隨機變數是一種數學概念，用來表示隨機試驗結果的變數。 簡介 隨機變數通常用大寫字母 X、Y 表示。在各種隨機試驗中，每一個隨機事件都可以用一個變數代替任何一個數值。例如擲骰子時擲出的點數是 126 中的一個，其中的任意一個點數都可以用變數 X 來表示，X 可以 1，26，又例如在產品的抽查中，抽到正品可以用 X1 來表示，抽到次品可以用 X0 來表示，這樣 X 又可以 1 也可以 0。劉明忠，王雪，周陳焱主編，大學應用數學，重慶大學出版社，202111 第 248 頁，隨機變數實質上是函式。稱其為變數是指可作為因變數。 正式定義 直觀上，隨機變數為一種特殊的實函式，其值不大於某數的狀況都是事件。所以一個函式是不是隨機變數也跟「怎樣的子集合算事件」有密不可分的關係。 如果隨機變數 X 的取值是有限的或者是可數無窮盡的值： X S x_1 x_2 x_3 ldots cong N 則稱 X 為離散隨機變數。如果 X 的取值遍佈一區間甚至是整個數線：（abinR） X S ab 則稱 X 為連續隨機變數。 與可測函式的關係 如果取 mathcal I 為所有實開區間所構成的集合： mathcal I biggA in mathcal PR bigg exists aexists bleft ab in R wedge A ab right bigg 則可以把博雷爾代數 mathcal B 定義為包含 mathcal I 的最小 Σ 代數： mathcal B sigma mathcal I bigcap bigg Sigma bigg Sigmatext is a sigma algebra wedge mathcal I subseteq Sigma bigg 則根據阿基米德性質，對任意實數 r in R ，inftyr in mathcal B，有以下的關係： rinfty bigcup leftA in mathcal I bigg exist n in Nleft A rnright right inftyr R rinfty 反之，也可以用類似的方法，由任意的 inftyr ，透過並集和補集組合出 ab： inftyb bigcup leftA in mathcal PR bigg exist n in Nleft A inftyb frac 1nright right ab left R infty a right cup infty b 這樣的話，任意的 r in R 都有 s in S X s leq r in mathcal E ，等價於對任意的 ab in R 都有 s in S a X s b in mathcal E ，這樣根據可測函式性質的定理 2，上小節定義的 X ，就是一個 mathcal E mathcal B 可測函式，換句話說，隨機變數是可測函式的一種特例。 範例 隨機擲兩個骰子，整個樣本空間由 36 個元素組成： S left i j in N2 i leq 6 wedge j leq 6 right 然後可以簡單地把 S 的任意子集合都視為事件，換句話說，把事件族 mathcal E 取成 S 的冪集： mathcal E mathcal PS 這樣的話，可以構造出許多定義在 S 上的隨機變數，比如 X 可以定義為「兩個骰子的點數和」；者 Y 可以定義為「兩個骰子的點數差」： X i j ij Y i j ij 因為「兩個骰子的點數和不大於 r」和「兩個骰子的點數差不大於 r」的樣本點所構成的集合，都是 S 的子集合，所以 X 和 Y 都是（在 mathcal E mathcal PS 的意義下）定義在 S 上的隨機變數，而且它們都是離散隨機變數。 性質 不確定性 隨機變數在不同的條件下由於偶然因素影響，其可能取各種隨機變數不同的值，具有不確定性和隨機性，但這些取值落在某個範圍的機率是一定的，此種變數稱為隨機變數。隨機變數可以是離散型的，也可以是連續型的。如分析測試中的測定值就是一個以機率取值的隨機變數，被測定量的取值可能在某一範圍內隨機變化，具體取什麼值在測定之前是無法確定的，但測定的結果是確定的，多次重複測定所得到的測定值具有統計規律性。隨機變數與模糊變數的不確定性的本質差別在於，後者的測定結果仍具有不確定性，即模糊性。 基本型別 簡單地說，隨機變數是指隨機事件的數量表現。某地若干名男性健康成人中，每人血紅蛋白量的測定值；等等。另有一些現象並不直接表現為數量，例如人口的男女性別、試驗結果的陽性或陰性等，但我們可以規定男性為 1，女性為 0，則非數量標誌也可以用數量來表示。這些例子中所提到的量，儘管它們的具體內容是各式各樣的，但從數學觀點來看，它們表現了同一種情況，這就是每個變數都可以隨機地取得不同的數值，而在進行試驗或測量之前，我們要預言這個變數將取得某個確定的數值是不可能的。 按照隨機變數可能取得的值，可以把它們分為兩種基本型別： 離散型隨機變數 即在一定區間內變數取值為有限個，或數值可以一一列舉出來。例如某地區某年人口的出生數、死亡數，某藥治療某病病人的有效數、無效數等 連續型隨機變數 即在一定區間內變數取值有無限個，或數值無法一一列舉出來。例如某地區男性健康成人的身長值、體重值，一批傳染性肝炎患者的血清轉氨酶測定值等。 詳細分析 表示方法 隨機試驗結果的量的表示。例如擲一顆骰子出現的點數，電話交換臺在一定時間內收到的呼叫次數，隨機抽查的一個人的身高，懸浮在液體中的微粒沿某一方向的位移，等等，都是隨機變數的例項。 一個隨機試驗的可能結果（稱為基本事件）的全體組成一個基本空間 Omega（見機率）。隨機變數 X 是定義於 Omega 上的函式，即對每一基本事件 omegainOmega，有一數值 X omega 與之對應。