在數學中，賦距空間是具有距離這一個概念的集合，具體來說，是裝配了一個稱為度量的函式，用以表示此集合中任兩個成員間的距離。歷史上是由法國數學家莫里斯弗雷歇在 1906 年於其義大利語著作《》首次使用。 賦距空間中最符合人們對於現實直觀理解的為三維歐幾里得空間。事實上，度量 的概念即是歐幾里得距離四個周知的性質之推廣。歐幾里得度量定義了兩點間之距離為連線這兩點的直線段之長度。此外，亦存在其他的度量空間，如橢圓幾何與雙曲幾何，而在球體上以角度量測之距離亦為一度量。狹義相對論使用雙曲幾何的雙曲面模型，作為速度之度量空間。 賦距空間還能匯出開集與閉集之類的拓撲性質，這導致了對更抽象的拓撲空間之研究。 定義 M 為集合，若其裝配了函式 d M times M rightarrow mathbb R ，對任意 xyz in M 滿足： 名稱 內容 同一性 d xy 0 iff xy 對稱性 d xy d yx 三角不等式 d xz leq d xy d yz 則稱 d 為定義在 M 上的度量 metric 或是距離函式，且稱 Md 為度量空間。若依上下文可知道使用的度量為何，通常會省略 d ，只稱「 M 為度量空間 」。 雖然大部分的書籍會將「 對任意 xy in M ，d xy geq 0 」列入度量的定義中，但由上面的三個定義就足以推出這個性質，這是因為 0 d xx leq d xy d yx 2d xy 所以本節並沒有把這個性質列入定義。 直觀上，對於任何道路系統與地形，兩個位置間之距離可被定義為連線這些位置的最短路徑的長度，這樣上面的三角不等式正代表距離是最短路徑。 例子 具有由絕對值給出的距離函式 d xy vert y x vert 之實數集合為完備度量空間。具有相關度量的有理數集合也會形成一個度量空間，但不完備。 具有距離函式 d xy vert log yx vert 的正實數集合為完備度量空間。 賦範向量空間的度量定義為 d xy lVert x y rVert 若 Md 為一度量空間，則對 M 之任意子集 X subseteq M ， Xd_X times X 亦為一度量空間。 離散度量，其中 d x y 0，若 x y，不然 d x y 1。離散度量是個簡單但重要的例子，可適用於任何非空集合。特別是，離散度量證明了對於任何非空集合，總是有一個度量空間與之關聯。使用此一度量，每個點都是開球，且因此每個子集都是開的，且該空間具有離散拓撲。 如果 G 是無向連通圖，則 G 的頂點集合 V 可透過定義 d x y 為連線 x 的 y 的最短路徑的長度，變成度量空間。在幾何群論裡，該度量可適用於一個群的凱萊圖上，並稱之為字度量。 萊文斯坦距離是衡量兩個字串 u 與 v 間之差異的方法，定義為字串透過刪除、插入或取代將 u 轉變成 v 所需的最少步驟。該距離可被視為一個圖中最短路徑度量的特例，亦為編輯距離的一個例子。 如果 M 是連通黎曼流形，則透過把在兩點之間的距離定義為連線兩點的路徑（連續可微曲線）之長度的下確界，將 M 變成度量空間。 類似的，在 3D 中在多面體的表面上的度量包括平常的度量，在表面上的距離；在多面體的邊上第三個度量是路徑為邊的度量。例如，在單位立方體相對頂點之間的距離分別是 sqrt 3、sqrt 5 和 3。 如果 M 是度量空間，則 M 的所有緊緻子集按豪斯多夫距離 d X Y inflbrace r forall x in X exists y in Y d x y r land forall y in Y exists x in X d x y rrbrace 組成度量空間 K M。在這個度量中，兩個元素是相互鄰近的，如果一個集合的所有元素鄰近於另一個集合某個元素。可以證明 K M 是完備的如果 M 是完備的。 由某些 zhtw 體；zhcn 域 上的所有 n times m 矩陣所組成之集合，是個具有秩距離 d XY mathrm rankYX 的度量空間。 拓撲性質 概述 度量空間是個仿緊緻 Rudin Mary Ellen A new proof that metric spaces are paracompact Proceedings of the American Mathematical Society Vol 20 No 2 Feb 1969 p 603 豪斯多夫空間，因此是個正規空間（且實際上是個完美正規空間）。