平均數不等式，或稱平均值不等式、均值不等式，是數學上的一組不等式，也是算術 幾何平均值不等式的推廣。它是說： x_1 x_2 ldots x_n in mathbb R_Rightarrowdfrac ndisplaystyle sum_i1n dfrac 1x_i le sqrt nprod_i1nx_i le dfrac displaystyle sum_i1n x_i n le sqrt dfrac displaystyle sum_i1n x_i 2n 即 H_n le G_n le A_n le Q_n 其中： H_n dfrac ndisplaystyle sum_i1n dfrac 1x_i dfrac ndfrac 1x_1dfrac 1x_2cdotsdfrac 1x_n G_nsqrt nprod_i1nx_isqrt nx_1x_2cdots x_n A_n dfrac displaystyle sum_i1n x_i n dfrac x_1x_2cdotsx_nn Q_n sqrt dfrac displaystyle sum_i1n x_i2n sqrt dfrac x2_1x2_2cdotsx2_nn 當且僅當 x_1 x_2 cdots x_n ，等號成立。 即對這些正實數：調和平均數 幾何平均數 算術平均數 平方平均數（方均根） 簡記為：調幾算方 n2 時的情形 第一個不等號 left x_1 x_2 right 2 x_12 2 x_1 x_2 x_22 ge 0 left x_1 x_2 right 2 x_12 2 x_1 x_2 x_22 ge 4 x_1 x_2 1 ge frac 4 x_1 x_2left x_1 x_2 right 2 1 ge frac 2 sqrt x_1 x_2x_1 x_2 sqrt x_1 x_2 ge frac 2 x_1 x_2x_1 x_2 frac 2frac 1x_1 frac 1x_2 第二個不等號 left x_1 x_2 right 2 x_12 2 x_1 x_2 x_22 ge 0 left x_1 x_2 right 2 x_12 2 x_1 x_2 x_22 ge 4 x_1 x_2 left frac x_1 x_22 right2 ge x_1 x_2 frac x_1 x_22 ge sqrt x_1 x_2 第三個不等號 frac x_1 x_22 2 frac x_12 2 x_1 x_2 x_224 ge 0 frac x_12 x_222 frac x_12 x_22 x_12 x_224 ge frac 2 x_1 x_2 x_12 x_224 frac x_1 x_224 sqrt frac x_12 x_222 ge frac x_1 x_22 證明方法 關於均值不等式的證明方法有很多，數學歸納法（第一數學歸納法或反向歸納法）、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以證明均值不等式，在這裡簡要介紹數學歸納法證明 n 維形式的均值不等式的方法： 用數學歸納法證明，需要一個輔助結論。 引理：設 Age 0，Bge 0，則 left ABrightnge AnnAn1 B，且僅當 B0 時取等號。 引理的正確性較明顯，條件 Ageq 0，Bgeq 0 可以弱化為 Ageq 0，ABgeq 0，可以用數學歸納法證明。 原題等價於：left frac a_1a_2cdotsa_nn right n ge a_1 a_2 cdots a_n，當且僅當 a_1a_2cdotsa_n 時取等號。 當 n2 時易證； 假設當 nk 時命題成立，即 left frac a_1a_2cdotsa_kk right k ge a_1 a_2 cdots a_k，當且僅當 a_1a_2cdotsa_k 時取等號。 那麼當 nk1 時，不妨設 a_k1 是 a_1、a_2 cdots a_k1 中最大者，則 ka_k1 ge a_1a_2cdotsa_k 設 S a_1 a_2 cdots a_k， left frac a_1a_2cdotsa_k1k1rightk1 left frac Skfrac ka_k1Skleft k1rightrightk1，根據引理 left frac Skfrac ka_k1Skleft k1rightrightk1 ge left frac Sk right k1k1left frac Sk right kfrac ka_k1Sk k1 left frac Skrightk a_k1 ge a_1a_2 cdots a_ka_k1，當且僅當 ka_k1S0 且 a_1a_2cdotsa_k 時，即 a_1a_2cdotsa_ka_k1 時取等號。 