尤拉 馬斯刻若尼常數是一個數學常數，定義為調和級數與自然對數的差值： gamma lim_n rightarrow infty left left sum_k1n frac 1k right ln n rightint_1inftyleft 1overlfloor xrfloor 1over xrightdx 它的近似值為 gamma approx 057721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 oeisorg 2014717， 尤拉 馬斯刻若尼常數主要應用於數論。 歷史 該常數最先由瑞士數學家萊昂哈德尤拉在 1735 年發表的文章 De Progressionibus harmonicus observationes 中定義。尤拉曾經使用 C 作為它的符號，並計算出了它的前 6 位小數。1761 年他又將該值計算到了 16 位小數。1790 年，義大利數學家洛倫佐馬斯凱羅尼引入了 gamma 作為這個常數的符號，並將該常數計算到小數點後 32 位。但後來的計算顯示他在第 20 位的時候出現了錯誤。 目前尚不知道該常數是否為有理數，但是分析表明如果它是一個有理數，那麼它的分母位數將超過 10242080。Havil 2003 p 97 性質 與伽瑪函式的關係 gamma Gamma1 Psi 1 。 gamma lim_x to infty left x Gamma left frac 1x right right 。 gamma lim_n to infty left frac Gamma frac 1n Gamma n1 n1frac 1nGamma 2nfrac 1n frac n2n1 right 。 與 ζ 函式的關係 gamma sum_m2infty frac 1mzeta mm ln left frac 4pi right sum_m1infty frac 1m1 zeta m12m m1。 lim_varepsilon to 0 frac zeta 1varepsilonzeta 1varepsilon2 gamma gamma frac 32 ln 2 sum_m2infty 1mfrac m1m zeta m 1 lim_n to infty left frac 2n12n lnn sum_k2n left frac 1k frac zeta 1knk right right 。 lim_n to infty left frac 2ne2n sum_m0infty frac 2m nm1 sum_t0m frac 1t1 n ln 2 O left frac 12ne2n right right gamma lim_s to 1 sum_n1infty left frac 1ns frac 1sn right lim_s to 1 left zeta s frac 1s 1 right gamma lim_x to infty left x Gamma left frac 1x right right lim_n to infty frac 1n sum_k1n left left lceil frac nk right rceil frac nk right 。 gamma sum_k1n frac 1k ln n sum_m2infty frac zeta mn1m 積分 gamma int_0infty ex ln x dx int_infty 0 ex ln x dx gamma int_0infty ex ln x dx 的證明： 首先根據放縮法（int_kk1 frac 1x dx frac 1k int_k1k frac 1x dx）容易知道， int_kk1 frac 1x dx frac 1k frac 1 k k1，以及 ln n sum_k1n frac 1k 1 ln n。因此 gamma 存在並有限。 sum_k1n frac 1k sum_k1n int_01 tk1 dt int_01 sum_k1n tk1 dt int_01 frac 1 tn1 t dt int_n0 frac 1 left 1frac xnrightn1 left 1frac xnright dleft 1tfrac xnright int_n0 frac 1 left 1frac xnrightnfrac xn left frac 1nright dx int_0n frac 1 left 1frac xnrightnx dx 而 ln n int_1n frac 1x dx 所以 gamma lim_n to infty left sum_k1n frac 1k ln nright lim_n to infty left int_0n frac 1 1xnnx dx int_1n frac 1x dx right lim_n to infty left int_01 frac 1 1xnnx dx int_1n frac 1xnnx right int_01 frac 1 lim_n to infty1xnnx dx int_1infty frac lim_n to infty1xnnx （單調收斂定理） int_01 frac 1 exx dx int_1infty frac exx left 1 ex ln x right_01 int_01 ln x d 1 ex left ex ln x right_1infty int_1infty ln x dex int_0infty ex ln x dx int_01 lnln frac 1x dx int_0infty left frac 11 ex frac 1x right e x dx int_0infty frac 1x left frac 11x e x right dx int_0infty ex2 ln x dx tfrac14 gamma2 ln 2 sqrt pi int_0infty ex ln2 x dx gamma2 frac pi26。 gamma int_01int_01 frac x 11 xyln xy dxdy sum_n1infty left frac 1n lnfrac n1n right sum_n1infty frac N_1 n N_0 n2n 2n1 gamma 級數展開式 gamma sum_k1infty left frac 1k ln left 1 frac 1k right right gamma 1 sum_k2infty1kfrac lfloorlog_2 krfloork1 gamma sum_k2infty 1k frac left lfloor log_2 k right rfloork tfrac12tfrac13 2left tfrac14 tfrac15 tfrac16 tfrac17right 3left tfrac18 dots tfrac1 15right dots gamma zeta 2 sum_k1infty frac1 klfloorsqrt krfloor2 1 tfrac12 tfrac13 tfrac14left tfrac14 dots tfrac18right tfrac19left tfrac19 dots tfrac1 15right dots gamma sum_k2infty frac k lfloorsqrt krfloor2k2lfloorsqrt krfloor2 tfrac1 22 tfrac2 32 tfrac1 22left tfrac1 52 tfrac2 62 tfrac3 72 tfrac4 82right tfrac1 32left tfrac1 102 dots tfrac6 152right dots gamma int_01 frac 11x sum_n1infty x2n1 dx gamma 的連分數展開式為： gamma 0 1 1 2 1 2 1 4 3 13 5 1 1 8 1 2 4 1 1 40 漸近展開式 gamma approx H_n ln left n right frac 12n frac 112n2 frac 1120n4 gamma approx H_n ln left n frac 12 frac 124n frac 148n3 right gamma approx H_n frac ln left n right ln left n 1 right2 frac 16nleft