三角形，又稱三邊形，是由三條線段順次首尾相連，或不共線的三點兩兩連線，所組成的一個閉合的平面幾何圖形，是最基本和最少邊的多邊形。 一般用大寫英語字母 A、B 和 C 為三角形的頂點標號；用小寫英語字母 a、b 和 c 表示邊；用 alpha、beta 和 gamma 給角標號，又或者以 angle ABC 這樣的頂點標號來表示。 分類 以角度分類 銳角三角形 鈍角三角形 直角三角形 銳角三角形 銳角三角形的所有內角均為銳角。 鈍角三角形 鈍角三角形是其中一角為鈍角的三角形，其餘兩角均小於 90。 直角三角形 有一個角是直角（90）的三角形為直角三角形。成直角的兩條邊稱為「直角邊」（cathetus），直角所對的邊是「斜邊」（hypotenuse）；或最長的邊稱為「弦」，底部的一邊稱作「勾」（又作「句」），另一邊稱為「股」。斜邊乘上斜邊上的高 2 勾股相乘 2 此直角三角形面積（chab） 三角函式 直角三角形各邊與角度的關係，可以三角比表示。 以邊長分類 不等邊三角形 等邊三角形 等腰三角形 不等邊三角形 三條邊邊長皆不相等的三角形稱為不等邊三角形。 等邊三角形 等邊三角形（又稱正三角形），為三邊相等的三角形。其三個內角相等，均為 60。它是銳角三角形的一種。設其邊長是 a ，則其面積公式為 frac a2sqrt34 。 等邊三角形是正四面體、正八面體和正二十面體這三個正多面體面的形狀。六個邊長相同的等邊三角形可以拼成一個正六邊形。 三角形的對邊 對邊是指一個角對面的那條邊。比如A 的對邊就是 BC，B 的對邊就是 AC，C 的對邊就是 AB。 對邊測量是全站儀的一種專項測量功能，它可以間接測量兩個不可通視點之間的水平距離。該方法設站靈活，操作簡單，但它的測量精度沒有標註，需要透過計算求得。 等腰三角形 等腰三角形是三條邊中有兩條邊相等（或是其中兩隻內角相等）的三角形。等腰三角形中的兩條相等的邊被稱為「腰」，而另一條邊被稱為「底邊」，兩條腰交叉組成的那個點被稱為「頂點」，它們組成的角被稱為「頂角」。 等邊三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。 令其底邊是 b ，腰是 a，則其面積公式為 frac 14bsqrt 4a2b2 等腰三角形的對應高，角平分線和中線重合。 退化三角形 退化三角形是指面積為零的三角形。滿足下列條件之一的三角形即可稱為退化三角形：三個內角的度數為 18000 或 90900；三邊其中一條邊的長度為 0；一條邊的長度等於另外兩條之和。有人認為退化三角形並不能算是三角形，這是由於它介乎於三角不等式之間，在一些資料中已否定了其中一條邊等於其餘兩條邊之和的情況。 勒洛三角形 勒洛三角形，也譯作萊洛三角形或弧三角形，又被稱為劃粉形或曲邊三角形，是除了圓形以外，最簡單易懂的勒洛多邊形，一個定寬曲線。將一個曲線圖放在兩條平行線中間，使之與這兩平行線相切，則可以做到：無論這個曲線圖如何運動，只要它還是在這兩條平行線內，就始終與這兩條平行線相切。這個定義由十九世紀的德國工程師命名。 一般性質 三角不等式 三角邊長不等式 三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差的絕對值小於第三邊。如果兩者相等，則是退化三角形。 三角內外角不等式 三角形任意一個外角大於不相鄰的一個內角。 角度 三角形外角 三角形兩內角之和，等於第三角的外角。 三角形內角和 在歐幾裡德平面內，三角形的內角和等於 180。 勾股定理 勾股定理，又稱畢氏定理或畢達哥拉斯定理。其斷言，若直角三角形的其中一邊 c 為斜邊，即 c 的對角 gamma 90circ ，則 a2 b2 c2 。 勾股定理的逆定理亦成立，即若三角形滿足 a2 b2 c2 ， 則 gamma 90circ 正弦定理 設 R 為三角形外接圓半徑，則 frac asinalpha frac bsinbeta frac csingamma2R 餘弦定理 對於任意三角形： a2 b2 c2 2bccdotcosalpha b2 a2 c2 2accdotcosbeta c2 a2 b2 2abcdotcosgamma 勾股定理是本定理的特殊情況，即當角 alpha90circ 時， cosalpha0 ，於是 a2 b2 c2 2bccdotcosalpha 化簡為 a2 b2 c2 。 全等及相似 全等三角形 三角形具有穩定性，若二個三角形有以下的邊角關係確定後，它的形狀、大小就不會改變，二個三角形即為全等三角形。全等三角形的判斷準則有以下幾種： SSS（SideSideSide，邊、邊、邊）：各三角形的三條邊的長度都對應地相等。 