在數學中，Gamma 函式（伽瑪函式；Gamma 函式），是階乘函式在實數與複數域上的擴充套件。如果 n 為正整數，則： Gamma n n1 根據解析延拓原理，伽瑪函式可以定義在除去非正整數的整個複數域上： Gamma zint_0infty tz1mathrm etrm d t Re z0 數學家勒讓德首次使用了希臘字母 Γ 作為該函式的記號。在機率論和組合數學中此函式很常用。 定義 Gamma 函式可以透過尤拉（Euler）第二類積分定義： Gamma zint_0infty tz1mathrm etrm d t 對複數 z，我們要求 mathrm Rez 0。 Gamma 函式還可以透過對 mathrm et 做泰勒展開，解析延拓到整個複平面： Gamma zint_1inftyfrac tz1mathrm etrm d tsum_n0inftyfrac 1nnfrac 1nz 這樣定義的 Gamma 函式在全平面除了 z012ldots 以外的地方解析。 Gamma 函式也可以用無窮乘積的方式表示： Gamma zfrac 1zprod_n1infty left 1frac znright1left 1frac 1nrightz 這說明 Gamma z 是亞純函式，而 frac 1Gamma z 是全純函式。 歷史動機 Γ 函式本身可以被看作是一個下列插值問題的解： 『找到一個光滑曲線連線那些由 y x 1 所給定的點 x y，並要求 x 要為正整數』 由前幾個的階乘清楚地表明這樣的曲線是可以被畫出來的，但是我們更希望有一個精確的公式去描述這個曲線，並讓階乘的操作不會依賴於 x 值的大小。而最簡單的階乘公式 x 1 times 2 times cdots times x 不能直接應用在 x 值為分數的時候，因為它被限定在 x 值為正整數而已。相對而言，並不存在一個有限的關於加總、乘積、冪次、指數函式或是對數函式可以表達 x，但是是有一個普遍的公式藉由微積分的積分與極限去表達階乘的，而 Γ 函式就是那個公式。 階乘有無限多種的連續擴張方式將定義域擴張到非整數：可以透過任何一組孤立點畫出無限多的曲線。Γ 函式是實務上最好的一個選擇，因為是解析的 除了非正整數點，而且它可以被定義成很多種等價形式。然而，它並不是唯一一個擴張階乘意義的解析函式，只要給予任何解析函式，其在正整數上為零，像是 ksin mpi x，會給出其他函式有著階乘性質。 無窮乘積 Gamma 函式可以用無窮乘積表示： Gamma z lim_n to infty n nzprod_k0n zk1 Gamma z frac mathrm egamma zz prod_n1infty left 1 frac znright1 mathrm efrac zn 其中 gamma 是尤拉 馬歇羅尼常數。 Γ 積分 1 int_0inftyfrac xalpha1lambdaalpha mathrm elambda xGammaleft alpha right rm d x implies frac Gammaleft alpharightlambdaalpha int_0infty xalpha1mathrm elambda x rm d x 遞推公式 Gamma 函式的遞推公式為： Gamma x1xGamma x， 對於正整數 n，有 Gamma n1n， 可以說 Gamma 函式是階乘的推廣。 遞推公式的推導 Gamma n 1 int_0infty mathrm ex x n 1 1 mathrm d x int_0infty mathrm ex x n rm d x 我們用分部積分法來計算這個積分： int_0infty mathrm ex x n mathrm d x left frac xnmathrm exright_0infty n int_0infty mathrm ex x n 1 rm d x 當 x0 時，tfrac 0nmathrm e0 tfrac 01 0。當 x 趨於無窮大時，根據洛必達法則，有： lim_x rightarrow infty frac xnmathrm ex lim_x rightarrow infty frac n cdot 0mathrm ex 0 因此第一項 left tfrac xnmathrm exright_0infty 變成了零，所以： Gamma n 1 n int_0infty frac x n 1mathrm ex rm d x 等式的右面正好是 n Gamma n 因此，遞推公式為： Gamma n 1 n Gamma n 重要性質 當 zto 0 時，Gamma ztoinfty 尤拉反射公式（餘元公式）： Gamma zGamma 1zfrac pisin pi z quad 0mathrm Rez1 由此可知當 ztfrac 12 時，Gammaleft tfrac 12rightsqrt pi 伽馬函式還是負自然指數函式的梅林變換 Gamma zmathcal Mexz 乘法定理： Gamma z Gammaleft z tfrac 12right 212z sqrt pi Gamma 2z。 