黃金比例，又稱黃金比、黃金分割比 Summerson John Heavenly Mansions And Other Essays on Architecture New York WW Norton 1963 p 37 And the same applies in architecture to the rectangles representing these and other ratios eg the golden cut The sole value of these ratios is that they are intellectually fruitful and suggest the rhythms of modular design、黃金分割率，是數學常數，一般以希臘字母 varphi（phi）表示 Richard A Dunlap The Golden Ratio and Fibonacci Numbers World Scientific Publishing 1997。可以以下代數式定義： frac abafrac abstackrel text defvarphi quad ab0 這也是黃金比一名的由來。黃金比是無理數，準確值為 frac 1sqrt 52，約值（小數點後 20 位，）： varphi＝161803398874989484820 應用時一般取 1618，就像圓周率在應用時取 314159 一樣。 黃金比有嚴格的藝術感、和諧感，蘊藏豐富的美學價值，而且呈現於不少動物和植物的外觀。現今普遍很多工業產品、電子產品、建築物或藝術品均應用了黃金比，使其更美觀。 歷史 黃金比例是屬於數學領域的專有名詞，但最後涵蓋的內容不只是有關數學領域的研究，根據目前的文獻探討，我們可以說，黃金比的發現和如何演進至今仍是個謎。但有研究指出公元前六世紀古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，因此現代數學家推斷當時畢達哥拉斯學派已經觸及甚至掌握了黃金比的一些規則，也發現無理數，但由於其數字崇拜的宗教信仰拒絶承認其存在。它側重於從數學關係去探討美的規律，並認為美就是和諧與比例，按照這種比例關係就可以組成美的圖案，這其實是一個數字的比例關係，即將一條線分成兩部份，長段與短段之比等於全長與長段之比，它們的比例大約是 1618 比 1，知名的費氏數列也體現了這數學原則，按此種比例關係組成的任何事物都表現出其內部關係的和諧與均衡。 公元前四世紀，古希臘數學家歐多克索斯第一個系統研究了這一問題，並建立起比例理論。公元前 300 年前後歐幾裡得撰寫《幾何原本》時吸收了歐多克索斯的研究成果，進一步系統論述了黃金比，成為最早的有關黃金比的論著（即中末比）。 中世紀後，黃金比被披上神秘的外衣，義大利數學家盧卡帕喬利稱中末比為神聖比例，並專門為此著書立說。德國天文學家約翰內斯開普勒稱神聖比例為黃金比。到 19 世紀黃金比一名才逐漸通行，而證據在於德國數學家所寫的《基本純數學》第 2 版注釋中有關黃金比的解釋：「人們習慣把按此方式將任一直線分割成兩部份的方法，稱為黃金比」。而在 1875 年出版的《大英百科全書》第 9 版中，蘇利有提到：「由費區那 提出的有趣、實驗性濃厚的想法宣稱，『黃金比』在視覺比例上有所謂的優越性。」可見黃金比在當時已甚為流行。20 世紀時美國數學家給它個名叫 phi。黃金比有許多有趣的性質，人類對它的實際應用也很廣泛，造就了它今天的名氣。最著名的例子是優選學的黃金比法或 0618 法，是由美國數學家於 1953 年首先提出，70 年代在中國推廣。 基本計算 兩個數值 a 和 b 構成黃金比例 varphi，如果： frac aba frac ab varphi 一個得出 varphi 數值的方法是從左邊的分數式入手。經過簡化和代入， frac aba frac aa frac ba 1 frac ba 1 frac 1varphi 於是： 1 frac 1varphi varphi 兩邊乘以 varphi 就得到： varphi 1 varphi2 即是 varphi2 varphi 1 0 找出該方程的正解， varphi frac 1 sqrt 52 16180339887ldots 黃金比奇妙之處在於其倒數為自身減 1，即 0618＝1618－1，並時常稱為「黃金比例共軛」。 從上面的 1 frac 1varphi varphi 得到： frac 1varphi varphi 1 0618 的數值常用希臘字母 Phi 表示，即： Phi 1 over varphi1 over 16180339887ldots ＝06180339887，亦可表達為： Phi＝varphi－1＝16180339887－1＝06180339887 替代或其他形式 公式 varphi 1frac 1varphi 可以遞迴擴充套件來獲得黃金比的連分數： varphi 1 1 1 1 dots 1 cfrac 11 cfrac 11 cfrac 11 ddots 而它的倒數是： varphi1 0 1 1 1 dots 0 cfrac 11 cfrac 11 cfrac 11 ddots 平方根表示： varphi sqrt 1 sqrt 1 sqrt 1 sqrt 1 以三角函式的特殊值表示 Brian Roselle Golden Mean Series ： varphifrac 138sum_n0inftyfrac 1n12n1n2n42n3 即是： varphi 12sin frac pi10 1 2sin 18circ varphi 1 over 2csc frac pi10 1 over 2csc 18circ varphi 2cos frac pi52cos 36circ varphi 2sin frac 3pi102sin 54circ 與其他數學事項的關係 黃金比的乘冪與費氏數列的關係 varphinF_n1varphi F_n 且 1varphinF_n1varphi F_n，其中 n 為任何整數，F_n 是費氏數列的第 n 項 與正切函式的關係 tan 2x2，若且唯若 tan xvarphi 或 frac 1varphi。 黃金比數高精度計算程式碼 C include iostream include stdioh using namespace std int main long b c d 0 e 0 f 100 i 0 j N cout 請輸入黃金分割數位數 n cin N N N 3 2 6 long a new long N 1 while i N a i 1 for i 0 i N 6 printf r061 printf 02ld e d b f f e d f d b f i 2 for j i b 0 j b b c j 2 1 a j b a j f c j 10 delete a cinignore cinignore return 0 黃金分割數高精度計算pdf 例子 黃金分割點 FileGolden rectangle and its elementssvg 黃金矩形 FileNautilusCutawayLogarithmicSpiraljpg 鸚鵡螺的內部結構 FileDer ParthenonJPGzhcn 帕特農神廟；zhtw 帕德嫩神廟；zhhk 巴特農神殿；zhmo 巴特農神殿； FileLeonardo da Vinci 14521519 The Last Supper 14951498jpg 最後的晚餐 FileUnited Nations HQ New York Cityjpg 聯合國總部大樓 FileHelianthus whorljpg 向日葵 FileCastniidaeMexicoJPG 蝴蝶花紋 貴金屬分割 貴金屬分割即 frac nsqrt n242，其中 n 為正整數。n1 時為黃金比（frac 1sqrt 52），n2 時為白銀比（1sqrt 2），n3 時為青銅比（frac 3sqrt 132）。用連分數可表示為 ncfrac 1ncfrac 1ncfrac 1ncfrac 1ddots n n n n n dots 參考文獻 引用 來源 《黃金比例》 遠流出版公司；2004 年；ISBN 9573252708 註釋 延伸讀物 外部連結 GR G GR GR G Category 視覺藝術理論