在物理學裡，哈密頓 雅可比方程 （HamiltonJacobi equation，HJE） 是經典力學的一種表述。哈密頓 雅可比方程、牛頓力學、拉格朗日力學、哈密頓力學，這幾個表述是互相全等的。而哈密頓 雅可比方程在辨明守恆的物理量方面，特別有用處。有時候，雖然物理問題的本身無法完全解析，哈密頓 雅可比方程仍舊能夠正確的辨明守恆的物理量。 HJE 是經典哈密頓量一個正則變換，經過該變換得到的結果是一個一階非線性偏微分方程，方程式之解描述了系統的行為。與哈密頓運動方程的不同之處在於 HJE 是一個偏微分方程，每個變數對應於一個座標，而哈密頓方程是一個一階線性方程組，每兩個方程對應於一個座標。HJE 可以漂亮地解析一些重要問題，例如開普勒問題。 HJE 是唯一能夠將粒子運動表達為波動的一種力學表述。因此，HJE 滿足了一個長久以來理論物理的研究目標（早至 18 世紀，約翰白努利和他的學生皮埃爾莫佩爾蒂的年代）；那就是，尋找波傳播與粒子運動的相似之處。力學系統的波動方程式與薛丁格方程式很相似；但並不相同。稍後會有詳細說明。HJE 被認為是從經典力學進入量子力學最近的門階。 數學表述 哈密頓 雅可比方程是一個一階非線性偏微分方程式。用數學表達 mathcal Hleft q_1 dotsq_N frac partial Spartial q_1 dots frac partial Spartial q_N tright frac partial Spartial t0 ； 其中，mathcal H 是哈密頓量，未知函式 S q_1 dots q_N a_1 dots a_N t 稱為哈密頓主函式，q_1 dots q_N 是廣義座標，a_1 dots a_N 是積分常數，t 是時間。 假若能夠找到哈密頓主函式 S 的形式，就可以計算出廣義坐標 q_1 dots q_N 與廣義動量 p_1 dots p_N 隨時間的演變。這樣，可以完全地解析物理系統隨時間的演化。 各種力學表述的比較 哈密頓 雅可比方程是一個一階非線性偏微分方程式；其中，函式 S q_1 dots q_N a_1 dots a_N t 有 N 個廣義坐標 q_1dotsq_N ，和 N 個獨立的積分常數 a_1 dots a_N 。在 HJE 中，哈密頓主函式 S 有一個很有意思的屬性，它是一種經典作用量。 與拉格朗日力學的拉格朗日方程比較，哈密頓力學裡使用共軛動量而非廣義速度。並且，哈密頓方程乃是一組 2N 個一階微分方程式，用來表示 N 個廣義坐標和 N 個廣義動量隨時間的演變，而拉格朗日方程則是一組 N 個二階微分方程式，用來表示 N 個廣義坐標隨時間的演變。 因為 HJE 等價於一個最小積分問題（像哈密頓原理）， HJE 可以用於許多關於變分法的問題。更推廣地，在數學與物理的其它分支，像動力系統、辛幾何、量子混沌理論，都可以用 HJE 來解析問題。例如，HJE 可以用來找尋黎曼流形的測地線，這是黎曼幾何一個很重要的變分法問題。 導引 在哈密頓力學裡，正則變換將一組正則坐標 mathbf q mathbf p 變換為一組新的正則坐標 mathbf Q mathbf P ，而同時維持哈密頓方程式的型式（稱為型式不變性）。舊的哈密頓方程式為 dot mathbf q frac partial mathcal Hpartial mathbf p ， dot mathbf p frac partial mathcal Hpartial mathbf q ； 新的哈密頓方程式為 dot mathbf Q frac partial mathcal Kpartial mathbf P ， dot mathbf P frac partial mathcal Kpartial mathbf Q ； 這裡，mathcal Hmathbf q mathbf p t 、mathcal Kmathbf Q mathbf P t 分別為舊的哈密頓量與新的哈密頓量，t 是時間。 假若，使用第二型生成函式 G_2 mathbf q mathbf P t 來生成新正則坐標，則新舊正則坐標的關係為 frac partial G_2partial mathbf q mathbf p ， frac partial G_2partial mathbf P mathbf Q 。 而新舊哈密頓量的關係為 mathcal Kmathcal Hfrac partial G_2partial t 。 （條目正則變換有更詳細的說明。） 哈密頓主函式 假若，可以找到一個第二型生成函式 SG_2 。這生成函式使新哈密頓量 mathcal K 恆等於 0 。稱這個生成函式 S mathbf q mathbf P t 為哈密頓主函式。