指數函式是形式為 bx 的數學函式，其中 b 是底數（或稱基數，），而 x 是指數。 現今指數函式通常特指以 mbox e 為底數的指數函式（即 mbox ex），為數學中重要的函式，也可寫作 exp x。這裡的 mbox e 是數學常數，也就是自然對數函式的底數，近似值為 2718281828，又稱為尤拉數。 作為實數變數 x 的函式，ymbox ex 的影像總是正的（在 x 軸之上）並遞增（從左向右看），它不觸及 x 軸，儘管它可以任意程度的靠近它，即 x 軸是這個影像的水平漸近線。一般的說，變數 x 可以是任何實數或複數，甚至是完全不同種類的數學物件。它的反函式是定義在所有正數 x 上的自然對數 ln x。 本文集中於帶有底數為尤拉數 mbox e 的指數函式。有時，特別是在科學中，術語指數函式更一般性的用於形如 kbx 的函式，這裡的 b 稱為底數，是不等於 1 的任何正實數。 概要 最簡單的說，指數函式按恆定速率翻倍。例如細菌培養時細菌總數（近似的）每三個小時翻倍，和汽車的價值每年減少 10 都可以被表示為一個指數。特別是複利，事實上就是它導致了雅各布伯努利在 1683 年介入了現在叫做 e 的數： lim_n to infty left 1 frac 1nrightn 後來約翰伯努利在 1697 年研究了指數函式的微積分。 設 1 份借貸有 x 利率，逐月複利話，則每月增加當前值的 frac x12 倍，每月總值都要乘以 1frac x12，一年的總值為 1frac x1212，逐日複利的話，就是 1frac x365365 假定利率為 100，借期 1 年本息合為 200，利息平均每月約 83。按複利可以只借 1 個月，1 個月未能還款，本息合計為借款，如此 1 年下來本息合計約為 2613。如果借貸者能在 1 個月內歸還，則不需要付 1 整年的利息，放貸者快速收回資金可以借給他人；拖到 1 年歸還，放貸者得到比正常放貸 1 年要高的利息；1 年後按複利計算本息快速增長，借貸者可能就還不起了，而放貸者獲得抵押品。甚至可以逐日借款，這樣 1 年的收益高於 2613，但增大不多，而借貸者可以更快還清少付利息，e 就是設立更小還款時限增加獲利，能達到的 1 年極限收益，即約為 2718。應區分抵押貸款和高利貸。。設年中時段數可為無限，則有如下最初由尤拉提出 Eli Maor e the Story of a Number p156 的指數函式定義： exp x lim_ntoinftyleft 1 frac xnrightn 指數函式有基本的指數恆等式， exp x y exp x cdot exp y 這是它寫為 ex 的原因 lim_ntoinftyleft 1 frac xnrightn lim_ntoinftyleft left 1 frac 1nrightnrightx 前者成為定義因其有導數上的重要性質。。 在雅各布伯努利之前，約翰納皮爾在 1614 年以及約斯特比爾吉在 6 年後，分別發表了獨立編制的對數表，當時透過對接近 1 的底數的大量乘冪運算，來找到指定範圍和精度的對數和所對應的真數，當時還沒出現有理數冪的概念，直到 1742 年威廉瓊斯才發表了現在的冪指數概念 left 1 frac 1nrightxleft left 1 frac 1nrightnrightfrac xn 在最初的概念下，底數是接近 1 的數，而對數是整數；經過簡單變換後，底數變大了，成為接近數學常量 e 的數，而對數變小了，成為 xn。。按後世的觀點，約翰納皮爾的底數 0999999910000000 相當接近 frac 1e 選取接近 e 的底數 b，對數表涉及的 bx 為單調增函式，定義域為 0 到 1 而值域為 1 到 b；選取接近 1e 的底數 b，對數表涉及的 bx 為單調減函式，定義域為 0 到而值域為 1 到 0。，而約斯特比爾吉的底數 1000110000 相當接近自然對數的底數 e。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，約翰納皮爾用了 20 年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，建議納皮爾改用 10 為底數未果，他用自己的方法以 10frac 1254 這個接近 1 的數為基礎。於 1624 年部份完成了常用對數表的編制。 形式定義 指數函式 ex 可以用各種等價的方式定義。特別是它可以定義為冪級數： ex 1 sum_n 1infty xn over n 1 x x2 over 2 x3 over 3 x4 over 4 cdots 或序列的極限： ex lim_n to infty left 1 x over n rightn 在這些定義中，n 表示 n 的階乘，而 x 可以是任何實數、複數、和巴拿赫代數的元素。 