三角函式是數學很常見的一類關於角度的函式。三角函式將直角三角形的內角和它的兩邊的比值相關聯，亦可以用單位圓的各種有關線段的長的等價來定義。三角函式在研究三角形和圓形等幾何形狀的性質時有著重要的作用，亦是研究振動、波、天體運動和各種週期性現象的基礎數學工具。在數學分析上，三角函式亦定義為無窮級數或特定微分方程的解，允許它們的取值擴充套件到任意實數值，甚至是複數值。 常見的三角函式有正弦函式（sin）、餘弦函式（cos）和正切函式（tan 或 operatorname tg 或 operatorname tang）；在航海學、測繪學和工程學等其他學科中還會用到例如餘切函式（cot 或 operatorname ctg）、正割函式（sec）、餘割函式（csc）、正矢函式和半正矢函式等其它三角函式。不同的三角函式之間的關係可以幾何直觀或計算得出，稱為三角恆等式。 三角函式一般用於計算三角形中的未知長度的邊和未知的角度，在導航、工程學和物理學方面都有廣泛的用途。另外，以三角函式為模版，可以定義一類相似的函式，叫做雙曲函式。常見的雙曲函式也稱雙曲正弦函式、雙曲餘弦函式等。 歷史 三角函式的早期研究可以追溯到古代。例如古埃及數學家在鑑別尼羅河泛濫後的土地邊界、保持金字塔每邊斜度相同，都使用了三角術，只是他們可能還沒有對這種方式定名而已。古希臘三角術的奠基人是公元前 2 世紀的喜帕恰斯。他按照古巴比倫人的做法，將圓周分為 360 等份（即圓周的弧度為 360 度，與現代的弧度制不同）。對於指定弧度，他給出了對應的弦的長度數值，這記法和現代的正弦函式等價。喜帕恰斯實際上給出了最早的三角函式數值表。然而古希臘的三角學基本是球面三角學。這與古希臘人研究的主體是天文學有關。梅涅勞斯在他的著作《球面學》中使用了正弦來描述球面的梅涅勞斯定理。古希臘三角學與其天文學的應用在埃及的托勒密時代達到了高峰，托勒密在《數學彙編》中計算了 36 度角和 72 度角的正弦值，還給出了計算和角公式和半形公式的方法。托勒密還給出了所有 0 到 180 度的所有整數和半整數弧度對應的正弦值。 希臘文化傳播到古印度後，印度人繼續研究了三角術。公元 5 世紀末的數學家阿耶波多提出用弧對應的弦長的一半來對應半弧的正弦，後來古印度數學家亦用了這做法，和現代的正弦定義一致。阿耶波多的計算中也使用了餘弦和正割。他在計算弦長時使用了不同的單位，重新計算了 0 到 90 度中間隔三又四分之三度（375）的三角函式值表。然而古印度的數學與當時的中國一樣，停留在計算方面，缺乏系統的定義和演繹的證明。阿拉伯人也採用了古印度人的正弦定義，但他們的三角學是直接繼承於古希臘。阿拉伯天文學家引入了正切和餘切、正割和餘割的概念，並計算了間隔 10 分（10）的正弦和正切數值表。到了公元 14 世紀，阿拉伯人將三角計算重新以算術方式代數化（古希臘人採用的是建立在幾何上的推導方式）的努力為後來三角學從天文學中獨立出來，成為了有更廣泛應用的學科奠定了基礎。 進入 15 世紀後，阿拉伯數學文化開始傳入歐洲。隨著歐洲商業興盛起來，航行、曆法測定和地理測繪中出現了對三角學的需求。在翻譯阿拉伯數學著作的同時，歐洲數學家開始製作更詳細精確的三角函式值表。哥白尼的學生製作了間隔 10 秒（10）的正弦表，有 9 位精確值。瑞提克斯還改變了正弦的定義，原來稱弧對應的弦長是正弦，瑞提克斯則將角度對應的弦長稱為正弦。16 世紀後，數學家開始將古希臘有關球面三角的結果和定理轉化為平面三角定理。弗朗索瓦韋達給出了托勒密的不少結果對應的平面三角形式。他還嘗試計算了多倍角正弦的表達方式。 18 世紀開始引進解析幾何等分析學工具，數學家開始用分析學研究三角函式。牛頓在 1669 年的《分析學》一書中給出了正弦和餘弦函式的無窮級數表示。將牛頓的結果告訴詹姆斯格列高裡，後者進一步給出了正切等三角函式的無窮級數。萊布尼茲在 1673 年左右也獨立得到這結果。尤拉的《無窮小量分析引論》（，1748 年）對建立三角函式的分析處理做了最主要的貢獻，他定義三角函式為無窮級數，並表述了尤拉公式，還有使用接近現代的簡寫、、、、和。 1631 年徐光啟與鄧玉函、湯若望合撰《大測》首次將三角函式引入中國並確立了正弦、餘弦等譯名。 幾何定義 以直角三角形來定義 直角三角形只有銳角（大小在 0 至 90 度之間的角）三角函式的定義。