向量分析，或稱為向量微積分是數學的一個分支，主要研究在 3 維歐幾里得空間 mathbb R3 中向量場的微分和積分。「向量分析」有時也用作多元微積分的代名詞，其中包括向量分析，以及偏微分和多重積分等更廣泛的問題。 向量分析在微分幾何與偏微分方程的研究中起著重要作用。它被廣泛應用於物理和工程中，特別是電磁場、引力場和流體流動的描述中。 向量分析由約西亞吉布斯和奧利弗黑維塞於 19 世紀末從四元數分析發展而來，大多數符號和術語由吉布斯和在《向量分析》（1901）中提出。向量演算的常規形式中使用外積，不能推廣到更高維度，而另一種幾何代數的方法運用了可推廣的外積，下文將會討論。 基本物件 標量場 標量場將空間中的每點與標量值相關聯。標量是代表物理量的數字。標量場的應用如空間中的溫度分佈、流體中的壓強分佈、零旋量子場（稱為標量玻色子）如希格斯場。這些場是標量場論的研究物件。 向量場 向量場將向量分配給空間中的每一點。例如，平面中的向量場可形象地理解為一組箭頭的集合，每個都有給定的大小與方向，並與平面上的點相關聯。向量場常用於模擬運動流體在整個空間中的速度和方向，或某種力（如磁力或引力）在點之間變化時的強度和方向。例如，這可用於計算在一條線上所做的功。 向量和偽向量 在更高階的處理中，進一步區分了偽向量場和贗標量場，它們只在反向對映下符號會變化：例如，向量場的旋度是偽向量場，若反射一個向量場，旋度會指向相反的方向。這種區別在幾何代數中有闡述，下詳。 向量運算 代數運算 向量分析中的基本代數（非微分）的運算稱為向量代數，定義在一向量空間，然後應用到整個向量場，基本代數運算有： 向量分析基本代數運算 運算 記作 描述 向量加法 mathbf v_1 mathbf v_2 兩個向量相加，產生向量。 標量乘法 a mathbf v 標量和向量相乘，產生向量。 內積 點積 mathbf v_1 cdot mathbf v_2 兩個向量相乘，產生標量。 外積 叉積 mathbf v_1 times mathbf v_2 mathbb R3 中兩向量相乘，產生（偽）向量。 兩種三重積也比較常見： 向量分析中的三重積 運算 記作 描述 標量三重積 mathbf v_1cdotleft mathbf v_2timesmathbf v_3 right 向量與兩向量叉積的點積。 向量三重積 mathbf v_1timesleft mathbf v_2timesmathbf v_3 right 向量與兩向量叉積的叉積。 三重積不常作為基本運算，不過仍可以用內積及外積表示。 微分運算 向量分析研究定義在標量場或向量場定義的不同微分運算元，通常用的向量運算元來表示，也被稱為 Nabla 運算元。向量分析的五個最重要的微分運算： 運算元 表示 敘述 界域 梯度 operatorname gradf nabla f 純量場 f 於場中某點增加率最大的速率與方向 純量場的梯度是向量場 散度 operatorname divvec F nabla cdot vec F 向量場 vec F 於場中某點附近發散或匯聚的程度 向量場的散度是純量場 旋度 operatorname curlvec F nabla times vec F 向量場 vec F 於場中某點附近旋轉的程度 向量場的旋度是向量場 nabla2mathbf Fnabla nablacdotmathbf Fnablatimes nablatimesmathbf F 均值在無窮小的球內向量場的值不同的程度 向量場的向量拉普拉斯是向量場 拉普拉斯運算元 Delta f nabla2 f nabla cdot nabla f 對純量場 f 作梯度運算後，再作散度運算 純量場的拉普拉斯是純量場 定理 同樣，也有幾個與這幾個相關的重要定理，將微積分基本定理拓展到了更高維度： 定理 表示 註解 梯度定理 int_L mathbf p to mathbf q subset mathbb Rn nablavarphicdot dmathbf r varphileft mathbf qrightvarphileft mathbf pright 梯度（向量）場中的曲線積分與它的標量場中兩個端點的差。 格林定理 intint_Asubsetmathbb R2 left frac partial Mpartial x frac partial Lpartial yright dmathbf Aoint_partial A left L dx M dy right 平面內向量場中區域的標量旋度，等於向量場沿逆時針方向的封閉曲線的線積分。 斯托克斯定理 intint_Sigmasubsetmathbb R3 nabla times mathbf F cdot dmathbf Sigma oint_partialSigma mathbf F cdot d mathbf r mathbb R3 內向量場的旋度的曲面積分，等於向量場在曲面邊界上的線積分。 高斯散度定理 向量場的散度對體積的積分，等於穿過包圍體積的閉曲面通量的積分。 應用 線性近似 線性近似用幾乎相同的線性函式代替複雜函式。給定實值可微函式 f x y，對接近 a b 的 x y，可以用下式近似 f x y f xy approx f abtfrac partial fpartial x abxatfrac partial fpartial yabyb 右式是 zf x y 圖形在 a b 處切線的平面方程。 最最佳化 對連續可微多變數函式，若其所有偏導數在 P 點都為零（梯度為零），則 P 點是一個臨界點。臨界值是函式在臨界點上的值。 若函式光滑，或至少 2 次連續可微，則臨界點可能是區域性極值或鞍點。考慮二階導的黑塞矩陣的特徵值，可以區分不同情形。 由費馬引理，可微函式的區域性極值都出現在臨界點上。