代數基本定理說明，任何一個一元複係數多項式方程都至少有一個複數根。也就是說，複數域是代數封閉的。 有時這個定理表述為：任何一個非零的一元 n 次複係數多項式，都正好有 n 個複數根（重根視為多個根）。這似乎是一個更強的命題，但實際上是 至少有一個根 的直接結果，因為不斷把多項式除以它的線性因子，即可從有一個根推出有 n 個根。也就是說，任何一個 n 次多項式，都可以因式分解為 n 個復係數一次多項式的乘積。 儘管這個定理被命名為 代數基本定理，但它還沒有純粹的代數證明，許多數學家都相信這種證明不存在。參見 R Remmert 的作品 The fundamental theorem of Algebra 的 19。另外，它也不是最基本的代數定理；因為在那個時候，代數基本上就是關於解實係數或複係數多項式方程，所以才被命名為代數基本定理。 高斯一生總共對這個定理給出了四個證明，其中第一個是在他 22 歲時（1799 年）的博士論文中給出的。高斯給出的證明既有幾何的，也有函式的，還有積分的方法。高斯關於這一命題的證明方法是去證明其根的存在性，開創了關於研究存在性命題的新途徑。 同時，高次代數方程的求解仍然是一大難題。伽羅瓦理論指出，對於一般五次以及五次以上的方程，不存在一般的代數解。 證明 所有的證明都包含了一些數學分析，至少是實數或複數函式的連續性概念。有些證明也用到了可微函式，甚至是解析函式。 定理的某些證明僅僅證明了任何實係數多項式都有複數根。這足以推出定理的一般形式，這是因為，給定複係數多項式 p z，以下的多項式 q zp zoverline p overline z 就是一個實係數多項式，如果 z 是 q z 的根，那麼 z 或它的共軛複數就是 p z 的根。 許多非代數證明都用到了 增長引理：當 z 足夠大時，首係數為 1 的 n 次多項式函式 p z 的表現如同 zn。一個更確切的表述是：存在某個正實數 R，使得當 z R 時，就有： tfrac 12znp ztfrac 32zn 複分析證明 證明一 尋找一箇中心為原點，半徑為 r 的閉圓盤 D，使得當 z r 時，就有 p z p 0。因此，p z 在 D 內的最小值（一定存在，因為 D 是緊緻的），是在 D 的內部的某個點 z0 取得，但不能在邊界上取得。於是，根據最大模原理，p z0 0。也就是說，z0 是 p z 的一個零點（根）。 證明二 由於在 D 之外，有 p z p 0，因此在整個複平面上，p z 的最小值在 z0 取得。如果 p z0 0，那麼 1p 在整個複平面上是有界的全純函式，這是因為對於每一個複數 z，都有 1p z 1p z0。利用劉維爾定理（有界的整函式一定是常數），可知 1p 是常數，因此 p 是常數。於是得出矛盾，所以 p z0 0。 證明三 這個證明用到了輻角原理。設 R 為足夠大的正實數，使得 p z 的每一個根的絕對值都小於 R；這個數一定存在，因為 n 次多項式函式最多有 n 個根。對於每一個 r R，考慮以下的數： frac 12pi iint_c rfrac pzp zdz 其中 c r 是中心為 0，半徑為 r 的逆時針方向的圓；於是輻角原理表明，這個數是 p z 在中心為 0、半徑為 r 的開圓盤內的零點的數目 N，由於 r R，所以它也是 p z 的零點的總數目。另一方面，nz 沿著 c r 的積分除以 2πi，等於 n。但這兩個數的差為： frac 12pi iint_c rfrac pzp zfrac nzdzfrac 12pi iint_c rfrac zpznp zzp zdz 被積分的有理表示式中的分子，次數最多是 n 1，而分母的次數是 n 1。因此，當 r 趨於 時，以上的數趨於 0。但這個數也等於 N n，因此有 N n。 證明四 這個證明結合了線性代數和柯西積分定理。為了證明每一個 n 0 次複係數多項式都有一個根，只需證明每一個方塊矩陣都有一個複數特徵值證明參見這裡。。證明用到了反證法。 設 A 為大小 n 0 的方塊矩陣，並設 In 為相同大小的單位矩陣。假設 A 沒有特徵值。考慮預解函式 R zzI_nA1 它在複平面上是亞純函式，它的值位於矩陣的向量空間內。A 的特徵值正好是 R z 的極點。根據假設，A 沒有特徵值，因此函式 R z 是整函式，根據柯西積分定理可知： int_c r R z dz 0 另一方面，把 R z 展開為幾何級數，可得： R zz1I_nz1 A1z1sum_k0inftyfrac 1zk Akcdot 這個公式在半徑為 A 的閉圓盤的外部（A 的運算元範數）成立。設 r A。那麼： int_c r R z dzsum_k0inftyint_c rfrac dzzk1 Ak2pi iI_n （僅當 k 0 時，積分才不等於零）。於是得出矛盾，因此 A 一定有一個特徵值。 