理論物理中，相對於薛丁格方程式之於非相對論量子力學，狄拉克方程式是相對論量子力學的一項描述自旋 ½ 粒子的波函式方程式，由英國物理學家保羅狄拉克於 1928 年建立，不帶矛盾地同時遵守了狹義相對論與量子力學兩者的原理，實則為薛定諤方程的洛倫茲協變式。這條方程預言了反粒子的存在，隨後 1932 年由卡爾安德森發現了正電子 positron 而證實。 帶有自旋 ½ 的自由粒子的狄拉克方程式的形式如下： i hbar frac partialpsi mathbf xtpartial t left frac hbar ciboldsymbol alpha cdot nabla beta m c2 right psi mathbf xt， 其中 m 是自旋 ½ 粒子的質量，mathbf x 與 t 分別是空間和時間的座標。 狄拉克的最初推導 狄拉克所希望建立的是一個同時具有洛倫茲協變性和薛定諤方程式形式的波方程，並且這個方程需要確保所匯出的機率密度為正值，而不是像克萊因 戈爾登方程那樣存在缺乏物理意義的負值。 考慮無場勢自由粒子的薛定諤方程式： i hbar frac partialpsi mathbf xtpartial t H psi mathbf xt equiv frac hbar22mnabla2psi mathbf xt 薛定諤方程式採用的時間項為一階導數，而空間項為二階導數，因此不具有洛倫茲協變性。若要符合洛倫茲協變性，很自然地需建構一具有空間項一階導數的哈密頓量。 i hbar frac partialpsi mathbf xt partial t H psi mathbf xt equiv left c alpha_1 p_1 alpha_2 p_2 alpha_3 p_3 beta mc2 right psi mathbf xt 而動量算符恰好是空間一階導數。將動量算符 p_ifrac hbari frac partialpartial x_i i123 代入式子中，從而得到 亦可以向量符號寫為： i hbar frac partialpsi mathbf xtpartial t left frac hbar ciboldsymbol alpha cdot nabla beta m c2 right psi mathbf xt 其中的係數 alpha_i 和 beta 不能是簡單的常數，否則即使對於簡單的空間旋轉變換，這個方程也不是洛倫茲協變的。因此狄拉克假設這些係數都是 NN 階矩陣以滿足洛倫茲協變性。如果係數 alpha_i 是矩陣，那麼波函式 psi mathbf xt 也不能是簡單的標量場，而只能是 N1 階列向量 psi mathbf xt begin pmatrix psi_1 mathbf xt psi_2 mathbf xt psi_3 mathbf xt vdots psi_N mathbf xt end pmatrix 狄拉克把這些列向量叫做旋量（Spinor），這些旋量所決定的機率密度總是正值 rho x psidagger psi sum_i1N psi_i psi_i 同時，這些旋量的每一個標量分量 psi_i mathbf xt 需要滿足標量場的克萊因 戈爾登方程。比較兩者可以得出係數矩陣需要滿足如下關係 alpha_ialpha_j alpha_jalpha_i 2 delta_ij I alpha_ibeta betaalpha_i 0 alpha_i2 beta2 I 滿足以上條件的係數矩陣 alpha 和 beta 本徵值只可以取 1，並且要求是無跡的，即矩陣的對角線元素和為零。這樣，矩陣的階數 N 只能為偶數，即包含有相等數量的 1 和 1。滿足條件的最小偶數是 4 而不是 2，原因是存在 3 個泡利矩陣。也可以用狹義相對論慣用四維矩陣來理解，如四動量。 在不同基中這些係數矩陣有不同形式，最常見的形式為： beta begin pmatrix I 0 0 I end pmatrix quad alpha_i begin pmatrix 0 sigma_i sigma_i 0 end pmatrix 這裡 sigma_i 即為泡利矩陣： sigma_1 begin pmatrix 0110end pmatrix quad sigma_2 begin pmatrix 0ii0end pmatrix quadsigma_3 begin pmatrix 1001end pmatrix 因此係數矩陣 alpha 和 beta 可進一步寫為： beta begin pmatrix 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 end pmatrix quad alpha_1 begin pmatrix 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 end pmatrix alpha_2 begin pmatrix 0 0 0 i 0 0 i 0 0 i 0 0 i 0 0 0 end pmatrix quad alpha_3 begin pmatrix 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 end pmatrix 按照量子場論的自然單位制習慣，設 hbar c 1，狄拉克方程可寫為： ifrac partialpsi mathbf xtpartial t left frac 1iboldsymbol alpha cdot nabla beta m right psi mathbf xt 狄拉克方程的洛倫茲協變形式 定義四個反對易矩陣 γμ，μ0123（稱為狄拉克矩陣）。其反對易關係為： leftgammamu gammanu right 2etamunu，其中 ημν 是閔可夫斯基時空的度規。 eta begin pmatrix 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1end pmatrix 利用上式可證明 left gammamu partial _mu right2 frac 12leftgammamu gammanu rightpartial _mu partial _nu partial _nu partial nu frac partial2partial t2 nabla2 因此狄拉克方程式可寫成： 採取自然單位制習慣 hbar c 1，則可將狄拉克方程式寫成： i gammamu partial_mu psi mpsi 0 與上面給出的 α β 相對應，可以選擇： gammamugamma0boldsymbolgamma equiv gamma0gamma1gamma2gamma3 gamma0beta boldsymbolgammabetaboldsymbolalpha，或寫成 gammaibeta alphai i123 若採用費曼斜線標記，比如偏微分符號 partialbig （英語唸作 dslashsee for example Brian Pendleton Quantum Theory 20122013 section 43 The Dirac Equation ）；其將狄拉克矩陣與各分量做乘積求和的計算，合併為一標有斜線之符號： partialbig equiv gammamu partial_mu 可使狄拉克方程式變成： i hbar partialbig psi m c psi 0 若同時採用費曼斜線符號及自然單位制，狄拉克方程式可寫成一極為簡單的形式： 狄拉克之海 以狄拉克公式來解釋能量階，會發現每個電子能階會有相對的負能階，但是實驗上普通電子無法帶有負能量，因此狄拉克假設負能量階已被無限的負能電子海佔據，所以觀測的電子無法進入負能階。這假說有許多疑點，尤其是無限的電子海其實有接受更多電子的能階，所以無法防止負能階電子的產生。 參考資料 相關條目 狄拉克旋量 狄拉克場 薛丁格方程式 克萊因 戈爾登方程 包立方程式 外爾方程式 外部連結 The Dirac Equation ，於 MathPages The Nature of the Dirac Equation its solutions and Spin Dirac equation for a spin ½ particle Pedagogic Aids to Quantum Field Theory 點選第四章，以閱讀關於狄拉克方程式、旋量等按步驟的物理學介紹。 D D D Category 保羅狄拉克