三等分角是古希臘平面幾何裡尺規作圖領域中的著名問題，與化圓為方及倍立方問題並列為尺規作圖三大難題。尺規作圖是古希臘人的數學研究課題之一，是對具體的直尺和圓規畫圖可能性的抽象化，研究是否能用規定的作圖法在有限步內達到給定的目標。三等分角問題的內容是：能否僅用尺規作圖法將任意角度三等分？ 三等分角問題提出後，在漫長的兩千餘年中，曾有眾多的嘗試，但沒有人能夠給出嚴格的答案 。隨著十九世紀群論和域論的發展，法國數學家首先利用伽羅瓦理論證明，這個問題的答案是否定的：不存在僅用尺規作圖法將任意角度三等分的通法。具體來說，汪策爾研究了給定單位長度後，能夠用尺規作圖法所能達到的長度值。所有能夠經由尺規作圖達到的長度值被稱為規矩數，而汪策爾證明了，如果能夠三等分任意角度，那麼就能做出不屬於規矩數的長度，從而反證出透過尺規三等分任意角是不可能的。 如果不將手段侷限在尺規作圖法中，放寬限制或藉助更多的工具的話，三等分任意角是可能的。然而，作為數學問題本身，由於三等分角問題表述簡單，而證明困難，並用到了高等的數學方法，在已被證明不可能實現後，仍然有許多人嘗試給出肯定的證明。 背景簡介 尺規作圖法 在敘述三等分問題前，首先需要介紹尺規作圖的意思。尺規作圖問題是從現實中具體的 直尺和圓規畫圖可能性 問題抽象出來的數學問題，將現實中的直尺和圓規抽象為數學上的設定，研究的是能不能在若干個具體限制之下，在有限的步驟內作出給定的圖形、結構或其他目標的問題。在尺規作圖中，直尺和圓規的定義是： 直尺：一側為無窮長的直線，沒有刻度也無法標識刻度的工具。只可以讓筆摹下這個直線的全部或一部分。 圓規：由兩端點構成的工具。可以在保持兩個端點之間的距離不變的情況下，固定其中一個端點，讓另一個端點移動，作出圓弧或圓。兩個端點之間的距離只能取已經作出的兩點之間的距離，或者任意一個未知的距離。 定義了直尺和圓規的特性後，所有的作圖步驟都可以歸化為五種基本的步驟，稱為作圖公法： 透過兩個已知點，作一直線。 已知圓心和半徑，作一個圓。 若兩已知直線相交，確定其交點。 若已知直線和一已知圓相交，確定其交點。 若兩已知圓相交，確定其交點。 尺規作圖研究的，就是是否能夠透過以上五種步驟的有限次重複，達到給定的作圖目標。尺規作圖問題常見的形式是：給定某某條件，能否用尺規作出某某物件？ 比如：給定一個圓，能否用尺規作出這個圓的圓心？ 等等。 問題敘述 三等分角問題的完整敘述是： 關於這個敘述中的用詞和術語，需要一一作出定義。角 可以有兩種等價的定義：一個角可以是由一點和從它出發的兩條射線構成的集合，也可以是由三點和連線它們的兩條線段構成的集合。以下的敘述中採取第二個定義，用三個大寫英文字母或一個希臘字母表示一個角。角指的是由三點以及線段和構成的集合，也可以直接用一個希臘字母如表示。兩個角和相等，指的是以下條件：如果將線段沿點延長為射線，在上面作一點使得 ，同時將線段沿點延長為射線，在上面作一點使得 ，則 。 一個角等於另一個角的三分之一，指的是角等於角的三倍。而一個角等於角的倍（為自然數），指的是可以找到點等，使得個角都等於，並且點就是點。 二等分角問題 與三等分角問題相比，用尺規作圖將任意角二等分要容易得多。右圖具體說明了二等分一個角的步驟。依照類似的步驟，也能夠將任意角四等分、八等分 但直到十九世紀，隨著群論和伽羅瓦理論的出現，數學家們才認識到二等分角和三等分角本質上的不同。在現代數學語言中，更常用域擴張的理論來論述三等分角的問題。從證明三等分角的過程中可以知道，尺規作圖的方法不但不能三等分任意角，也不能將任意角五等分、七等分、九等分、十一等分。其理由涉及到直線和圓的解析性質。 不可能性的證明 1837 年，法國數學家汪策爾證明瞭，三等分角問題是沒有辦法完成的。 三等分角問題提出後，有許多基於平面幾何的論證和嘗試，但在十九世紀以前，一直沒有完整的解答。沒有人能夠給出將任意角度三等分的確實做法，但開始懷疑其可能性的人之中，也沒有人能夠證明這樣的做法一定不存在。