在量子力學裡，量子系統的量子態可以用波函式來描述。薛丁格方程式設定波函式如何隨著時間流逝而演化。 波函式 Psi mathbf rt 是一種複值函式，表示粒子在位置 mathbf r 、時間 t 的機率幅，它的絕對值平方 Psi mathbf rt2 是在位置 mathbf r 、時間 t 找到粒子的機率密度。以另一種角度詮釋，波函式 Psi mathbf rt 是「在某時間、某位置發生相互作用的機率幅」。 歷史 在 1920 年代與 1930 年代，理論量子物理學者大致分為兩個陣營。第一個陣營的成員主要為路易德布羅意和埃爾溫薛丁格等等，他們使用的數學工具是微積分，他們共同建立了波動力學。第二個陣營的成員主要為維爾納海森堡和馬克斯玻恩等等，使用線性代數，他們建立了矩陣力學。後來，薛丁格證明這兩種方法完全等價。 德布羅意於 1924 年提出的德布羅意假說表明，每一種微觀粒子都具有波粒二象性。電子也不例外，具有這種性質。電子是一種波動，是電子波。電子的能量與動量分別決定了它的物質波頻率與波數。既然粒子具有波粒二象性，應該會有一種能夠正確描述這種量子特性的波動方程式，這點子給予埃爾溫薛定諤極大的啟示，他因此開始尋找這波動方程式。薛定諤參考威廉哈密頓先前關於牛頓力學與光學之間的類比這方面的研究，在其中隱藏了一個奧妙的發現，即在零波長極限，物理光學趨向於幾何光學；也就是說，光波的軌道趨向於明確的路徑，而這路徑遵守最小作用量原理。哈密頓認為，在零波長極限，波傳播趨向於明確的運動，但他並沒有給出一個具體方程式來描述這波動行為，而薛定諤給出了這方程式。他從哈密頓 雅可比方程成功地推匯出薛定諤方程式。他又用自己設計的方程式來計算氫原子的譜線，得到的答案與用波耳模型計算出的答案相同。他將這波動方程式與氫原子光譜分析結果，寫為一篇論文，1926 年，正式發表於物理學界 德文原稿。從此，量子力學有了一個嶄新的理論平臺。 薛丁格給出的薛定諤方程式能夠正確地描述波函式的量子行為。那時，物理學者尚未能解釋波函式的涵義，薛定諤嘗試用波函式來代表電荷的密度，但遭到失敗。1926 年，玻恩提出機率幅的概念，成功地解釋了波函式的物理意義。可是，薛定諤本人不贊同這種統計或機率方法，和它所伴隨的非連續性波函式塌縮，如同愛因斯坦認為量子力學只是個決定性理論的統計近似，薛定諤永遠無法接受哥本哈根詮釋。在他有生最後一年，他寫給玻恩的一封信內，薛定諤清楚地表明瞭這意見。 1927 年，道格拉斯哈特里與弗拉基米爾福克在對於多體波函式的研究踏出了第一步，他們發展出哈特里－福克方程來近似方程的解。這計算方法最先由哈特里提出，後來福克將之加以改善，能夠符合包立不相容原理的要求。 薛定諤方程式不具有勞侖茲不變性 ，無法準確給出符合相對論的結果。薛定諤試著用相對論的能量動量關係式，來尋找一個相對論性方程式，並且描述電子的相對論性量子行為。但是這方程式給出的精細結構不符合阿諾索末菲的結果，又會給出違背量子力學的負機率和怪異的負能量現象，他只好將這相對論性部分暫時擱置一旁，先行發表前面提到的非相對論性部分。 1926 年，奧斯卡克萊因和沃爾特戈爾登將電磁相對作用納入考量，獨立地給出薛定諤先前推導出的相對論性部分，並且證明其具有勞侖茲不變性。這方程式後來稱為克萊因 戈爾登方程式。 1928 年，保羅狄拉克最先成功地統一了狹義相對論與量子力學，他推匯出狄拉克方程式，適用於電子等等自旋為 12 的粒子。這方程式的波函式是一個旋量，擁有自旋性質。 概述 位置空間波函式 假設一個自旋為零的粒子移動於一維空間。這粒子的量子態以波函式表示為 Psi xt ；其中，x 是位置，t 是時間。波函式是複值函式。測量粒子位置所得到的結果不是決定性的，而是機率性的。粒子的位置 x 在區間 ab （即 ale xle b ）的機率 P_ale xle b 為 P_ale xle b int_ab Psi xt2 mathrm d x ； 其中，t 是對於粒子位置做測量的時間。 換句話說，Psi xt2 是粒子在位置 x 、時間 t 的機率密度。 