此外，人教版高中數學教科書《選修 45 不等式選講》也介紹了一個運用數學歸納法的證明方法。 先運用數學歸納法證明一個引理：若 n（n 是正整數）個正數 a_1a_2a_n 的乘積 a_1 a_2a_n1，則它們的和 a_1a_2a_ngeqslant n，當且僅當 a_1a_2a_n1 時等號成立。 此引理證明如下： 當 n1 時命題為：若 a1，則 ageqslant1，當且僅當 a1 時等號成立。命題顯然成立。 假設當 nk 時命題成立，則現在證明當 nk1 時命題也成立。 若這 k1 個數全部是 1，即 a_1a_2a_k11，則命題顯然成立。 若這 k1 個數不全是 1，則易證明必存在 ineq j 使 a_i1 a_j1。不妨設 a_11 a_21。由歸納假設，因為 a_1 a_2 a_3a_k11，所以 a_1 a_2a_3a_k1geqslant k，記此式為①式。由 a_11 a_21，知 a_110 1a_20，則 a_111a_2a_1a_2a_1 a_210，整理得 a_1a_21a_1 a_2，記此式為②式。①②得 a_1a_2a_1 a_2a_3a_k1 k1a_1 a_2，整理得 a_1a_2a_k1 k1（此時等號不成立），命題成立。 綜上，由數學歸納法，引理成立。 現在為了證明平均值不等式，考慮 n 個正數 frac a_1sqrt na_1 a_2a_n frac a_2sqrt na_1 a_2a_n frac a_nsqrt na_1 a_2a_n，它們的積為 1，由引理，它們的和 frac a_1sqrt na_1 a_2a_nfrac a_2sqrt na_1 a_2a_nfrac a_nsqrt na_1 a_2a_nfrac a_1a_2a_nsqrt na_1 a_2a_ngeqslant n，當且僅當 frac a_1sqrt na_1 a_2a_n frac a_2sqrt na_1 a_2a_n frac a_nsqrt na_1 a_2a_n 即 a_1a_2cdotsa_n 時等號成立。 整理即得：frac a_1a_2a_nngeqslant sqrt na_1 a_2a_n，當且僅當 a_1a_2cdotsa_n 時等號成立。於是 G_n le A_n 得證。 利用 G_n le A_n，易證 H_n le G_n。考慮 n 個正數 frac 1a_1frac 1a_2frac 1a_n，有 frac frac 1a_1frac 1a_2frac 1a_nngeqslant sqrt nfrac 1a_1cdotfrac 1a_2cdotcdotfrac 1a_nfrac 1sqrt na_1 a_2 a_n，當且僅當 frac 1a_1frac 1a_2frac 1a_n 即 a_1a_2cdotsa_n 時等號成立。兩邊取倒數整理得 frac nfrac 1a_1frac 1a_2frac 1a_nleqslant sqrt na_1 a_2 a_n，當且僅當 a_1a_2cdotsa_n 時等號成立，即 H_n le G_n。 A_n le Q_n 等價於 Q_n2A_n2 ge 0 。事實上，Q_n2A_n2 等於 a_1 a_2 ldots a_n 的方差，透過這個轉化可以證出 Q_n2A_n2 ge 0 ，證明如下。 Q_n2A_n2Q_n22A_n2A_n2frac a_12a_22ldots a_n2nfrac 2a_1 A_n2a_2 A_n ldots 2a_n A_nnfrac nA_n2n frac a_122a_1 A_nA_n2a_222a_2 A_nA_n2ldots a_n22a_n A_nA_n2n frac a_1A_n2a_2A_n2ldots a_nA_n2n geqslant 0 ， 當且僅當 a_1a_2cdotsa_n A_n 時等號成立。 利用琴生不等式法也可以很簡單地證明均值不等式，同時還有柯西歸納法等方法。 參見 算術 幾何平均值不等式 冪平均不等式 P P Category 平均數