閔可夫斯基時空又稱閔可夫斯基空間，在數學物理學中是指由三維歐幾里德空間與時間組成的四維流形，其中任意兩個事件之間的時空間隔與所依照的慣性系無關。儘管由猶太裔德國數學家赫爾曼閔可夫斯基一開始是為了電磁理論的麥克斯韋方程組而發展這一理論，但閔可夫斯基時空的結構卻可以從狹義相對論的公設直接推出。 閔可夫斯基空間與阿爾伯特愛因斯坦的狹義相對論緊密相關，並且是狹義相對論最為常用的數學表述結構。歐幾里德空間的單個分量以及時間可能會因為長度收縮以及時間膨脹等效應而發生變化，在閔可夫斯基空間中，不同參考系中兩個事件間的時空總距離則都是一致的。這使得時空間隔成為了一個不變數。不過由於時間維度與三個空間維度的處理方式仍存在不同之處，閔可夫斯基空間與四維歐幾里德空間仍是不同的。 在三維歐幾里德空間（比如伽利略相對性原理中的空間）中，是其中的等距群（即可以保證正則歐幾里德距離不變的對映）。它是由旋轉、反射以及平移生成的。當將時間作為第四個維度考慮在內時，時間的平移以及就需要考慮在內。由上述提及的變換所構成的群稱作伽利略群。所有的伽利略變換保證三維歐幾里德距離不變。這個距離只是空間上的距離。時間則獨立於空間，同時保持不變。在狹義相對論中，空間和時間則會互相影響。 閔可夫斯基空間對於時空的表述是藉助不定非退化雙線性形式完成的。這一形式在下文中會依據語境不同被叫作 閔可夫斯基度規、閔可夫斯基範數平方 或是 閔可夫斯基內積 使用統一的術語來表述這個雙線性形式是有必要的。不過由於目前並沒有標準術語，因而只得使用這一併不 標準 的方式。閔可夫斯基內積是在兩個事件的座標差向量作為自變數時對時空間隔定義的。 Extract of page 184 在引入這種內積後，時空的數學模型就被叫作閔可夫斯基空間。對應於伽利略群，閔可夫斯基時空中保證時空間隔不變的變換群叫作 龐加萊群。 總體而言，伽利略時空與閔可夫斯基時空在被看作流形時是完全相同的。他們之所以不同是因為定義於其上的結構是不同的。前者有的是歐幾里德距離，獨立於空間的時間以及由伽利略變換相互關聯的慣性系，而後者有的是閔可夫斯基度規和由洛倫茲變換相互關聯的慣性系。 歷史 四維歐幾里德時空 法國數學家亨利龐加萊在 1905 年至 1906 年間發現當將時間作為一個虛座標（其中為光速，是虛數單位）並與三個表示空間的實座標共同組成四維時空時，洛倫茲變換就可以看作是這一時空中的座標旋轉。 Wikisource translation On the Dynamics of the Electron 狹義相對論可以保證這個量： t2 x2 y2 z2 在兩個慣性系間的座標變換，也就是洛倫茲變換，前後保持不變。 注：此處及以下公式使用了幾何單位制，即令 c1 的單位制，所以在這種單位制下 t 和 xyz 量綱相同。 這裡對於光速依照龐加萊的做法做了歸一處理。在由他提出的空間中，座標空間是透過構造的。洛倫茲變換在座標空間中作為普通的旋轉變換保證 x2 y2 z2 t2 不變。後一種表述可以讓前面的表述更為容易理解是中的三維球面。可以保證不變的線性變換不是旋轉就是反射。，但兩式中所表示的意義不同（前者表示的慣性系中測得的固有時間本身，後者表示的時間座標）也可能會造成混淆。 無論是在座標空間還是在實際的時空中，在由兩個空間單位向量確定的平面中的旋轉就是通常意義上的旋轉。不過當那個平面是由一個時間單位向量以及一個空間單位向量確定的時候，其中的 旋轉 稱作，與歐幾里德旋轉就不那麼相似了。 赫爾曼閔可夫斯基基於這一構想在四維空間中重新闡釋了麥克斯韋方程組，並展示了其在洛倫茲變換前後的不變性。 Wikisource translation The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies 他又進一步在四維空間中重新表述了愛因斯坦的狹義相對論，由此總結出時間與空間應該做相同的處理，並提出了事件是在一個統一的四維時空連續統中發生的概念。 閔可夫斯基空間 1908 年，在有關 空間與時間 的講座中，閔可夫斯基又利用另一種方式來闡釋這種四維時空。 Various English translations on Wikisource Space and Time 他將虛的時間座標替換為實的時間座標，並利用一個四維實向量空間來表述時空的四個自變數。這個空間中的點與時空中的事件一一對應。在這個時空中還有一個特別的光錐。空間中不在光錐上的點可以依據它們與光錐的關係劃分為 類空 或 類時。這與現今對時空的認知基本一致。不過那種將時間作為虛座標的做法由於某些原因仍在狹義相對論以及量子場論有所應用。將時間作為實座標的閔可夫斯基空間與將時間作為虛座標的四維歐幾里德空間之間的轉換叫作威克轉動。威克轉動可以在路徑積分中對於在 復時間平面 上利用留數定理處理沿時間軸的一些特定的積分時促進收斂。 