在測度論中，勒貝格測度（Lebesgue measure）是歐幾里得空間上的標準測度。對維數為 1，2，3 的情況，勒貝格測度就是通常的長度、面積、體積。它廣泛應用於實分析，特別是用於定義勒貝格積分。可以賦予勒貝格測度的集合稱為勒貝格可測集；勒貝格可測集 的測度記作 。一般來說，我們允許一個集合的勒貝格測度為 ，但是即使如此，在假設選擇公理成立時， 仍有勒貝格不可測的子集。不可測集的 奇特 行為導致了巴拿赫 塔斯基悖論這樣的命題，它是選擇公理的一個結果。 勒貝格測度以法國數學家昂利勒貝格命名。勒貝格於 1901 年首次提出這一測度，次年又給出勒貝格積分的定義，並收錄進他的學位論文中。 問題起源 人們知道，區間的長度可以定義為端點值之差。若干個不交區間的並的長度應當是它們的長度之和。於是人們希望將長度的概念推廣到比區間更復雜的集合。 我們想構造一個對映 ，它能將實數集的子集 對映到非負實數 ，並稱這個數為集合 的測度。最理想的情況下， 應該具有以下性質： 對於實數集的所有子集 都有定義。 對於一個區間 ， 應當等於其長度 。 具有可數可加性。如果 是一列不相交的集合，並且 在其上有定義，那麼 mleft bigcup_n E_nright sum_n m E_n ，其中 表示聯集。 具有平移不變性。設集合 及 （即將 的每個元素各加上同一個實數 所得到的集合），則 。 遺憾的是，這樣的對映是不存在的。人們只能退而求其次，尋找滿足其中部分條件的對映。勒貝格測度是滿足後三條性質的例子。另一個例子是若爾當測度，它只滿足有限可加性。 定義 區間 Iab 的長度定義為 Iba。對 Esubseteqmathbb R，勒貝格外測度定義為 對每一列能覆蓋 E 的開區間 I_k_kinmathbb N，作長度和 musum_k0infty I_k。所有這些 mu 組成一個有下界的數集，下確界稱為勒貝格外測度，記做 lambdaE。 勒貝格測度定義在勒貝格 σ 代數上。若集合 E 滿足： 對所有 Asubseteq mathbb R，皆有 lambdaAlambdaAcap ElambdaAcap Ec 則 E 為勒貝格 σ 代數的元素，稱為勒貝格可測集。對勒貝格可測集，其勒貝格測度 lambda E 就定義為勒貝格外測度 lambdaE。 不在勒貝格 σ 代數中的集合不是勒貝格可測的，這樣的集合確實存在，故勒貝格 σ 代數嚴格包含於 mathbb R 的冪集。 例子 任何區間都是勒貝格可測的。閉區間 ab、開區間 ab 的勒貝格測度都等於區間長度 ba。 如果 A 是區間 a b 和 c d 的笛卡爾積，則它是一個長方形，測度為它的面積 badc。 博雷爾集都是勒貝格可測的。反之不然，存在不是博雷爾集的勒貝格可測集。 可數集的勒貝格測度為 0。特別是，有理數集的勒貝格測度為 0，儘管有理數集是稠密的。 康托爾集是一個勒貝格測度為零的不可數集的例子。 假設決定性公理成立，則實數集的所有子集都是勒貝格可測的。假設選擇公理成立，則可以構造出勒貝格不可測的集合，例如維塔利集。決定性公理與選擇公理是不相容的。 奧斯古德曲線（Osgood curve）是平面簡單曲線，但具有大於 0 的勒貝格測度。龍形曲線是另一個例子。 性質 設集合 與 是在 上的集合。勒貝格測度有如下的性質： 如果 是一列區間 的笛卡爾積 prod_n I_n ，則 是勒貝格可測的，並且 lambda A prod_n leftI_nright ，其中 表示區間 的長度。 如果 是有限個或可數個兩兩互不相交的勒貝格可測集 的並集，則 也是勒貝格可測的，並且 lambdaleft Aright sum_n lambda E_n 。 如果 是勒貝格可測的，那麼它相對於 mathbb Rn 的補集也是可測的。 對於每個勒貝格可測集 ， lambda Age0 。 如果 與 是勒貝格可測的，且 ，則 lambda Alelambda B 。 可數多個勒貝格可測集的交集或者並集，仍然是勒貝格可測的。 mathbb Rn 上的博雷爾集（即由開集經可數多次交、並、差運算得到的集合）都是勒貝格可測的。 勒貝格可測集 幾乎 是開集，也 幾乎 是閉集。