在數學和訊號處理中，Z 轉換把離散的實數或複數時間訊號從時域轉為復頻域（z 域或 z 平面）表示。 可以把它認為是拉普拉斯變換的離散時間等價。在時標微積分中會探索它們的相似性。 歷史 現在所知的 Z 變換的基本思想，拉普拉斯就已瞭解，而 1947 年用作求解常係數差分方程的一種容易處理的方式。 後來由 1952 年哥倫比亞大學的取樣控制組的和查德稱其為 Z 變換。 後來發展並推廣了改進或高階 Z 變換。 Z 變換中包含的思想在數學裡稱作母函式方法，該方法可以追溯到 1730 年的時候，棣莫弗與機率論結合將其引入。 從數學的角度，當把數字序列視為解析函式的（洛朗）展開時，Z 變換也可以看成是洛朗級數。 定義 像很多積分變換一樣，Z 變換可以有單邊和雙邊定義。 雙邊 Z 變換 雙邊 Z 轉換把離散時域訊號 x n 轉為形式冪級數 X z。 X z mathcal Zx n sum_ninftyinfty x n zn 當中 n 是整數，z 是複數變數，其表示方式為 z A ejphi A cos phijsin phi 其中 A 為 z 的模，j 為虛數單位，而 ɸ 為輻角（也叫相位角），用弧度表示。 單邊 Z 變換 另外，只對 n 0 定義的 x n，單邊 Z 變換定義為 X z mathcal Zx n sum_n0infty x n zn 在訊號處理中，這個定義可以用來計算離散時間因果系統的單位衝激響應。 單邊 Z 變換的一個重要例子是機率母函式，其中 x n 部分是離散隨機變數取 n 值時的機率，而函式 X z 通常寫作 X s，用 s z1 表示。Z 變換的性質（在下面）在機率論背景下有很多有用的解釋。 地球物理學定義 地球物理中的 Z 變換，通常的定義是 z 的冪級數而非 z1 的。例如，和都使用這個慣例。地球物理定義為： X z mathcal Zx n sum_n x n zn 這兩個定義是等價的；但差分結果會有一些不同。例如，零點和極點的位置移動在單位圓內使用一個定義，在單位圓外用另一個定義。 因此，需要注意特定作者使用的定義。 逆 Z 變換 逆 Z 變換為 x n mathcal Z1 X z frac 12 pi j oint_C X z zn1 dz 其中 C 是完全處於收斂域（ROC）內的包圍原點的一個逆時針閉合路徑。在 ROC 是因果的情況下（參見例 2），這意味著路徑 C 必須包圍 X z 的所有極點。 這個曲線積分的一個特殊情形出現在 C 是單位圓的時候（可以在 ROC 包含單位圓的時候使用，總能保證 X z 是穩定的，即所有極點都在單位圓內）。逆 Z 變換可以化簡為逆離散傅立葉變換： x n frac 12 pi int_pipi X ej omega ej omega n d omega 有限範圍 n 和有限數量的均勻間隔的 z 值的 Z 變換可以用 Bluestein 的 FFT 演算法方便地計算。離散時間傅立葉變換 DTFT 不要與離散傅立葉變換（DFT）混淆 是透過將 z 限制在位於單位圓上而得到的一種 Z 變換的特殊情況。 收斂域 收斂域（ROC）是指 Z 變換的求和收斂的複平面上的點集。 ROC leftz leftsum_ninftyinfty x n znright infty right 例 1（收斂域不存在） 令 x n 05n。在區間 infty infty 上展開 x n 成為 x n left cdots 053 052 051 1 05 052 053 cdots right left cdots 23 22 2 1 05 052 053 cdots right 觀察上面的和 sum_ninftyinfty x n zn to infty 因此，沒有一個 z 值可以滿足這個條件。 例 2（因果的收斂域） 令 x n 05n u n （其中 u 是單位階躍函式）。在區間 上展開 x n 得到 x n left cdots 0 0 0 1 05 052 053 cdots right 觀察這個和 sum_ninftyinfty x n zn sum_n0infty 05nzn sum_n0inftyleft frac 05zrightn frac 11 05z1 最後一個等式來自無窮幾何級數，而等式僅在 05z1 1 時成立，可以以 z 為變數寫成 z 05。因此，收斂域為 z 05。在這種情況下，收斂域為複平面 挖掉 原點為中心的半徑為 05 的圓盤。 例 3（非因果的收斂域） 令 x n 05n u n1 （其中 u 是單位階躍函式）。在區間 上展開 x n 得到 x n left cdots 053 052 051 0 0 0 0 cdots right 觀察這個和 sum_ninftyinfty x n zn sum_ninfty1 05nzn sum_m1inftyleft frac z05rightm 1frac 11 051 z frac 11 05z1 再次使用無窮幾何級數，此等式只在 051z 1 時成立，可以用 z 為變數寫成 z 05。因此，收斂域為 z 05。在這種情況下，收斂域為中心在原點的半徑為 05 的圓盤。 本例與上例的不同之處僅在收斂域上。這是意圖展示只有變換結果是不夠的。 