數學中，複平面是用水平的與垂直的建立起來的複數的幾何表示。可視為一個具有特定代數結構笛卡兒平面（實平面），一個複數的實部用沿著 x 軸的位移表示，虛部用沿著 y 軸的位移表示儘管這是術語 複平面 最通常的數學意義，但不是惟一意義。其它包括與二元數，以商環引入。。 複平面有時也叫做阿爾岡平面，因為它用於阿爾岡圖中。這是以讓 羅貝爾阿爾岡（17681822）命名的，儘管它們最先是挪威 丹麥土地測量員和數學家卡斯帕爾韋塞爾（17451818）敘述的韋塞爾研究報告 1797 年提交到丹麥學院；阿爾岡的論文 1806 年發表。（Whittaker Watson 1927 p 9）。阿爾岡圖經常用來標示覆平面上函式的極點與零點的位置。 複平面的想法提供了一個複數的幾何解釋。在加法下，它們像向量一樣相加；兩個複數的乘法在極座標下的表示最簡單 乘積的長度或模長是兩個絕對值或模長的乘積，乘積的角度或輻角是兩個角度或輻角的和。特別地，用一個模長為 1 的複數相乘即為一個旋轉。 記號約定 在複分析中複數通常用符號 z 表示，它可以分為實部 x 與虛部 y： z x iy 這裡 x 與 y 是實數，i 是虛單位。在這種通常記法下複數 z 對應與笛卡兒平面中的點 xy。 笛卡兒平面中的點 xy 在極座標中也能表示為 x y rcostheta rsinthetaqquadleft r sqrt x2y2 quad thetaarctanfrac yxright 在笛卡兒平面中可能假設反正切函式 arctan 取值於 pi 到 pi 弧度（當 xleq 0 時，對 xy 定義 真正的 反正切函式需要一點考慮詳細定義見複數條目，用到的反正切函式的變種稱為 Atan2。。在複平面上它們的極座標具有如下形式（第三個等號源自尤拉公式） z x iy zleft costheta isinthetaright zeitheta 這裡 z sqrt x2y2 quad theta arg z ilnfrac zz 可以直接由冪級數 ez 出發，證明（Whittaker Watson 1927 Appendix）復指數函式、三角函式與複對數函式所有熟知的性質。特別地，logr 的主值，這裡 r1，可不引用任何幾何或三角構造算出來。參見此文。 這裡 z 是複數 z 的絕對值或模長；theta，z 的輻角，通常取值於區間 0leq theta2pi；最後一個等式（zeitheta）得自尤拉公式。注意 z 的輻角是多值的，因為復指數函式是週期為 2pi i。從而，如果 theta 是 arg z 的一個值，其它值由 arg z theta2npi 給出，這裡 n 是任何 neq 0 整數 Whittaker Watson 1927 p 10。 圍道積分理論是複分析的重要組成部分。在此情形，沿著閉曲線的積分方向是要緊的 沿著相反的方向所得的積分值乘以 1。習慣上 正方向 是逆時針方向。例如，沿著單位圓我們從點 z1 開始，向左上移動經過 zi，然後向左下經過 1，右下經過 i，最後向右上移動到達起點 z1，這就是單位圓的正方向。 幾乎所有複分析專注複函式 即將複平面的一個子集映到複平面某個另外的（可能相交甚至重合）子集。這裡習慣說 f z 的定義域位於 z 平面上，並稱 f z 的值域或像作為 w 平面中的一個點集。用符號記成 z x iyqquad f z w u iv 並經常將函式 f 視為 z 平面（帶有座標 xy）到 w 平面（帶有座標 uv） 的變換。 球極平面投影 將複平面視為一個球面的一部分是有用的。給定一個單位半徑球面，使複平面穿過其正中間，這樣球的中心與複平面的原點 z0 重合，球面上的赤道與平面的單位圓重合。 我們可以將球面上的點與複平面建立如下一一對應。給定平面上一點，連線這一點與球面的北極之直線與球面恰好交於另一點。點 z0 將投影到球面的南極。因為單位圓周的內部在球面內，整個區域（z1）將映到南半球。