在統計學與機率論中，協方差矩陣（covariance matrix）是一個方陣，代表著任兩列間的協方差，是協方差的直接推廣。 定義 將之以矩形表示的話就是： operatorname mathbf covX Y begin bmatrix operatorname covx_1 y_1 operatorname covx_1 y_2 cdots operatorname covx_1 y_n operatorname covx_2 y_1 operatorname covx_2 y_2 cdots operatorname covx_2 y_n vdots vdots ddots vdots operatorname covx_m y_1 operatorname covx_m y_2 cdots operatorname covx_m y_n end bmatrix begin bmatrix mathrm Ex_1 mu_1y_1 nu_1 mathrm Ex_1 mu_1y_2 nu_2 cdots mathrm Ex_1 mu_1y_n nu_n mathrm Ex_2 mu_2y_1 nu_1 mathrm Ex_2 mu_2y_2 nu_2 cdots mathrm Ex_2 mu_2y_n nu_n vdots vdots ddots vdots mathrm Ex_m mu_my_1 nu_1 mathrm Ex_m mu_my_2 nu_2 cdots mathrm Ex_m mu_my_n nu_n end bmatrix 根據測度積分的線性性質，協方差矩陣還可以進一步化簡為： operatorname mathbf covX Y left operatorname Ex_i y_j mu_i nu_jright_n times n 矩陣表示法 以上定義所述的隨機變數序列 X 和 Y ，也可分別以用行向量 mathbf X left x_iright_m 與 mathbf Y left y_jright_n 表示，換句話說： mathbf X begin bmatrix x_1 x_2 vdots x_m end bmatrix mathbf Y begin bmatrix y_1 y_2 vdots y_n end bmatrix 這樣的話，對於 m times n 個定義在 Omega 上的隨機變數 a_ij 所組成的矩陣 mathbf A left a_ijright_m times n ， 定義： mathrm Emathbf A left operatorname Ea_ijright_m times n 也就是說 mathrm Emathbf A begin bmatrix operatorname Ea_11 operatorname Ea_12 cdots operatorname Ea_1n operatorname Ea_21 operatorname Ea_22 cdots operatorname Ea_2n vdots vdots ddots vdots operatorname Ea_m1 operatorname Ea_m2 cdots operatorname Ea_mn end bmatrix 那上小節定義的協方差矩陣就可以記為： operatorname mathbf covX Y mathrm E left left mathbf X mathrm Emathbf X right left mathbf Y mathrm Emathbf Y rightrm T right 所以協方差矩陣也可對 mathbf X 與 mathbf Y 來定義： operatorname mathbf covmathbf X mathbf Y mathrm E left left mathbf X mathrm Emathbf X right left mathbf Y mathrm Emathbf Y rightrm T right 術語與符號分歧 也有人把以下的 mathbf Sigma_X 稱為協方差矩陣： begin align mathbf Sigma_X left operatorname covx_i x_jright_m times m operatorname mathbf covX X end align 但本頁面沿用威廉費勒的說法，把 mathbf Sigma_X 稱為 X 的方差（variance of random vector），來跟 operatorname mathbf covX Y 作區別。這是因為： operatorname covx_i x_i operatorname Ex_imu_i2 operatorname varx_i 換句話說， mathbf Sigma_X 的對角線由隨機變數 x_i 的方差所組成。據此，也有人也把 operatorname mathbf covX Y 稱為方差 協方差矩陣（variancecovariance matrix）。 更有人因為方差和離差的相關性，含混的將 operatorname mathbf covX Y 稱為離差矩陣。 性質 mathbf Sigma operatorname mathbf covX X 有以下的基本性質： mathbf Sigma mathrm Emathbf Xmathbf XT mathrm Emathbf Xmathrm Emathbf XT mathbf Sigma 是半正定的和對稱的矩陣。 operatorname varmathbf aTmathbf X mathbf aT operatorname varmathbf X mathbf a mathbf Sigma geq 0 operatorname varmathbf A X mathbf a mathbf A operatorname varmathbf X mathbf AT operatorname covmathbf Xmathbf Y operatorname covmathbf Ymathbf XT operatorname covmathbf X_1 mathbf X_2mathbf Y operatorname covmathbf X_1mathbf Y operatorname covmathbf X_2 mathbf Y 若 p q，則有 operatorname varmathbf X mathbf Y operatorname varmathbf X operatorname covmathbf Xmathbf Y operatorname covmathbf Y mathbf X operatorname varmathbf Y operatorname covmathbf AX mathbf BX mathbf A operatorname covmathbf X mathbf X mathbf BT 若 mathbf X 與 mathbf Y 是獨立的，則有 operatorname covmathbf X mathbf Y 0 mathbf Sigma mathbf SigmaT 儘管共變異數矩陣很簡單，可它卻是很多領域裡的非常有力的工具。它能匯出一個變換矩陣，這個矩陣能使資料完全去相關 decorrelation。從不同的角度看，也就是說能夠找出一組最佳的基以緊湊的方式來表達資料。完整的證明請參考瑞利商。 這個方法在統計學中被稱為主成分分析 principal components analysis，在影像處理中稱為 KarhunenLoève 變換 KL 變換。 複隨機向量 均值為 mu 的複隨機標量變數的方差定義如下（使用共軛複數）： operatorname varz operatorname E left zmuzmu right 其中複數 z 的共軛記為 z。 如果 Z 是一個複列向量，則取其共軛轉置，得到一個方陣 operatorname E left ZmuZmu right 其中 Z 為共軛轉置，它對於標量也成立，因為標量的轉置還是標量。 估計 多元正態分佈的共變異數矩陣的估計的推導非常精緻。它需要用到譜定義以及為什麼把標量看做 1 times 1 矩陣的跡更好的原因。參見共變異數矩陣的估計。 外部連結 Covariance Matrix at Mathworld Category 共變異數與相關性 X