在數學中，連分數或繁分數即如下表達： x a_0 cfrac 1a_1 cfrac 1a_2 cfrac 1a_3 cfrac 1ddots 這裡的 a_0 是某個整數，而所有其他的數 a_n 都是正整數，可依樣定義出更長的表示式。如果部分分子（partial numerator）和部分分母（partial denominator）允許假定任意的值，在某些上下文中可以包含函式，則最終的表示式是廣義連分數。在需要把上述標準形式與廣義連分數相區別的時候，可稱它為簡單或正規連分數，或稱為是規範形式的。 例子 連分數常用於無理數的逼近，例如： sqrt 2 1 frac 12 cfrac 12 cfrac 12 cfrac 12 cfrac 12 cfrac 12 ddots 由此得到 sqrt 2 的漸近分數： frac 11frac 32frac 75frac 1712、 frac sqrt 512 1 frac 11 cfrac 11 cfrac 11 cfrac 11 cfrac 11 cfrac 11 ddots 由此得到黃金分割的漸近分數： frac 11frac 21frac 32frac 53frac 85frac 138、 注意將上述系列的分母 1123 等數依序排列均可得到斐波那契數列。 pi 3 frac 17 cfrac 115 cfrac 11 cfrac 1292 cfrac 11 cfrac 11 ddots 由此得到圓周率的漸近分數 frac 31frac 227（約率）、frac 333106frac 355113（密率）、frac 10399333102、 數學上可以證明，由（狹義）連分數得到的漸近分數，在分子或分母小於下一個漸進分數的分數中，其值是最接近精確值的近似值。 動機 研究連分數的動機源於想要有實數在 數學上純粹 的表示。 多數人熟悉實數的小數表示： r sum_i0infty a_i 10i 這裡的 a_0 可以是任意整數，其它 a_i 都是 012ldots9 的一個元素。在這種表示中，例如數 pi 被表示為整數序列 3141592ldots。 這種小數表示有些問題。例如，在這種情況下使用常數 10 是因為我們使用了 10 進位制系統。我們還可以使用 8 進位制或 2 進位制系統。另一個問題是很多有理數在這個系統內缺乏有限表示。例如，數 frac 13 被表示為無限序列 03333ldots。 連分數表示法是避免了實數表示的這兩個問題。讓我們考慮如何描述一個數如 frac 41593，約為 44624。近似為 4，而實際上比 4 多一點，約為 4frac 12。但是在分母中的 2 是不準確的；更準確的分母是比 2 多一點，約為 2frac 16，所以 frac 41593 近似為 4frac 12frac 16。但是在分母中的 6 是不準確的；更準確分母是比 6 多一點，實際是 6frac 17。所以 frac 41593 實際上是 4frac 12frac 16frac 17。這樣才準確。 去掉表示式 4frac 12frac 16frac 17 中的冗餘部分可得到簡略記號 4267。 實數的連分數表示可以用這種方式定義。它有一些可取的性質： 一個有理數的連分數表示是有限的。 簡單 有理數的連分數表示是簡短的。 任何有理數的連分數表示是唯一的，如果它沒有尾隨的 1。（a_0 a_1ldotsa_n1a_0 a_1ldotsa_n1） 無理數的連分數表示是唯一的。 連分數的項會迴圈，當且僅當它是一個二次無理數（即整數係數的二次方程的實數解）的連分數表示 Kenneth H Rosen Elementary Number Theory and Its Applications。 數 x 的截斷連分數表示很早產生 x 的在特定意義上 最佳可能 的有理數逼近（參閱下述定理 5 推論 1）。 最後一個性質非常重要，且傳統的小數點表示就不能如此。數的截斷小數表示產生這個數的有理數逼近，但通常不是非常好的逼近。例如，截斷 frac 170142 857ldots 在各種位置上產生逼近比，如 frac 1421000、frac 14100 和 frac 110。但是明顯的最佳有理數逼近是「frac 17」自身。pi 的截斷小數表示產生逼近比，如 frac 3141510000 和 frac 314100。pi 的連分數表示開始於 3 7151292ldots。截斷這個表示產生極佳的有理數逼近 3、frac 227、frac 333106、frac 355113、frac 103 99333 102、。frac 314100 和 frac 333106 的分母相當接近，但近似值 frac 314100 的誤差是遠高於 frac 333106 的 19 倍。作為對 pi 的逼近，3 7151 比 31416 精確 100 倍。 連分數表示的演算法 考慮實數 r。設 i 是 r 的整數部分，而 f 是它的小數部分。則 r 的連分數表示是 ildots，這裡的「」是 frac 1f 的連分數表示。習慣上用分號取代第一個逗號。 要計算實數 r 的連分數表示，首先寫下 r 的整數部分（下取整），然後從 r 減去這個整數部分。如果差為 0 則停止；否則找到這個差的倒數並重復。這個過程將終止，當且僅當 r 是有理數。 