電感是閉合迴路的一種屬性，即當透過閉合迴路的電流改變時，會出現電動勢來抵抗電流的改變。如果這種現象出現在自身迴路中，那麼這種電感稱為自感，是閉合迴路自己本身的屬性。假設一個閉合迴路的電流改變，由於感應作用在另外一個閉合迴路中產生電動勢，這種電感稱為互感。電感以方程式表達為 mathcal E L mathrm d i over mathrm d t； 其中，mathcal E 是電動勢，L 是電感，i 是電流，t 是時間。 術語「電感」是 1886 年由奧利弗黑維塞命名 Heaviside O Electrician Feb 12 1886 p 271 見該文集的再版 。通常自感是以字母「L」標記，以紀念物理學家海因裡希楞次。互感是以字母「M」標記，是其英文（Mutual Inductance）的第一個字母。採用國際單位制，電感的單位是亨利（Henry），標記為「H」，以紀念科學家約瑟亨利。與其他物理量的關係：一亨利等同一韋伯除以一安培（1 H 1 WbA）。 電感器是專門用在電路裡實現電感的電路元件。螺線管是一種簡單的電感器，指的是多重捲繞的導線（稱為「線圈」），內部可以是空心的，或者有一個金屬芯。螺線管的電感是自感。變壓器是兩個耦合的線圈形成的電感器，由於具有互感屬性，是一種基本磁路元件。在電路圖中電感的電路符號多半以 L 開頭，例如，L01、L02、L100、L201 等。 概述 應用馬克士威方程組，可以計算出電感。很多重要案例，經過簡化程式後，可以被解析。當涉及高頻率電流和伴隨的集膚效應，經過解析拉普拉斯方程式，可以得到面電流密度與磁場。假設導體是纖細導線，自感仍舊跟導線半徑、內部電流分佈有關。假若導線半徑超小於其它長度尺寸，則這電流分佈可以近似為常數（在導線的表面或體積內部）。 自感 如右圖所示，流動於閉合迴路的含時電流 i t 所產生的含時磁通量 Phi i，根據法拉第電磁感應定律，會促使閉合迴路本身出現感應電動勢 mathcal E： mathcal E N mathrm dPhi over mathrm d t N mathrm dPhi over mathrm d i mathrm d i over mathrm d t； 其中，N 是閉合迴路的捲繞匝數。 設定電感 L 為 L N frac mathrm dPhimathrm d i。 則感應電動勢與含時電流之間的關係為 mathcal E L mathrm d i over mathrm d t。 由此可知，一個典型的電感元件中，在其幾何與物理特性都固定的狀況下，產生的電壓 v 為： v L mathrm d i over mathrm d t。 電感的作用是抵抗電流的變化，但是這種作用與電阻阻礙電流的流動是有區別的。電阻阻礙電流的流動的特徵是消耗電能，而電感則純粹是抵抗電流的變化。當電流增加時電感抵抗電流的增加；當電流減小時電感抵抗電流的減小。電感抵抗電流變化的過程並不消耗電能，當電流增加時它會將能量以磁場的形式暫時儲存起來，等到電流減小時它又會將磁場的能量釋放出來，其效應就是抵抗電流的變化。 互感 如右圖所示，流動於閉合迴路 1 的含時電流 i_1 t，會產生磁通量 Phi_2t 穿過閉合迴路 2，促使閉合迴路 2 出現感應電動勢 mathcal E_2。穿過閉合迴路 2 的磁通量和流動於閉合迴路 1 的含時電流，有線性關係，稱為互感 M_21，以方程式表達為。 Phi_2 M_21 i_1。 計算互感，可使用紐曼公式（： M_21 frac mu_04pi oint_mathbb C_1 oint_mathbb C_2 frac mathrm dboldsymbol ell_1cdotmathrm dboldsymbol ell_2mathbf X_2mathbf X_1 ； 其中，mu_0 是磁常數，mathbb C_1 是閉合迴路 1，mathbb C_2 是閉合迴路 2，mathbf X_1 是微小線元素 mathrm dboldsymbol ell_1 的位置，mathbf X_2 是微小線元素 mathrm dboldsymbol ell_2 的位置。 由此公式可見，兩個線圈之間互感相同：M_12 M_21，且互感是由兩個線圈的形狀、尺寸和相對位置而確定。 推導 穿過閉合迴路 2 的磁通量 Phi_2t 為 Phi_2tint_mathbb S_2mathbf B_1 mathbf X_2 tcdot mathrm dmathbf a_2； 其中，mathbb S_2 是邊緣為 mathbb C_2 的任意曲面，mathrm dmathbf a_2 是微小面元素。 