CW 復形，又稱胞腔復形，在拓撲學上屬於拓撲空間之一類，由 JHC 懷特海德引入，用於同倫理論。其思想是構造一類空間，比單純復形更為廣泛（我們現在可以說，有更好的範疇論屬性）；但還要保留組合的本質，因此計算方面的考慮沒有被忽略。 形式表述 粗略地說，CW 復形由稱作胞腔的基本元件組成。其精確定義規定胞腔如何在拓撲意義上 粘合。CW 復形名稱中的 C 代表 閉有限，而 W 則代表 弱拓撲。 單個 n 維閉胞腔是指 n 維閉球在貼對映下的像。例如，每個單純形都是一個閉胞腔，或更一般地，每個凸多面體都是一個閉胞腔。單個 n 維開胞腔則是一個同胚於 n 維開球的拓撲空間。零維的開（或閉）胞腔是指一個單元素空間。而 閉有限 條件要求每個閉胞腔都可由有限個開胞腔所覆蓋。 CW 復形是一個豪斯多夫空間 X，連同一個將 X 劃為開胞腔（維度不必統一）的劃分，並滿足以下性質： 對 X 的劃分中的任意一個 n 維開胞腔 C，存在一個從 n 維閉球到 X 的連續對映 f，使得： f 限制在閉球的內部上是到胞腔 C 的同胚，且 閉球的邊界在 f 下的像包含於 X 的劃分中的有限個維度小於 n 的元素的並集內。 X 的閉子集即是與每一個開胞腔交於閉集（相對於開胞腔本身的拓撲）的集合（X 的拓撲為所有開胞腔的並的弱拓撲）。 相對 CW 復形 籠統地說，相對 CW 復形與 CW 復形的區別在於它容許一個額外的、不須帶有任何胞腔結構的元件。遵照上文的定義，這個元件被視作負一維胞腔。 CW 復形的歸納法定義 如果一個 CW 復形中胞腔的維度最大為 n，那麼我們稱這個 CW 復形是 n 維的。若胞腔的維度沒有上限，那麼我們說這個 CW 復形是無窮維的。CW 復形的 n 維骨架是指所有維度不超過 n 的胞腔的並。如果這個並集是閉集，那麼它本身就是一個 CW 復形，稱為原復形的子復形。因此，CW 復形的 n 維骨架是維度不超過 n 的最大子復形。 CW 復形常常由其各個維度上的骨架透過歸納來定義。首先定義 0 維骨架為離散空間。緊接著將 1 維胞腔黏著到 0 維骨架上。這一步先將每個 1 維胞腔先視作 1 維閉球，然後透過某個從這個閉球的邊界 即 0 維球面 S0 到 0 維骨架的連續影射貼合。 S0 上的每一點都與其在該對映下的像與 0 維骨架上的某一點等同；這構成一個等價關係。如此，1 維骨架就定義成 0 維骨架和所有 1 維胞腔的並、再模去此等價關係後的商空間。 概括而言，給定 n1 維骨架，n 維骨架是由在此基礎上黏著 n 維胞腔得到。每個 n 維胞腔同樣先視作 n 維閉球，然後透過某個從這個閉球的邊界 即 n1 維球面 Sn1 到 n1 維骨架的連續影射貼合。 Sn1 上的每一點都與其在該對映下的像與 n1 維骨架上的某一點等同；這同樣構成一個等價關係。這樣，n 維骨架就定義成 n1 維骨架和所有 n 維胞腔的並、再模去此等價關係後的商空間。 在同構意義上，每個 n 維 CW 復形都可依此由其 n1 維骨架構造而成，因此每個有限維 CW 復形都能按以上方法構造。甚至對於無窮維 CW 復形也成立，只要藉助拓撲空間的歸納極限來描述以上無窮過程的結果，這個結論也是對的：在極限的集合 X 中，子集是閉集當且僅當它與每一個骨架都交於閉集（相對於骨架本身的拓撲）。 例子 實數集 mathbb R 上的標準 CW 結構中的 0 維骨架為整數集 mathbb Z，而 1 維胞腔則是區間 nn1 n in mathbb Z 。相似地，在 mathbb Rn 上的標準 CW 結構中的胞腔是 mathbb R 的 0 維和 1 維胞腔的積。 多面體帶有自然的 CW 復形結構。 圖是一維 CW 復形。 無窮維希爾伯特空間不是 CW 復形：它是一個貝爾空間（見貝爾綱定理），因此不能寫成其 n 維骨架的並，因每個骨架都是閉集且內部為空。這個論證也可引申到許多無窮維空間。 n 維球面容許一個只有兩個胞腔的 CW 結構：一個 0 維胞腔和一個 n 維胞腔，依靠從 Sn1 到 0 維胞腔的常對映黏著。另外一個替代的胞腔分解也很受歡迎，因赤道包含對映 Sn1 to Sn 的補集恰好是兩個球：上半球和下半球。由歸納法可得 Sn 的一個 CW 分解，每個維度 0 leq k leq n 上恰好有兩個 k 維胞腔。 n 維實射影空間容許一個 CW 結構，每個維度 0 leq k leq n 上恰好有一個 k 維胞腔。 格拉斯曼流形容許一個 CW 結構，其胞腔稱作舒伯特胞腔 微分流形、代數和射影簇都同倫於 CW 復形。 空間 re2pi i theta 0 leq r leq 1 theta in mathbb Q subset mathbb C 同倫於 CW 復形（甚至是可收縮的），但不容許任何 CW 結構，因其不是區域性可收縮的。 是不同倫於 CW 的拓撲空間的一例。 CW 復形的同調與上同調 CW 復形的奇異同調（或上同調）可以透過胞腔同調計算。