梅森數是形如 2n－1 的數（n 是正整數），記為 M_n；如果梅森數是素數就稱梅森素數。 梅森預測表：n263 P M 是梅森素數 M 是梅森合數青色：顯示正確粉紅色：顯示錯誤 P M 是梅森素數 M 是梅森合數青色：顯示正確粉紅色：顯示錯誤 P M 是梅森素數 M 是梅森合數青色：顯示正確粉紅色：顯示錯誤 P M 是梅森素數 M 是梅森合數青色：顯示正確粉紅色：顯示錯誤 P M 是梅森素數 M 是梅森合數青色：顯示正確粉紅色：顯示錯誤 P M 是梅森素數 M 是梅森合數青色：顯示正確粉紅色：顯示錯誤 P M 是梅森素數 M 是梅森合數青色：顯示正確粉紅色：顯示錯誤 P M 是梅森素數 M 是梅森合數青色：顯示正確粉紅色：顯示錯誤 P M 是梅森素數 M 是梅森合數青色：顯示正確粉紅色：顯示錯誤 n 2 3 5 7 11 13 17 19 M P P P P P P P n 23 29 31 37 41 43 47 53 M P n 59 61 67 71 73 79 83 89 M P P n 97 101 103 107 109 113 127 131 M P P n 137 139 149 151 157 163 167 173 M n 179 181 191 193 197 199 211 223 M n 227 229 233 239 241 251 257 263 M 梅森數是根據 17 世紀法國數學家馬蘭梅森的名字命名，他列出了 n257 的梅森素數，不過他錯誤包括了不是梅森素數的 M67 和 M257，而遺漏了 M61、M89 和 M107。 n 為合數時，M_n 一定為合數（當 a 整除 b 時，M_a 一定整除 M_b，反之亦然）。但 n 為素數時，M_n 不一定皆為素數，如 M_22213 和 M_32317 是素數，但 M_112111204723times 89 不是素數。 截至 2024 年 10 月已知 52 個梅森素數，最大的是 2136279841－1。從 1997 年至今，所有新的梅森素數都由網際網路梅森素數大搜索（GIMPS）分散式計算專案發現。 相關命題和定理 梅森數和梅森素數的性質 M_n sum_i0n n choose i 1 sum_i0n1 2i。 如果 p equiv 3 pmod 4 為素數。則 2p1 是素數的充分必要條件是 2p1 mid M_p ，因此對於這些素數 p（除了 3），M_p 不可能會是質數，前幾個這樣的素數 p 為 11、23、83、131、179、191、239、251、359、419、431、443、491、659、683、719、743、911、1019、1031、1103、1223、1439、1451、1499、 拉馬努金－南哥爾方程（RamanujanNagell Equation）：M_p6x2。當 p 為 3、5 和 7 時，M_p 為梅森素數，方程有整數解；p 為合數 4 和 15 時，方程亦有整數解；p 為其它自然數時，方程沒有整數解。 如果 p 是奇素數，任何能整除 2p1 的素數 q 都一定是 2p 的倍數加 1，如，其中 且 。 如果 p 是奇素數，任何能整除 2p1 的素數 q 都一定與 pm 1 pmod 8 同餘。 梅森數和梅森素數的關係 下面的命題關注什麼梅森數是梅森素數。 由 2ab12a1timessum_i0b1 2ia 知：「q 是素數」是「Mq 是素數」的必要條件，但不是充分條件。M11＝211 1＝2389 是最小的反例。 對 Mq（q 是素數）有： 若 a 是 Mq 的因數，則 a 有如下性質： a 1 mod 2q a 1 mod 8 形如 6k＋1 的數有尤拉理論表明：當且僅當有數對（x，y）使 Mq＝（2x）2＋3（3y）2，Mq 是素數，其中 q5。 最近，Bas jansen 研究了等式 Mq＝x2＋dy2（0d48），得出了 d＝3 時的新證明方法。 Reix 發現 q＞3 時，Mq 可寫成 Mq＝（8x）2－（3qy）2＝（1＋Sq）2－（Dq）2；顯然，若有數對（x，y），Mq 就是素數。 檢驗梅森素數 盧卡斯－萊默檢驗法是現在已知的檢測梅森數素數的最好的方法。 該方法由愛德華盧卡斯於 1878 年發現，並由德里克亨利萊默於 1930 年代改進，因此得名。 該方法基於的計算，其原理是： Mn 為素數當且僅當 Mn 整除 Sn2（S0＝4，Sk＝S2k1 2，k＞0），此數列為 4、14、194、37634、1416317954、2005956546822746114、4023861667741036022825635656102100994、 與完全數的關係 梅森素數與偶完全數有一一對應的關係，稱為歐幾裡得－尤拉定理。 前 4 世紀，歐幾里得證明如果 M 是梅森素數，則 frac M M12 是完全數。 