在數學裡，希爾伯特空間即完備的內積空間，也就是一個帶有內積的完備向量空間。內積的構造推廣了歐幾里得空間的距離和角的概念；完備則確保了其上所有的柯西序列會收斂到此空間裡的一點，從而微積分中的許多概念都可以推廣到希爾伯特空間中。 希爾伯特空間為基於任意正交座標系上的多項式表示的傅立葉級數和傅立葉變換提供了一種有效的表述方式，而這也是泛函分析的核心概念之一。另外希爾伯特空間也是量子力學的重要數學基礎之一。 簡介 希爾伯特空間以大衛希爾伯特的名字命名，他在對積分方程的研究中研究了希爾伯特空間。馮諾伊曼在其 1929 年出版的關於無界自伴運算元的著作中，最早使用了 希爾伯特空間 這個名詞。馮諾伊曼可能是最早清楚地認識到希爾伯特空間的重要性的數學家之一，他在進行對量子力學的基礎性和創造性地研究的時候認識到了這一點。此項研究由馮諾伊曼與希爾伯特和朗道展開，隨後由尤金維格納繼續深入。希爾伯特空間 這個名字迅速被其他科學家所接受，例如在外爾 1931 年出版的著作《群與量子力學的理論》中就使用了這一名詞。 一個抽象的希爾伯特空間中的元素往往被稱為向量。在實際應用中，它可能代表了一列複數或是一個函式。例如在量子力學中，一個物理系統可以表示為一個複希爾伯特空間，其中的向量是描述系統可能狀態的波函式。詳細的資料可以參考量子力學的數學表述相關的內容。量子力學中由平面波和束縛態所構成的希爾伯特空間，一般被稱為裝備希爾伯特空間（rigged Hilbert space） 在所有的無窮維拓撲向量空間中，希爾伯特空間性質最好，也最接近有限維空間的情形。例如 酉群（unitary group）的表示論。 平方可積的隨機過程理論。 偏微分方程的希爾伯特空間理論，特別是狄利克雷問題。 函式的譜分析及小波分析。 量子力學的數學描述。 傅立葉分析的一個重要目的是將一個給定的函式表示成一族給定的基底函式的和（可能是無窮和）。這個問題可以在希爾伯特空間中更抽象地描述為：任何一個希爾伯特空間都有一族標準正交基，而且每個希爾伯特空間中的元素都可以唯一地表示為這族基底中的元素或其倍數的和。 定義 若在複（或實）內積空間 H 取值的柯西序列，都收斂於 H 內的某個向量，那 H 就被稱為是希爾伯特空間，也就是說 例子 歐幾里得空間 mathbb Cn 及其上的內積 langle x y rangle sum_k1n overline x_k y_k 構成了一個複希爾伯特空間（其中短橫線表示一個複數的複共軛。），因為 mathbb Cn 本身就是定義在域 mathbb Cn times 上的 n 維向量空間，但有限維內積空間必完備，故 mathbb Cn 是個複希爾伯特空間。 序列空間 更一般的希爾伯特空間都是無窮維的，假設 B 是一個任意集合，可以定義其上的 ell2 序列空間，記為 ell2 B leftxB rightarrow mathbb Cbiggsum_b in B leftx left brightright2 infty right 此空間在定義如下內積後，成為一個希爾伯特空間： langle x y rangle sum_b in B overline x b y b 其中 x 和 y 是 ell2 B 中的任意元素。在這個定義中，B 並非一定要是可數的，在 B 不可數之情形下，ell2 B 不是可分（separable）的。在下面更具體的例子中，所有的希爾伯特空間在選定適當的 B 的情況下，都可以表示成為 ell2 B 的一個同構空間。特別地，當 B mathbb N 的時候，可以將其簡單記為 ell2。 勒貝格空間 勒貝格空間 這裡指 L2 X 空間 是指定義在測度空間 X mathcal M mu 上的函式空間，其中 X 代表函式的定義域，mathcal M 的元素是 X 上的子集族，為 一個 sigma 代數，一般把 mathcal M 稱作可測空間 measurable space，而 mu 是 mathcal M 上的測度。 更仔細的說，L2 X mu簡寫做 L2 X 表示 X 上所有平方可積（squareintegrable）的複數值的可測函式的集合。平方可積表示該函式的絕對值的平方的積分是有限的。要注意的是在 L2 X 空間裡，對於幾乎處處 almost everywhere 相同的函式，也就是說如果兩函式只在一個測度為 0 的集合上不相等，我們把這兩函式當做在 L2 X 中相同的元素。 此時兩個函式 f 和 g 的內積定義為 langle fgrangleint_X overline f t g t d mu t 因為 fgin L2 X，所以這內積的定義沒有問題。 但需要證明的是： 此空間在此內積下是完備的。 