微分幾何中，辛流形是裝備了閉非退化 2 形式 ω 的光滑流形 M，ω 稱為辛形式。辛流形的研究稱為辛幾何或辛拓撲。辛流形作為經典力學和分析力學中流形的餘切叢自然出現，例如在經典力學的哈密頓表述中（這該領域的主要動機之一），系統所有可能構型的空間可以用流形建模，流形的餘切叢描述了該系統的相空間。 一個辛流形上的任何實值可微函式 H 可以用作一個能量函式或者叫哈密頓量。和任何一個哈密頓量相關有一個哈密頓向量場；該哈密頓向量場的積分曲線是哈密頓 雅可比方程的解。哈密頓向量場定義了辛流形上的一個流場，稱為哈密頓流場或者叫辛同胚。根據劉維爾定理，哈密頓流保持相空間的體積形式不變。 動機 辛流形來自經典力學，是封閉系統相空間的推廣。哈密頓方程可從微分方程組推導系統的時間演化，辛形式也可從哈密頓函式 H 的微分 dH 得到描述系統流的向量場。因此需要線性對映 TM rightarrow TM ，從切流形 TM 到餘切流形 T M ；或等價地，TM otimes TM 的元素。令 omega 表示 TM otimes T M 的截面，omega 非退化的要求確保了對每個微分 dH，都有唯一對應的向量場 V_H 使 dH omega V_H cdot。由於我們希望哈密頓量沿流線是常值，所以應有 omega V_H V_H dH V_H 0，說明 omega 是交替形式，因此是 2 形式。最後，我們要求 omega 在流線作用下不變，即 omega 沿 V_H 的李導數為零。應用嘉當同倫公式，這相當於（此處 iota_X 表示內積）： mathcal L_V_Homega 0Leftrightarrowmathrm d iota_V_H omega iota_V_H mathrm domega mathrm d mathrm dH mathrm domega V_H mathrm domega V_H0 這樣，當對不同光滑函式 H 重複這過程，使相應的 V_H 在每點上張成切空間，便能發現任意光滑的 H 對應的 V_H 流的李導數為零，等同於說 ω 是閉的。 定義 光滑流形 M 上的辛形式是閉非退化微分 2 形式 omega 。 當中，非退化是指對每個點 p in M ，由 omega 定義的切空間 T_p M 中的斜對稱對非退化。也就是說，若 exists X in T_p M ，使得 omega X Y 0 forall Y in T_p M ，則 X 0 。奇數維度下，斜對稱矩陣總是奇異的，所以 omega 非退化意味著 M 只能是偶數維。閉條件意味著 omega 的外導數為零。辛流形是一對 M omega ，其中 M 是光滑流形， omega 是辛形式。賦予 M 以辛形式，稱作賦予 M 辛結構。 體積形式 從定義可以直接得到每個辛流形 M 都是偶數維 2n，這是因為 omegan 是無處為 0 的形式，辛體積形式。由此可以得到，每個辛流形是有一個標準的定向的，並且有一個標準的測度，劉維爾測度（經常重整為 omegann）。 例子 辛向量空間 令 v_1 ldots v_2n 為 R2n 的基，在其上定義辛形式 ω： omega v_i v_j begin cases 1 ji n text with 1 leqslant i leqslant n 1 ij n text with 1 leqslant j leqslant n 0 text otherwise end cases 這樣，辛形式簡化為二次型。用 I_n 表示 n 階單位矩陣，則二次型矩陣 Ω 將由 2n 階方陣給出： Omega begin pmatrix 0 I_n I_n 0 end pmatrix 餘切叢 令 Q 為 n 維光滑流形，則餘切叢 T Q 的總空間具有自然辛形式，稱作龐加萊 2 形式，或正規辛形式 omega sum_i1n dp_i wedge dqi 其中 q1 ldots qn 是 Q 上的任意區域性座標，p_1 ldots p_n 是關於切向量 dq1 ldots dqn 的纖維座標。餘切叢是經典力學的自然相空間。區分上下索引的關鍵在於流形有沒有度量張量，黎曼流形就是這種情況。上下索引在座標系變換下進行反變與協變變換。關於切向量的纖維座標 是說，動量 p_i 與速度 dqi 焊接 在一起，表達了速度與動量共線的概念，並相差標量因子。 凱勒流形 凱勒流形是具有相容可積復結構的辛流形，構成一類特殊的複流形，復代數幾何中有一大類例子。光滑復射影簇 V subset mathbb CPn 都有辛形式，是射影空間 mathbb CPn 上的富比尼施圖迪形式的限制。 殆複流形 具有與 omega 相容的殆復結構的黎曼流形稱作殆複流形，推廣了凱勒流形，因為其不一定可積。也就是說，它們不一定來自流形上的復結構。 