這導致歸一化條件：在位置空間的任意位置找到粒子的機率為 100： int_inftyinfty Psi xt2 mathrm d x 1 。 動量空間波函式 在動量空間，粒子的波函式表示為 Phi pt ；其中，p 是一維動量，值域從 infty 至 infty 。測量粒子動量所得到的結果不是決定性的，而是機率性的。粒子的動量 p 在區間 ab （即 ale ple b ）的機率為 P_ale ple b int_ab Phi pt2 mathrm d p 。 動量空間波函式的歸一化條件也類似： int_inftyinfty left Phi p t right 2 mathrm d p 1 。 兩種波函式之間的關係 位置空間波函式與動量空間波函式彼此是對方的傅立葉變換。他們各自擁有的資訊相同，任何一種波函式都可以用來計算粒子的相關性質。兩種波函式之間的關係為 Phi pt frac 1sqrt 2pihbarint_inftyinfty eipxhbar Psi xt mathrm d x 、 Psi xt frac 1sqrt 2pihbarint_inftyinfty eipxhbar Phi pt mathrm d p 。 波函式實質 量子力學中體系的態實際上由一個希爾伯特空間裡的 mathfrak Jtrangle 向量來描述。我們可以用任何不同的基來表示它。 波函式 Psi x t 實際上是 mathfrak Jtrangle 在座標本徵函式為基上展開的 x 分量： Psi x tlangle x mid mathfrak Jtrangle （這裡基向量 xrangle 對應於本徵值為 x 的算符 hat x 的本徵函式）。 動量空間波函式 Phip t 是 mathfrak Jtrangle 用動量本徵函式的基展開時的展開係數 Phi p tlangle p mid mathfrak Imtrangle （這裡基向量 prangle 對應於屬於本徵值 p 的 hat p 的本徵函式） 。 我們也可以把 mathfrak Ftrangle 用能量本徵函式的基展開（簡單起見，假設譜是分立的）： c_n tlangle n mid mathfrak Imtrangle （這裡基向量 nrangle 對應屬於 hat H 的第 n 個本徵函式：c_nleftlangle f_n mid Psirightrangleint f_n x Psi x t mathrm d x 。 波函式 Psi 與 Phi 和係數的集合 leftc_nright ，所有這些所表示的都是同一個狀態，包含完全一樣的資訊 它們僅是描述同一向量的三種不同途徑而已： mathfrak Jtrangle rightarrow int Psi y t delta xy d yint Phi p t frac 1sqrt 2 pi hbar ei p x hbar d p sum c_n ei E_n t hbar psi_n x 薛丁格方程式 在一維空間裡，運動於位勢 V x 的單獨粒子，其波函式滿足含時薛丁格方程式 frac hbar22mfrac partial2partial x2Psi xtV xPsi xtihbarfrac partialpartial tPsi xt ； 其中，m 是質量，hbar 是約化普朗克常數。 不含時薛丁格方程式與時間無關，可以用來計算粒子的本徵能量與其它相關的量子性質。應用分離變數法，猜想 Psi xt 的函式形式為 Psi xt psi_E x e iEthbar ； 其中，E 是分離常數，稍加推導可以論定 E 就是能量，psi_E x 是對應於 E 的本徵函式。 代入這猜想解，經過一番運算，可以推匯出一維不含時薛丁格方程式： frac hbar22mfrac partial2partial x2psi_E xV xpsi_E xEpsi_E x 。 波函式的機率詮釋 波函式 Psi mathbf rt 是機率波。