無理數（irrational number）是指有理數以外的實數，當中的「理」字來自於拉丁語的 rationalis，意思是「理解」，實際是拉丁文對於 logos「說明」的翻譯，是指無法用兩整數之比來說明的無理數。 非有理數之實數不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點後有無限多位，並且不會迴圈，即無限不迴圈小數（任何有限或無限迴圈小數可表示成兩整數的比）。常見無理數有大部分的平方根、π 和 e（後兩者同時為超越數）等。無理數另一特徵是無限的連分數表示式。 傳說中，無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯發現，他以幾何方法證明 sqrt 2 無法用整數及分數表示；而畢達哥拉斯深信任意數均可用整數及分數表示，不相信無理數存在，後來希伯斯觸犯學派章程，將無理數透露給外人，因而被扔進海中處死，其罪名竟然等同於 瀆神。另見第一次數學危機。 無理數可以透過有理數的分劃的概念來定義。 舉例 sqrt 3＝173205080 log_10 3＝047712125 e＝271828182845904523536 sin 45＝frac sqrt 2 2＝070710678 π＝3141592653589793238462 性質 無理數加或減無理數不一定得無理數，如 log_10 2 log_10 5 log_10 10 1。 無理數乘不等於 0 的有理數必得無理數。 無理數的平方根、立方根等次方根必得無理數。 不知是否是無理數的數 π＋e、π－e 等，事實上，對於任何非零整數 m 及 n ，不知道 m pine 是否無理數。 無理數與無理數的四則運算的結果往往不知道是否無理數，只有 π－π＝0、sqrt 2sqrt 3 等除外。 我們亦不知道 2e 、pie 、pisqrt 2、尤拉－馬歇羅尼常數 gamma 、卡塔蘭常數 G 和費根鮑姆常數是否無理數。 無理數集的特性 無理數集是不可數集（有理數集是可數集而實數集是不可數集）。無理數集是不完備的拓撲空間，它與所有正數數列的集拓撲同構，當中的同構對映是無理數的連分數開展，因而貝爾綱定理可應用於無數間的拓撲空間。 無理化作連分數的表示式 x2cqquad c0， 選取正實數 rho 使 rho2c。 經由遞迴處理 begin align x2 rho2c rho2 x rhox rhoc rho2 x rhofrac c rho2rho x xrho frac c rho2rho x rho cfrac c rho2rho left rho cfrac c rho2rho xright rho cfrac c rho22rho cfrac c rho22rho cfrac c rho2ddotssqrt c end align 無理數之證 證明 sqrt 2 是無理數 假設 sqrt 2 是有理數，且 sqrt 2frac pq，frac pq 是最簡分數。 兩邊平方，得 2frac p2q2。將此式改寫為 2q2p2，可見 p2 為偶數。 因為平方運算保持奇偶性，所以 p 只能為偶數。設 p2p_1，其中 p_1 為整數。 代入可得 q22p_12。同理可得 q 亦為偶數。 這與 frac pq 為最簡分數的假設矛盾，所以 sqrt 2 是有理數的假設不成立。 證明 sqrt 2sqrt 3 是無理數 假設 sqrt 2sqrt 3p 是有理數，兩邊平方得 52sqrt 6p2Rightarrowsqrt 6frac p252 其中因為 p 是有理數，所以 frac p252 也是有理數。 透過證明 sqrt a 為無理數的方法，其中 a 為一非完全平方數 可以證明 sqrt 6 是無理數 同樣也推出 frac p252 是無理數 但這又和 frac p252 是有理數互相矛盾 所以 sqrt 2sqrt 3 是一無理數 證明 sqrt 2sqrt 3sqrt 5 是無理數 證一 同樣，假設 sqrt 2sqrt 3sqrt 5p 是有理數，兩邊平方得 102sqrt 62sqrt 102sqrt 15p2Rightarrowsqrt 6sqrt 10sqrt 15frac p2102， 於是 sqrt 6sqrt 10sqrt 15 是有理數。兩邊再次平方，得： 3110sqrt 66sqrt 104sqrt 15frac p21024， 於是 5sqrt 63sqrt 102sqrt 15frac frac p21028312 由於 sqrt 6sqrt 10sqrt 15 是有理數，所以 3sqrt 6sqrt 102 sqrt 6 sqrt 10sqrt 15frac frac p21024312 Rightarrow3sqrt 6sqrt 10frac frac p210243122 sqrt 6 sqrt 10sqrt 15 透過證明形如 sqrt asqrt b 的數是無理數的方法，得出 3sqrt 6sqrt 10 也是一無理數 但這結果明顯和 frac frac p21028312 與 2 sqrt 6 sqrt 10sqrt 15 皆為有理數出現矛盾，故 sqrt 2sqrt 3sqrt 5 為無理數 證二 同樣假設 sqrt 2sqrt 3sqrt 5p 是有理數， sqrt 2sqrt 3sqrt 5p Rightarrowsqrt 2sqrt 3psqrt 5，兩邊平方： Rightarrow sqrt 2sqrt 32psqrt 52 Rightarrow52sqrt 6p252psqrt 5 Rightarrow2 sqrt 6psqrt 5p2 證明 sqrt asqrt b 形式的數是無理數的方法，得出 sqrt 6psqrt 5 是無理數 也是矛盾的。 證明 sqrt 2sqrt 3sqrt 5sqrt 7 是無理數 sqrt 2sqrt 3sqrt 5sqrt 7p Rightarrowsqrt 2sqrt 3sqrt 5psqrt 7，兩邊平方得 Rightarrow102sqrt 62sqrt 102sqrt 15p272psqrt 7 Rightarrowsqrt 6sqrt 10sqrt 15psqrt 7frac p22frac 32，得到 sqrt 6sqrt 10sqrt 15psqrt 7 為一有理數 Rightarrowsqrt 6sqrt 10sqrt 15frac p22frac 32psqrt 7，兩邊繼續平方： Rightarrowleft sqrt 6sqrt 10sqrt 15right2left p2frac 32psqrt 7right2 Rightarrowleft sqrt 6sqrt 10sqrt 15right2left left p2frac 32rightpsqrt 7right2 Rightarrow312sqrt 602sqrt 902sqrt 150left p2frac 32right2psqrt 722times psqrt 7timesleft p2frac 32right Rightarrow314sqrt 156sqrt 1010sqrt 6left p2frac 32right27p 2p 2p23sqrt 7 Rightarrow2sqrt 106sqrt 6p 2p23sqrt 7left p2frac 32right 27p24left sqrt 6sqrt 10sqrt 15psqrt 7right31 由於 sqrt 6sqrt 10sqrt 15psqrt 7，p 皆為有理數 設 sqrt 106sqrt 6p 2p23sqrt 7qleft p2frac 32right 27p24left sqrt 6sqrt 10sqrt 15psqrt 7right31，q 亦為有理數 證明 sqrt asqrt bsqrt c 形式的數是無理數的方法可知 sqrt 106sqrt 6p 2p23sqrt 7 為無理數 這和 q 是有理數衝突 所以得證 sqrt 2sqrt 3sqrt 5sqrt 7 為無理數 參見 分劃 丟番圖逼近 3 的算術平方根 5 的算術平方根 超越數 第一次數學危機 正規數 外部連結 從畢氏學派到歐氏幾何的誕生，蔡聰明 ，有畢氏弄石法的證明 sqrt 2 是無理數的六個證明，香港大學數學系蕭文強 （Mathematical Excalibur Vol3 No1 Page 2） 舊題新解 根號 2 是無理數，張海潮 張鎮華（數學傳播 第 30 卷 第 4 期）