在閔可夫斯基的論文中，下面定義的閔可夫斯基度規叫作 線元素，涉及特定向量正交性（他本人叫作 正規性）的閔可夫斯基內積沒有被命名，而閔可夫斯基範數平方則叫作 和。 閔可夫斯基圖是閔可夫斯基使用的一項重要的工具。他利用這一工具來定義概念並展示了洛倫茲變換的一些性質（比如固有時間和長度收縮），並提供了牛頓力學推廣到相對論力學的幾何解釋。有關這些話題請參看相關條目。下面主要展示的主要是利用由時空流形上的時空間隔不變性得到的閔可夫斯基空間的數學結構（閔可夫斯基度規、由它推匯出的量以及作為時空對稱群的龐加萊群），不包括其具體應用以及時空間隔不變性的推導。這個數學結構提供了目前廣義相對論以外所有相對論理論的背景。對於廣義相對論，閔可夫斯基時空仍可作為區域性平坦的彎曲時空的出發點。 閔可夫斯基本人對於他的這種重新闡釋方法有著這樣的評價： 更進一步的歷史方面的資訊，請參閱，and 。 數學結構 下文中，時空將被賦以對應某個慣性系的座標系。這樣就可以得到一個的原點。這個原點在把時空構造為向量空間的過程中很重要。儘管從物理意義來說這樣的一個正則原點（時空的 中心 事件）並不需要存在。人們可以構造具有更簡單結構的時空，比如仿射空間，但這會新增不必要的討論，並且不能反映平坦空間目前是如何從數學上處理的。 總體而言，閔可夫斯基空間是一個四維實向量空間。時空中每個點的切空間上具有非退化對稱雙線性形式，這裡稱作 閔可夫斯基內積，為或。每個事件的切空間是一個具有與時空相同維度的四維向量空間。 切向量 切空間在實際應用中可能並不會涉及。閔可夫斯基空間的切空間的性質可以讓人們擁有利用閔可夫斯基空間本體裡的向量標示切空間中向量的規範方法。例子請參見。標識的過程通常是利用數學方法完成的。它們可以在直角座標系中表示為： x0 x1 x2 x3 leftrightarrow x0mathbf e_0_p x1mathbf e_1_p x2mathbf e_2_p x3mathbf e_3_p leftrightarrow x0mathbf e_0_q x1mathbf e_1_q x2mathbf e_2_q x3mathbf e_3_q 其中切空間的基矢定義為： mathbf e_mu_p left frac partialpartial xmuright_p text 或 mathbf e_0_p left begin matrix 1000end matrixright text 等 這裡的和是任意的兩個事件，後一種標示叫作平行移動。第一種標示是利用空間本體中的向量來表示切空間中向量的規範方法。切空間的基矢會出現一階微分符號就是因為這種標示方式。這種標示方式得益於幾何切向量可以與一組平滑函式的方向導數一一對應。這使得流形中的切向量的定義不必基於。這種定義切向量方式並不是唯一的。透過普通的元向量也可以定義切向量。 在直角座標系（對應於慣性系），點處的切向量可以定義為的列向量。它透過洛倫茲變換依照在慣性系間變換，與座標的變換方式相同。具體來說，就是： begin align xmu Lambdamu_nu xnu vmu Lambdamu_nu vnuend align 這種定義在標準同構下與上文給出的定義等價。 點處的切向量有時還會以點處的 位移向量 表示，與上面規範標示方法基本相通。上述基於數學背景介紹的矢量表示方法可以在找到它們物理的或是更為具體的幾何背景。 標準基底 閔可夫斯基時空的一組常用標準基底是四個互相正交的向量的集合 e0 e1 e2 e3 使得 left e_0right2 e_12 e_22 e_32 1 這些條件可以更簡要地寫成如下形式： langle e_mu e_nu rangle eta_munu 其中 μ 與 ν 涵蓋的數值有 0 1 2 3，矩陣 η 稱為閔可夫斯基度規，數值為 eta begin pmatrix 1000010000100001 end pmatrix 相對於一組標準基底，一向量 V 的分量可以寫作 V0 V1 V2 V3 ，並且我們使用愛因斯坦標記來寫 V Vmu e_mu。分量 V0 稱作 V 的「類時分量」timelike component，而其他三個分量則稱作「類空分量」spatial components。 以分量來寫，兩個向量 V 與 W 間的內積可寫成 langle VWrangle eta_munu Vmu Wnu V0W0 V1W1 V2W2 V3W3， 而一向量 V 的範數 norm 平方值為 V2 eta_munu Vmu Vnu V02V12V22V32。 洛倫茲變換和對稱性 因果結構 四維向量依據它們（閔可夫斯基）內積的正負號來區分。