在機率論和統計學中，二項分佈是一種離散機率分佈，描述在進行獨立隨機試驗時，每次試驗都有相同機率 成功 的情況下，獲得成功的總次數。擲硬幣十次出現五次正面的機率、產品合格率 99 時抽出一百件樣本沒有發現一件次品的機率等等，都可以由二項分佈給出。 只有 成功 和 失敗 兩種可能結果，每次重複時成功機率不變的獨立隨機試驗稱作伯努利試驗，例如上述的擲硬幣出現正面或反面、對產品進行抽樣檢查時抽到正品或次品。伯努利試驗作為理論模型，其前提在現實中無法完全得到滿足，比如生產線會磨損，因此每件產品合格的機率並非固定。儘管如此，二項分佈給出的機率通常足以用於提供有用的推斷；即使在已知前提沒有滿足的場合，二項分佈也能用於參考和比較。二項分佈的應用出現在遺傳學、質量控制等領域之中。 定義 若隨機變數 X 有機率質量函式 Pr X k n choose k pk 1 pn k quad k 0 1 ldots n 其中 n 為正整數、 0 leq p leq 1 ，則稱 X 服從引數為 n p 的二項分佈，記為 X sim operatorname B n p 或 X sim operatorname Bin n p 。習慣上 1 p 也用 q 表示。 推導 進行 n 次獨立伯努利試驗的結果可以由 n 個字母表示，例如用 S 表示成功， F 表示失敗，則 SSFSF 表示五次試驗中第一、二、四次的結果為成功，其餘為失敗。設每次試驗成功的機率為 p ，失敗的機率為 1 p 。因為試驗相互獨立，每一種排列 k 個 S 、 n k 個 F 的方式對應的機率為 pk 1 pn k 。 從 n 個不同元素中選出含 k 個元素的子集的方法數量等於二項式係數 n choose k frac n k nk 而每種對 k 個 S 、 n k 個 F 的排列都可理解為從 n 個位置中選出 k 個作為字母 S 的位置的方法，這種方法的數量即為 n choose k 。與每種排列方式對應的機率相乘，便得到定義中的機率 n choose k pk 1 pn k 歷史 二項分佈是最早得到研究的機率分佈之一。丹麥統計學家安德斯哈爾德認為其歷史可以追溯至布萊茲帕斯卡與皮埃爾德費馬於 1654 年對點數分配問題的討論：兩名玩家贏得每局遊戲的機會相同，贏得一定局數的勝者可獲得獎金，但比賽僅進行了數局，尚未分出勝負就被迫中斷，則獎金該如何分配？帕斯卡認為，獎金的分配應當基於玩家距離勝利所差的局數：若一名玩家還需 r 局獲勝，另一名玩家還需 s 局獲勝，則應考慮在 r s 1 局比賽的 2r s 1 種結果中，兩名玩家分別在多少種情況中獲勝。兩人的討論限於這一問題本身，並未推匯出二項分佈的機率，但這一解法可被視作基於引數 p 12 的二項分佈。 對二項分佈機率的推導為雅各布伯努利於《》中作出。該著作在他去世後，於 1713 年得到出版，被視作機率論的奠基性作品。伯努利還在其中首次給出了弱大數定律的嚴格證明。對二項分佈的正態近似則是由亞伯拉罕棣莫弗發現，這一工作於 1733 年完成，於 1738 年出版在其著作《》的第二版中。 性質 引數為 n p 的二項分佈的期望值為 np ，方差為 np 1 p 。其機率母函式為 G z 1 p pzn 矩母函式為 M_X t 1 p petn 特徵函式為 varphi_X t 1 p peitn 引數 n 1 的二項分佈稱作伯努利分佈。是二項分佈的拓展，描述重複進行不限於兩種結果、可能有多種可能結果的隨機試驗時的機率。二項分佈本身是超幾何分佈的極限形式。 二項分佈的和 若 X_1 X_2 兩個隨機變數獨立，分別服從引數為 n_1 p 和 n_2 p 的二項分佈，則 X_1 X_2 即是在 n_1 n_2 次獨立伯努利試驗中取得成功的次數，所以 X_1 X_2 服從引數為 n_1 n_2p 的二項分佈。這一結論亦可透過將兩者的機率母函式相乘而得出。在條件 X_1 X_2 k 之下，隨機變數 X_1 的條件機率分佈是引數為 k n_1 n_1 n_2 的超幾何分佈。 眾數 計算 Pr X k 和 Pr X k 1 的比值可以得到 frac Pr X k 1Pr X k frac n k pk 11 p quad k 0 1 ldots n 1 因此，當 k n 1 p 1 時， Pr X k 隨 k 增加而上升；當 k n 1 p 1 時， Pr X k 隨 k 增加而下降。故二項分佈的眾數為 n 1 p 的下取整 lfloor n 1 p rfloor 。若 n 1 p 本身是整數，則 n 1 p 和 n 1 p 1 均是眾數。若 p n 11 ，則眾數為 0 。 中位數 二項分佈的中位數 m 位於 np 的上下取整之間，即 lfloor np rfloor leq m leq lceil np rceil ；若 np 為整數，則中位數 m np 。