高斯定律表明在閉合曲面內的電荷分佈與產生的電場之間的關係： 其定性描述為：穿越出任意閉合曲面的淨電通量等於該閉合曲面內的淨電荷除以電容率。該閉合曲面稱為高斯曲面。 真空中高斯定律積分形式為：Phi_E oint_mathbb Avec Ecdot dvec adfrac Q_encvarepsilon_0； 其中，vec E 為電場， dvec a 為閉合曲面 mathbb A 的微分面積，由曲面向外定義為其方向，Q_enc 為閉合曲面內的電荷，varepsilon_0 為真空電容率。 其微分形式為：nablacdotvec Efrac rhovarepsilon_0 ；其中，rho 為電荷密度（單位 Cm3）。 線上性材料中，等式變為 nablacdotvarepsilonvec Erho_free ；其中 varepsilon 為材料的電容率，rho_free 為自由電荷密度。 此方程是卡爾高斯在 1835 年提出的，但直到 1867 年才釋出。高斯定律在靜電場情況下類比於應用在磁場學的安培定律，而二者都被集中在麥克斯韋方程組中。因為數學上的相似性，高斯定律也可以應用於其它由反平方定律決定的物理量，例如引力或者輻照度。參看散度定理。 積分形式 採用國際單位制，對於空間內的任意體積 mathbb V ，其表面 mathbb A ，真空中的高斯定律的積分形式可以用方程式表達為 oint_mathbb A vec Ecdot dvec adfrac Q_encvarepsilon _0； 其中，vec E 為電場， dvec a 為閉合曲面 mathbb A 的微分面積，由曲面向外定義為其方向，Q_enc 是在體積 mathbb V 內的總電荷數量。 電通量 Phi_E 是穿過曲面 mathbb A 的電場線數量： Phi_Eoint_mathbb Avec E cdot dvec a 。 Q_enc 包括自由電荷和束縛電荷（在電介質內，因電極化強度而產生的電荷）。 varepsilon_0 是真空電容率。 應用 給予空間的某個區域內，任意位置的電場。原則上，應用高斯定律，可以很容易地計算出電荷的分佈。只要積分電場於任意區域的表面，再乘以真空電容率，就可以得到那區域內的電荷數量。 但是，更常遇到的是逆反問題。給予電荷的分佈，求算在某位置的電場。這問題比較難解析。雖然知道穿過某一個閉合曲面的電通量，這資料仍舊不足以解析問題。在閉合曲面任意位置的電場可能會是非常的複雜。 假若，問題本身顯示出某種對稱性，促使在閉合曲面位置的電場大小變得均勻。那麼，就可以藉著這均勻性來計算電場。像圓柱對稱、平面對稱、球對稱等等，這些空間的對稱性，都能幫助高斯定律來解析問題。若想知道怎樣利用這些對稱性來計算電場，請參閱高斯曲面。 微分形式 高斯定律的方程式的微分形式為 mathbf nabla cdot mathbf E frac rhoepsilon_0 。 其中 rho 為體電荷密度，epsilon_0 為真空電容率。 在數學裡，高斯定律的微分形式等價於其積分形式。這等價關係可以用散度定理來證明。 自由電荷的高斯定律 自由電荷與束縛電荷 自由電荷是自由移動，不被束縛於原子或分子內的電荷；而束縛電荷則是束縛於原子或分子內的電荷。當遇到涉及電介質的問題時，才需要考慮到束縛電荷所產生的效應。當電介質被置入於外電場時，電介質內的束縛電荷會被外電場影響，雖然仍舊束縛於其微觀區域（原子或分子），但會做微小位移。所有這些微小位移的貢獻造成了宏觀的電荷分佈的改變。 雖然微觀而言，不論是自由電荷，還是束縛電荷，本質上都是電荷。實際而言，對於某些案例，使用自由電荷的概念可以簡化問題的解析。但有時候，由於問題比較複雜，缺乏對稱性，必需採用其它方法來解析問題。 積分形式 對於空間內的任意體積 mathbb V ，其表面 mathbb A ，這個高斯定律表述，可以用積分形式的方程式表達為 iint_mathbb Asubsetsupsetmathbf Dcdot mathrm dsQ_mathrm free 其中，mathbf D 為電位移， textrm ds 為閉合曲面 mathbb A 的微分面積，由曲面向外定義為其方向，Q_mathrm free 是在體積 mathbb V 內的自由電荷數量。 