圓錐曲線（英語：conic section），又稱圓錐截痕、圓錐截面、二次平面曲線，是數學、幾何學中透過平切圓錐（嚴格為一個正圓錐面和一個平面完整相切）得到的曲線，包括圓，橢圓，拋物線，雙曲線及一些退化型別。 圓錐曲線在約西元前 200 年時就已被命名與研究，其發現者為古希臘的數學家阿波羅尼奧斯，當時阿波羅尼阿斯已對它們的性質做過系統性的研究。 圓錐曲線應用最廣泛的定義為（橢圓，拋物線，雙曲線的統一定義）：動點到一定點（焦點）的距離與其到一定直線（準線）的距離之比為常數（離心率 e）的點的集合是圓錐曲線。對於 0e1 得到橢圓，對於 e1 得到拋物線，對於 e1 得到雙曲線。 定義 設 F 為定點，l 為定直線，e 為正常數，稱滿足 frac PFPle 的動點 P 的軌跡為圓錐曲線。 其中 F 為其焦點，l 為準線，e 為離心率。 由此可知，圓錐曲線的極座標引數方程為 rhoe drhocostheta 或 rhofrac ed1pm ecostheta（正負號由所選焦點與定直線所處的位置不同而引起）。 其中 theta 為 PF 與極軸的夾角，d 為定直線 xd，即準線到焦點的距離。 將引數方程轉換成直角座標方程易得， 當 e1 時，曲線為拋物線。 當 eneq 1 時， 當 0e1 時，曲線為橢圓。 當 e1 時，曲線為雙曲線。 圓錐曲線的型別 圓錐曲線 方程 離心率（e） 半焦距（c） 半正焦弦（ℓ） 焦點準線距離（p） 圓 x2y2a2 0 0 a infty 橢圓 frac x2a2frac y2b21 sqrt 1frac b2a2 sqrt a2b2 frac b2a frac b2sqrt a2b2 拋物線 y24ax 1 2a 2a 雙曲線 frac x2a2frac y2b21 sqrt 1frac b2a2 sqrt a2b2 frac b2a frac b2sqrt a2b2 橢圓，圓：當平面只與圓錐面一側相交，交截線是閉合曲線的時候，且不過圓錐頂點，結果為橢圓。如果截面與圓錐面的對稱軸垂直，結果為圓。 拋物線：截面僅與圓錐面的一條母線平行，結果為拋物線。 雙曲線：截面與圓錐面兩側都相交，且不過圓錐頂點，結果為雙曲線。 在平面透過圓錐的頂點的時候，有一些退化情況。交截線可以是一個直線、一個點、或一對直線。 幾何性質 橢圓（ellipse） 橢圓上的點到兩個焦點的距離和等於長軸長（2a）。 拋物線（Parabola） 拋物線上的點到焦點的距離等於該點到準線的距離。 雙曲線（Hyperbola） 雙曲線上的點到兩個焦點的距離之差的絕對值等於貫軸長（2a）。 離心率 對於橢圓和雙曲線，可以採用兩種焦點 準線組合，每個都給出同樣完整的橢圓或雙曲線。從中心到準線的距離是 ae ，這裡的 a 是橢圓的半長軸，或雙曲線的半實軸。從中心到焦點的距離是 ae 。 在圓的情況下，e0 且準線被假想為離中心無限遠。這時聲稱圓由距離是到 L 的距離的 e 倍的所有點組成是沒有意義的。 圓錐曲線的離心率因此是對它偏離於圓的程度的度量。 對於一個給定的 a ，e 越接近於 1，半短軸就越小。 笛卡爾座標 在笛卡爾座標系內，二元二次方程的影像可以表示圓錐曲線，並且所有圓錐曲線都以這種方式引出。方程有如下形式 Q xy Ax2Bx yCy2DxEyF0 此處引數 A，B 和 C 不得皆等於 0 。 矩陣表示 上述方程可以使用矩陣表示為 left begin matrix x y end matrixright left begin matrix A B2B2 Cend matrixright left begin matrix xyend matrixright left begin matrix D E end matrixright left begin matrix xyend matrixright F 0 亦可以寫作 left begin matrix x y 1end matrixright left begin matrix A B2 D2B2 C E2D2E2Fend matrixright left begin matrix xy1end matrixright 0 這是在射影幾何中使用的齊次形式的一個特例。 