記數系統（numeral system，system of numeration）又稱記數法、記數制度、數制，是使用一組數字符號來表示數的體系。記數可以俗稱為 寫數，以區別同音詞計數。 一個理想的記數系統能夠： 有效地描述一組數（例如，整數、實數） 所有的數對應唯一的表示（至少有一個標準表示法） 反映數的代數和算術結構 記數系統可以按照以下方式分類： 按照底數區分的進位制，可分為十進位制、二進位制、八進位制等 按照寫法，可分為中文數字、阿拉伯數字、羅馬數字等 歷史 在木頭、骨頭或石頭上的計數符號從史前時代就開始被使用了。石器時代的文化，包括古代印第安人，使用計數符號進行賭博、私人服務和交易。 在公元前 8000 年至前 3500 年間，蘇美爾人發明了使用粘土保留數字資訊。他們的做法是將各種形狀的小的粘土記號像珠子一樣串在一起。從大約前 3500 年開始，粘土記號逐漸被數字符號取代。這些數字符號是使用圓的筆針刻在粘土塊上，然後燒製而成的。大約前 3100 年，數字符號與被計數的事物分離，成為抽象的符號。在前 2700 年至前 2000 年間，圓的筆針逐漸被一種尖的筆針取代，這種筆針可以在粘土上刻出楔形符號。這種楔形數字和圓形數字相似，並保留了符號數值記數法。這些記數系統逐漸演變成了一種常見的六十進位制系統。這個系統是一種位置數值記數法，只使用豎向的楔形和人形兩種符號，而且能夠表示分數。這個系統在古巴比倫的初期（大約前 1950 年）得到了充分的發展，併成為巴比倫尼亞的標準。 上述六十進位制系統是一種混合進位制系統，它的一個符號序列的不同位置上使用 10 和 6 兩個基數。這個系統被廣泛地應用於商業，同時也在天文學和其他計算中被使用。這個系統從巴比倫尼亞輸出，並傳遍了美索不達米亞，包括希臘，羅馬和埃及。今天，我們仍然用它來計算時間（1 小時 60 分鐘）和角度（1 度 60 分）。 中國古代採用算籌記數，個位百位萬位等奇數位用縱籌，偶數位用橫籌，零用空位表示。有時，軍隊人數和供給品記數採用質數的算籌，並按照模算術運算。（參看：大衍求一術，中國剩餘定理）。模算術的好處在於，儘管其加法相對困難，但乘法很容易。這使得模算術很適合軍需品的計算。在現代，同樣的模算術有時用於數字訊號處理。 羅馬帝國使用臘、紙草、和石頭上的割符，大致遵從希臘人將字母對應不同數的習慣。羅馬數字在歐洲被普遍使用，直到 1500 年代進位制開始流行。 中美洲的瑪雅數字採用 20 或 18 為基數的系統，可能繼承自奧爾梅克文明，它包含了位置數值記數法和零這樣的高階屬性。他們將此用於高階的天文計算，包括高精度的太陽年長度和金星軌道的計算。 印加帝國採用奇普，一種打結的帶顏色的繩子來記數。關於使用結和顏色來編碼的知識被西班牙征服者於 16 世紀所擯棄，並因此失傳。今天，簡單的結繩工具仍在安地斯山脈地區使用。 有些權威認為數位算術隨著中國的算盤的廣泛使用而開始。最早的書面數位記錄似乎是大約 400 年的算盤計算的結果。特別在大約 932 年，零已被中國數學家正確地表述了，並且似乎是因為採用一個圓圈表示沒有算盤珠子的那一位而產生的。 在印度，現代數位數字系統被傳給阿拉伯人。可能是和天文表格一起，這一系統被一位印度大使在約 773 年帶到巴格達。對於印度的數字系統的詳細討論，參看阿拉伯數字和印度數字。 從印度出發，伊斯蘭蘇丹們和非洲的旺盛貿易將此數字系統的概念帶到了開羅。阿拉伯數學家們將此係統推廣到十進位制分數。在 9 世紀，花拉子密寫下了關於該系統的重要著作。隨著 12 世紀該著作在西班牙被翻譯和斐波那契的《計算書》在 1201 年的出版，該系統傳入歐洲。在歐洲，完整的帶零的印度系統是於 12 世紀由阿拉伯人帶來的。 二進位制系統由萊布尼茲在 17 世紀傳播，萊布尼茲在他工作的早期形成了這一概念，並在閱讀中國的《易經》再次鞏固了這一想法。