應力強度因子（Stress Intensity Factors），符號為，是表徵彈性材料的裂紋尖端應力、應變狀態控制失穩擴充套件的參量，是斷裂力學、破壞力學中極其重要的一個參量。在斷裂力學中，應力強度因子用於預測由遠端載荷或殘餘應力引起的裂紋或凹口尖端附近的應力強度，是一個應用於均勻、線彈性材料的理論，對脆性材料的破壞非常適用，也可應用於在裂紋尖端表現出小尺度屈服的材料。 的大小取決於試樣的幾何形狀、裂紋或凹口的大小和位置，以及材料上載荷的大小和分佈。可以寫成： K sigma sqrt pi a f aW 其中 f aW 是試樣幾何依賴函式，為長度，寬度，是施加的壓力。 彈性力學理論預測，在極座標（rtheta）中，裂紋尖端附近的應力分佈（sigma_ij）具有以下形式： sigma_ijr theta frac K sqrt 2 pi rf_ij theta rm higher order terms 其中是應力強度因子（單位為應力 長度 12），f_ij 是一個隨載荷和幾何形狀變化的無量綱量。理論上，當趨近於 0 時，應力 sigma_ij 趨近於 infty，導致應力奇異性。然而，實際上，這種關係在靠近裂尖處（很小時）會失效，因為塑性通常發生在超過材料屈服強度的應力下，此時的線彈性解則不再適用。但如果裂尖的塑性區域相對裂紋長度很小，那麼裂尖附近的漸近應力分佈則仍然適用。 各種模式的應力強度因子 1957 年，George Rankine Irwin 發現，裂紋周圍的應力可以用一個稱為應力強度因子的比例因子來表達。他發現，裂紋在任意荷載下可以分解為三種線性獨立的裂紋模式。這些荷載型別被歸類為 I 型、II 型或 III 型，如圖所示。I 型是一種拉伸模式，裂紋表面直接分開。II 型是一種滑動（平面剪下）模式，裂紋表面相互滑動，方向與裂紋前沿垂直。III 型是一種撕裂（反平面剪下）模式，裂紋表面相對移動，並且與裂紋前沿平行。I 型是工程設計中最常見的載入型別。 對應於三種不同的斷裂模式，有三個不同的物理量：K_I、K_II、K_III，不同的下標用於指定三種不同模式的應力強度因子，這些因子的形式定義如下： begin align K_rm I lim_rrightarrow 0 sqrt 2pi rsigma_yyr0 K_rm II lim_rrightarrow 0 sqrt 2pi rsigma_yxr0 K_rm III lim_rrightarrow 0 sqrt 2pi rsigma_yzr0 end align Equations for stress and displacement fields 能量釋放速率與 J 積分 在平面應力條件下，裂紋在純 I 型或純 II 型荷載下的應變能釋放速率（G）與應力強度因子相關： G_rm I K_rm I2left frac 1Eright G_rm II K_rm II2left frac 1Eright 其中 E 是楊氏模量，nu 是材料泊松比。假設材料各向同性、分佈均勻且為線彈性，則認為裂紋會沿著初始裂紋的方向延伸。 對於平面應變條件，等效關係為： G_rm I K_rm I2left frac 1nu2Eright G_rm II K_rm II2left frac 1nu2Eright 對於純 III 型荷載為： G_rm III K_rm III2left frac 12muright K_rm III2left frac 1nuEright 其中 mu 是剪下模量。對於平面應變中的一般荷載，則成立以下線性組合： G J int_Gamma left Wdx_2 mathbf tcdotcfrac partialmathbf upartial x_1dsright 與應力強度因子相對應的表徵彈塑性材料的裂紋尖端應力應變場的參量是斷裂韌性 J 積分，J 積分也按照斷裂模式分為 J_I、J_II、J_III。 臨界應力強度因子 應力強度因子 K 是一個放大應力幅值的引數，其中包括幾何引數 Y（荷載型別）。任何模式情況下的應力強度與材料上的載入成正比。如果在材料中製作一個非常尖銳的裂紋或 V 型缺口，可以經驗性地確定 K_mathrm I 的最小值，這是裂紋傳播所需的臨界應力強度值。在平面應變中確定的 I 型載入的臨界斷裂韌性（K_mathrm Ic），稱為材料的臨界斷裂韌性。K_mathrm Ic 的單位是應力乘以距離的平方根（例如 MNm32）。K_mathrm Ic 的單位表明，必須在一定的臨界距離內達到材料的斷裂應力，才能達到 K_mathrm Ic，使裂紋擴充套件。I 型臨界應力強度因子 K_mathrm Ic 是斷裂力學中最常用的工程設計引數，對橋樑、建築、飛機甚至鍾鈴的耐斷材料設計十分重要。 