二項式定理描述了二項式的冪的代數展開。根據該定理，可以將兩個數之和的整數次冪諸如 xyn 展開為類似 axb yc 項之和的恆等式，其中 b、c 均為非負整數且 bcn。係數 a 是依賴於 n 和 b 的正整數。當某項的指數為 0 時，通常略去不寫。例如： xy4 x4 4 x3y 6 x2 y2 4 x y3 y4 axb yc 中的係數 a 被稱為二項式係數，記作 tbinom nb 或 tbinom nc（二者值相等）。二項式定理可以推廣到任意實數次冪，即廣義二項式定理 Roman Steven The Umbral Calculus Dover Publications 2005 ISBN 0486441293。 歷史 二項式係數的三角形排列通常被認為是法國數學家布萊茲帕斯卡的貢獻，他在 17 世紀描述了這一現象 Devlin Keith The Unfinished Game Pascal Fermat and the SeventeenthCentury Letter that Made the World Modern Basic Books 1 edition 2008 ISBN 9780465009107 p 24。但早在他之前，就曾有數學家進行類似的研究。例如，古希臘數學家歐幾里得於公元前 4 世紀提到了指數為 2 的情況 The Story of the Binomial Theorem by J L Coolidge The American Mathematical Monthly 563 1949 pp 147157。公元前三世紀，印度數學家青目探討了更高階的情況。帕斯卡三角形的雛形於 10 世紀由印度數學家大力羅摩發現。在同一時期，波斯數學家和數學家兼詩人歐瑪爾海亞姆得到了更為普遍的二項式定理的形式。13 世紀，中國數學家楊輝也得到了類似的結果。用數學歸納法的原始形式給出了二項式定理和帕斯卡三角形 巴斯卡三角形 的有關證明。艾薩克牛頓勳爵將二項式定理的係數推廣到有理數 Bourbaki History of mathematics。 定理的陳述 根據此定理，可以將 xy 的任意次冪展開成和的形式 xyn n choose 0 xn y0 n choose 1 xn1 y1 n choose 2 xn2 y2 cdots n choose n1 x1 yn1 n choose n x0 yn 其中每個 tbinom nk 為一個稱作二項式係數的特定正整數，其等於 frac nknk。這個公式也稱二項式公式或二項恆等式。使用求和符號，可以把它寫作 xyn sum_k0n n choose k xnk yk sum_k0n n choose k xk ynk 後面的表示式只是將根據 x 與 y 的對稱性得出的，透過比較發現公式中的二項式係數也是對稱的。 二項式定理的一個變形是用 1 來代換 y 得到的，所以它只涉及一個變數。在這種形式中，公式寫作 1xn n choose 0 x0 n choose 1 x1 n choose 2 x2 cdots n choose n1 xn1 n choose n xn 或者等價地 1xn sum_k0n n choose k xk 幾何釋義 對於正值 a 和 b，二項式定理，在 n2 時是在幾何上的明顯事實，邊為 ab 的正方形，可以切割成 1 個邊為 a 的正方形，1 個邊為 b 的正方形，和 2 個邊為 a 和 b 的長方形。對於 n3，定理陳述了邊為 ab 的立方體，可以切割成 1 個邊為 a 的立方體，1 個邊為 b 的立方體，3 個 atimes a times b 長方體，和 3 個 atimes b times b 長方體。 在微積分中，此圖解也給出導數 xnnxn1 的幾何證明。設 ax 且 bDelta x，將 b 解釋為 a 的無窮小量改變，則此圖解將無窮小量改變，顯示為 n 維超立方體 xDelta xn： xDelta xn xn nxn1Delta x tbinom n2 xn2Delta x2 cdots 其中（針對 Delta x 的）線性項的係數是 nxn1，將公式代入採用差商的導數定義並取極限，意味著忽略高階項 Delta x2 和更高者，產生公式：xnnxn1。若再進行積分，這對應於應用微積分基本定理，則得到卡瓦列裡求積公式：textstyle int xn1dx tfrac 1n xn。 證明 數學歸納法 當 n1， ab1 sum_k01 1 choose k a1k bk 1 choose 0 a1b01 choose 1 a0b1 ab 假設二項展開式在 nm 時成立。