由於計算機的使用，二進位制系統在 20 世紀變得更加普遍。 常用基數 二 基數為 2 的系統（二進位制）的流行及應用主要是因為電子計算機的發明。以 2 為基數，也代表只有兩種變化：不是 1 就是 0。最初的電子計算機以開關電路組成，只有兩種狀態：開（1）及關（0），並以此引申作各種複雜的邏輯變化。而現今二進位制亦普遍使用於數碼影音系統中。 八 基數 8 的系統（八進位制）是北加利福尼亞的 Yuki 部落設計的，他們使用了手指間的間隔來數數。也有語言學證據顯示青銅時代印歐人（多數歐洲和印度語言來源於此）可能用基數 10 的系統取代了基數 8 系統（或者一個只能數到 8 的系統）。證據是代表 9 的詞，newm，根據一些歷史學家推測來源於 新（new newo），這表示數字 9 是當時最近發明的，所以稱為新數（new number） Mallory Adams 1997 年。 九 涅涅茨語曾經使用基數 9 的系統（九進位制），但在俄語的影響下轉變為十進位制。yúq 一詞最初表示 9，但在俄語影響下變成了 10 的意思；所以在現在的涅涅茨，9 現在是 xasuyúq，也就是 涅涅茨 yúq，而 10 就是 yúq，但在東部方言中也作 lúcayúq 也就是 俄語 yúq。 十 十進位制是今天最為常用的系統。它被視為因為人類具有十根手指而產生。 十二 基數 12 的系統（十二進位制）曾經很流行，因為乘法和除法比十進位制方便，而加法同樣簡單。12 很有用，因為它有很多因子。它是 1 到 4 最小的公倍數。我們對十二有一個特殊的詞 打dozen，並且使用 12 小時作為一個白天或者一個黑夜。十二進位制來自於一隻手除了拇指以外的四個手指的指節個數，它們曾被用來記數。 十六 基數為 16 的系統（十六進位制）曾經在中國的重量單位上使用過，比如，規定 16 兩為一斤。現在的 16 進位則普遍應用在電腦領域，這是因為將二進位數字轉化為十六進位數字非常容易，用十六進位表達數字比用二進位制方便。1 位元組（一個 8 個位的二進位數字）可以很方便的表示成一個兩個位的 16 進位數字。 二十 瑪雅文明和其它前哥倫布時期中美洲文明使用二十進位制、因努伊特的因努伊特數字，源於人的手指和腳趾總數。 六十 基數為 60 的系統（六十進位制）是蘇美爾人和他們在美索不達米亞的繼承者所使用的，今天還在我們的計時系統中存在（所以一小時有 60 分鐘而一分鐘有 60 秒）。60 也有大量因子，包括前六個自然數。六十進位制系統被認為是因為十進位制和十二進位制合併過程中產生的。中國曆法中，六十進位制的甲子系統用於表示年，每個 60 年迴圈中的年用兩個符號代表，第一個符號是十進位制的天干，第二個符號是十二進位制的地支。兩個符號在後續一年中同時前進一，這樣同樣的組合在 60 年後再現。該系統的第二個符號也和 12 個動物的生肖系統對應。 進位制詳解 在 基數 b 的 位置記數系統（其中 b 是一個正自然數，叫做基數）中，b 個 基本符號（或稱數字）對應於包括 0 的 最小 b 個自然數。 要產生其他的數，必須變動這些基本符號在數中的位置。最後一位的符號用它本身的值，向左一位其值乘以 b。 例如，在十進位制系統中（基數 10），數 4327 表示 4103 3102 2101 7100，注意 100 1。 一般來講，若 b 是基底，我們在 b 進位制系統中的數表示為 a1bk a2bk1 a3bk2 ak1b0 的形式，並按次序寫下數字 a1a2a3 ak1。這些數字是 0 到 b1 的自然數。 若一段文字（譬如這段文字）討論多個基數，若有歧義時，基數（本身用十進位制表示）用下標方式寫在數的右邊。除非有上下文說明，沒有下標的數字視為十進位制。 