那麼，新哈密頓量 mathcal K 所有的偏導數都等於 0 。哈密頓方程也變得非常的簡單： dot mathbf Pdot mathbf Q0 。 這樣，新正則坐標都成為運動常數 boldsymbol aa_1 ldots a_N 、 boldsymbol bb_1 ldots b_N ： mathbf Pboldsymbol a ， mathbf Qboldsymbol b 。 由於 mathbf pfrac partial Spartial mathbf q ，代入舊哈密頓量，則可得到哈密頓 雅可比方程： mathcal Hleft mathbf q frac partial Spartial mathbf q tright frac partial Spartial t0 。 解析問題的重要關鍵是必須找到哈密頓主函式 S mathbf q boldsymbol a t 的方程式。一旦找到這方程式，因為 mathbf pfrac partial S mathbf q boldsymbol a tpartial mathbf q ，1 mathbf Qboldsymbol b frac partial S mathbf q boldsymbol a tpartial boldsymbol a 。2 給予 mathbf q 與 mathbf p 在時間 tt_0 的初始值， mathbf q_0 與 mathbf p_0 ，可以求出運動常數 boldsymbol a ，boldsymbol b 。知道這兩組運動常數，立刻可以得到舊正則坐標 mathbf q 與 mathbf p 隨時間的演變。 哈密頓特徵函式 假設，哈密頓量不顯含時：frac partial mathcal Hpartial t0 。那麼， frac dmathcal Hmathbf q mathbf p tdtfrac partial mathcal Hpartial mathbf pcdot dot mathbf pfrac partial mathcal Hpartial mathbf qcdot dot mathbf qfrac partial mathcal Hpartial t0 。 哈密頓量是一個運動常數，標記為 a_mathcal H ： mathcal Hmathbf q mathbf p a_mathcal H ， frac partial Spartial tmathcal K mathcal H a_mathcal H 。 哈密頓主函式可以分離成兩部分： S W mathbf q boldsymbol a a_mathcal H t ； 其中，不含時間的函式 W mathbf q boldsymbol a 稱為哈密頓特徵函式。 思考一個新的正則變換。設定哈密頓特徵函式 W mathbf q boldsymbol a 為一個第二型生成函式 G_2 ： mathbf pfrac partial Wpartial mathbf q ， mathbf Qfrac partial Wpartial boldsymbol a 。 那麼，哈密頓 雅可比方程變為 mathcal Hmathbf q frac partial Wpartial mathbf q a_mathcal H 。 由於哈密頓特徵函式不顯含時，新舊哈密頓量的關係為 mathcal Kmathcal Ha_mathcal H ； 新正則坐標隨時間的導數變為 dot mathbf P frac partial mathcal Kpartial Q0 ， dot Q_1frac partial mathcal Kpartial a_11 ，qquadqquad 設定 a_1 為 a_mathcal H ， dot Q_ifrac partial mathcal Kpartial a_i0 ，qquadqquadi1 。 所以，新正則坐標變為 mathbf Pboldsymbol a ， Q_1tb_1 ， Q_ib_iqquadqquad I 1 。 假若，能找到哈密頓特徵函式 W mathbf q boldsymbol a ，給予舊廣義坐標 mathbf q 與舊廣義動量 mathbf p 在時間 tt_0 的初始值， mathbf q_0 與 mathbf p_0 ，依照前面所述方法，就可以求出舊正則坐標隨時間的演變。 分離變數法 哈密頓 雅可比方程最有用的時候，是當它可以使用分離變數法，來直接地辨明運動常數。假設，HJE 可以分為兩部分。