度量空間也是個第一可數空間，因為可使用具有理數半徑的球作為該空間的基。 依據提策擴充套件定理，每個度量空間都能具有單位分解，且每個定義於度量空間的閉子集上之連續實數值函式均能擴充套件成整個空間的連續對映。每個定義於度量空間的子集上之實數值利普希茨連續對映亦能擴充套件成整個空間的利普希茨連續對映。 開集 對於度量空間 Md 內的任一點 x，可定義中心為 x，半徑為 r 0 的開球 B xr left y in M bigg d xy r right 這樣的話，若取所有開球構成的集合為拓撲基（詳見基的範例） mathcal B_d leftA in mathcal PM bigg exists a exists ra in M wedge r 0 wedge forall x in M a in A Leftrightarrow d xa r right 那就可以定義以下的拓撲結構 tau_d leftO in mathcal PM bigg exists mathcal A left mathcal A subseteq mathcal B_d wedge left O bigcup mathcal A right right right 也就是把開集定義成任意個開球的並集，這樣的話任意度量空間都自然地是個拓撲空間。簡便起見，也會以度量空間 Md 來稱呼這個自然存在的拓撲空間 Mtau_d 。 反之，若可從某拓撲空間內建構出一個符合上述關係的度量，則稱此拓撲空間為可度量化空間；進一步的細節請見烏雷松度量化定理。 閉集 證明 Rightarrow X 是閉的意思就是 M X 為開集，換句話說，存在一個以開球為元素的集合 mathcal A subseteq mathcal B_d 使得 M X bigcup mathcal A 也就是說 1 forall x neg x in X wedge x in M Leftrightarrow exist O x in O wedge O in mathcal A 也就是「任何元素 x in M 不屬於 X ，等價於存在一個 mathcal A 裡的開球 O ，使得 x 在 O 裡」。 這樣的話，若 a 為 X 的極限點，換句話說 a in M 且 2 forall O O in tau_d wedge a in O Rightarrow exists b b in O cap X wedge b neq a 此時若假設 a notin X，根據 1 式，還有 mathcal A subseteq mathcal B_d 可以得到 exist O a in O wedge O in tau_d wedge O in mathcal A 那這樣根據 2 式和普遍化，會有 （注意到以下套用了量詞的可交換性） exists b exists O b in O cap X wedge b neq a wedge O in mathcal A 可是這樣再根據 1 式會有 exists b exists O b in O cap X wedge b neq a wedge O in mathcal A wedge b notin X 這樣就會推出以下的矛盾 exists b b in X wedge b notin X 所以根據反證法， a in X ，也就是 X 的極限點必須在 X 裡。 Leftarrow 若對任 X 的極限點 a 都有 a in X ，也就是 forall aBigg bigga in M wedge forall O O in tau_d wedge a in O Rightarrow exists b b in O cap X wedge b neq a bigg Rightarrow a in X Bigg 換句話說，根據反證法、德摩根定理和量詞符號的意義，上式等價於 3 forall a in Mbigg a notin X Rightarrow exists O O in tau_d wedge a in O wedge forall b b a vee b notin O cap