在數學中，傅立葉級數（，）是把類似波的函式表示成簡單諧波的方式。更正式地說，對於滿足狄利克雷定理的週期函式，其傅立葉級數是由一組正弦與餘弦函式的加權和表示的方法。傅立葉級數與用來找出無週期函式的頻率資訊的傅立葉變換有密切的關係。 傅立葉級數是傅立葉分析的一個研究分支，也是取樣定理原始證明的核心。傅立葉級數在數論、組合數學、訊號處理、機率論、統計學、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。 歷史 傅立葉級數得名於法國數學家約瑟夫傅立葉（1768 年1830 年），他提出任何函式都可以展開為三角級數。此前數學家尤拉、達朗貝爾和克萊羅，已發現在認定一個函式有三角級數展開後，透過積分方法計算其係數的公式，而拉格朗日等人已經找到了一些非週期函式的三角級數展開。將週期函式分解為簡單振盪函式的總和的最早想法，可以追溯至公元前 3 世紀古代天文學家的均輪和本輪學說。 傅立葉的工作得到了丹尼爾伯努利的贊助詳見莫里斯克萊因《古今數學思想》，第 20 章無窮級數，第 5 節三角級數；第 28 章十九世紀的偏微分方程，第 5 節熱方程與傅立葉級數。see here pgs 209 210 ，傅立葉介入三角級數用來解熱傳導方程，其最初論文雖經、加斯帕爾蒙日同意，但在 1807 年經拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德評審後被拒絕出版，他的現在被稱為的理論後來發表於 1822 年出版的《熱的解析理論》。 定義 傅立葉級數可以用不同的形式來表達，下面將週期為 P 的一個週期函式 s x xin R 表達為不同形式的傅立葉級數。 正弦 餘弦形式 人們常用 sin x 與 cos x 的三角級數來表示 s x，就是將所有 n 階諧波 sin frac 2pi nxP 與 cos frac 2pi nxP，乘以其各自在 s x 中的權重，求得它們的總和；這些 n 階諧波的權重稱為傅立葉級數係數，它們可以藉由如下積分來獲得： 符號 int_P 表示在選定區間上的積分，典型的選擇為 P2 P2 或者 0 P。注意 A_0 是函式 s x 的，這個性質擴充套件到了類似的變換比如傅立葉變換。 透過這些係數定義傅立葉級數為： 這裡使用符號 sim，表示傅立葉級數的求和不一定總是等於 s x。普遍來說 n 是理論上趨近於無限大的，但是就算趨近於無限大，對所有的 x（例如在某一點上不連續），傅立葉級數也不一定收斂到 s x 。儘管不收斂的可能性始終存在，在科學和工程領域中經常將中的 sim 直接替代為 。 在傅立葉級數係數中的整數索引 n，是級數中相應的 cos 或 sin，在這個函式的週期 P 中，形成的圓周（cycle）的數目。因此對應於 A_n 和 B_n 的項有著： 波長等於 tfrac Pn，並且有著同於 x 的單位。 頻率等於 tfrac nP，並且有著 x 的倒數單位。 指數形式 下面藉由尤拉公式 eix cos xisin x ，將傅立葉級數係數簡化成複數指數形式。 根據定義，我們可以得到 透過將等式代入，可以證實： 給定複數傅立葉級數係數，可以用公式復原出 A_n 和 B_n： 透過這些定義，傅立葉級數可以寫為： 這是可推廣到複數值域函式的慣用形式。n 的負數值對應於負頻率。 複數值函式 人們習慣將 s x 的值域普遍化到複數上，設 s x 是一個複數值函式，它的實部和虛部，都是實數值函式： s x operatorname Res x icdot operatorname Ims x quad xin R 定義 c_n triangleq c__Rnicdot c__In 則： c_n frac 1Pint_P s xcdot eitfrac 2pip nx dx frac 1Pint_P operatorname Res xcdot eitfrac 2pip nx dx icdot frac 1P int_P operatorname Ims xcdot eitfrac 2pip nx dx c__Rn frac 1Pint_P operatorname Res xcdot eitfrac 2pip nx dx c__In frac 1Pint_P operatorname Ims xcdot eitfrac 2pip nx dx 對於這個複數值函式，它的傅立葉級數的實部，是它的實部的傅立葉級數；它的傅立葉級數的虛部，是它的虛部的傅立葉級數： s x sim sum_ninftyinfty left c__Rnicdot c__Inright cdot eitfrac 2pip nx sum_ninftyinfty c__Rncdot eitfrac 2pip nx icdot sum_ninftyinfty c__Incdot eitfrac 2pip nx 振幅 相位形式 還可以利用三角恆等式 cos alpha betacosalphacosbeta sinalphasinbeta，把正弦 餘弦形式中後面的正弦函式跟餘弦函式合併起來： A_ncdot cosleft 2pitfrac nP xvarphi_nright equiv underbrace A_n cos varphi_n_a_ncdot cosleft 2pitfrac nP xright underbrace A_n sin varphi_n_b_ncdot sinleft 2pitfrac nP xright 然後定義振幅 A_n triangleq sqrt a_n2b_n2，相位 varphi_n triangleq operatorname arctan2b_na_n，這裡的 a_n 和 b_n 對應正弦 餘弦形式中 A_n 和 B_n。