泊松分佈（；）又稱 Poisson 分佈、zhcn 帕松；zhtw 泊松；zhhk 帕松； 分佈、布瓦松分佈、布阿松分佈、普阿松分佈、波以松分佈、卜氏分佈、帕松小數法則（Poisson law of small numbers），是一種統計與機率學裡常見到的離散機率分佈，由法國數學家西莫恩德尼泊松在 1838 年時發表。 泊松分佈適合於描述單位時間內隨機事件發生的次數的機率分佈。如某一服務設施在一定時間內受到的服務請求的次數，電話交換機接到呼叫的次數、汽車站臺的候客人數、機器出現的故障數、自然災害發生的次數、DNA 序列的變異數、放射性原子核的衰變數、雷射的光子數分佈等等。（單位時間內發生的次數，可以看作事件發生的頻率，類似物理的頻率 f）。 泊松分佈的機率質量函式為： P Xkfrac elambdalambdakk 泊松分佈的引數 lambda 是隨機事件發生次數的數學期望值。 記號 若 X 服從引數為 lambda 的泊松分佈，記為 X sim pi lambda，或記為 X sim text Poissonlambda 性質 1、服從泊松分佈的隨機變數，其數學期望與方差相等，同為引數 lambda E X V X lambda 2、兩個獨立且服從泊松分佈的隨機變數，其和仍然服從泊松分佈。更精確地說，若 X sim text Poissonlambda_1 且 Y sim text Poissonlambda_2，則 XY sim text Poissonlambda_1lambda_2。反過來若兩個獨立隨機變數的和服從卜瓦松分佈，則這兩個隨機變數經平移後皆服從卜瓦松分佈。 3、其動差母函式為： M_X tE etXsum_x0infty etxfrac elambdalambdaxxelambdasum_x0inftyfrac etlambdaxxelambdaet1 推導 期望值：倒數第三至第二是使用泰勒展開式 begin align Epsilon X sum_i0infty displaystyle i P X i sum_i1infty displaystyle i elambda lambdai over i lambda elambda sum_i1infty displaystyle lambdai1 over i1 lambda elambda sum_i0infty displaystyle lambdai over i lambda elambda elambda lambda end align begin align Epsilon X2 sum_i0infty displaystyle i2 P X i sum_i1infty displaystyle i2 elambda lambdai over i lambda elambda sum_i1infty displaystyle i lambdai1 over i1 lambda elambda sum_i1infty displaystyle 1 over i1 d over d lambdalambda i lambda e lambdad over d lambdaleft sum_i1infty displaystyle lambdai over i1right lambda e lambdad over d lambdaleft lambda sum_i1infty displaystyle lambdai1 over i1right lambda e lambdad over d lambda lambda elambda lambda e lambda e lambda lambda e lambda lambda lambda2 end align 我們可以得到：Var X lambda lambda 2 lambda 2 lambda 如同性質：E X Var X lambda、sigma_X sqrt lambda 相互獨立的卜瓦松分佈隨機變數之和仍服從卜瓦松分佈： Xsim text Poissonlambda_1 Ysim text Poissonlambda_2 P Xk_1dfrac lambda_1k_1 elambda_1k_1 P Yk_2dfrac lambda_2k_2 elambda_2k_2 begin align P XYk sum_i0k P Xi P Yki sum_i0k frac lambda_1i lambda_2ki elambda_1lambda_2i ki frac elambda_1lambda_2k sum_i0k C_ki lambda_1i lambda_2ki frac elambda_1lambda_2lambda_1lambda_2kk end align XYsim text Poissonlambda_1lambda_2 泊松分佈的來源（泊松小數定律） 在二項分佈的伯努利試驗中，如果試驗次數 n 很大，二項分佈的機率 p 很小，且乘積 lambda np 比較適中，則事件出現的次數的機率可以用泊松分佈來逼近。事實上，二項分佈可以看作泊松分佈在離散時間上的對應物。 證明如下。首先，回顧自然對數 e 的定義： lim_ntoinftyleft 1lambda over nrightnelambda 二項分佈的定義： P Xkn choose k pk 1pnk。 