切比雪夫多項式是與棣莫弗定理有關，以遞迴定義的一系列正交多項式序列。 通常，第一類切比雪夫多項式以符號 Tn 表示， 第二類切比雪夫多項式用 Un 表示。切比雪夫多項式 Tn 或 Un 代表 n 階多項式。 切比雪夫多項式在逼近理論中有重要的應用。這是因為第一類切比雪夫多項式的根（被稱為切比雪夫節點）可以用於多項式插值。相應的插值多項式能最大限度地降低龍格現象，並且提供多項式在連續函式的最佳一致逼近。 在微分方程的研究中，切比雪夫提出切比雪夫微分方程： 1x2y xy n2y 0 和 1x2y 3xy n n2y 0 相應地，第一類和第二類切比雪夫多項式分別為這兩個方程的解。 這些方程是斯圖姆 劉維爾微分方程的特殊情形。 定義 第一類切比雪夫多項式由以下遞推關係確定 T_0 x 1 T_1 x x T_n1x 2xT_n x T_n1x 也可以用母函式表示 sum_n0infty T_n x tn frac 1tx12txt2 第二類切比雪夫多項式由以下遞推關係給出 U_0 x 1 U_1 x 2x U_n1x 2xU_n x U_n1x 此時母函式為 sum_n0infty U_n x tn frac 112txt2 從三角函式定義 第一類切比雪夫多項式由以下三角恆等式確定 T_n cos thetacos ntheta 其中 n 0 1 2 3 cos ntheta 是關於 costheta 的 n 次多項式，這個事實可以這麼看： cos ntheta 是：costhetaisinthetanei nthetacos nthetaisin ntheta 的實部（參見棣莫弗公式），而從左邊二項展開式可以看出實部中出現含 sintheta 的項中，sintheta 都是偶數次的，從而可以表示成 1cos2theta 的冪 。 用顯式來表示 T_n x begin cases cos narccos x x in 11 cosh n mathrm arccoshx x ge 1 1n cosh n mathrm arccoshx x le 1 end cases 儘管能經常碰到上面的表示式，但如果藉助於複函式 cos z cosh z 以及他們的反函式，則有 begin matrix T_n x cos n arccos x mathrm cosh n mathrm arccosh x end matrix quad forall x in mathbb R 類似，第二類切比雪夫多項式滿足 U_n cos theta frac sin n1thetasintheta 以佩爾方程定義 切比雪夫多項式可被定義為佩爾方程 T_i2 x21 U_i12 1 在多項式環 R x 上的解 eg 見 Demeyer 2007 p70 因此它們的表示式可透過解佩爾方程而得出 T_i U_i1 sqrt x21 x sqrt x21i 遞迴公式 兩類切比雪夫多項式可由以下雙重遞迴關係式中直接得出 T_0 x 1 U_1x 1 T_n1x xT_n x 1 x2 U_n1x U_n x xU_n1x T_n x 證明的方式是在下列三角關係式中用 cosvartheta 代替 x T_n1x T_n1cosvartheta cos n 1vartheta cos nvarthetacosvartheta sin nvarthetasinvartheta T_n cosvarthetacosvartheta U_n1cosvarthetasin2vartheta xT_n x 1 x2 U_n1x 正交性 Tn 和 Un 都是區間 11 上的正交多項式系 第一類切比雪夫多項式帶權 frac 1sqrt 1x2 即 int_11 T_n x T_m xfrac dxsqrt 1x2leftbegin matrix 0 nne m pi nm0 pi2 nmne 0 end matrix right 可先令 x cos θ 利用 Tn cos θcos nθ 便可證明 類似地，第二類切比雪夫多項式帶權 sqrt 1x2 即 int_11 U_n x U_m xsqrt 1x2dx begin cases 0 nne m pi2 nm end cases 其正交化後形成的隨機變數是 Wigner 半圓分佈 基本性質 對每個非負整數 n， T_n x 和 U_n x 都為 n 次多項式。 並且當 n 為偶（奇）數時，它們是關於 x 的偶（奇）函式， 在寫成關於 x 的多項式時只有偶（奇）次項。 n ge 1 時，T_n 的最高次項係數為 2n1 ，n 0 時係數為 1 。 最小零偏差 對 n ge 1，在所有最高次項係數為 1 的 n 次多項式中 ， f x frac1 2n1 T_n x 對零的偏差最小，即它是使得 f x 在 1 1 上絕對值的最大值最小的多項式。 其絕對值的最大值為 frac1 2n1 ， 分別在 1 、 1 及 f 的其他 n 1 個極值點上達到 。 兩類切比雪夫多項式間的關係 兩類切比雪夫多項式間還有如下關係： frac ddx T_n x n U_n1x mbox n1ldots T_n x frac 12 U_n x U_n2x T_n1x xT_n x 1 x2 U_n1x T_n x U_n x x U_n1x 切比雪夫多項式是超球多項式或蓋根堡多項式的特例，後者是雅可比多項式的特例 切比雪夫多項式導數形式的遞推關係可以由下面的關係式推出： 2 T_n x frac 1n1 frac ddx T_n1x frac 1n1 frac ddx T_n1x mbox quad n12ldots 例子 前幾個第一類切比雪夫多項式是 T_0 x 1 T_1 x x T_2 x 2x2 1 T_3 x 4x3 3x T_4 x 8x4 8x2 1 T_5 x 16x5 20x3 5x T_6 x 32x6 48x4 18x2 1 T_7 x 64x7 112x5 56x3 7x T_8 x 128x8 256x6 160x4 32x2 1 T_9 x 256x9 576x7 432x5 120x3 9x 前幾個第二類切比雪夫多項式是 U_0 x 1 U_1 x 2x U_2 x 4x2 1 U_3 x 8x3 4x U_4 x 16x4 12x2 1 U_5 x 32x5 32x3 6x U_6 x 64x6 80x4 24x2 1 第一類切比雪夫多項式前幾階導數是 T_n1 n2 T_n1 1n n2 T_n 1 n4 n23 T_n 1 1n n4 n23 按切比雪夫多項式的展開式 一個 N 次多項式按切比雪夫多項式的展開式為如下： p x sum_n0N a_n T_n x 多項式按切比雪夫多項式的展開可以用 Clenshaw 遞推公式計算。 切比雪夫根 兩類的 n 次切比雪夫多項式在區間 11 上都有 n 個不同的根，稱為切比雪夫根，有時亦稱做 ，因為是多項式插值時的 插值點。從三角形式中可看出 Tn 的 n 個根分別是： x_i cosleft frac 2i12npiright mbox i1ldotsn 類似地， Un 的 n 個根分別是： x_i cosleft frac in1piright mbox i1ldotsn 參看 切比雪夫濾波器 參考 M Abramowitz and I A Stegun eds Handbook of Mathematical Functions with Formulas Graphs and Mathematical Tables Chapter 22 New York Dover 1972 C C Category 正交多項式 Category 數值分析