向量空間是一群可縮放和相加的數學實體（如實數甚至是函式）所構成的特殊集合，其特殊之處在於縮放和相加後仍屬於這個集合。這些數學實體被稱為向量，而向量空間正是線性代數的主要研究物件。 正式定義 給定域 left Ktimesright 和某集合 V ，它們具有了以下兩種運算（函式）： 向量加法 oplusV times V to V （其中 oplus uv 慣例上簡記為 u oplus v ） 標量乘法 cdot K times V to V （其中 cdotav 慣例上簡記為 a cdot v 甚至是 a v ） 且這兩種運算滿足：（特別注意 和 times 是域 K 是本身具有的加法和乘法） 名稱 名稱 前提條件 內容 向量加法 的單位元與逆元素 存在 V 的元素 e in V 對所有 u in V 有 e oplus u u oplus e u 向量加法 的單位元與逆元素 存在 V 的元素 e in V 對所有 u in V 且存在 w in V 使得 w oplus u u oplus w e 向量加法 的結合律 對所有 uvw in V u oplus v oplus w u oplus v oplus w 向量加法 的交換律 對所有 uv in V u oplus vv oplus u 標量乘法 的單位元 對所有 u in V 若 1_K in K 是 K 的乘法單位元，則 1_K cdot u u 標量乘法 對向量加法的分配律 對所有 uv in V 和所有 a in K a cdot u oplus v a cdot u oplus a cdot v 標量乘法 對域加法的分配律 對所有 u in V 和所有 ab in K a bcdot u a cdot u oplus b cdot u 標量乘法 與域乘法 對所有 u in V 和所有 ab in K a cdot b cdot u a times b cdot v 這樣稱 「 V 為定義在域 K 上的向量空間」，而 V 裡的元素 u in V 被稱為向量；域 K 裡的元素 a in K 被稱為標量。這樣域 K 就是囊括所有標量的集合，所以為瞭解說方便，有時會將 K 暱稱為標量域或是標量母空間。在不跟域的加法混淆的情況下，向量加法 oplus 也可以簡寫成 。 前四個條件規定 left Voplus right 是交換群。上述的完整定義也可以抽象地概述成「 left Ktimesright 是個域，且 V 是一個 K 模」。 基本性質 以下定理都沿用正式定義一節的符號與前提條件。 以上的定理事實上繼承自群的單位元唯一性。這樣的話，可以仿造群的習慣以記號 0_V 代表「向量加法 oplus 的唯一單位元」，並稱之為 V 的零向量。 在不跟標量域的加法單位元 0_K in K 混淆的情況下，零向量 0_V in V 也可以簡寫成 0 。 以上的定理事實上繼承自群的逆元唯一性，這樣的話，可以仿造群的習慣以 u1 代表「向量 u 在向量加法 oplus 下的唯一逆元素」，甚至可以把 v oplus u1 簡記為 v ominus u ，並暱稱為向量減法。在不跟標量的加法混淆的情況下， u1 也可記為 u ； v ominus u 也可記為 v u 。 額外結構 研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下： 一個實數或複數向量空間加上長度概念（就是範數）則成為賦範向量空間。 一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念則成為內積空間。 一個向量空間加上拓撲結構並滿足連續性要求（加法及標量乘法是連續對映）則成為拓撲向量空間。 一個向量空間加上雙線性運算元（定義為向量乘法）則成為域代數。 例子 對一般域，記為 向量空間。若是實數域，則稱為實數向量空間；若是複數域，則稱為複數向量空間；若是有限域，則稱為有限域向量空間。 最簡單的 向量空間是自身。只要定義向量加法為域中元素的加法，標量乘法為域中元素的乘法就可以了。例如當是實數域時，可以驗證對任意實數、以及任意實數、、，都有： ， ， 零元素存在：零元素滿足：對任何的向量元素，， 逆元素存在：對任何的向量元素，它的相反數就滿足。 標量乘法對向量加法滿足分配律： 向量乘法對標量加法滿足分配律： 標量乘法與標量的域乘法相容：。 標量乘法有單位元：中的乘法單位元，也就是實數 1 滿足：對任意實數，。 更為常見的例子是給定了直角座標系的平面：平面上的每一點 P 都有一個座標 P x y，並對應著一個向量 x y。所有普通意義上的平面向量組成了一個空間，記作ℝ²，因為每個向量都可以表示為兩個實數構成的有序陣列 x y。可以驗證，對於普通意義上的向量加法和標量乘法，ℝ² 滿足向量空間的所有公理。實際上，向量空間是ℝ² 的推廣。 同樣地，高維的歐幾里得空間ℝn 也是向量空間的例子。其中的向量表示為 v a_1 a_2 cdots a_n，其中的 a_1 a_2 cdots a_n 都是實數。定義向量的加法和標量乘法是： forall lambda in mathbb R v a_1 a_2 cdots a_n in mathbb Rn w b_1 b_2 cdots b_n in mathbb Rn， v w a_1 a_2 cdots a_n b_1 b_2 cdots b_n a_1 b_1 a_2 b_2 cdots a_n b_n lambda v lambda a_1 a_2 cdots a_n lambda a_1 lambda a_2 cdots lambda a_n 可以驗證這也是一個向量空間。 再考慮所有係數為實數的多項式的集合 mathbb RX。對於通常意義上的多項式加法和標量乘法，mathbb RX 也構成一個向量空間。更廣泛地，所有從實數域射到實數域的連續函式的集合 mathcal Cmathbb Rmathbb R 也是向量空間，因為兩個連續函式的和或差以及連續函式的若干倍都還是連續函式。 