自然對數為以數學常數 e 為底數的對數函式，標記作 ln x 或 log_e x，其反函式為指數函式 ex。 自然對數積分定義為對任何正實數 x，由 1 到 x 所圍成，xy1 曲線下的面積。如果 x 小於 1，則計算面積為負數。 ln x int_1x frac dtt e 則定義為唯一的實數 x 使得 ln x 1。 自然對數一般表示為 ln x，數學中亦有以 log x 表示自然對數。例如哈代和賴特所著的《數論入門》Introduction to the theory of numbers 17 Sixth edition Oxford 2008 的註解 log x is of course the Napierian logarithm of x to base e Common logarithms have no mathematical interest（log x 當然是以 e 為基，x 的「納皮爾」對數。「常用」對數在數學上毫無重要。） 歷史 十七世紀 約翰納皮爾在 1614 年以及約斯特比爾吉在 6 年後，分別發表了獨立編制的對數表，當時透過對接近 1 的底數的大量乘冪運算，來找到指定範圍和精度的對數和所對應的真數。當時還沒出現有理數冪的概念，按後世的觀點，約翰納皮爾的底數 0999999910000000 相當接近 frac 1e 選取接近 e 的底數 b，對數表涉及的 bx 為單調增函式，定義域為 0 到 1 而值域為 1 到 b；選取接近 1e 的底數 b，對數表涉及的 bx 為單調減函式，定義域為 0 到而值域為 1 到 0。，而約斯特比爾吉的底數 1000110000 相當接近自然對數的底數 e。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，約翰納皮爾用了 20 年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，建議納皮爾改用 10 為底數未果，他用自己的方法以 10frac 1254 這個接近 1 的數為基礎。於 1624 年部份完成了常用對數表的編制。 形如 f xxp 的曲線都有一個代數反導數，除了特殊情況 p1 對應於雙曲線的，即雙曲線扇形；其他情況都由 1635 年發表的給出 博納文圖拉卡瓦列裡在 1635 年的《Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota》中給出定積分： int_0a xndx tfrac 1n1 an1 qquad n geq 0 其不定積分形式為： int xndx tfrac 1n1 xn1 C qquad n neq 1 獨立發現者還有：皮埃爾德費馬、和埃萬傑利斯塔托里拆利。 ，其中拋物線的弓形面積由公元前 3 世紀的阿基米德完成（拋物線的弓形面積），雙曲線的弓形面積需要發明一個新函式。1647 年將對數聯絡於雙曲線 xy1 的弓形面積，他發現 x 軸上 ab 兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形同 cd 對應的扇形，在 frac abfrac cd 時面積相同，這指出了雙曲線從 x1 到 xt 的積分 f t 滿足設 a1，x 軸上 ab 兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形面積為 f b，cd 對應的扇形面積為 f df c，dbc，即為 f bcf c，當且僅當 f bcf bf c 時，兩雙曲線扇形面積相等。： f tu f t f u 1649 年，將雙曲線下的面積解釋為對數。大約 1665 年，伊薩克牛頓推廣了二項式定理，他將 frac 11x 展開並逐項積分，得到了自然對數的無窮級數。自然對數 最早描述見於尼古拉斯麥卡託在 1668 年出版的著作《Logarithmotechnia》中，他也獨立發現了同樣的級數，即自然對數的麥卡託級數。 十八世紀 大約 1730 年，尤拉定義互為逆函式的指數函式和自然對數為 卡瓦列裡弓形面積公式，對於負數值的 n x 的負數冪，由於在 x 0 處有個奇點，因此定積分的下限為 1，而不是 0，即為： int_1a xndx tfrac 1n1 an1 1 qquad n neq 1 尤拉的自然對數定義： begin align ln x lim_n rightarrow infty n x1n 1 lim_n rightarrow 1 tfrac 1n1 xn1 1 end align sections 1 1 section 93 p 484 489： ex lim_n rightarrow infty left 1frac xnrightn ln x lim_n rightarrow infty nleft xfrac 1n 1right 1742 年威廉瓊斯發表了現在的冪指數概念 left 1 frac 1nrightxleft left 1 frac 1nrightnrightfrac xn 在最初的概念下，底數是接近 1 的數，而對數是整數；經過簡單變換後，底數變大了，成為接近數學常量 e 的數，而對數變小了，成為 xn。。 形式定義 尤拉定義自然對數為序列的極限： ln x lim_n rightarrow infty nleft xfrac 1n 1right ln a 正式定義為積分， ln aint_1a frac 1xdx 這個函式為對數是因滿足對數的基本性質 ln abln aln b 這可以透過將定義了 ln ab 的積分拆分為兩部份，並在第二部份中進行換元 xta 來證實 ln ab int_1ab frac 1x dx int_1a frac 1x dx int_aab frac 1x dx int_1a frac 1x dx int_1b frac 1at d at int_1a frac 1x dx int_1b frac 1t dt ln a ln b 冪公式 ln trrln t 可如下推出 ln tr int_1tr frac 1x dx int_1t frac 1ur dleft urright int_1t frac 1ur left rur 1 duright r int_1t frac 1u du r ln t 第二個等式使用了換元 uxfrac 1r。 