八元數是以實數構建的 8 維度賦範可除代數，為四元數非結合推廣的超複數，通常記為 O 或 mathbb O。八元數的 8 個維度可以視為 2 個 4 維度之四元數的組合。八元數不具備結合律和交換律，但具備交錯代數的特性，並保有冪結合性。 也許是因為八元數的乘法不具備結合性，因此它們作為超複數而言受關注的程度較四元數低。儘管如此，八元數仍然與數學中的一些例外結構有關，其中包括例外李群。此外，八元數在諸如弦理論、狹義相對論和中也有應用。 歷史 八元數第一次被描述於 1843 年，於一封給威廉盧雲哈密頓的信中。格雷夫斯稱其為「octaves」。後來八元數由阿瑟凱萊在 1845 年獨自發表。 Appendix reprinted in The Collected Mathematical Papers Johnson Reprint Co New York 1963 p 127 格雷夫斯發表結果的時間點比阿瑟凱萊發表的時間稍晚一些。阿瑟凱萊發表的八元數和約翰格雷夫斯給威廉盧雲哈密頓的信中所提及的並無關係。阿瑟凱萊是獨自發現八元數的，因此八元數又被稱為凱萊數或凱萊代數。哈密頓則描述了八元數被發現並描述的早期歷史。 定義 八元數可以視為實數的八元組。八元數有多種構造方式。以凱萊 迪克森結構為例，八元數可以表達為 2 個四元數與的組合，即或 p_0 p_1i p_2j p_3k left q_0 q_1i q_2j q_3kright l，其中，量為其中一個八元數單位並滿足： i2 j2 k2 l2 1 在這種定義下每一個八元數都是單位八元數的線性組合。也就是說，每一個八元數 x 都可以寫成 x x_0 x_1i x_2j x_3k x_4l x_5il x_6jl x_7kl 其中係數是實數。 這些八元數單位亦滿足： i2 j2 k2 l2 il2 jl2 kl2 1 八元數的加法是把對應的係數相加，就像複數和四元數一樣。根據線性，八元數的乘法完全由以下單位八元數的乘法表來決定。 一些不同的定義方式會將八元數的單位元素表達為的線性組合，其中： e_0 e_1 e_2 e_3 e_4 e_5 e_6 e_7 當中的 e_0 為實數單位。每個八元數單位元素皆不相等，而其平方為實數。也就是說，每個八元數都可以寫成以下形式： x x_0e_0 x_1e_1 x_2e_2 x_3e_3 x_4e_4 x_5e_5 x_6e_6 x_7e_7 其中為單位元素的係數，且必為實數。八元數的加法和減法是透過加減相應的項以及它們的係數來完成的，與四元數的加減法類似。 乘法則較為複雜。 八元數的乘法是對加法的分配，所以兩個八元數的乘積可以透過對所有項的乘積求和來計算，再次如同四元數一般。 每對項的乘積可以透過係數的乘積和單位八元數的乘法表給出，其乘法表的結構與的模式（p_0 p_1i p_2j p_3k left q_0 q_1i q_2j q_3kright l）類似。這個乘法表先後由 Graves 於 1843 年和 Cayley 於 1845 年描述： e_ie_j e_ie_j e_j e_j e_j e_j e_j e_j e_j e_j e_ie_j e_ie_j e_0 e_1 e_2 e_3 e_4 e_5 e_6 e_7 e_i e_0 e_0 e_1 e_2 e_3 e_4 e_5 e_6 e_7 e_i e_1 e_1 e_i e_3 e_i e_5 e_i e_6 e_i e_2 e_2 e_i e_1 e_6 e_7 e_i e_3 e_3 e_2 e_7 e_5 e_4 e_4 e_1 e_2 e_3 e_5 e_5 e_4 e_6 e_2 e_6 e_6 e_7 e_4 e_3 e_7 e_7 e_5 e_4 e_1 除了主對角線上以及 e_0 作為運算元的行和列的元素之外，乘法表中的大多數非對角元素都是反對稱的，這使得這個乘法表幾乎是一個斜對稱矩陣。 該表可總結如下： e_i e_j begin cases e_j text if i 0 e_i text if j 0 delta_ij e_0 varepsilon _ijk e_k text otherwise end cases 其中為克羅內克 δ 函式（當且僅當時為 1）、 為，且當時，值為 1。 然而，上述定義並不是唯一的。這些定義只是 e_01 八元數乘法的 480 個可能定義之一。其他的八元數乘法定義可以透過置換和改變非標量基元素 e_0 e_1 e_2 e_3 e_4 e_5 e_6 e_7 的符號來獲得。