在數學中，點積（；）又稱 zhhans 數量積；zhhant 數量積 或標量積（；），是一種接受兩串等長的數字序列（通常是座標向量）、返回單一數字的代數運算。同濟大學數學系 ．工程數學：線性代數 第六版．高等教育出版社．2014 在歐幾里得幾何裡，兩條笛卡爾座標向量的點積常稱為 zhhans 內積；zhhant 內積（；）。點積是 zhhans 內積；zhhant 內積 的一種特殊形式：內積是點積的抽象，內積是一種雙線性函式，點積是歐幾里得空間（內積空間）的度量。 從代數角度看，先求兩數字序列中每組對應元素的積，再求所有積之和，結果即為點積。從幾何角度看，點積則是兩向量的長度與它們夾角餘弦的積。這兩種定義在笛卡爾座標系中等價。 點積的名稱源自表示點乘運算的點號（mathbf a cdot mathbf b），讀作 a dot b，標量積的叫法則是在強調其運算結果為標量而非向量。向量的另一種乘法是叉乘（mathbf a times mathbf b），讀作 a cross b，其結果為向量，稱為叉積或向量積。 定義 點積有兩種定義方式：代數方式和幾何方式。透過在歐氏空間中引入笛卡爾座標系，向量間的點積既可以由向量座標的代數運算得出，也可以透過引入兩向量的長度和角度等幾何概念來求解。 代數定義 向量 vec aa_1 a_2 cdots a_n 和 vec bb_1 b_2 cdots b_n 的點積定義為： vec acdot vec b sum_i1n a_ib_i a_1b_1 a_2b_2 cdots a_nb_n 這裡的 Σ 是求和符號，而 n 是向量空間的維度。 例如，三維向量 left 135 right 和 left 421 right 的點積是 begin align 1 3 5 cdot 4 2 1 14 32 51 4 6 5 3 end align 點積還可以寫為： vec a cdot vec b vec avec bT。 這裡，vec bT 是列向量 vec b 的轉置。 使用上面的例子，13 矩陣（列向量）乘以 31 矩陣（行向量）的行列式就是結果 透過矩陣乘法得到 11 矩陣 begin bmatrix 1 3 5 end bmatrix begin bmatrix 4 2 1 end bmatrix begin bmatrix 3 end bmatrix 3。 幾何定義 在歐幾里得空間中，點積可直觀定義為 vec a cdot vec b vec a vec b cos theta 這裡 vec x 表示 vec x 的模（長度），theta 表示向量間的角度。 注意：點積的形式定義和這定義不同；在形式定義，vec a 和 vec b 的夾角用上述等式定義。 這樣，互相垂直的兩條向量的點積總是零。若 vec a 和 vec b 都是單位向量（長度為 1），它們的點積就是它們的夾角的餘弦。那麼，給定兩條向量，它們之間的夾角可以以下公式得到： cos theta frac mathbf a cdot bvec a vec b 這個運算可以簡單地理解為：在點積運算中，第一向量投影到第二向量上（向量順序這裡在不重要，點積運算可交換），然後透過除以它們的標量長度來 標準化。這樣，這分數一定是小於等於 1 的，可以簡單轉化成角度值。 標量投影 歐氏空間中向量 mathbf A 在向量 mathbf B 上的標量投影是指對於向量 B 來說向量 A 的垂直度到向量 B 的代表長度 A_Bmathbf Acostheta 這裡 theta 是 mathbf A 和 mathbf B 的夾角。從點積的幾何定義 mathbf Acdotmathbf Bmathbf Amathbf Bcostheta 不難得出，兩向量的點積：mathbf Acdotmathbf B 可以理解為向量 mathbf A 在向量 mathbf B 上的投影再乘以 mathbf B 的長度。 mathbf Acdotmathbf B A_Bmathbf BB_Amathbf A 兩種定義的等價性 點積的兩種定義中，只需給定一種定義，另外一種定義就可以推出。 由幾何定義推出代數定義 設 e_1e_n 是 mathbb Rn 空間的一組標準正交基，可以得出： begin align mathbf A a_1dotsa_n sum_i a_imathbf e_i mathbf B b_1dotsb_n sum_i b_imathbf e_i end align 上文中已經得知兩條向量點積的幾何定義實際上就是一條向量在另外一條向量上的投影，故 mathbf A 在任一標準基 e_n 的點積 mathbf Acdotmathbf e_i 就是 mathbf A 在此標準基向量上的投影，而根據向量自身的定義，這個投影即為 a_i。因此： mathbf Acdotmathbf B mathbf Acdotsum_i b_imathbf e_i sum_i b_i mathbf Acdotmathbf e_i sum_i b_ia_i 由代數定義推出幾何定義 應用餘弦定理。 注意：這個證明採用三維向量，但可以推廣到 n 維的情形。 考慮向量 vec v v_1 vec i v_2 vec j v_3 vec k 重復使用勾股定理得到 vec v2 v_12 v_22 v_32 而由代數定義 vec v cdot vec v v_12 v_22 v_32 所以，根據向量點積的代數定義，向量 vec v 和自身的點積就是其長度的平方。 