費馬數是以數學家費馬命名的一組自然數，具有形式： F_n 22n 1 其中 n 為非負整數。 若 2n1 是素數，可以得到 n 必須是 2 的冪。（若 nab，其中 1 a b n 且 b 為奇數，則 2n1 equiv 2ab1 equiv 1b1 equiv 0 pmod 2a1，即 2a1 是 2n1 的因數。）也就是說，所有具有形式 2n1 的素數必然是費馬數，這些素數稱為費馬素數。已知的費馬素數只有 F_0 至 F_4 五個。 基本性質 費馬數滿足以下的遞迴關係： F_n F_n1121 F_n F_n1 22n1 F_0 cdots F_n2 F_n F_n12 2 F_n212 F_n F_0 cdots F_n1 2 其中 ngeqslant2。這些等式都可以用數學歸納法推出。從最後一個等式中，我們可以推出哥德巴赫定理：任何兩個費馬數都沒有大於 1 的公因子。要推出這個，我們需要假設 0 leqslant i j 且 F_i 和 F_j 有一個公因子 a 1。那麼 a 能把 F_0 cdots F_j1 和 F_j 都整除；則 a 能整除它們相減的差。因為 a 1，這使得 a 2。造成矛盾。因為所有的費馬數顯然是奇數。作為一個推論，我們得到素數個數無窮的又一個證明。 其他性質： F_n 的位數 D nb 可以表示成以 b 為基數就是 D nb leftlfloor log_bleft 22overset n1right1 rightrfloor approx lfloor 2nlog_b 21 rfloor 參見高斯函式 除了 F_1 2 3 以外沒有費馬數可以表示成兩個素數的和。 當 p 是奇素數的時候，沒有費馬數可以表示成兩個數的 p 次方相減的形式。 除了 F_0 和 F_1，費馬數的最後一位是 7。 所有費馬數的倒數之和是無理數。 所羅門格倫布，1963 費馬數的因式分解 最小的 12 個費馬數為： F0 21 1 3 F1 22 1 5 F2 24 1 17 F3 28 1 257 F4 216 1 65537 以上 5 個是已知的費馬素數。 F5 232 1 4294967297 641 6700417 F6 264 1 18446744073709551617 274177 67280421310721 F7 2128 1 340282366920938463463374607431768211457 59649589127497217 5704689200685129054721 F8 2256 1 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 1238926361552897 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321 F9 2512 1 13407807929942597099574024998205846127479365820592393377723561443721764030073546976801874298166903427690031858186486050853753882811946569946433649006084097 2424833 7455602825647884208337395736200454918783366342657 741640062627530801524787141901937474059940781097519023905821316144415759504705008092818711693940737 F10 21024 1 179769313486231590772930519078902473361797697894230657273430081157732675805500963132708477322407536021120113879871393357658789768814416622492847430639474124377767893424865485276302219601246094119453082952085005768838150682342462881473913110540827237163350510684586298239947245938479716304835356329624224137217 45592577 6487031809 4659775785220018543264560743076778192897 130439874405488189727484768796509903946608530841611892186895295776832416251471863574140227977573104895898783928842923844831149032913798729088601617946094119449010595906710130531906171018354491609619193912488538116080712299672322806217820753127014424577 F11 22048 1 32317006071311007300714876688669951960444102669715484032130345427524655138867890893197201411522913463688717960921898019494119559150490921095088152386448283120630877367300996091750197750389652106796057638384067568276792218642619756161838094338476170470581645852036305042887575891541065808607552399123930385521914333389668342420684974786564569494856176035326322058077805659331026192708460314150258592864177116725943603718461857357598351152301645904403697613233287231227125684710820209725157101726931323469678542580656697935045997268352998638215525166389437335543602135433229604645318478604952148193555853611059596230657 319489 974849 167988556341760475137 3560841906445833920513 173462447179147555430258970864309778377421844723664084649347019061363579192879108857591038330408837177983810868451546421940712978306134189864280826014542758708589243873685563973118948869399158545506611147420216132557017260564139394366945793220968665108959685482705388072645828554151936401912464931182546092879815733057795573358504982279280090942872567591518912118622751714319229788100979251036035496917279912663527358783236647193154777091427745377038294584918917590325110939381322486044298573971650711059244462177542540706913047034664643603491382441723306598834177 其中前八個來源於。 質因數個數顏色： 紅色：2 個因數；綠色：3 個因數；粉色：4 個因數；藍色：5 個因數；橘色：6 個因數；紫色：7 個因數 含以上； 只有最小的 12 個費馬數被人們完全分解了 費馬數的分解 ，目前最小不確定質性的費馬數是 F_33。 不確定質性的數：F_n，n 33、34、35、44、45、46、 歷史 1640 年，費馬提出了一個猜想，認為所有的費馬數都是素數。這一猜想對最小的 5 個費馬數成立，於是費馬宣稱他找到了表示素數的公式。然而，尤拉在 1732 年否定了這一猜想，他給出了 F_5 的分解式： F_5 232 1 4294967297 641 times 6700417 尤拉證明費馬數的因數皆可表成 k2n11，之後盧卡斯證明費馬數的因數皆可表成 k2n21。 費馬的本猜測到了大數可說是大錯特錯，甚至多數數學家認為不存在第 6 個費馬質數。 定理 高斯稱：尺規作圖正多邊形的邊數目的充分條件是 2 的非負整數次方乘以任意個（可為 0 個）不同的費馬素數的積，解決了兩千年來懸而未決的難題。這個條件也是必要條件，但他沒有給出證明。 素性檢驗 方法一 設 F_n22n1 為第 n 個費馬數。如果 n 不等於零，那麼： F_n 是素數，當且僅當 3frac F_n12equiv1pmod F_n。 證明 假設以下等式成立： 3frac F_n12equiv1pmod F_n 那麼 3F_n1equiv1pmod F_n，因此滿足 3k 1 pmod F_n 的最小整數 k 一定整除 F_n122n，它是 2 的冪。另一方面，k 不能整除 tfrac F_n12，因此它一定等於 F_n1。特別地，存在至少 F_n1 個小於 F_n 且與 F_n 互素的數，這隻能在 F_n 是素數時才能發生。 假設 F_n 是素數。根據尤拉準則，有： 3frac F_n12equivleft frac3 F_nrightpmod F_n 其中 left frac3 F_nright 是勒讓德符號。利用重複平方，我們可以發現 22nequiv1pmod3，因此 F_nequiv2pmod3，以及 left frac F_n 3right1。因為 F_nequiv1pmod4，根據二次互反律，我們便可以得出結論 left frac3 F_nright1。 方法二 根據費馬平方和定理，可證明某些費馬數為合數。因為 4n1 型的質數皆可表示為兩正整數的平方和，且表示方法唯一 例如： F_5216212204492622642 F_62322121438793759240468032562 註釋 Fermat Category 數學中未解決的問題 Category 大整數 Category 數學概念