0999，也可寫作 0overline 9、0dot 9 或是 09，是一個具有特殊意義的無限迴圈小數，由小數點後無限的 9 序列組成。在數學的完備實數系中，「0999」所表示的數與「1」相同。換句話說，0999 不是 幾乎完全 或 非常、非常接近但不完全 等於 1；相反，0999 和 1 正好代表相同的數字。 有很多方法可以證明這種等式，從直覺的論證到嚴謹的數學證明。 所使用的技術取決於目標受眾、背景假設、歷史背景和實數概念的發展，因為通常是在實數系統中定義 0999。 在其他系統中，0999 可以具有相同的含義、不同的定義或未定義。 一般地說，每個非零有限小數都有兩個相等的表示形式（例如，832 和 831999），這是所有位置數字系統表示形式的屬性，無論基數如何。 對有限小數十進位制表示形式的功利主義偏好導致了一種誤解，認為它是唯一的表示形式。 由於這個原因和其他原因（例如依賴於非基本技術、屬性或學科的嚴格證明），有些人可能會發現等式足夠違反直覺，從而質疑或拒絕它，而這一直是數學教育中多項研究的主題。 簡介 0999 是書寫於小數記數系統中的一個數，讀作：零點九，九迴圈。一些最簡單的 0999 1 的證明都依賴於這個系統方便的算術性質。大多數的小數算術加法、減法、乘法、除法，以及大小的比較，使用與整數差不多的數位層次的操作。與整數一樣，任何兩個有限小數 只要 數位不同，那麼數值也一定不同。相對的，任何一個形如 0999 的數，但是 9 的數量有限，則這個數字是小於 1 的。 這類展開式的非唯一性不僅限於十進位制系統，相同的現象也出現在其它的整數進位制中。數學家們也列舉出了一些 1 在非整數進位制中的寫法，這種現象也不是僅僅限於 1 的：對於每一個非零的有限小數，都存在另一種含有無窮多個 9 的寫法，由於簡便的原因，這時幾乎肯定使用有限小數的寫法，這樣就更加使人們誤以為沒有其它寫法了，實際上，一旦在完備實數系中允許使用無限小數，那麼在所有的進位制中都有無窮多種替代的寫法，例如，183287 與 183286999、183287000，以及許多其它的寫法，都表示相同的數，這些各種各樣的等式被用來更好地理解分數的小數展開式的規律，以及一個簡單 zh 分形；zhhans 分形；zhhant 碎形 圖形康托爾集合的結構，它們也出現在一個對整個實數的無窮集合的 zh 經典；zhcn 經典；zhtw 古典 研究之中。 在過去數十年裡，許多數學教育的研究人員研究了大眾及學生們對該等式的接受程度，許多學生在學習開始時懷疑甚至拒絕該等式，但許多學生被老師、教科書和如下章節的算術推論說服並接受兩者是相等的。儘管如此，許多人們仍常感到懷疑，及提出進一步的辯解，這經常是由於存在不少對數學實數的錯誤觀念等背後因素（參見以下教育中遇到的懷疑一章節），例如認為每一個實數都有唯一的一個小數展開式，以及認為無限小（無窮小）不等於 0，並且將 0999 視為一個不定值，即該值只是一直微微擴張變大，因此與 1 的差永遠是無限小而不是 0，因此「永遠都差一點」。可以構造出符合這些直觀的數系，但這個觀念只能用於初等數學或多數更高等數學中的標準實數系統之外進行，的確，某些設計含有「恰恰小於 1」的數，不過，這些數一般與 0999 無關（因為與之相關的理論上和實踐上都皆無實質用途），但在數學分析中引起了相當大的關注。 誤解 0999 中的省略號的意義，是誤解 0999 1 的其中一個原因。這裡省略號的用法與日常語言中 0999 的用法是不同的，0999 中的省略號意味著的有限的部分被省略掉了。但是，當用來表示一個迴圈小數的時候， 則意味著無限的部分被省略掉了，這 只能 用極限的數學概念來闡釋。作為使用傳統數學的結果，指派給記數表示式 0999 的值定義為一個實數，該實數為收斂數列（09，099，0999，09999，099999，）的極限。「0999」是一個數列的極限，從而，對於 0999 1 這個等式就很直觀了。 與整數和有限小數的情況不一樣，其實記數法也可以用多種方式表示單一個數值。例如，如果使用分數，。但是，一個數最多隻能用兩種無限小數的方法來表示。如果有兩種方法，那麼其中一種一定是從某一位開始全是迴圈重複的 9，而另外一種則是從某一位開始就全是迴圈重複的 0。 0999 1 有許多證明，它們各有不同的嚴謹性，一個嚴謹的證明可以簡單地說明：考慮到兩個實數其實是同一個的，當且僅當它們的差等於零。大部分人都同意；0999 與 1 的差，就算存在也是非常的小 實際上根本不存在，即差等於 0。考慮到以上的收斂數列，這時可以證明這個差的大小一定是小於任何一個正數的，也可以證明（詳細內容參見阿基米德性質），唯一具有這個性質的實數是 0。由於差是 0，可知 1 和 0999 是同一數，用相同的理由，也可以解釋為什麼「033313」；以及該等式乘上 3 倍後可得出「0999 1」。 證明 對位相減 在不考慮柯西序列的情況下：100000099999 這個結果為 0000，也就是後面的 0 無限迴圈。這兩個數目皆可表示成無限迴圈小數，小數點後五位之後還會一直填上 0，始終無法找到最後一位來填上 1，因為如果補上 1 就會成為有限小數。1000 0999 0000 0，故 1 0999。 