考拉茲猜想，又稱為奇偶歸一猜想、3n1 猜想、冰雹猜想、角谷猜想、哈塞猜想、烏拉姆猜想或敘拉古猜想，是指對於每一個正整數，如果它是奇數，則對它乘 3 再加 1，如果它是偶數，則對它除以 2，如此迴圈，最終都能夠得到 1。 f n begin cases n2 mbox if n equiv 0 3n1 mbox if nequiv 1 end cases pmod 2 埃爾德什帕爾在談到考拉茲猜想時說：數學還沒準備好應對這樣的問題。 指出，考拉茲猜想 是個異常困難的問題，完全超出了當今數學的範圍。 問題表述 對任意正整數進行以下運算； 若為偶數，則除以 2； 若為奇數，則將其 3 再加 1。 這可以定義為模算術函式： f n begin cases n2 text if n equiv 0 pmod 24px 3n1 text if nequiv 1 pmod 2 end cases 現重複執行該運算，形成一個序列，從任意正整數開始，把每步的結果作為下一步的輸入。可記作： a_i begin cases n text for i 0 f a_i1 text for i 0 end cases （即：是遞迴次應用於的值；）。 考拉茲猜想是：所有正整數最終都會到達 1，即存在 i 使得。 若猜想為假，表示存在某個初值產生一個不含 1 的迴圈數列，或朝無窮大發散的數列，目前尚未發現這樣的數列。 最小的使的稱為的停止時間，相似地，使的最小的稱為的總停止時間。若索引或的其中一個不存在，就稱停止時間或總停止時間分別不存在。 考拉茲猜想認為，所有的總停止時間都是有限的，即所有都有有限的停止時間。 只要是奇數，就是偶數，所以可以使用考拉茲函式的 快捷 形式： f n begin cases frac n2 text if n equiv 0 pmod 24px frac 3n12 text if nequiv 1 pmod 2 end cases 這個定義可在過程整體動態不變的前提下，獲得較小的停止時間和總停止時間值。 經驗資料 取一個正整數： 如 n 6，根據上述數式，得出序列 6 3 10 5 16 8 4 2 1。（步驟中最高的數是 16，共有 8 個步驟） 如 n 11，根據上述數式，得出序列 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1。（步驟中最高的數是 52，共有 14 個步驟） 如 n 27，根據上述數式，得出序列 27 82 41 124 62 31 94 47 142 71 214 107 322 161 484 242 121 364 182 91 274 137 412 206 103 310 155 466 233 700 350 175 526 263 790 395 1186 593 1780 890 445 1336 668 334 167 502 251 754 377 1132 566 283 850 425 1276 638 319 958 479 1438 719 2158 1079 3238 1619 4858 2429 7288 3644 1822 911 2734 1367 4102 2051 6154 3077 9232 4616 2308 1154 577 1732 866 433 1300 650 325 976 488 244 122 61 184 92 46 23 70 35 106 53 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1（步驟中最高的數是 9232，共有 111 個步驟） 奇偶歸一猜想稱，任何正整數，經過上述計算步驟後，最終都會得到 1。 數目少於 1 萬的，有著最高步驟數的是 6171，共有 261 個步驟；數目少於 10 萬的，有著最高步驟數的是 77031，共有 350 個步驟；數目少於 100 萬的，有著最高步驟數的是 837799，共有 524 個步驟；數目少於 1 億的，有著最高步驟數的是 63728127，共有 949 個步驟；數目少於 10 億的，有著最高步驟數的是 670617279，共有 986 個步驟。 