在科學和數學中，狄拉克函式或簡稱函式（譯名德爾塔函式、得耳他函式）是在實數線上定義的一個廣義函式或分佈。它在除零以外的點上都等於零，且其在整個定義域上的積分等於 1。函式有時可看作是在原點處無限高、無限細，但是總面積為 1 的一個尖峰，在物理上代表了理想化的質點或點電荷的密度。 從純數學的觀點來看，狄拉克函式並非嚴格意義上的函式，因為任何在擴充套件實數線上定義的函式，如果在一個點以外的地方都等於零，其總積分必須為零。函式只有在出現在積分以內的時候才有實質的意義。根據這一點，函式一般可以當做普通函式一樣使用。 狄拉克函式得名自物理學家保羅狄拉克，其形式上所遵守的規則屬於的一部分，是物理學和工程學的標準工具。包括函式在內的運算微積分方法，在 20 世紀初受到數學家的質疑，直到 1950 年代洛朗施瓦茨才發展出一套令人滿意的嚴謹理論。嚴謹地來說，函式必須定義為一個分佈，對應於支撐集為原點的機率測度。 在許多應用中，均將視為由在原點處有尖峰的函式所組成的序列的極限，而序列中的函式則可作為對函式的近似。在訊號處理上，函式常稱為單位脈衝符號或單位脈衝函式。克羅內克函式是對應於狄拉克函式的離散函式，其定義域為離散集，值域可以是 0 或者 1。 概述 δ 函式的圖形通常可以視為整條 x 軸和正 y 軸。雖然稱為函式，但 δ 函式並非真正的函式，至少它的值域不在實數以內。例如，和這兩個數學物件除了在以外都有相同的值，但其積分卻不相同。根據勒貝格積分理論，若 f 和 g 為函式，使得幾乎處處成立，則 f 可積當且僅當 g 可積且 f 和 g 的積分相同。要嚴謹處理 δ 函式，須用到測度論或分佈。 δ 函式可以代表一個既高又窄的尖峰函式（脈衝），用以描述點電荷和質點等抽象化的概念。舉例來說，要描述球桿擊球的動力學問題，可以用 δ 函式描述擊球那一刻的力。不但各種方程式會因此簡化，而且只需球桿傳遞的總衝量就能算出球擊出後的運動，而不須考慮球桿向球傳遞能量的複雜具體情況。 在應用數學中，δ 函式往往能看作是某函式序列的極限（弱極限），該序列中的每一項都在原點處有一個尖峰，例如以零為中心、方差趨向零的高斯分佈序列。 歷史 約瑟夫傅利葉在他的《熱分析理論》中呈現了以下的方程式，今天稱為傅裡葉積分定理： f xfrac 12piint_inftyinfty dalpha f alpha int_inftyinfty dp cos pxpalpha 這相當於以這種方式引入了 δ 函式： delta xalphafrac 12pi int_inftyinfty dp cos pxpalpha 之後，奧古斯丁路易柯西用指數函式表達了這一定理： f xfrac 12pi int_infty infty eipxleft int_inftyinfty eipalpha f alpha d alpha right dp 柯西指出，在某些情況下，積分的計算順序會影響計算結果。 分佈理論允許重新排列柯西方程式，使它更接近以上傅裡葉的方程式： begin align f xfrac 12pi int_inftyinfty eipxleft int_inftyinfty eipalpha f alpha d alpha right dp frac 12pi int_inftyinfty left int_inftyinfty eipx eipalpha dp right f alpha d alpha int_inftyinfty delta xalpha f alpha d alpha end align 其中 δ 函式可表達為： delta xalphafrac 12pi int_inftyinfty eip xalpha dp 在接下來的幾個世紀，數學家才逐漸理解這一指數形式的嚴謹含義，以及方程式中的函式 f 所需的條件。用舊有的數學觀念來理解，會有以下的問題： 經典傅裡葉變換的最大缺點在於，能夠有效計算的只有很狹窄的一類函式。這些函式必須（在無限的鄰域內）足夠快地降至零，才能保證傅裡葉積分值的存在。例如，連多項式這種如此簡單的函式，也不存在經典意義上的傅裡葉變換。經典傅裡葉變換擴充套件至分佈，大大增加了能夠進行變換的函式型別，移除了諸多障礙。 之後，米歇爾普朗歇爾（Michel Plancherel）開創性的 L2 理論（1910 年）、諾伯特維納和（Salomon Bochner）的貢獻（1930 年前後）以及最後洛朗施瓦茨歸納這一切的分佈理論（1945 年）進一步推廣了傅裡葉積分，並建立了狄拉克 δ 函式的嚴格定義。 1827 年，柯西首次明確寫下一個無限高的單位脈衝函式（柯西分佈的無限小版本）。西莫恩德尼帕松和古斯塔夫基爾霍夫之後在研究波傳播的時候，考慮過這一函式。基爾霍夫與赫爾曼馮亥姆霍茲將單位脈衝描述為高斯分佈的極限，這也符合開爾文勳爵對點熱源的描述。19 世紀末，奧利弗黑維塞利用形式上的傅裡葉級數對單位脈衝進行操作。1930 年，保羅狄拉克在影響深遠的《量子力學原理》中引入了 δ 函式作為一種「方便的記號」，故此該函式今天以他命名。 定義 籠統地來說，δ 函式是在實數線上的一個函式，在原點上無限，在所有其他點上為零， delta x begin cases infty x 0 0 x ne 0 end cases 並同時滿足以下條件 int_inftyinfty delta x dx 1 這只是一個概略的表述：δ 函式並不是一個嚴格意義上的函式，沒有任何定義在實數線上的函式能滿足以上的條件。更嚴謹地來說，δ 函式可以定義為分佈或測度。 測度 測度是其中一種嚴謹定義 δ 函式的方法。作為一個測度，δ 函式取一個實線 R 的子集 A，當時輸出，否則。如果把 δ 函式想象成位於 0 的一個理想化的質點，則 δA 代表集合 A 所包含的質量。