若一個丟番圖方程具有以下的形式： x2 ny2 1 且 n 為正整數，則稱此二元二次不定方程為佩爾方程（英文：Pells equation；德文：Pellsche Gleichung），以英國數學家命名。 若 n 是完全平方數，則這個方程式只有平凡解 pm 1 0（實際上對任意的 n，pm 1 0 都是解）。對於其餘情況，拉格朗日證明了佩爾方程總有非平凡解。而這些解可由 sqrt n 的連分數求出。 佩爾方程的解 設 tfrac p_iq_i 是 sqrt n 的連分數表示：a_0 a_1 a_2 a_3 ldots 的漸近分數列，由連分數理論知存在 i 使得 piqi 為佩爾方程的解。取其中最小的 i，將對應的 piqi 稱為佩爾方程的基本解，或最小解，記作 x1y1，則所有的解 xiyi 可表示成如下形式： x_i y_isqrt n x_1 y_1sqrt ni。 或者由以下的遞迴關係式得到： displaystyle x_i1 x_1 x_i n y_1 y_i displaystyle y_i1 x_1 y_i y_1 x_i。 例子 標準型 displaystyle x2 7 y2 1。 首先根據根號 7 的漸進連分數表示，找出前幾項，察看（分子，分母）是否是一組解。 第一項：tfrac hk tfrac 21，h2 7 k2 3 不是解； 第二項：tfrac hk tfrac 31，h2 7 k2 2 不是解； 第三項：tfrac hk tfrac 52，h2 7 k2 3 不是解； 第四項：tfrac hk tfrac 83，h2 7 k2 1 是解。於是最小解是 83。計算 x_1 y_1sqrt n 的各次乘方，或者用遞推公式（不能直接得出某一項）就可以得到接下來的各組解 x_nfrac 83sqrt 7n83sqrt 7n2y_nfrac 83sqrt 7n83sqrt 7n2sqrt 7 xy83、 12748、 2024765、 3225712192、 514088194307、 81931513096720、 13057632849353213 非標準型 對於方程 x2ny2k，利用婆羅摩笈多 斐波那契恆等式找出方程解。 x_12 Ny_12x_22 Ny_22 x_1x_2 Ny_1y_22 N x_1y_2 x_2y_12 x_1x_2 Ny_1y_22 N x_1y_2 x_2y_12 例如 x27y22 有解 31。 r27s21 時，有 23r7s27 3sr23r7s27 3sr2 rs83、 12748、 2024765、 3225712192、 514088194307、 81931513096720、 13057632849353213 xy31、 4517、 717271、 114274319、 18211568833、 29024131097009、 4625649317483311 對於方程 ax2by2c，兩邊乘上 a，求出 ax2aby2ac 的解。 例如 5x22y23 有解 11。 設 z5x，5x210y2z210y215 r210s21 時，有 155r10s210 5sr25r10s210 5sr2 rs196、 721228、 273798658、 1039681328776、 3948049912484830 zy51、 3511、 15549、 1325419、 58851861、 5031515911、 22347570669 xy11、 711、 3149、 265419、 11771861、 1006315911、 4469570669 與代數數論的聯絡 佩爾方程與代數數理論有緊密聯絡，因為公式 x2 n y2 x ysqrt nx ysqrt n 給出了環 mathbb Zsqrt n（即二次域 mathbb Zsqrt n）上的範數。因此 xy 是佩爾方程的解當且僅 xy sqrt n 的範數是一，即是域上的一個單元。根據狄利克雷單位定理，mathbb Zsqrt n 的所有單元都可以表示為同一個基本單元的乘方形式。這就是說一個佩爾方程的所有的解都是一個基本解的乘方。單元總可以透過解一個類似佩爾方程而得到，但這時的基本解並不一定就是基本單元。 與切比雪夫多項式的聯絡 佩爾方程和切比雪夫多項式有內在的聯絡：若 Ti x 和 Ui x 分別是第一類和第二類切比雪夫多項式的相應項，那麼它們是佩爾形式方程 T_i2 x21 U_i12 1 的解。於是第一類和第二類切比雪夫多項式可以透過展開基本解的乘方得到。 T_i U_i1 sqrt x21 x sqrt x21i。 進一步有：如果 xiyi 是佩爾方程的第 i 個解，那麼 xi Ti x1 yi y1Ui 1 x1。 佩爾方程的最小解 n x y n x y n x y n x y 1 33 23 4 65 129 16 97 62809633 6377352 2 3 2 34 35 6 66 65 8 98 99 10 3 2 1 35 6 1 67 48842 5967 99 10 1 4 36 68 33 4 100 5 9 4 37 73 12 69 7775 936 101 201 20 6 5 2 38 37 6 70 251 30 102 101 10 7 8 3 39 25 4 71 3480 413 103 227528 22419 8 3 1 40 19 3 72 17 2 104 51 5 9 41 2049 320 73 2281249 267000 105 41 4 10 19 6 42 13 2 74 3699 430 106 32080051 3115890 11 10 3 43 3482 531 75 26 3 107 962 93 12 7 2 44 199 30 76 57799 6630 108 1351 130 13 649 180 45 161 24 77 351 40 109 158070671986249 15140424455100 14 15 4 46 24335 3588 78 53 6 110 21 2 15 4 1 47 48 7 79 80 9 111 295 28 16 48 7 1 80 9 1 112 127 12 17 33 8 49 81 113 1204353 113296 18 17 4 50 99 14 82 163 18 114 1025 96 19 170 39 51 50 7 83 82 9 115 1126 105 20 9 2 52 649 90 84 55 6 116 9801 910 21 55 12 53 66249 9100 85 285769 30996 117 649 60 22 197 42 54 485 66 86 10405 1122 118 306917 28254 23 24 5 55 89 12 87 28 3 119 120 11 24 5 1 56 15 2 88 197 21 120 11 1 25 57 151 20 89 500001 53000 121 26 51 10 58 19603 2574 90 19 2 122 243 22 27 26 5 59 530 69 91 1574 165 123 122 11 28 127 24 60 31 4 92 1151 120 124 4620799 414960 29 9801 1820 61 1766319049 226153980 93 12151 1260 125 930249 83204 30 11 2 62 63 8 94 2143295 221064 126 449 40 31 1520 273 63 8 1 95 39 4 127 4730624 419775 32 17 3 64 96 49 5 128 577 51 Category 數論 Category 丟番圖方程