數學歸納法（，縮寫：MI）是一種數學證明方法，通常被用於證明某個給定命題在整個或者區域性自然數範圍內成立。除了自然數以外，廣義上的數學歸納法也可以用於證明一般良基結構，例如：集合論中的樹。這種廣義的數學歸納法應用於數學邏輯和計算機科學領域，稱作結構歸納法。 雖然數學歸納法名字中有 歸納，但是數學歸納法並非邏輯上不嚴謹的歸納推理法，它屬於完全嚴謹的演繹推理法。事實上，所有數學證明都屬於演繹推理方法。 定義 最簡單和常見的數學歸納法是證明當 n 等於任意一個自然數時某命題成立。證明分下面兩步： 證明 當 n1 時命題成立。（選擇數字 1 因其作為自然數集合中的最小值） 證明 若假設在 nm 時命題成立，可推導出在 nm1 時命題成立。（m 代表任意自然數） 這種方法的原理在於：首先證明在某個起點值時命題成立，然後證明從一個值到下一個值的過程有效。當這兩點都已經證明，那麼任意值都可以透過反覆使用這個方法推匯出來。把這個方法想成多米諾骨牌效應也許更容易理解一些。例如：你有一列很長的直立著的多米諾骨牌，如果你可以： 證明 「第一張骨牌會倒。」 證明 「只要任意一張骨牌倒了，其下一張骨牌也會因為前面的骨牌倒而跟著倒。」 則可下結論：所有的骨牌都會倒下。 例子 例子 1 證明下 面 這個給定公式（命題）為真： 1 2 3 cdots n frac n n 12 其中 n 為任意自然數。這是用於計算前 n 個自然數的和的簡單公式。 證明 第一步 起始步驟 第一步是驗證這個公式在 n1 時成立。左邊 1，而右邊 frac 1 1121，所以這個公式在 n1 時成立。第一步完成。 第二步 推遞步驟 第二步證明假設 nm 時公式成立，則可推理出 nm1 時公式也成立。 證明步驟如下。 假設 nm 時公式成立。即 1 2 cdots m frac m m 12【等式 P m】 然後在等式等號兩邊分別加上 m1 得到 1 2 cdots m m 1 frac m m 12 m 1【等式 P m1】 這就是 nm1 時的等式。 現在需要根據等式等式 P m1 演繹出等式 P m 的符號形式。（需要注意的是如果給定公式不為真，則做不到）透過因式分解合併 形式變換 字元操縱，等式 P m1 的右手邊 frac m m 12 frac 2 m 12 frac m 2m 12 frac m 1m 22 frac m 1m 1 12 也就是說 1 2 cdots m 1 frac m 1m 1 12 這樣便證明了從等式 P m 成立可推理出等式 P m1 也成立。證明至此完成，結論：對於任意自然數 n，P n 均成立。 解釋 在這個證明中，推理的過程如下： 首先證明命題 P 1 成立，即公式在 n1 時成立。 然後證明從命題 P m 成立可以推演出命題 P m1 也成立。【此部實際屬於演繹推理法。技術方法是基於命題 P m1 的符號形式變換出命題 P m 的符號形式。】 根據上兩條從命題 P 1 成立可以推理出命題 P 11，也就是命題 P 2 成立。 繼續推理，可以知道命題 P 3 成立。 從命題 P 3 成立可以推匯出命題 P 4 也成立。 不斷的重複推導下一命題成立的步驟。（這就是所謂 歸納 推理的地方） 我們便可以下結論：對於任意自然數 n，命題 P n 成立。 例子 2 證明對於 Fibonacci 數列，定義 F_nF_n1F_n2，且 F_00F_11，則 F_0F_1F_2 cdots F_nF_n21。 