例項結論 例項 2 和 3 清楚地表明，當且僅當指定收斂域時，x n 的 Z 變換 X z 才是唯一的。畫因果和非因果情形的表明，在這兩種情況下收斂域都不包含極點位於 05 的情形。這可以拓展到多個極點的情形：收斂域永遠不會包含極點。 在例 2 中，因果系統產生一個包含 z 的收斂域，而例 3 中的非因果系統產生包含 z 0 的收斂域。 在有多個極點的系統中，收斂域可以既不包含 z 也不包含 z 0。畫出的收斂域與一個圓形帶。例如， x n 05nu n 075nu n1 的極點為 05 與 075。收斂域會是 05 z 075，不包含原點和無窮大。這樣的系統稱為混合因果系統，因為它包含一個因果項 05 nu n 和一個非因果項 075 nu n1。 一個系統的穩定性可以只通過了解收斂域來確定。如果收斂域包含單位圓（即 z 1），那麼系統是穩定的。在上述系統中因果系統（例 2）是穩定的，因為 z 05 包含單位圓。 如果我們有一個沒有給定收斂域 Z 變換（即模糊的 x n），則可以確定一個唯一的 x n 滿足下列： 穩定性 因果性 如果要求滿足穩定性，則收斂域必須包含單位圓；如果要求為一個因果系統，則收斂域必須包含無窮大，並且系統函式應為一個右邊序列。如果要求為一個非因果系統，那麼收斂域必須包含原點，且系統函式為左邊序列。如果既要滿足穩定性，也要滿足因果性，則系統函式的所有極點都必須在單位圓內。 透過這種方法可以找到唯一的 x n。 性質 Z 變換性質 時域 Z 域 證明 收斂域 記法 x nmathcal Z1X z X zmathcal Zx n r_2zr_1 線性 a_1 x_1 n a_2 x_2 n a_1 X_1 z a_2 X_2 z begin align X z sum_ninftyinfty a_1x_1 na_2x_2 n zn a_1sum_ninftyinfty x_1 n zn a_2sum_ninftyinfty x_2 n zn a_1X_1 z a_2X_2 z end align 包含 ROC1 ROC2 時間膨脹 x_K n begin cases x r n rK 0 n not rK end cases r 整數 X zK begin align X_K z sum_ninftyinfty x_K n zn sum_rinftyinfty x r zrK sum_rinftyinfty x rzKr X zK end align Rfrac 1K 降取樣 x nK frac 1K sum_p0K1 Xleft ztfrac 1K cdot ei tfrac 2piK pright ohiostateedu 或 eeicacuk 時移 x nk zk X z begin align Zx nk sum_n0infty x nk zn sum_jkinfty x j zjk j nk sum_jkinfty x j zj zk zksum_jkinfty x j zj zksum_j0infty x j zj x beta 0 beta 0 zk X zend align ROC，除了 k 0 時 z 0 和 k 0 時 Z 域的 尺度性質 an x n X a1 z begin alignmathcal Z left an x n right sum_ninftyinfty an x n zn sum_ninftyinfty x na1 zn X a1 z end align ar_2 z ar_1 時間反轉 x n X z1 begin align mathcal Zx n sum_ninftyinfty x n zn sum_minftyinfty x m zm sum_minftyinfty x mz1m X z1 end align tfrac 1r_1ztfrac 1r_2 共軛複數 xn Xz begin align mathcal Z xn sum_ninftyinfty xn zn sum_ninftyinfty left x nzn right left sum_ninftyinfty x nznright Xz end align 實部 operatorname Rex n tfrac 12left X zXz right 虛部 operatorname Imx n tfrac 12jleft X zXz right 微分 nx n z frac dX zdz begin align mathcal Znx n sum_ninftyinfty nx n zn z sum_ninftyinfty nx n zn1 z sum_ninftyinfty x nnzn1 z sum_ninftyinfty x nfrac ddzzn z frac dX zdz end align 卷積 x_1 n x_2 n X_1 z X_2 z begin align mathcal Zx_1 nx_2 n mathcal Z left sum_linftyinfty x_1 l x_2 nl right sum_ninftyinfty left sum_linftyinfty x_1 l x_2 nl right zn