一部分只跟廣義坐標 q_k 、哈密頓主函式的偏導數 frac partial Spartial q_k 有關，標記這部分為 psi left q_k frac partial Spartial q_k right 。另一部分跟 q_k 、 frac partial Spartial q_k 無關。對於這狀況，哈密頓主函式 S 可以分離為兩個函式。一個函式 S_k 除了廣義坐標 q_k 以外，跟任何其它廣義坐標無關。另外一個函式 S_rm rem 跟 q_k 無關。 S S_kq_k mathbf P S_rm remq_1 dots q_k1 q_k1 ldots q_N mathbf P t 。 由於每一個廣義動量都是運動常數，mathbf Pmathbf a ，函式 S_k 只跟廣義座標 q_k 有關： S_kq_k mathbf PS_kq_k ， psi left q_k frac partial Spartial q_k rightpsi left q_k frac dS_kdq_krightpsi q_k 。 若將哈密頓主函式 S 代入 HJE，則可以觀察到，q_k 只出現於函式 psi 內部，而不出現於 HJE 的任何其它地方。所以，函式 psi 必須等於常數（在這裡標記為 Gamma_k）。這樣，可得到一個一階常微分方程： psi left q_k frac d S_kd q_k right Gamma_k 。 在某些問題裡，很幸運地，函式 S 可以完全的分離為 N 個函式 S_kq_k： SS_1q_1S_2q_2cdotsS_Nq_N a_mathcal H t 。 這些問題的偏微分方程可以分離為 N 個常微分方程。 哈密頓主函式 S 的可分性，相關於哈密頓量和廣義坐標的選擇。假若，一個物理系統符合施特克爾條件 ，則哈密頓主函式 S 可以完全分離。以下為用幾種正交座標來完全分離 HJE 的例子。 球坐標系 採用球坐標 r theta phi ，假設一個物理系統的哈密頓量為 mathcal H frac 12m left p_r2 frac p_theta2r2 frac p_phi2r2 sin2 theta right U r theta phi ； 其中，p_r p_theta p_phi 是廣義動量，U 為位勢函式，不含時間。 那麼，哈密頓 雅可比方程可以表達為 mathcal H frac 12m left left frac partial Spartial rright2 frac 1r2left frac partial Spartial thetaright2 frac 1r2 sin2 thetaleft frac partial Spartial phiright2 right U r theta phifrac partial Spartial t0 ； 其中，S 是哈密頓主函式。 假若，位勢函式 U r theta phi 的形式可以進一步設定為 U r theta phi U_rr frac U_thetathetar2 frac U_phiphir2sin2theta ； 其中， U_rr 、 U_thetatheta 、 U_phiphi ，都是任意函式；則 HJE 是完全可分的。將完全分離的解答 S S_rr S_thetatheta S_phiphi a_mathcal H t 代入 HJE ，會得到方程式 left left frac dS_rdr right2 2m U_rrright frac 1r2 left left frac dS_thetadtheta right2 2m U_thetatheta right frac 1r2sin2theta left left frac dS_phidphi right2 2m U_phiphi right 2ma_mathcal H 。 變數 phi 只出現於公式左手邊的第三個方括弧內；其它變數都不出現於公式的這部分。所以，可以將這部分孤立出來，成為一個常微分方程： left frac dS_phidphi right2 2m U_phiphi Gamma_phi ； 其中，Gamma_phi 是運動常數。 簡化的 HJE 跟 phi 無關： left left frac dS_rdr right2 2m U_rr right frac 1r2 left left frac dS_thetadtheta right2 2m U_thetatheta frac Gamma_phisin2theta right 2m a_mathcal H 。 同樣地，可以將變數 theta 出現的部分孤立出來，成為一個常微分方程： left frac dS_thetadtheta right2 2m U_thetatheta frac Gamma_phisin2theta Gamma_theta ； 其中，Gamma_theta 是運動常數。 