參見齊次座標 下文中記 A_3 3 left begin matrix A B2B2 Cend matrixright ，記 A_Q begin bmatrix A B2 D2 B2 C E2 D2 E2 F end bmatrix 。 類別 藉由 A_Q，我們可以判定圓錐曲線是否退化。 若 det A_Q 0，則圓錐曲線 Q 退化。 若 det A_Q neq 0，則圓錐曲線 Q 未退化。 若圓錐曲線未發生退化，則 若 det A_3 3 0 方程表示一個橢圓； 對於橢圓，當 A C det A_Q 0 時，Q 為一個實橢圓；當 A C det A_Q 0 時 Q 為一個虛橢圓。（例如，2x2 y2 10 0 沒有任何實值解，是一個虛橢圓） 特別的，若 AC ，B0 且 D2E24AF0，作為橢圓的特殊情況，Q 表示一個圓。 若 det A_3 3 0 ，Q 表示一條拋物線； 若 det A_3 3 0 ，Q 表示一條雙曲線； 若 AC0 ，Q 表示一條直角雙曲線。 若圓錐曲線發生退化，則 若 det A_3 3 0，作為橢圓的退化，Q 為一個點。 若 det A_3 3 0，作為拋物線的退化，Q 為兩條平行直線。 若 D2E24 AC F，Q 為兩條不重合的平行直線。 若 D2E24 AC F，Q 為兩條重合的平行直線。（特別的，此時 A_Q 的秩為 1） 若 D2E24 AC F，Q 直線不存在與實平面中。 若 det A_3 3 0，作為雙曲線的退化，Q 為兩條相交直線。（同時，也是雙曲線的漸近線） 在此處的表達中，A 和 B 為多項式係數，而非半長軸 A 和半短軸 B。 不變數 矩陣 A_Q、 A_3 3 的行列式，以及 AC（ A_3 3 的跡）在任意的旋轉和座標軸的交換中保持不變。Pettofrezzo Anthony Matrices and Transformations Dover Publ 1966 p 110 常數項 F 以及 D2E2 僅在旋轉中保持不變。 離心率 Q 的離心率可被寫作關於 Q 係數的函式。Ayoub Ayoub B The eccentricity of a conic section The College Mathematics Journal 34 2 March 2003 116121 若 det A_3 3 0 ，Q 為 拋物線，其離心率為 1。其它情況下，假設 Q 表達一個未退化的橢圓或雙曲線，那麼 esqrt frac 2sqrt AC2 B2eta AC sqrt AC2 B2 此處若 det A_Q 為負則 eta1；若 det A_Q 為正則 eta1。 此外，離心率 e 也是下述方程的一個正根 Spain Barry Analytical Conics Dover 2007 originally published 1957 by Pergamon Press Delta e4AC24Delta e2AC24Delta0 此處 Delta det A_3 3 。對於橢圓或拋物線，該方程只有一個正根，即其離心率；對於雙曲線，其有兩個正根，其中的一個為其離心率。 轉換為標準方程 對於橢圓或雙曲線，Q 可用變換後的變數 x y 表示為如下所示的標準形式 Ayoub A B The central conic sections revisited Mathematics Magazine 66 5 1993 322325 frac x2S lambda_12lambda_2frac y2S lambda_1lambda_221 或等價的 frac x2S lambda_1Deltafrac y2S lambda_2Delta1 此處，lambda_1 和 lambda_2 為 A_3 3 的特徵值，也即下述方程的兩根： lambda2AClambda ACB22 0 同時，S det A_Q ，Deltalambda_1lambda_2det A_3 3 。 