數列是由數字組成的序列。另一種略為抽象的說法是 以正整數為定義域、值域是一個數系的函式。級數也是一種數列，不過它的每一項是另外一個數列的部份和。在微積分的教材中經常討論的數列是實數序列和實數級數。一般的「序列」則範圍更廣，可以由有序的一系列數字、一系列函式、一系列向量、一系列矩陣或一系列張量等等所組成。而在計算理論中，數列以及相關術語常用於有關遞推規律的研究。 正式定義 由於最一般的數為複數，可以作如下的定義：。 在教學上常會如下標示有限數列，來增進對定義的直觀理解： left langle a_k right rangle_k1n left langle a_1 a_2 a_3 cdots a_n right rangle 以上表達式中的每一個數被稱為這個數列的「項」。a_1 為數列的「第一項」、a_2 為「第二項」，以此類推。n 被稱為有限數列的項數。數列中的第一項常稱為「首項」，最後一項則稱為「末項」。注意有限數列也可以設為 left langle a_k right rangle_k0n ，換句話說，把 0 加入數列的定義域，並以第零項 a_0 作為首項。無窮數列只有首項，沒有末項，但類似的，也有人把 0 踢出無窮數列的定義域，讓無窮數列的首項為 a_1 。 由數列中各個項的和組成的數列稱為「級數」，換句話說 一般會將 left s_i right_iinN 寫為 sumn_i0 a_i ，甚至更直觀的 a_0 a_1 cdots a_n 來凸顯級數源於求和」的直觀概念。 級數的概念可以推廣至數列以外的序列，比如說函式序列的。 分類 單調性 若對所有 ， ，則稱數列 為「遞增數列」。把 換成 ，則稱為「嚴格遞增數列」。 若對所有 ， ，則稱數列 為「遞減數列」。把 換成 ，則稱為「嚴格遞減數列」。 若對所有 ， ，則稱數列 為「常數數列」。 有限性 若數列 left langle a_k right rangle_k1n 的項數有限，則 為「有限數列」。 若數列 left langle a_k right rangle_k1infty 的項數無限，則 為「無窮數列」。 有界性 若對所有 ， ，則稱數列 為「有界數列」。 稱為「下界」， 稱為「上界」。 若對數列 ，上述的 、 不存在，則稱數列 為「無界數列」。 收斂性與極限 收斂性是數列的一個重要性質。如果一個數列逐漸趨近於某一個值，就稱該數列為收斂數列，否則稱為發散數列。 簡單的說，一個數列 x_n 有極限，便是它的數列中的元素逐漸地越來越靠近 L（稱為極限值），但是它們仍然任意得很靠近極限值 L，而不一定恰好相等。 舉例來說：當 a_nfrac 1n 時，隨著 n 的數字增加，可以看到它逐漸趨向於 0。當 a_n5 frac 3n29n21 時，隨著 n 的數字增加，可以看到它逐漸趨向於 2。 此外，值得注意的是，當一個數列有極限值時，它的極限值一定是唯一的。一般來說，當數列收斂，我們會記 lim_n to infty a_n L。 收斂的嚴格定義 我們說一個實數數列 a_n 收斂於實數 L；如果對任意的 epsilon0 ，存在一個正整數 N in N，使得對所有的 n geq N，有 a_nLepsilon。 重要的特殊數列 等差數列：是一種特殊數列。數列中，從第二項起，每一項與前一項的差相等。 例如數列 13579cdots999599979999cdots。 這就是一個等差數列，因為第二項與第一項的差和第三項與第二項的差相等，都等於 2；9999 與 9997 的差也等於 2。我們把像 2 這樣的後一項與前一項的差稱之為公差，符號為 d，但是 d 可為 0。 若設首項 a_1 a，則等差數列的通項公式為 a_na_1n1 d。 多階等差數列：又稱高階等差數列，中國則稱之為 質數相關數列。 把一個數列的所有後項與前一項之差組成一個新的數列，如果這個新的數列是普通等差數列，原數列就稱為二階等差數列。 由此類推，把一個數列的所有後項與前一項之差組成一個新的數列，再把這個新的數列的所有後項與前一項之差組成另一個新的數列，如此進行下去，直到最後的數列如果是普通等差數列，那麼原數列就是多階等差數列。 普通等差數列可以視為一階等差數列，因而常數數列實際就是零階等差數列。 等比數列：是一種特殊數列。它的特點是：從第 2 項起，每一項與前一項的比都是一個常數。 