內積空間是增添了某種運算的向量空間，這種運算叫做內積，它推廣了原來歐幾里德空間的點積，而從比較一般的角度看待向量的 夾角、長度 還有正交性。 相關術語 內積空間有時也叫做準希爾伯特空間，因為由內積定義的距離完備化之後就會得到一個希爾伯特空間。 在早期的著作中，本條目所定義的內積空間被稱作 zhcn 酉；zhtw 麼正； 空間，但這些著作裡的 內積空間 反而指的是有限維 Euclid 空間或可數維的 Lp 空間。 正式定義 下文中 F 有可能是實數系 mathbb R 或複數系 mathbb C 。 V 是一個定義在域 left Ftimes right 上的向量空間，其向量加法記為「 oplus 」 ，且其標量乘法記為「 cdot 」。若它裝配了一個二元函式 fV times V to F 滿足：（以下將 f vw 簡寫為 langle vw rangle ） 名稱 前提條件 內容 共軛對稱 對所有 vw in V langle vwrangle overline langle wvrangle 線性 對所有 avw in V langle v oplus wa rangle langle va rangle langle wa rangle 線性 對所有 vw in V 和所有 lambda in F langle lambda cdot v wrangle lambda times langle vwrangle 非負性 對所有 v in V langle vvrangle geq 0 非退化 對所有 v in V v 0_V Leftrightarrow langle vv rangle 0 這樣的話， f 會被稱為定義在 V 上的內積。更進一步的，若 FC 則稱 V 是個複內積空間，反之，若 FR 則稱 V 是個實內積空間。 如果 langle vw rangle 0 ，也可記為 v perp w ，並稱「 v 與 w 是正交的（perpendicular）」。 定義的分歧 為了與量子力學中的狄拉克符號的順序相符，以上線性部分的定義常常被物理學家顛倒過來，也就是 線性 對所有 avw in V langle a v oplus w rangle langle a v rangle langle a w rangle 線性 對所有 vw in V 和所有 lambda in F langle v lambdacdot wrangle lambda times langle vwrangle 真正會造成影響的是第二條，因為可根據順序顛倒的第二條，從順序顛倒的第一條會推出原來的第一條，反之亦然（可參考基本性質一節第一個定理）。但這仍會造成許多定理的內積順序也要顛倒過來才會成立。 例子 實數的乘法 因為實數系 mathbb R 可以視是為定義在自己之上的向量空間，所以可以驗證：langle xyrangle xy 滿足內積的各種性質。 點積 歐幾里德空間 mathbb Rn 的點積： langle x_1ldots x_ny_1ldots y_nrangle sum_i1n x_i y_i x_1 y_1 cdots x_n y_n 是定義在 mathbb Rn 上的一個內積。 基本性質 證明 a begin aligned langle a v oplus w rangle overline langle v oplus w a rangle overline langle v a rangle langle w a rangle overline langle v a rangle overline langle w a rangle langle a v rangle langle a w rangle end aligned b begin aligned langle v lambdacdot wrangle overline langle lambdacdot w v rangle overline lambda times langle w v rangle overline lambda times overline langle w v rangle overline lambda times langle v wrangle end aligned 故得証。Box 證明 若 n 2 ，本定理只是內積定義的線性部分，故成立。 若 n k 時，對任意有限向量序列 u_i in Vk_i1 和任意 w in V 有： leftlangle sumk_i1 u_i w rightrangle sumk_i1 langle u_i w rangle 這樣的話，對任意有限向量序列 v_i in Vk1_i1 和任意 w in V 有： begin align leftlangle sumk1_i1 v_i w rightrangle leftlangle left sumk_i1 v_i right v_k1 w rightrangle leftlangle sumk_i1 v_i w rightrangle langle v_k1 w rangle sumk_i1 langle v_i w rangle langle v_k1 w rangle sumk1_i1 langle v_i w rangle end align 所以根據數學歸納法，本定理 a 部分得証。這樣根據共軛的線性性質有： begin align leftlangle wsumn_i1 v_i rightrangle overline leftlangle sumn_i1 v_i w rightrangle overline sumn_i1 langle v_i w rangle sumn_i1 overline langle v_i w rangle sumn_i1 langle w v_i rangle end align 故本定理的 b 部分也得証。Box 範數 以下根據內積定義的非負性部分，定義 gV to 0infty 為 g v sqrt langle vv rangle ，並把 g v 表記為 v 。下面也將證明 v 的確是 V 上的範數。 柯西 施瓦茨不等式 證明 若 v w 0_V ，根據內積定義的非退化部分，本定理成立。