集合簡稱集，是一個基本的數學模型，指若干不同物件形成的總體。集合裡的物件稱作元素或成員，它們可以是任何型別的數學物件：數字、符號、變數、空間中的點、線、面，甚至是其他集合。若 x 是集合 A 的元素，記作 xin A。不包含任何元素的集合稱為空集；只包含一個元素的集合稱為單元素集合。集合可以包含有限或無限個元素。如果兩個集合所包含的元素完全相同，我們稱這兩個集合相等。 集合在現代數學無處不在，其基本理論是於十九世紀末創立的。自 20 世紀上半葉以來，集合理論，更確切地說是策梅洛 弗蘭克爾集合論，一直是為所有數學分支奠定嚴格實際基礎的標準。 導言 定義 簡單來說，所謂的一個集合，就是將數個物件歸類而分成為一個或數個形態各異的大小整體。一般來講，集合是具有某種特性的事物的整體，或是一些確認物件的彙集。構成集合的事物或物件稱作 元素 或 成員。集合的元素可以是任何事物，可以是人，可以是物，也可以是字母或數字等。 在數學交流當中為了方便，集合會有一些別名。比如： 族、系：通常指它的元素也是一些集合。 符號 元素通常用 a b c d x 等小寫字母來表示；而集合通常用 mathbf A B C D X 等大寫字母來表示。 當元素 a 屬於集合 mathbf A 時，記作 ainmathbf A。 當元素 a 不屬於集合 mathbf A 時，記作 anot inmathbf A。 如果 mathbf A B 兩個集合所包含的元素完全一樣，則二者相等，寫作 mathbf A B。 特性 無序性：一個集合中，每個元素的地位都是相同的，元素之間是無序的。 集合上可以定義序關係，定義了序關係後，元素之間就可以按照序關係排序。但就集合本身的特性而言，元素之間沒有必然的序。（參見序理論） 互異性：一個集合中，任何兩個元素都認為是不相同的，即每個元素只能出現一次。 有時需要對同一元素出現多次的情形進行刻畫，可以使用多重集，其中的元素允許出現多次。 確定性：給定一個集合，任給一個元素，該元素或者屬於或者不屬於該集合，二者必居其一，不允許有模稜兩可的情況出現。 表示 集合可以用文字或數學符號描述，稱為描述法，比如： A 大於零的前三個自然數 B 光的三原色和白色 集合的另一種表示方法是在大括號中列出其元素，稱為列舉法，比如： Cleft 123 right D紅色，藍色，綠色，白色 儘管兩個集合有不同的表示，它們仍可能是相同的。比如：上述集合中，AC 而 BD，因為它們正好有相同的元素。 元素列出的順序不同，或者元素列表中有重複，都和集合相同與否沒有關係。比如：這三個集合 left 24 right ，left 42 right 和 left 2242 right 是相同的，因為它們有相同的元素。 集合在不嚴格的意義下也可以透過草圖來表示，更多資訊，請見文氏圖。 集合間的關係 子集與包含關係 定義 集合 A、B，若 forall ain A，有 ain Btherefore Asubseteq B。則稱 A 是 B 的子集，亦稱 A 包含於 B，或 B 包含 A，記作 Asubseteq B 或 Bsupseteq A，否則稱 A 不是 B 的子集，記作 Ansubseteq B 或 Bnsupseteq A。 若 Asubseteq B，且 Aneq B，則稱 A 是 B 的真子集，亦稱 A 真包含於 B，或 B 真包含 A，記作 Asubsetneqq B 或 Bsupsetneqq A（有時也記作 Asubset B 或 Bsupset A）。 基本性質 包含關係 subseteq 是集合間的一個非嚴格偏序關係，因為它有如下性質： 自反性：forall 集合 S，Ssubseteq S；（任何集合都是其本身的子集） 反對稱性：Asubseteq B 且 Bsubseteq A Leftrightarrow AB；（這是證明兩集合相等的常用手段之一） 傳遞性：Asubseteq B 且 Bsubseteq CRightarrow Asubseteq C； 真包含關係 subsetneqq 是集合間的一個嚴格偏序關係，因為它有如下性質： 反自反性：forall 集合 S，Ssubsetneqq S 都不成立； 非對稱性：Asubsetneqq BRightarrow Bsubsetneqq A 不成立；反之亦然； 傳遞性：Asubsetneqq B 且 Bsubsetneqq CRightarrow Asubsetneqq C； 顯然，包含關係，真包含關係定義了集合間的偏序關係。而 varnothing 是這個偏序關係的最小元素，即：forall 集合 S，varnothing subseteq S；且若 Sneq varnothing，則 varnothingsubsetneqq S，（空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集） 舉例 所有男人的集合是所有人的集合的真子集。 所有自然數的集合是所有整數的集合的真子集。 left 13 right subsetneqqleft 1234 right left 1234 right subseteqleft 1234 right 運算 併 兩個集合可以相 加。A 和 B 的聯集是將 A 和 B 的元素放到一起構成的新集合。 定義 給定集合 A，B，定義運算 cup 如下：Acup Beein A 或 ein B。Acup B 稱為 A 和 B 的聯集。 示例 12cup 紅色，白色 12 紅色，白色 12 綠色 cup 紅色，白色，綠色 12 紅色，白色，綠色 left 12 right cup left 12 right left 12 right 基本性質 作為集合間的二元運算，cup 運算具有以下性質。 交換律：Acup BBcup A； 結合律：left Acup B rightcup CAcupleft Bcup C right； 冪等律：Acup AA； 么元：forall 集合 A，AcupvarnothingA；（varnothing 是 cup 運算的么元）。 