納維－斯托克斯方程，是一組描述液體、空氣等流體的運動的偏微分方程。該方程以法國物理學家克勞德 路易納維和愛爾蘭物理學家喬治斯托克斯的名字命名。 納維爾－斯托克斯方程描述了牛頓流體在運動過程中需要滿足的動量和質量守恆性質。在納維－斯托克斯方程的一些應用中，會將該方程與狀態方程一同列出，以說明流體壓強、溫度和密度三者之間的關係。 納維－斯托克斯方程是將牛頓第二定律應用到流體動力學之後得到的結果。與尤拉方程不同，納維－斯托克斯方程考慮了流體的粘性。它假設流體在運動過程中，其所受的應力是正比於速度梯度的擴散黏性力和壓力的總和。因此，納維－斯托克斯方程可以描述有黏性流體的運動；而尤拉方程僅能描述無粘性流的運動。在流體黏性為零時，納維 斯托克斯方程退化為尤拉方程。 納維－斯托克斯方程的應用十分廣泛。它可以用於模擬天氣、洋流、管道中的水流、星系中恆星的運動、翼型周圍的氣流，也可以用於設計飛行器和車輛、研究血液迴圈、設計電站、分析汙染效應等等。如果將納維爾－斯托克斯方程與馬克士威方程組聯立，還可以研究磁流體力學。 納維－斯托克斯方程難以求解。實用上，也只有最簡單的情況才能用這種方法獲得已知解。這些情況通常涉及穩定態（流場不隨時間變化）的非紊流，其中流體的粘滯係數很大或者其速度很小（低雷諾數）。對於更復雜的情形，例如厄爾尼諾這樣的全球性氣象系統或機翼的升力，現時僅能借助計算機求出納維 斯托克斯方程的數值解。這個科學領域稱為計算流體力學。 雖然紊流是日常經驗中就可以遇到的，但這類非線性問題在理論上極難求解，仍未能證明三維空間中是否總存在光滑解，甚至有界解。此問題稱為納維 斯托克斯存在性與光滑性。克雷數學學院於 2000 年 5 月 21 日列入七大未解難題，懸賞一百萬美元，獎勵找到數學證明或反例的任何人。 性質 非線性 納維－斯托克斯方程的一般形式是非線性的偏微分方程，所以在大多數實際情況下仍是如此。Fluid Mechanics（Schaums Series） M Potter DC Wiggert Schaums Outlines McGrawHill USA 2008 ISBN 9780071487818Vectors Tensors and the basic Equations of Fluid Mechanics R Aris Dover Publications 1989 ISBN 10 0486661105 在特定情況，如一維流和斯托克斯流（又稱蠕動流）下，方程可以簡化為線性方程組。非線性項的出現，令大部分問題變得很難，甚至無法求解。另一方面，方程組能描述湍流，而非線性正是湍流出現的重要因素。 方程式中的非線性項是對流加速（與點速度變化相關聯的加速度），因此，任何對流，無論湍流與否，都會涉及非線性。有對流但仍為層流（而非湍流）的例子如下：考慮黏性液體（如油），流經一個細小並逐漸收窄的。此種流，不論能否確切解出，通常都能透徹研究、理解。 湍流 湍流是時變的混沌行為，這種行為常見於許多流體流動中。人們普遍認為，湍流的成因，是整個流體的慣性：時變加速度與對流加速度疊加，以產生亂流告終。因此慣性影響很小的流體，往往是層流（雷諾數量化了流所受慣性的大小）。雖然不完全確定，但一般相信納維－斯托克斯方程能夠合理地描述湍流。Encyclopaedia of Physics 2nd Edition RG Lerner GL Trigg VHC publishers 1991 ISBN Verlagsgesellschaft 3527269541 ISBN（VHC Inc）0895737523 納維 斯托克斯方程關於湍流的數值解是非常難得到的，而且由於湍流之中，有多個顯著不同的尺度，若要得到穩定解，所需要的解析度要極度精細，於是計算或的時間長得不可行。若試圖用解層流的方法來解決湍流問題，通常會得到時間不穩定的解，而不能適當收斂。為了解決這個問題，計算流體力學中，實際模擬湍流的程式，多採用雷諾平均納維－斯托克斯方程（RANS）等時間平均方程，再輔以各湍流模型，如、、、，以新增另外的方程。另一種數值解法是大渦模擬（LES）。這種方法比 RANS 方法，佔用更多計算時間和記憶體空間，但效果較好，因為 LES 明確解出較大的湍流尺度。 適用性 連同其他方程（如質量守恆定律）和良好的邊界條件一併考慮時，納維－斯托克斯方程似乎是流體運動的精確模型；甚至湍流（平均而言）也符合實際觀察結果。 納維－斯托克斯方程假定所研究的流體連續（無限可分，而不是由粒子組成），且不具相對論流速。在非常小的尺度或極端條件下，由離散分子組成的真實流體，與由納維－斯托克斯方程描繪的連續流體，將產生不同的結果。例如，大梯度流的流體內層，有毛細現象。對於大克努森數的問題，用統計力學的波茲曼方程式可能更適合 ，甚至要用分子動力學或其他混合方法。 另一個限制是方程的複雜性。要刻劃一般常見的流體類，有行之有效的公式，但對於較罕見的類別，應用納維－斯托克斯方程時，往往會得到非常複雜的描述，甚至是未解難題。出於這個原因，這些方程通常用於描述牛頓流體。研究這種液體是 簡單 的，因為粘度模型最終被線性化；真正描述其他型別流體（如血液）的普遍模型，截至 2012 年還不存在。 基本假設 在解釋納維－斯托克斯方程的細節之前，首先對流體的性質作幾個假設。第一個假設是流體是連續的。這強調其內部沒有空隙，例如，汽水中有氣泡，便不屬此例；同樣，包含霧狀粒子的氣體亦不屬此例。另一個必要的假設是，所有涉及到的場，即壓強、速度、密度、溫度等，全部都可微。 該方程從質量守恆、動量守恆、能量守恆等基本原理匯出。推導過程中，經常考慮一個有限的任意體積，稱為控制體積，並對其應用這些原理。