18 世紀，尤拉證明所有偶完全數都有這種形式。 相關問題和猜想 梅森素數是否有無限個 梅森素數如何分佈 尋找梅森素數 頭四個梅森素數 M2、M3、M5、M7 在古代已知。 第五個梅森素數 M13 在 1461 年之前發現； M17 和 M19 兩數隨後在 1588 年由 Cataldi 發現。 17 世紀法國數學家馬蘭梅森列出了他認為的冪小於等於 257 的梅森素數，其中錯誤包括了不是素數的 M67 和 M257，遺漏了 M61、M89 和 M107。這也是 梅森素數 一名的由來。 一個多世紀後的 1750 年，才由尤拉證實 M31 是第 8 個梅森素數。 下個發現的梅森素數是由盧卡斯在 1876 年證明的 M127； 1883 年，Pervushin 證實 M61。 M89 和 M107 在 20 世紀早期由 Powers 分別在 1911 年和 1914 年發現。 發明電子計算機改革了梅森素數的尋找過程。第一項成功例子是證明 M521，它由萊默指導，用拉斐爾米切爾羅賓遜教授編寫的軟體，利用坐落在洛杉磯加利福尼亞大學的資料分析協會的，屬於美國國家標準局的西部自動計算機（SWAC）於 1952 年 1 月 30 日晚上 1000 獲得，並且在隨後不到兩小時發現下個梅森素數 M607。在隨後的幾個月裡，使用同樣的程式發現了另外三個梅森素數 M1279、M2203 和 M2281。 素數 P 值增大，搜尋梅森素數 MP 的過程都艱辛無比，但各國科學家及業餘研究者仍樂此不疲，激烈競爭；1979 年 2 月 23 日，當美國克雷研究公司的計算機專家史洛溫斯基和納爾遜宣佈找到第 26 個梅森素數 M23209 時才知諾爾在兩星期前已得到這結果。 為此，史洛溫斯基潛心發憤，花了一個半月用 CRAY－1 型計算機找到新梅森素數 M44497，這紀錄成了當時不少美國報紙的頭版新聞。 他之後乘勝前進，使用改進了的 CRAY－XMP 型計算機在 1983 年至 1985 年間找到 3 個梅森素數 M86243、M132049 和 M216091，但未能確定 M86243 和 M216091 之間是否有異於 M132049 的梅森素數。而到了 1988 年，科爾魁特和韋爾什使用 NEC－FX2 型超高速並行計算機果然捉到「漏網之魚」M110503。 沉寂 4 年後，1992 年 3 月 25 日，英國原子能技術權威機構哈威爾實驗室有研究小組宣佈找到梅森素數 M756839。 1994 年 1 月 14 日，史洛溫斯基和蓋奇為其公司再次奪回發現「已知最大質數」的桂冠 M859433；而下個梅森素數 M1257787 仍是他們的成果，用 CRAY－794 超級計算機在 1996 年找到。 史洛溫斯基發現 7 個梅森素數，獲美譽「素數大王」。 到 2018 年 12 月已知 51 個梅森素數；現在已知最大的素數是梅森素數 M82589933，像前幾個一樣都是由因特網梅森素數大搜索（GIMPS）分散式計算專案發現。 2010 年 7 月 11 日 GIMPS 確認 M2099 萬 6011 是第 40 個梅森素數。 2011 年 12 月 1 日 GIMPS 確認 M2403 萬 6583 是第 41 個梅森素數。 2012 年 12 月 20 日 GIMPS 確認 M2596 萬 4951 是第 42 個梅森素數。 2013 年 1 月 25 日 GIMPS 發現 M5788 萬 5161 2014 年 2 月 23 日 GIMPS 確認 M3040 萬 2457 是第 43 個梅森素數。 2014 年 11 月 8 日 GIMPS 確認 M3258 萬 2657 是第 44 個梅森素數。 2016 年 1 月 7 日 GIMPS 發現 M7420 萬 7281 2018 年 1 月 3 日 GIMPS 發現的 M7723 萬 2917 有 23249425 位數。 2018 年 12 月 7 日 GIMPS 的 M8258 萬 9933 有 24862048 位數。 2024 年 10 月 21 日 GIMPS 的 M1 億 3627 萬 9841 有 41024320 位數。 