透過使用一點（小數點）來將數字分成兩組，就可以用位置系統來表示小數。例如，基數 2 系統 1011 表示 121 020 121 122 275。 一般來講，b 進位制系統中的數有如下形式： a_na_n1a_1a_0c_1c_2c_3_b sum_k0n a_kbk sum_k1infty c_kbk 數 bk 和 bk 是相應數字的 比重。 注意有一個數有一個終止或者迴圈當且僅當它是有理數；這不依賴於基數的選擇。在一個進制中終止的數可以在另外一個有迴圈小數（thus 0310 001001100110012）。一個無理數在所有進制中不迴圈（無窮位不迴圈數字）。這樣，例如二進位制中，π 3141592610 可以寫作不迴圈的 110010010000111112。 若 bp 是一個質數，可以定義其向左的擴充套件不停止的 p 進位制數字；這些數字稱為 p 進數 padic。 進位制轉換 轉換正整數的進位制的有一個簡單演算法，就是透過用目標基數作長除法；餘數給出從最低位開始的 數字。例如，1020304 從 10 進位制轉到 7 進位制： 1020304 7 145757 r 5 11446435 145757 7 20822 r 3 20822 7 2974 r 4 2974 7 424 r 6 424 7 60 r 4 60 7 8 r 4 8 7 1 r 1 1 7 0 r 1 再如，10110111 從 2 進位制到 5 進位制： 10110111 101 100100 r 11 3 1213 100100 101 111 r 1 1 111 101 1 r 10 2 1 101 0 r 1 1 轉換一個 十進位制 小數，可以用重複乘法，將整數部分作為 數字。不幸的是有限小數不一定轉換成為有限小數，例如 01A4C 從 16 進位制轉換到 9 進位制： 01A4C 9 0ECAC 0ECAC 9 8520C 0520C 9 2E26C 0E26C 9 7F5CC 0F5CC 9 8A42C 0A42C 9 5C58C 0082785a 一般化變長整數 更一般化的有一種記法（這裡寫作小頭式），例如 a0a1a2 用作 a0 a1b1 a2b1b2 etc 註釋 參考文獻 Georges Ifrah The Universal History of Numbers From Prehistory to the Invention of the Computer Wiley 1999 ISBN 0471375683 高德納 《計算機程式設計藝術》 Volume 2 3rd Ed AddisonWesley pp194213 Positional Number Systems JP Mallory and DQ Adams Encyclopedia of IndoEuropean Culture Fitzroy Dearborn Publishers London and Chicago 1997 AL Kroeber Alfred Louis Kroeber 18761960 Handbook of the Indians of California Bulletin 78 of the Bureau of American Ethnology of the Smithsonian Institution 1919 nd 參見 計算機數字格式 數量級 數 減法式記法 德尼數字 虛構的數字系統，來自電子遊戲系列神秘島 結繩記數 印加數字系統 巴比倫數字 六十進位制系統 黃金進位制 數 計數 計數符號 十進位制 長級差與短級差 外部連結 進位制轉換器 帶小數點的進位制轉換器 數字感覺與數數課程 Category 數學表示法