在數學上，二項式係數是二項式定理中各項的係數。一般而言，二項式係數由兩個非負整數 n 和 k 為引數決定，寫作 tbinom nk ，定義為 1xn 的多項式展開式中，xk 項的係數，因此一定是非負整數。如果將二項式係數 binom n0binom n1dots binom nn 寫成一行，再依照 n012dots 順序由上往下排列，則構成帕斯卡三角形。 二項式係數常見於各數學領域中，尤其是組合數學。事實上，tbinom nk 可以被理解為從 n 個相異元素中取出 k 個元素的方法數，所以 tbinom nk 大多讀作「n 取 k」。二項式係數 tbinom nk 的定義可以推廣至 n 是複數的情況，而且仍然被稱為二項式係數。 歷史及記號 雖然二項式係數在西元 10 世紀就已經被發現（見帕斯卡三角形），但表示式 tbinom nk 卻是到 1826 年才由安德烈亞斯馮厄廷格豪森首次始用。最早探討二項式係數的論述是十世紀的 寫的印度教典籍《賓伽羅的計量聖典》（chandaḥśāstra）。約 1150 年，印度數學家婆什迦羅第二於其著作《Lilavati》Lilavati 第 6 節，第 4 章（見）。 中給出一個簡單的描述。 二項式係數亦有不同的符號表達方式，包括：C nk、_n C_k、n C_k、Ck_n、Cn_k，其中的 C 代表組合（combinations）或選擇（choices）。很多計算機使用含有 C 的變種記號，使得算式只佔一行的空間，相同理由也發生在置換數 P_kn，例如寫作 P n k。 定義及概念 對於非負整數 n 和 k，二項式係數 tbinom nk 定義為 1xn 的多項式展開式中，xk 項的係數，即 1xnsum_k0nbinom nk xk binom n0binom n1 xcdotsbinom nn xn 事實上，若 x、y 為交換環上的元素，則 xynsum_k0nbinom nk xnk yk 此數的另一出處在組合數學，表達了從 n 物中，不計較次序取 k 物有多少方式，亦即從一 n 元素集合中所能組成 k 元素子集的數量。此定義與上述定義相同，理由如下：若將冪 1Xn 的 n 個因數逐一標記為 i（從 1 至 n），則任一 k 元素子集則建構成展式中的一個 Xk 項，故此該單項的係數等如此種子集的數量。亦因此，就任何自然數 n 和 k 而言，tbinom nk 亦為自然數。此外，二項式係數亦見於很多組合問題的解答中，如由 n 個位元（如數字 0 或 1）組成的所有序列中，其和為 k 的數目為 tbinom nk，又如算式 ka_1a_2cdotsa_n，其中每一 a_i 均為非負整數，則有 tbinom nk1 k 種寫法。這些例子中，大部分可視作等同於點算 k 個元素的組合的數量。 計算二項式係數 除展開二項式或點算組合數量之外，尚有多種方式計算 tbinom nk 的值。 遞迴公式 以下遞迴公式可計算二項式係數： binom nk binom n1k1 binom n1 k quad forall nkinN 其中特別指定： binom n0 1 quad forall ninNcup0 binom 0k 0 quad forall kinN 此公式可由計算 1xn11x 中的 xk 項，或點算集合 left 12cdots n right 的 k 個元素組閤中包含 n 與不包含 n 的數量得出。 顯然，如果 kn，則 tbinom nk0。而且對所有 n，tbinom nn1，故此上述遞迴公式可於此等情況下中斷。遞迴公式可用作建構帕斯卡三角形。 乘數公式 個別二項式係數可用以下公式計算： binom nk frac nunderline kk frac n n1n2cdots nk1k k1k2cdots 1prod_i1k frac nkii 上式中第一個分數的分子是一階乘冪。此公式可以二項式係數在計算組合數量的意義理解：分子為從 n 個元素中取出 k 個元素的序列之數量，當中包含同樣的元素但不同排列次序的序列。分母則計算同樣的 k 個元素可有多少種排序方式。 階乘公式 二項式係數最簡潔的表示式是階乘 binom nk frac nknk quad mbox for 0leq kleq n 其中「n」是 n 的階乘，此公式從上述乘數公式中分子分母各乘以 nk 取得，所以此公式中的分子分母有眾同共同因子。除非先行抵銷兩邊中的共同因子，否則以此公式進行計算時較率欠佳，尤因階乘的數值增長特快。