該有限體積記為 Omega，而其表面記為 partialOmega。該控制體積可以在空間中固定，也可能隨著流體運動。這會導致一些特殊的結果，見下文。 隨質導數 運動流體的屬性變化，譬如大氣風速的變化，可以有兩種不同的方法來測量：風速儀可以固定在氣象站上，也可以隨氣象氣球飄動。第一種情況下，風速儀測量的速度，是所有運動的粒子經過一個固定點的速度；而第二種情況下，儀器測量的數值，是其隨著流體運動時，速度的變化。同樣的論證對於密度、溫度等物理量的測量也是成立的。因此，當作微分時必須區分兩種情況。第一種情況稱為空間導數或者尤拉導數。第二種情況稱為實質導數或拉格朗日導數。 隨質導數定義為運算元： frac mathrm Dmathrm D tstar frac partial starpartial t mathbf vcdotnablastar 其中 mathbf v 是流體的速度。方程右邊的第一項是普通的尤拉導數（也就是在靜止參照系中的導數），而第二項表示由於流體的運動帶來的變化。這個效應稱為。 L 在一個控制體積 Omega 上守恆，可用以下積分式表示： frac mathrm dmathrm d tint_Omega mathbf Lmathrm dOmega 0 設 Ω 共動（隨流體移動），則它隨著時間而改變，所以不能將時間導數和積分簡單的交換，但有： 0 frac mathrm dmathrm d tint_Omega mathbf Lmathrm dOmegaint_Omegafrac partialpartial tmathbf Lmathrm dOmegaint_partial Omega mathbf L left mathbf vcdot mathbf nmathrm dpartialOmegarightint_Omega left frac partialpartial tmathbf Lnablacdotleft mathbf Lmathbf vrightrightmathrm dOmega 因為這個表示式對於所有 Omega 成立，它可以簡化為： frac mathrm Dmathrm D tmathbf L left nablacdot mathbf vright mathbf L frac partialpartial t mathbf L nablacdotleft mathbf v mathbf Lright 0 （第一個等號用到隨質導數的定義，以及對 nablacdotleft mathbf v mathbf Lright 用到導數的積法則）對於不是密度的量（因而它不必在空間中積分），frac mathrm Dmathrm D t 給出了正確的共動時間導數。 守恆定律 在上式中，依次取 mathbf L 為下列各守恆量： 質量 能量 動量 角動量 並且用狀態定律配合一些假設（比如假設流體為理想氣體等），將各物理量寫成由各守恆量表示的形式，就能推匯出 NS 方程。 連續性方程 質量的守恆寫作： frac partialrhopartial t nablacdot rhomathbf v 0 其中 rho 是流體的密度。 在不可壓縮流體的情況，rho 是常數，不取決於時間或位置，於是方程簡化為： nablacdotmathbf v 0 動量守恆 動量守恆寫作： frac partialpartial tleft rhomathbf vright nablacdot rhomathbf votimesmathbf v sumrhomathbf f 注意 mathbf votimesmathbf v 是一個張量，otimes 代表張量積。 可以進一步簡化，利用連續性方程，上式變成： rhofrac Dmathbf vD tsumrhomathbf f 可以認出這就是通常牛頓第二定律 m mathbf a mathbf F。 方程組 一般形式 方程組的形式 納維 斯托克斯方程的一般形式是： rhofrac mathrm Dmathbf vmathrm D t nabla cdotmathbb P rhomathbf f 關於動量守恆。張量 mathbb P 代表施加在一個流體粒子上的表面力（應力張量）。除非流體是由象旋渦這樣的旋轉自由度組成，mathbb P 是一個對稱張量。一般來講，我們有如下形式： mathbb P begin pmatrix sigma_xx tau_xy tau_xz tau_yx sigma_yy tau_yz tau_zx tau_zy sigma_zz end pmatrix begin pmatrix p00 0p0 00p end pmatrix begin pmatrix sigma_xxp tau_xy tau_xz tau_yx sigma_yyp tau_yz tau_zx tau_zy sigma_zzp end pmatrix 其中 sigma 是法向約束，而 tau 是切向約束。 跡 sigma_xxsigma_yysigma_zz 在流體處於平衡態時為 0。這等價於流體粒子上的法向力的積分為 0。 我們再加上連續性方程： frac mathrm Drhomathrm D t rhonablacdotmathbf v 0 對於處於平衡的液體，mathbb P 的跡是 3p。 其中 p 是壓強 最後，我們得到： rhofrac mathrm Dmathbf vmathrm D t nabla p nabla cdotmathbb T rhomathbf f 其中 mathbb T 是 mathbb P 的非對角線部分。 