在數學分析中，常微分方程（，簡稱）是未知函式只含有一個自變數的微分方程。對於微積分的基本概念，請參見微積分、微分學、積分學等條目。 很多科學問題都可以表示為常微分方程，例如根據牛頓第二運動定律，物體在力的作用下的位移 s 和時間 t 的關係就可以表示為如下常微分方程： mfrac mathrm d2smathrm d t2f s； 其中 m 是物體的質量，f s 是物體所受的力，是位移的函式。所要求解的未知函式是位移 s，它只以時間 t 為自變數。 精確解總結 一些微分方程有精確封閉形式的解，這裡給出幾個重要的型別。 在下表中，P x Q x P y Q y 和 M xy N xy 是任意關於 xy 的可積函式，bc 是給定的實常數，CC_1 C_2 ldots 是任意常數（一般為複數）。這些微分方程的等價或替代形式透過積分可以得到解。 在積分解中，lambda 和 epsilon 是積分變數（求和下標的連續形式），記號 intx F lambdamathrm dlambda 只表示 F lambda 對 lambda 積分，在積分以後 lambda x 替換，無需加常數（明確說明）。 微分方程 解法 通解 可分離微分方程 可分離微分方程 可分離微分方程 一階，變數 x 和 y 均可分離（一般情況，下面有特殊情況）Mathematical Handbook of Formulas and Tables 3rd edition S Lipschutz MR Spiegel J Liu Schuams Outline Series 2009 ISC_2N 9780071548557 P_1 x Q_1 y P_2 x Q_2 yfrac mathrm d ymathrm d x 0 P_1 x Q_1 ymathrm d x P_2 x Q_2 ymathrm d y 0 分離變數（除以 P_2 Q_1）。 intx frac P_1 lambdaP_2 lambdamathrm dlambda inty frac Q_2 lambdaQ_1 lambdamathrm dlambda C 一階，變數 x 可分離 frac mathrm d ymathrm d x F x mathrm d y F x mathrm d x 直接積分。 y intx F lambda mathrm dlambda C 一階自治，變數 y 可分離 Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems 4th Edition WE Boyce RC Diprima Wiley International John Wiley Sons 1986 ISBN 0471838241 frac mathrm d ymathrm d x F y mathrm d y F y mathrm d x 分離變數（除以 F）。 xinty frac mathrm dlambdaF lambdaC 一階，變數 x 和 y 均可分離 P yfrac mathrm d ymathrm d x Q x 0 P ymathrm d y Q xmathrm d x 0 整個積分。 inty P lambdamathrm dlambda intx Q lambdamathrm dlambda C 一般一階微分方程 一般一階微分方程 一般一階微分方程 一階，齊次 frac mathrm d ymathrm d x F left frac yx right 令 y ux，然後透過分離變數 u 和 x 求解。 ln Cx intfrac yx frac mathrm dlambdaF lambda lambda 一階，可分離變數 yM xy xN xyfrac mathrm d ymathrm d x 0 yM xymathrm d x xN xymathrm d y 0 分離變數（除以 xy）。 ln Cx intxy frac N lambdamathrm dlambdalambda N lambdaM lambda 如果 N M 解為 xy C。 正合微分，一階 M xy frac mathrm d ymathrm d x N xy 0 M xymathrm d y N xymathrm d x 0 其中 frac partial Mpartial x frac partial Npartial y 全部積分 begin align F xy inty M xlambdamathrm dlambda intx N lambdaymathrm dlambda Y y X x C end align 其中 Y y 和 X x 是積分出來的函式而不是常數，將它們列在這裡以使最終函式 F x y 滿足初始條件。 一階 M xy frac mathrm d ymathrm d x N xy 0 M xymathrm d y N xymathrm d x 0 其中 frac partial Mpartial x neq frac partial Npartial y 積分因子 mu x y 滿足 frac partial mu Mpartial x frac partial mu Npartial y 如果可以得到 mu x y： begin align F xy inty mu xlambda M xlambdamathrm dlambda intx mu lambday N lambdaymathrm dlambda Y y X x C end align 一般二階微分方程 一般二階微分方程 一般二階微分方程 二階，自治 Further Elementary Analysis R Porter GBell Sons London 1978 ISBN 0713515945 frac mathrm d2ymathrm d x2 F y 原方程乘以 frac 2mathrm d ymathrm d x，代換 2 frac mathrm d ymathrm d xfrac mathrm d2ydx2 frac mathrm dmathrm d xleft frac mathrm d ymathrm d xright2 ，然後兩次積分。 x pm inty frac mathrm d lambdasqrt 2 intlambda F epsilon mathrm d epsilon C_1 C_2 線性微分方程（最高到 n 階） 線性微分方程（最高到 n 階） 線性微分方程（最高到 n 階） 一階線性，非齊次的函式係數 frac mathrm d ymathrm d x P x yQ x 積分因子：eintx P lambdadlambda。 y e intx P lambda mathrm dlambdaleft intx eintlambda P epsilon mathrm depsilon Q lambda mathrm dlambda C right 二階線性，非齊次的常係數 Mathematical methods for physics and engineering KF Riley MP Hobson SJ Bence Cambridge University Press 2010 ISC_2N 9780521861533 frac mathrm d2ymathrm d x2 bfrac mathrm d ymathrm d x cy r x 餘函式 y_c ：設 y_c mathrm ealpha x，代換並解出 alpha 中的多項式，求出線性無關函式 ealpha_j x。 特解 y_p：一般運用，雖然對於非常容易的 r x 可以直觀判斷。 yy_cy_p 如果 b2 4c 則： y_cC_1eleft bsqrt b2 4c right frac x2 C_2eleft bsqrt b2 4c right frac x2 如果 b2 4c，則： y_c C_1x C_2 efrac bx2 如果 b2 4c 則： y_c efrac bx2 left C_1 sin left sqrt left b24c right frac x2 right C_2cos left sqrt left b24c right frac x2 right right n 階線性，非齊次常係數 sum_j0n b_j frac mathrm dj ymathrm d xj r x 餘函式 y_c ：設 y_c mathrm ealpha x，代換並解出 alpha 中的多項式，求出線性無關函式 ealpha_j x。 特解 y_p：一般運用，雖然對於非常容易的 r x 可以直觀判斷。 yy_cy_p 由於 alpha _j 為 n 階多項式的解： prod_j1n left alpha alpha_j right 0 ，於是： 對於各不相同的 alpha _j， y_c sum_j1n C_j ealpha_j x 每個根 alpha _j 重複 k_j 次， y_c sum_j1n left sum_ell1k_j C_ell xell1right ealpha_j x 對於一些複數值的 αj，令 α χj iγj，使用尤拉公式，前面結果中的一些項就可以寫成 C_jealpha_j x C_j echi_j xcos gamma_j x phi_j 的形式，其中 ϕj 為任意常量（相移）。 參見 微分方程 偏微分方程 參考資料 Category 常微分方程 Category 微分學