在數學中，對數是冪運算的逆運算。 定義 當 xbetay 時，則有 ylog_beta x 其中 beta 是對數的底（也稱為基數），而 y 就是 x（對於底數 beta）的對數，x 也稱為真數。 底數 beta 的值在實數範圍內常取 e、 10、2 等，但一定不能是 1 或 0 當 x 和 beta 進一步限制為正實數的時候，對數是唯一的實數。 例如，因為 34 3 times 3 times 3 times 381， 我們可以得出 4log_3 81， 用日常語言說，即「81 以 3 為底的對數是 4」。 這個意思就是說，81 是 3 的 4 次方。 歷史 對數 15 世紀時，法國數學家和德國數學家在開展研究工作時產生了發展對數的思想，他們，尤其是後者，對等差數列和等比數列的關係作了一些研究。但他們並沒有使其得到更進一步的發展。 一般認為對數於 16 世紀末至 17 世紀初期間由蘇格蘭數學家約翰納皮爾男爵和瑞士工程師約斯特比爾吉發明。比爾吉曾擔任過著名天文學家開普勒的助手，因此會經常接觸到複雜的天文計算，他也因此產生了化簡數值計算的想法。納皮爾是一位蘇格蘭貴族，對數值的計算有很深的研究。為了找到簡化球面三角計算的方法，他也產生了發展對數的想法。1614 年，他在自己的書籍《奇妙的對數表的描述》Much of the history of logarithms is derived from The Elements of Logarithms with an Explanation of the Three and Four Place Tables of Logarithmic and Trigonometric Functions by James Mills Peirce University Professor of Mathematics in Harvard University 1873 上釋出了自己的對數表，相較比爾吉早了 6 年。納皮爾發明的納皮爾算籌用加減法代替了乘除法，成功簡化了乘除法的運算，他的對數被後人稱為納皮爾對數，記法為 Naplogx。 1624 年，英國數學家書籍《對數算術》成功出版，書中寫有 14 位常用對數表。布里格斯率先採用了以 10 為底的常用對數，而現在它已通用。他還製作了正弦和正切的對數表。荷蘭數學家兼出版商在布里格斯的基礎上加以改進，他出版的數個對數表在歐洲迅速普及起來。 17 世紀中葉（清朝初年），中國數學家薛鳳祚和波蘭傳教士穆尼閣合作完成了中國最早的對數著作《比例對數表》（又名《歷學會通》），對數自此傳入中國。此書稱真數為 原數，對數為 比例數。而《數理精蘊》中則稱作對數比例：對數比例乃西士若往納白爾所作，以借數與真數對列成表，故名對數表。 中國因此普遍稱之為 對數。 對數對科學的進步有所貢獻，特別是對天文學，使某些繁難的乘法計算轉換為加法計算。在計算器和計算機發明之前，對數長期用於測量、航海、和其他應用數學分支中。 符號 對數符號 log 出自拉丁文 logarithmus，最早由 1632 年義大利數學家卡瓦列裡所使用。納皮爾在表示對數時套用 logarithm 整個詞，並未作簡化。1624 年，開普勒才把對數符號簡化為 log，奧特雷德在 1647 年也用簡化了的 Log。 1893 年，皮亞諾用 ln x 及 lg x 分別表示以 e 為底的對數和以 10 為底的對數。1902 年，等人以 a log b 表示以 a 為底的 b 的對數。 20 世紀初，形成了對數的現代標準表示 log_alphaNu，為了使用方便，自然對數 ln N 的記法得到了普遍認可。 對數函式 函式 log_alpha x 依賴於 alpha 和 x 二者，但是術語對數函式在標準用法中用來稱呼形如 log_alpha x 的函式，在其中底數 alpha 是固定的而只有一個引數 alpha。 對數函式影像和指數函式影像關於直線 yx 對稱，互為逆函式。 對數函式的性質有： 都過 10 點； x0 即 y 軸為其垂直漸近線。 定義域為 0infty，值域為 mathbb R； alpha 1，在 0infty 上是增函式；1alpha0 時，在 0infty 上是減函式。 當 0alphaee 時和 yalphax 交於三點；eealpha1 時交於一點；1alphaefrac 1e 時交於兩點；alphaefrac 1e 時交於一點；alphaefrac 1e 時則無交點。 運算公式 名稱 公式 證明 和差 log_alpha M N log_alphaMlog_alphaN 設 Mbetam，Nbetan begin align log_alpha MNlog_alpha betambetan log_alpha betamn mnlog_alphabeta mlog_alphabetanlog_alphabeta log_alpha betamlog_alpha betan log_alphaMlog_alphaN log_alphafrac MNlog_alphaMlog_alphafrac 1N log_alphaMlog_alphaN end align 基變換（換底公式） log_alphaxfrac log_betaxlog_betaalpha 設 log_alphaxt xalphat 對其兩邊取對數，則有 log_beta xlog_beta alphat 即 log_beta x t log_beta alpha 又 log_alpha xt log_alpha xfrac log_betaxlog_beta alpha 指係 次方公式 log_alphan xm frac mnlog_alphax begin align log_alphan xmfrac ln xmln alphan frac mlnxnlnalpha frac mnlog_alphax end align 還原 begin align alphalog_alphaxlog_alphaalphax end align begin align alphalog_alphaxx log_alphaalphax end align 互換 Mlog_alphaNNlog_alphaM 設 b log_alphaN