直言三段論是所有前提都是直言命題的演繹推理。前兩個命題被分別稱為大前提和小前提。如果這個三段論是有效的，這兩個前提邏輯上蘊涵了最後的命題，它叫做結論。結論的真實性建立在前提的真實性和它們之間的聯絡之上：中項在前提中必須周延（distribute）至少一次，形成在結論中的主詞和謂詞之間的連線。例如： 所有生物都會死。 所有人都是生物。 所以，所有人都會死。 這裡的中項 生物 在大前提中周延，大項 會死者 在大前提和結論中都不周延，小項 人 在小前提和結論中周延；這個三段論符合周延規則：中項至少在一個前提中周延。一些直言三段論不是有效的，例如： 所有鳥都有翅膀。 所有人都不是鳥。 所以，沒有人有翅膀。 即使此例子的兩個前提和結論都是正確的，中項 鳥 在大前提和小前提中周延，大項 有翅膀 在結論中周延，小項 人 在小前提和結論中周延；此三段論卻是一種大項不當謬誤，將結論 沒有人有翅膀 理解為同樣表達的 所有人沒有翅膀 如此一來方便了解其中的謬誤；此三段論不有效的原因是它不符合另一個周延規則：在結論中周延的詞項，在前提中也必須周延。在該三段論中大項 有翅膀 在結論被否定了，也就是說表達了人沒有 有翅膀，大項在此周延，但在大前提中未周延，因為在大前提中 有翅膀 並沒有涉及該項的所有個體。 語氣和格式 三段論有如下典型形式： 大前提：所有 M 是 P。 小前提：所有 S 是 M。 結論：所有 S 是 P。 其中 S 代表結論的主詞（Subject），P 代表結論的謂詞（Predicate），M 代表中詞（Middle）。 三段論的命題可分為全稱（universal）、特稱（particular），及肯定、否定，組合起來有以下四類語氣（Mood）： 型別 代號 形式 範例 全稱肯定型 A（SaP） 所有 S 是 P 所有人是會死的 全稱否定型 E（SeP） 沒有 S 是 P 沒有人是完美的 特稱肯定型 I（SiP） 有些 S 是 P 有些人是健康的 特稱否定型 O（SoP） 有些 S 不是 P 有些人不是健康的 三段論中，結論中的謂詞稱作大詞（P，或稱大項），包含大詞在內的前提稱作大前提；結論中的主詞稱作小詞（S，或稱小項），包含小詞在內的前提稱作小前提；沒有出現在結論，卻在兩個前提重複出現的稱作中詞（M，或稱中項）。大詞、中詞、小詞依不同排列方式，可分成四種格（Figure）： 第 1 格 第 2 格 第 3 格 第 4 格 大前提 MP PM MP PM 小前提 SM SM MS MS 結論 SP SP SP SP 將以上整合在一起，三段論的大前提、小前提、結論分別可為 A、E、I、O 型命題之一，又可分為 4 格，故總共有 256 種三段論（若考慮大前提與小前提對調，便有 512 種，但邏輯上是相同的）。 三段論依語氣與格的分類縮寫，例如 AAA1（也可以寫成 1AAA）代表「大前提為 A 型，小前提為 A 型，結論為 A 型，第 1 格」的三段論。 此外，三段論的四種格之間可相互轉換： 第 1 格：對換大前提的主詞和謂詞的位置就變成第 2 格，對換小前提的主詞和謂詞的位置就變成第 3 格。 第 2 格：對換大前提的主詞和謂詞的位置就變成第 1 格，對換小前提的主詞和謂詞的位置就變成第 4 格。 第 3 格：對換大前提的主詞和謂詞的位置就變成第 4 格，對換小前提的主詞和謂詞的位置就變成第 1 格。 第 4 格：對換大前提的主詞和謂詞的位置就變成第 3 格，對換小前提的主詞和謂詞的位置就變成第 2 格。 E 和 I 命題對換主詞和謂詞的位置而保持同原命題等價。A 命題和 O 命題不能對換主詞和謂詞的位置，但是可以採用直接推理中的 對置法。A 命題還可以在確實主詞有元素存在的前提下，轉換成弱於原命題的 I 命題後再對換主詞和謂詞的位置。 有效性 考慮各種直言三段論的有效性將是非常冗長耗時的。前人想出了三個可供選擇的方法來找出有效性。方法之一是記住下一章節中列出的所有論式。 還可以透過構造文氏圖的方法得到有效形式。因為有三種項，文氏圖需要三個交疊的圓圈來表示每一個類。首先，為小項構造一個圓圈。臨近小項的圓圈的是同小項有著交疊的大項的圓圈。在這兩個圓圈之上是中項的圓圈。它應當在三個位置有著交疊：大項，小項和大項與小項交疊的地方。一個三段論是有效的，其必然條件是透過圖解兩個前提得出結論的真實性。永不圖解結論，因為結論必須從前提推匯出來。總是首先圖解全稱命題。這是透過對一個類在另一個類中沒有成員的區域加黑影來實現的。所以在前面例子的 AAA1 形式中大前提 所有 M 是 P 中，對 M 不與 P 交疊的所有區域加黑影，包括 M 與 S 交疊的部分。接著對小前提重複同樣的過程。從這兩個前提中可推匯出在類 S 中所有成員也是類 P 的成員。但是，不能推出類 P 的所有成員都是類 S 的成員。 作為文氏圖方法的另一個例子，考慮形式 EIO1 的三段論。它的大前提是 沒有 M 是 P，它的小前提是 有些 S 是 M，它的結論是 有些 S 不是 P。這個三段論的大項是 P，它的小項是 S，它的中項是 M。大前提在圖中透過對交集 M P 加陰影表示。小前提不能透過對任何區域加黑影表示。轉而，我們可以在交集 S M 的非黑影部分使用 x 符號來表示 有些 S 是 M。（注意：黑影區域和存在量化區域是互斥的）。接著因為存在符號位於 S 內但在 P 外，所以結論 存在一些 S 不是 P 是正確的。 