指定銳角 theta 可做出直角三角形，使一個內角為 theta，對應股（對邊 a）、勾（鄰邊 b）和絃（斜邊 h）： theta 的正弦是對邊與斜邊的比值：sin thetafrac ah theta 的餘弦是鄰邊與斜邊的比值：cos thetafrac bh theta 的正切是對邊與鄰邊的比值：tan thetafrac ab theta 的餘切是鄰邊與對邊的比值：cot thetafrac ba theta 的正割是斜邊與鄰邊的比值：sec thetafrac hb theta 的餘割是斜邊與對邊的比值：csc thetafrac ha 以直角座標系來定義 假設 P xy 是平面直角座標系 xOy 中的一點，theta 是橫軸正向 vec Ox 逆時針旋轉到 vec OP 方向所形成的一個角，r sqrt x2 y20 是 P 到原點 O 的距離，則 theta 的六種三角函式定義為： 正弦 餘弦 正切 餘切 正割 餘割 sin theta frac yr cos theta frac xr tan theta frac yx cot theta frac xy sec theta frac rx csc theta frac ry 這樣可以定義任何角度的三角函式（除非當定義式無意義時）。大於 360 或小於 360 的角度可認為是轉了（逆時針／順時針）不止一圈。而多轉或少轉了整數圈不會影響三角函式的取值。如果按弧度制方式記錄角度，將弧長作為三角函式的輸入值（360 等於 2pi），那麼三角函式就是取值為全體實數 R，最小正週期（基本週期）為 2pi 的週期函式，如 sintheta sinleft theta 2pi k right quad forall theta in mathbb R k in mathbb Z costheta cosleft theta 2pi k right quad forall theta in mathbb R k in mathbb Z 正弦、餘弦、正割或餘割的基本週期是 2pi 弧度或 360；正切或餘切的基本週期是 pi 弧度或 180。 單位圓定義 三角函式亦可以根據直角座標系 xOy 中半徑為 1，以圓心為原點 O 的單位圓來定義。指定一角 theta，假設 A 10 為起始點，如果 theta0 則將 OA 以逆時針方向轉動，如果 theta0 則以順時針方向移動，直到轉過的角度等於 theta 為止。假設最終點轉到的位置為 P xy，那麼 thumbright240px 用單位圓定義三角函式 正弦 餘弦 正切 餘切 正割 餘割 sin theta y cos theta x tan theta frac yx cot theta frac xy sec theta frac 1x csc theta frac 1y 基本性質 從幾何定義中能推匯出很多三角函式的性質。例如正弦函式、正切函式、餘切函式和餘割函式是奇函式，餘弦函式和正割函式是偶函式。正弦和餘弦函式的影像形狀一樣（見右圖），可以看作是沿著座標橫軸平移得到的兩組函式。正弦和餘弦函式關於 xfrac pi4 軸對稱。正切函式和餘切函式、正割函式和餘割函式也分別如此。 三角恆等式 不同的三角函式之間有很多對任意的角度取值都成立的等式，稱為三角恆等式。最著名的是畢達哥拉斯恆等式，它說明對於任何角，正弦的平方加上餘弦的平方必定會是 1。這能從斜邊為 1 的直角三角形應用勾股定理來得出。利用符號形式表示的話，畢達哥拉斯恆等式為 sin2 x cos2 x 1。 因此可以推匯出 tan2 x 1 sec2 x。 1 cot2 x csc2 x。 另一個關鍵聯絡是和差公式，它能根據兩個角度自身的正弦和餘弦而給出它們的和與差的正弦和餘弦。它們可以利用幾何的方法使用托勒密的論證方法來推匯出來；還可以利用代數方法使用尤拉公式來檢定。 sin left xyrightsin x cos y cos x sin y cos left xyrightcos x cos y sin x sin y tan left xyrightfrac tan xtan y1tan x tan y sin left xyrightsin x cos y cos x sin y cos left xyrightcos x cos y sin x sin y tan left xyrightfrac tan xtan y1tan x tan y 當兩角相同，和角公式簡化為更簡單的等式，稱為二倍角公式（或倍角公式）： sin 2x 2sin x cos x cos 2x cos2 x sin2 x tan 2x frac 2tan x1tan2 x 這些等式還可以用來推導積化和差恆等式，以前曾經利用它把兩數的積變換成兩數的和而像對數那樣使運算更快。（用制好的三角函式表） 還有半形公式： sin frac x2 pm sqrt frac 1cos x2 cos frac x2 pm sqrt frac 1cos x2 tan frac x2 pm sqrt frac 1cos x1cos x frac 1cos xsin x frac sin x1cos x 微積分 三角函式的積分和導數可參見導數表、積分表和三角函式積分表。