梅森素數列表 下表列出所有已知的梅森素數： 序 n Mn Mn 的位數 發現日期 發現者 演算法 1 2 3 1 公元前 5 世紀 古希臘數學家 2 3 7 1 公元前 5 世紀 古希臘數學家 3 5 31 2 公元前 3 世紀 古希臘數學家 4 7 127 3 公元前 3 世紀 古希臘數學家 5 13 8191 4 1456 年 無名氏 試除法 6 17 131071 6 1588 年 彼得羅卡達迪 試除法 7 19 524287 6 1588 年 彼得羅卡達迪 試除法 8 31 2147483647 10 1772 年 萊昂哈德尤拉 最佳化的試除法 9 61 2305843009213693951 19 1883 年 伊萬波佛辛 盧卡斯數列 10 89 618970019642690137449562111 27 1911 年 拉爾夫歐內斯特鮑爾斯 盧卡斯數列 11 107 162259276829213363391578010288127 33 1914 年 拉爾夫歐內斯特鮑爾斯 盧卡斯數列 12 127 170141183460469231731687303715884105727 39 1876 年 愛德華盧卡斯 盧卡斯數列 13 521 686479766013291115057151 157 1952 年 1 月 30 日 拉斐爾米切爾羅賓遜 盧卡斯－萊默檢驗法 14 607 531137992816219031728127 183 1952 年 1 月 30 日 拉斐爾米切爾羅賓遜 盧卡斯－萊默檢驗法 15 1279 104079321946703168729087 386 1952 年 6 月 25 日 拉斐爾米切爾羅賓遜 盧卡斯－萊默檢驗法 16 2203 147597991521686697771007 664 1952 年 10 月 7 日 拉斐爾米切爾羅賓遜 盧卡斯－萊默檢驗法 17 2281 446087557183418132836351 687 1952 年 10 月 9 日 拉斐爾米切爾羅賓遜 盧卡斯－萊默檢驗法 18 3217 259117086013362909315071 969 1957 年 9 月 8 日 Hans Riesel 盧卡斯－萊默檢驗法 19 4253 190797007524815350484991 1281 1961 年 11 月 3 日 亞歷山大赫維茲 盧卡斯－萊默檢驗法 20 4423 285542542228902608580607 1332 1961 年 11 月 3 日 亞歷山大赫維茲 盧卡斯－萊默檢驗法 21 9689 478220278805826225754111 2917 1963 年 5 月 11 日 Donald B Gillies 盧卡斯－萊默檢驗法 22 9941 346088282490883789463551 2993 1963 年 5 月 16 日 Donald B Gillies 盧卡斯－萊默檢驗法 23 1 萬 1213 281411201369087696392191 3376 1963 年 6 月 2 日 Donald B Gillies 盧卡斯－萊默檢驗法 24 1 萬 9937 431542479738030968041471 6002 1971 年 3 月 4 日 布萊恩特塔克曼 盧卡斯－萊默檢驗法 25 2 萬 1701 448679166119353511882751 6533 1978 年 10 月 30 日 Landon Curt Noll Laura Nickel 盧卡斯－萊默檢驗法 26 2 萬 3209 402874115778523779264511 6987 1979 年 2 月 9 日 Landon Curt Noll 盧卡斯－萊默檢驗法 27 4 萬 4497 854509824303961011228671 1 萬 3395 1979 年 4 月 8 日 Harry Nelson David Slowinski 盧卡斯－萊默檢驗法 28 8 萬 6243 536927995502209433438207 2 萬 5962 1982 年 9 月 25 日 David Slowinski 盧卡斯－萊默檢驗法 29 11 萬 0503 521928313341083465515007 3 萬 3265 1988 年 1 月 28 日 Walt Colquitt Luke Welsh 盧卡斯－萊默檢驗法 30 13 萬 2049 512740276269455730061311 3 萬 9751 1983 年 9 月 20 日 David Slowinski 盧卡斯－萊默檢驗法 31 21 萬 6091 746093103064103815528447 6 萬 5050 1985 年 9 月 6 日 David Slowinski 盧卡斯－萊默檢驗法 32 75 萬 6839 174135906820328544677887 22 萬 7832 1992 年 2 月 19 日 David Slowinski Paul Gage 盧卡斯－萊默檢驗法 33 85 萬 9433 129498125604243500142591 25 萬 8716 1994 年 1 月 10 日 David Slowinski Paul Gage 盧卡斯－萊默檢驗法 34 125 萬 7787 412245773621976089366527 37 萬 8632 1996 年 9 月 3 日 David Slowinski Paul