十二平均律（英語：12 equal temperament），又稱十二等程律，音樂律式的一種，也是當今最主流的律式。將一個八度平均分成十二等份，每等分稱為半音，音高八度音指的是頻率乘上二倍。八度音的頻率分為十二等分，即是分為十二項的等比數列，也就是每個音的頻率為前一個音的 2 的 12 次方根倍： 其近似值約為 sqrt 1222frac 112approx 倍。 歷史 公元 400 年左右，中國南朝數學家何承天提出世界歷史上最早有記載的十二平均律數列 900 849 802 758 715 677 638 601 570 536 5095 479 450（原文： 黃鐘長九寸，太簇長八寸二釐，林鐘長六寸一釐，應鐘長四寸七分九釐強）J Murray Barbour Tuning and Temperament p5556 Michigan State University Press 1951 。 義大利的物理學家伽利略伽利萊的父親曾試圖解決十二平均率問題，但他用的倍率是 1817，而不是 sqrt 12 2，因此自乘 12 次後只得 198556，不是 2，他的系統只可算近似十二音階平均律。 1605 年荷蘭數學家西蒙斯特芬在一篇未完成的手稿 Van de Spiegheling der singconst Simon Stevin Van de Spiegheling der singconst 2009630 提出用 sqrt 12 12 計算十二平均律，但因計算精度不夠，他算出的弦長數字，有些偏離正確數字一至二單位之多 Thomas S Christensen The Cambridge history of western music theory p205 Cambridge Univerity Press。 西蒙斯特芬的弦長表卓仁祥：《東西方文化視野中的朱載堉及其學術成就》，第十章，2009 年，中央音樂學院出版社，151 頁。ISBN 9787810963251： 音 弦 10000 比率 正確的弦長 半音 9438 10595465 94387 全音 8909 10593781 15 音 8404 10600904 8409 2 倍全音 7936 10594758 7937 25 音 7491 10594046 74915 3 音 7071 10593975 70711 35 音 6674 10594845 66742 4 音 6298 10597014 6299 45 音 5944 10595558 5946 5 音 5611 10593477 56123 55 音 5296 10594788 52972 八度 10592000 西蒙斯特芬的頻率比，每音一率，且各不相同，這是不正確的卓仁祥：《東西方文化視野中的朱載堉及其學術成就》，第十章，2009 年，中央音樂學院出版社，152 頁，ISBN 9787810963251。 朱載堉發明十二平均律 中國明代音樂家朱載堉於萬曆十二年（1584 年）首次提出「新法密率」（見《律呂精義》、《樂律全書》），推算出以比率 sqrt 12 2 將八度音等分為十二等分的演算法，並製造出十二平均律律管及律準，是世界上最早的十二平均律樂器。他用九九八十一位算盤計算出來準確到 25 位數字新法密率為： 律名 比率 正黃鐘 1000000000000000000000000 倍應鍾 1059463094359295264561825 倍無射 1122462048309372981433533 倍南呂 1189207115002721066717500 倍夷則 1259921049894873164767211 倍林鍾 1334839854170034364830832 倍蕤賓 1414213562373095048801689 倍仲呂 1498307076876681498799281 倍姑洗 1587401051968199474751706 倍夾鍾 1681792830507429086062251 倍太蔟 1781797436280678609480452 倍大呂 1887748625363386993283826 倍黃鐘 2000000000000000000000000 File 樂律全書全 118jpg File 樂律全書全 119jpg File 樂律全書全 120jpg File 樂律全書全 121jpg 朱載堉新法密率 File 樂律全書全 122jpg File 樂律全書全 123jpg File 樂律全書全 124jpg 朱載堉首創十二平均律樂器 朱載堉為了驗證所創的十二平均律理論，計算出所需的長度和律管內徑，特選用上等竹子，按資料擷取所需的長度，按資料鏇出內徑，分別創制世界上最早的十二平均律律管 36 根，分別為新法密率倍率管 12 根、正律管 12 根和半律管 12 根朱載堉 。選上好竹子製造，金門竹、班竹或紫竹都可，而當時朱載堉採用的是江南出產的筆管竹。 