找出 3245 的連分數 找出 3245 的連分數 找出 3245 的連分數 找出 3245 的連分數 找出 3245 的連分數 3 3245 3 0245 frac 10245 4082 4 4082 4 0082 frac 10082 12250 12 12250 12 0250 frac 10250 4000 4 4000 4 0000 停止 3245 的連分數是 34124 3245 的連分數是 34124 3245 的連分數是 34124 3245 的連分數是 34124 3245 的連分數是 34124 3245 3 cfrac 14 cfrac 112 cfrac 14 3245 3 cfrac 14 cfrac 112 cfrac 14 3245 3 cfrac 14 cfrac 112 cfrac 14 3245 3 cfrac 14 cfrac 112 cfrac 14 3245 3 cfrac 14 cfrac 112 cfrac 14 數 3245 還可以表示為連分數展開 341231；參見下面的有限連分數。 這個演算法適合於實數，但如果用浮點數實現的話，可能導致數值災難。作為替代，任何浮點數是一個精確的有理數（在現代計算機上分母通常是 2 的冪，在電子計算器上通常是 10 的冪），所以歐幾里得演算法的變體可以用來給出精確的結果。 連分數的表示法 可以把連分數簡寫作： x a_0 a_1 a_2 a_3 或者，用 Pringsheim 的記法寫作： x a_0 frac 1 midmid a_1 frac 1 midmid a_2 frac 1 midmid a_3 還有一個有關的記法： x a_0 1 over a_1 1 over a_2 1 over a_3 有時使用尖括號，如： x left langle a_0 a_1 a_2 a_3 right rangle 在使用尖括號的時候，分號是可選的。 還可以定義無限簡單連分數為極限： a_0 a_1 a_2 a_3 ldots lim_n to infty a_0 a_1 a_2 ldots a_n 對於正整數 a1 a2 a3 的任意選擇，皆存在此一極限。 或者可以用高斯的記法 x a_0 underset i1overset 3mathrm K frac 1a_i 有限連分數 所有有限連分數都表示一個有理數，而所有有理數都可以按兩種不同的方式表示為有限連分數。這兩種表示除了最終項之外都是一致的。在較長的連分數表示，其最終項是 1；較短的表示去掉了最後的 1，而向新的終項加 1。在短表示中的最終項因此大於 1，如果短表示至少有兩項的話。其符號表示： a_0 a_1 a_2 a_3 ldots a_n 1a_0 a_1 a_2 a_3 ldots a_n 1 例如： 225 frac 94 2 3 1 2 4 42 frac 215 5 1 3 1 5 1 4 連分數的倒數 有理數的連分數表示和它的倒數除了依據這個數小於或大於 1 而分別左移或右移一位以外是相同的。換句話說，a_0a_1a_2a_3ldotsa_n 和 0a_0a_1a_2ldotsa_n 互為倒數。這是因為如果 a 是整數，接著如果 x1 ，則 x 0tfrac 1afrac 1b 且 tfrac 1x atfrac 1b ，而且如果 x1 ，則 x atfrac 1b 且 tfrac 1x 0tfrac 1afrac 1b 帶有最後的數生成對 x 和它的倒數是同樣的的連分數的餘數。 例如： 225 frac 94 2 4 frac 1225 frac 49 0 2 4 無限連分數 所有無限連分數都是無理數，而所有無理數可用一種精確的方式表示為無限連分數。 無理數的無限連分數表示是非常有用的，因為它的初始段提供了對這個數的優異的有理數逼近。這些有理數可以叫做這個連分數的收斂子（convergent，也譯為 漸進分數）。所有偶數編號的收斂子都小於最初的數，而奇數編號的收斂子都大於它。 對於連分數 a_0a_1a_2ldots，前四個收斂子（編號 0 到 3）是 frac a_01qquad frac a_1a_01a_1qquad frac a_2 a_1a_01a_0a_2a_11qquad frac a_3 a_2 a_1a_01a_0a_1a_01a_3 a_2a_11a_1 用普通語言來說，第 3 個收斂子的分子是藉由第 3 個商（a_2）乘上第 2 個收斂子的分子，並加上第 1 個收斂子的分子而成。分母的形成也很類似。 如果找到連續的收斂子，帶有分子 h_1h_2ldots 和分母 k_1k_2ldots，則相關的遞迴關係是： h_na_nh_n1h_n2qquad k_na_nk_n1k_n2 連續的收斂子由如下公式給出 frac h_nk_n frac a_nh_n1h_n2a_nk_n1k_n2 一些有用的定理 如果 a_0a_1a_2ldots 是正整數的無限序列，遞迴的定義序列 h_n 和 k_n： h_na_nh_n1h_n2 h_11 h_20 k_na_nk_n1k_n2 k_10 k_21 定理 1 對於任何正數 xinmathbb R left a_0 a_1 dots a_n1 x right frac x h_n1h_n2 x k_n1k_n2 定理 2 a_0a_1a_2ldots 的 收斂子 序列是 left a_0 a_1 dots a_nright frac h_n k_n nin mathbb N 所組成數列，它收斂到極限 a_0a_1a_2ldots。 