若 nm1，begin align abm1 a abm b abm a sum_k0m m choose k amk bk b sum_j0m m choose j amj bj sum_k0m m choose k amk1 bk sum_j0m m choose j amj bj1 text 將 a text b text am1 sum_k1m m choose k amk1 bk sum_j0m m choose j amj bj1 text 取 出 k0 text 的 項 am1 sum_k1m m choose k amk1 bk sum_k1m1 m choose k1 amk1 bk text 設 jk1 am1 sum_k1m m choose k amk1 bk sum_k1m m choose k1 am1k bk bm1 text 取 出 km1text 項 am1 bm1 sum_k1m left m choose k m choose k1 right am1k bk text 兩 者 加 起 am1 bm1 sum_k1m m1 choose k am1k bk text 套 用 帕 斯 卡 法 則 sum_k0m1 m1 choose k am1k bk end align 組合方法 考慮 ab7ababababababab，共 7 個括號相乘，從 7 個括號選出其中的 4 個括號中的 a，再從剩餘的 3 個括號中選出 3 個 b 相乘，便得一組 a4b3，而這樣的選法共有 tbinom 74 種，故總共有 tbinom 74 個 a4b3；其他各項同理。 同理，abnabababab，共 n 個括號相乘，從 n 個括號選出其中的 k 個括號中的 a，再從剩餘的 nk 個括號中選出 nk 個 b 相乘，便得一組 akbnk，而這樣的選法共有 tbinom nk 種，故總共有 tbinom nk 個 akbnk；其他各項同理。 不盡相異物排列方法 考慮 ab7ababababababab，每一個括號可以出 a 或出 b，而最後要有 4 個 a、3 個 b 相乘，這形同 aaaabbb 的「不盡相異物排列」，其方法數為 frac 74 times3，恰好等於 tbinom 74；其他各項同理。 同理，abnabababab，每一個括號可以出 a 或出 b，而最後要有 k 個 a、nk 個 b 相乘，這形同 underbrace aaldots aa_kunderbrace bbldots bb_nk 的「不盡相異物排列」，其方法數為 frac nk times nk，恰好等於 tbinom nk；其他各項同理。 一般形式的證明 通常二項式定理可以直接使用泰勒公式進行證明。下面的方法不使用泰勒公式 設 f x1xa g xsum_k0inftya choose k xk。注意只有當 x1 時上述兩個函式才收斂 首先證明 g x 收斂於 x1。這裡省略 之後，易得 f x 滿足微分方程1x fx a f x。用求導的一般方法就能得到這個結論，這裡省略 再證明 g x 亦滿足上述微分方程 g x1 sum_k1inftya choose k xk begin align gx sum_k1inftya choose k k xk1 sum_k0inftyachoose k1k1 xk sum_k0inftya choose kak xk end align 因為 begin align a choose k1 k1 frac aa1cdots a k 1a kk1k1 frac aa1cdots a k 1a kk a choose kak end align 於是 begin align 1x gx gx x sum_k1inftya choose k k xk1 sum_k0inftya choose kak xk sum_k1inftya choose k k xk sum_k0inftya choose kak xk sum_k0inftya choose k k xk sum_k0inftya choose k xk akk a sum_k0inftya choose k xk a cdot g x end align 因為 sum_k0inftya choose k k xka choose 0 cdot 0x0 sum_k1inftya choose k k xksum_k1inftya choose k k xk frac gxg xfrac a1x because frac fxf xfrac a1x therefore frac fxf xfrac gxg x gx f xfx g x 根據除法定則，frac ddx left frac g xf xrightfrac gx f xfx g xf x20 根據拉格朗日中值定理，frac g xf x 是常數函式 frac g xf xfrac g 0f 01 f xg x 應用 牛頓以二項式定理作為基礎發明出了微積分 。其在初等數學中應用主要在於近似、估計以及證明恆等式等。 證明組合恆等式 二項式定理給出的係數可以視為組合數 n choose k 的另一種定義。 因此二項式展開與組合數的關係十分密切。 它常常用來證明一些組合恆等式。 1 證明 sum _k0 n n choose k2 2n choose n 可以考慮恆等式 1xn 1xn 1x2n。 展開等式左邊得到： sum_i0n sum_j0n n choose i n choose j xi xj。 注意這一步使用了有限求和與乘積可以交換的性質。 同時如果展開等式右邊可以得到 sum_k02n 2n choose k xk 。 比較兩邊冪次為 k 的項的係數可以得到 sum_i0 k n choose i n choose k i 2n choose k 。 令 kn，並注意到 n choose i n choose n i 即可得到所要證明的結論。 