在電腦科學中，浮點數運算（Floatingpoint arithmetic）是一種用浮點（，縮寫為 FP）方式表示實數的運算方式。浮點是一種對於實數的近似值數值表現法，由一個有效數字（即尾數）加上冪數來表示，通常是乘以某個基數的整數次指數得到。以這種表示法表示的數值，稱為浮點數。浮點數運算運算通常伴隨著因為無法精確表示而進行的近似或舍入。 計算機使用浮點數運算的主因，在於電腦使用二進位制的運算，例如：422，4100 2、2010 2，由 4 的二進位 100 2 變成 2 的二進位為 010 2，相當於退一位數。則 1020501 2，也就是 frac 12。依此類推二進位的 001 2 就是十進位 frac 122frac 14025。由於十進位制無法準確換算成二進位制的部分小數，如 01，因此只能使用近似值的方式表達。 這種表示方法類似於基數為 10 的科學記數法。在計算機上，通常使用 2 為基數的冪數來表示，一個浮點數 a 由兩個數 m 和 e 來表示：a m be。在任意一個這樣的系統中，可選擇一個基數 b（記數系統的基）和精度 p（即使用多少位來儲存），m（即）是形如 ddddddd 的 p 位數（每一位是一個介於 0 到 b1 之間的整數，包括 0 和 b1）。如果 m 的第一位是非 0 整數，m 稱作正規化的，有一些描述使用一個單獨的符號位（s 代表 或者 ）來表示正負，這樣 m 必須是正的，e 是指數。 這種表示法的設計，來自於對於值的表現範圍，與精密度之間的取捨：可以在某個固定長度的儲存空間內表示出某個實數的近似值，例如： 一個指數範圍為 4 的 4 位十進位制浮點數可以用來表示 43210，4321 或 00004321，但是沒有足夠的精度來表示 432123 和 432123（必須近似為 4321 和 43210）。當然，實際使用的位數通常遠大於 4。 此外，浮點數表示法通常還包括一些特別的數值：和（正負無窮大）以及 NaN（Not a Number）。無窮大用於數太大而無法表示的時候，NaN 則指示非法操作或者無法定義的結果。 其中，無窮大，可表示為 inf，在記憶體中的值是階碼為全 1，尾數全 0。而 NaN 在記憶體中的值則是階碼全 1，尾數不全 0。 計算機的浮點數 浮點指的是帶有小數的數值，浮點運算即是小數的四則運算，常用來測量電腦運算速度。大部份計算機採用二進位制（b2）的表示方法。位（bit）是衡量浮點數所需儲存空間的單位，通常為 32 位或 64 位，分別被叫作單精度和雙精度。有一些計算機提供更大的浮點數，例如英特爾公司的浮點運算單元 Intel8087 協處理器（以及其被整合進 x86 處理器中的後代產品）提供 80 位長的浮點數，用於儲存浮點運算的中間結果。還有一些系統提供 128 位的浮點數（通常用軟體實現）。 浮點數的標準 在電腦使用的浮點數被電氣電子工程師協會（IEEE）規範化為 IEEE 754。 舉例 π 的值可以表示為 π 3141592610（十進位制）。當在一個支援 17 位尾數的計算機中表示時，它會變為 011001001000011111 22。 浮點數運算 為了方便呈現，容易閱讀，以下的例子會用十進位制，有效位數 7 位數的浮點數，也就是 IEEE 754 decimal32 格式，其原理不會隨進位制或是有效位數而變。此處的 s 表示尾數（有效數字），而 e 表示指數。 加減法 處理浮點數加法的簡單作法是將二個浮點數調整到有相同的指數。在以下例子中，第二個數的小數點左移了三位，使二者的指數相同，之後即可進行一般的加法運算： 1234567 1234567 105 1017654 1017654 102 0001017654 105 因此 1234567 1017654 1234567 105 1017654 102 1234567 105 0001017654 105 1234567 0001017654 105 1235584654 105 若用 e 和 s 來表示 e5 s1234567 1234567 e2 s1017654 1017654 e5 s1234567 e5 s0001017654 移位後 e5 s1235584654 實際的和：1235584654 這是真實的結果，二個數字真正的和，之後會再四捨五入到七位有效位數，若有需要的話，會再進行正規化，其結果為 e5 s1235585 最後答案：1235585 加數的最低三位數（654）沒有出現在結果中，這稱為捨入誤差。