在組合數學上，拉姆齊定理，又稱拉姆齊二染色定理，斷言對任意正整數 k 和 l，若一個聚會的人數 n 足夠大，則無論相識關係如何，必定有 k 個人相識或 l 個人互不相識。給定 k l 時，保證前述結論的最小 n 值稱為拉姆齊數 R kl，其值取決於 k l。用圖論術語複述：若將足夠大的完全圖各邊染紅藍兩色，則不論如何染，必定有紅色的 k 階完全圖或藍色的 l 階完全圖。 拉姆齊定理是組合數學的重要結論，以弗蘭克普倫普頓拉姆齊命名。他在 1930 年論文證明此定理最初的版本，開創現稱拉姆齊理論的組合理論分支。拉姆齊理論的主題是從「無序」尋找「規律」，希望找出某數學結構中，存在規律子結構的一般條件。在拉姆齊定理的圖論表述中，此「規律子結構」是同色集，即頂點集的子集，其中各邊皆染成同一顏色。 拉姆齊定理不止一條，前述版本的若干引伸仍稱拉姆齊定理。例如，可以將二染色推廣至更多種色，此時定理斷言：對任意色數 c，和任意正整數 n_1 n_2 ldots n_c，必有某數 R n_1 ldots n_c，使 R n_1 ldots n_c 階的完全圖各邊不論如何染 c 色，仍必可找到某 i（介於 1 至 c）和某 n_i 階完全子圖，其各邊皆染第 i 色。可見拉姆齊二染色定理是 c 2 的特例（同時取 n_1 k n_2 l）。 例 R 3 3 6 在 6 個頂點的完全圖 K_6 內，每邊塗上紅或藍色。欲證必然有一個紅色的三角形或藍色的三角形。 任意選取一個端點 P，它有 5 條邊和其他端點相連。 根據鴿巢原理，5 條邊染兩種顏色，至少有 3 邊顏色相同，不失一般性設這種顏色是紅色，又設該三邊為 PA PB PC。 A B C 三個頂點，互相連結的邊有 AB BC CA 三條。 若這 3 條邊中任何一條是紅色，這條邊的兩個端點和 P 便組成一個紅色三角形。 若這 3 條邊中沒有紅邊，則都是藍色，因此，ABC 是藍色三角形。 以上論證對一切染色法都適用，所以 K_6 的任何二染色皆有同色 K_3，換言之 R 3 3le 6。這個定理的通俗版本稱為朋友與陌路人定理。 另一種證法是算兩次：考慮「異色角」的數目，即滿足 xy 為紅而 yz 為藍的有序三頂點組 x y z 的個數。若先固定中間的頂點 y，則對應三元組的數目可能是 0 times 5 0（若其全部邊染同色）； 1 times 4 4（若有四邊染某色，另一邊不同色）；或 2times 3 6（若有三邊染某色，另兩邊染另一色）。 所以，至多是 6，而 y 本身有 6 種可能，異色角的總數至多是 6 times 6 36。但是，對於三邊不完全同色的三角形，恰好有兩隻異色角，所以，至多有 18 個異色三角形。考慮到 6 個頂點組成 binom 63 20 個三角形，至少有兩個是同色三角形，再次得到 R 3 3le 6 的結論。 反之，將 K_5 二染色，不一定有同色的三角形。此構造在同構意義下唯一，如下圖所示：將五個頂點排成一圈，每個端點和毗鄰的兩個端點之間的連線染紅色，與其餘兩個端點的連線染藍色，則不產生同色三角形。所以，R 3 3 6。 thumbleft200px 1953 年普特南數學競賽考過 R 3 3 le 6。1947 年匈牙利屈爾沙克約瑟夫數學比賽亦然。 R 3 3 3 17 ImageK_16 partitioned into three Clebsch graphssvg 無扭的 ImageK_16 partitioned into three Clebsch graphs twistedsvg 有扭的 多色拉姆齊數就是用三種或更多顏色的拉姆齊數。若不考慮對稱的情況，僅有兩個非平凡的多色拉姆齊數為已知：R 3 3 3 17 和 R 3 3 4 30。 設將某完全圖的邊染紅綠藍三色，而無同色三角形。選任一頂點 v，考慮以紅邊與 v 相連的各點，組成 v 的「紅鄰域」。紅鄰域之內不能再有任何紅邊，否則該紅邊與 v 一同組成紅色三角形。所以紅鄰域內的邊衹用藍綠兩色。由上節 R 3 3 6，v 的紅鄰域最多衹有 5 個頂點，否則有藍或綠的同色三角形。同理，v 的綠鄰域和藍鄰域，各有至多 5 個頂點，但圖中每個頂點，或為 v 本身，或屬 v 的某色鄰域，所以全圖至多 1555 16 個頂點。故 R 3 3 3 le 17。 欲證 R 3 3 3 17，現需用三種顏色畫出 16 個頂點的完全圖，而不產生同色三角形。若不辨同構之異，則恰有兩種畫法，分別稱為「無扭」和「有扭」染法，見上圖。 