線上性代數中，一個矩陣 A 的列秩是列向量生成的最大線性無關組的向量個數。類似地，行秩是矩陣 A 的線性無關的橫行的個數。矩陣的列秩和行秩總是相等的，因此它們可以簡單地稱作矩陣 A 的秩。通常表示為 mathrm rA ，mathrm rankA 或 mathrm rkA。 可替代定義 用 行列式 定義 設 A 為 m times n 矩陣。若 A 至少有一個 r 階非零子式，而其所有 r1 階子式全為零，即矩陣的最高階非零子式的階數為 r。則稱 r 為 A 的秩。 用向量組的秩定義 對於 m 維線性空間 V 中的一個向量組 Falpha _1 alpha _2alpha _s，若 Fsupseteq Salpha _1 alpha _2alpha _r 中的 r 個向量線性無關，且若 r，forall alpha _r1in FS，Scup alpha _r1 中 r1 個向量都線性相關，則稱 alpha _1 alpha _2alpha _r 為 alpha _1 alpha _2alpha _s 的極大線性無關組，r 為 alpha _1 alpha _2alpha _s 的秩。可以證明 F 的秩等於向量組 F 生成的子空間的維數。 矩陣 A 的列秩定義為 A 的列向量組的秩，也即矩陣的列空間的維數。類似地，矩陣的行秩定義為 A 的行向量組的秩，即矩陣的行空間的維數。 用線性對映定義 考慮線性對映： f_A Fn to Fm x mapsto A cdot x 對於每個矩陣 A，f_A 都是一個線性對映，同時，對每個 Fn to Fm 的 線性對映 f，都存在矩陣 A 使得 ff_A。也就是說，對映 Phi mathcal M_n mathbb K to mathcal LFnFm A mapsto f_A 是一個同構對映。所以一個矩陣 A 的秩還可定義為 f_A 的像的維度（像與核的討論參見線性對映）。矩陣 A 稱為 f_A 的變換矩陣。這個定義的好處是適用於任何線性對映而不需要指定矩陣，因為每個線性對映有且僅有一個矩陣與其對應。秩還可以定義為 nf 的核的維度；秩 零化度定理證明它等於 f 的像的維度。 行秩列秩相等性 矩陣的行秩與列秩相等，是線性代數基本定理的重要組成部分。其基本證明思路是，矩陣可以看作線性對映的變換矩陣，列秩為像空間的維度，行秩為非零原像空間的維度，因此列秩與行秩相等，即像空間的維度與非零原像空間的維度相等（這裡的非零原像空間是指約去了零空間後的商空間：原像空間）。這從矩陣的奇異值分解就可以看出來。 給出這一結果的兩種證明。第一個證明是簡短的，僅用到向量的線性組合的基本性質。第二個證明利用了正交性 Mackiw G 1995 A Note on the Equality of the Column and Row Rank of a Matrix Mathematics Magazine Vol 68 No 4 第一個證明利用了列空間的基，第二個證明利用了行向量空間的基。第一個證明適用於定義在標量域上的矩陣，第二個證明適用於內積空間。二者都適用於實或復的歐氏空間，也都易於修改去證明當 A 是線性變換的情形 證明一 令 A 是一個 m times n 的矩陣，其列秩為 r 因此矩陣 A 的列空間的維度是 r 令 c_1c_2ldotsc_r 是 A 的列空間的一組基，構成 m times r 矩陣 C 的列向量 C c_1c_2ldotsc_r，並使得 A 的每個列向量是 C 的 r 個列向量的線性組合。由矩陣乘法的定義，存在一個 r times n 矩陣 R 使得 A CR A 的 ij 元素是 c_i 與 R 的第 j 個行向量的點積 現在，由於 A CR A 的每個行向量是 R 的行向量的線性組合，這意味著 A 的行向量空間被包含於 R 的行向量空間之中。因此 A 的行秩 R 的行秩。但 R 僅有 r 行，所以 R 的行秩 r A 的列秩。這就證明了 A 的行秩 A 的列秩 把上述證明過程中的 行 與 列 交換，利用對偶性質同樣可證 A 的列秩 A 的行秩。更簡單的方法是考慮 A 的轉置矩陣 Amathrm T，則 A 的列秩 Amathrm T 的行秩 Amathrm T 的列秩 A 的行秩。這證明了 A 的列秩等於 A 的行秩。證畢 證明二 令 A 是 m times n 矩陣，其行秩是 r 因此 A 的行向量空間的維度是 r，設 x_1 x_2ldots x_r 是 A 的行向量空間的一組基。如果把這組基當作原像列向量看待，則向量集 Ax_1 Ax_2ldots Ax_r 是線性獨立的。 這是因為對一組標量係數 c_1c_2ldotsc_r，如果 c_1 Ax_1 c_2 Ax_2 cdots c_r Ax_r A c_1x_1 c_2x_2 cdots c_rx_r Av 0 其中 v c_1x_1 c_2x_2 ldotsc_r x_r 則可以推出有兩個事實 a v 是 A 行向量空間的線性組合，即 v 屬於 A 的行向量空間；b 由於 Av 0 v 正交於 A 的所有行向量，從而正交於 A 的行向量空間的所有向量。