代數數域是數學中代數數論的基本概念，數域的一類，有時也被簡稱為數域，指有理數域 mathbb Q 的有限擴張形成的擴域。任何代數數域都可以視作 mathbb Q 上的有限維向量空間。 對代數數域的研究，或者更一般地說，對有理數域的代數擴張的研究，是代數數論的中心主題。 定義 預備知識 代數數域是域的一類。域是裝備了兩個二元運算（通常稱之為 加法、乘法）的代數系統。這兩種運算各自滿足結合律與交換律，完全可逆，同時乘法對加法滿足分配律（詳細定義參見域）。域的一個重要的例子是有理數域 mathbb Q。 域的擴張 域的擴張研究各類域之間的關係，最早的應用包括多項式方程一般求根公式問題等。在給定的域中加入不屬於此域的元素（一般以集合記錄），規定相互間的運演算法則後，最小的 將它們都包含在內的域 最小的 指所有同時包含和的域的交集。稱為 （新增中元素得到）的擴域。稱是的子域。一般將 到的域擴張 記作或 。 向量空間 另一個基礎概念是向量空間。向量空間，特別是有限維向量空間的概念是三維空間以及其中向量概念的推廣（具體定義參見向量空間條目）。以某個域為係數域的向量空間（通常稱作上的向量空間或向量空間），其中的向量除了可以相加減，還可以乘以中元素進行放縮。有限維的向量空間可以藉助其中的有限個向量來刻畫。這些向量之間必須滿足特定的條件，稱為空間的基。選定了空間的基以後，空間裡的任何向量都可以表達為以中元素組成的有序陣列：x_1 x_2 cdots x_n。其中的是基中向量的個數，也稱為空間的維數。 有限擴張 設是域的一個擴域。將中的元素看作向量，以作為係數域，可以證明是一個向量空間。如果這個向量空間是有限維的，就稱是的有限擴張。作為向量空間的維數，稱為擴張的次數，記作 。 定義 若域是有理數域 mathbb Q 的有限擴張，則稱之為代數數域。 例子 最小最基本的代數數域是有理數域 mathbb Q。因為 mathbb Q 自身是 mathbb Q 向量空間，維數是 1。因此 mathbb Q 是 mathbb Q 自身的域擴張，mathbb Q mathbb Q 1 高斯有理數 mathbb Qi（為虛數單位）是數學家發現的第一個非平凡代數數域的例子，它是所有形同： a bi a b in mathbb Q 的數構成的集合。可以證明，mathbb Qi 是域，而且是 mathbb Q 向量空間，以 1 i 為基，空間維數是 2。所以 mathbb Qi 是 mathbb Q 的二次擴張，mathbb Qi mathbb Q 2 給定不是完全平方數的正整數或相反數不是完全平方數的負整數，二次域 mathbb Qsqrt d 在 mathbb Q 中新增的平方根而得的擴域。與高斯有理數域類似，可以證明 mathbb Qsqrt d 是 mathbb Q 向量空間，以 1 sqrt d 為基，空間維數是 2，即 mathbb Qsqrt d mathbb Q 2 考慮多項式方程 xn 1 的個復根 xi_1 xi_2 cdots xi_n，它們被稱做次單位根，具體可以寫作： xi_i efrac 2ipin i in 0 1 cdots n1 在 mathbb Q 中新增 xi_1 xi_2 cdots xi_n 得到的擴域稱為次分圓域，記作 mathbb Qxi_n。可以證明 mathbb Qxi_n 是有限維 mathbb Q 向量空間，維數為 varphi n（varphi 是數論中的尤拉函式），即 mathbb Qxi_n mathbb Q varphi n 實數域 mathbb R、複數域 mathbb C 和進數域 mathbb Q_p 都不是 mathbb Q 的有限擴張，因此都不是代數數域。任何有限域都不是 mathbb Q 的擴域，因此也不是代數數域。 全體規矩數構成的域 mathcal C 和全體代數數構成的域 mathcal A（有時也被簡稱為代數數域，與本文主題同名，但不是同一個概念）不是 mathbb Q 的有限擴張，因此都不是代數數域。 代數數域與代數數 代數數是指能夠成為某個有理數係數多項式（不是零多項式）的根的數。顯然所有的有理數都是代數數任意有理數都是一次多項式的根。。給定一個代數數域，依定義，域擴張 mathbb Q subset L 是有限擴張。設其次數為正整數此處假設這個域擴張不是平凡的，即不是 mathbb Q 自身，也即是說假設大於 1。。將看作是維 mathbb Q 向量空間，在中任意選一個不屬於 mathbb Q 的數，它可以被看作是維 mathbb Q 向量空間中的一個（非零）向量。