尤拉公式（，又稱 zhhans 尤拉；zhhant 尤拉；zhtw 尤拉； 公式）是複分析領域的公式，它將三角函式與復指數函式關聯起來，因其提出者萊昂哈德尤拉而得名。尤拉公式提出，對任意實數 x，都存在 eix cos x isin x 其中 e 是自然對數的底數，i 是虛數單位，而 cos 和 sin 則是餘弦、正弦對應的三角函式，引數 x 則以弧度為單位。這一複數指數函式有時還寫作 （，餘弦加 i 乘以正弦）。由於該公式在 x 為複數時仍然成立，所以也有人將這一更通用的版本稱為尤拉公式。 尤拉公式在數學、物理和工程領域應用廣泛。物理學家理查德費曼將尤拉公式稱為：我們的珍寶 和 數學中最非凡的公式。 當 x pi 時，尤拉公式變為，即尤拉恆等式。 在複分析的應用 這公式可以說明當 x 為實數時，函式 eix 可在複數平面描述一單位圓。且 x 為此平面上一條連至原點的線與正實數軸的交角。先前一個在複數平面的複點只能用笛卡爾座標系描述，尤拉公式在此提供複點至極坐標的變換 任何複數 zxyi 皆可記為 z x iy z cos phi isin phi z ei phi bar z x iy z cos phi isin phi z ei phi 在此 x mathrm Rez 為實部 y mathrm Imz 為虛部 z sqrt x2y2 為 z 的模 phi mathrm atan2yx，其中 mathrm atan2yx begin cases arctanleft frac y xright qquad x 0 pi arctanleft frac y xright qquad y ge 0 x 0 pi arctanleft frac y xright qquad y 0 x 0 frac pi2 qquad y 0 x 0 frac pi2 qquad y 0 x 0 text undefined qquad y 0 x 0 end cases 歷史 約翰伯努利注意到有 frac 11 x2 frac12 left frac 11 ix frac 11 ixright 並且由於 int frac dx1 ax frac 1a ln 1 ax C 上述公式透過把自然對數和複數（虛數）聯絡起來，告訴我們關於複對數的一些資訊。然而伯努利並沒有計算出這個積分。 尤拉也知道上述方程，伯努利對尤拉的回應表明他還沒有完全理解複對數。尤拉指出複對數可以有無窮多個值。 與此同時，於 1714 年發現 ix ln cos x isin x 由於三角函式的週期性，一個複數可以加上 的不同倍數，而它的複對數可以保持不變。 1740 年左右，尤拉把注意力從對數轉向指數函式，得到了以他命名的尤拉公式。尤拉公式透過比較指數的級數展開和三角函式得到（其實此證法存在問題，原因見驗證方法，但結論正確。），於 1748 年發表 Leonard Euler 1748 Chapter 8 On transcending quantities arising from the circle of Introduction to the Analysis of the Infinite page 214 section 138 translation by Ian Bruce pdf link from 17 century maths。 大約 50 年之後，卡斯帕爾韋塞爾提出可以把複數視做複平面中的點。 形式 對於任意實數 x，以下等式恆成立： eix cos xisin x 由此也可以推匯出 sin x frac eixeix2i 及 cos x frac eixeix2 。 當 xpi 時，尤拉公式的特殊形式為 。 證明 首先，在複數域上對 ex 進行定義： 對於 abinmathbb Rcaibin mathbb C，規定 ec lim_nrightarrowinfty1frac cnn。 對複數的極座標表示 wuivr costhetaisintheta，有： rsqrt u2v2inmathbb Rthetaarctan frac vuinmathbb R 且根據棣莫弗公式，wnuivnrn cos nthetaisin ntheta 從而有： 1frac abinn1frac anifrac bnnr_n costheta_nisintheta_n 假設 na，則： r_n1frac an2frac bn2frac n2theta_nnarctanfrac frac bn1frac an （由於包含 n 在冪，所以要 ln）從而有： begin align lim_nrightarrowinftyln r_n lim_nrightarrowinftyfrac n2ln 1frac 2anfrac a2b2n2 lim_nrightarrowinftyfrac n2frac 2anfrac a2b2n2 a end align 這一步驟用到 ln 1x approx x（墨卡託級數） 即： lim_nrightarrowinfty r_nlim_nrightarrowinfty eln r_nea 又有 arctan x 約等於 x 於 0 附近）： begin align lim_nrightarrowinftytheta_n lim_nrightarrowinftynarctanfrac frac bn1frac an lim_nrightarrowinftynfrac frac bn1frac an b end align 從而可以證明： lim_nrightarrowinfty1frac abinnea cos bisin b 即： eaib ea cos bisin b 令 a0，可得尤拉公式。 