以下是六種基本三角函式的導數和積分。 函式 sin x cos x tan x cot x sec x csc x 導數 cos x sec2 x sec xtan x csc xcot x 反導數（不計常數項） sin x sin xright sec x tan xright csc x cot xright 分析學定義 級數定義 在幾何學中，三角函式的定義建立在幾何直觀上，只用幾何和極限的性質就可以直接得知正弦和餘弦的導數。在分析學中，三角函式是解析函式，數學家利用泰勒級數給出了不依賴幾何直觀的代數定義 Ahlfors pages 4344： sin x sum_n0infty frac 1nx2n12n1 x frac x33 frac x55 frac x77 cdots cos x sum_n0infty frac 1nx2n2n 1 frac x22 frac x44 frac x66 cdots 可以證明以上的無窮級數對任意實數 x 都是收斂的，所以很好地定義了正弦和餘弦函式。 三角函式的級數定義經常用作嚴格處理三角函式和起點應用（比如，在傅立葉級數中），因為無窮級數的理論可以從實數系的基礎發展而來，不需要任何幾何方面的考慮。這樣，這些函式的可微性和連續性便可以單獨從級數定義來確立。 其他三角函式的級數定義：Abramowitz Weisstein tan x sum_n1 infty frac 1 n1 2 2n 2 2n 1 B_2n x 2n 1 2n x frac x33 frac 2 x515 frac 17 x7315 cdots left x frac pi 2right csc x sum_n0infty frac 1n 1 2 22n 1 1 B_2n x2n 1 2n frac 1 x frac x 6 frac 7 x3 360 frac 31 x5 15120 cdots 0 x pi sec x sum_n0infty frac 1n E_n x2n2n 1 frac x2 2 frac 5 x4 24 frac 61 x6 720 cdots left x frac pi 2right cot x sum_n0infty frac 1n 22n B_2n x2n12n frac 1 x frac x3 frac x3 45 frac 2 x5 945 cdots 0 x pi 其中 B_n 是伯努利數，E_n 是尤拉數。 這些定義也可以看作是每個三角函式作為實函式的泰勒級數。從複分析的一條定理得出，這實函式到複數有唯一的解析擴充套件。它們有同樣的泰勒級數，複數的三角函式是使用上述級數來定義。 與指數函式和複數的關系 可以從上述的級數定義證明正弦和餘弦函式分別是復指數函式在它的自變數為純虛數時候的虛數和實數部分： emathrm itheta costheta mathrm isintheta 。（是虛數單位） 尤拉首先注意到這關係式，因此叫做尤拉公式。從中可推出，對實數， cos x operatorname Re left emathrm i xright qquad quad sin x operatorname Im left emathrm i xright 進一步還可定義對複自變數的三角函式： sin z sum_n0inftyfrac 1n2n1 z2n1 emathrm i z emathrm i z over 2 mathrm i mathrm isinh left mathrm i zright cos z sum_n0inftyfrac 1n2n z2n emathrm i z emathrm i z over 2 cosh left mathrm i zright sin abmathrm i sin a cosh b cos a sinh bmathrm i cos abmathrm i cos a cosh b sin a sinh bmathrm i tan abmathrm i frac tan a tanh bmathrm i1 tan a tanh bmathrm i （其中 sinh、cosh、tanh 為雙曲函式，其馬勞克林級數與對應的三角函式很類似，只差在正負號） 複平面中的三角函式（亮度表示函式值的絕對值，色相表示函式值的主輻角） sin z cos z tan z cot z sec z csc z 較少見的三角函式 除了上述六種基本函式，史上還有下列幾種較少見的三角函式： 弦函式（mathrm crd theta）：早期的三角函式表紀錄的是弦的全長（如托勒密全弦表），對應的三角函式為 crd 函式。