若考慮 vw neq 0_V ，取 e_v frac 1v cdot v 、e_w frac 1w cdot w 與 alpha langle e_ve_w rangle ，則根據內積定義有 begin align langle e_v oplus alpha cdot e_w e_v oplus alpha cdot e_w rangle langle e_v e_v rangle langle e_v alpha cdot e_w rangle langle alpha cdot e_w e_v rangle langle alpha cdot e_walpha cdot e_w rangle 1 overline alphaalpha alphaoverline alpha alphaoverline alpha 1 alpha2 1 left frac langle v w ranglevw right2 geq 0 end align 這樣定理的 a 部分就成立。考慮到 langle v w rangle vw 等價於上式內積要為零，那再根據內積定義的非退化部分，又等價於 e_v oplus alpha cdot e_w 0_V 那這樣根據向量空間的基本運算性質，又等價於 v frac langle vrranglew2 cdot w 所以 b 部分也成立，故得証。Box 三角不等式 證明 根據內積定義有 begin align v oplus w2 langle v oplus w v oplus w rangle v2 langle vw rangle langle w w rangle w2 v2 w2 2 operatorname Relangle vw rangle leq v2 w2 2 langle vw rangle end align 這樣根據上面的柯西 施瓦茨不等式有 begin align v oplus w2 leq v2 w2 2 langle vw rangle leq v2 w2 2 vw v w2 end align 故本定理成立。Box 根據上面的三角不等式， g 的確是個定義在 V 上的範數。所以內積空間也是一個賦範向量空間。這樣直觀上 v 就是向量 v 的長度。這樣內積定義的非退化部分，就可以直觀理解為「任意向量 v in V 為零向量，當且僅當其長度為零」。另外根據柯西 施瓦茨不等式，若 langle vw rangle in R ，可以把 langle vw rangle 跟點積做類比，也就是依據反三角函式的性質，對「 v 和 w 間的夾角」做如下的定義： angle vw cos1left frac langle vw ranglevw right 這樣柯西 施瓦茨不等式可以直觀理解成上述的定義與「cos angle vw pm1 等價於 v 和 w 相互平行」。 度量 根據三角不等式，以下的函式： dV times V to R d vw v ominus w 的確是 V 上的度量。這樣因為度量空間有自然的拓撲結構，所以內積空間 V 也就有這種自然的拓撲結構；通常會把這個自然的拓撲記為 tau_V。 勾股定理 證明 根據內積定義和上面的一般線性性質有 begin align leftsum_i1n v_i right2 leftlangle sum_i1n v_i sum_i1n v_i rightrangle sumn_j1 leftlangle v_j sum_i1n v_i rightrangle sumn_j1 sum_i1n langle v_jv_i rangle sumn_j1 v_j2 end align 故得証。Box 證明 根據內積定義和向量空間的基本運算性質有 begin align v oplus w2 langle v oplus w v oplus w rangle v2 langle vw rangle langle w w rangle w2 end align begin align v ominus w2 langle v oplus w1 v oplus w1 rangle v2 langle v1 cdot w rangle langle 1 cdot w v rangle langle 1 cdot w 1 cdot w rangle v2 langle v w rangle langle w v rangle w2 end align 故得証。Box 完備化 如果 V 是個複內積空間，可以定義一個函式 dV times V to R 且 d vw v ominus w，根據上面的三角不等式和內積定義，Vd 的確是個度量空間。 在希爾伯特空間的文章中有一些內積空間的例子，其中引出自內積的度量誘導一個完備的度量空間。然而也存在誘導不完備度量空間的內積，比如在區間 a b 上連續複數值函式的空間 mathcal Ca b 上。內積是 langle f g rangle int_ab f t overline g t dt 這個空間是不完備的；比如考慮對於區間 01，考慮函式序列 f_k _kinmathbb N，其中 forall k geqslant 2 f_k t begin cases 0 forall t in 0 frac12 k t frac12 forall t in frac12 frac12 frac1k 1 forall t in frac12 frac1k 1 end cases 每個 f_k 都是連續函式，但 f_k _kinmathbb N 在上面的內積誘導的拓撲中是不收斂於任何一個連續函式的柯西序列，因為它的極限不是連續的函式。 在內積空間上的運算元 希爾伯特運算元，協方差運算元 退化內積 引用 S Axler Linear Algebra Done Right Springer 2004 G Emch Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory Wiley Interscience 1972 N Young An Introduction to Hilbert Spaces Cambridge University Press 1988 N N N