此外，在 CW 復形和胞腔對映的範疇內，胞腔同調可以解讀成一種同調論。如要計算 CW 復形的廣義（上）同調，譜序列是胞腔同調的一個類比。 以下是一些計算的例項： 對於球面 Sn，取只帶有一個 0 維胞腔和一個 n 維胞腔的分解。胞腔鏈復形 C_ 與同調皆為 H_k C_k leftbegin arraylr mathbb Z k in 0n 0 k notin 0n end array right 因為所有微分運算元皆為零（實際上，上鍊復形與上同調亦然）。或者，如果我們取赤道分解，使得每個維度上各有兩個胞腔，那麼 C_k leftbegin arraylr mathbb Z2 0 leq k leq n 0 text otherwise end array right 而微分運算元是形為 begin pmatrix 1 1 1 1end pmatrix 的矩陣。這個復形給出的同調與以上計算一致，因為復形在除 C_0 與 C_n 項外都是正合的。 對於復射影空間 mathbb Pnmathbb C，可以相似地算得 Hk mathbb Pnmathbb C begin cases mathbb Z quadtext for 0le kle 2ntext even 0 quadtext otherwise end cases 之所以這兩例中計算都尤其簡單，是因為同調完全由胞腔數目確定 換言之，胞腔的黏著對映在計算中沒有扮演任何角色。這個現象只是特例，在一般情況下並不成立。 同倫範疇 在某些專家眼中，CW 復形的同倫範疇即使不是唯一的同倫範疇（基於技術原因，實際使用的版本是帶基點的空間），也是同倫範疇的最佳候選。例如，聲稱 The class of CW complexes or the class of spaces of the same homotopy type as a CW complex is the most suitable class of topological spaces in relation to homotopy theory 因此，可能會得出非 CW 復形的空間的輔助構造需儘量避免。在這方面的基本結論是布朗可表性定理：同倫範疇上的可表函子可以藉助 CW 復形來相當精簡地刻畫。 性質 CW 復形是區域性可收縮的。 CW 復形滿足懷特黑德定理：CW 復形之間的對映是同倫等價當且僅當在所有同倫群上都誘匯出同構。 兩個 CW 復形的積可以轉化成一個 CW 復形。具體而言，設 X 和 Y 為 CW 復形，那麼 Xtimes Y 上容許一個 CW 復形的結構，其胞腔即 X 中的胞腔與 Y 中胞腔的積，並配備弱拓撲。不出所料，這個新的 CW 復形的底集合就是 Xtimes Y 本身。此外，多數情況下弱拓撲與 Xtimes Y 上的積拓撲一致，例如當 X 或 Y 之一是有限 CW 復形（或更一般地，當它們之一是區域性有限的，也即在每個維度它有有限個胞腔）。然而，如果 X 和 Y 皆非區域性緊，弱拓撲可能比積拓撲更精細。在這種不利的情形下，兩個復形的積（作為拓撲空間） Xtimes Y 不是一個 CW 復形。另一方面，X 和 Y 在緊生成空間範疇中的積的拓撲與弱拓撲一致，因此確實定義出一個 CW 復形。 設 X 和 Y 為 CW 復形。函式空間 operatorname HomXY （帶緊緻開拓撲）一般不是 CW 復形。若 X 是有限 CW 復形，那麼 operatorname HomXY 同倫等價於一個 CW 復形；這是由於約翰米爾諾的一個定理 1959。Milnor John On spaces having the homotopy type of a CWcomplex Trans Amer Math Soc 90 1959 272280 注意到 X 和 Y 都是緊生成豪斯多夫空間，因此 operatorname HomXY 常常取其緊生成的變種；以上結論對於這個變種仍然成立。 CW 復形的覆疊空間也是 CW 復形。 CW 復形是仿緊空間，而有限 CW 復形是緊空間。CW 復形的緊子空間必定包含於一有限子復形內。Hatcher Allen Algebraic topology Cambridge University Press 2002 ISBN 0521795400 免費電子版本可見作者的網站 。Hatcher Allen Vector bundles and Ktheory 初步版本可見於作者的網站 參考文獻 註釋 綜合參考 open access open access 該教材在第一章定義了 CW 復形，且對它們的使用貫穿全書；書末有一節關於 CW 復形的拓撲的附錄。免費電子版本可見作者的網站。 更多細節請見第一作者的網站 Category 代數拓撲 Category 同倫論 Category 拓撲空間