剩下的是一個徑向距離函式 S_r 的常微分方程。： left frac dS_rdr right2 2mU_rr frac Gamma_thetar2 2m a_mathcal H 。 這樣，可以完全地分離 HJE 。 橢圓柱坐標系 採用橢圓柱坐標 mu nu z ，假設假設一個物理系統的哈密頓量為 mathcal H frac p_mu2 p_nu22ma2 left sinh2 mu sin2 nuright frac p_z22m U mu nu z 其中，p_mu p_nu p_z 是廣義動量，U 為位勢函式，不含時間。 那麼，哈密頓 雅可比方程可以表達為 mathcal H frac 12ma2 sinh2musin2nuleft left frac partial Spartial muright2 left frac partial Spartial nuright2right frac 12m left frac partial Spartial zright2 U mu nu zfrac partial Spartial t0 。 假若，位勢函式 U mu nu z 的形式可以進一步設定為 U mu nu z frac U_mumu U_nunusinh2 mu sin2 nu U_zz ； 其中，U_mumu 、 U_nunu 、 U_zz ，都是任意函式；則 HJE 是完全可分的。猜想一個完全分離解答 S S_mumu S_nunu S_zz a_mathcal H t 。將這猜想公式代入 HJE ， frac 12m left frac dS_zdz right2 U_zz frac 12ma2 sinh2 mu sin2 nu left left frac dS_mudmu right2 left frac dS_nudnu right2 2m a2 U_mumu 2m a2 U_nunuright a_mathcal H 。 公式左手邊的前兩個專案只跟變數 z 有關；其它的專案都跟 z 無關。所以，可以將那兩個專案分離出來，成為一個常微分方程： frac 12m left frac dS_zdz right2 U_zz Gamma_z ； 其中，Gamma_z 是運動常數。 簡化的 HJE 跟 z 有關： left frac dS_mudmu right2 left frac dS_nudnu right2 2m a2 U_mumu 2m a2 U_nunu 2ma2 left sinh2 mu sin2 nuright left a_mathcal H Gamma_z right 。 這公式又可以分離成兩個相互獨立的常微分方程： left frac dS_mudmu right2 2m a2 U_mumu 2ma2 left Gamma_z a_mathcal H right sinh2 mu Gamma_mu ， left frac dS_nudnu right2 2m a2 U_nunu 2ma2 left Gamma_z a_mathcal H right sin2 nu Gamma_mu 。 其中，Gamma_mu 是運動常數。 這樣，可以完全地分離 HJE 。 拋物柱面坐標系 採用拋物柱面坐標 sigma tau z ，假設假設一個物理系統的哈密頓量為 mathcal H frac p_sigma2 p_tau22m left sigma2 tau2right frac p_z22m U sigma tau z ； 其中，p_sigma p_tau p_z 是廣義動量，U 為位勢函式，不含時間。 那麼，哈密頓 雅可比方程可以表達為 mathcal Hfrac 12m sigma2 tau2left left frac partial Spartial sigmaright2left frac partial Spartial tauright2right frac 12mleft frac partial Spartial zright2 U sigma tau zfrac partial Spartial t0 。 假若，位勢函式 U sigma tau z 的形式可以進一步設定為 U sigma tau z frac U_sigmasigma U_tautausigma2 tau2 U_zz ； 其中，U_sigmasigma 、 U_tautau 、 U_zz ，都是任意函式；則 HJE 是完全可分的。