例如數列 2481632cdots219721982199cdots。 這就是一個等比數列，因為第二項與第一項的比和第三項與第二項的比相等，都等於 2，2198 與 2197 的比也等於 2。我們把像 2 這樣的後一項與前一項的比稱之為公比，符號為 r。 若設首項 a_1 a，則等比數列的通項公式為 a_narn1。 斐波那契數列：是一種特殊數列。它的特點是：首兩項均是 1，從第 3 項起，每一項均為前兩項的和。 以數學符號表示，即 a_1a_21，且對於 nge 3，a_na_n1a_n2。 斐波那契數列的通項公式為 a_nfrac 1sqrt 5left left frac 1sqrt 52rightnleft frac 1sqrt 52rightnright。 質數數列：目前找不到規律的特殊數列，即：2 3 5 7 11 13 17 正負相間：1n 或 1n1 隔項有零：frac 12 1n1 或 frac 12 1n11 數列的求和 通常對第 1 項到第 n 項求和，記為 S_nsum_k1n a_k。此求和符號是由瑞士數學家萊昂哈德尤拉使用和推廣的。 一個特殊數列求和：奇數數列。1，3，5，7，9，。其和為項數 n 的平方。例如：132213532。 通項公式的求解 通常，從實際問題中會先得到一個遞推關係式，但是可能會難以觀察出數列中某一項的項數和具體大小之間的規律。所以需要求出這個數列的通項公式。以下是一些常見的遞推式化簡方法。通項公式的求解在積分學、線性代數、機率論、組合數學、趣味數學、數學物理、數學建模、數值分析、分形等領域中都會遇到。並不存在一種通用的解法。求不出通項公式或只能進行估算的情形也可能出現。 數學歸納法 求出該數列的前數項，歸納其通項公式，然後用數學歸納法證明公式正確。 數學歸納法是最基本的方法，但對觀察和歸納的能力要求比較高。如果猜不出規律，則不能使用此方法。 逐差全加 給定數列差 d_n 時逐差全加，例如： a_11，d_na_na_n12n 求 a_n a_na_1sum_k2n d_kn2n1 逐商全乘 給定數列比 r_n 時逐差全乘，例如： a_11，r_nfrac a_na_n1frac nn1，求 a_n a_na_1prod_k2n r_kn 從和式求通項 如果已知數列和的公式，那麼通項的求解非常容易。由 S_nsum_k1n a_n 可知 S_nS_n1a_n 把 S_n 看成一個數列，可以先對 S_n 進行求解，然後得出 a_n。 換元法 換元法用於從形式上簡化表示式，以突出問題的本質。換元法一般不單獨使用，而是和其它方法結合使用。中學數學中常用的有對數換元法、三角函式換元法，還有用得很少的雙曲函式換元法。 不動點法 對於形如齊次分式的遞推關係，可利用不動點來推導。 已知 Aa_n1Ba_nC0，其中 A、B、C 都是常數，求 a_n。 求這類數列的通項公式，一般的方法就是將之化成一個新的等比數列。 如果 AneB，那麼這個式子就可以化成下面的形式： A a_n1kB a_nk。 求出 k，那麼數列 a_nk 就是一個等比數列，從而求出通項公式。 如果 AB，這個遞推關係就不能化為等比數列。如果 AB，那麼它就是等差數列。另外，當 AB 的時候，它是一個等和數列。從這個問題我們可以看到，等和數列也可以化成一個等比數列。 除此之外也可以這樣將之化成等比數列： Aa_n1Ba_nC0 Aa_nBa_n1C0 兩邊相減就有：A a_n1a_nB a_na_n10，如此就化成了一個等比數列。 已知 Aa_n1Ba_nCa_n1D0 其中 A、B、C、D 都為常數，求 a_n； 與上述數列一樣，它們一定可以化成下面的形式： Aa_n1Ea_nk Aa_nEa_n1D 求出對應係數，於是就轉化成了前面那種形式，然後就可以求出數列 Aa_nEa_n1 的通項公式，然後求出 a_n 的通項公式。實際上這是一種逐步化簡的方法。 其它方法 其它常用方法包括導數求通項法、組合數學中的母函式方法、特徵方程法，這些一般是在大學課程或是部分高中的進階課程中學到。其中特徵方程法專門用於線性遞推關係式的化簡，與求解線性微分方程的特徵方程法非常類似。 在其他數學領域的使用 拓樸 分析 線性代數 抽象代數 參見 整數數列線上大全 OEIS 參考資料 Category 初等數學 Category 序列