倍率黃鐘管的內徑取為五寸，下一根竹管的內徑為上根竹管的直徑除以 sqrt 24 2： 樂器尺寸 律數 律名 長度 內徑 1 倍律 黃鐘 20000 尺 0500 尺 2 倍律 大呂 18877 尺 0485 尺 3 倍律 太蔟 17818 尺 0471 尺 4 倍律 夾鍾 16818 尺 0458 尺 5 倍律 姑洗 15874 尺 0445 尺 6 倍律 仲呂 14983 尺 0432 尺 7 倍律 蕤賓 14142 尺 0420 尺 8 倍律 林鍾 13348 尺 0408 尺 9 倍律 夷則 12599 尺 0396 尺 10 倍律 南呂 11892 尺 0385 尺 11 倍律 無射 11224 尺 0374 尺 12 倍律 應鍾 10594 尺 0363 尺 1 正律 黃鐘 10000 尺 0353 尺 2 正律 大呂 09439 尺 0343 尺 3 正律 太蔟 08909 尺 0333 尺 4 正律 夾鍾 08409 尺 0324 尺 5 正律 姑洗 07937 尺 0314 尺 6 正律 仲呂 07491 尺 0306 尺 7 正律 蕤賓 07071 尺 0297 尺 8 正律 林鍾 06674 尺 0288 尺 9 正律 夷則 06299 尺 0280 尺 10 正律 南呂 05946 尺 0272 尺 11 正律 無射 05612 尺 0264 尺 12 正律 應鍾 05297 尺 0257 尺 1 半律 黃鐘 05000 尺 0250 尺 2 半律 大呂 04719 尺 0242 尺 3 半律 太蔟 04454 尺 0235 尺 4 半律 夾鍾 04204 尺 0229 尺 5 半律 姑洗 03968 尺 0222 尺 6 半律 仲呂 03745 尺 0216 尺 7 半律 蕤賓 03535 尺 0210 尺 8 半律 林鍾 03337 尺 0204 尺 9 半律 夷則 03150 尺 0198 尺 10 半律 南呂 02973 尺 0192 尺 11 半律 無射 02806 尺 0187 尺 12 半律 應鍾 02648 尺 0181 尺 倍率黃鐘管的內徑取為五寸，下一根竹管的內徑為上根竹管的直徑除以 sqrt 24 2。 十二平均律準 朱載堉依他對十二平均律所發明的新法密率理論，創制一種律準。用桐木製作，琴身厚四分，張琴絃 12 根，琴底藏一根黃鐘律管，用來定黃鐘朱載堉《樂律全書》卷八 《律學新說》。 按第 1 弦為 黃鐘 與本弦 散聲 應 按第 2 弦為 大呂 與本弦 散聲 應 按第 3 弦為 太蔟 與本弦 散聲 應 按第 4 弦為 夾鍾 與本弦 散聲 應 按第 5 弦為 姑洗 與本弦 散聲 應 按第 6 弦為 仲呂 與本弦 散聲 應 按第 7 弦為 蕤賓 與本弦 散聲 應 按第 8 弦為 林鍾 與本弦 散聲 應 按第 9 弦為 夷則 與本弦 散聲 應 按第 10 弦為 南呂 與本弦 散聲 應 按第 11 弦為 無射 與本弦 散聲 應 按第 12 弦為 應鍾 與本弦 散聲 應 歐洲的十二平均律 16 世紀末葉中外交通方興未艾，1580 年開始，明朝廣東承宣布政使司每兩年在廣州舉辦一次為時數週的交易會，屆時東西商人和傳教士會交流貨物和思想；朱載堉刊行十二平均律學說之時，正值耶穌會義大利傳教士利馬竇來華之時，利馬竇在其私人日記裡提到朱載堉的歷法新理論，利馬竇本人又是精通天文學和數學，很可能知道朱載堉用 sqrt 122 來解決春分與夏至三個月之間的比率：無獨有偶，利馬竇還是法國位居高位的科學家馬蘭梅森 （Pere Marin Mersenne）的朋友，他們有共同的學術興趣，因此卓仁祥認為，在他們交往過程中，利馬竇將朱載堉獲得的 sqrt 1221059463094359295264561825 傳達給梅森。1638 年梅森出版《》，書中在西方世界第一次出現 1059463 這個數字，在此之前西方無人知道這個數字。 十九世紀德國物理學家赫爾曼馮亥姆霍茲在所著的論音感一書中寫道：中國有一位王子名叫載堉，力排眾議，創導七聲音階。而將八度分成十二個半音的方法，也是這個富有天才和智巧的國家發明的Hermann Von Helmholtz On the Sensations of Tone as a Physiological basis for the theory of music p 258 3rd edition Longmans Green and Co London 1895 。1890 年布魯塞爾皇家音樂博物館館長 Victor Charles Mahillon 按朱載堉十二平均律律管資料，複製了一套律管，經過測試之後，他寫道：關於樂管的管徑，我們毫無所知，中國人比我們知道的多得多。我們按王子載堉的資料複製了一套律管，測試結果表明他的理論的準確性 勞漢生 《珠算與實用算術》，2010 年，河北科學技術出版社，389 頁，ISBN 9787537518918。 十二平均律流行世界 德國作曲家巴赫於 1722 年發表的《平均律鍵盤曲集》Das Wohltemperierten Klavier，中文意思是「完美調音的鍵盤樂器」，雖然現代中文翻譯為「平均律」，但可能並不是為使用十二平均律的鍵盤樂器而著。十二平均律的德文是 Gleichschwebende Temperatur，而不是 Wohltemprierte。平均律的英文是 Equal Temperament，Temperament 是 Temper（調律）的動詞，因為百餘年來歐美各國的調律都採十二平均律，故現在習慣以 Temperament 表示十二平均律。 James Murray Barbour 1897 3 31 1970 1 04 研究「調律技術演進史」，認為 1842 年由英國樂器製造廠 Broadwood 找到十二平均律的調律法，十二平均律才能普及。 Barbour James Murray Tuning and temperament a historical survey East Lansing Michigan State College Press 1953 巴赫的鍵盤樂器則是使用他的學生，音樂理論家綜閤中庸全音律與五度相生律的原理，所發明的調律法。 