本文最後一節列出了所有 24 個有效論式的文氏圖。 最後一種方法是記住下面非形式表述的幾條規則以避免謬論。儘管文氏圖對於詮釋目的是好工具，有人更喜歡用這些規則來檢驗有效性。 基本規則： 結論中周延的詞必須在前提中周延（謬誤：大詞不當、小詞不當）。 中詞必須周延至少一次（謬誤：中詞不周延）。 結論中否定命題的數目必須和前提中否定命題的數目相等： 二前提皆肯定，則結論必須為肯定（謬誤：肯定前提推得否定結論）。 一前提是否定，則結論必須為否定（謬誤：否定前提推得肯定結論）。 二前提皆否定，則三段論必無效（謬誤：排它前提謬誤）。 結論中特稱命題的數目必須和前提中特稱命題的數目相等： 二前提皆全稱，則結論必須為全稱。 一前提是特稱，則結論必須為特稱。 二前提皆特稱，則三段論必無效。 若一個三段論式滿足以上的所有規則，就必定有效。 其他檢查： 如果語境上不能假設所有提及的集合非空，部分推論將會無效（謬誤：存在謬誤）。 必須包含嚴格的三個詞，不多不少。且須注意所有關鍵詞和結構的語義是否一致（謬誤：四詞謬誤、歧義謬誤）。 有效三段論式 唯有第一格的所有有效三段論式的結論涵蓋了 A、E、I、O 全部四種命題，第二格的所有有效三段論式皆為否定結論（E 或 O），第三格的所有有效三段論式皆為特稱結論（I 或 O），第四格的所有有效三段論式皆為否定結論或特稱結論（E、I 或 O）。下面表格中加下劃線者必須假設所有提及的集合非空才有效。 第 1 格 第 2 格 第 3 格 第 4 格 AAA AEE AAI AAI EAE EAE EAO EAO AII AOO AII AEE EIO EIO EIO EIO AAI AEO IAI IAI EAO EAO OAO AEO 在全部 256 種三段論式中，有 24 種有效，但是如果不能確定所有提及的集合為非空，則只有 15 種有效。 常犯的無效三段論式 1AEE 1AEO 1EEA 1EEE 1EEI 1AIA 1IAA 1IAI 1III 1AOO 1OAO 1IEO 2AAA 2AAI 2AII 2IAI 2OAO 2IEO 2EOI 2OEI 2IOO 2OIO 3AAA 3AEE 3EAE 3AEO 3AOO 3AIA 3IAA 3III 3EOI 3OEI 3IEO 4AAA 4EAE 4AII 4IEO 三段論式列表 總共有 19 個有效的論式，算結論弱化（全稱弱化為特稱）的 5 個論式則為 24 個有效論式，其中每一格剛好各有 6 個有效論式。為便於記憶，中世紀的學者將這些有效論式分別取了對應的拉丁語名字，每個名字的加了下劃線的母音即是對應的語氣： 第 1 格 第 2 格 第 3 格 第 4 格 Barbara Camestres Darapti Bamalip Celarent Cesare Felapton Fesapo Darii Baroco Datisi Calemes Ferio Festino Ferison Fresison Barbari Camestros Disamis Dimaris Celaront Cesaro Bocardo Calemos 經典三段論式 下面列出的是亞里士多德的《前分析篇》中關於前 3 個格的 14 個三段論式。 第 1 格 AAA（Barbara） 所有 M 是 P。 所有 S 是 M。 所有 S 是 P。 cfrac forall x M xrightarrow P x qquad forall x S xrightarrow M x forall x S x rightarrow P x EAE（Celarent） 沒有 M 是 P。 所有 S 是 M。 沒有 S 是 P。 cfrac forall x M xrightarrow lnot P x quad forall x S xrightarrow M x forall x S x rightarrow lnot P x AII（Darii） 所有 M 是 P。 有些 S 是 M。 有些 S 是 P。 cfrac forall x M xrightarrow P x qquad exists x S xland M x exists x S x land P x EIO（Ferio） 沒有 M 是 P。 有些 S 是 M。 有些 S 不是 P。 cfrac forall x M xrightarrow lnot P x quad exists x S xland M x exists x S x land lnot P x 第 2 格 AEE（Camestres） 所有 P 是 M。 沒有 S 是 M。 沒有 S 是 P。 cfrac cfrac begin matrix quad forall x P xrightarrow M x end matrix qquad cfrac forall x S xrightarrow lnot M xforall x M xrightarrow lnot S xforall x M xrightarrow lnot S x qquad forall x P xrightarrow M x cfrac forall x P x rightarrow lnot S x forall x S x rightarrow lnot P x （AEE2 是 AEE4 的等價形式。