總停止時間長於任何較小起始值的數字構成如下序列： 1 2 3 6 7 9 18 25 27 54 73 97 129 171 231 313 327 649 703 871 1161 2223 2463 2919 3711 6171 最大軌跡點大於任何較小起始值的起始值構成如下序列 1 2 3 7 15 27 255 447 639 703 1819 4255 4591 9663 20895 26623 31911 60975 77671 113383 138367 159487 270271 665215 704511 達到 1 的步數為 0 1 7 2 5 8 16 3 19 6 14 9 9 17 17 4 12 20 20 7 7 15 15 10 23 10 111 18 18 18 106 5 26 13 13 21 21 21 34 8 109 8 29 16 16 16 104 11 24 24 總停止時間最長，且 小於 10 的是 9，經歷 19 步； 小於 100 的是 97，經歷 118 步； 小於 1000 的是 871，經歷 178 步； 小於 104 的是 6171，經歷 261 步； 小於 105 的是，經歷 350 步； 小於 106 的是，經歷 524 步； 小於 107 的是，經歷 685 步； 小於 108 的是，經歷 949 步； 小於 109 的是，經歷 986 步； 小於 1010 的是，經歷 1132 步； 小於 1011 的是，經歷 1228 步； 小於 1012 的是，經歷 1348 步； Note Delay records are total stopping time records 這些數字也是具有指定步數的最低數字，但不一定是唯一的，例如經歷 1132 步的有，還有。 與位數（以 2 為基）相關的總停止時間最小的起始值是 2 的冪，因為經歷次減半才達到 1，且永遠不會增加。 視覺化 FileCollatz orbits of the all integers up to 1000svg 前 1000 個數的軌跡的有向圖 FileCollatzConjectureGraphMaxValuesjpg 軸表示初始數，軸表示到 1 過程中到達的最大值。此圖顯示了壓縮的軸：有些值產生的軌跡最大值可達 FileCollatzmaxpng 與左圖相同，但採用對數座標，顯示了所有值。圖中間的第一條粗線對應 27 處的尖端，在 9232 到達最大值 FileAll Collatz sequences of a length inferior to 20svg 小於 20 步的所有數集合 FileCollatz Conjecture 100MjpgaltCollatz Conjecture 100M 前 1 億個數到達 1 的迭代次數 支援論據 雖然猜想尚未得到證實，但大多數數學家都認為它是真的，因為實驗證據和啟發式論證都支援這一猜想。 實驗證據 截至 2020 年，已經用計算機驗證了 268 之前的所有初始值，最終都以週期為 3 的迴圈作結。 顯然，這不能證明猜想對所有初始值都正確，因為非常大的正整數可能會出現反例，例如希爾伯特－波利亞猜想的反例。不過，這種驗證可能會產生其他影響，例如我們可以推匯出關於非平凡週期和結構形式的額外約束。 機率啟發式 若只考慮考拉茲過程產生序列中的奇數，那麼每個奇數平均都是前一個的。（更準確地說，結果的幾何均值是。）這就產生了啟發式論證：每個考拉茲序列從長期來看都傾向於減小，雖然這不能證明不存在其他的週期。這個論證不是證明，因為它假定考拉茲序列是由不相關的機率事件組合而成的。（確實嚴格證明了考拉茲過程的 2 進數推廣在幾乎所有初始值的每個乘法步驟都對應兩個除法步驟） 停止時間 正如 Riho Terras 證明，幾乎每個正整數都有有限的停止時間。換句話說，幾乎每個考拉茲序列都會到達嚴格低於其初值的點。該證明基於奇偶向量的分佈，並利用了中心極限定理。 2019 年，陶哲軒利用機率密度函式改進了這一結果，證明幾乎所有（對數密度意義上的）考拉茲軌道都在起點的任意發散函式之下。《量子雜誌》在回應這項工作時寫道，陶哲軒 獲得了幾十年來關於考拉茲猜想的最重要成果之一。 