事實 a 與 b 結合起來，則 v 正交於自身，這意味著 v 0 由 v 的定義 c_1x_1 c_2x_2 ldotsc_r x_r 0 再由 x_i 是 A 的行向量空間的一組線性獨立的基，可知 c_1 c_2 cdots c_r 0 Ax_1 Ax_2ldots Ax_r 因而是線性獨立的 Ax_i 是 A 的列空間中的向量。因此 Ax_1 Ax_2ldots Ax_r 是 A 的列空間中 r 個線性獨立的向量。所以 A 的列向量空間的維數 A 的列秩 必然不小於 r 這證明了 A 的行秩 r A 的列秩。把這一結果應用於 A 的轉置矩陣可以得到 A 的列秩 Amathrm T 的行秩 Amathrm T 列秩 A 的行秩。這證明了 A 的列秩等於 A 的行秩，證畢 最後，還可以證明 rk A rk A 其中 A 是 A 的共軛轉置或稱施密特轉置。當 A 的元素都是實數，這一結果變為 rk A rk AT 然而對於復係數矩陣，rk A rk A 並不等價於行秩等於列秩，需要用到上述兩個證明 證明三 令 A 是一個 mn 矩陣。定義 rk A 為 A 的列秩，A 為 A 的共軛轉置或稱施密特轉置。首先可知 AAx 0 當且僅當 Ax 0 AAx 0 xAAx 0 AxAx 0 Ax2 0 Ax 0 其中是歐氏範數。這說明 A 的零空間與 AA 的零空間相同。由秩－零化度定理，可得 rk A rk AA AA 的每一個列向量是 A 的列向量的線性組合。所以 AA 的列空間是 A 的列空間的子空間。從而 rk AA rk A 即 rk A rk AA rk A 應用這一結果於 A 可獲得不等式：由於 A A 可寫作 rk A rk A rk A 這證明了 rk A rk A 證畢 性質 我們假定 A 是在域 F 上的 m n 矩陣並描述了上述線性對映。 m n 矩陣的秩不大於 m 且不大於 n 的一個非負整數，表示為 rk A min m n。有儘可能大的秩的矩陣被稱為有滿秩；類似的，否則矩陣是秩不足（或稱為 欠秩）的。 只有零矩陣有秩 0 A 的秩最大為 min mn f 是單射，當且僅當 A 有秩 n（在這種情況下，我們稱 A 有 列滿秩）。 f 是滿射，當且僅當 A 有秩 m（在這種情況下，我們稱 A 有 行滿秩）。 在方塊矩陣 A 就是 m n 的情況下，則 A 是可逆的，當且僅當 A 有秩 n（也就是 A 有滿秩）。 如果 B 是任何 n k 矩陣，則 AB 的秩最大為 A 的秩和 B 的秩的小者。即： operatorname rankAB leq min operatorname rank A operatorname rank B 推廣到若干個矩陣的情況，就是： operatorname rankA_1 A_2 cdots A_n leq min operatorname rank A_1 operatorname rank A_2 cdots operatorname rank A_n 證明： 考慮矩陣的秩的線性對映的定義，令 A、B 對應的線性對映分別為 f 和 g，則 AB 表示複合對映 fg，它的象 Im fg 是 g 的像 Im g 在對映 f 作用下的象。然而 Im g 是整個空間的一部分，因此它在對映 f 作用下的象也是整個空間在對映 f 作用下的象的一部分。也就是說對映 Im fg 是 Im f 的一部分。對矩陣就是：秩（AB）秩（A）。 對於另一個不等式：秩（AB）秩（B），考慮 Im g 的一組基：（e1，e2，，en），容易證明（f e1，f e2，，f en）生成了空間 Im fg，於是 Im fg 的維度小於等於 Im g 的維度。對矩陣就是：秩（AB）秩（B）。 因此有：秩（AB）min 秩（A），秩（B））。若干個矩陣的情況證明類似。 作為 情況的一個例子，考慮積 begin bmatrix 0 0 1 0 end bmatrix begin bmatrix 0 0 0 1 end bmatrix 兩個因子都有秩 1，而這個積有秩 0。 可以看出，等號成立當且僅當其中一個矩陣（比如說 A）對應的線性對映不減少空間的維度，即是單射，這時 A 是滿秩的。於是有以下性質： 如果 B 是秩 n 的 n k 矩陣，則 operatorname rankAB operatorname rankA 如果 C 是秩 m 的 l m 矩陣，則 operatorname rankCA operatorname rankA A 的秩等於 r，當且僅當存在一個可逆 m m 矩陣 X 和一個可逆的 n n 矩陣 Y 使得 XAY begin bmatrix I_r 0 0 0 end bmatrix 這裡的 Ir 指示 r r 單位矩陣。 