直到十九世紀後，伽羅瓦和阿貝爾 全名：尼爾斯阿貝爾 開創了以群論來討論有理係數多項式方程之解的方法，人們才認識到三等分角問題的本質。 尺規可作性和規矩數 在研究各種尺規作圖問題的時候，數學家們留意到，能否用尺規作出特定的圖形或目標，本質是能否作出符合的長度。引進直角座標系和解析幾何以後，又可以將長度解釋為座標。比如說，作出一個圓，實際上是作出圓心的位置（座標）和半徑的長度。作出特定的某個交點或某條直線，實際上是找出它們的座標、斜率和截距。為此，數學家引入了尺規可作性這一概念。假設平面上有兩個已知的點和，以為單位長度，射線為 軸正向可以為平面建立一個標準直角座標系，平面中的點可以用橫座標和縱座標表示，整個平面可以等價於 mathbb R2。 設是 mathbb R2 的一個非空子集。如果某直線 mathcal l 經過中不同的兩點，就說 mathcal l 是 尺規可作的，簡稱 可作。同樣地，如果某個圓 mathcal C 的圓心和圓上的某個點是中的元素，就說 mathcal C 是 可作的。進一步地說，如果 mathbb R2 裡的某個點是某兩個 可作的直線或圓的交點（直線－直線、直線－圓以及圓－圓），就說點是 可作的。這樣的定義是基於五個基本步驟得來的，包括了尺規作圖中從已知條件得到新元素的五種基本方法。如果將所有 尺規可作的點的集合記作，那麼當中包含超過兩個點的時候，肯定是的真子集。從某個點集開始，經過一步能作出的點構成集合 ，經過兩步能作出的點就是 ， 以此類推，經過步能作出的點集就是 。而所有從能尺規作出的點集就是： C mathrm E_0 bigcup_ninmathbb N mathrm E_n。 另一個與尺規可作性相關的概念是規矩數。設是從集合 00 01 開始，尺規可作點的集合： ，那麼規矩數定義為中的點的橫座標和縱座標表示的數。 定義：實數和是規矩數當且僅當是中的一個點。 可以證明，有理數集 mathbb Q 是所有規矩數構成的集合的子集，而又是實數集 mathbb R 的子集。另外，為了在複數集 mathbb C 內討論問題，也會將平面 mathbb R2 看作複平面 mathbb C，同時定義一個複數是（復）規矩數當且僅當點是中的一個點。所有復規矩數構成的集合也包含 mathbb Q 作為子集，並且是複數集 mathbb C 的子集。從尺規可作性到解析幾何下的規矩數，三等分角問題從幾何問題轉成了代數的問題。 域的擴張與最小多項式 以集合的觀念來說，與 mathbb Q、mathbb C 之間是子集與包含的關係。以抽象代數的觀點來說，可以證明是有理數域 mathbb Q 的擴域，是實數域 mathbb C 的子域。記作 mathbb Q subseteq mathrm L subseteq mathbb C。域是抽象代數中的概念，是能夠進行 加減乘除 運算的集合。從單位長度出發，很容易得到任何有理數長度的線段，所以直線（也就是實數軸）上所有的有理數座標的點都是尺規可作點。如果平面上還有另一個尺規可作點（對應複數），那麼也能做出任意的點，甚至於任何形如： frac P_1 zP_2 z 的點（其中和是兩個多項式）。有理數域 mathbb Q 和所有因為而多出來的尺規可作點仍舊構成一個域，稱為 mathbb Q 關於的擴張，記作 mathbb Qz。然而，mathbb Qz 中的元素並沒有表面上那麼 多。一般來說，如果有一個多項式使得 0，那麼 mathbb Qz 中的元素都可以寫成的形式，其中是的階數。這樣的情況稱為域 mathbb Q 的有限擴張，因為 mathbb Qz 可以看成關於 mathbb Q 的有限維線性空間。為了確定這個線性空間的維數，需要為它找一個基底，也就是一個線性無關的最小生成集。為此，尋找使得 0 的多項式中階數最小的，並稱是最小多項式。在最小多項式確定後，便可確定是 mathbb Qz 的一個基底，mathbb Qz 是一個維的 mathbb Q 線性空間（是的階數）。