下界 Krasikov Lagarias 在一份計算機輔助證明中證明，對所有足夠大的，區間中最終達到 1 的整數個數至少等於。 迴圈 在這一節中，考慮考拉茲函式的快捷形式 f n begin cases frac n2 text if n equiv 0 pmod 24px frac 3n12 text if n equiv 1 pmod 2 end cases 迴圈是由不同正整陣列成的序列，其中， 。 唯一已知的迴圈是週期為 2 的，稱作平凡迴圈。 週期長度 非平凡週期的長度至少為。若能證明對所有小於 3 times 269 的正整數，考拉茲序列都收斂到 1，則這個下界就會提高到。實際上，Eliahou 1993 證明了任何非平凡迴圈的週期的形式為 p 301994 a 17087915 b 85137581 c 其中、、為非負整數，，。這個結果是基於的連分數展開。 迴圈 迴圈是可分為段連續子列的迴圈，每個子列由奇數的遞增序列和偶數的遞減序列組成。例如，若迴圈由 1 個奇數的遞增序列和偶數的遞減序列組成，則稱為 1 迴圈。 Steiner 1977 證明，除平凡迴圈外不存在其他 1 迴圈。Simons 2005 用 Steiner 的方法證明沒有 2 迴圈。 Simons de Weger 2005 將這一證明推廣到 68 迴圈，即以下不存在迴圈。Hercher 進一步推廣了這一方法，證明不存在的 k 迴圈。隨著計算機窮舉搜尋的繼續，可能會排除更大的值。 猜想的其他表述 反向 還有另一種方法可證明這猜想：採用自下而上的方法構造所謂考拉茲圖，由逆關係定義： R n begin cases 2n text if nequiv 01235 4px left2nfrac n13right text if nequiv 4 end cases pmod 6 因此，與其證明所有正整數都指向 1，我們可以嘗試證明 1 指向所有正整數。對任意整數，當且僅當。等價地，當且僅當。根據猜想，除了 123 迴圈之外，這個逆關係構成一棵樹。 函式的關係式可用 快捷 關係式代替，則考拉茲圖由逆關係定義： R n begin cases 2n text if nequiv 01 4px left2nfrac 2n13right text if nequiv 2 end cases pmod 3 對任意整數，當且僅當。等價地，當且僅當。根據猜想，除了 12 迴圈之外，這個逆關係構成一棵樹。 或者，把換成，其中、是整除的最大的 2 的冪，得到的函式將從奇數對映到奇數。現假設對某個奇數，進行次運算會得到數字 1（即）。則數字在二進位制中可寫為字串，其中每個都是從的表示中提取的有限連續字串。因此，的表示包含了除的重複尾數，每個重複尾數可以選擇旋轉，再複製到有限位數。只有二進位制會出現這種情況。根據猜想，每個以 1 結尾的二進位制字串都可用這種形式表示（可以新增或刪除的前導 0）。 作為以二進位制計算的抽象機 考拉茲函式的重複應用可用處理位元串的抽象機表示。它會對任何奇數執行以下 3 步，直到只剩一個 1 在二進位制數的（右）端加（得到）； 用二進位制加法將其加到原數上； 去掉所有尾數（反覆除以 2 直到結果為奇數）。 示例 起始值為 7，以二進位制寫作。得到的考拉茲序列為： 111 1111 10110 10111 100010 100011 110100 11011 101000 1011 10000 作為奇偶序列 本節中，考慮略微修改的考拉茲函式 f n begin cases frac n2 text if n equiv 0 4px frac 3n 12 text if n equiv 1 end cases pmod 2 這樣做是因為為奇數時，總是偶數。 若表示某數的奇偶性，例如、，則可定義一個數的考拉茲奇偶序列，其中；。 執行還是的哪種運算取決於奇偶性，序列與運算序列相同。 利用的這種形式，可證明兩個數、的奇偶性序列在前項上一致，當且僅當、是等價的模。這意味著每個數都能透過奇偶性序列唯一識別，此外若存在多個考拉茲迴圈，則它們對應的奇偶性迴圈也一定是不同的。 對數應用次函式，得到，其中是對應用次函式的結果，是在序列中增加的次數。例如，對於，1 依次上升到 2、1、2、1，最後上升到 2 時有 3 次上升，因此結果是；對於只有一次上升：1、2、1，所以結果是。