這個證明可以在相關的書籍中找到，與此例相關的內容可以參看關於 Lp 空間的著作。 索伯列夫空間 索伯列夫空間一般表示為 Hs 或者 Ws 2 是希爾伯特空間的另一個重要例項，它多被應用於偏微分方程的研究。 基本性質 有限維必完備 證明 若複內積空間 V 為 N 維，那根據格拉姆 施密特正交化，存在一列向量： e_1e_2ldotse_N 為 V 的正交基底，現在假設 v_i in V_iinN 是柯西序列，換句話說： 「對所有的正實數 epsilon 0 ，存在正整數 n in N 使所有的正整數 ij in N ，只要有 ij n 就有 d v_iv_j epsilon」 這樣，對每個正整數 i in N 存在唯一的一組複數 z_i1z_i2ldotsz_iN in C 使得 v_i sumN_k1 z_ik cdot e_k 這樣根據內積空間的勾股定理有 d v_iv_j2 sumN_k1 z_ik z_jk2 epsilon2 取 x_ik operatorname Rez_ik 和 y_ik operatorname Imz_ik，則有 sumN_k1 z_ik z_jk2 sumN_k1x_ik x_jk2 sumN_k1 y_ik y_jk2 epsilon2 所以 x_ik x_jk epsilon y_ik y_jk epsilon 這樣的話，對每個正整數 k in N ，實數數列 x_ik in R_i in N 和 y_ik in R_i in N 是柯西數列，這樣根據實數完備性，存在唯一的 x_k in R 和 y_k in R 使得 lim_i to infty x_ik x_k lim_i to infty y_ik y_k 那這樣根據數列極限的定義，對每個正整數 k in N ，和所有的正實數 epsilon 0 ，存在正整數 n_1n_2ldotsn_2N in N 使所有的正整數 i in N ，只要有 i maxn_1n_2ldotsn_2N 就有 x_ik x_k frac epsilonsqrt 2N y_ik y_k frac epsilonsqrt 2N 這樣的話，取 z_k x_k i y_k 和 v sumN_k1 z_k cdot e_k 會有 d v_iv2 sumN_k1x_ik x_k2 sumN_k1 y_ik y_k2 epsilon2 換句話說： lim_i to infty v_i v 這樣就證明瞭 V 裡的柯西序列必然收斂於 V 裡的向量，故 V 為希爾伯特空間。Box 內積為連續函式 H 是個複希爾伯特空間，v in H 為某向量則： 函式 f h langle v h rangle h in H 為 tau_Htau_R 連續 函式 f h langle h h rangle h in H 為 tau_Htau_R 連續 證明 在希爾伯特空間 中，若序列 滿足對任意的，都有 lim_n langle x_n v rangle langle x v rangle 則稱該序列到向量 例如，任何正交序列 都弱收斂到 0 此為貝塞爾不等式的結果。根據一致有界原理，每個弱收斂序列 都有界。 反之，希爾伯特空間中的每個有界序列，都有一個弱收斂子序列，此謂巴拿赫 阿拉奧盧定理。 這可用作證明某些連續凸泛函的最小值的存在性，正如波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理適用於 上的連續函式。一個較簡單的結果是： 若 為凸的連續函式，使得當 趨向於 時，就有 趨向於 ，則 在某點 取得最小值。 此個結論（並其若干推廣）是變分法中的基礎。更抽象地說，凸泛函的最小值存在，也是因為希爾伯特空間 上的閉有界凸集均為弱緊集（因為 是自反空間）。弱收斂子序列的存在性是 的特殊情況。 帕塞瓦爾恆等式（勾股定理） 在希爾伯特空間 中，若兩支向量 和 滿足 ，則稱它們正交，記為。更一般地，若 是 的子集，則 表示 與 的每個元素都正交。 當 和 正交時，就有 u v2 langle u v u v rangle langle u u rangle 2 operatorname Re langle u v rangle langle v v rangle u2 v2 對 使用數學歸納法，上式可以推廣到對任意 支正交向量 成立，即 u_1 cdots u_n2 u_12 cdots u_n2 畢達哥拉斯恆等式對每個內積空間都成立，但希爾伯特空間具有完備性，故此恆等式可推廣到對級數成立。一列 正交 向量組成的級數 在 中收斂當且僅當各項範數平方組成的級數收斂，且此時 leftsum_k0infty u_k right2 sum_k0infty leftu_kright2 此外，正交向量的級數和與求和順序無關。 