同餘（，符號：）在數學中是指數論中的一種等價關係。當兩個整數除以同一個正整數，若得相同 zhhans 餘數；zhhant 餘數；，則二整數同餘。同餘是抽象代數中的同餘關係的原型。最先引用同餘的概念與「」符號者為德國數學家高斯。 定義 對某兩個整數 a，b，若它們除以正整數 m 所得的餘數相等，則稱 a，b 對於模 m 同餘，也就是嚴格來說，存在整數 k 使得 ab km 則稱 ab 對於除數 m 是同餘的。一般記做 a equiv b pmod m 比如 26 14 12 1 times 12 故可以記為 26 equiv 14 pmod 12 但另一方面，從 ab km 有 ba ktimes m ，故 a equiv b pmod m 等價於 b equiv a pmod m 同餘符號「」其 UTF8 碼為 U2261。 同餘類 可以證明所有對於模 m 同餘的整數對構成一個（整數系 Z 上的）等價關係，換句話說，對於任意兩個整數 a，b： 1 a equiv a pmod m 2 a equiv b pmod m Rightarrow b equiv a pmod m 3 biga equiv b pmod m wedge b equiv c pmod mbig Rightarrow a equiv c pmod m 故以下的集合 a_m leftz in Z big exists k in Zz a kmright leftldots a 2m a m a a m a 2m ldots right 可稱為 a 對於模 m 的同餘類（或），也可標記為 overline a_m；模 m 在上下文很清楚時，也可簡記為 displaystyle a。a 會被稱為該同餘類的代表數。 剩餘系 剩餘系亦即模 n 同餘類的代表數的集合，通常使用的代表數是最小非負整數，因為它是除法中的應當餘數。要注意的是，對於同一個模數 n，不同的同餘類不等價，亦即，屬於不同同餘類的整數不同餘於模數 n，或者說，模 n 剩餘系中的任二元素不同餘於模 n；而且，整數域中的每個整數只屬於模數 n 的一個同餘類，因為模 n 將整數域劃分為互斥區塊，每個區塊是一個同餘類。 一個完全剩餘系指的是模 n 的全部同餘類的代表數的集合；因為剩餘系中的任二元素不同餘於模 n，所以它也稱為非同餘餘數的完整系統。例如，模 3 有三個同餘類 0 1 2，其完全剩餘系可以是 9 121 152。如果該集合是由每個同餘類的最小非負整數所組成，亦即 0 1 2 n1，則稱該集合為模 n 的最小剩餘系。 模 n 完全剩餘系中，與模 n 互質的代表數所構成的集合，稱為模 n 的簡約剩餘系，其元素個數記為 phi n，亦即尤拉函式。例如，模 6 的簡約剩餘系為 1 5 或 7 11。如果模 n 是質數，那麼它的最小簡約剩餘系是 1 2 n1，只比最小剩餘系少一個 0。 性質 整除性 a equiv b pmod m Rightarrow ccdot mab c in mathbb Z （即是說 a 和 b 之差是 m 的倍數）換句話說，a equiv b pmod m Rightarrow m mid ab 同餘可以用來檢驗一個數是否可以整除另外一個數，見整除規則。 傳遞性 left begin matrix a equiv b pmod m b equiv c pmod m end matrix right Rightarrow a equiv c pmod m 保持基本運算 left begin matrix a equiv b pmod m c equiv dpmod m end matrix right Rightarrow leftbegin matrix a pm c equiv b pm d pmod m ac equiv bd pmod m end matrix right 當 cd 時，則為等量加法、減法：a pm c equiv b pm c pmod m 這性質更可進一步引申成為這樣：a equiv b pmod m Rightarrow begin cases an equiv bn pmod m forall n in mathbb Z an equiv bn pmod m forall n in mathbb N P aequiv P b pmod m end cases 其中 P x 為任意整係數多項式函式。 放大縮小底數 k 為整數，n 為正整數，km pm an equiv pm an pmod m 放大縮小模數 k 為正整數，a equiv b pmod m，若且唯若 ka equiv kb pmod km 除法原理一 若 ka equiv kb pmod m 且 km 互質，則 a equiv b pmod m 除法原理二 每個正整數都可以分解為數個因數的乘積，稱為整數分解。例如 15 3 times 5，因數 3 與 5 都可以整除 15，記為 315 與 515。如果 15 可以整除某正整數 a，亦即 15a，那麼 15 就是 a 的因數：a 15 times b，其中 b 為另一因數。a 15 times b 3 times 5 times b，因此，15 的因數也可以整除 a：315 wedge 15a Rightarrow 3a。 a equiv b pmod m 等價於 ab equiv 0 pmod m，也就是 m ab。亦即，如果 m ab，那麼它可以寫成 a equiv b pmod m，因此有以下除法原理： m 的因數也可以整除 ab。亦即，m 是 n 的倍數：m c times n，nm。因為 m ab，所以 n ab Rightarrow a equiv b pmod n。 