SAS（SideAngleSide，邊、角、邊）：各三角形的其中兩條邊的長度都對應地相等，且兩條邊夾著的角都對應地相等。 ASA（AngleSideAngle，角、邊、角）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且兩個角夾著的邊都對應地相等。 RHS（Right AngleHypotenuseSide，直角、斜邊、邊）：在直角三角形中，斜邊及一條直角邊對應地相等。PFManCMYeungKHYeungYFKwokHYCheungMATHEMATICS in Action SECOND EDITION 1B Published by Longman Hong Kong Education pp925 AAS（AngleAngleSide，角、角、邊）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且其中一組對應角的對邊也對應地相等。 SSA（SideSideAngle、邊、邊、角）不能保證兩個三角形全等，除非該角大於等於 90，此時可以保證全等。 相似三角形 AA（AngleAngle，角、角）：各三角形的其中兩個角的都對應地相等。（或稱 AAA（AngleAngleAngle，角、角、角）） 三邊成比例（3 sides proportional）：各三角形的三條邊的長度都成同一比例。 兩邊成比例且夾角相等（ratio of 2 sides inc）：各三角形的兩條邊之長度都成同一比例，且兩條邊之夾角都對應地相等。（或稱 2 sides proportional inc equal） 特殊線段 三角形中有著一些特殊線段，是三角形研究的重要物件。 中線（median）：三角形一邊中點與這邊所對頂點的連線段。 高線（altitude）：從三角形一個頂點向它的對邊所作的垂線段。 角平分線（angle bisector）：平分三角形一角、一個端點在這一角的對邊上的線段。 垂直平分線（perpendicular bisector）：透過三角形一邊中點與該邊所垂直的線段，又稱中垂線。 以上特殊線段，每個三角形均有三條，且三線共點。 中線長度 設在 Delta ABC 中，若三邊 a、b、c 的中線分別為 m_a、m_b、m_c，則： m_a sqrt frac 12 b2 frac 12 c2 frac 14 a2 m_b sqrt frac 12 a2 frac 12 c2 frac 14 b2 m_c sqrt frac 12 a2 frac 12 b2 frac 14 c2 高線長度 設在 Delta ABC 中，連線三個頂點 A、B、C 上的高分別記作 h_a、h_b、h_c，則： h_afrac 2sqrt s sasbsca h_bfrac 2sqrt s sasbscb h_cfrac 2sqrt s sasbscc 其中 sfrac abc2 。 角平分線長度 設在 Delta ABC 中，若三個角 A、B、C 的角平分線分別為 t_a、t_b、t_c，則： t_afrac 1bcsqrt left bca rightleft bca right bc t_bfrac 1acsqrt left acbrightleft acb right ac t_cfrac 1absqrt left abc rightleft abc right ab 三角形的心 三角形的內心 Incenter 、外心 Circumcenter、垂心 Orthocenter 及形心 Centroid 稱為三角形的四心，定義如下： 名稱 定義 圖示 備註 內心 三個內角的角平分線的交點 該點為三角形內切圓的圓心。 外心 三條邊的中垂線的交點 該點為三角形外接圓的圓心。 垂心 三條高線的交點 形心（重心） 三條中線的交點 被交點劃分的線段比例為 12（靠近角的一段較長）。 關於三角形的四心，有這樣的一首詩： 垂心（藍）、形心（黃）和外心（綠）能連成一線，且成比例 12，稱為尤拉線，與九點圓的圓心（紅）四點共線，為垂心和形心線段的中點。 連同以下的旁心，合稱為三角形的五心： 名稱 定義 圖示 備註 旁心 外角的角平分線的交點 有三個，為三角形某一邊上的旁切圓的圓心。 