惟此公式展示了二項式係數的對稱特性： 一般化形式及其與二項式級數的關係 若將 n 換成任意數值（負數、實數或複數）alpha，甚至是在任何能為正整數給出逆元素的交換環中的一元素，則二項式係數可籍乘數公式擴充套件見，其中就 k0 定義了 tbinom n k 0，其他一般化形式包括考慮兩引數為實數或複數時以伽瑪函式為 k0 時定義 tbinom n k，但此舉會令大部分二項式係數的恆等式失效，故未有被廣泛採用。然而，此方法替不等於零的引數下定義則可得出如 Hilton Holton and Pedersen Mathematical reflections in a room with many mirrors Springer 1997 中那種好看的「帕斯卡風車」，但是卻會令帕斯卡法則在原點失效。： binom alpha k frac alphaunderline kk frac alpha alpha1alpha2cdots alphak1k k1k2cdots 1 quadmbox for kinN mbox and arbitrary alpha 此定義能使二項式公式一般化（其中一單項為 1），故 tbinomalpha k 仍能相稱地稱作二項式係數： 此公式對任何複數 alpha 及 X，left vert X right vert 1 時成立，故此亦可視作 X 的冪級數的恆等式，即係數為常數 1，任意冪之級數定義，且在此定義下，對於冪的恆等式成立，例如 1Xalpha 1Xbeta1Xalphabeta quadmbox andquad 1Xalphabeta1Xalphabeta 若 alpha 是一非負整數 n，則所有 kn 的項為零，此無窮級數變成有限項的和，還原為二項式公式，但對於 alpha 的其他值，包括負數和有理數，此級數為無窮級數。 帕斯卡三角形 楊輝三角 帕斯卡法則是一重要的遞迴等式： 此式可以用於數學歸納法，以証明 tbinom n k 對於所有 n 和 k 均為自然數（等同於証明 k 為所有 k 個連續整數之積的因數），此特性並不易從公式 1 中得出。 帕斯卡法則建構出帕斯卡三角形 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 第 n 橫行列出 tbinom n k 的 k0ldots n 項，其建構方法為在外邊填上 1，然後將上一行中每兩個相鄰數相加的和填在其下，此方法可快速地計算二項式係數而不涉及乘法或分數，例如從第 5 橫行可馬上得出 xy5boldsymbol 1 x5boldsymbol 5 x4 yboldsymbol 10 x3 y2boldsymbol 10 x2 y3boldsymbol 5 xy4boldsymbol 1 y5 在斜線上相鄰項的差就是上一斜線上的數值，此乃上述遞迴等式 的延伸意義。 組合數學和統計學 二項式係數是組合數學中的重要課題，因其可用於眾多常見的點算問題中，例如 共有 tbinom n k 種方式從 n 元素中選取 k 項。見組合。 共有 tbinom nk1 k 種方式從一個 n 元素集合中選取（容許重覆選取）k 元素建立多重集。 共有 tbinom nk k 個字串包含 k 個 1 和 n 個零。 共有 tbinom n1 k 個字串包含 k 個 1 和 n 個零，且沒有兩個 1 相鄰。 卡塔蘭數是 frac tbinom 2n nn1 統計學中的二項式分佈是 tbinom n k pk 1pnk 貝茲曲線的公式。 以多項式表達二項式係數 就任就非負整數 k，scriptstyle binom tk 可表達為一多項式除以 k： binom tk frac t_kkfrac t_kk_k frac t t1t2cdots tk1k k1k2cdots 21 此為帶有理數係數，變數是 t 的多項式，可對任意實數或複數 t 運算以得出二項式係數，此「廣義二項式係數」見於牛頓廣義二項式定理。 就任意 k，多項式 tbinom tk 可看成是惟一的 k 次多項式 p t 滿足 p 0p 1ldotsp k10 及 p k1 其係數可以第一類斯特靈數表示，即： binom tk sum_i0k frac s_kik ti tbinom tk 之導數可以對數微分計算： frac mathrm dmathrm d t binom tk binom tk sum_i0k1 frac 1ti 以二項式係數為多項式空間之基底 在任何包含 Q 的域中，最多 d 階的多項式有惟一的線性組合 sum_k0d a_k binom tk。係數 a_k 是數列 p 0 p 1 ldots p k 的第 k 差分，亦即： 此可視作泰勒定理的離散形式，亦與牛頓多項式有關，此式的交錯項之和可以 NörlundRice 積分表示。 