zhhant 費波那契數；zhhans 斐波那契數（義大利語：Numero di Fibonacci），又譯為菲波拿契數、菲波那西數、斐氏數、黃金分割數、費氏數列。所形成的數列稱為 zhhant 費波那契數列；zhhans 斐波那契數列（義大利語：Successione di Fibonacci），又譯為菲波拿契數列、菲波那西數列、斐氏數列、黃金分割數列、費氏數列。這個數列是由義大利數學家斐波那契在他的《算盤書》中提出。 在數學上，斐波那契數是以遞迴的方法來定義： F_00 F_11 F_n F_n1 F_n2（ngeqq 2） 用白話文來說，就是斐波那契數列由 0 和 1 開始，之後的斐波那契數就是由之前的兩數相加而得出。首幾個斐波那契數是： 987 特別指出：0 不是第一項，而是第零項（F_0）。 起源 公元 1150 年印度數學家 Gopala 和金月在研究箱子包裝物件長寬剛好為 1 和 2 的可行方法數目時，首先描述這個數列。在西方，最先研究這個數列的人是比薩的李奧納多（義大利人斐波那契 Leonardo Fibonacci 1175－1250），他描述兔子生長的數目時用上了這數列： 第一個月初有一對剛誕生的兔子 第二個月之後（第三個月初）牠們可以生育 每月每對可生育的兔子會誕生下一對新兔子 兔子永不死去 假設在 n 月有兔子總共 a 對，n1 月總共有 b 對。在 n2 月必定總共有 ab 對：因為在 n2 月的時候，前一月（n1 月）的 b 對兔子可以存留至第 n2 月（在當月屬於新誕生的兔子尚不能生育）。而新生育出的兔子對數等於所有在 n 月就已存在的 a 對 斐波納契數也是楊輝三角形（即帕斯卡三角形）的每一條紅色對角線上數字的和。 表示式 為求得斐波那契數列的一般表示式，可以藉助線性代數的方法。高中的初等數學知識也能求出。 初等代數解法 已知： a_11 a_21 a_n a_n1 a_n2（n3） 首先構建等比數列 設 a_n alpha a_n1beta a_n1alpha a_n2 化簡得 a_nbeta alpha a_n1 alphabeta a_n2 比較係數可得： begin cases betaalpha1 alphabeta1 end cases 不妨設 beta0 alpha0 解得： begin cases alphadfrac sqrt 512 betadfrac sqrt 512 end cases 又因為有 a_n alpha a_n1beta a_n1alpha a_n2， 即 lefta_n alpha a_n1right 為等比數列。 求出數列 lefta_n alpha a_n1 right 由以上可得： begin align a_n1 alpha a_n a_2alpha a_1betan1 1alphabetan1 betan end align 變形得： frac a_n1betan1frac alphabetacdotfrac a_nbetanfrac 1beta。 令 b_nfrac a_nbetan 求數列 left b_n right 進而得到 left a_n right b_n1frac alphabeta b_nfrac 1beta 設 b_n1lambdafrac alphabeta b_nlambda，解得 lambdafrac 1alphabeta。 故數列 leftb_nlambdaright 為等比數列 即 b_nlambdaleft frac alphabetarightn1left b_1lambdaright。而 b_1frac a_1betafrac 1beta， 故有 b_nlambdaleft frac alphabetarightn1left frac 1betalambdaright 又有 begin cases alphadfrac sqrt 512 betadfrac sqrt 512 end cases 和 b_nfrac a_nbetan 可得 a_nfrac sqrt 55 cdot left left frac 1 sqrt 52rightn left frac 1 sqrt 52rightnright 得出 a_n 表示式 a_nfrac sqrt 55 cdot left left frac 1 sqrt 52rightn left frac 1 sqrt 52rightnright 用數學歸納法證明表示式 證明 F_nfrac 1sqrt 5varphin1varphin，其中 varphi 為黃金比例 frac 1sqrt 52，n 為任意整數 若 n 為非負整數 當 n0 時，frac 1sqrt 5varphi01varphi0frac 1sqrt 5110F_0，成立 當 n1 時，frac 1sqrt 5varphi11varphi1frac 1sqrt 5varphi1varphifrac 1sqrt 52varphi1frac 1sqrt 5 times sqrt 51F_1，成立 設當 nk 及 nk1 時皆成立，即 F_kfrac 