自然對數還有在某些情況下更有用的另一個積分表示： ln x lim_epsilon to 0 int_epsiloninfty frac dttleft ext et right 性質 ln 1 int_11 frac 1tdt0 operatorname ln1 i pi 參見複數對數 ln x ln y quad rm forquad 0 x y lim_x to 0 frac ln 1xx 1 ln xy y ln x frac x1x leq ln x leq x1 quad rm forquad x 0 ln 1xalpha leq alpha x quad rm forquad x ge 0 alpha ge 1 證明 lim_h to 0 frac ln 1hh lim_h to 0 frac ln 1hln 1h frac ddx ln x Bigg_x1 1 導數 自然對數的導數為 frac ddx ln x frac 1x 證明一（微積分第一基本定理）frac ddx ln xfrac ddx int_1x frac 1tdt frac 1x 證明二：按此影片 frac ddx ln x lim_h to 0 frac ln xhln xh lim_h to 0 frac ln frac xhxh lim_h to 0 left frac 1h lnleft 1 frac hx rightrightquad lim_h to 0 lnleft 1 frac hx rightfrac 1h 設 ufrac hx Rightarrow uxh frac 1hfrac 1ux frac ddx ln xlim_u to 0 ln 1ufrac 1ux lim_u to 0lnleft 1ufrac 1u rightfrac 1x frac 1x lim_u to 0 ln 1ufrac 1u 設 nfrac 1u Rightarrow ufrac 1n frac ddx ln x frac 1x lim_n to infty ln left 1 frac 1n rightn frac 1x ln left lim_n to inftyleft 1 frac 1n rightn right frac 1x ln e frac 1x 用自然對數定義的更一般的對數函式，log_b xfrac ln xln b，根據其逆函式即一般指數函式的性質，它的導數為： frac ddx log_b x frac 1xln b 根據鏈式法則，以 f x 為引數的自然對數的導數為 frac ddx ln f x frac fxf x 右手端的商叫做 f 的，透過 ln f x 的導數的方法計算 fx 叫做對數微分，p 386。 冪級數 自然對數的導數性質導致了 ln 1x 在 0 處的泰勒級數，也叫做麥卡託級數： ln 1xsum_n1infty frac 1n1n xn x frac x22 frac x33 cdots 對於所有 leftxright leq 1 但不包括 x 1 把 x1 代入 x 中，可得到 ln x 自身的級數。透過在麥卡託級數上使用尤拉變換，可以得到對絕對值大於 1 的任何 x 有效的如下級數 ln x over x1 sum_n1infty 1 over n xn 1 over x 1 over 2x2 1 over 3x3 cdots 這個級數類似於貝利 波爾溫 普勞夫公式。 還要注意到 x over x1 是自身的逆函式，所以要生成特定數 y 的自然對數，簡單把 x over x1 代入 x 中。 ln x sum_n1infty 1 over n left x 1 over x rightn left x 1 over x right 1 over 2 left x 1 over x right2 1 over 3 left x 1 over x right3 cdots 對於 operatorname Re x geq frac12 自然數的倒數的總和 1 frac 1 2 frac 1 3 cdots frac 1 n sum_k1n frac 1k 叫做調和級數。它與自然對數有密切聯絡：當 n 趨於無窮的時候，差 sum_k1n frac 1k ln n 收斂於尤拉 馬歇羅尼常數。這個關係有助於分析演算法比如快速排序的效能。 sections 115 and 138 積分 自然對數透過分部積分法積分 int ln x dx x ln x x C 假設 u ln x Rightarrow du frac dxx dv dx Rightarrow v x 所以 begin align int ln x dx x ln x int frac xx dx x ln x int 1 dx x ln x x C end align 自然對數可以簡化形如 g xfrac fxf x 的函式的積分：g x 的一個原函式給出為 ln left vert f x right vert。這是基於鏈式法則和如下事實 d over dxln left x right 1 over x 換句話說， int 1 over x dx lnx C 且 int frac fxf x dx ln f x C 例子 下面是 g xtan x 的例子： begin align int tan x dx int sin x over cos x dx int d over dx cos x over cos x dx end align 設 f xcos x 且 fxsin x： begin alignint tan x dx ln left cos x right C ln left sec x right C end align 與雙曲函式的關係 在 18 世紀，約翰海因裡希蘭伯特介入雙曲函式，並計算雙曲幾何中雙曲三角形的面積。對數函式是在直角雙曲線 xy1 下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊線上 yx 上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為引數的函式，是自然對數的逆函式指數函式，即要形成指定雙曲角 u，在漸近線即 x 或 y 軸上需要有的 x 或 y 的值。