是時，會有次上升，結果是。3 的冪乘與無關，只取決於的行為，這使我們可以預測，某些形式的數在迭代一定次數後總會到達更小的數字，例如在應用兩次後會變成，應用 4 次會變成。不過，這些小數是否繼續下降到 1 則取決於的值。 作為標記系統 對於形式為 f n begin cases frac n2 text if n equiv 0 4px frac 3n12 text if n equiv 1 end cases pmod 2 的考拉茲函式，考拉茲序列可透過 2 標記系統計算，生成規則為 系統中，正整數由包含份的字串表示，標籤操作的迭代在熱河長度小於 2 的詞上停止（改編自 De Mol）。 考拉茲猜想等價地指出，以任意有限的字串作為初值，標記系統最終會停止。 推廣 在所有整數上迭代 考拉茲猜想的擴充套件是包含所有整數，而不僅僅是正整數。撇開無法從外部進入的 00 迴圈，已知迴圈共有 4 個，所有非零整數似乎都會在的迭代下陷入其中： 奇數值用大粗體表示，每個迴圈以其絕對值最小的成員（總是奇數）為先列出。 迴圈 奇數值迴圈長度 全迴圈長度 1 4 2 1 1 3 1 2 1 1 2 5 14 7 20 10 5 2 5 17 50 25 74 37 110 55 164 82 41 122 61 182 91 272 136 68 34 17 7 18 推廣的考拉茲猜想：在的迭代下，所有整數最終都會落入上述 4 個迴圈或 00 迴圈中的一個。 奇分母有理數的迭代 考拉茲對映可擴充套件到奇分母的有理數。根據分子的奇偶，可將有理數分奇偶，然後對映公式與域為整數時完全相同：偶有理數除以 2，奇有理數乘以 3 再加 1。一個密切相關的事實是，考拉茲猜想可推廣到 2 進整數，其中包含作為子環的奇分母有理數環。 運用 快捷 函式時，已知任何週期的奇偶性序列都恰好由一個有理數生成。相反，有人猜想，每個奇分母有理數都有最終迴圈的奇偶性序列（週期性猜想）。 若奇偶迴圈長為，且在處包含了次奇數，那麼立即週期性地產生奇偶迴圈的唯一有理數： 例如，奇偶迴圈長度為 7，4 個奇數項分別位於 0、2、3、6 處。它由分數 frac 33 20 32 22 31 23 30 2627 34 frac 15147 因為後者可產生有理迴圈 frac 15147 rightarrow frac 25047 rightarrow frac 12547 rightarrow frac 21147 rightarrow frac 34047 rightarrow frac 17047 rightarrow frac 8547 rightarrow frac 15147 的任何迴圈排列都與上述分數之一相關。例如，迴圈可由下面的分數產生 frac 33 21 32 22 31 25 30 2627 34 frac 25047 為實現一一對應，奇偶迴圈應是不可還原的，即無法分割成相同的子迴圈。例如，奇偶迴圈及其子迴圈在化為最小項時與相同的分數相關。 這時，假設考拉茲猜想成立，就意味著、是唯一由正整數（1、2）產生的奇偶性迴圈。 若有理數的奇分母不是 3 的倍數，則所有迭代數都將有相同的分母，透過應用考拉茲函式的推廣，可得考拉茲函式 T_d x begin cases frac x2 text if x equiv 0 pmod 24px frac 3xd2 text if xequiv 1 pmod 2 end cases 2 進數推廣 函式 T x begin cases frac x2 text if x equiv 0 pmod 24px frac 3x12 text if xequiv 1 pmod 2 end cases 在 2 進整環 mathbb Z_2 上有精確定義，是連續的，且關於 2 進度量是保測的。另外，已知其動態是遍歷的。 定義作用於 mathbb Z_2 的奇偶向量函式： Q x sum_k0infty left Tk x mod 2 right 2k 函式是 2 進等距同構。因此，每個無限奇偶性序列都恰好出現一惡搞 2 進整數，所以幾乎所有軌跡在 mathbb Z_2 中都是非迴圈的。 