在抽象代數中，十六元數是在實數上形成的 16 維非交換且非結合代數結構。彷如八元數，其乘法不符合交換律及結合律。十六元數可以透過將八元數套用凱萊 迪克森結構來構造。然而，與八元數不一樣，十六元數甚至不符合交錯性。儘管如此，十六元數仍然符合冪結合性。此外，十六元數中存在零因子（zero divisor），例如，這點與八元數截然不同 因此，十六元數無法構成整環（integral domain），也無法構成除環（divisor ring）。 十六元數是由八元數套用凱萊 迪克森構造而成的。十六元數亦可以繼續進行凱萊 迪克森構造。若將十六元數套用凱萊 迪克森構造將會形成（trigintaduonion）。每一次的構造都會導致維數翻倍，並且構造結果同樣與十六元數類似，有著不符合交錯性、符合冪結合性與存在零因子等特性。 十六元數這個術語同時亦用於其他同為 16 維度的代數結構，例如兩個複四元數的張量積、實數上的 44 矩陣代數或喬納森DH史密斯於 1995 提出的一種代數結構。 算術 十六元數的乘法和八元數一樣，不具備交換律及結合律。與八元數不同的是，十六元數不具備交錯代數的特性。雖然如此，但十六元數仍然保有冪結合性，也就是說，對所有的十六元數集 mathbb S 中的元素 x，冪 xn 是可以明確定義的。同時，十六元數亦有的特性。Richard D Schafer 1954 On the algebras formed by the CayleyDickson process 76 43546 十六元數共有的 16 個單位。這 16 個單位十六元數是： e_0、e_1、e_2、e_3、e_4、e_5、e_6、e_7、e_8、e_9、e_10、e_11、e_12、e_13、e_14 及 e_15 每個十六元數都是單位十六元數 e_0 e_1 e_2 e_3 e_15 的線性組合，並構成了十六元數向量空間的基。 每個十六元數都可以用以下形式表示： x x_0 e_0 x_1 e_1 x_2 e_2 cdots x_14 e_14 x_15 e_15 十六元數的加法和減法是透過將相應十六元數單位之係數的加法或減法來定義的。而十六元數的乘法是對加法的分配，所以兩個十六元數的乘積可以透過對所有項的乘積求和來計算。 十六元數和其他也由凱萊 迪克森結構來構造的代數結構一樣，其皆包含了依凱萊 迪克森結構構造來源的代數結構。例如十六元數可透過八元數代凱萊 迪克森結構來構造、八元數可透過四元數代凱萊 迪克森結構來構造、四元數可透過複數代凱萊 迪克森結構來構造、複數可透過實數代凱萊 迪克森結構來構造。因此，十六元數系包含了一個八元數系（由下方乘法表對應的 e_0 至 e_7 構造），亦包含了四元數系（由 e_0 至 e_3 構造），也包含了複數系（由 e_0 至 e_1 構造）和實數系（由 e_0 構造）。 十六元數具有乘法單位元素 e_0 和乘法逆元，但因為存在零因子因此無法構成。換句話說，即十六元數的代數系統中，存在 2 個非零十六元數相乘為零，例如 e_3 e_10e_6 e_15 0。其他基於凱萊 迪克森結構構造的超複數系統中，維度大於 16 的超複數也都存在零因子。 十六元數單元乘數表如下： e_ie_j e_ie_j e_j e_j e_j e_j e_j e_j e_j e_j e_j e_j e_j e_j e_j e_j e_j e_j e_ie_j e_ie_j e_0 e_1 e_2 e_3 e_4 e_5 e_6 e_7 e_8 e_9 e_10 e_11 e_12 e_13 e_14 e_15 e_i e_0 e_0 e_1 e_2 e_3 e_4 e_5 e_6 e_7 e_8 e_9 e_10 e_11 e_12 e_13 e_14 e_15 e_i e_1 e_1 e_0 e_3 e_2 e_5 e_4 e_7 e_6 e_9 e_8 e_11 e_10 e_13 e_12 e_15 e_14 e_i e_2 e_2 e_3 e_0 e_1 e_6 e_7 e_4 e_5 e_10 e_11 e_8 e_9 e_14 e_15 e_12 e_13 e_i e_3 e_3 e_2 e_1 e_0 e_7 e_6 e_5 e_4 e_11 e_10 e_9 e_8 e_15 e_14 e_13 e_12 e_i e_4 