一個函式相對於 δ 的積分便可以定義為相對於這個測度的勒貝格積分。對於所有連續緊支撐函式 f，這一積分滿足： int_inftyinfty f x deltadx f 0 測度 δ 相對於勒貝格測度不絕對連續，它其實是一個。因此，它並不具有拉東 尼科迪姆導數，也就是不存在滿足以下條件的函式 δ： int_inftyinfty f xdelta x dx f 0 雖然這種寫法仍非常常見，但是它實際上只是一種方便的記號，而不是任何有良好定義的（黎曼或勒貝格）積分。 作為 R 上的機率測度，狄拉克測度可以透過它的累積分佈函式單位階躍函式來定義： H x begin cases 1 text if xge 0 0 text if x 0 end cases 換句話說，H x 是積累指示函式相對於測度 δ 的積分： H x int_mathbf Rmathbf 1_inftyxtdeltadt delta inftyx δ 函式相對於一個連續函式的積分可以透過黎曼－斯蒂爾傑斯積分嚴格定義： int_inftyinfty f xdeltadx int_inftyinfty f x dH x δ 函式的所有更高矩都是零。其特徵函式和矩母函式都等於 1。 分佈 在分佈理論中，一個廣義函式並不像普通函式一樣直接定義，而是在它相對其他函式積分的時候，以它如何影響這一積分來定義。沿著這條思路，只須定義 δ 函式相對某個足夠「良好」的測試函式的「積分」就足夠了。如果 δ 函式已經定義為測度，則這種積分可以是測試函式相對於這 δ 測度的勒貝格積分。 測試函式空間一般可包括所有 mathbf R 上的緊支撐光滑函式。作為一個分佈，δ 函式是在測試函式空間上的線性泛函，定義為 若要使 δ 成為一個正式的分佈，它必須要在測試函式空間上相對某個合適拓撲為連續的。在測試函式空間上的線性泛函 S 要能夠良好定義一個分佈，其必要和充分條件是，對於每個正整數 N，有整數 M_N 和常數 C_N，使得對每個測試函式 varphi，以下不等式都成立： S varphi le C_N sum_k0M_Nsup_xin NNvarphikx 當 S 就是 δ 分佈時，對所有的 N 取 C_N1M_N0，就能滿足這條不等式。因此，δ 是級數為零的分佈。它也是一個緊支撐分佈，其支撐集是 0。 δ 分佈有幾種等價的定義。例如，它是黑維塞階躍函式的分佈導數，也就是說，對於任何測試函式 varphi， delta varphi int_inftyinfty varphix H x mathrm d x 直觀而言，如果允許分部積分法，以上的積分就會簡化為 int_inftyinfty varphi x Hx mathrm d x int_inftyinfty varphi xdelta x mathrm d x 而利用黎曼－斯蒂爾傑斯積分的分部積分法可以得到 int_inftyinfty varphix H x mathrm d x int_inftyinfty varphi xmathrm d H x 在測度論中，狄拉克測度透過積分產生分佈。相反，公式 在所有緊支撐連續函式 varphi 空間上定義了一個，且根據里斯表示定理，該積分可以表示為 varphi 相對於某拉東測度的勒貝格積分。 當講到「狄拉克 δ 函式」時，一般指的是分佈，而不是測度。因此一些文獻也會稱之為「狄拉克 δ 分佈」。測度論中相對應的概念則稱為。 推廣 在 n 維歐幾裡得空間 Rn 中，狄拉克 δ 函式可以定義為一個測度，使得對於所有緊支撐連續函式 f，滿足 int_mathbf Rn f mathbf xdeltadmathbf x f mathbf 0 作為一個測度，n 維 δ 函式是每個獨立變數的 1 維 δ 函式的積測度。也就是說，若，則 上文的 1 維 δ 分佈也存在 n 維推廣。儘管在物理學和工程學中應用廣泛，公式 還是必須小心使用，因為多個分佈的積只有在較狹窄的條件下才有良好的定義。 狄拉克測度這個概念可以定義在任何集合上。設 X 是集合，，Σ 為 X 子集上的任何 σ 代數，則對每個集合可以定義測度： delta_x_0Abegin cases 1 text if x_0in A 0 text if x_0notin A end cases 這就是單位質量集中在 x0 處的狄拉克測度。 δ 函式也可以推廣至微分流形，由於具有微分結構，因此能保留它作為分佈的一些性質。流形 M 上以為中心的 δ 函式可定義為以下分佈： 對於所有 M 上的緊支撐光滑實數值函式 φ。一個常見的特殊情況是，M 是歐幾裡得空間 Rn 中的一個開集。 在區域性緊豪斯多夫空間 X 中，集中在點 x 的狄拉克測度是對應於對緊支撐連續函式 φ 的 Daniell 積分 的拉東測度。推廣到這一層次，已經無法進行普通的微積分，不過仍然可以使用抽象分析中的許多工具。例如，對映 x_0mapsto delta_x_0 是把 X 嵌入到包含所有在 X 上的有限拉東測度的空間（具有淡拓撲）的一個連續函式。而且，X 在這一嵌入下的值域的凸包，在在 X 上的機率測度空間中是一個稠密集。 性質 縮放與對稱 對非零純量 alpha，δ 函式有以下縮放性質： int_inftyinfty delta alpha xmathrm d x int_inftyinfty delta ufrac mathrm d ualpha frac 1alpha 所以 δ 函式是一個偶分佈，也就是說 delta x delta x 因此 δ 函式屬於1 階齊次函式。 代數性質 δ 和 x 的分佈積等於零： xdelta x 0 相反，若 xf xxg x，其中 f 和 g 為分佈，則存在常數 c 使得 f x g x c delta x 平移 延時 δ 函式的積分為： int_inftyinfty f t delta tTmathrm d t f T 因此 δ 函式有「篩選」或「取樣」的功能可以篩選出函式在 tT 的值。 