具體來說，E 是勒貝格可測集當且僅當對任意的 varepsilon0 存在開集 G 與閉集 F 使得 Fsubset Esubset G 且 lambda Gsetminus Fvarepsilon。此性質曾用來定義勒貝格可測性。（見勒貝格測度的正則性定理） 勒貝格測度既是區域性有限的，又是內正則的，所以是拉東測度。 非空開集的勒貝格測度嚴格大於 0，所以勒貝格測度的支集是全空間 mathbb Rn。 如果 是勒貝格零測集，即 lambda A0 ，則 的任何一個子集也是勒貝格零測集。 如果 是勒貝格可測的，且 （即將 平移 個單位），則 也是勒貝格可測的，並且 lambda Blambda A 。 如果 是勒貝格可測的，且 （即將 縮放 倍，k0），則 也是勒貝格可測的，並且 lambda Bkncdotlambda A 。 更一般地，設 是一個線性變換， 為其行列式。如果 是勒貝格可測的，則 也是勒貝格可測的，並且 lambda T Adet Tlambda A 。 設 是一個從 到 mathbb Rn 上的連續單射函式。如果 是勒貝格可測的，則 也是勒貝格可測的。 簡要地說，mathbb Rn 的勒貝格可測子集組成一個包含所有區間的笛卡爾積的 σ 代數，且 是其上唯一的完備的、平移不變的、滿足 lambda 01times 0 1times cdots times 0 11 的測度。 勒貝格測度是 σ 有限測度。 零測集 mathbb Rn 的子集 A 是零測集，如果對於任意 varepsilon0，A 都可以用可數多個盒（即 n 個區間的乘積）來覆蓋，且其總體積最多為 varepsilon。所有可數集都是零測集。 如果 mathbb Rn 的子集的豪斯多夫維數小於 n，那麼它是關於 n 維勒貝格測度的零測集。在這裡，豪斯多夫維數是相對於 mathbb Rn 上的歐幾里得度量（或任何與其利普希茨等價的度量）而言。另一方面，一個集合可能拓撲維數小於 n，但具有正的 n 維勒貝格測度。一個這樣的例子是史密斯 沃爾泰拉 康托爾集，它的拓撲維數為 0，但 1 維勒貝格測度為正數。 為了證明某個集合 A 是勒貝格可測的，我們通常嘗試尋找一個 較好 的集合 B，與 A 的對稱差是零測集，然後證明 B 可以用開集或閉集的可數交集和並集生成。 勒貝格測度的構造 勒貝格測度的現代構造基於外測度，並應用卡拉西奧多里擴張定理。 固定 ninmathbb NRn 中的盒子是形如 Bprod_i1n a_ib_i 的集合，其中 b_ige a_i，連乘號代表笛卡爾積。盒子的體積定義為 operatorname volBprod_i1n b_ia_i 對於 mathbb Rn 的任何子集 A，可以定義它的外測度 lambdaA lambdaA inf Biglsum_Bin mathcal Coperatorname volBmathcal C 是可數個盒子的集合，它們的並集覆蓋了 ABigr 然後定義集合 A 為勒貝格可測的，如果對於所有集合 Ssubset Rn，都有： lambdaS lambdaA cap S lambdaS setminus A 這些勒貝格可測的集合形成了一個 σ 代數。對於任何勒貝格可測的集合 A 其勒貝格測度定義為 lambda AlambdaA 勒貝格不可測集合的存在性是選擇公理的結果。根據維塔利定理，存在實數 R 的一個勒貝格不可測的子集。如果 A 是 Rn 的子集，且其測度為正，那麼 A 便有勒貝格不可測的子集。 1970 年，Robert M Solovay 證明了，在不帶選擇公理的策梅洛 弗蘭克爾集合論中，勒貝格不可測集的存在性是不可證的（見 Solovay 模型）。 與其他測度的關係 若 A 博雷爾可測，則其博雷爾測度與勒貝格測度一致；然而，更多的勒貝格可測集是博雷爾不可測的。博雷爾測度是平移不變的，但不是完備的。 哈爾測度可以定義在任何區域性緊群上，是勒貝格測度的一個推廣（帶有加法的 mathbb Rn 是一個區域性緊群）。 豪斯多夫測度（參見豪斯多夫維數）是勒貝格測度的一個推廣，對於測量 mathbb Rn 的維數比 n 低的子集是很有用的，例如 R³ 上的曲線、曲面，以及分形集合。注意不能把豪斯多夫測度與豪斯多夫維數混淆。 可以證明，無法在無窮維空間上定義類似的勒貝格測度。 參看 勒貝格密度定理 劉維爾數集的勒貝格測度 參考文獻 L