e，亦稱自然常數、自然底數，或是尤拉數，是無理數的數學常數，以瑞士數學家尤拉命名；還有個較少見的名字納皮爾常數，用來紀念蘇格蘭數學家約翰納皮爾引進對數。它是一個無限不迴圈小數，數值約是（小數點後 20 位，）： e 271828182845904523536cdots，近似值為 frac 27180199990。 有許多的函式都和 e 有關：自然對數函式的底數即為 e，數學中的指數函式也常是指以 e 為底數的指數函式。 __TOC__ 歷史 約翰納皮爾於 1618 年出版的對數著作附錄中的一張表中第一次提到常數 e，但它沒有記錄這常數，只有由它為底計算出的一張自然對數列表，通常認為這是由威廉奧特雷德製作的。第一次把 e 看為常數的是雅各布伯努利，他嘗試計算下式的值： lim_ntoinfty left 1frac 1nrightn 上式代表把 1 與無窮小相加，再自乘無窮多次。 已知的第一次用到常數 e，是萊布尼茨於 1690 年和 1691 年給惠更斯的通訊，以 b 表示。1727 年尤拉開始用 e 來表示這常數；而 e 第一次在出版物用到，是 1736 年尤拉的《力學》。雖然往後年日有研究者用字母 c 表示，但 e 較常用，終於成為標準。 用 e 表示的原因確實不明，但可能因為 e 是指數函式一字的首字母。另一看法則稱 a b c d 有其他經常用途，而 e 是第一個可用字母。 定義 就像圓周率 pi 和虛數單位，e 是數學中最重要的常數之一。它有幾種等價定義，下面列出一部分。 定義 e 為下列極限值： e lim_n to infty left 1 frac 1n rightn e lim_t to 0 1 tfrac 1t 定義 e 為階乘倒數之無窮級數的和 142D： e sum_n0infty 1 over n 1 over 0 1 over 1 1 over 2 1 over 3 1 over 4 cdots 其中 n 代表 n 的階乘。 定義 e 為唯一的正數 x 使得 int_1x frac mathrm d tt 1 定義 e 為唯一的實數 x 使得 lim_hto 0 frac xh1h 1 這些定義可證明是等價的，請參見文章。 性質 很多增長或衰減過程都可以用指數函式模擬。指數函式 ex 的重要性在於，唯獨該函式（或其常數倍，即 x mapsto kex，其中 k 為任意常數）與自身導數相等。即： frac ddx exex。 ex 的泰勒級數為 ex suminfin_n0 frac xnnquad forall x 1 x frac x22 frac x33 x 為複數時依然成立，因此根據 sin x 及 cos x 的泰勒級數，得出在數學中一條稱為尤拉公式的重要等式： emathrm i x cos x rm isin x 當 x pi 的特例是尤拉恆等式： emathrm ipi 1 0 此式被理查德費曼稱為「尤拉的寶石」。 cos x isin xn left eixrightn einx cos nx i sin nx 即棣莫弗公式。 e 是無理數和超越數（見林德曼－魏爾斯特拉斯定理）。這是第一個獲證為超越數的數，而非故意構造的（比較劉維爾數）；由夏爾埃爾米特於 1873 年證明。有猜想它為正規數。 當 x e 時函式 f x sqrt xx 有最大值。 e 的無窮連分數展開式有個有趣的模式，可以表示如下 e 2 1 2 1 1 4 1 1 6 1 1 8 1 1 10 1 1 12 ldots 就像以下的展開式： e 2 cfrac 1 1cfrac 1 mathbf 2 cfrac 1 1cfrac 1 1cfrac 1 mathbf 4 cfrac 1 1cfrac 1 1cfrac 1 mathbf 6 cfrac 1 1ddots 無理數證明 反證法 證明 e 是無理數可以用反證法。假設 e 是有理數，則可以表示成 frac ab ，其中 a b 為正整數。以 e 的無窮級數展開式可以得出矛盾。 考慮數字 x b left esum_i0b 1 over iright， 以下將推匯出 x 是小於 1 的正整數；由於不存在這樣的正整數，得出矛盾，所以得證 e 是無理數。 x 是整數，因為 0 x b left e sum_i0b 1 over iright b left a over b sum_i0b 1 over iright a b1 sum_i0b b over i a b1 left 1 sum_n0b1 b b1cdots n1right。 x 是小於 1 的正數，因為 0 x b sum_nb1infty 1 over n frac 1b1 frac 1b1b2 frac 1b1b2b3 cdots frac 1b1 frac 1b12 frac 1b13 cdots 1 over b le 1。 但是 0 與 1 之間（不含 0 與 1）不存在有整數，故原先假設矛盾，得出 e 為無理數。 