四維向量 U、V 與 W 可分類如下： V 是類時 timelike，若且唯若 eta_mu nu Vmu Vnu Vmu V_mu 0 U 是類空 spacelike，若且唯若 eta_mu nu Umu Unu Umu U_mu 0 W 是零 null 或稱類光 lightlike，若且唯若 eta_mu nu Wmu Wnu Wmu W_mu 0 這樣的術語源自於相對論中對於閔可夫斯基時空的使用。閔可夫斯基時空中一事件所有零向量的集合構成了該事件的光錐 light cone。注意到這些標記的使用與參考系無關。 向量場被稱作是類時、類空或零，是看場定義所在的各點，其所對應的向量是類時、類空或零。 關於零向量一個有用的結果：「若兩個零向量 A、B 正交（即：零內積值 Acdot B Amu B_mu 0），則它們必定是呈比例關係 AkB（k 為常數）。」 一旦時間方向選定了，類時向量與零向量可以再分為各種類別。以類時向量 timelike vector 來說，我們有 未來方向 future directed 類時向量，其第一個分量為正。 過去方向 past directed 類時向量，其第一個分量為負。 以零向量 null vector 來說，可分為三種類別： 純零向量 zero vector，其在任何基底下，所有分量皆為 0000。 未來方向零向量，其第一個分量為正，而其餘分量為 0。 過去方向零向量，其第一個分量為負，而其餘分量為 0。 加上類空向量，全部共有六種類別。 閔可夫斯基時空中的正交歸一基底 orthonormal basis 必然包含一個類時與三個類空的單位向量。若希望以非正交歸一基底來做運算，則可有其他的向量組合。例如：可以輕鬆建構一種（非正交歸一）基底，整個是由零向量所組成，稱之為「零基底」null basis。 推廣 幾何意義 閔可夫斯基空間是狹義相對論中的一個概念，它由一個時間維和三個空間維組成。在這個四維時空中，不同的慣性參考系之間的座標變換可以透過洛倫茲變換來描述。閔可夫斯基空間的幾何意義在於，它提供了一種度量時空間隔的方法，這種度量是透過閔可夫斯基度規來定義的。 在閔可夫斯基空間中，時空間隔（也稱為線元）保持不變，即使在不同的慣性參考系中觀察。這個不變性是狹義相對論中相對性原理和光速不變原理的數學表述。具體來說，如果在一個慣性參考系中，兩個事件的時空間隔是 ds2 c2dt2 dx2 dy2 dz2，那麼在另一個慣性參考系中，這個間隔 ds2 也是相同的。這表明了時間和空間是相互聯絡的，不能單獨考慮。 閔可夫斯基空間對我們理解四維或多維空間有重要意義，它不僅簡化了對狹義相對論的理解，而且在物理學中引入了高維時空的概念，對物理學的發展產生了深遠影響。在現代物理理論中，如弦論，閔可夫斯基空間的概念也被擴充套件到更高維的時空中。總的來說，閔可夫斯基空間是現代物理學中一個基礎且強大的工具。 註釋 引注 參考文獻 Galison P L Minkowskis SpaceTime from visual thinking to the absolute world Historical Studies in the Physical Sciences R McCormach et al eds Johns Hopkins UnivPress vol10 1979 85121 Corry L Hermann Minkowski and the postulate of relativity Arch Hist Exact Sci 51 1997 273314 Francesco Catoni Dino Boccaletti Roberto Cannata 2008 Mathematics of Minkowski Space Birkhäuser Verlag Basel Roger Penrose 2005 Road to Reality A Complete Guide to the Laws of the Universe chapter 18 Minkowskian geometry Alfred A Knopf ISBN 9780679454434 Shaw Ronald 1982 Linear Algebra and Group Representations 66 Minkowski space 678 Canonical forms pp 22142 Academic Press ISBN 9780126392012 參閲 歐幾裡得空間 時空 光速 光錐 世界線 狹義相對論 勞侖茲流形 雙曲空間 雙曲四元數 外部連結 visualizing Minkowski space in the context of special relativity The Geometry of Special Relativity The Minkowski Space Time Light Cone M M M M Category 洛倫茲流形 分類：數學術語 分類：基本物理概念