數學上，分數微積分（fractional calculus）是數學分析的一個分支，它研究微分運算元 D frac ddx 和積分運算元 J 的實數次冪的可能應用（通常不寫作 I 以避免和其他 I 形符號產生混淆）。 在這個上下文中，冪指反覆應用，和 f2 x f f x 中的平方意義相同。例如，可以提出如何解釋如下符號的問題 sqrt DDfrac 12 作為微分運算元的平方根（半次操作），也就是一種運算元操作兩次以後可以有微分的效果。 更一般的， Dn 對於實數值的 n，使得當 n 為整數時，若 n0 它等同於通常的冪 n 次操作，當 n0 它等同於 n 次積分 J。 討論這個問題有幾個原因。一個是，這樣冪 Dn 組成的半群可以看作一個連續的半群中取離散值的部分。連續半群在數學上有很好的研究，有一個有趣的理論。注意，分數是個錯誤的記號，因為指數可以取非有理數，但是分數微積分已成為習慣用法。 歷史緣由 在應用數學與數學分析中，一個分數階的導數是一個可以為任意階實數或是複數的導數。這個概念第一次出現在 1695 年，萊布尼茲寫給洛必達的書信中。分數微積分則是第一次被介紹在阿貝爾的早期論文中，其中關於各種分數階的積分與微分的概念、微分與積分的關係、關於分數階的微分與積分其實都可以被視作一種廣義運算元，以及統一關於實數階微分與積分的概念。該主題的基礎由劉維爾 Liouville 在 1832 年的論文中獨立奠定的，奧利弗黑維塞 Oliver Heaviside 在 1890 年引入分數微分運算元在電力傳輸分析中。分數微積分的理論與應用在 19 世紀跟 20 世紀中得到發展，許多貢獻者都給出了分數階導數與積分的定義。 試探法 一個很自然的想法是問，是否存在一個運算元 H 起到半導數的作用，即使得： H2 f xDf xfrac ddx f xfx 結論是：這樣的運算元是存在的，對於任意 a 0 存在一個運算元 P 滿足： P a fx fx ， 或者換一個說法，dfrac dnydxn 的定義可以從正整數 n 擴充到所有的實數 n 在這裡我們引入 Γ 函式將階乘擴充套件到實數和複數域上 Γ 函式的定義如下： n Gamma n1 ， 假設對函式 f x x 0 在 0 到 x 上求積分，我們可以形式的定義積分運算元 J J fx int_0x f t dt 重複這個過程，可得： J2 fx int_0x J ft dt int_0x left int_0t f s ds right dt 這個過程可以任意的重複下去。 利用重複積分的柯西公式，即： Jn fx frac 1n1int_0x xtn1 f t dt 我們可以直截了當的寫出任意實數 n 的積分運算元。 直接利用 Gamma 函式將離散的階乘擴充套件為連續的函式。我們可以自然的得到分數積分運算元的表達形式 Jalpha fxfrac 1Gamma alphaint_0x xtalpha1 f t dt 這個運算元定義明確而且具有良好的性質。 可以證明 J 運算元滿足如下關係 JalphaJbeta fJbetaJalpha fJalphabeta ffrac 1Gamma alphabetaint_0x xtalphabeta1 f t dt 這個性質叫微分積分算符的半群性。然而用類似方法定義微分運算元將變得相當困難，而且定義出來的微分運算元 D 一般來說不對易也不具有疊加性。 分數微分在一個簡單函式上的應用 假設有一個函式 f xxk。它的一階導數一般是： fxdfrac ddx f xk xk1。重複這一過程，得到更一般的結果： dfrac dadxa xkdfrac kka xka，將階乘用伽瑪函式替換，可得： dfrac dadxa xkdfrac Gamma k1Gamma ka1 xka。當 k 1 並且 a 12 時我們可以得到函式 x 的半導數： dfrac dfrac 12dxfrac 12 xdfrac Gamma 11Gamma 1frac 121 x1frac 12dfrac 1Gamma frac 32 xfrac 12 dfrac 2xfrac 12sqrt pi。重複這一過程，得： dfrac dfrac 12dxfrac 12 2 pifrac 12 xfrac 122 pifrac 12dfrac Gamma 1frac 12Gamma frac 12frac 121 xfrac 12frac 122 pifrac 12dfrac Gamma frac 32Gamma 1 x0dfrac 2 sqrt pi x02 sqrt pi 01，這正是期望的結果： left dfrac dfrac 12dxfrac 12dfrac dfrac 12dxfrac 12right xdfrac ddx x1。 以上微分運算元的擴充套件不僅僅侷限於實數次。舉個例子，1i 階導數作用後，1i 階導數再作用，可以得到二階導數。同時如果 a 為負則可為求積分。 分數微分可以得到上述相同的結果（當 0alpha1）。 Dalpha f xfrac 1Gamma 1alphafrac ddxint_0xfrac f txtalpha dt 對於任意的 alpha 由於伽瑪函式的引數在實數部為負整數時沒有定義，需要在分數微分前先進行整數微分。例如 Dfrac 32 f xDfrac 12 D1 f xDfrac 12frac ddx f x 拉普拉斯變換 我們可以藉由拉普拉斯變換提出一個問題。已知 mathcal L leftJfrights mathcal L leftint_0t f taudtaurightsfrac1sbigl mathcal Lleftfrightbigrs 以及 mathcal L leftJ2frightfrac1sbigl mathcal L leftJfright bigrsfrac1 s2bigl mathcal Lleftfrightbigrs 然後繼續下去，我們可以推斷 Jalpha fmathcal L1leftsalphabigl mathcal Lfbigrsright 舉例來說 Jalpha tk mathcal L1leftfrac Gamma k1salphak1right frac Gamma k1Gamma alphak1 talphak 如同預期一樣。的確，我們給出摺積性質。 mathcal Lfgbigl mathcal Lfbigrbigl mathcal Lgbigr 然後為了方便，令 ，我們發現到 begin align left Jalpha frightt frac 1Gamma alphamathcal L1leftbigl mathcal Lpbigrbigl mathcal Lfbigrright frac 1Gamma alphapf frac 1Gamma alphaint_0t p ttau f taudtau frac 1Gamma alphaint_0tleft ttaurightalpha1 f taudtau end align 即得到柯西所給出的樣子。 拉普拉斯在一些較少的函式上有效，但是它在解分數微分方程上卻非常有用。 分數階積分 分數階微分 應用 WKB 近似 對於一個一維的量子系統進行準經典的近似時，系統哈密頓量 Hp2V x 中 V x 的倒數 V1x 可由對態密度的半階微分求出 V1x2sqrt pifrac dfrac 12dxfrac 12 n x 這裡採用了自然單位制，即 hbar2m1Fractional Calculus An Introduction for Physicists by Richard Herrmann Hardcover Publisher World Scientific Singapore（2014）ISBN 9789814551090（httpwwwworldscientificcomworldscibooks1011428934） 相關條目 Γ 函式 拉普拉斯轉換 參考文獻 外部連結 任意階微積分 httpdrhuangcomchinesesciencemathematicsfractionalCalculus MathWorld Fractional calculus MathWorld Fractional derivative Specialized journal Fractional Calculus and Applied Analysis httpwwwnasatechcomBriefsOct02LEW17139html httpswebarchiveorgweb20040502170831httpunreduhomepagemcubedFRGhtml Igor Podlubnys collection of related books articles links software etc httpsdugowsonfreefrrecherchedonesindexhtml History Definitions and Applications for the Engineer（PDF） by Adam Loverro University of Notre Dame Category 數學分析 Category 微積分