如果令 p frac lambdan， n 趨於無窮時 P 的極限： begin align lim_ntoinfty P Xklim_ntoinftyn choose k pk 1pnk lim_ntoinftyn over nkk left lambda over nrightk left 1lambdaover nrightnk lim_ntoinfty underbrace left frac nnkleft nkrightright_F left frac lambdakkright underbrace left 1frac lambdanrightn_toexpleft lambdaright underbrace left 1frac lambdanrightk_to 1 lim_ntoinfty underbrace left left 1frac 1nrightleft 1frac 2nright ldots left 1frac k1nright right_to 1 left frac lambdakkright underbrace left 1frac lambdanrightn_toexpleft lambdaright underbrace left 1frac lambdanrightk_to 1 left frac lambdakkrightexpleft lambdaright end align 最大似然估計（MLE） 給定 n 個樣本值 k_i，希望得到從中推測出總體的泊松分佈引數 lambda 的估計。為計算最大似然估計值，列出對數似然函式： begin align L lambda ln prod_i1n f k_i mid lambda sum_i1n lnleft frac elambdalambdak_ik_iright nlambda left sum_i1n k_iright ln lambda sum_i1n ln k_i end align frac mathrm dmathrm dlambda L lambda 0 iff n left sum_i1n k_iright frac 1lambda 0 解得 λ 從而得到一個駐點（stationary point）： widehat lambda_mathrm MLEfrac 1nsum_i1n k_i 檢查函式 L 的二階導數，發現對所有的 lambda 與 k_i 大於零的情況二階導數都為負。因此求得的駐點是對數似然函式 L 的極大值點： frac partial2 Lpartial lambda2 sum_i1n lambda2 k_i 例子 對某公共汽車站的客流做調查，統計了某天上午 1030 到 1147 來到候車的乘客情況。假定來到候車的乘客各批（每批可以是 1 人也可以是多人）是互相獨立發生的。觀察每 20 秒區間來到候車的乘客批次，共觀察 77 分鐘 3231 次，共得到 230 個觀察記錄。其中來到 0 批、1 批、2 批、3 批、4 批及 4 批以上的觀察記錄分別是 100 次、81 次、34 次、9 次、6 次。使用極大似真估計（MLE），得到 lambda 的估計為 frac 81times 134times 29times 36times 4230approx 087。 生成泊松分佈的隨機變數 一個用來生成隨機泊松分佈的數字（偽隨機數抽樣）的簡單演算法，已經由高德納給出（見下文參考）： algorithm poisson random number Knuth init Let L eλ k 0 and p 1 do k k 1 Generate uniform random number u in 01 and let p pu while p L return k 1 儘管簡單，但複雜度是線性的，在返回的值 k，平均是 lambda。還有許多其他演算法來克服這一點。有些人由 Ahrens 和 Dieter 給出，請參閱下面的參考資料。同樣，對於較大的 lambda 值，elambda 可能導致數值穩定性問題。對於較大 lambda 值的一種解決方案是拒絕取樣，另一種是採用泊松分佈的高斯近似。 對於很小的 lambda 值，逆變換取樣簡單而且高效，每個樣本只需要一個均勻隨機數 u。直到有超過 u 的樣本，才需要檢查累積機率。 algorithm Poisson generator based upon the inversion by sequential searchLuc Devroye NonUniform Random Variate Generation（SpringerVerlag New York 1986） chapter 10 page 505 httplucdevroyeorgrnbookindexhtml init Let x 0 p eλ s p Generate uniform random number u in 01 do x x 1 p p λ x s s p while u s return x 參見 泊松過程 機率論 泊松迴歸 機率分佈 參考文獻 引用 來源 Category 離散分佈 Category 階乘與二項式主題 Category 帶有虛擬碼示例的條目