定理 3 如果對連分數的第 n 個收斂子是 h_nk_n，則 k_nh_n1k_n1 h_n1n 推論 1：每個收斂子都在它的最低的那些項中（如果 h_n 和 k_n 有不尋常的公約數，則它可除 k_nh_n1k_n1 h_n，這當然是不可能的）。 推論 2：在連續的收斂子之間的差是單位分數： leftfrac h_nk_nfrac h_n1k_n1 right leftfrac h_nk_n1k_nh_n1k_nk_n1right frac 1k_nk_n1 推論 3：連分數等價於交替（alternating）項的級數： a_0 sum_n0infty frac 1nk_n1 k_n 推論 4：矩陣 begin bmatrix h_n h_n1 k_n k_n1 end bmatrix 的行列式值為正 1 或負 1，因此屬於 2x2 么模矩陣 SL 2mathbb Z 的群。 定理 4 每個（第 s 個）都比任何前面（第 r 個）收斂子更接近於後續的（第 n 個）收斂子。用符號來說，如果第 n 個收斂子是 a_0a_1a_2ldots a_nx_n，則 left x_r x_n right left x_s x_n right 對於所有 r。 推論 1：奇數收斂子（在第 n 個之前）持續遞增而總是小於 x_n。 推論 2：偶數收斂子（在第 n 個之前）持續遞減而總是大於 x_n。 定理 5 frac 1k_n k_n1k_nleftxfrac h_nk_nrightfrac 1k_nk_n1 推論 1：任何收斂子都比其分母小於這個收斂子的分母的任何其他分數更接近於這個連分數。 推論 2：立即前導於一個大商的任何收斂子都是對這個連分數的接近逼近。 半收斂子 如果 frac h_n1k_n1 和 frac h_nk_n 是連續的收斂子，則如下形式的任何分數 frac h_n1 ah_nk_n1ak_n 這裡的 a 是非負整數，而分子和分母在 n 和 n1 項（包含它們）之間，叫做 半收斂子、次收斂子或中間分數。這個術語經常意味著排除了是收斂子的可能性，不是收斂子而是一種半收斂子。 對實數 x 的連分數展開的半收斂子包括了所有比有更小分母的任何逼近都好的有理數逼近。另一個有用的性質是連續的半收斂子 frac ab 和 frac cd 有著 adbc pm 1。 最佳有理數逼近 連分數理論在丟番圖逼近領域起基礎性的作用，可以解決實數的最佳逼近問題，具體可參閱相應主頁面。事實上，最初發展連分數理論的動機正是為了解決實數的最佳逼近問題。 連分數歷史 公元前 300 年－歐幾里得，《Elements》 最大公約數的演算法生成一個連分數作為副產品 1579 年－Rafael Bombelli《LAlgebra Opera》 與連分數有關的提取平方根的方法 1613 年－Pietro Cataldi《Trattato del modo brevissimo di trovar la radice quadra delli numeri》 第一種連分數的記號 Cataldi 表示連分數為 a_0 n_1 over d_1。 n_2 over d_2。 n_3 over d_3 帶有指示隨後連分數要去的地方的點 1695 年－約翰沃利斯，《Opera Mathematica》 介入了術語 連分數 約 1780 年－約瑟夫拉格朗日 使用類似於 Bombell 的連分數提供了佩爾方程的通用解 1748 萊昂哈德尤拉，《Introductio in analysin infinitorum》 Vol I Chapter 18 證明了特定形式的連分數和廣義無窮級數的等價性 1813 年－卡爾弗里德里希高斯，《Werke》 第三冊，134138 頁 透過涉及到超幾何級數的一個聰明的恆等式推匯出非常一般性的複數值的連分數 參見 全商 Engel 展開式 數學常數 以連分數表示排列 迴圈連分數 受限連分數 辛欽常數 麼模矩陣 unimodular matrix 么模矩陣 註釋 參考文獻 Oskar Perron Die Lehre von den Kettenbrüchen Chelsea Publishing Company New York NY 1950 Andrew M Rockett and Peter Szusz Continued Fractions World Scientific Press 1992 ISBN 9789810210526 H S Wall Analytic Theory of Continued Fractions D Van Nostrand Company Inc 1948 ISBN 9780828402071 外部連結 Online continued fraction calculator Linas Vepstas The Minkowski Question Mark and the Modular Group SL 2Z 2004 reviews the isomorphisms of continued fractions Linas Vepstas Continued Fractions and Gaps 2004 reviews chaotic structures in continued fractions Continued Fractions on the SternBrocot Tree at cuttheknot Francois Balsalobre 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