迴圈小數，也稱為無限迴圈小數，是從小數部分的某一位起，一個數字或幾個數字，依次不斷地重複出現的小數。 定義 迴圈小數都為有理數的小數表示形式，例： 5 over 4125125000000cdots125overline 0124999999cdots124overline 9 1 over 303333333cdots0overline 3 1 over 70color red 142857color blue 142857cdots0overline 142857 性質 一個分母為 n 的迴圈小數的迴圈節位數最多不超過 n1 位。若該數為素數，迴圈節位數一定是 N1 的因數（參見：費馬偽素數）。為了證明這點，可用反證法。假設 n 的迴圈節為 m，令 mn。將 1n 乘以 10，迴圈往復操作，會得到不同的餘數。根據餘數定義，餘數的個數等於分母本身。又因為當餘數為 0 的時候是整數而非迴圈小數，所以只有 n1 種迴圈節。若長度為 m 位，則必有 mn1 種迴圈節無法輪替，所以一個分母為 n 的迴圈小數的迴圈節位數最多不超過 n1 位。 根據分數 frac ba 的情況分開討論 1 除數 a 為 2mtimes 5ntimes K 的倍數時，bdiv a 有 max mn 個不迴圈位數，其中 b 為任意自然數，K 為非 2m5n 之其他數。 2 如果 1 leqslant b a，a 不是 2 或 5 的倍數，並且 a 與 b 互質，那麼存在一個正整數 e，e 為 bdiv a 的迴圈節位數，而 eoperatorname minleft ein mathbb N10eequiv 1 pmod a right 。 10e equiv 1 pmod a 表示 10e1 可以整除 a，或稱 10e 與 1 同餘） 事實上以該參考文獻的定理一公式推導式子frac 10d times ba q frac ba 來看，ba 也成立，例如 frac 27 與 frac 97，兩者迴圈小數一致，因為 frac 871frac 17，只差別在商，餘數皆為 1 同餘 故成立。 3 承接以上兩點，當除數 a 可以質因數標準分解式表示成 2mtimes 5ntimes P1S1times P2S2times times PnSn 時，會有 max mn 個不迴圈位數，和 E 個迴圈節位數。 其中，P1S1 P2S2PnSn 分別各有個迴圈節位數，存在一個最小公倍數 E。 例：frac 1122times32times53times7times17 的迴圈節個數？ 答：前三位不迴圈（2 和 5 的最高次方為 3），迴圈節個數是 48（因為 32 的迴圈節位數為 1，7 的迴圈節位數為 6，17 的迴圈節位數為 16，161648） 化為分數的方法 0xxxx10上取 log x1 可能未約至最簡 另一方法 先看有幾位「非迴圈節位數（color blue n）」和「迴圈節位數（color red m）」，算出後，將 begin matrix underbrace 999 cdots 9 color red m end matrix begin matrix underbrace 000 cdots 0 color blue n end matrix 擺於「分母」。 「分子」則是將「非迴圈節部分」和「迴圈節部分」併為一個數字，將其減去「非迴圈節部分」，即 a_1 a_2 a_3 cdots a_n b_1 b_2 b_3 cdots b_m a_1 a_2 a_3 cdots a_n，詳細公式如下。 公式：0 a_1 a_2 a_3 cdots a_color blue n overline b_1 b_2 b_3 cdots b_color red m a_1 a_2 a_3 cdots a_n b_1 b_2 b_3 cdots b_m a_1 a_2 a_3 cdots a_n over begin matrix underbrace 999 cdots 9 color red m end matrixbegin matrix underbrace 000 cdots 0 color blue n end matrix 原理： 令 x0 a_1 a_2 a_3 cdots a_n overline b_1 b_2 b_3 cdots b_m。 則 10n xa_1 a_2 a_3 cdots a_n overline b_1 b_2 b_3 cdots b_m①式。 10nm xa_1 a_2 a_3 cdots a_n b_1 b_2 b_3 cdots b_m overline b_1 b_2 b_3 cdots b_m②式。 ②－①left 10nm10n right xa_1 a_2 a_3 cdots a_n b_1 b_2 b_3 cdots b_m a_1 a_2 a_3 cdots a_n。 begin align x a_1 a_2 a_3 cdots a_n b_1 b_2 b_3 cdots b_m a_1 a_2 a_3 cdots a_n over 10nm10n a_1 a_2 a_3 cdots a_n b_1 b_2 b_3 cdots b_m a_1 a_2 a_3 cdots a_n over 10nleft 10m1 right a_1 a_2 a_3 cdots a_n b_1 b_2 b_3 cdots b_m a_1 a_2 a_3 cdots a_n over begin matrix underbrace 1000 cdots 0 n end matrix times begin matrix underbrace 999 cdots 9 m end matrix a_1 a_2 a_3 cdots a_n b_1 b_2 b_3 cdots b_m a_1 a_2 a_3 cdots a_n over begin matrix underbrace 999 cdots 9 m end matrixbegin matrix underbrace 000 cdots 0 n end matrix end align。 範例： 01 overline 23 frac 1231990 frac 61495 。 令 x 01 overline 23 則 10x 1 overline 23 、1000x 123 overline 23 兩式相減得 left 100010 right x 1231 ， 990x 122 x frac 61495 。 計算方法 利用短除法可以將分數 有理數，mathbb Q 轉化為迴圈小數。 例如 frac 37 可以用短除法計算如下： 7300000000000000000 042857142857142857 表示方法 迴圈小數在不同國家地區都有不同的表示慣例，但沒有一種慣例是通用的。 附有示例的不同符號 分數 分數 括線 上點 括號 弧線 省略號 0 0 01 0 0111 0 0 03 0 0333 0 0 06 0 0666 0 0 081 0 08181 058 058 058 3 058 0 04285 0142857 0 0 01234567 0012345679 0 3 34285 3142857 3 11 1188679245283 111886792452830 11 括線：在美國、加拿大、印度、法國、德國、義大利、瑞士、捷克共和國、斯洛伐克、斯洛維尼亞、智利和土耳其，慣例是在重複的迴圈節上方繪製一條水平線（括線）。 上點：在一些伊斯蘭國家，如馬來西亞、摩洛哥、巴基斯坦、突尼西亞、伊朗、阿爾及利亞和埃及，以及英國、紐西蘭、澳大利亞、南非、日本、泰國、印度、大韓民國、新加坡和中國，慣例是將點放在重複的迴圈節最外圍的數字上方。 括號：在歐洲的部分地區，包括奧地利、丹麥、芬蘭、荷蘭、挪威、 波蘭、俄羅斯和烏克蘭，以及越南和以色列，慣例是將重複的迴圈節放在括號中。這會與的符號混淆。 弧線：在西班牙和一些拉丁美洲國家，例如阿根廷、巴西和墨西哥，括線和上點以重複的迴圈節上的弧線替代。 省略號：非正式地，重複小數通常用省略號表示（三個句點，0333），尤其是在學校首次教授以前的符號慣例時。這種符號會帶來不確定性，即哪些數字應該迴圈，甚至是否會發生迴圈，因為這種省略號也用於無理數；例如，可以表示為 314159。 缺點 不唯一性 使用迴圈小數表示有理數的缺點在於表示方式的不唯一性，例如 1000000cdots1overline 00overline 90999999cdots 與進位制系統密切相關 由於迴圈小數與進位制系統密切相關，使得一些簡單的有理數在迴圈小數表示法中的表示形式相當複雜。如：1 over 170color red 0588235294117647color blue 0588235294117647cdots0overline 0588235294117647 但在某些進位制當中反而因為迴圈節較短，使得看起來相當簡單。如 1 over 171 over 11_160color red 0Fcolor blue 0Fcdots_160overline 0F_16 又或 1 over 171 over 10_1701_17 參考資料 參見 0999 Midy 定理 外部連結 X X Category 有理數