快樂數有以下的特性：在給定的進位制下，該數字所有數字平方和（數位的平方和），得到的新數再次求所有數位的平方和，如此重複進行，最終結果必為 1。 以十進位為例： 2 8 3 2 3 7 5 6 因此 28 和 32 是快樂數，而在 37 和 56 的計算過程中，數字會重複出現，繼續計算的結果只會是上述數字的迴圈（不快樂數迴圈），不會出現 1，因此 37 和 56 不是快樂數。 不是快樂數的數稱為不快樂數，所有不快樂數的數位平方和計算，最後都會進入 4 16 37 58 89 145 42 20 4 的迴圈中。 在十進位下，100 以內的快樂數有：1 7 10 13 19 23 28 31 32 44 49 68 70 79 82 86 91 94 97 100，共 20 個。 快樂數表格 以下是小於 100 的快樂數表格，表示它是快樂數，表示它是不快樂數迴圈。 00 02 03 05 06 08 09 11 12 14 15 17 18 21 22 24 25 26 27 29 30 33 34 35 36 38 39 40 41 43 45 46 47 48 50 51 52 53 54 55 56 57 59 60 61 62 63 64 65 66 67 69 71 72 73 74 75 76 77 78 80 81 83 84 85 87 88 90 92 93 95 96 98 99 以下是 100 到小於 200 的快樂數表格，表示它是快樂數，表示它是不快樂數迴圈。 101 102 104 105 106 107 108 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 131 132 134 135 136 137 138 140 141 142 143 144 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 168 169 170 171 172 173 174 175 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 189 191 194 195 196 197 198 199 以下是 200 到小於 300 的快樂數表格，表示它是快樂數。 200 201 202 204 205 206 207 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 220 221 222 223 224 225 227 228 229 231 232 233 234 235 237 238 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 292 294 295 296 297 298 299 300 以內的快樂數沒有其中一位是 5，300 以內的數其中有一位是 5，它一定不是快樂數。 以下是 300 到小於 400 的快樂數表格，表示它是快樂數。 300 303 304 305 306 307 308 309 311 312 314 315 316 317 318 321 322 323 324 325 327 328 330 332 333 334 335 336 337 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 357 358 359 360 361 363 364 366 369 370 371 372 373 374 375 377 378 380 381 382 384 385 387 388 389 390 393 394 395 396 398 399 發現 1010、100100 等表格的快樂數表格有線對稱。 快樂數的因數 以下是 300 以內的快樂數因數。 快樂數 因數 因數個數 奇偶數 數字和 1 1 1 奇數 1 7 1、7 2 奇數 7 10 1、2、5、10 4 偶數 1 13 1、13 2 奇數 4 19 1、19 2 奇數 10 23 1、23 2 奇數 5 28 1、2、4、7、14、28 6 偶數 10 31 1、31 2 奇數 4 32 1、2、4、8、16、32 6 偶數 5 44 1、2、4、11、22、44 6 偶數 8 49 1、7、49 3 奇數 13 68 1、2、4、17、34、68 6 偶數 14 70 1、2、5、7、10、14、35、70 8 偶數 7 79 1、79 2 奇數 16 82 1、2、41、82 4 偶數 10 86 1、2、43、86 4 偶數 14 91 1、7、13、91 4 奇數 10 94 1、2、47、94 4 偶數 13 97 1、97 2 奇數 16 100 1、2、4、5、10、20、25、50、100 9 偶數 1 103 1、103 2 奇數 4 109 1、109 2 奇數 10 129 1、3、43、129 4 奇數 12 130 1、2、5、10、13、26、65、130 8 偶數 4 133 1、7、19、133 4 奇數 7 139 1、139 2 奇數 13 167 1、167 2 奇數 14 176 1、2、4、8、11、16、22、44、88、176 10 偶數 14 188 1、2、4、47、94、188 6 偶數 17 190 1、2、5、10、19、38、95、190 8 偶數 10 192 1、2、3、4、6、8、12、16、24、32、48、64、96、192 14 偶數 12 193 1、193 2 奇數 13 203 1、7、29、203 4 奇數 5 208 1、2、4、8、13、16、26、52、104、208 10 偶數 10 219 1、3、73、219 4 奇數 12 226 1、2、113、226 4 偶數 10 230 1、2、5、10、23、46、115、230 8 偶數 5 236 1、2、4、59、118、236 6 偶數 11 239 1、239 2 奇數 14 262 1、2、131、262 4 偶數 10 263 1、263 2 奇數 11 280 1、2、4、5、7、8、10、14、20、28、35、40、56、70、140、280 16 偶數 10 291 1、3、97、291 4 奇數 12 293 1、293 2 奇數 14 由表格可知： 128 以內快樂數沒有因數 3、6、9 等數，如果 128 以內的數是 3 的倍數等，它一定不是快樂數。 