泛代數，也稱普適代數學，研究通用於所有代數結構的理論，而不是代數結構的模型。舉個例子，並不是將特殊的個別的群作為個體分別來學習，而是將整個群論的理論作為學習的主題。 基本思想 從泛代數角度來看，代數是擁有一組運算元的集合 A。在 A 上的 n 元運算是以 n 個 A 的元素為輸入並返回一個 A 的元素的函式。這樣，0 元運算（空運算）可簡單表示為 A 的一個元素或常數，通常用 a 表示。一元運算是簡單的從 A 到 A 的函式，常用置於引數前的符號表示，如～x。二元運算通常用置於引數間的符號表示，如 xy。元數更高或不確定的運算通常用函式符號表示，引數放在括號中，例如 f x y z 或 f x1xn。那麼，討論代數的一種方式就是將其稱為某 Omega 類代數，其中 Omega 是自然數的有序數列，表示代數運算的元數。不過也有研究者允許無窮元運算，如 textstylebigwedge_alphain J x_alpha，其中 J 是無窮指標集，是完全格代數理論中的一種運算。 等式 定義了運算後，代數的性質由公理進一步定義，在泛代數中通常用恆等式或等式法則的形式。例如二元運算的結合律，可由等式 x y z x y z 給出。 簇 由等式定義的代數結構集合稱作簇或等價類。 將研究範圍限制在簇，就排除了 量化，包括全稱量化（forall，等式前除外）和存在量化 （exists） 邏輯與之外的邏輯運算子 等式以外的關係，特別是形如 a b 不等式和序理論 等式類研究可看作是模型論的一支，通常處理只有運算的結構（型別中可以有函式的符號，但不能有等式以外的關係的符號）。談論這種結構的語言只使用等式。 其不包含所有廣義代數結構。例如，有序交換群涉及序關係，因此不屬於這個範疇。 域類也不屬於等式類，因為沒有型別能把所有域法則寫成等式（域中元素的逆適於所有非零元素，因此不能把逆加入型別中）。 這樣限制的一個好處是，泛代數研究的結構可定義在任何具有有限積的範疇中。例如，拓撲群只是拓撲空間範疇中的一個群。 例子 大多數泛代數系統都是簇的例子，但不總是很明顯，因為通常的定義往往涉及量化或不等式。 群 以群的定義為例。通常，一個群的定義由二元運算 完成，並遵循以下公理： 結合律： x y z x y z ；形式化：xyz xyzxyz 單位元：存在一個元素 e，使得對每個 x。都有 e x x x e ；形式化：e x exxxe 逆元素：很容易看出單位元是唯一的，一般記作 e。那麼對每個 x，都有元素 i 使 x i e i x ；形式化：x i xieix （有人也使用 封閉 公理，即只要 x y 都屬於 A，則 xy 也屬於，但這裡稱 為二元運算已經暗示了這一點。） 群的這一定義並不直接符合泛代數，因為單位元和逆元素並非純粹從 對所有 元素普遍成立的等式規律表述，而還涉及存在量詞 存在。除了二元運算，還可指定空運算 e 和一元運算～，x 通常寫作 x1。這樣，公理變為： 結合律： 單位元： ；形式化：x exxxe 逆元素： ；形式化：x xxexx 總結來說，通常的定義有 單一二元運算 1 個等式法則（結合律） 2 個量化法則（單位元與逆元） 而按泛代數，則有 3 種運算：1 種二元運算，1 種一元運算，1 種零運算 3 個等式法則（結合律、單位元、逆元） 沒有量化法則（最外層的全稱量詞除外，這在簇中是允許的） 關鍵點是，額外的運算沒有增加資訊，而是唯一地遵循了群的通常定義，雖然沒有唯一指定單位元 e，但很簡單就能證明它是唯一的，每個逆元素也唯一。 泛代數觀點非常適合範疇論。例如，在範疇論中定義群物件時，若物件可能不是集合，就必須用到等式法則（在一般範疇中是有意義的），而非量化法則（指單個元素）。此外，逆元和單位元在範疇中被指定為態射。例如，拓撲群中的逆不僅必須逐元素存在，還要給出連續對映（態射）。有人還要求恆等對映也要閉包（上纖維化）。 其他例子 大部分代數結構都可作為泛代數的例子。 環、半群、擬群、廣群、原群、圈等等。 固定域上的向量空間和固定環上的模也是泛代數。它們有二元運算，有一族一元標量乘法運算，域或環中的每個元素都有一個。 關係代數的例子有半格、格與布林代數。 基本構造 假設 Omega 類固定。泛代數中有三種基本構造：同態像、子代數與積。 兩個代數 A、B 之間的同態是函式 h A B，使得對 A 中的每個 n 元運算 fA 和對應的 B 中 n 元運算 fB，都有 h fA x1xn fB h x1h xn（若可以看出函式來自哪個代數，則 f 的上下標就可去掉）。例如，若 e 是常數（空運算），那麼 h eA eB。若～是一元運算，那麼 h x h x。若是二元運算，那麼 h x y h x h y，以此類推。我們可以取代數的同態像 h A。 A 的子代數是 A 的子集，對 A 的所有運算都封閉。某個代數結構集合的積，指的是集合在座標上定義的運算的笛卡爾積。 部分基本定理 同構基本定理，包括群、環、模等的同構定理。 伯克霍夫 HSP 定理，其指出，一類代數當且僅當在同態像、子代數與任意直積下封閉時，可以構成簇。 動機與應用 除了統一方法之外，泛代數還給出了深奧的定理以及重要的示例和反例，為新代數研究提供了有用的框架。它可以將為某些代數發明的方法轉移到其他類的代數，方法是用泛代數（如果可能的話）重新詮釋之，然後將其解釋為適用於其他類別的方法。它還澄清了概念；正如 JDH Smith 所說：在特定框架中看起來雜亂而複雜的東西，在適當的一般框架中可能會變得簡單而明顯。 特別是，泛代數可用於么半群、環和格的研究。在泛代數之前，許多定理（最知名的是同構基本定理）是在所有類別中分別證明的，但有了泛代數，就可以對每種代數系統進行一次性證明。 