證畢。 驗證方法 方法一：泰勒級數 把函式 ex 、 cos x 和 sin x 寫成泰勒級數形式： ex 1 x frac x22 frac x33 cdots cos x 1 frac x22 frac x44 frac x66 cdots sin x x frac x33 frac x55 frac x77 cdots 將 xiz 代入 ex 可得： begin align eiz 1 iz frac iz22 frac iz33 frac iz44 frac iz55 frac iz66 frac iz77 frac iz88 cdots 1 iz frac z22 frac iz33 frac z44 frac iz55 frac z66 frac iz77 frac z88 cdots left 1 frac z22 frac z44 frac z66 frac z88 cdots right ileft z frac z33 frac z55 frac z77 cdots right cos z isin z end align 方法二：求導法 對於所有 x in I，定義函式 f xfrac cos xisin xeix 由於 eixcdot eixe01 可知 eix 不可能為 0，因此以上定義成立。 f x 之導數為： begin align fx frac sin xicos xcdot eix cos xisin xcdot icdot eixeix2 frac sin xcdot eixi2sin xcdot eixeix2 frac sin xcdot eixsin xcdot eixeix2 0 end align 設 ab in I 和 c in ab fcfrac f bf aba（拉格朗日中值定理） because fx0 therefore fc0 f af b 因此 f x 必是常數函式。 f xf 0 frac cos x i sin xeix frac cos 0 i sin 0e0 1 重新整理，即可得到： eix cos x isin x 方法三：微積分 找出一個原函式 y x，使得 frac dydxiy 及 y 01。 假設 y xeix，有： frac ddx eixieixiy 假設 y xi sin x cos x，有： begin alignfrac ddxcos xi sin x sin x i cos x i i sin x cos x iyend align 使用積分法，可得 iy 的原函式是以上兩個函式分別與任意實數的和，分別記為： y_1 x eixC_1 y_2 xcos xi sin xC_2 其中，C_1 和C_2 是任意實數。 又 x0 時，y 01，觀察到： y_1 0ei0C_1e0C_11C_1 y_2 0cos0 isin 0C_21i 0C_21C_2 所以 C_1C_20，可以得出： begin align y x eix cos x isin xend align cis 函式 在複分析領域，尤拉公式亦可以以函式的形式表示 operatorname cis theta cos thetaisin theta operatorname cis theta eitheta 並且一般定義域為 theta in mathbb R，值域為 theta in mathbb C（複平面上的所有單位向量）。 當一複數的模為 1，其反函式就是輻角（arg 函式）。 當 theta 值為複數時，cis 函式仍然是有效的，所以有些人可利用 cis 函式將尤拉公式推廣到更複雜的版本。 檢定和角公式 由於 ei alphacos alphai sin alpha 且 ei betacos betai sin beta，則有 begin align ei alphabetacos alpha betaisin alpha beta ei alphai beta ei alpha times ei beta cos alpha isin alpha times cos beta isin beta cos alpha times cos betaisin alpha times isin betaisin alpha times cos betacos alpha times isin beta cos alpha cos betasin alpha sin betai sin alpha cos betacos alpha sin beta end align 實部等於實部，虛部等於虛部，因此 cos alpha betacos alpha cos betasin alpha sin beta sin alpha betasin alpha cos betacos alpha sin beta 參見 cis 函式 尤拉恆等式 參考資料 Category 複分析定理 Category 包含證明的條目 Category 分析 CategoryE 數學常數 Category 三角學 Category 萊昂哈德尤拉