拉格朗日及其他子流形 辛流形 M omega 的子流形有幾個自然的幾何概念： M 的辛子流形（可能是任意偶數維）是子流形 S subset M ，且 omega_S 是 S 上的辛形式。 迷向子流形是辛形式限制為零的子流形，即切空間都是環境流形切空間的迷向子空間。同樣，若子流形的切子空間都是餘迷向的（迷向子空間的對偶），則子流形也稱作餘迷向的。 辛流形 Momega 的拉格朗日子流形是辛形式 omega 對 Lsubset M 的限制為等於零的子流形，即 omega_L0 text dim Ltfrac 12dim M。拉格朗日子流形是最大迷向子流形。 辛同胚的影像在積辛流形 Mtimes M omegatimes omega 上是拉格朗日子流形。其交顯示出光滑流形所不具備的剛性，阿諾德猜想給出了子流形的貝蒂數之和作為光滑拉格朗日子流形自交數的下界，而非光滑情形下的尤拉示性數。 例子 令 R2n_textbf xtextbf y 有全域性座標 x_1 dotsc x_n y_1 dotsc y_n，則可將 R_textbf xtextbf y2n 賦以規範辛形式 omega mathrm d x_1wedge mathrm d y_1 dotsb mathrm d x_nwedge mathrm d y_n 有 Rn_mathbf x to R2n_mathbf xmathbf y 給出的標準拉格朗日子流形。形式 omega 在 Rn_mathbf x 為零，因為給定任一對切向量 X f_i textbf x partial_x_i Yg_i textbf xpartial_x_i 都有 omega XY 0 考慮 n1 情形，則 X f xpartial_x Yg xpartial_x omega mathrm d xwedge mathrm d y。注意，把它展開時 omega XY omega f xpartial_xg xpartial_x frac 12 f x g xmathrm d x partial_xmathrm d y partial_x mathrm d y partial_xmathrm d x partial_x 項都有因子 mathrm d y partial_x，由定義等於 0。 例子：餘切叢 流形的餘切叢區域性建模在與第一例類似的空間上。可以證明，我們可以粘合這些仿射辛形式，因此該叢形成了辛流形。拉格朗日子流形的一個不太平凡的例子是流形餘切叢的零截面。例如，令 X xy in R2 y2 x 0 然後可以把 TX 表為 TX xymathrm d xmathrm d y in R4 y2 x 0 2ymathrm d y mathrm d x 0 其中我們將符號 mathrm d xmathrm d y 視作 R4 TR2 的座標。可以考慮座標 mathrm d x0、mathrm d y0 的子集，從而得到零截面。這個例子可重複用於由光滑函式 f_1dotscf_k 及其微分 mathrm d f_1dotscdf_k 的零軌跡（vanishing locus）定義的流形。 例子：引數子流形 考慮座標為 q_1dotsc q_np_1dotsc p_n 的規範空間 R2n。R2n 的引數子流形是由座標 u_1dotscu_n 引數化的曲面，使 q_iq_i u_1dotscu_n quad p_ip_i u_1dotscu_n 若拉格朗日括號 u_i u_j forall i j 都為零，則是拉格朗日子流形。即，是拉格朗日子流形的等價條件是 forall i j u_i u_jsum_k frac partial q_kpartial u_ifrac partial p_kpartial u_j frac partial p_kpartial u_ifrac partial q_kpartial u_j 0 這可以透過在拉格朗日子流形 L 的條件中展開 frac partialpartial u_i frac partial q_kpartial u_i frac partialpartial q_k frac partial p_kpartial u_i frac partialpartial p_k 來看到。即，辛形式在切流形 TL（所有切向量）上必須為零： forall i j omegaleft frac partialpartial u_i frac partialpartial u_j right0 利用 R2n 上的規範辛形式簡化結果： omegaleft frac partialpartial q_k frac partialpartial p_kright omegaleft frac partialpartial p_k frac partialpartial q_kright 1 而其他的都為零。 