改用磁向量勢 mathbf A_1 計算： mathbf B_1 mathbf X_2 tnabla_2timesmathbf A_1 mathbf X_2 t； 其中，nabla_2 是對於變向量 mathbf X_2 的偏微分。 應用斯托克斯公式，可以得到 Phi_2tint_mathbb S_2nabla_2timesmathbf A_1 mathbf X_2 tcdot mathrm dmathbf a_2oint_mathbb C_2mathbf A_1 mathbf X_2 tcdot mathrm dboldsymbol ell_2。 磁向量勢 mathbf A_1 mathbf X_2 t 的定義式為 mathbf A_1 mathbf X_2 t stackrel def frac mu_0 i_14pioint_mathbb C_1 frac mathrm dboldsymbol ell_1mathbf X_2mathbf X_1。 磁通量與流動於閉合迴路 1 mathbb C_1 的電流 i_1 的關係式為 Phi_2tfrac mu_0 i_14pi oint_mathbb C_1oint_mathbb C_2frac mathrm dboldsymbol ell_1cdot mathrm dboldsymbol ell_2mathbf X_2mathbf X_1。 所以，互感為 M_21frac mathrm dPhi_2mathrm d i_1frac mu_04pi oint_mathbb C_1oint_mathbb C_2frac mathrm dboldsymbol ell_1cdot mathrm dboldsymbol ell_2mathbf X_2mathbf X_1。 這方程式稱為紐曼公式。注意到對換閉合迴路 mathbb C_1 與 mathbb C_2 不會改變結果，M_21M_12，因此，可以以變數 M 統一代表。 類似地，穿過閉合迴路 1 的磁通量 Phi_1t 為 Phi_1tfrac mu_0 i_14pi oint_mathbb C_1oint_mathbb C_1frac mathrm dboldsymbol ell_1cdot mathrm dboldsymbol ell_1mathbf X_1mathbf X_1。 除去所有下標，令 mathbb C、mathbb C 代表同一閉合迴路，自感以方程式表示為 Lfrac mathrm dPhimathrm d ifrac mu_04pi oint_mathbb Coint_mathbb Cfrac mathrm dboldsymbol ellcdot mathrm dboldsymbol ellmathbf Xmathbf X。 當 mathbf X_1mathbf X_1 時，這積分可能會發散，需要特別加以處理。另外，若假設閉合迴路為無窮細小，則在閉合迴路附近，磁場會變得無窮大，磁通量也會變得無窮大，所以，必須給予閉合迴路有限尺寸，設定其截面半徑 r_0 超小於徑長 ell_0， 有很多種方法可以化解這困難。例如，令 mathbb C 為閉合迴路的中心曲軸，令 mathbb C 為閉合迴路的表面，則 mathbf X_1nemathbf X_1，這積分就不會發散了。 耦合係數 耦合係數為描述電感之間互感量與自感量的相對大小，兩電感器的耦合係數定義為 k frac Msqrt L_1 L_2； 其中 k 為耦合係數，無單位；M 為兩電感的互感值，L_1 L_2 分別為兩電感器的自感值。 電感與磁場能量 將前面論述加以推廣，思考 K 條閉合迴路，設定第 k 條閉合迴路的捲繞匝數為 N_k，載有電流 i_k，則其磁鏈 N_kPhi _k 為 N_kPhi _ksum_n1K L_kn i_n； 其中，Phi _k 是穿過第 k 條閉合迴路的磁通量，L_kkL_k 是自感，L_knM_kn kne n 是互感。 由於第 n 條閉合迴路對於磁通量 Phi _k 的總貢獻是捲繞匝數乘以電流，即 N_n i_n，所以，L_kn 與乘積 N_k N_n 成正比。 