閉合問題 這些方程是不完整的，對具有不同物理性質的流體的可以有不同的解。要對它們進行完備化，必須對 mathbb P 的形式作一些假設。例如在理想流體的情況 tau 分量為 0。用於完備方程組的方程是狀態方程。 再如，壓強可以主要是密度和溫度的函式。 要求解的變數是速度的各個分量，流體密度，靜壓力，和溫度。流場假定為可微並連續，使得這些平衡得以用偏微分方程表達。這些方程可以轉化為渦度和流函式這些次變數的威爾金森方程組。解依賴於流體的性質（例如粘滯度、比熱、和熱導率），並且依賴於所研究的區域的邊界條件。 mathbb P 的分量是流體的一個無窮小元上面的約束。它們代表垂直和剪下約束。mathbb P 是對稱的，除非存在非零的自旋密度。 所謂非牛頓流體就是其中該張量沒有特殊性質使得方程的特殊解出現的流體 特殊形式 這些是問題的特定的常見簡化，有時解是已知的。 牛頓流體 在牛頓流體中，如下假設成立： tau_ijmuleft frac partial v_ipartial x_jfrac partial v_jpartial x_ifrac 23delta_ijnablacdotmathbf vright 其中 mu 是液體的粘滯度。 rho left frac partial mathbf vpartial tnabla_mathbf vmathbf vrightrho mathbf fnabla p muleft Delta mathbf vfrac 13nablaleft nablacdot mathbf vrightright rho left frac partial v_ipartial tv_jfrac partial v_ipartial x_jrightrho f_ifrac partial ppartial x_imuleft frac partial 2 v_ipartial x_j partial x_jfrac 13frac partial 2 v_jpartial x_i partial x_jright 其中為簡化書寫，對腳標使用了愛因斯坦求和約定。 不採用簡化書寫的完整形式非常繁瑣，分別為： 動量守恆： rho cdot left partial u over partial t u partial u over partial x v partial u over partial y w partial u over partial zright k_x partial p over partial x partial over partial x left mu cdot left 2 cdot partial u over partial xfrac 23cdot nabla cdot vec v right right partial over partial yleft mu cdot left partial u over partial y partial v over partial x right right partial over partial zleft mu cdot left partial w over partial x partial u over partial z right right rho cdot left partial v over partial t u partial v over partial x v partial v over partial y w partial v over partial zright k_y partial p over partial y partial over partial y left mu cdot left 2 cdot partial v over partial yfrac 23cdot nabla cdot vec v right right partial over partial zleft mu cdot left partial v over partial z partial w over partial y right right partial over partial xleft mu cdot left partial u over partial y partial v over partial x right right rho cdot left partial w over partial t u partial w over partial x v partial w over partial y w partial w over partial zright k_z partial p over partial z partial over partial z left mu cdot left 2 cdot partial w over partial zfrac 23cdot nabla cdot vec v right right partial over partial xleft mu cdot left partial w over partial x partial u over partial z right right partial over partial yleft mu cdot left partial v over partial z partial w over partial y right right 質量守恆： partial rho over partial t partial rho cdot uover partial xpartial rho cdot v over partial ypartial rho cdot w over partial z0 因為密度是一個未知數，我們需要另一個方程。 