線上性代數中，如果內積空間上的一組向量能夠組成一個子空間，那麼這一組向量就稱為這個子空間的一個基。Gram－Schmidt 正交化提供了一種方法，能夠透過這一子空間上的一個基得 出 子空間的一個正交基，並可進一步求出對應的標準正交基。 這種正交化方法以和命名，然而比他們更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已經發現了這一方法。在李群分解中，這種方法被推廣為巖澤分解（Iwasawa decomposition）。 在數值計算中，Gram－Schmidt 正交化是數值不穩定的，計算中累積的舍入誤差會使最終結果的正交性變得很差。因此在實際應用中通常使用豪斯霍爾德變換或 Givens 旋轉進行正交化。可以用於矩陣計算。 記法 boldsymbol Vn：維數為 n 的內積空間 boldsymbol v in boldsymbol Vn：boldsymbol Vn 中的元素，可以是向量、函式，等等 langle boldsymbol v_1 boldsymbol v_2 rangle：boldsymbol v_1 與 boldsymbol v_2 的內積 mathrm span boldsymbol v_1boldsymbol v_2ldots boldsymbol v_n ：boldsymbol v_1、boldsymbol v_2boldsymbol v_n 張成的子空間 mathrm proj_boldsymbol vboldsymbol u langle boldsymbol u boldsymbol vrangleoverlangle boldsymbol v boldsymbol vrangleboldsymbol v：boldsymbol u 在 boldsymbol v 上的投影 基本思想 GramSchmidt 正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基礎上構造一個新的正交基。 設 boldsymbol v in boldsymbol Vn。boldsymbol Vk 是 boldsymbol Vn 上的 k 維子空間，其標準正交基為 boldsymbol eta_1ldots boldsymbol eta_k ，且 boldsymbol v 不在 boldsymbol Vk 上。由投影原理知，boldsymbol v 與其在 boldsymbol Vk 上的投影 mathrm proj_boldsymbol Vk boldsymbol v 之差 boldsymbol beta boldsymbol v sum_i1kmathrm proj_boldsymbol eta_iboldsymbol v boldsymbol v sum_i1klangle boldsymbol v boldsymbol eta_i rangle boldsymbol eta_i 是正交於子空間 boldsymbol Vk 的，亦即 boldsymbol beta 正交於 boldsymbol Vk 的正交基 boldsymbol eta_i。因此只要將 boldsymbol beta 單位化，即 boldsymbol eta_k1 frac boldsymbol betaboldsymbol beta frac boldsymbol betasqrt langle boldsymbol betaboldsymbol beta rangle 那麼 boldsymbol eta_1ldots boldsymbol eta_k boldsymbol eta_k1 就是 boldsymbol Vk 在 boldsymbol v 上擴充套件的子空間 mathrm spanboldsymbol vboldsymbol eta_1boldsymbol eta_k 的標準正交基。 根據上述分析，對於向量組 boldsymbol v_1ldots boldsymbol v_m 張成的空間 boldsymbol Vm mn，只要從其中一個向量（不妨設為 boldsymbol v_1 ）所張成的一維子空間 mathrm spanboldsymbol v_1 開始（注意到 boldsymbol v_1 就是 mathrm spanboldsymbol v_1 的正交基），重複上述擴充套件構造正交基的過程，就能夠得到 boldsymbol Vn 的一組正交基。這就是 GramSchmidt 正交化。 演算法 首先需要確定已有基底向量的順序，不妨設為 boldsymbol v_1ldots boldsymbol v_n 。GramSchmidt 正交化的過程如下： boldsymbol beta_1 boldsymbol v_1 boldsymbol beta_2 boldsymbol v_2langle boldsymbol v_2 boldsymbol eta_1 rangle boldsymbol eta_1 boldsymbol beta_3 boldsymbol v_3 langle boldsymbol v_3 boldsymbol eta_1 rangle boldsymbol eta_1 langle boldsymbol v_3 boldsymbol eta_2 rangle boldsymbol eta_2 vdots vdots boldsymbol beta_n boldsymbol v_nsum_i1n1langle boldsymbol v_n boldsymbol eta_i rangle boldsymbol eta_i 這樣就得到 mathrm spanboldsymbol v_1 ldots boldsymbol v_n 上的一組正交基 boldsymbol beta_1 ldots boldsymbol beta_n ，以及相應的標準正交基 boldsymbol eta_1 ldots boldsymbol eta_n 。 例 考察如下歐幾里得空間 Rn 中向量的集合，歐氏空間上內積的定義為 a b bTa： S lbraceboldsymbol v_1begin pmatrix 3 1end pmatrix boldsymbol v_2begin pmatrix 2 2end pmatrixrbrace 下面作 Gram－Schmidt 正交化，以得到一組正交向量： boldsymbol beta_1boldsymbol v_1begin pmatrix 31end pmatrix boldsymbol beta_2boldsymbol v_2mathrm proj_boldsymbol beta_1boldsymbol v_2begin pmatrix 22end pmatrixmathrm proj_begin pmatrix 31end pmatrixbegin pmatrix 22end pmatrixbegin pmatrix2565end pmatrix 下面驗證向量 boldsymbol beta_1 與 boldsymbol beta_2 的正交性： langleboldsymbol beta_1boldsymbol beta_2rangle leftlangle begin pmatrix 31end pmatrix begin pmatrix2565end pmatrix rightrangle frac65 frac65 0 將這些向量單位化： boldsymbol eta_1 1 over sqrt 10begin pmatrix 31end pmatrix boldsymbol eta_2 1 over sqrt 8 over 5begin pmatrix2565end pmatrix 於是 boldsymbol eta_1 boldsymbol eta_2 就是 mathrm spanboldsymbol v_1boldsymbol v_2 的一組標準正交基底。 不同的形式 隨著內積空間上內積的定義以及構成內積空間的元素的不同，GramSchmidt 正交化也表現出不同的形式。 例如，在實向量空間上，內積定義為： langle boldsymbol a boldsymbol b rangle boldsymbol bT boldsymbol a 在復向量空間上，內積定義為： langle boldsymbol a boldsymbol b rangle boldsymbol bH boldsymbol a 函式之間的內積則定義為： langle f x g x rangle int_inftyinfty f x g x dx 與之對應，相應的 Gram－Schmidt 正交化就具有不同的形式。 參見 內積空間 內積 正交 QR 分解 外部連結 Harvey Mudd College Math Tutorial on the GramSchmidt algorithm Earliest known uses of some of the words of mathematics G Demos Gram Schmidt process in plane and Gram Schmidt process in space GramSchmidt orthogonalization applet NAG GramSchmidt orthogonalization of n vectors of order m routine Proof Raymond Puzio Keenan Kidwell proof of GramSchmidt orthogonalization algorithm version 8 PlanetMathorg Category 線性代數 Category 泛函分析