標準差，又稱標準偏 差、均方差 （，縮寫，符號），在機率統計中最常使用作為測量一組數值的離散程度之用。標準差定義：為方差開算術平方根，反映組內個體間的離散程度；標準差與期望值之比為標準離差率。測量到分佈程度的結果，原則上具有兩種性質： 為非負數值（因為平方後再做平方根）； 與測量資料具有相同單位（這樣才能比對）。 一個總量的標準差或一個隨機變數的標準差，及一個子集合樣品數的標準差之間，有所差別。其公式如下所列。 標準差的概念由卡爾皮爾森引入到統計中。 闡述及應用 簡單來說，標準差是一組數值自平均值分散開來的程度的一種測量觀念。一個較大的標準差，代表大部分的數值和其平均值之間差異較大；一個較小的標準差，代表這些數值較接近平均值。 例如，兩組數的集合 0 5 9 14 和 5 6 8 9 其平均值都是 7，但第二個集合具有較小的標準差。 表述 相差 k 個標準差，即在 overline Xpm kS 的樣本（sample）範圍內考量。 標準差可以當作不確定性的一種測量。例如在物理科學中，做重複性測量時，測量數值集合的標準差代表這些測量的精確度。當要決定測量值是否符合預測值，測量值的標準差佔有決定性重要角色：如果測量平均值與預測值相差太遠（同時與標準差數值做比較），則認為測量值與預測值互相矛盾。這很容易理解，因為如果測量值都落在一定數值範圍之外，可以合理推論預測值是否正確。 標準差應用於投資上，可作為量度回報穩定性的指標。標準差數值越大，代表回報遠離過去平均數值，回報較不穩定故風險越高。相反，標準差數值越小，代表回報較為穩定，風險亦較小。 母體的標準差 基本定義 sigma sqrt frac 1N sum_i1N x_i mu2 mu 為平均值。 簡化計算公式 上述公式可以如下代換而簡化： begin align sum_i1N X_i mu2 sum_i1N X_i2 2 X_imu mu2 left sum_i1N X_i2right left 2 mu sum_i1N X_iright Nmu2 left sum_i1N X_i2right 2 mu Nmu Nmu2 left sum_i1N X_i2right 2Nmu2 Nmu2 left sum_i1N X_i2right Nmu2 end align 所以： begin alignsigma sqrt frac 1N sum_i1N X_i mu2 sqrt frac 1N left sum_i1N X_i2right frac 1N Nmu2 sqrt frac sum_i1N X_i2N mu2 end align 根號裡面，亦即變異數（sigma2）的簡易口訣為：「平方的平均」減去「平均的平方」。 母體為隨機變數 一隨機變數 X 的標準差定義為： sigma sqrt operatorname EXoperatorname EX2 sqrt operatorname EX2 operatorname EX2 須注意並非所有隨機變數都具有標準差，因為有些隨機變數不存在期望值。 如果隨機變數 X 為 x_1 cdots x_n 具有相同機率，則可用上述公式計算標準差。 離散隨機變數的標準差 若 X 是由實數 x_1 x_2 x_n 構成的離散隨機變數，且每個值的機率相等，則 X 的標準差定義為： sigma sqrt frac 1Nleft x_1mu2 x_2mu2 cdots x_N mu2right ，其中 mu frac 1N x_1 cdots x_N 換成用 sum 來寫，就成為： sigma sqrt frac 1N sum_i1N x_i mu2 ，其中 mu frac 1N x_1 cdots x_N 目前為止，與母體標準差的基本公式一致。 然而若每個 x_i 可以有不同機率 p_i，則 X 的標準差定義為： sigma sqrt sum_i1N p_i x_i mu2 ，其中 mu sum_i1N p_i x_i 這裡，mu 為 X 的數學期望。 連續隨機變數的標準差 若 X 為機率密度 p X 的連續隨機變數，則 X 的標準差定義為： sigma sqrt int xmu2 f x dx 其中 mu 為 X 的數學期望： mu int x f x dx 標準差的特殊性質 對於常數 c 和隨機變數 X 和 Y： sigma Xcsigma X sigma cXccdotsigma X sigma XY sqrt sigma2 X sigma2 Y 2cdotmbox cov XY 其中： mbox covXY 表示隨機變數 X 和 Y 的協方差。 sigma2 X 表示 sigma X 2 ，即 Var X（ X 的變異數），對 Y 亦同。 樣本的標準差 在真實世界中，找到一個總體的真實的標準差並不實際。大多數情況下，總體標準差是透過隨機抽取一定量的樣本並計算樣本標準差估計的。 從一大組數值 X_1 cdots X_N 當中取出一樣本數值組合 x_1 cdots x_n n N，常定義其樣本標準差： s sqrt frac 1n1 sum_i1n x_i bar x2 樣本方差 s2 是對總體方差 sigma2 的無偏估計。