猜想一個完全分離解答 S S_sigmasigma S_tautau S_zz a_mathcal H t 。將這猜想公式代入 HJE ， frac 12m left frac dS_zdz right2 U_zz frac 12m left sigma2 tau2 right left left frac dS_sigmadsigma right2 left frac dS_taudtau right2 2m U_sigmasigma 2m U_tautauright a_mathcal H 。 公式左手邊的前兩個專案只跟變數 z 有關；其它的專案都跟 z 無關。所以，可以將那兩個專案分離出來，成為一個常微分方程： frac 12m left frac dS_zdz right2 U_zz Gamma_z ； 其中，Gamma_z 是運動常數。 簡化的 HJE 跟 z 無關： left frac dS_sigmadsigma right2 left frac dS_taudtau right2 2m U_sigmasigma 2m U_tautau 2m left sigma2 tau2 right left a_mathcal H Gamma_z right 。 這公式又可以分離成兩個相互獨立的常微分方程： left frac dS_sigmadsigma right2 2m U_sigmasigma 2msigma2 left Gamma_z a_mathcal H right Gamma_sigma ， left frac dS_taudtau right2 2m a2 U_tautau 2m tau2 left Gamma_z a_mathcal H right Gamma_sigma ； 其中，Gamma_sigma 是運動常數。 這樣，可以完全地分離 HJE。 薛丁格方程式 「哈密頓類比」是威廉哈密頓在研究古典力學時給出的理論，又稱為「光學 力學類比」；哈密頓指出，在古典力學裡粒子的運動軌道，就如同在幾何光學裡光線的傳播路徑；垂直於這軌道的等作用量曲面，就如同垂直於路徑的等傳播時間曲面；描述粒子運動的最小作用量原理，就如同描述光線傳播的費馬原理。哈密頓發現，使用哈密頓 雅可比方程式，可以推匯出最小作用量原理與費馬原理；同樣的形式論，可以描述光的物理行為，不論光是由遵守費馬原理的光線組成，還是由遵守最小作用量原理的粒子組成。 很多光的性質，例如，衍射、干涉等等，無法用幾何光學的理論來作解釋，必須要用到波動光學的理論來證實。這意味著幾何光學不等價於波動光學，幾何光學是波動光學的波長超短於粒子軌道曲率半徑的極限案例。哈密頓又研究發現，使用哈密頓 雅可比方程式也可以描述波動光學裡遵守惠更斯原理的光波，只要將光線的等傳播時間曲面改為光波的波前。薛丁格尋思，古典力學與量子力學之間的關係，就如同幾何光學與波動光學之間的關係；哈密頓 雅可比方程式應該對應於量子力學的波動方程式在某種極限的案例，而這極限應該也是物質波波長超短於粒子軌道曲率半徑的極限（或按照對應原理，普朗克常數趨於 0 的極限）；按照先前哈密頓類比的模式，依樣畫葫蘆，應該可以找到正確形式的波動方程式。這想法很正確，經過一番努力，他成功地推匯出薛丁格方程式。 粒子方程式波動方程式 設想一個粒子，運動於一個保守的位勢 U mathbf r ，它的哈密頓 雅可比方程為 frac 12m left boldsymbolnabla S right2 U frac partial Spartial t 0 ； 其中，S mathbf r boldsymbol a t 是哈密頓主函式。 由於位勢與時間無關，哈密頓主函式可以分離成兩部分： S W mathbf r boldsymbol a Et ； 其中，不含時的函式 W mathbf r boldsymbol a 是哈密頓特徵函式，E 是能量。 將哈密頓主函式的公式代入哈密頓 雅可比方程，稍加運算，可以得到 boldsymbol nabla S sqrt 2m EU ； 哈密頓主函式對於時間的全導數是 frac dSdtfrac partial Spartial t nabla Scdotfrac dmathbf rdt 。 哈密頓主函式 S 的常數等值曲面 sigma_0 在空間移動的方程式為 0frac partial Spartial t nabla Scdotfrac dmathbf rdt E nabla Scdotfrac dmathbf rdt 。 所以，在設定等值曲面的正負面後，sigma_0 朝著法線方向移動的速度 u 是 ufrac drdtfrac Enabla Sfrac Esqrt 2m E U 。 