在數學中，誤差函式是一個特殊函式，符號 operatorname erf。誤差函式在機率論，統計學以及偏微分方程中都有廣泛的應用。它的定義如下：Andrews Larry C Special functions of mathematics for engineers Greene William H Econometric Analysis fifth edition PrenticeHall 1993 p 926 fn 11 operatorname erfx frac 1sqrtpiint_xx et2 mathrm d tfrac 2sqrt piint_0x et2mathrm dt 分類 互補誤差函式，記為 erfc，在誤差函式的基礎上定義： mbox erfcx 1mbox erfx frac 2sqrt pi int_xinfty et2mathrm dt 虛誤差函式，記為 erfi，定義為： operatorname erfiz ioperatorname erfiz 複誤差函式，記為 w z，也在誤差函式的基礎上定義： w z ez2textrm erfciz 詞源 誤差函式來自測度論，後來與測量誤差無關的其他領域也用到這一函式，但仍然使用誤差函式這一名字。 誤差函式與標準正態分佈的積分累積分佈函式 Phi 的關係為 Phi x frac 12 frac 12 operatorname erf left frac xsqrt 2right 性質 誤差函式是奇函式： operatorname erf z operatorname erf z 對於任何 複數 z operatorname erf overline z overline operatorname erfz 其中 overline z 表示 z 的 複共軛。 複平面上，函式 ƒ exp z2 和 ƒ erf z 如圖所示。粗綠線表示 Im ƒ 0，粗紅線表示 Im ƒ 0， 粗藍線為 Im ƒ 0。細綠線表示 Im ƒ constant，細紅線表示 Re ƒ constant0，細藍線表示 Re ƒ constant0。 在實軸上， z 時，erf z 趨於 1，z 時，erf z 趨於1 。在虛軸上， erf z 趨於 i。 泰勒級數 誤差函式是整函式，沒有奇點（無窮遠處除外），泰勒展開收斂。 誤差函式泰勒級數： operatorname erfz frac 2sqrt pisum_n0infinfrac 1n z2n1n 2n1 frac 2sqrt pi left zfrac z33frac z510frac z742frac z9216 cdotsright 對每個複數 z 均成立。 上式可以用迭代形式表示： operatorname erfz frac 2sqrt pisum_n0infinleft z prod_k1n frac 2k1 z2k 2k1right frac 2sqrt pi sum_n0infin frac z2n1 prod_k1n frac z2k 誤差函式的導數： frac rm drm d zmathrm erfzfrac 2sqrt piez2 誤差函式的 不定積分為： zoperatorname erfz frac ez2sqrt pi 逆函式 逆誤差函式 可由 麥克勞林級數表示： operatorname erf1zsum_k0infinfrac c_k2k1left frac sqrt pi2 zright 2k1 其中， c0 1 ， c_ksum_m0k1frac c_m c_k1mm12m1 left11frac 76frac 12790frac 43692520ldotsright 即： operatorname erf1ztfrac 12sqrt pileft zfrac pi12 z3frac 7pi2480 z5frac 127pi340320 z7frac 4369pi45806080 z9frac 34807pi5182476800 z11cdotsright 逆互補誤差函式定義為： operatorname erfc11z operatorname erf1z 漸近展開 互補誤差函式的漸近展開， mathrm erfcx frac ex2xsqrt pileft 1sum_n1infty 1n frac 1cdot3cdot5cdots 2n12x2nright frac ex2xsqrt pisum_n0infty 1n frac 2n12x2n 其中 2n 1 為 雙階乘，x 為實數，該級數對有限 x 發散。對於 NinN ，有 mathrm erfcx frac ex2xsqrt pisum_n0N1 1n frac 2n12x2n R_N x 其中餘項用以 大 O 符號表示為 R_N xO x2N1 ex2 as xtoinfty 餘項的精確形式為： R_N x frac 1Nsqrt pi 22N1frac 2NNint_xinfty t2N et2mathrm dt 對於比較大的 x 只需漸近展開中開始的幾項就可以得到 erfc x 很好的近似值。 連分式展開 互補誤差函式的連分式展開形式： mathrm erfcz frac zsqrt pi ez2 cfrac a_1z2 cfrac a_21 cfrac a_3z2 cfrac a_41dotsb qquad a_1 1quad a_m frac m12quad m geq 2 初等函式近似表示式 operatorname erfxapprox 1frac 11a_1xa_2x2a_3x3a_4x44 最大誤差： 5104 其中， a1 0278393 a2 0230389 a3 0000972 a4 0078108 operatorname erfxapprox 1a_1ta_2t2a_3t3 ex2quad tfrac 11px 最大誤差：25105 其中， p 047047 a1 03480242 a2 00958798 a3 07478556 operatorname erfxapprox 1frac 11a_1xa_2x2cdotsa_6x616 最大誤差： 3107 其中， a1 00705230784 a2 00422820123 a3 00092705272 a4 00001520143 a5 00002765672 a6 00000430638 operatorname erfxapprox 1a_1ta_2t2cdotsa_5t5 ex2quad tfrac 11px 最大誤差： 15107 其中， p 03275911 a1 0254829592 a2 0284496736 a3 1421413741 a4 1453152027 a5 1061405429 以上所有近似式適用範圍是： x 0 對於負的 x 誤差函式是奇函式這一性質得到誤差函式的值， erf x erf x 另有近似式： operatorname erfxapprox sgn x sqrt 1expleft x2frac 4piax21ax2right 其中， a frac 8 pi33pi 4pi approx 0140012 該近似式在 0 或無窮的鄰域非常準確，x 整個定義域上，近似式最大誤差小於 000035，取 a 0147 ，最大誤差可減小到 000012。 