考慮以下的 1 個向量： 1 z z2 cdots zm 它們都屬於。根據向量空間的性質，它們是線性相關的。即存在不全為零的 1 個有理數：a_0 a_1 cdots a_m，使得： a_0 a_1 z cdots a_m zm 0 考慮非零多項式 P a_0 a_1 X cdots a_m Xm，P z 0，即是多項式 P 的根。所以是代數數。由上可知，任一代數數域的元素都是代數數。 代數整數 代數整數是指能夠成為某個首一整數係數多項式的根的數。顯然代數整數是一種代數數。任何整數都是一次整係數多項式的根，因此是代數整數。給定代數數域，中所有代數整數構成一個環，稱作中的（代數）整數環，也稱為整數環，記作 mathcal O_F。例如 mathbb Q 上的代數整數環就是 mathbb Z，因此在代數數域研究中 mathbb Z 也被稱作 有理整數（有理數域中的整數），以區別於其餘的代數整數。 代數數域中的整數環 mathcal O_F 與 mathbb Z 有不同的代數性質。mathcal O_F 不一定是唯一分解整環。舉例來說，設 F mathbb Qsqrt 5，中的整數環是 mathcal O_F mathbb Zsqrt 5。2 3 1sqrt 5 1sqrt 5 都是 mathcal O_F 中的 素數 即不能表示成另兩個 mathcal O_F 中的不等於 1 或 1 的數的乘積，正式名稱為不可約元素或素元。。正整數 6，作為 mathcal O_F 中的元素，它的素因數分解有兩種方式： 6 2 times 3 left 1sqrt 5right times left 1 sqrt 5right 有理整數的唯一分解性質在不少代數數域的整數環中失效。這個事實說明了拉梅對費馬大定理的證明是錯誤的。為此庫默爾等引進了理想數來作為彌補，由此發展出理想理論。代數數論中一個重要的事實是：mathcal O_F 的每個理想都可以唯一表示為素理想的乘積，即為戴德金整環。這種 理想的唯一素分解 可部分彌補 代數整數一般不能唯一素因子分解 的不足，在歷史上使代數數論發展起來。 代數數域的基 整數基 設為次代數數域，的整數基是任一由個整陣列成的集合： B b_1 b_2 cdots b_n 使得任一個整數都能唯一地表示為這個整數的整線性組合在不計順序的情況下。，即： forall x in mathcal O_F exists m_1 m_2 cdots m_n in mathbb Zn，使得 x m_1 b_1 m_2 b_2 cdots m_n b_n 換句話說，整數基是 mathcal O_F 作為自由 mathbb Z 模的基。給定的一組整數基，可以證明，所有中元素都可以唯一地表示為其中元素的有理線性組合，即： forall x in F exists q_1 q_2 cdots q_n in mathbb Qn，使得 x q_1 b_1 q_2 b_2 cdots q_n b_n 這說明是作為維 mathbb Q 向量空間的一組基。而且由於中元素都是整數，故名為整數基。此外可以證明，是整數當且僅當所有 q_1 q_2 cdots q_n 都是有理整數。 乘冪基 設為次代數數域。作為維 mathbb Q 向量空間，包含如下形式的基： B 1 beta beta2 cdots betan1 其中每個元素都是某個特定的數的乘冪。根據域擴張理論中的本原元定理，這樣的一定存在，稱為域擴張 mathbb Q subset F 的本原元。如果不僅是本原元，還是整數，那麼這時也是整數基，稱作乘冪整數基，稱為單衍域。 參見 狄利克雷單位定理，S 單位 庫默爾擴張 閔可夫斯基定理 幾何數論 Chebotarev 稠密定理 射線類群 分解群 虧格域 註釋 參考來源 Serge Lang Algebraic Number Theory second edition Springer 2000 Richard A Mollin Algebraic Number Theory CRC 1999 Ram Murty Problems in Algebraic Number Theory Second Edition Springer 2005 Andre Weil Basic Number Theory third edition Springer 1995 Category 代數數論 Category 域論