微分形式 只涉及自由電荷，這個高斯定律表述的微分形式可以表達為 mathbf nabla cdot mathbf D rho_mathrm free 其中，rho_mathrm free 是自由電荷密度，完全不包括束縛電荷。 請注意，在某種狀況下，雖然區域內可能沒有自由電荷，rho_mathrm free0 。但是，這並不表示電位移等於 0 。因為， mathbf Depsilon_0 mathbf E mathbf P ； 其中，mathbf P 是電極化強度。 取旋度於方程式的兩邊， mathbf nablatimesmathbf Dmathbf nablatimesepsilon_0 mathbf E mathbf nablatimes mathbf Pmathbf nablatimes mathbf P 。 所以，電位移很可能不等於 0 。最典型的例子是永電體。 在數學裡，高斯定律的微分形式等價於其積分形式。這等價關係可以用散度定理來證明。 等價證明 兩種高斯定律數學等價的證明 本段落證明高斯定律對於總電荷的方程式 nablacdot mathbf E rhovarepsilon_0 ， 等價於高斯定律對於自由電荷的方程式 nablacdotmathbf D rho_f 。 請注意，這裡只處理微分形式，不處理積分形式。這已達成足夠條件。因為，根據散度定理，兩種高斯定律的方程式，其微分形式都分別等價於積分形式。 電位移 mathbf D 的定義式為 mathbf D stackrel def varepsilon_0 mathbf E mathbf P ； 其中，mathbf P 是電極化強度。 束縛電荷密度 rho_bound 的定義式為（請參閱電極化） rho_bound stackrel def nablacdot mathbf P 。 注意到 rho 是總電荷密度： rho rho_freerho_boundrho_free nablacdot mathbf Prho_free nablacdotmathbf Dvarepsilon_0nablacdot mathbf E 。 稍加編排， rho varepsilon_0nablacdot mathbf Erho_free nablacdotmathbf D 。 所以，nablacdot mathbf E rhovarepsilon_0 若且唯若 nablacdotmathbf D rho_free 。兩個方程式等價。 線性電介質 線性電介質有一個簡單良好的性質，其 mathbf D 和 mathbf E 的關係方程式為 epsilon mathbf Emathbf D ； 其中，epsilon 是物質的電容率。 對於線性電介質，又有一對等價的高斯定律表述： iint_mathbb Asubsetsupsetmathbf Ecdotmathrm dmathbf afrac Q_mathrm freeepsilon 、 mathbf nabla cdot mathbf E frac rho_mathrm freeepsilon 。 高斯定律與庫侖定律的關係 從庫侖定律推導高斯定律 庫侖定律闡明，一個固定的點電荷的電場是 mathbf Emathbf r frac q4pi epsilon_0 frac mathbf r mathbf rmathbf r mathbf r3 ； 其中，q 是點電荷，mathbf r 是電場位置，mathbf r 是點電荷位置。 根據這方程式，計算位於 mathbf r 的無窮小電荷元素所產生的位於 mathbf r 的電場，積分體積曲域 mathbb V 內所有的無窮小電荷元素，可以得到電荷分佈所產生的電場： mathbf Emathbf r frac 14piepsilon_0 int_mathbb V rho mathbf rfrac mathbf r mathbf rmathbf r mathbf r3 mathrm d3 mathbf r 。 取這方程式兩邊對於 mathbf r 的散度： nablacdotmathbf Emathbf r frac 14piepsilon_0 int_mathbb Vrho mathbf r nablacdotfrac mathbf r mathbf rmathbf r mathbf r3 mathrm d3 mathbf r 。 