其模的平方 vertPsi mathbf rtvert2 代表粒子在該處出現的機率密度，並且具有歸一性，全空間的積分 intvertPsi mathbf rtvert2d3x1 。 波函式的另一個重要特性是相干性。兩個波函式疊加，機率的大小取決於兩個波函式的相位差，類似光學中的楊氏雙縫實驗。 波函式的本徵值和本徵態 在量子力學中，可觀察量 A 以算符 hat A 的形式出現。hat A 代表對於波函式的一種運算。例如，在位置空間裡，動量算符 hat mathbf p 的形式為 hat mathbf pihbarnabla 。 可觀察量 A 的本徵方程式為 hat Apsiapsi 。 對應的 a 稱為算符 hat A 的本徵值，psi 稱為算符 hat A 的本徵態。假設對於 hat A 的本徵態 psi 再測量可觀察量 A ，則得到的結果是本徵值 a 。 態疊加原理 假設對於某量子系統測量可觀察量 A ，而可觀察量 A 的本徵態 a_1rang 、a_2rang 分別擁有本徵值 a_1 、a_2 ，則根據薛定諤方程的線性關係，疊加態 psirang 也可以是這量子系統的量子態： psirangc_1a_1rangc_2a_2rang ； 其中， c_1 、c_2 分別為疊加態處於本徵態 a_1rang 、a_2rang 的機率幅。 假設對這疊加態系統測量可觀察量 A ，則測量獲得數值是 a_1 或 a_2 的機率分別為 c_12 、c_22 ，期望值為 langlepsi Apsirangc_12 a_1 c_22 a_2 。 定態 在量子力學中，一類基本的問題是哈密頓算符 hat H 不含時間的情況。對於這問題，應用分離變數法，可以將波函式 Psi mathbf rt 分離成一個只與位置有關的函式 psi mathbf r 和一個只與時間有關的函式 f t ： Psi mathbf rtpsi mathbf r f t 。 將這公式代入薛定諤方程，就會得到 f texp iEthbar 。 而 psi mathbf r 則滿足本徵能量薛丁格方程式： hat Hpsi mathbf rEpsi mathbf r 。 例子 自由粒子 3D 空間中的自由粒子，其波矢 為 ， 角頻率 為，其波函式為： Psi mathbf rt A ei mathbf kcdotmathbf romega t 無限深方形阱 粒子被限制在和之間的 1D 空間中，其波函式為 begin align Psi xt sqrt frac 2L sinleft frac npi xLright eiomega_n t quad 0 leq x leq L Psi xt 0 x 0 x L end align 其中，hbaromega_nfrac n2 h28mL2 是能量本徵值，n 是正整數，m 是質量。 有限位勢壘 在 1D 情況下，粒子處於如下勢壘中： V xbegin cases V_0 xa 0 text otherwiseend cases 其波函式的定態解為 k kappa 為常數 psi x begin cases A_mathrm rexp ikxA_mathrm lexp ikx xa B_mathrm rexp kappa xB_mathrm lexp kappa x xle a C_mathrm rexp ikxC_mathrm lexp ikx xa end cases 量子點 量子點是在把激子在三個空間方向上束縛住的半導體奈米結構。粒子在三個方向上都處在勢阱中。勢阱可以由於靜電勢（由外部的電極，摻雜，應變，雜質產生），兩種不同半導體材料的介面（例如：在自組量子點中），半導體的表面（例如：半導體奈米晶體），或者以上三者的結合。量子點具有分離的量子化的能譜。所對應的波函式在空間上位於量子點中，但延伸於數個晶格週期中。其中的能級可以用類似無限深方形阱的模型來描述，能級位置取決於勢阱寬度。 參閱 波包 參考文獻 註釋 B B