sum_linftyinfty x_1 l left sum_ninftyinfty x_2 nl zn right left sum_linftyinfty x_1 l zl right left sum_ninftyinfty x_2 n zn right X_1 z X_2 z end align 包含 ROC1 ROC2 互相關 r_x_1x_2x_1n x_2 n R_x_1x_2zX_1tfrac 1z X_2 z 包含 X_1 tfrac 1z 與 X_2 z 的 ROC 的交集 一階差分 x n x n1 1z1 X z 包含 X1 z 與 z 0 的 ROC 的交集 累積 sum_kinftyn x k frac 11z1 X z begin align sum_ninftyinftysum_kinftyn x k znsum_ninftyinftyx ncdots x infty zn X z left 1z1z2cdots right X z sum_j0infty zj X z frac 11z1end align 乘法 x_1 n x_2 n frac 1j2pioint_C X_1 v X_2 tfrac zv v1mathrm d v At least r_1l r_2lzr_1u r_2u 時域 Z 域 證明 收斂域 記法 x nmathcal Z1X z X zmathcal Zx n zr_1 線性 a_1 x_1 n a_2 x_2 n a_1 X_1 z a_2 X_2 z begin align X z sum_ninftyinfty a_1x_1 na_2x_2 n zn a_1sum_ninftyinfty x_1 n zn a_2sum_ninftyinfty x_2 n zn a_1X_1 z a_2X_2 z end align 包含 ROC1 ROC2 時間膨脹 x_K n begin cases x r n rK 0 n not rK end cases r 整數 X zK begin align X_K z sum_ninftyinfty x_K n zn sum_rinftyinfty x r zrK sum_rinftyinfty x rzKr X zK end align Rfrac 1K 降取樣 x nK frac 1K sum_p0K1 Xleft ztfrac 1K cdot ei tfrac 2piK pright ohiostateedu 或 eeicacuk 時移 x nk zk X z begin align Zx nk sum_n0infty x nk zn sum_jkinfty x j zjk j nk sum_jkinfty x j zj zk zksum_jkinfty x j zj zksum_j0infty x j zj x beta 0 beta 0 zk X zend align ROC，除了 k 0 時 z 0 和 k 0 時 Z 域的 尺度性質 an x n X a1 z begin alignmathcal Z left an x n right sum_ninftyinfty an x n zn sum_ninftyinfty x na1 zn X a1 z end align ar_2 z ar_1 時間反轉 x n X z1 begin align mathcal Zx n sum_ninftyinfty x n zn sum_minftyinfty x m zm sum_minftyinfty x mz1m X z1 end align ztfrac 1r_2 共軛複數 xn Xz begin align mathcal Z xn sum_ninftyinfty xn zn sum_ninftyinfty left x nzn right left sum_ninftyinfty x nznright Xz end align 實部 operatorname Rex n tfrac 12left X zXz right 虛部 operatorname Imx n tfrac 12jleft X zXz right 微分 nx n z frac dX zdz begin align mathcal Znx n sum_ninftyinfty nx n zn z sum_ninftyinfty nx n zn1 z sum_ninftyinfty x nnzn1 z sum_ninftyinfty x nfrac ddzzn z frac dX zdz end align 卷積 x_1 n x_2 n X_1 z X_2 z begin align mathcal Zx_1 nx_2 n mathcal Z left sum_linftyinfty x_1 l x_2 nl right sum_ninftyinfty left sum_linftyinfty x_1 l x_2 nl right zn sum_linftyinfty x_1 l left sum_ninftyinfty x_2 nl zn right left sum_linftyinfty