線上性代數中，基是向量空間裡某一群特殊的向量（稱為基向量），使得向量空間中的任意向量，都可以唯一地表示成基向量的線性組合（或線性組合的極限）。 透過基底可以直接地描述向量空間 mathrm V 上定義的線性對映 f ，詳請參見線性對映 矩陣一節。 定義 Hamel 基 上面的第二個條件，也可以等價地改寫為以下兩條柯斯特利金。代數學引論（第二版）M 高等教育出版社：53： 線性無關 linear independence 對任意相異的 e_1 e_2ldots e_n in mathfrak B 和任意的 lambda_1 lambda_2ldots lambda_n in K，若 lambda_1 cdot e_1 lambda_2 cdot e_2 cdots lambda_n cdot e_n 0_V，則 lambda_1 lambda_2ldots lambda_n 0_K 生成律 spanning property 對任意 v in mathrm V，存在相異向量 e_1 e_2ldots e_n in mathfrak B 和標量 lambda_1 lambda_2ldots lambda_n in K 使得 lambda_1 e_1 lambda_2 e_2 cdots lambda_n e_n v 等價性來自於線性無關： 若有第二組相異 E_1 E_2ldots E_m in mathfrak B 基向量和第二組標量 c_1 c_2ldots c_m in K 也滿足 c_1 cdot E_1 c_2 cdot E_2 cdots c_m cdot E_m v 的話，把這住兩組基向量合併，並重新排列，於兩組間重複的記為 w_1 w_2ldots w_l in mathfrak B ，其他不重複的部分，第一組的記為 v_1 v_2ldots v_nl in mathfrak B ；而第二組的記為 u_1 u_2ldots u_ml in mathfrak B ；然後設 w_1 w_2ldots w_l in mathfrak B 於原來第一組對應的標量係數是 alpha_1 alpha_2ldots alpha_l in K ；原第二組則是對應 a_1 a_2ldots a_l in K 。另外 v_1 v_2ldots v_nl in mathfrak B 對應的標量係數則為 beta_1 beta_2ldots beta_nl in K ；u_1 u_2ldots u_ml in mathfrak B 對應的標量係數則為 b_1 b_2ldots b_ml in K ； 這樣把 v in mathrm V 的第一組線性組合表示式減去第二組會有 suml_i1alpha_ia_icdot w_i sumnl_j1 beta_j cdot v_j summl_k1 b_k cdot u_k 0_V 這樣依據線性無關，就有 alpha_1a_1 alpha_2a_2 cdots alpha_la_l 0_K beta_1 beta_2 cdots beta_nl 0_K b_1 b_2 cdots b_ml 0_K 這就確保任意 v in mathrm V 的線性組合表示式都是用同一組的基向量，且其標量係數也是唯一的。 Schauder 基 除了上小節單以線性組合定義的 Hamel 基，也有以無窮級數展開任意向量為動機來定義基： 第二項條件通常會簡寫為 對每個 v in mathrm V ，都存在唯一組標量 lambda_i in K_iinmathbb N，使 vlim_ntoinftysumn_i0 lambda_i cdot e_i 甚至寫為 vsuminfty_i0 lambda_i cdot e_i 例子 在傅立葉級數的研究中，函式 1cupsin nxcos nxninmathbb N 是所有的在區間 0 2π 上為平方可積分的（實數或複數值）的函式的（實數或複數）向量空間的 正交基，這種函式 f x 滿足 int_02pi leftf xright2dxinfty 函式族 1cupsin nxcos nxninmathbb N 是線性無關的，所有在 0 2π 上平方可積分的函式是它們的 無限線性組合，在如下意義上 lim_nrightarrowinftyint_02pibiggla_0sum_k1n bigl a_kcos kxb_ksin kxbigrf xbiggr2dx0 對於適合的（實數或複數）係數 ak bk。