之所以 s 中的分母要用 n1 而不是像總體樣本差那樣用 n，是因為 left x_i bar x right 的自由度為 n 1，這是由於存在約束條件 sum_i1nleft x_i bar xright 0。 範例 這裡示範如何計算一組數的標準差。例如一群孩童年齡的數值為 5 6 8 9： 第一步，計算平均值 overline x overline xfrac 1Nsum_i1N x_i 當 begin smallmatrix N 4end smallmatrix（因為集合裡有 4 個數），分別設為： begin align x_1 5 x_2 6 x_3 8 x_4 9 end align 則平均值為 begin alignoverline xfrac 14sum_i14 x_i N 4 frac 14 left x_1 x_2 x_3 x_4 right frac 14 left 5 6 8 9 right 7end align 第二步，計算標準差 sigma begin alignsigma sqrt frac 1N sum_i1N x_i overline x2 sqrt frac 14 sum_i14 x_i overline x2 N 4 sqrt frac 14 sum_i14 x_i 72 overline x 7 sqrt frac 14 left x_1 72 x_2 72 x_3 72 x_4 72 right sqrt frac 14 left 5 72 6 72 8 72 9 72 right sqrt frac 14 left 22 12 12 22 right sqrt frac 14 left 4 1 1 4 right sqrt frac 104 approx 158114 end align 常態分佈的規則 在實際應用上，常考慮一組資料具有近似於常態分佈的機率分佈。若其假設正確，則約 68 數值分佈在距離平均值有 1 個標準差之內的範圍，約 95 數值分佈在距離平均值有 2 個標準差之內的範圍，以及約 997 數值分佈在距離平均值有 3 個標準差之內的範圍。稱為「6895997 法則」。 f xmusigma2 frac 1sigmasqrt 2pi efrac 12left frac xmusigmaright2 text Proportion operatorname erfleft frac z sqrt 2right text Proportion le x frac12left 1 operatorname erfleft frac xmusigmasqrt 2rightright frac12left 1 operatorname erfleft frac z sqrt 2 rightright 數字比率標準差值 機率 包含之外比例 包含之外比例 數字比率標準差值 百分比 百分比 比例 0318 639σ 25 75 3 4 σ 1 σ 68 32 1 3125 1σ 1 σ 80 20 1 5 σ 90 10 1 10 σ 95 5 1 20 2σ 1 σ 99 1 1 100 3σ 1 370398 σ 999 01 1 σ 9999 001 1 4σ 1 σ 99999 0001 1 σ 1 34 每一邊 σ 1 5σ 1 σ 1 σ 1 σ 1 σ 1 σ 1 σ 1 7σ 1 標準差與平均值之間的關係 一組資料的平均值及標準差常常同時作為參考的依據。從某種意義上說，如果用平均值來考量數值的中心的話，則標準差也就是對統計的分散度的一個 自然 的測度。因為由平均值所得的標準差要小於到其他任何一個點的標準差。較確切的敘述為：設 X_1 cdots X_N 為實數，定義函式： sigma mu sqrt frac 1N sum_i1N x_i mu2 使用微積分或者透過配方法，不難算出 sigma mu 在下面情況下具有唯一最小值： mu overline x 幾何學解釋 從幾何學的角度出發，標準差可以理解為一個從 n 維空間的一個點到一條直線的距離的函式。舉一個簡單的例子，一組資料中有 3 個值，X_1 X_2 X_3。它們可以在 3 維空間中確定一個點 P X_1 X_2 X_3。想像一條透過原點的直線 L r r r r in mathbb R。如果這組資料中的 3 個值都相等，則點 P 就是直線 L 上的一個點，P 到 L 的距離為 0，所以標準差也為 0。若這 3 個值不都相等，過點 P 作垂線 PR 垂直於 L，PR 交 L 於點 R，則 R 的座標為這 3 個值的平均數： R overline xoverline xoverline x 運用一些代數知識，不難發現點 P 與點 R 之間的距離（也就是點 P 到直線 L 的距離）是 sigma sqrt 3。在 n 維空間中，這個規律同樣適用，把 3 換成 n 就可以了。 參考文獻 外部連結 Standard Deviation Calculator，標準差計算器 Category 統計偏差和離散度 Category 技術分析