1000 以內快樂數沒有因數 9、15、18、21 等數，如果 1000 以內的數是 9 的倍數等，它一定不是快樂數。 1000 以內快樂數同樣也沒有能被 25 整除但不能被 100 整除，即尾數是（25、50 或 75 的數），如果 1000 以內的數是 25 的倍數但不是 100 的倍數，它一定不是快樂數。 1000 以內的快樂數有 143 個，只有 7 個是 3 的倍數，129、192、219、291、888、912、921，機率：5。 1000 以內的快樂數有 143 個，有其中一位是 5 的只有 12 個，356、365、536、556、563、565、566、635、653、655、656、665，機率：8。 1000 以內的快樂數有 143 個，只有 3 個是 25 的倍數，100、700、1000，機率：2。 快樂質數 在十進位下，300 以內的快樂質數有：7 13 19 23 31 79 97 103 109 139 167 193 239 263 293，共 15 個。 快樂完全數 已知的 51 個完全數，只有 3 個是快樂數：28、496、8128。 其他進位制的快樂數 三進位制：1 3 9 13 17 23 25 27 31 35 37 39 47 51 53 59 61 65 69 71 73 75 77 79 81 85 89 91 93 五進位制：1 5 7 11 19 23 25 27 33 35 41 43 49 51 55 79 81 83 91 93 95 99 任何進位制（最小快樂數且大於 1）：2 3 2 5 6 7 8 3 7 11 12 13 14 15 2 17 2 5 2 21 22 23 24 5 26 27 28 3 2 31 32 33 3 35 6 31 38 39 40 13 42 43 44 45 46 47 48 7 50 51 52 31 54 53 56 57 58 59 54 61 62 63 8 65 66 67 12 69 70 71 72 其他進位制的不快樂數迴圈 2 進位制 每個數都是快樂數 3 進位制 2 11 2 在十進位制中為 2 4 2 4 進位制 每個數都是快樂數 5 進位制 4 31 20 4 在十進位制中為 4 16 10 4 23 23 在十進位制中為 13 13 6 進位制 5 41 25 45 105 42 32 21 5 在十進位制中為 5 25 17 29 41 26 20 13 5 7 進位制 2 4 22 11 2 在十進位制中為 2 4 16 8 2 34 34 在十進位制中為 25 25 8 進位制 4 20 4 在十進位制中為 4 16 4 5 31 12 5 在十進位制中為 5 25 10 5 32 15 32 在十進位制中為 26 13 26 9 進位制 58 108 72 58 在十進位制中為 53 89 65 53 55 55 在十進位制中為 50 50 10 進位制 4 16 37 58 89 145 42 20 4 11 進位制 75 68 91 75 在十進位制中為 82 74 100 82 23 12 5 23 在十進位制中為 25 13 5 25 12 進位制 22 8 54 35 2A 88 A8 118 56 51 22 在十進位制中為 26 8 64 41 34 104 128 164 66 61 26 21 5 21 在十進位制中為 25 5 25 13 進位制 79 A0 79 在十進位制中為 100 130 100 36 36 在十進位制中為 45 45 B2 98 B2 在十進位制中為 145 125 145 67 67 在十進位制中為 85 85 14 14 在十進位制中為 17 17 16 進位制 D A9 B5 92 55 32 D 在十進位制中為 13 169 181 146 85 50 13 其他性質 快樂數加入數字 0 或交換的數也是快樂數，不快樂數的情況也是。例如：49 是快樂數，94、4900 也是快樂數；123 不是快樂數，321、10203、123000 也不是快樂數 透過檢查十進位制中前一百萬個快樂數，它們的自然密度似乎約為 015。十進位制快樂數也許沒有漸近密度。快樂數的自然密度上限大於 018577，下限小於 01138。 十進位不快樂數的迴圈只有一個，是 4 16 37 58 89 145 42 20 4 。 Python 程式碼 ishappy number def ishappy n a while n not in a aappend n n sum int x 2 for x in str n return happy if n 1 else unhappy 相關條目 哈沙德數 幸運數 外部連結 Happy number calculator 可以線上判斷數字是否為快樂數〔英文〕 Happy