可以推論，函式 f t 與延時 δ 函式卷積後會受到延時： f t delta tT stackrel mathrm def int_inftyinfty f tau delta tTtau mathrm dtau intlimits_inftyinfty f tau delta tautT mathrm dtau （利用 ：delta xdelta x） f tT 這必須在 f 是緩增分佈的前提下才會成立（見下文關於傅裡葉變換的討論）。以一個特殊情況為例，有恆等式如下（把 δ 視為分佈） int_inftyinfty delta xix delta xeta mathrm d x delta xieta 與函式的復合 更一般地來說，δ 分佈可以和光滑函式 g x 復合，使得熟悉的變數更換公式成立： int_mathbf R deltabigl g xbigr fbigl g xbigr gxmathrm d x int_g mathbf R delta u f u mathrm d u 條件是 g 為連續可微函式且處處非零。換言之，deltacirc g 作為一個分佈具有唯一的定義，使得這條恆等式對於一切緊支撐測試函式 f 都成立。因此，定義域必須切割開來，排除 g0 這一點。如果 g 處處非零，那麼此分佈滿足 delta g x0；否則如果 g 在 x_0 處有一個實數根，則 delta g x frac delta xx_0gx_0 很自然地，對連續可微函式 g，可以把 delta g x「定義」為 delta g x sum_i frac delta xx_igx_i 其中求和跑遍 g x 的所有根，這些根都假設為單根。比如， deltaleft x2alpha2right frac 12alphaBig deltaleft xalpharightdeltaleft xalpharightBig δ 分佈的廣義縮放特性，用積分寫出： int_inftyinfty f x delta g x dx sum_ifrac f x_igx_i 在 n 維中的性質 δ 分佈在 n 維空間中的縮放性質如下： delta alphamathbf x alphandelta mathbf x 從而 δ 是一個 n 階齊次分佈。δ 分佈在任何鏡射和旋轉 rho 下不變： delta rho mathbf x delta mathbf x 和單變數時一樣，可以唯一地定義 δ 與雙利普希茨函式 gmathbf Rntomathbf Rn 的復合，使得恆等式 int_mathbf Rn delta g mathbf x f g mathbf x det gmathbf x mathrm dmathbf x int_g mathbf Rn delta mathbf u f mathbf umathrm dmathbf u 對於所有緊支撐函式 f 成立。 利用幾何測度論中的餘面積公式，可以定義 δ 函式與從一個歐幾裡得空間到另一個不同維度的空間的浸沒的復合，所產生的結果是一種流。在連續可微函式 gmathbf Rntomathbf Rn 滿足 g 的梯度處處非零的特殊情況下，以下恆等式成立： int_mathbf Rn f mathbf x delta g mathbf x mathrm dmathbf x int_g10frac f mathbf xmathbf nabla gmathrm dsigma mathbf x 其中右邊的積分範圍是 g10，即 g mathbf x0 所定義的一個 n1 維曲面（依閔可夫斯基容度）。這叫做單層（simple layer）積分。 更一般地來說，若 S 是 mathbf Rn 中的光滑超曲面，則可以把 S 聯絡到在 S 上對任何緊支撐光滑函式 g 積分的分佈： delta_S g int_S g mathbf smathrm dsigma mathbf s 其中 sigma 是聯絡到 S 的超曲面測度。這種推廣與 S 上的單層位勢的位勢論相關。設 D 是 mathbf Rn 中具有光滑邊緣 S 的區域，則 delta_S 等於 D 的指示函式的（分佈意義上的）法向導數： int_mathbf Rn g mathbf xfrac partial 1_D mathbf xpartial nmathrm dmathbf xint_Sg mathbf smathrm dsigma mathbf s 其中 n 是向外法線。 傅裡葉變換 δ 函式屬於緩增函式，所以擁有良好定義的傅裡葉變換。正式地說，（在一些傅裡葉變換慣例下）有 hat deltaxiint_inftyinfty e2pi i x xidelta xdx 1 一個分佈的傅裡葉變換的定義是，在緩增分佈與速降函式的對偶配對 langlecdotcdotrangle 下，要求傅裡葉變換是自伴的。從而，hat delta 定義為滿足以下條件的唯一緩增分佈： langlehat deltavarphirangle langledeltahat varphirangle 對於一切速降函式 φ。從此可推導，的確 hat delta1。 這條恆等式意味著，δ 函式與任何其他緩增分佈 S 的卷積即等於 S： Sdelta S 這意味著，δ 是緩增分佈上的卷積的單位元。而且，在卷積下的緊支撐分佈空間是一個以 δ 函式為單位元的結合代數。這在訊號處理應用中尤其重要，因為與緩增分佈的卷積屬於線性非時變系統，而基於 δ 函式的線性非時變系統可以測量該緩增分佈的脈衝響應。只要對 δ 作適當的近似，就可以以任意要求的程度算出脈衝響應。一旦知道脈衝響應，就能完全描述整個系統的特徵。