這假設了 0999 沒有「最後的 9」、這些無限迴圈小數的小數點後的位數為可列的（可以由第一個數位一個位一個位數下去而於有限次數到任一個數位）（這已得出 0999 沒有「最後的 9」）、1000 0999 的結果存在小數表示式。運算結果將沒有「最後的 1」，所以 1 與 0999 沒有差值。 代數 分數 無限小數是有限小數的一個必要的延伸，其中一個原因是用來表示分數。用長除法，一個像的簡單整數，長除法後變成了一個迴圈小數 0333，其中有無窮多個數字 3。利用這個小數，很快就能得到一個 0999 1 的證明。用 3 乘以 0333 中的每一個 3，便得到 9，所以 3 0333 等於 0999。由於 等於 1，所以 0999 1。參見 Silvanus P Thompson 的 Calculus made easy 中的二進位制形式的證明，St Martins Press New York 1998 ISBN 9780312185480 這個證明的另外一種形式，是用 frac 190111 同乘以 9。 begin align 0333cdots frac 13 3 times 0333cdots 3 times frac 13 frac 3 times 13 0999cdots 1 end align begin align 0111cdots frac 19 9 times 0111cdots 9 times frac 19 frac 9 times 19 0999cdots 1 end align 由於兩個方程都是正確的，因此根據相等關係的 zh 傳遞性質；zhcn 傳遞性質；zhtw 遞移性質，0999 一定等於 1。類似地，，且。所以 0999 1。 一個特別的除法豎式 用豎式計算可得 frac 899990999 設 n0999 quad 則 begin align frac 8n9n 8n9n end align 解此一元一次方程式得 begin align 88n n1 end align 所以 0999n1 quad 。 位數操作 另外一種證明更加適用於其它迴圈小數。當一個小數乘以 10 時，其數字不變，但小數點向右移了一位。因此 10 0999 等於 9999，它比原來的數大 9。 考慮從 9999 減去 0999。這時可以一位一位地減；在小數點後的每一位，結果都是 9 9，也就是 0。但末尾的零並不能改變一個數，所以相差精確地是 9。最後一個步驟用到了代數。設 0999 c，則 10c c 9，也就是 9c 9。等式兩端同除以 9，便得證：c 1。用一系列方程來表示，就是 thumb091 的解釋 begin align c 0999ldots 10 c 9999ldots 10 c c 9999ldots 0999ldots 9 c 9 c 1 0999ldots 1 end align 以上兩個證明中的位數操作的正確性，並不需要盲目相信，也無需視為公理；它是從小數和所表示的數之間的基本關係得出的。這個關係，可以用幾個等價的方法來表示，已經規定了 0999 和 1 都表示相同的實數。 實分析 無窮級數和數列 對於任何一個小數，都可以定義為無窮級數的和。一般地： b_0 b_1 b_2 b_3 b_4 ldots b_0 b_1 tfrac 110 b_2 tfrac 110 2 b_3 tfrac 110 3 b_4 tfrac 110 4 cdots 對於 0999 來說，這時可以使用等比級數的收斂定理：Rudin p61 Theorem 326 J Stewart p706 如果 r 1，則 arar2ar3cdots frac ar1r 由於 0999 是公比為 rtextstylefrac 110 的等比級數的和，應用以上定理，很快就可以得出證明了： 0999ldots 9 tfrac 110 9 tfrac 110 2 9 tfrac 110 3 cdots frac 9 tfrac 1101tfrac 110 1， 這個證明（實際上是 10 等於 9999）早在 1770 年就在瑞士數學家萊昂哈德尤拉的作品《Elements of Algebra》（《代數的要素》）中出現了。Euler p170 等比級數的和本身，是一個比尤拉還要早的結果。一個典型的 18 世紀的推導用到了逐項的操作，類似於以上的代數證明。直到 1811 年，Bonnycastle 的教科書《An Introduction to Algebra》（《代數的介紹》）依然使用這種等比級數的方法來證明對 0999 使用的策略是正當的。GrattanGuinness p69 Bonnycastle p177 在 19 世紀，這種在當時被以為隨隨便便的求和方法遭到了反對，這樣便導致了現在仍然佔有支配地位的定義：一個級數的和定義為數列的部分和的極限。該定理的一個對應的證明，明確地把這個數列計算出來了；這可以在任何一本以證明為基礎的微積分或數學分析的教科書中找到。例如，J Stewart p706 Rudin p61 Protter and Morrey p213 Pugh p180 JB Conway p31 對於數列（x0，x1，x2，）來說，如果當 n 增大時，距離 x xn 變得任意地小，那麼這個數列就具有極限 x。