這速度 u 是相速度，而不是粒子的移動速度 v ： vfrac boldsymbol nabla Smsqrt frac 2 EUm 。 想像 sigma_0 為一個相位曲面。既然粒子具有波粒二象性，試著給予粒子一個相位與 S 成比例的波函式： Psi mathbf rtA mathbf r eiSkappa ； 其中，kappa 是常數，A mathbf r 是跟位置有關的係數函式。 將哈密頓主函式的公式代入 Psi mathbf rt 波函式， Psi mathbf rtA mathbf r ei W Etkappa 。 注意到 Ekappa 的因次必須是頻率，薛丁格突然想到愛因斯坦的光電效應理論 Ehbar omega ；其中，hbar 是約化普朗克常數，omega 是角頻率。他嘗試設定 kappahbar ，粒子的波函式 Psi 變為 Psi mathbf rtA mathbf r ei W Ethbarpsi mathbf r e iEthbar ； 其中，psi mathbf rA mathbf r eiW mathbf rhbar 。 Psi mathbf rt 的波動方程式為 nabla2 Psi frac 1u2frac partial2 Psipartial t20 。 將 Psi mathbf rt 波函式代入波動方程式， 經過一番運算，得到 nabla2 Psi frac E2hbar2u2Psinabla2 Psi frac 2m E Uhbar2Psi0 。 注意到 EPsiihbarfrac partial Psipartial t 。稍加編排，可以推匯出含時薛丁格方程式： frac hbar22mnabla2 Psi mathbf rt UPsi mathbf rtihbarfrac partial Psi mathbf rtpartial t 。 波動方程式粒子方程式 逆反過來，從薛丁格方程式開始： frac hbar22mnabla2 Psi mathbf rt UPsi mathbf rtihbarfrac partial Psi mathbf rtpartial t 。 猜想 Psi 的形式為 Psi psi mathbf r eiS mathbf rthbar 。 將 Psi 代入薛丁格方程式，稍加運算，可以得到 frac 12m left boldsymbolnabla S right2 U frac partial Spartial t frac ihbar2m nabla2 S 。 取經典極限，hbar rightarrow 0，則可得到哈密頓 雅可比方程： frac 12m left boldsymbolnabla S right2 U frac partial Spartial t 0 。 由於這取極限的動作，在希爾伯特空間裡對於態向量的描述改變為在相空間裡對於粒子位置與動量的描述。薛丁格方程屬於線性方程，假若 chi_1、chi_2 皆是薛丁格方程的解答，則它們的線性疊加 c_1chi_1c_2chi_2 必定也是解答，其中 c_1、c_2 皆是複係數。哈密頓 雅可比方程屬於非線性方程，假若 f_1、f_2 皆是哈密頓 雅可比方程的解答，則它們的線性疊加 c_1f_1c_2f_2 必定不是解答。這意味著，在量子力學可以觀察得到的量子疊加現象，無法出現在經典力學。但是，簡單地推論，經典力學應是量子力學的極限案例，為什麼量子疊加現象無法出現於經典力學裡？這不僅僅是個理論問題，在實驗室裡，時常可以觀察到微觀粒子呈現出量子疊加現象，為什麼無法觀察到宏觀物體呈現出同樣的現象？更詳盡內容，請參閱條目量子退相干。 重力場 重力場可以用哈密頓 雅可比方程表達為 gikfrac partial Spartial xifrac partial Spartial xk m2 c2 0 ； 其中，gik 是度規張量逆變 分量，m 是固有質量，c 是光速。 參閱 哈密頓方程 作用量 作用量 角度坐標 拉普拉斯 龍格 冷次向量 參考文獻 Hamilton W 1833 On a General Method of Expressing the Paths of Light and of the Planets by the Coefficients of a Characteristic Function Dublin University Review pp 795826。 Hamilton W 1834 On the Application to Dynamics of a General 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