G 準則 G 準則是一種斷裂準則，它將臨界應力強度因子（或斷裂韌性）與三種模式的應力強度因子相關聯。這個失效準則可以表述為： K_rm c2 K_rm I2 K_rm II2 frac E2muK_rm III2 其中，是斷裂韌性，E E1nu2 用於平面應變，E E 用於平面應力。平面應力的臨界應力強度因子通常被寫成 K_rm c。 例子 無限平面：均勻單軸應力 假設長度為 2a 的直裂紋，在一個具有均勻應力場 sigma 的無限平面中，其應力強度因子： K_mathrm Isigma sqrt pi a 無限域：硬幣形裂紋 在無限域內一個半徑為 a 的小裂縫尖端在單張應力 σ 下的應力強度因子： K_rm I frac 2pisigmasqrt pi a 有限平面：均勻單軸應力 如果裂縫位於寬度為 2b、高度為 2h 的有限平面的中心位置，則應力強度因子的近似關係為： K_rm I sigma sqrt pi aleft cfrac 1 frac a2b 0326left frac abright2sqrt 1 frac abright 如果裂紋不位於寬度的中心位置，即 d ne b，則位置 A 處的應力強度因子可以透過級數展開來近似得到：Isida M 1966 Stress intensity factors for the tension of an eccentrically cracked strip Transactions of the ASME Applied Mechanics Section v 88 p94 K_rm IA sigma sqrt pi aleft 1 sum_n2M C_nleft frac abrightnright 從應力強度曲線的擬閤中可以基於不同 d 值，得到因子 C_n。裂紋 B 點可以得到一個類似（但不完全相同）的表示式。在 A 點和 B 點的應力強度因子的替代表達式是： K_rm IA sigmasqrt pi aPhi_A K_rm IB sigmasqrt pi aPhi_B 其中 begin align Phi_A left beta left frac 1beta4rightleft 1 frac 14sqrt secalpha_Aright2rightsqrt secalpha_A Phi_B 1 left frac sqrt secalpha_AB 11 021sinleft8tan1left left frac alpha_A alpha_Balpha_A alpha_Bright09rightrightright end align 其中 beta sinleft frac pialpha_Balpha_Aalpha_Bright alpha_A frac pi a2 d alpha_B frac pi a4b 2d alpha_AB frac 47alpha_A frac 37alpha_B 在上述表達試中，d 是從裂紋中心到距離點 A 最近邊界的距離。但是當 db 時，上述表示式不會簡化為關於中心裂紋的近似表示式。 有限平面：邊緣裂紋 對於一個尺寸為 2h times b2 的平面，包含長度 a 的無約束邊緣裂紋，如果板的尺寸滿足 hb ge 05 和 ab le 06，則在單軸應力 sigma 下，裂紋尖端的應力強度因子為： K_rm I sigmasqrt pi aleft 1122 0231left frac abright 1055left frac abright2 2171left frac abright3 30382left frac abright4right 對於 hb ge 1 和 ab ge 03 的情況，應力強度因子可近似得： K_rm I sigmasqrt pi aleft frac 1 3frac ab2sqrt pifrac ableft 1frac abright32right 無限平面：雙軸應力場中的傾斜裂紋 對於一個長度為 2a 的傾斜裂紋，在雙軸嚮應力場中，應力在 y 方向為 sigma，在 x 方向為 alphasigma，應力強度因子為： begin align K_rm I sigmasqrt pi aleft cos2beta alpha sin2betaright K_rm II sigmasqrt pi aleft 1 alpharightsinbetacosbeta end align 其中 beta 是裂縫與 x 軸所成的角度 平面內定點應力的裂縫 一個尺寸為 2h times 2b 的平面，含有長度為 2a 的裂縫。在板的點（xy）處施加具有分量 F_x 和 F_y 的力。 