詳見線性非時變系統理論：脈衝響應和卷積。 緩增函式 f ξ 1 的反傅裡葉變換等於 δ 函式。更正式地表達， int_inftyinfty 1 cdot e2pi i xxidxi delta x 更嚴謹地來說，有 langle 1 fveerangle f 0 langledeltafrangle 對於一切速降函式 f。 這樣，δ 函式暗示著在 R 上的傅裡葉核的正交性，即： int_inftyinfty ei 2pi xi_1 t left ei 2pi xi_2 trightdt int_inftyinfty ei 2pi xi_2 xi_1 t dt delta xi_2 xi_1 換句話說，緩增分佈 f t ei2pixi_1 t 的傅裡葉變換是 hat fxi_2 delta xi_1xi_2 這同樣可以透過對傅裡葉變換要求自伴性而得出。 利用傅裡葉變換的解析延拓，可以得出 δ 函式的拉普拉斯變換： int_0inftydelta ta est dtesa 分佈導數 狄拉克 δ 分佈的分佈導數是一個分佈 δ，它對於所有緊支撐光滑測試函式 φ 定義為 deltavarphi delta varphivarphi0 此處第一個等號類似於分部積分，因為若 δ 是個真正的函式，則 int_inftyinfty deltaxvarphi xdx int_inftyinfty delta x varphixdx δ 的 k 階導數的定義大同小異，對任何測試函式 φ， deltakvarphi 1k varphik0 從而 δ 是個無限可微分佈。 δ 函式的一階微分是差商 deltax lim_hto 0 frac delta xhdelta xh 的分佈極限。更準確地說，有 delta lim_hto 0 frac 1htau_hdelta delta 其中 τh 是平移運算元，對於函式的定義是，而對於分佈 S 的定義是 tau_h Svarphi S tau_hvarphi 在電磁學中，δ 函式的一階導數代表一個位於原點的點磁偶極，因此也稱為「偶極」或偶函式。 δ 函式的導數滿足一些基本性質，包括： begin align frac ddxdelta x frac ddxdelta x 8pt deltax deltax 8pt xdeltax delta x end align 這些性質都可以透過對測試函式積分，並運用分部積分法推導而出。 另外，δ與緊支撐光滑測試函式 f 的卷積為 deltaf deltaf f 這來自卷積的分佈導數的性質。 更高維度 更一般地說，在 n 維歐幾裡得空間 Rn 中的開集 U 上，以點為中心的狄拉克 δ 分佈定義為 delta_a varphivarphi a 對於一切，其中 S U 是所有 U 上的緊支撐光滑函式的空間。若是任何多重指標，而α 表示相關的混合偏導數運算元，則 δa 的 α 階導數αδa 是 leftlangle partialalpha delta_a varphi rightrangle 1 alpha leftlangle delta_a partialalpha varphi rightrangle left 1 alpha partialalpha varphi x right_x a 對於一切。也就是說，δa 的 α 階導數是個分佈，它在任何測試函式 φ 的值等於 φ 在點 a 的 α 階導數（加上合適的正負號）。 δ 函式的一階偏導數可以視為沿著坐標平面的雙層。更一般地來講，支撐在一個曲面上的單層的法向導數是在該曲面上的雙層，並表示一個層磁單極。δ 函式的更高階導數，在物理學裡稱為多極。 高階導數很自然地能夠建構具有單元素支撐集的分佈的完整結構。若 S 是任何在 U 上、支撐集為一個點 a 的分佈，那麼存在整數 m 和一組係數 cα，使得 S sum_alphale m c_alpha partialalphadelta_a δ 函式的表示 δ 函式可以視為一個函式序列的極限： delta x lim_varepsilonto 0 eta_varepsilon x 其中 ηεx 有時稱為初生 δ 函式。這一極限是個弱極限：對於一切緊支撐連續函式 f，有 或者，這個極限對於一切緊支撐光滑函式 f 都存在。這兩種不同的弱收斂模式往往有十分微妙的差異，前者是依測度的淡拓撲收斂，而後者則是分佈的收斂。 對單位元的近似 通常一個初生 δ 函式 ηε 可以如下建構。設 η 是一個 R 上的總積分為 1 的絕對可積函式，並定義 eta_varepsilon x varepsilon1 eta left frac xvarepsilon right 在 n 維當中，改用以下縮放 eta_varepsilon x varepsilonn eta left frac xvarepsilon right 在簡單的變數更換之後，可見 ηε 的積分同樣等於 1。不難證明， 對於一切連續緊支撐函式 f 都成立，從而 ηε 作為一個測度向 δ 弱收斂。 這樣建構的 ηε 叫做對單位元的近似，因為包含所有絕對可積函式的空間 L1 R 在函式卷積這一作用下閉合：，當 f 和 g 都屬於 L1 R。然而，L1 R 在卷積下並沒有單位元：沒有任何元素 h 使得對於所有 f 都成立。但序列 ηε 仍然能夠近似這種單位元，就是說 feta_varepsilon to fquadrm asvarepsilonto 0 在平均收斂（即 L1 中的收斂）下，此極限存在。要確保幾乎處處點收斂，還需要對 ηε 加上更多的前提，比如它必須是對應於一個緊支撐函式的柔化函式。 如果最初的本身已經是光滑的而且具有緊支撐，那麼整個序列就叫做柔化序列。