a equiv b pmod cn Rightarrow a equiv b pmod n left begin matrix a equiv b pmod m nm end matrix right Rightarrow a equiv b pmod n 現假設 m 可以整除 ab 的倍數 c ab。如果 m 和 c 互質（記為 m c 1），那麼 m 必定可以整除 ab：mab Rightarrow a equiv b pmod m。 left begin matrix ac equiv bc pmod m c m 1 end matrix right Rightarrow a equiv b pmod m 如果 m_1ab 而且 m_2ab，那麼 m_1 與 m_2 的最小公倍數必定可以整除 ab，記為 a equiv b pmod m_1 m_2。這可以推廣成以下性質： left begin matrix a equiv b pmod m_1 a equiv b pmod m_2 vdots a equiv b pmod m_n n ge 2 end matrix right Rightarrow a equiv b pmod m_1m_2cdotsm_n 上面的最後一個性質可以使用算術基本定理與集合來解釋。一個大於 1 的正整數 q 可以分解為一串質數冪的乘積：q p_1c_1 times p_2c_2 times times p_nc_n（p_i 兩兩相異，且 c_i0），令 S_q 為所有能整除 q 的質數冪的集合，即 S_q p_1 p_12cdotsp_1c_1 p_2p_22cdotsp_2c_2cdots p_n p_n2cdotsp_nc_n。設 r 為正整數，則 r 整除 q，當且僅當 S_r 是 S_q 的子集。令 m_1 q 且 m_2 q，則 S_m_1 與 S_m_2 的聯集必定也是 S_q 的子集。取這個聯集中冪次最高的各個元素，它們的乘積就是 m_1 與 m_2 的最小公倍數 m_1m_2。事實上，有 S_m_1m_2S_m_1cup S_m_2，所以 m_1m_2 也能夠整除 q 。 同餘關係式 威爾遜定理 p1 equiv 1 mbox mod p 費馬小定理 ap1 equiv 1 pmod p 尤拉定理 avarphi n equiv 1 pmod n 卡邁克爾函式 alambda n equiv 1 pmod n 階乘冪 x_k equiv x x1x2cdots xk1 equiv 0 pmod k 盧卡斯定理 binom mnequivprod_i0kbinom m_in_ipmod p 組合數最小週期 binom mpklog_p nnequiv binom mnpmod pk 設 Nprod_i p_ik_i，則 binom mL nNnequiv binom mnpmod N，其中 L nNprod_i p_ik_ilog_p nNprod_i p_ilog_p n 相關概念 模反元素 a1dot aequiv 1pmod n 可用輾轉相除法、尤拉定理、卡邁克爾函式求解。 原根 存在最小的正整數 d 使得 adequiv 1pmod n 成立，且 dvarphi n。 同餘方程 線性同餘方程 axequiv bpmod n 考慮最大公約數，有解時用輾轉相除法等方法求解。 線性同餘方程組 begin cases a_1 x equiv b_1 pmod m_1 a_2 x equiv b_2 pmod m_2 qquadqquadvdots a_n x equiv b_n pmod m_n end cases 先求解每一個線性同餘方程，再用中國剩餘定理解方程組。 二次剩餘 x2equiv dpmod p 勒讓德符號、雅可比符號、克羅內克符號、二次互反律用於判別 d 是否為模 n 的二次剩餘。 高次剩餘 xnequiv dpmod p 例子 求自然數 a 的個位數字，就是求 a 與哪一個數對於模 10 同餘。 10equiv 1 textrm mod 3 10nequiv 1 textrm mod 3 10001equiv 1041equiv 11 textrm mod 3。 應用 模數算術在數論、群論、環論、紐結理論、抽象代數、計算機代數、密碼學、電腦科學、化學、視覺和音樂等學科中皆有應用。 它是數論的立基點之一，與其各個面向都相關。 模數算術經常被用於計算識別符號中所使用的校驗和，比如國際銀行賬戶號碼（IBANs）就用到了模 97 的算術，來捕獲使用者在輸入銀行帳戶號碼時的錯誤。 於密碼學中，模數算術是 RSA 與迪菲－赫爾曼金鑰交換等公鑰系統的基礎，它同時也提供有限域，應用於 橢圓加密，且用於許多對稱金鑰加密中，包括高階加密標準、國際資料加密演演算法等。 於電腦科學，同餘被應用於位元運算或其他與固定寬度之迴圈資料結構相關的操作。 於化學中，CAS 號（一個對各種化合物皆異之的識別碼）的最後一碼為校驗碼，將 CAS 號首二部分最後的數字乘上一，下一碼乘上二，下一碼乘上三以此類推，將所有積加起來再取模 10。 在音樂領域，模 12 用於十二平均律系統。 星期的計算中取模 7 算術極重要。 更廣泛而言，同餘在法律、經濟（見賽局理論）或其他社會科學領域中也有應用。 範例 以下為快速展示小於 63 位元無號整數之模數乘法的 C 程式，且轉換過程中不發生溢位。計算 a b mod m 之演演算法 uint64_t mul_mod uint64_t a uint64_t b uint64_t m uint64_t d 0 mp2 m 1 int i if a m a m if b m b m for i 0 i 64 i d d mp2 d 1 m d 1 if a 0x8000000000000000ULL d b if d m d m a 1 return d m 註釋 參考文獻 參見 合同_數學 等價關係 模除 不定方程 T T