0999 1 的表述，可以用極限的概念來闡釋和證明： 0999ldots lim_ntoinfty 0underbrace 99ldots9_n lim_ntoinftysum_k 1nfrac 910k lim_ntoinftyleft 1frac 110nright 1lim_ntoinftyfrac 110n 1 這個極限可以由 Rudin p 57 的 Theorem 320e 得出。對於一個更加直接的方法，請參見 Finney Weir Giordano（2001）Thomas Calculus Early Transcendentals 10ed AddisonWesley New York Section 81 example 2 a example 6 b 最後一個步驟 lim 110n 0 通常由實數擁有阿基米德性質這一原理來證明。這個以極限為基礎的對 0999 的看法，有時會用比較引人注意但不太精確的話語來表達。例如，在 1846 年的美國教科書《大學算術》（《The University Arithmetic》）中有這麼一句：0999，到無窮遠處等於 1，這是因為每加上一個 9，都會使它的值更加接近於 1（999 continued to infinity 1 because every annexation of a 9 brings the value closer to 1）；在 1895 年的美國教科書《Arithmetic for Schools》（《學校算術》）中也有： 如果有非常多的 9，那麼 1 和 099999 的差就小得難以想像了（when a large number of 9s is taken the difference between 1 and 99999becomes inconceivably small）。Davies p175 Smith and Harrington p115 這種啟發式的教學法，常常被學生們誤解為 0999 本身就小於 1。 區間套和最小上界 以上的級數定義，是一個用小數展開式來定義實數的簡單的方法。還有一種補充的方法，是相反的過程：對於一個給定的實數，定義一個相關的小數展開式。 如果知道一個實數 x 位於閉區間 0 10 內（也就是說，這個實數大於或等於 0，而小於或等於 10），這時就可以想像把這個區間分成十個部分，只在終點處相重疊：0 1、1 2、2 3，依此類推，直到 9 10。實數 x 一定是屬於這十個區間的一個；如果它屬於 2 3，這時就把數字 2 記錄下來，並把這個區間再細分成十個子區間：2 21、21 22、、28 29、29 3。把這個過程一直繼續下去，這時便得到了一個無窮的區間套序列，由無窮個數字 b0、b1、b2、b3、 來標示，並記 x b0b1b2b3 在這種形式中，1 1000 而且 1 0999 的事實，反映了 1 既位於 0 1，又位於 1 2，所以這時在尋找它的數字時，可以選擇任意一個子區間。為了保證這種記法沒有濫用 號，這時需要一種辦法來為每一個小數重新構造一個唯一的實數。這可以用極限來實現，但是還有其它的方法。Beals p22 I Stewart p34 一個簡單的選擇，是區間套定理，它保證只要給出了一個長度趨近於零的閉區間套序列，那麼這些區間套的交集就正好是一個實數。這樣，b0b1b2b3 便定義為包含在所有的區間 b0 b0 1、b0b1 b0b1 01，依此類推的唯一的實數。而 0999 就是位於所有的區間 0 1、09 1、099 1、0999 1（對於任意有限個 9）的唯一的實數。由於 1 是所有這些區間的公共元素，因此 0999 1。Bartle and Sherbert pp6062 Pedrick p29 Sohrab p46 區間套定理通常是建立在一個更加基本的實數特徵之上的：最小上界的存在。為了直接利用這些事物，這時可以把 b0b1b2b3 定義為集合 b0，b0b1，b0b1b2， 的最小上界。Apostol pp9 1112 Beals p22 Rosenlicht p27 然後這時就可以證明，這種定義（或區間套的定義）與劃分的過程是一致的，再一次證明了 0999 1。湯姆阿波斯托爾得出結論： 從建構實數著手 有些方法用公理集合論明確把實數定義為一定的建立在有理數上的結構。自然數0、1、2、3，依此類推從零開始並繼續增加，這樣每一個自然數都有一個後繼者。這時可以把自然數的概念延伸到負數，得出所有的整數，並可以進一步延伸到比例，得出所有的有理數。這些數系伴隨著加法、減法、乘法和除法的算術。更加微妙地，它們還包括排序，這樣一個數就可以與另一個進行比較，並發現是大於、小於，還是等於。 從有理數到實數的一步，是一個很大的延伸。至少有兩種常見的方法來達到這一步，它們都在 1872 年出版：戴德金分割，以及柯西序列。直接用到這些結構的 0999 1 的證明，現在已經無法在實分析的教科書中找到了；最近幾個年代的趨勢，是使用公理化的分析。即使提供了這樣的一個結構，它也通常被用來證明實數的公理，從而為以上的證明提供證據。