在數論中，素數定理描述素數在自然數中分佈的漸進情況，給出隨著數字的增大，質數的密度逐漸降低的直覺的形式化描述。1896 年法國數學家雅克阿達馬和比利時數學家德拉瓦萊布桑先後獨立給出證明。證明用到了複分析，尤其是黎曼 ζ 函式。 素數的出現規律一直困惑著數學家。一個個地看，素數在正整數中的出現沒有什麼規律。可是總體地看，素數的個數竟然有規可循。對正實數 x，定義 πx 為素數計數函式，亦即不大於 x 的素數個數。數學家找到了一些函式來估計 πx 的增長。以下是第一個這樣的估計。 pi xapproxfrac xlnx 其中 ln x 為 x 的自然對數。上式的意思是當 x 趨近無限，πx 與 xln x 的比值趨近 1。但這不表示它們的數值隨著 x 增大而接近。 下面是對 πx 更好的估計： pi xrm Li x O left x efrac 115sqrt lnxright，當 x 趨近。 其中 rm Li x int_2x frac dtlnt（對數積分），而關係式右邊第二項是誤差估計，詳見大 O 符號。 敘述 定義 πx 為素數計數函式，也就是小於等於 x 的質數個數。例如 π104，因為共有 4 個質數小於等於 10，分別是 2、3、5、7。質數定理的敘述為：當 x 趨近無限，πx 和 frac xln x 的比值趨近 1。其數學式寫做 lim_xtoinftyfrac pi xfrac xln x1。 淺白的說，當 x 很大的時候，πx 差不多等於 frac xln x。該定理被認為是質數的漸進分佈定律，以漸進符號可簡化為 pi xsimfrac xln x。 注意到，上式並不是說指隨著 x 趨近無限，pi x 與 frac xln x 的差趨近於 0。而是隨著 x 趨近無限，pi x 與 frac xln x 的相對誤差趨近於 0。 因此，質數定理也可以被想像成描述從正整數中抽到素數的機率：從不大於 n 的正整數中隨機選出一個數，它是素數的機率大約是 frac 1ln n。 質數定理有一個相關的定理，是關於第 n 個素數 p_n 的下界，也就所謂的 Rosser 定理： p_n nlnn 關於 、 和 的數值 下表比較了 πx，xln x 和 Li x： x boldsymbol pix boldsymbol pixfrac xln x frac boldsymbol pixfrac xln x rm Li x boldsymbol pi x frac xboldsymbol pix 10 4 03 0921 22 2500 102 25 33 1151 51 4000 103 168 23 1161 10 5952 104 1229 143 1132 17 8137 105 9592 906 1104 38 10425 106 78498 6116 1084 130 12740 107 664579 44158 1071 339 15047 108 5761455 332774 1061 754 17357 109 50847534 2592592 1054 1701 19667 1010 455052511 20758029 1048 3104 21975 1011 4118054813 169923159 1043 11588 24283 1012 37607912018 1416705193 1039 38263 26590 1013 346065536839 11992858452 1034 108971 28896 1014 3204941750802 102838308636 1033 314890 31202 1015 29844570422669 891604962452 1031 1052619 33507 1016 279238341033925 7804289844393 1029 3214632 35812 1017 2623557157654233 68883734693281 1027 7956589 38116 1018 24739954287740860 612483070893536 1025 21949555 40420 1019 234057667276344607 5481624169369960 1024 99877775 42725 1020 2220819602560918840 49347193044659701 1023 222744644 45028 1021 21127269486018731928 