外接圓和內切圓半徑 設外接圓半徑為 R ， 內切圓半徑為 r ，則： Rfrac abcsqrt left abc rightleft bca rightleft acb rightleft abc rightfrac abc4 triangle rfrac sqrt left abc rightleft bca rightleft acb rightleft abc right2 left abc rightfrac triangles 其中 triangle 為三角形面積；s 為三角形半周長，sfrac abc2 面積 基本公式 三角形的面積 A 是底邊 b 與高 h 乘積的一半，即： Afrac 12 bh， 其中的高是指底邊與對角的垂直距離。 從右圖可知，將兩個全等三角形相拼，可得一平行四邊形。而將該平行四邊形分割填補，正好能得到一個面積等於 bh 的長方形。因此原來的三角形面積為 Afrac 12 bh。 證畢。 已知兩邊及其夾角 設 a b 為已知的兩邊， gamma 為該兩邊的夾角，則三角形面積是： Afrac 12 absin gamma。 觀察右圖，根據正弦的定義： sin gamma frac ha。 因此： h a sin gamma 。 將此式代入基本公式，可得： A frac 12 b a sin gamma frac 12 absin gamma。 證畢。 已知兩角及其夾邊 beta 、 gamma 為已知的兩角， a 為該兩角的夾邊，則三角形面積是： Afrac a2 sin beta sin gamma2 sin beta gamma。 從正弦定理可知： begin align frac bsin beta frac asin alpha b frac a sin betasin alpha end align 代入 Afrac 12 absin gamma ，得： A frac a2 sin beta sin gamma2 sin alpha。 注意到 alpha beta gamma 180circ，因此： begin align A frac a2 sin beta sin gamma2 sin 180circ beta gamma frac a2 sin beta sin gamma2 sin beta gamma end align 證畢。 已知三邊長 海倫公式，其表示形式為： A sqrt sleft sarightleft sbrightleft scright， 其中 s 等於三角形的半周長，即： sfrac abc2 秦九韶亦求過類似的公式，稱為三斜求積法： A sqrt frac 14 left c2a2left frac c2a2b22right2right 也有用冪和來表示的公式： begin align A frac 14 sqrt a2b2c222 a4b4c4 frac 14 sqrt 2 a2b2b2c2a2c2a4b4c4 end align 將海倫公式略為變形，知 16 A2abcabc times cabcab 多次使用平方 差公式，得 begin align 16 A2 ab2c2 times c2ab2 2aba2b2c2times 2aba2b2c2 2ab2a2b2c22 4a2b2a4b4c42a2b22b2c22a2c2 2a2b22b2c22a2c2a4b4c4 2 a2b2b2c2a2c2a4b4c4 end align 等號兩邊開根號，再同除以 4，得 begin align A frac 14sqrt 2 a2b2b2c2a2c2a4b4c4 frac 14 sqrt a2b2c222 a4b4c4 end align 亦可用 CayleyMenger 行列式表示的公式： 16 cdot A2 begin vmatrix 0 a2 b2 1 a2 0 c2 1 b2 c2 0 1 1 1 1 0 end vmatrix 基於海倫公式在三角形擁有非常小的角度時並不數值穩定，有一個變化的計法。設 a ge b ge c ，三角形面積為： A frac 14 sqrt abccabcababc。 設 a 、 b、c 為三角形三條邊， alpha 、 beta 、 gamma 為相應邊的對角。從餘弦定理可知： cos gamma frac a2b2c22ab 以畢氏三角恆等式可得： sin gamma sqrt 1cos2 gamma frac sqrt 4a2 b2 a2 b2 c22 2ab。 將此式代入 Afrac 12 absin gamma，得： A frac 14sqrt 4a2 b2 a2 b2 c22。 因式分解及簡化後可得： A frac 14 sqrt left abcrightleft abcrightleft acbrightleft bcaright 代入 sfrac abc2，即可證畢。 