平行四邊形恆等式和極化恆等式 由定義，每個希爾伯特空間都是巴拿赫空間。 而在每個希爾伯特空間中，以下平行四邊形恆等式成立 uv2uv22left u2v2right 反之，若一個巴拿赫空間滿足平行四邊形恆等式，則其亦為希爾伯特空間，因為它的內積可由極化恆等式唯一確定。 對實希爾伯特空間，極化恆等式是 langle uvrangle tfrac 14left uv2uv2right 而對複希爾伯特空間，其為 langle uvrangle tfrac 14left uv2uv2iuiv2iuiv2right 由平行四邊形恆等式，可以推出任何希爾伯特空間都是。 投影定理 最佳逼近 根據，若 是希爾伯特空間 的非空閉凸子集，為 的任一點，則存在唯一的 使其到 的距離是各個 中的點到 的距離中最小的，即 y in C quad x y operatorname distx C min x z z in C 此等價於經平移的凸集 中有範數最小的元素。欲證之，可先證明對每個序列 ，若各項範數趨向於中範數的下確界，則其為柯西序列（利用平行四邊形恆等式），故由完備性知其收斂到 的某點。此結論對任意一致凸巴拿赫空間均適用。 當對 的閉子空間 應用此結論時，可以證明最靠近 的點 滿足 y in F quad x y perp F 該點 稱為 到 上的 正交射影 ，而這給出的對映 是線性的。此結論於應用數學有用，而數值分析尤甚，因這結論是最小二乘法的基礎。 特別到，當 不等於 時，可找到一支非零向量 與 正交（選 並考慮 ）。由此得到一個有用的判定條件： 的子集 線性生成一個稠密的子空間當且僅當向量 是 中與 正交的唯一向量。 對偶性 對偶空間 是所有由 到其系數域的連續線性函式組成的空間。 其具有一個自然的範數，由下式給出： varphi sup_x1 xin H varphi x 這滿足平行四邊形恆等式，故對偶空間亦為一個內積空間。同時它也是完備的，所以希爾伯特空間的對偶空間也是希爾伯特空間。 里斯表示定理 描述了這個對偶空間。 對每個 的元素 ， 中有唯一的 滿足 varphi_u x langle xurangle 則 是從 到 的反線性對映。里斯表示定理說此對映是個反線性同構。 所以對每個 的元素 ，都存在唯一的 使得 langle x u_varphirangle varphi x 對任意 都成立。 對偶空間 上的內積滿足 langle varphi psi rangle langle u_psi u_varphi rangle 注意右邊的次序反轉了，才使 的反線性變回上述內積對 的線性。當 是實希爾伯特空間時，從 到其對偶的反線性同構實際上是一般的同構，所以實希爾伯特空間自然地與其對偶同構。 表示 的向量 可藉下列方法找到。 當 時， 核 是 的閉子空間，且不等於 ，故存在非零向量 與 正交。 取向量 為 的純量倍 ，於是條件 給出 u langle v v rangle1 overline varphi v v 物理學上廣泛應用的狄拉克符號正利用了 的對應關係。 物理學家通常約定，內積 對右邊的運算元線性，即 langle x y rangle langle y x rangle 於是 可以視為線性泛函 （稱為 左矢 ）作用在向量 （稱為 右矢 ）的結果。 里斯表示定理要求空間的完備性。事實上，從定理可知任意內積空間的拓撲對偶都與其完備化空間同構。作為里斯表示定理的直接推論， 希爾伯特空間 是 自反空間，即由 到其對偶之對偶的自然對映是同構。 希爾伯特空間的基 希爾伯特空間的一箇中間概念是標準正交基，即其上的一族函式 e_k_k in B 滿足： 所有元素都是單位化的：即對於任意 x，Vert e_k Vert 1，forall k in B。 所有元素彼此正交：若 x 和 y 是這族基中的不同元素，那麼 x y 0。 其線性擴張稠密：即其中的所有元素的有限的線性組合是 H 的一個稠密子集。 有時也使用標準正交列或標準正交集指代。 標準正交基的一些例項： 集合（100010001） 希爾伯特空間的相互作用 給定任意兩個（或更多）希爾伯特空間，利用直和或張量積的方式，可以給出一個更大的希爾伯特空間。 請參見 完備的度量空間或完備的距離空間 完備的賦範空間 n 維歐幾里得空間 參考文獻 引用 書目 originally published Monografje Matematyczne vol 7 Warszawa 1937 Jean Dieudonné Foundations of Modern Analysis Academic Press 1960 X X X