abc 猜想是一個未解決的數學猜想，最先由約瑟夫奧斯特萊及大衛馬瑟在 1985 年提出。abc 猜想以三個互質正整數 a b c 描述，c 是 a 及 b 的和，猜想因此得名。京都大學數理解析研究所望月新一教授於 2012 年提出論文證明，經過 8 年同行審查後於 2020 年 4 月發表，但對於該證明的正確性仍存在極大爭議。對此也衍生出一 BOINC 專案「ABCHome」。 abc 猜想若得證，數論中很多著名猜想可以立時得出。多利安哥德費爾德稱 abc 猜想為「丟番圖分析中最重要的未解問題」。 內容 對正整數 n，operatorname radn 表示 n 的質因數的積，稱為 n 的根基（radical）。例如 rad 16 rad 24 2 rad 17 17 rad 18 rad 2 32 23 6 rad 1000000 rad 26 56 2 5 10 若正整數 a b c 彼此互質，且 a bc，「通常」會有 c rad abc，例如： a 2 b 7 c 9：operatorname radabc 42 c。 a 9 b 16 c 25：operatorname radabc 30 c。 但是也有反例，例如： a 3 b 125 c 128：因為 12553，12827，故此 operatorname radabc 30 c。 如上有多於一個整數可被小的質數的高次冪整除，使 rad abc c，是較特殊的情況。ABCHome 計劃目的在尋找更多這樣的例子。 abc 猜想（一） 對於任何 varepsilon 0，只存在有限個互質正整數的三元組 a b c，c a b，使得 c operatorname radabc1epsilon abc 猜想也有以下等價的表述方式： abc 猜想（二） 對於任何 varepsilon 0，存在常數 C_varepsilon0，使得對於互質正整數的三元組 a b c，c a b，有： c C_varepsilon operatorname radabc1epsilon abc 猜想第三個表述方式，用到了三元組 a b c 的品質（quality），定義為： q abcfrac log clog operatorname radabc 例如： q 4 127 131 log 131 log rad 4127131 log 131 log 2127131 046820 q 3 125 128 log 128 log rad 3125128 log 128 log 30 1426565 一般的互質正整數的三元組，通常有 rad abc c，因此 q a b c 1。q 大於 1 的情況較少出現。 abc 猜想（三） 對於任何 varepsilon 0，只存在有限個互質正整數的三元組 a b c，c a b，使得 q abc 1epsilon abc 猜想中的 ε 不能去掉，不然命題就不成立。考慮以下例子： a_n 32n 1 b_n 1 c_n 32n 這三個正整數互質，且有 a_nb_nc_n。注意到 a_n 可被 2n2 整除，因此有 operatorname rada_n b_n c_n le 3 cdot 2 cdot frac a_n2n2 frac 3 a_n2n1 因此 c_n a_n ge frac 2n13 operatorname rada_n b_n c_n 當 n 趨向無限大時，frac 2n13 也趨向無限大。因此不存在常數 C，使得 c C rad abc 對所有適合條件的三元組都成立。 可得出的結果 如果 abc 猜想得證，那麼有很多結果可以推匯出來。其中一些結果，在 abc 猜想提出後，已經以其他方法得到證明，一些則仍然為猜想。 費馬大定理對所有足夠大指數的情形（安德魯懷爾斯已證一般情形） Mordell 猜想（格爾德法爾廷斯已證一般情形） ，除了有限多的反例。 存在無限多非維費裡希素數 的弱形式 費馬－卡塔蘭猜想 用勒讓德符號構成的 L 函式 L s χd 沒有西格爾零點（需要 abc 猜想在代數數域上的一致形式，不只在有理整數上。） 對有至少 3 個簡單零點的多項式 P x，在整數 x 取的所有值中，只有有限個次方數。 的推廣形式，關於 ym xn k 的解的個數（定理是 k1 的情形），及 Pillai 猜想，關於 Aym Bxn k 的解的個數。 等價於 GranvilleLangevin 猜想 Mollin 2009 Mollin 2010 p297 等價於修改後的 n A k2，對任何給定的整數 A，都只有有限個解。 理論結果 abc 猜想匯出 c 有 abc 的根基的接近線性函式的上界；不過，現在已知的是指數上界。確切結果如下： c exp left K_1 operatorname radabc15right c exp left K_2 operatorname radabcfrac 23 varepsilonright c exp left K_3 operatorname radabcfrac 13 varepsilonright 上述的上界中，K1 是不依賴 a b c 的常數，而 K2 和 K3 是（以可有效計算的方式）依賴於 ε 的常數，但不依賴於 a b c。上述的上界對 c 2 的三元組都成立。 計算結果 2006 年，荷蘭的萊頓大學數學系與 Kennislink 科學研究所合作，開展 ABCHome 計劃。這個計劃是網格計算系統，目的在找出更多的正整數三元組 a b c 使得 rad abc c。