e_4 e_5 e_6 e_7 e_0 e_1 e_2 e_3 e_12 e_13 e_14 e_15 e_8 e_9 e_10 e_11 e_i e_5 e_5 e_4 e_7 e_6 e_1 e_0 e_3 e_2 e_13 e_12 e_15 e_14 e_9 e_8 e_11 e_10 e_i e_6 e_6 e_7 e_4 e_5 e_2 e_3 e_0 e_1 e_14 e_15 e_12 e_13 e_10 e_11 e_8 e_9 e_i e_7 e_7 e_6 e_5 e_4 e_3 e_2 e_1 e_0 e_15 e_14 e_13 e_12 e_11 e_10 e_9 e_8 e_i e_8 e_8 e_9 e_10 e_11 e_12 e_13 e_14 e_15 e_0 e_1 e_2 e_3 e_4 e_5 e_6 e_7 e_i e_9 e_9 e_8 e_11 e_10 e_13 e_12 e_15 e_14 e_1 e_0 e_3 e_2 e_5 e_4 e_7 e_6 e_i e_10 e_10 e_11 e_8 e_9 e_14 e_15 e_12 e_13 e_2 e_3 e_0 e_1 e_6 e_7 e_4 e_5 e_i e_11 e_11 e_10 e_9 e_8 e_15 e_14 e_13 e_12 e_3 e_2 e_1 e_0 e_7 e_6 e_5 e_4 e_i e_12 e_12 e_13 e_14 e_15 e_8 e_9 e_10 e_11 e_4 e_5 e_6 e_7 e_0 e_1 e_2 e_3 e_i e_13 e_13 e_12 e_15 e_14 e_9 e_8 e_11 e_10 e_5 e_4 e_7 e_6 e_1 e_0 e_3 e_2 e_i e_14 e_14 e_15 e_12 e_13 e_10 e_11 e_8 e_9 e_6 e_7 e_4 e_5 e_2 e_3 e_0 e_1 e_i e_15 e_15 e_14 e_13 e_12 e_11 e_10 e_9 e_8 e_7 e_6 e_5 e_4 e_3 e_2 e_1 e_0 十六元數特性 從上表可得到： 對所有的 i，有 e_0e_i e_ie_0 e_i， e_ie_i e_0 text for i neq 0，且 e_ie_j e_je_i text for i neq j text with ij neq 0。 反結合 十六元數並非完全反結合。選擇任意四個生成元 ijk 和 l，對於乘積 ijkl，有五種新增括號的方法。假如反結合律總是成立，則五者之間應有以下關係： ijkl ij k l i jk l i jk l i j kl ijkl 從而 ijkl 0，矛盾。所以，某兩者之間不滿足反結合律。 特別地，代入 e_1e_2e_4 和 e_8 時，利用上列乘法表，可得最後兩式滿足結合律：e_1 e_2e_12 e_1e_2 e_12 e_15。 四元子代數 在下表列出了構成這個特定十六元數乘法表的 35 個三元組。用於使用凱萊 迪克森結構構造之十六元數的 7 個八元數三元組，以粗體表示： 每個三元組中，三個數的二進製表示，按位異或的結果為 0。 1 2 3 1 4 5 1 7 6 1 8 9 1 11 10 1 13 12 1 14 15 2 4 6 2 5 7 2 8 10 2 9 11 2 14 12 2 15 13 3 4 7 3 6 5 3 8 11 3 10 9 3 13 14 3 15 12 4 8 12 4 9 13 4 10 14 4 11 15 5 8 13 5 10 15 5 12 9 5 14 11 6 8 14 6 11 13 6 12 10 6 15 9 7 8 15 7 9 14 7 12 11 7 13 10 84 組由十六元數單位組成的零因子陣列 e_a e_b e_c e_d 列舉如下，其中 e_a e_b circ e_c e_d 0： begin arrayc begin arrayccc 1 leq a leq 6 c a 9 leq b leq 15 9 leq d leq 15 9 geq d geq 15 end array begin arrayll e_1 e_10 e_5 e_14 e_1 