標準柔化序列可以透過選擇某個適當歸一化的脈衝函式 η 來定義，例如 eta x begin cases efrac 11x2 text if x 1 0 text if xgeq 1 end cases 在數值分析等的一些情況下，以分段線性函式對單位元進行近似會更加有用。可以定義 η1 是一個三角形函式，然後有 eta_varepsilon x varepsilon1max left 1leftfrac xvarepsilonright0 right 它們全部都是連續的且具有緊支撐，但不是光滑的，從而也不是柔化函式。 機率論 在機率論中，很自然地會加入一項額外條件，亦即要求對單位元近似的初始 η1 是正的，因為這樣它就會代表一個機率分佈。有時需要和機率分佈來卷積的原因是，輸出值是輸入值的凸組合，因此處於最高與最低輸入值之間，從而能夠避免過衝或下衝。取 η1 為任何隨意的機率分佈，並如上設，就可以取得對單位元的近似。此外，如果 η 的平均值為 0，且更高矩較小，那麼序列就會向 δ 函式收斂得更快。比如，設 η1 是上的均勻分佈，即矩形函式，則： eta_varepsilon x frac 1varepsilon textrm rectleft frac xvarepsilonright begin cases frac 1varepsilonfrac varepsilon2xfrac varepsilon2 0text otherwise end cases 又以維格納半圓分佈舉例， eta_varepsilon x begin cases frac 2pi varepsilon2sqrt varepsilon2 x2 varepsilon x varepsilon 0 text otherwise end cases 這是連續的，且具有緊支撐，但因為不是光滑的，所以也不是柔化函式。 半群 初生 δ 函式往往以卷積半群的身份出現。這相等於另加一個條件ηε 與 ηδ 的卷積必須滿足 eta_varepsilon eta_delta eta_varepsilondelta 對於所有 ε 和。L1 中形成初生 δ 函式的卷積半群一定是對單位元的近似（用上式的意思），但半群設下了限制性頗強的條件。 在實踐當中，對單位元的半群近似出現在物理學所啟發的橢圓型和拋物型偏微分方程中，作為基本解或格林函式。在應用數學中，半群是線性非時變系統的輸出。抽象地來說，若 A 是一個作用在 x 的函式上的線性運算元，則在對初值問題求解時會出現卷積半群： begin cases frac partialpartial teta tx Aeta tx quad t0 displaystylelim_tto 0 eta tx delta x end cases 其中極限同樣是弱極限。設，得出相關的初生 δ 函式。 下面將列出若干有物理意義的、在此類基本解中所出現的卷積半群。 熱核 熱核，定義是 eta_varepsilon x frac 1sqrt 2pivarepsilon mathrm efrac x22varepsilon 代表的是一條無限長絲在 t 0 時的溫度，如果在 t 0 時在原點處儲藏了一個單位的熱能。此半群依照一維熱傳導方程式演變： frac partial upartial t frac 12frac partial2 upartial x2 在機率論中，ηεx 是一個平均值為 0、方差為 ε 的正態分佈。它代表了一個粒子從原點開始，作標準布朗運動，在這一刻的機率密度函式。在這種情況下，半群條件也就體現了布朗運動的馬可夫性質。 在高維歐幾裡得空間 Rn 中，熱核等於 eta_varepsilon frac 12pivarepsilonn2mathrm efrac xcdot x2varepsilon 並且在作必要的修改後有著相同的物理解釋。而且，當，，因此它也代表了一個初生 δ 函式。 帕松核 帕松核 eta_varepsilon x frac 1pi frac varepsilonvarepsilon2 x2int_inftyinftymathrm e2pimathrm i xi xvarepsilon xidxi 是拉普拉斯方程在上半平面中的基本解。它代表了一個半無限平板在邊緣的電勢固定為 δ 函式時的電勢。帕松核也和柯西分佈有緊密的聯絡。半群根據以下方程演變： frac partial upartial t left frac partial2partial x2 rightfrac 12 u tx 其中的運算元嚴謹地定義為傅裡葉乘數 mathcal Fleft left frac partial2partial x2 rightfrac 12 frightxi 2piximathcal F f xi 震蕩積分 在波動力學等物理範疇中，須要解不少雙曲型偏微分方程，而這些方程有更多的奇異解。因此，從相關的柯西問題的基本解所產生的初生 δ 函式，一般都是震蕩積分。例如，從穿音速氣體動力學的的解，取得歸一化艾裡函式 varepsilonfrac 13operatorname Aileft xvarepsilonfrac 13 right 雖然用的是傅裡葉變換，但是不難看到，這從某種意義上產生了一個半群，只不過由於它不是絕對可積的，所以無法從上文更強的意義來定義半群。許多用振蕩積分來建構的初生 δ 函式，只能從分佈意義上收斂（見下文的例子狄利克雷核），而不能從測度意義上收斂。 另一個例子是 R11 中的波動方程式的柯西問題： begin align c2frac partial2upartial t2 Delta u 0 u0quad frac partial upartial t delta qquad text for t0 end align 解 u 代表了一條具有無限彈性的弦，一開始在原點處受到擾動後，距離平衡的位移程度。 