拓撲學證明 設 z0 C 為使 p z 在 z0 取得最小值的數；從用到劉維爾定理的證明中，可以看到這樣一個數一定存在。我們可以把 p z 寫成 z z0 的多項式：存在某個自然數 k 和一些複數 ck、ck 1、、cn，使得 ck 0，以及： p zp z_0c_k zz_0kc_k1zz_0k1 cdots c_n zz_0n 可推出如果 a 是 p zp z0ck 的一個 k 重根，且 t 是足夠小的正數，那麼 p z0 ta p z0，這是不可能的，因為 p z0 是 p 在 D 內的最小值。 對於另外一個用到反證法的拓撲學證明，假設 p z 沒有根。選擇一個足夠大的正數 R，使得對於 z R，p z 的第一項 zn 大於所有其它的項的和；也就是說，zn an 1zn 1 a0。當 z 依逆時針方向繞過方程為 z R 的圓一次時，p z，像 zn 那樣，依逆時針方向繞過零 n 次。在另外一個極端，z 0 時，曲線 p z 僅僅是一個（非零的）點 p 0，它的卷繞數顯然是 0。如果 z 所經過的迴路在這兩個極端中被連續變形，那麼 p z 的路徑也連續變形。我們可以把這個變形記為 H Reithetatp 1t Reitheta，其中 t 大於或等於 0，而小於或等於 1。如果我們把變數 t 視為時間，那麼在時間為零時，曲線為 p z，時間為 1 時，曲線為 p 0。顯然在每一個點 t，根據原先的假設 p z 都不能是零，因此在變形的過程中，曲線一直都沒有經過零。因此曲線關於 0 的繞數應該不變。然而，由於繞數在一開始是 n，結束時是 0，因此得出矛盾。所以，p z 至少有一個根。 代數證明 這個證明需要依賴實數集的如下事實：正實數在 mathbb R 上有實平方根，以及任何奇次多項式在 mathbb R 上有一個根（這可以用介值定理證明）。 首先 mathbb Cmathbb Rxx21mathbb Ri。經過簡單的計算可以證明 mathbb C 在開平方運算下是封閉的（利用事實 1）。結合 charmathbb C0neq2。得出 mathbb C 不存在二階擴張。 由於 charmathbb R0，於是任何 mathbb R 的擴張都是可分的，從而任何 mathbb R 的代數擴張都可以被包含在一個伽羅瓦擴張內。假設 Kmathbb R、Kmathbb C 都是伽羅瓦擴張。考慮伽羅瓦群 GGal Kmathbb R 的西羅 2 子群 H。那麼 KHmathbb R 是奇數。由本原元定理得出，KH 存在本原元 alpha，它的極小多項式是奇次的。但是利用實數集的事實 2，任何奇次數多項式在實數上有一個根，不存在奇數次且次數 1 的不可分多項式。於是 HGKHmathbb RKmathbb R 是 2 的冪次。 假設 Kmathbb C2r 並且 r0，再次利用西羅定理，G 存在一個階為 2r1 的子群 N。這時 KNmathbb C2。這和先前 mathbb C 不存在二階擴張矛盾。因此 mathbb C 的任何代數擴張都是 mathbb C 本身，代數基本定理得證。 推論 由於代數基本定理可以視為複數域是代數封閉的，可推出任何關於代數封閉域的定理在複數域都是適用的。這個定理有一些推論，要麼是關於實數域的，要麼是關於實數域與複數域之間的關係的： 複數域是實數域的代數閉包。 每一個一元實係數多項式都可以表示為常數、x a 形式的多項式（a 為實數），以及 x2 ax b 形式的多項式（a 和 b 為實數，a2 4b 0）的乘積。 每一個一元實係數有理函式都可以寫成 ax b n 形式的有理函式（其中 n 是自然數，a 和 b 是實數），與 ax bx2 cx d n 形式的有理函式（其中 n 是自然數，a、b、c 和 d 是實數，c2 4d 0）的和。由此可以推出，任何一個一元實係數有理函式都有一個初等的原函式。 實數域的任何一個代數擴張要麼與實數域同構，要麼與複數域同構。 韋達公式 韋達公式把多項式的係數 lbrace a_k rbrace 與它的根 lbrace x_k rbrace 的和與積聯絡起來。 這可以直接從以下等式的展開式推出： a_nXn a_n1 Xn1 cdots a_1 X a_0 a_n Xx_1Xx_2cdots Xx_n 註釋 參考文獻 歷史上的文獻 English translation 卡爾弗里德里希高斯，Another new proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree 1815 現代作品 外部連結 代數基本定理；含有許多證明 John H Mathews 所作的代數基本定理教程 代數基本定理的文獻目錄 Category 包含證明的條目 Category 域論 Category 多項式定理 Category 複分析定理