tfrac A_02 是 s x 的 frac 1Pint_P s xdx。 部份求和運算元 在描述傅立葉級數行為的時候，經常會為一個函式 f x 介入部份求和運算元 S_N： 這裡的 c_n 是 f 的傅立葉係數。不同於微積分中的級數，傅立葉級數的部份求和必須採用對稱形式，否則收斂結果可能不成立。 假設 f x 與 g x 是在 R 上的可積函式，f x 與 g x 在 pipi 的摺積 fgx 為 fgxint_ pipi f tau g xtau dtau 週期為 2pi 的函式 f x 的傅立葉級數的部份求和，可以經由 f x 與狄利克雷核 D_n xsum_knn eikx 的摺積來表示： begin align S_Nfxsum_nNN c_n einx sum_nNN left frac 12 piint_pipi f tau eintau dtau right cdot einx frac 12 piint_pipi f tauleft sum_nNN ein xtauright dtau frac 12 pifD_Nx end align 收斂性概要 s_N x 在 x_0 x_0P 近似了 s x，該近似程度會隨著 N rightarrow infty 逐漸改善。這個無窮和 s_inftyx 叫做 s 的傅立葉級數表示。傅立葉級數的收斂性取決於函式有限數量的極大值和極小值，這就是通常稱為傅立葉級數的狄利克雷條件。參見之一。對於廣義函式或分佈也可以用範數或定義傅立葉係數。在 s x 的不可導點上，如果我們只取無窮級數中的有限項求和，那麼在這些點上會有幅度不隨 N 增大而持續變小的起伏，這叫做吉布斯現象，一個簡單的例子是方波訊號。 在工程應用中，一般假定傅立葉級數除了在不連續點以外處處收斂，原因是工程上遇到的函式比數學家提供的這個假定的反例表現更加良好。特別地，傅立葉級數絕對收斂且一致收斂於 s x，只要在 s x 的導數（或許不會處處存在）是平方可積的。如果一個函式在區間 x_0x_0P 上是平方可積的，那麼此傅立葉級數在幾乎處處的點都收斂於該函式。 FileFourier series sawtooth wave circles animationgif 一個相同幅度和頻率的鋸齒波的近似的視覺化 FileFourier series square wave circles animationgif 另一個分別採用傅立葉級數的前 1 2 3 4 項近似方波的視覺化。（可以在這裡這裡 看到一個互動式的動畫） FileExample_of_Fourier_Convergencegif 收斂於某個任意函式的例子。注意其中的吉布斯現象 其他常用表示法 符號 c_n 在討論多個不同函式的傅立葉係數時是不夠用的。因此習慣上將其替代為函式（這裡是函式 s）的某種修改形式，即採用函式式符號比如 hat sn 或 S n，來替代下標式符號： s x sum_ninftyinfty hat sncdot e2pi i nxP quad 常用的數學符號 s x sum_ninftyinfty S ncdot ei2pi nxP quad 常用的工程符號 在工程上，特別是在變數 x 表示時間的時候，係數序列叫做頻域表示。經常使用方括號來強調這個函式的定義域是頻率的離散集合。 另一個常用頻域表示，使用傅立葉級數係數，調製像梳子一樣的： S f triangleq sum_ninftyinfty S ncdot delta left ffrac nPright 這裡的 f 表示連續頻域。在變數 x 以秒為單位的時候，f 以赫茲為單位。取樣的間隔為基本頻率 tfrac 1P 的 n 倍（即為諧波）。 s_inftyx 可以透過從這種表示恢復出來 begin align mathcal F1S f int_inftyinfty left sum_ninftyinfty S ncdot delta left ffrac nPrightright ei 2 pi f xdf sum_ninftyinfty S ncdot int_inftyinfty deltaleft ffrac nPright ei 2 pi f xdf sum_ninftyinfty S ncdot ei2pi nxP triangleq s_infty x end align 構造出的函式 S f，因而通常稱為 傅立葉變換，即使一個週期函式的傅立葉積分在這個諧波頻率上不收斂。 