引理 1 vec v cdot vec v vec v2 現在，考慮從原點出發的兩條向量 vec a 和 vec b，夾角 theta。第三條向量 vec c 定義為 vec c equiv vec a vec b 構造以 vec a，vec b，vec c 為邊的三角形，採用餘弦定理，有 vec c2 vec a2 vec b2 2 vec avec b cos theta 根據引理 1，用點積代替向量長度的平方，有 vec c cdot vec c vec a cdot vec a vec b cdot vec b 2 vec avec b costheta （1） 同時，根據定義 vec c vec a vec b，有 vec c cdot vec c vec a vec b cdot vec a vec b 根據分配律，得 vec c cdot vec c vec a cdot vec a vec b cdot vec b 2 vec a cdot vec b （2） 連線等式（1）和（2）有 vec a cdot vec a vec b cdot vec b 2 vec a cdot vec b vec a cdot vec a vec b cdot vec b 2 vec avec b costheta 簡化等式即得 vec a cdot vec b vec avec b costheta 以上即為向量點積的幾何定義。 需要注意的是，點積的幾何解釋通常只適用於 mathbb Rn n le 3。在高維空間，其他的域或模中，點積只有一個定義，那就是 left langle vec a vec b right rangle sum_i1n a_ib_i 點積可以用來計算合力和功。若 vec b 為單向量，則點積即為 vec a 在方向 vec b 的投影，即給出了力在這個方向上的分解。功即是力和位移的點積。 性質 點積有以下性質。 滿足交換律： vec a cdot vec b vec b cdot vec a， 從定義即可證明（theta 為 a 與 b 的夾角）： vec a cdot vec b left vec a right left vec b right cos theta left vec b right left vec a right cos theta vec b cdot vec a 對向量加法滿足分配律： vec a cdot vec b vec c vec a cdot vec b vec a cdot vec c 點積是雙線性運算元： vec a cdot rvec b vec c r vec a cdot vec b vec a cdot vec c 在乘以標量時滿足： c_1vec a cdot c_2vec b c_1c_2 vec a cdot vec b 不滿足結合律。因為標量（vec a cdot vec b）與向量（vec c）的點積沒有定義，所以結合律相關的表示式 vec a cdot vec b cdot vec c 和 vec a cdot vec b cdot vec c 都沒有良好的定義 兩個非零向量 vec a 和 vec b 是正交的，當且僅當 vec acdotvec b0 如果 vec b 是單位向量，則點積給出 vec a 在方向 vec b 上投影的大小，如果方向相反則帶有負號。分解向量對求向量的和經常是有用的，比如在力學中計算合力。 不像普通數的乘法服從消去律，如果 abac，則 b 總是等於 c，除非 a 等於零。而對於點積： 如果 vec acdot vec bvec acdotvec c 並且 vec aneq 0 則根據分配律可以得出：vec acdotleft vec bvec c right 0；進而： 如果 vec a 垂直於 left vec bvec c right ，則 left vec bvec c right 可能 neq 0，因而 vec b 可能 neqvec c；否則 vec bvec c。 延伸 矩陣 矩陣具有弗羅比尼烏斯內積，可以類比於向量的內積。它被定義為兩個相同大小的矩陣 A 和 B 的對應元素的內積之和。 復矩陣情況下： mathbf A mathbf B sum_i sum_j A_ij overline B_ij mathrm tr mathbf Bmathrm H mathbf A mathrm tr mathbf A mathbf Bmathrm H 實矩陣情況下： mathbf A mathbf B sum_i sum_j A_ij B_ij mathrm tr mathbf Bmathrm T mathbf A mathrm tr mathbf A mathbf Bmathrm T mathrm tr mathbf Amathrm T mathbf B mathrm tr mathbf B mathbf Amathrm T 應用 物理學中力學的力做功的問題，經常用到點積計算。 計算機圖形學常用來判斷方向，如兩向量點積大於 0，則它們的方向朝向相近；如果小於 0，則方向相反。 向量內積是人工智慧領域中的神經網路技術的數學基礎之一。 此方法用於動畫渲染（AnimationRendering）。 廣義定義 在向量空間 V 中，定義在 Vtimes V 上的正定對稱雙線性形式函式即是 V 的內積，而新增有數量積的向量空間即是內積空間。 參見 向量積 參考文獻 Category 向量 D D