然而，有些作者表達了從一個結構開始才是邏輯上更恰當的想法，這樣得出的證明就更加完備了。歷史綜合首先由 Griffiths and Hilton（pxiv）在 1970 年聲稱，在 2001 年由 Pugh（p10）再次聲稱；兩本書都把戴德金切割視為公理。關於戴德金切割的應用，請參見 Pugh p17 或 Rudin p17。關於邏輯上的觀點，請參見 Pugh p10、Rudin pix，或 Munkres p30。 戴德金分割 在戴德金分割的方法中，每一個實數 x 定義為所有小於 x 的有理數所組成的無窮集合。Enderton（p113）形容了這個描述：戴德金分割背後的想法，是每一個實數 x 都可以用一個有理數的無窮集合，也就是所有小於 x 的有理數來命名。我們把 x 定義為小於 x 的有理數集合。為了避免迴圈定義，我們需要刻劃透過這種方法得出的有理數集合的特徵（The idea behind Dedekind cuts is that a real number x can be named by giving an infinite set of rationals namely all the rationals less than x We will in effect define x to be the set of rationals smaller than x To avoid circularity in the definition we must be able to characterize the sets of rationals obtainable in this way）比如說，實數 1 就是所有小於 1 的有理數的集合。Rudin pp1720、Richman p399，或 Enderton p119。為了精確，魯丁（Rudin）、裡奇曼和分別把這個分割稱為 1、1，和 1R；三者都把它等同於傳統的實數 1。注意魯丁和安德頓把它稱為戴德金分割，而裡奇曼則把它稱為 非主戴德金分割。每一個正的小數展開式很容易決定了一個戴德金分割：小於某個展開階段的有理數的集合。所以實數 0999 是有理數 r 的集合，使得 r 0，或 r 09，或 r 099，或 r 小於其它具有 形式的數。Richman p3990999 的每一個元素都小於 1，因此它是實數 1 的一個元素。反過來，1 的一個元素是有理數 ，也就是。由於 0999 和 1 包含相同的有理數，因此它們是相同的集合：0999 1。 把實數定義為戴德金分割，首先由理查德戴德金在 1872 年出版。 以上把每一個小數展開式分配一個實數的方法，應歸於弗雷德裡奇曼在《Mathematics Magazine》（《數學雜誌》）上發表的一篇名為 Is 0999 1（0999 1 嗎？）的演講稿，主要是為大學的數學教師，尤其是初級／高階程度，以及他們的學生而作。裡奇曼注意到，在有理數的任何一個稠密子集中取戴德金分割，都得到相同的結果；特別地，他用到了十進分數（分母為 10 的冪的分數），這樣便更快得出證明了：所以，這時看到，在實數的傳統定義中，方程 09 1 在一開始就建立了。Richman pp398399 把這個步驟再作進一步的修改，便得到了另外一個結構，裡奇曼對描述這個結構更感興趣；參見以下的 其它數系。 柯西序列 另外一種構造實數的方法，間接地用到了有理數的排序。首先，有理數 x 和 y 之間的距離定義為絕對值 x y，其中絕對值 z 定義為 z 和z 的最大值，因此總是非負的。這樣實數便被定義為關於這個距離的具有柯西序列性質的有理數序列。也就是說，每一個實數都是一個柯西收斂的數列（x0，x1，x2，）。這是一個從自然數到有理數的對映，使得對於任何正有理數 δ，總存在一個 N，使得對於所有的 m、n N，都有 xm xn δ。（兩項之間的距離變得比任何正的有理數都要小。）Griffiths Hilton 242 Sequences p386 如果（xn）和（yn）是兩個柯西數列，那麼如果數列（xn yn）有極限 0，這兩個數列便定義為相等的。把小數 b0b1b2b3 拆開來，便得到了一個有理數序列，它是柯西序列；這個序列對應的實數被定義為這個小數的值。Griffiths Hilton pp388 393 所以，在這種形式中，這時的任務就是要證明，有理數序列 left 1 0 1 9 over 10 1 99 over 100 cdotsright left 1 1 over 10 1 over 100 cdots right 有極限 0。對於 n 0、1、2、，考慮數列的第 n 項，這時需要證明 lim_nrightarrowinftyfrac 110n 0。 這個極限是眾所周知的；Griffiths Hilton pp395 一個可能的證明，是在數列的極限的定義中，對於 ε ab 0，這時可以取 N b。所以，這又一次證明了 0999 1。 把實數定義為柯西序列，首先由愛德華海涅和格奧爾格康托爾獨立發表，也是在 1872 年。