但是多數平方可積分函式不能表達為這些基函式的有限線性組合，因為它們不構成 Hamel 基。這個空間的所有 Hamel 基都大於這個函式的只可數無限集合。此類空間的 Hamel 基沒有什麼價值，而這些空間的正交基是傅立葉分析的根本。 維度 如果基中元素個數有限，就稱向量空間為有限維向量空間，並將元素的個數稱作向量空間的維度。如果原本的基底為： mathfrak B lefte_1e_2ldotse_Nright 那時也可依據元素個數的數數是以一對一對應來定義的本質，反過來用基向量序列 e_i in VN_i1 來間接代表 mathfrak B。 事實上，不是所有空間都擁有由有限個元素構成的基底。這樣的空間稱為無限維空間。某些無限維空間上可以定義由無限個元素構成的基。在現代集合論中，如果承認選擇公理，就可以證明任何向量空間都擁有一組基。一個向量空間的基不止一組，但同一個空間的兩組不同的基，它們的元素個數或勢（當元素個數是無限的時候）會是相等的。一組基裡面的任意一部分向量都是線性無關的；反之，如果向量空間擁有一組基，那麼在向量空間中取一組線性無關的向量，一定能得到一組基。特別地，在內積向量空間中，可以定義正交的概念。透過特別的方法，可以將任意的一組基變換成正交基乃至標準正交基。 性質 設 mathfrak B 是向量空間 mathrm V 的子集。則 mathfrak B 是基，當且僅當滿足了下列任一條件： mathrm V 是 mathfrak B 的極小生成集，就是說只有 mathfrak B 能生成 mathrm V，而它的任何真子集都不能生成全部的向量空間。 mathfrak B 是 mathrm V 中線性無關向量的極大集合，就是說 mathfrak B 在 mathrm V 中是線性無關 線性獨立 集合，而且 mathrm V 中沒有其他線性無關 線性獨立 集合包含它作為真子集。 mathrm V 中所有的向量都可以按唯一的方式表達為 mathfrak B 中向量的線性組合。如果基是有序的，則在這個線性組合中的係數提供了這個向量關於這個基的座標。 如果承認良序定理或任何選擇公理的等價物，那麼作為推論，可以證明任何的向量空間都擁有一組基。（證明：良序排序這個向量空間的元素。建立不線性依賴於前面元素的所有元素的子集。它就是基）。反過來也是真的。一個向量空間的所有基都擁有同樣的勢（元素個數），叫做這個向量空間的維度。這個結果叫做維度定理，它要求系統承認嚴格弱形式的選擇公理即超濾子引理。 例子 考慮所有座標 a b 的向量空間 R2，這裡的 a 和 b 都是實數。則非常自然和簡單的基就是向量 e1 10 和 e2 01 假設 v a b 是 R2 中的向量，則 v a 10 b 01。而任何兩個線性無關向量如 11 和 12，也形成 R2 的一個基。 更一般的說，給定自然數 n。n 個線性無關的向量 e1 e2 en 可以在實數域上生成 Rn。因此，它們也是的一個基而 Rn 的維度是 n。這個基叫做 Rn 的標準基。 設 V 是由函式 et 和 e2t 生成的實數向量空間。這兩個函式是線性無關的，所有它們形成了 V 的基。 設 R x 指示所有實數多項式的向量空間；則 1 x x2 是 R x 的基。R x 的維度的勢因此等於 aleph_0 標準基 在行向量空間 Rn 中有單位行向量 E_1100E_2010E_n001 那麼在該空間中，任意向量 Xx_1x_2x_n 都可以唯一表示成 Xx_1E_1x_2E_2x_nE_n 然後我們可以看出，Rn 可以由它的向量子空間構成 RnE_1E_2E_n 同樣的，單位列向量就可以表達為 RnE_1E_2E_n 線性無關的單位行向量 E_1E_2E_n 生成 Rn 那麼 E_1E_2E_n 是 Rn 的基，稱這個基為標準基 基的擴張 如上所述，一個向量空間的每一組基都是一個極大的線性無關集合，同時也是極小的生成集合。