e_10 e_4 e_15 e_1 e_10 e_7 e_12 e_1 e_10 e_6 e_13 e_1 e_11 e_4 e_14 e_1 e_11 e_6 e_12 e_1 e_11 e_5 e_15 e_1 e_11 e_7 e_13 e_1 e_12 e_2 e_15 e_1 e_12 e_3 e_14 e_1 e_12 e_6 e_11 e_1 e_12 e_7 e_10 e_1 e_13 e_6 e_10 e_1 e_13 e_7 e_14 e_1 e_13 e_7 e_11 e_1 e_13 e_3 e_15 e_1 e_14 e_2 e_13 e_1 e_14 e_4 e_11 e_1 e_14 e_3 e_12 e_1 e_14 e_5 e_10 e_1 e_15 e_3 e_13 e_1 e_15 e_2 e_12 e_1 e_15 e_4 e_10 e_1 e_15 e_5 e_11 e_2 e_9 e_4 e_15 e_2 e_9 e_5 e_14 e_2 e_9 e_6 e_13 e_2 e_9 e_7 e_12 e_2 e_11 e_5 e_12 e_2 e_11 e_4 e_13 e_2 e_11 e_6 e_15 e_2 e_11 e_7 e_14 e_2 e_12 e_3 e_13 e_2 e_12 e_5 e_11 e_2 e_12 e_7 e_9 e_2 e_13 e_3 e_12 e_2 e_13 e_4 e_11 e_2 e_13 e_6 e_9 e_2 e_14 e_5 e_9 e_2 e_14 e_3 e_15 e_2 e_14 e_3 e_14 e_2 e_15 e_4 e_9 e_2 e_15 e_3 e_14 e_2 e_15 e_6 e_11 e_3 e_9 e_6 e_12 e_3 e_9 e_4 e_14 e_3 e_9 e_7 e_13 e_3 e_9 e_5 e_15 e_3 e_10 e_4 e_13 e_3 e_10 e_5 e_12 e_3 e_10 e_7 e_14 e_3 e_10 e_6 e_15 e_3 e_12 e_5 e_10 e_3 e_12 e_6 e_9 e_3 e_14 e_4 e_9 e_3 e_13 e_4 e_10 e_3 e_15 e_5 e_9 e_3 e_13 e_7 e_9 e_3 e_15 e_6 e_10 e_3 e_14 e_7 e_10 e_4 e_9 e_7 e_10 e_4 e_9 e_6 e_11 e_4 e_10 e_5 e_11 e_4 e_10 e_7 e_9 e_4 e_11 e_6 e_9 e_4 e_11 e_5 e_10 e_4 e_13 e_6 e_15 e_4 e_13 e_7 e_14 e_4 e_14 e_7 e_13 e_4 e_14 e_5 e_15 e_4 e_15 e_5 e_14 e_4 e_15 e_6 e_13 e_5 e_10 e_6 e_9 e_5 e_9 e_6 e_10 e_5 e_11 e_7 e_9 e_5 e_9 e_7 e_11 e_5 e_12 e_7 e_14 e_5 e_12 e_6 e_15 e_5 e_15 e_6 e_12 e_5 e_14 e_7 e_12 e_6 e_11 e_7 e_10 e_6 e_10 e_7 e_11 e_6 e_13 e_7 e_12 e_6 e_10 e_7 e_13 end array end array 應用 莫雷諾吉列爾莫於 1998 年表明，一對範數一的十六元數空間（每個元素皆為範數為 1 的十六元數二元組的空間）中的元素相乘為零這樣的代數空間與緊湊形式的例外李群同胚。（留意在莫雷諾論文中，零因子指的是一對相乘為零的元素。） 十六元數神經網路在機器學習應用中提供了一種高效且緊湊的表達方式，並被用於解決多個時間序列預測問題。 參見 超複數 倫納德尤金迪克森 參考文獻 L S Saoud and H AlMarzouqi Metacognitive SedenionValued Neural Network and its Learning Algorithm in IEEE Access vol 8 pp 144823144838 2020 doi 101109ACCESS20203014690 S S