其他同類的對單位元的近似還包括，廣泛應用於電子和電訊中的 sinc 函式 eta_varepsilon xfrac 1pi xsinleft frac xvarepsilonrightfrac 12piint_frac 1varepsilonfrac 1varepsilon cos kxdk 以及貝塞爾函式 eta_varepsilon x frac 1varepsilon J_frac 1varepsilon left frac x1varepsilonright 平面波分解 要對線性偏微分方程 L uf 求解，其中 L 是 Rn 上的一個微分運算元，可以先取得基本解，即對以下方程求解： L udelta 當 L 相對簡單的時候，通常直接利用傅裡葉變換就可以求解（如上文提到的帕松核和熱核）。如果運算元比較複雜，可以先考慮更簡單的方程 L uh 其中 h 是一個平面波函式，意思是對於某向量 ξ，有 h h xcdotxi 這樣的方程可以用求解（如果 L 的係數是解析函式），或者用求積法求解（如果 L 的係數是常數）。所以，如果 δ 函式能夠分解成平面波的話，理論上就能取得線性偏微分方程的解。 對 δ 函式進行平面波分解的方法，最早是約翰拉東（Johann Radon）所發展的一套通用技巧之一，之後由弗瑞茲約翰進一步發展至這種形式（1955）。選擇 k，使得是一個偶整數；對於實數 s，定義 g s operatorname Releft frac sklog isk2pi inright begin cases frac sk4k2pi in1n text odd frac sklogsk2pi inn text even end cases 要取得 δ，對相對球體測度 dω 積分，再對積分施用拉普拉斯運算元的冪，其中 ξ 屬於單位球面 Sn1： delta x Delta_xfrac nk2 int_Sn1 g xcdotxidomega_xi 此處的拉普拉斯運算元理解為弱導數，所以上式的意思是，對於任何測試函式 φ， varphi x int_mathbf Rnvarphi ydyDelta_xfrac nk2 int_Sn1 g xycdotxidomega_xi 這一結果來自牛頓位勢公式（牛頓位勢是帕松方程的基本解）。這實際上是拉東變換的逆轉公式，因為它能夠從 φx 在超曲面上的積分取回 φx 的值。例如，若 n 是奇數，而，則右邊的積分等於 c_n Deltafrac n12_xintint_Sn1 varphi yyxcdotxidomega_xidy c_nDeltafrac n12_xint_Sn1 domega_xi int_inftyinfty pRvarphi xipxcdotxidp 其中是 φ 的拉東變換： Rvarphi xip int_xcdotxip f xdn1 x 平面波分解的另一個等價表示式是 delta x frac n12pi inint_Sn1xcdotxindomega_xi 對於偶數 n，且 delta x frac 12 2pi in1int_Sn1deltan1xcdotxidomega_xi 對於奇數 n。 傅裡葉核 在對傅裡葉級數的研究當中，一個重要的問題是須要判斷，和某週期函式相關的傅裡葉級數是否收斂到該函式，以及從何種意義上收斂。週期為 2π 的函式 f 的傅裡葉級數的第 n 部分和，定義是與狄利克雷核在區間 ππ 上的卷積： D_N x sum_nNN einx frac sinleft Ntfrac12 xrightsin x2 因此 s_N fx D_Nf x sum_nNN a_n einx 其中 a_n frac 12piint_pipi f y einydy 傅裡葉級數的一個基礎結果說明，當，狄利克雷核趨向於 δ 函式的倍數。收斂指的是從分佈意義上的收斂，即 s_N f0 int_mathbf R D_N x f xdx to 2pi f 0 對於一切緊支撐光滑函式 f。從而，在區間 ππ 上有 delta x frac1 2pi sum_ninftyinfty einx 儘管如此，但這並不對所有緊支撐連續函式成立，換言之，DN 從測度意義上並不弱收斂。鑒於傅裡葉級數無法收斂，因此數學家建立了各種可和性方法來達到收斂。從切薩羅求和法發展出費耶核 F_N x frac1Nsum_n0N1 D_n x frac 1Nleft frac sin frac Nx2sin frac x2right2 費耶核從一種更強的意義向 δ 函式收斂： int_mathbf R F_N x f xdx to 2pi f 0 對於一切緊支撐連續函式 f。結果是，所有連續函式的傅裡葉級數在每一點上都是切薩羅可和的，且和的值等於該函式的值。 希爾伯特空間理論 狄拉克 δ 分佈是在包含所有平方可積函式的希爾伯特空間 L2 上所稠密定義的一個無界線性泛函。緊支撐光滑函式在 L2 中是一個稠密集，且 δ 分佈對於緊支撐光滑函式有良好定義。在許多應用中，可以對 L2 的某個子空間賦予更強的拓撲，使得 δ 函式能夠定義一個有界線性運算元。 索伯列夫空間 應用在實數線 R 上的索伯列夫空間上時，意味著任何平方可積函式 f，只要滿足 f_H12 int_inftyinfty hat fxi2 1xi2dxi infty 就必定是連續的，而且滿足 delta ff 0 C f_H1 從而 δ 是一個在索伯列夫空間 H1 上的有界線性泛函。另一個等價的說法是，δ 是 H1 的連續對偶空間 H1 的元素。更一般地說，在 n 維中，有，條件是。 全純函式空間 在複分析中，δ 函式出現在柯西積分公式中，公式說明，若 D 是複數平面上一個具有光滑邊緣的域，則 f z frac 12pi i oint_partial D frac f zetadzetazetazquad zin D 對於一切在 D 的閉包內連續的全純函式。