1sqrt 5varphik1varphik 且 F_k1frac 1sqrt 5varphik11varphik1 當 nk2 時 begin align F_k2F_k1F_k frac 1sqrt 5varphik11varphik1frac 1sqrt 5varphik1varphik frac 1sqrt 5 varphik1varphik1varphik11varphik frac 1sqrt 5 leftvarphik color brownvarphi11varphik color green1varphi1 right frac 1sqrt 5 leftvarphik color brownvarphi21varphik color green1varphi2 right frac 1sqrt 5 leftvarphik21varphik2 right end align 亦成立 若 n 為非正整數 當 n0 時，成立 當 n1 時，frac 1sqrt 5color brownvarphi1color green1varphi1frac 1sqrt 5color brownvarphi1color greenvarphifrac 1sqrt 52varphi1frac 1sqrt 5 times sqrt 51F_1，成立 設當 nk 及 nk1 時皆成立，即 F_kfrac 1sqrt 5varphik1varphik 且 F_k1frac 1sqrt 5varphik11varphik1 當 nk2 時 begin align F_k2F_kF_k1 frac 1sqrt 5varphik1varphikfrac 1sqrt 5varphik11varphik1 frac 1sqrt 5varphikvarphik11varphik1varphik1 frac 1sqrt 5leftvarphik1color brownvarphi11varphik1color green1varphi1 right frac 1sqrt 5leftvarphik1color brownvarphi11varphik1color green1varphi1 right frac 1sqrt 5leftvarphik21varphik2right end align 亦成立 因此，根據數學歸納法原理，此表示式對於任意整數 n 皆成立 線性代數解法 begin pmatrix F_n2 F_n1 end pmatrix begin pmatrix 1 1 1 0 end pmatrix cdot begin pmatrix F_n1 F_n end pmatrix begin pmatrix F_n2 F_n1 F_n1 F_n end pmatrix begin pmatrix 1 1 1 0 end pmatrixn 1 構建一個矩陣方程 設 J_n 為第 n 個月有生育能力的兔子數量，A_n 為這一月份的兔子數量。 J_n1choose A_n1 begin pmatrix 0111end pmatrix cdot J_nchoose A_n 上式表達了兩個月之間，兔子數目之間的關係。而要求的是，A_n1 的表示式。 求矩陣的特徵值： lambda 根據特徵值的計算公式，我們需要算出來 begin vmatrix lambda 1 1 1 lambda end vmatrix 0 所對應的解。 展開行列式有：lambda 1lambda1times1lambda2lambda1。 故當行列式的值為 0，解得 lambda_1 frac 12 1 sqrt 5 或 lambda_2 frac 12 1 sqrt 5。 特徵向量 將兩個特徵值代入 left begin pmatrix 0111end pmatrixlambda cdot Eright cdotvec x 0 求特徵向量 vec x 得 vec x_1begin pmatrix 1frac 12 1 sqrt 5end pmatrix vec x_2begin pmatrix 1frac 12 1 sqrt 5end pmatrix 分解首向量 第一個月的情況是兔子一對，新生 0 對。 J_1choose A_1 begin pmatrix 01end pmatrix 將它分解為用特徵向量表示。 