446579871578168707 1022 597394254 47332 1022 201467286689315906290 4060704006019620994 1021 1932355208 49636 1023 1925320391606803968923 37083513766578631309 1020 7250186216 51939 1024 18435599767349200867866 339996354713708049069 1019 17146907278 54243 1025 176846309399143769411680 3128516637843038351228 1018 55160980939 56546 OEIS 歷史 1797 年至 1798 年間，法國數學家勒讓德根據上述的質數表猜測，pi x 大約等於 frac xAln x B，其中 A、B 是未知的函式。勒讓德於 1808 年出版一本關於數論的書的第二版，書中他給出更精確的猜測：A 1，B 108366。根據高斯自己在 1849 年的回憶，他在 15 歲或 16 歲 1792 或 1793 年 的時候就已經考慮過類似的問題了 C F Gauss Werke Bd 2 1st ed 444447 Göttingen 1863。1832 年，狄利克雷經過跟高斯的交流之後，給出了一個新的逼近函式 li x，事實上他是用一個有點不一樣的級數表示式。勒讓德和狄利克雷的式子皆等價於現在的版本，但如果考慮逼近式與 pi x 的差，而不是比值的話，狄利克雷的式子是準確許多的。 俄國數學家切比雪夫參考了尤拉在 1731 年的工作，引進了定義在實數軸上黎曼 ζ 函式，企圖證明質數分佈的漸進式，並將他所得到的結果寫成兩篇論文，分別在 1848 和 1850 年發表。切比雪夫可以證明，如果 lim_xtoinftyfrac pi xfrac xln x 存在且有限，則它一定是 1。此外，在沒有假設任何結果之下，他也證明當 x 足夠大，frac pi xfrac xln x 會界在兩個很靠近 1 的數字之間。雖然切比雪夫的論文沒辦法證明質數定理，但它對 pi x 已經可以推論出伯特蘭 切比雪夫定理：對任何大於 1 的正整數 n，存在一個質數介於 n 和 2n 之間。 1859 年，黎曼提交了一篇關於質數分佈的非常重要的報告《》，這也是黎曼在這個領域的唯一一篇文章。黎曼在報告中使用了創新的想法，將 zeta 函式的定義解析延拓到整個複數平面，並且將質數的分佈與 zeta 函式的零點緊密的聯絡起來。因此，這篇報告是歷史上首次用複分析的方法研究實函式 pi x。1896 年法國數學家雅克阿達馬和比利時數學家夏爾 讓德拉瓦萊普桑先後獨立給出證明。兩個證明延著黎曼的思路繼續拓展，且都使用複分析的工具，其中的關鍵步驟是證明如果複數 s 可以寫成 1 it 的形式，且 t0，則 zeta sneq 0。 進入 20 世紀之後，阿達馬和普桑證明的定理經常被稱作質數定理，定理的其他不同證明也陸陸續續被發現，這之中包括 1949 年阿特勒塞爾伯格和艾狄胥帕爾發現的「初等證明」。原本的證明是既冗長，又複雜，於是有很多後面發現的證明使用了讓證明變得比較簡短，但卻變得讓人比較難以消化。1980 年，美國數學家發現了一個簡潔的證明，這可能是目前已知最簡單的證明。不過，證明中使用了柯西積分公式，因此一般不被視為是為初等的證明。 因為黎曼 ζ 函式與 pi x 關係密切，關於黎曼 zeta 函式的黎曼猜想對數論很重要。一旦猜想獲證，便能大大改進素數定理誤差的估計。1901 年瑞典數學家海里格馮科赫證明出，假設黎曼猜想成立，以上關係式誤差項的估計可改進為 pi x rm Li x Oleft sqrt x lnxright 至於大 O 項的常數則還未知道。 初等證明 素數定理有些初等證明只需用數論的方法。第一個初等證明於 1949 年由匈牙利數學家保羅艾狄胥和挪威數學家阿特利西爾伯格合作得出。 在此之前一些數學家不相信能找出不需藉助艱深數學的初等證明。像英國數學家哈代便說過素數定理必須以複分析證明，顯出定理結果的「深度」。他認為只用到實數不足以解決某些問題，必須引進複數來解決。 相關條目 抽象解析數論 切比雪夫函式與質數定理密切相關的函式 質數計數函式 參考資料 外部連結 Category 素數 SSDL plLiczba pierwszaTwierdzenie o liczbach pierwszych