x_1 l zl right left sum_ninftyinfty x_2 n zn right X_1 z X_2 z end align 包含 ROC1 ROC2 互相關 r_x_1x_2x_1n x_2 n R_x_1x_2zX_1tfrac 1z X_2 z 包含 X_1 tfrac 1z 與 X_2 z 的 ROC 的交集 一階差分 x n x n1 1z1 X z 包含 X1 z 與 z 0 的 ROC 的交集 累積 sum_kinftyn x k frac 11z1 X z begin align sum_ninftyinftysum_kinftyn x k znsum_ninftyinftyx ncdots x infty zn X z left 1z1z2cdots right X z sum_j0infty zj X z frac 11z1end align 乘法 x_1 n x_2 n frac 1j2pioint_C X_1 v X_2 tfrac zv v1mathrm d v zr_1u r_2u 帕塞瓦爾定理 sum_ninftyinfty x_1 n x_2 n quad quad frac 1j2pioint_C X_1 v X_2 tfrac 1v v1mathrm d v 初值定理：如果 x n 為因果的，那麼 x 0lim_zto infty X z 終值定理：如果 z1 X z 的極點在單位圓內，則 x inftylim_zto 1z1 X z 常見的 Z 變換對錶 這裡： u n mapsto u n begin cases 1 n ge 0 0 n 0 end cases 是單位階躍函式而 delta n mapsto delta n begin cases 1 n 0 0 n ne 0 end cases 是離散時間單位衝激函式。兩者通常都不認為是真正的函式，但由於它們的不連續性把它們看成是分佈（它們在 n 0 處的值通常無關緊要，除非在處理離散時間的時候，它們會變成衰減離散級數；在本章節中對連續和離散時間域，都在 n 0 處取 1，否則不能使用下表中收斂域一欄的內容）。同時列出兩個 函式，使得（在連續時間域）單位階躍函式是單位衝激函式的積分，或（在離散時間域）單位階躍函式是單位衝激函式的求和，因此要令他們的值在 n 0 處為 1。 訊號，x n Z 變換，X z ROC 1 delta n 1 所有 z 2 delta nn_0 zn_0 z neq 0 3 u n frac 11z1 4 ealpha n u n 1 over 1ealpha z1 5 u n1 frac 11 z1 6 n u n frac z11z1 2 7 n u n1 frac z1 1 z12 8 n2 u n frac z1 1 z1 1 z13 9 n2 u n 1 frac z1 1 z1 1 z13 10 n3 u n frac z1 1 4 z1 z2 1z14 11 n3 u n 1 frac z1 1 4 z1 z2 1z14 12 an u n frac 11a z1 13 an u n1 frac 11a z1 14 n an u n frac az1 1a z12 15 n an u n1 frac az1 1a z12 16 n2 an u n frac a z1 1 a z1 1a z13 17 n2 an u n 1 frac a z1 1 a z1 1a z13 18 cos omega_0 n u n frac 1z1 cos omega_012z1cos omega_0 z2 19 sin omega_0 n u n frac z1 sin omega_012z1cos omega_0 z2 20 an cos omega_0 n u n frac 1a z1 cos omega_012az1cos omega_0 a2 z2 21 an sin omega_0 n u n frac az1 sin omega_0 12az1cos omega_0 a2 z2 與傅立葉級數和傅立葉變換的關係 對於區域 z1（稱為單位圓）內的 z 值，我們可以透過定義 zejω 來用單一實變數的函式來表示該變換。於是雙邊變換就簡化為了傅立葉級數： 也被稱作 x n 序列的離散時間傅立葉變換（DTFT）。這個以 2π 為週期的函式是傅立葉變換的，這使得它成為廣泛使用的分析工具。要理解這一點，令 X f 為任意函式 x t 的傅立葉變換，該函式以某個間隔 T 取樣就與 x n 序列相等。於是 x n 序列的 DTFT 可以寫作： underbrace sum_ninftyinfty overbrace x nTx n ej 2pi f nT _text DTFT frac 1Tsum_kinftyinfty X fkT 若 T 的單位是秒，textstyle f 的單位即為赫茲。比較兩個數列可得 textstyle omega 2pi fT 為，單位是 radians per sample。