常用的傅立葉級數 下表列出常用的週期函式及其傅立葉級數係數。 s x 指示週期 P 的週期函式。 A_0、A_n 和 B_n 指示週期函式 s x 的傅立葉級數係數（正弦 餘弦形式）。 時域 s x 繪圖 頻域（正弦 餘弦形式） begin align A_0 A_n quad text for n ge 1 B_n quad text for n ge 1end align 註釋 引用 sinleft frac 2piP xrightright quad text for 0 le x P begin align A_0 frac 2Api A_n begin cases frac 4Apifrac 1n21 quad n text even 0 quad n text odd end cases B_n 0 end align 全波整流正弦 s xbegin cases A sinleft frac 2piP xright quad text for 0 le x P2 0 quad text for P2 le x P end cases begin align A_0 frac Api A_n begin cases frac 2Apifrac 1n21 quad n text even 0 quad n text odd end cases B_n begin cases frac A2 quad n1 0 quad n 1 end cases end align 半波整流正弦 s xbegin cases A quad text for 0 le x D cdot P 0 quad text for D cdot P le x P end cases begin align A_0 AD A_n frac An pi sin left 2 pi n D right B_n frac 2An pi left sin left pi n D right right 2 end align 0 le D le 1 s xfrac AxP quad text for 0 le x P begin align A_0 frac A2 A_n 0 B_n frac An pi end align 鋸齒函式 s xAfrac AxP quad text for 0 le x P begin align A_0 frac A2 A_n 0 B_n frac An pi end align 反鋸齒函式 s xfrac 4AP2left xfrac P2 right2 quad text for 0 le x P begin align A_0 frac A3 A_n frac 4Api2 n2 B_n 0 end align 反全波整流 基本性質 下表展示在時域中的一些數學運算及其對應的在傅立葉級數係數上的效果。 複數共軛指示為上標星號 。 s x 和 r x 指示週期為 P 的函式或只定義在 x in 0P 中的函式。 S n 和 R n 指示 s 和 r 的傅立葉級數係數（指數形式）。 性質 時域 頻域（指數形式） 註釋 引用 線性 acdot s x bcdot r x acdot S n bcdot R n ab in mathbb C 時間反轉 頻率反轉 s x S n 時間共軛 sx Sn 時間反轉且共軛 sx Sn 時間實部 operatorname Res x frac 12S n Sn 時間虛部 operatorname Ims x frac 12iS n Sn 頻率實部 frac 12s xsx operatorname ReS n 頻率虛部 frac 12is xsx operatorname ImS n 時間移位 頻率調製 s xx_0 S n cdot eifrac 2piP n x_0 x_0 in mathbb R 頻率移位 時間調製 s x cdot eifrac 2piP n_0 x S nn_0 n_0 in mathbb Z 對稱性質 所有的函式都可以分解成唯一性的：f xf_text ex f_text ox，這裡的 f_text ex frac f xf x2 而 f_text ox frac f xf x2。實數引數的複數值函式 f mathbb R to mathbb C，對於所有 x in mathbb R，如果 f xoverline f x 則稱其為 偶對稱，如果 f xoverline f x 則稱其為 奇對稱，這裡 overline z 的上頂橫線指示覆數共軛。 一個複數值函式的實部和虛部，分解成各自的偶部和奇部，就有了四個分量，分別用下標標明為 RE、RO、IE 和 IO。一個複數值時間引數函式的四個分量，與它的複數頻率變換的四個分量之間，有著一一對映： begin arrayrccccccccc text 時 域 s s__text RE s__text RO i s__text IE i s__text IO BiggUpdownarrowmathcal F BiggUpdownarrowmathcal F BiggUpdownarrowmathcal F BiggUpdownarrowmathcal F BiggUpdownarrowmathcal F text 頻 域 S S_text RE i S_text IO i S_text IE S_text RO end array 由此可見，各種關係是顯而易見的，例如： 實數值函式的變換，是偶對稱函式。