X bigg 但考慮到以下的基本邏輯性質 a notin X Rightarrow a notin X 所以從 3 有 4 forall a in M a notin X Leftrightarrow exists O O in tau_d wedge a in O wedge O cap X varnothing 這樣的話，若取以下的集合 mathcal B left O in tau_d bigg O cap X varnothing right 換句話說 forall O O in mathcal B Leftrightarrow O in tau_d wedge O cap X varnothing 這樣的話，4 等價於 4 forall a in M a notin X Leftrightarrow exists O O in mathcal B wedge a in O 也就是說 M X bigcup mathcal B 故 X 的補集 Xc 為開集，所以 X 為閉集，至此定理證明完畢。Box 連續函式 度量空間的序列 複數數列的極限是基於絕對值去定義的，但考慮到絕對值本身是一個定義在複數系 C 上的度量，很自然地可以對度量空間 Md 作如下推廣： a_i in M_iinN 是 M 上的一個序列，若存在 a in M 使得 「對任意正實數 epsilon 0 ，存在正整數 n in N ，使任意的正整數 i in N 只要有 i n ，就有 d a_ia epsilon 。」 那稱 a in M 為序列 a_i in M_iinN 的極限，且用 lim_itoinfty a_i a 或更簡略的 a_i longrightarrow a 來表達。 完備化 仿造以有理數柯西序列數列構造實數的過程，可以將任意度量空間擴張為完備空間，也就是在新度量空間取值的柯西序列，都會在新度量的意義下收斂。 以下的結果歷史上是由費利克斯豪斯多夫於 1914 年首先提出的。 等價關係 對於任意度量空間 Md ，若定義 mathcal M 為 mathcal M lefta_i in M_iinN bigg forall epsilon 0exists n in Nforall iinNforall jinN ij geq n Rightarrow left d a_ia_j epsilon right right 也就是說， mathcal M 為所有在 M 上取值的柯西序列所構成的集合。然後定義以下的等價關係 sim lefta_i_ninNb_i_ninN in mathcal M2 bigg lim_itoinfty d a_ib_i 0 right 也就是兩序列之間的距離趨近於零，則被認為是等價的。接下來取 overline M mathcal M sim ，也就是所有 sim 在 mathcal M 上的等價類所構成的集合。 新的度量 這樣可以定義一個函式 overline doverline Mtimes overline M to R 滿足 overline d left a_i_ntoNb_i_ninNright lim_itoinfty d a_ib_i 也就是新的度量，是等價類之間距離的極限值。 為了證明的確可以定義這樣的函式，要先證明對任意柯西序列 a_i_ninN b_i_ninN in mathcal M ，lim_itoinfty d a_ib_i 是存在的。 根據 mathcal M （也就是柯西序列）的定義，對任意正實數 epsilon in 0infty ，可以取正整數 n in N ，使任意的正整數 ij in N 只要有 ij n 就有 d a_ia_j frac epsilon2 d b_ib_j frac epsilon2 新的度量空間 等距同構 稠密性 度量空間的型別 有界與完全有界空間 度量空間 M 被稱為有界的，如果存在某個數 r，使得對於所有 M 中的 x 和 y 有 d xy r。r 最小可能的值稱之為 M 的直徑。空間 M 稱之為預緊緻的或完全有界的，如果對於所有 r 0 存在有限多個半徑為 r 的開球，其並集覆蓋 M。因為這些球為有限個，所以該空間的直徑亦為有限值，從而得出 使用三角不等式 所有完全有界空間都是有界的。