這種形式還有其他推導方法。）這個論式還可以推導為： cfrac cfrac cfrac forall x P xrightarrow M xforall x P xrightarrow lnot lnot M x forall x lnot M xrightarrow lnot P x quad cfrac forall x S xrightarrow lnot M x forall x S xrightarrow lnot M x forall x S x rightarrow lnot P x EAE（Cesare） 沒有 P 是 M。 所有 S 是 M。 沒有 S 是 P。 cfrac cfrac forall x P xrightarrow lnot M x forall x M xrightarrow lnot P x qquad begin matrix quad forall x S xrightarrow M x end matrix forall x S x rightarrow lnot P x （EAE2 是 EAE1 的等價形式。） AOO（Baroco） 所有 P 是 M。 有些 S 不是 M。 有些 S 不是 P。 cfrac cfrac cfrac forall x P xrightarrow M xforall x P xrightarrow lnot lnot M x forall x lnot M x rightarrow lnot P x quad cfrac exists x S xland lnot M x exists x S xland lnot M x exists x S x land lnot P x （這種形式還有其他推導方法。）這個論式還可以採用反證法來推導： begin align cfrac cfrac begin matrix quad forall x P xrightarrow M x end matrix quad cfrac lnot exist x S xland lnot P x forall x S x rightarrow P x forall x S x rightarrow M x quad cfrac exists x S x land lnot M xexists x lnot M x land S x cfrac exists x lnot M x land M xbot implies cfrac forall x P x rightarrow M x qquad exists x S xland lnot M x exist x S xland lnot P x end align EIO（Festino） 沒有 P 是 M。 有些 S 是 M。 有些 S 不是 P。 cfrac cfrac forall x P xrightarrow lnot M x forall x M xrightarrow lnot P x qquad begin matrix quad exists x S xland M xend matrix exists x S x land lnot P x （EIO2 是 EIO1 的等價形式。） 第 3 格 AAI（Darapti） 所有 M 是 P。 所有 M 是 S。 有些 S 是 P。 （這種形式需要假定有些 M 確實存在。）直接結論是：所有 M 是 P 且 S。 cfrac cfrac cfrac forall x M xrightarrow P x qquad forall x M xrightarrow S x forall x M xrightarrow P xland S xforall x M xrightarrow S xland P x qquad begin matrix quad exists x M x end matrix exist x S x land P x cfrac begin matrix quad quad quad forall x M xrightarrow P x end matrix cfrac begin matrix quad forall x M xrightarrow S x end matrix quad cfrac exist x M xexist x M x land M x cfrac exist x M xland S x exist x S xland M x exist x S x land P x EAO（Felapton） 沒有 M 是 P。 所有 M 是 S。 有些 S 不是 P。 （這種形式需要假定有些 M 確實存在。）直接結論是：所有 M 是 S 且非 P。 