單位圓周自己（z1）映到赤道，而單位圓周的外部（z1）將映到北半球。顯然這個過程是可逆的 給定任何球面上的不為北極的點，我們連線這一點與北極，與平面恰好交與一點。 在這個球極平面投影中只北極這一點，不能對應到複平面上任何一點。我們將其變成一一對應，新增一個理想的點 所謂的無窮遠點 到複平面上，使其與球面的北極對應。複平面新增一個無窮遠點這個拓撲空間，稱為擴充複平面。這就是數學家在討論複分析時為什麼說單個無窮遠點。在實數軸上有兩個無窮遠點，但擴充複平面上只有一個（北極）無窮遠點 Flanigan 1983 p 305。 想象一下球面上的經線和緯線投影到平面上會變成什麼。平行於赤道的所有緯線，它們將變為以原點 z0 為圓心的圓周；而經線將變為經過原點的直線（從而也經過無窮遠點，因為它們在球面上同時經過北極和南極）。 這不是從球面到平面惟一的球極平面投影。例如，球面的南極點可能置於平面的原點 z0 之上，球面於平面在這一點相切。細節事實上並不重要，任何球面到平面的球極投影都將產生一個無窮遠點，球面上的緯線與經線將分別映成平面上的圓周與直線。 切割複平面 當討論一個複變函式時，想象 切割 複平面經常會有方便之處。這種想法自然出現於多種不同情境。 多值關係與分支點 考慮簡單的二值關係 w f z pmsqrt z zfrac 12 在我們可將這個關係處理為單值函式之前，所得值域必須做些限制。在處理實數的平方根時這是容易做到的。例如，我們可定義 y g x sqrt x xfrac 12 為非負實數 y 使得 y2x。這個想法在二維複平面不再如此有效。為了看出為什麼，考慮點 z 沿著單位圓周移動 f z 值的變化方式。我們有 z eithetaqquadRightarrowqquad wzfrac 12 efrac itheta2qquad 0leqthetaleq 2pi 顯然，當 z 沿著圓周移動一圈，w 只移動半圈。從而複平面上一個連續運動將正平方根 e01 變為負平方根 eipi1。 問題之出現是由於在點 z0 只有一個平方根，但其它複數 zneq 0 都恰有兩個平方根。在實數軸上我們在單點 x0 處立一個 障礙 以避免這個問題。在複平面上需要更大的障礙，防止出現任何圍繞 z0 的完全迴路。通常做法是引入一個分支切割；在這種情形可以從 z0 起沿著正實數軸一直到無窮遠點剪開，從而在切開的平面上限制為 0leq arg z 2pi。 現在我們可以給出 wzfrac 12 的一個完整描述。為此我們需要兩個 z 平面副本，每一個沿著實軸剪開。在一個副本上我們定義 1 的平方根為 e01，而在另一個上定義 1 的平方根為 eipi1。我們稱這兩個切開的整個平面為 片。由一個連續性討論，我們可以看出（非單值）函式 wzfrac 12 將第一片映為上半 w 平面，0leq arg w pi，而將第二片應為下半 w 平面，pileq arg w 2piMoretti 1964 pp 113119。 這個例子中的分支切割不必非要沿著實軸，甚至不必是直線。任何連線原點 z0 與無窮遠點的連續曲線都行。在某些情形，分支切割甚至不必經過無窮原點。例如，考慮關係 w g z left z2 1rightfrac 12 這裡多項式 z21 在 zpm 1 為零，所以 g 顯然由兩個分支點。我們可沿著實軸從 1 到 1 切開平面，g z 在所得的片上是單值函式。或者，從 z1 沿著正實軸經過無窮遠點，然後沿著負實軸到達另一分支點 z1 切開。 這種情況使用如上所述的球極平面投影最容易看清。在球面上一種切割是沿著連線赤道上兩點 z1 與 z1 穿過南半球並經過南極點的經線；第二種切割是經過北半球，連線同樣兩個赤道點並經過北極（即無窮遠點）的經線。 亞純函式定義域的限制 亞純函式是在其定義域中除了有限或可數無窮個點之外全純從而解析的複函式另見證明亞純函式全純。。函式不能定義的那些點稱為亞純函式的極點。