但逆命題不成立，因為任何無限集合均可給定其離散度量 上面第一個例子，使得該空間是有界的，但不是完全有界的。 須注意，在討論實數空間的區間及歐氏空間的區域時，有時會將有界集合指為「有限區間」或「有限區域」。不過，有界性與「有限」之間一般並無關連；有限通常意含著有界，但反之不一定成立。 緊緻空間 度量空間 M 是緊緻的，若每個 M 內的序列均有個子序列，會收斂於 M 內的一點。這稱為序列緊緻性，且在度量空間（但不是一般拓撲空間）裡，這等價於可數緊緻與以開覆蓋定義之緊緻性等拓撲性質。 緊緻度量空間的例子包括具絕對值度量的閉區間 01、所有具有限多個點的度量空間，以及康託爾集。每個緊緻集合的閉子集亦是緊緻的。 一度量空間為緊緻的，若且唯若該空間是完備的，且為完全有界的。這即是所謂的海涅－博雷爾定理。須注意，緊緻性僅決取於拓撲，而有界性則決取於度量。 勒貝格數引理表示，對於緊緻度量空間 M 內的每個開覆蓋，均存在一個「勒貝格數」δ，使得每個 M 內直徑 δ 的子集均會被包含於某些覆蓋內。 每個緊緻度量空間均為第二可數 PlanetMath a compact metric space is second countable ，且是康託爾集的連續像。（後者由帕維爾亞歷山德羅夫與帕維爾薩穆伊洛維奇烏雷松所證得。） 區域性緊緻與常態空間 度量空間 M 稱為區域性緊緻的，如果每一點都有一個緊緻鄰域。歐氏空間為區域性緊紗的，但無限維巴拿赫空間則不是。 度量空間 M 稱為常態（proper）的，如果每個閉球都是緊緻的。常態空間是完備且區域性緊緻的，但區域性緊緻空間未必是常態的。 連通性 度量空間 M 是連通的，若既開又閉的子集只有空集與 M 本身。 度量空間 M 是路徑連通的，若對於 M 內的任兩點 x、y，均存在一個連續對映 fcolon 01 to M，其中 f 0x 且 f 1y。每個路徑連通空間都是連通的，但反之通常不成立。 上述性質均有相對的區域性定義：區域性連通空間與區域性路徑連通空間。 單連通空間在某一層面上來說，可說是個沒有「洞」的空間。 可分空間 一度量空間稱之為可分空間，若該空間有可數稠密子集。典型的例子為實數或任何一個歐氏空間。對於度量空間（但不包括一般拓撲空間）可分性等價於第二可數，亦等價於林德勒夫性質。 度量空間之間的對映型別 假設 M1d1 與 M2d2 為兩個度量空間。 連續對映 對映 fcolon M_1to M_2 是連續的，若具有下列任意一個（也就得到了以下所有的）等價性質： 一般拓撲學的連續性 對於每個在 M_2 內的開集 U，其原像 f1U 在 M_1 內是開的。 這是在拓撲學裡連續性的一般定義。 序列連續性 若 x_n 是 M_1 內一序列，且會收斂至 M_1 內的 x，則序列 f x_n 會收斂至 M_2 內的 f x。 這是由愛德華海涅所提出的。 εδ 定義 對於每個在 M_1 內的 x ，任意給定 varepsilon0，均存在 delta0，使得對於所有 M_1 內的 y， d_1 xydelta Rightarrow d_2 f xf y varepsilon 這用到了，由奧古斯丁路易柯西所提出。 此外，f 是連續的，若且唯若該函式在 M_1 的每個緊緻子集內都是連續的。 每個緊緻集合在連續函式下的像亦是緊緻的，且每個連通集合在連續函式下的像亦是連通的。 一致連續對映 對映 ƒ M1 M2 為一致連續的，若對於每個 ε 0，均存在 δ 0，使得 d_1 xydelta Rightarrow d_2 f xf yvarepsilon quadmbox for allquad xyin M_1 每個一致連續對映 ƒ M1 M2 均是連續的。若 M1 是緊緻的，則反向的陳述亦會成立。（海涅－康託爾定理） 一致連續對映會將 M1 內的柯西序列轉換成 M2 內的柯西序列。對於連續對映，該陳述則不一定會成立；例如，一個將開區間 01 滿射至實數線的連續對映即會將柯西序列轉換成無界的序列。 利普希茨連續對映與壓縮對映 給定一數 K 0，對映 ƒ M1 M2 為利普希茨連續，若 d_2 f xf yleq K d_1 xyquadmbox for allquad xyin M_1 每個利普希茨連續對映均是一致連續的，但反之不一定成立。 