K_16 的有扭或無扭染色中，選任一顏色，該色邊組成的子圖都是。 對較少頂點的完全圖，已知 K_15 亦衹得兩種染三色的方法無同色三角形，分別來自 K_16 的兩種染法，刪去任意一個頂點。K_14 則有 115 種方法染三色而無同色三角形，但此數不僅不辨圖同構（頂點的置換），還不辨顏色的置換。 拉姆齊數 定義 拉姆齊數，用圖論的語言有兩種描述： 對於所有的 N 頂圖，包含 k 個頂的團或 l 個頂的獨立集。具有這樣性質的最小自然數 N 就稱為一個拉姆齊數，記作 R kl； 在著色理論中是這樣描述的：對於完全圖 K_n 的任意一個 2 邊著色 e_1e_2，使得 K_n e_1 中含有一個 k 階子完全圖，K_n e_2 含有一個 l 階子完全圖，則稱滿足這個條件的最小的 n 為一個拉姆齊數。（注意：K_i 按照圖論的記法表示 i 階完全圖） 拉姆齊證明，對與給定的正整數數 k 及 l，R kl 的答案是唯一和有限的。 拉姆齊數亦可推廣到多於兩個數： 對於完全圖 K_n 的每條邊都任意塗上 r 種顏色之一，分別記為 e_1e_2e_3 e_r，在 K_n 中，必定有個顏色為 e_1 的 l_1 階子完全圖，或有個顏色為 e_2 的 l_2 階子完全圖 或有個顏色為 e_r 的 l_r 階子完全圖。符合條件又最少的數 n 則記為 R l_1l_2l_3 l_r。 數值或上下界 已知的拉姆齊數非常少，保羅艾狄胥曾以一個譬喻來描述尋找拉姆齊數的難度：「想像有隊外星人軍隊在地球降落，要求取得 R 55 的值，否則便會毀滅地球。在這個情況，我們應該集中所有電腦和數學家嘗試去找這個數值。若他們要求的是 R 66 的值，我們要嘗試毀滅這班外星人了。」 顯然易見的公式： R 0s0， R 1s1， R 2ss， mathrm Rl_1l_2l_3 l_r R l_2l_1l_3 l_r R l_3l_1l_2 l_r（將 l_i 的順序改變並不改變拉姆齊的數值）。 拉姆齊數的值 已知上下界 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 有不定期更新的動態綜述，介紹拉姆齊數的研究成果。 漸近性質 拉姆齊數滿足不等式 R r s le R r 1 s R r s 1。由此，利用數學歸納法，可以證明 R r s leq binom r s 2r 1 上述結果歸功於艾狄胥和塞凱賴什。當 r s 時，用史特靈公式化成： R s s leq 1 o 1frac 4s 1sqrt pi s 其中誤差項 o 1，當 s 趨向於無窮時，趨向 0。 下界方面，1947 年艾狄胥首創，證明 R s s geq 1 o 1 frac ssqrt 2 e 2s2 雖然上下界皆是指數形式，但兩者底數不同，實際大小相差甚遠，如 s 10 時，給出的界是 101 le R 10 10 le 48620。不過，截至 2021 年，上下界的底數仍毫無改進，依舊是 4 和 sqrt 2，僅有較低階項的改進。而且，下界依賴非構造性的機率方法，未有任何確切構造能給出指數下界。暫時所知最佳結果為： 1 o 1 frac sqrt 2 se 2frac s2 leq R s s leq sc log slog log s 4s 分別為和所證。 至於非對角拉姆齊數 R 3 t，已知其增長級別為 tfrac t2log t；等價說法是，n 個頂點且的圖 G，獨立數 alpha G 的最小值用大 Θ 符號表示成 Theta left sqrt nlog n right R 3 t 的上界由、、塞邁雷迪證出，而 tfrac t2log t 級的下界原先由（音譯）證明，其後格里菲斯、、菲斯龐蒂韋羅斯三人和、兩人藉分析「無三角形過程」，分別將下界獨立改進至 left frac 14 o 1rightfrac k2log k 一般的非對角拉姆齊數 R s t，當 s 固定而 t 增大時，已知最優的上下界為 c_s frac tfrac s 12log tfrac s 12 frac 1s 2 leq R s t leq c_s frac ts 1log ts 2 分別歸功於波曼、基瓦什兩人和奧伊陶伊、科姆洛什、塞邁雷迪三人。 延伸 無窮圖 本定理可引伸適用於無窮圖，同樣稱為拉姆齊定理。與有限圖的拉姆齊定理相提並論時，或稱無窮拉姆齊定理以作區分。 設 X 為無窮集，以 X2 表示其兩兩所連邊的集合（即 X 全體二元子集組成的族），每邊染成 c 色之一。