三重積，又稱混合積，是三個向量相乘的結果。向量空間中，有兩種方法將三個向量相乘，得到三重積，分別稱作標量三重積和向量三重積。 標量三重積 定義 標量三重積是三個向量中的一個和另兩個向量的叉積相乘得到點積，其結果是個贗標量。 設 mathbf a、mathbf b、mathbf c 為三個向量，則標量三重積的定義為 mathbf acdot mathbf btimes mathbf c。 特性 設 mathbf aa_1mathbf ia_2mathbf ja_3mathbf k、mathbf bb_1mathbf ib_2mathbf jb_3mathbf k、mathbf cc_1mathbf ic_2mathbf jc_3mathbf k，則有 mathbf acdot mathbf btimes mathbf c begin vmatrix a_1 a_2 a_3 b_1 b_2 b_3 c_1 c_2 c_3 end vmatrix。 證明 mathbf acdot mathbf btimes mathbf c begin align a_1mathbf ia_2mathbf ja_3mathbf kcdot begin vmatrix mathbf i mathbf j mathbf k b_1 b_2 b_3 c_1 c_2 c_3 end vmatrix a_1mathbf ia_2mathbf ja_3mathbf kcdot mathbf i begin vmatrix b_2 b_3 c_2 c_3 end vmatrix mathbf j begin vmatrix b_1 b_3 c_1 c_3 end vmatrix mathbf k begin vmatrix b_1 b_2 c_1 c_2 end vmatrix a_1 begin vmatrix b_2 b_3 c_2 c_3 end vmatrix a_2 begin vmatrix b_1 b_3 c_1 c_3 end vmatrix a_3 begin vmatrix b_1 b_2 c_1 c_2 end vmatrix begin vmatrix a_1 a_2 a_3 b_1 b_2 b_3 c_1 c_2 c_3 end vmatrix end align 利用行列式的特性，可知順序置換向量的位置不影響標量三重積的值： mathbf acdot mathbf btimes mathbf c mathbf bcdot mathbf ctimes mathbf a mathbf ccdot mathbf atimes mathbf b 任意對換兩個向量的位置，標量三重積與原來相差一個負號： mathbf acdot mathbf btimes mathbf c mathbf acdot mathbf ctimes mathbf b mathbf acdot mathbf btimes mathbf c mathbf bcdot mathbf atimes mathbf c mathbf acdot mathbf btimes mathbf c mathbf ccdot mathbf btimes mathbf a 若任意兩個向量相等，則標量三重積等於零： mathbf a cdot mathbf a times mathbf b mathbf a cdot mathbf b times mathbf a mathbf b cdot mathbf a times mathbf a mathbf b cdot mathbf 0 0 其他記號 有時候，純量三重積會以括號表示： mathbf a mathbf b mathbf c mathbf acdot mathbf btimes mathbf c mathbf atimes mathbf bcdot mathbf c 幾何意義 幾何上，由三個向量定義的平行六面體，其體積等於三個標量標量三重積的絕對值： V mathbf acdot mathbf btimes mathbf c left begin vmatrix a_1 a_2 a_3 b_1 b_2 b_3 c_1 c_2 c_3 end vmatrix right 證明 以 mathbf b 和 mathbf c 來表示底面的邊，則根據叉積的定義，底面的面積 A 為 A mathbf b mathbf c sin theta mathbf b times mathbf c ， 其中 theta 是 mathbf b 與 mathbf c 之間的角，而高 h 為 hmathbf a cos alpha ， 其中 alpha 是 mathbf a 與 h 之間的角。 從圖中我們可以看到， alpha 的大小限定為 0circ le alpha 90circ 。而向量 mathbf b times mathbf c 與 mathbf a 之間的角 phi 則有可能大於 90（0circ le phi 180circ）。也就是說，由於 mathbf b times mathbf c 與 h 平行， phi 的值要麼等於 alpha ，要麼等於 180circ alpha 。因此 cos alpha pm cos phi cos phi ， 且 hmathbf a cos phi。 我們得出結論： V Ah mathbf a mathbf b times mathbf c cos phi ， 於是，根據點積的定義，它等於 mathbf a cdot mathbf b times mathbf c 的絕對值，即 V mathbf a cdot mathbf b times mathbf c 。 證畢。 向量三重積 向量三重積是三個向量中的一個和另兩個向量的叉積相乘得到的叉積，其結果是個向量。 定義 對於三個向量 mathbf a、mathbf b、mathbf c，向量三重積的定義為 mathbf atimes mathbf btimes mathbf c。 值得注意的是，一般來說， mathbf atimes mathbf btimes mathbf c ne mathbf atimes mathbf b times mathbf c。 特性 以下恆等式，稱作三重積展開或拉格朗日公式，對於任意向量 mathbf a、mathbf b、mathbf c 均成立： mathbf atimes mathbf btimes mathbf c mathbf bmathbf acdotmathbf c mathbf cmathbf acdotmathbf b begin align mathbf atimes mathbf btimes mathbf c mathbf ctimes mathbf atimes mathbf b mathbf amathbf ccdotmathbf b mathbf bmathbf ccdotmathbf a end align 英文中有對於第一式有助記口訣 BACCAB BACKCAB，後面的出租車，但是不容易記住第一式跟第二式的變化，很容易搞混。 觀察兩個公式，可得到以下三點： 兩個分項都帶有三個向量 （mathbf a mathbf b mathbf c） 三重積一定是先做叉積的兩向量之線性組合 中間的向量所帶的係數一定為正（此處為向量 mathbf b） 證明 我們可以由叉積的定義計算 mathbf u times mathbf vtimes mathbf w 的 x 分量： begin align mathbf u times mathbf v times mathbf w_x mathbf u_y mathbf v_xmathbf w_y mathbf v_ymathbf w_x mathbf u_z mathbf v_zmathbf w_x mathbf v_xmathbf w_z mathbf v_x mathbf u_ymathbf w_y mathbf u_zmathbf w_z mathbf w_x mathbf u_ymathbf v_y mathbf u_zmathbf v_z mathbf v_x mathbf u_xmathbf w_x mathbf u_ymathbf w_y mathbf u_zmathbf w_z mathbf w_x mathbf u_xmathbf v_x mathbf u_ymathbf v_y mathbf u_zmathbf v_z mathbf ucdotmathbf wmathbf v_x mathbf ucdotmathbf vmathbf w_x end align 類推至 y 和 z 分量，可得： begin align mathbf u times mathbf v times mathbf w_y mathbf ucdotmathbf wmathbf v_y mathbf ucdotmathbf vmathbf w_y mathbf u times mathbf v times mathbf w_z mathbf ucdotmathbf wmathbf v_z mathbf ucdotmathbf vmathbf w_z end align 所以 mathbf atimes mathbf btimes mathbf c mathbf bmathbf acdotmathbf c mathbf cmathbf acdotmathbf b。 利用上述恆等式，可得以下結果： mathbf atimes mathbf btimes mathbf c mathbf btimes mathbf ctimes mathbf a mathbf ctimes mathbf atimes mathbf b 0 （雅可比恆等式） mathbf atimes mathbf b times mathbf c mathbf atimes mathbf btimes mathbf c mathbf btimes mathbf atimes mathbf c 在向量分析中，有以下與梯度相關的一條恆等式： nabla times nabla times mathbf f nabla nabla cdot mathbf f nabla cdot nabla mathbf f 這是一個拉普拉斯－德拉姆運算元 Delta mathrm ddeltadeltamathrm d 的特殊情形。 參見 向量 點積 叉積 四重積 參考文獻 S S Category 三元運算