整數值多項式 每一多項式 tbinom tk 在整數引數時均是整數值（可在 k 上，用帕斯卡法則以歸納法証明）。故此，二項式係數多項式的整數線性組合亦為整數值。反之， 表達了任何整數值的多項式均是二項式係數多項式的整數線性組合。一般而言，對於一個特徵 0 域 k 的任何子環 R，在 K t 內的多項式在整數引數時之值均在 R 內當且僅當該多項式是一二項式係數多項式的 R 線性組合。 整數值多項式 frac 3t 3t12 可表達作： 9tbinom t2 6 tbinom t1 0tbinom t0 從 t123 時 frac 3t 3t1262145 用帕斯卡矩陣的逆可算出： begin pmatrix tbinom t10 tbinom t11 tbinom t12 end pmatrix begin pmatrix 1 0 0 1 1 01 2 1 end pmatrix begin pmatrix 6 21 45 end pmatrixbegin pmatrix tbinom t10 tbinom t11 tbinom t12 end pmatrix begin pmatrix 6 15 9 end pmatrix 6tbinom t10 15tbinom t11 9tbinom t126tbinom t1 9tbinom t2 這種二項式係數多項式結合朱世傑恆等式應用於等冪求和。 有關二項式係數的恆等式 關係式 階乘公式能聯絡相鄰的二項式係數，例如在 k 是正整數時，對任意 n 有： binom n1k binom nkbinom nk1 binom nk frac nk binom n1k1 binom n1k binom n1k1 frac n2kn binom nk 兩個組合數相乘可作變換： binom ni binom imbinom nm binom nmim 一階求和公式 sum_r0n binom nr 2n sum_r0k binom nr1 r binom nk k sum_r0nk frac 1r n1kr1 binom nk r binom nk1 sum_r0n binom dndrfrac 1dsum_r1d 1efrac 2 pi r iddn sum_imn binom aii binom an1n binom amm1 binom amm1 binom amm binom am1m1 binom ann binom an1n F_nsum_i0infty binom nii F_n1F_nsum_i0infty binom n1iisum_i0infty binom nii1sum_i1infty binom nii1sum_i1infty binom nii1sum_i1infty binom n1iisum_i0infty binom n1iiF_n1 sum_imn binom ia binom n1a1 binom ma1 binom ma1 binom ma binom m1 a binom na binom n1a1 二階求和公式 sum_r0n binom nr2 binom 2n n sum_i0n binom r_1n1ir_11 binom r_2i1r_21binom r_1r_2n1r_1r_21 1xr_1 1xr_21xr_1r_2 1xr_1 1xr_2sum_n0infty binom r_1n1r_11 xnsum_n0infty binom r_2n1r_21 xnsum_n0infty sum_i0n binom r_1n1ir_11 binom r_2i1r_21 xn 1xr_1r_2sum_n0infty binom r_1r_2n1r_1r_21 xn sum_i0k binom ni binom m kibinom nm k 三階求和公式 binom nk k2sum_j0k binom kj2 binom n2kj2k 備註 參考文獻 Benjamin Arthur T Quinn Jennifer 2003 Proofs that Really Count The Art of Combinatorial Proof Mathematical Association of America 參見 組合 外部連結 Calculation of Binomial Coefficient Category 組合數學 Category 階乘與二項式主題 Category 整數數列 Category 數字運算 Category 帶有 Python 程式碼示例的條目 Category 帶有 C 程式碼示例的條目