方程組與向量空間 向量空間的另一種例子是齊次線性方程組（常數項都是 0 的線性方程組）的解的集合。例如下面的方程組： 3x 2y z 0 x 5y 2z 0 如果 x_1 y_1 z_1 和 x_2 y_2 z_2 都是解，那麼可以驗證它們的 和x_1x_2 y_1y_2 z_1z_2 也是一組解，因為： 3 x_1x_2 2 y_1y_2 z_1z_2 3x_1 2y_1 z_1 3x_2 2y_2 z_2 0 x_1x_2 5 y_1y_2 2 z_1z_2 x_1 5y_1 2z_1 x_2 5y_2 2z_2 0 同樣，將一組解乘以一個常數後，仍然會是一組解。可以驗證這樣定義的 向量加法 和 標量乘法 滿足向量空間的公理，因此這個方程組的所有解組成了一個向量空間。 一般來說，當齊次線性方程組中未知數個數大於方程的個數時，方程組有無限多組解，並且這些解組成一個向量空間。 對於齊次線性微分方程，解的集合也構成向量空間。比如說下面的方程： f 4xf cos x f 0 出於和上面類似的理由，方程的兩個解 f_1 和 f_2 的和函式 f_1 f_2 也滿足方程。可以驗證，這個方程的所有解構成一個向量空間。 子空間基底 如果一個向量空間 V 的一個非空子集合 W 對於 V 的加法及標量乘法都封閉（也就是說任意 W 中的元素相加或者和標量相乘之後仍然在 W 之中），那麼將 W 稱為 V 的線性子空間（簡稱子空間）。V 的子空間中，最平凡的就是空間 V 自己，以及只包含 0 的子空間 0。 給出一個向量集合 B，那麼包含它的最小子空間就稱為它的生成子空間，也稱線性包絡，記作 span B。 給出一個向量集合 B，若它的生成子空間就是向量空間 V，則稱 B 為 V 的一個生成集。如果一個向量空間 V 擁有一個元素個數有限的生成集，那麼就稱 V 是一個有限維空間。 可以生成一個向量空間 V 的線性獨立子集，稱為這個空間的基。若 V0，約定唯一的基是空集。對非零向量空間 V，基是 V 最小 的生成集。向量空間的基是對向量空間的一種刻畫。確定了向量空間的一組基 B 之後，空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。如果能夠把基中元素按下標排列：mathbf B lefte_1 e_2 cdots e_n cdots right，那麼空間中的每一個向量 v 便可以透過座標系統來呈現： v lambda_1 e_1 lambda_2 e_2 cdots lambda_n e_n cdots 這種表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是說，向量空間的基提供了一個座標系。 可以證明，一個向量空間的所有基都擁有相同基數，稱為該空間的維度。當 V 是一個有限維空間時，任何一組基中的元素個數都是定值，等於空間的維度。例如，各種實數向量空間：ℝ⁰ ℝ¹ ℝ² ℝ³ ℝ 中， ℝn 的維度就是 n。在一個有限維的向量空間（維度是 n）中，確定一組基 mathbf B lefte_1 e_2 cdots e_n right，那麼所有的向量都可以用 n 個標量來表示。比如說，如果某個向量 v 表示為： v lambda_1 e_1 lambda_2 e_2 cdots lambda_n e_n 那麼 v 可以用陣列 v lambda_1 lambda_2 cdots lambda_n 來表示。這種表示方式稱為向量的座標表示。按照這種表示方法，基中元素表示為： e_1 1 0 cdots 0 e_2 0 1 cdots 0 e_n 0 0 cdots 1 可以證明，存在從任意一個 n 維的 mathbf F 向量空間到空間 mathbf Fn 的雙射。這種關係稱為同構。 線性對映 給定兩個係數域都是 F 的向量空間 V 和 W 定義由 V 到 W 的線性變換（或稱線性對映）為所有從 V 射到 W 並且它保持向量加法和標量乘法的運算的函式 f： f V rightarrow W forall a in F uv in V f uv f u f v f a cdot v a cdot f v 所有線性變換的集合記為 mathcal LV W，這也是一個係數域為 F 的向量空間。在確定了 V 和 W 上各自的一組基之後， mathcal LV W 中的線性變換可以透過矩陣來表示。 如果兩個向量空間 V 和 W 之間的一個線性對映是一一對映，那麼這個線性對映稱為（線性）同構，表示兩個空間構造相同的意思。如果在 V 和 W 之間存在同構，那麼稱這兩個空間為同構的。如果向量空間 V 和 W 之間存在同構 f V rightarrow W，那麼其逆對映 g W rightarrow V 也存在，並且對所有的 x in V y in W，都有： g circ f x x f circ g y y 參考文獻 《中國大百科全書》 Howard Anton and Chris Rorres Elementary Linear Algebra Wiley 9th edition ISBN 0471669598 Kenneth Hoffmann and Ray Kunze Linear Algebra Prentice Hall ISBN 0135367972 Seymour Lipschutz and Marc Lipson Schaums Outline of Linear Algebra McGrawHill 3rd edition ISBN 0071362002 Gregory H Moore The axiomatization of linear algebra 18751940 Historia Mathematica 22 1995 no 3 262303 Gilbert Strang Introduction to Linear Algebra Third Edition WellesleyCambridge 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