阿貝爾群（Abelian group）也稱為交換群（commutative group）或可交換群，它是滿足其元素的運算不依賴於它們的次序（交換律公理）的群。阿貝爾群推廣了整數集合的加法運算。阿貝爾群以挪威數學家尼爾斯阿貝爾命名。 阿貝爾群的概念是抽象代數的基本概念之一。其基本研究物件是模和向量空間。阿貝爾群的理論比其他非阿貝爾群簡單。有限阿貝爾群已經被較為徹底地研究了。無限阿貝爾群理論則是目前正在研究的領域。 定義 群 A circ 對於所有的 abin A，都滿足 a circ b b circ a （交換律）的話，稱 A circ 為阿貝爾群或交換群，反之被稱為「非阿貝爾群」或「非交換群」。 符號 群有兩種主要表示運算的符號 加法和乘法。 運算 表示法 單位元 冪 逆元 加法運算 x y 0 nx x 乘法運算 x cdot y 或 xy 1 xn x1 乘法符號是群的常用符號，而加法符號是模的常用符號。當同時考慮阿貝爾群和非阿貝爾群時，加法符號還可以用來強調阿貝爾群是特定群。 乘法表 驗證有限群是阿貝爾群，可以構造類似乘法表的一種表格（或說矩陣），稱為凱萊表。如果群 G g_1 e g_2 dots g_n 在運算 cdot 下，則這個表的 i j 元素即是 g_i cdot g_j。群是阿貝爾群若且唯若這個表是關於主對角線是對稱的（或說這個矩陣是對稱矩陣）。這是因為對於阿貝爾群，g_i cdot g_j g_j cdot g_i，即表格中的 i j 元素等於 j i 元素。如下表所示： e cdots g_j cdots e e vdots g_i g_i cdot g_j vdots 例子 整數集與加法運算構成阿貝爾群，記為 mathbb Z 。兩個整數相加仍是整數，且加法有結合律。0 是加法單位元，所有整數 n 都有加法逆元 n。加法運算有交換律，因為對於任意兩個整數 mn 都有 m n n m。 所有迴圈群 Glangle g rangle 都是阿貝爾群。如果 xyin G ，則 xy gm gn gmn gngm yx。因此整數集 mathbb Z 形成了在加法下的阿貝爾群，整數模 n mathbb Zn mathbb Z 也是。 所有環都是關於它的加法運算的阿貝爾群。在交換環中的可逆元形成了阿貝爾乘法群。特別是實數集是在加法下的阿貝爾群，非零實數集在乘法下是阿貝爾群。 所有阿貝爾群的子群都是正規子群，所以每個子群都引發商群。阿貝爾群的子群、商群和直和也是阿貝爾群。 矩陣即使是可逆矩陣，一般不形成在乘法下的阿貝爾群，因為矩陣乘法一般是不可交換的。但是某些矩陣的群是在矩陣乘法下的阿貝爾群 一個例子是 2 times 2 旋轉矩陣的群。 歷史注記 阿貝爾群是 Camille Jordan 以挪威數學家尼爾斯阿貝爾命名的，他首先察覺到了阿貝爾首先發表的這種群與根式可解性的聯絡的重要性。 性質 如果 n 是自然數而 x 是阿貝爾群 G 的一個元素，則 nx 可以定義為 x x cdots x（n 個數相加）並且 n x nx。以這種方式，G 變成在整數的環 mathbb Z 上的模。事實上，在 mathbb Z 上的模都可以被識別為阿貝爾群。 關於阿貝爾群（比如在主理想整環 mathbb Z 上的模）的定理經常可以推廣到在任意主理想整環上的模。典型的例子是有限生成阿貝爾群的分類是在主理想整環上的有限生成模的結構定理的特殊情況。在有限生成阿貝爾群的情況下，這個定理保證阿貝爾群可以分解為撓群和自由阿貝爾群的直和。前者可以被寫為形如 mathbb Zpkmathbb Z 對於素數 p 的有限多個群的直和，而後者是有限多個 mathbb Z 的復本的直和。 如果 f g G to H 是在阿貝爾群之間的兩個群同態，則它們的和 f g，定義為 f gx f x g x，也是阿貝爾同態。（如果 H 是非阿貝爾群則這就不成立。）所有從 G 到 H 的群同態的集合 text HomGH 因此是自身方式下的阿貝爾群。 某種程度上類似於向量空間的維度，所有阿貝爾群都有秩。它定義為群的線性無關元素的最大集合的勢。整數集和有理數集和所有的有理數集的子群都有秩 1。 阿貝爾群的所有子群都是正規子群，但反之不成立 四元群 Q_8 就是一個例子 它不是一個交換群，但它的所有子群都是正規子群。所有子群都是正規子群的群叫做戴德金群。 有限阿貝爾群 整數模以 n 的迴圈群 mathbb Znmathbb Z 是最常見的群的例子。已證實了任意有限阿貝爾群都同構於素數階的有限迴圈群的直和，並且這些階數是唯一確定的，形成了一個不變數（invariant）的完備系統。有限阿貝爾群的自同構群可以依據這些不變數來直接描述。有關理論最初發展自費迪南德格奧爾格弗羅貝尼烏斯和在 1879 年的論文，後來被簡化和推廣到在主理想整環上的有限生成模，形成了線性代數的一個重要組成部分。 