勒讓德符號，或二次特徵，是一個由阿德里安 馬裡勒讓德在 1798 年嘗試證明二次互反律時引入的函式 A M Legendre Essai sur la theorie des nombres Paris 1798 p 186 在尤拉（1783 年）和勒讓德（1786 年）的作品中有所講述。首先由高斯在 1796 年證明，在 DA（1801 年）出版；arts 107144（第一個證明），253262（第二個證明）。這個符號是許多高次剩餘符號的原型 Lemmermeyer pxiv 即使在像雙二次互反律的簡單情況下，我們仍然需要區分四個不同的符號，即 Z i 中的二次和雙二次剩餘符號，Z 中的勒讓德符號，以及 Z 中的有理二次剩餘符號；其它延伸和推廣包括雅可比符號、克羅內克符號、希爾伯特符號，以及阿廷符號。 定義 勒讓德符號 tfrac ap（有時為了印刷上的方便，寫成 ap 有下列定義： left frac apright begin casesquad 0 1 1end cases quad 如果 a equiv 0 pmod p left frac apright begin casesquad 0 1 1end cases quad 如果 a notequiv 0pmod p，且對於某個整數 x x2equiv a pmod p left frac apright begin casesquad 0 1 1end cases quad 如果不存在整數 x，使得 x2 equiv a pmod p。 如果 ap 1，a 便稱為二次剩餘 mod p；如果 ap 1，則 a 稱為二次非剩餘 mod p。通常把零視為一種特殊的情況。 a 等於 0、1、2、 時的週期數列 ap，又稱為勒讓德數列，有時把 011 的數值用 101 或 010 代替。JeongHeon Kim and HongYeop Song Trace Representation of Legendre Sequences Designs Codes and Cryptography 24 p 343348 2001 勒讓德符號的公式 勒讓德原先把他的符號定義為：Lemmermeyer p 8 left frac apright equiv afrac p12pmod p left frac apright in 11 尤拉在之前證明了如果 a 是二次剩餘 mod p，ap 1；如果 a 是二次非剩餘，ap 1；這個結論現在稱為尤拉準則。 除了這個基本定義式以外，還有其它 ap 的表示式，它們當中有許多都在二次互反律的證明中有所使用。 高斯證明了 Gauss Summierung gewisser Reihen von besonderer Art 1811 reprinted in Untersuchungen pp 463495 Crandall Pomerance p 92 如果 zeta efrac 2pi ip，那麼： left frac apright frac 1zetaazeta4azeta9adotszetap12a1zetazeta4zeta9dotszetap12 frac 2 1zetaazeta4azeta9adotszetap12asqrt p 1i1ip 這是他對二次互反律的第四個 Gauss Summierung gewisser Reihen von besonderer Art 1811 reprinted in Untersuchungen pp 463495、第六個 Gauss Neue Beweise und Erweiterungen des Fundamentalsatzes in der Lehre von den quadritischen Resten 1818 reprinted in Untersuchungen pp 501505，以及許多在 Lemmermeyer 的最初四章有所講述後續的證明的基礎。參見高斯和。 克羅內克的證明 Lemmermeyer ex p 31 134 是建立了 left frac pqright sgnprod_i1frac q12prod_k1frac p12left frac kpfrac iqright 然後把 p 和 q 互換。 艾森斯坦的一個證明 Lemmermeyer pp 236 ff 是從以下等式開始： left frac qpright prod_n1frac p12 frac sin frac 2pip qnsin frac 2pip n 把正弦函式用橢圓函式來代替，他也證明了三次和四次互反律。 其它含有勒讓德符號的公式 斐波那契數 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 由遞推公式 F1 F2 1，Fn1 Fn Fn1 定義。 如果 p 是素數，則： F_pleft frac p5right equiv 0 pmod p F_p equiv left frac p5right pmod p 例如： tfrac 25 1 F_3 2 F_21 tfrac 35 1 F_4 3F_32 tfrac 55 0 F_5 5 tfrac 75 1 F_8 21F_713 tfrac 115 1 F_10 55 F_1189 這個結果來自盧卡斯數列的理論，在素性測試中有所應用。Ribenboim p 64 Lemmermeyer ex 225228 pp 7374 參見沃爾 孫 孫素數。 性質 勒讓德符號有許多有用的性質，可以用來加速計算。它們包括： left frac abpright left frac aprightleft frac bpright （它是一個完全積性函式。這個性質可以理解為：兩個剩餘或非剩餘的乘積是剩餘，一個剩餘與一個非剩餘的乘積是非剩餘。） 如果 a b mod p，則 left frac apright left frac bpright left frac a2pright 1 left frac 1pright 1frac p12 begin cases 1mbox if p equiv 1pmod 4 1mbox if p equiv 3pmod 4 end cases 這個性質稱為二次互反律的第一補充。 left frac 2pright 1frac p218 begin cases 1mbox if p equiv 1mbox or 7 pmod 8 1mbox if p equiv 3mbox or 5 pmod 8 end cases 這個性質稱為二次互反律的第二補充。一般的二次互反律為： 如果 p 和 q 是奇素數，則 left frac qpright left frac pqright1frac p12 frac q12 參見二次互反律和二次互反律的證明。 以下是一些較小的 p 的值的公式： 對於奇素數 p， left frac 3pright 1left lceil frac p16 right rceil begin cases 1mbox if p equiv 1mbox or 11 pmod 12 1mbox if p equiv 5mbox or 7 pmod 12 end cases 對於奇素數 p， left frac 5pright 1left lfloor frac p25 right rfloor begin cases 1mbox if p equiv 1mbox or 4 pmod5 1mbox if p equiv 2mbox or 3 pmod5 end cases 但一般直接把剩餘和非剩餘列出更簡便： 對於奇素數 p， left frac 7pright begin cases 1mbox if p equiv 1 3 9 19 25mbox or 27pmod 28 1mbox if p equiv 5 11 13 15 17 mbox or 23 pmod 28 end cases 勒讓德符號 ap 是一個狄利克雷特徵 mod p。 計算例子 以上的性質，包括二次互反律，可以用來計算任何勒讓德符號。例如： left frac 12345331right left frac 3331right left frac 5331right left frac 823331right left frac 3331right left frac 5331right left frac 161331right left frac 3331right left frac 5331right left frac 7331right left frac 23331right 1 left frac 3313right left frac 3315right 1 left frac 3317right 1 left frac 33123right left frac 13right left frac 15right left frac 27right left frac 923right left frac 13right left frac 15right left frac 27right left frac 323right 2 left 1right left 1right left 1right left 1right 1 相關函式 雅可比符號是勒讓德符號的一個推廣，允許底數為合數，但底數仍然必須是奇數和正數。這個推廣提供了計算所有勒讓德符號的一個有效的方法。 一個進一步的推廣是克羅內克符號，把底數的範圍延伸到一切整數。 註釋 參考文獻 外部連結 雅可比符號計算器 Category 二次剩餘 Category 數學符號 Category 算術函式