不過今日此函式已被正弦函式取代，已經鮮少使用。 正矢（mathrm versin theta）、餘矢系列函式，與其半值函式（如半正矢系列函式）：早期導航術中很重要的三角函式之一，因半正矢公式出名。不過其定義和基本三角函式高度相關，因此在 zhcn 計算機；zhhk 計算機；zhtw 電腦；zhsg 電腦； 和 zhcn 計算器；zhtw 計算機；zhhk 計數機； 普及後這個函式已經幾乎沒再使用。 外正割（mathrm exsec theta）和外餘割（mathrm excsc theta）：由於正割和餘割部分的數值十分接近一，因此運算時很容易出現災難性抵消或數值誤差，因此出現了外正割和外餘割的函式與函式表來解決這類問題。不過這類問題在 zhcn 計算機；zhhk 計算機；zhtw 電腦；zhsg 電腦； 和 zhcn 計算器；zhtw 計算機；zhhk 計數機； 普及後逐漸消失，因此這個函式已經幾乎沒再使用。 正矢 mathrm versin theta1cos theta 半正矢 mathrm haversinthetafrac 1costheta2 餘的正矢 mathrm vercosin theta1costheta 餘的半正矢 mathrm havercosinthetafrac 1costheta2 餘矢 mathrm coversin theta1sintheta 半餘矢 mathrm hacoversinthetafrac 1sintheta2 餘的餘矢 mathrm covercosin theta1sintheta 餘的半餘矢 mathrm hacovercosinthetafrac 1sintheta2 外正割 mathrm exsec thetasectheta1 外餘割 mathrm excsc thetacsctheta1 弦函式 mathrm crd theta 2sinleft frac theta2right 微分方程定義 三角函式在物理學是研究振動和波不可或缺的工具，如簡諧振動滿足以下微分方程，正弦和餘弦函式都滿足 y y 0 就是說，它們加上自己的二階導數都等於 0 函式。在由所有這條方程的解的二維向量空間 V 中，正弦函式是滿足初始條件 y 0 0 和 y0 1 的唯一解，而餘弦函式是滿足初始條件 y 0 1 和 y0 0 的唯一解。因為正弦和餘弦函式是線性無關的，它們在一起形成了 V 的基。這種定義正弦和餘弦函式的方法本質上等價於使用尤拉公式。（參見線性微分方程）。很明顯這條微分方程不只用來定義正弦和餘弦函式，還可用來證明正弦和餘弦函式的三角恆等式。進一步的，觀察到正弦和餘弦函式滿足 yy ，這意味著它們是二階導數運算元的特徵函式。 正切函式是非線性微分方程 y1y2 滿足初始條件 y 0 0 的唯一解。有個非常有趣的形象證明證明了正切函式滿足這微分方程，參見的 Visual Complex Analysis。Needham p ix 弧度的重要性 弧度透過測量沿著單位圓的路徑的長度而指定一角，並構成正弦和餘弦函式的特定輻角。特別是，只有對映弧度到比率的那些正弦和餘弦函式才滿足描述它們的經典微分方程。如果正弦和餘弦函式的弧度輻角是正比於頻率的 f x sin kx k ne 0 k ne 1 則導數將正比於 振幅。 fx kcos kx 。 這裡的 k 是表示在單位之間對映的常數。如果 x 是度，則 k frac pi180circ。 如果 x 是圈（轉，2pi 弧度，360 度），則 k 2pi 這意味著使用度（或圈）的正弦的二階導數不滿足微分方程 y y ， 但滿足 y k2y ； 對餘弦也是類似的。 這意味著這些正弦和餘弦是不同的函式，因此只有它的輻角是弧度的條件下，正弦的四階導數才再次是正弦。因為凡是作為函式意義上的正弦、餘弦、正切，都只用弧度定義，而不用 360 度的角度定義。 利用函式方程定義三角函式 在數學分析中，可以利用基於和差公式這樣的性質的函式方程來定義三角函式。例如，取用給定此種公式和畢達哥拉斯恆等式，可以證明只有兩個實函式滿足這些條件。即存在唯一的一對實函式 sin 和 cos 使得對於所有實數 x 和 y，下列方程成立： sin2x cos2x 1 sin xy sinxcosy cosxsiny cos xy cosxcosy sinxsiny 並滿足附加條件 0 xcosx sinx x mathrm forqquad 0 x 1。 從其他函式方程開始的推導也有可能，這種推導可以擴充套件到複數。