c log_alphaM 則有 NalphabMalphac 即 Mlog_alphaNalphacbNlog_alphaMalphabc 倒數 log_alphathetafrac 1log_thetaalpha begin align log_alphathetadfrac 1dfrac lnalphalntheta frac 1log_thetaalpha end align 鏈式 begin align log_gammabetalog_betaalphalog_gammaalpha end align begin align log_gammabetalog_betaalphafrac lnalphalnbeta frac lnbetalngamma frac lnalphalngamma log_gammaalpha end align 有理和無理指數 如果 n 是自然數，betan 表示等於 beta 的 n 個因子的乘積： betanunderbrace betatimesbetatimescdotstimesbeta_n。 但是，如果 beta 是不等於 1 的正實數，這個定義可以擴充套件到在一個域中的任何實數 n（參見冪）。類似的，對數函式可以定義於任何正實數。對於不等於 1 的每個正底數 beta，有一個對數函式和一個指數函式，它們互為反函式。 對數可以簡化乘法運算為加法，除法為減法，冪運算為乘法，根運算為除法。所以，在發明電子計算機之前，對數對進行冗長的數值運算是很有用的，它們廣泛的用於天文、工程、航海和測繪等領域中。它們有重要的數學性質而在今天仍在廣泛使用中。 特殊底數 最常用做底數的是 e、10 和 2。 在數學分析中，以 e 為底對數很常見。另一方面，以 10 為底對數在十進位制表示法中，手工計算很容易： chapter 17 p 275 log_10 10 x log_10 10 log_10 x 1 log_10 x 所以 log_10 x 表示正整數 x 的位數：數字的十進位制位數是嚴格大於 log_10 x 的最小的整數。例如 log_10 1430approx 315，下一個整數是 4，即 1430 的位數。 以 2 為底的對數常用於計算機科學，因為計算機中二進位制很普及。當然上面的演算法也可推廣到二進位制：嚴格大於 log_2 x 的最小整數是 x 在二進位制下的位數。事實上經由簡單推導即可得知，floor logpx1 得到 x 在 p 進位制下的位數：若 x 在 p 進位制下有 n 位，則 pn1leq x ；而 p 是不小於 2 的正整數導致以其為底的 log_p x 是增函式，故三邊取對數得 n1 leq log_p x n，取下整正好得到 n1。 下表列出了這些底數的常用的對數符號以及他們所使用的領域。許多學科都寫 log x 來代替 log_b x，而 b 的值根據前後文可以確定。記號 blog x 也出現過。 p 20 ISO 表示法一列指定了 ISO 推薦的表示方法。 底數 b log_b x 的名稱 ISO 表示法 其它的表示方法 適用領域 2 二進位制對數 operatorname lb x log x、operatorname lg x 計算機科學、資訊理論、數學 e 自然對數 ln x log x（用於數學和許多程式設計語言） 數學分析、物理學、化學統計學、經濟學和其它工程領域 10 常用對數 operatorname lg x log x（用於工程學、生物學、天文學） 多種工程學領域 （見分貝）、對數表、手持式計算器、 光譜學 底數變換 儘管有很多有用的恆等式，對計算器最重要的是找到不是建造於計算器內的底數（通常是 log_e 和 log_10）的其他底數的對數。要使用其他底數 beta 找到底數 alpha 的對數 log_alpha xfrac log_beta xlog_betaalpha。 此外，這個結果蘊涵了所有對數函式（任意底數）都是相互類似的。所以用計算器計算對 134217728 底數 2 的對數 log_2134217728frac ln134217728ln2frac 27ln2ln227。 對數的用途 對數對解冪是未知的方程是有用的。它們有簡單的導數，所以它們經常用在解積分中。對數是三個相關的函式中的一個。在等式 bnx 中，b 可以從 x 的 n 次方根，n 從 x 的 b 底數的對數，x 從 b 的 n 次的冪來確定。參見對數恆等式得到掌控對數函式的一些規則。 簡便計算 對數把注意力從平常的數轉移到了冪。只要使用相同的底數，就會使特定運算更容易： 數的運算 冪的運算 對數恆等式 xy mn log_theta xylog_theta xlog_theta y frac xy mn log_thetafrac xylog_theta xlog_theta y xy mn log_theta xyylog_theta x sqrt yx frac mn log_thetasqrt yxfrac log_theta xy 這些關係使在兩個數上的這種運算更快， 群論 從純數學的觀點來看，恆等式： log_alphaMuNulog_alphaMulog_alphaNu， 在兩種意義上是基本的。首先，其他 3 個算術性質可以從它得出。進一步的，它表達了在正實數的乘法群和所有實數的加法群之間的同構。 對數函式是從正實數的乘法群到實數的加法群的唯一連續同構。 複對數 複對數計算公式： log_cdiabi frac lnleft a2b2rightcdotlnleft c2d2right4left arctanfrac ba2kpiright left arctanfrac dc2npiright left 2left arctanfrac ba2kpirightlnleft c2d2right2left arctanfrac dc2npirightlnleft a2b2rightright iln2left c2d2right4left arctanfrac dc2npiright2 abileft cdirightefrac c2lnleft a2b2rightleft d2npirightleft arctanfrac ba2kpirightleftcos left cleft arctanfrac ba2kpirightfrac 12left d2npirightlnleft a2b2rightright isinleft cleft arctanfrac ba2kpirightfrac 12left d2npirightlnleft a2b2rightrightright begin cases arctan0pi mbox for a 0 arctan00 mbox for a 0 end cases mathbb Zkn 微積分 自然對數函式的導數是 frac rm d rm d x ln left x right frac 1x。 