數學上，特別是在集合論和數學基礎的應用中，全類（Universe，若是集合，則稱作全集）是一個（在某種程度上）包含了所有的研究物件和集合的類。 在特定場合下 這個一般概念有數個精確的版本。最簡單的情況下可以將任意集合 U 定義成全集，只要研究的物件都是其子集。若研究實數，則所有實數的集合實數線 mathbb R 就是全集。在 1870 年代和 1880 年代，康托爾第一次發展現代樸素集合論和勢的概念以應用於實分析，這時他預設地使用著的全集就是實數線 mathbb R。康托爾一開始關心的也只是 mathbb R 的子集。 這種全集概念在文氏圖的應用中有所反映。在文氏圖中，所有的操作按例都是在一個表示全集 U 的大長方形內進行。集合通常表示為圓形，但這些集合只能是 U 的子集。集合 A 的補集則為長方形中表示 A 的圓形的外面的部分。嚴格地說，這是 A 對 U 的相對補集 Ubackslash A；但在 U 是全集的場合下，這可以被當成是 A 的絕對補集 AC。同樣的，有一個稱為空交集的概念，即零個集合的交集（指沒有集合，而不是空集）。要是沒有全集，空交集就會是所有東西組成的集合，這一般被認為是不可能的；但有了全集，空交集可以被當成是有條件（即 U）下的所有東西組成的集合。 在基於布林格的代數方法研究基礎集合理論時，這種慣例非常有用。但對公理化集合論的一些非標準形式並非如此，例如新基礎集合論，這裡所有集合的類並不是布林格，而僅僅是相對有補格。相反，U 的冪集，即 U 的所有子集組成的集合，是一個布林格。上述的絕對補集是布林格中的補運算；而空交集 U 則作為布林格中的最大元（或空交）。這裡，適用於補運算、交運算和並運算（集合論中的並集）的德摩根律成立，而且對空交和空並（即空集）也成立。 在一般數學中 然而，當考慮過給定集合 X 的子集（在康托爾的例子中，Xmathbb R），可能就會進一步關心 X 的子集組成的集合。 （例如：X 上的一個拓撲就是一個 X 的子集組成的集合。） 這些不同的 X 的子集組成的集合本身，一般而言並不是 X 的子集，卻是 X 的冪集 mathbf P X 的子集。當然，這還沒有完；可以進一步考慮 X 的子集組成的集合所組成的集合，等等。另一個方向是：可以考慮笛卡爾積 Xtimes X，或從 X 對映到其自身的函式。接著，還可以考慮笛卡爾積上的函式，或從 X 對映到 Xtimes mathrm P X 的函式，等等。 這樣，儘管主要關心的是 X，仍然需要一個比 X 大很多的全集。順著上面的思路，可能需要 X 上的超結構。這可以透過結構遞迴來定義，如下： 設 mathbf S_0X 為 X 自身。 設 mathbf S_1X 為 X 和 mathbf P X 的並集。 設 mathbf S_2X 為 mathbf S_1X 和 mathbf Pmathbf S_1X 的並集。 一般的，設 mathbf S_n1 X 為 mathbf S_nX 和 mathbf PS_nX 的並集。則 X 上的超結構，寫作 mathbf S X，為 mathbf S_0X，mathbf S_1X，mathbf S_2X，等等，的並集；或 mathbf S X bigcup_i0infty mathbf S_i X mbox 注意到，無論初始集合 X 如何，空集總是屬於 mathbf S_1X。重定義空集為馮諾伊曼序數 0。則 0，是僅含有空集為元素的集合，屬於 mathbf S_2X；定義為馮諾伊曼序數 1。類似的，1 屬於 mathbf S_3X，則 0 和 1 的並集 01 也屬於該集合；定義為馮諾伊曼序數 2。重複這個過程，所有的自然數都透過其馮諾伊曼序數在超結構中表現出來。然後，若 x 和 y 屬於這個超結構，則 xxy（這個集合表示了有序對 xy）也屬於它。從而，這個超結構將包含各種所想要的笛卡爾積。而且，這個超結構也包含各種函式和關係，因為他們可以被表示為笛卡爾積的子集。以及，還能夠得到有序 n 元組，表示定義域為馮諾伊曼序數 n 的函式。