數值 ω2π 對應 textstyle f frac 1T Hz ，而且在替換 textstyle f frac omega2pi T 後， 可以表示為傅立葉變換 X sum_ninftyinfty x n ejomega n frac 1Tsum_kinftyinfty underbrace Xleft tfrac omega2pi T tfrac kTright_Xleft frac omega 2pi k2pi Tright 若數列 x nT 表示線性時不變系統的衝激響應，這些函式也稱為頻率響應，當 x nT 是週期性數列，其 DTFT 在一或多個共振頻率發散，在其他頻率均為零。這一般會用在共振頻率，振幅可變的狄拉克 δ 函式表示。因為其週期性，只會有有限個振幅，可以用較簡單許多的離散傅立葉變換來計算。（參照離散傅立葉變換 週期性） 和拉氏變換的關係 雙線性變換 雙線性變換可以用在連續時間濾波器（用拉氏域表示）和離散時間濾波器（用 Z 域表示）之間的轉換，其轉換關係如下： s frac 2T frac z1z1 將一個拉氏域的函式 H s 轉換為 Z 域下的 H z，或是 z frac 2sT2sT 從 Z 域轉換到拉氏域。藉由雙線性變換，複數的 s 平面（拉氏變換）可以對映到複數的 z 平面（Z 轉換）。這個轉換是非線性的，可以將 S 平面的整個 jΩ 軸對映到 Z 平面的單位圓內。因此，傅立葉變換（在 jΩ axis 計算的拉氏變換）變成離散時間傅立葉變換，前提是假設其傅立葉變換存在，也就是拉氏變換的收斂區域包括 jΩ 軸。 線性常係數差分方程 線性常係數差分（LCCD）方程是基於自迴歸滑動平均的線性系統表達形式。 sum_p0N y npalpha_p sum_q0M x nqbeta_q 上面等式兩邊可以同時除以 α0，如果非零，正規化 α0 1，LCCD 方程可以寫成 y n sum_q0M x nqbeta_q sum_p1N y npalpha_p LCCD 方程的這種形式有利於更加明確 當前 輸出 y n 是過去輸出 y np、當前輸入 x n 與之前輸入 x nq 的一個函式。 傳遞函式 對上述方程去 Z 變換（使用線性和時移法則）得到 Y z sum_p0N zpalpha_p X z sum_q0M zqbeta_q 整理結果 H z frac Y zX z frac sum_q0M zqbeta_qsum_p0N zpalpha_p frac beta_0 z1 beta_1 z2 beta_2 cdots zM beta_Malpha_0 z1 alpha_1 z2 alpha_2 cdots zN alpha_N 零點和極點 由代數基本定理得知分子有 M 個根（對應於 H 的零點）和分母有 N 個根（對應於極點）。用極點和零點重新整理傳遞函式為 H z frac 1 q_1 z11 q_2 z1cdots 1 q_M z1 1 p_1 z11 p_2 z1cdots 1 p_N z1 其中 qk 為 k 階零點，pk 為 k 階極點。零點和極點通常是複數，當在複平面（z 平面）作圖時稱為。 此外，在 z 0 和 z 也可能存在零點和極點。如果我們把這些極點和零點以及高階零點和極點考慮在內的話，零點和極點的數目總會相等。 透過對分母因式分解，可以使用部分分式分解可以轉換回時域。這樣做會匯出系統的衝激響應和線性常係數差分方程。 輸出響應 如果一個系統 H z 由訊號 X z 驅動，那麼輸出為 Y z H z X z。透過對 Y z 部分分式分解並取逆 Z 變換可以得到輸出 y n。在實際運用中，在分式分解 frac Y zz 之後再乘 z 產生 Y z 的一個形式（含有很容易計算逆 Z 變換的項）往往很有用。 參見 高階 Z 變換 雙線性變換 差分方程（遞迴關係式） 離散卷積 離散時間傅立葉變換 有限脈衝響應 形式冪級數 拉普拉斯變換 洛朗級數 機率母函式 星標變換 參考文獻 延伸閱讀 Refaat El Attar Lecture notes on ZTransform Lulu Press Morrisville NC 2005 ISBN 9781411619791 Ogata Katsuhiko Discrete Time Control Systems 2nd Ed PrenticeHall Inc 1995 1987 ISBN 9780130342812 Alan V Oppenheim and Ronald W Schafer 1999 DiscreteTime Signal Processing 2nd Edition Prentice Hall Signal Processing Series ISBN 9780137549207 外部連結 ZTransform table of some common Laplace transforms Mathworlds entry on the Ztransform ZTransform threads in CompDSP ZTransform Module by John H Mathews A graphic of the relationship between Laplace transform splane to Zplane of the Z transform Z Category 變換