Gamma z Gammaleft z tfrac 1mright Gammaleft z tfrac 2mright cdots Gammaleft z tfrac m1mright 2 pifrac m12 mfrac 12 mz Gamma mz 此外： Gammaleft ntfrac 12rightfrac 2nsqrt pin4n 使用乘法定理推導的關係： Gamma 16 Gamma 132 sqrt pi 223 sin pi3 Gamma 56 1 Gamma 132 sqrt pi3 243 sqrt 3 Gamma 110 Gamma 15 Gamma 25 sqrt pi 245 sin 2pi5 Gamma 310 Gamma 15 Gamma 25 sqrt pi 235 sin 3pi10 Gamma 710 Gamma 25 Gamma 15 sqrt pi 235 Gamma 910 1 Gamma 15 Gamma 25 sqrt pi3 245 sin pi10 sin 2pi5 此式可用來協助計算 t 分佈機率密度函式、卡方分佈機率密度函式、F 分佈機率密度函式等的累計機率。 極限性質 對任何實數 α lim_ntoinfty frac Gamma nalphaGamma n nalpha 1 qquad alphainmathbf R 斯特靈公式 斯特靈公式能用以估計 Gamma z 函式的增長速度。公式為： Gamma z1simsqrt 2pi zleft frac zerightz 其中 e 約等於。 特殊值 begin arrayrcccl Gammaleft tfrac 32right tfrac 43 sqrt pi approx 2363271801207 Gammaleft tfrac 12right 2sqrt pi approx 3544907701811 Gammaleft tfrac 12right sqrt pi approx 1772453850906 Gamma 1 0 1 Gammaleft tfrac 32right tfrac 12sqrt pi approx 0886226925453 Gamma 2 1 1 Gammaleft tfrac 52right tfrac 34sqrt pi approx 1329340388179 Gamma 3 2 2 Gammaleft tfrac 72right tfrac 158sqrt pi approx 3323350970448 Gamma 4 3 6 end array 連分數表示 伽馬函式也可以在複數域表示為兩個連分數之和： Gamma zcfrac e120z1cfrac z122z2cfrac z224z3cfrac z326z4cfrac z428z5cfrac z5210zddotscfrac e1z0cfrac z0z1cfrac 1z2cfrac z1z3cfrac 2z4cfrac z2z5cfrac 3z6ddots 導數 對任何複數 z，滿足 Re z 0，有 frac rm dnrm d znGamma z int_0infty tz1 et ln tn dt 於是，對任何正整數 m Gammam1 m left gamma sum_k1mfrac 1k right 其中 γ 是尤拉 馬歇羅尼常數。 複數值 Gamma xrm i yleftint_1inftyfrac tx1mathrm etcos yln trm d tsum_k0inftyfrac 1kkleft frac kxkx2y2rightrightrm ileftint_1inftyfrac tx1mathrm etsin yln trm d tsum_k0inftyfrac 1kkleft frac ykx2y2rightright 解析延拓 注意到在 Gamma 函式的積分定義中若取 z 為實部大於零之複數、則積分存在，而且在右半複平面上定義一個全純函式。利用函式方程 Gamma zGamma 1zfrac pisin pi z quad 0 mathrm Rez 1 並注意到函式 sin pi z 在整個複平面上有解析延拓，我們可以在 mathrm Rez1 時設 Gamma z dfrac piGamma 1z sin pi z 從而將 Gamma 函式延拓為整個複平面上的亞純函式，它在 z0123cdots 有單極點，留數為 mathrm ResGamma n dfrac 1nn 程式實現 許多程式語言或試算表軟體有提供 Γ 函式或對數的 Γ 函式，例如 EXCEL。而對數的 Γ 函式還要再取一次自然指數才能獲得 Γ 函式值。例如在 EXCEL 中，可使用 GAMMALN 函式，再用 EXP GAMMALN X，即可求得任意實數的伽瑪函式的值。 例如在 EXCEL 中：EXP GAMMALN 43 而在沒有提供 Γ 函式的程式環境中，也能夠過泰勒級數或斯特靈公式等方式來近似，例如 Robert H Windschitl 在 2002 年提出的方法，其在十進位制可獲得有效數 字八位數的精確度，已足以填滿單精度浮點數的二進位制有效數 字 24 位： Gamma z approx sqrt frac 2 piz left frac ze sqrt z sinh frac 1z frac 1810z6 rightz 參見 雙伽瑪函式 多伽瑪函式 倒數伽瑪函式 反伽瑪函式 伽瑪分佈 參考文獻 外部連結 神奇的 Gamma 函式 上 神奇的 Gamma 函式 下 Category 特殊超幾何函式 Category 複分析 Category 伽瑪及相關函式