有時所有極點位於一條直線上，在這種情形說這個函式在 切開的平面上全純。這裡是一個簡單的例子。 Γ 函式，其定義為 Gamma z frac egamma zz prod_n1infty left left 1frac znright1 efrac znright 這裡 gamma 是尤拉 馬歇羅尼常數，當 z 等於零或負整數時，無窮乘積的分母恰有一個為零，故 Gamma z 只有單極點 0 1 2 3 可以證明無窮乘積 Γz 在分母不為零的任何有界區域中一致收斂，從而定義了複平面上一個亞純函式。Whittaker Watson 1927 pp 235236。因為所有極點在負實數軸上，從 z0 到無窮遠點，這個函式可以描述為 在切開的複平面上全純，切割是沿著負實軸從 0（包含）到無窮遠點。 或者， Gamma z 也能描述為 在切開的複平面 piarg z pi 併除去點 z0 上全純。 注意這種切割與我們能剛才遇到的分支截斷稍有不同，因為這事實上在切開的複平面上除去了實軸。分支截斷留下實軸作為切開復平面的一邊（ 0leq theta ），但與另一邊（ 02pi ）完全分開。 當然，為了構造 Gamma z 一個全純區域事實上不必完全將從 z0 到 infty 的整個線段除去。我們只需將平面在可數無窮個點 0 1 2 3 處穿孔。但這個穿孔平面上的閉迴路可能圍繞一個或多個 Gamma z 的極點，由留數定理得到的圍道積分不必為零。透過切開復平面我們不僅確保 Gamma z 在這些限制的區域上全純，而且也確保 Gamma 在切開的複平面的任何閉曲線上圍道積分恆等於零。而這在一些數學論證中可能非常重要。 收斂區域的分類 許多複函式是用無窮級數或連分數定義的。分析這些無窮長表示式的一個基本考慮是確定它們收斂為一個有限值的複平面區域。平面上一個切割可能對這個過程有幫助，如下例所示。 考慮由無窮級數定義的函式 f z sum_n1infty left z2 nright2 因為 z2z2 對任何複數 z 成立，顯然 f z 是一個 z 的偶函式，所以可以限制在半個複平面上分析。又因為當 z2 n 0 quad Leftrightarrow quad z pm isqrt n 時級數沒有定義，有理由沿著整個虛軸切開平面，使這個級數在實部不為零的收斂，當 z 是純虛數時需做更細緻的檢驗當 Re z 0 時，透過與 ζ2 比較，這個和在任何有界區域上一致收斂，這裡 ζs 時黎曼 zeta 函式。。 這個例子中切割不過是方便之舉，因為無窮和無定義的點是離散的，且切開的平面可被一個合適的穿孔平面替代。在某些情形，切割是必須的，不止是為了方便。考慮無窮週期連分數 f z 1 cfrac z1 cfrac z1 cfrac z1 cfrac zddots 可以 f z 收斂到一個有限值當且僅當 z 不是 z frac 14 的負實數。換句話說，這個連分數的收斂區域是切開的複平面，這裡切割沿著負實軸從 frac 14 直到無窮遠點 Wall 1948 p 39。 將切開的平面重新黏合 我們已經見到關係 w f z pmsqrt z zfrac 12 怎樣透過將 f 的定義域分割成兩個不連通的片變成一個單值函式。還可以將這兩片黏合在一起形成一個黎曼曲面，在它上面 f zzfrac 12 可以定義為一個全純函式，其像是整個 w 平面（除去點 w0 ）。具體做法如下： 考慮兩個切開的複平面副本，切割沿著正實軸從 z0 到無窮遠點。在一片上定義 0leq arg z2pi ，所以由定義 1frac 12e01 。在第二片上定義 2pileq arg z4pi ，同樣由定義有 1frac 12eipi1 。現在將第二片翻轉，從而虛軸與第一片虛軸方向相反，實軸指向相同的方向，將兩片 黏合 起來（從而第一片標為 theta0 的邊與第二片標為 theta4pi 的邊相連，而第二片標為 theta2pi 的邊與第一片標為 theta2pi 的邊相連）。