可以證明，如果向量空間擁有一組基，那麼每個線性無關的子集都可以擴張成一組基（也稱為基的擴充定理），每個能夠生成整個空間的子集也必然包含一組基。特別地，在任何線性無關集合和任何生成集合之間有一組基。以數學語言來說：如果 mathfrak L 是在向量空間 mathrm V 中的一個線性無關集合而集合 mathfrak G 是一個包含 mathfrak L 而且能夠生成 mathrm V 的集合，則存在 mathrm V 的一組基 mathfrak B，它包含了 mathfrak L 而且是 mathfrak G 的子集：mathfrak L subseteq mathfrak B subseteq mathfrak G。 以上兩個結論可以幫助證明一個集合是否是給定向量空間的基。如果不知道某個向量空間的維度，證明一個集合是它的基需要證明這個集合不僅是線性無關的，而且能夠生成整個空間。如果已知這個向量空間的維度（有限維），那麼這個集合的元素個數必須等於維數，才可能是它的基。在兩者相等時，只需要證明這個集合線性無關，或這個集合能夠生成整個空間這兩者之一就夠了。這是因為線性無關的子集必然能擴充成基；而這個集合的元素個數已經等於基的元素個數，需要新增的元素是 0 個。這說明原集合就是一組基。同理，能夠生成整個空間的集合必然包含一組基作為子集；但假如這個子集是真子集，那麼元素個數必須少於原集合的元素個數。然而原集合的元素個數等於維數，也就是基的元素個數，這是矛盾的。這說明原集合就是一組基。 有序基和座標 基底是作為向量空間的子集定義的，其中的元素並不按照順序排列。為了更方便相關的討論，通常會將基向量進行排列。比如說將：mathfrak B e_1 e_2 cdots e_n 寫成有序向量組： e_1 e_2 cdots e_n 。這樣的有序向量組稱為有序基。在有限維向量空間和可數維數的向量空間中，都可以自然地將基底表示成有序基。在有序基下，任意的向量都可以用確定的陣列表示，稱為向量的座標。例如，在使用向量的座標表示的時候習慣談論 第一個 或 第二個 座標，這隻在指定了基的次序前提下有意義。在這個意義下，有序基可以看作是向量空間的座標架。 設 mathrm V 是在域 mathbb F 上的 n 維向量空間。在 mathrm V 上確定一個有序基等價於確定一個從座標空間 mathbb Fn 到 mathrm V 的一個選定線性同構 phi。 證明：這個證明利用了 mathbb Fn 的標準基是有序基的事實。 首先假設 phi mathbb Fn rightarrow mathrm V 是線性同構。可以定義 mathrm V 的一組有序基 v_i _1leqslant i leqslant n 如下： v_i phi e_i forall i 1leqslant i leqslant n 其中的 e_i _1leqslant i leqslant n 是 mathbb Fn 的標準基。 反過來說，給定一個有序基，考慮如下定義的對映 φx x1v1 x2v2 xnvn 這裡的 x x1e1 x2e2 xnen 是 Fn 的一個元素。不難檢查出 φ 是線性同構。 這兩個構造明顯互逆。所以 V 的有序基一一對應於線性同構 Fn V。 確定自有序基 vi 線性對映 φ 的逆對映為 V 裝備了座標：如果對於向量 v V φ1 v a1 a2an Fn，則 aj aj v 的分量是 v 的座標，在 v a1 v v1 a2 v v2 an v vn 的意義上。 從向量 v 到分量 aj v 的對映是從 V 到 F 的線性對映，因為 φ1 是線性的。所以它們是線性泛函。它們形成 V 的對偶空間的基，叫做對偶基。 參考文獻 參見 線性代數 線性組合 外部連結 MIT Linear Algebra Lecture on Bases at Google Video from MIT OpenCourseWare J