李群（，）是一個數學概念，指具有群結構的光滑微分流形，其群作用與微分結構相容。李群的名字源於挪威數學家索菲斯李的姓氏，以其為連續變換群奠定基礎。1893 年，法文名詞 groupes de Lie 首次出現在李的學生亞瑟特雷斯（Arthur Tresse）的論文第三頁中。 粗略地說，李群是連續的群，也即其元素可由幾個實引數描述。因此，李群為連續對稱性的概念提供了一個自然的模型，例如三維旋轉對稱性。李群被廣泛應用於現代數學和物理學。索菲斯李引入李群的最初動機是為微分方程的連續對稱性建模，就像有限群被用於伽羅瓦理論對代數方程的離散對稱性建模一樣。 總覽 李群是光滑可微流形，因而可以用微分學來研究，這點與更一般的拓撲群不同。李群理論中的關鍵是替換掉 全域性 的物件，也即群本身，而代之以其 區域性 或線性化的版本。這個區域性版本被索菲斯李本人稱為該李群的 無窮小群，而後來以 李代數 為人熟知。 李群在現代幾何學中在多個層面扮演了重要的角色。費利克斯克萊因在他的愛爾蘭根綱領中認為，可以透過選定適當的保持某種幾何性質不變的變換群來考察各種 幾何。例如，歐氏幾何對應於歐式空間 R3 中保距變換構成的歐幾里得群 E 3；共形幾何對應於把群擴大到共形群；而在射影幾何中引起人們興趣的是射影群的不變屬性。這個觀念後來發展為 G 結構的概念，其中 G 是流形 區域性 對稱性形成的李群。 李群（以及與之關聯的李代數）在現代物理學中起到了重要作用，並通常扮演了物理系統中的對稱性。這裡，李群表示或相應的李代數表示尤為重要。 表示理論在粒子物理中被頻繁使用。一些具有較為重要的表示的群包括旋轉群 SO 3（或其雙覆蓋特殊酉群 SU 2，特殊酉群 SU 3 以及龐加萊群。 定義與樣例 G 為有限維實解析流形 兩個解析對映，二元運算 G times G rightarrow G，和逆對映 G rightarrow G 滿足群公理，從而具有群結構。 實李群是一個滿足下列條件的群：它也是一個有限維實光滑流形，其中群的乘法和求逆操作是光滑對映。 群乘法的光滑性 muGtimes Gto Gquad mu xyxy 意味著 mu 是一個從積流形 G times G 到 G 的光滑對映。這兩個條件可以合併成一條，即對映 xymapsto x1 y 是一個從積流形 G times G 到 G 的光滑對映。 初步的樣例 2times 2 實可逆矩陣構成了一個乘法群，記作 GL 2 R 或 GL_2 R operatorname GL2 R leftAbegin pmatrix abcdend pmatrix det Aadbc ne 0right 這是一個非緊緻的四維實李群；它是 mathbb R4 的一個開子集。這個群是非連通的；它有兩個連通分量，對應於行列式的正負兩種情況。 旋轉矩陣構成了 GL 2 mathbf R 的一個子群，記為 SO 2 mathbf R。它自己本身也是一個李群：具體地說，它是一個與圓微分同胚的一維緊緻連通李群。使用旋轉角 varphi 作為引數，這個群可以被引數化為如下形式： operatorname SO2 mathbf R leftbegin pmatrix cosvarphi sin varphi sin varphi cos varphi end pmatrix varphiinmathbf R2pimathbf Zright 其中，角度的加法對應於 SO 2 mathbf R 中元素的乘法，角度的相反數對應於逆元。因此，乘法和求逆操作也都是可微對映。 一維仿射群是一類二維上三角陣組成的李群，其中第一個對角線上的元素為正，第二個對角線上的元素為 1。因此，該群包含了如下形式的矩陣： A left begin arraycc a b 0 1 end arrayrightquad a0 binmathbb R 反例 現在我們給出一個群的例子，它擁有不可數的元素，並且在某種拓撲下不是李群。我們給定如下群： H leftleft left begin matrix e2pi itheta 00 e2pi iathetaend matrixright right theta in mathbb Rright subset mathbb T2 leftleft left begin matrix e2pi itheta 00 e2pi iphiend matrixrightright theta phi in mathbb Rright 其中 a in mathbb P mathbb Rsetminusmathbb Q 是一個固定的無理數。這是一個環面 mathbb T2 的子群，它在子空間拓撲下不是李群。 比如說，如果我們取 H 中的一個點 h 的任意小鄰域 U，那麼 H 在 U 中的部分是不連通的。群 H 在環面上反覆纏繞，形成了一個 mathbb T2 的稠密子群。 另一方面，我們可以給群 H 指定另一個拓撲，使得兩點 h_1h_2in H 之間的距離被定義為群 H 中連結 h_1 和 h_2 的最短路徑長度。在這個拓撲下，H 透過其元素中對應的 theta 與實直線同胚。在這種拓撲下，H 僅僅是加法意義下的實數群，因此也是李群。 群 H 是李群的一個非閉 李子群 的樣例。可參見下面基本概念部分關於李子群的討論。 矩陣李群 用表示複數域上的可逆矩陣。的任何閉子群也是一個李群 Corollary 345；這類李群被稱為矩陣李群。 由於李群中大多數有趣的例子都可以用矩陣李群實現，一些教科書把注意力限制在這類李群上，包括 Hall 以及 Rossmann 等，這樣可以簡化李代數和指數對映的定義。下面是一些矩陣李群的標準樣例： 定義在 R 和 C 上的特殊線性群和，分別包括了元素屬於 R 或 C 的、行列式為 1 的矩陣。 酉群 U n（以及特殊酉群 SU n） 包含了滿足 UU1（對於特殊酉群而言，還需滿足 mathrm detU1）的復矩陣。 