反過來說，偶對稱變換蘊含了實數值時域。 虛數值函式的變換，是奇對稱函式，反過來說也成立。 偶對稱函式的變換，是實數值函式，反過來說也成立。 奇對稱函式的變換，是虛數值函式，反過來說也成立。 範例 一個簡單的傅立葉級數 我們現在用上面的公式給出一個簡單函式的傅立葉級數展開式。考慮一個鋸齒波： s x frac xpi quad mathrm for pi x pi s x 2pi k s x quad mathrm for infty x infty text and k in mathbb Z 在這種情況下，傅立葉級數為： begin align A_n frac 1piint_pipi s x cos nxdx 0 quad n ge 0 4pt B_n frac 1piint_pipi s x sin nx dx4pt frac 2pi ncos npi frac 2pi2 n2sin npi4pt frac 21n1pi n quad n ge 1end align 可以證明，當 s 可微時，傅立葉級數在每個點 x 都收斂於 s x，於是： 當 x pi 時，傅立葉級數收斂於 0，為在 x pi 處 s 的左極限和右極限之和的一半。這是傅立葉級數的狄利克雷定理的特例。 這個例子為我們引出了巴塞爾問題的一種解法。 傅立葉誘導 在上例中我們的函式的傅立葉級數展開式看起來不比 s xtfrac xpi 簡單，因此人們需要傅立葉級數的原因也就不會立即顯現出來。但還有很多應用，我們舉用傅立葉誘導解熱方程的例子。考慮邊長為 pi 米的方形金屬版，座標為 xy in 0pi times 0pi。如果板內沒有熱源，並且四個邊中三個都保持在 0 攝氏度，而第四條邊 ypi，對於 x in 0pi，保持在溫度梯度 T xpi x 攝氏度。在這種情況下，穩態（或者說很長時間過後的）熱分佈函式 T xy 不能得出解析解，但卻可以證明： T xy 2sum_n1infty frac 1n1n sin nx sinh ny over sinh npi 這裡的 sinh 是雙曲正弦函式。熱方程的這個解是透過將 pi s x 的傅立葉級數的每一項乘以 tfrac sinh nysinh npi 得到的。儘管示例的函式 s x 的傅立葉級數似乎很複雜，用傅立葉的方法卻可以求解這個熱分佈問題。 其他例子 我們也可以應用傅立葉級數去證明等周不等式，或是構造處處連續而處處不可微的函式。 收斂性 至今還沒有判斷傅立葉級數的收斂性充分必要條件，但是對於實際問題中出現的函式，有很多種判別條件可用於判斷收斂性。比如 x t 的可微性或級數的一致收斂性。在閉區間上滿足狄利克雷條件的函式表示成的傅立葉級數都收斂。狄利克雷條件如下： 在定義區間上，x t 須絕對可積； 在任一有限區間中，x t 只能取有限個極值點； 在任何有限區間上，x t 只能有有限個第一類間斷點。 滿足以上條件的 x t 傅立葉級數都收斂，且： 1 當 t 是 x t 的連續點時，級數收斂於 x t； 2 當 t 是 x t 的間斷點時，級數收斂於 frac 12x tx t。 1966 年，里納特卡爾松證明了勒貝格二次可積函式的傅立葉級數一定是幾乎處處收斂的，即級數在除了一個勒貝格零測集外均收斂。 傅立葉級數收斂證明 假設一個函式在 f x 在 02 pi 上是平方可積，則會有 frac 12 piint_02pif xS_Nfx2 dx rightarrow 0 當 N rightarrow infty 證明的第一步 考慮一系列正交基底，e_n_n in Z，其中 e_nxeinx，且有 e_ne_m begin cases 1 text if nm 0 text if n neq m end cases 然後有 fe_nfrac 12 pi int_02pi f x einx dx hat fn 特別的有，f x 的傅立葉級數的部分和 S_Nfxsum_nleq Nhat fn e_n 然後根據 f fsum_nleq Nhat fn e_nsum_nleq Nhat fn e_n 以及畢氏定理，可以有 f 2 fsum_nleq Nhat fn e_n2sum_nleq Nhat fn e_n2 替換一下後有 f 2 fS_Nfx2sum_nleq Nhat fn e_n2 如果右邊第一項收斂到 0，再根據正交的性質，可以看出上述式子中的右手邊第二項 sum_nleq Nhat fn e_n2 sum_nleq N hat fn2，這就證明瞭帕塞瓦爾定理。 證明的第二步 回到證明右邊第一項，因為函式 f x 可積，找到一個連續函式 g x，然後根據最佳逼近引理，可以找到一個三角多項式 p x，使得 fS_Nfx leq f xg xg xS_Nfx 故當 N rightarrow infty ，函式 f x 跟 S_Nfx 的差為 0。 