透過座標變換，各種型別的圓錐曲線都可以表示為其標準形式： 方程式 圓 橢圓 拋物線 雙曲線 標準方程式 x2 y2a2 x2 over a2 y2 over b21 y24ax x2 over a2 y2 over b21 引數方程式 acosthetaasintheta acosthetabsintheta a t22 a t asecthetabtantheta 或 pm acosh ub sinh u 極座標 圓錐曲線的半正焦弦（semilatus rectum）通常指示為 ell，是從單一焦點或兩個焦點中的一個，到圓錐曲線自身的，沿著垂直於主軸（長軸）的直線度量的距離。它有關於半長軸 a，和半短軸 b，透過公式 aellb2 或 ella 1e2 。 在極座標系中，圓錐曲線有一個焦點在原點，如果有另一個焦點的話它在正 x 軸上，給出自方程 r ell over 1 e cos theta ， 或者， frac 1r frac 1ell1 e cos theta， 如上，對於 e0 得到一個圓，對於 0e1 得到橢圓，對於 e1 得到拋物線，對於 e1 得到雙曲線。 齊次座標 在齊次座標下圓錐曲線可以表示為： A_1x2 A_2y2 A_3z2 2B_1xy 2B_2xz 2B_3yz 0 或表示為矩陣： begin bmatrix x y zend bmatrix begin bmatrix A_1 B_1 B_2B_1 A_2 B_3B_2B_3A_3end bmatrix begin bmatrix xyzend bmatrix 0 矩陣 Mbegin bmatrix A_1 B_1 B_2B_1 A_2 B_3B_2B_3A_3end bmatrix 叫做 圓錐曲線矩陣。 Delta det M begin vmatrix A_1 B_1 B_2B_1 A_2 B_3B_2B_3A_3end vmatrix 叫做圓錐曲線的行列式。如果 Delta0 則這個圓錐曲線被稱為退化的，這意味著圓錐曲線是兩個直線的聯合（兩相交直線，兩平行直線或兩重合直線）或一點。。 例如，圓錐曲線 begin bmatrix x y zend bmatrix begin bmatrix 1 0 00 1 0000end bmatrix begin bmatrix xyzend bmatrix 0 退化為兩相交直線： x2 y2 0 xyxy0 xy0 cup xy0。 類似的，圓錐曲線有時退化為兩重合直線（兩直線重合成一條） x22xyy2 0 xy20xy0 cup xy0 xy0。 delta begin vmatrix A_1 B_1B_1 A_2end vmatrix 被稱為圓錐曲線的判別式。如果 delta0 則圓錐曲線是拋物線，如果 delta0 則是雙曲線，如果 delta0 則是橢圓。如果 delta0 且 A_1A_2，圓錐曲線是圓；如果 delta0 且 A_1A_2，它是直角雙曲線。可以證明在複射影平面 mathbb CP2 中，兩個圓錐曲線共有四個點（如果考慮重根），所以永不多於 4 個交點並總有 1 個交點（可能性：4 個不同的交點，2 個單一交點和 1 個雙重交點，2 個雙重交點，1 單一交點和 1 個三重交點，1 個四重交點）。如果存在至少一個重根 1 的交點，則兩個圓錐曲線被稱為相切的。如果只有一個四重交點，兩個圓錐曲線被稱為是共振的。 進一步的，每個直線與每個圓錐曲線相交兩次。如果兩交點是重合成一點，則這個線被稱為切線。因為所有直線交圓錐曲線兩次，每個圓錐曲線有兩個點在無窮遠（與無窮遠線的交點）。如果這些點是實數的，圓錐曲線必定是雙曲線；如果它們是虛共軛，圓錐曲線必定是橢圓，如果圓錐曲線有雙重點在無窮遠，則它是拋物線。如果在無窮遠的點是 1i0 和 1i0，則圓錐曲線是圓。如果圓錐曲線有一個實數點和一個虛數點在無窮遠，或它有兩個不共軛的虛數點，它不是拋物線、不是橢圓、不是雙曲線。 參考文獻 外部連結 Conic sections at Special plane curves Determinants and Conic Section Curves Occurrence of the conics Conics in nature and elsewhere Category 數學概念