Gage 盧卡斯－萊默檢驗法 35 139 萬 8269 814717564412868451315711 42 萬 0921 1996 年 11 月 13 日 GIMPS／Joel Armengaud 盧卡斯－萊默檢驗法 36 297 萬 6221 623340076248743729201151 89 萬 5932 1997 年 8 月 24 日 GIMPS／Gordon Spence 盧卡斯－萊默檢驗法 37 302 萬 1377 127411683030973024694271 90 萬 9526 1998 年 1 月 27 日 GIMPS／Roland Clarkson 盧卡斯－萊默檢驗法 38 697 萬 2593 437075744127142924193791 209 萬 8960 1999 年 6 月 1 日 GIMPS／Nayan Hajratwala 盧卡斯－萊默檢驗法 39 1346 萬 6917 924947738006470256259071 405 萬 3946 2001 年 11 月 14 日 GIMPS／Michael Cameron 盧卡斯－萊默檢驗法 40 2099 萬 6011 125976895450762855682047 632 萬 0430 2003 年 11 月 17 日 GIMPS／Michael Shafer 盧卡斯－萊默檢驗法 41 2403 萬 6583 299410429404882733969407 723 萬 5733 2004 年 5 月 15 日 GIMPS／Josh Findley 盧卡斯－萊默檢驗法 42 2596 萬 4951 122164630061280577077247 781 萬 6230 2005 年 2 月 18 日 GIMPS／Martin Nowak 盧卡斯－萊默檢驗法 43 3040 萬 2457 315416475618411652943871 915 萬 2052 2005 年 12 月 15 日 GIMPS／Curtis Cooper 及 Steven Boone 盧卡斯－萊默檢驗法 44 3258 萬 2657 124575026015154053967871 980 萬 8358 2006 年 9 月 4 日 GIMPS／Curtis Cooper 及 Steven Boone 盧卡斯－萊默檢驗法 45 3715 萬 6667 202254406890022308220927 1118 萬 5272 2008 年 9 月 6 日 GIMPS／HansMichael Elvenich 盧卡斯－萊默檢驗法 46 4264 萬 3801 169873516452765562314751 1283 萬 7064 2009 年 4 月 12 日 GIMPS／Odd M Strindmo 盧卡斯－萊默檢驗法 47 4311 萬 2609 316470269330166697152511 1297 萬 8189 2008 年 8 月 23 日 GIMPS／Edson Smith 盧卡斯－萊默檢驗法 48 5788 萬 5161 581887266232071724285951 1742 萬 5170 2013 年 1 月 25 日 GIMPS／Curtis Cooper 盧卡斯－萊默檢驗法 49 7420 萬 7281 300376418084391086436351 2233 萬 8618 2015 年 9 月 17 日 GIMPS／Curtis Cooper 盧卡斯－萊默檢驗法 50 7723 萬 2917 467333183359069762179071 2324 萬 9425 2017 年 12 月 26 日 GIMPS／Jon Pace 盧卡斯－萊默檢驗法 51 8258 萬 9933 148894445742325217902591 2486 萬 2048 2018 年 12 月 7 日 GIMPS／Patrick Laroche 盧卡斯－萊默檢驗法 52 1 億 3627 萬 9841 881694327503219486871551 4102 萬 4320 2024 年 10 月 21 日 GIMPS／Luke Durant 盧卡斯－萊默檢驗法 注：現在還不知道第 48 個梅森素數（M57885161）和第 51 個（M82589933）間是否還有未知梅森素數，其序號用 標出，如有會通知遞補。 外部連結 Great Internet Mersenne Prime Search GIMPS 計劃 Mersenne Primes History Theorems and Lists 梅森素數：歷史，定理，以及梅森素數列表 參考 Category 素數 Category 數學中未解決的問題 Category 梅森素數 Category 完全數