begin pmatrix 01end pmatrixfrac 1sqrt 5 cdot begin pmatrix 1frac 12 1 sqrt 5end pmatrixfrac 1sqrt 5 cdot begin pmatrix 1frac 12 1 sqrt 5end pmatrix （4） 用數學歸納法證明 從 J_n1choose A_n1 begin pmatrix 0111end pmatrix cdot J_nchoose A_nlambda cdot J_nchoose A_n 可得到 J_n1choose A_n1 begin pmatrix 0111end pmatrixn cdot J_1choose A_1 lambdan cdot J_1choose A_1 （5） 化簡矩陣方程 將（4） 代入 （5） J_n1choose A_n1 lambdan cdot left frac 1sqrt 5 cdot begin pmatrix 1frac 12 1 sqrt 5end pmatrixfrac 1sqrt 5 cdot begin pmatrix 1frac 12 1 sqrt 5end pmatrixright 根據 3 J_n1choose A_n1 frac 1sqrt 5 cdot lambda_1n cdot begin pmatrix 1frac 12 1 sqrt 5end pmatrix frac 1sqrt 5 cdot lambda_2ncdot begin pmatrix 1frac 12 1 sqrt 5end pmatrix 求 A 的表示式 現在在 6 的基礎上，可以很快求出 A_n1 的表示式，將兩個特徵值代入 6 中 A_n1frac 1sqrt 5 cdot lambda_1n1 frac 1sqrt 5 cdot lambda_2n1 A_n1frac 1sqrt 5 cdot lambda_1n1 lambda_2n1 A_n1frac 1sqrt 5 cdot leftleft frac 12 left 1 sqrt 5rightrightn1 left frac 12 1 sqrt 5rightn1right（7） （7）即為 A_n1 的表示式 數論解法 實際上，如果將斐波那契數列的通項公式寫成 a_na_n1a_n20，即可利用解二階線性齊次遞迴關係式的方法，寫出其特徵多項式 lambda2lambda10（該式和表達斐波那契數列的矩陣的特徵多項式一致），然後解出 lambda_1 frac 12 1 sqrt 5， lambda_2 frac 12 1 sqrt 5，即有 a_nc_1lambda_1nc_2lambda_2n，其中 c_1c_2 為常數。我們知道 a_00a_11，因此 begin cases c_1c_20 frac c_1 1sqrt 52 frac c_2 1sqrt 5 21end cases，解得 c_1frac 1sqrt 5c_2frac 1sqrt 5。 組合數解法 F_nsum_i0infty binom nii F_n1F_nsum_i0infty binom n1iisum_i0infty binom nii1sum_i1infty binom nii1sum_i1infty binom nii1sum_i1infty binom n1iisum_i0infty binom n1iiF_n1 黃金比例恆等式解法 設 varphi 為黃金比例 frac 1sqrt 52，則有恆等式 varphinF_n1varphi F_n 與 1varphinF_n1varphi F_n，其中 n 為任意整數，則 begin align varphin1varphin F_n1varphi F_nF_n1varphi F_n F_n1F_n12 varphi F_n F_n2 varphi F_n F_n 2 varphi1 F_n times sqrt 5 end align 因此得到 F_n 的一般式： begin align F_n frac 1sqrt 5varphin1varphin frac 1sqrt 5 left frac 1sqrt 52nfrac 1sqrt 52n right end align 此一般式對任意整數 n 成立 近似值 當 n 為足夠大的正整數時，則 F_n approx frac 1sqrt 5 varphin frac 1sqrt 5 cdot left frac 12 left 1 sqrt 5right rightn approx 04472135955 cdot 161803398875n F_n approx frac 1sqrt 5 1 varphin frac 1sqrt 5 cdot left frac 12 left 1 sqrt 5right rightn approx 04472135955 cdot 061803398875n 用計算機求解 可透過程式設計觀察斐波那契數列。分為兩類問題，一種已知數列中的某一項，求序數。第二種是已知序數，求該項的值。 可透過遞迴遞推的演算法解決此兩個問題。 事實上當 n 相當巨大的時候，O（n）的遞推 遞迴非常慢 這時候要用到矩陣快速冪這一技巧，可以使遞迴加速到 O logn。 