設 xgeq0 是確定的非負實數。定義 t_nleft 1frac xnrightn s_n sum_k0nfrac xkk 據二項式定理， begin align t_n sum_k0n n choose kfrac xknk1xsum_k2nfrac n n1n2cdots nk1 xkknk 8pt 1xfrac x22left 1frac 1nrightfrac x33left 1frac 1nrightleft 1frac 2nrightcdots 8pt qquad cdots frac xnnleft 1frac 1nrightcdotsleft 1frac n1nrightle s_n end align （設 xgeq 0 得到最終的不等式）故此 limsup_ntoinfty t_n le limsup_ntoinfty s_n ex 可證明當 n 趨於無限大時上述二定義等價。這些定義的進一步解釋和它們的等價性的證明，參見文章。 性質 從指數函式的定義： ex lim_ntoinftyleft 1 frac xnrightn 可得出它有冪運算的 指數定律： e0 1 e1 e ex y ex ey ex y left ex righty ex 1 over ex 它們對所有實數 x 與 y 都是有效的。 因為在指數函式的定義中 x 是實數，可以使用自然對數，把更一般的指數函式，即正實數的實數冪函式定義為 bxeln bxex ln b 定義於所有的 b0，和所有的實數 x。它叫做 底數為 b 的指數函式。從而拓展了透過乘方和方根運算定義的正實數的有理數冪函式： bfrac mn sqrt nbm 而方根運算可透過自然對數和指數函式來表示（單位根） sqrt nx xfrac 1n efrac ln xn 介入數 e 的根本動機，特別是在微積分中，是透過指數函式和對數來進行導數和積分運算。Kline M 1998 Calculus An intuitive and physical approach section 123 The Derived Functions of Logarithmic Functions pp 337 ff Courier Dover Publications 1998 ISBN 0486404536 一般指數函式 ybx 有極限形式的導數 frac ddx bxlim_hto 0frac bxhbxhlim_hto 0frac bx bhbxhbxleft lim_hto 0frac bh1hright 最右端的極限無關於變數 x：它依賴於底數 b 而是常量 begin align lim_hto 0left bh1rightfrac 1h lim_frac 1nto 0 left bfrac 1n1 right n lim_n rightarrow infty n b1n 1 ln b end align 這裡的自然對數定義為尤拉提出，是他定義的指數函式的逆函式。 。根據求導的鏈式法則： frac ddx left 1 frac xnrightn left 1 frac xnrightn1 當這個底數是 e 時，這個常量等於 1 frac ddx left 1 frac xnrightn frac nnx left 1 frac xnrightn 這個函式的導數與函式值的比為 nnx，當 n時， nnx1，等式兩端就是指數函式的導數和指數函式。 ，因此有 frac ddx ex ex 導數和微分方程 指數函式在數學和科學中的重要性主要源於它的導函式的性質。特別是 d over dx ex ex 就是說， ex 是它自己的導函式。這可以用泰勒級數證明： begin align frac ddx ex frac ddx left 1sum_n1infty frac xnn right sum_n1infty frac nxn1n sum_n1infty frac xn1n1 6pt sum_k0infty frac xkk text where kn1 6pt ex end align 對於常數 K 的形如 Kex 的函式是唯一有這個性質的函式（這得出自皮卡 林德洛夫定理透過 y t et y 0K 和 f ty t y t。）。其他等價說法有： 函式的影像的在任何一點上的斜率是這個函式在這一點上的高度。 函式在 x 的增長速率等於在這個函式在 x 上的值。 這個函式是微分方程 yy 的解。 exp 是泛函導數的不動點。 事實上，很多不同的方程引發指數函式，包括薛定諤方程和拉普拉斯方程和簡單諧波運動的方程。 對於有其他底數的指數函式： d over dx bx ln b bx 所以任何指數函式都是它自己導數的常數倍。 如果一個變數的增長或衰減速率是與它的大小成比例的，比如在無限制情況下的人口增長、複利和放射性衰變，則這個變數可以寫為常數倍的時間的指數函式。 