分類 有限阿貝爾群的基本定理聲稱所有有限阿貝爾群 G 都可以表達為質數冪階的迴圈子群的直和。這是有限生成阿貝爾群的基本定理在 G 有零秩時的特殊情況。 mn 階的迴圈群 mathbb Z_mn 同構於 mathbb Z_m 與 mathbb Z_n 的直和，當且僅當 m 與 n 是互素的。可推出任何有限阿貝爾群 G 同構於如下形式的直和 mathbb Z_k_1 oplus cdots oplus mathbb Z_k_u 以任何下列規範方式： 數 k_1 k_2 dots k_u 是素數的冪 k_1 整除 k_2，它又整除 k_3，如此直到 k_u。 例如，mathbb Z_15 可以被表達為 3 階和 5 階的兩個迴圈群的直和：mathbb Z_15 cong 0510 oplus 036912。對於任何 15 階的阿貝爾群這也成立，導致了所有 15 階阿貝爾群都是同構的顯著結論。 另一個例子，所有 8 階段阿貝爾群都同構於要麼 mathbb Z_8 整數 0 到 7 在模 8 加法下，mathbb Z_4oplus mathbb Z_2（奇數 1 到 15 在模 16 乘法下），要麼 mathbb Z_2oplus mathbb Z_2 oplus mathbb Z_2。 小於等於 16 階的有限阿貝爾群可參見小群列表。 自同構 可以應用基本定理去計數（有時確定）給定有限阿貝爾群 G 的自同構。要這麼做，可利用如果 G 分解為互素階的子群的直和 Hoplus K，則 operatorname AutHoplus K cong operatorname AutHoplus operatorname AutK 的事實。 基本定理證明瞭要計算 G 的自同構群，分別計算西羅 p 子群的自同構群就足夠了（也就是所有的迴圈子群的直和，每個都有 p 的冪的階）。固定一個素數 p 並假設西羅 p 子群的迴圈因子的指數 e_i 是按遞增次序安排的： e_1leq e_2 leqcdotsleq e_n 對於某個 n 0。需要找到 mathbf Z_pe_1 oplus cdots oplus mathbf Z_pe_n 的自同構。一個特殊情況是在 n1 的時候，此時在西羅 p 子群 P 中只有唯一一個迴圈素數冪因子。在這個情況下可以使用有限迴圈群的自同構的理論。另一個特殊情況是在 n 為任意的但 e_i 1 對於 1 le i le n 的時候。這裡考慮 P 為有著形式 mathbf Z_p oplus cdots oplus mathbf Z_p 所以這個子群的元素可以被看作構成了在 p 元素的有限域 mathbb F_p 上的 n 維向量空間。這個子群的自同構因此給出為可逆線性變換，因此 mathrm AutPcongmathrm GLnmathbb F_p 它早先證明瞭有階 leftoperatorname AutPrightpn1cdots pnpn1 在最一般情況下，這裡的 e_i 和 n 是任意的，自同構群更難於確定。但是已經知道了如果定義 d_kmaxrmid e_r e_k 並且 c_kminrmid e_re_k 則有著特別的 k le d_k，c_k le k，並且 leftoperatorname AutPright prod_k1n pd_kpk1 prod_j1n pe_jnd_j prod_i1n pe_i1nc_i1 。 可以檢查這會生成作為特殊情況的前面例子的階（參見 Hillar Rhea）。 參見 類域論 交換子群 初等阿貝爾群 有限生成阿貝爾群 自由阿貝爾群 龐特里亞金對偶性 秩 1 無撓阿貝爾群 注釋 引用 Fuchs László（1970）Infinite abelian groups Vol I Pure and Applied Mathematics Vol 36 New YorkLondon Academic Press xi290 pp （1973）Infinite abelian groups Vol II Pure and Applied Mathematics Vol 36II New YorkLondon Academic Press ix363 pp Hillar Christopher and Rhea Darren 2007 Automorphisms of finite abelian groups Amer Math Monthly 114 no 10 917923 Szmielew Wanda 1955 Elementary properties of abelian groups Fundamenta Mathematica 41 20371 Category 群的性質 Category 尼爾斯阿貝爾