則存在同色無窮階完全圖，即有無窮子集 Msubseteq X，其邊集 M2 同色。 證明：取任一 x_1 in X。自 x_1 引出無窮多條邊，必有某色 c_1 出現無窮多次。記 X_1 subseteq X setminus x_1 為該些邊另一端點的集合。又取任一 x_2in X_1，同樣自 x_2 有無窮多條邊引至 X_1 setminus x_2，故必有某色 c_2 及無窮子集 X_2 subseteq X_1 setminus x_2，使 x_2 引至 X_2 的各邊皆染 c_2 色。 餘可類推，得到一列互異的元素 x_1 x_2 ldots in X 及一列顏色 c_1 c_2 ldots。由於僅得有限多種色，必有顏色出現無窮多次，即有 c_i_1 c_i_2 cdots 對於無窮序列 i_1 i_2 cdots 成立。此時，有 M x_i_1 x_i_2 x_i_3 ldots 為無窮子集，且其元素兩兩連邊同色（因為邊 x_i_a x_i_b 所染為 c_i_a 色），證畢。 本定理對於超圖（即 X2 換成 Xr）亦成立。 關於無窮圖的二染色，是較強的結果，但其中兩種顏色不對等。定理斷言，任意無窮圖（頂點數不必可數）的邊若染紅藍兩色，則或有可數無窮大的紅色完全子圖，或有與原圖同樣大的藍色完全子圖。 尤其見定理 522 與 523。 無窮推出有限 運用反證法，可以證明無窮拉姆齊定理推出有限拉姆齊定理。 反設有限拉姆齊定理不成立，即某個拉姆齊數不存在，則有整數 c 和 T 滿足：對任意正整數 k，完全圖 k2 皆有某種染 c 色的方案，而不產生同色的 T 元子集。以 C_k 表示此種方案的集合。 對任意 k，可將 C_k1 中任意一種染色限制到子圖 k2（即刪去頂點 k1），不會額外產生同色的 T 元子集，所以所得的染色仍在 C_k 中。C_k 中，某些染色是以上述方式，由 C_k1 的染色限制而成，此種染色構成 C_k 的子集，記為 C1_k。由假設，C_k1 非空，所以 C1_k 亦非空。 同樣，C1_k1 元素的限制必屬 C1_k，故可定義 C2_k 為此種限制所得染色法的集合，其不為空。類推對所有正整數 m k 定義 Cm_k。 現對每個正整數 k，有 C_ksupseteq C1_ksupseteq C2_ksupseteq cdots，且逐個集合非空。又 C_k 為有限集，因為由乘法原理，全體染色方案，不論是否有同色 T 元集，總數是 cbinom k2。由此，整個序列的交集 D_kC_kcap C1_kcap C2_kcap cdots 非空。又每個 C_ki 的元素來自 C_k1i1 某元素的限制，可知 D_k 每個元素都來自 D_k1 元素的限制，從而由 D_k 的染色出發，可以延拓成 D_k1 的染色，並可重複，直至得到無窮圖 N2 的染色，而無同色 T 元集，與無窮拉姆齊定理矛盾。 以拓撲學觀之，此為標準的緊論證，相當於考慮全體染色的拓撲空間 cbinom N2，而由吉洪諾夫定理，其為若干個有限（從而緊）空間 c 之積，所以仍為緊。而條件「在子圖 k2 上不產生同色 T 元集」，描述該空間的一個閉開集，所以有限交非空推出全體交非空。 超圖 定理亦可推廣至超圖。一個 m 均勻超圖（或 m 超圖）就是將圖的邊由二元子集換成 m 元子集。超圖拉姆齊定理敍述如下： 對任意正整數 m 和 c，以及任意正整數 n_1 n_2 ldots n_c，存在拉姆齊數 R n_1 ldots n_c c m，使得 R n_1 ldots n_c c m 階完全 m 超圖的各邊，不論如何染 c 種色，必存在 i 令圖中可找出某個衹染 i 色的 n_i 階完全 m 超圖。 此定理一般對 m 歸納證出，m 2 的初始情況正如前文。 有向圖 亦可定義有向圖的拉姆齊數，最早由提出。設 R n 為最小的正整數 Q，使得 Q 階完全圖中，若為每邊賦兩種定向之一（所得有向圖稱為），則必有無圈的 n 階迴圈賽圖 。 此前 R n n 2 定義為保證 Z 階完全無向圖染兩色會有同色完全 n 階子圖的最小 Z 值，可見 R n 是 R n n 2 的有向類比：兩種顏色現換成邊的兩種方向，而「同色」換成「全部邊方向統一」（所以無圈）。 已知 R 0 0，R 1 1，R 2 2，R 3 4，R 4 8， R 5 14，R 6 28，34 le R 7 le 47。 註釋 參考資料 參考文獻 外部連結 證明 R 36 18 Category 拉姆齊理論 L Category 圖染色