變分法是處理泛函的數學領域，和處理函式的普通微積分相對。譬如，這樣的泛函可以透過未知函式的積分和它的導數來構造。變分法最終尋求的是極值函式：它們使得泛函取得極大或極小值。有些曲線上的經典問題採用這種形式表達：一個例子是最速降線，在重力作用下一個粒子沿著該路徑可以在最短時間從點 A 到達不直接在它底下的一點 B。在所有從 A 到 B 的曲線中必須極小化代表下降時間的表示式。 變分法的關鍵定理是尤拉－拉格朗日方程。它對應於泛函的臨界點。在尋找函式的極大和極小值時，在一個解附近的微小變化的分析給出一階的一個近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。 變分法在理論物理中非常重要：在拉格朗日力學中，以及在最小作用量原理在量子力學的應用中。變分法提供了有限元方法的數學基礎，它是求解邊界值問題的強力工具。它們也在材料學中研究材料平衡中大量使用。而在純粹數學中的例子有，黎曼在調和函式中使用狄利克雷原理。 同樣的材料可以出現在不同的標題中，例如希爾伯特空間技術，莫爾斯理論，或者辛幾何。變分一詞用於所有極值泛函問題。微分幾何中的測地線的研究是很顯然的變分性質的領域。極小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，稱為普拉託問題。 歷史 變分法可能是從約翰伯努利（1696）提出最速曲線（brachistochrone curve）問題開始出現的。它立即引起了雅各布伯努利和洛必達（Marquis de lHôpital）的注意。但尤拉首先詳盡的闡述了這個問題。他的貢獻始於 1733 年，他的《變分原理》（Elementa Calculi Variationum）寄予了這門科學這個名字。尤拉對這個理論的貢獻非常大。 勒讓德（1786）確定了一種方法，但在對極大和極小的區別不完全令人滿意。牛頓和萊布尼茨也是在早期關注這一學科，對於這兩者的區別 Vincenzo Brunacci（1810）、高斯（1829）、泊松（1831）、Mikhail Ostrogradsky（1834）、和雅可比（1837）都曾做出過貢獻。Sarrus（1842）的由柯西（1844）濃縮和修改的是一個重要的具有一般性的成就。Strauch（1849）、Jellett（1850）、Otto Hesse（1857）、Alfred Clebsch（1858）、和 Carll（1885）寫了一些其他有價值的論文和研究報告，但可能那個世紀最重要的成果是 Weierstrass 所取得的。他關於這個理論的著名教材是劃時代的，並且他可能是第一個將變分法置於一個穩固而不容置疑的基礎上的。1900 年希爾伯特發表的 23 個問題中的第 20 和 23 個問題促進了其更深遠的發展。 在 20 世紀希爾伯特、埃米諾特、列奧尼達託內利、昂利勒貝格和雅克阿達馬等人做出重要貢獻。Marston Morse 將變分法應用在莫爾斯理論中。Lev Pontryagin、Ralph Rockafellar 和 Clarke 廣義變分法最優控制理論發展了新的數學工具。 尤拉 拉格朗日方程 在理想情形下，一函式的極大值及極小值會出現在其導數為 0 的地方。同樣地，求解變分問題時也可以先求解相關的尤拉 拉格朗日方程。以下以尋找連線平面上兩點 x_1 y_1 和 x_2 y_2 最短曲線的例子，說明求解的過程。曲線的長度為 A f int_x_1x_2 sqrt 1 fx 2 dx 其中 fx frac dfdx f x_1y_1 f x_2y_2 。 函式 f 至少需為一階可微的函式。若 f_0 是一個區域性最小值，而 f_1 是一個在端點 x_1 及 x_2 取值為零並且至少有一階導數的函式，則可得到以下的式子 A f_0 le A f_0 epsilon f_1 其中 epsilon 為任意接近 0 的數字。 因此 A f_0 epsilon f_1 對 epsilon 的導數（A 的一階導數）在 epsilon0 時必為 0： frac ddepsilon int_x_1x_2 left sqrt 1 f_0x epsilon f_1x2 dx right_epsilon 0 int_x_1x_2 left frac f_0x epsilon f_1x f_1xsqrt 1 f_0x epsilon f_1x2right_epsilon 0 dx int_x_1x_2 frac f_0x f_1x sqrt 1 f_0x 2dx 0 此條件可視為在可微分函式的空間中，A f_0 在各方向的導數均為 0。若假設 f_0 二階可微（或至少弱微分存在），則利用分部積分法可得 int_x_1x_2 f_1 x frac ddxleft frac f_0x sqrt 1 f_0x 2 right dx 0 其中 f_1 為在兩端點皆為 0 的任意二階可微函式。這是變分法基本引理的一個特例： I int_x_1x_2 f_1 x H x dx 0， 其中 f_1 為在兩端點皆為 0 的任意可微函式。 若存在 x hat x 使 H x 0，則在 hat x 周圍有一區間的 H 也是正值。可以選擇 f_1 在此區間外為 0，在此區間內為非負值，因此 I 0，和前提不合。若存在 x hat x 使 H x 0，也可證得類似的結果。因此可得到以下的結論： frac ddxleft frac f_0x sqrt 1 f_0x 2 right 0， 由結論可推得下式： frac d2 f_0dx20， 因此兩點間最短曲線為一直線。 在一般情形下，則需考慮以下的計算式 A f int_x_1x_2 L xff dx， 其中 f 需有二階連續的導函式。