能量守恆： rho left partial e over partial t u partial e over partial x v partial e over partial y w partial e over partial zright left partial over partial x left lambda cdot partial T over partial x right partial over partial y left lambda cdot partial T over partial y right partial over partial z left lambda cdot partial T over partial z right right p cdot left nabla cdot vec v right vec k cdot vec v rho cdot dot q_s mu cdot Phi 其中： Phi 2 cdot left left partial u over partial x right2left partial v over partial yright2left partial w over partial zright2 right left partial v over partial xpartial u over partial y right2 left partial w over partial ypartial v over partial z right2 left partial u over partial zpartial w over partial x right2 frac 23 cdot left partial u over partial xpartial v over partial ypartial w over partial z right2 假設一個理想氣體： e c_p cdot T frac prho 上面是一共 6 個方程 6 個未知數的系統。（u，v，w，T，e 以及 rho）。 賓漢（Bingham）流體 在賓漢流體中，我們有稍微不同的假設： tau_ijtau_0 mufrac partial v_ipartial x_jfrac partial v_ipartial x_j0 那些流體在開始流動之前能夠承受一定的剪下。牙膏是一個例子。 冪律流體 這是一種理想化的流體，其剪下應力，tau，由下式給出 tau K left frac partial u partial y rightn 該形式對於模擬各種一般流體有用。 不可壓縮流體 其納維－斯托克斯方程（NavierStoke equation）分為動量守恆公式 zhhant quadoverbrace rho Big underbrace frac partial mathbf vpartial t_begin smallmatrix text 非 穩 態 text 加 速 end smallmatrix underbrace mathbf v cdot nabla mathbf v_begin smallmatrix text 對 流 text 加 速 end smallmatrixBig underbrace nabla p_begin smallmatrix text 壓 強 text 梯 度 end smallmatrix underbrace mu nabla2 mathbf v_text 黏 滯 力 underbrace mathbf f_begin smallmatrix text 其 他 力 end smallmatrix zhhans quadoverbrace rho Big underbrace frac partial mathbf vpartial t_begin smallmatrix text 非 穩 態 text 加 速 end smallmatrix underbrace mathbf v cdot nabla mathbf v_begin smallmatrix text 對 流 text 加 速 end smallmatrixBig underbrace nabla p_begin smallmatrix text 壓 強 text 梯 度 end smallmatrix underbrace mu nabla2 mathbf v_text 粘 滯 力 underbrace mathbf f_begin smallmatrix text 其 他 力 end smallmatrix 和質量守恆公式 nablacdotmathbf v0。 其中，對不可壓縮牛頓流體來說，只有對流項（convective terms）為非線性形式。對流加速度（convective acceleration）來自於流體流動隨空間之變化所產生的速度改變，例如：當流體透過一個漸縮噴嘴（convergent nozzle）時，流體產生加速之情況。由於此項的存在，對於暫態運動中的流體來說，其流場速度變化不再單是時間的函式，亦與空間有關。 另外一個重要的觀察重點，在於黏滯力（viscosity）在流場中的以流體速度作拉普拉斯運算來表現。