歷史上各種十二平均律的音分 年份 人名 比率 音分 400 何承天 1060070671 1010 1580 伽利略文森佐 1817 990 1581 朱載堉 1059463094 1000 1585 西蒙斯特芬 1059546514 1001 1630 馬蘭梅森 1059322034 998 1630 Johann Faulhaber 1059490385 1000 朱載堉顯然是歷史上最先獲得準確的 100 音分半音十二平均律的人；半世紀之後德國數學家 Johann Faulhaber 也獲得了準確的 100 音分。 十二平均律表 將主音設為 a1 440Hz，來計算所有音的頻率，結果如下 （為計算過程更清晰，分數不進行約分）： 音程名稱 間隔半音數 十二平均律的倍數 頻率 純一度 A1 0 201 440 times 1440 增一度 小二度 A1B1 1 sqrt 1222frac 112approx 10594630943592952645618252949463 440 times 2frac 112approx 4661637615180899164072031297762 大二度 B1 2 sqrt 622frac 212approx 11224620483093729814335330496792 440 times 2frac 212approx 4938833012561241118307545418586 小三度 C 3 sqrt 422frac 312approx 11892071150027210667174999705605 440 times 2frac 312approx 5232511306011972693556999870466 大三度 C 4 sqrt 322frac 412approx 12599210498948731647672106072782 440 times 2frac 412approx 5543652619537441924975726672023 純四度 D 5 sqrt 12322frac 512approx 13348398541700343648308318811845 440 times 2frac 512approx 5873295358348151205255660277209 增四度 減五度 DE 6 sqrt 22frac 612approx 14142135623730950488016887242097 440 times 2frac 612approx 6222539674441618214727430386522 純五度 E 7 sqrt 121282frac 712approx 14983070768766814987992807320298 440 times 2frac 712approx 6592551138257398594716835220930 小六度 F 8 sqrt 342frac 812approx 15874010519681994747517056392723 440 times 2frac 812approx 6984564628660077688907504812795 大六度 F 9 sqrt 482frac 912approx 16817928305074290860622509524664 440 times 2frac 912approx 7399888454232687978673904190852 小七度 G 10 sqrt 6322frac 1012approx 1781797436280678609480452411181 440 times 2frac 1012approx 7839908719634985881713990609195 大七度 G 11 sqrt 1220482frac 1112approx 18877486253633869932838263133351 440 times 2frac 1112approx 8306093951598902770448835778670 純八度 A 12 212 440 times 2880 其中 sqrt 1222frac 112approx approx frac 1817 105882 99 音分 approx frac 107101105941 999 音分 approx frac 1101110393105946310 100 音分 參考文獻 引用 來源 李約瑟：《中國科學技術史》第四卷第一分冊 Robert Temple：The Genius of CHINA （李約瑟《中國科學技術史》的濃縮本） 戴念祖：《朱載堉 明代的科學和藝術巨星》 程貞一 著，王翼勳 譯：《黃鐘大呂：中國古代和十六世紀聲學成就》（上海：上海科技教育出版社，2007）。 Cho Gene Jinsiong 2003 The Discovery of Musical Equal Temperament in China and Europe in the Sixteenth Century Lewiston NY The Edwin Mellen Press 參見 十二律 律學 朱載堉 Category 音樂理論 category 音階 Category 調律 Category 明朝發明 Category 中國發現