若 K 1，則 f 稱之為壓縮對映。令 M2 M1，且 M1 是完備的。若 f 是個壓縮對映，則 f 會有個唯一的不動點（巴拿赫不動點定理）。若 M1 是緊緻的，則條件可稍微放寬一點：f 會有個唯一的不動點，若 d f x f y d x y quad mbox for all quad x ne y in M_1 等距同構 對映 fM1M2 稱之為等距同構，若 d_2 f xf yd_1 xyquadmbox for allquad xyin M_1 等距同構總會是單射的；緊緻或完備集合在等距同構下的像仍分別會是緊緻或完備的。不過，若等距同構不是滿射的，則閉（或開）集的像不一定是閉（或開）的。 擬等距同構 對映 f M1 M2 稱之為擬等距同構，若存在常數 A 1 與 B 0，使得 frac 1A d_2 f xf yBleq d_1 xyleq A d_2 f xf yB text for all xyin M_1 且有一個常數 C 0，使得 M2 內的每個點與像 f M1 內的某個點間之距離至多為 C。 須注意，擬等距同構不需要是連續的。擬等距同構比較度量空間的「大尺度結構」；多用於幾何群論內與字度量有關的理論。 度量空間等價性的概念 度量空間之間有著不同的等價性。依據兩個空間之間能夠存在的函式，可給出不同等價的程度與型別。 給定兩個度量空間 M1 d1 和 M2 d2 這兩個空間稱之為同胚（拓撲同構）的，若存在兩者間的同胚（即兩個方向均為連續的雙射）。在此條件下，這兩個空間能匯出相同的拓撲空間。 這兩個空間稱之為一致同構的，若存在兩者間的一致同構（即兩個方向均為一致連續的雙射）。 這兩個空間稱之為等距同構的，若存在兩者間的等距同構雙射。在此一條件下，兩個度量空間基本上是相同的。 這兩個空間稱之為擬等距同構的，若存在兩者間的擬等距同構。 點和集合間的距離 構造分離一個點與一個閉集的函式 作為完全正則空間的要求 的簡單方式是考慮點和集合之間的距離。 如果 Md 是度量空間，S 是 M 的子集而 x 是 M 的點，則可定義從 x 到 S 的距離為 d xS infd xs s in S ，其中的 inf 表示下確界。 d x S 0 若且唯若 x 包含於 S 的閉包內。此外，可將三角不等式推廣如下： d xS leq d xy d yS 其中，可證明對映 xmapsto d xS 是連續的。 給定兩個 M 內的子集 S 與 T，可定義豪斯多夫距離為 d_H ST max supd sT s in S supd tS t in T ，其中的 sup 表示上確界。 一般而言，豪斯多夫距離 dH ST 可以是無限大的。兩個集合的在豪斯多夫距離上會互相靠近，若其中一個集合的每個元素會靠近另一集合的某個元素。 豪斯多夫距離 dH 會將由所有 M 內非空緊緻子集所組成之集合 K M 轉換成一個度量空間。可證明若 M 是完備的，則 K M 亦是完備的。（緊緻子集的收斂性亦可由庫拉托夫斯基收斂給出。） 然後，可定義任兩個度量空間之間的格羅莫夫 豪斯多夫距離為這兩個空間的等距同構嵌入版本間之最短豪斯多夫距離。使用此一距離，由所有（等距同構型別的）緊緻度量空間所組成的類本身即會形成一個度量空間。 積度量空間 如果 M_1d_1ldotsM_nd_n 是度量空間，cdotmathbb Rn rightarrow mathbb R 是在 mathbb Rn 上的歐幾里得範數，則由定義在 M_1 times ldots times M_n 上的上的度量 rho rho vec x vec y d_1 x_1y_1 ldots d_n x_ny_n 定義的度量空間 Big M_1times ldots times M_n rho Big 等價於積空間，度量 rho 稱為積度量。此度量空間上的拓撲與積空間上的拓撲等價，同理，積空間 M_1 times ldots times M_n 為可度量的。依據有限維的範數之等價性，曼哈頓範數、p 範數、最大範數，及其他當座標內的分量增加時不會減少（符合三角不等式）之範數，所給出的度量均拓撲同構。 同樣的，度量空間的可數積度量可以定義為如下度量： d xysum_i1infty frac1 2ifrac d_i x_iy_i1d_i x_iy_i 度量空間的不可數積度量不一定是可度量化的。