考拉茲猜想的等價表述是 Qleft mathbb Zright subset tfrac13 mathbb Z 在實數、複數上的迭代 x 為整偶數時 x2、為整奇數時 3x 1 或 3x 12（快捷 版本）的函式，可將考拉茲對映推廣到實數，這就是所謂的插值函式。一個簡單方法是選取兩個函式 g_1、g_2，其中 g_1 n begin cases 1 ntext is even 0 ntext is oddend cases g_2 n begin cases 0 ntext is even1 ntext is oddend cases 並將它們作為我們所需值的開關： f x triangleq frac x2cdot g_1 x frac 3x 12cdot g_2 x 其中一個選擇是 g_1 x triangleq cos2left tfrac pi2 xright、g_2 x triangleq sin2left tfrac pi2 xright。這對映的迭代產生了動力系統，Marc Chamberland 對其進行了進一步研究。他證明這個猜想對於正實數不成立，因為存在無窮多個不動點與無窮多單調發散到無窮的軌道。函式 f 有 2 個週期為 2 的吸引子迴圈：12、1192521386。此外，我們猜想無界軌道集的勒貝格測度為 0。 Letherman、Schleicher 和 Wood 將研究推廣到複平面，用張伯倫函式求解復正餘弦，並添加了額外項 tfrac 1pileft tfrac12 cos pi zrightsin pi z h zsin2 pi z，其中 h z 是任意整函式。由於該式對整實數求值為零，所以推廣函式 begin align f z triangleq frac z2cos2left frac pi2 zright frac 3z 12sin2left frac pi2 zright frac 1pileft frac12 cos pi zrightsin pi z h zsin2 pi zend align 是考拉茲對映到複平面的插值。新增額外項將所有整數都變為 f 的臨界點，於是可證明沒有一個整數位於 Baker 域中，意味著任何整數或者是週期性的，或者屬於遊蕩域。他們猜想後者不成立，也就可以匯出，所有整數軌都是有限的。 大部分點的軌道發散，根據發散速度為其著色，便產生左邊的影像（h z triangleq 0）。內部黑色區域和外部是法圖元素，之間的邊界是 f 的朱利亞集，有時稱為 考拉茲分形。 還有許多方法可以定義復插值函式，如用復指數而非正餘弦： f z triangleq frac z2 frac14 2z 1left 1 eipi zright 它呈現出不同的動態。例如若 operatorname Imz gg 1，則 f z approx z tfrac14。對應的朱利亞集（如右圖）由不可數多的曲線組成，稱為 毛 或 線。 最佳化 時空權衡 作為奇偶序列一節給出了加快序列模擬的方法。要在每次迭代中向前跳轉步，可將當前數字分成兩部分：（個最小有效位，解釋為整數）和（剩餘位，解釋為整數）。向前跳轉步的演算法是 （或更好的）、的值可針對所有可能的位數預先計算，其中是對應用次函式的結果，是迭代過程中遇到的奇數個數。例如，若，那麼每次迭代都可以向前跳 5 步，方法是分理出數字的 5 個最小有效位，並使用 031 5 0 3 2 2 2 2 2 4 1 4 1 3 2 2 3 4 1 2 3 3 1 1 3 3 2 3 2 4 3 3 4 5 031 5 0 2 1 1 2 2 2 20 1 26 1 10 4 4 13 40 2 5 17 17 2 2 20 20 8 22 8 71 26 26 80 242 這需要的預計算和儲存，以將計算速度提高倍，是時空權衡。 模限制 對於尋找考拉茲猜想反例，這種預計算帶來了更重要的加速。Tomás Oliveira e Silva 在計算證實考拉茲猜想時，使用了這種加速，直到很大的值。對給定的、，若不等式 對所有都成立，那麼第一個反例（若存在）不是模。例如，第一個反例一定是奇數，因為小於；且一定是 3 mod 4，因為，小於。對每個不是考拉茲猜想反例的初值，都存在使不等式成立的，因此檢查起始值的考拉茲猜想，相當於檢查整個同餘類。