n 1 right frac 130n2 left n 1 right2 已知位數 boldsymbol gamma 的已知位數 日期 位數 計算者 1734 年 5 萊昂哈德尤拉 1736 年 15 萊昂哈德尤拉 1790 年 19 洛倫佐馬斯凱羅尼 1809 年 24 Johann G von Soldner 1812 年 40 FBG Nicolai 1861 年 41 Oettinger 1869 年 59 William Shanks 1871 年 110 William Shanks 1878 年 263 約翰柯西亞當斯 1962 年 1271 高德納 1962 年 3566 DW Sweeney 1977 年 20700 Richard P Brent 1980 年 30100 Richard P Brent 和埃德溫麥克米倫 1993 年 172000 Jonathan Borwein 1997 年 1000000 Thomas Papanikolaou 1998 年 12 月 7286255 Xavier Gourdon 1999 年 10 月 108000000 Xavier Gourdon 和 Patrick Demichel 2006 年 7 月 16 日 2000000000 Shigeru Kondo 和 Steve Pagliarulo 2006 年 12 月 8 日 116580041 Alexander J Yee 2007 年 7 月 15 日 5000000000 Shigeru Kondo 和 Steve Pagliarulo 2008 年 1 月 1 日 1001262777 Richard B Kreckel 2008 年 1 月 3 日 131151000 Nicholas D Farrer 2008 年 6 月 30 日 10000000000 Shigeru Kondo 和 Steve Pagliarulo 2009 年 1 月 18 日 14922244771 Alexander J Yee 和 Raymond Chan 2009 年 3 月 13 日 29844489545 Alexander J Yee 和 Raymond Chan 2013 年 119377958182 Alexander J Yee 2016 年 160000000000 Peter Trueb 2016 年 250000000000 Ron Watkins 2017 年 477511832674 Ron Watkins 2020 年 600000000100 Seungmin Kim 和 Ian Cutress 相關證明 前面的放縮法主要是證明了 left left sum_k1n frac 1k right ln n right 是單調遞減並下有界限（0），所有極限存在。放縮法的結論需要使用 ln 1x 和 ln 1x 的泰勒級數展開進行證明。 參考文獻 Derives γ as sums over Riemann zeta functions Gourdon Xavier and Sebah P 2002 Collection of formulas for Eulers constant γ Gourdon Xavier and Sebah P 2004 The Euler constant γ Donald Knuth 1997 The Art of Computer Programming Vol 1 3rd ed AddisonWesley ISBN 9780201896831 Krämer Stefan 2005 Die Eulersche Konstante γ und verwandte Zahlen Diplomarbeit Universität Göttingen Sondow Jonathan 1998 An antisymmetric formula for Eulers constant Mathematics Magazine 71 219220 Sondow Jonathan 2002 A hypergeometric approach via linear forms involving logarithms to irrationality criteria for Eulers constant With an Appendix by Sergey Zlobin Mathematica Slovaca 59 307314 Sondow Jonathan 2003a Criteria for irrationality of Eulers constant Proceedings of the American Mathematical Society 131 33353344 Sondow Jonathan 2005 Double integrals for Eulers constant and ln 4π and an analog of Hadjicostass formula American Mathematical Monthly 112 6165 Sondow Jonathan 2005 New Vaccatype rational series for Eulers constant and its alternating analog ln 4π Ramanujan Journal 12 225244 G Vacca 1926 Nuova serie per la costante di Eulero C 0577 Rendiconti Accademia Nazionale dei Lincei Roma Classe di Scienze Fisiche Matematiche e Naturali 6 3 1920 James Whitbread Lee Glaisher 1872 On the history of Eulers constant Messenger of Mathematics New Series vol1 p 2530 JFM 03013001 Carl Anton Bretschneider 1837 Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova Crelle Journal vol17 p 257285 submitted 1835 Lorenzo Mascheroni 1790 Adnotationes ad calculum integralem Euleri in quibus nonnulla problemata ab Eulero proposita resolvuntur Galeati Ticini Lorenzo Mascheroni 1792 Adnotationes ad calculum integralem Euleri In quibus nonnullae formulae ab Eulero propositae evolvuntur Galeati Ticini Both online at httpbooksgoogledebooksidXkgDAAAAQAAJ EA Karatsuba On the computation of the Euler constant γ J of Numerical Algorithms Vol24 No12 pp 8397 2000 M Lerch Expressions nouvelles de la constante dEuler Sitzungsberichte der Königlich Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften 42 5 p 1897 Bulletin of the American Mathematical Society 50 4 527628 2013 外部連結 Krämer Stefan Eulers Constant γ0577 Its Mathematics and History Jonathan Sondow Fast Algorithms and the FEE Method EA Karatsuba 2005 Further formulae which make use of the constant Gourdon and Sebah 2004 Category 數學常數 Category 萊昂哈德尤拉