顯見這裡的底邊是 left eu e uright frac sqrt 22，垂線是 left eu euright frac sqrt 22。 透過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有： cosh x frac ex ex2 sinh x frac ex ex2 單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線 xy1 下雙曲角的 frac 12。 連分數 儘管自然對數沒有簡單的連分數，但有一些廣義連分數如 begin align ln 1x frac x11frac x22frac x33frac x44frac x55cdots cfrac x10xcfrac 12x21xcfrac 22x32xcfrac 32x43xcfrac 42x54xddots end align begin align ln left 1frac xy right cfrac x ycfrac 1x 2cfrac 1x 3ycfrac 2x 2cfrac 2x 5ycfrac 3x 2ddots cfrac 2x 2yxcfrac 1x2 3 2yxcfrac 2x2 5 2yxcfrac 3x2 7 2yxddots end align 這些連分數特別是最後一個對接近 1 的值快速收斂。但是，更大的數的自然對數，可以輕易的用這些更小的數的自然對數的加法來計算，帶有類似的快速收斂。 例如，因為 21253times 1024，2 的自然對數可以計算為 begin align ln 2 3 ln left 1frac 14 right ln left 1frac 3125 right cfrac 6 9cfrac 12 27cfrac 22 45cfrac 32 63ddots cfrac 6 253cfrac 32 759cfrac 62 1265cfrac 92 1771ddots end align 進而，因為 1012510times 10243，10 的自然對數可以計算為 begin align ln 10 10 ln left 1frac 14 right 3ln left 1frac 3125 right cfrac 20 9cfrac 12 27cfrac 22 45cfrac 32 63ddots cfrac 18 253cfrac 32 759cfrac 62 1265cfrac 92 1771ddots end align 複數對數 指數函式可以擴充套件為對任何複數 x 得出複數值為 ex 的函式，只需要簡單使用 x 為複數的無窮級數；這個指數函式的逆函式形成複數對數，並帶有正常的對數的多數性質。但是它涉及到了兩個困難：不存在 x 使得 ex0；並且有著 e2pi i1e0。因為乘法性質仍適用於複數指數函式，ezez2npi i，對於所有複數 z 和整數 n。 所以對數不能定義在整個複平面上，並且它是多值函式，就是說任何複數對數都可以增加 2pi i 的任何整數倍而成為等價的對數。複數對數只能在切割平面上是單值函式。例如，log ifrac 12pi i 或 frac 52pi i 或 frac 32pi i 等等；儘管 i41，4logi 不能定義為 2pi i 或 10pi i 或 6pi i，以此類推。 ImageNatural Logarithm Resvg zRe ln xiy ImageNatural Logarithm Im Abssvg z Im ln xiy ImageNatural Logarithm Abssvg z ln xiy ImageNatural Logarithm Allsvg 前三圖的疊加 主值定義 對於每個非 0 複數 zxyi，主值 log z 是虛部位於區間 pi pi 內的對數。表示式 log 0 不做定義，因為沒有複數 w 滿足 ew0。 要對 log z 給出一個公式，可以先將 z 表達為極坐標形式，zreitheta。給定 z，極坐標形式不是確切唯一的，因為有可能向 theta 增加 2pi 的整數倍，所以為了保證唯一性而要求 theta 位於區間 pi pi 內；這個 theta 叫做幅角的主值，有時寫為 operatorname arg z 或 operatorname atan 2 yx。則對數的主值可以定義為 Sarason Section IV9 ： operatorname Log z text ln r i theta ln z i operatorname Arg z operatorname lnsqrt x2y2 i operatorname atan2yx 例如，operatorname Log3iln 3frac pi i2。 科學應用 自然指數有應用於表達放射衰變（放射性）之類關於衰減的過程，如放射性原子數目的微分方程 N 隨時間變化率 frac dNdtpN，常數 p 為原子衰變機率，積分得 N tN 0exp pt。 註釋 參考資料 延伸閱讀 John B Conway Functions of one complex variable 2nd edition Springer 1978 Serge Lang Complex analysis 3rd edition SpringerVerlag 1993 Gino Moretti Functions of a Complex Variable PrenticeHall Inc 1964 Donald Sarason Complex function theory 2nd edition American Mathematical Society 2007 and G N Watson A Course in Modern Analysis fourth edition Cambridge University Press 1927 Category 對數 Category 基本特殊函式 CategoryE 數學常數 Category 一元運算