從法拉第電磁感應定律，可以得到 v_kmathcal E_kN_kfrac mathrm dPhi _kmathrm d t sum_n1K L_knfrac mathrm d i_nmathrm d t L_kfrac mathrm d i_kmathrm d tsum_n1 nne kK M_knfrac mathrm d i_nmathrm d t； 其中，v_k 是第 k 條閉合迴路的感應電壓。 第 k 條閉合迴路的電功率 p_k 為 p_ki_k v_k。 假設原先所有電流為零，即 i_1i_2dotsi_K0 儲存於所有閉合迴路的總磁能為 0。現在，將第一條閉合迴路的電流 i_1 平滑地從 0 增加到 I_1，同時保持其它閉合迴路的電流不變，則儲存於第一條閉合迴路的磁能 W_1 為 W_1int i_1 v_1 mathrm d tint_0I_1 i_1 L_1mathrm d i_1frac 12 L_1 I_12。 然後，將第二條閉合迴路的電流 i_2 平滑地從 0 增加到 I_2，同時保持其它閉合迴路的電流不變，則儲存於第二條閉合迴路的磁能 W_2 為 W_2int i_2 v_2 mathrm d tint_0I_2 i_2 L_2mathrm d i_2 int_0I_2 I_1 M_12mathrm d i_2 frac 12 L_2 I_22M_12 I_1 I_2。 案照這方法繼續地計算，儲存於第 k 條閉合迴路的磁能 W_k 為 W_kint i_k v_k mathrm d tint_0I_k i_k L_kmathrm d i_k sum_n1k1 int_0I_k I_n M_nkmathrm d i_k frac 12 L_k I_k2sum_n1k1 M_nk I_n I_k。 所以，當每一個閉合迴路的電流都平滑地增加到其最終電流之後，儲存於所有閉合迴路的總磁能 W 為 Wfrac 12sum_k1K L_k I_k2sum_k1Ksum_n1k1 M_nk I_n I_k frac 12sum_k1K L_k I_k2frac 12sum_k1Ksum_n1nne kK M_nk I_n I_k 。 假設將 I_n 與 I_k 的數值交換，總磁能 W 不會改變。滿足可積分條件 frac partial2 Wpartial I_n partial I_kfrac partial2 Wpartial I_k partial I_n，必需要求 L_knL_nk 成立。所以，電感矩陣 L_kn 是個對稱矩陣。 從物理角度來看，上述增加電流方法並不是唯一方法，還有其它很多種增加電流方法。由於能量守恆，沒有任何耗散能量。所以，不論選擇哪一種方法，只要每一條閉合迴路的電流增加到其最終電流，則儲存的總磁能都相等。 串聯與並聯電路 串聯電路 自感現象 如右圖所示，n 個電感器串聯的等效電感 L_eq 為 L_eq L_1 L_2 cdots L_n。 將 n 個電感器串聯在一起，並在這個串聯電路的兩端加上電源。按照電感的定義，第 k 個電感器兩端的電壓 v_k 等於其電感 L_k 乘以透過的電流的變率 frac mathrm d i_kmathrm d t： v_kL_k frac mathrm d i_kmathrm d t； 按照克希荷夫電流定律，從電源（直流電或交流電）給出的電流 i 等於透過每一個電感器的電流 i_k。所以， ii_1i_2 cdots i_n； 根據克希荷夫電壓定律，電源兩端的電壓等於所有電感器兩端的電壓的代數和： vv_1 v_2 cdots v_nL_1frac mathrm d i_1mathrm d t L_2frac mathrm d i_2mathrm d t cdots L_nfrac mathrm d i_nmathrm d tL_1 L_2 cdots L_nfrac mathrm d imathrm d t； 所以，n 個電感器串聯的等效電感 L_eq 為 L_eq L_1 L_2 cdots L_n。 互感現象 由於電感器產生的磁場會與其鄰近電感器的纏繞線圈發生耦合，很難避免緊鄰的電感器彼此互相影響。物理量互感 M 能夠給出對於這影響的衡量。 例如，由電感分別為 L_1、L_2，互感為 M 的兩個電感器構成的串聯電路，其等效互感 L_eq 有兩種可能： 假設兩個電感器分別產生的磁場或磁通量，其方向相同，則稱為「串聯互助」，其等效電感 L_eq L_1 L_2 2M。 假設兩個電感器分別產生的磁場或磁通量，其方向相反，則稱為「串聯互消」，其等效電感 L_eq L_1 L_2 2M。 