進一步的，對任何可微函式 f x，我們可以透過鏈式法則找到： d over dx ef x fx ef x 的連分數 透過尤拉連分數公式得到 ex 的連分數： ex 1 cfrac x1 cfrac xx 2 cfrac 2xx 3 cfrac 3xx 4 ddots ez 的廣義連分數收斂更快速 ez 1 cfrac 2z2 z cfrac z26 cfrac z210 cfrac z214 ddots 或者，替換 zfrac xy efrac xy 1 cfrac 2x2y x cfrac x2 6y cfrac x2 10y cfrac x2 14y ddots 有特殊情況 z2 e2 1 cfrac 40 cfrac 226 cfrac 2210 cfrac 2214 ddots 7 cfrac 25 cfrac 17 cfrac 19 cfrac 111 ddots 在複平面上 如同在實數情況下，在複平面的指數函式可以用多種等價方式定義。比如冪級數形式的 ez sum_n 0inftyfrac znn 或者序列的極限： ez lim_nrightarrowinfty left 1frac znrightn 它帶有虛數週期 2 pi i eipi lim_nrightarrowinfty left 1frac pin irightn 為 left 1frac pin irightn 的極限形式： FileEulerIdentity2png FileEulerIdentity2bpng FileEulerIdentity8png8 個三角形 FileEulerIdentity16png16 個三角形 FileEulerIdentity2svgeiπ10 故有尤拉恆等式：ei pi 1 0 ，它可以寫為 ea bi ea cos b i sin b 這裡的 a 和 b 是實數值。參見尤拉公式，這個公式把指數函式和三角函式與指數函式聯絡起來。 在考慮定義在複平面上的函式的時候，指數函式擁有重要的性質 ez w ez ew e0 1 ez ne 0 d over dz ez ez ezn enz n in mathbb Z 對於所有的 z 和 w。 它是週期的全純函式。我們看到除了多項式的所有初等函式都以某種方式起源於指數函式。 擴充套件自然對數到復平面上的多值函式 ln z，我們可以接著定義更一般性的指數函式： zw ew ln z 對於所有複數 z 和 w，這也是多值函式，即使是在 z 為實數的情況下。前面關於正實數情況下的指數乘積規則在多值函式情況下必須改為 ezw ne ez w，而是 ezw ez 2pi i n w 多值於整數 n 之上。 指數函式把在複平面上任何直線對映到在複平面中以原點為中心的對數螺線。要注意兩個特殊情況：當最初的線平行於實軸的時候，結果的螺線永不遮蓋（close in on）自身；當最初的線平行於虛軸的時候，結果的螺線是某個半徑的圓。 ImageExponentialAbs_real_SVGsvg z Re exiy ImageExponentialAbs_image_SVGsvg z Im exiy ImageExponentialAbs_SVGsvg z exiy 矩陣和巴拿赫代數 上面給出的指數函式的定義可以用於所有巴拿赫代數，特別是對於方塊矩陣（在這種情況函式叫做矩陣指數）。在這種情況下我們有 ex y ex ey mbox if xy yx e0 1 ex 與 ex 是互倒的 ex 在點 x 的導數是從 u 到 uex 的線性對映。 在非交換巴拿赫代數的上下文中，比如矩陣代數或在巴拿赫空間或希爾伯特空間上的運算元，指數函式經常被認做實數引數的函式： f t et A 這裡的 A 是這個代數的固定元素而 t 是任何實數。這個函式有重要的性質 f s t f s f t f 0 1 ft A f t 在李代數上 從李代數到李群的 指數對映 有著上述性質。事實上因為 R 是帶有乘法的所有正實數的李群的李代數，實數引數的常規指數函式是李代數下的特殊情況。類似的，因為所有方塊實數矩陣的李代數 M n R 屬於所有正可逆方塊矩陣的李群，方塊矩陣的指數函式是李代數指數對映的特殊情況。 註釋與引用 證明 外部連結 Complex Exponential Function Module by John H Mathews Taylor Series Expansions of Exponential Functions at efundacom Complex exponential interactive graphic 參見 指數函式的特徵描述 指數增長、指數衰減 對數 冪與冪定律 迭代冪次 古德溫 斯塔頓積分 Category 基本特殊函式 Category 解析函式 Category 指數 Category 特殊超幾何函式 CategoryE 數學常數