正交群 O n（以及特殊正交群 SO n），包含了滿足 Rmathrm TR1 （對於特殊正交群而言，還需滿足 mathrm detR1）的實矩陣。 以上列舉的群均為經典群。 相關概念 與實李群相對應，復李群是在複流形上定義的（例如）。類似地，使用一種 Q 的度量完備化我們可以在 p 進數上定義 p 進數李群，一種滿足每個點都有一個 p 進數鄰域的拓撲群。 更多李群的樣例 李群經常出現在數學和物理學中。矩陣群或代數群（大部分情況下）是由矩陣構成的群（例如正交群和辛群），而這些也是李群最常見的例子。 一維李群 一維情況下唯二的連通李群是實直線 mathbb R （其群操作為加法）和由絕對值為 1 的複數組成的圓群 S1 （其群操作為乘法）。 S1 也常被記作 U 1，即 1times 1 酉群。 二維李群 在二維情況下，如果我們只考慮簡單連通群，那麼可以透過它們的李代數來分類。若把同構的情況歸為一類，那麼此時只存在兩種李代數。與這兩種李代數關聯的簡單連通李群分別是 mathbb R2（其群操作為向量加法）以及一維仿射群（在前面的小節 初步的樣例 中有介紹）。 解析李群與光滑李群 部份書籍在定義李群時假設了解析性，本條目採相同定義。另一種進路則是定義李群為實光滑（簡記為 Cinfty）流形，並具有光滑的群二元運算與逆元運算。解析條件看似較強，實則兩者等價： 定理。任意 Cinfty 李群上具有唯一的實解析流形結構，使得群二元運算及逆元運算皆為解析對映。此時指數對映亦為解析對映。 同態和同構 GH 均為李群，二者之間的一個同態：fGrightarrow H 為群同態並且是解析對映（事實上，可以證明這裡解析的條件只需滿足連續即可）。顯然，兩個同態的複合是同態。所有李群的類加上同態構成一個範疇。 兩個李群之間存在一個雙射，這個雙射及其逆射均為同態，就稱之為同構。 李代數 李代數刻劃了李群在單位元附近的區域性性狀；藉助指數對映或源自李代數的葉狀結構，可以將李代數的性質提昇到李群的層次。 設 G 為李群，其李代數 mathfrak g 定義為 G 在單位元的切空間。mathfrak g 自然具備了向量空間結構，mathfrak g 上的李括積 mathfrak g times mathfrak g to mathfrak g 定義如下： 定義 G 對自身的伴隨作用為 mathrm Adxy x y x1，xy in G。 取 Ad 對變元 y in G 在單位元上的微分，得到李代數上的伴隨作用，通常記為 mathrm AdxY x Y x1，x in G Y in mathfrak g。 再對變元 x in G 微分，得到對映 mathrm ad mathfrak g times mathfrak g to mathfrak g。定義李括積為 XY mathrm adXY。 不難驗證 滿足李代數的抽象定義。李括積蘊含了群乘法的無窮小性質，例如：連通李群 G 是交換群若且唯若 mathfrak g 是交換李代數。 李括積也可以用左不變向量場及泊松括號定義，或者取定區域性坐標，用群乘法對映在原點的泰勒級數定義。 李群對應李代數 若 G 是李群，H subset G 是其子群，並帶有李群結構，使得包含對映 H to G 為浸入（不一定是閉的），則可得到子李代數 mathfrak h subset mathfrak g。反之，任意子李代數 mathfrak h 透過左平移定義了 G 上的葉狀結構，取含單位元的極大積分流形，便得到滿足前述條件的子群 H subset G。此子群未必是閉子群，它可能是 G 的稠密子集（考慮環面的例子）。 李代數的對映 mathfrak g_1 to mathfrak g_2 未必能提昇至李群的對映 G_1 to G_2，但可提昇至對映 tilde G_1 to G_2，其中 tilde G_1 是 G_1 的萬有覆疊空間。 指數對映 對於任意向量 X to mathfrak g，根據常微分方程式的基本理論，存在 G 中的單引數子群 c_X t c_X 0e 使得 c_Xt c_X t cdot X。由此得到的對映 mathrm exp mathfrak g to G X mapsto c_X 1 稱為指數對映。它總是解析對映。 若 G 為 mathrm GLn 的子群，則 mathrm expX sum_i0infty frac Xii，這是指數對映一詞的緣由。 當 G 連通且非交換時，指數對映 mathfrak g to G 並非同態；區域性上，mathrm expXmathrm expY 可以由 CampbellBakerHausdorff 公式表成涉及括積的無窮級數。 一般體上的李群 在任意體、環乃至於概形上，都可以定義群概形；這是概形範疇中的群物件。群概形具有深刻的幾何與數論意義，然而李群未必是代數簇。 另一方面，若域 F 對某個絕對值是完備域，其特徵為零，則可照搬解析李群的定義以定義體 F 上的李群、李代數與指數對映。較常見的例子是 Fmathbb C；至於數論方面，特別涉及自守表示的研究上，則須用到 F 為 p 進數體的情形。 參考條目 李型群 參考文獻 引用 來源 D Montgomery and L Zippin Topological Transformation Groups 1955 Interscience Anthony W Knapp Lie Groups Beyond an Introduction 2004 Birkhäuser ISBN 0817642595 JeanPierre Serre Lie algebras and Lie groups 2005 Lecture Notes in Mathematics 1500 SpringerVerlag ISBN 3540550089 Category 流形