其他性質 傅立葉級數的唯一性 如果有一個定義在 pipi 的函式 f x 和 g x 其中函式 f x 和 g x 的傅立葉係數 hat fn 還有 hat gn 相同，且傅立葉級數都收斂到函式本身，那麼可以證明此傅立葉級數具有唯一性，也就是 f xg x。換句話說，如果函式 f x 在 pipi 上可積，傅立葉係數 hat fn 為 0，對所有的 n in N，那麼函式 f x0 卷積定理 給定週期為 P 的函式 s__P 和 r__P，它們具有傅立葉級數係數 S n 和 R n，這裡的 n in mathbb Z。 逐點乘積 h__Px triangleq s__Pxcdot r__Px，也是週期為 P，並且它的傅立葉級數係數是序列 S 和 R 的離散卷積：H n SRn。 週期卷積 h__Px triangleq s__P rx s r__Px int_P s__Ptaucdot r__Pxtau dtau，也是週期為 P，它具有傅立葉級數係數：H n P cdot S ncdot R n。 在 c_0 mathbb Z 中的雙無限序列 left c_n right _n in Z，是在 L1 02pi 中的傅立葉係數的序列，當且僅當它是在 ell2 mathbb Z 中的兩個序列的卷積。 微分性質 我們說 f x 屬於在 Ck mathbb T Rightarrow 如果 f x 是一個在實數上以 2pi 為週期的函式，且 k 次可微而且 k 階連續。 如果 f x 屬於在 C1 mathbb T，那麼 fx 傅立葉係數 hat fn 可以被用 f x 傅立葉係數 hat fn 的表示，藉由公式 hat fnin hat fn 如果 f x 屬於在 Ck mathbb T，hat fknink hat fn。特別的，當固定 kgeq 1，我們有 hat fkn 趨近於 0 當 n rightarrow infty，且有 hat fknO 1nk。 黎曼 勒貝格定理 如果 S 是可積函式，則 lim_n to infty S n0，lim_n to infty a_n0 而 lim_n to infty b_n0。 帕塞瓦爾定理 如果函式 f x 屬於在 L2 pi pi 之中，那麼便有 sum_ inftyinftyhat fn2 frac 12 piint_ pipi f x2 dx f。 普朗歇爾定理 如果 c_0 c_pm 1 c_pm 2 ldots 是係數，並且 sum_ninftyinfty c_n2 infty，則有一個唯一的函式 sin L2 P 使得對於所有 n 有著 S n c_n。 延伸 希爾伯特空間的解讀 所謂的兩個不同向量正交是指它們的內積為 0，這也就意味著這兩個向量之間沒有任何相關性，例如，在三維歐氏空間中，互相垂直的向量之間是正交的。事實上，正交是垂直在數學上的一種抽象化和一般化。一組 n 個互相正交的向量必然是線性無關的，所以必然可以張成一個 n 維空間，也就是說，空間中的任何一個向量可以用它們來線性表出。 在希爾伯特空間釋義下，函式的集合 en einx n Z 是 π π 平方可積函式 L2 π π 的正交基。這個空間實際上是一個希爾伯特空間，有著針對任何兩個的元素 f 和 g 的如下內積 langle f g rangle stackrel mathrm def frac 12piint_pipi f xoverline g xdx 三角函式族的正交性用公式表示出來就是： int_pipi cos mx cos nx dx pi delta_mn quad m n ge 1 int_pipi sin mx sin nx dx pi delta_mn quad m n ge 1 這裡的 δmn 是克羅內克函式，而 int_pipi cos mx sin nx dx 0 參閱 離散時間傅立葉級數 傅立葉變換 維爾斯特拉斯逼近定理 註釋 引用 延伸閱讀 2003 unabridged republication of the 1878 English translation by Alexander Freeman of Fouriers work Théorie Analytique de la Chaleur originally published in 1822 Felix Klein Development of mathematics in the 19th century Mathsci Press Brookline Mass 1979 Translated by M Ackerman from Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert Springer Berlin 1928 The first edition was published in 1935 電機電子類科《工程數學》，ISBN 9789575843779，作者 陳錫冠、曾致煌，高立出版社。 外部連結