下面提到的 Higgins 1956 年的論文為一系列特定代數系統提供了框架而受到廣泛關注，而他 1963 年的論文則對具有僅部分定義運算的代數的討論而備受矚目，典型的例子就是範疇和廣群。這引出了高維代數的話題，可定義為研究具有部分運算的代數理論，其域是在幾何條件下定義的。著名的例子是各種形式的高維範疇和廣群。 約束滿足問題 泛代數為約束滿足問題（CSP）提供了一種自然的語言。CSP 是一類重要的計算問題：給定關係代數和其上的句子 varphi，如何確定 varphi 能否在中得到滿足。代數通常是確定的，因此指例項僅為存在語句 varphi 的問題。 可以證明，對某個代數，每個計算問題都可表為。 例如，n 色問題可表述為代數 big 01dotsn1 neqbig 的 CSP，即具有 n 個元素和一個關係式（不等式）的代數。 二分猜想（2017 年 4 月證明）指出，若是有限代數，則要麼是 P 問題，要麼是 NP 完全問題。 推廣 還可用範疇論手段研究泛代數：可用特殊的範疇描述代數結構，稱為勞維爾理論或更廣義的代數論。相對地，也可用單子描述代數結構。這兩種方法密切相關，各有優勢。 特別地，每個勞維爾理論都在集合範疇上給出了單子，而集合範疇的任何 有限 單子都產生於某個勞維爾理論。單子描述的是特定範疇（如集合範疇）中的代數結構，而代數論描述的是一大類範疇（即有有限積的範疇）中任何範疇的結構。 範疇論的最新發展是算元論 算元是一系列運算，類似於泛代數，但只允許在帶變數的表示式間建立等式，不允許重複或省略變數。因此，環可被描述為某些算元的所謂 代數，但不能描述為群，因為 g g1 1 在左側重複了變數 g，在右側省略了變數 g。起初這似乎是個麻煩的限制，但其結果是，算元有某些優勢：例如，可以統一環和向量空間，得到結合代數，但無法統一環和向量空間。 另一處發展是偏代數，其中的運算可以是偏函式。某些偏函式也可透過所謂 本質代數論 的勞維爾理論推廣來處理。 泛代數的另一種推廣是模型論，有時被描述為 泛代數 邏輯。 相關條目 調和分析 測度 分析 微分幾何及拓撲 代數拓撲 代數幾何 抽象代數 圖代數 項代數 克隆 數學 泛代數幾何 腳註 參考文獻 Bergman George M 1998 An Invitation to General Algebra and Universal Constructions pub Henry Helson 15 the Crescent Berkeley CA 94708 398 pp Birkhoff Garrett 1946 Universal algebra Comptes Rendus du Premier Congrès Canadien de Mathématiques University of Toronto Press Toronto pp 310326 Burris Stanley N and HP Sankappanavar 1981 A Course in Universal Algebra SpringerVerlag Free online edition Cohn Paul Moritz 1981 Universal Algebra Dordrecht Netherlands DReidel Publishing First published in 1965 by Harper Row Freese Ralph and Ralph McKenzie 1987 Commutator Theory for Congruence Modular Varieties 1st ed London Mathematical Society Lecture Note Series 125 Cambridge Univ Press Free online second edition Grätzer George 1968 Universal Algebra D Van Nostrand Company Inc Higgins P J Groups with multiple operators Proc London Math Soc 3 6 1956 366416 Higgins PJ Algebras with a scheme of operators Mathematische Nachrichten 27 1963 115132 Hobby David and Ralph McKenzie 1988 The Structure of Finite Algebras American Mathematical Society Free online edition Jipsen Peter and Henry Rose 1992 Varieties of Lattices Lecture Notes in Mathematics 1533 Springer Verlag Free online edition Pigozzi Don General Theory of Algebras Free online edition Smith JDH 1976 Malcev Varieties SpringerVerlag Whitehead Alfred North 1898 A Treatise on Universal Algebra Cambridge Mainly of historical interest 外部連結 Algebra Universalis a journal dedicated to Universal Algebra F