例如， mathbb Rmathbb R 不是第一可數空間，因此不能度量化。 距離的連續性 值得注意的是，在一個空間 Md 中，距離對映 dMtimes M rightarrow mathbb R 在上述任何一個積度量 N dd 下均是一致連續的，且特別是，在 Mtimes M 下的積拓撲會是連續的。 商度量空間 若 M 為度量空間，其度量為 d，且～為 M 上之等價關係，則可在商集合 M 上賦加下面的（偽）度量。給定兩個等價類 x 與 y，可定義 dxy infd p_1q_1d p_2q_2dotsbd p_nq_n 其中，p_1 x、q_i p_i1、q_n y（即取從 x 至 y 經過所有等價類之路徑的最短長度）。一般來說，這僅能定義出一個偽度量，即 dxy0 不一定蘊涵 x y。不過，對於良好的等價關係（如將多面體沿著面膠合），則會是個度量。此外，若 M 是個緊緻空間，則該度量在 M 上匯出之拓撲為商拓撲。 商度量 d 具有下列泛性質：若 fMdlongrightarrow Xdelta 是個度量空間之間的（即對於所有 x、y，delta f xf yle d xy），滿足當 xsim y 時，f xf y 的條件，則函式 overline fcolon Msimlongrightarrow X 定義為 overline fxf x，亦會是個度量對映 overline fcolon Msimdlongrightarrow Xdelta。 一個拓撲空間是序列的，若且唯若該空間是個度量空間的商空間。Goreham Anthony Sequential convergence in Topological Spaces Honours Dissertation Queens College Oxford April 2001 p 14 度量空間的推廣 每個度量空間都自然會是個一致空間，而每個一致空間也都自然會是個拓撲空間。因此，一致空間與拓撲空間均可視為度量空間的推廣。 若考量上面給定之度量空間的第一個定義，放寬定義中的第二個條件，則可得到偽度量空間 Pascal Hitzler and Anthony Seda Mathematical Aspects of Logic Programming Semantics Chapman and HallCRC 2010。若移除第三個或第四個條件，則可分別得到擬度量空間與半度量空間。 若距離函式的對應域為擴充套件實數線 R，定義中的四個條件維持不變，則稱該空間為「擴充套件度量空間」或「infty 度量空間」。若距離函式的對應域為某個（適當的）有序集（且三角不等式有對應的調整），則可得出「擴充套件超度量」這個概念。 是度量空間的推廣，以點對集合的距離取代點對點的距離。 連續性空間是度量空間與偏序集的推廣，用來統整度量空間與域的概念。 部分度量空間是為了對度量空間作最小化的推廣，使得每個點對自身的距離不再一定為零。 度量空間作為豐富範疇 有序集 mathbb Rgeq 可透過令 ageq b 時恰有一態射 ato b，否則沒有態射，將之視為一個範疇。使用 作為張量積，0 作為單位元，該集合可變成一個麼半範疇 R。每個度量空間 M d 均可被視為 R 上的豐富範疇 M。其步驟如下： 令 operatorname ObMM（M 內的元素為豐富範疇 M 之物件）。 對於每個 M 內的元素 X、Y，令 operatorname HomXYd XYin operatorname ObR（M 的度量為豐富範疇 M 之態射）。 態射複合 operatorname HomYZotimes operatorname HomXYto operatorname HomXZ 亦為 R 內的唯一態射，因為三角不等式 d yzd xygeq d xz。 單位態射 0to operatorname HomXX 是唯一的，因為 0geq d XX。 參見 三角不等式 利普希茨連續 等距同構，壓縮對映和度量對映 範數 註記 參考資料 外部連結 Far and near several examples of distance functions at cuttheknot D D D