cfrac cfrac cfrac forall x M xrightarrow lnot P x qquad forall x M xrightarrow S x forall x M xrightarrow lnot P xland S xforall x M xrightarrow S xland lnot P x quad begin matrix quad exists x M x end matrix exist x S x land lnot P x cfrac begin matrix quad quad quad forall x M xrightarrow lnot P x end matrix cfrac begin matrix quad forall x M xrightarrow S x end matrix quad cfrac exist x M xexist x M x land M x cfrac exist x M xland S x exist x S xland M x exist x S x land lnot P x AII（Datisi） 所有 M 是 P。 有些 M 是 S。 有些 S 是 P。 cfrac begin matrix quad forall x M xrightarrow P x end matrix qquad cfrac exist x M xland S x exist x S xland M x exists x S x land P x （AII3 是 AII1 的等價形式。） EIO（Ferison） 沒有 M 是 P。 有些 M 是 S。 有些 S 不是 P。 cfrac begin matrix quad forall x M xrightarrow lnot P x end matrix quad cfrac exist x M xland S x exist x S xland M x exists x S x land lnot P x （EIO3 是 EIO1 的等價形式。） IAI（Disamis） 有些 M 是 P。 所有 M 是 S。 有些 S 是 P。 cfrac cfrac cfrac exist x M xland P xexist x P xland M x qquad begin matrix quad forall x M xrightarrow S x end matrixforall x M xrightarrow S x qquad exist x P xland M x cfrac exists x P x land S x exists x S x land P x （IAI3 是 IAI4 的等價形式。） OAO（Bocardo） 有些 M 不是 P。 所有 M 是 S。 有些 S 不是 P。 cfrac cfrac cfrac exist x M xland lnot P xexist x lnot P xland M x quad begin matrix quad forall x M xrightarrow S xend matrixforall x M xrightarrow S x quad exist x lnot P xland M x cfrac exists x lnot P x land S xexists x S x land lnot P x （這種形式還有其他推導方法。）這個論式還可以採用反證法來推導： begin align cfrac cfrac cfrac lnot exist x S xland lnot P x forall x S x rightarrow P x quad begin matrix quad forall x M xrightarrow S x end matrix forall x M x rightarrow P x quad cfrac exists x M x land lnot P xexists x lnot P x land M x cfrac exists x lnot P x land P xbot implies cfrac exists x M xland lnot P x qquad forall x M x rightarrow S x exist x S xland lnot P x end align 增補的論式 第 4 格由亞裡士多德的學生泰奧弗拉斯托斯補充在亞裡士多德《前分析篇》裡關於 AEE2 的論證中，對小前提進行對換主詞與謂詞位置之後，得出第 4 格的 AEE4，亞裡士多德稱之為再次得到了第 1 格，沒有因為大項和小項位置顛倒而專門稱之為第 4 格。在亞裡士多德的定義中第 1 格為中項既是一個前提的主詞又是另一個前提的謂詞。第 4 格中有 4 個論式是其他格的等價形式、1 個論式是結論弱化形式，因此亞裡士多德三段論體系並無缺失。。 第 4 格 AAI（Bamalip） 所有 P 是 M。 所有 M 是 S。 有些 S 是 P。 （這種形式需要假定有些 P 確實存在。） cfrac cfrac cfrac forall x P xrightarrow M x qquad forall x M xrightarrow S x forall x M xrightarrow S x qquad forall x P xrightarrow M x forall x P xrightarrow S x quad cfrac exists x P x exists x P xland P x cfrac exists x P x land S x exists x S x land P x EAO（Fesapo） 沒有 P 是 M。 所有 M 是 S。 有些 S 不是 P。 （這種形式需要假定有些 M 確實存在。）直接結論是：所有 M 是 S 且非 P。 