以擲一顆骰子的隨機試驗為例，它的所有可能結果，共 6 個，分別記作 omega_1 omega_2 omega_3 omega_4 omega_5 omega_6，這時，Omegaomega_1 omega_2 omega_3 omega_4 omega_5 omega_6，而出現的點數這個隨機變數 X，就是 Omega 上的函式 X omega kk，k12ldots6。又如設 Omegaomega_1 omega_2 ldots omega_n 是要進行抽查的 n 個人的全體，那麼隨意抽查其中一人的身高和體重，就構成兩個隨機變數 X 和 Y，它們分別是 Omega 上的函式：X omega komega k 的身高，Y omega komega k 的體重，k12ldotsn。一般說來，一個隨機變數所取的值可以是離散的（如擲一顆骰子的點數只取 1 到 6 的整數，電話臺收到的呼叫次數只取非負整數），也可以充滿一個數值區間，或整個實數軸（如液體中懸浮的微粒沿某一方向的位移）。 研究方法 在研究隨機變數的性質時，確定和計算它取某個數值或落入某個數值區間內的機率是特別重要的。因此，隨機變數取某個數值或落入某個數值區間這樣的基本事件的集合，應當屬於所考慮的事件域。根據這樣的直觀想法，利用機率論公理化的語言，取實數值的隨機變數的數學定義可確切地表述如下：機率空間 OmegaFp 上的隨機變數 X 是定義於 Omega 上的實值可測函式，即對任意 omegainOmega，X omega 為實數，且對任意實數 x，使 X omegaleq x 的一切 omega 組成的 Omega 的子集 omegaX omegaleq x 是事件，也即是 F 中的元素。事件 omegaX omegaleq x 常簡記作 Xleq x，並稱函式 F xp Xleq x，infty xinfty ，為 X 的分佈函式。 設 X Y 是機率空間 OmegaFp 上的兩個隨機變數，如果除去一個零機率事件外，X omega 與 Y omega 相同，則稱 XY 以機率 1 成立，也記作 p XY1 或 XYαs（αs 意即幾乎必然）。 有些隨機現象需要同時用多個隨機變數來描述。例如對地面目標射擊，彈著點的位置需要兩個座標才能確定，因此研究它要同時考慮兩個隨機變數，一般稱同一機率空間 OmegaFp 上的 n 個隨機變數構成的 n 維向量 Xx_1x_2ldotsx_n 為 n 維隨機向量。隨機變數可以看作一維隨機向量。稱 n 元 x_1x_2ldotsx_n 的函式為 X 的（聯合）分佈函式。又如果 x_1x_2 為二維隨機向量，則稱 x_1ix_2 i21 為復隨機變數。 隨機變數的獨立性 獨立性是機率論所獨有的一個重要概念。設 x_1x_2ldotsx_n 是 n 個隨機變數，如果對任何 n 個實數 x_1x_2ldotsx_n 都有 即它們的聯合分佈函式 F x_1x_2ldotsx_n 等於它們各自的分佈函式 F1 x_1F2 x_2ldotsFn x_n 的乘積。則稱 x_1x_2ldotsx_n 是獨立的。這一定義可以直接推廣到每一 xk（k12ldotsn）是隨機向量的情形。獨立性的直觀意義是：x_1x_2ldotsx_n 中的任何一個取值的機率規律，並不隨其中的其他隨機變數取什麼值而改變。在實際問題中通常用它來表徵多個獨立操作的隨機試驗結果或多種有獨立來源的隨機因素的機率特性，因此它對於機率統計的應用是十分重要的。 從隨機變數（或向量）x_1x_2ldotsx_n 的獨立性還可以推出：設 Bk 是 xk 取值的空間中的任意波萊爾集，k12ldotsn。設 x_1x_2ldotsx_n 是獨立的，則它們中的任意個都是獨立的。但逆之即使其中任何 n1 個是獨立的，也不保證 x_1x_2ldotsx_n 是獨立的。又如果 fj xi12ldotsn，是 n 個連續函式或初等函式 或更一般的波萊爾可測函式，則從 x_1x_2ldotsx_n 的獨立性可推出 f1 x_1f2 x_2ldotsfn x_n 也獨立。如果隨機變數 隨機向量 序列 x_1x_2ldotsx_nldots 中任何有限個都獨立，則稱之為獨立隨機變數（隨機向量）序列。 關於隨機變數的矩、特徵函式、母函式及半不變數，分別見數學期望、方差、動差及機率分佈。 隨機變數的函式 一個新的隨機變數能被博雷爾可測函式定義 gcolon mathbb R rightarrow mathbb R 來產生一個隨機變數 X。Y 的累積分佈函式是： F_Y y operatorname Pg X le y 如果博雷爾函式可逆： F_Y y operatorname Pg X le y begin cases operatorname PX le g1y F_X g1y text if g1 text increasing operatorname PX ge g1y 1 F_X g1y text if g1 text decreasing end cases 得到它的機率密度函式： f_Y y f_X g1y left frac d g1yd y right 例子 定義 X 為實數，在連續性隨機變數裡，讓 Y X2 F_Y y operatorname PX2 le y 如果 y 0，那麼 P X2 leq y 0 F_Y y 0qquadhbox ifquad y 0 如果 y geq 0 operatorname PX2 le y operatorname PX le sqrt y operatorname Psqrt y le X le sqrt y 可以得到： F_Y y F_X sqrt y F_X sqrt yqquadhbox ifquad y ge 0 參考文獻 外部連結 參見 機率論 隨機分佈 隨機性 隨機函式 生成函式 演算法資訊理論 隨機變數的收斂 Category 隨機性 Category 機率與統計 Category 機率論