這 480 個不同乘法定義對應的代數結構是同構的，很少需要考慮使用哪個特定的乘法規則。 這 480 個八元數乘法定義中，每一定義的正負號在 7 迴圈（1234567）下的特定點上都是不變的，並且對於每個 7 迴圈有四個定義，它們的區別在於正負號和順序的反轉。 一個常見的選擇是使用 的 7 迴圈（1234567）下的定義不變數 透過使用三角乘法圖或下面的 法諾平面，該平面還顯示了基於 124 的 7 迴圈三元組及其相關乘法的排序列表和 ijkl 格式的矩陣。 此外，亦有一些文獻會將八元數的單位定義為 1 i j k L m n o。 凱萊 迪克松構造 一個更加系統的定義八元數的方法，是透過凱萊 迪克松構造。就像四元數可以用一對複數來定義一樣，八元數可以用一對四元數來定義。兩對四元數 ab 和 cd 的乘積定義為： abcdacd bdabc 其中 z 表示四元數 z 的共軛。這個定義與上面給出的定義是等價的。 法諾平面記憶 一個用來記憶八元數的乘積的方便辦法，由右面的圖給出。這個圖中有七個點和七條直線（經過 i、j 和 k 的圓也視為一條直線），稱為。這些直線是有向的。七個點對應於的七個標準基元素。每一對不同的點位於唯一的一條直線上，而每一條直線正好透過三個點。 設為位於一條給定的直線上的三個有序點，其順序由箭頭的方向指定。那麼，乘法由下式給出： 以及它們的。這些規則 1 是乘法單位元， 對於圖中的每一個點，都有 e21 完全定義了八元數的乘法結構。七條直線的每一條都生成了 mathbb O 的一個子代數，與四元數 mathbb H 同構。 共軛、範數和逆元素 八元數 x x_0 x_1i x_2j x_3k x_4l x_5il x_6jl x_7kl 的共軛為： x x_0 x_1i x_2j x_3k x_4l x_5il x_6jl x_7kl 當中除了實數項外，其餘項正負號皆相反。因此若將八元數單位表達為，則八元數的共軛可以簡化表示為： x overline x x_0 e_0 x_i e_i i1 2cdots 7 共軛是 mathbb O 的一個對合，滿足 xyy x（注意次序的變化）。 x 的實數部分定義為 mathrm Releft xrighttfrac xx2x_0，虛數部分定義為 mathrm Imleft xrighttfrac xx2。所有純虛的八元數生成了 mathbb O 的一個七維子空間，記為。 八元數 x 的範數可用與自身共軛的積 x2 x x 來定義： x sqrt x x 在這裡，平方根是定義良好的，因為 x xxx 總是非負實數： x2 x x x_02 x_12 x_22 x_32 x_42 x_52 x_62 x_72 這個範數與 mathbb R8 上的標準歐幾里得範數是一致的。 mathbb O 上範數的存在，意味著 mathbb O 的所有非零元素都存在逆元素。的逆元素為： x1 frac xx2 它滿足 xx1x1 x1。 性質 八元數的乘法既不是交換的： ij ji neq ji 也不是結合的： ij l i jl neq i jl 然而，八元數確實滿足結合性的一個較弱形式交錯性。這就是說，由任何兩個元素所生成的是結合的。實際上，我們可以證明，由 mathbb O 的任何兩個元素所生成的子代數都與 mathbb R、mathbb C 或 mathbb H 同構，它們都是結合的。由於八元數不滿足結合性，因此它們沒有矩陣的表示法，與四元數不一樣。 八元數確實保留了 mathbb R、mathbb C 和 mathbb H 共同擁有的一個重要的性質：mathbb O 上的範數滿足 xy xy 這意味著八元數形成了一個非結合的賦範可除代數。所有由凱萊 迪克松構造所定義的更高維代數都不滿足這個性質，因為它們都存在零因子。 這樣，實數域上唯一的賦範可除代數是 mathbb R、mathbb C、mathbb H 和 mathbb O。這四個代數也形成了實數域上唯一的交錯的、有限維的。 由於八元數不是結合的，因此 mathbb O 的非零元素不形成一個群。然而，它們形成一個擬群。 自同構 八元數的自同構 A，是 mathbb O 的可逆線性變換，滿足： A xy A x A y mathbb O 的所有自同構的集合組成了一個群，稱為。群是一個單連通、緊緻、14 維的實李群。這個群是中最小的一個。 參見 雙曲複數 四元數 十六元數 法諾平面的自同構群。 註釋 參考文獻 延伸閱讀 Online HTML version at  Category 超複數 Category 非結合代數