和黃金分割的關係 開普勒發現數列前、後兩項之比 frac 12 frac 23 frac 35 frac 58 frac 813 frac 1321 frac 2134 cdots ，也組成了一個數列，會趨近黃金分割： frac f_n1f_n approx a frac 12 1 sqrt 5 varphi approx 1 618 斐波那契數亦可以用連分數來表示： frac 11 1 qquad frac 21 1frac 11 qquad frac 32 1frac 11 frac 11 qquad frac 53 1frac 11 frac 11 frac 11 qquad frac 85 1frac 11 frac 11 frac 11 frac 11 F_n frac 1sqrt 5 left left frac 1sqrt 52 rightn left frac 1sqrt 52 rightn right varphin over sqrt 5 1varphin over sqrt 5 而黃金分割數亦可以用無限連分數表示： varphi 1frac 11 frac 11 frac 11 frac 11 而黃金分割數也可以用無限多重根號表示： varphisqrt 1sqrt 1sqrt 1sqrt 1 和自然的關係 thumb 春黃菊的頭狀花序上，小花呈螺旋狀排列，從不同方向可以數出 21（深藍）和 13（淺藍）條旋臂，為相鄰的斐氏數。類似的螺旋狀排列見於多種植物。 斐氏數列見於不同的生物學現象，如樹的分枝、、菠蘿聚花果上小單果的排列、雅枝竹的花蕾、正在舒展的蕨葉、松毬的鱗的排列、蜜蜂的家族樹。開普勒曾指出斐氏數列存在於自然界，並以此解釋某些花的五邊形形態（與黃金分割率相關）。法國菊的「瓣」（舌狀花）數通常為斐氏數。1830 年，K F Schimper 和 A Braun 發現植物的旋生葉序中，連續兩塊葉之間轉過的角度與周角之比，約成整數比時，常出現斐氏數，如 25 或 513。 恆等式 資料來源： 證明以下的恆等式有很多方法。以下會用組合論述來證明。 F_n 可以表示用多個 1 和多個 2 相加令其和等於 n 的方法的數目。 不失一般性，我們假設 ngeq1，F_n1 是計算了將 1 和 2 加到 n 的方法的數目。若第一個被加數是 1，有 F_n 種方法來完成對 n1 的計算；若第一個被加數是 2，有 F_n1 來完成對 n2 的計算。因此，共有 F_n F_n1 種方法來計算 n 的值。 F_0 F_1 F_2 F_3 F_n F_n2 1 計算用多個 1 和多個 2 相加令其和等於 n1 的方法的數目，同時至少一個加數是 2 的情況。 如前所述，當 n0，有 F_n2 種這樣的方法。因為當中只有一種方法不用使用 2，就即 111 （n1 項），於是我們從 F_n2 減去 1。 若第 1 個被加數是 2，有 F_n 種方法來計算加至 n1 的方法的數目； 若第 2 個被加數是 2、第 1 個被加數是 1，有 F_n1 種方法來計算加至 n2 的方法的數目。 重複以上動作。 若第 n1 個被加數為 2，它之前的被加數均為 1，就有 F_0 種方法來計算加至 0 的數目。 若該數式包含 2 為被加數，2 的首次出現位置必然在第 1 和 n1 的被加數之間。2 在不同位置的情況都考慮到後，得出 F_n F_n1 F_0 為要求的數目。 F_1 2 F_2 3 F_3 n F_n n F_n 2 F_n 3 2 F_1 F_3 F_5 F_2n1 F_2n F_2 F_4 F_6 F_2n F_2n1 1 F_12 F_22 F_32 F_n2 F_n F_n1 F_nF_mkF_mF_nk1nk F_mn F_k，其中 mnk 與 F 的序數皆不限於正整數。 特別地，當 nmk 時，F_n2F_nk F_nk 1nkF_k2 更特別地，當 k1 或 k1 時，對於數列連續三項，有 F_n2F_n1 F_n1 1n1 另一方面，當 mnkn1n2 時，對於數列連續四項，有 F_nF_n3F_n1 F_n21n1 varphinF_n1varphi F_n 且 1varphinF_n1varphi F_n，其中 varphi 為黃金比例 frac 1sqrt 52，n 為任意整數 藉由上述公式，又可推得以下恆等式： F_mF_n F_m1F_n1 F_mn1 F_m F_n1 F_m1 F_n F_mn 特別地，當 mn 時，begin align F_2n1 F_n2 F_n12 F_2n F_n1F_n1 F_n 2F_n1F_n F_n end align 數論性質 公因數和整除關係 F_n 整除 F_m，若且唯若 n 整除 m，其中 ngeqq 3。 gcd F_mF_nF_gcd mn 任意連續三個菲波那契數兩兩互質，亦即，對於每一個 n， mathrm gcdF_n F_n1mathrm gcdF_n F_n2mathrm gcdF_n1 F_n21 斐波那契質數 在斐波那契數列中，有質數： 2 3 5 13 89 233 1597 28657 514229 433494437 2971215073 99194853094755497 1066340417491710595814572169 19134702400093278081449423917 截至 2015 年，已知最大的斐波那契質數是第 104911 個斐波那契數，一共有 21925 個十進位制位。不過，人們仍不知道是不是有無限個斐波那契質數。 