以上的小數展開式的方法，包括 0999 1 的證明，則主要是得自格利菲斯和希爾頓在 1970 年的作品《一本經典數學的綜合教科書：一個當代的闡釋》（A comprehensive textbook of classical mathematics A contemporary interpretation）。這本書是特別為了以當代的眼光回顧一些熟悉的數學概念而作的。Griffiths Hilton ppviii 395 推廣 0999 1 的證明，立刻可以進行兩種推廣。首先，對於每一個非零的有限小數（也就是說，從某一位開始全是零），都存在另外一個與其相等的數，從某一位開始全是 9。例如，024999 等於 025，就像這時考慮的特殊情況。這些數正好是十進分數，而且是稠密的。Petkovšek p408 其次，一個類似的定理可以應用到任何一個底數或進位制。例如，在二進位制中，0111 等於 1；而在三進制中，0222 等於 1。實分析的教科書很有可能略過 0999 的特殊情況，而從一開始就介紹這兩種推廣的一種或兩種。Protter and Morrey p503 Bartle and Sherbert p61 1 的其它表示法也出現在非整數進位制中。例如，在黃金進制中，兩個標準的表示法就是 1000 和 0101010，此外還有無窮多種含有相鄰的 1 的表示法，如 011，01011，0101011 等等。一般地，對於幾乎所有的 1 和 2 之間的 q，在 q 進制中都有無窮多種 1 的展開式。而另一方面，依然存在不可數個 q（包括所有大於 1 的自然數），使得在 q 進制中只有一種 1 的展開式，除了顯然的 1000。這個結果首先由保羅埃爾德什、Miklos Horváth 和 István Joó 在大約 1990 年獲得。1998 年，Vilmos Komornik 和 Paola Loreti 確定了具有這種性質的最小的進位制KomornikLoreti 常數 q 1787231650。在這個進位制中，1 011010011001011010010110011010011；其數字由圖厄 摩斯數列給出，不是迴圈小數。Komornik and Loreti p636 一個更加深遠的推廣，提到了最一般的進位制。在這些進位制中，一個數也有多種表示法，在某種意義上來說難度甚至更大。例如：Kempner p611 Petkovšek p409 在平衡三進位制系統中，12 0111 1111。 在階乘進位制系統中，1 1000 01234。 Marko Petkovšek 證明了這種歧義是使用進位制的必然結果：對於任何一個把所有實數命名的系統，總有無窮多個實數有多種表示法，而這些實數所組成的集合又是稠密的。他把這個證明稱為 一個基本點集拓撲學的指導性的練習：它包含了把各位數的集合視為斯通空間，並注意到它們的實數表示法可以由連續函式給出。Petkovšek pp410411 應用 0999 的其中一個應用，出現在基本數論中。1802 年，H古得溫出版了一份觀察資料，描述了分母為一定的素數的分數的小數展開式中 9 的出現。例子包括： 17 0142857142857，而 142 857 999。 173 00136986301369863，而 0136 9863 9999。 E米迪在 1836 年證明了關於這類分數的一個一般的結果，現在稱為米迪定理。當初出版時沒有寫得很清楚，這時也不知道他的證明是不是直接提到了 0999，但至少有一個 WG萊維特的現代證明是這樣的。如果這時可以證明，一個具有形式 0b1b2b3 的小數是正整數，那麼它就一定是 0999，這也就是定理中 9 的來源。Leavitt 1984 p301 在這個方向上繼續做研究，就可以得出諸如最大公因子、同餘、費馬素數、群元素的階，以及二次互反律等概念。Lewittes pp13 Leavitt 1967 pp669673 ShraderFrechette pp9698 回到實分析的主題上，三進制中的類似等式 0222 1 在刻劃康托爾集合一個最簡單的碎形的特徵中，扮演了一個十分重要的角色： 一個單位區間中的點位於康托爾集合內，當且僅當它在三進制中可以只用數字 0 和 2 來表示。 小數中的第 n 位反映了在第 n 個階段時點的位置。例如，點 ²3 可以如常地表示為 02 或 02000，這是因為它位於第一個刪除部分的右面，以及以後所有的刪除部分的左面。點 13 則不表示為 01，而表示為 00222，這是因為它位於第一個刪除部分的左面，以及以後所有的刪除部分的右面。Pugh p97 Alligood Sauer and Yorke pp150152 Protter and Morrey（p507）和 Pedrick（p29）把這個描述作為一個練習。 重複的 9 還出現在另外一個康托爾的研究成果中。在應用他在 1891 年發表的對角線論證法來證明單位區間的不可數性時，必須要考慮到這種因素。這種證明需要根據小數展開式來斷言兩個實數是不同的，所以這時需要避免諸如 02 和 01999 之類的數對。一個簡單的方法把所有的實數表示為無限小數；相反的方法便排除了重複的 9 的可能性。Maor（p60）和 Mankiewicz（p151）考察了第一種方法；Mankiewicz 把它歸功於康托爾，但原始文獻不明。