這暗示了在牛頓流體中，黏滯力為動量擴散（diffusion of momentum），與熱擴散方程式非常類似。 e_ijfrac 12left frac partial u_ipartial x_jfrac partial u_jpartial x_iright Deltae_ii 是散度， delta_ij 是克羅內克記號。 若 mu 在整個流體上均勻，動量方程簡化為 rhofrac Du_iDtrho f_ifrac partial ppartial x_i mu left frac partial2u_ipartial x_jpartial x_j frac 13frac partialDeltapartial x_iright （若 mu0 這個方程稱為尤拉方程；那裡的重點是可壓縮流和衝擊波）。 如果現在再有 rho 為常數，我們得到如下系統： rho left partial v_x over partial t v_x partial v_x over partial x v_y partial v_x over partial y v_z partial v_x over partial zright mu left partial2 v_x over partial x2partial2 v_x over partial y2partial2 v_x over partial z2rightpartial p over partial x rho g_x rho left partial v_y over partial t v_x partial v_y over partial x v_y partial v_y over partial y v_z partial v_y over partial zright mu left partial2 v_y over partial x2partial2 v_y over partial y2partial2 v_y over partial z2rightpartial p over partial y rho g_y rho left partial v_z over partial t v_x partial v_z over partial x v_y partial v_z over partial y v_z partial v_z over partial zright mu left partial2 v_z over partial x2partial2 v_z over partial y2partial2 v_z over partial z2rightpartial p over partial z rho g_z 連續性方程（假設不可壓縮性）： partial v_x over partial xpartial v_y over partial ypartial v_z over partial z0 NS 方程的簡化版本。採用《不可壓縮流》，Ronald Panton 所著第二版 注意納維－斯托克斯方程僅可近似描述液體流，而且在非常小的尺度或極端條件下，由離散的分子和其他物質（例如懸浮粒子和溶解的氣體）的混合體組成的真實流體，會產生和納維－斯托克斯方程所描述的連續並且齊性的液體不同的結果。依賴於問題的納森數，統計力學可能是一個更合適的方法。但是，納維－斯托克斯方程對於很大範圍的實際問題是有效的，只要記住他們的缺陷是天生的就可以了。 程式模擬 參考 MIT18086_NAVIERSTOKES function mit18086_navierstokes MIT18086_NAVIERSTOKES Solves the incompressible NavierStokes equations in a rectangular domain with prescribed velocities along the boundary The solution method is finite differencing on a staggered grid with implicit diffusion and a Chorin projection method for the pressure Visualization is done by a colormapisoline plot for pressure and normalized quiver and streamline plot for the velocity field The standard setup solves a lid driven cavity problem 072007 by Benjamin Seibold httpwwwmathmiteduseibold Feel free to modify for teaching and learning Re 1e2 Reynolds number dt 1e2 time step tf 4e0 final time lx 1 width of box ly 1 height of box nx 90 number of xgridpoints ny 90 number of ygridpoints nsteps 10 number of steps with graphic output nt ceil tfdt dt tfnt x linspace 0lxnx1 hx lxnx y