cfrac cfrac cfrac cfrac forall x P xrightarrow lnot M x forall x M xrightarrow lnot P x qquad begin matrix quad forall x M xrightarrow S xend matrix forall x M xrightarrow lnot P xland S xforall x M xrightarrow S xland lnot P x quad begin matrix quad exists x M x end matrix exist x S x land lnot P x cfrac begin matrix quad quad cfrac forall x P xrightarrow lnot M x forall x M xrightarrow lnot P x end matrix cfrac begin matrix quad forall x M xrightarrow S x end matrix quad cfrac exist x M xexist x M x land M x cfrac exist x M xland S x exist x S xland M x exist x S x land lnot P x （EAO4 是 EAO3 的等價形式。） AEE（Calemes） 所有 P 是 M。 沒有 M 是 S。 沒有 S 是 P。 cfrac cfrac forall x P xrightarrow M x qquad forall x M xrightarrow lnot S x forall x M xrightarrow lnot S x qquad forall x P xrightarrow M x cfrac forall x P xrightarrow lnot S x forall x S x rightarrow lnot P x EIO（Fresison） 沒有 P 是 M。 有些 M 是 S。 有些 S 不是 P。 cfrac cfrac forall x P xrightarrow lnot M x forall x M xrightarrow lnot P x qquad cfrac exists x M xland S x exists x S xland M x exists x S x land lnot P x （EIO4 是 EIO1 的等價形式。） IAI（Dimaris） 有些 P 是 M。 所有 M 是 S。 有些 S 是 P。 cfrac cfrac exists x P xland M x qquad forall x M xrightarrow S x forall x M xrightarrow S x qquad exists x P xland M x cfrac exists x P x land S x exists x S x land P x 結論弱化的論式 歷史上，AAI3、EAO3、AAI4、EAO4 的拉丁語名字中有字母 p，用來指示出這些論式透過引入了某個詞項確實有元素存在的前提，將一個 A 命題弱化成了 I 命題。後人認為它們不是直言的即不是無條件的，這個問題被稱為存在性引入問題。 在假定結論的主詞確定有成員存在的前提下，可將論式中的結論 A 弱化為結論 I，結論 E 弱化為結論 O，它們也可以被增補為有效論式，從而得到所有可能的 24 有效論式。結論弱化論式有 5 個：AAI1（Barbari），即弱化的 AAA1；EAO1（Celaront），即弱化的 EAE1；AEO2（Camestros），即弱化的 AEE2；EAO2（Cesaro），即弱化的 EAE2；AEO4（Calemos），即弱化的 AEE4。AAI1 的結論同於 AII1 的結論，EAO1、EAO2 的結論同於 EIO1 的結論，AEO2、AEO4 的結論同於 AOO2 的結論，需要注意結論弱化論式原來的結論依然成立。 謂詞演算公式的註解 按照布林邏輯和集合代數的觀點，三段論可以解釋為：集合（類） S 和集合 M 有某種二元關係，並且集合 M 和集合 P 有某種二元關係，從而推論出集合 S 和集合 P 是否存在進而為何種可確定的二元關係。兩個集合之間的二元關係用直言命題可確定的有四種： A（全稱肯定）命題：所有 M 的元素是 N 的元素，確定了 M 包含於 N 的關係， M 是 N 的子集， N 是 M 的超集，這是一種偏序關係， L 包含於 M ，並且 M 包含於 N ，則 L 包含於 N 。A 命題允許兩個推理方向，從元素屬於 M 推出它屬於 N ，從元素不屬於 N 推出它不屬於 M 。A 命題確定了 M 減 N 的差集是空集。 E（全稱否定）命題：所有 M 的元素不是 N 的元素，確定了 M 和 N 是 無交集 的關係，這是一種對稱關係， M 無交集於 N ，同於 N 無交集於 M 。E 命題允許兩個推理方向，從元素屬於 M 推出它不屬於 N ，從元素屬於 N 推出它不屬於 M 。E 命題確定了 M 與 N 的交集是空集。 I（特稱肯定）命題：有些 M 的元素是 N 的元素，確定了 M 和 N 是 有交集 的關係，這是一種對稱關係， M 有交集於 N ，同於 N 有交集於 M 。