雖然有無限個例子或反例不能解決 abc 猜想，但是期望藉著這個計劃發現的三元組的模式，可以得出對這個猜想以至於數論的新的洞見。 下述的 q 是上節定義的品質。 符合 q 1 的三元組分佈 q 1 q 105 q 11 q 12 q 13 q 14 c 102 6 4 4 2 0 0 c 103 31 17 14 8 3 1 c 104 120 74 50 22 8 3 c 105 418 240 152 51 13 6 c 106 1268 667 379 102 29 11 c 107 3499 1669 856 210 60 17 c 108 8987 3869 1801 384 98 25 c 109 22316 8742 3693 706 144 34 c 1010 51677 18233 7035 1159 218 51 c 1011 116978 37612 13266 1947 327 64 c 1012 252856 73714 23773 3028 455 74 c 1013 528275 139762 41438 4519 599 84 c 1014 1075319 258168 70047 6665 769 98 c 1015 2131671 463446 115041 9497 998 112 c 1016 4119410 812499 184727 13118 1232 126 c 1017 7801334 1396909 290965 17890 1530 143 c 1018 14482065 2352105 449194 24013 1843 160 ，ABCHome 找出 2380 萬個三元組，現今目標在找出 c 不大於 263 的所有三元組 abc。 q a b c 發現者 1 16299 2 310109 235 Eric Reyssat 2 16260 112 325673 22123 Benne de Weger 3 16235 191307 7292318 2832254 Jerzy Browkin Juliusz Brzezinski 4 15808 283 511132 2838173 Jerzy Browkin Juliusz Brzezinski Abderrahmane Nitaj 5 15679 1 237 547 Benne de Weger 歷史 1996 年，艾倫貝克（Alan Baker）提出一個較為精確的猜想，將 operatorname radabc 用 varepsilonomegaoperatorname radabc 取代，在此 omega 是 a b c 的不同質因數的數目。 2007 年，呂西安施皮羅嘗試給出證明，後來被發現有錯誤。Finiteness Theorems for Dynamical Systems Lucien Szpiro talk at Conference on Lfunctions and Automorphic Forms on the occasion of Dorian Goldfelds 60th Birthday Columbia University May 2007 See 2012 年 8 月，日本京都大學數學家望月新一發表長約五百頁的 abc 猜想的證明，以他建立的宇宙際泰赫米勒理論（interuniversal Teichmüller theory）為基礎。該證明目前正由其他數學專家檢查中。當 Vesselin Dimitrov 和阿克沙伊文卡泰什在 2012 年 10 月發現一處錯誤時，望月新一在他的網站確認了此錯誤，並聲稱這個錯誤能夠在近期修補，不會影響最後的結果。2012 年 12 月，望月新一在自己主頁貼出了自己對所有四篇文章的修改稿。主要包含 27 條重要的修改。2012 年 12 月 2013 年 2 月，他又屢次對文章進行了修訂，新修正了 18 處錯誤，當中很多也是打字錯誤。望月新一在網上公開了 2013 年以及 2014 年的檢驗進度報告。2018 年 8 月，皮特舒爾策和指出，望月新一的證明論文中 Corollary 312 證明結尾的一行推理存在無法修復的缺陷。望月認為二者的批評存在 某種根本上的誤解。 參見 根基 MasonStothers 定理 多項式環上的對應定理 參考文獻 引用 來源 外部連結 ABChome 分散式計算專案 ABCHome Easy as ABC Easy to follow detailed explanation by Brian Hayes Abderrahmane Nitajs ABC conjecture home page Bart de Smits ABC Triples webpage httpwwwmathcolumbiaedugoldfeldABCConjecturepdf The amazing ABC conjecture The ABCs of Number Theory by Noam D Elkies Questions about Number by Barry Mazur Philosophy behind Mochizukis work on the ABC conjecture on MathOverflow ABC Conjecture Polymath project wiki page linking to various sources of commentary on Mochizukis papers Category 數論 Category 猜想