Munkres（p50）提到了第二種方法。一個可能更加接近於康托爾原先的證明的變體，實際上使用了二進位制，把三進位制展開式轉換為二進位制展開式，這時也可以證明康托爾集合的不可數性。Rudin p50 Pugh p98 教育中遇到的懷疑 許多學習數學的學生往往懷疑、難以接受 0999 1 的等式，其原因有很多，從根本不相同的外觀，到對數列極限概念的深度疑慮，乃至對無限（無窮）的本性的異議，以及不少對數學錯誤的觀念等背後的因素，從而造成了這種混淆； 學生根據以往學習數的大小比較時使用 高位比較，相同再比次高位 的方式，個位 0 1，導致拒絕承認 0bar 91。 許多學生認為無窮小不等於 0，並且將 0999 視為一個不定值，即該值只是朝著 1 的方向無限地擴大，因此它與 1 的差永遠是無限小而不是零，即「永遠都差一點」。 學生們常常 堅信一個數有且僅有一種小數的表示方法。當他們看到兩個明顯不同的小數，表示的卻是相同的實數，便認為這是一個悖論，而表面上熟悉的數 1，更使這個悖論加深。Bunch p119 Tall and Schwarzenberger p6 最後一個建議要歸因於 Burrell（p28）：Perhaps the most reassuring of all numbers is 1So it is particularly unsettling when someone tries to pass off 09 as 1（也許最令人放心的數就是 1。 所以當把 0999 等同於 1 時，便感到特別彆扭。） 有些學生把 0999（或類似的記法）理解為很長但有限的一串 9，也許長度是可變的、未特別指出的。如果他們接受了有無窮多個 9 的事實，他們仍然可能認為 在無窮遠處有最後的一個 9。Tall and Schwarzenberger pp67 Tall 2000 p221 直覺和模稜兩可的教導，都讓學生覺得數列的極限是一個無限的過程，而不是一個確定的值，因為一個數列不一定就有極限。如果他們明白了數列和它的極限的差別，他們就有可能把 0999 理解為數列，而不是它的極限。Tall and Schwarzenberger p6 Tall 2000 p221 有些學生相信收斂級數的值最多隻是一個估計，也就是 0bar 9 approx 1。 這些想法在標準實數系（指具有完備性的）中都是錯誤的，但在其它數系中則有可能是正確的（要求相應數系不具備阿基米德性質，因為阿基米德性質要求數系中沒有非零無窮小非標準分析基礎 李邦河著）。這些系統要麼是為一般的數學用途而發明，要麼就是作為指導性的反例，使人們更好地理解 0999。 許多這些解釋都是大衛塔爾教授發現的，他研究了造成學生們誤解的教導方法的特徵。他訪問了他的學生以決定為什麼大多數人在一開始都拒絕接受該等式，發現 學生們仍然繼續把 0999 視為一個越來越接近 1 的數列，而不是一個定值，因為你沒有指定它有多少位或在所有小於 1 的小數中，它是最大的數。Tall 2000 p221 在所有初等的證明中，用 0333 13 乘以 3 表面上是使學生們迫不得已接受 0999 1 的一個成功的策略。但是，面對著對第一個等式的相信以及對第二個等式的懷疑，有些學生要麼就開始懷疑第一個等式，要麼乾脆就感到灰心喪氣了。同時也還有否認 09991 的學生指出 13 比 0333 大一點（因為 13 是除不完的），所以推法 不成立。Tall 1976 pp1014 更加複雜的方法，也不是十分有效的；有些學生完全可以應用嚴格的定義，但當他們被一個高等數學的結果，包括 0999 所震驚時，依然退回到直覺的形象上去了。例如，有一個學習實分析的學生，能夠用最小上界的定義來證明 0333 13，但仍然堅稱 09991，基於他早前對長除法的理解。Pinto and Tall p5 Edwards and Ward pp416417 其他學生也能夠證明 13 0333，但是，面對著以上的分數證明，仍然堅稱 邏輯 能代替數學運算。 約瑟馬祖爾講了一個故事： 這位學生相信，九個數字就是學習數學所需要的一切，包括計算 23 的平方根。這位學生對 999 10 的極限證法感到彆扭，稱其為 一個難以想像的無限增長過程。Mazur pp137141 作為埃德杜賓斯基的數學學習的 APOS 理論 的一部分，杜賓斯基和他的合作者在 2005 年提出：任何一個學生，只要把 0999 設想為一個有限的、不確定的數串，與 1 的差是無窮小，那麼他就 還沒有對無限小數形成一個完整的過程概念。其他對 0999 有了完整的過程概念的學生，仍不一定能把這個過程 概括 成一個 物件概念，就像他們對 1 的物件概念那樣，所以仍然覺得 0999 和 1 是不一致的。杜賓斯基還把這種概括的能力與把 13 視為一個獨立的數，以及與把實數的集合視為一個整體聯絡起來。Dubinsky et al 261262 在大眾文化中 隨著網際網路的崛起，關於 0999 的討論已經衝出了教室，並走向了新聞組和資訊版，包括那些名義上幾乎與數學無關的資訊版。在新聞組 scimath 中，辯論 0999 是一項 受歡迎的運動，也是常見問答集之一。