道在 S1 中是稠密的，則對應的葉在 M 中也稠密。例如，若 f_1 f_2 是 2π 的有理獨立倍的旋轉，則每片葉都是稠密的。其他例子中，某些葉 L 的閉包 bar L 與每個因子 wtimes S1 在康托爾集中相遇。在 Sigmatimes I 上也可做類似構造，其中 I 是緊非退化區間。這裡，取 f_1 f_2in rm Diff_I，由於 partial I 透過所有保向微分同胚逐點固定了，所以可得一個以 partial M 的兩分量為葉的葉狀結構。若在這情形下形成 M ，就會得到有角葉狀流形。無論哪種情形，這種構造都被稱作微分同胚對的緯懸，提供了餘維為 1 的葉狀結構的有趣例子。 葉狀結構與可積性 假設一切都光滑，那麼向量場之間有一種密切關係：給定 M 上不為零的向量場 X，其積分曲線將給出 1 維葉狀結構（即餘維為 n1 的葉狀結構）。 這觀察可推廣為弗羅貝尼烏斯定理，即分佈（流形切叢的 n p 維子叢）與葉狀結構的葉相切的充分必要條件是，與分佈相切的向量場集對李括號閉合。這也可以解釋為，將切叢的結構群從 rm GLn 約化為可約群。 弗羅貝尼烏斯定理中的條件作為可積條件出現，並斷言若滿足條件，就能約化，因為具有所需塊結構的區域性轉移函式存在。例如，對某（非規範）alphainOmega1（即非零餘向量場），餘維為 1 時可定義葉狀結構的切叢為 rm keralpha。若處處都有 alphawedge rm dalpha0，則給定的 α 可積。 由於存在拓撲約束，因此存在全域性葉狀結構理論。例如，曲面情形中，處處非零向量場只能存在於環面的有向緊曲面上。這是龐加萊 霍普夫定理的結果，指出尤拉示性數需為 0。其與切觸幾何有很多深層聯絡，專門研究不可積情形。 葉狀結構的存在 給出連通非緊流形上的分佈與可積分佈同倫的充分必要條件。證明，任意有分佈的緊流形都有同維度的葉狀結構。 參看 弗羅貝尼烏斯定理 G 結構 用葉狀結構分類空間 里布葉狀結構 緊葉狀結構 Taut foliation 腳註 參考文獻 外部連結 Foliations at the Manifold Atlas Category 流形上的結構 Category 微分拓撲學