隨著增加，只需搜尋沒有被較小的消除的殘差，將只剩極少數。例如，32 模的殘差只有 7、15、27、31。 錫拉丘茲函式 若為奇整數，則是偶數，所以，是奇數且。錫拉丘茲函式是從正整奇數集指向自身的函式，其中 。 錫拉丘茲函式的性質有： 對所有，（因為。） 更通俗地說：對所有和奇數，。（其中是函式迭代記號。） 對所有奇數， 考拉茲猜想等價於：對中所有，存在整數使。 不可判定的推廣 1972 年，約翰康威證明了考拉茲猜想的一個自然推廣在演算法上是不可判定的。 具體來說，他考慮了以下形式的函式 g n a_i n b_i text when nequiv i pmod P 其中是有理數，其選擇使總是整數。標準考拉茲函式為、、 、。康威證明 給定、，迭代序列是否能抵達？ 是不可判定的，可以轉化為停機問題。 與考拉茲猜想更接近的是下面這個普遍量化問題： 給定，迭代序列對所有是否都能抵達？ 以這種方式修改條件，可以使問題變得更難或更易解決（直觀地說，正面答案更難證明，但反面答案可能更容易）。Kurtz Simon As PDF 證明，普遍量化問題事實上是不可判定的，在算術階層中甚至更高；具體地說，它是完全的。即使將模數限制在 6840 以限制函式的類別，這難度結果也成立。 這種形式的簡化迭代（所有 b_i 都為零）在一種名為 FFRACTRAN 的程式語言中得到了正式化。 研究歷史 在 1930 年代，德國漢堡大學的學生曾經研究過這個猜想。在 1960 年，也研究過這個猜想。但這猜想到目前，仍沒有任何進展。 保羅艾狄胥就曾稱，數學上尚未為此類問題提供答案。他並稱會替找出答案的人獎賞 500 元。 目前已經有分散式計算在進行驗證。到 2020 年，已驗證正整數到 268，也仍未有找到例外的情況。但是這並不能夠證明對於任何大小的數，這猜想都能成立。 有的數學家認為，該猜想任何程度的解決都是現代數學的一大進步，將開闢全新的領域。目前也有部分數學家和數學愛好者，在進行關於 負數的 3x1、5x1、7x1 等種種考拉茲猜想的變化形命題的研究。 2019 年 12 月，陶哲軒證明只要 f n 是一個趨於正無窮的實數列，那麼幾乎對所有的正整數 n（在對數密度意義下） ，有 S nf n。 相關條目 3x 1 半群 模算數 算術動力學 閱讀更多 The Ultimate Challenge The Problem 由美國數學學會於 2010 年出版，Jeffrey Lagarias 編輯，是關於考拉茲猜想、處理方法和一般化思想的資料彙編。其中包含兩篇編者所撰的調查論文和 5 篇與其他作者撰寫的論文，內容涉及問題的歷史、一般化、統計方法與計算理論的結果。它還包含有關主題的早期論文的重印本，如洛薩考拉茲的論文。 參考資料 外部連結 以電腦研究考拉茲猜想的網頁 Collatz Conjecture 的 BOINC 專案網頁 An ongoing volunteer computing project by David Bařina verifies Convergence of the Collatz conjecture for large values furthest progress so far An ongoing volunteer computing project by Eric Roosendaal verifies the Collatz conjecture for larger and larger values Another ongoing volunteer computing project by Tomás Oliveira e Silva continues to verify the Collatz conjecture with fewer statistics than Eric Roosendaals page but with further progress made Are computers ready to solve this notoriously unwieldy math problem Category 數論 Category 猜想 Category 整數數列