在平面比裂紋尺寸大，且力的位置相對靠近裂紋的情況下，即 h gg a，b gg a，x ll b，y ll h，可將平面視為無限大，這種情況下，裂紋尖端 B（x a）處的 F_x 的應力強度因子為： begin align K_rm I frac F_x2sqrt pi aleft frac kappa 1kappa1right left G_1 frac 1kappa1 H_1right K_rm II frac F_x2sqrt pi a left G_2 frac 1kappa1 H_2right end align 其中 begin align G_1 1 text Releft frac azsqrt z2a2right G_2 text Imleft frac azsqrt z2a2right H_1 text Releft frac a bar zzbar zasqrt bar z2a2right H_2 text Imleft frac a bar zzbar zasqrt bar z2a2right end align z x iy，bar z x iy， kappa 34nu 用於平面應變，kappa 3nu1nu 用於平面應力，其中 nu 是泊松比。 在 B 端點 F_y 的應力強度因子為： begin align K_rm I frac F_y2sqrt pi a left G_2 frac 1kappa1 H_2right K_rm II frac F_y2sqrt pi aleft frac kappa 1kappa1right left G_1 frac 1kappa1 H_1right end align 點 A（x a）處的應力強度因子可根據上述關係確定。對於在位置 xy 處施加 F_x 荷載的應力強度因子為： K_rm Ia xy K_rm Ia xy K_rm IIa xy K_rm IIa xy F_y 的應力強度因子相似： K_rm Ia xy K_rm Ia xy K_rm IIa xy K_rm IIa xy 平面裂紋荷載 如果裂紋受到位於 y0 且 a x a 的點作用力 F_y 載入，B 處的應力強度因子為： K_rm I frac F_y2sqrt pi asqrt frac axax K_rm II frac F_x2sqrt pi aleft frac kappa 1kappa1right 如果力在 a x a 之間均勻分佈，則 B 點的應力強度因子為： K_rm I frac 12sqrt pi aint_aa F_y xsqrt frac axaxrm d x K_rm II frac 12sqrt pi aleft frac kappa 1kappa1rightint_aa F_y xrm d x 無限平面：平行裂縫堆疊 如果裂紋間距遠遠大於裂紋長度（h gg a），可忽略鄰近裂紋之間的相互作用，應力強度因子等於長度為 2a 的單一裂紋的應力強度因子，裂紋尖端的應力強度因子為： begin align K_rm I sigmasqrt pi a end align 如果裂紋長度遠大於間距（a gg h），則裂紋可以被視為半無限裂紋的堆疊，裂紋尖端應力強度因子為： begin align K_rm I sigmasqrt h end align 緊湊拉伸試樣 緊湊拉伸試樣裂紋尖端的應力強度因子為： begin align K_rm I frac PBsqrt frac piWleft 167left frac aWright12 1047left frac aWright32 3699left frac aWright52 right qquad left 5738left frac aWright72 3605left frac aWright92 right end align 其中 P 是施加的載荷，B 是試樣厚度，a 是裂紋長度，W 是試樣的寬度。 單邊缺口彎曲試樣 單邊缺口彎曲試樣裂紋尖端的應力強度因子為： begin align K_rm I frac 4PBsqrt frac piWleft 16left frac aWright12 26left frac aWright32 123left frac aWright52 right qquad left 212left frac aWright72 218left frac aWright92 right end align 其中 P 是施加的載荷，B 是試樣厚度，a 是裂紋長度，W 是試樣的寬度。 相關 斷裂力學 斷裂韌性 能量釋放率（Strain energy release rate） J 積分（Jintegral） 材料失效理論（Material failure theory） 帕里斯法則 參考 Category 斷裂力學