等等。 所以，就算僅從 X 出發，也可以構造大量的用於數學研究的集合，它們都是在 上的超結構裡的某個元素。但是，這樣 mathbf S 的每個元素都會是有限集合。每個自然數都屬於 mathbf S，但 所有 自然數的集合 mathbb N 不屬於 mathbf S（儘管它是 mathbf S 的 子集）。實際上，X 上的超結構包含了所有的遺傳有限集合。這樣，它可以被認為是 有限主義數學的全集。可以想像一下，假若 19 世紀的有限主義者利奧波德克羅內克當時能使用到這個全集的話；他會相信每個自然數都存在，而集合 mathbb N（一個 完全的無窮大）則不然。 然而，對一般的數學家（它們不是有限主義者）來說，mathbf S 是不足夠的，因為儘管 mathbb N 是 mathbf S 的子集，但 mathbb N 的冪集仍然不是。特別的，任意的實數集合都不是。所以，需要重新開始這個過程，來構造 mathbf Smathbf S。不過，為簡單起見，就只用給出的自然數集合 mathbb N 來構造 mathbf Smathbb N，即 mathbb N 上的超結構。這通常被認為是 一般數學的全集。其意思是指，一般研究的所有數學物件，都已作為這個全集的元素而包含其中。例如：任何通常的實數的構造方式（比如透過戴德金分割）都會屬於 mathbf Smathbb N。即使是非標準分析，也能夠在自然數的一個非標準模型上的超結構中進行。 應當注意，這個部分在觀念上有些改變，這裡全集是任何被關心的集合 U。上個部分中，被研究的集合是全集的子集；而現在，它們是全集的元素。這樣儘管 mathbf Pmathbf S X 是一個布林格，但相應的 mathbf S X 不是。因此，幾乎不直接採用布林格和文氏圖來描述這種超結構式的全集；在上個部分中，它們被用來描述冪集式的全集。作為替代，可以採用獨立的布林格 mathbf P A，這裡 A 是 mathbf S X 中任意相應的集合；則 mathbf P A 是 mathbf S X 的子集（實際上它屬於 mathbf S X）。 在集合論中 正式來說，可以給出一個精確定義，來說明為何 mathbf Smathbb N 為一般數學的全集；這是策梅洛集合論的模型。策梅洛集合論是由恩斯特策梅洛最初在 1908 年提出的公理集合論。策梅洛集合論的成功完全在於它能夠公理化 一般 數學，完成了康托爾在三十年之前開始的課題。但策梅洛集合論對進一步發展公理集合論和數學基礎中的其他工作，特別是模型論，是不夠的。舉一個戲劇性的例子：上述超結構的描述並不能獨立地在策梅洛集合論中完成！ 最後一步，構造 mathbf S 成為一個無限並集，需要代換公理；這條公理在 1922 年被加入策梅洛集合論，成為如今通用的策梅洛 弗蘭克爾集合論。所以，儘管一般數學可以在 mathbf Smathbb N 中進行，對 mathbf Smathbb N 的討論則不再 一般，而是轉向元數學的領域。 但是，若在超級的集合論中，可以發現上述的超結構過程只是超限歸納法的開始。回到 X（空集），並用（標準的）符號 V_i 表示 mathbf S_ i。則有 V_0，V_1mathbf P，等等，和前面一樣。但是，所謂 超結構 現在只是這個列中的下一項：V_omega，這裡 omega 為第一個無窮序數。按照序數知識，得到： V_i bigcup_j 可以對任意序數 i 定義 V_i。所有 V_i 的並集為馮諾伊曼全集 V： V bigcup_i V_i 。注意，每個單獨的 V_i 都是集合，但他們的並集 V 是一個真類。跟代換公理差不多時候加入 ZF 系統的正則公理斷言，每個集合都屬於 V。 Q Q 參見 自由物件 參考書目 Mac Lane Saunders 1998 Categories for the Working Mathematician SpringerVerlag New York Inc 外部連結