伸展樹是一種能夠自我平衡的二叉查詢樹，它能在均攤 O log n 的時間內完成基於伸展（Splay）操作的插入、查詢、修改和刪除操作。它是由丹尼爾斯萊託和羅伯特塔揚在 1985 年發明的。 在伸展樹上的一般操作都基於伸展操作：假設想要對一個二叉查詢樹執行一系列的查詢操作，為了使整個查詢時間更小，被查頻率高的那些條目就應當經常處於靠近樹根的位置。於是想到設計一個簡單方法，在每次查詢之後對樹進行調整，把被查詢的條目搬移到離樹根近一些的地方。伸展樹應運而生。伸展樹是一種自調整形式的二叉查詢樹，它會沿著從某個節點到樹根之間的路徑，透過一系列的旋轉把這個節點搬移到樹根去。 它的優勢在於不需要記錄用於平衡樹的冗餘資訊。 優點 伸展樹的自我平衡使其擁有良好的效能，因為頻繁訪問的節點會被移動到更靠近根節點，進而獲得更快的訪問速度。 可靠的效能 它的平均效率不輸於其他平衡樹。 儲存所需的記憶體少 伸展樹無需記錄額外的什麼值來維護樹的資訊，相對於其他平衡樹，記憶體佔用要小。 缺點 伸展樹最顯著的缺點是它有可能會變成一條鏈。例如，在以非遞減順序訪問全部 n 個之後就會出現這種情況。此時樹的高度對應於最壞情況的時間效率，操作的實際時間效率可能很低。然而均攤的最壞情況是對數級的 O log n。 即使以 只讀 方式（例如透過查詢操作）訪問伸展樹，其結構也可能會發生變化。這使得伸展樹在多執行緒環境下會變得很複雜。具體而言，如果允許多個執行緒同時執行查詢操作，則需要額外的維護和操作。這也使得它們不適合在純粹的函數語言程式設計中普遍使用，儘管用於實現優先順序佇列的方式不多。 操作 伸展 splay 當一個節點 x 被訪問過後，伸展操作會將 x 移動到根節點。為了進行伸展操作，我們會進行一系列的旋轉，每次旋轉會使 x 離根節點更近。透過每次訪問節點後的伸展操作，最近訪問的節點都會離根節點更近，且伸展樹也會大致平衡，這樣我們就可以得到期望均攤時間複雜度的下界 均攤 O log n。 每次旋轉操作由三個因素決定： x 是其父節點 p 的左兒子還是右兒子； p 是否為根； p 是其父節點 g（x 的祖父節點）的左兒子還是右兒子。 在每次旋轉操作後，設定 p 的兒子為 x 是很重要的。如果 p 為空，那麼 x 顯然就是根節點了。 共有三種旋轉操作，每種都有右旋（Zig）和左旋（Zag）兩種情況。為了簡單起見，對每種旋轉操作只展示一種情況。這些旋轉操作是： Zig：當 p 為根節點時進行。Zig 通常只在伸展操作的最後一步進行。 Zigzig 和 Zagzag：當 p 不為根節點且 x 和 p 都為左兒子或都為右兒子時進行。下圖為 x 和 p 都為左兒子時的情況（即 Zigzig），需先將 p 右旋到 g 的位置，再將 x 右旋到 p 的位置。 Zigzag 和 Zagzig：當 p 不為根節點且 x 為左兒子而 p 為右兒子時進行，反之亦然。下圖為前述情況（即 Zigzag），需先將 x 左旋到 p 到的位置，再將 x 右旋到 g 的位置。 連線 join 給出兩棵樹 S 和 T，且 S 的所有元素都比 T 的元素要小。下面的步驟可以把它們連線成一棵樹： 伸展 S 中最大的節點。現在這個節點變為 S 的根節點，且沒有右兒子。 令 T 的根節點變為其右兒子。 分割 split 給出一棵樹和一個元素 x，返回兩棵樹：一棵中所有的元素均小於等於 x，另一棵中所有的元素大於 x。下面的步驟可以完成這個操作： 伸展 x。這樣的話 x 成為了這棵樹的根所以它的左子樹包含了所有比 x 小的元素，右子樹包含了所有比 x 大的元素。 把 x 的右子樹從樹中分割出來。 插入 insert 插入操作是一個比較複雜的過程，具體步驟如下 我們假定要插入的值為 k。 如果當前樹為空，則直接插入根。 如果當前節點的權值等於 k 則增加當前節點的大小並更新節點和父親的資訊，將當前節點進行 splay 操作。 否則按照二叉查詢樹的性質向下找，找到空節點就插入即可，當然在最後還要進行一次 splay 操作。 刪除 delete 令要刪除的節點為 x，對 x 進行一次 splay 操作將其移動到根節點的位置。 若 x 的大小大於 1，則將 x 的大小減一然後結束刪除操作。 否則將 x 刪除然後執行 join 操作合併 x 的左右子樹並重新指定根。 查詢 find 如同一般的查詢樹的查詢方式。 實現 以下是伸展樹的 C 實現（用指標實現） include functional ifndef SPLAY_TREE define SPLAY_TREE templatetypename T typename Comp stdless T class splay_tree private Comp comp unsigned long p_size struct node node left right node parent T key node const T init T left 0 right 0 parent 0 key init root void left_rotate node x node y xright xright yleft if yleft yleftparent x yparent xparent if xparent if x xparentleft xparentleft y else xparentright y yleft x xparent y void right_rotate node x node y xleft xleft yright if yright yrightparent x yparent xparent if xparent if x xparentleft xparentleft y else xparentright y yright x xparent y void splay node x while xparent if xparentparent if xparentleft x right_rotate xparent else left_rotate xparent else if xparentleft x xparentparentleft xparent right_rotate xparentparent right_rotate xparent else if xparentright x xparentparentright xparent left_rotate xparentparent left_rotate xparent else if xparentleft x xparentparentright xparent right_rotate xparent left_rotate xparent else left_rotate xparent right_rotate xparent void replace node u node v if uparent root v else if u uparentleft uparentleft v else uparentright v if v vparent uparent node subtree_minimum node u while uleft u uleft return u node subtree_maximum node u while uright u uright return u public splay_tree root 0 p_size 0 void insert const T key node z root node p 0 while z p z if comp zkey key z zright else z zleft z new node key zparent p if p root z else if comp pkey zkey pright z else pleft z splay z p_size node find const T key node z root while z if comp zkey key z zright else if comp key zkey z zleft else return z return 0 void erase const T key node z find key if z return splay z if zleft replace z zright else if zright replace z zleft else node y subtree_minimum zright if yparent z replace y yright yright zright yrightparent y replace z y yleft zleft yleftparent y p_size const T minimum return subtree_minimum rootkey const T maximum return subtree_maximum rootkey bool empty const return root 0 unsigned long size const return p_size endif SPLAY_TREE 時間效率分析 m 次伸展操作的均攤時間效率 T_mathrm amortizedm O m log n 實際時間效率 T_mathrm actualm O m log n n log n 參考來源 S Category 樹結構 Category 二叉樹 Category 搜尋樹 Category 計算機科學中未解決的問題