在量子力學裡，態疊加原理（superposition principle）表明，假若一個量子系統的量子態可以是幾種不同量子態中的任意一種，則它們的歸一化線性組合也可以是其量子態。稱這線性組合為「疊加態」。假設組成疊加態的幾種量子態相互正交，則這量子系統處於其中任意量子態的機率是對應權值的絕對值平方。 從數學表述，態疊加原理是薛丁格方程式的解所具有的性質。由於薛丁格方程式是個線性方程式，任意幾個解的線性組合也是解。這些形成線性組合（稱為「疊加態」）的解時常會被設定為相互正交（稱為「基底態」），例如氫原子的電子能級態；換句話說，這幾個基底態彼此之間不會出現重疊。這樣，對於疊加態測量任意可觀察量所得到的期望值，是對於每一個基底態測量同樣可觀察量所得到的期望值，乘以疊加態處於對應基底態的機率之後，所有乘積的總和。 更具體地說明，假設對於某量子系統測量可觀察量 A，而可觀察量 A 的本徵態 a_1rang、a_2rang 分別擁有本徵值 a_1、a_2，則根據薛定諤方程的線性關係，疊加態 psirangc_1a_1rangc_2a_2rang 也可以是這量子系統的量子態；其中，c_1、c_2 分別為疊加態處於本徵態 a_1rang、a_2rang 的機率幅。假設對這疊加態系統測量可觀察量 A，則測量獲得數值是 a_1 或 a_2 的機率分別為 c_12、c_22，期望值為 langlepsi Apsirangc_12 a_1 c_22 a_2。 舉一個可直接觀察到量子疊加的例項，在雙縫實驗裡，可以觀察到透過兩條狹縫的光子相互干涉，造成了顯示於偵測屏障的明亮條紋和黑暗條紋，這就是雙縫實驗著名的干涉圖樣。 再舉一個案例，在量子運算裡，量子位元是的兩個基底態 0 rangle 與 1 rangle 的線性疊加。這兩個基底態 0 rangle 、1 rangle 的本徵值分別為 0、1。 理論 在數學裡，疊加原理表明，線性方程式的任意幾個解所組成的線性組合也是這方程式的解。由於薛丁格方程式是線性方程式，疊加原理也適用於量子力學，在量子力學裡稱為態疊加原理。假設某量子系統的量子態可以是 f_1rang 或 f_2rang ，這些量子態都滿足描述這量子系統物理行為的薛丁格方程式。則這量子系的量子態也可以是它們的線性組合 frangc_1f_1rangc_2f_2rang，也滿足同樣的薛丁格方程式；其中，c_1、c_2 是複值係數，為了歸一化 frang，必須讓 c_12c_221。 假設 theta 為實數，則雖然 eithetaf_2rang 與 f_2rang 標記同樣的量子態，他們並無法相互替換。例如，f_1rangf_2rang、f_1rangeithetaf_2rang 分別標記兩種不同的量子態。但是，f_1rangf_2rang 和 eithetaf_1rangf_2rang 都標記同一個量子態。因此可以這樣說，整體的相位因子並不具有物理意義，但相對的相位因子具有重要的物理意義。這種相位因子固定不變的量子疊加稱為「相干量子疊加」。 電子自旋範例 設想自旋為 12 的電子，它擁有兩種相互正交的自旋本徵態，上旋態 uparrow rang 與下旋態 downarrow rang，它們的量子疊加可以用來表示量子位元： psirang c_uparrowuparrow rang c_downarrowdownarrow rang； 其中，c_uparrow、c_downarrow 分別是複值係數，為了歸一化 psirang，必須讓 c_uparrow2c_downarrow21。 這是最一般的量子態。係數 c_uparrow、c_downarrow 分別給定電子處於上旋態或下旋態的機率： p_uparrowc_uparrow2、 p_downarrowc_downarrow2 。 總機率應該等於 1： pp_uparrowp_downarrowc_uparrow2c_downarrow21。 這電子也可能處於這兩個量子態的疊加態： psirangle 3iover 5 uparrowrang 4over 5 downarrowrang。 電子處於上旋態或下旋態的機率分別為 p_uparrowleftfrac 3i5right2frac 925、 p_downarrowleftfrac 45right2frac 1625。 再次注意到總機率應該等於 1： pfrac 925frac 16251。 非相對論性自由粒子案例 描述一個非相對論性自由粒子的含時薛丁格方程式為 frac hbar22m nabla2 Psi mathbf rt ihbarfrac partialpartial t Psi mathbf rt； 其中，hbar 是約化普朗克常數，Psi mathbf rt 是粒子的波函式，mathbf r 是粒子的位置，t 是時間。 這薛丁格方程式有一個平面波解： Psi mathbf rt ei mathbf kcdotmathbf r omega t； 其中，mathbf k 是波向量，omega 是角頻率。 代入薛丁格方程，這兩個變數必須遵守關係式 frac hbar2 k22mhbar omega。 由於粒子存在的機率等於 1，波函式 Psi mathbf rt 必須歸一化，才能夠表達出正確的物理意義。對於一般的自由粒子而言，這不是問題。因為，自由粒子的波函式，在位置或動量方面，都是區域性性的。在量子力學裡，一個自由粒子的動量與能量不必須擁有特定的值。自由粒子的波函式可以表示為很多平面波的量子疊加： Psi mathbf rtfrac 12pi32 int_mathbb K A mathbf k ei mathbf kcdotmathbf r omega tmathrm dmathbf k； 其中，積分割槽域 mathbb K 是 mathbf k 空間。 為了方便計算，只思考一維空間， Psi xt frac 1sqrt 2pi intinfty_ infty A k ei kx omega k t mathrm d k ； 其中，振幅 A k 是量子疊加的係數函式。 逆反過來，係數函式表示為 A k frac 1sqrt 2pi intinfty_ infty Psi x0 e ikxmathrm d x ； 其中，Psi x0 是在時間 t0 的波函式。 所以，知道在時間 t0 的波函式 Psi x0，透過傅立葉變換，可以推導出在任何時間的波函式 Psi xt。 參見 疊加原理 波函式 Delta 位勢阱 Delta 位勢壘 參考文獻 Bohr N 19271928 The quantum postulate and the recent development of atomic theory Nature Supplement 14 April 1928 121 580590 CohenTannoudji C Diu B Laloë F 19731977 Quantum Mechanics translated from the French by S R Hemley N Ostrowsky D Ostrowsky second edition volume 1 Wiley New York Dirac P A M 19301958 The Principles of Quantum Mechanics 4th edition Oxford University Press Einstein A 1949 Remarks concerning the essays brought together in this cooperative volume translated from the original German by the editor pp 665688 in Schilpp P A editor 1949 Albert Einstein PhilosopherScientist volume Open Court La Salle IL Feynman R P Leighton RB Sands M 1965 The Feynman Lectures on Physics volume 3 AddisonWesley Reading MA Merzbacher E 19611970 Quantum Mechanics second edition Wiley New York Messiah A 1961 Quantum Mechanics volume 1 translated by GM Temmer from the French Mécanique Quantique NorthHolland Amsterdam T skPrincíp superpozíciePrincíp superpozície v kvantovej mechanike