逆誤差函式近似式 operatorname erf1xapprox sgn x sqrt sqrt left frac 2pi afrac ln 1x22right2 frac ln 1x2a left frac 2pi afrac ln 1x22right 數值近似 下式在整個定義域上，最大誤差可低至 12cdot107：Numerical Recipes in Fortran 77 The Art of Scientific Computing ISBN 9780521430647 1992 page 214 Cambridge University Press operatorname erfxbegin cases 1tau mathrm for xge 0 tau1 mathrm for x 0 end cases 其中， begin arrayrcl tau tcdotexpleft x2126551223100002368cdot t037409196cdot t2009678418cdot t3right qquad018628806cdot t4027886807cdot t5113520398cdot t6148851587cdot t7 qquadleft082215223cdot t8017087277cdot t9right end array tfrac 1105x 與其他函式的關係 誤差函式本質上與標準正態累積分佈函式 Phi 是等價的， Phi x frac 1sqrt 2piint_inftyx etfrac t22mathrm dt frac 12left 1operatorname erfleft frac xsqrt 2rightrightfrac 12operatorname erfcleft frac xsqrt 2right 可整理為如下形式： begin align mathrm erfx 2 Phi left x sqrt 2 right 1 mathrm erfcx 2 Phi left x sqrt 2 right 2left 1Phi left x sqrt 2 rightright end align Phi 的逆函式為正態分位函式，即函式， operatorname probitp Phi1p sqrt 2operatorname erf12p1 sqrt 2operatorname erfc12p 誤差函式為標準正態分佈的尾機率的關係為， Q x frac 12 frac 12 operatorname erf left frac xsqrt 2 rightfrac 12operatorname erfcleft frac xsqrt 2right 誤差函式是米塔 列夫勒函式的特例，可以表示為合流超幾何函式， mathrm erfx frac 2xsqrt pi_1F_1left tfrac12tfrac32x2right 誤差函式用正則 Γ 函式 P 和 不完全 Γ 函式表示為 operatorname erfxoperatorname sgnx Pleft tfrac12 x2rightoperatorname sgnx over sqrt pigammaleft tfrac12 x2right scriptstyleoperatorname sgnx 為 符號函式 廣義誤差函式 廣義誤差函式為： E_n x frac nsqrt pi int_0x etnmathrm dt frac nsqrt pisum_p0infin 1pfrac xnp1np1 p 其中，E0 x 為透過原點的直線， scriptstyle E_0 xfrac xe sqrt pi。E2 x 即為誤差函式 erf x。 x 0 時，廣義誤差函式可以用 Γ 函式和 不完全 Γ 函式表示， E_n x frac Gamma nleft Gammaleft frac 1nrightGammaleft frac 1nxnrightrightsqrtpi quad quad x0 因此，誤差函式可以用不完全 Γ 函式表示為： operatorname erfx 1 frac Gammaleft frac 12x2rightsqrtpi 互補誤差函式的迭代積分 互補誤差函式的迭代積分定義為： mathrm in operatorname erfc z int_zinfty mathrm in1 operatorname erfc zetamathrm d zeta 可以展開成冪級數： mathrm in operatorname erfc z sum_j0infty frac zj2nj j Gamma left 1 frac nj2right 滿足如下對稱性質： mathrm i2m operatorname erfc z mathrm i2m operatorname erfc z sum_q0m frac z2q22 mq12q mq 和 mathrm i2m1 operatorname erfc z mathrm i2m1 operatorname erfc z sum_q0m frac z2q122 mq12q1 mq 函式表 x erf x erfc x x erf x erfc x 000 00000000 10000000 130 09340079 00659921 005 00563720 09436280 140 09522851 00477149 010 01124629 08875371 150 09661051 00338949 015 01679960 08320040 160 09763484 00236516 020 02227026 07772974 170 09837905 00162095 025 02763264 07236736 180 09890905 00109095 030 03286268 06713732 190 09927904 00072096 035 03793821 06206179 200 09953223 00046777 040 04283924 05716076 210 09970205 00029795 045 04754817 05245183 220 09981372 00018628 050 05204999 04795001 230 09988568 00011432 055 05633234 04366766 240 09993115 00006885 060 06038561 03961439 250 09995930 00004070 065 06420293 03579707 260 09997640 00002360 070 06778012 03221988 270 09998657 00001343 075 07111556 02888444 280 09999250 00000750 080 07421010 02578990 290 09999589 00000411 085 07706681 02293319 300 09999779 00000221 090 07969082 02030918 310 09999884 00000116 095 08208908 01791092 320 09999940 00000060 100 08427008 01572992 330 09999969 00000031 110 08802051 01197949 340 09999985 00000015 120 09103140 00896860 350 09999993 00000007 x erfc x2 1 786496e2 2 233887e3 3 110452e5 4 770863e9 5 76873e13 6 107599e17 7 209191e23 8 561215e30 9 206852e37 10 104424e45 11 720433e55 12 678131e65 13 869779e76 14 151861e87 15 36065e100 16 116424e113 17 510614e128 18 304118e143 19 245886e159 20 269793e176 21 401623e194 22 810953e213 23 222063e232 24 824491e253 25 415009e274 26 28316e296 27 261855e319 註釋 參見 古德溫 斯塔頓積分 參考文獻 外部連結 MathWorld Erf E E E