這時候也稱是域擴張 mathbb Q subseteq mathbb Qz 的階數，記作： mathbb Qz mathbb Q mathrm d_m 規矩擴張的階數 對任何一個尺規可作點，都可以考察它對應的域擴張的階數。由於每個尺規可作點都是透過五種作圖公法的有限次累加得到的，而其中生成新點（也就是新座標）的只有後三種。所以只需考察這三種步驟得到的新點對應的域擴張的階數。假設某個時刻，已知的所有尺規可作點構成的域是，那麼生成新點時的直線和圓的係數都在裡面。 直線的方程是：ax by c 0 quad a b c in mathrm L qquad qquad cdots 1 圓的方程是：x c_12 y c_22 r2 quad c_1 c_2 r in mathrm Lqquad qquad cdots 2 無論是兩個 1 類方程，兩個 2 類方程，還是一個 1 類和一個 2 類方程聯立求解，得到的和值都會是形同 begin cases x p_1 q_1sqrt t p_1 q_1 t in mathrm L y p_2 q_2sqrt t p_2 q_2 in mathrm L end cases 的數值。所以復規矩數 滿足一個二次方程： z p_1 p_2 i2 t q_1 q_2 i2 其中的、以及都是中的元素。這意味著，域擴張的階數最多是 2（最小多項式的階數至多是 2）。這又說明，從開始，經過一系列（次）基本步驟得到的尺規可作點，代表了次域擴張： mathrm L subseteq mathrm L_1 subseteq cdots subseteq mathrm L_n。 而每次域擴張的階數：都不超過 2。因此，如果從基本的有理數域出發的話，就能得到如下的定理： 其中的是某個小於的自然數（是已知所有有理數座標點時，作出對應的點要經過的基本步驟數目）。 三等分角的反證 上文已經說明，任何可以用尺規作圖作出的點，其座標對應一個復規矩數，它的最小多項式次數為 2s。以下用反證法證明三等分任意角是不可能的。反設可以用尺規作圖將任意角三等分，代表對任意角度是 theta 的角，均可以由尺規作圖得到 角度為 frac theta3 的角。這等價於說在已知單位長度和 cos theta 的時候能做出 cos frac theta3 的長度。設是包含了 cos theta 和單位長度 1 的域。用尺規作圖可以得到 z cos frac theta3，說明域擴張的階數是 2 的冪次： mathrm Lz mathrm L 2s 然而根據三倍角公式： cos theta 4 cos3 frac theta3 3 cos frac theta3 4z3 3z。 運用多項式的知識可以證明，z 在中的最小多項式的階數必定不大於 3，也就是說是 1，2 或者 3。比如說當角度 theta 60circ 時，就是 mathbb Q（cos thetafrac12 in mathbb Q）三倍角公式變成： 4 z3 3 z cos 60circ frac 12，即是： 8 z3 6 z 1 0 這個多項式不可約，所以這個方程的解不屬於有理數集 mathbb Q，所以可以證明 mathbb Qz mathbb Q 3。然而 3 不是 2 的冪次，這和之前的結論矛盾。如此便說明，無法用尺規作圖將任意角三等分。Box 能夠尺規三等分的角度 以上的證明透過一個反例：theta 60circ 說明了用尺規作圖將任意角三等分是不可能的。但用尺規作圖三等分某些特定的角（比如說直角）仍然是可行的。事實上，從證明中可以看出，尺規三等分某個角 theta 等價於說 mathrm Lcos frac theta3 mathrm L 1。要注意的是，這個條件與 cos theta 本身能否用尺規作圖作出並不相關。實際上，有的角度 theta 即便本身無法用尺規作圖法作出，但如果已知角 theta 作為條件，是能夠用尺規作圖將它三等分的。角度 3pi7 就是這樣一個例子。它本身無法用尺規作出，但如果給定一個 3pi7 的角，它的五倍角就是 15pi7，等於將圓周繞過一圈後的 pi7，這正是 3pi7 的三分之一。