正十二面體是由 12 個正五邊形所組成的正多面體，它共有 20 個頂點、30 條稜、160 條對角線，被施萊夫利符號 53 所表示，與正二十面體互成對偶。它是一種只具有的五角十二面體的特殊形式，五角十二面體的另一種特殊形式是具有的卡塔蘭多面體菱形十二面體，它（加上所有其它的五角十二面體）都與正十二面體在拓撲上等價。正十二面體還是截頂五方偏方面體的特例。其四維類比為正一百二十胞體。 十二面體 __TOC__ 性質 面的圖形：正五邊形 面的數目：12 邊的數目：30 頂點數目：20 二面角角度：boldsymbol theta arccos left frac 1sqrt 5right 2arctan varphi approx 1165650512circ 如果正十二面體稜長為 a： 表面積：A 3sqrt 2510sqrt 5 a2 approx 20645728807a2 體積：V frac 14 157sqrt 5 a3 approx 76631189606a3 外接球半徑：r_u afrac sqrt 34 left 1 sqrt 5right approx 1401258538 cdot a 內切球半徑：r_i afrac 12 sqrt frac 52 frac 1110sqrt 5 approx 1113516364 cdot a 中分球半徑：r_m afrac 14 left 3 sqrt 5right approx 1309016994 cdot a 我們亦可以將上述三式寫作： 外接球半徑：r_u a frac sqrt 32 varphi 內切球半徑：r_i a frac varphi22 sqrt 3varphi 中分球半徑：r_m a frac varphi22 （在這裡 φ 是黃金分割數，φ 152） 注意到稜長為 a 的正十二面體的外接球同樣外接於稜長為 φa 的立方體，並且其內切球半徑（也即面心距）等於稜長為 φa 的正五邊形的邊心距。 對偶多面體：正二十面體 座標系 如果我們以正十二面體的形心為原點建立三維直角座標系，那麼其 20 個頂點可被描述為： 0φ1φ 1φ0φ φ1φ0 111 其中 φ 152，是黃金分割數，也被寫作 τ，約等於 1618。 該正十二面體稜長為 2φ51。其外接球半徑正好為3。 二維投影和對稱性 正十二面體有兩種特殊的正交投影，分別正對著其一個頂點和一個正五邊形面，對應著 A2 和 H2 正交投影 正對於 頂點 稜 面 影像 投影 BR 對稱性 3 6 2 5 10 在透視投影中，如果如果投影中心正在正十二面體外接球正對其一面的一點，則你能得到其，我們亦可以將其視為而使用球極投影。這些方法也被用於視覺化其四維類比正一百二十胞體，一個由 120 個全等的正十二面體組成的四維凸正多胞體。 投影 正交投影 透視投影 透視投影 投影 正交投影 球極投影 正十二面體 正 120 胞體 幾何關聯 正十二面體是一個無窮家族 截對角偏方面體的第 3 個成員（截對角五方偏方面體）。這類多面體可以被看作是將偏方面體在旋轉對稱軸上的兩個相對的頂點截去而成。 正十二面體的構成了 4 個星形正多面體中的 3 個。 我們可以在正十二面體的 20 個頂點中選取 5 組這樣的頂點，使任意兩個頂點的連線都是正十二面體正五邊形面的一條對角線，這樣能構成正十二面體的內接立方體，5 個內接立方體一起構成了 複合多面體 五複合立方體；我們還可以進一步對內接立方體做交錯操作，得到正十二面體的內接正四面體，如果我們只在內接立方體中取一個正四面體，則 5 個正四面體構成了有手徵性的複合多面體 五複合四面體；如果取兩個，則 10 個正四面體構成了複合多面體 十複合四面體，這三個複合多面體都是正十二面體的。 正十二面體的完全對稱群是 Ih，考克斯特群 53，群階 120，還有一個抽象群結構 A5Z2。 與其對偶 正二十面體的關係 當正十二面體和正二十面體內接於同一球時，儘管正二十面體有更多的面，但正十二面體佔據球的體積（6649）要多於正二十面體佔據的球的體積（6054），這一點與二維不同。 稜長相同為 1 的正十二面體的體積（7663）是正二十面體體積（2181）的三倍半多。 相關多面體 正十二面體在拓撲上與一系列三階正鑲嵌（頂點圖為 n3）有關： 正十二面體在拓撲上還和其它階的正五邊形正鑲嵌 5nn3 有關： 正十二面體可以透過不同型別的擷取操作來得到一系列不同的半正多面體及其對偶，正二十面體，構成了正二十面體家族： 頂點分佈 正十二面體與 4 個和上述 3 個複合半正多面體有同樣的頂點分佈： 大星形十二面體 小雙三斜三十二面體 雙三斜二十四面體 大雙三斜三十二面體 五複合立方體 五複合四面體 十複合四面體 星形化體 正十二面體的 3 個都是星形正多面體（開普勒 普索多面體）： 0 1 2 3 星形化體 正十二面體 小星形十二面體 大十二面體 大星形十二面體 表面圖形 倒角多面體 類別 柏拉圖立體 柏拉圖立體 柏拉圖立體 柏拉圖立體 柏拉圖立體 卡塔蘭立體 卡塔蘭立體 種子 BR33 BR43 BR34 BR53 BR35 BRaC BRaD 倒角 BRcT BRcC BR BRcD BRcI BRcaC BRcaD 相關數學問題 哈密頓路徑的理論就是源自一個和正十二面體有關的問題：試求一條路徑，沿正十二面體的稜經過它所有的頂點。 應用 因為一年有 12 個月，正十二面體正好用來製作月曆。12 sided calendar iiuibno Pariacoto virus 的形狀結構是正十二面體。 在英國到匈牙利，至到義大利東部等地，找到過百個形狀接近十二面體、以銅或石頭製造的空心物件。它們被稱為 Dodecaeder，用途不明。Roman Dodecahedra georgehartcomDodecaeder museumsnclacuk 五魔方（Megaminx）就是正十二面體製作出來的魔方。 化學： 硫化鐵結晶體有時會出現接近正十二面體的形狀。 最小的富勒烯 C20 結構如正十二面體。 正十二面體烷 C20H20 是個人工合成的碳氫化合物 DodecahedraneThe chemical transliteration of Platos universe pubmedcentralnihgov 參考文獻 Editable printable net of a dodecahedron with interactive 3D view The Uniform Polyhedra Origami Polyhedra Models made with Modular Origami Dodecahedron 3d model that works in your browser Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra VRML models Regular dodecahedron regular Rhombic dodecahedron quasiregular Decagonal prism vertextransitive Pentagonal antiprism vertextransitive Hexagonal dipyramid facetransitive Triakis tetrahedron facetransitive hexagonal trapezohedron facetransitive Pentagonal cupola regular faces KJM MacLean A Geometric Analysis of the Five Platonic Solids and Other SemiRegular Polyhedra Dodecahedron 3D Visualization Stella Polyhedron Navigator Software used to create some of the images on this page 外部連結 Category 多面體 Category 柏拉圖立體 Category 截對角偏方面體 Category 正多面體 Category12