作為例子，這推導可以用來定義伽羅瓦域中的三角學。 計算 計算三角函式是一個十分複雜的主題，由於 zhcn 計算機；zhhk 計算機；zhtw 電腦；zhsg 電腦； 和提供對任何角度的內建三角函式的科學計算器的廣泛使用，現在大多數人都不再需要了。本節中將描述它在三個重要背景下的計算詳情：歷史上三角函式表的使用、zhcn 計算機；zhhk 計算機；zhtw 電腦；zhsg 電腦； 使用的現代技術以及容易找到簡單精確值的一些 重要 角度。（下面只考慮一個角度小範圍，比如 0 到 frac pi2，因為三角函式的週期性和對稱性，所有其他角度可以化簡到這範圍內。） 在 zhcn 計算機；zhhk 計算機；zhtw 電腦；zhsg 電腦； 誕生前，人們通常透過對計算到多個有效數字的三角函式表的內插來計算三角函式的值。這種表格在人們剛剛產生三角函式的概念的時候就已經有了，它們通常是透過從已知值（比如 sin frac pi21）開始並重復應用半形和和差公式而生成。 現代 zhcn 計算機；zhhk 計算機；zhtw 電腦；zhsg 電腦； 使用了各種技術。Kantabutra 一個常見的方式，特別是在有浮點單元的高階處理器上，是組合多項式或有理式逼近（比如切比雪夫逼近、最佳一致逼近和 Padé 逼近，和典型用於更高或可變精度的泰勒級數和羅朗級數）和範圍簡約與表查詢 首先在一個較小的表中查詢最接近的角度，然後使用多項式來計算修正。However doing that while maintaining precision is nontrivial and methods like Gals accurate tables Cody and Waite reduction and Payne and Hanek reduction algorithms can be used 在缺乏 zhcn 硬體；zhtw 硬體；zhhk 硬體 乘法器的簡單裝置上，有叫做 CORDIC 演算法的一個更有效演算法（和相關技術），因為它只用了移位和加法。出於效能的原因，所有這些方法通常都用 zhcn 硬體；zhtw 硬體；zhhk 硬體 來實現。 對於非常高精度的運算，在級數展開收斂變得太慢的時候，可以用算術幾何平均來逼近三角函式，它自身透過複數橢圓積分來逼近三角函式。 三角函式的特殊值 特殊角度可用勾股定理（即畢氏定理）人手輕易計出三角函式的值。pi 60 弧度（3）的任何整數倍之正弦、餘弦和正切都可人手計算。以下是常用的特殊函式值。 函式 0 0circ frac pi12 15circ frac pi6 30circ frac pi4 45circ frac pi3 60circ frac 5pi12 75circ frac pi2 90circ sin 0 frac sqrt 6 sqrt 2 4 frac 12 frac sqrt 22 frac sqrt 32 frac sqrt 6 sqrt 2 4 1 cos 1 frac sqrt 6sqrt 24 frac sqrt 32 frac sqrt 22 frac 12 frac sqrt 6 sqrt 2 4 0 tan 0 2sqrt 3 frac sqrt 33 1 sqrt 3 2sqrt 3 pminfty cot pminfty 2sqrt 3 sqrt 3 1 frac sqrt 33 2sqrt 3 0 sec 1 sqrt 6 sqrt 2 frac 2sqrt 33 sqrt 2 2 sqrt 6sqrt 2 pminfty csc pminfty sqrt 6sqrt 2 2 sqrt 2 frac 2 sqrt 33 sqrt 6 sqrt 2 1 注：pminfty 有時會寫作無定義（不存在）。 反三角函式 三角函式屬週期函式而不是單射函式，嚴格來說並沒有反函式，要定義其反函式必須先限制三角函式的定義域，使得三角函式成為雙射函式。基本的反三角函式定義為： 反三角函式 定義 值域 arcsin x y sin y x frac pi2 le y le frac pi2 arccos x y cos y x 0 le y le pi arctan x y tan y x frac pi2 y frac pi2 arccsc x y csc y x frac pi2 le y le frac pi2 y ne 0 arcsec x y sec y x 0 le y le pi y ne frac pi2 arccot x y cot y x 0 y pi 對於反三角函式，符號 sin1 和 cos1 經常用於 arcsin 和 arccos。