I 命題確定了 M 與 N 的交集不是空集。 O（特稱否定）命題：有些 M 的元素不是 N 的元素，確定了 M 不包含於 N 的關係。O 命題確定了 M 減 N 的差集不是空集。 兩個全稱命題可以推出一個新的全稱命題，一個全稱命題和一個特稱命題可以推出一個新的特稱命題，兩個特稱命題無法推理。A 命題可以和所有四種命題組合。E 命題還可以和 I 命題組合，兩個否定命題和 IE 組合，不能得出屬於四種命題之一的結論。故而有效的論式，要在 AA、AE、EA、AI、IA、AO、OA、EI 這 8 種組合乘以 4 種格，共 32 種情況中找出。 AA 組合中 AAA1 是直接推出的；第 4 格 AA 組合推論出謂詞包含於主詞的關係，這不是四種命題之一，只能在謂詞確實有元素存在的前提下弱化為 AAI4。AE 組合中 AEE4 是直接推出的，EA 組合中 EAE1 是直接推出的。第 3 格 AA 組合和 EA 組合，在中項確定有元素存在的前提下，形成 AAI3 和 EAO3。AAA1、AAI4、AAI3 沒有等價者。透過對換其前提 E 命題中主詞和謂詞的位置，從 AEE4 得出其等價者 AEE2，從 EAE1 的得出其等價者 EAE2，從 EAO3 得出其等價者 EAO4。 AII1、IAI4 是直接推出的，透過對換其前提 I 命題中主詞和謂詞的位置，從 AII1 得出其等價者 AII3，從 IAI4 得出其等價者 IAI3。AOO2 和 OAO3 在歷史上採用了反證法，這裡採用了直接推理中的 對置法，AOO2、OAO3 沒有等價者。EIO1 是直接推出的，透過對換其前提 E 命題 I 命題中主詞和謂詞的位置，從 EIO1 得出其等價者 EIO2、EIO3、EIO4。 24 論式圖示 下表以文氏圖展示 24 個有效直言三段論，不同欄表示不同的前提，不同外框顏色表示不同的結論，需要存在性預設的推理以虛線與斜體字標示。 格 A A A E A I A O E I 格 AAA AAI AEE AEO EAE EAO AII IAI AOO OAO EIO 1 Barbara Barbari Celarent Celaront Darii Ferio 2 Camestres Camestros Cesare Cesaro Baroco Festino 3 Darapti Felapton Datisi Disamis Bocardo Ferison 4 Bamalip Calemes Calemos Fesapo Dimatis Fresison 參見 直接推理 傳統邏輯 謂詞演算 註解 引用 Aristotle Prior Analytics transl Robin Smith（Hackett 1989）ISBN 0872200647 Blackburn Simon 1996 Syllogism in the Oxford Dictionary of Philosophy Oxford University Press ISBN 0192831348 Broadie Alexander 1993 Introduction to Medieval Logic Oxford University Press ISBN 0198240260 Irving Copi 1969 Introduction to Logic 3rd ed Macmillan Company Hamblin Charles L 1970 Fallacies Methuen London ISBN 0416700705 Cf on validity of syllogisms A simple set of rules of validity was finally produced in the later Middle Ages based on the concept of DistributionJan Łukasiewicz 1987 1957 Aristotles Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic New York Garland Publishers ISBN 0824069242 OCLC 15015545 外部連結 Aristotles Prior Analytics the Theory of Categorical Syllogism an annotated bibliography on Aristotles syllogistic Abbreviatio Montana article by Prof R J Kilcullen of Macquarie University on the medieval classification of syllogisms The Figures of the Syllogism is a brief table listing the forms of the syllogism wwwfiboniccicouksyllogisms some fun syllogism testsquizzes Syllogistic Reasoning in Buddhism Example Worksheet Category 推理規則