證明 首先，我們先使得 n0 的情況成立，F_0F_21 0110 然後，我們假定 nk 的情況下的成立的，F_0F_1F_kF_k21 然後我們使得 nk1 的情況也成立，（這是為了表明，如果有任意數 k 使得其成立，則有其 1 也成立） F_0F_1F_kF_k1 F_k21F_k1 F_k31 於是我們得證，即從 n0，到 n011121 到所有正實數都成立，就像多米諾骨牌的第一塊 n0 成立而且每一塊的下一塊都成立（kk1 數學歸納法的變體 在應用中，數學歸納法常常需要採取一些變化來適應實際的需求。下面介紹一些常見的數學歸納法變體。 從 0 以外的自然數開始 第一種情況： 如果欲證明的命題並不是針對全部自然數，而只是針對所有大於等於某個數字 b 的自然數，那麼證明的步驟需要做如下修改： 第一步，證明當 nb 時命題成立。 第二步，證明如果 nm（mgeq b） 成立，那麼可以推匯出 nm1 也成立。 用這個方法可以證明諸如 當 ngeq 5 時，2nn2 這一類命題。 第二種情況： 如果欲證明的命題針對全部自然數，但僅當大於等於某個數字 b 時比較容易證明，則可參考如下步驟： 第一步，證明當 n012cdots b 時命題成立。 第二步，證明如果 nm（mgeq b）成立，那麼可以推匯出 nm1 也成立。 用這種方法可以證明一些需要透過放縮來證明的不等式。 只針對偶數或只針對奇數 如果我們想證明的命題並不是針對全部自然數，而只是針對所有奇數或偶數，那麼證明的步驟需要做如下修改： 奇數方面： 第一步，證明當 n1 時命題成立。 第二步，證明如果 nm 成立，那麼可以推匯出 nm2 也成立。 偶數方面： 第一步，證明當 n0 或 n 2 時命題成立。 第二步，證明如果 nm 成立，那麼可以推匯出 nm2 也成立。 或調整命題表述，使之變為對所有正整數成立，例如 證明「1357 cdots afrac a124 對所有正奇數 a 成立」等價於證明「1357 cdots 2b1b2 對所有正整數 b 成立」。 遞迴歸納法 又名遞降歸納法。數學歸納法並不是只能應用於形如 對任意的 n 這樣的命題。對於形如 對任意的 n012cdotsm 這樣的命題，如果對一般的 n 比較複雜，而 nm 比較容易驗證，並且我們可以實現從 k 到 k1 的遞推，k1cdotsm 的話，我們就能應用歸納法得到對於任意的 n012cdotsm，原命題均成立。 完整歸納法 另一個一般化的方法叫完整歸納法（也稱第二數學歸納法或強歸納法），在第二步中我們假定式子不僅當 nm 時成立，當 n 小於或等於 m 時也成立。這樣可以設計出這樣兩步 證明當 n0 時式子成立 證明當 nleq m 時成立，那麼當 nm1 時式子也成立 例如，這種方法被用來證明： mathrm fibnfrac Phinleft Phirightn5frac 12 其中 mathrm fibn 是第 n 個斐波納契數和 Phi frac 15frac 122（即黃金分割）。如果我們可以假設式子已經在當 nm 和 nm1 時成立，從 mathrm fibm1mathrm fibmmathrm fibm1 之後可以直截了當地證明當 nm1 時式子成立 這種方法也是第一種形式的特殊化： 定義 mathrm Pn 是我們將證的式子， mathrm P0 和 mathrm P1 成立 mathrm Pm1 在 mathrm Pm 和 mathrm Pm1 成立時成立。 結論：mathrm Pn 對一切自然數 n 成立。 超限歸納法 最後兩步可以用這樣一步表示： 證明如果式子在所有的 nm 成立，那麼式子在當 nm 時也成立。 實際上這是數學歸納法的大多數通式，可以知道他不僅對錶達自然數的式子有效，而且對於任何在良基集（也就是一個偏序的集合，包括有限降鏈）中元素的式子也有效（這裡 被定義為 a 當且僅當 aleq b 和 aneq b）。 這種形式的歸納法當運用到序數（以良序的和一些的良基類的形式）時被稱為超限歸納法，它在集合論、拓撲學和其他領域是一種重要的方法。 