複合函式，又稱作合成函式，在數學中是指逐點地把一個函式作用於另一個函式的結果，所得到的第三個函式。例如，函式 和 可以複合，得到從 中的 對映到 中 的函式。直觀來說，如果 是 的函式， 是 的函式，那麼 是 的函式。得到的複合函式記作 ，定義為對 中的所有 ，。 有些作者使用 ，定義為 。 直觀地說，複合兩個函式是把兩個函式連結在一起的過程，內函式的輸出就是外函式的輸入。 函式的複合是關係複合的一個特例，因此複合關係的所有性質也適用於函式的複合。 複合函式還有一些其他性質。 定義 考慮到函式的值域跟定義域，要簡單的以 計算式，如把所有 xx1 和 ysqrt y 的有序對頭接尾的這樣直觀定義 合成 是會遇到問題的，像是把 x 取為實數，這樣把 x1 很自然的對接到 y 然後開根號成 sqrt y ，是會遇到對負數開根號，出現非單一值的問題（請參見棣莫弗公式），就算不考慮單一值的問題，我們期望的 合成函式 的值域到底該不該包含複數呢？所以 1 我們一開始就要把準備 合成 的兩個函式的值域跟定義域劃分清楚 2 要考慮到對接的時候，前面的值域跟後面的值域不一定相等的問題。 如果我們有兩個函式 f 和 g ，而兩者的定義域分別是 D_f 和 D_g ；值域分別是 I_f 和 I_g 。如果 I_fcap D_g neq varnothing ，那我們定義合成函式為 gcirc fxz exists yin I_fcap D_gyf x wedge zg y 直觀上來說，如果 f 的 輸出範圍 是有一部分在 g 的 輸入範圍，那我們就可以定義 先作用 f 再作用 g 的函式，但這個 新合成 的函式的定義域可能會因此被限縮（輸出值處在兩者交集的那些 x 而已）。注意到每個 x 只會有一個輸出值 y ，而每個 y 只會有一個輸出值 z ，所以這樣 先作用 f 再作用 g 的話，每個 x 只會有一個輸出值 z 而已，這確保了 gcirc f 符合我們對函式的要求。 當 gcirc f fcirc g 時（注意這是集合的相等！），我們會說 g 和 f 是可交換的。 兩個一對一函式的合成函式也是一對一的。 涉及到可導函式的複合函式的導數，可以用鏈式法則求得。Faà di Bruno 公式給出了複合函式的高階導數的表示式。 例子 有限集上的函式複合：若 ，，則 無限集上的函式複合：若 （其中 是所有實數的集合）表示式為 ，而 表示式為 ，則： ，且 如果一架飛機在 時刻的海拔為 ，而海拔 處的氧氣濃度為 ，那麼 描述了 時刻飛機周圍的氧氣濃度。 複合么半群 假設我們有兩個（或多個）函式 ，定義域與到達域相同；這些函式一般稱作變換。於是，我們可以構造多個變換複合而成的鏈，比如 。這種鏈具有么半群的代數結構，稱作變換么半群或者複合么半群。通常，變換么半群可以具有非常複雜的結構。一個很有名的例子是德拉姆曲線。所有函式 的集合稱作 上的全變換半群或對稱半群。（我們其實可以定義兩個半群，這取決於定義半群運算為函式左複合和右複合的方式。） 如果變換是雙射（也就可逆），則這些函式所有可能的組合就構成了一個變換群；可以說這個群是由這些函式生成的。這就引出了群論裡面的凱萊定理從本質上表明，（在同構意義下）任何群都是某一置換群的子群。 所有雙射函式 （稱作置 換）的集合構成了一個關於複合運算元的群。這就是對稱群，有時稱作複合群。 在（所有變換的）對稱半群中，我們還可以發現一個較弱的、非唯一的逆變換（稱作偽逆），因為對稱子群是一個正則半群。 函式冪 如果 ，則 有可能可以與自身複合；這有時候記作 。即： 更一般地，對於 的自然數， 次函式冪可以歸納定義為。這種函式與自身的反覆複合稱作迭代函式。 習慣上， 定義為 定義域上的恆同對映， 如果 ，而 存在反函式 ，那麼對於 ，負函式冪 定義為反函式的冪： 注意：若 在一個環內取值（特別是對於實值或復值），存在混淆的風險，因為 也可以表示 的 次乘積，比如。對於三角函式，通常會使用後者的含義，至少對於正指數是這樣。例如，在三角學中，使用三角函式 的時候，這個上標記號表示標準的指數運算。不過，對於負指數（特別是 1），則通常指的是反函式，例如， 在一些情況下，對於給定函式 ，方程 只有一個解 的時候，該函式可以定義為 的函式平方根，記作 更一般地，當 只有唯一解時（自然數 ），可以定義為 在額外的限制下，這個想法還可以推廣，使得迭代函式可以是一個連續的引數；在此情形下，這樣的系統稱作流，由施羅德方程定義。迭代函式和流很自然地出現在分形和動力系統的研究中。 