由 Richman（p396）觀察到。常見問答集涵蓋了 13、乘以 10、還有極限的證明，也間接地提到了柯西序列。 一個 2003 年版的報紙專欄《》透過 13 和極限討論了 0999，並談到了誤解： 《真實訊息》在自己的資訊版引用了另外一個不明的資訊版中的討論，那個資訊版 大部分是關於電子遊戲的。0999 的問題在暴雪娛樂的 Battlenet 論壇的頭七年也是一個非常受歡迎的話題，以致於該公司在 2004 年的愚人節不得不釋出了一則 新聞，宣告 0999 就是 1： 然後便提供了兩個證明，一個是極限的證明，另一個是乘以 10 的證明。 比較直觀的解釋，可以把一塊圓餅平均切 3 分來證明。 其它數系 雖然實數形成了一個非常有用的數系，把 0999 解釋為一個實數的決定畢竟還是一個約定，蒂莫西高爾斯在《Mathematics A Very Short Introduction》（《數學：一個非常簡短的介紹》）中提到，0999 1 的等式也是一個約定： 這時可以用不同的規則或新的事物來定義其它數系；在數系中，以上的證明便需要重新解釋。這時就有可能發現，在某一個給定的數系中，0999 和 1 並不一定就是相等的。然而，許多數系都是實數系的延伸，而不是獨立的替代物，所以 0999 1 仍然成立。就算是在這數系中，這時依然值得去檢查其它的數系，不僅僅為了知道 0999 是怎樣表現的（如果 0999 既有意義又不含糊），也為了知道相關現象的表現。如果這種現象與實數系統中的現象不一致的話，那麼至少一個建立在這個系統中的假設便一定不成立了。 無窮小 0999 1 的證明依賴於標準實數的阿基米德性質：不存在非零的無窮小。存在著數學上密切相關的有序代數結構是非阿基米德的，其中包括標準實數的各種各樣的替代品。0999 的意義與這時使用的結構有關。例如，在對偶數中，引進了一個新的無窮小單位 ε，就像複數系統中的虛數單位 i 一樣，但是 ε² 0。這樣便得出了一個在自動微分中十分有用的結構。這時可以給予對偶數一個字典序，這樣 ε 的倍數就非阿基米德原素。Berz 439442 但是，要注意到，作為實數的延伸，在對偶數中仍然有 0999 1。儘管 ε 在對偶數中存在，ε2 也存在，所以 ε 就不是 最小的正對偶數。確實是這樣，在實數中，並不存在這類的數。 另外一種構造標準實數的替代品的方法，是使用拓撲斯理論和替代的邏輯，而不是集合論和經典的邏輯（一種特殊情況）。例如，在光滑無窮小分析中，就存在沒有倒數的無窮小。 非標準分析因包含了一個有無窮小（及它們的反元素）完整陣列的系統而眾所周知，它提供了一個不同的，也許是更加直觀的，對微積分的處理。對於一個完整的非標準數的論述，請參見 Robinson 的 Nonstandard Analysis。AH Lightstone 在 1972 年提供了一個非標準小數展開式的發展，其中每一個位於（0 1）之內的擴充套件的實數，都有一個唯一的擴充套件的小數展開式：數列 0ddd；ddd，由擴充套件的自然數作索引。在這種形式中，0333 有兩種自然的展開式，都不與 13 相差無窮小： 0333；000 不存在，而 0333；333 正好等於 13。Lightstone pp245247。在展開式的標準部分中，他沒有研究重複的 9 的可能性。 組合博弈論也提供了替代的實數，無窮的藍 紅 Hackenbush 就是一個相關的例子。1974 年，埃爾溫伯利坎普描述了一個 Hackenbush 字串與實數的二進位制展開式之間的對應關係，由資料壓縮的想法所促動。例如，Hackenbush 字串 LRRLRLRL 的值是 00101012 13。然而，LRLLL 的值（對應著 01112）則與 1 相差無窮小。兩個數的差是超實數 1ω，其中 ω 是第一個無窮序數；相關的博弈是 LRRRR 或 00002。Berlekamp Conway and Guy（pp7980 307311）討論了 1 和 13，也簡略地提到了 1ω。對於 01112 的博弈可以直接從伯利坎普法則得出，在以下的網站有所討論： 打破減法的慣例 另外一種也可以使以上證明不成立的方法，就是 1 0999 根本就不存在，因為減法並不一定就是可能的。具有加法運算但沒有減法運算的數學結構包括可交換半群、可交換么半群，以及半環。裡奇曼考慮了兩種這類的系統，使得 0999 1。 首先，裡奇曼把非負的 小數 定義為字面上的小數展開式。他定義了字典序和一種加法運算，注意到 0999 1 僅僅因為在個位數 0 1，但對於任何一個有限小數 x，都有 0999 x 1 x。所以 小數 的一個獨特之處，是等式兩邊不能同減一個數；另外一個獨特之處，就是沒有 小數 對應著 13。把乘法也定義了以後，小數 便形成了一個正的、全序的、可交換的半環。Richman pp397399 在定義乘法的過程中，裡奇曼還定義了另外一種系統，他稱之為 分割 D，它是小數的戴德金分割的集合。通常用這種定義便可以得出實數，但對於小數 d 他既允許分割（， d ），又允許 主分割（， d 。這樣做的結果，就是實數與 小數不舒服地住在一起。這個系統中也有 0999 1。在分割 D 中不存在正的無窮小，但存在一種 負的無窮小0，它沒有小數展開式。