可以證明，角度 2piN 可以用尺規三等分，當且僅當自然數本身無法被三整除。 從證明中還可看出，只要自然數只含有 2 以外的質因子，根據倍角公式得到的階多項式就說明 cos frac thetak 的最小多項式階數整除，所以不是 2 的冪次，從而無法用尺規作圖等分任意角。例如用尺規作圖五等分任意角、七等分任意角等等都是不可能的（2piN 可以五等分，當且僅當不是 5 的倍數；而不管是多少，2piN 都不能七等分，因為正七邊形本身就不能尺規作圖了）。 三等分角的方法 用尺規作圖的方法三等分角被證明是不可行的。如果放寬尺規作圖的限制，或允許使用另外的工具，那麼三等分任意角仍舊是可能的。 無限次步驟 尺規作圖要求在有限次步驟內將任意角三等分。如果我們允許使用無限次的步驟來構造三等分角的話，可以利用 frac13 frac14 frac 142 frac 143 cdots 這個無窮級數的和來實現。給定任意一的角度為 theta 的角。已知尺規二等分角是可行的，所以重複兩次就能夠四等分一個角 theta，得到 frac theta4。同樣地，可以作出 frac theta42、frac theta43 等所有形同 frac theta4n 的角。將它們逐次相加，就能夠在無限次（可數次）操作後用尺規作圖得到 frac theta4 frac theta42 frac theta43 cdots frac theta3。 二刻尺 如果允許使用有刻度的直尺（二刻尺），則三等分任意角是可行的。右圖為把角三等分的示意圖。這個想法最早由阿基米德提出。 首先，在直尺上有兩個刻度，相距。把角上的直線延長，並作一個半徑為的圓。 把直尺的一點固定在，並將直尺繞著點移動，直到其中一個刻度位於點，另一個刻度位於點，也就是說， 。這時，角就是角的三分之一。 要證明 a 3b ，我們需要利用直線上的鄰角 adjacent angles on straight line，三角形的內角和 angle sum of triangle 及等腰三角形底角 base angle isosceles triangle。 證明： e c 180circ。 e 2b 180circ。 兩式相減，得 c 2b。 d 2c 180circ，因此 d 180circ 2c ，把上式代入，得 d 180circ 4b。 a d b 180circ，因此 a 180circ 4b b 180circ。 所以， a 3b 0 ，或 a 3b 。證畢。 或者，可以利用三角形的外角 Exterior Angle of a Triangle 作證明。 b b c b c a Rightarrow b 2b a Rightarrow a 3b 同樣也可證明。 藉助其他形狀或工具 尺規作圖的規定來自於古希臘的柏拉圖學派，他們認為僅有直線和圓是完美的形狀。事實上，如果允許在作圖中使用其他的曲線或形狀，那麼三等分任意角是可行的。例如：已知角，做其角平分線。以直線為準線，點為焦點，作一雙曲線；同時以為圓心，為半徑做圓。設該圓與雙曲線在角內側的交點為，那麼角等於角的三分之一。此外，麥克勞林、利馬松等人也曾經設計過可以輔助三等分角的曲線。阿基米德螺線（等角螺線）也是能夠直觀幫助三等分角的曲線。在極座標中，阿基米德螺線的方程是： rho c theta 其中的 rho 是極徑（離原點的距離），theta 是幅角。由於極徑和幅角成正比，所以要尋找等於給定角度三分之一的角度，只需要確定原角度對應的極徑長度 rho_0，然後對比找出 frac rho_03 對應的角度即可。 相關條目 莫雷角三分線定理 規矩數 三等分角線 參考來源 外部連結 HPM 通訊第 6 卷第 6 期，3 大作圖題 介紹在較寬鬆的條件下（允許使用有刻度的直尺或配合其他曲線）用尺規作圖，來求解三等分角問題。 三等分任意角可能嗎？ Category 平面幾何 Category 角 Category 數學問題