linspace 0lyny1 hy lyny XY meshgrid yx initial conditions U zeros nx1ny V zeros nxny1 boundary conditions uN x01 vN avg x0 uS x0 vS avg x0 uW avg y0 vW y0 uE avg y0 vE y0 Ubc dtRe2uS 2end1 zeros nx1ny2 2uN 2end1hx2 uWzeros nx3nyuEhy2 Vbc dtRevS zeros nxny3 vNhx2 2vW 2end1zeros nx2ny12vE 2end1hy2 fprintf initialization Lp kron speye nyK1 nxhx1kron K1 nyhy1speye nx Lp 11 32Lp 11 perp symamd Lp Rp chol Lp perpperp Rpt Rp Lu speye nx1nydtRekron speye nyK1 nx1hx2 kron K1 nyhy3speye nx1 peru symamd Lu Ru chol Lu peruperu Rut Ru Lv speye nxny1dtRekron speye ny1K1 nxhx3 kron K1 ny1hy2speye nx perv symamd Lv Rv chol Lv pervperv Rvt Rv Lq kron speye ny1K1 nx1hx2kron K1 ny1hy2speye nx1 perq symamd Lq Rq chol Lq perqperq Rqt Rq fprintf time loopn20406080100n for k 1nt treat nonlinear terms gamma min 12dtmax max max abs Uhxmax max abs Vhy1 Ue uWUuE Ue 2uSUe 1 Ue 2uNUe end Ve vS V vN Ve 2vWVe 1Ve2vEVe end Ua avg Ue Ud diff Ue2 Va avg Ve Vd diff Ve2 UVx diff UaVagammaabs UaVdhx UVy diff UaVagammaUdabs Vahy Ua avg Ue 2end1 Ud diff Ue 2end12 Va avg Ve 2end1 Vd diff Ve 2end12 U2x diff Ua2gammaabs UaUdhx V2y diff Va2gammaabs VaVdhy U UdtUVy 2end1U2x V VdtUVx 2end1V2y implicit viscosity rhs reshape UUbc1 u peru RuRutrhs peru U reshape unx1ny rhs reshape VVbc1 v perv RvRvtrhs perv V reshape vnxny1 pressure correction rhs reshape diff uWUuEhxdiff vS V vNhy1 p perp RpRptrhs perp P reshape pnxny U Udiff Phx V Vdiff Phy visualization if floor 25kntfloor 25k1nt fprintf end if k1floor nstepskntfloor nstepsk1nt stream function rhs reshape diff Uhydiff Vhx1 q perq RqRqtrhs perq Q zeros nx1ny1 Q 2end12end1 reshape qnx1ny1 clf contourf avg xavg yP20w hold on contour xyQ20k Ue uS avg uWUuE uN Ve vWavg vS V vNvE Len sqrt Ue2Ve2eps quiver xyUeLenVeLen4k hold off axis equal axis 0 lx 0 ly p sort p caxis p 8 end7 title sprintf Re 01g t 02gRekdt drawnow end end fprintf n function B avg Ak if nargin2 k 1 end if size A11 A A end if k2 B A 2endA 1end12 else B avg Ak1 end if size A21 B B end function A K1 nha11 a11 Neumann1 Dirichlet2 Dirichlet mid3 A spdiags 1 a11 0ones n211 2 10 a11 111nnh2 模擬結果 執行 MATLAB 即可觀察 4 秒的模擬結果 參看 雷諾數 馬赫數 雷諾平均納維－斯托克斯方程 納維 斯托克斯存在性與光滑性 參考文獻 外部連結 克雷數學研究院納維 斯托克斯方程大獎 該問題的正式命題 納維 斯托克斯方程的一個推導 納維 斯托克斯方程的推導 NASA 關於納維 斯托克斯方程的網頁 納維 斯托克斯方程（一些精確解） ，位於 EqWorld 數學方程的世界 Category 基本物理概念 Category 連續介質力學 Category 偏微分方程 Category 空氣動力學 Category 流體力學中的方程 Category 千禧年大獎難題