由於辛流形上的區域性座標圖具有規範形式，此例表明拉格朗日子流形相對來說不受約束。辛流形的分類由弗洛爾同調完成，這是莫爾斯理論在拉格朗日子流形間的對映的作用泛函中的應用。物理學中，作用量描述了物理系統的時間演化；這裡，它可視作對膜動力的描述。 例子：莫爾斯理論 另一類有用的拉格朗日子流形出現於莫爾斯理論。給定莫爾斯函式 fMtoR，且對足夠小的 varepsilon，可以構造拉格朗日子流形，其由零軌跡 mathbb Vvarepsiloncdot mathrm d f subset TM 給出。對一般莫爾斯函式，有拉格朗日交，由 M cap mathbb Vvarepsiloncdot mathrm d f text Critf 給出。 特殊拉格朗日子流形 凱勒流形或卡拉比 丘流形的情形下，可以在 M 上選擇 OmegaOmega_1mathrm iOmega_2 作為全純 n 形式，其中 Omega_1 是實部，Omega_2 是虛部。若對拉格朗日子流形 L 的 Omega_2 為零，則 L 是特殊的。也就是說，限制在 L 上實部 Omega_1 的條件引導了 L 上的體積形式。以下例子稱作特殊拉格朗日子流形： 超凱勒流形的復拉格朗日子流形 卡拉比 丘流形的實結構的定點 SYZ 猜想涉及映象對稱中特殊拉格朗日子流形的研究，見。 托馬斯 丘猜想預言，在拉格朗日量的哈密頓迷向類中的卡拉比 丘流形上存在特殊拉格朗日子流形，這等價於流形的深谷範疇上的布里奇蘭穩定性條件。 拉格朗日纖維 線性辛流形 有一個標準 區域性 模型，也就是 mathbb R2n，其中 forall i0ldots n1 j k0ldots 2n1 kneq jn jneq kn omega_i ni1 omega_ni i1 omega_j k0。這是一個線性辛空間的例子。參看辛向量空間。一個稱為達布定理的命題表明區域性來看每個辛流形都和這個簡單的辛流形相似。 拉格朗日纖維 辛流形 M 的拉格朗日纖維是指所有纖維都是拉格朗日子流形的纖維。由於 M 是偶數維，所以可取區域性座標 p_1 ldots p_n q1 ldots qn，由達布定理，辛形式 ω（至少區域性地）可以寫成 omegasum rm d p_kwedge rm d qk，其中 d 表示外微分，表示外積。這種形式稱作龐加萊 2 形式或規範 2 形式。利用這種設定，我們可以區域性地將 M 看成餘切叢 TRn，拉格朗日纖維則是平凡纖維 pi TRn to Rn 這便是規範影像。 拉格朗日對映 令 L 為辛流形 K omega 的由浸入 i Lhookrightarrow K（i 是拉格朗日浸入）給出的拉格朗日子流形。令 pi Ktwoheadrightarrow B 給出 K 的一個拉格朗日纖維，則 picirc i Lhookrightarrow Ktwoheadrightarrow B 是拉格朗日對映。pi circ i 的臨界值集稱作焦散線。 兩拉格朗日對映 pi_1circ i_1 L_1hookrightarrow K_1twoheadrightarrow B_1 pi_2circ i_2 L_2hookrightarrow K_2twoheadrightarrow B_2，若有微分同胚 sigma tau nu 使兩式右圖交換、τ 保留辛形式，則稱它們拉格朗日等價。用符號表示： tau circ i_1 i_2 circ sigma nu circ pi_1 pi_2 circ tau tauomega_2 omega_1 其中 tauomega_2 表示 omega_2 對 τ 的拉回。 特例與推廣 辛流形 M omega 的辛形式 omega 若是正合的，則辛流形也是正合（exact）的。例如，光滑流形的餘切叢是正合辛流形。規範辛形式也正合。 切叢具有殆復結構的意義上，賦予跟辛形式相容的度量的辛流形是殆凱勒流形，但不一定可積。 辛流形是泊松流形的特例。 度數為 k 的多辛流形（multisymplectic manifold）是具備閉非退化 k 形式的流形。 聚辛流形（polysymplectic manifold）是具有聚辛切值 n2 形式的勒讓德叢，用於哈密頓場論。 切觸流形 和辛流形緊密相關的有一個奇數維流形，稱為切觸流形。每個 2n1 維切觸流形 M alpha 給出一個 2n2 維辛流形 Mtimesmathbb R rm detalpha 另見 殆辛流形 殆複流形 切觸幾何 哈密頓場論 凱勒流形 泊松括號 辛群 辛矩陣 辛拓撲 辛向量空間 辛同胚 重言 1 形式 腳註 參考文獻 閱讀更多 X X X X