二項式定理 視 n 為存在的數值，所以用二項式定理可證出： e lim_ntoinfty left 1frac 1nrightn lim_ntoinfty sum_i0n C_in 1nileft frac 1nrighti lim_ntoinfty left C_0n 1nleft frac 1nright0C_1n 1n1left frac 1nright1C_2n 1n2left frac 1nright2C_3n 1n3left frac 1nright3C_nn 10left frac 1nrightnright lim_ntoinfty left 1times 1ntimes frac 1nfrac nleft n2right2times frac 1n2frac nleft n3right3times frac 1n31times frac 1nnright lim_ntoinfty left 11frac ntimes left n1right2n2frac ntimes left n1rightleft n2right3times 2n3frac 1nnright 2frac 12frac 16 271828 已知位數 e 的已知位數 Sebah P and Gourdon X The constant e and its computation Gourdon X Reported large computations with PiFast 日期 位數 計算者 1748 年 18 李昂哈德尤拉 1853 年 137 William Shanks 1871 年 205 William Shanks 1884 年 346 J M Boorman 1946 年 808 ？ 1949 年 2010 約翰馮諾伊曼 1961 年 100265 Daniel Shanks 約翰威廉倫奇 1978 年 116000 史蒂芬蓋瑞沃茲尼克 1994 年 10000000 Robert Nemiroff Jerry Bonnell 1997 年 5 月 18199978 Patrick Demichel 1997 年 8 月 20000000 Birger Seifert 1997 年 9 月 50000817 Patrick Demichel 1999 年 2 月 200000579 Sebastian Wedeniwski 1999 年 10 月 869894101 Sebastian Wedeniwski 1999 年 11 月 21 日 1250000000 Xavier Gourdon 2000 年 7 月 10 日 2147483648 近藤茂、Xavier Gourdon 2000 年 7 月 16 日 3221225472 Colin Martin、Xavier Gourdon 2000 年 8 月 2 日 6442450944 近藤茂、Xavier Gourdon 2000 年 8 月 16 日 12884901000 近藤茂、Xavier Gourdon 2003 年 8 月 21 日 25100000000 近藤茂、Xavier Gourdon 2003 年 9 月 18 日 50100000000 近藤茂、Xavier Gourdon 2007 年 4 月 27 日 100000000000 近藤茂、Steve Pagliarulo 2009 年 5 月 6 日 200000000000 近藤茂、Steve Pagliarulo 2010 年 2 月 21 日 500000000000 餘智恆（Alexander J Yee） 2010 年 7 月 5 日 1000000000000 近藤茂、餘智恆（Alexander J Yee） 2014 年 11 月 15 日 1048576000000 David Galilei Natale 諧取 在 Google2004 年的首次公開募股，集資額不是通常的整頭數，而是 2718281828，這當然是取最接近整數的 e 十億美元。Google2005 年的一次公開募股中，集資額是 14159265，與圓周率有關。 Google 也是首先在矽谷心臟地帶，接著在麻薩諸塞州劍橋出現的神秘廣告版 的幕後黑手，它寫著 first 10digit prime found in consecutive digits of ecom（在 e 的連續數字中第一個發現的十位質數com）。解決了這問題（第一個 e 中的十位質數是 7427466391，出奇地到很後才出現，由第 100 個數字開始），進入網站後還有個更難的題目要解決，最後會到達 Google 的招聘頁。但這個挑戰已結束，上述網站都已關閉。 著名電腦科學家高德納的軟體 Metafont 的軟體版本號趨向 e（就是說版本號碼是 2，27，271，2718 等），與之相對的有 TeX 的軟體版本號號是趨向於圓周率的。 參見 e 的 π 次方 無理數 超越數 尤拉數 圓周率 指數函式 自然對數 參考文獻 Category 數學常數 Category 實數超越數 Category 萊昂哈德尤拉