要區別用超限歸納法證明的命題的三種情況： m 是一個極小元素，也就是沒有一個元素小於 m m 有一個直接的前輩，比 m 小的元素有一個大的元素 m 沒有任何前輩，也就是 m 是一個界限序數 參見數學歸納法的三種形式。 形式寫法 使用二階邏輯 二階邏輯可捕捉數學歸納法這概念，表達成如下邏輯式： displaystyleforall PBigl P 0 land forall k bigl P k Rightarrow P k1bigr Rightarrow forall n bigl P nbigrBigr， P 是容納一自然數的述詞變元，遍歷所有述詞而非個別數字，為二階量詞（是故此式與二階邏輯有關），k 與 n 則是自然數變元，遍歷所有自然數。 白話解釋此式，此式說：起始步驟 P 0 與推遞步驟（即歸納假設，P k 蘊涵 P k1） 兩步成立會匯出對任一自然數 n， P n 成立之結論。通常，我們為了證明第二步，會假設 P n 成立（歸納假設），再進一步證明 P n1。此牽涉到條件證法，將條件句之前件作為假設，假定其正確以便於證明。 使用一階邏輯 若用一階邏輯將數學歸納法公設化，則須採用公設模式，替每一個可能存在的述詞設下針對其的獨立公設。舉例而言，我們僅允許三個一階述詞存在，分別名為 P_1、P_2、P_3 ，則原先以二階邏輯描述的公設可改寫為： displaystyle P_1 0 land forall k bigl P_1 k to P_1 k1bigr to forall n bigl P_1 nbigr， displaystyle P_2 0 land forall k bigl P_2 k to P_2 k1bigr to forall n bigl P_2 nbigr， displaystyle P_3 0 land forall k bigl P_3 k to P_3 k1bigr to forall n bigl P_3 nbigr， 。然而其強度與以二階邏輯描述之邏輯式不同，前者較後者弱。理由為一階邏輯述詞之數量為可數，而二階邏輯量限所迭代的集合為不可數。 此外，二階邏輯所表示的歸納公設綜合其它皮亞諾公設為同疇 categorical，且所得之自然數模型無限大。根據勒文海姆 斯科倫定理，用一階邏輯表達的理論若有可數無限大的模型，則其有不可數大的模型，是故無法前頭將所述的模型公設化。亦即，用二階邏輯表達的公設僅允許一群模型彼此同構，而一階邏輯模型則因前述定理，並非每個模型都同構。 使用一階 ZFC 集合論 一階 ZFC 集合論不允許述詞被遍歷， 但我們可以藉由遍歷集合，繞過一階邏輯之限制，描述歸納法： forall A Bigl 0 in A land forall k in mathbb N bigl k in A to k1 in A bigr to mathbb Nsubseteq ABigr A 本身是集合，但可視作命題 只要命題在這數下成立，數字就會收入集合。別於皮亞諾公設，將數學歸納法定為公設，ZFC 集合論直接定義自然數，使得歸納法本身是定理而非公設。 數學歸納法的合理性 皮亞諾公理視數學歸納法不證自明，設作公理，而於策梅洛 弗蘭克爾集合論，數學歸納法可從良序定理推匯出來。 需要注意的是數學歸納法只能判定給定命題的真，而不能證偽，因為在形式變換這一過程需要一定技巧與靈感。抽象的概念如自然數，可透過抽象的工具去處理。透過有限的步驟處理無限的物件如證明質數的無窮。 參見 歸納推理 演繹推理 結構歸納法 完整歸納法 參考文獻 外部連結 Mathematical Induction Examples Category 初等數學 Category 數學哲學 Category 數學推理