在這種情形下，拉格朗日量 L 在極值 f_0 處滿足尤拉 拉格朗日方程 frac ddx frac part Lpart f frac part Lpart f0， 不過在此處，尤拉 拉格朗日方程只是有極值的必要條件，並不是充分條件。 費馬原理 費馬原理指出：光會沿著兩端點之間所需光程最短的路徑前進。假設 yf x 為光的路徑，則光程可以下式表示： A f int_xx_0x_1 n xf x sqrt 1 fx2 dx， 其中折射率 n xy 依材料特性而定。 若選擇 f x f_0 x epsilon f_1 x，則 A 的一階導數（A 對 epsilon 的微分）為： delta A f_0f_1 int_xx_0x_1 left frac n xf_0 f_0x f_1xsqrt 1 f_0x2 n_y xf_0 f_1sqrt 1 f_0x2 right dx， 將括號中的第一項用分部積分處理，可得尤拉 拉格朗日方程 frac ddx left frac n xf_0 f_0sqrt 1 f_02 right n_y xf_0 sqrt 1 f_0x2 0。 光線的路徑可由上述的積分式而得。 斯乃爾定律 當光進入或離開透鏡面時，折射率會有不連續的變化。考慮 n xy n_ quad hbox if quad x0， n xy n_ quad hbox if quad x0， 其中 n_ 和 n_ 是常數。在 x0 或 x0 的區域，尤拉 拉格朗日方程均和以上描述的相同。因為折射率在二個區域均為定值，在二個區域光都以直線前進。而在 x0 的位置，f 必須連續，不過 f 可以不連續。在上述二個區域用分部積分的方式解尤拉 拉格朗日方程，則其變分量為 delta A f_0f_1 f_1 0left n_frac f_00_sqrt 1 f_00_2 n_frac f_00_sqrt 1 f_00_2 right。 和 n_ 相乘的係數是入射角的正弦值，和 n_ 相乘的係數則是折射角的正弦值。若依照斯涅爾定律，上述二項的乘積相等，因此上述的變分量為 0。因此斯涅爾定律所得的路徑也就是要求光程一階變分量為 0 的路徑。 費馬原理在三維下的形式 費馬原理可以用向量的形式表示：令 Xx_1x_2x_3，而 t 為其引數，X t 是曲線 C 引數化的表示，而令 dot X t 為其法線向量。因此在曲線上的光程長為 A C int_tt_0t_1 n X sqrt dot X cdot dot X dt。 上述積分和 t 無關，因此也和 C 的引數表示方式無關。使曲線最短的尤拉 拉格朗日方程有以下的對稱形式 frac ddt P sqrt dot X cdot dot X nabla n， 其中 P frac n X dot Xsqrt dot X cdot dot X 。 依 P 的定義可得下式 P cdot P n X2。 因此上述積分可改為下式 A C int_tt_0t_1 P cdot dot X dt。 依照上式，若可以找到一個函式 ψ，其梯度為 P，則以上的積分 A 就可以由在積分端點上 ψ 的差求得。以上求解曲線使積分量不變的問題就和 ψ 的 level surface 有關。為了要找到滿足此條件的函式 ψ，需要對控制光線傳動的波動方程式進行進一步的研究。 和波動方程的關係 應用 最優控制的理論是變分法的一個推廣。 參看 等周不等式 變分原理 費馬原理 最小作用量原理 無窮維最佳化 泛函分析 微擾法 參考 Fomin SV and Gelfand IM Calculus of Variations Dover Publ 2000 Lebedev LP and Cloud MJ The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics World Scientific 2003 pages 198 Charles Fox An Introduction to the Calculus of Variations Dover Publ 1987 Forsyth AR Calculus of Variations Dover 1960 Sagan Hans Introduction to the Calculus of Variations Dover 1992 Weinstock Robert Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering Dover 1974 Clegg JC Calculus of Variations Interscience Publishers Inc 1968 Elsgolc LE Calculus of Variations Pergamon Press Ltd 1962 外部連結 變分法線上影音教學 by PengTitus Chapter III Introduction to the calculus of variations by Johan Byström LarsErik Persson and Fredrik Strömberg PlanetMathorg Calculus of variations Wolfram Researchs MathWorld Calculus of Variations Example problems in the calculus of variations Category 數學分析 Category 變分法 Category 數學最佳化