已知座標系中三頂點座標 由 x_1y_1 、 x_2y_2 及 x_3y_3 三個頂點構成的三角形，其面積可用行列式的絕對值表示： A left frac 12 begin vmatrix x_1 y_1 1 x_2 y_2 1 x_3 y_3 1 end vmatrix right 無論三角形的頂點位置如何，該三角形總可以用一個直角梯形（或矩形）和兩個直角三角形面積的和差來表示，而在直角座標系中，已知直角梯形（或矩形）和直角三角形的頂點的座標，該三角形的面積容易求出，即用上述的行列式表示。 若三個頂點設在三維坐標繫上，即由 x_1y_1z_1 、 x_2y_2z_2 及 x_3y_3z_3 三個頂點構成三角形，其面積等於各自在主平面上投影面積的畢氏和，即： A frac 12 sqrt begin vmatrix x_1 y_1 1 x_2 y_2 1 x_3 y_3 1 end vmatrix2 begin vmatrix y_1 z_1 1 y_2 z_2 1 y_3 z_3 1 end vmatrix 2 begin vmatrix z_1 x_1 1 z_2 x_2 1 z_3 x_3 1 end vmatrix2 已知周界及內切圓或外接圓半徑 設三角形三邊邊長分別為 a 、 b 及 c ，三角形半周長（ frac abc2 ）為 s ，內切圓半徑為 r，則： A sr 若設外接圓半徑為 R ，則： A frac abc4R 內切圓半徑公式 根據右圖，設 overline AB c ， overline ACb ， overline BC a ，則三角形面積可表示為： begin align A frac 12 ar frac 12 br frac 12 cr frac r abc2 rs end align 外接圓半徑公式 根據正弦定理： begin align frac csin gamma 2R sin gamma frac c2R end align 因此： begin align A frac 12 ab sin gamma frac 12 ab left frac c2R right frac abc4R end align 已知兩邊向量 設從一角出發，引出兩邊的向量為 mathbf a 及 mathbf b ，三角形的面積為： A frac 12 mathbf a times mathbf b 根據向量積定義， mathbf a times mathbf b mathbf a mathbf b sin gamma， 其中 gamma 是兩支向量的夾角。 因此： frac 12 mathbf a times mathbf b frac 12 mathbf a mathbf b sin gamma A 證畢。 半形定理 在三角形 ABC 中，三個角的半形的正切和三邊有如下關係： begin align tan frac A2 sqrt dfrac acbabcabcbca tan frac B2 sqrt dfrac abcbcaabcacb tan frac C2 sqrt dfrac bcaacbabcabc end align 以正弦及餘弦之比表示正切： tanfrac A2frac sin frac A2cosfrac A2 因為 sin frac A20 tan frac A20 所以 sin frac A2sqrt frac 1cos A2sqrt frac 12left 1frac b2c2a22bcright sqrt frac a2left bcright2 4bc sqrt frac left abcright left acbright4bc 而 cos frac A2sqrt frac 1cos A2sqrt frac 12left 1frac b2c2a22bcright sqrt frac left bcright2a2 4bc sqrt frac left bcaright left bcaright4bc 所以 begin align tanfrac A2frac sinfrac A2cosfrac A2 frac sqrt cfrac abcacb4bcsqrt cfrac bcabca4bc sqrt frac abcacbbcabca end align 同理可得 tan frac B2sqrt dfrac abcbcaabcacb tan frac C2sqrt dfrac bcaacbabcabc 其他有關三角形的定理 外角定理 拿破崙三角形 費馬點 尤拉線 梅涅勞斯定理 樞紐定理 維維亞尼定理 莫雷角三分線定理 註釋 參考資料 參看 三角學 三 橢圓形 3 Category 三角形幾何 Category 三