得到一個黎曼曲面， f zzfrac 12 在這個曲面上單值全純。 為了理解為什麼 f 在這個區域上是單值，想象沿著單位圓繞一圈，從第一片上的 z1 開始。當 0leqtheta2pi 是我們仍然在第一片上；當 theta2pi 我們轉移到第二片，沿著分支點 z0 在第二片上再繞一圈回到我們的起點，由我們的黏合方式，這裡 theta4pi 等價於 theta0 。換句話說，當變數 z 沿著分支點繞兩週， z 在 w 片面的像只繞一週。 形式微分說明 f z zfrac 12 quadRightarrowquad fprime z textstyle frac 12 zfrac 12 由此我們可說 f 的導數在黎曼曲面上除了 z0 之外任何地方都存在且為有限（即 f 在 z0 之外全純）。 上面討論過的函式 w g z left z2 1rightfrac 12 的黎曼曲面如何構造呢？我們同樣從兩個 z 平面副本開始，但這一次每個沿著實軸從 z1 到 z1 切開 它們是 g z 的兩個分支點。我們將其中一個翻轉，從而兩個虛軸指向相反，將這兩個切片的對應邊黏合。透過沿著以 z1 為中心的單位圓繞一圈，我們可以驗證 g 在所得的曲面上是單值函式。從第一片上 z2 開始，沿著圓周繞半圈遇到 z0 的切割。切割強迫我們轉到第二片，從而當 z 沿著分支點 z1 繞 一整圈， w 恰好繞了半圈， w 的符號反過來了（由於 eipi1 ），而我們的路徑到達這個曲面的第二片上的 z2 。繼續半周我們遇到了另一個邊的切割，在 z0 處，在繞分支點兩週之後最終到達我們的起點（第一片上的 z2 ）。 這個例子中標記 thetaarg z 的自然方式是在第一片上令 pithetaleqpi ，第二片為 pithetaleq 3pi 。兩片的虛軸方向相反，從而一片上逆時針意義的正旋轉仍然是另一片上的閉迴路運動（記住第二片翻轉了）。想象這個曲面嵌入一個三維空間，兩片都平行於 xy 平面。則這個平面上出現一個鉛直洞，在此處兩個切割連線起來。如果當切割是從 z1 沿負實軸到無窮，然後沿正實軸到 z1 ，又是如何呢？同樣可以構造一個黎曼曲面，但這一次 洞 是水平的。 從拓撲上說，這兩個黎曼曲面是等價的，它們都是虧格為 1 的可定向二維曲面。 其它含義 本文中上面幾節將 複平面 處理為複數的幾何類比。儘管術語 複平面 這種用法具有長期與數學悠久的歷史，但並不意味著是惟一的稱之為 複平面 的數學概念。至少有三種其它可能。 1 1 維閔可夫斯基空間，也稱為分裂複平面，代數分裂複數可分解為兩個實數部分，容易將其關聯到笛卡兒平面裡的點 xy 。 實數上的二元數集合也能與笛卡兒平面中的點 xy 一一對應，給出了另一個 複平面。 向量空間 CC，複數與自身的笛卡兒積，是一個其座標為複數的二維向量空間，在這種意義下也是一個 複平面。 另見 星座圖 拉普拉斯變換 黎曼球面 黎曼曲面 S 平面 Z 變換 註釋 參考文獻 Francis J Flanigan Complex Variables Harmonic and Analytic Functions Dover 1983 ISBN 0486613887 Gino Moretti Functions of a Complex Variable PrenticeHall Inc 1964 H S Wall Analytic Theory of Continued Fractions D Van Nostrand Company Inc 1948 reprinted 1973 by Chelsea Publishing Company ISBN 0828402078 E T Whittaker and G N Watson A Course in Modern Analysis fourth edition Cambridge University Press 1927 外部連結 F F F