孿生素數，也稱為孿生 zhcn 質；zhtw 素；zhhk 素 數、雙生質數，是指一對素數，它們之間相差 2。例如 3 和 5，5 和 7，11 和 13，10016957 和 10016959 等等都是孿生素數。 關於孿生素數有著名的孿生素數猜想，即是否存在無窮多對孿生素數。這是數論中未解決的一個重要問題。是孿生素數猜想的一個增強形式，猜測孿生素數的分佈與素數定理中描述的素數分佈規律相類似。 與之相關的，兩者相差為 1 的素數對只有 2 3；兩者相差為 3 的素數對只有 2 5。 簡介 素數在自然數中的分佈是不規則的。歐幾里得在他的著作《幾何原本》中首次證明了素數有無窮多個。十九世紀後，素數定理的證明給出了素數在自然數中大致的分佈情況。根據素數定理，在前 N 個自然數里，素數的個數大約是 frac Nln N。也就是說前 N 個自然數里，素數的比例是 frac 1ln N。因此，隨著 N 增大，前 N 個自然數里，素數的比例會越來越小。事實上，給定一個自然數 n 1，那麼連續的 n 個自然數： n1 2 n1 3 cdots n1 n1 都是合數第 231237 頁。 是否越大的素數，兩兩之間就隔得越遠呢？實際上不然。在某些時候，兩個連續的素數之間只相差 2。這樣的素數對就是孿生素數。 以下列出了最小的 35 對孿生素數（1000 以內的孿生素數）（及： 3 5 5 7 11 13 17 19 29 31 41 43 59 61 71 73 101 103 107 109 137 139 149 151 179 181 191 193 197 199 227 229 239 241 269 271 281 283 311 313 347 349 419 421 431 433 461 463 521 523 569 571 599 601 617 619 641 643 659 661 809 811 821 823 827 829 857 859 881 883 即使是大的素數，也有可能成為孿生素數。透過窮舉式的計算 發現：在小於 1015 的 29844570422669 個素數中，有 1177209242304 對孿生素數，佔了 394。而且這些孿生素數並沒有表現出停止在某一個上限的趨勢。 截至 2016 年 9 月為止，已知最大的孿生素數為 2 996 863 034 895 times 21 290 000 pm 1，此數有 388342 位。 素數定理說明了素數在趨於無窮大時變得稀少的趨勢。而孿生素數，與素數一樣，也有相同的趨勢，並且這種趨勢比素數更為明顯。直覺上可以作如下的估計：在前 N 個自然數里找一個數，它是素數的可能性大約是 frac 1ln N；所以在前 N 個自然數里找一個數 p，p 和 p2 都是素數的可能性大約是 frac 1ln2 N。當然，這種推算只能是直覺上的猜測，而不是嚴謹的證明，因為素數的排列是已知的，而不是機率上的事件。 哈代 李特爾伍德猜測 1921 年，英國數學家哈代和李特爾伍德也做出了類似的猜測。他們提出以下的猜想：設 pi_2 N 為前 N 個自然數里孿生素數的個數。那麼 pi_2 N approx int_2Nfrac dtln t2 approx 2 C_twin frac Nln2 N 其中的常數 C_twin 是所謂的孿生素數常數： begin align C_twin left 1 frac 122 right left 1 frac 142 right left 1 frac 162 right left 1 frac 1102 right cdots prod_p 2 left 1 frac 1p12 right 06601618158468695739278121 ldots end align 其中的 p 表示素數。 孿生素數猜想 哈代和李特爾伍德的猜測實際上是存在已久的孿生素數猜想的加強版。孿生素數猜想是指 孿生素數有無窮多個。這個猜想至今仍未被證明。然而，哈代和李特爾伍德的猜測並不是需要建立在孿生素數猜想成立的前提上。很多時候，對於無法證明的命題，數學家會嘗試證明比它更強或更為廣泛的命題，從而解決原來的命題。例如數學家安德魯懷爾斯就是證明了比費馬最後猜想更廣泛的命題，從而完成了費馬最後猜想的證明。 2013 年 5 月 14 日，《自然》雜誌報道，數學家張益唐證明存在無窮多個素數對相差（上界）都小於 7000 萬。論文已被《數學年刊》（Annals of Mathematics）接受 （需要訂閱才能檢視）。 素數對之差被縮小為 leq 246。 性質 孿生素數猜想也可以用另一種形式表達： 1920 年代，透過使用著名的篩法，也就是基於埃拉託斯特尼篩法的技巧，挪威的瑋哥布朗證明了 2 能表示成兩個最多有 9 個素數因子的數的差。這個結論已經有些近似於孿生素數猜想了。