交 一個新的集合也可以透過兩個集合均有的元素來構造。A 和 B 的交集，寫作 Acap B，是既屬於 A 的、又屬於 B 的所有元素組成的集合。 若 Acap Bvarnothing，則 A 和 B 稱作不相交。 定義 給定集合 A、B，定義運算 cap 如下：Acap Beein A 且 ein B。Acap B 稱為 A 和 B 的交集。 基本性質 作為集合間的二元運算，cap 運算具有以下性質。 交換律：Acap BBcap A； 結合律：Acap Bcap CAcap Bcap C； 冪等律：Acap AA； 空集合：forall 集合 A，Acapvarnothingvarnothing；（varnothing 是 cap 運算的空集合）。 其它性質還有： Asubseteq BRightarrow Acap BA 示例 12cap紅色，白色 varnothing 12 綠色 cap紅色，白色，綠色 綠色 12cap1212 補集 兩個集合也可以相 減。A 在 B 中的相對補集，國際上通常寫作 Bsetminus A，中文教材中有時也會寫作 BA。表示屬於 B 的、但不屬於 A 的所有元素組成的集合。 在特定情況下，所討論的所有集合是一個給定的全集 U 的子集。這樣， UA 稱作 A 的絕對補集，或簡稱補集（餘集），寫作 A 或 complement_UA。 補集可以看作兩個集合相減，有時也稱作差集。 定義 給定集合 A，B，定義運算 如下：ABeein A 且 enotin B。AB 稱為 B 對於 A 的差集，相對補集或相對餘集。 在上下文確定了全集 U 時，對於 U 的某個子集 A，一般稱 UA 為 A（對於 U）的補集或餘集，通常記為 A 或 bar A，也有記為 Atext c A complement_U A，以及 complement A 的。 基本性質 作為集合間的二元運算， 運算有如下基本性質： AAvarnothing； 右么元：forall 集合 A，AvarnothingA；（varnothing 是 運算的右么元）。 左：forall 集合 A，varnothingAvarnothing；（varnothing 是 運算的左零元）。 示例 12紅色，白色 12 12 綠色 紅色，白色，綠色 12 1212varnothing 若 U 是整數集，則奇數的補集是偶數 對稱差 定義 給定集合 A，B，定義對稱差運算 vartriangle 如下：Avartriangle BABcup BA。 基本性質 作為集合間的二元運算，vartriangle 運算具有如下基本性質： 交換律：Avartriangle BBvartriangle A； 結合律：Avartriangle Bvartriangle CAvartriangle Bvartriangle C； 么元：forall 集合 A，Avartrianglevarnothing A；（varnothing 是 vartriangle 運算的么元）。 逆元：Avartriangle Avarnothing； 運算性質 集合的運算除了以上情況之外，集合間還具有以下運算性質： 分配律 Acup Bcap CAcup Bcap Acup C Acap Bcup CAcap Bcup Acap C 對偶律 overline Acup Boverline Acapoverline B overline Acap Boverline Acupoverline B 集合的元素個數 上述每一個集合都有確定的元素個數；比如：集合 A 有三個元素、而集合 B 有四個。一個集合中元素的數目稱為該集合的基數。數學寫法有很多種，不同作者及不同書本用不同的寫法 operatorname CardA A A bar A bar bar A。 集合可以沒有元素。這樣的集合叫做空集，用 或符號 varnothing 表示。比如：集合 A 是 2004 年所有住在月球上的人，它沒有元素，則 Avarnothing。在數學上，空集非常重要。更多資訊請參閱空集。 如果集合只含有限個元素，那麼這個集合可以稱為有限集合。 集合也可以有無窮多個元素，這樣的集合稱為無限集合。比如：自然數集便是無限集合。關於無窮大和集合的大小的其他資訊請見集合的勢。 公理化集合論 若把集合看作 符合任意特定性質的一堆東西，會得出所謂羅素悖論。為解決羅素悖論，數學家提出公理化集合論。在公理集合論中，集合是一個不加定義的概念。 類 在更深層的公理化數學中，集合僅僅是一種特殊的類，是 良性類，是能夠成為其它類的元素的類。 類區分為兩種：一種是可以順利進行類運算的 良性類，這種 良性類 稱為集合；另一種是要限制運算的 本性類，對於本性類，類運算並不是都能進行的。 定義 類 A 如果滿足條件 exists B Ain B，則稱類 A 為一個集合 簡稱為集，記為 operatorname SetA。否則稱為本性類。 這說明，一個集合可以作為其它類的元素，但一個本性類卻不能成為其它類的元素。因此可以理解為 本性類是最高層次的類。 參見 公理化數學 類的理論 集合代數 參考文獻 Dauben Joseph W Georg Cantor His Mathematics and Philosophy of the Infinite Boston Harvard University Press 1979 ISBN 9780691024479 Halmos Paul R Naive Set Theory Princeton NJ Van Nostrand 1960 ISBN 0387900926 Stoll Robert R Set Theory and Logic Mineola NY 1979 ISBN 0486638294 J Category 數學物件 Category 邏輯概念