在數學中，正弦（英語：sine、縮寫 sin）是一種週期函式，是三角函式的一種。它的定義域是整個實數集，值域是 11。它是週期函式，其最小正週期為 2pi（360circ）。在自變數為 frac 4n1pi2（360circ n90circ，其中 n 為整數）時，該函式有極大值 1；在自變數為 frac 4n3pi2（360circ n270circ）時，該函式有極小值 1。正弦函式是奇函式，其影像於原點對稱。 在半個最小正週期內，正弦函式有反函式，稱為反正弦函式。 符號史 正弦的符號為 sin，取自拉丁文 sinus，詞源是梵文的 jiva（弓弦，如今多寫作 jya）。這個詞在阿拉伯語裡轉寫為 jiba（جيب），但該詞無意義，阿拉伯語又好省略母音，故只寫作 jb（جب）。然而在從阿拉伯文翻譯到拉丁文時，jb 被解釋為 jayb（جيب），意為 胸部 或 乳房，而拉丁文 sinus 便是克雷莫納的傑拉德由此詞翻譯而來。該符號最早由法國數學家阿爾貝熱拉爾（Albert Gerard）使用（但他只使用了正弦、餘弦和正切；其餘三個符號則是被尤拉補足的）。 定義 直角三角形中 在直角三角形中，一個銳角 angle A 的正弦定義為它的對邊與斜邊的比值，也就是： sin theta frac mathrm amathrm c 其定義與餘割函式互為倒數。 直角座標系中 設 alpha 是平面直角座標系 xOy 中的一個象限角，Pleft xy right 是角的終邊上一點，r sqrt x2 y20 是 P 到原點 O 的距離，則 alpha 的正弦定義為： sin alpha frac yr 單位圓定義 影像中給出了用弧度度量的某個公共角。逆時針方向的度量是正角而順時針的度量是負角。設一個過原點的線，同 x 軸正半部分得到一個角 theta，並與單位圓相交。這個交點的 y 座標等於 sin theta。在這個圖形中的三角形確保了這個公式；半徑等於斜邊並有長度 1，所以有了 sinthetafrac y1。單位圓可以被認為是透過改變鄰邊和對邊的長度並保持斜邊等於 1 檢視無限數目的三角形的一種方式。 對於大於 2pi 或小於 2pi 的角度，簡單的繼續繞單位圓旋轉。在這種方式下，正弦變成了週期為 2π 的週期函式： sintheta sinleft theta 2pi k right 對於任何角度 theta 和任何整數 k。 級數定義 sin x x frac x33 frac x55 frac x77 cdots sum_n0infty frac 1nx2n12n1 微分方程定義 由於正弦的導數是餘弦，餘弦的導數是負的正弦，因此正弦函式滿足初值問題 yy y 00y01 這就是正弦的微分方程定義。 指數定義 正弦函式的指數定義可由尤拉公式匯出： sin theta frac eitheta eitheta2i 恆等式 用其它三角函式來表示正弦 函式 sin cos tan csc sec cot sin theta sin theta sqrt 1 cos2theta frac tanthetasqrt 1 tan2theta frac 1csc theta frac sqrt sec2 theta 1sec theta frac 1sqrt 1cot2theta 兩角和差公式 sin left xyrightsin x cos y cos x sin y sin left xyrightsin x cos y cos x sin y 二倍角公式 sin 2theta 2 sin theta cos theta 三倍角公式 sin 3theta 3 sin theta 4 sin3theta 半形公式 sin frac theta2 pm sqrtfrac 1 cos theta2 和差化積公式 sin theta sin phi 2 sinleft frac theta phi2 right cosleft frac theta phi2 right sin theta sin phi 2 cosleft theta phi over 2right sinleft theta phiover 2right 萬能公式 sin alpha frac 2tan frac alpha21 tan 2 frac alpha2 含有正弦的積分 intsin cxdx frac 1ccos cx intsin xdx cos x intsinn cxdx frac sinn1 cxcos cxnc frac n1nintsinn2 cxdx qquadmbox for n0mbox intsin2 cxdx frac x2 frac 14c sin 2cx frac x2 frac 12c sin cxcos cx intsqrt 1 sin xdx intsqrt operatorname cvsxdx 2 frac cos frac x2 sin frac x2cos frac x2 sin frac x2 sqrt operatorname cvsx 2sqrt 1 sin x int xsin cxdx frac sin cxc2frac xcos cxc int xnsin cxdx frac xnccos cxfrac ncint xn1cos cxdx qquadmbox for n0mbox int_frac a2frac a2 x2sin2 frac npi xadx frac a3 n2pi2624n2pi2 qquadmbox for n246mbox intfrac sin cxxdx sum_i0infty 1ifrac cx2i12i1cdot 2i1 intfrac sin cxxndx frac sin cxn1 xn1 frac cn1intfrac cos cxxn1 dx intfrac dxsin cx frac 1cln lefttanfrac cx2right intfrac dxsinn cx frac cos cxc 1n sinn1 cxfrac n2n1intfrac dxsinn2 cx qquadmbox for n1mbox intfrac dx1pmsin cx frac 1ctanleft frac cx2mpfrac pi4right intfrac xdx1sin cx frac xctanleft frac cx2 frac pi4rightfrac 2c2lnleftcosleft frac cx2frac pi4rightright intfrac xdx1sin cx frac xccotleft frac pi4 frac cx2rightfrac 2c2lnleftsinleft frac pi4frac cx2rightright intfrac sin cxdx1pmsin cx pm xfrac 1ctanleft frac pi4mpfrac cx2right intsin c_1xsin c_2xdx frac sin c_1c_2 x2 c_1c_2frac sin c_1c_2 x2 c_1c_2 qquadmbox forc_1neqc_2mbox 特殊值 徑度 0 frac pi12 frac pi10 frac pi6 frac pi4 frac pi3 frac 5pi12 sin 0 frac sqrt 6sqrt 24 frac sqrt 514 frac 12 frac sqrt 22 frac sqrt 32 frac sqrt 6sqrt 24 角度 0circ 30circ 45circ 60circ 90circ sin frac sqrt 02 0 frac sqrt 12 1 over 2 frac sqrt 22 frac sqrt 32 frac sqrt 42 1 正弦定理 正弦定理說明對於任意三角形，它的邊是 a b 和 c 而相對這些邊的角是 A B 和 C，有： frac sin Aa frac sin Bb frac sin Cc 也表示為： frac asin A frac bsin B frac csin C 2R 它可以透過把三角形分為兩個直角三角形並使用正弦的上述定義證明。在這個定理中出現的公共數 frac sin Aa 是透過 A B 和 C 三點的圓的直徑的倒數。正弦定理用於在一個三角形的兩個角和一個邊已知時計算未知邊的長度。這是三角測量中常見情況。 參考文獻 外部連結 參見 餘弦 正切 餘切 正割 餘割 三角學 三角函式 函式 正弦波 Z Z Category 三角函式 noTrigonometriske funksjonerSinus cosinus og tangens