裡奇曼得出結論，0999 1 0，而方程 0999 x 1 則沒有解。Richman pp398400 Rudin（p23）把這個替代的結構作為第一章的最後一個練習。 p 進數 問到關於 0999 的時候，初學者常常相信應該有一個 最後的 9，也就是說，相信 1 0999 等於一個正數，可以寫為 00001。不管那有沒有意義，目標都是明確的：把 1 加在 0999 中的最後的 9 上，就會把所有的 9 變成 0，並在個位數留下一個 1。如果考慮到其它的原因，這種想法便不成立了，這是因為在 0999 中，並不存在 最後的 9。Gardiner p98 Gowers p60 對於包含最後的 9 的無窮多個 9，這時必須從別的地方去尋找。 p 進數是在數論中引起興趣的又一個數系。像實數那樣，p 進數可以從有理數透過柯西序列得到；但是，這種結構使用了另外一種度量，0 與 p 之間的距離比 0 與 1 的距離還要近，而 0 與 pn 的距離又比 0 與 p 的距離近。對於素數 p 來說，p 進數便形成了一個域，而對於其它的 p，包括 10 來說，則形成了一個環。所以在 p 進數中可以進行算術，這種數系也不存在無窮小。 在 10 進數中，類似於小數展開式的事物位於小數點的左面。10 進展開式999 確實有一個最後的 9，而沒有第一個 9。這時可以把 1 加在個位數上，這樣進位之後就只剩下 0 了：1 999 000 0，所以999 1。Fjelstad p11 另外一種推導用到了等比級數。999 所指的無窮級數在實數中不收斂，但在 10 進數中收斂，所以這時可以使用大家熟悉的公式： ldots999 9 9 10 9 10 2 9 10 3 cdots frac 9110 1Fjelstad pp1415 （與前面的級數比較。）第三種推導是一個七年級學生發明的，他對老師所講的 0999 1 的極限證明感到懷疑，但因而產生了靈感，把以上乘以 10 的證明應用在相反的方向上：如果 x 999，則 10x 990，因此 10x x 9，所以 x 1。 作為一個最後的延伸，由於 0999 1（在實數中），而999 1（在 10 進數中），那麼這時可以 盲目、大膽地擺弄符號，DeSua p901 把兩個等式相加起來，得出：999999 0。這個等式在 10 進展開式中和標準小數展開式中都是沒有意義的，但假如這時研究出一種 雙小數 的理論，其中小數點左面和右面都可以無限延伸，那麼這個等式便是有意義和正確的。DeSua pp902903 相關問題 芝諾悖論，特別是奔跑者悖論，使人聯想起了 0999 等於 1 的表面上的悖論。奔跑者悖論可以建立一個數學模型，然後就可以像 0999 那樣，用等比級數的方法來解決。然而，這時不確定這種數學的論述是不是提到了芝諾所探索的形而上學的問題。Wallace p51 Maor p17 除以零出現在 0999 的一些討論中，也引起了爭論。大部分作者都願意定義 0999，但幾乎都不去定義除以零，這是因為它在實數系統中不可能有意義。然而，在某些其它的系統中，除以零則是有定義的，例如複數分析，其中擴充套件的複平面，也就是黎曼球面，在無窮遠處 有一個點。在這裡，10 便定義為無窮大；參見 JB Conway 對默比烏斯變換的論述，pp4757。實際上，這個結果有深遠的意義，可以應用在工程和物理學中的許多問題上。有些著名的數學家在兩個系統發展起來之前就提出了這樣的一個定義。Maor p54 0 是另外一個記數的多餘特徵。在諸如實數的數系中，0 表示加法單位元，既不是正數又不是負數，0 的解釋是 0 的相反數，這便迫使了0 0。Munkres p34 Exercise 1 c 然而，在某些科學的應用中，使用了獨立的正零和負零，大多數常見的計算機記數系統就是這樣的（例如儲存在符號和大小或一補數的格式中的整數，或由 IEEE 二進位制浮點數算術標準所指定的浮點數）。 參見 數學 算術 無窮（無限） 極限 小數表示法 非正式數學 非整數進位制 非標準分析 實分析 無窮級數 註解與引用 參考文獻 Free HTML preprint 擴充套件閱讀 This article is a field study involving a student who developed a Leibnizianstyle theory of infinitesimals to help her understand calculus and in particular to account for falling short of 1 by an infinitesimal 外部連結 When is 999 less than 1 Karin Usadi Katz and Mikhail G Katz 0999999 1 來自 cuttheknot 為什麼 09999 1？ 問一位科學家：重複的小數 基於算術的等式證明 重複的九 09 迴圈等於 1 大衛塔爾的研究 Metamath 上的 0999 定理 果殼網上的最讓人糾結的等式：09991 Category 一 Category 數學悖論 Category 實數 Category 包含證明的條目