為避免混淆，有些數學家把 的 n 次迭代寫作 其他記法 許多數學家，特別是群論方面的數學家，省去複合符號，把 寫作 在 20 世紀中葉，一些數學家認為用 來表示 首先施加 ，然後施加 太令人困惑，於是決定改變記法。他們用 來代表 ，用 來代表 。 這在某些領域會比函式寫在左面更加自然和簡便 比如線上性代數中，當 為行向量， 和 表示矩陣，而複合是透過矩陣乘法完成的時候。這種替代記法稱作字尾表示法。順序很重要，因為函式複合不一定是可交換的（比如矩陣乘法）。向右進行施加函式和複合的寫法複合從左到右的閱讀順序。 使用字尾表示法的數學家可能會寫 ，表示先施加 再施加 ，這樣就能與字尾表示法中的符號的順序保持一致，不過這就會讓 這個記號有歧義了。計算機科學家可能用 來表示 1 ，這樣就能區分出複合的順序了。要把左複合運算元和文字分好區分開來，在 Z 表示法（Z notation）中 字元用於左關係複合。ISOIEC 135682002 E p 23 由於所有函式都是二元關係，在函式複合中也應該用 粗 分號（參見 關係複合條目瞭解此記法的詳細內容）。 複合運算元 給定函式 ，複合運算元 定義為使得 C_g f f circ g 的從函式對映到函式的運算元。在運算元理論領域會研究複合運算元。 多元函式 對於多元函式來說，部分複合是有可能的。當函式 的部分引數 由 換掉後得到的結果在一些計算機工程文獻中，記作 f_x_i g f x_1 ldots x_i1 g x_1 x_2 ldots x_n x_i1 ldots x_n 當 是一個常數 時，複合退化為一個（部分）求值，其結果就會是限制或者輔因子。 f_x_i b f x_1 ldots x_i1 b x_i1 ldots x_n 通常，多元函式的複合可能涉及若干其他函式作為引數，如原始遞迴函式的定義。給定 ，一個 元函式， 個 元函式 ， 與 的複合是 元函式 h x_1ldotsx_m f g_1 x_1ldotsx_mldotsg_n x_1ldotsx_m 這有時稱作 f 與 的廣義複合。 在這個一般化的情形中，可以透過把所有這些用作引數的函式合適地選為射影函式，只保留一個引數函式，就能得到前面提到的只有一個引數部分複合的函式。還要注意，在這個一般化情形中， 可以看作是單個向量或元組值函式，這樣理解的話，這就是複合函式的標準定義。 某些基本集 X 上的一些有限性運算稱作克隆，它們需要包含所有射影，並且在廣義複合下封閉。請注意，克隆通常包含各種元數（arity）的運算。 交換的概念在多元情形中葉有一個有意思的推廣：如果元數 n 的函式 f 是保持 g 的同態函式（g 的元數為 m），則可以說 f 與 g 是可交換的，反之亦然。例如： f g a_11ldotsa_1mldotsg a_n1ldotsa_nm g f a_11ldotsa_n1ldotsf a_1mldotsa_nm 一元運算總是與自己可交換，但二元（或者更多元）運算不一定如此。與自身可交換的二元（或更多元）運算稱為 medial 或 entropic。 推廣 複合可以推廣到任意二元關係。若 與 是兩個二元關係，則它們的複合 是定義為。考慮二元關係的一個特殊情形（函式關係），複合函式滿足關係複合的定義。 偏函式的複合可是用相同方式定義的定義，有一個類似凱萊定理（Cayleys theorem）的定理叫做 WagnerPreston 定理。S Lipscomb Symmetric Inverse Semigroups AMS Mathematical Surveys and Monographs 1997 p xv 具有態射函式的集合範疇叫做原型範疇（prototypical category）。範疇的公理實際上受到了複合函式的性質（和定義）啟發。 由複合形成的結構在範疇論中被公理化和推廣，函式的概念換成了範疇論中的態射。公式 中的反序複合，同樣適用於使用逆關係的關係複合，因此在群論中也適用。這些結構形成了 dagger 範疇。 排版 複合運算元 編碼為。參見 Degree symbol 條目中外觀類似的 Unicode 字元。在 TeX 中，寫作 circ。 參見 組合子邏輯 迭代函式 流 高階函式 ，函式複合的圖形方法 Λ 演算 ，複合運算的形式公理化 隨機變數函式 註釋 參考文獻 外部連結 Composition of Functions by Bruce Atwood the Wolfram Demonstrations Project 2007 Category 函式 Category 集合論基本概念 Category 二元運算