中國剩餘定理，又稱孫子定理或中國餘數定理，是數論中的一個關於一元線性同餘方程組的定理，說明了一元線性同餘方程組有解的準則以及求解方法。該定理在中國古代也被稱為「韓信點兵」、「求一術」（宋 沈括）、「鬼谷算」（宋 周密）、「隔 zhcn 墻；zhtw 牆； 算」（宋 周密）、「剪管術」（宋 楊輝）、「秦王暗點兵」、「物不知數」等。 物不知數 一元線性同餘方程組問題最早可見於中國南北朝時期（公元 5 世紀）的數學著作《孫子算經》卷下第二十六題，叫做 物不知數 問題，原文如下： 即，一個整數除以三 zhcn 餘；zhtw 餘； 二，除以五 zhcn 餘；zhtw 餘； 三，除以七 zhcn 餘；zhtw 餘； 二，求這個整數。《孫子算經》中首次提到了同餘方程組問題，以及以上具體問題的解法，因此在中文數學文獻中也會將中國剩餘定理稱為孫子定理。孫子沒正式證明，但後來印度數學家及天文學家阿耶波多給出具體過程，徹底解決了此定理的任何給定例項。 最初對 物不知數 問題作出完整系統解答的是宋朝數學家秦九韶，載於 1247 年《數書九章》卷一、二《大衍類》中，從而使這一問題變為定理。明朝數學家程大位在《演算法統宗》中將解法編成易於上口的《孫子歌訣》李儼《大衍求一術的過去和未來》《李儼。錢寶琮科學史全集》卷 6 121 頁《程大位的孫子歌》遼寧教育出版社 1998： 這個歌訣給出了模數為 3、5、7 時候的同餘方程的秦九韶解法。意思是：將除以 3 得到的餘數乘以 70，將除以 5 得到的餘數乘以 21，將除以 7 得到的餘數乘以 15，全部加起來後再減去 105 或者 105 的整數倍，得到的數就是答案（除以 105 得到的餘數則為最小答案）。比如說在以上的物不知數問題裡面，使用以上的方法計算就得到 70 times 2 21 times 3 15 times 2 233 2times 105 23 因此按歌訣求出的結果就是 23。 《數書九章》最初由偉烈亞力在 19 世紀初譯為英文，而西方世界最早的完整系統解法由高斯在 1801 年提出。 形式描述 用現代數學的語言來說明的話，中國剩餘定理給出了以下的一元線性同餘方程組： S quad leftbegin matrix x equiv a_1 pmod m_1 x equiv a_2 pmod m_2 vdots qquadqquadqquad x equiv a_n pmod m_n end matrix right 有解的判定條件，並用構造法給出了在有解情況下解的具體形式。 中國剩餘定理說明：假設整數其中任兩數互質，則對任意的整數：，方程組 S 有解，並且通解可以用如下方式構造得到： 設 M m_1 times m_2 times cdots times m_n prod_i1n m_i 是整數的乘積，並設 M_i Mm_i forall i in 1 2 cdots n，即 M_i 是除了 m_i 以外的 n1 個整數的乘積。 設 t_i M_i1 為 M_i 模 m_i 的數論倒數：t_i M_i equiv 1 pmod m_i forall i in 1 2 cdots n 方程組 S 的通解形式為：x a_1 t_1 M_1 a_2 t_2 M_2 cdots a_n t_n M_n k M k M sum_i1n a_i t_i M_i quad k in mathbb Z 在模 M 的意義下，方程組 S 只有一個解：x sum_i1n a_i t_i M_i 證明 從假設可知，對任何 i in 1 2 cdots n，由於 forall j in 1 2 cdots n jneq i operatorname gcdm_i m_j 1 ，所以 operatorname gcdm_i M_i 1 這說明存在整數 t_i 使得 t_i M_i equiv 1 pmod m_i 這樣的 t_i 叫做 M_i 模 m_i 的數論倒數。觀察乘積 a_i t_i M_i 可知： a_i t_i M_i equiv a_i cdot 1 a_i pmod m_i forall j in 1 2 cdots n jneq i a_j t_j M_j equiv 0 pmod m_i 所以 x a_1 t_1 M_1 a_2 t_2 M_2 cdots a_n t_n M_n 滿足： forall i in 1 2 cdots n x a_i t_i M_i sum_j neq i a_j t_j M_j equiv a_i sum_j neq i 0 a_i pmod m_i 這說明 x 就是方程組 S 的一個解。 另外，假設 x_1 和 x_2 都是方程組 S 的解，那麼： forall i in 1 2 cdots n x_1 x_2 equiv 0 pmod m_i 而 m_1 m_2 ldots m_n 兩兩互質，這說明 M prod_i1n m_i 整除 x_1 x_2 所以方程組 S 的任何兩個解之間必然相差 M 的整數倍。而另一方面，x a_1 t_1 M_1 a_2 t_2 M_2 cdots a_n t_n M_n 是一個解，同時所有形式為： a_1 t_1 M_1 a_2 t_2 M_2 cdots a_n t_n M_n k M k M sum_i1n a_i t_i M_i quad k in mathbb Z 的整數也是方程組 S 的解。所以方程組 S 所有的解的集合就是： k M sum_i1n a_i t_i M_i quad k in mathbb Z 例子 使用中國剩餘定理來求解上面的 物不知數 問題，便可以理解《孫子歌訣》中的數字含義。