從而，對於此類全純函式，δ 函式 δz 可以以柯西積分表示： delta_z f f z frac 12pi i oint_partial D frac f zetadzetazetaz 更一般地來說，設 H2 D 是一個哈代空間，它是所有在 D 中直到 D 的邊緣都是連續的全純函式，在 L2 D 中的凸包。H2 D 中的函式可以唯一地延續成 D 上的全純函式，而且柯西積分公式仍然成立。特別是對於，δ 函式 δz 是一個 H2 D 上的連續線性泛函。這是多複數變數函式中的特殊情況：對於光滑域 D，代替了柯西積分的角色。 單位分解 在可分希爾伯特空間中，給定一個由函式 φn 組成的標準正交基（如一個緊自伴運算元的歸一化特徵向量），那麼任何向量 f 都可以表達成： f sum_n1infty alpha_n varphi_n 係數 αn 可以如下得出： alpha_n langle varphi_n f rangle 也可以寫為 alpha_n varphi_ndagger f 這是狄拉克符號的一種。在這種寫法下，f 以並矢方式展開： f sum_n1infty varphi_n left varphi_ndagger f right 設 I 是該希爾伯特空間上的恆等運算元，則表示式 I sum_n1infty varphi_n varphi_ndagger 稱為單位分解。當希爾伯特空間是 L2 D，包含所有在域 D 上的平方可積函式，那麼 varphi_n varphi_ndagger 就是一個積分運算元，而 f 可以重新表達為： f x sum_n1infty int_D left varphi_n x varphi_nxiright f xi d xi 右邊的級數是在 L2 當中向 f 收斂。就算 f 是連續函式，點收斂極限也不一定存在。儘管如此，往往可以濫用符號，寫 f x int delta xxi f xi dxi 如此來表示 δ 函式： delta xxi sum_n1infty varphi_n x varphi_nxi 在適當的中，其中包含所有緊支撐光滑函式，視乎基 φn 的性質，上方的級數有可能在 Φ 中收斂。在大多數實際情況下，標準正交基來自於某個積分或微分運算元，這時候級數會從分佈的意義上收斂。 無限小 δ 函式 1827 年柯西在若干論文中寫下無限高、無限窄的函式時，用到了一個無限小數 α，使得函式 δα 滿足 int F xdelta_alpha x F 0 他（以及拉扎爾卡諾）把無限小數定義為一個趨向於零的序列。 非標準分析能夠嚴謹地處理無限小數。利用超實數的語言，狄拉克 δ 函式可以用含有無限小數的延伸實數來表達，詳見論文所列出的相關書目。這樣定義的 δ 函式是真正意義上的函式，使得對於每個實函式 F，都有 int F xdelta_alpha x F 0 結果與傅裡葉和柯西用別的語言所表達的一樣。 狄拉克梳子 由一系列狄拉克測度組成的均勻脈衝串叫做，亦以西里爾字母Ш相形稱為Ш分佈，是一個取樣函式，常用在數碼訊號處理和離散時間訊號分析中。狄拉克梳子是許多單個 δ 函式的無限和，和的極限是分佈意義上的極限： Delta x sum_ninftyinfty delta xn 這可以理解為，在每個整數處都有一個單位質點。 狄拉克梳子是其自身的傅裡葉變換（或乘以某個歸一常數）。其重要性在於，若 f 是速降函式，則 f 在週期化後的結果以以下卷積表示： fDeltax sum_ninftyinfty f xn 特別有， fDeltawedge hat fwidehat Delta hat fDelta 這正是帕松求和公式。 索霍茨基 魏爾斯特拉斯定理 索霍茨基 魏爾斯特拉斯定理是量子力學中重要的定理，它把 δ 函式和分佈 pv1x 聯絡起來，後者是函式 1x 的柯西主值，定義是 leftlangleoperatorname pvfrac 1x varphirightrangle lim_varepsilonto 0int_xvarepsilon frac varphi xxdx 索霍茨基公式說明， lim_varepsilonto 0 frac 1xpm ivarepsilon operatorname pvfrac 1x mp ipidelta x 此處的極限是分佈意義上的極限，就是說對於一切緊支撐光滑函式 f， lim_varepsilonto 0 int_inftyinftyfrac f xxpm ivarepsilondx mp ipi f 0 lim_varepsilonto 0 int_xvarepsilonfrac f xxdx 與克羅內克 δ 函式的關係 克羅內克 δ 函式 δij 的定義是， delta_ij begin cases 1 ij 0 inotj end cases 對於所有整數 i、j。它滿足以下的篩選性質：若 a_i_i in mathbf Z 是一個兩頭無限的序列，則 sum_iinftyinfty a_i delta_ika_k 這和狄拉克 δ 函式的篩選性質十分相似：對於任何 R 上的實函式或複函式 f，有 int_inftyinfty f xdelta xx_0dxf x_0 也就是說，克羅內克 δ 函式可以看作是與狄拉克 δ 函式對應的離散函式。 應用 機率論 在機率論和統計學中，狄拉克函式往往以機率密度函式的身份，來代表一個離散分佈或部分離散、部分連續的分佈（機率密度函式一般只用作描述完全連續分佈）。