如所述，F_kn 總能被 F_n 整除，故除 F_4 3 之外，任何斐氏質數的下標必同為質數。由於存在的一列連續合數，斐氏數列中亦能找到連續任意多項全為合數。 大於 F_6 8 的斐氏數，必不等於質數加一或減一。 與其他數列的交集 斐波那契數列中，只有 3 個平方數：0、1、144。2001 年，證明，斐氏數中的次方數衹有有限多個。2006 年，Y Bugeaud、M Mignotte、S Siksek 三人證明，斐波那契數中的次方數只有 0、1、8、144。 1、3、21、55 為僅有的斐氏三角形數。曾猜想此結論，後來由羅明證明。 斐波那契數不能為完全數。推而廣之，除 1 之外，其他斐氏數皆非多重完全數，任兩個斐氏數之比亦不能是完全數。 模 n 的週期性 斐波那契數列各項模 n 的餘數構成，其最小正週期稱為皮薩諾週期，至多為 6n。皮薩諾週期對不同 n 值的通項公式仍是未解問題，其中一步需要求出某個整數（同餘意義下）或二次有限域元素的。不過，對固定的 n，求解模 n 的皮薩諾週期是問題的特例。 推廣 斐波那西數列是斐波那西 n 步數列步數為 2 的特殊情況，也和盧卡斯數列有關。 和盧卡斯數列的關係 F_nL_nF_2n 反費波那西數列 反費波那西數列的遞迴公式如下： G_n2 G_n G_n1 如果它以 11 開始，之後的數是：112358 即是 F_2n1 G_2n1F_2n1 F_2n G_2nF_2n， 亦可寫成 F_m 1m1 G_m1m1 F_m，其中 m 是非負整數。 反費波那西數列兩項之間的比會趨近 frac 1varphi approx 0618。 證明關係式 證明 F_m 1m1 F_m，其中 m 是非負整數 以 varphi 表示黃金分割數 frac 1sqrt 52，則有 varphi 1varphi1 故 1mvarphi 1varphimvarphim 1varphim，因此 begin align 1m1 F_m1m1 times frac 1sqrt 5varphim1varphim 1 times color brown1m times frac 1sqrt 5varphim1varphim 1times color brownvarphim 1varphim times frac 1sqrt 5varphim1varphim 1 times frac 1sqrt 5varphimm1varphim1varphimmvarphim 1 times frac 1sqrt 51varphimvarphim frac 1sqrt 5varphim1varphim F_m end align 巴都萬數列 費波那西數列可以用一個接一個的正方形來表現，巴都萬數列則是用一個接一個的等邊三角形來表現，它有 P_n P_n2 P_n3 的關係。 佩爾數列 佩爾數列的遞迴公式為 P_n 2P_n1 P_n2，前幾項為 0125122970169408 應用 1970 年，尤裡馬季亞謝維奇指出了偶角標的斐波那契函式 y F_2x 正是滿足 Julia Robison 假設的丟番圖函式，因而證明瞭希爾伯特第十問題是不可解的。 電腦科學 考慮以輾轉相除法求兩個正整數的最大公因數，分析此演算法的執行時間。同等輸入規模下，最壞情況（用時最長）發生於輸入為兩個相鄰斐氏數時。 歸併排序演算法有一多相版本用到斐氏數列，是將未排序的陣列分為兩份，長度為相鄰的斐氏數（因此比值接近黃金比）。《計算機程式設計藝術》描述了此種的實作方法，適用於以磁帶機為外存的情況。 斐波那契樹是一棵二叉樹，其每個節點的左右子樹高皆恰好差 1。由此，斐氏樹為 AVL 樹，且對固定高度而言，是最少節點的 AVL 樹。此類樹的節點數可寫成斐氏數減 1。 Myron J Ricci 的英文翻譯 載於 Soviet Mathematics Doklady 312591263 1962 某些偽隨機數生成器用到斐氏數列。 斐波那契堆是一種資料結構，分析其時間複雜度時會用到斐波那契數。 斐波那契編碼是以 01 字串表示正整數的一種方法，與之類似，還可以表示負數。 延伸閱讀 KNUTH D E 1997 The Art of Computer ProgrammingArt of Computer Programming Volume 1 Fundamental Algorithms Third Edition AddisonWesley Chapter 128 Arakelian Hrant 2014 Mathematics and History of the Golden Section Logos 404 p ISBN 9785987046630 rus 克裡福德 A 皮科夫。數學之戀。湖南科技出版社 參考文獻 註釋 參見 齊肯多夫定理 外部連結 費波那契數，孫智宏（pdf） Periods of Fibonacci Sequences Mod m at MathPages Scientists find clues to the formation of Fibonacci spirals in nature Fibonacci