這裡的線性同餘方程組是： S quad leftbegin matrix x equiv 2 pmod 3 x equiv 3 pmod 5 x equiv 2 pmod 7 end matrix right 三個模數 3 5 7 的乘積是 105，對應的 35 21 15 而可以計算出相應的數論倒數：2 1 1 所以《孫子歌訣》中的 70、21 和 15 其實是這個 物不知數 問題的基礎解： 70 2 times 35 equiv leftbegin matrix 1 pmod 3 0 pmod 5 0 pmod 7 end matrix right 21 1 times 21 equiv leftbegin matrix 0 pmod 3 1 pmod 5 0 pmod 7 end matrix right 15 1 times 15 equiv leftbegin matrix 0 pmod 3 0 pmod 5 1 pmod 7 end matrix right 而將原方程組中的餘數相應地乘到這三個基礎解上，再加起來，其和就是原方程組的解： 2times 70 3 times 21 2 times 15 equiv leftbegin matrix 2 times 1 3 times 0 2 times 0 equiv 2 pmod 3 2 times 0 3 times 1 2 times 0 equiv 3 pmod 5 2 times 0 3 times 0 2 times 1 equiv 2 pmod 7 end matrix right 這個和是 233，實際上原方程組的通解公式為： x 233 k times 105 kin mathbb Z 《孫子算經》中實際上給出了最小正整數解，也就是 k2 時的解：x23。 交換環上的推廣 主理想整環 設是一個主理想整環，是其中的個元素，並且兩兩互質。令 為這些元素的乘積，那麼可以定義一個從商環對映到環乘積的同態： phi mathrm R big Mmathrm R longrightarrow mathrm R big m_1 mathrm R times mathrm R big m_2 mathrm R times cdots times mathrm R big m_k mathrm R left x Mmathrm R mapsto x m_1 mathrm R x m_2 mathrm Rcdots x m_k mathrm R right 並且 phi 是一個環同構。因此 phi 的逆對映也存在。而這個逆對映的構造方式就如同中國剩餘定理構造一元線性同餘方程組的解一樣。由於和 互質，所以存在和使得 s_i m_i t_i M_i 1_mathrm R 而對映 varphi mathrm R big m_1 mathrm R times mathrm R big m_2 mathrm R times cdots times mathrm R big m_k mathrm R longrightarrow mathrm R big Mmathrm R left a_1 m_1 mathrm R a_2 m_2 mathrm Rcdots a_k m_k mathrm R mapsto sum_i1k a_i t_i M_i M mathrm R right 就是 phi 的逆對映。 mathbb Z 也是一個主理想整環。將以上的換成 mathbb Z，就能得到中國剩餘定理。因為 a_i m_i mathrm R x x equiv a_i pmod m_i 一般的交換環 設是一個有單位元的交換環，是為環 mathbf R 的理想，並且當 i ne j 時，I_i I_j mathbf R，則有典範的環同構： psi mathbf R I_1 cap cdots cap I_k longrightarrow mathbf R I_1 times cdots times mathbf R I_k x I_1 cap cdots cap I_n longmapsto x I_1 x I_2 cdots x I_k 模不兩兩互質的同餘式組 模不兩兩互質的同餘式組可化為模兩兩互質的同餘式組，再用孫子定理直接求解。 84223716025563327，由推廣的孫子定理可得 begin cases x equiv 23 pmod 84 x equiv 7 pmod 160 x equiv 2 pmod 63 end cases 與 begin cases x equiv 7 pmod 25 x equiv 2 pmod 32 x equiv 7 pmod 5 x equiv 23 pmod 7 end cases 同解。 begin cases x equiv 7 pmod 25 x equiv 2 pmod 32 x equiv 7 pmod 5 x equiv 23 pmod 7 end cases rightarrow begin cases x equiv 7 pmod 25 x equiv 2 pmod 32 x equiv 2 pmod 5 x equiv 2 pmod 7 end cases rightarrow begin cases x equiv 7 pmod 25 x equiv 2 pmod 32 times 5 times 7 end cases 2532 以及 32 times 5 times 7315 315a equiv 1 pmod 32 rightarrow 31532 times 10 a equiv 1 pmod 32 rightarrow 5a equiv 1 pmod 32，取數論倒數 a13 32b equiv 1 pmod 315 rightarrow 32b equiv 1315 times 13 pmod 315 rightarrow 32b equiv 4096 pmod 315，因 gcd 323151 ，故兩邊可同除以 32， 取數論倒數 b frac 409632128 315 times 13 times 7 32 times 128 times 220473 20473 equiv 9767 pmod 32 times 315 所以最小正整數解為 9767，通解為 x 9767 10080k kin mathbb Z 。 注意求解過程中應先檢查同餘式組上是否存在矛盾，存在矛盾的同餘式組無解。 begin cases x equiv 3 pmod 6 x equiv 4 pmod 10 end cases Rightarrow begin cases color Red x equiv 1 pmod 2 x equiv 0 pmod 3 color Red x equiv 0 pmod 2 x equiv 4 pmod 5 end cases 參見 哈瑟原則 參考資料 參考書目 數學的 100 個基本問題，靳平 主編，ISBN 7537721718 Category 包含證明的條目 Sun Master Category 交換代數 Category 同餘 Category 數論定理