伽利略變換是 zhcn 經典力學；zhhk 經典力學；zhtw 古典力學 中用以在兩個只以勻速相對移動的參考系之間變換的方法，屬於一種被動態變換。在相對論效應下，伽利略變換在物體以接近光速運動時不成立，在電磁系統中也不會成立。 伽利略伽利萊在解釋勻速運動時制定了這一套概念。Galileo 1638 Discorsi e Dimostrazioni Matematiche intorno á due nuoue scienze 191 196 published by Lowys Elzevir Louis Elsevier Leiden or Two New Sciences English translation by Henry Crew and Alfonso de Salvio 1914 reprinted on pages 515520 of On the Shoulders of Giants The Great Works of Physics and Astronomy Stephen Hawking ed 2002 ISBN 9780762413485 他用其解釋球體滾下斜面這一力學問題，並測量出地球表面引力加速度的數值。 在狹義相對論中，伽利略變換被龐加萊變換所取代；相反，龐加萊變換的經典極限 c 中的群收縮產生了伽利略變換。 平移 伽利略變換建基於人們加減物體速度的直覺。在其核心，伽利略變換假設時間和空間是絕對的。 這項假設在洛倫茲變換中被捨棄，因此就算在相對論性速度下，洛倫茲變換也是成立的；而伽利略變換則是洛倫茲變換的低速近似值。 以下為伽利略變換的數學表示式，其中 xyzt 和 xyzt 分別為同一個事件在兩個坐標系 S 和 S 中的坐標。兩個坐標系以相對勻速執行（速度為 v），執行方向為 x 和 x，原點在時間 tt0 時重合。 Chapter 2 26 p 42 Chapter 38 382 p 10461047 Chapter 9 91 p 261 Chapter 5 p 83 xxvt yy zz tt 最後一條方程式意味著時間是不受觀測者的相對運動影響的。 利用線性代數的術語來說，這種變換是個錯切，是矩陣對向量進行變換的一個過程。當參考系只沿著 x 軸移動時，伽利略變換只作用於兩個分量： x t xt begin pmatrix 1 0 v 1 end pmatrix 雖然在伽利略變換中沒有必要用到矩陣表達法，但是用了矩陣就可以和狹義相對論中的變換法進行比較。 三種伽利略變換 伽利略變換可以唯一寫成由時空的旋轉、平移和勻速運動複合而成的函式。設 x 為三維空間中的一點，t 為一維時間中的一點。時空當中的任何一點可以表達為有序對 xt。速度為 v 的勻速運動表達為 mathbf xt mapsto mathbf xtmathbf vt，其中 v 在 R3 內。平移表達為 mathbf xt mapsto mathbf xmathbf atb，其中 a 在 R3 內，b 在 R 內。旋轉表達為 mathbf xt mapsto Gmathbf xt，其中為某正交變換。作為一個李群，伽利略變換的維度為 10。 這三種變換可更加數學化地表達為伽利略群 HRPetryBMetsch Theoretische Mechanik Oldenburg München 2005 第 18 頁 ISBN 3486246739。首先 G 為 SO 3 中的旋轉矩陣，3 維內積在 G 的作用下保持不變，表達為 Goverrightarrow xGoverrightarrow yoverrightarrow xoverrightarrow y 設在某 t 時刻有對映 varphi_t overrightarrow aoverrightarrow bG 將空間上的某一點 x 對映到另一點 Goverrightarrow xoverrightarrow aoverrightarrow b cdot t 上。可證得 varphi_t 構成一個群。 結合律：varphi_t 為線性對映，線性對映滿足結合律。 單位元：varphi_t overrightarrow 0overrightarrow 0mathbf Ioverrightarrow xoverrightarrow x 逆對映：varphi_t overrightarrow aoverrightarrow bG1varphi_t G1 overrightarrow aG1 overrightarrow bG1 封閉性：begin align varphi_t overrightarrow aoverrightarrow bGcirc varphi_t overrightarrow aoverrightarrow bGoverrightarrow xGGoverrightarrow xGoverrightarrow aoverrightarrow aGoverrightarrow boverrightarrow b cdot t varphi_t Goverrightarrow aoverrightarrow aGoverrightarrow boverrightarrow bGGoverrightarrow xend align 對應的有： 空間平移：varphi_t overrightarrow aoverrightarrow 0mathbf Ioverrightarrow xoverrightarrow xoverrightarrow a 速度變換：varphi_t overrightarrow 0overrightarrow bmathbf Ioverrightarrow xoverrightarrow xoverrightarrow b cdot t 空間旋轉：varphi_t overrightarrow 0overrightarrow 0Goverrightarrow xGoverrightarrow x varphi_t overrightarrow aoverrightarrow bG 為不含時伽利略群，加上時間平移 t mapsto tt_0 後對映 overrightarrow xt mapsto varphi_ttt_0 Goverrightarrow xoverrightarrow aoverrightarrow b cdot ttt_0 構成一個完整伽利略群，其依舊滿足群的性質。完整伽利略群具有 10 個生成元，分別為 3 個空間平移 xyz，3 個空間轉動 對應 3 個座標基矢），3 個速度，以及一個時間平移。 伽利略群的中心擴張 這裡我們只考慮伽利略群的李代數。結果能夠輕易延伸到李群。L 的李代數由 H、Pi、Ci 和 Lij 張成（反對稱張量），並能夠受交換子的作用，其中 HP_i0 P_iP_j0 L_ijH0 C_iC_j0 L_ijL_kli delta_ik L_jldelta_il L_jkdelta_jk L_ildelta_jl L_ik L_ijP_ki delta_ik P_jdelta_jk P_i L_ijC_ki delta_ik C_jdelta_jk C_i C_iHi P_i C_iP_j0 H 為時間平移的生成元（哈密頓算符），Pi 為平移的生成元（動量算符），Ci 為伽利略變換的生成元，而 Lij 為旋轉的生成元（角動量算符）。 現在我們可以對 H、Pi、Ci、Lij（反對稱張量）、M 所張成的李群進行中心擴張，使得 M 與一切都可交換（位於中心，「中心擴張」因此得名）： HP_i0 P_iP_j0 L_ijH0 C_iC_j0 L_ijL_kli delta_ik L_jldelta_il L_jkdelta_jk L_ildelta_jl L_ik L_ijP_ki delta_ik P_jdelta_jk P_i L_ijC_ki delta_ik C_jdelta_jk C_i C_iHi P_i C_iP_ji Mdelta_ij 參見 洛倫茲群 龐加萊群 備註 Category 理論物理 Category 經典力學