中位數 m 和期望值 np 之間的差滿足 m np max p 1p 若 p ln 2 或 p 1 ln 2 ，則該上界可進一步縮減為 m np ln 2 若 n 為奇數、 p 12 ，則 n 12 和 n 12 均為中位數。 累積分佈函式 二項分佈的累積分佈函式和尾機率可以用正則化不完全貝塔函式表示為 Pr X leq k I_1 p n lfloor k rfloor lfloor k rfloor 1 Pr X geq k I_p lceil k rceil n lceil k rceil 1 矩 二項分佈的 r 階原點矩滿足 mu_r E Xr sum_j 0r frac S rj n pj nj 其中 S rj 表示斯特林數。具體而言， mu_1 np mu_2 np n n 1 p2 mu_3 np 3n n 1 p2 n n 1n 2 p3 mu_4 np 7n n 1 p2 6n n 1n 2 p3 n n 1n 2n 3 p4 其低階中心矩為 mu_2 np 1 p mu_3 np 1 p 1 2p mu_4 3 np 1 p2 np 1 p1 6p 1 p 近似 正態近似 標準二項分佈 X frac X np sqrt np 1 p 在 n to infty 時趨近於標準正態分佈。這一結果稱作，為中心極限定理的特殊形式。基於這一定理可以得到 Pr alpha frac X np sqrt np 1 p beta to Phi beta Phi alpha 其中 Phi 為標準正態分佈的累積分佈函式。 正態分佈為連續機率分佈，在近似二項分佈這類離散機率分佈時，可將端點向外偏移 05 得到 Pr X leq k approx Phi left frac k 05 np sqrt np 1 pright 從而提升近似的準確性，這種技巧稱作。何時能採用這一近似依賴於使用經驗法則，例如要求 np 1 p 9 ，或是在 p leq 05 時要求 np 5 、在 p 05 時要求 n 1 p 5 。 泊松近似 當 n to infty p to 0 ，而 np 保持不變時，二項分佈趨近於引數為 np 的泊松分佈。以此為基礎可以得到 Pr X leq k approx enp sum_j 0k frac npj j 二項分佈與其泊松近似之間的絕對誤差存在上界。若隨機變數 X 服從引數為 n p 的二項分佈，隨機變數 Y 服從引數為 np 的泊松分佈，則 sum_k 0infty Pr X k Pr Y k leq min 2np2 3p 引數估計 點估計 通常引數 n 為已知。假設隨機變數 X 服從二項分佈，其引數 p 未知。若觀測到 X 的值為 x ，採用矩估計和最大似然估計對引數 p 的估計量均為 frac x n ，這一估計量為無偏的。 引數 p 的取決於使用的先驗分佈。若使用連續型均勻分佈作為先驗分佈，即假設 0 和 1 之間任意等長的區間包含 p 的機率都相同，則後驗均值估計量為 widehat p frac x 1 n 2 這被稱作，曾被皮埃爾 西蒙拉普拉斯用於估計在太陽連續升起 n 天之後，太陽明天還會升起的機率。由於人類知道太陽在過去五千年，即 1826213 天都正常升起，拉普拉斯願意以 1826214 比 1 的賠率賭太陽明天繼續升起。 若使用引數為 alphabeta 的貝塔分佈作為先驗分佈，則後驗均值估計量為 widehat p frac alpha x 1 alpha beta n 2 採用貝塔分佈作為先驗分佈時，後驗分佈亦是貝塔分佈，即貝塔分佈為二項分佈的共軛先驗。 區間估計 若要對引數 p 以區間形式給出估計，透過求解 sum_j xn n choose j p_Lj 1 p_Ln j frac alpha 2 sum_j 0x n choose j p_Uj 1 p_Un j frac alpha 2 所得的區間 p_L p_U 為一個置信水平近似為 1 alpha 的置信區間，稱作克洛珀 皮爾遜區間。 正態分佈可以用於推導近似的置信區間。若用 lambda_alpha2 表示標準正態分佈的第 1 frac alpha 2 分位數，即 Phi lambda_alpha2 1 frac alpha 2 ，則區間兩端的近似值為 frac x n pm frac lambda_alpha2 sqrt n sqrt frac x n left 1 frac x nright 參見 機率論 機率分佈 正態分佈 卜瓦松分佈 伯努利分佈 負二項分佈 註釋 參考文獻 Category 離散分佈 Category 階乘與二項式主題 Category 指數族分佈