在一些極端的例子中，二個浮點數的和可能和其中的被加數或是加數相等： e5 s1234567 e3 s9876543 e5 s1234567 e5 s000000009876543 移位後 e5 s123456709876543 真正的和 e5 s1234567 四捨五入及正規化後 在上述的例子中，為了要有正確的四捨五入結果，在二數指數差距很大時，要增加許多位數才有正確的結果。不過，在二位制的加減法中，利用一個 guard 位元、一個 rounding 位元以及一個額外的 sticky 位元，就可以有正確的結果 。 另一個失去有效數字的情形出現在二個幾乎相等的數字相減時。在以下的例子中，e 5 s 1234571 和 e 5 s 1234567 是有理數 1234571467 和 123456659 的近似值。 e5 s1234571 e5 s1234567 e5 s0000004 e1 s4000000 四捨五入及正規化後 浮點數的差可以精確的計算，如同所說明的，就算是因為而出現下溢位也是一樣。不過，原來二個數的差是 e 1 s 4877000，和浮點數計算結果 e 1 s 4000000 之間差了超過 20。在極端的例子中，甚至所有的有效數字都會不見。上述的災難性抵消說明瞭，假設計算結果的每一位數都有意義，這個想法很危險。這類誤差的處理及修正是數值分析中的主題之一。 乘除法 若要進行乘法，將有效數字相乘，指數相加，再進行四捨五入及正規化即可。 e3 s4734612 e5 s5417242 e8 s25648538980104 真實乘積 e8 s2564854 四捨五入後 e9 s2564854 正規化 而除法會將被除數和除數的有效數字相除，二者的指數相減，再進行四捨五入及正規化。 乘除法不會有抵消或是某一數字被吸收的問題，不過仍會出現一些小誤差，若連續運算，誤差會變大。實務上，要進行上述運算的數位邏輯可能會相當的複雜（像是布斯乘法演算法以及除法器）。 準確性 由於浮點數不能表達所有實數，浮點運算與相應的數學運算有所差異，有時此差異極為顯著。 比如，二進位制浮點數不能表達 01 和 001，01 的平方既不是準確的 001，也不是最接近 001 的可表達的數。單精度（24 位元）浮點數表示 01 的結果為 e4s110011001100110011001101_2，即 0100000001490116119384765625 此數的平方是 0010000000298023226097399174250313080847263336181640625 但最接近 001 的可表達的數是 0009999999776482582092285156250 浮點數也不能表達圓周率 pi，所以 tanfrac pi2 不等於正無窮，也不會溢位。下面的 C 語言程式碼 double pi 31415926535897932384626433832795 double z tan pi20 的計算結果為 163312393531953700，如果用單精度浮點數，則結果為228773320。同樣的，sin pineq 0。 由於浮點數計算過程中丟失了精度，浮點運算的性質與數學運算有所不同。浮點加法和乘法不符合結合律和分配律。 事故 奔騰早期的 60100MHz P5 版本在浮點運算單元有一個問題，在極少數情況下，會導致除法運算的精確度降低。這個缺陷於 1994 年被發現，變成如今廣為人知的奔騰浮點除錯誤，同時這一事件導致英特爾陷入巨大的窘態，建立召回計畫來回收有問題的處理器。 相關條目 IEEE 二進位浮點數算術標準（IEEE 754） 單精度浮點數 雙精度浮點數 MIPS TOP500 災難性抵消 參考資料 Category 計算機算術 Category 資料型別