使用這種符號的時候，反函式可能跟三角函式的倒數混淆。mathrm arc 字首可避免這種混淆，儘管 arcsec 可能偶爾跟 arcsecond（角秒）混淆。 正如正弦和餘弦那樣，反三角函式也可以根據無窮級數來定義。例如， arcsin z z left frac 1 2 right frac z3 3 left frac 1 cdot 3 2 cdot 4 right frac z5 5 left frac 1 cdot 3 cdot 5 2 cdot 4 cdot 6 right frac z7 7 cdots 這些函式也可以透過證明它們是其他函式的原函式來定義。例如反正弦函式，可以寫為如下積分： arcsinleft xright int_0x frac 1 sqrt 1 z2mathrm d z quad x 1 可以在反三角函式條目中找到類似的公式。使用複對數可把這些函式延伸到複數輻角： arcsin z mathrm i ln left mathrm i z sqrt 1 z2 right arccos z mathrm i ln left z sqrt z2 1right arctan z frac mathrm i 2 lnleft frac 1mathrm i z1mathrm i zright 相關定理 三角函式，正如其名，在三角學十分重要。三角學研究發現了許多利用三角函式來刻畫三角形、圓形或多邊形的定理。 正弦定理 正弦定理聲稱對於邊長為 a、b 和 c 而相應角為 A、B 和 C 的三角形，有： frac asin A frac bsin B frac csin C 2R 其中 R 是三角形的外接圓半徑。正弦定理用於計算已知兩角和一邊時三角形的未知邊長，是三角測量中常見情況，前述為數學常用。至於物理學應用為三分力且合力為 0 的情況。 餘弦定理 餘弦定理（也叫餘弦公式）是勾股定理的延伸： c2a2b22abcos C 也可表示為 cos Cfrac a2b2c22ab。 餘弦定理用於確定三角形已知兩邊和一角時未知的值。 正切定理 Eli Maor Trigonometric Delights Princeton University Press 2002 frac abab frac tandfrac AB2tandfrac AB2 餘切定理 cot frac alpha2 frac sazeta 其中 zeta sqrt frac 1s sasbsc 為三角形的內切圓半徑， s frac abc2 為三角形半周長。 週期函式 三角函式在物理也重要，如用正弦和餘弦函式描述簡諧運動，它描述了很多自然現象，比如附著在彈簧上的物體的振動，掛在繩子上物體的小角度擺動。正弦和餘弦函式是圓周運動的一維投影。 三角函式在一般週期函式的研究中也很有用。這些函式有作為影像的特徵波模式，在描述迴圈現象比如聲波或光波的時候是很有用的。每個訊號都可以記為不同頻率的正弦和餘弦函式的（通常無限）和；這是傅立葉分析的基礎想法，這裡的三角級數可以用來解微分方程的各種邊值問題。例如，方波可以寫為傅立葉級數 x_mathrm squaret frac 4pi sum_k1infty sin left 2k1 t right over 2k1。 右邊動畫可見，只用幾項就形成非常準確的估計。 參見 三角函式精確值 三角恆等式 三角學 生成三角函式表 雙曲函式 勾股定理 方向餘弦 尤拉公式 誘導公式 註釋 參考資料 延伸閱讀 Abramowitz Milton、Irene A Stegun，Handbook of Mathematical Functions with Formulas Graphs and Mathematical Tables，Dover，New York（1964 年），ISBN 9780486612720。 Boyer Carl B，A History of Mathematics，John Wiley Sons Inc，第二版（1991 年），ISBN 9780471543978。 Joseph George G，The Crest of the Peacock NonEuropean Roots of Mathematics，第二版，Penguin Books，London，（2000 年），ISBN 9780691006598。 Kantabutra Vitit，On hardware for computing exponential and trigonometric 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