對於具有三個或三個以上電感器的串聯電路，必需考慮到每個電感器自己本身的自感和電感器與電感器之間的互感，這會使得計算更加複雜。等效電感是所有自感與互感的代數和。 例如，由三個電感器構成的串聯電路，會涉及三個自感和六個互感。三個電感器的自感分別為 M_11、M_22、M_33；互感分別為 M_12、M_13、M_23、M_21、M_31、M_32。等效電感為 L_eq M_11 M_22 M_33 M_12 M_13 M_23 M_21 M_31 M_32。 由於任意兩個電感器彼此之間的互感相等，M_ij M_ji，後面兩組互感可以合併： L_eq M_11 M_22 M_33 2 M_12 M_13 M_23。 互感公式推導 如右圖所示，兩個電感器串聯互助在一起。將電源連線於這串聯電路的兩端。應用克希荷夫電壓定律，按照點規定，可以得到 v L_1 frac mathrm d imathrm d t M frac mathrm d imathrm d t L_2 frac mathrm d imathrm d t M frac mathrm d imathrm d t 0 ； 其中，v 是電源兩端的電壓，i 是電流。 電壓 v 和電流 i 之間的關係為 v L_1 L_2 2M frac mathrm d imathrm d t ； 所以，兩個電感器串聯互助的等效電感為 L_eq L_1 L_2 2M 。 以類似的作法，也能得到兩個電感器串聯互消的等效電感。 並聯電路 自感現象 如右圖所示，n 個電感器並聯在一起，類似前面所述方法，可以計算出其等效電感 L_eq 為 frac 1L_eq frac 1L_1 frac 1L_2 cdots frac 1L_n。 互感現象 由於電感器產生的磁場會與其鄰近電感器的纏繞線圈發生耦合，很難避免緊鄰的電感器彼此互相影響。物理量互感 M 能夠給出對於這影響的衡量。上述方程式描述 n 個電感器無互感並聯的理想案例。 由電感分別為 L_1、L_2，互感為 M 的兩個電感器構成的並聯電路，其等效互感 L_eq 為： 假設兩個電感器分別產生的磁場或磁通量，其方向相同，則稱為「並聯互助」，其等效電感 L_eqfrac L_1L_2M2L_1L_22M。 假設兩個電感器分別產生的磁場或磁通量，其方向相反，則稱為「並聯互消」，其等效電感 L_eqfrac L_1L_2M2L_1L_22M。 對於具有三個或三個以上電感器的並聯電路，必需考慮到每個電感器自己本身的自感和電感器與電感器之間的互感，這會使得計算更加複雜。 互感公式推導 如右圖所示，兩個電感器並聯互助在一起。將電源連線於這並聯電路的兩端。應用克希荷夫電壓定律，按照點規定，可以得到 v L_1frac mathrm d i_1mathrm d tMfrac mathrm d i_2mathrm d t0； v L_2frac mathrm d i_2mathrm d tMfrac mathrm d i_1mathrm d t0； 其中，v 是電源兩端的電壓，i_1 和 i_2 分別是透過兩個支路的電流。 利用二元一次聯立方程組的克拉瑪公式，可得 frac di_1dt frac v L_2 ML_1L_2 M2 ； frac di_2dt frac v L_1 ML_1L_2 M2 ； 根據克希荷夫電流定律， i i_1 i_2 ，因此 frac didt frac di_1dt frac di_2dt frac v L_1 L_2 2ML_1 L_2 M2 ； 可得電壓 v 和電流 i 之間的關係為 vfrac L_1L_2M2L_1L_22M frac mathrm d imathrm d t ； 所以，兩個電感器並聯互助的等效電感為 L_eqfrac L_1L_2M2L_1L_22M。 以類似的作法，也能得到兩個電感器並聯互消的等效電感。 映象法 對於某些案例，不同的電流分佈會在空間的一些區域產生同樣的磁場。這論據可以用來計算電感。例如，思考以下兩個系統： 一條筆直的載流導線與導體牆之間的距離為 d2。 兩條互相平行、載有異向電流的導線，彼此之間的距離為 d。 這兩個系統的磁場在導體牆外的半空間相等。第二個系統的磁能與電感分別是第一個系統的兩倍。 非線性電感 很多電感器是用磁性材料製成。假若磁場超過材料的飽和度，則這些材料會顯示出非線性磁導率行為與伴隨的磁飽和效應，從而促使電感成為施加電流的函式。雖然法拉第電磁感應定律仍舊成立，但電感會具有多重歧義，依計算電路引數或磁通量而不同。 