2 證明 sum_k0n n choose k2n 因為 xyn sum_k0n n choose k xnk yk 令 xy1，代入上式，得 begin align 11n 2n sum_k0n n choose kcdot 1nk cdot 1k n choose 0n choose 1n choose 2 cdots n choose n sum_k0n n choose k end align 多倍角恆等式 在複數中，二項式定理可以與棣莫弗公式結合，成為多倍角公式。根據棣莫弗公式： cosleft nxrightisinleft nxright left cos xisin xrightn 透過使用二項式定理，右邊的表示式可以擴充套件為 left cos xisin xright2 cos2 x 2i cos x sin x sin2 x 由棣莫弗公式，實部與虛部對應，能夠得出 cos 2x cos2 x sin2 x quadtext andquadsin 2x 2 cos x sin x 即二倍角公式。同樣，因為 left cos xisin xright3 cos3 x 3i cos2 x sin x 3 cos x sin2 x i sin3 x 所以藉棣莫弗公式，能夠得出 cos 3x cos3 x 3 cos x sin2 x quadtext andquad sin 3x 3cos2 x sin x sin3 x 整體而言，多倍角恆等式可以寫作 cos nx sum_ktext even 1frac k2 n choose kcosnk x sink x 和 sin nx sum_ktext odd 1frac k12 n choose kcosnk x sink x e 級數 數學常數 e 的定義為下列極限值： e lim_ntoinfty left 1 frac 1nrightn 使用二項式定理能得出 left 1 frac 1nrightn 1 n choose 1frac 1n n choose 2frac 1n2 n choose 3frac 1n3 cdots n choose nfrac 1nn 第 k 項之總和為 n choose kfrac 1nk frac 1kcdotfrac n n1n2cdots nk1nk 因為 ntoinfty 時，右邊的表示式趨近 1。因此 lim_ntoinfty n choose kfrac 1nk frac 1k 這表明 e 可以表示為 Encyclopedic Dictionary of Mathematics 142D e sum_k0inftyfrac 1kfrac 10 frac 11 frac 12 frac 13 cdots 推廣 該定理可以推廣到對任意實數次冪的展開，即所謂的牛頓廣義二項式定理： x yalpha sum _k0infty alpha choose k xalpha k yk 。其中 alpha choose k frac alpha alpha1 alpha k 1k frac alpha_kk 。 多項式展開 對於多元形式的多項式展開，可以看做二項式定理的推廣： left x_1x_2x_n rightksum_alpha_1alpha_2alpha _nkfrac kalpha _1alpha _n x_1alpha _1x_nalpha _n 證明： 數學歸納法。對元數 n 做歸納： 當 n2 時，原式為二項式定理，成立。 假設對 n1 元成立，則： begin align left x_1x_2x_n rightk x_1x_2x_n1x_nk sum_alpha _n0kfrac kalpha _nleft kalpha_n rightleft x_1x_2x_n1 right kalpha _n x_nalpha _n sum_alpha _n0kfrac kalpha _nleft kalpha_n rightsum_alpha_1alpha_2alpha _n1kalpha _nfrac left kalpha _n rightalpha _1alpha _n1 x_1alpha _1x_n1alpha _n1 x_nalpha _n sum_alpha_1alpha_2alpha _nkfrac kalpha _1alpha _n x_1alpha _1x_nalpha _n end align 證畢。 參見 二項分佈 組合 立方根 平方根 牛頓法 多項式定理 負二項分佈 楊輝三角形 斯特靈公式 中一新生之夢 參考文獻 參考書目 Barth Nils R November 2004 Computing Cavalieris Quadrature Formula by a Symmetry of the nCube The American Mathematical Monthly Mathematical Association of America 111 9 811813 doi1023074145193 ISSN 00029890 JSTOR 4145193 authors copy 外部連結 Binomial Theorem 史蒂芬沃爾夫勒姆 Binomial Theorem StepbyStep by Bruce Colletti and Jeff Bryant Wolfram 演示專案，2007 The Binomial Theorem Interactive Mathematics Binomial Expansion HyperPhysics Category 階乘與二項式主題 Category 多項式定理 Category 包含證明的條目