透過應用換底規則，其他底數的導數是 frac rm drm d x log_b x frac rm drm d x frac ln xln b frac 1x ln b。 自然對數 ln x 的不定積分是 int ln x rm d x x ln x x C 而其他底數對數的不定積分是 int log_b x rm d x x log_b x frac xln b C x log_b frac xe C。 計算自然對數的級數 有一些級數用來計算自然對數。Handbook of Mathematical Functions National Bureau of Standards Applied Mathematics Series no55 June 1964 page 68 最簡單和低效的是 ln zsum_n1inftyfrac 1nnz1n 當 z11。 下做推導： 由 frac 11x 1 x x2 x3 cdots。 在兩邊積分得到 ln 1xxfrac x22frac x33cdots ln 1xxfrac x22frac x33frac x44cdots。 設 z1x 並因此 xz1，得到 ln zz1frac z122frac z133frac z144cdots 更有效率的級數是基於反雙曲函式的 ln z2sum_n0inftyfrac 12n1left frac z1z1right2n1 對帶有正實部的 z。 推導：代換 x 為 x，得到 ln 1xxfrac x22frac x33frac x44cdots。 做減法，得到 lnfrac 1x1xln 1xln 1x2x2frac x332frac x55cdots。 設 zfrac 1x1x 並因此 x frac z1z1 ，得到 ln z2left frac z1z1frac 13left frac z1z1right3frac 15left frac z1z1right5 cdotsright。 例如，應用這個級數於 zfrac 119 得到 frac z1z1frac frac 1191frac 1191frac 110 並因此 ln1dot 2frac 15left 1frac 13cdot100frac 15cdot10000frac 17cdot1000000cdotsright 02cdot 10000000dots000dot 30000020000000dot 1 4285dot 7cdots 02cdot100335cdots0200670cdots 在這裡我們在第一行的總和中提出了因數 frac 110。 對於任何其他底數 beta，我們使用 log_beta xfrac ln xlnbeta。 計算機 多數計算機語言把 log x 用做自然對數，而常用對數典型的指示為 log10 x。引數和返回值典型的是浮點資料型別。 因為引數是浮點數，可以有用的做如下考慮： 浮點數值 x 被表示為尾數 m 和指數 n 所形成的 x m2n。 因此 ln x ln m nln 2。 所以，替代計算 ln x，我們計算對某個 m 的 ln m 使得 1leq m leq 2。有在這個範圍內的 m 意味著值 u frac m 1m1 總是在範圍 0 le u frac13 內。某些機器使用在範圍 05 le m 1 內的尾數，並且在這個情況下 u 的值將在範圍 frac13 u le 0 內。在任何一種情況下，這個級數都是更容易計算的。 一般化 普通的正實數的對數一般化為負數和複數引數，儘管它是多值函式，需要終止在分支點 0 上的分支切割，來製作一個普通函式或主分支。複數 z 的（底數 e）的對數是複數 ln left vert z right vert i arg z，這裡的 left vert z right vert 是 z 的模，arg z 是輻角，而 i 是虛單位；詳情參見複對數。 離散對數是在有限群理論中的相關概念。它涉及到解方程 bnx，這裡的 b 和 x 是這個群的元素，而 n 是指定在群運算上的冪。對於某些有限群，據信離散對數是非常難計算的，而離散指數非常容易。這種不對稱性可用於公開金鑰加密。 矩陣對數是矩陣指數的反函式。 對於不等於 1 的每個正數 b，函式 log_b x 是從在乘法下的正實數的群到在加法下（所有）實數的群的同構。它們是唯一的連續的這種同構。對數函式可以擴充套件為在乘法下正實數的拓撲空間的哈爾測度。 對數表 在發明計算器之前，使用對數意味著查對數表，它必須手工建立。 參見 對數恆等式 自然對數 常用對數 離散對數 芮氏地震規模 分貝 註釋 參考文獻 外部連結 Explaining Logarithms Log Calculator for all bases Logarithm on MathWorld Jost Burgi Swiss Inventor of Logarithms Logarithm calculators and word problems with work shown for school students Translation of Napiers work on logarithms Logarithms from The Little Handbook of Statistical Practice Algorithm for determining Log values for any base 常用對數表（文字版） Category 基本特殊函式 Category 初等數學