不定積分，也可稱反導函式或原函式。在微積分中，函式 f 的不定積分是一個可微函式 F，其導數等於原來的函式 f，即 F f 。 不定積分在原先的定義上並沒有設定區間，會與導函式間相差一常數 C 。若導函式的定義是有區間的，請參照定積分。 不定積分和定積分間的關係係由微積分基本定理聯絡起來，函式的定積分可以透過先求得不定積分再帶入數字來運算。 性質 有一函式 K x 與其自變數 x。當 Kprime xk x 並在區間 I 中滿足所有自變數 x，這時我們稱 K 為 k 的反導函式。 例子 函式 K xtfrac 2xln2 是函式 k x2x 的一個反導函式，但實際上 k 的反導函式有無窮多個。與 K 相差一個常數的函式都是 k 的反導函式，這是因為常數函式的導數為零，例如：tfrac 2xln2ln2 tfrac 2xln2esqrt pi 都為函式 k x 的反導函式。函式族 tfrac 2xln2c cinmathbb R 是 k x2x 的所有可能的反導函式的集合，其中 c 叫做積分常數。從影像上來看，這是 K xtfrac 2xln2 向上或向下平移後得到的一組函式，由定義可知它們在 x 軸同一點的斜率都是一樣的。 微積分基本定理 不定積分的一個重要應用是計算定積分，微積分基本定理建立了兩者間的關係。 微積分基本定理：如果函式 f 是閉區間 ab 上的連續函式， F 是 f 在 ab 上的一個反導函式，那麼有 int_ab f xmathrm d x F b F a 證明：取區間 ab 的一個分割：a x_0 x_1 x_2 cdots x_n b ，又設 Delta x_i x_i1 x_i ，根據均值定理有 xi_iin ab， 使得 F x_i1 F x_i Fprime xi_i cdot Delta x_i 所以 begin align F bF a sum_i0n1 F x_i1 F x_i sum_i0n1 Fprime xi_i cdot Delta x_i sum_i0n1 f xi_i cdot Delta x_i end align f 在閉區間 ab 上連續，故可使用黎曼可積，讓 sup_0le ile n1 Delta x_i lelambda 於是當 lambdato 0，也就是分割越來越細時有 lim_lambdato 0 sum_i0n1 f xi_i cdot Delta x_i int_ab f xmathrm d x 於是有 int_ab f xmathrm d x F b F a。 f 的每個反導函式都可以叫做 f 的不定積分，簡寫作 int f x mathrm d x ，因為在計算定積分時，積分常數在相減時消掉了。如果 F 定義在幾個不同的區間上，那麼每個區間上的積分常數可以互不相同。例如 F xbegin casesfrac 1xC_1qquad x0frac 1xC_2qquad x0end cases 就是函式 f xtfrac 1x2 的不定積分的一般形式。其定義域為 infty0cup 0infty 。 由積分定義的函式 什麼樣的函式具有反導函式是微積分基本定理中的基本問題。首先，每個連續函式都有反導函式，並且由上面可知，任一函式的反導函式如果存在的話會有無限多個。其次，由微分基本性質可知，對於一個有反導函式的函式，其反導函式在某點取某特定值的只有一個。要證明存在性，假設函式 f 的反導函式在 a 點為零，則它可以表示為如下的由積分定義的函式： Phi xintx_af tmathrm d t 且 Phi a0。 下面給出這函式是 f 的反導函式的證明： 證明： Phi xDelta xPhi xint_ax Delta x f tmathrm d tint_ax f tmathrm d t int_xxDelta x f tmathrm d t f xicdotDelta x，其中 xxixDelta x ，當 Delta xto0 時，xi 趨向於 x。 所以有 Phiprime xlim_Delta xto 0frac Phi xDelta xPhi xDelta xlim_Delta xto 0 f xif x。 進一步可知：f 的反導函式中在點 a 上取值為 A 的只有一個，就是 int_ax f tmathrm d t A。 這也可以看作是微積分基本定理另一個表達形式。 不連續的函式也可以有反導函式，例如考慮函式 f ： 當 xne0 時 f x 2xsinfrac 1xcosfrac 1x，displaystyle f 00 這個函式在 0 上不連續，但可以驗證函式：F xx2sintfrac 1x（xne0 時），displaystyle F 00 是 f 的反導函式。 許多看似很 簡單 的函式的反導函式是無法用初等函式來表達，比如說如下幾個不定積分： int ex2mathrm d xqquad int frac sin xxmathrm d xqquad intfrac 1ln xmathrm d x。 它們的積分同樣存在，定義為： int ex2mathrm d x frac sqrt pi2 operatorname erfx C int frac sin xxmathrm d x operatorname Six C intfrac 1ln xmathrm d x operatorname Lix C 其中 erf 函式為誤差函式，Si 函式為三角積分，Li 函式為對數積分。 關於什麼時候反導函式可以用初等函式表達，可參見劉維爾定理。 積分技巧 求初等函式的不定積分比求它們的導數要困難得多。如上面所看到的，有些初等函式的反導函式無法用初等函式來表達。以下是求不定積分的一些技巧。 積分的線性性質使得我們可以把較為複雜的函式分成幾個較為簡單的函式的和來計算 換元積分法可以把被積函式轉換成比較容易積分的形式，但對換元函式有一定要求。 分部積分法，用於函式乘積的積分。 對於實值分式函式的積分，可以先將函式展開成若干一次分式函式以及二次分式函式的冪的和，再進行積分。 Risch 演算法。 對於常見的不定積分，可以檢視積分表 當函式的不定積分不能用初等函式表達時，可以採用其他辦法計算函式的定積分，比如數值積分。 不連續函式的積分 微積分基本定理要求 f 為連續函式，但是，對於不連續的函式，我們仍然可以考慮求不定積分。對於什麼函式有反導函式，現在仍存在著未解決的問題。如今已知的結論有： 一些很不 規則 的函式，儘管在 非常多 的點上並不連續，但仍有原函式。 在某些情況下，一些不 規則 的函式的不定積分可以透過黎曼積分求得。當然更多的不 規則 的函式不是黎曼可積的。 不定積分公式表 在以下公式中，C 為任意常數。 int amathrm d x ax C int xamathrm d x frac 1a1 xa1 C ，其 a 是常數 a ne 1 int frac 1xmathrm d x ln leftxright C int axmathrm d x frac axln a C ，其 a 0 ，a ne 1 int sin xmathrm d x cos x C int cos xmathrm d x sin x C int tan xmathrm d x ln leftcos xright C int cot xmathrm d x ln leftsin xright C int sec xmathrm d x rm Re rm Arth tan frac x2 C ln leftsec x tan xright C frac 12 ln leftfrac 1sin x1sin x right C int csc xmathrm d x rm Re rm Lntan frac x2 C ln leftcsc x cot xright C frac 12 ln leftfrac 1cos x1cos x right C int sec2 xmathrm d x tan x C int csc2 xmathrm d x cot x C int frac 1sqrt 1x2mathrm d x arcsin x C int frac 1sqrt a2x2mathrm d x arcsin frac xa C int frac 11x2mathrm d x arctan x C int frac 1a2x2mathrm d x frac 1aarctanfrac xa C int operatorname sinhxmathrm d x operatorname coshx C int operatorname coshxmathrm d x operatorname sinhx C int frac 1 sqrt x2a2mathrm d x operatorname lnxsqrt x2a2 C int frac 1 sqrt x2a2mathrm d x operatorname lnxsqrt x2a2 C 註釋 參見 微積分基本定理 定積分 積分符號 積分表 參考資料 Category 積分學