可以看到，只要將這個證明中的 最多有 9 個素數因子的數 改進到 最多有 1 個素數因子的數，就可以證明孿生素數猜想了。利用同樣的方法，布朗證明了所有偶數都能表達成兩個最多有 9 個素數因子的數的和，也就是所謂的 99。這個思路被不少數學家沿用，1966 年陳景潤利用篩法證明了 12。基於陳景潤的工作，也可以證明 2 有無限多種方法表示成一個素數和一個最多有兩個素數因子的數的差。 布朗為了證明孿生質猜想而開發了布朗篩法，這種篩法對篩法的發展及質數研究都造成了深遠的影響。 布朗常數 布朗的另一個結論，是發現所有孿生素數的倒數之和收斂，即收斂到布朗常數 B_2： left frac 13 frac 15 right left frac 15 frac 17 right left frac 111 frac 113 right left frac 117 frac 119 right cdots B_2 B_2 的值大約在 19 與 2 之間。與之相對的，所有素數的倒數之和是發散的。由於孿生素數的倒數之和收斂，所以無法依此證明孿生素數有無限個。 布朗還發現了孿生素數數量的一個上限。他證明了： pi_2 x frac 100 xln2 x 也就是說，當 x 足夠大的時候，小於 x 的孿生素數的數量比起小於 x 的素數的數量是可以忽略不計的。1987 年的一個結果改進了這個上限： pi_2 x frac 71 C_twin x ln2 x left frac 1 C lnln xln x right 其中 C 是一個常數。1998 年上限中的 71 被改進為 6833。 必要條件 孿生素數還必須滿足一些必要的條件，比如： 大於 3 的孿生素數可以表示成 6n1 6n1，其中 n 為一個自然數。除了 n1 的情形，n 必須以 0，2，3，5，7 或 8 結尾。 可以證明：mm2 是孿生素數，當且僅當 4 m1 1 m 0 mod m m2 統計分析 統計分析所有小於 435 times 1015 的孿生素數，可以得到小於 x 的素數對的個數是 frac xcdot f xlog x2。當 x 較小時，f x 大約為 17， 當 x 較大時大約為 13。這個值和 2 C_twin 13203236 ldots 相近。 多元組 孿生素數的概念可以擴充套件到多元組，即由多個間隔為 2 的素數構成的序列。由於三個相鄰奇數總有一個能被 3 整除，不可能是素數，因此 3 5 7 是唯一的孿生素數三元組。而且由於更多元素構成的孿生素數多元組必定包含三元組的結構，因此多於三個元素的孿生素數多元組不存在。 多項式公式 以下的多項式時由維也納大學數學系教授克里斯多夫巴薩（Christoph Baxa）提出的，基於丟番圖不定方程理論。 begin align P k2 left 1 wzhjq2 left g1hj h z right2 p q z 2n e2 right left e3 e2a12 1 o2 right2 left a2 1nvl2 1 x2 right2 left au2 u2 a2 1n 4d nlv2 1 xcu2 right2 left a2 1 l2 1 m2 right2 left p l a n 1 b 2a n1 n12 1 m right2 left 16 a2 1nvl2 1 x2 right2 left q nlva p 1 s 2a p1 p12 1 x right2 left z pl a p t 2ap p2 1 pm right2 left 16 k 13 k2n 12 1 f2 right2 left left k 1 ia i l right2 left 4g k 10 y k 2k 4 right2 right end align 其中有二十六個不定量 a b c cdots y z。當這二十六個變數取遍所有的自然數的時候，這個多項式的取值中正數的部分就會取遍所有孿生素數對 p p2 中的 p。 大眾文化 義大利作家保羅裘唐諾的小說《質數的孤獨》即是以孿生質數現象，比喻故事中相愛的男女主角牽攣乖隔的處境。 1994 年 10 月，美國弗吉尼亞州數學系教授託馬斯尼科利（Thomas Nicely）在研究布朗常數時曾使用包括 66 MHz Intel Pentium 處理器的電腦對布朗常數進行計算，但用包括 66 MHz Intel Pentium 處理器的電腦處理長除法時一直出錯 。他用一個數字去除以 824633702441 時，答案一直是錯誤的，而這使得奔騰浮點除錯誤受到揭發，進而造成 Intel 的公關災難，並導致英特爾在 1994 年受到 475 億美元的損失。 參見 孿生素數猜想 表兄弟素數 六素數 三胞胎素數 四胞胎素數 布朗定理 布朗常數 奔騰浮點除錯誤Thomas Nicely 在研究布朗常數時發現的技術錯誤。 註解 參考來源 Category 素數