因此，要找到區域性極值，只需計算梯度的零點及當處的黑塞矩陣特徵值。 物理學與工程學 向量分析尤其適於研究 質心 場論 運動學 麥克斯韋方程組 推廣 向量分析還可推廣到其他 3 流形及高維空間。 不同 3 流形 向量分析起初是在歐氏空間 mathbb R3 中，不僅是 3 維實向量空間，還具有額外結構，即：由內積定義範數（給出長度概念），又引出角度與方向，方向又分左右手。這些結構產生了體積形式，以及在向量分析中常用的叉積。 梯度與散度只需要內積，旋度和叉積還需要考慮座標軸的手性。 若其他 3 維實向量空間有內積（或更一般的對稱非退化形式）核方向，向量分析就可在這些空間上定義；這比歐氏空間的同構資料要少，因為不需要座標軸集（參照系），這反映了向量分析在旋轉（特殊正交群 SO 3）下不變的事實。 更一般地說，向量分析可定義在任意 3 維有向黎曼流形，或更一般的偽黎曼流形上。這種結構就是每點的切空間都有內積與方向，更一般地說是有對稱非退化度量張量與方向。向量分析根據每點的切向量定義，所以有效。 其他維度 大多數分析結果都可以透過微分幾何機制輕鬆理解，向量分析是其子集。梯度、散度、梯度定理、散度定理、拉普拉斯運算元（產生調和分析）可輕易推廣到其他維度，而旋度和叉積則不能直接推廣。 從一般觀點來看，（3 維）向量分析中的各種場被統一視作 k 向量場：標量場是 0 向量場，向量場是 1 向量場，偽向量場是 2 向量場，偽標量場是 3 向量場。在更高維度中，還有更多類似的場（標量 向量 偽向量 偽標量對應 01n1n 維，這在 3 維中詳盡無遺），因此不能只用（偽）標量和（偽）向量。 在任意維度中，假定一個非退化形式，標量函式的梯度是向量場，而向量場的散度是標量函式，但只有 3 維、7 維 Lizhong Peng Lei Yang 1999 The curl in seven dimensional space and its applications Approximation Theory and Its Applications 15 3 66 to 80 （1 維、0 維是平凡的）中，才能定義叉積（其他維度的推廣或要 n1 個向量才能得到一個向量，或要用李代數代替，即更一般的反對稱雙線性積）。總之，向量場的旋度是二重向量場，可解釋為無窮小旋轉的特殊正交李代數；但這不能視作向量場，因為維數不同 3 維旋轉有 3 維，但 4 維旋轉有 6 維（n 維中的旋轉有 textstyle binom n2frac 12 n n1 維）。 向量分析有兩個重要的替代性推廣。第一個是幾何代數，用 k 向量場（3 維及以下時，k 向量場都可用標量函式或向量場識別，但更高維並非如此）。外積取代了叉積，可在所有維度中，由兩個向量場輸出一個二重向量場。這產生了作為向量空間上代數結構的克利福德代數（具有有向非退化形式）。幾何代數主要用於物理學等應用領域向更高維的推廣。 第二個運用微分形式（k 餘向量場），在數學中有廣泛應用，尤常見於微分幾何、幾何拓撲、調和分析等領域，在有向偽黎曼流形上產生了霍奇理論。從這個角度看，梯度、旋度、散度分別對應 0 形式、1 形式、2 形式的外導數，而向量分析的關鍵定理都是斯托克斯定理一般形式的特例。 從這兩種推廣來看，向量分析隱式地標識了不同的數學物件，使表述更簡單，但底層的數學結構與推廣卻不那麼清晰。從幾何代數的角度來看，向量分析隱式地將 k 向量場與向量場與標量函式區分開來：0 向量與 3 向量同標量有關，1 向量和 2 向量同向量有關。從微分形式的角度來看，向量分析隱式地將 k 形式同標量場與向量場相聯絡：0 形式、3 形式與標量場有關，1 形式、2 形式與向量場有關。因此，舉例來說，旋度自然地將向量場或 1 形式作為輸入，將 2 向量場或 2 形式作為輸出（因此是偽向量場），然後將其解釋為向量場，而非直接從向量場對映到向量場，這在高維空間反映為旋度的輸出不是向量場。 參見 實函式 向量恆等式 在圓柱和球座標系中的 del 方向導數 保守向量場 螺線向量場 拉普拉斯向量場 亥姆霍茲分解 正交座標 偏斜座標 曲線座標 張量 參考文獻 腳註 參考資料 Sandro Caparrini 2002 The discovery of the vector representation of moments and angular velocity Archive for History of Exact Sciences 5615181 Barry Spain 1965 Vector Analysis 2nd edition link from Internet Archive ChenTo Tai 1995 A historical study of vector analysis Technical Report RL 915 Radiation Laboratory University of Michigan 外部連結 The Feynman Lectures on Physics Vol II Ch 2 Differential Calculus of Vector Fields A survey of the improper use of in vector analysis 1994 Tai ChenTo Vector Analysis A Textbook for the Use of Students of Mathematics and Physics based upon the lectures of Willard Gibbs by Edwin Bidwell Wilson published 1902 延伸閱讀 A History of Vector Analysis Category 數學分析 Category 向量分析