例如，設一組點 x x1 xn，對應機率為 p1 pn；由這些點所組成的離散分佈的機率密度函式可以寫作 f x sum_i1n p_i delta xx_i 又舉一例，設一個分佈，其中十分之六的情況下輸出標準正態分佈，而十分之四的情況下輸出單個數值 35，這是一個部分連續、部分離散的混合分佈。其密度函式是 f x 06 frac 1sqrt 2pi efrac x22 04 delta x35 也可以以完全不同的方法，用 δ 函式表示擴散過程（如布朗運動）中的。一個隨機過程的區域性時的表示式為 ell xt int_0t delta xB sds 這代表了該過程在某特定區間內，在點 x 所花的時間。更準確地說，當只有一個維度時，上面的積分可以寫成 ell xt lim_varepsilonto 0frac 12varepsilonint_0t mathbf 1_xvarepsilonxvarepsilonB sds 其中是區間的指示函式。 量子力學 以下舉一個例子，展示 δ 函式如何在量子力學中派上用場。一個粒子的波函式所給出的，是粒子出現在特定空間範圍內的機率幅。波函式假定屬於希爾伯特空間 L2（平方可積函式空間），且粒子在某空間範圍內出現的總機率，等於波函式的絕對值平方在該範圍內的積分。一組波函式 φn 叫做標準正交，如果 langlevarphi_nvarphi_mrangle delta_nm 其中 δ 指的是克羅內克 δ 函式，而不是狄拉克 δ 函式。一組標準正交波函式叫做在平方可積函式空間中完備，如果任何波函式 ψ 都可以表達為一些 φn 的線性組合： psi sum c_n varphi_n 其中 c_n langle varphi_n psi rangle 。量子力學中的哈密頓算符量度的是（束縛態的）能級，而算符的所有本徵函式正正就組成了波函式完備標準正交系統，每個本徵函式所對應的特徵值等於能量值。這組能量值叫做這個哈密爾頓算符的光譜。利用狄拉克符號（如上），上式所表達的就是單位分解： I sum varphi_nranglelanglevarphi_n 此處，特徵值都是離散的，但一個可觀察量的特徵值也可以是連續的，就如位置算符。位置（在一維當中）的光譜是整條實數線，所以稱作連續光譜。不過，和哈密頓算符不同的是，位置算符並沒有正式的本徵函式。為瞭解決這一困局，通常會擴大所允許使用的函式，從普通的函式到所有分佈。換言之，量子力學的希爾伯特空間要由合適的取代。這樣一來，位置算符就有了一套完備的本徵分佈，對應於實數線上的每個點 y： varphi_y x delta xy 位置的本徵函式（分佈）用狄拉克符號記作 varphi_y yrangle，亦稱為位置本徵態。 這種處理方法同樣可以應用於動量算符，以及一切希爾伯特空間上的自伴無界運算元 P，前提是 P 具有連續光譜，且不存在退化特徵值。更確切地說，有一個實數的子集 Ω（即運算元的光譜）和一組分佈 φy，對應於 Ω 的每個元素 y，使得 Pvarphi_y yvarphi_y 也就是說，φy 是 P 的特徵向量（本徵分佈）。如果這些特徵向量（作為分佈）都滿足歸一化條件： langle varphi_yvarphi_yrangle delta yy 那麼對於一切測試函式 ψ，就有 psi x int_Omega c y varphi_y x dy 其中 c y langle psi varphi_y rangle 此處所得出的單位分解和離散的情況比較，有相似之處： I int_Omega varphi_yrangle langlevarphi_ydy 其中以運算元為值的積分同樣理解為弱積分。若 P 的光譜同時含有連續和離散部分，則它的單位分解須包含跑遍所有離散態的和，再加上跑遍所有連續態的積分。 δ 函式在量子力學中還有眾多特殊應用，例如 δ 位勢阱。 結構力學 在結構力學中，δ 函式可以用來描述結構上的瞬時荷載或點荷載。一個諧振子在 t0 時突然受到衝量為 I 的力的衝擊，其演變可以如下描述： m frac mathrm d2 ximathrm d t2 k xi I delta t 其中 m 是質量，ξ 是撓度，而 k 是彈簧常數。 根據尤拉伯努力理論，一條細長的樑的靜力負荷撓度是 EI frac mathrm d4 wmathrm d x4 q x 其中 EI 是樑的彎曲剛度，w 是撓度，x 是空間坐標，而 q x 則是負荷分佈。如果棟樑在 x x0 處受到點力 F 的負荷，那麼負荷分佈可以寫作 q x F delta xx_0 由於 δ 函式的積分是黑維塞階躍函式，因此細長棟樑在多個點受到點力負荷時的靜力負荷撓度，可以用一組分段多項式來表示。 δ 函式還可以描述作用在一條樑上的點。設兩個相距 d 的相反方向的點力 F，它們在棟樑上所產生的彎矩為 M Fd。在保持 M 不變的情況下，使 d 趨向於零。假設所產生的彎矩位於 x 0，方向是順時針，那麼對棟樑的負荷分佈就是 begin align q x lim_d to 0 Big F delta x F delta xd Big lim_d to 0 left frac Md delta x frac Md delta xd right M lim_d to 0 frac delta x delta x dd M deltax end align 因此點彎矩可以用 δ 函式的導數來描述。對棟樑方程積分，得出的撓度一樣是分段多項式。 參見 δ 位勢阱 格林函式 腳註 註釋 引註 參考資料 cf p 449 and pp 546551 法文原始文字請參見這裡 外部連結 KhanAcademyorg 影片講義 狄拉克 δ 函式 影片講義第 23 課 狄拉克 δ 函式 ，PlanetMath Category 傅裡葉分析 Category 函式 Category 測度論 Category 數碼訊號處理 Category 廣義函式 Category 保羅狄拉克