證明可以透過高斯消去法構造性地給出。 西爾維斯特不等式：如果 A 是一個 m n 的矩陣且 B 是 n k 的，則 operatorname rankA operatorname rankB n leq operatorname rankA B 這是下一個不等式的特例 這個不等式是由 Frobenius 提出的：如果 AB ABC 和 BC 有定義，則 operatorname rankAB operatorname rankBC le operatorname rankB operatorname rankABC 子加性：當矩陣 A 和 B 的形狀相同時，有 operatorname rankA B leq operatorname rankA operatorname rankB 因此，一個秩為 k 的矩陣能夠表示成 k 個秩為 1 的矩陣的加和，但不能是 k1 個或更少。 矩陣的秩加上矩陣的零化度等於矩陣的縱列數（這就是秩 零化度定理）。 如果 A 是實數上的矩陣，那麼 A 的秩和它對應格拉姆矩陣的秩相等。於是，對於實矩陣 operatorname rankAT A operatorname rankA AT operatorname rankA operatorname rankAT 該性質可以透過它們的零空間證明。格拉姆矩陣的零空間由所有滿足 AT A x 0 的向量 x 組成。如果上式成立，那麼下式也成立： 0 xT AT A x A x2，於是，A x 0，即 AT A 與 A 的零空間相同 如果 A 是複數上的矩陣且 A 表示 A 的共軛轉置 ie A 的伴隨 則 operatorname rankA operatorname rankoverline A operatorname rankAT operatorname rankA operatorname rankAA 向量組的線性相關性 將 m 個 n 維列向量排列成 n times m 的矩陣 A，這個對應矩陣的秩即為原向量組的秩。 原向量組線性相關的充分必要條件為： r A m 如果 r A m 則向量組線性無關。另外，不存在 r A m 特殊的，若向量的個數 m 大於向量的維數 n，則根據： r A le n m 這個向量組必然線性相關。 計算 計算矩陣 A 的秩的最容易的方式是高斯消去法，即利用矩陣的初等變換生成一個行階梯形矩陣，由於矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，因此 A 的行階梯形矩陣有同 A 一樣的秩。經過初等變換的矩陣的非零行的數目就是原矩陣的秩。 例如考慮 4 4 矩陣 A begin bmatrix 2 4 1 3 1 2 1 0 0 0 2 2 3 6 2 5 end bmatrix 我們看到第 2 縱列是第 1 縱列的兩倍，而第 4 縱列等於第 1 和第 3 縱列的總和。第 1 和第 3 縱列是線性無關的，所以 A 的秩是 2。這可以用高斯演算法驗證。它生成下列 A 的行階梯形矩陣 A begin bmatrix 1 2 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 end bmatrix 它有兩個非零的橫行。 在應用在計算機上的浮點數的時候，基本高斯消去（LU 分解）可能是不穩定的，應當使用秩啟示（revealing）分解。一個有效的替代者是奇異值分解（SVD），但還有更少代價的選擇，比如有支點（pivoting）的 QR 分解，它也比高斯消去在數值上更強壯。秩的數值判定要求對一個值比如來自 SVD 的一個奇異值是否為零的依據，實際選擇依賴於矩陣和應用二者。 應用 計算矩陣的秩的一個有用應用是計算線性方程組解的數目。如果係數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩，則該方程組有解。在這種情況下，如果它的秩等於方程的數目那麼該方程組有唯一的一個精確解。如果增廣矩陣的秩大於係數矩陣的秩，則方程組是不一致（Inconsistent）的。 在控制論中，矩陣的秩可以用來確定線性系統是否為可控制的，或可觀察的。 註解 參考文獻 Horn Roger A and Johnson Charles R Matrix Analysis Cambridge University Press 1985 ISBN 9780521386326 Kaw Autar K Two Chapters from the book Introduction to Matrix Algebra 1 Vectors and System of Equations 參見 向量組的秩 Z Z