「大訊號電感」是用來計算磁通量，以方程式定義為 L_s i stackrel mathrm def frac NPhii frac Lambdai。 「小訊號電感」是用來計算電壓，以方程式定義為 L_d i stackrel mathrm def frac mathrm dNPhimathrm d i frac mathrm dLambdamathrm d i。 非線性電感器的電壓為 v t frac mathrm dLambdamathrm d t frac mathrm dLambdamathrm d ifrac mathrm d imathrm d t L_d ifrac mathrm d imathrm d t。 類似地，可以給出非線性互感的定義。 簡單電路的自感 很多種電路的自感可以以閉形式給出： 種類 Lmu_0 註釋 單層螺線管 quadfrac r2 N23ellleft8w 4frac sqrt 1mmleft Kleft sqrt frac m1m right left 1mright Eleft sqrt frac m1m right right right frac r2N2piellleft1frac 8w3pisum_n1infty frac left 2nright2 n4 left n1rightleft 2n1right 22n left 1right n1 w2nright begin casesfrac r2N2piellleft 1 frac 8w3pi frac w22 frac w44 frac 5w616 frac 35w864 right wll 1 rN2 leftleft 1 frac 132w2 O frac 1w4 right ln left 8w right frac 12 frac 1128w2 O frac 1w4 right wgg 1end cases N：捲繞匝數 r：半徑 ell：長度 w rell m 4w2 EK：橢圓積分 同軸電纜（高頻率） frac mu_0 ell2pi ln frac r_text or_i r_text o：外半徑 r_i：內半徑 ell：長度 圓形迴圈對於均勻電流分佈，答案裡不應該有常數 32。 mu_0 r cdot left ln frac 8 ra 2 frac Y2 Oleft a2r2right right r：迴圈半徑 a：導線半徑 長方形迴圈 frac mu_0pileft bln frac 2 ba dln frac 2da left bdrightleft 2frac Y2right 2sqrt b2d2 right left bcdotoperatorname arsinhfrac bddcdotoperatorname arsinhfrac db Oleft aright right a：導線半徑 b：邊長 d：邊寬 bdgg a 一對平行導線 frac mu_0 ellpi left ln frac da Y2 right a：導線半徑 d：距離 dge 2aell：長度 一對平行導線 frac mu_0 ellpioperatorname arcoshleft frac d2aright frac mu_0 ellpiln left frac d2asqrt frac d24a21right a：導線半徑 d：距離 dge 2aell：長度 導線平行於導體牆 frac mu_0 ell2pi left ln frac 2da Y2 right a：導線半徑 d：距離 dge aell：長度 導線平行於導體牆（高頻率） frac mu_0 ell2pioperatorname arcoshleft frac darightfrac mu_0 ell2piln left frac dasqrt frac d2a21right a：導線半徑 d：距離 dge aell：長度 對於高頻率案例，由於集膚效應，電流均勻地分佈於導體表面。依幾何組態不同，有時必須分為低頻率和高頻率案例，因此必須增加引數 Y： Y 12：電流均勻地分佈於整個導體截面。 Y 0：集膚效應，電流均勻地分佈於導體表面。 對於高頻率案例，假若導體彼此移向對方，另外會有遮蔽電流流動於導體表面，含有引數 Y 的表示式不成立。 參閱 點規定 LC 電路 RLC 電路 RL 電路 漏電感 磁動勢 變壓器 參考資料 Category 物理量 category 電路 Category 電動力學