注意到 nablacdotfrac mathbf r mathbf rmathbf r mathbf r3 4pi delta mathbf r mathbf r ； 其中， delta mathbf r 是狄拉克 δ 函式。 所以，mathbf Emathbf r 的散度是 nablacdotmathbf Emathbf r frac 1epsilon_0 int_mathbb V rho mathbf r delta mathbf r mathbf r mathrm d3 mathbf r 。 利用狄拉克 δ 函式的挑選性質，可以得到高斯定律的微分形式： nablacdotmathbf Emathbf r rho mathbf repsilon_0 。 或者可以這樣得到高斯定理的積分形式： 點電荷電場透過面元的電通量為 mathrm d Phi_Eboldsymbol E cdot mathrm d boldsymbol Sfrac q4 pi varepsilon_0 frac boldsymbol e_r cdot mathrm d boldsymbol Sr2frac q4 pi varepsilon_0 mathrm d Omega 對於單點電荷情形， i 在高斯面內，oint_S boldsymbol E cdot mathrm d boldsymbol S frac q4 pi varepsilon_0 oint_S mathrm d Omega frac qvarepsilon_0 ii 在高斯面外，oint_S boldsymbol E cdot mathrm d boldsymbol S frac q4 pi varepsilon_0 oint_S mathrm d Omega 0 故可以得到，oint_S boldsymbol E cdot mathrm d boldsymbol S frac 1varepsilon_0 sum_i in S_inside q_i ，即 oint_S boldsymbol E cdot mathrm d boldsymbol S frac Q_encvarepsilon _0 若包圍在 S 面內的電荷具有一定體分佈，電荷體密度為 rho ，則高斯定理可寫成： oint_S boldsymbol E cdot mathrm d boldsymbol S frac 1varepsilon_0 int _Vrhomathrm d V 由於庫侖定律只能應用於固定不動的電荷，對於移動電荷，這導引不能証明高斯定律成立。事實是，對於移動電荷，高斯定律也成立。所以，從這角度來看，高斯定律比庫侖定律更一般化。 從高斯定律推導庫侖定律 嚴格地說，從高斯定律不能從數學推匯出庫侖定律，高斯定律並沒有給出任何關於電場的旋度的資料（參閱亥姆霍茲定理和法拉第電磁感應定律）。但是，假若能夠新增一個對稱性假定，即電荷造成的電場是球對稱的（就像庫侖定律本身一樣，在固定不動電荷的狀況，這假設是正確的；在移動電荷的狀況，這假設是近乎正確的），那麼，就可以從高斯定律推匯出庫侖定律。 高斯定律的方程式為 iint_mathbb Asubsetsupsetmathbf Ecdot mathrm dmathbf a Qepsilon_0 。 設定高斯定律積分的曲面 mathbb A 為一個半徑 r 圓球面，圓心位置在電荷 Q 的位置。那麼，由於球對稱性，mathbf EE rhat mathbf r ，E r 與 dmathbf a 無關，可以將 E r 從積分內提出： iint_mathbb Asubsetsupsetmathbf Ecdot mathrm dmathbf a E riint_mathbb Asubsetsupsethat mathbf rcdot mathrm dmathbf aE riint_mathbb Asubsetsupsetmathrm d a4pi r2E rQepsilon_0 。 所以，庫侖定律成立： mathbf Emathbf r frac Q4piepsilon_0 frac hat mathbf rr2 。 參閱 卡爾高斯 映象法 恩紹定理 格林互反定理 多極展開 參考文獻 外部連結 麻省理工學院物理系影視教學系列：電磁學 Category 卡爾弗里德里希高斯 G G G G