交換律是被普遍使用的一個數學名詞，意指能改變某物的順序而不改變其最終結果。交換律是大多數數學分支中的基本性質，而且許多的數學證明需要倚靠交換律。簡單運算的交換律許久都被假定存在，且沒有給定其一特定的名稱，直到 19 世紀，數學家開始形式化數學理論之後，交換律才得到正式的定義。 一般用法 交換律是一個和二元運算及函式有關的性質。而若交換律對一特定二元運算下的一對元素成立，則稱這兩個元素為在此運算下是「可交換」的。 在群論和集合論中，許多的代數結構被稱做是可交換的，若其中的運算域滿足交換律。在數學分析和線性代數中，一些知名的運算（如實數及複數上的加法和乘法）的交換律會經常被用於（或假定存在於）證明之中。Axler p2Gallian p34p 2687 數學定義 「可交換」一詞被使用於如下幾個相關的概念中 Krowne p1Weisstein Commute p1： 1 在集合 S 的一二元運算 被稱之為「可交換」的，若： forall xy in S x y y x 一個不滿足上述性質的運算則稱之為「不可交換」的。 2 若稱 x 在 下和 y 「可交換」，即表示： x y y x 3 一二元函式 fA times A to B 被稱之為「可交換」的，若： forall xy in A f xy f yx 歷史 leftthumb250pxCommutative 這一詞第一個已知的應用是在 1814 年的一本法國期刊上 對交換律假定存在的應用早在很久之前便已有所記戴。埃及人用乘法的交換律來簡化乘積的計算。Lumpkin p11Gay and Shute p 且知歐幾裡得在《幾何原本》中已有假定了乘法交換律的存在。OConner and Robertson Real Numbers 對交換律形式上的應用產生於 18 世紀末 19 世紀初，那時數學家開始在研究函式的理論。今日，交換律已被普遍認知，且在大多數的數學分支中被當做基本性質來使用。交換律的簡易版本通常會在初等數學教程中被教導。 第一個使用「可交換（commutative）」一詞的是 Francois Servois 於 1814 年寫下的筆記 Cabillón and Miller Commutative and DistributiveOConner and Robertson Servois，這一詞在筆記中被用來指有著現在稱之為交換律的函式。這一詞首次出現於英語中的是在 1844 年的英國皇家學會哲學彙刊中。 相關性質 結合律 結合律和交換律密切相關著。結合律是指運算的順序並不會影響其最終結果。相對地，交換律則是指運算元的順序不會影響其最終結果的性質。 對稱 對稱可以和交換律有直接的關連。若將一個可交換運運算元寫成一個二元函式，則此一函式會對 y x 這條線對稱。舉例來說，若設一函式 f 來表示加法（一可交換運算），所以 f xy x y ，也因此 f 會是個如右圖所見的對稱函式。 例子 日常生活中 洗一雙鞋子可類比為一可交換運算，因為不論是左邊的鞋子先洗，還是右邊的鞋子先洗，最終的結果（兩隻鞋子都洗好）是一樣的。 成語「朝三暮四」也可看做是可交換運算的一個例子。 數學中的可交換運算 兩個廣為人知的可交換二元運算的例子為： 實數的加法 y z z y quad forall yzin mathbb R 例如， 4 5 5 4 ，兩個表示式都等於 9 。 實數的乘法 y z z y quad forall yzin mathbb R 例如， 3 times 5 5 times 3 ，兩者都等於 15 。 更多可交換二元運算的例子包括複數的乘法、向量的加法、和集合的交集與聯集。 日常生活中的不可交換運算 洗衣和乾衣可類比成不可交換運算，因為先乾衣再洗衣和先洗衣再乾衣兩者會得出很不同的結果來。 魔術方塊是不可交換的。例如，將正面順時針扭轉，頂面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉（FUF），並不會得出如將正面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉，最後再將頂面順時針扭轉（FFU）一樣的結果。扭轉是不可交換的。這些扭轉被研究於群論中。 數學中的不可交換運算 一些不可交換二元運算 Yark p1 有： 減法： 01neq 10 ，不過可將其減法符號轉換成加上其相反數，即可使用交換律。 除法： 1div2neq 2div1，可將除法轉換成乘上其倒數以使用交換律。 矩陣乘法： begin bmatrix 0 2 0 1 end bmatrix begin bmatrix 1 1 0 1 end bmatrix cdot begin bmatrix 0 1 0 1 end bmatrix neq begin bmatrix 0 1 0 1 end bmatrix cdot begin bmatrix 1 1 0 1 end bmatrix begin bmatrix 0 1 0 1 end bmatrix 數學結構與交換律 阿貝爾群是一個群運算為可交換的群。 交換環是一個乘法為可交換的環。（環中的加法依定義總會是可交換的。）Gallian p236 域的加法與乘法都是可交換的。Gallian p250 中心是一個群最大的可交換子集。Gallian p65 註記 參考資料 書籍 Abstract algebra theory Covers commutativity in that context Uses property throughout book Abstract algebra theory Uses commutativity property throughout book Linear algebra theory Explains commutativity in chapter 1 uses it throughout 文章 httpswebarchiveorgweb20080228100512httpwwwethnomathorgresourceslumpkin1997pdf Lumpkin B 1997 The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt A Response To Robert Palter Unpublished manuscript Article describing the mathematical ability of ancient civilizations Robins R Gay and Charles C D Shute 1987 The Rhind Mathematical Papyrus An Ancient Egyptian Text London British Museum Publications Limited ISBN 9780714109442 Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus 線上資源 Krowne Aaron Accessed 20070808 Definition of commutativity and examples of commutative operations Accessed 20070808 Explanation of the term commute Accessed 20070808 Examples proving some noncommutative operations Article giving the history of the real numbers Page covering the earliest uses of mathematical terms Biography of Francois Servois who first used the term 另見 反交換律 二元運算 交換子集合 交換子 分配律 結合律 遞移關係 J J J