曲線擬合，簡稱擬合，俗稱拉曲線，是一種構建一個函式曲線，使之最佳地吻合現有的過程 SS Halli KV Rao 1992 Advanced Techniques of Population Analysis Page 165 cf functions are fulfilled if we have a good to moderate fit for the observed data，該過程可能附加若干條件限制。The Signal and the Noise Why So Many Predictions Failbut Some Dont By Nate SilverData Preparation for Data Mining Text By Dorian Pyle 通俗地說，科學和工程問題透過諸如取樣、實驗等方法獲得了若干離散的資料點。根據這些資料，我們往往希望得到一個連續的函式（也就是曲線）或者更加密集的離散方程與已知資料相吻合，該過程就叫做 擬合，而得到的曲線方程就稱為 擬合函式。曲線擬合又譯為：曲線配適、曲線貼合、曲線適插法，均有助理解其選擇曲線方程（解析函式）來 模擬吻合 觀測資料的過程。 曲線擬閤中可以使用插值 Numerical Methods in Engineering with MATLAB By Jaan Kiusalaas Page 24Numerical Methods in Engineering with Python 3 By Jaan Kiusalaas Page 21（需要精確吻合某資料時）或平滑 Numerical Methods of Curve Fitting By P G Guest Philip George Guest Page 349See also Mollifier（構造一個平滑的函式曲線，近似符合資料點）。迴歸分析是與擬合密切相關的一個話題 Fitting Models to Biological Data Using Linear and Nonlinear Regression By Harvey Motulsky Arthur ChristopoulosRegression Analysis By Rudolf J Freund William J Wilson Ping Sa Page 269，它更關注的是統計推斷，例如一條擬合到有隨機誤差的一組觀測資料的曲線有多大的不確定性。擬合曲線可以用作資料視覺化的一種輔助手段，Visual Informatics Edited by Halimah Badioze Zaman Peter Robinson Maria Petrou Patrick Olivier Heiko Schröder Page 689Numerical Methods for Nonlinear Engineering Models By John R Hauser Page 227 以表示資料缺失的函式區間的取值，Methods of Experimental Physics Spectroscopy Volume 13 Part 1 By Claire Marton Page 150 也可概括兩個或多個變數之間的關係。Encyclopedia of Research Design Volume 1 Edited by Neil J Salkind Page 266 外推指的是使用曲線來擬合觀察資料取值範圍以外的取值，Community Analysis and Planning Techniques By Richard E Klosterman Page 1 往往因採取的構建函式的方式不同而有較大的不確定性 An Introduction to Risk and Uncertainty in the Evaluation of Environmental Investments DIANE Publishing Pg 69 將函式擬合至資料點 最常見的是擬合成函式 的形式。 將直線或多項式曲線擬合至資料點 一次多項式方程 y ax b 在笛卡爾平面上是一條直線，而這條直線的斜率是。因為任何兩點可以決定一條直線，因此總能找到次數不多於 1 的多項式來串起任何兩個值相異的點。 如果把多次式的次數增加到 2： y ax2 bx c 那麼只要給定值各異的 3 點，總會有次數不多於 2 的多項式可以把它們串起。 如果把多次式的次數再增加到 3： y ax3 bx2 cx d 那麼只要給定值各異的 4 點，總會有次數不多於 3 的多項式可以把它們串起。 更準確而言，這條多項式能夠符合任何 4 個限制。限制可以是一點、角度或曲率（即半徑的倒數）。角度和曲率的限制通常用在曲線的終端，此時稱為終端條件 。兩條不同多項式擬合曲線的轉換處通常會用到相同的終端條件，以確保樣條平滑交接。也可以增加如曲率變化率等高階約束。例如，在高速公路立體交叉點苜蓿葉型的設計中，可以理解為汽車沿著苜蓿葉立交運動時作用在汽車上的力的變化率（加加速度），並依此設定合理的限速。 一次多項式也可以擬合一個單點和一個角度的限制；三次多項式也可以擬合兩點、一個角度約束以及一個曲率約束。許多其它型別的約束組合也同樣可以用低階或者高階多項式來擬合。 在有超過個約束（是多項式的階次）的情況下，多項式擬合可能仍然能滿足所有約束。滿足所有約束的精確擬合不一定能夠得到（但是有可能得到，例如一次多項式擬閤中的三點共線）。通常，我們需要使用一些方法來評價擬合的好壞。最小平方法就是用來評價偏離的一種常用的方法。 雖然提高多項式的次數可能可以獲得精確擬合，但有時我們仍會採用近似擬合，其原因有下： 存在精確的擬合併也不意味著能很容易地得到這個擬合。根據使用的演算法不同，可能遇到發散的情形，要麼無法得到精確擬合，要麼需要太長的計算時間才能獲得精確擬合。不管哪種情況，最終都會以得到近似擬合而結束。 通常人們會希望得到一個近似的擬合以抹平資料點的隨機波動，而不是為了 精確 擬合數據而扭曲擬合曲線。 龍格現象：高次多項式往往有高度波動的特性。如果透過兩點 A 和 B 作一條曲線，可以期望該曲線也大概會透過 AB 中點附近的某處。但是對於高次多項式，情況就不是如此了，高次多項式曲線往往可能有絕對值很大的幅值。對於低次多項式，曲線波動不大，因此能透過中點附近（對於一次多項式，能保證肯定透過中點）。 將其他函式擬合至資料點 其他型別的曲線在特定條件下也可使用，諸如三角函式（如正弦或餘弦函式）。 在光譜學中，資料可以使用高斯、柯西、福格特等相關函式來擬合。 在生物學、生態學、人口學、傳染病學等學科中，生物個體數增長、傳染病擴散等資料可以用邏輯斯諦函式（一種 S 型函式）來擬合。 在農業中，倒 S 型函式被用於描述作物產量和生長因子之間的關係。右方藍色的圖表是將農田中的測量資料進行 S 形回歸得出的。可以看出作物產量在土壤鹽度增加時先緩慢降低，之後降得更快，最終又趨於緩和。 代數擬合與幾何擬合 在資料的代數分析中，擬合 通常意味著試圖找到使點的垂直（y 軸）方向偏移最小的曲線（例如普通最小二乘法）。然而，對於圖形和影像應用，幾何擬合可以提供最佳的視覺擬合；它通常試圖使到曲線的正交距離最少（例如），或以其他方式將點和曲線之間兩個軸的方向上的偏移都考慮在內。由於往往需要非線性和 或迭代運算，儘管幾何擬合的結果有更美觀和幾何上更準確的優勢，但實際上較少使用。 將平面曲線擬合至資料點 軟體 很多，例如 R 語言，以及，例如 gnuplot、GNU 科學庫、、Maple、MATLAB、TK Solver 60、Scilab、Mathematica、GNU Octave 和 SciPy，都可以用命令列進行不同情景下的曲線擬合。 參見 測量平差 估計理論 擬合優度 遺傳程式設計 萊文伯格 馬夸特方法 非線性迴歸 過適 平面曲線 平滑 樣條函式（樣條插值、） 時間序列 參考文獻 外部連結 Curve Expert shareware fits functions to data limited to one dependant and one independent variable Zunzuncom Online curve and surface fitting TableCurve2D and TableCurve3D by Systat automates curve fitting another choice online curvefitting textbook Interactive curve fitting using Least Squares with Weights on savetmancom Category 統計學 Category 插值論 Category 迴歸分析